Титульный лист
Аннотация и выходные данные
Предисловие
Глава 1. Геометрические построения
§2. Построение циркулем и линейкой
§3. Знаменитые задачи древности на построение
Глава 2. Свойства параллелограмма. Пропорциональные отрезки
§2. Признаки параллелограмма
§3. Центральная симметрия
§4. Средняя линия треугольника
§5. Параллельные секущие сторон угла
§6. Трапеция
Глава 3. Гомотетия и подобие
§2. Гомотетичные фигуры
§3. Подобные фигуры
§4. Подобие треугольников
§5. Высоты и биссектрисы треугольников
Глава 4. Окружность
§2. Касательная
§3. Вписанные и описанные многоугольники
§4. Отрезки касательных
§5. Касательная к окружностям
Глава 5. Множества в геометрии
§2. Некоторые ГМТ плоскости
§3. Объединение множеств
§4. Пересечение множеств
Глава 6. Центральные и вписанные углы
§2. Вписанные углы
§3. Измерение углов дугами окружностей
§4. Вписанный четырехугольник
§5. Свойства хорд, секущих и касательных
Глава 7. Площадь
§2. Площадь прямоугольника и квадрата
§3. Площадь треугольника
§4. Площади четырехугольников
§5. Площадь многоугольника
§6. Равносоставленные фигуры
Глава 8. Тригонометрические функции острого угла
§2. Косинус острого угла
§3. Тангенс и котангенс острого угла
§4. Тригонометрические формулы
Глава 9. Метрические соотношения в треугольнике
§2. Теорема синусов
§3. Решение треугольников
Глава 10. Параллельный перенос на координатной плоскости
§2. Параллельный перенос вдоль оси ординат
§3. Параллельный перенос на координатной плоскости
Глава 11. Связанные векторы
§2. Сложение векторов
§3. Умножение вектора на действительное число
Глава 12. Наглядная стереометрия
§2. Перпендикулярность
§3. Сечения куба и прямоугольного параллелепипеда
§4. Правильные четырехугольная и треугольная пирамиды
§5. Сфера и шар
§6. Цилиндр и конус
Глава 13. Элементы геометрии Лобачевского
§2. Пятый постулат Евклида и открытие Лобачевского
§3. Перпендикуляры и углы на модели Пуанкаре
§4. Окружность и эквидистанта в плоскости Лобачевского
Предметный указатель
Справочные материалы
Ответы и указания
ОГЛАВЛЕНИЕ
Выходные данные
Обложка

Author: Никитин А.А.  

Tags: математика   геометрия  

ISBN: 5-88119-059-9

Year: 2000

Text
                    НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
УНИВЕРСИТЕТ
ГЕОМЕТРИЯ
УЧЕБНИК
ДЛЯ ВОСЬМЫХ-ДЕВЯТЫХ КЛАССОВ
СРЕДНИХ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНЫХ
УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ
НОВОСИБИРСК * 2000


УДК мзз А. А. Никитин, B.C. Белоносов, М. П. Вишневский, В. В. Войтишек, Т. И. Зеленяк, А. А. Мальцев, А. С. Марковичев, Ю. В. Михеев, А. И. Саханенко, Д. М. Смирнов Под редакцией А. А. Никитина МЗЗ Геометрия: Учебник для восьмых-девятых классов средних общеобразовательных учебных заведений. — Новосибирск: Издательство ИДМИ, 2000. — 456 с. ISBN 5-88119-059-9 Учебник подготовлен в рамках проекта "Индивидуализация обучения на основе личностно ориентированного учебного плана общеобразовательной школы" Научный руководитель проекта — В. Д. Шадриков, академик Российской академии образования, доктор психологических наук, профессор. Руководитель авторского коллектива и главгый редактор — А. А Никитин, член-корреспондент Российской академии образования, доктор физико-математических наук, профессор. М 1602000000 14Б(03)-00 ISBN 5-88119-059-9 (с) B.C. Белоносов, М.П. Вишневский, В В Войтишек, Т. И. Зеленяк, А. А. Мальцев, А.С Марковичев, Ю. В. Михеев, А. А. Никитин, А. И. Саханенко, Д. М. Смирнов, 2000
ПРЕДИСЛОВИЕ Предлагаемый учебник является продолжением книги "Геометрия 7". Одной особенностью учебника является три уровня изложения, отличающиеся не только объемом, но, главным образом, глубиной и сложностью изучаемого материала. На первый уровень вынесены те математические знания, которые необходимы каждому человеку. Материал второго и третьего уровня предназначен для тех учащихся, которые захотят расширить и углубить свои знания по той или иной теме самостоятельно или под руководством учителя. В отдельных главах материал второго и третьего уровня рассчитан на то, чтобы удовлетворить возможные порывы любознательности учащихся. Материал второго и третьего уровня отмечен одной и двумя звездочками. Материал первого уровня может изучаться независимо от материала второго и третьего уровня, а материал второго уровня — ■ независимо от материала третьего уровня. Трехуровневость изложения позволяет шире использовать на первом уровне интуицию и наглядность и тем самым содействовать лучшему пониманию и неформальному усвоению изучаемого материала. Учебник состоит из 13 глав, разбитых на параграфы. Параграфы в свою очередь делятся на более мелкие части -- пункты. К каждому параграфу предлагаются контрольные вопросы и задания, задачи и упражнения, а к каждому пункту — так называемый "открытый вопрос", побуждающий учащихся думать и глубже понимать прочитанное, сопоставлять его с накопленными знаниями и опытом. Иногда ответ на открытый вопрос дополняет содержание пункта до логиче-
4 Предисловие ского завершения. Обсуждение и анализ ответов на открытые вопросы обязательны при изучении каждого пункта. Ответы не всегда могут быть однозначными. В отдельных случаях они могут зависеть от жизненного опыта учащихся. Многие ответы можно найти на страницах учебника. Наличие открытых вопросов составляет важную особенность учебника. Одной из особенностей учебника также является включение в него элементов неевклидовой геометрии Лобачевского. Сделано это с той целью, чтобы расширить кругозор учащихся и приблизить их к современному восприятию развития математики. Авторы учебника выражают чувство искренней признательности В.Д. Шадрикову, выдвинувшему концепцию проекта "Индивидуализация обучения на основе личностно ориентированного учебного плана общеобразовательной школы". Именно благодаря работе по этому проекту, при изложении материала, авторы учебника учитывали психологические особенности учащихся. Авторы благодарны директорам школ, психологам и учителям, авторам учебников по физике, химии и биологии, общение с которыми способствовало формированию подходов к изложению материала.
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ В этой главе напоминается о некоторых известных геометрических построениях, приводятся правила использования линейки и циркуля при решении задач на построение, говорится о знаменитых задачах древности на построение. § 1. ЗАДАЧИ НА ПОСТРОЕНИЕ 1.1. Посмотрим на рисунок 1. Изображенный на нем треугольник ABC очень похож на равносторонний треугольник. Если измерить длины сторон АВ и АС в треугольнике ABC обычной школьной линейкой, то результаты измерения практически невозможно различить. Поэтому треугольник ABC можно считать хорошей иллюстрацией равностороннего треугольника. Однако, в действительности треугольник ABC не равносторонний. Чтобы убедиться в этом, отметим середину D стороны АС и рассмотрим прямоугольный треугольник ABD (рисунок 2). Длины ка-
Глаза L Геометрические посщюения и \В\ ш J] II \Ч 1 1 1 1 1 1 и И / /1 М 1 И 1 1 1 1 1 II 1 1 1 1 tc 1 1 1 И Mill ыр\ i I N И 1\ ш И Л N I I I I I 1 1/1 I 1 \Y\Q\ II 1 1 1 let 1 1 1 тетов этого треугольника в шагах сетки имеют значения: AD = 3, BD = 5. По теореме Пифагора получаем: АВ2 = AD2 + BD2 = З2 + 52 = 34. Поэтому сторона АВ не может равняться 6, так как б2 = 36. Таким образом, треугольник ABC является довольно хорошим рисунком, изображающим равносторонний треугольник, но не является равносторонним треугольником, так как не удовлетворяет определению равностороннего треугольника. Вопрос. Как показать, что треугольник со сторонами 11 см, 10 см и 5 см не является прямоугольным? 1.2. Рассмотрим теперь следующую задачу. На клетчатой бумаге даны точки А, В, С и отрезок МК, как на рисунке 3. Найти, с помощью циркуля и линейки, на прямой ВС такие точки Р и Q, чтобы треугольник APQ оказался равнобедренным, причем его боковые стороны АР и AQ окаг зались бы равны МК. Для решения задачи сначала проведем прямую ВС. Затем возьмем раствор циркуля, равным отрезку МК, и с центром в точке А проведем дугу окружности, как на рисунке 4. Найдем точки пересечения проведенной дуги с прямой ВС и обозначим их буквами Р и Q. В треугольнике APQ стороны АР и AQ равны радиусу проведенной дуги окружности, то есть АР = МК и AQ = МК.
§ J. Задачи на построение 7 Таким образом, проведение прямой и окружности по описанным правилам дает треугольник APQ, который удовлетворяет всем требованиям, содержащимся в условии задачи. Тем самым решена задача геометрического построения на плоскости с помощью циркуля и линейки. Иногда говорят короче: решена задача на построение с помощью циркуля и линейки. Когда заранее известно, что можно использовать только линейку и циркуль, то обычно говорят, что решена задача на построение. Вопрос. Решение каких задач на построение с помощью циркуля и линейки вам известны? 1.3. Прямая, имеющая единственную общую точку с окружностью называется касательной к этой окружности. Возьмем окружность и точку А вне этой окружности, как на рисунке 5. Покажем, как можно построить касательную к окружности, проходящую через заданную точку. Основная идея построения касательной 7fi\—— ХА АК заключается в том, чтобы вместо прямоугольного треугольника АОК, как на ^ рисунке 6, сначала построить равнобе- ^ дренный треугольник О AM, в котором отрезок АК является высотой. Для этого проведем вспомогательную окружность с центром О и радиусом, в два раза большим радиуса данной окружности. Построим теперь окружность с цен- т А О
8 Глава J. Геометрические построения тром А и радиусом О А Эта окружность пересечет вспомогательную окружность в двух точках М\ и Мч (рисунок 7). Рассмотрим отрезок ОМ\, который пересекает заданную окружность в точке К\. Прямая АК\ — касательная. Действительно, в треугольнике ОАМ\ стороны АО и АМ\ равны, а поэтому треугольник ОАМ\ — равнобедренный с основанием ОМ\. Его медиана АК\, проведенная к основанию, одновременно является и высотой, откуда получаем, что АК\ ± ОК\. Прямая АК\ является искомой касательной, поскольку перпендикуляр, проведенный из точки к прямой, короче любой наклонной, проведенной из этой точки к данной прямой. Аналогичные построения можно проделать с точкой Мг и получить другую касательную, удовлетворяющую условию задачи. Вопрос. Как построить диаметр окружности с известным центром? Контрольные вопросы и задания 1. Сколько прямых можно провести через две точки? 2. Сколько окружностей данного радиуса и с центром в заданной точке можно провести? 3. Как определяется касательная к окружности? 4. Чем геометрическое построение отличается от рисунка, который делается для наглядного представления геометрической фигуры? Задачи и упражнения 1. На клетчатой бумаге постройте: а) прямоугольник; б) квадрат; в) ромб; г)* параллелограмм, который не является ни прямоугольником, ни ромбом.
§ 1. Задачи на построение 9 2. К отрезку АВ, изображенному на рисунке 8, проведите перпендикулярную прямую: а) из точки М; 6)* из точки К; в)** из точки F, являющейся центром клеточки. 3. Постройте центр окружности, проходящей через три точки, изображенные: а) на рисунке 9; б)* на рисунке 10; в)** на рисунке 11 А р 1 • М %_ А к\ в А 1] ,с В А С СЖ1 г А, D ]» ii_ 4? б!* Постройте перпендикуляр к прямой из точки, не лежащей на этой прямой. Через заданную точку на данной прямой а проведите прямую, перпендикулярную прямой а. На рисунке 12 изображены прямая а, окружность s и отрезок АВ. Постройте окружность с радиусом, равным АВ, которая касается прямой а и окружности s. Постройте отрезок в два раза длиннее заданного отрезка. Постройте отрезок в три раза длиннее заданного отрезка. m 1 1 1 1 1 1 1 г 1 * L J If IN 1 1 1 Г 1 1 1 i 1 I up f> 44 Л] 1 1 1 1 1 1 1 1 9, Разделите заданный отрезок пополам.
10 Глава 1. 1 еометри ческие построения §2. ПОСТРОЕНИЕ ЦИРКУЛЕМ И ЛИНЕЙКОЙ 2.1. Решение задач на построение обычно состоит из нескольких этапов. На начальной стадии решения, как правило, приходится отыскивать связанные с задачей закономерности, на основе которых и удается выполнить построения. Например, в п. 1.3 указан путь, следуя которому построение можно совершить. Если бы этот путь не был указан, то для решения задачи вам пришлось бы предложить самим либо этот, либо какой-то другой путь. Это очень важный этап решения задачи: следует проанализировать данные задачи, задания, сопоставить со своими знаниями и опытом и "догадаться" как решать задачу. Ваша догадка может или привести к цели, или нет. Произведя построение, следует убедиться в том, что цель достигнута, либо убедиться, что не достигнута. Этот этап решения задачи на построение связан с рассуждениями, которые называются доказательством. Еще одной частью решения задачи на построение является исследование, то есть выяснение числа решений. Задачи на построение, так же как и все задачи, могут иметь одно решение, несколько решений или вообще не иметь решений. В п. 1.3 приведен пример задачи на построение, имеющей два разных решения (две разные касательные). К каждому из этих
§ 2. Построение циркулем и линейкой 11 решений можно прийти различными способами. Вопрос. Как изменится отвег в задаче п.1. 2, если на рисунке 3 точка А находилась бы там, где расположена точка Ml 2.2. На заданном луче АВ построим отрезок АК, равный данному отрезку CD. Построение. Возьмем раствор циркуля, равный отрезку CD. Проведем окружность радиуса CD с центром в точке А. Найдем точку К пересечения окружности с лучом АВ. Требуемый отрезок АК построен. Доказательство. Точка К лежит на окружности с центром Д поэтому отрезок АК равен радиусу окружности, то есть АК = CD. Исследование. Луч, выходящий из центра окружности, пересекает эту окружность в единственной точке, а поэтому задача всегда имеет единственное решение. Вопрос. Из каких свойств луча следует, что луч, выходящий из центра окружности, обязательно пересечет эту окружность? к р 2.3. Рассмотрим построение отрезка, / равного сумме двух заданных отрезков АВ и CD (рисунок 3). Построение. Выберем две произвольные точки К и Р. Проведем через точки К и Р прямую /. Рассмотрим луч КР прямой / (рисунок 4). Построим на луче КР отрезок KL,
12 Глава, 1. Геометрические построения К LP М равный отрезку АВ, известным из преды- дущего пункта способом. £ • » г-> Из точки L на прямой I отложим отрезок LM = CD таким образом, чтобы точка L лежала на отрезке КМ. Требуемый отрезок КМ построен. Доказательство. По построению точка L лежит на отрезке КМ, а поэтому Н шж KM = KL + LM = AB + CD. Исследование. При заданных точках К и Р построение всегда приводит к отрезку, длина которого равна АВ + CD. Таким образом, при любом выборе прямой J, указанная процедура построения приводит к отрезкам равной длины, то есть к равным отрезкам. В таком случае говорят, что рассматриваемая задача имеет единственное решение. Вопрос. Как построить отрезок, который в пять раз больше данного отрезка? 2.4. Построим отрезок, длина которого равна разности длин двух заданных отрезков АВ и CD при условии, что АВ > > CD (рисунок 7). Построение. Выберем две произвольные точки К и Р. Проведем прямую КР и рассмотрим луч КР этой прямой. Построим на луче КР отрезок KL, равный отрезку АВ, как это делалось в пункте 2.2. Затем на луче LK построим отрезок LM, равный отрезку CD. Требуемый отрезок КМ построен. Доказательство. По построению из условия АВ > CD следует, что LK > > LM, а поэтому точка М лежит на к к По! К L Р 1 Р Р на к м
§ 2. Построение циркулем и линейкой 13 отрезке KL. AB-CD. Значит KL = КМ + ML, откуда /СМ = KL- ML = Вопрос. Сколько решений имеет рассмотренная задача? 2.5. Построим точку, делящую заданный отрезок АВ пополам^ Построение. С центром в точке А и радиусом АВ проведем окружность. С центром в точке В и радиусом АВ проведем вторую окружность. Отметим точки К и L пересечения проведенных окружностей. Через точки К и L проведем прямую т, а через точки А и В проведем прямую п. Отметим точку С пересечения прямых тип. Построенная точка С является серединой отрезка АВ. Доказательство. Отрезки АК и AL равны АВ как радиусы первой окружности. Отрезки В К и BL равны АВ как радиусы второй окружности. Поэтому четырехугольник AKBL — ромб. Известно, что диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам, откуда получаем, что АС = СВ. Исследование. Проведенные при построении окружности всегда пересекаются в двух различных точках, поэтому такая процедура построения всегда возможна. Вопрос. Какой способ построения середины отрезка можете предложить вы? 2.6. Построим биссектрису заданного угла ABC, то есть луч, который делит угол ABC на две равные части.
14 Глава 1 Геометрические построения Построение. Выберем произвольную точку М, отличную от точки В. С центром в точке В и радиусом ВЫ проведем окружность. Отметим точки Р и Q пересечения окружности с лучами ВА и ВС, как на рисунке 16. Построим середину Н отрезка PQ, например, таким способом, который описан в предыдущем пункте. Через точки В и Н проведем прямую /. Луч ВН прямой / является биссектрисой угла ABC. Вопрос. Как показать, что приведенное построение биссектрисы угла является правильным? 2.7. Проведение прямых и окружностей связано со следующими основными правилами: с помощью линейки можно провести единственную прямую, проходящую через две различные заданные точки; с помощью циркуля можно провести единственную окружность с центром в заданной точке и радиусом, равным заданному отрезку Вопрос. Как с помощью циркуля провести некоторую окружность через две заданные точки? 2.8. Иногда к числу известных точек произвольно добавляют вспомогательные точки. Для того, чтобы через известную точку с помощью линейки провести произ-
§ 2. Построение циркулем и линейкой 15 вольную прямую, достаточно взять любую другую точку и, пользуясь основным правилом, провести прямую через эти две точки. Если проведена прямая через две различные вспомогательные точки, то обычно говорят, что с помощью линейки проведена произвольная прямая. Другие приемы использования линейки при решении задач на геометрические построения обычно мы не будем рассматривать. Мы не будем откладывать с помощью линейки отрезки заданной длины, даже если на линейке есть деления, потому что процесс измерений и процесс построений различают. Мы не будем проводить линейкой две линии, пользуясь двумя краями линейки, так как предполагается, что при решении задач на построение линейка односторонняя, то есть у нее можно использовать только один край. Вопрос. Как с помощью циркуля и линейки проверить, лежат или не лежат три точки на одной прямой? 2.9. Рассмотрим некоторые приемы использования циркуля в геометрических построениях. Если циркулем проводят окружность с центром в заданной точке, например точке F, и радиусом, определенным с помощью вспомогательных точек, то обычно говорят, что проведена окружность с центром F произвольного радиуса. Если циркулем проводят окружность с центром в любой вспомогательной точке и радиусом, равным заданному отрезку, то Ш (Ж]
16 Глава I. Геометрические построения ^ обычно говорят, что проведена произвольная окружность заданного радиуса. Если и центр, и окружности, и радиус определяются вспомогательными точками, то обычно говорят, что проведена произвольная окружность. Другие приемы использования циркуля при решении задач на геометрические построения, как правило, не допускаются. Вопрос. Как с помощью циркуля проверить, что заданный треугольник является или не является равнобедренным? 2.10. При проведении прямых и окружностей по описанным правилам появляются точки их пересечения. Каждую из этих точек можно добавлять к известным точкам и использовать в дальнейших построениях. Задача на построение полностью решена, если решение содержит следующие части. Первая часть. Указан способ построения требуемой фигуры. Обычно эту часть решения называют построением. Вторая часть. Доказано, что при данном способе построения получается фигура с необходимыми свойствами независимо от тех вспомогательных точек, которые приходилось выбирать. Обычно эту часть решения называют обоснованием или доказательством правильности построения. Третья часть. Установлено и доказано, при каких исходных данных требуемая фигура существует и сколько различ-
§ 2. Построение циркулем и линейкой 17 ных решений имеет задача. Обычно эту часть решения называют исследованием задачи на построение. Решению трудных задач на построение обычно предшествуют предварительные рассуждения, поиск необходимых связей между элементами геометрической фигуры, черновые наброски решения. Иногда эту часть работы называют анализом задачи. Вопрос. Какое исследование необходимо провести для полного решения задачи п. 1.2? Контрольные вопросы и задания 1. Как построить на заданном луче отрезок, равный заданному отрезку? 2. Как построить отрезок, равный сумме заданных отрезков? 3. Как построить отрезок, равный разности заданных отрезков? 4. Как построить отрезок длиной па, где п — натуральное число, а — длина заданного отрезка? 5. Как построить середину заданного отрезка? 6. Как построить биссектрису заданного угла? 7. Сформулируйте основное правило использования линейки в геометрических построениях. 8. Сформулируйте основное правило использования циркуля в геометрических построениях. 9. Назовите части полного решения задачи на построение. 10. Какие приемы использования циркуля и линейки в задачах на геометрические построения вы знаете? Задачи и упражнения 1. На клетчатой бумаге заданы луч MN и отрезки АВ длиной 3 см, CD длиной 2,5 см (рисунок 24). Постройте циркулем и линейкой на этом луче отрезки длиной:
18 Глава 1 Геометрические построения 24 | И г М ■ 1 D В *n\ а) 5,5 см б) 0,5 см; в) б см; г) 1 см; д) 9 см; е) 10 см. 2. Разделите данный отрезок на четыре равных отрезка. 3. Разделите данный угол на четыре равных угла. 4. Постройте равносторонний треугольник. 5. Даны отрезок АВ и две точки К и L. Постройте точку, равноудаленную от точек К и L на расстояние АВ. 6. Постройте окружность заданного радиуса, проходящую через две заданные точки. 7. Даны отрезок АВ и две точки К и L. Постройте точку М такую, что КМ = АВ, LM = 2АВ. 8. Проведите через заданную точку окружность заданного радиуса. 9. В заданном треугольнике постройте: а) медианы; б) биссектрисы; в) высоты; г) отрезки, соединяющие середины сторон. 10. С помощью циркуля и линейки постройте угол: ж) в 150°. 11. Для треугольника ABC, изображенного на рисунке 25, постройте: а) прямую т, проходящую через середину стороны АВ и перпендикулярную АВ; б) прямую п, проходящую через середину стороны ВС и перпендикулярную ВС; в) точку пересечения прямых тип. 12. В заданном треугольнике постройте: а) биссектрисы двух углов; а) в 60°; в) в 15°; д) в 75°; б) в 30°; г) в 45°; е) в 120е
§ 3 Знаменитые задачи древности на построение 19 б) перпендикуляры к сторонам треугольника, проведенные из точки пересечения построенных биссектрис. Через вершину заданного угла проведите прямую, которая образует равные углы со сторонами заданного угла. Даны угол и точка М, как на рисунке 26. Проведите через точку М прямую, которая отсекает от сторон угла равные отрезки. § 3. ЗНАМЕНИТЫЕ ЗАДАЧИ ДРЕВНОСТИ НА ПОСТРОЕНИЕ 13?* 14?* 3.1. В архитектуре и технике широко используют чертежи, выполненные при помощи тех или иных инструментов. С древнейших времен простейшими инструментами являются циркуль и односторонняя линейка. Геометрические построения с помощью циркуля и линейки со времен Евклида (III век до н.э.) составляют важную часть геометрии. Древнегреческие математики Пифагор и Евклид умели строить при помощи циркуля и линейки правильный пятиугольник, правильный двенадцатиугольник. Более 2000 лет назад была решена трудная задача Аполлония о построении окружности, касающейся трех заданных окружностей. Однако, некоторые задачи на построение не поддавались усилиям математиков,
20 Глава I. Геометрические построения несмотря на многочисленные попытки. Например, никак не удавалось построить правильный семиугольник. Попытки в решении задач на построение правильных многоугольников закончились удивительным открытием немецкого математика Гаусса. Он установил, что при простом р правильный р-угольник можно построить циркулем и линейкой лишь в случае, когда число р — 1 есть степень числа 2, причем при этом показатель степени также является степенью числа 2. Тем самым было доказано, что правильный семиугольник построить с помощью циркуля и линейки нельзя, так как число 7—1=6 делится на 3 и поэтому не является степенью числа 2. Но правильный семнадцатиугольник можно построить с помощью циркуля и линейки, так как число 17 простое и 17 - 1 = 24, причем 4 = 22. По завещанию Гауса правильный 17- угольник выгравирован в основании памятника на его могиле. Вопрос. Как можно построить правильный пятнадцатиугольник, умея строить правильный треугольник и правильный пятиугольник? 3.2. Среди классических задач древности, которые нельзя решить с помощью циркуля и линейки, особенно известны следующие. Задача о трисекции угла. Произвольный угол разделить на три равные части.
§ 3. Знаменитые задачи древности на. построение 21 Задача об удвоении куба. Построить ребро куба, объем которого вдвое больше, чем объем куба с данным ребром. Задача о квадратуре круга. Построить квадрат, площадь которого равна площади заданного круга. С задачей об удвоении куба связана следующая легенда. Во время страшной эпидемии чумы, древнегреческого оракула спросили, как умилостивить богов, чтобы они умерили свою ярость. Оракул ответил, что недовольство богов вызвано размерами алтаря, на котором им приносят жертвы. Боги требовали возвести новый алтарь в двое большего объема. Старый алтарь имел форму куба с ребром а. Новый алтарь нужно было воздвигнуть тоже в форме куба с ребром х так, чтобы х3 = 2а3. Приведенные классические задачи на построение оставались неразрешенными до 19 века, несмотря на усилия многих выдающихся математиков. И только в 19 веке было доказано, что с помощью только циркуля и линейки эти построения невозможны. Вопрос. Как с помощью циркуля и линейки построить квадрат, площадь которого равна площади прямоугольника со сторонами 1 и 2? 3.3. Еще в древней Греции было замечено, что существуют углы, для которых трисекция выполнима. Например, покажем, как разделить на три равные части ш
22 Глава 1 Геометрические построения угол в 90°. Построение. Возьмем прямой угол ABC и с центром в точке В проведем окружность произвольного радиуса. Отметим точки К и L пересечения этой окружности с лучами В А и ВС. С центром в точке L проведем окружность радиуса LB и отметим точку М пересечения окружностей как на рисунке 2. Затем с центром в точке К проведем окружность радиуса KB = LB и отметим точку N пересечения окружностей как на рисунке 3. Лучи ВЫ и BN делят заданный угол ABC на три равные части. Доказательство. Треугольники BML и BNK равносторонние, потому что по построению LM — LB = ВЫ и KN = = КВ = BN. Поэтому LABM = LABC-LMBC = 90°-60° = 30°, LCBN = IABC-IABN = 90°-60° = 30°, а тогда LMBN = LABC - LABM - LCBN = = 90° - 60° = 30°. Таким образом, LABM = LMBN = = LNBC. Вопрос. Как разделить угол в 135° на три равные части? 3.4. С помощью циркуля и линейки можно разделить на три равных угла только специально подобранные углы. Но, например, угол в 60° нельзя разделить на три равных угла с помощью циркуля и линейки. Это доказано в предположении, что линейка рассматривается
§ 3. Знаменитые задачи древности на построение 23 как инструмент, служащий только для проведения прямой через две данные точки. Если допустить иные приемы пользования линейкой, то совокупность построений значительно расширяется. л. В качестве примера разберем метод трисекции угла, предложенный древнегреческим математиком Никомедом. Пусть имеются циркуль и линейка с двумя отмеченными точками: А и В, как на рисунке 4. Рассмотрим угол PQR. Проведем с центром Q окружность радиуса АВ. Отметим точку К пересечения луча QP и точку L пересечения луча QR с окружностью. Проведем прямую QR. Будем предполагать, что возможно такое перемещение линейки, при котором одновременно точки А и В попадут на две заданные линии, а прямая А В будет проходить через точку К. Приведем линейку в такое положение, что точка А лежит на прямой QR, точка В на полуокружности, лежащей в верхней полуплоскости, а край линейки проходит через точку К. Проведем при этом положении линейки прямую АВ. Докажем, что LKQL = ZLBAQ. Доказательство. Треугольник ABQ — равнобедренный, так как АВ = BQ по построению, поэтому LBAQ = LBQA. Значит, LABQ = 180° - LBAQ - LBQA = 180° - 2LBAQ; LKBQ = 180° - LABQ = 180° - 180° + 2LBAQ = 2LBAQ. ш Треугольник BQK — равнобедренный,
24 Глава i. Геометрические построения поэтому LBQK = 180° - LKBQ - LBKQ = 180° - 2LKBQ = 180° - 41ВAQ; LKQA = ZBQtf + LBQA = 180° - 4ZBAQ 4- /ВЛф = 180° - UBAQ. Наконец, последнее вычисление: LKQL = 180° - LKQA = 180° - 180° + 3LBAQ. Таким образом, LKQL = 3LBAQ, что и требовалось доказать. Вопрос. Как с помощью одного циркуля по заданному отрезку длины а построить отрезок длины ау/3 ? Контрольные вопросы и задания 1. Какие правильные многоугольники вы научились строить? 2. Какие неразрешимые задачи на построение вам известны? 3. Как разделить угол в 90° на три равных угла с помощью циркуля и линейки? 4. Как решается задача о трисекции произвольного угла с помощью циркуля и линейки с двумя отмеченными точками? Задачи и упражнения 1. Разделите на три равные части: а) угол в 45°; б) угол в 22,5°. 2. Допустим, что некоторый угол удалось разделить на три равные части и удалось разделить на пять равных частей. Как разделить этот же угол на 15 равных частей? 3. На плоскости задан угол в 19°. С помощью циркуля и линейки постройте угол в 1°. *+ 4. С помощью линейки с двумя отмеченными точками разделите угол в 30° на три равные части. Результат своего построения
§ 3. Знаменитые задачи древности на построение 25 проверьте измерениями. 5. Данный угол отложите при данном луче с помощью циркуля и линейки. 6. Укажите несколько таких чисел р чтобы число р — 1 являлось степенью числа 2. 7. Можно ли построить с помощью циркуля и линейки правильный девятнадцатиугольник? * 8. Можно ли разделить данную окружность на 7 равных частей с помощью циркуля и линейки?
СВОЙСТВА ПАРАЛЛЕЛОГРАММА. ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫЕ ОТРЕЗКИ В этой главе рассматриваются свойства и признаки параллелограмма, формула площади параллелограмма, свойства параллельных секущих угла. Вы познакомитесь с центральной симметрией фигур на плоскости. § 1. ПАРАЛЛЕЛОГРАММ И ЕГО СВОЙСТВА 1.1. У четырехугольника ABCD на рисунке 1 равны стороны АВ и CD, стороны AD и ВС, углы BAD и BCD, углы ABC и ADC. Рассмотрим прямые AD и ВС, проходящие через противоположные стороны четырехугольника ABCD. Углы MB А и BAD на рисунке 2 равны и являются внутренними накрест лежащими, образованными секущей АВ. Отсюда по признаку параллельности прямых заключаем, что AD || ВС. Аналогично устанавливается параллельность прямых АВ и CD.
§ 1. Параллелограмм и его свойства 27 Вопрос. Как из свойств клетчатой бумаги получить, что LMBA = /.BAD? 1.2. Обычно параллелограмм определяют как четырехугольник, у которого каждая пара противоположных сторон лежит на параллельных прямых. Для удобства используют несколько измененную формулировку. Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Такое определение параллелограмма предполагает, что записанное в определении свойство сторон задано, а все остальные свойства нужно доказывать. Вопрос. Какой треугольник называется равнобедренным? 1.3. Возьмем параллелограмм ABCD. Проведем его диагональ АС (рисунок 3). Прямая АС является секущей при параллельных прямых AD и ВС. Поэтому LDAC = LBCA. Точно так же, рассматривая прямые АВ и CD, получим, что LCAB = LACD и LBCD + LCD А = 180°. По второму признаку равенства треугольники ABC и ADC равны. Отсюда следует, что равны соответственные элементы этих треугольников: АВ = CD\ AD = ВС] /.ABC = /ADC. Аналогичное рассуждение можно провести с диагональю BD. В результате получаем следующие свойства параллелограмма. 1. Диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника. в П7 ®
28 Глава 2. Свойства параллелограмма. Пропорциональные отрезки «^«ч 2. Противоположные стороны параллелограмма попарно равны. 3. Противоположные углы параллелограмма попарно равны. 4. Сумма двух соседних углов параллелограмма равна 180°. Вопрос. Какие свойства диагоналей прямоугольника вы знаете? 1.4. Возьмем параллелограмм ABCD. Проведем его диагонали АС и BD и обозначим буквой О точку их пересечения. По свойству сторон параллелограмма имеем AD = ВС. Отметим пары равных углов OAD, ОСВ и ODA, ОВС. По второму признаку треугольники AOD и ВОС равны. Отсюда следует, что равны соответственные стороны этих треугольников: АО = ОС, ВО = OD. Получаем следующее свойство диагоналей параллелограмма. Диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам. Вопрос. Какие свойства диагоналей ромба вы знаете? 1.5. Рассмотрим параллелограмм с прямым углом. Доказанные общие свойства параллелограмма позволяют заключить, что у параллелограмма с прямым углом все углы прямые, а противоположные стороны попарно равны. Следовательно, взятый параллелограмм является прямоугольником. Таким образом, прямоугольник можно определить как параллелограмм с прямым углом. Вопрос. Как можно определить квадрат, пользуясь определением прямоугольника? 1.6. Рассмотрим параллелограмм, у которого две соседние стороны равны.
§ 1. Параллелограмм и его свойства, 29 Доказанные общие свойства параллелограмма позволяют з. чить, что у параллелограмма с двумя равными соседними сторонами все стороны равны. Следовательно, взятый параллелограмм является ромбом. Таким образом, ромб можно определить как параллелограмм, у которого две соседние стороны равны. Вопрос. Как можно определить квадрат, пользуясь определением ромба? Контрольные вопросы и задания 1. Какой четырехугольник называется параллелограммом? 2. Сформулируйте свойства диагоналей параллелограмма. 3. Сформулируйте свойства сторон параллелограмма. 4. Сформулируйте свойства углов параллелограмма. 5. Какой параллелограмм имеет название прямоугольник? 6. Сформулируйте известные вам свойства прямоугольника. 7. Какой параллелограмм имеет название ромб? 8. Сформулируйте известные вам свойства ромба. 9. Сформулируйте свойство углов с соответственно параллельными сторонами. rPAi Задачи и упражнения На двух параллельных прямых а и b выбраны точки А, Б, С, D как на рисунке 8. Докажите, что прямая, проходящая через середину отрезка АВ и параллельная прямой а, пересекает отрезок CD в середине.
30 Глава 2. Свойства параллелограмма. Пропорциональные отрезки И л с D 4. 2. Через все вершины треугольника ABC проведены прямые, параллельные противоположным сторонам. При пересечении этих трех прямых образуется треугольник. Докажите, что каждая из сторон нового треугольника в два раза больше параллельной ей стороны треугольника ABC. 3. На рисунке 9 две параллельные прямые пересечены секущей. Вершинами какого многоугольника являются точки пересечения биссектрис всех изображенных углов с вершинами А и В? В параллелограмме проводятся биссектрисы всех углов при вершинах. Выясните, какие из них попарно пересекаются, а какие нет. 5. В параллелограмме биссектрисы углов при вершинах пересекаются попарно в четырех различных точках. Вершинами какого четырехугольника являются эти точки? 6. В прямоугольнике проводятся биссектрисы всех углов при вершинах. Докажите, что при пересечении биссектрис образуется квадрат. ** 7. В параллелограмме ABCD на рисунке 10 проведены биссектрисы углов А и D. Найдите длину отрезка KL, если известно, что АВ = 78 мм, AD = 121 мм. В ^штт /■ k ^ V " К С -' / / 8. Докажите, что в равнобедренном треугольнике сумма расстояний от любой точки основания до боковых сторон не зависит от выбора точки.
§ 2. Признаки параллелограмма 31 9. Докажите, что в равностороннем треугольнике сумма расстояний от любой внутренней точки до всех трех сторон не зависит от выбора этой точки. § 2. ПРИЗНАКИ ПАРАЛЛЕЛОГРАММА 2.1. Докажем следующий признак параллелограмма. Если в четырехугольнике диагонали в точке пересечения делятся пополам, то такой четырехугольник — параллелограмм. Доказательство. Пусть диагонали АС и BD четырехугольника пересекаются в точке О и АО = ОС, ВО = OD. Рассмотрим треугольники АО В и COD. У них попарно равны стороны с вершиной О, а углы АО В и COD равны как вертикальные. По первому признаку равенства ААОВ = ACOD. Тогда LABO = = 1С DO как соответственные углы равных треугольников. Углы АВО и CDO являются внутренними накрест лежащими для прямых АВ, CD и секущей BD. Так как LABO = = LCDO, то по признаку параллельности прямых прямые АВ и CD параллельны. Рассмотрев треугольники AOD и ВОС, аналогичными рассуждениями придем к тому, что AD || ВС. Таким образом, получаем АВ \\ CD и AD || ВС, а поэтому четырехугольник ABCD — параллелограмм. Вопрос. Какой признак прямоугольника вы можете предложить? 2.2. Иногда удобно использовать следующий признак параллелограмма.
32 Глава 2 Свойства, параллелограмма. Пропорциональные отрезки Если в четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то такой четырехугольник — параллелограмм. Доказательство. Пусть в четырехугольнике ABCD равны и параллельны стороны AD и ВС. Проведем диагонали АС и BD и отметим точку К их пересечения. Из параллельности прямых AD и ВС следует, что LADB = LCBD, как внутренние накрест лежащие, и LCAD = = LACB по той же причине. Получаем, что сторона ВС и прилежащие к ней углы треугольника ВСК со- ^Л»^ ответственно равны стороне AD и прилежащим к ней углам треугольника ADK. По второму признаку равенства AAKD = = АВКС. Следовательно, АК = КС, В К = KD, и по признаку из предыдущего пункта можно сделать вывод, что ABCD — параллелограмм. Вопрос. Как на практике проверить параллельность двух отрезков? 2.3. Докажем еще один признак параллелограмма. Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то такой четырехугольник — параллелограмм. Доказательство. Пусть в четырехугольнике ABCD равны сторо- НАВ и CD и равны стороны AD и ВС. Проведем диагональ АС и рассмотрим треугольники ADC и ABC (см. рисунок 4). Они равны по третьему признаку равенства треугольников. Значит, их соответственные углы ВАС и DC А равны. Эти углы являются внутренними накрест лежащими для прямых АВ и CD и секущей АС. По признаку параллельности прямых В
§ 2. Признаки параллелограмма 33 АВ || CD. Но так как по условию АВ = CD, то признак из предыдущего пункта позволяет сделать вывод, что ABCD — параллелограмм. Вопрос. Как доказать, что любой четырехугольник с равными сторонами является параллелограммом? 2.4. Рассмотрим на рисунке 5 два па- раллелограмма ABCD и ABKL с общей , у стороной. *~~ / Из свойств параллелограмма следует, что АВ = CD, АВ || CD и АВ = LK, АВ || LK. Следовательно, CD = АВ = = LK, CD || АВ || LK. Таким образом, в четырехугольнике с u вершинами С, Д L, К отрезки CD, LK равны и параллельны. По признаку из пункта 2.2 точки С, D, L, К являются вершинами параллелограмма. Вопрос. Что вы можете сказать о треугольниках ADL и ВСК1 ■е*. 2.5. Может показаться, что из рассуждений предыдущего пункта мы сразу же получаем четырехугольник CDLK, который можно видеть на рисунке 6. Однако, как видно на рисунке 7, при соединении концов двух параллельных отрезков LK и DC равной длины может получиться не четырехугольник. Поэтому для доказательства того, что фигура CDLK на рисунке 6 является параллелограммом, нужно показать, что отрезки С К и DL не пересекаются. Строгое доказательство будет рассмотрено позже. Вопрос. Как доказать, что если параллелограммы ABCD и ABKL
34 Глаза 2. Свойства параллелограмма. Пропорциональные отрезки — прямоугольники, то CDLK тоже прямоугольник? Контрольные вопросы и задания 1. Сформулируйте признак параллелограмма по свойству диагоналей. 2. Сформулируйте признак параллелограмма по свойству двух противоположных сторон. 3. Сформулируйте признак параллелограмма по свойству четырех сторон. Задачи и упражнения 2Т з. В параллелограмме ABCD на сторонах АВ и CD выбраны соответственно точки М и К так, что AM = = СК. Докажите, что четырехугольник MBKD — параллелограмм. В треугольнике медиана совпадает с биссектрисой, проведенной из той же вершины. Докажите, что треугольник равнобедренный. Из точки пересечения диагоналей ромба проводятся перпендикуляры к сторонам. Докажите, что основания перпендикуляров являются вершинами прямоугольника. На сторонах квадрата ABCD выбраны точки М, N, К, L так, что AM = = BN = СК = DL. Точки М, ЛГ, К и L соединены с вершинами квадрата как на рисунке 8. Докажите, что образующийся при этом четырехугольник PQRS —- квадрат.
§ 2. Признаки параллелограмма 35 На рисунке 9 изображены параллелограммы ABCD, CDKL, BCLP. Точка О выбрана так, что АВРО — параллелограмм. Докажите, что четырехугольники AOKD и КОРЬ тоже параллелограммы. В треугольнике ABC проведена медиана ВЫ. Докажите, что: а) если ВЫ = i • АС, то треугольник ABC прямоугольный; ю: и: б)* если треугольник ABC прямоугольный, то ВМ = i • АС. Точки М и N — середины сторон AD и АВ квадрата ABCD, изображенного на рисунке 10. Отрезки СМ и DN пересекаются в точке Р. Докажите, что ВР = ВС. Постройте параллелограмм: а) по двум соседним сторонам и диагонали; б) по двум диагоналям и углу между ними; в) по стороне и двум диагоналям; г)** по стороне, сумме диагоналей и углу между диагоналями. Постройте треугольник по двум сторонам и медиане, проведенной к третьей стороне. Даны угол и точка М внутри угла (рисунок 11). Проведите прямую Z, чтобы она пересекала стороны угла в точках А и В так, что точка М является серединой отрезка АВ. Докажите, что длина медианы треугольника меньше полусуммы сторон, выходящих из той же вершины, что и медиана.
36 Глава 2. Свойства параллелограмма. Пропорциональные отрезки 12. Докажите, что сумма длин всех медиан треугольника меньше периметра этого треугольника. 13. Предложите свой признак равенства параллелограммов. §3. ЦЕНТРАЛЬНАЯ СИММЕТРИЯ 3.1. Вспомним фигуры, симметричные относительно оси. Например, такой симметричностью обладает знак суммирования, изображенный на рисунке 1. Симметричные относительно оси фигуры обладают некоторой " правильностью" строения. Другого рода "правильностью" обладают фигуры, изображенные на рисунках 2 и 3. Каждая из этих фигур имеет центр, при повороте вокруг которого на 180° фигура переходит сама в себя. Аналогичным свойством обладает слово "SOS" на рисунке 4. Фигуры на рисунках 2, 3, 4 являются примерами центрально-симметричных фигур. Вопрос. Относительно какой прямой симметричен знак £? 3.2. Выберем на плоскости точку О. Различные точки А и Ai называют симметричными относительно точки О, если точка О является серединой отрезка АА\. В таком случае точку А\ называют симметричной точке А относительно точки О. Соответственно точку А также можно назвать симметричной точке А\ относительно точки О.
§ 3. Центральная симметрия 37 Точку О считают симметричной самой себе относительно точки О. Вопрос. Почему на числовой прямой противоположные друг другу числа симметричны относительно нуля? 3.3. Две фигуры Ф1 и 4>2 плоскости называют симметричными относительно точки О, если каждая точка фигуры 4>i симметрична некоторой точке фигуры 4>2 относительно точки О и наоборот: каждая точка фигуры Фг симметрична некоторой точке фигуры Ф\ относительно точки О. В таком случае фигуру Ф1 иногда называют центрально-симметричной фигуре Фг относительно центра симметрии О. Соответственно фигуру Фг можно назвать центрально-симметричной фигуре Ф1 относительно центра симметрии О. На рисунке 6 изображены две центрально-симметричные друг другу фигуры. На каждом из рисунков 7 и 8 изображена фигура, центрально-симметричная сама себе. Вопрос. Как вы понимаете центральную симметричность некоторой фигуры? 3.4. Фигура, центрально-симметричная данной фигуре относительно точки О, может быть получена поворотом вокруг точки О на 180°. Действительно, при повороте на 180° любая точка М перейдет в точку Afi, расположенную на луче, дополнительном к лучу ОМ. причем ОМ\ = ОМ. Значит, точка О является серединой отрезка ММ\ &§&0иа§ —о—о—О—О—о-
38 Глава 2. Свойства, параллелограмма. Пропорциональные отрезки Ъ\ А а поэтому точка М\ симметрична точке М относительно точки О. Ранее говорилось, что поворот является перемещением плоскости. Следовательно, центральная симметрия является еще одним примером перемещения плоскости. Это значит, что при центральной симметрии отрезок переходит в равный ему отрезок, прямая переходит в прямую, треугольник переходит в равный ему треугольник, и так далее. Вопрос. Как построить окружность, центрально-симметричную данной окружности относительно заданной точки F? 3.5. Докажем, что точка пересечения диагоналей параллелограмма является его центром симметрии. Доказательство. Пусть О — точка пересечения диагоналей параллелограмма ABCD. Рассмотрим симметрию относительно точки О. Так как диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, то при этой центральной симметрии происходит следующее: точка А переходит в точку А\, совпадающую с точкой С; точка С переходит в точку С\, совпадающую с точкой Л; точка В переходит в точку JBi, совпадающую с точкой D\ точка D переходит в точку D\, совпадающую с точкой В. Из свойств перемещения следует, что при этом отрезки АВ, ВС, CD, DA пере-
§ 3. Центральная симметрия 39 ходят соответственно в отрезки CD, DA, АВ, ВС, то есть весь параллелограмм ABCD переходит в себя. Вопрос. Какие свойства центральной симметрии вы знаете? 3.6. Докажем, что при центральной симметрии относительно точки О прямая /, не проходящая через точку О, переходит в прямую га, параллельную прямой /. Доказательство. Так как центральная симметрия является перемещением, то будем считать установленным, что прямая / переходит в некоторую прямую га. Выберем на прямой / любые две различные точки А и В. Построим точку С прямой га, симметричную точке А, и точку D прямой га, симметричную точке В относительно точки О. В результате построения получим отрезки АС и BD которые в точке пересечения делятся пополам. Соединяя последовательно отрезками точки А, В, С и D, получим четырехугольник. По признаку из пункта 2.1 четырехугольник ABCD — параллелограмм. Следовательно, АВ || CD или I || га, что и требовалось доказать.
40 Глава 2. Свойства параллелограмма. Пропорциональные отрезки Вопрос. В какую прямую при центральной симметрии переходит прямая, проходящая через центр симметрии? 3.7. Рассмотрим доказательство, которое проводилось в предыдущем пункте. При доказательстве мы опирались на то, что отрезки AD и ВС не пересекаются. Покажем, как это можно получить, опираясь на ранее изученные свойства. Рассмотрим на рисунке 11 две полуплоскости а и /3 с границей АС. Так как отрезки BD и АС пересекаются, то точки В и D лежат в разных полуплоскостях. У отрезка АВ точки В лежат в полуплоскости а, а точка А — на границе этой полуплоскости. Следовательно, все остальные точки отрезка АВ лежат в полуплоскости a . Аналогично получается, что у отрезка CD точка D лежит на границе полуплоскости /3 , а все остальные точки — в полуплоскости (3. Таким образом, отрезки АВ и CD не имеют общих точек. Точно так же удается показать, что отрезки AD и С В не пересекаются. Поэтому, соединяя последовательно отрезками точки Л, В, С, D, получаем четырехугольник. Вопрос. Какие свойства прямой вы знаете? Контрольные вопросы и задания 1. Какие точки называют симметричными относительно некоторой точки? 2. Какую фигуру называют центрально-симметричной другой фигуре относительно некоторой точки?
§ 3. Центральная симметрия 41 3. Что такое центр симметрии? 4. Какую фигуру называют центрально- симметричной? 5. Как центральная симметрия связана с поворотами плоскости? 6. Докажите центральную симметричность параллелограмма. 7. Во что переходит прямая при центральной симметрии? Задачи и упражнения 1. Стороны двух квадратов, имеющих общий центр, пересекаются попарно в восьми точках. Докажите, что противоположные стороны восьмиугольника с вершинами в этих точках попарно равны. На рисунке 12 противоположны, например, стороны MN и KL. 2. Для некоторой фигуры Fi построили центрально-симметричную ей фигуру Fi относительно центра О. Докажите, что общие точки фигур F\ и Fi образуют центрально симметричную фигуру с центром О. 3. Внутри квадратной области К\ выбрали некоторую точку F и построили фигуру Ki, симметричную К\ относительно точки F. Какую фигуру образуют общие точки фигур К\ и *Г2? 4. Докажите, что центрально-симметричный многоугольник имеет четное число вершин. (ЗЯ "л 5. Приведите примеры центрально-симметричных ломаных с нечет-
42 Глава 2 Свойства параллелограмма. Пропорциональные отрезки 8Т ным числом вершин. Приведите пример фигуры, имеющей бесконечное число центров симметрии. Постройте треугольник, центрально-симметричный данному треугольнику относительно заданной точки. Даны прямые а и 6 и точка F. Проведите через точку F прямую, пересекающую прямые а и 6 в точках А и В так, чтобы точка F была серединой отрезка АВ. 9. Даны прямая а, окружность S и точка F. Найдите на окружности точку А, на прямой точку В так, чтобы точка F была серединой отрезка АВ. 10. Через точку пересечения двух окружностей проведите прямую так, чтобы обе окружности высекали на этой прямой равные хорды. 11. Даны две концентрические окружности. Проведите прямую так, чтобы при ее пересечении с окружностями образовалось три равных отрезка. 12. Докажите, что если фигура имеет две взаимно перпендикулярные оси симметрии, то фигура имеет и центр симметрии. 13. Рассмотрим координатную плоскость с началом в точке О. а) Покажите, что точки А(5;3) и В(—5; — 3) симметричны относительно точки О. б) Покажите, что при симметрии относительно точки О точка М(а; Ь) переходит в точку Mi (—а; —6). в) Найдите координаты вершин квадрата ABCD, симметричного
§ 4. Средняя линия треугольника 43 относительно точки О, если известно, что точка А имеет координаты (-7;3). § 4. СРЕДНЯЯ ЛИНИЯ ТРЕУГОЛЬНИКА 4.1. Рассмотрим произвольный треугольник ABC. Проведем через середину М стороны АВ прямую т, параллельную прямой АС. Обозначим буквой N точку пересечения прямой 771 со стороной ВС (рисунок 1). у? Докажем, что точка N — середина сто- / \ роны ВС. Для этого выполним допол- ^ My \н нительное построение, проведя через точ- / Л ку С прямую /, параллельную прямой / \ АВ. Обозначим буквой К точку пересе- чения прямых m и / (рисунок 2). Так как AM || СК и МК || АС, то четырехугольник AM К С — параллелограмм. Поэтому AM = КС = ВМ. Рассмотрим треугольники BMN и CKN (рисунок 3). Так как углы BMN и CKN внутренние накрест лежащие, образованные секущей МК с параллельными прямыми АВ и СК, то LBMN = LCKN. Аналогично доказывается, что LMBN = LKCN.
44 Глава 2. Свойства параллелограмма. Пропорциональные отрезки В итоге получаем, что треугольники MBN и CKN равны по второму признаку. Отсюда следует, что равны соответственные стороны BN и NC этих треугольников, что и требовалось доказать. Вопрос. Как доказать, что \МК\ = = 2|ВД? 4.2. Известно, что прямая не всегда пересекает отрезок. Однако в предыдущем пункте на рисунке 1 мы без обоснования отметили точку N пересечения отрезка ВС с прямой т. Покажем, как, опираясь на основные свойства прямых, доказать, что такая точка существует. Прямая га делит плоскость на две полуплоскости, обозначенные на рисунке 4 буквами а и /3. Так как отрезок АВ имеет общую точку М с прямой га, то точки А и В лежат в различных полуплоскостях, что и отражено на рисунке 4. Далее, прямая АС параллельна прямой га, а поэтому отрезок АС не пересекает прямую га. Это значит, что точки А и С расположены в одной полуплоскости относительно прямой га. Следовательно, точки В и С лежат в различных полуплоскостях а и /3. Поэтому отрезок ВС пересекает прямую га, что и требовалось доказать. Вопрос. Как доказать, что отрезки АС и BD, изображенные на рисунке 5, не пересекаются? 4.3. Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, называют средней линией треугольника. На рисунке б изображена средняя ли-
§ 4. Средняя линия треугольника 45 ния MN, соединяющая середины сторон АВ и ВС треугольника ABC. В пункте 4.1 мы установили, что если через середину М стороны АВ провести прямую га, параллельную стороне АС, то такая прямая пересечет сторону ВС в ее середине, то есть в точке N. Середина любого отрезка определяется единственным образом. Отсюда следует, что средней линией треугольника ABC, соединяющей середины сторон АВ и ВС, может быть только отрезок MN, который параллелен стороне АС. Вопрос. Сколько всего средних линий в треугольнике? 4.4. Изобразим еще раз рисунок из пункта 4.1 (рисунок 7). Как было доказано, четырехугольник AM КС — параллелограмм, а треугольники MBN и KCN равны. Из равенства треугольников следует равенство отрезков МАГ и NK, а по свойству сторон параллелограмма отрезки АС и МК равны. Поэтому 2MN = MN + NK = МК = АС, откуда MN = ^ • АС. Таким образом, доказано следующее свойство средней линии треугольника. Теорема. Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух сторон, параллельна третьей стороне и равна ее половине. Вопрос. Чему равен периметр треугольника, образованного средними линиями, если периметр данного треугольника равен Р1 4.5. Возьмем произвольный четырехугольник ABCD, например, такой, как
46 Глава 2. Свойства параллелограмма. Пропорциональные отрезки изображенный на рисунке 8. Покажем, что середины сторон этого четырехугольника являются вершинами параллелограмма. Пусть N и М — середины двух соседних сторон АВ и AD (рисунок 9). Рассмотрим треугольник ABD. В нем MN является средней линией, а поэтому MN \\ BD и MN = \BD. Аналогично, если L и К — середины сторон СВ и CD треугольника CBD, то KL || BD и KL = I • BD (рисунок 10). Следовательно, MN \\ KL и MN = = KL. По признаку четырехугольник MNKL является параллелограммом, что и требовалось установить. Вопрос. Как доказать, что прямые AC, NL и МК на рисунке 11 параллельны между собой? 4.6. Докажем, что все медианы треугольника обладают одним замечательным свойством. Теорема. Медианы треугольника пересекаются в одной точке, и каждая из меди- ан делится точкой пересечения в отношении 2:1, считая от вершины. Доказательство. Проведем в треугольнике ABC медианы AM и BN и обозначим точку пересечения этих медиан буквой О (рисунок 12). В треугольниках ABC и АВО проведем средние линии МN и KL, параллельные стороне АВ (рисунок 13). Тогда MN \\ KL, и по свойству средней линии MN = i • AC, KL = i • АС, откуда MN = KL. В результате, по соответствующему признаку получаем, что четырехугольник MKLN — параллелограмм. Так как диагонали парал-
§ 4. Средняя линия треугольника 47 лелограмма в точке пересечения делятся пополам, то МО = OL и N0 = О К (рисунок 14). Но так как AL = LO и В К = #0, то AL = L0 = ОМ = 1 • AM, ВК = КО = ON = 1 • БАГ. Следовательно, для точки О пересечения медиан ЛМ и BrJ выполняются соотношения: АО: ОМ = 2:1, ВО: ON = 2:1. Аналогично можно рассмотреть медианы AM и СР и получить, что для точки F их пересечения выполняются соотношения: OS COD с с 4F : FM = 2 : 1 и BF : FM = 2 : 1. Так как отрезок AM можно единственным образом разбить на три равные части, то из равенств AF : FM = 2 : 1 и АО : ОМ = 2:1 следует совпадение точек F и О. Таким образом, свойство медиан треугольника доказано. Вопрос. Чему равен радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника со стороной 10 см?
48 Глава 2. Свойства, параллелограмма. Пропорциональные отрезки Контрольные вопросы и задания 1. Какие свойства параллелограмма вы знаете? 2. Какие признаки параллелограмма вы знаете? 3. Как определяется средняя линия треугольника? 4. Сформулируйте теорему о средней линии треугольника и приведите ее доказательство. 5. Сформулируйте теорему о медианах треугольника и приведите ее доказательство. Задачи и упражнения 1. Периметр треугольника ЛВС равен 14 см. Найдите периметр треугольника с вершинами в серединах сторон треугольника ABC. 2. Средняя линия равнобедренного треугольника, параллельная основанию, равна 3 см, а периметр треугольника равен 16 см. Найдите стороны треугольника. 3. Диагонали параллелограмма равны 5 см и 9 см. Найдите периметр четырехугольника с вершинами в серединах сторон параллелограмма. Докажите, что середины сторон прямоугольника являются вершинами ромба. Докажите, что середины сторон ромба являются вершинами прямоугольника. 6. На рисунке 16 точки М, N, К, L рт расположены на сторонах четырех- Q угольника так, что AM : MB = rK = ЛЬ : LD = CN : NB = = CK : KD = 1:3. Докажите, что ™f ^^"^^D MNKL — параллелограмм. л' Ь СЖ1 в
§ 4. Средняя линия треугольника 49 107 11?* 12. 137 147 По разные стороны от данной прямой на расстоянии 10 см и 4 см от нее даны две точки А и В. Найдите расстояние от середины отрезка АВ до этой прямой. Постройте треугольник, зная середины его сторон. Внутри произвольного угла взята точка М. Постройте прямую, проходящую через точку М так, чтобы ее отрезок, заключенный внутри угла, делился в точке М пополам. На рисунке 17 параллелограмм ABCD разбит диагональю BD на два треугольника, и в треугольниках ABD и BCD проведены все медианы. Докажите, что четырехугольник BKDL — параллелограмм. Постройте треугольник, если заданы три отрезка, равные его медианам. Постройте треугольник по стороне и медианам, проведенным к двум остальным сторонам треугольника. Постройте треугольник по стороне и двум медианам, одна из которых проводится к данной стороне. Найдите условие, при котором середины сторон четырехугольника являются: а) вершинами ромба; б) вершинами прямоугольника. 15. Постройте параллелограмм, зная середины трех его сторон.
