Α. ГУРВИЦ, P. КУРАНТ
ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ
Перевод
М. Л. ЕВГРАФОВА
ш
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1968

517.2 VORLESUNGEN ÜBER
Γ 95
УДК 517.5 ALLGEMEINE
FUNKTIONENTHEORIE UNH
ELLIPTISCHE FUNKTIONEN
VON
ADOLF HURWITZ
WEIL. ORD. PROF DER MATHEMATIK AM EIDGENOSSISCHEN
POLYTECHNIKUM ZÜRICH
HERAUSGEGEBEN UND ERGÄNZT DURCH EINEN ABSCHNITT ÜBER
GEOMETRISCHE FUNKTIONENTHEORIE
VON
R. COURANT
NEW YORK
VIERTE VERMEHRTE UND VERBESSERTE AUFLAGE
MIT 161 ABBILDUNGEN
SPRINGER-VERLAG
BERLIN . GÖTTINGEN · HEIDELBERG · NEW YORK
1964
A. Г у ρ виц, P. Курант
ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ
М.. 1968 г.. 648 стр. с илл.
Редактор В. В. Абгарян
Техн. редактор Л. А, Благовещенская Корректор В, П, Сорокина
Сдано в набор 17/IV 1968 г. Подписано к печати 25/XI 1968 г. Бумага 60X90Vie. Физ.
печ. л. 40,5. Условн. печ. л. 40,5. Уч. изд. л. 38,85. Тираж 25 900 экз. Цена книги 3 руб.
Заказ № 1603.
Издательство «Наука»
Главная редакция физико-математической литературы.
Москва, В-71, Ленинский проспект, 15.
2-2'3 Главполиграфпром Комитета по печати при Совете Министров СССР. Отпе*
'■ чатано в Ленинградской типографии № 2 им. Евг. Соколовой Измайлов*
70-68 ский пр., 29, с матриц Ордена Трудового Красного Знамени Ленинградской
типографии Кя 1 «Печатный Двор» им А Μ Горького, Гатчинская ул., 26.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие переводчика 8
Часть первая
Общие вопросы теории аналитических функций
Глава 1. Комплексные числа 11
§ 1. Понятие комплексного числа 11
§ 2. Геометрическое представление комплексных чисел 14
§ 3. Сходимость числовых последовательностей. Сфера Римана 18
§ 4. Множества на комплексной плоскости 21
§ 5. Ряды с комплексными членами 23
§ 6. Функции комплексного переменного 27
§ 7. Равномерная сходимость 28
Глаза 2. Степенные ряды 31
§ 1. Область сходимости степенного ряда 31
§ 2. Формулы для радиуса сходимости 32
§ 3. Действия со степенными рядами 34
§ 4. Теорема единственности 37
§ 5. Обобщение полученных результатов 38
§ 6. Переразложение степенного ряда 39
§ 7. Производные степенного ряда 41
§ 8. Непосредственное продолжение степенного ряда 43
§ 9. Ряды Лорана 46
Глава 3. Понятие аналитической функции 50
§ 1. Моногенные системы степенных рядов 50
§ 2. Понятие аналитической функции 51
§ 3. Ветви аналитической функции 53
§ 4. Примеры 55
§ 5. Особые точки степенного ряда 58
§ 6. Основная теорема алгебры 62
§ 7. Особые точки однозначных аналитических функций 62
§ 8. Особые точки многочленов и рациональных функций 6^
§ 9. Некоторые теоремы о регулярных функциях 68
§ 10. Теоремы Вейерштрасса о рядах 69
Глава 4. Исследование основных элементарных функций 73
§ 1. Экспонента 73-
§ 2. Тригонометрические функции 75
§ 3. Логарифм 77
§ 4. Степень с произвольным показателем 82

4 ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава 5. Интегрирование аналитических функций 85
§ 1. Равномерная непрерывность и равномерная дифференцируемость
аналитических функций 85
§ 2. Интегрирование степенных рядов 87
§ 3. Интегрировсние производной от регулярной функции 87
§ 4. Примеры 91
§ 5. Интегрирование регулярных функций 94
§ 6. Теорема Коши и ее видоизменения 97
§ 7. Следствия из теоремы Коши. Теорема Лорана 100
§ 8. Вычеты 105
§ 9. Формулы для числа нулей и полюсов 108
Глава 6. Мероморфные функции 112
§ 1. Понятие мероморфной функции 112
§ 2. Мероморфные функции с конечным числом полюсов 113
§ 3. Теорема Миттаг-Леффлера ИЗ
§ 4. Общий вид мероморфной функции с заданными полюсами 115
§ 5. Случай простых полюсов 116
§ 6. Примеры 118
§ 7. Метод Коши 120
§ 8. Примеры 122
§ 9. Целые функции с заданными нулями 125
§ 10. Представление мероморфных функций через целые 128
§ П. Представление гамма-функции Эйлера в виде бесконечного
произведения 129
§ 12. Представление гамма-функции интегралом 133
Глава 7. Обращение аналитических функций 138
§ 1. Обращение степенных рядов 138
§ 2. Примеры 143
§ 3. Оценка радиуса сходимости ряда для обратной функции 146
Часть вторая
Эллиптические функции
Глава 1. Двоякопериодические мероморфные функции 149
§ 1. Замечания из аналитической геометрии 149
§ 2. Множество периодов как группа 151
§ 3. Параллелограмм периодов 155
§ 4. Поле эллиптических функций 157
§ 5. Общие теоремы об эллиптических функциях 158
§ 6. Функция ί^ (м) 161
§ 7. Дифференциальное уравнение для функции ψ {и) 165
§ 8. Теорема сложения для функции ψ (и) 169
§ 9. Выражение произвольных эллиптических функций через
функцию j^ (м) 170
§ 10. Дальнейшие свойства эллиптических функций 174
§ 11. Функция ζ (и) 175
§ 12. Выражение эллиптических функций через функцию ζ (и) 176
§ 13. Ф}н^ция σ (м) 179
§ 14. Выражение эллиптических функций через функцию σ (м) 181
§ 15. Функции jj^ (u)j ζ (и), о (и) как функции от ω^, ω^ 183
Глава 2. Тета-функции 188
§ 1. Ряд Фурье для периодических целых функций 188
§ 2. Обозначения 189

ОГЛАВЛЕНИЕ 5
§ 3. Функция ^1 (ν) 190
ί^ 4. функции σ^ (и), аз (м), Од (м) 192
^ δ. функции »2 (υ), θ3 (г/), θ^ (г/) 193
^ 6. Сводка формул 195
§ 7. Обобщение понятия тета-функции и зависимость тета-функций от τ 197
^ 8. Связь функций θ;^ (г;) между собой. Нули тета-функций 199
§ 9. Выражение ^i, ^з» ^з через θ;^ @) 201
§ 10. Разложение тета-функций в бесконечное произведение 203
§11. Приложения к теории чисел 206
§ 12. Разложение функции ζ (и) как функции от ζ^ в ряд простейших
дробей и выражения для величин ^ι, g2y gs 209
§ 13. Разложение функции Υ^ (и)—€/^ 211
Глава 3. Эллиптические функции Якоби 214
§ I. Определение функций sn м, сп м, dn м 214
§ 2. Функции Якоби как эллиптические функции 217
§ 3. Дифференциальные уравнения для функций Якоби 218
§ 4. Теоремы сложения для функций Якоби 219
§ 5. Тригонометрические функции как предельный случай функций Якоби 220
Глава 4. Эллиптические модулярные функции 222
§ 1. Модулярная группа и ее фундаментальная область 222
§ 2. Модулярные функции и модулярные формы 228
§ 3. Решение уравнения J{z)==a 230
§ 4. Решение системы уравнений go = ay g^=^ b 233
§ 5. Решение уравнения х^ (τ) = α 235
Глава 5. Алгебраические кривые и римановы поверхности,
связанные с эллиптическими функциями 236
§ 1. Алгебраические кривые и униформизация 236
§ 2. Алгебраическая кривая w^ = G.(z) 237
§ 3. Алгебраическая кривая w^ = G^ (ζ) 238
§ 4. Алгебраическая кривая Лежандра 239
§ 5. Топологическая природа эллиптической алгебраической кривой . . . 240
§ 6. Двулистная форма римановой поверхности 242
Глава б. Эллиптические интегралы 247
§ 1. Определение и постановка задач 247
§ 2. Приведение эллиптических интегралов к простейшим 248
§ 3. Интегралы по замкнутым кривым на римановой поверхности .... 252
§ 4. Периоды нормальных эллиптических интегралов 256
Глава 7. Преобразование эллиптических функций 259
§ 1. Преобразование первого порядка функций Вейерштрасса 259
§ 2. Преобразование первого порядка тета-функций 260
§ 3. Преобразование второго порядка 264
§ 4. Формулы связи между функциями Вейерштрасса и Якоби 267
§ 5. Преобразование Ландена 268
§ 6. Среднее арифметико-геометрическое 271
Часть третья
Геометрические идеи теории аналитических функций
введение 274
Г^лаеа 1. Предварительные сведения 275
I ]· Комплексные числа 275
§ 2. Кривые и области 279

б ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 3. Криволинейные интегралы 283
§ 4. Дополнительные сведения из топологии 289
Глава 2. Регулярные функции и их свойства 292
§ 1. Условие дифференцируемости 292
§ 2. Обратная функция 296
§ 3. Интегрирование регулярных функций 299
§ 4. Теорема Коши 300
§ 5. Теорема Коши для многосвязных областей и теорема о вычетах . . 305
§ 6. Элементарные функции 307
§ 7, Интегральная формула Коши 311
§ 8. Конформное отображение 315
Глава 3. Следствия интегральной формулы Коши 318
§ 1. Теорема Вейерштрасса о раниэмерно сходящихся рядах 318
§ 2. Ряды Тейлора и Лорана. Теорема единственности 321
§ 3. Некоторые приложения теоремы о вычетах 328
§ 4. Принцип максимума и лемма Шварца 336
§ 5. Некоторые оценки. Теорема Лиувилля 338
§ 6. Принцип компактности для регулярных функций 339
§ 7, Связь регулярных функций с гармоническими 342
§ 8. Интеграл Пуассона 344
§ 9. Следствия 348
§ 10. Решение задачи Дирихле для круга 351
§ 11. Граничные значения интеграла типа Коши 353
§ 12. Течения жидкости 360
Глава 4. Аналитическое продолжение и римановы поверхности. . . 364
§ 1. Общие принципы аналитического продолжения 364
§ 2. Понятие аналитической функции. Особые точки 368
§ 3. Римановы поверхности 377
§ 4. Алгебраические функции 385
§ 5. Принцип симметрии Римана—Шварца 392
Глава 5. Исследование некоторых элементарных функций 397
§ 1. Дробно-линейные функции 397
§ 2. Функции ζ = ζ^ (/г > О — целое число) и 2 = -/"ζ 406
§ 3. Функция ^=^(^4 ) 409
§ 4. Логарифмическая и показательная функции 411
§ 5. Тригонометрические функции 412
§ 6. Степенная функция с произвольным показателем . . . . 414
§ 7. Течение жидкости в окрестности особых точек и критических точек
комплексного потенциала 416
§ 8. Круг как плоскость Лобачевского 421
Глава 6. Конформное отображение односвязных однолистных
областей 424
§ 1. Обсуждение теоремы Римана и вспомогательные теоремы 424
§ 2. Доказательство теоремы Римана 429
§ 3. Непрерывная зависимость отображающей функции от области . . . 432
§ 4. Единственность отображения 434
§ 5. Соответствие границ при конформном отображении 436
§ 6. Функция Грина и задача Дирихле 441
§ 7. «Знакопеременная метода» Шварца 446
§ 8. Теоремы искажения 450
§ 9. Обобщения и приложения принципа максимума 456

ОГПАВЛЕНИЕ 7
Глава 7. Некоторые специальные конформные отображения 461
§ I. Формула Кристоффеля — Шварца 461
§ 2. Функции прямолинейного треугольника 466
§ 3. Отображение прямоугольника. Эллиптические функции 469
§ 4. Модулярная функция 473
§ 5. Теорема Пикара 479
§ 6. Теоремы Шоттки и Ландау 480
§ 7. Дифференциальные уравнения для отображающих функций
круговых многоугольников 483
Глава 8. Принцип Дирихле и конформные отображения
многосвязных областей 490
§ 1. Наводящие соображения 490
§ 2. Интеграл Дирихле и формула Грина 495
§ 3. Некоторые теоремы о гармонических функциях 497
§ 4. Экстремальная задача, относящаяся к задаче Дирихле 502
§ 5. Постановка экстремальной задачи, отвечающей задаче отыскания
отображающей функции 509
§ 6. Существование минимизирующей функции для областей,
ограниченных дугами окружностей 521
§ 7. Непрерывная зависимость минимизирующей функции экстремальной
задачи от области 528
§ 8. Конформное отображение однолистной области на плоскость
с разрезами 530
§ 9. Экстремальные задачи с другими особенностями допустимых
функций 535
§ 10. Экстремальные задачи на римановых поверхностях 539
Глава 9. Мероморфные функции на римановых поверхностях .... 547
§ 1. Топологические образы алгебраических римановых поверхностей. . 547
§ 2. Абелсвы интегралы 555
§ 3. Теоремы о существовании и единственности для абелевых
интегралов 565
§ 4. Алгебраические функции 573
§ 5. Абстрактные римановы поверхности 579
§ 6. Абелевы дифференциалы. Теорема Римана — Роха 589
§ 7. Автоморфные функции 600
§ 8. Униформизация , 611
§ 9. Отображение на круговые области и униформизация с неполным
рассечением римановой поверхности . . . 625
§ 10. Классификация римановых поверхностей с точки зрения
конформных отображений 641
Предметный указатель 647

ПРЕДИСЛОВИЕ ПЕРЕВОДЧИКА
Книга Гурвица и Куранта «Теория функций» уже издавалась
на русском языке, правда, в виде двух книг (А. Гурвиц,
Аналитические и эллиптические функции, М., 1933. Р. Курант,
Геометрическая теория функций комплексной переменной, М., 1934). Обе эти
книги использовались в качестве учебников по теории функций
комплексного переменного, но были популярны и в своем истинном
назначении — монографий по теории функций.
К настоящему времени изданные у нас книги Гурвица и Куранта
стали библиографической редкостью. Поэтому, когда после
сорокалетнего перерыва издательство Шпрингера выпустило новое издание
«Теории функций», несколько переработанное самим Курантом
и дополненное профессором Рерлем, издательство «Наука» решило
заново перевести эту книгу. В процессе перевода я решил пойти
на довольно серьезные отклонения от оригинала. Прежде чем
объяснять причины, побудившие меня сделать такой шаг, я хочу
рассказать о книге в ее прежней редакции.
«Теория функций» состоит из трех частей. Первые две написаны
Гурвицем, третья — Курантом. Первая часть содержит четкое, строгое
и даже несколько формальное изложение основ вейерштрассовской
теории аналитических функций. Вторая часть посвящена применениям
теории аналитических функций к изучению эллиптических функций.
В этих первых двух частях изложение ведется очень четко и
конкретно, без каких бы то ни было обобщений (эти две части
в оригинале не претерпели никаких изменений по сравнению с
предыдущим изданием, а при переводе я лишь несколько освежил
терминологию и внес немного локальных улучшений, не
заслуживающих особого упоминания). Естественно, что при таком стиле
изложения (и при небольшом объеме) многие идеи теории функций
остались за пределами этих двух частей, хотя и был заложен прочный
фундамент для их развития. Смысл третьей части, написанной

ПРЕДИСЛОВИЕ ПЕРЕВОДЧИКА 9
Курантом, — в построений всего здания идей, опирающихся на этот
фундамент. Независимость третьей части от первых двух — чисто
формальна. Она нужна Куранту лишь для того, чтобы при беглом
повторении изложения отмечать обилие идеи, связывающие теорию
аналитических функций с другими областями анализа. Широта охвата
идей третьей части уже не позволяет вести изложение на прежнем
уровне. Характерные черты третьей части — это стремление к
интуитивной наглядности (даже в ущерб строгости) и к разъяснению
общих идей на каждом конкретном примере. При этом Курант
со свойственным ему мастерством всегда умеет подвести читателя
к общей идее таким образом, чтобы ее общность казалась неизбежной.
Идейное построение третьей части, написанной Курантом,
великолепно. К сожалению, следует признать, что техническое
исполнение замысла во многих местах оставляло желать лучшего.
Эта третья часть «Теории функций», известная у нас как книга
Куранта «Геометрическая теория функций комплексной переменной»,
изобиловала мелкими ошибками в доказательствах и формулировках,
а также неточностями, связанными с расположением материала, из-за
чего часто использовались еще не доказанные факты (причем, как
правило, без упоминания об этом). Все это сильно снижало ценность
замечательной по своему содержанию книги. Особенно неудачно
написаны были последние две главы. По своему содержанию они
исключительно интересны, но разобраться в их изложении могли
лишь специалисты самой высокой квалификации.
До сих пор мы говорили о старом издании «Теории функций».
К сожалению, при переработке для нового издания были исправлены
лишь самые значительные ошибки. Основное отличие нового издания —
дополнение, написанное профессором Рерлем. Следует отметить, что
изложение материала в этом дополнении, пожалуй, ближе к изложению,
первых двух частей «Теории функций». При этом многие факты,
которые были неудачно доказаны в третьей части, или были
доказаны в недостаточно общих предположениях, в дополнении попросту
доказываются заново.
Я еще со студенческих лет очень люблю и ценю книгу Куранта
и хочу, чтобы ее новые читатели могли в полной мере оценить
достоинства этой книги. Мне кажется, что слишком близкий к тексту
оригинала перевод последнего издания «Теории функций» плохо послужил
бы этой цели. В частности, дополнение профессора Рерля (само по себе

10 ПРЕДИСЛОВИЕ ПЕРЕВОДЧИКА
совсем неплохое), на мой взгляд, является в книге чужеродным
телом. Поэтому при переводе я предпочел устранить из книги
это дополнение и переработать «Теорию функций» совсем иным
способом. Я не стремился следовать тексту оригинала там, где он
казался мне неудачным, а пытался, сохранив замысел Куранта,
изложить его возможно яснее, освобождая его от ошибок и
неточностей. Кроме того, я старался по мере сил следовать самому стилю
изложения Куранта, не поддаваясь искушению удовлетворять
требованиям формальной строгости в уш.ерб наглядности.
Следует отметить, что необходимость освободить книгу от ошибок
и неточностей заставила меня решиться на некоторое перемещение
материала, иногда довольно серьезное. Например, пришлось поменять
местами главы 4 и 5, а в главах 3, 4, 5 и б — поменять местами
ряд параграфов.
Последние две главы (8 и 9) мне пришлось почти полностью
написать заново, взяв за основу обш.ие контуры, намеченные Курантом.
М. А. Евграфов

ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
ОБЩИЕ ВОПРОСЫ
ТЕОРИИ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
Гл а в а первая
КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
§ 1, Понятие комплексного числа
Первопричиной возникновения в математике комплексных чисел
послужило то обстоятельство, что квадратные уравнения с
действительными коэффициентами могут иметь действительные решения,
а могут и не иметь их. Математику трудно смириться с тем, что
какая-либо задача может не иметь решения. Поэтому, когда
невозможность решения доказана, обязательно делаются попытки так
расширить основные понятия, чтобы эту невозможность устранить. Так π
случилось, что невозможность решить некоторые квадратные
уравнения, оставаясь в области действительных
чисел, привела к появлению комплексных
чисел. Понятие комплексного числа
оказалось полезным во многих вопросах,
благодаря чему прочно вошло в математику.
Чтобы определить комплексные числа, ~^
рассмотрим совокупность всех пар (а, Ь)
(здесь а и b — действительные числа). Каж- Рис. 1.
дую пару можно представлять себе
геометрически как точку плоскости (рис. 1). Паре (а, Ь) поставим
π соответствие выражение а-\-Ы, где букву i и знак-]-пока будем
рассматривать как некоторые символы. Договоримся для краткости
писать вместо α -j-O·/ — просто α, вместо О -\-Ы — просто Ы и
вместо 1·/ — просто /. Два выражения a-\-bi w a'~{-b'i будем
считать равными в том и только в том случае, когда а = а' и b = b\
Впоследствии мы увидим, что символы α = α-\-0'ί можно
отождествить с действительными числами. Точки плоскости, отвечаюи1,ие
этим символам, лежат на оси х, или, как мы будем говорить в
дальнейшем, на действительной оси.
Теперь придадим символам a-{-bi смысл чисел, определив
правила действий над этими символами. В соответствии с таким
намерением будем впредь называть символ а -\- bi комплексным
^^ICAOM,

12 КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА [Гл. ί
Число а назовем действительной частью^ а число b — мн'>
мой частью комплексного числа а-\~Ы. Число 01=^0-^-01
действительная часть которого равна нулю (а мнимая часть отлична от
нуля) будем называть чисто мнимым числом. Точки плоскости,
отвечающие чисто мнимым числам, лежат на оси у, которую будем
называть мнимой осью. Число 0-|-1-г = / будем называть мнимой
единицей.
Сложение комплексных чисел определим следующим равенством:
(а + Ы) + (а' + ЬЧ) = (а Л- а') + {Ь -\- Ь') L A)
Очевидно, что определенная таким образом операция сложения
обладает свойствами коммутативности и ассоциативноетп, поскольку
операция сложения действительных чисел обладает этими свойствами.
По той же причине для каждого комплексного числа сушествует
единственное комплексное число, дающее в сумме с ним нуль (т. е.
комплексное число — а — Ы), Тем самым определяется вычитание
комплексных чисел. Теперь ясно, что испэльзованиый раньше
символ -|~ является знаком сложения.
Умножение комплексных чисел определим равенством
(а 4- ^0 («' + ^'0 = (««' — ЬЬ') + {ab' + аЪ) L B)
С помощью несложных выкладок легко убедиться, что операция
умножения обладает свойствами коммутативности и
ассоциативности, а операции сложения и умножения вместе взятые обладают
свойством дистрибутивности. Иными словами, если положить
α = α -f Ьи α' = α' -j- b'U α" = a" + ^'7,
то
α-(-α' = α'4-ο(, (α + α') + α''= α + (α'-f α''),
Ш = си'сиу {(ίο!) ο!' = α (α V), α (α' -]- ο!') = α.α! -\- ол'\
Если считать мнимые части комплексных чисел равными нулю,
то операции сложения и умножения комплексных чисел совпадают
с операциями сложения и умножения их действительных частей,
рассматриваемых как действительные числа. Именно это обстоятельство
позволяет отождествить комплексные числа вида а-\-0 -i с
действительными числами.
Если в формуле B) положить α = α' = 0, b = b'=\y то мы
получим равенство 1-1 = 1^ = —1. Если же в формуле B) положить
^ = О, то получим равенство
а {а' -\- b'l) = (α -{- О . О {а' -f ЬЧ) = аа' + аЬЧ.
В частности, для любого комплексного числа α справедливо
равенство 1 ·α = α.

§ 1) ПОНЯТИЕ КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА 13
Отметим еще одну важную формулу, получающуюся в качестве
частного случая формулы B):
(а ^Ы) {а-01)=^^^^-^-0^
Она носит название правила умножения сопряженных чисел.
Сопряженными называются два комплексных числа, действительные части
которых равны, а мнимые части равны по абсолютной величине, но
противоположны по знаку. Число, сопряженное с а, обозначается а.
Из формулы B) видно, что произведение двух комплексных чисел
равно нулю, если хотя бы один из сомножителей равен нулю.
Справедливо и обратное утверждение:
Если произведение комплексных чисел равно нулю, то хотя
бы один из сомножителей обязан быть равным нулю.
В самом деле, из равенства (а -|- bi) (α' --|- ЬЧ) = О вытекает также,
что
(а — Ы) {а -\- Ы) {а' ~\- ЬЧ) (а' — ЬЧ) = 0.
Объединяя в этом произведении первый множитель со вторым, а
третий с четвертым, получаем, что (а^ -[- ^^) {а'^ -\- Ь"^) = 0. Поэтому
должно быть a^^-f~b^ = 0 или а'^-\-Ь'^=:0. В случае, если а'^-^-17^^ = О,
имеем а = Ь = Оу т. е. множитель а~\-Ы равен нулю. Во втором
случае равен нулю множитель а' -f- ЬЧ.
В заключение покажем, что деление на любое комплексное число,
отличное от нуля, всегда возможно, и выведем формулы для
частного двух комплексных чисел.
Частным двух комплексных чисел а'-\~ЬЧ и а-|~^^^0
естественно назвать решение уравнения
(а -f bi)x =r (α' -\- ЬЧ). C)
Из этого уравнения умножением обеих частей на а — bi получаем
уравнение
(а^ -4- Ь"") х = {а-- bi) {а' + ЬЧ).
Из него, поскольку а-р^/т^О, т. е. а^-]-^^7^0, находим
^ "" а' + Ь' (^ ~ ^^'^ (^' + ^"^^'
Найденное значение χ является единственным решением уравнения C).
Полученную формулу для частного можно также записать в виде
аа' ~\- bb' , ab' — a'b .
Сопоставляя равенства
(а — bi) -f (α' — ЬЧ) = {а + а') — (Ь-\~ Ы) /,
(а — bi) {а' — ЬЧ) = {аа' — bb') — (ab' + a'b) i

14 КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА [Гл. I
С равенствами A) и B), мы убеждаемся, что сумма и произведение
комплексных чисел меняют значения на сопряженные, когда
слагаемые {соответственно сомножители) меняют значения на
сопряженные, т. е. справедливы формулы
a-fß = (a-t-ß), αβ = (αβ).
Этот простой факт можно выразить еще и следующим образом.
Рассмотрим отображение, ставящее в соответствие каждому
комплексному числу число, сопряженное с ним. Оно отображает
множество всех комплексных чисел на себя и обладает тем свойством, что
равенства вида α-|-β = γ, α — β = Τ' ο^β = Τ остаются справедливы,
если входящие в них комплексные числа заменить их образами.
Из сказанного сразу же вытекает, что любое равенство, обе
стороны которого получаются из данных комплексных чисел
применением любого числа операций сложения и умножения, остается в силе,
если все входящие в него комплексные числа заменить сопряженными.
§ 2. Геометрическое представление комплексных чисел
Согласно сказанному в § 1 комплексные числа находятся во взаимно
однозначном соответствии с точками плоскости. Комплексному числу
а. = а-\-Ы отвечает точка плоскости с декартовыми координатами
(а, Ь), Мы будем обозначать буквой α не только комплексное число,
но и соответствующую ему точку плоскости. Плоскость эту будем
называть комплексной плоскостью. Начало координат в этой
плоскости будем называть нулем, поскольку оно
отвечает комплексному числу, равному нулю.
Расстояние точки α от нуля равно (рис. 2)
величине
Эта величина называется жоо[д^л^ж (или абсолют-
Рис. 2. ной величиной) комплексного числа α и
обозначается по предложению Вейерштрасса через | α |.
Комплексные числа, имеющие один и тот же модуль, равный г,
образуют, очевидно, окружность с центром в нуле и с радиусом г.
Единственным комплексным числом, имеющим модуль, равный нулю,
является число нуль.
Легко доказывается следующий факт:
Модуль разности α — а! равен расстоянию между точками
α и о!.
Действительно, если α = α -|- Ы, а' = а' -|- /?7, то α — а! = {а — а') -j-
-{-{b — b') i и, следовательно,
|α —а'|=/(а —αΤ + (^ —^0'.

§2]
ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ
15
Обозначим через Re α действительную часть комплексного числа а,
а через Im α — его мнимую часть. Тогда
|a|=/(Rea)^--l-(Ima)^
Отсюда сразу получаем следующие полезные неравенства:
Rea^|a|, lReal^|a|,
Im α^ I α Ι, Ι Im α 1 :^ 1 α Ι.
A)
Справедлирость этих неравенств очевидна и из геометрических
соображений: в прямоугольном треугольнике на рис. 2 длина каждого
из катетов не превосходит длины гипотенузы.
Пусть аир — два комплексные числа, аир — сопряженные с ними
числа. Тогда
|α1=/ϊ5, |ß| = |/ßp, |aßl=/^./ßP
и, следовательно,
1αβ1 = |α11β|.
Заменяя в этой формуле α на γ, получаем равенство
^;-ß|=lj|ißi (МО),
а из него равенство
B)
C)
Равенство B), очевидно, переносится и на произведение
произвольного количества сомножителей, т. е. справедливо равенство
α,α«
\^ι\'\4\
В частности, когда все сомножители одинаковы, мы получаем, что
1α'^1 = 1α1'^ (^=1, 2, 3, ... ).
Теперь займемся сравнением модуля суммы двух комплексных
чисел с модулями слагаемых. Предположим, что а-\-^ фО, Тогда
1
t + ß ι α + r
Это равенство влечет за собой
l=Re-
-Re-
Отсюда в силу формул A) и C) получаем, что
« + ß
Ч-
α + β
1« + М
Н=?1

16
комплексный числа
[Гл. 1
и без труда переходим к окончательному неравенству
|α + β|^|α|-|-|β|. D)
В случае, когда α-(-β = 0, неравенство D), очевидно, справедливо.
Заметим, что часто используемое неравенство D) имеет очень
простой геометрический смысл. Именно, если мы возьмем на
плоскости три точки О, а, α 4-β (рис. 3), то ! α-[-р | равен расстоянию от
нуля до точки α -[- β, в то время как [ α | равен расстоянию от нуля
до точки а, а | β | равен расстоянию между
точками α и α-f-β. Таким образом,
неравенство D) означает, что сумма длин двух
сторон треугольника не меньше длины третьей
его стороны.
β
ΰ
ос
(Χ-^β
Рис. 3.
— Заменяя в неравенстве D) число α
числом α — β, приходим к неравенству | α | <^
^|а — β 1 +I β |> из которого получаем,
что Ια —β1^1α| —Ißj.
Заменяя в последнем неравенстве β на — β, мы преобразовываем
его к виду |α-|-β|^|α| — jßj. В левой части этого неравенства
числа α и β совершенно равноправны. Меняя их местами, приходим
к неравенству j α -(- β | ^ | β ! — | α |. Следовательно, справедливо и
неравенство
i α + β I ^ I ! α :
Μ.
(δ)
Согласно неравенствам D) и E) величина \^-{-[
между I I α I — I β 11 и | α | -f ! β i-
заключена
Угол φ между положительным направлением действительной оси
и направлением из нуля в точку α называется аргументом
комплексного числа α и обозначается arg а. Очевидна справедливость следую-
Ш.ИХ формул (см. рис. 2):
α = г cos φ, b==r sin φ,
a. = a-\-bi=r (cos φ -\- i sin φ).
С. последним представлением числа α мы еш,е
столкнемся ниже.
Еихе мы расскажем вкратце о геометрическом
способе построения суммы и произведения
комплексных чисел.
Если α и а! — две точки комплексной плоско-
Рис. 4.
сти, то точка —ΐ— находится посредине соединяющего их отрезка.
Поэтому для чисел, связанных равенством α-]-а'= β-]-β', точки
α, α', β, β' находятся в вершинах параллелограмма (рис. 4). Для того

§ 2]
ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ
17
чтобы по данным числам а, а', β построить число ψ = α.-\-ο! — β,
мы должны дополнить треугольник βαα' до параллелограмма ßaßV и
взять вершину, противолежащую вершине β. Если мы возьмем
теперь β = 0, мы получим способ построения суммы а.-\-о!у а при
а' = 0 получим способ построения разности α — β.
Перейдем к способу построения произведения.
Пусть даны два треугольника aaV и ßß'ß" (рис. 5). Эти
треугольники заведомо подобны, если выполняется соотношение
а' —α У —β
T-ß'
F)
Действительно, вычитая из обеих частей написанного равенства по
единице, приходим к равенству
α" —α β"—β *
Перейдя κ модулям, запишем эти два равенства с^'^^
в виде
I α — α I. I α — α |: | α — α | =
_|P'_ß|:|ß"_ßi:|ß'_ß"|.
Это означает, что стороны треугольника aaV
пропорциональны соответствуюш,им сторонам
треугольника ββφ''.
Заметим, не останавливаясь на доказатель- Рис. 5.
стве, что равенство F) обеспечивает не только
подобие треугольников aaV и ßß'ß'', но и одинаковую их
ориентацию (т. е. точка of' остается с той же стороны от прямой,
проходящей через точки α и а', при движении по этой прямой в
направлении от α к а', что и точка β'' при движении от β к β') *)·
Если даны пять точек, скажем а, а', а", β, β', то шестая
строится без труда. Нам нужно только на отрезке ββ' как на
основании построить треугольник ββ'β'', подобный треугольнику α/α" и
имеющий одинаковую с ним ориентацию. Полагая, в частности,
β = 0, β'=1, α = 0,
получаем способ построения отношения а''/^'» а при
β = 0, α = 0, α'=1
получаем способ построения произведения ßV.
) Нетрудно проверить, что точка а" остается слева от прямой, прохо-
Дящей через точки α и а', при движении по ней от α к а', если Re , > 0.

18 КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА (Гл. I
§ 3. Сходимость числовых последовательностей. Сфера Римана
Последовательность комплексных чисел
мы назовем сходящейся, если сходятся обе последовательности
действительных чисел
CLii CL^i CL^y ...»
b b b (^>
U\, t/2, L/3, ....
Пределом последовательности α^ назовем число a-\-bi = α, где
а = \\тапу b = \imbn- При этом, естественно, будем обозначать
л-^оо /г->оо
a = lima;j.
л-* 00
Любую последовательность, которая не сходится, будем называть
расходящейся.
Как известно, обе последовательности A) сходятся тогда и только
тогда, когда для любого положительного ε существует такой номер
п, что при любых k'^n и h^n выполняются неравенства
\Ч — Ч\<^^ \bk — bh\<^' B>
Отсюда выводим критерий Коши для сходимости
последовательности комплексных чисел:
Лля сходимости последовательности комплексных чисел са^у
а2, аз, ... необходимо и достаточно, чтобы для любого
положительного ε существовал такой номер п, что при любых k^n
и h^n выполнялось бы неравенство \а.^ — °^λ I <С ^-
Необходимость условия очевидна, так как из неравенств B)
следует неравенство
\Ч-Ч\ = Vi'^k - auf + {b^ - bnf < e /2,
a ε |/2 можно рассматривать как произвольное положительное число
с тем же успехом, что и само ε. Столь же очевидна и достаточность
условия, так как из неравенства
следует, что \ak — ß/i|<C^ " 1¾ — ^/г1<С^' '^· ^- ^'^^ неравенства B)
выполняются.
Заметим сразу же, что в критерии Коши достаточно потребовать
существования такого номера л, для которого при любом k^n
выполняется неравенство \а.^ — ^п\^^· Действительно, выбирая в
этом случае номер п, отвечающий ε/2, мы гарантируем выполнение
неравенств
I а^ — а,г К τ, \ч — ^п\<^^

§3]
сходимость числовых ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ
19
для любых k'^n и h^n. Но тогда
1 а;^ — а/г I = I (Ч — Ч)-\-{Ч — Ч)\^\Ч — Ч\ + \Ч — Ч\<,
^, е. неравенства, входящие в критерий Коши, удовлетворены.
Дополним определение сходящейся последовательности
комплексных чисел, определением сходимости к бесконечному пределу.
Если последовательность а^, а^, ад, ... такова, что для любого
положительного числа G существует такой номер п, что при всех
k^n выполняется неравенство 1^/¾ | ^ О,
мы будем говорить, что эта
последовательность имеет пределом
бесконечность. Этот факт мы будем
записывать формулой lima^ = oo.
/г->оо
Чтобы придать символу со нагляд
ный геометрический смысл, проведем
некоторые рассуждения.
Рассмотрим шар, лежащий на
комплексной плоскости, касаясь ее в точке
нуль (рис. 6). Соединим точку
N—наиболее удаленную от комплексной
плоскости точку шара — с точкой α
комплексной плоскости отрезком прямой.
Этот отрезок пересекает поверхность
шара в единственной точке, отличной от точки 7V. Эту точку мы тоже
будем обозначать через а. Описанное построение, ставящее в соот-
вегствие каждой точке плоскости определенную точку сферы,
называется стереографической проекцпейу а сама сфера — сферой Римана.
При стереографической проекции каждой точке α комплексной
плоскости отвечает одна точка сферы Римана и, обратно, каждой
точке сферы Римана, за исключением точки Μ отвечает одна точка
комплексной плоскости. Точку N естественно условиться считать
отвечающей символическому числу оо. Этот же символ мы
используем для обозначения этой точки. Чтобы убедиться в естественности
такой договоренности, рассмотрим последовательность
а^, аз, аз, ..., lima^ = CH.
п-*оо
^егко видеть, что пределом соответствующих точек а^, а.^, аз, ... на
<^фере Римана будет точка оо.
Таким образом, точки сферы Римана, включая точку оо,
находятся во взаимно однозначном соответствии с множеством всех
комплексных чисел, дополненньш символическим числом оо. Дополнение
Рис. 6.

20 КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА (Гл. \
множества комплексных чисел числом оо соответствует дополнению·
комплексной плоскости одной символической точкой, отвечаюплей
числу со. Эту точку будем называть бесконечно удаленной точкой,
а дополненную ею комплексную плоскость—расширенной
комплексной плоскостью. Этот термин будем употреблять как синоним
термина «сфера Римана».
Ради полноты дадим краткий вывод формул, связываюп^их
координаты точки (х, у) комплексной плоскости с координатами
соответствующей точки сферы Римана, обозначив их (ξ, η, ζ).
Оси Επη возьмем совпадающими с осями χ и у, а ось ζ
направим так, чтобы центр сферы Римана находился в точке (О, О, а).
Тогда точки сферы Римана удовлетворяют уравнению
^"Ч-η'-Ь (С —«)'=«',
или
ξ^_|-η2 = 2αζ —С'.
Поскольку точка iV@, О, 2а), точка (Е, η, Q и точка (х, у, 0) лежат
на одной прямой, мы можем написать
х — 0 3^ — 0 О —2а
i —О ~~ η —О ~" ζ —2а '
откуда находим
2ai _ 2αη
X-
2α — ζ ' ^~2α — ζ
χ -}-y _^α Bα — ζJ — 2α —ζ ·
Таким образом, значения jc, у и х^'^-^-у^ выражаются через ς, η, ζ
следующими формулами:
2б/8 2αν о I о 8а^ . η ,^.
У=-?WZΪΎ^ -^-+^ = -077137--4αΙ C)
-^- 2α — ζ' -^^- 2α — ζ^ -^ \ -У — 2α —ζ
Легко найти и обратные выражения
J. Αα-χ ^ 4а^у ^ ^^ 8а^
Те точки комплексной плоскости, которые удовлетворяют
уравнению
А {х' -+-У') -i-Bx-\-Cy-^D = 0, D)
образуют окружность или прямую (когда Л = 0). Ради краткости
любую прямую в комплексной плоскости будем называть тоже
окружностью (с радиусом, равным бесконечности).

§ 4] МНОЖЕСТВА НА КОМПЛЕКСНОЙ ПЛОСКОСТИ 21
С помощью формул C) получаем для координат точек сферы
Римана, отвечающих точкам окружности D), уравнение
которое преобразуется к виду
2аВ1 + 2αCη + DаМ — D) С + 2«^ = О· (^')
Уравнение E) является уравнением плоскости, если рассматривать ^
η, С как независимые переменные. Поскольку пересечение сферы с
плоскостью — это окружность, мы приходим к утверждению:
При стереографической проекции окружность в комплекс та
плоскости переходит в окружность на сфере Римана.
Это утверждение, очевидно, можно обратить, так как
коэффициенты Л, В, С, D можно выбрать так, чтобы уравнение E) было ургв-
мением любой наперед заданной плоскости. Поэтому
При стереографической проекции окружность переходит в
окружность.
Ясно, что окружность на сфере Римана, проходящая через точку
со, отвечает на комплексной плоскости прямой линии. Поэтому мы
будем говорить, что прямая в расширенной комплексной плоскости —
это окружность, проходящая через бесконечно удаленную точку.
Легко доказывается, что стереографическая проекция —
конформное отображение плоскости на сферу. Этот термин означает, что
угол между двумя кривыми на плоскости остается равным углу
между соответствующими кривыми на сфере. Ограничимся лишь
беглым упоминанием об этом факте, поскольку в дальнейшем он нам
не понадобится.
§ 4. Множества на комплексной плоскости
Для любого положительного числа ε мы будем понимать под ε-
окрестностью конечной точки α комплексной плоскости
совокупность точек Zy удовлетворяющих неравенству \z — α | <^ ε. Эти точки
заполняют круг с центром в точке α и радиусом ε. Число ε
характеризует размер окрестности. На сфере Римана точки окрестности тоже
образуют некоторый круг, содержащий внутри себя точку а, но она,
вообще говоря, уже не будет его центром. Тем не менее при
стремлении ε к нулю ε-окрестность точки и на сфере, очевидно,
стягивается к этой точке.
Под г-окрестностью бесконечно удаленной точки будем
понижать совокупность точек, удовлетворяющих неравенству |<2^1^—.
Эти точки заполняют внешность круга с центром в нуле и радиусом

22 КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА [Гл. I
1/ε. Здесь ε по-прежнему характеризует размер окрестности. На сфере
Римана ε-окрестность бесконечно удаленной точки — это внутренность
круга, содержащего точку аэ и стягивающегося к ней, когда ε
стремится к нулю.
Рассмотрим бесконечное множество Σ^ элементы которого —
комплексные числа. Соответствующее множество точек на плоскости или
на сфере Римана мы будем обозначать той же буквой 2· При этом
может случиться, что некоторое число (соответственно точка)
встречается среди элементов множества ^ несколько раз (не более чем
счетное число). Эти элементы мы будем считать различными, иными
словами, будем учитывать, сколько раз встречается в множестве ^
каждое из чисел.
Множество 2 на сфере Римана можно рассматривать как
ограниченное множество в трехмерном пространстве. Ясно, что
предельными точками этого множества могут быть лишь точки той же сферы
Римана, причем хотя бы одна предельная точка обязана существовать
(поскольку мы предположили множество У] бесконечным, а всякое
'.бесконечное ограниченное множество имеет хотя бы одну
предельную точку).
Если α — одна из предельных точек множества ^ (конечная или
со), то, согласно определению предельной точки, в каждой
окрестности точки α лежит бесконечно много точек множества 2· Поэтому
можно выбрать из множества 2 последовательность aj, а^, аз, ...,
для которой lima^ = cx.
Дополним сказанное следующими двумя утверждениями:
Если последовательность а^ а^, аз, ... имеет предел а, то
множество чисел, образующих эту последовательность, имеет
только одну предельную точку — точку а.
И наоборот:
Если множество комплексных чисел имеет только одну
предельную точку а, то это множество счетно и его можно
записать в виде последовательности aj, α2, ag, ..., для которой lima^ = a.
п-^со
Приведем доказательство последнего утверждения для случая,
когда а = сх). Необходимые рассуждения легко переносятся и на
случай любого другого значения а.
Итак, нам дано бесконечное множество Σ ^ единственной
предельной точкой в бесконечности. Тогда вне любой ε-окрестности точки сю
лежит лишь конечное число точек множества 2' поскольку в
противном случае это множество имело бы предельную точку, отличную
от аэ. На плоскости ε-окрестностью точки со является внешность
круга с центром в нуле и радиусом 1/ε. Значит, внутри каждого
круга с центром в нуле лежит лишь конечное число точек
множества Σί· Выберем произвольную последовательность Γι<^Γ2<^...,
Г;,-—ОС, и разобьем всю плоскость на последовательность областей.

5 5] РЯДЫ С КОМПЛЕКСНЫМИ ЧЛЕНАМИ 23
В качестве области 1 возьмем круг | г | <^ Γι, в качестве области II —
кольцо ri^\z\<^r^ и т. д. (рис. 7). Соответственно через (I), (П)^
(III), ... обозначим подмножества точек множества 2» лежащие в облас-
'1ЯХ I, llj ΠΙ, ... (в каждом из этих подмножеств конечное число точек).
Ясно, что все точки, входящие в подмножества (I), (II), (III), ... можно
перенумеровать тем или иным способом. Тем самым мы показали, что
множество 2 счетно (сама точка аэ может входить в ^ счетное число
раз). Для окончательного построения
последовательности следует рассмотреть три
различных случая:
1) точка со входит в множество Σ
конечное число раз;
2) в множестве 2 конечное число точек,
отличных от оо;
3) точка со входит бесконечное число раз
и множество конечных точек, входящих в ^,
тоже бесконечно.
В первом случае нумеруем конечные точки Рис. 7.
в порядке возрастания модулей, а имеющееся
конечное число точек оо ставим в начало последовательности. Во
втором случае в начало последовательности ставим конечные точки,
а затем повторяем одну и ту же точку оо. В третьем случае в
качестве членов последовательности с четными номерами возьмем
конечные точки ^, перенумерованные в порядке возрастания модулей,
а в качестве членов с нечетными номерами — повторяющуюся точку со»
Нетрудно убедиться, что предел построенной последовательности во-
всех случаях равен бесконечности.
§ 5. Ряды с комплексными членами
Ряд
Wi-{-w^-{-w^-\-... A>
с общим членом
^/i = W/i + i'^/z
называется сходящимся, если существует конечный предел
lim (Wi-\~W4-\-...-\-Wn) = 5,
л->со
или, иными словами, если сходится последовательность Sn частных
сумм этого ряда. Число 5 называется суммой ряда A).
Из определения сходящейся последовательности без труда
выводим, что ряд A) сходится тогда и только тогда, когда сходятся
оба ряда

24 КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА [Гл. I
Если их суммы обозначить через и w ν, очевидно, справедливо
равенство 5 = ?г -|" ^'^^
Если ряд не сходится, он называется расходящимся.
Применяя критерий Коши для сходимости последовательности
частных сумм 5^ = Wi-|-· · · 4" "^т приходим к общему критерию
сходимости ряда:
Для сходимости ряда
необходимо и достаточно^ чтобы для любого положительного е
существовал такой номер Пу что при любом k^O выполнялось
бы неравенство
В частности:
Для сходимости ряда необходимо, чтобы его общий член
стремился к нулю с возрастанием номера.
Ряд (I) называется абсолютно сходящимся^ если он сходится
сам и остается сходящимся (к той же сумме) при произвольных
перестановках его членов.
Для абсолютной сходимости ряда необходимо и достаточно, чтобы
абсолютно сходились оба ряда B), а для этого, как известно,
необходимо и достаточно, чтобы сходились оба ряда
\v,\-\-\v,\-\-.,. ^
Поскольку
max О?;,, Vn)^\Wn\^\Un\-\-\Vn |,
оба ряда C) сходятся тогда и только тогда, когда сходится ряд
I ^11 + i te;21 + I ^31 +... D)
Следовательно:
Для абсолютной сходимости ряда W\ -f- "^^ 4~ "^'з + · · ·
необходимо и достаточно, чтобы сходился ряд
|^ι| + !^2| +1^2^3 i + ...
Из ряда A) можно многими способами образовать бесконечное
множество рядов·
^ßi + '^ß2 + ^ß3 + ···' E)

ς 51 РЯДЫ С КОМПЛЕКСНЫМИ ЧЛЕНАМИ 25
устроенных так, что каждый член исходного ряда входит в один и
только в один новый ряд (т. е. каждый номер встречается ровно
один раз). Вот пример такого разбиения:
^3 +"^5 +^8 +'^12 + ···»
Щ +Щ 4-^13 + ···'
Докажем следующее утверждение, называемое теоремой о
двойных рядах:
Пусть ряд A) абсолютно сходится и его сумма равна s.
Тогда каждый из рядов E) тоже абсолютно сходится. Если
суммы рядов E) в порядке следования обозначить s^, s^, 5з, ...,
то ряд
^1 + ^2+^3+... F)
тоже абсолютно сходится и его сумма равна s.
Действительно, ряды 2 I ^«^^ 1> Σ IЩ,^!» Σ 1 ^7^ !»· · · сходятся,
поскольку их частные суммы не превышают одного и того же
конечного числа S=\ Wi\ -\- \w.2\ -\- \w^\ -{-..,
Полагая
мы видим, что
где Χι, У.2, ^, ... — те номера, которые не встречаются в первых т
из рядов E). Если η произвольное фиксированное натуральное число,
то при достаточно больших значениях т члены Wi, w^, ... , Wn
обязательно войдут в первые т рядов, так что номера xi, ^2^ Н^ · ·.
будут больше п. Поэтому
I 5 — Ei -f- 52 + . . . + ^т) 1 ^ I ^«+1 I + 1 ^/1+2 1 + · · · = ^а»
где через г^ обозначен остаточный член ряда [ Wi | -|- | т21 -|-...
Поскольку номер η можно выбрать так, чтобы величина г^ была сколь
угодно мала, получаем, что
lim [5 — Ei + .¾ -f... + sj] = 0.
m-^oo
Итак, ряд F) сходится и его сумма равна s. Абсолютная сходимость
этого ряда следует из неравенств

126 КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА [Гл. 1
которые сразу позволяют заключить, что
\si\-\-\s,\ + ...-\-\s^\^\w,\ + \w,\-\-.., = $.
Это означает, что ряд | ^j | -]- I -^21 + Нз I + · · · сходится, так как его
частные суммы не превосходят числа S, Тем самым теорема о
двойных рядах полностью доказана.
С помощью теоремы о двойных рядах легко устанавливается
следующий важный факт:
Если ряды
^1 + ^2 + ..· = ·^,
^1+^2 + ...= ^'
абсолютно сходятся^ то ряд
ЩЩ + (ЩЩ + w^w'i) -f- (^1^2^3 + ЩЩ + ^3^ί) + · · ·
тоже абсолютно сходится, и его сумма равна произведению
€умм двух первых рядов.
Для доказательства заметим, что ряд, образованный из членов
вида
WiW[, WiW^y ... , W^w'iy W^W!^, ... , W^W'i, ..., G)
абсолютно сходится. Действительно, если мы возьмем любое
конечное число этих членов, то сумма их модулей не больше чем
(! Ώ^ι I +1 ^21 +... +1 ^ J) (I ^ί 1 +1 ^21+ · ·. +1 ^ή I).
€сли ТОЛЬКО номер η больше номеров всех Wp и Wq, входящих в
произведения вида G). Тем более эта сумма не превосходит числа WW,
где
W=\w,\-\-\W:,\-\-..., W' = \w[\-\-\w^\-[-,.,
Теперь заметим, что сумма ряда, образованного из членов вида G),
с одной стороны, равна сумме ряда
а с другой стороны, она равна по теореме о двойных ряда}^
где обозначено
^1 = WiW'i -j- WiW^ -j- WiW'^ -|- . . . =r WiS\
S^ = W^w'i -j- WciW^ -]- W^W^ + · · r =.W^S',
Следовательно, искомая сумма равнг1
w^s' -\- w<iS' 4- . =: (τε^ι -[- 'Σ^2 +. ·') -^^
что и требовалось доказать.

§ б] ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО 27
§ 6. функции комплексного переменного
Пусть каждому комплексному числу z = x-{-iy из множества Σ
ставится в соответствие по некоторому закону какое-либо другое
комплексное число w==ii-\' ίν. Тогда мы говорим, что нам задана
комплекс позначная функция комплексного переменного. Число ш
называется значением функции в точке ζ, а множество 2'
входящее в определение функции, называется областью определения
функции,
Комплекснозначную функцию комплексного переменного можно
рассматривать и как пару действительных функций двух
действительных переменных. Действительно, если w^=^u-\- iv, а г = х-\-1уг
то задание функции w^z) равносильно заданию функций гг(х, у) и
V (JC, у).
Множество ^', состояш.ее из значений, принимаемых функцией
w{z) в точках множества 2' назовем областью значений функции.
При этом одно и то же значение может приниматься функцией w{z}
в нескольких точках множества Σ·
Геометрически функцию w(z) можно рассматривать как
отображение множества 2 на множество ^', переводящее каждую точку
множества 2 в некоторую точку множества 2' (разные точки из ^
могут переходить в одну точку из 2').
Если рассматривать множества ^ и Σ! не на плоскости, а на
сфере Римана, то нет никаких оснований как бы то ни было
выделять точку аэ. Это значит, что можно рассматривать и функции,
принимающие значение со.
Перейдем к понятию непрерывности фуукции.
Пусть Zq — некоторая точка множества ^, г w^ — значение
функции W (ζ) в этой точке. Пусть, кроме того, Zq — предельная точка
множества 'Σ. Будем говорить, что функция w{z) непрерывна в точке ^
если этшчение w^ конечно и если для любой ε-окрестности точки w^
cyuiecTByeT такая δ-окрестность точки z^, что точкам из пересечения
множества ^ с этой δ-окрестностью отвечают значения функции,
лежащие в ε-окрестности точки Wq-
Приведенное определение непрерывности равносильно следующему.
Функция w{z) непрерывна в точке z^, если для любой
последовательности точек Ζχ, z^y z^, ... (принадлежащих множеству 2)>
имеющей пределом точку 2ό, последовательность точек w{zi)j w{z^)y ...
имеет предел w(Zq) и если этот предел конечен.
Первое из определений непрерывности можно записать и
следующим образом:
Функция W (ζ), принимающая в точке Zq значение Wq, непрерывна
в точке Zq ζ· 2) если для любого ε ^ О существует такое δ ^ О, что

28
КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
[Гл. 1
неравенство \w(z) — Wq\<^b выполняется для всех г,
удовлетворяющих условиям 2-^2]' \^ — ^о\<^^-
Это определение пригодно только для конечных ^ό, но для
случая Zq = oo нужно лишь заменить выражение ζ — оо на \/ζ.
Если мы возьмем, например, w(z) = z"' (я ^0 целое), то в
качестве области определения этой функции можно взять всю конечную
комплексную плоскость. Проверим непрерывность этой функции.
-Z , получим W -
■■^0 "
Положив Z-
W — w^ = z" — ^^ = (г — z^){z^-^ -{-z^-^z^-l-.,.-|-z^-*),
о
откуда
\W — W,
о I
где обозначено \z\ = r, \ζ^\ = ν^. Если считать точку ζ лежащей
в δ-окрестности точки 2^, то, очевидно (рис. 8),
Поэтому
\w — w^
Γ = |2|<ΟΑί = Γο + δ.
+ (r, + Sr-V^^ + ... + r;-^]<^S(ro + Sr-^.
Из этого неравенства сразу видно, что, каково
бы ни было ε^Ο, всегда можно выбрать δ так,
чтобы для всех ζ из δ-окрестности точки ζ^
выполнялось неравенство \w — Wo! <С ^-
Таким образом, функция w = z^ непрерывна
при всех конечных ζ. Поскольку сумма
непрерывных функций непрерывна, то наше утверждение остается в силе
и для любого многочлена от г, т. е. для функции вида
Рис. 8.
W-
: α,ζ'~\-α,ζ^-'-{-,..-\-an (л ^0).
§ 7. Равномерная сходимость
Рассмотрим ряд
s(z) — Wi (ζ) -\- W.2 (ζ) -f ^з(^) +..
0)
члены которого — функции комплексного переменного ζ с одной и
той же областью определения 21· Будем предполагать, что для всех
'2'G Σ Р^^Д (^) сходится. Сумма ряда s(z) тоже функция от ζ.
Обозначим через Γη(ζ) остаточный член ряда A), т. е.
Гп {^) = S{Z) — Sn {ζ) = S{Z)~ (Wi (ζ) -\-W2(z)-{-..,-{-Wn {z}).

^ :j РАВНОМЕРНАЯ сходимость 29
Из предположения о сходимости ряда следует, что при каждом
фиксированном ζ и при любом ε^Ο выполняется неравенство
\Гп{г)\<^г, B)
если только номер η больше некоторого номера щ, зависящего от ε
и, вообще говоря, от ζ. Если можно выбрать номер щ одним и тем
же для всех ζ ^^, то ряд A) называется равномерно сходящимся
на множестве 2·
Понятие равномерной сходимости имеет большое значение для
многих вопросов. Приведем, например, следующий важный результат.
Если члены ряда
s{z) = w^{z)-\- w^{z) -\-,..
— непрерывные функции на множестве 2 " если этот ряд
равномерно сходится на множестве 2» ^о его сумма s{z) тоже
непрерывна на множестве 2·
Для доказательства зададимся произвольным положительным
числом ε и выберем номер η таким образом, чтобы остаточный член
ряда Τη{ζ) при всех ζ ^^ удовлетворял неравенству 1^^(-^I^^^-.
Затем возьмем какую-либо точку z^ ^ 2· Из равенств
5(<г*) = 5Л^*) + г„(<^*),
S{Z)~S (^*) = 8гг {ζ) — S^ (г*) -j- г η (ζ) — Г η (^*)
находим
I s{z) -s(z^) \^\sn{z)- s^z^) 1 -t- I гЛ^) i + ; гЛ^*)!·
Поскольку функция Sn{z) непрерывна, как сумма конечного числа
непрерывных функций, мы можем выбрать такую окрестность точки 2-*,
чтобы для всех ζ из пересечения множества Σ ^ этой окрестностью
выполнялось неравенство \Sn(z) — ^η{ζ'^)\<^%-. Тогда для тех же ζ
выполняется неравенство
|s(^)-s(z*)i<L + i- + f^ = s.
ИЗ которого и следует непрерывность функции s{z).
Равномерную сходимость ряда часто удается установить, опираясь
на следуюихую теорему.
Пусть даны два ряда
Wi {ζ) + w^ (ζ) -\-w^{z)-\-..,,
pi + P2 + Рз + ...

30 КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА [Гл. f
Члены первого ряда — функции, определенные на множестве 2]>
а члены второго ряда — постоянные положительные числа. Если
для всех ζ ^^ справедливы неравенства
\Wn{z)\^9n (я=1, 2, 3, ...)
и если второй ряд сходится, то первый ряд тоже сходится на
множестве ^, причем абсолютно и равномерно.
Абсолютная сходимость первого ряда следует из неравенства
|τ^ι(ζ)| + |τ£'2(^)Ι + ...+ Ι^2;^(^)|^Ρι + ... + Ρ/χ^Ρι + Ρ2 + Ρ3+...
Чтобы доказать равномерную сходимость, заметим, что остаток пер*
вого ряда для всех ζ ^'^ удовлетворяет неравенству
\Wn^l{z)-\-Wn^^{z)-\-,.,\^
^ ! Wn^x {z)\-\-\ Wn^^ (^) I + . . . ^ Ρ1 + Р2 + · · · >
так что он не превосходит остатка второго ряда. Это дает
возможность выбрать номер η не зависяш.им от ζ.
Приведенная выше теорема допускает обобщение, которое стоит
отметить. Рассмотрим два ряда
W,{z)-\-W^{z)^.,., C)
Wi{z)-\-w.j,{z)-\-..., D)
члены которых — функции, определенные на множестве 2·
Если для всех -г ^ 2 справедливы неравенства
\Wn{z)\^\Wn{z)\ (л=1, 2, ...),
то ряд C) называется мажорантой ряда D) на множестве ^. На*
оборот, ряд D) называется минорантой ряда C).
Справедливость следуюш.его утверждения очевидна:
Если ряд D) является минорантой ряда C) на множестве ^
и если ряд из модулей членов ряда C) равномерно сходится на
множестве 2' ^^ Р^^ D) тоже абсолютно и равномерно схо-^
Ьится на множестве 2·
В случае, если члены ряда C), мажорируюш.его ряд D), —
положительные постоянные, мы получаем из этой теоремы предыдущую^

г л а ва вторая
СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
Будем излагать здесь теорию аналитических функций, следуя
Вейерштрассу. Для этой цели нужно будет подробно познакомиться
со степенными рядами.
§ 1. Область сходимости степенного ряда
Ряд вида φ (г) = Со-f-С1<г-f Со-г^-j-..., где с^, Οχ, с^, ... — какие-
либо комплексные числа, называется степенным рядом.
Совокупность тех точек ζ, для которых ряд сходится, называетс^^
областью сходимости степенного ряда. Точка ζ = ^ при любых
условиях лежит в области сходимости. Суш.ествуют степенные ряды,
которые сходятся только при 2^ = 0, так что их область сходимости
состоит из одной этой точки. Примером такого ряда может служить,
•чк мы вскоре покажем, ряд \-\-ζ-\-2\ z"^-\-V. z^-\-,,. Если
исключить такую возможность, то суш.ествует еще хотя бы одна точка
Z = Z^y в которой ряд φ {ζ) сходится. Но если ряд С^ -\- CiZq -[-
Ч" ^Vo "Ь · · · сходится, то это означает в силу необходимого признака
сходимости, что lim с z^ = 0. Последовательность \с z^\ (п = 0, 1,
п->со
2, ...) стремится к нулю и, следовательно, ограничена, т. е. найдется
число ^^0, для которого справедливы неравенства
клК^ («=0,1,2,...).
Возьмем теперь круг с центром в нуле и радиусом р, не
содержащий точку 2Ό, иными словами, ρ<^|2ό|. Если ζ — произвольная точка
внутри или на границе этого круга, то имеют место наравенства
\с z^\ = \c z^l'j^
•&<4jtl·
Эти неравенства означают, что ряд g-}-gq-{-gg'^-\-·... (для краткости
обозначено q = pl \zq\) представляет собой мажоранту степенного
ряда Cq-\-CiZ-[-c^z'^-\-. .. в рассматриваемом круге |2:|^р. Первый
ряд сходится, поскольку он является геометрической прогрессией со
знаменателем ^<^1. Следовательно, мы пришли к утверждению:

32 СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ [Гл. 2
Теорема I. Если степенной ряд %{z) сходится при z = Zq,
то он сходится абсолютно и равномерно в любом круге с
центром в нуле и радиусоМу меньшим чем \ z^ |.
В частности, ряд ^{z) абсолютно сходится для люэого зна^
чения ζ из круга \ζ\<^\ζ^\.
Рассмотрим все круги с центром в нуле, обладающие тем
свойством, что внутри них ряд φ {ζ) сходится. Пусть г — точная верхняя
грань радиусов этих кругов (бесконечное значение этой верхней
грани не исключается). Ни в одной точке, лежащей вне круга | 2^ | ^
^ г, ряд $ (<г) не может сходиться. Действительно, если бы ряд
сходился в точке 2"*, |2'*|^г, то он сходился бы по доказанному выше
и в круге I ^1 <^ I 2"* |, а это противоречило бы определению числа г.
С другой стороны, ясно, что в круге \z\<^r ряд φ {ζ) сходится, так
как, согласно определению точной верхней грани, существуют круги,
сколь угодно близкие к кругу \ζ\<^τ, в которых ряд ^{ζ) сходится.
Тем самым мы пришли к утверждению:
Если 5β {ζ) — степенной ряду то существует круг К с центром
в нулву обладающий тем свойством, что во всех точкаху
лежащих внутри круга /С, ряд ^{ζ) сходится, а во всех точках,
лежащих вне круга К, ряд ^{ζ) расходится, (Вопрос о сходимости
или расходимости ряда φ (ζ) на окружности круга К остается,
открытым.)
Этот круг К называется кругом сходимости ряда ^{ζ), а его
радиус г—радиусом сходимости этого ряда.
В исключенном случае, когда ряд φ {ζ) сходится только в одной
точке ζ = 0, естественно говорить, что радиус сходимости ряда равен
нулю, а круг сходимости вырождается в точку.
Если радиус сходимости равен бесконечности, то круг
сходимости — вся конечная плоскость, т. е. ряд φ {ζ) сходится для всех
конечных значений ζ.
Итак, область сходимости степенного ряда φ {ζ) состоит, очевидно,
из круга 12"! <^ г и, возможно, еще из некоторого множества точек
окружности этого круга.
В силу доказанной выше равномерной сходимости степенного
ряда его сумма будет непрерывной функцией внутри круга
сходимости.
§ 2. Формулы для радиуса сходимости
Согласно Коши радиус сходимости степенного ряда
ф(^) = Го + ^1^+^.^' + ... A)
можно определить по его коэффициентам следующим образом.
Образуем последовательность
kl!, VW\^ VW\> ... B)
все члены которой—действительные неотрицательные числа.

§ 2] ФОРМУЛЫ ДЛЯ РАДИУСА СХОДИМОСТИ 33
Обозначим через / наибольшую из предельных точек
последовательности B); иначе говоря, /= lim |/ | <:„ I. Тогда r = -j, где г —
п-*оо
радиус сходимости степенного ряда A).
Для доказательства возьмем произвольное фиксированное значение 2:.
Тогда lim у | c,^z"'\ = l\z\.Ecnv[ \z\^j ,ί.^. /|2Ί^1,το для бесконечного
множества номеров η имеют место неравенства У | CnZ"-1 ^1, т. е. | Cj^z^ | ^ 1.
Это означает, что при выбранном значении ζ ряд A) расходится, так
как lim c^z^ не равен нулю.
/г-^оо
Если же |2Ί<^1//, т. е. /|2:|<^1, то, начиная с некоторого η
выполняются неравенства |/| Cj^z"^ \ <^ q"'^ где q — некоторое число,
заключенное между ί\ζ\ и 1 (не зависящее от ή). Поэтому можно
подобрать такую постоянную С, чтобы ряд С-\-Cq-\-Cq"^-\-.,, был
мажорантой для ряда A). Отсюда и следует сходимость этого ряда.
Случай /=0 (отвечающий г = оо) может встретиться тогда и
только тогда, когда последовательность B) имеет нуль единственной
предельной точкой, т. е. когда lim у^|с„| = 0. Следовательно:
/г->-оо
Степенной ряд Со -j- c^z -j- c^^z"^ + · ·. сходится во всей конечной
П/
плоскости тогда и только тогда, когда lim у |с:^|=0.
п-^со
в качестве иллюстрации к предыдущим теоремам рассмотрим
несколько примеров.
Для степенного ряда \ \ζ-\-z"^-^ζ'*Ά^z^"^-\-,,. величины у^\ Сп\
равны 1 или О в зависимости от того, будет ли номер η квадратом
целого числа. Последовательность B) имеет две предельные точки О
и 1, так что /= 1 и г=1.
ζ ζ^ 1
Дл5^ ряда 1-[-уг + -2[ + ··· имеем с^ = ~. Чтобы найти предел
η J
lim у I с„|, напишем
/z-> со
(л!)^ = [1.п].[2(,2-1)].[3(п-2)]... \пЛ\
Среди η сомножителей в правой части равенства нет ни одного,
меньшего чем п, так как
α · (л — α + 1) — п = {а—\){п — а) ^ О
при а=1, 2, ..., Αζ. Следовательно,
(/2!)·^>/ζ^ п\^{Уп)\ V^:>Vn,

34 СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ [Гл. 2
«/~Г 1 п^ '^/Т
и потому 1/ —^——, Значит, lim -j/кл I = Пт 1/- = 0, и рас-
сматриваемый ряд сходится во всей комплексной плоскости.
Для ряда 1-j-l!^:^-^Ι-ε'-^-Ι-... имеем lim γ \сп\= lim у яТ=со.
Следовательно, 1=оо и г = -у = 0. Ряд сходится только в точке
ζ = 0.
В заключение отметим еще одно часто используемое утверждение:
Если степенные ряды
φ (ζ) = Cq-\- C^Z -|- C^Z^ + . . .,
?1 (^) = ^0 + Cl^ + 4-^^ + . · . >
таковы, что, начиная с некоторого номера, имеют место
неравенства \Сп\^\с'п\у то радиус сходимости первого ряда не меньше
радиуса сходимости второго ряда.
Действительно, в каждой точке внутри круга сходимости ряда
^Ji (г) этот ряд абсолютно сходится, а в силу неравенств абсолютная
сходимость ряда ^^ (ζ) вытекает из абсолютной сходимости ряда φι (ζ).
§ 3. Действия со степенными рядами
Если у нас есть несколько степенных рядов φι (ζ\ фз {^\ · · ·» ф^ {ζ\
то общим кругом сходимости этих рядов мы назовем наименьший
среди их кругов сходимости. В точках, лежащих внутри общего круга
сходимости, все ряды сходятся, а в точках, лежащих вне общего круга
сходимости, хотя бы один ряд расходится.
Формальным сложением двух степенных рядов
получаем ряд
φι ω+ъ ω=D"+^β^')+D"+ст) ζ+D"+4^') г^+... A)
Этот ряд сходится для всех тех ζ, для которых сходятся и
ряд φι {ζ) и ряд ф2 ('2'). Сказанное справедливо и для разности
% {г) - Ъ (А = К> - c'i') + (ci" - с'П Z + ... B)
Теперь построим формальное произведение степенных рядов φι (ζ)
% (г) ■ %\ (г) = с>;'сЧ' + D"сГ' + с[^'сЧ·) ^ +... C)

§ 3] ДЕЙСТВИЯ СО СТЕПЕННЫМИ РЯДАМИ 35
Согласно теореме, доказанной в § 5 гл. 1, этот ряд абсолютно
сходится там, где абсолютно сходятся ряды ^1B-) и ^(г), и
его сумма равна произведению сумм рядов φι {ζ) и ^ {ζ).
На основании высказанных соображений приходим к следующему
утверждению:
Теорема 1. Пусть G(^iB), ..., ф/г(-г)) — многочлен отрядов
^ч (^)' · · ·' ^k (.^)у ^- ^- выражение, полученное в результате
операций сложения и умножения этих рядов друг на друга и на
произвольные постоянные. Этот многочлен тоже представляет собой
степенной ряд, который заведомо сходится в обыщем круге
сходимости степенных рядов ξβι (г), ..., ^ {г). Значение суммы ряда
φ (г) = о (φ, (г), ..., ^(г))
получается подстановкой в многочлен Q значений сумм рядов
$1 (^)> · · ·' ^k (^) ^-^^ каждого значения ζ из общего круга
сходимости этих рядов.
Перейдем теперь к вопросу о делении степенных рядов. Сначала
рассмотрим отношение вида
1
1 — c^z — c^z^ —.,. '
сделав естественное предположение, что ряд, стоящий в знаменателе,
имеет отличный от нуля радиус сходимости. Тогда наибольшая
предельная точка последовательности | Cj |, у\ с^ |, yl с^\, ... конечна,
а потому и сама последовательность ограничена. Значит, существует
такое число gy что для всех η=1» 2, ... имеют место неравенства
к.|^^. D)
Определим формальный степенной ряд
£l(z)=\-\-kiZ-{~k^z^-\-,.. E)
так, чтобы он удовлетворял формальному равенству
(l—ciz — c^z^ — ,,,)(^1 J^kiZ-{~ k,z^ -[-...) = 1. F)
Расписав это формальное произведение по формуле C), получим
\ -\-{ki — С\) z-\-{h — Ciki — С2) -г^ -]- ... = 1.
Видно, что наше формальное равенство будет выполнено, если коэф*
фищ^енты ^1, ^2> ^> · · · удовлетворяют соотношениям
k\ = Сху k^ = Ciki -\~ С^у ...
Из этих соотношений последовательно получаем неравенства
lÄ2| = lqÄi + C2|^lci||Äi 1 + 1 C2I ^5^+^^ = 2^,

36 СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ [Гл. 2
И вообще
μ, I ^ 2'-у\ G)
Действительно, предположим, что это неравенство справедливо.для
всех номеров, i;e превышгюишх т, и проведем индукцию. Имеем
\К^х\ = \схКЛ^^К 1+ ..--'г^т+1| ^^l^ml+^'i ^/^-11 + ...+^-^^-
Используя индуктивное предположение, находим
μ,,,|^2-^^-.^+2-^^ν + ... + ^"'^^ =
= ^+1 B^-1 -\- 2"^-^ +... + 2'""'" + 1) = 2^^^+^
Таким образом, из справедливости неравенств G) для всех п^гп
следует его справедливость и для п = т-\-\. Поскольку для я=1
оно справедливо, оно справедливо и для всех п.
Неравенство G) показывает, что степенной ряд E) является
минорантой ряда \-\-gz-\-2g^z'^'\-2'^gh'^-\-... Последний ряд абсолютно
сходится при |^1<^2~' ^^^ ^^^^ и ряд E) обязан абсолютно сходиться
при этом условии. Но ряд 1 — ΟγΖ — Caz"^ —... тоже абсолютно схо-
1
дится в этом круге, так как его радиус сходимости г = — не меньше
— (в силу условия g^l), а это заведомо больше, чем ^. Поэтому
все проделанные нами формальные действия полностью законны, если
\z\<^iy. Иными словами, равенство F) справедливо при |'2'|<^2~"·
Это означает, в частности, что 1—c^z — c^^z^ — ...:^0 при \ζ\<^κ-
и что
При I 2-1 <^ ^ справедливо равенство
zg
1 Cj_0 C2Z^ ... I 1 I - I
Пусть теперь ^ (ζ) = aQ-\~ a^z-{-a^z"^-\-,,, некоторый степенной
ряд, у которого коэффициент aQ отличен от нуля, и который имеет
ненулевой радиус сходимости. Тогда можно положить φ B')==
= αο A — CiZ — c^z"^ —...), где
^^ ■"" ~ ö^' ^^~~ä^''"
По доказанному выше
Л-==:1 ! ^14-^^4--^^ +
ψB) «о \~CiZ — C.Z^ — ,.. öo ' öo 1 öo 1 ·'·
при \z\<^K-, где g—надлежаш.им образом выбранное положитель-
ное число, а именно, верхняя грань последовательности чисел
3/
«ol· у Hol· ν Uol·

^ 4] ТЕОРЕМА ЕДИНСТВЕННОСТИ 37
Итак, если φ {ζ) — степенной ряд с отличным от нуля
радиусом сходимости и если его сумма не обращается в нуль при 2" = О,
то о ществует степенной ряд Q {ζ) (тоже имеющий отличный от
нуля радиус сходимости), связанный с рядом φ {ζ) соотношением
с G) = ——- (в некотором круге с центром в нуле).
Отсюда с помощью теоремы 1 мы сразу же выводим утверждение:
Теорема 2. Рациональная функция от степенных рядов
Яч (^)' · · ·' ""X^k {^) представляется степенным рядом с отличным
от нуля радиусом сходимости, если все ряды φι {ζ\ ..., ^^ {^)
имеют отличные от нуля радиусы сходимости, и если
знаменатель рациональной функции не обращается в нуль при 2' = 0.
§ 4. Теорема единственности
Теорема единственности степенных рядов основана на следующем
их свойстве:
Теорема 1. Пусть φ {ζ) — степенной ряд с ненулевым
радиусом сходимости, у которого хотя бы один коэффициент
отличен от нуля. Тогда существует такая Ь-окрестность точки
г rnz О, внутри которой функция 3> {ζ) нигде не обращается в нуль,
за исключением, быть может, самой точки 2' = 0.
Действительно, обозначим через k номер первого отличного от
нуля коэффициента с^ ряда ф(<г). Тогда
Φ {ζ) = ζ" (с, + Ck^.Z -]-...) = ζ" %\ (ζ),
где ряд φι (ζ) имеет тот же круг сходимости, что и ряд φ (г).
Так как сумма степенного ряда — непрерывная функция внутри круга
сходимости, а φι @) = С/^ :^ О, существует такая δ-окрестность точки
z = 0, в которой сумма ряда φι (ζ) не обращается в нуль. В этой
окрестности в силу равенства φ B-) = 2-^ φι B") сумма ряда φ B) может
обращаться в нуль только при 2 = 0, да и то лишь тогда, когда ^^0.
Назовем точки, в которых сумма ряда φ (ζ) обращается в нуль,
нулями функции φ (ζ).
с применением этого термина доказанная выше теорема может
быть сформулирована следующим образом:
Теорема 1*. Пусть ф^ (ζ) — степенной ряд с ненулевым
радиусом сходимости, у которого хотя бы один коэффициент отли-
^ί^Η от нуля. Тогда множество нулей функции φ B) не может
11меть точку 2 = 0 своей предельной точкой.
Если мы имеем два степенных ряда, суммы которых совпадают
^^а некотором множестве, имеющем предельной точкой точку 2 = 0,
'Ϊ0 их разность должна быть тождественным нулем, т. е. коэффициенты
этих рядов должны совпадать. Следовательно:

38 СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ [Гл. 2
Теорема 2. Из равенства
с^ + c^z -[- c^z^ + · · · = ^0 + ^^i-^" + c%z'^ + · · ·
вытекает, что
Cq = Cq, с ι = Cj, С<1 = С2> . . . ,
^^^.ш только ряды в обеих сторонах равенства имеют отличные
от нуля радиусы сходимости, а равенство имеет место для
бесконечного множества значений ζ, имеющего точку ζ = 0 своей,
предельной точкой.
§ 5. Обобщение полученных результатов
Полученные выше результаты непосредственно переносятся на
степенные ряды вида
ф@; a) = c,-\-c,{z-a)-\-c^{z-af-\~,,. A)
В самом деле, сделаем замену ζ — α==ζ. Тогда ряд φ {ζ\ а) = с^-\-
+ ^iC -|- с^} -[-·.· станет рядом по степеням переменной ζ, т. е. при·
мет вид, изученный выше. Если г — радиус сходимости этого ряда^
то ряд A) будет сходиться или расходиться в зависимости от того^
будет ли Iζ I = I 2" — а\ меньше или больше г. Множество точек, для
которых выполняется неравенство \ζ — ^ | <С ^ образует внутренность
круга с центром в точке а и радиусом г. Следовательно:
Теорема 1. Каждому степенному ряду ^{ζ\ а) отвечает
круг с центром в точке а, внутри которого этот ряд с ходите я у
а вне—расходится. Этот круг называется кругом сходимости^
а его радиус—радиусом сходимости ряда ^{ζ\ а).
Если мы возьмем какой-либо круг с центром в точке α и с
радиусом, меньшим радиуса сходимости, то в таком круге ряд φ {ζ\ а)
сходится абсолютно и равномерно.
Теорема 2. Сумма степенного ряда ^{ζ] а) внутри круга
сходимости является непрерывной функцией ζ.
Из результатов § 3 выводим:
Теорема 3. Рациональная функция от степенных рядов
^ι{ζ\ α), ..., ^(^; a) тоже может быть представлена в виде
степенного ряда φ (г; а) с ненулевым радиусом сходимости, если
все ряды 5Ρι {ζ\ α), ..., ^¾ {ζ\ α) имеют ненулевой радиус
сходимости и если знаменатель рациональной функции не обращается
в нуль при ζ = α.
Все сказанное для степенных рядов вида 5K (<г; а) сохраняет силу
и для рядов вида
φ(г;oo) = .„ + ¾-^-^¾+... B)

^ б]
ПЬРЕРАЗЛОЖЕНИЕ СТЕПЕННОГО РЯДА 39
Эти ряды СХОДЯТСЯ ИЛИ расходятся в зависимости от того, будет ли
I i_ <^ г или — Г> г (иначе, будет ли \г\^~ или | 2Ί <" -), где г —
2! I 1^1 'Г г
радиус сходимости ряда Cq -\- cjC -j- cj^^ -j-. ·. Таким образом, разница
β утверждениях для ряда вида B) состоит в том, что он сходится вне
некоторого круга с центром в нуле, а расходится внутри него.
Точку оо можно лишить ее исключительного положения, если
рассматривать комплексные числа не на плоскости, а на сфере Римана.
Именно:
Любому степенному ряду φ (ζ\ а) отвечает на сфере Римана
некоторая окружность, разбивающая сферу на две части. В
каждой внутренней точке той части сферы, где лежит точка а,
ряд φ B^; cl) сходится, а в каждой внутренней точке другой
части сферы—расходится.
Основная теорема предыдущего параграфа тоже переносится на
ряды вида ^{z\ а) с конечным или бесконечным а. Она имеет вид:
Теорема 4. Если ряд ^ {z\ а) имеет ненулевой радиус
сходимости и если не все его коэффициенты нули, то существует
такая окрестность точки а, что во всех точках этой
окрестности, за исключением, может быть,, самой точки а сумма ряда
^ (г; а) не обращается в нуль.
Из этой теоремы тем же способом выводится и последний результат:
Теорема Ъ. Из равенства
c^-\-c^{z —а)-\-c^(,z — af-{-,.. = с'^-\- с\ (ζ — а) -\- c^{z — af -\-.,,
вытекает, что
Cq =: Cq, С\ = Ср С<^ ^2' · · · >
если только ряды в обеих частях равенства имеют отличные от
нуля радиусы сходимости, а равенство имеет место для
бесконечного множества значений ζ, имеющего точку а своей
предельной точкой.
§ 6. Переразложение степенного ряда
Рассмотрим степенной ряд φ {ζ\ а) = с^ -\- q {ζ — а) -j-
'-]- c^{z — α)^ -]-,.., радиус сходимости которого отличен от нуля. Пусть
^ — некоторая точка, расположенная внутри круга сходимости этого
ряда. Положим ζ — a = {b — d)-\-{z — Ь) = Ь-\-^у обозначив для
краткости b — а и ζ — b через δ и ζ соответственно. Подставив это
йьфажение для ζ — α в наш степенной ряд, получим
= ^0 + {с,Ь + c,Q + (^2¾^ + 2^20С + с^:') +... A)

40 СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ [Гл. 2
Теперь зададимся вопросом, можно ли правую часть полученной
формулы записать в виде степенного ряда по степеням ζ (так, чтобы
полученный степенной ряд сходился)?
На поставленный вопрос можно ответить утвердительно (с
помощью теоремы о двойных рядах), если сходится следуюишй ряд:
kol + ki4 + kiC| + kiS^H-|2^ÄI + l^2C^I+··· B)
Но при выяснении вопроса о сходимости ряда с неотрицательными
членами, эти члены можно группировать произвольным образом.
Поэтому ряд B) сходится, если сходится ряд
kol + |cil(|8| + KI)-fk2l(l4 + IC|)^ + k3|(|8| + K|f + ... (З)
Члены последнего ряда совпадают с модулями членов исходною
степенного ряда ^4> (^у ^)' ^^-^и заменить ζ — α на | δ | -[- | ζ |.
Следовательно, ряд C) сходится при выполнении условия I δ I -]- I С I <^ г, т. е.
при \ζ — ^|<С^ — 1^ — ^1· Это условие выполняется для точек Zy
образующих круг с центром в точке by
касающийся изнутри круга сходимости исходного
степенного ряда "^B'; а) (рис. 9).
Итак, если точка ζ лежит внутри
указанного круга, то ряд в правой части
равенства A) можно расположить по
степеням С, и полученный ряд будет сходиться^
Будем пользоваться следующей
терминологией.
^"^· ^- Если в степенном ряде ^sB^; а) сделать
замену ζ — a = b — а-\- ζ — Ь, затем разложить
каждый член ряда по степеням ζ — b и, наконец, расположить весь
ряд по степеням ζ — b, то получим некоторый новый ряд ^^ (ζ; b).
Этот новый ряд будем называть переразложенпем ряда φ (г; а)
в точке Ь.
Приведенные выше рассуждения дали нам следующий результат:
Теорема 1. Переразложение ^(ζ; b) ряда ^{z', а) заведомо
сходится внутри круга с центром в точке by касающегося
изнутри круга сходимости ряда ^ {z] а). Внутри указанного круга
выполняется равенство ^(z\ ά) = ^{ζ\ b).
Соответствующий результат имеет место и для рядов ^(z; оо).
Пусть ряд
^(г; оо) = с„ + ^ + ^ + ···
сходится вне круга | 2Ί ^ г, и пусть b — некоторая точка,
расположенная вне этого круга. Положим z = b — (b — z) = b — С где через

^ 7] ПРОИЗВОДНЫЕ СТЕПЕННОГО РЯДА 41
ζ ДЛЯ краткости обозначена разность b — ζ. Тогда имеем
Если ]С|<^|^|, мы можем написать разложение (геометрическая
прогрессия)
1 1 , ζ , С^ ,
а из него с помощью теорем § 3 получить разложения
1 _ 1 _4_ ^ _1 ЗС^ _,
φ — ζ)^ ~ b^~\ b'^\~ г>^ ~г * · ·'
1 ^ \'^1_\Ψ \
3 "г Л1 "Т А5' Т" · · ·»
Φ~ζγ
Поэтому имеет место равенство
%\(ζ; 00) = ^0+.,A + ^+---) + ^^.(^ + 1 + ---) + --- D)
Эют ряд можно расположить по степеням С, если сходится ряд
т. е. сходится ряд
l^ol + kil· μΐ__|ζ| +1^^1 {\b\--\^\Y +···
Сходимость последнего ряда обеспечена, если выполняется условие
! ^ I — I С I ^ г, т. е. если \Ь — 2Ί <^ | ^ | — г; иными словами, если ζ
лежит внутри круга с центром в точке by касающемся извне
окружности \z\ = r — границы области сходимости исходного ряда. Внутри
указанного круга имеет место равенство ^{z\ оо) = ^1B-) Ь). Здесь
Φι te b) — степенной ряд, получающийся из ряда в правой части
равенства D) расположением ее по степеням ζ = ^ — ζ. Этот степенной
ряд назовем переразложением ряда φ (г; оо) в точке Ь.
§ 7. Производные степенного ряда
Рассмотрим коэффициент при 'Q = z — b в ряде φι B-; b),
представляющем собой переразложение степенного ряда
фB; a) = c,-\-c,{b~a-{-Q-\-c,(b-a-{-Q^-\-.., A)
β точке b. Нетрудно видеть, что этот коэффициент равен q -\-
-{~2сс)(Ь — а)-\-Зс^(Ь — af-\-... Мы знаем, что этот ряд сходится,
если точка b лежит в круге сходимости ряда φ (ζ; α). Иными словами:
Ряд
c,-\~2c^{z~a)-\-3c^{z~-af-{-,., B)

42 СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ [Гл. а
имеет радиус сходимости г\ не меньший, чем г—радиус сходи^
мости ряда φ (г; а), т. е. имеет место неравенство г' ^ г.
С другой стороны, сравним радиусы сходимости этих двух рядов,
записав их следующим образом:
с^А-c^{z — а)-\-cc^{z — af -\-^.^у
-}—[c,{z-a)-\-2c,{z-af-\-..,\
Из неравенств \Сп\^п\Сп\^ п=\у % ..., следует, что радиус схо*
димости первого ряда не меньше радиуса сходимости второга
ряда, т. е. имеет место неравенство г'^г. Поэтому г'=г.
Ряд B) обозначим ф'(-г; а) и будем называть производной ряда
ф(^; а).
Проведенные выше рассуждения привели к теореме:
Теорема 1. Производная
ψ (ζ; a) = c,-{-2c,iz~a)-{-3c,(z — af-^...
ряда
^(z; a) = CQ-\-Ci(z — a)-{-c<i,(z — af-\-...
и сам этот ряд имеют один и тот же радиус сходимости.
Степенные ряды
^1^{ζ- α), ^\ζ\ а\ %"{ζ\ α), ψ'{ζ· α),...,
каждый из которых является производной от предыдущего, согласна
доказанной теореме, имеют тот же круг сходимости.
Ряд ^^^^ {ζ\ а) будем называть п-ой производной ряда φ {ζ\ а). При
этом иногда будем говорить и о производной нулевого порядка,
понимая под ^s^^^ {z\ а) сам исходный ряд ^ (ζ; а).
Если расположить ряд в правой части равенства A) по степеням
С = 2" — ^, то получится, как нетрудно убедиться, следующее
представление для переразложения φι {ζ\ b) степенного ряда φ (ζ; а) в точке bi
^{z) b) = %{z) ^) = ф(^; α)+^φ4^; ^) +
(Ι_^ψψ^ α) + ... C>
2
Это разложение, как мы знаем, заведомо имеет место в круге с
центром в точке Ь, касающемся изнутри окружности круга
сходимости ряда ф(^; а).
Положив z = b-\-hi где величина \h\ достаточно мала, получим
из равенства C) формулу

^ 8] НЕПОСРЕДСТВЕННОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ СТЕПЕННОГО РЯДА 43
Поскольку степенной ряд в правой части последнего равенства —
непрерывная функция переменной /г, мы видим, что
lim ^(b+h;a)-^(b;a)_ .
h-*0 η 'Г \ у J-
Таким образом, степенной ряд φ {ζ\ а) определяет внутри его
круга сходимости дифференцируемую функцию в том смысле, что
предел отношения приращения этой функции к приращению
переменной существует. Этот предел равен производной ψ {ζ\ а) ряда φ B"; α),
определенной нами раньше чисто формально.
Понятие производной, как предела отношения приращений можно
определить не только для степенных рядов, но и для произвольных
функций f{z) комплексного переменного Zy заданных в некоторой
области 2·
Пусть ζ — некоторая фиксированная точка области 2· Рассмотрим
отношение
где Ζι — некоторая точка области 2> отличная от точки ζ. Если
существует конечный предел
lim /м=т.=д
то назовем функцию f{z) дифференцируемой в точке ζ, а число f
назовем производной функции f{z) в этой точке. Производная f\
если она существует в каждой точке области ^, снова будет
функцией от Zy определенной в той же области, что и f{z). Производную
функции /'(-г), если она существует, мы обозначим f'{ζ) и т. д.
df d^f
Вместо /' (^), /'' (ζ), ... мы будем писать также ~, "^»· · ·
Ясно, что производная ψ {ζ] а) ряда ^{ζ\ а) снова
дифференцируема и ее производная (в смысле предела приращений) равна ф"' {ζ\ а)
и т. д. Следовательно:
Теорема 2. Степенной ряд ^{ζ\ а) определяет внутри его
^руга сходимости функцию, имеющую производные всех порядков.
§ 8. Непосредственное продолжение степенного ряда
Пусть мы имеем два степенных ряда φ {ζ\ а) и ф^ {ζ\ а^ с
пересеивающимися кругами сходимости. Обозначим через 5 общую часть их
кругов сходимости, а через b — некоторую точку 5 (рис. 10).
Если равенство φ {ζ\ а) = ^ {z\ α^) справедливо для бесконечного
^^южества точек области S, имеющего точку b предельной
^о}1кой, то это равенство имеет место и для любой точки с
<^бласти S.

44 СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ [Гл. 2
Действительно, из предположения следует в силу теоремы
единственности (см. теорему 2 § 4), что переразложения рядов i]j (ζ; а) и
^ (ζ;αι) в точке b тождественны, так как эти переразложения —
степенные ряды по степеням ζ — by совпадающие на бесконечном
множестве точек, имеющем точку b предельной точкой. В точках
прямолинейного отрезка be, лежащих внутри круга
сходимости общего переразложения рядов
Щ (ζ; а) и ^1 (z'y «ι), эти последние ряды имеют
равные значения (совпадающие со значением их
общего переразложения). Поэтому на отрезке be
заведомо есть такие точки /7, что равенство
^(z;a)=''^(z;ai) имеет место на всем отрезке
Ьр. Обозначим через q ту точку отрезка Ьсу для
которой достигается верхняя грань длин
отрезков ^/7, обладающих этим свойством (рис. 11).
Мы утверждаем, что точка q обязана совпадать
с точкой е. Действительно, к точке q можно
Рис. 10. применить те же рассуждения, что и выше,
поскольку она обладает теми же свойствами, что
и точка Ь. С помощью этих рассуждений получим, что в достаточна
малом круге с центром в точке q имеет место равенство ^(ζ\ά) =
fi (z\ ai) (в качестве множества с предельной точкой q, на котором
выполняется это равенство, следует взять отрезок bq). Это
противоречило бы нашему выбору точки q. Полученное противоречие
показывает, что точка q совпадает с точкой е. Применяя еще раз те же
рассуждения, видим, что равенство
4} (ζ; а) = φι (ζ; Ui) имеет место в
некотором круге с центром в точке е.
Требуемое утверждение доказано.
Если круги сходимости двух
степенных рядов пересекаются и если
в общей части кругов сходимости суммы этих рядов совпадают, то
каждый из этих рядов называется непосредетвенным
продолжением другого.
Согласно доказанному в § б переразложение степенного ряда
всегда представляет собой непосредственное продолжение этого
ряда. Докажем утверждение, в некоторой степени обратное:
Теорема 1. Любое непосредственное продолжение данного
степенного ряда можно получить, применив несколько раз процесс
переразложения.
Пусть по-прежнему ряд ^ι{ζ\α^ является непосредственным
продолжением ряда ^?B';а), а 5—общая часть кругов сходимости этих
рядов. Если «2 — произвольная точка области 5", то переразложение
ряда φι (-г; «ι) в точке а^ тождественно совпадает с переразложением

§8]
НЕПОСРЕДСТВЕННОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ СТЕПЕННОГО РЯДА
45
^S2B';a^2) рядз ^^B';а) в той же точке а^- Покажем, сейчас, что
исходный ряд всегда можно получить обратно из любого его
переразложения, применив несколько раз тот же процесс переразложения.
Тем самым будет показано, что ряд ^^sj (ζ; ßj) получается из ряда
^^2(-^^^2)^ ^ значит и из ряда ^(z;a)y многократным применением
процесса переразложения.
Пусть Κι — круг сходимости ряда %^ι (ζ; aj), а /С2 — круг с центром
в точке а^, касающийся изнутри окружности круга Κι- Через г^
обозначим радиус круга К^ (рис. 12). Если точка αχ лежит внутри, круга
/^.,, то переразложение ряда ^^^(-г;«^) в точке «ι тождественно
совпадает с рядом %^ι{ζ;α^), и
требуемый переход совершен. Если же
точка «1 не лежит внутри круга К^,
то обозначим через а^ точку,
лежащую на отрезке ß^^i "^ Р^С"
стоянии ~ Г2 от точки а.2' Круг с
центром в точке а^, касающийся
окружности круга ΚΊ, обозначим
через /Сз> а его радиус — через Гз
(легко видеть, что г^= γ Го).
Переразложение ряда 'lji^(z;a^) в
точке «3 тождественно совпадает
с переразложением ряда ^^ (ζ; а^)
в этой точке. Если точка «j лежит
в круге Кг, требуемый переход совершен. Если же точка «j не лежит
в круге Ö3, то обозначим через а^ точку, лежащую на отрезке ^3^1
на расстоянии -^ г^ от точки а^. Через Ki обозначим круг, касаю-
ии1йся изнутри окружности круга Κν а через г^ — его радиус (легко
3 / 3 \^
видеть, что г^= -<- г^= (у ^0· Если точка а^ лежит в круге /С4»
то требуемый переход совершен, если нет — повторяем аналогичное
построение точки «д, круга iCg и т. д. Этот процесс оборвется через
конечное число шагов. Действительно, процесс закончится
построением круга Kjny если 2γ^^Γι, так как при выполнении этого
условия точка Ui лежит в круге Km- По по построению г^= (т)^'^ ^2*
так что условие на число шагов т, необходимых для окончания
процесса, принимает вид:
Число т — это наименьшее целое число (большее 1), которое
Удовлетворяет неравенству
Рис. 12.
/ 3 \ ^-2
2 Τ г,>п.

46 СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ [Гл. 2
Это ЧИСЛО заведомо конечно, и, таким образом, наше утверждение
полностью доказано.
В дальнейшем будем для рядов, полученных друг из друга
непосредственным продолжением, употреблять одну и ту же букву, т. е.
если ^( ζ; а) — исходный ряд по степеням ζ — α, то ряд по степеням
ζ — b, являющийся его непосредственным продолжением, мы будем
обозначать через ^(z;b).
§ 9. Ряды Лорана
Если UQy ан-1,а+2)·.. — комплексные числа, то символом
оо
Σ"- О)
— 00
будем обозначать сумму сумм двух рядов
и
α_ι4-α_2 + α_3 + ···
(если оба эти ряда сходятся). Этот символ можно понимать также
как предел
η
lim 2 ^-
m-»- 00 k = ~m
Нас будут интересовать ряды вида
оо
£ι(ζ)=Σ^ηΑ
— 00
называемые рядами Лорана.
Ряд Лорана имеет смысл, если сходятся оба степенных ряда
φ (ζ) = Cq-\- CiZ + C^Z^ + ...,
Ряд ^(z) сходится внутри некоторого круга, скажем, при \z\<^r,
а ряд φι ί—I сходится вне некоторого круга, скажем, при \z\'^ri.
Ясно, что оба эти ряда имеют общую область сходимости, если г^
^rj. Эта общая область сходимости представляет собой круговое
кольцо ri<^\z\<^ry которое будем называть кольцом сходимости
ряда Лорана D (ζ). Так как суммы рядов φ (г) и φ ί—j являются
непрерывными функциями, то это верно и для суммы ряда Лорана

§ 9] РЯДЫ ЛОРАНА 47
Обычный степенной ряд можно, очевидно, рассматривать и как
ряд Лорана, у которого все коэффициенты с отрицательными
номерами равны нулю.
Пусть Γι <^ ρ <^ г. Тогда окружность | г | = ρ лежит внутри кольца
сходимости ряда Лорана £ι(ζ) (рис. 13). Обозначим через Μ макси-
1мум 10B-I на этой окружности (число Μ конечно, поскольку
функция £ί(ζ) непрерывна на окружности). Тогда для всех точек ζ
окружности Ι^-Ι^^ρ имеем неравенство
1 D (г) 1 ^ Ж. B)
Оказывается, справедлива следующая
важная теорема:
Теорема 1. Если на окружности | ^Ί = р,
лежащей внутри кольца сходимости ряда
D (z)y выполняется неравенство B), то для
всех значений номера η справедливо
неравенство
μ^Ιρ'^^/Η. C) Рис. 13.
Докажем сначала неравенство C) для случая п = 0.
Поскольку ряды ^{ζ) и ^^ (—) равномерно сходятся на
окружности I 2" I = р, мы можем для любого ε ^ О выбрать значение т
таким образом, чтобы в равенстве
т
— т
функция δ {ζ) при всех ζ на окружности j 2' | = ρ удовлетворяла
неравенству |δB)|<^ε. Это значит, что функция
т
f(^z) = c,^Y^c^z'' = £i{z)-b{z) D)
— т
ДЛЯ всех ζ на окружности | ^ | = ρ заведомо удовлетворяет
неравенству
|/B)|^Ж + 8 E)
(штрих над суммой в формуле D) означает, что при суммировании
член с номером, равным нулю, пропускается).
Выберем теперь число ξ, имеющее модуль, равный 1, и
обладающее тем свойством, что ни одна отличная от нуля целая степень этого
Числа не равна 1. (В существовании таких чисел мы убедимся
впоследствии.) Если 5 — любое целое положительное число, то точки
^ = р> 2:1 = ςρ, ζ^ = 1\ ..., ζ^_'^ = 1'-'^^

48
СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
[Гл. 2
лежат на окружности \z\==p. С помощью несложных выкладок
получаем равенство
/(^o)+/(^i) + --+/^-1)
Далее имеем неравенство
т
\Σ
tkS .
Ck9
е^ —1
"+\1
1
III·
1
(μ*^1+1) = 2λ,
F)
где величина
-г
Cur
^k.
не зависит от числа 5. Сопоставляя равенство F) с неравенством E),
получаем неравенство
^-0 I
1/(~^о) 1 + 1/(^^1) 1+-- + 1/(^5-1) I
-^<ΛΙ + ε+^.
Поскольку число 5 произвольно велико, а число ε — произвольно
мало, заключаем, что
\с,\^М. G)
Тем самым мы доказали неравенство C) для я = 0.
Теперь рассмотрим ряд
со оо
—оо —оо
в этом ряде коэффициент с'^ при нулевой степени ζ равен с„, а для
суммы этого ряда на окружности \ ζ\ = ο имеет место оценка
1 ζ-"" о (^) I ^ Р""Ж.
Следовател" но, применяя к этому ряду доказанное выше
неравенство G), получаем
Тем самым неравенство C) доказано в полном объеме.
Нам остается еще убедиться в существовании чисел ζ, |ξ| = 1,
для которых 1^ φ \ ни при каком целом s φ 0.
В качестве такого числа I можно взять, например, число
2 — /
2 + /

§ 9] РЯДЫ ЛОРАНА 49
(очевидно, что |Е| = 1). Действительно, если бы для какого-либо
целого положительного η мы имели бы %^=ι\, то это означало бы,
что
B — if = B + if = {2 — i-\- 2if = Bif +
+ η B-/) B/)-^+ ... +B-/r.
Из этого равенства выводим, что
B/f = B —0(^ + ^0>
где А и В — целые действительные числа. Взяв квадраты модулей
обеих частей, мы придем к равенству
4^ = 5(Л2 + )В^).
Это равенство противоречиво, так как 4'* не может делиться на 5.
Полученное противоречие показывает, что ξ" т^ 1 ни при каком
целом Пу отличном от нуля.

Глава третья
ПОНЯТИЕ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ
§ 1. Моногенные системы степенных рядов
Пусть мы имеем степенной ряд
φ {ζ\ α) = Со + С\ {z — a)-\-c^{z — af-\-.,,
с радиусом сходимости, отличным от нуля, с этим рядом связано^
вообще говоря, бесконечно много различных непосредственных про*
должений; те в свою очередь имеют непосредственные продолжения
и т. д. Все ряды, получаемые таким образом, мы назовем
продолжениями исходного ряда 5? (-г; а). Иными словами:
Ряд ^ {z\ b) называется продолжением ряда φ {ζ\ α), или если он
является непосредственным продолжением этого ряда, или если он
является последним звеном конечной цепочки рядов
каждый из которых является непосредственным продолжением
предыдущего.
В силу теоремы, доказанной нами в § 8 гл. 2, это определение
равносильно следующему;
Каждый ряд, получаемый из ряда ^{z\ а) конечным числом
переразложений, называется продолжением этого ряда.
Из этого определения уже непосредственно следует, что понятие
продолжения взаимно:
Если ряд φ {ζ\ b) является продолжением ряда φ {ζ\ α), то
ряд ^{ζ\ а) является продолжением ряда ^(ζ\ b).
Ясно также, что понятие продолжения транзитивно:
Если ряд φ (ζ; с) является продолжением ряда ^ {ζ] b), а ря^
ίρ (ζ; b) — продолжением ряда φ {ζ\ α), то ряд φ {ζ\ с) —
продолжение ряда ^B-; а).
Бесконечную систему степенных рядов, состоящую из некоторого
ряда '^{ζ\ а) и из всех его продолжений, назовем моногенной
системой степенных рядов.

^2] ПОНЯТИЕ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ 51
Заметим, что в моногенной системе все ряды равноправны.
Исходный не занимает какого-либо особого положения — вместо него
можно взять любой другой ряд системы, так как все ряды моноген-
ной системы являются продолжениями друг друга.
Добавим еще, что ряд ^(z; сю) мы будем тоже считать
принадлежащим к данной моногенной системе, если только какое-либо из
его переразложений принадлежит этой системе.
В заключение приведем еще одно определение моногенной
системы, очевидно, равносильное данному выше:
Некоторая система степенных рядов называется моногенной,
если'.
1. Каждый ряд этой системы является продолжением любого
другого ряда этой системы.
2. Все переразложения каждого ряда системы тоже входят
S эту систему.
§ 2. Понятие аналитической функции
Каждая моногенная система степенных рядов дает некоторый
закон, по которому одним числам ставятся в соответствие другие.
Действительно, пусть z^ — какое-либо значение переменной ζ.
Рассмотрим те ряды моногенной системы, в кругах сходимости которых
расположена точка ^ό- Суммы этих рядов в точке ^ό можно считать
числами, отвечающими точке 2Ό. Таким образом, моногенная система
степенных рядов представляет собой нечто, похожее на функцию.
Однако это «нечто» отнюдь не функция в смысле определения § 6 гл. 1.
Во-первых, для моногенных систем полностью отсутствует понятие
области определения. Множество точек ^ό, лежащих в кругах
сходимости одного из рядов системы, не задается заранее, а находится
в процессе построения этой системы. Во-вторых, точка ζ^ может
находиться в кругах сходимости различных рядов системы, и нет
никакой гарантии, что суммы этих рядов будут равны. Итак,
употребляя слово «функция» в некотором неопределенно общем смысле,
можем сказать, что моногенная система степенных рядов
представляет собой многозначную функцию, область определения
которой не задается заранее, а определяется самим законом
отыскания значений этой функции.
Аналитической «функцией» называется моногенная система
степенных рядов. Каждый ряд системы называется элементом
аналитической «функции». (В дальнейшем будем употреблять термин
аналитическая функция, не ставя слово функция в кавычки.)
С многозначными функциями можно иметь дело лишь в тех слу-
■чаях, когда мы можем указать, чем определяется выбор между

52 ПОНЯТИЕ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ [Гл. у
различными значениями в одной и той же точке (т. е., грубо говоря,
когда мы можем сделать их в некотором смысле однозначными). Эту
задачу и решим сейчас для аналитических функций.
Пусть дан какой-либо исходный элемент 1^ (ζ; а) аналитической
функции и некоторая точка Ь. С точкой b связано, вообще говоря,
много элементов аналитической функции, причем каждый из них
является продолжением исходного элемента. Любой из этих элементов
можно выделить, указав способ продолжения исходного элемента,
приводящий к интересующему нас элементу в точке b (назовем его
^^(-г; Ь)). Иными словами, мы должны указать цепочку
непосредственных продолжений, первым звеном которой является исходный элемент
$ {ζ; а), а последним — интересующий нас элемент φ (ζ; b). Заметим,
что для задания цепочки непосредственных продолжений нет нужды
задавать сами ряды — достаточно задать лишь центры их кругов
сходимости, т. е. последовательность точек а, а^, а^, ..., а^-==Ь.
Таким образом, мы пришли к утверждению:
Зная исходный элемент ^]^ {z\ а) аналитической функции, мы
единственным образом выделяем элемент φ {ζ\ b) той же
аналитической функции, указав последовательность (конечную) точек
а, ^1, а.2, ..., ап==Ь, являющихся центрами кругов сходимости
цепочки непосредственных продолжений элемента φ («г; а) в элемент
^{ζ; b).
Вместо последовательности точек удобнее задавать ломаную
линию с вершинами в этих точках. Направление движения по этой
ломаной определяется порядком следования вершин. Заметим сразу
же, что результат продолжения по ломаной не изменится, если
на отрезке между двумя соседними вершинами будет вставлено
любое количество промежуточных вершин. Действительно, если
ряды φ {ζ\ а^), Щ {ζ; α^^ι) являются непосредственными продолжениями
друг друга, то при любом с из отрезка a^ak^i ряд ^3 B'; с) дает
непосредственное продолжение любого из этих рядов. Ясно, что
добавление в цепочку непосредственных продолжений любого числа
таких промежуточных рядов не отразится на окончательном
результате продолжения. Из сказанного следует, что выражение
«продолжение по ломаной линии» имеет смысл, поскольку введение
дополнительных вершин на прямолинейных участках не меняет результата
продолжения. Поэтому высказанное выше утверждение можно
сформулировать несколько иначе:
Зная исходный элемент ^{z; а) аналитической функции, мы
единственным образом выделяем элемент ^3 {z\ b) той же
аналитической функции, указав путь, вдоль которого совершается
продолжение элемента ^ (z\ а) в элемент φ {ζ\ b).
На основании тех же соображений, что и выше, ясно, что результат
продолжения не изменится, если ломаную немного деформировать»

^ 3] ВЕТВИ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ 53
β частности, все вершины ломаной можно поместить в точки с ра-
цпональными координатами. Таких ломаных счетное множество (при
фиксированных начале и конце). Поэтому
В каждой точке аналитическая функция имеет не более чем
счетное множество различных элементов.
Мы договорились рассматривать продолжение ряда вдоль ломаной
как цепочку непосредственных продолжений, составленную из рядов,
у которых центры кругов сходимости расположены в вершинах
ломаной. Кроме того, мы показали, что добавление промежуточных
вершин не влияет на результат. Но в качестве промежуточной
вершины можно рассматривать любую точку ломаной. Поэтому можно
считать, что в качестве промежуточных вершин вставлены все точки
ломаной. Тогда вместо конечной цепочки непосредственных
продолжений получим непрерывную цепочку. Иными словами, продолжение
вдоль ломаной можно представлять себе в виде системы
степенных рядов, удовлетворяюш.ей условиям:
1. С каждой точкой ломаной связан степенной ряд, имеюш.ий
круг сходимости с центром в этой точке.
2. Суммы рядов, отвечающих двум точкам ломаной, совпадают
в обш.ей части их кругов сходимости, если эти две точки достаточно
близки между собой.
Поскольку ломаная может иметь самопересечения, необходимо
оговориться, что точка самопересечения при повторном попадании
в нее рассматривается уже как другая точка ломаной, и отвечающий
ей ряд Fie обязан совпадать с прежним. Кроме того, расстоянием
между точками ломаной следует считать не расстояние на плоскости
между ними, а длину соединяющей их дуги ломаной. Точки ломаной
близки, если мало именно такое расстояние.
Ясно, что справедливо и обратное утверждение:
Цепочка степенных рядов, удовлетворяющих условиям 1 и 2,
дает продолжение вдоль ломаной ряда, отвечающего ее началу^
§ 3. Ветви аналитической функции
Напомним некоторые сведения из теории множеств на плоскости
(или на сфере).
Пусть дано какое-либо множество Σ. Все точки плоскости (или
сферы) по отношению к этому множеству делятся на три вида:
Если все точки какой-либо окрестности точки а принадлежат
множеству Σ, то точка а называется внутренней точкой
множества Σ.
Если какая-либо окрестность точки а не содержит ни одной
'ОЧКИ множества Σ, то точка называется внешней точкой по
отношению к множеству Σ.

54 ПОНЯТИЕ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ [Гл. 3
Если каждая окрестность точки а содержит и точки,
принадлежащие множеству Σ, и точки, не принадлежащие ему, то точка а
называется граничной точкой множества Σ.
Множество, состоящее только из внутренних точек, называется
открытым.
Если все граничные точки множества принадлежат этому
множеству, то такое множество называется замкнутым.
Совокупность граничных точек множества называется его
границей. Доказывается, что граница множества всегда является
замкнутым множеством.
Открытое множество называется связным, если его нельзя разбить
на два открытых же множества, не имеющих общих точек.
Связное открытое множество называется областью.
Замкнутое множество называется связным, если его нельзя разбить
на два замкнутых множества, не имеющих общих точек.
Отметим еще одно определение связности открытого множества,
равносильное приведенному выше:
Открытое множество называется связным, если любые две его
точки можно соединить ломаной линией, все точки которой
принадлежат этому множеству.
Доказательства равносильности этих определений приводить не
будем.
Область сферы Римана называется п-связной, если ее граница
состоит из η связных замкнутых множеств.
Вернемся к аналитическим функциям.
Часто бывает полезно иметь дело не со всей аналитической
функцией, а лишь с некоторой ее частью, или, как принято говорить,
ветвью. Определим это понятие:
Пусть нам дана область D и степенной ряд φ (г; а), где а —
некоторая точка области D. Через f{z) обозначим аналитическую
функцию, состоящую из всех продолжений ряда ^? (г; а). Систему
степенных рядов, получаемых продолжением ряда ^{z\ а) только
по тем ломаным, которые не выходят за пределы области D, мы
назовем ветвью аналитической функции f(z) в области D, полученной
из элемента ^^{z\ а).
Ясно, что мы получим ту же ветвь аналитической функции, если
вместо ряда φ B", а) возьмем любой другой степенной ряд из рядов,
составляющих эту ветвь. Ясно также, что, взяв вместо ряда ^?(г; а)
другой элемент аналитической функции f{z), мы можем получить и
другую ветвь той же аналитической функции.
Добавим к этому определению еще одно:
Пусть степенной ряд ^ (-г; а) имеет продолжение по любой
ломаной, лежащей в области D. Тогда ветвь аналитической функции f{z)

§ 4] ПРИМЕРЫ 55
гз области D, отвечающую элементу -]^(z; а), будем называть
функцией, аналитической в области D.
Особенно важен случай, когда функция /о (-г), аналитическая в
области D, однозначна. Тогда назовем функцию /^{ζ), аналитическую и
однозначную в области D, регулярной ветвью соответствующей
аналитической функции f(x) (отвечающей по-прежнему элементу^
%4z; а)).
Докажем сейчас одну почти очевидную теорему о регулярной
ветви, определив сначала еще одно понятие.
Функцию (в обычном смысле), определенную в области Д будем
называть регулярной в этой области, если в окрестности каждой
точки области D эта функция представляется сходящимся степенным
рядом.
Теорема 1. Если функция w{z) регулярна в области D, то
существует аналитическая функция f(z), для которой функция
w{z) является одной из ее регулярных ветвей.
Аналитическую функцию f(z) построим, взяв все продолжения
какого-либо из степенных рядов, представляющих функцию w(z}
в точках области D. Рассмотрим ветвь аналитической функции f(z)
в области D, отвечающую элементу, совпадающему с выбранным
степенным рядом. Выясним вопрос о возможности продолжения по
любой ломаной, лежащей в области D. Пусть L — любая такая
ломаная. В каждой точке ломаной L функция w{z) разлагается в
степенной ряд. Можно считать, что центр круга сходимости этого ряда
находится именно в этой точке. Рассмотрим семейство этих
степенных рядов, очевидно, удовлетворяющих условиям 1 и 2 § 2. Поэтому
эю семейство доставляет нам продолжение вдоль ломаной L
степенного ряда, отвечающего началу этой ломаной. Таким образом,
продолжение возможно по любой ломаной, лежащей в области L. Кроме-
того, из построения продолжения очевидно, что результат
продолжения всегда совпадает с функцией w(z).
§ 4. Примеры
Рассмотрим рациональную функцию
Она определена во всей комплексной плоскости, и если исключить-
нули знаменателя, т. е. точки, в которых
g(z) = ßo + «1^ + ·.. + ^п^"" = О' A>
то в остальных точках плоскости ее значения конечны.

56 ПОНЯТИЕ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ [Гл. 3
Не ссылаясь на основную теорему алгебры, можно усмотреть,
что уравнение A) имеет не более η корней. Действительно, если бы
уравнение A) имело П'\^\ корень 2Ί, ζ^, ..., Ζη^γ, то многочлен g{z)y
имеющий степень л, нацело делился бы на многочлен {ζ — ^i)...
,..{z — Zn^\\ имеющий степень n-\-l, что невозможно.
Мы можем предполагать, что ни один из корней уравнения A)
не будет корнем уравнения h{z) = ^. Этого всегда можно добиться,
сократив общие множители в числителе и знаменателе нашей
рациональной функции.
Рассмотрим нашу рациональную функцию в области D,
представляющей собой всю конечную плоскость, из которой удалены
нули знаменателя. В этой области наша рациональная функция
является регулярной ветвью некоторой аналитической функции.
Действительно, если а — любая точка области D, то
.,,(.^ — h{a-\-{z-a))_%A^\a)
где φι {ζ\ а) и ^ {ζ\ а) — некоторые конечные ряды по степеням
ζ — а (т. е. многочлены), причем ряд ^^{ζ; а) не обращается в нуль
лри ζ = α. Согласно доказанному в § 5 гл. 2
w{z) = ^{z; а) B)
в некоторой достаточно малой окрестности точки а. Следовательно,
наша рациональная функция регулярна в области D и по теореме
§ 3 она является регулярной ветвью некоторой аналитической
функции. Нетрудно показать, что эта аналитическая функция однозначна.
Действительно, продолжение по любому пути, лежащему в области D,
дает нам (согласно определению регулярной ветви) только значения
нашей рациональной функции, которая, очевидно, однозначна.
Единственная возможность провести путь, не лежащий в области D, состоит
в том, чтобы провести этот путь через одну из исключенных точек (нули
знаменателя и сю). Если по такому пути можно продолжить, то,
согласно доказанному в § 2, результат продолжения будет тем же,
что и при продолжении по любому достаточно близкому пути. Но
этот достаточно близкий путь уже можно взять лежащим в области D.
Отсюда следует однозначность интересующей нас аналитической
■функции.
Легко выяснить, возможно ли продолжение через исключенные
точки. При стремлении ζ к нулям знаменателя рациональная функц-ия
стремится к бесконечности (мы предположили, что числитель и
знаменатель не имеют общих нулей). Это показывает, что продолжение
через нули знаменателя невозможно. Возможность продолжения через
точку оо зависит от соотношения степеней числителя и знаменателя
рациональной функции. Если степень числителя больше степени
знаменателя, то функция стремится к сю при ζ -> оо, и продолжение
через точку оо невозможно. Если же степень числителя меньше-

^ 41 ПРИМЕРЫ 57
С1епени знаменателя, то мы без труда получаем разложение нашей
рациональной функции в ряд по степеням Xjz. Именно:
«о (^—j +--- + 0/1
Для однозначных аналитических функций естественно ввести
понятие области регулярности. Так называется та наиболее широкая
область плоскости, куда возможно продолжение. Однозначную
аналитическую функцию всегда можно рассматривать как регулярную
функцию, определенную в области регулярности аналитической функции.
Выше мы показали, что
Рациональная функция -η-!: является однозначной
аналитической функцией. Ее область регулярности состоит из
расширенной комплексной плоскости с удаленными из нее нулями
знаменателя (если степень числителя больше степени знаменателя, то
удаляется еще и точка оо).
В качестве второго примера рассмотрим всюду сходящийся
степенной ряд
^ {ζ) = ^^0 + ^1^ + с^^^ + · · ·
Он определяет функцию, регулярную во всей конечной плоскости.
По тем же причинам, что и в случае рациональной функции, мы
можем утверждать, что аналитическая функция, для которой сумма
этого ряда будет регулярной ветвью, является однозначной
аналитической функцией. Ее областью регулярности является вся
расширенная плоскость, за исключением, может быть, точки оо. Покажем^
что точка оо не принадлежит области регулярности, если только
весь наш ряд не сводится к одному свободному члену.
Для этой цели мы докажем следующую теорему:
Теорема 1. Пусть ^ {г) — всюду сходящийся степенной ряду
состоящий не только из одного свободного члена. Тогда имеется
последовательность точек Zp z^, ..., Zn-^QO^ для которой
lim5ß(^J = oo.
«->oo
Допустим противное. Тогда существует такое число С, что для
всех конечных ζ выполняется неравенство |фB')|<^С. Согласно
теореме из § 9 гл. 2 при любом г справедливо неравенство
\Сг,\г''^С (/г = 0, 1, 2, ...).
^то неравенство можно записать в виде
Vn\<~n (^ = 0, 1, 2, ...). C)

58 ПОНЯТИЕ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ [Гл. 3
Поскольку число г можно взять произвольно большим, мы видим,
что при ^^0 обязаны выполняться равенства €^^==0, т. е. ряд ^^(-г)
сводится к одному свободному члену. Полученное противоречие
доказывает теорему.
Замечание. Если бы точка сю принадлежала к области
регулярности аналитической функции, представленной рядом φ (ζ), то в
окрестности точки оо эта функция представлялась бы степенным
рядом по степеням \/ζ и тем самым была бы ограничена в этой
окрестности. Согласно доказанной выше теореме это возможно лишь
в случае, когда ряд φ (ζ) сводится к одному лишь свободному члену.
Аналитические функции, определяемые всюду сходяш,имися рядами,
называются по предложению Вейерштрасса целыми функциями.
Целая функция, отличная от многочлена, называется
трансцендентной.
В качестве последнего примера рассмотрим отношение двух всюду
сходящихся рядов
W (ζ) = ~f^ .
Сначала докажем следующее важное утверждение:
Нули целой функции, отличной от тождественного нуляу не
могут иметь предельных точек в конечной части плоскости.
Допустим противное. Тогда некоторая конечная точка а будет
предельной точкой нулей ряда ^3 {ζ), а значит, и ряда ^ (г; а),
полученного переразложением ряда ^{ζ) в точке а. По теореме
единственности (см. §§ 4 и 5 гл. 2) это означает, что φ («г; а)^0, а
следовательно, и ^]^ {ζ) ^ 0. Наше утверждение доказано.
Проводя опять те же рассуждения, что и для рациональной
функции, приходим к выводу, что отношение двух целых функций
представляет собой однозначную аналитическую функцию. Область
регулярности этой функции состоит из всей конечной плоскости, из
которой удалено счетное множество точек, не имеющее предельных
точек в конечной части плоскости. Эти точки — нули знаменателя.
Если они не являются одновременно и нулями числителя, то они
заведомо не входят в область регулярности.
§ 5. Особые точки степенного ряда
Пусть степенной ряд Я< {ζ\ а) принадлежит к моногенной системе
степенных рядов, задающей аналитическую функцию /(-г), т. е.
является элементом этой аналитической функции. Сумма этого ряда внутри
круга сходимос'ти определяет регулярную ветвь аналитической функ-

§ 5] ОСОБЫЕ ТОЧКИ СТЕПЕННОГО РЯДА 59
ции /('2'). Рассмотрим какую-либо точку 5 на окружности круга
сходимости степенного ряда φ (-г; а). Точки окружности не принадлежат
к области определения регулярной ветви, задаваемой суммой ряда
(независимо от того, сходится ряд в этих точках или расходится).
Точки окружности круга сходимости могут быть двух родов:
1. В данной точке 5 окружности существует ряд ^(-г; 5),
являющийся непосредственным продолжением ряда φ (г; а).
2. Такого ряда нет.
В первом случае будем говорить, что точка 5 окружности круга
сходимости ряда ^ (ζ; а) является точкой регулярности для ветви
аналитической функции, представленной этим рядом. Во втором
случае будем говорить, что точка 5 является особой точкой указанной
регулярной ветви.
Сейчас докажем следующую важную теорему:
Теорема 1. На окружности круга сходимости степенного
ряда φ («г; а) всегда есть по меньшей мере одна особая точка.
При доказательстве будем считать для простоты а = 0.
Пусть
^ (^) = ^0 + ^1^ + ^2^^ + · · ·
— степенной ряд с кругом сходимости К и радиусом сходимости г»
Дону с 1 им, что доказываемая теорема неверна. Тогда каждой ι очке 6^
окружности круга К отвечает ряд ^ {ζ\ 5), являющийся
непосредственным продолжением ряда ^{ζ) (ясно, что точкам круга К тоже
отвечают такие ряды). Радиус сходимости ряда φ («г; s) обозначим
г^. Наше предположение, что теорема неверна, равносильно
утверждению, что Tg^Q для всех точек круга К и его окружности.
Из очевидных неравенств
rs'^rs~\S~s'\, rs'^rs' — \s — S' 1,
вытекает, что \г^ — ^5' 1 ^ I ^ — -^Ί· Следовательно, г^ как функция 5 —
непрерывная функция. Круг К вместе с окружностью образует
замкнутое множество, так что непрерывная функция г^ принимает в
некоторой точке этого множества свое наименьшее значение. Согласно
нашему допущению это наименьшее значение положительно. Отсюда
выведем, что радиус сходимости ряда ^ (ζ) (обозначенный нами
через г) должен быть больше г, что невозможно.
Обозначим через /С' замкнутый круг | -г ]^ г -|- δ, где δ <^ ρ =
= minr^. Определим в /С' функцию f{z) следующим образом:
Для точек ζ из круга сходимости К ряда Φ (ζ) положим
/(^) = φ B).
Для точки Zy лежащей в К\ но не лежащей в Ку положим
/ (г) = ^^5 B; 5), где ряд φ B'; 5) — переразложение ряда φ B') в точке

60
ПОНЯТИЕ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ
[Гл. 3
5, находящейся внутри круга К на расстоянии меньшем ρ от точки
ζ (рис. 14).
Заметим, что выбор точки 5 не влияет на определение значения
f{z). Действительно, если круги сходимости рядов, отвечаюш.их
точкам s' и 5, оба содержат точку ζ, лежащую вне круга /С, то они
имеют и общие точки, лежащие в круге К (так как их центры 5
и 6^' лежат внутри круга КУ Следовательно, эти два ряда будут
непосредственными продолжениями друг друга,
поскольку внутри круга К их суммы совпадают
с суммой ряда φ (ζ), а значит и между собой.
Поэтому их суммы совпадают во всей общей
части их кругов сходимости, в частности в точке г.
Определенная выше функция f{z) будет,
очевидно, непрерывна в замкнутом круге /С'. Поэтому
ее модуль ограничен. Обозначим через Μ
наибольшее значение \f{z)\.
Теперь возьмем любую точку 5 из круга К
и опишем вокруг нее окружность радиуса σ.
Согласно определению числа σ радиус сходимости переразложения ряда
^(-г) в точке 5 не меньше р, а σ<^ρ. Поэтому, вспоминая
формулу C) § 7 гл. 2, можем написать
fiz) = ^ is) + '-^ ψ C) + ^^ ψ' (s) +....
и этот ряд сходится на окружности \z — 5 ! = σ. В силу неравенства
\f{z)\^M получаем с помощью теоремы § 9 гл. 2 оценку для
коэффициентов написанного ряда
(/7 = 0, 1,2,...).
Но
Рис. 14.
^Г'(^)=
ω
00
2
G^'^M
k\
п\ (k— п)\
k = n
Рассматривая s как переменную, меняющуюся по окружности l5l =
= си<^Гу получаем из неравенства
1
Д4
используя еще раз теорему § 9 гл. 2, оценку
Dic,]^'-""
м
Поскольку величина α может быть выбрана произвольно близкой
к г, получаем
Кл
')r^-Vi
:УИ.

§5]
ОСОБЫЕ ТОЧКИ СТЕПЕННОГО РЯДА 61
^1олагая ^ = 0, 1, 2, ..., Ä, и складывая полученные неравенства,
находим
\c,\(r-{-aY^ik-{-l)M (k = 0, 1, 2,...).
Следовательно, ряд
со
о
является мажорантой ряда φ (-г).
Ряд £1 (ζ), как легко видеть, сходится при \z\<^r -^а. Поэтому
ряд ^]} (ζ) тоже должен сходиться в круге | ^Ί <^ г -|- ^- Это проти-
гзоречит нашему предположению о том, что г — это радиус
сходимости ряда ^(z). Полученное противоречие показывает, что наше
предположение об отсутствии особых точек на границе круга
сходимости невозможно. Теорема доказана.
Отметим одно следствие доказанной теоремы:
Функция, аналитическая в круге, однозначна.
Действительно, возьмем элемент нашей функции, аналитической
в круге, отвечающий его центру. Аналитичность функции в круге
означает, что взятый элемент можно продолжить по любому пути,
лежащему внутри круга. Если радиус сходимости элемента был бы
меньше радиуса нашего круга, то на окружности сходимости не
было бы особых точек, что невозможно. Следовательно, выбранный
элемент нашей функции, аналитической в круге, сходится во всем
этом круге, т. е. представляет функцию, однозначную в круге.
Отмеченное следствие является частным случаем следующей
теоремы, носящей название теоремы о монодромии.
Функция, аналитическая в односвязной области, однозначна.
Теорема о монодромии имеет фундаментальное значение при
исследовании многозначных аналитических функций. Не будем
доказывать ее в полном объеме, ограничившись приведенным частным
случаем этой теоремы.
В качестве более простого примера использования теоремы об
особой точке степенного ряда рассмотрим задачу об отыскании
радиуса сходимости ряда для отношения двух целых функций
^i(^) ^b, + b,z + b,z^ + .
φ B) 00+01^+022^^+..
Для простоты предположим, что целые функции φι (-г) и ^{ζ) не
имеют общих нулей.
На основании доказанной теоремы можем утверждать, что на
окружности круга сходимости должна быть точка, в которой знаме-
^^атель обращается в нуль, так как в противном случае функцию
ожно было бы продолжить через каждую точку окружности.
^(-)=^S^^ = M-^^^e^.i- («0.^0).

62 ПОНЯТИЕ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ [Гл. 3
С другой стороны, ТОЧКИ, в которых знаменатель обращается в нуль
(а числитель отличен от нуля), не могут находиться внутри круга
сходимости степенного ряда, так как в таких точках дробь
обращается в бесконечность, а сумма ряда внутри круга сходимости
всегда конечна. Поэтому
Радиус сходимости ряда ^(-г) равен расстоянию от точ^
KU ζ = ^ до ближайшего нуля функции $ (-г).
Например, разлагая функцию
1 — Qz — 2^
в ряд по степеням г, получим разложение, сходящееся в круге
с центром в точке ^' = 0 и радиусом, равным модулю
наименьшего корня уравнения 1—6z — ^'^ = 0. Корни этого уравнения
^1 = -3-[- /ΐΟ, ^2 = -3- /Го,
так что радиус круга сходимости равен /Ю — 3.
§ 6. Основная теорема алгебры
Сейчас изложим одно очень простое доказательство основной
теоремы алгебры, основанное на результатах предыдущего параграфа.
Пусть g(z) = z"'-]-aiz"'~'^-{-.. .-]-ап — многочлен степени л^О.
Основная теорема алгебры состоит в том, что такой многочлен
имеет хотя бы один нуль. Допустим, что это утверждение неверно.
Тогда ряд
,п_^^^,п-!^___^а,=Со-^С1г-\-с,г'^..., A)
согласно последней теореме предыдущего параграфа, сходится при
всех Z, С другой стороны, функция, стоящая в левой части
равенства A), разлагается в окрестности бесконечности в ряд по
степеням Ijz, Согласно одной из теорем § 4 это означает, что вес1
ряд A) сводится к одному лишь свободному члену Со, т. е. имеет
место равенство 1 = (^'^ -j- aiz""'^ -|-... -j- ß«) <^о' i^OTopoe невозможно
ни при каком Cq. Полученное противоречие доказывает наше
утверждение.
Отсюда известным способом (делением на 2' — Zp где Zi — нуль
g{z)y существование которого доказано) легко получаем:
Многочлен степени η имеет ровно η нулей,
§ 7. Особые точки однозначных аналитических функций
Пусть f{z) — однозначная аналитическая функция. Тогда можнс
говорить об области ее существования, понимая под этим
термином множество точек, в которые можно продолжить исходный эле
мент этой аналитической функции. Нетрудно видеть, что област!

g 71 ОСОБЫЕ ТОЧКИ ОДНОЗНАЧНЫХ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 63
существования однозначной аналитической функции действительно
является областью, т. е. открытым связным множеством. В самом
деле, если точка а лежит в области существования, то в этой точке
имеется степенной ряд, сходящийся к функции f{z) в некоторой
окрестности точки. Тем самым вся эта окрестность тоже
принадлежит области существования. Это и с.^начает, что область
существования — открытое множество. Далее, если две точки лежат в области
существования, то всегда возможно продолжение функции из одной
точки в другую по некоторой ломаной. Эта ломаная соединяет
данные точки и лежит в области существования. Поэтому область
существования — связное множество.
Таким образом, мы видим, что однозначную аналитическую
функцию можно рассматривать как регулярную функцию,
определенную в некоторой области — в области существования этой
аналитической функции.
Точки, лежащие в области существования однозначной
аналитической функции, назовем точками регулярности этой аналитической
функции.
Граничные точки области существования однозначной
аналитической функции назовем особыми точками этой однозначной
аналитической функции.
Поскольку множество граничных точек замкнуто, особые точки
однозначной аналитической функции образуют замкнутое
множество.
Иными словами, точки, предельные для особых точек, — тоже
особые точки.
Рассмотрим теперь какую-либо особую точку однозначной
аналитической функции f{z). Она может быть предельной точкой для
других особых точек этой функции, а может и не быть. В последнем
случае будем говорить об изолированной особой точке
однозначной аналитической функции.
Каждая особая точка любого элемента однозначной аналитической
функции является в то же время особой точкой всей аналитической
функции. Действительно, продолжение в эту точку из круга
сходимости данного элемента невозможно. Если бы можно было
продолжить данный элемент в эту точку по какому-либо другому пути, то
Мы получили бы степенной ряд, сходящийся в окрестности этой
точки. Сумма этого ряда не могла бы совпадать (в общей части
кругов сходимости) с суммой ряда для исходного элемента, а это
противоречило бы однозначности аналитической функции.
Высказанное выше утверждение позволяет определить радиус
^Ходимости для любого элемента однозначной аналитической функции,
^сли известны ее особые точки:

G4 ПОНЯТИЕ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ [Гл. 3
Теорема 1. Радиус сходимости элемента **|s (г; а) сднознач^
ной аналитической функции f{z) равен расстоянию от точки а
до ближайшей к а особой точки функции f(z).
Из всех особых точек аналитических функций наиболее простое
устройство имеют особые точки, называемые полюсами.
Определение полюса таково:
Если особая точка z = a однозначной аналитической функции/(г)
не является особой точкой для функции -jj-^, то точка а
называется полюсом функции f{z). Все другие изолированные особые
точки однозначных аналитических функций мы будем называть
существенно особыми точками.
Прежде всего выясним поведение функции в окрестности полюса.
Согласно определению, если точка а — полюс функции f(z), то в
некоторой окрестности этой точки (но не в самой точке а, поскольку
значения f{z) в точке а не существует) имеет место равенство
^ = Cft B - а)" -f с,^1 {Z - а)"^' +... = (^- а)*$ (г; а). A)
(Считаем, что Ck Φ 0.) Согласно равенству A) в некоторой
окрестности точки а можно написать равенство
/(^) = (JZI^ · ~Щ5Г^ == {z-af '^^ (^' '')'
т. е.
/^(^) = 7^^^(^0 + ^1(^-^) + -.-) («о^). B)
Отсюда видно, что ^^0, так как при ^ = 0 точка а не была бы
особой точкой для функции f{z).
Число k будем называть порядком полюса.
Когда точка ζ стремится к полюсу а, функция f(z\ как видно из
формулы B), стремится к бесконечности, причем lim B:—ctf f(z) = a^
z-> а
— конечное число, отличное от нуля. Число k показывает, таким
образом, с какой скоростью стремится к бесконечности функция
в данном полюсе.
Вернемся к равенству B) и запишем его в виде
Ч-1
/(^)—-E^17^+B-0)^-1+ ···+ 2 —Ö "
+ i^Ä+i (^ — α) + ßÄ+2 {z — af-\-...
Отсюда видно, что разность
^^^^ "~~ LB — af + B — 'a)k-^ + ···+ 2 —α J

^ 7 ОСОБЫЕ ТОЧКИ ОДНОЗНАЧНЫХ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 65
разлагается в окрестности точки а в степенной ряд, т. е. не имеет
особой точки при <г = а. Поэтому мы будем говорить, что функция
^(г) имеет в точке а ту же особенность, что и многочлен от
1 I Qfe-i
^[z — aj {z — a)^ ~^[z — a)
Эгот многочлен от будем называть главной частью функции
f(z) в полюсе а.
Заметим, что все сказанное в равной степени относится и к
случаю, когда а = схэ. Тогда только нужно заменить разность ζ — а
па Ijz,
Из равенства B) непосредственно получаем утверждение:
Полюс всегда является изолированной особой точкой.
Заметим, что определение полюса можно дать не только для
однозначных аналитических функций, но и для однозначных ветвей
любых аналитических функций. Именно:
Пусть /о (-г) — какая-либо ветвь в области D аналитической
функции f{z) (т. е. совокупность всех элементов, получаемых из данного
продолжением по любым ломаным, лежащим в области D), и пусть
Э1а ветвь однозначна. Внутреннюю точку а области D назовем
особой точкой однозначной ветви /о (-г), если она будет особой точкой
для какого-либо элемента этой однозначной ветви. Точку а назовем
полюсом однозначной ветви f^{z), если она является особой точкой
Л (г), но не является особой точкой для \jf^{z). Ясно, что -^—г-.
тоже будет однозначной ветвью в области D аналитической
функции 1//(^).)
Определить понятие особой точки для многозначной
аналитической функции намного сложнее. Дело в том, что одна и та же
точка плоскости может быть и особой точкой, и точкой
регулярности для разных элементов многозначной аналитической функции
(например, точка z=\ для функции A-j-|/г)"^). Общее понятие
особой точки многозначной аналитической функции нам не
понадобится, и мы не будем на нем останавливаться, а о простейших
особых точках многозначных аналитических функций будем говорить
β одной из следующих глав.
В заключение заметим, что однозначные аналитические функции
^^огут иметь не только изолированные особые точки. Особые точки
^огут образовывать целую линию. Простейшим примером такого рода

66 ПОНЯТИЕ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ
будет функция
W
{z) = ^z^\
[Гл. 3
Этот ряд, как легко видеть, сходится в круге \z\<^\. С другой
стороны, можно показать, что все точки окружности \ z\ = \ являются
особыми точками для его суммы. Действительно, возьмем
где ρ и q — целые положительные числа, а 0<^р<^1. Тогда
\w
(г)|;з.-|2-"'·| + |Σ^"'>-^ + Σρ'"··
Полагая р->1, видим, что
lim
2ш^
w\pe
:СО.
Следовательно, все точки ^ = ^2^^'/^/^ будут особыми точками для
функции w{z). Но эти точки образуют на окружности \z\ = \ всюду
плотное множество, и поскольку множество особых точек замкнуто,
получаем, что каждая точка окружности \z\ = l является особой
точкой функции w(z).
§ 8. Особые точки многочленов и рациональных функций
Функцию, представляемую всюду сходяпхимся степенным рядом,
называем целой функцией. Используя теорему о существовании
особой точки на границе круга сходимости степенного ряда, можем
заменить это определение другим:
Целая функция — это аналитическая функция, не имеющая
особых точек в конечной плоскости.
Мы уже знаем (см. § 4), что целая функция продолжается в
бесконечно удаленную точку только тогда, когда ряд для этой функции
сердится к одному свободному члену. Поэтому
Теорема 1. Аналитическая функция, не имеющая никаких
особых точек — постоянна.
Если целая функция f{z)=^c^A^CiZ-\-... ограничена при всех
конечных ζ одной и той же постоянной Αί, т. е. если \f{z)\^M^
то, как мы видели во втором примере § 4, ряд для функции f{z)
тоже сводится к одному свободному члену с^. Таким образом:
Гсорема 1*. Ограниченная целая функция постоянна.
(Это утверждение носит название теоремы Лиувилля.)

^ S ОСОБЫЕ ТОЧКИ МНОГОЧЛЕНОВ И РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЧИП 67
Рассмотрим теперь целую функцию f{z), для которой точка со
будет полюсом. Если a^z^ -\-αγΖ^'^ -\-.,,-{- α^_\Ζ — главная часть
функции f{z) в точке со, то для разности
f{z) — (α,ζ^ + «1^^"' + · · · + ^k-i^)
Ю';ка со уже не будет особой точкой. Так как на конечной части
плоскости эта pasiiocrb тоже не имеет особых точек, она должна
бьпь постоянной. Обозначая эту постоянную через а^у получаем
f{z) = a^z^ -\- a^z^-^ +... + α;^.
Иными словами:
Аналитическая функция, имеющая в расширенной плоскости
только одну особую точку — полюс при ζ = οο, является
многочленом.
Рассмотрим теперь рациональную функцию
где многочлены h{z) и g{z) не имеют обш.их корней. Особыми
точками этой функции будут нули знаменателя и при г^п еще точка со.
Если точка z^ — нуль знаменателя, имеющий кратность k, то
g{z) = {ζ — ζ/ gl (ζ), где ^1 (^о) ^ О, и
h{z) 1_
' {z — z,fg,{z)— {z — z,)k
^^W = 77Zrzb^=77=:7^^*(^; ^о)>
где ^.^ {z\ ^о) — степенной ряд с отличным от нуля свободн1>1м
членом (так как h (^о) т^ О в силу условия, что числитель и знамена-
К'ль не имеют общих корней). Следовательно, точка z^ является
полюсом порядка k для функции w{z). Столь же легко показывается,
410 при г^п точка со является полюсом порядка г — п. Итак:
Рациональная функция имеет своими особыми точками
только полюсы.
Сейчас докажем, что справедливо и обратное:
Теорема 2. Однозначная аналитическая функция f{z),
имеющая своими особыми точками на всей расширенной плоскости
только полюсЫу—рациональная функция.
Если все особые точки функции — полюсы, то число их
обязательно конечно, так как в противном случае множество полосов имело
^^Ь1 предельную точку, которая, согласно доказанному в § 7, не мог-
•^а бы быть полюсом. Обозначим эти полюсы через Ζχ, ζ^, .... Zj.,
а главные части функции f{z) в этих полюсах через g^ -;—ζ—)
(^сли Ζ/^ = οο, то ζ — ζ^ заменяем, как обычно, на \ιζ\ Функция
/(^) -~ ^1 (τ-ΣτΛ — ^^^ — gr

68 ПОНЯТИЕ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ [Гл. 3
будет однозначной аналитической функцией, не имеющей особых
точек, так что она равна постоянной С. Следовательно,
/ω = ^ι.-^^Η-··· + &(τΊΓτ) + ί^·
Полученное равенство доказывает не только наше утверждение, но
и возможность разложения рациональной функции на сумму
простейших дробей.
§ 9. Некоторые теоремы о регулярных функциях
В § 2 мы ввели понятие регулярной функции и показали, что
любая функция, регулярная в некоторой области, является регулярной
ветвью некоторой аналитической функции. Работая с аналитическими
функциями, во многих случаях бывает удобнее всего выделять
регулярные ветви и работать с ними. Поэтому выведем ряд свойств
регулярных функций.
Напомним, что функция w {ζ) называется регулярной в области D,
если она определена в этой области и в окрестности каждой точки
этой области разлагается в сходящийся степенной ряд. На основании
правил действия со степенными рядами непосредственно получаем
следующее утверждение:
1. Если функции Л (г), ..., fk{z) регулярны в области D, то
любой многочлен (с постоянными коэффициентами) от этих
функций тоже является с/оункциеи, регулярной в области D.
2. Пусть Ра — бесконечное множество различных точек
области D, имеющее предельной точкой внутреннюю точку z = a
этой области. Если функция f(z), регулярная в области D,
обращается в нуль в точках множества Р^, то f(z)^0.
Действительно, степенной ряд ^|s (ζ; а), представляющий функцию
f{z) в окрестности точки а, по теореме единственности равен нулю
тождественно. Следовательно, тождестве1П10 равна нулю и аналитическая
функция, состоящая из всех продолжений этого ряда, а значит, и
любая ее ветвь, в частности f{z).
2*. Если функции fi{z) и U{z) регулярны в области D и если
во всех точках множества Р^ (описанного в 2) выполняется
равенство f^{z)=U{z\ то fi{z)^f^(z).
Действительно, согласно свойству 2, разность этих двух
функций — тождественный нуль.
2**. Если функции fi(z), ..., fk{^) регулярны в области D и
если некоторый многочлен Q(fi(z)y ..., fki^)) обращается в нуль
в точках множества Р^, то Q{f\{z)y ..., 4(^))^0.
Заметим, что в качестве множества Р^ можем взять, например,
некоторую окрестность точки а или сколь угодно малый участок
какой-либо кривой, проходящий через точку а.

^ 101 ТЕОРЕМЫ ВЕЙЕРШТРАССА О РЯДАХ 69
Если функция f{z) регулярна в области /), то в некоторой
окрестное ги любой точки αζ^ό имеем f(^z) = ^{z\ а). Поэтому, согласно
результатам § 7 гл. 2,
Таким образом:
3. Функция f(z), регулярная в области D, имеет в каждой
точке этой области производную f( ζ). Функция f (ζ) тоже
регулярна в области D.
Применяя это утверждение повторно, получаем
3*. Функция f(z), регулярная в области D, имеет в каждой
точке этой области производные всех порядков, которые тоже
будут функциями, регулярными в области D,
Из равенства
f(z) = φ (ζ; a) = Co-\- c^ —η \- с ^ ^ '
получаем
Полагая в последнем равенстве z = a, видим, что f^^^^ {а) = Сп.
Поэтому ряд
сходится к функции f(z), регулярной в области D, в окрест^
ности любой точки а ζ D, (Теорема Тейлора.)
Комбинируя утверждения 2** и 3*, получаем
4. Если функции /ι(ζ),,.., fk(z) регулярны в области D и если
алгебраическое дифференциальное уравнение
Qifv fv ...>А /2> ..о ^ л...) = 0
удовлетворяется в точках множества Р^, то
Qifv fv ···> и f^y ...» fky fky ...) = 0-
§ 10. Теоремы Вейерштрасса о рядах
Пусть дана бесконечная последовательность степенных рядов ^^ {ζ)
4>2(г), ..., и пусть радиусы сходимости всех этих рядов больше
некоторого положительного числа р. Обозначим через К круг \ζ\<^^. Все
Ряды сходятся внутри и на границе этого круга.
Теорема 1. Если на окружности круга К ряд ^1(^)-+-
"b^(^)-j-,,, равномерно сходится, то в каждой внутренней

70 ПОНЯТИЕ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ [Гл. з
точке круга К имеет место равенство
где ^ {ζ) — степенной ряду полученный формальным сложением
степенных рядов в левой части равенства.
Пусть
со
k = 0
Теорема утверждает, что ряды
^. = 4^' + 4^' + ^i?4l·...
при любом ^ = 0, 1, 2, ... сходятся и что ряд
оо
о
сходится в каждой внутренней точке круга К, а его сумма равна
Поскольку ряд с общим членом ф,г(-г) равномерно сходится на
окружности круга К, для любого ε^Ο существует такой номер Ν,
что неравенство
удовлетворяется в каждой точке ζ окружности круга К при любом
//2^0, если только η^Ν. Из написанного неравенства на основании
теоремы § 9 гл. 2 получаем, что
-i- (А: = 0, 1, 2, ...). A)
Поэтому ряды c^k -\-c?i^ ^c'k -\-. .. = Cf^ сходятся при любом Ä = 0,
1, 2, ... Если обозначить
то можем, кроме того, утверждать, что при n^N выполняются
неравенства
Возьмем точку ζ внутри круга X. Тогда [ ^: | = pi <^ р, так что ряд
rrl^iii (^ = 0,1,2,...). B)
г
2 (f У* +... + 4">) ζ" = %\ (ζ) ^...-^ % (ζ)
сходится. При п^N сходится также и ряд
со

.^ ,01 ТЕОРЕМЫ ВЕЙЕРШТРАССА О РЯДАХ 71
1100
в силу 11еравеиства B) этот ряд мажорируется сходящимся рядом
Р1
о ^
<311епиД110, что
k
^\ 9 1 1-Ρι/ρ·
ΐα(^)Ι
1—Pi/p *
Поэтому ряд
со
2с,е2* = %^г B) + · · · + %^п (Z) + εΐ„ (ζ) = 4.Ϊ (г)
о
тоже сходится при выбранном значении ζ и при п^N имеет место
неравенство
из которого в силу произвольности ε получаем, что
^(ζ)=^%\(ζ)-\-%\(ζ)^...
Тем самым теорема полностью доказана.
Теорема, очевидно, легко переносится на ряды по степеням ζ — а
(или \/ζ).
Or теоремы для степенных рядов уже без особого труда можем
перейти к теореме для регулярных функций:
Теорема 2. Пусть срункцип Д(-г), ^=1, 2, ,,,, регулярны
в области D, и пусть ряд
/^B)=/,(г) + Л(г) + ... C)
равномерно сходится в этой области. Сумма этого ряда тоже
oyöcfu срункцией, регулярной в области D. При этом ряд C) можно
почленно дифференцировать, т. е, при любом целом k в каждой
точке области D справедливо равенство
Я'^)(г) =/(/^)(^)+ /-(^)(^) + ...
Лля доказательства возьмем произвольную точку а ζ D и
обозначим через К круг с центром в точке а, лежащий в области D вместе
с ^мо границей. На окружности этого круга ряд C), очевидно,
равномерно сходится. Согласно теореме Тейлора (см. § 9) в круге К
^ на его границе справедливы равенства
/„ (г)=Л (а) + -^ /„ (а) + +^ Л (а) +...
^поэтому в силу доказанной выше теоремы сумма ряда C) представ-
■^яется в круге К степенным рядом
Σ ^-.¾^. D)

72 ПОНЯТИЕ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ [Гл.
где с/г=Д*Ч^)+Л^Ч^) + · ·· Следовательно, функция F(ζ) регулярна
в области D, так как точка а — произвольная точка D.
Сравнивая разложение функции В (ζ) в ряд Тейлора
F(^) = F(a) + ^F'(a) + ^^^ Г'(«) + ...
С ее разложением в степенной ряд D), видим, что
Я*)(а)=/(*)(а)+Д*Ч«) + ·.·
Тем самым теорема полностью доказана.
Доказанную теорему мы будем в дальнейшем называть теоремой
Вейерштрасса о рядах регулярных функций.
В качестве примера использования теоремы Вейерштрасса мы
докажем сейчас следующее утверждение:
Теорема 3. Пусть функция f{z) регулярна в области Di
и пусть значения, принимаемые ею в этой области, лежат
в круге сходимости степенного ряда ^^ {ζ) = с^-\- c^z -^c.iß^ ~\~· --
Тогда функция оо
F{z) = ^c,[f{z)]'' E)
О
тоже регулярна в области D и последнее равенство можно
почленно дифференцировать любое число раз.
Для доказательства возьмем какую-либо замкнутую часть Di
области D. Значения, принимаемые функцией f{z) на замкнутом мно
жестве Di, образуют замкнутое множество, лежащее внутри круга
сходимости ряда ^4? (-г). Поэтому ряд E) равномерно сходится на
множестве D^. В силу теоремы Вейерштрасса сумма ряда E) будет
регулярной функцией во внутренних точках множества D\ и ряд
можно почленно дифференцировать во внутренних точках этого
множества. Поскольку множество D^ — это любая замкнутая часть
области D, его можно выбрать таким образом, чтобы любая заданная точка
области D была внутренней точкой множества D^. Теорема доказана
В частности:
Если функция f{z) регулярна в области Д а ряд
^5(^)= Со+ ^1^+ ^2^^ + ...
сходится во всей конечной плоскости, то сумма ряда
F (ζ) = Со + cj(z) + с, [f{z)f +...
тоже будет функцией, регулярной в области Z), и последний ряд
можно дифференцировать любое число раз.

Глава четвертая
ИССЛЕДОВАНИЕ ОСНОВНЫХ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
§ 1. Экспонента
Найдем аналитическую функцию, для которой ее производная
совпадает с нею самой. Пусть
$(z; а) = ^с
(z~a)^
о
— какой-либо элемент этой функции. По условию ряд
о^// ч ^ {^ — (^)"^~^ sr^ (ζ— а)"'
φ {ζ; а) = ^с„ ' ' = 2 cn^i Sir-
1 ^ '^ 0
должен совпадать с рядом φ {ζ; а). Для этого необходимо и
достаточно, чтобы при всех п = 0, 1, 2, ... выполнялись равенства Сп^1 = с,гу
т. е. чтобы все коэффициенты с^ были равны между собой.
Обозначая через с общее значение всех коэффициентов, получаем
Щг; a)^c^SE^. A)
О
Эюг степенной ряд сходится всюду (см. один из примеров § 2 гл. 2).
Следовательно, он определяет целую трансцендентную функцию.
Таким образом:
Аналитическая функция, производная которой совпадает с
^^ю самой, существует. Она является целой трансцендентной
функцией и определяется с точностью до умножения на
произвольную постоянную. Разложение этой функции в степенной ряд
"о степеням ζ — а имеет вид A).
Постоянный множитель выберем таким образом, чтобы элемент
^^зшей функции, отвечающий точке α = О, имел вид 1 + тт + -91- +
г -т^ ■+·... Такую функцию, определенную уже полностью,
обозначим
через ехр ζ или е^.

74 ИССЛЕДОВАНИЕ основных ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ [Гл. ^
С каждой точкой а связано по формуле A) некоторое значение
Су зависящее от а. Это значение с можно определить из равенства
ехр z = c{d)^
{ζ — ay
п\
о
которое запишем в виде exp{z-\-а) = с {а)ехр ζ. Полагая в послед*
нем равенстве ζ = 0, находим, что с (а) = ехр а, так как ехр @)=1.
Следовательно, функция ехр ζ удовлетворяет функциональному
уравнению
ехр (ζ -\-а) = ехр а · ехр ζ. B)
Это функциональное уравнение можно записать в более симметричном
виде
ехр (ζχ -\- 2-2) = ехр Ζι · ехр ζ^^.
Применяя функциональное уравнение несколько раз, получаем, что
ехр {Zi-\-Zc^-\-. ..-\-Ζη) = ехр Ζχ · ехр Zc^-.. ,· ехр z^-
Считая в последнем равенстве все числа z^ равными единице,
находим, что
ехрА2 = (ехр 1)". C>
Далее, полагая в равенстве B) а = — z^ мы видим, что 1 =
= ехр ζ · ехр (— -г), т. е.
ехр(—-г)= .
^^ ^ ехр 2
Значит, равенство C) имеет место и для целых отрицательных
значений п. Поскольку
expl = l-|--^ + -2,--}--y-f ... = ^,
мы видим, что определенную нами функцию довольно естественна
обозначать е^, так как при любом целом η она равна числу е,
возведенному в степень п.
Функция ехр ζ или е^, определенная выше, называется экспонент-
той или показательной функцией.
Подытожим найденные выше свойства показательной функции:
1. Во всей комплексной плоскости справедливо разложение
И ' 21
-^=1+-4^ + 4^+--
Поэтому функция е^ является целой трансцендентной функнией, имею·
ш.ей единственную особенность — суш.ественно особую точку в
бесконечности.
2. Функция е^ удовлетворяет соотношению —г- е^ = е^

^ 21 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 75
3. Для любых двух значений Zi и z^ имеет место равенство
:e^i-e^-. Это свойство называется теоремой сложения для
€~
\ ^2
показательной функции.
4. Поскольку из теоремы сложения следует, в частности, что
ί?' = —г^, функция е^ при любых ζ имеет значение, отличное от нуля.
Иными словами, функция е^ не имеет нулей во всей комплексной
плоскости,
§ 2. Тригонометрические функции
Напишем равенство
jz_. . i^ ■ {izf , {ιζγ ,
^ — ^ Π^ 11 12! '31 Π-···»
справедливое при любом комплексном ζ и запишем правую часть
9ioro равенства в виде cos 2'-|-/ sin 2', где через cos <г и sin 2^
обозначены суммы рядов
cos2=l—-|-+-|j- — ... , sin2 = 2 —-|у--[—Jp— ... A)
Так как степенные ряды A) сходятся всюду, то определяемые этими
рядами функции cos ζ и sin 2 — целые трансцендентные функции.
Поскольку, согласно определению, имеет место равенство е^^ = cos ζ -|-
4- / sin Zy то свойства функций cos «г и sin 2 прош.е всего выводить
из уже известных нам свойств показательной функции.
Основные свойства функции cos ζ и sin «г таковы:
1. Имеют место соотношения
--г- sin ζ = cos ζ, --г- cos z = — sin z, B)
dz ' dz ^^
Кроме того, sin 0 = 0, cos 0=1.
Функция sin ζ нечетная, a функция cos ζ четная, т. е. имеют место
равенства
sin (— z) = — sin ζ cos (— ζ) = cos ζ.
Все отмеченные выше свойства очевидным образом получаются
из формул (I).
^. Справедливо соотношение
cos^z-j-sin^2·^ 1. C)
С)ио немедленно получается перемножением равенств
е^^ = cos ζ -\- i sin ζ, e'^^ = cos ζ — / sin ζ,
3. Для функций cos ζ Vi ъ\х\ ζ имеют место следуюпше теоремы
^^-^южения:
sin (ζχ -\- ζ^ = sin Zi cos z^ -\- cos Ζχ sin z^,
cos {zi -f- z^) = cos Zi cos ^2 — sin Zi sin z^.

76 ИССЛЕДОВАНИЕ ОСНОВНЫХ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ [Гл.
Они доказываются с помощью теоремы сложения для показательное
функции
которая записывается через cos zw sin <г в виде
cos {zi -f- Zc^ ± i sin {ζχ -\- z^ = (cos Ζχ ± i sin Ζχ) · (cos z<i ± i sin z^.
Покажем, что функции cos zw sin <г при действительных
значениях ζ совпадают с функциями, обозначаемыми в анализе теми же
символами, т. е. с тригонометрическими функциями.
Для этой цели напишем равенства
^=008 2-, д;= sin <г D)
и будем считать ζ действительным числом. Из равенств A),
определяющих функции cos ζ и sin ζ, видно, что при действительном ζ
значения cos zw Sin 2* тоже действительны.
Поэтому X W у можно считать
прямоугольными координатами некоторой точки
плоскости. В силу формулы C) точка {х, у) при
любом действительном ζ расположена на
окружности х^~\-у^-=\. Значению <г = 0
отвечает точка S{\, 0). Для малых
положительных значений ζ функции cos ζ и ,
как видно из формул A), будут
положительны и близки к единице. Из равенств B)
видно, для малых положительных ζ
функция cos ζ убывает при возрастании ζ, а функция sin ζ возрастает.
При этом точка Р{Ху у) (рис. 15) движется по окружности против
часовой стрелки, начиная от точки S{\, 0), отвечающей значению z = 0.
При увеличении ζ точка должна продолжать двигаться по окружности
против часовой стрелки, так как изменение направления движения
означало бы, что производные функций cos ζ и sin 2: (т. е.
функции — sin <г и cos ζ) в одной и той же точке переменят знаки из
обратные. Это невозможно, поскольку из равенства C) видно, что
функции sin ζ и cos ζ не могут одновременно обратиться в нуль.
Обозначим теперь через φ длину дуги SP (считая, что
— π<^ φ :^ π). Тогда
(аГ=Ш'+Ш'=(-».п.)-+(-.)-=..
откуда находим, что φ = <ε. Таким образом, на рис. 15 величина ζ
равна длине дуги, отсчитываемой от точки vS до точки Р. Эта длина
берется со знаком, зависящим от направления отсчета.
Итак, мы доказали, что при действительных значениях ζ функции
COSZ и sin2: совпадают с тригонометрическими функциями, использу-

^ 3] ЛОГАРИФМ 77
емыми в анализе (и носящими те же обозначения). Это совпадение
позволяет нам утверждать, что cos-у = О, sin-y^l.
Используя эти равенства, легко получаем с помощью теорем
сложения, что
sin ί-г -j-γ)=^ sinzcos-l"-]- cos-^ sin γ= cosz, E)
cos (-г -|- ~) = C0S2' cos γ — sin 2- sin γ == — sin Zy F)
a заменяя в этих равенствах ζ на ζ-\--^, находим, что
sin {ζ -^^)== — sin Zy cos (z -\-τζ) = — cos2'. G)
Заменяя теперь ζ на г-]-π, имеем
sin {ζ -\- 2π) == sin «г, cos(^ -\- 2π) = cos^. (8)
Равенства E)—(8) полезно написать и для показательной функции.
Они принимают вид
е ^ =ie^'y ^^^(^+^) = -^^^ ^/(^+2π)^^ί^^
Очевидно, их можно свести и к более простым равенствам, дающим
значение показательной функции в некоторых точках. Именно:
πί
Равенство (8) и соответствуюише равенство для показательной
функции означают, что
Тригонометрические функции cos г и sin г имеют период 27г,
а показательная функция имеет период 2тЛ.
Мы видели, что при изменении φ от —π до π точка ^^^=cos'f-|-
-j /sin9 пробегает окружность единичного круга один рс-з против
часовой стрелки. Значит, точка р^^"^, где ρ — любое положительное
число, пробегает окружность (тоже один раз против часовой
стрелки) радиуса ρ с центром в нуле. Следовательно:
Любое отличное от нуля комплексное число ζ можно
записать в виде z = pe^'^ (Р^О, —π<^(γ^π) и притом то,:ько
одним способом.
Ясно, что при такой записи ρ — это модуль Zy а φ — аргумент ζ,
§ 3. Логариф.л
Под логарифмом комплексного числа ζ будем понимать
совокупность тех значений w, которые удовлетворяют уравнению
^^ = г. A)
Д-^^я обозначения логарифма будем использовагь символ In ζ.

78 ИССЛЕДОВАНИЕ основных ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ [Гл. 4
Поскольку показательная функция не принимает значений О
и оо , эти значения ζ при рассмотрении логарифма следует исключить.
Пусть задано какое-либо конечное комплексное число «г,
отличное от нуля, т. е. пусть
г = р^'> (Р>0, — π<φ^π).
Если положить w=^u-\-iv, уравнение A) запишется в виде
Отсюда находим
^'^ = р, 6^^^ = е'\
При изменении и от О до -j- аэ величина
монотонно возрастает от 1 до-|-с>э > а в силу равенства ^"=1/^"
величина е^ монотонно убывает от 1 до О , когда и меняется от О
до — сю . Поэтому уравнение ^" = р имеет ровно одно
действительное решение, которое мы обозначим через (In р) (ясно, что (In ρ) = 1η ρ
в том смысле, в котором логарифм определяется в анализе).
Для отыскания всех действительных решений уравнения ^^^ = ^'^
введем величину ί^=^ν — φ . Тогда написанное уравнение примет вид
^^^ = 1. Когда t меняется от О до 2тг точка е^^ пробегает окружность
радиуса 1 с центром в нуле один paj против часовой стрелки.
Поэтому t==2iz является наименьшим положительным решением
уравнения е^^ = \. Обш.ее решение этого уравнения в силу периодичности
функции е^^ с периодом 2π равно ί = 2πη, где η — любое целое
число. Возвращаясь к исходным обозначениям, получаем, что формула
ν = ψ-\~2πη дает нам общее решение уравнения е^^ = е^^.
Таким образом, мы пришли к следуюш.ему уаверждению:
Пусть
Общее решение уравненич е"^ =ζζ имеет вид w = (In ρ) -|- /φ -|- 2πίη,
где (In ρ) = In ρ (логариг';м понимается в том смысле, в котором он
понимается в анализе), а η — любое целое число.
Так как η — любое целое число, то In ζ, определенный нами как
совокупность всех решений уравнения ^^ = 2', — это многозначная
«функция» (слово «функция» понимается лишь в некотором
неопределенно общем смысле), причем число возможных значений этой
«функции» в каждой точке бесконечно.
Решение уравнения e'^' = z, отвечающее значению, равному нулю,
мы назовем главным значением логарифма и обозначим через (In ζ).
(В частном случае, когда ζ — действительно и положительно,
функция (In 2:) совпадает с логарифмом, употребляемым в анализе.) Иначе

^ 3] ЛОГАРИФМ 79
говоря, (In 2") = (In ρ)-[-/φ, где ρ — модуль ζ, а φ — значение arg г,
удовлетворяющее условию —π<^φ^π.
Любое значение логарифма получается из главного значения
прибавлением целого кратного числа 2π/.
Рассмотрим теперь область D, состоящую из всех точек
комплексной плоскости, за исключением точек отрицательной части
действительной (в том числе и точки 2' = 0). Область D может быть
выделена неравенством larg<гK[π. Возвращаясь к функции (In г), мы
видим, что область D является частью области определения этой
функции. Легко видеть также, что функция (In ζ) непрерывна в
области D. Покажем, что эта функция даже регулярна в области D.
Возьмем какую-либо точку а области D. Нам нужно показать,
что в некоторой окрестности точки а имеет место разложение в
степенной ряд
(In ζ) = (In а) -^ c^{z — а) -\- c<^{z — af -^.., у
которое запишем в виде
оо
(In Ζ) = (In а) + φ {ζ- α), ^] {ζ\ ä)=^Ck{z- α)Κ
1
Если такое равенство имеет место, то для достаточно малых \ζ — а\
должно выполняться и равенство
^Aп а) + sp {Z\ α) ::^ ^ ИЛИ ^Ф (^' «) = —
а
Это означает, что
а поскольку в силу теоремы Вейерштрасса о рядах из § 10 гл. 4
это равенство можно почленно дифференцировать, получаем, что
Иными словами, искомый ряд ^? (-г; а) должен удовлетворять
уравнению
оо
%s'{z- а) = \, т. е.2(^+1)с*.ы(^-«)' = |.
О
При \ ζ — CL\<^\a\ имеем разложение
1 1 1 ζ — ^ !__ (^ — ^Υ
ζ α-\-(ζ — а) а а^ ~^ а·'
Поэтому из уравнения для ^] легко находим, что ряд ^Ц^; а)
должен иметь вид
Ψ 1^, öj — ^ 2 a^ ^3 α^

80 ИССЛЕДОВАНИЕ ОСНОВНЫХ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ [Гл. 4
Мы знаем, что ряды ''^ (ζ) и ψ (ζ) сходятся в одном и том же кру,
ге (см. § 7 гл. 2). Поэтому найденный ряд ^4> {^1 о) должен сходиться
в круге \ζ — α I <^ I α I (в чем легко убедиться и непосредственно).
Этот круг обозначим через Ка- Его центр в точке а, а его
окружность проходит через точку 2' = 0.
Покажем, что для всех ζζ-^Κα ряд ^^(-г; а) действительно
удовлетворяет уравнению
β{\η а) + $B-; а) __ ^^ /2^
Для этой цели заметим, что по теореме Вейерштрасса о рядах имеет
место равенство
Дифференцируя это равенство, получаем, что
αψ (ζ; α) {1 + φ {ζ; α) +1 [^ (ζ; a)f +...} = ^4^ί {ζ; α),
или, поскольку ^^^ {ζ; α) = —,
%{ζ; a) = z%r,(z; α).
Пусть
%\{ζ; a) = a-{-b,(z-a)-\-b,iz^af-]-,..
Тогда полученное соотношение для ряда ^]^i (ζ; а) дает нам
a-\-bi(z —а)-\-b^iz~aY-^,..=
= [a-\-(z-a)]{b,-\-2b,{z-a)-\-3b,{z-af-}-...}.
Сравнивая коэффициенты, находим
/71=1, ^ = 0, /?з = 0,...
Это означает, что ^β^ {ζ; а) = а-\-{ζ — α) = 2', и тем самым равенство
B) доказано.
Из равенства B) следует, что для каждой точки ζ ^ Ка имеет
место равенство
(In а) + ^5 {ζ; а) = (In ζ) -\- 2um,
где η — некоторое целое число, вообще говоря, зависящее от
точки Ζ. Покажем, что для точек ζ, лежащих не только в круге /С^, но
еще и в области D, следует брать п = 0. Действительно, в силу
равенства
η{ζ) = ^[{Ιηα)-{-^{ζ; α)-{\ηζ)]
число η (ζ) является непрерывной функцией ζ в общей части круга
Ка и области D (напомним, что In («г) — непрерывная в области D
функция). Поскольку число η (ζ) равно нулю для точки а, то оно
должно быть нулем и во всем пересечении круга Ка с областью D.

