Text
                    ИАБиргер
э.ФШорр
. Б. Иосилевич
Расчет
на прочность
|1цС/ I ClJ lt/1/I
МаШИН
СПРАВОЧНИК
4-е издание,
nepeps6or<iHHoe и дополненное
МОСКВА
(МАШИНОСТРОЕНИЕ)
1993


ББК 34.41я2 Б64 УДК [621.81.001.24:539.4] (035) Федеральная целевая программа книгоиздания России. Биргер И. А. и др. Б64 Расчет на прочность деталей машин: Справочник/ И. А. Биргер, Б. Ф. Шорр, Г. Б. Иосилевич. — 4-е изд., перераб. и доп. — М.: Машиностроение, 1993. — 640 с: ил. ISBN 5-217-01304-0 Изложены методы расчета на прочность различных соединений н передач, пружин, валов, подшипников, деталей поршневых двигателей, турбомашин, компрессоров, методы расчета контактных напряжений, расчета деталей на усталость, термопрочность, устойчивость; приведены сведения по определению напряжений и деформаций в элементах конструкций, по оценкам надежности, технической диагностике и автоматизированному проектированию. Четвертое издание (3-е изд. 1979 г.) частично переработано и дополнено материалами по численному расчету и оценке прочности элементов конструкций. Для инженеров-конструкторов н расчетчиков машиностроительных заводов, проектно-конструкторскнх организаций; может быть полезен студентам втузов. Б 2702000000-657 86_92 ББК 34.41я2 038(01)—93 ISBN 5-217-01304-0 © Издательство «Машиностроение», 1979 © Издательство «Машиностроение», 1993, с изменениями
ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие ОСНОВЫ РАСЧЕТА НА ПРОЧНОСТЬ Глава 1. Основные виды пряженно-деформированного состояния . , 11 Напряжение и деформация 11 Растяжение и сжатие. , . 13 Изгиб 14 Срез и смятие 19 Кручение 20 Концентрация напряжений 21 Температурные напряжения 22 Напряженно-деформированные состояния 23 Глава 2. Механические харак- '• теристикн конструкционных материалов и оценка прочности деталей 23 Свойства при статических напряжениях 24 Свойства при высоких и низких температурах ... 28 Свойства при переменных напряжениях 32 Малоцнкловая и термическая прочность 36 Прочность при наличии трещин 37 Разрушения и изломы ... 38 Оценка прочности 39 Запасы прочности при статических напряжениях . 40 Запасы прочности по несущей способности 41 Запасы прочности при переменных напряжениях... 42 Запасы длительной прочности при работе на различных режимах 42 Запасы выносливости при работе на различных режимах 44 РАСЧЕТЫ НА ПРОЧНОСТЬ Глава 3. Резьбовые соединения 45 Материалы, покрытия и контроль крепежных деталей 45 Упрощенный расчет соединений 47 Уточненный расчет соединений 51 Расчет напряжений кручения 56 Выбор предварительной затяжки 58 Распределение нагрузки по виткам резьбы и концентрация напряжений в соединениях 58 Прочность при постоянных нагрузках 63 Прочность при переменных нагрузках 67 Глава 4. Фланцевые соединения 73 Типы фланцевых соединений 73 Упрощенный расчет .... 73 Уточненный расчет соединений с неконтактнрующи- ми фланцами 76 Напряженное состояние фланца и трубы 83 Глава 5. Шпоночные н шлице- вые соединения ... 87 Шпоночные соединения . . 87 Шлицевые соединения ... 90 Расчет шлицевых соединений на прочность 92 Изнашивание соединений 96
4 Оглавление Глава 6. Соединения деталей с гарантированным натягом . . . ... 98 Условия неподвижности н контактные давления в соединениях 99 Расчетный и потребный натяги 103 Прочность при переменных нагрузках 105 Глава 7. Сварные и паяные соединения 108 Основные виды соединений Контроль качества сварных соединений 111 Расчет сварных соединений при постоянных нагрузках 112 Влияние основных конструктивных н технологических факторов на сопротивление усталости 114 Расчет на прочность при переменных нагрузках . . . 122 Паяные соединения .... 122 Глава 8. Валы 126 Конструктивные формы и материалы валов 126 Основные технические требования 129 Нагрузки на валы и расчетные схемы 130 Расчет статической прочности, жесткости и устойчивости валов 131 Расчет на сопротивление усталости 136 Расчет на колебания . . . 139 Критические частоты вращения валов 140 Глава 9. Подшипники качения 141 Основные конструкции и характеристики 141 Геометрические, кинематические и динамические зависимости в подшипниках качения 146 Грузоподъемность и расчет подшипников 147 Эквивалентная нагрузка и расчет долговечности под- шинников 150 Смазывание подшипников 156 Некоторые причины преждевременного выхода из строя подшипников качения и методы нх предотвращения. . 160 Глава 10. Пружины 162 Общие сведения 162 Витые пружины 164 Расчет внтых цилиндрических пружин 165 Расчет на статическую прочность 172 Расчет на сопротивление усталости 173 Расчет на ударную нагрузку 173 Тарельчатые пружины... 175 Прорезные пружины.... 175 Кольцевые пружины.... 176 Кольцевые волнистые пружины 177 Резиновые упругие элементы 178 Глава П. Зубчатые передачи 182 Основные обозначения . . . 183 Упрощенный расчет на прочность прямых зубьев. . . 185 Структура расчетных формул по ГОСТ 21354—87. . 189 Нагрузки, действующие на зуб 190 Неравномерность распределения нагрузки по ширине зуба (коэффициент К&) 191 Статическое распределение усилий между зубьями (коэффициент Ка) 198 Динамические усилия на зубьях при крутильных колебаниях (коэффициент Ккр) и резонансные режямы 201 Динамические усилия на зубьях при пересопря- женин (коэффициенты Кп и /С0) 205 Расчет зубьев на прочность прн изгибе 211 Расчет на контактную выносливость активных поверхностей зубьев 217 Работа передач при различных режимах 221 Особенности расчета передач с косыми, шевронными, коническими зубьями и передач М. Л. Новикова. . . 222
Оглавление 5 Косозубые н шевронные передачи 222 Конические передачи . . 223 Передача М. Л. Новикова 224 Глава 12. Шариковинтовые передачи 225 Конструкции передач и материалы 226 Расчет передач 227 Глава 13. Ременные передачи 233 Материалы и конструкции приводных клиновых ремней 233 Механика ременной передачи 234 Расчет ременных передач 238 Передачи с зубчатыми ремнями 239 Порядок расчета и проектирования решенных передач 243 Глава 14. Цепные передачи . . 244 Конструкции цепей и материалы 245 Силы в передаче 247 Выбор основных параметров передачи 248 Несущая способность передачи 250 Особенности проектирования и эксплуатации передач 254 Порядок расчета передачи 255 Глава 15. Расчет деталей поршневых двигателей 256 Расчет коленчатых валов . , 256 Расчет шатунов 262 Расчет поршневого пальца 266 Расчет поршневых колец . . 267 Расчет днища поршня . . . 268 Прочность элементов корпуса 268 Расчет клапанных пружин 269 Глава 16. Расчет деталей тур- бомашин ..... 270 Расчет лопаток на растяжение от центробежных сил . . 270 Расчет лопаток на изгнб . . 273 Запас прочности профильной части лопатки 281 Равнопрочные лопатки . . . 282 Охлаждаемые лопатки. . . 283 Изгибные колебания лопаток 285 Закрученные лопатки ... 291 Шарнирные лопатки .... 299 Бандажированные лопатки 302 Расчет замков лопаток . , . 304 Вибрация лопаток 308 Расчет дисков. Напряжения на контуре 315 Запасы прочности диска . . 317 Профилирование равнопрочных дисков 322 Основные уравнения при расчете дисков ..... 323 Напряжения и деформации в диске постоянной толщины 325 Напряжения и деформации в диске переменной толщины 327 ОПРЕДЕЛЕНИЕ НАПРЯЖЕНИЙ И ДЕФОРМАЦИЙ В ЭЛЕМЕНТАХ КОНСТРУКЦИЙ Глава 17. Изгиб стержней, . 334 Перерезывающая сила и изгибающий момент 334 Напряжения и деформации при изгибе 336 Упругая линия стержня . . 342 Определение прогибов с помощью интеграла Мора . . 346 Прогибы н углы поворота в стержне переменного сечения 350 Изгиб стержня с учетом пластических деформаций 351 Глава 18. Кручение стержней 355 Круглый вал 355 Стержень с эллиптическим поперечным сечением. . . 356 Стержни прямоугольного сечения и тонкостенные . . , 357 Распределение касательных напряжений 358 Учет пластических деформаций 358 Трубчатые стержни . . . 359
6 Оглавление Глава 19. Расчет колец. . . . 361 Плоская деформация колец 361 Осесимметричная деформация колец 368 Глава 20. Устойчивость стержней 373 Формула Эйлера 373 Общий случай расчета критической нагрузки .... 375 Таблицы для расчета критической нагрузки 376 Влияние начального прогиба и внецентренного приложения силы на выпучивание стержня 382 Расчет сжатых стержней на прочность и жесткость . . . 383 Потеря устойчивости при упруго-пластических деформациях 385 Выпучивание стержня при упруго-пластических деформациях 386 Динамический анализ устойчивости. Действие следящих нагрузок 388 Потеря устойчивости при нагреве 390 Потеря устойчивости плоской формы изгиба .... 390 Потеря устойчивости при скручивании 391 Глава 21. Колебания упругих систем 392 Основные понятия 392 Метод динамических жест- костей 393 Определение собственных частот системы методом динамических жесткостей . . 394 Крутильные колебания . 396 Изгибиые колебания .... 399 Частоты собственных колебаний некоторых динамических систем 403 Глава 22. Критические частоты вращения валов 405 Вал с одним диском .... 405 Вал с несколькими дисками 410 Вал с непрерывно распределенными массами .... 410 Глава 23. Расчет пластинок . . 424 Круглые пластинки .... 424 Прорывные мембраны. . . 440 Прямоугольные пластинки 441 Глава 24. Расчет иа прочность цилиндрических оболочек 443 Основные зависимости . . . 443 Расчет длинных оболочек 445 Расчет коротких оболочек 447 Температурные напряжения в оболочке 458 Глава 25. Устойчивость пластинок, колец и оболочек 459 Устойчивость пластинок . . 460 Устойчивость колец. . . , 463 Устойчивость цилиндрических оболочек 463 Устойчивость конических оболочек 472 Устойчивость сферических и эллипсоидальных оболочек 473 Устойчивость пластинок и оболочек при температурных напряжениях 473 Устойчивость анизотропных оболочек 474 Устойчивость подкрепленных оболочек 475 Глава 26. Численные методы расчета конструкций 477 Вариационные уравнения 477 Вариационно-разностный метод 480 Метод конечных элементов 482 Динамические расчеты, . , 490 Глава 27. Расчет конструкций с учетом пластичности и ползучести . . 495 Уравнения упругости . . . 495 Уравнения пластичности . . 497 Уравнения ползучести . . . 501 Расчет конструкций на прочность с учетом пластичности и ползучести (простое на- гружение) 502 Расчет на прочность кон-
Оглавление 7 струкций при сложном на- гружении 505 Глава 28. Концентрация напряжений и деформаций в деталях машин 510 Основные понятия 510 Концентрация напряжений около отверстий 511 Концентрация напряжений в плоских и осесимметрич- ных выточках и галтелях 516 Концентрация напряжений и деформаций в условиях пластических деформаций и ползучести 517 Концентрация напряжений в элементах конструкций 521 Глава 29. Контактные задачи 527 Контакт деталей простой формы 528 Конструкционные контактные задачи 535 Общий метод решения конструкционных контактных задач 543 ОЦЕНКА ПРОЧНОСТИ И НАДЕЖНОСТИ Глава 30. Расчет на прочность при сложном напряженном состоянии 549 Критерии статической прочности 549 Критерии длительной и малоцикловой прочности . . . 554 Глава 31. Расчет на усталость 555 Основные закономерности сопротивления усталости 555 Определение пределов выносливости деталей .... 562 Условия сопротивления усталости 564 Определение запасов прочности при усталости .... 566 Статистические модели усталости 572 Глава 32. Вероятность разрушения и запасы Вероятность разрушения. . Вероятность разрушения при произвольных законах распределения напряжений и пределов прочности. . . Статистические запасы прочности Глава 33. Элементы теории иа- 573 574 575 578 Ь81 Основные понятия .... Правила надежности . . . Вероятность безотказной работы, плотность распределения и интенсивность отказов Основное уравнение теории надежности Общая закономерность изменения интенсивности отказов по времени наработки Прогнозируемая вероятность безотказной работы Экспоненциальный закон надежности Нормальное распределение времени безотказной работы Распределение Вейбулла для времени безотказной работы Надежность системы после довательных элементов . Надежность системы парал^ лельных элементов . . Анализ надежности системы с несколькими параллельно работающими элементами Расчет числа изделий, находящихся в эксплуатации Количественные показатели надежности Глава 34. Технологические методы повышения долговечности деталей машин Остаточные напряжения . . Упрочнение деталей машин поверхностным пластическим деформированием . . . Термическая и химико-термическая обработка. . . . 581 582 584 586 586 586 587 588 589 589 589 590 591 591 592 592 595 600
8 Оглавление Определение остаточных напряжений 601 Глава 35. Основы теории технической диагностики 605 Постановка задач технической диагностики 605 Вероятностные методы распознавания 606 Методы статистических решений 610 Методы статистических решений при наличии зоны неопределенности 612 Метрические методы распознавания 613 Метод разделения в пространстве признаков.... 615 Логические методы распознавания 617 Глава 36. Основы автоматизированного проектирования 618 Структура автоматизированного производства. . . 618 Структура математической модели 619 Уровни и классы моделей 620 Общие принципы создания систем автоматизированного проектирования .... 621 Цели и методы оптимизации 623 Список литературы 625 Предметный указатель .... 630
ПРЕДИСЛОВИЕ Вопросы надежности, прочности, долговечности и ресурса являются важнейшими в современной технике. Вследствие непрерывно возрастающих требований к быстроходности, экономичности, надежности и к снижению массы машин расчеты на прочность становятся все более сложными. Оня должны учитывать различные режимы работы, реальные свойства материалов, условия нагружения, технологические, эксплуатационные и другие факторы. В расчетах на прочность деталей машин и конструкций все шире используют результаты, полученные в теории стержней, пластин, оболочек, в теории упругости, пластичности и ползучести, в механике разрушений. Все это приводит к тому, что в процессе разработки машины конструктор часто не имеет возможности провести достаточно обоснованные расчеты иа прочность, и такие расчеты выполняют расчетные отделы В книге изложены методы расчета деталей машин на прочность в форме, удобной для использования непосредственно при проектировании машин и конструкций При этом учитывается возможность различной теоретической подготовки конструкторов. В первом разделе даны основные сведения, необходимые для элементарных расчетов на прочность. Во втором разделе в большинстве случаев также приведены простейшие расчетные формулы и таблицы, для некоторых типовых элементов конструкций даны уточненные методы расчета Основное внимание уделено выявлению физических основ задачи, простоте, удобству расчета, анализу допустимого уровня напряженности. В технических расчетах все нужное оказывается простым, а все сложное — ненужным. Основные расчеты приведены в форме, рекомендуемой в ГОСТах и нормативных руководствах, или в форме, используемой в отечественной и зарубежной расчетной практике, что позволяет использовать расчеты для накопления статистических данных по напряженности деталей. В третьем разделе даны методы определения напряжений в стержнях, пластинах и оболочках, необходимые для расчетов на прочность, жесткость, устойчивость и колебания. В связи с расширяющимся использованием в инженерных расчетах электронных вычислительных машин (ЭВМ) приводятся основные сведения по численным методам расчета конструкций сложной геометрической формы с учетом упругости, пластичности и ползучести конструкционных материалов Расчеты могут проводиться как на универсальных, так и на современных персональных вычислительных электронных машинах Значительное внимание уделено материалам справочного характера В четвертом разделе рассмотрены вопросы оценки прочности и надежности деталей машин, а также вопросы автоматизированного проектирования, используемого во многих отраслях современной техники В четвертом издании в ряд разделов книги внесены уточнения и дополнения. Главы 4, 17—19, 21, 22, 24, 25, 32, 33, 35 и 36 написаны д-ром техн. наук, проф И. А. Биргером; главы 1, 2, 11, 15, 20 и 23 — д-ром техн наук, проф. Б. Ф. Шорром, главы 6—8, 13 и 14 — д-ром техн. наук, проф.
10 Предисловие Г. Б. Иосилевичем Главы 3, 5, 10, 12, 27—31 и 34 написаны И А. Биргером и Г Б Иосилевичем, главл 16 — И. А Биргером и Б. Ф Шорром, глава 26 — всеми авторами. По просьбе авторов глава 9 написана канд техн. иаук А. И. Ерошкиным и инж Б. А. Ерошкиным. Авторы выражают признательность канд. техн. наук В В. Джамаю за помощь в подготовке части книги к переизданию.
ОСНОВЫ РАСЧЕТА НА ПРОЧНОСТЬ Глава 1 ОСНОВНЫЕ ВИДЫ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО состояния НАПРЯЖЕНИЕ И ДЕФОРМАЦИЯ Во время работы на детали действуют внешние силы (сила тяжести, давление пара, центробежные силы и т. д.), под действием которых они меняют размеры и форму, т. е. деформируются. Для нормальной работы необходимо, чтобы деформации были незначительными Если подвесить груз Q к стержню (рис. 1), то он удлинится на величину Д/, после чего деформация прекратится. Ей препятствуют внутренние силы, возникающие между частицами тела. Для определения внутренних сил применяют метод сечений. Рассечем мысленно стержень плоскостью П и отбросим верхнюю часть Чтобы нижняя часть стержня осталась в равновесии, в сечении П к ней должны быть приложены внутренние силы Ръя, уравновешивающие груз Q {рис. 2, а) На различные площадки AF будут действовать различные силы ДР Как показывает опыт, отношение при растяжении стержня во всех точках данного сечения остается постоянным. Величину р называют полным напряжением. Когда напряжения в различных точках сечения неодинаковы, например при изгибе, их определяют из того же соотношения (1), но действующие силы ДР относят к очень малым площадкам В Международной системе единиц (СИ) силу измеряют в ньютонах (Н), а напряжение — в паскалях (1 Па = 1 Н/м2) или в мегапаскалях (1 МПа -= = 10е Па) В технике напряжение было принято измерять в кгс/см2 или кгс/мм2 (1 МПа = 9,81 кгс/см2 да т 10 кгс/см2 — 0,1 кгс/мм2) Полное напряжение раскладывают на две составляющие (рис. 2, б) Нормальным напряжением а называют составляющую напряжения, направленную по нормали к площадке. Касательным напряжением т называют составляющую напряжения, действующую в плоскости площадки. Различать нормальные и касательные напряжения необходимо потому, что материал по-разному сопротивляется их действию. Нормальное напряжение считают положительным, если оно растягивающее. Знак нормального напряжения важен для расчета на прочность, так как конструктивные материалы сопротивляются растягивающим напряжениям хуже, чем сжимающим Знак касательного напряжения не существенен. Если через данную точку провести ряд сечений, то в общем случае значения полного напряжения и его составляющих в этих площадках будут различными Когда тело в целом находится в равновесии, то условия равновесия должны удовлетворяться для любого малого его элемента. Из этих условий следует, что напряжения в разных площадках должны быть связаны определенными соотношениями Зная напряжения, действующие по трем взаимно перпендикулярным площадкам в окрестности точки, можно определить напряжения в любой площадке, проходящей через эту же точку. Для каждой точки имеются три взаимно перпендикулярные площадки, в которых касательные напряжения равны нулю. Эти площадки называют главными, а действующие в них нор-
12 Основные виды напряженного состояния Рис. I. Удлинение стержня и перемещение его конца под действием растягивающей нагрузки: а — положение стержня до деформации; б — р деформированном состоянии Рис. 2. Внутренние силы в сечениях стержня мальные напряжения—главными напряжениями. Их обозначают аъ а2, а8. Главное напряжение а1 является алгебраически наибольшим, напряжение а, — алгебраически наименьшим. Наибольшим по величине о"тах может быть любое из них. Из условия моментиого равновесия элемента объема следует, что касательные напряжения в перпендикулярных площадках равны между собой (см. рис. 2, б). Это свойство называют законом парности касательных напряжений. Наибольшее касательное напряжение ттах = 0,5 | Cj—а3\. Максимальное касательное ттах н нормальное атах напряжения равны между собой только при а3 = —аъ в остальных случаях ттах< аша>. При деформации тела взаимное положение его отдельных точек меняется, точки получают перемещения. Например, под действием груза Q (см. рис. !) нижний конец стержня перемещается (опускается) на величину и, в то время как верхний конец остается неподвижным. Различие в перемещениях связано с изменением длины стержня под нагрузкой. Абсолютное удлииеиие Д/ = /х — /0 в данном примере равно перемещению и и зависит от длины стержня. Собственно деформация стержня характеризуется относительным удлинением ■ = f. (2) 'о Относительное удлииеиие — безразмерная величина, иногда выражается в процентах. Например, если стержень, имевший длину /0 = 1 м, удлиняется на Д( = ! мм, то Е-1Ш!00 = 0Л%- Общая деформация элемента тела связана с удлинениями его сторон и сдвигами. Удлинения сторон могут вызывать изменение объема и формы, сдвиги — только изменение формы (рис. 3). Относительное изменение объема 8 == AV/V„ выражается через относительные удлинения сторон как 6 да ex + е2 + е3. (3) Угол, на который изменяется первоначально прямой угол элемента, называют сдвигом у — Yi + V2 (рис. 3, г). В общем случае деформации различны в разных точках детали и по
Растяжение и сжатие 13 Ркс. 3, Разложение общей деформации на относительные удлинения ft сдвиги: а — общая деформация, б - изменение объема и формы, связанное с удлинениями сторон, в - изменение формы, связанное со сдвигами разным направлениям для одной и той же точки. При деформации первоначально сплошное тело остается сплошным (до начала разрушения). Из этого условия следует, что деформации по разным направлениям Должны быть связаны определенными роотношениями. Зная деформации в Точке по трем взаимно перпендикулярным направлениям, можно определить деформация по любому направлению. Для каждой точки имеются три Взаимно перпеядикулярных направления, по которым сдвиги равны нулю. Это главные направления деформации. В реальных материалах напряжения и деформации всегда возникают одновременно Изменение линейных размеров происходит от действия нормальных напряжений, объема — от Среднего напряжения аср = (ох + *Т ог-{- а,)/3, сдвиги — от касатель- йых напряжений. РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ Во многих деталях стержневой формы основная нагрузка действует вдоль Ьси стержня (штоки прессов, шатуны, рабочие лопатки паровых турбин и пр.), которые в этих условиях растягиваются или сжимаются. Используя метод сечений, можно установить, что в любом сечении растянутого (сжатого) стержня равнодействующая Внутренних сил Явн равна внешней силе Q, действующей на оставшуюся Часть стержня (см. рис. 2). Опыт показывает, что в плоских сечениях, удаленных от места приложения внешней силы Q на расстояние большее, чем диаметр стержня, напряжения распределяются по сечению практически равномерно, а сами сечения, перпендикулярные к оси стержня, остаются плоскими и перпендикулярными к осн и после деформации. Это положение носит название гипотезы плоских сечений. Напряжение в поперечном сечении стержня F (4) где F — полная площадь сечения, а напряжения в наклонном сечении, нормаль к которому составляет с осью стержня угол <р (см. рис. 2, б), Оу= о cos8 ф; тф = 0,5а sin 2ф. (5) Если в стержне имеется ослабление, то в расчет следует вводить минимальную площадь сечения (площадь нетто). В этом случае по формуле (4) определяют номинальное напряжение, не учитывающее концентрацию напряжений Прн растяжении продольные волокна стержня получают относительное удлинение е = А///0, а поперечные размеры уменьшаются. Величину еп = = (dj — а\)1<10 (см. рис. 1) называют относительной поперечной деформацией. Экспериментально установлено, что до определенных пределов отиоситель-
14 Основные виды напряженного состояния 1. Фнзнческне свойства некоторых материалов при Т — 20 °С Материал ^1леродистые стали {(.таль 20, сталь 45 и др ) Легированные стали (ЗОХГСА. 12ХНЗА) Жаропрочные сплавы (ХН77ТЮР. 12Х18Н9Т и др ) Чугун Алюминиевые сплавы (АЛ4, Д1 и др ) Магниевые сплавы (МА5 и др ) Титановые сплавы (ВТЗ и др ) Стеклотекстолит Ориентированные стеклопластики Однонаправленный боралюми- ний (20 -60% бора) Однонаправленные углепластики Плотность р, г/см' 7.85 7,85 8.П- 8 2 6,5 — 7.5 2.6 — 2.9 ~1.8 ~4.5 1.6-1.7 ~1 9 ~2,5 1,4-1.5 Модуль Г.Х 10-ь. МПа 2.0 -2.2 2.0-2.2 2.0-2.2 1,0—1.5 0,71—0,78 0.4 — 0.45 1,1-1,2 0.3 0.6-0,7 1.3 -2.8 1-2 и СО >> хС О 5? *58 0, J 0.3 0.3 0,25 0,31 0,34 0.3 0,29 0.3 0.3 0.25 нциент юго рения . 1/°С 8 = ° х 11 11-12 12—17 1 1 20 -25 27 8.5 — — 10 5 1- 3 н X к , ** ЯО хП ■в-с о. о = «>■ 45-70 35 — 45 12-25 35 — 60 120— 175 70—115 8—16 — — — - ное удлинение пропорционально напряжению (закон Гука)' а (6) Коэффициент £, зависящий от материала стержня и температуры, называют модулем упругости, он имеет размерность напряжения, Из формул (2), (4), (6) следует: А/ = ^. (7) 'о EF' Произведение EF характеризует жесткость сечения стержня при растяжении, величина EFUq — жесткость при растяжении стержня в целом (она /равна силе, вызывающей удлинение/ равное единице) Чем больше жеркость, тем меньше удлинение. Эксперименты также показывают, что относительная поперечная деформация еп = —ve, (8) где v — коэффициент поперечного сжатия (коэффициент Пуассона), зависящий от материала стержня. Значения Е и v для некоторых материалов при нормальной температуре приведены в табл. 1. По формулам (3), (6) н (8) e = -J-(l-2v), откуда следует, что при растяжении объем тел увеличивается (6 ^> 0), при сжатии — уменьшается (9 < 0). При деформации сжатия применимы те же формулы, что и при растяжении, однако сжимающее напряжение считают отрицательным. Длина стержня при сжатии уменьшается, поперечное сечение увеличивается. Модули упругости при растяжении и сжатии для большинства металлов и сплавов имеют одинаковые значения, но для свинца, серого чугуна средней прочности, а также для дерева, фанеры, железобетона — различные. ИЗГИБ Деформацию изгиба испытывают валы, оси, рельсы, балки, зубья колес, лопатки турбин и компрессоров и многие другие детали. Внешние нагрузки при изгибе направлены перпендикулярно к оси детали и могут иметь вид сосредоточенной силы Р и распределенной по длине нагрузки q; силы — в Н, распределенные иагруз-
Изгиб 15 Рве. 4. Изгиб двухопорного вала с (оисольиым диском: в — эпюра изгибающих моментов, б — распределение нормальных напряжений в опасном сеченни ки — в Н/м. Нагрузки могут также уводиться к внешнему изгибающему Моменту М, Н-м. Для определения внутренних сил при изгибе пользуются методом сечений. Найдя из условий равновесия детали в целом опорные реакции (так, для двухопорного вала с консольным Диском, рис. 4, они равны Ра/1 и Р (а + /)//), проводят мысленно через выбранную точку поперечное сечение, нормальное к оси, отбрасывают одну часть вала и рассматрлвают условия равновесия оставшейся части. Внутренние силы, действующие в плоскости поперечного сечения сводятся к поперечной силе Q и изгибающему моменту М. При некоторых условиях нагружения в балке может возникнуть только изгибающий момент. Такой изгиб называют чистым. Проведя линию, параллельную оси балки, и отложив на ней величины Q Я М, действующие в соответствующих сечениях, получим эпюры поперечных сил и изгибающих моментов. Эпюры позволяют весьма просто определить наиболее нагруженные сечения. Эпюра М для двухопорного вала с консольным диском приведена на рис. 4, наиболее нагружено сечение вала у правой опоры. В поперечных сечениях балки действуют нормальные и касательные напряжения. Основное значение для длинных балок (стержней) имеют нормальные напряжения, распределяющиеся в сечении по линейному закону. Это является следствием закона Гука и гипотезы плоских сечений, согласно которой плоское поперечное сечение при деформации изгиба остается плоским и перпендикулярным к деформированной оси балки Нормальные напряжения связаны с действием изгибающих моментов. В точках, лежащих на нейтральной оси, которая проходит через центр тяжести сечения, нормальные напряжения отсутствуют. Наибольшей величины напряжения достигают в точках, наиболее удаленных от нейтральной оси, причем М О»)
16 Основные виды напряженного состояния Рис. 5. Изгиб двутавровой балки: о — эпюра изгибающих моментов; б — распределение нормальных напряжений в опас- Опасная точка ном сечении Рис. в. Изгиб турбинной лопатки силами давления газов: а — эпюра изгибающих моментов; б — распределение нормальных напряжений в опасном сеченни где W — момент сопротивления при изгибе, см8; W = -r^—; (10) "max здесь J — момент инерции сечения, см4; Агоах — расстояние от оси до наиболее удаленной точки. Значения J и W для поперечных сечений наиболее распространенных типов приведены в табл. 2. На рнс. 4—6 приведены примеры определения опасных сечений для некоторых случаев изгиба и показано распределение нормальных напряжений в типичных сечениях. Касательные напряжения связаны с действием поперечных сил. При чистом изгибе касательные напряжения равны нулю, а в общем случае они обычно малы по сравнению с нормальными напряжениями я в приближен-
Изгиб 17 2. Геометрические характеристики поперечных сечеиий при изгибе Тип поперечного сечения Момент инерции сечеиня Момент сопротивления сечеиия Крут лое сплошное сечение 0 ПР* 64 ЯР» 32 Круглое полое сечение 64 [■-(-§-)4) ПО 32 ч>-(4Л Прямоугольное сплошное сечение 12 ВН* Прямоугольное полое сечение 1—1—1 1- --*- — т1 ВЯ' 12 ['-4-(4-Л вя -[■-4-W1
18 Основные виды напряженного состояния Продолжение табл 2 Тип поперечного сечения Момент инерции сечения Момент сопротивления сечеиия Двутавровое сече ние TtT7& чл и; о вн »-М>-4-)- х(.-4-П Тонкостенное сече ние 6 «I яОсРа 8 * ср <$: 1, Jl 6, И в„ <$: 1 4ч Вср6 + "ср61 ЯсР1всрв+—Г") * -ФЧ3^ 66 <$: 1 внср (_Ь_, 6й \ 12 V В + Я„„ / 6 I S "ср )
Срез и смятие 19 ных расчетах на изгиб ими часто пренебрегают. Под действием нагрузок балки прогибаются, особенно сильно на свободном конце при консольном креплении (рнс. 6) и в середине пролета между опорами (рнс. 5). При действии сосредоточенной силы Р максимальный прогиб балки определяют по формуле Утях Р13 kEJ' (II) где k — коэффициент, зависящий от расположения опор и характера нагрузки. Для двухопорной балки с силон посредине k = 48, для консольной балки с силой на свободном конце k = 3. Произведение EJ характеризует жесткость сечения балки на изгиб, величина kEJ/l3 — жесткость на изгиб балки в целом (она равна силе, вызывающей прогиб, равный единице). Обратную величину l3/kEJ называют податливостью балки на изгиб (она равна прогибу, вызываемому единичной силой). При той же массе наибольшую жесткость на изгиб и наименьшие напряжения имеют балки двутаврового сечения. СРЕЗ И СМЯТИЕ В работе заклепок (рис. 7), шпонок (рис. 8), штифтов основное значение имеют деформации среза и смятия. Действительное распределение напряжений в этих случаях сложное, и расчеты ведут по условным напряжениям, которые определяют в предположении равномерного их распределения по площади среза или смятия Касательное напряжение при срезе 1ср ср ср (12) где Яср— сила, вызывающая срез; Fcp — площадь среза. Рис. 7. Схема работы заклепочного соединения; а — схема узла, б — срез заклепок; в — смятие Рис. 8. Схема работы шпоночного соединения: а — схема узла, б — срез шпоики; в — смятие поверхности шпоночной канавкн, г — схема шпоикн
20 Основные виды напряженного состояния Рис. в. Кручение вала: М5 Р6ГГ а — эпюра крутящих моментов; б распределение напряженки в опасном сеченнн Для двух заклепок при двустороннем срезе (рис. 7) ср 0.25Р; F ср : 0,25mfa. Для шпоики (рис. 8) Fcp = (а+ 0,25я6) Ь. Напряжение смятия (13) где Рсм — сила, вызывающая смятие; Рек — площадь смятия. При смятии по цилиндрической поверхности для заклепок (см. рис. 7) считают рис. 8) см : dh; для шпоики (см. ; 0,5са. КРУЧЕНИЕ Валы (рнс. 9) и ряд других деталей машин испытывают деформацию кручения. Если вал, имеющий частоту вращения л, мин-1, передает мощность N, кВт, то крутящий момент в поперечном сечеиии вала Мк = 9555 " н.м (14) (мк = 97 400 — , кгсгсм) При измерении N в/л. с, Мк = 730о4, Н-м (м„ = 71620-^-, кгс-см). (15) Для определения опасного сечеиия в валах строят эпюры крутящих моментов (рис. 9, а). При кручении круглого вала в поперечном сечении деж -вуют касательные напряжения, которые распределяются по радиусу вала по линейному закону. В центре вала напряжение равно нулю, у поверхности достигает максимального значения Ттпах ■ Ms (16) где WK — момент сопротивления сечеиия кручению, см3. Для полого вала лсР "* = is-v -а*), (17) где d — виешинй диаметр вала; а = = djd; d-i — внутренний диаметр вала. При одинаковой прочности полый вал легче сплошного. Угол закручивания вала в градусах на длине / Мк1 180 Ф GJ, (18) где Jp — полярный момент инерции сечеиия вала, см*; '.-£<■-->; (19) G — модуль сдвига, МПа; G = 0,5£/(1 + v) да 0.38Я.
Концентрация напряжений 21 Произведение GJ „ характеризует жесткость сечения вала на кручение, величина GJp/l — жесткость на кручение вала в целом. КОНЦЕНТРАЦИЯ НАПРЯЖЕНИЙ Возле отверстий, галтелей, кольцевых выточек, у шпоночных и шлице- вых пазов, у основания резьбы и в других местах, где резко меняется конфигурация детали, а также там, где одна деталь напрессовывается на другую, напряжения распределяются неравномерно, т е. возникает концентрация напряжений. Отношение наибольшего напряжения в зоне концентрации к номинальному напряжению называют коэффициентом концентрации напряжений: (20) (21) или Номинальные напряжения рассчитывают по формулам сопротивления материалов, максимальные —• методами теории упругости или же определяют экспериментально. При растяжении пластины с отверстием (риг !0) в качестве номинального напряжения принимают (22) н ~ Ь - d ' где а — напряжение по нагруженным сторонам пластины. Если d <£. Ь, то аа = 3. Для пластины с двумя выточками (рис. 11) коэффициент концентрации напряжений зависит главным образом от отношения радиуса закругления р у дна выточки к ширине d, а также от отношения tfd. При р ->■ 0 величина аа -* со. Коэффициент концентрации напряжений в основании зуба зубчатого колеса (см. рис. 8, гл. !!) может быть представлен приближенной зависимостью 'ttmmttmmttr И ь " " \\\Ж\ЖШ.о Рис. 10. Концентрация напряжений у отверг ти я где S — ширина основания зуба; р — радиус закруглений. Чем резче меняется форма тела, тем больше коэффициент концентрации. Коэффициенты концентрации а„ в правильно сконструированных и в надежно работающих деталях машин обычно не превосходят значений аа = = 2,0-^2,5. В неудачных конструкциях они могут достигать значений оса = 5-^7 и выше. При конструировании напряженных деталей машин необходимо предусматривать меры по снижению концентрации напряжений (подробнее см. гл. 28). Примеры правильного и неправильного конструи- •Т 1 ТТГтПТШТНТ 21 л. - > b ШШШШ1Щ1Ш , 1 6 aa = 1 -t-0,15- (23) Рис. П. Концентрация напряжений у выточки
22 Основные виды напряженного состояния -П В=з гт гт. -f- га га ■о «л Рис 12 Неправильное (а) и правильное (ff) выполнение конструктивных элементов р^вания некоторых типичных элемен тов показаны на рис 12 Большие честные напряжения воз никают также при передаче усилия с одной детали на другую, прижатую к ней небольшим участком поверхности, например в зонах соприкосно вения зубьев зубчатых колес, в шари ковых и роликовых подшипниках, в замковых соединениях рабочих ло паток турбомашин с диском и т п Такие напря-кения называют контактными Так как с увеличением нагрузки размер контактной площадки увеличивается, то контактные напряжения возрастают медленнее, чем на грузка Для обеспечения контактной прочности материалы подвергают поверхностному упрочнению, повышающему их твердость (более подробно см гл 35) ТЕМПЕРАТУРНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ При нагреве тела равномерно рас ширяются во все стороны, что приводит к относительному изменению объема 6 = Р AT, (24) где р" — коэффициент объемного температурного расширения материала, измеряемый в I °С, Л Г —изменение температуры тела При этом каждая сторона малого элемента тела получает температурную деформацию в = 6/3 = а AT, где а _= |}/3 — коэффициент линейного температурного расширения материала (см табл 1) Если нагреваемая деталь (стержень, рис 13, а) закреплена в жестком кор пусе, который остается холодным, то длина стержня также должна остаться без изменения и в нем возникнут сжимающие температурные напряже ии и о = — Еа AT (25) При охлаждении температурные напряжения будут растягивающими Температурные напряжения возни кают также и в тех случаях, когда температура в различных точках де тали неодинакова или когда связанные между собой нагретые детали сделаны из материалов с различными коэффициентами линейного расширения В горячих частях детали и в элементах нагретых конструкций, материал которых имеет больший коэффициент температурного расширения по сравнению с другими элементами, температурные напряжения обычно бывают сжимающими Температурные напряжения зависят от свойств материалов, от конфигурации детали, от закона распределения температур и могут быть весьма значительными Г z4zK U.'///,/, ■/////////, «5 |^<0 F, У W 7777777} а) 777777777, Рис 13 К расчету температурных напряжений /
Напряженно-деформированные состояния 23 Пример При охлаждении на ЛГ ступенчатого стержня (рис. 13, б) температурные напряжения в узкой части а = £аЛГ =г-. 1+2^-А Если Ft = 0,5F2 и / = 0,1а, то о = 10,5£а ЛГ, что для стального стержня уже при Л7'= 10 °С дает а = 242 МПа (24,2 кгс/мм2) Чем выше теплопроводность материала (см табл. 1), тем равномернее прогревается деталь и тем ниже температурные напряжения при прочих равных условиях. НАПРЯЖЕННО- ДЕФОРМИРОВАННЫЕ СОСТОЯНИЯ Различают следующие напряженные состояния: а) линейное (одноосное) — когда из трех главных напряжений только одно не равно нулю. В одноосном напряженном состоянии находятся детали при растяжении, сжатии, чистом изгибе; Глава 2 Следует различать механические характеристики материала, зависящие от его химического состава, структуры, термообработки, температуры, условий и скорости нагружегпя, и механические характеристики изготовленной из этого материала детали, на которые дополнительно влияют ее размеры и форма, а также условия взаимодействия с другими деталями и средой. К основным механическим свойствам материала относят: прочность — способность сопротивляться нагрузкам без разрушения; б) плоское (двухосное) — когда из трех главных напряжений два не равны нулю. Практически в двухосном напряженном состоянии находятся вращающие диски, тонкостенные сосуды под внутренним давлением, стержни при чистом кручении и при поперечном изгибе. Свободные от нагрузок участки поверхности деталей любой конфигурации всегда находятся в двухосном напряженном состоянии; в) объемное (трехосное) — когда все три главных напряжения не равны нулю (толстостенные трубы под внутренним давлением, области контактов различных тел, внутренние области массивных деталей). Деформации большей частью развиваются по всем направлениям, т. е. соответствуют объемному (трехосному) деформированному состоянию. Состояние, близкое к двухосной деформации, реализуется при нагружении длинных толстостенных труб внутренним давлением. Характер напряженно-деформированного состояния влияет на условия развития деформаций и разрушения детали. деформативность — способность изменять размеры и форму без разрушения; упругость — способность восстанавливать первоначальные размеры и форму после снятия нагрузок; пластичность — способность получать значительную деформацию, остающуюся после снятия нагрузки; эту деформацию называют остаточной; твердость — способность сопротивляться при местных контактных воздействиях пластической деформации или хрупкому разрушению в поверхностном слое; МЕХАНИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ КОНСТРУКЦИОННЫХ МАТЕРИАЛОВ И ОЦЕНКА ПРОЧНОСТИ ДЕТАЛЕЙ
24 Механические характеристики материалов и оценка прочности сопротивление усталости — способность сопротивляться усталости, т е. возникновению и развитию трещины под влиянием многократно повторяющихся нагружений. Материалы, разрушающиеся при значительной остаточной деформации, называют пластичными, при очень малой — хрупкими. Характеристики прочности, пластичности и твердости определяют при постепенно возрастающих нагрузках; они служат для оценки статической прочности материала. Сопротивление усталости определяют при циклически меняющихся нагрузках, по ней судят о работоспособности материала при переменных напряжениях По мере увеличения нагрузки или времени ее действия происходит постепенное исчерпание способности материала сопротивляться дальнейшему нагружению; это явление называют повреждаемостью. Один и тот же материал при различных условиях и скоростях на- гружения и при разных температурах может обладать различными механическими свойствами. Количественная оценка механических свойств проводится при испытании стандартных образцов в определенных условиях на- гружения. К основным механическим характеристикам детали наряду с ее прочностью и сопротивлением усталости относят жесткость — способность сопротивляться изменению размеров и формы под действием нагрузок; противоположную характеристику называют податливостью. Нагрузка, при которой происходит нарушение прочности детали, препятствующее ее дальнейшей работе, может значительно превосходить нагрузку, вызывающую местное разрушение материала в какой-либо точке, вследствие включения в работу ранее менее нагруженных участков детали. Способность детали сопротивляться разрушению при наличии трещин называют трещиностойкостью. ' Большинство используемых конструкционных материалов (стали, алюминиевые и титановые сплавы) имеют одинаковые механические свойства по всем направлениям, т. е. являются изотропными Наряду с ними встречаются материалы (дерево, многие композиционные материалы, т. е. состоящие из двух или нескольких компонентов), свойства которых по разным направлениям существенно различны. Их называют анизотропными. Механические характеристики деталей из композиционных материалов зависят от способа их изготовления. Анизотропия может быть специально получена в процессе отливки (детали с направленной кристаллизацией или монокрнсталлической структурой) для обеспечения повышенной прочности в направлении действия наибольших нагрузок. СВОЙСТВА ПРИ СТАТИЧЕСКИХ НАПРЯЖЕНИЯХ Прочность при растяжении. Испытание материалов на растяжение — наиболее простое и распространенное. Чтобы результаты испытаний были сравнимы, применяют геометрически подобные образцы обычно круглого сечения. Образец растягивают на разрывной машине с постоянной скоростью движения захватов и определяют зависимость удлинения расчетной части образца А/ от нагрузки Р вплоть до разрушения. По этим данным строят диаграмму растяжения (рис. 1), т. е. зависимость относительного удлинения 8 = fillla от условного напряжения а = P/F0, где F0 — площадь поперечного сечения образца до деформации. В начале нагружения между напряжением и деформацией существует линейная зависимость, что позволяет при расчетах пользоваться законом Гука. Напряжение, при котором отступление от линейной зависимости между напряжением и деформациями впервые достигает некоторой заданной величины, называют пределом пропорциональности 0Пц (точка / на рис. 1). Если в какой-либо момент начать разгружать образец (точка А), то зависимость между напряжением и деформацией при разгрузке изобразится прямой линией АВ, практически параллельной линии нагрузки 01. Деформация в точке А состоит из упругой части вудр, которая устраняется
Свойства при статических напряжениях 25 Рис I Диаграмма растяжения Рис. 2 Диаграмма растяжения с площадкой текучести после снятия нагрузки, и остаточной (пластической) части е0рт, которая остается после снятия нагрузки Напряжение, при котором остаточные деформации впервые достигают некоторой заданной величины (обычно порядка 0,002—0,005%), называют пределом упругости оу (точка 2) Предел упругости часто считают совпадающим с пределом пропорциональности При нагружении за пределом упругости остаточные деформации заметно увеличиваются Для низкоуглероди стой стали деформация некоторое время растет без нарастания напряжений, что дает площадку текучести (рис 2) Напряжение, соответствую щее площадке текучести, называют пределом текучести о-,. Многие материалы ие имеют площадки текучести Для них онределя ется условный предел текучести — напряжение, при котором остаточные деформации достигают некоторой заданной величины (обычно 0,2%), условный предел текучести, соответствующий указанной величине остаточной деформации, обозначают 0о,г (точка 3 на рис 1) Вначале образец равномерно растягивается по всей длине, при большой деформации происходит потеря устойчивости пластической деформации и образуется местное сужение — шейка, в результате чего нагрузка, воспринимаемая образцом, и условное напряжение уменьшаются, хотя истин иое напряжение, определяемое по действительной минимальной площади поперечного сечеиия образца, продолжает возрастать, как показано на рис 1 штриховой линией Хрупкие материалы разрушаются без образования заметной шейки Максимальное условное напряжение, которое выдерживает образец, называют временным сопротивлением, или пределом прочности ав (точка 4) Истинное напряжение в момент окончательного разрушения образца называют истинным пределом прочности — SH При испытании на растяжение определяют также характеристики пластичности материала относительное удлинение и относительное сужение (уменьшение площади поперечного сечения) при разрыве Относительное удлинение, числеиио равное отрезку 0—6 (рис 1), вычисляют по формуле /. •/„ U 100%, (1) где /к — суммарная длина разорвавшихся участков расчетной части образца, /0 — Длина расчетной части образца до деформации Так как после образования шейки образец деформируется по длине неравномерно, то величина б в определенной степени зависит от расчетной длины образца Поэтому удлинение, определенное иа образце, расчетная длина которого в 5 раз превышает диаметр, иногда обозначают б6
26 Механические характеристики материалов и оценка прочности Рис 3. К определению твердости по Бри- иеллю Относительное сужение поперечного сечения t 100%. (2) где F0 — площадь сечения расчетной части образца до деформации, F„ — конечная площадь сечения по шейке образца после разрушения Механические свойства сталей и других конструкционных материалов приведены в разделе «Расчеты на прочность» Прн пластической деформации объем материала практически че меняется, поэтому до момента образования шейки F„/„ яв FKlK и После образования шейки формулой (3) определяется местное удлинение в зоне шейки, поэтому значение б* по формуле (3) оказывается большим, чем б по формуле (1) Истинный предел прочности S ~ а -^ - °К ~ иВ г. " F„ 1 -ф = 0В(Ы б*) При больших пластических деформациях приращение относительной деформации в каждый момент Harpvjice ния должно определяться по отношению к текущей длине образна de = -. Полное истинное удлинение dl . U Г dl , U In = In (I - б*) (4) Истинное удлинение меньше условного, однако до значений, типичных для конструкционных материалов, различие между ними невелико Например, при о* = 30% величина е = = 26% В справочниках обычно приводят значения б и ф. Прочность при сжатии. Стандартных испытаний на сжатие обычно не проводят, так как такие испытания сопряжены с большими трудностями (при некотором эксцентриситете приложения сжимающей силы образцы начинают изгибаться, нх форма из-за трения в захватах становится бочкообразной, образцы из пластичных материалов не разрушаются, а сплющиваются) Для большинства конструкционных материалов модуль упругости, предел пропорциональности (упругости) и условный предел текучести при растяжении и сжатии можно считать одинаковыми Предел прочности хрупких материалов (чугуны) при сжатии может быть значительно выше, чем при растяжении Твердость Обычно чем тверже материал, тем выше его статическая прочность Так как испытание на твердость проводится без разрушения детали, широко применяют приближенную оценку прочности и правильности термообработки по значению твердости Твердость по Бринеллю (НВ) по ГОСТ 9012—59 определяют вдавливанием в испытуемый материал шарика из закаленной стали диаметром 10 мм под нагрузкой 29,42 кН (3000 кгс) Число ИВ равно отношению силы (в кгс;, вдавливающей шарик, к площади поверхности полученного отпечатка (рис 3) 0,102 2Р ИВ =- ■—: . , (5 где Р берется в Н Для оценки твердости иногда используют диаметр отпечатка d в мм
Свойства при статическик напряжениях 27 I. Соотношения между числами твердости по Бринеллю, Рокаеллу и пределом прочности сталей п 0 Бринеллю , о Е а У -х ь п? 2.31 2,37 2,39 2,42 2,45 2,48 2.51 2.54 2.57 2.62 2.7! 2 78 2 83 2,"| 2.48 3 98 3 14 3,24 3 14 аз £ 688 670 659 643 627 61 I 597 582 569 547 510 485 4Ы 441 4 20 393 га 4 54 333 5 щ к - С Со 6 4 (.3 Ы 61 60 59 58 57 55 52 50 48 46 44 42 40 .38 36 Предел п стал 5 а >, 248 24 1 237 23 1 226 220 214 208 205 196 183 175 165 159 151 141 136 128 120 "V ■J 2 о о. ж — — 218 213 208 203 200 191 178 170 162 154 147 137 132 124 117 рочности Ю-1 Vina V 3J X о О d -у ta 234 228 224 218 213 207 202 197 194 185 173 165 156 150 143 134 128 121 113 >С О 2 О г 2 С О ffl а. 3 S X 227 221 218 212 207 202 197 192 188 180 168 160 152 145 138 130 125 1 17 1 10 По Зри- н ел л ю % % а ь а- 2 '=: £\ з,м 3,52 3.62 3.70 3 80 3,90 4,00 4,10 4,20 4.26 4.37 4,48 4.60 4.74 4,88 5.05 5,21 5,42 5,63 5,83 Ч "- 313 298 282 269 255 24 1 229 217 207 200 190 180 170 160 150 140 130 120 ПО 102 га ч л: о с ™ 34 32 30 28 26 24 22 20 18 — — — — _ Преде 1 стал! ав о еродист ^ '■" 1 12 107 102 98 92 87 82 78 74 72 68 65 61 58 54 50 47 43 40 37 2 О ■J о а. X 109 104 98 94 89 84 80 76 72 70 67 6.3 59 56 52 49 45 42 39 36 [точное и HJ-' i о 2 а.'о * а: 106 102 96 92 86 82 78 74 70 68 65 61 58 54 51 48 44 41 38 35 МП „ 3J •о X 6 2 О ,s 2 о О CQ X =Е 103 98 93 89 84 80 76 72 68 66 63 59 56 52 50 47 43 40 37 34 Чип выше твердость, тем меньше диаметр отпечатка (табл. I). Твердость закаленной стали определяют по Роквеллу (ГОСТ 9013-59, шкала С) вдавливанием алмазного конуса. Число твердости HRCA соответствует разности глубин проникновения конуса под действием основной нагрузки (140 кгс) и ее снятия при сохранении предварительной нагрузки (10 кгс). Для сталей между значениями чисел твердости ИВ, HRCa и пределом прочности ав существуют устойчивые соотношения, приведенные в табл 1. Для материалов, ра^р\шающихся без образования шейки (ч\гуны, литые алюминиевые сплавы), закономерной связи твердости с пределом прочности не наблюдается. Ударная вязкость. Для контроля механических свойств материалов, особенно склонных к хрупкому разрушению, большое практическое значение имеет ударная вязкость ан, которую определяют ударным разрушением на копре надрезанного образца стандартной формы (размерами 10X10X55 с полукруглым надрезом глубиной 2 мм и радиусом 1 мм). Число ан равно отношению работы .4, идущей на разрушен,^ образца, к площади F поперечного сечения обра ни в месте излома А Для конструкционных сталей ударная вязкость обычно колеблется в пределах ан = 50—100 Дж/см2 (5~ 10 кгс-м/см2). Применение материалов с ан < 20 Дж 'см2 для изготовления деталей машин допускается в редких случаях Влияние концентрации напряжения. При однократном статическом нагру- жении материал, обладающий достаточной пластичностью, по достижении в местах концентрации напряжений предела текучести деформируется без увеличения напряжений В результате напряжения ьо сечению выравни-
28 Механические характеристики материалов и оценка прочности 19вЛ 19ез,, Рис. 4. Кривые длительной прочности при разных постоянных температурах (7", > > Г,) ваются и разрушающая нагрузка практически не изменяется. При повторных нагружениях концентрация напряжений снижает несущую способность детали (см. ниже). В более хрупких материалах неравномерное распределение напряжений сохраняется до момента разрушения и оценивается эффективным коэффициентом концентрации напряжений при постоянной нагрузке, который определяют экспериментально как отношение предела прочности гладкого образца ав к пределу прочности аналогичного образца с концентратором напряжений (обычно с надрезом) авк- ъ — "в к0 — - (6) Чувствительность материала к концентрации напряжения оценивают также ударной вязкостью, которую определяют на образцах с надрезом. СВОЙСТВА ПРИ ВЫСОКИХ И НИЗКИХ ТЕМПЕРАТУРАХ С повышением температуры механические свойства материалов изменяются, пределы прочности, пропорциональности и текучести, а также модуль упругости убывают; пластичность обычно увеличивается, но при некоторых температурах она может и понижаться. Для большинства конструкционных материалов прн нормальной температуре статическая прочность практически не зависит от времени приложения нагрузки. При повышенных температурах, а для некоторых материалов (типа полимеров) даже при нормальной, статическая прочность зависит от длительности нагружения, так как с течением времени могут меняться механические свойства материала, размеры детали и распределение в ней напряжений. Поэтому при высоких температ>рах определяют не только обычные механические характеристики при кратковременных испытаниях, но и характеристики при продолжительной работе. Прочность материала называют в этом случае длительной прочностью. Для определения механических свойств образца при продолжительной работе его нагревают в электропечи, установленной на разрывной машние, нагружают и отмечают время до разрушения /р. Чем выше напряжение, тем быстрее разрушается образец. Напряжение, при котором образец разрушается не ранее заданного времени, называют пределом длительной прочности адл. Обозначение а®л = = 250 МПа указывает, что при напряжении 250 МПа образец разрушается не менее чем через 300 ч. Предел длительной прочности всегда ниже предела прочности при кратковременном испытании. Зависимость предела длительной прочности адл от времени при постоянной температуре t называют кривой длительной прочности. В двойных логарифмических координатах эта зависимость в определенных пределах имеет вид прямой линии (рис. 4): Ig'pj — Ig'p. = где т = tg а и С— постоянные для данной температуры испытания. Чем выше температура, тем меньше показатель степени т и тем быстрее убывает по времени предел длительной прочности. Пределы длительнон прочности для некоторых материалов приведены в табл 2. По данным таблицы
Свойства при высоких и низких температурах 29 2. Механические свойства (в МПа) некоторых материалов при повышенной температуре Марка стали или сплава 2X13 12Х18Н9Т 40ХЮС2М ХН35ВТ 37Х12Н8Г8МФБ ХН70МЗТЮБ ХН77ТЮР КН70ВМЮТ Температура испытания Т, °С 20 300 400 450 500 550 20 400 500 600 700 800 20 400 500 550 600 20 500 600 650 700 20 450 600 650 700 750 20 600 700 800 900 20 500 600 700 800 20 600 700 800 900 Предел прочности (т„ X 10-1 72 56 53 49 44 35 65 44 43 36 28 18 96 78 68 55 44 84 69 66 57 48 94 72 60 56 50 42 105 98 93 72 38 НО 9Ь 87 83 55 1 14 99 90 75 49 0) >. X *£. С D 52 43 40 38 36 28 31 22 21 18 16 10 68 49 46 42 37 44 . 43 42 41 40 60 50 45 43 38 33 70 63 60 55 28 70 64 57 56 44 75 68 65 58 38 Предел длительной прочности Одл* 1 0~* о о m 40 25 13 5 35 24 30 45 35 48 25 70 44 22 50 28 12 9 О О о « 1 - - - 32 22 14 j 38 28 - 56 33 11 36 18 10 о ГС <л 17 15 16,2 9.5 23 15 6,5 - - - - Предел ползучести / о о о о D - - 20 9 5 - 35 30 24 18 56 40 17 40 23 10 т о о -^ о D 4,8 3,0 8 12,8 4 2,2 13 8 - - - -
30 Механические характеристики материалов и оценка прочности Продолжение табл. 2 Марка стали или сплава ЖС6К ЖС6-У АЛ13 АК4-1 ВД-17 ВТЗ-1 ВТ9 Боралюминий однонаправленный Температура испытания Г, °С 20 800 900 1000 1030 900 1000 1050 20 175 200 250 300 20 150 200 250 300 20 200 250 300 20 300 400 500 600 20 400 500 550 600 20 100 200 300 400 500 Предел прочности ов х 1 О-1 95 92 78 54 43 - 37 27 26 17 12 45 40 34 28 17 50 38 24 18 100 76 70 53 115 85 80 78 72 120/1 1,5» 110/11 102/10 95/5,5 87 80 ж о; г- О) н Л Ч . g. 1 85 84 52 32 26 - 22 20 22 10 7.5 38 36 29 20 14 33 95 63 56 25 103 72 66 62 55 Предел длительной прочности адл- Ю-1 О О Я т 52 32 15 12 37 18 1 1 18,5 15 11,5 6.5 29 17 10 4 19 10 5,5 65 36 65 45 23 о о о я т 38 16 6,5 25 11 6,5 - - 55 27 - О СО - - - - - - 12 Предел ползучести 1 о о о Ci О 0 38 20 6 - 18 28 16 8 3 16 7.5 3.2 28 28 7 о о -^ о 0 - - - - - - - * В числителе приведены пределы прочности в продольном, в знаменателе — в поперечном направлении образцов.