50 Глава 2. Свойства параллелограмма. Пропорциональные отрезки § 5. ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ СЕКУЩИЕ СТОРОН УГЛА 5.1. Рассмотрим произвольный угол. Отложим на одной стороне угла равные отрезки АВ и ВС. Проведем через точки А, В, С параллельные между собой прямые, пересекающие вторую сторону угла в точках К, L, М, как изображено на рисунке 1. Выполним дополнительное построение, проведя через точку К прямую, параллельную прямой АС, как показано на рисунке 2, и обозначим через Р и Q точки пересечения этой прямой с параллельными секущими угла. Из построения следует, что четырехугольники АВРК и BCQP — параллелограммы. Поэтому КР = АВ = ВС = PQ. Следовательно, точка Р — середина стороны KQ треугольника KQM. По условию прямая PL проведена параллельно прямой QM, а поэтому отрезок PL является средней линией в треугольнике KQM. Значит, KL = LM. Таким образом, если на одной стороне угла отложить равные отрезки АВ и ВС и через концы отрезков провести параллельные прямые, пересекающие вторую сторону угла соответственно в точках К, L, М, то на второй стороне угла получатся равные между собой отрезки KL и LM. Вопрос. Как на рисунке 1 через точки Л, В, С провести параллельные между собой прямые, не пересекающие вторую сторону угла? 5.2. Рассмотрим произвольный угол.
§ 5 Параллельные секущие сторон угла 51 На одной стороне угла отложим равные между собой отрезки А В, ВС, CD, DE. Проведем через точки А, В, С, D, Е параллельные между собой прямые, пересекающие вторую сторону угла соответственно в точках К, L, М, N, О. Так как АВ = ВС, то из предыдущего пункта получаем равенство KL = LM. Аналогично получаются равенства LM = MN, MN = = N0. Нетрудно понять, что вместо четырех равных отрезков на стороне угла можно взять любое другое число равных отрезков и провести аналогичное рассуждение. Таким образом, получаем следующее свойство параллельных секущих сторон угла. Теорема Фалеса. Если на одной стороне угла отложить равные между собой от- резки АВ, ВС, CD, и так далее, и через концы отрезков провести параллельные прямые, пересекающие вторую сторону угла соответственно в точках А\, В\, С\, D\, и так далее, то на второй стороне угла получатся равные отрезки А\В\, В\С\, C\D\, и так далее. Вопрос. Как показать, что для отрезков AD, KN, СЕ, МО на рисунке 3 верна пропорция KN : AD = МО : СЕ? 5.3. В общем случае три параллельные секущие сторон угла обладают следующим свойством. Теорема. Если через точки А, В, С, расположенные на одной стороне угла, провести параллельные секущие сторон угла, то на второй стороне угла получатся соответственные отрезки A\Bi и В\С\, пропорциональные отрезкам АВ и ВС. Доказательство этой теоремы сложное, опирается на некоторые свойства действительных чисел, поэтому разбирать доказательство
52 Глава 2. Свойства, параллелограмма. Пропорциональные отрезки мы не будем. Рассмотрим задачу на применение сформулированной теоремы. Пример 1. В треугольнике ABC точка N на стороне АС и точка М на стороне ВС выбраны так, что AN :NC = CM: MB = 1:2. Отрезки AM и BN пересекаются в точке Р (рисунок 5). Доказать, что NP:PB = 1: 6. Решение. Проведем через точку N прямую параллельно прямой AM, пересекающую сторону ВС в точке К (рисунок 6). Так как прямые AM и NK являются параллельными секущими сторон угла АС В, то МК _ AN _ 1 откуда КС = 2МК, МС = SMK. Из условия СМ : MB = 1:2 следует, что СМ = \ВС, ВМ = \ВС. Так как МК = = ±МС, то МК = 1 (££С) = i£C. Далее заметим, что прямые РМ и JVff являются параллельными секущими сторон угла NBC. Поэтому NP:PB = КМ : MB = что и требовалось доказать. Вопрос. Как доказать, что в рассматриваемом примере АР : РМ = 3:4? 5.4, Разберем доказательство теоремы из предыдущего пункта для случая, когда на одной стороне угла откладываются отрезки, отношение длин которых равно отношению натуральных чисел. Пусть, например, на одной стороне угла отложены отрезки АВ и ВС, для которых АВ : ВС = 4:7. Проведем через точки А, В, С параллельные секущие, пересекающие вторую сторону угла в точках
§ 5. Параллельные секущие сторон угла. 53 Ах, BUCU (рисунок 7). Разобьем отрезок АВ на 4 равные части длиной | • АВ, а отрезок ВС на 7 равных частей длиной ^ • ВС. Так как АВ : ВС = 4 : 7, то ± • АВ = ± • Ж7. В результате получаем 11 равных отрезков, отложенных на одной стороне угла. Проведем через каждую точку деления прямую, параллельную прямой АА\ (рисунок 8). По теореме из пункта 2.2 на второй стороне угла получим 11 равных между собой отрезков. Обозначим длину каждого такого отрезка через т. Тогда А\В\ = 4т, В\С\ = = 7т, а поэтому А\В\ : В\С\ = = (4т) : (7т) =4:7. Значит, верна пропорция А\В\ : В\С\ = АВ : ВС. Переставив средние члены пропорции, получим АХВХ :AB = B1Ci 'ВС. Аналогичные рассуждения можно провести для любого отношения натуральных чисел. Вопрос. Как доказать, что в условиях теоремы данного пункта отрезки АуВ\, В\С\, А\С\ пропорциональны соответственно отрезкам АВ, ВС, АС? 5.5. Теорема пункта 2.3 допускает обобщение. Допустим, что на одной стороне угла расположены произвольным образом отрезки АВ, CD, EF и так далее. Если через концы всех отрезков проводятся параллельные между собой секущие сторон угла, то получающиеся при этом на другой стороне угла, соответствующие отрезки А\В\, C\D\, E\F\ и так далее, будут a^D И F/—IF C/—4Q Г1
54 Глава 2 Свойства, параллелограмма Пропорциональные отрезки пропорциональны исходным отрезкам. Вопрос. Как доказать сформулиро- |-Jq"| ванное утверждение? ** 5.6. Теорема о пропорциональности отрезков, образованных параллельными секущими сторон угла остается верной и в том случае, когда параллельные секущие пересекают две параллельные прямые. Например, рассмотрим параллельные прямые а и &, которые пересекаются параллельными секущими так, как на рисунке 10. Тогда л,л2 А\ А л,\ J_ р, « *, _к В\В2 В^В^ В3В4 Вопрос. Как доказать сформулированное утверждение? Контрольные вопросы и задания 1. Что вы называете секущей сторон угла? 2. Что означают слова "параллельные секущие сторон угла"? 3. Сформулируйте теорему о параллельных секущих сторон угла, проходящих через концы равных отрезков, и докажите эту теорему. Задачи и упражнения 1. С помощью циркуля и линейки разделите заданный отрезок: а) на 2 равные части; б) на 3 равные части; в) на 5 равных частей; г) на 7 равных частей. г\ 2. Дан отрезок АВ. Постройте на отрезке такую точку С, что: а) АС : СВ = 2 : 3; б) АС : СВ = 7 : 11; в)** АС : СВ = 1 : уД.
§ 5. Параллельные секущие сторон угла. 55 3. Дан отрезок АВ. Постройте на продолжении отрезка точку С такую, что: а) АС : СВ = 2 : 1; 6) АС : СВ = 1 : 2; в) АС : С£ = 5 : 3; г) АС : С В = 3 : 5. 4. Точка Б делит отрезок АС на части так, что АВ : J3C = 10 : 26. На сколько равных частей следует разбить отрезок АС, чтобы точка В была одной из точек деления? 5. Точка С расположена на отрезке АВ так, что АС : АВ = 2:7. Найдите отношение ВС : АС. 6. Точки С и D расположены на отрезке АВ так, что AD : АС = 4, С В : CD = 4. Найдите отношение АС : DB. 7. На рисунке 11 точки расположены так, что AM : MB = 3:2, MN || AC, NK || АВ. Найдите отношение АК : КС. 8. На рисунке 12 точки расположены так, что AM : MB = 3:4, BN : NC = 5 : 2 и MP || 7VQ || AC. Найдите отношение AM : BQ. 9. В треугольнике ABC выбраны точка К на стороне АВ и точка L на стороне ВС так, что A/f : KB = 3:4, BL : LC = 2 : 9. Через точки К и L проводятся прямые, параллельные стороне АС и пересекающие медиану BD в точках Р и Q. Найдите отношение PQ : BD. 10. В треугольнике ABC выбраны точки D на АВ, F на ЛС, G и Н на £С так, что А£> : DB = 1 : 3, АС : FC = 10 : 7 и £>Я || АС, GF || ЛБ. Отрезки DH и FG пересекаются в точке К. Найдите отношение DK : КН.
56 Глава 2. Свойства параллелограмма. Пропорциональные отрезки 11. В треугольнике ABC выбраны точки К и L на АБ, М и N на АС так, что АК : КБ = 3 : 1, AM : МС = = 2 : 1 и АГ# || ВМ, LM || С#. Отрезки ВЫ и С# пересекаются в точке Р. Найдите отношение КР : PC. 12. В треугольнике ABC выбраны точки М на АС и К на, АВ так, что AM : МС = 3 : 2 и АК : KB = = 5:2. Отрезки ВМ и САГ пересекаются в точке Р. Найдите отношение КР : PC. 13. В треугольнике ABC выбраны точки К на AC, Л/" на БС, М и L на АВ так, что AM : MB = 2 : 5, MN \\ AC, NK \\ AB, KL || ВС. Найдите отношение АВ : ML. 14. Лена и Ваня вместе затратили на приготовление уроков 1 час 5 минут, причем Ваня — в полтора раз больше Лены. Сколько времени Лена затратила на приготовление уроков? 15. Коля и Петя вместе набрали чуть меньше 100 грибов, причем число Колиных грибов составляет 17/7 от числа Петиных. Сколько грибов они собрали вместе? 16. Из трех кусков сплавов меди и никеля с соотношением по массе этих металлов 2:1, 3:1, 5:1 получили новый сплав. Его масса оказалась равной 12 кг, а соотношения меди и никеля в нем составило 4:1. Найдите массу каждого исходного куска, если первый весил вдвое больше второго. 17. Аня, Женя, Дима вместе сделали 14 игрушек малышам. Аня сделала в 4 раза больше игрушек, чем Дима, а Аня с Женей в 2 раза больше, чем Женя с Димой. Сколько игрушек сделал Дима?
§ 6. Трапеция 57 18. В двух бочках 168 литров воды. Если из первой бочки перелить во вторую 30% воды, находящейся в первой бочке, то воды в бочках станет поровну. Сколько воды в бочках было первоначально? Щ] 19?* 2о: ЛП '**м От двух бревен отпилили по одинаковому куску, и первое бревно стало втрое длиннее второго. После того, как от них отпилили еще раз по такому же куску, второе бревно стало короче первого в четыре раза. Во сколько раз первое бревно было длиннее второго первоначально? * у * q На рисунке 13 продолжения сторон АВ и С В треугольника ABC пересекаются в точках М и N прямой, параллельной прямой АС. Докажите, что отрезки АВ, AM, ВЫ соответственно пропорциональны отрезкам СВ, CW, BN. §6. ТРАПЕЦИЯ 6.1. Рассмотрим угол. Проведем две параллельные секущие сторон угла (рисунок 1). В результате получим четырехугольник ABCD, который имеет особое название — трапеция. Трапецией называют такой четырехугольник, у которого две противолежащие стороны параллельны, а две другие противолежащие стороны не параллельны. Вопрос. Как показать, что если прямая пересекает противоположные стороны параллелограмма и не проходит ни через одну из вершин, то она делит параллелограмм либо на две трапеции, либо на два параллелограмма?
58 Глаза 2 Свойства параллелограмма. Пропорциональные отрезки 6.2. Параллельные стороны трапеции называют основаниями трапеции. На рисунке 2 стороны AD и ВС являются основаниями трапеции ABCD. Непараллельные стороны трапеции называют боковыми сторонами трапеции. Стороны АВ и CD на рисунке 2 являются боковыми сторонами трапеции. Трапецию называют равнобедренной, если боковые стороны трапеции равны. Вопрос. Как доказать, что для равнобедренного треугольника середины боковых сторон и вершины основания являются вершинами равнобедренной трапеции? 6.3. Отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции, называют средней линией трапеции. На рисунке 4 отрезок MN является средней линией трапеции ABCD. Докажем основные свойства средней линии трапеции. Теорема. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна полусумме оснований. Доказательство. Рассмотрим трапецию ABCD с основаниями АВ и CD и средней линией MN. Проведем через вершину С и середину М боковой стороны AD прямую до пересечения с прямой АВ в точке Р (рисунок 4). Треугольники MCD и MP А равны, так как у них DM = MA по условию, углы DMC и AMP равны как вертикальные, а углы MDC и MAP равны как
§ 6. Трапеция 59 в /| /| /tN ш С Р I 1 Я внутренние накрест лежащие углы, образованные секущей AD с параллельными прямыми АВ и CD. Из равенства треугольников MCD и MP А следует равенство их соответственных сторон: МС = MP и DC = АР. Поэтому в треугольнике РВС основание РВ равно сумме оснований трапеции ABCD, а отрезок MN является средней линией этого треугольника. По свойству средней линии треугольника получаем, что отрезок МN параллелен прямой РВ, и MN = ±PB = \{РА 4- АВ) = \{CD + АВ). Теорема доказана. Вопрос. Сколько в трапеции можно провести средних линий? Контрольные вопросы и задания 1. Какой четырехугольник называют трапецией? 2. Какие стороны трапеции называют ее основаниями? 3. Какую трапецию называют равнобедренной? 4. Как определяется средняя линия трапеции? 5. Сформулируйте теорему о средней линии трапеции. Докажите эту теорему. Задачи и упражнения 1. На рисунке 8 в трапеции ABCD проведены диагонали, пересекающиеся в точке Е. Докажите, что углы треугольников AED и ВЕС соответственно равны.
60 Глава 2 Свойства, параллелограмма,. Пропорциональные отрезки 2. Докажите, что равнобедренная трапеция симметрична относительно прямой, проходящей через середины оснований. 3. На рисунке 9 точки М и N расположены на боковых сторонах трапеции ABCD так, что AM : MB = = DN NC. Докажите, что MN || AD. 4. Докажите, что если диагонали трапеции равны, то трапеция равнобедренная. 5. На рисунке 10 боковая сторона трапеции разделена на три равные части, и из точек деления проведены отрезки, параллельные основаниям трапеции. Найдите длины этих отрезков, если AD = 5 м, ВС = 2 м. 6. Постройте трапецию по основанию, одному из углов при основании и боковым сторонам. 7. Постройте трапецию по основаниям и боковым сторонам. 8. Постройте трапецию по основаниям и диагоналям. 9. Постройте трапецию по разности оснований, боковым сторонам и одной диагонали. 10. Средняя линия трапеции равна 7 см, а одно из ее оснований на 4 см больше другого. Найдите основания трапеции. ЬЩ 11. На рисунке 11 отрезок MN паралле- лен основаниям трапеции, его длина равна 11 см, и AM : MB = 1:3. Найдите основания трапеции, если д// 1 дг AD: ВС = 3:2. # t п 12. В параллелограмме ABCD прово-
§ б. Трапеция 61 С G дятся биссектрисы АЕ угла BAD и P.F угла ADC. Найдите длину средней линии трапеции AFED, если L^J АВ = 78 мм. 13. На рисунке 12 трапеции ABCD и EFGH имеют общую среднюю линию, а их основания лежат на параллельных прямых. Найдите длину средней линии трапеции AFGD, ™ g ^ если известно, что АН = 99 см, ЕН = 46 см, ВС = 21 см, BG = = 42 см. 14. На рисунке 13 в параллелограмме ABCD отрезки EF и GH проходят через точку О пересечения диагоналей параллелограмма, точка / — середина BE, точка К — середина GC, и IJ || EF, KL || GH. Найдите длину отрезка LJ, если известно, что AD = ПО мм, BG = 89 мм, AF = 81 мм.
3 ГОМОТЕТИЯ И ПОДОБИЕ глава В этой главе будут определены гомотетияность и подобие фигур, рассмотрены признаки подобия треугольников и некоторые свойства высот и биссектрис треугольника. §1. ТЕОРЕМА ФАЛЕСА 1.1. Теорема Фалеса, сформулированная в предыдущей главе, позволяет обосновать следующий способ деления любого отрезка на п равных частей при помощи циркуля и линейки. Строим луч AF, не лежащий на прямой АВ. Выберем на нем любой отрезок А К. Отложим на луче AF известным способом п раз отрезки, равные АК, как это сделано для п = 5 на рисунке 1. Пусть Р — последняя из отложенных точек. Через все полученные точки луча AF проведем прямые, параллельные ВР. Из теоремы Фалеса следует, что при этом отрезок АВ разделится на п равных отрезков, что и требовалось. Приведенное рассуждение обеспечивает теоретическую возможность деления отрезка на любое число равных частей,
§ J. Теорема Фалеса 63 например, на 100. Понятно, что практически на листе бумаги такое деление небольшого отрезка выполнить очень трудно. Вопрос. Как показать, что на рисунке 1 отрезок КС равен - о отрезка ВР1 1.2. Для двух отрезков АВ и CD можно составить отношение их длин. Значение длины зависит от выбора единицы измерения. Однако, можно доказать следующее утверждение. Теорема. Отношение длин отрезков не зависит от выбора единицы измерения. Доказательство. Мы не будем рассматривать общее доказательство, которое сложно. Разберем только тот случай, когда при некоторой единице измерения длины заданных отрезков выражаются рациональными числами. Пусть, например, \АВ\ = - см, \CD\ = о = Н см. Тогда \АВ\ : \CD\ = | : lj- = = —. Разделим отрезок АВ на 10 равных частей. Возьмем из отрезков разбиения маленький отрезок АЕ, длина которо- \АВ\ . го равна ~—^ см, и будем откладывать его на отрезке CD. Так как \CD\ = ^\ЛВ\ = = 9 • J—- = 9|АЕ|, то отрезок АЕ отложится 9 раз на отрезке CD (рисунок 2). При выборе новой единицы измерения все маленькие отрезки будут иметь одинаковую длину, например х. Тогда в новых единицах длина отрезка АВ равна 10х, а длина отрезка CD равна 9х. Поэтому \АВ\ : \CD\ = (10х) : (9х) = ~. Тем самым для рассматриваемых отрезков теорема доказана. Вопрос. Чему равно отношение длины диагонали квадрата к длине его стороны? 1.3. Отношением отрезков АВ и CD будем для краткости называть отношение \АВ\ : \CD\ длин этих отрезков. Это отношение обозначают как АВ : CD или -—. С- и
64 Глава 3. Гомотетия и подобие После того, как определено понятие отношения отрезков, можно говорить о пропорциональности двух наборов отрезков. Пусть первый набор состоит из отрезков А\В\, C\D\, E\F\, и так далее, а соответствующий второй набор — из отрезков А2В2, C2D2, E2F2, и так далее. Эти наборы называются пропорциональными, если 3 F Е В 4 Р О L К Н Q R /Л Q М N !С D АгВх _ CiDi ад E2F2 Л2В2 C2D2 Общее значение таких отношений называется коэффициентом пропорциональности. Пример 1. Рассмотрим на клетчатой бумаге фигуры ABCDEFGH и KLMNO PQR (рисунок 3). Тогда набор сторон АВ, ВС, CD,.. .первой фигуры пропорционален набору соответствующих сторон KL, LM, MN, ... второй фигуры с коэффициентом пропорциональности к = 2. Пропорциональность отрезков обладает всеми свойствами пропорциональности величин: если два набора отрезков пропорциональны, то сумма двух или нескольких отрезков, разность двух отрезков из первого набора пропорциональны с тем же коэффициентом соответствующим суммам или разностям отрезков из второго набора. Например, в примере 1 периметры первой и второй фигур пропорциональны с коэффициентом А: = 2. Пример 2. Пусть отношение отрезков АВ и CD равно т. Разделим каждый из отрезков на три равные части. Тогда отношение третьей части отрезка АВ к третьей части отрезка CD также равно т. Вопрос. Как доказать, что периметры двух квадратов пропорциональны их диагоналям?
§ 1. Теорема Фалеса 65 1.4. Справедлива теорема, обратная теореме Фалеса, которая позволяет из пропорциональности отрезков на сторонах угла делать выводы о параллельности соответствующих прямых, пересекающих стороны этого угла. Теорема (обратная теореме Фалеса). Если точки А\ и В\ расположены на одной стороне угла с вершиной О, а точки Аъ и Вч — на другой, и выполняется ра- OAi ОА2 Л л венство -т-^ = -р-^, то прямые А\А2 и ОВ\ Od2 В\Вч параллельны. Рассмотрим применение этой теоремы. Пример 3. Точка С лежит на отрезке АВ одной из сторон угла с вершиной А и ВС : АВ = у/2 : л/3. Точка С\ лежит на отрезке АВ\ другой стороны этого же угла и АСХ : АВ\ = (л/3 - \/2) : \Д. Докажем, что прямые ВВ\ и СС\ параллельны (рисунок 5). Вычислим отношение АС : АВ. Пусть ВС = л/2х, где х — вспомогательное неизвестное. Тогда АВ = ^t{V2x) = л/Зя, v2 АС = АВ - ВС = уДх - уДх = (\/3 - у/2)х. Следовательно, АС _ (\/3-\/2)х _ л/3->/2 = АС± АВ ~ уДх у/3 АВ]' Так как -— = -—-, то в силу обратной теоремы Фалеса BBi\\CC\. А В АВ\ Вопрос. Как с помощью обратной теоремы Фалеса объяснить, что линия, соединяющая середины двух сторон треугольника, параллельна третьей стороне?
66 Глава 3. Гомотетия и подобие 1.5, Докажем теорему из предыдущего пункта (обратную теореме Фалеса). Доказательство. Проведем через точку В\ прямую, параллельную А\А2, пересекающую луч ОАч в точке К (рисунок 6). Тогда —- = С/Л.2 OB OJBo = -—i = -р^. Отсюда длины отрезков ОК и ОВ2 равны. Получаем, ОА\ ОАч что на луче ОК отложены равные отрезки ОВч и ОК, а значит точки В2 и К совпадают. Следовательно, В\К и В\В2 — одна и та же прямая. Поэтому B\B<2\A\A<i, что и требовалось доказать. Вопрос. Как доказать для отрезков с длинами а, 6, с, d, что если а : с = Ь : d и а < 6, с < d, то -— = -? а — с с Контрольные вопросы и задания 1. Сформулируйте теорему Фалеса. 2. Как данный отрезок разделить на 7 равных частей? 3. Как определяется отношение двух отрезков? 4. Какие наборы отрезков называются пропорциональными? 5. Сформулируйте теорему, обратную теореме Фалеса. Задачи и упражнения 1. По одну сторону от данной прямой даны две точки А и В на расстояниях а и 6 от нее. Найдите расстояние от середины отрезка АВ до данной прямой. 2. Докажите, что середины сторон любого четырехугольника являются вершинами параллелограмма. 3. Докажите, что отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, параллелен основаниям и равен полуразности оснований. 4- Докажите, что средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме. 5. Постройте трапецию по основаниям и боковым сторонам.
§ 1. Теорема Фалеса 67 6. Периметр треугольника равен р. Найдите периметр треугольника, вершинами которого являются середины сторон данного треугольника. 7. Точки С и D лежат на отрезке А С D В АВ так, как показано на рисунке 7, • « • . AD : BD = 3 : 1 и OD : ЛЯ = 7 : 18. Найдите отношения CD : #£> и ЛС : BD. 8. Данный отрезок АВ разделите внутренним и внешним образом в отношении 4:5, то есть найдите на отрезке АВ такую точку С, а на продолжении отрезка АВ такую точку D, что АС : ВС = = AD : BD = 4 : 5. 9. Параллельные прямые а и b пересекают одну сторону угла с вершиной О в точках А и Б, а другую сторону — соответственно в точках Ai и 2?i, причем О Л : О В — 14 : 11. Найдите отношение ВХАХ :OjBi. 10. Прямые аиЬ пересекают одну сторону угла О в точках А и J5, а другую сторону — в точках А\ и Bi соответственно. Известно, что точка В делит отрезок О А внешним образом в отношении 5:4, то есть точка В лежит на продолжении отрезка О А и ОВ : О А = 5:4. В каком отношении точка О должна делить внешним образом отрезок А\В\, чтобы прямые а и 6 были параллельны? 11. Точка С лежит на отрезке АВ и АС : АВ = ^/р : y/q. Найдите отношение АС : ВС. 12. Докажите, что все три медианы треугольника пересекаются в одной точке, и каждая делится точкой пересечения в отношении 2:1, считая от вершины. 13. Высота, проведенная из вершины тупого угла равнобочной трапеции, делит большее основание на части в отношении 5:2. Найдите отношение средней линии трапеции к большему основанию. 14. Периметр треугольника равен 10. Найдите периметр треугольни-
68 Глава 3. Гомотетия и подобие ка, вершинами которого являются середины средних линий первоначального треугольника. 15. Постройте треугольник ABC, если на плоскости заданы точки М, N, L — середины сторон треугольника ABC. 16. Внутри угла ABC задана точка М. Проведите через точку М прямую KL таким образом, что ее отрезок, отсекаемый сторонами угла, делился бы в точке М пополам. 17. Внутри угла ABC задана точка М. Проведите через эту точку М прямую KL таким образом, что бы ее отрезок, отсекаемый сторонами угла, делился точкой М в отношении 1:2. 18. Докажите, что каждый треугольник можно разрезать на две части, из которых можно составить параллелограмм. 19. Используя теорему Фалеса докажите, что отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, параллелен третьей стороне и равен ее половине. 20. Дан треугольник ABC и прямая MN. А\, В\, С\ — перпендикулярные проекции точек ABC на M7V, А\С\ = 1, С\В\ = 3, АК — медиана, К\ — ортогональная проекция точки К. Найдите отрезок А\К\. 21. Используя обратную теорему Фалеса докажите, что средняя линия трапеции параллельна основаниям трапеции. 22. Докажите, что средняя линия трапеции равна полусумме оснований трапеции. 23. Докажите, что все вершины треугольника равноудалены от прямой, проходящей через среднюю линию треугольника. * _ 24. Докажите, что если прямая равноудалена от трех вершин треугольника, что она проходит через одну из средних линий треугольника. 25. Дан произвольный четырехугольник ABCD. Точка Р — середина стороны АВ, Q — середина БС, R — середина CD и F — середина DA. Докажите, что PQRF — параллелограмм. 26. Пусть ABCD — четырехугольник, диагонали АС и BD которого перпендикулярны. Точки Р, Q, R, F — середины сторон четырехугольника ABCD. Докажите, что PQRF — прямоугольник.
§ 2. Гомотетичные фигуры 69 § 2. ГОМОТЕТИЧНЫЕ ФИГУРЫ 2.1. Возьмем положительное число к и выберем на плоскости точку О. Пусть точка М отлична от точки О. Назовем точку М\ гомотетичной точке М относительно точки О с коэффициентом к, если точка М\ лежит на луче ОМ и ОМ\ : ОМ = = к. Точку О обычно называют центром гомотетии, а число к эффициентом гомотетии. На рисунке 1 изображена точка М\, гомотетичная точке М с центром О и з коэффициентом к = -. Иногда говорят, что при гомотетии точка М переходит в ш • О точку М\. Заметим, что если точка М\ гомотетична точке М относительно О с коэффициентом к, то точка М гомотетична точке М\ относительно точки О с коэффициентом -. к Вопрос. Как доказать, что при гомотетии с коэффициентом к, отличным от 1, различным точкам соответствуют различные точки? 2.2. Пусть F — произвольная фигура на плоскости, а О — центр гомотетии с коэффициентом к. Для каждой точки А фигуры F найдем гомотетичную ей точку А\. Все такие точки образуют новую фигуру F\, которая называется гомотетичной фигуре F относительно центра О с коэффициентом к. Пример 1. На рисунке 2 квадрат MNKL гомотетичен квадрату ABCD относительно точки О с коэффициентом -. Если провести прямую через две гомотетичные точки двух гомотетичных фи- [о N М В Л К L с D 2_
70 Глаза 3. Гомотетия и подобие гур, то полученная прямая обязательно пройдет через центр гомотетии. Это свойство позволяет строить центр гомотетии в том случае, когда фигуры гомотетичны, а иногда позволяет установить, что две фигуры не гомотетичны. Пример 2. Возьмем две карты ABCD и EFGH одного и того же прямоугольного участка местности с разным масштабом. Наложим меньшую карту на большую так, как показано на рисунке 4, и по изображению пункта на одной из карт найдем изображение этого же пункта на другой карте. Для этого отметим точку О пересечения прямых АЕ, BF, CG и DH. Для правильно сделанных карт карта ш I" * - „ Л£ / Е 1*'" , "1 \| A D EFGH гомотетична карте ABCD относительно точки О. Так как при этой гомотетии точке А соответствует точка Е, то коэффициент гомотетии к = ОЕ : О А. Соединим данный пункт М на большей карте с точкой О и проведем через точку Е прямую параллельную прямой AM, пересекающую прямую М в точке Mi (рисунок 5). По теореме Фалеса ОМ ОА Отсюда следует, что пункту М на большей карте соответствует пункт М\ на меньшей карте. Вопрос. Какая фигура гомотетична окружности относительно ее центра с коэффициентом гомотетии к = -?
§ 2. Гомотетичные фигуры 71 2.3. При доказательстве свойств гомотетичных фигур мы будем использовать следующую теорему. Теорема. Если параллельные прямые а и b пересекают одну сторону угла с вершиной О в точках А и В, а другую сторону угла соответственно в точках А\ и В\, то ОВ:ОА = ВВх :ААХ. Доказательство. Пусть чертеж выглядит так, как на рисунке 6. Через точку А проведем прямую, параллельную прямой А\В\, и отметим точку М ее пересечения с прямой В. Четырехугольник АМВ\А\ — параллелограмм, так как противоположные стороны его параллельны. Поэтому АА\ = В\М и AM — А\В\. Применив теорему Фалеса к углу ОВВ\ и параллельным прямым AM и ОВ\, получим АВ : ВМ = О А : ВХМ. Отсюда ь Jr—IM Ах В{ Вычислим ВВХ АА1 ВМ ВХМ АВ О А' теперь отношение ВМ + МБ МВХ h ВМ ВХМ + 1. 0 ВМ АВ Заменив отношение ——- на ——, получим ВХМ О A" J ВВХ _ АВ _ ОА + АВ _ ОБ ААХ ~~ ОА ОА ~ ОА' Вопрос. Пусть на рисунке 7 прямые АА\ и ВВ\ параллельны. Как доказать, что О А : О В = ААХ : ВВ^. т 01 *в вх
72 Глава 3. Гомотетия и подобие 2.4. Напомним, что удобно считать прямую параллельной самой себе. С учетом этого сформулируем и докажем основное свойство гомотетии. Пусть точки М\ и N\ гомотетичны точкам М и N относительно точки О с коэффициентом к. Тогда M\N\\\MN и \M\Ni\ = k\MN\. Доказательство. Первый случай. Пусть точки М и N лежат на одном луче с вершиной О (рисунок 8). В этом случае прямая MN совпадает с прямой M\N\. Далее, \ОМх\ = k\OM\, \ONx\ = k\ON\, а поэтому \MxNi\ = \ОМх\ - \ONx\ = к{\ОМ\- -\ON\) = k\MN\. Второй случай. Пусть точки М, О, N лежат на одной прямой, причем точка О между точками М и N (рисунок 9). В этом случае прямая MN также совпадает с прямой MiNi. Далее, \ОМ\\ = к\ОМ\, \ONx\ = k\ONl \MiNi\ = \ONi\ + \ONx\ = = k{\OM\ + \ON\) = k\MN\. Третий случай. Пусть точки М, О, N не лежат на одной прямой (рисунок 10). Тогда прямые МАГ и M\N\ пересекают стороны угла MON. Так как ОМ ON = *, то по теореме, обратной теореме Фалеса, прямые M\N\ и MN параллельны. Применяя теорему из предыдущего пункта получаем, что \MiNx\ = \OMjI = , \MN\ " \ОМ\ откуда IMiNxl = k\MN\. Мы рассмотрели все возможные случаи чертежа, а поэтому основное свойство гомотетии доказано. Вопрос. Что представляет собой фигура, гомотетичная данной фигуре F с коэффициентом гомотетии к = 1?
§ 2. Гомотетичные фигуры 73 2.5. В предыдущем пункте мы доказали, что если рассмотреть концы произвольного отрезка длины о, то при гомотетии с коэффициентом к они переходят в две точки, являющиеся концами отрезка, который параллелен исходному и длина которого равна ка. Покажем, что при гомотетии отрезок переходит в отрезок. Доказательство. Рассмотрим отрезок АВ. Пусть точки А\ и В\ гомотетичны точкам А и В относительно центра О с коэффициентом к. Первая часть. Покажем, что при данной гомотетии каждая точка отрезка А В переходит в некоторую точку отрезка А\В\. Пусть X — любая точка отрезка АВ. Тогда выполняется равенство |ЛХ|+ +|XJ9| = \АВ\. По основному свойству го- Ах мотетии точка X переходит в такую точку Хи что \AxXi\ = к\АХ\ и |XiJ8i| = к\ХВ\. ^ Отсюда следует, что \А1Х1\Л-\Х1В1\ = = к{\АХ\ + \ХВ\) = к\АВ\ = \AiBx\. Так как |,4iXi| + |Xi£i| = |Ai#i|, то точка Xi лежит на отрезке А\В\ (рисунок 11). Вторая часть. Покажем, что при данной гомотетии каждая точка отрезка А\В\ гомотетична некоторой точке отрезка АВ. Для этого вспомним, что точки А и В получаются из точек Ai и В\ гомотетией относительно того же центра О, но с коэффициентом -. В первой части мы доказали, что при такой гомотетии каждая точка У\ отрезка А\В\ переходит в точку У отрезка АВ (рисунок 12). Но тогда точка Y\ гомотетична Y относительно точки О с коэффициентом А;. Вопрос. В какую фигуру при гомотетии переходит прямая?
74 Глава 3 Гомотетия и подобие 2.6. Если точка Mi гомотетична точке М относительно некоторой точки О с коэффициентом к, то по определению она лежит на луче ОМ и ~~ = А;. Но тогда —— = -, а потому М гомотетична точке М\ с коэффициентом -. Аналогично, если фигура Fi гомотетична фигуре F, то F гомотетична F\ относительно того же центра гомотетии, но с обратным коэффициентом -. Таким образом, можно говорить о к гомотетичных фигурах F и F\. Доказанное в предыдущем пункте свойство показывает, что не всякие два отрезка гомотетичны. Но если взять два параллельных отрезка АВ и А\В\ разной длины, не лежащие на одной прямой, то как показывает рисунок 13, они гомотетичны. Действительно, в этом случае прямые АА\ и ВВ\ не могут быть параллельными, а значит пересекаются в некоторой точке О. Рассмотрим гомотетию с центром О и коэффициентом k-OAl Так как по теореме Фалеса ОВх _ ОМ _ ». OB ~ О А ~ *' то при этой гомотетии точка В переходит в точку J?i, значит, и отрезок АВ переходит в отрезок А\В\. Вопрос. Как доказать, что фигура, гомотетичная правильному треугольнику, является правильным треугольником? 2.7. Покажем, что фигура, гомотетичная окружности, есть окружность. Доказательство. Пусть дана окружность S с центром А и радиусом R, О — центр и А: — коэффициент гомотетии. Возьмем на окружности S точку X и рассмотрим точки Х\, А\, гомотетичные точкам X, А (рисунок 14). По свойству
§ 2. Гомотетичные фигуры 75 из пункта 2.4. получаем, что |Ai.Ai| = = A;|Xj4| = kR. Следовательно, каждая точка окружности 5 с центром А и радиусом R переходит в некоторую точку окружности Si с центром А\ и радиусом jR] = kR. Аналогично доказывается, что при гомотетии с центром О и коэффициентом т к каждая точка У\ окружности S\ переходит в некоторую точку У окружности S. Поэтому точка Y\ окружности S\ гомотетична точке Y окружности S. Вопрос. Как доказать, что при гомотетии диаметр окружности переходит в диаметр гомотетичной ей окружности? 2.8. Гомотетичность фигур обладает свойствами, аналогичными свойствам равенства: 1) каждая фигура гомотетична самой себе; 2) если фигура F\ гомотетична фигуре F2, то фигура Fi гомотетична фигуре F\\ 3) если фигура Fi гомотетична фигуре F2, а фигура Fi гомотетична фигуре F3, то фигура F\ либо гомотетична фигуре F3, либо получается из фигуры F$ параллельным переносом. Мы не будем доказывать эти свойства, а только на конкретном примере проверим свойство 3). На рисунке 15 квадрат ABCD гомотетичен квадрату EFGH с центром 0\ и коэффициентом 3. На рисунке 16 показано, что второй квадрат EFGH гомотетичен квадрату KLMN с центром Оч и коэффициентом -. И на рисунке 17 можно видеть, что квадрат ABCD гомотетичен в\ А\ F1 Е i t Oi Ч\ 1 И " 1 / с D U5J m N М в А Сг ^ Е л 0 к L G Н ? с D [Ш 1С t 1 / >з_ N / м • / ы Г [о к 1 г \С Г 1 * \Q iff h. 1 * f\ Г
76 Глава 3. Гомотетия и подобие 3 1 квадрату KLMN с центром Oz и коэффициентом - = 3 • -. Вопрос. В каком случае две фигуры могут быть гомотетичны третьей фигуре, но сами не гомотетичны между собой? Контрольные вопросы и задания 1. В каком случае точка М\ называется гомотетичной точке М относительно центра О с коэффициентом А:? 2. Какая фигура называется гомотетичной данной фигуре F относительно центра О с коэффициентом А:? 3. Пусть фигура F\ гомотетична фигуре F относительно точки О с коэффициентом к; с каким коэффициентом фигура F будет гомотетична F\ относительно того же центра? 4. Как построить центр гомотетии, если заданы точки А, В и гомотетичные им точки А\, В\, причем все четыре точки не лежат на одной прямой? 5. В чем состоит основное свойство гомотетии? 6. Как доказать основное свойство гомотетии? 7. Во что переходит отрезок при гомотетии? 8. Во что переходит прямая при гомотетии? 9. Какая фигура гомотетична окружности? 10. Как доказать, что две окружности разных радиусов всегда гомотетичны? Задачи и упражнения 1. Дан квадрат ABCD. Постройте гомотетичный ему квадрат с коэффициентом гомотетии А: = -: а) относительно центра гомотетии А; б) приняв за центр гомотетии центр данного квадрата.
§ 2. Гомотетичные фигуры 77 5? Вершинами треугольника AiB\C\ служат середины сторон равностороннего треугольника ABC. Будет ли треугольник А\В\С\ гомотетичен треугольнику ABC относительно какого-то центра гомотетии О? Две окружности касаются друг дру- _ Li*LJ га внутренним образом (рисунок 18). Докажите, что они гомотетичны относительно точки касания. Две окружности разных радиусов касаются друг друга внешним образом (рисунок19). Докажите, что их внешние касательные пересекаются в центре гомотетии этих окружностей. Даны угол с вершиной О и внутри него точка А. Постройте окружность, касающуюся сторон угла и проходящую через точку А. *v ^. £ *i [20" / 5 * У / F, 'К у [Ш 6. Найдите множество всех точек, которые делят в данном отношении m : п все хорды, выходящие из одной точки данной окружности. В данный треугольник впишите прямоугольник, у которого две вершины лежали бы на данной стороне, и стороны относились бы как 2:1.
78 Глава 3. Гомотетия и подобие к F [W F Fx (Ж 24 ш i ]ЙП F Fi м / / У / 9. 10. 11. Известно, что фигура i*\ получена из фигуры F при гомотетии с центром О и коэффициентом к. При какой гомотетии фигура F получается как образ фигуры F\ (укажите центр и коэффициент этой гомотетии)? Точка А\ получена из точки А при гомотетии с центром О и коэффициентом к. Как расположены точки Л, А\ относительно точки О, если: а) 0 < к < 1, б) к > 1? Как изменяются (увеличиваются или уменьшаются) расстояния при гомотетии, если коэффициент гомотетии к такой что а) к > 1, б) к < 1, в) * = 1? Гомотетичны ли фигуры F и Fi на рисунках 22 — 25? Если F и F\ гомотетичны, то укажите центр гомотетии и коэффициент гомотетии. Если не гомотетичны, то поясните, почему они не гомотетичны.
§ 3. Подобные фигуры 79 § 3. ПОДОБНЫЕ ФИГУРЫ ш 5 3.1. При гомотетии каждый отрезок переходит в параллельный ему отрезок. Поэтому два неравных и непараллельных отрезка не гомотетичны. Однако, нетруд- D но найти третий отрезок, равный одному из них и гомотетичный другому. А Пример 1. На рисунке 1 отрезки АВ и CD не равны и не параллельны. Прове- Q дем через точку С прямую т параллельно / \ АВ и отложим на ней отрезок CF, равный / ' отрезку CD (рисунок 2). Отрезок CF го- / мотетичен отрезку АВ относительно точ- С^ ки О пересечения прямых АС и BF с коэффициентом к = CF: АВ. I ^£) Вопрос. Два угла ABC и MNK рав- < ны. Как найти третий угол, равный углу ABC и гомотетичный углу MNK1 3.2. Рассмотрим следующее важное понятие. Геометрическая фигура /^ называется подобной фигуре F\, если можно найти такую третью фигуру F$, которая равна фигуре F\ и гомотетична фигуре F2. Коэффициент А; гомотетии, при которой фигура F$ равная фигуре i*i, переходит в фигуру 1*2 > называется коэффициентом подобия фигуры F<i фигуре JFi. Пример 2. На рисунке 3 изображены два квадрата ABCD и KLMN. При этом вершинами второго квадрата служат середины сторон первого квадрата. Повернем квадрат KLMN относительно центра на угол 45° по часовой стрелке. Точки К\, Li, Mi, N\ попадут на диагонали квадрата ABCD и ОК\ : О А = = OLx : OB = ОМх : ОС =
80 Глава 3. Гомотетия и подобие Ш о » ,\ \ \ • \ 1 % нш D СЕ j \ % ш1 J м к\ равен прямоугольнику — ONi : OD = —. Поэтому квадрат ABCD гомотетичен квадрату K\L\M\N\, а квадрат K\L\M\N\ равен квадрату KL MN. Таким образом,квадрат ABCD подобен квадрату KLMN. Так как ОА ОА ОК = -ргтг -• у/2, то квадрат ABCD подобен ОК\ квадрату KLMN с коэффициентом >/2- Вопрос. Как доказать, что любой отрезок подобен любому другому отрезку? 3.3. Каждая фигура гомотетична самой себе с коэффициентом 1. Поэтому если фигуры F\ и Fi равны, то по определению из предыдущего пункта фигуру F^ которая гомотетична самой себе и равна фигуре Fi, считают подобной фигуре F\ с коэффициентом подобия 1. Вопрос. Как доказать, что любая окружность подобна любой другой окружности? 3.4. Пусть фигура Fi подобна фигуре Fi. По определению это означает, что можно найти такую фигуру F3, которая равна фигуре F\ и гомотетична фигуре Fi- Однако, в этом случае можно найти и такую фигуру F^, которая равна Fi и гомотетична фигуре F\. Пример 3. Изобразим на клетчатой бумаге прямоугольники ABCD и EFGH (рисунок 4). Для доказательства подобия прямоугольника EFGH прямоугольнику ABCD построим прямоугольник HDJI, как на рисунке 5. Тогда прямоугольник HDJI ABCD и гомотетичен прямоугольнику EFGH
§ 3. Подобные фигуры 81 относительно точки О с коэффициентом к = 2. Однако, для тех же прямоугольников ABCD и EFGH можно построить и прямоугольник KLMD, как на рисунке 6. В этом случае прямоугольник KLMD равен прямоугольнику EFGH и гомотетичен прямоугольнику ABCD относительно точки х с коэффициентом к = -. Следовательно, по определению прямоугольник ABCD подобен прямоугольнику EFGH. В результате получаем, что в рассматриваемом примере прямоугольник EFGH подобен прямоугольнику ABCD, а прямоугольник ABCD подобен прямоугольнику EFGH. Следовательно, данные прямоугольники взаимно подобны. Аналогичное свойство выполняется и в общем случае: если фигура F\ подобна фигуре F2, то и фигура F2 подобна фигуре F\. Мы это свойство принимаем без доказательства. Такое свойство позволяет говорить о взаимном подобии фигур F\ и F2. Для записи подобия двух фигур ис- пользуется знак ~. Если фигуры F\ и F2 подобны, то это можно записать как Fi ~ F2. Вопрос. Пусть фигура F\ подобна фигуре F2 с коэффициентом к. С каким коэффициентом фигура F2 подобна фигуре F{! 3.5. Понятие подобия фигур обладает свойствами, аналогичными свойствам равенства. 1. Любая фигура F подобна самой себе. Действительно фигура F гомотетична самой себе по определению и, значит, по- о* добна самой себе. 2. Если фигура 5 подобна фигуре Т, то фигура Т подобна фигуре S. 3. Если фигура S подобна фигуре Т и фигура Т подобна фигуре [/, то фигуры S и U подобны между собой. Запишем эти свойства в кратком виде. )с 4--lv, Г1
82 Глаза 3. Гомотетия и подобие 1. F rsj F для каждой фигуры F. 2. Если S - Т, то Г ~ 5. 3. Если S ~ Т и Т - {/, то 5 - I/. Вопрос. Пусть правильный треугольник ЛВС подобен треугольнику Лт В) С\ с коэффициентом fci, а треугольник А\ В\ С\ подобен треугольнику А4В4С1 с коэффициентом къ- С каким коэффициентом треугольник АчВ^Сч подобен треугольнику ABC? Контрольные вопросы и задания 1. Какие фигуры называются подобными? 2. Что называется коэффициентом подобия подобных фигур F и 3. Будут ли равные фигуры F и F\ подобны между собой? 4. Если фигура F подобна фигуре Fj, то будет ли фигура Fi подобна фигуре F? 5. Какие свойства подобия фигур, аналогичные свойствам равенства фигур, вы знаете? Задачи и упражнения 1. Докажите, что любые два равносторонних треугольника подобны. 2. Докажите, что два равнобедренных треугольника с одинаковыми углами при вершине всегда подобны. 3. При каком условии доа прямоугольника подобны между собой? 4. В каком случае данная дуга А В окружности радиуса R подобна другой данной дуге CD окружности радиуса г? 5. Докажите, что два равнобедренных прямоугольных треугольника подобны. 6. Докажите, что два квадрата подобны. 7. Докажите, что два равных угла подобны. 8. Докажите, что два правильных шестиугольника подобны.
§ 4. Подобие треугольников 83 9. Докажите, что два ромба с острым углом в 60° подобны. 10. Докажите, что если два прямоугольника подобны, то углы между их диагоналями равны. 11. Докажите, что стороны подобных треугольников относятся как периметры этих треугольников. 12. Пусть треугольник ABC подобен треугольнику А\В\С\. Как связаны между собой углы треугольника ABC и АуВуС^. 13. Пусть прямоугольный треугольник ABC подобен треугольнику А\В\С\. Докажите, что треугольник А\В\С\ прямоугольпый. 14. Пусть равнобедренный треугольник ABC подобен треугольнику А\ВхС\. Докажите, что треугольник А\В\С\ — равнобедренный. § 4. ПОДОБИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ 4.1. Пусть треугольник А\В\С\ подобен треугольнику А2ВъСъ- Это зн&чит> что найдется фигура F) равная треугольнику АуВ^С} и гомотетичная треугольнику А4В1С4. Так как фигура F, равная треутльнику, является треутльни- ком, то обозначим вершины треугольника F буквами A3, J53, С3 так, чтобы выполнялись равенства LA\ = ZA3, LB\ = LB$, LCX = LCZ. При этом будут выполняться равенства А\В\ — Аз-Вз, A\d = А3С3, В\С\ = В$Сз- Далее, будем считать, что при гомотетии, переводящей треугольник A^BiCi в треугольник A^B^Czy вершины А-2, #з> Сг переходят соответственно в вершины Аз, Дз, Сз- Тогда из свойств гомотетии следует, что ZA2 = ZA3, LBi = ZB3, 1С2 = 1С6 и Л2Во ЛзС3 ВъС* Ло(^2 DiK'i = *,
84 i лава S. 1 Ъмитетия и подобие где А; — коэффициент гомотетии. Учитывая равенство треугольников AiBiCi и АзД*Ся> можем записать следующие равенства: LA\ — LA4* LBX = LB2, 1С\ = IC2 и /42-02 A2O2 B2C2 где A: — коэффициент подобия треугольника A\B\C\ треугольнику A 2 B2C4. Таким образом, подобные треугольники имеют соответственно равные углы и пропорциональные стороны. Вопрос. Как доказать, что соответственные медианы подобных треугольников пропорциональны сторонам? 4.2. Для того, чтобы устанавливать подобие треугольников, используются признаки. В этом пункте мы рассмотрим основной признак подобия треугольников. Первый признак подобия треугольников. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны. Доказательство. Пусть треугольники А\ В] С\ и А1В4С2 имеют соответственно равные углы: LA\ = LAi и LB\ = 1В2. Найдем отношение * г> *-4тг А2В2 и построим треугольник Л3В3С3, гомотетичный треугольнику АчВ2Сч с коэффициентом ^(рисуиок 1). Тогда /Аз = LAi = ZAb LB-s = = IB2 = LB\, A3.B3 = k- A2B2 = A\B\. По второму признаку равенства треугольников ДА3В3С3 = АА\В\С\. Так как найден треугольник А3В3С21 равный треугольнику А\В\С^ и гомотетичный треугольнику А2В2С2, то по определению &А\В\С\ ~ /Аг^С^ Пример 1. Рассмотрим трапецию ABCD с основаниями AD и ВС и обозначим точку пересечения диагоналей через 'Q ччч \ О (рисунок 2). Покажем, что треугольники AOD и ВОС подобны. _ Решение. Углы AOD и ВОС равны как D вертикальные. Углы OAD и ВСО равны
§ 4. Подобие треугольников 85 как внутренние накрест лежащие. По первому признаку подобия треугольники AOD и БОС подобны. Вопрос. Как находить соответственные стороны в подобных треугольниках? 4.3. В этом пункте рассмотрим следующий признак подобия треугольников. Второй признак подобая треугольников. Если две стороны одного треугольника соответственно пропорциональны двум сторонам второго треугольника и углы между этими сторонами равны, то такие треугольники подобны. Доказательство. Пусть треугольники А\В\С\ и А2В2С2 имеют равные углы LA\ и LAo и Л2В2 А2С2' Построим треугольник A$B$C$y гомотетичный треугольнику А2В2С2 с коэффициентом к_А,Вх А2В2 Тогда /Дч = 1А2 = LAX, Л3ДЧ = = кА2В2 = AXBU AzC-s = кА2С2 = = Aid. По первому признаку равенства треугольников ЛЛз^зСз = AA^B^C^. Так как найден треугольник АъВ$С$, равный треугольнику А2В2С2, то по определению &А\В\С\ ~ ДА2В2С2. Пример 2. На рисунке 3 на сторонах угла отложены отрезки ОА = 3 см, ОВ = 8 см, ОС = 4 см, OD = 6 см. Покажем, что АО АС - AOBD. Решение. Треугольники О АС и OBD имеют общий угол при вершине О. Составим отношение меньшей и большей из сторон О А и ОС соответственно к меньшей и большей из сторон О В и OD: — = - = I ОС - 4 - 1 OD ~~ 6 ~ 2' ОВ 8 2* п ОА ОС „ . Следовательно —■ = -—. По второму признаку подобия треуголь- С)и О В ники О АС и OBD подобны.
86 1 лава 3. I Ьмитетия и подобие Вопрос. Как доказать, что в этом примере треугольники OAD и О ВС подобны? 4.4. В этом пункте рассмотрим следующий признак подобия треугольников. Третий признак подобия треугольников. Если три стороны одного треугольника соответственно пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны. Пример 3. В квадрате ABCD со стороной 4 см на сторонах АВ и ВС отмечены точки М и N так, что ВМ = 2 см, BN = 1 см (рисунок 4). Покажем, что ABMN - &DMN. Решение. Из условия следует, что AM = 2 см, CN — 3 см. По теореме Пифагора MD = у/А2 + 22 = 2\/b см, ND = >/32 4- 42 = 5 см, MN = V22 + I2 = \/5 см. Значит, 2 jBJV J_ MN_ у/ъ' ND 5 УД' r, BM BN MN Следовательно, _ = _ = _ и по третьему признаку подобия треугольники BMN и DMA" подобны. Вопрос. Как доказать третий признак подобия треугольников? 4.5. Предположим, что по одному из признаков мы установили подобие двух треугольников А\В\С\ и AiB^Ci- Это означает, что треугольник А\В\С\ можно получить из треугольника АъВчСг, если сначала выполнить преобразование гомотетии, а затем перемещение. Так как при гомотетиях и перемещениях углы переходят в равные
§ i. Подобие треугольников 87 им углы, то отсюда следует, что в подобных треугольниках углы между соответственными элементами равны. Далее, так как при гомотетии с коэффициентом к отрезки переходят в пропорциональные им отрезки, а при перемещении длины отрезков не изменяются, то в подобных треугольниках соответственные отрезки пропорциональны. Например, в треугольнике ЛВС на рисунке 5 центр вписанной окружности совпадает с точкой пересечения биссектрис, а радиус, соединяющий точку касания со стороной, перпендикулярен этой стороне. Поэтому в подобном ему треугольнике А\В[С[ центру О соответствует центр 0\ вписанной окружности, а радиус вписанной в треугольник А\В\С\ окружности пропорционален радиусу окружности, вписанной а треугольник ABC, с коэффициентом пропорциональности, равным коэффициенту подобия треугольников. Вопрос. Как доказать, что отношение радиусов окружностей, описанных около подобных треугольников, равно коэффициенту их подобия? Контрольные вопросы и задания 1. Как соотносятся соответственные углы и стороны подобных треугольников? 2. В чем состоит основной признак подобия треугольников? 3. Как формулируется второй признак подобия треугольников? 4. В чем состоит трегий признак подобия треугольников? 5. Каково отношение соответственных высот в подобных треугольниках? 6. Чему равняется отношение соответственных медиан в подобных треугольниках? 7. Как относятся длины биссектрис соответственных углов в подобных треугольниках? 8. Каково отношение радиусов окружностей, вписанных в подобные треугольники?
88 i лава 3. I Ъмотетия и подобие Задачи и упражнения 1. Пусть О — точка пересечения диагоналей трапеции ABCD (рисунок 6). Докажите, что ААВО ~ ACOD. 2. Угол при вершине равнобедренного треугольника равен 36°. Докажите, что биссектриса треугольника, проведенная из вершины при основании, отсекает треугольник, подобный данному. Известно, что отрезки АВ и CD пересекаются в точке О и произведение длин отрезков АО и ОВ равно произведению длин отрезков СО и OD. Докажите, что ААОС ~ ABOD. В одном треугольнике стороны равны б см, 8 см и 10 см, а в другом треугольнике — 9 см, 12 см и 15 см. Докажите, что эти треугольники подобны. 5. В прямоугольном треугольнике ABC через середину М гипотенузы АС перпендикулярно гипотенузе проведена прямая, пересекающая катет ВС в точке Лг и продолжение катета АВ в точке К (рисунок 7). Найдите длину отрезка АС, если длина отрезка MN равна 4, а длина отрезка NK равна 5. В треугольнике ABC проведены высоты АН и BN. Докажите, что треугольники САН и CNB подобны. В каком отношении диагонали трапеции делятся их точкой пересечения, если основания трапеции равны а и Л? Стороны треугольника относятся как 2:3:4. Найдите стороны подобного ему треугольника, в котором: а) меньшая сторона равна 10: б) большая сторона равна 40.