§31
ЛОГАРИФМ 81
Итак, мы пришли к следующему утверждению:
Главное значение (In ζ) логарифма в окрестности каждой
точки а области D представляется сходящимся степенным üh-
дом
(In ζ) = (In a) -A -K- -—2-^ + -^ ^^ r^ · · ·
Тем самым доказано, что функция (In ζ) регулярна в области D.
Кроме того, из полученного разложения в ряд видно, что
функция (In ζ) удовлетворяет дифференциальному уравнению
— (In 2') = — .
Если мы устремим точку 2' ^ D к точке — р, лежащей на
отрицательной части действительной оси, то из формулы для (In г) видно,
что предел (In 2) будет равен (In ρ) -[- ^i или (In ρ) — π/ в зависимости
от того, стремится ли точка ζ к точке — ρ сверху или снизу.
Ясно, что функция (In 2) -|- 2иш при любом фиксированном η
тоже регулярна в области D. Обозначим ее fniß)- Покажем, что
функции
...> /-2D /-1D /о D л D л D...
— это регулярные ветви одной и той же аналитической функции.
Для этого достаточно доказать, что при любом целом η среди
продолжений какого-либо элемента ^{ζ\ а)
функции /„ {ζ) имеется какой-либо эле- τ
мет 'Χ^{ζ; b) функции fn^i{z).
Выберем точки а ]а b симметричными
относительно действительной оси, причем
так, чтобы величина Re α = Re/? была
отрицательна (рис. 16). Поскольку ряды
ϊ^ {ζ\ а) и ^? {ζ\ b) имеют круги сходимо- ,
сти ;2-α|<|α| и \z-b\<^\b\ соот-
ветственно, то видно, что при нашем вы- ^"^· ^"·
боре точек а т b эти круги сходимости
будут иметь своей общей частью некоторый отрезок отрицательной
масти действительной оси. Пусть z= —ρ — какая-либо точка этого
отрезка. В этой точке имеем
^{ζ\ α) = AηρL-π/-{-2π^,
φ {ζ\ b) = (In ρ) -- тЛ -\- 2ш (я + 1),
^- е. $(^; а) = ^ (ζ; b). Поэтому в силу § 8 гл. 2 ряды ^ (ζ; а) и
Ψ(^; b) будут непосредственными продолжениями друг друга.
^

82 ИССЛЕДОВАНИЕ основных ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ [Гл.
Следовательно:
Функция \nz является аналитике с к ой функцией, составленной
из бесконечного множества ветвей, регулярных в области D.
Свойства аналитической функции 1п ζ теперь легко вывести из
свойств показательной функции.
Например, из равенства
сразу следует, что выражение In 2^1-]-In ^¾ является одним из
значений In (^1^.2).
Равенство
In Ζχ -|- In ^2 := In B:1^2) C)
следует понимать в так£)м смысле: если In Ζχ и In ^2 — два каких-то
определенных значения из бесконечного множества значений, которые
отвечают этим символам, то In^j-j-ln^^ — это одно из бесконечного
множества значений, отвечающих \\\{ζχΖ:ί).
Если для In Ζχ и In z.i взять главные значения, то это
утверждение принимает более специальный вид:
Пусть
Zχ = pχe^^^ (р1>0, — π<φι^π),
z.2 = pc,e^'^^ (Р2>0, — π<φ2^π).
Тогда
(In Ζχ) -\- (In 22) = (In (ΖχΖ^)) -\- 2π//ζ,
где п = Оу 1 или —\, в зависимости от того, какому из
неравенств
— π < φι -[- φ2 ^ π,
— 2π <^ φι -[- φ2 ^ — '^у
удовлетворяет сумма аргументов φι и φ^ чисел Ζχ и ^2.
§ 4. Степень с произвольным показателем
Если т — целое положительное число, то под степенной
функцией z^ понимают произведение т множителей, равных одной и той же
величине ζ. Для определения степенной функции с произвольным
комплексным показателем следует воспользоваться логарифмом. Именно
При любом ζ ф^ степенную функцию ζ^ определим
равенством
^т ^ ^^ ш ^ ^ 1 _|_ ^ Iji ^ _^ I. [^ Iji ^у2 4- ^ ^ _ A)
Из определения видно, что символу z^ отвечает, вообще говоря

,1 СТЕПЕНЬ С ПРОИЗВОЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ 83
^^сконечно много значений:
^т[Aп г) +2 πί л] _-^т Aп 2:) . ^2πί^ι (п = 0, ±1, ±2, ...).
Так как е"^ ^^" ^) Φ О, то среди перечисленных значений будет
TJJJJ1J1, конечное число различных тогда, когда среди чисел
^Ытп (я = 0, 1, 2,...) B)
имеется лишь конечное число различных. Из равенства ^2т1^т/г__^2;г^т/г'
находим e'^^^^ (« - л') :::=: 1. Это ВОЗМОЖНО ЛИШЬ тогдз, когда т {п — п) —
целое число, т. е. когда т — рациональное число. Обратно, если
ffi = —- — рациональное число (г и s не имеют общих делителей),
то среди чисел B) будет только 5 различных между собой. В
качестве различных 5 чисел можно взять, скажем,
— 2πίη
е' {п = 0, 1, 2,...,5-1).
г
Итак, функция z^^ = z^y где г и s — целые числа, является
s-знаяной функцией.
Главным значением функции z^ называется то ее значение,
которое отвечает главному значению логарифма, т. е. е^ ^^^ ^). Главное
значение функции z^ мы будем обозначать {z^).
В области D, состоящей из всей комплексной плоскости, за
исключением точек отрицательной части действительной оси,
функция (z^) регулярна.
Действительно, в некоторой окрестности любой точки а ^ D имеем
(Ш ^) = (Ina)+ -^ __^___^ ^... = .;!,
так чго
B'") = ^'"<·" ^)=1+^-φ+^45^ + .-- = ^^1(^1 α).
По теореме 3 § 10 гл. 3 сумма ряда, стояидего в правой части ра-
венсгиа, представляет собой ряд по степеням ζ — α, сходяш.ийся в
некоторой окрестности точки а. Тем самым регулярность функции
i^"^) в области D доказана.
Можно определить коэффициенты ряда
%(ζ; a) = c, + c,'^-}-c,[^J+... C)
Дифференцирование равенства, полученного выше, дает
^β'"Οη^) = φ;(ζ; α),
τ· е.
т% {ζ; а) = ζ% (ζ- d) = a{\ \ ^) % (ζ; α).

84 ИССЛЕДОВАНИЕ основных ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ [Гл.
Отсюда находим
оо со
«■2'-Μ"="('+νJ""(^ΐ-')"=
О 1
оо оо
О О
и, сравнивая коэффициенты, получаем соотношение
{п-\-\)Сп^1 = {т — п)Сгг (л = 0, 1, 2,...).
Последовательно определяя коэффициенты из этого соотношения,
получаем, что
т т {т—1) т {т—\) (т — 2)
С\ — -j- с^у с^ — р—2 с^у Сз — J . 2 . 3 ^о> · · ·
Обш.ая формула имеет вид
:)'.· ™ (:)='""-;!.:^"г+"-
Полагая z = a ^ равенстве ^^^^^^ ^) = ^^^i (г; а), находим, что
Таким образом, в окрестности любой точки а области D имеет
место разложение функции {z^) в следующий степенной ряд:
«=<«"·!■+(:)^4(:)('-^r+(:)(i^r+..j.
Все прочие значения степенной функции г^ получаются из ее
главного значения умножением на постоянные множители B).
Тем же способом, что для логарифма, доказываем:
Функция z^ является аналитической функцией, составленной
из некоторого числа регулярных в области D ветвей.
С помош.ью равенства A) можно написать соотношение
2^^2^т -—- ^т\п Zi + min Z^ :::^:^: ρ^η\η{Ζ]_Ζ2)
т. е.
Z^Zf = (^1^.2^.
Последнее равенство следует понимать так: произведение какого-либо
значения z^ и какого-либо значения z^ является одним из значений B^12^2)^^^
В том же смысле следует понимать и равенства
In z^ = m In Zy

г л аба пятая
ИНТЕГРИРОВАНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
§ 1. Равномерная непрерывность и равномерная
дифференцируемость аналитических функций
Мы будем говорить, что функция f{z) регулярна на замкнутом
множестве Е, если она регулярна в некоторой области, содержащей
это множество.
Пусть функция f(z) регулярна на замкнутом множестве Е. Если
а — любая точка Е, то для всех точек ζ из некоторой окрестности
точки а справедливо разложение
/(z)=/(a) + ^/'(a)+^^^V'(a)+ ... A)
Радиус сходимости написанного степенного ряда не меньше
расстояния от точки а до границы области регулярности (содержащей
множество Е\ Нижняя грань таких расстояний по всем точкам а^Е
положительна. Обозначим через ρ некоторое положительное число,
меньшее этой нижней грани, а через Μ — максимум модуля функции
ί(ζ) на множестве, получающемся объединением всех кружков
\ζ — α|^ρ, а^Е (это множество замкнуто и по-прежнему лежит
внутри области регулярности функции f{z\ так что она непрерывна
и ограничена на нем).
При этих обозначениях для любых а^Е \\г окружности \z — α| = ρ
имеет место неравенство \f{z)\^M, Поэтому на основании
теоремы § 9 гл. 2 можем написать неравенства
il/*a)l'SSp- (« = 0, 1, 2, ...). B)
Эти неравенства с фиксированными Жир будут справедливы в
каждой точке а ^ Е. С их помощью получим некоторые оценки,
необходимые нам для дальнейшего.
Пусть а и b — др?е точки нашего замкнутого множества,
удовлетворяющие условию \Ь — ^|<С^<Ср· Положив в равенстве A) z = by

86 ИНТЕГРИРОВАНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ (Гл. 5
лолучим
f^)-fia)^{b-a)na)-\-^^=^ria)-\- ... C)
Ή В силу неравенств B) придем к оценке
Ι/(^)-/(α)ϊ<δ^- + δ^-^+8:.^+...==-¾..
Для любого заданного ε^Ο можно выбрать величину δ^Ο столь
малой, чтобы выполнялось неравенство ä \^· Следовательно:
Если функция f(z) регулярна на замкнутом множестве Е, то
для любого ε ^ О существует такое δ ^ О, что неравенство
\f{b)—f{o)\<^^ справедливо для любых двух точек а и b
множества Еу для которых \Ь — а\<^Ь.
Иными словами, функция, регулярная на замкнутом множестве^
равномерно непрерывна на этом множестве.
Заметим, что этот факт можно было бы доказать и более
обычным путем, сославгиись на теорему о равномерной непрерывности
функции, непрерывной на замкнутом множестве.
Запишем теперь равенство C) в виде
и обозначим для краткости
^ЧЕ^-Г(^) = Ъ D)
Тогда в силу тех же неравенств B) получим
ρ ' р^· ' ·' р(р —δ) ·
Эта оценка дает нам возможность высказать следуюш,ее утверждение:
Если функция f{z) регулярна на замкнутом множестве Ер
то для любого ε^Ο существует такое δ^Ο, что неравенство
\f{b)~f(a)
b — а
По)
<'
справедливо для любых двух точек а и b множества Еу для
которых \Ь — а\ <^ δ.
Поскольку производная функции, регулярной на замкнутом
множестве, тоже регулярна на этом множестве, а значит, и равномерно
непрерывна на нем, то это утверждение можно еще немного усилить:
Если функция f{z) регулярна на замкнутом множестве Et
то для любого ε^Ο существует такое δ^Ο, что неравенство
^4Ξ^-η^-λ<^

^ 31 ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ОТ РЕГУЛЯРНОЙ ФУНКЦИИ 87
справедливо для любых трех точек а, b и с множества Еу для
которых \Ь — а\<^Ь и \с — а\<^Ь.
Свойство, о котором идет речь в последних двух теоремах, есте-
счиенно назвать равномерной дифференцируемостью. Тогда эти
теоремы можно сформулировать в следующем виде:
Функция, регулярная на замкнутом множестве, равномерно
дифференцируема на нем.
§ 2. Интегрирование степенных рядов
Сумма степенного ряда
%s {z\ α) = Со + Ci {ζ — а) -\-c^{z — of -^- ...
является функцией, регулярной внутри круга сходимости этого ряда.
С другой стороны, каждая функция, регулярная внутри круга, может
быть разложена в степенной ряд, сходящийся в этом круге. Поэтому
к вопросу об интегрировании регулярных функций естественно подойти,
определив сначала понятие интеграла для степенного ряда.
По ряду % {z\ а) образуем ряд
^(г; a) = c-\-c,{z-a)-\-\{z--af-\-'j^{z-af-\-...,
где с — произвольная постоянная. Ясно, что производная ^[ (ζ; а) от
ряда ^1^1 (г, а) равна ^jj (z\ а). Поэтому ряды ^] (ζ; а) и φι (ζ; а) имеют
один и тот же круг сходимости.
Ряд φι (ζ; а) мы будем называть неопределенным интегралом
от ряда φ {ζ\ а).
§ 3. Интегрирование производной от регулярной функции
Сейчас нам придется напомнить некоторые определения, связанные
с понятием кривой на плоскости.
Если дано уравнение z = z{t)y a^t^b, где ζ(t) — непрерывная
комплекснозначная функция действительного параметра t, то мы
говорим, что дано параметрическое уравнение кривой. Мы скажем, что
два параметрических уравнения
z = Zi (t), a^^t^ ^1,
и
z = Zo^ (s)y α.2 ^ 5 ^ b^y
определяют одну и ту же кривую, если существует такая непрерывная
монотонная функция s = ^(t), определенная на отрезке ai^f^bp.
Д^1я которой
φ (αϊ) = α^, φ (^i) = Ь.2у z^ (φ @) = ^1 @·

^8 ИНТЕГРИРОВАНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ [Гл. |
Если кривая не имеет точек самопересечениЯу т. е. если
уравнение z{t) = A имеет при любом А не более одного решения на
интервале a<^t<^b (легко проверить, что это свойство сохраняется
при переходе от одного параметрического уравнения к другому), то
она называется простой кривой (или жордановой кривой).
Кривая — это не только геометрическое место точек,
изображаемых ее параметрическим уравнением. Условия равносильности лъух
параметрических уравнений показывают, что переход от одного
уравнения к другому не меняет порядка следования точек на кривой.
Следовательно, задавая кривую, мы задаем множество точек и порядок,
в котором эти точки следуют друг за другом. Если кривая — простая
кривая, то есть лишь один естественный порядок следования точек
(с точностью до противоположного), но для кривых с
самопересечениями это уже не так.
Кривую называют замкнутой^ если ее начало совпадает с ее
концом, т. е. z{a) = z(b). (Ясно, что условие замкнутости не зависит
от выбора параметрического уравнения.)
Пусть нам дана кривая L с началом в точке Лис концом в точке В.
Возьмем на кривой L произвольную конечную последовательность
точек Zi, 2^-2, ..., Zny следующих друг за другом при движении по
кривой. Обозначим через L^ ломаную с вершинами ^ί, Ζη^, ..., г^ (пере-
численными тоже в порядке следования), а через 4 — длину ломаной Ln
Если верхняя грань длин всех ломаных Ln конечна (при любом вы*
боре точек z^ и при любом их числе), то мы назовем кривую L
спрямляемойу а sup 4 — назовем длиной I кривой L.
Для функции f(z) = u(x, y)-\-iv{x, у), заданной на спрямляемой
кривой L, определим интеграл
\f{z)dz
L
равенством
^ f {ζ) dz ^=^ и dx ~ V dy -\- i\v dx -\- и dy.
IL L
Вспоминая определение интеграла по спрямляемой кривой от
действительных функций, можем дать и другое определение:
Интегралом от функции f{z) по спрямляемой кривой L
называется предел интегральных сумм вида
п-\
1;/(^(^/.-ы-^/г).
о
Здесь Zk — точки кривой L, следующие друг за другом в порядке
номеров, причем точка z^ совпадает с началом, а точка z^ — с концом

г 3] ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ОТ РЕГУЛЯРНОЙ ФУНКЦИИ 89
j^piiBOti L; точки С^ лежаг на отрезках кривой L между точками z^
\\ ^k\b предел берется при условии, что max | ^/^^i — Ζι^\ CTpeMinci»«
k
к пулю.
в анализе доказывается, что предел интегральных сумм суще-
cmev^^ ^-^^ любой функции у непрерывной на спрямляемой кривой L,
Докажем сейчас следующее утверждение:
Теорема 1. Пусть f(z) и f\{z) — две функции, регулярные
β области D и связанные соотношением f[(z)=f(z). Если L —
произвольная спрямляемая кривая, лежащая в области Z),
имеющая начало в точке а ^ D и конец в точке b ζ^ D, то
\f{z)dz=f,{b)~f,{a),
L
Поскольку точки кривой образуют замкнутое множество,
лежащее по условию внутри области А функции f{z) и Л (г) регулярны
на кривой L. Согласно последней теореме § 1 это означает, что для
любого ε^Ο существует такое δ^Ο, что неравенства
/■fa..)-/.fa) _д^^I<^, (^ = 0, 1, .... л-1)
будут выполнены при условии, что
max \Zk^^ — ^ J < δ, max | C/e — ^/г |< δ.
k k
Обозначим
τ огда
И, складывая эти равенства, получаем (поскольку Zn = b, а ZQ = a}
/ι Φ) -Л (а) = ^f{r^k) {Zk^i ~ ζ,) + Rn.
о
где
10
Rn = То (^1 — ^о) -|- Τι (^2 — ^l) + · . · + Тп-1 (^/г " ^п-
ΟΙ Rn\^^(:\Z^~z^\-\-\z,~z^\-\-...-\-\Zn~ ζ^_ 1 ') = ε4 ^ ε/,
где ι—длина кривой L (согласно определению длины кривой). Сле·
Донательно,
\и (b)~f{a) - 2 /ω (^.^1 - ζ,) 1 < ε/,
о
^ поскольку число ε^0 произвольно мало, мы получаем
утверждение теоремы.

90 ΗΗΤΕΓΡΗΡΟΒΑΡίΗΕ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ [Гл. S
Доказанная теорема гласит, что величина интеграла не зависит
от выбора кривой, соединяющей точки а и Ь, если только этси
кривая лежит в области регулярности функции Д (ζ).
Из определения интеграла непосредственно следует неравенство
/г-1
\\f{z)dz\^\\mY^ I /(ζ,) 11 z^^, - Zu j.
L 0
Предел в правой части — обычный криволинейный интеграл первого
рода от действительной функции |/(-2^) |, так что это неравенство
можно записать в виде
\f{z)dz\^\\f{z)\\dz\
Обозначая Л1 = тах'/B') |, немедленно получаем очень употребитель-
ную оценку
\f{z)dz
ми
играющую в теории аналитических функций примерно ту же роль,
что и интегральная теорема о среднем в анализе. Иными словами:
Модуль интеграла не превосходит произведения максимума
модуля подинтегральной функции на длину пути интегрирования.
Если начало кривой L совпадает с ее концом, мы получаем
частный случай теоремы об интеграле от производной регулярной функции:
Если срункция fi (ζ) регулярна в области Ζ), а L—любая
замкнутая спрямляемая кривая, лежащая в области D, то
L
Согласно доказанному в § 2 любая функция /(г), регулярная
в круге, является производной некоторой функции /j (г), регулярной
в этом круге. Поэтому:
Если функция f{z) регулярна в круге и спрямляемая кривая L
лежит внутри этого круга, то интеграл
\f{z)dz
зависит лишь от начала и конца кривой L. Если кривая L замк-
нута, то
\f{z)dz=^^.
L
В § 5 МЫ обобщим эту теорему, доказав, что она справедлива
не только для круга, но и для любой односвязной области.

И1
Интеграл
ПРИМЕРЫ
§ 4. Примеры
91
ζ
дает нам пример, важный во многих отношениях.
Пусть D — область, состоящая из всех точек комплексной
плоскости, за исключением точек отрицательной части действительной
оси. Как мы узнали в § 3 гл. 4, функция Aп г) — главная ветвь
аналитической функции In ζ — регулярна в этой области и удовлетворяет
уравнению
dz
(In г):
Поэтому справедливо утверждение:
Интеграл
dz
ζ '
взятый по любой спрямляемой кривой L {с началом в точке а и с
концом в точке Ь), целиком лежащей внутри области Ζ), равен
(In b) — (In α).
Зададимся вопросом, каково будет значение этого интеграла
по спрямляемой кривой L с началом в точке α и с концом в точке by
если эта кривая уже не лежит в
области D,
Ответим на этот вопрос сначала
для простейшего случая, когда
кривая λ пересекает отрицательную
часть действительной оси ровно
один раз, скажем, в точке ζ= — р.
Предположим для определенности,
410 при движении по кривой L от
начала к концу мы переходим через отрицательную часть
действительной оси сверху вниз, т. е. так, как это изображено на рис. 17.
Опозначим через α и β точки кривой L, достаточно близкие к точ-
^^ — ρ и лежаш.ие по разные стороны действительной оси. Для
определенности будем считать, что точка α расположена ближе к началу
^<ривой L (т. е. к точке а). Тогда имеет место равенство
α b
^^+^ ^ = Aπα)-Aηα) + Aη^)-Aη?).
Рис. 17.
Kor
да точки α и β стремятся к точке
имеем
(In α) — (In ρ) -\- π/, Aη β) -> Aη ρ) — π/.

92 ИНТЕГРИРОВАНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ [Гл. 5
Поэтому
^^ = Aη^)-Aηα) + 2π/. A)
L
Если бы кривая L пересекала отрицательную часть действительной
оси снизу вверх, то вместо -{-2π/ пришлось бы написать —2π/.
Рассмотрим теперь путь интегрирования L, пересекающий
отрицательную часть действительной оси в нескольких точках, скажем,
в точках ^1, б\2, ..., s^
(по-прежнему считаем, что начало
кривой L в точке а, а конец — в
точке Ь).
Каждой точке Sf^ поставим
в соответствие число ε^, равное I,
если кривая L пересекает в точ-
Рис. 18. ке Sk действительную ось сверху
вниз, и—1, если кривая L
пересекает ее в обратном направлении. На рис. 18 точкам 5i, s.i, s·^. 54
отвечают числа ει = -|-1, ε.2 = —1, г^ = -\-\у e4 = -f-l. Ясно, что
в описанном случае будет справедливо равенство
|[^^(ΐη^)-Aιΐα)-[-2π/(ει + ε, + ... + ε,).
L
Число ε = ει-|-ε.2-]-.. .-j-ε^ мы будем называть числом обходов
точки г = 0 кривою L в положительном направлении. {Этот те^у[]лп
правильнее употреблять только для замкнутых кривых L, т. е. когда
точка а совпадает с ючкой Ь. Тогда этот термин имеет четкий
геометрический смысл.)
В частности, если L — простая замкнутая кривая, ограничивающая
область, содержащую точку 2^ = 0, то нетрудно показать, что
L
При этом знак плюс имеет место в случае, если направление кривой
положительно, т. е. если при движении по кривой ограниченная ею
область остается слева.
Рассмотрим еще несколько более общий интеграл
/==^-^,
L
где путь интегрирования соединяет точки а v\ b (разумеется, точки а
и b отличны от точки Zq и путь L не проходит через эту точку).

ПРИМЕРЫ
93
Обозначим ζ — -3Ό = ζ. Когда точка ζ движется по кривой I,
точка С движется по некоторой кривой L\ получающейся из
кривой L· параллельным
переносом (рис. 19). Ясно, что
интеграл / равен интегралу
Поэтому:
Обозначим через g луЧу
выходящий из точки z^ и
идущий параллельно
действительной оси в левую сторону
^' ζ (In (^-го))
г dz
J 2: —ί
Рис. 19.
от этой точки. Тогда
- (In (а — 2ό)),
если путь интегрирования L' не пересекает луча g, и
ή?
= (In (Ь ~ Ζ,)) - (In (α - ζ,)) + 2π/ (ε^ + ... + ε,),
.3 ^"^
если путь интегрирования L пересекает луч g в г точках. ЗдесЬу
как и раньше^ s/^ = ±l в зависимости от того, пересекает ли
кривая L луч g в точке s^ сверху вниз или снизу вверх.
В частности, если L — простая замкнутая кривая,
ограничивающая область, содержащую точку Zq, то
(при условии, что направление кривой положительно).
В качестве второго примера рассмотрим интеграл
\(ζ~ΖοΤαζ,
где η—целое число, отличное от —1.
Функция (ζ — Zq)"' является производной функции
функция (ζ — -го)'^'^^ при любом целом η (не равном — 1) имеет во всей
расширенной плоскости только одну особую точку — при п^—1
точку г = оо, а при п<^—1—точку Zq. Во всяком случае, при лю-
^ом η эта функция регулярна в области, состоящей из всей конечной
плоскости с выколотой точкой ^0- Поэтому
b
^ (ζ - ζΧ dz = ^ {{b - z,r^ -{а- z,r^}
а

94 ИНТЕГРИРОВАНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ [Гл. 5
для любого пути интегрирования, не проходящего через точку Zq.
В частности,
\(z — ZoTdz = 0
L
для любой замкнутой кривой I, не проходящей через точку z^.
Подытоживая сведения, полученные при рассмотрении обоих при*
меров, приходим к утверждению:
Теорема 1. Пусть L—любая замкнутая спрямляемая кри-
ваяу ограничивающая областьу содержащую точку Zq. Тогда
интеграл
\{z-z,fdz
L
равен нулю при любом целом п, отличном от —1, α при п==—1
этот интеграл равен 2π/, если направление кривой L положительно^
и — 2π/, если направление L отрицательно.
§ 5. Интегрирование регулярных функций
Теперь мы займемся доказательством теоремы, о которой
говорилось в конце § 3:
Теорема 1. Если функция f(z) регулярна в конечной одно-
связной области D, то интеграл от f(z) по любой спрямляемой
кривой L, лежащей в области D, зависим
только от начала и конца этой
кривой.
Заметим прежде всего, что эта теорема
равносильна следующей:
Теорема 1 *. Если функция f{z)
регулярна в конечной односвязной области D,
то интеграл от f(z) по любой
замкнутой спрямляемой кривой, лежащей в
области D, равен нулю.
Рис. 20. Действительно, пусть мы имеем
замкнутую кривую L и две точки а и Ь, лежащие
на этой кривой. Точки а и b делят кривую L на две части — Li
и 1¾ (рис. 20). Очевидно, что
\f(z)dz = \f(z)dz-^\f(z)dz.
L Li L2
С другой стороны, кривые Li и L^ можно рассматривать как дв^
произвольные кривые, соединяющие точки а и Ь. Правда, при этом
направление кривой L^ следует изменить на противоположное (если
мы хотим, чтобы обе кривые имели начало в точке а, а конец ί

. 5] ИНТЕГРИРОВАНИЕ РЕГУЛЯРНЫХ ФУНКЦИЙ 95
точке Ь). При изменении направления кривой на противоположное
интеграл по этой кривой меняет знак (точнее говоря, умножается
j^,j —1). Поэтому написанную выше формулу можно записать и
несколько в ином виде:
b b
\f{z) dz = (L·,) \ f(z) dz - iU) \ f{z) dz,
L a a
b
рде символ {L)\f{z)dz означает, что интегрирование ведется по кри-
а
ВОЙ L С началом в точке а и концом в точке Ь. Из последнего
равенства немедленно следует наше утверждение о равносильности
высказанных теорем.
В § 3 сформулированные теоремы были доказаны для частного
случая, когда область D — это круг. Сейчас покажем, что обпшй
случай можно свести к этому частному.
Сделаемх несколько замечаний, упрош,аюш,их нашу задачу.
Во-первых, заметим, что кривую L без ограничения обш,ности
можно считать ломаной. Действительно, с каждой точкой кривой L
можно связать круг, внутри которого функция f{z) регулярна. Внутри
этого круга, согласно доказанному в § 3, интеграл зависит только
от начала и конца пути интегрирования. Поэтому участок кривой L,
лежащий в круге, можно, не меняя интеграла по этому участку,
заменить отрезком прямой.
Во-вторых, заметим, что ломаную L можно считать не имеюш,ей
самопересечений, так как, если наше утверждение доказано для лю-
6οίί замкнутой ломаной без самопересечений, то оно доказано и для
любой замкнутой ломаной. Действительно, пусть мы имеем интеграл
по какой-либо замкнутой ломаной L. Пойдем по ломаной L,
отправляясь от какой-либо ее точки, и будем идти до тех пор, пока не
попадем в точку, где мы уже были. Участок Li ломаной L между
первым и вторым попаданием в нашу точку — замкнутая ломаная, не
имеющая самопересечений. Отделяем от ломаной L «петлю» Lx и
движемся дальше. С помощью такого процесса разбиваем интеграл
по ломаной L на сумму интегралов по «петлям» L^. Если интеграл
по каждой петле равен нулю, то равен нулю и интеграл по всей
ломаной L,
Итак, пусть L — замкнутая ломаная без самопересечений. Она
ограничивает некоторый многоугольник Р. Поскольку область D ко-
^t'nia и односвязна, многоугольник Ρ обязан лежать внутри области
Д если его граница L лежит внутри этой области (в противном
^•^1учае граница области не могла бы состоять из одного связного
замкнутого множества). Интеграл от нашей функции f{z) по границе
^пюгоурольника Р, взятый в положительном направлении, мы обозна-
^^м для краткости символом (Я). Как мы убедились выше, достаточно

96
ИНТЕГРИРОВАНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
ίΓ-π.
Рис. 21.
доказать, что для любого многоугольника Р, лежащего в области D,
имеет место равенство (Р) = 0.
Пусть Pi и Р2 — два многоугольника, имеющие общую сторону^
но не имеющие общих внутренных точек (рис. 21). Обозначим через
^1 + ^2 многоугольник, состоящий из точек
входящих в Pi или Рз (включая их гра.
ницы). Тогда справедливо равенство
(Р,)-^(Р,) = (Р,-1-Р,),
Действительно, части интегралов, взятые по
общей стороне многоугольников Pj и Р^
взаимно уничтожаются, так как направление
этой общей стороны в Pj противоположно
ее направлению в Pj (в первом случае слева
остается многоугольник Pj, а во втором —
многоугольник Рд).
Из этого простого соображения мы можем сделать важный вывод.
Если многоугольник Ρ можно разбить на сумму многоуголь^
никое Ply Pq, ..., Ρ η, для которых (Pi) = (Р2) ==. .. = (Ρ J = О,
то и (р) = 0.
Однако такое разбиение легко осуществить для любого
многоугольника Р, лежащего в области D, поскольку мы знаем, что для
любого достаточно малого многоугольника Р^ заведомо имеет место
равенство (Pj^) = 0 (многоугольник Р^ достаточно мал, если он лежит
внутри круга, в котором функция f{z) регулярна). Разбиение
многоугольника Ρ на достаточно малые прямоугольники можно осуществить,
скажем, разрезав его на части прямыми,
параллельными осям координат, как это показано на
рис. 22.
Тем самым доказательство теоремы,
сформулированной в начале этого параграфа, закончено.
После того как мы доказали, что значение
интеграла
]f(Qd(.
Рис. 22.
не зависит от выбора кривой L, соединяющей
точки Zq и ζ и лежащей внутри области D, мы
покажем, что этот интеграл является регулярной функцией своего
верхнего предела ζ.
Пусть а — произвольная точка области D. Если точка ζ лежит
внутри круга с центром в точке а, лежащем внутри области D, то
функция f(z) разлагается в ряд
/(^) = Cq-\- ci(z — а) -{- cc^{z — af -\-.,.

^ 0] ТЕОРЕМА КОШИ И ЕЕ ВИДОИЗМЕНЕНИЯ 97
II в силу доказанного в §§ 2 и 3 имеет место равенство
ζ
а
Кривую интегрирования, соединяющую точки ζ^ и ζ, можно
выбрать проходящей через точку а. Тогда мы можем написать
ζ а ζ
j/(Qrf;=^/(C)ö!C+5/(C)rf: =
zo ^0 а
^c-\-c,{z-ä)^^(,z~af-^..., A)
а
где постоянная с равна ^ /(C)i/C
ζ
Равенство A) показывает, что функция \/(ζ)ί/ζ регулярна в
области D.
^^б-уш f\{z) и А (ζ)—регулярные в области D функции, для
которых }[ {ζ) =/2 {z)y то /j (z) = f^ (ζ) -j- const.
Действительно, в окрестности какой-либо точки a^D напишем
разложение
A{^)~A{z) = k + k,iz-a) + k,(z-^af-\-...
Поскольку производная левой части этого равенства равна нулю,
мы получаем, что ki = 0, k,2 = 0, . ..у т. е. что /j (ζ) —/¾ (ζ) = ^ во
всей окрестности точки а. По теореме единственности /ι (ζ) — /2 {z)^k.
§ 6. Теорема Коши и ее видоизменения
Доказанная в § 5 теорема:
Интеграл от функции, регулярной в конечный односвязной
области, по любой замкнутой спрямляемой кривой, лежащей
в этой области, равен нулю
носит название теоремы Коши по имени впервые доказавшего
эту теорему французского математика.
Теорема Коши благодаря ее многочисленным применениям
является одним из наиболее фундаментальных результатов в теории
аналитических функций.
прежде чем переходить к приложениям, сделаем несколько
замечаний по поводу самой теоремы Коши.
Пусть область D не является конечной односвязной областью,
^^ассмотрим в области D простую замкнутую спрямляемую кривую L·.
^io известной теореме Жордана такая кривая ограничивает некоторую

98
ИНТЕГРИРОВАНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
[Гл. 5
область Е. Если эта область Ε вместе со своей границей —
кривой L· — лежит в области D, в которой регулярна функция f{z), то
\f{z)dz = 0.
Рис. 23.
Действительно, мы можем окружить область Ε достаточно близко
прилегающей к ней кривой V (рис. 23) таким образом, чтобы
функция /(г) была регулярна в области,
ограниченной простой замкнутой кривой Ü.
Область Е\ ограниченная кривой L', односвяз-
на, а кривая L лежит внутри области Е\
Применяя теорему Коши, видим, что
интеграл — нуль.
Таким образом, можно предложить
следующую видоизмененную формулировку
теоремы Коши:
Если простая замкнутая спрямляемая
кривая L ограничивает область, внутри η
на границе которой функция f(z) регулярна, то интеграл от
f(z) по L равен нулю.
Пусть теперь (я-]-1)-связная область Q ограничена п-\-\
простыми замкнутыми спрямляемыми кривыми L, Lj, L.^, ..., L^- Иными
словами, область G—это односвязная область
(ограниченная кривой L), из которой вырезаны
области, ограниченные кривыми L^ (см. рис. 29).
Граница области Q состоит из совокупности
кривых L, Lp L<2, ..., Ln. Положительным
направлением обхода границы по-прежнему будем считать
то направление движения по границе, при
котором область остается слева (на рис. 24
положительное направление показано стрелками).
Обычно интеграл по границе области будем
считать взятым в положительном направлении.
Если же мы захотим подчеркнуть направление обхода или указать
на обратное направление обхода, будем писать
Рис. 24.
5 f(z)dz или J f{z)dz.
1 +
В частности, обозначив области, ограниченные каждой из кривых
L, Lj, L^y ..., Ln через D, Di, 0^> ..., Dn соответственно, и
используя для границы любой области В обозначение дВ (при этом,
очевидно, L = dD, Li = dD\, ..., Ln = dDn)j можем написать
\f{z)dz=-- 5 fiz)dz-{~ ι f{z)dz + .,.+ ι f\z)dz.
ÖG
ÖD+
ÖDt
ODn

§61
ТЕОРЕМА КОШИ И ЕЕ ВИДОИЗМЕНЕНИЯ
99
Мы докажем сейчас следующую теорему:
Если Q — конечная область, ограниченная конечным числом
замкнутых спрямляемых простых кривых, и если функция f(z)
регулярна в замкнутой области Q, то
\ f(z)dz = 0.
dG
Для наглядности доказательства ограничимся случаем,
изображенным на рис. 25, когда область G ограничена тремя кривыми L,
1^ и Lj' Соединим кривую L с кривыми Li и L^, а те — между
собой тремя спрямляемыми простыми кривыми, лежащими в области G
Рис. 25.
Рис. 26.
и не имеющими общих точек. При этом область Q окажется
разрезанной на две односвязные области Oj и О^. Согласно отмеченному
выше видоизменению теоремы Коши
jj f(z)dz = 0, \ f(z)dz = 0,
до ι 00-2
а значит равна нулю и сумма этих интегралов. Но
jj f(z)dz~\- \ f(z)dz= \ f(z)dz,
дО+
дО+
dG
так как интегралы по общим частям границы областей Gj и 0^
беру ι ся в противоположных направлениях. Теорема доказана.
Рассмотрим enie частный случай, когда Q—двусвязная область,
ограниченная лишь двумя кривыми L и L] (рис. 26). Тогда, согласно
Доказанной теореме,
If (ζ) dz Л- 5 f(z)dz = 0,
т. е.
^f^z)dz= \f{z)dz.
L+
^тот факт можно сформулировать так:
Если конечная область Q ограничена двумя простыми спрям-
^^^емыми замкнутыми кривыми, а функция f(z) регулярна в

100 ИНТЕГРИРОВАНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ [Гл. 5
замкнутой области Q, то интегралы от f(z) по любой из этих
кривых (взятые в направлении, положительном относительно
внутренности этих кривых) равны между собой.
§ 7. Следствия из теоремы Коши. Теорема Лорана
Пусть функция f(z) регулярна в замкнутой односвязной
конечной области Е, ограниченной замкнутой спрямляемой простой
кривой L·. Если Zq — какая-либо внутренняя точка области Е, то функция
определенная в области Ε всюду, кроме точки Zq, будет регулярна
в этой области, если ее надлежаидим образом доопределить в точке Zq.
Действительно, функция f(z) разлагается в окрестности точки Zq
в степенной ряд
f(z) = CQ-\-Ci(z — Zq) -\-c^(z~ zof -{-...
Поэтому для всех точек этой окрестности, кроме самой точки Zq,
имеет место равенство
g(^) = ci-^c^(z — Zo) -\-c^{z — Zof +...
Если доопределить функцию g(z) в точке ^о равенством
g(^o) = Ci=f{Zol
то функция g{z) будет представляться написанным рядом во всей
окрестности. Регулярность функции g{z) в остальных точках
области Ε очевидна, так как g{z) — отношение двух регулярных функций
и знаменатель обращается в нуль лишь при ζ = z^^.
Следовательно, по теореме Коши
\g(z)dz = 0.
дЕ
т. е.
Ve^-f^-Л^г-
L L
В § 4 МЫ показали, что множитель при /(Zq) равен 2π/. Поэтому
Слегка изменим обозначения. Обозначим переменную
интегрирования через С, а точку ^ό — через ζ. Тогда полученная формула
примет вид
L

§^1
CЛLДCτBИЯ из теоремы КОШИ. теорема ЛОРАНА
101
Эта формула показывает, что можно вычислить значение функции
f(^z) в любой точке, лежащей внутри области, если известны значения
функции f{z) на границе этой области.
Пока это утверждение доказано нами для односвязной области,
110 его легко обобщить и на многосвязные области, если
использовать последний вариант теоремы Коши из § 6:
Ί еорема 1. Если функция f(z) регулярна в замкнутой
конечной области Q, ограниченной конечным числом замкнутых
простых спрямляемых кривых, то для любой внутренней точки ζ
области Q имеет место равенство
I ^ /(С)
öQ
-dl.
B)
Формула B) носит название
интегральной формулы Коши.
Сейчас приведем одно интересное
приложение интегральной формулы
Коши.
Пусть R — кольцо между двумя
окружностями с центром в точке а, и
пусть функция f{z) регулярна в этом
кольце. Возьмем любую точку ζ внутри Рис. 27.
этого кольца и построим новое
концентрическое с R кольцо, содержаш^ее точку ζ внутри себя, но лежащее
строго внутри кольца R. Через Ιγ и Ζ.2 обозначим окружности,
ограничивающие новое кольцо (рис. 27). Поскольку граница нового кольца
состоит из окружностей Li и L^, причем положительное направление
обхода границы кольца будет положительным обходом окружности
(по отношению к ограниченному ею кругу) на L^ и отрицательным
обходом окружности на L^, то по формуле B) f{z) = fi{z)-\-f^(z),
где
ш-к\Ч
mji
Если точка ζ лежит на Lj, то \z — α | <^ | ζ — α |, т. е.
с_.|--^- C)
Число kl не зависит от положения точки ζ на окружности Lp так
ί<3κ величина | С — а\ равна в этом случае радиусу окружности Li.
Напишем равенство
1
(z~a)
ζ {ζ — α)^(ζ — α)~ί — α ' [i — af
3+..·
(z~-a)'^
l^äj^ "Γ (ζ-~ο)'»(ζ—г;) '
@—-β)«

102 ИНТЕГРИРОВАНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ [Гл.5
1
подс1авим полученное выражение для -ζ в интеграл по Ij и про-
интегрируем почленно. Это даст нам формулу
/iW = ^o + ^i(^ —о)+ ^-2(^-«)' + ...+ ^-1(^-«Г'+ гЛг),
где обозначено
с — JLf _Z1^1_^ и\
Li
"^ ^ 2πί J \ζ — а Ι ζ —ζ
При η-^οο остаточный член r^ {ζ) стремится к нулю. Действительно,
оценивая интеграл (см. § 3) произведением максимума модуля подин-
тегральной функции на длину пути интегрирования, получаем, что
k.^l^i'^rmaxK^^^
•A.
^6
a в силу неравенства C) ^^ —> 0. Следовательно,
Заметим, что, поскольку функция f{z){z — а)"^'^ регулярна в
круговом кольце, заключенном между окружностью Li и любой другой
концентрической окружностью, лежащей в кольце R. мы можем в силу
последнего замечания § 6 взять в формуле для Cj^ в качестве контура
интегрирования любую окружность, лежащую в кольце R. Из этого
замечания следует, в частности, что величины с^^ не зависят от
выбора точки z^R.
Разложение E) показывает, что функция fi{z) регулярна в круге,
ограниченном большей окружностью кольца R.
Рассмотрим теперь функцию
1 f/(CN?C
Uz):
2πί J ζ — ζ
Отметим сначала, что для всех точек С, расположенных на
окружности L^y имеет место неравенство
Подставим в интеграл для U{z) следующее выражение для :
ζ —2~2~ö ' B —ö)^"! •••"^ {ζ —а)"- ~ΓB__ο)«(ζ_;2) ·
Тогда получим

^ 7] СЛЕДСТВИЯ ИЗ ГНОРЕМЫ КОШИ. ТЕОРЕМА ЛОРАНА 103
(де обозначено
^-"^i^ilfCOi^-af-'dr. F)
'^"^^^ 2πί 3 [z — aj ζ—г ·
При я—>-схэ остаточный член r'„(z) стремится к нулю, что дает нам
формулу
В интеграле F), определяющем коэффициенты с_^, тоже можно
заменить окружность Li любой концентрической с нею окружностью,
лежащей в кольце R.
Разложение G) показывает, что функция f^{z) регулярна вне
круга, ограниченного внутренней окружностью кольца R. Заметим
еще, что формулы для коэффициентов Cf^ и c_f^ совпадают.
Действительно, формула F) получается из формулы D) заменой ^ на — k.
Таким образом, мы пришли к следующей теореме:
Теорема 2. Если функция f{z) регулярна в круговом кольце
., г<|г —αΐ</? (г^О, /?<со),
то для нее справедливо разложение в ряд Лорана
оо
f{z) = ^cu{z-af, (8)
—ОО
сходящийся в этом кольце.
Члены ряда (8) с положительными показателями образуют
ряд, сходящийся в круге \z — α | <^ /?, а члены с отрицательными
показателями —ряд, сходящийся при \ζ — а\^г.
Для коэффициентов ряда (8) справедлива формула
'^^h\ ^(^^ ^^ - ^^~'~' ^^ (А^ = О, ±1, zb2, ...). (9)
-β частности.
L+
^-' — 2πί
1^. ^/(С) ^С. A0)
Эта теорема называется теоремой Лорана.
Основываясь на результатах § 9 гл. 2, мы докажем сейчас еле-
^Уюпше утверждение:
Функция f(z), регулярная в данном круговол1 кольце
Γ<μ-~α|</?,

104 ИНТЕГРИРОВАНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ [Гл.5
может быть разложена в ряд Лорана (8) лишь единственным
способом.
Действительно, пусть
оо оо
У^(^) = Σ 'η{ζ - af. f{z) = Σ^η{ζ - аГ
Тогда
0 = Σ('η-αη){ζ~α)\
Ряд в правой части последнего равенства сходится в нашем круго·
вом кольце к функции, регулярной в этом кольце и равной в нем
нулю тождественно. На любой окружности \ζ — α|=ρ,
расположенной внутри кольца, максимум модуля нашей функции равен нулю.
Если положить в упоминавшейся уже теореме § 9 гл. 2 Λί = 0, мы
получим, очевидно, \Сп — dn\p"'^0, откуда следует, что Cn = dn
при всех я = 0, Ч;^1, d=2, ... Следовательно, оба разложения
функции f{z) в ряд Лорана совпадают.
Доказанное утверждение означает, что коэффициенты любого
разложения функции f(z) в ряд Лорана в кольце r<^\z — ö|<C^
определяются с помош.ью формул (9).
Заметим, что из формул (9) легко получить ту оценку, которой,
мы пользовались (доказанную раньше в § 9 гл. 2). Действительно,
согласно формуле (9),
k«l = 2l| S /@(C-ar-'rfc|.
Если на окружности [ζ — α | = ρ справедливо неравенство j/(г) ] ^Ж,
то, оценивая модуль интеграла произведением максимума модуля под-
интегральной функции на длину пути интегрирования (см. § 3), мы
немедленно получаем, что
Именно эта оценка и была получена в § 9 гл. 2.
В качестве применения теоремы Лорана мы докажем сейчас
следующий примечательный факт:
Модуль функции, регулярной в некоторой окрестности
изолированной особой точки а (точнее говоря, в кольце О <^ i г — ^^1<Ср),
принимает вблизи этой точки сколь угодно большие значения*
Иными словами:
Если функция f(z) регулярна и ограничена при 0<^\z — ci\<Cp
а в точке а не определена, то ее можно так доопределить в
точке а, чтобы полученная функция была регулярна при \z — 0 | <СР

^8] ВЫЧЕТЫ 105
Для доказательства разложим функцию f{z) в ряд Лорана
{5 кольце 0<^!^ — ^'<Ср ^ рассмотрим коэффициенты с„ этого
разложения с п = —1, —2, ... Для них справедливо неравенство
г д'^^Жг'^ с любым ε^Ο. Эго означает, что все коэффициенты
ряда Лорана, имеющие отрицательные номера, равны нулю, так что
(|)уикция f{z) представляется в круге \z — ö | <Ср рядом по положи-
]ельиым степеням ζ — а. Отсюда немедленно вытекает наше
утверждение.
Следующая теорема, легко получающаяся из доказанной, носит
пазвапие теоремы Вейерштрасса:
Вблизи существенно особой точки функция принимает
значения, сколь угодно близкие к любому наперед заданному числу.
Если бы эта теорема была ьеверна, то существовало бы такое
число а, что функция —— была бы регулярна в некотором кольце
0<^|-г — «|<Ср и ограничена там. После доопределения в точке а
мы получили бы из [f{z) — α]~^ регулярную функцию. Это означало
бы, что функция f{z) — α регулярна в точке а или имеет там полюс,
т. е. во всяком случае точка а не могла бы быть существенно
особой точкой функции /(г).
§ 8. Вычеты
Пусть функция f{z) регулярна в области Д для которой точка
ζ :=^ а является изолированной точкой границы, т. е. в некотором
достаточно малом круге с центром в точке а она будет
единственной точкой, не принадлежащей области D. Если круг \z — о^|<^р
лежит в области D (не считая центра), то по теореме Лорана имеет
месю разложение
со
f{z) = 2 ^« (^ - «г = φ (г - а) + % [-^), A)
—оо
сходящееся в кольце О <^ [ г — а|<^р. Ряд ^γί ] сходится во
1^сей плоскости, за исключением точки ζ =^ а.
Дадим определение:
Величина интеграла
взятого по любой простой замкнутой кривой, лежащей в области
^ ?? обходящей точку z = a в положительном направлении,
называется вычетом функции f(z) в точке z = a и обозначается
^11Мв0Л0М
res /(г).

106 ИНТЕГРИРОБАНИЬ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ [Гл.5
Согласно формуле A0) предыдущего параграфа вычет равен
коэффициенту при {ζ — ä)'^ в разложении A) функции f{z) в ряд
Лорана в кольце О <^ 1 ζ — α [ <^ р.
До сих пор число а предполагалось конечным. Однако понятие
вычета легко распространяется и на случай а = оо. Тогда
разложение A) принимает вид
оо
f(z) = y^CnZ'' = ^li^{z)Jr%\[\), B)
—ОО
а сходится оно в кольце /? <^ | г 1<^ сю.
Определение вычета остается прежним. Следует только
договориться о том, что называть положительным направлением обхода
замкнутой кривой относительно данной точки. Известно, что простая
замкнутая кривая делит всю плоскость на две области, для которых
она является общей границей (теорема Жордана). Будем говорить^
что простая замкнутая кривая обходит в положительном направлении
точку а (не лежащую на этой кривой), если при движении по кривой
в этом направлении остается слева та из двух областей, которая
содержит точку а.
Ясно, что при таком определении положительное направление
обхода окружности \z\=^r относительно точки г = сю является
отрицательным направлением обхода этой окружности относительно точки
ζ = ^. Поэтому, согласно формуле A0) предыдущего параграфа,
вычет в бесконечности равен коэффициенту при \jz в разложении B)>
взятому с обратным знаком.
Сейчас докажем так называемую теорему о вычетах:
Теорема 1. Пусть функция f(z) регулярна в замкнутой
области F, ограниченной простыми замкнутыми кривыми L, Li>
L^, ..., L,p за исключением точек а^, а^» ···' ^г- Тогда
г
-\f{z)dz = yx^sf{z\ C)
if \'^\
Для доказательства возьмем число ε^Ο столь малым, чтобы
кружки I ζ — 67/^ 1 si^ ε лежали внутри области F и не имели общих
точек. Обозначим через F^ область, полученную удалением из области
F кружков \z — ^7^ |<^ ε, ^== 1, 2, ..., г, а через Kk — окружность
\z — а^\ = е. По теореме Коши интеграл от функции/(г) по границе
области Fg равен нулю, поскольку функция f{z) регулярна в
замкнутой области /^3- ^^
г
öF of k=\ К-
ε k

ВЫЧЕТЫ
107
Следовательно,
öl·
Так как по определению вычета
I
получаем формулу C).
А
у \ f(z) dz = res f{z).
в качестве приложения теоремы о вычетах рассмотрим интеграл
оо
/= { R{z)dz,
где R{z) — рациональная функция, не обращающаяся в бесконечность на
действительной оси и имеющая в точке 2' = сю нуль по меньшей
мере второго порядка (т. е.
величина гЩ {г) стремится к
конечному пределу при ζ — сю).
Пус1ь Р^О — некоторое
число, которое впоследствии
устремим к бесконечности. Будем
считать, что число Ρ уже выбрано
столь большим, что все полюсы
функции R{z) лежат внутри круга
\z <^Р. Обозначая через Кр
полуокружность \z\ = P, \mz^O (рис. 28) и применяя теорему
о вычетах к полукругу, ограниченному полуокружностью Кр и
отрезком действительной оси, получаем, что
ρ
{ R {ζ) dz-\^\R {ζ) dz = 2гл У res R (ζ),
-> κ^ρ ^'-4
D)
где сумма распространяется на все полюсы функции R(z\ лежащие
ϊ^ верхней полуплоскости.
Теперь заметим, что интеграл, взятый по полуокружности А"р,
<^тремится к нулю при Ρ—^ сю. Действительно, по условию функция
Riz) имеет в бесконечности нуль не ниже второго порядка, т.е. при
больших I ζ I выполняется неравенство
\R(z)\^M\z\
E)
^^оэтому, оценивая модуль интеграла произведением максимума
модуля подинтегральной функции на длину пути интегрирования,

108 ИНТЕГРИРОВАНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ [Гл. s
получаем, что
I ^R(z)dz
\кр
^ΜΡ-'^.πΡ = ^
Следовательно, переходя к пределу при Ρ — сю, приходим к
равенству
^ R (ζ) dz = 2πί У res R (z\
где сумма по-прежнему распространяется на все полюсы функции
R{z), лежащие в верхней полуплоскости.
Доказанная формула позволяет сравнительно просто вычислять
интегралы указанного вида. Например, пусть R(z) = (\ -]- ζ'^)~"^, где
η — целое положительное число. По формуле имеем
00
Wl + z^" dz = 2π/ res A + ζ^Υ"·
»^ ζ = i
— со
Для отыскания вычета разложим функцию f(z) = (l -j-^'^)"'^ по
степеням ζ — /. Для удобства записи обозначим z = i^h. При \h\<^2
имеем
Коэффициент при h~^ в этом разложении равен
V-^v '9 * 1.9 ir, η — ;*^
2 1 \'2...{η-~1) i {{п—\)\У'
Согласно сказанному выше (сразу после определения вычета) этот
коэффициент и есть интересующий нас вычет. Поэтому
со
\ (\-]-Ζ'Υ4ζ:
B/2 — 2)!
!Р
2^^1-2 [(^п~\)
§ 9. Формулы для числа нулей и полюсов
Пусть функция f(z) регулярна в замкнутой области F,
ограниченной конечным числом простых замкнутых кривых, за исключением
конечного числа полюсов. Предположим еще, что на граничных
кривых области F функция f(z) не обращается в нуль и не имеет
полюсов. При этих условиях число нулей функции f{z) в области F тоже
конечно. Обозначим ее полюсы через а^ «2, ..., α^> а нули — через-

§ 9] ФОРМУЛЫ ДЛЯ ЧИСЛА НУЛЕЙ И ПОЛЮСОВ 109
f (г)
функция ■ , очевидно, также регулярна в замкнутой области
р, за исключением точек aj, ..., α^, bi, ..., b^.
Если функция f{z) разлагается в окрестности точки а в ряд вида
f{z) ==c^(z-- αΫ -^c,{z- αΫ^' + с,(ζ - а)'^' + ..., (^о ^ 0),
где k — положительное или отрицательное целое число (поскольку
k ^ О, это означает, что функция f(z) имеет в точке а нуль или
полюс), то для ее производной имеет место разложение
f(z) = kc,{z--af''-^{k-]-l)c,iz~-aY-]-...,
и, следовательно,
^z; α).
f{z) z-
Итак, в этом случае функция f\z)lf{z) имеет в точке а полюс,
причем вычет в этом полюсе равен /г.
Если ^^0, то написанное разложение для f{z) означает, что
функция f{z) имеет в точке а нуль и притом кратности k. Если же ^<^0,
то функция f{z) имеет в точке а полюс порядка /г, где 1г = —k,
(В дальнейшем мы будем в обоих случаях употреблять и слово
«кратность» и слово «порядок».)
В силу сказанного выше теорема о вычетах дает формулу
J-|J/(z)ö?^ = ^i + ... + A^,-(/2i + ... + /z,),
dF
где kl, ^2' ···> ^5 — кратности нулей Ь^у ^, ..., Ь^, а /г^ h^, ..., h^ —
кратности полюсов aj, α^, ..., а^. Если каждый нуль и полюс мы
будем считать столько раз, какова его кратность, то число k^ -\~
-}-/г.2 ~j-...-f-^5 будет числом нулей функции f{z) в области F,
а число hi~\- h^-^., .-^h^ — числом ее полюсов. Таким образом,
полученную формулу можно записать в виде
±^^f{z)dz = N~-P. A)
dF
где TV— число нулей функции f{z) в области Р,г Ρ — число ее полюсов.
Из этой формулы получается, между прочим, еще одно
доказательство основной теоремы алгебры. Действительно, пусть
f(z) = z^ + a^z^-' +... + «. (л > 0).
При достаточно больших \z\ имеем
Возьмем в качестве области F круг \z\^R с достаточно большим

по ИНТЬГРИРОВАНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ [Гл.5
R. Тогда условия, при которых справедлива формула A), выполнены.
По формуле A0) § 7
2πί } f{z)
öF
Поскольку многочлен f{z) не имеет полюсов, Р = 0 и, следовательно,
формула A) дает N=n, т. е. многочлен f{z) обращается в нуль
в круге \z\<^R (при достаточно большом R) ровно η раз.
С помощью замены переменного f(z) = i^ интеграл
преобразуется в интеграл \ γ-, что позволяет дать новое
толкование формуле A). Когда точка ζ обходит одну из граничных кривых
Ls области F, точка ζ,=/(ζ) обходит некоторую замкнутую (не
обязательно простую) кривую L's. Согласно результатам § 4 интеграл
υ
равен числу обходов точки ζ = 0 кривою L\ Поэтому содержание
равенства A) можно сформулировать следующим образом:
Пусть точка ζ обходит граничные кривые L, Li, ..., L^
области F в направлении, положительном относительно области.
Точка ^ = f {ζ) обходит при этом определенные замкнутые
кривые L\ L[, ..., Lii. Сумма чисел обхода этими кривыми точки
ζ = 0 равна разности между числом нулей и числом полюсов
срункции f{z) в области F.
Докажем, пользуясь полученными результатами, один
примечательный факт, носящий название теоремы Руше:
Если функции f{z) и φ (г) регулярны в замкнутой области F
и если на границе этой области всюду имеет место неравенство
i? ('2') I <С I /(^)!' ^^^ функция f{z) -\~ φ (ζ) имеет внутри области
F столько же нулей, сколько и функция f{z).
Заметим прежде всего, что и функция f{z), и функция f{z)-\-
-\- φ {ζ) не обращаются в нуль на границе области F, поскольку
Ι/(^)Ι>|φ(^)!^ο и ΐ/(^) + φ(ζ)|^Ι/(^)Ι-Ιφ(^)Ι>ο.
Положим
>-(£И1^ _!_,_„(,) = ψ (^). B)
По условию теоремы функция и {ζ) на границе области F
удовлетворяет неравенству \u{z)\<^\, и поскольку граница — замкнутое
множество, а функция \u{z)\ непрерывна на нем, то из этого неравенства
следует, что |мB:)|^а<^1 для всех ζ на границе области f. Это

[
^ 9] ФОРМУЛЫ ДЛЯ ЧИСЛА НУЛЕЙ И ПОЛЮСОВ 1 1 1
означает, что точка ζ = ψ(ζ)=1 -\-ιι(ζ) не выходит из круга с
центром в точке С=1 и радиуса δ<^1. Точка ζ = 0 расположена вне
эюго круга. Поэтому, когда точка ζ обходит границу области F,
J очка 1 = ^(г) обходит некоторую кривую, для которой число
обходов вокруг точки С = 0 равно нулю. Следовательно,
По из равенства B) следует, что
f{z) + ^'i^)^f'(z) , ψ-(^)
a значит, и
} /(.)+φ(.) ^^— 3 f{z) ""^ ' 3 ψω
ÖF dF dF
Теорема доказана.
Теорема Руше легко обобщается на случай, когда функции f{z)
II φ {ζ) имеют в области F полюсы. Тогда в формулировке теоремы
следует лишь вместо числа нулей говорить о разности между числом
нулей и числом полюсов.
В качестве приложения теоремы Руше докажем следующее
утверждение:
Если функция f{z) регулярна в замкнутой области F и не
обращается там в нуль,, то и максимум и минимум \f{z)\
достигается на границе области F.
Достаточно доказать это утверждение лишь для минимума, так
как вместо функции f(z) можно рассмотреть функцию ^/f(z).
Допустим, что минимум модуля функции f(z) достигается внутри
области (или внутри, или на границе области минимум достигается,
чак как \f(z)\ — непрерывная функция), скажем, в точке z^. По тео-.
реме Руше функции f(z) и f(z)—/(^ό) должны иметь тогда в
облачи F одинаковое число нулей. Но число нулей f(z) по условию
равно нулю, а число нулей f(z)—f(^o) не меньше единицы.
Полученное противоречие доказывает теорему.
Формула A) представляет собой частный случай формулы
2ш ^ f{z) Ad La
dF
'которая может быть доказана совершенно тем же путем. В послед-
''ей формуле λ — любое целое неотрицательное число, а суммы
распространяются: первая — на все нули, а вторая tia все полюсы
функции /(ζ), лежащие в области F. При этом каждый нуль (и полюс)
^^^итается столько раз, какова его кратность.

г л а в а шестая
МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ
§ 1. Понятие мероморфной функции
Мероморфной функцией будем называть однозначную
аналитическую функцию, не имеющую в конечной части плоскости особых
точек, отличных от полюсов.
В частности, к мероморфным функциям относятся целые функции,
так как они вообще не имеют никаких особых точек в конечной
части плоскости, а также рациональные функции.
Можно дать и другое определение мероморфной функции:
Функция /(г), отличная от тождественного нуля, называется
мероморфной, если в окрестности любой конечной точки а для нее имеет
место разложение
f{z) = c,{z~-aY^c,{z~aY^'-\-,,.. A)
где г — целое число, а с^ф 0.
Число г мы будем называть порядком нуля функции f{z) в точке
β, считая тем самым, что полюс порядка б· — это нуль
отрицательного порядка — S.
Из определения мероморфной функции немедленно вытекают сле-
дуюидие свойства класса мероморфных функций:
1. Любая постоянная — мероморфная функция.
2. Сумма и разность двух мероморфных функций — мероморфные
функции.
3. Произведение и частное двух мероморфных функций —
мероморфные функции.
4. Рациональная функция от мероморфных функций —
мероморфная функция.
В частности, отношение двух целых функций — мероморфная
функция. Так как sin ζ и cos 2" — целые функции, то
sin 2 , cos 2 1
tg^ = , ctg ^ = -^—-, sec^
COS 2
являются мероморфными функциями.
Вообще большинство встречающихся в анализе однозначных
функций мероморфно.

§ 3] ТЕОРЕМА МИТТАГ-ЛЕФФЛЕРА 113
§ 2, Мероморфные функции с конечным числом полюсов
Если мероморфная функция f{z) не имеет полюсов, то она
является целой функцией.
Пусть мероморфная функция f{z) имеет только конечное число
полюсов αγ, а^, ..., а^, и пусть
ί 1 ^
главные части в этих полюсах (см. § 7 гл. 3). Тогда
k
nz)=G{z)-]-yg
^^ [Z — Qf
где G{z) — целая функция.
§ 3. Теорема Миттаг-Леффлера
Если мероморфная функция f(z) имеет бесконечно много
полюсов, то они могут иметь предельную точку только в бесконечности.
Действительно, предельная точка полюсов — тоже особая точка и
притом не полюс (полюс, как мы знаем, — изолированная особенность),
а по определению мероморфная функция не имеет в конечной части
плоскости особых точек, отличных от полюсов.
Полюсы мероморфной функции f(z) договоримся нумеровать
в порядке возрастания их модулей. Если ^о, а^, а^, ... — полюсы
функции/(г), то наша договоренность означает, что |ао! =^ l^i! ^ i^^i =^ · · ·'
а, согласно сделанному выше замечанию, lim |α^; = οο.
/г->со
Заметим, что в последовательности { | а^^ | } в нуль может
обращаться только число i ^0 ί' все следуюш,ие положительны.
Главные части функции /(г) в ее полюсах мы будем, как и раньше,
обозначать
ί 1 \ ί 1
Естественно, возникает вопрос, должны ли полюсы мероморфной
функции и главные части в этих полюсах удовлетворять каким-либо
условиям?
Ответ на этот вопрос дает следующая теорема, впервые
доказанная Миттаг-Леффлером:
Теорема 1. Каковы бы ни были последовательность точек
^{)у Q\, «2» ···' ΙίίΏ а^1 = (УЭу и последовательность g^i много-
Членов от-—-^—, существует мероморфная функция f {ζ), имеющая

114 МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ [Гл. β
в точках а^, а^, а<2, ... (и только в них) полюсы с главными
частями
соответственно.
Для доказательства теоремы Миттаг-Леффлера нам понадобится
следующая лемма:
Пусть Fq(z), Fi(z)y F^{z), ... — последовательность мероморф-
ных функций. Предположим, что функции Fn(^) (л = 0, 1, 2,...)
регулярны в кругах \ζ\^Γη соответственно, причем
Го^г^^г.^^..., lim г η = сю.
А2->0О
Тогда существует такая последовательность {h^ (ζ)}
многочленов от Zy что ряд
оо
о
равномерно сходится в круге \z\^^R при любом R<^oo (если
отбросить конечное число членов этого ряда, которые могут обра*
щаться в бесконечность).
Для доказательства леммы заметим, что ряд
^„(~')=Σ^
'{η) ___ ^rn
ü
равномерно сходится в круге \г\^Гп, так как функция F^ (ζ) πσ
условию леммы регулярна там. Поэтому для любого числа ε^^Ο
можно выбрать номер т^ таким образом, чтобы при всех ζ из круга
I ^ 1 ^ Гд выполнялось неравенство
о
Выберем последовательность положительных чисел ε^, ε^, ... так^
чтобы сходился ряд Sq -^ sj -]- 8.2 -]-..., И обозначим
о
Покажем, что построенные многочлены h^iz) составляют
последовательность, существование которой утверждается в лемме.
Действительно, возьмем любое число /?<^со и выберем номер N
таким образом, чтобы выполнялось неравенство rj^^R. Тогда при
\z\^R ряд
оо
Σ(^^niz)-hAz)) A>
будет мажорироваться сходящимся числовым рядом ^jv~{~ ^Щ1^ · "*

^4] ОБЩИЙ ВИД МЕРОМОРФ. ФУНКЦИИ С ЗАДАННЫМИ ПОЛЮСАМИ 115
11 следовательно, будет равномерно сходиться при \z\^R. Тем самым
лемма доказана.
Перейдем к доказательству теоремы Миттаг-Леффлера.
Возьмем в качестве последовательности {/^„(г)} последовательность
главных частей {Sn[—zi—)(· ^^-^^ взять г^ = -т^|а,г!' ^^^ условия
леммы будут выполнены, так как функции g^l ] регулярны в
кругах I '2' I ^ -у I α^ I <^ I α^ |. Убедимся, что сумма ряда
оо
представляет собою мероморфную функцию с заданными полюсами и
главными частями в них. Согласно лемме ряд B) будет равномерно
сходиться в круге {zl-^R с любым фиксированным R, если
отбросить конечное число его первых членов. По теореме Вейергнтрасса
сумма равномерно сходящегося ряда регулярных функций —
регулярная функция. Поэтому особые точки суммы ряда B) в этом круге
совпадают с особыми точками суммы конечного числа первых
членов этого ряда. Эти особые точки — полюсы в заданных точках с
заданными главными частями. Теорема доказана.
§ 4. Общий вид мероморфной функции
с заданными полюсами
Пусть f{z) — мероморфная функция с полюсами ^о, а^ ...,
занумерованными в порядке возрастания модулей. Главр1ые части
функции f(z) в этих полюсах обозначим
1
ζ—öo/' ^' \z—aj' ^-^ \z—öo
Согласно теореме Миттаг-Леффлера можно построить фур1кцию
оо
F (г) = g. (,-4tJ +1 (g" {f^) - ''«(-)) ·
1
^^меющую те же полюсы и те же главные части в этих полюсах, что
" функция f(z). Разность G{z) = f{z) — F (ζ) будет, очевидно целой
функцией, так что
со

116 МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ [Гл. &
Таким образом:
Любую мероморфную функцию f(z) можно представить в
виде суммы целой функции и ряда, членами которого являются
рациональные функции, причем каждая из этих функций
имеет в конечной плоскости полюсом только один из полюса^,
функции f(z).
§ 5. Случай простых полюсов
Сейчас рассмотрим подробнее часто встречаюишйся и наиболее
простой случай, когда главные части, отвечающие всем точкам ^о, а^у.
a^i, ..., имеют вид
^0 ^1 ^2
Ζ — öo' ζ — а^' ζ — 02 ' *''
При /2^0 имеют место разложения
Ζ
"ä~n
Поэтому, если полюсы простые, то
/г^ (^) = — ^ — -¾ г^ ~ ... — -^ z'^n^
Р(^г) = ~^^-\-У!-^ \~'---\-^-,z -\-,..-V^^z λ. A)
Ü η
Поскольку
-? — η 1/7 1/7 2 I · · · I ^т
^ \ /г
η
формулу A) можно записать и в виде
со
2 "о Jmm \"/г/ ^ "/г
Аг= 1
Целые числа т^^ входящие в формулы A) и B), следует
выбирать так, чтобы написанные ряды равномерно сходились в любом
конечном круге (после отбрасывания членов, имеюихих в этом круге
полюсы). Сейчас попытаемся придать этому условию более простую
форму.
Возьмем любое R<^co и рассмотрим ζ из круга l^l^iR. При
достаточно большом η величина
— будет сколь угодно мала.
Поэтому можно найти такой номер TV, чтобы пр-и всех п^ N выпол-

§ 5]
СЛУЧАЙ ПРОСТЫХ ПОЛЮСОВ
117
нялись неравенства
1 —
;2 (Ι^Ί^/?). Тогда будут спра-
ведливы и неравенства
2 '
ап\
\ап\
ζχη _С^
(^п1 2 —о/г
Следовательно:
Ряд B) Ьля функции F (ζ) абсолютно сходится в любом
конечном круге тогда и только тогда, когда ряд
1
an а„
C)
абсолютно сходится при любом ζ.
Легко убедиться, что в случае абсолютной сходимости ряда C)
ряд B) равномерно сходится в любом конечном круге (после
отбрасывания членов с полюсами в этом круге). Действительно,
выбирая номер N тем же способом, что и выше, мы видим, что ряд
1
ζ \%
при
\^R мажорируется рядом
^п/ Z — ^n
I a„
Последний ряд является сходящимся числовым рядом с
положительными членами.
Таким образом, мы доказали теорему:
Теорема 1. Если в формуле B) числа т^ выбраны так,,
что ряд
1
абсолютно сходится при любом ζ, то ряд в формуле B) равно-
Л1ерно сходится в любом конечном круге (после отбрасывания
конечного числа членов).
Если положить все числа /гг„ равными одному и тому же числу т, то
оо со
ί + 1 ·
/2-1
Это дает нам теорему;
/г=1

118 МЕРОЛЮРФНЫЕ ФУНКЦИИ [Гл. б
Теорема 2. В формуле B) все числа т^, можно взять равными
одному и тому же числу т, если сходится ряд
оо
п = \
Если положить /гг^ = л, го ряд C) становится степенным рядом.
Этот ряд будет сходиться при всех 2', если
lim №^ = 0.
/г->оо \^п\
Это условие заведомо выполняется, если lim у |с„|<^сх), так как
/г — оо
I а^ I ->► сх) при ^ ->► оо. в частности, мы получаем отсюда:
Если все полюсы простые, а вычеты с^ в этих полюсах огра-
личенЫу то всегда можно взять в формуле B) тп = п.
§ 6. Примеры
В качестве прил^еров рассмотрим функции
π π
____—_ TT ctg πζ, π tg ίζζ.
sin τζζ ' cos πζ ' *^ ^
Из равенств
βτΛζ β-τ:ίζ βπίζ \ β-τζίζ
sin πζ = ^-^ , COS πζ = -^ ,
.легко усмотреть, что нули функции sin πζ расположены в точках О,
±1, ±2, ..., а нули функции cos πζ — в точках
-ь1 ч1 -ьА
— 2 ' — 2 ' —- 2 ' · · ·
Первой рассмотрим функцию π cosec 7:^ = -^—-. Ее полюсы —
нули функции sin τζζ. Для отыскания главных частей в этих полюсах
положим ζ — n = hy z = n-\-h. Очевидно, имеем
πΛ--3ρ+...
4^ +^ЧН
где ^^ (/г), как всегда, степенной ряд по степеням h = z — п.
Следовательно, главная часть функции π совес πζ в полюсе ζ = η равна
^^^. Ряд
Ζ — η
со оо оо

^6] ПРИМЕРЫ 119
из § 5 будет сходиться при т=\. Поэтому мероморфная функция
со
^w=l+2{<-"-(i^,+T)+'-'»(.4-^"i)}
имеет те же полюсы и те же главные части в этих полюсах, что и'
функция π cosec πζ. Следовательно,
оо
-^L_ = o(z) + - +У(-1г(-^- + 1), A)
—оо
где О (г) — целая функция. Штрих у знака суммы означает, что член
ряда, отвечаюилий л = 0, следует пропустить. Отысканием точного
выражения для целой функции G{z) займемся в § 8.
Совершенно аналогично находим, что функция π sec πζ
cos-KZ
имеет полюсы в точках г=:±-^^ ±-ö-, ·.· и что главные части
в этих полюсах равны
cos πζ
(-ί)"
-τ)
Поэтому
(^ = 0, dbl, ±2, ...).
^=0,(.) + 2(-^)-(-7^ L-Λ B)
COS
"■ 1"-Yj "- 2
функция π ctg τ.ζ имеет полюсами нули функции sin πζ. В
окрестности полюса ζ:=η имеет место разложение
, , , ;. π cos π {n~\-h) π COS π/г 1 , αχ/гч
π ctg π (η + h) = —-. 7^4-—- = — г = "тг + Ψ (^0^
^^ ' ^ sm τί {η-{-h) sin π/г /г ' ^ ^ ^
так что главная часть функции π ctg ίζζ в этом полюсе равна
Ϊ
ζ — η'
Поэтому
со
.ctg^. = G,(.) + | + 2'(,-^ + i)· C)
—со
функция TzigTzz имеет полюсами нули функции cos πζ и в окрест«
нести полюса ζ = η — -ту имеет место разложение
^ COS π ί гг ö" + ^ J

120 МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ [Гл. б
Поэтому
π tg πζ =::= Go
ω-Σί^^+^ν <*)
«-»+-3- " 2
При изложенном способе разложения мероморфных функций на
простейшие дроби наибольшую трудность представляет нахождение
целых функций, входяп1,их в формулы. В другом способе разложения
на простейшие дроби, предложенном Коши, эти трудности полностью
отсутствуют.
§ 7. Метод Коши
Пусть f(z) — мероморфная функция с бесконечным числом
полюсов. Отличные от нуля полюсы функции f(z) обозначим а^, а.,, ...
(нумеруем по-прежнему в порядке возрастания модулей). К точкам
üi, a^j ... всегда будем добавлять точку ^0 = 0 независимо от того,
имеет ли функция f{z) полюс при ^' = 0. Главную часть функции f {г)
в полюсе г = а^1 обозначим, как всегда, ^^ —-—^) (если точка ^==0
не является полюсом, то ^о (—) ^ ^
Возьмем простую замкнутую кривую Q, не проходящую через
точки 00' ^i' ^2' · · ·' содержащую внутри себя точки г, а^, а^, a^j,
..., α^ (и не содержащую точек α^_^ι, a^j^^, ...). При любом целом
положительном т интеграл
1 __L С ^"'/(Οί/:
С-
без труда вычисляется с помош,ью теоремы о вычетах, что мы и
проделаем несколько ниже. Написанный интеграл легко преобразуется
к виду
Точку ζ будем считать лежащей внутри контура Q, но не
совпадающей ни с одной из точек а^, а^, ..., а^.
Подинтегральная функция имеет полюсы в точках
Ζ, «Q, ßj, ..., а^.
В точке ζ ее вычет равен, очевидно, f{z).
В окрестности точки ζ, = α^ имеем разложеьшя
/(У = & (^:^,) + ^^(¾ ^)

§ 71 МЕТОД КОШИ 121
Поэтому коэффициент при ir, в разложении /(С)· ρ равен
— g^U ]. Обозначим через ίι^(ζ) коэффициент при ζ в раз-
ложеиии
в ряд Лорана по степеням С — üf^. Нетрудно видеть, что этот
коэффициент будет многочленом степени не выше т—1. Итак, вычет
подинтегральной функции интеграла /^. в точке а^ равен
\z — ük
Следовательно, по теореме о вычетах
г
Отсюда находим, что
п^) = Ϊ [s^ {.-i-J - '^ (-))+i S iS S '^-
Если последовательность кривых С„ (кривая С^ содержит внутри^
себя точки ÜQ, üi, ..., Ufi и не содержит точек α,^^ι, а^^^, ...) такова,,
что интеграл
ρ — JL ί /@^^
^^—2πι ] ζ^(ζ — ζ)
η
стремится к нулю при /г ->► оо (и при данном ζ), то
оо
Сделаем еще одно замечание о многочленах hf^(z). Для них при
k^\ справедлива формула
ч
^^^ Т/г — достаточно малая окружность с центром в точке а^.
Разложение правой части в ряд по степеням ζ начинается с ζ^. Поэтому
ясно, что многочлен Η^{ζ) равен сумме т первых членов разложения
функции gf^ ί-——J в ряд по степеням ζ.

122 МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ [Гл.6
При k = 0 имеем
ТО
Так как в окрестности точки ζ = 0 имеет место разложение
/(С) = ^0 (I) + с« + ^'iC + с.С^ +....
то
h, (ζ) = - (с, + c,z-{-... ^c^_.^z'^~^).
Для интеграла R^ мы можем написать оценку
1 е \f(i)di
ΙΟ к^С I/(^) ^^
max
Если кривая С^ с увеличением η уходит в бесконечность всеми своими
точками, то при фиксированном ζ имеем
max -. Г~^^ {п->оо).
^fc„ 1 —-^
Следовательно,
с;
Таким образом:
Разложение A) имеет место при любом ζ, если
min I С I —>► со (я -> ^yS)
и если
|/(С)^С
irm-vi
S
(я -> оо).
§ 8. Примеры
Вернемся к функции π cosec πζ, рассмотренной нами в § 6. В
качестве кривой С^ (точнее, Οι^-^\) мы возьмем границу квадрата с
вершинами в точках dz λ ± А, \ζ=:τ-\--κ- (рис. 29). Пусть
С—какая-либо точка, расположенная на одной из вертикальных сторон
этого квадрата. Тогда
C = ±(r + j) + />'
И, следовательно,
π cosec πζ;=
1 + -2Γ + Ι"'

^8] ПРИМЕРЫ 123'
Поэтому на вертикальных сторонах квадрата имеет место оценка
I π cosec πζ I ί^π. A)
На горизонтальных сторонах квадрата ζ = dt/λ -f-χ (—λ ^χ -^Χ)
ι\, следовательно,
π cosec π,:
2π/
2π/
±:ΐτζι
^ ^—Tzix_}_T.X πλ ^-Tzix
Модуль знаменателя не меньше чем е"^^ — е'^'^\ а эта величина
стремится к бесконечности при Х->-|-сю. Поэтому оценка A) будет
справедлива и на горизонтальных
сторонах квадрата, если только число г
достаточно велико.
Из полученных оценок следует, что
sr-
cosec τΐζ
rfC
π ν
■λ ζηι^ι
На сторонах квадрата, очевидно, | С | ^
^λ = Γ-["-ο-· Поэтому, оценивая инте-
К
+г
г+1
Рис. 29.
грал произведением максимума модуля
полинтегральной функ11ии на длину пути интегрирования, мы
получаем, что
л
ζτη+ι
1 \-т~\ I \\
г + 1 .8(г + -Й = ^Ч^-
Следовательно, интеграл
/(О^С
ζ"
не превосходит величины 8π(Γ-|-"ο- , откуда видно, что при т=\
он стремится к нулю с возрастанием г.
Формула A) предыдущего параграфа дает поэтому возможность,
написать разложение
■r<-»"(ii+7
B>
'Тем самым мы не только еще раз получили формулу A) § 6, но и
доказали, что входящая в эту формулу целая функция G{z) равна
нулю.
В качестве второго примера рассмотрим функцию πctgπz,
которую мы также рассматривали в § 6. Кривую С^ будем по-прежнему

124 МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ [Гл. 6
считать границей того же квадрата, что и выше. На вертикальных
сторонах квадрата C = ±ir -{-γ]-{-iy^ так что
π sin π/ν π е'"^У — е^У
π ctg π, = Η^ = Γ- ■ _^y -,—ГТГ .
*^ cos nty ι e ^-У-^-е^У
Модуль этого выражения меняется при замене у на —у, и, как
нетрудно убедиться, не превосходит π. Итак, на вертикальных
сторонах справедливо неравенство | π ctg πζ | ^ π.
На горизонтальных сторонах ζ = ±/λ-|-χ, и потому
π/л: +πλ _J_ ρ —π/Λ:Η_πλ
g πζ = πί '
^Tzix^-\-itl ^-πίΛ:^±πλ
Следовательно, при больших значениях λ значения функции πctgπζ
близки к ± π/.
Таким образом, при достаточно больших значениях г на кривой С^
выполняется неравенство | π ctg πζ | <^π-|-ε, ε ^0. Отсюда легко
выводим, что при т = 1
1· с I 7^ ctg πζ ,„
/· -> оо ^¾^ ι ^
Cr
Поэтому справедливо разложение
:0.
Совершенно аналогично получаются разложения
оо
(-1)'
^' Ч. „ , 1
—оо \2; «-[--у /I- у
, ж. / ^ , 1
πtgπ2'
Если в формулах B) и C) объединить члены, отвечаюш.ие п, то
эти формулы примут вид
-^=-+У (-1)" (^+—
sin π2; ζ ^ AJ^ \^ — η ^ z-{-
i' ~ 1 1 ^^^

ίΙ 9] ЦЕЛЫЕ ФУНКЦИИ С ЗАДАННЫМИ НУЛЯМИ 125
Но теореме Вейерштрасса эти формулы можно дифференцировать
лочленно. Дифференцируя, например, последнюю из них, получаем
ηπζ] j^
(г~пГ
§ 9. Целые функции с заданными нулями
Во многих случаях бывает полезно знать общий вид целой
функции, имеющей заданные нули (и не имеющей других нулей).
Сначала найдем обилий вид целой функции, не имеющей нулей
во всей плоскости. Если целая функция Q (ζ) не имеет нулей, то
функция 7^^ тоже будет целой функцией, поскольку она равна
и [ζ)
отношению двух целых функций и знаменатель нигде не обращается
в нуль. Отсюда следует, что функция
ζ
Ü §^οίζ = 1πΟ(ζ)-1πΟ@),
о
а значит, и функция H{z) = \nG(z) — тоже целые функции. Это
означает, что
G (г) = ^^^4 A)
где Η (ζ) — целая функция.
Поскольку функции вида A) не имеют нулей, то:
Для того чтобы целая функция Q{z) не имела нулей,
необходимо и достаточно, чтобы ее можно было представить в виде A).
Рассмотрим теперь целые функции, имеющие конечное число нулей.
Мы будем задавать не только точки, в которых функция обращается
в нуль, но и кратность нулей в этих точках. Для этой цели,
выписывая точки ßj, «о, ^3' · · · > ^г' ^ которых функция обращается в нуль,
мы пишем каждую точку а^ столько раз, какова кратность нуля в
этой точке.
Пользуясь доказанным выше утверждением об общем виде
функций, не имеющих нулей, мы без труда приходим к представлению
целых функций G{z), имеющих нули а^, ас^, ..., а^. (и не имеющих
других нулей):
G(z) = {z—- ßi) {ζ — αΟ ...{ζ— α,) e^^').
Перейдем теперь к наиболее существенному случаю, когда целая
функция имеет бесконечное число нулей.
Мы покажем, что, задав произвольную последовательность
ßi, а^, а^у ..., lim а^ = сю, B)

126 МЕРОД\ОРФНЫЕ ФУНКЦИИ [Гл. 6
можно построить целую функцию, имеющую нули в точках {а^^}
и только в них, причем в каждой из этих точек целая функция
будет иметь нуль такой кратности, сколько раз эта точка
входит в последовательность B).
Если целая функция Q^ {ζ), обладающая требуемыми свойствами, су-
uiecTBveT, то, как мы видели в § 9 гл. 5, ее логарифмическая
производная Q[ (z)/Gi (ζ) будет мероморфной функцией, имеющей точки {а^\
(и только их) своими полюсами. При этом полюсы функции Gl/Qi
будут простыми, а вычеты в них равны кратности соответствующего
нуля функции Gl (ζ). По теореме Миттаг-Леффлера справедливо
представление
||-) = 0(г) + /С(г),
где Q(z) — целая функция, а
1 η
(как и в § 5, целые числа тп подбираются так, чтобы ряд C)
равномерно сходился в любой конечной области после отбрасывания
конечного числа членов, имеющих в этой области полюсы).
Будем считать, что все точки αχ, ^2, ... отличны от нуля, и
проинтегрируем равенство C) от О до ζ по любому пути, не
проходящему через точки а^, ао, ... Это даст
ζ со ^
J ^ У "л ^^п ^п т η п)
п η
в этом равенстве значения логарифмов определяются контуром
интегрирования. При замене одного контура другим конечное число
слагаемых может изменить свое значение на целое кратное 2π/. По
теореме Вейерштрасса о равномерно сходяи],ихся рядах получаем, что
функция К\ {ζ) регулярна в любой точке а, отличной от точек aj,
^7^, «3' ··· при любом выборе пути интегрирования, вед}щего из
точки О в точку а. Это утверждение будет справедливо и для
функции F (г) = ехр Kl (г). При этом, поскольку различные возможные
значения аналитической функции К\ {ζ) в одной и той же точке
отличаются лишь на целые кратные числа 2π/, функция F {ζ) будет
однозначной аналитической функцией во всей плоскости, за исключением,
быть может, точек αγ, а.^, а^, ... Ясно также, что ни в одной точке,
отличной от точек а^ а^, ..., функция F{z) = e^^''^^ не обращается
в нуль. Выделяя в ряде D) слагаемое In A \ и проводя те же
рассуждения, мы легко убеждаемся, что в окрестности точки z = ajf
функция F {ζ) представима в виде

§9] ЦЕЛЫЕ ФУНКЦИИ С ЗАДАННЫМИ НУЛЯМИ 127
где Pk — кратность точки α^г в последовательности αχ, öo, ... , а
функция Кг{^) регулярна в точке ζ = α^. Поэтому функция FBr) =
ζ
r=: exp ί/^(Oi/C является целой функцией, обращающейся в нуль
о
только в точках «j, α^' ^з» ···> причем кратность нуля в каждой из
точек uk равна кратности этой точки в последовательности αγ, а^^, ...
Тем самым наша задача о построении функции с заданными нулями
полностью решена.
Построенная нами функция
°° т
может быть записана в виде бесконечного произведения
^ т
'^«=11ί('-ί:)'»''(έ+£·+···+^:)Ι· р>
I η η
равномерно сходящегося в любой конечной части плоскости *).
Итак:
Бесконечное произведение E) пред-ставляет собой целую
функцию, имеющую заданные нули öj, а.р ... Общий вид целой
функции, имеющей те же нули, таков:
G(z) = F(z)e^^'\
где H(z) — произвольная целая функция.
Мы сделали предположение, что среди нулей нашей функции нет
точки 2г = 0. От этого предположения легко освободиться. Очевидно,
что если точка 2" = О является нулем кратности т, то к 6ecK0i;c,~
ному произведению следует добавить множитель z^.
В качестве примера найдем общий вид целых функций, имеющих
нули в точках О, ±1, ±2, ...
Согласно доказанному такие функции можно представить в виде
1Л
η
(штрих у знака произведения означает, что множитель, отвечающий
^ = О, пропущен).
*) Бесконечное произведение с^· С2· с^·... называем сходящимся^ если
^се с„, за исключением конечного числа, отличны от нуля, и если ряд
*" ί^ι + 1η С2 + ... сходится при надлежащем выборе значений логарифмов
(после отбрасывания конечного числа членов). Значением бесконечного произве-
Дения II = с_^. с^. (.^.,_ j^jbi считаем ^^, где σ — сумма ряда \nCj^~{-\nc2-{-...

] 28 МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ [Гл. 6
в частности, при подходящем выборе функции H{z) мы должны
получить равенство
sin ΊΖΖ = е"^') ^ 1 1 {(^ ~ "^) ^'''^ ·
Для нахождения функции Η (ζ) перейдем к логарифмическим
производным. Это даст
со
— со
Сравнение с формулой C) § 8 показывает, что H\z)^0, так что
^я^) — некоторая постоянная. Эта постоянная должна быть равна π,
sin πΖ rx г-
так как >% при 2"-> 0. Следовательно,
со
sin %ζ = τζζ I I ι 1 ) e^f^.
— 00
Объединяя в этом равенстве множители, отвечающие ±я, мы
находим следующую формулу для разложения функции sin τζζ в
бесконечное произведение
со
sin Ίζζ=^τ^ζ
1
II ('-й- («
§ 10. Представление мероморфных функций через целые
Пусть f {ζ) — какая-либо мероморфная функция. Ее нули, как и ее
полюсы, не могут иметь предельных точек в конечной части
плоскости и потому могут быть расположены в порядке возрастания
модулей. Обозначим нули функции f{z) через
«о, αγ, ß2> ·.. > A)
а ее полюсы — через
^, ^1, ^2. ... B)
(каждый нуль или полюс пишем в этих последовательностях столько
раз, какова его кратность).
Используя результаты предыдущего параграфа, построим две целые
функции Qi{z) и G{z)y имеющие нули в точках последовательностей
A) и B), соответственно (и только в них). Иначе говоря,
функция G\{z) имеет те же нули, что и функция /(г), а нули функций
Q{z) совпадают с полюсами функции f{z). При таком построений
функция
f{^)G{z)
GA^)

§ πι
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ГАММА-ФУНКЦИИ ЭЙЛЕРА 129
не имеет ни нулей, ни полюсов. Согласно первому результату
предыдущего параграфа она имеет вид expg{z), где g{z) — целая
функция. Из равенства
G, (ζ)
находим
f(z) = ^^L(^
где H{z) = Gi{z)ex\)g{z) — целая функция, имеюп1.ая те же нули, что
и функция Gl {ζ), а значит, те же нули, что и функция f{z).
Тем самым мы доказали теорему:
Каждая мероморфная функция f(z) может быть представлена
в виде отношения двух целых функций^ причем числитель имеет
те же нули, что и f{z\ а нули знаменателя совпадают с
полюсами f{z),
§ 11. Представление гамма-функции Эйлера
в виде бесконечного произведения
Поставим перед собой задачу построить аналитическую функцию
g{z\ для которой
g{n^\) = n\ (л^О, 1, 2,...).
Из написанных условий следует, что ^A)=1 и что для л=1,
2, 3, ... выполняется равенство g(n-\-\^=^ng(ii). Поэтому
естественно считать аналитическую функцию g{z) удовлетворяющей
функциональному уравнению
^(^+1) = ^(^). A)
Из э;гого функционального уравнения немедленно получаем
^Ing^B+l)=-^+|;-ln^B),
а итерацией последнего равенства получаем, что при а2 = 0, 1, 2, ...
η
От функционального уравнения B) можно вернуться обратно к
функциональному уравнению A), если выбрать надлежащим образом
посюянные интегрирования.
Обозначим
оо
f{z) = Y^(z^kr\
Ü
Ио теореме Вейерштрасса сумма этого ряда регулярна во всей
плоскости, за исключением точек 2г = 0, —1, —2, ,.., где она имеет,
очевидно, полюсы второго порядка.

130 МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ [Гл.6
Легко проверить, что функция f{z) удовлетворяет
функциональному уравнению
/(г) = 2(г + А)-^+/(г+ «+!)·
О
Определим теперь функцию Г (г) равенством
оо
§,\nT{z)=f{z)^^{z-^kr^ C)
О
(предположив дополнительно, что она к тому же удовлетворяет
уравнению A) и что ГA)=1). Такую функцию Г(г) — она называется
гамма-функцией Эйлера — можно взять в качестве искомой
функции g{z).
Остается определить постоянные интегрирования.
Интегрируя равенство C) по некоторой кривой от точки 1 до
точки Z, получаем
со
;^.„Г(г) = ^1 = ГЧ1) + У(^
dz ^"'^^ Τ{ζ)~ ^^ ' ^^\п z + n — X
= 1^0)-7 + 2(^
1
оо
1
Поскольку в силу равенства A)
Τ{ζ) , 1 _F (.+ 1)
Τ {ζ) 1 ζ ~ Γ(ζ+1)
мы получаем более простое равенство
ι
z + nj'
со
rjz+l) _... ум 1_
ГB + 1)~" ^'^'^jLd\n' z + n
Интегрируя его еще раз от нуля до ζ, находим
оо
1пГ(г + 1)=^г'A)+2{т-'"{Ч-0. D)
Так как ГB)= 1-Г A)= 1, то при ζ=1 последнее равенство дает
нам формулу для определения постоянной Г'A):
оо
= lim |l+i- + i + ... + l-ln») = C. E)
Эта постоянная называется постоянной Эйлера,

^ 11] ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ГАММА-ФУНКЦИИ ЭЙЛЕРА 131
Теперь можем переписать формулу D) в окончательном виде
Функция ν {ζ) по построению удовлетворяет функциональному
уравнению A). Впрочем, это легко проверить и непосредственно
с помощью формулы F). Так как ГA)=1, то, очевидно Г (я-)-1) =
^^/2! (я = 0, 1, 2, ...). Поставленная нами задача решена.
Из формулы F) легко усмотреть также, что:
Гамма-функция Эйлера Г (г) мероморфна. Она имеет особыми
точками лишь простые полюсы при ζ = — η (я = 0, 1, 2, ...).
Нулей гамма-функция не имеет, так что функция \jV{z)
является целой функцией, для которой справедливо представление
ГB)·
11(^+^^-^^^^- ^'^
Из формулы F) легко получаем, что
со
и поэтому в силу формулы F) § 9
V{z)V{-z) =
2 sm πζ
Последнюю формулу немного удобнее записывать в виде
Г(^)ГA—^) = ~^L-. (8)
В частности, из формулы (8) вытекает равенство Γι-τ^]) =π,
а так как из формулы F) видно, что ГB')^0 при г^О, то
!■(!) = Vi.
При л = 0, 1, 2, ... из формулы (8) находим
π(ζ±η) (-1)"
(г + я)Г(г) =
sin TZ {z-\- η) Γ (I — ζ)
ири2->—Π правая часть равенства обращается Β -—~-, а левая равна
вьшету функции Г (г) в простом полюсе ζ = — п. Следовательно:
^ычет функции Г (г) в полюсе ζ = — η, п = 0, 1, 2, ..., равен

132 МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ [Гл. 6
Возьмем в равенстве C) в качестве ζ величины
,1,2 , /г —1
где k — целое положительное число, и сложим полученные равенства.
Это даст формулу
/г ~ 1 оэ со
= 22 (^ + Т + '^Г = ^'2 (А. + «)- = ^^;1пГ(^г). (9)
Обозначим для краткости
Формула (9) означает, что -^^ In φ B') ^ О или, иначе говоря, что
φ(ζ) = α.^^ A1)
где а и Ъ — некоторые постоянные. Эти постоянные мы попытаемся
сейчас определить.
С помощью уравнения A) без труда находим
k~\\
Л^ + -ъ\-^
а так как, с другой стороны, равенство (И) дает нам φB'-[-1) =
= ^ср {ζ\ то
^ = ^Л A2)
Умножим числитель и знаменатель правой части равенства A0)
на kz и положим 2: -> 0. Это даст
Равенство же (И) дает нам φ @)^== а. Поэтому
{ίΓ=[η1)Γ(ν)]·[··{ί)''('ΐ-1Ι-['-Γ-ΐ^)^A)].
или, принимая во внимание формулу (8),
■Щ^. A3)
. π . 2π *·· . (/г— 1 π
Sin -^- sin -г- sm ^—r~—
k k k
При переходе к последнему равенству мы воспользовались
элементарным тождеством
. 7L . 2π (k — \)Ti k
Sin -г Sin -г- · . . . · Sin
^ o.u-^..... o.u ^ _2,_

121
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ГАММА-ФУНКЦИИ ИНТЕГРАЛОМ
133
которое доказывается так:
т=\ т-=\
е k — е k
2ί
2τζίτη
:2^-^ lim
fg 2τζ im
Π (z-e~i^)\
l
:21-^^ lim
:2'-^'k.
Так как Г (г) ^0 при z'^0, то из формулы A3) вытекает, что
k- 1
Следовательно, сопоставляя равенства A0), A1) и A2), мы получаем
формулу
Г(^)Г(^ + 1,)г(г + |)...г(г
k~\\^^,-''
Bπ) 2 V(kz). A4)
Формулы A), (8) и A4) — это наиболее употребительные
формулы, относящиеся к гамма-функции Эйлера. Из них легко
получаются многие другие. Например, при k^=2 формула A4) принимает
вид
Г (ζ) τΙζ-\- ~) = 2Κπ . 4- ^ Г Bz).
Отсюда находим, что
Г (г + 1) Г (^ + ~] = zV (ζ) Г ί^ + -ij = Κπ 4'' 2ζΓ Bζ) =
= Υπ4-'ΓBζ-{- 1).
Кстати, из последней формулы при ζ = 0 еще раз получаем, что
§ 12. Представление гамма-функции интегралом
Мы покажем, что функция Τ (ζ), определенная в предыдущем
параграфе, может быть представлена определенным интегралом
Γ{ζ)= \f ν dt.
A)
Прежде всего выясним, где этот интеграл сходится.
Положим z = x~{-iy. В силу равенства |^^~^| ===::Р'~*, справедливого
Для всех ^^0, интеграл A) мажорируется интегралом
^ t^~'e~^t = 5 t' 'е 4t + \ t'~'e ' dt

134 МЁРОМОРФНЫЕ функции [Гл. β
При χ^δ, δ^Ο первый интеграл в правой части последнего
равенства мажорируется в свою очередь интегралом
I f'^ du
а при х^/?<^оо второй интеграл в правой части мажорируется
интегралом
\с,е~
t
2 dt
где Ci — некоторая постоянная, зависящая от R. Оба последних
интеграла сходятся, а их подинтегральные функции не зависят от х^
а зависят лишь от чисел δ и R. Поэтому интеграл A) равномерно
сходится при b^x^Ry Ь'^Оу /?<^оо, т.е. в любой замкнутой
внутренней части полуплоскости Re 2-^0.
Представим теперь наш интеграл A) в виде суммы двух
интегралов
1
g^(z) = \t'-'e-Ut B)
о
и
с»
g,^(z) = lf-~'e~4t C)
Из наших рассуждений следует, что интеграл B) равномерно
сходится в полуплоскости Rez^b при любом δ ^ О, а интеграл C)
равномерно сходится в любой конечной части плоскости.
Покажем, что g^iz) — целая функция. Для этого достаточно
показа гь, что интеграл
5 Г 'е-^ dt
при любом α^Ι представляет целую функцию, а затем сослаться
на теорему Вейерштрасса о равномерно сходяи1,ихся рядах
регулярных функций (поскольку равномерно сходящийся несобственный
интеграл всегда можно представить в виде равномерно сходящегося ряда
интегралов по конечным промежуткам). Но

§ 12] ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ΓΑΜζ'νΙΑ-ФУНКЦИИ ИНТЕГРАЛОМ 135
так что нам остается проверить, что последний ряд сходится при
всех Z, а это немедленно вытекает из оценки
а
\ (In tfe~^ dt^{a— 1)(In af.
ι
Перейдем к исследованию функции g^ {ζ). Имеем
оо
if-^e"'
о
При 0^^^1 и при Re^'^l этот ряд равномерно сходится, и его
можно почленно интегрировать по отрезку 0^^^1. Следовательно,
при Re^'^l для функции g\{z) справедливо разложение в ряд
^1(^)-2
(-i)'^
п\ n-\-z
Этот ряд равномерно сходится в любой конечной области
комплексной плоскости (после отбрасывания конечного числа членов,
обращающихся в этой области в бесконечность). Его сумма — мероморфная
функция с простыми полюсами в точках 2" = О, — 1, —2, ... Таким
образом, мы не только доказали, что функция g^ (ζ) регулярна в
полуплоскости Re 2'^ О, но и убедились, что ее можно аналитически
продолжить на всю плоскость, за исключением точек 2' = О, — 1, —2,...,
в которых она имеет свои полюсы.
Следовательно, интеграл A), отличающийся от функции g\{z^
на целую функцию g^{z\ тоже аналитически продолжается на
всю плоскость, за исключением точек z = 0, — 1, — 2, ..., β
которых он имеет простые полюсы.
Проинтегрируем интеграл A) по частям (считая Re^^O, чтобы
интеграл сходился). Это даст формулу
со оо
\t'e-'^t^z\f-^e-^t, D)
о о
Обозначим через g{z) аналитическую функцию, доставляющую
аналитическое продолжение интеграла A) на всю комплексную
плоскость, за исключением точек 2' = О, —1, —2, ..., в которых эта
функция имеет простые полюсы. Из формулы D) следует, что при
Re г ^ О функция g{z) удовлетворяет функциональному уравнению
S{z~γ \) = zg{z)y а из теоремы единственности (см. § 9 гл. 3)
вытекает, что это функциональное уравнение имеет место и при всех ζ.

136 МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ [Гл.6
Рассмотрим функцию
^ ^^ г (ζ) '
Поскольку функции g{z) и τ (ζ) имеют одни и те же полюсы, а
функция Г (ζ) не имеет нулей, φ (ζ) — целая функция. Кроме того, из равенств
g(z-\~ \) = zg{z)y Τ{ζ-{-l)==zV{z) следует, что
φ(^+1) = φ@). E)
Докажем сейчас, что φ B') ^1.
Положим
^/ ч f \nW
функция f(w) является аналитической функцией, которую можно
аналитически продолжить по любому пути, не проходящему через точки
w = 0 и х0==сю. Более того, функция f{w) однозначна, так как
многозначность логарифма компенсируется условием E)
периодичности функции φ B^). Разложим функцию f(w) в ряд Лорана
оо
— CO
который обязан сходиться в кольце 0<^lic;l<^l. Обозначим
Μ(ί])= max |/('ге;)| = тах |φ(^ + /ηI.
Тогда, согласно неравенству для коэффициентов ряда Лорана (см. § 9
гл. 2), имеем
\Сп\е^'''^'^^М(У1) (п = 0, ±1, ±2, .. .)· F)
Оценим величину УИ (η). Положим в формуле G) §11 ζ = χ
и z = x-\'iyy возьмем отношение полученных величин и перейдем
к модулям. В результате получим равенство
Г{х)
11
1 I- у'
(х + .у
V =0
\Т{Х+1У)\
При x^ly у ^ о немедленно получаем отсюда, что
со
т+€
\Т (х-\- iy) I ^^ iJ. \ ' v^ у шу 2'ку
о
Поэтому
1 т'у!
max ΎψΓ,—, . ν, ^QCjg »
где αϊ — некоторая постоянная, не зависящая от у.

§ 12] ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ГАММА-ФУНКЦИИ ИНТЕГРАЛОМ 137
Далее очевидно, что
оо
max \g(x -\~ iy)\^ max {t^^^e'^ dt = (χ^ι,
1<х<2 1<х<2 (J
где ^2 — также постоянная, не зависящая от у.
Следовательно,
π
МО^аз^"^'"· G)
и это неравенство вместе с неравенством F) дает оценку
\c„\^aJ-^-''^''^^)^'^^ (я = 0,± 1,+2,...),
справедливую при любых у. Из этой оценки немедленно выводим,
что Сп=0 при п = ±1у ±2, ..., т. е. что /(г2;)^Со, а значит,
и φ(^) = ^ο. Так как φ(ΐ)=-|^ = 1, то φ(^=1, а g(z)=V(z).
Итак:
В полуплоскости Rez'^0 для гамма-функции справедливо
интегральное представление A).

г л а в а седьмая
ОБРАЩЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
§ 1. Обращение степенных рядов
Нас будет интересовать задача определения функции, обратной
к данной аналитической функции. Уже на примере функции е^ мы
видели, что обратная функция может быть многозначной
аналитической функцией. Однако даже для определения многозначной
аналитической функции необходимо в первую очередь выделить некоторый
ее элемент, т. е. однозначную регулярную функцию. Поэтому сначала
должна быть решена задача о построении степенного ряда,
представляющего функцию, обратную к данному степенному ряду в
некоторой окрестности центра круга сходимости.
Пусть
φ @) = .10+ ^,^2 + .3^^ + .., A)
Для однозначного определения функции, обратной к функции ^? {ζ),
необходихмо и достаточно, чтобы каждое значение Wy принимаемое
функцией φ@), принималось ею ровно один раз. Ясно, что это
условие, вообще говоря, не будет выполнено, если речь идет о значениях»
принимаемых функцией ^ (г) во всем круге сходимости.
Если Ci ^ О, то существует достаточно малый круг с центром
в точке 0 = 0, в котором ряд A) каждое принимаемое им
значение принимает ровно один раз.
Действительно, пусть число р^О меньше радиуса сходимости
ряда A). Когда точка ζ обходит окружность \ζ\ = ρ, точка w^'iß^z}
обходит в плоскости W некоторую замкнутую кривую С. Мы можем
выбрать число Pi^O столь малым, чтобы в круге |0|^pi функция
33@) обращалась в нуль только в точке 0 = 0. Тогда величина
а= min |ξ)]@)| будет положительна. Каждое значение Wq из круга
)z| = pi
\w\<^c/. функция ^^(ζ) принимает в круге |0|^Ρι только один раз.
В самом деле, на окружности |0| = pi выполняется неравенство
\%Чг)\^^>\щ\>

^1] ОБРАЩЕНИЕ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ 139
11 ПО теореме Руше (см. § 9 гл. 5) функция ^^ (ζ) — Wq имеет в круге
\z\^Pi столько же нулей, сколько и функция ^^^ (г), т. е. ровно
один (ибо Ci 9^ 0). Теперь выберем число р2, 0<^p2<^pi, столь малым,
чтобы кривая Ср^ лежала внутри круга \w\<^cf,. Тогда все значения,
принимаемые функцией ""^(z) в круге Ι-εΊ^ρο, лежат в круге \w\<^oi
и по доказанному принимаются этой функцией в круге \z\^pi{aTeM
более в круге |-3Ί^ρ.2) только один раз.
Итак, пусть К—тот круг \z\<^p.2y в котором функция ^$'(z)
принимает каждое значение ровно один раз, г К — область
плоскости Wy ограниченная кривой Ср^ (кривая С^^ является простой кривой,
поскольку функция ^(z) и в точках окружности \z\ = p.2 каждое
значение принимает только один раз). Каждой точке w из
области К^ отвечает одна точка ζ из круга /С. Таким образом,
в области К' определена функция ζ (w), для которой ^? (ζ (w)) ^ w.
Эту функцию мы назовем обратной к функции ^ß (ζ).
Построенная таким образом обратная функция z{w)
регулярна в некоторой окрестности точки w = ^.
Для доказательства этого утверждения рассмотрим интеграл
1^! = Р2
где f{z) — произвольная функция, регулярная в замкнутом круге
|г| £^ Р2, а W — точка из области К'- По теореме о вычетах (см. 8 гл. 5)
l = f{z{w)l
где z{w) — построенная выше функция, обратная к функции ^^.^(г)
(единственный полюс подинтегральной функции — это нуль
знаменателя).
Обозначим
а'= min |φ(ζ)|
(круг |ι^|<^α' лежит, очевидно, в области К)- При \w\<^(j! можем
написать
/(С)Г(С)_ Л01Ч0 , 1
^{i)—w $(ζ) \^ ' $(ζ) ι \ φ (ζ)
Ряд в правой части этого равенства при \w\<^(r! равномерно
сходится на окружности |C| = pcj, и его можно почленно интегрировать
TIC этой окружности. Следовательно, для каждой точки w из круга
.|^1<^а' имеет место равенство
f{z {w)) = ^0 + h^ + h^^^ + ...,

140 ОБРАЩЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ [Гл. 7
где
Тем самым доказано, что функция f(z(w)) регулярна в некоторой
окрестности точки w=^ö. В частности, при f{z)^z получаем наше
утверждение о регулярности функции ziw).
Заметим, что функций, обратных к функции ^ {ζ) и
определенных в некоторой окрестности точки w = ^y может быть много. Наша
функция z{w) выделяется из всех таких обратных функций условием
2-@)=:0 (вместе с условием регулярности или хотя бы
непрерывности в точке w = 0).
Несколько преобразуем выражения для коэффициентов k^. Так
как в круге |С|^Рз функция ^j (Q обращается в нуль только при
ζ = 0, то по теореме о вычетах
k - res 1/@-^^^(^-1
Заметим далее, что при С = 0 функция ^ЦС) имеет простой нуль
(ибо Сх ^ 0). Поэтому функция
/(С) Г (О ^
регулярна в некоторой окрестности точки ζ = 0. Следовательно,
искомый вычет, равный, как мы знаем (см. § 8 гл. 5), коэффициенту
при 1/С в разложении функции
в ряд Лорана в кольце 0<^'|С!<^Р2, будет равен коэффициенту при
С^ в разложении функции
/(С)Ч5'(С)(^)""
в ряд Тейлора по степеням ζ (в силу единственности разложения
в ряд Лорана ряд Лорана первой функции получается делением ряда
Тейлора второй функции на ζ'*"^*). Согласно формуле для
коэффициентов ряда Тейлора
Можно получить и несколько более простую формулу.
Интегрируя по частям в равенстве B) (мы считаем я^1), получаем
формулу
^«^-ώ \ /(C)«i№(C)]" = i \ /'(Орщр· ('>

§ 1] ОБРАЩЕНИЕ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ 141
Ol сюда с помощью тех же рассуждений, что и выше, приходим
к формуле
^- = ^^^(^)^1=0 («=Ь2. ···).
При п = 0 очевидно имеем kQ = f{0).
Таким образом, мы пришли к следующей теореме:
Теорема 1. Пусть ζ (w) — определенная (и регулярная) в
некоторой окрестности точки w = 0 функция у обратная к срунк-
цпи ^4^) (определенной рядом A) с с^ т^ 0) и удовлетворяющая
условию г @) = 0. Если функция f{z) регулярна в окрестности
точки z = 0, то для функции f{z{w)) в некоторой окрестности
точки г2; = 0 имеет место разложение в степенной ряд
f(z (w)) =/@) + k,w + k,w' + ..., E)
причем коэффициенты этого ряда определяются формулами
^'^=а£^4^'(^)(^щ)Ъ («=^' 2····)· F)
Ряд (δ) называется рядом Бюрмана — Лагранжа.
В частном случае, когда f(z)^z, ряд Бюрмана — Лагранжа
принимает вид
ζ (w) = k\w -\- k'c^w^ -j-...,
где
Ясно, что точку z = 0 можно заменить произвольной точкой
ζ = α, г точку w = 0 — произвольной точкой w = b. Результат
принимает тогда следующий вид:
Теорема 1*. Пусть функция ^{z) регулярна в некоторой
окрестности точки ζ = α^ причем ф' (а) у£: О, α ^^s {а) = b. Тогда
в некоторой окрестности точки w = b определена регулярная
функция ζ (w% обратная к функции ^ (г), принимающая в точке
w = b значение а. Если функция f{z) регулярна в некоторой
окрестности точки z = a, то для функции f{z{w)) имеет место
разложение в степенной ряд
f(z {w))^f{a) X-k,(w-b)-^k^(w~bf^,..
с коэффициентами
^„ = i£^.{/'(.)(^|^)\_„. (8)
Предположим теперь, что коэффициент с^ в ряде A) равен нулю,
и исследуем вопрос об обращении такого ряда.
Пусть номер первого отличного от нуля коэффициента ряда A)
равен т^\. Тогда
φ {Ζ) = c^z^ A + c,z + .,0^ + ...) = ν" A + ^;ч {z)\ (9)

142 ОБРАЩЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ [Гл. 7
где функция ^i{z) обращается в нуль при г = 0. Выберем число
р^О столь малым, чтобы | ^sj (г) |<^ 1 при | г | ^ р. Тогда функция
регулярна в круге |2'1^р (ее можно аналитически продолжить по
любому пути, лежащему в этом круге). Заменим уравнение
10 = "^ (ζ)
уравнением
1
,^'я = а(г), £1(г) = /^^гA-Ь^г + ...). A0)
Эти уравнения равносильны, если под w^^^ понимать все значения
аналитической функции w^/^ = explain w).
Применяя доказанную выше теорему, получаем, что
1 2
Ζ (w) ==^ k^w'^-\- k^xiif' -j-..., A1)
где
_ 1 d"'-' и ζ γ\ _ 1 flf^-^ \f ζ \^\
^^— η\άζ''-'\κ^{ζ)] \,^^— η\άζ^-Λ\^ψ^] Г
Таким образом, в случае, когда т^\, функция ζ(w), обратная
к функции ^$^(ζ) (определенная в окрестности точки w=^0 и
удовлетворяющая условию г @) = 0), как однозначная функция уже
не существует (функция w^^^ многозначна в любой окрестности
точки w = b). Однако, как мы видели, ее можно построить как
многозначную ветвь аналитической функции.
Аналитическая функция w^^^^ является //г-значной (см. § 4 гл. 4).
Поэтому //г-значна и функция
L 1
ζ {w) = kiw''' + k'l {^"^f + ...,
аналитическая в кольце О <^| i2^ | <^Pi. Таким образом, если фэункция
^'{ζ) имеет при г = 0 нуль порядка т—1, то функция z{w)y
обратная к функции φ (г), является аналитической ф)ункцией
в кольце 0<^'ΐ2;|<^Ρι (с некоторым достаточно малым pi) и эта
функция т-значна.
Доказанное утверждение немедленно обобщается:
Пусть функция '^{z) регулярна в некоторой окрестности
точки z = a, и пусть ^{а) = Ь. Если функция ψ {ζ) имеет
в точке ζ =^ а нуль порядка т — 1, то функция z{w), обратная
к функции ^{z) (и удовлетворяющая условию z{b) = a),
представляет собой т-значную аналитическую функцию в некотором
кольце 0<^\w — ^ I <^Pi. Эта функция может быть представлена

§2] ПРИМЕРЫ 143
рядом вида
1 1
z(w) = a-\-ki(w-- bY -^-k.^i^iw — bY ■\-.,.у
где
§ 2. Примеры
В качестве первого примера рассмотрим функцию
(аф^ — произвольная постоянная). Функция ^ {ζ) является, очевидно,
целой функцией, отличной от нуля для всех значений ζ -ф^. Возьмем
в качестве функции /(г) в ряде Бюрмана — Лагранжа функцию
/(г) = ^Ч
Тогда имеем равенства
и, согласно формулам E) и F) предыдущего параграфа, получаем
со
^М«')^^^(«" + ^)""'^«. A)
о
\\ъ легко доказываемого равенства
lim j/^J
«5 n-ooV {п-\-\)\ П\
вытекает, что ряд A) сходится в круге \w\<^\—г—.
При Ь = а равенство A) принимает вид
^az^w) ^ у ^п {П+\Г ' ^п ^
о
Но z{w)z=zwe^^^'^^. Поэтому
оо со
о 1
β частности, при а=1 получаем ряд
со

144 ОБРАЩЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ (Гл.7
СХОДЯЩИЙСЯ при \w\<^~ к решению уравнения
ze'^ = W.
Отсюда при ζ -> 1 получаем формулу
оо
1
(можно убедиться, что последний ряд сходится).
Для второго примера положим
^{z)^{e'—\)e^^\ B)
Эта функция ^?(-г) тоже будет целой функцией, отличной от нуля
при г 7^ О, ±:2π/, ... Возьмем f{z)^z. Согласно формулам D) и E)
предь1дущего параграфа
ζ {w) = kiw -)- k^w^ + ' · ·»
где
ZTttn
Интегрирование по частям дает
, ап~ 1 1_ С g^Q^-^^^- ,^
^« —^(^ —1) ы J (^г=Г1OГЧ ^^—
(a/z — l) (aAZ~>2) \ С е'^^-^'^ __
(an— 1) (an — 2)... (а/г— п-^ 1)
Аг! 2π] 3 ^^ — 1
К! = р
И поскольку последний интеграл равен единице, получаем
1 /^^'
Следовательно,
2П\
п)'
Как легко убедиться,
I ^/г I
так что ряд C) имеет (при а-^ О и α^^Ι) радиус сходимости,
равный
(для {а — 1)^'^ и аГ^ берется главное значение).

^21 ПРИМЕРЫ 145
При а = \ получаем
оо
z(w)= 7 — = ln-j
1
(в этом легко убедиться и непосредственно из формулы B)).
В качестве третьего примера найдем разложение в ряд по
степеням W решения уравнения
Согласно формуле (8) предыдущего параграфа
оо
где
I d"--
г-\ ί ίγ2 \\п\ 1 fin-i
^^- п\ dz''
Из равенства D) мы получаем, рассматривая ζ как функцию
переменных W Vi а, что
dz 1
'41->)»=^(ί-')·
Эл I — WZ '
С другой стороны, из того же равенства D) находим
{wzf — w^ = 2wz — 2aWy A — wzf = I — 2aw -\- w'^.
Следовательно,
Ho из равенства E) дифференцированием по а получаем, что
оо
о
Поэтому
I оо
A _ 2aw + w')' 2 = 2 2^ £n {(«^ - 1)"}. G)
0
Это означает, что коэффициент при w^ в разложении функции
A — 2aw ~\~ w^) ^ в ряд по степеням w равен
2п,г1\ da^^^^ ^ <·
ртот коэффициент является, очевидно, многочленом от а степени я.
^Аи многочлены носят название многочленов Лежандра.

146 ОБРАЩЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ [Гл. 7
_ 1
Функция A —2aw-\-w^) ^ регулярна в круге | хг; | <^ г, если этот
круг не содержит корней квадратного уравнения I—2aw -\-Х0^ = {),
Поэтому радиус сходимости ряда G) равен расстоянию от точки
-^^ = О до ближайшего к ней корня этого квадратного уравнения.
§ 3. Оценка радиуса сходимости ряда для обратной функции
В примерах предыдущего параграфа мы определяли радиус
сходимости ряда для функции z{w)y используя явные формулы,
полученные для коэффициентов этого ряда (а в последнем примере даже
используя явную формулу для самой функции z{w)). Однако
формулы F) § 1 для коэффициентов ряда часто приводят к слишком
сложным выражениям, чтобы с их помощью можно было хорошо
оценить радиус сходимости ряда. Поэтому полезно иметь в виду
другие способы оценки радиуса сходимости. Укажем сейчас два способа,
пригодных для этой цели.
Пусть
^(г) = ^1г + ^2^' + ...> ^1У^0,
— мероморфная функция, а ζ {w) — обратная к ^.^ (г) функция,
удовлетворяющая условию ζ @) = 0.
Мы знаем, что на окружности круга сходимости ряда
ζ {w) = kiw -j- ^2^^ -f- · · · A)
должна лежать хотя бы одна особая точка (т. е. такая, что не
существует ряда с центром в этой точке, являющегося
непосредственным продолжением ряда A)). Докажем сейчас следующее
утверждение:
Особой точкой ряда A) может быть лишь точка w^
которая удовлетворяет системе уравнений
w, = ^^{z,\ ψ (ζ,) = ^, B)
или такая, что для нее существует кривая L уходящая в
бесконечность, и
^(z)-^Wo (z^L г->со). C)
Для доказательства заметим прежде всего, что для каждой точки Wq
окружности сходимости ряда A) имеет место одна из двух
возможностей: либо функция z(w) стремится к со при стремлении w к Wq
по любому пути, лежащему в круге сходимости, либо существует
последовательность точек w^ ~> Wq круга сходимости, для которой
предел lim z(Wn) существует и равен конечному числу Zq. Первая
/2 -^ со
возможность означает, очевидно, что выполнено условие C). При этом
в качестве кривой L можно взять кривую, проходимую точкой ζ (w),
когда точка w подходит к точке Wq по радиусу круга сходимости.

^3] ОЦЕНКА РАДИУСА СХОДИМОСТИ 147
Допустим теперь, что имеет место вторая возможность и что числа w^
\\ ^0 не удовлетворяют системе уравнений B).
В этом случае имеем, очевидно, w^ = ^{zq), ψ'(^0)9^0. Согласно
результату § 1 существует функция Ζγ {w), обратная к функции φ (г)
π удовлетворяющая условию Ζχ{χ0^) = ζ^, причем эта функция
регулярна в некоторой окрестности точки w^. Для всех значений w,
достаточно близких к Wq, имеется единственное решение уравнения
^]\i^z)=^w, близкое к ^0- Следовательно, при достаточно больших
номерах η имеет место равенство Zx{Wn)^=^z{Wrj), где w^ — точки
нашей последовательности. Это утверждение остается верным и для
точек Wy достаточно близких к точкам w^^ По теореме
единственности функции z{w) и Zi{w) совпадают в обшей части их кругов
сходимости. Иными словами, ряд z^ {w) является непосредственным
продолжением ряда A).
Таким образом, наше утверждение доказано, и мы можем
высказать следующий рецепт оценки радиуса сходимости ряда A):
Расстояние от точки te; = 0 до ближайшей точки w^^^.
удовлетворяющей условиям B) или C), не превосходит радиуса
сходимости ряда A).
В примере 1 § 2 мы рассмотрели случай, когда ^s {ζ) = ze~"^.
Легко проверить, что условию C) удовлетворяет в этом случае
только значение te;Q = 0. Система B) принимает вид
Wq = z^e-^^^, (α^ο — 1) е"^^^ = 0.
Она имеет, очевидно, единственное решение Zq = — , Wq = —.
Поэтому радиус сходимости ряда для функции ζ (w) не меньше чем
\/ ' а е. Эта оценка совпадает с оценкой, полученной нами в § 2.
Легко проверить, что во втором примере предложенный рецепт
дает тот же результат, что и в § 2.
В случае, когда уравнение ^V(zo) = 0 iie допускает решения
в явном виде, отыскать ближайшую к точке te; = 0 точку w^,
удовлетворяющую системе B), может оказаться не так просто. Тогда
может оказаться более удобным следующий способ.
Мы получали в § 1 ряд A) для функции z(w) из интеграла
разлагая подинтегральную функцию в ряд
ζφ-(ζ) _сг(С) h , t^ \ ( "^ \^ \ \ (^л
и интегрируя этот ряд почленно. Ряд E) равномерно сходится на
окружности интегрирования |С j = р, если выполнено условие 11г^ |<^α(р), где
а(р)= min 1^.401.
1П = р

148 ОБРАЩЕНИЕ АН4ЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ [Гл. 7
Естественно попытаться выбрать число ρ таким образом, чтобы вели·
чина α(ρ) была наибольшей. Единственное ограничение на число р.
состоит в том, что на интервале 0<^р <^ | λ | величина а(р) не должна
обращаться в нуль. Действительно, при этом условии интеграл D)
по теореме Коши не зависит от числа ρ (если только величина ш
достаточно мала). Величина α (ρ) обращается в нуль, если окружность
|ζ| = ρ проходит через нуль функции ^]^(ζ). Поэтому мы должны
искать максимум величины α(ρ) по ρ при условии, что ρ лежит на
интервале 0<:^ρ<:^|λ|, где λ — ближайший к точке г = О нуль
функции ψ (г) (отличный от самой точки г = 0).
Таким образом:
Радиус сходимости г ряда A) удовлетворяет неравенству
г^ max α (ρ), где а(р)= min \^{ζ)\,α λ — ближайший к точке
0<ρ<|λ| ι^'=ρ
г = О нуль функции ^} {ζ) (отличный от самой точки ζ = 0).
Применим выведенные рецепты к так называемому уравнению*
Кеплера
w = '-=^ B@) = α).
sin 2 ν ν / /
(Оно встречается в небесной механике.)
Ограничимся лишь случаем а = ^ .
Сведем задачу к привычному случаю ряда по степеням ζ,
положив 2' = -п--[~^· "Тогда уравнение принимает вид
С
W=- ■ ττ .
COS ζ
Очевидно, что
α(ρ)= min
С
COS ζ
2ρ
e? — e~9'
a λ = οο. Отыскание максимума функции α(ρ) приводит к уравненик>
для р:
2_-J е9-е-9 ^ \ _е9-е~9
е9-\-е-9 ^ {e9-\-e-9Y ^' ρ ^P-j-^~P*
Приближенное решение этого уравнения дает
Ро= 1,195 ..., α (ро) = 0,6627...
Поэтому для радиуса сходимости получаем оценку
г ^0,6627...
Нетрудно проверить, что первый способ дает не лучший результат
так как числа ,,^
го = /ро, 12^0 = φ (/ро)
являются решениями системы B).

ЧАСТЬ ВТОРАЯ
ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Г Л а в а первая
ДВОЯКОПЕРИОДИЧЕСКИЕ МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ
В качестве отправного пункта при построении теории
эллиптических функций мы возьмем теорию периодических мероморфных (см.
гл. б) функций.
Периодические функции (мероморфные и даже целые) встречаются
уже среди элементарных функций. Например, функция е^ имеет, как
мы знаем, период 2π/, функции sin ζ и cos ζ имеют период 2π,
а функции tg г и ctg ζ — период π. Легко построить функцию с про-
— и
извольным периодом ω ^^ 0. Например, /(//)==^'"^ . Каждая рацио-
нальная функция е "^ (с коэффициентами, не зависящими от и) тоже
имеет период ω.
Прежде чем переходить к построению теории эллиптических
функций, изложим некоторое число разнообразных элементарных
сведений, полезных для дальнейшего.
§ 1. Замечания из аналитической геометрии
Замечание 1. Когда точка t пробегает всю
действительную ось, точка z = a-\-bt{Ь ^ 0) пробегает всю прямую,
проходящую через точки а и а-\-Ь. Когда точка t пробегает
отрезок (О, 1), точка z = a-\-bt пробегает отрезок этой прямой
между точками а и а-\-Ь.
Действительно, полагая
а = а' -]- ia'\ b = b' -{- Ш\ ζ = χ -\- iy,
получаем, что
x = a'-\-tb\ y = a''-l~tb'' (—oo<f<co).
Это уравнение является параметрическим уравнением прямой, и легко
видеть, что эта прямая проходит через точки а и а-{~ Ь.

150
ДВОЯКОПЕРИОДИЧЕСКИЕ МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ
[Гл. 1
Непосредственным следствием этого замечания является
Замечание 2. Для того чтобы три различные точки а, Ь, с
лежали на одной прямой, необходимо и достаточно, чтобы
отношение
было действительным числом.
В частности,
Замечание 3. Для того чтобы точки Ь^О и с лежали
на одной прямой, проходящей через начало координат, необходимо
и достаточно, чтобы отношение cjb было действительным числом.
Рис. 30.
Рис. 31.
Замечание 4. Пусть точки а, Ь, а^ Βχ являются вершинами
параллелограмма (перечисленными в порядке их следования при
движении по границе параллелограмма; см. рис. 30). Тогда
а -|-öi = b -\-bi.
Пусть {а, b) — некоторый отрезок. Отрезок (О, d) будет
параллелен отрезку (а, Ь) и одинаково направлен, когдао? = /7 — а (рис. 31).
Применяя это соображение к отрезкам (а, Ь) и {Ь^, а^), получаем,
что
b — α = αι — bi,
то есть, что b -f- bi = a-\- а^.
Замечание 5. Пусть точки а, Ь, aj, bi являются
вершинами параллелограмма (перечисленными в порядке их следования
при движении по границе параллелограмма), ас — точка
пересечения его диагоналей. Тогда
^ аЛ-а, _ Ь-\-Ь,
^— 2 — 2 ·
Действительно, согласно замечанию 1, точка -ψ(α-\-α^ лежит на
прямой, соединяющей точки а и αχ, г точка -iy(b-{-bi) — на прямой.

§2] МНОЖЕСТВО ПЕРИОДОВ КАК ГРУППА 151
соединяющей точки b и Ь^. Но, согласно замечанию 4, а-\-ах = Ь -\-biy
хак что точка с = —^—^ = —^—-' лежит на пересечении прямых,
соединяющих точки а с Ui и b с bi.
§ 2. Множество периодов как группа
Пусть функция f(u) определена для всех комплексных
значений и. Если число ω таково, что для всех и имеет место равенство
f{ii-^r^)^^f(^0> то это число ω называется периодом функции f (и).
Ясно, что число ω = 0 является периодом любой функции f{u).
Говоря о периодической функции, мы всегда подразумеваем, что она
имеет хотя бы один период, отличный от нуля.
Обозначим через 0(/) множество всех комплексных чисел,
являющихся периодами функции f{u).
Теорема 1. Для любой функции f(u) множество 2(/)
образует группу по сложению, т. е. из ^i ζ Ω (/) и ω^ ζ 2 (/) следует,
что ωι-1-ω2ζ 2(/) и —ωιζ 2(/).
Действительно, из равенств f{u ~\-щ-]- ω^) =f(u -]- ωι) =f(u) сле-^
дует, что
ωι + ω,ζ 2(/).
Аналогично
/ (гО = / (и — ωι + ωι) = / (гг — ω^.
В дальнейшем множество 2 комплексных чисел, образующее группу
по сложению, мы будем называть старинным термином «модуль».
В этой терминологии теорема 1 звучит так:
Теорема 1*. Множество 2(/) всех периодов данной
функции f(u) образует модуль.
Пусть даны числа
ωι, ω2, . .. , ω^. A>
С помощью операций сложения и вычитания можем получить из них
любые числа вида
т^щ + т.2Щ -]-... + fn^^k^ B)
где т^, ..., т^ — произвольные целые числа. Поэтому из условий
ωι ζ 2, ω.2 ζ 2, ... , ω;^ ζ 2
вытекает, что
тхЩ -\~· т.2Щ 4" · · · ~Ь ^^k^k ζ. 2.
Иными словами:
1 е о ρ е Μ а 2. Если функция f (и) имеет периоды A), то она
имеет и периоды B).

152 ДВОЯКОПЕРИОДИЧЕСКИЕ МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ ГГл. f
в качестве множества всех периодов мероморфной функции
произвольный модуль принять нельзя. Выясним сейчас, каковы те модули,
которые могут быть множеством всех периодов мероморфной
функции, отличной от тождественной постоянной.
Прежде всего отбросим два крайних случая: модуль, состоящий
из единственного числа ω = 0, и модуль, состоящий из всех
комплексных чисел. Первый случай неинтересен, так как функции,
отвечающие этому модулю, не будут периодическими, а во втором случае
функции, отвечающие модулю, постоянны.
Введем временную классификацию:
Модуль й мы назовем модулем первого рода, если множество
входящих в него точек не имеет предельных точек, отличных от
бесконечности. В противном случае модуль Ω назовем модулем
второго рода.
Теорема 3. Модуль Ω будет модулем второго рода в том
и только в том случае^ если для любого ε^Ο существует
число ω ζ Ω, удовлетворяющее неравенствам О<^| ω |<^ε.
Ясно, что модуль Ω, удовлетворяющий условиям теоремы, не может
быть модулем первого рода, так как точка О является предельной
точкой входящих в него чисел. Остается показать, что точка О будет
предельной точкой для элементов любого модуля второго рода. Если
Ω — модуль второго рода, то существует последовательность ω^, щ, ..,,
для которой шд,—>а при k—> сю. Ясно, что ω^^^ι — ω^^ ζ Ω, и
ω/,+1 — ω^^ -^ 0.
Следующая теорема позволяет нам исключить из рассмотрения
модули второго рода.
Теорема 4. Если функция f{u) мероморфна и не сводится
к тождественной постоянной, то модуль Ω(/) является модулем
первого рода.
В силу теоремы 3 нам достаточно показать, что функция /(гг),
удовлетворяющая условиям теоремы, не может иметь сколь угодно
малых периодов, отличных от нуля. Пусть а — какая-либо точка
регулярности функции /(г/). Для функции /(гг), отличной от
тождественной постоянной, существует такая ε-окрестность точки u = at
что разность f{u)—f{a) не обращается в этой окрестности в нуль
нигде, кроме точки а (см. § 4 гл. 2). Поэтому ни одно число ω,
удовлетворяющее условию 0<^|ω|<^ε, не может быть периодом
функции /(w), и наше утверждение доказано.
Выясним строение произвольного модуля первого рода (в
дальнейшем мы будем говорить только о них), отличного от модуля,
состояихего из единственного числа ω = 0.
Случай 1. Модуль Ω состоит из точек, лежащих на одной
прямой.
Поскольку всегда О ζ Ω, эта прямая должна проходить через
i^aчaлo координат. Возьмем для определенности одну из половин этой

§ 2]
МНОЖЕСТВО ПЕРИОДОВ КАК ГРУППА
153
прямой (на которые разделяет прямую точка 0) и найдем на ней
точку ωι:^^0, которая расположена к точке О ближе других точек Ω
(рис. 32). Такая точка ωι существует, так как множество точек ω ζ Q
не имеет предельных точек в конечной части плоскости. Пусть ω —
произвольная точка модуля Ω. Согласно замечанию 1 § 1 (с а = 0)
имеем а) = Ыр где t — некоторое
действительное число. Так как любое действительное
число t можно представить в виде t = т -\- Гу
где т — целое число, а 0^г<^1, то ω =
= (//г-[-г) ωι. Из условий ωζΩ и ωι ζ Ω
следует, что Γω^ ζ Q. Если 0<^г<^1, то
последнее условие противоречит выбору ω^ как
ближайшей к нулю точки Ω. Поэтому г = 0 и
ο) = /^ωι, где т — целое число. Иными словами, в рассматриваемом
случае числау принадлежащие модулю Ω, являются целыми
кратными числа ωι·
^
ω.
Рис. 32.
Рис. 33.
Случай 2. Модуль Ω содержит хотя бы три точки, не
лежащие на одной прямой.
Пусть три точки модуля Ω, не лежащие на одной прямой, — это
точки О, ωι, ω2. Без ограничения общности можно считать, что внутри
треугольника О, ωι, ω^ и на его границе нет других точек модуля Ω
(этого всегда можно достичь под-
jCi);+(v^ ходящим выбором 0I и ω2, так как
модуль Ω первого рода и в любой
конечной области имеется лишь
конечное число принадлежащих ему
точек). Построим параллелограмм
с вершинами О, ωι, ωι -|- ω.2, щ
(рис. 33). Покажем, что в этом
параллелограмме и на его сторонах
тоже нет точек ω ξ Ω.
Действительно, в треугольнике О, ωι, ω^ и на его сторонах таких точек нет.
Если бы точка ω ζ Ω лежала в другой половине параллелограмма,
то, согласно замечанию 4 § 1, точка
со' = ωι -[- ω2 — ω
лежала бы в треугольнике О, ω^, ω2 (см. рис. 33). Но из условий
^1 ζ Ω, 0J ζ Ω, ω ζ Ω, следует что ω' ζ Ω. Поэтому точек ω ζ Ω нет
и в другой половине параллелограмма.
Пусть теперь ω — произвольная точка модуля Ω. Проведем
прямые через точки О и ωι и через точки О и ω2, а также параллельные
им прямые через точку ω. Получим параллелограмм с вершинами О,
^» ω, а (рис. 34). Согласно замечанию 1 § 1 имеем
■ h^,
: ti^,

154 ДВОЯКОПЕРИОДИЧЕСКИЕ МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ (Гл. 1
откуда
где ^1 и ^2 — действительные числа, которые всегда можно записать
в виде
^1 = ^1 + г, @^Г1<1),
{ηΐγ и т^ — целые числа).
Так как точка
ω — ///ιωι — т^^щ = Γιωι -[- Γ2ω.2
принадлежит модулю 2, она не может, согласно доказанному выше,
лежать внутри параллелограмма с вершинами О, ω^ ωι -[- ω2, ω2 или
на его сторонах. Это возможно лишь
^^ У^ гфи Γι = 0 и Г2 = 0. Следовательно,
О) = /^ιωι -|- A/Z2ÜJ. C)
Таким образом, в рассматриваемом
случае любое число ω ξ Ω выра-
^r-^co^ жается через некоторые два
фиксированных числа ωι ς Ω и щ^ Q
в виде C) (числа ωι и ω2 не зависят
от числа ω).
Заметим еще, что, согласно
замечанию 3 § 1, случаи 1 и 2 можно
охарактеризовать следуюихим образом:
Случай 1. Отношение ~ любых двух чисел ω^ £ Ω и ω2ζ Ω —
действительное число.
Случай 2. Существуют два числа ω^ ζ Ω г? ω2 ζ Ω, для
которых Im — 7^ 0.
(Здесь и всюду дальше мы говорим лишь о модулях Ω первого
рода.)
Подытоживая сказанное выше, мы приходим к утверждению:
Теорема 5. Все периоды мероморфной периодической функции
или являются целыми кратными одного периода щ, или суммой
целых кратных двух периодов ωι и ω2, отношение которых ^^1щ
имеет положительную мнимую часть.
В первом из упомянутых в теореме случаев функция называется
просто периодической, а во втором — двоякопериодической. Примеры
просто периодических функций нам хорошо известны. Двоякоперио-
дических функций среди элементарных функций не существует.
Существование двоякопериодических мероморфных функций (которые и

§31
ПАРАЛЛЕЛОГРАММ ПЕРИОДОВ 155
составляют предмет наших дальнейших исследований) вскоре будет
нами установлено.
Периоды ωι и щ двоякопериодической функции /(w), через
которые любой период ω этой функции можно выразить в виде C),
будем называть основными периодами функции f{ii).
§ 3. Параллелограмм периодов
Пусть ω^ и ω2 — пара комплексных чисел, для κοτορ^ιχ \т — ^ 0.
Соотношение ιΐ:^=ν-]-ηΐιθ)ι-\-т.^^, где т^ и т^ — целые числа,
будем записывать символом
ιι^ν mod (ωι, ω.2)
или словами: числа и и ν сравнимы по модулю (ωι, ω2).
Если числа ωι и ω2 не меняются на протяжении всего
рассуждения (как в настояш.ем параграфе), то, опуская их, будем писать
короче и ^ν.
Точки плоскости, отвечающие сравнимым числам и и ν, мы будем
называть конгруэнтными.
Следующие утверждения настолько очевидны, что мы приводим
их без доказательства:
1. При любом и имеем и^и.
2. Если V ^ и, то и и^ V.
3. Если u^v и v^w, то и u^w.
4. Если u^v и щ^ ·ϋι, то u-\-Ui^v -\- Vi.
5. Вообще, если u^v и щ^Ух, то для любых целых чисел η и
щ имеем пи -f- niUi ^nv -\- ηχν^.
Возьмем произвольную точку и^ и построим параллелограмм с
вершинами и^у ??о-1-^1> , + ^1 + ^^2> ^'о-Ь^2
(рис. 35). Этот параллелограмм мы будем '^о'^^ ίίο-*-ω^+ω2
называть параллелограммом периодов {и^,
построенным на периодах ωι и ω^. К
параллелограмму периодов (Wq) мы причислим
еще точки, лежащие на его сторонах
("о, щ-\-щ) и (i/o, Щ-\-щ)у а также вер- и'д
шину щ (точки на двух других сторонах
и три оставшиеся вершины не включаем).
Иначе говоря:
Точками параллелограмма периодов {и^ являются точки вида
Щ-\-ГхЩ-\~Г:^щ @<Γι<1, 0^Г2<1).
Теорема 1. Произвольная точка ν комплексной плоскости
конгруэнтна одной и только одной точке параллелограмма
периодов {щ).
Действительно, пусть ν — произвольная точка комплексной
плоскости. Построим параллелограмм с вершинами и^, νγ, ν, v^y стороны

156
ДВОЯКОПЕРИОДИЧЕСКИЕ МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ
[Гл. I
которого параллельны сторонам параллелограмма периодов (//^)
(рис. 36). Тогда имеем
v = Vi-\-v^~Uo = (Wo + ti^) + ('^0 + h^d — Щ = Щ+ ^i^h + ^з«)^,
или, представляя действительные числа t^ ц t^ в виде
ti = mi-\- Гр t:i = m^-{-r^ (О ^ Γι < 1, О ^ Г2 <С 1)
(nil и Шс^ — целые числа), приходим к равенству
v = ii^^-^ /^jcoi -|- //ζω.2 -f- riCOj -|- г^Щу
из которого немедленно вытекает утверждение теоремы.
Геометрически этот факт означает следующее:
Рассмотрим две системы равноотстоящих точек
Щу iIq ± ωι, г/д ± 2щ, щ ± 3α)ι, ...,
щ, щ ± ω.2, ?/о ± 2щ, ^0 ± 3ω.2, ... ,
расположенных соответственно на прямых g^ и ^^- Через точки
первой системы проведем
прямые, параллельные второй
прямой ^.2, а через точки второй
^^^^
Рис. 36.
Рис. 37.
системы — прямые, параллельные первой прямой g^. Получим систему
параллелограммов
(г/о +/^ιωι-f-/^2^0) ///1 = 0, ±1, ± 2, .,., ///^ = 0, dz 1, zt 2, ... A)
Утверждение теоремы 1 состоит в том, что эта система
параллелограммов покрывает всю плоскость один раз (рис. 37).
Обозначим через [и] множество всех точек, конгруэнтных точке и.
Еще одно утверждение, равносильное теореме 1, состоит в том, что
каждому параллелограмму системы (I) принадлежит ровно одна
точка системы [и\.

§4] ПОЛЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 157
§ 4. Поле эллиптических функций
Мероморфная функция f{u) называется эллиптической, если она
имеет периоды ωι и ω.2, отношение которых ω.,/ωι не является
действительным числом.
Предположим, что числа ωι и щ заданы, и рассмотрим
множество К всех эллиптических функций, для которых оба эти числа
будут периодами. Множество К обладает следующими свойствами:
1. Любая постоянная принадлежит множеству К.
Действительно, для постоянной любое число, а значит и числа ωι
и т, будет периодом.
2. Если /ι (и) ξ: К и Д {и) ζ /С, то
/i+лех. h-илк. h'U^K. f е/с
(последнее в случае, если f^{u) не тождественный нуль).
Свойство 2 означает, что множество К образует поле функций.
Нулевой элемент поля — функция, тождественно равная нулю. Из
свойства 2 немедленно вытекает
3. Произвольная рациональная функция от функций /j (м), ...,
fn{u), принадлежащих полю К, тоже принадлежит полю К (если
знаменатель отличен от тождественного нуля).
4. Если f{u) ζ /С, то и f (и) ζ К-
Действительно, производная мероморфной функции также меро-
морфна, и свойство периодичности при дифференцировании
сохраняется.
5. Пусть точка а — полюс функции /(/?)€ К^ и пусть глав-
1
мая часть функции f{u) в этом полюсе равна g[-—^— . Тогда
любая конгруэнтная с точкой а точка а' (т. е. такая, что а' ^Ξα
mod(ωl, ω.^)) тоже является полюсом функции f{u) и главная
часть функции f{u) в полюсе а' равна g
\и — а
Действительно, по определению главной части,
где '1^ (и — а) — степенной ряд по степеням и — а, сходящийся в
некоторой окрестности точки а. Пусть а' = а -\- о). Обозначим и' = и -\-о).
Тогда и' — а' = и — а и
/00 = /00 = ^(^) + |5 (« - cO = g[-^^) + %\ (»' - а').
Отсюда следует наше утверждение.
Пусть ßj, a^i, ..., а^ — полюсы функции /(г/) в параллелограмме
^1ериодов (г?о) (каждая точка а^ пишется столько раз, какова

158 ДВОЯКОПЕРИОДИЧЕСКИЕ МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ [Гл. 1
кратность полюса в этой точке). Число г будем называть порядком
функции /(и).
Системы точек [αϊ], [α,], ..., [а^] образуют в совокупности
множество всех полюсов функции f(u). Если из каждой системы [а^^]
выбрать по одному числу а^, то получим г чисел а[, а^, ... , а^,
про которые будем говорить, что они образуют полную систему
полюсов функции f{u).
§ 5. Общие теоремы об эллиптических функциях
Докажем ряд общих теорем, на которые будем часто опираться
при изложении теории эллиптических функций.
Теорема 1. Функция f{u) ^ К порядка г = 0 постоянна.
Иными словами, эллиптическая функция, не имеющая полюсов,
постоянна.
Действительно, если функция f{u) не имеет полюсов, то максимум
ее модуля в параллелограмме периодов конечен. Так как при любых
значениях и функция f{u) принимает лишь те значения, которые она
принимает в параллелограмме периодов, то и для всех и имеет место
неравенство |/(гг)| ^^ С<^оо. По тео-
гР* ^ο'^(-θ;-^ω, реме Лиувилля (см. § 8 гл. 3 ч. 1) целая,
функция f(ιί)·, ограниченная во всей
плоскости, постоянна.
Рис. 38.
Прежде чем переходить к следую-
 '^-(■(и ^^"^ теоремам, договоримся, что обход
^ параллелограмма (??q), отвечающий
последовательности вершин г/о, и^ -|~ ^i>
Но-f~ ^1 4~ ^2' Ηο-|~ω._2 является
положительным обходом его границы (если это не так, возьмем вместо
периодов ωι, ω^ периоды <0j, — ω.^). Стороны параллелограмма (ιι^
в порядке следования при указанном обходе будем обозначать
2, 1*, 2* и 1 соответственно (рис. 38).
Пусть φ (н) — произвольная функция, определенная и непрерывная
на сторонах параллелограмма (г^о). Когда точка и пробегает сторону 1
этого параллелограмма, точка и-\-^х пробегает сторону I* в
обратном направлении, а когда точка и пробегает сторону 2, точка и -[- ^2
пробегает в обратном направлении сторону 2*. Поэтому
^ φ ill) öfz? = ^ { φ (w -j- tüj) — φ (ΐί) \ du ~-\ {φ (μ + ω.^) ~ φ (ΐί) } du, A)
д (Mo) 1 2
где в левой части равенства стоит интеграл по границе
параллелограмма (г/о) в положительном направлении, интеграл по стороне 1

^5] ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ОБ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЯХ 159
берется в направлении от и^ к ио-\-Щу а интеграл по стороне 2 —
в направлении от щ к г/o + ^i·
Возьмем теперь в качестве φ (и) функцию f(ii) ^ /С, причем число и^
выберем таким образом, чтобы на границе параллелограмма не было
полюсов функции f{u). Тогда интегралы в правой части равенства A)
обратятся в нуль. С другой стороны, интеграл в левой части
равенства A) равен умноженной на 2π/ сумме вычетов функции /(и) во
всех ее полюсах, лежащих внутри параллелограмма (г/о). Тем самым
доказана
Теорема 2. Сумма вычетов функции f{u) ^ К по всем полю-
сам, лежащим в параллелограмме периодов, равна нулю.
Отсюда немедленно вытекает
Теорема 3. Не существует функции f{u) ^ К порядка г = 1.
Действительно, если в параллелограмме (Uq) функция f{u) имела бы
только один полюс (первого порядка), то ее главная часть в этом
полюсе имела бы вид С/{и — а), где Ст^О. Но по теореме 2 С=0.
Полученное противоречие доказывает теорему.
Для формулировки следующей теоремы дадим одно определение.
Мы будем говорить, что функция f(u)y отличная от тождественной
постоянной, имеет к-кратную с-точку в точке u = Ui или что она k
раз принимает значение с в точке и = щ, если функция /(м) — с
имеет в точке u = Ui нуль кратности k.
Теорема 4. Пусть функция f{u) ^ К имеет порядок, равный г,
и пусть с — заданное конечное число. В каждом параллелограмме
периодов функция f{u) принимает значение с ровно г раз.
Согласно определению порядка функции f{u) ^ К утверждение
теоремы 4 означает, что число нулей функции f{u) — с ^
параллелограмме периодов равно числу полюсов функции f{u) (или, что то же
самое, числу полюсов функции f{u) — с). Это утверждение является
частным случаем теоремы 2 о вычетах и получается применением этой
теоремы к функции
_fii^ = -,^{in(/00-.)}.
/ (и) —с du ^ V V / / )
Действительно, применяя теорему 2, получаем, что
/(«)-с
д{ио)
а последний интеграл, как мы знаем, равен разности между числом
нулей и числом полюсов функции f{u) ^ /С в параллелограмме (Uq).
(Естественно, что число ?/о приходится опять выбирать таким образом,
чтобы на границе параллелограмма (щ) не было ни нулей, ни полюсов
функции f(u)).

160 ДВОЯКОПЕРИОДИЧЬСКИЕ МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ [Гл.1
Теорема 5. Пусть функция f(ii)^ К имеет порядоКу равный
г ^2, и пусть by, ^^, ... , b,. — нули функции f{u)y а ар а^»..·
..., а^ — ее полюсы, расположенные в параллелограмме периодов (иЛ
(по теореме 4 с с = 0); их число с учетом кратности одинаково. Тогда
имеет место сравнение
^1 + ^2 + . . . + ^г = «1 + 0¾ + · . . + «г- B)
При доказательстве опять предположим, что на границе
параллелограмма {щ) нет ни нулей, ни полюсов функции f{u).
Положим
Эта функция имеет полюсы лишь там, где функция f{ii) обращается
в нуль или в бесконечность. В параллелограмме {и^ такими точками
являются лишь точки bk и ад.. Согласно формуле, приведенной в конце
§ 9 гл. 5 ч. 1 с λ= 1, имеем
i \ «/1^/ώί==ί.ι+...+/.,-(«,+ ...+аД C)
д (Wo)
С другой стороны, из равенства A) и из формул
^'^ "ν(«+ω,) Пи) — - f(u) W
(здесь n=ly 2) следует, что интеграл, стоящий в левой части
формулы C), равен
Hq -j- ω2 Uq-}- ωχ
.^ ν flJUdu — ^- \ ^' ^"^ dl! ί5>
2πΐ ] f(u) '^" 2πί 3 /(«) "^^ (δ>
Щ ΜΟ
(интегралы взяты по соответствующим сторонам параллелограмма).
Написанные интегралы являются целыми кратными числа 2π/.
Действительно, интеграл
jj yj^-du=^ [ dlnfiu) (η=\, 2)
«О «О
равен приращению функции Inf (и) при движении точки и из точки и^
в точку и-\- ω^ вдоль стороны параллелограмма. Поскольку/(м -]- ω^ =
=f(u), точка ^=f(ii) описывает при этом движении точки и
замкнутый путь. Изменение функции In ζ при движении точки ζ по
замкнутому пути равно, как мы знаем (см. § 3 гл. 4 ч. 1), целому кратному
числа 2π/. Следовательно,
2πί Ü u^du = m,^, + m,<^„ F)
д {щ]
где mi Vi т^ — целые числа. Сопоставляя формулы C) и F), приходим
к сравнению B).

§ь1
ФУНКЦИЯ IP {и) 161
Придадим доказанной теореме немного более общую форму, для
qero определим еще одно понятие.
Пусть точки «1, «2, ... , а^ образуют полную систему полюсов
функции f(ii) (см. конец § 4). Любое число 5(оо), удовлетворяющее
сравнению
5 (оо) = αϊ 4- ^2 + ... + öi;.,
будем называть суммой полюсов функции f(u) (это число
определяется тем самым с точностью до прибавления любого периода
функции f{u)).
Аналогично полной системой с-тояек функции f{u) мы назовем
полную систему полюсов функции -7-г-т » а суммой с-тояек функ'
щш f{u) назовем сумму полюсов функции
f{ü)-~C'
Сумму ί^-точек функции /(н) будем обозначать символом s(c).
Применяя к функции /(м) — с теорему 5, немедленно получаем
утверждение:
Теорема 6. Для любой функции f(u) ^ К имеет место
сравнение
S (оо) ^ 5 {с)у
где S (оо) — сумма полюсов функции f(u)y а s(c) — сумма ее с-тояек.
§ 6. Функция ψ (II)
Из теоремы 3 предыдущего параграфа мы знаем, что
эллиптических функций порядка г<^2 не существует. Сейчас покажем, что
эллиптические функции порядка г = 2 уже существуют. Именно,
построим эллиптическую функцию, имеющую в параллелограмме один
полюс второго порядка.
Выберем число п^ таким образом, чтобы точка м = 0 находилась
внутри параллелограмма периодов {и^. Будем считать, что двойной
полюс искомой функции находится в точке гг = 0. Поскольку вычет
в этом полюсе по теореме 2 § 5 равен нулю, главная часть в этом
полюсе равна C/w^. Постоянную С естественно принять равной единице
(любую другую постоянную можно получить умножением искомой
функции на постоянный множитель). Итак, будем строить
эллиптическую функцию f(u)y имеющую в параллелограмме периодов (Uq)
единственный полюс w = 0, в окрестности которого функция f(u)
имеет разложение

162 ДВОЯКОПЕРИОДИЧЬСКИЕ МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ [Гл. I
Легко убедиться, что такая функция f{ii) (если она существует)
определяется с точностью до постоянного слагаемого. Действительно, если
Л ('О ^К W и 00 G ^ — ^^^ такие функции, то их разность /^ (w)—^/¾ (м)
является эллиптической функцией, не имеющей полюсов в параллело-
грамме периодов. По теореме 1 § 5 эта разность постоянна.
Чтобы полностью исключить произвол в определении искомой
функции, будем считать, что ряд φι {li) в точке ?г = О обращается
в нуль, т. е. что в окрестности точки гг = 0 искомая функция {мы
будем теперь обозначать ее символом ί^{ιΐ)) имеет разложение
F(«) = ^ + "^,4").
где ^ (и) — некоторый степенной ряд.
Множество всех полюсов функции р{и) состоит из точек,
конгруэнтных точке 11==0у т. е. из точек вида
α = ω== mi^i -\-m^j^^y A)
где ωι и ω^ — произвольные целые числа. При этом главная часть
функции ^ (а) в полюсе w = ω равна , —г^ (согласно свойству 5 § 4).
Поскольку мы знаем все полюсы функции ^{и) и главные части
в этих полюсах, естественно попытаться построить функцию р(и)
с помощью теоремы Миттаг-Леффлера (или способом Коши (см. §§ 3
и 7 гл. 6 ч. 1)). Для такого построения нужно сначала доказать сле-
дуюп1ее утверждение:
Ряд
1
1
Ιω|
сходится. (Сумма распространяется на все периоды о), за
исключением периода ω = О, что отмечено штрихом у знака суммы*)
Рассмотрим те периоды ω =/;ζιω^-|-^-2^2, для которых
т^ = ±п, —п<^т^<^п,
т^ = ±п, — п<^т^<^п, \ B)
mi = ±n, т^ ==±Пу
и обозначим через
Sn=y.rL· C)
сумму, распространенную на все такие периоды. Число периодов ω,
удовлетворяющих условиям B), равно, как нетрудно подсчитать, 8п,
а их модули не меньше чем kn (здесь k — некоторая постоянная,
зависящая от ω^ и ω^). Поэтому для суммы Sn имеет место оценка

§ G] ФУНКЦИЯ ίΡ (И) 163
и следовательно, ряд
оо
5=2^"
1
СХОДИТСЯ.
в силу доказанной сходимости ряда C) можем применить теорему
§ 5 гл. 6 ч. 1. По этой теореме (с т = 2) ряд
«■') = | + I(^ + i + y) D)
равномерно сходится в любой конечной области (после отбрасывания
конечного числа членов, имеющих в этой области полюсы). Его сумма —
мероморфная функция, имеющая в точках ιι = ω простые полюсы
1
с главными частями .
и — ω
Покажем, что функция
P00 = -C'(") = -iH-yG;7zkp—i) E)
а" ^ Δί \ {и — ω)
удовлетворяет всем поставленным условиям. Действительно, особыми
точками функции Ϋ(ιί) являются только полюсы ί/ = ω с главными
частями --———Tg-. При гг -> О сумма, стоящая в правой части
равенства E), очевидно, стремится к нулю. Остается показать, что
функция f (и) периодична с периодами ω^ и ω^. С этой целью рассмотрим
производную i^'(w) функции Ρ(ιι)> Из формулы E) имеем
Р(гг) = —Д —2У-;—1-^=:,^2У-^—Ц3-
(последняя сумма распространена на все периоды ω, включая период
0) = 0). Очевидно, что
У \ = у ! = у L
^j (Μ + ω^ —ω)^ ^и {η-\-ω^-^ωΥ Ld {ü —
ωΥ
так как множества {ω — ω^} и {ω — ω.^} по-прежнему представляют
собой множества всех периодов вида т^^^^^ -\- //ζ^ω^. Следовательно,
F {п + ^i) = F {nl F {η + ω,) = ^' ill).
Отсюда вытекает, что
FO? + ^J~i^(iO = C„ /2=1, 2, F)
где Q и Q — постоянные. Но из равенства E) сразу видно, что
ρ (г/) — четная функция. Положив в равенстве F) и = — -^ ω^, получим

164 ДВОЯКОПЕРИОДИЧЕСКИЕ МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ [Гл. |
Следовательно,
F(« + ">i) = F(«), i>(« + «^2) = F(«).
Функция $^(м), построенная нами, называется ^-функцией Вейер*
штрасса.
Из теорем предыдущего параграфа сразу получаем ряд важных
сведений о функции ^{и):
Теорема 1. Сумма полюсов s(оо) для функции ^(и) сравнима
с нулем»
Это утверждение (непосредственно вытекающее из определения
суммы полюсов) в сочетании с теоремой б § 5 дает и более
содержательный результат:
Теорема 2. Сумма с-точек функции ψ (и) сравнима с нулем.
Эту теорему можно сформулировать в следующем виде:
Теорема 3. Равенство
F(«) = F(^) G)
выполняется в том и только в том случае, когда
u^v или и^ — V, (8)
Действительно, поскольку функция р(и) имеет порядок г = 2,
она имеет в параллелограмме периодов ровно две с-точки при любом
с. По теореме 2 эти точки, скажем Ui и щ, удовлетворяют условию
Щ + th ^ 0. Любая другая с-точка функции р (и) сравнима либо с щ,
либо с и^. Точки и т V являются с-точками функции j^(u) с с =
= ^(u) = p(v). Это и приводит к условиям (8).
Выясним теперь, для каких значений ν точки ν т —ν конгруэнтны
(в таких точках ν функция ^(и) принимает свое значение ^(ν)
двукратно, т. е. функция ^(и) — IP (ν) имеет нуль второго порядка). Для
конгруэнтности точек ν и — ν необходимо и достаточно, чтобы имело
место сравнение ν^ — ν или, что то же самое, 2г;^0.
Следовательно, для искомых V число 2ν должно быть периодом, т. е. число
V должно быть половиной периода. Иначе говоря, для числа ν должна
быть справедлива одна из формул:
ι; = 0,
v=Y^iy (9)

I о )^
г
Li
IT /
^ /
^7] ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ДЛЯ ФУНКЦИИ ί> (mJ 165
Значениям г; ^0 отвечает значение функции |^>(г;) = оо, а остальным
храм возможностям отвечают конечные значения функции:
^. = К¥), e. = f^-^\ ^3 = ^(¾.
Итак, если с — конечное число у то уравнение ^(и) — с = 0
будет иметь двойные корни в том и только в том случае,
когда число с совпадает с одним из чисел 6γ, е^, е^. Это означает,
111
что уравнение ψ (и) = О имеет решения у ^i, γ (ω^ + ^з), -^ ^·ι·
Если наш параллелограмм периодов (Wo) содержит точку w = 0
и точка Wo выбрана достаточно близко к точке м = 0, то
параллелограмм (г/о) содержит внутри себя и параллелограмм с вершинами О,
\^v -2-(^1 + ^2), γω2 (рис. 39).
Поэтому из теоремы 3 сразу же следует,
что значения βχ, е^у е^ попарно
различны.
Последний факт можно было бы
доказать и другим способом. Если бы,
например, имело место равенство ^j = е^, "^·
то функция ί> (и) — ei = p (и) — е^,
имеюш.ая один двойной полюс в параллелограмме периодов, имела
бы там четыре нуля (по два двойных нуля при м = γ ω^ и Μ = γω2),
что невозможно.
§ 7. Дифференциальное уравнение для функции fiji)
Функция ψ (и) в окрестности точки г/= О имеет разложение
т. е. точка w = 0 является для нее полюсом третьего порядка. Других
полюсов в параллелограмме периодов эта функция, очевидно, не имеет.
Поэтому функция f ill) имеет порядок г = 3 и должна иметь в
параллелограмме периодов ровно три нуля. Согласно доказанному в преды-
, ω, ωι-4-ω2 ω2
дущем параграфе нулями функции являются точки у, —^—, у.
Поскольку эти точки попарно различны, они могут быть только
простыми нулями функции К(//).
с другой стороны, функция
/ (W) = (ί> (W) ~ е,) (ί> (Μ) - е^) ψ (w) — ез)

166 ДВОЯКОПЕРИОДИЧЕСКР1Е МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ [Гл. f
имеет и]естикратный полюс при п = 0 и двойные нули в точках
-ί^, -Ц^—^, -^. Следовательно, отношение
является эллиптической функцией, не имеющей в параллелограмме
периодов ни нулей, ни полюсов (нули и полюсы числителя и знам^-
нателя одинаковы). Значит, это отношение постоянно.
Поскольку в окрестности точки ΐί = 0 имеем
ясно, что Q = 4, т. е. jf>^^ (и) = 4f (и). Тем самым доказана
Теорема 1. Функция р (и) удовлетворяет дифференциальному
уравнению
ρ (и) = 4 φ (и) - е,) φ {ιι) ~ е,) φ (и) ~ е,). A)
Приведем и другой вывод дифференциального уравнения для
функции fP(u), который даст несколько иную форму этого диффе*
ренциального уравнения.
С этой целью напишем более подробно разложение функции i^(w)
в окрестности точки и = 0.
Из равенства
^(")=ίΓ+Σ'(ίΓ^+^-+ί^)=ίΓ-2'(ϊ+ϊ+···)
получаем разложение функции С(гг) в окрестности точки и = Ог
записанное в виде
со 2-1
^-(^^ = ^-Ι'^ΈΪ^Ι' B)
где
с„ = Bп-1J^ C)
(ясно, что сумма Σ'ω~^ ^^ ^^^^ отличным от нуля периодам ω при
нечетном η равна нулю, так как при замене ω на — ω эта сумма
не должна менять своего значения).
Следовательно, разложение функции р(и) в окрестности точки
и = 0 имеет вид
00
F(M) = 1+ 2^«"'"" D>
/г=2
(коэффициенты с^ определяются формулами C)).
Из равенства D) имеем
Г (п) = - I + 2^2« + 4^3«' +...