Свойства при высоких и низких температурах 31 и формуле (7) можно найти значение постоянных т, С: lg a— °ДЛ2 Например, для сплава ХН77ТЮР при Т = 700 °С oj°° = 440 МПа, о-^л00 = 330 МПа, откуда . 1000 С = 4408-100= 1,4-1023 (МПа)8 ч. Размеры нагруженных при высокой температуре деталей с течением времени непрерывно меняются, что может нарушить работу машины. Это явление называют ползучестью. При испытании на ползучесть к нагретому образцу прикладывают постоянную нагрузку и через определенные промежутки времени измеряют удлинение образца Зависимость остаточной деформации от времени испытаний при "постоянном напряжении и постоянной температуре называют кривой ползучести (рис. 5). Остаточная деформация вначале быстро нарастает (стадия / — неустановившаяся ползучесть), затем в течение основного времени работы скорость ползучести остается примерно постоянной (стадия // — установившаяся ползучесть), наконец, перед разрушением образца скорость ползучести быстро нарастает (/// стадия). Чем выше напряжение и температура, тем быстрее развивается ползучесть. Наибольшее напряжение, при котором деформация ползучести за определенный период времени не превышает заданного значения, называют пределом ползучести (обозначение ао,2/юо ~ '50 МПа указывает, что при напряжении 150 МПа ползучесть за 100 ч вызывает относительное остаточное удлинение 0,2%). Пределы ползучести некоторых сплавов приведены в табл. 2. Рис. 5. Кривые ползучести при разных постоянных напряжениях Когда общая деформация детали по условиям работы остается неизменной (например, вытяжка болта в резьбовом соединении), увеличение с течением времени пластической деформации приводит к уменьшению упругой деформации и падению напряжения (в данном случае к ослаблению резьбового соединения). Это явление называют релаксацией напряжений. Наконец, при высоких температурах происходит интенсивное окисление ряда материалов. В неравномерно нагретых конструкциях ползучесть приводит с течением времени к перераспределению напряжений: в горячих зонах напряжения уменьшаются, в более холодных — увеличиваются. Это должно учитываться в расчетах на длительную прочность. Применение обычных конструкционных сталей в условиях значительной напряженности ограничено температурой 300—400 °С. Жаропрочные стали и сплавы на основе никеля и тугоплавких металлов применяют при температурах до 700—800 °С и выше. При еще более высоких температурах применяют металлокерамические и керамические материалы. / Температурный диапазон применения ряда материалов может быть расширен при использовании защитных жаростойких покрытий. / При очень низких (или, как их иногда называют, криогенных) температурах механические свойства материалов также меняются повышается прочность и снижается пластичность. При снижении температуры от нормальной до —200 °С пределы прочности и текучести сталей возрастают
32 Механические характеристики материалов и оценка прочности в среднем на 20—30%. Относительное удлинение и особенно относительное сужение заметно уменьшаются, т е. материал становится более хрупким. Усиливается чувствительность материала к концентрации напряжений, поэтому прочность надрезанных образцов с понижением температуры обычно падает. Для каждого материала имеется предельная температура, ниже которой его применение в конструкциях становится недопустимым из-за высокой хрупкости. СВОЙСТВА ПРИ ПЕРЕМЕННЫХ НАПРЯЖЕНИЯХ При переменных напряжениях деталь разрушается от меньших нагрузок, чем при постоянных Усталостное разрушение, как правило, начинается с поверхности в местах высокой концентрации напряжений. Трещина обычно развивается в направлении, перпендикулярном линии действия наибольших нормальных напряжений. Когда прочность оставшейся части становится недостаточной, происходит окончательное разрушение (рис 6) Переменное напряжение периодически меняется от наименьшего значения amln до наибольшего ашах и обратно с размахом Да = amax — amin (рис 7). Среднее напряжение амплитуда переменных напряжении ят = 0,5(ашах-Ьот1п), (8) 6 k ■■ 0,5 (а„ ■о„ »)• С») Цикл называют симметричным, если наибольшее и наименьшее напряжения равны по величине, но противоположны по знаку. Такой цикл осуществляется при стандартных испытаниях на усталость образцов в виде вращающихся валиков круглого сечения (диаметром 7—10 мм) ггрн изгибе моментами постоянной величины и направления (рис. 8). На практике встречаются в основном асимметричные циклы. Коэффициентом асимметрии цикла называют отношение r _ ffmm Для симметричного цикла ат =0, tfmax = аа = — яИ|п > г = ~' ■ Важным частным случае м асимметричного цикла является огнулевой (пульсационный), когда напряжения меняются от нуля до максимального значения, как. например, при изгибе зубьев зубчатых колес (рис. 9). Для такого цикла tfmin = 0, ат = аа = 0,5ашах, г = 0. Оценку сопротивляемости материала действию переменных напряжений проводят испытаниями на усталость партии из 15—20 однотипных образцов, которые доводят до разрушения при разном уровне амплитуд напряжений. По результатам испытания строят кривые усталости (кривые Велера). по- 1 1 J 1 S" * , \ >»- s^^/ Цикл t Рис. 6, Схема разрушения зуба зубчатого колеса от усталости: А — точка возникновения усталостной трещины, АВ — линия развития трещины; ВС — область долома Рис. 7. Цикл переменного напряжения
Свойства при переменных напряжениях 33 б в -~йглах Рис. 8. Возникновение симметричного цикла переменных напряжений при изгибе вращающегося круглого валика, положения I н II отличаются на половину оборота вала 6i Рис. 9. Схема отнулевого (пуль|-ацноиного) цикла напряжений в зубе эубчакли колеса называющие зависимость между числом циклов до разрушения N и максимальным напряжением или амплитудой цикла (рис. 10). По оси абсцисс, а иногда и по оси ординат для удобства откладывают значения lg N и lg о. Зависимость разрушающих амплитуд оа от числа циклов до разрушения Л' (в определенных пределах) имеет вид о?ЛП const, (10) где т, С—постоянные для данного материала, обычно т-- 4—12. Для большинства сталей прн умеренных температурах кривая усталости, начиная с числа циклов .V я* « !0в—10', становится практически горизонтальной, т. е. образцы, выдержавшие указанное число циклов, не разрушаются н при дальнейшем нагружении. Поэтому испытания сталей прекращают при N •= (1н-2)Х X Ю7 циклов. Наибольшее значение максимального напряжения crmax, при коюром материал может выдержать без разрушения практически неограниченное число циклов, называют пределом выносливости. Лагкие сплавы, а также материалы при высоких температурах и при испытаниях в коррозионных средах имеют кривые усталости в координатах сТция — lg jV без горизонтального 2 Заказ 402 Х,с участка В этом случае определяют ограниченный предел выносливости, соответствующий определенной базе испытаний (обычно .V = (0,1 — 1) X X 10е циклов) Для получения надежной оценки предела выносливости число неразрушившился образцов при данном уроьне переменных напряжений должно быть не менее шести. Предел выносливости симметричного цикла обозначают o_i, так как для такого цикла г——1. Для сталей ориентировочно можно считать а.! « (0,55 — 0,0001ов) ав, где ав — в МПа. Для касательных напряжений т.х ж ж 0,6а_!. са,МПа 500 400 300 200 100 0 10' 10г Ю} 10k W5 13' W 15s N Рис. 10. Кривая усталости: О ~ разрушившиеся и О-* — неразрушнвшиеся образцы 'SN К % к "<Ч 1 1 kL i А to Г
34 Механические характеристики материалов и оценка прочности Рис. 11. Диаграмма предельных напряжений Испытания на усталость при асимметричных циклах проводят на специальных машинах. По результатам испытаний строят диаграммы предельных напряжений отах и 0mln = / (am) (рис. 11) или предельных амплитуд цикла аа= f (am) (рис. 12). Если на диаграмме предельных напряжений провести прямую под углом 45° к горизонтальной оси, то отрезок АВ даст значение среднего напряжения цикла, а отрезок ВС = BD — значение предельной амплитуды, соответствующей пределу выносливости циклов с коэффициентом асимметрии г, расположенных на луче ОС. Через a„ обозначают предел выносливости отнулевого цикла, для которого г = 0. Всегда 0О > а_!, но аа0 < a.j. Постоянные растягивающие напряжения уменьшают сопротивление усталости, поэтому при увеличении среднего напряжения цикла предельная амплитуда aa становится меньше, хотя предел выносливости 0шах увеличи- Рис. 12. Диаграмма предельных амплитуд напряжений вается. Для упрощения расчетов принимают, что на участке диаграмм между симметричным и отнулевым циклом предельные амплитуды изменяются линейно (штриховые линии на рис. 11 и 12): Уо°п (И) где т|)0 коэффициент, характеризующий чувствительность материала к асимметрии цикла Аналогичную формулу, но с коэффициентом т|)т используют для касательных напряжений. Для циклов с асимметрией до Om/a.! = 1/(1 + i|)a) (примерно до От/Ов = 0,4-н0,5) значения i|)0 и т|)т для сталей принимают по данным табл. 3. Для титана и легких сплавов ■фо « 0,2-г-0,3. В запас прочности для всех циклов с растягивающими средними напряжениями можно считать i|)0 л> 0.i/oB, что соответствует штрихпунктирным линиям на рис. 11 и 12. Постоянные сжимающие напряжения до определенных пределов способствуют повышению сопротлвления 3. Приближенные значеиия коэффициентов ifa н \J). для сталей при нормальной температуре Вид деформации Изгиб и растяжение Кручение ов- Ю-1. МПа 35—52 0 0 52 — 72 0,05 0 72 — 100 0,1 0.05 100—120 0,2 0.1 120—140 0,25 0,15
Свойства при переменных напряжениях 35 усталости, особенно для малопластичных материалов. В расчетах для сжатия (при ат < 0) обычно принимают г|>о=0. На предел выносливости оказывают существенное влияние следующие факторы. 1. Абсолютные размеры детали. С увеличением размеров детали предел выносливости уменьшается, что оценивается коэффициентом влияния абсолютных размеров поперечного сечения Kd (рис. 13): КЛ = (°-i)d (12) где (o.i)d — предел выносливости гладких образцов диаметром d; 0_j — то же для стандартных лабораторных образцов диаметром 7—10 мм. 2. Концентрация напряжений. Чем выше концентрация напряжений, тем ниже предел выносливости Влияние концентрации напряжений на сопротивление усталости оценивается эффективным коэффициентом концентрации напряжений при переменной нагрузке /С0, который определяют экспериментально как отношение предела выносливости гладкого образца (o_i)d к пределу выносливости образца того же размера с концентрацией напряжений (например, с надрезом): *„ = (q.i)d (0-iK)d (13) Эффективный коэффициент концентрации /Со обычно меньше теоретического коэффициента концентрации при упругом распределении напряжений а0 и связан с ним соотношением Кст= 1 +<7а(осо— 1). где qa—коэффициент чувствительности материала к концентрации напряжений. Для конструкционных низкоуглеродистых сталей и жаропрочных деформируемых сплавов q0 = 0,2—0,4; для легированных сталей <?ст = 0,6— 0,8; для алюминиевых сплавов qa ■= = 0,3-^0,5. Особенно чувствительны к концентрации напряжений высокопрочные титановые сплавы, для которых qa = 0,8-^0,9. С увеличением раз- vf s2 '\ чиг- ~-^ ---- SS 10 20 30 i0 SO 60 ВО 100 200 i/m Рис. 13. Коэффициент влияния абсолютных размеров: / — углеродистые стали. ав = 400-t 500 Villa, 2 — легированные стали, ав = = 1200*1400 МПа меров зерна и неоднородности структуры (например, у серого чугуна) коэффициент qa уменьшается до 0,1— 0,2 (см гл. 31). 3 Состояние поверхности. Чем меньше микронеровности поверхности, тем выше предел выносливости детали. Сопротивление усталости повышается после термохимических и механических обработок, которые создают в поверхностном слое остаточные напряжения сжатия и повышают его твердость (цементация, азотирование, поверхностная закалка, наклеп). После шлифования в поверхностном слое могут возникать остаточные напряжения растяжения, которые снижают сопротивление усталости. Важное значение имеет упрочняющая технология (обдувка дробью, обкатка роликом и др), повышающая пределы выносливости деталей (см. гл. 31). Состояние поверхности учитывают при определении Ко или отдельным коэффициентом Ра = (°-ш)д (0-1к)й (14) где (а_1к)д — предел выносливости натурной детали. 4 На состояние поверхности существенно влияет окружающая среда. В коррозионных средах (в морской воде и др.) предел выносливости конструкционных сталей, особенно высокопрочных, резко падает. Титановые сплавы малочувствительны к коррозионному воздействию влажного воздуха и морской воды. 2*
36 Механические характеристики материалов и оценка прочности 5. Частота переменных напряжений. С увеличением частоты предел выносливости обычно повышается. Из формул (12) —(14) следует: (°"-ik), 1KIR Ко МАЛОЦИКЛОВАЯ И ТЕРМИЧЕСКАЯ ПРОЧНОСТЬ Большинство деталей машин работает определенными циклами пуск, рабочие режимы, остановки. Соответственно этому напряженно-деформированное состояние деталей меняется циклически. За время эксплуатации общее число циклов может меняться от 10—100 для стационарных установок до 104—105 и более для транспортных машнн, грузоподъемных устройств и других механизмов. Хотя в каждом цикле нагружение носит статический характер, но при повторных нагружениях в материале появляются явления, типичные для усталости. Поэтому разрушение деталей при сравнительно небольшом числе циклов (102—106) называют малоцикловой усталостью, а способность материала сопротивляться такому разрушению — малоцикловой прочностью Закономерности малоцикловой проч ности занимают «промежуточное» положение между закономерностями статической прочности и сопротивления усталости. При числе циклов N > 104 отчетливо проявляются закономерности усталостного разрушения (влияние концентрации напряжений, качества поверхности и т. д). При малом числе циклов N <. 103 более типичны особенности статического разрушения. При малом числе циклов амплитуда напряжений может превосходить предел пропорциональности, и при повторных разгрузках и нагрузках зависимость между напряжениями и деформациями принимает вид петель циклического упругопластического деформирования (петель гистерезиса) с размахом — шириной петли — пластических деформаций Дер (рис. 14). При умеренных нагрузках, допустимых для обеспечения достаточно про- Рнс. 14. Петли гистерезиса при повторном упругопластическом деформировании должнтельной работы детали, петли деформирования после нескольких первых «приработочных» циклов обычно стабилизируются, как показано на рис 14. Для обеспечения высокой малоцикловой прочности материал должен иметь хорошее сочетание прочностных и пластических свойств, а в конструкции детали следует избегать зон с повышенной концентрацией напряжений. Малоцнкловую прочность материала оценивают по экспериментальным зависимостям амплитуды напряжений аа или деформаций е0 от числа циклов N до разрушения (рис. 15). Са 2 __ Г 1 10 10г 103 10* 10s N, циклов Рис 15. Типичная кривая малоцикловой усталости углеродистой стали
Прочность при наличии трещин 37 При отсутствии прямых экспериментальных данных для получения сравнительных оценок можно пользоваться эмпирической формулой Мэнсона (или одной из ее модификаций), по которой между размахом полной деформации де = 2еа и осредненным числом циклов до разрушения Л' имеется следующая связь: + 3150s_yv_o,,2) ()5) £ где т|) — относительное сужение поперечного сечения; Е — модуль упругости. Первое слагаемое описывает изменение пластической деформации, второе — изменение упругой деформации от числа циклов N до разрушения. Для асимметричных циклов со средним напряжением ат в формуле (15) вместо 0В принимают 0В — ат. Если известны предел выносливости о_! при базовом числе циклов N0 и показатель кривой усталости т, то формула (15) может быть преобразована к виду + ^(тгГ ('-£)• "6> В среднем т«8. При высокой температуре следует считать i|) = i|) (t), а 0В заменить на °"дл (Q. Разрушение детали может быть вызвано действием температурных напряжений от повторных нагревов и охлаждений, связанных с тепловым процессом машины или внешними условиями. Сопротивление такому виду разрушения называют термической прочностью. При высокой верхней температуре цикла важное значение имеет длительность выдержки при этой температуре. Для повышения термической прочности должны выполняться те же требования, что и для малоцикловой прочности, кроме того, следует принимать меры к снижению температурных напряжений в детали, уменьшению максимальной температуры и выдержки при ней (например, путем лучшей организации охлаждения). Наиболее полно прочность деталей, узлов и машин в целом оценивается при проведении специальных циклических испытаний по режимам, приближенно соответствующим типичным эксплуатационным циклам. ПРОЧНОСТЬ ПРИ НАЛИЧИИ ТРЕЩИН Во всяком реальном материале, даже в ненагруженном состоянии, имеются мелкие микротрещины — несплошности и нарушения структуры. Чем точнее метод исследования, тем ^ньше они обнаруживаются. Однако опыт показывает, что наличие микротрещин не препятствует длительной надежной работе машин и конструкций до тех пор, пока связанная с ним повреждаемость не приводит к снижению прочности ниже предельно допустимого уровня. Допустимую степень повреждаемости устанавливают на основании рас- четно-экспериментальных исследований и опыта эксплуатации. До определенных пределов допускаются также некоторые повреждения поверхности в эксплуатации — изнашивание контактных участков, эрозия, забоины, коррозионные точки. При постоянной нагрузке трешина в некоторых условиях может стабилизироваться, при переменных нагрузках выше определенного уровня длина трещины / постоянно растет. Скорость развития трещины и ее критическая длина /кр, при достижении которой возникает опасность быстрого разрушения конструкции, зависят от коэффициента интенсивности напряжений в вершине трещины Кг = о ~уШ, измеряемого в МПа-мм I2 или в НХ Хмм-3'2- При медленно возрастающей нагрузке условием начала разрушения является равенство ^Ci = К\с, где К\с — характеристика сопротивления материала развитию трещины
38 Механические характеристики материалов и оценка прочности dlldN, мм/цикл 10' 10 *о А/с 100 200 500 WOO 2000ЛК,МПа "м',! Рис. 16. Зависимость скорости роста трещины dlldN от параметра &К для стали 40ХН2МА с 0„ = 2000 МПа [2]; К1С = 2055 МПа-мм'/2 1 / I h о А W m i—!—i _J Ф Рис. 17. Пластичное (а) и хрупкое (б") разрушение образца (трещиностойкость), называемая вязкостью разрушения. Отсюда кр /М!1 Для конструкционных сталей и титановых сплавов /С1С = (1-^3) х X К^МПа-мм''2, следовательно, при напряжении а = 500 МПа опасными становятся трещины длиной /кр = = 1,3-г-П мм, а при о = 1000 МПа — уже /кр = 0,3-=-3,0 мм. При переменной нагрузке с размахом напряжения Ло скорость развития трещины по числу циклов dlldN зависит от величины &К = &о~\/п~1 (рис. 16). До некоторого «порогового» значения Д/С0 трещина практически не растет (для сравнительной оценки материалов в качестве Л/(0 принимают величину А{(, соответствующую скорости dlldN = 10~7 (мм/цикл). Дальнейшая зависимость dlldN от АК носит в логарифмической системе координат до определенных пределов приблизительно линейный характер, т. е. % = СЬХт, (17) где С, т — константы материала. На этой стадии по мере увеличения длины трещины параметр АК увеличивается и фактическая скорость разви-. тия трещины dlldN = f (N) постепенно нарастает. При приближении АК к критическому значению АКс, имеющему тот же порядок, что и /С1С, рост трещины принимает лавинообразный характер и происходит усталостное разрушение. Оценка по скорости развития трещины числа циклов, которое деталь может доработать после обнаружения ее, позволяет в некоторых случаях продлить эксплуатацию дорогостоящей конструкции. Вместе с тем во избежание развития недопустимой повреждаемости состояние ответственных деталей следует периодически контролировать в процессе эксплуатации и при ремонте неразрушающими методами контроля (ультразвуковыми, токовихревыми, люминесцентными и т. п ). РАЗРУШЕНИЯ И ИЗЛОМЫ Различают пластическое и хрупкое разрушения (рис. 17). При пластическом разрушении деформация в момент разрушения составляет 10—20%, при хрупком — менее 3%. Характер разрушения определяется в основном свойствами материала, но зависит также от вида напряженного состояния. Низкоуглеродистые стали обычно имеют пластические разрушения, в
Оценка прочности 39 Рис. 18. Излом лопатки компрессора при переменных напряжениях лнтых материалах часто обнаруживаются хрупкие разрушения. В связи с этим конструкционные материалы условно разделяют на пластичные и хрупкие Разделение обычно проводится на основании испытаний на разрыв и на удар: Пластичные мате- риачы 2*6 >10 -*50 Хрупкие <3 <6 <30 Наиболее опасно хрупкое разрушение, которое происходит внезапно, без заметного предварительного повреждения, начинаясь от зон высокой концентрации напряжений — обычно в конструкциях с большим запасом упругой энергии (резервуары под давлением, вращающиеся роторы). Хрупкому разрушению способствуют- а) концентрация напряжений, объемное напряженное состояние; б) работа материала при низких температурах и в температурном интервале хладноломкости; в) длительная работа при повышенных температурах, г) нагружение быстровозрастающими (ударными) усилиями. Плаетичьые материалы менее чувствительны к концентрации напряжений, так как в результате пластического течения происходит перераспределение (выравнивание; напряжений. Для ответственных элементов конструкций необходимо применять материалы с достаточной пластичностью. Для установления причин разрушения детали важное значение имеет анализ изломов. При статических напряжениях разрушение сталей и сплавов достаточно высокой пластичности сопровождается значительными пластическими деформациями. Излом имеет неровную волокнистую поверхность. При переменных напрян зииях разрушение наступает в результате усталости и происходит без заметной пластической деформации, как правило, в зоне концентрации напряжений. Начало разрушений в гладкой части свидетельствует о высоких переменных напряжениях или наличии технологических дефектов. При усталостном изломе различают (рис. 18). зону / — очаг начального разрушения, расположенный, как правило, на поверхности детали; 2 — область развития усталостной тсе- щины с характерными веерообразными усталостными линиями, уступами и притертыми участками, зону 3 — область окончательного кратковременного долома. При высоком уровне действующих переменных напряжений (аа ~^> 0,5а_г) часто наблюдаются несколько очагов возникновения усталостных трещин. При высокой температуре статические изломы идут вдоль границ зерен, усталостные — пересекают зерна и их границы. ОЦЕНКА ПРОЧНОСТИ При испытании образцов или натурных деталей устанавливают предельные нагрузки или напряжения, при которых образцы (детали) разрушаются. Для обеспечения нормальной работы максимально допустимые нагрузки и напряжения должны быть меньше предельных. Отношение предельных напряжений к максимальным напряжениям, возникающим при работе детали, назы-
40 Механические характеристики материалов и оценка прочности вают запасом прочности по напряжениям: °пред ге= . О" max Запас прочности должен быть всегда больше единицы, Чем больше запас прочности, тем надежнее деталь в работе. Однако увеличение запаса прочности сверх необходимого значения ведет к увеличению массы и габаритов детали, что невыгодно экономически, а в ряде случаев (например, в авиационных конструкциях) недопустимо Правильный выбор запаса прочности является важнейшим этапом при расчете на прочность. Запас прочности учитывает разброс механических свойств материала, разброс и неточное знание действующих в эксплуатации нагрузок, приближенность расчетных оценок напряжений и температурного состояния деталей, отступления в геометрии деталей от номинальных размеров, хотя бы в пределах допусков, возможные случайные перегрузки. При установлении запаса прочности принимают во внимание назначение и ответственность детали, длительность работы, общие требования к конструкции (значение массы, габаритов, стоимости и т, д.) Для наиболее ответственных деталей устанавливают нормы прочности, которые обобщают опыт эксплуатации машин. Запас прочности используют главным образом как критерий сравнения надежности ановь создаваемой конструкции и подобных конструкций, имеющих положительный опыт эксплуатации. Если на деталь при работе действуют как статические, так и переменные напряжения, вызванные различными нагрузка.ли, и повышенная температура, а прочностные характеристики материала меняются с течением времени или по числу циклов, следует учитывать возможные отклонения этих параметров от их расчетных значений Расчетные статические напряжения могут возрасти из-за неточного определения максимальных перегрузок, переменные — из-за резонансного усиления колебаний, температура — из-за ухудшения условий охлаждения и т. д Считая каждое из возможных отклонений независимым, можно установить предельное (разрушающее) значение данного параметра, если остальные останутся неизменными. Отношение предельного значения данного параметра к его расчетному значению называют запасом прочности по данному параметру. Таким образом, запас прочности может оцениваться не толь ко отношением напряжений, но и отношениями HarpyjOK, времени раб-лг., числа циклов и т. д. Для ответственных деталей оценку запасов прочности производят по нескольким параметрам. ЗАПАСЫ ПРОЧНОСТИ ПРИ СТАТИЧЕСКИХ НАПРЯЖЕНИЯХ При статических напряжениях в качестве предельного напряжения обычно принимают предел прочности ав и запас прочности определяют по формуле «b=-j^-. (18) ишах Обычно пв — 1,3-г2,5. Иногда запас прочности определяют по пределу текучести, имея в виду недопустимость значительной деформации илн нежелательность нарушения упругих характеристик: 0Т °max При кручении «в - • ттах Для деталей, работающих при повышенной температуре определяют запас длительной статической прочности за определенное время работы: «да =~". (19) °п-.ах а также запас по долговечности где tp — время до разрушения при расчетных напряжениях и темпера-
Запаш прочности по несушей способности 41 туре; / — расчетное время работы. Запас по долговечности должен быть в несколько раз больше, чем по напряжению. При степенной зависимости предела длительной прочности от времени [см. формулу (7)], когда o™„tp = С = = const, допустимое время работы детали (расчетная долговечность) Из рис. 4 следует, «то для условий работы детали, соответствующих точке М, действующее напряжение Отах = (Тдла. разоушающее — сЛЛ1. время работы t = <р1, время до разрушения /р2, поэтому Лдл — откуда Сдл2 «! = #- = Р1 |ДЛ1 гдла п, = я дл* (21) Обычно 4< т< 20. Для ответственны к деталей с высокой рабочей температурой, например для рабочих лопаток газовых турбин, определяют запас по температуре дГ = Г.-, - Гтах, где Ттах — максимальная рабочая температура детали, Гр —температура, при которой деталь разрушится от исчергания длительной прочности при действующих напряжениях за расчетное время работы. (■max ЗАПАСЫ ПРОЧНОСТИ ПО НЕСУЩЕЙ СПОСОБНОСТИ При растяжении, когда напряжения распределены по сечению равномерно, материал достигает предела текучести сразу по всему сечению, размеры детали резко меняются и она теряет способность выполнять свои функции — теряет несущую способность. Иначе обстоит дело при изгибе, кручении и других видах деформации, отличающихся неравномерным распределением напряжений по сечению. Пока нагрузка мала (момент Мх иа рис. 19), деформации упруги Когда напряжения в крайних волокнах достигают предела текучести ст. несущая способность детали сохраняется, так как остальные волокна испытывают напряжения, меньшие стт. Затем область пластических деформаций охватывает все большую часть сечения, пока при моменте М — Мпред напряжения во всех волокнах (за исключением бесконечно малого центрального ядра) не достигают предела текучести. Если материал неупрочняющий- ся, то дальнейшее увеличение нагрузки невозможно Нагрузку, при которой несущая способность детали оказывается полиостью исчерпанной, называют предельной. Отношение предельной нагрузки к максимальной нагрузке, действующей прн работе на деталь, называют за- £яш £тах ®4— ц !1l ®тах &- ' ><f ! —9^ = —, W» «г I 1 Я» «л Ш Рис. 19. Распределение деформаций (а) и напрчжений [б) по поперечном> сменяю балки при изгибе о зависимости от изгибающего момента; ДГ. > М^ > AIjj Л1, = Мп ._
42 Механические характериспмки материалов и оценка прочности пасом прочнисти по несущей способности (по нагрузке): Рп ред (22) При изгибе запас по несущей способности п = 'пред Мтах Для балкн прямоугольного сечеиия из пластичного материала максимально допустимый изгибающий момент при оценке прочности по несущей способности оказывается в 1,5 раза больше, чем при оценке по максимальным напряжениям. Однако полностью использовать этот резерв прочности можно только при однократном статическом нагружении, если появление некоторых пластических деформаций не мешает нормальной работе конструкции При сложных погружениях оценку запаса прочности по несущей способности используют как один из критериев надежной работы детали. ЗАПАСЫ ПРОЧНОСТИ ПРИ ПЕРЕМЕННЫХ НАПРЯЖЕНИЯХ Если деталь испытывает переменные напряжения симметричного цикла, то предельтшм напряжением будет предел выносливости с учетом концентрации напряжений, состояния поверхности и коэффициента влияния абсолютных размеров (предел выносливости детали): (°-1к)д ~ Ко (23) Запас прочности па = — (°"-1к)д При совместном действии нормального аа и касательного та напряжений (изгиб и кручение вала) вводят эквивалентное напряжение (24) глест,-, — амплитуда действующих переменных напряжений-. При расчете по касательным напряжениям запас прочности (т-1к)д (Л)экв-]Ла + 3^. Тогда запас прочности (а-1н)д п = -—г =^ (°аЬкв 1 v LrfuJ + ц^Гд I (25) \ Г 1 1 1/^2 _i_ „2 ' ' Л + -V К "а + "х 2 ' 2 (26) где в соответствии с формулой (25) принято (Т-1к)д = -ГГТ=Г (0_1К)д Расчет запасов при асимметричных циклах изложен в гл. 31. Допустимую величину запаса прочности при переменных напряжениях устанавливают на основе опыта эксплуатации машии. Обычные значения запаса прочности па = 1,5-4-4,0. ЗАПАСЫ ДЛИТЕЛЬНОЙ ПРОЧНОСТИ ПРИ РАБОТЕ НА РАЗЛИЧНЫХ РЕЖИМАХ Детали машин работают, как правило, на нескольких различных режимах, отличающихся напряжениями, длительностью (или числом циклов), а также температурными условиями. В угом случае для оценки работоспособности детали используют представление об эквивалентных режимах и эквивалентных запасах прочности (эквивалентных напряжениях, длительностях, числе циклов). Эквивалентный запас длительной прочности. Разрушение детали под действием постоянных напряжений за некоторое время tv является результатом постепенного накопления в ма-
Запасы длительной прочности при различных режимах 43 тер нале необратимых изменений в виде микротрешин и других повреждений При оценке степени повреждения П условно считают, что для исходного (неповрежденного) материала /7=0, для момента разрушения /7=1. Если время работы на некотором режиме при Oj = const равно ti, а разрушение наступает за время /рг\ то в первом приближении степень повреждения /71 считают равной относительной продолжительности работы на этом режиме: n.-JL-± 'pi Iti (27) где nti — запас по долговечности на i-м режиме. При работе на нескольких режимах принимается линейное суммирование повреждений К К К Li ' Li /Pi i-i nu (28) где k — общее число режимов. Два режима считают эквивалентными по опасности разрушения, если их степени повреждения одинаковы. Поэтому ту же степень повреждения /7 можно получить при работе на одном (эквивалентном) режиме, если Л экв = П. (29) Для эквивалентного режима 'экв "экв — 1 Р ЭКВ "t 9K1 ■, (30) и из (28)—(30) следует формула для эквивалентного запаса по долговечности 1 Л( экв 1=1 (31) При степенной зависимости предела Длительной прочности от времени °дл ''р = С (Т) запас по долговечности пи = tpjti связан с запасом длительной прочности на том же режиме л, = стдл j/Oj соотношением /pi /0дл i] ' <л ч ■ (32) Подставив (32) в формулу (31) и учитывая, что для эквивалентного ^экв режима ni3KB па получаем лэкв 2 Ш' • «*> i=i Обычно в качестве эквивалентного выбирают самый тяжелый режим ((' = 1), для которого собственный запас длительной прочности имеет минимальное значение nt = nmtn- Для жаропрочных сплавов при температурах выше 500—600 °С обычно «экв « 4Н-8 Эквивалентное время работы. Для сокращения времени испытаний можно привести все режимы к наиболее тяжелому, увеличив время работы на этом режиме с /t до /Экв н использовав соотношение 'экп — tV(Tu Ol) nt экв (34) С учетом выражений (31) и (32) ГЭКВ = 'l + 1=2 ' (35) где n-i — запас прочности на наиболее тяжелом режиме. Величина tJKB всегда меньше суммарного времени работы на всех ре- k жимах rz = £ ti. i=i По формулам (34) и (35) можно определить время, необходимое для проведения сокращенных эквивалентных испытаний детали на длительную прочность, обеспечивающих за время fэкв ТУ же повреждаемость по длительной прочности, что и при испытаниях по полной программе за время /z
44 Механические характеристики материалов и оценка прочности ЗАПАСЫ ВЫНОСЛИВОСТИ ПРИ РАБОТЕ НА РАЗЛИЧНЫХ РЕЖИМАХ Для материалов, не имеющих предела выносливости, а также для режимов ограниченной длительности с напряжениями выше предела выносливости, в том числе при малоцикловой усталости, зависимость разрушающих амплитуд с учетом концентрации напряжений а„р от числа циклов N до разрушения имеет в логарифмических координатах вид прямой линии: o™pN = C = const. Поэтому для симметричных циклов расчеты эквивалентного запаса предела выносливости, эквивалентных переменных напряжений, эквивалентной циклической долговечности можно проводить по формулам предыдущего пункта, заменив в них действующие напряжения at на амплитуды aat, время ti — на число циклов Ni, предел длительной прочности аЯЛ1 — на ограниченный предел выносливости oapi и использовав соответствующие значения постоянных т и С (см. гл. 31).
РАСЧЕТЫ НА ПРОЧНОСТЬ * Глаза 3 РЕЗЬБОВЫЕ СОЕДИНЕНИЯ МАТЕРИАЛЫ, ПОКРЫТИЯ И КОНТРОЛЬ КРЕПЕЖНЫХ ДЕТАЛЕЙ Материалы. Согласно ГОСТ 1759.4—87 механические свойства болтов, винтов, шпилек и гаек, изготовленных из углеродистых и легированных сталей, а также марки сталей должны соответствовать указанным в табл. 1, 2. При жестких требованиях к жаропрочности, коррозийной стойкости, габаритам и массе крепежных соединений для изготовления их используют специальные стали и сплавы. Покрытия. Для улучшения свинчи- ваемости соединений, устранения заедания в резьбе, а также защиты от коррозии, придания декоративного вида предусмотрены покрытия крепежных деталей (табл 3). Покрытия должны быть более мягкими, чем материал резьбовой детали, и деформироваться без разрушения. Вид покрытия для определенного материала выбирают по ГОСТ 1759.4—87. Кроме покрытий, указанных в табл. 3, в ряде отраслей машиностроения для уменьшения коэффициентов трения и их стабилизации наносят свинцовое покрытие и применяют вис- мутирование (в растворе, содержащем трилон Б, висмут натрия, сегнетовую соль и едкий натрий). Висмутирование, цинкование, лужение оловом и особенно кадмиро- ваиие недопустимы для резьбовых соединений, работающих при температуре свыше 200—300 X (см. табл. 3), так как в этом случае наблюдается разрушение затянутых болтов (шпилек) из-за проникновения расплавленного циика, кадмия и других металлов в металл болта (эффект Ре- биидера). Для нормальной работы соединений необходимо, чтобу рабочая температура не превышала температуру плавления покрытия. В процессе гальванического покрытия кадмием, цинком и другими металлами происходит наводороживание поверхностных слоев, которое приводит далее к замедленному хрупкому разрушени' болтов из высокопрочных сталей (ав ]> 1100 ЧЛа). Для предотвращения разрушений резьбовых соединений следует проводить разводо- роживание. Повторные гальванические покрытия высокопрочных болтов нежелательны по этой же причине Для резьбовых соединений, работающих в газовом потоке при высоких температурах, наряду с омеднением применяют химическое никелирование (максимальная рабочая температура до 900 °С). В отличие от химического катодное никелирование допускает работу соединений до 800°С. Хотя стоимость химического никелирования в 3 раза выше катодного, его целесообразно применять для резьбовых деталей, работающих в агрессивной среде при повышенной температуре взамен многослойных покрытий (никель—хром, медь—никель—хром и др.). Хорошо предохраняет резьбу от заедания мягкое серебряное покрытие. Высокая стоимость этого покрытия ограничивает область его применения. Толщина покрытия устанавливается в зависимости от шага резьбы в следующих пределах: Р, мм .... <0.4 0,4—0.8 >0.8 6, икм .... 3 — 6 6 — 9 9—12 Контроль. Болты, винты, шпильки и гайки после изготовления подвергают выборочному контролю (см ГОСТ 17769—83):
1. Механические характеристики углеродистых и легированных сталей (при нормальной температуре), применяемых для изготовления болтов винтов, гаек Болты Класс проч ности Марка стали 3 6 | Ст!кп СтЗсп 10 1 Юкп 4 6 1 20 4 8 5 6 5 8 6 6 6 8 f 9 8 8 10 9 JO Ч 14 9 10 Юкп 30 3) 10 ** Юкп ** 20 20кп ГтЗсп СтЗкп 35 45 401 20. 20кп Зэ **♦. 35Х 38ХА, 451 40Г2 40Х ЗОХГСА, 16ХГН ЗОХГГА 40ХП2\\Л. Гайки Класс проч ности 4 о 6 8 10 12 14 Чарка стали ( тЗкп ( 1Зсп 10 Юкп 20 ст5 15 15кп 35 20 20кп 35 45 ЗэХ, 39ХА 40Х ЗОЛГС А 16ХСН 30X1 С \ ав МПа МПа 6S (1 0 ан Дж см* не менее 300 4 00 400 500 500 700 600 800 800 1000 1000 1 >00 1200 14 00 40XHJMA | 1400 1Г 00 200 25 240 | >5 320 | 14 100 1 >0 400 560 10 Н 480 | 8 54 0 1 12 640 900 1080 12 9 8 1260 | 7 Не регламентируется 5а Не регламентируется г0 Не регламент* руется 40 Не регламеитир>ется 60 40 40 НВ 90 150 ПО 17о 140 215 170 245 225 300 280 365 330 425 30 | 390 и ев Примечания 1 Класс прочности болтов обозначен двумя числами Первое число умноженное на 100, определяет минимальное значение св МПа второе число умноженное на Ю, — отношение ог/ов °0 2 Наибольшие значения сув и твердости являются справочными 3 Стали обозначенные знаками ** н *** применяют соответственно для d < 12 и d ^ 16 мм 4 Клтсс прочности гаек обозначен числом при умножении которого на 100 получают значение напряжения от испытательной нагрузки, М.Па
Упрощенный расчет соединений 47 2 Механические характеристики коррозийно-стойких, жаропрочных, жаростойких и теплоустойчивых сталей (при нормальной температуре), применяемых для изготовления болтов, виитов, шпилек и гаек Марка стали Болты 12Х18Ч10Т 20X13 14Х17Н2 10ХПН2313МР 13Х11Н2В2ЧФ 25Х1МФ Гайки 12Х18Н9Т, 10Х17Н13М2Т 20X13 14Х17Н2 - Х12Н2213МР 25Х2М1Ф 20Х1М1Ф1ТР ов, МПа от, МПа 6„ % Дж/см* не менее 520 700 900 200 550 650 550 750 40 15 12 8 10 40 60 60 30 30 3. Виды покрытий крепежных: S v т s о£ О а- 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 Покрытие Без покрытия Цинковое с хроматиро ваиием Кадмиевое с хромати рованием Н икелевое, многослойное медь — никель Многослойное медь — никель — хром О <1и_ное Фосфатное с промаслн ванием Оловянное Медное Цинковое Окисиое анодизацион ное с хроматнрованием Пассивное Серебряное деталей Рабочая температура °С, не более _ 300 200 ЬОО 600 200 200 100 700 200 200 200 720 а) а)орму, размеры, качество резьбы и стержня болта (визуальное выявление поверхностных дефектов), б) механические характеристики деталей, испытания иа разрыв и ударную вязкость (являются обязательными для болтов классов прочности 8.8—14 9), определение чувствительности к перекосу (испытание на разрыв с косой шайбой), испытания на длительную прочность (по согласованию с заказчиком), малоцикловую усталость. Резьбовые детали особо ответственных соединений подвергают 100% - ному контролю формы, размеров, качества резьбы и стержня (визуально и люминесцентным методом), твердости, а также выборочным механическим испытаниям. УПРОЩЕННЫЙ РАСЧЕТ СОЕДИНЕНИЙ Основные виды соединений показаны на рис 1. Для предварительного выбора размеров диалей и для проверки прочности неответственных соединений проводят упрощенный расчет. Основной расчетный случай. Предварительно затянутое соединение нагружено внешней продольной силой (рис 2). Диаметр болта (шпильки) по заданному внешнему усилию выбирают по а)ормуле dl = 1 / -4-" 1 V я а [Яр] (1) где N — растягивающее усилие от вчешних нагрузок, приходящееся на данный болт, [Ор] — допускаемое напряжение при растяжении, dt — внутренний диаметр резьбы болта.
48 Резьбовые соединения Рис. 1. Основные типы резьбовых соединений; о — болтом; б — винтом: в — шпилькой; е — со вставкой Рчс. 2. Основной расчетный случай г) Допускаемые напряжения з долях от предела текучести указаны в табл. 4, а основные размеры и площади поперечного сечения для метрической резьбы — в табл. 5. Допускаемые статические нагрузки и моменты затяжки для болтов (шпилек) даны в табл. 6 Момент на ключе при затяжке определен по приближенной формуле М„ 0,15Qd, (2) где Q — усилие затяжки болта, d — наружный диаметр резьбы. Обычно Мкл = (0,04 ч- 0,07) отеР. (3) Дополнительные расчетные случаи. Соединение нагружено поперечной силой. Если бо/'т установлен в отверстие без зазора или с небольшим натягом (рис 3), то диаметр стержня болта определяют из расчета на срез: di = Y AN яп [т] (4) где N — поперечная нагрузка на один болт; п — число плоскостей среза; [т] — допускаемое напряжение иа срез, обычно принимают [т] « (0.2-=- 0,3) о>. Если болт поставлен s отверстие с зазором, то поперечная нагрузка должна восприниматься снламн трения. Болт рассчитывают на силу затяжки ICTPJ. (5) где f — коэффициент трення иа стыках деталей. При расчете принимают следующие значения коэффициентов трения /• Необработанные стыкн со сле- Обрабо^кз стыка: пескоструйная газовой горелкой . . . . то же прн наличии масляной пленки ... Окраска стыка алюминиевым порошком . . «ерной антикоррозийной краской . . . свинцовым суриком . . . . 0,3 0,5 0,4 0.06 0,15 0,10 0.06 Рис. 3. Дополнительный ряечетный случай Допускаемое напряжение обычно принимают [пр] яа0,6аг. Момент па ключе для создания силы затяжки М„л ж 0,07ат^. (6)
Упрощенный расчет соединений 49 4. Отношение ["т)]/"т для резьбовых соединений Сталь Углеродистая Легированная При постоянной нагрузке н диаметре резьбы d, мм 6- 16 0,20—0,25 0.15 — 0.20 16 — 30 0,25-0,40 0,20-0 30 При переменной нагрузке от 0 до максимальной н Диаметре резьбы d, мм 6—16 0,08 — 0,12 0,10-0,15 16 — 30 0,12 0,15 5. Соотношения наружного диачетра dt шага резьбы Р, внугреннего диаметра dx н площади поперечного сечения F\ для метрической резьбы d Р ds мм 3 4 5 8 10 12 14 16 18 0.5 0,7 0,8 1,0 1,0 1,25 1.0 1,25 1,5 1,0 1,25 1,5 1.75 1,0 1,5 2,0 1,0 1.5 2.0 1 0 1,5 2,0 2,5 2,386 3,141 4,018 4,773 6,773 6,466 8,773 8,466 8.160 10.773 10,466 10,160 9.853 12.773 12,160 11.545 14,773 14,160 13.546 16,773 lb,160 15,546 14,932 Fi мм2 4,47 7,75 12,9 17,9 36 32,8 60,4 56.3 52.3 91,1 86 81 76,8 128 116 105 171 157 144 221 205 190 175 d р rfi мм 20 22 24 27 С' j3 1,0 i,5 2,0 2,5 1,0 1,5 2,0 2,5 1 0 1,5 2,0 3,0 1,0 1,5 2,0 3.0 1,0 1,5 2,0 3,5 1,0 1,5 2,0 3,5 18,773 18,160 17,546 16,932 20,773 20,160 19,546 18,932 22,773 22,160 21,545 20.319 25,773 25,160 24,546 23,319 28,773 28 1Ь0 27,546 25,70о 31,773 31,160 30,546 28,706 ?i ммг 279 259 242 225 339 319 300 281 407 386 365 324 522 497 473 427 650 623 596 519 793 763 733 647 Диаметр болта по заданной силе Q конструктивные элементы в виде шпо- можно определить также из табл. 6 нок, втулок и других деталей, которые Если резьбовое соединение должно разгружают болты от срезывающих выдерживать большие растягиваю- сил {рис. 4). Щие и срезывающие нагрузки, то при- Методика расчета ответственных меняют специальные пояски, а также резьбовых соединений изложена ниже.