§ 5 Высоты и биссектрисы треугольника 89 9. Дан отрезок А В и точка С на нем. Известно, что АС = а, ВС = = Ь и прямая MN проходит через точку С. Найдите отношение расстояния от точки А до прямой MN к расстоянию от точки В до прямой MN. 10. Докажите, что треугольник ABC подобен треугольнику A\B-\C\> если две стороны АС и ВС и медиана СМ пропорциональны сторонам А\С\ и В\С\ и медиане С\М\ треугольника А\В\С\. 11. Найдите углы равнобедренного треугольника, если биссектриса угла при основании отсекает от него треугольник, подобный данному. 12. Докажите, что если АН — высота, опущенная из прямого угла прямоугольного треугольника ABC на гипотенузу ВС, то АН = АР СН ~ АС 13. Найдите стороны равнобедренного треугольника, если медиана, проведенная к боковой стороне, отсекает от него треугольник, подобпый данному, а длина этой медианы равна 2\/2 см. § 5. ВЫСОТЫ И БИССЕКТРИСЫ ТРЕУГОЛЬНИКА 5.1. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, у которого из вершины В прямого угла проведена высота ВН к гипотенузе. Обозначим LA = а, 1С = 7- Тогда LHBC = LBAC = a, LABH = = LACB = 7- Сравнивая углы прямоугольных треугольников ABC, АВН и ВСН, по первому признаку подобия получаем, что эти треугольники подобны. Для треугольников ABC и АВН из равенств дует АВ2 = АС • АН; (1)
90 Глава, 3 Гомотетия и подобие для треугольников ABC и ВНС из равенств —— = —- = —- следует В Н (у Н ВС' ВС2 = АС • СИ. (2) Из равенств (1) и (2) при их почленном сложении получается равенство АВ2 + ВС2 = АС - {АН + СН) = АС2. В результате доказана одна из самых замечательных теорем геометрии. Теорема Пифагора. Квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов катетов. Теорема Пифагора позволяет в прямоугольном треугольнике по известным катетам вычислить длину гипотенузы, а по гипотенузе и катету вычислить второй катет. Вопрос. Как с помотцью циркуля и линейки построить отрезок длиной \/5, если задап отрезок единичной длины? 5.2. При почленном делении равенств (1) и (2) из предыдущего пункта приходим к равенству АВ^=ЛН ВС2 СН' [ ] Это равенство позволяет по катетам прямоугольного треугольника вычислять отношение, в котором основание высоты делит гипотенузу. Пример 1. Катеты прямоугольного треугольника равны 1 см и 2 см. Найти отрезки, на которые основание высоты разбивает гипотенузу. Решение. На основании равенства (3) получаем АН _ А&_ _ 1 СН ~ ВС1" 4' Поэтому, если АН обозначить через а: см, то СН = 4х см, АС = Ъх см, откуда х = \АС = ]-VAB> + ВС2 = 1>/5 = ^. О Ь Ь о \/5 4\/б Следовательно, АН — — см, НС = см. о 5
§ 5. Высоты и биссектрисы треугольника 91 Вопрос. Какой отрезок на рисунке 1 соответствует в треугольнике АВН высоте ВН подобного ему треугольника ABC! 5.3. В прямоугольном треугольнике ABC из вершины В проведем высоту ВН и рассмотрим подобие треугольников АВН и ВСН (рисунок 2). Записывая пропорциональность соответственных сторон, получим АВ ^ АН __ ВН ВС ~ ВН ~~ НС" откуда ВН2 = АН • НС. (4) Это равенство можно использовать для вычисления высоты прямоугольного треугольника. Формулы (1), (2), (3), (4), которые были получены для прямоугольного треугольника, можно запомнить и использовать. Однако, важнее понять принципы, по которым они получаются. Пример 2. В прямоугольном треугольнике ABC через середину М гипотенузы АС перпендикулярно гипотенузе проводится прямая, пересекающая катет ВС в точке N и продолжение катета АВ в точке К (рисунок 3). Найти А С, если MN = 4, NK = 5. Решение. Обратим внимание на треугольники АМК и MNC. Они подобны, так как прямоугольные и LAKM = - LNCM. Поэтому AM MN KM мс Обозначив AM = МС = х, получаем - = -, откуда х2 = 36, х = 6. Следовательно, АС = 2х = 12. Вопрос. Сколько на рисунке 3 треугольников, подобных треугольнику BNK1
92 Глава 3. Гомотетия и подобие 5.4. Биссектриса угла треугольника обладает следующим важным свойством. Теорема. Биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим к ним сторонам: AL _ CL АВ С В' Доказательство. Первый случай. Пусть в треугольнике ABC стороны АВ и ВС равны. Тогда треугольник ABC равнобедренный. Поэтому его биссектриса BL, проведенная к основанию, является медианой (рисунок 5). Следовательно, AL = LC, АВ = ВС, откуда AL АВ CL ВС Второй случай. Пусть в треугольнике ABC стороны АВ и ВС не равны. Тогда биссектриса BL не является высотой. Поэтому, если проведем перпендикуляры AM A. BL и СК _L BL, то получим прямоугольные треугольники AML и CKL (рисунок 6). Треугольники AML и CKL подобны, потому что их углы с вершиной L равны, как вертикальные. Из подобия этих треугольников следует, что AL CL AM С К' Прямоугольные треугольники АМВ и СВК также подобны, так как их углы с вершиной В равны половине угла ABC. Из подобия этих треушльников следует, что АВ ВС AM С К'
§ 5. Высоты и биссектрисы треугольника 93 п AL АВ Сравнивая полученные пропорции, получаем -^ = —;, откуда AL _ CL АВ ~ С В' Вопрос. Чему равны длины биссектрис острых углов прямоугольного треугольника со сторонами 3, 4, 5? 5.5. Справедлива теорема, обратная теореме о биссектрисе угла треугольника. Если в треугольнике ABC точка N расположена на стороне АС так, что AN _ NO АВ ~~ В(У то отрезок BN — биссектриса угла В. Доказательство. Проведем в треугольнике биссектрису BL. В AL 1С „ предыдущем пункте доказано, что — = ——. Бели предположим, что АВ ВО ... 1Г ~КТ ^ ~т AN ^ AL CN ^ CL AN > AL, то тогда CN < CL, откуда — > — и — < —. ~ AN ^ AL LC ^ NC Откуда следует, что —- > -— = —; > ——, а это противоречит АВ Л И п(/ г>0 условию. Значит, предположение неверно. Анапогично приводит к противоречию и предположение AN < AL. Остается единственная возможность AN = AL) а значит, точки Лг и L совпадают и BN биссектриса. Теорема, обратная теореме о биссектрисе угла треугольника может служить признаком биссектрисы в треугольнике. Вопрос. Как построить биссектрису угла А в треугольнике ABC, у которого АВ = 3, АС = 4? Контрольные вопросы и задания 1. Пусть катеты прямоугольного треугольника ABC равны а и 6. В каком отношении высота, опущенная из вершины прямого угла С делит гипотенузу АВ? 2. Пусть СИ — высота прямоугольного треугольника ABC. Какими соотношениями связаны отрезки СН. АН, иВН? 3. В каком отношении биссектриса угла треугольника делит противолежащую сторону треугольника?
94 Глава 3. Гомотетия и подобие 4. Что можно сказать о прямой BN, если точка N лежит на стороне АС треугольника ABC и ^ = —-? CN CD Задачи и упражнения 1. Даны отрезки а и 6 , причем а > Ь. Постройте отрезки хну такие, что ^р = а, у/ху = Ъ. 2. Докажите геометрически неравенство 3. В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты АН, ВЫ и CL. Докажите, что каждая из них делит соответствующий угол треугольника NML пополам. 4. Доказать, что если биссектриса внешнего угла В треугольника ABC пересекает продолжение стороны АС в некоторой точке К, то АК __ АВ СК ВС 5. В треугольнике ABC точка N расположена на стороне так, что AN _ NO АВ ВС Докажите, что отрезок BN является биссектрисой угла В. 6. Рассмотрим треугольник ABC и биссектрису угла А. Проведем через точку С прямую СМ, параллельную АВ, и пусть продолжение биссектрисы AN пересекает СМ в точке М. Докажите, что а) треугольник АМС равнобедренный; б) треугольник CNM подобен треугольнику AN В. 7. В треугольнике ABC проведены медиана BD и биссектриса АЕ, которые пересекаются в точке К. Прямая, проходящая через вершину С и точку К, пересекает сторону АВ в точке F. Найдите длины отрезков AF и FJ9, если известно, что длина стороны АВ равна с, а длина стороны АС равна 6.
ОКРУЖНОСТЬ В этой главе рассматриваются свойства хорд и диаметров окружностей, свойства вписанных в окружность и описанных около окружности многоугольников, свойства касательных и окружности, разбираются примеры на построение касательных к окружностям. § 1. ДИАМЕТР И ХОРДА 1.1. Напомним, что все точки окружности одинаково удалены от ее центра О. Для любой точки А окружности отрезок О А является радиусом окружности. Один из радиусов изображен на рисунке 1. Проведем через цептр окружности любую прямую, например, как на рисунке 2. Прямая пересечет окружность в двух точках Аи D. Длина отрезка А В равна удвоенному радиусу. Отрезок АВ называется диаметром окружности. Точки А и В окружности называются диаметрально противоположными.
96 Глава 4. Окружность Возьмем на окружности две произвольные точки и соединим их отрезком. Получим хорду окружности. Диаметр тоже является хордой окружности. На рисунке 3 изображена хорда АВ, не являющаяся диаметром. Вопрос. Как, используя неравенство треугольника, показать, что хорда, не являющаяся диаметром, имеет длину меньше диаметра? 1.2. Соединим с центром О окружности концы хорды АВ, не являющейся диаметром. Получим равнобедренный треугольник АО В с основанием АВ и с двумя равными сторонами О А и О В (рисунок 4). Высота и медиана, проведенные из вершины О к основанию АВ равнобедренного треугольника, совпадают. Поэтому высота ОН является медианой. Проведем хорду, содержащую отрезок ОН (рисунок б). Получим диаметр CD. Мы доказали, что диаметр, перпендикулярный хорде АВ, не являющейся диаметром, проходит через середину этой хорды. Если же хорда АВ является диаметром, то точка О лежит на отрезке АВ. поэтому и отрезки О А и ОВ равны как радиусы. В этом случае перпендикуляр в точке О к отрезку АВ также делит отрезок АВ пополам. Таким образом имеет место свойство: диаметр, перпендикулярный к хорде, проходит через середину этой хорды. Вопрос. В каком случае диаметр, проходящий через середину хорды, не будет перпендикулярен этой хорде?
§ 1. Диаметр и хорда 97 1.3. Рассмотрим вопрос о взаимном расположении окружностей. Пусть заданы две различные точки 0\ и 02, Проведем окружность радиуса т\ с центром в точке 0\ и окружность радиуса т2 с центром в точке 02- Пусть А — общая точка окружностей. Тогда 0\А = п, 02^4 = гг, и по основному свойству длины должны выполняться неравенства: #102 < П + г2, тх < 0\02 + г2, г2 < Oi02 + гг. Следовательно, окружности не имеют общих точек, когда либо 0102 > г\ + т2 (рисунок 7), либо г\ > Oi02 + г2 (рисунок 8), либо г2 > O1O2 + ?! (рисунок 9). Если 0iО2 = ri 4- Г2, то отрезок 0102 составлен из двух радиусов и общая точка принадлежит отрезку 0102- Поэтому окружности имеют единственную общую точку (рисунок 10). <© Если г\ = 0102+7*2, то радиус г\ может быть составлен из отрезка 0102, соединяющего центры, и радиуса г2. Поэтому и в этом случае окружности имеют единственную общую точку А; так как А02+ +O1O2 = AOi (рисунок 11). Аналогично, если r2 = 0\02 4-ri, то радиус т2 может быть составлен из отрезка
98 Глава 4. Окружность 0\02, соединяющего центры, и радиуса гь и в этом случае окружности имеют единственную общую точку (рисунок 12). Рассмотрим остальные случаи. Прямая 0\От, определяет две полуплоскости. Выберем для определенности одну из этих полуплоскостей (рисунок 13). Примем без доказательства, что в ней существует единственная точка А\ такая, что для отрезков 7*i = 0\А\, г2 — ОчА\ и 0\02 выполняются строгие неравенства 0\Оч < П +7*2, П < 0Х02 + 7*2, 7*2 < О1О2+П. В этом случае окружности с центрами в точках Oi, Оч и радиусами т\ и г2 пересекаются в точке А\. Из того, что полуплоскостей две, следует, что при выполнении указанных трех неравенств будет две точки пересечения окружностей (рисунок 14). Вопрос. В каком случае через две заданные точки нельзя провести окружность данного радиуса? 1.4. Возьмем две окружности с центрами 0\ и 02, пересекающиеся в двух точках А и 23, как на рисунке 15. Отрезок А В является хордой как первой, так и второй окружности и называется общей хордой двух окружностей. Проведем через центры 0\ и Оч окружностей перпендикуляры к хорде АВ. Из свойства диаметра, перпендикулярного к
§ 1. Диаметр и хорда 99 хорде, получим, что оба этих перпендикуляра пройдут через середину Н хорды АВ, как это изображено на рисунке 16. Отсюда и из того, что через точку Н можно провести единственную прямую, перпендикулярную прямой АВ, заключаем, что точки 0\, Оч, Н лежат на одной прямой, перпендикулярной хорде АВ и проходящей через середину хорды АВ. Общая хорда двух окружностей перпендикулярна прямой, проходящей через центры окружностей, и делится этой прямой пополам. Вопрос. Как показать, что общая хорда двух различных окружностей одинакового радиуса, имеющих две различные точки пересечения, делит пополам отрезок, соединяющий центры этих окружностей? # 1.5. Свойство общей хорды двух окружностей позволяет указать способ проведения перпендикуляра к прямой а из точки А, не лежащей на прямой а. Ставим ножку циркуля в любую точку В прямой а и радиусом В А проводим окружность, как на рисунке 17. Затем ставим ножку циркуля в любую другую точку С прямой а и проводим окружность радиусом С А, как на рисунке 18. Одной из точек пересечения окружностей будет точка А, другую точку обозначим буквой D.
100 Глава 4. Окружность Проведя через точки Л и D прямую, получим перпендикуляр к прямой а, который изображен на рисунке 19. Вопрос. Как построить перпендикуляр к прямой а из точки А, лежащей на прямой а? Контрольные вопросы и задания 1. Что такое окружность? 2. Что такое диаметр окружности? 3. Что такое хорда окружности? 4. В каком случае хорда окружности будет одновременно ее диаметром? 5. Что можно сказать о прямой, проходящей через центр окружности перпендикулярно хорде? 6. Сформулируйте свойство диаметра, перпендикулярного хорде. 7. Что можно сказать о диаметре, проведенном через середину хорды, не проходящей через центр окружности? 8. Укажите все возможные варианты взаимного расположения двух окружностей. 9. Сформулируйте свойство общей хорды двух окружностей. 10. Укажите способ проведения перпендикуляра к прямой через точку, не лежащую на данной прямой. Задачи и упражнения 1. Перечислите все хорды, изображенные на рисунке 20. Укажите, какие из них являются диаметрами, если О — это центр окружности. 2. Могут ли две разные окружности иметь общий диаметр? 3. Где расположены центры несколь-
§ J. Диаметр и хорда 101 ких окружностей данного радиуса г, проходящих через данную точку А? 4. На рисунке 21 изображены центр О окружности и две точки А и В, лежащие на этой окружности. Укажите: а) точку, диаметрально противоположную точке А\ б) точку, диаметрально противоположную точке В; в)* несколько таких хорд окружности с концами в узлах клетчатой бумаги, которые не являются диаметрами. 5. Сколько различных хорд можно провести, используя в качестве концов точки Ау В, С, D, Е, изображенные на рисунке 22? 6. Сколько различных хорд можно нарисовать так, чтобы два конца каждой из них были расположены в заданных: а) б точках; б) 8 точках; в) 10 точках одной окружности? 7. На рисунке 23 точки Л, £?, С, £>, Е расположены на окружности с центром О так, что точки А, О, С лежат на одной прямой. а) Укажите на рисунке равнобедренные треугольники. б) Какие равнобедренные треугольники с вершинами в отмеченных точках можно еще изобразить на этом рисунке? 8. Деталь имеет форму круга. Как на практике можно найти центр круга, чтобы просверлить через него отверстие? г О JB [Ш
102 Глава. 4 Окружность 9. Несколько окружностей проходят через две различные точки А и В. Объясните, почему центры этих окружностей расположены на одной прямой. 10. Точки А и В лежат на окружности радиуса R с центром в точке О, ОН — перпендикуляр к АВ. Сделайте чертеж и найдите \ОН\, если: а) АВ = 24 см, R = 13 см; б) АВ = 4 см, R = 2,5 см. 11. На рисунке 24 указана точка Л, общая для двух окружностей с центрами М и N. Укажите еще одну общую точку этих окружностей. 12. Отрезки АВ и CD — диаметры окружности. Покажите, что: а) хорды BD и АС равны; б) углы BAD, ADC, ABC и BCD равны. 13. Пусть АВ — диаметр окружности, О — ее центр, а АС и ВС — равные хорды. Чему равна величина угла СОВ? 14. В окружности с центром О проведены диаметры АВ и CD. Каков периметр треугольника AOD, если АВ = 12 см, ВС = 5 см? 15. Радиусы двух окружностей равны по 13 см, а расстояние между их центрами равно 24 см. Найдите длину их общей хорды. 16. Длина общей хорды двух окружностей с равными радиусами равна 8 см, а углы между этой хордой и диаметрами окружностей, выходящими из концов хорды, равны по 45°. Найдите расстояние между центрами окружностей. 17. Окружности с центрами 0\ и 02 пересекаются в точках А и В. Найдите расстояние между центрами окружностей, если 0\А = = 3 см, 02А = 4 см, 10XA02 = 90°. §2. КАСАТЕЛЬНАЯ 2.1. Рассмотрим взаимное расположение окружности и прямой. На рисунке 1 прямая не пересекает окружность. ч 'А А
§ 2. Касательная 103 Прямая может пересекать окружность в двух различных точках (рисунок 2). Р Г> Существуют прямые, имеющие с окружностью только одну общую точку, то есть касающиеся окружности. Одна из них изображена на рисунке 3. Прямая, имеющая с окружностью единственную общую точку, называется касательной к этой окружности. Общая точка окружности и касательной называется точкой касания. Если прямая является касательной к окружности, то говорят, что окружность касается этой прямой. На рисунке 4 изображены окружности, которые касаются линии сетки, проходящей через точки Аи В. Заметим, что вблизи от точки касания дуга окружности очень похожа на часть касательной. Вопрос. Сколько общих точек с ок- /^^^ " ружностью имеет луч, начинающийся в / ^^\ центре окружности? / \ 2.2. Установим свойство, из которого у J вытекает существование касательных. \ у ТУ щ- Я Ш ш я Ш Ж
104 Глава 4. Окружность Прямая, проходящая через конец диаметра окружности перпендикулярно этому диаметру, является касательной к окружности. Доказательство. Радиус окружности является частью диаметра окружности. Пусть радиус окружности с центром О равен г и точка А лежит на окружности. Проведем через точку А прямую га, перпендикулярную О А. Тогда отрезок О А будет перпендикуляром, проведенным к прямой т из точки О (рисунок 6). Пусть точка К — произвольная точка прямой га, не совпадающая с А. Так как треугольник OAK прямоугольный, с гипотенузой ОК, то \ОК\ > \ОА\ (рисунок 7). Поэтому длина отрезка О К больше радиуса окружности, и значит, точка К не лежит на этой окружности. Из приведенного рассуждения вытекает, что никакая точка К прямой т, кроме А, не принадлежит окружности. По определению, прямая га является касательной. Вопрос. Через какие точки плоскости нельзя провести касательную к данной окружности? 2.3. Мы установили, что касательные к окружности существуют. Более того, если на данной окружности с центром О взята точка А, то чтобы провести через нее касательную, достаточно провести через точку А прямую, перпендикулярную радиусу О А. Но может быть через точку А можно провести и другую касательную к данной окружности? Покажем, что это не так. Возьмем прямую т, касающуюся окружности с центром О в точке А (рисунок 8). Из точки О опустим перпендикуляр ОН на прямую га (рисунок 9). Предположим, что точка А не совпадает с точкой Н. Отложим на прямой т
§ 2. Касательная 105 отрезок НВ, равный отрезку НА (рисунок 10), и рассмотрим на рисунке 11 треугольник ОАВ. В нем отрезок ОН является и высотой, и медианой. Отсюда вытекает, что треугольник ОАВ равнобедренный, то есть О А = ОВ. Это значит, что окружность с центром О и радиусом О А, изображенная на рисунке 12, проходит через точку В. Получаем, что прямая тп и данная окружность имеют две точки пересечения. Но этого не может быть, так как прямая m является касательной. Значит, предположение о том, что основание перпендикуляра, проведенного из точки О к прямой га, не совпадает с точкой А, было неверным. Поэтому О А ± га. Мы доказали, что через точку окружности можно провести лишь одну касательную. Более того, доказано следующее свойство: касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. Это свойство означает, что если на данной окружности с центром О взята точка А, то, чтобы провести через нее касательную, необходимо провести через точку А прямую, перпендикулярную радиусу О А. Другими словами, свойство быть касательной в точке окружности влечет свойство быть перпендикулярной радиусу, проведенному в эту точку. Вопрос. Почему через точку окружности можно провести только одну каса- ш 'о н в 'о Ш\ А НВ QS о
106 Глаза 4. Окружность тельную? 2.4. В этом пункте разберем, как строить касательные к заданной окружности. Сначала построим касательную, проходящую через данную точку А окружности с центром О. Для этого на прямой, проходящей через радиус О А, отложим отрезок АВ, равный отрезку О А (рисунок 13). С центрами в точках О и В проведем одинаковые окружности радиусом большим, чем радиус О А. Эти окружности пересекаются в двух точках С и D (рисунок 14) и при этом получается ромб OCBD. Его диагонали перпендикулярны и делятся в точке пересечения пополам. Поэтому прямая CD проходит через точку А и перпендикулярна отрезку О А (рисунок 15). По свойству из пункта 2.2 прямая CD является касательной к окружности. Теперь построим касательную к окружности с центром О, проходящую через точку Л/, лежащую вне этой окружности (рисунок 16). Проведем окружность с центром М и радиусом МО (рисунок 17). Проведем еще одну окружность с центром в точке О и радиусом, в два раза большим радиуса данной окружности (рисунок 18). Окружность с центром в точке М и радиусом ОМ пересекает окружности с центром в точке О. Отметим точку Р —
§ 2. Касательная 107 одну из точек пересечения построенных окружностей, как на рисунке 18. Получим равнобедренный треугольник ОРМ с основанием ОР. Середина Н основания ОР лежит на данной окружности, так как ОН = \ОР (рисунок 19). Заметим, что МН — медиана, проведенная к основанию ОР равнобедренною треугольника ОРМ. Следовательно, отрезок МН будет также высотой этого треугольника. Поэтому он перпендикулярен ОН и является отрезком касательной к данной окружности. Вопрос. Сколько касательных можно провести к окружности из одной точки? 2.5. Предлагаемые нами решения задач являются только некоторыми из возможных. Одну и ту же задачу иногда можно решить различными способами. Для примера приведем еще один способ проведения касательной к окружности. Возьмем окружность и точку М вне нее. Проведем через точку М три произ-
108 Глава 4. Окружность вольные прямые, как на рисунке 20. Добавим отрезки прямых, как показано на рисунке 21. После этого построим отрезок прямой, как показано на рисунке 22. Можно доказать, что прямые МА и М#, проведенные на последнем рисунке 23, будут касательными к этой окружности. Интересно, что этим способом мы построили касательную к данной окружности, используя только линейку. Вопрос. Какие примеры решения одной задачи различными способами вам известны? Контрольные вопросы и задания 1. Что такое касательная к окружности? 2. Сколько касательных можно провести к окружности через заданную точку окружности? 3. Какими свойствами обладает касательная к окружности? 4. Как построить касательную к окружности с заданным центром О? Задачи и упражнения [Ц] Ш Ю ш w # V. щ a На клетчатой бумаге даны две точки А и В (рисунок 24) и две окружности, одна из которых касается прямой АВ в точке А, а другая касается прямой АВ в точке В. а) Где расположен центр еще одной окружности радиуса в 2 шага сетки, касающейся прямой АВ в точке А; б) где расположен центр еще одной
§ 2. Касательная 109 окружности радиуса в 3 шага сетки, касающейся прямой АВ в точке J5? 2. На клетчатой бумаге дана прямая а и точка А на ней, как на рисунке 25. Нарисуйте какую-нибудь окружность с центром в узле клетчатой бумаги, касающуюся прямой а в точке А. 3. Где расположены центры окружностей, которые касаются заданной прямой в заданной точке? 4. Две окружности с различными радиусами касаются прямой а в одной и той же точке А, как на рисунке 26. Как еще можно проводить окружности касающиеся прямой а в точке А? 5. Две окружности одного и того же радиуса касаются данной прямой а в двух различных точках М и N. а) В каком случае центры этих окружностей и точки М и N являются вершинами прямоугольника; б)* в каком случае центры этих окружностей и точки М и N не являются вершинами прямоугольника? 6. Две окружности касаются прямой a в точке А, как на рисунке 27. Покажите, что прямая 0102 перпендикулярна прямой а. 7. Окружность с центром О касается прямой АВ в точке В. Найдите длину отрезка АВ, если О А = 10 см, ОВ = б см. 8. Окружность с центром в вершине С треугольника ABC касается сторо- ш А [25"
110 Глава 4 Окружность ны АВ в ее середине. Покажите, что АС = ВС. Возьмем на окружности две точки А и В так, что хорда АВ не проходит через центр окружности. Через середину хорды АВ перпендикулярно АВ проведем прямую а так, как изображено на рисунке 28. Касательная к окружности в точке А пересекает прямую а в точке М. Почему прямая ВЫ также будет касательной к данной окружности? И ОПИСАННЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ 3.1. На рисунках 1, 2, 3 изображены несколько вписанных в окружность многоугольников. ш а е Многоугольник называется вписанным в окружность, если все его вер- шины расположены на этой окружности. Если многоугольник вписан в некоторую окружность, то окружность называется описанной около многоугольника. Вопрос. Какая окружность называется описанной около треугольника? §3. ВПИСАННЫЕ
§ 3. Вписанные и описанные многоугольники 111 3.2. На рисунках 4, 5, б изображено несколько описанных около окружности многоугольников. Многоугольник называется описанным около окружности, если все его стороны касаются этой окружности. Если многоугольник описан около окружности, то окружность называется вписанной в многоугольник. Вопрос. Какая окружность называется вписанной в треугольник? 3.3. Многоугольник называется правильным, если у него все стороны равны и все углы равны. Из свойств равнобедренного треугольника следует, что в равностороннем треугольнике все углы равны 60°. Поэтому равносторонний треугольник служит примером правильного многоугольника. При помощи циркуля и линейки легко построить правильный треугольник. Для этого выберем произвольно отрезок АВ (рисунок 7). Радиусом, равным этому отрезку, проведем две окружности с центрами в точках А и В. В результате получим точки С и D пересечения этих окружностей. Треугольники АС В и ABD — искомые. Эти треугольники — равносторонние (рисунок 8). Вопрос. Как объяснить, что отрезки ш А* 'Д с Е В о\
112 Глава 4. Окружность \ш DV\ А 0 Ъ 1 J а CD и АВ перпендикулярны, а точка пересечения этих отрезков делит каждый из отрезков пополам? 3.4. При помощи циркуля и линейки можно построить правильный четырехугольник. Построим сначала две взаимно перпендикулярные прямые а и 6 (рисунок 9). Пусть О — точка пересечения этих прямых. Построим теперь окружность радиуса г с центром в точке О. Последовательно соединим точки пересечения Л, Б, С, D окружности с прямыми а и Ь (рисунок 10). Покажем, что полученная фигура ABCD — правильный четырехугольник. Для этого рассмотрим прямоугольные равнобедренные треугольники АОВ, ВОС, COD, DOA (рисунок 11). Они все равны друг другу по первому признаку равенства треугольников, тогда АВ = ВС — CD = AD как гипотенузы равных треугольников. Все острые углы этих треугольников равны 45°, поэтому LABC = LBCD = LCD А = LDAB = 90°. Вопрос. Как называется правильный четырехугольник? 3.5. Покажем, как построить правильный пятиугольник с помошъю циркуля и линейки. Проведем две взаимно перпендикулярные прямые и окружность с центром О — в точке пересечения прямых (рисунок 12). С центром в точке В и радиусом ОВ проведем вторую окружность. Через точки пересечения окружностей проведем прямую и найдем точку D пере-
§ 3 Вписанные и описанные многоугольники 113 сечения этой прямой с отрезком ВС, как это сделано на рисунке 13. С центром в точке D радиусом AD проведем третью окружность так, как на рисунке 14. Найдем точку Е пересечения этой окружности с отрезком ОС. В старших классах вы убедитесь, что отрезок АЕ равен стороне правильного пятиугольника, вписанного в окружность с центром О радиуса ОС. С центром в точке А и радиусом АЕ проведем еще одну окружность. Найдем точки К и N ее пересечения с первой окружностью (рисунок 15). Не изменяя раствора циркуля, проводим еще две окружности с центрами в точках К и N и находим точки L и М их пересечения с первой окружностью, как это сделано на рисунке 16. Пятиугольник AKLMN — правильный. Вопрос. Как построить правильный шестиугольник? 3.6. Вписанный в окружность правильный многоугольник с очень большим количеством сторон по внешнему виду мало отличается от самой окружности. На рисунках 17, 18, 19 изображены многоугольники с шестью, с двенадцатью, с двадцатью четырьмя сторонами. На рисунке 19 уже трудно понять, что изображено: двадцатичетырехугольник или окружность, на которой отмечены 24 точки.
114 Глава, 4. Окружность Этим фактом в древние времена пользовались для приближенного вычисления длины окружности и площади круга. За длину окружности обычно принимали периметр правильного вписанного 96-ти угольника, а за площадь круга — площадь или правильного вписанного, или правильного описанного 96-тиугольника. Вопрос. Почему вершины Ai^As правильного шестиугольника AiA^AzAiA^Ae образуют равносторонний треугольник? Контрольные вопросы и задания 1. Какой многоугольник называется вписанным в окружность? 2. Какой многоугольник называется описанным около окружности? 3. Какая окружность называется вписанной в многоугольник? 4. Какая окружность называется описанной около многоугольника? * 5. Как построить правильный треугольник? 6. Как построить квадрат? 7. Какой многоугольник называется правильным? 8. Приведите примеры правильных многоугольников. 9. Как построить правильный пятиугольник?
§ 3. Вписанные и описанные многоугольники 115 Задачи и упражнения 1. Покажите, что сторона правильного шестиугольника, вписанного в окружность, равна радиусу этой окружности. 2. Покажите, что центры вписанной и описанной окружности для правильного треугольника совпадают. 3. Во сколько раз для правильного треугольника радиус описанной окружности больше радиуса вписанной окружности? 4. Квадрат ABCD вписан в заданную окружность. На диагонали АС построен квадрат ACEF. Покажите, что прямые СЕ и AF являются касательными к исходной окружности. 5. Используя свойство биссектрисы, проведенной из вершины равнобедренного треугольника, покажите, что две диагонали квадрата делят его на четыре равных треугольника. 6. Покажите, что около квадрата можно всегда описать окружность. 7. Чему равна длина наибольшей диагонали правильного шестиугольника, вписанного в окружность радиуса 10 см? 8. Покажите, что в квадрат можно вписать окружность. 9. Начертите окружность и опишите около нее произвольный четырехугольник. С помощью линейки найдите суммы длин противоположных сторон этого четырехугольника. Какие выводы можно сделать в результате измерения? 10. Начертите окружность и впишите в нее произвольный четырехугольник. С помощью транспортира измерьте его углы и найдите суммы противоположных углов. Какие выводы можно сделать в результате измерения? 11. Нарисуйте какой-нибудь четырехугольник, в который нельзя вписать окружность.
116 Глава 4 Окружность 4. ОТРЕЗКИ КАСАТЕЛЬНЫХ 4.1. На рисунке 1 изображена окружность с центром О и прямая а, касающаяся окружности в точке В. Выберем на прямой а точку А, отличную от В. Отрезок АВ будем называть отрезком касательной, проведенной из точки А к окружности с центром О. Отрезки касательных обладают следующим важным свойством. Теорема. Отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки, равны. Доказательство. Пусть А — точка вне окружности с центром О, АВ и АС — различные отрезки касательных к одной и той же окружности, как это изображено на рисунке 2. Соединим отрезками центр О окружности с точками касания В и С и получим, что OB JL АВ, ОС ± АС. Прямоугольные треугольники АВО и АСО имеют соответственно равные катеты ВО и СО и общую гипотенузу О А. Поэтому ААВО = ААСО. Отсюда следует, что АВ = АС как соответственные стороны равных треугольников. Вопрос. Как показать, что отрезки касательных АВ и АС на рисунке 5 симметричны относительно прямой, проходящей через центр О и точку А? 4.2. Рассмотрим треугольник ABC со сторонами \АВ\ = 15, \ВС\ = 13, \АС\ = = 14. Известно, что вписанная в него окружность касается стороны АВ в точке
§ 4. Отрезки касательных 117 М, стороны ВС в точке N, стороны АС в точке К, как на рисунке 6. Найдем длину И*|. Решение, Обозначим длину \АК\ через х. Отрезок \АМ\ другой касательной, проведенной из точки А, равен х. Равные отрезки касательных \СК\ = \CN\ обозначим через у, \BN\ = \ВМ\ через z. Тогда \АС\ = х + у; |АВ| = а: + г. Поэтому |АВ| + \АС\ = 2х + у + г. Но у + z = |Ж7|. Отсюда 2х = |ЛВ| + |ЛС| - \ВС\. Вспомним теперь, что \АВ\ = 15, \ВС\ = 13, \АС\ = 14. В результате получим х = 15 + 14-13 = 8. Вопрос. Чему в этом примере равна длина отрезка BN? 4.3. Рассуждения из предыдущего пункта позволяют получить правило вычисления длины отрезка АК касательной, если известны длины сторон треугольника: \АВ\ = с, \ВС\ = а, \АС\ = Ь: \АК\ = \АМ\ = \ЛВ\ + \Щ-\ВС\ или \АК\ = с + %~а- Вопрос. По какой формуле можно найти длину отрезка СК касательной к окружности? 4.4. Найдем радиус г окружности, вписанной в прямоугольный треугольник со сторонами 3, 4, 5 (рисунок 11).
118 Глава 4. Окружность t 7) Решение. Пусть А, В, С — вершины заданного треугольника, /.ВСА = 90°, О — центр окружности. Проведем радиусы ОМ, ОК и ON в точки касания окружности со сторонами треугольника. Тогда OK JL AC, ON JL ВС, ВС 1 АС, и CNOK — прямоугольник. Соседние стороны ОК и ON прямоугольника равны как радиусы в одной и той же окружности, поэтому фигура CNOK — квадрат. В этом случае найти радиус — это найти отрезок стороны АС от вершины С до точки касания. Воспользуемся общей формулой из предыдущего пункта и получим, г = \СК\ = |СЛ| + \СВ\ - \АВ\ = = 4 + 3-5 = Х Вопрос. Чему равно отношение длин отрезков ||~|? 4.5. Рассмотрим описанный около окружности четырехугольник ABCD и отметим точки касания К, L, М, N, как на рисунке 12. Из теоремы 4.1. об отрезках касательных получим равенства \АМ\ = = \АЦ, \ВМ\ = \BN\, \CN\ = \СК\, \DK\ = \DL\. Обозначим \АМ\, \BN\, \СК\ и \DL\ соответственно буквами х, у, z и t, как на рисунке 13. Тогда |АВ| + |СТ>|=х + у + ;г + t, \ВС\ + \AD\ =y + z + x + t
§ 4. Отрезки касательных 119 Поэтому \АВ\ + \CD\ = \ВС\ + \AD\. Таким образом, доказана теорема: суммы длин противоположных сторон описанного около окружности четырехугольника равны между собой. Вопрос. Что вы можете сказать о сторонах прямоугольника, описанного около окружности? Контрольные вопросы и задания 1. Что такое касательная к окружности? 2. Какие свойства касательной к окружности вы знаете? 3. Что можно сказать об отрезках касательных, проведенных из одной точки к одной и той же окружности? 4. Укажите несколько осей симметрии окружности. 5. Укажите ось симметрии окружности и двух касательных, проведенных к окружности из одной точки. 6. Каким свойством обладают суммы длин противоположных сторон описанного четырехугольника? 7. В каком случае в четырехугольник нельзя вписать окружность? Задачи и упражнения 1. Проведите касательную, проходящую через данную точку окружности. 2. Проведите касательную к данной окружности параллельно данной прямой. 3. Проведите касательную к данной окружности, проходящую через данную точку вне окружности.
120 Глава 4. Окружность 4. Проведите к данной окружности касательную под данным углом к данной прямой. Сколько может быть решений? 5. Из точки А проведены две касательные к окружности. Докажите, что прямая, соединяющая точки касания, перпендикулярна прямой, соединяющей точку А и центр окружности. 6. Постройте окружность заданного радиуса, которая касается данной прямой в данной точке. 7. Касательные, проведенные из точки А к окружности радиуса R, перпендикулярны. а) Найдите отрезки касательных; б) найдите расстояние от точки А до центра окружности; в)** найдите кратчайшее из расстояний от точки А до точек окружности. 8. Касательные, проведенные из точки А к окружности радиуса Я, образуют угол в 60°. а) Найдите отрезки касательных; б)** найдите кратчайшее из расстояний от точки А до точек окружности. 9. Постройте треугольник по двум углам и радиусу вписанной окружности. 10. Приведите пример трапеции, в которую нельзя вписать окружность. 11. Что можно сказать о параллелограмме, описанном вокруг окружности? 12. Постройте окружность, которая касается сторон данного угла. 13. Постройте окружность, которая касается одной стороны данного угла и другой стороны в данной на ней точке. 14. Постройте окружность, проходящую через заданную точку и касающуюся двух данных параллельных прямых. В каком случае задача не имеет решений? 15. Из точки, данной вне круга, проведите секущую так, чтобы ее внутренняя часть равнялась длине заданного отрезка. Когда возможно такое построение?
§ 4. Отрезки касательных 121 167 177 18. 19? 20. 21? 227 237 24?* Данным радиусом проведите окружность, касательную к данной прямой и проходящую через данную точку. На данной прямой найдите такую точку, чтобы касательные, проведенные из нее к данной окружности, были данной длины. Сколько решений может иметь задача? В треугольник со сторонами 6 см, 8 см, 10 см вписана окружность. Найдите отрезки, на которые точки касания разбивают стороны треугольника. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник со сторонами б см, 8 см, 10 см. Стороны треугольника в некоторых единицах измерения выражаются целыми четными числами. Докажите, что длины отрезков, на которые точки касания вписанной окружности разбивают стороны этого треугольника, выражаются целыми числами. В равнобедренную трапецию ABCD с основаниями АВ = 8 см и CD = = 3 см можно вписать окружность. Найдите длины боковых сторон трапеции. В прямоугольную трапецию ABCD с основаниями АВ = б см и CD = 3 см можно вписать окружность. Найдите длины боковых сторон трапеции. Окружность касается трех сторон четырехугольника ABCD и не пересекает сторону CD, как изображено на рисунке 14. Докажите, что тогда AD + ВО АВ + CD. Окружность касается трех сторон четырехугольника ABCD и пересекает сторону CD в двух различных
122 Глава 4. Окружность Ш И m о точках, как изображено на рисунке 15. Докажите, что тогда AD+ +ВС <АВ + CD. 25. Докажите, что если у выпуклого четырехугольника суммы длин противоположных сторон равны, то четырехугольник описанный. 26. Стороны описанного четырехугольника ABCD в вершинах соединены шарнирами. Докажите, что при любой его деформации в выпуклый четырехугольник снова получится описанный четырехугольник. §5. КАСАТЕЛЬНЫЕ К ОКРУЖНОСТЯМ 5.1. Возьмем две непересекающиеся и расположенные вне друг друга окружности как на рисунке 1. Рассмотрим прямую, касающуюся каждой из них. Будем называть эту прямую общей касательной для данных окружностей. Окружности могут оказаться по одну сторону от этой прямой, как на рисунке 2, и тогда общая касательная называется внешней касательной двух окружностей. Окружности могут оказаться по разные стороны от общей касательной, как на рисунке 3, и тогда общая касательная называется внутренней касательной двух окружностей. Иногда для удобства отрезок общей касательной к двум окружностям с концами
§ 5. Касательные к окружностям 123 в точках касания тоже называется общей касательной. Вопрос. Сколько различных общих касательных можно провести для окружностей на рисунке 1? 5.2. Если две окружности, расположены так, как изображено на рисунке 1, то мы рассмотрели их общие касательные. Таких касательных четыре, и они изображены на рисунке 4. Разберем теперь другие возможные случаи. Когда окружности пересекаются, в двух различных точках, как на рисунке 5, то их внешние общие касательные расположены как на рисунке 5, а внутренних касательных не существует. Для двух окружностей, имеющих одну общую точку и расположенных вне друг друга, как на рисунке б, можно рассмотреть две внешних общих касательных и одну внутреннюю общую касательную. Две окружности называют касающимися внешним образом, если они касаются одной прямой в одной точке и расположены по разные стороны от этой прямой. Когда одна из окружностей расположена внутри другой и имеет с ней одну общую точку, как на рисунке 7, можно рассматривать только одну общую касательную. Две окружности называют касающимися внутренним образом, если они касаются одной прямой в одной точке и расположены по одну сторону от этой прямой. Наконец, когда окружности не пересе- и 2 <
124 Глава 4 Окружность И ш m каются и одна расположена внутри другой, как на рисунке 8, никаких общих касательных не существует. Вопрос. Как доказать, что на рисунках б и 7 точка касания окружностей лежит на прямой, проходящей через центры окружностей? 5.3. Рассмотрим построение общей внешней касательной к двум окружностям различных радиусов R\ и R2. Будем предполагать, что R\ > R2. Сначала предположим, что такая касательная построена. Соединим точки касания с центрами соответствующих окружностей, как на рисунке 9. Сделаем дополнительное построение, проведя 02 Н -L 0\К, как на рисунке 9. Получим прямоугольник 02HKL и прямоугольный треугольник 0\Н02. Следовательно, НК = 02L и OiH = OiK -НК = = ОхК - 02L = Ri- R2. Найденной закономерности достаточно, чтобы провести общую внешнюю касательную. Построение. 1. Проведем две взаимно перпендикулярные прямые тип, как на рисунке 10. Построим на прямой т отрезок EF, равный R\ - R2. С центром в точке F и радиусом 0\02 проведем окружность. Отметим точку G пересечения окружности с прямой п. 2. Построим треугольник 0\Н02, равный треугольнику EFG, у которого 0\Н —
§ 5. Касательные к окружностям 125 = EF (рисунок 11). 3. Проведем луч 0\Н и построим параллельный ему луч ОъР как на рисунке 12. 4. Отметим точки А и В пересечения лучей 0\Н и 02-Р с окружностями. Прямая АВ является общей внешней касательной данных окружностей. Вопрос. Как построить общую внешнюю касательную к двум равным окружностям? 5.4. Рассмотрим на рисунке 13 две внешние касательные АВ и CD к двум неравным окружностям. Продолжим касательные до пересечения в точке К. Тогда из точки К к большей окружности проведены отрезки касательных К А и КС, а поэтому \КА\ = \КС\. Но из точки К к меньшей окружности тоже проведены отрезки касательных KB и KD, а поэтому \КВ\ - \KD\. Следовательно, \АВ\ = \AK\-\BK\ = \CK\-\DK\ = |СТ>|. Когда окружности равны и касательные параллельны как на рисунке 15, то в таком случае равенство \АВ\ = \CD\ доказывается проще. Получаем следующее свойство. Отрезки внешних касательных, проведенных к двум окружностям, равны. Вопрос. Как доказать равенство отрезков внешних касательных к двум равным окружностям?
126 Глава 4. Окружность 5.5. Рассмотрим на рисунке 16 две внутренние касательные MN и KL, проведенные к двум непересекающимся окружностям. Аналогично предыдущему пункту, выполняется свойство. Отрезки внутренних касательных, прозе- денных к двум непересекающимся окружностям, равны. Вопрос. Как доказать сформулированное утверждение? 5.6. Проведем к двум касающимся окружностям внешнюю и внутреннюю касательные как на рисунке 17. Покажем, что внутренняя касательная делит пополам отрезок внешней касательной. Действительно, отрезки FA и FM являются касательными к левой окружности, проведенными из точки F, а поэтому \FA\ = \FM\. Отрезки FB и FM являются касательными к правой'окружности, проведенными из точки F, а поэтому \FB\ = |FM|. Следовательно, \FA\ = \FB\, что и требовалось доказать. Вопрос. Как доказать, что на рисунке 18 отрезки FM и GM равны? 5.7. Проведем к двум непересекающимся окружностям две внешние и одну внутреннюю касательные как на рисунках 19 и 20. Покажем, что |МЛГ| = \KL\.
§ 5. Касательные к окружностям 127 Обозначим \MN\ = га, \NK\ = a, |/fL| = к как это сделано на рисунке 21. Через отрезки га, а, А; удается выразить все остальное, имеющееся на чертеже: \BL\ = \LK\ = А;, |AL| = \LN\ = a + к; \СМ\ = |МЛГ| = га, |£>М| = |М ДГ| = a + га. Тогда |АВ\ = | AL| + |LB| = a + А; 4- А;, |СТ>| = |СМ| + \MD\ = m -f a + га. Остается вспомнить, что |ЛВ| = |CD|, откуда А; = га. Таким образом, получаем равенство MN = ifL, что и требовалось доказать. Вопрос. Сколько на рисунке 20 можно указать отрезков, равных отрезку AL1 5.8. Посмотрим на рисунок 19 из предыдущего пункта. Представим этот же рисунок, только продолжив внешние касательные до пересечения. Получим треугольник ABC, обозначенный на рисунке 22.
128 Глава 4. Окружность Меньшая окружность является вписанной в треугольник ABC. Большая окружность касается одной стороны и продолжений двух других сторон треугольника ABC. Такую окружность называют вне- вписанной для треугольника. Вневписанная окружность является L23J вписанной в два внешних угла и в один внутренний угол треугольника ABC. Вопрос. Как построить центр вне- вписанной окружности? 5.9. Выделим одно из полезных свойств вневписанной окружности, пользуясь обозначениями рисунка 24. Рассмотрим отрезки ВК и BL. Они равны по длине половине периметра треугольника ABC. Действительно, АК = AM, СМ = = CL по свойству отрезков касательных, поэтому ВК + BL = К А + АВ + ВС + CL = = АВ + ВС + АМ + МС = АВ + ВС + АС. Таким образом, \ВК\ + \ВЬ\ = \АВ\ + \ВС\ + \АС\. В свою очередь отрезки В К и BL тоже равны по свойству отрезков касательных, проведенных из точки В. Получается, что вневписанная окружность как бы "распрямляет" периметр треугольника. Вопрос. Как через заданную точку провести прямую, отсекающую от заданного угла треугольник заданного периметра?
§ 5. Касательные к окружностям 129 Контрольные вопросы и задания 1. Что такое общая внешняя касательная к двум окружностям? 2. Что такое общая внутренняя касательная к двум окружностям? 3. Сколько различных общих внешних касательных можно провести к двум окружностям? 4. Сколько различных общих внутренних касательных можно провести к двум окружностям? 5. Докажите, что отрезки общих внешних касательных, проведенных к двум окружностям равны. 6. Каким свойством обладают отрезки общих внутренних касательных, проведенных к двум окружностям? 7. Как построить общую внешнюю касательную к двум окружностям? 8. Как построить общую внутреннюю касательную к двум непересекающимся окружностям? 9. Что такое вневписанная окружность? 10. Где расположен центр вневписанной окружности? 11. Сколько существует вневписанных окружностей для треугольника? 127 Как связан полупериметр р треугольника с вневписанной окружностью? Задачи и упражнения 1. Точка А находится на расстоянии 10 см от центра окружности радиуса 1 см. Найдите длину отрезка касательной, проведенной из точки А к этой окружности. 2. Окружность радиуса 3 см касается сторон угла. Найдите расстояние от вершины угла до центра окружности, если расстояние от вершины угла до точки касания равно 2 см.
130 Глава 4. Окружность Две окружности с радиусами R\ = = 2 см и Д2 = 1 см касаются прямой а в точках А и В и расположены в одной полуплоскости относительно прямой а. Найдите расстояние между центрами окружностей, если АВ = 8 см. 4. Две окружности с радиусами R\ = 2 см и Яг = 4 см касаются прямой а в точках Л и В и расположены в различных полуплоскостях относительно прямой а. Найдите расстояние между центрами окружностей, если АВ = 12 см. 5. К окружностям с центрами 0\ и 02 и радиусами i?i и #2 проводится общая внешняя касательная. Найдите длину этой касательной, если: а) 0\Ог = 13 см, R\ = 2 см, Яг = 7 см; б) O1O2 = о см, #i=4 см, #2 = 3 см; в) ОгО-2 = 21 см, J?i = 20 см, R2 = 19 см. * 6. К окружностям с центрами 0\ и 02 и радиусами #i и Яг проводится общая внутренняя касательная. Найдите длину этой касательной, если: а) 0\Оъ — 25 см, Ri = 8 см, Яг = 7 см; б) 0!02 = И см, Ях = Я2 = 3 см. 7. Две окружности с радиусами R\ и Яг касаются друг друга внешним образом. Найдите длину отрезка общей внешней касательной, если: а) Ях = 28 см, Я2 = 63 см; б)* Ri = а, Я2 = Ь. 8. Окружности 0\ и 02 касаются прямой 1\ внешним образом и расстояние между точками касания равно 12 см. Прямая /2 является внутренней общей касательной к 0\ и 02, расстояние между точками касания равно 8 см. Найдите радиусы окружностей 01 и 02, если известно, что радиус
§ 5. Касательные к окружностям 131 9Г 10. 11. 12. 1з: 14. 15. 16. одной из них в пять раз больше радиуса другой. Окружности 0\ и 02 касаются друг друга в точке А. К окружностям проведена общая касательная /, отрезок которой между точками касания имеет длину 5 см. Найдите радиусы окружностей, если известно, что расстояние от точки А до прямой I равно 2 см. Даны два неравных непересекающихся круга. Докажите, что точка пересечения внешних касательных, точка пересечения внутренних касательных и центры кругов лежат на одной прямой. Через точку касания двух окружно- L?J>J стей проводится произвольная прямая, как на рисунке 25. Докажите, 4toOiM||02AT. Две окружности касаются друг друга и касаются двух параллельных прямых так, как указано на рисунке 26. Докажите, что точки А, Б, С расположены на одной прямой. Две окружности касаются друг друга в точке А и касаются прямой в точках В и С. Докажите, что угол ВАС равен 90°. В треугольнике ABC проведена вписанная окружность, которая касается стороны АВ в точке М, и проведена вневписанная окружность, которая касается стороны АВ в точке К. Докажите, что AM = ВК. Постройте касательную к заданной окружности, проходящую через заданную точку. Постройте две общие внешние касательные к двум заданным окружностям.
132 Глава. 4. Окружность 22? 2з: 24Г 17. Постройте две общие внутренние касательные к двум заданным окружностям. 18. Докажите, что угол между касательной АВ к окружности и хордой BD (рисунок 27) равен углу BCD, где CD\\AB. 19. Даны угол и окружность, которая касается сторон угла. Постройте окружность, касающуюся заданной окружности и сторон заданного угла. 20. Через заданную точку внутри угла проведите прямую, отсекающую от угла треугольник наименьшего периметра. 21. Даны окружность S и отрезок АВ. Найдите множество всех точек М плоскости таких, что проведенные из них к окружности 5 отрезки касательных равны АВ. Даны прямая / и на ней точки А и В. Проводятся всевозможные пары окружностей, одна из которых касается прямой / в точке А, другая — касается прямой / в точке В, и окружности касаются друг друга в точке М. Найдите множество всех точек М. Две окружности касаются друг друга внешним образом. Найдите множество всех точек М таких, что проведенные из них отрезки MB и МС касательных к окружностям равны между собой. В плоскости заданы две равные окружности. Найдите множество всех точек М таких, что проведенные из них отрезки MB и МС касательных к окружностям равны между собой.
МНОЖЕСТВА В ГЕОМЕТРИИ 5 глава В этой главе вы найдете пример необычного путешествия над земным шаром и ознакомитесь с понятием множества в геометрии; будут рассмотрены некоторые простейшие точечные множества на плоскости и показано их использование в задачах на построение. § 1. ПУТЕШЕСТВИЯ НАД ЗЕМНЫМ ШАРОМ 1.1. Представим самолет, который отправился из некоторой точки земного шара, пролетел 3000 км на север, затем — 3000 км на восток, после этого пролетел 3000 км на юг и вернулся в исходную точку. Из какой точки на Земле самолет мог отправиться в полет? Многие на такой вопрос ответят: "С южного полюса". Действительно, отправляясь с южного полюса, маршрут можно совершить так, как указано на рисунке 1. Однако, можно указать и другие точки отправления. Вспомним смысл движения на восток: это движение по параллели,
134 Глава 5 Множества в геометрии то есть по окружности, "параллельной" экватору. Параллели имеют разную длину: от длины экватора и до нуля. Значит, найдется такая параллель, которая имеет длину 3000 км. Что произойдет, если самолет пролетит из некоторой точки А на север 3000 км и попадет в точку В параллели длиной 3000 км? Пролетев из точки В на восток 3000 км, самолет вернется снова в точку В, а пролетев после этого 3000 км на юг вернется в исходную точку А. Таким образом,ответом может служить любая точка А параллели, схематически изображенной на рисунке 3. Вопрос. Какого цвета был медведь, если он прошел 4 км на юг, затем 4 км на запад, затем 4 км на север и вернулся в первоначальную точку? 1.2. Получен ли в предыдущем пункте полный ответ на поставленную задачу? Оказывается, не получен! Дело в том, что мы ограничились параллелью длиной 3000 км. Однако, есть параллель длиной в два раза меньше: 1500 км. Когда самолет попадает в какую- либо точку такой параллели и пролетит на восток 3000 км, то он два раза пролетит вдоль параллели и вернется в исходную точку на этой параллели. Следовательно, самолет пролетит как указано в условии задачи, если отправится из любой точки параллели, отстоящей от параллели длиной 1500 км на юг на 3000 км, как это указано на рисунке 4.
§ J. Путешествия над земным шаром 135 Обратив внимание на параллель длиной 1500 км, уже нетрудно рассмотреть параллель длиной в 3000 : 3 = 1000 км и получить для нее параллель, отстоящую на юг на 3000 км. После этого можно взять параллели длиной 3000/4 км,... и так далее. Рассмотрев для каждой из них отстоящую на юг на 3000 км параллель, получим картину, условно изображенную на рисунке 5. Таким образом, ответом на поставленный вопрос является множество, состоящее из точек всех параллелей, условно изображенных на рисунке 5, и точки, расположенной на южном полюсе. Вопрос. Как вы представляете множество точек плоскости, удаленных на расстояние 1 см от заданной на ней точки О? 1.3. В дальнейшем мы будем говорить о множестве некоторых прямых, о множестве некоторых отрезков, о множестве некоторых окружностей, и так далее. Например, множество всех концентрических окружностей с центром F состоит их окружностей с центром F. Вопрос. Как вы представляете множество прямых на плоскости, параллельных данной прямой и касающихся данной окружности? 1.4. В геометрии со множеством точек иногда можно связать наглядный образ. В некоторых случаях он достаточно сложный, как в примере с самолетом, но тем не менее воспринимаемый по рисункам.
136 Глава 5. Множества в геометрии Множества точек плоскости, обладающих заданным свойством, рассматривают часто. Каждое такое множество называют геометрическим местом точек плоскости. Иногда для удобства используют сокращенную запись: ГМТ плоскости или ГМТ. Пример 1. Возьмем на плоскости две точки А и В. Рассмотрим множество всех точек М таких, что \АМ\ + \МВ\ = \АВ\. В пятом классе было показано, что такому условию удовлетворяют только точки отрезка АВ. Следовательно, отрезок АВ можно назвать геометрическим местом точек М таких, что \АМ\ + \МВ\ = \АВ\. Вопрос. Что представляет собой ГМТ плоскости, удаленных от заданной на ней прямой на расстояние 1 см? 1.5. Вспомним, как можно получить эллипс. Веревочное кольцо набрасывается на два закрепленных колышка Л и В, третьим колышком веревочное кольцо натягивается, и в натянутом состоянии прочерчивается линия. Полученный след дает наглядный образ эллипса. Обозначим расстояние АВ буквой а, длину веревки, связанной кольцом, буквой р. Возьмем любую точку М полученного эллипса. Тогда \АМ\ + \МВ\ + \АВ\ — р. Отсюда следует, что AM + MB = p-a. Значит, сумма длин отрезков AM и MB не зависит от выбора на эллипсе точки М. Такое свойство точек эллипса иногда принимают за определение эллипса. Эллипсом называется множество М всех точек плоскости, для которых сумма расстояний до двух фиксированных точек А и В равна заданной величине. Вопрос. Как показать, что окружность можно считать эллипсом
§ J. Путешествия нал земным шаром 137 особого вида? 1.6. Иногда можно услышать: "В лесу множество грибов!". В таком случае обычно имеют в виду, что в лесу много грибов. В разговорной речи слово множество означает "много": множество людей, множество цветов, и так далее. В математике слово "множество" понимают как собрание или совокупность предметов, обладающих определенными свойствами. Важными примерами множеств в геометрии являются геометрические места точек на плоскости. Множество в математике может состоять из одного, двух, и так далее предметов. Например, множество простых делителей числа 12 состоит из двух чисел 2 и 3. Предметы, составляющие множество, называются его элементами. Так, множество вершин куба состоит из 8 элементов. Два множества считаются равными, если они состоят из одних и тех же элементов. Множества, элементами которых являются точки некоторой плоскости, называются фигурами на плоскости. Рассматривают также пространственные фигуры, состоящие из точек пространства. Вопрос. Как называется фигура, составленная из точек пространства, удаленных от заданной точки на заданное расстояние? Контрольные вопросы и задания 1. Как понимают слово "множество" в разговорной речи и в математике? 2. Что такое элемент множества? 3. Какие множества считаются равными? 4. Как вы понимаете геометрическое место точек плоскости? 5. Что такое геометрическая фигура на плоскости?