^ 7] ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ДЛЯ ФУНКЦИИ jp{и) 167
Аналогично
г 00==^-5-^-16.3 + ...,
F(«) = i + |-^+3c3 + ...,
г 00 - 4F(и)^-^- 28с, +...
(выписаны все члены, не стремящиеся к нулю при и —> 0). Из этих
формул легко находим, что
F' (и) - 4F 00 + 20^,ί^ (ιή = - 28^3 +... E)
Эллиптическая функция, стоян^ая в левой части равенства E),
π параллелограмме периодов не имеет полюсов, отличных от u = Q,
но π точка ?/ = 0, как видно из этой формулы, не является полюсОхМ,
Следовательно, эта функция постоянна, и мы имеем равенство
р2 (^^) __ 4J33 (^,) _^ 20c,i> (и) = - 28^3
Вводя обозначения Вейерштрасса
^, = 20с, = 602'Ji, й = 28сз=140 2'^,, F)
приходим к следующей теореме:
Теорема 2. Функция ^ (ιή удовлетворяет
дифференциальному уравнению
rЧn) = ΨЧtι)~g,ίP(u)~g,. G)
Числа g.2 и ^3 принято называть инвариантами функции P(?0
(ίίο поводу этого названия см. § 15 и гл. 4).
Сопоставляя уравнения A) и G), мы видим, что при всех χ имеет
место равенство
4х^ — g2X — g^ = ^{x — ei) {χ — е^) {χ — е^).
Следовательно, величины ^j, е.2, ^з являются корнями кубического
уравнения 4x^ — ^2-^ — ^3 = 0
Величину
Δ = 1 б (^1 - e,f (е, - e^f (е, — e,f
называют дискриминантом.
Поскольку величины ^j, ^.3, е^ попарно различны, дискриминант
Δ отличен от нуля.
Из формул Виета немедленно получаем соотношении
^1 + ^2 + ^3 = 0, ^1^.2 + ^2^3 + ^S^l = ~ -4- ^2' 1
I [ (^^
е^е^е^= — - g^, ä = gl — 21 g^. J

168 ДВОЯКОПЕРИОДИЧЕСКИЕ МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ [Гл. I
С ПОМОЩЬЮ дифференциального уравнения G) легко получить
рекуррентную формулу для определения коэффициентов с^ разложения
функции ^{и) по степеням и в окрестности точки м = 0.
Действительно, дифференцируя уравнение G), получаем
или
Но в силу разложения D)
оо
г (^) = ^ + 2 ί^^ - 2) B/г - 3) с.и'-'^
а
оо
- 10с2 + 6F (И) = - Юс, + 6 {^ + 2 <^п «'"'f =
/1=2
с» 00 /1—2
/1=2 /1=2 Ä=2
Сравнивая коэффициенты при и^^'^ в разложениях функций |^'(м) и
— 10^2 -]- 6^2 (м), находим
/1-2
{Bn-^2)B/z —3)~12}Г;, = б2^А^^-А (^ = 4, 5, 6,...)
Ä=2
ИЛИ
(/2 — 3) BЛ + 1) С;, = 3 (¢-2 ^п-2 + ^3 ^п-3 + · · · + ^/1-2 ^2)
(,2 = 4, 5, б, ...).
Найденная рекуррентная формула позволяет выразить все
коэффициенты Сп через с^ и с^ (или, в обозначениях F), через ^2 и ^д)·
В частности,
_ 1 2 _ 3
^4 "З" ^2 » ^8 TT ^2 ^3»
^76== узB^2^4 + ^1)=тз("з"^' + ^^
Теорема 3. Коэффициенты с^ разложения D) функции р(и)
являются многочленами с положительными юациональными
коэффициентами от инвариантов g^ и ^з·
Это утверждение немедленно доказывается по индукции с
помощью полученного выше рекуррентного соотношения.
Иными словами, эта теорема означает, что суммы
Ö2n = 2j ii^ = 2L (ηΐ,ο,,-\-ηΐ,ω,γ
выражается через суммы О4 и Οβ β виде многочленов с
рациональными положительными коэффициентами.

§8] ТЕОРЕМА СЛОЖЕНИЯ ДЛЯ ФУНКЦИИ Ρ (и) 169
§ 8. Теорема сложения для функции ^{и)
Говорят, что функция ψ (и) обладает алгебраической теоремой
сложения^ если для любых значений itp щ значения φ(Νι), φ (г/о)»
φ (г/j -\- и^) удовлетворяют алгебраическому уравнению, не зависящему
от выбора значений щ и щ.
Нам известны теоремы сложения для показательной и
тригонометрических функций. Сейчас докажем теорему сложения для
функции ί>(Μ).
Рассмотрим функцию f(ii) = ^ (и) — а^(гг) — Ь, где постоянные
а и b выбраны таким образом, чтобы функция f(u) обращалась в
нуль в двух произвольно заданных точках щ и щ. Если обозначить
F Ы = /^1, F Ы=Р[^ F (Щ) =Р^^ F (Щ) =Р',^
то для чисел а т b получим систему уравнений
api-\-b=p[y ap,^-\-b=p[. A)
Функция f{u) имеет в параллелограмме периодов только один полюс
третьего порядка при w = О, так что ее порядок г = 3, а сумма п.олю-
сов s{od) сравнима с нулем. Поэтому, согласно теореме б § 5, сумма
ее нулей также должна быть сравнима с нулем. Два нуля сравнимы
с щ и щ соответственно. Следовательно, третий нуль должен быть
сравним с — (щ -\- щ). Иными словами, точки щ, щ, — {щ -\- и^
образуют полную систему нулей функции /(м).
Обозначим
F (и, + il·,) =/7з, F {Щ + Щ) =Рг
Замечая, что р'(и) — нечетная функция, можем написать уравнение
ар^~\-Ь= — р1у равносильное условию f( — щ — и^) = 0. Положим
в дифференциальном уравнении
F4«)=4F(«)-^P(«)-§-3
для функции р(н)
и = Щу и = Щу 11= — (Wi -|- Щ),
Получающиеся равенства означают, что уравнение
^х^ — g^x — g3 = iax -\- bf B)
имеет корни
х=Рь х=р^, х = Рг' C)
Если числа C) попарно различны, то они представляют собой все
корни уравнения B). Тогда формулы Виета дают соотношения
Р1+Р^+Рг = -^у
Р1Р2+Р^Рг+РгР1= —у —f» } D)

170 ДВОЯКОПЕРИОДИЧЕСКИЕ МЕРОЛЮРФНЫЕ ФУНКЦИИ [Гл. #
Из равенств A) находим, что
д^ P'i—P2 ^^PiP'2--p2P[
Pi—Pi' Pi-~P2 '
и первое из уравнений D) дает следующее утверждение:
Теорема 1. При любых значениях и^ и щ справедливо равен*
cm во
Р„„ + ,.,=-Р,„,,-Я..,)+|(t{bb^»
Мы доказали эту теорему пока лишь в предположении, что зна^
чения ^{Ux)y iP(ih)y ^{11\-\-щ) попарно различны. С помощью теоремы
единственности для аналитических функций (см. ч. 1 § 9 гл. 3) эта
ограничение немедленно снимается.
Поскольку значения ψ'{иχ) и ^(гг^) алгебраически выражаются
(из дифференциального уравнения) через значения ί^(?/ι) и ^(iic^
соответственно, теорема 1 дает нам искомую теорему сложения для
функции F00· Эта теорема сложения в виде, свободном от значений
Ψ'{Ui) и FO^?)» имеет вид:
Теорема 2. Величины
Рх = F (wi), /?2 = F (Щ)> Рг = ^ (til + Щ)
связаны алгебраическим соотношением
(Pi +Р^ +Рг) (^PiPm — gu = (PiP^ +ΡΨ2 +Ρ^ι + ff·
Для получения этой формы теоремы сложения нужно исключить
постоянные а и b из уравнений D).
§ 9. Выражение произвольных эллиптических функций
через функцию jf>(u)
Пусть f{u) — произвольная эллиптическая функция с заданными
периодами ωι и ω.2. Покажем, что функция f(u) может быть
выражена некоторым образом через функцию ^(н) (с теми же периодами).
Сначала рассмотрим случай, когда f(u) — четная функция.
В этом случае, если точка и^ будет нулем (или полюсом)
функции f(u)y то и точка — Ui тоже будет нулем (или полюсом) этой функции
(при этом точки Uly для которых г?!^ — Ui обязаны быть нулями
четной кратности, соответственно полюсами четной кратности). Таким
образом, порядок функции f{u) — четное число. Обозначим через
/?;, /?;, ..., Κι,
полную систему нулей функции /(//), а через
а[, а^' ···' ^^'л

^91 ВЫРАЖЕНИЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ ЧЕРЕЗ JP (и) 171
— полную систему ее полюсов. (Каждый нуль или полюс пишем в
соответствующей последовательности столько раз, какова его
кратность). Вместе с каждой точкой b's в соответствуюпдую
последовательность входит точка, сравнимая с — b's- Точки, для которых /?1 =
== — D's, входят четное число раз. От каждой пары точек b'si и b's^, для
которых b'si-]- b's^i^O, берем по одному представителю. После такой
операции получаем последовательность
/?1, /?2, . . . , bk
пулей функции /(«)· Аналогично строим последовательность
aj, α^, ..., Ufj
полюсов фу[1кции /(?/)· Эти последовательности не дают уже полную
систему нулей и полюсов, но полная система нулей имеет вид
bi, b^ ..., bk, -^1, — г?2, ..., —bk. A)
а полная система полюсов — вид
йу, 02, . . . , а/г, «1, «2» · · · > — CLk· B)
Рассмотрим функцию
^^''^— W(u)-p{a,)}...{^(ii)~j^{ak)} '
Полная система ее нулей совпадает с системой A), а полная система
полюсов — с системой B). Поэтому функция γγτΚ будет
эллиптической функцией, не имеющей полюсов, т. е. постоянной. Тем самым
доказана
Теорема 1. Любая четная эллиптическая функция с
периодами ojj и ωο является рациональной функцией от функции p(ii)y
построенной по этим периодам.
Пусть теперь /(//) — нечетная эллиптическая функция.
Функция ί^' (и)'— тоже нечетная, так что функция нгуЛ будет четной эл-
липгической функцией. Применяя к этой функции теорему 1, мы
полумаем утверждение:
Теорема 2. Произвольную нечетную эллиптическую функцию
с периодами ωι // ω2 можно представить в виде произведения
функции р'(и) на рациональную функцию от функции ψ {и), где
функция ^'^(и) построена по тем же периодам.
Пусть теперь f{u) — произвольная эллиптическая срункция.
Запишем ее в виде
/(") = Ϋ {/(«) + f (- «)} + \{Пп) - /( - 1,)\.
Первое слагаемое в правой части является четной эллиптической

172 ДВОЯКОПЕРИОДИЧЕСКИЕ МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ [Гл. I
функцией, а второе — нечетной эллиптической функцией. Комбинируя
теоремы 1 и 2, приходим к утверждению:
Теорема 3. Любую эллиптическую функцию f(u) с периодами
«)i и ω.2 можно представить в виде
nu) = R^(u))-\-r(u)R,(piu)l
где R (ζ) и Ri (ζ) — некоторые рациональные функции, а функция
Ρ (и) построена по периодам щ и щ.
Ясно, что и обратно, произвольная рациональная функция от ψ {и)
и F(w) будет эллиптической функцией с периодами ωι и ω.2. Ясно
также, что любая рациональная функция от ^{и) и F00 может быть
приведена к виду
R(F(«)) + F(w)Ri(F(w))>
так как квадрат функции К(^0 в силу дифференциального уравнения
для ψ (и) является многочленом от ^ (и).
Применим доказанные теоремы к производным функции ^{и).
Производная ^ ^^'^^ (и) четного порядка 2п является четной функцией,
так что по теореме 1 она будет рациональной функцией от ^(и)
Производные нечетного порядка — нечетные функции, и по теореме 2
они могут быть представлены в виде произведения р'(и) на
рациональную функцию от ^(и), В соответствии с этим напишем
ί> W („) = /?Л^(«)).
Тогда, очевидно,
р(а''+1)(„) = /^;(^э(„))Г(и).
Дифференцируя последнее равенство еще раз и вспоминая, что
r(«) = 6F(«)-Y^3
(это равенство мы получили выше, дифференцируя уравнение для
функции ^(и))у получаем рекуррентную формулу
Rn^i т=Rn т F F - f) + Rn (Ρ) (ψ - йР - εύ·
При помощи этой рекуррентной формулы легко получить некоторые
сведения о рациональных функциях ^(-г). Например, по индукции
без труда доказывается, что рациональная функция Rn{z) является
многочленом степени п-\-\ и что коэффициент при старшей
степени этого многочлена равен {2п-\-\)\.
Это утверждение допускает интересное обобщение:
Теорема 4. Функцию f(ii\ имеющую в параллелограмме
периодов только один полюс при и = Оу можно представить в виде
Пи)=ρφ (и)) + F («) Pi {Р СО).
где Ρ {ζ) и Ρι(ζ) — многочлены.

§9] ВЫРАЖЕНИЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ ЧЕРЕЗ IP {и) 173
Действительно, напишем, согласно теореме 3, представление для
функции f(ii) с рациональными функциями Ρ (ζ) и Ρι(ζ). Если бы
функция Ρ (ζ) обращалась в бесконечность при каком-либо конечном
значении ζ, то функция f{u)-\-f{ — и)=^2Рψ(ιι)) обращалась бы в
бесконечность в некоторой точке w, не конгруэнтной нулю.
Поскольку этого не может быть, рациональная функция Ρ {ζ) не
обращается в бесконечность при конечных значениях ζ и, следовательно,
она — многочлен.
По тем же соображениям функция F00i^i(F(w)) не может
обращаться в бесконечность ни в одной точке, не конгруэнтной нулю.
Если мы допустим, что функция Ρ\ψ{η)) обращается в
бесконечность в точке Wi φ О, но произведение ^' Ρ ψ) конечно в этой точке,
то f'{ii\) = 0- Тогда функция ^/Ρψ(ΐί)) регулярна в точке u = Ui и
из равенства
an \р, φ {и))\ и^щ"^^ ^"^^ Tz ЛРЩ ζ = ^ (я,)
видим, что в точке щ функция '^1Р(р{и)) имеет нуль не ниже
второго порядка, так что функция Ρ Φ {и)) имеет полюс не ниже
второго порядка. Но нули функции К(м) простые. Поэтому вместе с
функцией Ρ ψ {и)) при u = Ui должно обращаться в бесконечность и
произведение F (и) Ρ {р (и)). Теперь с помощью тех же рассуждений,
что и выше, убеждаемся в том, что Pi (ζ) — многочлен.
Применим теперь теорему 1 к функции ^(пи) (п — целое число).
Эта функция является четной эллиптической функцией с периодами
ωι и ω.^. Поэтому из теоремы 1 сразу следует так называемая
теорема умножения для функции i^(w):
Теорема 5. Функция f^(nu) (η — целое число) представляется
в виде рациональной функции от ^(и).
Конкретные формулы легко получаются из теоремы сложения.
Например, из формулы
§>(и + щ)= _p(„)-F(«0+ |(yg)~^'Sy. C)
полагая м^ -> w, получаем, что
^ЗBи)=-2Р(«)+1(|1§>У
или
1
И2«)=-2И«)+4 4Г(«)-..Р(«)-.,
F («) + γ й F («) + 2^3 Р(п)+^ gl

1 74 ДВОЯКОПЕРИОДИЧЕСКИЕ МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ [Гл. ί
Заменяя в формуле C) Ui и 2м, получаем выражение для функции
^С^и) и т. д.
Следует заметить, что ценность теоремы 3 — основной теоремы
этого параграфа — не в частных ее проявлениях. Она дает ответ на
принципиальный вопрос о структуре всего поля эллиптических
функций с заданными периодами.
§ 10. Дальнейшие свойства эллиптических функций
Пусть /(//) и /i(//) — две какие-либо эллиптические функции. По
теореме 3 предыдущего параграфа можем написать
f(ii) = R^ (Μ), F (и))> Л (η) = Нг φ (и). F (^0),
где R(ZyW) и Ri{ZyW) — рациональные функции своих переменных.
Присоединяя к этим равенствам уравнение
и исключая из полученной системы уравнений ^(и) и F 00'"Случаем
уравнение G{f{u), f^(a)) = 0, где Q(ZyW) — рациональная функция
своих переменных (разумеется, не зависящая от и). Тем самым
доказана
Теорема 1. Между любыми двумя фиксированными
эллиптическими функциями f{u) и fi{u) (с одинаковыми периодами ω^
и ω^) существует алгебраическая зависимость.
В частном случае, когда f^{u) = f {и), из теоремы 1 следует
Теорема 2. Каждая эллиптическая функция удовлетворяет
некоторому (зависяпхему от этой функции) алгебраическому
дифференциальному уравнению, т. е, уравнению G(f{u\ f'{u)) = 0, где
Q(ζ, w) — рациональная функция.
С помощью тех же идей доказывается
Теорема 3. Каждая эллиптическая функция обладает
алгебраической теоремой сложения (зависящей от функции).
Действительно, по теореме 3 § 9
f(jt) = R(f{u\ FOO).
В частности, при M = Mi-j-i/2 имеем
fiih + ih) = ΗΨ{Щ + th). F0^1 + th)y A)
По теореме сложения для функции ^(ii)
Ψ (ί/i + и^) = Ri (/?!, /?;, р.г, /?;), B)
где Ri — известная нам рациональная функция своих переменных^
которые обозначают
Ρι = ί^ ("ι)> Р[ = F («ι)' Pi = F (пд> P2 = К (^/·2>

E)
cj 11] ФУНКЦИЯ ζ {и) 175
Дифференцируя равенство B) по «ι, получаем
F ( + «i) =Р[ -^ + Г («ι) 1^ = /^2 (FvP[,PbP'^ C)
(мы воспользовались равенством Ρ'= 6J^^— -0-^2)· Подставляя теперь
выражения B) и C) в равенство A), получаем равенство
f(ih -\-ih) = R^(PvP[^Pi^p'd· D)
Кроме того, справедливы eui.e и равенства
f{ih) = R iPvPll f{ih) = R (Ρ^,^ρΙΙ
Ρ? == Ψ, —g^Pi— ^з> Ρ2^ = Ψ2 — g^P^ — g
Из пяти уравнений D) и E) исключим четыре величины
PvPl^P^^Pr
Тогда придем к уравнению вида
что и нужно было получить для доказательства теоремы 3.
В связи с этой теоремой заметим, что Вейерштрасс в своих
лекциях имел обыкновение начинать с вопроса о виде аналитических
функций, обладающих алгебраической теоремой сложения. Он
доказывал, что при некоторых дополнительных условиях такие функции
будут эллиптическими (или рационально выражаются через
показательную функцию). Доказывать эту теорему мы не будем.
§11. Функция С(»)
Рассмотрим теперь несколько подробнее функцию С(м), с помои1ью
которой мы строили функцию ^{и) (ее производная равна —^^(^0)·
Согласно формулам D) § б и B) § 7
^00 = - + 2 (ϊΓ=:^ + ω+ωΟ=¥-^^Τ-^3-5--... ei)
VI3 последнего представления сразу видно, что С(—и) = — C(w)>t. е.
что ζ {и) — неяетная функция.
Выясним, как меняется функция С(«) при добавлении к
переменной и одного из периодов ω^ или ω^ функции ψ {и).
Обозначим
С {и + ω,) ~ Г (гО = η, (^=1,2). B)
1ак как

176 ДВОЯКОПЕРИОДИЧЕСКИЕ МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ [Гл. ι
ТО величины ηι и -qo постоянные. Найдем их выражение через ω^ и ω^.
С этой целью положим в равенстве B) и = — ~ и воспользуемся
тем, что ζ (и) — нечетная функция. Это даст нам формулы
η, = 2ζ(ί^) (^=1,2). C)
Ясно, что эти выражения для ηι и η.3 действительно являются функ<
циями от величин ωι, ω2 и только от них.
Последовательно применяя равенства B), мы получаем, что
ζ (и -f- Щ^1 + т^щ) = (;(«)-[- ЩЪ + ^чЪ D)
(nil и т^ — целые числа). Иными словами:
При увеличении переменной и на период ω = т^щ -\- ηι^^ω^
функции ^{и) функция C(w) получает приращение η, составленное из
величин ηι и η2 тем же способом, каким период ω составлен из
периодов щ и щ.
Величины ηι, η2 и ω^, щ связаны между собой одним простым
соотношением
^1^2 — η^^ι = 2π/, E)
которое обычно называется соотношением Лежандра,
Для доказательства соотношения Лежандра заметим, что в
параллелограмме (гго) (параллелограмм периодов функции ^{и)) функция C(w)
имеет только один простой полюс с вычетом, равным единице. ПоэтОхМу,
применяя к интегралу от функции С(м) по границе параллелограмма (w^)
формулу A) § 5, получаем формулу
\ {С (W + ωι) — С (W)} du-^ \ {С (м + ω^) — ζ (и)] du = 2π^
«о ио
из которой В силу соотношений B) немедленно вытекает равенство E).
§ 12. Выражение эллиптических функций через функцию ζ (г/)
Мы знаем, что мероморфная функция ζ (м) имеет в точке м = О и
во всех конгруэнтных с ней точках простой полюс с вычетом,
равным единице. Поэтому функция С(м — а) имеет простой полюс с
вычетом, равным единице, в точке и = а и во всех конгруэнтных с ней
точках. В окрестности точки ιι = α, согласно формуле A) § 11, имеет
место разложение
Uu-αλ — -^ . Olzif)! . ifizzf)! т
Q(w —α)__-_ —ί:^ 3 ^3 5 ··· (^^
Пусть /(μ) — эллиптическая функция с периодами ωι и ω^, имею-
ш.ая в параллелограмме периодов {и^ только простые полюсы αχ,

§121 ВЫРАЖЕНИЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ ЧЕРЕЗ ζ (и) 177
а^, ..., а^ с вычетами Л1, Лз, ..., Л^ соответственно. По теореме 2 § 5
сумма ^1 -]- Лз -]-... -|- Л^ этих вычетов равна нулю.
Покажем, что функция
φ (и) = Ali (и — αϊ) -|-... -f Ari {и — а,)
имеет периоды ω^ и ω.^. Действительно, по формуле B) предыдущего
параграфа
φ (tt + Щ) = ? («) + Л^щ + · · · + АгЩ = φ (м)»
так как Л1-|-^2 + · · · + ^γ = 0·
Кроме того, ясно, что функция φ(Μ) имеет в параллелограмме
периодов (Мо) те же полюсы и те же вычеты в этих полюсах, что и
функция /(м). Поэтому разность f(ii) — φ(Μ) будет постоянной, как
эллиптическая функция, не имеющая полюсов.
Заметим, что если точку а^ заменить какой-либо другой точкой,
конгруэнтной с точкой Ugy то соответствующая функция φ(Μ) будет
отличаться от прежней лишь некоторым постоянным слагаемым. Тем
самым доказана
Теорема 1. Пусть эллиптическая функция f{u) имеет
только простые полюсы, и пусть а^ а^у ..., а^ — полная система
этих полюсов с главными частями в них
и — ύί/ и — «2 и, — üf.
Тогда
/(и) = Л + Л1(:(м —а1) + ... + Л,С(м~аД
где А — некоторая постоянная.
Так как
ζ(„_α)=_L·4-У( ! +l + fiz;£\ B)
то теорема 1 дает способ разложения функции f{u) в ряд
простейших дробей.
В качестве примера рассмотрим функцию
f(it) =
ψ{η)~ψ{υ)^
где V — некоторое фиксированнее число. Сначала сделаем допущение,
что точки V и —1/ не конгруэнтны, т. е. что число ν не период и
не полупериод.
Для нашей функции точки τ;, —τ;, О образуют полную систему
1 1 2
полюсов с главными частями , —■.—, соответственно.
и — ϋ' и-\-υ * и
Действительно, в точках ν и — ν числитель отличен от нуля (поскольку
νφ — v)y а знаменатель имеет нуль первого порядка, причем очевидно»

178 ДВОЯКОПЕРИОДИЧЕСКИЕ МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ [Гл. ι
что при it-^±v
^0 ^ιή _ ρ (ν) ^ (и - ν) F (ν), f (II) — f{v)^ (II + τ;) ψ {— ν).
Β точке w = 0 числитель имеет полюс третьего порядка, причелг
2 1
Ψ(ιι)γ^ -^ а знаменатель — полюс второго порядка и ^(и)^^—^^
Теорема 1 дает формулу
ρ J^^l ^^^ ^ л + с (я + г>) + ζ (и - г>) - 2; (,0- C>
Чгобы найти постоянную Л, заменим и на —п. Тогда получим
^'^''^ =Α~1(ιι — ν) — Χ^(ιι-\-ν)-^Ί(^{η\ D>
γ{ιι) — ^^{ν)
поскольку f (и) — четная, а С(гг) и ^' (и) — нечетные функции. Складывая
формулы C) и D), видим, что Л = 0.
Теперь поменяем в формуле C) местами значения ни ν, а затем
сложим полученную формулу с формулой C). Это приведет нас
к формуле
которая носит название теоремы сложения для функции С(«)·
Дифференцируя послед11ее равенство по и или по ν, получаем
новую форму теоремы сложения для функции j^{u):
Ясно, что все выведенные формулы справедливы без всяких
ограничений на и и V. В этом можно убедиться с помощью теоремы един-
ственности для аналитических функций.
Перейдем теперь к случаю, когда функция f{u) имеет не только
простые полюсы. Пусть it = a — какой-либо полюс функции f{u\
Главную часть функции f{ii) в этом полюсе можно записать в виде
Из равенства B) легко усмотреть, что ту же главную часть в полюсе
и = а имеет функция
ЛС (и ~ а) + АХ (?г — а) +... + А^^~Ч^^~'^ (п — а).
Поэтому совершенно аналогично теореме 1 доказывается
Теорема 2. Произвольная эллиптическая функция f{u) может
быть представлена в виде
f{u) = с + V {Λζ („ _ а) + ЛХ' (н - а) +...
" ... + Л'*-1>",'*-')(« —ß)j. F)

§ 131 ФУНКЦИЯ а {и) 179
где сумма распространяется на все различные полюсы функции
f(u)y лежащие в одном параллелограмме периодов. Постоянные Л,
А\ ..., отвечающие полюсу и = а, получаются из главной части
срункции f{u) в этом полюсе, записанной в виде E).
Производные от функции С(гг) могут быть выражены через функ-
иию ^{и), так что формула F) может быть записана в виде
f^ii) = C-\-^\A^An-a)-\-A^{u-a)-\-.,.-\-A^'-'Y^-^)(u-a)\.
а
§ 13. функция <2(ll)
Проинтегрируем ряд
по некоторому пути, соединяющему точку О с точкой и (и не
проходящему через точки ω). В результате получим
й«'>-1)^'=2('"('-а+^+а) <"
о
(значение логарифма под знаком суммы определяется контуром
интегрирования).
Бесконечное произведение
представляет собой целую функцию, для которой точки ?ί = ω являются
простыми нулями (см. § 9 гл. 6 ч. 1). С помощью функции σ (г/)
формулу A) можно записать в виде
Дифференцирование формулы B) дает равенства
C(») = |^lna(„) = ^:j C)
и
Роо=-соо=°'^^"^7-;;"^°^"^ D)
Таким образом, мы получили выражение функции ^(и) и р(г/) через
целую функцию о (и). В частности, заметим, что равенства C) и D)
дают представление мероморфных функций ζGί) и ^^(и) в виде
отношения целых функций.

180 ДВОЯКОПЕРИОДИЧЕСКИЕ МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ [Гл.1
Познакомимся со свойствами функции а (и).
Из равенства B) и из формулы A) § И получаем равенство
где E)
^?w=2
2/2B/2—1)
/1 = 2
Так как по теореме 3 § 7 коэффициенты Сс^, с^у ... являются
многочленами от величин ^2 и ^з» причем коэффициенты этих многочленов —
рациональные числа, то справедлива
Теорема 1. Разложение целой функции о (и) в ряд по
степеням и имеет вид
а (и) = и-\- k^u^ + Ä'gw' + ..., F)
где числа kg являются многочленами от величин g^ и g^, причем
коэффициенты этих многочленов—рациональные числа.
Из формулы F) немедленно вытекает
Теорема 2. Функция σ(м) — нечетная функция и.
Выясним, как меняется значение функции а(м), если значение и
увеличить на период {и = т1^и^-\-т^щ функции ψ {и).
Как мы знаем, ζ(«-1-ω) = ζ(Μ)-|-η, где η = Wi% +/;ζ2η2. Поэтому
из формулы C) следует равенство
^' {η + ϋή _ а^(ц) _,
σ (α + ω) σ {и) ' ■*
интегрируя которое получаем, что In σ (м -|- ω) = In σ {и) -\-x[u-\- с или
c{u-\-(ii) = Ce'^v'^*^) с{и).
Постоянную с еще нужно отыскать. С этой целью положим в
последней формуле и = 2" · Если число γ не будет целым периодом,
т. е. если хотя бы одно из чисел т^у т^ будет нечетным, то
/ω '
"'.2
■τ)
Если же -у — период, то последняя формула неприменима, так как
oidt^j обращается в нуль. В этом случае
(-¾

§14] ВЫРАЖЕНИЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ ЧЕРЕЗ О {и) 181
поскольку функция а'(м) — четная функция, и α'Ιψ\φΟ (все нули
функции а (и) — простые).
Таким образом, доказана
Теорема 3. Пусть
(/^1 и т^ — целые числа). Имеет место равенство
σ (W + ω) = εσ {и) exp (η (w + Щ, G)
^()е ε=1, если кисло ω/2 — период, иг = —1 в противном случае.
Так как число mi-\- т^^-^- m^m^j, будет четным тогда и только
тогда, когда четны и mi η т^, величину ε можно записать с помощью
формулы
В частности, из теоремы 3 получаем формулы
σ (и -f- ωι) = — σ (и) exp {jii [и + "Щ ,
σ {η -f- Ш2) = — σ (и) exp ^η2 [ΐΐ + γ]) · J
(8)
Из этих формул можно в свою очередь обратно получить формулу G).
Рассмотрим еще отношение
φ A1) = -) f,
^ ^ ^ а (и — а) '
где а и b — две произвольные постоянные. Из формулы G) сразу
получаем равенство
<р (м -|- ω) = ? 00 ^"^ ^"^"" *^· (9)
§ 14. Выражение эллиптических функций через функцию а (и)
Пусть / (и) — произвольная эллиптическая функция порядка г
(с периодами ω^ и ω2), и пусть biy b^y ..., bj. — полная система нулей
этой функции, а а^, аз, ..., а^ — полная система ее полюсов. По
теореме 5 § 5
Без ограничения общности можно считать, что даже
«1 + «2 + . . . + «г = ^1 + ^2 + . . . + ^г A)
(для этого достаточно заменить одну из точек а^ или Ь^ на
выбранную надлежащим образом конгруэнтную точку).

182 ДВОЯКОПЕРИОДИЧЕСКИЕ МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ [Гл.1
Покажем, что при выполнении условия A) функция
ρ /^^ч ^ σ(^—6^)а(ц —6,) ... σ {u — br)
^^ σ (μ — α^) a (и — öo) ... σ (м — а^)
имеет периоды ωι и ω^. Действительно, в силу формулы (9)
предыдущего параграфа и условия A)
F (и -\-ω) = Ρ (и) ехр {η (αϊ - ^0 +... + η («. - ^)} = F (u)^
Далее, функция F(u) имеет те же нули и те же полюсы, что и
функция f(ii). Следовательно, отношение этих двух функций равно
постоянной (как эллиптическая функция, не имеющая полюсов).
Поэтому справедлива
Теорема 1. Любую эллиптическую функцию f(u) можно
представить в виде
/(„)=c^!"-''|-°!"-'i
' ^ ^ а (и — öj) ... σ (// — а^)
Здесь С— постоянная, ϋχ, />.2, ..., Ь^ — полная система нулей функ-
ции f(u)y а «1, а.2' ···> ^г — полная система ее полюсов, причем эти
системы выбраны так, чтобы выполнялось условие A).
В качестве примера рассмотрим функцию
f{u) = f{u)~io(vi
где V — произвольное число, не равное периоду. Выбрав полные
системы
Ь^ = Vy b.2 = — ν; ßj = О, α.2 = 0>
получим, согласно теореме 1, равенство
Для отыскания постоянной С умножим обе части этого равенства на
л^ и перейдем к пределу при и -> 0. Это даст
\=Co{v)oi-v), С = -^.
Тем самым доказана
Теорема 2. Для любых двух значений и и ν справедливо
равенство
^(^и)-Р(у) = -^Щт^^. B)
α V / Ö V / G^ (и) G^ (υ) ^^
Из равенства B) легко получить еще одно доказательство
теоремы 3 § б о том, что равенство ^^(u) = ^{v) возможно лишь в
случае, когда u^v или когда и^ — v. (Заметим, кстати, что из этой
теоремы немедленно вытекает, что все периоды функции j^{u) имеют
вид 0) = λ//ιωι-|-///.2ω.2, где A/Zj и т^ — целые числа.)

§ ιδ] ФУНКЦИИ^ {и), ζ {и), σ (w) КАК ФУНКЦИИ ОТ ω,. Шг 183
Взяв логарифмическую производную от обеих частей формулы B),
мы придем к уже доказанной в ,§ 12 формуле
^^^^|^^==С(« + г<) + С(н-г^)-2Г(»)
(из нее была получена теорема сложения для функции ζ(?0)·
Разделим теперь обе части равенства B) на // — ν и положим
V -> и. После перехода к пределу получим равенство
С другой стороны, по формуле D) § 13
ij (ij\ — ^" ^^^ ~""" (^^) ^ (^)
Дифференцируя последнюю формулу и сравнивая ее с формулой C)
получаем функциональное уравнение для функции σ (ιί)
α Bί0 = σ {ιί) {2α'3 {ιί) — 3α {ιι) α' {ιί) ο" {ιί) -f- σ^ {ιί) σ"' {ιί)\.
Β заключение получим еще одну формулу, выражаюпхую функцию
ψ {и) через функцию σ {η). Возьмем следующие полные системы нулей.
и полюсов функции F00·
ßj = О, α.2 = О, α^ = 0.
Тогда по теореме 1
/ ωΛ / , ω^-|-ω2\ ί ωΛ
_ ^("-τL"+-^-)°("-τ).^
Для отыскания постоянной С умножим обе части этого равенства
па /г^ и перейдем к пределу при и -> 0. Это даст следующее
значение постоянной С:
2
μ;ι)'{^4^
§ 15. Функции JP{ii), ί{ιι), c{ii) как функции от ω^, ω^
До сих пор мы говорили о свойствах функций ρ (г/), ζ{ιή и о {и)^
считая периоды ωι и ω^ заданными фиксированными числами, с
отношением ο^^/ωι, имеющим отличную от нуля мнимую часть. Сейчас
скажем несколько слов о зависимости этих функций от периодов-
^1 и ω.^. Чтобы подчеркнуть зависимость наших функций от периодов^
будем пользоваться обозначениями
Ц^{щ ω^, ω.2), С (г/; ω^, ω.^), о {it; ω^ ω^).

184 ДВОЯКОПНРИОДИЧЕСКИЕ МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ [Гл. 1
Из равенства
F(«; ω„ «),) = i, + 2'((^^I^-;^.), A)
определяющего функцию J^(m; (Oj, ω^), видно, что эта функция
однородна с показателем однородности —2 (как функция трех
леременных), т. е. для .произвольного числа \φΟ имеет место
равенство
<^{\щ λω^, 1^) = 1-^^^A^ ωι, ω^). B)
Из соответствующих формул для функций ζ (и) и о {и) видим,
что
с (кщ λωι, λω,) = λ-1 С (μ; ω^, ω^), \
σ(Κιι; λωρ λω<2) = λα(ιι; ωι, ω^). j
Следовательно, имеет место
Теорема 1. Функции ^у С, σ как функции трех переменных
W, ω^, ω^ являются однородными функциями с показателями
од пород нос mUy равными соответственно —2, —1, 1.
Таким образом, функции
j^(u; Щу ω,ί), С(гг, ωι, ω.^), σ (м; ω^, ω.^)
ivioryT быть сведены к функциям двух переменных. Действительно,
'ПОЛОЖИВ в равенствах B) и C) λ = —, получим
Ни; ω„ ω,)=:«,|^(^; 1. 5).
ζ(„; ω„ ω,) = «,ιζ(^; 1, ^].
σ(Μ; ω^, щ) = — а[ — ; 1, -^,
откуда видно, что наши функции являются функциями двух
переменных м/ω] и ω,/ωι·
Рассмотрим еще вопрос о том, когда имеет место равенство
jf){u'y Щу ωο) = Ρ(Μ; ω;, ω;), D)
справедливое при всех значениях и. Иными словами, когда функция
ψ (и), построенная по периодам щ и Щу совпадает с функцией
Ρ (и), построенной по периодам ω^ и ω,^?
Очевидно, что для совпадения двух р-функций необходимо и
достаточно, чтобы совпадали их полюсы (главные части тогда
совпадают автоматически). Для этого, в свою очередь, необходимо и
достаточно, чтобы множество точек
ω == тхщ -j- т^щ E)

§ 15] ФУНКЦИИ JP (и), ζ (и), σ («) КАК ФУНКЦИИ ОТ ω,. ω2 185
(/^1 И //г^ — любые целые числа) совпадало с множеством точек
О)' = т[щ ~\~ т'^щ F)
(т[ и т^ — любые целые числа).
Пары периодов (ωι, ω^) и (ω^ ω2), для которых множества E) и
F) совпадают, будем для краткости называть эквивалентными.
Из проведенных выше рассуждений следует
Теорема 2. Для справедливости равенства D) необходимо
и достаточно, чтобы пары периодов (ωι, (л^ и (ω^ (и'^ были
эквивалентны.
Докажем сейчас простой и легко проверяемый критерий
эквивалентности двух пар периодов.
Теорема 3. Пусть Im —т^О. Пара периодов (ω^ ω^) тогда.
и только тогда эквивалентна паре периодов (^[, ω.2), когда
ω; = αω.2 + Ρωι>
где а, β, γ, δ — целые числа, удовлетворяющие условию
αδ —ργ = ±1. (8>
Для удобства изложения обозначим через ω вектор с
компонентами ω.2, ω^. Тогда условие G) означает, что ω'=:^ω, где А —
целочисленная матрица ( U> а условие (8) означает, что det^==ztL
Докажем сначала достаточность наших условий. Для этой цели
заметим прежде всего, что матрица Л'~^ обратная к целочисленной
матрице Л тоже целочисленна, если detA = ±l. Поэтому имеет
место равенство ш = Л~^', где А'^ — целочисленная матрица, т. е.^
справедливы равенства
ωι = γΧ + δ'ω; ^^^
(р^у β'> 7^ ^' — целые числа). Из равенств G), очевидно, вытекает,
что каждая точка множества F) принадлежит множеству E), а из
равенств (9) — что каждая точка множества E) принадлежит
множеству F). Поэтому множества E) и F) совпадают и пары периодов
Wj, ω.^ и ωρ ω.2 эквивалентны.
Докажем теперь необходимость наших условий. Из совпадения
множеств E) и F) следует, что равенства G) и (9) Ихмеют место
с некоторыми целочисленными коэффициентами (поскольку точки ωί
и ω^ должны принадлежать множеству E), а точки ω^ и ω^ —
множеству F)). Остается показать, что выполнено условие (8). Для этой
цели заметим, что условия G) и (9) можно записать в виде
ω' = Дш, ω = ^4ιω'.
Отсюда сразу видно, что А и Αχ — обратные матрицы, т, е. что

186
ДВОЯКОПЕРИОДИЧЕСКИЕ МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ
[Гл. 1
/1 0^
^^i = L· ^). При перемножении матриц их определители
перемножаются, так что det Л · det i4i = 1. Но определитель целочисленной
матрицы — целое число. Следовательно,
det^ = det^' = ±l,
и теорема доказана.
Ясно, что теорема 2 остается в силе, если равенство D) заменить
аналогичным равенством для функций ζ, (и) или а (а). Действительно,
наши рассуждения вполне применимы не только к полюсам функции
ί^ (и), но и к полюсам функции С (и) или к нулям функции σ (и).
Периодичность функции jp(ii) в наших рассуждениях роли не играла.
Заметим еш,е, что функции
ρ 00, ζ 00^ 0A1)
можно рассматривать как функции инвариантов ^.2 и ^з (^ не
периодов ωι и ω.2). Действительно, мы видели, что коэффициенты
разложения этих функций в окрестности точки 11 = 0 являются многочленами
от g.2 и ^3' так что задание этих величин полностью определяет
функции J'«^, С, σ. При этом величины
^, = 60^^^, ^3 = 140 2'—6 (ο> = /;2ιωιΗ-/^οω,) A0)
не меняются при замене пары периодов ωι, ω.^ на эквивалентную
пару ωρ ω.2, т. е. величины g.2 и ^з инвариантны относительно выбора
периодов, определяющих одну и ту же функцию ^^^(^0-
Очень интересен вопрос о том, можно ли значения g^ и g^ задать
произвольно, чтобы существовала функция i^{it) с этими инвариантами?
Иными словами, для любых ли значений g.i и ^з уравнения A0) имеют
решения ωι и ω.2? Этот вопрос будет подробно исследован в гл. 4.
ΰ (и) = и
ТАБЛИЦЫ ФОРМУЛ ГЛАВЫ 1
Ι1'ί('-3-(ί+Α
'<"» = V + Zt
1 и\ a'ju)^
"^ ω "^ ωη σ (и) '
.^ / χ 1 . V ί ^ И уг ^ ^ d fa' (и'
(o) = mi(uj^-\~ m 2^^2) ·
ρ (й) =^+Са«Ч-Сз«^+^""+...
A)
B)

ТАБЛИЦЫ ФОРЛАУЛ ГЛАВЫ 1
187
Здесь числа Cjt <^v ^4.··· — многочлены от g., и g, с положительными
рациональными коэффициентами, а числа k«, k,, кц... —многочлены от g2 и g,
с рациональными (но уже не обязательно положительными) коэффициентами.
1 ' ь '
20'
^.=F
. _ J
«··> — 84Ö ^'"
■ = ^1L· ^а=140У1;
^^ gl-27 gl;
e, = i^[i];\
ηι = 2ζ -Μ, η2 = 2ζ
P(«) = 4p(H)-ftp(«)-ft;
ρ·^' (Η) = 4 (Ρ {«) _ e,) φ («) - ί,) φ (и) - е.);
Ρ(«+ω) = Ρ(«); 1
ζ(« + ω) = ί(") + η; ι
σ(«+ω) = εσ(ΗNΧρ|η^ίί + ·|-η·, Ι
Й) = ίη,ω, -f- т.2<л^;
^
P(H)-P(f)^
о (и -|- и) α (« — ν) _
α-' ((/) σ- (ν) '
Э'(«)
C>
D>
E)
F)
С(„+'с-) + С(«-.)-2С(«) = ^_^^„^,
U« 4-г,) - ζ (а) - ζ (г,) -1 e^Mzi^li^ ·
i[u+v) ц ^и) иг») - ^ Ρ (и) - F (ν) '
P(.+.)=-F(«)-PH+|(^,i;ii|:g
Выражение эллиптических функций f{u) с периодами ω^ и ω., через р (и),
^ (п), σ (и):
f /jA ^ ^ α (Ц — ^i) Д (Ц — г>2) .. ♦ Д (Ц — Μ
σ (М — «ι) σ (М—öo)·--^(^—ö^)
/(ί;) == с + 2 {^^ (" — ^) + ^'^' (" — fl) +... + Л(«-ΐ)ζ(Α~ΐ) (ί^ _ д)|.
f{u) =.R{f (и), f (u)) = R, (Ψ {11)) -\- f (u) R, (J3 («)).
G)

Глава вторая
ТЕТА-ФУНКЦИИ
Эллиптические функции, изучавшиеся нами в главе I, момшо
представить с помощью очень быстро сходящихся рядов, которые
называются тета-функциялии
§ 1. Ряд Фурье для периодических целых функций
Пусть φ (μ) — целая функция с периодом ω :^ 0. Рассмотрим
-функцию
Функция In ζ (любая ветвь) регулярна в окрестности каждой точки,
отличной от точек ζ = 0 и ζ = οο. Поэтому, согласно теореме § 10
гл. 3 ч. 1, функция ψ (ζ) также регулярна в окрестности каждой
точки, отличной от точек С = 0 и С = оо. Кроме того, функция ψ (ζ)
однозначна, так как многозначность логарифма компенсируется
периодичностью функции φ(Μ). Следовательно, функция ψ (ζ) регулярна
(в частности, однозначна) во всей плоскости, за исключением точки
!; = 0, т. е. в кольце 0<^|ζ|<^οο. По теореме Лорана (см. § 7 гл. 5
ч. 1) функция ψ (С) разлагается в ряд Лорана
оо
—00
равномерно сходящийся в любом кольце ρ ^ | ζ | ^ /?, ρ ^ О, R <^ оо.
Возвращаясь к функции ψ (и), немедленно получаем, что эта функция
разлагается в ряд Фурье
со 2πί
— CO
равномерно сходящийся в любой конечной части плоскости (поскольку
2πί
-— и
для и, лежащих в любой конечной области minl^"* l]!>Ö, а
2πί
-— и
max 1^ ^^ 1<С^· ^^^ самым доказана

§21
ОБОЗНАЧЕНИЯ
189
Теорема 1. Любая целая функция φ (к) с периодом ω ^^ О
разлагается в ряд Фурье A), равномерно сходящийся в любой
jCOHeHHoü области.
§ 2. Обозначения
Мы будем рассматривать функции от переменной и и периодов
щ и ω2. Однако нам будут удобны несколько иные обозначения.
Именно, будем использовать величины
ω, ω', τ, ft, η, η',
определенные равенствами
1 . 1
Vy Zy
τ = —= —; ft==exp Ыч)\
и _ / . ч (%iU\
η = γ'^ι; -^ = ^^^ ^ = ^; 2r = exp(π/υ) = exp(^^
Соотношение Лежандра (см. § И гл. 1) в новых обозначениях
принимает вид
ηω' — η'ω = γ. A)
Величины ωι и ω.2 (т. е. ω и ω') будем считать выбранными таким
образом, чтобы
1тт>0. B)
Как нетрудно убедиться (рис. 40), условие B) означаету что точка
ω.2 лежит с той же стороны от прямойу соединяющей точки
О и Щу что и точка ш^. Другое равносильное условие:
последовательность вершин О, ω^, ^^
ωι -|- ω^, ω^ определяет поло-
жительное направление
обхода границы параллелограмма.
При выполнении условия B),
очевидно, имеем неравенство
\h\
-π Im τ
<ΐ·
Добавим еще, что под
символами ftp и z^ мы,
разумеется, будем понимать значения
ехр (π/τρ) и ехр (^шр)
соответственно.
а ω,
Рис. 40.
Нам придется писать суммы и произведения весьма громоздких
выражений. При этом становится ценным любое сокращение. Будем
иногда обозначать через 9ϊι множество положительных нечетных
чисел, а через % — множество положительных четных чисел, т. е.
gij = {l, 3, 5, ...},
3ίί,= {2, 4, б, ...}.

190 ТЕТА-ФУНКЦИИ [Гл.2
В ЭТИХ обозначениях, например,
оо оо
§ 3. функция θι (τ;)
Напишем в новых обозначениях формулы, связывающие значения
функции а (и) в точках и и w-j-ωι (или к и и-\-щ). Согласно
формуле (8) § 13 гл. 1 имеем
σ (ίί -|- 2ω) = — е^п («-τω) α (^^), ^ (г/ -f^ 2ω') = — ^^V (« f-ω') ^ ^^^)^
Определим постоянные а и t таким образом, чтобы функция
φ (и) = е^^'-^^^' а (и)
имела период 2ω.
Первая из формул
^^7^=- ^^Р {2 (^«'" + ^) (« + ^») + 2Н.
'^-rfeP = - ехр {2 Bа«)' + η') (« + ω') + 2*ω'}
показывает, что можно взять
η_ , TU
2ω * 2ω *
Из второй формулы с учетом соотношения Лежандра (см.
формулу A) § 2) мы видим, что при выбранных значениях а и b имеет
место равенство
φ(α-[-2ω') ί πί . , ,. , . ω') — 1
Тем самым доказана
Теорема 1. Функция
ТОО = а(к)ехрЩ + д = га(«)г ^- A)
удовлетворяет соотношениям
φ (II + 2ω) = φ {μ\ φ {u + 2ω') = - i φ (w). B)
Поскольку φ(ίί) — целая функция с периодом 2ω, мы можем,
согласно теореме 1 § 1, разложить ее в ряд Фурье
со со ^„
φ {и)=2 ^- ^^р {^ ¥}=Σ ^'^^"^ ^^ ^ ^'"^·

§ 3] ФУНКЦИЯ ^1 {ν) 191
Подставив этот ряд во второе из уравнений B), получим равенство
со оо оо
2 AnZ''^h^'^=ψ{U·i-2m') = - 2 A,z''^-' = - ^ ^«+1^'"·
/2=--00 ;Х=—00 ;Х=—ОО
Сравнивая коэффициенты, получаем систему равенств
справедливых при любом целом значении п. Эти равенства можно
записать в виде
Левая часть последнего равенства получается из правой заменой
числа η на n-^-ly так что это равенство означает, что величина
-1«-1У
(_1)«й V ^J А„
имеет одно и то же значение при всех я. Обозначая эту величину
через С/, получаем для функции φ (и) формулу
Al=—00
(С — постоянная).
Таким образом, мы выразили функцию φ (ιι) через функцию
C)
«=—со
С помощью формулы A) находим выражение и для функции σ(?/):
^ 00 = γ φ («) exp ξ- = C^i (τ;) exp ξ .
Для отыскания постоянной С разделим обе части последнего
равенства на u = 2{üv и положим w —> 0. Это даст нам
ζω
Окончательно
с помощью обозначений, введенных в конце § 2, можем записать
ряд для функции 8^1 (ν) несколько иначе:
Поскольку
г' — -г

193 ТЕТА-ФУНКЦИИ [Гл.2
МЫ можем преобразовать этот ряд еще немного и написать
у—1 v2
θι(τ;) = 2 2(-^) ^ h^ sinn^v. E)
Функцию ^1 (ν) назовем первой тета-функцией, а определяющий
ее ряд (как в форме C), так и в форме E)) — первым тета-рядом.
Функция θι (г;) зависит не только от переменной ν, но и от величины τ.
Если нам понадобится подчеркнуть это обстоятельство, мы будем
вместо θι(τ;) писать bi{v; τ).
§ 4. Функции σι (и), ^^(и), Оз(м)
Кроме функции θι(τ;), введем еще три тета-функции, которые
связаны с введенными Вейерштрассом функциями Oi(m), o^(ii) и g^(ii)
так же, как функция Ь^ (ν) связана с функцией σ (и). Определением
этих функций ci(ii)y 0^A1) и Од (и) мы и займемся в первую очередь.
Заменим в равенстве
σ2(α)σ2(α')
ίΡ(η)-ίΡ(η')- -,ΤΤΛ^
число и' полупериодом ω = пка -\- /^'ω' (хотя бы одно из чисел т,
rri нечетно). Тогда получим
Так как
σ (μ + 2ώ) = ~ σ (μ) e'^^ (« + ^~) (ή = /^ζη + rn'r(),
το, заменяя м на м — ω, получаем
σ (μ -|- ω) = — σ {ιι — ώ) ^2^«
и следовательно, написанная выше формула принимает вид
Возьмем для ώ значения
2
1
ω
= ω -|- a)' = ~-(ü)i-|-">2)>
О) = ω = у ω^,

§ 5]
11 обозначим
ФУНКЦИИ ϋ^2{ν), Oziv), ϋο{ϋ)
* ^ ^ σ(ω) '
- ^ ^ σ (ω -|- ω ) '
σ (ω')
193
B)
C)
03 (?0 =
Тогда равенство A) дает формулы
Из этих формул видно, в частности, что функции p(w) — ^/г имеют
только двукратные нули и двукратные полюсы.
Ясно, что функции Oj (w), 02(//), ОзОО являются целыми функ-
цпяжи. Нетрудно убедиться, что они являются четными
функциями, так как функция σ(//) удовлетворяет соотношению
σ (// 4- ώ) е- V/ =:<ζ{ιι — ώ) ^v^
Кроме того, из равенств B) следует, что
σι @) = о.,@) = оз @)=1.
Перемножив равенства C) и воспользовавшись дифференциальным
уравнением для функции ψ{ιι), получим
af {и) σ| {а) σ| {ü)
Ψ'4η)'
α« (И)
Из этого равенства, принимая во внимание, что σ^ @) == σ^ @) =
= аз @)=1, а σ @) = 0, σ'@)=1, находим
^ ^ ^ σ·^ (и)
§ 5. Функции b.i{v\ 03A;), \{v)
Из формулы D) § 3, которую удобнее будет записать в виде
где С—некоторая постоянная (т. е. число, не зависящее от г^, но,
возможно, зависяш,ее от τ), легко получить аналогичные выражения
^^ерез θ, (г;) функций oj (м), о.д(м), ο.^(ιι).

194
ΤΕΤΑ ФУНКЦИИ
(Гл. 2
Обозначив, как и в предыдущем параграфе,
ω == то) -\- тЪ\ ή = щ-ц -|- т^-Цу
получаем сначала формулу
^η
„ g (ω — и) с α /ώ —Ц\
σ (ώ) σ (ώ) 1 [ Ъ
A)
Из этой формулы, используя соотношение
ήω — ηώ = (тг^ -]- т^г() ω — η (пш) ~\- /гг'ш') = — ^^ -ψ,
с помощью несложных преобразований получаем формулу
где С—некоторая другая постоянная. Полагая теперь
Со = ω, ώ = ω -[- ω', ώ = ω',
получаем из формулы A)
o,00 = CA(Y~t.)exp{f-},
Согласно формулам C) и E) § 3, определяющим функцию Ь^ (х;),
имеем
оо /2/2-14-
B)
I
θι (~--х;) = —θ, ^т;—-^) = -/2(-1)"/^^ ' Н—tzT~'■
оо /2/г-1\2
= ^h\ ' ^^2-1 = 2^ ^'
cosπvx;.
νζΟίι
При замене υ на х; о- величина г заменяется величиной zh ^,
Поэтому
OD /2az-1 γ 2«-1
^'(γ+τ-*) = Σ''^ ' ^"'^
ι οο
= /г'" ^"г2/г(«-1)^"-^ = /г '^z^h'^'z'^^^,

§6] СВОДКА ФОРМУЛ 195
Заменив в последней формуле ν на ν-\--ψ (при этом ζ заменяется
па iz), получим
ι оо
— CO
Тета-функции ^c,(v)y bn^{v) и ^^{v) определяются равенствами
00 / 2n- 1\2 v2
^2 (x;) = ^2 (x;; τ) = ^] ^^ '^ ^ ^^"'^ = 2 Σ ^ ^ cos π vi;,
-co v^QiJ^
00 v2
^3 (x;) = Оз (x;; τ) = ^ ^"'^^" = 1 + 2 Σ ^^^ ^^^ ""^^^
OO V v2
θο (χ;) = θο (χ;; τ) = ^ (— ^Γ^'''^^" =1 + 2 ^1(- ^У^~^ cos πνχ;.
^ОЛз
Равенства B) в этих обозначениях принимают вид
üi(iO = Ci^n^)exp^'^"'
02 (и) = Q^3 (^) ехр {^
аз (?0 = Сз^о (ν) ехр (^^
2.^
где Ci, Q, Сз — некоторые новые постоянные. Отыскав эти
постоянные, как и в § 3, предельным переходом при //->0 получим
окончательные формулы
^3W —l7(ö)^''P\"¾^j·
§ 6. Сводка формул
В этом параграфе мы еще раз выпишем формулы, определяющие
все четыре тета-функции, а также формулы, связывающие эти тета-
функции с функциями р и σ.
Договоримся о следующих обозначениях.
Производные тета-функций по переменной ν будем обозначать,
как обычно, штрихом; так, например, символом % (ν) будем обозна-
'iaib июрую производную тета-функции bQ(v) по переменной х;.

196
ТЕТА-ФУНКЦИИ
[Гл.2
Функцию θο(τ;) будем обозначать также ^ί{ν). Это даст нам воз*
можность объединить несколько формул в одну.
Имеют место формулы
оо / 2п — \у
—оо
1 9 25
= 2h'^ sin πχ; —2//4 s'mSr.v-{-2h^ sin 5πτ; —...,
00 /2/1— 1\"
d,(x;) = V/iV ^ ^2^^-1 =
25
= 2/г 4oS7:x;-[-2//4 COS 3πτ;4-2//4 ^^s 5πχ;-(-... ,
оо
—00
= 1 -f- 2/гcos2πx; + 2/i4os4πΐ; + 2/i^cosβπχ; -f-... ,
oo
—oo
= 1 — 2/гcos2πυ-[-2/г^cos4πx; — 2/г^cosбπx;-[-...;
] A)
(k=\, 2, 3).
B)
C)
Равенства C) определяют функции У^р(м) — ek как однозначные
функции переменной и.
Для значений θ^ί(Ο) и 0^^@), %{0)у θ^ο(Ο) имеют место разложения
^;@)=2π(/ί4 -3//4 4-5//4 _7/г4_|-...),
25
^2@) = 2//^ _{-2^^ + 2^^ +···>
Ь, @)= 1 + 2/г + 2/г' + 2//' + ...,
ОДО) = 1 — 2//+ 2//^ — 2//^'-1-' · ·
D)

^ 7j ОБОБЩЕНИЕ ПОНЯТИЯ ТЕТА-ФУНКЦИИ 197
§ 7. Обобщение понятия тета-функции и зависимость
тета-функций от τ
Рассмотренные выше четыре тета-функции представляют собой
частные случаи более общего понятия тета-функции, введенного
Эрмитом. Функция θμ., V (ν; τ), введенная Эрмитом, определяется
рядом
Θ,
L. V {ν; τ) = 2 exp \2πίν (^ + у] + π/τ [η + -^J + ^^^^}» (^)
где |χ и ν — произвольные комплексные числа (параметр τ мы по-
прежнему считаем удовлетворяющим условию Imx^O). Несколько
ниже докажем, что θμ, vfj;; τ) при любых μ и ν является целой
функцией переменной ν, а пока выразим изученные ранее четыре тета-
функции через функцию θμ., ν (ν; τ).
Запишем ряд A) в виде
—00
Сравнивая его с рядами, определяющими функции О^Дт^), %(v)y ^3A^),
θο(χ;) (см. формулы A) § 6), сразу видим, что
^1 (ν) = - iQi, 1 (ν; τ), θ, (χ;) = θ^. ο (ν; τ), ,
h(v) = %o{v\ τ). %
(ν) = θ,,,(ν; τ), 1
(При сравнении в рядах для ^ι (ν) и θ^ (χ;) следует заменить индекс
суммирования η на /z-f-l.)
Перейдем к исследованию сходимости ряда A). С этой целью
представим его в виде суммы двух рядов
оо
о
оо
^μ. V = ^ ехр hniv (— ^ + у) + π^*'^ (-^^ + 1-) — '^^^Ч ·
Теорема 1. Пусть каждое из чисел |х, ν, ν лежит в
фиксированной конечной области комплексной плоскости, а число τ —
β фиксированной замкнутой части верхней полуплоскости. Тогда
оба ряда f^^ ^ {v\ τ) и g^, ν {ν\ τ) абсолютно и равномерно сходятся
^0 переменным [х, ν, υ, τ.

198 ТЕТА-ФУНКЦИИ [Гл. 2
Если отбросить множитель, не зависящий от ^г и потому не
влияющий на сходимость ряда, то общий член ряда /и. v(x^, τ) можна
записать в виде
ехр {ίπτη^ -|~ i^^n)y
где для краткости обозначено А = 2v-{-zit.-\-v. Пусть
δ ^ min (Im τ), δ > О
(минимум берется по всей области изменения параметра τ,
которую мы предположили замкнутой частью верхней полуплоскости
1тт>0), а
Μ ^ max I τ j, М^ max ] ν |,
Μ ^ max Ι [Χ |, Λί ^ max | ν |.
Тогда имеет место оценка
! ехр (πίτη^- -\~ ШАП)\ ^ ^-^^ггз + TtMn^
т. е. ряд Д, v(x^; τ) в выбранной области изменения параметров |х, ν>
Vi τ мажорируется числовым рядом
оо
п=0
который, очевидно, сходится (например, потому что у^^^жп—πδη2 ^^р^,
мится к нулю при η -> оо). Отсюда вытекает абсолютная и
равномерная сходимость ряда /μ, ν (ν; τ). Ряд g^^ ν исследуется дословно
так же.
Из теоремы 1 немедленно вытекает, что функция θμ, ν (ν; τ) будет
целой функцией переменных |х, ν, ν, а как функция переменной τ
она регулярна в полуплоскости Im τ ^ 0. Производные по всем этим
переменным получаются почленным дифференцированием ряда (см.
§ 10 гл. 3 ч. 1).
Легко проверить непосредственным дифференцированием ряда, что
функция θμ, V (ν; τ) удовлетворяет дифференциальному уравнению
^ θμ, V = 4πί ^ θμ, V.
В силу равенства B) этому дифференциальному уравнению
удовлетворяет, в частности, и каждая из четырех тета-функций,
исследованных ранее.
Из ряда A) видно, что функция θμ, ν(τ^; τ) не изменится, если
заменить ν на ν -]- 2. Если же заменить μ на μ -j~ ^> функция
θμ, V (х^; τ) умножится на е'''^^ Иными словами:

§8] СВЯЗЬ ФУНКЦИЙ O'kiü) МЕЖДУ СОБОЙ 199
функция θμ,, V {ν\ τ) удовлетворяет функциональным
уравнениям
θ,,,,^2{ν, τ)=θ„,ν(τ^, τ), θ^4-2.ν(χ^; τ) = ^-^^·^θ^. ν(τ;. τ). C)
Можно получить и еще одно функциональное уравнение для этой
функции. Показатель общего члена ряда для функции
равен
2mv (η + Ц^) + π/τ (η + ^^±^)' + ^in (ν + ν')·
2
Его можно представить в виде
Поэтому:
Функция θμ,^ ν ("i^; τ) удовлетворяет функциональному
уравнению
D)
г/yzii, β других обозначенияХу функциональному уравнению
θ,,.ν г; + -^^^^; τ) = /г''"^г~1^'в,.+^,, ν + ν (х^; τ)/'~^. E)
Функциональное уравнение D) позволяет выразить функцию
^μ, V {ν; τ) с любыми нижними индексами через такую же функцию
с любыми другими нижними индексами, например через функцию
^0. οί*^'!' '^)> ряд для которой имеет наиболее простой вид.
§ 8. Связь функций ^k{v) между собой. Нули тета-функций
Из функционального уравнения E) § 7 вытекают, в частности,
формулы, позволяющие выражать друг через друга функции
b,{v), h{v\ b,{v), %(v).
Эти формулы выпишем отдельно и расположим в виде таблицы,
приведенной ниже.
Для краткости используем обозначения:
m = h ^ -z'''^ = exp <— — — πίι;|,
k = h'^z~'^ = exp {— πΐτ — 2τ:ϊν\.

200
ТЕТА-ФУНКЦИИ
Таблица преобразования тета-функций
[Гл. г
θ.
θ.
»3
к
-+Ί
к
-е.
»0
»,
^+1
/шО^
/лОз
/Πθ2
///ιθ,
^-^ τ+1
/πθ^
—ί/πθο
ί/πθι
/πθ^
ν+\
-θ,
— θ^
»3
θο
ν -}- 1
-Hl
/?θ,
Αθ3
-Αθο
Ό+ 1 + τ
/ζθ,
—/2θ,
ЛОз
-/?θ.
Правила пользования этой таблицей таковы:
Таблица имеет два входа: наименование тета-функции и значение
аргумента. В пересечении стоит выражение соответствующей тета-
функции от соответствующего аргумента через тета-функцию с
другим номером, но с аргументом, равным ν. Например, для нахождения
выражения
смотрим в клетку, находящуюся на пересечении первой строки
с третьим столбцом. Получаем формулу
^1 (^ + Υ + т) = ^^3 (^) = ^3 (τ;) ехр (-^-^--. πίτ,).
К описанной таблице присоединим еще одну, описывающую
расположение нулей тета-функций b,^(v) и
точек
Таблица нулей тета-функций
' »1
1 »2
».
θ«
V
η-\-η'τ
η + ητ + -^- + ^
η + η\-\-~
г2
Ä^«'
— Л^л'
/^2/l'+l
/^2/1'+1
: e^'^'^i.
где Vg — соответствующие нули.
Согласно формуле B) § 6
функция bi{v) имеет те же нули, что
и функция σ (w) = σ Bωχ;). Мы знаем,
что функция о(м) по построению
имеет нули в точках т^щ -\- т^щ.
Следовательно, функция θι(τ;) имеет
нули в точках
η -f- νίτ,
где /г и /г' — любые целые числа.
Нули остальных функций ^/^(г;) легко находятся с помощью
формул, записанных в предыдущей таблице. Результаты помещаем
в таблице.

ВЫРАЖЕНИЕ ex, 62, вз ЧЕРЕЗ ^h @)
§ 9. Выражение е^у е^у е^ через Ь^{Щ
201
В формуле C) § б возьмем для м значения ω, ω -[- ω', что
соответствует значениям γ, ~Т •^'^^ ^"^^* ^^^ ^^^^ формулы
\ ex — ek·.
v^
e^ — ek'.
1
2ω
1
θ;
θ*+
θ;
@)
.@)
@)
θ*+ι (γ)
·. D) ■
θ^ι (γ +
τ)
2»»..Л0) ,/ι^.;
(здесь /^=1, 2, 3, а ^(^) — то же самое, что и ^о(^))·
В первом из написанных равенств положим /г = 2, 3, а во вто-
ром к = Ъ. С помощью таблицы преобразования тета-функций,
приведенной в предыдущем параграфе, выражаем значения тета-функций
1 1 τ
-j--^ через значения тета-функций в нуле. В резуль-
в точках
" τ
тате получаем формулы
,А 1 θ;@)
V^
2ω »3 @)
1 ^:@)
2ω θ, @)
1 a; @) θ„ @)
"■ΐτ
2ω θ, @) »2 @) ·
1 θ; @) &3 @)
^-'i
2ω θο @) »2 @) '
τ+τ
2ω θ„ @)
«л|+т
1 θ:(θ)θ.(θ)
2ω »„ @) 8з @) ·
A)
Эти формулы определяют одно из значений квадратного корня
у е^ — ej^ как однозначную функцию переменной τ = ~ = ^,
регулярную в верхней полуплоскости lmx]>0. Действительно, из
формул D) § б видно, что величины Ь^{0) и ö^i(O) являются
регулярными функциями τ в полуплоскости 1тт]>0 (так как при Ιιητ^Ο
имеем j/г| = | ^^»^ I <^ 1). Следовательно, интересующие нас корни
представляются в виде отношения двух регулярных в полуплоскости
Im τ ^ О функций. С другой стороны, мы знаем, что величины е^
(а значит, и их разности) не обращаются в бесконечность.

202 ΤΕΊΑ-ФУНКиИИ I Гл. 2
Для получения формул, выражающих сами величины е^у запишем
равенство C) § б в виде
~4ων ' 4ω2 \ θ;^+ι@) 3 θ;(ϋ)
с другой стороны, разложение функции ^(ιι) в окрестности точки
w==rO имеет вид <p{ii) = -^-^ c^ii^-\-..., так что
ΡBωι;) —^^ = ^^^^-^^4- ···
Сравнивая эти два разложения для функции ΡBωτί) — ^/^, мы видим»
что
^* —4шЧз θ;@) »ft+,@)/· ^^>
C)
Соотношение ej -|- е^ -|~ ^з ^= О приводит к формуле
θ."·@)_ чт , θ-@) I θρ' @)
θ; @) — θ, @) ~г »^ @) -г а„ (О) ·
Из дифференциальных уравнений для тета-функций
|ΐθ,(τ»; τ) = 4π/ -^^&,(^; ^): £ »ι (^; ^) = 4π/^ θ, (г.; τ)
при τ; =:0 получаются равенства
θΗ0)=:4π/|,θ,@), &Γ@) = 4π/|^θ;@). D)
Используя эти равенства, можем записать формулу C) в виде
1 ^θ; @) _ 1 d%. @) ■ 1 ^θ^ @) , 1 db, @)
θ; @) άτ ~~ θ, @) άτ "Τ" ^3 @) dx ' θ^ @) dz '
или, после интегрирования, в виде
θ;@) = α,@)θ3@)θο@),
где С—постоянная, не зависящая от τ. Постоянную С легко найти
с помощью формул D) § 6. Подставляя в написанное равенство ряды
из формул D) § б, получаем
2^(/гТ_...)_сB/г^ + ...)A+...)A+...)^
откуда видно, что С = т:. Таким образом, полученная формула
принимает вид
θ;@) = π&,@)θ3@){>ο@). E)

ς 10]
РАЗЛОЖЕНИЕ ТЕТА-ФУНКЦИЙ
203
При помощи формулы E) равенствам A) можно придать
значительно более простой вид
(б)
Формулы B) с помощью равенств D) тоже приводятся к более
простому виду:
^ι = ϊA;έΐ"^'@)-^ΐη^@)),
3 dz
dx
e.==i{~i^nbUO)-ilnbUO)],
'S dz
Tii f \ d
dz
^3 = .^1^^1πθ;@)-^^1ηθο@)].
G)
Перемножая равенства (б), получаем выражение для дискриминанта
(см. § 7 гл. 1)
Т^Д:
2ω
'К@)ЦФ)Ч{0) = ^ЛЧо)-
4ω'
(8)
§ 10. Разложение тета-функций в бесконечное произведение
Функция θ-3 (г»), рассматриваемая как функция от переменной
2^ = ехр Bτζίν) ( иначе говоря, функция φ (ζ^) = ^g —:-j J, является
функцией, регулярной во всей комплексной плоскости, за исключением
точки z = 0 и точки 2^ = оо. Согласно сказанному в § 8 ее нули
имеют вид z'^ = —h'^^'^ (я = О, dt 1, ± 2,...). Разобьем ее нули на
две последовательности
z^ = ~h'
ΙΓ
h-
5 = __/г, -_/гЗ,
A)
B)
Первая из этих последовательностей имеет одну предельную точку оо,
3 в1орая — одну предельную точку 0. Согласно результатам, полу-
^lemibiM в § 9 гл. б ч. 1, бесконечное произведение
i-^m
<^ходится к целой функции переменной χ с нулями а^, α.ι,..., если
Р^Дт-Ч [-... абсолютно сходится. Так как ряд \h\-\-\hf-\-

204 ТЕТА-Функции [Гл. г,
-^ \h\^-{-,,, = I __|^[2, очевидно, сходится (напомним, что \h\<l\\
то функция
/ι = A _[- hz^) A + h^z^) A + /г'^') ·..
будет целой функцией от z^, имеющей нули в точках
последовательности A). Совершенно аналогично функция
/^ = A-1- hz-^) A + hh-^) A + h'^z'^) ...
будет целой функцией от z~^y имеющей нули в точках
последовательности B). Поэтому функция
со
f(v)=Yl(\-{- h^^-'z^) A + h^'^-'z-') (z^ = exp Bπ^)),
как функция от переменной υ, будет целой функцией с теми же
нулями, что и функция ^(<г).
Кроме того, при замене ν иг ν-\-1 величина ^^ = е^'^''", очевидно,
не меняется, так что
/(τι+1)=/(τι).
При замене же υ на ν-\-τ величина ζ^ заменяется величиной ζ'^ ё^^^^ =
= ζ^ Ь?. Поэтому
со
/ (х; + τ) = ]Д A -f h^^-'h^z^) A + H'^-'h-'^z^) =
оо
_ 1 + h-'z
т. е. имеет соотношение
J J A + h^'^-'z^) A + h^^-'z-%
Из первой таблицы § 8 видно, что функция b^{v) также
удовлетворяет соотношениям
^ (^ + 1) = θ3 {ν\ h (^ + χ) = h-'z-'Ь^ {ν).
Следовательно, функция -ттЧ будет целой функцией переменной Vy
имеющей периоды 1 и τ, а такой функцией, как мы знаем, может
быть лишь постоянная. Таким образом,
оо
где С — постоянная (т. е. величина, не зависящая от переменной v^
но зависящая, вообще говоря, от параметра τ).

§ 10]
РАЗЛОЖЕНИЕ ТЕТАФУНКЦИЙ
205
с помощью таблицы преобразований § 8 легко находим
разложения для других тета-функций
оо
^•2 (ν) == 1 θ3 (г; + γ) = С/г ^ζ || A + h'^'z') A + /г^-^Л
I оо
После несложных преобразований эти формулы принимают вид
θι (г;) = С/г 4 ^-ZZll. JJ A — h'^V) A — h^^z'%
ι оо
^ (г;) = С/г4 (^ -|- ^"') Π (^ + ^'"^') A + /г^''^''),
/1 = 1
оо
θ3 (г;) = с π A + /г^'^-^^^) A + Η'^-'ζ'^Ι
/г=1
оо
»в (г») = с П. A — h^"-^^z'') A — /г^"-!^-^).
C)
Заметим, что множители
]А ζ-\-ζ~'^ В ЭТИХ формулах можно
заменить соответственно на 2sin πι; и 2cos тси, поскольку 2: = exp(π/г;).
Для отыскания постоянной С положим в формулах C) v = 0
(в первой формуле сначала поделим на ν). Это даст
Ь[ @) = 2тиС/г~4 Л A — h^y,
1 оо
^@) = 2С/г4 Л A+/г^Т
/г=1
»з@) = СПA+/г^''"^.
/1=1
^ @) = СП о-^^^^^^)^-
п = 1
D)
Подставляя эти выражения в формулу Ь'^ @) = π^^ @) θ^ @) θο @)

206 ТЕТА-ФУНКЦИИ [Гл. 2
(см. формулу E) § 9), получаем
со со оо
Υ1(\— h^y == σ W A + h^y π A — /г'^'''-'>I
Ho
oo oo oo
f] A — h^y:^ Π (^ ~ /г*")*!! A — ''*"'')''·
n=1 n=\ n=I
так что
00 00
rt= ι η= 1
(при выборе знака С принимаем во внимание, что при /г = 0
значение ^3 @), согласно формулам D) § б, должно обращаться в единицу;
следовательно, и С в силу формулы D) при /г ^= О тоже должно
обращаться в единицу).
Для Ь\ @) формула D) дает выражение
1 оо
Ь[ @)= 2π/ζ γ\ A — Н^у, E)
Поэтому, согласно формуле (8) предыдущего параграфа, получаем
для дискриминанта Δ выражение
оо
Δ ^ ί^ν ftä ^ J A — /г'Т· F)
Из этой формулы видно, в частности, что при любом τ из
полуплоскости Im τ ^ о дискриминант Δ отличен от нуля.
§ 11. Приложения к теории чисел
Так как величина оз@) представляется рядом
оо
»з@)= Σ '^"^
^г = —00
10
оо
^\(Q)=^h^'\ + 'Ч + 'Ч + '^\^Y^ Qim)h'", A)
т = 0
где θ (т) — число решений уравнения т = п1-{-п1-{-п1-{-п1 (с
целыми щ, Щу //з, /^4).
С другой CTopoiH.1, в силу формул (б) и G) § 9
π dx θο @) '

ς 11] ПРИЛОЖЕНИЯ к ТЕОРИИ ЧИСЕЛ 207
или, в иной форме,
θ<@) = -4Α^^1„Α|1-. B)
так как h = e''^'^ и, следовательно,
ύ?Φ ί/φ dh ., d^
dx dЪ dx ' dh'
Mo, согласно формулам D) § 10,
ι OO 1 со
»о @) _1 й- 4 TT 0-^^"·")^ ■■■ 1 ь - τ TT (\ - h'-^^'Y (\ - h'"f _
Подставляя это выражение в равенство B), получаем
оо
Проводя выкладки, имеем
оо оо
л /ζ/ζ" ^ V ^nh'^^
^@)=1+8 2ί^Γ-8 2
ι — h'"'
OO OO OO aj
= 1 + ^2 Σ '^^''''' — ^ Σ Σ 4///г4««'.
Полученную формулу запишем в виде
оо оо
θ^Ο) = ι + 8 2 φ (т) h'^ — S 2 Φι (^) ^^^- C)
Здесь
пп' = т ^пп' = т
Из этих формул видно, что функция Φ (т) равна сумме всех
делителей числа Шу а функция Ф^ (т) равна сумме тех делителей этого
числа, которые кратны четырем (ясно, что функция Φι (т) отлична
от нуля лишь для ni = 4s и что для таких значений ,//г справедливо
равенство Φι (т) = 4Ф U ηι\\.
Сравнивая коэффициенты рядов A) и C), мы видим, что
9(т) = 8{Ф(т) — Ф1{т)}.
Таким образом, мы доказали теорему:
Число представлений целого положительного числа т в виде
<^Уммы четырех квадратов целых чисел (эти числа могут быть

208 ТЕТА-ФУИКЦИИ [Гл. 2
и положительными, и отрицательными, и равными нулю) равно
восьлшкратной сумме положительных делителей числа т, не де*
лящихся на четыре.
Например, при т = 'д сумма положительных делителей, не деля-
пшхся на 4, равна 4. Нетрудно проверить, что имеется ровно 32
представления числа 3 в виде суммы четырех квадратов. Эти
представления таковы:
Другая форма этой теоремы такова:
Число представлений целого положительного числа т в виде
суммы четырех квадратов равно восьмикратной или двадцати-
четырехкратной сумме нечетных делителей этого числа в
зависимости от того, будет ли число т нечетным или четным.
Эта глубокая теорема теории чисел впервые была доказана Якоби
при помощи теории эллиптических функций. Знаменитая теорема Лаг-
ранжа о том, что любое целое положительное число можно
представить в виде суммы четырех квадратов, очевидно, содержится в этой
теореме.
Сделаем еще одно замечание.
Из формулы D) § 10 для b^{v) в сочетании с формулой для
постоянной С получаем тождество
оо оо
Q A _ ft2«) A _|_ /jä^+l^Ü) A -\- ^·2«+1^-2) = 2] h^^'-z'^^^. D)
п=\ —со
Это тождество можно доказать и независимо от теории
эллиптических функций.
Из этого тождества можно сделать некоторые выводы, интересные
для теории чисел. Положим в формуле D) ζ^ = — дг^, 1г = х^.
Тогда произведение в левой части формулы D) примет вид
а сумма в правой его части — вид
Σ (-1)"-^^^-
-со
Таким образом, из формулы D) вытекает тождество
оо iX) in - -\- η

ς 121 РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИИ ζ (и) 209
Это тождество было получено еще Эйлером, который нашел
формулу для показателя степени χ в сумме сначала эмпирически, но
после многолетних усилий доказал ее справедливость.
Аналогичным образом, сравнивая формулы D) § б и E) § 10
для величины θί @), приходим к тождеству
Euie с одним теоретико-числовым приложением мы встретимся в § 13.
§ 12. Разложение функции С(м) как функции от z^
в ряд простейших дробей и выражения для величин η, g^, g^
Согласно формуле B) § б
Поскольку ζ (м) = ^ In σ (w), получаем отсюда формулу
Β эту формулу подставим выражение для Ь^ (ν) в виде бесконечного
произведения из формулы C) § 10. После несложных
преобразований придем к формуле
оо
^W— О) Γω ζ—ζ-' ' ω Zj [l—h^^Z-^ 1—/Z^n^sj» ^^)
где 2: = expi^j, /г = ехр(тс/т).
Эта формула дает разложение в ряд простейших дробей функции
^ ^ ^ \ηί I πι ^^ ω
Поскольку
^ Д^-i =^' ^urx,I.g-urt> = ctg CT,
равенство A) можно записать в виде
00
«Легко видеть, что ряд
00
«= ι
абсолютно и равномерно сходится на любом конечном замкнутом

210
ТЕТА-ФУНКЦИИ
[Гл. ί^
множестве, не содержащем точку ^ = 0 (если отбросить конечное
число членов, имеющих на этом множестве полюсы). Действительно^
пусть В — произвольное замкнутое множество, не содержащее точек
г = 0 и z= с^. Тогда
min I г^ 1 = μ^О, max \z^\ = M<^co.
ζ ^ в ζ ^ в
При достаточно большом η справедливы неравенства
^2П^-2
I h r'V-
I — Л^-
- 1 — I /г |^'"μ-^'
1
i h |^«M^
M\hr
Следовательно, ряд
при достаточно большом Л/ мажорируется рядом
со
2 2^ίΊ/г|2^
n = N
который, очевидно, сходится.
Если точка z^ расположена в кольце
\h^\<\z'\<\h-^\,
то при любом целом положительном η будут справедливы и
неравенства 1 Ы^^г'"^ i <С Ь 1 h'^^z'^ I <С ^- Разложим каждый из членов ряда
в равенстве B) в ряд по степеням ζ и соберем члены с одинаковыми
степенями ζ. Это приведет к формуле
C>
оо
_ ^ _J_ JL ctp· πτί -4- - у ^'' (.-^г .яг,.
Γ=1
которую можно записать и в виде
со
с Bωτί) = 2ηΌ + -^ ctg ^^ + ^ 2 1-/г^^ ^^" ^^^^^- (^>
Эта формула справедлива, когда число г^ удовлетворяет условиям C)^
Выражая ζ и /г через τ; и τ, можем записать условия C) в виде
или, что то же самое, в виде
— Im τ <^ Im υ <^ Im τ.

§ 13|
РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИИ )/^^^(^) - е^
211
Таким образом, разложение D) имеет местоу когда точка ν
яежит в полосе^ ограниченной прямыми, параллельными действи-
}пельной оси, проходящими через точки τ и — τ.
Теперь разложим обе части равенства D) в ряд по степеням ν
в окрестности точки ν = 0 и сравним коэффициенты полученных
разложений.
Согласно формулам главы 1 (см., например, сводную таблицу
формул гл. 1)
С Bωτ;) :
С другой стороны,
ctg ΊΖν =
2ωυ 60
%{2.vf-flA^^vy
140^
{τινΥ
45
45-21
(πτ^Γ^ —...,
sin 2τ:τν = 2τ.τν γ- {2izrvf -|- γ^Α BπΓ'ϋ)'^ — ....
Поэтому, сравнивая коэффициенты при ν, ν^ и г^^ получаем
следующие выражения для η, g^ и g^\
12
-^Σ
r=l
^3=-
216
3 ii^ 1 ~ h''
E)
;
Сравнивая коэффициенты при более высоких степенях ν, мы
могли бы получить выражения для сумм
Cr, = {2η—\)Υ^ {т^щ + m^i^.i)'^"' = Bn — 1) ^^(^^^ + /гг^со^-"''.
Аналогичные разложения в ряды для функции ψ {и) мы могли бы
получить, дифференцируя формулы A) и D).
§ 13. Разложение функции Vf{u) — е^
Формула A) предыдущего параграфа, дающая разложение в ряд
простейших дробей функции ^{и) (рассматриваемой как функция
^^ z% позволяет написать аналогичное разложение для функций
у^{и) — е^. Напишем его для функции
/ ч ί/^τγτ"^; ^ θ; @) θο (г/) / и\
φ(.) = |ρ(Γθ--.3=.^,-^;-,-^ [V = ^]

212 ТЕТА-ФУНКЦИИ [Гл.2
(см. формулу C) § 6). Из полученного ряда извлечем еще одна
интересное приложение к теории чисел.
Из таблицы преобразований тета-функций (см. § 8) легко усмо·
треть, что функция φ(«) удовлетворяет соотношениям
φ {и -j- 2oj) = — φ (и),
φ (м -f- 2ω') == φ (м)
(при замене и на Μ-)-2ω величина ν заменяется величиной ν-[-\*
а при замене и на и -)- 2ω', величина ν заменяется величиной ν -\~ τ).
Из этих соотношений видно, что функция φ (м) имеет периоды 4ü>
и 2о/. Так как в параллелограмме периодов
(О, 4ω, 4ω-|-2ω', 2ω')
функция φ (η) имеет только два полюса м = 0 и Μ = 2ω с вычетами,
равными 1 и —1 соответственно, то на основании результатов § 12
гл. 1 можем написать
φ(Μ) = (:(ί/; 4ω, 2ω') —(;(Μ + 2ω; 4ω, 2ω')-f С, A)
где С — некоторая постоянная (С может зависеть от ω и ω'). В § 9
мы выяснили, что функция \^ί^{ιι) — ^3 обращается в нуль при
/г = 0. Поэтому 0 = ζBω; 4ω, 2ω'), т. е. С равно тому значению ηι,
которое отвечает основным периодам ^-функции, равным ω^ = 4α)
и ω| = 2ω'. Для краткости обозначим это значение через η^.
Заменим в формуле A) предыдущего параграфа ω на 2ω и,
следовательно, ζ^ = ехр Bπ/.£-j на ζ, а /г^ = ехр ί2π/^| на h. Тогда
получим формулу
оо
г/ л о,/ч "^f" ^'* 1+^ I '^^ ^ ί ^"'^'^ hH \
(!(,,; 4ω, 2ш) = __^_^ + --21гЗл^-Г=Гл^ .
/1=1
Из этой формулы следует, что
оо
W^-M 4@, 2@) = ^-^^-^-^-2-^- 2 iT+Ä^-TTFi)'
и = 1
так как при замене и на и -[- 2ω величина ^ заменяется
величиной — Ζ.
Подставляя эти выражения в формулу A), получаем после
несложных преобразований искомое разложение
у » У'> ^-^ 2ω &„ @) 8, (г;)— ω Ь — 2"» ' üJ U — /г-'«г-=' 1 — h-'^z' j\ '

13] РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИИ Yf {и)-е^ 213
Полагая в этом разложении Μ = ω, т. е. z = e 2">___^2 _>_^·^ находим
оо
/1=1
ИЛИ
Но
ТТй^=1+^2^^- (^)
л=1 л=1
00 оо оо
1+^ 2 г^--^ 11^^=1+4 2 /^^^'^-^^'^-4 2 '^^^'''+^^'
и=1 /1=1 /г, п' п, п'
Поэтому сравнение коэффициентов при h^ в обеих частях равенства
B) дает теорему:
Число представлений целого положительного числа т в виде
суммы двух квадратов двух целых чисел равно учетверенной раз-
ногти между числом делителей числа т вида 4k -\- \ и числом
делителей вида 4k-\-3 (если эта разность положительна; в
противном случае оно равно нулю).
Теорема Ферма о том, что простое число вила 4Ä-J-1 можно
представить в виде суммы квадратов двух целых чисел ^и притом
единственным образом (если не учитывать перестановку этих чисел
и изменение знаков на обратные), является частным случаем этой
теоремы.

г л а в а т ρ е т ь я
ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ЯКОБИ
В ряде приложений вместо ^^-функции Вейерштрасса удобнее
использовать эллиптические функции Якоби. Этих функций три. Якоби
предложил для них обозначения
sin am г/, cos am w, Δ am w
{синус амплитуды, косинус амплитуды и дельта амплитуды).
Обозначения Якоби в настоящее время не употребляются. Вместо них
используются обозначения
sn Uy СП Ыу dn lu
введенные Гудерманом.
§ 1. Определение функций sn гг, спи, an и
Пусть τ — произвольное комплексное число, удовлетворяющее
условию 1тт^0.
В качестве ω возьмем некоторое число (зависящее от τ), которое
определим несколько ниже, а число ω' определим по числу ω, как
•обычно, равенством
ω' = χω. A)
Эллиптические функции Якоби определим равенствами
sn и-
спи-.
dn и -
σι(^)_θο@) θ,(ΐ;)
■a, (и) θ,@) θ, (г/)'
σ,(Γ/)^θ,@) ^, (ν)
B)
Здесь, как обычно, ν--
место равенства
Согласно формулам § 6 гл. 2 имеют
/^{п)-е.
/W^=^,
VF (")-<?.=
sn и
СП и
sn и
dn и
sn и '
C)

§ η
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ sn и, en и. dn и
215
Исключая из соотношений C) функцию ί^(?0> видим, что функции
СП и и dn и алгебраически выражаются через функцию sn и с помощью
формул
сп^ и -\~ (βχ — 6·Λ sn^ ίί = 1, \
\ D)
dn^ и -\- ((?д — ^з) sn^ г/ = ι. J
Число ω, остававшееся пока неопределенным, выберем таким
образом, чтобы множитель е^ — е^, входящий в первое из соотношений D),
был равен единице.
Согласно формулам F) § 9 гл. 2 имеют место равенства
^i-^^=l·^ ^0 @),
E)
(значения bf^ @) являются функциями параметра τ; см., например,
формулы D) § 6 гл. 2). Поэтому условие, определяющее число ω, можно
записать в виде
и = —00
И равенства E) дают
^1 @)
^2 — ^3 ^
Ч @)'
Равенства D) при этом принимают вид
сп^ и -\- sn^ и=\, dn^ и -\- κ^ sn^ и=\,
F)
G)
(8)
-«1@)· (^>
Функции sn W, СП и, dn г/ зависят только от и и от τ, так как
задание величины τ полностью определяег величины ω, ω', а значит,
и эти функции. Когда мы захотим подчеркнуть зависимость функций
Якоби от τ, будем писать sn (//; τ), en (?/; τ), dn {ιι\ τ).
Β теории эллиптических функций Якоби используется некоторая
специфическая терминология:
Величина κ, задаваемая формулой (9), как функция параметра τ^
называется модулем функций sn ?/, en и, an и, а величина
где обозначено
/^1@)
■θ|@)
A0)

216 ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ЯКОБИ [Гл. 3
называется дополнением модуля. Из формул G) видно, что между
величинами κ и / имеется соотношение
Величины ω и ω' в теории эллиптических функций Якоби
обозначаются через К и iK соответственно, т. е.
К=<^^ = ~Ь1Щ ίΧ = ω' = ωτ = ψ^|@). (И)
Предпочтем сохранить обозначения ω и ω', но следует помнить,
что в этой главе величины ω и ω' не независимы, а являются
функциями параметра τ.
Под символами |/κ, |/"κ', ]/х'/х будем понимать значения корня,
равные
(эти значения являются, очевидно, однозначными функциями τ).
Функция ψ {и), входящая в формулы C), имеет основные периоды
2со и 2ω', являющиеся функциями τ. Величины ^j, ^^, е^, разумеется,
также будут функциями τ. С помощью формул G) и соотношения
€i-\-e:>^-\-е^ = Ь эти величины нетрудно найти.
Если воспользоваться равенствами
9,, ^0 @) _ α. .г.. к @) _ h @) _ 1
^2 @) —" Г ^ ' h{^)~^ '
формулы B), определяющие функции sn w, сп н, dni^ можно записать
в виде
1 Ь, {υ)
sn и
СП
dn ί/ = τ/ κ тг-7-f
A2)
.^ = 2^)-
Опираясь на известные свойства функций а {и) и o/j(w)» из
формул B) можно вывести следующие свойства функций Якоби:

§2]
ФУНКЦИИ ЯКОБИ КАК ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
217
функция sn и — нечетная функция переменной м, а функции
QW и и dn и — четные функции и. Кроме того,
cnO = dnO=l,
sn О = О, -7- snu\ 9^ 0.
du U=o ^
§ 2. Функции Якоби как эллиптические функции
Из формул A2) предыдущего параграфа с помощью таблицы
преобразования тета-функций из § 8 гл. 2 можно получить следующую
таблицу преобразования функций sn и, сп и, dn м.
Таблица преобразований эллиптических функций Якоби
sn
СП
dn
^4-"^
sn ü
dn и
, sn a
— χ'
dn и
, 1
χ'-J
dn и
и-\-<л'
1 1
χ sn tt
i dn и
X sn tt
. en a
sn Ü
tt -f ω -}- ω'
1 dn и
χ СП и
.X' 1
X СП М
. ,sn tt
СП и
Μ-}-2ω
— sn И
—СП и
dn а
«-}-2ω'
sn и
— СП Ü
— dn и
И-f 2ω + 2ω'
— sn Μ
sn и \
— dn ί/
Из этой таблицы видим, в частности, что функция sn и имеет
периоды 4ω и 2ω', функция сп и имеет периоды 4ω и 2ω -[- 2ω', а
функция апи имеет периоды 2ω и 4ω'. Для удобства приведем еще одну
таблицу.
Таблица нулей, полюсов и периодов эллиптических функций Якоби
sn и
СП Ü
dn и
Нули
2Λω -|- 2п'(Л
(In -\- 1) ω-|-2Λ'ω'
Bдг+ 1)ω4-BΑ2'+ 1)ω'
Полюсы
2Λω 4- {2п' + 1) ω'
2Λω-|- Bл' + 1) ω'
2Λω + BΛ4-1)ω'
Периоды
4ω, 2ω'
4ω, 2ω -|- 2ω'
2ω, 4ω'

218
ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ЯКОБИ
[Гл. 3
На рис. 41, 42, 43 изображены параллелограммы периодов @),
отвечающие функциям sn lu сп w, dn и соответственно, причем там же
отмечены нули и полюсы этих функций (нули — кружочками, полюсы
крестиками).
Ζω
ω'
О
Ζω+ω'
Ζω
sn(u)
Рис. 41.
4ω
Ясно, что указанные пары периодов будут для этих функций
парами основных периодов, так как в этих параллелограммах
функции имеют второй порядок (уменьшение порядка
невозможно).
§ 3. Дифференциальные уравнения
для функций Якоби
В силу формул C) § 1 имеет место
равенство
Г (ti) = V> {η) ~β,·Υψ {и) -e^'Vf {и) ~e,=
2 en Μ . dn tt
(знаки у корней выбраны согласно договоренности § б гл. 2). С
другой стороны, дифференцируя равенство
9{и)-е^ =
1
sn'^ и *
получаем, что
2 d
sn^ и du
ψ (w) = -~ -ζζτττ -тт. sn и.
Сравнение двух полученных выражений для функции ψ (и) дает
формулу
-~ sn и = СП и · dn г/. A)
du ^ '
Далее, дифференцируя уравнения
сп'^ г/ = 1 — sn'^ н, dn^ и=^\ — х^ sn^ и
B)

§ 4]
ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ ДЛЯ ФУНКЦИЙ ЯКОБИ
219
и применяя формулу A), получаем всю систему уравнений
-— sn 11 = спи an 11,
du
d
du
d
du
cnii= — sn и dn 11,
du 11= — x^sn ü dn u.
C)
С помощью равенств B) нетрудно получить из этой системы
дифференциальные уравнения для каждой из функций sn и, сп и и dn //:
d dn и
du
= — A — dn^ ?0 (κ'2 — dn^ и).
D)
§ 4. Теоремы сложения для функций Якоби
Пусть V — произвольное число, удовлетворяющее условиям
-ü ^ db ω mod Bα>, 2α>'),
г; ^ db (ω'— ω) mod Bω, 2ω'), A)
νφ±^' mod Bω, 2ω').
Из первой таблицы § 2 нетрудно усмотреть, что функции
φ^ (м) г= sn ?ί · sn {и -[- ν), ф2 {и) = СП гг · сп {и -\- ν),
φ3 (μ) = dn гг. dn {η -j- ν)
имеют периоды 2α> и 2ω'. Кроме того, из второй таблицы видно, что
в параллелограмме периодов @) эти функции имеют одни и те же
полюсы ?/ι = ω' и щ^^ — τ;-|-^'^od Bω, 2α>') (для каждой из
функций сумма вычетов в этих полюсах равна нулю). Поэтому можно
выбрать постоянные А vi В таким образом, чтобы функции ^^{и)~['
-V- А^^ {и) и φ3 {и) -\г Βψι 00 не имели полюсов. Поскольку
эллиптические функции, не имеющие полюсов, постоянны, это означает, что
СП и · СП (а -\-ν)-\- А sn и · sn (и -|- τ;) = Αι,
dn Μ · dn (и -\-v)-{- Б snn*sn (η -|- τ;) = Βι,
B)
где Α, Β, Αχ, Βγ — постоянные, τ. е. не зависящие от и величины.
Полагая м = 0, находим, что
Αχ = СП V, Βι == dn ν.

220
ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ЯКОБИ
[Гл. S
Дифференцируя равенства B) по w, а затем полагая w = 0, мы с по*
мощью формул C) § 3 легко определяем постоянные А и В:
или
dv ^ dv ^
Α = άην, В = у?сп V.
Следовательно, формулы B) принимают вид
СП и · СП {и -{-ν) -\- άην - snu' sn {и -|-1^) = СП г;, 1
dn и · dn {и -\- ν) -\-1^^ cnv · ъпи · sn {и -|- г;) == dn г;, j
Ясно, что эти формулы справедливы и для исключенных ранее
значений V,
Заменив в равенствах C) и на — и, г ν на и -\- Vy получим
равенства
СП и · СП г; — dn (к -|- г;) · sn ίί · sn г; = сп (и -|- г;),
dn гг. dn г; — κ^ сп (и -j- г;) · sn м · sn г; = dn (ii -(- v)y
из которых легко найти значения cn(w-|-T;) и dn(w-|-T;). Подставив
полученные значения в первое из уравнений C), найдем выражение
для 8п(гг-|-г;). Совершив указанные действия, получим теоремы
сложения для функций Якоби в следующем окончательном виде:
sn (и -\- ν) -
СП (и -{- ν) -
dn (и -f- ν) -.
sn tt · СП ι; · dn г/ -|- sn г/ · СП Μ · dn tt
1 —rß sn^ и - sn^ υ '
СП Μ · СП г/ — sn м · dn и · sn г^ · dn г;
I — 7,^ sn^ м · sn^ ν *
dn Μ · dn г/ — х^ sn Μ · СП и · sn г; · СП г;
х' sn'^ и · sn^ V
D)
§ 5. Тригонометрические функции как предельный случай
функций Якоби
Запишем формулы B) § 1 в развернутом виде, чтобы лучше
видеть зависимость функций sn w, сп w, dn и от и и от τ:
.пГ/гт^ —^ii^^ θι W _ A+2/^ + ...). 2 (h'l^ sin π^; + ...)
СП [,щ τ) — ^^ . —
dn (и; τ) -.
Здесь
V-
@) hM 2(ä'/^ + ä'^^ + ...)A—2Ä οο8 2πί; + ...) '
θο@) θ3(ΐ;)_ A—2/г + ...)A+2/zcos2ut; + .>.)
^з(О) ' θο(ί;)~A+2Λ + 2Λ^4-···) A —2/гcos2πt^ + ...)·
■πθИÜ)"
(l -\-2h-{-2h'-γ-,,.)
h = e''

^ 5] ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 221
Пусть х = г -\- is. Будем считать г постоянным, а 5 стремящимся
к -^ со. Тогда величина
/1 = ^^^^ = ^^^^-^-^^
будет стремиться к нулю. Величина 2ω будет стремиться к π, так
как 2ω = πθ3@), а величина 2ω' = 2ωτ будет стремиться к
бесконечности.
Из написанных выше формул видно, что при таком предельном
переходе
lim 8п(м; τ)= sin м, lim сп(м; τ)= cos w, lim dn(i/; τ)= 1.
Поскольку величина
θ|@) —Ιΐ+2Λ + 2Λ^ + .../
при этом стремится к нулю, теоремы сложения D) § 4 переходят
в формулы
sin (и -|- т;) = sin и cos ν -{- cos η sin Vy
cos (// -\-v)= cos и cos V — sin и sin v,
а из дифференциальных уравнений § 3 получаются известные
дифференциальные уравнения для функций sin и и cos и.

Глава четвертая
ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ МОДУЛЯРНЫЕ ФУНКЦИИ
В теории эллиптических функций большую роль играют
величины, зависящие только от отношения τ периодов ω2, щ. Такими
величинами являются, как мы видели, инварианты g.i и g<^.
дискриминант Δ, значения θ^^(Ο) и т. д. Изучение этих величин послужило
основой для создания обширной теории эллиптических модулярный
функций. Мы изложим здесь лишь самые начала этой теории, имея
в виду решить задачу:
Всегда ли можно выбрать периоды щ и щ таким образом^
чтобы инварианты g^ и g^, построенные по этим периодам, сов^
пали с заранее заданными числами?
Эту задачу можно рассматривать также как задачу о решении
системы уравнений
^с, = 60 2] (/^4^1 + т.2щУ^,
^3=140 2' (^1">1 + т^щу\
где gci и ^3 — заданные числа, а искомые величины ω| и ω2
подчинены условию Im (щ/^i) Φ 0.
§ 1. Модулярная группа и ее фундаментальная область
В § 15 гл. 1 мы договорились называть две пары чисел
эквивалентными, если множество всех периодов
^1^1 + '^2">·2 A)
(πΐχ я тс^ — любые целые числа), построенных по периодам ω^ и Щу
совпадают с множеством всех периодов
m[(i)[-]-т'^оа'^, A*)
построенных по периодам ω^ и ω^.
Там же мы доказали следующий критерий эквивалентности:

^ 1] МОДУЛЯРР1АЯ ГРУППА И ЕЕ ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ ОБЛАСТЬ 223
Пары (ωι, ω.,) и (ω|, ω^) тогда и только тогда эквивалентны,
когда имеют место равенства
с
целыми числами а, β, γ, δ, причем αδ — βγ = ±1.
В этой главе будем считать периоды ωι и ω.2 удовлетворяющими
условию
Для пар (ω^, ω^), удовлетворяющих условию C), критерий
эквивалентности принимает вид:
Пары (ωι, ω.2) и (ω|, ω^) тогда и только тогда эквивалентны,
когда имеют место равенства B) с целыми числами а, β, γ, δ,
подчиненными условию αδ — βγ = ^1.
Нам нужно доказать, что из наличия равенств B) и из условий
1тт>0, 1тт'>0
вытекает, что αδ — βγ = ~|-1. Но из равенств B) следует, что
Поэтому, полагая τ = г -j" ί^> τ' = г' -|- /V, имеем
_1 ... _ ctr-\~H-i^S _ (аг-{-?-{- iocs) (γΓ 4- 5 — HS)
"Ι ""TrH-S + qs"" iV + ^ + fs'
И поскольку числа α, β, γ, δ действительны, получаем
. _ ab — βγ
'^""(^ + 5)^ + 7^·^·
Отсюда видно, что величины ^ = Im τ и 5' = Im τ имеют одинаковые
знаки в том и только в том случае, когда αδ — βτ^Ο. Следовательно,
из двух возможностей αδ — ß^i^zhl остается только одна.
Теорема 1. Каждой паре чисел (ω|, ω^) (удовлетворяющей
условию C)) можно поставить в соответствие эквивалентную
€й пару чисел {щ, ω^) (также удовлетворяющую этому условию), для
которых имеют место неравенства
I ^1 1 ^ I ">2 I' 1 ">21 ^ I ωι -|- ω^ |, | ω.^ | ^ | ωι ~ ω2 |. D)
Для доказательства занумеруем все периоды т\и>[ -\- m\^<si\ мно-
>i<ecTBa A*) в порядке возрастания их модулей. Полученную
последовательность периодов обозначим
О, αϊ, α.2, ,.., @<|αι|^|α2|^...). E)

224 ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ МОДУЛЯРНЫЕ ФУНКЦИИ [Гл. 4
в качестве ωι возьмем период а^ а в качестве ω^ — периода/^
с наименьшим номером k, обладающий тем свойством, что точки О,
Gl, uk не лежат на одной прямой. При таком выборе периодов ω,
и ω.> условие | ωι | ^ | ω^;, очевидно, выполняется. Условия i ω^ | :^
^ I ω^ -j- ω.21 и i ω.21 ^ 1 ωι — ω^\ также выполняются, ибо периоды
^*>ι4""^^ и ωι — ω.2 не могут встретиться в последовательности E)
раньше, чем период ω.^ (точки О, ωι, ωι ± ω^ тоже не лежат на одной
прямой). Условия D) тем самым удовлетворены.
Условие C) для выбранной пары периодов (ωι, ω.^) может и но,
выполняться, но тогда оно выполняется для пары (ωι, — ω.^) (замена
пары (ωι, ω^) парой (ωι, — ω^), очевидно, не отразится на
выполнении условий D)).
Наконец, покажем, что пара (ωι, ω^) эквивалентна исходной паре
(ω^, ω^). Периоды ω^ и ω^ входят в множество A*), так что множество
периодов A) должно содержаться в множестве A*). С другой стороны, ω|
и ω3 — наименьшие по модулю периоды из множества A*) (не лежаш.ие
на одной прямой, проходяш.ей через начало). Отсюда легко вывести
(см., например, §§ 2 и 3 гл. 1), что периоды ω^ и ω^ являются
основной парой периодов для множества A*). Это означает, что
множества периодов A) и A*) совпадают, т. е. что пары (ωι, ω^) и (ω|, ω^)
эквивалентны.
Мы видели выше, что если пары периодов (ω^, ω2) и (ω^, ω^)
связаны соотношением B), то величины
связаны соотношением
F)
Поэтому в связи с понятием эквивалентности пар периодов
естественно дать следуюш.ее определение:
Две точки τ и τ' полуплоскости Im <г ^ О будем называть эквП'
валентными, если они связаны соотношением F), где а, β, γ, δ —
целые числа, подчиненные условию
αδ_βγ = +1. G)
Дадим несколько определений, которые позволят нам взглянуть
на понятие эквивалентности двух точек с более обш.ей точки зрения.
Обозначим через ^ множество всех дробно-линейных
преобразований, переводяш.их точку ζ в точку
где а, β, γ, δ — любые целые числа, подчиненные условию G). (Само
преобразование будем обозначать символом Г, а результат его при-

§ 1] МОДУЛЯРНАЯ ГРУППА и ЕЕ ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ ОБЛАСТЬ 225
менения к точке ζ — символом Tz), Преобразование Г ζ 2 ^УД^м
/а β\
отождествлять с соответствующей ему матрицей 1 gl, считая мат-
/а ß\ /_α — ß\
рицы I U и I gl одинаковыми. Введем операцию умножения
преобразований, положив произведение Т{Гс^ преобразований Τγ и 7¾
равным произведению соответствующих матриц (с помощью
несложных вычислений можно проверить, что точку {ΤχΤ^ζ — результат
применения преобразования Т\Т^^ к точке ζ, можно получить,
применив, сначала к точке ζ преобразование Г^, а затем — к точке Г^г
преобразование Γι).
Легко проверить, что преобразования из множества ^ обладают
свойствами:
1. Тождественное преобразование Ε входит в множество ^ (для
преобразования Ε имеем α = δ=1, β=:γ = 0).
2. Если Γι^Σ " ^^^Σ' т^ 7^1^^2 6Σ·
3. Для любого преобразования Г ζ 2 существует обратное
преобразование 7^* ζ 2 (τ· ^- такое преобразование, для которого
выполняются равенства ТТ~^ = Е, Т~^Т=Е).
Иными словами, множество ^ образует группу относительно
введенной нами операции умножения преобразований.
Группа 2 называется модулярной группой.
Легко проверить, что группа ^ содержит преобразования,
определяемые формулами
ΤχΖ = ζ-\-\, TiZ =
1 η _ /0—1
I они отвечают матрицам Τι = 1^ -^1 7^ = 1-^ q
Точки τ и τ', эквивалентные в определенном выше смысле, можно
было бы назвать точками, конгруэнтными относительно группы
преобразований ^ (так же, как точки и -f- т^ау^ -\- т^щ и м, мы
называли конгруэнтными относительно группы преобразований Ω,
состоящей из сдвигов на периоды; см. §§ 2 и 3 гл. 1).
Построение теории модулярных эллиптических функций во
многих отношениях похоже на построение теории двоякопериодических
(т. е. эллиптических) функций. Разница состоит лишь в том, что
группа Q заменяется несколько более сложной группой ^.
Сейчас построим для группы ^ область, аналогичную
параллелограмму периодов для группы Q.

226
ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ МОДУЛЯРНЫЕ ФУНКЦИИ
(Гл.4
Теорема 2. Каждой точке τ' из полуплоскости 1т<г^0
можно поставить в соответствие конгруэнтную ей
относительно модулярной группы ^ точку τ, удовлетворяющую условиям
|τ-1-1|, |τΚ|τ—1|, 1тт>0.
(8)
Действительно, по теореме 1 паре чисел A, τ') можно поставить
в соответствие пару (ω^, ω2), для которой
τ' = αω, -{- βω^, 1 = γω2 -\- Ьщ
(α, β, γ, δ — целые числа и αδ — βγ = 1). Поэтому точка τι=-- будет
конгруэнтна точке τ' относительно модулярной группы ^. При этом
Ιιητ^Ο, а выполнение остальных
неравенств (8) для τ сразу же следует
из условий D) на ω^ и ω2.
Условия (8) выделяют некоторую
область верхней полуплоскости (и ее
границу). Эта область легко
описывается геометрически. Условие | τ|^ 1
означает, что точка τ лежит вне круга
с центром в точке ^ = 0 и радиуса 1.
Условие I τ I ^ I τ -|- 1 | означает, что
точка τ лежит слева от прямой,
проходящей через точку ζ = —ττ
параллельно мнимой оси (или на этой прямой). Аналогично условие
I τ I ^ I τ — 1 I означает, что точка τ лежит справа от прямой,
проходящей через точку ^ = γ параллельно мнимой оси (или на этой
прямой). Поэтому условия (8) выделяют область G, изображенную
на рис. 44.
Теорема 3. Внутри области G нет точек, конгруэнтных
между собой относительно группы ^-
Заметим сначала, что в области О заведомо нет точек,
переходящих друг в друга при преобразованиях группы ^, отвечающих
матрице L δ) с γ = 0. Действительно, из условия аЪ — βγ=1 при
γ =:1=0 следует, что α = δ=:=±1, а преобразование вида -г-]-β (β —
целое число), очевидно, выводит любую точку области Q за ее
пределы (если, конечно, β ^т^ О, т. е. если τ :^^ τ').
Допустим теперь, что существует преобразование Τ^=( И
(с γ 9^ 0) из группы 2' переводящее точку τ ζ G в точку τ' ^ Q,

§ 1] МОДУЛЯРНАЯ ГРУППА И ЕЕ ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ ОБЛАСТЬ 227
Запишем равенство т'^"^^ | ^ в виде τ' = — ——-——-—. Из этой
записи видно, что
I „II δ I 1
(9)
_1^
v2 '
I τ -I
Но — и точки действительной оси, а область О отстоит от
Ϊ Ϊ
действительной оси на расстояние -^1/3. Поэтому для целого числа у
возможны только значения γ = ±1. Тогда равенство (9) принимает
вид 1 τ' qz α 11 τ ± δ I = 1 (α и δ — целые числа). Для внутренних точек
области G это равенство невозможно, так как расстояние от любой
внутренней точки области G до любой целой точки на действительной
оси строго больше единицы.
Тем самым теорема доказана.
На границе области О имеются точки, конгруэнтные между собой
относительно группы ^. Действительно, точки, лежаш,ие на верги-
кальных сторонах области G, переводятся друг в друга
преобразованием Τχ, определенным формулой Τ^ζ = ^: -j-1 (или обратным
к нему преобразованием Τγ^). Сторона области О, являюш,аяся дугой
окружности |2;| = 1, переходит в себя при преобразовании Г^,
определяемом формулой T<iZ = . При этом левая половина стороны
переходит в правую, а правая — в левую (точка ζ = ί остается на
месте).
Просмотрев доказательство теоремы 3, увидим, что из
проведенных там рассуждений следует, что единственными преобрагованиями,
которые могут переводить точку τ ζ G в точку τ' ^ Q, являются
преобразования Τχ, Τγ^ и Го.
Для большей аналогии с параллелограммом периодов будем
рассматривать область Q как четырехугольник с вершинами в точках
оэ, ^2πί73^ 1^ ρΊζίβ ^j^^ ρ^ς^ 44 они обозначены С, Л, By N
соответственно). Область G, дополненную вертикальной стороной (оо, ^2^//з^^
дугой окружности (^2πί73^ ^-^ ^ вершинами Л = ^^^^^/^ и B = L будем
называть фундаментальной областью модулярной группы 2·
Из сказанного выше немедленно вытекает
Те о ρ е м а 4. Каждая точка полуплоскости Im 2: ^ О
конгруэнтна относительно группы 2 одной и только одной точке
фундаментальной области этой группы.
Геометрически теорема 4 означает, что множество областей,
конгруэнтных с фундаментальной областью относительно группы 2>
покрывает всю полуплоскость Im 2:^ О без дыр и без перекрытий
(так же, как параллелограммы периодов покрывают всю плоскость).
Параллелограммы периодов обладали очень удобным свойством:
их можно было строить, исходя из любой точки плоскости. Фунда-

228 ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ МОДУЛЯРНЫЕ ФУНКЦИИ [Гл. 4
ментальная область модулярной группы таким свойством не
обладает. Однако некоторая свобода в построении фундаментальной
области группы ^ все же есть. Ясно, что если мы удалим из
области G некоторое множество точек, но добавим вместо него
конгруэнтное ему множество, то полученная область также будет
фундаментальной областью. Поэтому мы можем, например, несколько
деформировать левую вертикальную сторону области G (оставляя на месте
вершину А) и параллельно ей деформировать правую вертикальную
сторону. Получающаяся при этом область по-прежнему останется
фундаментальной областью группы 2]· Аналогично мы можем
деформировать левую дугу окружности (оставляя на месте вершины А и В),
Тогда для получения фундаментальной области мы должны заменить
правую дугу окружности некоторой кривой, в которую
деформированная левая дуга переводится преобразованием 7¾ (здесь, как и выше,
В заключение отметим, не приводя доказательства (оно хотя и
элементарно, но несколько кропотливо), следуюш.ий интересный факт:
Любое преобразование группы 2 можно записать в виде
Τ=Τ4^ΤΙ^Τ\^ΤΙ^ ... Т^пЦп.
где aj, ßj, ..., α^, β,^ — некоторые целые числа.
Иначе этот факт формулируется так:
Группа 2 является группой с двумя образующими Τγ и Т^,
определенными формулами ΤγΖ = ζ -\-\, Τ<ιΖ = .
§ 2. Модулярные функции и модулярные формы
Аналитическую функцию φ (τ), однозначную в полуплоскости
Im τ ^ О и не имеющую там особых точек, отличных от полюсов,
мы будем называть модулярной функцией, если для любого
преобразования Τ из модулярной группы 2 имеет место равенство
φ(Γτ) = φ(τ), A)
справедливое при всех τ из полуплоскости 1шт^0.
Если воспользоваться последним замечанием предыдущего
параграфа, которое мы привели без доказательства, условие A) можно
заменить более простым условием
φ (^ +1) = φ (^)' ^ (— ~) = ^ W·
Модулярные функции во многом аналогичны эллиптическим
функциям и их теорию можно строить примерно тем же путем, каким
была построена теория эллиптических функций в гл. 1 (разумеется,

^ 2] МОДУЛЯРНЫЕ ФУНКЦИИ И МОДУЛЯРНЫЕ ФОРМЫ 229
с некоторыми усложнениями, вызванными более сложным
устройством группы 2 по сравнению с группой Q). Теория модулярных
функций послужила отправным пунктом для построения более общей
теории автоморфных функций, получающейся при замене группы ^
более или менее произвольной группой. Изложение этих теорий не
входит в наши планы.
Однородную функцию двух переменных ^(ωι, ω^), определенную
для значений ωι и ω2, удовлетворяющих условию Im--^0, будем
называть модулярной формой, если эту функцию можно представить
в виде
^@,,, ш,) = шХ/(^^), B)
где функция /(τ) является однозначной аналитической функцией в
полуплоскости Im τ ^ О, не имеющей там особых точек, отличных
от полюсов, и если значение функции ^(ωι, ω2) не меняется при
замене пары (ωι, ω^) эквивалентной ей парой (ω'^, ω^).
Легко видеть, что если показатель однородности (число λ в
формуле B)) модулярной формы равен нулю, то функция /(τ) из
формулы B) является модулярной функцией.
Модулярные формы иногда называют также относительными
инвариантами, а модулярные функции — абсолютными
инвариантами.
В связи с задачей, о которой было сказано в начале главы, нас
будут интересовать главным образом так называемые элементарные
модулярные формы
gl = ^2 (^1> ^2) = 60 ^ (/^ιωι -f- т^^<^) \
gz = ^3 (^1' ^2) = 140 2]' (/^ιω, 4- /η^ω^)^
Эти функции действительно являются модулярными формами. В самом
деле, непосредственно видно, что при замене пары (oj^, ω.^)
эквивалентной ей парой (ω'^, (n'j величины g^ и g^ (а значит, и Δ) не
меняются. С другой стороны, согласно формуле E) § 12 гл. 2, имеют
место следующие выражения для величин ^2=^2(^1» "^2) и ^з=^з(^1' ^2)·
со оо
Л == 1 л== 1
00 00
п=\ я—1

230 ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ МОДУЛЯРНЫЕ ФУНКЦИИ (Гл. φ
Здесь /г = ехр (ττ/τ) = ехр ( π/-^ , а Сз(я) и ζ^{η) — суммы третьих и·
пятых степеней делителей числа п. Из приведенных формул видно^
что функции /(τ), отвечаюш,ие представлению величин ^^ и ^з в виде
B), регулярны в полуплоскости Im τ^ О (поскольку тогда |/г |<^ U
а при \h\<^\ написанные ряды сходятся абсолютно и равномерно).
Таким образом, мы доказали, что ^.2' ^з " ^ являются
модулярными формами с показателями однородности —4, —6 ?/ —12
соответственно.
Нам понадобится еще формула для дискриминанта Δ,
полученная в § 10 гл. 2:
оо
Δ = [^у /г^ Л A — h^y^ = (~У^ (h^ — 24h^ +...) {h = е""'').
Из этой формулы видно, в частности, что дискриминант Δ не обра-
щается в нуль в полуплоскости Ιηιτ^Ο.
С помощью величин ^2 и Δ можем построить модулярную функцию
.(,)=!=.-ai
(эта функция является модулярной формой, как отношение двух
модулярных форм, а ее показатель однородности равен нулю).
Из.формул для ^2 и Δ видно, что модулярная функция J (τ), которую обычно
называют абсолютным инвариантом^ регулярна в полуплоскости
Ιηιτ>0.
Абсолютный инвариант J {τ) является одной из наиболее простых
модулярных функций. Он играет в теории модулярных функций
примерно ту же роль, что и р-функция Вейерштрасса в теории
эллиптических функций.
§ 3. Решение уравнения 7(τ) = α
Нас будет интересовать вопрос о разрешимости уравнения У(т) = а
при любом заданном значении а. Ввиду того, что J (τ) — модулярная
функция, все значения, которые функция 7(τ) принимает в
полуплоскости Im τ ^ О, она принимает и в фундаментальной области Q группы
2^. Для наших целей было бы вполне достаточно доказать, что
функция У(т) принимает в фундаментальной области любое конечное
значение а, но мы докажем даже несколько больше.
Прежде всего найдем значения функции J {τ) в вершинах
фундаментальной области, т. е. в точках τ==/ и τ = ^^^1/3^

§31 РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ / (τ) = α 231
При τ = / имеем
Но
/ ^ 2 (— Ш1 + ^2)"^ = ~ 2 ^" ^^1 + ^2)"^ = — 2 (/^1 + ^>^Г^
поскольку множество всевозможных пар (/^2' — ^^i)' г^де гп^, m.i —
11елые числа, совпадает с множеством всевозможных пар {т^, т^.
Следовательно, равенство A) означает, что ^з = —^З' т. е. что ^з = 0.
Поэтому J{i)= 1. Более того, из равенства 1 — У(т) = —^ и из того,
что дискриминант Δ не обращается в нуль, следует, что в точке τ ^= ι
функция J (τ)— 1 имеет нуль кратности 2 ν (ν^ 1 —целое число).
При τ r:zr: ^2^''/з обозначим для краткости ^2^^/^ = ρ и напишем
очевидные равенства— = р^ р^^-|-ρ-|-1 =ι= 0. Принимая во внимание эти
оавеиства. можем написать
60
ίΐο
5- ^2 = 2 (^1 + ^2рГ* = Р'^ 2 (^1Р^ + ^h)
— i \'
- 2 (— /^1 + /^2 — т^рУ^ = ^(//21-1- ^^2Р)
τ (— nii — ffiip -{- т^) ^. B)
поскольку множество пар (/^¾ — т^, — ηΐχ) совпадает с множеством
пар (/^1, т<^. Следовательно, из равенств B) вытекает, что g^ = — g,^,
т. е. что ^2 = 0. Поэтому У(^2л//з^__0^ Более того, из равенства
J(y)=zg^jL· видно, что функция J (τ) имеет в точке τ = ^^^^-^ нуль
кратности 3v' (ν' ^ 1 — целое число).
Теорема 1. Каждое конечное значение а, отличное от нуля
и от единицы у функция У (τ) принимает в фундаментальной
области ровно'один раз.
Заметим прежде всего, что мы можем без ограничения обишости
считать, что функция У(т) на границе фундаментальной области не
принимает значения а, В противном случае мы могли бы
деформировать фундаментальную область способом, описанным в конце § I;
при этом способе деформации нельзя изменить вершины
фундаментальной области, но это и не нужно, так как значение а отлично от
пуля и от единицы и потому не принимается в вершинах.
Возьмем теперь достаточно большое число с^О и обозначим
через 0^ часть фундаментальной области Q, лежаш.ую в полуплоскости

232
ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ МОДУЛЯРНЫЕ ФУНКЦИИ
[Гл.4
1тх<^с (рис. 45). Из формул предыдущего параграфа для ^^ и Δ
видно, что функция J (τ) стремится к бесконечности при /г->0, т. е.
при Im τ -> --|- со. Поэтому на границе области G^ при достаточно
большом с функция J (τ) — а не обращается
т) в нуль. Рассмотрим интеграл
1
2πί
5 7^)^^^^=^- 5*^'"^^)-«}·
Как было доказано в § 9 гл. 5 ч. 1, этот
интеграл равен числу нулей N функции
У(т) — а в области 0^. С другой стороны»
интеграл по границе öG^ области G^ можно
представить в виде суммы интегралов
ВВС
А А' А'
С С
-i + J
А С
Рис. 45.
по дугам и отрезкам прямых, составляющим границу области О^.
В силу равенств
j(-1) = J(t), У(т+1) = У(т)
преобразование τ' = τ-}-1 переводит отрезок АС в отрезок А^С и
в С11лу того, что преобразование τ' = переводит дугу AB в
дугу АЪу первый интеграл в этой сумме равен второму, а третий —
четвертому. Следовательно, наша формула для числа нулей N
функции J (τ) — а в области G^ принимает вид
Л/
C)
ic+-
(ибо С=гс-}--2-, а С'==/б: — yj. Из формул предыдущего
параграфа для ^2 и Δ без труда получаем, что
^ω=^"'(ττ+«ί^'+·--)=^
Γ2
-2π/τ(_^__^^^^2π;τ_|_^
Поэтому при достаточно больших с на отрезке {ic -
будет справедливо разложение
ic
+¾
In
[У(х)-а):
2πί·τ -f In -у2 + а\е^^^^· -}-...,

§ 4] РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ gi " а, g^ ^ b 233
И МЫ получаем из формулы C) равенство
ι
Это равенство и доказывает теорему.
С помощью аналогичных рассуждений мы могли бы доказать, что
значение О функция J(t) принимает в фундаментальной области только
в вершине Л, а значение 1 — в вершине В. При этом значение О
принимается двукратно, а значение 1 — трехкратно. Необходимые для
этого дополнения к доказательству состоят в том, что мы должны
обойти вершину (в которой J (τ) — а обращается в нуль) по
маленькой окружности, а затем найти предел интеграла по этой окружности,
когда ее радиус стремится к нулю. Поскольку функция _ имеет
только простые полюсы с вычетами, равными кратности нуля функции
J (τ) — α, легко сообразить, что предел интеграла по маленькой
окружности равен кратности нуля, умноженной на величину угла
в соответствующей вершине. Провести детальные рассуждения для
этого случая предоставляем читателю. Для дальнейшего этот факт
нам не понадобится.
Заметим еще, что теорема 1 во многом аналогична теореме о том,
что эллиптическая функция в параллелограмме периодов принимает
все значения и притом одинаковое число раз. Теорему 1 также можно
было бы сформулировать в виде: функция J(t) принимает в
фундаментальной области все значения и притом ровно один раз. Однако
для этого пришлось бы ввести довольно сложный способ для
определения кратности значения, принимаемого в вершине
фундаментальной области.
§ 4. Решение системы уравнений g2 = ay g^ = b
Пусть а и b — произвольные комплексные числа,
удовлетворяющие условию
а^ — 27^'^ φ 0.
Решим систему уравнений
gΛ'^v ">2) = а, 1
Рассмотрим три случая.

234 ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ МОДУЛЯРНЫЕ ФУНКЦИИ |Гл. 4
Случай 1. а = 0.
Обозначим опять р = е^''^^\ Как мы видели в § 3, при любом
ωι ^ О имеет место равенство
^2(^1, ωιρ) = α = 0.
Определив ωJ из равенства
140
и положив ω.2 = ωι·ρ, получим искомое решение системы уравне-
НИИ A).
Случай 2. Ь=.0.
Как мы видели в § 3, при любом ωι ^^ О имеет место равенстве^
gA^v ^1 0 = 0'
так что решение системы A) дается формулами
ωί = — 2 (/^1 -f- m.2ίУ^ ω^ = щ1.
Случай 3. α 7^ О, Ζ? 7^ 0.
В этом случае система уравнений A) равносильна системе
g2 (ωι, ω,) а
gz (ωι, ω,) b
gl (ω,, ω,) ^ α^ ( ^^
gl («1, ω.) — 27gl (ω,, ω,) α' — 27Ь^
Рассматривая в качестве искомых величин не ωJ и щ, а ω^ и τ^
запишем систему B) в виде
60 Σ' {tni -\- ΐη.τ)-^ ' ^^ а^~ 27b- '
По теореме 1 § 3 последнее уравнение имеет решение τ в
фундаментальной области группы У|. После отыскания τ мы находим из·-
первого уравнения ω^, а затем и ω2 = ω^τ.
Таким образом, задача, поставленная в начале этой главы, пол-^
ностью решена:
Всегда возможно выбрать периоды ω^ и ω.2 таким образом^
чтобы инварианты g.i и g^ имели заданные значения а и Ь, если
только числа а и b удовлетворяют условию
а" — 21 h' ^ 0.

§ 5] РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ уС (t) = а 235
§ 5. Решение уравнения κ^(τ) = α
В § 3 гл. 3 мы видели, что эллиптическая функция sn и
удовлетворяет дифференциальному уравнению
flf sn α \2
^^ y = (l-sn^)(l--/.411¾). A)
При этом величина уЛ как функция τ, определялась равенством
,_ θ|@) _ е,-~е.
Определяемая таким образом величина κ^ является однозначной
функцией параметра τ в полуплоскости Ιηιτ^Ο, отличной от О и 1
(числа 6γ, ^2' ^3 должны быть попарно различны). Естественно, воз-
ш^кает вопрос: можно ли при любом значении а (отличном от О и 1)
решить уравнение
χ^(τ) = α C)
(в полуплоскости Im τ ^ 0)?
Положим
2_ Ö 2а—\ а-\-\
так, чтобы выполнялись равенства
^f~- =а и ^1 4- ^2 + ^3 = 0.
Согласно формулам (8) § 7 гл. 1
g^ = — 4 {е^е.2 4- ^2^3 + ^3^i)> ^з = ^е^е.е^.
Кроме того, видно, что при а, отличном от О и 1, числа е^ e.i и е·^
попарно различны, так что дискриминант
^1 - 27^ =. 1 б {е, - e^f {е.-, ~ e,f {е, - e,f
отличен от нуля. Поэтому, согласно результатам предыдущего
параграфа, можно найти периоды ωι и ω.2 таким образом, чтобы числа ^2
и g3 были инвариантами. Ясно, что найденное значение τ
удовлетворяет при этом уравнению C). Итак:
Каждому числу а, отличному от нуля и единицы^ отвечает
эллиптическая функция sn lu удовлетворяющая
дифференциальному уравнению
-^— =(l~sn^O(l—хЧп^).

гла ва пятая
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ КРИВЫЕ И РИМАНОВЫ ПОВЕРХНОСТИ,
СВЯЗАННЫЕ С ЭЛЛИПТИЧЕСКИМИ ФУНКЦИЯМИ
§ 1. Алгебраические кривые и униформизация
Множество пар комплексных чисел (ζ, w), удовлетворяющих
алгебраическому уравнению
G(z, w) = ^ A)
{Q{Zy w) — многочлен от своих переменных), будем называть
алгебраической кривой. Точкой алгебраической кривой называется каждая
пара {Zy w), удовлетворяющая уравнению A).
(Следует признать, что термин «алгебраическая кривая» не
слишком удачен; его происхождение объясняется тем, что множество пар
действительных чисел (х, у), удовлетворяющих уравнению A),
действительно изображает алгебраическую кривую на плоскости (х, у).)
Одной из центральных задач в теории алгебраических кривых
является задача униформизации алгебраической кривой, т. е.
представление решений уравнения A) в виде
ζ==ψ (w), w = ^ (w),
где φ (μ) и Ψ(?/) — однозначные аналитические функции.
В этой главе мы будем заниматься алгебраическими кривыми
довольно специального вида, отвечающими уравнению
w^ = G4 (^), G4 (ζ) = a^z^ + a^z^ + a^z"" + a^z + «4, B)
где на постоянные a^y αχ, a^y a^, a^ наложено только одно условие:
уравнение Gi(z) = 0 не должно иметь кратных корней, а
коэффициенты «о и αχ не равны нулю одновременно, т. е. Qi(z) —
многочлен третьей или четвертой степени, но не ниже. Алгебраические
кривые описанного вида мы будем называть эллиптическими.
Решим задачу об униформизации простейшей алгебраической
кривой интересующего нас вида, именно, алгебраической кривой
w^ = 4z^ — g^z — ^3. C)

ς 2| АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ КРИВАЯ W' = G3 (г) 237
Здесь ^2 и ^3 — любые комплексные числа, подчиненные условию
ύ - 27^1 Φ О,
означающему отсутствие кратных корней.
В § 4 гл. 4 мы доказали, что всегда можно найти периоды ωJ и
ω.,, для которых выполняются равенства
причем Im—^^0. Если обозначить через ψ(ιί) функцию Вейерштрасса,
построенную по периодам ω^ и Ш2, то эта функция будет
удовлетворять дифференциальному уравнению
Г(«) = 4ГЧм)-^2р(«)-^.
Следовательно, пара {ζ, w\ где
z = f(u\ w = Y{ii\ D)
будет при любом и точкой алгебраической кривой C). Тем самым
решена задача об униформизации алгебраической кривой C).
Покажем, что равенства D) устанавливают взаимно
однозначное соответствие между точками алгебраической кривой C) и
точками параллелограмма периодов функции f (и) (если пару (оо, оо)
также считать точкой алгебраической кривой).
Мы знаем, что уравнение ζ = ^ (и) имеет в параллелограмме
периодов два решения щ и и^, причем щ ^ — щ. Поэтому ^' (uc^) =
= — Ρ (mj). Следовательно, если точка Wj отвечает паре (г, w),
то точка «2 отвечает паре (г, —w). Таким образом, при w φ О каждой
точке (ζ, w) алгебраической кривой отвечает ровно одна точка и
параллелограмма периодов. Но при w = 0 имеем |i>'(w) = 0, так что
оба решения щ и и^ уравнения jp(u) = z совпадают. Тем самым наше
утверждение полностью доказано.
Результат, полученный нами для специального случая
алгебраической кривой C), легко перенести и на случай любой эллиптической
алгебраической кривой. Эго мы сделаем в двух следуюш.их
параграфах.
§ 2. Алгебраическая кривая w'^ = G^(z)
Итак, пусть дана алгебраическая кривая
w"^ = a^z^ -\- aiZ^ -|- a^^z -\-а^ (а^фО) A)
и пусть многочлен G^ (ζ) = UqZ^ -{- αχζ'^ -\- α^ζ -\- α^ имеет три попарно
различных корня. Сделаем замену переменных
Zi-\-b Wi
z=^-^-^—, w = -^.
a * a

238 АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ КРИВЫЕ И РИМАНОВЫ ПОВЕРХНОСТИ [Гл. 5
В НОВЫХ переменных уравнение A) примет вид
wl = ^zl + [3^bJr-a,)zl-]-... B)
Подберем числа а и b таким образом, чтобы коэффициент при zl
в уравнении B) стал равен 4, а коэффициент при zl обратился
в нуль. Этого можно добиться, положив
α = -^-, b-
4 ' 12 ·
Тогда уравнение B) примет вид
Wl = \Z\ — ^2^1 — ^3
(коэффициенты g^ и ^з легко выражаются через «j, α^, а·^, а^.
Дискриминант ^2 — 27^1 полученного уравнения отличен от нуля, так как
уравнение A), а значит, и уравнение B) имеют только простые корни.
Применяя результат, полученный в § I, видим, что пара (ζ, 1ю\ где
^=|^(f(«)-^), τ. = Αρ'(«) C)
при любом и является точкой алгебраической кривой A). При этом
точки параллелограмма периодов функции ψ(ιί) (с инвариантами ^2 и
^з) уравнения C) приходят во взаимно однозначное соответствие с
точками алгебраической кривой A).
Задача об униформизации алгебраической кривой A) решена.
§ 3. Алгебраическая кривая w^^=Q;^{z)
Наконец, пусть дана алгебраическая кривая
w"^ = a^z^ -|- ajz^ -f- ао-г^ -\- a^z -|- а^ (а^ т^ 0), A)
где многочлен Og (ζ) = a^z^ -\- a^z^ -\- α^,ζ^ -\- α·^ζ -\- а^ имеет четыре
попарно различных корня.
Делаем замену переменных
^ = Т + °^' ^= — -72·
в новых переменных уравнение A) принимает вид
t^.2 = ао A + αζ,Υ -t- a^Zi A -f ^^i)^ +
+ α,ζΐ A + az,f + α,ζ] A + az,) + α,ζ^. B)
Если в качестве α взять корень уравнения G^ (ζ) = О, то
коэффициент при zl обратится в нуль и уравнение B) примет вид
wl == b,z\ + b^z^ + ^3^ + ^4. B'0

§ 4] АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ КРИВАЯ ЛЕЖАНДРА 239
Согласно предыдущему параграфу последняя алгебраическая кривая
допускает униформизацию с помощью формул
Следовательно, алгебраическая кривая A) допускает униформизацию:
у — [-а, ге; = ^ ^ '
Заключительный результат сформулируем еще раз:
Теорема. Точки (ζ, w) произвольной эллиптической
алгебраической кривой
w^ = a^z^ -\- αγΖ^ -\- α^ζ"^ -j- a^z -\- ag C)
можно представить в виде
Ζ = (γ (и), Χ0=:ψ' (и), D)
где φ (и) — некоторая эллиптическая функция второго порядка,
имеющая вид
900 = -^¾^ iad-bc=l)
(если а^ = 0, то φ (и) является линейной функцией от ^ (и)).
Уравнения D) устанавливают взаимно однозначное соответствие между
точками алгебраической кривой C) и точками параллелограмма
периодов эллиптической функции φ (w)·
Сущность нашего доказательства, как нетрудно заметить, состояла
в том, что с помощью замены переменных
aZi~\-b ad — be
cZi^-\-d' \cZi^-\-dY
мы переводили алгебраическую кривую C) в алгебраическую кривую
w\ = 4.z\ — g,ß^ — g·^,
рассмотренную в § 1.
§ 4. Алгебраическая кривая Лежандра
Алгебраическую кривую
w'' = {\---z'^){\—az'^), A)
где а — любое комплексное число, отличное от О и 1,
называют алгебраической кривой Лежандра, так как изучение этой
алгебраической кривой легло в основу классических исследований
Лежандра по эллиптическим интегралам.
Ясно, что алгебраическая кривая A) является частным случаем
алгебраических кривых, рассмотренных в предыдущем параграфе,

240 АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ КРИВЫЕ И РИМАНОВЫ ПОВЕРХНОСТИ [Гл..«
однако мы можем найти униформизацию этой алгебраической кривой
и непосредственно.
Действительно, согласно § 5 предыдущей главы уравнение
κ2(τ) = α (α т^ О, α :^1)
всегда имеет решение в полуплоскости Imx^O. Отвечающая этому
решению τ функция sn и удовлетворяет дифференциальному урав·
нению
-^^j =A — sn^rO(l — «sn^w).
Поэтому униформизация алгебраической кривой A) осуществляется
формулами
d
du
§ 5. Топологическая природа эллиптической
алгебраической кривой
Алгебраическая кривая (вопреки своему названию) представляет
собой двумерную поверхность в четырехмерном пространстве.
Действительно, полагая г = л:-]-(у и χβ) = ιι-^νυ, получаем из уравнения
Q(w, ^) = 0 два уравнения
Re Q(ii -)- iv, χ -\- iy) = О, Im G(w -\-iv, x-\- iy) = 0,
связывающие четыре действительных переменных jc, j/, м, v.
Наглядное геометрическое представление двумерной поверхности в
четырехмерном пространстве с сохранением всех метрических соотношений
довольно затруднительно. Однако во многих случаях сохранение всех
метрических соотношений и не нужно для наглядности. Чаще бывает
необходимо правильно представить топологическую картину
изучаемого объекта, т. е. заменить изучаемый объект другим так, чтобы
точки этих объектов находились во взаимно однозначном
соответствии и чтобы непрерывному изменению точки одного объекта отвечало
непрерывное изменение точки другого объекта. (В этом случае
говорят, что один объект топологически эквивалентен другому.)
Мы покажем сейчас, как построить простейшую поверхность,
топологически эквивалентную эллиптической алгебраической кривой
^2 = Q^ (^), О4 {ζ) = a^z" + a^z^ -Ι- · · · -j- «4. A)
При этом построенная нами поверхность будет конечной, а
непрерывность соответствия в окрестности точки (оо, сю) алгебраической кривой
мы будем понимать геометрически, изображая числа ζ ]л w точками
на сфере Римана.

§5]
ТОПОЛОГИЧЕСКАЯ ПРИРОДА ЭЛЛИПТИЧ. АЛГЕБРАИЧ. КРИВОЙ
241
Для обещанного построения используем найденную ранее униформи-
заиию эллиптической алгебраической кривой. Согласно теореме § 4
формулы
г = φ (м), те; = φ' (и) B)
устанавливают взаимно однозначное соответствие между точками
параллелограмма периодов эллиптической функции φ (и) и точками
алгебраической кривой A). Заметим, что это взаимно однозначное
соответствие не будет непрерывным, так как сколь угодно близкие
точки алгебраической кривой могут отвечать далеким точкам
параллелограмма периодов. Действительно, рассмотрим на сторонах
параллелограмма периодов точки
μ и μ'^τμ-Ι-ω^, ν и ν' = ν-|-ω2
(рис. 46), где ω^ и ω.2 — периоды функции φ (w). Из периодичности
функции ψ (и) следует, что точки μ и μ' (аналогично ν и ν')
соответствуют одной и той же точке алгебраической кривой A). (Взаимной
/^
А
V
Рис. 47.
однозначности нашего соответствия это не противоречит, так как
к параллелограмму периодов мы причисляли по одной из двух
противоположных сторон, и обе точки μ и μ' не могут принадлежать
параллелограмму периодов.) Если мы возьмем внутри параллелограмма
точки μι и μ^, близкие к точкам μ и μ' соответственно, то эти
далекие между собой точки будут переходить в близкие точки
алгебраической кривой A). Аналогичное положение имеет место и для точек,
близ;сих к точ'кам ν и ν'. Для того чтобы сделать имеющееся взаимно
однозначное соответствие непрерывным, мы должны сделать близкими
те то'жи, которые отвечают близким точкам алгебраической кривой,
^того можно достичь следующей простой геометрической операцией.
Сначала делаем из параллелограмма прямоугольник (рис. 47), затем
^вворачиваем прямоугольник в цилиндр (рис. 48). При этом точки [λ

242 АЛГЕБРАИЧЕСКИВ· КРИВЫЕ И РИМАНОВЫ ПОВЕРХНОСТИ [Гл. g
И μ' станут одной точкой поверхности цилиндра, так что теперь точки^
близкие к μ', будут близки и к μ. Теперь нам остается соединить точки γ
и ν'. Для этой цели мы сворачиваем цилиндр в тор (рис. 49). Ясно^
что все описанные действия можно выполнить, сохраняя
топологическую эквивалентность преобразуемых фигур (следует, разумеется,
помнить, что к параллелограмму периодов мы причисляем стороны ab и
ad, а также вершину а, но не
причисляем оставшиеся две стороны и три
вершины; поэтому при наших действиях
взаимная однозначность не нарушается).
Таким образом:
Алгебраическая кривая A) топологи-
чески эквивалентна тору.
Любую поверхность, топологически
эквивалентную данной алгебраической
кривой, принято называть римановой
поверхностью этой алгебраической кривой.
Рис. 49, Поэтому наш результат можно
сформулировать так:
Риманова поверхность эллиптической алгебраической кри*
вой — тор.
Часто говорят не о римановой поверхности алгебраической кривой
G{w, z) = 0, а о римановой поверхности многозначной аналитической
функции w(z), определяемой уравнением Q{Wy z) = 0. Для
эллиптической алгебраической кривой многозначная аналитическая функция
w(z) равна \/ Q^ (ζ).
§ 6. Двулистная форма римановой поверхности
Сам Риман предложил совершенно иной способ построения
поверхности, топологически эквивалентной данной алгебраической
кривой. Долгое время под римановой поверхностью многозначной
аналитической функции понимали только поверхность, построенную по
его способу.
Для изложения предложенного Риманом способа построения нам
понадобится сделать несколько предварительных замечаний.
Аналитическая функция
In [2 —а)
W = |лг^—а = ^2
как мы знаем (см. ч. I, § 4 гл. 4), является двузначной и ее
значения в каждой точке отличаются лишь знаком. В окрестности любой
точки Zq, отличной от α и от со, эту функцию можно разложить

^ G] ДВУЛИСТНАЯ ФОРМА ГИМАИОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ 243
13 степенной ряд по степеням ζ — ζ^.
/ζ-—а = /zo — α-\-{ζ — Ζο) = /ζ
^0-
-a.(l-f
= /2^0-
^ ^ο\ 2
Ζο — α)
οο /Jl_\
-1.(:)(^
Полученный ряд можно аналитически продолжать по любому пути,
не проходящему через точки z = a и ζ = οο. Опираясь на
результаты, полученные при исследовании продолжения логарифма (см.
ч. I. § 3 гл. 4), можем утверждать:
При продолжении по любой замкнутой кривой, обходящей
точку ζ = α четное число раз, функция w = у ζ — а возвращается
к исходному значению. При продолжении по любой замкнутой
кривой, обходящей точку ζ = α нечетное число раз, функция
Х0 ζ=ζ ι/ζ — а умножается на — 1.
Точка ζ = α называется точкой ветвления функции w = '\^ζ — а.
Это утверждение позволяет исследовать поведение при
продолжении по любым путям и квадратного корня из любой однозначной
функции.
В частности, нас будет интересовать функция
W
= -/Qi (ζ) = А \^z — αϊ. \/ ζ — α2 · -\/ ζ — аз · \^ζ — α4,
где Л :^^ Ο, а числа aj, α.2, ag, o.^ попарно различны.
Из сказанного выше немедленно вытекают следующие утверждения:
1. Функция w= }/Qi(z) является двузначной аналитической
функцией; два ее значения в каждой точке отличаются лишь знаком.
2. В окрестности каждой точки ZQ^df^y k = \, 2, 3, 4, функция
w= \/Q^{z) разлагается в степенной ряд по степеням ζ — 2^о и этот
ряд можно аналитический продолжать по любому пути, не
проходящему через точки а^, аз, аз, а4, оо.
3. В результате продолжения функции w=YQii^{z) по любому
замкнутому пути, совершающему четное число обходов вокруг
точек αϊ, α2, аз, α4 (т. е. сумма чисел обходов вокруг каждой из этих
точек — четное число), функция w=yQ^{z) возвращается к
исходному значению, а при нечетном числе обходов умножается на — 1.
Точки αϊ, α^, ag, α4 называются точками ветвления функции
^^V'Qäz),

244 АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ КРИВЫЕ И РИМАНОВЫ ПОВЕРХНОСТИ [Рл.
Заметим, что в окрестности точки г = сю функция y^Qi(z) не
имеет точки ветвления; она допускает выделение двух однозначных
ветвей, имеющих при г = оэ полюс второго порядка. Действительно,
в окрестности бесконечности имеем
/G4 (ζ) = Αι/(ζ — αϊ) (ζ — α^) (ζ — аз) (ζ — α^) =
= н,Л.уA-^A-^A-^A-У=±:Л4+5-
Если мы рассмотрим функцию
W
= /Сз (ζ) = Αι /(ζ ~ αϊ) (ζ — α^) (ζ — аз),
το все наши утверждения, кроме, конечно, последнего, останутся
в силе, только надо считать, что а4 = оо.
Пусть теперь дана функция w=^ V0{z)^ где G{z)=^Q^{z) или
G{z)=^Q^{z). В последнем случае считаем, что а4 = оо. Проведем
в плоскости ζ две простые непересекающиеся кривые Li и 1,,
соединяющие соответственно точку αϊ с точкой ас, и точку аз с точкой ад.
Обозначим через D область, состоящую из всей плоскости г, за
исключением точек кривых Li и 1¾.
Легко видеть, что любая замкнутая кривая, лежащая в области D,
обходит точки αϊ, α^, аз, ад четное число раз (ибо вместе с точкой αϊ
она обязана обходить точку а^, а вместе с точкой аз — точку ад).
Поэтому при продолжении по любой замкнутой кривой, лежащей
в области D, функция w= \/^Q{z) всегда возвращается к исходному
значению. Иными словами, функция w=-/Q(z) допускает
выделение однозначной ветви в области D.
Рассмотрим теперь алгебраическую кривую w^ = Q{z). Она
представляет собой двумерную поверхность в четырехмерном
пространстве {ζ, w), расположенную над (или под) плоскостью переменной ζ.
Каждому значению ζ отвечают две точки алгебраической кривой
(^Zy ± "/ О {ζ)). Выясним, что представляет собой часть нашей
алгебраической кривой, расположенная над областью D. Выберем в какой-
либо точке ζ^Φ^^ одно из значений ^Q{z). В силу доказанной
однозначности ветви \ Q(z) в области D имеется взаимно
однозначное соответствие между точками области Ό и точками той части
алгебраической кривой, которая расположена над областью D и
содержит точку (^0, V^ö(^)) с выбранным значением )/0(^¾). Это
соответствие к тому же и непрерывно, так как ветвь аналитической
функции ^(j(z) регулярная (а значит, и непрерывная) в области L
функция. Следовательно, над областью D наша алгебраическая
кривая распадается на две части, каждая из которых
топологически эквивалентна самой области D.

§61
ДВУЛИСТНАЯ ФОРМА РИМАНОВОИ ПОВЕРХНОСТИ
245
Остается выяснить, как соединить между собой полученные две
части.
Область D геометрически можно представить себе как плоскость
(или сферу), прорезанную по кривым Ιχ и 1¾. Точка λ, лежащая на
каждом из таких разрезов, как бы
разрезается на две точки λ+ и λ~ (рис. 50).
Выделенная в области D ветвь функции ^J
111) = У0(г) принимает в точках λ+ и λ'
различные значения (отличающиеся знаком), так
как для того чтобы попасть из точки λ"*"
в точку λ", не выходя из области D, мы должны обойти вокруг
точек cf.^ нечетное число раз (рис. 51).
Итак, каждая из частей нашей алгебраической кривой,
расположенных над областью D, топологичеС1г^и эквивалентна плоскости
I
А'
Рис. 50.
Рис. 51.
Рис. 52.
(или сфере) с двумя прорезями (рис. 52). Вся алгебраическая кривая
будет топологически эквивалентна некоторой поверхности,
получающейся из этих двух плоскостей склеиванием краев соответствующих
Рис. 53.
Рис. 54.
прорезей. Для сохранения непрерывности соответствия нужно
склеивать те края прорезей, на которых ветви -\- \/^Q(z) и — }/^Q{z)
имеют одинаковые значения. Поскольку эти ветви в каждой точке
противоположны по знаку, а значения любой ветви в точках на раз-
^^Ь1х краях разрезов также отличаются знаком, то нужно склеивать

246 АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ КРИВЫЕ И РИМАНОВЫ ПОВЕРХНОСТИ [Гл. 5
противоположные края разрезов (на рис. 52 нужно склеивать край
λ"^ на левой сфере с краем >Г на правой сфере и т. д.).
Легко видеть, что склеенная поверхность топологически
эквивалентна тору. Один из способов преобразования ее в тор изображен
на рис. 53 и 54.
Классический способ изображения римановой поверхности
несколько отличен от описанного. Именно, классическая риманова
поверхность клеится из совершенно идентичных экземпляров области
(две сферы, изображенные на рис. 52, не идентичны области D ■—
одна из них является ее зеркальным отражением). При этом
способе склеивание экземпляров области D (листов римановой
поверхности) носит чисто символический характер, так как склеить между
собой два накрест лежаихих края разреза без самопересечений нельзя
(это не удивительно, так как картину, существующую в
четырехмерном пространстве, не всегда можно без искажений передать
в трехмерном пространстве). Несмотря на меньшую геометрическую
наглядность, классический способ изображения римановой
поверхности имеет свои преимущества. Одно из них состоит в том, что
все точки алгебраической кривой с одним и тем же значением ζ
действительно располагаются над точкой ζ.

Гл а в а шестая
ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ
§ 1. Определение и постановка задач
Пусть нам дана алгебраическая кривая
te^2 = G(^), A)
где Q{z) — многочлен третьей или четвертой степени, не имеюишй
кратных корней (эллиптическая алгебраическая кривая).
Эллиптическим интегралом называется любой интеграл вида
\ R (г, }/Ö(z) ) dz,
где R (ζ, w) — рациональная функция своих переменных, а Z, — любой
путь, не проходящий через точки, в которых многочлен Q(z)
обращается в нуль (но, возможно, имеющий начало или конец в одной
из этих точек), а также через полюсы функции R.
Подинтегральная функция в эллиптическом интеграле является
многозначной (двузначной) аналитической функцией. Поэтому для того,
чтобы значение интеграла было определено, мы должны задать в
окрестности начала пути L· значение \/Q(z). Значение ]/Q{z) в
любой другой точке пути интегрирования мы считаем равным тому
значению i^Q(z)y которое получается продолжением исходного значения
вдоль пути L.
Эллиптический интеграл является аналитической функцией
конечной точки пути L. Действительно, пусть Lp — путь, который
составляет часть пути L от начальной точки до точки /?. При любом
Ро ζ L имеет место равенство
i(p) = i(f^o) + lR{z, УЩ^) dz
Po
(через 1{ро) мы обозначили интеграл по пути Lp), где последний
интеграл взят по отрезку пути L между р^ и р. Так как путь L по условию
*^е проходит через нули многочлена Q(z) и через полюсы функции

248 ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ [Гл.
R(z, УО(г)\ то подинтегральная функция регулярна в некоторой
окрестности точки Pq. Поэтому интеграл от нее определен во всей
этой окрестности и тоже представляет собой регулярную функцию
Следовательно, наш интеграл 1(р) тоже является регулярной функцией
ρ в окрестности каждой точки пути L. Но путь интегрирования можно
взять произвольно (лишь бы он не проходил через нули многочлена
Q(z) и через полюсы функции R(zy '\/'Q(z)\\ Вспоминая
определения (см. ч. 1, § 2 гл. 3), мы видим, что эллиптический интеграл
является аналитической функцией конечной точки пути L.
Интегрирование по пути L — это конкретный способ продолжения
аналитической функции по этому пути.
Эллиптические интегралы являются многозначными аналитическими
функциями, причем, как мы увидим ниже, бесконечнозначными. Они
могут быть выражены через функции, обратные к эллиптическим
функциям.
В этой главе рассмотрим две задачи. Первая из них — это задача
о выражении эллиптических интегралов через функции, обратные к
эллиптическим функциям. Решение этой задачи позволит нам
выразить любой эллиптический интеграл через простейшие. Решение этой
задачи не требует изучения характера многозначности эллиптических
интегралов — она решается в окрестности любой точки.
Вторая задача состоит именно в решении вопроса о
многозначности эллиптических интегралов. Она решается для тех простейших
типов эллиптических интегралов, которые будут выделены при
решении первой задачи.
§ 2. Приведение эллиптических интегралов к простейшим
Прежде всего заметим, что мы можем рассматривать лишь
эллиптические интегралы вида
I=\R{z. YAz'-g,z-g,)dz^ A)
так как замена переменных (с некоторыми а, Ь, с, а)
аг-\-Ь ad — Ьс
преобразует, согласно теореме § 3 гл. 5, эллиптическую
алгебраическую кривую
w\ = Q(z^
к виду
%ф = \z^ — g^z — ^3» B)

§ 2) ПРИВЕДЕНИЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ИНТЕГРАЛОВ К ПРОСТЕЙШИМ 249
И потому замена переменных Zi = —^^ сводит общий эллиптический
интеграл к эллиптическому интегралу вида A) (с некоторой другой
рациональной функцией).
Будем рассматривать интеграл A) в окрестности некоторой
фиксированной точки.
Согласно § 1 гл. 5 алгебраическая кривая B) допускает унифор-
мизацию с помощью формул
Поэтому, делая в интеграле A) замену переменной г = 1Р(п)у
получаем, что
1=\Ηφ (м), F (и)) ψ (и) du = \F (Μ) du,
где F (μ) — некоторая эллиптическая функция.
По теореме § 12 гл. 1 любая эллиптическая функция F(m) может
быть представлена в виде
^(и) = С+2{Ж(м-а) + Л#(и-а) + ... + Л^'"'-'Ч«-«)}.
а
где С — постоянная, а суммирование п*роизводится по всем полюсам
функции F(h), лежащим в параллелограмме периодов. При этом
вычеты А в этих полюсах связаны соотношением
2Л = 0. C)
а
Подставляя это выражение для функции F(и) в интеграл, находим
l=\F(n)du = Cu-\'Y^A\x^{u — Q)du-\'Y^A^\f{u — d)du-\-
а а
+ 2 μ^Ρ (н - α) +... + A,t^-^^ (и - α)} + Q.
α
Принимая во внимание равенства
С(м —α) = ^1ησ(Μ —а), р(м — а) = —^Цм — а),
можем вычислить остальные интегралы, и это даст формулу
/ = Ci + Ск + Σ ^ ^" ^ (" — ^) — Σ ^1^ (" — ^) +
а а
+ Σ {^^^ (н - а) +... + Art'-^^ {μ - а)\. D)
а
Последняя сумма в этом равенстве является эллиптической функцией,
так что она рационально выражается через f{u) и ψ {ti\

250 ЭЛЛИПТИЧРХКИЕ ИНТЕГРАЛЫ (Гл. β
Для дальнейшего упрощения полученного выражения заметим,
что функция
ζ (W — а) — ζ (и)
имеет периоды ω^ и щ (см. формулы гл. I) и потому является
эллиптической функцией. Поэтому
= «(«) + %(FW. FOO).
Далее, в силу соотношения C)
^А\псA1 — а) = ^А Aп σ (и — а) — \па (?/)),
а а
И потому, согласно формулам гл. 1,
а а
(Если среди полюсов F (и) есть полюс α = О, то отвечающий ему
член в последней сумме следует отбросить.)
Подставляя полученные выражения в формулу D), мы получаем
=.,. + ci,(и) + Уа{ы 1¾^ + i^"] + Rr (F(«); F (.)),
где Riiz, w) — некоторая рациональная функция от своих
переменных.
Таким образом, произвольный эллиптический интеграл вида A)
представляет собой сумму рациональной функции Ri от i^(u(z))
и i^'(u{z)) с линейной комбинацией функций вида
и (ζ), L (и {z))y In ' , ,, \^[ Η—^ и (ζ).
Зд^<:б ?г (г) — функция, которая определяется из уравнения р (и) = ζ,
т. е. и (ζ) является аналитической функцией^ обратной к
функции ψ {и). Поскольку
F {и {Ζ)) = Ζ. F {и {Ζ)) = V^z'~g^z-g,.
рациональная функция R\{^ (ii)y FOO) Д^^т нам алгебраическую часть
эллиптического интеграла. Трансцендентная часть эллиптического
интеграла выражена нами через функцию и {ζ), обратную к функции
i^ {ιι), и через однозначные аналитические функции ζ (г/) и σ(/?).
Рассмотрим эллиптические интегралы, отвечающие каждому из
членов
и (ζ), ζ (и iz)\ In -7—ttv-Vt + -ττ ^-
^^ ν ν у/ ^j (^ B;)) σ (ö) ^ σ (α)

§21 ПРИВЕДЕНИЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ИНТЕГРАЛОВ К ПРОСТЕЙШИМ 251
Очевидно,
Интеграл
dz
называется нормальным эллиптическим интегралом первого рода.
Далее
Интеграл
^ dz
называется нормальным эллиптическим интегралом второго рода.
Чтобы представить в виде эллиптического интеграла В1Iражен11е
σ (а — и {ζ)) ^ ^'(а) , . , σ (а — //) ^ ^. \
σ (α (^)) σ (α) ' σ (ö) "^ ^ σ {α) σ (//) ' ^ ^ ^ »
воспользуемся соотношением
доказанным в § 12 гл. 1. Положим в этом соотношении г^ = — а и
проинтегрируем его по и. При подходящем выборе постоянной
интегрирования получим
= In σ (α — и) — In σ (г;) -|- ζ (α) и — In σ (α).
Возвращаясь в интеграле к переменной ζ и обозначая
получаем, что
σ{η (ζ)) о (а) ' а(а) ^ ^ J 2 2 —;го
Интеграл
называется нормальным эллиптическим интегралом третьего рода.
Эллигггический интеграл третьего рода зависит от произвольной
Точки (^0, τ^ο) алгебраической кривой B).

^52 ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ
[Гл.
Результаты нашего исследования можно сформулировать в виде
теоремы.
Теорема. Интеграл
где R (г, w) — произвольная рациональная функция своих перемен-
ныху можно представить в виде
dz ,
^' ] )/423_^^^__^^+^2 ] γ4ζ^_
где Ri {ζ, w) —рациональная функция^ а Cj, с^, А^, z^y w^ — постоян*
ные, причем z^ и w^ связаны соотношением
wl = Ы — g^iZk — ^3-
§ 3. Интегралы по замкнутым кривым
на римановой поверхности
Как мы уже говорили в § 1, нас будет интересовать вопрос
о характере многозначности эллиптических интегралов
\R{z. 1/0(^) fe 0(^) = 4^^-^2^-^3. (I)
L
В ЭТОМ вопросе есть две стороны. Несущественная сторона — это то,
что многозначность интеграла частично происходит от многозначности
подинтегральной функции, т. е. от двузначности функции yQ(z)*
Эта многозначность нас совершенно не интересует. Для того чтобы
освободиться от необходимости учитывать двузначность ΥQ(z\ будем
рассматривать функцию R{z, Υ (л {ζ)) на римановой поверхности
алгебраической кривой хе;^ = 0(^). Там функция ΥQ(z\ а значит, и
функция R(Zy Y(j(z)) уже однозначны. Интегралы A) также будем
рассматривать на римановой поверхности и будем интересоваться
характером многозначности этих интегралов только на римановой
поверхности. Тем самым мы освободимся от несуш,ественной для нас
стороны вопроса.
Наше решение рассматривать эллиптический интеграл A) не
отразится на определении этого интеграла (данном в § 1). Разница
состоит лишь в том, что, рассматривая интеграл A) на римановой
поверхности, мы по-иному решаем вопрос о совпадении или
несовпадении конечных точек двух различных путей интегрирования (с одним
и тем же началом и с одним и тем же значением У Q{z) в окрестности

§ 3] ИНТЕГРАЛЫ ПО ЗАМКНУТЫМ КРИВЫМ 253
начала). Именно, два пути интегрирования L^ и Ц, рассматриваемые
как пути интегрирования на римановой поверхности, состоят из точек
(ζ, '^) этой римановой поверхности. Для совпадения двух точек этих
путей нужно, чтобы совпали не только значения ζ, но и значения
Интеграл A), рассматриваемый на римановой поверхности, будел!
для отличия записывать в виде
\R{z,w)dz, A*)
L
Теорема 1. Значения двух эллиптических интегралов A*),
отвечающих путям интегрирования с одинаковыми началом и
концом, отличаются на интеграл от функции R (г, w) по
некоторому замкнутому пути на римановой поверхности
алгебраической кривой w^ = G(z).
Действительно, если первый из интегралов взят по пути Lj, а
второй — по пути La» то их разность равна интегралу по пути L,
составленному из пути Lj, проходимого в прямом направлении, и из пути L^»
проходимого в обратном направлении. Путь L является, очевидно,
замкнутым путем на римановой поверхности.
Таким образом, задача о выяснении характера многозначности
эллиптического интеграла сведена к задаче исследования интегралов
по замкнутым путям на римановой поверхности от функции,
однозначной на этой римановой поверхности. Это последнее исследование
проведем способом, очень сходным со способом, примененным для
исследования интеграла \z''^dz (см. § 4 гл. 5 ч. 1).
Нам понадобится следующее видоизменение теоремы Коши,
применимое к интегралам по римановой поверхности:
Теорема 2. При непрерывной деформации пути
интегрирования в части римановой поверхности, не содержащей полюсов
функции R{z, w), интеграл A*) не меняет своего значения {если,
конечно, эта деформация не меняет концов пути интегрирования).
Ясно, что при доказательстве этого утверждения мы можем
ограничиться кривыми, лежащими в достаточно малых областях. Мы знаем,
что уравнения
z = ^^u), w = i^'(u)
устанавливают взаимно однозначное соответствие между точками
римановой поверхности и точками любого параллелограмма периодов
функции р(и). Если кривая L достаточно мала, то отвечающая ей
1^ривая L! целиком лежит в некотором параллелограмме периодов
(строго внутри). Поскольку
\R(z,w)dz = ^ R ψ (и), ψ Щ F (ιί) du.

254 ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ 1Гл. δ
теорема Коши, примененная уже не к интегралу по римановой
поверхности, а к обычному интегралу по кривой на комплексной плоскости
(от однозначной функции), дает требуемое утверждение.
В частности, из теоремы 2 вытекает
Следствие. Пусть L — замкнутый путь на римановой по-
берхностЫу который можно непрерывной деформацией (не переходя
через полюсы функции R(Zy w)) стянуть в точку у не являющуюся
полюсом R(z, w). Тогда интеграл A*) по пути L равен нулю.
На нашей римановой поверхности, представляющей собой тор,
имеются cлeдyюuτsиe пути, не стягиваемые в точку регулярности
функции R{z, w): пути, окру-
^^..'■'''.''iPji|jijil|^ жаюидие полюс R{z, w)y и
^- / у^—^^^^¾^ ^"^^ пути, обходяидие тор
/ /αί^^^^^^^^^ >?^ "^ меридиану или по па-
/ /¾^ \ \Щ раллели (линии Л и Л на
/^^ кЛЖ / )Ш Р'^^· ^^)· Построим сейчас
х^лЯк. Μ /^ набор основных путей та-
\ ^^^^ш^'у/^Шг ^^^^ рода и покажем, как
"-ςΤ' \у-.^'^--->^''''1^^^ разбить произвольный зам-
^*4»ίί^^^00^ кнутый путь в сумму этих
основных.
Риг ^^ /^
"^· с этой целью возьмем на
торе какую-либо точку а и
проведем через нее меридиан А и параллель В. Будем считать точку а
выбранной таким образом, что точки тора «ι, α^, ... , α„, отвечающие
полюсам функции R, не лежат на линиях А и В. Далее соединим
точку а с точками а^, а,^, ... , а^ кривыми γι, γ2' · · · » Тм
соответственно. Эти кривые всегда можно выбрать таким образом, чтобы они не
пересекали друг друга, а также линии А и В. Тор, разрезанный по
линиям Л, By γι, ^^, ... , γ^, представляет собой односвязную область^
которую мы обозначим че|»ез D. В области D функция R (г, w), оче*
видно, не имеет полюсов. У каждой из кривых Л, В, γι, γ^»... , γ„ будем
различать две стороны Л"^ и Л", В^ и В~, ... > γ« и γ~. В качестве
основных путей возьмем пути 1д, Lß, Ιγ, ,.. , Ιγ , определяемые
следующими условиями:
Путь La один раз пересекает кривую А, переходя со
стороны Л^ этой кривой на сторону Л~, и не пересекает ни одной
из остальных кривых Д γι, γ^, ... , γ«; остальные пути
определяются аналогично.
Из теоремы 2 немедленно вытекает, что интеграл A*) по любому
пути 1д имеет одно и то же значение, которое мы будем обозна^
чать /д. Аналогично определяем величины /β, /γ , ... , /γ .
Возьмем теперь произвольный замкнутый путь L и какую-либо
точку b ζ Di лежащую на этом пути. Согласно теореме 2 интеграл A*)

§ 3] ИНТЕГРАЛЫ ПО ЗАМКНУТЫМ КРИВЫМ 255
по пути L не изменится, если мы будем произвольно деформировать
путь, оставляя на месте точки его пересечения с кривыми Л, Ä γι,
72' ... , 7/1 (и не добавляя новых точек пересечения с этими
кривыми). В частности, можем деформировать кривую L таким образом,
чтобы каждый ее участок между двумя последовательными
пересечениями с кривыми Л, β, 7i, ... , ^п проходил через точку Ь, причем
ровно один раз. Тогда деформированный путь V распадется на сумму
основных путей 1д, Lß, Ζγ, ... , Ιγ , проходимых в прямом или
в обратном направлении (ибо отрезки пути U между двумя
последовательными заходами в точку b пересекают кривые Л, В, γι, ..., ^^
ровно один раз). Следовательно,
\R{z, w)dz = \ R {ζ, w) dz = т^и + ^^вЬ + f^U^ + · · · + ^/г/γ^^
L и
где Ша^ tUß, Шц ... , Шп — целые числа. При этом число т^ равно
разности между числом точек, в которых путь L пересекает
кривую Л, переходя со стороны Л^ на сторону Л~, и числом точек,
в которых путь L пересекает кривую Л в обратном направлении.
Аналогично определяются остальные числа.
Числа /д, /β, /γ , ... , /γ называются периодами эллиптического
интеграла A*).
Заметим еще, что по существу приходится иметь дело не с
полюсами функции R {Zy w), а с полюсами функции
?(it)=R^{u), F0O)F0O,
расположенными в каком-либо параллелограмме периодов функции
Ρ (и), так как точки этого параллелограмма находятся во взаимно
однозначном соответствии с точками римановой поверхности, и
\ R (г, w)dz = \ Rip (и), ψ {и)) ψ (ιι) ί/м = 5 φ (/0 du,
1 υ ν
Далее, если в точке и = с функция
имеет полюс, но вычет в этом полюсе равен нулю, то точку тора,
отвечающую этому полюсу, не нужно соединять с точкой а (и вообще
такой полюс в наших рассуждениях можно не учитывать).
Действительно, легко видеть, что период /γ, отвечающий полюсу ζ/= с
функции φ (г/), равен вычету функции φ {и) в этом полюсе. Если вычет
равен нулю, то равен нулю и период.
По той же причине, если имеются два полюса с^ и с^ функции
^ («) и res φ {и) -\- res φ (м) = О, то эти полюсы можно не соединять
^ точкой а, а соединить между собой.