50 Резьбовые соединения 6. Допускаемые статические нагрузки и моменты затяжки для болтов (шпилек) Резьба d Р мм 3 4 5 6 8 10 12 14 16 18 0,5 0.7 0,8 1,0 1.0 1.25 1.0 1,5 1,0 !,5 1,75 1,0 1.5 2 1,0 1,5 2,0 1.0 1,5 2,0 Нагрузка, Н А Б Момент затяжки Ю-2, Н- мм Сталь 45 280 580 1100 1700 3600 3300 6500 5500 10 500 9 300 8 700 15 600 14 100 12 500 22 000 20 000 18 600 31 200 28 800 26 500 840 1500 2600 3750 7700 7000 13 400 11 400 21 000 18 600 17 400 30 400 27 400 24 400 41 900 38 000 35 400 57 000 52 500 48 500 3,75 9,0 19,5 34,0 92 64 200 171 300 270 250 640 570 510 1000 920 850 1600 1400 1300 Нагрузка, Н А Б Я*! «О ь 1 = ч, 0J * 2 S * S S fix ЗОХГСА 370 760 1450 2200 4750 4300 8500 7300 13 700 12 100 11 300 20 400 18 400 16 500 28 900 26 400 24 000 41 000 38 000 35 000 1100 I960 3400 4850 10 000 9150 17 500 15 000 27 400 24 200 22 600 39 600 35 800 32 100 55 000 50 300 45 600 75 000 69 500 64 000 5,3 11,7 25,2 43,2 120 ПО 260 300 390 350 330 820 750 670 1320 1200 1000 2000 1900 1700 Нагрузка, Н А Б «о v v Ж SEE 4UXH2MA 450 950 1800 2700 5850 5300 10 500 9000 17 000 15 000 14 100 25 100 22 600 20 400 35 600 32 400 26 900 50 500 46 500 43 000 1350 2450 4250 5950 12 500 11 300 21 800 18 500 31 000 30 000 28 200 48 900 44 O0U 40 000 07 500 61 500 56 000 92 000 85 000 78 000 6,0 14,8 32,8 54,5 150 140 320 278 490 430 410 1030 920 840 1600 1500 1300 2500 2300 2100 Примечания 1. Случай А — неконтролируемая затяжка, грубый учет нагру зок; случай Б — контролируемая затяжка. 2. от в МПа сталей стали 45 — 650; ЗОХГСА — 850; 40ХН2МА — 1050. Рис. 4. Способы разгрузки соединений от сил в плоскости стыка
Уточненный расчет соединений 51 УТОЧНЕННЫЙ РАСЧЕТ СОЕДИНЕНИЙ При расчете ответственных резьбовых соединений (шатунные болты и др.) необходимо более точно учитывать внешнюю нагрузку, усилие затяжки, дополнительные напряжения от изгиба и кручения, а также влияние температуры деталей, конструктивных и технологических факторов на прочность соединений. Определение усилий в затянутом соединении при действии внешней осевой нагрузки. В расчетах групповых соединений промежуточные детали заменяют эквивалентными по жесткости (на растяжение-сжатие) втулками, связанными абсолютно жесткой диафрагмой в форме деталей. К диафрагме прикладывают внешние нагрузки, С помощью такой схематизации осуществляют переход от группового соединения к расчету одиночного (одно- болтового) соединения. Рассмотрим соединение (рис. 5), затянутое с усилием Q0 и затем нагруженное внешним растягивающим усилием N, приходящимся на данный болт. Полное усилие, действующее на болт, определяют из диаграммы усилий (рис. 6). На диаграмме приведены кривые деформирования болта (кривая /) и промежуточных деталей (кривая //), выражающие зависимость усилия от удлинения (илн сжатия). При упругих деформациях эта зависимость изображается прямыми линиями. Углы наклона прямых аст и ад характеризуют соответственно податливость болта и стягиваемых деталей и определяются равенствами tgo0: tgoa=T- где Хб — коэффициент податливости болта, соответствует его удлинению под действием единичной растягивающей силы; А,д — коэффициент податливости стягиваемых деталей; Аб = 'б £б^б (7) здесь /б — расчетная длина болта; ^б и F<5 — соответственио модуль уп- § № б) Рис. 5. Резьбовое соединение (а) и его расчетная схема (в) I Л а Укоро -* чение л' < ^ \ / з \ / h Л1 °А Jb " У ■3 f 0 j . * —** й1 h г У А 1. 'г о. ' длине ние Рис. в. Диаграмма усилий в резьбовом соединении ругости материала и площадь сечения болта. Для промежуточных деталей An —i /п £д/*д (8) где /д — длина (толщина) промежуточных деталей; £д — модуль упругости материала деталей; Fq — площадь поперечного сечения деталей *. Усилие затяжки Q0 вызывает удлинение болта на величину бб и сжатие промежуточных деталей на величину бб- Точки Ах и Аа на диаграмме характеризуют усилие и деформации в болте и промежуточных деталях после затяжки. Внешняя нагрузка N вызывает дополнительное удлинение болта на ве- * Определение коэффициентов податливости приведено ниже.
52 Резьбовые соединения Рис. 7. Зависимость полного усилия в болте от внешней нагрузки личину А/ и усилие в болте возрастает на величину „ А/ Ns = A/ tg аб = — . Сила, действующая на промежуточные детали, уменьшится на величину Ад Это снижение усилия можно найти, проводя через точку Л0 прямую //', параллельную прямой //. Сумма усилий N5 + Na = N, тогда ., N ^д ., А/ = —, т~ = -:—ГТ- N- — + — Лб + д Яб Ад Дополнительное усилие на болт ЛГв = хЛГ, (9) коэффициент основной иа- где X грузки, Х = (10) ■*б + ■'•Д Полное усилие на болт Q6 = Qo + N6 = Q0 + xN. (И) Расчетная зависимость полного усилия, действующего на болт (шпильку), от внешней нагрузки показана на рис. 7. Если внешняя нагрузка изменяется циклически (от 0 до ЛО, то амплитуда переменных напряжений в резьбовой части болта a -Il-JLJL /12) и среднее напряжение Qo + 4" <v6 = а„4-°а- (13) где а0 — напряжение предварительной затяжкн. Из формулы (9) следует, что в затянутом резьбовом соединении внешняя нагрузка на болт передается лишь частично (х = 0,2н-0,3). Равенство (11) справедливо до начала раскрытия стыка. Усилие на стыке после приложения силы Qc=Qe-ArB=Q0-(l-x)tf, откуда условие нераскрытая стыка Qo>U-X)W- (14) Если внешняя нагрузка возрастает до величины Np~ i-x' то стык раскроется (точка Ас на рис. 7), и при дальнейшем увеличении внешней нагрузки усилие на болт будет Сб = Qo + N* = N, (15) где N — внешняя нагрузка, действующая на соединение. После раскрытия стыка внешняя нагрузка полностью передается на болт, что при переменной нагрузке приводит к появлению дополнительных напряжений ударного характера. Поэтому усилие затяжки следует назначать таким, чтобы при заданной внешней нагрузке N стык оставался плотным. Для снижения переменных напряжений аа в болте следует уменьшить коэффициент основной нагрузки X. т. е. применять податливые болты (увеличнвать Аб) и жесткие фланцы (уменьшать Ад). Преимущества податливых болтов наглядно иллюстрирует рис. 8. Отсюда правило конструирования резьбовых соединений:
Уточненный расчет соединений 53 Перемещение 1 « 1 / А А у а»°|ех z ' i о ' -7i\/V. S СИ Время Податливый болт • Перемещение Рис. 8. Диаграммы усилий для соединений с различной жесткостью болтов при одинаковых условиях работы жесткие фланцы — податливые болты. Прн наличии температурной деформации д« = ад'д'д — аб'б'б. (16) где ад, t% и ag, to — коэффициенты соответственно линейного расширения и температуры промежуточных деталей и болта. Температурное усилие л. (17) Лб+ Яд Полное усилие на болт в этом случае Q = Qo + Qt + N6 = Q0 + Q, + XN. (18) Определение коэффициентов податливости болта и промежуточных деталей. Для болта постоянного сечення значение А,д определяют по формуле (')• Для болта переменного сечення (рис. 9) л (=1 19) гДе lot и Fgi — соответственно длина и площадь поперечного сечения i-ro Участка болта. Для коротких болтов (/< Ы) следует учитывать податливость резьбы ? пределах соединения н головки оолта. Податливость резьбы можно вычислять по формулам: прн -_- = 6 -т- 10 (0,95 н- 0,80) dE ' при -р- = Юн- 20 (0,80 н- 0,70) dE ' (20) где Р — шаг резьбы. Если модули упругости болта (шпильки) и гайки (корпуса) различны, то можно принимать _1_ Е Коэффициент податливости головки болта с высотой h 0,15 E6h • (22) Для коротких болтов коэффициент податливости следует вычислять по формуле п Яб=4бЕй+лр+Лг (23) Коэффициент податливости промежуточных деталей определяют в предположении, что при действии осевой силы деформация, равномерная по
54 Резьбовые соединения a + ltgot a+litgat Рис. 9. Болт с переменной пло \\У щадью поперечного сечения Рис. 10. Конусы давления в соедн иениях болтом (а) и винтом (о") сечению, распространяется в пределах «конуса давления» (рис 10). На основании теоретических н экспериментальных данных принимают tga = 0,4-т- 0,5, где a — угол, составленный образующей конуса с осью Для промежуточных деталей небольшой толщины (/< d0, где d0 — диаметр отверстия под болт) конус давления можно заменить условным полым цилиндром с наружным диаметром (рис. 10, б) dK — а -Ь k tg a, где а — внешний диаметр опорной поверхности гайки Коэффициент податливости тоикон промежуточной детали Ап = /, £д-Г[(«-ЬМ8а)2-*о] (25) В общем случае для промежуточной детали произвольной толщины (рис. 10, б) коэффициент податливости определяют по формуле *д = 2,30 X (24) X lg л tga (а + d0) (a + 2/t tg a — d0) (а - d0) (a 4- 2/t tg a -f do) ' (27) Значение X* приведено в табл 7. Если болт соединяет два фланца (см рнс. 10), то суммарный коэффициент податливости Ал = - 4,60 X lg End0 tg a (a -f rf0) (a + I tg a ■ ■d0) (a — d0) (a + I tg a + d0 (28) В случае, когда конус давления выходит за пределы промежуточной детали (рис 11), коэффициент податливости определяют по формуле 2,3 End0 tg a X y]g(a + d0)(D~d0) 4/2 ' (а — d0) (D-J-d0) En{D2 AY (29) где A„ = (26) U = t- 2 tga (D-
Уточненный расчет соединений 55 7. Значения безразмерного коэффициента податливости X. о do 1.2 1.4 1,6 do 1 2 3 5 1 2 3 5 1 2 Хд при tg a 0,4 1.03 1,31 1.45 1.60 0,64 0.87 0.99 1.13 0,46 0.65 0,5 0.90 1.11 1.22 1.32 0.57 0.75 0,84 0,94 0.42 0,57 о 1.6 1,8 2,0 do 3 5 1 2 3 5 I 2 3 5 \'л при tg а 0.4 0.76 0.88 • 0,35 0.51 0,61 0,72 0,28 0.40 0,51 0.61 0,5 0,65 0,74 0.32 0.45 0.53 0,61 0.26 0,37 0.44 0,52 Подобной формулой можно воспользоваться при часто расположенных болтах (шпильках), когда один конус давления перекрывает другой. Если для группового соединения /х <С 0,1 I, то при расчете можно учитывать площадь промежуточной детали, приходящуюся на одну шпильку (участком /j на рис. 11 пренебрегают). Расчет усилий в сложных силовых схемах, ьолт соединяет несколько промежуточных деталей (рис. 12;, внешняя нагрузка приложена к произвольным стыкам. Различают детали системы болта, в которых в результате действия внешней нагрузки абсолютная деформация возрастает (детали 0, 1 на рис. 12), и детали системы корпуса, в которых абсолютная деформация уменьшается (детали 2, 3). Коэффициент основной нагрузки Сумма коэффициентов податливости деталей системы „__ корпуса if'' Сумма коэффициентов податливости всех деталей В Рис. рассматриваемом 2) з случае (см. £*| х = 1=2 (=0 X; — коэффициент податливости деталей соединения; Xq — то же для болта. Для уменьшения коэффициента основной нагрузки упругие детали (упругие шайбы и другие детали) следует вводить в систему болта. Рис. п. Выход конуса давления за пределы детали
56 Резьбовые соединения Рис. 12. Сг»«а нагружения силовой шпильки РАСЧЕТ НАПРЯЖЕНИЙ КРУЧЕНИЯ При затяжке резьбопых соединений путем завкнчивак"я гайки болт (шпилька) скручивается моментом = Q< d% nd. ^Г+h I-Л, (30) или с достаточной точностью Р М, 1-0,5Qerfa(S3- + /p), (31) где Q0 — усилие затяжки; dt — средний Д"ачетр рогьбы; р" — угол подъ- Р ndi ема внятовой линии, tg {3 = р' — угол трения, соответствующий Коэффициенту трения в резьбе /р, h cos а Т 1,15/; f — коэффициент трения материала гайки по материалу болта (шпильки); а — угол профиля резьбы; Р — шаг резьбы. Момент в резьбе Мр < Мкл, так как момент и а ключе должен также преодолевать силы треиия на опорной поверхности гайки, причем Мкл = Мр+Мт, где М т — момент трения иа торце гайки. Для плоского опорного торца гайки „3 ,,3 Mr = -b-Qof о -чО/т ~о~ ■4 ■Qof- a + d„ (32) где а — внешний диаметр опорного торца гайки; dn — диаметр отверстия в чорпусе под болт; /т — коэффициент трения на торце гайки. Значения коэффициентов треиия в резьбе v на т0рце гайки даны в табл. 8—10 Для приближенных расчетов вместо формул (30) к (31) используют соотношение Afp = kQ^d, (33) в котором d — наружный диаметр резьбы; k — безразмерный коэффициент, для метрической резьбы приведен в табл. 11. Напряжения кручения в резьбовой части болта *«A. (34) 0,2d? Напряжения кручения в стержне болта (шпильки) Хп=вЛ*. (35) 0,2df если ]/(т20+Зт2>0,8аТ( то болты или шпильки следует предохранять от скручивания яри затяжке
Расчет, напржссний лруч^.^л 8. Средние значения коэффициентов трения в резьбе соединений прн ьапрмжсп<|ях затяжки О". — (0,4-г-и,6) ст, то*1Ы«иа покрытия b («км Материал болта и гайки ЗОХГСА ВТ16 12Х18Н10Т ЗОХГСА * ВТ16 12Х18Н10Т ЗОХГСА *» ЗОХГСА ВТ16 12Х18НЮТ Покрытие, счазочний материал Без покрытия То ке, масло МК-8 То же, смазка ВНИИНП-232 То же, смазка ВНИИНП-220 То же, смазка ЦИАТИМ-222 Кадмиевое Медное Цинковое Серебряное Перьал затяжка 0,18 0.13 0,18 0,08 0.25 0.15 0,19 0.16 0,28 0.16 0,23 0.095 0.11 Десятая лчтяжка 0,58 0.12 0.11 0,21 0.27 0.3 - - 0,18 0,21 * Б знаменателе дроби даны значения f_ при смазывании резьбы маслом МК.-8. ** То же со смазкой СТ Примечание Соединения из стали ЗОХГСА имели резьбу Ml 2 X 1,5, а остальные М16х 1,5 9. Средние значения коэффициентов трения на торце гайки / при напряжениях загяжки с — (0,4~-0,6)ат Материал гайки и шайбы ЗОХГСА ВТ6 ЗОХГСА * ВТ6 ЗОХГСА •• Покрытие, смазоч- ьый материал Без полр^тия То же масло МК-8 Без покрытия То же, смазка ВНИИНП 232 Кадмиевое » Цинковое Медное Первая затяжка 0,16 0,13 0,16 0,06 0,05 0,06 0,1: 0,10 0.12 0,08 Десятая затяжка 0,22 0,11 0.17 0.15 0,14 0,05 0,2 0,26 0,18 0,09 10. Средине значений приведенного (при / = /т) коэффициента, трс^пя дли определений момента ил ключе Покрытие Ьез покрытия Кадмиевое Медное Циькоаое Оксидное Резьба О 41 со та CJ (U о ч pi U « <у О 5 Ф а. и 0.2 0,13 0,18 0,22 0.24 * о ?5 " о. ° н о » о Z 0,16 0,1 0.14 0.18 0,20 -м сноски к табл 8 Примечание Прн повтори ^л затяжках приведенный кодффиииеит треипя длл Сма- зочних резъб дол/лч-н бить уменьшен на Ю —30%
58 Резьбовые соединения 11. Значения f и А для метрической резьбы Состояине контактных поверхностей Чисто обработанные поверхности, смазанные Грубо обработанные поверхности смазанные несмазанные 'v 0,1 0 2 0 3 * 0.07 0.12 0 17 Рнс. 13. Конструктивные способы разгрузки соединений от скручивания при затяжке (например, с помощью специального шестигранника, рис. 13, а, или шли- цевых втулок, рис. 13, б, в). ВЫБОР ПРЕДВАРИТЕЛЬНОЙ ЗАТЯЖКИ Напряжения затяжки устанавливают из условия плотности стыка — необходимого условия прочности динамически нагруженных резьбовых соединений. Если напряжение затяжки о-0 <сгвн(1 — %), то происходит раскрытие стыка. В этом равенстве авн — номинальное напряжение в болте (шпильке) от внешней нагрузки. Для получения надлежащего запаса плотности стыка напряжения затяжки определяют из уиювия «о = vaBH, (36) где v — коэффициент затяжки, а напряжение авн — соответствует наибольшему внешнему усилию N. По условию плотности стыка v = = 1,5—2 для постоянных нагрузок; v = 2,5-ь4 — для переменных нагрузок. Допустимое напряжение затяжки а„ < 0,8ат, (37) где ат — предел текучести материала болта. Обычно а0 ж (0,5-г0,7) ат. Напряжение затяжки для ответственных резьбовых соединений необходимо контролировать. Наиболее распространены на практике методы контроля с помощью измерения: а) удлинения болта нли шпильки; б) угла поворота гайки; в) крутящего момента на ключе. Последний метод является основным во многих отраслях машиностроения. Он реализуется с помощью специальных динамометрических ключей, тарировку которых осуществляют в лабо раторных условиях. Для приближенных расчетов можно использовать формулы: ^кл = fQ0d, Мил = 0,07 oTd». РАСПРЕДЕЛЕНИЕ НАГРУЗКИ ПО ВИТКАМ РЕЗЬБЫ И КОНЦЕНТРАЦИЯ НАПРЯЖЕНИЙ В СОЕДИНЕНИЯХ Разрушения резьбовых соединений, особенно при переменных нагрузках, часто связаны со значительной концентрацией напряжений во впадинах резьбы нз-за неравномерного распределения нагрузки между витками и высокой местной напряженности. Распределение нагрузки между витками можно охарактеризовать интенсивностью распределения осевых сил по высоте резьбы (рис. 14): (38) <?(*) = dQ(2) dz (39)
Распределение нагрузки по виткам резьбы 59 где Q (г) — сила, растягивающая стержень болта или сжимающая тело гайки в сечении г: г Q (г) = J q (г) dz. (40) Записав уравнение совместности перемещения тел болта, гайки н витков резьбы и выразив входящие в это уравнение перемещения через силовые факторы, для стержневой модели соединения получим дифференциальное уравнение <Пг)--^-?(г) = 0; (41) здесь Р — коэффициент, характеризующий податливость тел болта и гайки,, р = я—=- + г. с . где Ец и ЕГ — модули упругости материалов болта и гайки; fц н Fr — площади поперечных сечений тел болта и гайки; у — коэффициент, характеризующий податливость витков резьбы болта и гайки, Y = 'б +W- где A,g и X* — безразмерные коэффициенты, зависящие от геометрических параметров соединения; Р — шаг резьбы, / — проекция боковой поверхности витка на плоскость, перпендикулярную оси г. Решение уравнения (41) для соединения типа болт—гайка с учетом граничных условий имеет вид <7(*) Qm sh/пЯ где :-V- ch mz, 1 7 (42) Из соотношения (42) следует, что в болтовом соединении нагрузка на витки возрастает от верхних витков ,К нижним по закону гиперболического Косинуса (рис. 14, б). Рис. 14. К расчету распределения нагрузки между витками резьбы Нагрузка на отдельные витки (рис. 15) г+Р <2р = j q(*)dz. (43) Для соединения типа стяжки (рис. 16) . _ Qm Г ch mz Я (Z) ~ Psh mH [~Ё~^ + + ch m (H — z) ■СрГр ]• (44) причем в зависимости от соотношения жесткости тел болта и гайки максимальное напряжение будет либо в сечении z = 0, либо в сечении г — Н. При практическом выполнении соединения тнпа стяжки нецелесообразно стремиться к увеличению площади охватываемой детали, так как это при- 7» 2S 15 Д / J 5 Номер дитка Рис. 15. Нагрузка на отдельные витки в % от общей нагрузки (соединение с резьбой М24)
60 Резьбовые соединения <Г(0) 7 Ч(') Ж") Рис. 16. Схема соединения типа стяжки ведет к снижению прочности соединения. Численное решение осесимметрич- иой контактной задачи для резьбового соединения (метод решения дан в гл. 29) подтвердило достоверность приведенного метода расчета распределения нагрузки в соединениях (табл. 12). Распределение нагрузки по виткам резьбы оказывает влияние на несущую способность резьбы прн статических нагрузках и особенно существенно влияет иа сопротивление усталости соединений. На основании анализа многочисленных экспериментальных исследований устаиовлеио, что снижение нагрузки на нижнем витке приводит к пропорциональному повышению предела выносливости соединений. Конструктивно улучшить рас- 12. Распределение нагрузок между витками резьбы Mill (радиус скруглеиия впадии резьбы J? = 0, 108 Р) Номер витка от опорного торца гайки 1 2 3 4 5 Нагрузки иа отдельные витки, % от общего усилия, полученные по формуле (43) 36,5 23.75 16 5 12,75 10.50 из решения контактной задачи 37,35 22,83 16,78 13,40 9 64 пределеиие нагрузки между витками можно путем увеличения податливости витков v и уменьшения податливости тел болта и гайки соответственно при растяжении и сжатии (?. Последнее может быть достигнуто введением в соединение резьбовой спиральной вставки (см. рис. 1, г), применением гаек растяжения (рис. 17) и другими методами (рис. 18) *. Влияние концентрации напряжений иа прочность учитывают теоретическим коэффициентом концентрации напряжений „ "max "ном где ашах — максимальное растягивающее напряжение в зоне концентрации; аном — номинальное напряжение в сечении по внутреннему диаметру резьбы. На рис. 19 приведены результаты численного расчета напряжений во впадинах соединения с резьбой М10 при высоте гайки Н = й,Ы и радиусе скругления во впадинах резьбы R — = 0.108Р. Наибольшие напряжения действуют во впадиие под первым рабочим витком, а максимальные напряжения на контуре концентрируются не в центре впадины, а в точке, смещенной к рабочей грани. Последнее связано с тем, что во впадинах имеет место концентрация напряжений от общего потока растягивающих усилий и от изгиба витка Напряжения во впадине под вторым рабочим витком почти в 3 раза ниже, чем под первым витком из-за разгрузки. Можно использовать следующую приближенную зависимость для вычисления теоретического коэффициента концентрации напряжений в резьбовом соединении типа болт—гайка. 1 + 1,1 V\- (45) Расчеты показывают, что концентрация напряжений в соединении может быть снижена на 20% простым увеличением радиуса скругления от йт|п = 0.108Р (по ГОСТ 9150—81) ЛоЯтт = 0,114 Р при /W=0,18P * Подробнее о распределении нагрузки по виткам резьбы см работу [1].
Распределение нагрузки по виткам резьбы 61 Рис. 17. Способы улучшения распределения нагрузки между витками резьбы с помощью гаек растяжения Рис. 18. Конструкции соединений с улучшенным распределением нагрузки между витками резьбы: а — сжаго-растянутая гайка, hid = 1; б — гайка с поднутрением, hid = 0,47, в — гайка со скошенными витками; г — болт со скошенными витками 0 « Рис. 19. Распределение напряжений во впадинах резь- бы(°ном = 1.27 МПа; а = - 4.6) и=1МЛа
62 Резьбовые соединения ФП <ьг,мпа \ \ \ N ч ^1 1 .-^= О 0,6 1,Z 1,В 2/f Ь,мм Рис, 20. Распределение напряжений под головкой болта ФИ ег,мпа г ^+i^ilt I lillil., 61=1 МП а Фю 0.5 °) 1,0 1) 1,5 Ь,мм Рис. 21. Распределение напряжений под головкой болта с двухрадиусной галтелью. а - напряжения в стержне б - напряжения на опорном торце, / - недеформируеные стягиваемые детали, 2 — деформируемые стягиваемые детали Распределение напряжений под головкой болта с резьбой М10 показано на рис 20, а; на рис 20, б приведено распределение контактных давлений под головкой при опирании на жесткие стягиваемые детали (кривая /) и стягиваемые детали из одинакового с болтом материала (кривая 2). При увеличении радиуса скругления под головкой болта концентрация напряжений снижается, однако при этом уменьшается опорная поверхность н возрастают контактные давления Более эффективной оказывается двуярадиуе- ная галтель под головкой болта (рис 21). Причем больший радиус следует прн-
Прочность при постоянных нагрузках 63 менять на участке, прилежащем к цилиндрической части стержня, так как в этой зоне действуют наибольшие контурные напряжения (см. рис. 20). Использование меньшего радиуса на второй части галтелн увеличивает опорную поверхность под головкой болта. Теоретический коэффициент концентрации напряжений под головкой болта можно вычислить по приближенной формуле ct„ = 1 + 0,55 (46) где /?е — раднус галтели под головкой; d — диаметр стержня болта. ПРОЧНОСТЬ ПРИ ПОСТОЯННЫХ НАГРУЗКАХ Разрушение резьбового соединения при постоянных (статических) нагрузках происходит вследствие обрыва стержня болта (шпильки) илн среза витков резьбы. Нагрузка, разрушающая стержень болта в его резьбовой части, iuR Qpaap J-О в, (47) ного сечения резьбы F, то величина а'в уменьшится. Фактическая площадь поперечного сечення лежит в пределах nd i<F< nd* Иногда в качестве расчетной используют площадь, отнесенную к условному среднему диаметру (между средним и внутренним диаметрами резьбы): di + d. =•» = Л (£l±Jl) Предел прочности резьбового стерж ня в этом случае . храяр о. = отличается от 0„ (48) о! 4 V + d J Значения отношения — приве- дены в табл. 13. Для болтов из распространенных сталей (стали 45, 38ХА, 30ХГСА и др.) при расчете по формуле (48) можно принимать жеиии стержня с резьбой. Отношение ав к пределу прочности материала ав по экспериментальным данным приведено в табл. 13. Если разрушающую нагрузку относить к фактической площади попереч- Ов=°в- Стали с пределом прочности сгв > > 1600 МПа и с пониженной пластичностью применять для силовых соединений, иагружеиных растягивающими нагрузками, не рекомендуется. <7В <7В 13. Отношения и для сталей различной прочности Способ обработки Нарезанная нли накатанная резьба с последующей термообработкой МПа 700-1200 1300-1400 1,35—1,25 1,05—О'.9 1,15-1,0 0.9-0.8 Накатанная резьба без последующей термообработки 700—1200 1300 -1400 1,40—1.2 1,2 — 0,95 1,2 — 1,05 1,05-0,85
64 Резьбовые соединения 14. Коэффициент к для соединений с болтами из сталей и титановых сплавов °вб °вг Св 1,3 <1,3 Шаг резьбы Крупный н первый мелкий Второй и более мелкий Для всех шагов *т 0,7-0,75 0.65-0,? 0,55 — 0,6 Необходимо иметь в виду, что при наличии после резьбы проточки с диаметром da < d1 прочность стержня определяют в сеченин по проточке или гладкой части стержня, если dc < а\. При наличии проточки разрушающая нагрузка Qpaap. с = х<тв — . (49) где х— коэффициент, учитывающий упрочняющий эффект от проточки. Для проточки в виде полукруглой с' канавки можно принять х =—; °"в для проточки, имеющей цилиндрический участок, х ~ 1. Основными конструктивными параметрами, определяющими прочность витков, являются диаметр d и шаг резьбы Р. радиус закругления бо впадинах резьбы R, высота гайки // (длина свинчивания [), соотношение механических характеристик материалов болта и гайки. Усилие, вызывающее срез витков: резьбы болта Qp б = ndtkeHkmXri; (50) резьбы гайки Qp. г = пй^НктХвр. (51) В этих равенствах k§ и кг — коэффициенты полноты резьбы болта а ганки; для метрической резьбы йд =^- = ftr = 0,87, для трапецеидальной ko = kv = 0,65, Н — высота гайки; кт — коэффициент, учитывающий неравномерность деформаций витков по высоте гайки при наличии в резьбе пластических деформаций и особенности разрушения резьбы; теоретически кт = 1 лишь для соединений с равномерным распределением нагрузки между витками, разрушение которых происходит в результате чистого среза, на практике такой случай почти не реализуется, и всегда km < 1; хво и тйг — пределы ппочности материалов соответственно болта н гаикн на срез; можно принимать т„ = (0,6-^0,7) ав для сталей и титановых сплавов, тв = = (0,7ч-0,8) ав для алюминиевых и магниевых сплавов. На основании экспериментальных данных можно рекомендовать для практических расчетов значения коэффициента кт из табл. 14. При расчете несущей способности резьбы соединений стальных шпилек с корпусами из пластмасс, алюминиевых и магниевых сплавов можно принимать кт = 0,75—0,85, а для соединений со спиральными вставками km » 1. Для обеспечения равнопрочностн стержня болта и витков резьба гайки должно быть "о ж 0.47-£ ^(Д Y. (52) d kmaM\ d ) l Величину #u, определяемую из условия равнопрочносги стержня и витков резьбы, называют необходимой высотой гайки. Фактическая высота гайки #>#„• Для резьбовых соединений, воспринимающих значительные статические нагрузки, не следует применять резьбы с отношением диаметра резьбы к шагу у > 15. При мелкой резьбе ( -g- < 15 ] может наступать явление цепного среза, когда разрушение витков идет одно за другим, и равнопрочное™ гайки и болта нельзя достичь даже при очень большой высоте гайки. Для гаек из пластмасс цепной срез возможен при Высоту гайки или длину свинчивания, при которой несущая способность
Прочность при постоянных нагрузках 65 15. Относительная длина завинчивания стальных шпилек в корпус <7В материала шпильки, МПа 400- 500 900—1100 H/d для корпусов из материала дюралюминия 0,8 — 0,9 1,6 — 2,0 силумина 1,4 — 2,0 1,8 — 2,0 * чугуна и бронзы 1,2-1,4 2,0 • * Рекомендуется увеличивать диаметр конца шпильки, ввертываемого в корпус, или применять резьбовую вставку Примечание. ов дюралюминия 360 — 400; силумина 160 — 200; чугуна н бронзы 180 — 250 МПа резьбы наибольшая, называют предельной. Эта длина свинчивания соответствует максимальному числу витков, несущих нагрузку при наличии в резьбе пластических деформаций, и зависит преимущественно от характера распределения нагрузки по виткам, диаметра и шага резьбы, диаметра (радиальной жесткости) гайки. При диаметре гайки D = 3d предельная относительная высота гайки (длина ,95. > (4). - '**■• свинчивания Прн уменьшении диаметра гайки до D = 2d радиальные деформации возрастают и предельная длина свинчивания снижается до ( —г- ) = 1,55-f- 1,6. Предельная несущая способность резьбы по разрушающему усилию может быть определена по формулам (50) или (51), для этого необходимо принять в них Н= НП= \,bd при D = 2d или Яп = 2d при D = 3d. Длину завинчивания шпилек в корпус можно принимать по табл. 15. В большинстве конструкций резьбовые соединения подвержены воздействию изгибающих нагрузок от перекоса опорных поверхностей и др. Болты из высокопрочных сталей с "в > 1300 МПа весьма чувствительны к перекосу опорных поверхностей на 4° и более. Прочность болтов из сталей и титановых сплавов с св < 1200 МПа при нормальной температуре «е снижается даже прн перекосе поверхностей на 8°. Для силовых резьбовых деталей ие следует применять сталь с ударной вязкостью ап < 30 Дж/см2. Чувствительность стальных болтов к перекосу можно понизить повышением температуры отпуска. На практике напряжения изгиба снижают прн помощи технологических (введение жестких допусков на перекос поверхности, биение торца гайки и т. п.) и конструктивных мер (рис. 22). При проектировании резьбовых соединений, работающих в условиях высокой температуры (t Г3= 350 °С), необходимо учитывать ползучесть и длительную прочность. Эксперименты показали, что при повышенных температурах чувствительность к концентрации напряжений для большинства жаропрочных сталей и сплавов резко возрастает. На таких болтах целесообразно изготовлять резьбу с увеличенным радиусом во впадинах. Кроме того, следует уменьшать дополнительные напряжения от изгиба и температурных деформаций. В табл. 16 приведены механические характеристики сталей и сплавов, используемых для изготовления болтов и шпилек, работающих при повышенных температурах. Для изготовления соединений, работающих длительно при температурах до 1000 °С и кратковременно до 1650 °С, используют молибден. Для повышения жаростойкости болты хромируют или покрывают силицидами. 3 Зака/ 40:
66 Резьбовые соединения 16. Механические характеристики, МПа, сталей и сплавов, применяемых для изготовления резьбовых соединений, работающих при высоких температурах Марка материала 1. °С ав °т °{оо °200 °0,2/100 о' 0,2/1000 Область примене ння (до темпера туры. °С) С т а л н 45 38.X А 18Х2Н4ВА 20ХЗМВФ 12Х18Н9Т 4Х12Н8Г8ЧФБ 20 400 540 20 350 20 400 500 20 500 600 20 600 700 20 600 700 610 573 340 710 620 1250 1080 900 900 640 550 660 400 280 1000 600 550 370 230 150 - 1110 980 830 750 51)0 380 250 180 160 700 480 460 - - 860 410 430 330 250 140 750 310 - - - 250 230 120 - - - 700 200 350 - 350 240 65 - - - 90 30 - 300 350 400 500 600 650 Сплавы ХН77ТЮР ВТЗ-1 ВТ9 20 600 700 800 20 400 500 20 400 500 550 1020 94 0 850 560 1000 600 560 1150 850 800 780 660 610 600 460 850 490 4 20 1030 720 660 620 680 420 200 600 ЗьО Ь50 450 660 400 - - 260 280 120 60 * - _ 750 450 550 0.2'10000 30 МПа
Прочность при переменных нагрузках 67 ////////// '/////////А Рис. 22 Конструктивные способы разгрузки резьбы от напряжений изгиба При расчете прочности определяют запасы прочности по пределу ползучести (пП = 1,4—2,5) и по пределу длительной прочности (гсд1 =■ 1,6—4). При низких температурах часто происходит хрупкое разрушение болтов (без заметной пластической деформации). Экспериментальные исследования и опыт эксплуатации машин показали, что болты из углеродистых сталей могут работать длительно до температуры —55 °С Болты соединений, работающих при температурах до —70 °С, следует изготовлять из легированных сталей с ав = 1050—1300 МПа При более низких температурах тяжело- нагруженные болты следует изготовлять из коррозионно-сгойких стачей переходного класса СН-2, СН-2а, ВНС 5 Расчет на прочность резьбовых соединений в условиях понижения температур не отличается от расчета при нормальной температуре. ПРОЧНОСТЬ ПРИ ПЕРЕМЕННЫХ НАГРУЗКАХ На рис 23 показана типичная диаграмма предельных напряжений для резьбовых соединений. 3* На практике переменная внешняя нагрузка изменяется в большинстве случаев по пульсирующему циклу. Напряжения в резьбовой части болта (шпильки) вычисляют по формулам (12) и (13) Запас прочности резьбового соединения по переменным напряжениям «a = ^L, (53) где сгад — предел выносливости соединения, сга — амплитуда переменных напряжений от внешней нагр)зки. По формуле (53) можно определить запас прочности, если напряжение предварительной затяжки а„ > 0,5сгт, так как величина аад при этом условии практически не зависит от среднего напояжения ат При меньших значениях Оа £го\ -0,5 (54) где ат — среднее напряжение цикла.
68 Резьбовые соединения б%%,МПа <?Ц,МПа О 10 W 60 80 бт,МПа 0 200 Ш 600 800ат,МПа а) В) Рис. 23. Дна| раммы предельных напряжений для соединений с накатанной (а) и нарезанной (б) резьбой М10- / — заготовки шпилек термически обрабо1аиы, 2 — готовые шпильки термически обра боганы трации напряжений, можно принимать q = 0,5—0,6 — для углеродистых сталей, q = 0,7-н0,8 — для легированных сталей, жаропрочных и титановых сплавов; аа — теоретический коэффициент концентрации напряжений (см. с. 60); f5K уП — коэффициент конструктивного упрочнения, для соединений стандартным болтом (Зк уп = 1, для соединений типа стяжки и со спиральными вставками f5K уп — 1,5-=- 1,6; Рт. уП —коэффициент техноло- 17. Значения предельной амплитуды а для соединений типа болт—гайка при ат>0'5 °ап Болты н гайки из стали (сплава) 35 45 38ХА ЗОХГСА ЗОХГСА 40Х2МА 13Х11Н2В2МФ ЮХ11Н20ТЗР ВТЗ 1 ВТ9 ВТ1Ь о"в МП 500 — 600 900 — 950 1 100—1200 1200—1300 1600—1700 1600—1700 1050—1150 1100—1200 1100—1200 1150—1250 1150—1250 -1 а 200 250 300 300 400 450 300 300 350 350 350 аад, МПа, д/ я соединений с резьбой нарезанной 45/5S 50/60 65/70 65/75 90/110 90/100 50/65 55/70 45/60 45/60 45/60 накатанной 55'65 65/75 75/85 75/85 — 95/110 60/70 60/70 40/60 40/60 50/70 Примечание В числителе дроби приведены значения пределов выносливости для соединений с болтами, гермообоаботаиными после изготовления резьбы, а в знаменателе — то же, термически обработанными до изготовления резьбы* Значения аад можно принимать по табл. 17 нли вычислять по формуле 0-1 0ад = —г— Рк упРт. ynKrf. (55) где а_! — предел выносливости гладкого образца при растяжении; ka — эффективный коэффициент концентрации напряжения, ка = 1 + q (аа — 1), где q — коэффициент чувствительности материала болта (шпильки) к концен-
Прочность при переменных нагрузках 69 гического упрочнения, р,.уп=1 — для соединений с нарезанной резьбой, а также для соединений из титановых я бериллневых сплавов, (Зт, уп = 1,2-=- 1,3 — для соединений нз сталей и сплавов с накатанной резьбой; Ка — коэффициент, учитывающий влияние масштабного эффекта (рис. 24). Если экспериментальные данные отсутствуют (или для соединений из новых материалов), то аад 1 /" 1 а™ (56) где аад = ka — предел выносливости соединения при симметричном цикле; ст_х — предел выносливости материала болта при симметричном цикле нагружения. Предел выносливости резьбового соединения возрастает на 10—20% при уменьшении модуля упругости материала гайки благодаря улучшению распределения нагрузки между витками (например, в случае применения гаек из дюралюминия или титановых сплавов). Если модуль упругости материала гайки выше, чем у болта, то предел выносливости соединений понизится (ьа 20% в случае свинчивания титановых болтов со стальными гайками). Предел выносливости соединений может быть повышен на 20—50% благодаря применению более совершенных (по распределению нагрузки) гаек (см. рис. 17 и 18). Увеличение радиуса скругления во впадинах резьбы приводит к наиболее значительному повышению предела выносливости соединений (рис. 25). Особенно эффективно применение увеличенных радиусов в резьбе для соединений из титановых и бериллиевых сплавов. Для высокопрочных болтов с ав = = 1050-=-1300 МПа можно применять гайки из низкоуглеродистой стали с ав = 700-=-900 МПа высотой Я = = (1-7-1,2) d. Разрушение резьбовых соединений от усталости может происходить и под головкой болта, если радиус закругления под головкой мал или головка получена методами резания. «d 0,8 06 6x0,75 8*1 10*1,15 12x1,5 d*P Рис. 24. Значения Ki для резьбовых соединений при d/P — 8 У болтов со шлицевой головкой нли с головкой, имеющей внутреннее шестигранное отверстие под ключ, усталостные трещины могут распространяться от места перехода до отверстия. Наряду с разрушениями в первых рабочих витках резьбы и под гг т0вкой нередки усталостные поломки соединений по сбегу резьбы. Для предотвращения таких разрушений необходимо увеличить длину резьбовой части так, чтобы она распространялась под опорную поверхность гайки на 2—3 витка. Существенное влияние на сопротивление усталости резьбовых соединений оказывает технология изготовления резьбы (в особенности режимы накатывания резьбы). Для повышения сопротивления усталости соединений накатывание резьбы целесообразно выполнять при минимально возможной продолжительности процесса, так как в <5ад,МПа во 60 *0 30 20Л [ V 0,2 0,3 R/P Рис. 25. Зависимость о* от относитель- ад ного радиуса скругления во впадинах резьбы Р/Я
70 Резьбовые соединения Рис. 26. Силовая шпилька транспортного дизеля этом случае во впадинах резьбы образуется благоприятная система остаточных напряжений. Накатывание резьбы в «замкнутом контуре» (полное заполнение впадин резьбонакатного инструмента) нецелесообразно. Пример. Рассчитать на прочность силовую шпильку рядного двигателя внутреннего сгорания (рис. 26). Задано давление вспышки р = 8,5 МПа; диаметр цилиндра D -= 180 мм. Определение усилий н предварительный расчет. Уснлне при вспышке 4-180- 4 8,5 = 216 кН. Внешняя нагрузка на одну шпильку 4 216 Внешнее усилие изменяется по отну- левому циклу. В качестве материала шпильки выбираем сталь 40ХН2МА(ав= 1150 МПа; ат= 1050 МПа; а.1р = 440 МПа). Материал гайки — сталь 38ХА. Диаметр резьбы предварительно выбираем по формуле (1). В соответствии с табл. 4 принимаем [а] = 0,15ат = 0,15-1050 = = 157 МПа; „ 54 000 2 Fх > ,g -, = 344 ммг. 1о,/ По табл. 5 находим, что для предварительного расчета можно принять резьбу d = 24 мм. Выбираем резьбу М24Х2, так как она прочнее резьбы М24, и отношение -g- = 12 < 15, что рекомендуется для силовых резьб. Для резьбы М24Х2 Fj = 365 мм2; <fx = 21,546 мм. Выбираем диаметр стержня шпильки dc « di — 21 мм; площадь сечения Fc = 346 мм2. По предварительному чертежу определяем следующие величины: длина растягиваемой части шпильки 1п. мм средняя площадь отсека головки блока, приходящаяся на одну шпильку Flt мм* . высота сжимаемой части головки /,, мм площадь прокладки, приходящаяся на одну шпильку, F2, мм2 толщина прокладки 1г, мм средняя площадь рубашки блока, приходящаяся на одну шпильку, F„ мм» высота блока рубашки /э, мм . . 360 4600 8500 3 2300 278 Напряжение затяжки. Из условия герметичности, в соответствии с формулой (36), выбираем v = = 2,5. Напряжение затяжки при монтаже g(Q) v N .. 2554000 370 МПа. = 54 кН. Усилие затяжки при монтаже <?<,°> = a0Fx = 370-365 = 135 кН.
Прочность при пеоемгнных нагрузках 71 Расчетная нагрузка. Принимаем модули упругости, МПа: шпильки Е0 = 2-Ю5; блока и головки блока (алюминиевый сплав) Ех = Е2 = ^0,72-Ю6; прокладки Es = 0,72 X хю6. Вычисляем коэффициенты податливости, мм/Н: для шпильки Ал —- 5Л 360 10°-346 5,2-10-»; для головки блока *,= h 70 1 f^ 0,72-105-4600 = 0,21 - 10~в; для прокладки Лг ~ E.F, ~ = для блока Лз : 278 0,72-106- 0,72. 0,005- ~ E3F: 2300 3 ■ 106-8500 10"6; э = 1,68-10"6, В рассматриваемом случае к деталям системы болта относятся шпилька и головка блока, к деталям системы корпуса — рубашка блока и прокладка. Коэффициент основной нагрузки Л2 -4- Лз Ха + Xi + -la 4" ^з 0,005+ 1,68 ; 5,2-f 0,21 -f 0,005-f 1.68 0,24. Определим усилие, действующее на Шпильку в результате нагрева системы. Принимаем, что в рабочем состоянии все детали нагреваются на 75 °С. Коэффициент линейного расширения для стали а = 11 ■ Ш_6 1/°С, для алюминиевых сплавов а = 22-10-" 1/°С. По формуле (17) находим з Qt = г=1 з 11) 10"»-360 (22- (5,2 + 0,21+0,005+ 1.68) Ю"9"- = 42 кН. Усилие затяжки в рабочем состоянии <?о = <?о0) + Qt = 135 + 42 = 177 кН Напряжение загяжки иа работающем двигателе П — „(0) _l гг<" — ао — ао + ао — :370 + о 42 000 365 - = 485 МПа. Следовательно, напряжение аатяжки ниже предельного напряжения, которое будет 0,8ат = 0,8-1050 = 840 МПа. Общее усилие на шпильку (? = (?„+ %N = 177 + 0,24-54 = = 190 кН. Напряжения растяжении. В резьбовой части стержня SL- 190-!°3 Fi - 365 а\ = 520 МПа. В стержне шпильки Q 190-10Э ;~ 346 о„ = - = 550 МПа. Напряжения кручення. Момент, закручивающий шпильку при затяжке, находим по формуле (31), принимая /р = 0,2: АГ, 13Б-10,-21'В(зЛ4ТО" + 0,2) : 332-Ю3 Н-мм.
72 Резьбовые соединения Касательные напряжения в нарезанной части стержня тх =■ Ми 332-1О3 0,2d3 0,2 (21,5)3 166 МПа, в стержне шпильки 332-1О3 0,2(21)» = 180 МПа. Проверка стержня болта на скручивание прн затяжке = Уз702-(-3-1662 = = 469 МПа<0,8от, Напряжения затяжкн также не больше допустимых. Приведенные напряжения. В резьбовой части шпнлькн = У5202 + 3-1б62 = 594 МПа В стержне шпильки »с.пр=/°с + 3тс2 = = Т/5502+ 3-1802 = 632 МПа Запас прочности по пластическим деформациям. В резьбовой части (принимая а'т= 1,05ст) Jlnp О, 594 В стержне Jc пр 1050 632 = 1,66. Так как запасы прочности по пластическим деформациям больше 1,3, то их следует признать допустимыми. Запас статической прочности. В резьбовой части (принимая а'в = 1,05ов) "и Jinp 1,05-1150 594 2,05. В стержне шпильки ов 1150 ос. Пр 632 П„ = 1, Эти запасы следует признать удовлетворительными. Необходимая высота гайки. По формуле (44) а «т °вг \ а / Имеем овд = 1115 МПа; овг = = 1050 МПа; х = 1, km = 0,6. Находим Я„ 0,47 1 1115 (£)' d "'" 0,6 1050 Необходимая высота гайки Я = 0,7-24= 17 мм. 0,7. оа = Переменные напряжения в резьбе X N_ 0,24 54 000 Т Fx ~ 1 ЗбТ = 18 МПа. Запас прочности по переменным напряжен и- я м. Для накатанной резьбы нз стали 40ХН2МА по табл. 14 принимаем оад= = ПО МПа. Учитывая отрицательное влияние больших размеров, уменьшаем ааД на 30%, получаем 77 МПа. Так как напряжение затяжки о„ х « 0,5от, то запас по переменным напряжениям п„ = JaR 77 = -£ = 4,25. са 18 Такой запас достаточен. Так как первоначально выбранные размеры обеспечивают необходимые запасы прочности, то расчет резьбового соединения шпильки н гайки на этом заканчиваем.
Упрощенный расчет 73 Глава 4 ФЛАНЦЕВЫЕ СОЕДИНЕНИЯ ТИПЫ ФЛАНЦЕВЫХ СОЕДИНЕНИЙ Фланцевые соединения можно подразделить на два основных типа: с неконтактирующнми фланцами (рис. \, а) и с контактирующими флан цами (рис. 1, б). Наиболее распростра нен первый тип соединения (трубопроводы, сосуды и аппараты и т. п.) Соединения с контактирующими флан цами часто применяют в конструкциях, не требующих полной герметизации стыка (фланцы корпусов машин, редукторов и т. п.) Получили распространение фланцевые соединения с контактирующими стыками и с самоуплотняющимися прокладками, обеспечивающие герметичность. Такие соединения имеют меньшие габариты по сравнению с соединениями первого типа, но более сложны прн изготовлении и монтаже. Применяют свободные фланцы (рис. 2), а также фланцы, изготовленные вместе с трубой (корпусом) или присоединенные к трубе с помощью 17 О Рис. 1. Типы фланцевых соединений Рис. 2. Накидные (свободные) фланцы сварки, резьбы, развальцовки нли заклепок (рис. 3). Некоторые виды фланцевых соединений стандартизованы. Прокладки выполняют в виде плоского листа из паронита, картона, резины, фибры, фторопласта, меди и мягкой стали; применяют асбесто- металлические прокладки, металлические гофрированные и зубчатые, металлические линзовые прокладки и др. Во фланцевых соединениях с контактирующими фланцами используют самоуплотняющиеся прокладки в виде резиновых или металлических колец. УПРОЩЕННЫЙ РАСЧЕТ Расчет выполняют при предварительном выборе размеров и для проверки прочности неответственных фланцевых соединении. Расчет соединений с неконтактирующнми фланцами. Расчетное усилие, действующее на болты (рис 4), определяют по формуле QC = *."D-" 4 С) где Dcp. п — средний диаметр прокладки, мм; р — рабочее давление среды, МПа. Рис. 3. Способы соединения фланца и трубы
74 Фланцевые соединения Рис. 4. К расчету фланцевых соединений с иеконтактнрующими фланцами Коэффициент затяжки k: мягкие прокладки . . мягкие прокладки в металлических оболочках и металлические фасонные прикладки . . плоские металлические прокладки . 1.5-2,5 2,5 — 3,Ь 3.0 — 4,5 Условие прочности фланцевых бол тов: „_ 40с ZJTdf <0,6от (2) где г — число болтов; dt — внутренний диаметр резьбы болта; стт — предел текучести материала болта с учетом рабочей температуры. Число болтов для обеспечения более равномерной затяжки стыка часто выбирают кратным четырем (г = 4, 8, 12, 16). Расстояние между осями болтов (шаг болтов) обычно принимают при малых давлениях (р ^ 1 МПа) t = = (5-ь7) d, при больших давлениях (р > 3 МПа) t = (2,5т-4) d. Опасным сечением при расчете на прочность фланца обычно является место перехода от фланца к трубе1 (сечение АВ на рис. 4). Изгибающий мгмечт в этом сечении (на единицу длины) «i-Ч-^. (3) 1 Предполагается, что h> Si. Уклон конического >частка принну ют равным 1/1 (реже 1/4). где т] ^ 1 — коэффициент, учитывающий, что часть момента воспринимается поворотной деформацией фланца; /х — расстояние от центра сечения АВ до оси болта; Dx — средний диаметр трубы в сечении АВ. Если коническая втулка (или труба) очень жесткая по отношению к фланцу и сечение АВ не поворачивается, то г\ = 1. Значение ц можно определить по приближенной формуле (вывод см. с. 85): 1 + 0,82 V. «ср / у ггр ig «ср = -к («1 + «) — средняя Чз D (4) где scp = -jj- (Sj -+- s) — средняя толщина трубы на коническом участке; гТр — средний радиус трубы; DH и D — соответственно наружный и внутренний диаметры фланца. Значения т|, вычисленные по формуле (4), приведены в табл. 1. Напряжения изгиба в опасном сечении фланца (сечение АВ) ем,. 6г|С?Л n(D+Si)s т<0,6ов, (5) где ов — предел прочности материала фланца (при высокой температуре под ов следует понимать предел длительной прочности). Из формулы (5) следует, что для снижения напряжений во фланцах целесообразно: а) приближать оси болтов к трубе (уменьшать /i); б) увеличивать толщину трубы в месте перехода к фланцу (размер sx). Однако при большой конусности (1:2) упрочнение получается чисто местным и максимум напряжений сдвигается к более тонкому сечению трубы. Расчет соединений с иеконтактнрующими свободными фланцами. Суммарное усилие на болты Qc (рис. 5) определяют из равенства (1); условие прочности болтов выражается формулой (2). При расчете на прочность фланца принимается, что фланец испытывает поворотную деформацию и в нем возникают окружные напряжения.