138 Глава 5. Множества в геометрии Задачи и упражнения Представим самолет, который отправился из некоторой точки земного шара, пролетел 3000 км на север, затем — 3000 км на восток, затем — 3000 км на юг, затем — 3000 км на запад и вернулся в исходную точку. Из какой точки на Земле самолет мог отправиться в полет: 7. Изобразите множество точек плоскости, из которых данный на ней отрезок АВ виден под прямым углом Изобразите множество всех точек: а) общих для окружностей на рисунке 7; б) общих для кругов, ограниченных этими окружностями. Найдите множество середин всех отрезков, соединяющих вершину В треугольника ABC с точками на основании АС. Найдите множество середин всех отрезков, соединяющих данную точку с точками заданной прямой. Найдите множество середин отрезков длины 10 см, концы которых лежат на двух заданных перпендикулярных прямых. Детская качалка имеет форму четверти круга, изображенной на рисунке 9. Какую линию описывает точка F, когда качалку раскачивают из стороны в сторону? На рисунке 10 изображен "треугольник Рело", который получается, если с центрами в вершинах равностороннего треугольника ABC со стороной
§ 2. Некоторые ГМТ плоскости 139 а провести дуги окружностей с радиусом а. Поместим "треугольник Рело" внутрь полосы между двумя параллельными прямыми на расстоянии а друг от друга. Покажите, что "треугольник Рело" можно вращать внутри такой полосы, и при этом он все время будет касаться обеих прямых. *# 9. Найдите множество середин хорд, выходящих из заданной точки окружности. 10. Выпишите все элементы множества четных делителей числа 12. 11. Сколько элементов содержит множество всех диагоналей правильного шестиугольника? 12. Изобразите фигуру, образованную точками всех диагоналей правильного пятиугольника. § 2. НЕКОТОРЫЕ ГМТ ПЛОСКОСТИ 2.1. Напомним, что точку Р называют равноудаленной от точек А и В, если АР = ВР. Докажем следующее утверждение. Теорема. Геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от двух данных на ней точек А и В, есть прямая, перпендикулярная к отрезку АВ и проходящая через его середину Доказательство. Возьмем середину С отрезка АВ и проведем через точку С прямую а перпендикулярно АВ, как на рисунке 1. Для точки С этой прямой равенство АС = ВС очевидно, поэтому точка С равноудалена от точек А и В. Пусть теперь М — любая не совпадающая с С точка прямой а. Рассмотрим треугольник AM В. В нем медиана СМ явля- > * ш i С а В
140 Глава 5. Множества в геометрии ется высотой. Поэтому треугольник AM В равнобедренный, а значит AM = MB. Отсюда следует, что точка М также равноудалена от точек А и В. Таким образом, все точки прямой a являются равноудаленными от точек А и В. В следующем пункте будет показано, что на плоскости нет других точек, равноудаленных от точек А и В. Вопрос. Как вы представляете себе множество середин хорд, проходящих через точку, заданную внутри окружности? ш 2.2. Докажем, что прямая а, проходящая через середину отрезка АВ и перпендикулярная АВ, содержит все точки плоскости, равноудаленные от точек А и В. Предположим, что найдется точка N плоскости, которая лежит вне прямой а и равноудалена от точек А и В. Точка N не может лежать на прямой АВ, так как существует единственная точка, которая является серединой отрезка АВ. Это точка С на рисунке 4. Таким образом, точка N не лежит на прямой АВ. Поэтому имеется треугольник ANB. Так как AN = NB, то треугольник ANB равнобедренный. Медиана NC этого треугольника, проведенная к основанию АВ, совпадает с высотой. Значит NC ± АВ. По предположению точка N не лежит на прямой а. Следовательно, получаем две различные прямые NC и а, перпендикулярные прямой АВ. Но это противо- М И N^ В
§ 2 Некоторые ГМТ плоскости 141 речит единственности перпендикуляра к прямой, проходящего через заданную точку. Таким образом, теорема предыдущего пункта полностью доказана. Вопрос. Сколько может быть точек плоскости, которые равноудалены от трех точек этой плоскости? 2.3. Прямая а, перпендикулярная к отрезку АВ и проходящая через его середину, называется серединным перпендикуляром к отрезку АВ. Поэтому доказанное в пункте 2.1 утверждение можно сформулировать в следующем виде. Теорема. Геометрическим местом точек плоскости, равноудаленных от двух данных на ней точек А и В, является серединный перпендикуляр к отрезку АВ. Рассмотрим следующую задачу. Тонкая металлическая деталь имеет форму круга, в центре которого требуется просверлить круглое отверстие. В какую точку детали нужно поставить сверло? Задача сводится к построению центра заданной окружности. Из какой-либо точки А окружности проведем две хорды АВ и АС. Построим серединные перпендикуляры к этим хорда. Их точка пересечения равноудалена от точек А, В и С и поэтому является центром окружности. С помощью карандаша или заостренного кусочка мела разметку на окружности следует перенести не деталь. А И в
142 Глава 5. Множества в геометрии Вопрос. Как на заданной прямой найти точку, равноудаленную от двух данных точек? 2.4. Как известно, биссектрисой угла называется луч, который выходит из вершины угла, проходит между его сторонами и делит угол пополам. Биссектриса угла является одним из полезных ГМТ. Теорема. Биссектриса угла является геометрическим местом точек плоскости, равноудаленных от его сторон и расположенных внутри угла. Напомним, что расстоянием от точки до прямой называют длину перпендикуляра, опущенного из точки на эту прямую. Докажем, что любая точка биссектрисы угла равноудалена от его сторон. Пусть точка К лежит на биссектрисе угла с вершиной О. Проведем на рисунке 7 перпендикуляры К А и KB к сторонам угла. Тогда треугольники OAK и ОВК прямоугольные и равны, потому что имеют общую гипотенузу ОК и равные острые углы АОК и ВОК. Следовательно, соответственные катеты К А и KB этих треугольников равны, а поэтому доказано, что точка К равноудалена от сторон угла. Таким образом, мы доказали, что геометрическое место точек, равноудаленных от сторон угла и расположенных внутри угла, содержит все точки биссектрисы этого угла. Доказательство обратного утверждения
§ 2 Некоторые ГМТ плоскости 143 в следующем пункте. Вопрос. Как доказать, что если окружность с центром на биссектрисе угла касается одной стороны угла, то она касается и другой стороны угла? 2.5. Докажем, что любая точка М внутри угла, которая равноудалена от его сторон, лежит на биссектрисе. Проведем из точки М перпендикуляры к прямым, проходящим через стороны угла. Возможны два случая. Первый случай. Основания перпендикуляров лежат на сторонах угла, как на рисунке 8. Если точки Р и Q совпадают с точкой О, то данный угол является развернутым и точка М лежит на его биссектрисе. Случай, когда одна из точек, например Р, отлична от точки О, а другая точка Q совпадает с точкой О, невозможен, так как тогда в прямоугольном треугольнике РМО катет РМ оказался бы равным гипотенузе ОМ. Пусть обе точки Р и Q отличны от точки О. Тогда точки Р и Q различны, а прямоугольные треугольники ОРМ и OQM равны по гипотенузе и катету. Из равенства треугольников получаем, что LPOM = LQOM. Следовательно, точка М лежит на биссектрисе угла. Второй случай. Основание Р первого перпендикуляра лежит на стороне угла, а основание Q второго перпендикуляра — на продолжении стороны угла, как на рисунке 9. В этом случае данный угол тупой, отличный от развернутого.
144 Глава 5 Множества в геометрии В Из равенства треугольников ОРМ и OQM следует равенство углов МОР и MOQ. Это возможно только тогда, когда стороны угла лежат на одной прямой. Следовательно, для неразвернутого угла второй случай невозможен. L15J Теорема 2.4 доказана. A a Вопрос. Какие точки вне данного угла, равноудаленные от прямых, проходящих через стороны угла, вы можете указать? 2.6. Найдем ГМТ точек плоскости, равноудаленных от двух данных параллельных прямых а и 6. Возьмем на прямой а произвольную точку А и опустим из нее перпендикуляр LLLI АВ на прямую 6, как на рисунке 10. Отрезок АВ будет общим перпендикуляром к прямым а и 6, а поэтому середина С отрезка АВ равноудалена от прямых А и Б. Проведем через точку С прямую с, параллельную данным прямым. Докажем, что каждая точка М прямой с равноудалена от прямых а и Ь. Опустим из точки М перпендикуляр MP к прямой а и перпендикуляр MQ к прямой Ь. На рисунке 12 получим прямоугольники АРМС и BQMC. Поскольку РМ = AC, QM = ВС, то РМ = QM. r q Получаем, что точка М принадлежит множеству точек плоскости, равноудаленных от прямых а и 6. Прямую с называют средней линией параллельных прямых а и 6. Оказывается, что ГМТ плоскости, равноудаленных от данных параллельных прямых а и 6, не содержит точек, лежащих вне средней / с 1 a с ь в [Ж] А Pa С М Ь
§ 2. Некоторые ГМТ плоскости 145 линии этих прямых. Это доказывается в следующем пункте. Вопрос. Какие свойства параллелограмма вы знаете? 2.7. Докажем, что любая точка К f К плоскости, равноудаленная от двух данных параллельных прямых а и 6, лежит на средней линии с этих прямых. Проведем через точку К прямую /, перпендикулярную прямым а, 6, с. Отметим точки L, М, N пересечения прямой / с прямыми а, 6, с, как на рисунке 13. По свойству средней линии имеем равенство LN = МTV, то есть точка N — середина отрезка LM. По условию для точки К имеем равенства LK = МК, а это значит, что точка К — середина отрезка LM. Из единственности середины отрезка следует, что точка К совпадает с точкой 7V, а поэтому точка К лежит на средней линии с прямых а и 6. Таким образом, рассуждения данного пункта и предыдущего пункта позволяют сделать вывод: Геометрическим местом точек плоскости, равноудаленных от двух данных параллельных прямых, является средняя линия этих прямых. Вопрос. Какие точки в пространстве вы можете указать, которые равноудалены от двух данных параллельных прямых и не лежат на средней линии этих прямых? Контрольные вопросы и задания 1. Что такое ГМТ? 2. Что представляет из себя ГМТ плоскости, равноудаленных от концов отрезка?
146 Глава 5. Множества в геометрии 3. Докажите, что любая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от его концов. 4. Что представляет из себя ГМТ, лежащих внутри угла и равноудаленных от его сторон? 5. Докажите, что любая точка биссектрисы угла равноудалена от его сторон. 6. Что такое средняя линия двух параллельных прямых? 7. Что представляет из себя ГМТ плоскости, равноудаленных от двух данных параллельных прямых? 8. Докажите, что любая точка средней линии двух параллельных прямых равноудалена от этих прямых. Задачи и упражнения 1. Найдите геометрическое место середин хорд заданной длины данной окружности. 2. Найдите ГМТ, для которых отрезки касательных, проведенных к данной окружности, имеют заданную длину. 3. Найдите множество вершин равнобедренных треугольников ABC с заданным основанием — отрезком АВ. г*<*~~*р 4. Дан квадрат ABCD. Найдите мно- УРА/ жество точек, сумма расстояний от 9sjj£\^ I которых до прямых АВ и CD равна I ckQ |\ сумме расстояний до прямых AD и \У \Чй ВС. ^ у \ъ0 5. Дан прямоугольник ABCD. Найди- _ W£^ ^»»» те ГМТ плоскости, сумма расстояний от которых до прямых АВ и CD равна сумме расстояний до прямых AD и ВС.
§ 3 Объединение множеств 147 6. Дан прямой угол со сторонами а и 6. Найдите множество точек внутри угла, сумма расстояний от которых до прямых а и 6 равна длине заданного отрезка. 7. Даны два параллельных отрезка АВ и CD. Найдите множество середин всех отрезков MN таких, что точка М лежит на отрезке АВ, точка N лежит на отрезке CD. 8. Через данную в круге точку проведите хорду, для которой данная точка является серединой. 9. Постройте точку, равноудаленную от вершин прямоугольника. 10. На данной прямой постройте точку, равноудаленную от двух данных пересекающихся прямых. 11. Дан произвольный угол со сторонами а и 6. Найдите множество точек внутри угла, сумма расстояний от которых до прямых а и Ь равны длине заданного отрезка. § 3. ОБЪЕДИНЕНИЕ МНОЖЕСТВ 3.1. Рассмотрим слова "колобок", "около", "колокола". При записи первого слова используются буквы русского алфавита б,к,л,о. Их множество записывается в виде А = = {б,к,л,о}. При записи второго слова используются буквы к, л, о. Их множество запишем в виде В = {к, л;о}. При записи третьего слова используются буквы а, к, л, о. Их множество запишем в виде С = {а,к, л,о}. Для записи всех трех слов нужно множество букв, которые являются элементами хотя бы одного из множеств A, jB, С, то есть множество D, которое можно записать в виде: D = {а,б,к, л,о}.
148 Глава 5 Множества, в геометрии Полученное множество D называют объединением множеств Л, Б, С. Вопрос. Чему равно объединение множества всех четных натуральных чисел и множества всех нечетных натуральных чисел? 3.2. Пусть даны два множества А и В. Объединением множеств А и В называют множество, образованное всеми элементами этих множеств. Объединение множеств А и В записывают в виде A U В. Например, пусть А = {2,4,6,8}, В = {3,6,9}. Тогда AUB = {2,3,4,6,8,9}. При записи множества с перечислением его элементов принято выписывать элементы в любом порядке, но без повторений. Вопрос. Как с помощью знака U записать объединение множества всех четных натуральных чисел и множества всех нечетных натуральных чисел? 3.3. Покажем, как понятие объединения множеств можно использовать при нахождении ГМТ. Рассмотрим две пересекающиеся прямые а и Ь. Эти прямые разбивают плоскость на четыре части, одна из которых изображена на рисунке 1. Из пункта 2.4 известно, что множеством всех точек, лежащих внутри угла и равноудаленных от его сторон, является биссектриса угла. Поэтому биссектриса ОМ на рисунке 2 является множеством всех точек рассматриваемой части плоскости, равноудаленных от прямых а и Ь. Аналогично, если рассмотрим часть плоскости, изображенную на рисунке 3, то биссектриса ON является множеством всех точек рассматриваемой части плоскости, равноудаленных от прямых а и Ь. Ю
§ 3. Объединение множеств 149 Рассмотрев аналогично еще две части плоскости, изображенные на рисунках 4 и 5, получим биссектрисы ОК и OL соответствующих углов. Ш IS о Таким образом, мы рассмотрели по очереди все части плоскости и нашли те точки, которые равноудалены от двух данных пересекающихся прямых. Результат можно сформулировать в виде следующего предложения. Геометрическим местом точек плоскости, равноудаленных от двух данных пересекающихся прямых а и Ь, является объединение двух взаимно перпендикулярных прямых — биссектрис углов, образованных при пересечении прямых а и Ь. Вопрос. Как доказать, что биссектрисы двух вертикальных углов, образованных при пересечении двух прямых, перпендикулярны? Контрольные вопросы и задания 1. Как вы понимаете объединение двух множеств? 2. Что представляет из себя ГМТ плоскости, равноудаленных от двух пересекающихся прямых?
150 Глава 5 Множества, в геометрии 3. Докажите, что ГМТ плоскости, равноудаленных от двух пересекающихся прямых, есть объединение двух взаимно перпендикулярных прямых. Задачи и упражнения 1. Найдите объединение множеств букв в записи слов: а) карандаш, шоколад; б) математика, литература; в) знание, сознание, подсознание. 2. Найдите объединение множеств: а) А — множество всех делителей числа 12, В — множество всех делителей числа 25; б) А — множество двухзначных чисел, делящихся на 25, В — множество двухзначных чисел, оканчивающихся на 5. 3. Найдите объединение следующих множеств: А — множество натуральных чисел, дающих при делении на 3 остаток 1, В — множество натуральных чисел, дающих при делении на 3 остаток 2. 4. Приведите примеры множеств А и В, для которых: а) AUB = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}; б) Au£ = {-2,-l,0,l,2}; в) A U В является множеством всех натуральных чисел, делящихся на 3; г) A U В является множеством всех рациональных чисел. 5. Как в примере с самолетом из пункта 1.1 представить ответ в виде объединения множеств? 6. Найдите множество точек полуплоскости, удаленных на заданное расстояние от границы этой полуплоскости. 7. Найдите множество точек плоскости, удаленных на заданное расстояние от данной на этой плоскости прямой.
§ 4. Пересечение множеств 151 ** 8. Опишите множество точек пространства, удаленных на заданное расстояние от данной прямой. 9. На плоскости даны две перпендикулярные прямые а и Ь. Найдите множество точек плоскости, сумма расстояний от которых до прямых а и b равна длине заданного отрезка. 10. В остроугольный треугольник ABC вписываются прямоугольники так, что две вершины каждого из них лежат на стороне АС, одна вершина на стороне АВ и одна вершина на стороне ВС. Найдите множество центров всех таких прямоугольников. §4. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ МНОЖЕСТВ 4.1. Рассмотрим слова"математика" и " геометрия". При записи первого слова используется множество букв русского алфавита «%#€ А = {а;е;и;к;м;т}. - т-^ v>. При записи второго слова используется множество букв В = {г, е;и; м;о;р;т,я}. Общими элементами множеств А и В являются буквы е, и, м, т. Множество D = {е;и;м;т}, состоящее из общих элементов множеств А и В, называют пересечением множеств А и В. Пересечение множеств А и В записывают в виде АПВ. Аналогично записывают пересечение других множеств. Например, пусть Р — это множество всех четных натуральных чисел, S — множество всех цифр. Тогда РП5 = {2;4;6;8}. Пересечение множеств иначе называется их общей частью.
152 Глава 5. Множества, в геометрии Вопрос. Какое множество является пересечением двух равных окружностей с радиусами 5 см и расстоянием между центрами 5 см? 4.2. Может случиться, что множества А и В не имеют общих элементов. Тогда говорят, что пересечение А П В является пустым множеством. Пустое множество обозначается особым знаком 0 и не содержит элементов. Примером пустого множества может служить множество точек пересечения двух параллельных прямых. Когда пересечение двух множеств А и В является пустым множеством, то говорят также, что множества А и В не пересекаются. Вопрос. Что такое пересечение двух множеств? 4.3. Пересечение множеств приходится находить, когда разыскиваются предметы, обладающие двумя и более свойствами. Поясним это на примере задач на построение. Пусть даны две параллельные прямые а и 6 и точка F в полосе, ограниченной этими прямыми. Требуется построить окружность, касающуюся прямых а и b и проходящую через точку F. Выясним, какими свойствами обладает центр искомой окружности. Предположим, что искомая окружность уже построена. Она касается прямых а и b и проходит через точку F. Соединим точки касания Аи В с центром О окружности, как на рисунке 2. Тогда О А ± а, О В X Ь. Так как а || 6, то точки Л, О, В расположены на одной прямой. Отсюда следует, что точка О равноудалена от прямых а и 6 на расстояние - • АВ или - • Л, где h — расстояние между параллельными прямыми а и 6. Из пункта 2.6 следует, что точка О ш a
§ 4. Пересечение множеств 153 лежит на средней линии прямых а и 6. >гп Точка О удалена также от точки F на _ А\ расстояние О А, равное - • h. Поэтому * гл 2 F* ! точка О лежит также на окружности с г , центром F и радиусом - • л. ! с Таким образом, центр искомой окруж- ; ности лежит в пересечении средней линии b В\ прямых а и b и окружности радиуса - • h ^ [Т] с центром F. Построение. 1. Проведем какую-нибудь прямую га JL а и отметим точки ее пересечения с прямыми а и Ь. 2. Построим середину С отрезка АВ и проведем через точку С прямую / || а. 3. С центром в точке F и радиусом АС проведем окружность и отметим точки Р и Q пересечения окружности с прямой /. 4. С центрами Р и Q радиусом АС проведем две окружности, как на рисунке 6. Две последние окружности удовлетворяют поставленным условиям. Доказательство. Проведем доказательство для окружности с центром Р. Построим на рисунке 7 отрезки РН _L а и РК _L Ь. Так как точка Р лежит на средней линии параллельных прямых а и 6, то РН = РК = 1 • НК = I • АВ = ЛС. Кроме того, PF = АС по построению. Исследование. Если точка F не лежит ни на прямой а, ни на прямой 6, то расстояние от точки F до прямой / меньше АС. Поэтому окружность, проведенная на рисунке 4, пересекает прямую I в двух точках. В этом случае задача имеет два решения, ь KB F» / ; F* \ <К_. л-; Q V ^ F,*' » ч \ 4 т- 1 1 1 !< "Т \ % i J Л 'р И i >" i с Л .. .^_. .. 1 1 \с 1 1 b \ i А Л\с а 1 Ь т а 1 Ь И а Ъ ш
154 Глава 5. Множества в геометрии m a hj \ш F К В F\ •m ее / к с '.ft в ...Av.-:'.'.'. 1 % с —«• Л. В Если точка F лежит на одной из прямых, например, на прямой а, как рисунке 8, то окружность касается прямой а. В таком случае задача имеет единственное решение. Вопрос. Как построить окружность заданного радиуса, которая проходит через данную точку и касается данной прямой? 4.4. Построим треугольник по двум сторонам а и 6 и высоте /i, опущенной на сторону о. Построение. 1. Возьмем отрезок CJB, равный а, и проведем прямую т JL СВ. Затем отметим точку F пересечения прямой т с прямой СВ. 2. От точки F на прямой га отложим отрезок FK, равный Л, и через точку К проведем прямую / || СВ. 3. С центром С и радиусом b проведем окружность и отметим точки А\ и Аъ пересечения окружности с прямой I. Треугольники А\ВС и АчВС, изображенные на рисунках 13 и 14, удовлетворяют поставленным условиям. Доказательство и исследование опускаем. Вопрос. Сколько не совпадающих между собой треугольников может получиться в результате приведенного построения, когда положение стороны ВС зафиксировано? 4.5. Опишем построение окружности, вписанной в данный треугольник.
§ 4. Пересечение множеств 155 Проведем предварительные рассуждения. Рассмотрим угол ВАС треугольника ABC. Вписанная в треугольник окружность должна касаться сторон этого угла. Из пункта 2.4 следует, что центр окружности лежит на биссектрисе AL. Аналогично можно рассмотреть угол ВС А и установить, что центр вписанной окружности лежит на биссектрисе CN. Таким образом, центр вписанной в треугольник ABC окружности можно построить как точку пересечения биссектрис AL и CN. Вопрос. Почему все три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке? 4.6. В предыдущем пункте мы приняли существование точки пересечения биссектрис AL и CN без обоснований. Теперь докажем это. Биссектриса AL была определена как отрезок, для которого точка L лежит на стороне ВС, а луч AL делит угол ВАС пополам. Отсюда следует, что вершины В и С треугольника лежат в различных полуплоскостях с границей AL. Поэтому точки С и N попадают в различные полуплоскости относительно прямой AL, а значит отрезок CN пересекается с прямой AL в некоторой точке Р. Поэтому в каждый треугольник можно вписать окружность. Вопрос. Как доказать, что существует окружность, которая касается изображенных на рисунке 19 лучей В A, CD и
156 Глаза, 5. Множества в геометрии отрезка ВС1. 4.7. Покажем, как построить окружность, описанную около данного треугольника. Проведем предварительные рассуждения. Рассмотрим вершины А и В треугольника ABC. Центр описанной окружности находится на одном и том же расстоянии от этих вершин, то есть равноудален от точек А и В. Из пункта 2.3 следует, что центр окружности лежит на серединном перпендикуляре m к отрезку АВ, который изображен на рисунке 20. [Ж1 Л\ в Аналогично можно рассмотреть вершины В и С и установить, что центр описанной окружности лежит на серединном перпендикуляре п, который изображен на рисунке 21. \Ш ЦП в в Таким образом, центр описанной около треугольника ABC окружности можно построить как точку пересечения серединных перпенди-
§ 4. Пересечение множеств 157 куляров га и п. Вопрос. Почему все три серединных перпендикуляра к сторонам треугольника пересекаются в одной точке? 4.8. Докажем, что в треугольнике серединные перпендикуляры к двум его сторонам пересекаются всегда. Предположим, что на рисунке 22 серединный перпендикуляр га к стороне АС не пересекается с серединным перпендикуляром п к стороне ВС. Тогда га || п. Так как ВС ± п и га || п, то ВС J_ га. Следовательно, различные прямые С А и С В перпендикулярны к прямой га, но это противоречит единственности перпендикуляра к прямой, проведенного через данную точку. Предположение о том, что прямые га и п не пересекаются, привело к противоречию. Следовательно, серединные перпендикуляры к двум сторонам треугольника пересекаются и определяют точку, равноудаленную от всех вершин. Поэтому около каждого треугольника можно описать окружность. Вопрос. Как провести окружность через три соседние вершины четырехугольника? Контрольные вопросы и задания 1. Как вы понимаете пересечение двух множеств? 2. Какое множество называют пустым множеством? 3. Какая окружность называется вписанной в треугольник? 4. Как построить центр вписанной в треугольник окружности? 5. При каком условии существует окружность, вписанная в четырехуголь- fl\ ник? 6. Докажите, что три биссектрисы тре- &*°ш<г>®~
158 Глава 5. Множества в геометрии угольника пересекаются в одной точке. 7. Какая окружность называется описанной около треугольника? 8. Как построить центр описанной около треугольника окружности? 9. При каком условии существует окружность, проходящая через все вершины четырехугольника? 10. Докажите, что три серединных перпендикуляра к сторонам треугольника пересекаются в одной точке. Задачи и упражнения 1. Найдите пересечение множеств букв в записи слов: а) карандаш, шоколад; б) математика, литература; в) знание, сознание, подсознание. 2. Найдите пересечение множеств: а) А — множество всех делителей числа 123, В — множество всех делителей числа 234; б) А — множество всех целых чисел, больших 2, В — множество всех целых чисел, меньших 7; в)** А — множество всех чисел, являющихся квадратом натурального числа, В — множество всех натуральных степеней числа 2. 3. Найдите пересечение множеств: А — множество натуральных чисел, делящихся на 5, В — множество натуральных чисел, делящихся на 7. 4. Постройте центр окружности, вписанной в заданный треугольник. 5. Постройте центр окружности, описанной около: а) остроугольного треугольника; б) прямоугольного треугольника; в) тупоугольного треугольника.
§ 4. Пересечение множеств 159 6. Постройте равнобедренный треугольник с заданным основанием и вершиной на данной окружности. 7. Постройте треугольник по основанию, высоте и медиане, проведенным к основанию. 8. Постройте треугольник по основанию, высоте, проведенной к основанию, и радиусу описанной окружности. ** 9. Внутри заданного угла даны две точки. Постройте окружность, которая проходит через эти точки и высекает на сторонах угла равные отрезки. 10. На плоскости даны три точки Ау В, С. Проведите через точку А прямую так, чтобы точки В и С были равноудалены от этой прямой. 11. Постройте треугольник по основанию, медиане, проведенной к основанию, и радиусу описанной окружности.
6 ЦЕНТРАЛЬНЫЕ И ВПИСАННЫЕ УГЛЫ глава В этой главе изучаются свойства центральных и вписанных углов в окружности, рассматривается, как с помощью дуг окружности измеряются углы, какими свойствами обладают вписанные в окружность четырехугольники, хорды, касательные и секущие. § 1. ЦЕНТРАЛЬНЫЕ УГЛЫ 1.1. Рассмотрим окружность S. Две различные точки А и В этой окружности разбивают ее на две дуги. Для того, чтобы различать дуги окружности с одинаковыми концами, будем при обозначении дуги использовать стоящую на ней промежуточную точку, а саму дугу обозначать с помощью знака ^. Так, на рисунке 1 можно рассмотреть две дуги с концами А и Б: - АСЕ и - АМВ. Когда по смыслу задачи ясно, о какой из двух дуг идет речь, эту дугу можно обозначать, указывая только концы. Вопрос. Сколько различных дуг окружности можно указать, если на окружности поставлены четыре различные точки? 1.2. Рассмотрим окружность S с центром О. Каждый угол с вершиной О, образованный двумя различными лучами, пересекает окру ж-
§ J. Центральные углы 161 ность S в двух различных точках, а поэтому разбивает окружность на две дуги. Тем самым одному углу с вершиной О соответствует две дуги окружности с центром О. Для r__i того, чтобы получить однозначное соответствие между такими углами и дугами окружности, каждый угол рассматривают как плоский угол вместе с одной из двух частей, на которые стороны угла разбивают плоскость. Например, угол АОВг изображенный на рисунке 2, разбивает плоскость на две части. Одна из этих частей изображена на рисунке 3, а другая — на рисунке 4. Пусть дана окружность с центром О. Центральным углом этой окружности называется плоский угол, образованный двумя лучами с вершиной О. Каждому центральному углу окружности соответствует единственная дуга, которую содержит этот угол. Вопрос. Какие центральные углы образуют два противоположных луча одной прямой? 1.3. При определении градусной меры центрального угла рассматривают несколько случаев. Первый случай. Пусть центральный угол АОВ лежит в одной из полуплоскостей с границей О А (рисунок 5). В этом случае градусная мера центрального угла равна определенной в предыдущих классах градусной мере угла АОВ, которая принимает одно из значений от 0° до 180°. Градусную меру центрального угла АОВ называют также величиной центрального угла и обозначают либо
162 Глава 6. Центральные и вписанные углы LAOB либо LBOA. Второй случай. Пусть стороны угла АОВ являются противоположными лучами одной прямой. Тогда центральный угол представляет собой полуплоскость (рисунок 6). По определению градусная мера такого угла равна 180°. Третий случай. Пусть прямая О А разбивает центральный угол АОВ на две части: полуплоскость с границей АОС и центральный угол СО В (рисунок 7). Так как центральный угол СОВ лежит в одной полуплоскости с границей ОС, то его величина определена из первого случая. Градусная мера рассматриваемого центрального угла АОВ определяется как сумма 180° + /.СОВ, то есть LAOB = 180° + LCOB. Четвертый случай. Для удобства всю плоскость также рассматривают как один из центральных углов окружности и называют полным углом. Полному углу соответствует вся окружность. Так как полный угол можно составить из двух полуплоскостей, границы которых проходят через центр окружности, то градусную меру полного угла определяют равной 180° + 180° = 360°. Вопрос. Чему равна сумма величин двух центральных углов, которые образуют два луча О А и ОВ? 1.4. Докажем, что определенная в предыдущем пункте градусная мера центральных углов обладает основным свойством градусной меры. Пусть центральный угол АОВ составлен из углов АОС и СОВ.
§ J. Центральные углы 163 Первый случай. Пусть /АОВ < 180°. Тогда угол АОВ лежит в одной полуплоскости с границей О А и составлен из углов АОС и СОВ (рисунок 9). В этом случае равенство LAOB = LAOC + /.СОВ является основным свойством градусной меры углов и принимается без доказательства в качестве аксиомы. Второй случай. Пусть LAOB > 180°, но LAOC < 180° и LCOB < 180°. Проведем прямую О А и обозначим вторую точку ее пересечения с окружностью через М (рисунок 10). Как следует из первого случая, /.СОВ = /С ОМ Л- +ШОВ и /АОС + /СОМ = 180°. Поэтому /АОС + /СОВ = /АОС + /СОМ+ +ШОВ = 180° + /MOB = /АОВ. Третий случай. Пусть /АОВ > 180° и /АОС > 180°. Проведем прямую О А и обозначим вторую точку ее пересечения с окружностью через N (рисунок 11). Как следует из первого случая, /NOC+ -{-/СОВ = /NOB. Поэтому /АОС + /СОВ = 180° + /NOC + /СОВ = = 180° + /NOB = /АОВ. Четвертый случай. Пусть /АОВ > > 180° и /СОВ > 180°. Этот случай рассматривается аналогично предыдущему, только вместо прямой О А проводят прямую ОВ (рисунок 12). Вопрос. Что представляет из себя сумма двух центральных углов в 270° и 90°?
164 Глава б. Центральные и вписанные углы 1.5. Рассмотрим окружность S. Каждому центральному углу соответствует дуга окружности, которую содержит этот угол. Докажем, что равным центральным углам соответствуют равные дуги окружности S. Доказательство. Пусть центральный угол АОВ равен центральному углу COD. Это значит, что найдется перемещение плоскости, которое точку О переводит в себя, пару лучей О А и О В переводит в пару лучей ОС и OD, а часть плоскости, ограниченную лучами О А и ОВ, переводит в часть плоскости, ограниченную лучами ОС и OD. При этом перемещении окружность S переходит в окружность того же радиуса с центром в той точке, в которую переходит центр О. Но так как точка О переходит в себя, то и окружность S также переходит в себя. Поэтому при указанном перемещении часть окружности 5, лежащая внутри центрального угла АОВ, переходит в часть окружности 5, лежащую внутри центрального угла COD. Но эти части и есть дуги, соответствующие центральным углам АОВ и COD. Следовательно, эти дуги равны. Вопрос. На рисунке 13 центральный угол АОВ равен центральному углу COD. При каком повороте угол АОВ переходит в угол COD? 1.6. В предыдущем пункте мы доказали, что равным центральным углам соответствуют равные дуги. Справедливо также обратное утверждение: равным дугам окружности S соответствуют равные центральные углы. Доказательство. Пусть дуга АС В равна дуге MLN. Это значит, что существует перемещение, при котором первая дуга переходит во вторую. Пусть при этом перемещении точка А переходит в точку М, точка В переходит в точку N, а точка С переходит в точку L. Тогда серединные перпендикуляры а и 6 к хордам АС и С В переходят в серединные перпенди-
§ I. Центральные углы 165 куляры m и п к хордам ML и NL (рисунок 14). Отсюда следует, что точка О пересечения прямых а и Ь переходит в эту же точку О как точку пересечения прямых тип. Значит, при указанном перемещении луч О А переходит в луч ОМ, луч ОВ переходит в луч ON, а часть плоскости, ограниченная лучами О А и ОВ и содержащая точку С, переходит в часть плоскости, ограниченную лучами ОМ и ON и содержащую точку L. Следовательно, центральный угол АО В переходит в центральный угол MON. Вопрос. На рисунке 15 дуги АВ и CD равны. При какой осевой симметрии дуга АВ переходит в дугу CD? 1.7. С помощью центральных углов определяется угловая мера дуг любой окружности. Угловой мерой дуги окружности называется величина соответствующего центрального угла. Равным дугам соответствуют равные центральные углы, поэтому угловая мера равных дуг одной окружности одинакова. Важно заметить, что угловая мера дуги и длина дуги — это различные понятия. Например, для изображенных на рисунке 16 дуг KL и АВ угловые меры равны, но длины дуг различны. Вопрос. В окружность вписан равносторонний треугольник ABC. Чему равны угловые меры дуг АВ, ВС и АС? 1.8. Рассмотрим соответствие между хордами и дугами окружности. Пусть АВ — хорда окружности S, не являющаяся диаметром. В этом случае будем говорить, что хорде АВ соответствует меньшая из дуг окружности S с
166 1 лава 6. Центральные и вписанные углы концами А к В. Например, на рисунке 17 хорде АВ соответствует дуга АСВ, а дуге АС В соответствует хорда АВ. Когда хорда АВ является диаметром окружности 5, то обе дуги с концами А и В — полуокружности. В этом случае будем считать, что хорде АВ соответствует любая одна из этих полуокружностей, а выбранной полуокружности соответствует хорда АВ. Докажем следующее утверждение. Равным хордам одной окружности соответствуют равные дуги. Доказательство. Первый случай. Пусть хорды АВ и CD равны и АВ является диамегром. Тогда \АВ\ = 2Л, где R — радиус окружности. Так как \CD\ = \АВ\, то |CJD| = 2Я, а поэтому хорда CD также является диаметром. Поэтому диаметры АВ и CD стягивают полуокружности, а значит стягивают равные дуги. Пусть хорды АВ и CD не являются диаметрами. Рассмотрим треугольники АОВ и COD (рисунок 18). Так как АВ = CD и АО = ВО = СО = = £Ю, то эти треугольники равны. Поэтому LAOB = LCOD. Рассмотрим центральный угол АОВ, содержащий хорду АВ (рисунок 19). Этот центральный угол меньше 180° и содержит меньшую из дуг с концами А и В. то есть хорде АВ соответствует дуга, лежащая внутри центрального угла АОВ (рисунок 19). Аналогично получаем, что меньшая из дуг с концами С и D соответствует центральному углу COD (рисунок 20). Так как LAOB = LCOD, то соответственные дуги АВ и CD также равны. Вопрос. Как доказать, что в окружности равные дуги стягиваются равными хордами?
§ J. Центральные углы 167 1.9. Рассмотрим две параллельные хорды АВ и CD окружности S (рисунок 21). Проведем через центр окружности прямую га, перпендикулярную как к АВ, так и к CD, и пересекающую хорду АВ в точке М, а хорду CD в точке N. По свойству диаметра, перпендикулярного к хорде, получаем, что AM = MS, CN = = ND. Следовательно, при симметрии относительно прямой га точка А переходит в точку В, точка С переходит в точку D. Но так как при этой симметрии окружность переходит в себя, то дуга АС переходит в дугу BD. Следовательно, дуги АС и BD симметричны относительно прямой, а значит равны. Таким образом, доказано следующее утверждение. Дуги окружности, заключенные между параллельными хордами, равны. Пример 1. Рассмотрим трапецию PQRS, вписанную в окружность (рисунок 22). Так как основания QR и PS трапеции являются параллельными хордами окружности, то дуги PQ и RS этой окружности равны. Поэтому из пункта 1.7 следует, что хорды PQ и RS равны. Таким образом, боковые стороны трапеции PQRS равны, а значит трапеция равнобедренная. Вопрос. На рисунке 23 прямая га параллельна хорде АД и касается окружности в точке К. Как доказать, что дуги АК и ВК равны? Контрольные вопросы и задания 1. Что такое дуга окружности? 2. Как определяется равенство двух дуг одной окружности? 3. Как определяется центральный угол?
168 Глава 6. Центральные и вписанные углы 4. В каком случае центральный угол является выпуклым, а в каком — невыпуклым? 5. Как определяется градусная мера центрального угла? 6. Сформулируйте основное свойство градусной меры центральных углов. ** _ 7. Докажите основное свойство градусной меры центральных углов. 8. Сформулируйте основное свойство, отражающее связь между центральными углами и дугами окружности. 9. Как определяется угловая мера дуги окружности? 10. Сформулируйте и докажите основное свойство хорд и соответствующих им дуг. 11. Сформулируйте и докажите свойство параллельных хорд окружности. Задачи и упражнения 1. На бумаге нарисована дуга окружности. С помощью циркуля и линейки восстановите ее центр. 2. В круге радиуса R даны два взаимно перпендикулярных диаметра и произвольная точка окружности спроектирована на эти диаметры. Найдите расстояние между проекциями этой точки. 3. Из одной точки окружности проведены две взаимно перпендикулярные хорды, которые удалены от центра на 6 и 10. Определите длину хорд. 4. В окружность вписан равносторонний пятиугольник ABCDE. Чему равны угловые меры дуг АВ, ВС, CD, DE и ЕА1 5. Постройте прямоугольник по радиусу описанной около него окружности и углу между диагоналями. 6. Выразите в градусах, минутах и секундах центральный угол, соответствующий следующей части окружности: *)& б)|; в) ft; г) §§; д) ft; е) &; ж) jr! з) §; и) |; к) £; л) ^; м) |; н) И; о) if; п) £ р) Ш; с) ^ т) 0,136.
§ J. Центральные углы 169 7. Выразите с точностью до секунды центральный угол, соответствующий следующей части окружности: а)£; б)&; в) if. 8. Большое колесо зубчатой передачи имеет 72 зубца. Сколько градусов окружности колеса занимает один зубец колеса вместе со впадиной? 9. Меньшее колесо зубчатой передачи имеет 24 зубца. Сколько градусов содержит дуга, занимаемая одним зубцом колеса вместе со впадиной? 10. Какую часть оборота сделает большее колесо с 72 зубцами, когда сцепленное с ним меньшее колесо, имеющее 24 зубца, сделает: а) один оборот; б) половину оборота; в) 5 оборотов? 11. Сколько градусов содержит угол между двумя спицами колеса (не обязательно соседними), если по колесу равномерно распределены: а) 18 спиц; б) 36 спиц; в) 16 спиц; г) 32 спицы? 12. Составьте формулу для величины угла от часовой до минутной стрелки, который отсчитывается по ходу часовой стрелки, в зависимости от показаний времени суток. 13. С помощью циркуля и линейки от заданного луча отложите угол, равный данному углу. 14. С помощью циркуля и линейки постройте угол: а) в 60°; б) в 75°; в) в 125°; г) в 135°; д) в 150°; е) в 15°; ж) в 30°; з) в 45°; и) в 120° . Проверьте правильность построения с помощью транспортира. 15. Постройте угол, равный сумме двух заданных острых углов. 16. Постройте угол, равный сумме трех заданных острых углов. 17. Постройте угол, равный разности двух заданных острых углов. 18. По данным сумме и разности двух углов постройте эти углы. 19. Данный острый угол, меньший 60°, увеличьте в три раза. 20. Данный острый угол, больший 60°, увеличьте в три раза.
170 Глаза. 6. Центральные и вписанные углы 21. Данный тупой угол, меньший 180°, увеличьте вдвое. 22. Данный тупой угол, меньший 120°, увеличьте втрое. 23. Данный острый угол увеличьте в четыре раза. 24. Разделите данный угол: а) на 2 части; 6) на 4 части; в) на 8 частей; г) на 16 частей. 25. Угол между двумя радиусами содержит 102°37'. Определите угол между касательными, проведенными в концы этих радиусов. 26. Хорда делит окружность на две дуги, отношение длин которых равно 11:16. Определите угол между касательными, проведенными в концах этой хорды. 27. Окружность разделена на три дуги, отношение длин которых равно 5:9:10. Через точки деления к окружности проведены касательные. Определите углы в треугольнике с вершинами в точках пересечения касательных. 28. Хорда АВ окружности составляет с радиусом О А угол 37°23\ Чему равна угловая мера дуги, стягиваемой хордой АВ? 29. Дуга окружности в 117°17' стягивается хордой АВ. Чему равен угол между хордой АВ и продолжением радиуса О А за точку А? § 2. ВПИСАННЫЕ УГЛЫ 2.1. Пусть задана окружность 5. Угол, вершина которого лежит на окружности S, а стороны пересекают эту окру ж- ность, называется вписанным в окружность S. На рисунке 1 изображен вписанный в окружность угол ВАС. Когда из текста ясно, что речь идет об угле, вписанном в данную окружность, то для краткости такой угол можно называть вписанным. Вписанный угол разбивает окружность на три дуги.
§ 2. Вписанные углы 171 Например, на рисунке 2 вписанный угол ABC разбивает окружность S на дуги АВ, ВС, АС. Из них только дуга АС не содержит вершину В, и обычно говорят, что вписанный в окружность S угол ABC опирается на дугу АС этой окружности. Один и тот же угол иногда можно рассматривать как вписанный в разные окружности. Например, на рисунке 3 угол ABC можно считать вписанным как в окружность Si, так и в окружность S2. Тогда этот угол опирается в окружности Si на дугу AmD, а в окружности S2 на дугу АпС. Вопрос. Сколько различных вписанных углов определяют три различные точки данной окружности? 2.2. Вписанные углы имеют важное значение благодаря следующему свойству. Вписанный в окружность угол измеряется половиной угловой меры дуги, на которую он опирается. Доказательство. Рассмотрим угол ABC, вписанный в окружность S. Разберем три возможных случая. Первый случай. Пусть сторона АВ вписанного угла ABC является диаметром окружности S (рисунок 4). Соединив вершину С с центром О окружности, получим два равнобедренных треугольника АОС и ВОС. Обозначим величину угла ABC через а. Тогда LOCB = LOBC = а, LAOC = LOBC + ЮС В = 2а. Получаем, что центральный угол АОС, который опирается на дугу АС, равен 2а. Поэтому 2а =—- АС, откуда а = АС. АС или LABC = \ Второй случай. Пусть диаметр окружности S, проведенный из точ-
172 Глава 6 Центральные и вписанные углы ки В, проходит между сторонами вписанного угла ЛВС (рисунок 5). Тогда рассмотрим вписанные углы ЛВК и СВК. Как показано в первом случае, LABK = I w АтК, LCBK = ± - СпК. Поэтому LABC = LABK + LCBK = СпК) = I ^ АКС = I(w Лт#+ Третий случай. Пусть диаметр окружности 5, проведенный из точки В, проходит вне вписанного угла ABC (рисунок 6). Тогда рассмотрим вписанные углы ABL и CBL. На основании первого случая получаем равенства: LABL = \ w AmL, LCBL = \ ^ CnL. Поэтому ZABC = LABL - ZCBL = ±(- ЛСХ- CtuD) = ± — ArnC Вопрос. Как доказать, что если три точки Е, F, G разбивают окружность на три равные дуги, то треугольник EFG равносторонний? 2.3. Из теоремы об измерении вписанного угла следует, что вписанные углы, опирающиеся на равные дуги, равны, а равные вписанные углы опираются на равные дуги. Используя это утверждение, выведем одно из свойств биссектрисы угла треугольника. Рассмотрим произвольный треугольник ABC и его биссектрису BL. Опишем около треугольника ABC окружность и продолжим биссектрису BL до пересечения с окружностью в точке М (рисунок 7). Углы ABM, МВС вписаны в построенную окружность и равны. Поэтому равны
§ 2. Вписанные углы 173 и дуги AMу СМ, на которые опираются углы АВМ и МВС. В результате получаем, что биссектриса BL треугольника ABC при продолжении пересекает описанную окружность в середине той дуги АС, которая не содержит вершину В. Вопрос. Как доказать, что на рисунке 7 диаметр окружности, проходящий через точку М, перпендикулярен стороне АС? 2.4. Из теоремы об измерении вписанного угла следует, что вписанные в одну окружность и опирающиеся на одну и ту же дугу углы равны. Например, на рисунке 8 равны углы АМВ, ANB, АКВ, ALB. Таким образом, наличие окружности позволяет устанавливать равенство некоторых углов. Пример 1. На гипотенузе АВ прямоугольного треугольника ABC построен квадрат с центром О так, как показано на рисунке 9. Доказать, что ЮСА = 45°. Доказательство. Обозначим середину гипотенузы АВ через Е. Тогда АЕ = = BE = ОЕ = СЕ. Следовательно, точки Л, С, J5, О лежат на одной окружности с центром Е (рисунок 10). Углы АС О и АВО вписаны в эту окружность и опираются на одну дугу. Поэтому LACO = = LABO = 45°. Вопрос. Как доказать, что на рисунке 9 луч СО является биссектрисой угла АСВ? 2.5. Отметим на окружности S две точки А и В. Рассмотрим случай, когда эти точки не диаметрально противоположны. Обозначим угловую величину меньшей из дуг с концами А и В через 2а, причем а < 90°. Для произвольной точки М большей
174 Глада 6. Центральные и вписанные углы на л N т\ *Г Н\ в дуги АтВ, отличной от точек А и В, вписанный угол АМВ опирается на дугу АпВ (рисунок 11), а поэтому LAMB = = i w АпВ = а. Следовательно, из каждой точки дуги АтВ отрезок АВ виден под одним и тем же острым углом а. Аналогично для произвольной точки N меньшей дуги АпВ, отличной от точек Л и В, вписанный угол ANB опирается на дугу АтВ (рисунок 12), а поэтому LANB = i w АтВ. Но так как — АтВ = 360°- — АпВ, то LANB = = 180°—а. Следовательно, из каждой точки дуги АпВ отрезок АВ виден под одним и тем же тупым углом 180° — а. Вопрос. Под каким углом из точек окружности виден диаметр этой окружности? 2.6. Во многих задачах полезно рассматривать множество всех точек, из которых отрезок АВ виден под заданным углом величины а. Рассмотрим случай, когда угол а острый. Часть множества точек, из которых отрезок АВ виден под углом а, можно построить на основе предыдущего пункта. Проведем серединный перпендикуляр m к отрезку АВ и построим луч / с вершиной А, образующий с отрезком АВ угол 90° — а (рисунок 13). Обозначив точку пересечения гаи/ через О, получим равнобедренный треугольник АО&. Так как LAOH = 90°- LOAH = 90°-(90°-а) = а,
§ 2. Вписанные углы 175 то LAOB = 2а. Проведем теперь с центром О и радиусом О А окружность и рассмотрим ее большую дугу (рисунок 14). Так как LAOB = 2а, то ^ АпВ = 2а, а поэтому из предыдущего пункта следует, что из каждой точки дуги АтВ, отличной от точек Л и В, отрезок АВ виден под углом а. Еще одну часть множества точек, из которых отрезок АВ виден под углом а, можно получить, симметрично отражая дугу АтВ относительно прямой АВ (рисунок 15). Можно доказать, что фигура на рисунке 15 содержит все точки, из которых отрезок АВ виден под острым углом а. Аналогично можно доказать, что на рисунке 16 изображены все точки, из которых отрезок АВ виден под одним и тем же тупым углом. Вопрос. Какой вид имеет множество всех точек, из которых отрезок АВ виден под прямым углом? 2.7. Разберем доказательство того, что множество всех точек, из которых данный отрезок АВ виден под заданным углом а, есть две дуги окружности, о которых говорилось в предыдущем пункте. Для доказательства достаточно рассмотреть только одну полуплоскость с границей АВ. Пусть на рисунке 17 изображена дуга АР В, из точек которой отрезок АВ виден л1 LHJ под заданным углом а. Возьмем любую не лежащую на этой дуге точку М полуплоскости и покажем, что из точки М отрезок АВ виден под углом, не равным а. Для этого через точки А, В и М проведем окружность и найдем ее точку пере-
176 Глава 6. Центральные и вписанные углы В сечения с серединным перпендикуляром к отрезку АВ (рисунок 18). В предыдущем пункте доказано, что из каждой точки дуги AFB отрезок А В виден под одним и тем же углом, а поэтому IAMB = LAFB. Так как различные окружности не могут иметь более двух общих точек, то на рисунке 18 точки Р и F различны. Рассматривая равнобедренные треугольники АР В и AFB (рисунок 19), нетрудно доказать, что величины углов АРВ и AFB различны. Поэтому величина угла АМВ не равна а. Вопрос. Как доказать, что если точка К лежит внутри треугольника XYZ, то угол XKZ больше угла XYZ? 2.8. В этом пункте разберем следующую задачу. Пример 2. Построить треугольник по стороне а, противолежащему этой стороне углу а и высоте Л, проведенной к стороне о. Построение. 1. Построим отрезок АВ, равный а. 2. Проведем серединный перпендикуляр т к отрезку АВ и построим две дуги окружности, из которых отрезок АВ виден под углом а (рисунок 22). 3. На прямой га от точки М отложим отрезки МК и ML, равные Л, и через точки К и L проведем прямые р\ и р2, параллельные АВ (рисунок 23). Обозначим точки пересечения прямых р\ и рч с дугами окружностей через С\, Сг, Сз, С\. Каждый из треугольников АВС\,
§ 2. Вписанные углы 177 АВСъ, ABCz, ABC а удовлетворяет поставленным условиям. Исследование. Если прямые р\ и р2 не пересекаются с дугами окружностей, то задача решений не имеет. Если прямые р\ и pi касаются дуг окружностей (рисунок 24), то построение приводит к двум равнобедренным треугольникам ABD\ и ABD2, симметричным относительно прямой АВ. Так как эти треугольники равны, то получаем только одно решение. В остальных случаях получаем четыре треугольника, как и на рисунке 23. Так как чертеж симметричен относительно прямых АВ и га, то треугольники АВСи АВС2, АВСг, АВСА равны, а поэтому решение тоже единственно. Вопрос. Как построить треугольник ABC, у которого АВ = 6 см, LACB = 45° и высота ВН = 4 см? Контрольные вопросы и задания 1. Как определяется угол, вписанный в окружность? 2. Сформулируйте и докажите теорему об измерении вписанного угла. 3. Какие свойства биссектрисы угла треугольника вы знаете? 4. Каким свойством обладают вписанные в окружность углы, опирающиеся на одну дугу? 5. Какой вид имеет множество всех точек плоскости, из которых данный отрезок виден под прямым углом? 6. Какой вид имеет множество всех точек плоскости, из которых данный отрезок виден под заданным острым углом? 7. Какой вид имеет множество всех точек плоскости, из которых данный отрезок виден под заданным тупым углом?
178 Глаза 6. Центральные и вписанные углы 8. Приведите пример задачи на построение, которую удобно решать с использованием ГМТ, из которых отрезок виден под заданным углом. Задачи и упражнения 1. На окружности с отмеченным центром даны две точки. Постройте центральный и соответствующий ему вписанный угол. Сколько решений имеет эта задача? 2. Хорда АВ делит окружность на две дуги АМВ и АТВ так, что отношение их длин равно 4 : 5. Вычислите величины вписанных в эту окружность углов АМВ и АТВ. 3. Углы АМС и АТС — вписанные в одну и ту же окружность. Что можно сказать о величинах этих углов? 4. Центральный угол на 35° больше вписанного угла, опирающегося на ту же дугу. Вычислите величину каждого из этих углов. 5. Хорда рассекает окружность на две дуги, угловые величины которых относятся как 5:4. Под какими углами видна хорда из точек этой окружности? 6. Хорда рассекает окружность на две дуги, угловые величины которых относятся как 7:3. Под какими углами видна хорда из точек этой окружности? 7. Хорда АВ делит окружность на две дуги АМВ и АТВ так, что ^ АМВ :^ АТВ = 2:3. Вычислите величины вписанных в эту окружность углов АМВ и АТВ. 8. Хорда делит окружность в отношении 5:11. Определите величину вписанных углов, опирающихся на эту хорду. 9. Окружность разделена на пять равных дуг ^ АВ =^ ВС = =^ CD =^ DE =^ ЕА. Вычислите величины вписанных в эту окружность углов, стороны которых проходят через точки Л, J5, С, D, 2£, взятые попарно. 10. Вычислите вписанный угол, который опирается на дугу, составляющую |^ окружности.
§ 2. Вписанные углы 179 11. Сколько градусов и минут содержит дуга, которая вмещает вписанный угол, равный 37°21 ? 12. Дуга содержит 84°52 . Под каким углом из точек этой дуги видна ее хорда? 13. Окружность разделена в отношении 7:11:6 и точки деления соединены между собой. Определите углы полученного треугольника. 14. Хорда АВ делит окружность на две дуги, из которых меньшая равна 130°, а большая делится хордой АС в отношении 31:15, считая от точки А. Определите угол ВАС. * 15. Две окружности с центрами М и N пересекаются в точках А и В. Через точку А проведены диаметры этих окружностей С А и DA. Докажите, что точки В, С, D лежат на одной прямой. 16. Две окружности одинакового радиуса пересекаются под углом в 60°. (Углом между пересекающимися окружностями называют угол между касательными, проведенными к окружностям в точке их пересечения). Определите в градусах меньшую из дуг, заключающихся между точками пересечения окружностей. Рассмотрите два возможных варианта. 17. На сторонах угла ABC, равного 120°, отложены отрезки АВ = = ВС = 4 см. Проведите окружность через точки А, В и С я найдите ее радиус. 18. Гчлройте окружность, проходящую через две данные точки А и и так, чтобы угол между радиусом окружности, приведенным в точку F, и хордой АВ был равен 30°. 19. На данной прямой MN найдите точку, из которой данный отрезок виден под заданным углом. ♦ 20. На плоскости даны два отрезка, а и Ь. Найдите точку, из которой отрезок а виден под углом а, а отрезок b виден под углом /?. 21. В треугольнике найдите точку, из которой его стороны были бы видны под равными углами. 22. Постройте ромб по стороне и радиусу вписанной в него окружности.
180 Глава 6. Центральные и вписанные углы 23. Постройте общий перпендикуляр к двум данным параллельным прямым, который был бы виден из данной точки под заданным углом. 24. Постройте треугольник по основанию, углу при вершине и медиане, проведенной к основанию. 25. Постройте треугольник по радиусу описанной окружности, углу при вершине и высоте, проведенной из этой вершины. 26. Впишите в данную окружность треугольник, у которого известны сумма двух сторон и угол, противолежащий одной из этих сторон. 27. Постройте параллелограмм по его углу и диагоналям. § 3. ИЗМЕРЕНИЕ УГЛОВ ДУГАМИ ОКРУЖНОСТЕЙ. 3.1. Измерение вписанных углов дугами окружностей позволяет многие другие углы выразить через связанные с ними дуги. В этом пункте разберем, как можно измерять угол, вершина которого лежит вне данной окружности, а каждая сторона пересекает окружность в двух точках. Для удобства луч, пересекающий окружность в двух различных точках М и N будем называть секуъцей. Пусть дана окружность 5. Рассмотрим секущие АВ и CD, проведенные из точки Р вне окружности (рисунок 1). Соединим точки А и D (рисунок 2). Для треугольника PAD угол BAD является внешним. Поэтому LBAD = LAPD + ZADP,
§ 3. Измерение углов дугами окружностей. 181 откуда LAPC = LAPD = LBAD - ZADC. Так как углы BAD и ADC вписаны в окружность, то LBAD = I - £Д ZADC = 1-ЛС. Следовательно, ZAPC = l(w Ш>- w AC). В результате приходим к правилу, по которому можно вычислять угол между двумя секущими окружности. Величина угла между двумя секущими окружности равна полуразности угловых мер дуг, заключенных между сторонами угла. Пример 1. В окружность радиуса R вписан четырехугольник ABCD, у которого АВ = 2R и CD = R (рисунок 4). Найти угол между сторонами ВС и AD. Решение. Рассмотрим дуги АКВ и CD. Так как АВ диаметр, то ^ АКВ = 180°. Так как LCOD = 60°, то ^ CD = 60°. Поэтому угол АРВ между секущими ВС и AD равен 1АРС = = l(w АС- - BJD) ^ А#В- w CD) = 1(180° 60°) = 60°. Вопрос, Какие свойства параллельных прямых, пересекающих окружность, вы знаете?