256 ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ [Гл. е
§ 4. Периоды нормальных эллиптических интегралов
Сейчас мы выясним, что дают нам исследования предыдущего
параграфа для нормальных эллиптических интегралов первого, вто-
рого и третьего рода, т. е. для интегралов
^' = 1 5 7=?^^^= S [ζ(Η-α)-ζ(Η) + ζ(α)]ώΗ.
Для интеграла Ji имеем
9{n) = R(fp{u). F(w))F(«)=b
т. е. функция φ(Μ) не имеет πoлюcoвί Поэтому нормальный
эллиптический интеграл первого рода имеет два периода, отвечающих
интегралу по параллели тора и интегралу по его меридиану. Вычислим
эти интегралы.
Униформизация
z = jp(u), ^; = F(M)
устанавливает взаимно однозначное соответствие между точками рима-
новой поверхности и точками параллелограмма периодов функций
р(м). Вспоминая способ построения тора из параллелограмма
периодов (см. § 5 гл. 5), мы видим, что параллелям тора отвечают в
параллелограмме периодов прямые, параллельные одной паре сторон
параллелограмма, а меридианам — прямые, параллельные другой паре
его сторон. Следовательно, период /д равен интегралу
Μο + ωχ
^ du = ω^,
Mo
а период Iß — интегралу
М0 + ">2
мо
Соединяя полученные сведения о периодах с o6uj.hmh результатами
предыдущего параграфа, получаем утверждение:
Для нормального эллиптического интеграла первого рода,
взятого по замкнутому пути на римановой поверхности
алгебраической кривой w^ = Az^ — g^z — ^3» имеет место равенство
Jj = /гг^ш! -J- т<1Щ,
где Шх и т<1 — целые числа, щ и щ — периоды ^-функции Вейер-
iumpacca с инвариантами ^^, ^3·

ζ 4] ПЕРИОДЫ НОРМАЛЬНЫХ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ИНТЕГРАЛОВ 257
Иными словами, нормальный эллиптический интеграл первого
рода, взятый по замкнутому пути на римановой поверхности,
равен некоторому периоду соответствующей ему функции ^(и).
Для интеграла второго рода имеем
φ (") = /?№("). F(K))F(«),
т. е. функция φ (ιί) имеет один полюс второго порядка с вычетом,
равным нулю. Согласно замечанию, сделанному в конце предыдущего
параграфа, этот полюс можно не принимать во внимание. Поэтому,
используя те же соображения, что и для интегралов первого рода,
получаем для периодов /д и Ιβ интеграла второго рода выражения
«0 + ωι
1а= \ ί^00ί/Μ = —ζ(?/ο + ωι)-1-^(Μο) = —ηι>
Mo
«θ4-ω2
h= \ ψ i}i) du = ~^ (Uq + ω^) + с (Wo) = — η^·
«о
Для нормального эллиптического интеграла второго рода,
взятого по замкнутому пути на римановой поверхности
алгебраической кривой w^ = Az^ — g^z — g^y имеет место равенство
J.2 = m^fii -]- т^-Ц:^,
где nil и m<i — целые числа, а величины ηι и η2 определяются по
периодам ωι и щ функции ψ {и) (с инвариантами g^, g^ по
формулам, приведенным, например, в конце гл. 1.
Для интеграла третьего рода имеем
φΟΟ = (:(Μ--α)-ζ(Μ) + ζ(α),
т. е. функция φ(Μ) имеет два полюса первого порядка п==Оим = а
с вычетами, равными 1 и — 1. Следовательно, для интегралов
третьего рода имеется три периода /д, Ιβ и Д (отвечающий интегралу по
достаточно малой кривой, обходящей один из полюсов; согласно
последнему замечанию, сделанному в конце предыдущего параграфа,
два полюса с суммой вычетов, равной нулю, дают лишь один период).
Очевидно, что
h == 2π/.
Для периода /^, как и выше, получаем выражение
г/0 + ωι
Уд = 5 [С (и — а) — ζ (и) + С (а)] du =
Mo
= In Μ",-« + ω.)^("ο) , ς („)

258 ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ [Гл. 6
Поскольку
к« + ωι) = σ (μ) exp |ηι [ii + ^]|
(см. таблицу формул в конце гл. 1), получаем после несложных
преобразований
1а = — ο:ηι -{- ζ (а) ω^ -f- 2πίηι
(Πι — некоторое целое число). Аналогично
1в = —- ^2 + С (а) ^2 + 2^ш.2.
Таким образом:
Для нормального эллиптического интеграла третьего рода,
взятого по замкнутому пути на римановой поверхности
алгебраической кривой w^ = 4z^ — g.jZ — ^3' имеет место равенство
Уз = lizim -\- /^ZjQi ~\- т^^^ B^ = — αη^. ~f ζ (α) ω^),
гЬе т, т^, m^i — целые числа, ωι и ^^ — периоды функции ψ{ιι)
с инвариантами g^, g^, а величины ηι и η^ определяются по ω^ и
ω,2 с помощью формулу приведенных, например, в конце гл. 1.
Выражение чисел mi, т^^ (или в последней формуле т, ηΐγ, т^^
через свойства пути интегрирования можно получить способом,
применявшимся в предыдущем параграфе.

τ л а βα седьмая
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
§ 1. Преобразование первого порядка функций Вейерштрасса
Мы будем говорить, что функция /(ωι, ω2) является
преобразованием порядка η функции /(ωι, ω^), если пары периодов (uj, ^^ и
(ω^, ω2) связаны соотношением
A)
ώι = γω2 -j- δωι,
где α, β, γ, δ — целые числа, удовлетворяющие условию
αδ — ^^ = п.
В частности, если пары периодов связаны соотношением A)
с матрицей ( П, отвечающей преобразованию модулярной группы,
то Az = 1 и преобразование называется преобразованием первого
порядка.
Согласно теореме § 15 гл. 1 пары периодов, связанные
соотношением A) с матрицей ( ^j, отвечающей преобразованию
модулярной группы, эквивалентны, т. е. порожденные этими парами
множества всех периодов т^^^х-]- т^^^^ и mi^i-\-''m^^^ совпадают. Ясно
поэтому, что функция
α (ιι· ωι, ω2) = и Jj {(^ — ;^) ^xp ("^ + у -^)} (^ == '^i^i + ^2^0
не меняется при преобразовании первого порядка. В силу формул
ζ (г;; ωι, ω2) =-^ In σ (г?; ωι, ω2), ^(и; ω^, ω2) = —-^ С (гг; ωι, ω2)
это утверждение сохраняет силу и для функций С(гг; ω^ ω2) и
Р(?/: ω^, ω,).

260 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ [Гл. 7
Тем самым доказано утверждение:
Функции а (и). С (и)» F(^) ^^^ меняются при преобразовании
первого порядка.
Аналогично:
Величины
^2, ^3» А = ^1--27^3
не меняются при преобразовании первого порядка.
Выясним, как ведут себя при преобразовании первого порядка
величины
ηι = 2ζ^-^; ωι, ω^Ι, η, = 2ζ^-^; ωι, (^^ή.
Если обозначить через ήι, ή^ значения, принимаемые величинами ηι,
η2 при замене (ωι, ω2) на (άι, ώ^), το для этих значений справедливы
формулы
^_2с(^"-4^·, ώ, ώ,) = 2ς(-ίί^4^; со, ,
г,, = 2^[Щ^, щ, Й,) = 2С(^!^^4^; со, co,j
Из равенства
С (гг-f-=^^2 + βωι; ωι, ш2) = С(гг; ωι, ω2)-j-αη2-}-βη,
(см. формулы в конце гл. 1) при ζ/ = — ^^2~r?<^i заходим ή2 =
==αη2-|-βηι и аналогично ήι = та-f-^^ι· Следовательно:
При преобразовании первого порядка величины щ, η2
преобразуются тем же способом, что и периоды ωι, ω2.
Величины
^3 = ί>(-^; ωι, ω.,)
при преобразовании первого порядка могут лишь поменяться
местами (ибо они являются корнями неменяюихегося уравнения Αζ^ —
§ 2. Преобразование первого порядка тета-функций
Из формулы B) § 6 гл. 2 и формулы (8) § 9 гл. 2 вытекает, что
Ь, {у; х)= -|/'^^-Д ехр (- Jf- ιή о («). A)

^2] ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПЕРВОГО ПОРЯДКА ТЕТА-ФУНКЦИЙ 261
1-де
Заменив периоды ωι, ω^ периодами ω^ ω^, связанными с прежними
периодами соотношением A) предыдущего параграфа с αδ — βγ=ΐ,
мы получим, учитывая, что при этом функция а (и) и дискриминант
А не меняются
θι (ί; ΐ) = j/A ^Δ exp (- -^ "') ^ («λ B)
где
■γτ + δ '
ατ + β
Разделив почленно обе части равенства B) на соответствующие части
равенства A), придем к формуле
», (i; ;> = θ. (г.; .) s /А ехр {(-^ _ |-) uj,
где через ε обозначен некоторый корень восьмой степени из единицы
(его значение не зависит ни от Vy ни от τ, но зависит от величин а,
р, γ, δ, определяющих преобразование). Но Γ/ = ωιτ;, а
так что приходим к следующей формуле преобразования первого
порядка функции Ь^ {ν\ τ):
θι (ν\ τ) = ε /γτ -(- δ ^ϊ^ +« θι (ν; τ). C)
Отысканию значения ε корня восьмой степени из единицы было
посвящено много работ. Окончательное решение задачи было дано
Дедекиндом в его комментарии к одной из посмертных публикаций
Римана.
Для отыскания величины ε разделим обе части равенства C) на
^ι(ν, τ) и положим г; = 0. Так как ν = —-г-г-, это даст нам равенство
Согласно формуле E) § 10 гл. 2
1 оо
^ @; τ) = 2πΗ^ ДA — h^y {h = ^^'^).

262 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ [Гл. 7
Поэтому
J оо
Л 4" Π A—Л2«)з
e = (T- + S)-^/^-fi^ D>
/И Π {\—h'^y
(здесь /г = ^^^^ ^ = 6^^^^).
Остановимся еще на вычислении значения ε для преобразований
первого порядка, отвечающих матрицам
(мы упоминали в § 1 гл. 4, что эти преобразования можно взять в·
качестве образующих модулярной группы, т. е. что любое
преобразование модулярной группы можно представить в виде произведения*
степеней этих преобразований). Значения ε, отвечающие этим
преобразованиям, обозначим ει и ε2. Формула C) для этих преобразований
имеет вид
b,{v·, τ+1) = εΑ(Χ^; τ), E)
1 "^^ 2
θι (γ; - γ) = Ч \^e~ " &, {ν, τ). F)
Для преобразования Τχ имеем, очевидно, равенство
h^ = e 4~/г^ ^2^ = /2^^
так как h =^-. e^^^ ^^""^"^ = e''^h. Поэтому равенство D) принимает в этом
случае вид
Для преобразования Т^ имеем равенства
h = ^^", Й = ^~ ~,
ИЗ которых видно, что h = h при τ = /. Поэтому, полагая в
равенстве D) (справедливом при любом τ) τ=:/, получаем
' iVJ'
Таким образом, формулы E) и F) принимают вид
&,(!>; τ-j-1) = ^^-^1 (г-; τ),
CT

5 21 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПЕРВОГО ПОРЯДКА ТЕТА-ФУНКЦИЙ 263
(для корня Υ'ί/ί МЫ ДОЛЖНЫ ВЗЯТЬ ветвь, которая обращается в
единицу при τ = 0.
От функции bi (ν; τ) легко перейти к другим тета-функциям. Дей-
с1вительно, согласно формулам § 8 гл. 2,
πί
^1 Γ + Τ' ^)=^ »oii»: τ).
»i(^ + T + y; τ) = 6"^~"\{ν; τ).
С помощью этих формул мы без шут получаем из G) равенства
\{v\ х+1) = е'Т8,(г»; τ),
»зСг^; х+1) = &„(г»; τ),
(8)
" ' ^=1/^^7^^^^^^(^=^)- ί^>
τ
^ο(^; τ+1) = θ3(τ;; τ),
A0)
Β частности, положив во второй из формул (9) -^ = О, получим
соотношение
"Kin-
е ~^'
2.--=/42-
часто используемое во многих вопросах анализа.
В заключение скажем несколько слов о применении формул
преобразования тета-функций для улучшения сходимости рядов при
вычислении значений этих функций.
Пусть т = г-(-/5. Тогда
1_ — г -f- /S
и следовательно,
\h\^e ^-^+^^, )/г, = е

264 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ [Гл. f
Когда r^-j-5^<^l (т.е. когда !τ|<^1) имеем неравенство \h\<^\h\^
Это означает, что ряды ^,^(г;; τ) сходятся лучше, чем ряды Ь^{у\ τ).
Вообще формула C) позволяет заменить любое значение τ
конгруэнтным ему значением из фундаментальной области модулярной
группы (см. § 1 гл. 4), т. е. из области, точки которой удовлетворяют
неравенствам
— Y^r<-i-, г^ 4-5^^1 {x = r-\-is).
В этой области наименьшее значение 5 = 1тт равно ^У^З, и потому
наибольшее значение | h \ равно
е ^~~ = 0,06583...
Ряды для тета-функций с таким значением | h \ сходятся очень быстро.
§ 3. Преобразование второго порядка
Для изучения преобразования второго порядка мы должны в
первую очередь выяснить структуру матриц, отвечаюш.их этому
преобразованию. Напомним, что преобразованием второго порядка мы назвали
замену пары периодов (ωι, т^ парой периодов (ώι, ag), где
а>1 = с(*J-J-ö^^u Ι
(а b\
атрица I I целочисленна, a ее определитель ad — be равен 2.
(a b\
Докажем сейчас, что матрицу I ), отвечающую
преобразованию второго порядка, можно представить в виде
где Τ и S — матрицы, отвечающие преобразованиям первого
порядка (т. е. преобразованиям из модулярной группы). Иными словами:
Пусть пары {iHp Шз) и («jj, шз) связаны соотношением A), где
а, by Су d — целые числа и ad — be = 2, Тогда существует пара
(Ωι, Q^), эквивалентная паре (ω^ ω^), и пара (Ωι, й^,
эквивалентная паре (coj, 03 cj), для которых
Ω2 = Ω,. Ωι = 2Ω,. B)
При доказательстве рассмотрим отдельно два случая.
где м

-§ 3] ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА 265
I С1 b \
1. Числа cud оба четны. В этом случае матрица 1 1 J це-
\Ψ ¥1
лочисленна и ее определитель равен ^{ad — ^с) =-.2=1. Поэтому
пара (Ωι, ^з), где
^2 = ащ -\~ biui,
Ωι = ^ сщ -{- 2 οίω,
эквивалентна паре (щ, ω^). Полагая U2^=:^y Q^=(u^, мы видим, что
равенства B) выполняются.
2. Числа cud взаимно просты. (Ясно, что числа с и d не
могут иметь общих делителей, отличных от единицы или двойки, ввиду
равенства ad — be = 2.) В этом случае существуют целые числа α и β,
удовлетворяющие условию
ad~^c=\.
Пара (Ωι, Ω^), где
Ωι = — (αω2 -\- βωι),
^2 == сщ -\- diu^y
будет эквивалентна паре (Щу щ). С другой стороны, из равенства
{а ~2(x)d — {b — 2β) с = {ad — be) — 2 {ad ~^с) = 2 — 2 ' ι =0
следует, что
а==2а-\-рСу b = 2^-\-pdj
где ρ — целое число. Поэтому равенства A) для ώι и ώ2 можно
записать в виде
0).2 = 2 (αω2 -|- ß^i) -\-р{сщ -\- ύίωι),
или в виде
Положив
О) J = сщ -\- d(üi
ώ^ — ;7ώι = — 2Ωι,
Ü)j = Ω2·
02 = ωι, Ωι = — щ-\-ро)р
мы видим, что пара (öj, Ω2) эквивалентна паре (wj, щ) (так как мат-
0 V
рица I I целочисленна и ее определитель равен единице) и
равенства B) выполняются.
Тем самым наше утверждение полностью доказано.
Теперь найдем преобразование второго порядка ί^-функции
Вейерштрасса.

266
ПРЕОБРАЗОВАНИН ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
(Гл. 7
С ЭТОЙ целью заметим прежде всего, что в качестве периодов
((*)j, ω^) и (ω^, ω^) мы можем взять периоды (Qj, ßcj) и (Öj, Ω2),
существование которых только что доказали, так как замена пары периодов
эквивалентной парой не меняет функции Вейерштрасса. Для удобства
обозначим
Ωι = 2ω, ^2 = 2ω'.
Тогда
ßj zrz: ω, 0¾ = 2ω',
и нам нужно найти связь между функциями p(w; 2ω, 2ω') = Ρ(Μ)
и ρ (μ; ω, 2a)') = F(w).
Параллелограмм периодов функции р(гг) состоит из двух
параллелограммов периодов функции §^{ii) (рис. 56). Мы можем рассматривать
л.
2ω-^2ϋ)' функцию γ {и) как эллиптическую функцию
четвертого порядка с периодами 2ω, 2ω' (т. е.
считать функции f {и) и f{u) имеющими
одинаковые периоды, а значит, и параллелограммы
периодов). Функция р {и) имеет полюсы второго
^^ I порядка в точках w = 0 и ί/ = ω. Обозначая
^з=РЮ = Р(и)'; ω, 2ωΟ,
видим, что функция ^^(п)—^3 (имеющая,
очевидно, те же полюсы, что и функция ψ (ιή) имеет
двукратные нули в точках ζζ = ω' и ί/ = ω-}-ω^
Те же полюсы и те же нули имеет функция
Поэтому
§)(и)~е,= М (F (и) - е,) (F (и + ω) - ^з),
где Μ — постоянная, которую легко найти, сравнив разложение обеих
частей равенства в ряд Лорана в окрестности точки п = 0. Эта
постоянная равна 1/(^1 — е^), так что имеет место равенство
Ρ (и) - f (ω') = -^-- (F {η) - f (ωΟ) (Ρ (II + ω) - p (ωΟ). C)
Далее, функция f(uA^ ^^ — ^1 имеет полюс второго порядка при
ί/ = ω и нуль второго порядка при м = 0. Те же полюсы и нул№
имеет функция
Следовательно, эти две функции отлича-
Ρ(«)-^ι'
ются лишь постоянным множителем, который легко найти, положив
« = (*)'. В результате получим равенство
^^и\^)~е^.
{е^ — е,) {е^
^l)
F (")

5 41 ФОРМУЛЫ СВЯЗИ 267
подставив которое в формулу C), получим рациональное выражение
функции p{ii) через р(и).
Если в равенстве C), которое можно записать в виде
j^)(i/; ω, 2ω') —^(ω'; ω, 2ω') =
^ ^ [Ρ(μ; 2ω, 2ω')~^(ω'; 2ω, 2ω')][^(Μ +ω; 2ω, 2ω') —ίί?(ω'; 2ω, 2ω'I,
поменять местами ω и ω', то получим равенство
i'^{ü; 2ω. ω') —ρ (ω; 2ω, ω') =
== ! [^(ί/; 2ω, 2ω') —ρ(ω; 2ω, 2a)')][^(M-f ω'; 2ω, 2ω') — ^ (ω; 2ω, 2ω')].
§ 4. Формулы связи между функциями Вейерштрасса и Якоби
Для изложения дальнейших результатов нам необходимо вывести
еще несколько формул, связывающих ί^-функцию Вейерштрасса с
функциями Якоби sn м, СП Ну dn и. Точнее говоря, нам будут нужны
формулы связи между функцией
i^{w, 2ω, 2ω')
π функциями
sn{u; τ), cn(?/; τ), an (и; τ),
где τ = ω'/ω.
Согласно формулам F) § 9 гл. 2 и A1) § 1 гл. 3 имеем
2К = Щ @) = 2ω Yei — е^, |
2iK = 2К^ = 2ω' Yei — е^, A)
е^ — е
Первые две из написанных формул означают (см. § 2 гл. 3), что
функции
sn^ {и Vex —- ез), сп^ {и У е^ — е^), dn^ (и Уе^ — е^)
имеют периоды 2ω и 2ω', т. е. те же, что и функция ψ{η). Далее
функция sv?'{uV^\ — ^3) имеет двойной полюс при ζ/ = ω', двойной
нуль при 11^=^ W равна единице при ί/ = ω. Поэтому
φ{η-\- ω') — ^3 = (^¾ — ^з) sn^ (г/ Ye^—e^\
С помощью аналогичных соображений доказываются и формулы
^ (а + ω') — ^1 = ((?з — ^i) dn^ (г/ V'^^i — ^3 )>
ί^ί (м + ^0 — ^-2 = (^3 — ^2) сп^ (и Уе^ — ^3 )·

268
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
[Гл. Г
С помощью таблицы преобразований функций Якоби при изменений"
переменной (см. § 2 гл. 3) получаем из написанных выше форму,^
ряд других. Все эти формулы мы выпишем в виде таблицы.
и
{e^ — еЛ —s-
H-f ω
(^1 — ^3)
—Ην 1 d/ ^,j^2
U-\- ω-|-ω'
(^1 ~ ^2) (^3 — ^2) sn^
^1 — ^3 dn^
СП"
Μ-|-ω'
(^3 — ^1) dn^
(^3 — ^2) Cn^
(^2 — ^3) sn^
Аргументом всех входящих в эту таблицу функций Якоби является
величина иуе^ — е-^.
§ 5. Преобразование Ландена
Из формулы A) § 3 с помощью соотношений, выписанных
в таблице предыдущего параграфа, получаем равенство
(ßx — h)
sn^ {и Уё^ — ё^\ 2τ)
sn^ (μ У βι —е^; τ)
где обозначено для краткости
• (^1 — ^з)
СП' {а Уе,—е^\ τ) '
^1 = Р(у; ω, 2ωΜ, ^, = Ji) U'+-^-; ω, 2ωΜ ^3 = Ρ(ωΊ ω, 2 ω').
Заменив в этом равенстве переменную и на и/Уе^ — е^ и введя
обозначение
т
получим формулу
=Vb
sn w СП Μ
^ ' ^ dn и
(здесь и ниже пишем sn и вместо sn (и; τ)).
0)
Если обозначить через К у^ К значения полупериодов, относящиеся
к 8п(м; 2τ), то по формуле C) § 4
2Κ'=ω Уёх — ё^ = Кт,
21К' = 2ω' У el — ^3 = 2iK'm.

§ 5] ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАНДЕНА 269
Следовательно,
Выразим сейчас значение т и модуль κ, отвечающий функции
sn (м; 2τ), через модуль κ, отвечающий функции sn и, С этой целью
положим в формуле A) 11 =-ψ К· Тогда mii = Ky и мы получаем
равенство
К К
sn -у . СП -^
^=гп \ . B)
Из равенств
СП ill -■ I..- 1/Л . ^jj ^ ,
dn гг' ^ ' ^ ' апи
5п(н + Ю = ^, dn(H + /0 = -/;
(см. § 2 гл. 3) при ζί = — γ К получаем, что
dn-2-
Поэтому в силу равенства B) имеем
,К '-^"^Т 1-.'
\=msn^~ = m -^ = т ^^ .
Следовательно,
т = -ζ ; = π г = 1 + κ .
1 — χ 1 — χ '
Заменив в равенстве A) и на ιι-{-ίΚ> получим, согласно
формулам § 2 гл. 3,
1 1 1 dn«
_ == т
X sn (mw, 2τ) х^ sn и en ü
или
vß snu спи
sn (тщ 2τ):
/72Х dn и
Следовательно, принимая во внимание формулу A), получаем
.-2 1 ..г2 1
Х^
/72Х /7г^ A+^')^ 1+^'
Обозначим функции sn г/, сп и, dn ?/, отвечающие модулю κ через
sn (гг I κ), сп (и \ κ), dn (и, κ).

270 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ [Гл. 7
Тогда равенство A) можно записать в виде
(κ и у! связаны соотношением κ^-|-χ' = 1)·
Формула C) носит название преобразования Ландена.
Преобразование Ландена чаще пишут в другом виде, к которому
мы сейчас его приведем.
Положим
sn {и I х) г=: JC, sn (A -j- κ') и I κ) = _у.
Учитывая формулу (8) § 1 гл. 3, получаем из формулы C)
соотношение
^. = A+/)^^¾. D)
У 1 — х^х-
С другой стороны, согласно формуле D) § 3 гл. 3, имеем
. = du, ^ — = A -1- κ') du.
Поэтому справедлива формула
которая и является наиболее употребительной формой
преобразования Ландена. Модуль κ называется также модулем эллиптического
интеграла
С dx^
Пусть κ и κ' — действительные положительные числа, связанные
соотношением κ^-]-κ' =1. Тогда
Таким образом, преобразование Ландена, записанное в виде E),
позволяет свести вычисление эллиптического интеграла с модулем
%, 0<^κ<^1, к вычислению эллиптического интеграла с меньшим
модулем κ.
С помощью повторного применения преобразования Ландена можно
сделать модуль эллиптического интеграла сколь угодно малым, а при
достаточно малом модуле κ эллиптический интеграл
С ^У

(j 6] СРЕДНЕЕ АРИФМЕТИКО-ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ 271
МОЖНО считать приближенно равным интегралу
\ -—=:r^zz= = arcsin V.
Таким образом, преобразование Ландена можно применить к
приближенному вычислению эллиптических интегралов.
§ 6. Среднее арифметико-геометрическое
Покажем, как применяется преобразование Ландена к
эллиптическому интегралу
( '' A)
где κ — заданное действительное число, заключенное между нулем и
единицей.
Положив х = 8п(гг|х) и приняв во внимание равенства
спО . ПА
dnO
(см. § 2 гл. 3), получим, что
1
С dx -^
J |/A—Λ·-)A~χ2Λ·2) ^
В § 5 мы доказали равенство
— ~2~ — —2
где К—значение полз^периода, отвечающее значению κ:
Поэтому
1 ι
dx 2 ί* dx
Ι+χ ·
-r\ , '■' =. B)
Заменой переменного χ = 5ίπφ интеграл A) преобразуется к виду
1
С __ dx
Vi
5^ у 1 — "Л^ Sin^ φ Ц ν COS^ φ -\- %'''
Q J/ A—л^^) A—χ^χ^) 5^ V 1—7-^ sin^ φ 5 V cos^ A^-\-%' sin^ φ
(^2 + /=1),
так что равенство B) можно записать в более удобном виде
2
^<f =-!-{ ^л C)
—-— . -4-%' \ /—, ^ 2 ~~ *
COS^ φ + '^' Sin~ φ О У COS- (ρ -f- χ' Sin^ φ

272 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ [Гл. 7
где
у! = /1—^2=1/
:γ 2/χ'
1+xV — l+x"
Пусть -/ = ^, где а — произвольно выбранное положительное
число (тогда 0<^^<^а, так как 0<^κ'<^1). Очевидно, что
где
αϊ = —ξ- , b^ = \iab ,
Равенство C) означает в этих обозначениях, что
f (Ц 2 Г
О I/ COS^cp + -i- 8ίη^φ
ИЛИ что
J )/α^ cos^ ? + ^^ sin^ φ .i Υα\ cos^ ? + ^1 sin φ
D)
Рассмотрим две последовательности
β, Öj, Йо, . · ·)
^, ^1, ^2, ...,
где α и b — заданные числа, удовлетворяющие условию 0<^^<^а,
а остальные члены определяются рекуррентными формулами
^ > E)
а^ = а, bQ = b, η = О, 1, 2,... J
Легко доказать, что пределы обеих последовательностей
существуют и равны одному и тому же числу, которое будем обозначать
Μ (α, b) и называть средним арифметико-геометрическим чисел а и Ь^
С этой целью заметим сначала, что ß^^-i^^^+i» поскольку
^Aifl-
. br,^, = ^^4^ - УаЛ = γ{/αη~ УЬпУ > 0.
Затем заметим, что последовательность Ьп возрастает, а
последовательность а^ убывает, так как
ö^/z+i = ^4^--^ < an. bn^i == /αφη > Ьп^

§ ΰ] СРЕДНЕЕ АРИФМЕТИКО-ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ 273
Поэтому последовательности а^ и Ь^ как монотонные и ограниченные
последовательности имеют пределы. Обозначив эти пределы через
А W В, получим из первого из рекуррентных соотношений E) равенство
А =^^-^—. Из этого равенства немедленно вытекает, что А = В,
и тем самым наше утверждение доказано.
В равенстве D) числа aj, b^ можно заменить числами а^, Ь^
с любым п. Перейдя в полученном равенстве к пределу при я -> оо,
мы получим
π
2"
J Υα^ cos^ φ + /^2 sij^2 ^ ~ 2 М{а, b)' ^^
В частности,
π
J /Γ=:^^ί?^ — 2 Μ A, χ') ^ ^
(ибо 1 —κ^ 5ΪΠ^φ= C0S^9 4"^' 8ίη^φ).
Тем же способом, которым мы получили формулу для /С, можно
получить формулу
π

.J ι/ 1 ν '^-^ ein 2 .
g yl—x'"sin''cp
Из этой формулы с помощью равенства F) находим
Число Ж (а, ^) легко приближенно вычислить с помош.ью
рекуррентных формул E). Зная это число, мы можем вычислить (при
заданном значении κ) периоды /Си К", а по ним число τ = ίΚ^/Κ.
Зная τ, можем написать хорошо сходяш.иеся тета-ряды, а через тета-
функции уже легко выражаются функции Якоби. Предложенный
способ вполне подходит для табулирования эллиптических функций
Якоби как функций модуля х.

ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ИДЕИ ТЕОРИИ
АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
ВВЕДЕНИЕ
Основной проблемой при построении теории аналитических
функций комплексного переменного является создание стройного и
логически непротиворечивого взгляда на многозначные аналитические
функции. Первым удовлетворительным решением этой проблемы
явилась вейерштрассова теория аналитических функций, основанная на
непосредственном аналитическом продолжении степенных рядов.
Прекрасное изложение этой теории имеется в курсе Гурвица (первая
часть этой книги).
Однако подход Вейерштрасса не является единственным (или
наилучшим) путем к построению теории аналитических функций. Идея
другого, более глубокого подхода содержалась в работах Римана.
Она состоит в том, что многозначную аналитическую функцию
следует рассматривать как обычную однозначную функцию, но не на
плоскости комплексного переменного, а на некоторой поверхности
(риманова поверхность). Изложение этого пути построения теории
аналитических функций требует значительно более широкого
знакомства с геометрическими и физическими представлениями, относяш.и-
мися к аналитическим функциям. По этой причине для нас удобнее
начать знакомство с элементарными вопросами теории функций
заново, отмечая по ходу дела многие новые факты.
Наше изложение формально не зависит от книги Гурвица (первых
двух частей этой книги), но для первого знакомства с теорией
аналитических функций эта часть может оказаться трудной.

г л а в а первая
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
В этой главе мы коротко изложим самые необходимые сведения
Т13 анализа и из топологии. Большинство этих сведений совершенно
элементарно и, без сомнения, известно читателю. Некоторое
исключение представляет последний параграф главы, где мы говорим о
сведениях из топологии, нужных лишь для последних глав.
§ 1. Комплексные числа
Комплексное число г = а-\-Ы это пара действительных чисел
(а, Ь). Два комплексных числа Ζι = αγ-\-οιΐ и z^ = a^-\-b4
считаются равными тогда и только тогда, когда αχ^=:α^ и bi = bc^. Над
комплексными числами определены действия сложения и умножения
равенствами
(а -f- ^0 + (^ + ^0 = (a-{-c)-{-ib-\-d) ί,
(а -j- bi) {с -f- dl) = {ас — bd) -\- (ad -f- be) L
Комплексные числа вида α -f- О · / могут быть отождествлены с
действительными числами: a-\-0-i^a.
Комплексные числа вида О -f- bi (короче bi) называются чисто
мнимыми числами.
В комплексном числе z = a-\-bi число а называется
действительной частью и обозначается Re г, а число b называется мнимой
частью и обозначается \mz.
Геометрически комплексное число z = a-\-bi обычно изображают
точкой плоскости с прямоугольными координатами а, Ь. Поэтому
мы часто будем говорить не о числе 2*, а о точке ζ.
Комплексное число а — bi называется сопряженным с
комплексным числом z = a-{-bi и обозначается через ζ.
Из формул, определяющих действия над комплексными числами,
легко получаем, что
ί'=-\;
ζζ = (μ-\- bi) (α — bi) = α^ -f ^^ = (Re zf -\- (Im zf.

276 ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ [Гл. Г
Вместо прямоугольных координат а и b точку г = а-\'Ы можно-
задавать и ее полярными координатами (г, φ), где
ςθ8φ = -^, Sin φ===-^ (-2-7^0).
При этом угол φ определяется, очевидно, лишь с точностью до
слагаемого, кратного 2π. Из формул для φ видим, что
а = г cos φ, b = r sin φ.
Поэтому
Z = r (cos φ -f- i sin φ).
Число г называется модулем или абсолютной величиной
комплексного числа ζ и обозначается символом | ζ \. Число φ называется
аргументом комплексного числа ζ и обозначается символом arg ζ.
Геометрически величина \ζγ — ζ^\ равна расстоянию между
точками Ζγ И Ζ^.
Для модулей комплексных чисел имеют место соотношения
\ζ,±ζ^\^\ζ,\^\ζ^\.
\ζ,±ζ^\^\\ζ,\ — \ζ^\\,
\ζ^ζ^\ = \ζχ\\ζ^\.
Пусть а — любое комплексное число, а ε^Ο. Множество всех
комплексных чисел, удовлетворяющих неравенству
I 2" — α К ε,
называется окрестностью (или г-окрестностью) числа а.
Геометрически окрестность точки а — это круг с центром в этой точке и
с радиусом ε.
Пусть Μ — какое-либо множество комплексных чисел (точек
плоскости). Точка С называется предельной точкой множества М, если
в каждой окрестности точки ζ лежит по меньшей мере одна точка
множества Ж, отличная от точки ζ (которая может принадлежать, а
может и не принадлежать множеству). Ясно, что в каждой
окрестности предельной точки лежит бесконечно много точек
множества М.
Последовательность комплексных чисел 2^, ζ^, ζ^, ... называется
сходящейся, если суш.ествует такое комплексное число ζ, что в
каждой его окрестности расположены все числа последовательности, за
исключением конечного их числа; иными словами, если для каждого
ε^Ο существует такой номер Ν, что при всех п^ N имеет место
неравенство \ζ — Zn\<^e,

§ 1] КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА 277
Число ζ называется при этом пределом последовательности
2Ί, ^2» · · · и обозначается символом lim z^- Предел последовательности
является единственной предельной точкой множества чисел,
образующих эту последовательность.
Бесконечный ряд
называется сходящимся, если сходится последовательность {5„} его
частных сумм
5;г = ^1 + ^2 + ... + ^^ (Л=1, 2, ...).
Число s = lim5;j называется суммой ряда. Обычно пишут
со
/г=1
Пусть Μ — какое-либо множество комплексных чисел и пусть
каждому числу ζ ^ Μ отвечает некоторая последовательность {Un(z)}y
п=\, 2, ... Последовательность {Un(z)} называется равномерно
сходящейся на множестве М, если она сходится для каждого ζ ^М
к пределу и (ζ) и если для каждого ε^Ο существует не зависящий
от числа ζ номер Л^ такой, что при всех п'^ N и всех ζ ^ Μ имеет
место неравенство \Un(z) — u(z)\<^e.
Бесконечный ряд щ (ζ) -^ и^ (ζ)-\-.., называется равномерно
сходящимся на множестве Ж, если последовательность {8п{^)}^ п =
= 1, 2, ..., его частных сумм
Sn (^) = ih (^) + гг^ (^) +... + W/z (^)
равномерно сходится на множестве М.
Например, ряд
оо
(геометрическая прогрессия) равномерно сходится в круге |2Ί:^/?
при 0<^/?<^1 к сумме . __ .
Во многих случаях удобнее изображать комплексные числа не
точками плоскости, а точками сферы с помощью так называемой
стереографической проекции. Один вариант стереографической
проекции был описан в § 3 гл. 1 ч. 1. Для разнообразия опишем сейчас
несколько иной вариант.
Будем рассматривать комплексную плоскость z = x-\-iy как
плоскость в трехмерном пространстве (ξ, η, Q. При этом координатные

278
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
[Гл.
ОСИ ς И η будем считать совпадающими соответственно с
координатными осями X и у комплексной плоскости. В качестве сферы, на
которой мы будем изображать комплексные числа, возьмем
поверхность шара единичного
радиуса с центром в начале
координат (рис. 57). Каждой
точке ζ комплексной
плоскости поставим в
соответствие точку указанной
сферы, находящуюся на прямой,
соединяющей точку ζ с
северным (верхним) полюсом
этой сферы. Нетрудно
подсчитать, что координаты
точки z = x-\-iy
комплексной плоскости и
координаты соответствующей точки Z(;, η, ζ) сферы выражаются друг через
друга формулами
2х 2у . 1^1--1
η.—
Рис. 57.
^
1 + μΐ^
X-
ί
1 — ζ'
1 + НГ
У =
с=
\zf+i^
1~ζ·
0)
Единственная точка сферы, не отвечающая ни одной точке
комплексной плоскости, — это ее северный полюс. Когда точка Ζ на
сфере приближается к северному полюсу, отвечающая ей точка
комплексной плоскости безгранично удаляется от начала координат.
Поэтому комплексную плоскость часто дополняют символической
«бесконечно удаленной» точкой, считая эту символическую точку
плоскости образом северного полюса сферы. Эту символическую точку
обозначают знаком сх). Дополненную точкой z = co комплексную
плоскость называют расширенной комплексной плоскостью.
Окрестностью бесконечно удаленной точки z = co будем
называть множество точек ζ, удовлетворяюп^их неравенству
ui>|.
Легко видеть, что при таком определении окрестности бесконечно
удаленной точки, как и окрестности любой другой точки, отвечает
на сфере круг с центром в образе этой точки при стереографической
проекции.
Расстояние d {ζχ, 2'о) между точками
Ζι(ςι, ηι, Ci), Ζ2(ξ2, %. ад,
отвечающими комплексным числам
^1 = Х\ Ύ ^Уь ^2 = х^г + iy^^

§ 2] КРИВЫЕ И ОБЛАСТИ 279
равно К(?1 — ^У^ -|- (ηι — ηΟ^ -{- (Q — ί^)'^. Подставляя сюда значения
^/г' ^' ^k из формул A), получаем после несложных преобразований
формулу
Число d{zp z<i) называется хордальным расстоянием между
комплексными числами Ζχ и ζ^. Хордальное расстояние между двумя
комплексными числами удобно тем, что оно остается конечным и в слу>
чае, когда одно из комплексных чисел уходит в бесконечность.
§ 2. Кривые и области
Начнем с определения понятия непрерывной кривой.
Пусть φ(^) и ψ(^) — непрерывные функции параметра t на
отрезке a^t^b. Множество точек x-\-iy комплексной плоскости,
описываемых уравнениями
X = φ {t\ У = ^ (t),
при изменении параметра ^ от α до Ь, взятое вместе с порядком
следования этих точек, называется непрерывной кривой.
Уравнение
(или, что то же самое, уравнения x = rj^{t), y = ^^^{t)) называется
параметрическим уравнением кривой.
Два параметрических уравнения
ζ ζ= χι {t), ai^t^ Ьг,
и
отвечают одной и той же кривой, если совпадают и множества то*
чек, описываемых этими уравнениями, и порядок следования точек.
Это возможно лишь в случае, если существует монотонно возраста-
юишя функция 5(t)y определенная на отрезке ai^t^bi, для которой
5 (αϊ) = а.2, S (bi) = bc^,
χ, E @) = χι (О-
Если среди параметрических уравнений кривой имеется хотя бы
одно такое, что функция χ (t) = φ (t) -]~ /φ (t) непрерывно
дифференцируема на отрезке a^t^by то кривая называется гладкой.
Непрерывная кривая, составленная из конечного числа гладких кривых,
называется кусочно-гладкой.
Простейшим примером кусочно-гладкой кривой может служить
ломаная линия с конечным числом звеньев.

280 ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ [Гл. 1
Произвольная непрерывная кривая может быть чрезвычайно
сложной, но для наших целей вполне достаточно иметь дело с кусочно-
гладкими кривыми, которые полностью отвечают обиходному
представлению о понятии «кривая». Всюду в дальнейшем (если не
оговорено противное) под терминами «кривая», «путь», «контур» мы будем
понимать кусочно-гладкую кривую.
Кривая называется замкнутой, если ее начало совпадает с ее
концом, т. е. если χ(α) = χ(/?). В этом случае функцию χ(^) можно
считать непрерывной периодической функцией от параметра t с
периодом b — α, продолжив ее за пределы отрезка [а, Ь] с помош.ью
равенства x{t-\-b — α) = χ(ί).
Вообш.е говоря, кривая может пересекать себя любое число раз.
Кривая, не пересекаюш.ая себя и не касающаяся себя, называется
простой кривой. Формулами отсутствие самопересечений и самокасаний
записывается так:
при t — t*, отличном от нуля (а если кривая замкнута, то от периода).
Легко видеть, что отсутствие самопересечений и самокасаний не
зависит от выбора параметрического уравнения кривой.
Будем говорить, что последовательность кривых С^ непрерывно
аппроксимирует кривую С, если для кривых С^ можно выбрать такие
параметрические уравнения
^ = ln(tl a^t^b,
чтобы
lim max !χ@ —ХЛ01 = 0.
Введем еш.е понятие гладкой аппроксимации.
Пусть С, Q, С2, ... — кусочно-гладкие кривые с
параметрическими уравнениями
Мы можем считать, что функции χ(/) и χ^ίΟ дифференцируемы на
множествах Ε и Еп, получающихся удалением из отрезка [а, Ь]
конечного числа точек (с увеличением числа η число удаляемых точек
может возрастать). Через ^о обозначим общую часть всех множеств
Ej Ει, Е^, Если для кривых Си С^ существуют такие парамет:
рические уравнения, что
lim max |х@ — Х;г @1 = 0,
lim sup I χ (О —χ« (О 1 = ¾

§ 21 КРИВЫЕ И ОБЛАСТИ 281
то мы скажем, что последовательность кривых С„ гладко
аппроксимирует кривую С.
Нетрудно показать, что любую кусочно-гладкую кривую можно
гладко аппроксимировать ломаными линиями. Аппроксимирующие
ломаные можно составить, например, из надлежаще подобранных
хорд данной кривой (или из отрезков ее касательных). Более того,
для простой кривой можно построить аппроксимирующую ломаную,
нигде не пересекающую нашу кривую.
Перейдем теперь к понятию области.
Пусть мы имеем некоторое множество Μ расширенной
комплексной плоскости. Все точки плоскости по отношению к множеству Μ
распадаются на три категории:
Точка называется внутренней точкой множества 7И, если
некоторая окрестность этой точки состоит лишь из точек
множества М.
Точка называется внешней точкой к множеству Ж, если
некоторая окрестность этой точки не содержит точек множества Ж
Точка называется граничной точкой множества Ж, если любая ее
окрестность содержит и точки, принадлежащие множеству Ж, и точки,
не принадлежащие ему.
Множество, состоящее только из внутренних точек, называется
открытым.
Множество, содержащее все свои граничные точки, называется
замкнутым.
Совокупность всех граничных точек множества называется его
границей. Легко доказывается, что граница любого множества
является замкнутым множеством.
Границу множества G будем обозначать символом dQ.
Множество, полученное из множества Q добавлением к нему
точек его границы, называется замыканием множества G и
обозначается символом Q. Ясно, что Q—замкнутое множество.
Замкнутое множество расширенной комплексной плоскости
называется связным, если его нельзя разбить на два замкнутых
множества, не имеющих общих точек.
Открытое множество называется связным, если его нельзя
разбить на два открытых множества, не имеющих общих точек.
Возможно и другое определение связности открытого множества:
Открытое множество называется связным, если любые две его
точки можно соединить ломаной линией, все точки которой
принадлежат этому множеству.
Областью называется связное открытое множество.
Область, дополненная точками ее границы, называется обычно
замкнутой областью, хотя этот термин и нельзя признать вполне
удачным.

282
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
[Гл.
Нам часто придется пользоваться следующим соображением:
Если замкнутое множество (например, кривая) лежит в об-
ласти, то расстояние от этого множества до границы области
положительно.
Границей области может быть чрезвычайно сложное множество.
Достаточно рассмотреть, например, области, изображенные на рис. 58
и 59. На рис. 58 внутри прямоугольника ABCD проведены
прямолинейные разрезы от сторон AB и CD, сгущающиеся по мере
приближения к стороне ВС. Областью является в этом случае
множество точек, остающихся от внутренности прямоугольника после
удаления точек разрезов. На рис. 59 областью является спиралевидная
полоска, асимптотически закручиваюихаяся вокруг предельное кривой Л.
Рис. 58.
Рис. 59.
Нам придется иметь дело главным образом с областями,
ограниченными конечным числом кусочно-гладких кривых или точек.
Полезно иметь в виду следующий факт, носящий название
теоремы Щордана:
Простая замкнутая кривая разбивает плоскость на две
области, для которых она является общей границей.
Для произвольных непрерывных кривых теорема Жордана
является довольно тонким утверждением, но для кусочно-гладких кривых
она очевидна.
Существенной характеристикой области является ее число
связности. Для определения этого понятия напомним, что граница области
является некоторым замкнутым множеством. Это замкнутое
множество, вообше говоря, может не быть связным. Тогда его можно
разбить на несколько замкнутых связных частей (компонент).
Область расширенной комплексной плоскости называется п-связ-
ной, если ее граница состоит из η компонент.
Наибольший интерес представляет для нас односвязные области,
т. е. области, граница которых состоит из одного замкнутого
связного множества, например из одной замкнутой простой кривой или
из одной точки. Отметим одно важное свойство односвязных
областей, которое может быть взято в качестве определения односвязности:

3]
КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
283
Каждую замкнутую ломаную, лежащую в односвязной области,
можно непрерывным изменением стянуть в любую точку этой
области.
Для областей, ограниченных конечным числом простых кривых,
мы определим положительное направление обхода границы области
Рис. 60.
таким образом, чтобы при движении по граничным кривым в этом
направлении область оставалась слева.
Стоит заметить, что такого рода положительное направление обхода
границы можно установить и для областей, ограниченных кривыми
с самокасаниями (рис. 60).
Разрезом какой-либо
области по данной кусочно-
гладкой кривой, лежапгей в
этой области (за
исключением, быть может, ее
начала и конца), назовем
удаление из области точек этой
кривой.
Проведя в //-связной
области η — 1 разрезов, мы
можем превратить эту об- Pj^^,^ 51^
ласть в односвязную.
Действительно, для этого достаточно соединить разрезами между собой
все компоненты границы области (рис. 61).
§ 3. Криволинейные интегралы
Пусть кусочно-гладкая кривая С, лежащая в односвязной области
О, задана параметрическим уравнением
-?@> У--ф@
sς^
:4)>

284 ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ [Гл. J
И пусть Р{ХуУ) и Q{x, у) — две действительные непрерывные
функции, определенные в области G. Под криволинейным интегралом
\Pdx-\-Qdy
с
будем понимать определенный интеграл
\ {Р (φ (О, ψ @) φ' (О + Q (φ (О· ψ @) ψ' @} dt.
Легко видеть, что величина интеграла не зависит от выбора
параметрического уравнения кривой С.
Если функции P(x, у) и Q{x, у) остаются непрерывными в
замыкании области О, то это определение пригодно и для случая,
когда кривая С частично или полностью совпадает с граничной кривой
области О.
При изменении направления кривой С на обратное (т. е. при
изменении параметра t от t^ к t^ криволинейный интеграл меняет
знак.
Если кривая С составлена из двух последовательно проходимых
кривых Ci и Сз, то
\Р dx -\- Qdy = \Р dx -\- Q dy -\-\Р dx ~\- Qdy.
с Ci с.
Аналогичное утверждение имеет место, очевидно, и при разбиении
кривой интегрирования на большее число частей.
Если D — область, ограниченная конечным числом простых
замкнутых кривых, то символом дО мы будем обозначать совокупность ее
граничных кривых, проходимых в положительном направлении (т. е.
так, чтобы область оставалась слева по движению).
Пусть область D разбита на сумму конечного числа областей
Dl, D^, ... Dn, каждая из которых ограничена конечным числом
простых замкнутых кривых. Тогда
η
\ Pdx-\-Qdy= 2 5 Pdx-\-Qdy,
dD fe = 1 dD^
Действительно, в сумме, стоящей в правой части равенства,
интеграл по каждой части границы области D встречается один раз
и притом с тем же направлением (см. рис. 75), а интеграл по каждой
части границы области D^y не входящей в границу области D,
встречается дважды, причем с противоположными направлениями (рис. 62).
Поэтому интегралы по частям границ областей D/j, не входящим
в границу области D, в сумме дают нуль. Интегралы же по частям
границ, входящим в границу области Д дадут нам интеграл по этой
границе.

^ 3]
КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
285
Заметим, что интеграл по кривой С меняется непрерывно при
гладкой деформации этой кривой. Это означает, что если
последовательность кривых Ci, С2, С3,..., лежащих в области Q, гладко
аппроксимирует кривую С, то
\Pdx-]rQdy = \\m\ Pdx-\-Qdy.
Нас будет сейчас интересовать вопрос, при каких условиях
криволинейный интеграл
\Pdx-\-Qdy
не зависит от формы кривой С, а зависит лишь от начальной и
конечной точек этой кривой. Из двух кривых, имеющих общее начало
и общий конец, мы можем
составить замкнутую кривую,
пройдя одну кривую в прямом
направлении, а другую — в
обратном. Интеграл по этой
замкнутой кривой будет равен
разности интегралов по нашим
двум кривым, так как при
перемене направления кривой
интеграл меняет знак. Поэтому
наш вопрос можно заменить
вопросом: при каких условиях
криволинейный интеграл, взятый по любой замкнутой кривой, равен
нулю? Ответ на этот вопрос дает следующая теорема:
Теорема 1. Пусть функции Р{х,у) и Q(x, у), а также их
частные производные Ρ\, {χ, у) и Q'x {χ, у) непрерывны в
ограниченной односвязной области G. Для того чтобы криволинейный
интеграл
\Pdx^Qdy, A)
с
Рис. 62.
взятый по любой замкнутой кривой, лежащей в области G, был
равен нулю, необходимо и достаточно, чтобы во всей области Q
выполнялось равенство
Py{x^y) = Qx{^>y\ B)
Начнем с доказательства необходимости условия B). Если интеграл
по любому замкнутому пути равен нулю, то интеграл по незамкнутому
пути не зависит от его формы, а зависит лишь от начала и конца
этого пути. Возьмем начало пути интегрирования в некоторой
фиксированной точке, а конец—в переменной точке с координатами (ξ, η).
'iorAa интеграл будет функцией от ς, η, которую мы обозначим через

286
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
[Гл. I
F(l, η). Воспользовавшись определением криволинейного интеграла»
мы увидим, что из непрерывности функций Р(х,_у), Q(Xy у), ψ(ί),
ψ(^) и из кусочной непрерывности функций φ'(^) и ψ'(^) следует
непрерывность функции f(?, η). Докажем, что эта функция
дифференцируема и что имеют место равенства
5(ξ, η) = Ρ(Ι. η). f;(ξ,η) = Q(ξ, η).
C)
При достаточно малом | h \ имеем равенство
Ρ (χ, η) dXy
F(ttlh3l--l3i3L— 1
так как путь интегрирования от точки (ξ, η) до точки (ξ -J- /г, η)
можно считать любым, в частности прямолинейным (если, конечно,
величина | h \ достаточно мала).
По теореме о среднем правая
часть равенства может быть
записана в виде P{^-\-bhy η), где
О <^ θ <^ 1. Переходя к пределу
при h-^Oy получаем, что f£=r А
Аналогично доказывается, что
F^ = Q. Дифференцируя еще раз>
получаем, что
^ = ^η> Fk = Q'^·
У>
ßz
Л
ι
с
1
C^bßl
ο
Οίο χ
Рис. 63.
По предположению, функции Р'^
и Qe непрерывны. Следовательно,
по теореме Юнга F[v, = F^ а значит, и P^ = Q'^. Тем самым доказана
необходимость условия B).
Для доказательства достаточности условия B) рассмотрим сначала
случай, когда наша замкнутая кривая заключена в некотором прямо-
3гольнике а^^х^са^у ßi^_у^^2» лежащем внутри области Q. В этом
прямоугольнике построим функцию
ξ η
F(lri)=:\P(Xy^,)dx-\-\Q(ly)dy
(эта функция равна криволинейному интегралу, взятому по пути,
изображенному на рис. 63). Дифференцируя функцию F(?, η), мы
получаем, используя равенства B), что
f; (;, η) = ρ (ξ. ßl) + i P'r, (ξ, y)dy = P (ξ, η)
к аналогично чго
/.-,(ξ,η)=5(ξ,η).

§ 3] КРИВОЛИНГ'ЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 287
Поэтому наш криволинейный интеграл, взятый по любому пути,
лежащему в прямоугольнике, можно записать в виде
\Pdx^Qdy = f {f; (φ (О, ψ @) φ' (Ο + ρ у (φ @^ Φ @) ψ' @} dt =
€ h
ti
где точка (jcq, J^o) — начало пути, а точка (xj, _yi) — его конец. В
частности, для замкнутого пути начало совпадает с концом и интеграл
обращается в нуль. Таким образом мы доказали достаточность условия
B) для случая, когда замкнутый путь целиком лежит внутри
некоторого прямоугольника, расположенного в области Q.
Пусть теперь мы имеем произвольную замкнутую кривую. Без
ограничения общности можем считать эту кривую ломаной линией,
так как знаем, что любую кусочно-гладкую кривую можно гладко
аппроксимировать ломаной, и если мы докажем, что интеграл по любой
замкнутой ломаной равен нулю, то, переходя к пределу, получим, что
равен нулю и интеграл по любой замкнутой кривой. Далее, мы можем
ограничиться лишь простыми замкнутыми ломаными. Действительно,
любую замкнутую ломаную можно разбить на сумму конечного числа
простых замкнутых ломаных. Для этой цели используется такой
процесс: идем по ломаной до попадания в точку, в которой мы уже
были; участок от первого попадания в эту точку до второго
обозначаем Cj и отбрасываем; затем применяем тот же процесс к
оставшейся после отбрасывания замкнутой ломаной; из нее выделим Q
11 т. д.; в результате исходная ломаная будет представлена в виде
суммы простых замкнутых ломаных Q, С^, ..., С^.
Итак, остается доказать, что интеграл по любой простой замкнутой
ломаной, лежащей в области О, равен нулю. Для этой цели заметим,
что область D, ограниченная такой ломаной, тоже лежит в области
Q (поскольку область Q односвязна и ломаную можно стянуть в точку,
не выходя за пределы области О). Область Д ограниченную ломаной,
можно разбить на сумму конечного числа столь мелких областей Di,
^2' ·.., Dn^ чтобы каждая из этих областей была заключена в
некотором прямоугольнике, лежащем в области О. Тогда по доказанному
выше интегралы по границам областей Ογ, D^, ..., D^ равны нулю.
Поскольку интеграл по границе области D равен, как мы знаем, сумме
интегралов по границам областей Д, Dg, ..., /)„, то и он равен нулю.
Теорема доказана.
Заметим, что вместе с теоремой 1 мы доказали и следующее
утверждение:
Теорема 2. Пусть функции Р(х, у) и Q{x, у), а также
^'Х частные производные Р'у и Q'x непрерывны в ограниченной

288 ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ [Гл. 1
односвязнои области G, и пусть выполнено условие B). Если кривая
С, лежащая в области О, имеет начало в фиксированной течке
(Xq, У^), а конец в переменной точке (ξ, η), то интеграл {\)
представляет собой функцию от I, η, непрерывно дифференцируемую
в области О. Частные производные этой срункции равны Ρ (ζ, η)
и Q (Ε, η) (первая — по ξ, вторая — по η).
При доказательстве теоремы 1 существенную роль играло
предположение об односвязности области G. Для многосвязных областей
имеет место более слабое утверждение:
Теорема 1*. При выполнении условия B) интеграл по границе
любой области, лежащей в области G (и ограниченной конечным
числом простых замкнутых кривых),
равен нулю.
Доказывается это утверждение
совершенно так же, как и
теорема 1.
Для многосвязных областей
существуют замкнутые кривые,
которые нельзя стянуть в точку, не
выходя за пределы области (см.,
например, рис. 64). Интегралы по
таким кривым не обязаны быть рав-
Рис. 64. ными нулю. Рассмотрим, например,
в качестве области Q круговое
кольцо (двухсвязная область) с центром в начале координат и возьмем
Р(х,у)
Q(x> У)-
X
' х'+у'
Для этих функций условия B), как легко проверить, выполнены.
Вычисляя интеграл
I=\Pdx-\-Qdy
с
по окружности радиуса г с центром в начале координат (ее
параметрическое уравнение х = г cos φ, _у = г sin φ, 0^φ^2π), находим
2π
J =^ {Ρ (г COS φ, Г sin φ) (— Г sin φ) -j- Q (Г COS φ, Г Sin φ) Г COS φ} ί/φ =
ο
2π
:^ ί/φζ=2π,

§ 4] ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТОПОЛОГИИ 289
в заключение заметим, что, лишь немного дополнив наши
рассуждения, мы могли бы доказать формулу
\ Pdx-\-Qdy = \\{Q'x~P'y)dxdy, D)
dG G
носящую название формулы Грина-Остроградского. Эта формула
справедлива для функций Ρ и Q, непрерывно дифференцируемых
в замыкании области G.
§ 4. Дополнительные сведения из топологии
Изложенные в § 2 сведения из теоретико-множественной топологии
будут для нас вполне достаточны, пока мы будем иметь дело только
с комплексной плоскостью. Однако, как уже говорилось во введении,
мы намереваемся в дальнейшем иметь дело с гак называемыми ри-
мановыми поверхностями. Разумеется, большинство необходимых
сведений из топологии поверхностей будем излагать по мере надобности
там, где в них возникнет необходимость. Сейчас сформулируем только
понятие поверхности и отметим аналогии и различия между комплексной
плоскостью и произвольной поверхностью в простейших вопросах.
Начнем с определения топологического (хаусдорфова)
пространства.
Пусть дано множество ^у элементы которого будем называть
точками. Множество ^ называется топологическим пространствому
если в нем можно выделить систему подмножеств {6^«}, называемых
окрестностямиу удовлетворяющую следующим условиям:
1. Пересечение любых двух окрестностей и^ и U^, если оно не
пусто, содержит некоторую окрестность Uy
2. Для любых двух различных точек α и ^ из множества ^ можно
найти окрестность Ua^ содержащую точку α и не содержащую точку Ь.
С помощью понятия окрестности мы, как и в § 2 для плоскости,
можем определить понятия внутренней, внешней и граничной точек
множества. Отсюда легко получаем определения открытого и
замкнутого множества.
Пусть мы имеем два топологических пространства ^j и ^2» и
пусть каждой точке пространства ^i поставлена в соответствие одна
точка пространства ^^. Тогда мы будем говорить, что дано
отображение f топологического пространства ^γ в топологическое
пространство ^^. Точку α'ζ^ ^2' отвечающую точке а^ ^i при отображении
/, будем называть образом точки а при отображении /. Можно
говорить и об образе множества Ecz.i^i при отображении /.
Отображение / топологического пространства ^i в топологическое
пространство ^^ будем называть непрерывным, если образом
замкнутого множества fczt^i всегда будет замкнутое множество £"czz ^2*
Топология, заданная на всем пространстве ί^ (системой
окрестностей {Ua\\ индуцирует топологию и на каждом множестве точек

290 ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ [Гл. |
ЭТОГО Пространства (оставляем лишь те окрестности, которые содержат
точки этого множества, а затем выбрасываем из них точки, не
принадлежащие множеству). Поэтому можно говорить о непрерывности
отображения, определенного не на всем топологическом пространстве,
а лишь на некотором множестве его точек. Отображение / одного
топологического пространства в другое можно рассматривать как
функцию, определенную в одном топологическом пространстве, при-
нимаюш.ую значения из другого топологического пространства.
Непрерывное отображение — это непрерывная функция.
Пусть отображение / определено на множестве Ecz^i, и пусть
образ множества Ε совпадает с множеством Е^ cz ^2- Тогда мы будем
говорить, что /—отображение множества Ε на множество Е\
Если отображение / множества Ε на множество Е^
устанавливает взаимно однозначное соответствие между точками этих
множеств, то суш.ествует обратное отображение /"^ множества Е' на
множество Е.
Взаимно однозначное отображение множества Εαζ^ι на
множество E'cz^^ будем называть топологическиму если оба
отображения / и /"^ непрерывны.
В топологическом пространстве легко определить различные виды
кривых:
Непрерывной кривой в топологическом пространстве ξ) называется
образ отрезка 0^^^1 при непрерывном отображении этого отрезка
в топологическое пространство ^.
Замкнутой кривой в топологическом пространстве iQ называется
образ окружности при непрерывном отображении этой окружности
в топологическое пространство ί^.
Простой кривой в топологическом пространстве § называется
образ отрезка 0^^^1 при топологическом отображении этого
отрезка в топологическое пространство ^.
Простой замкнутой кривой в топологическом пространстве ^
называется образ окружности при топологическом отображении этой
окружности в топологическое пространство ^.
Определив понятие кривой, мы можем определить понятие
области в топологическом пространстве:
Областью будем называть открытое множество, любые две точки
которого можно соединить непрерывной кривой, принадлежаш.ей
этому множеству.
Перейдем к определению понятия поверхности.
Топологическое пространство B мы будем называть поверхностьюу
если оно является областью и если любая окрестность из семейства
{Ua} является образом круга х'^-\-у^<^\ при топологическом
отображении этого круга в топологическое прссгранство @.

§ 4J ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТОПОЛОГИИ 291
Легко видеть, что это определение вполне согласуется с нашим
интуитивным представлением о понятии поверхности. Смысл
определения в том, что каждый достаточно малый кусок поверхности
получается из куска плоскости непрерывной деформацией без складок
или разрывов. Комплексная плоскость и расширенная комплексная
плоскость представляют собой поверхности в смысле этого
определения.
Две кривые на поверхности B будем называть гомотопными^
если они имеют одинаковое начало и одинаковый конец и если их
можно перевести друг в друга непрерывной деформацией (не двигая
начало и конец и не выходя за пределы поверхности @).
Можно говорить и о гомотопности двух кривых в данной области
В на поверхности @. Например:
Замкнутую кривую, лежащую в области В на поверхности @,
будем называть гомотопной нулЮу если, непрерывно деформируя эту
кривую в пределах области Ä ее можно стянуть в любую точку
этой области.
Область β на поверхности B будем называть односвязной, если
любая замкнутая кривая, лежаш,ая в этой области, гомотопна нулю.
Можно дать и определение я-связной области на поверхности,
хотя оно редко бывает нужно.
Область В на поверхности @ называется п-связнойу если
минимальное число разрезов, которое необходимо провести в области В
для того, чтобы она стала односвязной, равно η—1.
Все сказанное выше показывало аналогию между поверхностями
и плоскостью. Отметим одно суш,ественное свойство, которым
поверхности отличаются от плоскости: простая замкнутая кривая
не обязана разбивать поверхность. Чтобы убедиться в этом,
достаточно представить себе тор и одну из его параллелей. Об этих
свойствах поверхностей мы будем подробно говорить в § 1 гл. 9.
Заметим, что введенные нами понятия удобно употреблять и для
плоскости.

г л а ва в т о ρ а я
РЕГУЛЯРНЫЕ ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА
В теории функций действительного переменного установился
следующий порядок изложения: сначала определяется общее понятие
функции как закона, по которому каждой точке области определения
ставится в соответствие некоторое действительное число; затем класс
всех функций сужается до тех или иных пределов и изучается этот
суженный класс. При этом в анализе изучается довольно много
таких более узких классов: интегрируемые, непрерывные,
дифференцируемые функции и т. д. Все эти классы различны между собой
и требуют различных методов изучения.
В теории функций комплексного переменного эта начальная
стадия значительно проще. Сужение общего класса функций требованием
интегрируемости или дифференцируемости приводит к одному и тому
же классу регулярных функций. (Оказывается также, что и условие
возможности равномерного приближения функции многочленами
приводит к классу регулярных функций. Этот результат, называемый
теоремой Рунге, мы доказывать не будем *).)
§ 1. Условие дифференцируемости
Общее определение функции комплексного переменного ничем
не отличается от обычного определения функции действительного
переменного. Именно:
Пусть каждой точке z = x-\-iy из области Q комплексной
плоскости ставится в соответствие число ζ = ιι -\-ίν. Тогда мы говорим,
что задана функция ζ =/(^) комплексного переменного г,
определенная в области G.
Заметим, что в определении функции комплексного переменного
можно обойтись без комплексных чисел. Действительно, согласно
определению функция комплексного переменного задана, если каждой
паре действительных чисел х, у (точка (x,j;) принадлежит области Q)
ставится в соответствие пара действительных чисел и, v. Таким обра-
*) Доказательство теоремы Рунге можно найти в книге А. И. Мярку-
шевича, Теория аналитических функций, 1967.

§ 1] УСЛОВИЕ ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТИ 293
зом, задание функции комплексного переменного f {ζ) = и'\-iv рае-
посильно заданию двух функций
и (х, у) = Re/(x -\- 1у)у V (х, у) = Im f(x -[- iy)
двух действительных переменных χ и у.
Функцию f(z) = u(Xy y)-\-iv(Xy у) будем называть непрерывнойу
если непрерывны функции и{х. у) и v{Xy у).
Легко проверить, что это определение равносильно следующему:
Функция f{z)y определенная в области G, непрерывна в точке ζ^ζ;^ G,
если для любого ε^Ο существует такое δ^Ο, что для всех ζ
из круга \ζ — -го|<^о выполняется неравенство \f{z) — /(-^o)|<Cs.
Определение дифференцируемости функции комплексного
переменного мы дадим совершенно аналогично определению
дифференцируемости функции одного действительного переменного:
Функция f{z)y определенная в области G, называется
дифференцируемой в точке Zq ^ G, если существует предел
у^^ f(z, + h)-f{z,)
(не зависящий от способа стремления величины h к нулю). Этот
предел называется производной функции f{z) в точке -го и обозначается
символом Γ(Ζο).
Очевидно, что для дифференцируемости функции f(z) необходимо,
чтобы были дифференцируемы функции и(Ху у) и v(Xy у). Однако
дифференцируемости функций и и ν отнюдь не достаточно для
дифференцируемости функции f{z), как показывает пример f(z) = χ = Re^.
Действительно, для этой функции и = Ху v = öy т. е. функции и и ν
дифференцируемы. С другой стороны, при действительных h имеем
lim /(^ + ^)-/(^) ^ x + h-x^ ^^
а при чисто мнимых h имеем
^j^/(^ + /^)-/(^)_£:=^_Q^
Л-.0 h h
т. е. производная функции f(^z) = x не существует.
Таким образом, для дифференцируемости функции f{z) функции и
и V должны быть не только дифференцируемы, но еще и связаны
некоторыми соотношениями. Для отыскания этих соотношений
предположим сначала, что приращение h действительно, а затем, что оно
чисто мнимо. В первом случае найдем, что
lim /(^ + ^)-/(^) = „;(X, уL-iv'^(X, у),

294 РЕГУЛЯРНЫЕ ФУНКЦИИ и их СВОЙСТВА [Гл. 2
а во втором
lim /(^ + ^)-/(^) = 1 {„;(χ, у) + iv; (χ, у)}.
Для дифференцируемой функции f(z) оба эти выражения должны
быть равны. Следовательно, для дифференцируемости функции /(г)
необходимо выполнение равенства
Разделяя действительную и мнимую части, мы можем переписать это
равенство в виде
ди dv dv du .
дх ду * дх ду ' ^ ^
Итак, нами доказана
Теорема 1. Для дифференцируемости функции f(ζ) в
области Q необходимо, чтобы функции и{х, у) и ν{χ, у) были
дифференцируемы в этой области и чтобы их частные производные
удовлетворяли системе уравнений A). Если, кроме того,
функция f(z) имеет непрерывную в области G производную, то
функции и и V должны иметь непрерывные частные производные в этой
области.
Докажем, что это условие является и достаточным.
Теорема 2. Пусть функции и(х, у) и v{x, у) имеют
непрерывные *) частные производные в области G, и пусть эти частные
производные удовлетворяют системе уравнений A). Тогда
функция f(z) = u{x, y)-{-iv(x, у) дифференцируема в области G.
Для доказательства положим h = r -\-is. На основании теоремы
Лагранжа о конечном приращении мы можем написать
Q^fJ^ + h)-f{z)_
h
^ {χ + г, у -\- s) — а {Ху у) -\- i [ν {χ + г, у + s) ~v {χ, y)\ ^
Г -\-is г + is ·
где ^-\-Щ и ξ' -[- Ы — две точки прямолинейного отрезка,
соединяющего точки ζ и ζ -\-h. Из написанного равенства с помощью урав-
*) Условие непрерывности частных производных является излишним.
Ьолее тонкие результаты, отнЪсящиеся к дифференцируемости, можно найти
в книге А. И. Маркушевича, Теория аналитических функций, 1967.

^ 1] УСЛОВИЕ ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТИ 295
»1ений A) находим, что
Г-{-is г + is
i^i(^'» η') —^;(ξ» η)
' /ε Λ ι · ' /ί- ^4 ι · ^^χ (^'' ') ~ "i (^' "i) J-
+^-
г-{-is
Поскольку
дует, что
■ . <С Ь из непрерывности частных производных сле-
lim Q = iix-\- iv'x = — iii'y -j- Vy.
Этот предел не зависит от способа стремления h к нулю, так что
функция f(z) дифференцируема. Теорема доказана.
Система уравнений A), играющая фундаментальную роль в теории
аналитических функций, обычно называется системой Коши — Римана.
Функция f(z), определенная в области G, называется регулярной
функцией в этой области, если функции
и (х, у) = Re f{x -{- iy\ ν (χ, у) = Im f(x -\- iy)
имеют в этой области непрерывные частные производные,
удовлетворяющие системе уравнений Коши — Римана (I).
Согласно доказанному выше это определение равносильно
следующему:
Функция f(z), -определенная в области О, называется регулярной
функцией в этой области, если она имеет в этой области
непрерывную производную.
Функция называется регулярной на некотором множестве
(в точке, на кривой), если она регулярна в некоторой области,
содержащей это множество.
Дословно так же, как и для функций действительного
переменного, доказывается, что сумма, разность, произведение и частное (если
знаменатель отличен от нуля) дифференцируемых функций тоже
являются дифференцируемыми функциями. Поэтому:
Сумма, разность, произведение и частное (если знаменатель
отличен от нуля) регулярных в области G функций тоже
являются регулярными в этой области функциями.
Совершенно аналогично доказывается утверждение о
регулярности сложной функции:
Пусть функция φ {ζ), регулярная в области G, принимает в этой
области значения, лежащие в области D. Если функция f{z)
регулярна в области Dt то функция /(φ {ζ)) регулярна в области Q.

296 РЕГУЛЯРНЫЕ ФУНКЦИИ и их СВОЙСТВА [Гл. 2
Так как функция f{z)^Zy очевидно, регулярна во всей
комплексной плоскости, то из сформулированного выше утверждения вытекает,
что многочлены от ζ являются регулярными функциями во всей
комплексной плоскости, а рациональные функции — во всей
плоское ти, за исключением тех точек, где знаменатель обращается
в нуль.
§ 2. Обратная функция
Сейчас выясним, какой смысл следует вкладывать в понятие
обратной функции к функции комплексного переменного ζ = /(^).
Функцию комплексного переменного (,=f(z), определенную в
области G, можно рассматривать как отображение области Q в
комплексную плоскость. Пусть G* — образ области G при этом отображении.
Об обратной функции ζ = ψ(ζ), т. е. об обратном отображении
множества G* на область G, можно говорить лишь тогда, когда функция
С = /(^) устанавливает взаимно однозначное соответствие между
точками области G и множества G*. Иными словами, обратная функция
к функции (, = f(z) суш.ествует лишь в случае, когда уравнение
η^)=ί A)
имеет ровно одно решение ζ в области G для любого значения ζ
из множества G*. В этом случае под функцией ^- = φ (ζ), обратной
к функции ^=:/(^), мы будем понимать решение уравнения A).
Для решения вопроса о существовании обратной функции
воспользуемся следуюш.ей теоремой, доказываемой в курсах анализа:
Пусть функции Φ (ξ, η, χ, у) и ^ (ξ, η, jc, у) вместе с их
частными производными по всем переменным непрерывны в
некоторой окрестности точки (Eq, \^ Хо' З^оХ ^ пусть в этой точке
выполняются условия
Φ (^0' ηο> -λ^θ> У^) = О, Ψ (ξο> ηο» лго, у^) = О
и
Δ = Δ (Ео, ηο, Хо^ У о) = Ф^^ ν — ^>^ ^ 0. B)
Тогда для любых значений ξ м η, достаточно мало отличающихся
от Ео " Ъ соответственно, существует единственное решение
χ = ψ(ξ, η), 3;ζζζΓχ(ξ, η) системы уравнений
φ (ξ, η, χ, j;) = 0, Ψ (ξ, η, χ, з;) = 0, C)
удовлетворяющее условию
k-^ol'+b->ΌP<δ^
где δ — некоторое положительное число, зависящее только от
уравнения C). При этом решение χ = ψ (ξ, η), J^ = χ (ζ> η) непрерывно

§ 21 ОБРАТНАЯ ФУНКЦИЯ 297
дифференцируемо в некоторой окрестности точки (^о^^о) ^ ^ля
его производных справедливы формулы
Ψέ
Хе
φ'ψ ' ψ' φ' '
χ у χ у
Φ'ψ' Ψ' Φ' ♦
χ^ У ^χ У
φ'ψ' — ψ' φ·
.1/ Ά у Ά У
τη ф'Ш' ψ' φ ' »
χ у χ у
φ'ψ' ψ'Φ'
Χ^ φ'ψ' \ρ"φ'·
D)
Применим эту теорему к частному случаю, когда система
уравнений C) получается из уравнения A) и притом когда функция ζ =/(^)
регулярна в точке ^ό = Jtro-[-(Уо· ß этом случае следует положить
Φ (ζ, η, Ху у) = ^ — и (Ху у)у
Ψ (ζ, η, Ху y) = yi — v (Ху у)у
где
и {Ху у) = Re f(x -{- iy)y ν (χ, y) = \mf(x-{- iy),
a в качестве ^о и ηο взять
% = и {хоу у^)у ъ = '^ (•^оу У о)'
С помощью уравнений Коши — Римана легко получаем, что в нашем
случае
Δ (ς, η, χ,y) = Φ',Ψy-ψ'^Φ'y =
= иУу — vjiy = и'^-f ^h =\f{^-V 0^) Γ·
Поэтому сформулированная выше теорема анализа приводит нас
к утверждению:
Теорема 1. Пусть функция ζ, = /(ζ) регулярна в точке z^y
и пусть f (Zq) ^ 0. Тогда существуют такие положительные
числа Ь и ε, что уравнение f(z) = i, для любого ζ из круга
I ζ — /(-^ό) ι <С ^ имеет единственное решение ζ = (γ (С),
удовлетворяющее условию \ζ — ^01 <С ^- При этом функция ^: = φ (С) является
регулярной функцией переменной ζ в точке ZQ = f{^z^ и для ее
производной справедлива формула
в силу сказанного выше в доказательстве нуждается лишь
регулярность функции 2: = φ (С). Она немедленно получается ироверкой
условий Коши — Римана для частных производных, находимых по
формуле D). Формулу E) также можно получить из формул D), но
можно вывести и из равенства
/(?@) = С,
означающего, что величина 2· = φ (С) является решением уравнения

298 РЕГУЛЯРНЫЕ ФУНКЦИИ и их СВОЙСТВА [Гл. 2
Итак, теорема 1 гарантирует нам существование и регулярность
функции, обратной к функции ζ = /(^), в окрестности каждой точки
М)=/(^о)» ^^^^ только ί(ΖοO^0,
Конечно, отсюда нельзя сделать никаких выводов о
существовании функции, обратной к функции (,==f(z), определенной на всем
множестве Gi* (образ области Q при отображении ^=f(z))y даже
если функция f (ζ) не обращается в нуль ни в одной точке
области G. Однако если f (ζ) ^ О в области и мы знаем, что обратная
функция существует, то из теоремы 1 сразу вытекает, что эта
обратная функция регулярна.
Выведем еще одно интересное следствие из теоремы 1:
Пусть функция (, = f(z) регулярна в области G, и пусть ее
производная f (ζ) не обращается в нуль в области G. Тогда
множество G*, состоящее из значений, принимаемых функцией f{z)
в области Q, также является областью.
Действительно, из непрерывности функции f{z) следует, что
множество G* связано. С другой стороны, из теоремы 1 следует, что
для каждой точки Cq ^ G* существует окрестность этой точки, в
которой уравнение /(^) = ζ имеет решение. Это означает, что вместе
с каждой точкой Со в множество G* входит некоторая окрестность
этой точки, т. е. что G* — открытое множество. Следовательно, G* —
связное открытое множество, т. е. область.
Доказанное следствие носит название принципа сохранения
области при отображении регулярной функцией. В дальнейшем мы
увидим (см. § 1 гл. 4), что принцип сохранения области имеет место
для любых функций, регулярных в области G (т. е. что условие
необращения производной в нуль можно отбросить) и отличных от
тождественной постоянной.
Заметим еще, что из приведенной выше теоремы анализа можно
вывести не только теорему о регулярности обратной функции, но
и теорему о регулярности неявной функции, которая для
регулярных функций выглядит следующим образом:
Теорема 2. Пусть функция F(C, ζ) двух комплексных
переменных (, и ζ непрерывна по совокупности этих переменных в
окрестности точки (Со» ^о) ^^ регулярна по каждой из этих
переменных в той же окрестности. Если выполняются условия
/"(ν ^) = 0
и
то существуют такие положительные числа г и Ьу что для
любого ζ из круга |ζ — Col^C^ уравнение
FC, z) = 0

^ 31 ИНТЕГРИРОВАНИЕ РЕГУЛЯРНЫХ ФУНКЦИЙ 299
имеет единственное решение 2" = φ (ζ), удовлетворяющее условию
\ζ — -^Ό |<^ δ. При этом функция 2" = φ (С) регулярна в точке Со
// ее производная может быть найдена из соотношения
p'aL· ?(с))+тчс)/^ис, φ @)=0.
§ 3. Интегрирование регулярных функций
В анализе для функций действительного переменного понятие
интеграла может быть введено двумя способами. С одной стороны,
интеграл можно определить как функцию, получающуюся действием,
обратным дифференцированию («неопределенный интеграл»). С другой
стороны, интеграл можно определить как предел некоторых сумм
(«определенный интеграл»). Для регулярных функций положение
совершенно аналогичное, причем понятие определенного интеграла
имеет смысл для любых непрерывных функций комплексного
переменного (а не только для регулярных).
Пусть точки 2Ό и Ζ соединены кусочно-гладкой кривой С, и пусть
функция f{z) непрерывна в некоторой области, содержащей кривую С
(или хотя бы только на этой кривой). Разобьем кривую С на части
точками 2Ό, Ζγ, ..., Ζη = Ζ, занумерованными в порядке их
следования по кривой, и составим сумму
η
v = l
где zt — произвольная точка, расположенная на отрезке кривой С между
точками z^_i и z^ (включая эти точки). Если число точек деления
безгранично увеличивать, причем так, чтобы величина max | 2"^—^^,ι |
стремилась к нулю, то сумма 5„ будет стремиться к пределу, не
зависящему от выбора точек деления и от выбора точек z*j z*y ..., Zn*
Это можно доказать, действуя совершенно аналогично доказательству
соответствующей теоремы для функций действительного переменного,
но можно и сослаться на сформулированную в § 3 гл. 1 теорему
о действительных криволинейных интегралах. Действительно, пусть
f(x 4" iy) = ti (Ху у) -j- ^'^ (Ху У1
Z, — z,^i = Аг, = ^x, -{- i^y,y
2"* = X* -f- (у?.
Тогда
V=:l
+ /2^ (-^- у') ^-^v + « l^v, >?) ^y,h

300 РЕГУЛЯРНЫЕ ФУНКЦИИ и их СВОЙСТВА [Гл. 2
Последние две суммы являются интегральными суммами для
криволинейных интегралов
\iidx — V dy, i^vdx-\-ti dy,
с с
откуда и следует, что пределы этих сумм существуют.
Предел суммы Sn будем называть определенным интегралом от
функции f{z) по кривой С и обозначать одним из следующих двух
символов:
ζ
\f{z)dz. (C)\f(z)dz.
с zo
Согласно сказанному выше имеем следующее выражение
определенного интеграла от функции f(z) = u(Xy y)-{-iv(Xy у) по кривой С
через действительные криволинейные интегралы:
\f(z) dz = \^udx — ν dy -\- i^v dx '\- и dy. A)
ее с
Пусть \f{z)\ на всем пути интегрирования С не превосходит
числа Ж, и пусть длина пути интегрирования равна L· Тогда из
определения интеграла через интегральную сумму легко получаем
важную оценку
\\f{z)dz\^ML B)
с
Совершенно очевидны следующие свойства определенного
интеграла:
S{fi<z)-^g{z)]dz = \f{z)dz-\-\g{z)dz)
с ее
^ о/ (ζ) αζ = αί\ f(z) dz
с с
(α — постоянная).
Если кривая С составлена из двух последовательно проходимых
кривых Cj и С^у то
\f(z)dz = \f(z)dz-^\f(z)dz.
с Ci es
При изменении направления кривой С на обратное интеграл
меняет знак.
§ 4. Теорема Коши
Понятие неопределенного интеграла имеет смысл уже только для
регулярных функций. Пусть функция f(z) регулярна в области G,
и пусть в этой области определена регулярная функция F (ζ), для
которой имеет место равенство F{z)=f{z). Тогда функцию F (ζ)

§ 41 ТЕОРЕМА КОШИ 301
будем называть неопределенным интегралом (или первообразной)
функции f{z). Для неопределенного интеграла мы будем использовать
обозначение
P(^z) = \f{z)dz.
Понятие неопределенного интеграла от регулярной функции имеет
смысл главным образом потому, что определенный интеграл от
регулярной функции не зависит от пути интегрирования, и
неопределенный интеграл можно выразить через определенный интеграл с
переменным верхним пределом. Именно, справедлива следуюш.ая
фундаментальная теорема, носящая название теоремы Коши:
Пусть Q—конечная односвязная область и пусть функция
f(z) регулярна в этой области. Если С—кусочно-гладкая кривая
с началом в точке Zq и концом в точке Z, лежащая в области G,
то интеграл
ζ
{C)\f{z)dz A)
не зависит от выбора пути интегрирования С, а зависит лишь
от начальной и конечной точки этого пути. Считая точку Zq
фиксированной, мы можем расслштривать интеграл A) как
функцию верхнего предела Z. Эта функция регулярна в области Q и ее
производная равна f(z).
Докажем эту теорему с помощью результатов § 3 гл. 1 о
действительных криволинейных интегралах. Мы знаем, что
ζ
(С) ^ f(z) dz = \^udx ~ Ody-\-i \^vdx-^udy,
zo с С
В силу системы уравнений Коши—Римана оба криволинейных
интеграла, стоящие в правой части равенства, не зависят от пути
интегрирования (согласно теореме 1 § 3 гл. 1). При фиксированном
значении Zq и при Z = X -\- iV эти интегралы являются функциями только
от X и V. Обозначим
Ц(Х, Y) = \udx--vdy, 1/(Х, Y)=\vdx-\-udy.
с с
Согласно теореме 2 § 3 гл. 1 функции U(Xy V) и V(Xy У)
обладают непрерывными частными производными, для которых
справедливы равенства
ди .^ ,.ч ди .^ ,..
^^-^=--и {X, Г), -^=-v{X, F),
^ = V(Χ, У), ^= и {X, У).

302 РЕГУЛЯРНЫЕ ФУНКЦИИ и их СВОЙСТВА [Гл. 2
Следовательно, функция F{Z)=U{Xy Y)-\-iV{X, Υ) регулярна в
области О. Ее производная равна
F{Z) = n{X, Y)-\-iv{X, Y)=f(Z).
Тем самым теорема доказана.
Приведем еще два доказательства теоремы Коши, не опирающихся
на теоремы о криволинейных интегралах от действительных
функций. При этом будем доказывать лишь наиболее существенную часть
теоремы Коши:
Пусть функция f{z) регулярна в конечной од нос вязкой
области G. Тогда интеграл от функции f(z) по любой замкнутой
кривой, лежащей в области G, равен нулю.
(Часто теоремой Коши называют именно это утверждение.)
Для первого доказательства рассмотрим семейство гладких
замкнутых кривых, расположенных в области G. Пусть параметрические
уравнения кривых этого семейства имеют вид
z = x{t\ S) 0^^^1,
где 5 — действительный параметр. Будем предполагать, что
параметрические уравнения зависят от параметра 5 весьма гладко, а именно
что функции
χ ft s), χ/ft 4 Xsft 5), xst{t\ s)
являются непрерывными периодическими по параметру t функциями
(с периодом 1). Обозначим через С« кривую нашего семейства,
отвечающую значению параметра 5, равному а, и рассмотрим интеграл
с
а
Согласно определению
1
L=\fix(t; ^))Vit; а)dt.
О
Дифференцируя по а, находим, что
1 1
§ = 5 /(χ (t; «)) xta it; α) dt + j /' (χ) χ^ dt =
1 1
= \filit; cC))xkit; α)Λ+ ξ ΑΜχ;(ί; α.)dt.
Интегрируя последний интеграл по частям и замечая, что обинтегри-
рованный член обратится в нуль в силу периодичности функций

§ 4]
ТЕОРЕМА КОШИ
303
χ{^\ ^) и χά(^; α), получаем, что
d_
Та.
L
:0.
Таким образом, интеграл по кривой С„ не зависит от выбора кривой
семейства. Но любую замкнутую кривую, лежащую в односвязной
области, можно стянуть в точку. Иными словами, любую замкнутую
кривую можно рассматривать как кривую семейства С„ содержащего
сколь угодно малые кривые. Интеграл по малой кривой мал
(например, в силу оценки B) § 3). Следовательно, интеграл по любой
кривой такого семейства должен быть равен нулю; это означает, что
равен нулю интеграл по любой замкнутой кривой. Для завершения
доказательства остается освободиться от условий гладкости. Это не
составляет труда, так как любая
кусочно-гладкая кривая может быть
гладко аппроксимирована сколь ι \ Ζ7
угодно гладкими кривыми.
Второе доказательство теоремы
Коши, принадлежащее Гурса,
отличается тем, что в нем не требуется
непрерывности производной
функции f(z) (непрерывность
производной мы включили в требование
регулярности f{z))y а требуется лишь Рис. 65.
существование этой производной.
При доказательстве этой теоремы мы можем ограничиться
случаем, когда наша замкнутая кривая является контуром произвольного
треугольника. Действительно, произвольную кусочно-гладкую
замкнутую кривую можно аппроксимировать ломаной. Замкнутую ломаную
можно разбить на сумму простых замкнутых ломаных (см. § 3 гл. 1),
а область, ограниченную простой замкнутой ломаной, можно разбить
на сумму треугольников.
Возьмем произвольный треугольник Δ, лежап^ий в области О
вместе со своей границей С, и обозначим
с
Разделим треугольник Δ средними линиями на четыре равных
треугольника, подобных треугольнику Δ (рис. 65). Среди этих
треугольников найдется хотя бы один (обозначим его Δ^, а его границу Q),
для которого будет справедливо неравенство
«1=1^/ω
dz
Действительно, интеграл по границе треугольника Δ равен сумме
интегралов по границам всех четырех меньших треугольников "л хотя

304 РЕГУЛЯРНЫЕ ФУНКЦИИ и их СВОЙСТВА [Гл. 2
бы одно из слагаемых должно быть не меньше четверти всей суммы.
С треугольником Δ^ поступим так же, как поступили с
треугольником Δ. Таким образом, мы построим последовательность вложенных
друг в друга треугольников Δ^, Δ^, Δ3,..., подобных исходному
треугольнику Δ (треугольник Δ^ подобен треугольнику Δ с
коэффициентом подобия 2'"^) и удовлетворяющих условию
^п=\ \^ /(^)
dz
^«
4^'
Так как диаметр треугольника Δ„ стремится к нулю при /2--^ ее,
все эти треугольники имеют одну общую точку ζ.
Оценим сейчас величину а„ сверху, используя существование
производной у функции f(z) в каждой точке области G, в частности
в точке 2" = ζ. Из существования производной в точке 2г = ζ следует,
что для любого ε^Ο существует такое δ^Ο, что для всех ζ из
круга \ζ — ζ I<С δ имеет место неравенство
где
Напишем
\f(z)dz=f(Q ^z-l-fiQ ^(z~Qdz-\-\ (ζ —ζ) а (ζ) dz.
Заметим, что интегралы
\ dz, \^ {ζ — Qdz= \^ zdz — ^\ d,^
c„ c„ c„ c„
η η η η
равны нулю согласно доказанному выше варианту теоремы Коши
(в этом, впрочем, легко убедиться и непосредственно, исходя из
определения интеграла как предела интегральных сумм). Поэтому
\f{z)dz= \ {z — Qa(z)dz.
Последний интеграл оценим с помощью оценки B) § 3. Очевидно,
имеем
1 = длина Сп = ^у
где 4 — периметр треугольника Δ, а при п'^щ(е)
Μ = шах \α(ζ){ζ — ζ) I ^ max \o(z)\ max \z — ζ I ^ s ol

§ 51 ТЕОРЕМА КОШИ ДЛЯ МНОГОСВЯЗНЫХ ОБЛАСТЕЙ 305
(точка с лежит внутри треугольника Δ„). Следовательно, при
достаточно большом η
α«=| \^f{z)dz | = j \^ (z — Qa(z)dz
Сочетание этого неравенства с неравенством α„^τ| дает
\\f(z)dz\ = :iQ^ell
Поскольку число ε^Ο произвольно, это означает, что ад = О, и
теорема доказана.
Еще раз подчеркнем, что в этом доказательстве нигде не
используется непрерывность /^ (ζ), а используется лишь ее существование.
В § 7 мы покажем, что независимость интеграла
ζ
\f{z)dz
от пути влечет за собой регулярность функции f(z). Поэтому в
определении регулярности, данном в § 1, можно ограничиться
требованием дифференцируемости функции, а требование непрерывности про-
113В0ДН0Й можно отбросить. Непрерывность производной следует,
таким образом, из ее существования.
§ 5. Теорема Коши для многосвязных областей
и теорема о вычетах
Для справедливости теоремы Коши существенную роль играет
предположение об односвязности области G. Для многосвязных
областей имеет место следующий ослабленный вариант этой теоремы:
Теорема 1. Пусть функция f(z) регулярна в конечной
области Q, ограниченной конечным числом простых замкнутых
кусочно-гладких кривых, и непрерывна в замыкании этой
области. Тогда интеграл от функции f(z), взятый по границе
области в положительном направлении^ равен нулю.
Доказательство этой теоремы почти ничем не отличается от
доказательства основного варианта теоремы Коши. Сначала мы заменяем
область Q многоугольником, лежащим внутри этой области,
аппроксимируя граничные кривые области Q простыми замкнутыми ломаными,
лежащими внутри области. Затем мы разбиваем полученный
многоугольник на сумму треугольников. Интеграл по границе
многоугольника равен сумме интегралов по границам треугольников. К
интегралам по границе треугольников теорема Коши уже применима, так
как любой треугольник можно заключить в некоторую односвязную
^асть области G. Поэтому интегралы по границам треугольников

306 РЕГУЛЯРНЫЕ ФУНКЦИИ и их СВОЙСТВА [Гл. 2
равны нулю, а значит, равен нулю и интеграл по границе многоуголь·
ника. Увеличивая точность аппроксимации и переходя к пределу, мы
получаем, что равен нулю и интеграл по границе области G.
В частности, если Q — конечная двухсвязная область,
ограниченная двумя кривыми Ci и Ср то, считая направление кривых Q и Q
выбранным так, чтобы оно было положительным не по отношению
к области G, а по отношению к внутренности этих кривых, мы
получаем, что
\fiz)dz=\f(z)dz.
Ct С2
Рассмотрим случай, когда функция f(z) регулярна во всей области
G, за исключением одной точки Zq, о поведении функции в которой
не предполагается ничего. Обозначим через ΚΊ и АГ^ две окружности
с центром в точке Zq, лежащие внутри области Q вместе с
ограничиваемыми ими кругами. Так как функция f{z) регулярна в
двухсвязной области, ограниченной окружностями Κι и к^у то по
отмеченному выше частному случаю теоремы 1 имеет место равенство
\fiz)dz= \f{z)dz
(интегралы по обеим окружностям берутся в направлении против
часовой стрелки). Следовательно, интегралы по любой достаточно
малой окружности с центром в точке Zq имеют одну и ту же
величину. Произведение этой величины на -у-г называется вычетом
функции f(z) в точке Zq и обозначается res f(z).
Пусть теперь функция f{z) регулярна в конечной области G и
на ее границе, за исключением конечного числа внутренних точек 2^,
Zq^y ..., z^. Опишем вокруг каждой из точек г^, 5=1, 2, ..., г,
окружность Kg таким образом, чтобы круги, ограниченные
окружностями Κν Kb · · · > ЛГ;., не имели попарно обпшх точек и лежали
внутри области G. Удалим из области G кружки, ограниченные
окружностями К\, ..., Кп и применим к полученной многосвязной
области теорему 1. Это даст нам равенство
\f{z)dz— \ fi^z)dz — ,,,— \ f(z)dz = 0.
Здесь интеграл по дО—границе области G—берется в направлении,
положительном относительно этой области, а интегралы по
окружностям Ks — против часовой стрелки. Из этого равенства получаем,
что
\ f{z)dz== [ f(z)dz-\-,..-\- \ f{z)dz.

<5 Gl ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ 307
Но, со1ласно определению вычета,
[ f(z)dz=:2v:i' res /(г),
11 мы приходим к следующему утверждению, известному под
названием теоремы о вычетах:
Пусть функция f{z) регулярна внутри и на границе конечной
области G, за исключением конечного числа внутренних точек Zi,
z^, ..., z^. Тогда интеграл от функции f{z) по границе области Q
(взятый в положительном направлении) равен сумме вычетов
функции f(z) в точках z^ ..., z^, умноженной на 2π/.
Нетрудно убедиться, что требование односвязности области в
этой теореме было бы совершенно излишним.
В § 4 гл. 3 будет дан способ вычисления вычета регулярной
функции без интегрирования. Тем самым теорема Коши о вычетах
даст нам средство вычисления контурных интегралов без
интегрирования. На этом основан весьма плодотворный метод вычисления
определенных интегралов (см. § 5 гл. 3).
§ 6. Элементарные функции
Полученные нами результаты позволяют распространить опреде-
лен-ие всех элементарных функций анализа на комплексные значения
переменного. Для многочленов и рациональных функций мы это уже
сделали в § 1. Дифференцирование рациональных функций не дает
нам ничего нового. Интегрирование уже приводит к новым функциям.
Простейший и весьма важный пример дает нам интегрирование
функции f(z) = — .
Функция — регулярна для всех значений ζ, отличных от нуля.
Когда ζ стремится к нулю, эта функция неограниченно возрастает
и потому не может быть регулярной в точке ^ = 0. Для замкнутых
кривых, обходяш.их точку z = Oy теорема Коши к функции \/z
поэтому неприменима. Впрочем, в этом нетрудно убедиться и
непосредственным вычислением интеграла по какой-либо окружности с
центром в начале координат. Дейсть/:гельно, параметрическое уравнение
тако1й окружности имеет вид
z = pe^^, 0=^^^2π
(ρ — ее радиус), и для интеграла по ней от функции — получаем
выражение
2π 2π
Ui = p 0 0

308 РЕГУЛЯРНЫЕ ФУНКЦИИ и их свойства [Гл. 2
На основании частного случая теоремы 1 предыдущего параграфа
равенство
0)
должно иметь место и для любой простой замкнутой кривой С, огра·
ничивающей конечную область, содержащую точку z = 0.
Действительно, в этом случае радиус окружности ρ можно выбрать столь-
малым, чтобы эта окружность лежала внутри кривой С. Тогда
кривая С вместе с окружностью составят границу некоторой
двухсвязной области, не содержащей точку ^ = 0 (и конечной).
Заметим, кстати, что условие конечности области, входящее во
все варианты теоремы Коши, весьма существенно. Действительно^
функцию ι/ζ можно рассматривать как регулярную функцию в одно-
связной, но бесконечной области — во всей расширенной плоскости
с выколотым началом координат. Несмотря на это, интеграл от этой
функции по окружности с центром в начале координат, как мы только·
что показали, отличен от нуля.
Как известно из анализа, для действительных положительных
значении ζ имеет место равенство
ϊηζ={^. B)
Эту формулу примем за определение логарифма и для комплексных
значений ζ. Заметим сразу, что при тэт:ом определении функция Ιηζ
уже не будет однозначной, так как точки I и ζ можно соединить
различными путями интегрирования, которые могут отличаться друг от друга
на замкнутую кривую, обходящую исключительную точку ^ = 0. Мы
видели, что интеграл по такой кривой может быть равен 2πί (а
значит, и любому целому кратному 2πί).
Таким образом, определенная нами функция In ζ является
многозначной (даже бесконечнозначной) функцией переменной ζ. Ее можно
сделать однозначной, если ограничить изменение путей интегрирова-
ния какой-либо односвязной областью. В качестве такой односвязной
области берут обычно всю комплексную плоскость, разрезанную по
отрицательной части действительной оси. Эта область является
конечной (она не содержит точки ^ = 00) односвязной областью
регулярности функции ι/ζ. По теореме Коши интеграл от функции \/ζ πα
любому пути, лежащему в этой области, зависит лишь от начала и
конца этого пути. Поэтому формула B) определяет регулярную
функцию (в плоскости с разрезом по отрицательной части
действительной оси) и производная этой функции равна \/ζ. Значение функции
]п Ζ, определенное таким способом, называется главным значением
логарифма.

§ 6]
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ
309
Стоит заметить, что далеко не во всех случаях можно обойтись-
рассмотрением только главного значения логарифма. Часто приходится
обращаться к рассмотрению всей многозначной функции. Естественно,
возникает вопрос, нельзя ли было определить логарифм в
комплексной области более удачным способом? Несколько ниже мы увидим,
что существует только одна регулярная функция, совпадающая при
действительных положительных
значениях переменной с функцией
In ζ, известной в анализе.
Одним из основных свойств
логарифма для действительных
значений переменного является
^теорема сложения^:
In Zi -|- In ^2 = In B-1^2). C)
При комплексных значениях Ζχ и
ζ^ι равенство C) следует понимать Рис. 66.
так: при заданных значениях In Ζχ
и In 2^2 (скажем, при главных значениях этих логарифмов) одно иа
значений In {ζχΖ<^ равно сумме In z^ -\- In z^. Теорема сложения
доказывается без труда:
Z1Z2 Z1Z2
\ ? dt С dt
In (Ziz^),
Выведем еще простые формулы для вычисления значений In ζ
(без интегрирования). Для этой цели положим
ζ = ρ (cos ср -|- / sin φ),
где р = |2|, а φ = arg 2. Выберем путь интегрирования
состоящим из отрезка действительной оси от 1 до ρ и из дуги окружности
радиуса ρ с центром в точке 2 = 0 (рис. 66), Тогда имеем
ρ
In 2:
lip О
Т. е.
In 2 = In I 2^ I -|-/ arg 2.
D>
1 лавному значению логарифма отвечает выбор arg 2, заключенного
между —π и π. Для определенности главное значение логарифма
для действительных отрицательных значений ζ считают отвечающим
значению arg 2, равному π. Это соответствует подходу к
отрицательной части действительной оси сверху. При подходе к тем же точкам

310 РЕГУЛЯРНЫЕ ФУНКЦИИ и их СВОЙСТВА [Гл.2
отрицательной части действительной оси снизу мы получили бы
значение In ζ, отличающееся на 2π/.
Если рассматривать все значения функции In ζ, то она может
принимать все комплексные значения, так как функции In 12: | и arg ζ
могут принимать все действительные значения. Более того, легко
убедиться, что в различных точках функция In ζ принимает различные
значения. Это означает, что функция ζ^=1η2' имеет обратную
функцию, определенную для всех комплексных значений ζ. Согласно
доказанной в § 2 теореме об обратной функции эта обратная функция
должна быть регулярна в окрестности каждой точки, а следовательно,
и во всей комплексной плоскости. Функцию, обратную к функции
ζ = In ^, естественно обозначить через е^. Из сказанного выше
следует, что функция е^ определена и регулярна во всей комплексной
плоскости С
Положим 1^1 = 1 и обозначим arg2r = 9. Тогда In ^ =/φ или
ζ = cos φ -]- / sin φ = ^'>. E)
Вообще, при ζ = ρ (cos φ -(- / sin φ) получаем из формулы D)
формулу
ρ (cos φ -^/sin9) = ^^"P + ^>.
Поскольку величина In ρ -^ /φ может быть любым комплексным числом,
то, обозначая это число через Zy мы можем написать
Re 2" = In ρ, I ^^ I = ρ,
откуда немедленно вытекает формула
\е'\ = е^^', (б)
В силу того, что логарифм одного и того же числа ζ имеет все
значения, отличающиеся от какого-либо одного значения на любое
целое кратное 2π/, функция ^^, обратная к функции In ζ, обязана
принимать одинаковые значения в точках ζ и ζ-|-2π/, т. е. при всех С
имеет место равенство
Иными словами, функция е^ имеет период 2π/. В частности,
Из теоремы сложения C) сразу получаем формулу
^1П Zi β\η Ζ2 ^:^ ρ\η Ζι -fin Ζ2
Г. е.

§71 ИНТЕГРАЛЬНАЯ ФОРМУЛА КОШИ 31 ί
С ПОМОЩЬЮ формулы для производной обратной функции
легкополучаем, что
dz
Определив логарифм и показательную функцию, можем определить,
и степень с произвольным комплексным показателем α при помощи
равенства
^а ла In г
Определенные в этом параграфе элементарные функции мы
исследуем несколько подробнее еще в гл. 5.
§ 7. Интегральная формула Коши
С помощью теоремы о вычетах докажем сейчас одну важную
формулу, позволяющую найти значения функции, регулярной в
области, через ее значения на границе этой области. Эта формула носит
название интегральной формулы Коши.
Теорема 1. Пусть функция f(z) регулярна в конечной
области G и на ее границе дО, состоящей из конечного числа
простых замкнутых кривых. Для любой точки ζ ζ G справедлива
формула
дО
f (ζ)
Пусть Zq — внутренняя точка области G. Функция ^- регуляр-^
ζ — Zq
на в области О и на ее границе, за исключением точки Zq. Следо-
f(z)
вательно, по теореме о вычетах интеграл от функции -^ ^ ^ по гра-
Z Zq
f (ζ)
пице области G равен вычету функции -^ ^ ^ в точке Zq. Иначе говоря^
ζ Zq
[M^dz=[J^dz, B)
где К — достаточно малая окружность с центром в точке 2ό,
проходимая против часовой стрелки.
Найдем последний интеграл. Параметрическое уравнение
окружности К имеет вид
z = Zq'\- р^'^, о ^ φ ^ 2π,
и потому
-2π
\^dz = i^fiz,-^pe'^d<f.

312 РЕГУЛЯРНЫЕ ФУНКЦИИ и их СВОЙСТВА (Гл.2
Так как функция f{z) непрерывна в точке z^, то
max 1/(^,+ р^^>) ^/(^,I = 3 (ρ),
где ε (ρ) -> О при ρ -> 0. Поэтому
2π
; 2πε (ρ)
и, следовательно,
2π
\ {^^ dz = i\ \f(z, + ρ^^>) - /(^ο) + /(^ο) ] d^ = 2πί f{z,) + η (ρ),
^-Де Ι η (ρ) Ι ^ 2πε (ρ).
Интеграл, стоящий в левой части формулы, как мы знаем, не
зависит от ρ (он равен вычету res ^ Μ, Поэтому, полагая р->0,
находим, что этот интеграл равен 2π//BΌ), и в силу формулы B)
получаем, что
' m-dz=2^f{z,).
J Z — Za
С
Разделив в этой формуле обе части на 2π?, обозначив переменную
интегрирования через t и заменив Zq на -г, придем к формуле A).
Ясно, что условие регулярности функции f(z) внутри и на
границе области можно, как и в теореме Коши, заменить условием
регулярности функции f{z) в области G и ее непрерывности в замыкании
этой области.
Используя интегральную формулу Коши, докажем сейчас
бесконечную дифференцируемость регулярных функций. С этой целью
докажем сначала более общую теорему:
Теорема 2. Пусть ср(t) — непрерывная функция на кривой С.
Функция, определяемая равенством
является регулярной функцией в любой области, не содержащей
точек кривой С. У этой функции существуют производные всех
порядков, и для них справедливы формулы
^^"'^ = Й-$(?4|ш«^^ («=1.2,...). D)

§71 ИНТЕГРАЛЬНАЯ ФОРМУЛА КОШИ 313
Действительно, пусть ζ — какая-либо точка области, не
содержащей точек кривой С. При достаточно малых значениях | h \ точка
z-\-h тоже лежит в этой области. Напишем
F{z-\-K)-F{z) 1 С φ (О .._
- h 2πί p^t — ζΥ ~
с
При фиксированном 2^ и при достаточно малом | h \ расстояние от
точек ζ и z-\-h АО контура С больше некоторого фиксированного
положительного числа (для всех достаточно малых | h |). Далее,
функция φ(^) ограничена на кривой С. Поэтому последний интеграл в
формуле E) стремится к нулю при /г -> О и, следовательно,
/2->0
Таким образом мы доказали суш.ествование первой производной
функции F {ζ). Существование следующих производных и формулы
для них доказываются совершенно аналогично. Теорема доказана.
Следствие 1. Функция f{z), регулярная в области Q, имеет
в этой области производные всех порядков. Для ее производных
имеют место формулы
f"''^'^ = tr\lti^^^' («=1,2,...). F)
Здесь ζ — произвольная точка области G, а С — граница области,
лежащей внутри области G, но содержащей точку ζ.
Действительно, в силу интегральной формулы Коши имеет место
представление
и наше утверждение сразу следует из теоремы 2.
Следствие 2. Производная функции^ регулярной в области
тоже регулярна в этой области.
Действительно, по следствию 1 производная функции /' {ζ)
существует (и равна f (ζ)). Кроме того, в силу существования /"(г) эта
производная непрерывна. Следовательно, функция f{z) регулярна.

314 регулярный функции и их свойства (Гл.2
Скажем еще несколько слов об интегралах
называемых обычно интегралами типа Коши. Мы доказали, что
функция, представленная таким интегралом, является регулярной функцией
в любой области, не содержащей точек кривой С. Кривая С может
разбивать плоскость на несколько областей. В каждой из этих
областей интеграл представляет свою регулярную функцию. При
стремлении точки ζ к точкам кривой С ни одна из этих функций не
обязана, вообще говоря, стремиться к значению φ(^). (Можно показать,
что при некоторых условиях гладкости к этому пределу стремится
разность между пределами с двух сторон кривой С; см. § 11 гл. 3.)
В случае, когда кривая С является простой замкнутой кривой, вся
плоскость разбивается на две области — внутреннюю и внешнюю по
отношению к кривой С. Если к тому же функция φ {t) определена не
только на кривой, но и внутри области G, причем внутри она
регулярна, то, согласно интегральной формуле Коши, интеграл равен φ (г)
во внутренней области, а во внешней области он равен нулю по
теореме Коши (когда точка ζ лежит вне области G, функция _^
регулярна в области G). Естественно, возникает вопрос, каким условиям
должна удовлетворять функция φ (^), заданная на простой замкнутой
кривой, для того чтобы существовала функция, регулярная внутри
этой кривой (и непрерывная в замкнутой области) и совпадающая на
этой кривой с функцией ср(^). Ответ на этот вопрос мы дадим
в § 11 гл. 3.
С помощью следствия 2 докажем сейчас так называемую
теорему Морера, до некоторой степени обратную к теореме Коши:
Теорема 3. Пусть функция f(z) непрерывна в области G,
лг пусть интеграл от этой функции по любой замкнутой
ломаной, лежащей в области, равен нулю. Тогда функция f(z)
регулярна в области G.
Возьмем какую-либо фиксированную точку ζ^ζ: G vi рассмотрим
интеграл
ζ
Из условий теоремы следует, что он не зависит от пути
интегрирования и поэтому является функцией от ζ. Непосредственным
вычислением легко проверяется, что функция F {ζ) имеет в области О
производную, равную f{z) (можно применить и способ рассуждений,
использованный при доказательстве теоремы Коши в § 4).
Следовательно, функция F {ζ) является регулярной функцией в области G. По

§8] КОНФОРМНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ 315
следствию 2 функция f{z), равная производной функции ^(-г), тоже
регулярна в области G.
Теорема Морера показывает, что при определении понятия
регулярной функции можно исходить не из требования дифференцируе-
мости, а из требования независимости интеграла от пути, т. е. из
существования неопределенного интеграла.
§ 8. Конформное отображение
Сейчас мы познакомимся с геометрическим выражением свойства'
регулярности функции комплексного переменного.
Функция комплексного переменного ζ =/B'), определенная в
области О, ставит каждой точке ζ этой области в соответствие
некоторую точку С комплексной плоскости. Таким образом, каждую функ-
цию комплексного переменного, определенную в области G, можно
геометрически рассматривать как отображение области на некоторое
множество комплексной плоскости.
Если функция f{z) является регулярной в области G функцией
и если ее производная отлична от нуля в области О, то, как мы уже
доказали в § 2, функция f{z) отображает область G также на
некоторую область комплексной плоскости. При этом достаточно малая
окрестность каждой точки области G отображается функцией f{z)
взаимно однозначно (в силу доказанного в § 2 существования
обратной функции).
Проведем из точки -г ζ G две кривые Q и Ca, имеющие в этой
точке касательные t^ и ^2· Обозначим через φι и ^^ углы наклона
касательных ^j и ^2 к положительному направлению, действительной
оси (направление касательных ίγ и t<i берем из точки ζ, как и
направление кривых Q и С2). Через δ = φ2 — φι мы обозначим угол между
касательными t^ и t^. Пусть Zi = ζ -\-Ηγ — точка на кривой Q, а
^^ = z-\-h.2 — точка на кривой С^. В силу дифференцируемости
функции f{z) в точке ζ имеем равенства
f{z+h,)~f{z)
lim 21ΞJ±JhL·=:nlL·=f^,>^ A)
Λι->0 ^1
lim ^^ii+MpZi£L = /^(^). B)
Положим
/2i = Γ^^Ψι, /22 = ^^''^' C)
(аргументы ψι и фз зависят от г). Поскольку f (ζ) φ О, из равенств
A) и B) вытекает, что
lim J /(^ + /^2)-/(^) ^
.^ I f^z-Yh.,)-t[Z) g-Ψι \
lot /(^ + /^1)-/(^) ^^Ψ^ J~ ·

316 РЕГУЛЯРНЫЕ ФУНКЦИИ и их СВОЙСТВА [Гл.2
Поскольку всегда можно считать аргументы ψι(Γ) и фа (г)
выбранными так, чтобы
lim ψι = φι, lim фз = срз»
r->0 г-*0
мы получаем
r-.Qf{^ + hi)—f{z)
Если положить теперь
величины р1, р^, χι, χ<^ зависят от г), то предыдущее равенство можно
записать в виде
lim -^е'(Х2-χι)ζ=^ί(?2-φι).
Сравнивая модули и аргументы обеих частей, мы можем записать
полученное равенство в виде двух, равносильных ему:
lim-^^ = l, D)
lim (Х2 — χι) = φ2 — φι E)
r->0
(последнее равенство написано с точностью до слагаемого,
кратного 2π).
Функция f {ζ) отображает кривые Q и Ca плоскости ζ на кривые
Τγ И Гз плоскости ζ. Из определения углов χι и χ2 ясно, что эти
углы при г -> о стремятся к углам наклона касательных tj и т2
кривых Γι и Гз в точке ζ,=/(ζ) к положительному направлению
действительной оси в плоскости ζ. Поэтому равенство E) означает, что
угол между касательными xj и Tg к кривым Fj и Гз в точке ζ =/(^)
равен углу между касательными t^ и t^ к кривым Q и Q в точке г.
Таким образом, мы доказали утверждение:
Теорема 1. Отображение, совершаемое регулярной функцией
с производной, отличной от нуля, сохраняет углы между
кривыми и направление отсчета углов.
Отображение, сохраняющее углы между кривыми, принято
называть конформным (сохраняющим форму). Поэтому теорему 1 можно
сформулировать так:
Отображение, совершаемое регулярной функцией с производной,
отличной от нуля, конформно и сохраняет направление отсчета
углов.
Проведя те же рассуждения в обратном порядке, мы можем
доказать, что если функция f{z) = u-\-iv совершает конформное
отображение с сохранением направления отсчета углов и если, к тому
же, функции и и V имеют непрерывные частные производные, то
функция f(z) дифференцируема.

§ 8]
КОНФОРМНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ 317
Из равенств A) и B) видно, что величина
I/' (г) I = Viu'.f-^^' = V(u;)' + iv;f
представляет собой коэффициент растяжения дуги кривой при
отображении ζ =/B') в точке Ζ, Этот коэффициент одинаков по всем
направлениям, так что отображение ζ =/B') j малом является
подобием (точнее говоря, сочетанием подобия, повирота и переноса).
Условие отличия от нуля производной для конформности
отображения существенно. В §§ 2 и 3 гл. 5 мы исследуем характер
отображения регулярной функцией и в окрестности точек, где
производная равна нулю.
В дальнейшем для краткости мы будем под конформным
отображением всегда понимать конформное отображение с сохранением
направления отсчета углов. Конформные отображения с изменением
направления отсчета углов будем называть конформными
отображениями второго рода. Простейшим конформным отображением второго
рода является зеркальное отражение всей плоскости в какой-либо
прямой, скажем, в действительной оси. Функция, осуществляющая
упомянутое отображение, задается, очевидно, формулой f(z) = z.
В качестве другого примера конформного отображения второго рода
можно назвать инверсию относительно окружности (об этом
преобразовании мы еще будем говорить в § 3 гл. 4).
В заключение приведем две простые формулы, относящиеся к
вычислению длины и площади образа при конформном отображении.
Если С — некоторая кусочно-гладкая кривая, а Г — ее образ
при конформном отображении ζ =/(^), то для длины I кривой Г
справедлива формула
l=\\f{z)\\dz\.
С
Действительно,
l=\\dV,= \\df{z)\ = \\nz)\\dz\.
ТС с
Если Q—некоторая область, а D — ее образ при конформном
отображении ^=/(^), то для площади S области D справедлива
формула
S= \\\Г {z)\' dx dy.
G
Действительно,
^= ^ ^ dudv= ^ \^-J^i^dxdy= ^ ^ (u^cVy — v^c^dxdy =
=== I $ [(«^)- + Ы'] dxdy^\\ I/ iz) I« dx dy.

Гл а ö а третья
СЛЕДСТВИЯ ИНТЕГРАЛЬНОЙ ФОРМУЛЫ КОШИ
В этой главе мы докажем ряд полезных для дальнейшего общих
теорем о регулярных функциях. Все эти теоремы являются в той
или иной степени следствиями интегральной формулы Коши.
§ 1. Теорема Вейерштрасса о равномерно сходящихся рядах
Сейчас мы займемся выяснением свойств сходящихся
последовательностей и рядов регулярных функций. Для начала напомним
определение понятия равномерной сходимости (см. § 1 гл. 1).
Последовательность функций Л (-г), /о (-г), ..., определенных на
некотором множестве Λί, называется равномерно сходящейся на
множестве Λί, если она сходится в каждой точке этого множества
и притом «одинаково хорошо». Точный смысл последнего выражения
таков: пусть f{z) — предельная функция последовательности /j («г),
/2 (-г), ...; для каждого числа ε ^ О существует такой номер Μ что
при всех п^ N неравенство
|/„(^)-/ω|<ε
имеет место при всех ζ ^М.
Ряд
f{z)=f,iz)^\-f,iz) + ...
называется равномерно сходящимся на множестве М, если
последовательность частных сумм этого ряда равномерно сходится на
множестве Ж.
Пусть функции /п(^) непрерывны на множестве Μ (в
частности, на кривой или в области). 7Ъгда предельная функция
равномерно сходящейся последовательности (или сумма равномерно
сходящегося ряда) тоже является непрерывной функцией на
множестве М.
Это утверждение доказывается дословно так же, как и для функций
действительного переменного.
Пусть функции fi{z), /2(-г), ... непрерывны на кусочно-гладкой
кривой С. Если последовательность fi(z), f^(z), ,.. равномерно

^ и ТЕОРЕМА ВЕЙЕРШТРАССА 319
сходится на кривой С, то
Um \jn {ζ) dz=\[ lim fn{z)] dz,
η -* CO Q Q n-^co
Это утверждение опять-таки доказывается совершенно так же,
как и для функций действительного переменного, только для оценки
интеграла
\[fniz)~ lim Α(ζ)] dz
используется неравенство B) § 3 гл. 2.
Для равномерно сходящихся рядов это утверждение часто
формулируется так:
Ряд непрерывных функций, равномерно сходящийся на какой-
либо кусочно-гладкой кривой, можно почленно интегрировать по
этой кривой.
Использование свойств регулярных функций позволяет доказать
важные теоремы о рядах регулярных функций. Наиболее
существенной является следующая теорема, носящая название теоремы Вейер-
штрасса:
Теорема 1. Пусть функции /ι (-г), U{z), ... регулярны в
произвольной конечной области G, и пусть ряд
равномерно сходится в этой области. Тогда сумма ряда тоже
является регулярной в области G функцией, и ряд можно почленно
дифференцировать любое число раз.
Для доказательства заметим сначала, что сумма ряда является
непрерывной в области G функцией и что ряд можно почленно
интегрировать по любой кусочно-гладкой кривой, лежащей в области G.
Пусть D — произвольная односвязная область, лежащая в области G,
3 С—произвольная замкнутая ломаная, лежащая в области D.
Согласно сказанному
\f{z)dz = \f,{z)dz-^rSU{^)dz-^,..
с с с
Но по теореме Коши все интегралы, стоящие в правой части
равенства, равны нулю. Поэтому функция f{z) непрерывна в области D
и интеграл от нее по любой замкнутой ломаной, лежащей в этой
области, равен нулю. По теореме Морера (см. § 7 гл. 2) функция f{z)
регулярна в области D. Поскольку D — любая односвязная часть
области G, функция f{z) регулярна и в области О.
Пусть теперь z^ — произвольная точка области G, а С—простая
замкнутая кривая, лежащая в области G вместе со своей
внутренностью, содержащей в свою очередь точку z^. В силу возможности

320 СЛЕДСТВИЯ ИНТЕГРАЛЬНОЙ ФОРМУЛЫ КОШИ [Гл. а
почленного интегрирования
п\ Г / {ζ) dz _я1_ Г Л {Z) dz . п\ ? Л (^) dz ■
Но в силу интегральной формулы Коши интеграл в левой части
равенства равен Z^'*^ Bό), а интегралы в правой части равенства равны
Л'^Ч^о). Л'^Ч^о). .... Поэтому
и теорема доказана.
Поскольку целые степени ζ являются регулярными во всей
плоскости функциями, мы немедленно получаем из доказанной теоремы
Следствие. Сумма степенного ряда
«о + «1 (^ ■— ^о) + «2 (^ — ^о)^ + . . .
Является регулярной функцией в любой области, в которой этот
степенной ряд равномерно сходится»
Для доказательства равномерной сходимости рядов будем чаще
всего пользоваться следующим признаком, носящим название
признака Вейерштрасса:
Пусть функции fi(z), Л (-г), ..., определенные на множестве М,
удовлетворяют неравенствам
\fk{z)\^c, (k=h 2, ...). A)
Если числовой ряд ^^k сходится, то ряд A) равномерно сходится
на множестве М.
Этот признак доказывается дословно так же, как и для
функций действительного переменного.
Иногда бывает удобно пользоваться следующим критерием
равномерной сходимости г^оследовательности:
Теорема 2. Пусть функции f\{z), fi{z), ... непрерывны на
замкнутом множестве М. Для равномерной сходимости после-
довательносгйи /j {ζ), /¾ (-г), ... на множестве Μ необходимо
и достаточно, чтобы для любой последовательности точек Ζχ,
2^2, ..., имеющей пределом точку ζ (все точки Ζη и точка ζ
принадлежат множеству Λί), существовал предел последовательности
/ι(^ι> Д(^-2)> ...
Необходимость очевидным образом следует из неравенства
\fn {Zn)-f{z)\ ^ \fn fe) ~-f{Z,)\ + \f{Z,) -f{z)\,
(Здесь f(z)= lim fn{z).) Действительно, с возрастанием η первое
η -* со
слагаемое будет стремиться к нулю в силу равномерной сходимости,

.21 РЯДЫ ТЕЙЛОРА И ЛОРАНА. ТЕОРЕМА ЕДИНСТВЕННОСТИ 321
а второе — в силу непрерывности предельной функции и
условия Zn -^ ^-
Для доказательства достаточности заметим сначала, что
последовательность А (-г), fo^{z)y ... сходится и что предельная функция
непрерывна. Действительно, сходимость последовательности {fn{z)}
в любой точке Zq^ Μ сразу следует из того, что все точки
последовательности {Ζη} можно взять совпадающими с Zq. Далее, для
любой последовательности {ζ;^}, if^->ZQy можно выбрать номера {п^}
таким образом, чтобы lim (Л;^,(С^) —/(С^)) = 0. Определим теперь
k -> со
точки последовательности {Zn} равенствами
^п = ^0 (n^tlk), Zn^ = lk·
Очевидно, что lim Ζη = ζ^. Но
η -* CG
lim fniZn) = f{Zo). lim fniZn)= Hm /((^^)-
ηφ n/j n= Uf^ k -* CO
Поскольку последовательность {fn{Zn)} должна иметь предел, мы
получаем отсюда, что
Ит /(С,)=/(^о).
k -* со
Так как {^^} — произвольная последовательность точек, сходящаяся
к точке 2Ό, функция f{z) непрерывна в точке z^.
Допустим теперь, что последовательность {fn{.z)] сходится
неравномерно. Тогда существует последовательность точек {2-^), z%^ Μ
и такое число а^О, что
\fn(zl)-f{z-t)\>^. B)
Так как множество Μ замкнуто, то бесконечная последовательность
[ζ%] должна иметь хотя бы одну предельную точку, и эта предельная
точка должна принадлежать множеству М. Без ограничения общности
можно считать, что ζ% -> 2Ό, ζ^^ Μ. В этом случае предельный
переход в неравенстве B) приводит нас к противоречию, так как
lim /Л4) = /(^о)> Ит /D) = /(½).
л — 00 Л-* со
Теорема доказана.
§ 2. Ряды Тейлора и Лорана. Теорема единственности
Интегральная формула Коши дает возможность доказать, что
функция, регулярная в области, разлагается в окрестности каждой
точки этой области в сходяишйся степенной ряд.
Теорема 1. Пусть функция f{z) регулярна в конечной обла-
(^fnn О. В окрестности каждой точки ^ό ^ О функция f{z) раз-
'^агается в ряд

322 СЛЕДСТВИЯ ИНТЕГРАЛЬНОЙ ФОРМУЛЫ КОШИ [Гл. 3'
Более точно, ряд A) равномерно сходится к функции f{z) в любом
круге \z — ^о|^Р' лежащем в области Q,
Ряд A) называется рядом Тейлора для функции f{z) в
окрестности точки 2Ό.
Для доказательства возьмем произвольную точку ζ^ζ^Ο w
произвольное число р, удовлетворяющее условию, что замкнутый круг
\z — 2ό|^Ρ лежит в области G. Тогда существует число р'^р такое,
что круг \ζ — 2ό1^Ρ' все еще лежит в области G. Обозначим
первый круг через /С, а окружность второго круга через С Согласно
выбору кругов для любой точки ζ ^ К имеет место интегральная
формула Коши
fiz)=-L. [ MiL· dt^' \ т \ dt. A*)
Второй множитель под знаком последнего интеграла можно разложить
в ряд
L 3=14- '~'° +('"'" V + ···
ζ~-ζ. ' t — Zr, ^ \ t~z^ ] '
(геометрическая прогрессия). Этот ряд равномерно сходится по ^: в
круге К и по ^ на окружности С, так как его члены не превосходят
по модулю членов сходящегося числового ряда в силу неравенств
^ } Ρ ^
(признак Вейерштрасса). Поэтому написанный ряд можно подставить
под знак интеграла и проинтегрировать почленно. Это даст формулу
^ω=^ \ /^ dt^^i^ \ ji%dt.
(ί-
Β силу формул для старших производных (см. формулу (б) § 7 гл. 2)
получаем отсюда утверждение теоремы.
Дадим одно определение:
Если функция /B-), регулярная в точке z^y удовлетворяет условиям
f(z,)=r {ζ,)^... =/(--') (ζ,) = о, /""' (ζ,) φ О,
TO будем говорить, что функция f(z) имеет в точке z^ нуль
порядка т.
Лемма. Если функция f{z) регулярна в точке z^ и имеет
в этой точке нуль порядка т, то функция ^{z)-——^^л -
{z~z,)^
тоже будет регулярна в точке z^, если ее доопределить по
непрерывности в этой точке, причем φ {ζ^) φ 0.

^ 2] РЯДЫ ТЕЙЛОРА И ЛОРАНА. ТЕОРЕМА ЕДИНСТВЕННОСТИ 323
Так как функция f{z) имеет в точке z^ нуль порядка т, то ее
разложение в ряд Тейлора в окрестности точки г^ имеет вид
f{z)^{z — z,r{a-\-b{z-z,)-\-,,). α 7^0.
Следовательно, функция φ {ζ) при ζ φ ζ^ разлагается в степенно?!
ряд
φ(^) = α-|-^(^ —^о) + ...>
равномерно сходящийся там же, где равномерно сходится ряд для
функции f(z). По следствию из теоремы Вейерштрасса функция φ {ζ\
доопределенная в точке ζ^ равенством φ Bό) ^==^а^ О, регулярна в точке ζ^.
Чрезвычайно важным для теории аналитических функций
следствием из возможности разложения регулярной функции в ряд Тейлора
является следующая теорема, носяи1.ая название теоремы
единственности аналитических функций:
Теорема 2. Пусть функция f(z) регулярна в области Q.
Если внутренняя точка области О является предельной точкой
нулей функции f{z), то f{z)^0.
Рассмотрим множество точек области G, в которых функция f(z)
равна нулю. Имеется три возможности: это множество (обозначим
его Е) совпадает со всей областью G; множество Ε не имеет
предельных точек, лежащих в области G; множество Ε имеет предельную
точку Zq, лежащую в области Q и являющуюся граничной точкой
множества Е. Нам нужно доказать, что третья возможность не
осуществляется. Допустим противное. Тогда в любой окрестности точки 2Ό,
о которой идет речь в третьем случае, имеются точки, в которых
/(^)^2^0, и точки (отличные от самой точки 2ό), в которых /(^) = 0.
Рассмотрим разложение функции f{z) в ряд Тейлора в окрестности
точки Zq. Поскольку в любой окрестности точки Zq имеются точки,
в которых f(z) -ψ О, среди коэффициентов ряда Тейлора есть хотя
бы один, отличный от нуля. Поэтому интересующий нас ряд можно
записать в виде
f{z) = (г - Z,r (^m + ^m+1 (^ - ^о) + . . .) (^m Φ Ч
Функция φ (-г) = с^-f-c^^i B- — 2ό)-|-... регулярна в точке ζ^ и
9 (-^о) у^ 0. В силу непрерывности φ (г) :^ О и в некоторой
окрестности точки 2Ό. В этой окрестности функция f {z)=^{z — ^ό)'" φ (^-) не
обраи1,ается в нуль ни в одной точке, кроме самой точки z^. Мы
пришли к противоречию с допущением, что в любой окрестности
точки 2Ό есть точки, в которых /B') = О, отличные от точки z^.
Полученное противоречие доказывает наше утверждение.
Из теоремы единственности сразу вытекает, что любую функцию^
^определенную для действительных значений переменной, можно

324 СЛЕДСТВИЯ ИНТЕГРАЛЬНОЙ ФОРМУЛЫ КОШИ [Гл. 3
расширить до регулярной функции комплексной переменной не
более чем одним способом.
Из этого соображения следует, в частности, что известные из
анализа степенные ряды для функций е^у 1пA -\'z)y A -{-zf пригодны
и для комплексных значений ζ. Легко проверяется, что ряд для функции е^
сходится во всей комплексной плоскости, а ряды для функций 1пA -|- ζ\
{\-[-zy в единичном круге |2Ί<^1.
Обобщением ряда Тейлора является так называемый ряд Лорана^
Отличием этих рядов является то, что при разложении в ряд Лорана
функция предполагается регулярной в кольце.
Теорема 3. Пусть функция f{z) регулярна в кольце
r<\z-zo\<:R'
Тогда для каждой внутренней точки этого кольца имеет место
разложение в ряд
со
f{z)=^c,(,z-z,r, B)
— СО
где
'- = -L· I ηζ){ζ~ζ,Γ~4ζ (r<P<R). C)
кроме того, в любом кольце f ^\ζ — -гоI ^Κ> ^^^ ''<С^'<СR'<С^>
ряд B) сходится равномерно.
Ряд B) называется рядом Лорана.
Возьмем произвольное кольцо К'.
r'^\z~z,\^R\
и выберем числа г" и R" так, чтобы
r<^r"<:^r\ r'<:r"<r·
Окружность \z — Zq\==R"' обозначим через Q, а окружность \z — Zq\ =
= r^' — через Qi (обе окружности считаем проходимыми против
часовой стрелки). Тогда, применяя интегральную формулу Коши к кольцу,
ограниченному окружностями Q и С^, мы можем написать равенство
'(^f— 2πι· \ t — z ^^ 'Ы } t~
С, Сз
ζ
справедливое для всех ζ из кольца К-
На внешней окружности С] напишем разложение
1-В
{Ζ - Z,У^
/1 = 0

^ 2] РЯДЫ ТЕЙЛОРА И ЛОРАНА. ТЕОРЕМА ЕДИНСТВЕННОСТИ 325
а на внутренней окружности Q — разложение
: = -1
(t-z,r^^^
Подставляя эти разложения в интегралы и интегрируя почленно,
получаем ряд B). Для получения формул C) в окончательном виде
нужно еще вспомнить, что, согласно теореме Коши, интеграл
2π/ \
не зависит от выбора окружности \t — ζ^\ = ^ в кольце г<^
<^\t — Zq\<^R, так как подинтегральная функция регулярна в этом
кольце. Более того, окружность \t — ^^^ | = ρ в этой формуле можно
заменить произвольной замкнутой кривой, которую можно непрерывно
деформировать в эту окружность, не выходя за пределы кольца
r<\t-z,\<iR,
Заметим, что разложение данной регулярной функции в ряд
Лорана в данном кольце единственно. Действительно, пусть для
функции /(-г), регулярной на окружности \z — Ζ(^\ = ^, имеются два
разложения в ряд Лорана
оо
—ОО
оо
f{z)^Y^c,{z-z,r,
— ОО
равномерно сходящиеся на этой окружности. Тогда
оо
—ОО
Умножим обе части последнего равенства на {ζ — ζ^'"^~^ и
проинтегрируем почленно, что законно ввиду равномерной сходимости
ряда. Тогда получим
00
^Фп-сп) \ {ζ-ζΧ""-4ζ = 0.
-ОО 1г-го| = р
Но
\ (Ζ — ZoT""^' dz =-^^^-^^ ^е^^^-"^^"^ d^,
\Z'-zo=p о
а последний интеграл равен 2π/ при п = т и нулю при всех
остальных п. Следовательно, 2πί (^^ — с^) = 0, и поскольку т — любое
Делое число, наше утверждение доказано.

326 СЛЕДСТВИЯ ИНТЕГРАЛЬНОЙ ФОРМУЛЫ КОШИ [Гл. 3:
Соображение об единственности разложения в ряд Лорана часта
используется для отыскания его коэффициентов (без интегрирования).
Теорема 4. Пусть функция f{z), регулярная в кольце
r<^\z — Zq\<^R, разлагается в этом кольце в ряд
со
f{z) = ^c^z-z,Y. D>
— ОО
Тогда при любом значении р, г<^р<^/?, для коэффициентов
ряда D) имеет место неравенство
:Ж(р)р
-п
где
Ж(р)= max 1/(^I.
в силу единственности разложения в ряд Лорана для
коэффициентов с„ должны быть справедливы формулы C) с любым р,
удовлетворяющим условию r<^p<^R. Оценивая интегралы из формулы C)
с помощью формулы B) § 3 гл. 2, приходим к утверждению
теоремы, так как на окружности \z — ζ^\ = ρ имеем, очевидно,
maxi/ (ζ) (ζ - ^оГ ""^ \ = М{р) р'^^'К
iZ-zo\==9
Разложение в ряд Лорана чаще всего используется в тех случаях^
когда функция f{z) определена в некоторой окрестности точки ^ό-
но не определена в самой этой точке. Тогда разложение в ряд.
Лорана может быть написано в кольце 0<^|2' — ζ^\<^γ. Такое
разложение называется рядом Лорана для функции f{z) в
окрестности точки Zq,
Легко убедиться, что если функция f(z) регулярна в точке Zq,,
то ее разложение в ряд Лорана в окрестности точки Zq совпадает
с ее разложением в ряд Тейлора в окрестности этой точки.
Действительно, в этом случае коэффициенты ряда с отрицательными
номерами равны нулю по теореме Коши.
Далее, коэффициент c_i в ряде Лорана для функции / B') в
окрестности точки Zq равен
^Äfiz)dz,
где С—сколь угодно малая окружность с центром в точке Zq^
Поэтому
res f(z) = c_^
Z=Zo
(см. определение вычета в § 5 гл. 2).
Таким образом, вычеты можно находить без интегрирования, если'
удается разложить функцию в ряд Лорана в окрестности
интересующей нас точки. Обычный прием таков: функция f{z) представляется

^ 2]
РЯДЫ ТЕЙЛОРА И ЛОРДНА. ТЕОРЕМА ЕДИНСТВЕННОСТИ 327
β виде отношения двух регулярных функцищ числитель и
знаменатель разлагаются в ряд Тейлора (это можно сделать без
интегрирования), а затем ряд Лорана для отношения получается
формальным делением степенных рядов числителя и знаменателя.
Очень часто при отыскании вычетов полезно иметь в виду сле-
дуютее утверждение:
res /{ζ) = lim {ζ — ζ^) f {ζ\ E)
если только предел в правой части равенства существует.
Действительно, обозначая lim {ζ — 2o)/B') = c, мы можем напи-
сать
res /(^) = i \ /(^)^^ =
2πί J ζ — ^0 ~^ 2π/ J 0 — Ζ^
Но, как мы уже неоднократно видели,
dz.
2πί J ζ — Ζ^
2ш
|2 —io| = p
U-2:o! = p
Переходя к пределу при ρ -^ О (напомним, что вычет не зависит
от р), приходим к формуле E).
Если в разложении функции f{z) в ряд Лорана в окрестности
точки Zq имеется лишь конечное число членов с отрицательными
степенями ζ — 2ό, то точка Zq называется полюсом функции f{z).
Пусть точка Zq является полюсом функции f{z), и пусть член
ряда Лорана функции /(ζ) в окрестности точки z^y имеющий самую
высокую степень ·, равен
Ζ Zq
(^¾^ е^-^о· «^^-
Тогда точка ^ό называется полюсом порядка η или п-кратным
полюсом функции f{z\
Если точка z^ является полюсом функции f{z\ то, каково
'^bi ни было число Л^О, существует окрестность точки г^у
θ которой выполняется неравенство \f{z)\^A. Иными словами,
если ^0 — полюс функции f(z), то lim f{z) существует и равен
^^сконечности. ^~*^о

328 СЛЕДСТВИЯ ИНТЕГРАЛЬНОЙ ФОРМУЛЫ КОШИ [Гл. 3
Действительно, ряд Лорана для функции f{z) в окрестности ее
полюса z^ имеет вид
Функция
g{z) = {z — z^f f{z) = c_„ + c_„^i (z — Zo) + ...
регулярна в точке Zq (как сумма равномерно сходящегося в
некоторой окрестности этой точки степенного ряда) и g(zQ)^0, Но
Поэтому lim f(z)=--oo как предел отношения двух величин, из кото-
рых числитель имеет пределом конечное число, а знаменатель имеет
пределом нуль.
В частности, из доказанного факта вытекает, что полюс не мо*
жет быть предельной точкой для нулей.
§ 3. Некоторые приложения теоремы о вычетах
Теорема Коши и тесно связанная с ней теорема о вычетах имеют
многочисленные применения не только в теории аналитических
функций. Эти теоремы используются как существенное вспомогательное
средство в самых различных областях математического анализа. Мы
приведем сейчас несколько примеров применения теоремы о вычетах
к вычислению определенных интегралов от действительных функций.
Речь будет идти о вычислении
несобственных интегралов, вычисляемых
средствами действительного анализа с большим
трудом.
Пример 1. Рассмотрим интеграл
с
^^^· ^^' взятый по контуру, изображенному на
рис. 67. Подинтегральная функция
регулярна в области, ограниченной контуром интегрирования, и на самом
контуре. Поэтому, согласно теореме Коши,
/=0. A)
с другой стороны, разбивая контур интегрирования на части
(полуокружности и прямолинейные отрезки), можно представить

^ 3] НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРЕМЫ О ВЫЧЕТАХ
интеграл / в виде суммы интегралов:
329
-г о
Л- \-^ d.X -\- { ^-Γβίηφ + ίνοοεφ/β^ζρ, B)
Положим теперь г -> О, R-^oo (независимо друг от друга). Второй
интеграл при R-^oo стремится к нулю, так как его подинтеграль-
ная функция на всем отрезке интегрирования не превосходит по
модулю единицы, а на любой внутренней
части отрезка интегрирования равномерно
стремится к нулю при R-^oo, Четвертый
интеграл при г -> О стремится к — ш.
Наконец, сумма первого и третьего
интегралов равна
dx = 21
(' sin χ
dx.
Рис. 68.
Поэтому, переходя к пределу при г ~> О, /? ~> оо, получаем в силу
равенства A), что
0:
или
. I о · с sin ^
о
оо
Г sin д: π
] "Г—τ·
dx
Пример 2. Рассмотрим интеграл
с
взятый в положительном направлении по границе кругового сектора
с раствором φ^-y, изображенного на рис. 68. По теореме Коши
/ = 0.
С другой стороны, разобьем интеграл / на сумму трех интегралов
(по радиусам и по дуге окружности). Вдоль дуги окружности имеем
ζ = re^"■, О ^ α ^ φ, и потому
z^ = r^(cos2a-j-isin2a), Ο^α^
Следовательно (см. формулу F) § 6 гл. 2),
= φ·
к
—г^ I
-r2cos2a

330
СЛЕДСТВИЯ ИНТЕГРАЛЬНОЙ ФОРМУЛЫ КОШИ
[Гл. э
Поэтому для интеграла по дуге окружности имеет место неравенство
^ е-^Ыг
- ^^^-/-ЗсозгадГа.
Правая часть этого неравенства стремится к нулю при г —> оо. Дей«
ствительно,
Г V e-^'^os2a^Q^^^ I ^~/-2 cos 2α дГ^^ ,^
О О
2θΛ2
Ar
(мы использовали неравенство: sin θ^ —θ при 0<^θ<^~).
Таким образом, при г->оо интеграл по дуге окружности
стремится к нулю и равенство /=0 дает нам, что
re " г
lim \ е-^- dz = lim ^ е-""- dxy C>
/■-S- со Q Г-ХХ) Q
если только хотя бы один из этих пределов существует. В
существовании правого из пределов убедиться очень просто. Более того, иа
анализа известно, что
"^ 1
\^е-'^- dx = ~γ\/^ TZ.
о
Так как при любом г^О имеем равенство
^ е-'Ыг = е^'^\е~''"^'''dx =
о о
г
= ^^>^^~-^-'со8 2ср[со8(х^81п2ф) —isin(x2 Sin 2φ)]ί/χ^
о
то из формулы C) получаем, что
со
^^-x2cos29[cos(x2 Sin 2φ) —/sin (x^sin 2φ)jί/x=ry |/Ч^~^'^
о
или, иначе говоря, что
^ о 1 -
Γ^-Λ:2εο82φ ^Qg (х^ Sin 2φ) ί/χ = γΐ/π COS φ,
ο
'^ ο 1 ~
5 e --^- COS 2φ 5|j^ ^д.2 5|j^ 2cp) ί/j^ = — ]/π sin φ.

§ 31
НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРЕМЫ О ВЫЧЕТАХ
331
в частности, при ^ = ~г получаем значения так называемых
интегралов Френеля
оо со
^ cosx"^ dx = ^ sin χ^ί/χ = γ ν^π.
ο υ
пример 3. Вычислим интеграл
оо
^ е~^~ cos ах dx (— со<^а<^-\- оо).
—оо
Для ЭТОЙ цели рассмотрим вспомогательный интеграл
ρ
взятый по параллелограмму Р, изображенному на рис. 69, где с —
произвольное комплексное число, а а^О. По теореме Коши 1=0.
С другой стороны, интеграл /
можно разбить на сумму
четырех интегралов (по сторонам
параллелограмма). При
фиксированном с и при α -> -|" ^^
длина сторон параллелограмма, —
не параллельных
действительной оси, остается неизменной,
в то время как модуль под-
интегральной функции на этих Рис. i.b
сторонах стремится к нулю.
Поэтому, переходя к пределу при a->-j-co, получаем равенство
оо со
^ e-^^-\-c)^-dx= ^ e-""-dx =Ут..
С-(Х
о
с-^о:
Полагая
2
ш, находим, что
ι „ оо
/π = \^ е ^"^ ' '^) dx = e'^'' ^ е-^'-е-'''''dx,
—оо —оо
откуда получаем окончательно (отделяя действительную часть)
со а-
J ^--^-COS axdx = e "^ у^^.
— оо
в следующем примере используем теорему о вычетах. Рассмотрим
-интеграл

332
СЛЕДСТВИЯ ИНТЕГРАЛЬНОЙ ФОРМУЛЫ КОШИ
[Гл. Э
ВЗЯТЫЙ в положительном направлении по границе полукруга,
изображенного на рис. 70.
Подинтегральная функция регулярна во всей плоскости, за
исключением точек z = ik и z = — ik. В полукруге, изображенном на
рис. 70, лежит лишь одна из этих точек z = ik. Поэтому, согласно
теореме о вычетах,
/=2π/ res , , .^ ■
Согласно формуле E) § 2
res
lim
Следовательно,
ik ^ + ik-
Рис. 70.
1 = ше
С другой стороны, разобьем интеграл на сумму двух интегралов
(по диаметру полукруга и по полуокружности). Для интеграла 1р
взятого по полуокружности при r^ky имеет место оценка
|/.| =
άψ
π
ИЗ которой видно, что при г -^-\-оо этот интеграл стремится к нулю.
Для интеграла /2, взятого по диаметру полукруга, имеет место
равенство
-г о О
Поэтому, переходя к пределу при г -> оо, получаем, что
2i
X sin л:
x^+k
-^dx = ше
или
X sin χ
x^ + k^^^ — 2 ^ ·
Сейчас мы докажем одну теорему, с помощью которой можно
вычислять значения целого класса интегралов, подобных интегралу,
рассмотренному в последнем примере.
Теорема 1. Пусть функция f{z) регулярна в верхней
полуплоскости Imz^O, за исключением конечного числа точек
Ζχ, z^i ..., Zjn, лежащих в этой полуплоскости. ПустЬу кроме

§ ^1
НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРЕМЫ О ВЫЧЕТАХ
333
Рис. 71.
цюго, функция f{z) непрерывна в замкнутой полупгог ^:>;гы
Imz^O (за исключением тех же точек 2^, z^, ..., ^). Е^.ш С ля
функции f(z) имеет место неравенство
\f{z)\^C\z\-'-' (μ|>/?ο> 1тг>0) D)
с некоторым δ ^ О, то несобственный интеграл от функции f(x)
по всей действительной оси существует и
оо т
\ f{x)dx = 2izi^ res f{z).
Заметим прежде всего, что существование несобственного
интеграла от функции f{x) по действительной оси следует из
неравенства D) и из сходимости интеграла
оо
\ χ-'-^ dx.
1
в силу сходимости интеграла от f(x) по
всей действительной оси справедливо
равенство
со R
[ f(x)dx= lim \ f{x)dx.
-оо ^-+°^ -R
Обозначим через /С/? полуокружность, изображенную на рис. 71,
проходимую по часовой стрелке. Согласно теореме о вычетах имеет
место равенство
R ^R
^ f(x)dx= \ f (ζ) dz-\-2ш 2 res f(z)
-R Kj^ k=\^ = ^k
(сумма распространяется на все точки z^y лежащие в полукруге).
При R -> -|- сю из неравенства D) следует, что
\ f{z)dz\^'KR'C-R-'^-^ = izC'R-\
f<R I
Следовательно, интеграл по полуокружности Kj^ стремится к нулю
при /^ -)._[- сю. Переходя к пределу при /? -^ -[- сю, получаем
формулу
00 т
^ f(x)dx=2mj^ res f{z).
-оо Ä=l ^ = ^k
Тем самым теорема доказана.
Заметим, что утверждение легко обобл1ается и на случай
бесконечного числа исключительных точек 2^, z^, ..., имеющих
предельную точку лишь в бесконечности. При этом нужно лишь условие D)

334 СЛЕДСТВИЯ ИНТЕГРАЛЬНОЙ ФОРМУЛЫ КОШИ [Гл. 3
заменить условиями
1/(х)|^С(|х| + 1Г^-^ (-аэ<х<аэ);
\fiz)\^C\z\-'-~^ (\z\ = Rf,, ^=1,2,..., Im^^^O)
(в последнем условии R^ — некоторая бесконечная
последовательность положительных чисел, имеющая пределом -j- со) и
потребовать, кроме того, сходимость ряда
со
Рассмотрим один пример применения доказанной теоремы. Возьмем
-^(^^"^ az'-}-bz-i-c'
где числа а, by с действительны и удовлетворяют условию
^2 _ 4ас < 0.
Функция f(z) регулярна во всей плоскости, за исключением точек
z = -^(—b±l /4ас — Ь^),
в которых знаменатель обращается в нуль. В верхней полуплоскости
лежит одна из этих двух точек, а именно та, для которой знак корня
± у 4ас — ^^ выбран совпадающим со знаком числа а. Обозначим
эту точку через Ζχ. Согласно формуле E) § 2
res^f (ζ) — дт^ {Ζ — ζ^) · ^^2 _|_/,^_|_ ^ —/_^^^ а {ζ —ζ,) {ζ —ζ,) ~"
= hm
Поэтому теорема 1 дает нам равенство
со
^ dx^ 2π
J öA'2 + bx + С γ/[ас — b^' '
— со
в заключение мы приведем одну теорему, получающуюся прямым
применением теоремы о вычетах. Речь идет о формуле для подсчета
числа нулей и полюсов функции, регулярной в некоторой области
(за исключением, конечно, этих полюсов).
Теорема 2. Пусть функция f{z) регулярна в области О,
ограниченной простой замкнутой кривой С, за исключением
конечного числа полюсов. На самой кривой С предположим функцию
f{z) регулярной и отличной от нуля. Тогда
2π/
С
.\Щаг^Ы-Р,

^ ,3] НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРЕМЫ О ВЫЧЕТАХ 335
^^ρ д/ — число нулей функции / (ζ) в области Q, а Ρ — число ее
полюсов в этой области. При этом каждый нуль или полюс
считается столько раЗу какова его кратность.
Пусть «1, й2' · · · > ßr — полюсы функции f{z)y расположенные
в области Ö, а Βχ, ^, ..., b^ — ее нули. Число полюсов конечно по
условию теоремы, а конечность числа нулей следует из теоремы
единственности (см. теорему 2 § 2), согласно которой точка
регулярности не может быть предельной точкой нулей, и из замечания
в конце § 2 о том, что полюс не может быть предельной точкой
нулей.
Рассмотрим в области G функцию ^ ^. Она регулярна в
области G (и на ее границе С), за исключением точек а^, ас^, ..., а^ и
/7j, b^y ...» b^. Для исследования ее поведения в этих точках заметим,
что в окрестности нуля или полюса функцию f{z) можно
представить в виде
fiz) = {z-z,fg{z\
где k — положительное или отрицательное целое число, а функция g{z)
регулярна в точке 2Ό и giz^) φ 0. При этом число k равно порядку
нуля в точке 2Ό, если точка z^ является нулем функции f(z\ а если
точка 2Ό является полюсом, то число k равно порядку полюса,
взятому с обратным знаком. Легко видеть, что
Г{г)_ k . g'{z)
откуда находим, что
res ^il = Ä.
Применяя теорему о вычетах, получаем, что
2х/ У f (г) "^^ L'ZI f (г) ^ L :1
2πί ,^ 7(гУ "^~ L· ,Та f (ζ) ~^ Li 'Ц f (г) "
Пели обозначить через ä„ кратность нуля Ь^ для функции /(г), а
через —-/г„ — кратность ее полюса а„, то получим отсюда
С
Эта формула равносильна утверждению теоремы.
Совершенно аналогично можно доказать формулу
справедливую в тех же предположениях, что и теорема 2.

336 СЛЕДСТВИЯ ИНТЕГРАЛЬНОЙ ФОРМУЛЫ КОШИ (Гл. а
§ 4. Принцип максимума и лемма Шварца
Пусть функция /(г) регулярна в круге радиуса ρ с центром
в точке 2г и на его окружности. Тогда, взяв в интегральной формуле
Коши в качестве контура интегрирования окружность этого круга
и перейдя от криволинейного интеграла к интегралу по параметру ср,
получим формулу
nz)=^l^nz + pe'^d<f. A)
о
Утверждение, содержащееся в этой формуле, можно выразить
следующими словами:
Значение регулярной функции в центре любого круга
регулярности равно среднему арифметическому ее значений на
окружности этого круга.
Если число Μ равно верхней грани значений \f{z)\ на
окружности, то из формулы A) непосредственно вытекает, что и в центре
круга значение функции по модулю не превосходит того же числа М,
Последнее соображение используем сейчас, чтобы доказать
теорему, носящую название принципа максимума модуля:
Теорема 1. Модуль функции, регулярной в некоторой области,
не может достигать наибольшего значения внутри этой области,
если только функция отлична от тождественной постоянной.
Заметим предварительно, что модуль регулярной функции может
быть постоянным в области только в том случае, когда сама
функция постоянна в этой области. Действительно, из постоянства модуля
функции f{z) = u-\-iv мы выводим, что ίί^-]-τ;^ = const.
Дифференцируя это равенство по χ я у w используя уравнения Коши—Римана,
получаем два соотношения:
ии'х -\- νν'χ = О, uv'x — vu'x = 0.
Рассматривая эти соотношения как систему уравнений для и'х и ν'χ,
видим, что или определитель этой системы, равный u'^-^-v^, равен
нулю, или Ux==Qy v'x = Q. В обоих случаях имеем /'B:)^ О, т. е.
/(^) = const. (Другое доказательство этого утверждения мы могли
получить, рассмотрев регулярную функцию \nf{z)y имеющую
постоянную действительную часть In 1 f{z) \.)
Итак, допустим, что функция f{z), а значит, и \f(z)\ отличны
в области О от тождественной постоянной. Допустим, что теорема
неверна. Тогда должна существовать такая точка z^ ζ О, для
которой 1/B:*I = УИ, а в произвольно малой ее окрестности найдутся
точки, в которых \f{z)\<^M. Но Б этом случае найдется круг
с центром в точке -г*, лежащий внутри области G, на окружности

^ 41 ПРИНЦИП МАКСИМУМА И ЛЕММА ШВАРЦА 337
которого есть точки, где \t{z)\<^M. Это противоречило бы
неравенству ^^
M^^^^\f(z*-{-pe'^)\d<f, B)
О
вытекающему из равенства A) и из условия \f(z*)\ = M (напомним,
что 1/(-2^) !^^ во всей области). Полученное противоречие
доказывает теорему.
Следствие. Модуль функции^ регулярной в области^ не
может достигать наименьшего значения внутри этой областиу
если эта функция отлична от постоянной и не обращается
β нуль.
Для доказательства достаточно применить принцип максимума
модуля к функции Т-/-Ч, которая будет регулярна в области, если
функция f{z) не обращается в нуль.
Следующая теорема носит название леммы Шварца:
Теорема 2. Пусть функция f{z) регулярна в единичном
круге |2г|<^. 1 и удовлетворяет там неравенству \f{z)\^\, Еслиу
кроме того, /@) = 0, то функция f(z) обязана удовлетворять
β круге I 2*1 <^ 1 и более сильному неравенству
\f{z)\^\z\.
При этом, если \f{z)\ = \z\ хотя бы в одной внутренней точке
единичного круга, отличной от точки z = Q» то
f(z) = ze'\
где γ — некоторое действительное число.
f(z)
Для доказательства рассмотрим функцию ψ (ζ) =-^-^^-^. Разложив
функцию f(z) в ряд Тейлора и поделив этот ряд на ζ, увидим, что
функция φ (ζ) регулярна в круге 12: | <^ 1 (в том числе и в точке
-^ = 0). В каждом круге |2:|^/?, где 0<^/?<^1, модуль функции
φ (г) принимает наибольшее значение на окружности \z\ = R. Поэтому
max 1/BI
max |φB)|= max |φB)|=^ί^^ ^-1.
Переходя к пределу при /?->!, получаем, что | ср B) | ^ 1 при | ^: 1<^ 1,
т. е. что
Если равенство \f(z)\ = \z\ имеет место хотя бы в одной
внутренней точке единичного круга, то это означает, что максимум
модуля функции \ψ(ζ)\ достигается внутри единичного круга. Это

338 СЛЕДСТВИЯ ИНТЕГРАЛЬНОЙ ФОРМУЛЫ КОШИ [Гл. Э
возможно лишь в случае, когда функция φBτ) постоянна (и по модулю
равна единице). Тогда ^{z) = e^^y и мы получаем утверждение
теоремы.
Принцип максимума позволяет немного усилить теорему Вейер-
штрасса о равномерной сходимости последовательностей регулярных
функций. Это усиление основывается на следующем факте:
Пусть функции fi{z)y f^(z), ... регулярны в области Q и
непрерывны в замыкании этой области. Если последовательность
{fn{^)] равномерно сходится на границе области О, то она
равномерно сходится и в замыкании области О.
§ 5. Некоторые оценки. Теорема Лиувилля
Принцип максимума дает нам возможность написать неравенство
для модуля регулярной функции внутри области, если известна
оценка этой функции на границе области. С помои1Ью интегральной
формулы Коши можно получить некоторые неравенства не только
для самой функции, но и для ее производных внутри области (если
известна оценка этой функции на границе области):
Теорема I. Пусть функция f{z) регулярна в области Qy
ограниченной простой замкнутой кривой С, и на ее границе^
Тогда для любой точки ζ ^G имеет место неравенство
\fW(z)\^n\M.,^.L («=1,2,...). A)
где L — длина кривой С, δ—расстояние от точки ζ до кривой Су
а Μ — максимум модуля функции f{z) на кривой С.
Согласно формуле F) § 7 гл. 2
Оценивая этот интеграл с помощью неравенства B) § 3 гл. 2у
получаем неравенство A).
Стоит заметить, что из самой интегральной формулы Коши мы
совершенно аналогично могли бы получить оценку
Однако эта оценка большой ценности не представляет, так как
кривая С, находяилаяся от точки ζ на расстоянии, не меньшем δ,
имеет длину, не меньшую чем 2πδ, так что написанная оценка всегда
слабее, чем оценка \f{z)\^My получаемая из принципа максимума.
Следствие. Пусть функция f{z) регулярна в круге с центром
в точке z^ и радиусом р. Если на окружности этого круга имеет

^ б] ПРИНЦИП КОМПАКТНОСТИ для РЕГУЛЯРНЫХ ФУНКЦИЙ 339
место неравенство |/(г)|^Л1, то в точке Zq имеют место
неравенства
!/('^)(го)|^Жр-'^ (/2=1, 2, ...). B)
Действительно, взяв в качестве области Q круг с центром в
точке Zq и радиусом р, мы получаем из теоремы 1 неравенства B).
Из полученных оценок легко выводим следующую теорему,
носящую название теоремы Лиувилля:
Теорема 2. Функция, регулярная и ограниченная во всей
плоскости, постоянна.
Действительно, для этой функции будут справедливы
неравенства B) с любым значением р. В частности, при η = 1 получаем, что
в каждой точке Zq функция f(z) должна удовлетворять неравенству
l/'(^o)l<f
с любым р. Переходя к пределу при р->оо, получаем, что f'(z)^0,
т. е. что /B·)^ const.
§ 6. Принцип компактности для регулярных функций
С помощью оценок, полученных в предыдущем параграфе, мы
можем доказать одно важное общее свойство класса регулярных
функций, называемое компактностью этого класса. В анализе
постоянно используется свойство компактности конечномерного евклидова
пространства, состоящее в том, что из каждого ограниченного
бесконечного множества точек этого пространства можно выделить
сходящуюся последовательность. Различные классы функций тоже
можно рассматривать как пространства, выбрав надлежащую метрику.
При этом оказывается, однако, что наиболее употребительные классы
функций действительного переменного не обладают свойством
компактности. Так, например, класс функций φ (χ), непрерывных на
отрезке (а, Ь), не обладает свойством компактности (естественная
метрика для этого класса || φ || = тах | φ (х) |). Действительно, не из
всякого бесконечного множества ограниченных в совокупности
непрерывных функций можно выделить сходящуюся последовательность
(например, из последовательности sin пх, п=\, 2, 3, ..., нельзя).
Это обстоятельство сильно затрудняет решение многих вопросов
анализа. Одним из существенных преимуществ теории аналитических
функций является наличие свойства компактности для многих классов
регулярных функций. Объясняется это тем, что класс регулярных
функций комплексного переменного является очень узким подклассом
всего класса непрерывных функций (определенных в той же области).
Приведем лишь одну из наиболее простых формулировок свойства
компактности для одного из классов регулярных функций.