Упрощенный расчет 75 —' t- -* О Ш (Г) CD СП ССГ^ОЮ^СОС^О О О О О* О О О О OOCOcoOt--t--CD CNCO— M — NCO — 0СГ-.[--сОЮСО<М—■ ooco'dddd Ю -в" СО ^£> 0> L-O — 00 00 00 t~- Х> i^ "* <М — оооооооо <х>ст>ст>ст>смоосчст> — QO-tJ-OOOr-- — СЧ оооооооо Рнс. 5. К расчету ф'ланцевых соединений со свободными фланцами I — Г- <Г> СО О <N CT> t- CT>CT>o>oocct--<x>co о do о о odd О Ю tO ■-}■ -^ СС — О а л о го со о ■* й 00СССС[--<Г)ЮСО — doddddo*o [--сОСОоОсОоОсОоО Ot--CO:^;f-4*'00O СО 0О СО t- <Х> Ю СО СЧ боооообо ос со ос "* со <х> — ао МОО- СО — 1-OlC CJCocooof-co-^cN ddoo'dddo сОСЧООС^-в'еО-в'СЧ Ю-W — C30<NCOC30t~- ocj>a-aoaot--ir;co dddddddd OCOW'OiNO^NOl сэ с с; со ст. ос г-- ю oddddddd CCOCiOiOtOiDO ■V IN О (D СП Ol CO M aOiClODN^lOfO oddddddd CD —' t-^ — c^ О —'СП no -»+• — со еч со aO c£> ст. cx> av oo oo t-- л со dddddddd ^LOcOOCCC^tO СТ>0>С^0>с0[--сОч*< dddddddd O^^COtOOMO асг-^^С"* — cms Ф О" О) О (X CO N Ю о d> о о di cS c~i c~> — 0C CN -tj- CT> — ■* Г-- OlCClBNiOrON^' а- г- а о en о cc s dddddddd OCftCONtDW^fO - о о о о о о* о Условие прочности фланца: n 6QC(DG~DX) яОр/i2 In _0h Op = 0,83 <0,7cT, (6) где Dg — диаметр окружности осей болтов; Di — средний диаметр кольцевой площадки контакта фланца и трубы; DB — внутренний диаметр фланца толщиной А; ог — предел текучести материала с учетом температуры фланца. Расчет соединений с контактирующими фланцами. Расчетное суммарное усилие для фланцевых болтов (рис. 6) определяют из условия Qc = * nDl h + U (7) где k — коэффициент затяжки, обычно принимают &= 1,5-^2,5; Dv — диаметр уплотнения, мм; р — рабочее давление среды, МПа; /х — расстояние от средней окружности трубы до окружности осей болтов; 1г — расстояние от наружной окружности фланца до окружности осей болтов. Формула (7) учитывает, что в предельном состоянии раскрытие стыка происходит при повороте относительно точки Oj. Условие прочности фланцевых болтов 4QC znd\ <(0,6 ч- 0,8) ог,
76 Фланцевые соединения Рис. 6. К расчету фланцевых соединений с контактирующими фланцами где z—число болтов в соединении; d3 — внутренний диаметр резьбы болта При расчете на прочность фланец рассматривают как стержень, заделанный в сечении АВ (рис. 6) и упруго- связанный с трубой. Изгибающий момент в сечении АВ М = цР1и (8) TiDl где Р = —— р — внешнее усилие, действующее на фланцевое соединение; г) — коэффициент уменьшения изгибающего момента (0,5 ^ ц ^ 1) за счет упругой связи фланца и трубы. Если труба очень жесткая (по отношению к фланцу), то т| = 0,5, для тонкой трубы т) ~ 1. Значения г\ вычисляют по приближенной формуле (вывод см. с. 87); ч=Ш- (9) где X = 0 72 */^ ( Н V лГ>б ~ ZC к \ scp / я^тр (10) scp = -„- (si + s) — средняя толщина трубы; с — диаметр отверстия под болт. В приближенных расчетах можно принимать т| ~ 0,8-^1. Напряжение изгиба во фланце (в сечении АВ) должно быть °и-(яВб6-2С)^<0'6О-(") где z — число болтов. Изгибающий момент в сечении LN трубы /Их =(1-4)^1 = = (l-l)-TJiP'i- (12) Напряжения изгиба в этом сечении должны удовлетворять условию °и = -^гт<0,6ов (13) В формулах (11) и (13) ов — предел прочности материала фланца с учетом рабочей температуры и длительности работы. УТОЧНЕННЫЙ РАСЧЕТ СОЕДИНЕНИЙ С НЕКОНТАКТИРУЮЩИМИ ФЛАНЦАМИ В соединениях этого вида уплотнение создается сжатием прокладки фланцевыми болтами. Усилие уплотнения, необходимое для герметичности стыка. Это усилие на прокладку должно оставаться на стыке в рабочих условиях для обеспечения герметичности. Плоские прокладки. Усилие уплотнения определяют по формуле Руп = nDcp nbq0, (14) где Dcp. п — средний диаметр прокладки, мм; Ь — ширина прокладки, мм; <?о — давление на контактных поверхностях прокладки, МПа; обычно принимают q = тр (здесь т — про - кладочный коэффициент1, мм, см. 1 В стандартном американском методе расчета используют приблизительно в 2 раза большие значения т. ио оии соответствуют удвоенному усилию уплотнения
Расчет соединений с неконтактирующими фланцами 11 2. Значения qQ для плоских прокладок Материал прокладки Резина Паронит фторопласт 4 Фибра Свинец р, МПа До 3 Св 3 до 10 - До 10 Св 10 до 15 До 15 - Среда - Нормальной проникающей способности Повышенной проникающей способности (водород, гелий н др ) Жидкая Газообразная - q0, МПа 1,5 + 1,7р 4,5 + 0.7р Ю + р 35 1 + р Со mln = 4 + Р 4 + р 4) 40 7 3. Рекомендуемые значения толщины Л- и ширины Ь плоских прокладок и их применение Материал прокладки Резнна Паронит Фторопласт-4 Фибра Алюминий Медь Мягкая сталь Сталь типа 12Х18Н9Т ftn, мм 1-3 1—3 0.8 — 0.9 1-3 1-2 Ъ, им ь a. ihn 12 — 20 10 8—12 8—16 Применение р. МПа (не более) 10 15 20 15 50 70 70 100 Температ>ра, °С От —30 до +60 До 400 От —73 До +250 До 100 > 250 >350 » 400 >600 Примечание Максимальный зазор между уплотнителями поверхности фланцев (без прокладок) не должен превышать 0,15 номинальной толщины прокладки табл. 4; р—давление среды, МПа). При увеличении давления среды р Давление уплотнения должно возрастать, при уменьшении — снижаться. Однако давление уплотнения q0 не должно быть меньше некоторого минимального значения <7omin- ПРИ котором еЩе не нарушается герметичность; значения q„ mln приведены в табл.4. Значения q0 для плоских прокладок приведены в табл. 2. Рекомендуемые значения толщины и ширины плоских прокладок приведены в табл. 3 Фасонные прокладки. Для плоской рифленой прокладки (рис. 7) можно принимать значения т и <70т1п по табл.4, уменьшенные на 20%. По данным работы [1], при толщине прокладки Лп = 3 мм принимают Ьт = 3 l/г, мм, где г — число гребешков.
78 Фланцевые соединения 4. Приближенные значения прокладочного коэффициента т, минимального давления уплотнения q давления обжатия £0дж. допускаемого давления [q] и модуля упругости плоских прокладок из различных материалов Форма н материал прокладки 4omin <7обж М Еп' 10' МПа Плоская прокладка, материал прокладки резиновый лист мягкая резина с тканевой прослойкой или лист из твердой резины твердая резина с тканевой прослойкой пароиит или прессованный асбест фторопласт-4 фибра асбест, армированный проволочной сет- кон мягкий алюминий мягкая медь мягкая сталь сталь типа 15Х5М сталь типа 12Х18Н9Т Гофрированная оболочка с асбестовым на полнителем, материал оболочки медь или алюминий углеродистая нли коррозионно стойкая сталь Гладкая оболочка с асбестовым наполнителем, материал оболочки алюминий или медь мягкая сталь моиель сталь типа 1 >\18Н9Т 1.2 1.6 1.4 1 4 1.4 2 2.4 2,7 3 3.2 1.5 1.6 1,6 1.7 2,5 3,5 4,5 10 4 40 10 50 70 80 90 100 20 25 25 28 30 3,5 5 7 32 10 50 30 100 160 250 350 400 42 50 50 55 65 18 20 20 ПО 40 80 120 140 200 350 550 600 ПО 130 120 130 140 0.4- 10-' X 0 03 0,02 0,07 0,03 0,7 1,1 2 2 2 0.04 0,0 5 0.05 0,06 0,06 Примечания 1 При уплотнении воздуха илн пара значения т и q . должны быть увеличены в 1,8 раза, прн уплотнении сред с высокой проникающей способ ностью (подород гелий и т п ) — в 2 5 раза 2 Обозначения Ь — ширина и hn — толщина прокладки Для прокладки круглого сечения между двумя плоскими поверхностями фланцев можно принять в деформированном состоянии Ь яа 2d и расчет усилия проводить по формуле (14) при значениях т и qomn, указанных в табл 4. Для металлических прокладок овального и восьмиугольного сечения, проложенных в кольцевом пазу, принимают Ь = —— d 4 Линзовые прокладки (рис. 8). Их применяют для ответственных фланцевых соединений (обычно при р ^ < 100 МПа и f < 900 "С). Для лучших условий контакта твердость материала линзы должна быть несколько меньше, чем материал тру- линзу, и усилие уплотнения вязаны соотношением Nyn cos (a + р) уп уп (15) cosp где р — угол трения (tg p — f; здесь f — коэффициент трения; часто принимают / =г 0,15; р = 8°30'). Угол а составляет обычно 20—30°. Нормальное усилие, необходимое для уплотнения, N = nD^jn, (16) где <7уп — нагрузка на единицу длины контактной линии. Значения qyn можно выбирать следующими (давление среды р ^ 75 МПа): бы. Усилие N уп, действующее на чуп мм Н/мм 50, 100, 200 300, 400, 500
Расчет соединений с иеконтактирующими фланцами 79 Phl. 7. Сечение рифленой прокладки Рис. 8. Фланцевые соединения с линзовыми прокладками: а — конструктивная схема, б — усилие в зоне контакта флаица и лничы Величину дуП можно определить исходя из равенства контактных напряжений пределу текучести материала линзы для создания герметичности. На основании теории контактных деформаций (контакт цилиндра и полуплоскости) ак — аг = 0,42 (17) где о- и £ — предел текучести и модуль упругости материала линзы; R — радиус кривизны контактирующей поверхности линзы. Ширина полоски контакта 6 = 4? Из формулы (17) получаем следующее равенство: a2rR ?уп = 5,7-1-. (18) Например, при от = 600 МПа; R = = 50 мм; £== 2-106МПа ,yn = 5Ji^=5.0H/H, Увеличение qyn при возрастании R объясняется необходимостью увеличении усилий для создания контактных напряжений, равных сгт. Усилие обжатия и допустимые давления для прокладки. Для обеспечения герметичности стыка прокладка должна быть предварительно обжата под определенным давлением (для устранения неплотности прилегания). Необходимое усилие обжатия ^обж =-я£)ср-п*9обж. (19) где Dcp. п — средний диаметр прокладки; Ь — ширина прокладки; <7обж — давление на прокладку для ее обжатия. Однако при очень больших давлениях на прокладку возможно ее расплющивание, образование трещин и т. п. Давление на прокладку должно быть меньше допустимого q ^ [q]. Значения q0$m и [q] для плоских прокладок см. табл. 4. Для плоских рифленых прокладок значения q06rh и [q\ могут быть приняты на 20% меньше указанных в таол. 4. Для круглых прокладок можно использовать значения табл. 4, если давления относить к ширине прокладки Ь ~Ы. Для линзовых прокладок принимают давление (в МПа) <70бж — <7уп- Допустимое значение давления (в Н/мм) по формуле = 0,9ав (18) при ак [■7] =5,7 (0,9рв 4,6- о« Силовая схема фланцевого соединения с иеконтактирующими фланцами.
Фланцевые соединения Рис. 9. Схема фланцевого соединения с не- контактнрующнми фланцами: а — конструктивная схема и усилия, б — силовая схема при действии осевой на* грутки, / — фланец. 2 — труба, 3 — прокладка Фланцевое соединение рассчитывают по схеме, показанной на рис 9. Изгиб- ной жесткостью болтов пренебрегают. Фланцы относят к системе болта, трубу и прокладку — к системе корпуса На соединение действует внешнее усилие Я = Ятр + Яф = nDi (20) В приближенных расчетах диаметр уплотнения обычно принимают "к = DCp, n. Полное усилие, действующее на болты, 0б = О.+ хЛ (21) где Q0 — предварительное усилие на болты до приложения внешней нагрузки (суммарное усилие затяжки); х = Коэффициент осевой нагрузки ЛП I "Тр Лб + Аф + Лп •+ ^тр где кп, А,тр, Я,д, Хф — коэффициенты податливости прокладки, трубы, болтов и фланцев, мм/Н. Коэффициент осевой нагрузки изменяется в пределах 0<Xi<l- В приближенных расчетах можно принимать: при металлических прокладках Xi = 0,1-7-0,3; при мягких прокладках (исключая резиновые) уЛ = = 0,2 — 0,4; при резиновых Xi =-= 0,6-i-l. Коэффициент внутреннего давления Ъ- ч (23) Лб + Аф •+ Ап •+ Атр где Л! — коэффициент податливости фланца, связанный с радиальной деформацией стенок трубы. Эта деформация вызывает поворот тарелок фланцев и уменьшает нагрузку на фланцевые болты. В приближенных расчетах можно принимать Х2 = 0,3 Обычно х2 = 0,1-7-0,3 Приближенная формула для усилия на болты в рабочих условиях Об =* Со- (24) Определение коэффициентов податливости. Коэффициент податливости болтов /б + 0,3d Аб = с шР ' <25) г£б — где /g — расчетная длина болта; d — диаметр стержня болта; z — число болтов; Eq — модуль упругости материала болта (с учетом температуры). Увеличением длины на 0,3d приближенно учитывается податливость витков резьбы. Коэффициент податливости прокладки Аа~ EunDcp.ub ' где Еп — модуль упругости материала прокладки (см табл 2). Коэффициент податливости трубы , ., -"б — /-п Коэффициент податливости фланцев при действии осевой нагрузки опреде-
Расчет соединений с неконтактирующими фланцами 81 ляют с учетом поворотной деформации фланца и изгиба связанной с ним цилиндрической оболочки (трубы). Если угол поворота фланца под действием усилия Q составляет фф, то коэффициент податливости (для двух фланцев) Ч = г -Q- • На основании решения, изложенного иа с. 85, *? (1-1) Аф= 1,6 Eh4g^ (26) Значения ц приведены в табл. !. При высокой температуре (/> > 300 °С) следует учитывать уменьшение модуля упругости. Коэффициент податливости фланцев при действии внутреннего давления на основании решения, изложенного на с. 85 (для двух фланцев), *; = D тр Di 0.8(1 -п) scp'i E*\g^ (27) Усилие на прокладке. После приложения внешней нагрузки усилие на прокладке уменьшается до /?п = р0 — (1 —х) Р. (28) Усилие затяжки фланцевых болтов. Усилие затяжки болтов должно обеспечивать герметичность соединения. Исходя из равенства (28), получим Q->>V~1)P+Pyn. (29) где Руп — усилие на прокладку, необходимое для герметичности стыка. Усилие затяжкн для обеспечения герметичности при рабочих условиях выбирают с некоторым запасом на потерю затяжки 1: Q0>k ^(1_X) fJLp + Pyn (30) 1 В приближенных расчетах температурное усилие не учитывают, что идет в запас прочности При действии внешнего Изгибающего момента М к величине Р 1 « Л/ * Добавляется слагаемое 1 М где р — наибольшее давление среды в рабочих условиях (рабочее давление); k = 1,0-И,4 — коэффициент, большие значения которого принимают для металлических прокладок и для прокладок, подвергающихся действию повторных нагрузок при повышенных температурах. Для резиновых прокладок k = 1. Для обеспечения условий герметичности при гидравлических испытаниях усилие затяжки болтов nDL п Q0 > ( 1 - X) -~^ РпрОб + Рул. (31) где рпрос — давление при гидравлических испытаниях (пробное давление). Величина рПроб устанавливается техническими условиями и составляет обычно (1,1—1,5) р. Усилие затяжки должно быть больше необходимого усилия обжатия Оо > Робж- (32) При выборе усилия затяжки рассматривают все три условия (30)—(32) и принимают наибольшее значение <?0- Однако выбранное значение Q должно удовлетворять условию прочности прокладок. Давление на прокладку <? = Qt <[?]. (33) ср- п яОср. иЬ где [q] — допускаемое давление иа прокладку (см. табл. 4). Температурное усилие = (<Уф — «б'с) /б ^б + Л.ф + ^п + ^тр где «ф, /ф и «fi, /б — коэффициенты линейного расширения и температуры материала фланца и болтов соответственно. Коэффициенты податливости в формуле (34) определяют из соотношений (25)-(27). Разность температур болтов и фланца обычно составляет 10—15 °С при температуре среды 300—400 °С и 15— 20 °С при температуре среды 400— 500 °С. Разность температур в момент прогрева следует принимать в 3—4 раза большей.
82 Фланцевые соединения Расчет на прочность фланцевых болтов. Суммарное усилие, действующее на фланцевые болты в рабочих условиях, 06 = <?0 + Qt + %Р. (35) Усилие при монтаже Q0 должно удовлетворять условиям (30)—(33). Условие прочности фланцевых болтов а = 1Щ < <0,6 + 0>9) ат" <36) При воздействии высокой температуры расчет проводят иа длительную прочность. Запас длительной прочности в болте определяют из равенства •>вдл 'ДЛ (37) где оъ дл — предел длительной прочности материала болта при рабочей температуре за время работы конструкции; пдл = 1,5+2,5, При различных режимах работы конструкции определение запаса прочности указано в гл. 2. Прочность фланцевых болтов должна быть проверена при гидравлических испытаниях н для режима прогрева. Напряжение в болтах при гидравлической опрессовке 4(Qo + %Pnpo6) глй\ (38) Напряжении в болтах при прогреве определяют по формуле (36), причем значение Qt соответствует иестационар- м2/ ц / . м< . 1 Рис. 10. Напряжения во фланце ному температурному режиму. Принимают, что СГ| соответствует максимальной температуре 1. Расчет на прочность фланцев. Напряжения изгиба в трубе в месте присоединения к фланцу (сечение АВ на рис. !0) определяют по формуле (5)*. В самом фланце возникают окружные напряжения (см. гл. 19) jokp = Е Щ (39) где ф — угол поворота фланца; у н г — радиальная и осевая координаты рассчитываемой точки Угол поворота фланца (см. гл. 19) <?<Л 2я ОИ1» Учитывая равенство (3), находим Qc/t 1-т) ф: 2я Eh3 12 Ъ В удовлетворительно работающих фланцевых соединениях Ф°<^(ф< 0,013). 1 При высокой температуре и большей длительности работы предел длительной прочности часто меньше предела текучести при той же температуре. * В приближенных расчетах часто принимают I = —- {Dq — DA.
Напряженное состояние фланца и трубы 83 В точке В (см. рис. 10) в двух взаимно перпендикулярных площадках действуют сжимающее аи и растягивающее аокр напряжения. Наибольшее окружное напряжение во фланцах будет в точке В: Оовд-0.83 MiL^Ul. (40) Приведенное напряжение <ГПр = ]А„ + °окр + анаокр <0,8ав, (41) < где 0П — предел прочности материала с учетом температуры и длительности работы В равенстве (41) напряжения 0И и а0цр вычисляют по формулам (38) и (40). Условие (41) обеспечивает запас по напряжениям ■>!,25. -Tip (42) Прь большой конусности трубы > 1 : 2 н в трубах больших диаметров может оказаться опасным сечение в месте перехода от цилиндрической части к конической. Изгибающий момент в сечении х (см. гл 24) М (х) = Мхй~^х cos px, где коэффициент 1.28 V scp'Tp (43) (44) здесь координату х см. на рис. 10; scp = -n- («1 + s) — средняя толщина конического участка; гТ-$ — средний раднус трубы Напряжения изгиба в сеченин А2В2 а„ = 6М. я0^е cosp'4' (45) где /4 — длина конической части трубы. Окружное напряжение в этом сечении Оокр = Р ~ • (46) Прочность оценивают по уравнению (41). Если р/4>3,5, то прочность сечения АгВ2 обеспечивается, так как изгибающий момент быстро затухает. Кроме определения запаса прочности по напряжениям целесообразно рассчитывать запас по разрушающей нагрузке. Разрушающее усилие при кратковременном воздействии внешних нагрузок (см. с. 86). •гразр Ь2 я (2ав -)- ат) h 3 X x[-j-(Dh-D-2C) + -1DiJ, (47) причем ав и 0Т определяют с учетом температуры Для длительного действия нагрузки ->в дл ■сразр- дл гразр (48) где ав дт н ав — пределы длительной кратковременной прочности материала фланца прн рабочей температуре. Запас прочности фланца по разрушающей нагрузке "разр = 7j . (49) Vc где Qc — осевая нагрузка на фланец в рабочих условиях (суммарная нагрузка на болты). Запас по разрушающей нагрузке в удовлетворительно работающих соединениях Пра3р > 2. НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ ФЛАНЦА И ТРУБЫ1 Расчетная схема соединения с некон- тактирующимн фланцами. Рассмотрим упрощенную схему фланцевого соеди- 1 Здесь приведено обоснование расчетных зависимостей, используемых при расчете на прочность фланцевых соединений.
84 Фланцевые соединения Рис. ! 1 Расчетная схема соединения с не- коитактирующнми фланцами нении (рис. 11) Трубу заменяем цилиндрической оболочкой постоянной толщины, фланец рассматриваем как кольцо (см гл 19) х Такую расчетную схему можно использовать для фланцевых соединений с неконтактнрующнмн фланцами Кольцо считаем жестким в радиальном направлении, влиянием перерезывающих усилий в месте соединения фланца и трубы пренебрегаем. Коэффициент т) Неизвестный (распределенный) момент находят нз условия равенства угла поворота фланца и трубы в месте сопряжения (рис. 12) Используя решения для длинной цилиндрической оболочки (см гл 24), найдем угол поворота оболочки от действии изгибающего момента Мг (при \х = 0,3). 4>Mi Mi 2PD 4,25 М, > 1,28 Es* 'V^ 12-0,91 MiV' тр° £s3 (50) 1 В гл 19 уизаны области применения теории колец вм сто более сложной теорнн круглых пласту н ф*) м, м, ттгпттттт р Рис, 12 Условие совместности деформаций фланца и трубы Угол поворота от действия давления возникает потому, что радиальному перемещению стенок трубы JOKp'Tp Р'тр Es (51) препятствует кольцо. Угол поворота (см гл. 24) Фр = Р Ргтр _ 1,28 Ргтр Е& ' тр-3 Если учесть, что ьследствие действия осевых напряжений Р'тр 2s радиальное перемещение оболочки V<VtP то суммарный угол поворота Фр+о* 1,28 Р^тр 1,03 рг\ тр Es ~]/rTps (52) Угол поворота кольца от действия распределенного усилия по окружности болтов (см. гл. 19) фдб М Eh* DH" -TFlnD" Уб~?тр^р 12 D о Eh* i °я' (53) где /! = 'б — rTp = -^-(De — DTp) — плечо осевой силы. Угол поворота кольца от действия распределенного момента <Рлг 1 = 'тр Mt Eh» DH ' -W[n7> (54)
Напряженное состояние фланца и трубы 85 Приравнивая углы поворота фланца и трубы Ф^ + чДО.'-ФЙГ' + Фр-*я. находим Qc'! Eh* ,„Dn 1,03 рг тр 2я М, 12 D Es~\/f ,25 £s3 ' тр Eh* D„ (55) Второй члеи в числителе формулы (55) выражает действие внутреннего давления. Оно уменьшает изгибающий момент Мг, что идет в запас прочности; этим членом можно пренебречь. Теперь представим равенство (55) в виде Мг- „Оск '2ягтр' (56) где ••■Чт)'/£*£ + (57) Коэффициент податливости фланца при действии осевой нагрузки. На фланец действует суммарное осевое усилие Qc, вызывающее смещение точки В1 относительно At на величину Д (см. рис. 11). Коэффициент податливости и угол поворота фланца будут (58) х = %г6- д Qc r -?тр Eh3 Qc ' rlp-M ,nD« гтр 12 D Qc'i(i-n) 2я -J2-In D" (59) Рис. 13, К определению разрушающей нагрузки Внося значение ф в равенство (58), получим /?(1-Л) А = i=-£/,..2,301g^ = 0,83 № lg ^ ' (60) Коэффициент податливости фланца при действии внутреннего давления. Из формулы (55) при Qc = 0 nDL s М1 = ~р~IB 0,077 -—(1 -т)). 4 rTp (6!) Уменьшение расстояния по оси болтов Mtr-rplx А = ^= Eh3 , DH • <62> 12 D Коэффициент податливости, отнесенный к силе Р, D, ТР с* 0,4(1 —л) s/i Wlg^ (63) Разрушающая нагрузка. При определении разрушающей нагрузки фланец рассматривают как кольцо прямоугольного сечения с учетом ослаблений от отверстий (рис. !3).
86 Фланцевые соединения Рнс. 14. Распределение напряжений во фланце при разрушающей нагрузке Предполагается, что в поперечном сечении кольца и в сечении АВ одновременно возникает предельное распределение напряжений (см. гл. !7). Предельный изгибающий момент в поперечном сечении кольца (рис. 14) М (Е!м ■ D Г Л2 , , с I X -от)-^- ]- (2ав + ат (64) где с — диаметр отверстия под болт; 0В и от — пределы прочности и текучести материала фланца. Предельный изгибающий момент в сечении АВ трубы (на единицу длины) 1 ov? , (crB— aT)sf М 1 разр — — sf 2aB 4- gT 4 3 Из условия равновесия Qpa3p'i 1 ~~2я 2 М = - ОгМ 1 разр (65) (66) 1 При более точном выводе следует рассмотреть возможность образования пластическою шарнира в других сечениях конического участка трубы и учесть влияние растягивающего усилия в сеченни Рис. 15. Расчетная схема фланцевого соединения с контактирующими фланцами Из равенств (64) и (65) получаем формулу для разрушающего усилия при поворотной деформации фланца: _ л 2ов + ог чразр — ~~, 5 * К 4 (DH-D-2c) + -± (67) Расчетная схема для соединения с контактирующими фланцами. В приближенном расчете фланцевого соединения с контактирующими фланцами предполагают, что на окружности болтов имеется заделка фланцев (рис. 15). Фланец следует считать кольцевой пластиной, но при наличии заделки и при гг-~> 0,5 можно пренебречь влияли нием кольцевых напряжений и рассматривать фланец как стержень-полоску. Изгибающий момент. Угол поворота фланца в сечении на расстоянии 1Х от заделки под действием усилия Р и момента Mi Ф = p[i 2пг7рМ111 2EJ EJ где момент инерции сечения . (лОд — гс) h3 J ~ 12 ' nDi (68) (69) р — В равенствах (68), (69) Р = внешнее осевое усилие, действующее на фланцевое соединение; Мг — изгибающий момент на единицу средней окружности трубы; г — число болтов.
Шпоночные соединения 87 Угол поворота цилиндрической оболочки определяют из формул (50) и (52): s' Es ~[/rTpS (70) Приравнивая выражения (68) и (70), находим Ф = 4,25- РЦ 2EJ 1,03 рг. тр Мх = Es V rTps 2лгтр/ v> (71) тр° -ЁГ + ^-Ё? В приближенных расчетах, пренебрегая влиянием внутреннего давления в трубе на изменения угла поворота, получим Ptl -!— (72) М, = где я£)тр 2 +Л' А=0,72- VrTps i h \з (яОб —zc) / \ з) nD тр (73) Напряжения изгиба в стенке трубы "и = ~^г" • (74) Изгибающий момент в заделанном сечении фланца М — Pll — nD^vMl-. Pit 2 + Х = ЦР1„ (75) где Л = 2 + X' Напряжения изгиба во фланце °я ~ (nD5 — zc)h> * (76) (77) Разрушающее усилие. Предельное значение изгибающего момента в заделанном сечении фланца Мразр = (л£>б — гс) 2ов + о г h2 (78) Предельное значение изгибающего момента в трубе Л*1 разр : 3 4 Из условия равновесия (79) Л! разр разр к — я^тр ^i разр (80) Учитывая равенства (78) и (79), найдем разрушающее осевое усилие 2о„ разр X Г пг sa "1 X I (л£>б — гс) — + лО гр — J . (81) Глава 5 ШПОНОЧНЫЕ И ШЛИЦЕВЫЕ СОЕДИНЕНИЯ Шпоночные соединения В машиностроении применяют не- напряженные соединения (с помощью пРизматических и сегментных шпонок, Рис. 1) и напряженные соединения (с помощью клиновых шпонок). Шпонки этих типов стандартизованы, их Размеры выбирают по ГОСТам. Основной недостаток соединений — отсутствие взаимозаменяемости и, как следствие, необходимость ручной пригонки или подбора. Наибольшее применение имеют соединения с призматическими шпонками. Такие соединения в сравнении с напряженными более технологичны (легкий монтаж и демонтаж) и обеспе-
88 Шпоночные и шлицезые соединения Рпс. 1. Основные типы шпоночных соединений: а — с призматической шпоикоЙ, б — с сегментной шпонкой 1. Шпонки призматические обыкновенные (по ГОСТ 23360 — 78). Размеры, мм Диаметр вала d От 6 до 8 Св 8 > 10 > 10 » 12 Св 12 до 17 » 17 » 22 Св 22 до 30 » 30 » 38 » 38 » 44 Св 44 до 50 > 50 » 58 » 58 » 65 Св 65 до 75 > 75 » 85 > 85 » 95 > 95 » ПО » ПО » 130 Св 130 до 150 » 150 » 170 » 170 » 200 Ширина шпонкн Ь 2 3 4 5 6 8 10 12 14 16 18 20 22 25 28 32 36 40 45 Высота шпонки h 2 3 4 5 6 7 8 8 9 10 Н 12 14 14 16 18 20 22 25 Глубина паза на валу tt 1,2 1,8 2,5 3 3,5 4 5 5,5 6 7 7,5 9 10 11 12 13 15 Длина шпонки 1 От 6 до 20 » 6 » 36 » 8 » 45 От 10 до 56 » 14 » 70 От 18 До 90 * 22 » 110 > 28 » 140 От 36 до 160 » 45 » 180 » 50 » 200 От 56 до 220 » 63 » 250 » 70 » 280 » 80 » 320 » 90 » 360 От 100 до 400 » 100 » 400 » ПО » 450 чнвают лучшее центрирование деталей г. Призматические шпонки имеют прямоугольное сечение с отношением высоты к ширине от -г- — ! (для валов малых диаметров) до -г- — 0,5 (для 1 Во многих случаях посадку детален на вал осуществляют с натягом валов больших диаметров, табл. !)• Глубина врезания шпонки в вал составляет tx да 0,6Л. Рабочими у призматических шпонок ивляются боковые узкие грани. В радиальном направлении предусмотрен зазор. В ответственных шпоночных соединениях сопряжения дна паза с боковыми сторонами выполняются по радиусу. Материал шпонок — чисто-
Шпоночные соединения 89 2. Допускаемые напряжения смятия а , МПа, для шпоночных соединений в аодъеашо- транспортном машиностроении Соединение Неподвижное Подвижное Материал Сталь Чу!ун Сталь Нагрузка постоянная реверсивная ударная Режим I 180 100 60 II 165 90 55 III 150 80 50 I 120 65 50 II ПО 60 45 III 100 54 40 I 60 33 36 II 55 30 33 III 50 27 30 Примечания 1 Допускаемые напряжения выбирают по материалу наименее прочной детали (ступицы, вала, шпонки). 2. Режимы I — легкий, II — средний; III — тяжелый, весьма тяжелый или непрерывный. тянутая сталь с пределом прочности с„ > 600 МПа. Основным для соединений с призматическими шпонками является условный расчет на смятие (упругопласти- ческое сжатие в зоне контакта). Если принять для упрощения, что нормальные напряжения (давления) в зоне контакта распределены равномерно и плечо главного вектора давлений равно 0,5d (где d—диаметр вала),то где 1р — рабочая длина шпонки; t2 = = 0,4Л — глубина врезания шпонки в ступицу; [а]см—допускаемое напряжение на смятие. По формуле (1) обычно проверяют напряжения в зоне контакта или вычисляют предельный крутящий момент. При необходимости по формуле (1) можно вычислить длину шпонки, однако обычно ее принимают в соответствии с длиной ступицы. Проверку прочности шпонок на срез обычно не проводят, так как это условие удовлетворяется при использовании стандартных сечений шпонок и рекомендуемых значений [а]см. Если условие (1) не выполняется, то в конструкции можно применить две Шпонки, установив их под углом !20 или 180°. Сегментные шпонки благодаря более Глубокой посадке практически ие имеют перекоса под нагрузкой; они взаимо" заменяемы. Однако глубокий паз ослабляет вал, и сегментные шпоики используют преимущественно для закрепления деталей на концах валов (или в других малонагружеьных участках вала). Расчет соединений с сегментными шпонками также проводят по формуле (1), принимая^ — h — *t(cM. рис. 1, С). Допускаемые напряжения в неподвижных шпоночных соединениях [о]ем = От/п, где ат — предел текучести наиболее слабого материала детали (вала, шпонки или ступицы); л — коэффициент безопасности; при точном учете нагрузок п= 1,25, в остальных случаях л = 1,5-5-2,0. Если шпонки изготовлены из чисто- тянутой стали (ГОСТ 8787—68), то принимают [а]см= 80-И50 МПа (меньшие значения — для ступиц из чугуиа и алюминиевых сплавов). В редукторостроении для шпонок из стали 45 принимают (см. [21 к гл. 6): [о 1см = 50-7-70 МПа — при непрерывном использовании редукторов с полной нагрузкой; [<т1см = 130-г-180 МПа — при среднем режяме использования редукторов; [<т]См = 260 МПа — при предельных статических нагрузках. В подъемно-транспортном машиностроении [а]см принимают по данным табл. 2.
90 Шпоночные и шлицевые соединения Для ступиц из текстолита и дре- весно-слоистых пластиков \с)см ~ = 20 МПа. Если шпонки используют в качестве направляющих при осевом перемещении деталей под нагрузкой (подвижные шпоночные соединения), то допускаемые контактные давления в соединении ограничивают во избежание заедания и уменьшения износа. При незакаленных поверхностях и малой скорости перемещения принимают [cf]eM = Ю-=- 30 МПа. Применение шпоночных соединений для быстровращающихся, динамически нагруженных валов ответственного назначения не рекомендуется. ШЛИЦЕВЫЕ СОЕДИНЕНИЯ Шлицевые соединения имеют преимущества перед шпоночными благодаря более высокой несущей способности при постоянных и переменных нагрузках. Их применяют для неподвижного и подвижного соединения валов со ступицами деталей. Они имеют меньшие радиальные габариты и обеспечивают хорошее центрирование по сравнению со шпоночными соединениями. По форме поперечного сечения различают три основных типа соединений. Соединения с прямобочными зубьями наиболее распространены в машиностроении. Их можно центрировать по боковым граням шлицев, по наружному или внутреннему диаметру вала (рис. 2). Первый способ применяют при числе зубьев г — !0, 16 и наружном диаметре D ^ 90 мм для передачи больших крутящих моментов и при отсутствии высоких требований к точности центрирования деталей. При высоких требованиях к соосности вала и ступицы детали центрируют по наружному диаметру вала (если зубья в ступице получают протягиванием) или по внутреннему диаметру вала. Нагрузочная способность таких соединений ниже, чем при центрировании по боковым поверхностям зубьев Рис. 2. Способы центрирования прямобочных соединений: а — по боковым поверхностям: б — по наружному диаметру; д — по внутреннему дяз метру: г — форма сечения ступицы: д. е — форма сечения вала соответственно для ис полиеиий бив
Шлицевые соединения 91 3. Основные геометрические параметры прямобочных соединений (по ГОСТ 1139 — 80 и расчетные коэффициенты А. мм 11 13 16 18 21 23 26 28 32 36 42 46 52 56 62 72 82 92 102 112 Легкая серия D Ь мм 26 30 32 36 40 46 50 58 62 68 78 88 98 108 120 6 6 7 6 7 8 9 10 10 12 12 \ о 14 16 18 z 6 6 6 8 10 ^СМ' мм2 0.5 0,9 0,94 1 22 К38 1,58 1,75 3,37 3,53 3,90 5,63 6.4 7,1 7,9 13 ах 2,21 2,31 2.33 2,18 2,23 2,25 2,1 2,16 2,2 2,24 2,26 Средняя серия D Ь мм 14 16 20 22 25 28 32 34 38 42 48 54 60 65 72 82 92 102 112 125 3 3.5 4 5 5 6 6 7 6 7 8 9 10 10 12 12 12 14 16 18 2 6 8 10 ^СМ' мм2 0,25 0.29 0 5ъ 0.63 0.72 1,08 1,44 1 54 2.31 2.55 3 4 5 5,03 6,4 7,9 П.5 13,1 14,3 16,6 24,4 ах 1,90 1.98 2,06 2,19 2,34 2,17 2,29 2,36 2,42 2,47 2,59 Тяжелая серия D h мм 20 23 26 29 32 35 40 45 52 56 60 65 72 82 92 102 115 125 2,5 3 3 4 4 4 5 5 6 7 5 5 6 7 6 7 8 9 2 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 16 16 16 16 20 20 20 20 ^см мм2 0.94 1,46 1,69 2,34 2,4 3,2 4.3 5,6 7,4 8,2 10 12,9 16,2 18,6 25,9 29,2 45 49 ах 2,08 2,17 2,09 2,25 2,22 2,31 2,06 2.29 2,29 2,51 из-за менее благоприятного распределения нагрузки между зубьями. В зависимости от числа зубьев и их высоты ГОСТ 1139—80 предусмотрены три серии соединений (деисая, средняя и тяжелая, см. табл. 3). Соединения с звольвентными зубьями 1 (рис 3) более технологичны, нежели соединения с прямобочными Шлицами, имеют более высокую прочность (благодаря большому числу зубьев и скруглению впадин) и точность. Они могут центрироваться по боковым граням (наиболее распространенный способ, рис. 3, а) и по наружному Диаметру вала (рис. 3, б). Основные размеры шлицевых соединений даны в табл. 4. Соединения с прямобочными и звольвентными зубьями широко применяют также для направления осеЕогс пере- 1 Исходный контур н форма зубьев по ГОСТ 6033-80. движения деталей, посаженных на вал (например, зубчатых колес в коробках передач). В этом случае твердость поверхности зубьев повышают до HRC 54...60 для уменьшения их изнашивания. Для неподвижной в осевом направлении посадки на валы дисков турбин, для посадки на валы передвижных косозубых колес используют соединения с винтовыми зубьями, которые уменьшают относительное скольжение диска на валу под нагрузкой и снижают изнашивание. Соединения с треугольными зубьями (рис. 4) применяют при стесненных радиальных габаритах конструкции. Для быстроходных передач (авиационные и автомобильные коробки передач) точность центрирования зубчатых соединений недостаточна. Для повышения точности центрирование осуществляют по вспомогательным поверхностям (см. с. 98) либо отказываются
92 Шпоночные и шлицевые соединения Рис. 3. Эвольвентные соединения 4. Основные геометрические параметры эвольвентных соединений (по ГОСТ 6033 — 80) 1Q" 5е X cj E 20 22" 25 28* 30 32* 35 38* 40 42* 45 50 55 60 Число зубьев z при модуле тп 0 8* 23 26 30 34 36 38 42 46 48 51 55 50 66 74 1 18 20 24 26 28 30 34 36 38 40 44 48 54 58 1.5 12 14 15 17 18 20 22 24 25 26 28 32 35 38 2* 8 9 11 12 13 14 16 18 18 20 21 24 26 28 2 5 6 6 8 10 10 11 12 14 14 15 16 18 20 22 1о its. I5s 65 70 75 80 85 90 95 100 ПО 120 130 140 150 160 Число зубьев г при модуле m 2* 31 34 36 38 41 44 46 48 54 58 64 68 74 — 2,5 24 26 28 30 32 34 36 38 42 46 50 54 58 3,0 20 22 24 25 27 28 30 32 35 38 42 45 48 52 5* 15 12 13 14 15 16 18 18 20 22 24 26 28 30 10 — — — 6 7 7 8 8 9 10 11 12 13 14 Примечания 1 При выборе наружного (номинального) диаметра и модуля предпочтительны значения, не отмеченные звездочкой 2 Числа зубьев, заключенные в рамки являются предпочтительными от применения соединении (колеса изготовляют за одно целое с валом). РАСЧЕТ ШЛИЦЕВЫХ СОЕДИНЕНИЙ НА ПРОЧНОСТЬ Шлицевые соединения подобно резьбовым характеризуются неравномерным распределением нагрузки по длине. В отличие от соединения типа стяжки (см. рис. 16, гл. 3), детали которого работают на растяжение, в соосном зубчатом соединении вал и охватывающая деталь скручиваются. Поэтому закон распределения нагрузки в соединении, когда крутящие моменты прило- Рис. 4. Соединение с треугольными зубьями
Расчет шлицевых соединений на прочность 93 жены к втулке и валу с разных сторон (рис. 5), будет таким же, как н для соединения типа стяжки. На рис. 6 в качестве примера приведено экспериментальное распределение относительного крутящего момента на валу т* (г) = т (г)/тср (здесь т (г) = = dM (z)/dz, mcp = Mil) no длине соединения карданной передачи автомобиля. Соотношение для т (г) имрет структуру, аналогичную формуле для распределения нагрузки между витками резьбы. Неравномерность распределения нагрузки оказывает существенное влияние на работоспособность соединений и учитывается в расчетах 1. Шлицевые соединения выходят из строя главным образом из-за повреждения рабочих поверхностей (изнашивание, смятие), а также усталостного разрушения зубьев н тонкостенных валов, которому обычно предшествует контактная коррозиция (фреттинг-кор- розия). Расчет шлицевых соединений включает: 1) расчет шлицевых валов на кручение при действии статических и переменных крутящих моментов (см. гл. 8); 2) расчет зубьев. В отечественной и зарубежной практике в основу расчета зубьев положено определение напряжений смятия (средних контактных давлений). Напряжения изгиба и среза в основании зуба пропорциональны напряжениям смятия, и последние можно рассматривать как критерий подобия, обобщающий опыт эксплуатации конструкций. Расчет ведут по формуле 2УИ„ ^. , , a°" = d^W<W°»' (2) где dcp — средний диаметр соединений; * — число зубьев; h к I — соответственно высота и длина поверхности контакта зубьев; \|> — коэффициент, Учитывающий неравномерность распределения давлений в соединении, обычно Ч,== 0,7-=-0,8; [а]см—допускаемое напряжение смятия на боковых поверх- 1 Для снижения концентрации напряжений на краях соединения, особенно в условиях перекоса, применяют бочкообразные шлнцы Рис. 5. Схема шлицевого соединения: / — втулка, 2 — вал ностях зубьев. В табл. 5 даны [а]см для соединений подъемно-транспортных устройств. Допускаемые напряжения в станкостроении более низкие: для неподвижных соединений [о]См= = 12н-20МПа, для подвижных без нагрузки [с]см = 4+7 МПа и для соединений подвижных под нагрузкой [а]см<2МПа. Средние напряжения смятия (при г|>= 1) для некоторых соединений приведены в табл. 6. Высота и длина поверхности контакта: а) для прямобочных зубьев (см. рис. 2) . D—d of , D + d. ft=—§ '' cp = —2—' б) для эвольвентных зубьев (см. рис. 3) h = Qm; dcp = d-ц = mz; здесь 8 = 1 при центрировании по Ч^ V О 40 SO z Рис. 6, Распределение относительного кру> гящёго момента по длине соединения
94 Шпоночные и шлицевые соединения 5. Допускаемые напряжения смятия для шлицевых соединений в изделиях подъемно- транспортного машиностроения (валы и втулки с О" > 500 МПа) Тип соединения Обычное (с осевой фиксацией) Подвижное без нагрузки Условия эксплуатации а б в а б в Поверхность зубьев без термообра боткн с термообработ кой Ысм. МПа 35 — 50 60- 100 80—120 15-20 20- 30 25 — 40 40-70 100-140 120—200 20-35 30 — 60 40 — 70 При меча hi I В таблице, а условия эксплуатации тяжелые (нагрузка знакопеременная с ударами в обоих направлениях зиачите-n ныр упы перекоса) сма зочиый материал отсутствует б — условия эксплуатации средине (переменная нагрузка не более 10°о от постоянной угол перекоса осей под нагрузкой не более 10', смазка бед на я) в — условия эксплуатации хорошие (статическая нагрузка переменная нагрузка не выше 5°0 статической угол перекоса осей не более 5 — 7' смазка хорошая) 2 Допускаемые напряжения для подвижных соединений под нагрузкой ниже, чем Для неподвижных соединений, в 4 — 5 раз 6. Средние напряжения смятия о (при ф — 1) в длительно работающих соединениях Соединение Тип соединения HRC ■ BTy livH Опъм. МПа Ведомый диск сцепления — г вичныи вал коробки передач Вторичный вал коробки передачи — зубчатое колесо 1-й передачи Вторичный вал коробки передач — флаиец карданного вала Подвижные соединения карданных валов Полуось — поггуосевая втулка Зубчатые муфты коробок передач Трансмиссии грузовых и легковых Р- автомобилей 45 —Я0 Прямобочное Эвольвеитное До До До 48- До 42- До До До 50- 30 65 65 -55 30 -56 30 64 65 -65 Валы и зубчатые колеса Торсионные рессоры Коробки приводов авиационных Эвольвеитное 50 — 65 двигателей 35-42 35 — 42 12—18 30 — 60 43 — 83 14—19.4 110—160 27 — 70 50—100 100—150 Примечания 1 Средние напряжения в соединениях трансмиссии тракторов приблизительно такие же как и в автомобилях 2. В подвижном соединении карданного вала автомобиля марки БелАЗ 540 о"см ^ = 45 МПа
Расчет шлицевых соединений на прочность 95 Рис. 7. Концентрация напряжений при кручении шлицевых валов: я _ а = 0°, б — а = 32°; в — а = 30° боковым поверхностям и 8 = 0,9 при центрировании по наружному диаметру; m — модуль шлицев, ds — диаметр делительной окружности; в) для треугольных зубьев (см. рис. 4) h = D„ •»ср • : da — mz. передаваемый Предельный момент, соединением, dcp Mr- пр = [°1cmzW ~2~$ = 5см' Мсм. (3) где приведенный статический момент dr. Scm = Zfl ^-ср г|з. Значения 5СМ при 1))= 0,75 для примобочных соединений приведены в табл. 3. При действии переменных нагрузок нередки случаи разрушения деталей со шлицами (в особенности тонкостенных Балов) от усталости из-за высокой концентрации напряжений. В свободной (неконтактирующей) час- пи шлицевого вала имеет место значительная концентрация касательных напряжений. Теоретический коэффициент концентрации касательных напряжений прн кручений шлицевого вала гДе ттах и тн — соответственно максимальное и номинальное напряжение в зубчатом валу при кручении; для сплошного вала Мк ., Мк . W 0,2^' (4) здесь W„ — момент сопротивления сечения вала кручению; d — внутренний диаметр зубчатого вала. На рис. 7 показано изменение теоретического коэффициента концентрации напряжений по контуру шлицев прямобочного (рис. 7, а), треугольного (рис 7, б) и эвольвентного (рис. 7, в) профиля с одинаковой высотой h и максимальными радиусами галтелей. В расчетах на прочность учитывают максимальное значение ах, соответствующее наиболее нагруженной точке иа контуре. В контактирующей части вала касательные напряжения уменьшаются благодаря распределению крутящего момента по длине соединения. Однако в этой части вала появляются нормальные и касательные напряжения от изгиба и сдвига зубьев, наибольшие значения которых также концентрируются в основании шлицев На рис. 8 показано изменение контурных (главных) напряжений в галтелях зубьев при контактном давлении агМ= 10 МПа Максимальные нормальные напряжения в контактирующей части соединении оказываются обычно ниже касательных напряжений в свободной части шлицевого вала, поэтому разрушение шлицевых валов от усталости происходит, как правило, в неконтактирующей части *. 1 Если разрушение происходит в контактирующей части, то ему предшествует существенный износ шлицев.