182 Глава 6. Центральные и вписанные углы 3.2. Разберем, как можно измерять угол, образованный секущей и касательной к окружности, проведенными из одной точки вне окружности. Рассмотрим секущую ЛВ и касательную РК, проведенные к окружности из точки Р (рисунок 5). Через точку В, лежащую внутри отрезка АР, проведем хорду ВМ, параллельную РК. Тогда LAP К = LABM как соответственные при параллельных прямых. Угол АВМ — вписанный, а поэтому LAPK = LABM = — \ ^ AM. Так как хорда ВМ параллельна касательной РК, то дуги В К и МК равны. Поэтому AM =- АК- w МК =- АК- - ВК. Следовательно, LAPK = l(w АК- - ВК). LAPK- = i(w АК- - ВК) В результате приходим к правилу, по которому можно вычислять угол между секущей и касательной. Величина угла между секущей и касательной, проведенными к окружности из одной точки, равна полуразности угловых мер дуг, заключенных между сторонами угла. Пример 2. Из точки А вне окружности проведены касательная АВ и секущая, пересекающая окружность по диаметру CD, причем 1ВАС = 20° (рисунок 7). Найти углы треугольника BCD. Решение. Угол ВАС образован касательной и секущей, а поэтому 1ВАС =
§ 3. Измерение углов дугами окружностей. 183 = 20° = I(w BD- - ВС). Отсюда - BD =^ ВС + 40°. Так как CD диаметр, то — BD+ ^ ВС = 180°, откуда (— ВС + 40°)+ + - ВС = 180°, ^ ВС = 70°. Тогда ^ BD = 110°. Углы СРВ и BCD вписанные, а поэтому LCDB = ± — ВС = 35°, ZBC.D = = 2 w -^ = 55°- Третий угол CBD треугольника BCD прямой. Вопрос. Как выразить величину угла между двумя касательными к окружности, проведенными из одной точки, через угловые меры высекаемых дуг? 3,3. Разберем, как можно измерять угол между хордой и касаг тельной, проведенными из одной точки окружности. Рассмотрим окружность и из точки А этой окружности проведем хорду АВ и касательную АС. При этом возможны три случая. Первый случай. Хорда АВ — диаметр (рисунок 8). Тогда по свойству касательной угол ВАС прямой. Угол ВАС высекает на окружности дугу AM В, которая является диаметром, а поэтому ^ AM В = 180°. Следовательно, в рассматриваемом случае можно написать равенство /.ВАС = i - ВМА. Второй случай. Хорда АВ образует острый угол с касательной АС (рисунок 9). Проведем диаметр AD. Так как угол ABD опирается на диаметр окружности, то LABD = 90°. Поэтому IBAD+ +IBDA = 90°, откуда LBDA = 90°- —LBAD. Так как касательная АС перпендикулярна диаметру AD, то LBAD+ +LBAC = 90°. Следовательно, LBAC = 90° - LBAD = LBDA = \ потому что вписанный угол BDA опирается на дугу АВ. - АВ,
184 Глава 6. Центральные и вписанные углы Третий случай. Хорда АВ образует тупой угол с касательной АС (рисунок 10). Рассмотрим угол К ВС, дополняющий угол ABC до развернутого. Тогда на основании предыдущего случая LKAB = = \ ^ АВ. Поэтому LCAB = 180° - LKAB = ±(360°- ^AB) = U АРВ. В результате приходим к правилу, по которому можно вычислять угол между хордой и касательной. Величина угла между хордой и касательной, проведенными из одной точки окружности, равна половине угловой меры дуги, заключенной между сторонами угла. Вопрос. Какие свойства касательной к окружности вы знаете? 3.4. Разберем, как можно измерять угол, вершина которого находится внутри данной окружности. Пусть стороны угла с вершиной Р пересекают окружность 5 в точках А и В, как на рисунке 11. Найдем точки С и D пересечения продолжений лучей РА и РВ с окружностью S (рисунок 12). Рассмотрим треугольник APD. Угол АРВ является внешним для этого треугольника, поэтому LAP В = LADP+LDAP = LADB+LCAD. Так как углы ADB и CAD вписанные, то LADB = 1-ЛВ, LCAD = \^CD. По- этому LAPB = А(- АВ+ — CD). В результате приходим к правилу, по которому можно вычислять угол с вершиной внутри окружности.
§ 3. Измерение углов дугами окружностей. 185 Величина угла, вершина которого внутри окружности, равна полусумме угловых мер дуг, одна из которых заключена между сторонами угла, а вторая — между продолжениями сторон угла. Иногда это правило формулируют по-другому: угол между двумя хордами окружности равен полусумме угловых мер противоположных дуг, заключенных между этими хордами. Применяя правило в этой формулировке, нужно следить за соответствием между углами и дугами окружностей. Пример 3. Около треугольника ABC описана окружность и отмечены середины дуг, на которые точки А, В, С разбивают окружность (рисунок 14): точка М середина дуги АВ, точка N середина дуги ВС, точка К середина дуги АС. Докажем, что MN ± ВК. Доказательство. По условию ^ AM = = 1-Д-Я = 1- АС, - BN = = 1 ^ ВС. Применяя правило измерения угла с вершиной внутри окружности, получаем LMPK = £(~ МК+ - BN) = I(- A/If+ - AK+ - BN) = = 1(v AB+ w ЛС+ - ВС) = \ • 360° = 90°. Следовательно, MP J_ РКУ что и требовалось доказать. Вопрос. Как доказать, что по рассмотренному в этом пункте правилу центральный угол от 0° до 180° имеет такую же величину, как и по определению из пункта 1.3? Контрольные вопросы и задания 1. Как измеряется угол между двумя секущими, проведенными из одной точки? 2. Как измеряется угол между секущей и касательной, проведенными из одной точки?
186 Глава 6. Центральные и вписанные углы 3. Как измерить дугами окружностей угол между двумя касательными, проведенными из одной точки вне окружности? 4. Как измеряется угол между хордой и касательной, проведенными из одной точки окружности? 5. Как измеряется угол между двумя лучами, проведенными из одной точки внутри окружности? Задачи и упражнения 1. Из точки окружности проведены диаметр и хорда, равная радиусу. Найдите угол между ними. 2. Из точки окружности проведены две хорды, каждая из которых равна радиусу. Найдите угол между ними. 3. Через конец хорды, делящей окружность в отношении 3:5, проведена касательная. Определите острый угол между хордой и касательной. 4. Через один конец диаметра окружности проведена касательная, а через другой — секущая, которая с касательной составляет угол в 20°30/. Найдите меньшую из дуг, заключенных между касательной и секущей. 5. Определите, сколько градусов содержит дуга, если перпендикуляр, проведенный к хорде из ее конца, делит дополнительную до окружности дугу в отношении 5:2. 6. Точки А и В соединены двумя дугами, лежащими по разные стороны от прямой АВ. Дуга АСВ содержит 117°23' и дуга ABD содержит 42°37'. Середины С и D этих дуг соединены с точкой А. Определите угол CAD. 7. В данном круге проведены две равные параллельные между собой хорды, расстояние между которыми равно радиусу данного круга. Найдите острый угол между пересекающимися отрезками, соединяющими концы этих хорд. в! Хорды АВ и АС стягивают дугу АВ в 110°23' и дугу АС в 38°. Определите угол ВАС, Сколько различных ответов имеет эта задача?
§ 3. Измерение углов ругами окружностей. 187 9. Концы диаметра удалены от касательной на 0,6 и 1,6. Определите длину диаметра. 10. В окружность радиуса 6 см вписан правильный треугольник, на стороне которого построен квадрат. Вычислите радиус окружности, описанной около этого квадрата. 11. Через точку касания двух окружностей проведена секущая. Докажите, что касательные, проведенные через концы образовавшихся хорд, параллельны. 12. Дуга АВ окружности имеет величину 73°27'. Через точку В к окружности проведена касательная, пересекающая продолжение радиуса О А в точке С. Найдите величину угла АС В. 13. В окружности с центром О проведена хорда АВ и продолжена на расстояние ВС, равное радиусу. Из точки С через центр О проведена секущая, пересекающая окружность в точках D и Е так, что О лежит на отрезке CD. Докажите, что угол AOD равен утроенному углу ACD. 14. В равнобедренном треугольнике ABC углы при основании АС равны по 50°. Точка D внутри треугольника выбрана так, что LDAC = 10°, LDCA = 30°. Найдите угол BAD. 15. Из точки А окружности S проводятся хорды АВ, AC, AD так, что IB АС = LCAD = 60°. Докажите, что АС = АВ + AD. 16. Из точки А, расположенной вне окружности S с центром О, проведена касательная АВ, а из точки В опущен перпендикуляр ВС на прямую ОА. Докажите, что если проведенная из точки А секущая пересекает окружность S в точках М и N, то LMCB = LNCB. 17. Вершины треугольника ABC разбивают окружность S на три дуги, точка М — середина дуги АВ, точка N — середина дуги ВС. Пусть О — центр окружности, вписанной в треугольник ABC, а точки К и L — точки пересечения отрезка MN со сторонами АВ и ВС. Докажите, что четырехугольник OKBL — ромб. 18. Найдите множество всех точек плоскости, из которых два равных отрезка АВ и ВС, не лежащие на одной прямой, видны под равными углами.
188 Глава 6. Центральные и вписанные углы 19. На плоскости дан квадрат ABCD. Найдите множество всех точек плоскости, из которых отрезки АВ и CD видны под равными углами. §4. ВПИСАННЫЙ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИК 4.1. Напомним, что окружность называется описанной около многоугольника, если все вершины многоугольника лежат на этой окружности. В таком случае многоугольник называется вписанным. Существуют четырехугольники, около которых окружность можно описать. Например, помещая центр окружности в центре квадрата и проведя окружность через одну из его вершин, мы получим, что все вершины квадрата лежат на этой окружности. Однако, существуют четырехугольники около которых окружность описать нельзя. Например, возьмем ромб, составленный из двух равносторонних треугольников ABD и BCD. Через точки Л, В, С можно провести единственную окружность, центр которой совпадает с точкой D. Следовательно, все вершины этого этого ромба не могут лежать на одной окружности, то есть ромб ABCD на рисунке 2 не является вписанным четырехугольником. Каждый вписанный в окружность четырехугольник обладает следующим свойством. Теорема. Сумма двух противоположных углов вписанного четырехугольника равна 180°.
§ 4. Вписанный четырехугольник 189 Доказательство. Рассмотрим вписанный четырехугольник ABCD и опишем около него окружность. Тогда углы BAD и BCD являются вписанными в эту окружность. Поэтому LBAD = \ - BCD, LBCD = \ - BAD Следовательно, Z#AJ9 + LBCD = i(w £СТ>+ - £AD) = I • 360° = 180°. Равенство /.ABC 4- LADC = 180° можно получить аналогичными рассуждениями. Однако, проще воспользоваться тем, что сумма внутренних углов четырехугольника равна 360°. Тогда LABC + LADC = 360° - {LBAD + LBCD) = 369° - 180° = 180°. Пример 1, Около треугольника ABC описана окружность и из произвольной точки М дуги АС, не содержащей вершину В, опущены перпендикуляры MP и MR на прямые АВ и ВС (рисунок 4). Доказать, что прямоугольные треугольники AMP и С MR подобны. Доказательство. Рассмотрим четырехугольник АВСМ. Так как он вписан в окружность, то LABC+LAMC = 180°. Рассмотрим теперь четырехугольник PBRM. Так как LBPM = LBRM = 90°, то LPBR+ +LPMR = 360° - (LBPM + LBRM) = 180° или LABC + LPMR = = 180°. Из последнего равенства и равенства LABC + LAMC = 180° следует, что LAMC = LP MR. Если предполагать, что точка Р лежит на стороне АВ, то из этого равенства следует, что точка R вне стороны ВС. Тогда равенство LAMC = LPMR перепишется в виде LAMP+ Л-LPMC = LPMC + LCMR. Откуда LAMP = LCMR. Это значит, что прямоугольные треугольники AMP и С MR имеют по равному острому углу, а поэтому подобны.
190 Глава 6. Центральные и вписанные углы Доказанная в этом пункте теорема устанавливает свойство вписанного четырехугольника. Это значит, что если про четырехугольник известно, что он вписан в окружность, то он обладает свойством, сформулированном в теореме: сумма противоположных углов четырехугольника равны по 180°. Справедливо также утверждение, обратное свойству вписанного четырехугольника, которое можно считать признаком вписанного четырехугольника. Если сумма двух противоположных углов четырехугольника равна 180°, то около него можно описать окружность. Вопрос. Как доказать, что в рассмотренном примере четырехугольник PBRM является вписанным? 4.2. Докажем признак вписанного четырехугольника, который сформулирован в предыдущем пункте. Доказательство. Пусть для четырехугольника ABCD выполняется равенство LBAD + LBCD = 180°. (1) Опишем около треугольника BAD ок- j^^r^m ружность и выберем на дуге BmD этой Уг >w\^ окружности некоторую точку К (рису- Лр^^^^\Л нок 5). Тогда четырехугольник ABKD \ "у^ вписанный, а поэтому по доказанному в \. У предыдущем пункте свойству выполняется равенство И LBAD + LBKD = 180°. (2) Из равенств (1) и (2) получаем, что LBCD = LBKD, то есть отрезок BD виден из точек С и К под равными углами. Теперь заметим, что точки С и К расположены в одной полуплоскости относительно прямой BD, а в пункте 2.7 было доказано, что множество всех точек полуплоскости, из которых отрезок BD виден под заданным углом, совпадает с дугой окружности с концами В и D. Отсюда следует, что точка С попадает на окружность, которая О
§ 4. Вписанный четырехугольник 191 проходит через точки В, D, К, то есть на окружность, построенную на рисунке 6. Рассмотрим один пример на применение признака описанного четырехугольника. Пример 2. Биссектрисы двух углов перпендикулярны, а их стороны пересекаются в четырех точках А, В, С, £>, как на рисунке 7. Доказать, что точки А, В, С, D лежат на одной окружности. Доказательство. Обозначим LBEL = = LLEC = a, LCFL = LLFD = (3. На рисунке 8 имеем LLPF = 90° - /?, /РБЯ = LLPB - ZLEQ = (90° - Р) - а = = 90° - а - /?, ZPBQ = 180° - (90° - а - /?) = = 90° + а + /?. Аналогично на рисунке 9 получаем LERL = 90° - а, LRDF = Z£i?L - ZPFfi = 90° - а - /3. В итоге в четырехугольнике ABCD имеем /ЛВС + LADC = ZPBQ + ZBBF = = (90° - а - 0) + (90° + а + 0) = 180°. По признаку четырехугольник ABCD вписанный. Это и означает, что точки А, В, С, D лежат на одной окружности. Вопрос. Как доказать, что на рисунке 5 точки С и К лежат в одной полуплоскости относительно прямой BD?
192 Глава 6. Центральные и вписанные углы 4.3. В этом пункте разберем одну теорему, известную с древних времен. Теорема Птолемея. Произведение диагоналей вписанного в окружность четырехугольника ABCD равно сумме попарных произведений противоположных сторон: ACBD = ABCD + AD- ВС. Доказательство. Отметим на диагонали АС точку F, для которой LBFC = = LBAD (рисунок 10). Тогда LAFB = = 180° - LBFC = 180° - LBAD. Но из свойства вписанного четырехугольника /.BCD = 180° - LBAD. Поэтому LAFB = = LBCD. Измеряя вписанные углы дугами окружностей, получаем, что LBCF = LBDA, LBAF = LBDC. Следовательно, треугольники BFC и BDA имеют по два соответственно равных угла, а поэтому подобны (рисунок И). Значит, Q£ = J£, откуда BDCF = AD- ВС. (1) Аналогично, треугольники BAF и BDC имеют по два соответственно равных угла, а поэтому подобны (рисунок 12). Значит, откуда W BDAF^AB- CD. (2) Складывая почленно равенства (1) и (2), получаем BD ■ CF + BD ■ AF = AD ■ ВС + АВ ■ CD,
§ 4. Вписанный четырехугольник 193 BD • (AF + FC) = AD • ЯС + АВ • СД Б!) • АС = AD • ВС + АВ • CD, что и требовалось доказать. Вопрос. Как доказать, что на диагонали АС существует точка F, для которой LBFC = LBAD1 Контрольные вопросы и задания 1. Какую окружность называют описанной около многоугольника? 2. Какую окружность называют вписанной в многоугольник? 3. Какой многоугольник называют описанным около окружности? 4. Какой многоугольник называют вписанным в окружность? 5. Каким свойством обладает вписанный в окружность четырехугольник? 6. Сформулируйте признак вписанного четырехугольника. 7. Докажите признак вписанного четырехугольника. 8. Сформулируйте теорему Птолемея. 9. Сформулируйте утверждение, обратное теореме Птолемея. Задачи и упражнения 1. Докажите, что если две хорды одной окружности равны между собой, то расстояние от точки пересечения этих хорд или их продолжений до концов той и другой хорды соответственно равны между собой. 2. Докажите, что через точки пересечения биссектрис внутренних углов прямоугольника можно провести окружность. 3. В каком случае через середины сторон четырехугольника можно провести окружность ? 4. Через середину С дуги АВ проводят две произвольные прямые, которые пересекают окружность в точках D, Е и хорду АВ в точках F, Я. Докажите, что четырехугольник DEFH может быть вписан в окружность.
194 Глава б. Центральные и вписанные углы 5. Докажите, что во всяком треугольнике точки, симметричные с точкой пересечения высот относительно трех сторон треугольника, лежат на описанной окружности. 6. Докажите, что высоты остроугольного треугольника являются биссектрисами углов треугольника, образованного их основаниями. 7. Докажите, что основания перпендикуляров, опущенных из какой- либо точки окружности на три стороны вписанного треугольника, лежат на прямой. 8. Две окружности S\ и 52 пересекаются в точках А и В. Через точки А и В проводятся прямые and, пересекающие окружность S\ в точках М и TV, а окружность 5г в точках К и L. Докажите, что прямые MN и KL параллельны. 9. Четыре окружности расположены так, что каждая из них касается двух других окружностей. Докажите, что четыре точки касания расположены либо на одной прямой, либо на одной окружности. 10. На плоскости даны угол АОВ и биссектриса OL. Через вершину О проводится произвольная окружность, пересекающая стороны угла в точках Р и <2, а биссектрису — в точке S. Докажите, что отношение (ОР + OQ) : OS не зависит от выбора окружности. 11. На плоскости проведены четыре прямые, среди которых никакие две не параллельны и никакие три не проходят через одну точку. При пересечении этих прямых образуется четыре треугольника. Докажите, что окружности, описанные около этих четырех треугольников, имеют общую точку. 12. Окружность с центром О касается сторон угла в точках А и В. Через точку X отрезка АВ перпендикулярно ОХ проводится прямая, пересекающая стороны угла в точках М и N. Докажите, что MX = NX. 13. Дан параллелограмм ABCD. Точка О плоскости расположена вне параллелограмма так, что LOAB = ЮС В. Докажите, что тогда LAOB = LCOD. 14. Дан квадрат ABCD. Точки Р на стороне АВ и Q на стороне ВС
§ 5. Свойства хорд, секущих и касательных 195 выбраны так, что ВР = BQ. Из точки В на прямую PC опущен перпендикуляр ВН. Докажите, что угол DHQ — прямой. 15. Дан треугольник ABC. Постройте точку X так, чтобы четырехугольник АВСХ был одновременно и вписанным, и описанным. 16. Постройте треугольник по углу при вершине, высоте и медиане, проведенной к основанию. 17. Постройте параллелограмм по двум его диагоналям и одному углу. 18. Постройте треугольник по основанию, углу при вершине и сумме двух других сторон. 19. Постройте треугольник по основанию, углу при вершине и разности двух других сторон. 20. Впишите в данную окружность четырехугольник, у которого даны сторона и два угла, не прилежащие к этой стороне. 21. Постройте четырехугольник по двум диагоналям, двум соседним сторонам и углу, образованному двумя другими сторонами. §5. СВОЙСТВА ХОРД, СЕКУЩИХ И КАСАТЕЛЬНЫХ 5.1. Пусть даны окружность 5 и ее хорды АВ и CD, пересекающиеся в точке Р. Соединим между собой точки так, как на рисунке 1. Рассмотрим вписанные углы и получим: LCAP = LBDP, как опирающиеся на дугу ВС; LACP = IDBP, как опирающиеся на дугу AD. Отсюда следует, что треугольники АСР и BDP подобны.
196 Глава 6. Центральные и вписанные углы Соединим теперь между собой точки так, как на рисунке 2. Аналогично предыдущему получим, что треугольники ADP и ВСР подобны. Подобие рассмотренных треугольников оказывается полезным во многих задачах. Пример 1. В окружности хорды АВ и CD пересекаются в точке М так, что AM = MB и СМ = 2MD. Найти длину хорды CD, если АВ = 8 см. Решение. Обозначим DM = х (см). Тогда СМ = 2х см. Так как треугольники AM С и BMD подобны, то $£ = Щ, откуда АМ-МВ = CM-MD или 4-4 = 2х\ х2 = 8, х = 2>/2. Поэтому CD = СМ+ +MP = SMD = Zx = 6^2 (см). Вопрос. Как находят соответственные стороны в подобных треугольниках? 5.2. Рассмотрим хорды АВ и CD окружности, пересекающиеся в точке Р. Как следует из предыдущего пункта, треугольники АСР и BDP подобны. Записывая равенство отношений соответственных сторон этих треугольников, получаем Ш = 5Р' откуда АРВР = СР- DP. Это свойство пересекающихся хорд окружности сформулируем в виде теоремы. Если хорды АВ и CD окружности пересекаются в точке Р, то АРВР = СР- DP. Иногда эту теорему формулируют в следующем виде: произведения отрезков пересекающихся хорд окружности равны между собой.
§ 5. Свойства хорд, секущих и касательных 197 Пример 2. В окружности радиуса 7 см хорда АВ длиной 10 см делит диаметр CD точкой Е в отношении 1:6. Найти отношение АЕ : BE. Решение. Так как CD = 14 см и СЕ : ED = 1 : 6, то СЕ = 2 см, DE = = 12 см. Пусть АЕ = х см. Тогда BE = = (10 — х) см. По свойству пересекающихся хорд имеем АЕ • BE = СЕ • DE или х • (10 — х) = 2 • 12 = 24. Приходим к уравнению х2 — 10х + 24 = 0, корни которого xi = 4, x<i = 6. Поэтому либо АЕ = 6 см, BE = 4 см и АЕ : ЯЕ = 3 : 2; либо АЕ = А см, БЕ = 6 см и АЕ : В£ = 2 : 3. В обоих случаях хорда АВ делится диаметром в одинаковом отношении. Вопрос. Каким свойством обладают диагонали вписанного четырехугольника? 5.3. Справедливо утверждение, обратное свойству пересекающихся хорд окружности. Если два отрезка АВ и CD пересекаются в точке Р и выполняется равенство АР • ВР = СР • DP, то точки А, В, С, D лежат на одной окружности. Доказательство. Рассмотрим треугольники АРС и BPD. Эти треугольники имеют равные углы АРС и BPD, а из равенства АР • ВР = СР • DP следует равенство отношений 4i5 = ё£. Поэтому ААРС ~ ABPD по второму признаку подобия. Это значит, что соответственные углы САР и BDP равны. В результате получаем, что из точек А и D отрезок ВС виден под равными углами. Но так как точки А и D расположены в одной полуплоскости относительно прямой ВС, то из пункта 2.7 следует, что
198 Глаза 6. Центральные и вписанные углы точки А и D лежат на одной дуге окружности с концами В и С. Отсюда получаем, что точки А, 5, С, D лежат на одной окружности. Пример 3. Пусть окружности S\ и ^2 имеют общую хорду АВ. Через точку Р на отрезке АВ проводятся хорды MN окружности S\ и KL окружности 5г (рисунок 7). Доказать, что четырехугольник MKNL — вписанный. Доказательство. Так как АВ и MN хорды окружности 5i, пересекающиеся в точке Р, то АРВР = МР- NP. Аналогично рассматривая хорды АВ и KL окружности 5г, получим АР - ВР = = КР • LP. Следовательно, MP • NP = = КР - LP, и на основании утверждения, доказанного в этом пункте, получаем, что точки М, N, К, L на одной окружности. Вопрос. Какие признаки вписанного четырехугольника вы знаете: 5.4. Возьмем окружность 5 и из точки Р вне этой окружности проведем секущие АВ и CD (рисунок 8). Рассмотрим треугольники АР С и DP В. Эти треугольники имеют общий угол APD и равные углы ACD и ABD, так как эти углы опираются на одну дугу окружности. Поэтому ААРС ~ ADPB по первому признаку подобия, откуда АР _ СР DP ~~ ВР' что можно записать в виде АРВР = СР- DP. Это свойство секущих окружности сформулируем в виде теоремы. Если из точки Р вне окружности проведены секущие АВ и CD, то АРВР = СР- DP. Когда из точки Р проводится секущая, пересекающая окружность в точках А и В, то отрезки РА и РВ называются отрезками секущей.
§ 5. Свойства хорд, секущих и касательных 199 Поэтому доказанную теорему иногда формулируют в следующем виде: произведения отрезков секущих окружности равны между собой. Пример 4. Вне окружности радиуса 3 см взята точка Л, удаленная от центра О на расстояние 7 см. Точка В окружности находится на расстоянии 8 см от точки А. Найти расстояние от точки О до прямой АВ. Решение. Проведем прямые, как на рисунке 9, и вычислим АЕ = 10 см, AF = = 4 см. Пусть ВС = х см. Тогда АС = = (8 — х) см. По свойству секущих ABAC = AE-AF, откуда 8-(8-х) =4-10. Из этого уравнения х = 3, то есть ВС = 3 см. После этого задачу можно представить так: найти расстояние от центра О до хорды ВС длиной 3 см. Это уже несложно. Проведем ОН ± ВС. Тогда СЕ = \ВС = = § см, а поэтому ОН2 = ОС2 - СИ2 = = З2 - (|)2 = f, ОН = ^5 см. Вопрос, Как доказать, что на рисунке 8 треугольники APD и ВРС подобны? 5.5. Справедливо утверждение, обратное свойству секущих окружности. Если продолжения двух отрезков АВ и CD пересекаются в точке Р и выполняется равенство АР • ВР = СР • DP, то точки А, В, С, D лежат на одной окружности. Вопрос. Как доказать это утверждение? 5.6. Возьмем окружность 5 и из точки Р вне этой окружности проведем секущую АВ и касательную РК (рисунок 11). Рассмотрим треугольники АР К и ВРК. Эти треугольники имеют общий угол ВРК и равные углы КАР и ВКР, так как LKAP = ± — ВК и LBKP = ± w ВК. Поэтому ААРК ~ АВРК по первому признаку подобия, откуда ф% = Ур, что можно записать в виде
200 Глава 6. Центральные и вписанные углы АРВР^ РК2. Это свойство секущей и касательной сформулируем в виде теоремы. Если из точки Р вне окружности проведены секущая АВ и касательная РК, то АРВР = РК2. Эту теорему иногда формулируют в следующем виде: произведение отрезков секущей равно квадрату касательной. Пример 5. Даны две окружности с общим центром О. Провести прямую так, чтобы при ее пересечении с окружностями образовались три равных отрезка. Решение. Возьмем на большей окружности произвольную точку А и построим касательную AT к меньшей окружности. Если секущая АС — искомая, как на рисунке 12, то пусть AF = FB = х. Полагая AT = t, по свойству секущей и касательной получим х • 2х = t2, откуда х = -y-t. Следовательно, отрезок х можно построить циркулем и линейкой, найти точку F и искомую прямую провести через точки А uF. Вопрос. Как из свойства касательной и секущей вывести свойство секущих? 5.7. Справедливо утверждение, обратное свойству касательной и секущей. Если точки А и В расположены на одной стороне угла с вершиной Р, точка К расположена на другой стороне угла и выполняется равенство АР • ВР = РК2, то прямая РК касается окружности, проходящей через точки А, В и К. Рассмотрим один пример, где используется это утверждение. Пример 6. Турист, двигаясь по прямой дороге, желает сфотогра-
§ 5. Свойства хорд, секущих и касательных 201 фировать некоторое здание так, чтобы на снимке фасад здания получился как можно больше. Найти, из какой точки дороги ему следует фотографировать. Решение. По законам фотографии длина изображения любого отрезка на пленке зависит от угла, под которым виден отрезок: чем больше угол, тем больше изображение. Поэтому для анализа задачи через произвольную точку М дороги га проведем дугу окружности с концами А и В (рисунок 13). Известно, что из части плоскости, ограниченной этой дугой и прямой АВ, отрезок АВ виден под большим углом, чем IAMB. Поэтому когда проведенная дуга пересекается с прямой га в двух точках, то можно указать на прямой точку Mi, для которой LAM\B > IAMB. Такое не удается сделать, когда дуга окружности касается прямой. Отсюда приходим к следующему способу решения задачи: нужно построить окружность, проходящую через точки А л В и касающуюся прямой га. Для построения такой окружности заметим, что если прямая АВ пересекает прямую га в точке О, а окружность касается прямой га в точке М (рисунок 14), то ОАОВ = ОМ2. Построив отрезок длиной / = у/О А • ОВ , мы сможем на прямой га от точки О отложить отрезок длины / и получить две точки Mi и Мч прямой га, для которых выполняются равенства ОМ\ = О А • ОВ, ОМ\ = О А • ОВ. Описав окружности около треугольников АВМ\ и АВМ2 (рисунок 15), получим две окружности, проходящие через точки А и В и касающиеся прямой га. Ответом к задаче о туристе является m
202 Глава 6. Центральные и вписанные углы точка М\ на рисунке 15. Вопрос. Как доказать утверждение, рассмотренное в этом пункте? 5.8, Объединяет свойства хорд, секущих, касательных понятие степени точки относительно окружности. Степенью точки Р относительно окружности радиуса R с центром О называется число, равное OP2 — R2. Если обозначить степень точки Р через 5(Р), то S(P) = OP2 — Pi1. Степень положительна для точки Р вне окружности и равна РК2, где РК — отрезок касательной. пя точки Р на окружности степень равна нулю. Для точки Р внутри окружности степень отрицательна. Пример 7. В любом треугольнике расстояние d между центрами вписанной и описанной окружностей выражается из формулы £ = R2 - 2Яг, где R — радиус описанной окружности; г — радиус вписанной окружности. Эта знаменитая формула часто называется формулой Эйлера. Доказательство проведем в несколько этапов. I. Сделаем чертеж, как на рисунке 17, и найдем степень точки F относительно описанной окружности: S(F) = OF2 -R2 = d2- R2. Так как точка F внутри окружности, то произведение длин отрезков любой хорды описанной окружности, проходящей через точку F, равно —5(F) = R2 — (Р. В частности, R2-d2 = BF- FK.
§ 5. Свойства хорд, секущих и касательных 203 II. Обратим внимание на треугольник FKC (рисунок 18). Если обозначим LABF = LFBC = a, LACF = LAFC = = /3, то LKFC = LFBC + ZFCB = а+ +/?, ZFCtf = LFCA + ZACtf = ZFCA-h Л-LABK — а + /?. Следовательно, треугольник ifFC равнобедренный и KF = = СХ. Поэтому, R2 - d? = BF • FK = III. Построим два прямоугольных треугольника КМС и FJ9i2 (рисунок 19). Из равенства LKMC = LFBP следует подобие этих треугольников, откуда Щ- = Щ. Так как по построению КМ = 2i? и FP = = г, то BFCK = KMFP = 2Лг. Вспоминая равенство BF • (Ж = Я2 — сС2, получаем R2 -d? = 2Rr или сР = R2 - 2Яг, что и требовалось доказать. Вопрос. Для каких треугольников расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей равно нулю? Контрольные вопросы и задания 2г 3?* ъГ еГ Какое свойство имеют пересекающиеся хорды окружности? Сформулируйте и докажите теорему, обратную теореме о произведении отрезков пересекающихся хорд. Какое свойство имеют секущие, проведенные к окружности из одной точки? Сформулируйте и докажите теорему, обратную теореме о произведении отрезков секущих. Какое свойство имеют касательная и секущая, проведенные к окружности из одной точки? Сформулируйте и докажите теорему, обратную теореме о произведении отрезков секущей и касательной.
204 Глава 6. Центральные и вписанные углы Т. Как через две данные точки провести окружность, касающуюся заданной прямой? 8. Как определяется степень точки относительно окружности? 9. Как степень точки связана с отрезками хорд и секущих? 10. Какие задачи, связанные с именем Леонарда Эйлера, вы знаете? Задачи и упражнения 1. Из точки вне окружности проведены касательная длины а и секущая. Вычислите длину секущей, зная, что отношение внешней части к внутренней равно тгып. 2. Найдите вне данной окружности такую точку, чтобы касательная, проведенная из нее к этой окружности, была вдвое меньше секущей, проведенной из той же точки через центр. 3. Определите величину описанного около окружности угла, если кратчайшее расстояние от его вершины до окружности равно радиусу. 4- Пусть АВ — диаметр окружности, ВС — касательная. Секущая АС делится окружностью в точке D пополам. Определите угол DAB. 5. Даны окружность с хордой и касательной, причем точка касания лежит на меньшей из двух дуг, стягиваемых хордой. Найдите на касательной точку, из которой хорда видна под наибольшим углом. 6. Основание равностороннего треугольника служит диаметром окружности. На какие части делятся стороны треугольника полуокружностью, а полуокружность — сторонами треугольника? ** 7. Найдите наименьшую хорду, которую можно провести через данную точку внутри окружности. 8Г Угол при вершине равнобедренного треугольника равен 40°. Одна из боковых сторон треугольника служит диаметром полуокружности, которая делится другими сторонами на три части. Найдите градусные меры этих частей.
§ 5. Свойства хорд, секущих и касательных 205 9. Точка О лежит на серединном перпендикуляре к отрезку АВ. При вращении плоскости вокруг центра О отрезок АВ заметает кольцо с центром О. Докажите, что площадь кольца не зависит от расстояния между точкой О и прямой АВ. 10. Даны прямая а и точки А и В на этой прямой. Найдите множество точек касания всевозможных пар касающихся между собой окружностей, одна из которых касается прямой а в точке А, а другая касается прямой а в точке В. 11. Около равнобедренного треугольника ABC с основанием АС описана окружность S. Высота АН треугольника продолжена до пересечения с окружностью S в точке D. Найдите площадь треугольника ABC, если АН = 9 см, AD = 13 см. 12. Окружность S касается сторон угла с вершиной F в точках А и В. Через точку А параллельно FB проводится хорда АС окружности S. Пусть К — вторая точка пересечения прямой FC с окружностью S. Докажите, что прямая АК проходит через середину отрезка FB. 13. Докажите, что если две окружности касаются внешним образом, то отрезок их общей внешней касательной равен среднему геометрическому диаметров этих окружностей. 14. К окружности с центром О проведены параллельные касательные прямые а и 6. Третья касательная прямая m пересекает прямые а и b в точках А и В. Докажите, что угол АО В не зависит от выбора прямой га. 15. К окружности с центром О проведены две пересекающиеся касательные прямые а и Ь. Третья касательная прямая га пересекает прямые а и b в точках А и В. Докажите, что угол АОВ может принимать только одно из двух значений. 16. На данной прямой MN найдите точку, из которой данный отрезок виден под наибольшим углом. 17. Через заданную точку М внутри окружности проведите хорду, чтобы отрезки ее, заключенные между точкой М и окружностью, имели данное отношение р : q. 18. Через заданную точку вне окружности проведите прямую так,
206 Глава 6. Центральные и вписанные углы чтобы отрезки ее, заключенные между этой точкой и окружностью, имели данное отношение га : п. 19. Постройте треугольник по основанию, углу при вершине и данной на основании точке, через которую проходит биссектриса угла при вершине. 20. Впишите в данную окружность треугольник, у которого даны основание и отношение двух других сторон. 21. Впишите в данную окружность треугольник, у которого даны основание и медиана, проведенная к одной из оставшихся сторон. 22. В окружности проведены два диаметра. Постройте хорду, которая делится этими диаметрами на три равных отрезка.
ПЛОЩАДЬ глава В этой главе мы уточним основные свойства площади плоских фигур, выведем формулы для вычисления площадей прямоугольника, треугольника, параллелограмма и площади многоугольника. Будет введено понятие равносоставленности фигур и приведено еще одно доказательство знаменитой теоремы Пифагора. § 1. ПОНЯТИЕ ПЛОЩАДИ 1.1. Для практических потребностей вводится неотрицательная численная характеристика многих фигур плоскости, называемая площадью. Для понятие площади выполняются четыре основных свойства. 1. Если одна фигура содержится внутри другой, то площадь первой фигуры не больше площади второй. 2. Равные фигуры имеют равные площади. 3. Если какая-нибудь фигура разрезана на несколько частей, то площадь всей фигуры равна сумме площадей составляющих ее частей. 4. Единицей площади считается площадь квадрата со стороной, равной выбранной единице длины. Выбор единицы площади и перечисленные свойства позволяют на- 7
208 Глава 7. Площадь ходить площади многих фигур. Пример 1. На рисунке 1 заштрихованная область напоминает букву "О". Она разрезана на восемь неперекрывающихся частей: четыре треугольника и четыре прямоугольника. Поэтому площадь буквы "О" равна сумме площадей четырех треугольников плюс сумма площадей четырех прямоугольников. Вопрос. Что больше, площадь пола или площадь потолка в вашей классной комнате? 1.2. В десятичной системе обычно применяются следующие единицы площади: 1 мм2; 1 см2; 1 дм2; 1 м2; 1 км2. Это площади квадратов со сторонами соответственно в 1 мм, 1 см, 1 дм, 1 м, 1 км. Площади участков земли измеряются также в гектарах (га) и арах, которые иногда называют сотками (с): 1 га = 100x100 м = 10000 м2; 1с = 100м2. Основные свойства площади позволяют выразить крупные единицы площади через мелкие. Пример 2. Выразим 1 см2 через квадратные миллиметры. Разделим каждую сторону квадрата со стороной 1 см и площадью 1 см2 на 10 равных частей по 1 мм и проведем прямые, как на рисунке 2. Получим 10 полосок по 10 мелких квадратов в каждой. Всего 10-10 = 100 квадратов площадью по 1 мм2. Следовательно, 1 см2=100 мм2.
§ 1. Понятие площади 209 Похожим способом получаются и другие соотношения между единицами площади: 1дм2 = 100 см2, 1м2 = 10000 см2, 1км2 = 106м2. Вопрос. Чему равен 1 квадратный фут в квадратных дюймах, если известно, что 1 фут равен 12 дюймам? 1.3. Говоря о площади квадрата, подразумевают площадь ограниченной им области. Эта область показана на рисунке 3. Ее площадь считается равной площади квадрата. Точно так же и для треугольника. К сторонам треугольника добавляют его внутренние точки. Получают треугольную область, заштрихованную на рисунке 4. Площадь этой области принимают за площадь треугольника. Треугольник, как составленная из отрезков геометрическая фигура, является границей своей треугольной области. В задачах о вычислении площади многоугольника всегда имеют в виду площадь многоугольной области. Вопрос. Площади каких геометрических фигур вы можете вычислить? Контрольные вопросы и задания 1. Каковы основные свойства площадей плоских геометрических фигур? 2. Площадь какой фигуры принимают за единицу площади? 3. Как вычислить площадь фигуры, составленной из одинаковых не налегающих друг на друга квадратов?
210 Глава 7 Площадь 4. Какие единицы площади вам известны? 5. В каких единицах выражают площади земельных участков? 6. Что подразумевают, говоря о площади квадрата? Ш и ш з!* 4. 5?* Задачи и упражнения 1. Почему из четырех прямоугольников с площадями 18 см2, 21 см2, 64 см2 и 96 см2 нельзя составить прямоугольник площадью 200 см2? 2. Почему площади четырехугольников на рисунке 5 равны? Почему на рисунке 6 площадь треугольника ABC равна площади четырехугольника MNKL? Приведите свой пример двух фигур равной площади, которые не равны. а) Какие два из трех многоугольников на рисунке 7 имеют равную площадь? б) Какие многоугольники имеют разные площади? Разрежьте прямоугольник со сторонами 4 см и 9 см на две части, из которых можно составить квадрат. Разрежьте фигуру, изображенную на рисунке 8, на две части и составьте из них квадрат. Поля шахматной доски раскрашены в белый и черный цвета. Чему равна площадь всех белых полей, если сторона одной клетки шахматной доски равна 3 см?
§ 2 Площадь прямоугольника и квадрата 211 9. а)Чему равна площадь фигуры, изображенной на рисунке 9? б)** Чему равна площадь фигуры, похожей на предыдущую, но имеющую размеры в 101 шаг сетки клетчатой бумаги по горизонтали и в 101 шаг по вертикали? 10. Пол комнаты шириной 3 м и длиной 6 м нужно покрыть квадратными плитками со стороной в 30 см. Сколько таких плиток потребуется pjin покрытия всего пола? 11. Выразите в квадратных дециметрах следующие площади: а) 19 м2; б) 3 км2; в) 7| м2; г) ^ км2. 12. Выразите в квадратных миллиметрах следующие площади: а) 36± см2; б) | м2; в) -| дм2. 13. Выразите в сотках следующие площади: а) 24 га; б) 3^ км2; в) 12800 м2; г) | га. 14. Выразите в квадратных дюймах следующие площади, заданные в квадратных футах: а) 11; б) ^; в) 53|. §2. ПЛОЩАДЬ ПРЯМОУГОЛЬНИКА И КВАДРАТА 2.1. Изобразим на клетчатой бумаге прямоугольник (рисунок 1). Пусть а шагов сетки клетчатой бумаги — длина его горизонтальных сторон, b шагов сетки — длина вертикальных сторон, S — его площадь в клеточках. Разобьем прямоугольник на b горизон- ш
212 Глава 7 Площадь ш 1 1 L 1У> I Й <'•"> w ^^^ff тальных полосок высотой в один шаг сетки, как на рисунке 2. Полоски равны, а значит, их площади тоже равны. Площадь одной полоски равна а к2, так как она состоит из а клеточек. Поэтому произведение ab дает площадь всего прямоугольника. Получаем 5 = ab. На основании этого рассуждения сформулируем следующее правило. Площадь прямоугольника со сторонами а и b вычисляется по формуле S - ab. При вычислении по этой формуле нужно следить, чтобы длины сторон были выражены в одних и тех же единицах. Квадрат со стороной a - это прямоугольник со сторонами а и о. Поэтому по формуле площади прямоугольника получим 5 = a-a = а2. Площадь квадрата со стороной а вычисляется по формуле S — а2. Вопрос. Существует ли прямоугольник с площадью 1 см2, внутри которого можно поместить отрезок длины 1 м? 2.2. Вычисление точного значения площади может оказаться непростой задачей. Но можно научиться находить приближенные значения площади по недостатку и по избытку. Возьмем фигуру Ф на рисунке 3. Вместе с данной фигурой рассмотрим "сетку" из квадратов площадью, допустим, в 1 к2. Составим новую фигуру из всех таких квадратов, которые имеют с фигурой Ф общие точки (рисунок 4). Ее площадь равна 44 к2. Теперь рассмотрим фигуру из всех таких квадратов, которые целиком лежат внутри Ф, как на рисунке 5. Ее площадь равна 17 к2. Первое свойство площади позволяет с уверенностью сказать, что площадь S данной фигуры Ф больше 17 к2 и меньше гъ LU 1С V .»— *., > J f ^^ N \ V N ^ ^ S ' —«■ — -N -> \ ; * !
§ 2 Площадь прямоугольника и квадрата 213 44 к2. Такой результат вряд ли можно считать хорошим, так как разница между приближениями с избытком и с недостатком слишком велика. Поэтому рассмотрим "сетку" из квадратов со стороной в i шага сетки и площадью в|к2. Проведя аналогичные подсчеты на рисунках 6 и 7, получим 85 „2 4 К <S<IfOK2 или 2Uk2 < 5и5<35к2. 4 Таким образом, введение более мелкой "сетки" квадратов позволяет найти более точный результат. Вопрос. Какие величины можно считать приближенными значениями площади рассмотренной фигуры? 2.3. Возьмем на клетчатой бумаге прямоугольник, стороны которого параллельны линиям сетки, но вершины не обязательно лежат в углах сетки (рисунок 8). Пусть длина его горизонтальной стороны равна а, длина вертикальной стороны равна 6. Обозначим площадь прямоугольника через 5. В отличие от прямоугольника из пункта 2.1 числа а и Ь могут быть не целыми. Все квадраты, которые имеют с данным прямоугольником общие точки, составляют прямоугольник, содержащий данный. Пусть его стороны имеют длины а+ и 6+. Числа а+ и 6+ уже целые. Согласно пункту 2.2, площадь объемлющего прямоугольника равна произведению о+ • 6+. По первому [1 о
214 Глаза 7. Площадь свойству площади 1+ • ft+ > 5. Теперь рассмотрим.прямоугольник, составленный из всех квадратов, лежащих внутри исходного прямоугольника. Пусть длины его сторон выражаются целыми числами а~ и ft-. По первому свойству площади S>a~ -ft". Оценим разность между найденными приближенными значениями по избытку и недостатку для площади прямоугольника: Ь+ - а~ . ft" = а+ • ft+ ■ft- + а+ • Ь~ •ft" = = а+(Ь+ - 6") + (а+ - а')Ь~ < 2• а+ + 2• ft" < 2(а + 2) + 2ft = 2(а + ft + 2). Таким образом, разница между приближениями площади исходного прямоугольника по избытку и по недостатку не превосходит числа 2Ха -Ь Ь -h 2). Рассмотрим теперь значительно более мелкую сетку, составленную из квадратов в jq шага начальной сетки, площадь таких квадратов равна т~ площади квадрата начальной сетки (рисунок 9). Длина сторон исходного прямоугольника, измеренных в новой единице длины, равна 10а и 106. Все квадраты новой сетки, которые имеют с данным прямоугольником общие точки, составляют прямоугольник, содержащий данный. Пусть стороны этого прямоугольника имеют длины А+ иВ+. Площадь его равна произведению А* • В+ • ^. Прямоугольник, составленный из всех квадратов новой сетки, лежащих внутри исходного прямоугольника, имеет площадь А~ В~'Лг;, где А~ и В~ — длины его сторон, измеренные новой, меньшей единицей длины. Площадь S исходного прямоугольника заключена между площадями двух указанных прямоугольников: ТГ] 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 I 1 1 1 1 1 [ 1 IIIIIIIIIIIIIIIIIII 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 IIIIIIIIIIIIIIIIIII L1_1_LJ_l_l 1 1 1 1 1 1 I 1 1 III] ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^1 1 1 1 1 ||||||||llil|||l|]||| IIIIIIIIIIIIIIIIIII IIIIIIIIIIIIIIIIIII ll||||||lllllllllllll IIIIIIIIIIIIIIIIIII IIIIIIIIIIIIIIIIIII IIIIIIIIIIIIIIIIIII IIIIIIIIIIIIIIIIIII IIIIIIIIIIIIIIIIIII IIIIIIIIIIIIIIIIIII IIIIIIIIIIIIIIIIIII IIIIIIIIIIIIIIIIIII IIIIIIIIIIIIIIIIIII 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 J A+.F-^ZA-.B- 1 100*
§ 2. Площадь прямоугольника и квадрата 215 Снова оценим разность между приближениями площади S по избытку и по недостатку: Л ^ 100 Л ^ 100 100 - < 2-Л+ + 21-В" < 2(10a-f 2)4-2106 2(10а + 106 + 20) _ 2(о + 6 + 2) - 100 - 100 ^ 100 10 Тем самым, при выборе в 10 раз более мелкой сетки разница между приближениями площади уменьшилась по крайней мере в 10 раз. Выбрав сетку еще в 10 раз мельче, получим, что разница между приближениями площади прямоугольника не будет превосходить уже числа 2(о + 6 + 2) 100 и так далее. Мы получили, что для каждой сетки площадь исходного прямоугольника заключена между площадями объемлющего и внутреннего треугольника: 5+ > S > S~. С другой стороны, а+ > а > а", 6+ > Ь > 6", поэтому а+ Ъ+ >ab>a'b". Аналогично, ^>а>^;^>6>^;и А+-В+ >ab> А-В- 100 ^ао^ ЮО ' и так далее. Следовательно S+>ab>S~. Разница между S+ и S" за счет выбора сетки может оказаться сколь угодно малой, а так как между числами S+ и S" заключено единственное число аЪ, то S = аЬ. Вопрос. Чему равна площадь квадрата со стороной а?
216 Глаза, 7. Площадь (Ж1 2.4. Докажем, что площадь отрезка равна 0. Для этого выберем число /, которое не меньше длины отрезка и для произвольного положительного h построим прямоугольник со сторонами /и /i, содержащий отрезок АВ (рисунок 10). Если S — площадь отрезка, то 0 < S < I • А. Но этим неравенствам может удовлетворять только число 5 = 0, так как высоту h прямоугольника можно взять очень малой, а поэтому произведение l-h за счет подходящего выбора h также может оказаться очень малым. Следовательно, число S равно 0. Вопрос. Как показать, что площадь границы прямоугольника равна 0? 2.5. Найдем приближенное значение площади "единичного" круга, радиус которого равен единице длины. Число, равное площади такого круга, играет важнейшую роль в самых разных разделах математики и ее приложений. С давних времен это число принято обозначать греческой буквой тг. Возьмем лист клетчатой бумаги с шагом сетки, равным одной пятой единицы длины, и изобразим на нем единичный круг с центром в каком-нибудь из узлов (рисунок И). Рассмотрим фигуру Fu образованную квадратами сетки, все вершины которых принадлежат кругу. Легко подсчитать, что таких квадратов ровно 60 штук (рисунок 12). Площадь каждого из них равняется 0,22 = 0,04 единицы площади, поэтому площадь F\ состаг вит 0,04 х 60 = 2,4. Так как фигура F\ содержится в единичном круге, то ее площадь меньше площади круга и, следова- сш / / \ \\ / \ S Ч ** ^ Мм ш— *** *£ ч У N / \\ \ А /\
§ 2. Площадь прямоугольника, и квадрата 217 тельно, 2,4 < тт. Для вычисления значения числа 7г с избытком рассмотрим фигуру i^, образованную всеми квадратами сетки, хотя бы одна вершина которых лежит внутри круга (рисунок 13). Таких квадратов ровно 88, поэтому площадь F*i равняется 0,04 х 88 = 3,52. Так как фигура Fi содержит весь единичный круг, то ее площадь больше площади круга. Иными словами, тг < 3,52. Для отыскания более точных приближений рассмотрим сетку с более мелким шагом, например, равным 0,1 единицы длины. Действуя по тем же правилам, что и в предыдущем случае, снова составим фигуры F\ и i<2. Можно подсчитать, что теперь F\ состоит из 276, a Fi — из 344 квадратов. Поскольку площадь каждого квадрата равняется 0,12 = 0,01 квадратной единицы, то для числа 7г получаются такие оценки: 2,76 < 7г < 3,44. Эти приближения точнее, чем в первом случае. Но их все еще недостаточно для определения первой цифры числа 7г. Уменьшим шаг сетки в 10 раз и сделаем его равным 0,01 единицы длины. Если считать единицей длины метр, то такой шаг составит 1 см. Теперь подсчитать число квадратов в фигурах F\ и Fi будет совсем непросто. Если все-таки очень постараться и не допустить ошибок при счете, то окажется, что F\ состоит из 31016, a F2 — из 31796 квадратов. Площади фигур F\ и Fi соответствуют новым границам для числа 7г: 3.1016 < 7Г < 3,1796. Таким образом, мы определили сразу две точные цифры в десятичной записи числа 7г — цифру единиц и цифру десятых. Найденные приближения можно уточнить, уменьшив шаг сетки еще в 10 раз. Теперь он составит 0,001 единицы длины. Если по-прежнему считать метр единицей длины, то шаг окажется равным 1 мм, а для / 1 ШШ шш fv рш #9
218 Глава 7 Площадь подсчета числа квадратов в фигурах F\ и F2 придется изобразить круг метрового радиуса на миллиметровой бумаге! В данном случае непосредственный подсчет становится совершенно невозможным — потребуется слишком много времени, да и ошибок избежать вряд ли удастся. Поэтому прибегнем к помощи компьютера. Несложный расчет, который вполне по силам каждому школьнику, владеющему простейшими навыками программирования, показывает, что F\ будет состоять из 3137548, a F2 — из 3145520 квадратиков. Соответствующие приближения для числа 7г равняются 3,137548 и 3,14552. Видно, что новых точных знаков в десятичной записи числа ж найти не удалось. Сделаем, наконец, последний эксперимент и рассмотрим сетку с шагом в 0,0001 единицы длины. Для круга метрового радиуса шаг такой сетки равняется всего 0,1 мм и едва различим невооруженным глазом. Тем не менее, и в этом случае компьютер легко справится с необходимым расчетом и покажет, что F\ состоит из 314119052, а F2 — из 314199016 квадратиков. В итоге получатся следующие приближения для числа 7г: 3,14119052 — с недостатком и 3,14199016 -- с избытком. Таким образом, нам удалось найти четыре точных цифры в десятичной записи числа п. Продолжая уменьшать шаг сетки, можно в принципе вычислить число 7Г с любой степенью точности. Можно, например, показать, что 7г = 3,1415926536— Однако, столь высокая точность нужна крайне редко. Для большинства практических расчетов достаточно положить тг » 3,14. Вопрос. Во сколько раз возрастет площадь единичного круга, если увеличить в 2 раза единицу длины? Контрольные вопросы и задания 1. По какой формуле вычисляется площадь прямоугольника? 2. По какой формуле вычисляется площадь квадрата? 3. Как изменится численное значение площади, если вместо данной единицы длины взять в десять раз меньшую единицу? 4. Какие фигуры рассматриваются при нахождении значения площади: а) по недостатку; б) по избытку?
§ 2. Площадь прямоугольника и квадрата 219 Задачи и упражнения 4. 5. 6. 7. 87 9. 10. Вычислите площади прямоугольников со сторонами: а) 15 см и 21 см; 6)* 68 мм и 3 см; в) 34 км и 79 км; г)* 26 м и 525 см; е)* 17| дм и 5 м. д) Ц км и 2| км; Найдите площадь фигуры ABCDEF на рисунке 14, если АВ = б см, ВС = = 8 см, DE = 3 см, EF = 2 см. Вычислите площади квадратов со стороной: а) 9 см; б) 3^ км; в) 5^ дм; г) 111 мм; д) 1^ м. В прямоугольниках ABCD и MNKL сторона АВ равна стороне MN. Площадь прямоугольника ABCD в 5 раз больше площади прямоугольника MNKL. Чему равна длина отрезка ВС, если известно, что длина отрезка NK равна 12 мм? Найдите площадь участка, план которого приведен на рисунке 15, если GH = 7 м, НК = KL = LM = 2 м, AN = 5 м, CD = DE = 1 м. Укажите стороны прямоугольника с площадью 1 м2, внутри которого нельзя поместить квадрат площадью 1см2. В С F ню G N К И Как изменится площадь прямоугольника, если одну из его сторон увеличить в три раза, а другую уменьшить в два раза? Почему на столе шириной 60 см и длиной 90 см нельзя без наложения разместить 2000 монет, площадь каждой из которых Зсм2? Сколько рулонов обоев длиной 10 м и шириной | м потребуется на стену, размеры которой 2|м х 4 м? Сколько семян картофеля потребуется для посадки на участке шириной 8 м и длиной 75 м, если на одну сотку уходит 30 кг семян?
220 Глава 7. Площадь 11. Из каких прямоугольников, длины сторон которых выражаются целыми числами сантиметров, а сумма площадей равна 43 см2, можно составить прямоугольник, а из каких —- нельзя? ** 12. Покажите, что площадь единичной окружности равна тт. § 3. ПЛОЩАДЬ ТРЕУГОЛЬНИКА 3.1. Диагональ делит прямоугольник на два равных прямоугольных треугольника. Из свойств площади вытекает, что площадь прямоугольника равна удвоенной площади одного такого треугольника. Обозначим длины сторон прямоугольника ABCD на рисунке 1 через а и Ь. Тогда его площадь равна об. Следовательно, площадь треугольника ABC равняется hxb. Так как числа а и 6 — это длины катетов треугольника ABC, то приходим к следующему правилу. Площадь прямоугольного треугольника с катетами а и b вычисляется по формуле S = lab. Значения а и Ь в этой формуле следует выражать в одних и тех же единицах длины. Вопрос. Во сколько раз уменьшится площадь прямоугольного треугольника, если оба его катета уменьшить в 2 раза? 3.2. Формула площади прямоугольного треугольника позволяет вычислять площади многоугольных фигур на клетчатой бумаге. Пример 1. Найдем площадь треугольника ABC на рисунке 2, предполагая, что площадь квадратов сетки равна 1к2. Проведем дополнительные линии так, как это показано на рисунке 3. Тогда: AM = 2, ВЫ = 7, ВК = б, СК = 5, _2_ к с > -^ V N -> U / С *+ j / f / г *~ / * 7 в ——
§ 3 Площадь треугольника 221 CN = 2, ЛАГ = 4. Этого достаточно, чтобы вычислить некоторые площади. Площадь прямоугольника MNKB равна Si = MB ВК = 7 -6 = 42 (к2). Площадь треугольника ЛМВ равна 52 = \АМ-ВМ = ±-2-7 = 7(к2). Площадь треугольника BjF^C равна 53 = ifl/f • /ifС = 1 • б • 5 = 15 (к2). Площадь треугольника ANC равна 54 = ^iVC-AiV = i-2-4 = 4(K2). Прямоугольник MNKB составлен из треугольников, поэтому можем записать S\ = 52 4- 5з + *$4 + S&abc- Подставляя найденные числа, получим 42 = 7 4- 15 + 4 + S&abc или 42 = 26 + SbABC- Значит, SAABc = 42 - 26 = 16 (к2). Вопрос. Как свойства площади использовались при решении этой задачи? 3.3. Воспользуемся формулой площади прямоугольного треугольника для получения формулы площади произвольного треугольника. Проведем высоту к основанию АС треугольника ABC. Обозначим длину основания АС буквой а, длину высоты буквой h. Возможны три случая чертежа. Первый случай. Основание высоты, проведенной из вершины £, совпадает с L^-l вершиной треугольника ABC, как на рисунке 4. Тогда по формуле площади прямоугольного треугольника получаем S&abc = \- ah. Второй случай. Основание высоты, Л а проведенной из вершины В, лежит на м N Щ$ш ш щ >& с ш J$& ш №J{] ы в_ к —1 ь
222 Глава 7. Площадь Н А стороне АС треугольника ABC, как на рисунке 5. В таком случае площадь треугольника ABC равна сумме площадей прямоугольных треугольников АВН и ВНС. Следовательно, S&ABC = S&ABH + S&hbc = = UAH + HC)h \'ah- то есть S&abc - \- ah. Третий случай. Основание высоты, проведенной из вершины В, лежит на продолжении стороны АС треугольника ABC. как на рисунке 6. В таком случае можно записать равенство SaHBC = S&HBA + S&ABC- Следовательно, Saabc = Sahbc - S&hba = 2 " НС = I • {НС - НА) • h = i • AC • оЛ, то есть Saabc = g • ah. Таким образом, получаем общее правило. Площадь произвольного треугольника равна половине произведения его основания на высоту, проведенную к основанию. Вопрос. Как доказать, что равные треугольники имеют равные площади? 3.4. Формула площади треугольника позволяет получить новое доказательство теоремы Пифагора. Напомним ее форму-
§ 3. Площадь треугольника 223 лировку. Квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов его катетов. Доказательство. Пусть в прямоугольном треугольнике ABC длина гипотенузы АВ равна с, а длины катетов АС и ВС соответственно равны b и а. Рассмотрим квадрат ABDE со стороной длины с, внутри которого лежит вершина С данного треугольника (рисунок 7). Из точки Е проведем прямую, параллельную ВС, а из точки D — прямую, параллельную АС. Получим чертеж, изображенный на рисунке 8. Понятно, что треугольники АЕН, DEG и BDF — прямоугольные. Заметим, что каждый из углов ABC и НАЕ в сумме с углом ВАС дает 90°. Поэтому LABC — LEAH. Точно так же LEAH = LDEG, LDEG = LBDF. Таким образом, прямоугольные треугольники ABC, АЕН, DEG и BDF имеют равные гипотенузы и равные острые углы. Следовательно, эти треугольники равны друг другу. Площадь любого из них можно найти по формуле ^ ab. Длина каждой стороны прямоугольника CFGH равняется разности длин катетов в упомянутых равных прямоугольных треугольниках, то есть числу \а — Ь\. Поэтому прямоугольник CFGH — квадрат, а его площадь равняется \а — Ь\2 или (а — б)2. Площадь квадрата ABDE равна сумме площадей четырех равных прямоугольных треугольников и квадрата CFGH. Иными словами, с2 = 4 х i ab + (а б)2.