340 СЛЕДСТВИЯ ИНТЕГРАЛЬНОЙ ФОРМУЛЫ КОШИ [Гл. »
Следующую теорему принято называть принципом компактности:
Теорема 1. Пусть функции бесконечной последовательности
U{z). Л (^), /з(^), ... A>
регулярны в области О и ограничены по модулю в этой области
одним и тем же числом М. Тогда из этой последовательности
можно выбрать подпоследовательность, равномерно сходящуюся
на любом замкнутом множестве^ лежащем в области Q.
Доказательство этой теоремы разобьем на несколько частей.
Пусть В — произвольное замкнутое множество, лежащее в
области G. Докажем прежде всего, что функции последовательности A)
равностепенно непрерывны на множестве Ä т. е. что для любого
ε ^ О существует такое число δ ^ О, что неравенство
\fn{z{)-fn{Z,)\<^
выполняется для всех η и для всех ζ, удовлетворяющих условиям
! -^1 — ^2 К δ, ^1 G ^' ^2 G В'
Для доказательства заметим сначала, что расстояние от множества В
до границы области G, которое будем в дальнейшем обозначать
через р, положительно. Поскольку во всей области Q имеют место
неравенства
\fn{z)\^M (л=1, 2, 3, ...),
можем написать, согласно следствию теоремы 1 § 5, неравенства
Следовательно,
Z2
\fn{z^)-fn{Z,)\ = \\ f'n{z)dz
где /(^1, z^ — длина кривой, лежащей в области Q и coeдиняющeίt
точки Ζγ и ζ^. Ясно, что ί{Ζγ, ζ^=\ζι — Zc^\, когда точки z^ и Ζη,
лежат в множестве В, а | ^i — ^21 <^ р. Тем самым мы доказали
равностепенную непрерывность функций последовательности A).
Возьмем теперь некоторое счетное множество Еу всюду плотное
в области Q (скажем, множество точек плоскости с рациональными
координатами, лежащих в области Q). Точки множества Ε будем
обозначать Ζχ, ζ^, z^y ... (по предположению о счетности множества Ε
его точки можно перенумеровать). Из последовательности A) можно
выбрать подпоследовательность
Α,Λζ). ΑΑζ)> UAzl ... B>
таким образом, чтобы эта подпоследовательность сходилась в точке
Z\ G ^- ^^ последовательности B) в свою очередь можно выбрать

. 6] ПРИНЦИП КОМПАКТНОСТИ для РЕГУЛЯРНЫХ ФУНКЦИЙ 341
подпоследовательность
AiW> ил^1 Аз(^)> ... C)
так, чтобы она сходилась еще и в точке Zc^^Ey и т. д. Легко
видеть, что диагональная последовательность
/i.iW> ί%Λζ). /з.з(^)> ... D>
будет сходиться во всех точках множества Е.
Покажем теперь, что построенная нами диагональная
последовательность удовлетворяет условиям теоремы. Допустим противное.
Тогда найдется замкнутое множество Ä лежащее в области О, на
котором наша последовательность не будет сходиться равномерно^
Это означает, что суихествует последовательность точек
Z^i Z^t 2'з> . . . > Zfi
и такое число а^О, что при всех η выполняется неравенство
I Jn, η \^п) jn\m, п^гтп \^п) I ^^ '^'>
где т — положительное число, зависящее от п.
Поскольку последовательность \Ζγ^ состоит из точек
ограниченного замкнутого множества, мы можем, не ограничивая общности,
считать ее сходящейся к точке ζ^ ^ В.
В силу равностепенной непрерывности функций исходной
последовательности A), а значит, и функций последовательности D) можем
найти такое число δ ^ О, чтобы для всех ζ из круга \ζ — ^о I <С ^
выполнялось неравенство
1Л,„ ω -Ал (^о) к| («=1,2,3,...).
Тогда для всех точек ζ из круга \ζ — ^о I <С ^ будет выполняться
неравенство
I ίη,η (^) — Л+т. п^т (^) I > "Ι (^>^0 (^))>
ИЗ которого видно, что последовательность D) не сходится ни в
одной точке круга \ζ — ^о|<С^· ^^^ противоречит построению
последовательности D) как последовательности, сходящейся на множестве,,
всюду плотном в области О. Полученное противоречие доказывает,
что построенная последовательность D) обязана равномерно сходиться
"а каждом замкнутом множестве, лежащем в области О. Теорема
полностью доказана.
Одним из важных следствий принципа компактности является
следующий результат, носящий название теоремы Витали:
^^орема 2. Пусть функции бесконечной последовательности
\ ) регулярны в области G и ограничены там одним и тем же
Челом. Если эта последовательность сходится на каком-либо

342 СЛЕДСТВИЯ ИНТЕГРАЛЬНОЙ ФОРМУЛЫ КОШИ [Гл. 3
множестве Е, имеющем хотя бы одну предельную точку у
лежащую в области О, то она равномерно сходится на каждом
замкнутом множестве^ лежащем в области Q.
В силу теоремы 1 из последовательности A) всегда можно
выделить подпоследовательность, равномерно сходящуюся на каждом
замкнутом множестве, лежащем в области О. Поэтому для
доказательства нашего утверждения достаточно убедиться, что две различные
сходящиеся подпоследовательности всегда имеют один и тот же
предел. Допустим противное. Тогда существуют две
подпоследовательности {fni^ (ζ)} и {Д^ (ζ)}, сходящиеся к различным функциям
f{z) и g(z) соответственно. Ввиду равномерной сходимости на
каждой замкнутой части области О предельные функции f(z) и g{z)
регулярны в области О. Кроме того, в силу сходимости всей
последовательности {fn{z)} в точках нашего множества Ε имеем, очевидно»
равенства
f{z) = g{z) = \lmf,(z) {z£E).
п-^со
Функция f(z) — g{z) регулярна в области О и обраииется в нуль
во всех точках множества & имеющего предельную точку, лежащую
в области О. По теореме единственности (см. теорему 2 § 2) эта
функция должна быть тождественным нулем. Таким образом,
предположение о существовании двух различных пределов
подпоследовательностей не выполняется. Теорема доказана.
§ 7. Связь регулярных функций с гармоническими
В § 7 гл. 2 было доказано, что регулярная функция бесконечна
дифференцируема в области регулярности. Отсюда вытекает, что
действительная и мнимая части регулярной функции имеют частные
производные по X и по у всех порядков. Это означает, в частности, что
уравнения Коши — Римана можно дифференцировать по jc и по у.
Используя равенства
дх ду ду дх' дх öy ду дх'
легко получаем из уравнений Коши — Римана уравнения
д^а I д-^а ^ ^½ , d^'v ^ ...
дх^ ' ду" дх-- ^ ду" ^ ^
Итак, действительная и мнимая части регулярной функции являются
решениями уравнения
где использовано обозначение
д^_уд^
' дх'"+" ду'
^ /^г2 г r)u2 ·

. 71 СВЯЗЬ РЕГУЛЯРНЫХ ФУНКЦИЙ С ГАРМОНИЧЕСКИМИ 343
Дифференциальное уравнение в частных производных Δ« = 0
играет большую роль в математической физике. Оно называется _у/7ав-
нением Лапласа, а его решения называются гармоническими функ-
тямп. Раздел математической физики, в котором изучаются
гармонические функции, называется теорией потенциала (в теории потенциала
изучаются гармонические функции не только двух, но и большего
числа переменных).
Мы видим, что с каждой регулярной функцией связаны две
гармонические функции — действительная и мнимая части этой
регулярной функции. Оказывается и обратно, с каждой гармонической
функцией можно связать некоторую регулярную функцию.
Мы договоримся называть функцию и{х, у) гармонической
в области О, если она имеет в этой области непрерывные частные
производные второго порядка и удовлетворяет уравнению Лапласа
Теорема 1. Пусть функция и{х, у) гармонична в конечной
односвязной области Q. Тогда существует регулярная в области Q
функция f{z), для которой и{х, y) = Ref(x-{-iyy При этом rfjynK-
ция f{z) определяется по функции и{х, у) с точностью до чисто
мнимого постоянного слагаемого.
Для доказательства рассмотрим интеграл
{X. V)
V(x, у)= \ {— и'у (Е, η) ί/ς -\- и'^ (Е, η) ο?η}.
(л"о. >'о)
Этот интеграл не зависит от пути, поскольку функция и (jc, у)
удовлетворяет уравнению Лапласа. Согласно теореме 2 § 3 гл. 1
функция v{Xy у) имеет непрерывные частные производные, для которых
справедливы равенства
dv да dv да
дх Ъу' ду дх'
Таким образом, функции и{х, у) и v{x, у) удовлетворяют системе
уравнений Коши — Римана. Паэтому функция f{z)=^u-^iv является
регулярной функцией в области G. Для завершения доказательства
теоремы остается заметить, что из равенства
Чef{χ-\-iy)ΈΞгO
л^ь1 легко выводим с помощью уравнений Коши — Римана, что
^ Im f{x + iy) Ξ О, I \mf{x + iy) = 0,
^y следовательно, что Im/(jc-f iy)^ const.
I армоническую функцию ν {χ, _у), связанную с гармонической функ-^
Дией и{х^ у) уравнениями Коши — Римана, называют гармонической

44 СЛЕДСТВИЯ ИНТЕГРАЛЬНОЙ ФОРМУЛЫ КОШИ [Гл. 3
•функцией, сопряженной с гармонической функцией и(Ху у). Из
теоремы 1 немедленно вытекает следствие:
Для любой функции и{Ху у), гармонической в конечной одно-
-связной области О, существует сопряженная функция v{Xy у\
гармоническая в области G. При этом функция v{x, у)
определяется с точностью до постоянного слагаемого.
Действительно, в качестве ν можно взять \mf{z), хотя проще
заметить, что функция ν, сопряженная с w, была построена в самом
начале доказательства теоремы 1 с помощью криволинейного интеграла.
Заметим еще, что условие односвязности области О в теореме 1
существенно.
Рассмотрим два семейства кривых
и{Ху _у) = const, v{x, j;) = const,
где и и ν — сопряженные гармонические функции. При отображении
С =/B-), где f{z) = u-\-iVy эти семейства переходят в семейства
прямых линий, параллельных координатным осям в плоскости ζ.
Поскольку конформное отображение сохраняет углы, эти семейства
ортогональны, т. е. каждая кривая одного семейства пересекает все
кривые другого семейства под прямым углом (впрочем, это видно и
непосредственно из уравнений Коши — Римана). Иными словами:
Линии уровня сопряженных гармонических функций образуют
ортогональные семейства кривых.
В дальнейшем нам будет значительно удобнее записывать
гармонические функции не как функции двух действительных переменных χ
и j;, а как функции одного комплексного переменного z = x-\~iyy
сохраняя, однако, за частными производными их прежний смысл.
В дальнейшем нам очень часто придется пользоваться следующим
простым соображением:
Пусть функция и (ζ) гармонична в области Ζ), а функция φ (С)
регулярна в области Q и принимает значения, лежащие в
области D. Тогда функция и (φ (ζ)) гармонична в области G.
Для доказательства этого утверждения достаточно заметить, что
в окрестности любой точки ζ^ζΟ мы можем, согласно теореме 1,
написать z/(^) = Re/(^). Функция /(φ@) регулярна в окрестности
каждой точки области О. Следовательно, функция и (φ (ζ)) гармонична
в области О.
§ 8. Интеграл Пуассона
Пусть функция /B-) регулярна в круге \z\<^R и непрерывна
в замкнутом круге | -г | ^^ /?. Возьмем любую точку
z = re'K

^ 8] ИНТЕГРАЛ ПУАССОНА 345·
лежащую в круге \z\<^R. Согласно интегральной формуле Коша
2π
1/1 = /? О
или
2π
Легко видеть, что точка
ζ г
fit)
лежит вне круга ] ^: | ^ R. Поэтому функция 7ΖΓ~Τ регулярна в круге
\t\<^R и по теореме Коши
-1. i 11
2πί 3 ^ —
^(^> л==о,
2π
о = .^ С/(/?..>)-,^¾^ rfcp. B>
Вычитая равенство B) из равенства A), мы приходим к формуле
2π
которая несложными преобразованиями приводится к виду
2π
Отделяя в обеих частях последнего равенства действительную часть
и обозначая w (ri?'^) = Re/(r^''^), получаем формулу
2π
и (Γ^^'Ψ) = ö~ ^ '' (^^'^) Б2 on ^'/~^'.ч I 2 β^φ» C)
"^ ^ 2π J ^^ ^ R^ — 2Rr cos (φ ~ ψ) + r^ ^ ^^
которая называется интегральной формулой Пуассона или
интегралом Пуассона. Согласно теореме 1 § 7 мы можем рассматривать
функцию и{ге^'^) в этой формуле как произвольную гармоническую
"^ круге 1г|</? функцию.

346 СЛЕДСТВИЯ ИНТЕГРАЛЬНОЙ ФОРМУЛЫ КОШИ [Гл. а
при г = 0 формула C) принимает наиболее простой вид
2π
"(^) = i \^iR^'')d9· D)
Содержание этой формулы можно выразить следующими словами:
Значение гармонической функции в центре круга (в котором
она гармонична) равно среднему арифметическому ее значений на
окружности этого круга.
Функцию V {z)y сопряженную с функцией и (ζ), тоже можно
выразить через значения функции и на окружности круга. Для этой цели
сложим равенства A) и B). Это даст
2it
или
f(re'^) = и {ге'^) -f iv (γ^^'Ψ) =
2π
Отделяя мнимые части в обеих частях этого равенства и замечая, что»
согласно формуле D),
2π
J
2
~ jj v{Re^^d^ = v{Ol
о
получаем формулу
, (,.<.)=»@)+1 f „ (R.''),. _ IZ ;':'* z;> ^ ^. ä,. ρ,
О
Складывая эту формулу с формулой C), получаем
2π
/,r.'.,=i J »(R.") $±|«^^=|^., +,.@,=
2π
2π
0
ИЛИ, вспоминая, что re^'^ = Zy и обозначая Re^'^ = ty
Эта формула называется формулой Шварца.

^ 8] ИНТЕГРАЛ ПУАССОНА 347
Разложим функцию --^ в ряд
ш='+^2{т)"=>+^2(а>'
ι(ψ φ).
умножим этот ряд на η {Re^"^) и проинтегрируем почленно (это законна
ввиду равномерной сходимости ряда). Тогда получим
оо
Пге·") = ίν @) + ^^+2 (ΐ)" ^^^^^- G>
а„=-1- ί «(^^^■^)^-^''^^ί/φ (а7 = 0, 1, 2, ...>
о
Отделяя в формуле G) действительную и мнимую части, мы получаем
две формулы
и (Γ^^Ψ) = у + 2 [^J {а, cos Ц + ^, sin Ц). (8)
оо
г; (Γ^^Ψ) = 1^ @) -I- 2 (^)" (- ^« ^os Ц -1- а, sin Α/ψ), (9)
п = \
где
2π
1С· 1 (* ·
оя = — \ W (Re^"^) cos /ζφ ί/φ, Ζ?;ϊ = — \ я {Re^'^) sin /ζφ ί/φ.
ο ο
Каждый член ряда в формулах (8) или (9) представляет собой
функцию, гармоническую во всей плоскости. Именно
г"' cos λ/ψ =: Re г^ г"' sin λ/ψ = Im z^.
Тем самым формулы (8) и (9) доставляют нам разложение
произвольной гармонической функции и и сопряженной с ней гармонической
функции V в ряды по наиболее простым гармоническим функциям.
Если в формулах C) и E) заменить под интегралом функцию
и {Re^"^) какой-либо непрерывной (или даже кусочно-непрерывной)
функцией ^(φ), мы получим две функции
2π
О
2π
-г. i^J<\>\ 1 с / ч 2/^Γ5ίη(ψ —φ) .

348 СЛЕДСТВИЯ ИНТЕГРАЛЬНОЙ ФОРМУЛЫ КОШИ [Гл. а
Эти функции будут гармоническими функциями в круге |'2'|<^/^,
так как
щ {ζ) = Re /D Vi (ζ) = Im /(г),
где
^i(^)=i S ^(^)'?
-^z dt
ζ t '
\t\^R
а функция fi{z) в силу теоремы 2 § 7 гл. 2 регулярна в круге
\z\<^R^ В § 10 мы докажем, что функция Wi(г^^^) имеет предельные
значения ^(φ), когда r-^R и ψ->φ, но прежде, чем переходить
к доказательству этого факта, мы сформулируем ряд следствий из
полученных выше формул.
§ 9. Следствия
С помощью интеграла Пуассона можно доказать ряд результатов
о гармонических функциях, аналогичных результатам, получаемым
для регулярных функций с помощью интегральной формулы Коши.
Из теоремы о среднем для гармонических функций (формула D)
предыдущего параграфа) с помощью тех же рассуждений, что и при
доказательстве принципа максимума модуля регулярных функций,
выводим принцип максимума и минимума для гармонических функций:
Теорема 1. Функция, гармоническая в некоторой области Q,
не может достигать во внутренней точке этой области ни
своего наибольшего^ ни своего наименьшего значения, если она
отлична от тождественной постоянной.
Аналогично теорема Вейерштрасса о равномерно сходящихся
последовательностях регулярных функций может быть перенесена на
равномерно сходящиеся последовательности гармонических функций.
Именно, справедлива следующая теорема, носящая название теоремы
Гарнака:
Теорема 2. Пусть последовательность функций
Wi(^), u,Xz), ..., A)
гармонических в области G и непрерывных в ее замыкании Q,
равномерно сходится на границе области Q к функции g{z)
(определенной на границе области О). Тогда последовательность A)
равномерно сходится в замыкании Q области О к функции,
гармонической в области Q и непрерывной в ее замыкании. На
границе области О эта функция совпадает с функцией g(z).
Для доказательства этой теоремы замечаем сначала, что в силу
принципа максимума и минимума равномерная сходимость
последовательности A) на границе области G влечет за собой равномерную
сходимость этой последовательности в замыкании области Q. Поэтому

^ 9, СЛЕДСТВИЯ 349
предельная функция последовательности A) непрерывна в замыкании
области О. Для доказательства гармоничности предельной функции
в области Q воспользуемся интегралом Пуассона. Возьмем
произвольный круг, лежащий в области О. Каждая функция м„B') может быть
представлена интегралом Пуассона через ее значения на окружности
этого круга. Переходя к пределу под знаком интеграла (что законно
ввиду равномерной сходимости), получаем, что и предельная функция
представляется в каждом круге (лежащем в области О) интегралом
Пуассона через ее значения на окружности этого круга. Но в конце
предыдущего параграфа мы отмечали, что функция, представимая
интегралом Пуассона, является гармонической функцией в
соответствующем круге. Таким образом, мы доказали, что предельная
функция последовательности A) гармонична в окрестности любой точки
области О. Теорема доказана.
С помощью интеграла Пуассона докажем сейчас одну теорему
о последовательностях регулярных функций, которая нам пригодится
в дальнейшем.
Теорема 3. Пусть функции последовательности {^п(^)} Р^^у-
лярны в области О, и пусть эта последовательность сходится
к нулю в одной точке области Q. Если последовательность
гармонических функций u^{z) = Reio^ (ζ) равномерно сходится к нулю
во всей области G, то последовательность {io^{z)} равномерно
сходится к нулю на любом замкнутом множестве, лежащем
в области Q.
Докажем сначала, что если последовательность {ω„B')} сходится
в точке Zq^ Q к нулю, то она равномерно сходится к нулю в любом
круге с центром в точке Zq, лежащем в области О. Действительно,
в силу формулы Шварца (см. формулу F) § 8)
если только круг \t — Zq\<^R лежит в области О, а точка 2'внутри
этого круга. По условию ω„BΌ)->0, а значит, и Im ω„ Bό)->-0. Далее,
считая точку ζ лежащей в круге \t — Zq\ ^ R — δ, мы получаем
неравенство
2D δ
1 ^п (^)! ^ I ^п (^о) i -\ S— max | м„ (t) ],
^ 1^-^01 = ^
из которого видно, что наша последовательность равномерно
стремится к нулю в круге \t — Zq\^R — δ. Так как число R можно
взять равным расстоянию от точки Zq до границы области О, а число
-^^^—сколь угодно малым, наше утверждение доказано. Для
доказательства теоремы остается заметить, что доказанное выше
утверждение гарантирует отсутствие в области О граничных точек
множества, на котором последовательность A) равномерно сходится к нулю.

350
СЛЕДСТВИЯ ИНТЕГРАЛЬНОЙ ФОРМУЛЫ КОШИ
[Гл. 3:
Действительно, в любой окрестности такой граничной точки должны
находиться точки самого множества, т. е. точки, в которых
последовательность A) сходится к нулю. Но тогда этому множеству принад.
лежит (согласно доказанному выше) и любой круг с центром в этой
точке, лежащей в области G.
В заключение докажем полезные неравенства для функций
О
2π
/?Г COS (φ — ψ) — r^
R' — 2/^r cos (φ — Ψ) -{- r
ταψ
_L f / Ч ^r sin (Ψ — φ) — r^ ,
B>
C)
в предположении, что функция ^(φ) удовлетворяет неравенству
к(?)К1 @<φ<2π).
D>
Предположим для определенности, что выражения B) и C)
положительны. Тогда можно утверждать, что наибольшее значение интегралов
достигается в случае, когда ^(φ)===:-]-1 при тех φ, где второй
сомножитель подинтегральной функции положителен, и ^(ср) = —1 там, где
этот сомножитель отрицателен. Так как
/?2 — 2Rr cos (φ — ψ) + r^ ^ R^ — 2Rr + r^ > О,
остается рассмотреть лишь числители вторых множителей.
Итак, интеграл в правой части равенства B) при выполнении
условия D) достигает своего наибольшего значения, когда
^(φ)=1 при cos(cp —ψ)>~,
^(φ) = —1 при cos (φ —ψ):
R'
Вычисляя соответствующий интеграл, мы получаем неравенство
2π
1С , . Rr cos (φ
Τ 3 ^^"^^ R' — 2Rrco^.
-ψ)-
COS (φ — ψ) + ''^
4 . г
π R
E)
Совершенно аналогично доказывается неравенство
2π
Df ein /i\i ггЛ
-ί/φ
i\si<?)^rzz
Rr sin (Ψ — φ)
2/^Γ0Ο8(φ —ψ)-1-Γ^
2 . R + r
- In jr-^—.
π R — r
F)

^ IUI РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ ДЛЯ КРУГА 351
§ 10. Решение задачи Дирихле для круга
В § 8 мы показали, что интеграл Пуассона можно использовать
для восстановления гармонической в круге функции по ее значениям
на границе этого круга. Сейчас мы покажем, что интеграл Пуассона
можно использовать и для доказательства существования такой
функции, т. е. для репшния так называемой задачи Дирихле для круга.
Прежде чем перейти к делу, мы скажем несколько слов об общей
постановке задачи Дирихле.
Пусть нам дана область G и функция g{z), определенная и
непрерывная на границе области G. Задача Дирихле, или первая краевая
задача теории потенциала, состоит в построении функции,
гармонической в области G и непрерывной в ее замыкании О, которая на
границе области G совпадала бы с заданной функцией g{z).
Теорема 1. Задача Дирихле для ограниченной области О
имеет не более одного решения.
Действительно, пусть щ{г) и ^^2(-2^) — Два решения задачи Дирихле
(с одной и той же граничной функцией g{z)). Тогда функция w (г^) =
= Ui (ζ) — U:i (ζ) гармонична в области G, непрерывна в ее
замыкании G и во всех точках границы области G равна нулю. Согласно
принципу максимума и минимума для гармонических функций м B^)^0,
так как и максимум и минимум функции и (ζ) должны достигаться на
границе области G и потому равны нулю. Поэтому любые два
решения задачи Дирихле совпадают, и теорема доказана.
Таким образом, решение задачи Дирихле всегда единственно, и
вопрос лишь в существовании ее решения. Докажем сейчас
существование решения задачи Дирихле для случая, когда область G—это
^РУ^ \^\<^Ri и напишем явную формулу для ее решения.
Теорема 2. Функция
2π
Ο
Является решением задачи Дирихле в круге \z\<C^R с граничной
функцией g=p((Y). Иными словами, для любой непрерывной
функции ρ (ψ) функция A) является гармонической функцией в круге
К|<СЯ' которую можно продолжить по непрерывности на
замкнутый круг, положив ?/(/ίί?''Ψ)=/7(ψ).
Сначала заметим, что для случая, когда функция /?(φ) является
тригонометрическим многочленом вида
т
ί^ (φ) = у + 2 ^« ^^^ ^"^ + ^« ^^^ ^"^^ (¾

352 СЛЕДСТВИЯ ИНТЕГРАЛЬНОЙ ФОРЛ1УЛЫ КОШИ [Гл. 5-
утверждение теоремы заведомо справедливо. Действительно, функция
т
/1=1
является гармонической во всей плоскости, как сумма конечного числа
функций
г"" cos щ = Re ^^ г'' sin λζφ = Im 2:^^ (^ = re'^,
гармонических во всей плоскости. Согласно доказанному в § 8 эта
функция и (г) может быть восстановлена по ее значениям на
окружности \z\==R с помощью интеграла Пуассона
2π
^ ^ 2π J "^ ^ ^ R^ — 2Rr COS (φ — ψ) + ^
Но из формул B) и C) видно, что и (Re^'^) = ρ (ψ).
Для доказательства утверждения теоремы 2 в полном объеме
воспользуемся теоремой Вейерштрасса о том, что произвольную
непрерывную функцию, определенную на всей оси и имеющую период 2π,
можно с любой точностью приблизить тригонометрическим
многочленом вида B). Пусть {Pmi^)} — последовательность тригонометрических
многочленов вида B), равномерно сходящихся к заданной
непрерывной функции ρ (φ). Обозначим через и^ (ζ) решение задачи Дирихле
в круге \z\<^R с граничной функцией Рт(^)- Согласно доказанному
ранее это решение существует и может быть представлено в виде
и
Согласно теореме 2 § 9 последовательность {iimi^)} равномерно
сходится в круге |2^|^/? к функции wB^), гармонической в круге \z\<^R
и непрерывной в круге 12^| ^ /?. Ясно, что функция и (ζ) является
решением задачи Дирихле с граничной функцией /?(φ) и что для нее
имеет место формула A). Теорема полностью доказана.
Замечание. Решение задачи Дирихле в круге \z\<^R с
граничной функцией ^(φ) можно также представить в виде
оо
и (ге'Ф) = 1+2 [if ("" ^°^ "^ + *" ''" "'^^· ^"^^
2π 2π
α„ = — \ /? (φ) COS ηφ βίφ, Ьп = '- \ ρ (φ) Sin /2φ c/φ.
где

^ 11] ГРАНИЧНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ИНТЕГРАЛА ТИПА КОШИ 353
Действительно, после того как доказана формула A) и равенство
Ρ
l·:)) = и (Re'"^), мы можем воспользоваться формулой (8) § 8.
Несколько уточнив постановку задачи Дирихле на случай
разрывной граничной функции, мы могли бы тем же методом доказать, что
интеграл Пуассона дает решение задачи Дирихле в круге \z\<^R и
для любой ограниченной интегрируемой функции. Не будем сейчас
останавливаться на этом вопросе, так как нам еще придется вернуться
к нему в гл. б, где будут доказаны более обш,ие теоремы о решении
задачи Дирихле.
§ П. Граничные значения интеграла типа Коши
Интегральная формула Коши позволяет восстановить регулярную
функцию внутри области по ее значениям на границе этой области.
Однако граничные значения регулярной функции нельзя задавать
произвольно. Действительно, по теореме 1 § 10 об единственности
решения задачи Дирихле функция Ref(z) единственным образом
определяется по ее значениям на границе области, а по функции Re/(^)
функция \mf(z) (а значит, и сама функция f(z)) определяется с
точностью до произвольной аддитивной постоянной. Поэтому произвол
в задании значений регулярной функции на границе области заведомо·
не больше, чем произвольное задание действительной части этих
значений (и еш,е одной постоянной). Мы видели, что в случае, когда
область является кругом, произвол именно таков. В дальнейшем
покажем, что и для любых односвязных областей можно произвольна
задавать значения действительной части на границе области. Но уже
сейчас мы в состоянии вывести необходимые и достаточные условия,
которым должны удовлетворять граничные значения функции,
регулярной в односвязной области, ограниченной простой кусочно-гладкой
кривой. С этой целью будем исследовать интеграл типа Коши
который, как мы показали в § 7 гл. 2, определяет функцию,
регулярную в любой области, не содержаш.ей точек кривой С.
Для дальнейшего нам понадобится понятие главного значения
интеграла в смысле Коши. Это понятие относится к несобственным
интегралам, расходяш.имся в обычном смысле.
Пусть С—простая кусочно-гладкая кривая, а С^ — ее часть,
лежащая вне круга |^ —С1<р. Если предел

354 СЛЕДСТВИЯ ИНТЕГРАЛЬНОЙ ФОРМУЛЫ КОШИ 1Гл.
существует, то мы будем называть его главным значением интег^
рала (\) в смысле Коши.
Теорема 1. Пусть С — простая замкнутая кусочно-гладкая
криваяу и пусть функция φ (t), определенная на этой кривой^ удов^
летворяет условию Гёльдера
\^{h)-^{U)\^M\ty-UJ ((х>0).
Тогда главное значение интеграла (I) β смысле Коши существует
для любой точки С ^ С Если в точке ζ кривая С имеет
касательную, то
с с
(первый интеграл в правой части равенства является сходящимся
несобственным интегралом в обычном смысле, что сразу видно из
условия Гёльдера для функции φ (t)).
Для доказательства напишем
При ρ -> О первый интеграл в правой части имеет пределом
упомянутый несобственный интеграл. Поэтому нам остается лишь доказать
существование предела последнего слагаемого. При достаточно
малых ρ кривая С пересекает окружность \t — С | = ρ лишь в двух
точках. Дугу окружности \t — ζ| = ρ, соединяющую эти две точки
в том же направлении, что и кривая С, и лежащую в области,
ограниченной кривой С, обозначим через γρ. По теореме Коши
Но последний интеграл, как нетрудно видеть, равен /α(ρ), где а(р)—
угловая мера дуги ^р. При ρ-> О величина α(ρ) стремится, очевидно,
к углу между касательными к кривой С в точке С (первая
касательная проводится к участку кривой С, следуюишму за точкой С, а
вторая — к участку до точки С, причем направление первой касательной
совпадает с направлением кривой С, а направление второй
касательной противоположно направлению кривой). Таким образом,
интересующий нас предел, а следовательно, и интеграл в смысле
главного значения суихествуют. Требуемая формула сразу получается,
если заметить, что для неугловых точек кривой С угол между
упомянутыми касательными в точке ζ равен π. Теорема полностью
доказана.
Теорема 2. Пусть С — простая замкнутая гладкая
кривая, и пусть функция φ (О по-прежнему удовлетворяет условию

§ 111
ГРАНИЧНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ИНТЕГРАЛА ТИПА КОШИ 355
Гёльдера (для удобства рассуждений с показателем |х, заключенным
между нулем и единицей, что не ограничивает общности). Интеграл
m=\^dt (С GO
в смысле главного значения по Коша (существующий согласно
теореме 1) представляет непрерывную на кривой С функцию.
Согласно теореме 1 при всех С ζ С
/(С) = ^^^^^^Л+./=Р(С)
(поскольку кривая С гладкая, т. е. не имеет угловых точек). Поэтому
нам остается доказать, что сходящийся несобственный интеграл
/0(^-=^-^
(Ο-φ(^ο)
dt
представляет собой непрерывную функцию точки ^о на кривой С
Обозначим через С^ часть кривой С, лежащей вне круга \t — ^о i <С Ρ»
а через ε — часть кривой С, лежащей внутри этого круга. Тогда мы
можем написать
где
Возы
9
мем
p = 2|i,-ij. B)
При достаточно малых ρ справедлива оценка
|/,|^Ж{5К-^,Г-' \dt\-\-\\t-t,r^ |ώί|}^Λί,ρ^
Далее, при р-*0 имеем \-—-—>-π/, и потому,
^7^--^. и
Ρ
Наконец, замечая, что на С^ при достаточно малых ρ из условия B)
следует неравенство
0<а^||^^Л<оо.

356 СЛЕДСТВИЯ ИНТЕГРАЛЬНОЙ ФОРМУЛЫ КОШИ [Гл. 3
получаем
\k\^M\\t-t,r ,._'v,,?:_,, \dt
■to\ \t~t,\
s
Таким образом, при достаточно малых 11^ — fq | имеет место
неравенство
\I(ti)-I(t,)\<:Ah\t,-t^f\
откуда и вытекает непрерывность интеграла /(f^).
Заметим, что мы доказали не только непрерывность интеграла /(ζ),
но и то, что он удовлетворяет условию Гсльдера с тем же
показателем |х, 0<^μ<^1, что и функция φ(^).
Ясно, что, предположив кривую С кусочно-гладкой, мы также
сумели бы доказать непрерывность интеграла
Ш=^ ^^'IZf^ dt (CG С),
с
НО функция
/@= $ ^Λ = /„(ζ) + φ@ \ ^
уже не была бы непрерывной. В угловых точках кривой С эта
функция имеет разрывы.
Вернемся к нашему интегралу типа Коши A). Если С—простая
замкнутая кривая, то этот интеграл определяет две регулярные
функции. Одну f^ (ζ) — в области Ds внутренней по отношению к
кривой С, и вторую—f (ζ) — в области D", внешней по отношению к
кривой С. Кроме того, если функция φ(ί) удовлетворяет условию
Гёльдера
I φ (^i) - φ ih) \^M\t,-t, \^ (μ> o), (З)
на кривой С определена функция
(интеграл понимается в смысле главного значения по Коши), которая
согласно теореме 2, непрерывна на этой кривой. Мы установим
сейчас связь между функциями φ (t) и h (t), определенными па кривой С,
и граничными значениями функций /^(г) и f~ (г), определенных в
областях D^ и D~b имеющих кривую С их общей границей.

. 11] ГРАНИЧНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ИНТЕГРАЛА ТИПА КОШИ 357
Теорема 3. Пусть С — простая гладкая замкнутая кривая,
л пусть функция φ {t)y определенная на кривой С, удовлетворяет
на ней условию Гёльдера C). Тогда функции f^ (ζ) и f~ (ζ),
определенные интегралом A) β областях D^ и D~, имеющих кривую С
их общей границей, можно продолжить по непрерывности на
кривую С' При этом на кривой С имеют место соотношения
г (С) = ft (С) 4-у φ (О.
1 D)
г (С) =/г (С)-4-ψ (У·
Для доказательства возьмем произвольную точку ζ ^ D^ и
обозначим через ^0 ближайшую к точке ζ точку кривой С (если их
несколько, то любую из них). Имеем
2%ί \ t — ζ *
с с
Последнее слагаемое в правой части равно φ (^о) (например, по
теореме о вычетах), а первое обозначим через -к—.К{ζ, t^. Оценим
разность K{Zy t^ — K(t^y to) при достаточно малых значениях \z — ί^\.
С этой целью обозначим опять через С^ ту часть кривой С, которая
лежит вне круга | ^ — ^о i <С Р» ^ через г^ — ту ее часть, которая лежит
внутри этого круга. При любом ρ справедливо равенство
К (г, to)~K{t,, to)=^h-\-I,,
где
Возьмем теперь
^*w=45'"^^^
k= \ Wit)-<?(t,)][;-~^-j^]dt.
^-to\
Тогда при достаточно малых ρ имеем
i^ll^2ί|^¾=l5Ы||ώί|^лl,p^
так как при достаточно малых ρ можно считать, что на С
выполняется неравенство \t — ί^\^2\ί — ζ\. Аналогично
1едовательно, при достаточно малых ρ имеем

358 СЛЕДСТВИЯ ИНТЕГРАЛЬНОЙ ФОРМУЛЫ КОШИ [Гл. i
Таким образом, мы показали, что для всех Zy лежащих в области D^
достаточно близко к кривой С, имеет место неравенство
(^0 — ближайшая к точке ζ точка кривой С). Но, как было доказана
в теореме 1,
Kit,, g = i.^^-i^^|^^ = Mi„)-i-=p(g.
Следовательно,
f^{z) ~ h {U) - 1 φ (^о) \^M\z-t, |'\ E)
Пусть теперь точка ζ ^ D^ стремится к точке ζ ^ С. Тогда,
очевидно, и ί^->ζ,. Из непрерывности функций φ (^) и h(t) следует, что
h (to) -> h (ζ) и φ (^ο) -^ ? (У· Поэтому из формулы E) следует, что
Λ(ζ)^/ί(;) + 1φ(ζ) {ζ->:).
Тем самым доказано, что функция f^(z) имеет предел при стремлении
точки ζ ^ D^ к любой точке С границы области D"^, и что этот
предел, который естественно обозначить /^(ζ), равен /^ (С) +-π-φ (ζ).
Таким образом, часть утверждения теоремы, относящаяся к функции
f^{z)y доказана. Совершенно аналогично доказывается и та часть
утверждения теоремы, которая относится к функции f~(z).
Результат, аналогичный теореме 3, можно доказать и для кусочно-
гладкой кривой. При этом в точках, где кривая С имеет
касательную, формулы D) сохраняются. В угловых точках формулы D)
следует заменить формулами
/+(;)=ft(C)+^?^T(Q.
D*)
Здесь α — угол, образуемый участками кривой С в точке ζ
(рассматриваемый со стороны области D"^).
Заметим еще, что формулы D) или D*) остаются в силе и для
случая, когда кривая С не является замкнутой кривой. В этом случае
интеграл Коши A) представляет одну регулярную функцию, и под
/^(С) следует понимать предельное значение этой функции при
стремлении точки ζ к точке С^С с левой стороны, а под/~(С) —
предельное значение этой функции при стремлении ζ к ^ с правой
стороны от кривой. Для доказательства формул в случае незамкнутой
кривой С не нужно никаких новых соображений. Достаточно
заметить, что добавление к кривой С участка, не содержащего точку (,,

Ill ГРАНИЧНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ИНТЕГРАЛА ТИПА КОШИ 359
меняет интеграл A) на слагаемое, непрерывное (и даже регулярное)
в точке С.
Из теоремы 3 легко вывести необходимое и достаточное условие
того, что функция φ (t) (удовлетворяющая условию Гёльдера) является
граничной функцией некоторой функции, регулярной в области,
ограниченной кривой С и непрерывной в замыкании этой области.
Действительно, пусть φ (ζ) — эта регулярная функция. Согласно
интегральной формуле Коши функцию ψ (ζ) можно представить интегралом
Для Zy лежащих в области D~, этот интеграл должен быть равен
нулю. Следовательно, в обозначениях теоремы 3
ηζ) = ψ{ζ), Г{г) = 0, h{Q^±[^di
(последний интеграл понимается в смысле главного значения по Коши).
Поэтому формулы D) дают нам условие на φ (О*
9iQ = ^{i^dt (CG С). F)
Тем самым доказана
Теорема 4. Пусть С — простая гладкая замкнутая кривая.
Для того чтобы функция φ {t), определенная на кривой С и
удовлетворяющая условию Гёльдера C), совпадала на кривой С с
функцией, регулярной в области, ограниченной кривой С, и непрерывной
в замыкании этой области, необходимо и достаточно, чтобы
функция φ (t) удовлетворяла сингулярному интегральному
уравнению (б).'
Из доказанных выше результатов можно получить еще одно
доказательство того, что интеграл Пуассона дает решение задачи
Дирихле для круга \z\<^R. Действительно, возьмем в качестве
кривой С окружность \z\ = R и рассмотрим функцию
где φ(^) — заданная на окружности \t\=R действительная функция,
а z'^^zR^jz. Когда точка ζ стремится к точке С окружности \t\ = R
изнутри, точка 2^* стремится к той же точке С снаружи. Поэтому

360 СЛЕДСТВИЯ ИНТЕГРАЛЬНОЙ ФОРМУЛЫ КОШИ (Гл. 3
формулы D) дают
Таким образом, функция, определенная формулой G), имеет
предельные значения на окружности, равные φ@. С другой стороны, вспо-
миная вывод интеграла Пуассона в начале § 8, мы видим, что
функция G) представляет собой как раз интеграл Пуассона, написанный
для граничной функции φ(ί).
Стоит заметить, что приведенное доказательство (в отличие от
полученного ранее) использует дополнительное предположение, что
функция φ (t) удовлетворяет условию Гёльдера.
§ 12. Течения жидкости
Как мы уже говорили, теория потенциала тесно связана с
различными задачами математической физики. Мы не собираемся здесь
излагать приложения теории аналитических функций к
математической физике и потому не будем говорить об этих связях сколько-
нибудь подробно. Однако, при изложении тех или иных наводящих
соображений нам будут необходимы некоторые наглядные физические
представления, относящиеся к аналитическим функциям.
Рассмотрим плоское векторное поле в области G плоскости (jc, у)^
т. е. систему двух функций
^х=Р{^^ у1 Ьу = д{х, у),
оцределенных в каждой точке области G (мы будем предполагать
эти функции непрерывными и даже дважды непрерывно
дифференцируемыми в области G). Эти функции естественно рассматривать как
составляющие некоторого вектора Ь. Векторное поле можно
рассматривать как математическое описание довольно широкого класса
физических величин (скорость, напряженность электрического поля,
градиент температуры и т. д.). В теории аналитических функций
исторически сложился обычай говорить о поле скоростей
плоскопараллельного течения несжимаемой жидкости. Поскольку мы считаем
вектор b не зависящим от времени, то речь идет о стационарном
течении жидкости.
Рассмотрим течение жидкости, свободное в области G (которую
предположим односвязной) от источников. Физический смысл этого
термина ясен: через границу каждой области, лежащей внутри
области G, должно вытекать столько же жидкости, сколько втекает в нее.
Напишем сейчас и математическую формулировку этого условия.
Пусть С—простая замкнутая кривая, лежащая в области о, и
пусть x==zx(s), yz=zy(s) — параметрическое уравнение этой кривой,
в котором за параметр принята длина дуги кривой, отсчитываемая

^ 12]
ТЕЧЕНИЯ ЖИДКОСТИ 361
QY какой-либо ее точки. Возьмем какую-либо точку (х, у) на кри-
1Юй с и бесконечно мааую дугу, содержащую эту точку. Количество
жидкости, вытекающей из области А ограниченной кривой С, через
эгу бесконечно малую дугу, равно Ьп{х^ y)ds, где Ь„(х, у) —
проекция вектора Ь (х, ^v) на направление внешней нормали к кривой С
13 точке (х, у), а ds — длина бесконечно малой дуги (при этом
жидкость вытекает, если Ь^^^О, а если Ьп<С^^ он^ втекает).
Суммируя по всей кривой С, мы получаем для количества жидкости,
БЫ1екающей из области D, ограниченной кривой С, выражение
с
Это выражение называется потоком векторного поля через
контур С. Условие отсутствия источников векторного поля в области О
означает, что поток этого векторного поля через любой замкнутый
котур, лежащий в области G, равен нулю. Но
0^ τ= b^ cos {пх) -\- \}^ cos (пу)=р cos (пх) -\- q cos (пу\
где (/1х) — угол внешней нормали к кривой С с осью х, (пу^ — ее
г, dx dy
угол с осью у. Вектор с компонентами ^, ~- является единичным
вектором касательной, а вектор с компонентами cos {пх), cos {пу) —
единичным вектором внешней нормали к кривой С. Поэтому
cos {пх) =j^. cos {пу) == — -£
и
S={ [р{х, j,)|^-^(x, y)^'^cis= ^—qdx-^pdy
Таким образом, условие отсутствия у векторного поля источников
в области G принимает вид
\ — qdx-{-pdy = 0, A)
с
где С — любая простая замкнутая кривая, лежащая в этой области.
На основании результатов § 3 гл. 1 можем утверждать, что:
Необходимое и достаточное условие отсутствия источников
векторного поля состоит в выполнении условия
Теперь выведем еще условие отсутствия вихрей векторного поля
β области G. Для этой цели возьмем опять любую замкнутую кри-
^^У^<^> С, леж'ащую в области G, и вычислим количество движения,
J^OTopoe получает кривая С (если ее рассматривать как тонкую
однородную проволочку, опущенную в поток жидкости). Для бесконечно

362 СЛЕДСТВИЯ ИНТЕГРАЛЬНОЙ ФОРМУЛЫ КОШИ [Гл.
малой дуги это количество движения равно 0^(^, y)ds, где 0^ — προι*
екция вектора Ь на направление касательной к кривой С, а ds —^
длина бесконечно малой дуги. Суммируя по всей кривой С, мы видим»
что искомое количество движения равно интегралу
R = ^bsds,
с
который называется циркуляцией нашего векторного поля вдоль
контура С Так как
^5 (-^» У)=Р (-^' у) cos {sx) -\- q (χ, у) cos {sy)y
a
cos {sx) = ^, COS {sy) = ^,
TO
R^='^pdx-]-qdy.
с
Условие отсутствия вихрей векторного поля в области G состоит в
равенстве нулю циркуляции векторного поля по любому замкнутому
контуру С лежащему в области G, т. е. в равенстве
^pdx -\-qdy = 0.
с
На основании результатов § 3 гл. I мы можем утверждать, чтог
Необходимое и достаточное условие отсутствия у
векторного поля вихрей в области G состоит в выполнении условия
%=% ((-•У^ео). C)
Система уравнений B) и C) совпадает с системой уравнений
Коши — Римана. Поэтому мы можем утверждать:
Векторное поле
^х=р{х. у). \)y = q{x. у)
не имеет в односвязной области О ни источников, ни вихрей
в том и только в том случае, когда функция
f{x-\-iy)=p{x, y) — iq(x, у)
является регулярной в области G функцией.
Из результатов § 3 гл. 1 следует, что для безвихревого
векторного поля в односвязной области О компоненты ρ vi q являются
частными производными от некоторой функции и{Ху у):
р{х, y) = u'j,{x, у), q{x. у) = и\{х, у\
Эта функция ?/(л, у) носит название потенциала скоростей.

^ 12] ТЕЧЕНИЯ ЖИДКОСТИ 363
Аналогично для векторного поля, не имеющего в односвязной
области Q источников, существует функция v(Xy у), для которой
v'jc(х. У) = ~д(х^ УУ Vy (χ, у) = р(χ, у).
Эта функция носит название функции тока.
Если векторное поле не имеет в односвязной области О ни
вихрей, ни источников, то суидествуют и потенциал скоростей, и
функция тока. При этом функция
F {х 4- (у) = η (X, у) -\- ίν (χ, у)
является регулярной в области О функцией. Функцию F {ζ) называют
в этом случае комплексным потенциалом векторного поля.
Из сказанного следует, что для векторного поля, не имеющего
ни вихрей, ни источников, потенциал скоростей и функция тока
являются сопряженными гармоническими функциями.
В § 7 мы отмечали, что семейства линий уровня
и{х. 3/) = const, v{x, 3^) = const
образуют взаимно ортогональные семейства кривых. Линии т; = const
называются линиями тока (по этим линиям перемещаются частицы
жидкости), а линии гг = const называются эквипотенциальными
линиями.
Векторы нашего векторного поля очень удобно записывать с
помощью комплексных чисел (отвечающих этому вектору на плоскости).
При такой записи
Ь (X, у)=р (X, у) + iq (х, у).
и если F {ζ) — комплексный потенциал нашего векторного поля, то
Ь(х, y) = F{x-{-iy).
Отметим еще выражения для потока
S=\ — qdx-\-pdy = \m\^F' {z)dz
с с
^ для циркуляции
l^=^pdx-\-qdy = 'R^Q\F{z) dz.
с с

Глава четвертая
АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ
И РИМАНОВЫ ПОВЕРХНОСТИ
В этой главе мы будем говорить об естественном логическом
развитии понятия регулярной функции и о трудностях, которые
возникают на этом пути. Эти трудности состоят в том, что при
продолжении регулярной функции за пределы первоначальной области
ее определения мы сталкиваемся с неизбежностью появления
многозначных функций. Познакомившись с характером и причинами этой
многозначности, будем говорить о представлении многозначных
аналитических функций как однозначных функций, но определенных не
на плоскости, а на некоторой поверхности. Такого рода поверхности
получили название римановых поверхностей, поскольку идея их
употребления была впервые высказана Риманом.
§ 1. Общие принципы аналитического продолжения
Пусть мы имеем функцию /о (.г), регулярную в области G. Нас
будет интересовать вопрос, нельзя ли расширить область
определения этой функции, сохранив, разумеется, регулярность. При этом
прежде всего мы должны решить вопрос, как много может быть
функций с более широкой областью определения, совпадающих с
функцией /о(^) в ее области определения. Для удобства введем следую-
ш.ее понятие.
Пусть функция /о {ζ) регулярна в области Gq. Функцию /j (г),
регулярную в области Ol, содержащей область Оо, будем называть ана-
литияеским продолжением функции f^{z) на область Οχ.
Следующая теорема, носящая название принципа аналитического
продолжения, имеет основополагающее значение для построения
понятия аналитической функции:
Теорема 1. Если аналитическое продолжение регулярной
функции в данную более широкую область определения возможно,
то оно возможно лишь единственным образом.
Действительно, пусть Д (ζ) и g^ (ζ) — два аналитических
продолжения функции foiz), регулярной в области Oq, в одну и ту же об-

^ 1] ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ АНАЛИТИЧЕСКОГО ПРОДОЛЖЕНИЯ 365
ласть GiZ^Qq. Тогда функция ^iz)=fi{z)~gi{z) регулярна в
области öl и равна нулю в области Gq. По теореме единственности (см.
теорему 2 § 2 гл. 3) эта функция обязана быть тождественно равной
нулю, т. е, fi(z)^gi{z). Теорема доказана.
В связи с доказанной теоремой, естественно, возникает желание
продолжить заданную регулярную функцию /о(^) на возможно более
широкую область. Это желание, как легко догадаться,
неосуществимо, поскольку множество всех областей нельзя упорядочить с
помощью соотношений вложения. Попытка аналитически продолжить
заданную регулярную функцию всюду, куда это возможно, приведет,
вообще говоря, к многозначности.
Нам понадобится несколько расширить понятие аналитического
продолжения, введенное выше.
Пусть функция fa (ζ) регулярна в области Gq, а функция fi{z)
регулярна в области Gi, и пусть пересечение областей Go и Gi также
является областью Go (т. е. их пересечение состоит из одного
связного куска). Если в области Go функции /0B") и fi(z) совпадают,
то мы будем говорить, что функция /j (ζ) является аналитическим
продолжением функции fo{z) на область Gj.
Легко видеть, что и при таком определении аналитическое
продолжение функции fo{z) на область Gi из области Gq единственно
(если оно вообще существует).
Введем и еще более общее понятие аналитического продолжения
по цепочке областей:
Пусть области Go, Gp ... , G^ обладают следующим свойством:
области G^ и G.^^i (v = 0, 1, ... , η—1) имеют своим пересечением
область Gv; и пусть в каждой из областей G^ определена регулярная
в этой области функция f^{z). Если в каждой области Gv (ν =^-О, 1,...
... , η—1) имеет место равенство /Дг) =/^^i(г), то функция fn{z)
называется аналитическим продолжением функции fQ (ζ) по цепочке
областей Gq, Gj, ... , Gn-
Опять-таки легко видеть, что аналитическое продолжение дан-
ной регулярной функции по данной цепочке областей возможно
лишь единственным образом (если, конечно, оно вообще
возможно).
Ясно, что при продолжении данной регулярной функции по
цепочке областей, мы можем вернуться после некоторого числа
переходов в исходную область. При этом, вообще говоря, мы можем
получить другую регулярную функцию.
Практически аналитическое продолжение мы всегда выполняем
по некоторой цепочке областей, но это понятие еще не вполне
Удобно для получения ясного представления о характере
многозначности, возникающей при аналитическом продолжении. Наиболее

366 АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ И РИМАНОВЫ ПОВЕРХНОСТИ \Гл. 4
удобным ДЛЯ ЭТОЙ цели является понятие аналитического
продолжения по кривой.
Пусть дана произвольная непрерывная кривая С и пусть на этой
кривой определена функция φ (С) (функция должна быть определена
именно на кривой, а не на множестве, состоящем из точек этой
кривой; это означает, что при вторичном попадании точки кривой в одну
и ту же точку плоскости значения функции не обязаны совпадать).
Если с каждой точкой С кривой С связана функция f^(z),
регулярная в некоторой окрестности точки С и совпадающая с функцией
ψ (ζ) на некотором участке кривой С, содержап1ем точку С то мы
будем говорить, что функция φ (С) доставляет нам аналитическое
продолжение функции fz^ {ζ) {ζ^ — начало кривой С) в конечную
точку кривой С. Результатом аналитического продолжения по
кривой С будет функция fz* {z\ где г* — конечная точка кривой С.
Как и раньше, легко видеть, что аналитическое продолжение
по кривой возможно (если возможно) единственным образом.
Из единственности аналитического продолжения следует, в
частности, что аналитическое продолжение функции, регулярной в
некоторой области, по любой кривой, лежащей в этой области,
возможно и что в результате продолжения мы получаем ту же
самую функцию.
Для аналитического продолжения заданной регулярной функции
вдоль заданной кривой можно предложить следующий способ
(пригодный, правда, лишь теоретически).
Разлагаем заданную регулярную функцию /^(ζ)=/ζ^{ζ) в
окрестности точки Zq (начала заданной кривой С) в ряд Тейлора. Этот ряд
сходится в некотором круге \z — ^о I <С Ρο· Обозначим через Со
связный участок кривой С, содержащий точку Zq и лежащий в круге
\z — ^01 <С Ρο· 1^^^ каждой точки С ^ Со возьмем в качестве функции
fr (ζ) ряд Тейлора для функции fz^iz) в окрестности точки ^ = С
Конец дуги Со обозначим через z^. Могут представиться две
возможности: или ни один из рядов Тейлора /^ {ζ), С ^ Со не имеет точку ζ^
внутри своего круга сходимости, или для одного из этих рядов
точка Ζγ лежит внутри круга сходимости. В первом случае
аналитическое продолжение по кривой С дальше точки Ζγ невозможно. Во
втором случае можем взять в качестве fz^ {ζ) сумму того ряда f^ (г),
который сходится в точке Ζχ. После этого повторяем все наши
рассуждения с заменой точки ζ^ на Ζχ. Если продолжение вдоль
кривой С возможно, то мы дойдем таким образом до ее конца в
конечное число шагов.
Описанный процесс аналитического продолжения практически не
употребляется из-за крайней громоздкости. В любых конкретных
задачах всегда находятся более эффективные, но и более
специализированные способы аналитического продолжения.

§ 11
ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ АНАЛИТИЧЕСКОГО ПРОДОЛЖЕНИЯ 367
Аналитическое продолжение вдоль кривой можно рассматривать
как предельный случай аналитического продолжения по цепочке
областей: вместо конечной цепочки областей и функций, регулярных
в этих областях, берется непрерывное семейство и тех и других.
Впрочем, из описанного способа аналитического продолжения вдоль
кривой видно, что продолжение вдоль кривой всегда сводится к
продолжению по конечной цепочке областей.
Теорема 2. Пусть кривая С соединяет точки z^ и ζ*. Если
вдоль кривой С возможно аналитическое продолжение функции
Д (ζ), то возможно и аналитическое продолжение этой функции
по любой кривой С\ лежащей достаточно близко к кривой С и
имеюш,ей те же начало и конец.
Для доказательства заменим аналитическое продолжение функции
f^^ B^) вдоль кривой с аналитическим продолжением этой функции
по цепочке областей Go, Gi, ... , G^ (область Go содержит точку z^,
а область Gn — точку г*). В пределах каждой из областей мы можем
произвольно деформировать участок кривой С, лежаи1.ий в этой
области, не меняя результата аналитического продолжения по этому
участку кривой, а значит, и по всей кривой. Деформациями каждого
отдельного участка мы можем превратить кривую С в любую,
достаточно близкую к ней кривую С.
Теорема 3. Если при непрерывном изменении кривой (с
фиксированным началом и концом) аналитическое продолжение данной
функции вдоль этой кривой все время остается возможным, то
результат продолжения не меняется.
Для сокращения записи наших рассуждений будем на время
доказательства называть две кривые (с одинаковыми началом и концом)
экеивалентнымиу если результат продолжения данной функции вдоль
этих кривых один и тот же. Возьмем две кривые Со и Q из
множества кривых, упомянутых в теореме. Согласно предположению
теоремы существует семейство кривых С„, 0^а=^1, непрерывно
зависящих от параметра а, которое обладает следующими свойствами:
1. Все кривые С„ имеют одинаковые начало и конец.
2. При а = 0 кривая С„ обращается в кривую Со, а при α=1 —
в кривую d.
3. Аналитическое продолжение данной функции по каждой из
кривых С„, 0^а<1, возможно.
Докажем, что все кривые С^, Ο^α^Ι, эквивалентны. Из
теоремы 2 следует, что при достаточно малом а^О кривые С^
эквивалентны кривой Со- Обозначим через а* точную нижнюю границу
тех значений а, О ^ α ^ 1 (если они существуют), для которых кри-
^^1!^ ^а не эквивалентна кривой Со- В силу только что сказанного
^ ^ 0. Кривая Ca* не может быть эквивалентна кривой Со, и не мо-
^ет быть не эквивалентна ей, так как в силу теоремы 2 все кривые

368 АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ И РИМАНОВЫ ПОВЕРХНОСТИ [Гл. 4
С^ при а, достаточно близких к а*, обладали бы тем же свойством,
что и сама кривая Ca*, что невозможно в силу определения числа а*.
Следовательно, число а* не существует, и наше утверждение об
эквивалентности всех кривых Q, 0^а<^1, доказано. Поскольку Q и
Ci — произвольные кривые из множества кривых, упомянутых в
теореме, доказана и сама теорема.
Доказанная теорема имеет исключительно важное значение для
теории многозначных аналитических функций. Обычно используется
ее частный случай (равносильный, впрочем, самой теореме), носянхий
название теоремы о монодромии:
Теорема 3*. Пусть G— односвязная область, и пусть /о {ζ) —
функция, регулярная в некоторой точке ζ^ ^ G. Если функцию
fo(z) можно аналитически продолжить по любой кривой (с
началом в точке Zq), не выходящей за пределы области G, то
существует регулярная в области Q функция, совпадающая с функцией
f^{z) в окрестности точки z^.
Утверждение теоремы о монодромии означает, что результат
аналитического продолжения функции f^{z) в каждую точку области G
не зависит от пути продолжения, если только этот путь не выходит
за пределы области G. Поскольку все кривые с одинаковыми
началом и концом, лежащие в односвязной области G, можно непрерывно
деформировать друг в друга, не выходя за пределы этой области,
этот факт немедленно вытекает из теоремы 3.
Теорема о монодромии дает важное указание на причины
возможной многозначности аналитического продолжения: многозначность
может возникнуть лишь при обходе точек, через которые
продолжение исходной функции невозможно.
§ 2. Понятие аналитической функции. Особые точки
В связи с понятием аналитического продолжения, изложенным
в предыдущем параграфе, нам будет полезно ввести
соответствующую терминологию.
Элементом в точке z^ будем называть функцию, определенную
и регулярную в некоторой области, содержащей точку z^.
Аналитической функцией, порожденной элементом /о {ζ), будем
называть совокупность всех элементов, которые могут быть получены
аналитическим продолжением элемента /о (-2'). Эту аналитическую
функцию мы будем часто обозначать тем же символом /0(^), что и
порождающий ее элемент.
Наши замечания об единственности аналитического продолжения
с помощью термина «аналитическая функция» могут быть
сформулированы так:

^ 2]
ПОНЯТИЕ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ. ОСОБЫЕ ТОЧКИ 369
Если какой-либо элемент аналитической функции
тождественно равен нулю (в его области определения), то и вся
аналитическая функция — тождественный нуль.
Аналитическая функция не является функцией в обычном смысле
этого слова (т. е. законом, ставящим в соответствие каждой точке
некоторого множества, называемого областью определения,
определенное число). Действительно, у аналитической функции не упоми-
паегся область определения, и каждой точке может ставиться в соот-
BeiCTBiie много чисел, так как различные способы продолжения в одну
II ту же точку могут привести к различным элементам.
Заметим, кстати, что хотя число различных элементов
аналитической функции в одной и той же точке может быть бесконечно
(в чем мы убедились на примере функции In г), все же некоторые
ограничения имеются, как показывает следующее утверждение:
Множество различных элементов одной и той эюе
аналитической функции в одной и той же точке не более чем счетно.
Действительно, различные элементы аналитической функции могут
быть получены продолжением исходного элемента. По теореме 2 § 1
результат продолжения по кривой не меняется при достаточно малой
деформации этой кривой. Поэтому мы всегда можем считать, что
продолжение исходного элемента в данную точку происходит по
ломаной с вершинами в точках, имеющих рациональные координаты.
Множество таких ломаных счетно, а потому счетно и множество
элементов, получаемых продолжением по таким ломаным.
В § 3 покажем, что каждую аналитическую функцию можно рас-
сматр1шать как функцию в обычном смысле, но заданную не на
плоское ι и, а на некоторой поверхности. Там мы изберем другой путь
для построения таких поверхностей, но сейчас заметим, что мы могли
бы считать аналитическую функцию однозначной функцией на
множестве, точками которого являются пары, состоящие из точки
плоскости и из кривой, ведущей в эту точку (из фиксированной
исходной точки). При этом пары следует считать различными, если
различны точки плоскости, входящие в эти пары, или если точки
совпадают, но про^должения по кривым, входящим в пары, приводят
ϊ< разным результатам. Иными словами, точкой интересующего нас
множества можно считать пару, состоящую из точки плоскости и из
некоторого класса кривых, ведущих в эту точку. Описание таких
классов кривых равносильно полному описанию характера
многозначности данной аналитической функции. В качестве важного примера
дадим такое полное описание единственной пока хорошо знакомой
нам аналитической функции \ηζ.
В качестве порождающего элемента аналитической функции In ζ
^^озьмем, например, главное значение (In ζ) (а в качестве исходной
точки—точку г=1). Мы знаем (см. § б гл. 2), что каждой точке

370 АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ И РИМАНОВЫ ПОВЕРХНОСТИ [Гл. φ
Ζ ::^0 отвечает бесконечно много элементов аналитической функци«
In Zy имеющих вид
(In ζ) -\- 2кш (k = 0, ±1, ±2, ...).
Легко видеть, что аналитическое продолжение исходного элемента
возможно по любой кривой С, не проходящей через точку ζ ==0^
Это продолжение дается формулой
г*
1
Действительно, в качестве семейства функций f^{z) можно взять
'< '
где Cj, — отрезок кривой С от точки 1 до точки С ^ С. Легко дать
полное описание класса кривых С {ζ*, k), вдоль которых
продолжение главного значения In ζ из точки 1 в точку г*, возможно, и
приводит к результату {\nz'^)-\-2k^:
Кривая С принадлежит классу 0B"*, /г), если замкнутая
кривая С*, составленная из кривой С и из произвольной кривой,
идущей из точки г* в точку 1 и не пересекающей отрицательной
части действительной оси, удовлетворяет условию
С*
Это условие на кривую С* имеет чисто геометрический смысл:
кривая С* обходит точку z = 0 ровно k раз в положительном
направлении.
Нашему исследованию многозначности логарифма можно придать
следующую наглядную геометрическую картинку, описывающую эту
многозначность.
Возьмем бесконечное множество экземпляров плоскости ζ,
разрезанной по отрицательной части действительной оси, и присвоим им
номера О, ±1, ±2, ... Каждый экземпляр имеет * два края разреза
по отрицательной части действительной оси — верхний и нижний.
Приклеим нижний край разреза /г-го экземпляра к верхнему краю-
разреза (k—1)-го экземпляра (^=:0, ±1, ...). В результате такога
склеивания получим нечто вроде бесконечной винтовой поверхности.
Эта поверхность по отношению к кривым, обходящим точку ^ = 0^
ведет себя так же, как и логарифм. Именно, если мы будем двигаться
по построенной поверхности из какой-либо точки нулевого листа
вдоль кривой, обходящей точку ^:=0 ровно k раз в положительном·
направлении, мы придем на k-Pi лист построенной поверхности.
Поэтому, если с точкой ζ = а на к-м листе связать значение логарифма^

^2] ПОНЯТИЕ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ. ОСОБЫЕ ТОЧКИ 371
павное {\па)-\-2кт^1у мы сможем рассматривать \п ζ как однозначную
функцию на построенной поверхности.
Построенная поверхность называется римановой поверхностью
логарифма.
В дальнейшем покажем, что такого рода римановы поверхности
можно строить для любых многозначных аналитических функций, но
сейчас займемся другим чрезвычайно важным понятием — понятием
особой точки аналитической функции.
Прежде всего определим общее понятие особой точки *).
Пусть даны исходный элемент аналитической функции fz^ {ζ)
в точке 2^0 и кривая С, ведущая из точки 2Ό в точку а. Будем
говорить, что пара (а. С) определяет особую точку аналитической
функции (полученной продолжением исходного элемента Д^ {ζ)), если
элемент ΐζΛ^) МОЖНО аналитически продолжить по кривой С в любую
ее точку, кроме конечной, а в конечную точку продолжить нельзя.
При этом две пары (а, Q) и (а, Q) считаем определяющими одну и
ту же особую точку, если элементы Д^ {ζ) и Д^ W' отвечающие
точкам ^1 G Ci и 2^-2 ^ Q. достаточно близким к общей конечной точке а
обеих этих кривых, можно получить друг из друга аналитическим
продолжением по некоторой кривой, лежащей в круге \z — α |<^ρ,
ρ ζ= max {\ζι — α |, \ζ^ — α\].
Строение произвольной особой точки аналитической функции
можег быть очень сложным. Мы ограничимся рассмотрением наиболее
простого класса особых точек — изолированных особых точек.
Будем говорить, что пара (а. С) определяет изолированную
особую точку аналитической функции, если элемент Д^ {ζ), где точка
-г] ^ С достаточно близка к конечной точке а кривой С, можно
аналитически продолжить по любому пути, лежащему в кольце
0< г-а|<р, r^ = \z,-a\.
При изучении изолированных особых точек аналитической
функции (да и во многих других случаях) удобно пользоваться понятием
ветви аналитической функции:
Совокупность всех элементов, полученных продолжением
исходного элемента Ло(^) по кривым, не выходящим за пределы данной
области G, будем называть ветвью аналитической функции в
области G.
Если при этом продолжение элемента f^^ {ζ) возможно по любой
кривой, лежащей в области G, мы будем называть для краткости
ветвь аналитической функции в области G функцией^ аналитиче-
-ской в области G.
^') Приводимое определение в существенных чертах совпадает с
определением особой точки, предложенным Бибербахом (см. его учебник Lehr-
^^uch der Funktionentheorie, В. I, Berlin, 1921 или его статью в энциклопедии
"i^ncyclopädie d^r math. Wiss., И С 4, S. 401—404).

372 АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ И РИМАНОВЫ ПОВЕРХНОСТИ [Гл, 4
Согласно теореме о монодромии функция, аналитическая в
односвязной области, регулярна в этой области.
Среди изолированных особых точек наиболее простыми являются.
изолированные особые точки однозначного характера. Эти точки
характеризуются тем, что элемент Д^ {ζ) в точке Ζχ, достаточно
близкой к конечной точке а кривой С (пара (а, С) определяет нашу
особую точку), можно продолжить на все кольцо О <^ | ^ — ^1<Ср>
ρ znr 1 ^j — α I как регулярную функцию.
Таким образом, изолированную особую точку однозначного
характера всегда можно рассматривать как изолированную граничную·
точку области регулярности некоторой регулярной функции (ветви
нашей аналитической функции). Мы знаем (см. § 2 гл. 3), что
функцию /(-г), регулярную в кольце О <^ ] г — α | <^ р, можно разложить
в этом кольце в ряд Лорана
со
nz) = ^c„{z-af @<μ-αΚρ)· О)
— оо
Если в разложение A) в окрестности точки а входит лишь конечное
(но положительное) число членов с отрицательными степенями ζ — α,
особая точка а называется полюсом функции f{z). Если же
разложение A) содержит бесконечное число членов с отрицательными
степенями ζ — α, точка а называется существенно особой точкой
функции f{z). (Если членов с отрицательными степенями ζ — а нет,,
то точка а не является особой точкой для функции f{z), так как
функция f{z) аналитически продолжается в точку а с помош.ью
разложения A).)
Таким образом, если точка а является полюсом функции /(г), то
функцию f{z) можно представить в виде
f{z) = g{z)-\-h
где функция g{z) регулярна в точке а (сумма части ряда Лорана
с положительными степенями ζ — а), а функция h (С) является
многочленом от ζ. Степень многочлена h (ζ) будем называть в соответствии
с определением § 2 гл. 3 порядком полюса.
Полюс можно было бы определить любым из следующих свойств:
1. В окрестности точки а функцию f{z) можно представить
в виде
φ(ζ)
f{z)--
(z — а)"
где функция φ (ζ) регулярна в точке а, φ (а) 9^ О, а η — целое
положительное число (порядок полюса).
2. Точка а является изолированной особой точкой регулярной
функции f(z) и f(z)—* сю при ζ—^ а (по любому пути).

г 2] ПОНЯТИЕ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ. ОСОБЫЕ ТОЧКИ 373
3. функция \/f{z) аналитически продолжается в точку а и имеет
в этой точке нуль порядка η (где η — порядок полюса функции f(z)).
Относительно существенно особых точек ограничимся
упоминанием одного свойства, носящего название теоремы Вейерштрасса:
В окрестности существенно особой точки функция f{z)
принимает значения, сколь угодно близкие к любому числу с.
Для доказательства этого утверждения нам достаточно доказать,
что функция ^B') = ;77"г не может быть ограничена в окрестности
точки а. Но если бы эта функция была ограничена, то она имела бы
точку а изолированной особой точкой (или аналитически
продолжалась бы в эту точку). Разлагая эту функцию в ряд Лорана
со
g{z) = ^c,^z-ar @<1г~а|<р),
—СО
мы могли бы написать для коэффициентов этого ряда неравенства
справедливые при любом р<^г (см. теорему 4 § 2 гл. 3). Полагая
ρ —> О, мы видим, что коэффициенты с отрицательными номерами —
нули. Таким образом, из ограниченности функции ^(^) =-^-г^—--
J \Z) -с
следует, что эту функцию можно аналитически продолжить в точку
а. Поэтому функция f{z) = c-] ^ при этом условии будет иметь
в точке а полюс (или будет регулярна). Это противоречие с условием,
что точка а является существенно особой точкой функции /(г),
доказывает теорему.
Перейдем к классификации особых точек, в окрестности которых
функция многозначна. В этом случае выделяемая ветвь уже не будет
функцией, регулярно·^ в кольце 0<^\z — αΙ<^ρ. Она будет
аналитической в этом кольце многозначной функцией.
Пусть функция f{z) является аналитической функцией в кольце
^<^\z — й|<^р (т.е. а11'алитически продолжается по любому пути,
лежащему в этом кольце). Если функция f{z) не является
регулярной в этом кольце, т. е. если существует точка Ζχ из этого кольца
и какой-либо элемент фушсции f{z) в этой точке, который при
аналитическом продолжении по окружности \z — α | = | Zj — а\
(обходимой один раз против часовой стрелки) не возвращается к исходному
значению, то точка а называется изолированной точкой ветвления
для функции f{z).
^'ипичными примерами изолированных точек ветвления могут
служить точка -г;=0 для функции 1п г и точка 2' = О для функции ]/-г.

374 АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ И РИМАНОВЫ ПОВЕРХНОСТИ [Гл. f
Пусть а — изолированная точка ветвления для аналитической ц
кольце 0<^|2' — ß!<Cp функции f{z). Возьмем элемент этой функ^
ции в какой-либо точке Ζγ этого кольца и будем аналитически
продолжать его по окружности \ζ — α\ = \ζχ — а\. Могут представиться
две возможности: или каждый обход окружности приводит к новому
элементу аналитической функции f{z), или после т обходов окруж·
ности (в одном направлении) мы возвращаемся к исходному элементу.
В первом случае точка а называется логарифмической точкой
ветвления 1для функции f{z), а во втором случае точка а называется
точкой ветвления порядка т для функции f{z). Так, например,
точка 2' = О является логарифмической точкой ветвления для функции
\п Zy а точка z = 0 для функции \/^z является точкой ветвления
второго порядка.
Если точка а является изолированной точкой ветвления конечного
порядка для аналитической функции f{z) и если для любого элемента
этой функции, регулярного в области, имеющей точку а граничной
точкой, существует конечный или бесконечный предел \\mf{z\ то
точка а называется алгебраической особой точкой для функции f{z\
В окрестности точки ветвления конечного порядка для функции
можно написать разложение в ряд, аналогичный ряду Лорана.
Теорема 1. Пусть точка z^ является изолированной
точкой ветвления порядка т для функции f{z), аналитической в
жольце О <^ I 2^ — ζ^\<^Γ. Тогда в этом кольце справедливо разло-
.жение
f{z)= 2 Cn{z~z,r, B)
n= — оо
Для доказательства рассмотрим функцию ^(ζ)=/BΌ-|-ζ'"). Легко
видеть, что функция ^(С) является функцией, аналитической в кольце
'0<^ I С| <^г^/'". Покажем, что она регулярна в этом кольце. Для этого
достаточно убедиться в ее однозначности, т. е. показать, что
аналитическое продолжение любого элемента этой функции по любой
замкнутой кривой, лежащей в нашем кольце, возвращает нас к
исходному элементу. Согласно теореме 3 § 1 результат аналитического
продолжения будет одним и тем же для любых кривых (с одинаковым
началом и концом), которые можно непрерывно деформировать друг
в друга, не выходя за пределы кольца. Поэтому мы можем
ограничиться рассмотрением аналитического продолжения по окружности
|ζ|ζ=ρ, 0<^р<^/'^/'". Когда С = р^''Р проходит окружность |С|=р
•один раз в положительном направлении, точка z = ZQ-\-t^=:
= 2Ό-f-f^e^^"^ обходит окружность \z — ζ^\ = ^^ в положительном
направлений т раз. Поэтому аналитическое продолжение функции ^(С)
вдоль окружности |ζ| = ρ, обходимой один раз в положительном нап-
^равлении, сводится к аналитическому продолжению функции f{z)

^ 2] ПОНЯТИЕ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ. ОСОБЫЕ ТОЧКИ 375
ПО окружности \z — 2'о|=р'", обходимой т раз в положительном
направлении. Поскольку точка z^ является точкой ветвления порядка
т Д-^я функции f'{z), последнее продолжение приводит к исходному
элементу. Следовательно, функция ^(С) однозначна (а значит, и регу-^
лярна) в кольце 0<^ | ζ | «С^г^^'". Разлагая функцию ^(С) в ряд Лорана
в окрестности точки С = 0 и выражая функцию f{z) обратно через
функцию ^(С), получаем требуемое разложение B).
С помощью теоремы Вейерштрасса о существенно особой точке
легко доказывается следующее утверждение:
Для того чтобы изолированная точка ветвления z = a
конечного порядка была алгебраической особой точкой, необходимо
и достаточно, чтобы разложение в ряд B) в окрестности этой
точки содержало конечное число членов с отрицательными
степенями ζ — α.
Еще раз подчеркнем, что мы могли говорить об особой точке как
о точке плоскости только потому, что выбрали надлежащую ветвь
всей аналитической функции. Когда мы говорим обо всей
аналитической функции, особую точку следует понимать лишь как пару,
состоящую из точки плоскости и из кривой, ведущей в эту точку. Одной
и той же точке плоскости могут отвечать и точки регулярности
аналитической функции, и особые точки самых различных видов.
Рекомендуем читателю рассмотреть пример
В заключение поговорим о так называемых критических точках.
Пусть функция /(г) регулярна в точке 2Ό. Точка ζ^ называется
критической точкой порядка η для функции /(г), если функция
f {ζ) имеет в точке 2Ό нуль порядка п.
В критической точке ζ^ разложение функции f{z) в ряд Тейлора·
имеет вид
f{z) = f{z,) + (^- ^оГ'^G+01^ A + q (^ - го) +... ).
так что функция f{z)—/(^ό) имеет в критической точке ζ'^
порядка η нуль порядка п-\-\.
Если 2Ό — критическая точка порядка η для функции f{z)y то
в некоторой окрестности этой точки функцию f{z) можно представить
в виде
/(^)=/(^o)+lφωг^ C)
1^Де функция φ {ζ) регулярна в точке 2Ό и φ Bό) = О φ' {ζ^ ^ 0.
Действительно, мы можем положить
^(^z)^(z~z,)\(^^^j^Y^' (\^c,(z-z,)-\-..:f^\

376 АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ И РИМАНОВЫ ПОВЕРХНОСТИ [Гл. 4
1
( -Ljv ( ВЗЯТО любое из возможных значений, а под
символом A -j-'гe^)'^ + ^ понимается функция, регулярная в круге |te^|<^l,
определенная биномиальным рядом. Легко видеть, что при таком
определении функции φ (ζ) равенство C) имеет место.
Из представления C) немедленно выводится следующий результат:
При отображении (,=f(z) угол между двумя кривыми,
выходящими из критической точки порядка п, увеличивается в п-\- \
раз.
Поскольку при отображении w=-^{z) угол между кривыми,
выходящими из точки 2Ό, сохраняется, остается доказать наше
утверждение лишь для отображения ζι = ΐ2^'^"^^ (в точке w = Qi), Более того,
достаточно выяснить, как меняется угол между лучами, выходящими
из точки w = 0, так как угол между кривыми — это угол между их
касательными. Положим ζι = /?^'^ а w = re^'^. Тогда (при надлежа-
П1ем выборе значений θ и φ)
Из последнего равенства следует наше утверждение.
Заметим, что из представления C) вытекает также, что принцип
сохранения области (см. конец § 2 гл. 2) справедлив и без
предположения о том, что производная регулярной функции,
совершающей отображение, не обращается в нуль. Действительно, и
отображение w = '^{z), и отображение C=/BO)-|-ie^" переводят область
в область. Поэтому тем же свойством обладает и суперпозиция этих
отображений, т. е. отображение ^ = f {ζ).
Критические точки были также исключительными точками и для
теоремы о существовании обратной функции. Оказывается, что если
функция ζ=/(^) имеет точку z^ критической точкой, то обратная
функция имеет точку Cq=/Bo) точкой ветвления.
Теорема 2. Пусть функция ζ,=ζ/(ζ) регулярна в точке ζ^
и имеет ее критической точкой порядка п. Тогда существует
функция 2' = ψ(ζ), аналитическая в некотором кольце 0<^!С — Со К!!
<^р (здесь Cq=/Bo)), обратная к функции ^ = f {ζ), т. е.
удовлетворяющая соотношению
/(ψ(Ο)ΞΞς
При этом точка Со будет для срункции ψ (С) изолированной
точкой ветвления порядка л-[- Ь " ^ тому же алгебраической особой
точкой.
Для доказательства рассмотрим уравнение

_ 3] РИМАНОВЫ ПОВЕРХНОСТИ 377
с помощью представления C) это уравнение можно записать в виде
1
(С-СоГ + ^ = ТD D)
Обозначим через l{w) функцию, обратную к функции т = (^(г) (эта
функция существует и регулярна в точке w = 0 согласно теореме
§ 2 гл. 2, так как φBΌ) = 0, ψ'(Zq) ^ 0). Тогда уравнение D) можно
заменить равносильным ему равенством
1
^ = Ц(С-СоГ + 0.
Отсюда мы уже непосредственно получаем наше утверждение.
Говоря об особых точках, мы все время считали соответствующие
точки конечными точками комплексной плоскости. Не составляет
особого труда перенести все сказанное и на случай, когда
интересующая нас точка является бесконечно удаленной. Простейший способ
для такого перенесения состоит в следующем. Полагаем z = l/z'^ и
вместо функции f{z) в окрестности точки z==oo рассматриваем
функцию g(z"^) = f 1--^\ в окрестности точки 2'* = 0.
§ 3. Римановы поверхности
В предыдущем параграфе мы определили понятие аналитической
функции, следуя идее Вейерштрасса. Определенное нами понятие очень
далеко отходит от обычного понятия функции. Однако мы упоминали,
что есть возможность рассматривать аналитическую функцию и как
функцию в обычном смысле, но уже не на плоскости, а на некоторой
поверхности (мы назвали такие поверхности римановыми
поверхностями, но еще не определили это понятие). Для аналитической
функции 1п ζ мы даже построили риманову поверхность. В этом параграфе
определим понятие римановой поверхности для каждой аналитической
функции. Сначала определим более простое понятие римановой
поверхности. Чтобы отличать это понятие от более глубокого понятия,
которое мы рассмотрим немного ниже, будем говорить сейчас о
римановой поверхности в узком смысле слова.
Напомним, что элементом аналь*гической функции в точке Zq
называем функцию, определенную и регулярную в некоторой области,
содержащей эту точку. Два элемента в одной и той же точке Zq
будем называть эквивалентными, если они совпадают в некоторой
окрестности этой точки. Часто элемент в точке Zq отождествляют с
рядом Тейлора в окрестности точки Zq (или с рядом по степеням l/zy
если ^0 = 00). Тогда условие эквивалентности элементов сводится к
тождественному совпадению рядов.

378 АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ И РИМАНОВЫ ПОВЕРХНОСТИ (Гл. *
Пусть нам дана теперь аналитическая функция, т. е. совокупность
всех элементов, которые можно получить из данного исходного
элемента аналитическим продолжением. Точкой римановой поверхности
в узком смысле словам расположенной над точкой z^y будем
называть пару (^0'/о(-^))' где /о (-^) — какой-либо элемент нашей
аналитической функции в точке 2Ό. При этом две пары
(^/о(^))' (^/i(^))
будем считать определяющими одну и ту же точку римановой
поверхности тогда и только тогда, когда элементы /оB') и f\{z) эквивалентны.
Для того чтобы говорить о множестве определенных нами точек
как о поверхности, мы должны ввести на этом множестве систему
окрестностей [U^] (см. § 4 гл. 1).
Окрестностью точки Ро римановой поверхности (в узком смысле
слова), определяемой парой {z^ /ο{ζ)), будем называть множество
точек Р, определяемых парами (ζ, fo(z)), где |С — ^о1<С^> з ε —
произвольное положительное число, обладающее тем свойством, что
функция /о (-^) регулярна в круге \z — ^о I <С ^-
Системой окрестностей [U^] на римановой поверхности будем
считать систему всех окрестностей всех точек римановой поверхности.
Легко проверить, что введенная нами система окрестностей
позволяет рассматривать риманову поверхность как топологическое
пространство (см. § 4 гл. 1). Ясно также, что каждая окрестность
является топологическим образом круга \z — 2Ό|<^ε. Действительно,
точки римановой поверхности, принадлежащие окрестности точки
Л = (^0' /о (-2^))' имеют вид Р = ((:, Л (^)), где
К-^оК
в.
Поэтому между точками этой окрестности и точками круга | С — 2Ό | <^ ε
имеется взаимно однозначное и взаимно непрерывное соответствие
ζ «(С,/о B)).
Наконец, ясно, что определенная нами риманова поверхность является
областью, так как любые два элемента аналитической функции можно
получить друг из друга аналитическим продолжением по некоторой
кривой.
Таким образом, определенная нами риманова поверхность в узком
смысле слова действительно является поверхностью в смысле
абстрактного определения § 4 гл. 1.
Чтобы завершить определение римановой поверхности (в узком
смысле слова), мы должны еще определить понятие тождества двух
римановых поверхностей.
Пусть точка Ρ римановой поверхности определяется парой
{С/0(-2:)). Точку С комплексной плоскости будем называть проекцией
точки Ρ римановой поверхности.

^ 3] РИМАНОВЫ ПОВЕРХНОСТИ 379
Римановы поверхности, получающиеся друг из друга
топологическим отображением, сохраняющим проекции каждой точки, будем
считать тождественными между собой.
Ясно, что при таком определении риманова поверхность отражает
лишь характер многозначности аналитической функции, но не
свойства самой функции. Любые две аналитические функции с одинаковым
характером многозначности имеют тождественные римановы
поверхности.
Попытаемся получить наглядное геометрическое представление
о римановой поверхности аналитической функции. С этой целью
рассмотрим четырехмерное пространство, точки которого {Zy w) задаются
двумя комплексными координатами ζ w w {ί, е. четырьмя
действительными). С каждой аналитической функцией F {ζ) можно связать
ее «график», т. е. двумерную поверхность этого четырехмерного
пространства, состоящую из точек вида {ζ, F{z)\ где F (ζ) — значения
всевозможных элементов нашей аналитической функции в точке ζ.
Эту конкретную поверхность можно считать одной из реализаций
римановой поверхности аналитической функции F{z) при одном
дополнительном условии: в каждой точке различные элементы должны
иметь различные значения. (Пример функции (ζ—1)\ηζ показывает,
что это условие не обязано выполняться для любой аналитической,
функции.) В противном случае некоторые точки четырехмерного
пространства придется считать состоящими из нескольких различных
точек поверхности. Согласно нашей договоренности римановы
поверхности, получающиеся друг из друга топологическим преобразованием,
не меняющим проекции каждой точки, тождественны между собой.
Поэтому мы можем произвольно сплющивать нашу двумерную
поверхность в четырехмерном пространстве по координате w. В результате
такого сплющивания получим поверхность, состоящую из какого-го
количества экземпляров плоскости (точнее, областей плоскости).
Существенно, что при таком сплющивании не могут появиться склад-
ки — окрестность каждой точки должна превратиться в плоский круг.
Такую сплющенную поверхность мы можем пытаться представить
себе даже не в четырехмерном, а в трехмерном пространстве. Один
пример такой римановой поверхности мы уже построили в предыду-
Щем параграфе — риманову поверхность логарифма. Сейчас
рассмотрим еще один пример.
Построим риманову поверхность аналитической функции |/^
Для этой цели проведем в плоскости ζ разрез по отрицательной
части действительной оси и обозначим разрезанную таким образом.
плоскость через G. В области О аналитическая функция у^ распа-
•бается на т регулярных ветвей
2nis
fÄz) = iV^)e~^ (s = 0, 1, ..., /и—1)

380 АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ И РИМАНОВЫ ПОВЕРХНОСТИ [Гл. |
т >—
(здесь (у -г) — главное значение корня; см. § 6 гл. 2). При
сплющивании «трафика» функции у ζ каждая из регулярных ветвей даст нам
один экземпляр области G. Это означает, что часть римановой поверх-
т.—
ности аналитической функции ух, лежащая над областью G,
представляет собой стопку из т экземпляров этой области. Добавляя к
этой стопке точки римановой поверхности, лежащие над
отрицательной частью действительной оси, получаем какое-то соединение листов
этой стопки, и мы должны выяснить какое. Для решения этого
вопроса воспользуемся тем, что регулярные ветви /^(^) можно
продолжить по непрерывности на края разреза. Тогда мы сможем
отождествить те точки на краях разрезов, в
которых значения регулярных ветвей одинаковы
ш,—
(для функции у ζ различным элементам
отвечают различные значения). Занумеруем наши
экземпляры области G таким образом, чтобы
ветви f^_\{z) отвечал с9-й экземпляр E=1,
2, ..., ηί). Значение ветви Д (ζ) на нижнем
краю разреза в точке 2' = — χ равно
.25-1
πί
е '^ , а в той же точке на верхнем краю
^. 25 + 1
^^^^· ^-^- разреза оно равно е ^ . Поэтому нижний
край ^-го экземпляра следует соединить
с верхним краем (k—1)-го экземпляра при ^ = 2, 3, ..., т, а
нижний край первого экземпляра — с верхним краем л^г-го экземпляра.
Получающаяся поверхность (при т=^2) изображена на рис. 72.
Риманова поверхность, полученная в результате таких
соединений, называется римановой поверхностью корня т-й степени.
Заметим, что в трехмерном пространстве последнее соединение
(первого экземпляра с m-Vi) нельзя осуидествить, не устраивая
самопересечения поверхности. Это не противоречит тому, что риманова
поверхность не имеет самопересечений, так как в четырехмерном
пространстве соединение без самопересечений возможно.
Способ построения римановой поверхности с помощью разрезания
и склеивания плоских областей, описанный нами для случая функции
-\ίζ, применим и в общем случае, причем без особых изменений.
Коротко изложим описание этого процесса для достаточно общего
и в то же время достаточно простого случая.
Пусть F {ζ) — произвольная аналитическая функция, имеющая
только изолированные особые точки. Из каждой точки плоскости,
над которой лежит хотя бы одна особая точка, проведем луч,
идущий из этой точки в бесконечность и не проходящий через проекций

- 3] РИМАНОВЫ ПОВЕРХНОСТИ 381
других особых точек. Плоскость ζ, разрезанная по всем таким лучам,
представляет собой односвязную область О. По теореме о монодро-
мпн аналитическая функция F (ζ) распадается на счетное множество
регулярных ветвей
РДг), 5=1, 2, 3, ...
Каждой ветви F^ (ζ) ставим в соответствие один экземпляр области
Q. Листы полученной стопки экземпляров области О соединяем между
собой по тем же соображениям, что и в случае римановой
поверхности корня. Из общих соображений (проекция окрестности любой
точки должна быть кругом) ясно, что соединяются между собой
противоположные края одного и того же разреза, но, возможно, от
разных листов.
Исходя из описанного способа построения римановой поверхности,
мы можем дать определение римановой поверхности, не зависящее
от аналитической функции:
Римановой поверхностью в узком смысле слова будем
называть поверхность, полученную склеиванием некоторого счетного
множества плоских областей, если при этом склеивании соблюдаются
условия: некоторая окрестность каждой точки римановой поверхности
является плоским кругом; проекции точе-х склеиваемых областей
сохраняются.
На определенных таким образом римановых поверхностях можно
за/^авать функции. Эти функции будут однозначны на римановой
поверхности, но многозначны на плоскости. В частности, на таких
римановых поверхностях можно рассматривать регулярные илп меро-
морфпые функции, которые и будут представлять собой
аналитические функции на плоскости. Исследованию мероморфных функций
на римановых поверхностях такого рода (и даже более общего)
посвящена гл. 9 и отчасти гл. 8. В гл. 8 докажем следующий замечательный
факт: для каждой римановой поверхности, определенной независимо
от аналитической функции, существует аналитическая функция,
риманова поверхность которой тождественна с данной
римановой поверхностью.
Мы покажем сейчас, что для функций, заданных на римановой
поверхности, можно определить интеграл по кривой или по области.
Для этой цели придется ввести еще некоторые понятия.
Мн'ожество римановой поверхности будем называть однолистным^
если в этом множестве нет различных точек, имеюид,их одинаковые
проекции.
Множество римановой поверхности называется компактным,
^слп из любого покрытия этого множества совокупностью
окрестностей из системы {6^^} можно выбрать конечное покрытие.

382 АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ И РИМАНОВЫ ПОВЕРХНОСТИ [Гл.
Лемма 1. Каждое компактное множество римановой
поверхности можно разбить на конечное число однолистных частей
Это утверждение немедленно вытекает из того, что каждая
окрестность точки римановой поверхности в узком смысле слова
является однолистной областью.
Если кривая С лежит в однолистной области римановой поверх-
ности, то интеграл
\f{z)dz
с
определяется так же, как и интеграл по кривой на плоскости. Если
же С—произвольная компактная кривая, то мы разбиваем ее на
отрезки Cj, Q, ..., С^, каждый из коюрых лежит в однолистной
области, и полагаем
\fiz)dz = j] \f^z)dz.
Из определения интеграла по кривой на римановой поверхности
и из теоремы Коши немедленно вытекает.
Теорема 1. Интеграл
\f{z)dz
с
не меняет своего значения при непрерывной деформации кривой
С, оставляющей на месте концы этой кривой, если функция f{z)
регулярна в каждой точке кривой С, а непрерывная деформаций
не выводит кривую за пределы области регулярности функции.
Эту теорему будем называть в дальнейшем теоремой Кошш
Частным случаем теоремы Коши является
Теорема 1*. Пусть функция f{ζ) регулярна в конечной одно^
связной области В на римановой поверхности. Тогда интеграл
от функции f{z) по любой замкнутой кривой, лежащей в этой
области, равен нулю-
Перейдем теперь к более широкому понятию римановой
поверхности (в дальнейшем будем иметь дело исключительно с ним).
Элементом (в широком смысле слова) в точке Zq аналитической
функции будем называть ряд
оо η
2 c^{z — z^)'^ (^о> —оо)
(т — целое положительное число), сходящийся в некоторой
окрестности точки 2Ό (при Zq = oo мы должны заменить ζ — Zq на l/z).
Используя это понятие элемента, получаем более широкое
понятие римановой поверхности. Легко видеть, что риманова поверхность

^31 РИМАНОВЫ ПОВЕРХНОСТИ 383
в более широком смысле отличается от римановой поверхности в
узком смысле слова лишь тем, что к ней присоединены точки, в
которых аналитическая функция имеет полюсы или алгебраические
особые точки.
Нам нужно ещ.е определить окрестность точки римановой
поверхности в широком смысле слова и показать, что получаюпд.ееся
множество с системой окрестностей будет поверхностью в смысле
определения § 4 гл. 1.
Окрестность точки Р^, определяемой парой (Zq, /о (-2')), где
f^{z) — элемент аналитической функции в точке регулярности или
Б полюсе, определяется так же, как и для римановой поверхности
в узком смысле слова. Окрестность точки Р^, определяемой парой
(^(,, /о (<г)), где элемент /о {ζ) имеет точку ζ^ точкой ветвления порядка
т. состоит из точек Р, опрецеляемых парами (ζ, /о (-2')), где С — точка
римановой поверхности функции V <г — <г^, расположенная над кругом
\z — z^\<^г, в котором сходится ряд для элемента f^{ζ).
Таким образом, для римановой поверхности в широком смысле
слова уже не каждая окрестность представляет собой плоский круг.
Некоторые окрестности представляют собой //г-листные круги с
единственной точкой разветвления в центре. Но такой //г-листный круг
можно отобразить на плоский круг с помоп^ью функции у ζ — ζ^,
и это отображение будет топологическим отображением. Поэтому
риманова поверхность в широком смысле слова также будет
поверхностью в смысле определения § 4 гл. 1.
Риманову поверхность в широком смысле слова можно строить
тем же способом, что и риманову поверхность в узком смысле слова
(добавляются лишь точки, в которых аналитическая функция имеет
полюсы или алгебраические особые точки). Можно определить
риманову поверхность и независимо от аналитической функции:
Римановой поверхностью будем называть поверхность, склеенную
Ϊ13 счетного числа плоских областей с соблюдением следующих
условий:
1. При склеивании проекции точек сохраняются (проекцией точки
Т1Л0СКОЙ области мы считаем саму эту точку).
'^. Окрестностью каждой точки римановой поверхности является
<)Днолистный круг или конечнолистный круг с единственной точкой
разветвления в его центре.
Ί очку римановой поверхности, окрестность которой представляет
собой неоднолистный круг, будем называть точкой разветвления
^1'0й римановой поверхности.
^1а римановой поверхности в широком смысле слова тоже можно
задавать функции, в частности регулярные и мероморфные функции.

384 АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ И РИМАНОВЫ ПОВЕРХНОСТИ [Гл. -¾
Однако регулярные и мероморфные функции на римановой
поверхности в широком смысле слова мы определим несколько иным спо-
собом, чем на римановой поверхности в узком смысле слова. Для их
определения введем сначала понятие локальной переменной,
отвечающей данной окрестности из семейства {6^^}·
Если окрестность U^ представляет собой конечный однолистный
круг, то мы будем называть локальной переменной, отвечающей
этой окрестностги величину ^^ = ^ — z^, где ζ — проекция точки
этой окрестности, а ζ^ — проекция центра окрестности. Если 2Ό= со,
1
то мы полагаем τ„ = —.
Если окрестность U^ представляет собой //г-листный круг с точкой
разветвления над точкой Zq, то локальной переменной, отвечающей
этой окрестностги мы будем называть величину т^=у 2' — z^ при
2Ό :7^ оо и величину τ„ = ^^^-^ при Zq= оо.
/"^
функцию F {ζ), определенную на римановой поверхности, будем
называть регулярной {меро морф ной), если в каждой окрестности из
системы {и^} эта функция регулярна (мероморфна) как функция
локальной переменной, отвечающей этой окрестности.
Аналогично вопрос о том, будет ли данная точка полюсом (нулем)
функции F {ζ), определенной на римановой поверхности, и каков
порядок этого полюса (нуля), будем решать в локальных переменных.
Заметим, что данное нами определение означает, что любая
аналитическая функция мероморфна на своей римановой поверхности.
Иными словами, точки разветвления римановой поверхности мы
считаем особенностями только римановой поверхности, а не функции,
определенной на этой римановой поверхности.
Легко видеть, что все сказанное об интегрировании функций на
римановой поверхности в узком смысле остается в силе и для ри-
мановых поверхностей в широком смысле.
В § 9 мы увидим, что можно определить понятие регулярной
и мероморфной функции на поверхностях гораздо более общего вида.
Однако поскольку положение с интегрированием и
дифференцированием функций на этих более общих поверхностях значительно
сложнее, не будем говорить об этих идеях раньше, чем это станет
необходимо.
В заключение докажем две теоремы о римановых поверхностях.
Первая из этих теорем является аналогом теоремы о монодромии
для римановых поверхностей, построенных независимо от
аналитической функции.

^^ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 385
Теорема 2. Если область G на римановой поверхности не со-
держит точек разветвления, а ее проекция — односвязная область^
fjio область О однолистна.
Допустим противное. Тогда в области О найдутся две точки Pj
j^ Р2' различные между собой, но имеющие одинаковую проекцию %
Проекция любой кривой С, соединяющей точки Pj и Рд (и лежащей
в области О), представляет собой замкнутую кривую С\ лежащую
в односвязной области G — проекции области О. Окрестность каждой
точки области О представляет собой однолистный круг, так как по
условию область О не содержит точек разветвления. Поэтому
кривая С идентична кривой С в окрестности каждой точки области О.
Будем теперь деформировать кривую С в области (У. Каждой
деформации кривой С отвечает деформация кривой С. Когда мы
стягиваем кривую С в точку 2Ό, кривая С также должна стянуться
в точку. Следовательно, точки Pj и Р<^ не могут быть различными.
Полученное противоречие доказывает теорему.
Следующей теоремой нам придется пользоваться довольно часто:
Теорема 3. Пусть w = F(ζ) — аналитическая функция. Ото-
бражение, совершаемое этой функцией, устанавливает взаимно
однозначное соответствие между точками римановой поверхности
аналитической функции F (ζ) м точками римановой поверхности
функции φ {w), обратной к функции F (ζ).
Для доказательства заметим, что точки «графика» аналитической
функции F (ζ), как мы видели выше, находятся во взаимно
однозначном соответствии с точками римановой поверхности этой функции
(если соответствующим образом разделить точки, в которых
различные элементы имеют одинаковые значения). Но «график»
обратной функции совпадает с «графиком» самой функции (при этом лишь
меняются ролями координаты ζ и w). Отсюда немедленно вытекает
наше утверждение.
§ 4. Алгебраические функции
Сейчас проиллюстрируем, как применяются общие соображения
предыдущих параграфов на примере исследования так называемых
алгебраических функций.
Алгебраической функцией будем называть конечнозначную
аналитическую функцию, имеющую лишь алгебраические особые точки
и притом в конечном числе.
Теорема I. В каждой точке комплексной плоскоетщ над
которой алгебраическая функция f{z) не имеет особых точек,
^ча имеет одинаковое число различных элементов.
Действительно пусть алгебраическая функция f{z) имеет особые
точки над точками z^, z^, ..., z^ комплексной плоскости. Тогда

386 АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ И РИМАНОВЫ ПОВЕРХНОСТИ [Гл. ^
любой элемент аналитической функции f{z) можно аналитически про*
должить вдоль любой кривой с, не проходящей через точки ^ί, ...,г^
Если в какой-либо дочке ζ^ имеется η различных элементов, то, ана*
литически продолжая по одной и той же кривой эти элементы в
любую точку ζ (отличную от точек Ζχ, ..., ζ^\ мы получим также
различные η элементов. Теорема доказана.
Риманову поверхность алгебраической функции нужно склеивать
поэтому из η листов. В качестве листов можно взять экземпляры
плоскости, разрезанной по линиям, соединяющим все точки 2Ί, ζ^, .,. Zj.^
ι
Рис. 73.
С точкой оо (и не пересекающимся между собой). Действительно,
плоскость с такими разрезами представляет собой односвязную область,
не содержащую особых точек аналитической функции f{z). По
теореме о монодромии каждый элемент аналитической функции f{z)
Рис. 74.
можно аналитически продолжить до функции, регулярной в этой
области. Таким образом, наша алгебраическая функция в плоскости
с указанными разрезами распадается на η различных регулярных
функций. Это и означает, что риманову поверхность этой
алгебраической функции можно склеить из η экземпляров плоскости с
разрезами.
При построении римановой поверхности алгебраической функции
разрезы выбираются с большой степенью произвола (даже
высказанные выше условия на эти разрезы не обязательны). При разных
разрезах схематические римановы поверхности могут иметь совершенно
различный внешний вид (оставаясь, конечно, эквивалентными
относительно топологических преобразований, сохраняиI11их проекцию).
На рис. 73 и 74 приведены два варианта схематической римановой

§ 41 АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 387
поверхности аналитической функции /(^) = |/Ί — ζ^ для двух
различных вариантов выбора разрезов.
Если число листов η равно единице, т. е. если наша
алгебраическая функция однозначна, то особые точки этой функции обязаны
быть полюсами, так как в любой окрестности точки ветвления
функция обязана быть многозначной. В окрестности каждого из полюсов ^χ,
^2, ..., z^ имеет место разложение
fi^) = S. (-^) -}-%{z) (ν == 1. 2. ..., г),
где g^ {ш) — многочлен от своей переменной, а ф^ {ζ) — функция,
регулярная в точке ζ^ (при ^^ = 00 следует заменить ζ — ζ^ на — j.
Разность
№)-2^-Ш
будет функцией, регулярной во всей плоскости (в том числе и в
бесконечности). По теореме Лиувилля (см. § 5 гл. 3) эта функция —
тождественная постоянная (регулярность в бесконечности влечет за
собой ограниченность в окрестности бесконечности). Следовательно,
нами доказана
Теорема 2. Однозначная алгебраическая функция является
рациональной функцией.
Пусть теперь /г^1. Обозначим через d (<г), ..., ^п{^) значения
различных элементов функции f{z) в точке <г, над которой нет
особых точек. Рассмотрим основные симметрические функции от
величин Ci(^), ..., ζ^(^), т. е. функции
9i(z) = Ci(^)+C2(^) + ... + C.(^)>
Ъ (^) = Ci {ζ) С, (ζ) +... + C,.i {ζ) и (ζ).
ψη (ζ) = :., (ζ) ^, (ζ) ,..ίη(ζ).
Функции φι (ζ), ..., ψη{ζ) можно аналитически продолжать по любой
кривой, не проходящей через точки, над которыми лежат особенности
аналитической функции f{z). Так как при аналитическом продолжении
вдоль любой замкнутой кривой такого рода значения ζι (ζ), ..., ζ^^ (ζ)
могут оказаться лишь переставленными, то функции φι (ζ), ..., φ„ (<г)
однозначны. Далее очевидно, что функции (^>k(z) будут
алгебраическими функциями, так как сумма и произведение функций, имеющих
β точке Zg алгебраическую особенность, тоже имеют в этой точке
алгебраическую особенность. Согласно теореме 2 функции φι (-г),...

388 АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ И РИМАНОВЫ ПОВЕРХНОСТИ [Гл. 4
·,··> ψη(^) ЯВЛЯЮТСЯ рациональными функциями. Но значения ^(-г),
t<i(z\ ..., Сл('2')> согласно теореме Виета, являются корнями уравнения
ζ« - φι (г) С-Ч-... + (-1Г φ„ (г) = 0.
Умножив обе части этого уравнения на общий знаменатель
рациональных функций φι (-г), ψ<ί(ζ)^ ..., ψη(^)^ придем к уравнению,
коэффициентами которого являются многочлены. Тем самым доказана
Теорема 3. Значения алгебраической функции
удовлетворяют алгебраическому уравнению, т. е. уравнению
Ро ω С +Л (г) ζ"-» ■}-...-\-Рп (Ζ) = О, A)
где Pq(z), pi(z)y,,,f Ρη(ζ) — многочлены от ζ, не имеющие общего
делителя^
Замечание. Уравнение A) неприводимое т. е. его левая часть
не может быть представлена в виде произведения двух многочленов
от ζ и ζ, каждый из которых отличен от тождественной постоянной.
Действительно, допустим противное. Тогда уравнение A) можно
будет записать в виде Fi (<г, С) F^^{z,Q = 0, где Fi{z,Q и F^{z,Q —
многочлены от <г и С, не сводящиеся к тождественным постоянным.
Пусть BΌ, Со ('2')) — точка римановой поверхности (в узком смысле
слова) нашей алгебраической функции. Из равенства Ρχ (г. Со {ζ)) X
X/^2 ('2', Со ('2')) = О, справедливого в некоторой окрестности точки 2Ό,
видно, что хотя бы один из сомножителей Ρχ (<г. Со {ζ)) или /^2 {ζ, Со {ζ))
обращается в этой окрестности в нуль на бесконечном множестве
точек, имеющем предельную точку, лежащую в этой окрестности.
Тогда этот множитель (для определенности F\ {ζ, Со {ζ))) будет по
теореме единственности равен нулю при любых продолжениях, т. е.
Ρ\{ζ, f{z))^0. Это означает, что уравнение Fi{z, Q = 0 должно
удовлетворяться всеми значениями Ci {z)y С2 {z)y..., С^^ (<г) аналитической
функции f{z) в точке ζ. Следовательно, функция Fx{z, С) как
многочлен от С должна иметь степень не ниже /г, и из равенства
ΡΛζ, QF,(Zy Q=Po{z)C-\-p,(z)C~' + ...+Pn(z)
мы видим, что множитель Ρ^{ζ, С) не будет зависеть от С. От ζ он
также не может зависеть, так как многочлены р^ (ζ) по условию
не имеют общего делителя. Таким образом, функция F^ (ζ, С) является
тождественной постоянной. Полученное противоречие со сделанным
допущением доказывает наше утверждение.
Докажем теперь теорему, обратную к теореме 3.
Теорема 4. Корни Ci(ζ), С2(z)y ...» С^(-2') неприводимого
алгебраического уравнения A) при любом ζ являются значениями
одной и той же алгебраической функции.
При любом Zy отличном от корней многочлена jt7oB'), уравнение A)
имеет η корней. Среди этих корней будут равные только в случае,

^ 4] АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 389
когда ζ является корнем дискриминанта уравнения A). Известно *),
что дискриминант уравнения A) — это многочлен, который для
неприводимого уравнения отличен от тождественного нуля. Таким образом,
для всех <г, за исключением конечного числа точек (нулей
многочлена р^{А и нулей дискриминанта) уравнение A) имеет η различных
корней
Возьмем точку ζ^, отличную от всех исключительных точек, и
обозначим через Со оДин из корней уравнения A) при ζ = 2Ό. По теореме
о неявной функции (см. § 2 гл. 2) существует функция С (ζ),
регулярная в точке 2Ό, для которой CBo) = Co и
Р, ω [С (^))^^ + ^^1 {Z) [С {ζ)γ-' +... -1-;,^^) = О B)
для всех ζ из некоторой окрестности точки ζ^ (теорема о неявной
функции применима, так как из отсутствия кратных корней у
уравнения A) при 2' = 2'о следует, что производная левой части
уравнения A) по ζ при <г = <го, ζ = ζο отлична от нуля). По теореме
единственности равенство B) сохраняет силу и для любых продолжений
функции С(<г). Ясно, что аналитическое продолжение функции С(<г)
возможно по любой кривой, не проходящей через исключительные
точки (в силу той же теоремы о неявной функции). В результате
аналитического продолжения функции С(<г) получим аналитическую
функцию (для которой сохраним то же обозначение), все значения
которой удовлетворяют уравнению A). Отсюда следует, в частности,
что эта аналитическая функция будет не более чем я-значной.
Докажем, что все особенности аналитической функции С(<г) являются
алгебраическими особыми точками.
Интересующими нас особенностями функции ζ {ζ) могут быть лишь
упомянутые выше исключительные точки. Пусть ζ* — одна из них
(для определенности предположим, что ζ* φ оо; для случая, когда
^* = схэ, рассуждения проводятся совершенно аналогично). Нам
достаточно доказать, что функция η (ζ) = (^ — 2'*)^С(<г) при достаточно
большом k стремится к нулю при ζ —* ζ*. Действительно, тогда из
конечнозначности функции η {ζ) (и из того, что особые точки являются
изолированными) будет следовать, что точка ζ^ является
алгебраической особой точкой для функции η (<г), а следовательно, и для функ-
Функция η (^) = (-г — -г*)* С B'), как нетрудно убедиться,
удовлетворяет уравнению
η- + (^_^*)^£ΐ|1η-ΐ^-... + (^_^*)«^^ C)
При достаточно большом k все коэффициенты этого уравнения (кроме
'коэффициента при η'*) стремятся к нулю при ζ — ζ^. Но тогда и все
) См., например, А. Г. К у ρ о ш, Курс высшей алгебры, 1965.

390 АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ И РИМАНОВЫ ПОВЕРХНОСТИ [Гл. 4
корни ЭТОГО уравнения стремятся к нулю при ζ — ζ*. Действительно,
из равенства
получаем оценки
hr^lr^rZ l«vl при hi^i,
v = l
η
hr<2|aj при |η|<1,
ν = 1
ИЗ которых вытекает, что
hi<max{2 |α,|, B | ajf}.
v = l v==l
Отсюда непосредственно видно, что все корни уравнения стремятся
к нулю, когда стремятся к нулю коэффициенты.
Следовательно, мы доказали, что аналитическая функция ζ (ζ) имеет
только алгебраические особые точки и притом в конечном числе,
т. е. что С (ζ) — алгебраическая функция. Эта функция не может при*
нимать значения, отличные от корней уравнения A). Если бы она
принимала не все значения корней уравнения A), а лишь т<^п
из них (хотя бы в одной точке, над которой нет особых точек), то
она была бы /w-значной алгебраической функцией. Согласно теореме ä
она удовлетворяла бы уравнению
vi {ζ) г -\-pt {ζ) r-1 -1- . .. -f;,* (ζ) = 0.
Левая часть этого уравнения была бы делителем левой части
уравнения A), что невозможно, поскольку уравнение A) неприводимо.
Тем самым теорема доказана.
Пусть С(<г)—некоторая алгебраическая функция. Каждая функция
вида R{Zy ζ (-г)), где R — рациональная функция своих переменных^
очевидно, однозначна на римановой поверхности аналитической
функции С(<г) и имеет на этой римановой поверхности лишь конечное
число полюсов. Справедливо и обратное:
Теорема 5. Любая аналитическая функция w(ζ),
однозначная на римановой поверхности алгебраической функции С(<г) и не
имеющая на этой поверхности иных особых точек, кроме
конечного числа полюсов, имеет вид
r0(z)=R(z, ζ (^)),
где R—рациональная функция своих переменных.
Пусть η — число листов римановой поверхности алгебраической
функции С (г). Обозначим через Wi(z), ..., Wn(z) — значения,
принимаемые аналитической функцией w{z) в точках римановой поверхности

^41 АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 391
функции С (-г), расположенных над точкой ζ. Образуем функции
Wx{z)-{-,,,-{-Wn {ζ) = φο {ζ),
^1 (^) Ιι{ζ)-{-.,,-{-Wn {ζ) ζ„ {ζ) = φι {ζ),
^1 {Ζ) [Ci {Ζ)Γ' 4-.. · + ^Л^) κ. {Ζ)Γ' = φ.-ΐ (^),
D)
где U{z)y ..., ζ/ζί-^^) — значения, принимаемые функцией ζ (г) в
соответствующих точках римановой поверхности, расположенных над
точкой Ζ. Как и выше, доказывается, что функции φοί-^), ...,9^-1(-2^) —
рациональные функции ζ. Если рассматривать равенства D) как
систему линейных уравнений для Wi (-г), ..., w^ (г), то определитель
этой системы равен квадратному корню из дискриминанта
уравнения F {ζ, 0 = 0, которому удовлетворяет наша алгебраическая
функция С B"). Как мы з^же отмечали, известно, что этот дискриминант
является многочленом, отличным от тождественного нуля. Разрешим
систему D) относительно Wi {ζ). Согласно правилу Крамера
где D(Ci, ..., ζ„) — определитель системы D), а Di{Zy С2, ..., C„) —
определитель, получающийся из него заменой элементов первого
столбца (т. е. 1, Ci B^),..., С"~ B)) на φοB),..., φ^,,ιί-ε). Легко видеть,
что отношение
является симметрической функцией Сд» Сз» · · ·» С^ (и числитель и
знаменатель меняют знак, если какие-либо ζ^. и ζ^ поменять местами).
Кроме того, это отношение является, очевидно, рациональной
функцией от Ci, Сз, ..., ζ„ и от Ζ. Рациональные симметрические функции
<^'г ^2) Сз' ·.., С« выражаются рациональным образом через основные
рациональные функции от С^^ Сз> ···> С^ т. е. через коэффициенты
Многочлена по С:
ΡB, о=(с-сп^))... (С-ел^)).
Но этот многочлен обязан совпадать с многочленом
F{z, ζ) _(ζ~ζ,(^)) ... (ζ·~ζη{ζ))
ζ-ζ, (^) — C~Ci(^)
коэффициенты которого являются рациональными функциями от ζ и ζ.
Следовательно, интересующее нас отношение выражается рациональным
<^бразом через ζ и ^(^). Таким образом, wi{z) = R{z,:,i B)), где R —
рациональная функция своих переменных. По теореме единственности
отсюда вытекает, что и w{z)== R{Zy ί{ζ)). Теорема доказана.

392 АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ И РИМАНОВЫ ПОВЕРХНОСТИ [Гл. 4
§ 5. Принцип симметрии Римана — Шварца
В § 1 мы много говорили об общих идеях аналитического
продолжения. Сейчас мы изложим один конкретный прием, часто
употребляемый для построения аналитического продолжения. Конечно, этот
прием применим далеко не во всех случаях, но зато с его помощью
аналитическое продолжение строится исключительно просто. Прежде
чем сформулировать этот прием, докажем одну простую теорему.
Теорема 1. Пусть области G и G\ не имеют общих точек
и граничат друг с другом по некоторой кусочно-гладкой кривой L·
Пусть, далее, функции f{z) и f\{z) регулярны в областях Q и 0^
соответственно и непрерывны в замыканиях этих областей.
Если значения функций f(z) и fi(z) на кривой L· совпадают,
то функция /ι {ζ) является аналитическим продолжением
функции f{z) на область G\ (и наоборот).
Для доказательства обозначим через G* объединение областей Q
и Gl, а также кривой L, являющейся общей частью границ этих
областей. Через F {ζ) обозначим функцию, определенную в
замыкании G* области G* равенствами
F{z)=f{z) {ζ ^01 F{z) = h{z) (^eöi)
(эти равенства непротиворечивы, так как на общей части границ
областей G и Gi значения функций f{z) и fi{z) совпадают).
Рассмотрим функцию
dG*
'^'Ut
(до* — граница области G*). Согласно теореме 2 § 7 гл. 2 эта
функция регулярна в области G*.
С другой стороны, если точка ζ не лежит на кривой L, то,
принимая во внимание определение функции F (ζ), получаем, что
до dOi
(мы добавили два интеграла по кривой L, проходимые в различных
направлениях). При ζ ^G первый интеграл в правой части равенства A)
равен f{z) согласно интегральной формуле Коши, а второй — нулю
по теореме Коши. Аналогично при ζ ζ^Ογ первый интеграл равен
нулю, а второй—f\{z). Следовательно,
Φ{ζ) = Ε{ζ) {zeQ> ^Göi).
В силу непрерывности функций Φ (-г) и F (ζ) это равенство
справедливо и во всей области G*. Таким образом, мы доказали регулярность
функции F{z) в области G*, а отсюда сразу вытекает утверждение
теоремы.

^51 ПРИНЦИП СИММЕТРИИ РИМАНА—ШВАРЦА 393
Теперь сформулируем прием, о котором говорилось. Следующая
теорема носит название принципа симметрии Римана — Шварца:
Теорема 2. Пусть область G лежит с одной стороны
действительной оси и отрезок L действительной оси является частью
границы области G. Если функция f(z) регулярна в области Q
и непрерывна в ее замыкании G, а на отрезке L действительной
оси принимает действительные значения, то функцию f{z) можно
аналитически продолжить через отрезок L в область Οχ,
симметричную с областью G относительно действительной оси.
Продолжение осуществляется с помощью формулы
A(z)=m (^GGi). B)
Для доказательства заметим, что функция /j (ζ), определенная
в области Gl равенством B), регулярна в этой области, так как
л->о ^ л-^о\ h I
т. е. функция fi{z) имеет производную в каждой ее точке. Кроме
того, функция /ι {ζ) непрерывна в замыкании области Οχ. На отрезке L
действительной оси имеем ζ = χ и z=^Xy а также f(x)=f(x),
поскольку функция f(z) на отрезке L принимает действительные
значения. Таким образом, функции f(z) и fi(z) регулярны в областях Q
и Gl и непрерывны в замыканиях этих областей, а на отрезке L
общей границы этих областей принимают одинаковые значения.
Согласно теореме 1 функция /ι (ζ) является аналитическим продолжением
функции f{z) из области G в область Gi через отрезок L. Теорема
доказана.
При формулировке теоремы 1 мы сделали совершенно
необязательное предположение, что области G и G] не имеют общих точек
(а в теореме 2 — аналогичное предположение, что область G лежит
с одной стороны действительной оси). От этих предположений легко
освободиться, рассмотрев достаточно малые части областей G и Gi,
примыкающие к кривой L, разделяющей эти области. Стоит заметить,
что, освободившись от этого предположения, мы можем получить
аналитическое продолжение исходной функции в точки, где она уже
была определена, и ее новые значения не будут обязаны совпадать
с прежними.
Принцип симметрии Римана — Шварца допускает широкое
обобщение, для формулировки которого нам понадобится понятие
аналитической кривой.
кривую, заданную параметрическим уравнением
z = xit)y a^t^b,

394 АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ И РИМАНОВЫ ПОВЕРХНОСТИ [Гл. 4
будем называть аналитической кривой, если функция χ(^) является
регулярной функцией переменной t на отрезке (а, Ь) (т. е. регулярной
функцией комплексного переменного t в некоторой области,
содержащей этот отрезок) и если χ'¢) ^^ О, a^t^ b.
Теорема 3. Пусть граница области Q содержит
аналитическую дугу Ly и пусть функция f{z) регулярна в' области Q
и непрерывна в ее замыкании G. Если значения функции f{z),
принимаемые ею на дуге L, расположены на некоторой другой
аналитической дуге Li, то функцию f{z) можно аналитически
продолжить через дугу L (т. е. ни одна внутренняя точка этой дуги
не является особой точкой функции f{z)).
Пусть параметрическое уравнение дуги L:
z = x{tl 0<^<1,
а параметрическое уравнение дуги Ь^.
z = xi(tl O^t^l.
Не ограничивая общности, можем считать дуги L и Li простыми
дугами, так как можно ограничиться исследованием сколь угодна
малой окрестности каждой точки дуги L. Для простой дуги
соответствие между точками дуги и точками отрезка (О, 1),
устанавливаемое параметрическим уравнением, взаимно однозначно. Это означает,
что существуют функции t^=^i(z) ν[ί = ^<^(ζ), обратные к функциям
z = xi(t) и ζ = γ^{β). Согласно теореме об обратной функции (см. § 2
гл. 2) функции ψι {ζ) и ψ2 (-г) являются регулярными функциями,
определенными в некоторой окрестности дуг L и Ιγ соответственно.
Кроме того, эти окрестности дуг L и Lj (обозначим их D и Di)
можно выбрать столь малыми, чтобы функции ψι {ζ) и ψ2 {ζ) конформно
и взаимно однозначно отображали их на некоторую окрестность
отрезка (О, 1) в комплексной плоскости t. Эту окрестность мы
обозначим через Δ. Рассмотрим теперь функцию
Эта функция определена в некоторой части окрестности Δ отрезка
(О, 1), имеющей этот отрезок частью ее границы. Ясно, что эта функция
регулярна в своей области определения и непрерывна в ее замыкании.
Кроме того, значения, принимаемые этой функцией на отрезке (О, 1),.
лежат на отрезке (О, 1). Поэтому, применяя теорему 2, мы приходим
к нашему утверждению.
Недостатком доказанной теоремы является отсутствие формулы^
аналогичной формуле B) в теореме 2. Оказывается этот недостаток
можно устранить, введя понятие точек, симметричных относительно
аналитической кривой (указанием на соответствующие формулы я
обязан устному сообщению Каратеодори):

^5] ПРИНЦИП СИММЕТРИИ РИМАНА - ШВАРЦА 395
Пусть аналитическая кривая имеет уравнение
и пусть
JC = φ (О, y = ^(t) (— ОО < ^ < ОО)
ее параметрическое уравнение. Равенство
F(9@, ψ @) = О C)
заведомо должно выполняться для —со<^^<^оо, но мы будем
считать, что оно выполняется и в некоторой окрестности
действительной оси. Произвольную точку плоскости, достаточно близкую
к нашей кривой, можно записать в виде
2 = φ@ + ί·ψ@,
где t — уже комплексное число (оно действительно лишь на самой
кривой). Точка t симметрична с точкой t относительно
действительной оси. Поэтому в качестве точки, симметричной с точкой ζ
относительно нашей аналитической кривой, следует взять
Поскольку φ (^) и ψ {t) — регулярные функции, принимающие на
действительной оси действительные значения, в силу теоремы 2 для них
имеют место равенства
φ@=φ?Χ ψ@ = ψ(Ο·
Поэтому
и следовательно,
Подставляя эти выражения в равенство C), мы получаем, что
f(£±£!, 1:^) = 0. D)
сравнение D) позволяет нам для каждой точки ζ определить точку
<2'*, симметричную ей относительно аналитической кривой, заданной
уравнением р{Хуу) = 0.
Таким образом, мы можем высказать следуюш.ее дополнение к
теореме 3:
При выполнении условий теоремы 3 аналитическое
продолжение функции f(z) через аналитическую дугу L дает функция fχ {z)y
построенная по следующему правилу: в точке ζ*, симметричной
с точкой ζ области Q относительно аналитической дуги L,
Функция /ι (г*) принимает значение, симметричное со значением
f{^) относительно кривой Ιχ.

~2~
ζ ζ*
*\2
+Γ-
:^?^
— ζ'
Γ"
Ζ*
*\2
= 1^,
2 ■
396 АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ И РИМАНОВЫ ПОВЕРХНОСТИ [Гл.
В качестве примера выясним, как связаны между собой точки
симметричные относительно окружности \z\=R, Уравнение этой
окружности можно записать в виде
и уравнение D) принимает вид
откуда находим, что
Таким образом, точка ζ*, симметричная с точкой ζ относительно
окружности, получается преобразованием инверсии относительно
этой окружности.
Столь же просто доказывается, что точки, симметричные
относительно любой прямой, получаются друг из друга зеркальным
отражением в этой прямой,
В заключение параграфа отметим одно следствие из теоремы 1,
Следствие. Если функция, регулярная в области Q и не-
прерывная в ее замыкании, обращается в нуль на гладкой дуге
границы области Q, то эта функция тождественно равна нулю.
Действительно, эту функцию можно было бы аналитически
продолжить, согласно теореме 1, через упомянутую дугу, положив
функцию /ι {ζ) равной нулю. По теореме единственности вся аналитическая
функция, полученная аналитическим продолжением функции Л (-г),
должна быть тождественным нулем. В частности, и функция f{z)
должна быть тождественным нулем.
Это следствие является до некоторой степени обобщением теоремы
единственности, так как по теореме единственности регулярная
функция (отличная от тождественного нуля) не может обращаться в нуль
на кривой, лежащей внутри области регулярности, а доказанное
следствие утверждает, что это верно и для гладких кривых, лежащих
на границе области регулярности.
Доказанное следствие можно сформулировать еще и так:
Две различные функции, регулярные в области G и непрерывные
в ее замыкании, не могут совпадать на сколь угодно малой
гладкой дуге границы.

г л а в а пятая
ИССЛЕДОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
В предыдущих главах мы занимались главным образом вопросами
общего характера. Это было необходимо для введения
соответствующей терминологии и для доказательства основных рабочих результатов.
Сейчас займемся разносторонним исследованием наиболее
употребительных элементарных функций. Познакомимся с их особыми точками,
римановыми поверхностями и с совершаемыми ими отображениями,
а также со свойствами течений жидкости, отвечающих задаваемым
ими комплексным потенциалам.
§ 1. Дробно-линейные функции
Мы начнем со знакомства с одной из наиболее простых аналихи-
ческих функций — с дробно-линейной функцией
C = f^| (ad-ЬсфО). A)
Здесь а, by с, d — комплексные числа. Условие ad — be ^ О означает,
что функция С B^) не сводится к постоянной.
Дробно-линейную функцию называют также дробно-линейным
преобразованием или дробно-линейной подстановкой (иногда употребляют
термин «линейная функция» или «линейное преобразование»; мы
предпочтем сохранить эти термины для случая, когда в равенстве A),
определяющем функцию (,(ζ), е = 0).
Дробно-линейная функция A) является регулярной функцией
ßo всей плоскости z^ за исключением точек, где знаменатель обра-
пиется в нуль. При <: = 0 (в случае линейной функции) таких точек
1^ет, а при е ^ О есть одна такая точка — z = . Легко видеть,
что при с 7^ О дробно-линейная функция регулярна и в бесконечно
Удаленной точке. В точке z = функция ζ (ζ) имеет простой по-
•^юс. Таким образом, доказано:

398 ИССЛЕДОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ [Гл. 5
Свойство 1. Дробно-линейная функция A) регулярна во всей
d
расширенной плоскости ζ, за исключением точки ζ =^ , где
она имеет простой полюс.
Пусть мы имеем две дробно-линейные функции
γ (у\ ^1^ + ^ γ /^ч 022^ + ¾
'c^Z-\-d^* ¢22^ +^2*
Тогда функция
также будет дробно-линейной функцией. Легко проверить, что
аз = а^а^ -|- Ь^с^, Ь^ = аф^ -]- b^d^,
Сз = б^а^ -|- dic^, ί/3 = ^1¾ -f- ^1^2
и что
азб/з — h^z = i^idi — biCi) (a^d^ — ^^2).
Для этих формул существует простой способ записи: с
дробно-линейной функцией A) связываем матрицу 7^=( ^). Тогда, если
функции Ci (ζ) отвечает матрица Γι, а функции Сз (-2') — матрица Гз, то
функции Ci(C2B')) отвечает матрица Γι Га- В связи с такими
обозначениями дробно-линейное преобразование Ci (Сз (-2')) часто называют
произведением дробно-линейных преобразований ti {ζ) и Сз {ζ).
Из равенства A) легко выразить ζ через ζ:
Это равенство означает, что функция, обратная к дробно-линейной
функции A), также является дробно-линейной функцией. Отсюда
и из свойства 1 сразу получаем
Свойство 2. Дробно-линейная функция A) устанавливает
взаимно однозначное соответствие между точками расширенной
плоскости ζ и точками расширенной плоскости ζ. Это
соответствие являетсЯу очевидно, конформным отображением.
Свойство 2 является характерным свойством дробно-линейной
функции. Оказывается, справедлива следующая
Теорема 1. Если функция ζ,=/(ζ) отображает взаимно
однозначно и конформно расширенную плоскость ζ на расширенную
плоскость С, то f{z) — дробно-линейная функция.
При доказательстве мы можем без ограничения общности считать,
что /(оо) = оо, так как этого можно добиться, совершив над функ·

§ π
ДРОБНО-ЛИНЕЙНЫЕ ФУНКЦИИ
399
цией f{z) некоторое дробно-линейное преобразование, а мы знаем,
что произведение дробно-линейных преобразований является дробно-
линейным преобразованием (как и преобразование, обратное к дробно-
линейному). Если /(оо) = оо, то функция f{z) регулярна во всей
конечной плоскости Zy в бесконечно удаленной точке имеет полюс
(поскольку f(z)—^оо при z-^oo). По теореме 2 § 5 гл. 4 функция
f{z) является многочленом. Если бы степень этого многочлена была
выше первой, то существовала бы точка 2Ό, в которой f{zQ) = 0.
В конце § 2 гл. 4 мы установили, что в окрестности такой точки
(критическая точка) отображение ζ,=/(ζ) не может быть конформным.
Следовательно, f(z) — многочлен первой степени, и теорема доказана.
Нас будет интересовать сейчас отображение с помощью дробно-
линейной функции окружностей плоскости ζ (будем называть
окружностями и прямые, считая их окружностями
бесконечно большого радиуса).
Лемма. Точки Ζρ 2^¾, z^y z^ лежат на
одной окружности в том и только в том
случае, когда их ангармоническое отношение
d BΊ, z^y z^y Zg) = ——
Ζλ Zo
равно действительному числу.
Для доказательства обозначим
Рис. 75.
a=arg
ß = arg
z^ — z^
ζ.—ζ,
[ = arg (^3 — ^i) — arg B-3 — z^y
arg (^4 — ^1) — arg (^4 — z^)
Z^ Z2
@^a<27u, 0^β<2π).
Иными словами, α — это тот наименьший угол,
на который нужно повернуть против часовой
стрелки отрезок {z^y z^ вокруг точки .гд, чтобы
он попал на луч, идущий из точки z^ в точку Ζχ,
^гол β имеет тот же смысл с заменой точки ζ^
точкой ^ При нашем определении всегда
0<α<;2π, 0^β<2π.
Из рис. 75 и 76 легко видеть, что α=β, если точки ζ^ и ζ^
лежат на одной дуге окружности, соединяющей точки Ζχ и ζ^ (как
вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу). Если же точки
-^3 и ^4 лежат на разных дугах, то α = β±π. В первом случае имеем
6'°^ = ^^, а во втором 6^"^ = —е^^, В любом случае величина
d {^Z\y Z^y 2'з> Z^ =
Рис. 76.
действительна. Обратное утверждение доказывается с помощью тех же
соображений.

400 ИССЛЕДОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ [Гл.
Свойство 3. При дробно-линейном преобразовании A)
ангармоническое отношение любых четырех попарно различных точек
сохраняетеЯу т. е.
а BΊ, -г^, 2'з, z^ = d (Ci, ζ^» Сз» С4)»
где ζ;, = ζ(^;,), k=\, 2, 3, 4.
Действительно,
__„ ^^0^:^ + ^ Д0^ + ^_М —И (^ —^т)
^^ ^-^ С^^^ + ^ С^т + ^ (¾ + ^) (С^т + d) '
откуда без труда получаем, что
Ц ^2 Ц ^2
Из свойства 3 и из леммы немедленно получаем
Свойство 4. Дробно-линейное преобразование A) переводит
любую окружность плоскости ζ в окружность плоскости ζ.
Это свойство часто называют круговым свойством
дробно-линейной функции.
Для некоторых вопросов бывает полезно изображать значения
дробно-линейной функции ζ B^) не на отдельной плоскости С, а на
той же плоскости ζ. При таком изображении особое значение получают
те точки, которые остаются на месте после преобразования. Эти
точки называются неподвижными точками данного дробно-линейного
преобразования. Условие неподвижности точки 2^* при дробно-линейном
преобразовании A) очевидно. Оно имеет вид
^* 02* + ^
или
С2* + ^
'4-(ί/ —ö)^* —^ = 0. C)
Если a = dy а ^ = с = 0, то преобразование A) является
тождественным, т. е. СB')^2'. В этом случае все точки плоскости ζ
неподвижны. Если исключить этот тривиальный случай, уравнение C) имеет
два простых корня или один двойной (при G = 0 мы считаем значение
2-^ = 00 корнем уравнения C)).
Предположим сначала, что уравнение C) имеет два различных
конечных корня z^ и 2^. В этом случае каждая окружность,
проходящая через точки Ζχ и 2^, переводится преобразованием A) в некоторук>
окружность, проходящую через те же точки. Если обозначить через
К семейство окружностей, проходящих через точки Ζχ и 22, то можно
сказать, что семейство К переводится преобразованием A) в себя·
Так как преобразование A) конформно, то семейство К\ состоящее
из окружностей, ортогональных к окружностям семейства /С, тоже
дол:жно переходить в себя. Следует различать три возможных случая:

§ 1] ДРОБНО-ЛИНЕЙНЫЕ ФУНКЦИИ 401
1) Каждая окружность семейства К переводится
преобразованием A) в самое себя.
В этом случае мы можем представлять себе, что каждая точка
плоскости переходит в свой образ при отображении A), двигаясь
по окружностям семейства К. В этом случае преобразование A)
называется гиперболическим.
2) Каждая окружность семейства К' переводится
преобразованием A) в самое себя.
В этом случае точки переходят в свои образы, двигаясь по
окружностям семейства /С> а преобразование A) называется эллиптическим.
3) Ни одна окружность семейства К и ни одна окружность
семейства К не переводится преобразованием A) β себя.
В этом случае преобразование A) называется локсодромическим.
Выведем теперь общий вид преобразований этих трех типов.
С этой целью возьмем точки ζ^ т ζ \\г какой-либо окружности,
проходящей через неподвижные точки Ζχ и ^2, и обозначим через Сз и Сз
образы этих точек при отображении A). Образы неподвижных точек
совпадают с ними самими. Поэтому из свойства 3 мы получаем
равенство
Zg 2^2 ^ ^2 ^3 ^2 ^ ^2
В случае, если преобразование A) является гиперболическим, точки
Zp z.2> z^y Сз лежат на одной окружности и, согласно лемме, величина
ζ,3 ^1 . ^3 ^1
^3 ^2 ^3 ^2
действительна (и отлична от нуля). Поэтому равенство D) дает
J-=|^ = a^^ (lma = 0, α:7^0). E)
L, ^2 ^ -^2
Обратно, из формулы E) следует, что точки 2Ί, z^y ζ, С лежат на
одной окружности. Поэтому формула E) дает нам общий вид
гиперболического преобразования с неподвижными точками Ζγ и ζ^.
Для эллиптического преобразования на основании известной из
элементарной геометрии теоремы Аполлония можно написать равенство
F)
=
Ζ Ζγ
Ζ—Ζ^
означающее, что точки (, и ζ лежат на одной и той же окружности
из семейства /C^ Это равенство равносильно равенству
^^ = α^Ξτ- (|α!=1. α^Ι). G)

402 ИССЛЕДОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ [Гл.
Формула G) дает нам общий вид эллиптического преобразования:^
с неподвижными точками Ζγ и ζ^ *).
Общий вид локсодромического преобразования с неподвижными
точками Ζχ и ζ^\
^: = °^¾ (Ima^O, |a|=el). (8)
Если одна из неподвижных точек, скажем z^, уходит в бесконечность,
то мы можем записать преобразование в виде
ζ — Ζι^=^(Ζ — Zy) ~ ^
и перейти к пределу при ζ^—-со. Это даст нам формулы для
преобразований, имеющих одну из неподвижных точек в бесконечности.
При этом гиперболическое преобразование имеет вид
С — Ζγ = (ΐ{ζ — Zy) (Im α = О, α ^^^ 0),
τ. е. гиперболическое преобразование с неподвижной точкой в бес·'
конечности является преобразованием подобия с центром в точке Ζχ,
Переходят в себя при таком преобразовании прямые, проходящие
через точку Ζχ, Эллиптическое преобразование имеет вид
Χ^ — Ζχ = (χ{ζ — Ζι) (|α| = 1, α:;ζ^ 1),
т. е. оно является преобразованием вращения вокруг точки Ζγ, При
этом преобразовании переходят в себя окружности с центром в точке
Ζγ. Локсодромическое преобразование составлено и из подобия, и из
вращения. При локсодромическом преобразовании переходят в себя
логарифмические спирали с фокусом в точке 2^. Название
преобразования объясняется тем, что логарифмические спирали называются
также локсодромиями.
Обратимся теперь к случаю, когда обе неподвижные точки
преобразования A) сливаются в одну, т. е. когда уравнение C) имеет
один двойной корень Ζγ, В этом случае преобразование называется
параболическим. Общий вид такого преобразования при конечных Z\t
^, =^^ +β (β 7^0). (9)
Действительно, если преобразование A), переводящее точку ζ в точку
ζ, имеет двойную неподвижную точку ^j, то преобразование,
переводящее точку ζ — Ζχ в точку С — 2Ί, должно иметь двойную
неподвижную точку ζ"^ = 0. Из уравнения C) мы видим, что это возможно
*) При а=:—1 получаем преобразование, которое является
одновременно и гиперболическим, и эллиптическим.

^^ ДРОБНО-ЛИНЕЙНЫЕ ФУНКЦИИ 403
лишь в случае, когда a = dy Z? = 0, с ^^ 0. Это означает, что
преобразование, переводяихее точку ζ — Ζι в точку ζ — Ζι, имеет вид
а (ζ — Ζι)
ί — Ζι = -
c(^ — ^i) + ^
Обозначая β = —, легко получаем отсюда формулу (9).
При 2^1 = 00 общий вид параболического преобразования дается
формулой
С = г + т (γ 9^0). A0)
Параболическое преобразование можно рассматривать как
предельный случай преобразования с двумя различными неподвижными
точками. При предельном переходе ζ^—*Ζγ по некоторой прямой
семейство окружностей /С, проходящих через точки ζ^ и ζ^·> обращается
в семейство окружностей, касающихся друг друга в точке Ζγ (и
касающихся той прямой, по которой ^2-^-2^1)- Семейство К! обращается
в этом случае в семейство окружностей, касающихся в той же точке
Ζχ перпендикулярной прямой. При г1 = ооэти семейства окружностей
становятся двумя ортогональными семействами параллельных прямых.
Дробно-линейная функция A) зависит по существу лишь от трех
постоянных, поскольку все числа а, Ь, с, d можно умножить на
произвольный множитель (отличный от нуля), не меняя значения функции.
Имея три параметра, мы можем потребовать, чтобы преобразование
A) переводило три заданные попарно различные точки плоскости ζ
в три другие попарно различные точки плоскости ζ. Эта задача всегда
разрешима, в чем проще всего убедиться с помощью следующей
формулы для ее решения ^ = (^(^):
С —Ci . Сз —Ci_ z — Zi . z^ — Zi
ζ ζ2 Сз ^2 ^ ^2 ^3 ^2
Так как три точки определяют окружность, отсюда следует, в
частности, что с помощью дробно-линейной функции можно найти
конформное отображение любых двух кругов друг на друга. Для
упрощения выкладок при решении этой задачи полезно понятие симметрии
точек относительно окружности (ср. § 3 гл. 4):
Две точки плоскости называются симметричными относительно
винной окружностПу если они обе лежат на одном луче, выходящем
Из центра этой окружности, и если произведение расстояний этих
точек от центра окружности равно квадрату ее радиуса.
Центр окружности будем считать симметричным относительно
^^ружности с бесконечно удаленной точкой. Когда окружность
вырождается в прямую, симметрия точек относительно окружности пре-
Ращается в симметрию точек относительно прямой.
Преобразование плоскости, которое переводит каждую точку плос-
сти в точку, симметричную ей относительно заданной окружности,

404 ИССЛЕДОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ [Гл. S
называется инверсией в этой окружности. Формула для
преобразования инверсии в окружности \z — г^\ = г имеет вид
С—^0 =
Отсюда видно, в частности, что преобразование инверсии является,
конформным отображением с изменением направления отсчета
углов.
Понятие симметрии относительно окружности мы ввели ради
следующей теоремы:
Теорема 2. Пусть ζ, С и К' — образы точек ζ, ζ' и
окружности К соответственно при дробно-линейном отображении.
Если точки ζ и ζ' симметричны относительно окружности К»
то точки С w С симметричны относительно окружности /С'.
С помощью известной теоремы элементарной геометрии
(«произведение секущей на ее внешнюю часть равно квадрату
касательной») легко доказывается, что точки Ζχ и ζ^ симметричны
относительно окружности Г в том и только в том случае, когда любая
окружность С, проходящая через точки Ζχ и ζ^, ортогональна
окружности Г. Дробно-линейное отображение переводит семейство
окружностей, проходящих через точки ζ и ζ' и ортогональных окружности
К, в семейство окружностей, проходящих через точки С и С и
ортогональных окружности К^. Поэтому точки ζ и ζ' симметричны
относительно окружности /С'. Теорема доказана.
Рассмотрим несколько примеров отыскания отображений дробно-
линейными функциями.
В качестве первого примера найдем общий вид дробно-линейного
отображения верхней полуплоскости Imz^O на внутренность
единичного круга |С|<^1. Если функция
^ az-\~b
^ cz4-d
осуществляет искомое отображение, то коэффициент с не должен
равняться нулю, так как линейная функция переводит прямую в
прямую, и действительная ось не перейдет в единичную окружность
Поэтому точка ζ = οο будет образом конечной точки ζ = -
По теореме 2 точки С = 0 и С = оо, симметричные относительно
единичной окружности |ζ| = 1, должны быть образами точек,
симметричных относительно действительной оси. Следовательно, вели-
h Η
чины (прообраз точки ζ = 0) и (прообраз точки ζ = οο
должны быть комплексно сопряженными числами, т. е.

§1]
ДРОБНО-ЛИНЕЙНЫЕ ФУНКЦИИ
405
Кроме того, точка ζ = ^ (прообраз точки С = 0) должна лежать
в верхней полуплоскости, так как в единичный круг переходят лишь
точки верхней полуплоскости. Таким образом, отображающая функция
сводится к виду
C = f^ (lmß>0).
Так как точка z = 0, лежащая на действительной оси, должна пере-^
ходить в точку единичной окружности |ζ| = 1, то мы получаем еще
условие
1
-=6^-(
(Im γ = 0).
Следовательно, отображающая функция обязана иметь вид
С = ^^'т-
(Ιιηγ = 0, lmß>0).
(И)
Покажем, что любая функция вида A1) совершает требуемое
отображение. Во-первых, из равенства (И) сразу следует, что для
всех действительных ζ
е''^
1,
так что действительная ось переходит в окружность |(;| = 1. Во-
вторых, точка ζ=^^ из верхней полуплоскости переходит в точку
ζ = 0 единичного круга. Поэтому из соображений непрерывности
вытекает, что вся верхняя полуплоскость переходит в единичный круг.
В формуле A1) имеется три почти произвольных действительных
параметра γ, Re β, Im β (на один из них — на Im 8 наложено условие
положительности). Это означает, что любым трем попарно различным
точкам действительной оси можно поставить в соответствие три
почти произвольно заданные попарно различные точки единичной
окружности. Термин «почти» объясняется наличием условия Imß^O, а ог*
раничение, накладываемое на эти три точки, состоит в том, что
направление обхода единичной окружности, определяемое этими тремя
точками, будет положительным относительно единичного круга, если
соответствующие точки действительной оси взяты в порядке возра-^
стания.
В качестве второго примера найдем общий вид дробно-линейного
отображения единичного круга на себя. Симметричным
относительно окружности |ζ|=1 точкам ζ = 0 и ζ = οο должны отвечать
точки ζ = α. и zr^-zr-, симметричные относительно окружности |2^| = 1^
Поэтому искомое отображение должно иметь вид

406 ИССЛЕДОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ [Гл. 5
причем |а|<^1, так как точка z=^^ является прообразом точки
ζ = 0. Далее, при 2^=1 мы должны получить |ζ| = 1, так что
i-=^ I = I Л I = 1, Az=ze'^ (Im τ = 0),
Ή формула для отображающей функции принимает вид
(; = ^^·τ1ΐζ4 Aтт = 0, |а|<1). A2)
1 — zd
Легко показать, как и в предыдущем примере, что любая
функция вида A2) совершает требуемое отображение.
Из формулы A2) следует, в частности, что единичный круг можно
конформно отобразить на себя таким образом, чтобы заданная точка
переходила в центр и чтобы заданное направление в точке,
переходящей в центр, переходило в положительное направление
действительной оси.
В заключение приведем без доказательства формулу для общего
Бида дробно-линейных преобразований, отвечающих вращению сферы
Римана. Эти преобразования имеют вид
qz—p'
где ρ ^ q — произвольные комплексные числа.
§ 2. Функции ^ = ζ"- (η ^0 — целое число) и г = У^
Функция ζ"" является простейшей аналитической функцией,
имеющей хотя бы одну критическую точку.
В первую очередь мы выясним, куда отображает функция
ч ζ
сеть полярных координат в плоскости ζ, т. е. лучи, выходящие иэ
начала координат, и окружности с центром в начале координат*
Если положить
ТО при подходящем выборе слагаемого 2^π/ у аргументов ζ т ^
получим равенства
pz=r^ Ь = щ.
Следовательно, окружность \z\ = r переходит при отображении
функцией ζ = 2;" в окружность |С| = г", а луч arg^: = φ — в луч argC =
= ηψ. Таким образом, сеть полярных координат в плоскости Ζ
переходит в сеть полярных координат в плоскости С.
Из сказанного выше следует также, что при достаточно малом
φ угол
О < arg 2: < φ

. 2] ФУНКЦИИ ζ-- 2^ (η > О - ЦЕЛОЕ ЧИСЛО) И ζ = |/С 407
взаимно однозначно отображается функцией ^ = ζ^ на угол
0<argC<n9.
[7ри увеличении раствора угла в плоскости ζ раствор угла в
плоскости С увеличивается в η раз быстрее. При φ = — образом угла в
плоскости ζ будет вся плоскость ζ с разрезом по положительной части
действительной оси. При дальнейшем увеличении раствора угла в
плоскости ζ его образом будет уже вся плоскость ζ с выколотой точкой
ζ=0. Однако это отображение уже не будет взаимно однозначным^,
так как точки
z^ = re''', z^ = re ^ ""'
переходят в одну и ту же точку плоскости ζ.
Для того чтобы наглядно представить себе, как происходит
отображение углов большего раствора, вообразим, что образ луча
arg 2' = φ с увеличением φ не только враш.ается против часовой
стрелки, но и слегка поднимается. Тогда с увеличением φ этот луч
опишет некоторую поверхность, расположенную над плоскостью ζ.
Точки этой поверхности, расположенные над одной и той же точкой
плоскости С, отвечают одинаковым значениям функции ζ^ηζ^ Когда
луч arg 2' = φ проходит угол раствора 2π/η, его образ обходит часть
поверхности, накрывающую всю плоскость ζ. За то время, пока луч
arg 2" = φ обойдет всю плоскость ζ, его образ пройдет над плоскостью
ζ ровно η раз. Отображение угла
0<arg^<9 @<φ<2π)
на соответствующую часть описанной поверхности взаимно
однозначно. Для сохранения взаимной однозначности при отображении
всей плоскости ζ на эту поверхность мы должны соединить образы
лучей arg 2" = 2π и arg 2 = О (на плоскости ζ это один и тот же
•^уч). Это соединение приходится представлять себе только мысленно,
так как в трехмерном пространстве соединить верхний край нашей
винтовой поверхности с ее нижним краем, не пересекая самой
поверхности, нельзя.
Ясно, что описанная выше поверхность есть не что иное, как ри-
^анова поверхность функции 2: = >/"ζ, обратной к функции Χ^ = ζ^.
Действительно, разным точкам этой поверхности, расположенным над
точкой ζ, отвечают разные значения ζ, для которых ζ^ = 1,, т. е^
разные элементы функции ^: =-р^С
Функция 2^ = ΐ/'ζ является аналитической функцией, неограниченно
Родолжаемой по любому конечному пути, не проходящему через
очку (; = о. Точки (; = 0 и С = со являются для этой функции точ*

408 ИССЛЕДОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ [Гл. S
ками ветвления порядка η (это следует из нашего построения римано*
вой поверхности). Более того, эти точки являются алгебраическим^
особыми точками. Все это видно также из того, что функция ζ=-
= V^ удовлетворяет неприводимому алгебраическому уравнению
ζ'^ —z = 0.
Рассмотрим еще некоторые отображения функцией ζ = Λ
Сначала выясним, какие линии плоскости ζ переходят при этом
отображении в прямые, параллельные осям координат в плоскости ζ.
Положим
Уравнения прямых, параллельных осям координат в плоскости ζ, име^
ют вид
и = const, V = const.
Поскольку
и = х^ — _у^, v = 2xy, A)
мы видим, что прямым π = const и τ; = const отвечают два се^
мейства равнобочных гипербол
j^2 y^z=: const, Ху = COHSt.
Эти два семейства ортогональны друг другу, за исключением тех
кривых, которые проходят через критическую точку z = 0. Там они
пересекаются под углом π/4.
Еще выясним, куда отображает функция ^ = 2"^ прямые,
параллельные осям координат в плоскости ζ. Уравнение этих прямых
Х=:Су у = С.
Поэтому из равенств A) сразу получаем, что образ прямой х = с
имеет уравнение
'4?
а образ прямой у = с — уравнение
Эти уравнения определяют два семейства софокусных парабол (рис. 77).
Найдем еще прообразы окружностей
и лучей
arg (С-1) = ^.
Положим
z = x-\-ly, ^=1 -\-ре^^.

§31
Тогда
ФУНКЦИЯ ζ= {г -{■ \/ζ)/2
409
^ для прообраза окружности |ζ— 1 j = p получаем уравнение
Это уравнение описывает некоторое семейство (при меняющемся р)
лемнискат.
и=const
Рис. 77.
Если положить
то
arg с = θ = const,
Х^ у ::^ 1 _|_ ρ cos θ, 2jCV = p Sltl b.
Исключая ρ, получаем уравнение для прообраза луча argC = ^ в
виде
j^2__y_2jcvctg^=l.
Это уравнение при любом Ь является уравнением равнобочной
гиперболы, проходяихей через точки z=^\ и ζ =^ —1.
§ 3. Функция ζ = ~ ^^-1--1
Выясним, куда отображает эта функция окружности \z\^=r а
лучи arg г = φ. Положим
^О'Да равенство :,==--^-] ] дает нам, что
«= 2 (^ + 7")^^^^^' ^ = т1^ —7J^^" ^^-
A)

410
ИССЛЕДОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
[Гл.5
Исключая из этих двух уравнений параметр φ, приходим к уравнению
1,
которое представляет собой уравнение эллипса с полуосями
г —
и с фокусами в точках С=1 и ζ=— I. Следовательно, концепт^
рические окружности \z\ = r отображаются функцией С =
= -2\'^~\ ) ^ софокусные эллипсы с фокусами в точках ζ=1
Рис. 78,
11 ζ = — 1 и с полуосями а^ и Ь^- При возрастании г от О до 1
полуоси этих эллипсов монотонно убывают от бесконечности до значений
01=1 и ^1 = 0. При г = 1 эллипс вырождается в отрезок (—I, 1),
проходимый дважды. При дальнейшем возрастании числа г полуоси
эллипсов начинают возрастать, так что каждый эллипс возникает
второй раз.
Исключая из уравнений A) параметр г, приходим к уравнению
COS'' φ 8111-^ φ
1,
которое представляет собой уравнение семейства гипербол, софокус-
ных с нашими эллипсами (и ортогональное с семейством этих
эллипсов). Эти гиперболы являются образами лучей arg 2' = φ при
отображении функцией [, = ~yiz-\
Из сказанного следует, что функция L=^-k-[z -\ ) отображает
единичный круг |2'1<^1 на всю плоскость ζ, разрезанную по отрезку

^4] ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ И ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИИ 411
/ 1, I) действительной оси. На ту же самую плоскость ζ с разрезом
эта функция отображает и внешность единичного круга, т. е. область
j^l^l. Взаимно однозначным образом всей плоскости ζ при ото-
1 / 1 \
бражении функцией ζ=-2-Bτ-| 1 является двулистная риманова
поверхность, которая склеивается из двух экземпляров плоскости ζ с
разрезом по отрезку (—1, 1) (верхний край разреза первого листа
склеивается с нижним краем разреза второго листа, а нижний край
разреза первого листа — с верхним краем разреза второго листа).
Эта риманова поверхность является римановой поверхностью функции
обратной к функции X^^z — izA^ ). Из построения римановой по*
верхности видно, что точки С=1 и ζ=—1 являются для этой
функции точками ветвления второго порядка (это видно, впрочем, и
прямо из формулы). Соответствующие точки ζ=\ и ζ=—1
являются критическими точками функции ζ(^^) =-^-ί0-| J.
Функция ζB^) = -^-(-г-] j сводится к функции С'(У) = 2^'^ с
помощью дробно-линейных преобразований, что непосредственно видно
из формулы
ζB)_1 /2—П^
ζ «) + 1 ~" \2 + 1
§ 4. Логарифмическая и показательная функции
Мы знаем, что функция ζ = 1п 2г является бесконечнозначной
аналитической функцией, продолжаемой по любой конечной кривой, не
проходящей через точку 0 = 0. В точках 0 = 0 и 0 = оо функция
ζ = 1110 имеет логарифмические точки ветвления.
Риманова поверхность функции ζ = 1π0 является одной из самых
простых. Мы уже строили ее в § 2 гл. 4.
Положим
ζ = ге^"^, Х^^=11-\- iv.
Из равенств
н = 1п г, ι; = φ -]- Ikizi
следует, что луч arg0 = cp при —π<;]φ<^π функция {\п z)-\-2kizi
отображает в бесконечную прямую ι; = φ -)- 2ктЛ, а дугу
I 0 1 = г, α < arg 0 < β (α > — π, ρ < It),
β отрезок
u = r, α -1- 2^π < ι; < β -f- 2^π.
Следовательно, угол
a<arg0<ß (α> —π, β<π)

412 ИССЛЕДОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ (Гл.5
отображается функцией ^=={\nz)-\'2k'Ki на полосу
α-]-2^π<τ;<β-]-2Απ.
В частности, весь k-Vi лист (при нашем выборе листов) римановой
поверхности логарифма аналитическая функция In ζ отображает на
Отсюда видно, что всю риманову поверхность логарифма
аналитическая функция ^ = \nz отображает взаимно однозначно на всю
комплексную плоскость. При этом точки римановой поверхности,
лежащие над одной и той же точкой плоскости ζ, на плоскости С
соответствуют точкам, лежаш.им на одной вертикальной прямой на
расстоянии друг от друга, кратном 2π.
Функция z = e^ является функцией, обратной к функции ζ = 1π2',
так что она совершает те же отображения в обратном направлении.
Поскольку при отображении ^=\ηζ точка z = Q переходит в
бесконечно удаленную точку плоскости С, функция е^ не обращается
в нуль в конечной части плоскости. Поэтому
Показательная функция е^ является целой функцией^ не
имеющей нулей.
Заметим, что функция е^ является в некотором смысле
простейшей целой функцией, не имеющей нулей (если не считать
постоянную). Действительно, если h (Q — целая функция, не имеющая нулей,
то функция
^^^> h (ζ)
тоже является целой функцией. Это означает, что функция h (ζ) имеет
вид
где gi{i) — целая функция. Но простейшей целой функцией, отличной
от тождественной постоянной, является функция ^ι(ζ)^ζ.
§ 5. Тригонометрические функции
Равенства
е1г _ e-iz giz ι g-iz
sin 2" = ψ: , COSZ = к ,
, sin ζ , COS ζ
tg^z = . ctg 2^ = -—
^ cos 2 * ^ sin ζ
определяют функции, которые при действительных значениях
переменного ζ совпадают с обычными тригонометрическими функциями·

. 5] ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 413
в силу принципа аналитического продолжения эти функции
естественно называть теми же названиями и для комплексных значений
переменного.
Ограничимся здесь исследованием некоторых отображений,
совершаемых функцией l!, = tgz. Для этой цели заменим отображение
1 e'^^ — \
последовательным выполнением следующих трех отображений:
t = 2izy A)
w = e\ B)
Отображение A) состоит из комбинации подобия относительно
начала координат (с коэффициентом подобия 2) с поворотом
плоскости на угол π/2 вокруг начала координат. Функция B) совершает
отображение всей плоскости t на риманову поверхность логарифма,
а каждую полосу a<^Im^<^ß эта функция отображает на угол
α <^ arg ω <^ β. Дробно-линейное отображение C) знакомо нам по § 1.
С его помощью расширенная плоскость w отображается на
расширенную плоскость С, причем точка w = ^ переходит в точку С = /, а
точка тг^ = ОС в точку ζ = — /.
Из сказанного следует, что функция ^ = igz взаимно однозначно
отображает всю комплексную плоскость ζ на риманову поверхность,
аналогичную римановой поверхности логарифма, но имеющую
логарифмические точки ветвления не над точками ζ = 0 и ζ = οο, а над
точками ζ = / и С= —и Эта поверхность склеивается из
бесконечного числа листов, каждый из которых представляет собой всю
плоскость ζ с прямолинейным разрезом, соединяющим точки ζ = / и
ζ= —/. Она называется римановой поверхностью функции 2' = arctgC.
Функция arctg ζ легко выражается через логарифм:
. „ 1 , 1+/С
arctg С =2^ In ^-^.
Аналогичным образом можно исследовать отображения некоторых
^ίacτeй плоскости ζ. Например, полосу —-^ <^ Re 2" <^-^функцияA)
переводит в полосу — ^<^\mt<^^. Последняя полоса отображается
функцией B) на правую полуплоскость в плоскости w. Функция C)
^тображает эту полуплоскость на единичный круг в плоскости ζ.
•^едовательно, функция ^ = igz взаимно однозначно отображает

414 ИССЛЕДОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ [Гл.5
полосу
π
IRe^K _
на единичный круг \^\<^\,
Совершенно таким же путем можно исследовать отображения,
совершаемые и другими тригонометрическими функциями.
§ 6. Степенная функция с произвольным показателем
Степенную функцию
С произвольным действительным или комплексным показателем α
мы определяли равенством
Из ЭТОГО равенства видно, что функция ζ = 2''* является однозначной
функцией от 1п ζ. Ее можно представить в параметрическом виде с
помош.ью однозначных функций:
z = e', С = ^^
или, как говорят, униформизировать.
Если число α не рационально, то функция г^ так же, как и
функция In ζ, бесконечнозначна. Действительно, если точка ζ обойдет
точку 2' = О в положительном направлении η раз, то значение
функции 2"" умножится на ^^πια/ι^ ^ ^^^ различных значений η эти
множители различны. На римановой поверхности логарифма функция ζ^
однозначна.
Если же а = — —рациональное число {р и q — целые числа и
^^0), то после q обходов в положительном направлении точки ζ
вокруг точки 0 = 0 функция ζ"^ вернется к первоначальному
значению (причем, если /; и ^ не имеют общего делителя, то она вернется
к первоначальному значению в первый раз). Поэтому в случае, когда
а = —, функция 2"°^ однозначна уже на римановой поверхности корня
ч
д-й степени.
Рассмотрим конформные отображения, совершаемые функцией
ζ:=ζ"- с произвольным показателем степени. Если α — действительное
число, то лучи arg 2" = φ при отображении функцией ^ = ζ"-
переходят в лучи arg ζ = αφ, а окружности \z\=r — в окружности |С|=^^"·
Соответственно угол, заключенный между двумя лучами, отображается
этой функцией на угол в α раз большего раствора (если, конечно,
раствор большего из углов не превосходит 2π).

^5] СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИЯ С ПРОИЗВОЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ 415
Подвергнем теперь плоскость ζ дробно-линейному
преобразованию, переводящему точки Ζγ vi ζ^ ъ точки О и оо, а плоскость ζ —
дробно-линейному преобразованию, переводящему точки d и ζ^
Б точки О и оо. Поскольку при дробно-линейном преобразовании
окружности (в том числе и прямые) переходят в окружности,
преобразование ^ = ^{z)y определяемое формулой
отображает область плоскости Zy ограниченную дугами двух
окружностей, пересекающихся в точках Ζγ и ζ^ под углом λ, на область
плоскости С, ограниченную дугами двух окружностей, пересекающихся
в точках Ci и ^2 под углом αλ. Области, ограниченные дугами двух
окружностей, пересекающимися в точках а и Ь, будем называть
круговыми двуугольниками с вершинами а и Ь.
С помощью описанного преобразования любой круговой
двуугольник всегда можно конформно отобразить, скажем, на полукруг. Для
этого нужно подобрать α таким образом, чтобы произведение αλ было
равно π/2, и сделать дополнительное дробно-линейное отображение,
переводящее одну из сторон получившегося двуугольника с прямыми
углами в вершинах в прямую линию. Например, отображение ζ:=ζB'),
определяемое формулой
1 —ζ У ι—ζ'
лает нам отображение верхней полуплоскости Im 0^0 (которую мы
можем рассматривать как двуугольник с вершинами О и оо и с углом
в вершинах, равным π) на полукруг в плоскости С, построенный на
отрезке (О, 1) как на диаметре (верхний полукруг или нижний,
зависит от выбора ветви квадратного корня).
Если α — комплексное число, то отображения функцией (, = ζ^
вмеют совершенно иной характер. Пусть, например, а = /. Рассмотрим
отображение верхней полуплоскости Im 0^0 функцией ί = ζ\
Положим
z = re^'py С = рЛ
Т^огда
р = ^-^, θ = ΐπΓ.
Лучи arg ^ = φ переходят при этом отображении в окружности
|С| = <?~^, а окружности \z\ = r — в лучи argC = lnr. В частности,
лучам arg 2^=:0 и arg 2" = π, ограничивающим полуплоскость 1т ζ ^0^
отвечают окружности К| = 1 и |С| = ^~^ (покрываемые бесконечное
Число раз). Следовательно, образом верхней полуплоскости 1т z^ О
лри отображении функцией ί = ζ^ будет кольцо ^-^<|ζΚΐ. Это
тображение не является взаимно однозначным. Верхняя полуплоскость
^^0 взаимно однозначно отображается функцией ζ, = ζ^ на часть

416 ИССЛЕДОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ [Гл.5
римановой поверхности логарифма, расположенную над кольцом
е-<|С|<1.
Аналогичным образом можно исследовать отображения,
совершаемые функцией ζ = 2'% где α имеет отличную от нуля и
действительную, и мнимую часть. В этом случае образами лучей и
окружностей будут два взаимно ортогональных семейства логарифмических:
спиралей.
§ 7. Течение жидкости в окрестности особых точек
и критических точек комплексного потенциала
Начнем с рассмотрения течения жидкости, отвечающего
комплексному потенциалу
F(z) = \n ζ.
Мы знаем (см. § 12 гл. 3), что линиями тока (т. е. траекториями
движения частиц жидкости) течения, отвечающего комплексному
потенциалу F{z)y являются линии уровня мнимой части этого
потенциала, т. е. линии Im F B") = const. В нашем случае
Im F (ζ) = \т\п ζ = arg ζ,
и линии тока имеют уравнения
arg ζ = const.
Иными словами, линии тока нашего течения — это лучи, выходящие
из начала координат. Вектор скорости направлен по линии тока,
причем в нашем случае легко убедиться, что он направлен к началу
координат. Согласно формуле, приведенной в конце § 12, поток через
любую замкнутую кривую, окружающую начало координат, равен
Im \ F'(ζ)dz = 1т \ γ=2^.
а циркуляция по любой замкнутой кривой равна нулю.
Таким образом, течение жидкости с комплексным потенциалом
F (ζ) = \ηζ
имеет в точке ζ = 0 сток мощностью в 2π (а в точке ζ = οο —
источник с той же мощностью). Вихрей наше течение не имеет.
Наше течение представляет собой, следовательно, стационарное
безвихревое переливание жидкости из источника в сток.
Сделаем теперь дробно-линейное преобразование, переводящее
точку ζ = οο в какую-либо конечную точку, скажем в точку ζ=1·
Тогда мы получим течение жидкости с комплексным потенциалом

ς -I
ТЕЧЕНИЕ ЖИДКОСТИ В ОКРЕСТНОСТИ ОСОБЫХ ТОЧЕК
417
коюрое представляет собой переливание жидкости из источника
JJ ючке z=\ в сток в точке z = 0. Линии тока этого течения
^,вля1отся образами линий тока прежнего течения (т. е. лучей arg / =
^г= const) при отображении z^ == __ Поскольку при
дробно-линейном отображении окружности переходят в окружности, искомые
линии тока представляют собой окружности, проходящие чере'^ точки
ζ =^ О и г=1 (образы точек / = 0 и / = оо). Эквипотенциальные
/
/
/
/
ί
1
\
\
\
\
\
^ ^у^
^\ У"^
*ч X
\ /
/ \
/ \
/ \ ^^—
1 / \
^——1——^ / \^—
ν' \ / ^ν^
Χ \ / /^.^^—
X \ 1 / у^
^>Схк\/>^^
/^<#>гм^
К^^Ш^цц!
уК./ 1\\^^ы1У^
X Г\\Ч^^—
^^^ / ^>^>ί^
^i " \ /
\ /^--.^
\ / ^'^
\ /
\ κ
у X
^ >ν
^ >s^
/
/
/χ
/ \
/ N^/ \
^·^/ \
/ >. \
/II/i>KMi
ip^^"^
\\.Jr^
—' L^^x/
—^""^^УГ-
\ ^ /
^
/'
./
^—ί— —^ /
Ι ^ /
/ /\
/ χ \
rJ у \
W i
\ 7\ /
Λ Χ /
\ χ /
\ \/^
.—--^ f---~.U---^ \
\ /
,^^^^^\
\
\
Ч
\
>4
Рис. 79.
линии образуют семейство ортогональных окружностей. На рис. 79
линии тока изображены сплошными линиями, а эквипотенциальные
линии — пунктиром.
Рассл
смотрев течение жидкости с комплексным потенциалом
F{z) = i\n
^Ь1 получили бы тот же рисунок, но с другим смыслом — линии тока
и эквипотенциальные линии поменяются местами (так как поменяются
местами действительная и мнимая части). Для этого течения, как
нетрудно подсчитать, источников не будет, но зато в точках 2^ = 0 и
^ "= 1 будут противоположно направленные вихри.

418 ИССЛЕДОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ (Гл.5
Для течения с комплексным потенциалом
в точках z = 0 и z=\ будут и вихрь и источник (и то и другое
одной мощности, но противоположного направления). Линии тока
имеют в этом случае довольно сложный характер. В простейшем
случае комплексного потенциала
F(z) = {a-{-i^)\nz (α 7^ О, β т^ 0)
линии тока и эквипотенциальные линии образуют два ортогональных
семейства логарифмических спиралей с фокусом в точке ζ = 0.
Из комплексных потенциалов, имеющих логарифмическую особую
точку, простым предельным переходом получаются комплексные
потенциалы, имеющие полюсы. Действительно, рассмотрим комплексный
потенциал
„ . . \ηζ~\η(ζ — /г) I , ζ // \ пч
Fh(z) = ^^ i___ln-_^ (/г>0).
Течение жидкости, отвечающее этому потенциалу, имеет источник
в точке z = h мощности 2тс//г и сток в точке г = О той же
мощности. Переходя к пределу при /г -> О, мы получаем, что
lim Fh {ζ)
Λ->0
ζ
Этот комплексный потенциал отвечает течению жидкости,
вызываемому соединением в одной точке z = Q источника и стока
одинаковой бесконечно большой мощности. Такого рода образование
называется иногда диполем (это название ведет свое происхождение от
электрических аналогий).
Слияние полюсов приводит нас в свою очередь к полюсам более
высокого порядка. Для представления геометрической картины линий
тока и эквипотенциальных линий в окрестности полюса достаточно
выяснить, как выглядит эта картина для функций вида
(эта картина, как легко понять, определяется старшим членом
разложения в ряд Лорана в окрестности полюса).
Картина линий тока и эквипотенциальных линий течения
жидкости, отвечающего комплексному потенциалу f B') = —, приведена на

^ 7] ТЕЧЕНИЬ ЖИДКОСТИ В ОКРЕСТНОСТИ ОСОБЫХ ТОЧЕК 419
t
one. 80. Для потенциала F{z) = — картина остается той же, но линии
юка и эквипотенциальные линии меняются местами.
Аналогично выглядят картины течения жидкости и в окрестности
полюсов более высокого порядка. На рис. 81 представлена картина
лпний тока и эквипотенциальных линий (первые сплошные, вторые
пунктирные) для течения жидкости с комплексным потенциалом F (ζ) = -^,
Особый характер имеет картина течения жидкости в окрестности
^критических точек потенциала, т. е. тех точек, где производная
потенциала обращается в нуль. Специфика этой картины по
сравнению с обычными точками в том, что через обычную точку проходит
только одна линия тока, а через критическую точку /7-го порядка —
^ -\~ 1 линий тока. Действительно, линия тока, проходящая через
точку ^0, — это та кривая в плоскости ζ, которая при отображении
b = FB') переходит в прямую, проходящую через точку Co = FBo)
параллельно мнимой оси в плоскости ζ. Если F' (^ό) Ф О, то
π окрестности точки ζ^ отображение ^== F{ζ) взаимно однозначно,
"^ такая кривая одна. Если же функция F'{ζ) имеет в точке ζ^ нуль
порядка Пу то, как мы знаем (см. § 2 гл. 4), обратное отображение
ν^Ί 1)-значно, и таких кривых п-\-\.

420 ИССЛЕДОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ [Гл. j
/4-^ /^ \
\ίΧ><
/—^ \
\ ' Ν /
\ Ι \ /
\ ) ^/
ι
/
/
/
/
χ-
Рис. 81.
Рис. 82.