96 Шпоночные и шлицевые соединения 1МПа 1МПа Рис. 8. Концентрация напряжений от изгиба зубьев В приближенных расчетах на сопротивление усталости шлицевых валов учитывают концентрацию напряжений от кручения. Значения теоретических коэффициентов концентрации напряжений при кручении прямо- бочных шлицевых валов приведены в табл. 3. Для валов с эвольвентными зубьями при г ... . И —14 16—32 ах . . .1,55—1,62 1,76—1,82 при z 24—36 > 38 ах 1,86-1,92 1,93—1,98 Большие значения ат соответствуют большим г. ИЗНАШИВАНИЕ СОЕДИНЕНИЙ Шлицевые соединения выходят из строя в основном вследствие изнашивания боковых (рабочих) поверхностей шлицев (зубьев). Изнашивание наблюдается в шлицевых рессорах, передающих крутящий момент от одного агрегата к другому, в карданных валах, в соединениях валов и зубчатых колес и др. Изнашивание зубьев связано с практически неизбежными циклическими смещениями деталей соединения под- действием радиальной нагрузки, в результате несовпадения или взаимного наклона осей при действии крутящего момента. Начальный монтажный перекос может возрастать в работе за счет тепловых деформаций, изменения взаимного расположений деталей под нагрузкой и т. д. Изнашивание шлицевых соединений происходит более интенсивно при развитии иа рабочих гранях контактной коррозии, которая появляется даже в соединениях с высокой твердостью рабочих поверхностей (45—55 HRC8) и при сравнительно невысоких средних контактных напряжениях (асм = =- 50 МП а). Условный расчет на износостойкость можно проводить по допускаемой удельной мощности трения (мощности трения, отнесенной к 1 мм2 контактной поверхности шлицев) 1. Если принять, что ось шлицевого вала в результате монтажа или под нагрузкой получила перекос на угол Дф (рад) по отношению к оси охватывающей втулки (ступицы колеса), то наибольшее взаимное смещение точек зубьев на одни оборот составит Д/ = ДФ dcp j/7" f + (rff")2' (5) где 1 и dcp — соответственно длина и средний диаметр соединения, мм. Скорость относительного скольжения, мм/с, Дф redcp v сн = 60 (6) а удельная мощность трения f/i = Осипом = Дф ndcp 60 ^oM}/!+G4)2, (7) 1 ГОСТ 21425 — 75 рекомендует более сложный метод расчета прямобочных шли- цевыу соединений
Изнашивание соединений 97 где п — частота вращения шлицевого вала, мин-1; Ц — коэффициент трения; ff — среднее контактное давление в соединении при т|з — I. Обычно в удовлетворительно работающих соединениях рессор при твердости поверхностей деталей >50 HRC], углах перекоса Дф г=С <7'(<0,002 рад) и бедной смазке Ni^ 150 Н-мм/(мм2-с), а при обильной смазке Nx ^ 250 Н-мм/(мм2 с). Допустимый угол перекоса в шли- цевых соединениях по условиям износостойкости цоС!Лпйср у 1 + ^—J (8) где [Л^] — допускаемая мощность трения, Н'мм/(мм2-с). Можно принимать 1 [Ni]~3HRC3 при бедной смазке (масляный туман и др.) соединений; [Л/J ■= 5 HRCr, для соединений при обильной смазке. Если затрачиваемая на трение мощность Nx ^ 1 HRC3 при обильной смазке и /Vt sg; 0,6 HRCS при бедной смазке, то изнашивание в соединениях практически не наблюдается при неограниченно большом числе циклов нагружения. Из соотношения (8) следует, что допустимый угол перекоса деталей в соединении может быть увеличен за счет снижения контактных давления н коэффициента трения. Для снижения коэффициента трения применяют различные гальванические покрытия (никелевое, медное, серебряное, кадмиевое, окисное и др.). Толщина слоя металлических покрытий 6—15 мкм. Для повышения износостойкости применяют также покрытия из твердых смазок на основе дисульфида молибдена и другие, зазоры заполняют термопластичными полимерами типа эпоксидных и фенольнч1х смол. Повышение износостойкости наблюдается при использовании твердых и жидких смазок (особенно в случае 1 При неодинаковой твердости поверхностей сопрягаемых деталей расчет врдут Для детали с наименьшей твердостью поверхности 4 Заказ 402 непрерывной подачи в зону контакта масла, стабилизирующего тепловой режим). Эффективным оказывается также применение химико-термической и упрочняющей обработки для повышения износостойкости. Азотированию подвергают шлицевые валы (рессоры) из сталей 38Х2МЮА, 38ХА, 40ХН2МА. Толщина азотированного слоя 0,1—0,3 мм, твердость азотированной поверхности для стали 38Х2МЮА 58—61 HRC3 (в сердцевине 30—37 HRCa); валы из сталей 38ХА и 40ХН2МА имеют твердость поверхности 45 HRC3 и сердцевины 28—35 HRC3. Валы из сталей 12Х2Н4А, 18Х2Н4МА. и другие цементируют на глубину 0,2—0,7 мм. Твердость поверхности шлицев HRC3 55—58, твердость сердцевины 32—41 HRCg. Валы и рессоры из сталей 12Х2Н4А, 12ХНЗА, 18Х2Н4МА и другие иногда подвергают цианированию на глубину 0,2—0,4 мм. Твердость поверхностного слоя 57—59 HRC3, а твердость сердцевины 32—41 HRC3. Применяют также закалку поверхности до твердости 45—50 HRCB. В последние годы для повышения износостойкости широко применяют виброшлифование и дробеструйное упрочнение шлицевых деталей (см. гл. 34). Диаметр шарика обычно dm<:0,\r (г—радиус скруглеиия во впадинах шлицев). Основным методом оценки надежности шлицевых соединений являются ресурсные испытания в стендовых или эксплуатационных условиях. Ускоренные испытания можно проводить с заранее созданным перекосом. Эффективными средствами повышения износостойкости соединений являются: а) уменьшение углов перекоса осей сопрягаемых деталей при монтаже и в рабочих условиях (за счет неравномерного нагрева, деформации под нагрузкой и т. п ). Угол перекоса свыше 10' нежелателен для валов (рессор) с <гср — 10-^50 мм. Для соединений, допускающих относительное проскальзывание, углы перекоса свыше 40" недопустимы;
98 Соединения деталей с гарантированным натягом Рис 9. Способы центрирования деталей в соединениях: а — по конической н цилиндрической поверхностям, 6 — ностям с помощью втулок по цилиндрическим поверх- б) увеличение твердости контактирующих поверхностей путем азотирования, цементации, обдувки дробью и др.; в) уменьшение зазоров в шлице- вом соединении, применение более плотных посадок, центрирование по вспомогательным поверхностям и затяжка соединений (рнс. 9). При проектировании соединений, воспринимающих радиальные нагрузки, зубья желательно располагать симметрично относительно венцов. Глава 6 СОЕДИНЕНИЯ ДЕТАЛЕЙ С НАТЯГОМ Соединение деталей машин с натягом осуществляют за счет снл упругости от предварительной деформации деталей . С помощью натяга — разности посадочных размеров сопрягаемых деталей — можно соединять детали как с цилиндрическими (рис. 1), так и с коническими поверхностями контакта. Рис. 1. Соединение с натягом ГАРАНТИРОВАННЫМ Основное применение имеют цилиндрические соединения с натягом, называемые часто поессовыми Эти соединения просты в изготовлении, обеспечивают хорошее центрирование сопрягаемых деталей, могут воспринимать значительные статические и динамические нагрузки (радиальные и осевые). Основные недостатки соединений: сложность демонтажа, возможность повреждения посадочных поверхностей при разработке, ограниченность несущей способности, особенно при наличии вибраций, возникновение фрет- тинг-коррозии, связанной с взаимными микросмещениями деталей, концентрацией напряжений. Взаимное смещение деталей в прессовых соединениях предотвращается за счет сил трения иа поверхностях контакта, поэтому нагрузочная способность соединений определиется преимущественно натягом, который назначают в соответствии с посадками, установленными ГОСТ 25347—82. Од-
Условия неподвижности и контактные давления в соединениях 99 нако возможны случаи, когда посадка ие может быть реализована в конструкции по условиям прочности. Поэтому при проектировании соединений должны быть удовлетворены как требования неподвижности соединений, так и условия прочности деталей. УСЛОВИЯ НЕПОДВИЖНОСТИ И КОНТАКТНЫЕ ДАВЛЕНИЯ В СОЕДИНЕНИЯХ Для обеспечения неподвижности соединений средние (номинальные) контактные давления qm должны быть такими, чтобы силы трения превышали внешние сдвигающие силы. При нагружении осевой силой А (рис. 2) "т>ЦШГ^ (1) при иагружении крутищим моментом Мк Я >^- (2) при совместном действии осевой силы и крутящего момента Рт> \indl Л2 (3) В формулах (1)—(3) k — коэффициент запаса сцепления, обычно при- ц — коэффициент нимают k яь i,5-v-2; Рис. 2. К расчету соединений с гарантированным натягом трения; d и / — соответственно диаметр и длина посадочной поверхности. Значения коэффициентов трения для прессовых соединений даны в табл. 1. При сборке стальных и чугунных деталей гидропрессованием (с подводом масла) принимают (х = 0.12. Для соединений, работающих при переменной внешней нагрузке с частотой /> 10 Гц, значения коэффициентов трения следует понижать на 30—40%. Из формул (1) и (3) следует, что несущая способность соединений при статических (постоянных) нагрузках определяется номинальными (средними) контактными давлениями. Эти давления зависят от натяга в соединении и условий работы (температурных и др.). 1. Значения коэффициентов трення (сцепления) ц при посадках с гарантированным натягом (охватываемая деталь из стали) Способ сборки соединений Механическая запрессовка Тепловая сборка Материал охватывающей детали Сталь 0,06-0 13 * 0 Н-0. Ifi •* 0.07 — 0,16 Чугун 0.07 — 0,12 0,07 — 0.09 Алюминиевые и магниевые сплавы 0.02 — 0.06 0,05 — 0,06 Латунь 0,05 — 0,1 0.05 — 0,14 Пластмассы 0.4 — 0.5 »• г'овеРхности сопрягаемых деталей предварительно смазаны машинным маслом. .„. В знаменателе дроби указаны значения ц при сборке охлаждением охватываемой 4»
100 Соединения деталей с гарантированным натягом 2 тг ш |- Ы ■ 1 ^ ^ Й? Рис. 3. Соединения колец Соединения тонкостенных колец (рис. 3). Контактное давление определяют из условия совместности перемещений колец / и 2. ~ 2 ' «2- (4) где б — диаметральный натяг. Радиальные перемещения колец «1 = —ЯК; «2 = qK (5) где q — контактное давление; %i — коэффициент радиальной податливости кольца (£ = 1, 2 — номер кольца); X -Ж- где Rt — радиус срединной поверхности кольца толщиной ht; Et — модуль упругости материала кольца. Из соотношения (4) и (5) следует: 2 (Ях UiAi^ E2hJ (7) а изменение радиуса кольца после вапрессовки б ARt = их = ДЯ, И2 = 2 (Ах + Аа) ' б А2 2 (Ai + А,) * (8) Изменение диаметров свободной поверхности необходимо учитывать при посадке подшипников иа валы, так как излишний иатяг может не только существенно уменьшить радиальный зазор в подшипниках, но и привести к защемлению тел качения. Окружное напряжение для тонких колец o6i я> BiEj. = - ЕгЬ °"ег ^ е2£а : 2*1 (Ai + А.) ' 2^2 (Ях -(- Хг) (^) где ex, e3 — относительная деформация 1-го и 2-го колец; е* = ARt/Rt. Наибольший допустимый натяг в соединении из условия появления допустимых пластических деформаций 6max = 2oir|i-^±iH, (10) где 0;-г — наименьшее значение (из двух) предела текучести материала кольца (i=l, 2). Если соединение будет работать при повышенной температуре, то произойдет расширение колец и натяг в соединении изменится на величину бт = 2 ((HRiTi — a2R3T2) (11) и станет равным б* = б0 — бт, (12) где а* и Tt — соответственно коэффициент линейного расширения и изменение температуры кольца;б0 — первоначальный натяг. В этом случае контактное давление "= 2(Да,) • (13) Окружные напряжения и наибольший натяг в соединении при повышенной температуре можно вычислить по формулам (9) и (10), подставляя в них значения 0(Т и Et, соответствующие рабочей температуре. Если a2R2T2 > a^RiTx, то при Ti = = Т2 = Т найдем температуру, при которой иатяг в соединении исчезает: 0&2*\2 — &1А1 (14) Если кольца вращаются вокруг продольной оси с угловой скоростью <t>,
Условия неподвижности и контактные давления в соединениях 101 то радиальные смешения колец от центробежных сил ((' = 1, 2) Pi Ei «,. = -£-»^. (15) где рг — плотность материала кольца. Изменение натяга составит бш = 2 (и1ео — u2lo) = = 2ш» (/??-g-- Л?-g-) . (16) Так как отношение р/Е для большинства материалов (сталь, сплавы титана, алюминия и др.) приблизительно одинаково, то ^2«2-и[>-Ш3]-(17) Из соотношения (17) следует, что во вращающихся соединениях обычно происходит уменьшение натяга. Угловая скорость (предельная), при которой натяг исчезнет (освобождающая частота вращения), *-•*«[&)•--']■ "8> Соединения дисков и толстостенных цилиндров (рис. 4). После запрессовки дисков (цилиндров) возникнут контактные давления q, которые для деталей одинаковой ширины (длины) можно считать постоянными в зоне контакта. Условия совместности перемещения дисков описываются соотношением (4), а связь радиальных смещений с давлениями в зоне контакта — зависимостями (5). Используя решения, приведенные в гл. 16, коэффициенты радиальной податливости дисков / и 2 можно записать в виде , c\d . c*d 2Ei ' A2 = 2E; -, (19) гДе С[ и с, — коэффициенты; \2 1 + Cl = № m c2 = w.) \(k) -v2. (20) В отношениях (19) и (20) d, dx и d2— диаметры деталей (см. рис. 4); Vj и v2 — коэффициенты Пуассона. Контактное давление связано с натягом, как и прежде, соотношением (7). С учетом равенств (19) и (20) получим <? = • Е1 "*" Е2 ) (21) В табл. 2 приведены значения коэффициентов сг и сг для стальн х деталей. Уменьшение внутреннего диаметра охватываемой детали 2qd1 Ad1 = Ч'-(Ш (22) а увеличение наружного диаметра охватывающей детали л, . 29d2 (23) Напряжения в первом диске (цилиндре) \2 эвом диске (24) Рис. 4. Соединения дисков (цилиндров)
102 Соединения деталей с гарантированным натягом 2. Значения коэффициентов сг и с2 для стальиых деталей djd или did, 0.0 0.) 0.2 0,3 0.4 Cl 0.70 • 0.72 0.78 0.89 1.08 Cl 1.32 1.38 1,49 1.68 djd или did. 0,5 0.6 0.7 0.8 0.9 Ci 1,87 1,83 2.62 4.25 9.23 Сг 1.97 2.43 3,22 4.85 9.83 • Охватываемая деталь имеет сплошное сечение Напряжения во втором диске (цилии- Дре) а6 = <7 т- (25) где d» ■ диаметр сечения, в котором Изменение напряжений в деталях соединений с натягом показано на рис. 5. Наибольшие напряжения возникают с внутренней поверхности охватывающей детали (d* = d). Условие отсутствия пластических деформаций аэкв = ов — ог 2? W2 ) • ^ От (26) Рис. 5. Напряжения в прессовом соединении дисков Наибольшие давления в зоне контакта <7max = 0,5aT[l-(-|-yj (27) и наибольший расчетный натяг в соединении (по условию возникновения пластических деформаций) 6max = 0,5oTd(-|- + -g-) X Если соединение подвержено действию повышенных температур, то последовательность расчета в этом случае сохраняется такой же, как и для колец. Для вращающихся относительно продольной оси соединений дисков умень- Pi Рг Р шение натяга при -~^- = -~ — -^г £\ £2 Е и v, = v, v составит (29) где v — коэффициент Пуассона, v = = 0,3. Контактное давление в соединении ? = ■ бо — б(£ 2 (Xi + A2) (30) Угловая скорость, при которой натяг в соединении исчезнет (q = 0), V 6„£ (rf|-rf?)rfp(3 + v; . (31) Соединения дисков и валов. Если сопрягаемые детали имеют различную
Расчетный и потребный натяги 103 gtMPa ц^МПа и V 4,0 ,15 / А ( V Рис. в. Сеточная разметка и распределение контактных напряжений в соединениях с натягом длину, то контактные давления распределяются по посадочной поверхности неравномерно. На рис. 6 показано распределение давлений по длине соединений стальных валов и втулок (дисков) при диаметральном натяге б = 50 мкм. полученное из численного решения контактных задач (см. гл. 26 и 29). Наибольшие давления концентрируются вблизи краев втулок, что связано с влиянием выступающих концов вала, затрудняющих его деформацию в пределах соединения. При уменьшении толщины втулки и, как следствие, увеличении ее радиальной податливости наблюдается снижение теоретического коэффициента концентрации напряжений аа = 9шах'</н (рис 7; 9н — номинальное контактное давление, вычисляемое по формуле (21)). С увеличением длины втулки (толщины диска) от 0,5d до 2d значение максимального контактного давления на кромке возрастает на 30—40% (большие значения соответствуют толстостенным втулкам). Значения максимальных контактных давлений у торцов ступенчатых втулок практически такие же, как и в соединениях с цилиндрическими втулками соответствующих толщин. В соединениях стальных валов с дисками (втулками) из чугуна (модуль 1,1 1,1 7,2 2,7 D/d Рис 7 Теоретический коэффициент концентрации напряжений в соединении с гарантированным натягом упругости Е — I05 МПа) д„ах. приблизительно иа 30% ниже, чем для соединений со стальными дисками. РАСЧЕТНЫЙ И ПОТРЕБНЫЙ НАТЯГИ При проектировании соединений по заданной внешней нагрузке определяют расчетный натяг 6 = d%— йд, где ^в и ^А — измеренные соответственно наружный диаметр вала и внутренний диаметр охватывающей детали. Диаметры измеряют по вершинам микронеровностей, которые затем при сборке частично обминаются, и потребный натяг принимают несколько большим расчетного 6п= 6+ 1,2 (RZl+Rz2), (32) и по 6ц выбирают посадку В формуле (32) Яг! и Rz2 — высоты микронеровностей сопрягаемых деталей (табл. 3). Посадки следует назначать в системе отверстия. Систему вала можно использовать только в случаях, когда это оправдано конструктивными или экономическими соображениями (например, если необходимо получить разные посадки нескольких деталей с отверстиями на одном гладком валу). Обоснованно посадку можно выбрать, используя вероятностный расчет. Распределение действительных размеров деталей по полю допуска таково, что предельные сочетания размеров встречаются редко. Можно считать, что работоспособность соединения будет обеспечена, если потребный иатяг будет больше минимального
104 Соединения деталей с гарантированным натягом 3. Классы шероховатости поверхности Класс шероховатости i 2 3 4 5 6 7 8 9 Разряд - а б в а б в а б в а б в Среднее арифметическое отклонение профиля Ra, мкм - -- 2,5- 2,0 2.0 — 1,6 1.6 — 1.25 1.25—1,0 1.0 — 0,80 0.80 — 0.63 0.63 — 0,50 0.50 — 0.40 0.40 — 0.32 0,32 — 0,25 0,25 — 0.20 0.20 — 0.16 Высота ронеровностей (по 10 точкам) Rz, мкм 320—160 160—80 80—4 0 40 - 20 20-10 =» 4Ra » SRa <* bRa " oRa о = и у ь ° ° г, =: a/ ~ x-=S 10 Разряд а 6 в 1 1 12 13 14 а б в а б в а б в а б в Среднее арифметическое отклонение профиля Ra, мкм 0.160 — 0,125 0, 125 — 0, 100 0 100 — 0.080 0,080-0.063 0,063- 0.050 0.050-0,040 0.040 — 0.032 0,032-0.025 0,025-0.020 - - Высота ронеровностей (по 10 точкам) Rz, мкм =. 5Ra = SRa » bRa 0, 100 — 0.080 0.080-0,063 0.063 — 0,050 0,050 — 0,040 0,040-0,032 0,032 — 0,025 вероятностного натяга бр mln при заданном проценте риска. При нормальном законе распределения размеров °Р mm = °ср 1*$б< бршах = 6ср+ t*S6> (33) где 6ср — средний натяг, бср —- Ав — — Да (Дв и Дд — средние значения отклонений размеров вала и отвер- es — ei . ES — EI стая), Дв=—s—, Да = о > Р 0.5 0 es (ES) и ei (EI) — верхнее и нижнее отклонение вала (отверстия); Sj = Пример. Подобрать посадку зубчатого колеса из стали 45 на вал из стали 40Х, чтобы соединение было способно передавать крутящий момент /Ик = 10в Н-мм. Размеры соединения: d = 60 мм; /= 80 мм; d2 = 100 мм. Шероховатость посадочных поверхностей вала и отверстия соответствует Rzi = Rz% = = 10 мкм. Сборку соединения осуществляем запрессовкой на прессе, сма- V Г*2 SA + 5В — среднее ское отклонение es — ei квадратиче- табличного натяга, ES — EI SA = <.— квантиль нормального распределения. В зависимости от вероятности Р нахождения искомого параметра в расчетных пределах принимают следующие значения i„: 0,9 1,28 0.95 1,64 0,97 1.88 0,99 2.33 0,995 0.997 0.999 2.58 2.75 3.1 зочный материал — трансформаторное масло, и, = 0,08. По формуле (2) определяем контактное давление в соединении при k = = 1,5: <7m = \ind2l 2-10е-1,5 0,08-3,14-602-80: ; 43 МПа.
Прочность при переменных нагрузках ;05 4. Вероятностные натяги для различных посадок с иатягом Посадка 60H6/S5 60Н7/Г7 60Я7/к8 60H7/S7 Вероятностный натяг, мкм °р mm 42.3 58,6 72 34,6 *р max 58,7 91,4 118 67,4 Посадка SOHSiuS 60НЧ/и& 60Я9/г8 60Я9/*8 Вероятностный °р mm 61,8 51.0 117,2 57,2 натяг, Mnv °р max 112 2 109,0 182,8 122,8 Используя соотношение (21), числяем расчетный натяг = 43-60 ) х 40 мкм. 0,7 2,4 2-106 ' 2.10ь Потребный натяг (минимальный; 8птш = 6+ 1.2 (i?zi + Rit) = = 40+ 1,2(10+ Ю) = 64 мкм. По соотношению (28) вычисляем наибольший расчетный и потребный натяги при ат = 470 МПа для колеса из стали 45: fimax = 0,5aTrf (-£- + -^-) х ,0.5.470.60(^+^1,) х [-(i X 1 60 \2 . iooJ ] •0,141 = 141 мкм; 6a max = HI + 1,2(10+ 10) = = 165 мкм. По формулам (33) при Р = 0,95 определяем характеристики рассеяния табличных натягов (табл. 4). Из сравнения данных расчета с табличными следует, что условию работоспособности соединения будет удовлетворять посадка 60Н7/и8. Более точный выбор посадки можно осуществить, проводя расчет с учетом рассеяния характеристик материала деталей, внешней нагрузки, длины соединения н коэффициента трения. После выбора посадки вычисляем усилие запрессовки, используя соотношения (1) и (21) при наибольшем вероятностном натяге 6Р тах = 118 чкм (см. табл. 4), ас использованием соотношений (2) и (21) при минимальном вероятностном натяге 6р щщ = = 72 мкм определяем наименьший крутящий момент, передаваемый соединением. ПРОЧНОСТЬ ПРИ ПЕРЕМЕННЫХ НАГРУЗКАХ Предел выносливости соединений с гарантированным натягом в 1,5—3 раза ниже, чем прочность гладких образцов (стандартных). Это объясняется высокой концентрацией напряжений и контактной коррозией, вызываемой местным проскальзыванием деталей при переменных внешних нагрузках (особенно изгибающих). В табл. 5 приведены значения отношения эффективного коэффициента концентрации напряжений в соединении ka к коэффициенту ес, учитывающему влияние масштабного эффекта, который рекомендуется использовать в расчете валов иа сопротивление усталости. Значение отношения кх1гх (при кручении валов) можно определить приближенно из соотношения А. = .+0,б(-£--.). Расчет на сопротивление усталости прессовых соединений приведен в гл. 8. Одним из распространенных конструктивных способов повышения сопротивления усталости соединении яв-
!0o Соединения деталей с гарантированным натягом Днаметр вала, мм 30 50 100 и более Посадка Н 7//-6 Я7/Л6 Н7/Л6 Н7Л-6 НТкЬ Н7/А6 H7/SC-, Я7//>6 Н7/Й6 ЬОО 2.5 !,9 1.6 3,05 2,3 2,0 3.3 2.45 2.15 Значения k„/E„ 600 2.75 2.05 1.8 3.35 2,5 2,2 3.6 2,7 2.35 700 3,0 2,25 1,95 3.65 2,75 2,4 3.95 2,95 2.55 при ав 800 3,25 2,45 2.10 3.95 3.0 2.6 4,25 3.2 2.75 . МПа 900 3.5 2.6 2.3 4.3 3,2 2.8 4,6 3.45 3.0 1000 3,75 2.8 2.45 4.6 3,45 3,0 4.9 4,0 3.2 1200 4,25 3,2 2,75 5.2 3.9 3.4 5.6 4.2 3.6 щ 4> Рис. 8. Конструктивные способы повышения сопротивления усталости соединений ляется утолщение подступичнои части вала (обычно диаметр увеличивают на 5—7%) с плавным переходом к утолщению (см. рис. 8, a; R 5* 0,2d). Предел выносливости соединений с утолщением повышается на 20—25% при передаче изгибающего момента через ступицу и на 40—50% при не- нагруженной ступице в сравнении с соединением без утолщения. Предел выносливости прессовых соединений можно повысить на 30—50% за счет применения накатных разгружающих выточек на . ],лу (рис. 8, б, в) или на охватывающей детали (рис. 8, г, д). Обычно диаметр проточки da = (0,92-=-0,95) d, а радиус проточки Я = (0,1-^0,15) dB. Значительное (на 15—20%) повышение сопротивления усталости соединений можно получить при на- прессовке ступиц конической формы (рис. 8, е). Сопротивление усталости прессовых соединений со шпонкой (шпоночных соединений на прессовой посадке) такое же, как и для обычных прессовых соединений. Оно определяется кон-
Прочность при переменных нагрузках 107 в. Влияние упрочнения подступнчных частей валов на сопротивление усталости Образец Гладкий d = 50 мкм С напрессованной втулкой d=50 мм Гладкий d = 12 мм втулкой d = 12 мм Гладкий d~ 50 мм С напрессованной втулкой d = 50 мм Гладкий d — 60 мм С напрессованным (тепловой сборкой) шарикоподшипником d = 60 мм Материал вала Ст5 нормализованная Сталь 45ХН, 0"в = = 1250-г- 1600 МПа Сталь 45. а = = 620 МПа Сталь 45, а = = 600 МПа Способ обработки поверхности Шлифование Дробеструйная обработка Шлифование Дробеструйная обработка Шлифование Обкатка роликом с усилием Р = = 2700 Н То же, Р = 5400 Н Шлифование Обкатка роликом Предел выносливости при изгибе a_i, МПа 230 100 190 483 200 575 242 105 232 239 215 100 170 Эффективный коэффициент концентрации напряжений *ст I 2,3 1,2 I 2.42 1.84 I 2,3 1,04 1,01 i 2,15 1,26 центрацией напряжений от посадки. Для снижения коэффициента концентрации напряжений целесообразно скруглять острые торцовые кромки ступицы радиусом R = 1УЬ, где /а — протяженность зоны концентрации напряжений, мм; /а = (0,05—0,08) d\ 6 — натяг, мм. Более эффективным средством снижения концентрации напряжений является конусная расточка с торцов отверстия в охватывающей детали с плавным переходом в цилиндрическую поверхность (рис. 9): tg а2 = 0,016н- 0,020. Сопротивление усталости прессовых соединений зависит и от материала охватывающей детали. Использование для изготовления охватывающих де талей более пластичных и менее проч ных материалов, чем для валов, способствует повышению выносливости соединений. Сопротивление усталости прессовых соединений может быть существенно повышено за счет ряда технологических мер. Рис. 9. Конусная расточка отверстия
108 Сварные и паяные соединения Рис 10 Конусная расточка отверстия и вала Во избежание повреждения контактирующих участков вала при сборке рекомендуется изготовлять вал с за- ходиым конусом, а охватывающую деталь — с фаской (рис 10) Существенное повышение предела выносливости (на 80—100%) можно получить при поверхностном упрочнении подступтной части вала (дробеструйной обработкой, обкаткой роликом, алмазным выглаживанием и Глава 7 ОСНОВНЫЕ ВИДЫ СОЕДИНЕНИЙ Различают следующие виды соединений, выполняемых дуговой и газовой сваркой стыковые (рис 1), иахле- сточные (рис 2), тавровые и угловые (рис 3) Для ответственных конструкций применяют стыковые соединения, имеющие прочность, близкую к прочности основного металла В зависимости от толщины деталей сварку выполняют односторонним (ррс 1, а) или двусторонним (рис 1, б) швами, а также проводят подготовку кромок [прямолинейный (рис 1, в—г) или криволинейный (рис 1, д) скосы] Если сварку можно производить лишь с одной стороны, то для предотвращения стекаиия металла с противоположной стороны подкладывают привариваемые стальные или отъемные медные подкладки (рис 1, е) Нахлесточиые, тавровые и угловые соединения выполняют угловыми швами с нормальным сечением — основная форма шва (рис 4, а) и улучшенным сечением (рис 4, б, в) т п ) Такими способами в настоящее время упрочняют валы больших диаметров (до 600 мм) При этом значительно замедляется развитие фрет- тинг-коррозии Степень повышения сопротивления усталости соединений зависит от режимов упрочнения (табл 6) При дробеструйной обработке мелкой дробью (d = 0,5—0,8 мм) подступич- ных зон валов наблюдается большее повышение прочности (в 2—2,2 раза), чем при обработке крупной дробью Предел выносливости прессовых соединений может быть повышен в 2— 3 раза за счет химико-термического поверхностного упрочнения (цементацией или азотированием) При расчете на сопротивление усталости упрочненных валов коэффициент технологического упрочнения можно принимать в пределах Руд = 1,7—2. Нахлесточиые соединения тонколистовых конструкций выполняют с помощью контактной сварки — точечной (рис 5, а) и шовной (рис 5, б) Диаметр сварной точки устанавливают в зависимости от толщины свариваемых деталей d = 1,2S + 4 мм, этот диаметр не должен превышать d= 1,5S + 5 мм, где S — наименьшая толшина гвариваемых элементов Рекомендуемое расстояние между точками а = 3d при сварке двух элементов и а = Ы при сварке трех элементов Расстояние от ряда сварных точек до ребер жесткости и кромок уголков должно быть не менее 2d Электронно-лучевая сварка имеет преимущества перед другими видами сварки благодаря высокой проплавляющей способности луча и возможности регулирования его размеров 1) обеспечивает малые габариты сварных швов и, как следствие, малое коробление деталей в зоне сварных швов, 2) позволяет сваривать металл очень малых и очень больших толщин, СВАРНЫЕ И ПАЯНЫЕ СОЕДИНЕНИЯ
Основные виды соединений 109 а) 6) в) им г) Рис. 1. Стыковые соединения й) А-А mm А] ч в-в "Ja[J AJ Г ш* ц ч 1) ■Н в) в) Рис. 2. Нахлесточные соединения, выполненные: а — фланговыми швами; б — лобовыми швами; в и лобовым) швом комбинированным (фланговыми щт а) I) шш в) г) д) щ Рис. 8. Тавровые (а—в) и угловые (г — е\ соединения Л-j Л-А ±J я т« 1 5-5 l 1 »; и *; Рис. 4. Ч> ормы угловых швов Рнс. 5. Соединения контактной сваркой: а — точечной; б — шовной (роликовой)
по Сварные и паяные соединения 1. Виды соединений, выполняемых электронно-лучевой сваркой Вид соединения Толщина свариваемого материала 5 Размер кромок * Ш А, т v 1—5 Св 5 1—5 Св. 5 0.1-0.4 Св. 3 0.2-1.0 0.5-10 0.2-0,8 0.3-10 Св. 0,2 Св. 1 0,3-1.0 0 6 — 3.0 0 — 0.1 0-0,2 0 — 0.1 0-0,2 0-0.15 0 — 0.1 0 — 0.1 0 — 0,15 0 — 0.15 0.8—1.5 1,0 — 3.0 1,0-2.0 1.0 — 3.0 0.3 — 0. 1.0 — 10 0.5 — 2.0 0,8 — 3.0
Контроль качества сварных соединений 111 Рис. в. Виды паяных соединений 3) допускает сварку через щели наружных стенок; 4) дзет возможность сваривать за один гпоход несколько деталей, расположенных одна под другой; так как сварку производят в вакууме, окисление металла сварного соединения исключается. Электронно-лучевая сварка оказывается целесообразной для соединения деталей из тугоплавких металлов, жаропрочных и титановых сплавов. При использовании электронно-лучевой сварки предъявляются высокие требования к подготовке кромок деталей и точности прилегания. Отдельные виды соединений, получаемые с помощью электронно-лучевой сварки, показаны в табл. 1. В паяных конструкциях, помимо соединений встык и внахлестку, рас пространены следующие: телескопиче ские (рис. 6, а), внахлестку с заклепкой (рис. 6, б) или штифтом (рис. 6, в) внахлестку со шпонкой (рис. 6, г) взамок (рис. 6, д). КОНТРОЛЬ КАЧЕСТВА СВАРНЫХ СОЕДИНЕНИЙ Для обеспечения надежности изделий в машиностроении вводят полный или выборочный контроль сварных соединений. Контроль осуществляют визуально, а также с помощью разрушающих и иеразрушающих методов. Выборочный контроль осуществляют обычно путем механических испытаний (статических или усталостных) на прочность или герметичность (вплоть до разрушения). В турбостроении основным методом контрг-ля сварных швов является ультразвуковая дефектоскопия. Наличие поверхностных трещин, непроваров и шлаковых включений контролируют в этих швах магнитной дефектоскопией, травлением и керосиновой пробой. Часто применяют рентгеновский контроль. Для сосудов, работающих под давлением свыше 5 МПа при температуре стенки свыше 200 °С и ниже —70 "С, ультразвуковая дефектоскопия является обязательной для всех швов. При давлении до 1,6 МПа и температуре стеики от —40 до +200 °С контролируют 25% длины швов. Все места пересечения сварных швов подлежат сплошному контролю. Для ответственных сварных соединении во всех отраслях машиностроения предусмотрены механические испытания образцов-свидетелей, а в исключительных случаях — вырезка контрольных проб из изделия. Основным видом сдаточного испытания элементов, работающих под давлением, является гидравлическое испытание всех сосудов, трубопроводов и других элементов и узлов после изготовления. По правилам Котлонадзора, при рабочем давлении в сосуде р < ^ 50 МПа пробное давление должно превышать рабочее давление не менее чем в 1,5 раза (Рпроб>20 МПа). При рабочем давлении р > 50 МПа пробное давление назначают рПроб = = 1,25р, но не менее (р + 30) МПа. Конструкции из литых элементов независимо от рабочего давления подвергают испытаниям при пробном давлении рпроб = 1,5р. но не менее 30 МПа. Силовой метод контроля повышенным давлением позволяет выявить грубые начальные дефекты. В тех случаях, когда используют физические неразрушающие методы контроля, пробное давление принимают равным (1,05ч- 1,1) р. В химическом машиностроении для аппаратуры емкостного типа, работающей под давлением, контроль качества сварных швов осуществляют 100%-ным визуальным осмотром и выборочным контролем ультразвуковым и рентгеновским методами. Готовые изделия
112 Сварные и паяные соединения проходят гидравлические испытания при давлении, увеличенном на 20— 50% в сравнении с эксплуатационным. РАСЧЕТ СВАРНЫХ СОЕДИНЕНИЙ ПРИ ПОСТОЯННЫХ НАГРУЗКАХ Стыковые швы рассчитывают на прочность по номинальному сечению соединяемых деталей (без учета утолщения швов), как целые детали. Напряжения растяжения А-А л^ ° = ls<[a' (1) где Р — внешняя нагрузка; I и S — соответственно длина шва и толщина соединяемых деталей; [о' ]р — допускаемое напряжение сварного шва при растяжении; часто принимают [а']р= (0,9-н1,0) [а]р, где [а]р— допускаемое напряжение при растяжении основного металла (см. табл. 2). Допускаемая растягивающая или сжимающая нагрузка Я= [u']plS. (2) Н апряжения в шве при совместном действии внешней силы и изгибающего момента MP Cmax = Тю 1" "Тс ^= [°']р! (3) здесь М и Р— изгибающий момент и внешняя сила; Wc — момент сопротивления сечения шва. Опасное сечение Рис. 7. К расчету угловых швов Расчет на прочность угловых фланговых и лобовых швов проводится на срез по сечению, проходящему через биссектрису прямого угла (рис. 7). Площадь расчетного сечения принимают F = 0,7£р/, (4) где kn — расчетный катет углового шва; Г— длина шва. Наибольшая длина лобового швз не ограничивается, а длину фланцевого шва не следует делать большей 2, Допускаемые напряжения для сварных швов при статической нагрузке Сварка Автоматическая, ручная электродами Э42А и Э50А, в среде защитного газа, контактная стыковая Ручная электродами обычного качества Контактная точечная Допускаемые напряжения для сварных швов прн растяжении [о' ] [о)р 0,9 [о] при сжатии [0]р при сдвиге [г' ] 0,65 [о]р 0,6 [а] 0,5 [о] Примечание, [ст) — допускаемое напряженке при растяжеини основного металла соединяемых элементов.
Расчет сварных соединений при постоянных нагрузках 113 50/fep из-за неравномерного распределения нагрузки по длине. Напряжения среза в расчетном сечении т--щ?<™ (5) где [т' ] — допускаемое напряжение сварного шва на срез. Если соединение имеет лобовые и фланговые швы, то в формулу (5) вместо I следует подставлять длину всего периметра угловых швов. Допустимая растягивающая нагрузка Р = 0,7*р/[т']. (6) Швы целесообразно располагать так, чтобы они были нагружены равномерно. Если фланговые швы размещены несимметрично относительно нагрузки, например, в соединении с уголком (рис. 8), то, полагая, что напряжения равномерно распределены по длине шва, из уравнений равновесия получим соотношения для нагрузок на фланговые швы в виде Pi=--—— Я; Р2 -- Q' Р. (7) Qi-rOa cti + Oi где аг и аг — расстояния от центра тяжести сечения элемента до центра тяжести сечения швов. Если задана длина шва , ^_ 0,7£р[т']' то ее целесообразно разместить пропорционально нагрузкам Рх и Р2: ;1==/__^_; /3==/__2l_, (8) ai-г-а* ai + <h что эквивалентно условию ij — т2. Для получения равномерного распределения нагрузки между швами необходимо длину каждого шпа принимать обратно пропорциональной расстоянию между центрами тяжести шва и детали. Расчет комбинированных (фланговых и лобовых) угловых швов под действием момента в плоскости стыка (рис. 9) выполняют, полагая, что швы работают независимо, а фланговые Рис. 8. Соединение пластины с уголком швы передают только силы вдоль своей оси. Из условий равновесия следует: Af= Fckx + Wci, (9) где Fc = 0,7kvl; Wc = —^~, откуда В уточненном расчете можно принять что приваренный элемент стремится повернуться вокруг центра тяжести площади сечеиий швов. Тогда М Trnax = ~7—'"msx^SI't'L О') •'р где Ур — полярный момент инерции швов, Ур = Jx + J у\ J х и J у — моменты инерции швов относительно осей х и у, проходящих через центр тяжести площади сечений швов; /•гаах— расстояние от центра тяжести до наиболее удаленной точки шва. Тавровые соединения, выполненные угловыми швами, рассчитывают по формулам (5) и (6), а стыковые — по формулам (1) и (2). Угловые соединения (см. рис. 3) не используются как силовые, их применяют, как правило, для образо- г ,, 1/2 , ":;;^. к Ряс. У К расчету соединений с жомбннн- ронаннъш угловым швом
114 Сварные и паяные соединения 3. Расчетные сопротивления R для ннзжоуглеродистых сталей Марка стали СгЗ, Ст4 10Г2С1, 15ХСНД 10ХСНД R. МПа, при растяжении * 210/180 290/250 340/290 сжатии 210 290 340 срезе 130- 150 170- 200 200 — 240 * В числителе дроби приведены значения R для швов, контролируемых физическими методами, в знаменателе — обычными методами (визуальным и т п ) вания профилей из отдельных элементов. Прочность стыкового соединения, полученного контактной сваркой, принимают равной прочности основного металла. Соединение, полученное точечной контактной сваркой, при действии нагрузки в плоскости стыка рассчитывают на срез, принимая равномерное распределение нагрузки между точками где Р — усилие, приходящееся на одну точку, i — число плоскостей среза точек. Швы, получаемые иа роликовых машинах, рассчитывают по формуле т=-£<[т']; (13) здесь а — ширина шва; / — его длина. Допускаемые напряжения в сварных швах в долях допускаемых напряжений основного металла приведены в табл. 2. Допускаемые напряжения для основного металла в металлоконструкциях вычисляют по формуле [<J] = -jF-. (14) где R ■= (0,85-= противление с материала (о"т териала); т — принимают в соединения и обычно т = 0 ент перегрузк для резервуар 0,9) о"т — расчетное со- учетом неоднородности — предел текучести ма- коэффициент, который зависимости от типа условий его работы, ,8-^0,9; К — коэффици- и, обычно К = 1-1— 1,2; ов с внутренним давлением К — 1,2; для подкрановых балок при тяжелом режиме работы К = = 1,3ч-1,5. В строительных конструкциях принимают расчетное сопротивление R = = 0,9ат. Значения R, принимаемые в ряде отраслей машиностроения, приведены в табл. 3. влияние основных конструктивных и технологических факторов на сопротивление усталости Сопротивление усталости сварных соединений часто оказывается более низким, чем сплошных деталей. Это объясняется следующими факторами: концентрацией напряжений, связанной с геометрией шва, непроварами и т. п.; неравномерным распределением нагрузки вдоль шва (во фланговых швах и ДР.); остаточными напряжениями после сварки; литейной структурой шва и около- шовиой зоны. Стыковые соединения. Эти соединения по сравнению с соединениями Других типов обладают повышенной прочностью благодаря уменьшению концентрации напряжении. На рис. 10 в качестве примера показано распределение нормальных напряжений в поверхностных слоях образца. Значения эффективных коэффициентов концентрации напряжений в сварных соединениях приведены в табл. 4.
Влияние основных факторов на сопротивление усталости 115 i,et>„ Рис. 10. Напряжения в стыковом соединении Стыковая сварка является основным видом соединения ответственных элементов конструкции. На основании экспериментальных исследований и данных практики можно указать следующие основные факторы, существенно влияющие на сопротивление усталости стыковых соединений. Состояние поверхности основного металла в зоне шва. Пределы выносливости деталей из низкоуглеродистых сталей, сваренных без удаления окисных пленок с по- 4. Эффективные жоэффнциенты концентрации напряжений в сварных соединениях Элементы соединения н их характеристика Коэффициент углеродистой k для стали низколегированной Сварные швы Стыковые швы (по оси шва) с полным проваром корня шва при автоматической н ручной сварке и контроле шва просвечиванием прн ручной сварке без просвечивания Угловые швы поперечные (лобовые) при сварке ручной автоматической продольные (фланговые), работающие иа срез Основной металл У перехода к стыковому шву с усилением без механической обработки uma с механической обработкой ним абразивным кругом или специальной фрезой н стыкования листов- одииаковой ширины и толщины разной ширины разной толщины У перехода к лобовому шву при направлении усилия вдоль большого катета н отношении катетов 1-го и 2 го листов *,/*„ = 2 ki/*s =1,5 У флангового шва У косынок, приваренных встык и втавр без механической обработки с механической обработкой при плавных формах косынок У косынок, приваренных внахлестку У ребер жесткости и диафрагм, приваренных лобовыми швами с плавными переходами 1,0 1.2 2.3 1,7 3,5 1,5 1 1,2 1,3 3/1,2 7/1.5 3,5 1,0 1,4 3.2 2,4 4,5 1,9 1 1,4 1,6 3,2/1,4 * 3,7/1,9 • 4,5 3,3 1,9 3,3 1.9 * В числителе дробн дано значение k для механически не обработанного шва, в знаменателе — для механически обработанного шва
116 Сварные и паяные соединения 1 1 1 1 1 zoo - |Ц~|-)— Напряжение - -*- 0—- + ZOO Ij4jr ■i ( ¥00 i——■ Ось i МПа ива ZOO с) ■ 0-^+WO 300 500 МПа 1 1 1 —Q i Ось о ива 1 i I 6) Рис. П. Остаточные напряжения в сварном соединении верхностн, ниже, чем у основного металла, на 40—65% и практически не зависят от режима автоматической сварки и сварочных материалов (электродов, флюса). Для низколегированных и средиеуглеродистых сталей прочность снижается еще в большей мере. Если окисиую пленку удалить методами резания, то предел выносливости соединений повысится на 20— 30%. Форма и размеры сварного шва. Размеры шва характеризуются высотой усиления шва g, его шириной b н углом 8 (см. рнс. 10; g = 3 мм; 6=13 мм). Рекомендуется выполнять швы с усилением при 6 = 160-^170° н отношении big =9-т-\1; прн этом эффективный коэффициент концентрации напряжений можно принимать по табл. 4. При 6 = 120° и big = Зч-5 значения ka нэ табл. 4 следует увеличивать в 2 раза. При односторонней сварке, когда невидимая часть шва формируется на флюсомедной подкладке с водяным охлаждением, можно получить предел выносливости, близкий к пределу выносливости основного металла. В сварных конструкциях следует избегать пересечения швов, иначе предел выносливости соединений снизится на 17—30%. Остаточные напряжения от сварки. Если распад аустенита в сталях происходит при высоких температурах (например, в низкоуглеродистых и низколегированных сталях), то после охлаждения шва в околошовных зонах образуются растягивающие остаточные напряжения с высоким градиентом (рнс. 11, а). Со временем остаточные напряжения изменяются (см. рис. 11,6), что может привести к появлению трещин в око- лошовиой зоне. Остаточные растягивающие напряжения на 30—40% снижают сопротивление усталости стыковых соединений из сталей 22К, 15ГФ и др.
Влияние основных факторов на сопротивление усталости 117 Во многих легированных сталях (например, 20Х2Н4А и др.) распад аустенита происходит при низких температурах. При охлаждении шва в таких материалах в околошовных зонах образуются сжимающие остаточные напряжения. Для ответственных конструкций после сварки обязательно проводят отжиг (в среде аргона или в вакууме) для снятия остаточных напряжений. Механическая обработка шва. Зачистка и снятие методами резания усиления шва способствует повышению сопротивления усталости соединений вследствие снижения концентрации напряжений. Эффективным средством повышения сопротивления усталости стыковых соединений из низколегированной стали 15ХСНД и среднелегированных сталей 34ХМ, 40ХН и др. является сочетание механической зачистки шва и термической обработки (снятие остаточных напряжений и улучшение структуры металла околошовной зоны). Обработка швов и околошовных зон методами поверхностного пластического деформирования (обдувка дробью, чеканка, обкатка роликом и др.) приводит к существенному повышению предела выносливости соединений. Особенно эффективно применение упрочняющей обработки для крупногабаритных деталей. В этом случае можно добиться равнопрочности основного металла и шва даже без обработки усиления шва методами резания. Повышение предела выносливости на таких деталях составляет 50— 100%. В табл. 5 приведены значения пределов выносливости стыковых соединений при симметричном (o_i) и пульсирующем (о0) циклах нагружений. Иногда для усиления стыкового соединения лобовыми швами прива- 5. Пределы выносливости стыковых сварных соединений из низколегированных сталей при симметричном и пульсирующем циклах 20Г ЮГ2С1Д 09Г2С 10Г2С1 * 10Г2С1Д * ЮХСНД • 15ХСНД •* 15Г2СФД Предел выносливости, МПа 0_1 89 70 78 68 68 80 70 72 О"о 150 150 ПО 160 98 Термообработанная Горячекатаная ривают накладки. В результате этого предел выносливости соединений снижается на 30—40% . Нахлесточиые соединения. В отличие от стыковых иахлесточные соединения имеют более высокую концентрацию напряжений. На рис. 12 показано распределение радиальных о>, окружных ©9 и касательных тгд напряжений в нахлесточных соединениях с лобовыми швами. При уменьшении Р до 45° концентрация напряжений возрастает, а усталостная прочность снижается на 20% . Применение пологих катетов (р ^> 60°) в сочетании с механической обработкой швов позволяет повысить предел выносливости соединений на 30%. Значения теоретических коэффициентов концентрации напряжений в соединениях с лобовыми швами даны в табл. 6. Соединения с фланговыми швами имеют большую концентрацию напряжений, чем соединения с лобовыми швами. Последнее связано с неравно- J1 Ы}° Л 60° Рис. 12. Напряжения в лобовом шве
Сварные и паяные соединения 6. Теоретические коэффициенты концентрации напряжений в иахлесточных соединениях с лобовыми швами Характеристика угловою шва В = 60° (см. рис. 12) В = 45° В = 45°, шов с непроваром В = 45°, шов с глубоким непроваром Тангенциальный вогнутый профиль Нетангенциальный вогнутый профнль Выпуклый профнль а0 У кромки 2.5 3.5 4.0 3.0 1,5 3,0 4.0 У корня 2,5 3.5 4.0 3,0 3.5 4,0 4,0 мерным распределением нагрузки вдоль шва (рис. 13, а). Поэтому в динамически нагруженных конструкциях нежелательно использовать соединения с фланговыми швами. В соединении с фланговыми и лобовыми швами последние улучшают распределение нагрузки и повышают предел выносливости соединений на 34—50%. Предел выносливости таких соединений с иеобработанными швами составляет в ряде случаев 30—45% предела выносливости цельной пластины. Высокий отпуск после сварки иахлесточных соединений не изменяет прочности. Поверхностный наклеп повышает предел выносливости на 25% соединений с фланговыми швами и на 60% — с лобовыми швами. С увеличением площади поперечного сечения накладки Ft (например, за счет толщины накладки) предел вы- 11 та F, Ft ш -У 1 F,<-F2 \ / 1 ={ 7Т ' V tman носливости соединений возрастает, так как максимум нагрузки смещается в этом случае в сторону основного листа с площадью поперечного сечения /\j (рис. 13, б). В иахлесточных соединениях низколегированные высокопрочные стали не имеют преимущества по сравнению с углеродистыми конструкционными сталями. Сопротивление усталости иахлесточных соединений, полученных контактной сваркой (точечной и шовной), низкое, что связано с высокой концентрацией напряжений в шве (табл. 7). Тавровые соединения. Концентрация напряжений в тавровых соединениях существенно выше, чем в стыковых, и зависит от подготовки кромок и степени проплавления (рис. 14). Цифрами на рис. 14 показаны значения нормальных напряжений в МПа в различных сечениях шва. Эффективные коэффициенты концентрации напряжений в тавровых соединениях с неподготовленными кромками и без проплавления изменяются от 2 до 4,5, а теоретические — от 3,4 до 5. Для тавровых соединений с малой глубиной проплавления (рис. 15, а—в) менее прочным является сечение по сварному шву. В соединениях с разделкой кромок элементов при наличии глубокого проплавления (рис. 15, г— е) эффективные коэффициенты концентрации напряжений ka изменяются от 1,1 до 1,7. Меньшие значения ka получают при тщательном выполнении сварки со сквозным проплавлением. В соединениях толстых листов получение полного провара затруднено и шщ F штш р 61 Рис. 13. Распределение нагрузки по длине иахлесточного соединения
Влияние основных факторов на сопротивление усталости 119 Расчетное напряжение РНс. 14. Напряжения в «авровом соединении: в — детали перед сваркий без скоса кромок, б детали с двусторонним скосом кромок S<WMM Щель рис. 15. Тавровые соединения
120 Сварные и паяные соединения 7. Эффективные коэффициенты концентрации напряжений в соединениях, полученных контактной сваркой Марка стали или сплава 10 12Х18Н9Т ЗОХГСА ВТ1 Д16Т Толщина листов, мм 3-3 1,5—1,5 Состояние материала Нормализованная Нагартоваииая Высокий отпуск В состоянии поставки *0 7,5/5 12/7,5 12/- 10/5 5,5/2,25 Примечание. В числителе дроби указаны значения к для точечной сварки, а в знаменателе — для шовной. 8. Сопротивление усталости соединений с конструктивными элементами Эскиз соединения Основной металл "max- МПа •^Ь- 7~ ъ- -яш 3~ "'к* 3- ^ ^г 3— Углеродистая сталь: ав = 377 МПа; ат = 245 МПа 200 -220 180 — 210 1,2 (шов обработан) 1,3 190 — 210 160 — 180 205 175 185 80 1,25 (шов обработан) 1.5 1.2 (шов обработан) 1.4 1,35 2.6 160 2.6 1 6 (шов обработан)
Влияние основных факторов на сопротивление усталости 121 Продолжение табл. 8 Эскиз соединения Основной металл атах, МПа Углеродистая сталь. ав = 530 МПа; Cfr = 360 МПа 0,2 160 — 170 д-п СгЗсп: 0"в =■ 403 МПа; 0"т = 242 МПа; -1.0 55 116 СтЗсп1 CfB - 430 МПа; <7„ = 305 МПа -1,0 96 1,5 Максимальные разрушающие напряжения сгаах = 0"т + о Для сварных соединений низкоуглеродистых сталей (iV = 107 циклов) Соединение Стыковое, выполненное автоматической или ручной сваркой, при обычном усилении шва Стыковое в случае пересечения его продольным швом Со вспомогательными элементами (планками, ребрами И т. д }, лобовыми швами при отношении катетов 1 . 1 Нахлесточное с обваркой по контуру Нахлесточное с фланговыми швами 0-шах, МПа, при г — 1 69 52 40 35 23 0 130 106 90 68 58 + 0,3 186 120 78 удорожает изготовление сварных конструкций. Наиболее рациональным в Таировых соединениях при больших толщинах принято считать применение частичного скоса кромок с сохранением непроверенной щели (см. рис. 15, в), отрицательное влияние которой можно скомпенсировать повышенной прочностью сварных швов. Исследования показали, что при ширине щели До 50% толщины листов несущая способность соединений не снижается. Соединения с конструктивными элементами. В ряде конструкций к основным силовым элементам приваривают различные конструктивные и связующие элементы (косынки, ребра, планки, накладки и др.), образующие обычно тавровые и угловые соединения. В таких конструкциях через сварные швы, как правило, не передается нагрузка на основной элемент. Однако при иагружении основного элемента в зоне присоединения дополнительного элемента создается значительная концентрация напряжений из-за резкого изменения сечения. Прочность конструкции в результате присоединения элементов может снизиться в несколько раз (табл. 8). Фланговые швы снижают прочность в большей степени, чем лобовые.