224 Глава 7 Площадь Раскрывая скобки по формуле квадрата разности, получаем с2 = 2ab + а2 - 2ab + b2 = а2 + б2, что и требовалось доказать. Теорема Пифагора применяется при решении самых разнообразных задач, возникающих не только в геометрии, но и во всех других областях науки и практики, где приходится иметь дело с прямоугольными треугольниками. Например, в физике, технике и даже в экономике. Существует более трехсот доказательств этой замечательной теоремы. Вопрос. Почему \а - Ь\2 = (а - б)2? 3.5. Равенство с2 = а2 + б2, о котором говорится в теореме Пифагора, выполняется только для прямоугольных треугольников. Действительно, предположим, что в треугольнике ABC стороны АВ = с, ВС = а, АС = 6 и известно, что с2 = а2 + б2. Построим такой прямоугольный треугольник MNK, у которого LMKN = 90°, NK — а, МК = 6. Тогда по теореме Пифагора MN2 = а2 + б2, а так как а2 + Ь2 = с2, то МЛГ2 = с2, откуда MN = с. В результате получаем, что треугольники ABC и MNK имеют соответственно равные стороны, а поэтому равны по третьему признаку равенства треугольников. Но тогда LACB = LMKN = 90°, а значит, треугольник ABC прямоугольный. В итоге доказан следующий признак прямоугольного треугольника. Если а, 6, с — стороны треугольника и при этом а2 + Ь2 = с2, то треугольник прямоугольный с катетами a, b и гипотенузой с. Вопрос. Как с помощью циркуля и линейки построить прямоугольный треугольник с гипотенузой 3 см и катетом \/5см? 3.6. Прямоугольные треугольники, все стороны которых выражаются натуральными числами, представляли интерес с давних времен. Наиболее известный из них — это треугольник с катетами 3 и 4, а гипотенузой 5. Он носит название: "египетский треугольник". С помощью египетского треугольника легко практически построить прямой
§ 3 Площадь треугольника 225 угол. Для этого достаточно взять веревку, размеченную на 12 равных частей, а затем растянуть и получить треугольник, как указано на рисунке 9. Укажем способ получения других прямоугольных треугольников с целочисленными сторонами. Возьмем любые натуральные числа m и п так, что га > п. Тогда у треугольника с катетами a = m2—п2 и b = 2mn гипотенуза будет с = m2 + п2. Например, при m = 5 см, п = 4 см получим прямоугольный треугольник со сторонами 9 см, 40 см, 42 см. Вопрос. Почему верно равенство (т2 - п2)2 + (2тп)2 = (т2 + п2)2? Контрольные вопросы и задания 1. Что такое катеты? 2. Перечислите основные свойства площади. 3. По какой формуле вычисляется площадь прямоугольного треугольника? 4. По какой формуле можно вычислять площадь произвольного треугольника? Задачи и упражнения 1. Почему равны площади частей прямоугольника, по-разному заштрихованных на рисунке 10? 2. Сделайте чертеж и найдите площади прямоугольных треугольников с катетами: а) б см и 2 мм; б) 8 см 3 мм и 4 см б мм; в) 38 мм и 72 мм. 3. Прямоугольник со сторонами 2 см и 4 см разделен диагоналями на четыре треугольника. Сделайте чертеж на клетчатой бумаге D>
226 Глава 7 Площадь и найдите площадь каждого треугольника. 4. Площадь прямоугольного треугольника равна 4 см2. Может ли один из катетов этого треугольника равняться 100 см? 5. а) Найдите прямоугольный треугольник с площадью 2 см2, внутри которого можно разместить квадрат площадью 1 см2; 6) найдите прямоугольный треугольник с площадью 100 см2, внутри которого нельзя разместить квадрат площадью 1 см2. 6. Найдите площади букв, изображенных: а) на рисунке 11, б) на рисунке 12. "121 тю id n ИИ J гг и Г N и I 1 1 I 1 1 1 П ш т и ы Почему площадь любого прямоугольника с вершинами в узлах клетчатой бумаги выражается целым числом клеточек? Почему площадь любого треугольника с вершинами в узлах клетчатой бумаги выражается или целым числом клеточек, или дробным числом со знаменателем 2? 9. Найдите площади четырехугольных звезд, изображенных на рисунке 13. При каком способе подсчета ответ получится достаточно быстро? 10. Нарисуйте какую-либо фигуру, ограниченную отрезками с концами в узлах клетчатой бумаги, и найдите ее площадь. *# 11. Нарисуйте треугольник с вершинами в узлах клетчатой бумаги, у которого есть сторона больше 20 шагов сетки, а площадь меньше 1 к2. 12. Найдите площадь изображенного на
§ 3. Площадь треугольника 227 рисунке 14 треугольника ABC. $ t / 1 ш Til с / А ff Г 13. Найдите площади фигур, изображенных на рисунке 15. № LJ_Jl 14. На клетчатой бумаге найдите площадь фигуры, изображенной: а) на рисунке 16; б) на рисунке 17; в) на рисунке 18; г) на рисунке 19. на н 1 1 . . J .,. на 15. Найдите площадь ромба, если длины его диагоналей равны: а) 3 см и 4 см; б) 5 см и 11 см; в) 1,25 дм и 0,39 дм. 16. Сколько краски потребуется, чтобы с двух сторон покрасить
228 Глава 7. Площадь сплошную дверь шириной 82 см и высотой 2 м 3 см, если на покраску 1 м2 уходит 80 г краски? 17. На рисунке 20 изображен прямоугольник. Найдите длины сторон прямоугольника в шагах сетки и вычислите по формуле его площадь. 18. Допустим, что в качестве единицы измерения площади выбрали равнобедренный прямоугольный треугольник с катетом в 1 см2. Чему равна в таких единицах: а) площадь квадрата со стороной 5 см; б) площадь круга с радиусом б см? 19. Нарисуйте треугольник с основанием а и высотой h, проведенной к основанию, и найдите площадь треугольника, если: а) a = 3 см, h = 5 см; б) a = 12 см, h = 2 см; в) a = 4,9 см, h = 0,3 см. 20. а) Проверьте, что в прямоугольном треугольнике ABC с катетами АВ = 15 см, ВС = 20 см проведенная к гипотенузе высота равна 12 см; б) проверьте, что значение площади такого треугольника, вычисленное по общей формуле, не зависит от того, какую сторону считать основанием этого треугольника. 21. а) Проверьте, что в треугольнике ABC со сторонами АВ = 13, ВС = 15, АС = 14 проведенная к стороне АС высота равна 12. б) Найдите длины высот этого треугольника, проведенных к сторонам АВ и ВС. 22. В треугольнике ABC площади 72 см2 проведена медиана ВМ. Найдите площадь треугольника АВМ. 23. В треугольнике ABC площади 99 см2 точки М и N делят сторону АС на три равные части. Найдите площадь треугольника BMN. 24. На рисунке 21 изображен треугольник ABC площади 20 см2, а точки М и N расположены на прямой АС так, что AM : МС = = 3:7, AN : NC = 8:1. Найдите площадь треугольника BMN.
§ 3. Площадь треугольника 229 25. На рисунке 22 изображен треугольник ЛВС площади 22 м2. Точка М расположена на высоте ВН так, что ВМ = ^ВН. Найдите площадь треугольника АМС. 26. На рисунке 23 изображен треугольник ЛВС площади 81 см2. На продолжении высоты ВН выбрана точка М так, что НМ : ВН = = 4:9. Найдите площадь треугольника ЛЫС. А 27? 28. 29?* Я С На рисунке 24 проведены две взаимно перпендикулярные прямые а и 6, пересекающиеся в точке Н. Остальные точки расположены так, что АН : МН = 3 : 5, NH : ВН = 7 : 9, СН : КН = 2 : 5, МН : КН = 8:7. Найдите отношение площади треугольника ЛВС к площади треугольника MNK. Площадь треугольника ABC, изображенного на рисунке 25, равна 2 см2. Точки М, N, К построены на продолжениях сторон так, что АК = АС, ВМ = В A, CN = СВ. Найдите площадь треугольника MNK. Площадь треугольника ЛВС, изображенного на рисунке 26, равна 5. На прямых АВ, АС и ВС построены соответственно точки М, N, К так, что AM = МБ, АС = СЛГ, КС = ±- ВС. Найдите площадь треугольника MNK.
230 Глава 7. Площадь Ш м в I \ '^ В У Л ву с I « N л/. к ■У-N М А НС К" к 30. Придумайте свой вариант задачи, похожей на задачу 29**. §4. ПЛОЩАДИ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКОВ 4.1. Рассмотрим параллелограмм ABCD расположенный так, как на рисунке 1. Проведем из точки В перпендикуляр ВН к стороне AD. Горизонтально расположенную на рисунке нижнюю сторону AD параллелограмма ABCD иногда называют основанием параллелограмма. К X АН D А Н L D В таком случае отрезок ВН называют высотой параллелограмма, проведенной к его основанию. Заметим, что если построить отрезок KL с концами на прямых ВС и AD, который параллелен высоте ВН, то KL = ВН. Поэтому отрезок KL тоже можно считать высотой, проведенной к основанию AD. Вопрос. Вершинами какого четырехугольника являются точки В, Я, L, К на рисунке 2?
§ 4 Площади четырехугольников 231 4.2. На рисунке 3 в параллелограмме ABCD проведем высоту ВН. Разобьем параллелограмм диагональю BD на два равных треугольника ABD и BCD. Площадь параллелограмма равна сумме площадей треугольников ABB и BCD. Так как S&bcd — S&abd и S^abd — = ^ • AD • ВН, то площадь параллелограмма равна S = \ • AD • ВН + 1 • уШ • Я# = AD • ВН. Обозначим длину основания AD буквой а, а высоту ВН — буквой h. Тогда равенство S = AD • ВН можно записать в виде формулы S = a • h. А II D Таким образом, получаем следующий результат. Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту, проведенную к этому основанию. Вопрос. Как доказать, что значение площади параллелограмма не зависит от того, в каком месте проводить высоту к данному основанию? 4.3. Рассмотрим пример, в котором не применяя формул удается найти площадь.
232 Глава 7 Площадь A L D A L D Пусть площадь параллелограмма ABCD равна S. Рассмотрим параллелограмм MNKL с вершинами в серединах сторон параллелограмма ABCD. Проведем отрезки МК и Л/Х, как на рисунке б, которые пересекаются в точке F. Получим четыре равных параллелограмма, площадь каждого из которых равна j. Отрезок МАГ делит параллелограмм MBNF на два равных треугольника, а поэтому Samnf = 2 Аналогично можно получить, что Sanfk = -g, Samfl £ = £ 4 8' ■g 7 S&LFK — "g- Так как площадь Т параллелограмма MNKL равна сумме площадей треугольников MNF, NKF, KLF, LMF, то 1 ~ * 8 " 2" Таким образом, площадь параллелограмма MNKL равна половине площади исходного параллелограмма ABCD. Вопрос. Как вычислить площадь ромба, зная длины его диагоналей? 4.4. Возьмем трапецию ABCD. Разобьем ее диагональю BD на два треугольника ABD и BCD, как на рисунке 7.
§ 4. Площади четырехугольников 233 Проведем высоты ВН и DP трапеции. Тогда ВН = DP и отрезок ВН является высотой треугольника ABD, проведенной к стороне AD, а отрезок DP является высотой треугольника BCD, проведенной к стороне ВС. Площадь S трапеции равна сумме площадей треугольников ABD и BCD. Поэтому S = S&ABD + SAbcd = \ADBH + \BCDP = = \ADBH + \BCBH = \{AD + ВС) - ВН. Обозначим длины оснований трапеции и ее высоту, как на рисунке 8. Тогда полученное значение для площади трапеции можно записать в виде формулы: S = 1 • (а + Ь) • h. Эту формулу можно прочитать так: площадь трапеции равна половине произведения суммы оснований трапеции на ее высоту. Вопрос. Как показать, что площадь трапеции равна произведению высоты трапеции на длину ее средней линии? д 4.5. В каждом выпуклом или невыпуклом четырехугольнике можно провести диагональ, которая разбивает четырехугольник на два треугольника. Тем самым вычисление площади четырехугольника можно свести к задачам на вычисление площадей треугольников. Вопрос. Чему равна площадь четырехугольника ABCD на рисунке 9, у которого диагонали взаимно перпендикулярны и равны б см и 7 см?
234 Глава 7 Площадь 4.6. Покажем, как произвольный четырехугольник можно превратить в равновеликий ему треугольник. Рассмотрим четырехугольник ABCD. Через вершину С проведем прямую т параллельно диагонали BD, а через вершину В — прямую п параллельно диагонали АС. Обозначим буквой К точку пересечения прямых тип. Так как перпендикуляры, проведенные из точек В и К к прямой АС, равны, то площадь треугольника АС К равна площади треугольника ABC. Следовательно, площадь четырехугольника AKCD равна площади исходного четырехугольника. Проведем теперь через вершину D прямую I параллельно диагонали АС до пересечения с прямой га в точке L. Аналогично предыдущему рассуждению получим, что площадь треугольника ACL равна площади треугольника ACD, а поэтому площадь треугольника AKL равна площади исходного четырехугольника ABCD. [Ш ш\ в /к .к Отметим, что сторона КL треугольника AKL равна и параллельна диагонали BD исходного четырехугольника ABCD. Вопрос. Как на рисунке 13 получить треугольник, равновеликий треугольнику AKL, у которого две стороны соответственно равны и параллельны диагоналям АС и BD данного четырехугольника
§ 4. Площади четырехугольников 235 ABCD1 4.7. Рассмотрим правильный шестиугольник ABCDEF. Отметим точку М -- середину CD, и точку N — середину DE. Проведем отрезки AM и BN, пересекающиеся в точке L. Докажем, что площадь четырехугольника LNDM равна площади треугольника ABL. Возьмем четырехугольник АВСМ. Повернем его вокруг центра О шестиугольника на 60° по часовой стрелке. Так как при таком повороте точка А перейдет в точку £?, точка В перейдет в точку С, точка С перейдет в точку D и середина отрезка CD перейдет в середину отрезка DE, д то четырехугольник АВСМ при повороте займет положение четырехугольника
236 Глава 7 Площадь BCDN. Следовательно, четырехугольники АВСМ и BCDN равны, а поэтому их площади тоже равны. Площадь треугольника ABL можно получить, вычитая из площади четырехугольника АВСМ площадь четырехугольника BCML, Площадь четырехугольника LNDM можно получить, вычитая из площади четырехугольника BCDM площадь четырехугольника ВС ML. Следовательно, Saabl = Sabcm - Sbcml = = Sbcdn - Sbcml = SLhdm, что и требовалось показать. Вопрос. Как доказать, что на рисунке 14 угол ALB равен 60°? 4.8. В некоторых задачах важно обращать внимание на отношение площадей. Рассмотрим следующий пример. Диагонали четырехугольника ABCD площади 60 см2 пересекаются в точке М, причем AM : МС = 3 : 2, ВМ : MD = 2:1 (рисунок 19). Найдем площади треугольников, на которые диагонали разбивают четырехугольник. Обозначим площадь треугольника AMD буквой х, то есть Samd = = х см2. Если основаниями треугольников AMD и CMD считать стороны AM и СМ, то проведенные к ним высоты совпадают. Поэтому Samd : Sqmd = AM : CM = 3:2 или x : Scmd = 3:2. По свой-
§ 4 Площади четырехугольников 237 ству пропорции получаем 2 • х = 3 • Scmd и Scmd = « * х. Аналогично £>Ш£> : 5лмв = MD : МБ = 1:2 или х ' Samb = 1 : 2, 2х = 1-5>шв> «5дмв = 2х. Аналогично Scmd ' Scmb = -DAf : ЯМ = 1 : 2 или | • а: : Scba/ = 1:2, Scmb • х Scmb, ±-х 3 х' Так как Sabcd = 5л в м + 55СА/ + Scdm + 5л dm» то 60 = 2х 4- 4 • х 4-1 • х 4- х, откуда 60 = 5х, х = 12. В итоге, Samd = х = 12 см2; CCmd = 1 • х = 8 (см2); -5ммв = 2х = и ADC, = 24(см2); 5Сл/в = f • х = 16 (см2) Вопрос. Чему равно отношение высот треугольников ABC проведенных к общей стороне АС? Контрольные вопросы и задания Как к заданному основанию парал- лелограмма провести его высоту По какой формуле можно вычислить площадь параллелограмма? 3. По какой формуле можно вычислить площадь ромба? 4. По какой формуле вычисляется площадь трапеции? 5. Как можно вычислить площадь четырехугольника?
238 Глава 7. Площадь «** 6. Как превратить четырехугольник в треугольник, равновеликий ему по площади? Задачи и упражнения 1. Найдите площадь параллелограмма ABCD, если известно, что /.ВАС = 45°, АВ = 9 см, AD = 4 см. 2. Периметр ромба равен 52 см, а одна из его диагоналей 10 см. Найдите площадь ромба. 3. Найдите площадь ромба, если его высота 12 см, а меньшая диагональ 13 см. 4. Найдите площадь параллелограмма со сторонами 7 см и 9 см и острым углом в 60°. 5. Найдите площадь параллелограмма со сторонами 5 см и б см и тупым углом в 150°. 6. Площадь параллелограмма равна 480 см2, его периметр равен 112 см, а §)»§^ расстояние между двумя противо- »/^г^*;^У//"7/» положными сторонами равно 12 см. */j__J_ J_J^L' /Г Найдите расстояние между двумя у 7 / J^CxjtJ'* другими противоположными сторо- :f I I I пУ\ у» н ам и. 7. Найдите площадь параллелограмма, 1 20 1 зная его высоты шипи периметр р. В С * д ^^^ру 8. Докажите, что если любую точку М I \^^000"^ I внутри параллелограмма соединить I"у\^ I с вершинами, как это изображено на / / N. / рисунке 20, то сумма площадей тре- I / >. / угольников АМВ и CMD равна сум- I/ \^ / ме площадей треугольников AMD и Г ^ ВМС- А и 9. Через вершину параллелограмма проведите три прямые, которые делят параллелограмм на четыре части равной площади. 10. Через вершину параллелограмма проведите две прямые, которые
§ 4. Площади четырехугольников 239 11. 12?* делят параллелограмм на три части равной площади. Проведите через заданную точку прямую, делящую площадь данного параллелограмма пополам. На диагонали параллелограмма выбрана произвольная точка и через эту точку проведены прямые, параллельные сторонам параллелограмма, как изображено на рисунке 21. Докажите, что площади заштрихованных частей равны. [Ж] [Ж] в с в^ „с A D 13. Диагонали прямоугольника имеют длину по 24 см и пересекаются под углом в 60°. Найдите площадь прямоугольника. 14. 15. 16. 17. 18. Постройте параллелограмм, равновеликий по площади заданному треугольнику. Постройте параллелограмм, равновеликий по площади заданному четырехугольнику. В параллелограмме ABCD точки М и К — середины сторон А В и CD, как отмечено на рисунке 22. Найдите площадь заштрихованной на рисунке части, если площадь параллелограмма равна S. Докажите, что медианы разбивают треугольник на шесть равных по площади треугольников. В треугольнике ABC площади 5 проведена средняя линия MN, парал-
240 Глава 7 Площадь лельная стороне АВ. Найдите площадь четырехугольника ABMN (рисунок 23). 19. В треугольнике ABC (рисунок 24) известны стороны АВ = 4 см, АС = = 7 см и площадь 10 см2. Точка М на стороне АВ и N на стороне АС расположены так, что AM = = 3 см, AN = 4 см. Найдите площадь четырехугольника BMNC. 20. В треугольнике ABC известны АВ = = с, АС = 6 и площадь S. Точки М на луче АВ и N на луче АС расположены так, что AM = га, AN = п. Найдите площадь четырехугольника с вершинами В, С, М, N. 21. Разделите треугольник на три равные по площади чести прямыми, проходящими через заданную вершину треугольника. 22. В треугольнике ABC на стороне АВ задана точка К. Проведите через точку К прямую, делящую площадь треугольника пополам. 23. На рисунке 25 точка М — середина стороны АВ, CD = ВС. Докажите, что площади треугольников AMN и CND равны. 24. На рисунке 26 известно, что CD : DB = 1 : 3 и S&cnd = = S&AMN- Найдите отношение AM : MB. 25. Выпуклый четырехугольник ABCD разбивается диагоналями на четыре треугольника ABM, ВСМ, CDM, ADM, площади которых соответственно равны Si, 5г, 5з, 54. Докажите, что Si • S3 = = S2 • S4. 26. Выпуклый четырехугольник разбили диагоналями на четыре треугольника, подсчитали площадь каждого из треугольников и получили следующие значения: 1994 см2,1995 см2,1996 см2,1997 см2. Докажите, что при подсчетах была допущена ошибка.
§ 4 Площади четырехугольников 241 27. На рисунке 27 точки М и N — середины сторон ВС и AD четырехугольника ABCD. Докажите, что площадь четырехугольника PMQN равна сумме площадей треугольников АВР и CDQ. 28. В равнобедренной трапеции основания 51 см и 69 см, боковая сторона 41 см. Найдите площадь трапеции. 29. В равнобедренной трапеции основания 42 см и 54 см, угол при основании 45°. Найдите площадь трапеции. 30. 31 Трапеция делится диагональю на два треугольника. Найдите площади этих треугольников, если основания трапеции 35 см и 29 см, а площадь 256 см2. В трапеции ABCD с прямым углом при вершине С известны основание ВС = 15 см и боковые стороны АВ = 17 см, CD = = 8 см. Найдите площадь трапеции. 32. Основания трапеции равны 12 см и 36 см. Найдите, в каком отношении делит площадь трапеции ее средняя линия. 33. Диагонали трапеции с основаниями AD и ВС пересекаются в
242 Глава 7. Площадь точке Р. равны. Докажите, что площади треугольников ЛВР и CDP 34. Прямые, параллельные основаниям трапеции, делят боковую сторону на три равные части. Докажите, что площадь средней заштрихованной на рисунке 28 части равна \ от площади 35. 36. 37Т всей трапеции. Каждая сторона трапеции разделена на три равные части и точки деления соединены так, как на рисунке 29. Докажите, что площадь центральной заштрихованной части равна ^ от площади всей трапеции. В круге радиуса R по разные стороны от центра проведены две параллельные хорды длиной R и #\/3. Найдите площадь трапеции, основаниями которой являются эти хорды. Середина М боковой стороны АВ трапеции ABCD соединена с вершинами противоположной боковой стороны. Докажите, что площадь треугольника MCD равна половине площади трапеции (рисунок 30). § 5. ПЛОЩАДЬ МНОГОУГОЛЬНИКА 5.1. Вы научились вычислять площади многих геометрических фигур. Например, если "жука" изображенного на рисунке 1, разбить на треугольники, параллелограммы, трапеции, то по известным формулам можно найти площадь
§ 5. Площадь многоугольника 243 всего жука . При правильных вычислениях площадь получится равной 42, если за единицу принять площадь квадрата сетки. Вопрос. Как можно вычислять площадь фигуры, имеющей ось симметрии? щ |^|?33$Й?883Г 1 [ JJ и к и I т $ ы № 5.2. С многоугольниками на клетчатой бумаге, вершины которых расположены в узлах, связаны некоторые интересные закономерности. Так, площадь "жука" можно найти новым способом. Подсчитаем число М узлов, которые лежат строго внутри "жука", и получим М = 18. Подсчитаем число К узлов, которые лежат на границе "жука", и получим К — 50. После этого площадь "жука" вычисляется по формуле Пика: S = M + f 1. Действительно, по формуле Пика S = 18+ у — 1 = 42. Это значение совпадает с тем, которое приведено в предыдущем пункте. Вопрос. Как с помощью формулы Пика объяснить, что треугольник на рисунке 3 не содержит ни одного узла клетчатой бумаги, кроме вершин? 5.3. Теоретически площадь любого многоугольника можно найти, разбивая многоугольник на треугольники. На -—Г" *—г — — — — 1— j 1 .... п — - -г- 1- ГТ" Е J 1
244 Глава 7. Площадь практике это не всегда удобно. Разберем некоторые другие возможности. Найдем площадь шестиугольника ABCDEF, у которого все углы равны по 120° и АВ = б см, ВС = 8 см, CD = 10 см, DE = 10 см. Продолжим стороны ВС, DE, AF так, чтобы получился равносторонний треугольник MNK, как на рисунке 5. Одновременно образуются еще три равносторонних треугольника АМВ, CND, EFK. Найдем стороны треугольников: MB = АВ = UА = 6 см; NC = CD = ND = 10 см; MN = MB + BC + CN = = б + 8 + 10 = 24 см; NK = МК = MN = 24 см; ЕК = NK - DN - DE = = 24 - 10 - 10 = 4 см; М A F К FE = FK = ЕК = 4 см. 2 /о Воспользуемся формулой S = У площади равностороннего треугольника со стороной а. Тогда Samnk = &fi = 144л/3(см2); 5дмлв = ^ = 9УЗ(см2); Sacwd = &fi = 25л/3(см2); 5д£™ = ^ = 4^(см2). Следовательно, площадь шестиугольника ABCDEF равна S = 144\/3 - 9л/3 - 25>/3 - 4л/3 = 106\/3(см2). Вопрос. Чему равна площадь шестиугольника с точностью до 1 см2? 5.4. Для описанного около окружности многоугольника можно получить удобную для практического применения формулу площади. Возьмем, например, пятиугольник ABCDE, описанный около окружности
§ 5. Площадь многоугольника, 245 радиуса R. Соединим центр окружности с вершинами и проведем радиусы ОН, ОМ, ON, OK, OL в точки касания, как на рисунке 6. Запишем площади треугольников: Saaob = 1 • АВ ■ ОЯ = 1 ■ АВ • Л; Saboc = \; ВС • ОМ = I • ВС ■ R Sacod = \CDON = \CDR Sadoe = \DEOK = \DER S&AOE \AEOL = \AER. Так как площадь пятиугольника равна сумме найденных площадей, то Sabcde = ±AB'R+±'BCR+ +\-CDR+\-DER+\AER = = \ • R(AB + BC + CD + DE + АЕ). В скобках получили периметр пятиугольника. Аналогичное рассуждение можно провести для любого описанного многоугольника и получить следующее правило. Площадь описанного многоугольника равна половине произведения радиуса окружности на периметр многоугольника. Вопрос. Как вычислить площадь треугольника, зная его стороны и радиус вписанной окружности? Контрольные вопросы и задания 1. Как можно вычислять площадь многоугольной области на клетчатой бумаге?
246 Глава 7. Площадь 2. По какой формуле можно вычислять площадь описанного около окружности многоугольника? 3. Как вычислить радиус вписанной в треугольник окружности, зная периметр и площадь треугольника? Задачи и упражнения 1. Найдите площадь фигуры изображенной: а) на рисунке 7; б) на рисунке 8; в) на рисунке 9; г) на рисунке 10. 2. Вспомните содержание пункта 4.2. Пусть М —- число узлов клетчатой бумаги, находящейся внутри многоугольной области, К — число узлов на границе, включая вершины, и S — площадь многоугольной области. Последовательно докажите, что формула S = М + | - 1 справедлива: а) для любого прямоугольника со сторонами, идущими по линиям сетки; б) для любого прямоугольного треугольника с катетами, идущими по линиям сетки; в) для любого треугольника; г) для объединения двух неперекрывающихся треугольников с общей стороной; д) для любой многоугольной области. 3. На рисунке 11 равносторонние треугольники ABF и FCD расположены так, что точки A, F, D лежат на одной прямой. Найдите площадь четырехугольника ABCD, если AF = 5 см, FD = 3 см.
§ 5. Площадь многоугольника 247 4. На сторонах прямоугольника ABCD I и 1 со сторонами а и b во внешнюю сторону построены равносторонние треугольники ABM, BCN, CDK, ADL. Найдите площадь четырехугольника MNKL. 5. Середина одной из диагоналей выпу- А к лого четырехугольника соединена с концами другой диагонали. Докажите, что полученная ломаная делит четырехугольник на две равные по площади части. 6. Превратите заданный пятиугольник в равновеликий ему четырехугольник. 7. Периметр описанного около окружности многоугольника 60 см, а площадь многоугольника 240 см2. Найдите радиус окружности. 8. Около окружности радиуса 25 мм описан многоугольник площади 20 см2. Найдите периметр многоугольника. 9. Выразите сторону правильного шестиугольника через его площадь 5. 10. Середины сторон правильного шестиугольника последовательно соединены между собой, так что получается меньший шестиугольник. Найдите площадь меньшего шестиугольника, если: а) сторона большего шестиугольника равна 4 см; б) площадь большего шестиугольника равна 20\/3 см2. 11. Пол комнаты, который представляет из себя прямоугольник со сторонами 7,48 м и 3,25 м, нужно застелить паркетом в форме правильных шестиугольников со стороной 12 см. Сколько для этого паркетных плиток взяли бы вы? Дл
248 Глаза 7. Площадь 12Т 13. Для правильного шестиугольника со стороной 2 (в некоторых единицах) строятся описанная и вписанная окружности. Докажите, что площадь кольца между этими окружностями равна 7г (в соответствующих единицах измерения площади). Найдите площадь фигуры, заштрихованной: а) на рисунке 12; б) на рисунке 13; в) на рисунке 14. [Ж] 1— т~ 1 — т i м № h+| ^ [ Jftk 1 у Ш^р*Ш| $ljPhJffffil$ ST. 1 к~1 В~1 щ\ г\ 1 § 6. РАВНОСОСТАВЛЕННЫЕ ФИГУРЫ 6.1. Рассмотрим на рисунке 1 фигуру, ограниченную равными дугами одной и той же окружности. Чему равна ее площадь? Глядя на рисунок, ответить на этот вопрос нелегко. Разрежем теперь фигуру так, как на рисунке 2, и переместим части, кале на рисунке 3. Если, наконец, приставить эти части друг к другу, как на рисунке 4, то получится прямоугольник площади 8, если за единицу принять площадь квадрата сетки. Теперь можно ответить на вопрос, чему равна площадь фигуры на рисунке 1. Ее площадь также равна 8, так как она составлена из тех же частей, что и прямоугольник на рисунке 4. Фигуры, составленные из одних и тех же частей, называют рае- носостаеленными. Равносоставленные фигуры обладают следующим свойством. ш / \ V ) ^ 1 \ S I у )\
§ 6. Равносоставленные фигуры 249 п п ш Равносоставленные фигуры имеют равные площади. Вопрос. Чему равна площадь параллелограмма на рисунке 5? 6.2. На рисунке б изображены два равных квадрата ABCD и A\B\C\D\, один из которых повернут относительно другого. и В F С Е 0 В квадрате ABCD из вершины А проведем отрезок АЕ, равный и параллельный отрезку А\В\. Отрезок DE продолжим до пересечения со стороной ВС в точке F, и через точку F проведем отрезок, параллельный A\D\ до пересечения со стороной CD в точке G. Взяв на стороне АВ такую точку Я, что ВН = CG, опустим из точки Н перпендикуляр до пересечения с отрезком АЕ. Занумеруем полученные
250 Глава 7. Площадь ш HKJ 1 1 1 1 1 1 мТ рк|Ы Nil NTM и с / N МП Mi/Mill фигуры, составляющие квадрат ABCD, числами 1, 2, 3, 4, 5. На рисунке 7 видно, как параллельно передвинуть фигуры 1, 2, 3, 4 и 5, чтобы получить квадрат A\B\C\D\. Таким образом, начальный и повернутый квадраты равносоставле- ны, что наглядно демонстрирует равенство их площадей. Вопрос. Дан прямоугольник, одна сторона которого в два раза больше другой. Можно ли его разрезать так, чтобы параллельно переместив полученные фигуры, получить квадрат? 6.3. Возьмем квадрат размером 8x8 и разрежем его на четыре части, как указано на рисунке 8. Переместим части и уложим так, как на рисунке 9. Получим фигуру, похожую на прямоугольник. Подсчитаем площади. Площадь квадрата была 82 = 64 клеточки, а площадь прямоугольника стала 5 13 = 65 клеточек. В чем дело? Дело в том, что привычка опираться на наглядность может иногда подводить. В приведенном примере нам показалось, что части можно точно подогнать друг к другу и составить прямоугольник. На самом деле этого сделать нельзя. Когда мы перекладываем части, то получаем картину, похожую на рисунок 10, только внутренняя полоска настолько узкая, что ее на глаз не отличишь от отрезка. Тем не менее эта узенькая полоска имеет площадь в одну клеточку. Вопрос. Почему узенькая полоска, условно изображенная на рисунке 10, имеет площадь в одну клеточку? ш ГНИ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 rH4il г 11И11Т*М44111 ш_11 пьи и гЧ С ^4. >< D ^J
§ 6. Равносоставлеиные фигуры 251 2. 3? \ш 1УК1 Mill m N 1 М и ИЧ1 \ /Ич Гм m f>J LH Т nkUr Контрольные вопросы и задания 1. Какие примеры равносоставленных фигур вы знаете? 2. Что можно сказать о площадях двух равносоставленных фигур? 3. Как вычислить гипотенузу прямоугольного треугольника по его катетам? 4. Как построить отрезок длиной \/20? Задачи и упражнения 1. Покажите, что равносоставлены прямоугольники ABCD со сторонами АВ = 6 см, ВС = 10 см и MNKL со сторонами МN = 4 см, NK = 15 см. Как получить отрезок, длина которого равна: а) л/200 см; 6)* \/5 см; в)" л/ГЗ см? На рисунках 11, 12 и 15 разрежьте левую из фигур на части и сложите правую фигуру. Как получить прямоугольник той же площади, что и заданный треугольник? Как разрезать левую фигуру на рисунках 13 и 14 на части, из которых можно сложить правую фигуру? Как разрезать левую и правую фигуры на рисунке 14, чтобы из полученных частей можно было сложить два равных квадрата? _12_ ЙШ н=и W \t Ж ±ш W 131 ffl ш щ 14 bfc
252 Глава 7. Площадь Пб1 111111 -I IE u / L i / f i \ У { \ } J f / f A r / f\ 7. На рисунке 16 изображены 12 фигур пентамино из 5 клеточек каждая. Какие прямоугольники можно пытаться складывать из всех фигур пентамино? 8. Почему прямоугольники ABCD со сторонами АВ = 1 мм, ВС = 1 м и MNKL со сторонами MN = 2 см и NK = 5 см равносоставлены? ** 9. Разрежьте квадрат на 20 равных треугольников и сложите из них 5 равных маленьких квадратов. 10. Равносоставлены ли четырехугольник и треугольник на рисунке 17? 11. Покажите, что фигуры на рисунке 18 равносоставлен ы. Ж] и гч 1 Г1 1 11 1 1 1 1 1 Шл II If 1 1 1 1 1 II "19] UN -И U Ы И1 ГгГ 12. Покажите, что фигуры на рисунке 19 равносоставлены. 13. На рисунке 20 изображены два равных квадрата, один из которых повернут относительно другого. Покажите, что можно параллельно переместить фигуры, на которые разрезан первый квадрат, так, чтобы сложить второй квадрат.
НАЧАЛА ТРИГОНОМЕТРИИ глава В этой главе будут определены тригонометрические функции острого угла и установлены основные соотношения между ними. Будет показано также, как вычислять с помощью тригонометрических функций стороны прямоугольных треугольников. В конце главы значения тригонометрических функций определяются для углов от 0° до 180°. § 1. СИНУС ОСТРОГО УГЛА 1.1. Возьмем прямоугольный треугольник ABC с катетами АВ и ВС. Рассмотрим острый угол ВАС. Катет ВС не содержит вершину А угла и называется про- тиволеоюащх1м углу ВАС (рисунок 1). Синусом острого угла в прямоугольном треугольнике называется отношение противолежащего катета к гипотенузе. В прямоугольном треугольнике ABC, изображенном на рисунке 1, синус острого угла ВАС равен отношению ^£. Синус угла а обозначается как sin а. Пример 1. Пусть в прямоугольном треугольнике MNK катеты MN — 4 см, NK = 3 см и гипотенуза МК = 5 см. Тогда sin LKMN = jg£ = |. 8
254 Глава 8. Начала тригонометрии Пример 2. Пусть в прямоугольном треугольнике EFG гипотенуза EF = = у/7 см, катет FG = \/3 см. Найдем синус угла EFG. Решение. EG2 = EF2 - FG2 = 7-3 = 4, откуда EG = 2 см. Следовательно, Вопрос. Как по рисунку 1 записать значение синуса угла АС В? 1.2. Рассмотрим два прямоугольных треугольника ABC и А\В\С\, у которых острые углы ВАС и BiAiCi равны (рисунок 4). По первому признаку подобия треугольник А\В\С\ подобен треугольнику ABC с некоторым коэффициентом подобия к. Поэтому AiCi = кАС,ВхСх = кВС,АхВх = кАВ. Записывая синус угла В\А\С\, получаем: Sin Z^i AiCi - ^ -кЛС-АС sin Z£AC. Следовательно, если каждый из двух прямоугольных треугольников имеет острый угол величины а, то синусы этих углов равны между собой. Иногда этот результат формулируют по-другому. Значение синуса острого угла не зависит от прямоугольного треугольника, содержащего угол такой величины. Таким образом, синус острого угла является характеристикой самого угла и не зависит от того, в каком прямоугольном треугольнике вычислять синус равного ему угла.
§ I. Синус острого угла 255 Вопрос. Пусть ВН — высота прямоугольного треугольника ABC с катетами ЛВ и ВС. Как доказать, что sin LB АН, вычисленный в треугольнике АВН, и sin IB АС, вычисленный в треугольнике ABC, равны? 1.3. Из предыдущего пункта следует, что значение синуса острого угла не зависит от выбора прямоугольного треугольника, содержащего равный ему угол. Используя это, найдем синусы некоторых углов. Пример 3. Для вычисления синуса 45° возьмем квадрат ABCD со стороной 1 и проведем диагональ АС (рисунок б). По теореме Пифагора АС = \/2. Так как LCAB = 45°, то sin 45° = sin L САВ Следовательно, = ?£ = 1 =& АС 72 2 ' sin 45° = &. Пример 4. Для вычисления синуса 30° возьмем равносторонний треугольник ABC со стороной 4 и проведем биссектрису AL (рисунок 7). Получим, что LLAC — = 30°, BL = LC = 2, а треугольник ALC прямоугольный. Поэтому sin 30° = sinLCAL = £т = \ = ± С А 4 2 Следовательно,
256 Глава 8. Начала тригонометрии sin 30° = ±. Пример 5. Для вычисления синуса 60° на рисунке 7 рассмотрим угол ACL прямоугольного треугольника ACL. Так как LACL = 60° и AL = у/¥^¥ = 2>/3, то sin 60° = sin I ACL = ^ = M = л^1. Следовательно, sin 60° ^з 2 " Пример 6. Для вычисления синуса 15° рассмотрим равнобедренный треугольник ABC, у которого АВ = АС = 4 и 1ВАС = 30° (рисунок 8). Вычислим сначала сторону ВС. Для этого проведем высоту ВН (рисунок 9). Так как Щ = sin LB АН = sin 30°, то АВ ' BN ~АВ ~ Г ^^J"" ~" - 2' ±, откуда БЯ = |ЛЯ = 2. 1з прямоугольного треугольника АВН находим ЛЯ2 = ЛЯ2 - ВН2 = 16 - 4 = 12, откуда АН = 2л/2, СЯ = 4 - 2\/3. Наконец, из прямоугольного треугольника ВСН получаем ВС2 = ВН2 + ЯС2 = 22 + (4 - 2л/3)2 = = 4 + 16 - 16л/3 + 12 = 32 - 16л/3 = = 8(4 - 2уД) = 8 • ((\/3)2 - 2л/3 + 1) = = 8-(v^-1)2 = (2v^(n/3-1))2, откуда ЯС = 2ч/2(л/3 - 1). Вычислив ЯС, в треугольнике ABC проведем биссектрису АК (рисунок 10).
§ 1 Синус острого угла 257 Получим, что /К АС = 15°, ВК = КС = ±Ж7 = л/2(>/3 - 1), а треугольник АКС прямоугольный. Поэтому sin 15° = sin ZJOIC = Ц£ = ^Kf-1). ЛС 4 Следовательно, sin 15° = л/2(у/3- Пример 7. Для вычисления синуса 75° на рисунке 9 рассмотрим прямоугольный треугольник ВСН. Так как /.АСВ = = LABC и /.ВАС = 30°, то /АСВ = = i(180° - 30°) = 75°. В предыдущем примере было найдено, что ВН = 2, ВС = = 2\/2(л/3 - 1). Поэтому ВН ™1ьа = ™'всн=вс = Ш^тГ = 2(у/3 + 1) = 2(n/3 + 1) = у/2(у/3 + 1) 2ч/2(л/3-1)(ч/3 + 1) 4%/2 4 Следовательно, Рассмотренные примеры позволяют заполнить таблицу sin75°=^<f+l>. 4 а sin а 15° у^2(у^-1) 1 4 30° 1 2 45° 2 60° __2L_ 75° n/2(^3+1) 4 Вопрос. Чему равно значение sin2 30° + sin2 60°? 1.4. Рассмотрим один из способов вычисления синуса 18°. Возьмем равнобедренный треугольник с боковыми сторонами АС и ВС, равными единице, и углом С между ними в 36° (рисунок 11). Основание АВ треугольника обозначим через х. Углы CAB и СВА при основании равны
258 Глава 8. Начата, тригонометрии А Н В 180° - 36° _ 79° 2 U * Проведем биссектрису AD. Она разобьет треугольник ABC на два равнобедренных треугольника ACD и ABD. При этом АВ = AD = CD = х. Следовательно, £Z) = jBC — х — 1 По свойству биссектрисы имеем CD _ BD х. то есть Отсюда х2 + х — 1 = 0. Решая это квадратное уравнение и помня, что х > 0, получим х 2 . Значит АВ = *^z-1. Проведя из вершины С высоту СН, треугольника ABC, получим прямоугольный треугольник АСН с острым углом 18°, гипотенузой 1 и противолежащим катетом АН длиной |. Следовательно, sin 18° = Ш = £ = &^± «0,3. Число х = *1Ь1 и о,6 называется золотым сечением единичного отрезка. Это число лежит в основе композиционных построений многих произведений искусства, и его связывают с идеальной красотой пропорций. На рисунке 12 изображен прямоугольник с отношением сторон, равным золотому сечению.
§ I. Синус острого угла 259 Вопрос. С каким коэффициентом подобия на рисунке 11 треугольник ABD подобен треугольнику ABC? 1.5. Синус угла можно использовать при вычислении длин сторон прямоугольного треугольника. Пример 8. Пусть в треугольнике ABC угол В прямой, АС — 5 см и sin LACB == 0,4 (рисунок 13). Вычислим АВ. Решение. По определению sin LACB = = 4ё. Подставляя известные числа, получаем 0,4 = 4Д, откуда АВ = 5 • 0,4 = = 2 (см). Пример 9. Пусть в треугольнике XYZ угол X прямой, XZ = 10 см и sin LXYZ = *ф (рисунок 14). Вычислим YZ. Y Z Решение. По определению sinLXYZ = ^. Подставляя известные числа, получаем | = ^, откуда у/В • XZ = 30, YZ = ^ = ^ = = бл/б (см). Вопрос. Как в прямоугольном треугольнике с гипотенузой 16 и острым углом а в 75° вычислить катет, противолежащий углу а? 1.6. В предыдущем пункте мы рассмотрели примеры использования синуса. Аналогичные задачи можно решать в общем случае. Пример 10. Пусть в прямоугольном треугольнике ABC известны гипотенуза АВ = с и sin IB АС = sin а. Положим ВС = а (рисунок 15). Тогда по определению sin а = a откуда а = с • sin а. В результате получаем правило:
260 Глава 8. Начала тригонометрии катет, противолежащий острому углу а, равен произведению гипотенузы на синус а. Пример 11. Пусть в прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом С известны катет ВС = а и sin LB АС = sin а. Положим АВ = с, как и на рисунке 15. Тогда по определению sin а = -, откуда а = csina, с = —^—. sin a В результате получаем правило: гипотенуза прямоугольного треугольника равна частному от деления катета на синус противолежащего ему острого угла. Вопрос. Как в прямоугольном треугольнике найти все стороны, если один катет равен 7 см, а противолежащий угол 60°? 1.7. На практике для приближенных вычислений можно использовать таблицы. Мы приведем следующую таблицу значений синусов углов с точностью до 0,0001 при градусном выражении углов. д° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 sing 0,0175 0,0349 0,0523 0,0698 0,0872 0,1045 0Д219 0,1393 0,1564 0,1736 0,1908 0,2079 J 0,2250 | 0,2419 0,2588 0,2756 0,2924 0,3090 g° 19 20 | 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 sina 0,3256 0,3420 0,3584 0,3746 0,3907 0,4067 0,4226 0,4384 0,4540 0,4695 0,4848 0,5000 0,5150 0,5299 0,5446 0,5592 0,5736 0,5878 g° |37~ 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 sing 0,6018 0,6157 0,6293 0,6428 0,6561 0,6691 | 0,6820 0,6947 ! 0,734 0,7193 0,7314 0,7431 0,7547 0,7660 0,7771 0,7880 0,7986 0,8090 g° 55 56 57 158 59 60 61 62 63 164 65 66 67 68 69 70 71 72 sing 0,8192 0,8290 0,8387 0,8480 0,8572 0,8660 1 0,8746 0,8829 0,8910 0,8988 0,9063 0,9135 •0,9205 0,9272 0,9336 0,9397 0,9455 0,9511 g° \w 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 sing 0,9563 0,9613 1 0,9659 0,9703 0,9744 0,9781 0,9816 0,9848 0,9877 0,9903 0,9925 0,9925 0,9962 0,9976 0,9986 0,9994 0,9998
§ I. Синус острого угла 261 Рассмотрим примеры использования этой таблицы. Пример 12. Самолет пошел на снижение под углом 10° к поверхности земли, находясь на высоте 3 км от поверхности. Какое расстояние пролетит самолет до приземления? Решение. Изобразим чертеж, как на рисунке 16, где А — точка, в которой находится самолет, В — точка его приземления, и АН — расстояние от самолета до поверхности земли. По условию АН = 3 (км) и LABH = 10°. Так как sin LABH = 4§, то отсюда АВ = А¥0<> = = з^о*' По таблиЦе sin 10° « 0,1736, а поэтому АВ « оТ73б ~ 17'2 (км) Следовательно, до приземления самолет пролетит больше 17 км. Пример 13. Нижний край лестницы, длина которой 6 м, установили в 2 м от стены здания, а верхний край прислонили к стене. Какой угол образует лестница со стеной? Решение. Изобразим чертеж, как на рисунке 17, где А — нижний край, В — верхний край лестницы и АН — расстояние от нижнего края до стены. По условию АВ — 6 м, АН = 2 м. Отсюда получаем, что sin LABH = ^ = = ^ « 0,3333. Найдем по таблице в столбцах значений синуса число 0,3256 — ближайшее к числу 0,3333. Так как 0,3256 « sin 19°, то LABH « 19°. Вопрос. С какой точностью угол в 19° дает ответ в примере 2? 1.8. Приведенная таблица значений синусов обеспечивает невысокую точность вычислений. Более точные вычисления производят с помощью микрокалькуляторов и ЭВМ.
262 Глава 8. Начала тригонометрии На микрокалькуляторе МК-54 вычисления проводятся с помощью клавиш sin, cos, tg, перед нажатием на которые нужно нажимать клавишу F. Переключатель Р-Г нужно установить в положение Г (градус). Например, вычисление sin 25° проводится в следующем порядке: 25 F sin 0,42261825. С точностью до 0,0001 принимаем sin 25° = 0,4226. Вопрос. до 0,001? Как найденное значение sin 25° округлить с точностью 1.9. Рассмотрим прямоугольную систему координат хОу. Для острого угла величины а построим равный ему угол АО В, вершина которого совпадает с началом О системы координат, одна сторона совпадает с положительным лучом оси Ох, а вторая сторона является лучом, расположенным в первой четверти (рисунок 18). Назовем угол АОВ изображением угла а на координатной плоскости. Изображение острого угла а на координатной плоскости однозначно определяется заданием луча ОВ. Этот луч можно получить из положительного луча оси Ох поворотом против хода часовой стрелки на угол а. Выберем на луче, определяющем угол а, точку М, отличную от точки О. Пусть точка М имеет координаты (а; 6). Так как точка М лежит в I четверти, то а > 0 и Ь > 0. Опустим из точки М перпендикуляры на оси (рисунок 19). Тогда ON = а, а так как OKMN — прямоугольник, то MN — ОК — Ь. По теореме Пифагора ОМ — у/о? + б2. Следовательно, по определению
§ 1 Синус острого угла 263 В результате получаем формулу для вычисления синуса угла а по координатам точки, лежащей на луче, который определяет угол а. Вопрос. На луче, определяющем угол в 60°, выбрана точка М на расстоянии 10 от начала системы координат. Какие координаты имеет точка М? 1.10. Формула (1) из предыдущего пункта выглядит наиболее просто, когда \/а2 + Ь2 = 1. Это выполняется тогда, когда точка М выбирается на окружности единичного радиуса с центром О (рисунок 20). В этом случае координаты (а; Ь) точки М удовлетворяют равенству а2 + Ь2 = 1, а формула (1) запишется в следующем виде: sin а = Ь. (2) Таким образом, синус острого угла а равен ординате точки пересечения луча, определяющего угол а, с единичной окружностью, центр которой в начале системы координат. Единичную окружность с центром О иногда называют тригонометрической окружностью. Каждому острому углу можно сопоставить точку тригонометрической окружности и определять синус угла как ординату этой точки. Пример 14. Пусть луч, определяющий острый угол а, пересекает тригонометрическую окружность в точке, абсцисса которой равна 2. Найдем sin а. Решение. Построим на оси Ох точку К с координатой | и проведем из К луч, перпендикулярный оси Ох и пересекающий тригонометрическую окружность в точке М (рисунок 21). По теореме Пифагора МК2 = ОМ2 - ОК2 = 1-1 = 5, Aj, К О )а ШО -уШ 1 у N х
264 Глава 8. Начала тригонометрии откуда МК = ^. Следовательно, точка М имеет координаты (|; ^ ], а значит, sin а = Y~. Вопрос. Как с помощью тригонометрической окружности построить острый угол, синус которого равен 0,3? Контрольные вопросы и задания 1. Что называется синусом острого угла в прямоугольном треугольнике? 2. Докажите, что значение синуса острого угла не зависит от выбора прямоугольного треугольника с таким углом. 3. Вычислите sin а при: а) а = 30°, б) а = 45°, в) а = 60°, г) а = 15°, д) а = 75°. *# 4. Как вычислить sin 18° с помощью золотого сечения? 5. Какая окружность называется тригонометрической? 6. Как вычислять синус острого угла с помощью тригонометрической окружности? Задачи и упражнения 1. Постройте острый угол а, если: a) sin а = |; б) sin а = |. 2. Вычислите сумму sin а+sin 2а-f sin За+sin 4a+sin 5a при a = 15°. 3. Вычислите площадь ромба по его стороне a = 2 см и острому углу a = 60°. 4. Вычислите площадь прямоугольного треугольника с острым углом 18° и гипотенузой с — 1 см. 5. Мачта укрепляется с помощью растяжек, длина которых равна 10 м, а угол наклона их к горизонтальной плоскости равен 60°. На какой высоте укреплены растяжки?
§ 2. Косинус острого угла 265 6. В прямоугольном треугольнике один из катетов имеет длину 15 см, а противолежащий ему острый угол равен 9°. Вычислите длину гипотенузы. 7. Дана окружность радиуса R = 1. Из точки, отстоящей от центра на расстояние d = 2, проведены две касательные. Вычислите угол между касательными. 8. Вычислите углы ромба, диагонали которого равны 2 см и 4 см. 9. С помощью микрокалькулятора или таблиц вычислите: a) sin20°40'; б) sin39°10\ #* 10. На луче О А, который составляет с осью Ох угол 30°, выбрана точка М на расстоянии 1 от биссектрисы первого координатного угла. Найдите координаты точки М. 11. Луч О А, составляющий с осью Ох острый угол а, пересекает тригонометрическую окружность в точке, которая удалена от оси Оу на расстояние |. Найдите sin а. 12. Вычислите координаты точки, которая лежит на тригонометрической окружности и одинаково удалена от оси абсцисс и биссектрисы первого координатного угла. 13. Луч О А, определяющий острый угол а, пересекает тригонометрическую окружность в точке М, которая удалена от биссектрисы 2-го и 3-го координатных углов на расстояние ^. Найдите sin а. 14. Вычислите площадь параллелограмма, смежные стороны которого равны 2 и 4, а острый угол равен 75°. 15. Определите высоту дерева, если известно, что в тот момент, когда лучи солнца падают на землю под углом 30°, длина тени от этого дерева равна 50 м. § 2. КОСИНУС ОСТРОГО УГЛА 2.1. Возьмем прямоугольный треугольник ABC с катетами А В и ВС. Рассмотрим острый угол ВАС. Катет АВ содержит вершину А угла и называется прилежащим к углу ВАС (рисунок 1).