КРУГ КАК ПЛОСКОСТЬ ЛОБАЧЕВСКОГО
421
Для представления картины течения жидкости в окрестности
критической точки потенциала достаточно рассмотреть картину течения
жидкости, отвечающего потенциалу
F(z) = z'' (п = % 3, ...)
(умножение на постоянную здесь не меняет картины).
Соответствующие картины при п = 2 и /2 = 3 изображены на рис. 82 и 83.
Рис. 83.
Жидкость течет по линиям, напоминающим по виду гиперболы (при
п = 2 эти линии являются обычными равнобочными гиперболами).
Течение происходит независимо в каждом из 2п углов, на которые
окрестность точки 2' = О делится линиями тока, проходяихими через
эту точку. Скорость течения в самой критической точке равна нулю.
§ 8. Круг как плоскость Лобачевского
Покажем сейчас, что в единичном круге К на комплексной
плоскости можно ввести метрику таким способом, чтобы этот единичный
^РУг превратился в плоскость Лобачевского. С этой целью
определим дифференциал dj(S неевклидовой длины дуги равенством
A)

422 ИССЛЕДОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ [Гл. ^
Тогда неевклидовой длиной кривой γ, лежащей в единичном круге /С,.
мы должны считать величину
f \dz\
7
B)
Неевклидовым расстоянием ρκ(^^ ^) между точками а w Ь
единичного круга К мы должны считать величину
\z\'
где нижняя грань берется по всем кривым, лежащим в круге К и
соединяющим точки а и Ь. Кривую, для которой эта нижняя грань·
достигается, естественно назвать прямой линией (относительно вве*
денной нами метрики).
Для того чтобы описать прямые линии геометрически, нам
удобнее всего воспользоваться следующей леммой:
Лемма 1. Неевклидова метрика, введенная равенством A),
инвариантна относительно дробно-линейных отображений круга К
на себя.
Иными словами, нам нужно доказать, что для любого дробно-
линейного отображения ζ = ζB') круга К на себя имеет место
равенство
\di{z)\ _ \dz\
в § ι мы показали, что любое дробно-линейное отображение
С = СB') единичного круга К на себя имеет вид
С (.) = .--^-^,,
где τ — действительное число, а |а|<^1. Поэтому
а
t 1 г ^^-i 12 — I ^ ~ ^^ I' ~ I ^ ~ ^ I' — (^ — ^^) О —^^) — (ζ~ά){ζ~ а)
^--\^yz)\— |i_öz|2 — \\ — äz\^ '·
_(ΐ-μΠ(ΐ-μη
Ι 1 — 02 |2
откуда уже без труда получаем равенство
1-|ζB)|^ —1.
Теорема 1. Прямыми линиями в метрике A) являются
окружности, ортогональные единичной окружности.

§ 8]
КРУГ КАК ПЛОСКОСТЬ ЛОБАЧЕВСКОГО 423
Пусть сначала точка а совпадает с центром круга К- Согласно
определению неевклидова расстояния мы должны написать
Ϊ
По очевидно, что нижняя грань интеграла в правой части равенства
достигается, когда кривая γ совпадает с прямолинейным отрезком,
идущим из центра круга в точку Ь. Это означает, что неевклидовой
прямой, проходящей через центр круга /С, мы должны считать
диаметр круга.
Далее, из инвариантности метрики при дробно-линейных
отображениях круга К на себя следует, что при таких дробно-линейных
отображениях прямые (неевклидовы) должны оставаться прямыми.
При любых дробно-линейных отображениях окружности (в частности,
прямые) переходят в окружности. Кроме того, углы при дробно-
линейных отображениях сохраняются. Следовательно, при любом
дробно-линейном отображении круга К на себя диаметр круга К
обязан перейти в окружность, ортогональную единичной окружности,
JleiKO убедиться, что других неевклидовых прямых нет
Действительно, любую точку круга К можно перевести в его центр с
помощью надлежаще выбранного дробно-линейного отображения круга К
на себя, а через центр проходит только одна неевклидова прямая (ибо
минимум интеграла, который мы рассмотрели в начале доказательства,
достигается только для прямолинейного отрезка). Теорема доказана.
Легко проверить, что неевклидовы прямые обладают свойствами:
Через каждые две точки проходит ровно одна прямая.
Две различные прямые пересекаются не более чем в одной
точке.
Через каждую точку, не лежащую на данной прямой,
проходит бесконечно много прямых, не пересекающих данную прямую.
Таким образом, пятый постулат Евклида для наших прямых не
^выполняется.
Приведем еще формулу для неевклидова расстояния между двумя
точками:
Pf^{a, /7)=-lnL —ли ^
^ \\ —аЬ — \а — Ъ\
Из этой формулы видно, что окружность круга К находится на
бесконечном расстоянии от каждой внутренней точки круга.
Ясно, что с помощью конформного отображения неевклидову
метрику можно определить не только в единичном круге, но и
β любом другом круге. Наиболее простые форм\лы получаются, если
взять в качестве круга К верхнюю полуплоскость.

г л а в а шестая
КОНФОРМНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ ОДНОСВЯЗНЫХ
ОДНОЛИСТНЫХ ОБЛАСТЕЙ
В гл. 2 мы доказали, что регулярная функция совершает
конформное отображение окрестности каждой точки, в которой ее
производная отлична от нуля. Для многих вопросов бывает нужно найти
регулярную функцию, отображающую взаимно однозначно данную
область G на данную область D. Более того, часто достаточно знать,
что такая функция существует. В этой главе мы решим вопрос о
существовании такой отображающей функции для простейшего случая,
когда обе области G и D односвязны. Именно, докажем теорему
Римапа о том, что любую односвязную область можно конформно
отобразить на конечный или бесконечный круг. Тем самым решится
и вопрос о конформном отображении любых двух односвязных
областей друг на друга. Кроме того, решим и вопрос об общем
виде отображающих функций (при заданных областях).
Если регулярная функция определяется как отображение одной
области па другую, то она определяется только внутри области.
Поэтому вопрос о поведении отображающей функции вблизи границы
области нуждается в особом исследовании, которое также будет
проведено в этой главе. Кроме того, установим связь между задачей
конформного огображения односвязной области и задачей Дирихле
(первая краевая задача теории потенциала) для этой области.
§ 1. Обсуждение теоремы Римана
и вспомогательные теоремы
Прежде всего решим вопрос, в каких случаях будет идти речь
об отображении области на конечный круг.
Теорема 1. Вся расширенная плоскость или вся
расширенная плоскость с одной выколотой точкой не может быть
конформно отображена на ограниченную область.
Это утверждение достаточно доказать для расширенной плоскости
с одной выколо'юй точкой, которую без ограничения общности можно

5 1] ОБСУЖДЕНИЕ ТЕОРЕМЫ РИМАНА 425
считать бесконечно удаленной точкой (этого можно добиться дробно-
линейным отображением).
Пусть функция ^= f{ζ) конформно отображает всю конечную
плоскость (т. е. всю расширенную плоскость с выколотой точкой
ζζ=ζοο) на какую-либо конечную область. Тогда f{z) — целая
функция, ограниченная во всей плоскости. По теореме Лиувилля (см. § 5
гл. 3) /(<г)^ const, что и показывает невозможность искомого
отображения.
Теорема 2. Любая односвязная область G имеющая хотя
бы две граничные точки, может быть конформно отображена
на область, лежащую внутри единичного круга и содержащую
начало координат внутри себя.
Пусть а W b — две различные граничные точки области О. Без
ограничения общности можно считать, что а = 0, Ь = оо (этого всегда
можно добиться дробно-линейным преобразованием). Рассмотрим
в области О аналитическую функцию у ζ (ее ветви в этой области).
Поскольку точки ζ = 0 и z = (yD не лежат в области G, эта
функция не имеет в области особых точек. Так как область G односвязна,
то в силу теоремы о монодромии нагиа двузначная аналитическая
функция y^z распадается в области G на две регулярные ветви,
отличающиеся знаком. Возьмем какую-либо из этих двух регулярных
ветвей и обозначим через Gi образ области G при отображении этой
ветвью. Это отображение заведомо взаимно однозначно, так как мы
знаем, что аналитическая функция i^z^z^ взаимно однозначно
отображает риманову поверхность квадратного корня на плоскость Zi.
Заметим далее, что область Gj имеет хотя бы одну внегинюю точку а.
ДеГ1С1иительно, часть римановой поверхности квадратного корня,
лежаи^ая над областью G, распадается на две однолистные области,
01вечающие двум регулярным ветвям ]/z в области G. Эти одно-
лис шые области отображаются аналитической функцией γ"ζ на две
области плоскости 2Ί, не имеющие общих точек. Одна из этих
областей плоскости Ζι совпадает с областью Gj, а другая симметрична ей
относительно начала координат (поскольку наши две регулярные
ßeiHii отличаются лишь знаком). Каждая внутренняя точка второй
области будет внешней точкой для области Gj. Рассмотрим теперь
Дробио-линейное отображение области
Это отображение переводит область Gi в некоторую область G2,
имеющую точку С = схэ внешней точкой. С помощью линейного
преобразования можем перевести область 0^ в область G^, лежащую
^^'Уфи единичного круга и содержащую внутри себя начало
координат. Теорема доказана.

426 КОНФОРМНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ ОДНОСВЯЗНЫХ ОБЛАСТЕЙ [Гл. ^
Из теорем 1 и 2 сразу вытекает, что односвязную область, имею·
щую хотя бы две граничные точки, нельзя конформно отобразить н»
на всю расширенную плоскость, ни на всю конечную плоскость.
Следовательно, теорема Римана гарантирует для таких областей воз«
можность конформного отображения на некоторый конечный круг.
Все конечные круги можно отобразить друг на друга с помощью
линейного преобразования. Поэтому для уменьшения произвола в
выборе отображающей функции будем говорить об отображении таких
областей на единичный круг. С целью дальнейшего уменьшения про-
извола наложим на отображающую функцию euie некоторые допол-
нительные условия. Мы видели в § 1 гл. 5, что единичный круг можно
конформно отобразить на себя с помощью дробно-линейного
отображения таким образом, чтобы любая заданная точка перешла в начала
координат и чтобы любое заданное в этой точке направление
перешло в положительное направление действительной оси. Следовательно,,
если существует функция, конформно отображаюи1ая данную область
на единичный круг, то можно дополнительно потребовать, чтобы это
отображение переводило данную внутреннюю точку области в центр-
круга, а данное направление в этой точке — в направление
положительной части действительной оси.
Подытоживая все сказанное выше, мы видим, что доказательство
теоремы Римана сводится к доказательству следующей теоремы
Теорема А. Для любой односвязной обласгти лежащей
внутри единичного круга | 2' | <^ 1 и содержащей внутри себя точку
z = (), существует регулярная в этой области функция ^^ = f(z)y
конформно отображающая эту область на единичный круг
I ζ I <^ 1 и удовлетворяющая, кроме того, условиям
/@) = 0, /'@)>0.
Доказательство этой теоремы будет содержанием следуюш.его
параграфа. Для подготовки этого доказательства нам понадобятся еще
некоторые вспомогательные результаты.
Прежде всего познакомимся со свойствами одной вспомогательной
функции, которую будем обозначать в дальнейшем через 1 = ^^у{()г
где 0<|^!<1.
Функцию τ = ψμ(^) определим следуюишми свойствами:
1. Функция τ = ψμ(^) является аналитической функцией в круге
|^|<^1 с выколотой точкой ^ = μ, в которой она имеет точку
ветвления второго порядка.
2. Функция τ = ψμ(ί) взаимно однозначно отображает на
единичный круг |τ|<^1 ту часть римановой поверхности квадрат-
ного корня (с точкой разветвления над точкой ί = μ), которая
лежит над кругом | ^ | <^ 1.
3. Для одного из элементов функции ψμ (/) в точке ^ = О вы--
полняются условия ψμ @) = 0, ψμ@)>ϋ.

§ 2] ОБСУЖДЕНИЕ ТЕОРЕМЫ РИМАНА 427
Такую функцию ψμ@ можно построить следуюи1.им способом.
Дробно-линейным преобразованием
переведем единичный круг | ^|<^ 1 в единичный круг j/j |<^ 1
(а точку ^:==: μ в точку ^1 = 0). При этом часть римановой
поверхности функции ]/^ —μ, лежаи1.ая над кругом |^|<^1, перейдет в часть
римановой поверхности функции j/^j, лежащую над кругом \t^\<^\.
^0Aка / = 0 перейдет в точку /ι = μ.
Затем взаимно однозначно отобразим с помощью функции
час1ь римановой поверхности функции ]/^i, лежащую над кругом
|fj<^l, на единичный круг \t^\<^\. При этом отображении точки
римановой поверхности v^/j, лежащие над точкой ^ι = [χ, перейдут
в точки t^ = ±a, где а = \ j/^].
С помощью дробно-линейного преобразования
1 —at.
Ήepeвeдeм единичный круг \f^\<^\ в единичный круг | τ |<^ 1 (а
точку t.i = a в точку τ = 0). Действительную постоянную α выберем
таким образом, чтобы удовлетворялось условие
ψ,:(θ)>ο.
Последовательно выражая τ через t^ и ty мы сможем написать
явное выражение для функции т = ф^(^). Впрочем, это явное
выражение нам не понадобится. Нам будет нужно лишь следующее
С150йство функции т = ф(Д^):
Лемма 1. При любом \х, 0<^|[х|<^1, β любой точке
единичного круга I ^ I <^ 1 (отличной от его центра) выполняются
неравенства
Ιψμ(ΟΙ>Κ!. ψ,:(θ)>ι.
Лля доказательства заметим, что функция ί = γ(τ), обратная к
функции τ = ψ^ (t), регулярна в круге | τ | <^ 1 (в этом проще всего
убедиться, написав для этой функции явную формулу или заметив,
'^10 псе отображения, использованные для построения функции ф^@.
довершаются регулярными функциями, если двигаться в обратном
^^орядке). Кроме того, ясно, что Ιχί"^)!^! в круге ΙτΙ^Ι. По лем-
■^ie Шварца (см. § 4 гл. 3) имеют место неравенства
IxWKiM @<|τΐ<ΐ), |χ'@)|<ι.

428 КОНФОРМНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ ОДНОСВЯЗНЫХ ОБЛАСТЕЙ [Гл. е
поскольку функция χ (τ) не является функцией вида έ'^ι. Полагая
τ = ψ^(^), получаем, что
Ι^ΚΐΨ.ίΟΙ @<μΐ<ΐ), lt;@)|>i
(поскольку, согласно определению обратной функции, χ (ψ^^^ (^)) = ^).
Тем самым лемма доказана (напомним, что ψ;1@)^0).
Нам понадобится еще одна лемма о последовательностях
однолистных функций.
Функция ^(-2') называется однолистной в области D^ если каждое
значение, принимаемое ею в области D, она принимает ровно
один раз.
Лемма 2. Если последовательность функций /j {z\ /2 ('2')> ...,
регулярных и однолистных в области G, на каждом замкнутом
множестве, лежащем в области G, равномерно сходится к
функции f{z), отличной от тождественной постоянной, то функция
f{z) тоже регулярна и однолистна в области Q.
Регулярность функции f(z) следует из теоремы Вейерштрасса
о равномерно сходящихся последовательностях регулярных
функций. Для доказательства однолистности функции f(z) возьмем какое-
либо значение а, принимаемое функцией f(z) в области G, и
выберем область Gl, лежащую в области О вместе со своей границей dGi
таким образом, чтобы значение а принималось функцией f(z) в
области Gj, но не принималось на ее границе. Тогда число ν нулей
функции f{z) — а в области G равно (см. § 3 гл. 3)
± [ f(') dz
2ш 3 / {г) — Ö
dG
Поскольку последовательность [f^{z)\ равномерно сходится к
функции f{z) на границе области Gi, функции fn{z) при достаточно
больших значениях номера η также не принимают значения а на границе
области Gj, и последовательность функций
/я ω
fn B) — ö
равномерно сходится к функции
f{z)-~a
на границе области Q^. Следовательно, -
д -. СЮ 2πί J fn B) — a 2πί У^ f (ζ) — a
dQi dGi
Интеграл
dQi

§ 2] ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ РИМАНА 429
равен числу нулей функции fn{^) —« в области Gj. В силу
однолистности функций fn{z) это число нулей может быть равно или
нулю, или единице. С другой стороны, согласно выбору области Gj,
число V не меныие единицы. Следовательно, v=l. Так как область
Ol является произвольной подобластью области G, то это означает,
что число нулей функции/(г) — а в области G равно единице.
Иными словами, функция f{z) однолистна в области G. Лемма доказана.
§ 2. Доказательство теоремы Римана
В этом параграфе докажем следующую теорему, носящую
название теоремы Римана:
Теорема 1. Любую односвязную область комплексной
плоскости можно конформно отобразить на одну из следующих
трех областей:
1. Вся расширенная плоскость,
2. Вся конечная плоскость.
3. Единичный круг.
При этом, если интересующая нас область имеет хотя бы
две граничные точки, то имеет место третий случай.
При обсуждении этой теоремы в § 1 мы установили, что
доказательство ее сводится к доказательству следующей теоремы:
Теорема 1*. Для любой односвязной области Q, лежащей
в круге i 2' I <^ 1 и содержащей точку ζ = ^, существует
регулярная в этой области функция ^=f {ζ), конформно отображающая
область G на единичный круг | ζ | <^ 1 и удовлетворяющая,
кроме того, условиям
/@) = 0, f @)>0.
Для доказательства обозначим через Ш множество всех функций
φ (г), регулярных в области G, удовлетворяющих условиям ¢¢@) = 0,
?Ч^)^0 и конформно отображающих область G на какую-либо
область, лежащую в единичном круге | С | <^ 1. Множество Ш заведомо
не пусто, так как оно содержит функцию φ B') ^2'.
Идея доказательства состоит в том, что искомая отображаюил^ая
функция ζ = /B') выделяется из функций класса Ш некоторым
экстремальным свойством. Именно, поставим следующую экстремаль-
^'Ую задачу: пусть а — произвольная фиксированная точка области
О, отличная от точки ζ = 0; требуется найти такую функцию
S^ (^) ζ ίΟϊ, для которой величина |φ(β)| была бы наибольшей.
Прежде всего мы должны доказать, что экстремальная функция
существует. Для этой цели заметим, что величина | φ (ß) | имеет точ-
^^Ую верхнюю границу α (легко видеть, что !a|^as^l). Поэтому
сугцествует последовательность функций φι B'), φ2(^), ..., принадле-
^^ащих множеству 3)ί, для которых
lim |φ^(α)ι=α.

430 КОНФОРМНОЕ ОТОБРАЖиНИЕ ОДНОСВЯЗНЫХ ОБЛАСТЕЙ [Гл. β
Так как все функции ψη{^) отображают область О на область,
лежащую в единичном круге, то \ψ{ζ)\<^\ (ζ ^ О). В силу принципа
компактности регулярных функций (см. § б гл. 3) из
последовательности {9„(<г)} можно выделить последовательность {ψη.(^)}>
равномерно сходящуюся к некоторой функции f(z) на любой замкнутой
части области G. Для этой функции
1/(а)|= lim |φ„ (α)]=ζ=α.
Кроме того, из выполнения условий φ„ @) = 0, φ«. @)^0 следует,
что f@) = Oy Г@)^0, а, согласно лемме 2 § I, функция f(z)
однолистна в области G как предел последовательности однолистных
функций ψη (ζ) (легко видеть, что f(z) не является тождественной
постоянной, ибо /@) =1= О, а 1 /(а) \=а :^ 0). Ясно также, что | f(z) \ ^^ 1
при г ζ G. Следовательно, функция f(z) конформно отображает
область Q на некоторую область, лежаихую в единичном круге, т. е.
f(z) ζ 5)?, так что существование экстремальной функции в
множестве Ш доказано.
Теперь докажем, что эта экстремальная функция f(z) осуществляег
конформное отображение области G на единичный круг. Допустим
противное. Тогда образом области G при отображении ζ = /(ζ)
будет некоторая область Н, лежащая в единичном круге 1С|<^1, но
не совпадающая с ним. Это означает, что существует точка μ,
0<^|μ|<^1, не принадлежащая области Н. Рассмотрим функцию
где ^^{ζ) — вспомогательная функция, построенная в предыдущем
параграфе.
Легко убедиться, что φ (ζ) ^ 3}ϊ. Действительно, во-первых,
функция φ (г) аналитична в односвязной области G и не имеет особых
точек (ибо единственной особой точкой функции φμ@ является
точка ^ = μ, а функция f{z) не принимает значения μ в области О),
так что по теореме о монодромии она регулярна в области G. Во-
вторых, отображение ζ = φB') взаимно однозначно, как
суперпозиция двух взаимно однозначных отображений ζ = ψ^^^(^) и t=f(z),
причем образ области G при отображении лежит в единичном круге
|С|<^1. Наконец, выполнение условий φ @) = 0, φ'@)^0, очевидно,
следует из выполнения аналогичных условий для функций ^^^(t) и f(z).
Но в силу леммы 1 имеем неравенство
|φ(«)Ι = Ιψμ(/(«))Ι>1/(αI·
Это неравенство противоречит свойству экстремальности функции
A=/(/), согласно которому величина \f(a)\ является наибольшей для
всех функций множества ä)i. Полученное противоречие показывает,
что функция ζ =/B') конформно отображает область G на весь
единичный круг |ζ|<^1.
Тем самым теорема полностью доказана.

^2] ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ РИМАНА 431
Заметим, что | φ(а)\ не единственная величина, которая достигает
CIU его наибольшего значения в классе Ш для отображающей
функции. С тем же успехом мы могли бы использовать и величину φ'@).
:-I0 не потребовало бы никакого изменения рассуждений, только
иместо неравенства | ψ^^^ (^)| ^ | ^ | пришлось бы использовать
неравенство ψ5ΐ@)> 1.
Основной недостаток приведенного доказательства — это то, что
оно является чистым доказательством существования и не
предлагает конструктивного способа построения отображаюихей функции.
Мы можем предложить вполне конструктивное построение последо-
пательности функций, равномерно сходящейся к отображающей
функции на любой замкнутой части области G, но для доказательства
сходимости этой последовательности понадобится использовать уже
доказанное существование отображающей функции.
Интересующую нас последовательность можем построить
следующим образом:
Положим
φθ(^) = ^, Ф;г+1(^) = Ф:х^(?/г(^)) (/2 = 0, I, 2, . . . )>
где ι^η — ближайшая к началу координат точка границы области
Ип — образа области Q при отображении ζ = φ^B^) (если таких
точек несколько, то обозначаем через μ^ любую из них). Как и в
изложенном выше доказательстве, убеждаемся, что все функции ψη{^)
принадлежат классу ?Л. С помощью леммы 1 § 1 легко
доказывается также, что | [х^^ |-^ I при п->сю.
Для доказательства сходимости последовательности {ψη{^)\
Рассмотрим последовательность функций
где f{z) — функция, отображающая область Она круг |С|<^1 (ветвь
логарифма выделяем условием, что величина к^ф) действительна).
Из однолистности функций ψη{^) и отображаюи1ей функции f{z)
вытекает, что функции ' ^ ^ не обращаются в области О ни в нуль,
ИИ в бесконечность. Следовательно, hn(z) — аналитические в одно-
связной области Q функции, и по теореме о монодромии они регу-
•^ярны в области О. Из того, что функция С=/(г) конформно
отображает область О на единичный круг |ζ|<^1, следует, что при г,
стремящемся к границе области G,
lim 1/(^) 1=1,
3 li силу определения числа μ^ должны иметь место предельныз
соотношения
1 [хИ ^ Иш 1 φЛ^) I ^ Ihn 1 φЛг) I ^ 1

432
КОНФОРМНОЕ ОТОБРАЖЕНИИ ОДНОСВЯЗНЫХ ОБЛАСТЕЙ
[Гл. 6
(при Z, стремящемся к границе области G). Поэтому при ζ,
стремящемся к границе области G, имеем
In I α,
lim In
?/гB^)
/ω
: lim In
?/гB)
/ω
0.
Поскольку In I [1д 1 -> о при п->оо, отсюда вытекает, что
последовательность гармонических функций
I ?/г (^) I
Rehn(z) = \n
fi^)
в силу принципа максимума и минимума (см. § 9 гл. 3) должна
равномерно сводиться к нулю в области G. Поскольку функции hn(z)
при z=^-{) по условию действительны, /г^@)->0 при п->сю и
применяв, хеорему 3 § 9 гл. 3, получаем, что последовательность {h^(z)}
равномерно сходится к нулю в любой замкнутой части области Q,
Это означает, что последовательность {^п(^)} равномерно сходится
к функции f(z) в любой замкнутой части области G.
§ 3. Непрерывная зависимость отображающей функции
от области
Идею, использованную во втором доказательстве теоремы Римана,
можно использовать и для доказательства теоремы о непрерывной
зависимости отображающей функции от области.
Мы будем говорить, что последовательность областей {0^}
сходится изнутри к области G, если выполнены условия:
1. Все области Qp G^, ... лежат в области G
2. Любое замкнутое множество Е, лежащее в области G, лежит и во
всех с"'^астях G,p начиная с некоторого номера.
Предположим, что дана, последовательность областей {G/^}, схо-
дяпхаяся изнутри к области G, и что все области G^ содержат
некоторую точку а. Кроме того, предположим, что области G^ и G одно-
связны и имеют не меньше двух граничных точек.
Тогда справедлива
Теорема 1. Последовательность функций φ^ (ζ), конформно
отображающих области On на единичный круг и
удовлетворяющих условиям A^^@)=^^, φ^(α)^0, равномерно сходится на
любой замкнутой части области G к функции ^(ζ), конформно
отображающей область G на единичный круг.
Договоримся обозначать через %{ζ) функцию, обратную к
функции φ^ (ζ), а через ψ (ζ) — функцию, обратную к функции φ (ζ). Через
Dfi обозначим образ области G^ при отображении w==^~(d{z).
Покажем, что последовательность областей Dn стремится изнутри к
единичному кругу |'ш|<^1. Действительно, во-первых, области Dn лежат
в единичном круге |tß^l<^l, так как области G^ лежат в области 0>

§ 3]
ЗАВИСИМОСТЬ ОТОБРАЖАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ ОТ ОБЛАСТИ 433
ii отображение w = (y{z) переводит область G в единичный круг.
Во-вторых, любое замкнутое множество £"*, лежащее в единичном
круге \w\<^\y является образом при отображении t:c^ = φ (г)
некоторого замкнутого множества Е, лежащего в области G, так что свой-
1:1 но 2 также выполняется.
Если обозначить через р^^ расстояние от точки w = 0 ло границы
области Dn, то сходимость последовательности областей Dn к
единичному кругу означает, что рп^^^ при п^^сю.
Рассмотрим последовательность функций
^=Л(С)^ Λ@ = φ(ψ.@).
Э1И функции конформно отображают единичный круг |Cj<^l на
области Dn и удовлетворяют условиям /^@) = 0, /^@)^0.
Поскольку области Dn сходятся к единичному кругу изнутри, для этих
функций справедливы предельные соотношения
р,^ lim |/ЛСI^1^1/Л01^Ь
Рассматривая последовательность функций
/гЛ0 = 1п^ (Imhn {0) = 0),
регулярных в круге |С|<^1, легко убеждаемся, как и в конце
предыдущего параграфа, что
sup I Re hn (О 1-^0, /г^ @) -> О {п^ со),
а отсюда с помощью теоремы 3 § 9 гл. 3 выводим, что последо-
ва!ельность {hniz)] равномерно сходится к нулю в любой замкнутой
част единичного круга |ζ|<^1. Следовательно, последовательность
{//г@} равномерно сходится к С в любой замкнутой части
единичного круга, а последовательность ψη{^) равномерно сходится к функ-
Ш4И φ (ζ) в любой замкнутой части области G. Теорема доказана.
Заметим, что в этом доказательстве мы могли не считать заранее
известным существование функции φ (ζ), конформно отображаюид.ей
область G на единичный круг. Ее существование легко выводится
с помощью принципа компактности регулярных функций и леммы 2 § 1.
Действительно, по принципу компактности из последовательности
{9^(^^)} можно выделить сходящуюся подпоследовательность. Предел
эчои подпоследовательности по лемме 2 будет однолистной в
области G функцией (если этот предел отличен от тождественного нуля,
ϊ^ чем легко убедиться). Из того, что функции <γη(^) конформно
отображают области G^ на единичный круг, легко вывести, что
предельная функция будет отображать область G, в которой она регу-
Щ^пг и однолистна, тоже на единичный круг, а не на меньшую
область.

434 КОНФОРМНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ ОДНОСВЯЗНЫХ ОБЛАСТЕЙ [Гл.
Сделанное замечание полезно при построении других доказа
тельств теоремы Римана. Опираясь на это замечание (и на теорему 1),
можем доказать сначала теорему Римана только для таких областей,
с помощью которых можно приблизить любую другую область.
Тогда мы сможем заключить, что отображающая функция
существует и для тех областей, которые можно приблизить.
Теорему 1 можно обобщить и на последовательности областей,
сходящихся к области G не только изнутри. Рекомендуем читателю
Рис. 84. Рис. 85.
исследовать вопрос о сходимости отображающих функций для
областей, изображенных на рис. 84 и 85, когда перешейки сжимаются
(для второй области можно написать отображение в явном виде).
§ 4. Единственность отображения
Убедимся теперь, что отображающая функция, удовлетворяющая
поставленным условиям, только одна.
Теорема 1. Пусть а — некоторая точка односвязной облй"
сти Q (имеющей не менее двух граничных точек). Функция ζ = /(ζ)*
конформно отображающая область Q на единичный круг I ζ | <^ Ь
однозначно определяется условиями /(а) = 0 и /'(а)^0.
Допустим, что ζ = /ι(ζ) и ζ = /2 (г) — две функции, конформно
отображающие область Q на единичный круг | ζ | <^ 1 и
удовлетворяющие условиям
/i(ß) = 0, /;(α)>0, A(ß) = 0> /2(ß)>0.
Обозначим через ζ = χι(ζ) функцию, обратную к функции ζ,=/ι(ζ)
и рассмотрим функцию
φ@=Λ(χι@).
Ясно, что функция w = (y(Q конформно отображает единичный круг
I ζ I <^ 1 на единичный круг [ t:c; | <^ 1 и удовлетворяет условиям

^ 41 ЕДИНСТВЕННОСТЬ ОТОБРАЖЕНИЯ 435
.^@)==0, φ'@)>0. функция
lie обращается в нуль в круге | С | <^ 1 (в силу однолистности
функции φ@)> а при ζ, стремящихся к границе этого круга,
lim \gQ\ = \.
в силу принципа максимума и минимума модуля регулярных функций
(см. § 4 гл. 3) эта функция должна быть постоянной, равной по
модулю единице, а из условия φ'@)^0 следует тогда, что эта
функция равна единице, т. е. что φ(ζ)^ζ. Это означает, что
/j (г) ΞΞЛ (г), и теорема доказана.
Можно доказать и гораздо более общую теорему, не
использующую условие односвязности области. Именно:
Теорема 2. Пусть а — некоторая точка ограниченной
области О. Если функция f{z) конформно отображает область Q
на себя и удовлетворяет условиям /(α) = α, f{a)^0, то /(ζ)ξξζ,
Без ограничения общности можно считать, что /'(а)^1, так как
в противном случае мы могли бы взять вместо f(z) обратную к ней
функцию. Поэтому ряд Тейлора для функции f(z) в окрестности
T04jvH z = a имеет вид
f(z) = a'\-Ci{z —а)-[-c,2{z — af -[-..., c^^l.
Для доказательства того, что Ci=l, заметим, что функции
л {z) = f(fiz)), h {ζ) =/(/, {ζ)), ...
также совершают конформное отображение области G на себя.
Разложение функции fn{^) в ряд Тейлора в окрестности точки z = a
имеет вид
fn{z) = a-\-cri{z — a)-\-,..
Если обозначить через Αί диаметр нашей ограниченной области G,
то, учитывая, что точка ζ = α лежит в области G, легко получаем
неравенство \fn{^) — а\^М (значения функции fn{z) лежат в обла-
<^ти G). Обозначая через ρ радиус наибольшего круга с центром
^ точке z = ay лежащего в области G, можем написать неравенство
\fn{a)\ = \{h{z)~ay^^a\^~
(см. § 5 гл. 3). Так как fn{a) = c^y то это означает, что при любом η
справедливо неравенство
с?^ — .
отсюда немедленно вытекает, что q=l.

436 -КОНФОРМНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ ОДНОСВЯЗНЫХ ОБЛАСТЕЙ [Гл. $
Остается доказать, что все остальные коэффициенты в ряде для
функции f{z) равны нулю. Допустим противное. Тогда разложение·
в ряд Тейлора для функции f{z) можно записать в виде
f{z) = a-{-{z~-a)-\-c^{z~aY-\-.,,, с, φ О,
По индукции легко доказывается, что разложение в ряд Тейлора
для функции f\i {ζ) в этом случае имеет вид
/^ {ζ) =^ а -\- {ζ ~- а) -\- nc^{z -— αΥ -\-... (η = 2, 3, ...).
Согласно уже упоминавшимся выше неравенствам § 5 гл. 3 мы
получаем, что при любом η
пс\ =
-/Н(а) =4
-^jdfn(^) ~ α),^α
Μ
9''
Так как число η произвольно велико, то это неравенство означает^
что с^ =: 0. Противоречие с предположением с^ т^ О доказывает, что
f(z)^z. Теорема доказана.
Заметим, что в доказанной теореме условие ограниченности
области легко заменить более слабым условием:
Граница области G имеет хотя бы одну компоненту (т. е.
связную часть), состоящую более чем из одной точки.
Для доказательства теоремы с таким ограничением на область Q
достаточно заметить, что в этом случае область G можно конформно
отобразить на область, лежащую в единичном круге (см. теорему 2
§ 1)·
§ 5. Соответствие границ при конформном отображении
Когда мы говорили о конформном отображении областей, мы все
время имели в виду взаимно однозначное соответствие между
внутренними точками этих областей. Однако во многих вопросах бывает
необходимо знать свойства отображаюш,их функций вблизи границы
области. Мы уже неоднократно пользовались следующим очевидным
утверждением:
Если функция ^= f(ζ) конформно отображает область О
на область Г, то при стремлении точки ζ к границе области О
точка ζ=/(ζ) стремится к границе области Г.
Однако мы не имели при этом в виду, что при стремлении
точки ζ к определенной точке границы области Q точка (, = f(z)
стремится к определенной точке границы области Г.
Тем не менее это более сильное утверждение тоже справедливо
при некоторых довольно естественных ограничениях на характер
границы областей G и Г. Основной целью настоящего параграфа
будет доказательство подобного рода результатов.

§51
СООТВЕТСТВИЕ ГРАНИЦ ПРИ КОНФОРМНОМ ОТОБРАЖЕНИИ
437
Теорема 1. Пусть G и Г — односвязные области, каждая
из которых ограничена простой замкнутой кусочно-гладкой
кривой (обозначим их .S и Σ соответственно). Тогда функцию
l^==:f{z), конформно отображающую область G на область Г,
можно продолжить по непрерывности на замыкание области Cr
и продолженная функция ζ=/{ζ) устанавливает взаимно одно-
значное и взаимно непрерывное соответствие между точками
замкнутых областей Q и Г.
Рис. 86.
Для доказательства этой теоремы достаточно доказать, что для
любой точки Po^S существует предел функции f(z), когда точка ζ
стремится к точке Ро' оставаясь в области Q (ясно, что этот предел
обязан быть точкой границы области Г). Действительно, в этом случае
мы сможем доопределить функцию f{z) в точках границы области Gee
предельными значениями, и доопределенная функция необходимо
будет непрерывна в замкнутой области G. Поскольку области G и Г"
можно поменять местами, будет
непрерывна в замк[1утой област!] Г и функцгш,
обращая к функции f(z). Это и означает,
что отображение замкнутой области G
на замкнутую область Г, устанавливаемое
функцией f{z), взаимно однозначно и
взаимно непрерывно.
Итак, будем доказывать, что в
каждой точке Ро(~ S существует предел
функции f{z), когда точка ζ
стремится к точке Pq, оставаясь в области G.
Допустим противное. Тогда существуют такие две
последовательности точек
Wn}^ {4Ь ^п^О, Zn^G, п= 1,2,.., у
-^-^iH которых
lim z'n~
lim Zfi--
-.P„ \imfiZn) = Q', lim/D)=:Q"
(Q' ^ Q").

438 КОНФОРМНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ ОДНОСВЯЗНЫХ ОБЛАСТЕЙ (Гл,
Для дальнейшего будем обозначать
Без ограничения общности можем считать, что
\Q'n~-Qn\^^>^ (^=1, 2, 3, ...).
Более того, мы можем провести через точки Q[, Q.2, ... кривую L'
а через точки Q[, Q^, ... — кривую L" таким образом, чтобрл
расстояние между этими кривыми было не меньше некоторой
положительной постоянной β (и чтобы обе эти кривые лежали в области Г)
Обозначим через R наименьшее h'j двух расстояний \z[ — Р^\ и
I zl — Po Ι· Прообразы кривых С и L" в области G обозначим через γ'
и γ". Ясно, что кривые γ' и γ" проходят через точки ζ'η и ζ'^
соответственно, так как их образы — кривые L' и L" — проходят через
образы этих точек. Следовательно, кривые γ' и γ" пересекают все
окружности \ζ — Р^^ = г при любом г <^ R. Точку первого
пересечения кривой Υ (при движении от точки ζ^) с окружностью \ζ — Р^\ = г
обозначим через Pf, а первую точку пересечения кривой γ" с
окружностью \ζ — Pq I = г — через Р**. Образы точек Р* и Р** обозначим
через Qr и Q^*. Поскольку точки Q* и Q** лежат на кривых С и
L·' соответственно, имеет место неравенство
p^iQ".-Qn = |5 f{z)dz\^\^ \r{z)\dz.
где последний nnrei рал взят по дуге окружности \z — Ро| = г
лежандей в области G. Для его оценки воспользуемся неравенством
Шварца
положив в этом неравенстве /г = |/'(г)|, а ^=1. Замечая, что инте
грал
\\dz\
равен длине дуги Кг и потому не превосходит 2тсг, приходим к не
равенству
ψ i£S 2irr 5 I /' {ζ) f \ dz j.
Деля обе части этого неравенства на 2ur и интегрируя по г от не
которого ε^Ο до R, получаем, что

^51
СООТВЕТСТВИЕ ГРАНИЦ ПРИ КОНФОРМНОМ ОТОБРАЖЕНИИ 439
Последний интеграл в этой формуле распространен на область D/^,
^•ocioHHiyio из пересечения круга \z — P^\<^R с областью Q.
Согласно формуле, полученной нами в конце § 8 гл. 2, этот интеграл
р;1иеп плои1ади образа области Di^ при конформном отображении
•(-—f{z). Эта площаль не зависит от числа ε^Ο и не превосходит
п;и^п1ади всей области Г. Таким образом, мы пришли к выводу, что
ве.'пчина —In— при любом ε ^ О не превосходит некоторой
конечно!; величины — площади области Г. При β^Ο это невозможно.
Полученное противоречие доказывает наше утверждение, а вместе
с цпм и теорему.
Мы провели доказательство теоремы о соответствии границ
при конформном отображении для случая, когда области G и Г
огра!шчены простыми замкнутыми кусочно-гладкими кривыми и притом
одиосвязны. Однако сама идея доказательства пригодна и для гораздо
более общего случая. Сделаем сначала ряд замечаний, относящихся
к простейшим обобщениям доказанной теоремы.
Замечание 1. Утверждение теоремы полностью сохраняет силу
и для конечносвязных областей, ограниченных конечным числом
простых замкнутых кусочно-гладких кривых. Действительно, такие
облас1и можно разрезать на конечное число односвязных областей
и npiiMefiHTb теорему 1 к каждой из частей.
Замечание 2. Пусть области G и Г имеют в составе своих
границ кусочно-гладкие дуги 5 и Σ соответственно, и пусть при
коп(|к)рмном отображении ^ = f (ζ) области G на область Г дуга 5
переходит в дугу Σ, т. е. точка '^^ = f{z) стремится к дуге Σ, когда
точка ζ стремится к дуге Ä Тогда при ζ, стремящемся к любой
зада1пюй точке Ρ дуги 5* функция f{z) имеет предел.
Для. доказательства этого замечания нужно В1>1резать из области Q
'iscib, примыкающую к дуге 5, и применить теорему 1.
Из замечания 2 немедленно вытекает одно дополнение к принципу
симметрии Римана—Шварца:
Ί е о ρ е м а 2. Пусть каждая из областей G и Τ имеет в сое-
fnaee своей границы по аналитической дуге (см. § 3 гл. 4) 5 гг Σ
^(^ответственно. Если при конформном отображении i=f{z)
области Q на область Г дуга S переходит в дугу Σ, то функцию
Н^) можно аналитически продолжить через дугу S за пределы
области Q.
Перейдем теперь к обсуждению случая, когда области G и Г
ivieioT границу произвольного устройства. В этом случае нуждается
изменении сама формулировка теоремы 1. Дело в том, что уже

440 КОНФОРМНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ ОДНОСВЯЗНЫХ ОБЛАСТЕЙ
[Гл. I
ДЛЯ весьма простых областей, граница которых не является простои
замкнутой кривой, теорема 1 неверна. Например, пусть область G-^
это круг \z\<^\ с разрезом по радиусу (О, 1), а область Г — круг
|С|<^1. Ясно, что функцию С=/(г), конформно отображающую
область Q на область Г, нельзя продолжить по непрерывности на
замыкание области G (т. е. на весь круг |г|^1), так как в этом
случае функция f(z) по теореме 1 § 3 гл. 4 была бы регулярна
в единичном круге | ζ | <^ 1 и конформно отображала бы на круг
|ζ|<^1 не область G, а круг 1,г|<^1.
Для формулировки теоремы, обобщающей теорему 1 на случай
областей с произвольной границей, нам понадобится ввести одно
новое понятие.
Достижимой граничной точкой, лежащей над точкой Q границы
■области G, назовем совокупность точки Q и простой кривой С
с концом в точке Q, лежащей в области G (за исключением ее конца).
При этом две кривые С и С (оканчивающиеся в точке Q) будем
считать определяющими одну и ту же достижимую граничную точку,
если при любом р^О они попадают в одну и ту же связную часть
пересечения области G с кругом \ ζ — Q ! <С Ρ·
Интересно заметить, что достижимые граничные точки можно
рассматривать и как точки границы в обычном смысле, если ввести
в области следующее понятие расстояния между точками:
Расстоянием по области Q между точками Ζχ ζ G и ζ^^ Q
будем называть точную нижнюю границу диаметров ломаных, лежащих
в области G и соединяющих точки Ζι и ζ^ *).
При таком определении расстояния между точками каждая фун-
ламен1альная последовательность точек области (не имеюния
пределом точку области) определяет достижимую граничную точку
области.
В рассмотренном выше примере круга \ ζ\<^\ с разрезом по
радиусу (О, 1) каждой точке радиуса (О, 1) отвечают две достижимые
гра1Н1чные точки — по одной на каждом краю разреза.
Теорема о соответствии границ может быть распространена на
случай, когда границы областей G и Г состоят только из достижимых
граничных точек. Это означает, что для такого случая можно доказать
существование предела отображающей функции в каждой достижимой
граничной точке и равномерную (в смысле расстояния по области)
непрерывность отображающей функции.
Доказательство переносится на этот случай почти полностью.
Единственно, о чем нужно дополнительно позаботиться, — это о разум-
*) Метрика, определяемая в области G таким способом, называется?
-метрикой Мазуркевича.

^πΐ
ФУНКЦИЯ ГРИНА и ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ 441
110М определении дуги Кг окружности \ζ — Р^1 = г, так как для
справедливости неравенства
\\riz)dz\^\\riz)\\dz\
необходимо, чтобы точки Р* и Р** лежали на дуге Кг Дугу Кг
вполне можно определить следующим образом: проведем в точку Р^
какую-либо кривую С, определяющую данную достижимую граничную
точку; из первой точки пересечения кривой С с окружностью
I ^ — р^\ = г идем в обе стороны по этой окружности до первой
встречи с границей области. Легко видеть, что для односвязной
области такая конструкция дуги Кг позволяет провести остальную
часть доказательства теоремы.
В связи с достижимыми граничными точками упомянем без
доказательства один теоретико-множественный результат:
Если область G ограничена простой замкнутой кривой, то ее
граница состоит только из достижимых граничных точек,
причем над каждой точкой границы лежит ровно одна достижимая
граничная точка^).
Из этого результата и из проведенных выше рассуждений видно,
что теорема 1 остается в силе, если отбросить требование, что
граничные кривые областей G и Г являются кусочно-гладкими.
На исследованиях недостижимых точек границы мы
останавливаться не будем. Ограничимся рис. 58, на котором демонстрируется
область, имеющая недостижимыми граничными точками точки
вертикального отрезка (О, ~J.
§ 6. Функция Грина и задача Дирихле
Пусть G—односвязная область, ограниченная простой кусочно-
гладкой кривой. Обозначим через φ (г, ζ^ функцию, конформно
отображающую область G на единичный круг и удовлетворяющую условиям
?(% ^о) = 0> ТИ^ ^о)>0 A)
(^0 — некоторая точка области G). Как мы знаем из теоремы 1 § 4^
эта функция определяется единственным образом.
Функцию
g{z, z^) = g{z, Zq] G) = ln|φ(z, zj\
д, , ) См., например, статью Каратеодори: Untersuchungen über die konformen
^DDildungen von festen und veränderlichen Gebieten, Math. Ann. 72 A912).

442 КОНФОРМНОЕ отображение односвязных областей
[Гл. β
будем называть функцией Грина задачи Дирихле для области Q
или просто функцией Грина (с указанием на область, если это
необходимо).
Заметим, что в определении функции Грина можно требовать,
чтобы отображающая функция φ (г, ζ^ удовлетворяла лишь первому
из условий A). Действительно, отображающие функции,
удовлетворяющие лишь первому из условий A), могут отличаться от функции,
удовлетворяющей обоим условиям A) лишь постоянным множителем t'*
(число τ действительно). На значение логарифма модуля отображающей
функции этот множитель, очевидно, не влияет.
Поскольку функция
? {^^ 2Ό)
регулярна в области ö и не обращается в нуль, регулярна в
области G и функция /г (^) = In φι (г, ζ^) (по теореме о монодромии).
Следовательно, действительная часть этой функции
Re/i(^) = ln
φ(^. ^о)
= Т(^' ^о)
гармонична в области G. Таким образом, функцию Грина можно
представить в виде
g{z, ζ^) = \η[ζ — ζ^\-\-^{(ζ, ζ^Ι B)
где γ (ζ, Zq) — гармоническая в области Q функция переменной ζ.
Далее, поскольку функция ^=== φ (^, z^) конформно отображает область О
на единичный круг, \^{z, Zo)|—> 1, когда точка ζ стремится к
границе области G. Поэтому
g{z. Zo)->0, C)
когда точка ζ стремится к границе области О.
Заметим, что свойства B) и C) полностью определяют функцию
Грина g{Zy 2ό; О). Действительно, разность двух функций, удовлет-
воряюид.их условиям B) и C), была бы гармонична в области Ot
непрерывна в замыкании области Q и обращалась бы в нуль при Zf
лежащих на границе области Q. По принципу максимума и минимума
гармонических функций эта разность была бы тождественно равна нулю.
Из сказанного вытекает, что функцию Грина можно найти, решив
в области Q задачу Дирихле с граничными данными — \n\z — -з^о | (т. е.
построив гармоническую в области Q и непрерывную в ее замыканий
функцию 7B", ^о), принимаюн1ую на границе области Q значения
—In \z — 2ό|) и прибавив к полученному решению слагаемое In \z — ^οΙ·

^ Π] ФУНКЦИЯ ГРИНА и ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ 443
Пусть теперь имеем две односвязные области G и G*, ограниченные
простыми кусочно-гладкими кривыми, и пусть f(z) — какая-либо
функция, конформно отображающая область G* на область G. Покажем, что
функции Грина, отвечающие этим областям, связаны соотношением
giz. ζ,; 0^)== gif (ζΐ /(^ο); Ο). D>
Действительно, если φ (г, Zq) — функция, конформно отображающая
об^^асть О на единичный круг и удовлетворяющая условию φBΌ, Ζο) = 0^
JO функция φ* (^) = φ (/(<г), /(^ο)), очевидно, отображает область G*
на единичный круг и удовлетворяет условию φ*BΌ) = 0. Отсюда
немедленно вытекает равенство D).
Функция Грина допускает наглядную гидродинамическую
интерпретацию. Будем рассматривать границу области G как твердую
гладкую стенку. Если в точке ζ^ζ^Ο поместить вихрь мощности 2π, то
установившееся течение жидкости в области G, созданное этим вихрем^
будет описываться комплексным потенциалом
Ρ(ζ)^ί\Ώψ(ζ, Ζο).
Линии тока этого течения жидкости будут линиями уровня функции
Грина (функция Грина будет потенциалом тока этого течения).
Ясно, что по функции Грина g(z, Zq, G) можно восстановить
функцию φ (г, Zq), отображаюихую область G на единичный круг и
удовлетворяющую условию φ (zq, Zq) = 0. Действительно, по функции
γ (г, Zo)=:g(Zy ^0)-1111^-^01,
гармонической в области G, мы можем построить сопряженную с ней
гармоническую функцию δ (Zj Zq). Тогда
φ (г, Zo) = exp{^{Zy Zo)-\-ib(z, Ζο)}·{ζ — Ζο).
Произвольное постоянное слагаемое, входящее в функцию Ь (г, ^ό),
можно определить, если потребовать, чтобы функция φ (г, ^ό)
удовлетворяла еще и условию ψζ{^ο> ^о)^^-
Построение функции Грина сводится, как мы видели, к решению
некоторой специальной задачи Дирихле. Однако, зная функцию Грина,
^Ь1 можем получить решение задачи Дирихле и с произвольными
граничными данными на границе области G. Действительно, зная функ-
^^^^ю Грина, мы знаем тем самым функцию, конформно отображающую
область G на единичный круг. Если на границе области G задана
произвольная граничная функция, то, совершая конформное отображение
области Q на единичный круг, получаем, согласно теореме о
соответствии границ при конформном отображении, некоторую граничную
функцию на окружности единичного круга. По этой граничной функ-
^^ни мы можем решить задачу Дирихле для круга с помощью

444 КОНФОРМНОЕ отображение односвязных областей
[Гл.6
интеграла Пуассона (см. § 10 гл. 3). Совершая обратное
отображение единичного круга на область О, получаем искомое решение задачи
Дирихле.
Кстати, укажем на формулу, позволяюш,ую получить решение задачи
Дирихле непосредственно через функцию Грина (в этой формуле функ<
ция Грина считается известной для всех Zq ζ G). Эта формула имеет
вид
п (^о) = - ^ ^ ψ (^) 0^ ^(^' ^о) ds. E)
с
Здесь через ψ E) обозначена граничная функция, рассматриваемая
как функция от длины дуги 5 граничной кривой С (отсчитываемой
от некоторой точки), а через ^ дифференцирование по
направлению внешней нормали к граничной кривой.
Подробного доказательства формулы E) мы приводить не будем.
Читателю, желающему получить доказательство этой формулы
самостоятельно, можно рекомендовать провести следующую идею: представить
интегральную формулу Пуассона в виде формулы E), а затем заметить,
что формула E) сохраняет свой вид при конформных отображениях.
До сих пор мы рассматривали задачу Дирихле лишь в случае, когда
граничная функция ψ E) является непрерывной функцией на граничной
кривой. Однако для написания формулы Пуассона не имело значения,
является ли граничная функция непрерывной или имеет точки
разрыва, оставаясь ограниченной и интегрируемой. Поэтому, естественно,
возникает желание сформулировать постановку задачи Дирихле таким
образом, чтобы допускались и разрывные граничные данные.
Будем предполагать область G ограниченной конечно-связной
областью с границей, состоящей из конечного числа простых замкнутых
кривых. Граничную функцию φ {ζ), заданную на этих кривых, будем
предполагать имеющей конечное число разрывов первого рода (т. е.
пределы функции при приближении к точке разрыва справа и слева
существуют, но не обязаны совпадать между собой или со значением
функции в точке разрыва).
Решением задачи Дирихле в области Q для граничной
функции φ (г) будем называть гармоническую в области Q функцию u{z)i
ограниченную во всей области О сверху и снизу и имеющую в
каждой точке граничной кривой области G, являющейся точкой
непрерывности граничной функции φ (-г), предел, равный значению
граничной функции в этой точке.
Теорема 1. При сделанных предположениях относительно
области Q и относительно граничной функции решение зада*и^
Дирихле (если оно существует) единственно.

§ 61 ФУНКЦИЯ ГРИНА и ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ 445
Действительно, пусть iii{z) и iu,{z) — два решения задачи Дирихле
(с одной и той же граничной функцией φ (ζ)). Обозначим
и (ζ) = Г/.2 (ζ) Wj (ζ).
Функция и (ζ) гармонична и ограничена в области G. В каждой
точке границы области G, за исключением точек разрыва граничной
функции φ (ζ) функция и (ζ) имеет предел, равный нулю. Обозначим
через üky ^=1,2,...^, все точки разрыва граничной функции φ (г)
и рассмотрим функцию
η
Μ
ii,{z) = 11 (ζ)— Β^^^Ιη
k=\
где число ε^Ο произвольно, а Μ — диаметр области О. Ясно, что
при всех ζ ^G имеет место неравенство
и, {ζ) ^ и {ζ).
Кроме того, нетрудно заметить, что в любой точке границы области О
функция «3 {ζ) имеет неположительный предел. Действительно,
единственное сомнение могли бы вызвать точки ζ^=α^^ но в них lim ii^{z) =
= — оо. Так как ф^ункция и^ (ζ) гармонична в области О, то из
принципа максимума следует, что
Это неравенство справедливо при любом ε^Ο, и, переходя к пределу
при ε->0, получаем, что
u{z)^0 {ζ ζ G).
Рассмотрев функцию — и (г), мы совершенно аналогичным
рассуждением докажем неравенство
и (ζ) ^0 {z^ G).
Следовательно, и (ζ) ^0, т. е. Ui{z)^u,i{z)y и теорема доказана.
Для случая односвязной области G изложенные выше соображения
позволяют решать задачу Дирихле не только с непрерывными
граничными данными. Формула E) также вполне пригодна для этой цели.
Ограниченность получаемого с помош.ью интеграла Пуассона решения
задачи Дирихле непосредственно вытекает из положительности ядра
в интегральной формуле Пуассона. Действительно, это обстоятельство
позволяет получить оценку для интеграла, заменив граничную
функцию ее наибольшим (или наименьшим) значением.
Для того чтобы представить себе поведение гармонической функ-
П-ии и (ζ), решающей задачу Дирихле для разрывной граничной функ-
п^ии в окрестности точки разрыва этой граничной функции,
рассмотрим функцию
Uq{z) = arg ζ

446 КОНФОРМНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ ОДНОСВЯЗНЫХ ОБЛАСТЕЙ [Рл. ^
В верхней полуплоскости. Функция Uq{z) является гармонической функ-
цией в верхней полуплоскости. На положительной части действитель·
ной оси ее можно считать равной нулю. Тогда на отрицательной части
действительной оси она равна π. При стремлении точки ζ к началу-
координат функция ιΐο(ζ) предела не имеет. Однако при стремлении
точки ζ к началу координат по некоторой кривой, имеющей касатель·
ную в точке ^ = О, функция ιΐ(^{ζ) стремится к значению, равному
величине угла, образуемого этой касательной с положительным
направлением действительной оси. Имея в виду разобранный пример^
мы легко сможем доказать следующее утверждение:
Теорема 2. Пусть Q — односвязная область, ограниченная
простой замкнутой кусочно-гладкой кривой, и пусть ν
(ζ)—решение задачи Дирихле в области Q для граничной функции ^{z)y
имеющей конечное число точек разрыва первого рода. Если кривая
γ, лежащая в области Q, за исключением ее конца а (принадлежа·
щего границе области G), имеет в точке а касательную, то
функция и {ζ) имеет предел при ζ —> а, ζ ζ-^. Этот предел равен
где φ (а ± 0) — предел функции φ {ζ) при ζ —* а в положительном
(соответственно отрицательном) направлении по границе в области 0>
а \ и λ.2—углы, образуемые кривой γ в точке а с границей
области G.
Для доказательства нам достаточно рассмотреть функцию
V (ζ) = и (ζ) — yyqrx; [φ (α + 0) — φ (α — 0)] arg (ζ — α).
Эта функция, как и функция и (ζ), является гармонической функцией
в области G, но ее граничная функция в точке <г = а не имеет
разрыва. Поэтому функция г^ (ζ) имеет предел, когда ζ -> ау оставаясь
в области G. Следовательно, задача о нахождении предельного
значения функции и {ζ) при стремлении точки ζ к точке а по кривой γ
свелась к нахождению этого предельного значения для функции arg {ζ — а)„
а этот вопрос был разобран в примере.
§ 7. «Знакопеременная метода» Шварца
Из сказанного в предыдущем параграфе можно извлечь еще одну
идею доказательства теоремы Римана. Она состоит в том, чтобы
построить решение задачи Дирихле (не опираясь на существование кон*
формного отображения), а затем строить конформное отображение
через решение задачи Дирихле. При этом ввиду теоремы о
непрерывной зависимости отображающей функции от области нам достаточна
доказать разрешимость задачи Дирихле лишь для такого класса oблacτeй^
в котором можно найти последовательности, сходящиеся изнутри к любой
односвязной области.

§ 71 «ЗНАКОПЕРЕМЕННАЯ МЕТОДА» ШВАРЦА 447
Изложим В ЭТОМ параграфе способ решения задачи Дирихле с
помощью так называемой «знакопеременной методы» Шварца. Сначала
докажем одну лемму об оценке решения задачи Дирихле.
Пусть G—односвязная область, ограниченная простой замкнутой
кусочно-гладкой кривой, разделенной на две дуги А ¼ В точками Ρ
и Q. Через С обозначим простую
кусочно-гладкую кривую,
соединяющую точки Ρ и Q и лежащую в
области О, за исключением ее концов
(рис. SS), Будем предполагать, что
касательные к кривой С в точках Ρ
\\ Q не совпадают с касательными
к дуге В в тех же точках.
В этих предположениях
справедлива
Лемма I. Пусть и (ζ)—ре- Рис.88.
шение задачи Дирихле в
области Q с граничной функцией ψ (ζ), удовлетворяющей условиям
9(г) = 0 {геЛ), \ψ{ζ)\^Μ (ζ ζ В).
Тогда
Tmx\u(z)\ ^ qM,
2- 6 с
гае число д<^\ не зависит от граничной функции φ (ζ).
Из принципа максимума и минимума для гармонических функций
следует, что
\u{z)\^Mu,(z) (z^G),
где Uq(z) — решение задачи Дирихле в области G с граничной
функцией, равной нулю на дуге А и единице на дуге В, Поэтому мы
люжем положить ^ .
^ = max г/о (г).
ζ ζ: с
Если искомый максимум достигается внутри дуги С, то он меньше
единицы, так как функция Uq{z) не является тождественной
постоянной, а ее максимум во всей области О равен единице. С другой
стороны, согласно теореме 2 предыдущего параграфа, из условия,
что касательные к кривой С в точках Ρ и Q не совпадают с
касательными к дуге В в тех же точках, вытекает, что пределы
lim Uq(z), lim Uq{z)
г -у ρ ζ -yQ
ζ ^ С ζ ^ С
<^У1иествуют и меньше единицы. Поэтому д<^1 (и полностью опреде-
•^яется геометрической конфигурацией), и лемма доказана.
1 ак называемая «знакопеременная метода» Шварца позволяет ре-
^^ih задачу Дирихле для объединения двух областей, если можно

448
КОНФОРМНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ ОДНОСВЯЗНЫХ ОБЛАСТЕЙ
[Гл. б
решить задачу Дирихле (с произвольной граничной функцией) для
каждой из этих областей. Будем предполагать исходные области
односвязными областями, ограниченными простыми кусочно-гладкими
кривыми.
Для описания алгоритма построения решения в объединении двух
областей рассмотрим картину, изображенную на рис. 89. Через /<'
будем обозначать область, ограниченную дугами А и D (области (ЗиЛ
ограничены дугами А, В и Су D соответственно). Будем считать, что
в точках Ρ и Q дуга В не касается дуги С.
Пусть на всей границе области К (т. е. на дугах А и D) задана
какая-либо граничная функц;1я, не превосходящая по модулю
значения М. Алгоритм построения
решения задачи Дирихле в
области К с заданной граничной
функцией φ (г) таков:
Задаем на дуге В
произвольную функцию (скажем, равную
нулю) и решаем в области G
задачу Дирихле с граничной
функцией gx{z), равной φ (г) на дуге Л
и заданной произвольно функции
на дуге В (для определенности будем считать эту произвольно
заданную функцию равной нулю). Решение этой задачи Дирихле обозначаем
через Ui {ζ). Затем решаем задачу Дирихле в области И с граничной
функцией hx {ζ), равной φ {ζ) на дуге D и и^ {ζ) на дуге С. Решение
этой задачи Дирихле обозначаем через г^^ {ζ). После того как
определены функции Un {ζ) и Vn {z)y определяем функцию и^ _|_ γ {ζ) как
решение задачи Дирихле в области Q с граничной функцией g^ ^ ι {ζ),
равной φ (г) на дуге А и Vn{z) на дуге В. Функцию VnJ^x{z)
определяем как решение задачи Дирихле в области И с граничной
функцией /z^_|-i('^)' равной φ (г) на дуге D и Un^\{z) на дуге С.
Рис.
Утверждаем, что последовательности функций {Un{z)] и {Vn{z)}
равномерно сходятся в областях Q и Η соответственно (тогда
ясно, что в пересечении областей G и Η пределы этих
последовательностей совпадают). Отсюда очевидным образом будет следовать,
что функция w{z), равная пределу последовательности {ίΐη(ζ)} в
области G и пределу последовательности {ι^^('2')} в области //, является
решением исходной задачи Дирихле для области К-
Для доказательства сходимости последовательностей {tin{^)\ ^
{Vniz)} обозначим
Мп =max|w^_^i(^) — ιΐη(^I п=\у 2,...,
М'п =mdix\Vn-i.iiz)~Vniz% п=1, 2,...
0 6 я

^ 7] «ЗНАКОПЕРЕМЕННАЯ МЕТОДА» ШВАРЦА 449
функция Un-].i{z) — iini^) (при п^2)у согласно построению, является
решением задачи Дирихле в области G с граничной функцией, равной
нулю на дуге А и v^iz) — v^-iiz) на дуге В. Аналогично функция
v^_^i{z) — Vn{z) является решением задачи Дирихле в области Η
с граничной функцией, равной нулю на дуге D и ΐΐ^ι^ι(ζ) — u^iz)
на дуге С. Поэтому, применяя принцип максимума, получаем
неравенство
Mri^m2ix\v^{z) — Vn-i{z)\ {п = 2, 3,...),
ζ ^ в
а применяя лемму — неравенство
max\Vn{z) — Vn-iiz)\^qiMn'-.t (п = 2, 3,...).
ζ ^ в
Совершенно аналогично получаем, что
Mn^rnax\Un-\-i(z) — iin(z)\^qMn (/z=l, 2,...).
ζ е с
При п=1 имеет место неравенство
Mi^max\vi{z)\ ^д^М,
ζ ζ: в
так как функция iu^{z) — ιΐ\{ζ) является решением задачи Дирихле
в области G с граничной функцией, равной нулю на дуге А vi ν^ {ζ) на
дуге В, а функция νχ {ζ) на дуге В не превосходит по модулю
величины qiM.
Из полученных рекуррентных соотношений без труда находим
неравенства
Mn^q'^-'q'lM, /2=1, 2,...,
M'n^q'^qlMy п=\у 2,...
Эш неравенства показывают, что ряды
и (Z) = щ {ζ) -\- (?Л2 {ζ) — щ (ζ)) + (z/з (ζ) — ih (ζ)) f...,
ν (ζ) = νχ (ζ) + (ν, (ζ) - νχ (ζ)) + (ν, (ζ) - ν, (ζ)) +...
равномерно сходятся в областях G и Η соответственно. Тем самым
паше з^тверждение доказано.
С помощью интеграла Пуассона мы можем решить задачу Дирихле
с произвольной граничной функцией, заданной на окружности.
«Знакопеременная метода» Шварца позволяет доказать разрешимость задачи
Дирихле (с любой граничной функцией) в области, полученной объ-
едш1ением любого конечного числа кругов. Тем самым доказано, что
для любой односвязной области, полученной объединением любого
ь^онечного числа кругов, существует функция, конформно отобра-
>^ающая эту область на единичный круг (см. построение отображающей
Функции по функции Грина в предыдущем параграфе). Поскольку
любую область можно рассматривать как предельную для последо-

450 КОНФОРМНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ ОДНОСВЯЗНЫХ ОБЛАСТЕЙ [Гл. Q
вательности областей, полученных объединением конечного числа кру-
гов, мы приходим к новой возможности доказательства теоремы Римана.
Стоит заметить, что «знакопеременная метода» дала нам больше,
чем еще одно доказательство теоремы Римана. Доказательство
существования решения задачи Дирихле с ее помощью не требует
односвязности области /С, полученной объединением областей Q и Н.
§ 8. Теоремы искажения
С геометрической точки зрения лемму Шварца, доказанную нами
в § 4 гл. 3, можно сформулировать так:
Если регулярная функция ^ = f{z)y определенная в круге ! -з: | <^ 1,
отображает этот круг (не обязательно взаимно однозначно)
в круг |С|<^1, а точку ^ = О переводит в точку ζ = 0, то
расстояние точки Со от точки С = 0 не превосходит расстояния
от точки ζ^ до точки ζ = ^. Равенство расстояний возможно
лишь в случае, когда отображение (, = f(z) сводится к вращению
вокруг точки ^ = 0.
Эта теорема налагает определенные ограничения на «искажения»
формы фигур, возникающие при конформном отображении ^=/(^).
Эти ограничения справедливы для целого класса отображений, и
указанные границы достигаются для некоторых функций этого класса.
Таким образом, лемма Шварца означает, что отображения (,=f(z),
принадлежащие классу отображений единичного круга в себЯу
оставляющих неподвижным начало координат^ могут перевести
точку Zq в любую точку круга | ζ | ^ 12Ό | и только в точку
такого круга.
Сочетая лемму Шварца с теоремой Римана о возможности
конформного отображения, можно доказать значительно более общий
результат. Для его формулировки введем некоторые обозначения.
Пусть G и Η—односвязные области, расположенные в
плоскостях г и С соответственно, и пусть каждая из них содержит начало
координат. Через Ш обозначим множество всех функций /(г),
регулярных в области G, принимающих значения, лежащие в области Д
и удовлетворяющих, кроме того, условию /@) = 0.
Через 7р и у\^ будем обозначать линии уровня функций Грина:
у g{zy 0; G) = lnp,
ηρ:^((:, 0; Я) = 1пр.
Принимая во внимание связь функции Грина с отображающей
функцией, мы видим, что линия γ является образом окружности
]^|=р @<^р<^1) при конформном отображении круга \t\<^\ на
область G, переводящем точку ^ = 0 в точку г = 0 (и аналогично
для области Н).

§ 8J ТЕОРЕМЫ ИСКАЖЕНИЯ 451
Следующая теорема называется принципом Линделефа:
Теорема 1. При отображении (, = f(z), где /(-г) ^ 93f, любая
точка Zq ^ О, лежащая на линии γ , переходит в точку ζο>
лежащую на линии ηρ или внутри нее. При этом точка Со может
лежать на линии ί]^ лишь в случае, когда функция ζ,=/(ζ)
конформно (взаимно однозначно) отображает область О на область И.
Для доказательства принципа Линделефа достаточно конформно
отобразить круг | ^ |<^ 1 на область О, а область И на круг \w\<^\
и применить к функции w(f) лемму Шварца.
Рекомендуем читателю рассмотреть следующие два важных частных
случая принципа Линделефа:
1) Область О—круг J2^|<^1, а область И—полуплоскость
Re;<a, α>0.
В этом частном случае принцип Линделефа приводит нас к так
называемому неравенству Каратеодори.
2) Область Q—круг \z\<^R, а область И—полоса —1 <[
<ReC<l.
В этом частном случае принцип Линделефа даст неравенства E)
и F) из § 9 гл. 3, которые были там доказаны при помощи довольно
сложных выкладок (предоставленных, впрочем, читателю).
R § б гл. 7 докажем еще в качестве применения принципа
Линделефа теоремы Шоттки, Ландау и Пикара.
Перейдем теперь к теоремам искажения несколько иного рода
(все они в основных чертах были получены Кебе).
Будем обозначать через D множество функций /(-г), регулярных
и однолистных в единичном круге | 2^ | <^ 1 (т. е. конформно
отображающих единичный круг на некоторую область) и удовлетворяющих
условиям /@) = 0, /'@)=1. Разложение функции f{z) в ряд
Тейлора в окрестности точки z = 0 имеет поэтому вид
f (z) = ζ ^α,ζ'^α,ζ'-}-.., A)
Теорема 1. Пусть функция f{z) принадлежит классу О.
Тогда при | 2^ j = г <^ 1 имеют место неравенства
(ΐ_^..^K^Ι/'('^)!^-(γ-ΐΓ7)ϊ, B)
Ί/ωΐ^7Γ^Γ. C)
(l+r)^^'^^^^'^(l-r)^·
f^ обеих формулах знак равенства возможен лишь для функций
вида
/(^) = A+,.¾). D)
(?· ~~~ действительное число).

452 КОНФОРМНОЕ отображение СДНОСВЯЗНЫХ областей (Гл. б
Кроме того, для arg /' {ζ) справедливо неравенство
|arg/'(z)|==s21nbb^. E)
Доказательство всех перечисленных неравенств мы выведем из
следующей леммы, называемой теоремой площадей:
Лемма. Пусть f{z)^D. Тогда для коэффициентов Ь^у
определяемых соотношением
7^ = | + ^ + M + V^ + ··· F)
(легко найти, что bQ = — α^, Z?j = a| — аз), справедливо неравенство
СХЭ
2«lft„P=sSl. G)
п=-\
Эта лемма получила название теоремы площадей по той причине,
что неравенство G) означает неотрицательность площади части
плоскости, лежащей вне области, на которую функция ^ = --- отобра-
жает единичный круг |2^|<^1.
Для доказательства неравенства G) рассмотрим отображение
функцией ^Q = j--- кругового кольца р <С1-^^ I <С Ь где 0<^р<^1. По-
скольку функция f{z)y а значит и т-гту однолистна в круге |2^|<^1,
это отображение переводит кольцо 9<^\ ^\<С^ ß некоторую
область В . Область В^ является двухсвязной областью, граница
которой состоит из границы области В — образа единичного круга при
отображении ^1=-- — и из образа окружности \ζ\=ρ при этом
отображении. Уравнение образа этой окружности может быть
записано в следующем параметрическом виде:
^ = ^- + ^ + ^1?^'' + Ρ^ω (ρ, φ) (О < φ < 2π), (8)
где функция ω (ρ, φ) ограничена по модулю при всех φ и при р^
^ро<^1. Так как уравнение
^е ^ = — е V 2 / _|_ I ^^ I р^ V 2/ (ψ = arg ^i)
является параметрическим уравнением эллипса с полуосями
то площадь F области, ограничет10й кривой (8), отличается от π/ρ^
на величину порядка р. Но площадь области By как показывает не-

§ 81 ТЕОРЕМЫ ИСКАЖЕНИЯ 453
сложное вычисление, равна
1 2π оо α
Если мы вычтем из F^ площадь области В , а затем положим р->0,
10 получим в пределе площадь части плоскости, лежащей вне
области В. Так как эта площадь неотрицательна, то отсюда немедленно
вытекает неравенство G).
Докажем теперь с помощью формулы G), что для функций f(z)
из класса D имеет место неравенство
I а^ I ^ 2, (9)
причем знак равенства возможен лишь для функций вида
f(^) = A ^lia.y (Im ^ = 0).
Для доказательства воспользуемся следующим искусственным
приемом. Функция
как легко видеть, тоже однолистна в единичном круге. Разложение
для функции l/g{z) в ряд Лорана в окрестности точки z = 0 имеет
вид
' ,=| + ßi^ + ß.^* + ···.
причем ßi = ψ. По лемме
_ 1
2 ·
||«.г
= IPll=^2"IP"i*^^·
и мы получим неравенство (9). Знак равенства в этом нера-
оо
венстве может достигаться лишь в случае, когда |βι|^= ^ ^ I β« |^»
т. е. когда ^2 = ^3 = ..- = 0. Но тогда
^1сюда без труда находим, что

454 КОНФОРМНОЕ отображение ОДНОСВЯЗНЫХ областей [Гл. δ
Перейдем теперь к доказательству неравенств B) и C) теоремы 1.
Для этой цели рассмотрим вспомогательную функцию
где Zq — произвольная заданная точка круга |г|<^1. Легко
проверить, что функция g{z) принадлежит классу D. Действительно,
условия ^@) = 0 и ^@)=1 для нее выполняются, а ее однолистность
в круге 12^ I <^ 1 следует из однолистности функции f{z) в круге
|2Ί<^1, так как отображение
является взаимно однозначным отображением круга | ζ |<^ 1 на круг
|г|<^1. Следовательно, для функции g(z) должно выполняться
неравенство (9). С помощью несложных выкладок получаем, что
«. = i^"@) = |{fg(l-|.oP)~2.o}.
Поэтому неравенство (9) означает, что
-A-1^0 1^)-2¾
Таким образом, мы доказали, что в каждой точке ζ окружности
I ^ I = г <^ 1 справедливо неравенство
/" (^) 2^-^ I ^ 4г
2'. 1-i <С1
f (ζ) 1—гЧ 1—г-·
Отсюда немедленно вытекает неравенство
4г ~ 2п ^ ^^ ( Г Ш _ 4г + 2г^'
1—г-
М'Ш
Но
Im \z^~i\ ^1
Поэтому
Re {^Щ\ -г ^^ In \ Г (ζ) I {ζ = г.Ч
Im {zf^] = г |: arg/' (ζ) {z=re'^,
4-~2r ^ д , ι ^. / ч , ^ 4 — 2r
1 — η dr ' ^ V / 1 ~^ 1 — f^ у
:arg/4^) =
1 — Г" '~^ dr ^ ^ ^ ~ 1 — r^ *
Интегрированием первого неравенства от О до г получаем
In A _ г) — 3 In A -1- гХ \n\f{z) I ^ In (I + г) — 3 In A — г),

^ 81 ТЕОРЕМЫ ИСКАЖЕНИЯ 455
а интегрированием второго
~ 2 In |i^ ^ arg /' (^) ^ 2 In i±^.
Тем самым доказаны формулы B) и E). Формула C) без труда
получается из формулы B) с помощью еще одного интегрирования.
Отметим одно следствие из левого неравенства формулы C):
Следствие. Область, являющаяся образом единичного круга
при отображении функцией (, = f(z) из класса D, всегда содержит
1
круг KK-j-.
Действительно, из левого неравенства C) следует, что для всех
точек ζ, лежащих на окружности J2^| = r<^l, их образы ζ при
отображении ζ = /{ζ) удовлетворяют неравенству | ζ| ^ ., .^,
Переходя к пределу при г->1, мы видим, что образы точек окружности
\z\=l, т. е. граничные точки образа круга |^|<^1, удовлетворяют
условию I ζ I ^ ^ .
Круг теорем, связанных с принципом Линделефа, давал оценки
для функций, которые не предполагались однолистными в
соответствующих областях. Для теорем искажения Кебе требование
однолистности функции f{z) в единичном круге существенно. Однако
возможны некоторые обобщения этих теорем, освобожденные от требо-
кания однолистности. Среди этих обобщений наиболее известна
теорема Блоха, которую мы сформулируем, не приводя ее
доказательства:
Пусть функция f{z) регулярна в круге | 2^ |<^ 1 и
удовлетворяет условию /'@)= 1. Тогда риманова поверхность, являющаяся
взаимно однозначным образом круга 12: | <^ 1 при отображении
^ = f (ζ), содержит на одном из листов открытый круг радиуса Ä
где В — некоторая абсолютная положительная постоянная.
Известно, что В ^-^,
о
Скажем еще несколько слов о функции
/(^) = A 4-2)''
Для которой все неравенства в теоремах Кебе обращаются в
равенства. Эта функция конформно отображает единичный круг I <г | <^ 1
на плоскость ζ с разрезом по положительной части действительной
оси от 1/4 до -[-^^^· Можно показать, что и для других задач об
оценке искажения при отображении, совершаемом функцией из класса О
(и даже из многих других классов однолистных функций), наиболь-

456 КОНФОРМНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ ОДНОСВЯЗНЫХ ОБЛАСТЕЙ [Гл. 6
шая или наименьшая величина искажения достигается для функций»
конформно отображающих единичный круг на плоскость ζ с
некоторыми разрезами. Причина этого в том, что для экстремальной
функции небольшая вариация уже должна делать отображение
неоднолистным. Более того, для очень широкого класса задач доказывается»
что разрезы обязаны быть аналитическими дугами (см., например»
Шеффер и Спенсер, Экстремальные задачи на римановых
поверхностях, Москва, ИЛ, 1955).
§ 9. Обобщения и приложения принципа максимума
Принцип максимума модуля регулярной функции, доказанный нами
в § 4 гл. 3, утверждает, что наибольшее значение модуля
регулярной функции не может достигаться внутри области. Это позволяет
нам получить неравенство, ограничивающ.ее модуль функции,
регулярной в области G, внутри этой области, если мы можем оценить
верхний предел значений модуля функции при стремлении переменной
к каждой точке границы области G. Однако во многих случаях
приходится оценивать модуль функции внутри области, зная предельные
значения модуля этой функции не во всех точках границы.
Разумеется, не накладывая на функцию дополнительных ограничений,
никаких результатов получить нельзя, но эти дополнительные
ограничения могут оказаться совсем необременительными. Подобного рода
обобщения принципа максимума модуля используются весьма часто.
Одно из таких обобш.ений (но для гармонических функций) мы
использовали в § б при доказательстве единственности решения задачи
Дирихле с кусочно-непрерывной граничной функцией. Аналогичное
обобщение принципа максимума модуля регулярных функций будет
первым результатом, который мы докажем в этом параграфе.
Теорема 1. Пусть функция f{z) регулярна и ограничена в
ограниченной односвязной области G. Если во всех точках
границы области Q, за исключением конечного их числа, имеет место
неравенство
ΐΐτη |/(^) 1 ^ Ж (^ G О, α ^ дО),
то \f{z)\^M во всей области Q.
Возьмем произвольное число ε^Ο, обозначим через Μ диаметр
области G, а через а^ а^, ... , а^ — упоминаемые в условии теоремы
исключительные точки границы области G (в которых неизвестна
оценка для \im\f{z)\) и рассмотрим вспомогательную функцию

^ 9] ОБОБЩЕНИЯ И ПРИЛОЖЕНИЯ ПРИНЦИПА МАКСИМУМА 457
Поскольку расстояние между любыми двумя точками замыкания
области G не превосходит диаметра этой области, для всех ζ ^0 имеет
место неравенство
Далее, во всех точках границы области G справедливо неравенство
ilm |/з (ζ) I < Ж (z^G, αζ^ дО).
Действительно, сомнение могут вызвать лишь исключительные точки
üi, a.j, ...J ä^y но в них по построению функции f^{z) этот предел
равен нулю (напомним, что по условию функция f{z) ограничена
и области G). Следовательно, согласно принципу максимума, имеет
место неравенство
или
\/{ζ)\^ΜΐΙ\ζ~α^Γ (^Gö)·
Поскольку число ε^Ο призвольно мало, мы получаем отсюда
утверждение теоремы.
Заметим, что условие конечности числа исключительных точек
для справедливости теоремы не обязательно. Тем же способом
теорему можно доказать и для счетного множества исключительных точек.
Условие ограниченности функции f(z) в области G тоже не
является необходимым. Функцию можно считать растущей при подходе
к исключительным точкам, но скорость роста должна не превосхо-
лпгь некоторого предела, зависящего от геометрической конфигурации
границы области G в окрестности исключительной точки. В
следующей теореме, носящей название теоремы Фрагмена—Линделефа, этот
предельный рост определяется довольно точно (для наиболее простой
конфигурации границы).
Теорема 2. Пусть функция f{z) регулярна в полуполосе Я,
определяемой неравенствами
л:о~т}<^<^о + -2-; У>У(^ (z = x-[-iy),
и непрерывна в замыкании этой полуполосы, за исключением
бесконечно удаленной точки, при подходе к которой дЬункция f(z)
имеет рост, ограниченный неравенством
\f{x -\-1у)\^ С ехр {Q ехр α (у —уо)}, α < -^.
BcAu функция f{z) во всех конечных точках границы полуполосы
^удовлетворяет неравенству |/(г)|^Ж, то это неравенство
справедливо и во всей полуполосе И.

458 КОНФОРМНОЕ отображение ОДНОСВЯЗНЫХ областей [Гл. &
Без ограничения общности можно считать, что х^=Оу _Уо = о^
так как этого можно добиться, взяв функцию f {ζ-{-χ^-\-1уо) вместо
функции f{z). Выберем число а' так, чтобы α<^α'<^-^, и
рассмотрим вспомогательную функцию
где ε — произвольное положительное число. Используя равенства
I ехр α I = ехр (Re а), мы можем написать
I ехр [— ε ехр а' {х -\- iy)] \ = ехр [— (ε cos о!χ) ехр о!у].
Поскольку о^'<С~г> "Р^ —TT ^х ^-тт имеем
cos о!х ^ cos -к- = δ ^ 0.
Следовательно, в полосе Η имеет место неравенство
I ехр (— ε ехр о!ζ) \ ^ ехр (— εδ ехр о!у) ^ 1.
Отсюда вытекает, в частности, что на границе полуполосы Η
выполняется неравенство \f^{z)\^\f{z)\^M, Внутри полуполосы //для
функции /Д-г) справедлива оценка
I /, {х 4- (у) I ^ С ехр {Q ехр оу — εδ ехр у!у},
из которой видно (напомним, что α <^ а"), что |Л(<2^)|->0 приг->оо
в полуполосе //. Поэтому предельные значения функции \f^{z)\ во
всех точках границы полуполосы Η не превосходят числа Ж, и,
применяя принцип максимума модуля, мы получаем, что
|/Лг)!<Ж izQH)
ИЛИ что
I f{z) \ ^ Μ ехр (ε ехр о!ζ) {ζ ^ Η).
Так как число ε ^ О произвольно, мы без труда получаем из этого
неравенства, что |/(-г)|^Ж {ζ ^ Н).
Чтобы оценить точность доказанной теоремы, рассмотрим
функцию
/(^) = ехр [ехр ^j
h h ^ TT
в полуполосе ту^х^.-тууУ^^- Из равенства
i/(x + (V) I = ехр (^cos-^ . ехр-^
видно, что на границе этой полуполосы \f{z)\<C^e и что внутри нее
I/(^) 1^ ехр (ехр 1^).

§ 9] ОБОБЩЕНИЯ И ПРИЛОЖЕНИЯ ПРИНЦИПА МАКСИМУМА 459
Видно также, что функция f{z) не ограничена в нашей полуполосе.
Этот пример показывает, что в условии теоремы 2 требование
о.<^-чг нельзя заменить требованием ^^-г.
С помощью конформного отображения теорему 2 легко
переносить на случай другой конфигурации границы в окрестности
исключительной точки. Рекомендуем читателю с помощью конформного
отображения ζ = ^^^ получить аналогичный результат для угла
раствора πγ.
Совершенно аналогичные теоремы тем же самым способом могут
быть получены и для гармонических функций (разница лишь в том,
что вспомогательные функции получаются не умножением на
некоторое выражение, а прибавлением логарифма его модуля).
Прием, использованный нами при доказательстве приведенных
обобщений принципа максимума, встречается довольно часто. Тем же
приемом мы докажем сейчас еще одно приложение принципа
максимума, носящее название теоремы Адамара о трех кругах:
Теорема 3. Пусть функция f(z) регулярна в кольце
9<\^\<R-
Обозначим через Μ {г) максимум модуля функции f{z) на
окружности \z\ = r, p<^f<^R- Тогда функция In Ж (г) является
выпуклой функцией от In г, т, е. для любых значений г γ, г^у г^
(удовлетворяющих условиям ρ <^ Γχ <^ Гз <^ Гз <^ /?) имеет место
неравенство
1 л^/ л ^1 л^ / ч 1ПГ2-—1п г, , . л^/ ч In Го —1п Го
In Μ (г,) ^ In /И (гО ,„/_,,' + In Μ (Гз) -
1пГз —1пГ| ' "^ ^^ 1пГз — In Γι *
Для доказательства рассмотрим вспомогательную функцию
где т — произвольное целое число, а /г — положительное целое число.
Эта функция регулярна в кольце Г] ^ | .г | ^ Гз и, согласно принципу
максимума,
max I/ι B^) I ^ max { max | Л (^I, max [Л (^I}.
Прологарифмировав это неравенство и выразив входящие в него
величины через введенную нами функцию /И (г), мы после несложных
преобразований получим неравенство
In Μ (r^) ^ max |^ In r^ + In Μ (rj, ^ In Гз -[- In Ж {гЛ — γ In r.^.

460 КОНФОРМНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ ОДНОСВЯЗНЫХ ОБЛАСТЕЙ [Гл. &
В ЭТОМ неравенстве числа тип можно выбирать произвольно (в
рамках сделанных относительно них допущений), так что их
отношение λ = -- может быть сделано сколь угодно близким к любому
действительному числу. Следовательно, полученное неравенство
справедливо и при любом действительном значении отношения — ζ=ζλ.
η
Выберем его таким образом, чтобы
λ In Γι -|- In /И {гι) = λ In Гз -j- In Ж (Гз).
Из этого условия находим
/W . ]п Μ (Гз) —1пМ (гι)
η 1пГз — In Γι '
и, подставляя полученное значение — в неравенство для Μ (г^), после
несложных преобразований приходим к утверждению теоремы.

Глава седьмая
НЕКОТОРЫЕ СПЕЦИАЛЬНЫЕ КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
Теорема Римана, доказанная в предыдущей главе, устанавливает,
что с каждой односвязной областью можно связать аналитическую
функцию, конформно отображающую эту область на единичный круг
(точнее говоря, это отображение совершает одна из ветвей
аналитической функции). В общем случае нет средств для изучения
построенных таким способом функций. В частности, нет способа получения
явных аналитических выражений для них. Однако, если отображаемая
область ограничена прямолинейными отрезками или дугами
окружностей, то принцип симметрии Римана — Шварца (см. § 3 гл. 4) дает
возможность весьма глубокого изучения отображающей функции.
С его помои1.ью можно даже найти более или менее явное
аналитическое выражение для отображающей функции. Настоящая глава
посвящена главным образом изучению различных классов специальных
функций, возникающих при отображении многоугольников описанного
выше рода.
§ 1. Формула Кристоффеля — Шварца
Мы займемся сейчас задачей отыскания явного выражения для
функции 2' = φ@, конформно отображающей верхнюю полуплоскость
ΙΐΏζ^Ο на внутренность
произвольного прямолинейного
многоугольника.
Пусть Π — произвольный
/^-угольник (пока мы будем
считать его ограниченным) с
вершинами в точках ^j, ^о, ...
" .у Ь^и с внутренними углами
в этих вершинах, равными πα^,
^^'-2' ..., τυα,^ соответственно
(рис. 90). Точки плоскости ζ, ко-
iорые при отображении ζ = ψ(ί)
переходят в вершины нашего я-угольника, мы будем обозначать соот-
веиственно üi, а^^, ... , а^, причем для определенности будем считать, что
— оо < Й! < а^ <,.. < а^ < -f- ^
Рис. 90.

462 НЕКОТОРЫЕ СПЕЦИАЛЬНЫЕ КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ [Гл. 7
(это условие накладывает соответствующие ограничения на
нумерацию вершин нашего многоугольника). Отрезки действительной оси
между точками а^ и а^^^ будем обозначать через 4, а через ^
обозначим оставшуюся незанятой часть действительной оси (она состоит
из отрезков [—сю, а^) и (а^, 4-^^])· Образом каждого из отрезков
1{), 1р ...> 4_1 при отображении 2" = φ (ζ) является сторона нашего
многоугольника. Сторону, являюш.уюся образом отрезка 4, будем
обозначать через λ^¾.
Функция 2^ = φ (ζ), конформно отображаюш,ая верхнюю
полуплоскость ίιηζ^Ο на внутренность нашего многоугольника П,
определена и регулярна в полуплоскости Ιηιζ^Ο. В силу теоремы о
соответствии границ функцию φ (С) можно по непрерывности продолжить
на действительную ось (мы уже пользовались продолженной функцией).
На каждом из отрезков 4, к = 0, 1, ..., η—1, действительной оси
функция φ (ζ) принимает значения, лежаш,ие на прямолинейном
отрезке — на стороне λ/^ нашего многоугольника. В силу принципа
симметрии Римана — Шварца функцию φ (ζ) можно аналитически
продолжить через каждый из отрезков 4 в нижнюю полуплоскость
ImC<^0. При продолжении функции φ (С) через различные отрезки 4
мы получим, вообш,е говоря, различные элементы аналитической
функции в нижней полуплоскости. Обозначим через ^k{Q тот элемент,
который получается продолжением функции φ (С) через отрезок 4,
и найдем для него явное выражение через функцию φ (ζ) и уравнение
стороны λ^^ нашего многоугольника.
Согласно принципу симметрии Римана — Шварца значение ζ =
= ^k (С) симметрично относительно стороны λ^^ со значением г* ==
= φ (ζ), принимаемым функцией φ (Q в точке С, симметричной с точкой ζ
относительно действительной оси. Чтобы найти выражение для точки
2"*, симметричной с точкой ζ относительно стороны λ^^, напишем
уравнение стороны ^k в виде
и воспользуемся рецептом для отыскания симметричных точек,
изложенным в конце § 5 гл. 4. Согласно этому рецепту симметричные
точки <г и <г* должны быть связаны соотношением
Поэтому
Ak — iBj, ^ Ak—tBk '^ " ^'
и, следовательно,
η@=τ/.φ1> + δ/, (Ä = o, 1, ..., я-1). A)
Точки ζ и ζ^'', симметричные относительно некоторой прямой,
получаются друг из друга зеркальным отражением в этой прямой.

§ 1] ФОРМУЛА КРИСТОФФЕЛЯ - ШВАРЦА 463
Поэтому ясно, что функция φ^^(ζ) конформно отображает нижнюю
полуплоскость на многоугольник Ilk, получающийся из
многоугольника Π зеркальным отражением в стороне λ^^. Функция ср/г(С),
определенная равенствами
П (Q = Ъ (Q (Im с < 0), φ^ (ζ) = φ (Q (Im О О, ζ e 4)>
определена и регулярна в области Dy^, получающейся из всей
плоскости С удалением части действительной оси, отличной от отрезка 4.
Функция ^k& отображает эту область на объединение
многоугольников Π и П;^, а также их общей стороны λ^^. Это отображение
может и не быть взаимно однозначным во всей области D/^, так как
многоугольники Π и Π^5 могут перекрываться, но в окрестности
точек стороны λ^^, это отображение конформно. Следовательно,
производная функции φ^¾(ζ) не обращается в нуль в области Dk (за
исключением, может быть, точки ζ=:οο, если эта точка принадлежит
области Dk)·
Теперь выясним, как связаны между собой два различных
элемента ^^{z) и φμ,(^). Полагая в равенстве {\) k = Ί ^ k = ]x, г затем
исключая из написанных двух уравнений величину φ (С), получаем
соотношение
^Л)=р^Л^Л-я^ B)
где
ϊν ϊν
1з равенства B) немедленно вытекает, что
?; (О \ (О
(|л, ν = 0, 1, ..., я— 1).
ф" (ζ)
Это означает, что функция ^, ' , которая, как и сама функция φ(ζ),
аналитически продолжается в нижнюю полуплоскость через любой из
отрезков 4, продолжается туда однозначным образом. Поскольку, как
мы отмечали выше, функция φ^^ (Q имеет производную, отличную от
пуля, во всех конечных точках области Dk^ а число k можно взять
любым, функция ^, ^^, регулярна во всей плоскости, за исключением,
может быть, точек αϊ, αο, ..., α^ и точки ζ = οο.
Исследуем характер особых точек функции g(i)= ^^ у^ ,
Мы докажем, что точка ί = α^ является простым полюсом функции
S(Q с вычетом, равным а^^—1, и что точка ζ, = οο является точкой
регулярности функции g(Q,

464 НЕКОТОРЫЕ СПЕЦИАЛЬНЫЕ КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ [Гл. 7
Утверждение относительно точки ζ = οο доказывается совсем
просто. Действительно, поскольку функция φ (С) регулярна в точке
ζ = οο (она лежит внутри отрезка /о), мы можем написать для нее
разложение
φ(:) = ^ο + -^ί+-^ + .-. , с,^о.
Отсюда находим, что
2Ci , 6^2
и что
Зса
2
2 c, + -ji+...
^(^^) = -Τ 6F—=-f+F + -·
Для исследования поведения функции ^(ζ) в окрестности точки
ζ = α/^ рассмотрим сначала функцию
1
^=-ψ (ζ), ψ (ζ) = [φ (ζ)-^)-^-
Эта функция конформно отображает достаточно малый полукруг
!C-a,j<p, ImOO, C)
на область, ограниченную отрезком прямой линии, проходящей через
точку ^ = 0, и некоторой кривой (образом полуокружности).
Действительно, стороны нашего многоугольника в вершине ζ = ΰ^ образуют
угол ττα/ί,, а преобразование t = {z — bk)''k переводит угол раствора
тиа/г с вершиной в точке г = Ь^ в полуплоскость, ограниченную
прямой, проходящей через точку t = 0. Применяя принцип
симметрии, мы можем аналитически продолжить функцию ψ (ζ) через
диаметр полукруга C) на весь круг
При этом продолженная функция будет конформно отображать этот
круг на некоторую область, содержапхую точку ^=:0. Следовательно,
функция ψ (С) регулярна в точке ί = α^ и ее производная в этой
точке отлична от нуля. Поэтому функцию ψ(ζ) можно представить
в виде
ψ(ζ) = (ζ--α,)ψι@,
где функция ψι@ регулярна в точке ζ = α;^ и не обраихается в этой
точке в нуль. Возвращаясь к функции φ (ζ), мы видим, что функцию
φ (ζ) момсно представить в виде
φ@ = ((;-αΓ^ψ,@ + ^„

^ η
ФОРМУЛА КРИСТОФФЕЛЯ — ШВАРЦА 465
где функция ф.2(С) регулярна в точке ζ = α;^ и отлична от нуля в этой
точке. Следовательно,
с?'(:)=г.-«.РЛз(с),
где функция фз(С) регулярна в точке С = а/г и фз(а;^O^0. Отсюда
имеем
Так как функция ] ^ \,^ регулярна в точке ^ = а^, а а/^ v^ 1 (в
противном случае точку ζ^=^ϋ^ нельзя было бы считать вершиной
многоугольника), мы видим, что функция ^(С)==-^7ру- имеет в точке
L = ak простой полюс с вычетом а^^—1.
Согласно теореме 1 § 4 гл. 4
φ' (С) ^ ζ —ö/i; '
k = \
Из ЭТОГО равенства с помощью двух интегрирований получаем
формулу
ζ
φ (С) ==C\{t-- α,ρ-ι ,,, it- ajn~i dt + С D)
о
(С и С — произвольные постоянные). Эта формула называется
формулой Крпстоффеля — Шварца.
Теперь для нас не составляет труда выяснить, как изменяется
формула D), если одна из точек а^ или а^ уходит в бесконечность.
В этом случае можем написать (примем для определенности, что
«л -> оо)
с
φ(';) = 0* \^{t-a,r^-'.,,{t-a,_,rn-x--^{\ -±-Y^'dt-yC
о
и, переходя к пределу при с -> оо, получить, что
с
φ (Г) = С* 5 (ί^ — α,γ^ - » . . . (^ — игг^хУп-X-^t-^-C. D*)
Ü
Таким образом, если а^ = оо, то множитель, отвечаюш.ий номеру я,
1Пз1брасывается.
Заметим еще, что, выбрав точки а^, а^, ..., а„ не на
действительной оси, а на окружности, мы получили бы ту же самую формулу
для функции, отображаюш.ей на многоугольник II внутренность или

466 НЕКОТОРЫЕ СПЕЦИАЛЬНЫЕ КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ [Гл. 7
внешность круга, ограниченного этой окружностью. При этом
отображение будет на внутренность круга, если последовательности обхода
вершин многоугольника Π в положительном направлении отвечает
последовательность обхода точек а^, ..., α,ι по окружности против
часовой стрелки (т. е. в положительном направлении относительно
внутренности круга). Аналогично выясняется, будет ли функция φ (ζ)
отображать на многоугольник Π верхнюю или нижнюю полуплоскость.
Подчеркнем, что произвольно можно задать лишь три точки из
точек ßi, «2, ..., а^. Остальные точки а^^ и постоянные С и С в
формуле D) приходится определять из уравнений
i^{ak) = bk {k=\, 2, ... , η).
Можно показать, что при конечных значениях ΰχ, b^i, ..., b^ эти
уравнения всегда разрешимы.
Формула D) сохраняет силу и для случая, когда одна (или даже
несколько) вершина многоугольника Π уходит в бесконечность. В этом
случае лишь несколько усложняется (только теоретически) вопрос об
определении постоянных.
Если φ (ζ) — функция, конформно отображаюш,ая верхнюю
полуплоскость (или любой другой круг) на многоугольник П, содержаш,ий
бесконечно удаленную точку внутри себя, то формула для φ (Q
принимает несколько иной вид
ζ
φ (ζ) = C\{t~ α,γ^ -1... {t~a^fn-\t — a)- ^ dt + C\
0
Здесь ζ = α — та точка, которая переходит в точку <г = оо при
отображении 2" = φ (ζ).
§ 2. Функции прямолинейного треугольника
В качестве простейшего частного случая применения формулы
Кристоффеля — Шварца рассмотрим отображение прямолинейного
треугольника. Положив αι = 0, ßo=l, 0:3 = 00, получим, согласно
формуле D*) § 1, что
ζ
^i^Q^C\i^,-^(t-\y^^-^t-{-C. A)
о
Функцию A) можно аналитически продолжать с помош,ью
принципа симметрии, как это было сделано в § 1 для общего случая.
Аналитическое продолжение функции A) в нижнюю полуплоскость
возможно через отрезки (О, 1), A, -]-со) и (—со, 0). Полученная
при продолжении функция (своя для каждого отрезка) отображает
нижнюю полуплоскость на треугольник, симметричный с исходным

^ 2] ФУНКЦИИ ПРЯМОЛИНЕЙНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА 467
треугольником относительно соответствующей стороны. Фу[жцию,
полученную в нижней полуплоскости, можно поэтому в свою очередь
аналитически продолжить через каждый из отрезков (О, 1), (I, -j-co)
ц (— оо, 0) действительной оси. Повторяя процесс аналитического
продолжения, мы определим аналитическую функцию φ (ζ) на римано-
вой поверхности, состоящей из бесконечного числа листов над каждой
точкой плоскости С, за исключением трех точек ветвления ζ = 0,
ζ=1 и C = oo. Каждый лист римановой поверхности является
экземпляром плоскости ζ с одним из трех возможных разрезов: отрезок
(О, 1), луч A, +сю) и луч (—00, 0). Каждый такой лист конформно
отображает на четырехугольник, составленный из двух треугольников,
соединенных по общей стороне и симметричных относительно этой
стороны. Один из этих треугольников получается из исходного
треугольника четным числом отражений в сторонах треугольников,
возникающих при этих отражениях. Множество всех таких
четырехугольников не обязано покрывать плоскость ζ однократно. Оно образует,
вообще говоря, довольно сложную риманову поверхность, являющуюся
римановой поверхностью функции, обратной к функции φ (ζ).
Нас будут интересовать случаи, когда покрытие плоскости ζ
треугольниками (или, что одно и то же, четырехугольниками) будет
однократным, т. е. случаи, когда функция, обратная к функции φ (ζ),
однозначна. Это произойдет тогда и только тогда, когда после
некоторого четного числа отражений, сохраняющих на месте любую данную
вершину, треугольник возвратится на место, обойдя полный круг
вокруг этой вершины. Это означает, что число 2π является целым
четным кратным угла в любой вершине исходного треугольника, т. е.
что числа
г, = .^^^ = — (^=1, 2, 3)
целые. Так как, кроме того, числа παι, πα.2, тсаз являются углами
треугольника, т. е. удовлетворяют соотношению παι -|- πα^ -|- πα,^ = π, то
целые числа Γι, г^, г^ долж1Н>1 удовлетворять соотношению
± + J_ + J-=l. B)
'1 '2 1^3
Таким образом, все случаи однозначности функции^ обратной
к функции A), можно получить, найдя все решения диофантова
уравнения B), в котором естественно положить ri^r^^r^, чтобы
избежать симметричных повторений.
Первое решение уравнения B) г1 = г.2 = Гз = 3. В любом другом
решении число Гх должно быть меньше 3. Если Γι = 1, то — =
I ''
= — = 0, т. е. Го = г^ = оо. Этому предельному случаю долмсен
отвечать треугольник, у которого два угла равны нулю, а третий —

468
НЕКОТОРЫЕ СПЕЦИАЛЬНЫЕ КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
[Гл. 7
равен π. Таким вырожденным треугольником является бесконечная
полоса, заключенная между двумя параллельными прямыми. Если г^ = 2,
то 1 = ^9^^ "^то ВОЗМОЖНО для г.2 = Гз = 4, или для г., =:=3^
Гз ==-- 6, или, наконец, для г., = 2, Гз = сх).
Все перечисленные случаи представлены в следуюидей таблице:
№
1
2
3
4
5
'Ί
3
1
2
2
2
/-2
3
оо
4
3
2
Гз
3
оо
4
6
оо
в вырожденном случае 2 отображающая функция φ (ζ) при надле-
жащем выборе постоянных в формуле A) будет равна
ζ
С dt ,1
— t
-ζ
Это вполне отвечает нашему исследованию конформных отображений,,
совершаемых логарифмической функцией (см. § 5 гл. 5).
Случай 5 отвечает также вырожденному треугольнику с углам»
7:/2, π/2, О, т. е. полуполосе. Отображающая функция при надлежащем
выборе постоянных в формуле A) имеет вид
т(С)=-5
dt
Vt{\~-t)
Это равенство, как нетрудно убедиться, можно записать и в виде
φ(Q = arcsin B(:-1).
В случаях 1, 3 и 4 интегралы для отображающей функции уже
не берутся в элементарных функциях. Эти интегралы при надлежащем
выборе постоянных имеют вид
ζ
dt <^ dt С dt
\
I yeix-tf
'~S Vi
ι Yt'i\~tY
\ Vi
ι Yt'^{\-tY
в следующем параграфе мы увидим, что функции, обратные к этим
интегралам, являются эллиптическими функциями.
Эллиптической функцией называется однозначная аналитическая
функция, не имеющая в конечной части плоскости особых точек,
отличных от полюсов, и имеющая два периода ω^ и ω.,, отношение
которых не есть действительное число. Последнее означает, что

§ 3] ОТОБРАЖЕНИЕ ПРЯМОУГОЛЬНИКА 469
эллиптическая функция при всех ζ удовлетворяет соотношениям
/(^ + ωΟ=/(^) и /(^ +ω,) =/(^).
Ясно, что функция f {z\ имеющая два периода ωι и ω.^, имеет
и бесконечно много периодов, так как любые числа вида
ω гп=/^ιωι-f-^-2^-2 (//Zi = 0, ±1 ..., m.2 = 0, ±1, ...)
также будут периодами функции f{z\ Пара периодов (ωι, ω,)
называется при этом основной парой периодов, если любой период
функции f(z) имеет вид
где гпх и //г^ — целые числа.
Каждый параллелограмм с вершинами в точках
г/о, Щ -\- ωι, и^ -\- ωι -|- ω2, п^ ~\- ω^
называется параллелограммом периодов функции f{z).
§ 3. Отображение прямоугольника. Эллиптические функции
Применим теперь формулу Кристоффеля — Шварца к
отображению полуплоскости на прямоугольник.
Пусть вершины нашего прямоугольника лежат в точках
(рис. 91), где ωι и ω2 — произвольные действительные положительные
числа.
Прежде чем применять формулу Кристоффеля -— Шварца, проведем
некоторые рассуждения относительно выбора точек а^ (прообразов
вершин прямоугольника). Мы
хотим получить не любое
отображение верхней
полуплоскости на прямоугольник, а такое,
при котором правая половина
полуплоскости перешла бы в
правую половину
прямоугольника, а левая — в левую. Это
всегда можно осуш.ествить. Рис. 91.
Действительно, если
отобразить первый квадрант: Re(:>0, Imζ>0, на правую половину
нашего прямоугольника так, чтобы мнимая ось переходила в отрезок
@> 1щ), то это отображение по принципу симметрии можно будет
аналитически продолжить через мнимую ось на всю верхнюю
полуплоскость, и продолженная функция будет осуществлять
конформное отображение верхней полуплоскости на весь прямоугольник,
отображение первого квадранта на правую половину нашего
прямоугольника полностью определяется заданием соответствия трех точек.
~2 '
ύ
2.
/-^7¾
h
0
Шг
2
а
г
+ίω2
>L

470 НЕКОТОРЫЕ СПЕЦИАЛЬНЫЕ КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ [Гл. 7
Это отображение будет обладать нужным нам свойством, если
потребовать, чтобы точки
О, I, со
плоскости с перешли в точки
О, --, ιω^
плоскости ζ. Тогда точка г==^-\-1щ будет образом некоторой
точки ζ = —, 0<^κ<^1. При отображении верхней полуплоскости на
весь наш прямоугольник в его вершины A) перейдут точки
11 _1 _1
соответственно. Поэтому формула Кристоффеля — Шварца дает сле-
дуюш.ее выражение для отображающей функции:
г at
/«■-·)('--ΐΙ
о
или, если обозначить хС через с,
ζ
ψ{0=Λ -у==й=г, B)
^' J V{\ — t^) A—л^) ^
о
Этот интеграл называется интегралом Лежандра первого рода.
Постоянные сих можно определить, если заданы величины 1щ
и ωι, с помощью уравнений
ι
dt
'i-\
2 J j/(l„^2)(l_^2^2) >
0
λ C)
dt
1Щ -
■=i
J/A—^^)A-Л^)
Видно, что постоянная κ зависит лишь от отношения ω^/ω^, т. е. для
подобных прямоугольников она одна и та же. Величина с зависит от
размеров прямоугольника. В дальнейшем значение корня в
формуле B) будем считать положительным при ^ = 0, что гарантирует
нам положительность постоянной с. Нетрудно показать, что любой
заданной паре значений ωι и ω^ отвечает ровно одна пара значений х,
0<^κ<^1, иб-^О. Для этого достаточно проверить, что при
изменении κ от О до 1 отношение сторон, определяемое из формул C),
монотонно возрастает от О до оо.

§ 3]
ОТОБРАЖЕНИЕ ПРЯМОУГОЛЬНИКА
471
Чтобы выяснить характер ветвления аналитической функции,
определенной интегралом B), применим обычные рассуждения с
принципом симметрии.
Обозначим стороны нашего прямоугольника символами I, II, III,
IV (рис. 92), а соответствующие им отрезки действительной оси —
символами Г, ΙΓ, ИГ, IV'. Аналитически продолжая по принципу
симметрии функцию B) через отрезок Г действительной оси, мы видим,
что продолженная функция конформно отображает нижнюю
полуплоскость на прямоугольник, полученный из нашего исходного
прямоугольника зеркальным отражением в стороне I. Всю плоскость ζ,
разрезанную по отрезкам ΙΓ, UV и IV', эта функция конформно
отображает на пару соседних прямоугольников, склеенных по стороне 1.
К аналогичному результату приводит аналитическое продолжение
функции B) через отрезки И',
III' и IV' действительной оси.
На крест, получаюш.ийся
приклеиванием к основному
прямоугольнику всех соседних,
отображается часть римановой
поверхности аналитической
функции B), получаемая следуюш.им
образом: к одной верхней
полуплоскости приклеивается
четыре нижних — по отрезкам
Г, II', III' и IV'. В каждой из
этих нижних полуплоскостей
снова возможно аналитическое
продолжение через отрезки
один из этих отрезков
полуплоскость, а через
II/
IV
IV
I
II
III
II
I
II
III
1
IV
III
IV
I
IV
III
I
II
III
II
1
II
III
Рис. 92.
Г, ΙΓ, ИГ, IV'. Продолжение через
возвращает нас на исходную верхнюю
остальные — приводит к новым листам.
Поэтому при дальнейшем построении римановой поверхности
аналитической функции B) мы должны к каждому экземпляру нижней
полуплоскости приклеить по три экземпляра верхней полуплоскости
(склеивание производится по всем еще свободным отрезкам Г, И',
ИГ, IV'). Однако среди приклеиваемых экземпляров верхней
полуплоскости далеко не все различны между собой — некоторые
экземпляры верхней полуплоскости нужно приклеивать к двум экземплярам
нижней полуплоскости (разумеется, по различным отрезкам
действительной оси). Так, например, нижнюю полуплоскость, приклеенную
к исходной верхней полуплоскости по отрезку Г, мы должны
приклеить по отрезку ΙΓ к той же верхней полуплоскости, к которой
приклеивается по отрезку Г нижняя полуплоскость, приклеенная
к исходной верхней полуплоскости по отрезку ΙΓ. Действительно,
зеркальное отражение исходного прямоугольника сначала в стороне I,
а потом в стороне И (уже второго прямоугольника), приводит нас
к тому же прямоугольнику, что и отражение его сначала в стороне И^

472 НЕКОТОРЫЕ СПЕЦИАЛЬНЫЕ КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ [Гл. 7
а затем в стороне 1. Продолжив этот процесс, получим всю риманову
поверхность аналитической функции B).
Из описания построения видно, что риманова поверхность
аналитической функции B) является бесконечнолистной римановой
поверхностью, которая имеет над каждой из точек ±1, ± —,
бесконечно много точек ветвления второго порядка.
Функция, обратная к аналитической функции B), является
однозначной. Действительно, если после какого-то количества
продолжений мы придем к элементу аналитической функции B), прини-
маюи1,ему значения в исходном прямоугольнике, то этот элемент
должен быть определен в верхней полуплоскости (поскольку попасть
в исходный прямоугольник можно лишь после четного числа
зеркальных отражений в сторонах), и он должен конформно отображать
верхнюю полуплоскость на исходный прямоугольник, переводя точки
± \ и ± — в его вершины. Это означает, что полученный элемент
совпадает с исходным элементом функции B). Следовательно,
различные элементы аналитической функции B) принимают различные
значения, т. е. обратная функция определена однозначно.
Заметим еще, что значениям, принимаемым аналитической
функцией B) над одной и той же точкой плоскости С, отвечают
конгруэнтные точки в прямоугольниках, изображенных на рис. 92, с
одинаково ориентированными сторонами. Любые две такие точки Ζχ и ζ^
связаны между собой соотношением
ζ^ = г.2 -|- 2^ιωι -j- Т1т.1Щ,
где т\ и т^ — целые числа. Сказанное означает, что функция ζ = ψ(^),
обратная к функции B), принимает в таких точках одинаковые
значения, т. е. что
ψ B- -]- 2//Ζιωι -]- 21т2щ) = ψ (^)
(/;2i = 0, ±1, ..., //2^ = 0, ±1, ... ).
Таким образом, мы показали, что функция ζ = ψB'), обратная
к аналитической функции B), является однозначной функцией,
имеющей два периода 2ωι и 21щ. Эта функция является одной из
наиболее простых эллиптических функций.
Тем же способом можно исследовать и функции, описанные в
предыдущем параграфе, построив из треугольников прямоугольники или
параллелограммы.
Впрочем, справедливости ради следует подчеркнуть, что
описанный способ хорош для исследования лишь некоторых эллипти-

§ 4]
МОДУЛЯРНАЯ ФУНКЦИЯ
473
ческих функций. В общем случае при произвольном параллелограмме
периодов эллиптические функции не обязаны конформно отображать
какую-либо простую часть этого параллелограмма на полуплоскость^
§ 4. Модулярная функция
Перейдем теперь к изучению отображения верхней полуплоскости
на так называемые круговые многоугольники, т. е. на области,
ограниченные дугами окружностей. Задача об отображении кругового
двуугольника была разобрана нами в § б гл. 5. Следующим по простоте
круговым многоугольником
является равносторонний круговой
треугольник, все углы которого
равны нулю. Задачей исследования
конформного отображения
верхней полуплоскости на такой
треугольник мы сейчас и займемся.
Пусть G — такой круговой
треугольник, и пусть его
вершины лежат на единичной
окружности (рис. 93). Согласно
теореме Римана существует функция
ζζ:::τ/(ζ), регулярпзя в
треугольнике G и конформно отображающая
его на верхнюю полуплоскость
ImC^O таким образом, чтобы
вершины треугольника G переходили в
точки О, 1 и оо действительной оси.
Мы исследуем эту функцию с помощью принципа симметрии, не
находя явного выражения для нее.
Обозначим стороны треугольника Q символами 1, И, III, а
соответствующие им отрезки действительной оси — символами Г, ΙΓ и ИГ.
По принципу симметрии функцию ζ = /(^) можно аналитически
продолжить через каждую из сторон I, II, III треугольника Q на
треугольник, симметричный с треугольником Q относительно этой
стороны (напомним, что точки, симметричные относительно окружности,
получаются друг из друга преобразованием инверсии в этой
окружности). Продолженная функция будет конформно отображать
симметричный с треугольником Q треугольник на нижнюю полуплоскость,
а фигуру, склеенную из самого треугольника Q и треугольника,
симметричного с ним, — на всю плоскость С с разрезами по отрезкам
действительной оси, отличным от образа той стороны треугольника G,
через которую продолжали. Треугольник, симметричный с
треугольником Q относительно любой его стороны, хотя и не будет
равносторонним, но будет по-прежнему иметь нулевые углы, а
Рис. 93.

474 НЕКОТОРЫЕ СПЕЦИАЛЬНЫЕ КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЛ<ЕНИЯ (Гл. 7
его вершины снова будут лежать на единичной окружности.
Действительно, мы видели, что преобразование инверсии является
конформным преобразованием с изменением направления отсчета углов,
так что величину углов оно сохраняет. Поэтому углы симметричного
треугольника будут равны нулю, а единичная окружность перейдет
в себя, поскольку она ортогональна сторонам треугольника G. Значит,
и вершина симметричного треугольника по-прежнему будет лежать
на единичной окружности.
Мы продолжили функцию ζ =/B") в треугольники, симметричные
•с нашим исходным треугольником G относительно его сторон I, II, ΙΠ.
Но в каждом из симметричных треугольников функция ζ^ζ=/(ζ)
обладает теми же свойствами (только она конформно отображает эти
треугольники на нижнюю полуплоскость). Поэтому функцию ζ=/(ζ)
можно аналитически продолжить по принципу симметрии и через
каждую из сторон симметричных треугольников. Эти треугольники
второго поколения будут опять-таки обладать теми же свойствами,
но функция ζ==/(ζ) будет отображать их на верхнюю полуплоскость
(треугольники, отображаемые функцией ζ=/(ζ) на верхнюю
полуплоскость, на рис. 93 заштрихованы).
Продолжая наш процесс аналитического продолжения дальше,
мы можем даже идти не от треугольника к треугольнику, а более
крупными шагами. Будем считать, что аналитическое продолжение
функции f(z) осуществляется следуюш.им образом: сначала
продолжаем функцию f{z) в треугольники, примыкающие к треугольнику Q
вдоль одной из его сторон; в результате получим продолжение
функции f(z) в круговой шестиугольник с нулевыми углами и с
вершинами на единичной окружности; этот шестиугольник обозначим
через Gb затем продолжаем функцию f(z) через каждую из сторон
шестиугольника Gi в шестиугольники, примыкающие к нему вдоль
каждой из его сторон; в результате получим продолжение функции
f(z) в 30-угольник, который обозначим 0^, и т. д.
Докажем, что при п->оэ область О^, стремится к единичному
кругу. Для этого достаточно доказать, что на единичной окружности
нет дуг, свободных от вершин областей G^ при любом значении η
(напомним, что стороны фигуры G„ являются окружностями,
ортогональными к единичной окружности). Для доказательства допустим
противное. Тогда существует дуга единичной окружности, свободная
от вершин фигур G^. Обозначим через λ^ сторону фигуры G«,
соединяющую две вершины, ближайшие (с двух сторон) к этой дуге.
При п->(уэ сторона λ^ в силу монотонности ее концов должна иметь
пределом некоторую дугу λ окружности, ортогональной к единичной
окружности. Эта предельная дуга обладает тем свойством, что между
нею и единичной окружностью нет точек области G^. Однако
отражение исходного треугольника G в стороне λ^ фигуры G^ при

§ 4] МОДУЛЯРНАЯ ФУНКЦИЯ 475·
η ->оо стремится к его отражению в дуге λ, а это последнее
отражение обязано иметь точки, лежащие между дугой λ и единичной,
окружностью (и даже вершину на запретной дуге единичной
окружности). Поскольку отражение треугольника Q в стороне λ^ области 0^.
заведомо входит в область G^+i, мы приходим к противоречию с
допущением, и наше утверждение доказано.
Итак, мы доказали, что функция f(z) может быть
аналитически продолжена на весь единичный круг. Нетрудно убедиться,
что за пределы единичного круга функцию f{z) продолжить нельзя,
т. е. что каждая точка единичной окружности является для этой
функции особой точкой. Действительно, в треугольнике G функция
f{z) стремится к бесконечности при стремлении точки ζ к одной иа
вершин, так что эта вершина заведомо является особой точкой.
В каждом из отраженных треугольников также есть одна такая
вершина. С помош.ью тех же рассуждений, что и выше, нетрудно
показать, что эти вершины образуют на единичной окружности всюду
плотное множество.
Совокупность отражений треугольника G образует плотное и без^
перекрытий «замош.ение» единичного круга (сеть этих треугольников
называется еще «модулярной фигурой»). Каждый из треугольников
конформно отображается функцией ζ =/B') на верхнюю или нижнюю
полуплоскость (в зависимости от того, получен этот треугольник из
треугольника G четным или нечетным числом отражений). Весь
единичный круг отображается функцией ζ =/(^) на бесконечнолистную
риманову поверхность, ветвящуюся над точками О, 1 и оо. Эта рима-
нова поверхность может быть построена следующим образом.
Обозначим через Г отрезок (О, 1), через ΙΓ — луч A, -j-оо) и через
ИГ — луч (— со, 0). К верхней полуплоскости по разрезам Г, ΙΓ и
ИГ приклеиваем три экземпляра нижней полуплоскости. На каждом
из этих экземпляров нижней полуплоскости остается два свободных
разреза. К каждому из свободных разрезов приклеиваем по
экземпляру верхней полуплоскости и т. д.
В отличие от римановой поверхности эллиптического инτeгpaлa^
которую мы строили в предыдущем параграфе, здесь мы должны
каждый раз приклеивать новый экземпляр полуплоскости.
Из построения видно, что над каждой из точек О, 1 и оо эта
риманова поверхность имеет бесконечно много логарифмических
точек ветвления.
Построенная риманова поверхность является римановой поверх-^
ностью функции ζ ==^(^, обратной к функции ζ =/(^). Из
сказанного выше немедленно вытекает справедливость следующих
утверждений, относящихся к этой обратной фугжции;

476
НЕКОТОРЫЕ СПЕЦИАЛЬНЫЕ КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
[Гл. 7
Теорема 1. Функция 2' = φ(ζ), обратная к построенной выше
функции, конформно отображающей круговой треугольник с
нулевыми углами на верхнюю полуплоскость, может быть
аналитически продолжена по любой кривой, не проходящей через
точки О, 1, оо. Значения, принимаемые любым элементом
аналитической функции, порождаемой элементом φ (ζ), лежат в
единичном круге.
Укажем еще на связь построенной нами функции f{z) с
модулярными функциями теории эллиптических функций. Обозначим через
(оо)
Рис. 94.
Рис. 95.
Ζ W дробно-линейное отображение полуплоскости Im τ ^ О на
единичный круг, переводящее точки О, 1, оо в вершины нашего
кругового треугольника О. При этом в треугольник G перейдет область Qy
заштрихованная на рис. 94 (эта область G также является круговым
треугольником с нулевыми углами). Функция f{z{'z)) совпадает тогда
с модулярной функцией, обозначаемой в теории эллиптических
функций через κ^(τ). Из проведенного нами исследования вытекает, что
функция ζ = κ^(τ) конформно отображает область G на верхнюю
полуплоскость в плоскости С·
В треугольнике Q проведем все его «высоты», т. е. окружности,
выходящие из всех его вершин и ортогональные действительной оси
и стороне, противолежащей вершине (рис. 95). Обозначим через G*
круговой треугольник, заштрихованный на рис. 95 и имеющий одну
из вершин в бесконечности. У треугольника G* угол в бесконечно
удаленной вершине равен нулю, угол в вершине ^-\-i равен -ψ,
а угол в вершине е^ равен -γ. Функция, которая конформно отобра-
о
жает треугольник G* на верхнюю полуплоскость и переводит его

§ 4]
МОДУЛЯРНАЯ ФУНКЦИЯ 477
вершины е·^ у 1 4^/, сю в точки О, 1, сю соответственно, обозначаетс^т
в теории эллиптических функций через /(τ).
Из соотношения между треугольниками G и G* можно вывести
(мы не будем этого делать), что между функциями У(т) и κ^(τ) имеется
соотношение μ. ¢,) _^. (,).,^ ij.
7 y.^{-z)[\—y.^ {τ)Υ ·
Функция у (τ) также называется модулярной функцией.
(Подробнее об определении модулярных функций рассказано в гл. 4 второй
части этой книги.)
Отметим одно важное свойство введенных нами модулярных
функций.
Треугольники, полученные из основного треугольника G* или G
четным числом инверсий в сторонах, конформно отображаются
соответствующей модулярной функцией на верхнюю полуплоскость. При
этом вершины треугольников переходят в фиксированные точки О, 1, оо.
Легко видеть, что четное число инверсий в окружностях равносильно
некоторому дробно-линейному преобразованию (ибо одна инверсия
равносильна комбинации дробно-линейного преобразования с
переходом к сопряженным величинам). Докажем сейчас, что при этих
преобразованиях модулярная функция не меняется. Действительно,
■пусть τ'=Τ{τ) — дробно-линейное отображение, отвечающее четному
числу инверсий в сторонах, и пусть оно переводит основной
треугольник (для определенности G*) в треугольник Of (мы знаем, что
при этом вершины переходят в вершины). Рассмотрим функции
■ψι (τ)= /G(τ)) и ψ.2(τ) = 7(τ). Обе эти функции отображают
треугольник О* на верхнюю полуплоскость и переводят его вершины в одни
и те же точки. Нетрудно убедиться, что такое конформное отображение
единственно. Поэтому 7G(τ))^7(τ), и наше утверждение доказано.
Множество всех дробно-линейных преобразований, отвечающих
четному числу инверсий в сторонах основного треугольника, образуют
группу, если под произведением двух дробно-линейных
преобразований понимать последовательное их выполнение (см. § 1 гл. 5). Эта
группа является подгруппой всей группы дробно-линейных
преобразований. Для области G* она состоит из дробно-линейных
преобразований вида nt-X-h
Г(т) = ^^,
^Де а, Ь, с, d — целые числа и ad — Ьс=\, Эта группа называется
модулярной группой *).
*) Об этих вопросах несколько более подробно рассказано в гл. 4 ч. 2
этой книги, а еще более полную информацию (и библиографию) можно найти
в книге Н. И. Ахиезера, Элементы теории эллиптических функций, Москва,
ГТТИ, 1948. ^J ^ f

478
НЕКОТОРЫЕ СПЕЦИАЛЬНЫЕ КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
[Гл. 7
Однозначные функции комплексного переменного, для которых
/G(τ)) = /(τ)
для всех дробно-линейных преобразований Г (τ) из некоторой
группы Г, называются автоморфными функциями (относительно
группы Г).
После периодических и эллиптических функций модулярные
функции представляют собой простейший пример автоморфных функций.
С помощью отображений круговых многоугольников можно
получить и другие примеры автоморфных функций. Рассмотрим круговой
Рис. 96.
многоугольник Р, лежащий в единичном круге и имеюилий своими
сторонами дуги окружностей, ортогональных единичной окружности.
Отобразим этот многоугольник с помощью функции ^ = F {ζ) на
полуплоскость Ιηιζ^Ο. Как и при исследовании модулярных
функций, мы можем аналитически продолжать эту функцию через стороны
многоугольника Ρ с помощью принципа симметрии. Условие
ортогональности сторон многоугольника Ρ единичной окружности
гарантирует нам, что отражения многоугольника Ρ в его сторонах не
выйдут за пределы единичного круга.

^ 5] ТЕОРЕМА ПИКАРА 479
Как и в случае прямолинейных треугольников, мы легко решаем
задачу о необходимых и достаточных условиях для однозначности
функции, получаемой аналитическим продолжением функции F (ζ).
Эти условия таковы:
Углы многоугольника Ρ должны быть равны
где Γχ, Гчу ..., г η — целые положительные числа (или оо). На рис. 96
изображена фигура, аналогичная модулярной фигуре, отвечающая
случаю, когда Ρ — треугольник, а Γι = 2, г2 = 3, Гз = 7.
Как и для модулярной функции, можно доказать, что при
выполнении указанных условий получается «замощение» единичного круга
без дыр и перекрытий. Легко показать также, что построенная
функция является автоморфной функцией. На этих вопросах мы
останавливаться не будем *).
Об автоморфных функциях еще будем говорить (в несколько ином
аспекте) в § б гл. 9.
§ 5. Теорема Пикара
С помощью модулярных функций легко доказывается так
называемая теорема Пикарйу представляющая собой существенное
уточнение теоремы Вейерштрасса (см. § 2 гл. 4) о поведении регулярной
функции вблизи существенно особой точки.
Теорема 1. Целая функция, отличная от тождественной
постоянной, принимает все значения, за исключением, может
быть, одного.
Пример функции е^ показывает, что одно исключительное значение
может существовать.
Для доказательства теоремы Пикара предположим, что целая
функция G{s) не принимает каких-либо двух значений а и Ь, Тогда целая
функция ^E) = --—-^— не принимает значений О и 1. Кроме того,
g{s), как целая функция, не принимает и значения оэ. Рассмотрим
^вспомогательную функцию
где φ (ζ) — функция, обратная к функции (,=f(z), построенной с
помощью конформного отображения кругового треугольника с нулевыми
углами в предыдущем параграфе. Поскольку функция g(s) не
принимает значений О, 1 и оэ, любая кривая в плоскости 5 при отображе-
*) Подробное обсуждение различных вопросов такого рода, относящихся
^ автоморфным функциям, можно найти в книге: Frieke и. Klein,
Vorlesungen über die Theorie der automorphen Funktionen, Bd. I, Leipzig,
1890, Bd. II, Leipzig, 1892.

480 НЕКОТОРЫЕ СПЕЦИАЛЬНЫЕ КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ [Гл. 7
НИИ Cz=:g(s) перейдет в кривую, не проходящую через точки О, 1 и оо.
Поэтому в силу теоремы 1 § 4 функцию F (s) можно аналитически
продолжить по любой кривой, лежащей в конечной части плоскости s. Но вся
конечная плоскость — односвязная область, так что в силу теоремы
о монодромии F{s) — целая функция. Далее, согласно теореме 1 § 4,
значения всех элементов аналитической функции φ (С) лежат в
единичном круге. Следовательно, для целой функции F {s) при всех 5
справедливо неравенство |F(s)i^l. По теореме Лиувилля (см. § 5 гл. 3)
ограниченная целая функция — тождественная постоянная. Из равенства
F(s)^ const следует, что ^E)^ const, так как функция φ (С) заведомо
отлична от тождественной постоянной. Тем самым теорема Пикара
доказана.
§ 6. Теоремы Шоттки и Ландау
С помощью той же функции ψ(ζ), конформно отображающей
верхнюю полуплоскость на круговой треугольник с нулевыми углами,
докажем еще теоремы Шоттки и Ландау о функциях, не принимающих
значений О и 1 в конечном круге.
Теорема Шоттки относится к теоремам искажения того же рода,
что лемма Шварца и принцип Линделефа (см. § 7 гл. 6). Ее
формулировка такова:
Теорема 1. Пусть функция F(t) регулярна в круге it<^R
и не принимает в этом круге значений О « 1, а F@) = Co^ где
ICol^ö, iCol^l, |ζο-ΐ|^δ (δ>0).
Тогда при любом r<^R имеет место неравенство
max|F(Oi^^(^,S),
где постоянная Μ (ρ, δ) зависит только от ρ и Ь.
Прежде чем доказывать теорему Шоттки, докажем одну лемму,
которую можно рассматривать как обобщение леммы Шварца.
Л ем м а. Яус/ггб функция g{t) регулярна в круге \t\<^R, и пусть
1^(^I <^1 в этом круге, а !^@)| :^а<^ 1. Тогда при любом г <^R
имеет место неравенство
тах!^@|^Й^·
Для доказательства леммы рассмотрим вспомогательную функцию
g@--g(Q)
h{t)-.
1-^@^@)

§ 6] ТЕОРЕМЫ ШОТТКИ И ЛАНДАУ 481
Так как значения функции w==g(t) лежат в единичном круге \w\<^ly
а дробно-линейная функция
f^ (-==^@))
1 — wa
конформно отображает этот круг на себя, то значения функции h(t}
тоже лежат в единичном круге. Кроме того, /г @) = 0. Поэтому,
применяя к функции h(Rx) лемму Шварца, получаем неравенство \h{t)\^
^-LL (справедливое при \t\<^R), т. е. неравенство
■^ i\t\<R).
g@-g@)
Из этого неравенства получаем, обозначив для краткости
g{i) = w, ^@) = α, Ш^р,
неравенство
--^ р.
Воспользуемся легко проверяемой формулой
|1 —^ί|2 = |^_α|'2-1-A —|aj2)(l —\w^^),
С ее помощью легко получаем, что
\w—a\'-
9
— (|^|__|a|)^ + (l-|aP)(l~|t^|^)'
Полученное неравенство можно записать в виде
(i-fX\w\-\a\f-{l-]a\^){l-\w\^^0.
Отсюда, решая квадратное уравнение, без труда находим, что
\JK4\ 1^1^ 1+Pkl 1 + «P R + a\t\'
Тем самым лемма доказана.
Перейдем теперь к доказательству теоремы Шоттки. Обозначим
через ψ (ζ) функцию, конформно отображаюи1.ую верхнюю
полуплоскость ImC^O на равносторонний круговой треугольник G с
нулевыми углами и с вершинами на единичной окружности (в вершины
треугольника G переходят точки О, I и оо). Мы знаем, что функцию
ψ (ζ) можно аналитически продолжить в нижнюю полуплоскость
через отрезки (О, 1), A,-|-со) и (— оо, 0) действительной оси. Будем
обозначать тем же символом ψ (ζ) функцию, получающуюся
аналитическим продолжением исходного отображения на всю плоскость ζ

482 НЕКОТОРЫЕ СПЕЦИАЛЬНЫЕ КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ [Гл. 7
С разрезами (l,-f-oo) и (— ос, 0), доопределенную по непрерывности
на верхних краях этих разрезов. Тогда функция ψ (ζ) конформно
отображает свою область определения на фигуру, составленную из самого
треугольника G (дополненного его сторонами, но не вершинами) и
треугольника, полученного отражением треугольника G в о;.ной из его
сторон. Точка Со, удовлетворяющая условиям
|ζο!^δ, |Со!^|, |ζο~1|Ξ^δ . (δ>0),
лежит в области определения функции ψ (С) и |ф(Со)|-^^^С^Х^ 1
(поскольку в точки единичной окружности отображаются лишь точки
О, 1 и оо, отвечающие вершинам треугольника G).
Рассмотрим вспомогательную функцию
git) = ^ (Fit)).
Она определена в некоторой части круга \t\<^R, содержаихей точку
t = 0 (и регулярна в этой части). По теореме 1 § 4 мы знаем, что
функцию ψ (С) можно аналитически продолжить по любому пути, не
проходящему через точки О, 1, сю. Поскольку функция F (t) регулярна
в круге \t\<^Fi и не принимает значений О и 1, отсюда вытекает,
что функцию g{t) можно аналитически продолжить по любому пути,
лежащему в круге \t\<^R. В силу теоремы о монодромии
продолженная функция будет однозначна, а следовательно, и регулярна в круге
't\<^R (круг — односвязная область). Кроме того, по той же теореме 1
§ 4 мы знаем, что значения всех элементов функции ψ (ζ) лежат в
единичном круге. Поэтому, обозначая продолженную функцию \ем же
символом g{t), видим, что эта функция регулярна в круге \t\<CR
и удовлетворяет условиям
!^(Oi<i {^<Ю· 1^-@I =^ α (8)<1.
В силу доказанной выше леммы получаем отсюда, что
тах^[^@| =^-^:^^^ = р(^-, 8)< 1.
Обозначим теперь через f{z) модулярную функцию, обратную к
аналитической функции ψ((;). Мы знаем, что она регулярна в круге |2Ί<^1.
Согласно определению функции g{t) имеет место равенство
f @=/(^@)-
Поэтому
max IF(Oi^ max \/{ζ)\ (ρ = Ρ (-^-, Ч
И теорема доказана.
С помоплью теоремы Шо1тки легко доказывается теорема Ландау,
несколько уточняющая теорему Пикара.

§ 71 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 483
Τ е О ρ е Μ а 2. Пусть функция Q {ζ) регулярна в круге \ζ — a\<^R
η не принимает в этом круге значений О ?ί 1. Тогда
\0{ay^\^{Q{a)l
где μ (.9) — постоянная, зависящая только от s.
Согласно формулам, полученным в § 5 гл. 3,
:G(α)[=£ς1 max \Q{z)\ {г <:R).
Ζ — а , = Г
Положим, в частности, r = ^R и воспользуемся для оценки величины
max 10(^I
\z ~ а\ = г
теоремой 1, примененной к функции F=:Q{t-\-a). Это даст нам
неравенство
\0{а)\^ ^ Ж(-1,0(а)),
которое равносильно утверждению теоремы.
В случае, когда функция О {ζ) целая, /^ = аэ, и из теоремы
Ландау вы 1 екает, чю G'(a)^0. Таким образом, теорема Пикара является
частным случаем теоремы Ландау.
§ 7 Дифференциальные уравнения для отображающих функций
круговых многоугольников
В отличие от функций, совершаюнтих конформное отображение
полуплоскости (или круга) на прямолинейный многоугольник, для
функций, совершающих конформное oτoбpaжeίIиe полуплоскости на
круговой многоугольник, уже нельзя дать явное выражение через
интегралы от элементарных функций. Однако с помощью тех же
методов можно вывести лифференциальные уравнения, которым должны
удовлетворять отображающие функции.
Прежде чем начинать вывод этих уравнений, введем одно
обозначение и докажем одну лемму.
Дифференциальным инвариантом Шварца или шварцианом
функции /(С) назовем выражение
Лемма. Пусть функции /Q и g(Q связаны соотношением
S(Q = lf§^ {ad-be ^0). A)

484
НЕКОТОРЫЕ СПЕЦИАЛЬНЫЕ КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
[Гл. 7
Тогда
Запишем равенство A) в виде
gi^cf-\-d)-af~b = Q
и продифференцируем его по ζ три раза, что даст три равенства
c{fg)'+d^-af^O,
cifg)" + d^'-af" = 0,
cifgr+cl^"-af"'^0.
Рассматривая эти равенства как систему линейных уравнений
относительно с, dy — а, видим, что определитель этой системы должен
быть равен нулю. Следовательно, функции /(С) и g(Q связаны
соотношением
|(/^)' g' /'
D{f,g) =
ifgy
rrr rn Xftr
f"
:0.
B)
Вычитая из первого столбца определителя D{f,g) второй,
умноженный на /, и третий, умноженный на g, получаем, что
Dif,g)--
0
/ /'
2/У / /"
Раскрывая определитель по элементам первого столбца, записываем
соотношение B) в виде
3 {/Ύ + fglif'sf - f'g") - 2f^ (/Ύ - fg'") = о,
который уже легко преобразуется к виду {/, ζ} =г= {^^, ζ}.
Перейдем теперь к выводу дифференциального уравнения для отоб-
ражаюи1их функции круговых многоугольников.
Пусть О—круговой /г-угольник (будем считать его ограниченным),
имеющий вершины в точках г = Ь^, ^=1,2,...,^, и углы в этих
вершинах, равные πα^^, ^=:1,2,...,/7.
Через z=f(V) будем обозначать функцию, конформно отобра-
жаюихую верхнюю полуплоскость ImC^O на круговой
многоугольник G. Мы будем обозначать через а^ а^, ..., а^ точки
действительной оси плоскости ζ, переходящие при отображении z=f{i) в
вершины bi, b-i, ..., b,i многоугольника G. Мы, как и в § 1, будем
считать вершины ^1, /л,, ..., /?„ занумерованными в таком порядке, чтобы
— оо <^ αϊ <; а.2 <^... <; a^j <; 4" ^·

§ 7] ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 485
Через каждый из отрезков 4 (между точками Uk и α^^χ)
действительной оси функцию /(ζ) можно аналитически продолжить в
нижнюю полуплоскость lmC<^0 по принципу симметрии. При
аналитическом продолжении через разные отрезки 4 мы получаем разные
элементы аналитической функции. Как и в § 1, легко устанавливается,
что э'1и различные элементы, скажем Д (ζ) и /^^ (ζ), всегда связаны
соотношениями
(α, Ь, с, d — постояннь:е, зависящие от ν и μ), поскольку две
последовательные инверсии можно заменить одним дробно-линейным
преобразованием. Поэтому, согласно лемме, функция
является однозначной функцией, регулярной во всей плоскости ζ, за
исключением точек ζ, = α^, k=l, 2, ..., η (и, быть может, точки
С = оо).
Исследование особых точек ζ = B/^, k=\, ..., η, и точки С = сю
проводится теми же средствами, что и исследование особых точек
f" (ζ)
функции g(Q = ~-j^ в § 1. В окрестности точки С = сю имеем
{f>Q==i:+^^-+... C)
При исследовании поведения функции {/, С} в окрестности точек
l = ak (приходится различать два случая — ау^ т^ О и α^, = 0) удобно
воспользоваться тем, что, согласно лемме {/, ζ} = {^, С}, где g(Q =
= f/Jj^^ —любое дробно-линейное преобразование функции /(C).
Это дробно-линейное преобразование следует подобрать таким
образом, чтобы стороны кругового многоугольника, пересекающиеся в
интересующей нас вершине, перешли при этом преобразовании в
прямые линии. Тогда (при а^^ ^^ 0) с помощью тех же рассуждений,
что и в § I, мы представим функцию g{Q в виде
^^^ ^1 (Q — функция, регулярная в точке ζ, =а^у и g^ (а^) ^ 0. Из
этого представления легко находим, что
{/, С} = {g, С}=Ь_^ ϊζζ~γΛ^ + с; (С - ^)+...). D)
Исследование случая а/^ = 0 проводится совершенно аналогично, только
нельзя сослаться на готовый результат. В этом случае дробно-линейное
преобразование подбирается таким образом, 4to6f:»i круговой
многоугольник, на который отображается наша полуплоскость

486 НЕКОТОРЫЕ СПЕЦИАЛЬНЫЕ КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ [Гл. 7
функцией z = g(i), имел интересующую нас вершину в бесконечности
и чтобы его стороны совпадали вблизи этой вершины с лучами
1111^ = 0, Re2'<^ — т;
lmz = T., Re z<^ — т.
Тогда с помощью тех же соображений, что и в § 1, доказьшается,
что функция ехр(^(С)) регулярна в точке ^^ = а^ и имеет в этой
точке производную, отличную от нуля. Это позволяет получить для
функции ^(С) представление
^(С) = In (ζ-^,) + ^1 (ζ),
где функция ^1 (О регулярна в точке ζ, = α^. С помощью этого
представления легко убеждаемся, что формула D) сохраняет силу и в этом
случае.
Таким образом, доказывается, что функция {/, ζ} имеет во всей
плоскости только полюсы второго порядка ζ = B/^, k=l, 2,..., η,
в окрестности которых для нее справедлива формула D). Заметим,
что формула D) не определяет полностью всей главной части ряда
Лорана для функции {/С} в окрестности полюса ί, = α^. Поэтому мы
можем написать для этой функции лишь формулу
k = l
в которой имеется η неизвестных коэффициентов Сд.. Правда, на эти
коэффициенты накладываются еще три условия:
η η ^^ η η
Σ Ck = 0, у а,,С„ = —У -^, Уа1С^ = --Уа^A-~ч),
^ ~ k=^\ k = \ /г = 1 k^\
выτeκaюuJ,иe из формулы C). Эти условия означают, что
коэффициенты разложения функции {/, С} в ряд по степеням γ- в
окрестности точки С = оо при С~^, С"^ и ζ~^^ равны нулю. Таким образом, в
действительности имеется лишь η — 3 неизвестных постоянных. Поэтому
для п = Ъ дифференциальное уравнение для отображающей функции
может быть полностью определено.
Теорема 1. Функция z=f{J'^), конформно отображающая
верхнюю полуплоскость ImC^O на круговой треугольник с углами
в вершинах, равными πα^, πα^, ποί^, удовлетворяет
дифференциальному уравнению
f"'{i) 3 rf"(iI2_\-ai {а,-~а,){а,~а,)
Г (С) 2 У (ζ) J — 2 · (ζ - а,γ (ζ - ο,)(ζ ~ α.^ ~^
"^ 2 · (ζ ~ α,){Τ. - α,γ (ζ ~ α,) "Γ 2 * (ζ - α,){ζ - α,){ζ ~ α,γ '

§ 7] ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 487
где а^у <2о, а-^ — точки действительной оси, переходящие при
отображении z=f(C) в вершины кругового треугольника.
Действительно, не составляет особого труда проверить, что
рациональная функция, стоящая в правой части написанного уравнения,
удовлетворяет условиям C) и D),
Заметим, что в написанное дифференциальное уравнение не входят
вершины нашего кругового треугольника. Они могут быть выбраны
произвольно за счет трех произвольных постоянных, возникающих
при интегрировании дифференциального уравнения третьего порядка.
Если выбрать ai = 0, а^=\, а-^ = (уэ, ю выведенное нами
уравнение принимает значительно более простой вид
ГЧС) 3 гг(С)Т^__1-а| ΐ-α| a2-f-«i + «l-i (^.
/'(ζ) 2[/(C)J"~ 2ί' ~^2(ζ —1)^ ' 2ζ(ζ —1) · ^^^
Β частности, полагая αι = α2 = α3 = 0, можем получить из
уравнения E) уравнение для модулярной функции у.^(т). Действительно,
уравнение для обратной к ней функции пишется сразу, а между
шварцианами {ζ, Q и {ζ, ζ}, где ζ {Q и ζ (г) — взаимно обратные
функции, существует простая связь
Поэтому уравнение для модулярной функции κ^(τ) (о которой
говорилось в § 4) имеет вид
(х^(х))-- 3 ([хМх)]-Г _ 1 1 , 1 1
Аналогично при aj— —, α.2 = -Γ^, аз = 0, получаем для другой
модулярной функции J (τ) (см. § 4) уравнение
J'" (τ) , 3 [Г {τ)Υ _ 4 , 3 23
Соображения, изложенные нами в связи с построением
отображающих функций круговых многоугольников, можно положить в
основу гораздо более общих исследований, о которых мы можем
упомянуть здесь лишь в нескольких словах.
Функцию /(С), аналитическую во всей плоскости, за исключением
конечного числа точек а^, а^,..., а^, будем называть
линейно-полиморфной, если аналитическое продолжение любого элемента этой
функции по любому замкнутому пути приводит к элементу,
получающемуся из прежнего дробно-линейным преобразованием.
Соображения, изложенные выше, показывают, что любая линейно-
полиморфная функция /(С) удовлетворяет дифференциальному
уравнению третьего порядка
{/, C} = R(C), F)

4öö НЕКОТОРЫЕ СПЕЦИАЛЬНЫЕ КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ [Гл. 7
где R(Q — функция, регулярная во всей плоскости, за
исключением точек ар а^,..., а^. (Обычно на линейно-полиморфные
функции накладываются дополнительные условия, обеспечивающие
рациональность функции R{Q.)
Уравнение третьего порядка (б) в действительности легко
сводится к линейному однородному дифференциальному уравнению
второго порядка. Для этой цели достаточно заметить, что шварциан можно
записать в виде
После этого требуемое сведение осуществляется с помощью замены
1
по--
и уравнение для функции ζ{ζ) принимает вид
z"iQ^^R{QziQ = 0. G)
Кстати говоря, для функции круговых треугольников уравнение G)
является так называемым гиперге о метрическим уравнением.
Нетрудно показать, что отношение двух линейно независимых
решений уравнения G) является решением уравнения (б).
Действительно, пусть 2Ί (ζ) и ^2 (С) — два линейно независимых решения
уравнения G). Тогда по известной теореме теории дифференциальных
уравнений их вронскиан
W{zp z^) = z[{Qz^{Q-z'^{Qz,{Q
равен постоянной, которую без ограничения общности можно
считать равной единице. Но
d (ζ, (С)\ _ ζ[ (ζ) ζ, (ζ) - ζ', (ζ) ζ, (ζ) \__
а уравнение (б) сводилось к уравнению G) заменой f (ζ)ζ= ^
ζ (ζ)
Следовательно, функция /(ζ) = -^-^ удовлетворяет уравнению (б)
(в это уравнение сама функция /(С) не входит, входят лишь ее
производные).
Далее, с помощью двух линейно независимых решений Zi{Q и
2*2 (ζ) (с вронскианом, равным единице) уравнения G) мы можем
построить и общее решение уравнения (б). Для этого достаточна
положить
....__Αζ,(ί) + Βζ,{ζ)
^^^^~Όζ,(ί) + ηζ,{ζ)
и связать постоянные Л, В, С, D условием AD — ВС=1,
обеспечивающим, как легко проверить, равенство единице вронскиана реше*

§ 71 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 489
ПИЙ Azi{Q-^ Βζ.2{ί) и Czj (ζ)-[-Dz^ (Q. Написанное решение
уравнения F) зависит от трех произвольных параметров и представляет
собой o6uj,ee решение этого уравнения.
Из доказанного легко усмотреть, что любое решение уравнения
(G) является линейно-полиморфной функцией. Действительно, любое
2 (ζ)
решение уравнения F) можно представить в виде ^^-)^, где 2ί (С) и
^2 (С) — решения уравнения G). Поэтому единственными возможными
точками ветвления для решения уравнения (б) являются точки
ветвления решений уравнения G), т. е. особые точки функции R{Q
(регулярность решений уравнения G) в точках регулярности функции R(C)
доказывается очень легко; например, с помош.ью разложения решения
в ряд). При аналитическом продолжении решений Zj (ζ) и -г2(С) по
любому замкнутому пути мы получим из решений 2Ί (ζ) и ζ<^ (ζ)
некоторые другие решения | ^j | (ζ) и | ^21 (ζ) уравнения G). Эти новые
решения можно записать в виде
;.(С)=:Л21(С) + 5^(С),
Следовательно, новый элемент функции /(ζ) (полученный из прежнего
аналитическим продолжением по какому-либо замкнутому пути) может
быть представлен в виде
г, (ζ) Сг.(С)+Ог,(С) C/(Q + D'
Это и означает, что /(ζ) — линейно-полиморфная функция.

г л а в а восьмая
ПРИНЦИП ДИРИХЛЕ и КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
МНОГОСВЯЗНЫХ ОБЛАСТЕЙ
Всю эту главу мы посвят11м изложению совершенно иного
подхода к задаче о конформном отображении. Этот подход, основанный
на физических соображениях, был впервые использован замечательным
немецким математиком Бернгардом Риманом A826—1866), идеи
которого оставили глубокий след почти во всех областях анализа.
Доказательства Римана, как показал Вейерштрасс, были недостаточно
строгими, и подход Римана был временно забракован, как недостаточно
обоснованный. Однако некоторое время спустя другой замечательный
немецкий математик Давид Гильберт показал, что подход Римана может
быть полностью обоснован. После эгого первого успеха подход
Римана исследовался в трудах многих математиков. К настоящему
времени стало ясно, что этот подход (названный самим Риманом
принципом Дирихле) дает наиболее удобное средство для доказательства
многих теорем существования в теории аналитических функций.
В этой главе при изложении принципа Дирихле будем иметь в виду
одну из простейших задач, решаемых с его помощью, задачу о
конформном отображении плоской многосвязной области на некоторую
канош1ческую область. Несколько первых параграфов посвятим
постановке экстремальной задачи, а затем перейдем к доказательству
существования экстремальной функции. После этого закончим построение
отображаюнхей функции и перейдем к распространению метода на
другие задачи.
§ 1. Наводящие соображения
В этом параграфе покажем, что теорема Римана о конформном
отображении односвязной области на круг является интуитивно
очевидной с точки зрения гидродинамических аналогий. Более того, мы
включим эту теорему в более общую теорему об отображении
многосвязных областей. При этом выясним, где лежат корни этой
интуитивной очевидности, и наметим подходы к доказательствам.
Рассмотрим в некоторой области комплексной плоскости,
ограниченной конечным числом простых замкнутых кривых, течение жид-

·§ 11
НАВОДЯЩИЕ СООБРАЖЕНИЯ
491
кости, не выходяи1ее за пределы этой области. Это означает, что
граничные кривые области (мы можем представлять их себе гладкими
сте1и<ами сосуда с жидкостью) являются линиями тока нашего течения.
На течение наложим дополнительное условие:
Потенциал скоростей течения должен быть однозначной
функцией в интересующей нас области.
Это условие равносильно следуюи1.ему:
Циркуляция течения по любой замкнутой кривой^ лежащей
в области, равна нулю.
Выясним, как могут вести себя линии тока такого течения вблизи
граничных кривых области (которые сами являются линиями тока).
В принципе возможны два варианта
поведения течения около гладкой
замкнутой стенки сосуда. Один
вариант — вихревое движение вокруг
этой стенки, т. е. движение, при
котором частицы жидкости все время
остаются на этой стенке, обходя ее
вокруг. Этот вариант в нашем
случае невозможен, так как
циркуляция по такой граничной кривой
(а значит, и по любой достаточно
близкой к ней замкнутой кривой,
лежаш.ей в области) была бы
отлична от нуля. Второй вариант
состоит в том, что граничная кривая
обтекается потоком жидкости, про-
Х0ДЯП1ИМ мимо. Тогда частицы
жидкости приходят на граничную
кривую в какой-то одной точке,
разделяются в этой точке на два потока,
расходящихся в разные стороны от
этой точки; затем эти два потока встречаются в другой точке
граничной кривой и уходят с нее. Этот вариант и является в нашем
случае единственным возможным. Поэтому поведение линий тока
нашего течения вблизи граничной кривой должно иметь вид,
изображенный на рис. 97. Среди линий тока нашего течения жидкости
имеется конечное число линий тока, выходящих на граничные
кривые. С каждой из граничных кривых встречаются две такие линии
тока (по одной из них частицы жидкости приходят на граничную
кривую, по другой — уходят с нее).
Зададимся теперь произвольной областью О, ограниченной
конечным числом простых замкнутых кривых, и рассмотрим в ней
определенное течение жидкости, удовлетворяющее поставленным выше
Рис. 97.

492 ПРИНЦИП ДИРИХЛЕ [Гл. S
условиям. Именно, рассмотрим течение жидкости, образованное в
области О (представляемой нами как сосуд с гладкими стенками) источ-^
НИКОМ в точке α ^ О и стоком той же мощности в точке а' ^ О. С
точки зрения наших интуитивных представлений, основанных на
повседневных наблюдениях над жидкостями, существование такого
течения очевидно.
Для большего удобства будем считать источник и сток
слившимися в один диполь в точке а (мощность диполя и направление
его оси значения не имеют).
Итак, пусть F {ζ) = и {ζ) -f- iv {ζ) — комплексный потенциал
течения жидкости, описанного выше. Как мы видели в § 7 гл. 5,
наличие диполя в точке ζ = α у течения жидкости означает, что
комплексный потенциал F {ζ) этого течения имеет в точке а простой
полюс. Обозначим через λ^ линии тока нашего течения жидкости, т. е.
линии уровня v{z) = c мнимой части комплексного потенциала.
Вдоль линий тока частицы жидкости нашего потока перетекают и»
источника в сток (оба они в одной и той же точке а ^ G), так что·
по самому их смыслу они должны быть замкнутыми кривыми,
проходящими через точку а. Исследуем линии тока несколько
подробнее.
Поскольку функция F{z)=u-^iv имеет в точке z = a простой
полюс, отображение w = F(z) взаимно однозначно в некоторой
окрестности этой точки. Образом достаточно малой окрестности δ
точки ζ = α является некоторая область Δ, содержащая точку τ^^ = схэ.
При отображении w = F{z) линии тока λ^ переходят, очевидно, в
прямые \mw = c. При с, достаточно близких к —оо, скажем при
с<^С. каждая прямая \mw = c целиком лежит в области Δ.
Следовательно, ее прообраз — линия тока λ^ — целиком лежит в
окрестности δ точки ζ = α и является, очевидно, простой замкнутой кривой,
проходящей через эту точку. Обозначим через D^ область,
ограниченную линией тока λ^ (и конечную). Образом этой области при
отображении w = F{z) является полуплоскость lmw<^c (при с<^С).
Выясним, что происходит с линиями тока λ^ при дальнейшем
увеличении параметра с, В принципе могут существовать две
причины, по которым расширяющиеся с возрастанием параметра с кривые
λ^ могут перестать быть простыми замкнутыми кривыми при с = с^
(оставаясь таковыми при c<^Ci). Первая причина — кривая λ^^
выйдет на границу области G. Вторая — кривая λ^^ коснется себя самой.
Заметим, что вторая причина при наших предположениях
относительно течения жидкости невозможна. Действительно, участок линии
тока λ^^ от первого попадания в точку самокасания до второго был бы
тогда замкнутой линией тока, не проходящей через диполь. Движение
частиц жидкости вдоль такой линии тока происходило бы в одном
направлении, и циркуляция вдоль этой линии тока была бы отлична от
нуля, что невозможно в силу наших предположений. Следовательно:

§ 1] НАВОДЯЩИЕ СООБРАЖЕНИЯ 493
Линии тока \ при с<^с^ являются простыми замкнутыми
кривыми, проходящими через точку z = a. Эти кривые
конформно отображаются функцией w = F{z) в прямые \mw = c. При
c = Ci линия тока λ^^ выходит на границу области G.
Теперь выясним, что случится с линиями тока при с^с^. Когда
параметр с непрерывно меняется, часть линии тока λ^, лежащая
вдали от границы области G, тоже меняется непрерывно. Поэтому при
переходе от значений с, немного меньших cj, к значениям, немного
большим Ci, линия тока λ^ может резко измениться лишь на том ее
участке, который при с ->Ci стремится к границе области О. В
начале параграфа mbi видели, что линия тока нашего течения, попадающая
на границу области G, на граничной кривой раздваивается. При этом
близкие линии тока обтекают граничную кривую с двух сторон
(при меньших значениях параметра — с одной стороны, при
больших— с другой; см. рис. 97). Поэтому при с-^с^, с<^с^у участок
линии тока λ^, выходящий на границу области О, стремится к одной
дуге граничной кривой, а при с-> Ci, с'^с^, — к другой ее дуге
(обе дуги вместе образуют всю граничную кривую одной
компоненты границы области О). Таким образом, линия тока λ^ при
значениях с, немного больших с^, также является простой
замкнутой кривой. Функция w = F{z) по-прежнему конформно
отображает эту кривую на прямую \mw=^c.
Продолжая увеличивать параметр с, мы с помощью совершенно
аналогичных рассуждений придем к выводу:
При всех Су —оо<^б'<^-[-оо,за исключением конечного
числа значений с^, с^, ...,^^, линия тока \ представляет собой
простую замкнутую кривую, лежащую в области Q и
проходящую через точку z = a. Функция w = F{z) конформно
отображает кривую \ на прямую \mw^=c.
Ясно, что при изменении ί: от —со до-[-со линии тока λ^
заметают всю область О (в противном случае были бы замкнутые
линии тока, не проходящие через диполь, что противоречило бы
нашему предположению о том, что циркуляция течения по любой
замкнутой кривой, лежащей в области О, равна нулю). Выясним, куда
отображает область О функция w = F{z).
Будем считать числа 6ί, ^2,.♦·> с^^ занумерованными в порядке
возрастания и дополним их последовательность числами с^=—со
и с^^^=:Л-оо. Через 0^ обозначим область, заметаемую линиями
тока λ^ при Cs<^c<^Csj^'^. Тогда из сказанного выше
непосредственно вытекает, что функция w = F{z) конформно отображает область
Qs на полосу Cs<^\mw<^Cg^i. Область О получается из
объединения областей Q^, если дополнить это объединение частями линий
тока λ k=\y 2,..., ту лежащими в области G. Образами этих

494 ПРИНЦИП ДИРИХЛЕ ГГл. 8
частей линий тока λ^^ будут части прямых Imw^^^Cf,. Следовательно,
образом области Q при отображении w = F{z) будет вся плоскость
W с разрезами по конечному числу отрезков прямых \тг0 = с^,
k=\,,.., т. Эти разрезы являются образами граничных кривых
области G, так что число разрезов равно числу связности области О.
Тем самым, используя интуитивные допуп1.ения о суп1ествовании
некоторого течения жидкости, мы показали, что
Любую п-связную область Q, ограниченную простыми
замкнутыми кривыми, можно конформно отобразить на всю плоскость
с η разрезами по отрезкам прямых, параллельных
действительной оси.
Ясно, что при л=1 это утверждение равносильно утверждению
о том, что любую односвязную область, ограниченную простой
замкнутой кривой, можно конформно отобразить на единичный круг.
Действительно, конформное отображение внешности одного
прямолинейного отрезка на круг осуществимо вполне элементарными срелТ-
ствами (скажем, с помощью функции, обратной к функции ζ = ~y[z-\~-^ ';
см. § 3 гл. 5).
Нам остается теперь сказать несколько слов о математическом
смысле сделанного допуи1ения (о существовании течения жидкости)
и объяснить причину, по которой существование такого течения
кажется нам очевидным.
Рассмотрим произвольное течение жидкости в области В, для
которого циркуляция по любому замкнутому контуру, лежащему в
этой области, равна нулю. Тогда для этого течения существует
однозначная в области В действительная функция и {ζ), являющаяся
потенциалом скоростей этого течения (см. § 12 гл. 3). Кинетическая
энергия этого течения жидкости в области В выражается величиной
\\т ν dx dy = т \\ \(u[^f -[ (ιι',γ\ dxdy
(m — общая масса жидкости в области В). Известно, что жидкость,
предоставленная самой себе, выбирает такой способ течения, при
котором кинетическая энергия всей ее массы будет наименьшей.
Покажем несколько ниже, что это условие приводит к
гармоничности функции и (ζ). Наше допущение состоит в предположении
существования некоторого экстремального течения (такого рода допуп^е-
ния часто кажутся очевидными). Мы покажем, что это
экстремальное течение существует без каких бы то ни было предположений
относительно области (даже без тех предположений, которые мы
сделали в начале параграфа). Однако, прежде чем переходить к
доказательствам, мы должны поставить соответствующую
экстремальную задачу. Именно эту цель мы и будем иметь в виду в ближайших
параграфах.

§ 2J ИНТЕГРАЛ ДИРИХЛЕ И ФОРМУЛА ГРИНА 495
§ 2. Интеграл Дирихле и формула Грина
Пусть В—произвольная область комплексной плоскости,
а φ (X, у) — произвольная действительная функция, непрерывно
дифференцируемая во внутренних точках этой области. Величину
D\M = Dß[',] = \\{{'^'J'^{^'yf)dxdy A)
В
будем называть интегралом Дирихле от срункции ^:^ {ζ) по области
В (указание на область В будем опускать, если это не может
вызвать недоразумений). Интеграл, входящий в формулу A), является,
вообще говоря, несобственным. Мы будем понимать его как верхнюю
грань интегралов, распространенных на любую конечную замкнутую
область, лежащую в области Я
В полярных координатах интеграл Дирихле принимает вид
Db [^]=\\ (^? + -i- φ^)/- dr cid. B)
Интеграл Дирихле обладает свойством инвариантности
относительно консрормных отображений, т. е. верно следующее утверж-
гтеиие:
Теорема 1. Пусть функция w =f{z) конформно
отображает область В на область β*, и пусть φ B^) ::= φ (/(г)). Тогда
\\ Wx λ' φ.ν') dx dy = \\ (ψ,Γ -f ψ;0 du dv,
в в*
где ζ := χ -'j- ly, a w = u-{- iv.
Действительно, no формулам дифференцирования сложной функции
и используя уравнения Коти — Римана
и'^ = v'y, v'j, = — и у,
мы без труда получаем равенство
С другой стороны, величина гг/' -γ- и\^ в силу тех же уравнений
Коши — Римана равна якобиану u'xv\, — u'^^v'x преобразования и = и {х,у)у
v=zv {х, у). Поэтому замена переменных в двойном интеграле дает
нам требуемое соотношение.