122 Сварные и паяные соединения Для уменьшения концентрации напряжений следует применять косынки с плавным очертанием и механической обработкой места перехода. Сопоставление пределов выносливости однотипных сварных соединений из низколегированных сталей показывает, что химический состав и механические свойства сталей практически мало влияют на сопротивление усталости соединений в исходном состоянии (без обработки). Сопротивление усталости соединений практически не изменяется даже после термического упрочнения сталей и зависит главным образом от амплитуды переменных напряжений цикла (табл. 9, при коэффициенте асимметрии г = О аа = 1/2о>, при г = — 1 аа — о>). РАСЧЕТ НА ПРОЧНОСТЬ ПРИ ПЕРЕМЕННЫХ НАГРУЗКАХ Если среднее напряжение цикла ат и амплитуда оа возрастают пропорционально при нагружении соединения, то запас прочности 0--1 Oako + ФсО"т ' (15) где 0-1 — предел выносливости материала с учетом масштабного фактора; ka — эффективный коэффициент концентрации напряжений (см. табл. 4); т|з0— коэффициент, учитывающий влияние на сопротивление усталости асимметрии цикла; а|>0 = = 0,14-0,2 для стыковых соединений из низкоуглеродистых сталей, а|>0 = = 0,2-=-0,3 — то же для средне- и низкоуглеродистых сталей. Если прн нагружении соединения возрастает лишь амплитуда переменных напряжений, то запас по переменным напряжениям (например, в случае резонансных колебании сварных деталей) "<< = 7Гь • (16) Обычно пс i> 2, па i> 2,5. В крано- и мостостроении расчет сварных конструкций при переменных нагрузках выполняют по допускаемым напряжениям, которые получают умножением допускаемых значении напряжений при статических нагрузках [а]р на коэффициент у, получаемый опытным путем: Т = (ak0 ±Ь)- (aka =Fb)r' (17) где а и b — коэффициенты, характеризующие материал, в краностроении для углеродистой стали принимают а = 0,6; Ь = 0,2; в мостостроении для низкоуглеродистых сталей а = 0,9; Ь — = 0,3 и для низколегированных сталей а — 0,95; Ь = 0,35; ka — эффективный коэффициент концентрации напряжений; г — коэффициент асимметрии цикла. Верхние знаки в знаменателе дроби формулы (17) соответствуют расчету прн растягивающих omax. нижние — при сжимающих amia. Если конструкция рассчитывается на ограниченный срок службы: Л/р< Л/о (где Л/р и Л/б — соответственно число циклов отработки конструкции за ресурс и базовое число циклов, соответствующее перегибу кривой усталости на уровне предела выносливости), то формула (17) уточняется: 'ffr где 11,2 «о Для предварительной оценки Л/р можно пользоваться нормами для кра новых конструкций, установленными Европейской административной федерацией [4]: Интенсивность использования N (циклов) 6.3.104 2,0- I05 6.3- !05 2.0- 10е Случайное, периодическое Постоянное неиитенсивиое . . » интенсивное . Непрерывное очень интенсивное Расчет на сопротивление усталости соединений, полученных контактной сваркой, выполняют аналогично. ПАЯНЫЕ СОЕДИНЕНИЯ Паяные конструкции получили широкое распространение в различных отраслях машиностроения и в ряде
Паянные соединения 123 10. Механические характеристики и области применения распространенных припоев Марка припоя ВПр 1 ВПр 2 ВПр 4 Л63 (проволока) ПСр 40 ПСр 45 ПОС 90 ПОС 6! ПОС 40 Основа Медь Медь Серебро Олово и свинец ов, МПа 840—900 330 — 440 690 — 760 450 380—440 370—510 43 41 36 6,. % 12—18 22 — 46 9-13 2 18 — 37 16-35 25 34 32 Назначение Припои теплостойкие для пайки трубопроводов, лопаток газовых турбин и других деталей и узлов из коррозионно-стойкой стали Для пайки стальных изделий неответственного назначения, а также для пайки сталей с иагартовкой при неравномерном нагреве Для пайки трубопроводов, патрубков и других деталей и узлов из конструкционных и коррозиоиио стойких сталей Могут работать до температур 350-450 "С Внутренние швы медицинской аппаратуры, детали электротехнической и приборостроительной промышленности случаев вытесняют сварные соединения. Пайкой изготовляют не только отдельные детали, но и сложные крупногабаритные узлы. При конструировании паяных изделий важное значение имеют выбор припоя и способа пайки. При выборе основного металла следует учитывать паяемость его припоями, обеспечивающими требуемую прочность, чувствительность основного металла к нагреву и склонность его к образованию трещин под действием расплавленных припоев, проникающих между кристаллами по границам зерен. Например, пайку сталей латунью применяют в ограниченном масштабе, так как медь является основным компонентом, вызывающим охрупчивание соединении. Поэтому в серебряные и никелевые припои для деталей, работающих при повышенной температуре, не вводят медь [2]. Для уменьшения склонности к хрупкому разрушению рекомендуется наносить на детали никелевое покрытие. При паянии разнородных металлов необходимо учитывать различие в коэффициентах их термического расширения. При высокотемпературной пайке ряда разнородных металлов (например, титана с медью и никелем, магиия со сталью, алюминия с медью и др.) невозможно получить пластичные и прочные соединения без нанесения на них барьерных покрытий, предохраняющих разнородные металлы от активного взаимодействия и, как следствие, возникновения в паяном шве хрупких интерметаллидов. В качестве барьерного покрытия наносят такой металл, который легко паяется и образует прочные связи с основным конструкционным материалом. Припои должны хорошо смачивать покрытие и другой металл (без покрытия), ие образуя с ними иитерме- таллиды. Например, для пайки стали с титаном иа последний наносят молибденовое покрытие, затем осуществляют пайку медными или серебряными припоями. В табл. 10 приведены механические характеристики и области применения припоев. Для пайки жаропрочных сталей и сплавов используют припои на основе никеля, марганца и палладия с добавками других элементов (хрома, кобальта, циркония
124 Сварные и паяные соединения II Зазоры применяемые при пайке металлов Основной металл Углеродистые стали Коррозиоиио стойкие стали Жаропроч ные стали и сплавы Титановые сплавы Медь н медные сплавы Алюминиевые сплавы Основа припоя Медь Латунь Серебро Медь Латунь Серебро Никель — хром Никель Палладий Серебро Серебро- марганец Медь — цинк Медь — фосфор Серебро Алюминий Зазор, мм 0 02—0 15 0 05—0 30 0 05—0 15 0 05 — 0 12 0 05—0 30 0 05—0 12 0 05—0 10 0 05 — 0 10 0 05—0 10 0 03-0 10 0 03 — 0 10 0 10 — 0 30 0 02—0 15 0 03—0 15 0 10 — 0 30 12 Прочность при срезе паяных соединений Основной 12Х18Н9Т 40ХН2МА ЗОХГСА Медь тв МПа Для ПГ 40 240—290 330-460 350 — 460 250 припоев ПСр 45 180 — 260 350-410 250 и др ), а также твердые и газообразные флюсы Пайку в атмосфере газообразных флюсов (фтористый водород, трех- фтористый бор и др ) производят в герметичных контейнерах, нагре ваемых в печах Пайку корпозионно стойких сталей, жаропрочных и титановых спла вов, керамики и тугоплавких металлов производят часто в вакууме (в вакуумных печах) На качество соединения существенное влияние оказывает размер паяльного зазора (табл И) и условия течения припоя в нем Чем лучше припой смачивает поверхность основного металла, тем меньшим можно назначить зазор При активном растворении основного металла расплавленным припоем зазоры устанавливают большими, так как припои повышают температуру плавления и хуже растекаются При увеличении зазоров прочность паяного соединения уменьшается из-за образования пустот, не заполненных припоем, флюсовых включений и т п Указанные в табл 11 зазоры должны быть выдержаны при нагреве до температуры пайки Прочность паяных соединений существенно зависит от прочности припоя и активности взаимодействия расплавленного припоя и основного металла При активном растворении припоя в металле прочность соединений на 30—60% выше прочности припоя Механические характеристики паяных соединений приведены в табл 12— 15 При повышении температуры окружающей среды прочность соединений снижается Для соединений, работающих при повышенных температурах, целесообразно применять припои, легированные марганцем (ПСр 37,5) и никелем (ПСр 40) Жаропрочные припои на основе меди (табл 14) могут работать до температуры 600 °С С помощью жаропрочных припоев на основе никеля получают соединения с рабочей температурой до 900 °С Прочность соединений, паяных оло- вянно-свинцовыми припоями, составляет 30—60 МПа (табл 15) В паяных конструкциях в основном следует применять соединения внахлестку (особенно в герметичных соединениях, рис 16) В соединениях необходимы вентиляционные отверстия для отвода газов, создающих давление при нагреве во время пайки (рис 17) При пайке фланцев к трубам следует предусматривать посадочный поясок и упор на трубе или фланце (рис. 18), а при пайке конструкции
Паяные соединения 125 13. Прочность при срезе паяных соединений внахлестку при повышенных температурах Основной металл 12Х18Н9Т 15Х18Н12С4ТЮ Припой ПСр 45 ПСр 37,5 ПСр 40 * 200 220 — 320 в, МПа, при 300 160—240 310—350 150—170 температуре 4 00 145— 150 50 — 90 °С 600 30-40 110-180 14. Прочность при срезе соединений, паянных жаропрочным припоем на основе меди ВПр Основной металл 12Х18Н9Т Х15Н9Ю Х17Н5МЗ -60 430 — 580 250 — 300 190-220 Ч 20 370—500 210—300 210 — 250 МПа, при температуре, 200 300—400 200 -300 190-230 400 190-220 190-240 210-250 °С 500 120—200 90- 130 600 90-160 15. Прочность при срезе соединений, паянных оловянно-свинцовым припоем ПОС 40 Основной металл МЗ Л62 Сталь 20 12Х18Н9Т -196 35 29 60 30 тв, МПа, при температуре ° -183 33 29 55 34 — 96 34 31 55 30 -60 35 27 51 50 С 20 27 99 28 32 85 16 14 22 20 с посадкой деталей с натягом — ка- В конструкциях, где припой уклады- навки для лучшего затекания припоя. вают в виде щайб, фольги или тонкой При конструировании соединения, пайка которого будет производиться в печах и других установках, следует предусматривать специальные пазы нли выемки для укладки на место спая припоя в виде порошка, пасты, проволоки, полос, щайб или нанесения припоев гальваническим способом, с термовакуумным напылением и т. д. (рис 19). Рнс. 17. Соединения (. вентиляционными отверстиями • 16. Паяные соединения внахлестку Рис. IS. Соединения с посадочным пояским и упором
126 Валы Рис. 19. Укладка припоя полосы, необходимо обеспечить возможность перемещения паяиых де- Глава 8 ВАЛЫ В машиностроении наиболее распространены прямые валы в форме тел вращения, устанавливаемые в подшипниковых опорах. Валы, передающие только крутящий момент от одной детали к другой, называют торсионными (рессорами). Часто передача крутящего момента связана с появлением осевых и радиальных сил. Валы обычно подвержены действию крутящего и изгибающего моментов, а также перерезывающих и продольных сил. Реже встречаются валы, используемые лишь для поддержания вращающихся деталей и не передающие полезного крутящего момента. Такие валы называют осями. Для обеспечения работоспособности валы и оси должны удовлетворять условиям прочности, жесткости и технологичности. В специальных конструкциях к валам предъявляют дополнительные требования: износостойкости, устойчивости, минимальной массы и т. п. КОНСТРУКТИВНЫЕ ФОРМЫ И МАТЕРИАЛЫ ВАЛОВ В зависимости от распределения нагрузок вдоль оси вала и условий сборки прямые валы выполняют ступенчатыми (рис. 1, а) или гладкими1 (рис. 1, б). 1 В последние годы гладкие валы благодаря технологичности находят все более широкое применение. талей в сторону уменьшения зазора (например, за счет прижимов и т. д.). Паз или выемку для укладки припоя выполняют, как правило, иа детали, имеющей большее сечение. Расчет на прочность паяиых соединений проводят так же, как и расчет сварных соединений. Контроль качества паяиых соединений аналогичен контролю сварных соединений. Более распространены валы ступенчатые, близкие по форме к балкам равного сопротивления изгибу. Такие валы удобны при сборке, а уступы используют обычно для упора деталей, насаживаемых на вал, и передачи осевых усилий. При конструировании ступенчатых валов необходимо иметь в виду, что любая насаживаемая неразъемная деталь должна проходить до своего места посадки на валу без натяга (во избежание ослабления посадок из-за повреждения поверхностей) . Диаметры посадочных поверхностей (под ступицы колес, звездочек и др.) следует выбирать из стандартного ряда посадочных размеров, а диаметры посадочных поверхностей под подшипники качения — из стандартного ряда внутренних диаметров подшипников. Конструктивная форма зависит от нагрузок на вал и, как следствие, от способа соединения вала с насаживаемыми иа него деталями. При больших крутящих моментах и повышенных требованиях к центрированию применяют шлицевые соединения (см. гл. 5). Для снижения напряжений на шлицевых участках валов целесообразно увеличивать внутренний диаметр шлицев на 15—20% по сравнению с диаметром вала (рис. 2). Входные кромки шлицев на валу должны иметь фаски для облегчения монтажа и снижения контактных давлений при работе. Если соединение передает (помимо крутящего момента) осевое усилие, то
Конструктивные формы и материалы валов 127 »::—FFB -л—-> Рис. 1. Прямые валь осуществляют затяжку соединения, фиксируя его в осевом направлении с помощью упорного буртика, который выполняют обычно на гладкой части вала. При средних значениях крутящего момента и менее высоких требованиях к точности центрирования применяют шпоночные соединения (см. гл. 5). При действии осевых усилий соединяемые детали также фиксируются в осевом направлении затяжкой (рис. 3). Для зубчатых колес 7-й степени точности и выше рекомендуется применять шлицевые соединения независимо от крутящего момента. Если шпоночное соединение собирается с гарантированным иатягом, то необходямо предусмотреть возможность направления паза ступицы на шпонку до начала участка с натягом (например, за счет удлиненной направляющей фаски и т. д.). Соединение валов и ступиц (шкивов, колес и др.) часто осуществляют с гарантированным натягом (см. гл. 6). В таких соединениях имеется довольно высокая концентрация напряжений (см. с. 103). При конструировании валов следует предусмотреть меры по снижению концентрации напряжений вблизи кромок ступиц. Диаметр под- ступичной части вала для этих же Целей следует увеличивать на 5—10% по отношению к соседним участкам. Для повышения сопротивления усталости подступичную часть вала желательно упрочнить поверхностным пластическим деформированием. Для посадки подшипников на валах Делают заплечники или упорные буртики (рис. 4), их высота должна находиться в соответствии с размерами скруглений на кольцах подшипников и условиями демонтажа подшипников. Переходные участки валов между соседними ступенями разных диаметров выполняют с полукруглой канавкой для выхода шлифовального круга (рис. 5, а), галтелью постоянного радиуса (рис. 5, б) и галтелями специальной формы (см. рис. 4). Сопряжение шейки подшипника с соседним участком вала обычно осуществляют галтелью постоянного радиуса (tlr = 3, rid = 0,2-0,4). Рнс. 3. Соединение шпоикой
128 Валы Bnfrb Рис. 4. Сопряжения ступеней вала 1 1 1 \ 1 " ■w \ И' <s , i i «; Рис. 5. Галтели на валах f////////m ШШШт, Рис. 6. Шлнцевое соединение валов В ряде конструкций применяют прямые полые валы. Ка^ал уменьшает массу вала, его используют для размещения соосного вала, деталей управления, подачи масла и охлаждающего воздуха и т. п. Часто для подвода масла к подшипникам или других целей вал изготовляют со сквозным поперечным отверстием, создающим высокую концентрацию напряжений. Для повышения прочности валов отверстия подвергаются дорновакию (шариком или дор- иом, см. гл. 34), края отверстий скругляют. Длинные валы выполняют составными. Соосные валы соединяют с помощью шлицевых соединений (шлнце- вых муфт, рис. 6), или фланцевых соединений (рис. 7). Для передачи больших крутящих моментов и при ограниченных осевых габаритах используют соединения с торцовыми радиальными шлицами эвольвентного или, реже, треугольного профиля (рис. 8). Протяженность торцовых шлицев иногда сокращают, выполняя их секторами на участках между болтами. Подобным образом осуществляют соединения валов с дисками компрессоров и турбин. Для изготовления валов в основном используют углеродистые стали марок 20, 30, 40, 45 н 50, а также легированные стали марок 20Х, 40Х, 40ХН, 30ХГСА, 40ХН2МА, 18Х2Н4МА и др. (табл. I). 7 Фланцевое соединение валов Рис. Ь. Соединение с помощью торцовых шлицев
Основные технические требования 129 1. Механические характеристики основных материалов валов Марка стали Ст5 45 40Х 40 ХН 20 20 X 12ХНЗА 12Х2Н14 18ХГТ ЗОХГТ Диаметр заготовки, мм. не более Не ограничен Не ограничен 120 80 Не ограничен 200 120 Не ограничен 200 60 120 120 120 60 Не ог раничен 120 60 Твердость НВ. не менее 190 200 240 270 200 240 270 240 2'С 145 197 260 300 330 270 320 415 <*в 0Т 0-1 Х-1 МПа 520 560 800 900 730 800 900 820 920 400 650 950 1100 1 150 950 1150 1500 280 220 280 550 650 500 650 750 650 750 240 400 700 S50 950 750 950 1200 250 350 380 320 360 410 130 150 210 230 200 210 240 360 210 420 250 i 170 300 420 500 520 450 520 650 100 160 210 250 280 260 310 330 Коэффициенты * % 0 0 0,1 0,1 0.1 0.1 0 0.05 0.1 0,15 0,15 0,1 0.15 0,2 ♦т 0 0 0 0,05 0,05 0,05 0 0 0,05 0,1 0,1 0,05 0,1 0,1 * См с 138 Выбор материала, термической и химико-термической обработки определяется конструкцией вала (например, валы-шестерни изготовляют из низкоуглеродистых легированных сталей марок 12ХНЗА, 12Х2Н4А и других с последующей цементацией) и опор, требованиями к конструкции н условиями эксплуатации. Быстроходные валы, вращающиеся в подшипниках скольжения, требуют высокой твердости цапф, поэтому их изготовляют из цементуемых сталей 12Х2Н4А, 20Х, 18ХГТ или азотируемых сталей 38Х2МЮА и др. ОСНОВНЫЕ ТЕХНИЧЕСКИЕ ТРЕБОВАНИЯ Технические условия на изготовление валов зависят от требований к конструкции. Обработку валов осуществляют, как правило, в центрах. 5 Заказ 402 Наиболее жесткие требования по точности и шероховатости поверхности предъявляются к шейкам валов, на которые устанавливают подшипники качения. Отклонения от круглости и цилин- дричностн мест посадки не должны превышать 0,5 допуска на диаметр, а для подшипников классов точности 5, 4 и 2—0,25 допуска на диаметр. Торцовое биение заплечика для подшипников классов точности 0 и 6 не должно превышать 0,02—0,03 мм, а для подшипников классов точности 5, 4 и 2—0,003—0,018 мм. Контроль шеек осуществляют индикатором или миниметром. Параметры шероховатости поверхности шеек под подшипники принимают равными Ra = 0,032-^1,^5 мкм. Допуски на относительное радиальное биение шеек валов для посадки зубчатых колес, муфт, шкивов н других подобных деталей в зависимости
130 Валы от их окружной скорости по внешнему диаметру составляют (0,7—2) б (здесь 6 — допуск на диаметр контролируемой шейки вала; меньшее значение соответствует окружной скорости v > > 10 м/с). Допуски на биение упорных буртиков валов в зависимости от диаметра вала, окружной скорости сопряженных с валом деталей, а также кинематической точности зубчатых колес изменяются от 0,01 до 0,06 мм (большие значения назначаются при диаметрах вала свыше 55 мм). Допуски.на перекос и несимметричность расположения шпоночных пазов иа валу составляют соответственно 0,56 и 20 (здесь 6 — допуск на ширину шпоночного паза). Если деталь устанавливают на двух шпонках, то допуск на их несимметричность принимают равным 0,56. Технологический контроль вала включает проверку диаметральных и линейных размеров (скобами и универсальными измерительными средствами) ступеней, взаимного расположения обработанных поверхностей, шероховатости поверхности и твердости. НАГРУЗКИ НА ВАЛЫ И РАСЧЕТНЫЕ СХЕМЫ Для оценки прочности необходимо знать действительное распределение напряжений в сечениях вала от внешних нагрузок (постоянных и переменных). Внешние нагрузки передаются на валы от сопряженных деталей (зубчатых колес, муфт и др.) и могут быть определены путем расчета (стационарные устройства при установившихся режимах работы: конвейеры с непрерывным питанием, грузоподъемные устройства и т. п.). Если внешние нагрузки известны, то при расчетном определении внутренних силовых факторов в сечениях вал рассматривают как балку, шар- нирно закрепленную в жестких опорах (рис. 9, а) *. Такая модель формы вала * Введение условных шарнирных опор эквивалентно замене давлений иа валу от подшипника сосредоточенной силой (си- лани). и условий закрепления близка к действительности для валов, вращающихся в опорах качения. При установке в опоре двух подшипников качения (рис. 9, б) большую часть нагрузки будет воспринимать внутренний подшипник. В этом случае условную опору можно поместить во внутреннем подшипнике либо так, как показано на рис. 9, б. В более точных расчетах вал рассчитывают как многоопорную балку (рис. 9, б) на упругих опорах с осадкой (вертикальным смещением) [1J: -['♦^(ч-г-)]'. ». ** ». 0,74-0.2d где я — коэффициент, я — „ г У 0,IP для однорядного радиального шарикоподшипника; я — 0,32+ 0,0026d — для цилиндрического роликоподшипника: я = 0,019+ 0,00!5d — для конического роликоподшипника широкой серии; я = 0,022 + 0,0015d — для конического роликоподшипника нормальной серии; b — ширина кольца; <Lu D — соответственно внутренний и наружный диаметры подшипника, см; Р — радиальная нагрузка, Н. Обычно ЫР= (5-f-lO) Ю-5 см/Н. Условную опору для валов, опирающихся по концам на подшипники сколь жения, располагают на расстоянии (0,25—0,3) / от внутреннего торца (см. рис. 9, в), но не далее 0,5 d от внутренней кромки подшипника [1]. Смещение опоры от центра подшипника в сторону внутреннего торца связано со смещением в эту сторону максимальных контактных давлений вследствие деформации вала и подшипника. В уточненном расчете следует учесть распределение давлений по длине контакта цапфы н подшипника, рассматривая упругий контакт вала и подшипника через условный контактный слой (см. гл. 29). Нагрузки от дисков, шкивов, зубчатых колес и других деталей также передаются на валы через площадки контакта. Распределение давлений (напряжений) в зонах контакта зависит от ряда конструктивных и технологических факторов (см. гл. 29), а рас-
Расчет прочности, жесткости и устойчивости валов 131 Рис. 9. Расчетные схемы опор аало четное определение этих давлении в соединениях и передачах связано со значительными математическими трудностями. В приближенных расчетах валов обычно не учитывают распределение нагрузок по длине зубьев и зубчатых колес и шлицевых соединений, вдоль шпоиок, вкладышей подшипников скольжения и других деталей, и при составлении расчетной схемы вала эти давления обычно заменяют эквивалентными сосредоточенными силами (рис. 9, г), приложенными в середине площадки (площадок) контакта 1. РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКОЙ ПРОЧНОСТИ, ЖЕСТКОСТИ И УСТОЙЧИВОСТИ ВАЛОВ Основными для валов являются постоянные и переменные нагрузки от деталей передач и рабочих дисков (на- 1 Такая схематизация нагрузок справедлив ' при малой протяженности пло- Щадкч контакта. пример, дисков компрессора, турбин и др.). Переменные напряжения в валах могут вызываться изменяющейся по времени внешней нагрузкой.. Постоянные по величине и направлению силы передач вызывают во вращающихся валах переменные напряжения, изменяющиеся по симметричному циклу. Валы могут быть нагружены и постоянными напряжениями (например, от неуравновешенности вращающихся деталей). На статическую прочность валы рассчитывают по наибольшей возможной кратковременной нагрузке (с учетом динамических и ударных воздействий), повторяемость которой мала и не может вызвать усталостного разрушения. Так как валы в основном работают в условиях изгиба и кручения, а напряжения от продольных усилий не велики, то эквивалентное напряжение в точке наружного волокна а3хв = V°l + К , (1) 5*
132 Балы 2. Моменты сопротивления и площадь сечения сплошных круглых валов D, мм 20 21 22 23 24 25 26 28 30 32 34 35 36 37 38 40 42 44 45 46 47 48 50 52 55 58 60 62 65 68 70 72 W„. с,,' 0,785 0,909 1,045 1,194 1,357 1,534 1,726 2,16 2,65 3,22 3,86 4,21 4,58 4,97 5,39 6,28 7,27 8,36 8,95 9,56 10,19 10,86 12.27 13,80 16,33 19,16 21,2 23,4 27,0 30,9 33,7 36,6 WK, см' 1,571 1,818 2,090 2,39 2,71 3,07 3,45 4,3i 5,30 6,43 7,72 8,42 9,16 9,95 10,77 12.57 14,55 16.73 17,89 19,11 20,4 21,7 24,5 27.6 32,7 38.8 42,4 45,8 53,9 61,7 67,3 73,3 1 F, сма 1 3,14 3,46 3.80 4,15 4,52 4,91 5,31 6,16 7.07 8,04 9,08 9,62 10,2 10,8 11,3 12,6 13,9 15,2 15,9 16,6 17,3 18,1 19,6 21,2 23,8 26,4 28,3 30,2 33,2 36,3 38,5 40,; D, мм 75 78 80 82 85 88 90 92 95 98 100 105 ПО 115 120 125 130 135 140 145 150 155 160 165 170 175 180 185 190 195 200 И?и, см' 41,4 46,6 50,3 54.1 60,3 66,9 71,6 76,5 84,2 92,4 98,2 113.7 130,7 149,3 169,6 161,7 216 242 269 299 331 366 402 441 482 526 Ь73 622 673 728 785 U/K, cms 82,8 93,2 100,5 108,3 120,6 133,8 143,1 152,9 lbb.3 184,8 196,4 227 261 299 339 383 431 4 84 539 599 663 731 804 882 965 1053 1145 1243 1347 1 156 1571 F, см2 44,2 47,8 50,3 52,8 56,7 60,8 63,6 66,5 70,9 75,4 78,5 86,6 95.0 104 113 123 133 143 154 165 177 189 201 214 227 24 1 254 269 284 2«8 1314 где 0И — наибольшее напряжение при изгибе моментом Ми: с„ = -==2. т„ — наибольшее напряжение при круче- Ми иии моментом М* Тк =■ W« wa и WK — соответственно ocesofl и полярный моменты сопротивления селения вала (табл. 2—5), я!)3 W и V) Wu 2Wa =. 16 Для валов круглого сплошного сечения WK — 2VCa, в этом случае 32 °эка = -JST /М\ + 0,75/И[, (2) где D — диаметр вала. Запас прочности по пределу теку чести о- пг — OV (3) Обычно принимают п— 1,2-И,8. Опасное сечение (сечения), в котором следует найти запас прочности, определяется значениями моментов н размерами сечений. Это значение находят после построения эпюр изгибающих и крутящих моментов. Если нагрузки действуют на вал в разных плоскостях, то, проектируя силы на оси координат, вначале строят эпюры моментов в координатных плоскостях. Далее проводят геометрическое суммирование изгибающих моментов.
Расчет прочности, жесткости и устойчивости валсв 133 Если угол между плоскостями действия сил не превосходит 30°, то для простоты считают, что все силы действуют в одной плоскости. Тонкостенные валы могут выходить из строя вследствие потерь устойчивости (выпучивания) как от действия крутящих моментов, так и в результате изгиба. Проверка устойчивости тонкостенных валов является при кручении и изгибе необходимой (см. гл, 25), Упругие перемещения валов оказывают неблагоприятное влияние иа работу связанных с ними соединений (шлицевых, прессовых и др,), подшипников, зубчатых колес и других деталей: увеличивают концентрацию контактных напряжений и износ деталей, снижают сопротивление усталости деталей и соединений, понижают точность механизмов и т. п. Большие перемещения сечений вала от изгиба мог^т привести к выходу из crpoi: конструкции вследствие заклинивания подшипников. Изгионая и крутильная жесткость валов существенно влияет на частотные характе- 3. Коэффициенты снижений момента сопротивления и площади сечения для валов с центральным каналом d D 0 0,20 0,25 0.30 0,35 0,40 0.4! 0.42 0,43 0,44 0.45 0,46 0,47 0,48 0,49 0,50 0.51 0,52 0,53 0,54 0.55 0,56 0,57 0.58 0,59 0,60 0.6i 0,62 0,63 0,64 0,65 0.66 0,67 IW 1.000 0,998 0,996 0,992 0.985 0,974 0,972 0,969 0,966 0,963 0,959 0,956 0 952 0.947 0,942 0.938 0,932 0.927 0,921 0,915 0,909 0,901 0,895 0,888 0,879 0,870 0,862 0.852 0,842 0,833 0,822 0.811 0.800 1 1 IF 1,000 0,960 0,938 0,910 0,878 0,840 0,83? 0.824 0,815 0,806 0,798 0,788 0,7'9 0,770 0,760 0,750 0.740 0,730 0,719 0.708 0,o9S 0,686 0,675 0,664 0.652 0,640 0.628 0,616 0,693 0,590 0,577 0,5b4 0.551 d D 0,68 0,69 0.70 0,71 0.72 0.73 0,74 0.75 0.76 0,77 0,78 0,79 0,80 0 51 0,82 0.83 0,84 0,85 0.86 0.87 0,88 0 89 0.90 0.91 0,92 0,93 0,94 0,45 0,96 0,97 0,98 0,99 IW 0.787 0,773 0.760 0.747 0,731 0.718 0,701 0.684 0.666 0.C48 0,630 0 610 0,59u 0 569 0,548 0,526 0,501 0,478 0,452 0,427 0.400 0,372 0.34 3 0,314 0.284 0,-.'52 0,219 0.185 0.151 0,115 0,077 0,040 6^ 0,538 0,524 0 510 0.496 0,482 0.467 0,452 0,437 0,422 0.407 0.392 0,376 0,360 0,344 0,328 0 311 0,294 0,278 0,260 0,243 0.226 0 208 0.190 v 0,172 0,154 0.133 0.1 16 0.098 0,078 0,059 0,010 0,0?0 Примечание Значения W0 и FQ для валов с наружным диаметром D, осла' ленных отверстием Диаметрам d, вычисляют } множенном приведены/ в табл 2 знач аий W и F соответственно на коэффициенты tW и IF; W„n =■ U'£W; №\A = W„£№ р ио л- ко к rn = F%F.
134 Валы 4. Моменты сопротивления и площади сечений валов, ослабленных пазом для одной стандартной шжжки D, мм 20 21 22 23 24 25 26 28 32 34 35 36 37 38 40 42 44 45 46 47 48 50 52 55 58 60 62 65 68 70 72 75 78 ftXh. мм 6X6 8X7 10X8 12X8 14X9 16Х 10 18X11 20 X 12 W„. см1 0.655 0,770 0.897 1.038 1,192 1,275 1.453 2,32 2.73 3.333 3.66 4,01 4,27 4.66 5.51 6.45 7.25 7,80 8.38 8,98 9,62 10.65 12.10 14.5! 16,81 18.76 20.9 24,3 27.5 30,2 33.0 37.6 42,6 №„, см' 1.44 1.68 1.94 2.23 2,55 2,81 3,18 4.97 5.94 7.19 7,87 . 8.59 9,24 10.04 11,79 13,72 15,61 16,74 17.93 19,17 20,5 22.9 25.9 30.8 36.0 40.0 44.3 5!.2 58.4 63.8 Ь9,7 79.0 89.2 F. см1 2.96 3.28 3,62 3.98 4,34 4,62 5,03 6,79 7 64 8,68 9.22 9,78 10,27 10,86 12,09 13.37 14.58 15.27 15,99 16,'•г 17,47 18,84 20.4 23.0 25.4 27.3 29.2 32.2 35.1 ■ 37,3 39,5 43,0 46.6 D, мм 80 82 85 38 90 92 95 98 100 105 ПО 115 120 ЬХН. мм 24 X 14 28 X 16 32х 18 125 130 135 140 145 150 155 160 165 170 1 175 180 185 190 195 200 36 X 20 W„. см* 44,7 48,4 54.3 60,6 65,1 67,9 75,3 83,1 88.7 103,7 1 17.4 135,2 154,8 172.7 195.8 221 248 40Х 22 45X25 272 303 336 372 409 4 50 484 529 576 627 680 736 WK. см" 95,0 102.5 114.6 127,5 136,7 144,3 159,4 175,5 186,9 217 248 285 342 364 412 . 462 517 .571 634 702 774 850 932 1010 1101 1198 1300 1408 1521 Р. см1 48,6 51.1 55,1 59,1 61.9 64,2 73,2 76,3 84,4 92.2 101.0 110.2 119,1 129,: 139.5 150,3 160.7 172." 184.о 196,7 209 223 235 249 263 278 293 309 Примечание. ПО* bh W„ = "зГ bh (2D I6D />)' nD' bh (2D ft)2 I6D
Расчет прочности, жесткости и устойчивости валов 135 ч* * ^ U чЗ ■ X ■о I ч * -5 ^1 i и i i 1 СМ О" 1С ч* СЗ ' 00 СП со rt ic оо —* со —* — СМ СО 1С О — СМ СГ СО С"> OJ С7> — CM CM ION- | — t- — Г- CM , —ФЮЛ1Л , CM <o [ см со со [-*чгююсо [юЮчОг-чэ [ oo o> см ■* cjiiccDcDCncMooicr— CMCD . Tf-OOn-ttfODS , TflNGSCO . .1 — — ' CM CO ч£ in CD t- ф — 1С ' -*ooiCCDCO ' ' < — — CM CM СП -*Ш CD 00 CM CM CM mm coootn© см-* cvi см со ю .о-* — oCMcot-cnoo -. — CMeo-*mt-- oo ai to — — см Г~- t~- --tODOOlDNtC"- — Cvl .mSOin-cDOD'C1* OO ' OO— — CMCM CDlC CO <£> CD ttDCDtOlOtDcDCOcOOO | 00 00 00 О О CO I ^t- ю ю cd cd r~- cd г— со о О см см см 1 CMCMcT>4t.4ftOt-0>'- **• см tf tf a ID CO S О СЗ Л О (D to Cvl CO Гч-осэсмгч-О'О^смсмослоаэсосОчОСм 3 1Л'£-!ОСп?чЕ-Оч|'1ПО'(ЮЛХ • 90 JOO-^-tNCOinMOinaDinON J 00 4f-*4-4t.LD(£J<DC0c000cC0000C0OOO I tDtCvDOO^CUDt-tCr^-COaiOOCMCvlCM-*
136 Валы ристики системы при возникновении изгибных и крутильных колебаний. При проектировании валов следует проверять прогибы и углы поворота сечеиий. Перемещения сечений валов вычисляют, используя интеграл Мора или правило Верещагина (см. гл. 17). Допустимые величины перемещений (прогибов и углов поворота) сечений вала зависят от требований, предъявляемых к конструкции, от особенностей ее работы. Допустимые величины углов поворота сечения вала в местах расположения деталей (в рад): , Подшипников качения: шарнкоаых однорядных 0,005 шариковых сферических 0,05 роликовых цилиндрических 0.0025 роликовых конических 0.0016 Подшипников скольжения 0,001 Зубчатых колес 0,001—0,002 Максимальный прогиб валов, несущих зубчатые колеса, обычно не должен превышать 0,0002—0,0003 от расстояния между опорами, а допустимый прогиб под колесами составляет: 0,01 m — для цилиндрических и 0,005 т — для конических, гипоидных и глобоидных передач (здесь m — модуль зацепления). Допустимые углы закручивания валов также зависят от требований и условий работы конструкции и лежат в пределах 0,20—1" на 1 м длины вала. РАСЧЕТ НА СОПРОТИВЛЕНИЕ УСТАЛОСТИ На практике переменная внешняя нагрузка изменяется либо по симметричному, либо по асимметричному циклу. Наибольшие напряжения будут действовать в точках наружных волокон вала: -™и max . <J„ м„, w„ Mr, wv Мь w* (4) Амплитуды и средние напряжения циклов нормальных и касательных напряжений будут: (5) Если амплитуды и средние напряжения возрастают при иагружении пропорционально, то запас прочности определяют из соотношения ,Ja ^а um = = = "max tmax "шах tmax — 2 — 2 + 2 + °"mln . i Tmln . > °mln Tmln nanx Vnl + nl (6) где «а в n, — соответственно запасы прочности по нормальным и касательным напряжениям, о Оа Та «0 1 + 4Vra -l + *Mm (7) Если известны пределы выносливости реальной детали, то равенства (7) можно переписать в виде 1Ц, "а + 4>сяат ' -1. Д та т 'Фтд^т (8) е 6 где %я = % -^г3- ; Ч>ха : 44 kx В равенствах (7) и (8) a_t и о_гд — пределы выносливости стандартного образца и детали при симметричном изгибе; т_г и т_1Д — то же при кручении; ka и kx — эффективные коэффициенты концентрации соответственно нормальных и касательных напряжений (табл , 6—8). При отсутствии дай-
Расчет на сопротивление усталости 137 в. Эффективные коэффициенты концентрации напряжений прн изгибе и кручении валов в месте кольцевой канавки (см. рис. 5, а) Коэффициент *а Ч "в. МПа 600 800 1000 1200 600 800 1000 1200 600 800 1000 1200 rid 0,О1 0,03 _ t При 1,98 1,82 2,09 1,92 2,20 2,02 2,31 2,12 2,21 2,37 2,45 2,57 1,80 2,00 2,20 2,40 1ри — 2,03 2,14 2.25 2,36 1,60 1,75 1,90 2,05 0,05 - 0,5 1,71 1,82 1,93 2.04 = 1 1,91 2,03 2.15 2,27 1,46 1,57 1.69 1,81 0,1 1,52 1,59 1,66 1,73 - 1,23 1,28 1,34 1,40 0,01 Пр 2.43 2,56 2,70 2,84 Пр 2,56 2,73 2,90 3.07 — 0,02 0,03 t и = г 2,32 2.45 2,58 2.71 t и = г 2,42 2,56 2,70 2.84 - = 2 2,22 2,35 2.47 2,59 = 3 - 7. Эффективные коэффициенты концентрации напряжений в ступенчатом переходе с галтелью (см, рис. 5, <Г) Коэффициент *0 ч ов. МПа 600 800 1000 1200 600 800 1000 1200 600 800 1000 1200 600 800 1000 1200 rid 0,01 1.38 1,41 1.45 1,49 1,57 1,62 1,67 1,72 1,29 1,30 1,31 1,32 1,40 1,43 1,46 1,47 0,03 При — г 1,67 1.76 1,84 1,92 При — 1,88 1,99 2,11 2,23 При — 1,42 1,45 1.48 1,52 При — г 1,57 1.61 1,66 1.71 0,05 - = 1 1,64 1,73 1.83 1,93 - = 2 1,82 1,95 2,07 2.19 - = 1 1,44 1.47 1,51 1.54 - = 2 1,57 1,62 1,68 1.74 0.1 1,50 1.61 1,72 1,83 — — — 1,39 1,43 1,46 1,50 — — — — 0,01 0.02 При — - г 1,94 2,03 2,12 2,21 2,02 2,13 2,25 2,37 При — - г 2,17 I 2,23 2,28 1 2,38 2.39 2,52 2,50 1 2,66 При -1- = 1,59 1,64 1,68 '1,73 1,66 1,72 1,79 1,86 При ■— г 2,24 2.37 2,48 2.6 2,12 2,22 2,31 2.4 0,05 = 3 2,03 2,16 2 30 2.44 = 5 — — — = 3 1,68 1.74 1.81 1.88 = 5 — — — -
138 Валы 8. Эффективные коэффициенты концентрации напряжений при изгибе и кручении валов со шлицами, шпоночной канавкой, с резьбой и поперечным отверстием °в, МПа 600 800 1000 1200 Тип концентратора Шлицы *0 1.55 1.65 1.72 1.75 * * 2,36/1,46 2,55/1,52 2.70/1,58 2.80/1,60 Шпоночная канавка V 1,46/1,76 1,62/2,01 1.77/2.26 1,92/2.50 *т 1.54 1,88 2,22 2,39 Метрическая резьба *а 1,96 2.20 2,61 2,90 *т 1,54 1,71 2,22 2,39 Поперечное отверстие с диаметром а ь • * • 2,05/1,85 2,10/1,90 2.20/2,00 2,30/2,10 кх 1,80 1,95 1,90 2.00 * В числителе приведены значения для валов с прямобочнымн шлицами, в знаменателе — для эвольвентиых шлицев. ** В числителе приведены значения для канавок, полученных пальцевой фрезой, в знаменателе — дисковой. *** В числителе приведены значения для валов с диаметром отверстия а = (0.05-3- 0,1 5) d, в знаменателе — при а — (0,15-г- 0,25) d 9. Значения коэффициентов е. и в Напряженное состояние н материал Изгиб для углеродистых сталей Изгиб для высокопрочной легированной стали и кручение Для всех сталей Значение е при диаметре вала, мм 15 0.95 0,87 20 0,92 0,83 30 0.88 0,77 40 0.85 0,73 50 0.61 0,70 70 0.76 0,65 100 0.70 0,59 200 0,61 0,52 ных значения ka и kx можно вычислить нз соотношений ka= 1 + ?(ао— '); здесь а0 и ат — теоретические коэффициенты концентрации напряжений при изгибе и кручении (см. гл. 28); q — коэффициент чувствительности материала к концентрации напряжений, значения q приведены в гл. 31. Значения эффективных коэффициентов концентрации напряжений для прессовых соединений валов и дисков приведены в гл. 6. е0 и ет — коэффициенты, учитывающие масштабный эф-" фект прн изгибе и кручений (табл. 9); Ра и р\ — коэффициенты, учитывающие влияние состояния поверхности (табл. 10); % и фт — коэффициенты, характеризующие чувствительность материала к асимметрии цикла напряжений. В приближенных расчетах принимают \j>„ = 0,1-=-0,2 — для углеродистых сталей при <хв < 500 МПа; ■фо = 0,2-^0,3 — для легированных сталей, углеродистых сталей прн <хв > 500 МПа, титановых и легких сплавов; \j?T s» 0,5\jjo. В случае нзгнбных или крутильных колебаний валов может происходить возрастание переменной составляющей цикла при неизменной постоянной составляющей. В этом случае необходимо найти запас прочности по переменным напряжениям: Q-1 — ЦдОтп . e„p\j T-i — tytTm т -Ь- ' 8iPt (9) (Ю)
, Расчет на колебания 139 10 Значения коэффициента £ Вид обработки поверхности Точение Шлифование * Зачалю ' - , гревом ТВЧ •* Азотирование Цементация Дробеструйная обработка Обкатка роликом гри изгибе и °в сердцевины. МПа 800—1200 600- 800 800-'200 900—1200 700 — 800 !000—!200 600-1500 600 — 1500 кручении (Ра -Рг) Значения Н для валов 1 ПРИ гладких а = , 5 I ° 1 1.1-1.2 1,5—1,7 1,3-1.5 1,1- 1 25 1 4-1,5 1 2- 1.3 1,1-1,25 1.8-1.3 ! 1.6-1,7 1 5—1.7 2 1,5—1.6 1.5 - 1,6 при о=0 = 1,84-2,0 1 2.4 — 2,8 1 7-2.1 - 1.7 — 2,1 1,8 — 2,0 * Шлифовочные прижоги снижают сопротивление усталости ** Для валов больших размеров эффективность закалки снижается Запас по переменным напряжениям nv определяют по формуле (6). Для обеспечения надежной работы должно быть п « l,5-f-2,5, п0 > 2,5. Допустимые значения запасов прочности назначаются на основе опыта расчета « эксплуатации подобны» конструкций и т. д. Для повышения сопротивления усталости валов используют различные метод-,1 поверхностного упрочнения пластическим деформированием (см. гл. 3J) При нестационарных нагрузках ряс- чет ведут по эквивалентному напряжению Nn 2 a?Nl ' <=i (Ч) где А/о — число циклов, соответствующее точке перегиба кривой усталости, обычно принимают Л/0 = (3—5) 10е Циклов для валов небольших сечений и Л/о = Ю' циклов — для валов больших сечений, т — показатель степени кривой усталости, m = 6 — для валов с посадками с натягом, т = 9 — для обычных конструкций стальных валоч, Nt — общее число циклов нагружений при напряжении Oj; i — номер ступени нагружения. При известном значении л, зяпрс прочности ьаходет обычным методом. РАСЧЕТ НА КОЛЕБАНИЯ Колебания валов с присоединенными деталями и узлами возникают под действием внешних, постоянно действующих и периодически изменяющихся сил и связаны с упругой деформацией валов. Малыр колебания около положения равновесия становятся опасными для работоспособности вала и конструкции в целом, когда частота возмущающей силы достигает какой- либо собственной частоты системы (наступает резонанс). Напряжения в вале при этом существенно возрастают и будут определяться в основном не внешней нагрузкой, а силами инерции колеблющихся масс. На практике нередко наблюдаются изгибные (поперечные), крутильные
140 Валы (угловые) и изгибно-крутильные колебания валовс Во избежание резонансных колебаний необходимо знать допустимый диапазон (по частоте и оборотам) рабочих режимов, ограничиваемый частотой собственных колебаний системы . При расчетном определении частоты собственных колебаний вал с присоединенными дисками (зубчатыми колесами и т. п.) принимают в виде стержня (балки) с соредоточеняой массой (массами), шарнирно закрепленного п жестких или упругих опорах. В приближенных расчетах массу вала приводят к массе диска (путем суммирования масс с учетом коэффициента приведения массы вала, зависящего от расположения опор и диска, а также вида колебаний). Методика расчета частот собственных нзгибиых и крутильных колебаний систем изложена в гл. 21. Для предотвращения резонансных колебании валов и расширения рабочих режимов роторов нр практике применяют упругие и деформирующие опоры (см. гл. 22). Рис. 10. Вертикальный вал пневморапир- ного механизма КРИТИЧЕСКИЕ ЧАСТОТЫ ВРАЩЕНИЯ ВАЛОВ При расчете быстровращающихся валов с дисками необходимо определить их критическую угловую скорость (частоту вращения), см. гл. 22. Приближение частоты вращения вала к критической проявляется в сильной тряске всей конструкции Амплитуды вынужденных колебаний вала становятся настолько большими, что оказываются опасными не только для прочности вала, но и для огор и всей конструкции. Для быстровращающихся валов (п > 3000 мин*1) должна быть проведена тщательная балансировка ротора (статическая и динамическая). Следует также применять раздельную балансировку деталей ротора, для податливых роторов рекомендуется проводить балансировку на эксплуатационной частоте вращения. Для прохождения через критические частоты вращения необходимы тщательная балансировка ротора; высокая демпфирующая способность опор; минимальное время прохождения этих частот. Пример. Провести поверочный расчет вертикального вала пневморапир- ного механизма ткацкого станка (рнс. 10). Вал изготовлен методами Рис с 11. Элюры моментов
Критические частоты вращения валов 14 1 11. Расчет запасов прочности вала Параметры Сечение по рис. !0 Диаметр вала, мм Момент сопротивления, мм': wK Изгибающий момент ,М и , Н*мм Крутящий момент М к. Н-мм Напряжения, МПа- изгиба еи кручения тк Эффективный коэффициент концентрации напряжений, нормальных ka касательных k-r Коэффициент, учитывающий масштабный эффект. при изгибе е0 при кручении ет Коэффициент запаса- "о пх Запас прочности п 32 2730 5940 7! 000 78 000 2Ь,2 13.2 1,75 1.54 0.88 0,77 5,00 5,75 3,78 35 4210 8420 10! 500 78 000 23.7 9.2 1,76 1,3 0,88 0.75 5,25 9,7 4,63 32 3220 6430 86 600 78 000 24,1 12,1 1.93 1,45 0,88 0.77 6 6,6 4,44 40 3500 7000 28 500 78 000 8,2 П,1 2,0 1,75 0,85 0,73 13.75 5,71 4,74 резания из стали 45 (ав ■= 650 МПа; сгт = 470 МПа; а х = 275 МПа; т_х = = 160 МПа). Крутящий момент на водило механизма передается валом от конического зубчатого колеса. Из кинематического и силового расчетов механизма известно, что крутящий момент, изменяющийся по отнулевому циклу, достигает наибольшего значения /Ишах = = 78 000 Н-мм, когда центробежная сила R0 тяк = 800 Н составляет с осью х угол, равный 37°; усилия на коническое колесо при этом составляют (см. рис. 10, <5): Р, = 2000 Н- Rt = 360 Н; Ах = 1600 Н. Эпюры изгибающих моментов, действующих на вал, в плоскостях xOz и уОг показаны на рис. 11, а в табл. 11 приведены результаты расчета запаса прочности в четырех наиболее нагруженных сеченнях с концентраторами напряжений. Расчет проведен с использованием соотношений (4) — (8) и табл. 1—10. Глава 9 ПОДШИПНИКИ КАЧЕНИЯ ОСНОВНЫЕ КОНСТРУКЦИИ И ХАРАКТЕРИСТИКИ Опоры валов, вращающихся осей и других вращающихся и качающихся деталей наиболее часто выполняют на подшипниках качения. Подшипники качения (рис. 1 и 2) обычно состоят из наружного / и внутреннего 2 колец, тел качения 3 (шариков или роликов), сепаратора 4. На кольцах выполнены дорожки качения, локоторым при вращении подшипника движутся тела качения. Сепаратор разделяет тела качения от взаимного соприкосновения.