266 Глава 8. Начала, тригонометрии Косинусом острого угла в прямоугольном треугольнике называется отношение прилежащего катета к гипотенузе. В прямоугольном треугольнике ЛВС, изображенном на рисунке 1, косинус угла ВАС равен отношению 41?. Косинус угла а обозначается как cos а. Пример 1. Пусть в прямоугольном треугольнике MNK катеты МN = 12 см, NK = 5 см и гипотенуза МК = 13 см. Тогда cos LKMN = М£ = 12 Вопрос. Чему равно значение cos LMKN в прямоугольном треугольнике из рассмотренного примера? 2.2. Рассмотрим в прямоугольном треугольнике ABC (рисунок 3) оба острых угла: LBAC и LACB. Так как LBAC+ +LACB = 90°, то LACB = 90° - /.ВАС. По определению cos ABAC = ^Ш и sin LACB = ^. Следовательно, cos LBAC = sin LABC = sin(90° - LBAC). В результате получаем равенство cos LBAC = sin(90° - LBAC). (1) В первом параграфе было доказано, что синус угла зависит только от величины этого угла. Поэтому из равенства (1) следует, что косинус угла также зависит только от величины угла и не зависит от прямоугольного треугольника, содержащего угол такой величины. Обозначив величину угла через а, равенство (1) можно записать в виде cos a = sin(90°-a) (2)
§ 2. Косинус острого угла 267 Вопрос. Как, опираясь на определение косинуса, доказать, что значение косинуса острого угла не зависит от прямоугольного треугольника, содержащего угол такой величины? 2.3. Найдем значения косинусов некоторых углов, используя формулу cos а = sin(90° — а). 2 ' Пример 2. cos 45° = sin(90° - 45°) = sin 45( Пример 3. cos 60° = sin(90° - 60°) = sin 30° = ±. Пример 4. cos 30° = sin(90° - 30°) = sin 60° = ^. Пример 5. cos 75° = sin(90 - 75°) = sin 15° = ^(л/3-l) Пример 6. cos 15° = sin(90° - 15°) = sin 75° = ^2Щ±А, Эти примеры позволяют заполнить таблицу. a cos а 15° л/2(ч/3 + 1) 4 30° 2 45° Л 2 60° 1 2 75° у/2(л/3 -1) 4 Вопрос. Как по таблице из пункта 1.7 найти приближенное значение cos 23°? 2.4. Косинус угла можно использовать для вычисления длин сторон прямоугольного треугольника. Пример 7. Пусть в треугольнике ABC угол В прямой, АС = 8 см и cos LAC В = | (рисунок 4). Вычислим ВС. Решение. По определению cos LAC В = = 49?. Подставляя известные числа, получаем | = ^р, откуда ВС = 8 • | = = f (см). Пример 8. Пусть в треугольнике EFG угол F прямой, EF — 2 см и cos LFEG = —7- (рисунок 5). Вычислим ЕС
268 Глава 8. Начала, тригонометрии В Решение. По определению cos LFEG = = М£;. Подставляя известные числа, получаем -К- = ^, откуда EG = 2 • 5^3 = EG' В = Юл/3 (см). Пример 9. Самолет, находящийся в точке А, расположенной над пунктом В, виден из пункта С под углом 7° к поверхности земли. Чему равно расстояние Л С, если ВС = 1,5 км? Решение. По определению Ц£ = cos LAC В, откуда АС = —^дсв' По условию /ЛСБ = 7°, поэтому cos ZACJ9 = cos 7° = sin 83° «S0,9925. Следовательно, AC = B(^0 « Q Q'JL ? что можно получить по таблице из пункта 1.7. Следовательно, АС = ^^г ~ оМ*5 ~ 1'^1 ^км^* ^а~ ким образом, расстояние от точки С до самолета мало отличается от расстояния ВС. Вопрос. Как в примере 3 найти высоту самолета над поверхностью земли? ш В 2.5. В предыдущем пункте мы рассмотрели примеры использования косинуса. Аналогичные задачи можно решать в общем случае. Пример 10. Пусть в прямоугольном треугольнике ABC известны гипотенуза АВ = с и cos LBAC = cos а. Положим AC = b (рисунок 7). Тогда cos a = -, откуда b = с • cos a. В результате получаем правило: катет, прилежащий к острому углу а, равен произведению гипотенузы на косинус а. Пример 11. Пусть в прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом С известны катет АС = 6 и cos LB АС — cos а. Положим АВ = с, как и на рисунке 7. Тогда cos a = -, откуда 6 = с • cos a, cos a
§ 2. Косинус острого угла 269 В результате получаем правило: гипотенуза прямоугольного треугольника равна частному от деления катета на косинус прилежащего к нему острого угла. Вопрос. Как в прямоугольном треугольнике найти высоту, проведенную из вершины прямого угла, если известны гипотенуза и косинус одного из острых углов? 2.6. Рассмотрим прямоугольную систему координат и лучом О А изобразим острый угол величины а. Выберем на луче О А точку М, отличную от точки О. Пусть точка М имеет координаты (а; 6), где а > 0 и Ъ > 0. Опустим из точки М перпендикуляры на оси (рисунок 8). Тогда ON = а, МАГ = 6, ОМ = у/о? + б2, и по определению cos а ON СУМ a >/а2 + 62' (3) Ау К О у(м /)а ! N m X > vj -у* Да > В результате получаем формулу для вычисления косинуса угла по координатам точки, лежащей на луче, который определяет угол а. Формула (3) выглядит особенно просто, когда точка М выбирается на тригонометрической окружности (рисунок 9). В этом случае координаты (а; Ь) точки М удовлетворяют равенству а2 + Ь2 = 1, а поэтому формула (3) запишется в следующем виде: cos а = а. Таким образом, косинус острого угла равен абсциссе точки пересечения луча, определяющего угол а, с тригонометрической окружностью. Вопрос. Как с помощью тригонометрической окружности построить острый угол, косинус которого равен 0,4?
270 Глава 8. Начала тригонометрии 2.7. Пусть острый угол а определяется лучом, который пересекает тригонометрическую окружность в точке М с координатами (а; Ь). Тогда а2 + 62 = 1, а = cos а, b — sin а. Следовательно, cos2 а + sin2 а = а2 + б2 = 1. В результате получаем равенство sin2 а + cos2 а = 1, которое выполняется для любого острого угла а. Вопрос. Как найти sin а, если угол а острый и cos а = ^? Контрольные вопросы и задания 1. Что называется косинусом острого угла в прямоугольном треугольнике? 2. Докажите, что cos а = sin(90° — а) для любого острого угла а. 3. Вычислите cos а при : а) а = 30°; 6) а = 45°; в) а = 60°; г) а = 15°; д) а = 75°. 4. Докажите, что в прямоугольном треугольнике катет, прилежащий к острому углу а, равен произведению гипотенузы на косинус угла а. 5. Как вычислять косинус острого угла с помощью тригонометрической окружности? 6. Докажите, что sin2 a + cos2 a = 1 для любого острого угла а. Задачи и упражнения 1. Постройте острый угол а, если a) cos а = |, б) cos а = |.
§ 2. Косинус острого угла 271 2. Докажите, что sin а = cos(90° — а) для любого острого угла а. 3. Вычислите сумму cos а 4- cos 2а + cos За + cos 4а + cos 5а при а = 15°. 4. Докажите равенство sin 15° + sin 30° + sin 60° + sin 75° = = cos 15° + cos 30° + cos 60° + cos 75°. 5. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 2 и один из острых углов равен 60°. Вычислите прилежащий к этому углу катет. 6. Вычислите гипотенузу прямоугольного треугольника, в котором один из острых углов равен 48°, а прилежащий к этому углу катет 10. 7. К окружности радиуса 1 из одной и той же точки проведены две касательные. Вычислите угол между касательными, если длины касательных равны 2. 8. Луч О А, определяющий острый угол а, пересекает тригонометрическую окружность в точке с ординатой ^ Найдите а и cos а. 9. Вычислите: а) 2 sin 60° + 6 cos 30° -2; б) (sin 30° + sin 60°) • (cos 30° - cos 60°); в) (sin 30° + cos 60°) • (sin 60° - cos 30°). 10. Докажите, что для любого острого угла а верно равенство: а) (sin а + cos а)2 -f (sin а — cos а)2 = 2; б) sin4 а — cos4 а = 2 sin2 а — 1; в) 1 + sin2 а - cos2 а = 2 sin2 а; г) (1 -f cos а) • (1 — cos а) = sin2 а; д) sin4 а + cos4 а 4- 2 sin2 а • cos2 а = 1; ej* sin6 а + cos6 а = 1 - 3sin2 а • cos2 а. 11. В прямоугольном треугольнике даны гипотенуза с и острый угол а. Найдите катеты и их проекции на гипотенузу.
272 Глава 8. Начала тригонометрии § 3. ТАНГЕНС И КОТАНГЕНС ОСТРОГО УГЛА 3.1. С помощью синуса и косинуса угла определяется тангенс угла. Тангенсом острого угла а называется отношение зпш.# Тангенс угла а обозначается как tga, и по определению имеем равенство tga = sina. ° cos a Найдем значения тангенсов некоторых углов. Пример!. tg45° = "; = f :f = 1. Пример 2. tg30° sin 30° = 1 . y/Z = J_ cos 30° 2*2 уД' Примера. tg15° = ^ = ^4^I1:^bf±J) = - >/3-1 _ (\/3- I)2 _ 3-2у/3 + 1 _ 9 _ ,/о Аналогично можно вычислить значения тангенсов остальных углов, записанных в следующей таблице: a tgct 15° 2-л/3 30° 1 45° 1 60° л/3 75° 2 + л/3 Вопрос. Как показать, что tg60° = л/3? 3.2. Рассмотрим, как тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике связан с его сторонами. Пусть в треугольнике ABC угол С прямой и АВ = с, АС = 6, ВС = а, 1ВАС = а. По определению sina = -££ = £,cosa=^g '-, а тогда tga _ sina _ a . 6 b' В результате получаем следующее правило. В прямоугольном треугольнике тангенс острого угла равен отношению
§ 3. Тангенс и котангенс острого угла 273 противолежащего катета к прилежащему катету. Вопрос. В прямоугольном треугольнике ABC гипотенуза АВ = = 8 см, катет АС — 3 см. Чему равен tg LB АС1. 3.3. Тангенс угла можно использовать при вычислении длин сторон прямоугольного треугольника. Пример 4. Пусть в треугольнике ABC угол В прямой, АВ = 3 см и tg LB АС — | (рисунок 2). Вычислим ВС. Решение. По правилу из пункта 3.2 имеем tgLBAC — 4€. Подставляя из- вестные числа, получаем | = ~^, откуда ВС = 3-| = §(см). Вопрос. Как в треугольнике ABC из рассмотренного примера найти cos LB АС? 3.4. Приближенные значения тангенсов можно находить с помощью таблицы синусов из пункта 1.7. Для этого удобно использовать следующее равенство: 4-гт п sina ^а-8т(90'-аГ Пример 5. Из точки, находящейся на расстоянии 18 м от основания дерева, верхушка дерева видна под углом 14° к поверхности земли. Чему равна высота дерева? Решение. Изобразим чертеж, как на рисунке 3, где А — точка наблюдения, В — основание дерева, С — верхушка дерева. По условию АВ — 18 (м) и LBAC = 14°. Так как tgLBAC = |§, то отсюда ВС = АВ • tg 14° = 18 • m^. 0,2419, sinYe0 « По таблице sin 14° 0,9703, поэтому ВС « 18 0,2419 0,9703 « 4,48 (м). Следовательно, высота дерева около 4,5 м. Вопрос. Как по росту человека и длине отбрасываемой тени определить, под каким углом к горизонту находится Солнце?
274 Глава 8. Начала, тригонометрии 3.5. В пунктах 3.3 и 3.4 мы рассмотрели примеры использования тангенса. Аналогичные примеры можно решать в общем виде. Пример 6. Пусть в прямоугольном треугольнике ЛВС с прямым углом С известны катет АС = b и tg LB АС — tga. Положим ВС = а (рисунок 4). Тогда tga = т, откуда a = Ь • tga. В результате получаем правило: катет, противолежащий острому углу а, равен произведению прилежащего катета на тангенс а. Пример 7. Пусть в прямоугольном треугольнике ABC, изображенном на рисунке 4, известны ВС = а и tg IB АС = tga. Тогда tga откуда tga* В результате получаем правило: катет, прилежащий к острому углу а, равен частному от деления про- тиволежащего катета на тангенс а. Вопрос. Как в прямоугольном треугольнике найти гипотенузу, если известны высота, проведенная к гипотенузе, и тангенс одного из острых углов? 3.6. Рассмотрим прямоугольную систему координат и лучом О А изобразим А острый угол величины а. Выберем на луче О А точку М, отличную от точки О (ри- /М сунок 5). Пусть точка М имеет координаты (а; 6), где а > 0 и 6 > 0. Тогда sin a = k v/a2+62' cos a = Va2+b2' откуда tea = Si™ _ 6 (1)
§ 3. Тангенс и котангенс острого угла 275 В результате получаем формулу для вычисления тангенса угла по координатам точки на луче, который определяет угол а. Формула (1) выглядит очень просто, когда a = 1. Так будет в случае, если точка М выбирается на прямой с уравнением х = 1 (рисунок 6). Тогда точка М имеет координаты (1;Ь), а поэтому формула (1) запишется в следующем виде: tg а = 6. Таким образом, тангенс острого угла а равен ординате точки пересечения луча, определяющего угол а, с прямой х = 1. Иногда прямую с уравнением х = 1 называют осью тангенсов. Положительным направлением для отсчета отрезков на ней считается направление "вверх", а за начало отсчета принимается точка (1;0) на оси Ох. Вопрос. Как с помощью оси тангенсов построить острый угол, тангенс которого равен 2? 3.7. Иногда при решении задач удобно использовать котангенс угла. Котангенсом острого угла а называется отношение $Щ£. г J sin а Котангенс угла а обозначается как ctga, и по определению имеем равенство ctga = $^. ° sma Произведение tga • ctga равно ^°- • ^^ = 1, а поэтому г—, В ctga = 7-^-. ь tga Следовательно, в прямоугольном треугольнике ABC с катетами АС = 6, ВС = = а и углом ВАС, равным а, имеем А ЬС ctga = -L. = l : f = fe. ° tga b a
276 Глава 8. Начала, тригонометрии В результате получаем следующее правило. В прямоугольном треугольнике котангенс острого угла равен отношению прилежащего катета к противолежащему катету. Пример 8. Пусть в треугольнике ABC с прямым углом В известен катет ВС, и нужно вычислить катет АВ, зная угол ВАС. В этом случае удобно использовать котангенс угла ВАС. Действительно, по правилу из данного пункта ctg IB АС = 4£, откуда АВ = ВС • ctg LB АС. Вопрос. Чему равен ctg 15°? Контрольные вопросы и задания 1. Что называется тангенсом острого угла а? 2. Вычислите tga для значений а, равных a = 15°, 30°, 45°, 60°, 75°. 3. Как тангенс острого угла прямоугольного треугольника связан с его сторонами? 4. Докажите, что fff/v sin a ^а~ sin(90°-a) для любого острого угла а. 5. Как вычислять tga с помощью тригонометрической окружности? 6. Что называется котангенсом острого угла а? 7. Как котангенс острого угла прямоугольного треугольника связан с его сторонами?
§ 3. Тангенс и котангенс острого угла 277 Задачи и упражнения 1. Вычислите: а) tg 15° + tg 30° 4- tg45° + tg60° + tg 75°; б) tga, если cos a = ^. 2. Докажите, что 1 + tg2a = —^— для любого острого угла a. 3. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 2 см, а один из катетов равен 1 см. Чему равны тангенсы острых углов треугольника? 4. Найдите радиус г окружности, вписанной в равносторонний треугольник со стороной о, и радиус R окружности, описанной около этого треугольника. 5. Самолет радирует капитану рыболовецкого судна, что он находится над косяком рыбы на высоте 950 м. С судна определяют угол 26° возвышения самолета над горизонтом. Вычислите расстояние от судна до косяка рыбы. 6. По таблице значений синусов вычислите tg22°. 7. Из точки, находящейся на расстоянии 18 м от основания башни, верхний край башни виден под углом 52° к поверхности земли. Вычислите высоту башни. 8. Постройте острый угол а, если а) tga = 2; б) tga = 7. 9. Точка М имеет координаты (2;2\/3). Под каким углом к оси Ох точка М видна из начапа координат? 10. Докажите, что 1 4- ctg2 a = . \ для любого острого угла а. 11. Докажите, что для любого острого угла а верны равенства: а)е62а-<*е2а = ^-^; б) (tga + ctg а)2 - (tga - ctg а)2 = 4; в) (1 - ctga)2 + (1 + ctg а)2 = g^j; г) sin3a(l +ctga) + cos3a(l + tga) = sin a + cos a; fl)ctga = tg(90°-a); e) tga = ctg(90°-a).
278 Глава 8. Начала тригонометрии §4. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ 4.1. Синус, косинус, тангенс и котангенс острого угла имеют общее название: тригонометрические функции острого угла. Тригонометрические функции удовлетворяют многим соотношениями, которые называются тригонометрическими формулами. Некоторые из них уже рассматривались. Например, в пункте 2.2, мы установили равенство cos а = sin(90° — а) и в пункте 2.7 равенство sin2 а 4-cos2 а = 1. В этом параграфе мы рассмотрим некоторые новые тригонометрические формулы и проверим их справедливость на примере тех углов, для которых известны значения тригонометрических функций. Напомним эти углы. а 15° >/2(>/3-1) n/2(V3+1) 30° 45° 60° 75° sin а л 2. У2(УЗ + 1) ч/2(УЗ - 1) cos а 4 2- л/3 Л * tga Ж 2 + у/3 Вопрос. Какие тригонометрические формулы вы знаете? 4.2. Проверим справедливость формулы sin 2a = 2 sin a • cos a на примере угла а = 15°. Имеем sin 15° =^vf'1), cos 15° = v^(v^±ii} sin(2 • 15°) = sin 30° = I. Отсюда 2sinl5°cosl5° = v^-n-ygfr/g-i) = 21ад^11 = 4-4 4-4 = ± = sin30° = sin(2-15°). (1)
§ 4. Тригонометрические формулы 279 Вопрос. Как проверить формулу (1) для угла а = 30°? 4.3. Проверим справедливость формулы cos(a - /3) = cos а • cos (3 4- sin а • sin /? (2) на примере углов а = 75°, (3 = 30°. Имеем cos 75° cos 30° + sin 75° sin 30° = ^^~l) . ^+ ■ V2(y/3+l) 1 _ л/5(3-у5+>/3 + 1) _ л/2-4 - у/2 - ^42 8 82 = cos45° = cos(75°-30°). Вопрос. Как проверить формулу (2) при а = 60° и /? = 45°? 4.4. Проверим справедливость формулы sin За = 3 sin а - 4 sin3 а (3) на примере угла а = 15°. Имеем 3sin 15° - 4 sin315° = 3-vy-l), 4-(%/2)3(V^-l)3 _ 3-у/2(ч/3-1) 43 4 V2((>/3)3'- 3(y/3)2 + Зл/3 - 1) = 3-у/2(л/3-1) 4-2 4 л/2(6у5 - 10) _ 3\/2(у/3-1) _ у/2(3>/3-5) 4-2 4 4 = у/2(Зу/з-з-Зу/з + 5) = ^ = sin45o = sin(3. 15°). Вопрос. Как проверить справедливость формулы cos 2а = cos2 а- - sin2 а для а = 30°?
280 Глава 8. Начала тригонометрии 4.5. Проверим справедливость формулы на примере углов a = 45°, /3 = 30°. Имеем tg45° + tK30a 1 + 7з _ I у/3 J ^ l-tg45°tg30° i-i.l f^-l\ vf^T (л/3- 1)(n/3 4-1) 3-1 Z^V0 = tg75° = tg(45° + 30°). Вопрос. Как проверить формулу (4) при а = (3 = 30°? 4.6. Проверим справедливость формулы cosa + cos/3 = 2cos*±& • cos^^&. (5) при a = 60°, /3 = 30°. Имеем cos 601^30! = cos 45° = ^; c0s 601^Ж = cos 15o = vSfrfl+l). cos60° + cos30° = ± + ^. Отсюда 2cos60° + 300- cos60°-30o = ^ • ^f + 1> = = ^ti = I + ^ = cos60° + cos30°. Вопрос. Как проверить формулу (5) при a = 75° и (3 = 15°? Контрольные вопросы и задания 1. Что понимают под тригонометрическими функциями острого угла а? 2. Докажите следующие тригонометрические формулы: cosa = sin(90° - a), sin a = cos(90° - a),
§ 4. Тригонометрические формулы 281 ctga = tg(90° - a), tga = ctg(90° - a), sin2 a 4- cos2 a = 1, 1 4- tg2 a = —K—, 1 + ctg2a = gj^, tga • ctga = 1. Задачи и упражнения 1. В прямоугольном треугольнике известны гипотенуза с и острый угол а. Найдите высоту Л, опущенную на гипотенузу. 2. В прямоугольном треугольнике известны острый угол а и противолежащий катет а. Найдите другой катет 6, гипотенузу с и высоту Л, опущенную на гипотенузу. ♦♦ 3. В прямоугольном треугольнике известны гипотенуза с и острый угол а. Найдите радиус вписанной окружности. Указание. Выразите площадь треугольника через полупериметр р и радиус г вписанной окружности. 4. Вычислите cos 18° и tg 18°. 5. Проверьте равенство cos 2a = cos2 a - sin2 a при a = 15°. 6. На судне имеются две мачты высотой 13 м и 20 м. Прямая, соединяющая их вершины, составляет с горизонтом угол в 34°. Определите расстояние между основаниями этих мачт. 7. Найдите радиус окружности, если хорда длины 10 см этой окружности видна из центра под углом a = 30°. 8. Вычислите длину хорды окружности, если она видна из центра под острым углом а, а ее расстояние от центра равно d. 9. В прямоугольном треугольнике с полупериметром р один из острых углов равен а. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника. 10. В прямоугольный треугольник с острым углом а вписана окружность радиуса г. Найдите радиус R окружности, описанной около этого треугольника.
282 Глава 8. Начала тригонометрии § 5. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ УГЛОВ ОТ 0° ДО 180° 5.1. Рассмотрим центральный угол величины а, где 90° < а < 180°. Изображением этого угла в координатной плоскости назовем такой равный ему центральный угол АОВ тригонометрической окружности, у которого одна сторона совпадает с положительным лучом О А оси Ох и который целиком содержится в полуплоскости с положительными ординатами (рисунок 1). Заметим, что в этом случае а = 90° + /?, где 0° < /3 < 90°. Поэтому центральный угол АОВ объединяет I четверть координатной плоскости и угол СОВ величины /?, расположенный во II четверти. Вопрос. Как в координатной плоскости изобразить угол в 135°? 5.2. Напомним, что если острый угол а в координатной плоскости определяется лучом ОВ, то синус угла а равен ординате точки пересечения луча О В с тригонометрической окружностью. При обобщении понятия синуса на углы от 0° до 180° указанное свойство принимается за определение. Синусом угла от 0° до 180°, который определяется в координатной плоскости лучом ОВ, называется ордината точки М пересечения луча ОВ с тригонометрической окружностью. Пример 1. Найдем sin 150°. Так как 150° = 90° + 60°, то угол в 150° определяется лучом ОМ, расположенным во II четверти, и при этом LCOM = 60° (рисунок 2). Проведем МК JL Оу и получим прямоугольный треугольник ОМК, у которого ОМ = 1 и LMOK = 60°. Так как точка М расположена во II четверти,
§ 5. Тригонометрические функции углов от 0° до 180° 283 то ее ордината положительна и равна длине отрезка ОК. Из треугольника ОМ К получаем ОК = ОМ • cos 60° = ^ Следовательно, sin 150° = ^ Пример 2. Найдем sin 90°. Угол в 90° определяется положительным лучом ОМ оси Оу. Точка М, лежащая на тригонометрической окружности, имеет координаты (0;1). Следовательно, sin 90° = 1. Вопрос. Как найти значение sin 105°? 5.3. Обобщим понятие косинуса на центральные углы от 0° до 180°. Косинусом угла от 0° до 180°, который определяется в координатной плоскости лучом ОВ, называется абсцисса точки М пересечения луча ОМ с тригонометрической окружностью. Пример 3. Найдем cos 150°. Так как 150° = 180° -30°, то угол в 150° определяется лучом ОМ, расположенным в II четверти, и при этом LCOM = 30° (рисунок 4). Проведем МК ± Ох и получим прямоугольный треугольник ОМ К, у которого ОМ = 1 и LMOK = 30°. Так как точка М расположена во II четверти, то ее абсцисса отрицательна и равна длине отрезка ОК, взятой со знаком минус. Из треугольника ОМ К получаем ОК = ОМ cos 30° = ^. 2 ' Следовательно, cos 150' Пример 4. Найдем cos 90°. Угол в 90° определяется положительным лучом ОМ оси Оу. Точка М, лежащая на тригонометрической окружности, имеет координаты (0;1). Следовательно, cos 90° = 0.
284 Глава. 8. Начала тригонометрии Вопрос. Как найти значение cos 120°? 5.4. Для любого угла а от 0° до 180° оставьте верным основное тригонометрическое тождество sin2 а 4- cos2 а = 1. Доказательство аналогично тому, как это было сделано для острых углов. Вопрос. Как доказать равенство из этого пункта? 5.5. Тангенс угла а от 0° до 180° определяется аналогично тому, как это было сделано для острых углов. Тангенсом угла a от 0° до 180° при а ф 90° называется отношение sin а cos а' Таким образом, тангенс угла в 90° не определяется, так как при этом значении угла косинус равен 0. При других значениях а от 0° до 180° тангенс а можно вычислить, зная sin а и cos а. Пример 5. В пунктах 1.2 и 1.3 было найдено, что sin 150° = |, cos 150° = ~ 2 * Поэтому tgl50» = I:(-f) = -^ = -^. Вопрос. Чему равен tg 105°? 5.6. Тригонометрическая функция котангенс также обобщается на углы от 0° до 180°. Котангенсом угла а при 0° < а < 180° называется отношение ££sa. J r sin а Вопрос. При каких значениях а, 0 < а < 180°, имеет место равенство ctga = г-*-? Контрольные вопросы и задания 1. Что называется синусом и косинусом угла от 0° до 180°? 2. Как определяется тангенс угла от от 0° до 180° и отличного от 90°?
§ 5 Тригонометрические функции углов от 0° до 180° 285 3. Как определяется котангенс угла а от 0° до 180°, отличного от 0° и 180°? 4. Докажите, что для любого угла а от 0° до 180° выполняется равенство sin2 а + cos2 а = 1. Задачи и упражнения 1. Постройте центральные углы тригонометрической окружности величины 60°; 45°; 22,5°; 15°. 2. Постройте центральные углы тригонометрической окружности величины 120°; 150°; 165°; 112,5°; 157,5°. 3. Вычислите: a) sin 120°; б) sin 135°; в) sin 180°; г) sin 165°. 4. Вычислите: a) cos0°; б) cos 135°; в) cos 180°; г) cos 120°; д) cos 105°; е) cos 165°.
9 МЕТРИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ В , а в а ТРЕУГОЛЬНИКЕ В этой главе рассматриваются теорема косинусов, теорема синусов для треугольника и новая формула для вычисления площади треугольника. Будет показано, как находить неизвестные углы и стороны треугольника по его известным сторонам и углам. § 1. ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ 1.1. При записи общих формул удобно использовать стандартные обозначения. Будем обозначать длины сторон и величины углов треугольника ABC так, как указано на рисунке 1: АВ = с, АС = 6, ВС = а, LA = а, LB = /?, 1С = 7- Теорема косинусов. Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними: а2 = Ь2 + с2 - 26с cos а. Доказательство. Введем прямоугольную систему координат. За начало системы координат возьмем точку А. В ось абсцисс превратим ш с А с В
§ 1. Теорема, косинусов 287 прямую А£, выбирая единичный отрезок и положительное направление таким образом, чтобы точка В имела координату, равную с. Ось ординат проведем перпендикулярно пря- IAI мой АВ и выберем положительное направление так, чтобы вершина С имела положительную ординату (рисунок 2). Из определения синуса и косинуса угла следует, что ордината точки С равна |AC|sina, абсцисса точки С равна |AC|cosa, независимо от того, будет ли угол а острый, прямой или тупой. Следовательно, в построенной системе координат точки В и С имеют координаты: B(c;0), C(6cosa;6sina). Отсюда a2 = (b cos а - с)2 + (6 sin а -О)2 = = б2 cos2 а — 2&ccos а + с2 + Ь2 sin2 а = = 62(sin2 а + cos2 a) + с2 - 26сcos а = = Ь2 + с2 — 26сcos а, что и требовалось доказать. Вопрос. Как в прямоугольной системе координат связаны между собой координаты двух точек, лежащих на одном луче с началом в начале координат? 1.2. Теорема косинусов позволяет решать следующие типовые задачи: а) по двум сторонам треугольника и косинусу угла между ними вычислить третью сторону треугольника; б) по трем сторонам треугольника вычислить косинус угла треугольника. Пример 1. В треугольнике ABC с тупым углом при вершине В известны АВ = 2 см, ВС = 3 см и sin LABC = —г-. Найти сторону АС. 2v2 Решение. Пусть LABC = /?. Тогда по условию sin/? = —-. Из основного тригонометрического тождества получаем cos2/? =
288 Глава 9. Метрические соотношения в треугольнике = 1 — sin2/? = -. Так как угол 0 тупой, то отсюда cos/? = —-. После этого по теореме косинусов находим: АС2 = АВ2 + ВС2 - 2АВ • ВС • cos/? = 22 + З2 - 2 • 2 • 3 • (-1) = = 4+9+4=17. Следовательно, АС = л/17 см. Пример 2. В треугольнике ABC известны стороны: АВ = 13 см, ВС = 14 см, АС = 15 см. Найти cos LAC В. Решение. Пусть /.АСВ — 7- Запишем теорему косинусов для квадрата стороны, лежащей против угла j: АВ2 = АС2 + ВС2 - 2АС • ВС • cos 1. Подставляя известные значения, получим 132 = 152 + 142-215-14cos7, 2 15 14cos7 = 152- 132 + 142, 2 • 15 • 14 • cos7 = 2 • 28 + 142 = 14 • 18. ~ 14 • 18 3 Отсюда cos7 = ^^-II = з- Вопрос. Какие значения имеют синусы и косинусы всех углов треугольника ABC из примера 2? 1.3. В этом пункте рассмотрим следующее свойство параллелограмма. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон. Доказательство. Пусть ABCD — параллелограмм (рисунок 3). Обозначим -у стороны АВ — а, ВС — 6, а угол при вершине А через а. Тогда AD = 6, CD = а, а угол при вершине D равен 180° — а. Применив теорему косинусов к треугольникам ABD и ACD, получим: BD2 = АВ2 + AD2 - 2АВ • AD • cos а, АС2 = AD2 + CD2 - 2AD • CD • cos(180° - а).
§ 1. Теорема косинусов 289 Складывая эти равенства и замечая, что cos(180° - а) = -cosа, DC = АВ, AD = ВС, будем иметь: АС2 + BD2 = АВ2 + ВС2 + CD2 + >Ш2 |ЛС|2 + \BD\2 = 2(а2 + б2). Вопрос. Как доказать формулу для вычисления длины медианы 2 2Ь2 + 2с2-а2 треугольника: mra = : 1.4. Рассмотрим треугольник ABC и обозначим его стороны и углы как на рисунке 1. Введем прямоугольную систему координат, как указано на рисунке 4. Тогда вершина С имеет координаты C(b cos а; Ь sin а). Проведем в треугольнике ABC высоту СИ. Проекцией отрезка СИ на ось ординат является отрезок AM, который опре- У\ деляет ординату точки С. Отсюда следу- Щт ет, что \СН\ = \АМ\ = |6sina| = bsina. Площадь треугольника ABC можно вычислить по известной формуле: S&ABC = 2АВ ' СН = 2 ' ЬС ' Sin a Таким образом, площадь треугольника равна половине произведения двух сторон на синус угла между ними. Вопрос. Как вычислить длину стороны АВ треугольника ABC, если известно, что его площадь равна 16 см2, АС = 5 см, ВС = 8 см и угол С тупой? 1.5. Выразим в треугольнике ABC косинус угла А через сторо- cosa = ! + с2 - о2 26с
290 Глада 9. Метрические соотношения в треугольнике Из основного тригонометрического тождества найдем квадрат синуса угла А: sin2 2 /62 + с2-а2\2 а = i-Cos2a = l-^ 26с J = (26с)2 - (б2 + с2 -а2)2 ^ 46V (26с - б2 - с2 + а2) - (26с + б2 + с2 - а2) _ 462с2 - (а2 - (6 - с)2)(6 + с)2 - а2 _ 462с2 — (а ~ ^ + с)(а + Ь - с)(6 + с - а)(6 + с + а) 462с2 Отсюда следует, что (Saabc)2 = (--6c-sina)2 = v2 aH-6-fc 6 + с — а а + с — 6 а + 6 — с Если обозначить полупериметр —-— треугольника через р, то полученное равенство запишется в виде: (Saabc)2 = Р(р - а)(р - Ь)(р - с). В результате приходим к известной формуле Герона для площади треугольника: 5= >/р(р-а)(р-Ь)(р-с). Вопрос. Чему равна площадь треугольника со сторонами 13, 14, 15? Контрольные вопросы и задания 1. Сформулируйте и докажите теорему косинусов. 2. Как с помощью теоремы косинусов вычислить косинус угла треугольника? 3. Каким соотношением связаны стороны и диагонали параллелограмма?
§ J. Теорема косинусов 291 4. Запишите и докажите формулу площади треугольника через две стороны и угол между ними. 5. Запишите формулу Герона для площади треугольника. Задачи и упражнения 1. В треугольнике ABC стороны АВ = 7 см, ВС = 5 см, АС = б см. Найдите длину медианы ВМ. 2. В треугольнике ABC стороны ABC стороны АВ = 9 см, ВС = = б см, АС = 7 см. Точки М и N расположены соответственно на сторонах АВ и ВС так, что ВМ : MA = CN : NB = 1:2. Найдите MN. 3. В равнобедренном треугольнике ABC основание АС — 6 см, боковая сторона АВ = 8 см. Найдите длину медианы СК. 4. В остроугольном треугольнике ABC известны стороны АВ = 7, 2 ВС = 9 и cos 2ЛСВ = -. Найдите длину медианы СМ. о 5. В прямоугольнике ABCD стороны АВ — 6, ВС = 8. Точка О в плоскости прямоугольника расположены так, что АО = СО = = 13. Найдите ВО и DO. 6. Дан прямоугольный треугольник ABC с гипотенузой АВ = \/ГЗ- На гипотенузе во внешнюю сторону построен квадрат с центром О. Найдите площадь треугольника ABC, если известно, что ОС = 3. 7. Найдите площадь треугольника со сторонами б см, 7 см, 8 см. 8. Найдите площадь треугольника со сторонами л/2Г, \/22, %/23. 9. Стороны треугольника связаны соотношением (a+b—с)(а~6+с) = = be. Найдите угол а. 10. Сформулируйте и докажите теорему, обратную теореме Пифагора. 11. Углы треугольника связаны соотношением cos а + cos/? = sin 7. Докажите, что треугольник прямоугольный. 12. В треугольнике ABC известны стороны АВ = 13 см, ВС = 14 см и АС = 15 см. Найдите cos LB АС и cos LABC.
292 Глава 9. Метрические соотношения в треугольнике §2. ТЕОРЕМА СИНУСОВ 2.1. Рассмотрим окружность радиуса R с центром О и хорду АВ этой окружности (рисунок 1). Обозначим центральный угол АО В, который меньше развернутого, через 2а. Из треугольника АО В по теореме косинусов получаем: АВ2 = АО2 + ОВ2 -2АО OBcosLAOB = = 2Я2 - 2R2 cos 2а = 2R2(1 - cos 2а) = = 2/?2(cos2 а + sin2 а - (cos2 а - sin2 а)) = = 4R2 sin2 а = (2Л • sin а)2. Так как длина отрезка неотрицательна, то из равенства АВ2 = = (2R • sin а)2 следует равенство AB = 2i?-sina. Заметим, что если центральный угол АОВ, который больше развернутого, обозначить через 2/3, то тогда /? = 180° — а, а поэтому sin/3 = sin(180° - a) = sin a. Следовательно, если для хорды АВ рассмотреть центральный угол, как на рисунке 2, то и в этом случае выполняется равенство АВ = 2Д- sin р. Таким образом, получаем формулу, которая позволяет по радиусу окружности и центральному углу вычислять длину хорды окружности, определяемой этим центральным углом. Вопрос. Чему равна длина хорды окружности радиуса Д, соот-
§ 2. Теорема синусов 293 ветствующей центральному углу в 300°? 2.2. Рассмотрим треугольник ABC со сторонами а, 6, с и углами а, /?, 7- Пусть радиус окружности, описанной около этого треугольника равен R (рисунок 3). По теореме об измерении угла, вписанного в окружность, центральный угол ВОС, опирающийся на дугу ВС окружности, в два раза больше угла ВАС, то есть 1ВОС — 2а. Из предыдущего пункта следует, что а = ВС = 2Rsina. Аналогично получаются равенства: fc = 2i?sin/?; с = 2R • sin 7- Таким образом, по углу треугольника и радиусу описанной около треугольника окружности можно вычислить длину стороны, противолежащей этому углу. Пример 1. , Пусть треугольник ABC вписан в окружность радиуса 3 см и известно, что LABC = 30°. Тогда АС = 2Я • sin (3 = 2 • 3 • sin 30° = 3(см). Вопрос. Чему равны углы АиС четырехугольника ABCD, если известно, что четырехугольник ABCD вписан в окружность радиуса R и диагональ BD = R? 2.3. Рассмотрим равенства, полученные в предыдущем пункте: а = 2jR-sina, fc = 2#sin/3, с = 2Я • sin 7.
294 Глава 9. Метрические соотношения в треугольнике Из них следует, что 2Я = 2Д = 2Д = а sin а' 6 sin^' с sin 7 В результате получаем следующую теорему. Теорема синусов. Во всяком треугольнике стороны а, Ь, с пропорциональны синусам противолежащих углов а, /3, у: а = b — с = о/? sin a sin/? sin 7 ' где R — радиус окружности, описанной около этого треугольника. Теорема синусов позволяет: а) по радиусу описанной окружности и углу вычислить противолежащую этому углу сторону треугольника; б) по радиусу описанной окружности и стороне вычислить синус противолежащего этой стороне угла треугольника; в) по стороне и противолежащему углу вычислить радиус окружности, описанной около треугольника; г) по стороне и двум углам треугольника вычислить оставшиеся стороны треугольника. Разберем, как по стороне и двум углам треугольника найти длины оставшихся сторон. Пример 2. В треугольнике ABC известны сторона АВ = 10 см, LA = 45°, LC = 60°. Найти АС и ВС. Решение. Так как сумма углов треугольника равна 180°, то 1В = 180° - LA- LC = 180° - 45° - 60° = 75°. Далее находим: sin LA = sin 45° = —; sin LC = sin 60° = —; sin LB = sin(30° + 45°) = 2^+1). Запишем теорему синусов: АВ ВС АС sinZC sinZ.4 sin IB'
§ 2. Теорема, синусов 295 Так как АВ = 10 см, то лп _ AB-sinlB _ 10-^2(\/3 + 1)-2 _ 5^2(\/3 + 1), х лс shTZc Г7з VI—(см); ВС = ЛВ•sin LA sinZC 10.</2-2 Юл/2, ч Т7Г = -Ж{СА<)- Вопрос. Чему равен радиус окружности, описанной около треугольника ABC, если известно, что АВ = 2 см, 1С = 45°? 2.4. Рассмотрим, как с помощью теоремы синусов получить свойство биссектрисы угла треугольника. Пусть CD — биссектриса треугольника ABC (рисунок 4). Применим теорему синусов к треугольнику ACD: АР simp АС sin 6' (1) Затем применим теорему синусов к треугольнику BCD: ВР ВС (2) sinv? sin(180°-(*)' Так как sin(180° — 6) = sin J, то BD = ВС simp sin <Г Делением правых и левых частей равенств (1) и (2), получаем равенство: л„ л„ АР _ АС ВР ВС Отсюда по основному свойству пропорции АР _ ВР АС ВС Таким образом, получаем следующее свойство. Биссектриса угла треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам.
296 Глаза 9. Метрические соотношения в треугольнике Вопрос. Как доказать, что биссектриса угла треугольника не меньше высоты и не больше медианы, проведенных из той же вершины? 2.5. Рассмотрим применение теорем косинусов и синусов при решении задач на доказательство. Пример 3. На сторонах произвольного треугольника ABC вне него построены три равносторонних треугольника и их центры Аи В\, С\ соединены отрезками. Доказать, что полученный таким образом треугольник А\В\С\ равносторонний. Решение. Пусть a,b, с — стороны треугольника ABC и q, /?, 7 — противолежащие им углы. Вычислим сторону В\С\ треугольника A\BiC\ (рисунок 5), обозначив ее через х. Отрезок АВ\ есть радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника, построенного на стороне Ь данного треугольника. По теореме синусов Ь = 2АВг sin 60° = АВХ • у/1. Таким образом, АВ\ = -р. V3 Аналогично получаем, что АС\ = VT Применим теорему косинусов к треугольнику АВ\С\: {ВгСг)2 = (АВг)2 + {Ad)2 = 2(ABl){ACl) • cos LBXACX или *2=Ш +Ш -!•*•«»<*+«•>• Отсюда Zx2 = Ь2 + с2 - 26ccos(a + 60°). По формуле сложения для косинуса 1 \/з cos(a + 60°) = - • cos a — ~- • sin a.
§ 2. Теорема, синусов 297 Поэтому 26с • cos(a + 60°) = be • cos a - \/3 • be • sin a. Произведение be • sin а есть удвоенная площадь данного треугольника. Обозначая площадь треугольника ABC через 5, будем иметь 2Ье • cos(a + 60°) = 6с • cosa - 2\/3 • S. Следовательно, За:2 = б2 + с2 - 6с • cos a + 2>/3 • 5. Применяя теорему косинусов к данному треугольнику ABC, получим а2 = б2 4- с2 — 26с • cos а, откуда ~а2 + б2 -ь с2 6с • cos а = . Подставляя это выражение в формулу 2>х2 = б2 + с2 - 26с • cosa + 2\/3 • 5, найдем *2 = 1.(а2 + 62 + с2 + 4л/3.5). о Вычисление квадрата стороны у = А\С\ можно провести аналогичными рассуждениями, в которых вместо буквы 6 будет использоваться буква а, вместо буквы а будет использоваться буква с, а вместо буквы с будет использоваться буква 6. Следовательно, ответ будет отличаться только перестановкой местами букв а, 6, с, а значит у2 = х2. Аналогично для квадрата стороны z = А\В\ получается равенство z2 = у2. Следовательно, В\С\ = А\С\ = А\В\, то есть треугольник А\В\С\ — равносторонний. Вопрос. Что получится, если на сторонах произвольного треугольника ABC построить три равносторонних треугольника, направленных внутрь треугольника ABC, и рассмотреть треугольник с вершинами в центрах этих равносторонних треугольников? 2.6. Рассмотрим еще одну задачу, известную как теорему Мор- лея. Эта задача поразительна тем, что внешне как бы связана с трисекцией угла.
298 Глава 9. Метрические соотношения в треугольнике И Проведем из каждой вершины произвольного треугольника по два луча, делящие угол при этой вершине на три равные угла. Рассмотрим точки М, N, К пересечения лучей, как на рисунке 6. Оказывается, что полученный таким образом треугольник MNK всегда равносторонний. Для доказательства обозначим радиус описанной около треугольника ABC окружности через R, LA = За, LB = 3/9, LC = З7. Тогда из равенства За+З/З+З-у = = 180° следует, что а + /3+7 = 60° i а из теоремы синусов для треугольника ABC получаем ВС = 2R • sin За, АС = 2R • sin 3/?, 4J3 = 2J?-sin37. Выразим через Л, а, /3, 7 квадрат отрезка MN. Для этого сначала рассмотрим треугольник АМВ. Так как LMAB = а, 1MB А = /3, то LAMB = 180° — а — /?, а поэтому sin LAMB = sin(a + /3). Запишем теорему синусов для треугольника АМВ: AM sin/? АВ sin(a + 0) MB sin a* Отсюда Ахж AB-sinB 2R-sin3ysinl3 AM = -r-7 ж = r-7 -XT1- sin(a 4- /?) sm(a + /3) Преобразуем полученное выражение, для чего воспользуемся формулой sin Зх = sin х(1 + 2 cos 2s) и тем, что sin З7 = sin 3(a + /?). AM = 2fl-sin3(a-+/?)sin/3 sin(a + /3) = 2R • sin/?(l + 2cos2(a + /?)) = 2Л • sin/?(l + 2cos(120° - 27)) = 2R • sin 0(1 + 2 cos 120° cos 27 + 2 sin 120° sin 27) = = 2R • sin0{l - cos 27 + y/3sin 27) = = 2Я - sin 0(2 sin2 7 + 2\/3 sin 7 cos 7) = = SR • sin 0 sin 7(sin 7 cos 60° + cos 7 sin 60°) = = SR • sin /3 sin 7 sin(7 + 60°).
§ 2. Теорема синусов 299 Следовательно, AM = 8R • sin 0 sin 7 sin(7 + 60°). Аналогично из треугольника ANC выражается отрезок AN , только при этом вместо буквы 0 нужно использовать букву 7» а вместо буквы 7 — букву 0. Следовательно, AN = 8Я sin/?sin7sin(/? + 60°). Выразим теперь квадрат отрезка MN из треугольника AMN по теореме косинусов: MN2 = AM2 + ЛЛГ2 - 2AM • AN • cos /.NAM = = (4sin0sin7)2 • ((2Л • sin(/? + 60°))2+ +(2Я • sin(7 + 6O0))2- -2 • (2Я • sin(/? + 60°)) • (2Д • sin(7 + 60°)) • cos a. Обратим внимание на выражение в скобках после множителя (4sin/?sin7)2- Так как a + 0 + 7 = 60°, то существует треугольник EFG с углами а, /3 -f 60°, 7 + 60°, который вписан в окружность радиуса R. Стороны этого треугольника равны: GF = 2R • sin а, GE = 2Л • sin(£ + 60°), EF = 2R- sin(7 + 60°). Поэтому GF2 = = GE2 + £F2 - 2GE • £F • cos а, то есть (2Я • sin a)2 = (2R • sin(/? + 6O0))2 + (2Я • sin(7 + 6O0))2- -2 • (2Д • sin(/? 4- 60°) • (2Я • sin(7 + 60°)) • cos a. Возвращаясь к MN2, получаем: MN2 = (4 sin 0 sin 7)2 • (2i*sina)2 = = (8R • sin a sin 0 sin 7)2.
300 Глава 9. Метрические соотношения в треугольнике Вопрос. Как завершить доказательство? Контрольные вопросы и задания 1. Как вычислить длину хорды через соответствующий ей центральный угол и радиус окружности? 2. Как через углы треугольника и радиус описанной окружности вычислить стороны? 3. Сформулируйте и докажите теорему синусов для треугольника. 4. Какие типовые задачи позволяет решать теорема синусов? 5. Сформулируйте свойство биссектрисы угла треугольника. Задачи и упражнения 1. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника, если у него одна сторона равна 1 см, а противолежащий этой стороне угол равен 30°. 2. Найдите стороны треугольника ABC, если: а) АВ = 2 см, LA = 15°, LB = 30°; б) АС = 3 см, LA = 45°, LB = 60°; в) ВС = 5 см, LA = 105°, LB = 15°. 3. Найдите стороны треугольника ABC, если известно, что АВ — 1, 1 3 cos LA - --, cos LB — -. 3 4 4. Найдите стороны треугольника ABC, если известно, что АВ = 1, tgZA = i,tgZB = i. 5. В треугольнике ABC известно, что АВ = ВС и LABC = 30°. Из точки А проведен диаметр описанной около треугольника ABC окружности. Найдите, в каком отношении этот диаметр делится стороной ВС. 6. Пусть ha — высота треугольника, опущенная на сторону а, прилежащие к стороне а углы 0 и у, а, радиус описанной около треугольника окружности R. Докажите, что ha = 2R • sin 0 sin 7-
§ 3. Решение треугольников 301 7. Выразите через углы остроугольного треугольника и радиус описанной около него окружности расстояния от вершин до точки пересечения высот. 8. В параллелограмме ABCD угол BAD равен 60°. Окружность радиуса Я, проходящая через вершины Д В и D, пересекает сторону CD в середине. Найдите площадь параллелограмма. 9. С помощью теоремы синусов докажите формулу S = —, где а, о, с — стороны треугольника, S — его площадь, R — радиус описанной окружности. 10. Докажите, что биссектриса угла треугольника проходит между медианой и высотой, проведенными из той же вершины. 11. Около прямоугольного треугольника ABC с катетами АС = 4, ВС = 3 описана окружность. Точки Е, F — середины меньших дуг АС и ВС этой окружности, точки М и К — точки пересечения отрезка EF с катетами. Найдите длину отрезка МК. 12. В треугольнике ABC известны углы LA = 45° и LC = 75°. На отрезке АВ, как на диаметре, построена окружность, пересекающая стороны АС и ВС в точках D и Е. Найдите площадь треугольника ABC, если DE = 1. 13. На сторонах параллелограмма во внешнюю сторону построены квадраты. Докажите, что центры этих квадратов являются вершинами квадрата. 14. Величины двух углов треугольника относятся как 1:2, а длины противолежащих этим углам сторон, как 1 : у/3. Найдите углы треугольника. ** 15. Докажите, что углы а, /3 и 7 любого треугольника связаны соотношением sin2a + sin2/3 — sin27 = 2sina • sin/? • COS7. §3. РЕШЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ 3.1. Основными элементами треугольника обычно считаются его стороны а, 6, с и противолежащие им углы а, /?, 7- К неосновным
302 Глава 9. Метрические соотношения в треугольнике элементам причисляются: высоты, биссектрисы, медианы, радиусы вписанной и описанной окружностей, периметр и так далее. Среди задач на решение треугольников особо выделяют такие, в которых по некоторым известным основным элементам треугольника требуется найти его остальные основные элементы. Разберем по очереди четыре случая. Случай 1. Даны три стороны а, b и с, и требуется найти углы треугольника. Косинус угла а можно найти из теоремы косинусов: б2 + с2 - а2 cos а = — . 26с Аналогично можно вычислить косинус угла /3 и косинус угла 7- Задача имеет решение, если большая из сторон меньше суммы двух других. Единственность решения следует из третьего признака равенства треугольников. Пример 1. Пусть о = б см, 6 = 7 см, с = 8 см. Найти sin а. Решение. Запишем теорему косинусов для квадрата стороны, лежащей против угла а: а2 = fc2 + c2 -26c-cosa. Подставляя известные значения, получим 62 = 72 + 82-2-7-8eosa, откуда Поэтому sin 49 + 64-36 77 11 cos а = = = —. 2-7-8 2.7-8 16 Г Tin2 t/(16-ll)(16 + ll) Зл/15 а = у1-Ы =1 Те = -Тб- Вопрос. Как определить, будет ли некоторый треугольник с известными сторонами остроугольным или нет?
§ 3. Решение треугольников 303 3.2. Разберем второй случай решения треугольников. Случай 2. Даны две стороны а, b и угол 7 между ними и требуется найти третью сторону и два оставшихся угла. Сторону с можно найти по теореме косинусов: с2 = а2 + Ь2 — 2аЬ • cos 7. После этого косинус угла а находится так, как указано в предыдущем пункте: Ь2 + с*-а2 cos а = —-г • 26с Наконец, можно записать /3 = 180° - а - 7, и тем самым угол 0 также становится известным. Таким образом, во втором случае задача всегда имеет решение, и притом только одно. Пример 2. Пусть а = 3 см, b = Ау/З см и 7 = 150°. Найти tg/3. Решение. По теореме косинусов с2 = а2 + б2 - 2а6 • cos 7 = 9 + 48 - 2 • 3 • 4%/3 • (-^) = = 9 + 48 + 36 = 93, откуда с = л/93 (см). Далее, Ь2 = а2 + с2 = 2ас • cos /?, 48 = 9 + 93-2-3n/93cos/?, cos/3 = 2 tgjfl 54 9 •3%/93 V§3' 81 _ /l2 _ 93 "" V93 "" 2>/3 V93' Вопрос. Как изменяется сторона с треугольника, если угол 7 возрастает, а стороны а и b остаются без изменений? 3.3. Разберем третий случай решения треугольников. Случай 3. Даны сторона а и два угла 0 и 7 и требуется найти третий угол и две оставшиеся стороны. Так как а + /? + 7 = 180°, то а = 180° - /? - 7- Следовательно, sin а = sin(/3 + 7)» cos а = - cos(/3 + 7)-
304 Глава 9. Метрические соотношения в треугольнике Запишем теорему синусов: Отсюда а __ b __ с sin a sin /? sin 7 , __ a sin/? _ a sin/? sina sin(/?-f 7) __ a • sin 7 __ a sin 7 sina sin(/? + 7)" Таким образом, если в этом случае /? -f 7 < 180°, то задача имеет единственное решение. Пример 3. Пусть а = б см, /3 — 30°, ^ — 1Ъ°. Найти сторону Ь. Решение, а = 180° - /3 - 7 = 75° = 7- Следовательно, треугольник равнобедренный, а поэтому с = б см. После этого, как в случае 2, находим Ъ2 = а2 + а2 - 2а2 cos/З = 2а2(1 - cos/?) = 2 • 36 f 1 - ~П , откуда 6 = бу2 - \/Ъ (см). Вопрос. Как показать, что в этом примере b — 3(л/б — \/2) см? Л** 3.4. Разберем четвертый случай решения треугольников. Случай 4- Даны две стороны и угол, лежащий против одной из них и требуется найти третью сторону и оставшиеся два угла. Например, пусть даны стороны a, b и угол а. Из теоремы синусов можем записать равенство sin/? = - -sina. (1) Стоящее в правой части этого равенства выражение - • sin а может принимать различные значения в зависимости от заданных величин a, b и а. При этом возможны три следующих случая. I. - • sina > 1, то есть sina > -• Тогда равенство (1) невозможно b b ни при каком значении угла р , а поэтому треугольника с такими основными элементами не существует. Геометрически условие sin a > - означает, что если построить АС =
§ 3. Решение треугольников 305 = b и с центром в точке С и радиусом а провести окружность, то луч, проведенный из точки А под углом а к лучу АС, не пересекается с построенной окружностью (рисунок 1). II. - • sin а = 1, то есть sin а = -. Тогда о о равенство (1) возможно лишь при /3 = 90°, а поэтому существует только прямоугольный треугольник с такими основными элементами, откуда сторона с вычисляется единственным образом. Геометрически условие sin а = - соответствует рисунку 2. III. - -sin а < 1, то есть sin а < т. Тогда 6 о равенство (1) возможно в двух случаях: угол /3 острый и угол 0 тупой. При а Н- ft < 180° мы можем найти угол 7 = = 180° — (а 4- 0) и вычислить sin 7 = = sin (а + /?), а затем из теоремы синусов „ а - sin 7 найти с = —: -. sin а В третьем случае задача может не иметь решения (например, при а = b и а = 120°), иметь одно решение (например, при а = b и а < 90°) и иметь два решения (рисунок 3). Вопрос. Какую особенность имеют два треугольника ЛВ\С и АВ^С, получающиеся в третьем случае? 3.5. Задачи на решение треугольников возникают при измерениях на местности. При этом предполагается, что имеются инструменты, позволяющие с достаточной точностью измерять расстояния и углы. В этом пункте разберем наиболее часто встречающийся случай, когда требуется вычислить расстояние от доступной точки А до некоторой недоступной точки В. Для вычисления расстояния АВ выбирают вторую доступную точ-
306 Глава 9. Метрические соотношения в треугольнике ку С, из которой видны точки А и В. Измеряют расстояние АС и углы LCAB = а и LACB = 7- Решая треугольник ABC по стороне ЛС и двум углам аи7, находят сторону А В. Вопрос. Как можно измерить высоту дерева? 3.6. Разберем, как можно вычислить расстояние между двумя недоступными точками А и В. Для этого выбирают две доступные LU точки С и D, из которых видны А и В. Из- tN п меряют расстояние CD и углы ADC = а, \ \ yf ВВС = /?, ACD = 7, BCD = S (рисунок 4). Решая треугольник ACD по стороне CD и углам а, 7 и треугольник BCD по стороне CD и углам /3, (5, находят стороны АС и £С. Решая треугольник ABC по двум сторонам АС и £?С и углу между ними 6 — 7, находят расстояние АВ. Вопрос. Как можно узнать ширину реки? 3.7. Разберем, как на местности можно вычислить расстояние между двумя далекими точками А и В. Вычисление ведут способом триангуляции, который состоит в следующем. Точки А и В соединяют сетью треугольников так, чтобы одна из сторон с вершиной А была доступна непосредственному измерению, а из вершин каждого треугольника были видны остальные его вершины. Например, пусть точки Ли В соединены сетью треугольников AA\A<i, A\AiA$, А2Л3Аь Л3А4Л5, А\АЬВ (рисунок 5). Измерив сторону АА\ и углы AA\Ai и А\ААч, находят, как в примере из пункта 3.5, стороны АА2 и А\А-2 у треугольника A4iA2. Затем, зная сторону А\А2 следующего треугольника А1А2Л3 и измерив его углы
§ 3. Решение треугольников 307 при вершинах А\ и А2, вычисляют другие его стороны и так далее. Найдя все стороны построенной сети треугольников, переходят к рассмотрению сети вспомогательных треугольников АА2А^ ЛЛ3Л4, ААаАь, ААьВ (рисунок 6). В треугольнике AA2Az по найденным сторонам АА2 и А2А$ и углу АА2А$, который равен сумме LAA2A\ + LA\A2A$, находят сторону AAz и угол АА$А2. Аналогично, в треугольнике ЛА3А4 по сторонам АА3, ЛзА* и углу ЛЛ3А4, который равен сумме 1АА$А2 + LА2А$А±, находят сторону АА\ и угол АА\А$. Затем в треугольнике АЛ4А5 по сторонам АА±, А\А$ и углу ААААЬ, который равен сумме 1АА±Аъ +/.АьА^Аь, находят сторону АА$ и угол АА$А\. После этого из треугольника ААф вычисляется требуемое расстояние АВ. Вопрос. Как можно измерить расстояние между пунктами А и J5, если между ними находится небольшой лесной массив? Контрольные вопросы и задания 1. Какие элементы треугольника принято считать основными? 2. Как решить треугольник по трем сторонам? 3. Как решить треугольник по двум сторонам и углу между ними? 4. Как решить треугольник по стороне и двум углам? 5. Как решить треугольник по двум сторонам и углу, противолежащему одной из этих сторон? Задачи и упражнения 1. Решите треугольник, если даны: а) а = 20, а = 75°, /3 = 60°; б) а = 7, Ь = 23, 7 = 130°; в) а = 27, Ъ = 9, а = 138°; г]\ а = 7; Ъ = 2, с = 8.
308 Глава 9. Метрические соотношения в треугольнике 2. Выразите площадь параллелограмма через его стороны m, п и острый угол (р между его диагоналями. 3. В треугольнике ЛВС проведены биссектрисы BD и АЕ. Найдите отношение площадей треугольников ABC и BDE, если АВ = 5, ВС = 7,АС = 10. 4. Треугольный участок ABC земли был обмерен так называемым полярным способом. Из точки О, выбранной внутри участка, были измерены расстояния ОА, ОВ, ОС и углы АОВу ВОС. Найдите длину изгороди для ограждения участка при О А = 28 м, ОВ = 43 м, ОС = 50 м, LAOB = 152°, LBOC = 94°. if, 5. Найдите неизвестные стороны четырехугольника ABCD, если известно, что: а) АВ = 3:ВС = 4, CD = 5, /.ABC = 110°, LBCD = 130°; б) АВ = 5, CD = б, LB АС = 40°, LABD = 50°, ZACD = 60°. 6. В окружность радиуса R вписана трапеция. Одно основание совпадает с диаметром окружности, а другое стягивает дугу с центральным углом в 120°. Найдите площадь трапеции.
ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ ПЕРЕНОС НА КООРДИНАТНОЙ ПЛОСКОСТИ 10 глава В этой главе вы познакомитесь с преобразованиями точек плоскости, которые называются параллельными переносами. Будут подробно изучены параллельные переносы параллельно осям системы координат и показано, как получить другие параллельные переносы, используя параллельные переносы вдоль координатных осей. Вы узнаете, как с помощью параллельного переноса можно изображать некоторые кривые. § 1. ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ ПЕРЕНОС ВДОЛЬ ОСИ АБСЦИСС 1.1. С помощью линейки и чертежного треугольника легко нарисовать отрезок, равный и параллельный заданному отрезку АВ. Для этого гипотенузу чертежного треугольника приложим к отрезку АВ, а к катету треугольника приложим линейку. Затем отметим на чертежном треугольнике положение точек А и В, сдвинем его вдоль линейки так, как это показано на рисунке 1, и начертим отрезок А\В\. Говорят, что отрезок А\В\ получен из отрезка АВ параллельным переносом вдоль линейки, который точку А
310 Глава 10. Параллельный перенос на координатной плоскости 2J ~[~Т1 1 I I | т~ ш [з] \/ jf 1 4у _L. ЗУ \к М 4_ ■м _ ■\n к J / ц £ / я, W / h ) 1 1 1 i d k- \o J> 5: переводит в точку А\, а точку Б — в точку Вх. Вопрос. Как доказать, что прямые А В и A \В\ параллельны? 1.2. Рассмотрим теперь клетчатую бумагу с горизонтально и вертикально расположенными линиями и отрезок АВ, например такой, как на рисунке 2. Для выполнения параллельного переноса отрезка АВ вдоль горизонтальных линий построим вспомогательный прямоугольный треугольник MNK, как на рисунке 3. Будем считать, что треугольник MNK изображает чертежный треугольник, а прямая MN — кромку чертежной линейки. Мысленно переместим треугольник MNK вдоль прямой MN так, чтобы точка М перешла в точку М\. Тогда точка N перейдет в точку N\, точка К — в точку К\, точка А — в точку Ль точка В — в точку В\ (рисунок 4). Таким образом, мы выполнили параллельный перенос отрезка АВ, не используя чертежного треугольника и линейки. Вопрос. Как параллельным переносом получить отрезок АВ из отрезка 1.3. На клетчатой бумаге удобно ввести прямоугольную систему координат, в которой ось абсцисс является одной из горизонтальных линий, а ось ординат — одной из вертикальных линий сетки (рисунок 5). Рассмотрим, как в такой системе координат изменяются координаты концов отрезка при параллельном переносе вдоль
§ I Параллельный перенос вдоль оси абсцисс 311 горизонтальных линий сетки. Пример 1. Пусть отрезок A\Bi получен из отрезка АВ параллельным переносом так, как показано на рисунке 6. Запишем координаты концов этих отрезков: Л(2;1);Б(3;4);Л1(-2;1);В1(-1;4). Сравним координаты (ао;Ы точки А и координаты (ai;&i) точки А\, в которую при данном параллельном переносе переходит точка А: -- Л -3 V / -2 вг / * -1 iiy о А 1 / 2 в] / ' 3 _ej х\ Ьх = 1 = 60; а1 = -2 = 2-4 = ао-4 = а0 + (-4). Сравним теперь координаты (со;^о) точки В и координаты (c\\di) точки В\\ dY = 4 = do; Cl = -l = 3-4 = co-4 = c0 + (-4). При рассмотренном параллельном переносе точка Л(ао; 6о) переходит в точку j4i(ao — 4;&о), а точка B(co;do) переходит в точку В\(с$— —4; do)- Можно предположить, что при этом параллельном переносе каждая точка М(жо;уо) отрезка АВ переходит в точку M\(xq+ + (—4);уо)> ордината которой равна ординате уо точки М, а абсцисса х0 + (-4) получается прибавлением к абсциссе точки М числа —4. Пример 2. Пусть отрезок А\В\ получен из отрезка АВ параллельным переносом, как показано на рисунке 7. Тогда Ai-l^-llB^^A^-l^B^b-A). Сравнивая координаты (ао;Ьо) точка А и координаты {a\\b\) точки А\, получаем 6i = &о, о>1 — во + 3,5. Аналогично, сравнивая координаты (со; do) точки В и координаты (ci,di) точки В\, получаем d\ = do, с\ = со + 3,5. Следовательно, можно предположить, что при рассматриваемом ГГГРТШ \\в\\\ к \\а\\ \/\ / / / М Л / ы И \°\ m \а\ 1 ki 1 1
312 Глаза 10. Параллельный перенос на координатной плоскости параллельном переносе каждая точка М(хо;уо) переходит в точку Мг(хо + 3,5\уо). Вопрос. В какую точку при параллельном переносе отрезка АВ вдоль оси абсцисс переходит точка Б(2; —2), если известно, что точка А(-3;0) переходит в точку j4i(—5;0)? 1.4. Пусть на плоскости задана прямоугольная система координат Оху. Наблюдения на примерах из предыдущего пункта приводят к общему определению параллельного переноса вдоль оси абсцисс. Рассмотрим некоторую фигуру Ф и число а. Каждой точке А фигуры Ф с координатами (хо;уо) сопоставим точку А\ с координатами (xq + а; уо) • Фигура Ф\, образованная всеми такими точками, получается из фигуры Ф параллельным переносом вдоль оси Ох, соответствующим числу а (рисунок 8). Иногда вместо слов "параллельный перенос вдоль оси Ох, соответствующий числу а" говорят "параллельный перенос вдоль оси Ох на а", или короче "сдвиг на а вдоль оси Ох". Если в качестве Ф взять всю плоскость, то при параллельном переносе на а вдоль оси Ох каждая точка M(xq; уо) перемещается в точку ^i(#i;yi)> координаты которой вычисляются по формулам: и 1 1 1 1 1 1 fl 1 ' i 1 Y]/Гк 1 К|/й1 I 1 Л / J/1 \л /\ j { | У\1у\ IУ /j/L к fC \®W JiT) г |S4L>P 1 г^п Г х\ = хо + a У\ = Уо- (1) Говорят, что формулы (1) задают преобразование координат точек плоскости при параллельном переносе на а вдоль оси абсцисс. Знак числа а определяет направление параллельного переноса вдоль оси Ох: при а > О параллельный перенос происходит вдоль оси Ох в ее положительном направлении; при а < 0 параллельный перенос происходит вдоль оси Ох в ее отрицательном направлении. Вопрос. В какую фигуру переходит прямая у = 1 при параллельном переносе вдоль оси Ох на число —5?
§ 1. Параллельный перенос вдоль оси абсцисс 313 1.5. Покажем, что при параллельном переносе вдоль оси Ох всякая прямая переходит в параллельную ей прямую. Разберем это сначала на примерах. Пример 3. Рассмотрим параллельный перенос прямой / с уравнением у = 2х вдоль оси Ох на 3. Пусть точка A(a;b) принадлежит прямой /, то есть выполняется равенство b — = 2а (на рисунке 9 у точки А координаты a = 2 и b = 4). При данном параллельном переносе точка А переходит в точку A\(p;q) такую, что р = а + 3, q = b (на рисунке 9 у точки А\ координаты р = а + 3 = 5, g = 6 = 4). Из равенств р = а + 3 и q = b следует, что а = р — 3, b = q. Так как по условию b = 2а, то подставляя вместо а и b их выражения через р и я, приходим к равенству q = 2{р — 3). Заменяя в этом равенстве координаты р и q точки А\ соответственно на х и у, получаем, что координаты точки А\ удовлетворяют уравнению У = 2(о? - 3). Следовательно, точки прямой / с уравнением у = 2х переходят при параллельном переносе на 3 вдоль оси Ох в точки прямой 1\ с уравнением у = 2(х — 3), которая параллельна прямой у = 2х. Нетрудно показать, что при данном параллельном переносе все точки прямой / переходят во все точки прямой 1\, Например, в точку В\{2\ —2) прямой 1\ переходит точка В(—1; -2) прямой / (рисунок 9). Пример 4. Рассмотрим параллельный перенос прямой т с уравнением у = — -х + 3 вдоль оси Ох на —2. 2 i Пусть точка А{а\Ь) принадлежит прямой т, то есть 6 = — -а + 3 (рисунок 10). При данном параллельном переносе точка А переходит в точку A\(p;q) такую, что
314 Глава 10. Параллельный перенос на координатной плоскости р = а — 2, q = 6. Из этих равенств следует, что а = р + 2, b — q. Подставляя в уравнение b — —а Н- 3 вместо а и b их выражения через р и q, приходим к равенству <7 = 4(р + 2) + 3. Заменяя в этом равенстве координаты р и q точки А\ соответственно на х и у, получаем, что прямая га с уравнением у = — -я + 3 при параллельном переносе вдоль оси Ох на —2 переходит в прямую гп\ с уравнением у = -\{х + 2) + 3 ИЛИ „ =-!(*-(-2))+ з. Обобщением рассмотренных примеров является следующий результат. При параллельном переносе на а вдоль оси Ох прямая с уравнением у = кх + га переходит в прямую с уравнением у = к{х — а) + т. Вопрос. Почему уравнение у = 2(х — 3) задает прямую на координатной плоскости? 1.6. Докажем, что при параллельном переносе на а вдоль оси Ох каждый отрезок переходит в равный ему отрезок. Пусть концы отрезка АВ имеют координаты А{т\\п\)) В{т2',П2). При данном параллельном переносе точка А переходит в точку A\(mi + a;ni), точка В переходит в точку В\(т2 + а\П2). Из формулы
§ 1. Параллельный перенос вдоль оси абсцисс 315 расстояния между точками получаем равенства: \АгВг\2 = ((m2 -ha)- (mi + a))2 + (n2 - щ)2 = = (m2 - mi)2 + (n2 - щ)2 = |AB|2. Следовательно, l-Ai^l = \AB\, а поэтому отрезок A\B\ равен отрезку АВ. Вопрос. Как доказать, что при параллельном переносе вдоль оси Ох каждый треугольник переходит в равный ему треугольник? 1.7. Пусть при параллельном переносе вдоль оси Ох на а точка А(т\\ щ) переходит в точку А\{т\+а\ щ), а точка В{т2\П2) переходит в точку Bi(rri2 + a; n^). Из формул координат середины отрезка получаем, что середина отрезка АВ\ имеет координаты ( ,—-—1, а середина отрезка А\В имеет координаты ( Т±—!р—2l ; щ щ j. Значит, середины отрезков АВ\ иА\В совпадают. Отсюда следует, что если точки A, J5, А\, В\ не лежат на одной прямой, то по соответствующему признаку четырехугольник АА\В\В является параллелограммом. По этой причине иногда говорят, что параллельный перенос вдоль оси Ох действует "по правилу параллело1рамма": если параллельный перенос переводит точку А в точку А\, то любую точку В, не лежащую на прямой АА\, он переводит в такую точку J3i, что четырехугольник АА\В\В — параллелограмм (рисунок 12). Вопрос. Какие координаты имеет вершина D параллелограмма ABCD, если Л(-6;2), В(-4;3), С(5;3)? 1.8. Рассмотрим на координатной плоскости окружность S с уравнением (х-а)2 + (у-Ь)2 = г2. \ш В f>> Я, \ \ 0 • А / / Л. х \ Ах ш 1 В i ' 0 ,' А 'У ъ'' 1 «?' 1 1 W X
316 Глава, 10 Параллельный перенос на координатной плоскости При параллельном переносе вдоль оси Ох на m каждая точка М(х;у) окружности S переходит в точку M\(x\,yi), координаты которой вычисляются по формулам Отсюда получаем xi = х + m, yi = 2/. zi-m, у = у[. "О TD Подставляя в уравнение окружности S вместо х и у их выражения через переменные х\ и t/i, приходим к уравнению (Xl-(m + a))2 + (yi-b)2 = r2. Это уравнение является уравнением окружности Si, в которую при данном параллельном переносе переходит окружность S. Вопрос. Какие координаты имеет центр окружности S\7 1.9. Рассмотрим на координатной плоскости некоторую фигуру Ф. Выполним последовательно два параллельных переноса этой фигуры вдоль оси Ох: сначала на а\, а затем на а2. Каждая точка А(х\у) этой фигуры при первом параллельном переносе перейдет в точку А\{х\\у\), координаты которой равны: xi =ж + аь у! =у. Полученная точка А\ при втором параллельном переносе перейдет в точку А2{х2\у2), координаты которой равны х2 = хг+а2, У2 = Уь В результате последовательного выполнения этих параллельных переносов точка А(х;у) переходит в точку А2(х2;у2), координаты которой вычисляются по формулам: х2 = х + [ах + а2), у2 = У- Полученные формулы задают параллельный перенос каждой точки А фигуры Ф вдоль оси Ох на а\ + а2.
§ 1. Параллельный перенос вдоль оси абсцисс 317 Например, на рисунке 14 при параллельном переносе вдоль оси Ох на —4 точка Л(2;2) переходит в точку Л\(-2; 2), а линия / переходит в линию 1\. Затем при параллельном переносе вдоль оси Ох на 1 точка А\(—2;2) переходит в точку Ач{ —1;2), а линия 1\ переходит в линию 1^ В результате последовательного выполнения этих параллельных переносов точка Л(2;2) переходит в точку Аъ(2 — 3;2), а линия / переходит в линию h, которая получается из / параллельным переносом вдоль оси Ох на — 4 + 1 = —3. Таким образом, мы получаем следующее правило. Последовательное выполнение параллельных переносов вдоль оси Ох сначала на a\, а затем на ач является параллельным переносом вдоль ОСИ Ох На d\ + U2- Вопрос. Как связаны между собой два сдвига вдоль оси Ох, один из которых получается параллельным переносом сначала на а\, а затем на 02, а второй получается параллельнььм переносом сначала на а2, а затем на а\1 Контрольные вопросы и задания 1. Как пояснить, что отрезок с вершинами А\(-2\\), j?i(-l;4) получен из отрезка Л(2; 1), В(3; 4) параллельным переносом вдоль оси абсцисс? 2. Дайте определение параллельного переноса фигуры Ф вдоль оси абсцисс. 3. В каком случае параллельный перенос фигуры Ф на а вдоль оси Ох происходит в положительном направлении, в каком случае в отрицательном направлении? 4. В какую фигуру переходит прямая при параллельном переносе вдоль оси абсцисс? 5. Что можно сказать о длине и положении отрезка AiJ5b если этот
318 Глава 10. Параллельный перенос на координатной плоскости отрезок получен из отрезка АВ параллельным переносом вдоль оси Ох? 6. Что можно сказать о треугольнике А\В\С\, если известно, что он получен из треугольника ABC параллельным переносом вдоль оси Ох? 7. В какую фигуру переходит окружность при параллельном переносе вдоль оси Ох? 8. Какой параллельный перенос будет получен в результате последовательного выполнения сдвигов вдоль Ох вначале на ai, а затем на Л2? Задачи и упражнения 1. Найдите координаты точек А\ и В\, если отрезок А\В\ получен параллельным переносом из отрезка: а) А(\;0) В(2; 1) на 2 вдоль оси Ох; б) .4(1; 0) В(2; 1) на -2 вдоль оси Ох; в) -4(0; 0) £(2;0) на 1 вдоль оси Ох; г) ,4(0; 0) В(2; 0) на -1 вдоль оси Ох; д) Л(0;0) В(0;2) на 3 вдоль оси Ох; е) А(0;0) В(0;2) на -3 вдоль оси Ох. 2. В какую точку при параллельном переносе отрезка АВ вдоль оси абсцисс переходит: а) точка В(2; 0), если известно, что точка А(1; 0) переходит в точку Аг (4; 0); б) точка В(2; 1), если известно, что точка А{\; 1) переходит в точку Ai(2;l); в) точка В{\; 4), если известно, что точка А(2; 1) переходит в точку Л!(0;1); г) точка В(2; 3), если известно, что точка А(1; 0) переходит в точку Ai(0;0)? 3. В какую прямую переходит: а) прямая у = 2 при сдвиге на 3 вдоль оси Ох; б) прямая у = х при сдвиге на 1 вдоль оси Ох; в) прямая у = х при сдвиге на —2 вдоль оси Ох; г) прямая у = 2х 4-1 при сдвиге на 1 вдоль оси Ох;
§ 1. Параллельный перенос вдоль оси абсцисс 319 д) прямая у = 2х +1 при сдвиге на -1 вдоль оси Ох; е) прямая х = 1 при сдвиге на 5 вдоль оси Ох! 4. В какую фигуру переходит прямая: а) у = Зх при параллельном переносе на - вдоль оси Ох; б) у — —х при параллельном переносе на 1 вдоль оси Ох; в) у = — х при параллельном переносе на —1 вдоль оси Ох; V 1 г) у = — -я при параллельном переносе на —2 вдоль оси 0x1 5. В какой треугольник перейдет треугольник ABC при параллельном переносе на +2 вдоль оси Ох, если вершины треугольника ЛВС имеют координаты: а) 4(0;0), £(0;1), С(1;1); б) Л(1;1), £(0;2), С(2;2); в) Л(0;0), £(1;2), С(5;1); г) Л(1;2), В(5;1), С(3;3)? 6. В какой треугольник перейдет треугольник ABC при параллельном переносе на —3 вдоль оси Ох, если вершины треугольника ABC имеют координаты: а) А(1;0), В(2;1), С(3;3); б) Л(2;1), Я(1:2), С(3;3); в) А(0; 0), В(1; 2), (7(5; 1); г) Л(1; 2), В (А; 1), С(2; 2)? 7. Докажите, что прямоугольный треугольник при параллельном переносе вдоль оси Ох переходит в прямоугольный треугольник. 8. Докажите, что равнобедренный треугольник при параллельном переносе вдоль оси Ох переходит в равнобедренный треугольник. 9. Докажите, что равносторонний треугольник переходит при параллельном переносе вдоль оси Ох в равно- */
320 Глава 10. Параллельный перенос на координатной плоскости сторонний треугольник. 10. В какую окружность переходит окружность радиуса 1 с центром в начале координат при параллельном переносе вдоль оси Ох: а) на 1; б) на -4; в) на 2? Укажите центр полученной окружности и ее радиус. 11. В какую окружность переходит окружность с центром в точка ,Р(1;2) радиуса 2 при параллельном переносе вдоль оси Ох: а) на —1; 6) на -; в) на -2? 12. Укажите в какой параллелограмм переходит: а) параллелограмм с вершинами А(0;0), В(3;1), С(4;2), -0(1; 1) при параллельном переносе на 7 вдоль оси Ох; б) параллелограмм с вершинами А(0;0), JB(1;1), С(2;3), D(l;2) при параллельном переносе на (—4) вдоль оси Ох. * т-г 13. Докажите, что при параллельном переносе: а) параллелограмм переходит в параллелограмм; б) ромб переходит в ромб; в) квадрат переходит в квадрат; г) прямоугольник переходит в прямоугольник. 14. Докажите, что при параллельном переносе на а вдоль оси Ох трапеция переходит в трапецию. 15. Отрезок АВ при параллельном переносе на а вдоль оси Ох переходит в отрезок А\В\. Что можно сказать о четырехугольнике ABCD1 16. Отрезок А(0; 0) В(2; 2) переходит при параллельном переносе вдоль оси Ох на 3 в отрезок А\В\. Найдите: а) координаты вершин А\. В\\ б) площадь параллелограмма АВВ\А\\ в)" координату точки пересечения диагоналей О параллелограмма АВВ\А\. 17. При каком параллельном переносе вдоль оси Ох точка А перейдет в начало координат, если: а)Л(2;0), б) А(-3;0), в)*А(1;1)?
§ 2. Параллельный перенос вдоль оси ординат 321 §2. ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ ПЕРЕНОС ВДОЛЬ ОСИ ОРДИНАТ 2.1. На клетчатой бумаге наряду с параллельными переносами отрезков вдоль горизонтальных прямых легко представить параллельные переносы отрезков вдоль вертикальных прямых. Для выполнения параллельного переноса отрезка ЛБ, изображенного на рисунке 1, построим вспомогательный прямоугольный треугольник MNK, как на рисунке 2. Если считать, что треугольник MNK изображает чертежный треугольник, а прямая NK — кромку линейки, то можно переместить треугольник MNK вдоль прямой NK так, как это сделано на рисунке 3. При этом точка А перейдет в точку Ль а точка В — в точку В\. Проведя отрезок AiB\, мы выполним параллельный перенос
322 Глава 10. Параллельный перенос на координатной плоскости отрезка АВ вдоль вертикальной прямой. Введение на клетчатой бумаге прямоугольной системы координат позволяет заметить правила, по которым изменяются координаты точек при параллельном переносе вдоль вертикальных линий сетки. Например, введем систему координат так, как показано на рисунке 4. Тогда Л(-4;2), Б(-2;5), Л^-4;-4), B^-^-l). Сравнивая координаты (ад&о) точки А и координаты (ai;&i) точки А\, получаем а\ = ao; 6i = 6о — б = 6о + (~б). Сравнивая координаты (с0;о?о) точки В и координаты (c\\d\) точки В\, получаем rfi =dQ-6 = do + (-6). с\ = ад Следовательно, можно предположить, что при рассматриваемом параллельном переносе каждая точка М(хо\уо) переходит в точку Mi(x0;y0 + (-6)). Вопрос. В какую точку при параллельном переносе отрезка АВ вдоль оси ординат переходит точка В( —1;1), если известно, что точка А(0\ —5) переходит в точку Ai(0;-3)? 2.2. Пусть на плоскости задана прямоугольная система координат Оху. Рассмотрим некоторую фигуру Ф и число Ь. Каждой точке А фигуры Ф с координатами (х0; уо) сопоставим точку А\ с координатами (х0; уо + 6). Фигура Ф\ образованная всеми такими точками, получается из фигуры Ф параллельным переносом вдоль оси Оу, соответствующим числу Ь. Иногда вместо слов "параллельный перенос вдоль оси Оу, соответствующий числу 6" говорят "параллельный перенос вдоль оси Оу на 6", или короче "сдвиг на b вдоль оси Оу". Если в качестве Ф взять всю плоскость, то при параллельном переносе вдоль оси Оу на b каждая точка М(хо\уо) перемещается в точку
§ 2. Параллельный перенос вдоль оси ординат 323 М\(х\\у\) координаты которой вычисляются по формулам: Х\ = Хо /£\ У\ = Уо + Ь. К ] Говорят, что формулы (2) задают преобразование координат точек плоскости при параллельном переносе на 6 вдоль оси ординат. Знак числа b определяет направление параллельного переноса вдоль оси Оу: при b > 0 параллельный перенос происходит вдоль оси Оу в ее положительном направлении; при b < О параллельный перенос происходит вдоль оси Оу в ее отрицательном направлении. Вопрос. В какую фигуру переходит прямая х = -2 при параллельном переносе вдоль оси Оу на 3? 2.3. Покажем, что при параллельном переносе на b вдоль оси Оу прямая / с уравнением у = кх + га переходит в параллельную ей прямую 1\ с уравнением у — b = кх + га. Пусть точка A{p\q) принадлежит прямой /, то есть выполняется равенство q = = кр 4- га. При данном параллельном переносе точка А переходит в точку A\(z\i) такую, что z = р, t = q + Ь. Из этих равенств следует, что р = г, q = t — b. Подставляя в равенство q = кр + га вместо р и g их выражения через z и £, приходим к соотношению t — b = kz + га. Переходя к привычным обозначениям координат (я вместо z и у вместо t), получаем, что при данном параллельном переносе каждая
324 Глава 10. Параллельный перенос на координатной плоскости точка прямой / переходит в точку, координаты (х; у) которой удовлетворяют уравнению у — Ь = кх + га. Пример 1. При параллельном переносе вдоль оси Оу на 1,5 прямая с уравнением 2у = Зх — 1 переходит в прямую с уравнением 2(7/-1,5) = Зж-1. Вопрос. Как показать, что при параллельном переносе вдоль оси Оу на 1,5 все точки прямой 2у = Зх — 1 цереходят во все точки прямой 2(у - 1,5) = Зх - 1? 2.4. Параллельный перенос вдоль оси Оу обладает свойствами, аналогичными свойствам параллельного переноса вдоль оси Ох. При параллельном переносе вдоль оси Оу: — каждый отрезок переходит в равный ему отрезок; — если точка А переходит в точку А\, а точка В переходит в точку В\, то середины отрезков АВ\ и А\В совпадают; — если точка А переходит в точку А\, точка В переходит в точку В\ и все эти точки не лежат на одной прямой, то фигура АА\В\В — параллелограмм. Учитывая последнее свойство, иногда говорят, Что параллельный перенос вдоль оси Оу действует "по правилу параллелограмма": если параллельный перенос точку А переводит в точку А\, то любую х точку Б, не лежащую на прямой AAi, он переводит в такую точку В\у что четырехугольник АА\В\В — параллелограмм (рисунок 6). Вопрос. Как доказать, что при па- раллельном переносе вдоль оси Оу ка- \IJ/ ждый треугольник переходит в равный ^ ему треугольник? 2.5. Рассмотрим на координатной ( I \ плоскости окружность S с уравнением ^"^ {х-а? + {у-Ь)2 = г\ И «1,- ш о У\ в. в 'ЛЬ м S&Wi
§ 2. Параллельный перенос вдоль оси ординат 325 При параллельном переносе на m вдоль оси Оу каждая точка М{х\у) окружности 5 переходит в точку М\(х\\у\), координаты которой вычисляются по формулам ^1 = У, У\ = У + т. Отсюда получаем х = хъ у = у! - т. Подставляя в уравнение окружности S вместо х и у их выражение через переменные х\ и yi, приходим к уравнению (хг - а)2 + (уг - (т + б)2) = г2. Это уравнение является уравнением окружности S\, в которую при данном параллельном переносе переходит окружность S. Пример 2. При параллельном переносе вдоль оси Оу на (-2) окружность S с уравнением д;2 + (у—2)2 = 1 переходит в окружность S\ с уравнением х2 + (у + 2 — 2)2 = 1 или х2 + у2 = 1 (рисунок 8). Вопрос. Какой параллельный перенос переводит окружность S\ в окружность 5? 2.6. В пункте 1.9 мы доказали, что последовательное выполнение двух параллельных переносов вдоль оси Ох также является параллельным переносом вдоль оси Ох. Аналогичное правило выполняется и для параллельных переносов вдоль оси Оу. Последовательное выполнение параллельных переносов вдоль оси Оу сначала наЬ\, а затем на &2 является сдвигом вдоль оси Оу на Ъ\ + &2. Вопрос. Как доказать приведенное правило?
326 Глава. 10. Параллельный перенос на координатной плоскости Контрольные вопросы и задания 1. Известно, что точка Л(0;0) при параллельном переносе переходит в точку A\(Q;a). На какое расстояние и вдоль какой оси произведен этот перенос ? 2. Дайте определение параллельного переноса фигуры Ф на а вдоль оси ординат. 3. В каком случае параллельный перенос фигуры Ф на а вдоль оси Оу происходит в положительном направлении, а в каком случае в отрицательном направлении? 4. В какую фигуру переходит прямая, параллельная оси Ох, при параллельном переносе на а вдоль оси Оу? 5. В какую фигуру переходит прямая, параллельная оси Оу, при параллельном переносе на а вдоль оси Оу? 6. Что можно сказать о длине и положении отрезка А\В\, если известно, что он получен из отрезка АВ параллельным переносом на а вдоль оси Оу? 7. В какую фигуру переходит прямая при параллельном переносе на а вдоль оси Оу? 8. Вспомните свойства параллельного переноса вдоль оси Ох. Сформулируйте аналогичные свойства параллельного переноса вдоль оси Оу. 9. Какой параллельный перенос будет получен в результате последовательного выполнения сдвигов вдоль оси Оу вначале на a\, а затем на а{1 10. Чем отличается параллельный перенос вдоль оси Оу от параллельного переноса вдоль оси Ох?
§ 2. Параллельный перенос вдоль оси ординат 327 Задачи и упражнения 1. Найдите координаты точек А\ и В\, если отрезок AiBi получен параллельным переносом из отрезка: а) .4(0; 0), В(1;0) на 1 вдоль оси Оу; б) Л(0;0), £(1;0) на -1 вдоль оси Оу; в) Л(1;2), jB(4;6) на 4 вдоль оси Оу; г) А(1; -3), В(4; -2) на -2 вдоль оси 0</. 2. В какую точку при параллельном переносе вдоль оси ординат переходит точка В(1;2) если известно, что: а) точка А(0;0) переходит в точку Ai(0;2); б) точка А(0;0) переходит в точку А\(0; -2); в) точка А(1;3) переходит в точку А\(1\ 1); г) точка Л(2;4) переходит в точку Ai(2;6)? 3. В какую прлмую переходит прямая у — 1 при сдвиге вдоль оси Оу; а) на 1; 6) на —2; в) на —3; г) на 5? 4. В какую фигуру переходит прямая х = 3 при параллельном переносе: а) на 8 вдоль оси Оу; б) на (-10) вдоль оси Оу; в) на —3 вдоль оси Ох? 5. В какую прямую переходит прямая у = х при параллельном переносе: а) на 1 вдоль оси Оу; б) на —1 вдоль оси Оу; в) на 2 вдоль оси Ох; г) на —3 вдоль оси Ох? 6. В какую прямую переходит прямая у = 2х + 4 при параллельном переносе: а) на - вдоль оси Оу; 2 з б) на — - вдоль оси Оу; в) на - вдоль оси Ох; г) на — - вдоль оси Ох?
328 Глава, 10. Параллельный перенос на координатной плоскости 7. В какой треугольник перейдет треугольник ABC при параллельном переносе на 3 вдоль оси Оу, если координаты вершин треугольника ABC следующие: а) А(0;0), Я(1;0), С(1; 1); 6М(0;0),В(2;0),С(2;2); в)Л(5;5), Б(2;1),С(1;5); г)А(2;\),В(1;5), С(6;6)? 8. В какой треугольник перейдет треугольник ABC, при параллельном переносе на —3 вдоль оси Оу, если координаты вершин треугольника ABC следующие: а)Л(0;1),Б(1;2),С(4;4); 6)А(1;2),В(2;1),С(3;6); в) А(0;0), В(3;1), С(6;2); г)Л(3;2),В(6;1),С(5;5)? 9. Докажите, что при параллельном переносе вдоль оси Оу останутся справедливыми утверждения задач 7, 8, 9 из первого параграфа. 10. В какую окружность переходит окружность радиуса 2 с центром в начале координат, при параллельном переносе вдоль оси Оу: а) на 1; 6) на —2; в) на 3? Укажите центр окружности и ее радиус. 11. В какую окружность переходит окружность радиуса 3 с центром в точке (1;1) при параллельном переносе: а) на 3 вдоль оси Оу; б) на —2 вдоль оси Оу; в) на 1 вдоль оси Ох; г) на —3 вдоль оси Ох? Укажите центр окружности и ее радиус. 12. Укажите, в какой параллелограмм ^переходит параллелограмм с вершинами Л(1;1), £?(4;2), С(5;3), D(2;2) при параллельном переносе: а) на 3 вдоль оси Оу; ь
§ 3. Параллельный перенос на координатной плоскости 329 б) на —2 вдоль оси Оу; в) на 2 вдоль оси Ох; г) на —1 вдоль оси Ох. 13. Докажите, что для параллельного переноса вдоль оси Оу справедливы утверждения задач 13, 14 из первого параграфа. 14. При каком параллельном переносе точка А перейдет в точку (0;0), если координаты точки А: а)(1;0), б)(0;1), в) (3;0), г)(0;3), д)(-1;0), е)(0;-1), ж)(-2;0), з)(0;-2)? §3. ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ ПЕРЕНОС НА КООРДИНАТНОЙ ПЛОСКОСТИ 3.1. Возьмем на клетчатой бумаге отрезок АВ и последовательно выполним два параллельных переноса: переместим отрезок АВ параллельно горизонтальным линиям в отрезок А\В\, как на рисунке 1, а затем полученный отрезок А\В\ переместим параллельно вертикальным линиям в отрезок АгДь к&к на рисунке 2. В результате мы осуществили параллельный перенос отрезка АВ в отрезок АгВъ (рисунок 3), при котором точка А переходит в точку Аг, а точка В — в точку #2 Аналогично на клетчатой бумаге каждый отрезок АВ можно параллельно перенести так, чтобы, например, точка А перешла в заданную точку Р. ГТТ1 J М 1J 1 г М \\Ы 1 1 1 LI 1 1 л'!
330 Глава 10. Параллельный перенос на координатной плоскости 0 У А А £ Л J А я & ( ri/ ТА i 1 У / | | Ш 1 1 1 ■^1 X в Ч VI \'\ 1 и жШм г Ь Г\ 1 ' Кг/Н Вопрос. Как изображенный на рисунке 4 отрезок АВ последовательным выполнением параллельных переносов вдоль осей координат перевести в отрезок, середина которого совпадает с началом системы координат? и 4' / f 1 L / г 0 V ш± X \\щщ L ? , \ \0 1 М* 3.2. 1*м Пусть на плоскости задана прямоугольная система координат Xx+vy+b) {х+Ь;у) Рассмотрим некоторую фигуру Ф и два числа а и Ь. Аналогично предыдущему пункту выполним сначала параллельный перенос фигуры Ф вдоль оси Ох на а в фигуру Ф1, а затем параллельный перенос фигуры Ф\ вдоль оси Оу на Ь в фигуру Фг- В результате получим параллельный перенос фигуры Ф в фигуру Фг (рисунок 5).
§ 3 Параллельный перенос на координатной плоскости 331 Найдем формулы преобразования координат точек при параллельном переносе фигуры Ф в фигуру Ф2. Точка А(х\у) фигуры Ф при параллельном переносе вдоль оси Ох переходит в точку А\(х\\у\), координаты которой равны: Xi = х + о, ух = у. Полученная точка А\ (х\, у\) фигуры Ф1 при параллельном переносе вдоль оси Оу переходит в точку М{х2, Уг), координаты которой равны: #2 = Xi = х Н- о, 2/2 = У\ + Ь = у + 6. Таким образом, при параллельном переносе фигуры Ф в фигуру Фг, который получается сначала параллельным переносом вдоль оси Ох на а, а затем параллельным переносом вдоль оси Оу на 6, координаты точек преобразуются по формулам: х2 = х + a, ,^ У2 = У + Ъ. [6) Это значит, что при данном параллельном переносе точка А(х,у) переходит в точку А2(х + а, у + Ь). Пример 1. Рассмотрим параллельный перенос центра О(0; 0) окружности S с уравнением х2 + у2 = 1 сначала вдоль оси Ох на 3, а затем вдоль оси Оу на — 1. При первом параллельном переносе точка О переходит в точку Oi(3;0) (рисунок 7). Полученная точка 0\ при втором параллельном переносе переходит в точку 02(3;-1) (рисунок 8). Вопрос. При каком параллельном пе ходит в точку О(0; 0)? 3.3. В предыдущем пункте мы получили, что при последовательном выполнении параллельных переносов сначала вдоль оси О на а, V г j г V -1 -2 -3 У \ V 1 1 м 1 ж^ 1 Г1 ! з S '}> 0 JL X юф точку |L(b3 ч ш -,ЩеуА
332 Глава 10. Параллельный перенос на координатной плоскости а затем вдоль оси Оу на b координаты точек преобразуются по формулам ш Mr(Z;t+b/ Ш if ш (rfZ+au+b) Х2 — х + a, = У + b. Выполним теперь параллельные переносы вдоль осей системы координат в другом порядке: сначала вдоль оси Оу на b, а затем вдоль оси Ох на а (рисунок 9). Тогда каждая точка М с координатами (z; t) при первом параллельном переносе переходит в точку M\(z\\t\), координаты которой равны: *i = z, U = t + b. Полученная точка М\ при втором параллельном переносе переходит в точку M2{z2',t2), координаты которой равны: z2 = z\ -f a = z -f a, t2 = 11 = t + b. Следовательно, при последовательном выполнении параллельных переносов вдоль осей координат в указанном порядке координаты точек преобразуются по формулам: z2 = z 4- а, t2 = t + 6. (4) Формулы (4) отличаются от формул (3) только обозначением переменных, а это значит, что формулы (4) и формулы (3) задают один и тот же параллельный перенос плоскости. Вопрос. К какому преобразованию фигуры приведет последовательное выполнение параллельных переносов: сначала вдоль оси Ох на 1, затем вдоль оси Оу на 1, затем вдоль оси Ох на —1 и, наконец, вдоль оси Оу на 1? 3.4. Последовательное выполнение параллельных переносов вдоль осей системы координат, которое было рассмотрено в пунктах 3.2 и 3.3, позволяет ввести следующее общее определение.
§ 3. Параллельный перенос на координатной плоскости 333 Параллельным переносом фигуры Ф, определяемым в данной системе координат упорядоченной парой чисел (а; 6), называется преобразование, при котором каждая точка А{х\у) фигуры Ф переходит в точку i4i(:ri;yi), координаты которой вычисляются по формулам: **№&№ Xi = х + а, ii = х + b. ПЫ П I I I Ы I I i_ J j—J j—J— — Пример 2. Рассмотрим параллельный перенос квадрата с вершинами А(0\ 0), В(1;0), C(l;-1), £>(0;-0), определяемый парой чисел (—2; 4), При данном параллельном переносе вершины квадрата переходят: точка А в точку Аг(0 - 2; 0 + 4); точка В в точку В\(1 — 2; 0 + 4); точка С в точку Ci(l — 2; —1 -h 4); точка D в точку Di(0 — 2; — 1 4- 4) (рисунок 10). Параллельный перенос, определяемый парой чисел (а; 6), можно получить последовательным выполнением параллельных переносов вдоль оси Ох на число а и вдоль оси Оу на число 6. При этом неважно, в каком порядке выполнять параллельные переносы вдоль осей системы координат. Отметим, что параллельный перенос, определяемый парой чисел (о; 0) — это параллельный перенос вдоль оси Ох на число а. Аналогично, параллельный перенос, определяемый парой чисел (0; Ь) — это параллельный перенос вдоль оси Оу на число Ь. Таким образом, приведенное в данном пункте определение параллельного переноса включает в себя ранее рассмотренные параллельные переносы вдоль координатных осей. Вопрос. Какая точка переходит в точку Р( —1; 2) при параллельном переносе, определяемом парой чисел (5; 3)?
334 Глава 10. Параллельный перенос на координатной плоскости 3.5. Рассмотрим параллельный перенос, определяемый парой чисел (а; Ь). Покажем, что при этом параллельном переносе прямая / с уравнением с уравнением у = кх + га переходит в параллельную ей прямую 1\ с уравнением у — b = к(х — а). Действительно, пусть точка А(р\ q) лежит на прямой Z, то есть q = = кр 4- га. При данном параллельном переносе точка Л переходит в точку Ai(z\t) такую, что z = р + а, £ = </ + &. Из этих равенств следует, что р = z — a, q = b — a. Подставляя в равенство g = кр + га вместо р и g их выражения через zHf, приходим к равенству t — Ь = A;(z - а) + га. Изменяя обозначение переменных z и t соответственно на х и у, получаем уравнение у — b = А;(х — а) + га. Пример 3. При параллельном переносе, определяемом парой чисел (3; 1) , прямая / с уравнением у = -х + 4 переходит в прямую 1\ с уравнением у — 1 = -(я — 3) + 4. Для того, чтобы пояснить, что при параллельном переносе все точки прямой / переходят во все точки прямой 1\, рассмотрим, например, точку £(5;6) прямой 1\. Тогда точка C{xq\ 2/0), координаты которой вычисляются из равенств хо = 5 - 3, уо = б — 1, лежит на прямой /, потому что уо = -хо + 4, и при данном параллельном переносе переходит в точку В} потому что xq + 3 = 5, И> + 1 = 6. Вопрос. Пусть уравнение прямой / записано в виде х — 2у -I- 4 = = 0. В какую прямую переходит прямая Z при параллельном переносе, определяемом парой чисел (100;—200)?
§ 3. Параллельный перенос на координатной плоскости 335 3.6. Каждый параллельный перенос обладает свойствами, аналогичными свойствам параллельных переносов вдоль осей координат. При параллельном переносе: — каждый отрезок переходит в равный ему отрезок; — если точка А переходит в точку А\, а точка В переходит в точку В\, то середины отрезков АВ\ и А\В совпадают; если при этом точки А, А\, В, В\ не лежат на одной прямой, то фигура АА\В\В — параллелограмм. Учитывая последнее свойство, иногда говорят, что параллельный перенос действует "по правилу параллелограмма". Вопрос. Как вы понимаете "правило параллелограмма"? 3.7. Перечисленные в пункте 3.6 свойства параллельного переноса доказываются аналогично тому, как это было сделано в пунктах 1.6 и 1.7 для параллельных переносов вдоль оси Ох. Пусть параллельный перенос определяется парой чисел (а; 6). Рассмотрим точки А(тп\\ п\) и B(rri2\ п2). При данном параллельном переносе точка А переходит в точку А\(т\ +а; щ -f 6), а точка В переходит в точку В\(тп2 + а;П2 + Ь). Проведем теперь три рассуждения. I. \АХВХ\2 = ((га2 + о) - (mi + а))2 + ((п2 + а) - (пх + а))2 = = (т2 - гщ)2 + (п2 - щ)2 = |АВ|2. Отсюда следует равенство |Ai2?i| = \АВ\. ТТ Гл /ID /77li +7712 +О 7li+7l2+6\ II. Середина отрезка АВ\ имеет координаты ( —-— ; —— 1. Середина отрезка А\В имеет координаты /т2 + 77Ц + а n2 + Tii + Ь\ V 2 ; 2 )' Отсюда следует, что соответственные координаты середин отрезков АВ\ и AiB равны, а значит, середины этих отрезков совпадают. III. Пусть точки А, В, А\, В\ не лежат на одной прямой. Тогда отрезки АВ\ и А\В лежат на различных прямых, а значит из предыдущей части следует, что каждый из отрезков АВ\ и А\В точкой пересечения делится пополам. По соответствующему признаку получаем, что четырехугольник АА\В\В — параллелограмм.
336 Глава 10 Параллельный перенос на координатной плоскости Вопрос. Как доказать, что при параллельном переносе треугольника точка пересечения его медиан переходит в точку пересечения медиан? ## 3.8. Рассмотрим на координатной плоскости линию Ф, заданную некоторым уравнением с переменными х и у. В качестве примера возьмем линию с уравнением х10 + у10 = 1, которая изображена на рисунке 11. При параллельном переносе, определяемом парой чисел (о;Ь), каждая точка М(х;у) линии Ф переходит в точку Mi(xi\y\), координаты которой вычисляются по формулам UU i с ^ *У \ J г X xi = х + а, у! = у + b. Отсюда получаем равенства х = хг - а, у = у\-Ь. Подставляя в уравнение линии Ф вместо х и у их выражения через переменные х\ и у\, приходим к уравнению (хг - а)10 + (У1 - б)10 = 1. Этому уравнению удовлетворяют координаты только таких точек Мь которые получаются данным параллельным переносом из некоторой точки М линии Ф. Следовательно, уравнение (х - а)10 + (у - б)10 = 1 определяет линию, в которую при данном параллельном переносе переходит линия Ф. Вопрос. При каком параллельном переносе окружность с уравнением (х + 7)2 + (у - 8)2 = 25 переходит в окружность с уравнением (х - 8)2 + (у + 7)2 = 25?
§ 3. Параллельный перенос на координатной плоскости 337 *# 3.9. Параллельный перенос, который задается парой чисел (а, 6), по формулам xi = х + а У\ = У + Ь определяет преобразование каждой точки плоскости с координатами {х:у) в точку с координатами х\\у\). Тем самым этот параллельный перенос является преобразованием всей плоскости. В пункте 3.6 было сказано, что при параллельном переносе каждый отрезок переводится в равный ему отрезок. Это позволяет доказать, что при параллельном переносе каждый треугольник переходит в равный ему треугольник, угол — в равный ему угол, окружность — в равную ей окружность, и так далее. Следовательно, параллельный перенос — один из видов перемещений плоскости. Вопрос. Как доказать, что при параллельном переносе вдоль оси Ох окружность переходит в равную ей окружность? 3.10. Покажем, что последовательное выполнение двух параллельных переносов также является параллельным переносом. Пусть первый параллельный перенос задается парой чисел (ai;bi). Тогда каждая точка А{х\ у) при этом параллельном переносе переходит в точку А\(х\\у\), координаты которой равны: х\ =х + аь ух = у + &ь Пусть второй параллельный перенос задается парой чисел (а^Ьг). Тогда точка Ai(xi;y\) при этом параллельном переносе переходит в точку Аг{х2\ У2), координаты которой равны: хч = х\ +02 = х + {а\ +а2) 2/2 = У\ + &2 = У+(&1 + &2)- В результате последовательное выполнение данных параллельных переносов задает преобразование точек координатной плоскости следующими формулами: хч = х Л- (а\ + а2) 2/2 = J/ + (&i +Ы-
338 Глава 10. Параллельный перенос на координатной плоскости Полученные формулы соответствуют параллельному переносу, определяемому парой чисел (а\ + а2\Ь\ + 62). Этот параллельный перенос можно получить как последовательное выполнение параллельных переносов вдоль осей координат: либо сначала вдоль оси Ох на а\ + <22, а затем вдоль оси Оу на 61 + 62, либо сначала вдоль оси Оу на 6i + 62, а затем вдоль оси Ох на а\ + ач. Пример 4. Рассмотрим окружность 5 с центром F(l; — 2) и радиусом 1 и точку Л(0; —2) этой окружности (рисунок 12). При параллельном переносе, заданном парой чисел (—2;3), точка F переходит в точку Fi(-l;l), а точка А переходит в точку А\(—2;1). Затем при параллельном переносе, заданном парой чисел (3; 1), точка F\ переходит в точку F2(2; 2), точка А\ переходит в точку Лг(1; 2). Вопрос. Как в этом примере убедиться в том, что при параллельном переносе, заданным парой чисел (—24-3; 3 + 1), точка F переходит в точку Fj, а точка А переходит в точку А-р. Контрольные вопросы и задания 1. Пусть точка А\ получена из точки А(х; у) сначала параллельным переносом на а вдоль оси Ох, а затем параллельным переносов на 6 вдоль оси Оу. Чему равны координаты точки А\1 2. Пусть точка А\ получена из точки А(х\ у) сначала параллельным переносом на 6 вдоль оси Оу, а затем на а вдоль оси Ох. Чему равны координаты точки А\1 3. Что такое параллельный перенос, ll^S^S®^*00 определенный парой чисел (а; 6)? 4. Какой парой чисел определяется параллельный перенос вдоль оси 0x1 т 4мА -2| Л ОК 1 ГТ v\ \ \ гТ\ щ} \\ Ъ |з Vt\ AJ ! X 5. Какой парой чисел определяется параллельный перенос вдоль
§ 3. Параллельный перенос на координатной плоскости 339 ОСИ Оу? 6. Во что переходит прямая при параллельном переносе, определяемом парой чисел (а; 6)? 7. Сформулируйте свойства параллельного переноса вдоль оси Ох. 8. Сформулируйте свойства параллельного переноса вдоль оси Оу. 9. Сформулируйте свойства параллельного переноса, определяемого парой чисел (а; Ь). 10. Объясните, что означает предложение, что параллельный перенос "действует по правилу параллелограмма". 11. Что представляет собой последовательное выполнение двух параллельных переносов, определяемых парой {a\;b\) и парой 12. Докажите, что последовательное выполнение параллельных переносов сначала на (ai;6i), а затем на (а2;&г) совпадает с последовательным выполнением параллельных переносов сначала на (ад&г)) а затем на (ai;6i). Задачи и упражнения 1. При каком параллельном переносе: а) точка с координатами (1; 1) переходит в начало системы координат; б) точка с координатами (1;0) переходит в начало системы координат; в) точка с координатами (0; 1) переходит в начало системы координат; г) точка с координатами (—1;—1) переходит в начало системы координат, д) точка с координатами (2; 4) переходит в начало системы координат; е) точка с координатами (~2;3) переходит в начало системы координат? 2. При каком параллельном переносе: а) точка А{2; 1) переместится в точку Ai(3;4);
340 Глада JO. Параллельный перенос на координатной плоскости б) точка Л(1; 1) переместится в точку Ai(2\ 1); в) точка Л(1; 1) переместится в точку Ai(l;2); г) точка А(2\3) переместится в точку «Ai(—1; -2); д) точка А(1\ 1) переместится в точку Ai(-2;0)? 3. Найдите параллельный перенос при котором середина отрезка с концами: а) Л(1;1)В(2;2); 6) Л(0;0) В(4;2); в)Л(1;3)В(3;7); г) Л(-1;2) Б(3;-2) переходит в начало си- стемы координат. 4. В какой отрезок переходит отрезок с концами: а) Л(0;0), В(1\1) при параллельном переносе на (1;1); б) Л(1;2), 2?(3;4) при параллельном переносе на (—1; -1); в) Л(0;1), В(2;4) при параллельном переносе на (-2;1); г) Л(3;б), £?(1;0) при параллельном переносе на (1; -5)? 5. В какую окружность перейдет окружность х2 + у2 — 4 при параллельном переносе на (1; 1)? >** 6. При каком параллельном переносе центр окружности (х — 1)2+ +(у - 2)2 = 9 перейдет в начало системы координат? 7. Найдите координаты вершин треугольника, который получается из треугольника ABC параллельным переносом на (1;2). 8. Найдите периметр параллелограмма ABCD, если Л(2; 1), В(4; 6), а сторона CD получена из стороны АВ параллельным переносом на (2; 2). 9. Найдите, в какой прямоугольник переходит прямоугольник с вершинами j4(1;2), В(3;2), С(3;4), D(l;4) при параллельном переносе на (1;3). 10. При каком параллельном переносе центр прямоугольника с вершинами Л(-3;-2), £(-3;2), С(1;2), £>(1;-2) перейдет в начало системы координат?
§ 3 Параллельный перенос на координатной плоскости 341 11. В какую прямую перейдет прямая у = х при параллельном переносе: а)на(1;1); б)на(-1;2); в)на(-1;1); г)на(4;-1); д)на(2;3)? 12. В какую прямую перейдет прямая у = 2х + 1 при параллельном переносе: а)на(1;1); б)на(1;2); в)на(3;1); г)на(-7;3)? 13. Найдите несколько параллельных переносов при которых прямая у = 2х + 1 перейдет в прямую, проходящую через начало системы координат. 14. Найдите несколько параллельных переносов, при которых прямая у = Зх + 1 перейдет в прямую у = Зх + 3. 15. Докажите, что параллельный перенос удовлетворяет свойствам, сформулированным в задачах 7, 8, 9, 13, 14 первого параграфа. 16. В какую кривую переходит кривая у = #3 при параллельном переносе: а)на(1;0); б)на(0;1); в)на(1;1); г)на(-1;0); д) на (0; -2); е)на(2;3); ж)на(-2;4); з) на (1;-3); и) на (-5;-2)? 17. В какую кривую переходит кривая у = - при параллельном переносе : а)на(1;0); 6)на(0;1); в)на(1;1); г)на(-1;-1); д)на(2;1); е)на(-1;0); ж) на (0; -2); з) на (-5; 6); и) на (3; -4)?
11 глава СВЯЗАННЫЕ ВЕКТОРЫ В этой главе вы познакомитесь с векторами на плоскости, с операциями сложения векторов и умножения вектора на число, узнаете, как раскладывать вектор на сумму составляющих по двум направлениям. § 1. СВЯЗАННЫЙ ВЕКТОР И ЕГО КООРДИНАТЫ 1.1. Выберем на плоскости некоторую точку О. Тогда для каждой точки М плоскости, отличной от точки О, можно определить направленный отрезок, считая точку О началом этого направленного отрезка, а точку М его концом. Направленный отрезок обычно изображают отрезком со стрелкой, поставленной у его конца (рисунок 1). Например, если к лежащему на столе грузу привязать резинку, то растягивая эту резинку вдоль стола в некотором направлении, мы получаем направленный отрезок с началом в точке прикрепления резинки к грузу и с концом в той точке, в которую натянута резинка. Растягивая резинку в разных направлениях на разные расстояния, мы будем получать различные направленные отрезки с началом
§ 1. Связанный вектор и его координаты 343 в одной и той же точке (рисунок 2). Направленным отрезком удобно указывать результат смещения предметов относительно фиксированной точки. Например, маршрут каждого самолета, вылетающего из Москвы в другой город, можно представить на карте России в виде направленного отрезка с началом в Москве. Изображая эти маршруты на карте, мы получаем различные направленные отрезки с началом в Москве. Вопрос. Как на схеме вашего населенного пункта указать направленным отрезком ваш дом по отношению к вашей школе? 1.2. Зафиксируем на плоскости точку О. Для каждой точки М направленный отрезок с началом О и концом М называется вектором, связанным с точкой О, и обозначается ОМ. Обычно из текста ясно, какая точка выбрана в качестве начала. Поэтому вектор, связанный с точкой О, для краткости называют связанным вектором или еще короче — вектором. Иногда вектор ОМ, связанный с точкой О, называют радиус-вектором точки М. Для удобства вводят также радиус-вектор 00, конец которого совпадает с началом. Этот вектор называют нулевым вектором и обозначают О. Каждой точке М плоскости, отличной от точки О, соответствует только один вектор ОМ. Точке О соответствует нулевой вектор. Вопрос. Как понимать слова "ненулевой вектор"? 1.3. Каждый ненулевой связанный вектор характеризуется длиной и направлением. Длина вектора ОМ определяется как длина отрезка ОМ. Нулевой вектор по определению имеет длину, равную нулю. Длина вектора ОМ обозначается \ОМ|. Для задания направления вектора, связанного с точкой О, рассмотрим вспомогательную окружность S единичного радиуса с центром О. Пусть М — точка плоскости, отличная от точки О. Тогда луч ОМ пересекает окружность S в единственной точке F. Поставим в
344 Глава 11. Связанные векторы соответствие вектору ОМ точку F окружности S и будем говорить, что точка F задает направление вектора ОМ. Два вектора ОМ и ON по определению имеют одинаковое направление, если им соответствует одна и та же точка окружности S, и имеют различные направления, если им соответствуют разные точки окружности S. Векторы, имеющие одинаковое направление, иногда называют со- направленными. Приведенному определению направления связанного вектора соответствует задание направления на поверхности Земли с помощью компаса. Стрелка компаса всегда указывает на север. Поэтому любое направление можно указать отклонением от направления на север. Для этого у компаса по окружности наносится шкала, на которой единичному делению соответствует — часть всей окружности. Обычно на компасе отметка 90 соответствует направлению на восток, отметка 180 — направлению на юг, и отметка 270 — направлению на запад. Направление нулевого вектора не определяют. Вопрос. Какой отметке на шкале компаса соответствует направление на се- веро — запад? 1.4. Пусть точки М и N таким образом взяты на прямой, проходящей через точку О, что они принадлежат разным лучам с началом О. Другими словами, точки М и N лежат на прямой по разные стороны от О. В этом случае направления векторов ОМ и ON, связанных с точкой О, называют противоположными, а сами векторы — противоположно направленными. Вопрос. Как доказать, что противоположно направленные векторы имеют разные направления?
§ 1. Связанный вектор и его координаты 345 1.5. Наличие на плоскости системы координат позволяет определить координаты вектора. Рассмотрим векторы, связанные с точкой О у и прямоугольную систему координат хОу, начало которой совпадает с точкой О. M(a;b) OM=(a;b) Координатами вектора ОМ в прямоугольной системе координат хОу называются координаты точки М. Если точка М имеет координаты (а; 6), то координаты вектора ОМ записывают точно так же: ОМ = (а; 6). Число о называют первой координатой вектора ОМ, а число Ь — второй координатой. Таким образом, в прямоугольной системе координат вектор, связанный с началом координат, можно представлять как пару чисел (а; Ь) из координат этого вектора. Поэтому иногда упорядоченную пару чисел будем также называть вектором. Вопрос. Какие координаты имеет нулевой вектор? 1.6. Пусть два связанных вектора ОМ и ON одинаково направлены. Докажем, что координаты вектора ON пропорциональны соответствующим координатам вектора ОМ с коэффициентом пропорциональности к = \Ш\ : \ОМ\. Доказательство. Так как векторы ОМ и ON одинаково направлены, то лучи ОМ и ON совпадают. Следовательно, точки М и N лежат на одном луче с началом О. Поэтому точка N получается из точки М гомотетией с центром О и коэффициентом k = \ON\ : \ОМ\. Как было показано ранее, при гомотетии с центром в начале системы координат координаты точек преобразуются по формулам
346 Глава 11. Связанные векторы xi = кх, у{ = ку, где А: — коэффициент гомотетии (рисунок 7). Следовательно, если точка М имеет координаты (а; 6), то точка N имеет координаты (fca; kb). Так как ОМ = (а; 6) и CW = (А;а;/гЬ), то пропорциональность координат доказана. Вопрос. Как связаны между собой координаты противоположно направленных векторов ОМ и ON, если |CW| = |ОМ|? Контрольные вопросы и задания 1. Что такое направленный отрезок? 2. Как изображается направленный отрезок? 3. Приведите примеры направленных отрезков. 4. Дайте определение вектора, связанного с точкой О. 5. Что такое радиус-вектор точки М? 6. Дайте определение нулевого вектора. 7. Определите длину вектора. 8. Дайте определение направления вектора, связанного с точкой О. 9. В каком случае два вектора имеют одинаковую длину? 10. В каком случае два вектора имеют одинаковое направление? 11. В каком случае мы говорим, что вектора ОМ и ON противоположно направлены? 12. Как связаны между собой координаты точки М на координатной плоскости хОу и координаты вектора ОМ? 13. Как связаны между собой координаты двух одинаково направленных векторов? Задачи и упражнения 1. Выберите точку О на плоскости. Нарисуйте несколько векторов, связанных с точкой О.
§ 2. Сложение векторов 347 2. Найдите множество М — концов всех векторов ОМ, если а) |Ш7| = 1;б) \ОМ\ = 2. 3. Найдите множество М — концов всех векторов ОМ, сонаправле- ных друг с другом. 4. Найдите множество М -- концов всех векторов ОМ, если известно, что любые два из них либо сонаправлены, либо противоположно направлены. 5. Нарисуйте на коорд