496 ПРИНЦИП ДИРИХЛЕ (Гл. 8
в частности, полагая в формуле, доказанной в теореме 1,φ(ζ) =
= Re/B-), получаем, что
ОвМ = \\\/' И ? dxdy = \\ du dv.
и в*
Иными словами:
Интеграл Дирихле от гармонической функции Re/"(г) = φ (г)
по области В равен площади образа области В при конформном
отображении w = f(z).
Очевидно, что интеграл Дирихле инвариантен и при
конформных отображениях с изменением направления отсчета углов,
в частности при зеркальном отражении в прямой или в
окружности.
Введем еще обозначение
D [φ, ψ] = Db [φ, ψ] = \\ (φ^ + ?Ж) dx dy C)
в
(сначала для случая, когда интегралы не являются несобственными).
При любых значениях постоянных λ и [х справедливо тождество
D [λφ + μφ] = λ·2 D [φ] + 2λμ D [φ, ψ] + μ^ Ζ) [ψ]. D)
Это тождество может слз^жить определением интеграла D [φ, ψ]
в случае, когда интегралы D [φ| и D [ψ] существуют как
несобственные интегралы (тогда в силу неравенства |λ^-|- ^Щ^ ^ (λ'^ -J- μ^) [g^ -|- /г^)
cyuiecTByeT и интеграл D [λφ --(- μψ]).
Замечая, что выражение D [λφ -(-- μψ] неотрицательно при любых
действительных λ и μ, получаем неравенство
iD[<f,W^D[f\-D[^\. E)
Интеграл D [φ, ψ] также инвариантен относительно конформ^
ных отображений. Это можно доказать, как в теореме 1, но проще
вывести из тождества D).
Нам понадобится еще одна формула для интеграла Дирихле,
называемая формулой Грина:
0[ъ^] = -\\ ^^^dxdy-\-\^^ds. F)
¾ дВ
(Здесь -^ —дифференцирование по направлению внешней нормали
к границе области В) Формула Грина справедлива в предположении,
что функция φ {ζ) непрерывно дифференцируема, а функция ψ {ζ)
дважды непрерывно дифференцируема в замыкании области В.
Область В при этом предполагается уже не произвольной, а конечно-

^ 3] НЕКОТОРЫЕ ТЕОРЕМЫ О ГАРМОНИЧЕСКИХ ФУНКЦИЯХ 497
связной областью, ограниченной конечным числом простых замкнутых
кусочно-гладких кривых.
Формула Грина является простым следствием хорошо известной
из анализа формулы Грина — Остроградского
\pdx+Qdy=[^[^-^)dxdy. G)
дВ В
Действительно,
а ds · cos {пх) = dy, ds · cos {ny) = — dx, так что
dB dB
Применяя к последнему интегралу формулу G), получаем, что
дВ В
откуда с помощью несложных преобразований приходим к формуле
Грина F).
Замечание. Будем называть функцию φ (ζ) кусочно непрерывно
дифференцируемой в области Д если она непрерывна в области By
а ее частные производные φ^ и φy могут иметь разрывы первого
рода вдоль конечного числа кусочно-гладких кривых. Нетрудно
убедиться, что формула Грина F) остается в силе и в предположении,
что функция φ (ζ) кусочно непрерывно дифференцируема в
замыкании области В. Действительно, мы можем в этом случае разбить
область В на части, в каждой из которых функция φ (ζ) непрерывно
дифференцируема, и применить формулу Грина к каждой из этих
частей, а затем сложить полученные результаты. Сумма
криволинейных интегралов по границам частей даст интеграл по всей границе
области В ввиду непрерывности функции φ (ζ).
§ 3. Некоторые теоремы о гармонических функциях
Сначала выведем из доказанной в предыдущем параграфе формулы
Грина некоторые формулы, относящиеся к гармоническим функциям.
Если функция ^(ζ) гармонична в замыкании области By то
формула Грина (формула F) § 2) дает равенство

498 ПРИНЦИП ДИРИХЛЕ
(Гл. I
справедливое для любой функции ψ(ζ\ непрерывно дифференцируемой
в замыкании области В.
Полагая, в частности, в равенстве A) φ(^)^1, мы приходим к
формуле
$ät^^^ = 0. B)
дВ
справедливой для любой функции ψ (г), гармоничной в замыкании
области. Более того, формула B) справедлива и для функций ^(ζ\
гармонических только внутри области В и непрерывно
дифференцируемых в замыкании этой области. Действительно, границу области
можно гладко аппроксимировать изнутри области (см. § 3 гл. I).
Для каждой из аппроксимирующих кривых формула B) верна, а
следовательно, она верна и для предельной кривой, т. е. для
границы области В.
Если обе функции φ (г) и ^{ζ) гармоничны в замыкании области В,
то, вычитая из формулы A) формулу, полученную из нее переменой
мест ψ (ζ) и ψ B^), приходим к формуле
t~'>Py=o- C)
дВ
Как и относительно формулы B), легко доказывается, что формула C)
справедлива в предположении, что функции ψ (ζ) и ψ (г) гармоничны
внутри области В и непрерывно дифференцируемы в замыкании этой
области.
Следующая формула, во многом напоминающая интегральную
формулу Коши для регулярных функций, доказывается несколько
сложнее.
Пусть функция и (ζ) гармонична внутри области В и непрерывно
дифференцируема в ее замыкании, и пусть ζ^ — некоторая точка
области В. Обозначим для краткости через г расстояние от точки ^о
до точки г, т. е. г = \ζ — ^ό'. Тогда имеет место формула
? 1 д\пг да , \ , р. . .
]["Ш-Ш^'"')'^' = ^''"^''^- D)
дВ
Для доказательства заметим прежде всего, что функция \пг =
—=RelnB' — ^о) является гармонической функцией в замыкании
области В с выколотой точкой z = z^. Далее возьмем число р^О
столь малым, чтобы круг \z — ^о1 ^ Ρ лежал в области В, и
обозначим через В область, полученную из области В удалением этого
круга. Применяя к функциям ψ (ζ) =^ и (ζ) и φ (г) = In г в области Б^,

§ 31 НЕКОТОРЫЕ ТЕОРЕМЫ О ГАРМОНИЧЕСКИХ ФУНКЦИЯХ 499
формулу C), получаем, что
д\пг ди , \ г ^
и -3 ~^-\п r]ds = 0.
дп дп 1
Граница области В^ состоит из границы области /? и из окружности
ζ — ^0= ρ, а направление внешней нормали к границе области В^
в точках этой окружности противоположно направлению ее радиуса.
Поэюму последнее равенство можно записать в виде
И"^^'~о-"'"'')'^^ = "Р \ nds-Ыр \ %ds.
дВ \z — Zo\--= ρ \ζ — ζοΐ = ρ
Но по формуле B)
du
\
дп '
а по теореме о среднем для гармонических функций (см. § 7 гл. 3)
^ uds = 2πρ и (Zq).
\z — 2:о1 = Ρ
Отсюда немедленно получаем фюрмулу D).
Используем теперь формулу D) для доказательства некоторых
теорем о продолжении гармонических функций.
Теорема 1. Пусть область В разделена на две части Βχ и
В^ кусочно-гладкой кривой С. Пусть далее в области Bf^ имеется
функция Uf^{z) (здесь k=l, 2), гармоническая внутри этой
области и непрерывно дифференцируемая в ее замыкании. Если на
кривой С, разделяющей области Βχ и В^, имеют место равенства
да, ди.
щ = щ, -^ = ^
ι η дифференцирование по какому-либо направлению нормали к
кривой с, скажем по направлению нормали из области Βχ в область
/¾ то функция и (ζ), определенная во всей области В равенствами
\ щ (г) {Ζ ^ В.-,),
гармонична внутри области В.
Для доказательства заметим, что при ζ ^ ßft, согласно формуле C),
2'
öBk
^ при ζ ^ Z?^., согласно формуле B),
1 С ^ д\п г дпь 1 ^ , ,л
2π > \ '^ дп дп
dBj,

500 ПРИНЦИП ДИРИХЛЕ [Гл. 8
Следовательно, при всех С, лежащих в области В, но не лежащих
на кривой С, имеет место равенство
1
If/ д\пг dui . \ , I If/ d In г du2, \ , /^-ч
271
дВг дВ2
Но
f / ölnr dUi, \ , if/ din г di/o , \ r
поскольку направление нормали к кривой С, рассматриваемой как
часть границы области Вр противоположно направлению нормали к
этой кривой, рассматриваемой как часть границы области В^^, так
что интегралы, взятые по кривой С, встречаются два раза и взаимна
уничтожаются. Интеграл в правой части последнего равенства
представляет собой гармоническую функцию параметра С, так как
функция \n\z — С! является гармонической функцией параметра С в
области В, если точка ζ лежит на границе этой области. Поскольку
сумма интегралов в левой части равенства равна функции 2r,ii(Q,.
мы приходим к утверждению теоремы.
Как и в § 3 гл. 4, от продолжения по непрерывности легка
переходим к продолжению по симметрии.
Теорема 2. Пусть функция щ(г) гармонична в области В
и непрерывно дифференцируема в замыкании этой области. Если
граница области В содержит аналитическую дугу 1, на которой
выполняется равенство щ (ζ) = О или равенство -^ = О, то
функцию Ui {ζ) можно продолжить через эту дугу за пределы
области В (с сохранением гармоничности) В случае, когда и = 0
на дуге 1, продолжение осуществляется с помощью формулы
и {Ζ) = — г/1 (^*) B * ζ В) E)
(через 2'* обозначаем точку, симметричную с точкой ζ относительна
аналитической дуги /; см. § 3 гл. 4), а в случае, когда -—■={) на
дуге /, — с помощью формулы
u{z) = u,{z'^) B*G^)· F)
Для доказательства достаточно показать, что функция,
определенная с помощью формулы E) или F), является гармонической
функцией в некоторой области, примыкающей к дуге / со стороны,
противоположной той, с которой примыкает к ней область В, и что на
дуге / выполняются условия теоремы 1. Все это достаточно проверить
для случая, когда аналитическая дуга / является отрезком действи-

§3] НЕКОТОРЫЕ ТЕОРЕМЫ О ГАРМОНИЧЕСКИХ ФУНКЦИЯХ 501
тельной оси, а г* = ^, ибо произвольный случай сводится к этому
частному случаю с помощью конформного отображения, переводящего
дугу / в требуемый отрезок.
Нам понадобятся еще некоторые оценки для гармонических
функций с малым интегралом Дирихле.
Теорема 3. Пусть функция и (ζ) гармонична внутри
области В, и пусть DbViI^M. Тогда имеет место неравенство
где Ь—расстояние от точки ζ до границы области Б.
Для доказательства возьмем любую точку ζ ζ^ Б и рассмотрим
функцию u(i) в круге \t — ^1^ ρ, где ρ<^δ. Через f(t) обозначим
регулярную в этом круге функцию, для которой функция и (t) является
действительной частью. По интегральной формуле Коши
И, следовательно,
2π
1/4^I^^5 I/'(^ + Ρ^'*)!'Λ>·
О
Умножая обе части последнего неравенства на ρ и интегрируя от
нуля до δ, находим
Jl/'(^)l<i \\ \f'{t)\?d?db = ^^ ξ ξ \nt)\d%d-n.
Применяя теперь неравенство Шварца, получаем
|/'НГ<-р \ \ \Гт'аЫу1, G>
Но в силу уравнений Коши — Римана
и неравенство G) дает нам
и'^^ {ζ) + u'yf {ζ) ^ ^^-, ξ jj (г?;^ + uy') d\ dfi ^ 1,- Dß [и].
Теорема доказана.
Эта теорема представляет собой один из вариантов теорем иска-
жения.
С л е д с ΐ в и е. Если последовательность гармонических внутри
области Б функции u^(z) обладает тем свойством, что
Db [Пп] -> О {п-> со),

Ъ02 ПРИНЦИП ДИРИХЛЕ [Гл. 8
и если эта последовательность сходится хотя бы в одной точке
2Ό области В, то она равномерно сходится к некоторой
постоянной в любой замкнутой части области В.
Действительно, из теоремы 3 следует, что частные производные
функций последовательности {Uf^{z)] равномерно сходятся к нулю
в любой замкнутой части области В, а отсюда немедленно вытекает,
что и последовательность {Uni^) — ^^^(-2^0)} (-^Ό — фиксированная
произвольная точка области В) равномерно сходится к нулю в любой
замкнутой части области В,
§ 4. Экстремальная задача, относящаяся
к задаче Дирихле
Прежде чем переходить к постановке экстремальной задачи,
связанной с отысканием отображающей функции, мы рассмотрим две бо-
-лее простые экстремальные задачи.
Проще всего отыскивается экстремальная задача, отвечающая
задаче Дирихле. Как мы знаем (см. § 8 гл. 3 и § 5 гл. б), задача
Дирихле состоит в следующем:
А. Дана непрерывная функция φ (^), определенная на границе
области Q. Найти гармоническую в области Q функцию и (ζ),
.непрерывную в замыкании области Q и принимающую на граниае
этой области значения, ровные φ (ζ).
Покажем сейчас, что функци'я и (г), решающая задачу Дирихле,
во многих случаях является экстремальной функцией следующей
задачи на мин[1мум:
Л*. Среди срункций Φ (г), непрерывных в замыкании области Q
и принимающих на границе области G значения, равные ^{ζ),
найти срункцию и (ζ), для которой интеграл Дирихле Dq [Ф]
имел бы наименьшее значение. (Всюду в дальнейшем будем накла-
„дывать на функции Φ (ζ) дополнительные ограничения: будем считать
их кусочно непрерывно дифференцируемыми в области G и
имеющими конечный интеграл Дирихле.)
К постановке этой экстремальной задачи легко прийти из
физических соображений. Например, можно интерпретировать задачу
Дирихле как задачу отыскания равновесия упругой однородной
мембраны, закрепленной на краях в фиксированном положении
(задаваемом функцией φ (ζ)). Тогда в положении равновесия должна быть
минимальной потенциальная энергия упругих сил. Это условие и
приводит нас к искомой постановке экстремальной задачи.
Не будем сейчас подробнее объяснять физический вывод
постановки экстремальной задачи, а докажем две теоремы, носяп1,ие строго
математический характер.
Теорема 1. Если минимальная ф^ункция и (ζ) экстремальной
задачи Л* дважды непрерывно дифзференцируема в замыкании об-

§ 41 ЭКСТРЕМАЛЬНАЯ ЗАДАЧА, ОТНОСЯЩАЯСЯ К ЗАДАЧЕ ДИРИХЛЕ 503^
ласти G, то эта функция и {ζ) является и решением задачи
Дирихле А.
Пусть и {ζ) — минимальная функция задачи Л* (пока
произвольная). Тогда для любой функции h (г), непрерывной в замыкании
области G и равной нулю на ее границе, функция и-\- eh при любом
действительном значении числа ε принадлежит к множеству тех функций.
Φ (г), среди которых ищется минимум в задаче Л*. Поэтому
D[u-{-eh]^D[u],
откуда получаем с помощью формулы D) § 2, что
2eD[u,h]-\-e^D[h]^^.0.
Это неравенство должно выполняться при любом действительном ε.
Следовательно, коэффициент при первой степени ε должен быть
равен нулю, т. е.
D\u,h] = 0, A>
Это равенство должно иметь место для любой функции h (ζ), для которой
интеграл D [h] конечен (а сама она непрерывна в замыкании области
и равна нулю на ее границе).
Теперь используем предположение о том, что минимальная
функция и (ζ) дважды непрерывно дифференцируема в замыкании области G.
Будем считать нашу произвольную функцию h (ζ) непрерывно
дифференцируемой в замыкании области G и применим формулу Грина
F) § 2. Это даст
G
(криволинейный интеграл исчезает, так как h{z) = 0 на границе
области G).
Равенство B) с произвольной функцией h (ζ) (даже непрерывно-
дифференцируемой в замыкании области G и равной нулю на ее
границе) возможно лишь в случае, когда Аи = 0 всюду в области G,
т. е. когда функция и (ζ) гармонична в этой области. Действительно,
пусть в какой-либо точке Zq области G функция Δα отлична от нуля
(скажем, положительна). Тогда в силу непрерывности она
положительна и в некоторой окрестности точки Zq. Выбирая функцию h (ζ)·
положительной в этой окрестности и равной нулю вне ее, мы видим,
что интеграл в формуле B) положителен, а это не так. Полученное^
противоречие показывает, что из равенства B) вытекает
гармоничность функции и {ζ) в области G.
Таким образом, функция и {ζ) гармонична в области G и
принимает на границе этой области значения, равные φ (ζ) (по условию-
экстремальной задачи Л*). Следовательно, функция и (ζ) является
решением задачи Дирихле Л, и теорема доказана.
Идею замены некоторой краевой задачи для гармонических функ-
Дий задачей минимизации интеграла }Хирихле Ρи'^ίauuaзв'άл принципом

504 ПРИНЦИП ДИРИХЛЕ [Гл. 8
Дирихле, При этом существование функции, минимизирующей
интеграл Дирихле, считалось очевидным. На необоснованность этого
мнения обратил внимание Вейерштрасс, показавший, что
минимальная функция задачи Л* может и не существовать. Более того, он
показал, что сам класс функций, среди которых ищется минимальная,
может быть пустым, если требовать от функций этого класса
конечности интегралов Дирихле. Таким образом, для произвольных
непрерывных функций φ (^), заданных на границе области О, задачи Л и Л*
не вполне эквивалентны. Тем не менее оказывается, что эти задачи ста-
новятся эквивалентными, если наложить дополнительное
требование, что класс функций Φ (^), непрерывных в замыкании
области G, имеющих конечный интеграл Дирихле и равных на
границе области G функции ψ (ζ), не пуст. (Это требование
ограничивает выбор граничной функции φ \ζ).) Мы не будем доказывать
этот факт в полном объеме, ограничившись его доказательством лишь
для случая, когда область О—единичный круг.
Теорема 1*. Пусть существует хотя бы одна функция Фо{ζ),
непрерывная в круге |^|^1, имеющая конечный интеграл Дирихле
по этому кругу и равная на окружности |^| = 1 заданной
функции φ(^'^). Тогда среди всех функций такого рода существует
функция и (ζ), для которой интеграл Дирихле имеет
минимальное значение. Эта функция дает решение задачи Дирихле в
единичном круге с граничной функцией φ {е^%
Мы знаем (см. § 10 гл. 3), что решение и {г) задачи Дирихле в
круге \Ζι<^\ с граничной функцией φ(^^^) можно представить в виде
со
и (ге'^) ==  + 2 ''" (^п cos пЬ -f &„ sin л»),
где
2π
1
α« = - \ φ (е^^) COS n^db, я = О, 1, 2, ...,
о
2π
b„=l^{ ^(e^^)smnbdb,
n==\, 2, 3,...
Обозначим
2π
an (г) = Μ Фо (re'^) cos n^db, я === 0, 1, 2, ...,
0
2π
bn{r)=]^{ %(re'^) sin nbdb,
1, 2, 3, ...
Из непрерывности функции Фо(-г) в круге |г| ^ 1 следует, что a^iO

§ 4] ЭКСТРЕМАЛЬНАЯ ЗАДАЧА, ОТНОСЯЩАЯСЯ К ЗАДАЧЕ ДИРИХЛЕ 505
И f^nir) — непрерывные функции г на отрезке [0,1]. Поскольку
ф^(б^^) = ср(^'^), получаем отсюда, что
ßn(l) = öm п = 0, 1, 2, ...,
bni^) = bn, п=\, 2, 3,...
Согласно формуле B) § 2
1 2π
Ι) о
а согласно формуле Парсеваля из теории рядов Фурье
2π оо
О /г=1
(Лд и Б;г — коэффициенты Фурье функции f{b)). Легко видеть, что
коэффициенты Фурье функции ^- Фо(г^'^) равны
а коэффициенты Фурье функции --к^ Фо (^^'^) равны
Аг,=уЬгг{г), Вп = — '^а^{г).
Поэтому
1
о
оо 1
+ Σ S [««(г)+ ^«40+ P^(aä(r) + *Ur))]rrfr}, C)
/1=1 о
и условие конечности интеграла Дирихле для функции ^q(z)
равносильно условию сходимости ряда C).
Введем функции
т
fm (е'^) = 2-+2 («« ^""^ «^ + *« ^*" "^>
/г=1
m
м^(г^^'^) = ^tJ^^r''(an cos /2θ -[- /7„ sin п^\
/1=1
/η
ФтСгЛ^^^ + ^^^^С) <^0S «» + *«(Г) sin «θ).
/г=1
Ясно, что функция limi^) гармонична во всей плоскости и является
решением задачи Дирихле для круга l-^l <^ 1 с граничной функцией

506 ПРИНЦИП ДИРИХЛЕ [Гл. 8
?т(^^^)· Я^"^ также, что функция Ф^Д^) непрерывна в круге |^| ^ 1
и что Фгп(^'^) = ^т(^'^)· Sporne того, ясно, что интеграл Дирихле от
функции Ф^(^) по кругу !<г!<^1 конечен и равен
1
«= 10
Отсюда видно, что
0[Φ«!^ο[Φ„] (от=1, 2, 3,...).
Теперь можем применить теорему 1, согласно которой
Но
оо
D [и] =т:Уп(а1-{- bl) = lim D [ιι^Ι
Поэтому
и теорема доказана.
В качестве следующей задачи рассмотрим экстремальную задачу
о минимизации интеграла Дирихле Dq [Ф1^ когда значения фз^нкции
Ф(^) задаются не на всей границе области G, а лишь на некоторой
ее части. Если воспользоваться той же интерпретацией, о которой мы
говорили в связи с задачей Дирихле, эта экстремальная задача
отвечает задаче отыскания положения равновесия однородной упругой
мембраны, у которой часть границы закреплена, а часть оставлена
свободной. С помощью этого соображения можно найти уравнения,
которым должна з^довлетворять экстремальная функция, из
физических соображений. Как и с задачей Дирихле, мы не будем
останавливаться на развитии этих физических соображений, а перейдем к строго
математическим исследованиям.
Итак, дана экстремальная задача
β*. Среди функций Φ B'), непрерывных внутри области Q и на
дуге λ ее границы, принимающих на этой дуге λ заданные
значения ^{ζ) и имеющих конечный интеграл Дирихле Οο[Φ\ найти
функцию и (ζ), для которой этот интеграл Дирихле имеет мини*
мальное значение.
Теорема 2. Пусть область G ограничена конечным числом
простых замкнутых кусочно-гладких кривых, и пусть \ — часть
границы области Q, отличная от дуги λ. Если минимальная
функция и (ζ) экстремальной задачи В'^ дважды непрерывно дифферен-

§ 4] ЭКСТРЕМАЛЬНАЯ ЗАДАЧА, ОТНОСЯЩАЯСЯ К ЗАДАЧЕ ДИРИХЛЕ 507
цируема в замыкании области G, то эта функция и {ζ)
гармонична β области G, и ее нормальная производная .— в точках
дуг Aj равна нулю.
Иными словами, теорема 2 означает, что при соответствзчощих
условиях на гладкость границы области О и на гладкость
минимальной функции и {ζ) экстремальная задача Б* равносильна следующей
краевой задаче для гармонических функций:
В. Дана дуга λ границы области G и функции φ (г),
непрерывная на этой дуге. Найти функцию и {ζ), гармоническую в
области Q и удовлетворяющую на ее границе условиям
du I
дп
= 0 (λι = 00—λ).
Перейдем к доказательству теоремы 2. С помощью тех же
рассуждений, что и при доказательстве теоремы 1, получаем, что
Dq\u, /г] = 0 D)
для любой функции h{z) с конечным интегралом Дирихле,
обращающейся в нуль на дуге λ границы области G. Поскольку выбор функ-
ПИЙ /г (г) в нашем случае даже богаче, чем в случае теоремы 1, мы
сразу же получаем, что Δ/ί = 0 всюду в области G. Таким образом,
функция и (ζ) гармонична в области G и равна (по условию
экстремальной задачи) функции φ (ζ) на дуге λ границы области G.
Для исследования поведения функции и {ζ) на границе области О
в точках дуг λ^ (дополнение к дуге λ до всей границы) применим
к равенству D) формулу Грина (б) § 2. Принимая во внимание, что
1ίιι = 0 в области О и что /г = 0 на дуге λ, получаем равенство
J/zg ds = 0.
Поскольку значения функции h (ζ) на дугах Xj произвольны, это
равенство возможно лишь в случае, когда -^- ==== О во всех точках дуг
λ]. Теорема доказана.
Ясно, что все рассуждения о суи1ествовании или не
существовании минимизирующей функции и (ζ), изложенные после теоремы 1,
остаются в силе и для экстремальной задачи θ*. Правда, следз^ет
отметить одно новое обстоятельство. Задача А* при всех условиях
поставлена хуже, чем задача Л, так как в задаче Л требуется от
решения лишь непрерывность вблизи границы, а в задаче Л* еще и
существование интеграла Дирихле от этого решения. Задача Ζ?* уже
имеет и некоторые преимущества по сравнению с задачей ß (хотя

508 ПРИНЦИП ДИРИХЛЕ (Гл. 8
г:меет и недостатки). Эти преимущества состоят в том, что в
задаче В"^' от решения вблизи граничных дуг \ требуется лишь суш.ество-
валие интеграла Дирихле, а в задаче В требуется непрерывная диф-
ференцируемость решения вблизи этих дуг. (Недостатки относятся к
поведению решения вблизи дуги λ, и они те же, что и у задачи Л*.)
Для задачи Ζ?* справедлив результат, аналогичный теореме 1*.
Теорема 2*. Пусть существует хотя бы одна функция Фо (z)y
непрерывная в круге \z\<^\, дополненном дугой λ
окружности 1^1 = 1, имеющая конечный интеграл Дирихле и равная на
дуге λ заданной функции φ (^'^). Тогда среди всех функций такого
рода существует функция и (ζ), для которой интеграл Дирихле
имеет минимальное значение. Эта функщя гармонична в круге
|2Ί<^1, дополненном дугой \ (состояш,ей из точек единичной
окружности, отличных от точек дуги λ), и в точках этой дуги \
имеет место равенство
Для доказательства возьмем конформное отображение ζ = ζ(ζ)
полукруга S:
&{|С|<1, ReC>0},
на круг |^|<^1, переводяи1ее полуокружность в дугу λ, а
диаметр — в дугу λι (это отображение легко построить элементарными
средствами). Обозначим
;(^'ψ) = φ(^(^"'η).
Фо(С) = ФоB(С))
и продолжим эти функции симметричным образом на полукруг 5,
симметричный с полукругом 5 относительно действительной оси.
Ясно, что продолженные функции φ (^^^^) и Φο(ζ) будут непрерывны
соответственно на окружности |С|==1 и в круге |С|^1. Ясно
также, что
(последнее равенство справедливо в силу инвариантности интеграла
Дирихле при конформных отображениях; см. § 2). Применяя
теорему 1*, мы видим, что для решения Г/(С) задачи Дирихле в круге
|С|<^1 с граничной функцией ψ {е^'^) справедливо неравенство
Далее из симметричности граничной функции ^{е^'^) вытекает, что
функция м (ζ) также симметрична, т, е. ??(ζ) = //(ζ). В этом проще
всего убедиться, представив функцию w(Q через граничную
функцию (f{e^'^) интегралом Пуассона.

^ 51
ПОСТАНОВКА ЭКСТРЕМАЛЬНОЙ ЗАДАЧИ 509
Из симметричности функции u{Q немедленно следует, что
Ds\^i]^Ds[%]
1\ что производная функции u(Q в точках диаметра полукруга vS
по направлению нормали к этому диаметру равна нулю.
Следовательно, функция u{Q гармонична в полукруге vS,
непрерывна в его замыкании (а на диаметре даже гармонична) и на
полуокружности равна функции φ (е^'^), а на диаметре имеет
нормальную производную, равную нулю. Кроме того.
Обозначая теперь ii(z) = ii(Q{z)), где ζ = ζB^) — отображение
круга I ^Ί <^ 1 на полукруг vS", обратное к отображению z==z (ζ),
получаем функцию, существование которой утверждалось в теореме.
Заметим, что теорему 2* (а следовательно, и ее частный
случай— теорему 1*) с помощью конформного отображения можно
распространить на любые односвязные области с кусочно-гладкой
границей (правда, гармоничность экстремальной функции и (ζ) на
дугах λι доказать уже не удастся). Однако распространение этой
теоремы на многосвязные области является уже более трудной задачей.
§ 5. Постановка экстремальной задачи,
отвечающей задаче отыскания отображающей функции
Опираясь на исследование экстремальной задачи Б*,
проведенное в предыдущем параграфе, мы можем сразу же предложить один
способ построения отображающей функции (о которой мы
говорили в § 1) с помощью решения экстремальных задач. Действительно,
в § 1 мы видели, что для построения отображающей функции дос-
тагочно построить потенциал скоростей течения жидкости,
образованного в области О (рассматриваемой как сосуд с твердыми гладкими
стенками) диполем в точке α ζ G. Поскольку стенки твердые и
гладкие, во всех точках границы области О искомый потенциал и (ζ)
du ^ J.
должен удовлетворять условию -т- = 0. К этим условиям следует
добавить условие, что в точке а ^ G имеется заданный диполь. Это
можно сделать следующим образом: удалим из области О круг
с центром в точке α и с достаточно малым радиусом р; на
окружности этого круга зададим значения функции и, равные значениям
на этой же окружности потенциала скоростей течения жидкости,
образованного тем же диполем во всей плоскости. Решение такой
задачи можно свести, как мы видели в § 4, к решению
экстремальной задачи /?*. Для получения нужного нам решения придется еще
совершить предельный переход при ρ -► 0. Этот предельный переход

510 ПРИНЦИП ДИРИХЛЕ
[Гл. ^
совершенно нежелателен, и поэтому мы предпочтем несколько
усложнить экстремальную задачу (но зато упростить ее решение).
Идея построения нашей экстремальной задачи состоит в том^
чтобы при фиксированном значении ρ подобрать поправку к
значениям, задаваемым на окружности \ζ — α| = ρ. Для того чтобы
потенциал, построенный по исправленным значениям, был именно тем
который нам нужен, эта поправка должна удовлетворять некоторому
уравнению. Это уравнение вместе с уравнением для самого потенциала
образует некоторую систему уравнений, и эту систему мы заменим
экстремальной задачей. Приведем сейчас краткий вывод этой системы
уравнений, хотя без нее можно было бы обойтись.
Потенциал скоростей течения жидкости во всей плоскости,
образованного диполем в точке -г = а, имеет вид
г?, (^) = Re-^ +С·
Для определенности будем считать, что А=\у а С=0.
Пусть n{z) — искомый потенциал скоростей течения жидкости
в области G, образованного тем же диполем в точке z = a. Тогда
u{z) = Re -ц^ + ггП^),
где ш {ζ) — функция, гармоническая в области О (в том числе и
в точке ζ == а).
Обозначим через К круг \ ζ — α | =£^ ρ, через κ — его окружность,
а через (У область, получающуюся удалением из области G круга К
(число ρ будем считать столь малым, чтобы круг /Слежал в области G).
Пусть теперь функции ιι^{ζ) и ti2{z) обладают следующими
свойствами:
Функция ιΐί{ζ) гармонична в области (У и на части ее
границы, отличной от окружности х, удовлетворяет условию
^- = 0·
дп
Функция U.I {ζ) гармонична в круге К· Иа окружности χ
функции Ui (ζ) и и^ (ζ) связаны условиями
1 дифференцирование по направлению радиуса круга К).
Перечисленных условий достаточно для того, чтобы функция

^5] ПОСТАНОВКА ЭКСТРЕМАЛЬНОЙ ЗАДАЧИ 511
совпадала с интересующим нас потенциалом с точностью до
произвольного постоянного слагаемого. Действительно, по теореме 1 § 3
из условий A) вытекает, что функция и (г) гармонична в области О
с выколотой точкой z = a. Поэтому разность между искомым
потенциалом и функцией и {ζ) будет гармонична в области G, а во всех
точках границы этой области она будет иметь нормальную производную,
равную нулю. Такая функция обязана быть постоянной (это немедленно
вытекает из формулы A) § 3, если положить в ней φ (г-) =ψ (г)).
Из опыта исследования экстремальных задач, полученного нами
в § 4, мы знаем, что условия типа ^- :гг= О наиболее удобны для
замены дифференциального уравнения экстремальной задачей. Можно
ожидать, что условие -^'= —^ тоже окажется удобным. Поэтому
функцию u^{z) в выведенной нами системе уравнений лучше несколько
изменить, чтобы второе из уравнений A) приняло вид -~ = ~.
Для этой цели достаточно взять вместо функции ihXz) функцию
ζ — а
iil(z) = ii^(z)-~Re- ^^ .
Все предыдущие рассуждения носили чисто предварительный
характер. Они были нужны лишь для того, чтобы объяснить, почему
мы будем рассматривать следующую экстремальную задачу.
Обозначения примем те же, что и выше:
Через К обозначим круг \z — α|^ρ, где α ^ О, а число р^О
выбрано столь малым, чтобы круг К целиком лежал в области О.
Окружность круга К обозначим через х, а область, получающуюся
из области О удалением круга К, — через (J.
Кроме того, обозначим через S (ζ) функцию, определенную
равенствами
которые удобнее записать в виде
I о (г>р).
Функция S {ζ) имеет на окружности κ разрыв, но ее нормальная
производная на окружности κ остается непрерывной — она равна нулю.
Экстремальная задача 5.
Допустимыми функциями экстремальной задачи S будем
называть функции
удовлетворяющие условиям:

512 ПРИНЦИП ДИРИХЛЕ [Гл. а
1. Функция Φ (г) непрерывна и кусочно непрерывно
дифференцируема во всей области G, за исключением окружности κ, на которой
эта функция имеет разрыв первого рода.
2. Функция Φ (г)-)-5 (г) непрерывна в точках окружности κ.
3. Интегралы Дирихле Dg'[Φι] и Ок[Фс^] конечны.
Экстремальная задача 5 состоит в отыскании допустимой
функции, для которой величина
D [Ф] = Do-[Ф.]+ 0x1*2] B)
минимальна.
Заметим, что интеграл Дирихле от допустимой функции Φ (ζ) по
всей области G не имеет смысла, так как любая допустимая функция
терпит разрыв на окружности κ, но для сокращения записи будем
называть интегралом Дирихле по области G от допустимой
функции величину D [Ф], определенную равенством B).
Экстремальная задача *S и является той задачей, которая нас
интересует с точки зрения построения отображающей функции, как мы
покажем немного ниже. Пока сделаем несколько предварительных
замечаний.
Лемма 1. Класс допустимых функций экстремальной задачи S
всегда не пуст.
Действительно, возьмем число р'^р таким образом, чтобы круг
\z — α 1 ^ ρ' лежал в области G. Тогда функция
ι О {rs=p'),
как легко проверить, является допустимой функцией экстремальной
задачи 6*.
Доказанная лемма позволяет (по аналогии с рассмотренными
в предыдущем параграфе экстремальными задачами) надеяться, что
минимизирующая функция экстремальной задачи 6* всегда существует.
Следующие два параграфа посвятим доказательству этого факта,
а сейчас займемся выяснением свойств минимизирующей функции
в предположении, что она существует.
Минимизирующую функцию будем обозначать в дальнейшем
щ{г) {Z ζ G'),
и наряду с ней будем рассматривать функцию
11 {ζ) = и (ζ)-^S (ζ). C)

§5] ПОСТАНОВКА ЭКСТРЕМАЛЬНОЙ ЗАДАЧИ 513
При исследовании свойств минимизирующей функции удобнее всею
опираться на следующую лемму:
Лемма 2. Пусть функция Η {ζ) непрерывна и кусочно
непрерывно дифференцируема в области О, а ее интеграл Дирихле по
области Q конеч^ен. Тогда имеет место равенство
D[U,H] = 0,
Для доказательства заметим, что функция U{z) -\-гИ{г) является
допустимой функцией экстремальной задачи 6*. Поэтому при любом
действительном ε справедливо неравенство
D[U-\-^H]^D[U\
которое можно записать в виде
Отсюда легко получаем утверждение леммы.
В качестве первого применения леммы 2 докажем следующий
результат:
Теорема 1. Если минимизирующая функция экстремальной
задачи S существует, то она единственна с точностью до
произвольного постоянного слагаемого.
Действительно, пусть Ui {ζ) и ί/^ {^) — Дв^ минимизирующие
функции экстремальной задачи 6*. Тогда функция
непрерывна в области G, кусочно непрерывно дифференцируема и
имеет конечный интеграл Дирихле. Поэтому, применив лемму 2 с
U{z) = Ui{z) W U{z) = U^{z) {w с ε = 1), получим равенства
Вычитая из первого равенства второе, находим, что
D[U, — U^] = 0,
откуда следует, что Ui{z)—6^(^) ^ const. Теорема доказана.
Теорема 2. Функция и {ζ), построенная по минимизирующей
функции и {ζ) равенством u{z) = U{z)-\-S{z), не зависит от
числа ρ (радиуса круга К), участвующего в определении
экстремальной задачи S.
Пусть pi и р2 — два произвольных положительных числа,
обладающих тем свойством, что круги \z — α|^Ρι и \ζ — а|^р2 лежат
в области G. Без ограничения общности можем считать, что Ρι<^ρ2.
Экстремальную задачу 5, отвечающую числу р, будем обозначать S у
а соответствующую функцию — SΑζ).

514 ПРИНЦИП ДИРИХЛЕ [Гл.8
Легко видеть, что если функция Φ (ζ) является допустимой
функцией экстремальной задачи Sp , то функция
Ф(г) = Ф(г) + 5р^(^)-5р^г)
является допустимой функцией экстремальной задачи S^. Легко видеть
также, что имеет место равенство
D [Ф] = D [Ф] + 2D [Ф, Sp, - S^J + D [5р, - S^J. D)
Мы покажем, что для любой допустимой функции Φ (ζ)
экстремальной задачи S имеет место равенство
О[Ф,8^^~8^ = 0. (δ)
С этой целью заметим, что
S^^{z)-SJz) = 0 (μ-α|>ρ,),
- S^^ (ζ) - Sp^ (ζ) = - 5ρ^ (ζ) (ρ, < Ι г - α |<ρ,),
так что, обозначая через Κι круг \ζ — α|<^Ρι, а через R кольцо
Pi<^|z — й|<^р-2? можем написать
D [Ф, 5р, - S^J = D/c,[0, S^^ - S^J - Dr [Φ, 5pJ.
Применим теперь формулу Грина (формула A) § 3), принимая во
внимание, что функции S^ {ζ) и S^^ {ζ) гармоничны во всей плоскости,
кроме окружностей \ζ — α|=ρι и [г— α|=ρ2 соответственно.
Учитывая еще, что по построению
чаем
равенства
Dk,
. [Φ' '^Р, -
— о^\ф,
д
дг
-^,
\
S,{a
]-
1 =
^+
—
re'
1 ζ -
\
'»L
1
= 0,
Φ Η
= Ρι
ф(^)^
д
дг
^
-^:
{г)
М)
ds.
ds,
Складывая эти равенства, приходим к равенству E).
Равенство D) с учетом равенства E) приобретает вид
Это означает, что интегралы Дирихле D [Ф] и D [Ф] отличаются лишь
постоянным слагаемым, если функции Φ (г) и Φ (г) связаны
равенством
Φ(^ζ) = Φ{ζ) + 8^^{ζ)-8^^{ζ).
Отсюда следует, в частности, что минимизирующие функции U{z)
и и {ζ) экстремальных задач S^ и S соответственно связаны между

§51
ПОСТАНОВКА ЭКСТРЕМАЛЬНОЙ ЗАДАЧИ 515
собой соотношением
ИЛИ
U(z) + S,^{z) = U{z)^SpA^)-
Последнее равенство совпадает с утверждением теоремы.
Перейдем теперь к исследованию свойств минимизируюнхей
функции экстремальной задачи 6* (в предположении, что эта
минимизирующая функция существует).
Свойство 1. Функция и (ζ) ==: и {ζ)-\-S (ζ) гармонична в
области О с выколотой точкой ζ = α, а в окрестности этой
точки представила в виде и (ζ) == S (ζ)-\-Uc^ (ζ), где функция ^(ζ)
гармонична.
Ввиду того что функция S{z) гармонична во всей плоскости,
за исключением точек окружности \z — β| = ρ, а функция и (ζ),
согласно теореме 2, не зависит от выбора числа р, достаточно доказать
гармоничность функций щ (ζ) и м^ {^) в области & и круге К
соответственно. Оба факта доказываются совершенно аналогично, так что
мы ограничимся доказательством гармоничности функции щ (ζ) в
области СУ.
Возьмем произвольный круг К, лежащий в области О, и обозна«
чим через Gq дополнение к этому кругу до области G. Тогда мы
можем написать
DlU] = DaJU\ + D„JiH].
Обозначим через щ {ζ) решение задачи Дирихле в круге Ко Для гра«
иичпой функции, совпадающей с функцией щ {ζ) на окружности
круга Kq- Положим
\uiz) (zeO,)-
Тогда и (ζ) — допустимая функция и
D\U]^DqJU\-^DkJuo].
Но мы знаем (см. § 4), что
Следовательно,
DIÜ]^D[U].
По теореме 1 это возможно лишь в случае, если U{z)^[J{z), т. е.
если функция Ui{z) гармонична в круге Kq. Поскольку круг Ко
выбирался подчиненным только одному условию — он должен был
лежать в области G, функция щ (ζ) должна быть гармонична в
области (У. Свойство доказано.

516 ПРИНЦИП ДИРИХЛЕ [Гл.8
Следующие два свойства минимизирующих функций докажем в
некоторых предположениях относительно границы области G.
Свойство 2. Пусть область G ограничена конечным числом
простых замкнутых кусочно-гладких кривых. Тогда функция и {ζ)
непрерывна в замыкании области G, из которого удалена сколь
угодно малая окрестность точки ζ = α.
Для доказательства возьмем произвольную точку z = b иг
границе области G и выберем число Ь^О столь малым, чтобы пересе-
чен^1е круга \z — Ь\<^Ь с областью G было одной областью Ко,
лежащей в области G\ Дополнение к области Ко до всей области О
опять обозначим через G и опять напишем равенство
Как и при доказательстве свойства 1, заменим функцию Ui{z) в
области Ко некоторой функцией щ {ζ), совпадающей с функцией и^ (ζ)
на той части границы области Ко, которая состоит из внутренних
точек области G. При этом из всех таких функций выберем в
качестве Uo{2) ту, для которой интеграл Дирихле по области Ко
минимален. Согласно результатам § 4 такая функция существует, и ее
можно построить следующим образом.
Обозначим через ζ,=^ψ(ζ) конформное отображение области Kq
на круг ICI'^l, а через ζ = ψ(ζ) — обратное отображение. Через λ
обозначим ду1у окружнос1и |ζ 1=::::=1, в которую переходит при
отображении ζ = φB') та часть границы области Ко, которая состоит
нз внутренних точек области G, а через λ^ — остальную часть
единичной окружности. Построим функцию Vo (С), гармоническую
в круге |С|<^1 и удовлетворяющую условиям
(существование такой функции и ее непрерывность на дуге λ^ мы
доказали в теореме 2* § 4). Остается положить
Uo{z) = Vo{^^{z)).
Действительно, функция Uo{z), определенная этим равенством, будет
непрерывна на части границы области Kq, отвечающей дуге л^, так
как функция ^ (У непрерывна на дуге Xj, а функция ζ^ = ψ(ζ) — в
замыкании области Ко по теореме о соответствии границ. Кроме того,
интеграл Дирихле D[vq] (взятый по кругу |С|<^1) будет
минимальным среди интегралов Дирихле от функций, кусочно непрерывно
дифференцируемых в круге | С |<^ 1 и принимающих на дуге λ
заданные значения (по теореме 2* § 4). В силу инвариантности интеграла
Дирихле при конформном отображении мы видим, что функция и^{г)
обладает требуемым минимальным свойством. Следовательно,
DKobt,]^D^^[u,i

§5] ПОСТАНОВКА ЭКСТРЕМАЛЬНОЙ ЗАДАЧИ 517
И, рассуждая тем же способом, что и при доказательстве свойства 1,
получаем ΐίι{ζ) = ΐί^{ζ) в области /Со-
Поскольку функция Uq {ζ) непрерывна на дуге границы области Ко,
состоящей из точек границы области G (образ дуги λ при отображе-
ЛР1И z==^(ji)), функция ^1(^), а значит и функция и (ζ), тоже должна
быть непрерывна на этой дуге. Ввиду произвольности выбора точки
z = b на границе области G наше свойство полностью доказано.
Свойство 3. Пусть точка z = b лежит на аналитической
дуге, входящей в границу области G. Тогда функция и (ζ)
гармонична в этой точке, а ее производная по нормали к граничной
дуге равна нулю.
Для доказательства проведем то же построение, что и при
доказательстве свойства 2, но воспользуемся тем, что по той же
теореме 2* § 4 функция т^ (ζ) не только непрерывна, но и гармонична
на дуге \. Кроме того, функцию ζ = φ(ζ), конформно
отображающую область /Cq на круг |ζ|<^1, можно аналитически продолжить
через аналитическую дугу γ, входящую в границу области /Со по
принципу симметрии Римана — Шварца (см. § 5 гл. 4 и § 5 гл. 6). Отсюда
вытекает гармоничность функции и {ζ) в каждой точке этой
аналитической дуги, в частности в точке Ь. Аналогичным образом из
условия ^ = 0 (ζ^λι) получаем, что ^ = 0 в каждой точке
нашей аналитической дуги.
В заключение параграфа покажем, что при некоторых довольно
сильных предположениях (пока) с помощью минимизирующей функции
экстремальной задачи 6* можно получить искомое конформное
отображение (о котором мы говорили еще в § 1).
Теорема 3. Пусть область G ограничена конечным числом
простых кусочно-аналитических кривых, и пусть
минимизирующая функция и (ζ) эκcJnpeмaльнoй задачи S для этой области
существует. Тогда функция ζ, = Ρ{ζ), для которой функция
и (ζ) = и (ζ)-\-S (ζ) является действительной частью, однозначна
в области G и конформно отображает ее на плоскость ζ с
разрезами по конечному числу горизонтальных отрезков.
Для ясности докажем сначала утверждение теоремы для случая, когда
кривые, ограничивающие область G, являются аналитическими, а затем
оправдаем наши действия и в случае, когда имеются угловые точки.
Для производной Ρ {ζ) функции F {z)y имеющей функцию и (г)
своей действительной частью, можно написать формулу
F {ζ) = и'х {ζ) — iuy (ζ),
из которой видно, что эта производная однозначна в области G.
Кроме того, из равенства
u{z) = S{z)-\-u,{z) = Re^-^^-\-u,{z)

518 ПРИНЦИП ДИРИХЛЕ [Гл.»
видно, что функция F {ζ) однозначна в окрестности точки ζ = α ц
имеет в этой точке простой полюс с вычетом, равным единице.
Поэтому значения функции F (ζ) в одной и той же точке области G мо·
гут отличаться лишь постоянными слагаемыми вида
5 F' И dz,
с
где С — замкнутая кривая, лежащая в области О.
Согласно свойству 3 и нашему предположению об аналитичности
кривых, ограничивающих область Q, функция F'(ζ) регулярна в
замыкании области G (с выколотой точкой ζ = α). Интеграл от Ρ («г)
по любой замкнутой кривой, лежащей в области G, можно
представить в виде суммы интегралов по простым замкнутым кривым,
каждая из которых содержит внутри себя только одну компоненту
границы области G (или точку ζ = α, но ввиду однозначности
функции F (ζ) в окрестности точки ζ = α интеграл по таким кривым
равен нулю). В силу регулярности функции F^ (ζ) в замыкании
области G (с выколотой точкой), мы можем говорить об интегралах
от Ρ (ζ) по компонентам границы области G. Для доказательства
однозначности функции F (ζ) в области G остается доказать, что и1г-
теграл от функции Ρ (г) по каждой компоненте границы равен нулю.
Пусть Ck — любая компонента границы области G Согласно
формуле, выражающей производную Ρ (ζ) через функцию и (ζ), можем
написать
[-^ дифференцирование по направлению касательной, г -^ по
направлению нормали к контуру интегрирования, ds — дифференциал
длины дуги}. Первый интеграл в правой части написанного равенства
равен нулю ввиду однозначности функции м (г), а второй — ввиду
условия --:1=:0 [z^öG) (СВОЙСТВО 3). Следовательно, интеграл от
функции F'{ζ) по каждой компоненте границы области G равен нулю.
Отсюда и из сказанного выше мы видим, что интеграл от
функции Ρ {ζ) по любой замкнутой кривой, лежащей в области G (и не
проходящей через точку ζ = α), равен нулю и функция F {ζ)
однозначна в области G.
Итак, мы доказали, что функция F (ζ), для которой функция и (ζ)
является действительной частью, регулярна в замыкании
области G, за исключением точки ζ = α, где она имеет простой
полюс с вычетом, равным единице.
Перейдем к исследованию конформного отображения,
совершаемого функцией ζ:=^(ζ).

^5] ПОСТАНОВКА ЭКСТРЕМАЛЬНОЙ ЗАДАЧИ 519
Будем обозначать
ζ = гг -|- ίν, F (ζ) = η (ζ) -\~ ίν {ζ).
Согласно уравнениям Коши — Римана на каждой компоненте границы
области G можем написать равенство
dv du
ds дп
IЛ дифференцирование по направлению касательной к граничной
\ ds
кривой, а ^ дифференцирование по направлению нормали к ней).
Равенство 3- = 0 (вытекающее из равенства ^ = 0 означает, что
функция V [ζ) сохраняет постоянное значение на каждой компоненте
границы области G. Следовательно, образом компоненты Q границы
области G является отрезок, лежащий на некоторой прямой ImC = C/j.
Рассмотрим интеграл
h = ^^T^dz = ±,.\dXHFiz)-c),
где с — произвольное комплексное число, не лежащее на образе С^
компоненты Ck- Интеграл 1^ равен, как легко видеть, изменению
функции 2"^ In (ζ — с), когда точка С обходит образ C'k компоненты
Ck. Поскольку этот образ является прямолинейным отрезком, а точка
с не лежит на этом отрезке, это изменение равно нулю и интеграл
Jji равен нулю. Следовательно, если точка с не лежит ни на одном
из отрезков, являющихся образами компонент границы области G, то
имеет место равенство
2πί ^ F {ζ) — с ^j 2тЛ J F {ζ) — с
ÖG k Ck
С другой стороны, интеграл / равен, как мы знаем (см. § 3 гл. 3),
разности между числом нулей функции F (ζ) — с в области G и
числом ее полюсов в этой области. Поскольку функция F (ζ) имеет в
области G ровно один простой полюс, равенство нулю интеграла /
означает, что функция F (г) принимает в области G ровно один раз
каждое значение с, не лежащее на некоторых отрезках,
параллельных действительной оси. Это и означает, что функция ζ= F(z)
конформно отображает область G на всю плоскость ζ, из которой
выброшены упомянутые отрезки.
Таким образом, теорема доказана нами в предположении, что
область G ограничена аналитическими кривыми. Покажем теперь, как
изменить доказательство на случай, когда эти кривые будут лишь
кусочно-аналитическими.

520 ПРИНЦИП ДИРИХЛЕ [Гл. »
Разница между этими двумя случаями состоит в том, что
функция F (ζ) уже не будет регулярна в тех точках границы области Gy
где соединяются две различные аналитические кривые. В этих точках
функция F' (ζ) будет, вообще говоря, обращаться в бесконечность, и
интегрировать по самой компоненте границы уже нельзя. Нам
придется окружить каждую точку соединения различных аналитических
кривых достаточно малой окружностью с центром в этой точке и
устроить контур интегрирования обходящим такие точки по дугам
этих окружностей внутри области G. Если удастся доказать, что
интегралы
\\F\z)\ds
по таким дугам стремятся к нулю при стремлении к нулю радиусов
окружностей, то все проведенные рассуждения полностью сохранят
силу.
Таким образом, для завершения доказательства теоремы 3
достаточно доказать следующую лемму:
Лемма 3. Пусть область В^ ограничена двумя
аналитическими кривыми Γι и Г^, выходящими из точки г^ (и не имеющими
других общих точек), и заключенной между ними дугой
окружности \ζ — го I = /Ό· Если гармоническая в области В^^ функция w (ζ)
удовлетворяет условиям
t=' (^^ ^0; -£ = 0 (zer.) F)
DßroN<oo, G)
lim 5 Yw'x (г) -{- w'/ (ζ) ds = 0,
то
где 7g — дуга окружности \z — го | = ε, лежащая в области Вг^·
Из условий F) следует, что функцию w{z) можно продолжить
через кривые Г^ и Гз по принципу симметрии Римана—Шварца в
области В'г и В'г, симметричные с областью В^ относительно этих
кривых (если, конечно, число г^О достаточно мало). Обозначая
функции, полученные продолжением функции w (г) в области В'г и Вг>
через Wi (г) и w^2 (^) соответственно, можем написать равенства
Dß; [wy] = Db'^ [w,] = Dß^ [w] (8)
(легко вытекающие из инвариантности интеграла Дирихле при
конформном отображении). Через В^ обозначим область (расположенную,
вообще говоря, на римановой поверхности логарифма с точкой
разветвления над точкой го), полученную объединением областей ß^, Br
и Br- Функцию W (ζ) вместе с ее продолжениями Wy (г) и w^j (ζ)
можем рассматривать как функцию w{z), гармоническую в области Вг

^6] СУЩЕСТВОВАНИЕ МИНИМИЗИРУЮЩЕЙ ФУНКЦИИ 521
Из равенств (8) вытекает, что
Возьмем теперь произвольное достаточно малое значение ε^Ο и
применим к функции w (ζ) в области В^^ теорему 3 § 3, согласно
которой
где δ — расстояние от точки ζ до границы области β^ε- Если, в
частности, точка ζ лежит на дуге γ^, то это расстояние δ не меньше,
чем некоторая постоянная, умноженная на длину дуги γ^ (эта
постоянная зависит лишь от кривых Fj и Гз, но не зависит от ε, если ε
достаточно мало). Отсюда легко получаем оценку
5 /wx' (ζ) -f Щ> B) ds^M /Db,, [w].
в силу условия G) величина, стоящая в правой части неравенства,
стремится к нулю при ε-^0. Лемма доказана.
Стоит оговориться, что лемма 3 необходима ради возможности
легко обобщить наши результаты на более общий случай, о котором
будем говорить лишь в гл. 9. Для случая областей на плоскости
(о котором только и шла пока речь) вполне достаточно областей с
аналитической границей, а для теорем о римановых поверхностях
знакомого нам вида можно было бы обойтись областями,
ограниченными прямолинейными ломаными.
§ 6. Существование минимизирующей функции для областей,
ограниченных дугами окружностей
Сейчас переходим к наиболее суихественной части наших
построений — к доказательству существования минимизирующих функций
экстремальной задачи S в случае, когда область G является
объединением конечного числа кругов.
Наше доказательство существования разобьем на следующие этапы:
1) Изучение свойств минимальных последовательностей.
2) Изучение свойств операции сглаживания.
3) Доказательство сходимости сглаженной минимальной
последовательности.
1) Пусть
α = \ηίΟ[ΦΙ
где нижняя грань берется по всем допустимым функциям Φ (ζ).
Согласно определению нижней грани суи1.ествует последовательность

522 ПРИНЦИП ДИРИХЛЕ [Гл. β
допустимых функций {ФдB)}, для которой
итО[Фп] = а, A>
л-*· со
и в то же время для любой допустимой функции Φ (ζ) выполняется
неравенство
0[Φ]^ά. B>
Последовательность допустимых функций {Φ^(ζ)}, для которой имеет
место соотношение A), будем называть минимальной
последовательностью.
Установим сейчас некоторые свойства минимальных последова*
тельностей.
Свойство 1. Обозначим
а;, = 8ир|о[Ф^, /г]|,
где верхняя грань берется по всем функциям h (ζ), непрерывным
и кусочно непрерывно дифференцируемым в области G,
удовлетворяющим условию D[/i]=l. Тогда
а^ -^0 (п -> оо).
Ясно, что без ограничения общности можно считать, что для
функций /г (г) выполнено условие h(a) = 0, так как добавление к
функции h (г) постоянного слагаемого не изменяет интегралов D [h]
и D [Ф, h]. Поэтому функция Ф^ (г) -[- eh (ζ) при любом ε будет
допустимой функцией, и, согласно неравенству B), можем написать
D [Ф„ + е/г] = D [Ф„] + 2sD [Ф„, h] + z^D [h] ^ d
или, обозначив для краткости Ь^ = 0[Ф^1] — d и использовав, что
D[h]=h
Ь,-\-2еО[Фп, h]-\-e'^0.
Этот квадратный трехчлен может быть положителен при всех
действительных ε лишь при выполнении условия
(о[Ф„, к]Г^ь„.
Следовательно,
И свойство 1 доказано.
Интеграл Дирихле D \Ф] не меняется при добавлении к функции
Φ (г) произвольной постоянной. Поэтому мы можем без ограничения
общности нормировать допустимые функции экстремальной задачи S,
задавая их значение в какой-либо точке. Всюду в дальнейшем функ·
ции минимальных последовательностей будем нормировать условие1У*
Фп{а) = 0.
Свойство 2. Если {Φ^{ζ)} — минимальная последователь-
ность, то
ИтО[Ф^^^-Ф^]-=0,

ζ e] СУЩЕСТВОВАНИЕ МИНИМИЗИРУЮЩЕЙ ФУНКЦИИ 523
где т — положительное целое число, произвольным образом
зависящее от п.
Для доказательства заметим, что при любых действительных
значениях постоянных λ и μ функция
Φ (ζ):
λ-1-μ
будет допустимой функцией, так что D [Ф] ^ d. Раскрывая это
неравенство, получаем
= 4D [Ф«+т] -d)-\- 2λΐΛ (D [Ф„^„, Ф„] - d) + v\D [Ф„] - d) S5 0.
Положительность этого квадратного трехчлена при всех
действительных λ и μ влечет за собой неравенство
где обозначено
Далее,
D [Ф„+„ - Ф„] = D [Ф„+^] - 2D [Ф„+„, Ф„] + D [Ф„] =
= δ„^„ - 2 (D [Ф„^„; Ф„] - d) + δ„,
и неравенство C) дает нам, что
Тем самым свойство 2 доказано, так как по определению
минимальной последовательности δ^ ->► О при л -^ сю.
2) Произвольная минимальная последовательность {Ф^ (^)} не
обязана сходиться в области О. Однако мы покажем, что любую
минимальную последовательность можно исправить так, чтобы она стала
сходящейся. С этой целью определим и изучим операцию
сглаживания данной допустимой функции экстремальной задачи 5*.
Пусгь В — некоторая односвязная часть области G, не
содержащая точек окружности κ. Границу области В будем считать
аналитической кривой (в большинстве случаев область В можно считать
кругом).
Будем говорить, что функция Φ (^) получена из функции Φ{ζ)
сглатюиванием по области В, если:
1. Функции Ф(^) и Φ B") совпадают в точках области G,
отличных от точек области В.
2. Функция Φ B") непрерывна в замыкании области В.
3. Функция Φ [ζ) гармонична в области В.
4. Функция ФB^) в точках границы области В, являющихся
точками границы области G, имеет нормальную производную, равную нулю.

524 ПРИНЦИП ДИРИХЛЕ [Гл. Ц
Условиями 1 — 4 полностью определяют функцию Φ (ζ) по
любой допустимой функции φ (ζ).
Из теоремы 2* § 4 немедленно вытекает следующее свойство
операции сглаживания.
Свойство 1. Если функция Φ B-) допустима, то функция
Φ (ζ) также допустима и D [Ф] ^ D [Ф].
Немногим сложнее доказывается и
Свойство 2. Пусть {Φ^(^)}—минимальная
последовательность, и пусть срункции Φ^(-ε) получены из функций Ф^ (.г)
сглаживанием по области В. Тогда последовательность {Ф^(г)} также
является минимальной последовательностью и она равномерна^
сходится в любой замкнутой части области В.
Минимальность последовательности {Ф^(г)} немедленно вытекает
из свойства 1 операции сглаживания, так как, согласно ему,
Кроме того, из свойства 2 минимальной последовательности
вытекает, что
D \Фп^т - Фя] — о {п~ сю, т ^ 0).
Функции Фд [ζ) гармоничны в области В. Поэтому, согласно следствию
из теоремы 3 § 3, отсюда вытекает, что
|Фп+т Η — Фя (^)| — О (л~сю, //г^О)
равномерно в любой замкнутой части области В. По критерию Коши
последовательность {Φ^(^)} равномерно сходится в любой замкнутой
части области В, и свойство 2 полностью доказано.
Замечание. Последовательность {Φ^(^)} равномерно
сходится и вблизи тех участков границы области В, которые
входят в границу области G. При этом равномерно сходятся не
только сами функции Ф^ {ζ), но и их производные всех порядков.
Действительно, на упомянутых участках границы области В имеет
место равенство -^ = 0. Поскольку эти участки прямолинейны,
согласно теореме 2 § 3, функции Ф^ [ζ) продолжаются по симметрии
через них в область В\ получающуюся объединением области В
с областью, симметричной с нею относительно нашего прямолинейного
участка границы. Продолженные функции, очевидно, равномерно
сходятся в любой замкнутой части области В\ В частности, они
равномерно сходятся на любой замкнутой части нашего участка границы
области Д не содержащей его концов. Согласно теоремам о схо-

§ б]
СУЩЕСТВОВАНИЕ МИНИМИЗИРУЮЩЕЙ ФУНКЦИИ 525
димости последовательностей гармонических функций (см. § 9 гл. 3)
сходятся не только сами функции, но и их производные всех порядков.
В очень близком родстве с замечанием находится
Свойство 3. Пусть минимальная последовательность {Ф^ {ζ)]
равномерно сходится в области Βχ к гармонической срунщии, и
пусть функции Фя(^) получены из функции ^η{^) сглаживанием
по области В^ имеюш.ей непустое пересечение с областью Βχ,
Тогда последовательность [Φ^^{ζ)] равномерно сходится не только
в любой замкнутой части области Во, но и в любой замкнутой
части объединения областей Βχ и В^.
Сначала покажем, что
Для этой цели заметим, что последовательность {Ψ^B')},
ψ (ζ\ -
"^ ^ 1Ф„B) (я = 2т + 1),
является минимальной последовательностью, так как последовательности
{Ф^B')} и {¢^B-)} минимальны. Поэтому, согласно свойству 2
минимальных последовательностей,
D [Фп -^n] = D [^,η^χ - ψ,,] -^0 {п-^ сю).
функции Ф^ {ζ) — Ф;^ (ζ) гармоничны в пересечении областей Βχ и
Bei, причем на части границы области Вс^, лежащей в области Βχ, эти
функции обращаются в нуль (по определению операции сглаживания
данной функции). Согласно следствию из теоремы 3 § 3 получаем,
что функции Фд (^)—^п{^) равномерно стремятся к нулю в любой
замкнутой части пересечения областей Βχ и В^. Применяя те же
рассуждения, что и в замечании к свойству 2, убеждаемся, что
сходимость равномерна и вблизи любого прямолинейного участка границы,
на котором Фд (ζ) — Ф^ {ζ) = 0.
Замечание. Легко видеть, что предельная функция
последовательности {Ф^B')} гармонична не только в области В^у но и в
объединении областей Βχ и ^2^ так как в пересечении этих областей
предельные гармонические функции совпадают.
3) Перейдем теперь к описанию процесса построения минимальной
последовательности, равномерно сходяи1,ейся к предельной функции.
Теперь мы по существу "используем наше предположение о строении
области G.
Итак, пусть область G представляет собой объединение конечного
числа кругов Βχ^ В^, ..., В^^. Для наших целей существенно лишь то.

526 ПРИНЦИП ДИРИХЛЕ [Гл. 8
что такими областями можно аппроксимировать изнутри произвольную
область. Поэтому мы вправе сделать некоторые дополнительные
предположения об этих кругах.
С экстремальной задачей 5*, относящейся к области О, связаны
точка а^О и круг /С, KdQy имеющий точку а своим центром.
Будем предполагать, что круг 5^ совпадает с кругом /С, а круги
Bi, В^, ..., Вт__1 не содержат точку а.
При этих предположениях построим по любой минимальной
последовательности {Фд (ζ)} экстремальной задачи 5* минимальную
последовательность {CJn{^)}y сходящуюся к минимизирующей функции и (ζ)
этой экстремальной задачи. Построение проведем следуюплим образом.
Выберем круг К\ с центром в точке а так, чтобы этот круг не
имел общих точек с кругами В^, В<^, ..., iö^_i. По минимальной
последовательности {¢^B-)} экстремальной задачи 5* (с кругом В^у
взятым в качестве круга К) построим минимальную последовательность
{^^B-)} экстремальной задачи 5Ί с кругом К^ взятым в качестве
круга К- Как видели при доказательстве теоремы 2 § 5, для этого
следует положить
'i'n{z) = ^n{z)-{-S{z)-S,(z),
где
5(а + г.^>)=|(-г + Й^"'^
(р —радиус круга В^), а
I о (г>рО
(pi — радиус круга Κι).
Теперь совершим сглаживание минимальной последовательности
{Ψ^ί^")} по кругу Βι (это возможно, так как круг Βι не имеет
общих точек с кругом К\). Сглаженная последовательность {Ψ^^' (ζ)}
в силу свойства 2 операции сглаживания также будет минимальной
последовательностью, и она будет равномерно сходиться в любой
замкнутой части круга Βγ. Последовательность, полученную
сглаживанием минимальной последовательности {Ψ^*B')} по кругу 5^,
обозначим через {Ψη^^Ι'^)} и т. д. Из свойства 3 операции сглаживания
немедленно вытекает, что последовательность {Ψ^^~^^ (ζ)] также будет
минимальной последовательностью и что она будет равномерно
сходиться в любой замкнутой части объединения кругов Βχ, В^, ...
..., Βγη-\ (производные функций этой минимальной последовательности
тоже равномерно сходятся, если только эта замкнутая часть не
содержит точек окружностей кругов В^, В^у ... , ^т ι)·
Положим теперь
Ф„ (г) = WT '·* (ζ) + 5i (ζ) - S {ζ).

^ 6] СУЩЕСТВОВАНИЕ МИНИМИЗИРУЮЩЕЙ ФУНКЦИИ 527
Последовательность {Φ^B')} будет минимальной последовательностью
экстремальной задачи *S (с кругом В^^ в качестве круга Ю. Эта
последовательность равномерно сходится на окружности круга В^^ и
в любой замкнутой части области G (области О с удаленным из нее
кругом Βγη)· Совершая сглаживание последовательности {φ^(^I по
кругу Вт^ получаем минимальную последовательность {Un{z)},
равномерно сходящуюся в любой замкнутой части области О.
Действительно, в этом конкретном случае сглаживания легко показать, что
сглаженная последовательность равномерно сходится в замкнутом круге Βγ^-
В самом деле, сглаживание по кругу В^^ функции Φ [ζ) сводится
к замене значений этой функции в круге В^п значениями функции,
гармонической в круге Βγη и совпадающей с функцией Φ [ζ) на окружности
этого круга. Из равномерной сходимости значений функций Φ B") на
окружности круга В^ следует (по принципу максимума и минимума)
равномерная сходимость в замкнутом круге В^^ функций,
гармонических в этом круге и совпадающих с функциями ΦB") на его
окружности.
Таким образом, мы построили минимальную последовательность
{Un{^)} экстремальной задачи 6', равномерно сходящуюся в любой
заг^'кнутой части области G к функции U {z\ При этом производные
функций Un{z) равномерно сходятся к производным функции U{z)
в любой замкнутой части области G, не содержащей точек
окружностей кругов Βγ, Bei, ..., Вщ, Следовательно, функция U{z) кусочно
непрерывно дифференцируема в области О. Непрерывность функции
U{z)-\-S{z) на окружности круга К очевидным образом вытекает из
допустимости функций Un{^) и из равномерной сходимости этой
последовательности. Поэтому функция U[z) является допустимой
функцией экстремальной задачи 5. Кроме того, из сходимости
производных от функций Un{^) к производным функции и {ζ) во всей
области G, за исключением конечного числа дуг окружностей, немедленно
врлтекает, что
D[^]^limD[^].
Но минимальность последовательности {Un{z)] означает, что
п-*со φ
Следовательно, функция U {ζ) является минимизирующей функцией
экстремальной задачи 5*.
Задача, которую мы поставили перед собой в этом параграфе,
полностью решена. Переход от областей, являющихся объединением
конечного числа кругов, к произвольным областям плоскости не
представляет особого труда. Мы осуществим этот переход в
следующем параграфе.

528 ПРИНЦИП ДИРИХЛЕ [Гл.-8
§ 7. Непрерывная зависимость минимизирующей функции
экстремальной задачи от области
Задачей этого параграфа является доказательство существования
минимизирующей функции экстремальной задачи 5 для произвольной
области Q комплексной плоскости.
Будем называть последовательность областей {0^] расширяющейся
последовательностью, сходящейся изнутри к области G, если
и если любая точка ζ^ζ^Ο входит в области О^, начиная с
некоторого номера.
Легко убедиться, что любую область G комплексной плоскости можно
аппроксимировать изнутри последовательностью областей, каждая из
которых представляет собой объединение конечного числа кругов
(при этом можно считать, что заданная точка а ^ G входит лишь
в один из этих кругов и что этот единственный круг имеет ее своим
центром). Поэтому существование минимизирующей функции
экстремальной задачи 5* н.емедленно вРз1текает из следующей теоремы,
представляющей и некоторый самостоятельный интерес:
Теорема 1. Пусть (¾} —расширяющаяся последовательность
областей, сходящаяся изнутри к области Q, и пусть все области
Qn содержат точку ζ ^= а и круг К с центром в этой точке.
Если для каждой области О^ существует минимизирующая
функция Un{z) экстремальной задачи S, то для области G также
существует минимизирующая функция U{z) экстремальной
задачи S и Un{z)~^ U{z) при η —сх^ равномерно в любой замкнутой
части области О.
Обозначим через d^ нижнюю грань интегралов Дирихле для
допустимых функций экстремальной задачи 5, относящейся к области
Q^, а через d — аналогичную нижнюю грань для области G. Нетрудно
убедиться, что
di^d^^ .., ^d. A)
Действительно, любая допустимая функция задачи S, относящейся
к области Од, будет допустимой функцией и для задачи 5*,
относящейся к любой области О^, т^п, а допустимая функция задачи 5*,
относящейся к области О, будет допустимой функцией и для задачи
S, относяи^ейся к любой из областей 0^. При этом, очевидно,
Do^n [Φ] =^ Dq^ [φ] (//: ^ л), Dq^ [Φ] ^ Do [Φ].
Отсюда немедленно вытекают неравенства A).
Поскольку Ufi {ζ) — минимизирующая функция экстремальной
задачи S, для любой функции h{z\ непрерывной в замыкании области
0„ и имеющей конечный интеграл Дирихле, должно выполняться

§ 7] НЕПРЕРЫВНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ 529
равенство (см. лемму 2 § 5)
Положим, в частности, h{ζ) = Unj,m(^) — ^п(^)- Тогда при т^о
T. e.
откуда следует, что
DoJUn^m ~ Un] ~ О (^ -> оо, /;г Ξ^ 0) B)
(и силу неравенств A) последовательность {ά^] имеет предел).
Считая функции Un{^) нормированными условием (/^(а) = 0,
выводим отсюда с помощью следствия из теоремы 3 § 3, что
последовательность функций {Un{z)} равномерно сходится в любой
замкнутой части области О" и в любой замкнутой части круга /С. Поскольку
функция nn{z) = Un{z)~\-S(z) не зависит от выбора круга К (см.
теорему 2 § 5), последовательность [Un {ζ)} равномерно сходится на
любой замкнутой части области G. Более того, из гармоничности
минимизирующих функций Un {ζ) в области G (за исключением точек
окружности круга К) следует, что производные функций Un{z)
равномерно сходятся к производным фушсцни и {ζ) на любой замкнутой
части области о. Поэтому функция U{z) является допустимой
функцией экстремальной задачи 5* в области Q и
DB[U]^\\mDB[Un[^d,
я->оо
где В — любая замкнутая часть области G, а значит и
DG[U]^d.
Так как d — точная нижняя грань интегралов Дирихле Do [Ф] по
всем допустимым функциям экстремальной задачи 5* в области О, это
означает, что U [ζ) — минимизирующая функция экстремальной задачи 5*
в этой области. Теорема доказана.
Наше утверждение о существовании минимизирующей функции
экстремальной задачи 5* для любой области G комплексной
плоскости, в частности, влечет за собой следующий результат:
Теорема 2. Пусть Q — произвольная область комплексной
плоскости, содержащая точку ζ = α. Всегда существует
гармоническая в области Q (за исключением точки ζ = α) функция и {ζ),
обладающая свойствами:
1. В окрестности точки ζ==α функция и (ζ) им еп вид
wB') = Re^-^ + ?/oD
^де функция Uq{z) гармонична в окрестности точки z = a.

530 ПРИНЦИП ДИРИХЛЕ [Гл. »
2. Интеграл Дирихле Dq' [ii], ^äe область (У получается из
области Qудалением сколь угодно малой окрестности точки z = a,
конечен.
Для доказательства этой теоремы мы лолжны взять в качестве
функции и {ζ) функцию ^(^)-1-5^(^), где V {ζ) — минимизирующая фун>
кция экстремальной задачи vS для области и.
В § 9 обобщим теорему 2 на случай гармонической ф} нкции
с более или менее произвольно заданной особенностью в точке а
или даже в некотором круге.
§ 8. Конформное отображение однолистной области
на плоскость с разрезами
Из теоремы 3 § 5 и теоремы 1 § 7 следует, что любую область
Q комплексной плоскости, ограниченную конечным числом простых
кусочно-аналитических кривых, можно конформно отобразить на вск>
комплексную плоскость с разрезами по конечному числу
горизонтальных отрезков. С помощью тех же соображений, которые были
использованы при доказательстве теоремы 1 § 7, это утверждение
легко переносится на произвольные области комплексной плоскости.
Именно, справедлива
Теорема 1. Для любой области G комплексной плоскости
ζ существует функция w = F(z), обладающая свойствами:
1. Функция F(z) регулярна в области Q, за исключением
заданной точки а ^0, в которой она имеет простой полюс с
вычетом, равным единице.
2. Функция w = F(z) конформно отображает область Q на
некоторую область О комплексной плоскости w.
3. Каждая компонента границы области G является или
точкой, или отрезком прямой, параллельной действительной оси в
плоскости W.
Для доказательства теоремы выберем расширяющуюся
последовательность областей {0^} (каждая из которых ограничена конечным
числом простых кусочно-аналитических кривых), сходящуюся изнутри
к области G. Через Un{^) обозначим минимизирующую функцию
экстремальной задачи vS для области 0^, а через гг^ (ζ) — функцию
Un (^)-\-S {ζ). Мы знаем, что функция u^iz) гармонична в области Q,
за исключением точки z==a, в окрестности которой она предста·
вима в виде
Un{z) = Rej^-{~ui-^z)
(функция и[^^ (ζ) гармонична в окрестности точки ζ = α).
Через Fn (ζ) обозначим функцию, имеющую функцию и^ (ζ)
действительной частью. Согласно теореме 3 § 5 функция Fn{^)
однозначна и однолистна в области G^ (т. е. конформно отображает об-

^8] КОНФОРМНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ ОДНОЛИСТНОЙ ОБЛАСТИ 531
ласть Qn на некоторую область 0^ комплексной плоскости). Кроме
того, функция Fn (^) регулярна в области 0,^, за исключением точки
z = a, в которой она имеет простой полюс с вычетом, равным
единице.
Обозначим enie через ί/(ζ) минимизирующую функцию
экстремальной задачи vS для области G, через и (г) — функцию ^(^)-1-5^B-),
а через F (ζ) — функцию, имеющую функцию и (ζ) своей действительной
частью.
Согласно теореме 1 § 7
Ип (^) -> W (ζ) (η -> ОО)
равномерно в любой замкнутой части области G. С помощью
теоремы 3 § 9 гл. 3 легко выведем отсюда, что
Рп И -> F (^) {п -> ею)
равномерно в любой замкнутой части области Q (при подходящем
выборе постоянных слагаемых, с точностью до которых определяются
функции Fn (ζ) по функциям Пп (ζ)). Отсюда немедленно вытекает,
что построенная нами функция F (ζ) обладает свойством 1.
Принимая во внимание, что, согласно лемме 2 § 1 гл. 6, предел
однолистных функций является однолистной функцией (если он отличен от
тождественной постоянной), мы видим, что функция F (ζ) обладает
и свойством 2.
Остается доказать, что функция F (ζ) обладает свойством 3. Для
этой цели воспользуемся леммой 2 § 5, согласно которой имеет
место равенство D[Uy h] = 0 для любой функции h{z), кусочно
непрерывно дифференцируемой в области Q и имеющей конечный
интеграл Дирихле по этой области. Для случая, когда функция h{z)
равна нулю в круге /С, равенство 0[ί/, /7] = 0 можно записать в виде
D[u,h] = 0. A)
Согласно теореме 2 § 5 функция и (ζ) не зависит от выбора круга К,
так что равенство A) справедливо для любой функции h{z), кусочно
непрерывно дифференцируемой в области G, имеющей конечный
интеграл Дирихле по этой области и равной нулю в сколь угодно
малой окрестности точки z = a.
Интеграл Дирихле инвариантен при конформных отображениях.
Поэтому, совершая конформное отображение w = F{z) области О
iia область Q\ мы можем записать равенство A) в виде
G'
Н'и (п, ν) da dv = 0, B)
где функция H{ii, ν) кусочно непрерывно дифференцируема в
области Q\ имеет конечный интеграл Дирихле по этой области и равна
нулю в сколь угодно малой окрестности бесконечно удаленной точки.

532
ПРИНЦИП ДИРИХЛЕ
[Гл. 8"
Нам нужно доказать, что любая компонента границы области (J
является или точкой, или отрезком прямой, параллельной
действительной оси. Допустим противное. Тогда существует компонента ^
границы области (У, содержащая точки
Поскольку точка w = co принадлежит области G, компонента 2
ограничена. Поэтому она разбивает полосу i^i <^ Im-ш <^ г;., на некото-
Рис. 98.
рое количество областей, среди которых найдется одна неограничен-
ная справа и ограниченная слева. Обозначим ее через Bq, а ее
пересечение с областью G — через B'q. Множество ΒΌ по-прежнему не
ограничено справа, так как точка w = oo принадлежит области О.
Выберем число с^О столь большим, чтобы полуплоскость Rete^^^
лежала в области G, и обозначим через В^ связную часть множества
В'^у примыкающую к прямой Я.ех0 = с. Ясно, что область В^
ограничена отрезком Vi<^\тW<^Vciy Iiew = c, отрезками прям^ых \mw = 'v%
и \mw = Vo_, а также некоторыми множествами, принадлежащими
границе области G (рис. 98).
В области В^ мы определим функцию И{Пу ν) равной
{V — v^y^ {ν — v^y\

§ 8] КОНФОРМНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ ОДНОЛИСТНОЙ ОБЛАСТИ 533
Тогда функция Η(ιι, 'ό) будет равна нулю на части границы области
В\ состоящей из отрезков прямых \mw = Vi и \mw = v.i.
Доопределим функцию Η {и, ν) еще в прямоугольнике В\
равенством
В": {vi<^\vi\w<^v^j с ^Я<^т<^2с}у
Η {и, V) = (г; — v^f {ν ~ v,f h — —]
Тогда функция H(iiy ν) будет определена и непрерывна в области
// Pi В" (объединерще области В^ с прямоугольником В'') и равна
нулю в точках границы этой области, отличных от граничных точек
области G. Положим функцию Η равной нулю в остальной части
области G. Тогда к построенной функции И можно будет применить
равенство B), так как она непрерывна в области G, равна нулю
в окрестности бесконечности и кусочно непрерывно дифференцируема
(ее интеграл Дирихле, очевидно, ограничен). Поскольку
Ни (w, ν) = - ~{v - v,r (ν - V.,)' {w e ^Ί>
получаем
55 Ни {и, ν) du dv = \\Hu (it, ν) dudv = — ~ \{v~ ν {)^ {ν — V2)^ dv < 0.
G' B" T>,
Таким образом, наше допущение о том, что компонента границы
области (У может быть отлична от горизонтального отрезка, привело
нас к противоречию с равенством B).
Теорема полностью доказана.
Использованные нами соображения, соединенные с теорией
интеграла Лебега, позволили бы доказать утверждение:
Множество тех значений с, для которых прямая \vi\w = c не
полностью принадлежит области G, имеет меру нуль.
Однако мы избегаем пользоваться теорией интеграла Лебега и
поэтому докажем несколько более слабый результат:
Теорема 2. Множество граничных точек области (У имеет
площадь, равную нулю, т. е. это множество можно покрыть
конечным числом многоугольников со сколь угодно малой
площадью.
Для доказательства этого факта опять воспользуемся равенством
B). На этот раз применим его к функции //, равной нулю в
окрестности бесконечности, а в достаточно большом круге \w\<^R
(содержанием все граничные точки области G) равной и. (Между
окружностью \w\ = R и упомянутой окрестностью бесконечности
достраиваем функцию Η {и, ν) так, чтобы она была непрерывно
дифференцируема.) Аппроксимируя изнутри область Q последовательно-

534 ПРИНЦИП ДИРИХЛЕ [Гл. 8
стью расширяющихся областей 0^, ограниченных простыми
замкнутыми ломаными, мы получаем
lim \{ И'и du dv = J J Ни du dv = 0.
/г-оо , а'
Но, согласно формуле Грина F) § 2 (с φ = // и ^(ιι,ν) = ΐί),
\\ Hadiidv= 2 \Hdv= 2 J^^^^'
где Ck — простые замкнутые ломаные, ограничиваюилие наши
бесконечные области Од. С другой стороны, интеграл
5 и dv,
с
взятый по простой замкнутой спрямляемой кривой С, равен плои1ади
конечной области, ограниченной этой кривой. Следовательно, сумма
площадей конечных областей, ограниченных ломаными С^, Сг,...,С^
стремится к нулю. Тем самым теорема доказана.
Перейдем к теоремам об единственности отображения на плоскость
с разрезами.
Теорема 3. Пусть хотя бы одна из компонент границы
области Q содержит более одной точки. Тогда существует
единственная функция w = F{z), конформно отображающая область Q
на плоскость w с разрезами по отрезкам прямых, параллельных
действительной оси, и имеющая в окрестности данной точки αζ^Ο
разложение
F{z) = j^^^c^{z-a)-\r<^A^--af-\-... C)
Пусть w=::^F^{z) И W = F2{z) — две функции, конформно отобра-
жаюш.ие область G на плоскость w с разрезами по горизонтальным
отрезкам и имеющие в данной точке а ^ Q разложение C).
Обозначим через ζ = (γι(ζ0) отображение, обратное к отображению w==Fi{z).
Тогда функция
ζ = γ,(Ρ,(ζ)) = /(ζ)
совершает конформное отображение области Q на себя и переводит
точку ζ = α в точку С = а. Найдем разложение функции ζ^=/{ζ)
в окрестности точки ζ = α. Из разложения C) без труда находим,
что в окрестности точки w = o3 функция z = ^i{w) имеет
разложение вида
-Поэтому
f(z) = a-]- {ζ - а)-[~с; (ζ - α)'^ + ...

§ 9] ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ С ДРУГИМИ ОСОБЕННОСТЯМИ 535
Применение теоремы 2 § 4 гл. 6 дает нам, что f(z)^z, откуда
немедленно следует утверждение нашей теоремы. (Мы должны применить,
теорему 2 § 4 гл. 6, используя замечание, сделанное в конце
доказательства этой теоремы.)
Заметим еще, что для случая конечносвязных областей мы
можем считать все компоненты границы точками без ущерба для
справедливости теоремы. Действительно, в этом случае отображение
области Q на плоскость с разрезами сводится к отображению всей
расширенной плоскости на себя, т. е. к дробно-линейному отображению.
§ 9. Экстремальные задачи с другими
особенностями допустимых функций
Совершенно теми же методами, что и в предыдущих параграфах
можно доказать существование минимизирующих функций для целого
класса экстремальных задач. Эти задачи отличаются от
рассмотренной выше экстремальной задачи 5* лишь иным заданием функции S (ζ),
определяющей особенность минимизирующей функции. Определим
сейчас общий класс таких задач, договорившись предварительно
о некоторых обозначениях.
Через Q по-прежнему будем обозначать данную произвольную
область комплексной плоскости. Через К будем теперь обозначать
уже не обязательно круг, но некоторую односвязную область,
лежащую в области Q вместе со своей границей χ (которую будем
предполагать аналитической кривой). Через (У будем обозначать
дополнение к замыканию области К до всей области G. Функцию σ (г),
1соторую будем называть в дальнейшем функцией особенностей,
будем считать регулярной (и однозначной) на границе области К, т. е.
на кривой X. Через ^^^(^) будем обозначать функцию, гармоническую
в области К и удовлетворяющую условию
crv/j, I d Re σΙ
дп и dri
(С помощью конформного отображения области К на круг легко
убедиться, что такая функция всегда существует и что она определяется
единственным образом с точностью до произвольного постоянного
слагаемого.)
Функцию S{z) определим равенством
Rea(^)-v;^(z) {ζ ζ:Κ\
Из построения видно, что
^(^)=i ^0 ■-" j.^q;;; (i>
ύη. χ

536 ПРИНЦИП ДИРИХЛЕ [Гл. 8
Интересующий нас класс экстремальных задач определяется
следующим образом:
Допустимыми функциями экстремальной задачи, отвечающей
данной функции особенностей с (ζ), будем считать функции
Φ (,)_!*.(-) (^е^уу
\ Ф, (ζ) (ζ ζ К),
удовлетворяющие условиям:
1. Функция Φ (ζ) непрерывна и кусочно непрерывно
дифференцируема во всей области G, за исключением кривой κ, на которой эта
функция имеет разрыв первого рода.
2. Функция ^{z)-\-S{z) непрерывна в окрестности кривой κ.
3. Интеграл Дирихле D [Ф] (понимаемый как сумма интегралов
Дирихле 0^\Φι] -{- ΟκΙΦ^]) конечен.
Экстремальная задача состоит в минимизации интеграла Дирихле
D [Φ] в классе допустимых функций.
Эту экстремальную задачу будем в дальнейшем для краткости
называть экстремальной задачей σ.
Мы не будем, конечно, полностью воспроизводить доказательство
существования минимизирующей функции этой экстремальной задачи,
а ограничимся тем, что проследим изменения, которые потребуются
на различных этапах доказательства.
При доказательстве существования минимизирующей функции мы
использовали леммы 1 и 2 § 5, теоремы 1 и 2 § 5, свойства 1 и 2
минимизирующей функции из § 5, а также идею сглаживания
минимальной последовательности из § б и теорему 1 § 7 о непрерывной
зависимости минимизирующей функции от области.
Доказательство леммы 1 о непустоте класса допустимых функций
экстремальной задачи изменяется довольно сильно. Явное выражение
для допустимой функции становится, вообще говоря, очень сложным.
Однако с принципиальной точки зрения не составляет никакого труда
построить функцию Φ (г), равную нулю вне некоторой
кольцеобразной области (внутренней границей которой является аналитическая
кривая κ) таким образом, чтобы эта функция была непрерывно
дифференцируема в замыкании этой кольцеобразной области, непрерывна
вблизи внешней кривой, а на кривой κ имела заданные значения
(совпадающие со значениями функции S{z\ регулярной на этой
кривой).
Доказательства леммы 2 и теоремы 1 § 5 не нуждаются ни в
каких изменениях.
Доказательство теоремы 2 § 5 тоже можно провести без всяких
изменений, только деформации кривой κ следует предполагать
достаточно малыми (чтобы они не выводили эту кривую из области
регулярности функции особенностей σ {ζ)).

§ 9] ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ С ДРУГИМИ ОСОБЕННОСТЯМИ 537
Доказательства свойств 1 и 2 из § 5 не нуждаются ни в каких
изменениях.
Рассуждения §§ б и 7 тоже полностью остаются в силе.
Подытоживая сказанное, мы можем сформулировать следующие
результаты:
Теорема 1. Для любой области G комплексной плоскости и
для любой функции особенностей а (ζ) (удовлетворяющей условиям,
сформулированным при постановке экстремальной задачи σ в начале
параграфа) существует минимизирующая функция U{z)
экстремальной задачи с. Эта функция единственна с точностью до
произвольного постоянного слагаемого.
В частности, из теоремы 1 вытекает
Теорема 1*. Для любой области О и для любой функции
особенностей σ (ζ), регулярной на окружности данного круга К
(лежащего в области вместе с его границей), существует функция
и {ζ), обладающая свойствами:
1. Функция и (ζ) гармонична в области О, за исключением тех
точек круга К, в которых функция σ {ζ) имеет особые точки.
В этих точках особенности функций и (ζ) и ReaB') одинаковы,
т. е. функция и (ζ) — Reo (ζ) гармоничяа в круге К.
2. Интеграл Дирихле от функции и {ζ) по области G = G — К
конечен.
Теоремы 1 и 1* можно в значительной мере обобщить. Об этих
обобщениях будем говорить в следующем параграфе (и в следующей
главе).
Сейчас немного поговорим о применении теоремы 1 к задачам
о конформном отображении.
Разумеется, при произвольной функции особенностей σ [ζ)
функция F {ζ), для которой функция u{z)=U[z)-\-S{z) является
действительной частью, уже не обязана быть функцией, конформно
отображающей область G. Правда, теми же средствами, что и раньше^
легко показать, что отображение w=^F{z) обязано переводить
каждую компоненту границы области G в прямолинейный отрезок
плоскости W, параллельный мнимой оси, но функция F {ζ) не обязана
быть ни однозначной, ни однолистной в области G. Тем не менее
экстремальную задачу σ можно использовать для доказательства
существования конформного отображения в области О на некоторые
другие канонические области. Идея состоит в том, что для данной
функции особенностей σ {ζ) мы подбираем функцию φ (w) таким
образом, чтобы функция
C = 9(FB))
была однозначна и однолистна в области G. Тогда эта функция будет
конформно отображать область G на всю плоскость С с разрезами

538 ПРИНЦИП ДИРИХЛЕ [Гл. 8
по дугам кривых, являюишхся образами прямых Im-0^ = const при
отображении С = φ (w).
Укажем на два соображения, значительно упрощающие подбор
таких функций φ (w) по данным функциям σ (ζ).
Первое соображение состоит в том, что исследование
однозначности функции ζ = φ (F (ζ)) достаточно провести в области К, так как
вне области К функция F (ζ), а значит и функция φ (F (ζ)), однозначна.
Действительно, однозначность функции F (ζ) вне области К
доказывается с помощью тех же рассуждений, что и в теореме 3 § 5.
Второе соображение состоит в том, что для доказательства
однолистности функции φ {F (ζ)) в области G достаточно убедиться, что
эта функция имеет в области Q один простой полюс и не имеет
других особенностей. Тогда однолистность функции φ {F (ζ)) опять-таки
доказывается тем же рассуждением, что и в теореме 3 § 5.
В заключение пр^^ведем три типичных примера отображений.
Первый пример получим, положив σ (ζ) = In τ, где а иЬ — две
произвольные точки области Q (отличные друг от друга). За область К
примем любую односвязную область, лежащую в области G и
содержащую точки а и Ь. В качестве функции φ (w) возьмем функцию Л
Тогда функция
ср {F (ζ)) = е'' <^> = е' <^'+'Ί '^' = ^-^f /^*''
регулярна в области G, за исключением одного простого полюса
в точке z = b. Согласно сказанному выше функция е ^^^ должна
конформно отображать область Q на всю плоскость ζ с
разрезами по отрезкам лучей, выходящих из начала координат (ибо
лучи arg С = const являются образами прямых im гс^ = const при
отображении ζ, = e'^).
Второй пример получим, взяв 0(^) = /^--7, где а и b — опять
две произвольные точки области Q, В этом примере, очевидно,
следует положить (^(w) = e~^^. Функция е~^ ^^^ конформно
отображает область Q на всю плоскость С с разрезами по дугам
концентрических окружностей с центром в начале координат.
Третий пример содержит оба предыдущих. Он отвечает случаю
Область Q в этом примере конформно отображается функцией

§ 10] ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ НА РИМАНОВЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ 539
на всю плоскость ζ с разрезами по дугам логарифмических
спиралей
|(;i = ^^''^S С= const,
являющихся образами прямых \mw ==^ const при отображении
§ 10. Экстремальные задачи на римановых поверхностях
В этом параграфе будем говорить об одном важном обобщении
результатов, полученных в предыдущих параграфах. Это обобщение
состоит в том, что область Q будем считать расположенной не на
комплексной плоскости, а на произвольной римановой поверхности,
лежащей над этой плоскостью. При этом имеем в виду риманову
поверхность, построенную независимо от какой-либо аналитической
функции (см. § 3 гл. 4).
Напомним, что римановой поверхностью договорились называть
поверхность, склеенную из конечного или счетного числа
экземпляров областей комплексной плоскости таким образом, чтобы при склеи-^
вании выполнялись условия:
1. Проекция каждой точки римановой поверхности совпадает с
точкой склеиваемой области комплексной плоскости.
2. Окрестность каждой точки римановой поверхности
представляет собой или однолистный круг, или многолистный круг с точкой
разветвления над этой точкой (т. е. часть римановой поверхности
корня m-Vi степени, расположенную над кругом с центром в точке
разветвления).
Те точки римановой поверхности, окрестностью которых является
многолистный круг, мы договорились называть точками
разветвления римановой поверхности. Если круг //г-листный, будем говорить
о точке разветвления порядка т.
Нам будет удобно пользоваться понятием локальной переменной,
отвечающей данной окрестности на римановой поверхности.
Локальной переменной, отвечающей окрестности конечной хочки
римановой поверхности, не являющейся точкой разветвления, будем
называть величину τ = ζ — 2Ό, где ζ — проекция точки окрестности^
а 2Ό—проекция центра этой окрестности. Если 2o = cxd, то будем
считать локальной переменной величину τ = —.
Локальной переменной, отвечающей окрестности точки разветвления
т/
порядка ту будем называть величину τ=γ ζ — Zq, где ζ —
проекция точки окрестности, г Zq — проекция точки разветвления. При 2Ό = со
1
в качестве локальной переменной берем величину τ:

540 ПРИНЦИП ДИРИХЛЕ [Гл. 8
Экстремальную задачу σ можно рассматривать и на произвольной
римановой поверхности @, если считать, что функция
особенностей σ(^) задается в какой-либо окрестности К на этой римановой
поверхности как функция локальной переменной, отвечающей этой
окрестности.
Легко проследить, что все наши рассуждения, относящиеся к
доказательству существования минимизирующей функции экстремальной
задачи σ, полностью сохраняют силу. (О задаче конформного
отображения римановой поверхности будем говорить особо.) Поэтому мы
можем высказать следующую теорему:
Теорема 1. Для произвольной римановой поверхности B и
для произвольной функции особенностей σ [ζ), заданной в данной
окрестности К на римановой поверхности B (и удовлетворяющей
условиям, наложенным на эту функцию в начале § 8 при постановке
экстремальной задачи σ), существует минимизирующая функция U{z)
экстремальной задачи σ. Эта функция единственна с точностью
до произвольного постоянного слагаемого,
В частности, из теоремы 1 вытекает следующая теорема, иногда
более удобная в употреблении:
Теорема 1*. Пусть © — произвольная риманова поверхность,
К—произвольная окрестность на ней, а а (ζ) — произвольная
функция, регулярная на границе этой окрестности. Всегда
существует функция и {ζ), обладающая свойствами:
1. Функция и (ζ) гармонична на всей римановой поверхности
@, за исключением тех точек окрестности К, в которых
функция σ {ζ) имеет особые точки. В этих точках функция и {ζ)
имеет те же особенности, что и функция Re σ {ζ), т. е.
функция и {ζ) — Re σ (ζ) гармонична в окрестности /С.
2. Интеграл Дирихле от функции и {ζ), взятый по всей
римановой поверхности @, за исключением окрестности К, конечен,
В качестве первого применения теоремы 1* докажем сейчас
следующий интересный факт:
Теорема 2. Для каждой римановой поверхности B
существует аналитическая функция f(z), риманова поверхность
которой совпадает с данной римановой поверхностью @.
Это утверждение означает, что мы не расширили класса
изучаемых объектов, перейдя от римановых поверхностей аналитических
функций к римановым плоскостям, склеенным из плоских областей.
Для доказательства теоремы мы должны построить функцию,
мероморфную на заданной римановой поверхности @ и имеющую
различные элементы в различных точках этой римановой поверхности.
Заметим, что последнее условие будет выполнено на всей
поверхности, если оно выполнено в окрестности каждой точки
разветвления.

§ 10] ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ НА РИМАНОВЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ 541
Обозначим точки разветвления данной римановой поверхности @
через Рр Р^, Р^, ... (из определения римановой поверхности видно,
цто точек разветвления счетное множество) и свяжем с каждой из
них окрестность Кзу содержаш.ую точку P^{s=\, 2, ...). Порядок
10ЧКИ разветвления Р^ обозначим через т^. В окрестности К^ зада-
щ rrig
ДИМ функцию особенностей a[z) = — , где '^s= к ^ — ^s —локаль-
пая переменная, отвечаюид.ая окрестности Ks (^ ^<? — проекция точки
р^). Без ограничения общности можем считать, что над бесконечно
удаленной точкой нет точек разветвления римановой поверхности B
(этого всегда можно достичь дробно-линейным преобразованием
комплексной плоскости).
Обозначим теперь через lis {^) Функцию, гармоническую на всей
римановой поверхности B, за исключением точки Р^, в которой она
имеет особенность Re —*^ (эта функция существует по теореме 1*).
функция . ,
однозначна на римановой поверхности © и регулярна в окрестности
каждой ее точки, не являюидейся точкой разветвления (в точках
разветвления, как мы сейчас увидим, эта функция может иметь полюсы).
Для исследования функции Д (ζ) в окрестности точек разветвления
заметим, что в окрестности каждой точки существует однозначная
(только в этой окрестности) функция Fs {z)y имеющая функцию и^ {ζ)
своей действительной частью. Ясно, что функция F^ {ζ) регулярна
в окрестности, о которой шла речь, если функция и^ {ζ) гармонична
в этой окрестности, а если функция и^ (ζ) имеет ту же особенность,
т
чго и функция Re—, то функция Ρ^{ζ) ИхМеет ту же особенность,
4J0 и функция m^i'^s' Ясно также, что в любом случае имеет место
равенство /^ {z):=Fs {ζ).
Если функция F (ζ) в точке разветвления Ρ порядка т имеет ту
же особенность, что и функция Α/τ, то в окрестности этой точки
для функции F (ζ) имеет место следующее разложение в ряд:
Р(г) = ^ + Л + Л^ + Л^'+ ...
ПО локальной переменной τ= у ζ — Zq. Отсюда находим, что
функция F' (ζ) имеет разложение
Из полученной формулы мы можем вывести следующие сведения
относительно функций /^ (ζ):
Функции fs {ζ) мероморфны на римановой поверхности B. Их
лолюсы расположены лишь в точках Р^- При этом функция /^ (ζ)

542 ПРИНЦИП ДИРИХЛЕ [Гл. »
имеет в точке Р/^ при k Φ s полюс порядка, не превосходящего
т^—1, а в точке Р^ — полюс порядка т^-\-^ с главным членом
1
S
Интересующую нас функцию / {ζ) построим в виде ряда
оо
f{z):=^cj,{z\ A>
где все числа с^, 5=1, 2,..., отличны от нуля, но стремятся к нулю
при 5->оо с достаточной быстротой. Скорость стремления к нулю
коэффициентов с^ установим следующим образом:
Обозначим через {0^} расширяющуюся последовательность
компактных областей, стремящихся изнутри к римановой поверхности B.
Через Qn обозначим область G^, из которой удалены точки,
принадлежащие окрестностям Ks точек Р^. Положим
Mr,, ^ = max 1 /, (г) |, Ж« = max Ж^^,.
Далее обозначим
{х,,, = тах|А(г)т'^^+^|
и положим
ж* == max 2 μ/?. 5>
k^n s
где сумма распространена на те значения 5, для которых точки Pg
лежат в области G^ (ввиду компактности областей G^ таких точек
конечное число).
Положим теперь
Ck--
{Mk + MtJf^
Легко видеть, что при таком выборе постоянных Ck ряд A)
равномерно сходится на любой компактной части римановой поверхности
©» из которой удалены окрестности Ks точек Р^. Кроме того, ряд
00
равномерно сходится в окрестности Kg точки р^. Отсюда немедленно
вытекает, что функция f(z) мероморфна на римановой поверхности @,
причем ее полюсы расположены лишь в точках разветвления Р^. В
точке Р^ функция f(z) имеет полюс порядка т^-\-1 с главным членом

^ 10] ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ НА РИМАНОВЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ 543
Рассматривая функцию /(^), мероморфную на римановой поверхности
C как аналитическую функцию на комплексной плоскости, получаем,
чго каждой точке Р^ отвечает точка ветвления аналитической
функции /(^), имеюихая порядок т^, так как разложение функции f(z)
в окрестности точки Р^ имеет вид
-±-1 .L_,
1
(напомним, что {ζ — Zg)^^ = ^s — локальная переменная, отвечающая
окрестности Kg точки Р^)· Теорема доказана.
Замечание. Мы доказали, что данная риманова поверхность B
является, вообще говоря, некоторой областью на римановой
поверхности аналитической функции f{z). Вся риманова поверхность
аналитической функции f(z) может содержать риманову поверхность B
как часть. Однако не составляет большого труда дополнить наше
построение таким образом, чтобы риманова поверхность
аналитической функции f(z) в точности совпадала с римановой поверхностью (В.
Для этой цели следовало бы написать последовательность точек Qg
римановой поверхности C (отличных от ее точек разветвления) таким
образом, чтобы множество предельных точек этой
последовательности совпадало с множеством граничных точек римановой поверхности
© (рассматриваемой как область на более широкой римановой
поверхности аналитической функции f(z)), построить функции gs(^),
имеющие в точках Qs полюсы, а затем построить функцию g{z) в виде
ряда
оо
g(z) = J]b,g,(z)
5=1
(с достаточно быстро стремящимися к нулю коэффициентами Ь^).
Тогда сумма функций f(z) и g{z) даст нам функцию, для которой
риманова поверхность в точности совпадает с римановой
поверхностью S.
Перейдем к вопросу о конформном отображении римановых
поверхностей.
Прежде всего отметим, что все рассуждения § 8 полностью
применимы и для случая, когда G — не область комплексной плоскости,
3 риманова поверхность, если только мы докажем, что эту риманову
поверхность можно аппроксимировать расширяющейся
последовательностью областей {ö„}, для которых справедлива теорема 3 § 5.
Таким образом, мы должны выяснить, при каких условиях
теорему 3 § 5 можно перенести на области О, расположенные на
римановой поверхности @ (по-прежнему предполагая эти области

544 ПРИНЦИП ДИРИХЛЕ [Гл. 8
компактными множествами, ограниченными конечным числом простых
кусочно-аналитических кривых).
Заметим, что в доказательстве теоремы 3 § 5 есть три места,
которые нуждаются в изменении при переходе к случаю, когда
область G является областью на римановой поверхности. Прежде чем
переходить к исследованию этих мест, несколько напомним схему
доказательства теоремы 3 § 5.
Выбираем некоторую точку а области G и содержащую ее окрест-
ность К. По теореме 1 существует минимизирующая функция ί7(ζ)
экстремальной задачи, отвечающей функции особенностей α(ζ)==:
= (или ο(ζ) = ~, если точка а не является конечной точкой.
отличной от точек разветвления). Обозначаем и (ζ) = U(ζ) ~\~ S(ζ). В
качестве отображающей функции берем функцию F (ζ\ для которой
функция и (ζ) является действительной частью.
Для исследования свойств функции F (ζ) строим ее производную
р, . V да . да
^ ^ дх ду '
Эта производная является однозначной функцией в области G и
функцию F (ζ) строим по ней с помощью контурного интеграла
ζ
F{z) = \ F (ζ) dz.
Первое различие состоит в том, что функция F^ (ζ) уже не
будет регулярной функцией в области Q с выколотой точкой а. В слу·
чае, когда область G является областью на римановой поверхности,
функция F'(ζ) имеет еще и полюсы в точках разветвления
римановой поверхности (см. доказательство теоремы 2). Это различие не
играет роли, так как однозначность функции F (ζ) в окрестности
каждой точки области G очевидна.
Как и для области плоскости, устанавливается, что функция
v{z) = \mF{z) сохраняет постоянное значение на каждой
компоненте границы области Q и что интеграл от функции F^ (ζ) (и от
f (ζ)
функции ρ ^ \ — ) по каждой компоненте границы области Q
равен нулю.
Для того чтобы доказать однозначность функции F {ζ) в области
G, нужно убедиться, что интеграл по любой замкнутой кривой,
лежащей в области G (и не проходящей через полюсы), от функций
F^ (ζ) равен нулю.
Не делая никаких дополнительных предположений относительно
области G, мы можем доказать только, что равны нулю интегралы
от функции F (ζ) по любой компоненте границы области G и по
границе любой окрестности /С, принадлежащей области G
(последнее — из однозначности функции F (ζ) в любой такой окрестности).

§ 10] ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ НА РИМАНОВЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ 545
Аналогичная трудность имеется и при доказательстве
однолистности функции F (ζ) в области Q. Действительно, доказательство
oдl·Юлиcτнocτи основано на том, что интеграл
F'iz)
dG
■dz
равен сумме вычетов подинтегральной функции в области G.
Таким образом, доказательство теоремы 3 § 5 удастся перенести
на области G, лежащие на римановой поверхности (g, если для
любых многосвязных областей этой римановой поверхности
справедлива теорема о вычетах. Нетрудно проверить, что это будет иметь
место, если риманова поверхность @ удовлетворяет следующему
простому геометрическому условию:
Каждая простая замкнутая кривая, лежащая на римановой
поверхности, должна разбивать ее на два множества,
Римановы поверхности, удовлетворяющие этому условию,
называются поверхностями, подобными однолистным.
Высказанные выше соображения позволяют утверждать
справедливость следующей теоремы:
Теорема 3. Любую риманову поверхность, подобную
однолистной, можно конформно отобразить на область
комплексной плоскости, каждая компонента которой является или
точкой, или отрезком, параллельным действительной оси.
Заметим, что любая односвязная риманова поверхность всегда
подобна однолистной. Поэтому важным частным случаем теоремы 3
является
Теорема 3*. Любую односвязную риманову поверхность
можно конформно отобразить на конечный или бесконечный круг.
Эту теорему, являющуюся обобщением теоремы Римана (см. § 1
гл. 6), Кебе назвал «общим принципом униформизации».
С помощью небольшого обобщения теоремы 2 § 4 гл. 6 можно
доказать и теорему об единственности отображения (правда, лишь
для компактных областей, так как воспользоваться замечанием к
этой теореме уже не удастся). Интересно отметить, что теорема об
единственности конформного отображения для произвольных
областей римановых поверхностей, как показал Кебе *), уже неверна.
В качестве приложения теоремы 2 докажем один результат:
Теорема 4. Компактная риманова поверхность, подобная
однолистной и имеющая конечное число листов, является
римановой поверхностью функции, обратной к рациональной функции.
*) См. статью Кебе, Über die Uniformisierung beliebiger analytischer
Kurven, i. Journ. f. d. reine u. angew. Math. 138 A910).
18 A, Гурвиц, P. Курант

546
ПРИНЦИП ДИРИХЛЕ
[Гл. 8
Действительно, по теореме 2 такая риманова поверхность
отображается на всю расширенную плоскость. Функция, обратная к
отображающей функции, должна быть поэтому регулярна во всей
расширенной плоскости, за исключением конечного числа полюсов. По теореме 1
§ 5 гл. 4 эта функция рациональна. Отсюда и вытекает наше
утверждение.
Рис. 99.
Из доказанной теоремы косвенным образом вытекает
существование областей на римановых поверхностях, отличных от областей,
подобных однолистным.
Действительно, любая
риманова поверхность
алгебраической функции (см.
§ 5 гл. 4) является
замкнутой конечнолистной ри-
мановой поверхностью.
С другой стороны, ясно,
что далеко не любая
алгебраическая функция является функцией, обратной к
рациональной. Следовательно, алгебраические функции, обратные к
которым не рациональны, имеют, согласно теореме 4, римановы
поверхности, не подобные однолистным. На таких поверхностях
должны быть замкнутые кривые, не разбивающие поверхность. Такие
кривые называются циклическими сечениями. Впрочем, в
существовании таких кривых можно убедиться и непосредственно. Например,
такой кривой на римановой поверхности аналитической функции
V{z^ — d^) {z^ — ^^) является кривая, обходящая разрез (— а, — Ь),
но не обходящая разрез {Ь, а) (рис. 99). В первом параграфе
следующей главы мы подробнее ознакомимся с природой циклических
сечений на алгебраических римановых поверхностях.

г л а в а девятая
МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ НА РИМАНОВЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ
Эту главу посвятим применению результатов последних
параграфов предыдуш,ей главы к изучению мероморфных функций на рима-
новых поверхностях. Этот подход даст нам возможность изложить
многие глубокие вопросы теории аналитических функций с единой
точки зрения. Изложим основные факты теории алгебраических
функций и абелевых интегралов, докажем некоторые теоремы из
теории автоморфных функций и теоремы об униформизации
аналитических функций.
В этой главе нам придется в большей степени, чем прежде,
сталкиваться с некоторыми элементарными фактами из топологии и
алгебры. О некоторых сведениях из топологии будет идти речь в
первом параграфе, другие будут входить по мере надобности.
§ 1. Топологические образы алгебраических римановых
поверхностей
Как мы уже говорили, в этой главе будем изучать функции,
мероморфные на римановых поверхностях. При этом нас будут особо
интересовать функции на римановых поверхностях, не подобных
однолистным. В связи с этим нужно ближе познакомиться со
строением таких поверхностей.
Среди всех римановых поверхностей наиболее простым
устройством обладают так называемые алгебраические римановы
поверхности, т. е. компактные римановы поверхности. Согласно
определению риманова поверхность называется компактной, если ее можно
покрыть конечным числом окрестностей. Отсюда немедленно вытекает,
что такая риманова поверхность должна иметь лишь конечное число
точек разветвления, а значит, и конечное число листов. Ясно также,
что из условия компактности вытекает отсутствие у римановой
поверхности краев. Поэтому алгебраическая риманова поверхность
может быть склеена из конечного числа экземпляров расширенной
комплексной плоскости, разрезанной по конечному числу лучей.
(Часто удобнее представлять себе расширенную комплексную
плоскость в виде сферы.)
18*

548
МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ НА РИМАНОВЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ
[Гл.9
Мы договорились считать две римановы поверхности
совпадающими (см. § 3 гл. 4), если они получены друг из друга
топологическим отображением, сохраняющим проекции точек. Дальнейшего
упрощения можно достичь, если рассмотреть любые топологические
образы римановой поверхности. Разумеется, при этом потеряются
некоторые свойства римановой поверхности, но многие важные
свойства сохранятся. В частности, очевидно, что при топологических
отображениях циклические сечения останутся циклическими сечениями
(напомним, что циклическим сечением называется замкнутая кривая,
лежащая на поверхности, но не разбивающая ее на две части).
В связи с тем, что нас будут занимать в основном римановы
поверхности, не подобные однолистным, вопрос о циклических сечениях
на римановых поверхностях будет нам особенно интересен.
Прежде чем переходить к описанию общего процесса преобразо
вания произвольной алгебраической римановой поверхности к простей*
шему виду, рассмотрим два примера такого преобразования.
В качестве первого примера рассмотрим риманову поверхность
аналитической функции
W-
: ]/(^2 _ ß2) (^2 _ Ь% О < α < ^.
Легко видеть, что эта функция двузначна, т. е. ее риманова
поверхность состоит из двух листов. Легко проверить также, что эта функ*
ция становится однозначной после проведения в плоскости ζ разрезов
(— сх), — Ь), (by -|- со) и (— йу а). Действительно, по теореме о моно-
дромии функция yz'^ — b'^ однозначна в плоскости с разрезами;
(— со, — Ь) и (by -\- со), а функция }/ z^ — ά^ однозначна- в
плоскости с разрезом (— а, а). Поэтому риманова поверхность функции
Рис. 100.
Рис. 101.
У^(г'^ — а^) {ζ'^ — b^) склеивается из двух экземпляров сферы с
разрезами (—а, а), (—оо, —Ь) и (by -j-oo) (последние два разреза
представляют собой на сфере один разрез). Разрезы, которые нужно
склеить между собой, помечены на рис. 100 одинаковыми буквами.
Непрерывно деформируя сферы, мы можем превратить прорези на
сферах в круглые дыры (рис. 101), а затем превратить одну из сфер

^1]
ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ОБРАЗЫ
549
в изогнутый цилиндр. Совершая склеивание, получаем фигуру,
изображенную на рис. 102.
Эту фигуру мы могли бы при желании непрерывно деформировать
в тор.
Рис. 102.
В качестве второго примера рассмотрим риманову поверхность
аналитической функции
W
= Υ(Ζ^ _ β2) (^2 _ ^2) (^2 _ ^2)^ О < α < ^ < С.
Рис. 103.
Те же соображения, что и в первом примере, позволяют нам
убедиться, что эта риманова поверхность может быть склеена из двух
экземпляров сферы с тремя разрезами
(—Су —Ь), (~а, а)у (by с).
Непрерывной деформацией превращаем прорези на
сферах в круглые дыры, а затем превращаем одну
из сфер в подобие тройника водопроводной трубы.
Склеивая их между собой, получаем фигуру,
изображенную на рис. 103. Эта фигура получена из
фигуры рис. 102 добавлением второй ручки,
соединяющей тело сферы с первой ручкой. Непрерывной
деформацией можем переместить место присоединения второй ручки
на тело сферы. Тогда получим фигуру, изображенную на рис. 104,
Покажем ниже, что любая алгебраическая риманова поверхность
топологически эквивалентна сфере с некоторым числом ручек.
Число ручек является важной топологической характеристикой
алгебраической римановой поверхности. Это число называется родом (или
жанром) римановой поверхности.
Прежде чем переходить к доказательству сформулированного
утверждения, выясним некоторые свойства сферы с g ручками, как
топологического объекта.
Заметим прежде всего, что все сферы с одинаковым числом
ручек топологически эквивалентны между собой. Этот факт можно
строго доказать, но он достаточно очевиден из наглядных
геометрических соображений, так как место прикрепления ручки к поверхности

550
МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ НА РИМАНОВЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ
1Гл. 9·
МОЖНО непрерывной деформацией перевести в любое место
поверхности (в частности, на любую другую ручку).
Будем представлять себе сферу с ручками в наиболее просто»*
виде, когда все ручки прикрепляются обоими концами к телу сферы
и расположены достаточно далеко друг от друга (переплетение ручек
между собой в пространстве не имеет значения, но и от него легко
освободиться, передвигая место прикрепления ручек к сфере).
На сфере с g ручками легко найти lg попарно не гомотопных
(т. е. не получающихся одно из другого непрерывной деформацией
в пределах нашей поверхности) циклических сечений. Именно имеем g
сечений, идущих поперек каждой ручки, и g сечений, идущих вдоль
каждой ручки (рис. 104).
Рис. 104.
Геометрически очевидно, что перерезав каждую из g ручек
поперек, мы получим сферу с 2^ дырками. Столь же очевидно и
обратное утверждение: если склеить между собой края дырок на
сфере с 2g дырками, получим сферу с g ручками.
Эти два утверждения сформулируем сейчас в несколько более
четком виде:
Лемма 1. Пусть мы имеем сферу с 2g дырками
Ti' Ti' Тз' Т2*> · · · ί V ^s
(под 7/г и γ^ мы понимаем кривые, ограничивающие эти дырки).
Установим топологическое соответствие между точками
кривых ^k ^^ I'k II отождествим между собой точки,
соответствующие друг другу. Тогда сфера с 2g дырками, дополненная точками
граничных кривых γ^, и γ^ (^=1, 2, ..., g), топологически
эквивалентна сфере с g ручками, если только выполнено условие:
а) При каждом k==\y 2, ..., g топологическое соответствие
между кривой γ/^ и γ^ устанавливает противоположную
ориентацию этих кривых относительно поверхности сферы.
Условие а) совершенно необходимо для того, чтобы после
склеивания дырок получить ориентируемую (т. е. двухстороннюю) поверх-

§ 1] ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ОБРАЗЫ 551
ность. Сформулированную лемму также можно доказать с полной
строгостью, но на уровне тех геометрически наглядных соображений,
которыми мы пользуемся, ее следует считать очевидной.
Введем сейчас важное для дальнейшего понятие полного
рассечения сферы с g ручками.
Будем говорить, что система циклических сечений
Γι, Г^, ..., Г^^ A)
дает полное рассечение сферы с g ручками, если циклические
сечения F/ij удовлетворяют условиям:
1. Все сечения системы A) проходят через одну и ту же точку,
но не имеют других общих точек (ни для одной пары сечений).
2. После проведения разрезов по всем сечениям системы A) наша
сфера с ручками превращ.ается в односвязную область.
Покажем сейчас (на обычном геометрически наглядном уровне),
что для сферы с g ручками можно построить полное рассечение.
С этой целью сначала проведем циклические сечения Qj, Q^, ...
..., Qg, идущ.ие поперек каждой из ручек. Затем возьмем на сфере
с ручками некоторую точку Р^, а также по одной точке Р^ на
каждом из сечений ^. Далее, через точки Р^ и Р,^ проведем
циклическое сечение Q'k (оно идет вдоль соответствуюш.ей ручки). При этом
сечения Q'u выбираем таким образом, чтобы они не имели попарно
общих точек, за исключением точки Р^ (возможность этого
геометрически очевидна, так как мы можем выделить каждой ручке свою
дольку сферы и проводить все линии, относящиеся к этой ручке
в ее дольке). Наконец, сечение Q^ будем непрерывно деформировать,
передвигая точку Р^ по сечению Qk до совпадения с точкой Pq.
Поскольку при непрерывной деформации сечение остается
циклическим, получавшаяся в результате система сечений
Γι = Q\y Г2 = Q2» · · ·' ^g^^^^ Qg' Tg-^i = Q\y ..., T<ig = Qg
удовлетворяет условию 1. С другой стороны, проводя разрезы по
циклическим сечениям Qp Q^y ..., Qg, получаем сферу с 2g дырками.
После проведения этих разрезов каждое сечение Qk распадается
на две части, каждая из которых соединяет точку Pq с одной из
двух дырок, возникших от разреза по сечению Q^. Поэтому после
проведения разрезов по сечениям Qp Q^y ..., Qg получаем сферу
с 2g дырками, каждая из которых соединена с точкой Pq половиной
сечения Q^. Следовательно, проведя еще и разрезы по сечениям
Qv % · · · > Qgy получим из нашей сферы с g ручками сферу с одной
дыркой, т. е. односвязную область. Проведенное рассуждение
справедливо при любом положении точек Р^ на сечениях Q^, и потому
^го результат остается в силе, когда эти точки сливаются с точкой Р^.
Таким образом, условие 2 для нашей системы циклических сечений

552 МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ НА РИМАНОВЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ [Гл.
также удовлетворено, и существование полного рассечения сферы
с g ручками доказано.
Каждый разрез нашей сферы с ручками по циклическому
сечению Г^ имеет две стороны Г^ и Г^. Поэтому после проведения на
нашей сфере с g ручками всех 2g разрезов по сечениям системы A)
получаем односвязную область О*, ограниченную 4^ кривыми
1 J > i 2 > · · · > -ί 2g* -·- 1 > -^ 2 > · · · > ^ 4g'
Эта область топологически эквивалентна 4^-угольнику. Стороны
этого 4^-угольника разбиваются на пары
τι η {k = h 2, ..., 2^),
причем между стороной Г^ и стороной Г^ имеется топологическое
соответствие — соответствующ.ие точки отвечают одной точке нашей
сферы с ручками. Склеивание соответствуюш.их точек сторон 4^-уголь-
ника дает нам обратно сферу с g ручками.
Докажем сейчас и значительно более важное утверждение, до
некоторой степени обратное к сделанному выше:
Лемма 2. Пусть дан 2п-угольник со сторонами
Τι > Τι > Т2 > Т2 j · · · > Тл> Тл»
и пусть для каждой пары сторон γί и γ^ установлено
топологическое соответствие между точками этих сторон,
удовлетворяющее условиям:
а) Для каждого k=\y 2, ..., η ориентация сторон γ^ и γϊ
по отношению к внутренности многоугольника (устанавливаемая
топологическим соответствием между ними) противоположна.
б) В вершинах нашего многоугольника топологические
соответствия примыкающих к этим вершинам сторон согласованы,
Тогда наш 2п-угольниКу к которому присоединены точки его
сторон, причем соответствующие точки сторон '\% и γ^ отоЖ"
дествлены, топологически эквивалентен сфере с g ручками, где
число g удовлетворяет неравенству g^-^.
Покажем, что наш 2/2-угольник со склеенными сторонами
топологически эквивалентен сфере с 2^ дырками (которые также
склеиваются парами), и применим лемму 1. С этой целью проведем следу-
ЮШ.ИЙ процесс.
Сначала склеим какую-либо пару сторон, скажем ^^ и γ]". В силу
условия а) получим ориентированную поверхность. Она будет сферой
с одной или двумя дырками, и каждая дырка будет ограничена
сторонами нашего многоугольника. Дальше склеим еш.е одну пару
соответствуюишх сторон, лежаш.их в одной дырке, и будем продолжать
такие склеивания до тех пор, пока не окажется, что ни в одной дырке
нет пары соответствуюш.их сторон. Тогда начнем склеивать пары

^ 1] ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ОБРАЗЫ 553
сторон, лежащие в разных дырках (но дырки, ограниченные только
одной стороной, мы не трогаем). При склеивании пары сторон,
лежащих в разных дырках, на сфере с дырками образуется одна
ручка, а число дырок уменьшается на единицу (за счет слияния двух
дырок в одну). Тогда разрежем образовавшуюся ручку поперек
(она была склеена вдоль). Эту операцию будем проделывать до тех
пор, пока не окажется, что каждая из дырок ограничена лишь одной
из сторон нашего многоугольника (или возникла от дополнительных
разрезов). Поскольку все наши действия сохраняют топологическую
эквивалентность (границы возникающих новых разрезов, разумеется,
отождествляются), мы показали, что наш многоугольник топологически
эквивалентен сфере с некоторым числом отождествленных дырок,
а следовательно, и сфере с некоторым числом ручек. Остается
оценить число ручек. Для этого достаточно заметить, что при склеивании
одной пары сторон число дырок в сфере увеличивается не больше
чем на единицу. Поэтому число дырок не превосходит /ί, а число
ручек — -у.
Опираясь на лемму 2, докажем теперь сформулированную выше
теорему.
Теорема 1. Любая алгебраическая риманова поверхность
топологически эквивалентна сфере с некоторым числом ручек.
В силу леммы 1 достаточно показать, что любая алгебраическая
риманова поверхность топологически эквивалентна многоугольнику
с отождествленными сторонами (с соблюдением условий а) и б)).
Для этой цели выделим точки aj, Ö2, ..., α^, над которыми наша
риманова поверхность имеет точки разветвления, и проведем из этих
точек попарно непересекающиеся лучи (по одному лучу из каждой
точки). Комплексную плоскость, из которой удалены эти лучи,
обозначим через В. Область В односвязна, и потому (см. § 4 гл. 4)
часть римановой поверхности, лежащая над областью В, распадается
на т экземпляров области В. Вся риманова поверхность получается
склеиванием этих т экземпляров по разрезам, составляющим границу
области В. При этом склеивании каждому краю каждого разреза
каждого из т экземпляров области В ставится в соответствие ровно
ОДИН' край некоторого разреза одного из экземпляров, именно тот
самый, с которым выбранный край соединялся до разрезания
римановой поверхности. Поскольку на римановой поверхности каждая точка
разреза имеет своей окрестностью однолистный круг, топологическое
соответствие точек склеиваемых разрезов заведомо удовлетворяет
условию а). В силу отсутствия у алгебраической римановой
поверхности граничных точек условие б) выполняется автоматически.
Область В топологически эквивалентна внутренности некоторого
многоугольника. Его сторонами являются края разрезов. Поэтому
вся наша риманова поверхность топологически эквивалентна т много-

554 МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ НА РИМАНОВЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ [Гл. 9
угольникам, у которых вся совокупность их сторон разбита на
отождествленные пары. Эти многоугольники после склеивания всех
отождествленных сторон соединяются в связное множество (мы знаем,
что риманова поверхность по построению является связным
множеством). Поэтому мы всегда можем занумеровать наши многоугольники
так, чтобы у ^-го и у (;^-4-1)-го многоугольника при любом
k=\, 2, ..., т—1 существовала хотя бы одна общая сторона.
Приклеивая по имеющейся общей стороне первый многоугольник
ко второму, второй к третьему и т. д., мы видим, что риманова
поверхность топологически эквивалентна одному многоугольнику, сово·
купность сторон которого разбита на отождествленные пары. Тем
самым теорема доказана.
Отсюда немедленно вытекает
Теорема 2. На любой алгебраической римановой поверхности
рода g существует система циклических сечений
Qb Qb · - -у Qigy B)
дающая полное рассечение этой римановой поверхности.
Замечание. Среди всех возможных систем B), дающих полное
рассечение римановой поверхности, можно выбрать такую систему,,
которая помимо условий 1 и 2 удовлетворяет еще и условию
3. Любому данному циклическому сечению Q^ системы B)
отвечает ровно одно циклическое сечение Q's> также входящее в систему
B), которое пересекает сечение Q^ в точке Р^, общей для всех
сечений этой системы (остальные сечения системы B) лишь
прикасаются в этой точке к сечению Q^, не переходя с одной его стороны
на другую).
Действительно, для сферы с g ручками такая система
циклических сечений существует. Именно ее мы построили для
доказательства существования полного рассечения сферы с ручками.
Полное рассечение римановой поверхности, удовлетворяющее
условию 3, будем называть каноническим рассечением этой
римановой поверхности.
Сечения Q^ и Q^, упоминающиеся в условии 3, называются
сопряженными циклическими сечениями.
Для канонического рассечения римановой поверхности будем
использовать специальные обозначения: систему циклических сечений,
дающих каноническое рассечение римановой поверхности, будем
записывать в виде
y4i, А^у ..., Agy Вху В<^, ..., Bg.
где сечения Л^ и В^ являются сопряженными циклическими сечениями.
Пусть дана риманова поверхность о. После проведения
канонического рассечения эта риманова поверхность превращается в одно-

§ 2] АБЕЛЕВЫ ИНТЕГРАЛЫ 555
связную область G*. Граница этой области состоит из краев разрезов
по циклическим сечениям Ag и В^. Каждый разрез имеет два края,
которые мы будем обозначать через At и Aj (соответственно, Bt
и Bs)' Область G* топологически эквивалентна 4^-угольнику, сторонам
которого отвечают края разрезов
Aiy А^у ...) Agy Ац ..., Agy о 1, ·.·> Вgy />j, ..., Вg.
Нетрудно убедиться, что эти стороны следуют друг за другом в
следующем порядке (при подходящем выборе нумерации):
Aγy /> 1, inj» Oj) Ai^y О2, Ai^y ^2' ··♦> Agy ^^g} Agy ijg·
Произвол в выборе канонического рассечения римановой
поверхности довольно велик. В частности, какова бы ни была односвязная
область К на римановой поверхности, всегда можно выбрать
каноническое рассечение таким образом, чтобы область G* содержала
область К-
§ 2. Абелевы интегралы
Одним из крупных достижений, полученных в результате
развития идей Римана, является решение вопроса о структуре множества
алгебраических функций, однозначных на данной алгебраической
римановой поверхности. Об этом вопросе и будем говорить в
ближайших двух параграфах. Оказывается, что структура множества самих
алгебраических функций значительно сложнее, чем структура
множества неопределенных интегралов от этих функций. Поэтому изучим
сначала эти неопределенные интегралы, называемые обычно абелевыми
интегралами по имени норвежского математика Абеля, обратившего
внимание на важность изучения этих интегралов для теории
алгебраических функций и занявшегося систематическим их исследованием.
Поскольку мы начинаем не с понятия алгебраической функции,
а с понятия абелева интеграла, нам естественно определить абелев
интеграл независимо от понятия алгебраической функции.
С этой целью заметим, что на римановой поверхности, как и на
комплексной плоскости, можно рассматривать не только однозначные,
но и многозначные аналитические функции.
Абелевым интегралом на алгебраической римановой
поверхности G будем называть произвольную многозначную аналитическую
функцию j {ζ) на этой поверхности, обладающую свойствами:
1. Значения любых двух элементов функции j {ζ) в одной и той
же точке римановой поверхности G отличаются лишь постоянным
слагаемым.
2. В окрестности каждой точки римановой поверхности G функ-
Дия у (г) или мероморфна, или может быть представлена в виде
у (^) = ^ In (г —а) 4-/(г),

556 МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ НА РИМАНОВЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ [Гл. 9
где функция f(z) мероморфна в этой окрестности, а с — постоянная.
Из этого определения сразу же вытекает следующее очевидное
утверждение:
Для того чтобы многозначная аналитическая функция j (ζ}
на алгебраической римановой поверхности G была абелевым
интегралом, необходимо и достаточно, чтобы ее производная / (ζ)
была функцией, мероморфной на этой римановой поверхности.
Поскольку функция, мероморфная на алгебраической римановой
поверхности, является алгебраической функцией, мы связали наше
определение с определением, о котором говорили в начале параграфа.
Абелевы интегралы принято делить на три рода по характеру их
особых точек:
Абелевым интегралом первого рода называется абелев интеграл^
не имеющий особых точек на всей римановой поверхности G.
Абелевым интегралом второго рода называется абелев интеграл^
имеющий на римановой поверхности G только полюсы.
Абелевым интегралом третьего рода называется абелев
интеграл, имеющий на римановой поверхности G и логарифмические
особые точки.
Нас будет интересовать характер многозначности абелевых
интегралов на римановой поверхности G. Чтобы характеризовать эту
многозначность, естественно ввести в рассмотрение величину
v^xj{z) = \d}{z\
η ·1
где С—произвольная замкнутая кривая на римановой поверхности О,
не проходящая через особые точки абелева интеграла j{z\ Эту
величину будем называть изменением абелева интеграла j {ζ) по
замкнутой кривой С.
Легко видеть, что величина vary (г) равна разности между значе-
с
нием исходного элемента абелева интеграла j (ζ) в какой-либо точке
кривой С и значением элемента, полученного из исходного
аналитическим продолжением по кривой С.
Из определения абелева интеграла видно, что vary(г) не зависит
с
от выбора исходного элемента абелева интеграла J (ζ) в точке
кривой С.
Из определения абелева интеграла видно также, что абелев
интеграл является однозначной функцией точки римановой поверхности
в каждой окрестности, не содержащей его логарифмических особых
точек. Поэтому величина vary (г) не меняется при непрерывной де-
с
формации кривой С в пределах каждой такой окрестности. Тем
самым мы доказали, что имеет место

§ 2j АБЕЛЕВЫ ИНТЕГРАЛЫ 557
Свойство 1. Изменение абелева интеграла по замкнутой
кривой не меняется при непрерывной деформации этой кривой,
если только кривая не переходит через логарифмические особые
точки абелева интеграла.
Пусть теперь имеем абелев интеграл j {ζ) с логарифмическими
особыми точками αϊ, α.2,..., α^, в окрестности которых для него
имеет место разложение
j{z) = Ck\nzk {k=\, 2,..., г),
где т/^ — локальная переменная, отвечающая окрестности точки а^
(см. § 3 гл. 4 и § 10 гл. 8). Величину с^ будем называть вычетом
абелева интеграла j (ζ) в логарифмической особой точке aj^.
Проведем на римановой поверхности G циклические сечения
Л1,..., Л^, i?i,..., Bg, A)
образующие каноническое рассечение этой римановой поверхности.
Можем считать, что это каноническое рассечение выбрано таким
образом, чтобы сечения A) не проходили через логарифмические
особые точки абелева интеграла ] {ζ). Обозначим
As = v^x]{z) E=1, 2,..., g\
B, = v^rj(z) {s=\, 2,..., g).
Свойство 2. Изменение абелева интеграла j {ζ) no любой
замкнутой кривой С, не проходящей через его особые точки,
равно
g г
5=-1 fe=l
где mi, т^,..., //г^^ и т\, т\,..., т'г — целые числа, определяемые
по кривой С.
Для доказательства этого свойства заметим, что величина
vary (г)
с
является аддитивной функцией замкнутых кривых С, т. е. если
замкнутая кривая С составлена из двух последовательно проходимых
кривых Ci и Сз, то
vary {ζ) = vary (ζ) -j- vary (ζ),
с Cj С2
Кроме того, свойство 1 означает, что
vary (г) = vary (г),
с с

558 МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ НА РИМАНОВЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ [Гл. 9
если кривые С и С гомотопны на римановой поверхности G с
выколотыми точками Up 02'··.» ^г С другой стороны, легко
доказывается, что любая замкнутая кривая, лежащая на римановой
поверхности G и не проходяихая через точки aj, а^,...у а^, может быть
представлена в виде суммы простых замкнутых кривых, каждая из
которых гомотопна одной из следующих кривых:
1) одно из циклических сечений системы A);
2) окружность сколь угодно малого радиуса с центром в
точке а^
(или может быть стянута в точку, отличную от точек а^,..., аД
Отсюда немедленно вытекает свойство 2.
Числа Ak и Bk будем называть циклическими периодами абелева
интеграла J(z)y а числа 2т:1с^ — его полярными периодами. Кроме
того, циклические периоды А^ будем называть иногда А-периодами
абелева интеграла ]{ζ\ а циклические периоды В^ соответственно
В-периодами.
Полярные периоды имеются лишь у абелевых интегралов
третьего рода, абелевы интегралы первого и второго рода обладают лишь
циклическими периодами.
Между периодами абелева интеграла существуют важные
зависимости.
Теорема 1. Сумма всех полярных периодов абелева
интеграла равна нулю.
Для доказательства произведем каноническое рассечение
римановой поверхности G и рассмотрим изменение абелева интеграла j {ζ)
по всей границе односвязной области G*, получающейся в
результате этого рассечения. С одной стороны,
vary (г) = О,
так как
g S
vary (г) = 2 (vary(^) —vary (^)) + 2 ^'^^'/ί^) —vary (г)),
ÖG* k=\ At Ak k=l В% Bl
а
vary {ζ) = vary (г), vary {ζ) = vary (г)
At Äk st Bk
(ибо кривые At и Л^, соответственно Bt и Bky совпадают друг с
другом). С другой стороны, на римановой поверхности О с
выколотыми точками ßj, «2» · · · > ^г граница односвязной области G*
гомотопна сумме окружностей достаточно малого радиуса с центрами в
Ίочках а^у а^,...у а^. Поэтому
г г
vary(^) = 2, vary(^) = 2π/2ί^^.

§ 2] АБЕЛЕВЫ ИНТЕГРАЛЫ 559
Следовательно,
2^/^ = 0,
и теорема доказана.
Циклические периоды абелевых интегралов мы определили пока
с точностью до знгка. Для следующих теорем нам понадобится
исключить эту неопределенность. С этой целью фиксируем
произвольным образом направление циклических сечений Λι,..., Ag.
Направление края At возьмем совпадающим с направлением самого сечения
Ak и положительным относительно области G*. Тогда направление края
A'k будет совпадать с направлением сечения Лд., но будет
отрицательным относительно области G*. Циклическое сечение Bk сопряжено с
циклическим сечением Л^, т. е. оно является единственным сечением
нашей системы, пересекающим сечение Л^. Направление сечения В^
возьмем таким, чтобы оно шло от края Аи к краю At- Направление
краев Bk и Вй определим так же, как и для сечений А^-
Легко проверить, что при таком выборе направлений циклических
сечений справедливо утверждение:
Лемма 1. Абелев интеграл j (ζ) первого или второго рода пред-
ставляет собой однозначную функцию в области G*, полученной
каноническим рассечением римановой поверхности Q. При этом
для однозначной в области G* ветви абелева интеграла j (ζ)
справедливы формулы
(разности берутся в соответствующих точках краев разреза).
Действительно, однозначность абелева интеграла J(ζ) следует из
односвязности области G* и из свойства 1 абелевых интегралов:
любую замкнутую кривую С, лежащую в области G*, можно стянуть
в точку (в силу односвязности области G*), и потому var j (ζ) =0
с
(в силу свойства 1).
Далее, разность
не зависит от выбора точки на разрезе Ak (в силу свойства 1).
Поэтому мы можем взять точку, общую всем сечениям А^ и Bk-
Тогда
/ (^) Iлt ~" J (^) IД7 = ^^^-/ (^) = ^^·
/г k в^
Совершенно аналогично доказывается и второе равенство.

560 МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ НА РИМАНОВЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ [Гл. 9
Интегралы третьего рода не будут однозначными функциями в
области G'-^, так как они имеют логарифмические особые точки.
Для выделения однозначной ветви в области G* абелева интеграла
третьего рода необходимо провести еще и разрезы, соединяющие эти
логарифмические особые точки между собой. Договоримся проводить
эти разрезы следуюид.им образом.
Пусть у (ζ) — абелев интеграл третьего рода, и пусть
«1, ао,..., üfi
— все его логарифмические особые точки с вычетами С1,..,уС^_1
соответственно (без ограничения общности мы всегда можем считать
их внутренними точками области G*). Обозначим через γχ, γ2»···>γ^_ι
простые попарно непересекающиеся кривые, идущие из точек αϊ, а^,.,,
..., α;^_ι, соответственно, в точку а^ (и лежащие в области G*).
Сторону кривой γ^, расположенную справа, мы обозначим γ^, а
сторону, расположенную слева, — γ7·
В этих обозначениях имеет место
Лемма 2. Абелев интеграл j'(z) третьего рода является
однозначной функцией в области G* с разрезами по кривым γι,..., γ^_ι.
При этом справедливы формулы
/(^I^+-У'(^) Ιγ- = 2π/ί:^, 5=1, 2,..., k — \.
Сначала докажем однозначность абелева интеграла j\z). Для
этого мы должны показать, что изменение абелева интеграла j{z) по
любой простой замкнутой кривой С , лежащей в области G* и не
пересекающей кривых γ^, равно нулю. Имеются два различных типа
таких замкнутых кривых. Кривые первого типа можно стянуть в
точку, кривые второго типа содержат внутри себя все кривые γ^.
Изменение абелева интеграла по кривым первого типа равно нулю
согласно свойству 1. Изменение абелева интеграла по любой кривой
второго типа равно изменению этого абелева интеграла по всей
границе сбласти G*. Последнее изменение мы вычисляли при
доказательстве теоремы 1 и убедились, что оно равно нулю. Таким образом,
изменение абелева интеграла j{z) по любой простой замкнутой
кривой, лежащей в области G* с разрезами по кривым γ^, равно нулю,
и однозначность нашего абелева интеграла в этой области доказана.
Теперь остается доказать лишь последнюю из трех формул,
приведенных в утверждении леммы, так как первые две формулы
доказываются точно так же, как и в лемме 1. С этой целью заметим, что
/(^)Ιν+—7(^I.- = vary (г),
\р 1р г

^ 2] АБЕЛЕВЫ ИНТЕГРАЛЫ 561
где г — произвольная простая замкнутая кривая, лежащая в области
О'-'' с разрезами по всем кривым γ^, кроме γ^, и пересекаюи;ая
кривую 7р ровно один раз в направлении справа налево. Можем считать,
что область, ограниченная кривой Г (в области G*), содержит точку
а . Согласно свойству 1 величина var j(z) не зависит от выбора
такой кривой Г, так что мы можем считать кривую Г лежащей в
сколь угодно малой окрестности точки а^. Переходя к локальной
переменной, отвечающей этой окрестности, и используя представление
справедливое для интеграла j (ζ) в окрестности точки а^, мы
приходим к интересующей нас формуле. Лемма доказана.
Лемма 3. Пусть j (ζ) и ]\{ζ) — однозначные ветви абелевых
интегралов в области G* (с соответствующими разрезами). Тогда
имеет место равенство
g
\ ji (^) dj {ζ) = 2 ^kBk — A'uBu.
гЬе Ak и Bk — циклические периоды абелева интеграла ]{ζ), а A'k
и B'k — циклические периоды абелева интеграла j\ (ζ).
Граница области G* состоит из краев разрезов At и Β^>
проходимых в положительном направлении относительно области G*, и из
краев Ak и В];, проходимых в отрицательном направлении
относительно этой области. Поэтому
\ л (г) dj (г) = 2 S /1 (^) ^J (^) - Σ \ Л (^) dJ (^) +
да* ft=i д+ k=i л-
g g
+ Σ \λ(^)ά;{2)-Σ SJdz)djiz).
Учитывая равенства
/i(^)Ut-yi(^)U7 = ^^>
/^=1 в-.
имеющие место согласно лемме 2, а также равенства
5 dJ(z) = A,. \dj{z) = B,.
А~ В^
k k
имеющие место согласно определению циклических периодов Ak и
В^у приходим к утверждению леммы.

562 МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ НА РИМАНОВЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ [Гл. 9
Замечание. Те же самые рассуждения приведут нас, очевидно^
и к формуле
g
\ J\ (^) dj {ζ) = 2 AkBk - AkBk.
dG* k=\
Вычисление интеграла, фигурирующего в лемме 3, другим
способом дает соотношения между циклическими периодами абелевых
интегралов. Одним из наиболее простых и изящных соотношений
является билинейное соотношение Римана для периодов абелевых
интегралов первого рода:
Теорема 2. Пусть j{ζ) и j\(ζ) — абелевы интегралы первого
рода с циклическими периодами А^у Лз,..., Л^, Βχ, ^2,..., Bg и Α[^
Ally...у A'gy В[у В^,...у B'g соответственно (построенными по
одному и тому же каноническому рассечению римановой поверхности Q\
Тогда имеет место соотношение
g
'^AkBk — AiBk = 0. B)
k=\
Для доказательства заметим, что выражение j\ (ζ) d] {ζ) является
дифференциалом регулярной функции, если рассматривать это
выражение в локальных переменных, отвечающих окрестности любой точг
ки римановой поверхности. Поэтому интеграл от этого выражения не
меняется при непрерывной деформации пути интегрирования в
окрестности любой точки. Отсюда следует, что интеграл
\
]\{ζ) dj{z)
с
по любой замкнутой кривой, стягиваемой в точку, равен нулю. В
частности, интеграл от выражения 7*1B') dJ (ζ) по границе односвязной
области G* равен нулю. Отсюда и из леммы 3 немедленно получаем
наше утверждение.
Теорема 3. Пусть J (ζ) — абелев интеграл первого рода. Тогда
имеет место соотношение
Σ i^kBu - ÄkBk) == и (G*), C)
где 7(G*) — площадь образа области G* при конформном отобра-
жении w=^j{z).
Для доказательства рассмотрим интеграл
u(B)=\mdj(z)y
с
где С—простая кривая, ограничивающая односвязную область В на
римановой поверхности G (и ее направление относительно этой
области положительно). Сначала вычислим этот интеграл для случая^

5 2] АБЕЛЕВЫ ИНТЕГРАЛЫ 563
когда односвязная область В достаточно мала, а функция w=j(z)
конформно отображает эту область на однолистную область i5*.
Сделаем замену переменного w=j{z)vi обозначим w = u -\-iv. Тогда
получим
и (В) = ^ (м — iv) (da -{- i dv).
дВ*
Но
(it — iv) (du -]- ί dv) = -jd (ti^ -\- v'^) -\-i(udv — ν du).
Интеграл от полного дифференциала-т^ ί/(w^-|-1^^) по замкнутой
кривой öi5* равен нулю, а интеграл
\ iidv — V du
дВ*
равен, как известно из анализа, плоидади области i5*. Следовательно,
интеграл
J(B)= \ udv — vdu D)
дВ*
равен площади образа области В при отображении w=j(z).
Поскольку интеграл D) является, как нетрудно видеть, аддитивной
функцией области, последнее утверждение справедливо и для любой
односвязной области В на римановой поверхности (образ области В
мы должны рассматривать на римановой поверхности функции,
обратной к функции У (-г)). Теорема доказана.
Отметим два важных следствия из теоремы 3.
Следствие 1. Если абелев интеграл ](ζ) первого рода имеет
все А-периоды (или все ^-периоды) равными нулю, то он
тождественно равен постоянной.
Действительно, из равенства C) в этом случае вытекает, что пло-
и1адь образа области G* при отображении w:=^j(z) равна нулю, что
возможно лишь в случае, когда у B')^ const.
Следствие 2. Если абелев интеграл J (ζ) первого рода имеет
все циклические периоды чисто действительными (или чисто
мнимыми), то /B-)^ const.
В этом случае из равенства C) тоже вытекает, что площадь
образа области G* при отображении w=j(z) равна нулю.
В заключение приведем еще обобщение билинейного соотношения
Римана на случай, когда абелев интеграл j (ζ) не является абелевым
интегралом первого рода.
Относительно абелева интеграла ji (ζ) мы по-прежнему
предположим, что он является абелевым интегралом первого рода с
циклическими периодами А[, Л'^^,..., Agy В[у В!^,..., Bg, вычисленными
относительно данного канонического рассечения римановой поверхпо-

564 МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ НА РИМАНОВЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ [Гл.
сти G. Абелев интеграл j (ζ) предположим абелевым интегралоц
третьего рода, имеюш.им логарифмические особые точки а^ а^у,,,
,. у а^ с вычетами Ср с^у..., с^ соответственно. Через Αγ^.., ,Л^, ^i,...
..., Bg обозначим циклические периоды абелева интеграла j (ζ) (вычи·
сленные относительно того же канонического разбиения).
Теорема 4. При сделанных выше предположениях имеет ме*
сто равенство
g т
2 A,Bk - AkBk = 2π/ 2 Csji {as).
где под ]\{a^ понимаются значения в точках а^ одной и той
же ветви абелева интеграла /Ί (-г) в области G*.
В силу леммы 3 наша задача сводится к вычислению интеграла
\ ]ι (^) dj {ζ).
dG*
При наших предположениях выраже1ше yiB')ö?/B'), как функция
локальной переменной, является дифференциалом регулярной функций
в окрестности каждой точки римановой поверхности, за исключением
точек «1, «2,..., а^л- Поэтому интересуюидий нас интеграл равен сум*
ме интегралов
т
Σ \ J^z)d]{z)y
где Kg — достаточно малые окрестности точек а^. Но в окрестности
точки а^ мы имеем разложения по соответствуюидей локальной
переменной τ^
y'l (^) =]\ (а,) -f CjT, + С2Т| -f . . . ,
с/у(^)=с/(с,1п τ,+ с; + сл+ ...)= (^- +с;т,+...]с/т,.
Следовательно,
и
т
\ Л (^) dJ (ζ) = 2π/ Σ ^sJi («5)·
dG* 5=1
Отсюда немедленно получаем утверждение леммы.
Стоит заметить, что наши рассуждения указывают путь к
вычислению интеграла
\ Ji{^)dJ{z)
dG*
ДЛЯ любой пары абелевых интегралов j\(z) и j (ζ) (любого рода)*

^ 3] ТЕОРЕМЫ О СУЩЕСТВОВАНИИ И ЕДИНСТВЕННОСТИ 565'
§ 3. Теоремы о существовании и единственности
для абелевых интегралов
В предыдущем параграфе мы исследовали свойства абелевых
интегралов на алгебраической римановой поверхности, не задаваясь
вопросом об их существовании. В этом параграфе докажем
существование абелевых интегралов на любой алгебраической римановой
поверхности, опираясь на результаты гл. 8. Кроме того, укажем
условия, позволяющие определить абелев интеграл единственным
образом.
Всюду в этом параграфе будем считать, что на нашей алгебраи-^
ческой римановой поверхности G рода g зафиксировано некоторое
каноническое рассечение, определяемое системой циклических
сечений
Ар Α^ί..., Agi В\, £?2,,.., Bg.
Односвязную область, получающуюся из римановой поверхности Сг
этим каноническим рассечением, будем обозначать G*.
Мы начнем с доказательства существования одного специального
абелева интеграла третьего рода, имеющего всего две особые точки.
Лемма 1. Пусть кривая С с началом а а концом b лежит
в некоторой окрестности К на римановой поверхности G.
Существует абелев интеграл ^{z] с. С) третьего рода, обладающий
свойствами;
1. Абелев интеграл φ B", с, С) имеет в точках а и b
логарифмические особые точки с вычетами си — с соответственно и
не имеет других особых точек на римановой поверхности.
2. Функция Re φ {ζ\ с у С) однозначна на римановой
поверхности G с разрезом по кривой С.
Пусть τ — локальная переменная, отвечающая окрестности /С, а х
и β — значения этой локальной переменной, соответствующие точкам
а W Ь. Мы можем рассматривать на римановой поверхности G
экстремальную задачу σ (см. § 10 гл. 8) с функцией особенностей,
заданной в окрестности К с разрезом по кривой С равенством
Согласно теореме I* § 10 гл. 8 существует функция и {ζ),
гармоническая на всей римановой поверхности G с разрезом по кривой С
а в окрестности К представимая в виде
τ -
H(^) = Re^cln^—3)+«„ω. A).
где функция Uq{z) гармонична в окрестности /С.

566 МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ НА РИМАНОВЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ [Гл. 9
Обозначим через ^(-г) многозначную аналитическую функцию,
имеющую своей действительной частью гармоническую функцию и (г),
построенную выше. Ее производная F'{ζ) выражается через функцию
и {ζ) с помощью равенства
^^ дх ду '
из которого видно, что функция F'(ζ) однозначна на римановой
поверхности G с разрезом по кривой С (и даже регулярна там, за
исключением полюсов в точках разветвления римановой поверхности
О; см. доказательство теоремы 2 § 10). Из равенства A) с учетом
формулы ii{z) = ReF{z) получаем
F{z) = c\n^:^-{-F,iz)
и
Первая из этих формул показывает, что функция F(z) имеет в
точках α и ^ (отвечающим значениям z = cl и τ = β) логарифмические
особые точки с вычетами си — с соответственно, а вторая формула
показывает, что производная функции F' (ζ) однозначна (и мероморфна)
и в окрестности К- Поскольку функция F (ζ) имеет производную,
мероморфную на римановой поверхности G, эта функция — абелев
интеграл (см. начало § 2). Этот абелев интеграл обладает всеми
свойствами, требуемыми в лемме.
Замечание 1. Ясно, что вместо функции особенностей
α(^) = ^1η^^
мы могли бы с тем же успехом взять функцию особенностей
Это позволило бы нам утверждать существование абелева интеграла
второго рода, имеющего в заданной точке а римановой поверхности
О полюс с заданной главной частью (в локальной переменной) и не
имеющего других особых точек. При этом действительную часть
этого абелева интеграла мы могли бы считать однозначной на всей
римановой поверхности G.
Замечание 2. Построенный абелев интеграл φ (ζ; с. С) мы
можем определить и для случая, когда С—произвольная кривая
па римановой поверхности G. Для этой цели разобьем кривую
С на участки Q, С2,..., Ся> каждый из которых лежит в своей

§ 31 ТЕОРЕМЫ О СУЩЕСТВОВАНИИ И ЕДИНСТВЕННОСТИ 567
окрестности, и положим
η
φ (ζ; с, С) = 2 φ(^; с. с,).
k=\
Легко видеть, что это определение не зависит от способа разбиения
кривой С на участки.
Определенный таким способом абелев интеграл φ {ζ\ с\ С)
обладает всеми свойствами, указанными в лемме. Действительно, при
сложении интегралов φ {ζ\ с, Q) логарифмические особые точки в конце
участка С/^ и в начале участка С^^^^х взаимно уничтожаются, и сумма
имеет логарифмические особые точки лишь в начале участка Q и в
конце участка Q, т. е. в начале и в конце кривой С (если кривая С
замкнута, то абелев интеграл φ (ζ\ с, С) не имеет особых точек).
Однозначность действительной части абелева интеграла φ (ζ; с, С) на
римановой поверхности G очевидна, ибо сложение не может
нарушить этого свойства.
Из замечания 1 немедленно вытекает
Теорема 1. Существует абелев интеграл второго род а,
имеющий в заданных точках римановой поверхности О полюсы с
заданными главными частями и не имеющий других особых точек.
При этом действительную часть этого абелева интеграла
можно считать однозначной на римановой поверхности G.
Легко доказывается и аналогичная теорема для абелевых
интегралов третьего рода:
Теорема 1*. Пусть а^, а.^,..., а^ — произвольные точки
римановой поверхности, а 6^, с^,,.., с^ — произвольные комплексные
числа, удовлетворяющие условию с\-\~ с.2-\-.. ,-\- Cjj^=z 0.
Существует абелев интеграл третьего рода, имеющий в точках а^
логарифмические особые точки с вычетами с^ и не имеющий
других особых точек.
Для построения такого абелева интеграла возьмем произвольную
точку а^, отличную от всех точек а^, а^у..., а^у и соединим ее с
точками 01, а^,..., а^ кривыми γι,..., ^^· Тогда абелев интеграл
т
/(^) = Σ φ(^; с,у γ,)
s=\
будет обладать требуемыми свойствами, так как в точке а^ он не
имеет особенности ввиду равенства Ci-\- с^-~\-.. .-\- с^ = 0.
С помощью абелевых интегралов φ (ζ; с. С) легко строятся и
абелевы интегралы первого рода.
Теорема 2. На римановой поверхности О существует g
комплексно линейно независимых абелевых интегралов первого рода^

568 МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ НА РИМАНОВЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ [Гл. 9
Любые g-\- 1 абелевых интегралов первого рода комплексно
линейно зависимы, т. е. некоторая их линейная комбинация с
постоянными комплексными коэффициентами тождественно равна
постоянной.
Заметим прежде всего, что утверждение теоремы равносильно
утверждению о том, что максимальное число вещественно линейно
независимых абелевых интегралов первого рода равно 2^.
Действительно, комплексная линейная независимость абелевых интегралов
У1 (^)' 7*2{^1 '"^ Jg(^)
равносильна вещественной линейной независимости абелевых интегралов
y'l (^), Ui (^)> h(^)' (/2 (^)' -"^ Jg(^)> Ug(^)-
В качестве полной системы вещественно линейно независимых
абелевых интегралов возьмем абелевы интегралы
ТЛ^) = Т(^; ^ Л,1 5=1, 2, ..., g,
Ψ5(^)=φ(^; ^\ ^s\ ^^= ь 2, ..., g.
Согласно замечанию 2 к лемме 1 эти абелевы интегралы являются
абелевыми интегралами первого рода, причем действительная часть
абелева интеграла ^si^) однозначна на римановой поверхности О
с разрезом по циклическому сечению Л^, а действительная часть
абелева интеграла ^s(^) — "^ римановой поверхности G с разрезом
по циклическому сечению В^. Кроме того, легко убедиться, что
Re φ. (^) |д+ — Re φ, (ζ) 1^- = — 2π,
Re ψ. (ζ) l^j - Re ψ, (ζ) \^- = - 2π.
Действительно, согласно лемме 2 § 2 для абелева интеграла третьего
рода φ (ζ; с, С) с любой простой незамкнутой кривой С "имеет место
равенство
φ(^; с, С)|с+ —φ(^; с, С)\с- = 2шс,
где С^ — правая, а С — левая сторона кривой С. Ясно, что это
равенство остается в силе и для любой простой замкнутой кривой,
не разбивающей риманову поверхность G, в частности для
циклических сечений А^ и В^. Переходя к действительным частям, получаем
требуемые равенства.
Из полученных равенств следует, в частности, что абелевы
интегралы ^si^) ^ ^si^) не постоянны. Более того, произвольная их
линейная комбинация с действительными коэффициентами, среди которых
есть хотя бы один отличный от нуля, тоже не постоянна. Это и
означает, что 2g абелевых интегралов первого рода
φι(^), ..., φ^(^), ψι(^), ..., ψ^(^)
вещественно линейно независимы.

§ 3] ТЕОРЕМЫ О СУЩЕСТВОВАНИИ И ЕДИНСТВЕННОСТИ 569
Покажем теперь, что любой абелев интеграл j (ζ) первого рода
можно представить в виде
/ (^) = αιφι (г) + ·.. + ^φ^ (^) + βιψι (^) + --- + PA (^) + cö"st,
где α^, и β^ — действительные постоянные. Для этой цели обозначим
через Ag и В^ соответственно Л-периоды и ^-периоды абелева
интеграла j(z). По лемме 1 § 2
Положим
α, = —2^ReЛ,, p, = 2|^Re5, (^=1, 2, ..., g)
и рассмотрим абелев интеграл первого рода
/* (^) = / (^) — αιφι (^) — ... — α^φ^ (ζ) — βιψι (^:) — ... — β^ψ^ (^:).
Для него имеют место равенства
Re;·* (г) U*-Re;·* (^I^7 = 0,
Re;n^)U+-Re;*(^)lBj = 0,
Т. е. все его циклические периоды чисто мнимы. Согласно
следствию 2 из теоремы 3 § 2 получаем, что у * B^) ^ const.
Таким образом, мы доказали, что имеется ровно 2^ вещественна
линейно независимых абелевых интегралов первого рода. Согласно
замечанию, сделанному в начале доказательства, это равносильно
утверждению теоремы.
Интересно отметить, что абелевы интегралы ^s(^) ^ ^з(^) можно
было бы строить и непосредственно с помощью решения следующей
экстремальной задачи на римановой поверхности Q:
Среди функций Φ(ζ\ непрерывно дифференцируемых на рима-
новой поверхности G, за исключением данного циклического
сечения Q, где они имеют разрыв первого рода со скачком, равным
единице, найти ту функцию, для которой интеграл Дирихле Dq [Ф]
имеет наименьшее значение.
Теми же средствами, что и в гл. 8, можно доказать, что
минимизирующая функция этой экстремальной задачи существует и что она
гармонична на римановой поверхности G с разрезом по циклическому
сечению Q. Легко доказывается, что функция, имеющая эту
минимизирующую функцию своей действительной частью, совпадает с абеле-
вым интегралом ^ φ (<г; i, Q).

570 МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ НА РИЛ\АНОВЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ [Гл. 9
Согласно теореме 2 множество всех абелевых интегралов первого
рода на данной римановой поверхности G образует линейное
векторное пространство комплексной размерности g. В качестве базисных
векторов этого векторного пространства удобнее всего выбирать
абелевы интегралы
Φ,(ζ). Φ,(ζ), ..., Φ^{ζΙ
для которых матрица Л-периодов является единичной матрицей,
т. е. такие, что
где
Л^, = уагФД^) {k, s=l, 2, ..., g).
Абелев интеграл второго или третьего рода (не имеющий особых
точек на циклических сечениях Ag и Bg, .9=1, 2, ..., g) будем
называть нормированным, если все его Л-периоды равны нулю.
Из теорем 1, 1* и 2 очевидным образом вытекает
Теорема 1**. Существует единственный нормированный
абелев интеграл с заданными особенностями в заданных точках
(не лежащих на циклических сечениях данного канонического
рассечения). Задаваемые особенности должны удовлетворять
единственному условию: сумма вычетов во всех логарифмических точках
должна быть равна нулю.
Заметим, что единственность нормированного абелева интеграла
с заданными особенностями немедленно вытекает из следствия 1
теоремы 3 § 2.
Теорема 1** дает довольно полное описание множества всех
абелевых интегралов на римановой поверхности G.
Скажем еще несколько слов о i5-πepиoдax нормированных
абелевых интегралов второго и третьего рода. Их можно определить через
значения базисных абелевых интегралов ^s{z) (или через значения
их производных) в особых точках интересующих нас нормированных
интегралов. Получим соответствующую формулу для одного наиболее
простого случая.
Пусть кривая С лежит в области G. Будем обозначать через Ψ {ζ\ С)
абелев интеграл φ B'; 1, С), нормированный (с помощью прибавления
к нему подходящей линейной комбинации интегралов ¢^(-^)) так,
чтобы его Л-периоды стали равны нулю. Иными словами,
Ψ B, 0 = φ(^; 1, С)-2 ^ДС)ФД2),

§ 3] ТЕОРЕМЫ О СУЩЕСТВОВАНИИ И ЕДИНСТВЕННОСТИ 571
где
А,{С) = \гт^B; 1, С).
Теорема 3. Обозначим В-периоды абелева интеграла Ψ {ζ\ С)
через В^{С), ..., В^{С). Тогда
с
Применим теорему 4 § 2, положив в ней
]{z) = W{z', С) А(^) = ФД4
Тогда в обозначениях этой теоремы αχ — начало кривой С, а «^ —
ее конец,
Л;, = 0, ^=1, 2, ..., ^;
и ее утверждение принимает вид
5, = 2π/(Φ,^-Φ.(«ι))>
где ¢5@:2) и Φ^ί^ι) — значения в точках α.ι и αγ одной и той же
ветви абелева интеграла ¢^(-^) в области G. Отсюда немедленно
вытекает утверждение теоремы.
Абелев интеграл Ψ {ζ\ С), определенный нами для кривых,
лежащих в области G*, можно определить и для любых кривых С
примерно тем же способом, который мы использовали для определения
абелева интеграла φ {ζ\ с, С). С этой целью сначала определим абелев
интеграл Ψ {ζ, С) для случая, когда один из концов кривой С
выходит на границу области G* с помощью предельного перехода. Такое
определение равносильно тому, что мы немного деформируем
циклические сечения, образующие наше каноническое рассечение, таким
образом, чтобы кривая С оказалась внутри деформированной области G*»
Для произвольной кривой С определяем наш абелев
интеграл Ψ (-г; С), разбивая кривую С на участки Ср ..., С«, каждый
из которых лежит в области G*, и полагая
Ψ (ζ; С)=2^(^' ^^)·
Легко видеть, что определенный таким образом абелев
интеграл Ψ (ζ; С) обладает свойствами:
Если кривая С составлена из последовательно проходимых
кривых d и С2, то Ψ (ζ; C) = W {ζ\ €χ)-{-Ψ{ζ\ Q).
Если кривые С и С^ гомотопны, то Ψ (-г; С*) = Ψ (-г; С).
Опираясь на эти свойства, сможем доказать формулы для
периодов абелева интеграла Ψ (-г; С) и в случае, когда С—произвольная
кривая:

572 МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ НА РИМАНОВЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ [Гл. 9
Теорема 3*. Обозначим А-периоды абелева интеграла ψ (^z; С\
через Αι, ..., Ag, а его В-периоды — через В^у ..., Bg, Тогда
As = 2v:iq^, 5=1, 2, ..., ^, B)
где ^1, ^2> · · ·» ^g — некоторые целые числа, а
Bs = 2πί \ dΦs (ζ) + 2π//7„ C)
с
где /7ι, р^у . .>> pg — тоже некоторые целые числа.
Согласно теореме 3 в случае, когда кривая С лежит в области О*,
имеют место формулы
Л = 0 D)
И
Bs = '2l:i\dΦs{z\ E)
с
в общем случае эти формулы перестают быть справедливыми, так
как после разбиения кривой С на участки, лежащие в области О*,
периоды абелевых интегралов Ψ (г; СД отвечающих этим участкам,
вычисляются, вообще говоря, по несколько различным циклическим
-сечениям. Эти различные сечения хотя и гомотопны, но между ним«
лежат логарифмические особые точки. Однако если для какого-либо
фиксированного значения 5 кривая С не пересекает циклическое сече*-
ние Л^, то для этого значения 5 формула D) сохраняет силу. AHa-*
логично формула E) сохраняет силу, если кривая С не пересекает
циклическое сечение В^.
Заметим теперь, что формулы B) и C) достаточно доказать лишь
для замкнутых кривых С, так как произвольную кривую всегда можно
составить из замкнутой кривой и из кривой, лежащей в области Ö**
Абелев интеграл Ψ (-г; С), где С — замкнутая кривая, является абе*
левым интегралом первого рода, так что при отыскании его периодош
мы можем заменять сечения ^4^ и В^ любыми гомотопными им
циклическими сечениями.
Сначала докажем, что формулы B) и C) имеют место для
абелевых интегралов Ψ (г; А^) и Ψ (-г; Bk)- С этой целью заметим, что
все Л-периоды абелевых интегралов Ψ (-г; Л^) равны нулю
(циклическое сечение Л^ всегда можно заменить гомотопным ему сечением,
не пересекающим ни одного из сечений А^. По следствию 1
теоремы 3 § 2 это означает, что
Ψ(ζ; Л,) = 0, k = \. 2, ..., g.
Далее, абелев интеграл Ψ (г; В^) обладает тем свойством, что все
-его Л-периоды, кроме одного (отвечающего сечению Л/^, сопряженному
с сечением В^)у равны нулю. Этот единственный период равен — 2ic/,
так как для любых кривых С имеет место равенство

§ 4] АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 573
Л согласно лемме 1 § 2
/(^)l4—^* (^I^-= — ^^·
Таким образом, в случае, когда кривая С совпадает с одним из
циклических сечений Ak или Bk, формула B) для Д-периодов
интеграла Ψ (ζ; С) имеет место. Кроме того, для интегралов Ψ (ζ; В^)
обязана иметь место формула E) для 5-периодов, так как
циклическое сечение В^ можно заменить гомотопным ему циклическим
сечением, не пересекающим ни одного из сечений В^. Для
интегралов Ψ (ζ] Äk) (равных, как мы показали, тождественному нулю)
справедливость формулы C) устанавливается непосредственной
проверкой:
Л i 1' ^ = ^-
Итак, для абелевых интегралов Ψ (ζ; Äk) и Ψ (ζ; В^) формулы B)
и C) справедливы. Но любую замкнутую кривую С на римановой
поверхности Q можно заменить гомотопной ей кривой С*,
составленной из некоторого числа последовательно проходимых
циклических сечений Ag или В^, Отсюда немедленно вытекает справедливость
теоремы.
§ 4. Алгебраические функции
Мы перейдем теперь к изучению множества всех функций, меро-
морфных на данной алгебраической римановой поверхности, т. е.
функций, имеющих на этой римановой поверхности своими особыми
точками лишь полюсы. Легко проверить, что такие функции являются
алгебраическими функциями в смысле определения, данного в § 5 гл. 4.
Функции, мероморфные на данной алгебраической римановой
поверхности, можно получить из абелевых интегралов, но, как мы уже
отмечали, строение множества всех таких функций существенно сложнее
строения множества всех абелевых интегралов.
Докажем здесь несколько основных теорем о функциях, мероморф-
ных на данной алгебраической римановой поверхности, чтобы дать
некоторое представление о задачах и методах.
Теорема 1. Отличная от тождественной постоянной функ-
цияу мероморфная на алгебраической римановой поверхности, при-
яимает каждое значение одинаковое число раз.
Заметим прежде всего, что функция /(-г), мероморфная на алгебраи-
'ческой римановой поверхности G и отличная от тождественной
постоянной, принимает каждое значение конечное число раз. Это
утверждение сразу вытекает из компактности алгебраической римановой
поверхности и из теоремы единственности для регулярных функций.