142 Подшипники качении Рис. 1 . Основные типы шарнкоподши мНиков J~~K~\ 4s\\\\\\\ Риг 2. Основные типы ролнкоподитипннков В подшипниковых опорах иногда применяют подшипники качения без одного или обоих колец, без сепаратора. В случае использования подшипника без колец дорожки качения выполняют непосредственно на деталях опоры и опирающихся деталях. Подшипники качения классифицируют по следующим признакам. 1. По форме тел качения подшипники делят на шариковые (рис. 1) и роликовые (рис. 2). Последние, в свою очередь, разделяют по форме роликов на подшипники с короткими (рис. 2, а) и длинными (рис. 2, д) цилиндрическими роликами, с коническими роликами (рис. 2, г), с бочкообразными роликами (рис. 2, б), с вигыми и игольчатыми роликами (рис. 2, в). 2. По направлению воспринимаемых сил подшипники разделяют на следующие типы: а) радиальные, воспринимающие преимущественно радиальные нагрузки, действующие перпендикулярно оси вращения подшипника (рис. 1, о, б и 2, а, б, в, д); б) радиально-упорные, предназначенные для восприятия комбинированных нагрузок, т. е. одновременно действующих радиальных и осевых нагрузок (рис 1, в, г и 2, г); в) упорно-радиальные, предназначенные для восприятия осевой нагрузки при одновременном действии незначительной радиальной нагрузки (рис. 1, д); г) упорные, воспринимающие только осевые нагрузки (рис. 1, е). 3 По способности самоустанавливаться подшипники подразделяют на несамоустанавливающиеся и самоустанавливающиеся (сферические, рис. 1, б и 2, б) 4. По числу рядов тел качения подшипники делят на однорядные (рис. 1, о, в—е и 2, о, в—д), двухрядные (рис. 1, б и 2, б) и четырехрядные. Подшипники одного и того же диаметра отверстия подразделяют по габаритным размерам (наружного диаметра и ширины! на размерные серии: сверхлегкую, особо легкую, легкую, средьюю, тяжелую, особо узкую, узкую, нормальную, широкую и особо широкую. Наиболее часто применяют подшипники легкой и средней серий нормальной ширины.
Основные конструкции и характеристики 143 Подшипники различных типов, размеров и серий обладают различной грузоподъемностью и быстроходностью. Подшипники более тяжелых серий менее быстроходны, но обладают более высокой грузоподъемностью. Подшипники шариковые радиальные однорядные и раднально-упорные, а также роликовые с короткими цилиндрическими роликами обладают наибольшей быстроходностью по сравнению с подшипниками других типов. Для особо высокой частоты вращения и действия легких нагрузок целесообразно использовать подшипники сверхлегкой или особо легкой серий. Для восприятия повышенных и тяжелых нагрузок при высокой частоте вращения обычно используют подшипники легкой серии, а при недостаточной их грузоподъемности размещают в одной опоре два подшипника. Радиальные шарикоподшипники могут воспринимать как радиальные, так и осевые нагрузки, действующие в обе стороны вдоль оси вращения подшипника, что обеспечивает возможность фиксирования вала в осевом направлении. При использовании этих подшипников предъявляются менее высокие требования к соосности опор и жесткости валов. Онн дешевле подшипников других типов, допускают наиболее простой монтаж и демонтаж. Поэтому такие подшипники наиболее распространены в различных машинах н механизмах. Роликовые подшипники более грузоподъемны, чем шариковые. Однако роликоподшипники с цилиндрическими роликами наиболее распространенных конструкций (с направляющими бортами для роликов на одном из колец подшипника) не могут воспринимать осевых нагрузок, а конические роликоподшипники менее быстроходны. Широко применяют роликоподшипники как с цилиндрическими, так и с коническими роликами с выпуклой образующей (с бомбиннроваиными роликами). Выпуклость (бомбина) составляет 10 ... 40 мкм в зависимости от диаметра роликов. Такая форма роликов позволяет снизить концентрацию напряжений иа их кромках и 1. Оптимальные углы контакта шарикоподшипников в зависимости от отношения осевой нагрузки F к радиальной F Fa Отношение —-— Fr Не более 0.35 0.35-0.8 0.8-2,5 Св 2.5 а" 0 (радиальный подшипник) 12 26 36 повысить долговечность подшипников в 2 раза н более. Раднально-упориые и упорно-радиальные подшипники различают по значению угла контакта а (рис. 1, в, г, д и 2, г). С увеличением угла контакта раднально-упорные подшипники могут воспринимать более тяжелые осевые нагрузки. Однако быстроходность подшипников с увеличением угла контакта снижается. При одновременном действии на радиально-упорный шарикоподшипник радиальной Fr и осевой Fa нагрузок выбор оптимального угла контакта подшипника проводят по отношению осевой нагрузки к радиальной (табл. 1). Радиальные н радиально-упорные шарикоподшипники могут быть использованы и в случае действия на них только осевой нагрузки, особенно при высокой частоте вращения, прн которой нельзя применять упорные подшипники. Самоустанавливающиеся подшипники применяют в случае повышенной несоосности опор вала (до 2—3°), а также прн повышенной податливости вала. При действии на опоры значительных осевых нагрузок и работе их с высокими скоростями используют радиально-упорные шарикоподшипники с четырех, трех- нли двухточечным контактом. В этих подшипниках внутреннее (рис. 1,г) нли наружное кольцо разъемное в плоскости, перпендикулярной, оси подшипника. Благодаря такой конструкции колец представляется возможным в подшипнике разместить большее число шариков и повысить таким образом его грузо-
144 Подшипники качения подъемность, применить цельный массивный сепаратор, центрируемый по бортам наружного или внутреннего кольца. Подшипники с многоточечным контактом допускают нагружение осевыми нагрузками в двух направлениях. Работоспособность подшипников с четырех- и трехточечным контактом значительно снижается, если во время работы возникает одновременно контакт шариков с обеими сторонами арочного желоба. Высокая работоспособность подшипников с многоточечным контактом достигается, когда осевой зазор в подшипнике и осевая нагрузка достаточны для обеспечения во время работы контакта шариков с желобами в двух точках — одной на внутреннем и второй на наружном кольцах. Для восприятия значительных осевых нагрузок и одновременно сравнительно легких радиальных нагрузок I —jjr- ^ 3 ) используют упорно-радиальные подшипники (рис. 1, д). Быстроходность таких подшипников невысокая (dmn = (0,25-Н),4) 10е ммХ Хмин"1). Однако эти подшипники обладают высокой осевой грузоподъемностью, особенно упорно-радиальные подшипники со сфероконическими роликами. Последние являются самоустанавливающимися и могут работать при перекосе колец или изгибе валов до 3°. Предельная частота вращения подшипников зависит от их конструкции и точности изготовления, от точности изготовления и монтажа сопряженных с подшипниками деталей, а также от способа смазывания и свойств смазочного материала. Подшипниковая промышленность изготовляет подшипники качения в соответствии с ГОСТ 520—89 пяти классов точности, которые обозначают следующими цифрами: 0,6, 5, 4 и 2 (обозначения приведены в порядке повышения точности). Подшипники класса точности 0 обычно используют при отсутствии особых требований к точности вргщения, определяемой радиальными и осевыми биениями дорожек качения внутреннего и наружного колец подшипника, а также при частоте вращения в пределах, указанных е каталоге [4] иа подшипники общего применения. При использовании подшипников высоких классов точности необходимо посадочные поверхности сопряженных с ними деталей изготовлять с наименьшей точностью, чем точность изготовления подшипников. Быстроходность подшипников принято оценивать параметром dmn, где dm — диаметр окружности, соединяющей центры тел качения, мм; п — частота вращения подшипника, мин-1. При применении специальной системы смазывания и эффективного отвода выделяющегося в подшииниках (средних размеров) тепла получено максимальное значение параметра dmn — 3,710е мм-мин"1. Для шарикоподшипников небольших размеров при смазывании масляным туманом достигают значения параметра dmn = (1,6—1,8) 10" мм-мин"1; при этом частота вращения подшипника равна 90 000—100 000 мин-1, а ресурс подшипников яри указанной частоте вращения составляет 2000 ч и более. Основные характеристики подшипников условно обозначают на кольцах подшипника цифрами и буквами, совокупность которых образует условное обозначение подшипника. Система основных условных обозначений подшипников стандартизована и определена ГОСТ 3189—89. Кольца и тела качения подшипников изготовляют в основном из шарикоподшипниковых высокоуглеродистых хромистых сталей ШХ15, ШХ15СГ, а для подшипников, воспринимающих значительные ударные нагрузки, кольца и тела качения изготовляют из цементуемых сталей 18ХГТ, 20Х2Н4А и 20НМ. Для подшипников, работающих при высоких температурах (до 500°С), кольца и тела качения изготовляют из теплостойкой вольфрамо- ванадиевой стали ЭИ347Ш (ТУ 14-1-2244-—77) электрошлакового переплава. В условном обозначении правее цифровой части теплостойкие подшипники содержат букву «Р». Подшипники из теплостойкой стали ЭИ347Ш не снижают своей работоспособности до температуры 400 °С.
Основные конструкции и характеристики 145 '2. Механические и тепловые свойства керамических материалов, используемых для изготовления подшипников качения Материал Нитрид кремния Карбид кремния Окись алюминия йГ =С л и rt Таер 76 90 85 Плотность. г/см* 3,11-3,24 3,2 3.9 н о *:£ £•" 5.1 52 о . 5 ч 3.1В 4.15 3,58 и >. С ж ици •е- Коэф сона 0,26 0.25 0,25 л S^U g,Ul « ■ С4 О о О. • || о о ^, С Я Я 6,28 29.76 6,28 Коэффициент лиией расширения, а- 10*. !/°С 2,9 5.0 8.5 Примечание. Допустимая максимальная рабочая температура 1094 °С. Для работы подшипников в агрессивных средах детали подшипников изготовляют из высокоуглеродистой коррозионно-стойкой стали 95X18Ш электрошлакового переплава (ТУ 14-1-595—73) или из стали 40Х13С1-Ш(ТУ-14-1-377-72). В условном обозначении гравее цифровой части эти подшипники содержат букву «Ю». Подшипники ответственного назначения высокой надежности изготовляют из указанных сталей повышенной чистоты, получаемых электрошлаковым или вакуумным переплавом. Для подшипников, работающих с высокой частотой вращения, высокой температурой при отсутствии смазочного материала, в абразивной или агрессивной среде, применяют керамические материалы. Из керамических материалов наибольшее применение получили нитрид кремния Si3N4, карбид кремния SiC, окись алюминия А1203. Эти материалы теплостойки, обладают высокими пределами прочности и текучести, стойки к окислению, износостойки. Подшипники, изготовленные из этих материалов, могут работать без смазочиого материала, несклонны к заеданию и свариванию, мигут работать в воде, кислотах, щелочах. Однако керамические материалы хрупки, склонны к образованию трещин. Повышенная хрупкость и склонность к растрескиванию нитрида кремния и карбида кремния обусловлена кристаллической структурой, которая при возникновении напряжении не обеспечивает упругих и пластических деформаций. Поэтому с целью предотвращения растрескивания керамические материалы армируют волокнами. Долговечность керамических подшипников зависит от пористости материала, однородности структуры и шероховатости поверхности. При увеличении пористости, повышенной неоднородности структуры и грубо обработанных поверхностях качения долговечность керамических подшипнн- коз качения значительно снижается. Сопротивление усталости при контакте нитрида кремния выше, чем у стали. Контактная прочность и вязкость нитрида кремния повышаются при введении в исходный материал связующей присадки из окиси иттрия К203 и окиси алюминия А1203. Детали подшипников из нитрида кремния изготовляют методом изостатиче- ского'' прессования, что обеспечивает получение материала с требуемой сплошностью. Типичные механические и тепловые свойства керамических материалов, используемых для изготовления подшипников качения, приведены в табл. 2. Для особо высоких частот вращения или при вращении с повышенными частотами обоих колец подшипника в одну сторону целесообразно использовать гибридные подшипники, в которых тела качения изготовлены из керамического материала, а кольца из стали.
146 Подшипники качения Сепараторы подшипников разделяют на штампованные (змейковые), центрируемые по телам качения, и массивные, центрируемые по бортам наружного или внутреннего кольца. Штампованные сепараторы изготовляют из низкоуглеродистой стали, латунн, коррозионно-стойкой стали. Массивные сепараторы изготовляют из бронзы БрАЖМцЮ-3-1,5 (ГОСТ 1208—73); Б рАЖН 10-4-4 (ГОСТ 1208—73); латуки ЛС59-1 (ГОСТ 494—76), алюминиевых сплавов Д1Т (ГОСТ 18475—82) н АК4 (ГОСТ 21488—76), текстолита, низкоуглеродистой стали. Подшипники с массивным сепаратором наиболее быстроходны. Для ответственных высокоскоростных подшипников бронзовые илн стальные сепараторы имеют антифрикционные покрытия: свинцово-оловяннстое или серебряное толщиной слоя 10 ... 25 мкм. Для подшипников, работающих в вакууме нли без смазочного материала, сепараторы изготовляют из маслянита В1 н В2 илн фторопласта-4 с порошками никеля и дисульфида молибдена (ФН202). Основные типы подшипников и их характеристики приведены в каталоге 14]. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ, КИНЕМАТИЧЕСКИЕ И ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗАВИСИМОСТИ В ПОДШИПНИКАХ КАЧЕНИЯ Диаметры дорожек качения колец раднально-упорных шарикоподшипников определяют по формулам (рис. 3) dB = dm — Dw cos aB; (1) £>н = dm + Dw cos ан, (2) где dB и Dn — диаметры дорожек качения соответственно внутреннего и наружного колец, Dw — диаметр тел качения; ссв н ссн — номинальные углы контакта тел качения соответственно с внутренним и наружным кольцами. Диаметры дорожек качения колец радиальных шариковых и роликовых подшипников определяют по формулам (1) и (2), приняв ав = ап= 0. Для обычных стандартных подшипников, приведенных в каталогах и используемых в общем машиностроении, диаметр шариков определяют по формуле Dw = (0,600 н- 0,635) D~~d , (3) где Dad — соответственно наружный и внутренний диаметры подшипника. Для ответственных опор повышенной грузоподъемности и долговечности применяют подшипники, в которых диаметр шариков определяют по формуле Dw = (0,68 - 0,70) D~d . (4) Частота вращения сепаратора при а„ = ан = а (рис. 4) :"н( 1+- D„ •)]• (5) где яв н пИ — частоты вращения соответственно внутреннего и наружного а Рис. 3. Контактные напряжения в подшипнике
Грузоподъемность и расчет подшипников 147 колец подшипника. При вращении колец в разные стороны частота вра- •щения наружного кольца в формуле (5) принимается со знаком минус, а при вращении колец в одну сторону — со знаком плюс. Частота вращения тел качения вокруг своей осн Если вектор нагрузки вращается с частотой пп, то частота вращения кольца подшипника относительно вектора нагрузки будет: для внутреннего кольца ге„я = = пв — nR; для наружного кольца п„я = = пн — nR. Прн вращении тел качения вокруг оси подшипника на каждый из них действует центробежная сила, нагружающая дополнительно дорожку качения наружного кольца: Рс- ^—, (7) где G, — сила тяжести тела качения, Н; сос — угловая скорость сепаратора. В расчетрх подшипников, вращающихся с высокой частотой, необходимо учитывать центробежные силы тел качения. Из формулы (5) следует, что при вращении колец подшипника в одну сторону угловая скорость сепаратора зна- " чительно выше, чем при вращении колец в разные стороны Следовательно, в подшипниках с противоположным вращением колец центробежные силы тел качения будут значительно ниже по сравнению с центробежными силами, возникающими при вращении колец в одну сторону. Из формулы (6) следует, что при вращении колец подшипника в противоположные стороны высокую частоту вращения вокруг своей оси имеют тела качения В связи с этим при вращении колец роликоподшипников в противоположные стороны ролики должны быть изготовлены и отбалансированы с высокой точностью. Рис. 4. План скоростей деталей подшип- нижа Если приходящаяся на наиболее нагруженное тело качения внешняя нагрузка меньше центробежной силы тела качения, то в этом случае целесообразно для повышения долговечности подшипника диаметр тела качения уменьшить до оптимального размера [2]. Если приходящаяся на наиболее нагруженное тело качения нагрузка выше его центробежной силы, то диаметр тел качения целесообразно определять по формуле (4). ГРУЗОПОДЪЕМНОСТЬ И РАСЧЕТ подшипников Статическая грузоподъемность подшипников. Подшипники ряда машин периодически подвергаются действию нагрузок при отсутствии вращения. Статическая грузоподъемность (допустимая нагрузка) невращающегося подшипника назначается из условия, что остаточная деформация тел качения и колец под этой нагрузкой не превысит допустимую [б] = \Q~*DW (здесь Dw — диаметр тела качения). Значения статической грузоподъемности для подшипников" различных типов и серий даны в каталогах [4]. Если подшипник нагружен одновременно радиальной н осевой силами, то эквивалентная статическая нагрузка для радиальных и радиально-упорных шариковых и роликовых подшипников принимается большей из расчета по следующим формулам: P„ = X0Fr+Y0Fa; P0=Fr, (8)
148 Подшипники качения Ъ. Значения коэффициентов X, и К, Подшипники Шариковые радиальные Шариковы» радиально-упорные при а" 18 20 2S 26 30 35 36 40 Шариковые самоустаиавливающиеся Роликовые самоустаиавливающиеся н конические Однорядные подшипники Хо 0,6 0,5 0,5 у. 0,5 0,43 0,42 0,38 0,37 0,33 0,29 0,28 0.26 0,22 tg a Двухрядные подшипники X, 0.6 1 ] ■, У, 0.5 0,86 0,84 0,76 0,74 0,66 0.58 0,56 0,52 0,44 ctg a поверхностей качения является типичным отказом подшипников в работе. Расчет подшипников основан на известном уравнении кривой усталости omN = G, . (13) где а — переменное напряжение цикла; N — число циклов изменения этих напряжений до разрушения детали (образца); т и G — постоянные величины, зависящие от свойств материала и состояния поверхности детали. Так как контактные напряжения в подшипниках нелинейно связаны с действующей нагрузкой атет=ЛР1/й, (И) то расчет удобнее вести по действующей на подшипник нагрузке, В этом соотношении А — коэффициент, зависящий от радиуса кривизны соприкасающихся тел, распределения нагрузки между телами качения, коэффициента Пуассона и модуля упругости материала деталей подшипника; Ъ — знаменатель показателя степени (6=3 — для шарикоподшипников; 6=2 — для роликоподшипников). где Х0 и Y0 — коэффициенты радиальной и осевой статических нагрузок (табл. 3). Выбранный подшипник по статической грузоподъемности должен удовлетворять условию Ро < С„ (9) где С0 — статическая грузоподъемность подшипника. Подшипники, работающие с частотой вращения п > > 1 мин-1 и рассчитанные на сравнительно небольшой ресурс, необходимо также проверять на статическую грузоподъемность, так как допустимая нагрузка, определенная из условия долговечности, для малого ресурса может оказаться больше статической грузоподъемности подшипника. Для упорных и упорно-радиальных подшипников эквивалентная статическая нагрузка принимается большей из расчета по следующим формулам: Pa--=Fa + 2,ZFTiga; (10) P0 = Fa. (11) Выбранный подшипник должен удовлетворять условию Р0<С0. (12) Динамическая грузоподъемность подшипников. Усталостное выкрашивание
Грузоподъемность и расчет подшипников 149 Класс точности подшипников 0 6 5 и 4 Материал колец и тел качения ШХ15. 95Х18Ш для шарикоподшипников ! 1,10 1,15 для роликоподшипников с роликами дрическими 1 1,10 1.15 бомбини- роваи- ными 1,20 1.25 1,30 ШХ15Ш и ЭИ347Ш (стали элек- трошлачового или вакуумного переплава) для шарикоподшипников 1.15 1,20 1.25 для роликоподшипников с роликами дрическими 1.15 1,20 1.25 бомбиии- роваи иыми 1,30 1,35 1.40 4. Значения коэффициента качества К, Так как число циклов нагружения (иеодииаксвое для точек тел качения и дорожек качения) зависит от числа оборотов за время работы подшипника L: Л' = BL, то, подставляя последние соотношения в уравнение (13), получим т ABP~L = G, где В — коэффициент, зависящий от числа тел качения, среднего диаметра подшипника, диаметра тел качения и угла контакта; L — долговечность, мли. оборотов. Обозначая -г- = р; ~-r-^- = G* = Ь r' AB = Ср, иачдем (-^-)Р^ = 6-10-5л£л, (15) где С — динамическая грузоподъемность, Н; р — показатель степени, на основании экспериментальных данных: р = 3 (т= 9) при начальном точечном контакте (для шарикоподшипников); р = 3,33 (т — 6,66) при начальном линейном контакте (для роликоподшипников); L/, — долговечность, ч; Р — Динамическая эквивалентная нагрузка,, Н; я — частота вращения подшипника, мии-1. По физическому смыслу динамическая грузоподъемность С эквивалент- иа радиальной нагрузке, которую подшипник может выдержать в течение базового числа оборотов 10е. На основании экспериментальных исследований установлены зависимости для динамической грузоподъемности подшипников, аналогичные по структуре соотношениям для статической гр узоподъемиости. Значение динамической грузоподъемности для подшипников различных типов и серий нулевого класса точности приведены в каталогах и справочниках по подшипникам [4]. Для подшипников, изготовляемых по более высокому классу точности, чем нулевой, из стали повышенной чистоты с бомбинированиыми роликами, динамическая грузоподъемность принимается по справочнику-каталогу, но с учетом коэффициента качества (табл. 4), т е. С = СКатЛкач. ('6) где С — динамическая грузоподъемность используемого подшипника; Скат — динамическая грузоподъемность подшипника по справочнику- каталогу; ККач — коэффициент качества. Если в указанном справочнике-каталоге не приведет! используемый подшипник или не приведена его динамическая грузоподъемность, то она определяется по зависимостям, установленным на основании результатов экспериментальных исследований подшипников различных типов [4].
150 Подшипники качения Если подшипниковый узел содержит несколько одинаковых подшипников, подобранных так, что нагрузка между ними распределяется равномерно, то общую динамическую грузоподъемность подшипникового узла Ст. определяют по формуле С2 = (°'7С, (17) где i — число одинаковых подшипников в опоре, С — динамическая грузоподъемность подшипника. Для расчета потребной динамической грузоподъемности необходимо знать эквивалентную нагрузку на подшипник. ЭКВИВАЛЕНТНАЯ НАГРУЗКА И РАСЧЕТ ДОЛГОВЕЧНОСТИ подшипников В большинстве случаев подшипники качения подвергаются совместному действию осевой и радиальной нагрузок. Условия работы (характер действия 'нагрузок, температура и т. д.) подшипников также разнообразны. Влияние основных эксплуатационных факторов .на работоспособность подшипников учитывают путем введения в расчет эквивалентной нагрузки — критерия подобия, который обобщает накопленчый опыт по эксплуатрцич подшипников в различных конструкциях. По физическому смыслу эквивалентная нагрузка — механический эквивалент реальных условий нагружения подшипника, равноопасный по степени его повреждаемости с простым иагружением радиальной силой в типичных (лабораторных) условиях. Эквивалентную нагрузку для радиальных шарикоподшипников и ради- альио-упорных шариковых и роликовых подшипников находят из соотношения P = (XVFr+YFa)K6KT, (18) где X и Y — коэффициенты соответственно радиальной и осевой нагрузок (табл. 5); V — коэффициент вращения, V = 1 при вращении внутреннего кольца; V = 1, 2 при вращении наружного кольца, /> и Fa — соответственно радиальная и осевая силы, воспринимаемые подшипником; Кб — коэффициент безопасности, учитывающий влияние иа долговечность подшипников характера действия внешних нагрузок (табл. 6); Кг — температурный коэффициент (табл. 7). Значения коэффициентов X и Y в табл. 5 даны в зависимости от отношения FalVFr, которое влияет на распределение нагрузки между телами качения. При малых значениях осевой силы Fa (или до некоторого отношения v£ - ^ е ) из-за радиального зазора в подшипнике возникает повышенная неравномерность распределения нагрузки между телами качения. С увеличением осевой нагрузки (или при - ° ^> е) происходит выборка V гг / зазора, рабочая эоиа в подшипнике возрастает и улучшается распределение нагрузки, р Поэтому при отношении ° < с осевую силу не учитывают (принимают X =■ 1 и Y = 0) и расчет ведут лишь по радиальной иагр>зке. Значения е даны в табл. 5 в зависи- р мости от отношения f (здегь С0 — статическая радиальная грузоподъемность подшипника). В ряде отраслей машиностроения (авиа-, вагоностроении и т. д.) при точном определении нагрузок используют более низкие значения /Ся, подтвержденные опытом эксплуатации (см. табл. 6). В радиально-упорном шарикоподшипнике от действия радиальной силы возникает дополнительная осевая нагрузка S = eFT, (19) а в коническом роликоподшипнике S = 0,83eFr. (20) Таким образом, если вал установлен иа двух радиально-упорных подшипниках, то осевая нагрузка на одном из них будет состоять из внешней особой нагрузки и дополнительной осевой силы от другого подшипника.
б. Значения коэффициентов радиальной X н осевой Y нагрузок подшипника Шариковые радиальные Шариковые ради ально-упориые Роликовые конические Шариковые упорно-радиаль- иые Роликовые упорно-радиальные Угол ■контакта а, ° 0 12 18 — 20 24- 26 30 35 — 36 40 _ 45 60 75 — *а С0 0,014 0,028 0.056 0,084 0.11 0.17 0,28 0,42 0.56 0.014 0,029 0.057 0.086 0.11 0.17 0.29 0.43 0,57 — _ — _ Однорядные подшипники F° ^ ■щг*1 X 1 i i — — У 0 0 0 — Га X 0,56 0,45 0,43 0.41 0.39 0,37 0.35 0,4 0,66 0,92 1.66 tg a Y 2.30 1,99 1.71 1,55 1,45 1,31 1.15 1,04 1,00 1,81 1,62 1,46 1,34 1,22 1.13 1.04 1.01 1,00 1,00 0,87 0,76 0,66 0,57 0,4 ctg a I I 1 1 Двухрядные подшипники Ра VF X 1 1 1 1.18 1.90 3.89 1,5 tea — < е У 0 2.08 1,84 1,60 1,52 1,39 1,30 1,20 1.16 1.16 1,09 0,92 0.78 0.66 0.55 0,45 ctg a 0.59 0.54 0.52 0,67 X 0.56 0.74 0.70 0.67 0.63 0,60 0,57 0,67 0.66 0.92 1.66 tg a Fa ^ VFr ■ У 2.30 1,99 1.71 1,55 1,45 1,31 IJ5 1,04 1.00 2.94 2.63 2,37 2.18 1.98 1.84 1,69 1,64 1,6? 1,63 1.44 1.24 1,07 0,93 0,67 ctg a 1 I ! 1 0.19 0.22 0.26 0.28 0.30 0.34 0.38 0,42 0.44 0.30 0.34 0.37 0,41 0,45 0.48 0.52 0.54 0.54 0.57 0.68 0 80 . 0.95 1,14 1.5 tg a I.?5 2.17 4 67 1.5 tg a
152 Подшипники качения 6. Значения коэффициента Я** Характер нагрузки на подшипник Спокойная нагрузка без толчков Легкие толчки, небольшие виброперегрузки Умеренные толчки и вибрации Значительные толчкн и вибрации Сильные удары и высокие вибропере грузки I Вибрационные перегрузки Jg %. 1.0 1 0 < Jg % 3,5 i, 5 < Jg < 6 6 < Jg < 10 Jg >I0 Кк. рекомендуемые в авиастроении 1,0 1.05—1,10 1.10-1,15 1,15—1,25 1,35—1.60 в общем машиностроении 1,0 1,0-1,2 1,3-1.5 1,8 — 2.5 2,5-3,0 Эквивалентная нагрузка для подшипников с короткими цилиндрическими роликами P = FrV/C6KT. (21) Эквивалентную нагрузку для упорных подшипников определяют по формуле Р = FaK5KT. (22) Для упорно-радиальных подшипников эквивалентная осевая нагрузка определяется по формуле (18) при V = Если подшипники работают при изменяющихся со временем нагрузке н частоте вращения, то расчет ведут по эквивалентной нагрузке, равноопас- ной по сопротивлению усталости переменному режиму нагружения: где Р1ъ Р2 Рп — постоянные эквивалентные нагрузки, действующие соответственно в течение Llt i-2> •••! Ln оборотов; L — суммарное число миллионов оборотов за ресурс изделия: L== Ц.+ Ls+ ...+ Ln. Число оборотов подшипника (в миллионах) на »-м режиме (i— 1,2,3, ...,п) Lj = 6.10-»«iZ,hb ' (24) где гц — частота вращения, мни-1; Lm — время работы подшипника на t'-м режиме за ресурс изделия, ч. Если нагрузка изменяется от Рццп до Ртах по линейному закону, то 2Рп (25) У P{Ly+Pi2L7+... +- P>nLn 7. Значение коэффициента /Ст Твердость HRC поверхностей колец и тел кпчеиня Не менее 5Э 58—59 57—58 55—57 Температура отпуска колеи н тел качення, °С (23) 1,0 1,05 1,1 1,25 При одновременном вращении внутреннего и наружного колец эквивалентную нагрузку определяют с учетом коэффициента вращения по формуле Ртъ = КбКт X у 5" ^Кв±^„) Lin . где <xtB = аЫ = (26) £*» = L ■ "«н- L = 6- Ю^лгцЛлг*, Lia = 6- \0-bntj,Lhi- При вращении колец подшипника в одну сторону в формуле (26) при-
Эквивалентная нагрузка и расчет долговечности 153 иимается знак минус, при вращении колец в противоположные стороны — знак плюс. Эквивалентные нагрузки определиют с учетом наибольшей допускаемой неуравновешенности вращающихся деталей илн наибольшей неуравновешенности, которую они получают за ресурс, если она изменяется во время эксплуатации изделия. Кратковременные перегрузки прн расчете долговечности могут не учитываться, если они не вызывают снижения долговечности более 3%. Если с изменением режима работы изделия изменяется направление действия осевой силы, то расчетная долговечность определяется для каждой стороны желоба и полученные долговечности сравниваются с требуемыми ресурсами каждой стороны желоба. Для проектного расчета по эквивалентной нагрузке и требуемому ресурсу определяют потребную (расчетную) динамическую грузоподъемность подшипника по формуле, полученной из (15): Срас = PLl/p. (27) Используя полученное расчетное значение динамической грузоподъемности по справочнику или каталогу с учетом коэффициента качества (Ккач). выбирают подшипник; при этом должно быть удовлетворено условие С > > Срас (С — динамическая грузоподъемность выбранного подшипника). Если подшипник принят по конструктивным соображениям, то расчетом проверяют его ресурс: *-T(-R'- « В соотношениях (27) и (28) под Р понимают эквивалентную нагрузку при постоянном или при переменном режиме работы; п — частота вращения подшипника, мин"1, определяемая по формуле 1| = ntB ± nia илн гц = nia ± niB, (29) где я;в и л,н — соответственно частоты вращения на t-м режиме внутреннего н наружного колец подшипника; при этом знак плюс принимается при вращении колец в противоположные стороны, а при вращении колец в одну сторону — знак минус. При высокой частоте вращения подшипника (dmn>2- 10е мм-мин"1) долговечность подшипника может ограничиваться недостаточным сопротивлением усталости при контакте наружного кольца, дополнительно нагруженного центробежными силами тел качения. Для расчета долговечности высокоскоростных подшипников зависимость (13) удобнее представить в виде №)"4, (30) где [а]см —допускаемое напряжение смятия при базе Na = 107 циклов изменений напряжений; 0СМ — максимальное расчетное напряжение смятия на площадках контакта шарика или ролика с дорожкой качения наружного кольца подшипника, определенное с учетом центробежных сил тел качения. Учитывая (30), долговечность подшипников, ч, можно определить из расчета на контактную прочность по формулам: для шарикоподшипников L* = "co^(~5^f") ' (31) для роликоподшипников где пс — частота вращения сепаратора, мин-1; г — число тел качения в подшипнике; [а)см и [а]с'м — допускаемые напряжения при базе 107 циклов соответственно при точечном и линейном контактах. Для стали ШХ15Ш и ЭИ347Ш электрошлакового илн вакуумного переплава при #ЯО*58 допускаемые напряжения [а]см = 3750 МПа, 1о]'м = = 3000 МПа. Напряжение смятия определяют по формулам." для эллиптической площадки контакта (шарикоподшипники) (33)
154 Подшипники качения для линейного начального контакта (роликоподшипники) JCM l/ ' SP (34) где Ер — суммарная кривизна поверхностей контактирующих тел; 2 р = Рп + Ри + Pai + Paa. (35) Pii. Pia. Pai. Paa — главные кривизны соприкасающихся поверхностен. Первый индекс обозначает контактирующее тело (тело качения, кольцо), второй — определяет плоскость, в которой находится главная кривизна; 1 — ось подшипника расположена в плоскости кривизны; 2 — плоскость кривизны перпендикулярна оси подшипника; т\ . ml л=—ёГ~ + —1Г^, (36) и Ej (i = 1, 2) —соответственно коэффициенты Пуассона и модули упругости материалов контактирующих тел; (х и v — коэффициенты [3]; q — линейная интенсивность распределения нагрузки по длине контакта, q = -£-, (37) /г * / — длина площадки контакта; />ZH — суммарная сила, направленная по нормали к площадке контакта тела качения с дорожкой качения наружного кольца, Р = Р г2н а Р. + ■ cos a (38) Ра — нормальная составляющая суммарной силы от осевой нагрузки, Ра = F" . (39) zsina v ' Fa — осевая сила, действующая на подшипник; a — угол контакта тел качения с дорожкой качения наружного кольца; РТ — нормальная составляющая суммарной силы от радиальной нагрузки: для шарикоподшипников РТ=-1Ь—; (40) г zcosa v ' для подшипников с начальным линейным контактом тел качения с кольцом подшипника 4,6Fr Рг = (41) Fr — радиальная сила, действующая на подшипник; Рг — центробежная сила тела качения, с * тп с» m — масса тела качения; для цилиндрического ролика для шарика DI, уп (42) (43) (44) у — плотность материала тела качения; / — длина ролика; сос — угловая скорость сепаратора. При выполнении дополнительного поверочного расчета по напряжениям смятия определение запаса долговечности подшипника проводится по наименьшей расчетной долговечности, полученной при расчете его без учета или с учетом центробежных сил тел качения. В случае одновременного вращения колец подшипника в одну или разные стороны расчет долговечности проводят с использованием зависимости (30) и с учетом принципа линейного суммирования повреждений, в соответствии с которым в момент разрушения приближенно может быть принято соотношение (101), приведенное в гл. 31: k (45) /=1 где Ni — число циклов нагружения, накопленных деталью на i-u режиме за время отработки всех k режимов до разрушения; Л'£ — число циклов нагружения до разрушения детали при постоянных напряжениях i-ro режима. Запас долговечности на t'-м режиме работы N] п** = -щ- <46)
Эквивалентная нагрузка и расчет долговечности 155 Запас долговечности при ступенчатом нагружении подшипника, выраженный через отношение числа циклов (115), гл. 31, Л'* пя - ~-, (47) 'vz где iVj и Л/j — соответственно суммарные числа циклов изменений напряжений за ресурс и до разрушения при ступенчатом нагружении или 1 (48) "tN Запас по долговечностя и запас по напряжениям связаны равенством 4N- (49) вытекающим из уравнения a*m,V,* = o™N(. (50) Контактные напряжения определяют по формулам Герца (33) и (34), а нагрузку на наиболее нагруженное тело качения определяют по формулам Р = bFr = — для шарикоподшипников и '(41) — для роликоподшипников. В зависимости от соотношения нагрузок постоянного направления и вращающихся нагрузок, связанных с неуравновешенностью ротора, его прецессионным вращением, рассматривают три случая нагружения подшипника. 1. Вектор суммарной нагрузки отклоняется от направления вектора нагрузки постоянного направления, но не меняет напраъление на противоположное. В этом случае принимают, что направление нагрузки совпадает с направлением, при котором оиа ямеет наибольшее значение. По нагруженной зоне прокатыьаются г— шс роли- ков в секунду (со0 — угловая скорость вращения сепаратора). Если принять Действующую в контакте нагрузку равной максимальной, то число циклов нагружения в секунду дорожки качения внутреннего кольца Л\1Н = аг 17? (51) где а — угол нагруженной зоны подшипника; мв — угловая скорость вращения внутреннего кольца. При этом в каждом цикле действует суммарная нагрузка где Ра — нагрузка постоянного направления; R0 — вращающаяся нагрузка. На дорожку качения, наружного кольца, кроме суммарной нагрузки PZb, действуют центробежные силы тел качения РГ- Поэтому число циклов нагружения дорожки качения наружного кольца при действии в каждом цикле суммарной максимальной нагрузки Pxa = Po + «o + ^c (53) будет *«=■ 4ла (54) Число циклов нагружения в секунду дорожки качения наружного кольца в зоне действия только центробежных сил тел качения РГ N1 (2л — я) г 4яа (55) где сои — угловая скорость вращения наружного кольца. 2. Вектор суммарной нагрузки вращается с угловой скоростью, равной угловой скорости вращения внутреннего кольца подшипника. В этом случае вектор вращающейся нагрузки больше вектора нагрузки постоянного направления. По нагруженной зоне г . прокатываются в секунду —— |сов — — шс | роликов. Число циклов нагружения в секунду дорожки качения внутреннего кольца г 'VBB 2л w„ to, !■ (56) Прн этом в каждом цикле действует суммарная максимальная нагрузка, определяемая по формуле (52).
156 Подшипники качения Число циклов нагружения в секунду дорожки качения наружного кольца прн действии в каждом цикле суммарной максимальной нагрузки, определяемой по формуле (53), ^н=^К + <->с-2<%|. (57) Число циклов нагружения в секунду дорожки качения наружного кольца в зоне действия только центробежных сил тел качения Рс .,, (2л —а) 2 Nn* = 4я* )ша+шс-2шв|- (58) 3. Вектор суммарной нагрузки вращается с угловой скоростью, равной угловой скорости вращения наружного кольца подшипника. В этом случае вектор вращающейся нагрузки также больше вектора нагрузки постоянного направления. Число циклов нагружения в секунду дорожки качения внутреннего кольца подшипника прн действии в каждом цикле суммарной максимальной нагрузки, определяемой по формуле (52), #цв=-5- |«вв + «вс + 2«вя|- (59) Число циклов нагружения в секунду дорожки качения наружного кольца подшипника при действии в каждом цикле суммарной максимальной нагрузки, определяемой по формуле (53), #цв = 4т | юн — со0 | (60) СМАЗЫВАНИЕ ПОДШИПНИКОВ Для смазывания подшипников используют пластичные (консистентные) смазочные материалы, жидкие минеральные или синтетические масла и твердые смазочные материалы. Ниже приведены наиболее часто применяемые смазочные материалы. Пластичные смазочные материалы обычно используют для подшипников, расположенных а труднодоступных местах, при pa6oie в запыленной среде. При использовании пластичных смазочных материалов параметр dmn «g[ ^ (0,4...0,55) 10е мм-мин"1; при этом меньшие значения dmn — для подшипников более тяжелых серий. Кальциевые смазочные материалы (солндолы) негигроскопичны, не растворяются в воде, могут использоваться при работе в среде с повышенной влажностью. Их применяют при.длительной работе до температуры подшипника не иыше 60 °С, кратковременно до 7С °С. Допустимая окружнаи скорость вала не выше 10 м/с. Наиболее распространен солидол жировой Ж- Натриевые смазочные материалы (консталнны) применяют при окружной скорости вала не выше 10 м/с. Эти материалы более тугоплавки, благодаря чему их допустимо использовать при температурах подшипника до 100... 120 °С. Однако консталины гигроскопичны, под действием влаги разлагаются, что вызывает коррозию подшипника. Поэтому консталины целесообразно использовать в подшипниковых узлах, работающих в среде с пониженной влажностью. Для работы при повышенных температурах (до 150 °С) можно использовать смазочный материал НК-50. Комбинированные натриево-кальцие- вые смазочные материалы (1-13, ЛЗ-ЦНИИ, ЯНЗ-2) используют при окружных скоростях вала до 15 м/с. Смазочный материал 1-13 является материалом общего назначения для подшипников, работающих при температурах от —20 до-f- 100°С. Смазочный материал ЛЗ-ЦНИИ используют для подшипников букс железнодорожных вагонов. Литиевые смазочные материалы вла- гоустойчивы, могут работать при низких и повышенных температурах (от —60 до-| 100 °С). Смазочные материалы ЦИАТИМ-201, ОКБ-122-7, ЦИАТИМ- 202 широко используют в подшипниках закрытого типа. Смазочными материалами многоцелевого назначения являются: ЛИТОЛ- 24, ЛИТОЛ-24РК, ФИОЛ-1. В подшипниках автомобилей используют смазочные материалы ЛИТОЛ-24, а также Шрус-4, ФИОЛ-2д, ЛЗ-31, № 258. Для работы при более высоких температурах (от —60 до -f-150cC) и
Смазывание подшипников 157 повышенных окружных скоростях применяют смазочные материалы ЦИАТИМ-221, ВНИИ НП-207 (от—60 до + 180°С), ЦИАТИМ-221 с (от —60 до+200°С). Для электрических машин используют смазочные материалы ВНИИ - НП-242, Свэм, ФИОЛ-4. Для летательных аппаратов в последние годы используют смазочные материалы нового поколения: Эра (ВНИИ ■ НП-286М), ВНИИ НП-254, ВНИИ НП-261. Эти материалы термостойки (от —50 до +200 С), обладают высокими прогивозадирными свойствами, долговечны. Основным показателем соответствия смазочного материала условиям работы является рабочая температура подшипника, которая должна быть иа 20— 40°С ниже температуры каплепадания принятого смазочного материала. Корпуса подшипников заполняют консистентной смазкой в объеме 1/3— 1/2 свободного пространства. В зависимости от условий и режима работы через каждые 1—3 года отработавший смазочный материал заменяют свежим. Твердые смазочные материалы используют в подшипниковых узлах, работающих в вакууме в условиях очень низких температур (ниже —100 °С) или весьма высоких (t > > 300 °С), при работе в агрессивных средах, не допускающих присутствия какого-либо количества масел и даже их паров. В качестве твердых смазочных материалов для указанных условий работы наиболее часто используют коллоидальный графит, дисульфид молибдена (MoS2), нитрид бора (BN02) и некоторые другие ьещества, обладающие слоистой структурой. Кроме того, в качестве твердых смазочных материалов используют фтористые соединения н некоторые окислы. Графит обладает адсорбционными свойствами и может использоваться при температурах от —180 до + 350°С. При более высоких температурах графит сгорает. Дисульфид молибдена сохраняет свои смазывающие свойства до температуры от —185 до +450 °С при работе в среде воздуха. При более ■\ высокой температуре образуется окись молибдена, обладающая абразивными свойствами. В вакууме н в среде инертных газов дисульфид молибдена сохраняет свои смазочные свойства до температуры 1100—1300 °С. Для повышения работоспособности и надежности подшипников, работающих в условиях вакуума или в атмосфере, но без подачи смазочного материала, сепараторы подшипников нзготивляют из так называемых самосмазывающихся материалов, которые и используют при работе для смазывания рабочих поверхностей подшипника. При этом тела качения, соприкасаясь со стенками гнезд сепаратора, снимают с них тонкую пленку твердого смазочного материала и переносят его на поверхности качения колец подшипника (ро- тапринтное смазывание). В качестве жидких масел используют минеральные или синтетические масла. Минеральные масла сохраняют свои свойства до температуры 120 СС при длительной работе к до !50СС при кратковременной работе. Для более высоких температур используют синтетические масла, некоторые сорта которых стабильны до температуры 250— 300 °С. В зависимости от условий работы применяют различные способы подачи жидких масел в подшипники. Смазывание посредством погружения тел качения в масляную ванну применяют до значений параметра атп ^ 0,6 X X 10е мм- мин""1. При горизонтальном расположении оси подшипников заливку минерального масла в корпус осуществляют до уровня, соответствующего положению центр<> тела качеь.ия, занимающего в подшяпнике нижнее положение. Подачу смазочного материала в подшипники фитилями или капельное смазывание, отрегулированное на подачу нескольких капель масла в час, применяют для высокооборотных малогабаритных подшипников при значениях параметра dmn <■ 0,75 X X 10е мм-мин"1 и произвольном расположении вала. Фитили обычно изготовляют из фетра, который при работе выполняет и роль фильтра. Для подшипников опор валов редуктора, коробок передач металлорежущих станков, автомобялей часто применяют подачу масла в подшипники разбрыз-
158 Подшипники качения гиванием из общей масляной ванны погруженным в нее на 10—15 мм зубчатым колесом. При этом в корпусе образуется масляный туман, проникающий в подшипники и обеспечивающий их смазывание. Для лучшего охлаждения и смазывания высокоскоростных легконагружен- ных подшипников (быстроходных электрошлифовальных головок, высокочастотных электроприводов небольшой мощности, уль.трацентрифуг) весьма эффективно смазывание масляным туманом. Смазывание масляным туманом применяют при значениях параметра dmn до 1,7-10* мм- мин"1 и более. При значениях параметра dmn^ ^ 2- 10е мм- мин"1 для лучшего охлаждения вращающегося внутреннего кольца необходимо дополнительно подавать масло под это кольцо по пазам, специально выполненным на цапфе или на посадочной поверхности внутреннего кольца подшипника. В этом случае достигается выравнивание температур между кольцами. Оптимальная прокачка масла (л/мин) в зависимости от значения параметра Динамическая эквивалентная нагрузка, Н До I 000 Св I 000 до 5 000 Приращение прокачки, л/мин 0,5 1,0 Если к подшипнику дополнительно к теплоте, возникающей от работы трения, подводится теплота от нагретых сопряженных деталей (по валу или корпусу), то для отвода этой теплоты необходимо увеличить прокачку иа величину, определяемую из уравнения теплового баланса- Уд= c(t Q* t , ■ (62) где VA — дополнительная прокачка масла для отвода теплоты, поступающего к подшипнику от нагретых дета- Для охлаждения и смазывания высокоскоростных тяжелой агруженных подшипников (опор валов мощных высокоскоростных редукторов, опор роторов газотурбинных двигателей, мощных электродвигателей) применяют циркуляционное смазывание, при котором подачу масла осуществляют сплошными интенсивными струями из форсунок. Струи масла обычно направляют в зазор между сепаратором и внутренним кольцом подшипника с наклоном к оси подшипника 15—20°. Общее число струй масла в зависимости от диаметра отверстия подшипника указано ниже. Св 70 до 100 Св 100 до 150 Св 150 3-4 4-6 6-10 и более dmn и эквивалентной нагрузки может быть определена по формуле Vu= Vp+ 1,4-Ю-Чтя, (6П где dm—в мм; п — в мин"1, Vv — приращение прокачки, зависящее от эквивалентной динамической \ сгрузки Рт, определяемой при условии Л,б~ = Кт= V— 1. Величина Vp для различных пределов эквивалентной динамической нагрузки приведена ниже. Св 5 000 Св 15 000 Св 25 000 до 15 000 до 25 000 1,5 2,0 2,5 лей, л/мин; QR — количество теплоты, поступающей к подшипнику от нагретых деталей, кДж/мин, с — теплоемкость масла, кДж/(л-°С), (выхи tBli— температура масла, соответственно выходящего из подшипника и входящего в подшипник, °С. Общая прокачка масла (л^мин) для случаев подвода теплоты к подшипнику от нагретых деталей V=Va+Va. (63) Тепловыделение радиальных роликоподшипников при интенсивном цирку- Днаметр отверстия подшипника, мм . До 40 Св 40 до 70 Число струй, выравнивающих температуру колец подшипника 1—2 2 — 3
Смазывание подшипников ' !59 ляционном смазывании определяют по следующей эмпирической формуле (в кДж/с): Qp = 4)2/CT,[0>03V°'58eV'1 + + \0~3(0,lFrf — \0~7dn — 0,04], где V — прокачка масла, л/мин; е — основание натуральных логарифмов; Х,р — параметр, зависящий от прокачки масла, Хр= (1,96—0,043V) Ю"6: d — диаметр отверстия подшипника, мм; п — частота вращения подшипника, мин"1; Fr— радиальная нагрузка, Н; Ф— показатель степени, зависящий от параметра dn, «= 0,61+ 10~Чп, Кг\ — коэффициент, учитывающий влияние вязкости масла на трение подшипников. Значение коэффициента Кг\ определяется по следующим уравнениям, аппроксимирующим изменение тепловыделения в подшипниках в зависимости от вязкости смазочного материала прн смазывании маслом с вязкостью, большей или равной вязкости трансформаторного масла при температуре 50 °С, т.е. прн т) >т)тр, о.оп (_Л__ И Kn = V ^тр ' + + v 1%р Г при смазывании маслом с вязкостью, меньшей вязкости трансформаторного масла при температуре 50 °С, т. е. Л <-ПтР, где т)тр и т) — вязкости соответственно трансформаторного масла при температуре 50 °С и масла, используемого в в действительных условиях работы. Тепловыделение радиальных и ра- Диальио-упорных шарикоподшипников при интенсивном циркуляционном смазывании определяют по следующей эмпирической формуле (кДж/с): QUI = 4,2A:T1 [(2,2+ 1,5V) X X W~V™"n + AQmr + AQma}, где Х,ш—параметр для шариковых подшипников, зависящий от прокачки масла, Хш=- Ю-» (1,93 -0,58V), AQmr — слагаемое, учитывающее влияние на тепловыделение подшипников радиальной нагрузки, AQniP - 4,2- Ю-3 (0,1/>)*ш - Сш; Фш— показатель степени, зависящий от параметра dn, #ш-= 0,61+ 1,2-10-1 dn; Сш — тепловыделение подшипника (кДж/с) при радиальной нагрузке Fr = = 104Н, Сш= 4,2-0,03+ l,2-10-'dn; AQma — приращение тепловыделения в шарикоподшипниках при действии осевой нагрузки, AQmu = l,2h(0,\Fa)*, F& — действующая на шарикоподшипник осевая нагрузка, Н; h и г|) — параметры, зависящие от значения dn и прокачки V: A-3.2-10-12e°-*8V(*UM; ij>= 0,763 - 0,5- Ю-7 dn — 0,27 X X !0~3V3,3- При установившемся тепловом режиме подшипника можно принять, что все тепло, выделяющееся в подшипнике при струйной форсуночной подаче масла, отводится от него маслом, т. е. Qn = Q» Количество теплоты (кДж/с), отводимое маслом, определяют по уравнению ~ —60~ ( вых 'вх)> где с — теплоемкость масла, кДж/ (л-°С) [для трансформаторного масла с= 1,9 кДж/(л-°С)]; V — прокачка масла, л/мин; р — плотность масла при
160 Лодшипникц качения температуре, равной средней арифметической температуре входящего (tBX) в подшипник масла и вытекающего (?вык) нз подшипника масла, кг/л; teux— средняя температура вытекающего чз подшипника масла, °С; tbx — температура масла перед входом в подшипник, °С. Подставив в уравнение теплового баланса выражение для фч, можно определить среднюю температуру вытекающего нз подшипника масла. , 60Qn 'вых — (вж i Tw • НЕКОТОРЫЕ ПРИЧИНЫ ПРЕЖДЕВРЕМЕННОГО ВЫХОДА ИЗ СТРОЯ ПОДШИПНИКОВ КАЧЕНИЯ И МЕТОДЫ ИХ ПРЕДОТВРАЩЕНИЯ Основные причины преждевременного выхода из строя подшипников связаны с несовершенством конструкции подшипникового узла или самого подшипника, несоответствием выбранного подшипника действительным условиям работы, отступлениями от технических условий на изготовление деталей подшипникового узла или на его сборку, отступленнями от технических условий на эксплуатацию машины, некачественным материалом и изготовлением деталей подшипника. Часто подшипники выходят из строя из-за одновременного влияния на сокращение их работоспособности нескольких из указанных причин. Усталостное выкрашивание поверхностей качения колец и тел качение может возникать из-за недостаточной работоспособности лодшипника для действительных условий эксплуатации, из-за действия на подшипник неучтенных нагрузок. Снижение воспринимаемых подшипником нагрузок, повышение его динамической грузоподъемности, снижение вибрационных нагру- эок позволяют повысить надежность подшипк-лка. При образовании на поверхностях качения даже небольших коррозионных пятен (точек) или раковин существенно снижается долговечность подшипника из-за усталостного выкрашивания металла в зонах коррозии. При нарушении режимов окончательных операций обработки поверхностей качения деталей подшипников могут создаваться местные прижоги, в результате которых на поверхности возникают трещины, значительно сокращающие долговечность подшипника из-за усталостного выкрашивания. Преждевременное усталостное выкрашивание возникает при перекосе колец подшипника. Повышенный перекос колец (осей валов) — одна из распространенных причин преждевременного разрушения подшипников. Особенно чувствительны к перекосу роликовые подшипники с цилиндрическими и коническими роликами. Для снижения концентрации напряжений ролики выполняют с бомбиной (выпуклыми); при этом разность диаметров роликов в средней части и по их концам в зависимости от размера роликов выполняют в пределах от 0,01 до 0,05 мм. Усталостное выкрашивание поверхностей качения может возникать из-за металлургических дефектов (повышенное содержание неметаллических включений и карбидов, наличие волосовин трещии, заковов, обезуглероженный поверхностный слой). Металлургические дефекты могут быть выявлены горячим травлением в 20%-ном водном растворе соляной кислоты при температуре 80°С. Усталостное выкрашивание поверхностей качения может образоваться в зонах механического их повреждения (риски, вмятины), связанного с засорением маслосистемы металлической стружкой. Для предотвращения образования механических повреждений поверхностей качения необходимо в маслоснстеме использовать фильтры с малым размером ячеек (10—15 мкм и менее). Излом кольца гиожет возникнуть, если оно посажено на вал или в корпус с радиальным зазором. В подшипниках с повышенным радиальным зазором прн действии легких нагрузок и вращении с повышенной частотой может происходить относительное проскальзывание поверхностей качения и, как следствие, изнашивание тел качения и дорожки качения вра-
Причины выхода из строя подшипников 16! шающегося кольца подшипника. Меньше изнашивается дорожка качения неподвижного кольца. Изнашивание от проскальзывания повышается с уменьшением воспринимаемой подшипником нагрузки, при увеличении частоты вращения подшипника и радиального зазора, а также при повышении сопротивления вращению комплекта тел качения с сепаратором (повышенная шахматность расположения гнезд сепаратора, трение тел качения о чеканку гнезд сепаратора, наличие в подшипнике пластичного смазочного материала, повышенный перекос колец подшипника). Проскальзывание чаще возникает в роликоподшипниках. Большое влияние на проскальзывание роликоподшипников оказывает осевой зазор роликов относительно направляющих бортов. При малом или увеличенном осевом зазоре вращение роликов сопровождается их повышенным трением. Оптимальный осевой зазор роликов относительно направляющих бортов равен 0,02. 0,03 мм. При использовании роликоподшипников с тремя или четырьмя направляющими бортами (типа 12000, 42000 и 920001 необходимо обеспечить в подшипниковом узле расположение буртиков одного кольца строго в одной плоскости с направляющими буртиками другого кольца. Для уменьшения или предотвращения проскальзывания и изнашивания поверхностей качения целесообразно: а) повысить нагрузку на подшипник, б) уменьшить радиальный зазор в подшипнике; в) ограничить допуск на шахматное расположение гнезд сепаратора величиной не более 0,05 мм; г) не допускать подачу масла в подшипник через отверстия в наружном кольце; д) не применять смазочные материалы | с повышенной вязкостью Для снижения проскальзывания роликов и их изнашивания целесообразно использовать подшипники с направляющими бортиками на внутреннем кольце и с направлением сепаратора по безбортиковому наружному кольцу. Проскальзывание, может быть устра- 6 Заклз 402 нено или существенно снижено путем уменьшения (в 2 раза) числа роликов в подшипнике. Повышенный перекос колец роликоподшипника вызывает изнашивание торцев роликов и направляющих бортиков, при этом на роликах образуется корсетность. Повышенное изнашивание торцев роликов и направляющих бортиков может привести к развороту роликов на 90°. Изнашивание торцев роликов и направляющих бортиков может происходить из-за неравномерной температуры по ширине колец или повышенной конусности посадочных поверхностей под кольца подшипника, В этом случае также может произойти разворот роликов на 90°. При неуравновешенности роликов (биение фасок, эксцентрическое расположение наих торцах меток) и высокой частоте вращения возникает неравномерное (эксцентричное) изнашивание торцев роликов, что также может привести к развороту их на 90'. При перекосе колец шарикоподшипников шарики совершают в гнездах сепаратора автоколебания и давят на его поперечные перемычки, создавая переменные растягивающие напряжения в продольных перемычках, что часто вызывает разрыв сепаратора из-за усталости материала. Особенно чувствительны к перекосу колец ра- диально-упорные шарикоподшипники с четырехточечным кон I актом и с углом контакта более 26°. Поэтому для повышения работоспособности и надежности радиально-упорных шарикоподшипников целесообразно использовать подшипники с трех- или двухточечным контактом. С уменьшением угла контакта чувствительность к перекосу радиально-упорных шарикоподшипников снижается. Склонность сепаратора к разрыву увеличивается с повышением осевой нагрузки. Для повышения надежности сепараторов радиально-упорных шарикоподшипников необходимо их изготовлять из материала с высокими пределами прочности и выносливости. Ряд иностранных фирм (SKF, FAG и др.) сепараторы ответственных шарикоподшипников изготовляют из стали, а для повышения их антифрикционных свойств такие сепараторы покрывают серебром.