574 МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ НА РИМАНОВЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ [Гл. &
При этом значение со не является исключением, так как функция —L
также мероморфна на римановой поверхности G.
Рассмотрим теперь функцию \n(f{z) — α), где α — любое компле·
ксное число. Эта функция представляет собой абелев интеграл третьего
рода на римановой поверхности G. Его особыми точками являются
только логарифмические особые точки в полюсах и в нулях функции
f(z) — α. Вычет логарифмической особой точки, отвечающей нулю-
функции f(z) — α, равен кратности этого нуля, а вычет точки,
отвечающей полюсу, равен кратности полюса с обратным знаком. По
теореме 1 § 2 сумма вычетов абелева интеграла третьего рода по
всем его логарифмическим особым точкам должна быть равна нулю.
Это означает, что число нулей функции f(z) — α должно быть равно
числу ее полюсов. Так как полюсы функции f{z) — α совпадают
с полюсами функции /(-г), а число α произвольно, мы получаем
утверждение теоремы.
Естественно, возникает вопрос, можно ли построить мероморфную
на римановой поверхности G функцию, имеющую нули и полюсы
в предписанных точках (при условии, что число нулей и число
полюсов одинаково)? Оказывается, что, вообще говоря, положение нулей
и полюсов нельзя задать произвольно. Полный ответ на этот вопрос
дает следующая теорема, носящая название теоремы Абеля.
Теорема 2. Пусть αχ, а^, . ..у а^^ и ΰχ, ^, ..., ^^ — точки
римановой поверхности Q (среди точек а^ и среди точек bk могут
быть равные, но ни при каких k и s равенство а^ = Ь^ не
допускается). Для того чтобы точки а^ и bk могли быть
соответственно нулями и полюсами функции f{z), меро морф ной на
римановой поверхности О и не имеющей других нулей или полюсов^
необходимо и достаточно, чтобы существовали простые кривые ^ky
идущие от точки а^ к точке Ь^, обладающие тем свойствому что
т
Y,\dj{z)=0
для любого абелева интеграла J (ζ) первого рода.
Сначала докажем необходимость. С этой целью рассмотрим
отображение римановой поверхности Q функцией w=f(z). Согласно
теореме 1 эта функция конформно отображает риманову поверхность О
на т-листную риманову поверхность Gp не имеющую граничных
точек, т. е. также на некоторую алгебраическую риманову поверхность.
Проведем из начала координат в плоскости w луч L· таким образом,
чтобы риманова поверхность Gj не имела точек разветвления над этим
лучом, и обозначим через Ii, L^y ..., L^ лучи, лежащие на римановой
поверхности Gj над лучом Z, а через γι, γ2, ..., γ^ — прообразы
лучей Lp L^y ..., Lfn при отображении w = f{z). Покажем, что кривые
Τι> ···> Tm обладают требуемым свойством.

^ 4] АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 575
Ясно, что каждая кривая ^k идет из некоторого нуля функции f{z)
в некоторый полюс этой функции и что разные кривые ^k соединяют
разные пары нулей и полюсов (кроме тех случаев, когда нули или
полюсы кратные). Далее, если j'^ (w) — какой-либо абелев интеграл
первого рода на римановой поверхности Gj, то у* (/(-г)) — абелев
интеграл первого рода на римановой поверхности G, и наоборот. Поэтому
достаточно доказать, что
т
Σ \driw) = 0 A)
ДЛЯ любого абелева интеграла у* (w) первого рода на римановой
поверхности Gj. Но
т т
где
jt{w\ ]t(w\ ..., j%(w)
— значения абелева интеграла у* {w) в точках римановой
поверхности G|, лежащих над точкой w (эти значения определяются лишь
с точностью до постоянных слагаемых, что несущественно, так как
они стоят под знаком дифференциала). Равенство A) будет доказано,
если мы покажем, что функция
n{ri,)+jl{w)^...+j%{w) B)
постоянна (при некотором выборе постоянных слагаемых, входящих
в определение значений jl{w)).
Для исследования функции B) покроем всю плоскость w конечным
числом окрестностей точек W\y w^, ..., Wp^=co, выбранных таким
образом, чтобы в окрестности точки Wg не было точек, над которыми
лежат точки разветвления римановой поверхности Gj, за исключением
самой точки Ws· В каждой из этих окрестностей функция B)
однозначна, так как обход точки ветвления приводит лишь к перемене
порядка слагаемых. Кроме того, функция B) регулярна во всех
точках этой окрестности, за возможным исключением самой точки Wg.
Далее, поскольку у* (t^)—абелев интеграл первого рода, функция B)
ограничена в этой окрестности. Следовательно, функция B) регулярна
и в самой точке z^v В пересечении двух окрестностей построенные
там функции B) могут отличаться лишь постоянным слагаемым. Ясно,
что эти постоянные слагаемые можно подобрать таким образом, чтобы
построенные функции B) совпадали во всех пересечениях. Тогда
получим функцию B), регулярную во всей расширенной плоскости. По
теореме Лкувилля эта функция должна быть тождественной
постоянной. Тем самым доказательство необходимости условия, входящего
β теорему Абеля, завершено.

576 МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ НА РИМАНОВЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ [Гл. ^
Перейдем к доказательству достаточности. Пусть существуют
простые кривые γ/;,, k=\, 2, ..., т, идущие от точки ük к точке b^^
и обладающие тем свойством, что
т
Σΐά](ζ) = 0 C)
для любого абелева интеграла j (ζ) первого рода. Используя условие C),
построим сейчас абелев интеграл h (ζ) третьего рода, который можно
рассматривать как \nf{z), где f{z) — искомая функция, мероморфная
на римановой поверхности G. Для этого необходимо и досаточно,
чтобы абелев интеграл h (ζ) удовлетворял условиям:
1. Абелев интеграл h(z) имеет логарифмические особые точка*
«1, ,,.^α^η и bi, ,..у Ь^ с вычетами 1 и — 1 соответственно и не имеет
других особых точек.
2. Все циклические периоды абелева интеграла h{z) являются
целыми кратными 2π/.
Когда такой абелев интеграл h{z) построен, искомая функция/(г)
определяется формулой
f{z) = e^^'\
В качестве абелева интеграла h (ζ) возьмем функцию
т
Σψ(^;τ^), D)
1де Ψ (ζ; С) — абелев интеграл, исследованный нами в конце § 3,-
Обозначая через Ар А^у ..., Л^ и Biy В^у,.. у Eg циклические периоды-
абелева интеграла /г (г), находим с помощью теоремы 3* § 3, что
А^ = 2шд% 5=1, 2, ..., gy
т
^. = 2^^* Σ \ αΦ,{ζ)-\'2ι:ΙρΙ s=l, 2, ..., gy
^= ΐϊ,
где ^si.^) (-^=^ 2, ..., g) — базисные абелевы интегралы с
единичной матрицей Д-периодов, а jt?* и ^* — некоторые целые числа.
Согласно условию теоремы
т
Σ \ άΦ,{ζ) = ^ {s=\y 2, ..., g)y
так что циклические периоды абелева интеграла h {ζ) являются целыми
кратными 2π/. Кроме того, полярные периоды этого абелева инте-*
грела равны ± 2π/, так как интеграл Ψ {ζ\ С) имеет
логарифмические особые точки с вычетами 1 и — 1 в начале и в конце
кривой С

§ 4] АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 577
Таким образом, абелев интеграл h{z) удовлетворяет всем
поставленным условиям, и достаточность условий доказана. Тем самым
георема Абеля полностью доказана.
Заметим, что хотя теорема Абеля и дает необходимые и
достаточные условия для существования мероморфной функции с нулями
и полюсами в заданных точках, эти условия не слишком просто
проверить. Поэтому теорема Абеля не дает ответа даже на самые
простые вопросы, например на вопрос, при каком числе полюсов
существует мероморфная функция на римановой поверхности. Ответ на
этот вопрос и на многие другие вопросы дает следующая теорема,
носящая название неравенства Римана:
Теорема 3. Пусть ογ, ^, ..., Ь^, — произвольные попарно
различные точки алгебраической римановой поверхности Q рода g.
Если обозначить через N число линейно независимых функций,
мероморфных на римановой поверхности G и не имеющих особых
точек, кроме, возможно, простых полюсов в точках Ьр ..., Ь^у
то справедливо неравенство
N^n — g-\-\,
Для доказательства обозначим через ]k(.^) (^=1, 2, ..., η)
абелев интеграл второго рода, имеющий в точке Ь^ полюс с главной
частью J- (и не имеющий других особенностей), нормированный
условием, что все его Л-периоды равны нулю. Мы знаем (см. § 2),
что такой абелев интеграл существует и что он определяется с
точностью до произвольного постоянного слагаемого. Очевидно, что
интересующие нас мероморфные функции представляют собой абелевы
интегралы вида
αι71 {ζ) -f а.2у2 {z)-\-..,-\- dnjn (^)
с циклическими периодами, равными нулю. Поскольку Л-периоды
абелевых интегралов jk{z) равны нулю, нам приходится наложить
на η произвольных постоянных aj, α^, ..., α^ только g условий,
обеспечивающих равенство нулю всех ß-периодов. Эти условия
линейны. Обозначив
ß/^5 = var^(z) (^=1, 2, ..., п\ s=\, 2, ..., g),
их можно записать в виде
^1^11 + 0^2^21 + . . . + ^пВп\ = О,
aii5i2 -j- 02^22 + · · · + ^пВгП = О'
^iBlg + ^2^5¾^ + . . · -Ь ^n^ng = 0.

578 МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ НА РИМАНОВЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ [Гл. 9
Эта система линейных уравнений имеет не менее η — g линейно
независимых решений. Следовательно, имеется не менее η — g линейно
независимых мероморфных функций интересующего нас вида,
имеющих хотя бы один полюс. Добавляя к этим функциям функцию,
тождественно равную единице, получаем η — ^-j-1 линейно независимых
функций. Теорема доказана.
Замечание. Ясно, что N = n — v-|-l, где ν — ранг матрицы
/ Вц Al · · · Bni
Big B^g ... Bng
Этот ранг не превосходит min (^, g)y но может быть и меньше.
В § 5 получим выражение этого ранга через число линейно
независимых абелевых дифференциалов, подчиненных некоторому
дополнительному условию.
Заметим еще, что требование ^ 9^ bi отнюдь не является
обязательным. Теорема остается в силе и при любых ^/^, если
договориться, что повторение среди точек Ь^ одной и той же точки ρ раз
означает наличие не более чем jt?-KpaTHoro полюса в этой точке.
Идея доказательства остается той же, но формулы становятся более
громоздкими.
Отметим одно важное следствие из неравенства Римана:
Следствие. На каждой алгебраической римановой
поверхности рода g существует по меньшей мере одна отличная от
постоянной мероморфная функция, имеющая не более g-\-1 полюсов.
Из неравенства Римана видно также, что вычеты мероморфной
функции в данных полюсах нельзя, вообще говоря, задавать
произвольно. Этим римановы поверхности рода ^^0 существенно
отличаются от римановых поверхностей рода нуль, например от
расширенной комплексной плоскости. Однако оказывается, что если на
римановой поверхности выколоть хотя бы одну точку и рассмотреть
мероморфные функции с бесконечным числом полюсов, сгущающихся
к выколотой точке, то главные части в этих полюсах уже можно
будет задавать произвольно. Таким образом, оказывается, что теорема
Миттаг-Леффлера о разложении трансцендентной мероморфной функции
в ряд рациональных дробей переносится на любые некомпактные
римановы поверхности конечного рода *).
*) Этот результат был получен Бейке и Штейном. Его изложение можно
найти в книге Behnke und Sommer, Theorie der analytischen Funktionen einer
komplexen Veränderlichen, Berlin, 1955.

§ 5] АБСТРАКТНЫЕ РИМАНОВЫ ПОВЕРХНОСТИ 579
§ 5. Абстрактные римановы поверхности
До сих пор мы имели дело с римановыми поверхностями,
склеенными из разрезанных экземпляров плоскости. Однако большинство
полученных результатов переносится и на римановы поверхности
более общего вида. При этом многие результаты становятся не
только более общими, но и более прозрачными.
В отличие от римановых поверхностей, о которых мы говорили
до сих пор, будем употреблять для этого нового понятия название
абстрактная риманова поверхность.
Абстрактной римановой поверхностью будем называть
произвольную поверхность (в смысле определения § 4 гл. 1) 2, на
которой определена комплексная структура^ т. е.
1. Для каждой окрестности U^_ существует топологическое
отображение я^ этой окрестности на круг |τ^|<^1. Величину τ^ будем
называть локальной переменной^ отвечающей окрестности U^^
2. Если две окрестности U^ и U^ имеют непустое пересечение,
то соответствующие им локальные переменные т^ и τ являются
регулярными функциями друг от друга в областях, отвечающих
пересечению этих окрестностей. Иными словами, если В^^ и В,^^ —
образы пересечения окрестностей U^ и U^ при отображениях π„ и π.
соответственно, то отображение
является конформным отображением области В^^ на область Β^γ
Две системы окрестностей {U^} и {Ut} (вместе с отображениями
π^ и Яа) считаем определяющими одну и ту же комплексную
структуру, если система окрестностей, состоящая из объединения систем
{и^} и {Ut}y удовлетворяет условиям 1 и 2.
Легко видеть, что риманова поверхность, склеенная из листов
плоскости, является частным случаем абстрактной римановой
поверхности. Действительно, топологическое отображение π„ в этом случае
получается композицией проекции на плоскость с линейным, дробно-
линейным или степенным отображением. При этом локальные
переменные будут, очевидно, регулярными функциями друг от друга, так
как они являются регулярными функциями от проекции точки.
Две абстрактные римановы поверхности @ и @* назовем
конформно эквивалентными, если существует топологическое оЛбра-
жение этих поверхностей, при котором окрестности U^ топологически
отображаются на окрестности ^f, и возникающее отображение
круга I τ„ I <^ 1 на круг I τ* 1 <^ 1 является конформным отображением.

680 МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКиИИ НА РИМАНОВЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ [Гл. 9
Абстрактную риманову поверхность S будем называть компакт-
нойу если из множества всех окрестностей {U^} можно выделить
конечное их множество, покрывающее всю поверхность @.
Множество В абстрактной римановой поверхности @ назовем
компактным^ если из любого множества окрестностей U^y покры-
ваюншх множество В, можно выделить конечное их множество,
обладающее тем же свойством.
Мы знаем (см. § 4 гл. 1), что в любом топологическом
пространстве можно определить понятие замкнутого и открытого множества,
непрерывной кривой, простой непрерывной кривой, области. Все эти
понятия определены и на абстрактной римановой поверхности, ибо
она является топологическим пространством. Однако на абстрактной
римановой поверхности можно определить и понятие той или иной
гладкости кривой. Например:
Кривая С на абстрактной римановой поверхности @ называется
кусочно-гладкой, если часть этой кривой, лежащая в любой
окрестности и^у переходит при отображении π^, в кусочно-гладкую кривую,
лежащую в круге | τ^ | <^ 1.
Аналогичным образом можно определить понятие гладкой и даже
аналитической кривой.
Таким же образом определяется понятие той или иной степени
гладкости функции, заданной в некоторой области на абстрактной
римановой поверхности. Общий смысл всех определений один и тот
же: функция f{z), определенная в области В на абстрактной
римановой поверхности, называется непрерывно дифференцируемой (регу-
лярнойу мероморфнойу гармонической и т. д.), если функция /(πα^ (τJ)
является таковой в локальных переменных τ^, отвечающих каждой
окрестности U^ d В.
Интегрирование на абстрактной римановой поверхности требует
уже введения некоторых новых понятий.
Пусть в локальных переменных τ^, отвечающих каждой
окрестности и„ d Ä нам задано выражение
Ра (^а) (^К + я а {\) ^^.^ К = ^ τ„, η„ = Im τ^,
причем выполнены условия согласования
Ра dK + Яа ο^η« =;^β ö^^ß + ^ß ö^v '^«=Χαβ (V (О
при переходе от одних локальных переменных к другим (здесь χ^, —
конформное отображение, упоминаемое в условии 2 определения
абстрактной римановой поверхности). Тогда мы говорим, что в
области В задана дифференциальная форма ω (г) первой степени.

§ 5] АБСТРАКТНЫЕ РИМАНОВЫ ПОВЕРХНОСТИ 581
Аналогично пусть в локальных переменных τ^, отвечающих
каждой окрестности U^dB, задано выражение
и выполнены условия согласования
К (^а) d^Ma = ^β (^ß).Ö^^ß^'^ß' ^α = Χαβ (^β)· B)
Тогда мы говорим, что в области В задана дифференциальная
форма Ω (-г) второй степени.
Для дифференциальной формы первой степени мы можем
определить интеграл
С
где С—кусочно-гладкая (или даже спрямляемая) кривая, лежаш,ая
в области определения этой дифференциальной формы. Для этой цели
кривая С разбивается на конечное число кусков Q, ..., С„, каждый
из которых лежит в своей окрестности 6^„, ..., U^ * Для любого
из участков Ci, С2, ... > С„ полагаем
\^{Z)=\ ρ^^ (τ„^) dl^^ + q^^ (τ„^) ί/η,^,
^ с;
где C'k — образ кривой Ck в круге ] τ |<^ 1 при отображении я
Интеграл по всей кривой С определяем равенством
Аналогично для любой компактной подобласти В области
определения дифференциальной формы Ω {ζ) второй степени можем
определить интеграл
В
Для этой цели разбиваем компактную область В на конечное число
неперекрывающихся областей Βχ, В^у ..., Вп^ каждая из которых
заключена в своей окрестности υ^> U^, ..., ϋ^ . Для любой из
областей В\^ полагаем
^k Bk
где Bk — образ области Bk в круге |τ^|<^1 при отображении я„.
Интеграл по всей области В определяем равенством
$5^(^)= Σ 55 ^ω·

582 МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ НА РИМАНОВЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ [Гл. 9
Легко видеть, что независимость значения интегралов от выбора
разбиения на части кривой С или области В обеспечивается
условиями согласованности A) или B) соответственно.
Рассмотрим несколько примеров дифференциальных форм первой
и второй степени.
1) Пусть ^(-г) — непрерывно дифференцируемая функция,
определенная в области В на абстрактной римановой поверхности.
Дифференциальные выражения в локальных переменных τ„ (отвечающих
любой окрестности Ц^ CZ Щу имеюиаие вид
1- (F (я- (τ J)) ί/ξ, + А (f (^^i (, J)) ^η^, C)
задают в области В дифференциальную форму, которую естественно
обозначить символом dF{z).
Для доказательства этого утверждения нужно проверить
выполнение условий согласованности A) (ясно, что дифференциальная
форма dp {г) имеет первую степень). Пусть окрестности U^dB и U^CZB
имеют непустое пересечение, и пусть π^, я и χ — соответствующие
отображения, участвующие в определении абстрактной римановой
поверхности. Для удобства обозначим
F(jt-(?ß + ^)) = ^(^^, ηρ, D)
Тогда дифференциальные выражения C) в локальных переменных τ^
запишутся в виде
a условия согласованности A) будут означать, что
dfiK· -^.) = dgi%, ηρ) E)
при замене переменных
К = и{%. ηρ, \ = ^(%^ \)' (б)
Но ^α^(τ^) и л^^(т) являются одной и той же точкой нашей
римановой поверхности, если значения τ^ и τ. связаны соотношением
'^α^'Χσβί^β)' т. е. если переменные ξ^, η„ и ξ^, η^ связаны
соотношениями F). Поэтому
Т. е.
/(«(ξβ, η3), V{%. \)) = gi%y \} G)
Из последнего равенства в силу инвариантности дифференциала при
замене переменных немедленно вытекает равенство E).

§ 5] АБСТРАКТНЫЕ РИМАНОВЫ ПОВЕРХНОСТИ 583
Нетрудно убедиться, что отношение dF(z)/dG(z) двух dncficße-
ренщшльных форм dF{z) и άΟ{ζ\ определенных в области В на
римановой поверхности ®, представляет собой функцию в этой
области римановой поверхности, хотя и не обязательно
непрерывную. В частности, если функции F(ζ) и G{z) мероморфны
в области В, то функция
^ ^ dG {ζ)
мероморфна в области В.
2) Пусть F(z) — непрерывно дифференцируемая функция,
определенная в области В абстрактной римановой поверхности.
Дифференциальные выражения в локальных переменных τ^, имеюнхие вид
-^^-(Γ(π-(τ,)))ί/^. + ^(^(π- ^))dri^, (8)
задают в области В дифференциальную форму, которую обозначают
обычно символом ^dF{z).
Для доказательства опять воспользуемся обозначениями D)
предыдущего примера. В этих обозначениях дифференциальные
выражения (8) в локальных переменных τ^ примут вид
а условия согласованности — вид
= —^гД^'в' ^)^^ + ^¾^^.^ \)(ί\ (9)
^Ьормула G) по-прежнему справедлива. Дифференцируя ее, получаем,
чго
dg of du , df dv
dg df du , df dv
^^3 "" ^ ^^3 ^^« ^^ '
П, следовательно,
df (dv r^ dv , \ , df f da .^ ^ du , \ ,, „^
= -^(^^^^3-01-^^^3)+04(-1^:/^ + -01:^^.)- A0)
Ho В силу условия 3 определения абстрактной римановой
поверхности функция у.аз('^з) регулярна, так что гармонические функции
и (ζ, η.) и v(^nj η.) удовлетворяют уравнениям Коши — Римана
он dv du dv

584 МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ НА РИМАНОВЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ [Гл. 9
Поэтому
^ "^'ß ~ 0¾ "'^ = 0¾ «^'з + ^ ^^¾ = *' (^β· ^>'
- 5^ ^^ß + -¾ ^¾ = 0¾ "^h + 5^ ^=^^3 = ^^ (V ^)'
И, подставляя эти выражения в формулу A0), мы видим, что
условия согласованности (9) выполняются.
С помощью дифференциальных форм dF {ζ) и ^dF(z) нетрудно
написать уравнения Коши — Римана, связывающие действительную и
мнимую части регулярной функции, не переходя к локальным
переменным:
Для регулярности функции f{z), определенной в области В на
абстрактной римановой поверхности @, необходимо и достаточно,
чтобы выполнялось равенство
dv {ζ) = ^du (ζ) (ζ ζ 5),
где
и (ζ) = Re f{z)y ν (ζ) = Im f{z).
3) Пусть F (-г) — непрерывно дифференцируемая функция,
определенная в области В абстрактной римановой поверхности.
Дифференциальные выражения в локальных переменных τ^, имеюид.ие вид
{Ц ^ К-'(-.))Г + [I; F (π-' Ы)]) dL d-n., A1)
задают в области В дифференииальную форму второй степени,
которую обозначают обычно символом dF{z)^dF{z). (Эта
дифференциальная форма второй степени является внешним произведением
дифференциальных форм dF (ζ) и ^dF{z).)
Для проверки условий согласованности B) опять воспользуемся
обозначениями D) примера 1. В этих обозначениях дифференциальные
выражения (И) в локальных переменных τ« примут вид
{[Л;(?а, ηα)Ρ + [/;^(^^α, Ъ)]'} dla dri^.
а условия согласованности B)—вид
=44^,. ν + ^?ρ(ξρ. ηρ)· A2)
Как и в примере 2, получаем из формулы G), что
и, следовательно,

§ 5] АБСТРАКТНЫЕ РИМАНОВЫ ПОВЕРХНОСТИ 585
Используя ОПЯТЬ уравнения Коши — Римана для функций и и ν, легко
получаем отсюда, что условия A2) выполняются.
С помощью тех же рассуждений доказывается, что
дифференциальные выражения в локальных переменных τ«, имеющие вид
задают в области В дифференциальную форму второй степени (если
функции F {ζ) и G{z) непрерывно дифференцируемы в области В).
Эта дифференциальная форма обозначается обычно символом
dF{z)^dG{z) (внешнее произведение дифференциальных форм dF(ζ)
и ^dG{z)).
4) Пусть ^(-г) — дважды непрерывно дифференцируемая функция,
определенная в области В абстрактной римановой поверхности.
Дифференциальные выражения в локальных переменных τ^, имеющие вид
{щ (Р(^-" Ы)) + щ{Р (л.- (τ„)))} di. βίη., A 3)
задают в области В дифференциальную форму второй степени,
которая обозначается обычно символом ^F (ζ).
Для проверки условий согласованности опять воспользуемся
обозначениями D), в которых дифференциальные выражения A3) примут
вид
а условия согласованности B)— вид
{Л^„(«(^, η3). Н^, η,)) + /ν/''(ξ, η,). Н^, η,))} '-Щ =
Дифференцированием равенства G) без труда получаем, что
откуда с помощью уравнений Коши — Римана для функций и и ν
приходим к равенству A4).
Заметим еще, что если F (ζ) — непрерывная функция,
определенная в области В на абстрактной римановой поверхности,
а ω (г) — дифференциальная форма (первой или второй степени),
определенная в той же области, то произведение F{z)iü{z) тоэюе
является дифференциальной формой (ι ой же степени, что и

586 МЕРОМОРФНЫЕ функции НА РИМАНОВЫ;< ПОВЕРХНОСТЯХ [Гл. »
дифференциальная форма ω (ζ)), определенной в той же области В.
Это замечание позволяет нам определить дифференциальные формы
F{z)dG{z\ F{z)^dG{z), F {z)dG{z)^:dG{z), F{z)^G{z).
На абстрактной римановой поверхности можно определить понятие
интеграла Дирихле от кусочно непрерывно дифференцируемой
функции Φ (ζ) по области Б. Именно, если функция Φ (ζ) непрерывно
дифференцируема в компактной области Bq на римановой поверх·
ности, то интегралом Дирихле от функции Φ {ζ) по области В^
назовем интеграл
\\dΦ{z)^dΦ{z) = DвΛЩ^
Во
Если функция φ (ζ) кусочно непрерывно дифференцируема в
компактной области Bq, то эту область можно разбить на сумму
конечного числа неперекрывающихся областей В[, В^, ..., В^^ в каждой
из которых функция Φ (ζ) непрерывно дифференцируема. Тогда
интегралом Дирихле от функции Φ {ζ) по области Bq назовем
сумму
илДФ] = ойЛФ] +... + Ол„ [Ф].
Наконец, если область В не компактна, то интегралом Дирихле от
функции Φ {ζ) по области В назовем верхнюю грань интегралов
Дирихле от функции Φ {ζ) по всем компактным подобластям области В.
Если интегралы Дирихле от функций Φ (-г) и W {ζ) по области В
конечны, то можно определить интеграл Дирихле
Ов[Ф. Ψ]:=^\\dΦ{z)^dW{z)
в
равенством
Ов[Ф. ^]=^~Ов\ФЛ'Щ-~\Ов[Ф-Щ.
Как только мы определили на абстрактной римановой
поверхности интеграл Дирихле, можем рассмотреть для любой области О
на этой римановой поверхности экстремальные задачи σ (см. § 9
гл. 8) с функцией особенностей σ (τ), задаваемой в какой-либо
фиксированной окрестности (Jq(^zG с помощью локальной переменной τ.
Точная постановка экстремальной задачи σ на абстрактной римановой
поверхности такова:
Пусть G—область на абстрактной римановой поверхности @г
а ^0 — некоторая окрестность, лежащая в области G вместе со своим
замыканием [Jq. Пусть, далее, в круге | τ | <^ 1, где τ — локальная
переменная, отвечающая окрестности [Jq, задана функция особе1п^остеЙ
σ(τ), регулярная на окружности |τ| = 1. Функцию ν (τ) определим
условиями:

§ 5] АБСТРАКТНЫЕ РИМАНОВЫ ПОВЕРХНОСТИ 587
Функция ν(τ) гармонична в круге |τ|^1, она обращается в нуль
1,ри τ = 0, а на окружности | τ | = 1 имеет место равенство
|,v(x) = ARea(x).
Функцию S{z) определим равенствами
о .^ч _ ί Re σ (Яо (г)) — ν (π» (ζ)) {ζζ Щ,
где через G обозначена область, состоящая из точек области G, не
принадлежащих замыканию 6¾ окрестности 6^^.
Функцию Φ (-г), определенную в области G, назовем допустимой
срункцией экстремальной задачи σ для области G, если эта функция
удовлетворяет условиям:
1. Функция Φ (-г) непрерывна и кусочно непрерывно диффере1щи-
руема во всей области G, за исключением точек границы окрестности
^4, где она имеет разрыв первого рода.
2. Функция Φ (-г) 4-5^ (г) непрерывна в точках границы области U^.
3. Интеграл Дирихле D [Ф] (понимаемый как сумма Dq' [Ф] +
- [ Duq [Ф]) конечен.
Экстремальная задача σ состоит в отыскании допустимой функции,
мипимизируюп^ей интеграл Дирихле D [Ф].
Легко убедиться, что все теоремы § 10 гл. 8 сохраняют силу и
для абстрактных римановых поверхностей. Все доказательства
полностью переносятся, только интегрирование функций следует всюду
заменить интегрированием соответствующих дифференциальных форм.
Заметим в этой связи, что большинство формул, относяп;ихся
к интегрированию, имеет аналог и на абстрактных римановых по-
иерхностях. Например, формула Грина
ί F^^^ds^ { { F^Gdxdy-^DßiF. Q]
дВ * β*
на абстрактной римановой поверхносги принимает вид
\F:^dG=\\F^^G-\-\\dF:i:dG·
OB в в
Она справедлива для любой области Б, подобной однолистной, имеюишй
кусочно-гладкую границу дВ, при условии, что функция /^ («г) кусочно
непрерывно дифференцируема в замыкании области Б, а функция
G(z) дважды кусочно непрерывно дифференцируема в замыкании
области В. Доказательство этого утверждения немедленно получим,
разбив область В на сумму неперекрываюишхся областей Bi. В.^ .. .,В,^,
каждая из которых лежит в своей окрестнос^^и, и перейдя к локальным
переменным.

588 МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ НА РИМАНОВЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ [Гл. 9
Более того, введя понятие производной дифференциальной формы,
можно получить общие формулы, охватывающие большинство формул
интегрального исчисления. Это особенно важно для пространств
размерности, большей двух. На этих вопросах мы не будем остана-
ливаться *).
Основываясь на утверждении о существовании минимизирующей
функции экстремальной задачи σ для всей римановой поверхности (g,
получаем все результаты, изложенные в §§ 2—4. Читатель легко
проверит, что проведенные рассуждения не нуждаются ни в каких
изменениях, если только мы предположим, что абстрактная риманова
поверхность @ топологически эквивалентна сфере с g ручками. Можно
доказать, что
Если абстрактная риманова поверхность B компактна, то
она топологически эквивалентна сфере с конечным числом ручек.
Однако этот результат нам не очень нужен, а его доказательство
довольно кропотливо **).
Кроме того, нуждается в небольшом уточнении теорема о
существовании мероморфной функции на произвольной римановой
поверхности, доказанная нами в § 10 гл. 8. Дело в том, что мы
провели там доказательство следующим образом; сначала построили
функцию, гармоническую (и однозначную) на всей римановой
поверхности и имеющую простые полюсы в данных точках; затем
рассмотрели функцию F {ζ) = и'х {ζ) — Uly {ζ). Последнее действие на
абстрактной римановой поверхности невозможно, так как
дифференцирование функции на абстрактной римановой поверхности дает уже
не функцию, а дифференциальную форму первой степени. Однако это
доказательство исправляется без особого труда: нужно построить
не одну гармоническую функцию, а две (и притом с различными
полюсами), взять для этих функций дифференциальные формы
du {ζ) -f- i * du (-г),
а затем рассмотреть отношение этих дифференциальных форм. Легко
убедиться, что это отношение даст нам искомую функцию, меро-
морфную на римановой поверхности.
Вряд ли стоит повторять, что на абстрактной римановой
поверхности можно рассматривать и многозначные аналитические (и
гармонические) функции. Построение теории многозначных аналитических
функций на абстрактной римановой поверхности проводится дословно
тем же способом, что и на плоскости. Доказательства всех теорем
*) Более полную информацию читатель найдет в книге Де Рама,
Дифференцируемые многообразия, 1954.
**) Желающим подробнее ознакомиться с такого рода вопросами можно
рекомендовать книгу П. С. Александрова и В. А. Ефремовича, Очерк
основных понятий топологии, Москва, 1936.

§ 6] АБЕЛЕВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ. ТЕОРЕМА РИМАНА — РОХА 589
ПОЛНОСТЬЮ остаются в силе (в частности, остается в силе теорема
о монодромии). С каждой многозначной аналитической функцией на
абстрактной римановой поверхности можно связать риманову
поверхность над абстрактной римановой поверхностью. Эту риманову
поверхность над римановой поверхностью можно представлять себе
склеенной из разрезанных экземпляров исходной римановой поверхности,
но ее можно определить и как абстрактную риманову поверхность.
Это делается следующим образом: если точка новой римановой
поверхности не является точкой ветвления, то она является внутренней
точкой одного из склеиваемых экземпляров исходной римановой
поверхности. Поэтому она имеет окрестности ϋ^^ лежащие на этом
склеиваемом экземпляре (и не содержащие точек разрезов). Все эти
окрестности мы и будем считать окрестностями данной точки на
новой римановой поверхности. Для точки разветвления порядка т
мы склеиваем //г-листную окрестность из достаточно малых
окрестностей и^ на всех т экземплярах исходной римановой поверхности,
соединяющихся в точке разветвления. Отображения л:« переводяг
построенные окрестности в однолистные и //г-листные круги
соответственно. Конформно отображая //г-листный круг с помощью функции
т
у Та, приходим К системе окрестностей на новой римановой
поверхности, удовлетворяющей условиям определения абстрактной римановой
поверхности.
В случае, когда риманова поверхность ©*, построенная над
абстрактной римановой поверхностью B, не имеет над ней граничных
точек, риманова поверхность @* называется накрывающей
поверхностью для римановой поверхности ©. Точка римановой поверхности
в, над которой расположена точка Ρ накрывающей римановой
поверхности @*, называется проекцией точки Р.
§ 6. Абелевы дифференциалы. Теорема Римана—Роха
Используя понятие, близкое к понятию дифференциальной формы,
введенному нами в предыдущем параграфе, мы сможем формулировать
в более удобном виде многие результаты, относящиеся к абелевым
интегралам. С этой целью покажем сейчас, что с каждым абелевым
интегралом у (г) на римановой поверхности Q можно взаимно
однозначно связать так называемый абелев дифференциал.
Пусть в каждой окрестности Ua римановой поверхности (мы не
делаем различия между абстрактной римановой поверхностью и
римановой поверхностью, склеенной из листов комплексной плоскости)
задана функция ω^(τ^ локальной переменной τ^. отвечающей этой
окрестности. Если функции ω^ (τJ мероморфны в кругах | τ^ | ^ 1
и связаны условиями согласованности

590 МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ НА РИМАНОВЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ [Гл. 9
будем говорить, что задан мероморфный (или абелев) дифференциал
на риманобой поверхности Q.
Мы не можем говорить о значении абелева дифференциала в точке
римановой поверхности, так как из условий согласованности A) видно^
что это значение определяется лишь с точностью до умножения на
χάοίτ^) (напомним, что точки τ^ и τ , связанные соотношением т„ =
=^ Хаз ('^-)' отвечают одной и той же точке римановой поверхности;
см. определение абстрактной римановой поверхности в начале § 5).
Однако в силу конформности отображения τ^ = χ^ (τ) производная
χ^ (τ ) отлична от нуля, и мы можем говорить о нулях и полюсах
абелева дифференциала. Более того, имеет смысл понятие порядка
нуля или полюса абелева интеграла в данной точке римановой
поверхности.
Легко видеть, что задание абелева дифференциала равносильна
заданию дифференциальной формы первой степени дифференциальными
выражениями ω^(τ^ί/τ^ в локальных переменных. Эту
дифференциальную форму будем обозначать символом
ω (г) dz
(в дальнейшем не будем проводить особого различия между абелевьш
дифференциалом ^{z) и этой дифференциальной формой).
Пусть дан абелев дифференциал ω (г). Мы можем определить
интеграл
\^{z)dz B)
с
по любой кривой с, не проходящей через его полюсы. Из
определения интеграла от дифференциальной формы (см. § 5) немедленно
вытекает, что интеграл B) не меняется при непрерывной деформации
кривой С, если не переходить через полюсы абелева дифференциала
ω B") (ибо функции ω^(τ^ мероморфны).
Вычетом абелева дифференциала ω (^-) в полюсе, расположенном
в точке а римановой поверхности G, назовем величину
дВ
где В — односвязная область, содержаи^ая точку α и не содержаидая
других полюсов нашего абелева дифференциала. (Это определение
имеет смысл ввиду независимости интеграла B) о пути.)
Из сказанного выше видно, что интеграл
\^{z)dz = jiz)

§01 АБЕЛЕВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ. ТЕОРЕМА РИМАНА — РОХА 591
определяет многозначную аналитическую функцию на римановой
поверхности G, если o)(z) — абелев дифференциал. Любые два элемента
Э10Й аналитической функции в одной и той же точке римановой
поверхности различаются на постоянное слагаемое
^ ω (ζ) dZy
с
где С—некоторая замкнутая кривая на римановой поверхности G,
не проходящая через полюсы абелева дифференциала ω (ζ). Особыми
1 очками этой функции могут быть только полюсы абелева
дифференциала 0)(^). Разложение в окрестности этих особых точек по
локальным переменным τ^ (значение τ^ = 0 отвечает соответствующей особой
точке) имеет вид
/aW= 2-^ + ^^^^^^+^^^°^^^
где /(^J — функция, регулярная при τ^ = 0. (Легко проверить, что
постоянная с равна вычету абелева дифференциала ο)(ζ) в точке
римановой поверхности, отвечающей значению τ^ = 0.) Таким образом,
функция J (ζ) представляет собой абелев интеграл на римановой
поверхности Q.
Нетрудно показать, что и обратно, если J (ζ) — абелев интеграл,
то дифференциальная форма dj (ζ), определенная в каждой точке
регулярности абелева интеграла J (ζ), является абелевым
дифференциалом на римановой поверхности G. При этом полюсы и
логарифмические особые точки абелева интеграла становятся
полюсами абелева дифференциала.
Таким образом, между абелевыми интегралами и абелевыми диф-
фере!щиалами можно установить взаимно однозначное соответствие.
Иметь дело с абелевыми дифференциалами лучше, так как в некоторых
вопросах нули абелевых дифференциалов играют суил,ественную
роль. В качестве первого результата, использующего сведения о
нулях абелевых дифференциалов, докажем теорему, уточняющую
теорему 3 § 4:
Теорема I. Пусть G — риманова поверхность рода g, а ее
точки bi, b^, ·. -f bfi попарно различны. Обозначим через N число
линейно независимых мсроморфных функций на римановой
поверхности G, не имеющих особых точек, за возможным
исключением простых полюсов в точках Ь^, b.j, · · ·, ^«, а через /Vi* —
число линейно независимых абелевых дифференциалов, не имеющих
полюсов на всей римановой поверхности G и имеющих нули
β точках bi, b^, ..., b^- Тогда

592 МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ НА РИМАНОВЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ [Гл. 9
Вернемся к обозначениям, введенным при доказательстве теоремы 3
§ 4. Пусть jk(z) (k=\y 2, ,.., η) — абелев интеграл, имеющий полюс
с главной частью 1/τ в точке Ь^ и не имеющий других особых точек.
Эти абелевы интегралы нормируем условием равенства нулю их
Л-периодов, а их ^-периоды обозначаем через B^s'
Bks = ^^4'k(^) {k=\. 2,..., щ s=\, 2,...,^).
Как мы видели в теореме 3 § 4 (см. замечание к ней),
N=n — ^-j- 1 -j-ν.
где ν — ранг матрицы
ig у
/Вц Bi^ ... В
β η ^22 · · · ß^g
\Вп\ Вп^ ..., Bng/
C)
Сейчас найдем связь между числами ν и /И*. Пусть ω (г) — абелев
дифференциал, не имеющий полюсов и имеющий нули в точках ^^,
^2, ..., bfi- Этот абелев дифференциал можно единственным образом
представить в виде
со (ζ) = αιί/Φι (ζ) 4- (ΐ^άΦ^ B-) -f... -f α^ί/Φ^ (г),
где Ф/г (ζ) — абелев интеграл первого рода, для которого все Л-пе-
риоды равны нулю, кроме периода, отвечающего циклическому
сечению Л/г, а этот период равен единице (ясно, что число си^ равно
периоду абелева дифференциала ω (г), отвечаюил,ему сечению Ak).
Обозначим через G* односвязную область, получаемую
каноническим рассечением римановой поверхности Q (по циклическим
сечениям Ар ..., Ag, Вр ..., Bg) и рассмотрим интеграл
Согласно лемме 3 § 2 имеет место равенство
$ J (ζ) dJ* (г) = ^{Aß's - A'sB,),
dG* 5=1
где Лх, ..., Л^, Вр ..., Bg — циклические периоды абелева интеграла
J{z\ а А[у ..., A'g. В[у ..., B'g — циклические периоды абелева
интеграла У* (ζ). Поэтому
g
С другой стороны, / = 0, так как подинтегральное выражение не
имеет полюсов в односвязной области G* (полюс абелева интеграла
ik{z) компенсируется нулем абелева дифференциала в той же точке).

имеет нули в точках ^χ, ^, ..., b^y то числа а^, ..., а^ должны
удовлетворять системе уравнений
§6] АБЕЛЕВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ. ТЕОРЕМА РИМАНА - РОХА 593
а контур интегрирования можно произвольно деформировать, не
переходя через полюсы. Следовательно, если абелев дифференциал
ω {ζ) = α^Φι (г) +... + ^g^g {ζ)
bi, b^, ..., Ьпу то числа α^, ..
равнений
! D)
Ввиду взаимно однозначного соответствия между наборами чисел
dp α^, ..., α^
и абелевыми дифференциалами ω (г), не имеющими полюсов, число
линейно независимых решений системы D) равно числу /И*. С другой
стороны, число линейно независимых решений системы D) равно,
очевидно, рангу матрицы C), т.е. числу v. Таким образом Λί* = ν
и Ν=η — ^-1~ ^ ~l· ^^^^- Теорема доказана.
Доказанная теорема является важным частным случаем теоремы
Римана — Роха, которую докажем немного позже.
Мы знаем, что для мероморфных функций на компактной рима-
новой поверхности разность между числом нулей и числом полюсов
не зависит от выбора функции — она всегда равна нулю (см.
теорему 1 § 3). Нетрудно показать, что разность между числом нулей
и числом полюсов абелева дифференциала тоже не зависит от выбора
абелева дифференциала. С этой целью заметим прежде всего, что
отношение двух абелевых дифференциалов является мероморфной
функцией на римановой поверхности. Действительно, если функции
ω^ (τJ и ω* (xj в локальных переменных τ^ отвечают абелевым
дифференциалам ω (г) и ω* (г), то они должны удовлетворять условиям
согласованности A). Из этих условий следует, что
<' (Χαβ (^β)) _ ^β (^β)
«α (Χαβ (^β)) ~ ^β (Τβ) '
ω| (τ )
а это означает, что функции —^ в локальных переменных
определяют функцию на римановой поверхности. Поскольку функции
ω^, ω* мероморфны, эта функция мероморфна на римановой
поверхности. Далее, если обозначить через n{f) разность между числом
нулей и полюсов f{z) {гле f(z) — функция или абелев дифференциал),
то, очевидно, имеет место равенство
и ~-) = «(ω*) —/г(и)).

594 МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ НА РИМАНОВЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ [Гл. 9
Поскольку, согласно теореме 1 § 3, для любой функции t\z\ меро-
морфной на римановой поверхности, n(f) = Oy мы получаем, что
л (ω*) п= А2 (ω), и наше утверждение доказано.
Доказанное только что утверждение нетрудно дополнить, найдя
величину η {(и).
Теорема 2. Для любого абелева дифференциала ω (г) на ком-
пактной римановой поверхности Q рода g разность между числом
нулей и числом полюсов равна 2g—2.
Рассмотрим сначала случай g^ 1. Тогда существует ровно g
линейно независимых (с точностью до постоянной) абелевых
интегралов первого рода
Φι ω, Φ^ω, ..., Φ^^)·
Обозначим через b^ h^, ..., b^ нули абелева дифференциала
ί/Φι (ζ) (каждый нуль пишем столько раз, какова его кратность).
Легко видеть, что число линейно независимых абелевых
дифференциалов, имеюпшх нули Ь^у Ь^, ..., Ь^ и не имеющих полюсов, равно
единице. Действительно, отношение любого такого абелева
дифференциала к абелеву дифференциалу άΦ^ (ζ) является мероморфной
функцией, iie имеющей полюсов на всей римановой поверхности, а такая
функция по теореме 1 § 4 является тождественной постоянной.
Далее, число линейно независимых функций, не имеюш,их на всей
римановой поверхности G полюсов, отличных от точек Ь^, b^j,, ..., b^
(с кратностью, не превосходяил,ей кратности соответствующего нуля
абелева дифференциала άΦχ (ζ)), равно g. Действительно, все функции
такого рода имеют вид
(ибо выражение /{ζ)αΦι{ζ) обязано быть абелевым дифференциалом
без полюсов, т. е. дифференциалом абелева интеграла первого рода).
Поэтому в обозначениях теоремы 1
N=g. Ж* = 1,
и следовательно, теорема 1 дает нам, что n = 2g—2. Таким образом,
мы доказали, что число нулей абелева дифференциала άΦγ{ζ) равно
lg—2, а поскольку полюсов этот абелев дифференциал не имеет, то
эта величина равна разности между числом его нулей и числом его
полюсов. Но мы доказали, что эта разность не зависит от выбора
абелева дифференциала (непосредственно перед теоремой). Тем самым
теорема доказана в предположении, что род g нашей римановой
поверхности положителен, и остается доказать, что она остается
справедливой и для римановой поверхности рода нуль.
Римапову поверхность рода нуль можно конформно отобразить
па расширенную плоскость. Между абелевыми дифференциалами
устанавливается взаимно однозначное соответствие, при котором ни число

§ 6] АБРЛЕВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ. ТЕОРЕЛ1А РИМАНА — РОХА 595
нулей, ни число полюсов не меняется. Поэтому нам остается найти
разность между числом нулей и числом полюсов для какого-либо
абелева дифференциала на расширенной плоскости. Рассмотрим абе-
лев дифференциал
^i^) = d{-)=—--^ dz.
Он имеет при ^ = О полюс второго порядка. В конечной части
плоскости этот абелев дифференциал, очевидно, не имеет нулей. Для
выяснения его поведения в точке 2^ = со следует перейти к
локальной переменной т = —. Тогда получаем, что ωB') = ί/τ, т. е. в точке
ζ :=^ сю нет ни нуля, ни полюса. Следовательно, для выбранного нами
абелева дифференциала (а значит, для любого другого) разность
между числом нулей и числом полюсов равна — 2. Тем самым
теорема доказана и в случае, когда ^ = 0.
При исследовании алгебраических функций чрезвычайно удобно
понятие дивизора.
Дивизором мы будем называть символ
1де Pj, Р2, ..., Рт — точки римановой поверхности, а aj, ..., α^ —
целые числа, причем два таких символа, отличающиеся лишь
порядком точек Pj, Р2, ..., Ρ γη (или заменой произведения Ρ^ΡΙ одним
членом Р^' + ^О' считаются одинаковыми.
Множество всевозможных дивизоров (относяш,ихся к одной и
той же римановой поверхности) образует абелеву группу по умно-
жению, если операцию умножения дивизоров определить
равенством
(Р? ■ ■ ■ Р'^) (Qi' · · · Ql') = pV... P;-Q^... Q^.
Дивизором мероморфной функции f{z) или абелева
дифференциала ω (г) назовем дивизор
pV...py-Qr^^...Q;\
где Pi, Р^2, ..., Рт — нули, а Qi, Q.2, ..., Qr — полюсы функции f{z)
(или абелева дифференциала ω (ζ)). При этом число а^ равно крат-
iiocTH нуля Р/,, а число E/г — кратности полюса Qk.
Дивизор функции f(z) будем обозначать символом (/), а дивизор
абелева дифференциала ^{z) — соответственно символом (о)).
Дивизор PjV. .Ρ^^^ϊ будем называть целым дивизором, если все
числа (J^k положительны (или соответствуюш.ие точки отсутствуют).

596 МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ НА РИМАНОВЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ [Гл. 9
Часто говорят, что функция f{z) (или абелев дифференциал)
делится на данный дивизор а. Это означает, что дивизор (/)·α"~^
является целым дивизором.
Число Αζ (а) = а^-j-...-|-а^ называется степенью дивизора
1 т
Многие полученные результаты легко сформулировать с помощью
понятия дивизора. Например, теорема 1 § 4 означает, что степень
дивизора любой функции, мероморфной на компактной римановой
поверхности, равна нулю. Теорема 2 означает, что степень
дивизора любого абелева дифференциала на компактной римановой
поверхности рода g равна 2g—2.
Особо отметим формулировку в этих терминах теоремы 1. Она
имеет следующий вид:
Пусть а — целый дивизор, а G—компактная риманова
поверхность рода g. Если N—число линейно независимых мероморфных
функций, делящихся на дивизор α~^ а ТИ* — число линейно
независимых абелевых дифференциалов, делящихся на дивизор а, то
Л^=л(а) —^+1 + Л^*.
Докажем сейчас, что в этом утверждении условие, что дивизор
α является целым дивизором, совершенно излишне. Следующая
теорема, дополняющая теорему 1, называется теоремой Римана — Роха:
Теорема 3. Пусть Q—компактная риманова поверхность
рода g. Обозначим через N{a) число линейно независимых
функций, мероморфных на римановой поверхности Q, делящихся на
дивизор а, через yv* (α) — число линейно независимых абелевых
дифференциалов на этой римановой поверхности, делящихся на
дивизор а, а через η (а) — степень дивизора а. Тогда для любого
дивизора α имеет место равенство
^χα-0 = /г (а) - ^ + 1 + 7V* (а). E)
Согласно теореме 1 равенство E) имеет место для любого целого
дивизора а. Покажем сначала, что это равенство имеет место и для
любого дивизора а, представимого в виде
α = αι.(/ο);
αϊ — целый дивизор, где a{f^ — дивизор какой-либо функции.
Действительно, при этом условии имеет место равенство
A^(a-i) = yV(arO>
так как функции /(г), делящиеся на дивизор α~^ и функции fi{z)j
делящиеся на дивизор а^^ = а~^ · (/^), можно поставить во взаимно
однозначное соответствие с помощью равенства

§ 6] АБЕЛЕВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ. ТЕОРЕМА РИМАНА - РОХА 597
По аналогичной причине
7V*(a) = 7V*(ai).
Кроме того, очевидно, что η (а) = η (αχ)-\-η ((fj), а степень дивизора
функции по теореме 1 § 3 равна нулю. Поэтому при замене
дивизора α дивизором αϊ ни одна из величин, входящих в равенство E),
не меняется.
Покажем теперь, что формула E) справедлива при условии, что
/V(a-i)>0.
Действительно, в этом случае существует отличная от
тождественного нуля функция ί^(ζ), делящаяся на дивизор a~S и дивизор αι =
= -=^ = (/^) α будет целым дивизором. Для дивизора ui, а согласно
доказанному выше и для дивизора α формула E) будет справедлива.
Теперь докажем формулу
где α — произвольный дивизор, а ω^ (ζ) — произвольный абелев
дифференциал на римановой поверхности Q. Эта формула вытекает из
того, что между функциями f(z), делящимися на дивизор α·(ω^)~\
π абелевыми дифференциалами ω (г), делящимися на дивизор а, можно
установить взаимно однозначное соответствие с помощью равенства
f(z) = --^
^^ ^ ω, (ζ) '
С помощью формулы F) легко доказывается следующее
утверждение:
Если хотя бы для одного абелева дифференциала ω^^ {ζ) имеет
место неравенство
то для дивизора а справедлива формула E).
Действительно, в этом случае формула E), согласно доказанному
выше утверждению, справедлива для дивизора а~^ (ω^), и это дает
нам равенство
^Ш=« (^)-^+^+^^(^)- ί^)
Но в силу формулы F)
^(ά) = ^*("^' A/*(b^) = yV(a-).
кроме того, я ((ω^). а~0 = ^(W) — ^(Ю' ^ /ζ((ω^)) = 2^—2 по
теореме 2. Подставляя эти выражения в равенство G), получаем
формулу E) для дивизора а.

598 МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ НА РИМАНОВЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ [Гл. 9
Таким образом, осталось доказать формулу E) лишь для случая,
когда выполняются условия
(ω,^ (ζ) — произвольный абелев дифференциал). Заметим, что второе из
условий (8) в силу формулы F) равносильно условию
Л^* (а) = 0.
Поэтому доказательство теоремы при выполнении условий (8)
сводится к доказательству равенства
nia} = g-l. (9)
Для доказательства этого равенства представим дивизор α в виде
α = b · с~^ где Ь и с — взаимно простые целые дивизоры.
Согласно теореме 1 имеет место неравенство
Поскольку Ь = а-с и потому η (Ь) = η (а)-\-η (с)у это неравенство
можно записать в виде
N{b~')^nic)-\-n(a)~g-^\. A0)
Число N{b~^) линейно независимых функций, делящихся на дивизор Ь"Ч
не должно быть больше степени η (с) дивизора с. Действительно, в
противном случае можно было бы подобрать линейную комбинацию
функций, деляш,ихся на дивизор b~S таким образом, чтобы она делилась
на дивизор с. Тогда эта линейная комбинация делилась бы и на
дивизор а~^ = Ь"^-с, что невозможно из-за условия N(a~^) = 0.
Неравенство N(b~^)^n{c) выполняется согласно неравенству A0) лишь в
случае, когда
n{a)^g~\. (И)
Мы вывели неравенство (И) из предположения N(a~^) = 0. Если
использовать равенство Ν(α·{^^)~^) = 0, то мы придем к неравенству
Так как αζ (а"^ · (ω^)) = αζ ((ω^)) — η (а), а n({(i)^)) = 2g—2 по теореме 2,
получаем, что n{a)^g—1. Отсюда вытекает равенство (9). Тем
самым теорема Римана — Роха доказана полностью.
В заключение этого параграфа приведем одно приложение теоремы 2^
о степени дивизора абелева дифференциала. Именно, докажем с по-
мош.ью этой теоремы так называемую формулу Римана — Гурвица
для определения рода римановой поверхности по числу ее листов
и кратности точек разветвления.
Теорема 4. Пусть Q— компактная рпманова поверхность,
а G—накрывающая ее рпманова поверхность, имеющая т листов-

§6] АБЕЛЕВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ. ТЕОРЕМА РИМАНА ~ РОХА 599
и конечное число точек разветвления с кратностями ^j, ..., k^.
Тогда род g римановой поверхности Q выражается через род g
римановой поверхности G формулой
г
B^-2)=//гB^-2)+ 11(^,-1).
Идея доказательства состоит в том, чтобы по абелеву
дифференциалу, имеющемуся на римановой поверхности G, построить абелев
дифференциал на накрывающей римановой поверхности G, а затем
сравнить степени их дивизоров и воспользоваться теоремой 2. Для
осуществления этой идеи удобнее всего будет использовать абелевы
дифференциалы вида dF(ζ), где F(ζ) — мероморфная функция на
римановой поверхности G. Ясно, что эту функцию можно рассматривать
и как функцию на накрывающей римановой поверхности Q,
принимающую одинаковые значения в точках, лежащих над одной и той же
точкой римановой поверхности О. Для получения сведений об абеле-
вом дифференциале dF (ζ) мы должны найти выражение функции F (ζ)
в локальных переменных на обеих римановых поверхностях G и G.
Обозначим
и
В конце предыдущего параграфа мы показали, что на накрывающей
римановой поверхности G отображения я^ (а следовательно, и
локальные переменные τ J следует вводить таким образом:
Если окрестность U^ однолистна и ее проекцией на поверхности G
является окрестность Ur,, то мы полагаем
^α = ^α' ^ α ==
панели окрестность U^ содержит точку разветвления порядка k
накрывающей римановой поверхности Q, то окрестность [/^ состоит
из k экземпляров проекции и^ этой окрестности, разрезанных и
склеенных таким образом, чтобы они образовали часть римановой
поверхности корня k-Vi степени. В этом случае полагаем
Теперь обозначим
F„ (.„) = F (л - (т„)), F„( ΐ с) = F (πα' (ν)).
Согласно сказанному выше

600 МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ НА РИМАНОВЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ [Гл. 9
если значению ^^ = О отвечает не точка разветвления накрывающей
римановой поверхности G, и
Pa(\) = f'.G')> A2)
если значению τ^ = 0 отвечает точка разветвления порядка k.
Абелев дифференциал dF(z) на римановой поверхности О
задается выражениями ω^(τ^ = /^ά(τ„) в локальных переменных, а на
римановой поверхности G абелев дифференциал dF(z) задается
выражениями ω^ (τ^) = Fa (τJ. Будем считать для простоты, что нули и полюсы
абелева дифференциала dF(z) на римановой поверхности G
расположены в точках, над которыми не лежат точки разветвления
римановой поверхности G. Тогда каждому нулю (и полюсу) абелева
дифференциала dF(z) на римановой поверхности О отвечает т нулей (или
полюсов) абелева дифференциала dF (ζ) на римановой поверхности Q
(поскольку в одну точку римановой поверхности G проектируется т
точек римановой поверхности G). Кроме того, в каждой точке
разветвления порядка k абелев дифференциал dF{z) на римановой
поверхности G имеет нуль порядка k — 1, так как, согласно равенству A2).
К ω=4- (f, (¾)=kzt'Fa (¾.
Следовательно, обозначая через η разность между числом нулей
и числом полюсов абелева дифференциала dF (ζ) на римановой
поверхности G, а через η — разность между числом нулей и числом
полюсов абелева дифференциала dF (ζ) на римановой поверхности ft
получаем соотношение
г
5=1
В силу теоремы 2 n = 2g—2у г n = 2g—2, и мы приходим к
утверждению теоремы.
В случае, когда G—расширенная плоскость, ^=0 и формула
Римана—Гурвица принимает вид
S — ^ 2
§ 7. Автоморфные функции
О понятии автоморфной функции мы уже упоминали вскользь ρ
гл. 5, когда говорили о конформном отображении треугольников. В
этом параграфе будем говорить о них значительно подробнее.
Начнем с точного определения понятия автоморфной функции.

§ 71 АВТОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ 601
Пусть G — некоторая область расширенной плоскости или рима-
новой поверхности, расположенной над расширенной плоскостью, а
© — какая-либо группа дробно-линейных преобразований вида
7-=7-(г) = 2£-+| iad-bc = l),
конформно отображающих область О на себя.
Функцию F (ζ), мероморфную в области О и удовлетворяющую
условию
F{Tiz)) = Fiz)
для любого преобразования Τ из группы ©, будем называть
функцией, автоморфной в области О относительно группы ©.
Функцию F(z), мероморфную в области Q и удовлетворяющую
условию
F(T{z)){r{z)r = Fiz)
для любого преобразования Τ из группы @, мы будем называть
автоморфной формой порядка т в области О относительно
группы @.
Из определения автоморфной функции и автоморфной формы
непосредственно вытекают следующие утверждения:
Автоморфная форма порядка нуль — автоморфная функция.
Произведение и частное двух автоморфных форм —
автоморфная форма. При перемножении автоморфных форм их порядки
складываются, а при делении — вычитаются.
При изучении автоморфных функций существенную роль играет
понятие фактор-пространства.
Две точки области О будем называть конгруэнтными
относительно группы ©, если они могут быть переведены друг в друга
какими-либо преобразованиями из группы @.
Множество всех точек области G, конгруэнтных с данной точкой
ζ^, будем называть траекторией γ{ζ^, определяемой точкой ζ^.
Множество, элементами которого являются траектории точек
области О. будем называть фактор-пространством Q/Q) области Q по
группе @.
Ясно, что любую функцию, автоморфную в области Q
относительно группы ®, можно рассматривать как функцию,
определенную на фактор-пространстве G/©.
Фактор-пространство G/@ можно геометрически наглядно
изображать с помощью так называемой фундаментальной области.

602 МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ НА РИМАНОВЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ [Гл. 9
Понятие фундаментальной области определяется с довольно
большой степенью свободы. Пусть существует область G* cz: G,
обладающая следующими свойствами:
1. Для каждой точки ζ ^ G существуют такая точка г* ^ G* и
такое преобразование Г ζ @, что г=Г(г*).
2. Если точка г* принадлежит области G*, то точка 7 (г*) не
принадлежит области G* ни при одном преобразовании группы E3,
кроме тождественного.
Тогда область G* называется фундаментальной областью
группы ® для области G.
Наиболее типичным является случай, когда в качестве
фундаментальной области G* удается выбрать криволинейный 2Аг-угольник со
сторонами
Cj, L^y ..., Сд, Cj, С^) · . . J C;i,
обладающими тем свойством, что сторона Q переводится в сторону
Ck преобразованием Tk из группы ®.
В гл. 5, когда мы рассматривали простейшие примеры автоморф-
ных функций (функции прямолинейного треугольника, эллиптические
функции, модулярные функции), мы брали за основу
фундаментальную область и преобразования Γι, Тс^, Т^- По этим
преобразованиям строили группу @, считая ее состоящей из всевозможных
преобразований вида
^ t. ^ и - · ' ^ Ь
ki k2'·' ' k^
где числа ε^ равны 1 или — 1, а номера k^ принимают значения 1,
2,..., /2. Область G мы также строили по фундаментальной области
и по группе ®, склеивая ее из образов фундаментальной области
при отображениях различными преобразованиями группы ©. При этом
нас больше всего интересовал случай, когда эти образы
укладываются в «паркет», покрывающий всю плоскость или некоторый
конечный круг, но с тем же успехом мы могли бы рассматривать такой
«паркет» и на каких-нибудь римановых поверхностях (скажем, на ри-
мановой поверхности логарифма).
Исследование автоморфных функций значительно упрощается, если
исходить не из фундаментальной области, а прямо из области G и
группы @. Именно этим путем мы и пойдем в настоящем параграфе.
Основной задачей, которую мы намерены решить, является задача
построения функций, автоморфных в данной области G относительно
данной группы @. Разумеется,, далеко не для любой группы Q)
существует хотя бы одна автоморфная в области G относительно
группы ® функция, отличная от тождественной постоянной. Легко найти
условие, которому обязана удовлетворять группа ®.

§ 7] АВТОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ 603
Группу (?) будем называть собственно разрывной в области О,
если множество всех точек, конгруэнтных любой фиксированной точке
области G, не имеет предельных точек в области Q,
Лемма 1. Если группа О не является собственно разрывной
в области О, то любая функция, автоморфная в области О
относительно группы @, — тождественная постоянная.
Действительно, допустим, что существует отличная от постоянной
функция F {z\ автоморфная в области G относительно группы ®. Во
всех точках, конгруэнтных между собой, функция F {ζ) принимает
одинаковые значения. Поэтому предельная точка не может быть (в силу
теоремы единственности; см. § 2 гл. 3) ни точкой регулярности, ни
полюсом функции F{z). Поскольку функция F (ζ) мероморфна в
области G, это означает, что предельная точка не принадлежит области
G, т. е. что группа ® собственно разрывна. Лемма доказана.
Оказывается, условие, что группа @ собственно разрывна в
области G, является не только необходимым, но и достаточным условием
существования автоморфной функции, отличной от тождественной
постоянной. Докажем это, определив фактор-пространство G/® как
абстрактную риманову поверхность. Тогда автоморфные функции
окажутся мероморфными функциями на этой римановой поверхности, и
их существование будет следовать из теоремы 2 § 10 (с учетом
дополнений к ее доказательству, о которых мы говорили в конце § 6).
Прежде чем определять фактор-пространство G/® как риманову
поверхность, придется доказать некоторые вспомогательные
результаты.
Лемма 2. Пусть группа ® дробно линейных отображений обла-
сти О на себя собственно разрывна в области G. Тогда любая
достаточно малая окрестность каждой точки ζ^ ^ G, не
являющейся наподвижной точкой какого-либо преобразования из группы ®^
не содержит точек, конгруэнтных между собой относительно
группы ®.
Без ограничения обииюсти можно считать, что ζ^^ — конечная точка.
Тогда ее окрестностью будет круг \ζ — ζ^\<^ζ. Обозначим этот круг
через К, а его образ при отображении преобразованием Τζ^@ —
через Κγ- Так как группа ® собственно разрывна, то в любой
компактной части области G лежит лишь конечное число кругов Kj-
Когда ε -> О круг К стягивается к точке ζ^, а круг Κγ — к точке Τ {ζ^).
Поэтому круг К может пересекаться с кругом Κγ при всех ε^Ο
лишь в случае, если T{z^=^z^y т. е. если точка z^ является
неподвижной точкой одного из преобразований группы ®. В противном
случае круг К при достаточно малых ε не имеет общих точек с его
образами при отображениях преобразованиями! Τ из группы ®. Это
и означает, что в круге К нет точек, конгруэнтных относительно-
группы @. Лемма доказана.

604 МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ НА РИМАНОВЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ [Гл. 9
Замечание. Попутно мы доказали следующий важный для
дальнейшего факт: число различных преобразований группы ®,
имеющих данную точку z^^Q неподвижной точкой, конечно.
Сначала покажем, как сделать фактор-пространство G/®
абстрактной римановой поверхностью в наиболее простом случае, когда
группа @ не только собственно разрывна в области G, но и не содержит
преобразований, имеющих в области О неподвижные точки.
Согласно определению фактор-пространства G/® его точками
являются траектории, т. е. множества точек области О, конгруэнтных между
собой относительно группы @. Траекторию, содержащую точку Zy
мы договорились обозначать через ρ (г).
Определим теперь понятие окрестности каждой траектории из
фактор-пространства G/®.
Пусть траектория ρ ^ G/® содержит точку г^ ^ G. Согласно
лемме 1 (и нашему условию об отсутствии в области G
неподвижных точек преобразований 7 ^ @) существует такая окрестность
точки ^Q, которая лежит в области G и не содержит точек,
конгруэнтных относительно группы ®. Окрестностью траектории
ρ = ρ \ζ^ будем считать множество траекторий ρ (г), где ζ — любая
точка из упомянутой окрестности точки ζ^.
Построив в фактор-пространстве G/® систему окрестностей, мы
сделали его топологическим пространством (см. § 4 гл. 1). Более того,
ясно, что это топологическое пространство является поверхностью,
так как каждая из построенных окрестностей топологически эквива-
лентна окрестности некоторой точки области G, расположенной на
поверхности, а та в свою очередь топологически эквивалентна кругу
на плоскости.
Покажем теперь, что фактор-пространство G/® является
абстрактной римановой поверхностью. Для этого нужно проверить выполнение
условий 1 и 2 определения абстрактной римановой поверхности
(см. § 5).
Условие 1 фактически уже проверено. Мы видели, что каждая
окрестность U^ cz О/® топологически отображается на некоторую
окрестность К^. с= G. Окрестность К^. комформно отображается на
1фУ^^ !'^а!<С1' так как G—область плоскости или римановой
поверхности, склеенной из листов плоскости. В качестве локальной
переменной мы можем использовать не только переменную τ^,
меняющуюся в единичном круге, но и переменную ζ^, меняющуюся в
окрестности /С^. При этом возникает некоторое неудобство,
связанное с тем, что области изменения локальных переменных, отвечающих
различным окрестностям, различны. Однако это неудобство вполне
окупается тем, что для всех окрестностей К^. мы имеем, по существу,
одну и ту же локальную переменную, меняющуюся в области G;
удобно, когда G—конечная область плоскости (в этом случае
окрестности /С„ — конечные круги).

§ 7] АВТОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ 605
Перейдем к проверке условия 2. Пусть мы имеем две
окрестности и^ Vi и^ с непустым пересечением. Тогда окрестности К^. и Кг^у
отвечающие окрестностям' U^ и 6^, вообще говоря, не обязаны иметь
непустое пересечение. Однако всегда существует такое
преобразование 7 ^ ©, что образ /Cß окрестности /С при отображении
преобразованием Τ пересекается с окрестностью /С^. Локальные переменные,
отвечающие окрестностям Ка и iCß» совпадают. Поэтому локальные
переменные z^ и 2'ß, отвечающие окрестностям U^ и 6^, связаны
соотношением ζ ^= Τ {ζ X При желании мы могли бы перейти и к
локальным переменным τ^ и τ , которые также будут регулярными
функциями одна от другой (в областях, отвечающих пересечению
окрестностей U^ и 6^). Следовательно, условие 2 определения
абстрактной римановой поверхности тоже выполнено.
Таким образом, нами доказана
Теорема 1. Пусть группа @, состоящая из дробно-линейных
отображений области Q на себя, удовлетворяет условиям:
1. Группа ® собственно разрывна в области О.
2. Ни одно преобразование группы @ не имеет неподвижных
точек в области Q.
Тогда фактор-пространство Q/® является абстрактной
римановой поверхностью.
Легко доказывается и следующий результат:
Теорема 2. Функции, автоморфные в области Q
относительно группы © (при условиях теоремы 1), являются мероморф-
ными функциями на римановой поверхности Qj®, а
автоморфные формы первого порядка — абелевыми дифференциалами.
Функция F {ζ), автоморфная в области Q относительно группы @,
принимает одинаковые значения во всех точках, образующих
траекторию. Поэтому функцию F {ζ) можно рассматривать как функцию
на фактор-пространстве G/®. Эта функция будет мероморфна в
каждой окрестности U^ сп G/@, так как в качестве локальной
переменной, отвечающей любой окрестности Ur^, можно взять переменную
ζ^, меняющуюся в области О. Функция F{z^ как функция г„ по
определению мероморфна в области Q.
Автоморфную форму Fi{z) первого порядка уже нельзя
рассматривать как функцию на римановой поверхности G/®. Однако в
каждой окрестности Ц^снО/® автоморфную форму Fi{z) можно
рассматривать как функцию локальной координаты г„, отвечающей этой
окрестности. При этом, согласно выбору локальной координаты z^y
мы имеем равенство
Если 6/„ и и — две окрестности с непустым пересечением, то, как
мы видели, z^=T(z)y а по определению автоморфной формы
первого порядка *"

бОб МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ НА РИМАНОВЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ [Гл. 9
Следовательно,
Это и означает, что автоморфная форма первого порядка является
абелевым дифференциалом на римановой поверхности G/® (см.
определение абелева дифференциала в начале § б).
В дальнейшем изложении нам будут нужны теоремы 1 и 2 лишь
в том виде, в котором мы их доказали. Однако для других
приложений эти теоремы не вполне удовлетворительны. Так, например,
теорему 1 нельзя применить даже к одному из наиболее простых
случаев, когда область — это верхняя полуплоскость, а группа ® —
модулярная группа, состояш,ая из дробно-линейных преобразований
вида
Τ (ζ) = ^ ι ., ad — bc=\,
где а, by с, d — целые числа. Действительно, преобразование
7(^) = ^^,
очевидно, принадлежит модулярной группе, но, как легко убедиться,
это преобразование имеет неподвижную точку
Докажем сейчас, что теоремы 1 и 2 остаются в силе, даже если
отбросить условие 2 теоремы 1. Для простоты будем считать теперь,
что область G является областью плоскости, а не римановой
поверхности (для дальнейшего это обоби1ение нам вообще не понадобится).
Сначала придется доказать еще один результат, уточняюихий
лемму 2:
Лемма 3. Множество всех преобразований группы ®,
имеющих данную точку z^^Q неподвижной точкой, состоит из
преобразований V, 5 = 0, I, 2,..., η—1, где преобразование Τ
определяется равенством
Τ [ζ) -
-е
{η — целое положительное число).
Без ограничения общности можем считать, что г^^ = со, так как
область Q можно подвергнуть дробно-линейному преобразованию 6*,
а преобразования Τ группы @ заменить преобразованиями STS"^
(также образующими группу, изоморфную группе ®).
Дро1но-линейное преобразование с неподвижной точкой в
бесконечности — это линейное преобразование. Могут представиться две

§ 7] АВТОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ 607
возможности: или вторая неподвижная точка этого преобразования
конечна, или это преобразование имеет в бесконечности двойную
неподвижную точку. В первом случае это преобразование имеет вид
T(z) = a-\-A{z — a), A)
а во втором случае — вид
Τ(ζ) = ζ-\-Β B)
(см. § 1 гл. 5).
Если преобразование Τ принадлежит группе ® и имеет
неподвижную точку Zq, то все его степени тоже обладают этими свойствами.
Однако, согласно замечанию к лемме 1, число преобразований с
такими свойствами конечно. Следовательно, некоторая конечная степень
интересующего нас преобразования Τ должна совпадать с
тождественным преобразованием. Из формулы A) находим, что
Τ^(ζ) = α-\-Α^(ζ — α). A*)
а из формулы B), что
Τ^ζ) = ζ-\-ρΒ. B*)
Легко видеть, что преобразование Т, отличное от тождественного
преобразования Ε и обладаюише тем свойством, что Т'^ = Е, должна
иметь вид A) со значением Λ = 6χρί2π/—j, где т и η — целые
числа.
Обозначим множество всех интересующих нас преобразований
через (¾^. Ясно, что (¾ — конечная подгруппа группы ®. Пусть эта
подгруппа состоит из преобразований Еу Γι,..., Гдг. Согласно
доказанному преобразования Т^ имеют вид
т
l\{z) = a,-^e "' (г —α,). C>
Покажем в первую очередь, что все числа а^ равны между собой.
Для доказательства допустим противное. Тогда существуют
преобразования Τι ^ ©Q, 7=1 ζ (¾ и αϊ 7^ а.,. Подберем целые числа р^ и р^
таким образом, чтобы числа -- ί?ι и —^ Ол были равными (и не были
целыми). Рассмотрим преобразование Т=^Тр^Т-'Рк Очевидно, Г^®^.
Согласно формуле A*) имеем равенства
—2 · ^
Т-Р2 {Z) = а.2 + ^ " "^ ""'(^ — «2)'
С помощью которых легко получаем формул^у
г = ^P^ Ίψ (ζ) =^ζ-\-{α,~ α,) A - е "'' «ι "').

608 МЕРОМОРФНЫЕ Ф^^НКЦИИ НА РИМАНОВЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ [Гл. 9
т
Поскольку ^17^^2, а ~^ργ — не целое число, то преобразование Τ
η
имеет вид B) с В φ О, что, как мы видели, невозможно.
Полученное противоречие доказывает, что все числа а^ равны между собой.
Следовательно, преобразования группы ^, отличные от
тождественного преобразования, имеют вид
т
T^{z) = a-\-e ^(г —α), 5= 1, 2,..., А/, C*)
где rris и Tis — целые числа, которые можно считать взаимно
простыми (причем п^^\ при всех s).
Выберем теперь целые числа pi, /?2,..., Pjs^ таким образом, чтобы
имело место равенство
^Р,-^-Р, + ...+ ^Р^ = -{тоа 1),
где η — наименьшее общее кратное чисел щ, Яз,..., rij^. Легко
убедиться, что преобразование
будет иметь вид
2πι
f(z) = a-\-e "" {z~a).
Ясно, что все преобразования Т^ являются степенями преобразования
Г. Поэтому группа ®q состоит из преобразований
Л η Л..., г-к
Это утверждение сохраняет силу, когда все преобразования Τ группы ®
заменяются преобразованиями STS'^, При этом преобразование Τ
заменяется преобразованием
f=:SfS-\
Легко убедиться, что преобразование T = STS~^ при любом выборе
преобразования vS имеет вид, указанный в лемме.
Тем самым лемма доказана.
Теорема 3. Утверждения теорем \ и 2 сохраняют силу,
если отбросить условие 2 теоремы 1 на группу ®.
В точках фактор-пространства, состоящих из точек, не являющихся
неподвижными точками каких-либо преобразований 7 ^ ®, сохраним
прежнее определение окрестности. Нам остается лишь дать
определение окрестности траектории ρ ^ G/@, состоящей из неподвижных
точек преобразований группы ®.
Итак, пусть ρ ^ G/@ — какая-либо траектория, а z^ — одна из
точек области G, образующих эту траекторию, и пусть точка z^ является
неподвижной точкой какого-либо преобразования группы ® (отличного

§ 7] АВТОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ 609
от тождественного). Возьмем преобразование Г, существование
которого утверждается в лемме 2. Это преобразование определяется
равенством
Τ (ζ) —a.
Окрестностью траектории p==p(Zq) назовем совокупность траекторий
ρ (г), где точка ζ лежит в секторе
~ ""- к ε, υ ^: arg <
η
<,, o^argi-^-<^i D)
(значение ε^Ο достаточно мало).
В качестве локальной переменной возьмем величину ζ,
определяемую равенством
ζ - Ζη ζ ζ (Χ
Легко видеть, что эта локальная переменная изменяется в круге
—"|<^" E)
И что она является регулярной функцией от переменной г, которую
можно считать локальной переменной ζ^ для любой другой
окрестности фактор-пространства G/@ (не содержащей траекторий,
состоящих из неподвижных точек). Поэтому фактор-пространство будет
абстрактной римановой поверхностью, если только отображение
окрестности и траектории ρ (^о) на круг E) является топологическим
отображением.
Итак, мы должны доказать, что соответствие между
траекториями из окрестности U и точками ζ из круга E) взаимно однозначно
и взаимно непрерывно (если ε^Ο достаточно мало).
Заметим прежде всего, что точки из круга ^ <^ ε могут быть
\Ζ Öq I
конгруэнтны (при достаточно малом ε) лишь относительно
преобразований
Поэтому в секторе D) нет конгруэнтных между собой точек. Это
означает, что соответствие между точками сектора D) и
траекториями ρ (г) из окрестности U взаимно однозначно. Следовательно,
соответствие между точками круга E) и траекториями окрестности U
тоже взаимно однозначно. Взаимная непрерывность соответствия между
траекториями окрестности U и точками круга E) очевидна всюду,
кроме дуги arg ^ ^ = 0. Непрерывность соответствия вблизи этой

610 МЕРОМОРФНЬТЕ ФУНКЦИИ НА РИМАНОВЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ [Гл.9
дуги будет доказана, если мрл покажем, что точки ζ и г*, для кото·
рых
з^§7=:7Г = 0, arg-^--
2π
2 — 00
=
2* — 2^0
2*—öo
конгруэнтны. Но легко проверить, что г* =7 (г).
Тем самым мы доказали, что фактор-пространство G/© является
абстрактной римановой поверхностью, т. е. что теорема 1
справедлива и без предположения, что преобразования группы % не имеют
неподвижных точек в области G. Доказательство теоремы 2 не
требует изменений.
Как мы уже говорили выше, из доказанной теоремы немедленно
вытекает следующее утверждение:
Теорема 4. Если группа @ собственно разрывна в области
G, то существует отличная от постоянной функция^ автомор-
фная в области G относительно группы ®.
Действительно, для доказательства этого утверждения нам
достаточно построить отличную от постоянной функцию, мероморфную на
римановой поверхности Q/&. Существование такой функции было
доказано в теореме 2 § 10 гл. 2 для случая, когда риманова
поверхность склеена из листов плоскости, а в конце § 5 мы указали, что
это утверждение переносится и на абстрактные римановы поверхности
(с помощью решения экстремальной задачи строятся два абелевых
дифференциала на римановой поверхности, а функция получается как
отношение двух абелевых дифференциалов).
Если фактор-пространство О/® представляет собой компактную
риманову поверхность, то мы можем применить к изучению автомор-
фпых функций результаты, полученные нами в §§ 2, 3, 4 и 6 для
алгебраических функций и абелевых дифференциалов.
Отметим один результат, не имеющий точного эквивалента среди
результатов, полученных в § б, но легко доказываемый с их помои^ью:
Пусть G/@ — компактная риманова поверхность рода g, а
F {ζ) — автоморфная форма порядка т в области
относительно группы ®. Если функция F{z) не имеет ни нулей, ни полюсов
на границе фундаментальной области Q, то разность между
числом нулей функции F (ζ) в области G и числом ее полюсов в
этой области равна 1m{g—1).
Эта теорема до некоторой степени обобщает теорему 1 § 4 и
теорему 2 § 6 (о числе нулей и полюсов алгебраической функции и
абелева дифференциала). Доказательство этой теоремы немедленна
сводится к этим двум теоремам.

§8] УНИФОРМИЗАЦИЯ 611
Заметим, кстати, что вопрос о компактности фактор-пространства
и о роде римановой поверхности G/®, когда она компактна,
решается чрезвычайно просто, если нам дана фундаментальная область
группы 1¾. Именно:
Риманова поверхность Q/& компактна, если
фундаментальная область G* лежит в области О вместе со своей границей.
В случае, когда фундаментальная область G* представляет собой
2/г-угольник с попарно отождествленными сторонами
Cj, Cjl С2, Cg,. . . J C^, Liji
(переходяш.ими друг в друга при отображении преобразованиями Τγ,
7^2, Tf^y мы можем построить топологический образ
римановой поверхности G/(S тем же способом, что и в § 1. Это дает простой
геометрический метод определения рода римановой поверхности О/®
по фундаментальной области.
Изложенный нами метод построения автоморфных функций по
заданной области G и по группе @ не является единственно
возможным. Иной метод был впервые предложен замечательным
французским математиком Пуанкаре. Его метод аналогичен методу
построения эллиптических функций с помощью тета-рядов. Идеи Пуанкаре
были впоследствии развиты Риттером *).
§ 8. Униформизация
В связи с автоморфными функциями коснемся сейчас одной
интересной задачи, носящей название задачи униформизации многозначных
аналитических функций.
Пусть дана многозначная аналитическая функция С=/(г). Задача
униформизации состоит в том, чтобы найти две однозначные
аналитические функции φ E) и ψ E), мероморфные в некоторой области
комплексной плоскости 5 таким образом, чтобы равенство
ψE) = /(φE))
было тождеством по s.
Элементарные примеры униформизации строятся легко. Например,
функция ^ = z"^ при любом комплексном значении α униформизируется
функциями
Функция С = ζ^ униформизируется функциями
2- = sin 5, ζ = COS 5,
или
2s 1 — s-
1 4-. s-» ^ 1 + s^ *
*) Cm. книгу Frike und Klein, цитированную на стр. 479,

612 МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ НА РИМАНОВЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ [Гл. 9
В гл. 5 ч. 2 этой книги мы видели, что функция
где ^2 и ^3 — некоторые комплексные постоянные, удовлетворяющие
условию gl — 27^1 7^ О, униформизируется функциями
где ^E) — функция Вейерштрасса с инвариантами g<^ и ^з·
Во всех перечисленных примерах униформизация осуществляется
с помощью рациональных, периодических или двоякопериодических
функций. Оказывается, униформизацию любой многозначной
аналитической функции всегда можно осуществить с помощью
рациональных или автоморфных функций.
Задача униформизации до некоторой степени обратна к задаче
построения автоморфных функций с заданной областью G и группой
®. Грубо говоря, там основная часть задачи состояла в
превращении данной фундаментальной области в какую-либо риманову
поверхность, а здесь — в превращении данной римановой поверхности в
какую-либо фундаментальную область. При решении задачи об
униформизации степень произвола довольно велика. Мы можем задать
заранее область G и искать только группу @. В этом параграфе
будем брать в качестве области G некоторый круг К, который
может оказаться конечным кругом, всей конечной плоскостью или всей
расширенной плоскостью. В следующем параграфе изложим еще один
метод униформизации, связанный с другим выбором области G.
Прежде чем переходить к решению задачи об униформизации,
придется ввести некоторые новые понятия.
Пусть дана абстрактная риманова поверхность @. В конце § 5
мы ввели понятие римановой поверхности, накрывающей риманову
поверхность @. Мы определили это понятие с помощью наглядных
представлений о склеивании накрывающей поверхности из разрезанных
экземпляров исходной римановой поверхности ©. В этом параграфе
нам придется поближе познакомиться с одним частным видом
накрывающих римановых поверхностей, не имеющих точек разветвления
(ясно, что такие поверхности устроены особенно просто). Подойдем
к определению интересующих нас накрывающих поверхностей с
несколько иной точки зрения, для того чтобы естественным образом
ввести некоторые новые понятия и термины, удобные для
формулировки результатов об униформизации.
В первую очередь мы должны определить чрезвычайно полезное
топологическое понятие — фундаментальной группы римановой
поверхности (будем говорить здесь только о римановых поверхностях, но

§ 8] УНИФОРМИЗАЦИЯ 613
понятие фундаментальной группы имеет смысл для любого
топологического пространства).
Сначала определим операцию умножения для кривых на римано-
вой поверхности.
Пусть конец непрерывной кривой Q совпадает с началом
непрерывной кривой С^. Тогда произведением CiC^ кривых Q и С^ будем
называть кривую, полученную последовательным прохождением
сначала кривой d, а затем — кривой С^.
При таком определении произведения кривых под символом С"^
естественно понимать кривую С, проходимую в обратном направлении.
Множество всех непрерывных замкнутых кривых, проходящих
через фиксированную точку Ро G ^ ^ гомотопных между собой, будем
называть голютопияеским классом. Гомотопический класс,
содержащий кривую С, будем обозначать символом [С].
С помощью операции умножения кривых естественно определить
операцию умножения гомотопических классов (относящихся к
одной и той же точке Ро)' положив
Легко видеть, что это определение имеет смысл, т. е. что
произведение гомотопических классов не зависит от выбора представителей
этих классов.
Множество всех гомотопических классов (отвечающих одной
и той же точке Ро ^ (S), образует группу относительно
определенной выше операции умножения гомотопических классов. Эта группа
называется фундаментальной группой римановой поверхности @
относительно точки Pq и обозначается символом πι(@, РД
Действительно, умножение гомотопических классов обладает, как
легко проверить, свойством ассоциативности. Далее, обозначая через
е гомотопический класс, состоящий из кривых, которые можно
непрерывным изменением стянуть в точку Ро, легко получаем, что
ас = а, еа = а,
где α — любой гомотопический класс из множества π^ ((g, РД
Наконец, легко видеть, что
[С-Ч.[С] = е, [С]-[С-'] = е.
Поэтому множество tuj ((g, Pq) и определенная на нем операция
умножения удовлетворяют всем аксиомам, которым должна
удовлетворять группа (ассоциативность умножения, существование единицы и
обратного элемента к любому элементу).
Нетрудно доказать, что группы π, (@, Р^) и π, (@, Р*) для любых
точек Ро и Р* изоморфны между собой, т. е что между их
элементами можно установить взаимно однозначное соответствие таким
образом, чтобы произведению элементов одной группы тоже соответст-

614 МЕЮМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ НА РИМАНОВЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ [Гл.9
вовало произведение элементов другой группы. Поэтому обычно
говорят о фундаментальной группе римановой поверхности @, опуская
указание на точку Pq.
Фундаментальную группу римановой поверхности @ будем
обозначать в дальнейшем символом ^^((S).
Фундаментальная группа римановой поверхности @ характеризует
основные топологические свойства римановой поверхности. Отметим»
например, следуюш.ий очевидный результат:
Для односвязности римановой поверхности @ необходимо и
достаточно, чтобы ее фундаментальная группа щ{(ё) состояла
из одного элемента е (единица группы).
Фундаментальная группа римановой поверхности описывается в
большинстве случаев довольно просто. Для ее описания удобно
пользоваться следуюш.им термином:
Элементы αχ, Оз, ..., а^^^ группы @ называются ее образующимиу
если любой элемент группы @ можно представить в виде
α = α!,ι α|2 ...αν,
где числа ε^ равны 1 или — 1, а индексы k^ принимают значения 1,
2, ..., т.
Между образующими группы могут иметься соотношения. Если
соотношений между образующими нет, то группа называется
свободной.
Приведем два важных примера описания фундаментальной группы.
1) Пусть риманова поверхность E топологически эквивалентна
сфере с η дырками. Тогда в качестве образующих фундаментальной
группы πιC) можно взять гомотопические классы
ai = [Ci], ..., ап = [Сп1
где Ck — простая замкнутая кривая, ограничивающая область,
содержащую k-ю дырку и не содержащую остальных дырок.
Перечисленные образующие связаны между собой одним очевидным
соотношением. Именно, если считать, что кривые С^ проводятся в
положительном направлении относительно ограничиваемых ими областей, то
Смысл этого соотношения в том, что кривая, ограничивающая
область, содержащую все η дырок, гомотопна нулю.
Если в качестве топологического образа нашей римановой
поверхности ® возьмем не сферу с η дырками, а конечный круг с η — 1
дырками, то видно, что удобнее взять в качестве образующих
гомотопические классы, отвечающие кривым, обходящим эти η — 1 дырок.
Между этими образующими уже не· будет соотношений. Поэтому

§ 8] УНИФОРМИЗАЦИЯ 615
фундаментальная группа п-связной областпу подобной
однолистной, является свободной группой с η—1 образующими.
2) Пусть @ — компактная риманова поверхность рода g. Тогда в
качестве образующих можно взять гомотопические классы
где As и Bs — циклические сечения, образующие какое-либо
каноническое рассечение нашей римановой поверхности @ (см. конец
§ 1). Эти образующие также связаны между собой соотношением
aibi а7'ЬГ' . · · <igbg αγ^γ = е
(направление циклических сечений мы считаем выбранным по
способу, описанному в § 2). Смысл написанного соотношения довольно
прозрачен: граница односвязной области @*, получающейся после
канонического рассечения римановой поверхности @, гомотопна нулю.
Сделанные выше утверждения о фундаментальной группе
многосвязной области, подобной однолистной, и о фундаментальной группе
компактной римановой поверхности равносильны сведениям о
замкнутых кривых на этих поверхностях. Этими сведениями мы многократно
пользовались на протяжении этой книги. Поэтому подробное
доказательство высказанных утверждений предоставим провести читателю *).
Теперь перейдем к более подробному изучению накрывающих
поверхностей, не имеющих над римановой поверхностью @ точек
разветвления.
В случае, когда риманова поверхность односвязна, она не может
иметь накрывающей поверхности без точек разветвления, отличной
от нее самой (в силу теоремы о монодромии). Если же риманова
поверхность не односвязна, то ее фундаментальная группа состоит
более чем из одного элемента, и мы построим сейчас накрывающую
поверхность 6(^^), отвечающую каждой подгруппе π^
фундаментальной группы π^ ((g).
Точку накрывающей поверхности @(т^о) определим парой вида
(Р, С), где Ρ — точка римановой поверхности @, а С—любая
непрерывная кривая, идущая из фиксированной точки Ρ^ζ^® ^ точку Р.
При этом две пары (Р, Q) и (Р, С^ будем считать определяющими
одну и ту же точку накрывающей поверхности ©(π^), если
гомотопический класс [Ci С~^] принадлежит подгруппе π^.
Точку Ρ римановой поверхности @, участвующую в определении
точки Q = (Py С) накрывающей поверхности @(^о), будем называть
*) Можно рекомендовать также обратиться i^ книге: Р. К ρ о у э л л,
Р. Фокс, Введение в теорию узлов, «Мир», 1967.

616 МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ НА РИМАНОВЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ [Гл.9
проекцией точки Q. (Ясно, что можно говорить и о проекции любого
множества накрывающей поверхности.)
Из определения накрывающей поверхности (З('^^о) легко усмотреть,
что в случае, когда подгруппа π^ совпадает со всей фундаментальной
группой πι(@), накрывающая поверхность совпадает с самой римано-
вой поверхностью @. Для нас представляет особый интерес другой
крайний случай — когда подгруппа π^ состоит из одного элемента е
(единица группы). Накрывающая поверхность @(е) носит название
универсальной накрывающей (эпитет «универсальная» объясняется
тем, что поверхность ©(e) накрывает не только риманову
поверхность @, но и все поверхности @(^о)).
Универсальную накрывающую @(е) римановой поверхности будем
обозначать в дальнейшем E.
Наш интерес к универсальной накрывающей объясняется в
значительной мере следующим фактом:
Лемма 1. Универсальная накрывающая ^ произвольной
римановой поверхности @ односвязна.
Нужно доказать, что любую замкнутую кривую С на
универсальной накрывающей @ можно стянуть в точку. Для этого достаточно
показать, что можно стянуть в точку ее проекцию С на риманову
поверхность (g. Кроме того, используем еще одно замечание.
Пусть имеем две точки Qo и Q накрывающей поверхности и
кривую Г, идущую из точки Qo в точку Q. Обозначим через Р^у Ρ и Τ
проекции точек Qo, Q и кривой Г на риманову поверхность @. Если
считать, что самой точке Pq (т. е. паре {Pq, О)) отвечает точка Qo
накрывающей поверхности, то паре (Р, Г) отвечает точка Q
накрывающей поверхности. Действительно, эта точка Q определяется
некоторой парой (Р, Γι), и вопрос, будут ли пары (Р, Г) и (Р, Γι)
определять одну точку, решается принадлежностью гомотопического класса
[ГГ7^] соответствующей подгруппе щ. Но, заменив точку Q любой
точкой Qi на кривой Г, мы не изменим этот гомотопический класс.
Поэтому достаточно решить вопрос о совпадении пар лишь для
случая, когда точка Qi совпадает с точкой Qq, а для нее этот вопрос
решен по предположению.
Возьмем теперь на кривой С две точки Qo и Q с проекциями Pq
и Ρ соответственно. Эти точки разбивают кривую С на две части Q и
Сз (начало Q в точке Qq, а начало Сз — в точке Q) с проекциями
Q и Сз- Согласно сделанному выше замечанию пары (Ро, Q) и
(Ро, С~^) определяют одну точку Q универсальной накрывающей (если
точка Qo отвечает точке Ро). Поэтому гомотопический класс,
определяемый кривой C = Ci(C~0~S должен (согласно определению точки на-

§8] УНИФОРМИЗАЦИЯ 617
крывающей поверхности (£(т^о) при ^о = 0 совпадать с единичным
элементом е фундаментальной группы. Это и означает, что кривую
С можно стянуть в точку Pq. Лемма доказана.
Н'^крывБющие поверхности легко получить и склеиванием.
Объясним, как это делается на простейшем примере универсальной
накрывающей.
Проведем на римановой поверхности @ разрезы Λχ, А^, ... таким
образом, чтобы она стала односвязной областью ®*. Края разрезов
Аи обозначим А% и Л^. Склеиваем так:
Возьмем один экземпляр области @*. К каждому разрезу А^
приклеим еще два экземпляра области @*. Один из них мы
приклеиваем краем А% к краю Л;^, второй — краем Ak к краю Α~ύ' После
приклеивания к каждому краю каждого разреза по одному экземпляру
области (S* получаем односвязную область, которую обозначим (S*.
К каждому краю каждого свободного разреза, имеющего на
области @f, приклеиваем еще по одному экземпляру области ®*
(разумеется, мы всегда приклеиваем сторону А% разреза А^ к стороне Ak
того же разреза, но у другого экземпляра области @*). Безгранично
продолжая этот процесс, мы придем к универсальной накрывающей @-
Перейдем теперь к решению задачи об униформизации
произвольной многозначной аналитической функции.
Теорема 1. Пусть ^= f (ζ) — произвольная многозначная
аналитическая функция. Всегда существуют две функции φ (.9)
и ψ (s), мероморфные в конечном или бесконечном круге К и
обладающие тем свойством, что для любого элемента
аналитической функции f{z) и для любого значения s из круга К имеет
место равенство
ψω = /(φω).
Иными словами, произвольную аналитическую функцию ζ = /(ζ)
всегда можно уншрормизировать с помощью функций
мероморфных в конечном или бесконечном круге К-
Мы обозначим через @ риманову поверхность аналитической
функции /(<г), а через B — ее универсальную накрывающую. Согласно
лемме 1 и теореме 3* § 10 гл. 8 универсальную накрывающую ©
можно комформно отобразить на конечный или бесконечный круг К
(т. е. на единичный круг |5|<^1, на всю конечную плоскость 5 или
на всю расширенную плоскость s). Обратное отображение круга К
на универсальную накрывающую (g обозначим через Q{s).
Функции ζ и ζ =/B:) являются, очевидно, л^ероморфными
функциями на римановой поверхности E. Но любую функцию, мероморфную

618 МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ НА РИМАНОВЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ [Гл.9
на римановой поверхности @, можно рассматривать и как меро-
морфную функцию на универсальной накрывающей @ (притом
зависящую только от проекции p{Q) точки ζ?ζ@ на риманову
поверхность @). Поэтому мы можем написать
z = F{p(Q)). C = G(/;(Q)), A)
где p(Q) — проекция точки ζ?ζ@ на риманову поверхность (§,
а F(P) и G{P) — мероморфные функции на римановой поверхности @.
Очевидно, что для любого элемента аналитической функции f(z) и
для любой точки G универсальной накрываюи1.ей @ имеет место
равенство
Qip(Q)) = f(F(p(Q))).
Полагая теперь
φ is) = F(piQ E))), ^(8) = 0 ip (Q E))), B)
где Q(s) — конформное отображение круга К на универсальную
накрывающую @, получаем требуемую униформизацию. Тем самым
теорема доказана.
Таким образом в теореме 1 решен вопрос о существовании
униформизирующих функций. Ниже покажем, что они являются
автоморфными функциями, если только риманова поверхность E
униформизируемой функции не односвязна. Для этой цели придется
исследовать один важный класс отображений накрывающей
поверхности @(т^о) на себя.
Топологическое отображение Q'^z=t(Q) накрывающей поверхности
^(πο) на себя, сохраняющее проекции всех точек, будем называть
преобразованием скольжения этой накрывающей поверхности.
В первую очередь докажем одну лемму, дающую удобное
выражение для преобразований скольжения.
Напомним, что точки накрывающей поверхности @(т^о) мы
определяли парами (Р, С), где Ρ — точка римановой поверхности @,
а С—кривая на римановой поверхности @, идущая из
фиксированной точки Ро G ® ^ точку Р.
Лемма 2. Каждому преобразованию скольжения t(Q)
накрывающей поверхности @(т^о) можно поставить в соответствие
некоторую замкнутую кривую Г на римановой поверхности @
(проходящую через фиксированную точку Pq ζ (S) таким образом,
чтобы для преобразования Q^ = t{Q) имела место формула
^((Р, С)) =^ {Р. ГС).
При этом преобразования скольжения, отвечающие двум кривым
Ту и Га, будут совпадать тогда и только тогда, когда точки

§81 УНИФОРМИЗАЦИЯ 619
накрывающей поверх нос miu определяемые парами (Ро, Tj) и (Pq, Г2)
совпадают.
Для доказательства возьмем произвольное преобразование
скольжения Q'^^^tiQ) и обозначим через Qo точку накрывающей
поверхности @ (πο), определяемую парой (Ро> 0), а через Qo — точку t (Qo).
Через γ обозначим какую-либо кривую, соединяющую точки Qo и Q*
на накрывающей поверхности @(πο), а через Г — проекцию этой
кривой на риманову поверхность (g. Поскольку преобразование
скольжения сохраняет проекции всех точек, Г — замкнутая кривая.
Согласно нашему построению точка Qo определяется парой (Ро, Г)>
и потому имеет место равенство
ί((η. 0)) = (Р„, Г).
Возьмем теперь какую-либо окрестность U поверхности @,
содержащую точку Ро, и произвольную кривую Со, лежащую в этой
окрестности и идущую из точки Pq в точку Ρχ. Суихествуют окрестности
I/ и I/* на накрывающей поверхности @(^о), содержаихие точки
Qo и Qo соответственно и проектирующиеся в окрестность U. В этих
окрестностях есть кривые о^ и <з^, проектирующиеся в кривую Q.
Если обозначить концы этих кривых через Qi и Qf, соответственно,
то имеют место равенства
Qr = i(Qi),
Qi = (Pi. Со),
Qi=(P„ ГС„),
так как кривая γσ^ на накрывающей поверхности @(ito) идет из
точки Qo в точку Q* и ее проекция совпадает с кривой ГСо- Из
написанных равенств вытекает, что
tdPv Co)) = (Pi, ГСо).
Тем самым требуемая формула для преобразования скольжения
t{Q) доказана в случае, когда кривая С лежит в некоторой
окрестности точки Ро-
Мы можем теперь повторить наши рассуждения, заменив точку Pq
концом кривой Со- Это докажет справедливость формулы для
преобразования t{Q) в случае, когда C=CoCi, где кривая Cq лежит в
окрестности ее начала Pq, а кривая Q — в окрестности ее начала Р^
(совпадающего с концом кривой Со). По индукции мы легко докажем
требуемую формулу для любой кривой С
Для завершения доказательства леммы остается заметить, что
при совпадении исходных точек Qo и QJ наше рассуждение приводит
нас к тождественному преобразованию.
Последнее замечание можно сформулировать также в виде сле-
дуюи1его свойства преобразований скольжения;

620 МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ НА РИМАНОВЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ [Гл. 9
Свойство 1. Преобразование скольжения не имеет
неподвижных точек.
Определим произведение t^t^ преобразований скольжения (данной
накрывающей поверхности) t^ и ίη, равенством
tMQ) = h(t,{Q)).
Очевидно, имеет место следуюнхее свойство:
Свойство 2. Множество всех преобразований скольжения
данной накрывающей поверхности образует группу ("относительно
определенной выше операции умножения).
Свойство 3. Группа преобразований скольжения собственно
разрывна на накрывающей поверхности ©(tcq). ш, е. точки
поверхности ®(^о), конгруэнтные любой данной точке относительно
этой группы, не имеют предельных точек на поверхности @(тго).
Действительно, все точки, конгруэнтные между собой относительно
группы преобразований скольжения, имеют одну и ту же проекцию,
а потому они имеют непересекаюпшеся окрестности с одной и той же
проекцией. Предельная точка тоже должна была бы обладать этим
свойством, что невозможно.
Свойство 4, Группа преобразований скольжения накрывающей
поверхности @ (πο) изоморфна фактор-группе ίζ^ (S)/^o.
Действительно, согласно лемме 2 кривые Fj и Г^ определяют
одно и то же преобразование скольжения тогда и только тогда,
когда точки накрывающей поверхности, определяемые парами (Pq, Γι)
и (Ро' Гз) совпадают. Согласно определению накрывающей
поверхности @(^о) пары (Ро, Γι) и (Pq, Г2) определяют одну и ту же точку
накрывающей поверхности @(тго) тогда и только тогда, когда
гомотопический класс [ΓιΓ^^] принадлежит подгруппе ίζ^ фундаментальной
группы πι (@). Следовательно, каждому преобразованию скольжения
накрывающей поверхности @(ι^ο) можно поставить во взаимно
однозначное соответствие класс {Г} замкнутых кривых римановой
поверхности @, обладающий тем свойством, что для любых двух кривых
Γι и Гз из этого класса имеет место равенство
ΙΓι][Γ,Ρ==α, aG^o.
Это равенство можно записать и в виде
[Γι] = α[Γ2], aG^o.
откуда видно, что класс {Г} получается из фундаментальной группы
iTj (@) отождествлением между собой всех элементов группы % (@),
представимых в виде α · с, где с — данный элемент группы π, ((g),
а α — какой угодно элемент подгруппы πο. По определению это и

^8] УНИФОРМИЗАЦИЯ 621
означает, что классы {Г} являются элементами фактор-группы
Таким образом, мы показали, что преобразования скольжения
находятся во взаимно однозначном соответствии с элементами
факторгруппы πι {®)/щ. Легко убедиться, что это соответствие является
изоморфизмом групп. Действительно, если преобразование
скольжения ti определяется кривой Fj, а преобразование t^ определяется
кривой 1\, то из леммы 2 видно, что их произведение tit^
определяется кривой Г1Г2. Так как, очевидно,
{ΓΑ} = {Γι}{Γ4,
МЫ ВИДИМ, что произведению преобразований скольжения отвечает
произведение соответствующих им элементов фактор-группы.
Свойство 5. Преобразование скольжения накрывающей
поверхности ©(^о) является конформным отображением этой ри-
мановой поверхности на себя.
Действительно, окрестности римановой поверхности @(^о),
переходящие друг в друга при преобразовании скольжения, имеют
одинаковые проекции. Но локальная переменная, отвечающая данной
окрестности накрывающей поверхности, совпадает с локальной
переменной, отвечающей проекции этой окрестности (напомним, что точек
разветвления в нашем случае нет). Поэтому локальные переменные,
отвечающие переходящим друг в друга окрестностям, совпадают,
и отображение конформно.
Основываясь на установленных свойствах преобразований
скольжения, мы без труда докажем интересующий нас результат.
Теорема 2. Униформизирующие функции φ(s) и ψ(s),
определенные в теореме 1, автоморфны в круге К относительно
некоторой группы дробно-линейных отображений круга К на себя.
Эта группа изоморфна фундаментальной группе % (@) римановой
поверхности © униформизируемой функции ζ,=/(ζ).
Напомним, что в теореме 1 мы определили функции φ (^) и ψ (s)
равенствами
<pis) = Fip{Q{s))), j
ψ(«)=ο(ρ(ρE))), I ^ ^
где F(P) — функция точки римановой поверхности @, равная
значению проекции этой точки на плоскость ζ, ά G (Ρ) — функция точки
римановой поверхности @, равная значению l=f{z) в этой точке
римановой поверхности; функция ρ (Q) — функция точки Q
универсальной накрывающей @, равная проекции точки Q на риманову
поверхность @; наконец, Q (s) — функция, конформно отображающая круг К
на универсальную накрывающую @ (обратное отображение мы
обозначали vS(Q)).

622 МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ НА РИМАНОВЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ [Гл. 9
Определим теперь для каждого преобразования скольжения t (Q)
функцию T{s) равенством
T{s) = S{t{Q{s))). D)
Эта функция, как легко видеть, осуществляет конформное
отображение круга К на себя и потому является дробно-линейной функцией.
Множество всех функций T{s) образует группу @» изоморфную
группе преобразований скольжения универсальной накрывающей (§.
Поскольку @ = @(е), а πι (@)/е = πι (@), это означает в силу
свойства 4 преобразований скольжения, что группа © изоморфна
фундаментальной группе πι (<S) римановой поверхности @.
Остается проверить, что имеют место равенства
φ(ΓE)) = φ(«), ψ G-E)) = ψ (S). E)
Но, согласно формуле D),
Q(r(s)) = i(Q(s)),
И следовательно,
P(Q(s))=p(Q(T(s))),
так как проекция p(Q) точки Q совпадает с проекцией точки t(Q)
по определению преобразования скольжения. Поэтому из формул C)
немедленно получаем равенства E). Теорема доказана.
Замечание. Не составляет труда построить и фундаментальную
область определенной нами группы G, относительно которой авто-
морфны функции φ E) и ψ (s). Для этого нужно провести на
римановой поверхности @ разрезы, превращающие ее в односвязную область
@* (скажем, если @ — компактная риманова поверхность, нужно
провести каноническое рассечение). Тогда универсальная накрывающая @
распадется на стопку экземпляров одг10связных областей (£*. При
отображении s = S{Q) универсальной накрывающей © на круг К
эти экземпляры отобразятся в конгруэнтные между собой
относительно группы G области, осуществляющие паркетное замощение
круга К· Любую из этих областей можно принять, как легко видеть,
за фундаментальную область группы G.
В заключение коснемся еще одного вопроса, относящегося скорее
к предыдущему параграфу. Именно, выясним, сколь велико
разнообразие возможных групп @ для случаев, когда круг К бесконечен,
т. е. является всей конечной плоскостью или всей расширенной
плоскостью. При этом группу @ в силу свойств 1 и 3 преобразований
скольжения мы должны считать собственно разрывной в круге К и
не содержащей преобразований с неподвижными точками в круге К-
Для случая, ко1да круг К—вся расширенная плоскость, вопрос
решается проще всего:

§ 8] УНИФОРМИЗАЦИЯ 623
Группы @, состоящей из дробно-линейных отображений
расширенной плоскости на себя, не имеющих неподвижных точек,
не существует.
Действительно, мы знаем (см. § 1 гл. 5), что каждое
дробно-линейное преобразование имеет хотя бы одну неподвижную точку.
Для случая, когда круг К—вся конечная плоскость, ответ более
содержателен:
Группа @, состоящая из дробно-линейных отображений всей
конечной плоскости на себя, не имеющих конечных неподвижных
точек, и собственно разрывная в конечной плоскости состоит
из преобразований вида
T(s) = s-{-niö (Ai = 0,zhl,±:2, ...) F)
или из преобразований вида
T(s) = s-\~ni(üi-{- /2.2 ω2, G)
где Ηχ и п^ — произвольные целые числа, а щ и щ — отличные от
нуля комплексные числа, удовлетворяющие условию
Для доказательства заметим, что все преобразования группы &
обязаны иметь в бесконечности двойную неподвижную точку. Это
означает (см. § 1 гл. 5), что эти преобразования имеют вид T{s) = s-\-iü
(число ω для каждого преобразования свое). Поскольку вместе с
преобразованием Гв группу® входит и преобразование Т"", а T^{s)=s-\-n ω,
преобразования T{s) = s-\-n(ü входят в группу @ при любых целых
значениях п.
Множество 2 всех возможных значений ω является, очевидно,
множеством точек, конгруэнтных с точкой 5 = 0 относительно группы (¾.
Поскольку группа @ собственно разрывна, множество 2 не может
иметь предельных точек в конечной части плоскости. Кроме того,
множество 2 переходит в себя при сдвиге на любое значение ω ^2,
так как преобразование Т{г)==г-\-^л переводит точки, конгруэнтные
нулю, в точки, конгруэнтные нулю.
Могут представиться две возможности: или множество 2
расположено на одной прямой, или нет.
В первом случае обозначим через ω одну из двух отличных от
нуля точек множества 2, ближайших к нулю (согласно сказанному
выше такие точки существуют). Тогда расстояние между любыми
двумя точками множества 2 не меньше |ω|, и мы без труда получаем,
что множество 2 состоит из чисел вида η ω, где η — любое целое
число. Это равносильно формуле F).
Во втором случае обозначим через ω^ одну ψ ближайших к нулю
точек множества 2, а через щ — одну из ближайших к нулю точек
этого же множества, не лежащих на одной прямой с точками 5 = 0 и

624 МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ НА РИМАНОВЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ [Гл. 9
s = (ü^. Легко убедиться, что при таком выборе значений ω^ и ω^
в треугольнике с вершинами О, ω^ и ω.2 (и даже в параллелограмме
с вершинами О, щ, ω.,, ω^ -|- ω^) нет точек множества 2. Отсюда мы легко
приходим к формуле G).
Тем самым наше утверждение полностью доказано.
Функции, мероморфные во всей расширенной плоскости, — это
рациональные функции. Функции, автоморфные в конечной плоскости
относительно группы преобразований вида F), — это периодические
функции с периодом ω. Функции, автоморфные в конечной плоскости
относительно группы преобразований вида G), — эллиптические
функции с периодами ω^ и ω^. Таким образом, случай, когда круг К —
вся расширенная плоскость, приводит нас к униформизации
рациональными функциями, а случай, когда круг К—вся конечная
плоскость,— к униформизации периодическими или двоякопериодическими
функциями. К более сложным автоморфным функциям мы можем прийти
лишь в случае, когда круг К конечен.
Вспомним (см. § 8 гл. 5), что конечный круг К можно
рассматривать как плоскость Лобачевского. Тогда мы можем сказать, что три
возможности для круга К отвечают трем геометриям: сферической
геометрии, евклидовой геометрии и геометрии Лобачевского. Любое
дробно-линейное преобразование круга К на себя, не имеюш.ее в этом
круге неподвижных точек, можно рассматривать тогда как
преобразование параллельного переноса в соответствуюш.ей геометрии. (Ясно,
что в сферической геометрии преобразований параллельного переноса
нет.) Такой геометрический подход удобен во многих отношениях.
С его помош.ью можно прош.е формулировать многие утверждения.
Например, обозначив через p(ß, b) расстояние между точками а и b
в геометрии, отвечающей кругу /С, мы можем высказать утверждения:
Для того чтобы группа @, состоящая из преобразований
параллельного переноса, была собственно разрывна, необходимо и docmu'
точно, чтобы величина
d(s)= inf ρ E, T(s))
была положительна для всех s из круга К-
Для компактности фактор-пространства К/® необходимо и
достаточно, чтобы величина d{s) была равномерно ограничена для
всех S из круга К.
Заметим еш.е, что, используя аналогию между евклидовой
плоскостью и плоскостью Лобачевского, мы можем провести построение
фундаментальной области для любой группы преобразований
параллельного переноса. Это построение производится на основании
рассуждений, мало чем отличаюш.ихся от рассуждений, примененных
немного выше для построения фундаментальной области группы парал-

§ 9] ОТОБРАЖЕНИЕ НА КРУГОВЫЕ ОБЛАСТИ 625
лельных переносов в случае евклидовой плоскости. Разница
заключается в том, что выбор значений ω, конгруэнтных нулю, не обязан
закончиться не только после двух шагов, но и после любого
конечного их числа. Предлагаемый способ построения фундаментальной
области группы значительно элементарнее способа, предложенного
в замечании к теореме 2. Кроме того, этот способ позволяет
построить фундаментальную область, ограниченную прямыми линиями
(в соответствующей геометрии).
§ 9. Отображение на круговые области и униформизация
с неполным рассечением римановой поверхности
В этом параграфе изложим еще один метод униформизации,
приспособленный в основном для униформизации алгебраических функций.
Сначала разъясним идею этого метода на доказательстве еще одной
теоремы об отображении многосвязных областей, подобных
однолистным, на канонические области.
Назовем круговой областью множество, получающееся из
расширенной комплексной плоскости удалением конечного числа
замкнутых кругов, не имеющих общих точек.
Теорема, о которой говорилось выше, гласит:
Теорема 1. Любую конечносвязную риманову поверхность,
подобную однолистной^ можно конформно отобразить на
некоторую круговую область.
Начнем с некоторых предварительных рассмотрений.
Согласно теореме 3 § 10 гл. 8 любая риманова поверхность,
подобная однолистной, может быть конформно отображена на всю
плоскость с разрезами по горизонтальным отрезкам. Поэтому мы
вправе интересоваться отображением на круговые области лишь
таких областей.
Итак, пусть Q—плоскость ζ с разрезами по горизонтальным
отрезкам ^γ, ^2' · · · > Σλ· По области Q построим сейчас некоторую
последовательность римановых поверхностей
играющих существенную роль в решении задачи.
Обозначим через 0^^^ область, полученную из области G
отражением в разрезе ^^ (при таком отражении сам разрез 2j5' очевидно,
остается на месте). Риманову поверхность 0^ склеим из областей
α G^'\ ... , 0^4
приклеивая нижний край разреза 2^ в области G к верхнему краю
разреза 2^ "^ области 0^, а верхний край равреза 2^ ^ области G —
к нижнему краю разреза 2s ß области 0^.

626 МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ НА РИМАНОВЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ [Гл. 9
Легко видеть, что риманова поверхность G состоит из п-\-1
листов, причем на каждом из этих листов, кроме одного, имеется
η — 1 разрезов (а на одном исключительном — ни одного разреза).
Разрезы, имеющиеся на римановой поверхности О, перенумеруем
заново и обозначим
ΣA) \М\)
1 '·-·' Zj/Ii
(ясно, что П1 = п(п— 1)).
Через (Jf^ обозначим риманову поверхность, получающуюся из
римановой поверхности Gi отражением в разрезе 21^^· Риманову
поверхность (}¾ склеим из римановых поверхностей
Gl, Gji), ..., Gj'^i)
совершенно аналогично тому, как была склеена риманова
поверхность Gl из областей G, 0^^\ G^^\ ... , G^^\ Разрезы, имеющиеся на
римановой поверхности G^, перенумеруем заново и обозначим
Σ B) γι B) γι B)
1 ' Zj2 ' · · · ' Zj/12
(ясно, ЧТО Щ=^Пх{П1 1)).
Повторением описанного процесса получим последовательность
римановых поверхностей
öCöiC^C...
Предел этой расширяющейся последовательности римановых
поверхностей обозначим символом Goo·
Из описания построения легко усмотреть, что риманова
поверхность G^ состоит из п^ листов и что на ней имеется n^^i = n^{n^—1)
разрезов ^1\ 2j2 ' ··· * Ση * ^Р^ эюш на η^_χ листах риманова
поверхность G^ разрезов не имеет (именно эти листы и содержат
риманову поверхность G^_i).
Поясним причину, по которой нас интересуют римановы
поверхности G^ и Geo. Предположим, что мы построили функцию ζ = φ \ζ\
конформно отображающую область G на круговую область К,
граница которой состоит из окружностей Q, ... , C^j выброшенных
кругов Кь .·. > Кп- При отображении ζ = φB:) каждый разрез 2s
переходит в одну из граничных окружностей круговой области К
(без ограничения общности можно считать, что в Q). На каждом из
краев разреза ^5 функция ζ = φ(^) принимает значения, лежащие
на окружности. По принципу симметрии функцию ζ = φB') можно
аналитически продолжить через каждую из сторон этого разреза.
Продолженная функция будет определена в области Q^^\ и она
конформно отображает эту область на область К^^\ симметричную с
областью К относительно окружности Q. Это означает, что
аналитическая функция С==ср(^) продолжается на риманову поверхность Gj

§9]
ОТОБРАЖЕНИЕ НА КРУГОВЫЕ ОБЛАСТИ
627
и конформно отображает риманову поверхность Q^ на круговую
область Kl, полученную объединением области К с областями К^^^
(и с окружностями Cg) (s=ly 2, ... , η).
Область Kl снова является круговой областью, ограниченной
окружностями С[^), ... , О^^ (п1 = п(п—1)), и мы можем повторить
наши рассуждения. В результате получим, что аналитическая
функция ζ = ψ(ζ) продолжается на все римановы поверхности 0^ (ν=1,
2, ...) и Goo· Она конформно отображает их соответственно на области
KCKiCK.C-.-CKoo
комплексной плоскости. При этом области К^ являются круговыми
областями. С увеличением номера ν увеличивается (при п'^2) число
Рис. 105.
выбрасываемых из плоскости кругов, а размеры этих кругов
уменьшаются (на рис. 105 изображены области К, Κι, К^ для п = 3).
Наша идея доказательства теоремы 1 основана на том, что
область ΚΌο можно рассматривать не только как предельный случай
круговой области, но и как предельный случай плоскости с
выброшенными горизонтальными отрезками. Сошлемся на теорему о
существовании конформного отображения любой римановой
поверхности, подобной однолистной, на плоскость с выброшенными
отрезками, имея в виду риманову поверхность Ооо, а затем построим
по этому отображению интересуюи^ее нас конформное отображение
области G на круговую область.

628 МЕРОМОРФНЫБ ФУНКЦИИ НА РИМАНОВЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ [Гл. 9
Для применения теоремы о существовании конформного
отображения на плоскость с выброшенными горизонтальными отрезками
нужно еще доказать, что построенная нами риманова поверхность
подобна однолистной. Для доказательства этого факта достаточно
заметить, что свойство римановой поверхности быть или не быть
подобной однолистной является топологическим свойством, т. е.
сохраняется при топологических отображениях.
Топологическое же отображение римановой поверхности 0^ на
область К^ легко строится независимо от существования конформного
отображения области Q на круговую область К. Поэтому римановы
поверхности 0^ и их предел — риманова поверхность 0^ — являются
римановыми поверхностями, подобными однолистным.
Следовательно, согласно теореме 3 § 10 гл. 8:
Для каждой точки z = a римановой поверхности Goo и для
каждого значения А^ О существует хотя бы одна функция
(^=:/(ζ), регулярная на всей римановой поверхности Qoo, за
исключением точки z = a, в которой она имеет простой полюс с
вычетом А, конформно отображающая риманову поверхность Goo
на некоторую часть комплексной плоскости С
Ни одна из теорем об единственности отображения, доказанных
в гл. 8, неприменима к нашему случаю. Поэтому придется доказать
теорему единственности, специально πpиcπocoблe^n^yю к
обстоятельствам:
Лемма 1. Пусть функция g{z) = и (ζ) -\- ίν (г) регулярна и
ограничена на римановой поверхности Goo- Если, кроме того,
функция и {ζ) имеет конечный интеграл Дирихле Dq^ [и\ то
функция g(z) тождественно равна постоянной.
Поскольку риманова поверхность Goo является пределом
расширяющейся последовательности римановых поверхностей G^, имеет
место соотношение
Пт Dg Ап] = Dg Jul
v-^co
Поэтому если обозначить через Δ^ часть римановой поверхности G^^j,
не содержащую точек римановой поверхности G^, то
Ит^д [и] = 0. A)
V-> 00 ^
Оценим интеграл Дирихле Dg^ [и] через интеграл Дирихле D^^[u],
С этой целью построим вспомогательные римановы поверхности Gv,
обладающие тем свойством, что
GvCö;Cö,^i (v=b 2, ...). B)
Для построения римановой поверхности Gv обозначим через δ
положительное число, не превосходящее половины расстояния между
любыми двумя разрезами 2s в области G (ясно, что расстоя^ние между

§ 9] ОТОБРАЖЕНИЕ НА КРУГОВЫЕ ОБЛАСТИ 629
любыми двумя разрезами на любом другом листе, входящем в рима-
нову поверхность G^+i, тоже не меньше 2δ). Затем удалим из рима-
новой поверхности множества точек, отстоящие от разрезов ^^""^^^
5=1, 2, ..., п^^х, на расстояние, не превосходящее δ. Оставшуюся
часть римановой поверхности G^^i мы и обозначим через Gv. Легко
видеть, что условие B) выполнено.
Граница построенной нами римановой поверхности Gv состоит из
п^+\ простых замкнутых ломаных G^""^^^ (прямоугольников),
окружающих разрезы 2^^^^^^- Применяя формулу Грина (см. формулу A) § 3
гл. 8), получаем равенство
«v + l
Замечая, что
(^=1-^ ПО формуле Коши — Римана, а интеграл от функции ^ по
замкнутой ломаной Cj^^^^^ равен нулю ввиду однозначности функции
v{z) = \m g{z) на римановой поверхности Gc»), можем записать
полученное равенство для интеграла Дирихле в виде
^о;М= 2 \ {u{z)-ii{a,))pjs. C)
где а/г — произвольная точка ломаной Ck ^-
Обозначим
μ(; 4-1) = max /гТЛ^ГН^Ч^
Тогда, очевидно,
а в силу формулы
да
C' + l)
^ и
дп 1г(''+1) ^ ^k
и {z^ — и {Ζγ) =\ -^ds
ds'
мы можем написать
1 и (Z) - и (а,) 1 < I*,^+>)l4' + " (^ G С^^Щ'
где Z.»j'+4 — длина ломаной CJ;+'». Но

630 МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ НА РИМАНОВЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ [Гл. 9
(/—длина наибольшего из разрезов 2js ^ области О). Поэтому мы
получаем из равенства C) оценку
η J
^ο:[«]<Σ ^Ή'+")'· D)
Таким образом, для оценки интеграла Дирихле Dg' [и] нам остается
лишь оценить величину
(μ(; +1)J = max {ii':! {ζ) + iiy' {ζ)).
Для этой цели воспользуемся теоремой 3 § 3 гл. 8, согласно которой
i/;4^) + W^^^M, (δ)
где В — некоторая однолистная область гармоничности функции и {ζ)
а δ — расстояние от точки ζ ^В ло границы области В.
Возьмем в качестве области В для оценки величины μ^"^'* тот
лист римановой поверхности Ο^^χ, на котором лежит разрез 2^(^^+^-,
и обозначим этот лист через ^^^ + ^^. Лист В^^^^\ как и любой
другой лист римановой поверхности Ооо» или совпадает с областью G
или получается из нее отражениями в разрезах. Поэтому границей
листа ^;J + '^ будут некоторые отражения разрезов 2^' з расстояние
от точек ломаной Су+ ^) до этих разрезов будет не меньше Ь (по
построению области Gv). Следовательно, неравенство E) дает нам, что
Подставляя полученную оценку в неравенство D), получаем
неравенство
^о;М^1^ 2 оЧ^+'>И·
Заметим теперь, что совокупность всех листов В^^'^^\ на
которых лежат разрезы 2]^""^^^» Дзет нам множество Δ^ = 0 ^ — 0^,
покрытое η—1 раз (на каждом листе В^^^'^^ лежит η — 1 разрезов
2]^"'"^^0. Поэтому последнее неравенство можно записать в виде
В силу соотношения A) получаем отсюда, что
lim Dq'[ii] = 0,

§9] ОТОБРАЖЕНИЕ НА КРУГОВЫЕ ОБЛАСТИ 631
Но, согласно соотношениям B),
lim Do,M = 0,
ν-»-00
и потому
Отсюда немедленно вытекает, что w (г) ^ const, а следовательно, и
^(г)^ const. Лемма доказана.
С помощью доказанной леммы легко докажем следующую теорему
единственности для конформного отображения области Ооо-
Теорема 2. Пусть каждая из функций ^^=f^{z) и (,=f<^(z)
конформно отображает риманову поверхность Ооо на какую-либо
область комплексной плоскости. Тогда эти две функции связаны
дробнО'Линейным соотношением
Совершив над функциями fi{z) и Л (-г) надлежаще подобранные
дробно-линейные преобразования, мы всегда сможем добиться, чтобы
функции
2/2 (^)+^2
/2B)+^2
имели в одной и той же точке римановой поверхности Ооо простой
полюс с одинаковым вычетом (и не имели других особенностей).
Обозначим через б^о некоторую достаточно малую окрестность точки
римановой поверхности 0^, в которой функции gi{z) и g<i{z) имеют
полюс. Образ римановой поверхности Goo—6^0 при отображении
C = ^i(^) (или ^^ = g^(z)) лежит в ограниченной области комплексной
плоскости, поскольку в окрестность бесконечности переходит
окрестность 6^0· Интеграл Дирихле
^Осо- t/o Ы = \\ Wkx (ζ) + Uk'y (ζ)] dx dy,
где U}^{z) = Regk{z), можно записать в виде
Dg^ - и^ [Ilk] = \\\ά(ζ) Г dx dy. F)
Ооэ
Поэтому этот интеграл Дирихле равен площади образа римановой
поверхности Ооо—^0 при отображении ζ = ^^^(^). Поскольку этот
образ лежит в ограниченной области плоскости ζ, его площадь
конечна. Следовательно,
Dg^ - и^ [Щ] < со, Dg^ ~ и^ [Щ] < оо, G)
где
Hl {ζ) = Re ^1 (г), W2 {ζ) = Re ^2 (^)-

632 МЕРОМОРФНЫЕ функции НА РИМАНОВЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ [Гл. 9
Рассмотрим теперь функцию g{z) = gi{z) — g^{z). Она регулярна
на всей римановой поверхности Geo» так как полюсы функций g^ (ζ)
и ^2 (ζ) находятся в одной и той же точке и имеют одинаковую
главную час1ь. Далее, обозначая
и (ζ) = Reg (ζ) = 11^ {ζ) — щ (г),
можем написать, что
Ввиду конечности окрестности U^ и регулярности функции g{z) на
всей римановой поверхности 0^
Duo [«] < ^'
а в силу неравенств G)
Do^-u^ [и] ^ (KDG^-f/jKi]+ VDo^-uy,if< оо.
Таким образом, функция ^(-г) удовлетворяет условиям леммы 1, и
потому ^(г)::^ const. Отсюда видно, что функции ^i (-г) и gi{z\
а значит, и функции fx{z) и f^^{z) связаны дробно-линейным
соотношением. Теорема доказана.
Доказанная теорема означает, что все плоские области конформно
эквивалентные римановой поверхности Goo» получаются друг из друга
дробно-линейным преобразованием. Используя это свойство
римановой поверхности Goo» мы уже сможем без особого труда доказать
теорему 1.
Доказательство теоремы 1. Воспользуемся теоремой 2 и тем, что
отражение римановой поверхности Goo в каждом из разрезов ^^,
^2» · · · ' Έίπ переводит ее в себя самое (это видно из построения
римановой поверхности Goo)·
Пусть дана какая-либо функция ^= f{ζ), конформно
отображающая риманову поверхность Goo на область комплексной плоскости.
Выясним, куда переходит при этом отображении разрез ^5 области G.
С этой целью обозначим через z"^ точку, симметричную с точкой ζ
относительно прямой, на которой лежит разрез 2^- Если уравнение
этой прямой \mz = (is^ то, как легко видеть, z^ = 2^^-^2. Функция
g{z)=f{z^)=f{2i^s-\-z)
является аналитической функцией. Так как отражение римановой
поверхности Goo в разрезе 2^ переводит эту риманову поверхность
в самое себя, функция g{z) конформно отображает эту риманову
поверхность. По теореме 2 это означает, что

^ 9] ОТОБРАЖЕНИЕ НА КРУГОВЫЕ ОБЛАСТИ 633
Но отражение в разрезе 2j5 оставляет на месте точки этого
разреза. Поэтому при z^^is имеем г* = 2'. Обозначая через С точки,
принадлежащие образу разреза 2^ "Ри отображении функцией /(-г),
получаем в силу равенства (8) уравнение
С:
οζ-]-α
Если это уравнение является уравнением некоторой кривой (а оно
обязано быть уравнением кривой, так как точки разреза 2jä
являются внутренними точками римановой поверхности Geo, отображаемой
функцией /(-г)), то эта кривая может быть только окружностью
(напомним, что прямые мы также называем окружностями).
Таким образом, при отображении ζ^==/(ζ) римановой
поверхности Goo все разрезы 2i' ΣΙ2'···>!]«' ограничивающие область G,
переходят в окружности. Следовательно, функция ζ =/B') конформно
отображает область G на круговую область.
Тем самым мы доказали, что любая область, представляющая
собой всю плоскость с конечным числом разрезов по
горизонтальным отрезкам, может быть конформно отображена на круговую
область. Объединяя это утверждение с теоремой 3 § 10 гл. 8,
приходим к утверждению теоремы 1.
Из единственности отображения римановой поверхности Goo (с
точностью до дробно-линейного отображения) легко выводим, что и
отображение на круговую область определяется с точностью до
дробно-линейного преобразования. Этот факт удобнее всего формулировать в
виде:
Если существует конформное отображение одной круговой
одластп на другую, то это конформное отображение
дробно-линейно.
Теоремы об отображениях многосвязных областей на круговые
области больше, чем какие-либо другие теоремы такого рода,
аналогичны теореме Римана о конформном отображении односвязных
областей.
Скажем еще несколько слов о природе областей К , на которые
конформно отображаются римановы поверхности Goo. Ясно, что при
п = 2 область К^ обращается в расширенную плоскость с двумя
выколотыми точками, а при п^2 представляет собой совершенное
нигде не плотное множество. Можно показать, что площадь этого
множества при любом η равна нулю.
Перейдем теперь к вопросу об униформизации алгебраических
функций.

634 МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ НА РИМАНОВЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ [Гл. 9
Теорема 3. Пусть ζ ==f{z) — алгебраическая функция, и пусть
ее риманова поверхность имеет род g^l. Функцию f{z) можно
униформизировать с помощью функций
автоморфных в некоторой области К плоскости s,
относительно группы ®, состоящей из дробно-линейных отображений
области К на себя. При этом область К обладает свойствами:
1. Любое конформное отображение области К на себя
дробно-линейно.
2. Площадь множества точек плоскости s, не
принадлежащих области К, равна нулю.
Группа ® обладает свойствами:
1. Она является свободной группой с g образующими.
2. Ее элементы не имеют неподвижных точек в области К.
3. Она собственно разрывна в области К.
Идея доказательства теоремы состоит в следующем.
По римановой поверхности B данной алгебраической функции
f{z) строим некоторую накрывающую ее поверхность @, подобную
однолистной. Доказываем, что любые два конформных отображения
накрывающей поверхности B на какую-либо плоскую область
связаны между собой дробно-линейным соотношением (хотя бы одно
такое отображение существует согласно теореме 3 § 10 гл. 8). Тем
же способом, что и в предыдущем параграфе, строим по
отображению накрывающей поверхности © на плоскую область К униформи-
зирующие функции φ (s) и ψ {s) и убеждаемся, что эти функции ав-
томорфны в области относительно группы @, порождаемой
преобразованиями скольжения накрывающей поверхности ©.
Прежде всего построим накрывающую поверхность B, о которой
говорилось выше (сначала с помощью разрезания и склеивания
исходной алгебраической римановой поверхности 2).
Пусть
Αχ, Лз,..., Ag, Βγ, В^у... у Bg
— циклические сечения римановой поверхности C, дающие
каноническое рассечение. Проведем разрезы только по сечениям Ak- Тогда,
как мы знаем (см. § 1), риманова поверхность @ превратится в
2^-связную область ©', подобную однолистной (топологически — в сферу
с 2g дырками). Каждый разрез А^ имеет два края (каждый край
ограничивает свою дырку) Л+ и А~. Склеивание накрывающей
поверхности B из бесконечного числа экземпляров области B' произведем
следующим образом.

·§ 9] ОТОБРАЖЕНИЕ НА КРУГОВЫЕ ОБЛАСТИ 635
К каждому краю разрезов А^ А^, ..., Ag исходного экземпляра
области @' приклеиваем по одному экземпляру той же области (к
каждому— свой). При этом склеивание, как всегда, производится по
правилу: к краю Л+ одного экземпляра приклеивается край А~ другого
экземпляра. К каждому свободному краю получившейся фигуры
приклеиваем еще по одному экземпляру области B' и т.д. Разумеется,
использованные экземпляры между собой не склеиваются.
Легко видеть, что получаемые на каждом этапе римановы
поверхности и предельная риманова поверхность @ подобны однолистным.
В то же время порядок связности безгранично возрастает (при g^ 1)
с увеличением числа склеиваемых экземпляров.
Укажем теперь, какой нужно взять подгруппу TCq фундаментальной
группы πι B) римановой поверхности @, чтобы накрывающая
поверхность, построенная выше, совпадала с накрывающей поверхностью
®(щ) (см. § 7). Мы знаем (см. § 7), что гомотопические классы
ak = [Akl Ь, = [В,] (^=1, 2,..., ^)
являются образующими фундаментальной группы щ (@). Это означает,
что любой элемент группы tcj (¾) можно представить в виде
c = al'bl' α:;:b^^..α"f Ь^ (9)
mi Pi ηΐ2 р2 т^ ρ/ ^ ^
где а^, ^s — некоторые целые числа (возможно, нули), а числа т^^ р^
принимают значения 1, 2,..., g. В качестве подгруппы πο возьмем
множество тех элементов вида (9), для которых
С С •••С =^ A0)
/711 Ш2 Ulf. ^ '
(е — единица группы tcj ((g)).
Действительно, две пары (Р, Q) и (Р, Сз), где Ρ — точка
римановой поверхности ©, а Q — кривая, идущая из фиксированной точки
Ро в точку Р, определяют одну и ту же точку описанной выше
накрывающей поверхности @, если обход по замкнутой кривой С^С~^
оставляет нас на том же листе накрывающей поверхности. Но из
построения накрывающей поверхности © видно, что обходы по
циклическим сечениям В^ оставляют нас на прежнем листе, так что их
можно выбросить (в каком бы месте они ни находились). С другой
стороны, любой переход сечения А^ обязательно переводит нас на
другой лист. Сочетание этих соображений и приводит к условию A0).
Наиболее трудной частью в доказательстве нашей теоремы
является доказательство утверждения, аналогичного теореме 2 об
единственности конформного отображения римановой поверхности @ на
однолистную область. Прежде чем переходить к этому утверждению,
докажем одну оценку, аналогичную оценкам, полученным в лемме 1.
Лемма 2. Пусть В — область на компактной римановой
поверхности, С — кривая, лежащая в этой области, z = a — точка

636 МЕРОМОРФНЬШ ФУНКЦИИ НА РИМАНОВЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ [Гл. 9
на кривой, а и (ζ) — функция, гармоническая в замыкании
области В, При этих условиях имеет место неравенство
I \ {u{z) ■— и(а)) * du {г)\^МОв[и\ (И)
с
(определение величин * du (ζ) и Db [и] см. в § 5). Постоянная М,
входящая в это неравенство, зависит от области В и от
кривой С, но не зависит от функции и (ζ) и от точки а ζ С
Ввиду компактности римановой поверхности достаточно доказать
это неравенство для случая, когда область В содержится в одной из
окрестностей системы окрестностей {ί/^} (см. определение абстрактной
римановой поверхности в § 5). В локальной переменной τ, отвеча-
юи^ей этой окрестности, неравенство A1) можно будет записать
тогда в виде
I ^ (^ (,) _ й (а') f^ds\^ MDb' [u\ A1 *>
С'
Для доказательства этого неравенства применим, как и при
доказательстве леммы 1, теорему 3 § 3 гл, 8. Согласно этой теореме
max (¾' (τ) А- и' W) ^ ^2 Db' [h
где δ — расстояние от кривой С до границы области В\ Поэтому
дп
и при τ ^ С
с δ у 11
μ;(τ)-^(α'I = |5 ί"^^
α'
δ/π
VDb \η
где L — длина кривой С (в качестве пути интегрирования можно
взять отрезок кривой С). Отсюда легче получаем, что
\\
да .
С'
ΐ Db [«].
и неравенство (И*) доказано, а вместе с ним доказана лемма.
Опираясь на неравенство A1), докажем теперь утверждение,
полностью аналогичное лемме 1:
Лемма 3. Пусть ^ — накрывающая поверхность
алгебраической римановой поверхности B, описанная выше, а f{z) = u{z)-{'
-[- iv {ζ) — функция, регулярная на поверхности @. Если функция
и {ζ) имеет конечный интеграл Дирихле D^ [и], то функция
f(z) — тождественная постоянная.
Обозначим через {@v} расширяющуюся последовательность ри-
мановых поверхностей, имеющих пределом риманову поверхность @,

§ 91 ОТОБРАЖННИР НА КРУГОВЫЕ ОБЛАСТИ 637
накрывающую нашу алгебраическую риманову поверхность ©. Для
определенности выберем последовательность @^ следующим образом.
Исходный экземпляр разрезанной по циклическим сечениям Αχ,
Аз,... ,А^ римановой поверхности B мы обозначали через ©'. Область
©' топологически эквивалентна сфере с 2g дырками. К каждой дырке
приклеиваем (соответствующей дыркой) еще один экземпляр той же
сферы с дырками. Получившуюся поверхность обозначаем через ®i.
К каждой дырке поверхности Bi приклеиваем (опять-таки
соответствующей дыркой) еще по экземпляру исходной сферы с дырками
(области B'). Полученную поверхность обозначаем'' (^2 и т. д.
Риманова поверхность ©^ подобна однолистной (топологически
она эквивалентна сфере с дырками). Ее rpain^ua состоит из
некоторого числа кривых, лежащих на накрывающей поверхности @ над
циклическими сечениями Αι, А2,..., А^. Все эти граничные кривые
перенумеруем заново и обозначим
Σ (ν) γί(ν) γί(ν)
Кроме того, мы обозначим через Δ^ риманову поверхность @^^ι—
— @ν-ι, т. е. часть римановой поверхности @^4-1> не содержащую
точек римановой поверхности @^_ι.
Далее, заключим каждое сечение А^, 5=1, 2, ^, в область В^.
на нашей алгебраической римановой поверхности 2. В качестве такой
области Bg удобнее всего взять полоску, заключенную между двумя
циклическими сечениями, гомотопными сечению А^ и лежащими
по разные стороны от него. Тогда и каждой граничной
кривой 2^"^ римановой поверхности 2, будет отвечать содержащая ее.
область В^^\ проекция которой совпадает с одной из областей В^.
Легко видеть, что
Bt'(Z\ (Ä=i, 2, ...,«,).
Теперь все необходимые обозначения введены, и мы можем
приступить к оценкам, которые мало чем отличаются от оценок,
проведенных в лемме 1.
Применим к римановой поверхности B^ формулу Грина
D<B и^] = 1^ du :^ du = ^ м * du (Δμ = 0)
(эта формула применима, так как риманова поверхность @^ подобна
однолистной). Поскольку граница римановой поверхности 2^ состоит
из кривых 2^ ' s=ly 2, ..., п^, можем записать эту формулу в виде
^^Μ = Σ I и {ζ) ^ du (ζ).

638
МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ НА РИМАНОЬЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ
[Гл. 9
Заметим теперь, что в силу уравнений Коши — Римана
^ * du (ζ) ζ= ^ dv (ζ),
Σ(ν)
Σ^
а последний интеграл равен нулю, так как Σ^*^^ — замкнутая кривая,
а функция v{z) = \mf{z) однозначна на римановой поверхности @.
Поэтому мы можем написать формулу
D^ [и] = Σ \{ιι (ζ) - и {а,)) * du D A2)
5=1 y(V)
S
•где ug — какая-либо точка на кривой γ,ψ.
К оценке интегралов в правой части формулы A2) применим
.лемму 2, взяв в качестве области В область Bg. Это даст
I \ {и {ζ) — и (а^)) * du {ζ)
U(v)
s
Но области В^р и кривые Σ^"^' проектируются в области Bk и
кривые Л/г- Поэтому можно считать, что эти области и кривые не
зависят от номера ν (считая зато, что от номера ν зависит подинтеграль-
ное выражение). Поэтому
^ (и (ζ) — и (а^)) du (ζ) I ^ yWDß(v) [и],
Σ(ν)
s I
где постоянная Μ уже не зависит ни от номеров 5 и ν, ни от
функции а (ζ). Подставляя полученные оценки в формулу A2), приходим
к неравенству
Как мы уже отмечали, области В^^^ лежат на римановой поверхности
Δ^ = Bν+ι — @ν-ΐ· Кроме того, каждая точка римановой
поверхности Δ^ принадлежит не более чем g областям Bg (так как каждая
точка римановой поверхности @ принадлежит не более чем g
областям Bk — их всего g). Поэтому
и следовательно,
Но при V ->оо
A3)

§ 9] ОТОБРАЖЕНИЕ НА КРУГОВЫЕ ОБЛАСТИ 639
так что предельный переход в неравенстве A3) дает нам, что
откуда немедленно вытекает доказываемое утверждение.
Лемма 4. Любые две функции s = Si(Q) и s = S2(Q)y
конформно отображающие накрывающую поверхность B на какую-либо
область плоскости s, связаны дробно-линейным соотношением
Доказательство этой леммы дословно совпадает с доказательством
теоремы 2, только вместо леммы 1 мы должны будем сослаться на
лемму 3.
Из теоремы 2 § 10 гл. 8 следует, что
Существует хотя бы одна функция s = S(Q\ конформнее
отображающая накрывающую поверхность (¾ на некоторую
область К плоскости S. Будем считать, что точка 5 = оо лежит в К.
Покажем, что область К обладает свойствами, перечисленными^
в теореме.
Для установления свойства 1 обозначим через T(s) произвольное
конформное отображение области К на себя. Тогда функции S (Q) и
7 E*(Q)) являются конформными отображениями накрывающей поверх^
нести © на область К. По лемме 4 эти отображения связаны
дробно-линейным соотношением, т. е. отображение T{s) дробно-линейно^
и свойство 1 получено.
Для доказательства свойства 2 обозначим через К^ образ рима-
новой поверхности ©^ при отображении s = S(Q), Этот образ
представляет собой область плоскости 5, ограниченную п^
аналитическими кривыми Ok^ (образы кривых ^^\ ограничивающих риманову^
поверхность @Д С возрастанием номера ν области К^ расширяются,
стремясь к области К. Свойство 2 области К будет доказано, если мы
докажем, что сумма площадей конечных областей x/J\ ограниченных
кривыми a^k\ стремится к нулю при ν -— оо. Для площади V^^ облает»
κ^^^ можно написать выражение
КГ= J udv {s = u-{-iv).
Сделаем в этом интеграле замену u = u{Q), v = v(Q), где m(Q) =
= Re5(Q), v{Q) = lmS(Q). Это даст формулу
V^^^= \ u(Q)dv(Q)= S u(Q)^du{Q)

640 МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ НА РИМАНОВЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ [Гл. 9
(последний переход использует равенство dv {Q) = ^ dii(Q)).
Проводя оценки тем же способом, что и в лемме 3, получаем
неравенство
«ν
Σ Vt^ ^ MgD^^ III] (Δ, = @,^i - @,,0.
Поскольку u{Q) = ReS{Q)y где функция s = S(Q) конформно
отображает риманову поверхность © на область К, величина Da [и]
равна площади образа римановой поверхности Δ^. Ясно поэтому, что
Da^ [и] — О (ν —* оо),
а следовательно, и
Σ ν^^^ — Ο (ν —сю).
Свойство 2 области К доказано.
Построим теперь униформизирующие функции ψ (s) и ψ E). С этой
целью обозначим через F(Р) и Q{C) функции ζ и i=f[z),
рассматриваемые как функции точки Ρ римановой поверхности B нашей
алгебраической функции f{z). Эти функции являются, очевидно, ме-
роморфными функциями на римановой поверхности B. Эти же функции
на накрывающей поверхности «2 можно записать в виде
z = F(p{Q)), i = Q{p(Q)),
тде ρ (Q) — проекция точки Q накрывающей поверхности 2 на
риманову поверхность @. Эти функции являются мероморфными
функциями на накрывающей поверхности ©. Функции
<f(s)=F{piQ (S))), ,^(s) = Q(p(Q (s))),
где Q{s) — отображение, обратное к отображению s=S{Q)y
являются мероморфными функциями в области К и дают искомую уни-
формизацию.
Группу @, относительно которой функции φ E) и ψ E) автомор-
фны в области К, строим, как и в теореме 2 § 7, с помощью
преобразований скольжения Q*=i(Q) накрывающей поверхности @.
Свойства 1—3 группы @ немедленно получим из свойств
преобразований скольжения накрывающих поверхностей, доказанных нами в § 8.
Тем самым доказательство теоремы завершено.

§ lOJ КЛАССИФИКАЦИЯ РИМАНОВЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ 641
§ 10. Классификация римановых поверхностей
с точки зрения конформных отображений
Пусть К — единичный круг, конечная плоскость или сфера Рима·
на, а @ — произвольная собственно разрывная группа
дробно-линейных отображений круга К на себя, не имеющих неподвижных точек
в круге К-
Основываясь на идеях §§ 7 и 8, легко можем доказать
следующее утверждение:
Теорема 1. Любую риманову поверхность @ можно
конформно отобразить на фактор-пространство Kj® с некоторой
группой О, изоморфной фундаментальной группе πι (@). При этом
фактор-пространства Κ/@ι и K/Qii тогда и только тогда
конформно эквивалентны, когда группы ®i и ®^ связаны
соотношением ©2 = 7() ©1 Г()"\ гое Т^ — некоторое дробно-линейное
отображение круга К на себя.
Для доказательства рассмотрим конформное отображение 5 = 5(Q)
универсальной накрывающей © римановой поверхности B на круг К>
Группа ^ преобразований скольжения универсальной накрывающей ©
(изоморфная, как мы знаем, фундаментальной группе πι (¾)) перейдет
при этом отображении в некоторую группу @ автоморфизмов круга /С.
Согласно определению группы @ точки универсальной накрывающей B,
имеющие одинаковые проекции, переходят при отображении s = S{Q)
в точки круга /С, конгруэнтные относительно группы @. Поэтому
отображение s = S{Q) можно рассматривать и как конформное
отображение фактор-пространства ^j^ на фактор-пространство Kj®*
Но, как легко проверить, фактор-пространство B/v^ совпадает с нашей
римановой поверхностью @.
Следовательно, конформное отображение универсальной
накрывающей <2 на круг К можно рассматривать как конформное
отображение римановой поверхности @ на фактор-пространство /С/®,, и
первая часть утверждения теоремы доказана.
Пусть мы имеем фактор-пространство Kj®- Круг /( можно
рассматривать как универсальную накрывающую этого
фактор-пространства, если проекцией точки круга К на фактор-пространство считать
траекторию, содержащую эту точку. Конформное отображение двух
римановых поверхностей легко распространяется до конформного
отображения универсальных накрывающих. Поэтому из конформной
эквивалентности фактор-пространств К1®\ и ΚΙ®ι следует
существование конформного отображения круга К на себя, при котором
точки, конгруэнтные относительно группы ©j, переходят в точки,
конгруэнтные относительно группы S^^, Это конформное
отображение круга/С осуществляется дробно-линейным преобразованием Го,
и мы видим, что каждому преобразованию'Г ζ @ι можно поставить
в соответствие преобразование Г* ξ ©2 с помощью равенства

642 МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ НА РИМАНОВЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ [Гл. 9
Т= TqT^Tq'^, Это и означает, что &i = Tq®2To~^, Теорема
доказана.
Простейшую классификацию римановых поверхностей можно
провести по характеру круга К- Именно:
Риманова поверхность B называется римановой поверхностью
эллиптического типа, если ее универсальная накрывающая B
конформно эквивалентна всей сфере Римана.
Риманова поверхность © называется римановой поверхностью
параболического типа, если ее универсальная накрывающая ©
конформно эквивалентна всей конечной плоскости.
Риманова поверхность B называется римановой поверхностью
гиперболического типа, если ее универсальная накрывающая B
конформно эквивалентна единичному кругу.
Эти три типа римановых поверхностей сильно различаются
количеством содержащихся в них поверхностей. Так, например:
Римановой поверхностью эллиптического типа, склеенной из
листов плоскости, моэюет быть только риманова поверхность
функции, обратной к рациональной.
Это утверждение немедленно вытекает из теоремы 4 § 10 гл. 8,
так как произвольная риманова поверхность эллиптического типа
обязана быть односвязной (действительно, группа @, изоморфная
фундаментальной группе этой римановой поверхности, состоит только из
единичного элемента, так как на сфере Римана нет дробно-линейных
преобразований без неподвижных точек).
С помощью рассуждений теоремы 4 § 10 гл. 8 легко
показывается также, что
Односвязная риманова поверхность параболического типа
(если она склеена из листов плоскости) является римановой
поверхностью функции, обратной к некоторой функции, мероморфной
во всей конечной плоскости.
Некоторое время была в моде так называемая проблема типа.
Эта проблема состояла в отыскании условий, позволяющих легко
различать односвязные римановы поверхности параболического и
гиперболического типов. Проблема оказалась чрезвычайно трудной, и
интерес к ней постепенно заглох.
Из многосвязных областей плоскости римановой поверхностью
параболического типа является лишь сфера Римана с двумя
выколотыми точками. Сфера с тремя выколотыми точками представляет
собой уже риманову поверхность гиперболического типа. В этом
проще всего убедиться с помощью функций кругового треугольника
(см. § 4 гл. 7). Из построения этих функций нетрудно усмотреть,

§ 10] КЛАССИФИКАЦИЯ РИМАНОВЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ С43^
что они совершают конформное отображение единичного круга на
универсальную накрывающую сферы с тремя выколотыми точками.
Приведем euie результат, говорящий о типе компактной римано-
вой поверхности.
Теорема 2. Компактная риманова поверхность рода нуль
является римановой поверхностью эллиптического типа.
Компактная риманова поверхность рода 1 является римановой
поверхностью параболического типа. Компактная риманова
поверхность рода g^ 1 является римановой поверхностью
гиперболического типа.
Согласно теореме 1 любую риманову поверхность @ можно
конформно отобразить на фактор-пространство /С/О, где группа @
изоморфна фундаментальной группе tcj (g). Мы знаем, что в нашем случае
фундаментальная группа πι (g) представляет собой группу с 2g
образующими, связанными одним соотношением (см. § 8). С другой
стороны, в § 8 мы показали, что для случая, когда круг К—конечная
плоскость, группа @ не может иметь больше двух образующих.
Поэтому любая компактная риманова поверхность рода g^l не может
быть римановой поверхностью эллиптического или параболического
типа, и последнее утверждение теоремы доказано.
Поскольку первое утверждение очевидно, остается доказать, что
любая компактная риманова поверхность рода 1 является римановой
поверхностью параболического типа. Для этой цели воспользуемся
идеей униформизации с неполным рассечением римановой поверхности.
Как было показано в начале доказательства теоремы 3 § 9, некоторая?
накрывающая 2 римановой поверхности 2 рода 1 конформно
отображается на всю конечную плоскость с выколотой точкой z = 0.
Универсальная накрывающая римановой поверхности © совпадает с
универсальной накрывающей римановой поверхности B. Кроме того, если
две римановы поверхности конформно эквивалентны, то конформно
эквивалентны и их универсальные накрывающие. Следовательно^
универсальная накрывающая @ компактной римановой поверхности @
рода 1 конформно эквивалентна универсальной накрывающей всей
конечной плоскости с выколотым началом координат. Последняя
универсальная накрывающая есть не что иное, как риманова поверхность
логарифма. Риманова поверхность логарифма конформно
отображается на всю конечную плоскость функцией s = e^. Таким образом,,
универсальная накрывающая @ конформно эквивалентна всей
конечной плоскости, т. е. риманова поверхность B параболического типа.
Теорема полностью доказана.
В связи с классификацией римановых поверхностей с точки
зрения их конформной эквивалентности естественно поставить вопрос
о числе различ^1ых видов конформно неэквивалентных римановых

644 МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ НА РИМАНОВЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ [Гл. 9
поверхностей того или иного сорта. Конечно, число таких видов в
большинстве случаев бесконечно, и считать придется не число, а
размерность множества в разумно выбранном пространстве параметров.
Докажем сначала два наиболее простых результата такого рода.
Множество видов конформно неэквивалентных двухсвязных
римановых поверхностей, подобных однолистным, зависит от
одного действительного параметра, который можно считать
меняющимся от нуля до единицы.
Воспользуемся теоремой 1 § 8, согласно которой любую
двухсвязную риманову поверхность, подобную однолистной, можно
конформно отобразить на всю расширенную плоскость, из которой
выброшены два круга, не имеющих общих точек. С помощью
надлежаще подобранного дробно-линейного преобразования эту круговую
область можно конформно отобразить на кольцо из концентрических
окружностей с центром в начале. Более того, если хотя бы один из
выброшенных кругов не сводится к точке, то мы можем сделать
радиус внешней окружности равным единице. Тогда в качестве
интересующего нас параметра можем взять радиус внутренней окружности
кольца. Нетрудно убедиться, что кольца
р<И<1 и ρ'<μ|<1
конформно неэквивалентны, если ρ т^ р' (согласно доказанному в § 9
достаточно убедиться, что их нельзя перевести друг в друга с
помощью дробно-линейных отображений).
Столь же просто доказывается и второе утверждение:
Множество видов конформно неэквивалентных компактных
римановых поверхностей рода 1 зависит от одного комплексного
параметра, который можно считать меняющимся во всей
конечной плоскости.
Действительно, согласно теоремам 1 и 2 любая компактная ри-
манова поверхность рода 1 конформно эквивалентна
фактор-пространству К / @, где К — вся конечная плоскость, а группа @ состоит из
преобразований вида
Τ{ζ) = ζ-^ ПхЩ -\- п^щ {щ, ^2 = О, ± 1, ± 2,...)
(см. конец § 8). Переход от группы (?) к группе 7о® Γ~ι в нашем
случае сводится к умножению чисел ωι и щ на произвольную
комплексную постоянную. За счет этого умножения можем сделать число
ωι равным единице. Кроме того, приняв ωι = 1, мы можем
удовлетворить условию ^ω^^Ο, заменив, если потребуется, число ω2 на —ω2
(что не изменит группы Щ.

•^ 101 КЛАССИФИКАЦИЯ РИМАНОВЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ 645
Заметим теперь, что группа @, отвечающая нашей римановой по-
Берхности B, не изменится, если мы заменим числа ωι и ω^ числами
(О* = сщ -\- ί/ωι,
ω| = αω.2 -|- ^coj,
где α, by с, d — произвольные целые числа, связанные соотношением
ad — bc=\. Это означает, что числа
ах-\-Ь\
сх -|- dj
также отвечают одной ш той же группе О. (Переход от чисел ωι, ω^
к числам ω*, ω| — это переход от одной пары основных периодов
эллиптических функций к другой.) Поэтому римановы поверхности
рода 1 находятся во взаимно однозначном соответствии с точками
фактор-пространства ///Г, где Η—верхняя полуплоскость, а Г —
модулярная группа. Это фактор-пространство конформно эквивалентно
всей конечной плоскости. Отсюда мы и выводим наше утверждение.
Аналогичные результаты (хотя и не поддающиеся столь
полному анализу) можно получить для л-связных римановых поверхностей,
подобных однолистным, при п^2у а также для компактных
римановых поверхностей рода g^ 1. Мы изложим основные моменты
доказательства этих результатов, не останавливаясь на деталях.
Если ® является л-связной римановой поверхностью, подобной
однолистной, то ее можно (согласно теореме 1 § 9) конформно
отобразить на круговую область. С помощью дробно-линейного
отображения эту круговую область можно сделать кольцом
р<1^!<1.
нз которого выброшены η — 2 круга
Ι^-γ^ΛΚρ;,, k = U2, .., п~2.
Учитывая, что наше кольцо можно поворачивать на произвольный
угол, видим, что наша круговая область описывается параметрами
Р, г ρ . . . , Г^_2, Pi, . . ., Р;г-2' 0^2 — ^Ь · · · у^п-2 — ^Ь
причем различным значениям этих параметров отвечают (за редким
исключением) конформно неэквивалентные области. Подсчитывая
число параметров, приходим к утверждению:
Множество видов конформно неэквивалентных п-связных
римановых поверхностей, подобных однолистным, при п^2 зависит
от Зп — б действительных параметров.
Пусть теперь @ — компактная риманова поверхность рода ^]>1.
Ей отвечает группа @ дробно-линейных отображений единичного
круга К на себя, имеющая 2g образующих, связанных одним
соотношением. Каждая образующая определяется тремя действительными

646 МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ НА РИМАНОВЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ [Гл. 9
параметрами (в § 1 гл. 5 мы показали, что произвольное дробно-ли-
нейное отображение единичного круга на себя зависит от трех
действительных параметров). При произвольном достаточно малом
изменении параметров, определяющих эти образующие, снова получим
группу отображений круга на себя. Это произвольное малое изменение
определяется 6g действительными параметрами. Три параметра из этих
6g мы должны истратить, чтобы удовлетворить соотношению между
образующими. Остается 6^— 3 параметров. Кроме того, образующие
Т^ и ST^S^^, где 5—произвольное дробно-линейное отображение
круга К на себя (одно и то же при т=\, 2, ..., 2^), мы должны
отождествить между собой, так как фактор-пространства /С/®,
отвечающие производимым ими группам, конформно эквивалентны. На этом
теряем eu:ie три параметра (преобразование 5 тоже определяется тремя
параметрами). Оставшиеся 6^—6 действительных параметров
определяют группы @ таким образом, что фактор-пространства К/®,
отвечающие группам @ с различными значениями параметров, конформна
неэквивалентны. Остается проверить, что этим значениям параметров
отвечают компактные римановы поверхности рода g. В этом проще
всего убедиться, заметив, что при малых изменениях образующих
фундаментальная область также мало меняется. Поэтому
Множество видов конформно неэквивалентных компактных
римановых поверхностей рода g^l зависит от 6g—б
действительных параметров.
Более точное описание области изменения параметров,
определяющих конформно неэквивалентные виды компактных римановых
поверхностей рода ^^1, — довольно трудная задача.
Заметим, что рассмотренные сначала случаи я = 2 и ^=1 не
укладываются в общую формулу. Это связано с тем, что круговая
область при п = 2 имеет однопараметрическое семейство
дробно-линейных отображений на себя.

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абелев дифференциал 589
— интеграл 555
Абеля теорема 574
Автоморфная форма 601
— функция 478, 601
Адамара теорема 459
Алгебраическая кривая 236
Лежандра 239
— функция 385, 575
Аналитическая кривая 366
— функция 51, 368
Аналитическое продолжение 364, 365, 3G6
Бесконечно удаленная точка 20
Блоха теорема 455
Бюрмана—Лагранжа ряд 141
Вейерштрасса признак 320
— теорема (о рядах) 72
103
— ]р-функция 164
Ветвь (аналитической функции) 54, 371
— регулярная 55
Витали теорема 341
Вычет абелгва дифференциала 590
интеграла 557
— функции 105, 306
Гамма-функция Эйлера 130
Гармоническая функция 343, 497
Гарнака теорема 348
Гипергеометрическое уравнение 488
Главное значение интеграла типа Коши 354
логарифма 78, 308
степенной функции 83
Гомотопический класс 613
Гомотопные кривые 291
Двоякопериодическая функция 154
Дивизор 595
— абелева дифференциала 593
— мероморфной функции 595
— целый 595
Диполь 418
Дирихле задача 351, 441, 444, 502
— интеграл 495, 512, 586
— принцип 503, 504
Дискриминант 167
Дифференциальная форма 580, 581
Дополнение модуля 216
Достижимая граничная точка 440
Дробно-линейная функция 397
Жорданова кривая ^
Изменение абелэва интеграла (по замк1
кривой) 556
Инварианты 229, 230
Интеграл 88, 234. 382, 581
— типа Коши 314, 353
Каноническое рассечение 554
Кеплера уравнение 148
Комплексная структура 579
Конформная эквивалентность 579
Конформное отображение 316
Коши интегральная формула 101, 311
— метод 120
— теорема 97, 253, 301, 305
Коши — Римана система уравнений 295
Кристоффеля—Шварца формула 465
Критическая точка порядка к 375
потенциала 319
Круговая область 625
Ландау теорема 482
Лапласа уравнение 343
Лежандра интеграл (первого рода) 470
— многочлены 145
— соотношение 176
Линделёфа принцип 451
Линейно-полиморфная функция 487
Линии тока 363, 491
Лиувилля теорема 66, 339
Логарифм 77, 411
Локальная переменная 3S4, 539
Локсодромии 402
Лорана ряд 46, 324, 326
— теорема 66, 339
Максимума модуля принцип 336, 456
Мероморфная функция 112
Минимальная последовательность 522
Миттаг-Леффлера теорема ИЗ, 578
Модуль 151, 152
— эллиптических функций Якоби 215
— эллиптического интеграла 270
Модулярная группа 225
— форма 229
— функция 228, 473, 476
Морера теорема 314
Накрывающая поверхность 589, 615
Неевклидово расстояние 422
Неопределенный интеграл 87
Нули абелева дифференциала 590
— функции 37, 322
Область односвязная 291
— /1-связная 291

618
предметный указатель
Обратная функция 139
Определенный интеграл 300
Особая точка 371
алгебраическая 374
— — изолированная 371
однозначного характера 372
Особенностей функция 535
Переразложение ряда 40, 41
Период функции 151
—эллиптического интеграла 255, 253
Периодическая функция 154
Периодов параллелограмм 155, 469
Периоды основные 115, 4δ9
Пикара теорема 473
Поверхность 290
Полное рассечение (сферы с g ручками) 551
Полюс 64, 65, 327, 372
— абелева дифференциала 590
Полюсов полная система 158
— сумма 161
Полярные периоды (ß-периоды) 558
Порядок полюса 64, 372
Потенциал скоростей 362, 363
Преобразование порядка η 259
Принцип аналитического продолжения 365
— симметрии Римана—Шварца 393
Проблема типа 642
Продолжение степенного ряда 50
непосредственное 44
Пуассона интеграл 345
Регулярная функция 6S, 295, 384
Римана билинейное соотношение 562
— неравенство 577
— теорема 429
Римана—Гурвица формула 598
Римана—Роха теорема 596
Римана—Шварца принцип симметрии 393
Риманова поверхность 242, 383, 539
абстрактная 579
алгебраическая 547
в узком смысле слова 378, 381
корня /г-й степени 380
логарифма 371
Руше теорема НО
Теорема о двойных рядах 25
монодромии 61, 368
— сложения алгебраическая 169
для функции ζ (и) 178
— умножения для функции (р (и) 173
Тета-функция 188, 192, 195, 197
Течения жидкости 360, 416
Тип римановой поверхности 642
Топологические термины 53, 54 279
239-291 ' ^'^
Топологическое пространство 290
Точка ветвления 243, 539
изолированная 373
логарифмическая 374
порядка η 374
— особая 59
— регулярности 59, 63
Траектории 601, 604
Трансцендентная функция 58
Тригонометрические функции 75, 412
Универсальная накрывающая 616
Униформизация 611
— алгебраической кривой 236, 414
функции 633, 634
Фактор-пространство 601
Фундаментальная область 602
модулярной группы 227
Функция ζ (и) 175
— σ {и) 179
— тока 363
—, аналитическая в области 371
Целая функция 58, 66, 125
Циклические периоды (Л-периоды) 559
— сечения 546, 548
сопряженные 554
Шварца «знакопеременная метода» 446
— лемма 337, 450
— формула 346
Шварциан 483
Шоттки теорема 480
-283,
Скольжения преобразования 618
Собственно разрывная группа 603
Сохранения области принцип 298, 376
Степенная функция 82, 406, 414
Степенных рядов моногенная система 50
Степень дивизора 596
Существенно особая точка 64, 372
с-точек полная система 161
— сумма 161
Тейлора ряд 322
Теорема единственности 37
— площадей 452
— о вычетах 106, 307
Эйлера гамма-функция 130
— постоянная 130
Эквивалентность топологическая 240
Эквивалентные пары периодов 185
- — чисел 222, 224
Эквипотенциальные линии 363
Экспонента 73, 310, 411
Экстремальная задача 502
5 511
σ 536, 587
Элемент аналитической функции 51, 36S
Эллиптическая функция 157, 468
Эллиптические функции Якоби 214
Эллиптический интеграл 247
нормальный 251