162 Пружины Из-за колебаний и ударов, возникающих при транспортировке машин, на поверхностях качения деталей подшипников могут возникнуть намины и контактная коррозия. Последующая работа подшипника сопровождается усиленным изнашиванием поперечных перемычек сепаратора, тел качения н преждевременным выходом его из строя. Если во вращающийся с повышенной частотой подшипник не подается масло или подается в недостаточном количестве, то наступает режим работы подшипника в условиях масляного «голодания». В этом случае в связи с недостаточным охлаждением и возрастающим трением значительно повышается температура подшипника, достигая 800... 900 °С и выше; при этом более сильно разогревается внутреннее кольцо, в результате чего в подшипнике выбирается радиальный зазор. Подшипник подклинивает, и движение качения его деталей переходит в их скольжение, сопровождаемое значительным изнашиванием поверхностей качения. Возникают пластические деформации тел качения и раскатка колец. Поверхности детален подшипника покрываются темной окисной пленкой. Процесс разрушения подшипника при масляном «голодании» проходит сравнительно быстро (за 5.,.8 мин) в зависимости от частоты вращения и величины дейст вующей на подшипник нагрузки Кратковременное (до 10... 15 с) прекра< щение подачи масла в подшипники вращающиеся с высокой частотой обычно не приводит к их повреждению Глава 10 ПРУЖИНЫ ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ В машиностроении распространены витые цилиндрические и специальные пружины. Основными материалами для пружин являются высокоуглеродистые стали 65, 70, марганцовистая сталь 65Г, кремнистая сталь 60С2А (рабочие температуры для этих сталей от —60 до + !20°С), хромованадиевая сталь класс проволоки диаметр проволоки d, мм 50ХФА (рабочая температура от —180 до +250 °С) и др. (табл. 1). Пружины, работающие в химически активной среде, изготовляют из цветных сплавов. Для изготовления пружин в основном применяют стальную углеродистую проволоку диаметром от 0,2 до 5 мм. Эта проволока в соответствии с. ГОСТ 9389—75 выпускается четырех классов: I II НА III 1450 — 3150 1250 — 2800 1250 — 2700 1050 — 2350 0.14 — 6 0.14 — 8 0.14 — 6 0,14-8 Ббльшие значения ов имеет проволока меньшего диаметра. Контроль готовых пружин включает внешний осмотр для выявления видимых невооруженным глазом поверхностных дефектов (трещины, заусенцы, риски н т. п.), изменений размеров (наружного и внутреннего диаметров, длины в свободном состоянии и отклонение оси от перпендикуляра к торцовой плоскости) и твердости (обычно 40—48 HRCB). Контроль пружин проводят, как правило, выборочно. Пружины особо ответственного назначения, помимо сплошного контроля, подвергают технологическим испытаниям пробным грузом для оценки их упругих свойств и др. Клапанные пружины выборочно испытывают на сопротивление усталости. Для защиты поверхности витков от окисления пружины ответственного назначения покрывают лаком или промасливают, а пружины особо ответственного назначения оксидируют, наносят цинковое или кадмиевое покрытие.
О I. Механические свойства наиболее распространенных пружинных сталей н сплавов Сталь (сплав» 65 70 55 ГС 65Г 55С2 60С2А 60С2ХА 60С2ХФА 50ХГФА 50ХФА 50ХВА БрОЦ4-3 БрКМцЗ-1 Температура за* калки, °С 840 830 820 830 820 860 870 850 840 850 100 — 150 воздух о я о. >. f-'-J а. ■л и »> X 480 460 420 410 520 - "в °т хв *т t-t "-о 1 МПа 6* Ф % не менее 1000 1050 1 130 юоо 1300 1600 1800 1400 1300 800 — 900 650 — 750 800 850 1000 800 1200 1400 1600 1700 1200 - 700 750 900 700 900-1050 1050—1 150 1200—1300 1300—1400 900—1000 - 500 550 600 500 650 — 800 800 — 900 950—1050 1 100 -1200 700 — 800 - 300 - 350 300 -380 400-450 450 — 500 * 500-550 * 300 — 380 300 — 400 350 — 450 - 500 -000 500-650 700 — 750 800-850 * 850 — 900 * 500—650 550--650 - 0,83 0.83 0.8 0.8 0,8 - 9 8 6 5 5 6 10 0.5- 2 6-8 35 30 30 20 20 35 45 ~ Применение Пружины общего назначения Пружины подвижного состава ж.-Д транспорта, клапанов, регуляторов, рабочая температура от - 40 до +250 °С Крупные пружины и пружины Ov-обо ответственного назначения, работающие при температуре от —40 до 4-400 "С и в условиях переменных нагрузок Пружины клапанов и приборов, работающие в магнитном поле, влажной атмосфере, воде н паре при температуре от — 40 до +200 °С Данные получены на (".азе 2-10* циклов.
164 Пружины ВИТЫЕ ПРУЖИНЫ Основное применение имеют пружины из проволоки круглого сечения, При больших внешних нагрузках применяют пружины с витками квадратного и прямоугольного сечения (пружины, вырезаемые из трубчатых заготовок). Пружины растяжения (рис. 1, а) обычно навивают без просветов между витками, а в большинстве случаев — с начальным натяжением (давлением) между витками, компенсирующим частично внешнюю нагрузку. Натяжение обычно составляет (0,25—0,3) Р3> гДе Рг — предельное усилие для пружины, при котором полностью исчерпываются упругие свойства материала. Внешнюю нагрузку такие пружины воспринимают обычно через зацепы в виде отогнутых последних витков (рис. 1, б, г) — для пружин диаметром до 3— 4 мм. Такие зацепы имеют высокую концентрацию напряжений в местах отгиба и пониженное сопротивление усталости. Для ответственных пружин диаметром более 4 мм часто применяют закладные зацеиы (рис. 1, д—ж). Пружины сжатия (рис. 2) навивают с просветом между витками, который должен на 10—20% превышать осевые упругие перемещения каждого витка при наибольшей внешней нагрузке. Для создания опорных плоскостей последние витки пружин сжатия поджимают к соседним и (.ошлифовывают перпендикулярно оси Соосность пружин с сопрягаемыми деталями достигается установкой опорных витков в специальные тарелки, в расточки корпуса, канавки. Аналогично центрируют и концентрические пружины (рис. 3). Длинные пружины под нагрузкой теряют устойчивость (выпучиваются). Такие пружины обычно ставят на специальные оправки (рис. 4, а) или в стаканы (рис. 4, о). Концентрические пружины в ряде конструкций также разделяют стаканами (рис. 4, в). Для повышения несущей способности пружин сжатия в упругой области их подвергают заневоливанию, С этой целью пружины сжимают до соприкосновения витков и выдерживают (от 6 до 48 ч) до получения остаточной осадки. В результате осадки под нагрузкой в периферийных областях появятся пластические деформации, а в поперечных сечениях проволоки пружины возникнут напряжения, эпюра которых будет совпадать с диаграммой сдвига при первичном нагружении (рис. 5). При разгрузке пружины в ее сечениях возникнут остаточные напряжения, которые далее будут компенсировать (в периферийной наиболее нагруженной области) напряжения от внешней нагрузки, повышая таким образом нагрузочную способность пружины при. работе в упругой области. Пружины, работающие в условиях длительного воздействия переменных нагрузок, повышенных температур Рис, I. Пружяяа растяжения к зацепы Рис 2. Пружина сжатии
Расчет витых цилиндрических пружин 165 Рис. 3. Концентрические пружины Рис. 4. Способ!! предотвращения выпучивания пружии (150—450 X) и коррозионных сред, ие занызоливают, так как сопротивление усталости заневоленных пружин не повышается. Основные геометрические параметры пружин (см рис. 2): диаметр проволоки й или размеры сечения, средний диаметр D0, Do индекс с = ~-\ а число рабочих витков п; длина рабочей части Я0; Из- п ' шрг витков i = угол подъема витков a—arctg t Последние три параметра рассматривают в ненагружеином и нагруженном состояниях. Индекс пружины характеризует кривизну витка. Пружины с индексом с s£ 3 применять не рекомендуется из-за высокой концентрации напряжений в витках. Обычно индекс пружины выбирают в зависимости от диаметра проволоки в следуошчх пределах: Л. мм До 2,5 5—12 3 — 5 6~-!2 ч- 10 4- 9 РАСЧЕТ ВИТЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ПРУЖИН При центральном приложении силы " в любом поперечном сечении витка пружины возникают результирующая йчутренняя сича Р, параллельная оси пружины, и момент М=Р —£-, плоскость которого совпадает с плоскостью пары сил Р (рис. 6). Нормальное поперечное сечение витка наклонено к плоскости момента под углом а. В этом сечении будут действовать силы и моменты (см. рис. 6)' Q — Р cos а; N — Р sin а; 1 М = Р — cosa; Мв = Р -— sin a. j (О Ввиду малссти угла подъема витков (обычно a <" 10-н12°) можно считать, чго сечение пружины работает на кручение. Максимальное касательное напряжение в сечении пружины ^тах — -тй > (2) где WK - - момент сопротивления сечения вала кручению L. учетом кривизны витков и равенства (1) соотношение (2) примет вид ^гаах — Ш, < Ми. (3) где k — коэффициент, учитывающий кривизну витков и форму сечения (поправка к формуле для кручения прямого бруса); Р — внешняя нагрузка (растягивающая или сжимающая);
166 Пружины t Tr 0 ъ т r \ j№ 7 Рис. Б. Диаграмма сдвига De — средний диаметр пружины; [т]к — допускаемое касательное напряжение при крученнн (табл. 2). Значение коэффициента k для пружин из круглой проволоки при индексе с ^ 4 можно вычислить по формуле k = (4) V Рис. 6. Силовые факторы в сечеиии нагруженной пружины а для пружин прямоугольного сечення Тщах — по рис. 7. Для пружин прямоугольного поперечного сечения WK = aba2, (5) 2. Допускаемые напряжения для цилиндрических витых пружин растяжения-сжатия Марка материала 60С2А. 65С2ВА, 70СЗА, 50ХФА. 60С2ВА *. 65 * Проволока класса 1 Проволока классов 11, На. III БрОЦ4-3 БрКМцЗ-1 Диаметр проволоки, мм 3—12 14-15 0,2-5 0,3-10 Твердость HRC после термообработки 46-52 - - [т]к. МПа, для класса пружин I 560 480 0,3ов 0,2оа 0.3ов II 960 800 0,5ов 0,5ов 0,5ов III 1350 1050 0.6ов - 0.6ов 0,6ов * Применяют для изготовления пружин классов II и III. Примечания' 1 Долговечность пружин класса I прн начальной затяж-ке Pi > 0.2Р3 (Р3 — сила пружины при максимальной осадке) не менее 5- 1 О6 циклов; пружины класса 11 при тех жр условиях имеют N > 105 циклов, сюда же относятся все статические пружины, длительно пребывающие под нагрузкой; пружины класса III — N » 2- 10» циклов 2 Значения [г]к даны с учетом кричизны витков. 3. Для сталей, не указанных в таблице, значения [т]к можно ориентировочно принимать для классов пружин I — (0.25-f-0,3) о ; I
Расчет витых цилиндрических пружин 167 R=D/2 1,0 Г,2 Рис. 7, К определению коэффициента k для пружин растяжемня-сжатня при юугольного сечения где Ь — высота, я а — ширина прямоугольника; а — коэффициент, завися- щий от отношения сторон е = — (табл. 3). Если пружина навита из круглой проволоки, то WK совпадает с полярным моментом сопротивления и тогда Податливость пружины наиболее просто определить из энергетических соотношений. Потенциальная энергия пружины I МкМт ^р-тРб = т GJK dz, 8kPD0 8kPc nd3 nda < [t]„. (6) Осевое перемещение торцов пружины с углом подъема а < 12° б = Х„Р. (7) (8) где Мк1 — ~ крутящий момент в сечении пружины от силы Р = 1 Н; GJк — жесткость сечения витка на кручение; I « nD0n — полная длина рабочей части витков; п — число вит- 3. Значения Коэффициент а Р 3, коэффициентов о и $ Ыа 1.0 0.208 5,57 0.I4I 1.5 0.231 . и7 0.196 1,75 0,239 2.10 0.214 2,0 0,246 1.72 0.229 2,5 0,256 1,26 0.249 3.0 0,267 1,00 0.267 4,0 0.282 0.70 0.282
[68 Пружины Геометрическая жесткость на кручение для прямоугольного сечения Ун = №, ко >ффициент р\ — по табл. 3. На рис. 8 показана зависимость между нагрузкой и осадкой пружины сжатия. Если пружина установлена с предварительной затяжкой (осадкой) с усилием Plt то ее установочная длина Н\ = На — Si = #0 — nXPv (15) Длина пружины при действии наибольшей внешней нагрузки Ра Рис. Характеристика пружины сжатия ков пружины; JH — геометрическая жесткость на кручение. Из соотношения (8) следует: О = Рп 4GA = Хп, (9) (10) где X — осевая податливость одного витка (осадка в мм при действии Р = = I Н), тгПЗ (И) 4GA Для пружины из круглой проволоки полярный момент инерции сечения nd* (12) •» р — ^к 32 и тогда формула (11) примет вид 8D* 8с3 Ж' «3> сдвига, G = Х = - Gd* где G — модуль = 2(1-|- v) * °'384£; Е — М0ДУль упругости материала пружины. Для пружин с прямоугольным" поперечным сечеиием где а — наименьшая сторона сечеиия (коэффициент р по табл. 3). Н, И л — б. Но При действии нагрузки Р3, соответствующей [т]к, длина пружины будет наименьшей: Н3 = Ня — бз = Я„ — пХР3 nDln = tf,-[Tj„ 'о" Gkd (17) В соотношениях (15)—(17) Нв — длина пружины в свободном (иенагру- жениом) состоянии. Угол наклона прямой Р = f (б) (см. рис. 8) к оси абсцисс 63 ба 61 nX (18) В зависимости от назначения пружины усилие предварительной затяжки Рг= (0.14-0,5) Р». Наибольшая допускаемая внешняя нагрузка для пружии растяжения и сжатия Р3= (1.1-5-1,3) />,. (19) Конечный участок диаграммы пружины от силы Р3 до усилия Рпр, сжимающего пружину до соприкосновения витков, может оказаться нелинейным из-за неравномерности шага. Рабочий ход (осадка) пружины * Л = #! — Яа = пк (Pt — PJ. (20) Если ход пружины задан, то необходимое число рабочих витков для обеспечения этого перемещения * Изменением предварительной затяжки можно регулировать осадку пружины.
Расчет витых цилиндрических пружин 169 Число витков округляют до полувитка п < 20 и до одного витка при л>20. Полное число витков n1= n+ (1,5-2,0). (22) Дополнительные 1,5—2,0 витка идут иа поджатие для создания опорных поверхностей у пружины. Полная длина ненагруженной пружины Я0 = Я3+ n(t-d), (23) где Яз — Длина пружины, сжатой до соприкосновения соседних рабочих витков *, нз = К — 0,5) d; (24) t — шаг пружины, находящийся в зависимости от наибольшей осадки пружины, *-й + -1ЬЦМ4_, (25) где наибольшая осадка пружины б, = пДР, = [т]к^-. (26) В табл. 4 приведены значения наибольших допускаемых внешних нагрузок Р3 и податливостей витка пружины А в зависимости от индекса с и диаметр а проволоки d. Длина проволоки, необходимая для изготовления пружины, L = cos a 3,2О0л, (27) где а — угол подъема витков ненагруженной пружины, а — 6-7-9°. Для предотвращения выпучивания пружины от потери устойчивости ее гибкость tf0/D0 должна быть менее 2,5. Если по конструктивным соображениям это ограничение не выполняется, то пружину, как указано выше, следует ставить на оправках нли монтировать в Гильзах. Длина пружины растяжения в не- иагруженном состоянии #„ = nd+ 2A3, (28) * Полное число витков уменьшено на "•' из-за того, что каждый конец пружины сошлифован иа 0,25d для образования плоского опорного торца. где hs — высота одного зацепа, h3 ~ = (0,54-l)D,. Длина пружины при максимальной внешней нагрузке Ра Яа = Н0+ пХ (Ра - Pi), (29) где Pi — усилие первоначального сжатия витков при навивке. Для изготовления пружины из проволоки = rmD^ +2/ з,3 D0n + 2/3; cos a (30) здесь /s — длина проволоки для одного зацепа. Расчет пружин обычно начинают с определения диаметра проволоки (или размера сечения для некруглой проволоки), задаваясь значением [т]к и индексом пружины с. Диаметр проволоки находят из условия прочности (7) = 1,6 )/■ kP3c [Т]к ' (31) Если пружина имеет прямоугольное сечение, то ширина прямоугольника 0,795 ->у. kP3D Далее по формулам (13), (21)—(27) определяют размеры пружины. Расчет цилиндрических пружин растяжения — сжатия из проволоки круглого сечения при d = l,6-f-7,5 мм; с == 3-~ 10 и [т]к -= 400 МПа можно проводить, используя табл. 4. Пример 1. Заданы: ход пружины h, усилие предварительной затяжки Pj и наибольшая внешняя нагрузка Ра. Из соотношения (19) находим Р8 и далее по табл. 4 подбираем d, D0 (D0 = = cd) и X. Потребное число витков пружины находим из соотношения (21), а размеры пружины — по формулам (22)—(27). Пример 2. Заданы: наибольшая нагрузка Ра, установочная длина Я, и ход пружины h. По табл. 4 для заданного значения Ра после вычисления Р3 находим d, D и X. Потребное число витков пружины и ее размеры находим, задаваясь значением Pi [Pi = (O.l-f-0,5) Pa] или hx.
170 Пружины с S Диаметр проволоки d, мм 3.0 2.8 2,5 2.2 2.0 1.6 Индекс пружины << йГ •< оГ с^ оГ с^ оГ <-; оГ «-«: оГ OCOCO-*fP--vOOvOCOi£;t~-.r-~OCCCO CTi T — О — ЮС4! — Т О С f Л Ю СО О — CM CO ^f iC [-~ СГ) — VISOV ХСО оооооооо ■ — см ем ем со OOOOOOOOOOOOOOO О — ■ФСЛООСЧГ-СГлОСООиОСОО — ■»t-COt--lOt--CM00<C<Cf-a} — -ФСОСО — оо vo со — осог-^ио-ф-^сосмем tccocnvoo^f — — ю г- ст> со ■«*■ см — en vo см ем ■* с г— со см о см о*, о \d r- О — СМ СО ■»*- iC Г- СГ- СМ 1Л 00 — tC О tO оооооооо— — — ем см coco ooooooooooooooo О О CM vO Г 4t* — — О 00 CO ^f — CM ■^ (С тГ iC С"; (С ^-■^•vOP^CTjCOP^CMP^ ("-.^fCMOCOr-tOVO^fCOCMCM — — О CO — tC^rOvO^OOCMr^cOtCOCTJO --МСО<ЯЩИОСО(СОтГОтсО OOOOOOO — — — CM CM CM CO 4f OOOOOOOOOOOOOOO CO (О СО СО —■ О — CMvOC7)CO00COC7)VO — cnr^ovo-фсосм — oocncnooeo CO L.O — ■* CO (D CM Ж O-. CO [- ■ ч$- t-» Ю CNCftO — ССЛООчМО — CNOl — СЛ-^- — —CM-^-vOC^-OtMlOCDCON-COCOvO ooooooo — — — смемсосо-^- OOOOOOOOOOOOOOO vO емСМ-^СЛ — С^-Ю — (£)(£) — —iCCMCM OMCOiDSOO — iflOiif OtDINOltD (СЮСОМ — ООСП00с0С0Г-~Г-ч(£)(0 ifi-fOO^-OniOOOOinSO CO — ем vO CM CO CO t-- — — tONiMOO — емсо-^-ocoOcoN- — юощемо OOOOOO— — — CM CM CO CO 4f Ю OOOOOOOOOOOOOOO CO — COCO'i'^I^COtDtDOCKNOlCDCNS OV ira-*f-*ftca}COCC-*fCT>(£)eMCnt'--*f n^-00)X10SMO(C(CifiiOiO CncOOO-OOlD^S^COiOtJlO — OltlCl^OCOIS — tc — CO vO CO CM OOOOO П M en CO ^ «Я (D ooooooooooooooo lOvOCM — CDvOp^CO-^-Г-^чгсОСОЩО СПОСОГ- iNCOOt-^WOOCKClfl coeON«:(Din>n>ntf^^nnco vO vO vO Ю vO vO Ю COCOf^^iOtDtDSNxoOO'.CDO Диаметр проволоки d, мм 5.0 4,5 4,0 3,8 3.5 3,2 Индекс пружины << О." << оГ «£ <С «< оГ ^ Q? ^ оГ ■* о оо см о со см vO 00 СМ 00 vO СО СО о о — — см со -*f о о о о" о" о" о Г- ■* СТ) СО СП К. СО СО <С ■* vO «ф — ■* С^. СО — vO О (С СМ СО Г^ Г^ <С <С inin о in см см оо о о ooooooo ooooooo so-еооош О CO N- CO CO Ю CM COSOOOWtDO <J2 О Ю CM — — ■* O— — CM CO 4f vO о а а а о о a OOOOOOO CM CO vO ■* — vO Ю C7) CO t~- CD Г-~ СП Ш vO О vO — CCvO CO vO vO 4f ■* CO CO CO — CO CO О CD CO CO Г-, — l£i tf CM CO Щ о —• — см со -*t- vo о aaо о о о о о' о" о" о о о 50,47 45.42 41,29 37.85 34.94 32.44 30.28 N- СМ СО О Г^ vO Г^ 1*- CM CO (D vO f-« — О — — СМ СО 4f О ooooooo ooooooo 42,81 38.53 35.03 32,1 1 29.64 27,52 25.69 (О П О Ю а Г4 N ooooooo ooooooo 35,79 32.21 29,28 26,84 24.78 23,01 21.47 m m vo CO CO •«*• 4t* vO vo" (D
О OOCOOO^-JOlGiCflWi^-^WW 3? ОЮОг»ОЭ-4-^01 OOOOOOOOOOOOOOO — __ , ООООООООООО OSuiW — (2\OiJ»j„j ОО — Л (О —* О^. СТ) N, -D -D О tvj О J** 0eyOOl^-M*CiWW^O О СО О OOOOOOOOOOOOOOO . ooooooooooo Oi44oOoe>iji*WK;to- —О о SOOi*WwJM*GM(»MN-Ul —J .*>. jo .*>. j2 QO — Off>ON?"^JCn^Ol 00 — СОСЛСЛСО--1010С^мслМ001 OOOOOOOOOOOOOOO _ OOOOOOOOOOOO jiy-.(D^O)Oi*Wto OOO 0> -4 nI-^СПОЭООО ■ M •*■ СЛ -4 NCw"^-aiOOiN5GOCCOOA — OOWG~5!GiW^OUi*--M — ooo"t--wa>wo щ ai ^ i л« (л OOOOOOOOOOOOOOO -OOOOOOOOOOOO ■bwOCDN^AW^M'" — OOO М(О*--ЛС*>ООООч*Э~-1С0чЭ:Г-»Э IO*toA-wcC to V ~ 4ь CO tO СЛ OOOOOOOOOOOOOOO 1 OOOOOOCOOOOOO W — <J OS 01 _. 4». Sjj N/ N3 OOO WWN>tOC*>tO-4!JiCDtO-4— ЛМО) t^CiOiffi^XO op о о о oo о u to to — — — — о to -J --J — о — -Jji оооооооо to to ю — Оо (X-t-O-J-A-t^cC-J Ст-лОэслСЛОСоОэ so — сл to слО сл Ю (О ОО dM(DOiy-(3S СОСЛ •*■ — О W <oa>ooo>-«jocjv оооооооо Ю N3 — — ОО С, — СО О ЮО»5> О ■*- tO W 00 Сл Сл ОЭ CWivO О СЛ "-J -J о оо о оо оо N3 — — ООО to t£ Oi W ~ -Э-^о tootoo~cowai — ЮСЛОСлСп-JiOO J* сл-4 Ю — V Cft tO —-i .u w a> to — o*jiNjtaoo)Cfl оооооооо (О _ OOO O'vg.^tNjOOOCTiJ O — _ntOtO*-CO.U. О СЛ CO CD *. *. 01 -O Ш чпжИйи xmodbtidQvnvn'n хпшпв шэью^
172 Пружины Рис. 9. Фасонные пружины Решение задачи такого типа ие однозначно, на выбор того или иного варианта могут влиять дополнительные конструктивные соображения, связанные, например, с выбором Р. и Рх. Выбор пружин из проволоки диаметром от 0,2 до 50 мм для сталей, прь веденных в табл 2 проводят по ГОСТ 13764—86 — ГОСТ 13776—86. Эти стандарты распространяются на вянтовые цилиндрические пружины растяжения и сжатия для нагрузок от 1 до I06 Н с индексами с = 4-:-12 и наружными диаметрами 1—700 мм. В зависимости от долговечности стандартные пружины делятся на классы (см. табл. 2). При больших нагрузках и ограниченных габаритах используют составные пружины сжатия (см. рнс. 3) — набор из нескольких (чаще дв>х) концентрически расположенных пружин, одновременно воспринимающих внешнюю нагрузку. Для предотвращения сильного закручивания торцовых опор и перекосов навивку соседних пружин выполняют в противоположных направлениях (левом и правом). Опоры выполняют так, чтобы обеспечивалась взаимная центровка пружин (см. рис. 3, 4). Обычно составные пружины имеют одинаковые осадки. При их проектировании стремятся к тому, чтобы длины пружин, сжатых ад соприкосновения витков, были приблизительно одинаковы, а наибольшие касательные напряжения у всех пружин были равны допускаемому. Первые Два условия для пружин, навитых из круглой проволоки, эквивалентны равенству их индексов. При расчете двух концентрических клапанных пружин автотракторных двигателей часто средние диаметры пружин выбирают по конструктивным соображениям (в зависимости от диаметра горловины клапана) Радиальный .пзор в таких пружинах составляет ! -2 мм. Далее, принимая, что наружная пружина воспринимает 50—70% внешней нагрузки, находят диаметр прово- чоки (/ — номер пружины) aU) -y " М„ и определяют длину пружины. В последние годы получили распространение многожильные пружины, при изготовлении которых вместо одной проволоки используется трос, свитый издв)х — шести проволок малого диаметра (d — 0,8—2 мм). По конструктивному решению такие пружины эквивалентны концентрическим пружинам. Благодаря высокой демпфирующей способности (за счет трения между жилами) и податливости многожильные пружины хорошо работают в амортизаторах и других подобных устройствах. При действии переменных нагрузок многожильные пружины довольно быстро выходят из строя от изнашивания жил. В конструкциях, работающих в условиях вибраций нагрузок, иногда применяют фасонные пружины (рис. 9) с нелинейной зависимостью между внешней силой и упругим перемещением пружины Расчет фасонных и многожильных пружин дан в работе [6], гл. 27. РАСЧЕТ НА СТАТИЧЕСКУЮ ПРОЧНОСТЬ При действии статических нагрузок пружины могут всходить из строя вследствие появления пластических деформаций в витках. Запас прочности по пластическим деформациям пт = —Ь_ >1,3, (32) ^тах где ттах — наибольшие касательные напряжения в витке пружины, их вычисляют по формуле (7) при Р = = о — i max-
Расчет на ударную нагрузку 173 PAC4FT НА СОПРОТИВЛЕНИЕ УСТАЛОСТИ Пружины, работающие длительно при переменных нагрузках (например, клапанные и др.), необходимо рассчитывать на сопротивление усталости. На рис. 10 показана диаграмма предельных напряжений для пружин, построенная в координатах тшах итт, где 8kD &kD п %miD ~ nd3 mm' Витые пружины крайне редко работают одновременно на растяжение и сжатие, т. е. симметричный цикл нагру- жения (предел выносливости т_г) не характерен для пружин. Пульсирующее нагружение, характеризуемое пределом выносливости т0, также встречается редко в динамически нагруженных пружинах. Большинство пружин работает в условиях асимметричного иагружения при тт > т0. Запас прочности таких пружин находят из соотношения (33) + *Мп где гх --- коэффициент, учитывающий влияние масштабного эффекта; 2t_i — т„ Ч>* То Значения т_! и т0 даны в табл. 1. Обычно принимают п = 1,2ч-2,2. При определении запаса прочности значение эффективного коэффициента Концентрации напряжений k0 — 1. Концентрацию напряжений учитывают при расчете напряжений (коэффициент * в формулах (31)). Для пружин с Диаметром проволоки d < 10 мм принимают ет = 1. Для большинства пружинных сталей *т= 0,14-0,2. Рис. 10. Диаграмма предельных напряжений для пружин Для клапанных пружин рекомендуется также проверять запас прочности по переменным напряжениям: п» = tttn (34) Должно быть па = 2-нЗ. Для повышения сопротивления усталости (на 20—50%) пружины упрочняют дробеструйной обработкой, создающей в поверхностных слоях витков снижающие остаточные напряжения. Для обработки пружин используют шарики диаметром 0,5—1 мм. Более эффективной оказывается обработка пружин шариками малых диаметров при высокой скорости полета. РАСЧЕТ НА УДАРНУЮ НАГРУЗКУ В ряде конструкций (амортизаторы и т. п.) пружины работают при ударных нагрузках — нагрузках, прикладываемых почти мгновенно с известной энергией удара. Отдельные витки пружины получают при этом значительную скорость и могут опасно соударяться. Расчет реальных систем на ударяю нагрузку связан со значительными трудностями (учет контактных, упругих и пластических деформаций, волновых процессов и т. д.), поэтому для инженерного приложения ограничимся энергетическим методом расчета. Основной задачей расчета на ударную нагрузку является определение динамической осадки (осевого переме-
174 Пружины Рис. II. Схема иагружеиия пружинного амортизатора щения) и статической нагрузки, эквивалентной уд.оному воздействию на пружину с известными размерами. Рассмотрим удар поршня силой тяжести Q по пружинному амортизатору (рис. 11). Если пренебречь деформацией поршня и принять, что после удара упругие деформации мгновенно охватывают всю пружину, можно записать уравнение баланса энергии K-QV-sf^- (35) Первое слагаемое левой части уравнения (35) выражает кинетическую энергию системы после соударения: где е<0 — скорость движения поршня; и — коэффициент приведения массы пружины с силой тяжести Q1 к месту соударения. Если принять, что скорость перемещения витков пружины изменяется 1 линейно по ее длине, то х = -=-. Второе слагаемое левой части уравнения выражает работу поршня после соударения при динамической осадке пружины на величину бд. Правая часть уравнения (35) — потенциальная энергия деформации пружины (е податливостью Хп), которая может быть возвращена при постепенной разгрузке деформированной пружины. Из уравнения (35) с учетом соотношений (8) и (36) получим бд = бс г -f + 1 / йот + бст —: 7j—г- > V *(,+кт0 (37) откуда коэффициент динамического усиления где бст—осадка пружины при статическом иагружеиии ее поршнем с силой тяжести Q. Из формул (37) и (38) следует, что динамическая осадка пружины существенно зависит от скорости движения поршня, а также жесткости пружины и соотношения масс (весов) поршня и пружины. Если массой пружины можно пренебречь (в сравнении с массой поршня), то вся кинетическая энергия поршня перейдет в потенциальную энергию деформации. Динамическая осадка пружины при этом возрастет и будет k=*ct+V %*+*»■%•• (39) В случае мгновенного приложения нагрузки (v — 0) бд=2бет. (40) Статическая нагрузка, эквивалентная по эффекту ударному воздействию, может быть вычислена из соотношения Р — дд мм Уточненный расчет яружии можно проводить по схеме волнового метода расчета стержня (с эквивалентной податливостью), подверженного удару жестким грузом (см. гл.27 [6]).
Прорезные пружины 175 ТАРЕЛЬЧАТЫЕ ПРУЖИНЫ Тарельчатые пружины (рис. 12, а) относят к классу жестких пружин, их применяют в мощных амортизационных устройствах. Пружины изготовляют штамповкой из листовой стали (60С2А н др.) толщиной от 1 до 20 мм с наружным диаметром от 28 до 300 мм при отношении D диаметров тарелок с = —т-= 2-нЗ. Для стандартных пружин угол наклона образующей конуса в ■- 2-J-60. Наибольшая воспринимаемая нагрузка до 52-104Н. Тарельчатые пружины имеют нелинейную зависимость осадки от действующей нагрузки Р. Для пружин с с<2,5 4Ш Р **• (1 — v2)DM х[(А-а) (л-4-) + '2]' (42) Наибольшие окружные напряжения на внутренней кромке тарелки (в меридиональном сечении) 4£й 0т:,х = 1<1£ (А*о-6К, + 0. (43) где К, К0, Ki — коэффициенты, принимают по рис. 13. Для повышения несущей способности тарельчатые пружины заневоливают обжатием до полного спрямления. В этом случае можно допускать отах = = оТ, Тарельчатые пружины обычно подбирают по стандартным таблицам. Для повышения податливости тарелки устанавливают последовательно в виде секций из двух пластин (рис. 12, б). Иногда между тарелками устанавливают шайбы (рис. 12, г) для лучшего гашения колебаний (за счет трения). При больших нагрузках пружины собирают пакетами (рис. 12, в); их несущая способность при этом оказывается пропорциональной числу тарелок. где Е и v — модуль упругости н коэффициент Пуассона материала тарелки; t — толщина листа; б — осадка пружины; А — коэффициент, принимают по рис.13; ft — высота внутреннего усеченного конуса. Во избежание полного распрямления тарелки расчетная осадка пружины не должна превышать 0,8ft. ПРОРЕЗНЫЕ ПРУЖИНЫ Прорезные пружины (рис. 14) также являются жесткими. Их применяют в тех случаях, когда радиальные габариты должны быть малыми, а несущая способность — большой. Пружины изготовляют путем фрезерования пазов в трубчатых заготовках. 6) в) Рис. 12. Тарельчатые пружины г) А,Л, Aj;A> 0,75 0,50 0,25 0 ч/"* А /Г>~ ж 4=0,3 12 3 4 m=f Рис чать 13. х np; К ра /жая счету таре пь-
176 Пружины Рис. 14. Прорезные пружины Осадка пружины Р/?3 пВ (44) где R — средний радиус кольца шириной 6 и толщиной /г; л — число перемычек на одном из торцов кольца; В — жесткость сечения кольца на изгиб, В = —ттгЕ; i — число рабочих колец; ■я — безразмерный коэффициент, % = v (ft коэффициент, v (45) -, С — жест- X sin ft); С кость сечения кольца на кручение, (значения v-указаны далее); р— половина угла между h/b перемычками, Р = 1/2—; 6 — размер сечения в плоскости кольца; % — коэффициент; 2v sin fi Х- —^ • P(l+v)--r(l-v)sin2P (46) Максимальные изгибающий и крутящий моменты действуют в сечениях, граничащих с перемычками: Мш PR 1,аА 2л Л4ц max — X (i-x)tgp; PR 2п В частном случае при числе прорезей п — 2 кольца квадратного сечения со стороной a (v = 1,54) и при коэффициенте Пуассона ц = 0,3 0,972 PR3 Еа* (47) Приведенные максимальные напряжения у перемычек = 6 PR bh* <[о]. (48) В расчетах можно принимать при П=2;р=4-: 0.25; 0.77; 0.91; 0,5; 0.95; 1,0; 0.5Ь: 1.10; 1.07; 1.0; 1,54; 1,22; 1.5; 2.49; 1.33: 2 3,8; 1.35; 3 7,42 1,4 КОЛЬЦЕВЫЕ ПРУЖИНЫ Кольцевые пружины (рис. 15) состоят из внутренних и внешних колец одинаковой толщины, опирающихся друг на друга. С нерабочей стороны кольца несколько вогнуты. Под действием внешней нагрузки наружные кольца растягиваются, а внутренние сжимаются. Преодолевая силы трения, кольца частично входят * При частом расположении перемычек необходимо учитывать деформации сдвига. друг в друга, давая пружине осадку б = (9*. 7яЁtgft tg (ft + ф) Uh (n-l)P + (49) где п — число колец (два нз инх торцевые, целые или укороченные, работают одной стороной): ft — угол конусности, обычно ft = 14-н17°; ф — угол трения, tg ф = (1 (здесь ц — коэффициент трения, ц = 0,1-~0,15); DH и FH — средний диаметр наружного кольца и площадь поперечного сечения; DB и Гв—то же для внутреннего кольца.
Кольцевые волнистые пружины 177 Рис. 15. Кольцевые пружины При постепенной разгрузке осадка пружины некоторое время сохраняется до тех пор, пока внутренние силы упругости уравновешиваются силами трения. Затем, преодолевая трение, кольца возвращаются в исходное положение. В результате кривые Р = f (6) при нагружении и разгрузке не совпадают, они образуют «петлевидную кривую». Площадь этой петли равна работе трения; она составляет обычно 60— 70% полной работы. Благодаря высокой амортизирующей способности, связанной с работой сил трения, кольцевые пружины широко используют в буферных н амортизирующих устройствах. Напряжение растяжения в наружном кольце g- *W+<P) ; (50) напряжение сжатия на внутреннем кольце °в= nF.tgJp + Ф)" (51) Энергия, поглощаемая пружиной за один цикл (нагрузка-разгрузка), 7" = 6 Р6 (52) где % = 0,64-0,7. Пружины, работающие в условиях многократных нагружении, следует принудительно охлаждать. При конструировании пружин необходимо иметь в виду, что угол $ всегда должен быть больше угла трения На практике обычно используют следующие соотношения между высотой кольца И, наружным диаметром •пружины Da и средней толщиной колец Н Я Зазор е между двумя соседними кольцами (наружными или внутренними) при наибольшей внешней нагрузке не должен быть меньше 1 мм. КОЛЬЦЕВЫЕ ВОЛНИСТЫЕ ПРУЖИНЫ Эти пружины (рис 16) являются разновидностью прорезных пружин; их применяют как компенсаторы температурных перемещений, а также в торцевых уплотнениях. Последнее связано с более равномерной передачей нагрузки на уплотняющие кольца, чем при использовании витых пружин. При малой осадке грузоподъемность таких пружин высокая, чем обеспечивается компактность конструкции. Их изготовляют штамповкой из тонколистовой стали. Так как размеры поперечного сечения пружины малы в сравнении с радиусом кривизны, то при определении податливости и прочности можно использовать общепринятые методы расчета стержней малой кривизны (без учета нормальных и перерезывающих сил). Осадка пружины PR3 6 = к где R — средний радиус пружины; п — число волн пружины: В — жест- Рис. 16. Кольцевая волнистая пружина
178 Пружины кость сечения кольца шириной Ь и bh3 высотой h на изгиб; В — —pr- E; v. — коэффициент, х= (a-tga)() + 3v) + + (l+v)atg2a; a (54) половина угла между опорными линиями, a = -х-; v — коэффициент (см. формулу (45)). Наибольшие напряжения изгиба в сечении кольца PR aniax = | -TUT > (55) где bh2 t 3 , а РЕЗИНОВЫЕ УПРУГИЕ ЭЛЕМЕНТЫ Резиновые упругие элементы применяют в конструкциях упругих муфт (рис. 17), вибро- и шумоизолирующих опорах (рис. 18) и других устройствах для получения больших перемещений. Такие элементы обычно передают нагрузку через металлические детали (пластины и трубки и т. п.). Преимущества резиновых упругих элементов: электроизолирующая способность; высокая демпфирующая способность; способность аккумулировать большее количество энергии на единицу массы по сравнению с пружинной сталью (дп 10 раз). В табл. 5 приведены расчетные схемы и формулы для приближенного определения напряжений и перемещений для резиновых упругих элементов. Материал элементов — техническая резина с пределом прочности сгв > > 8 МПа; модуль сдвига G — 5-т- 9МПа. В последние годы получают распространение пневмоэластичные упругие элементы (рис. 19). Пример- Рассчитать клапанные пружины (рнс. 20) для карбюраторного двигателя, если известно, что при полном открытии клапана (ход клапана h — 11,5 мм) пружины должны воспринимать усилие Ртах = 36,2 Н, усилие затяжки Рпнп = 170 Н. Клапанные пружины являются ответственными деталями. Принимаем в качестве материала пружин сталь 50ХВА (<тв = 1300 МПа, от = = 1100 МПа; т_х = 400 МПа и по табл. 2 для пружин класса I находим [т]к =■ 480 МПа). В связи с ограниченными габаритами используем в конструкции две концентрические пружины сжатия. Принимаем, что первая (наружная) пружина будет воспринимать 63,5% внешней нагрузки, вторая — 36,5%, откуда наибольшие усилия для пружии Ра) , = 0.635Р™, = 230 Н; />„, , = 0.365/W = 132 Н. Усилия затяжки пружин: P<v 1 = 0,5Р(1) , = 115 Н; Р(2) 1 = Рюш — Р(1) 1 = = 170-115= 50 Н. Ф б) в) Рис. 17. Конструкции муфт с резиновыми упругими элементами: а — атулочно-пальцевая муфта; б — муфта с упругими оболочками; « — муфта с дисковым элементом
Резиновые упругие элементы 179 5. К расчету резиновых упругих элементов Расчетная схема элемента Напряжения Перемещения Допускаемые напряжения, МПа F nd' ,а5'«Ш 2Р F n{D+d)h D-d 0.1 О.Г.З ■'"(4-) 2nGk 150 0.2 0.3 0.89 0.84 0,4 0,5 0,81 0 2МК nd'h М. rtftG (W~D^ M«D х =- 5,1 (£)4 _ <f4) Ф *« 10,2 X G (D* — d') 200 Я / = Ph 6.5GF 300 Примечание. Допускаемые напряжения для резиновых элементов упругих муфт [о 1 ~ 200 МПа.
180 Пружины Рис. 18. Резиновый амортизатор Рис. 19. Пневмоэластич- ный амортизатор Рис. 20. К расчечу клапанных пружин Рагчетпервой пружины. Назначаем индекс * пружины с = = 8,7. По формуле (31) вычисляем диаметр проволоки пружины ** Л I « 1/ £(1)^(1) 2С(1) im = ,,6 у _. 230-8,7 3,9 мм. Принимаем dV) ~ 4 мм. Средний диаметр пружины £>(i\ о = c,i,d(1) = 8.7-4 — 34,8 мм Податливость одного витка X _ 8D"'° 8(34,8)* ш Gda, 0,83-i О5 (4)~~ = 0,016 мм/Н Необходимее число витков Л(п '(к ■^•ш C(i) а — Ящ !) 11,5 0,016(230— 115) = 6,25, или, округляя до полувитка, получим п(1) = 6,5. Полное число витков "(И л(1) + 1,5= 6,5+ 1,5: * Обычно индекс клапанных пружин с = 7—10 ** Значение [т]к принято с учетом кривизны витков Длина пружины, ежэточ до соприкосновения, #<i, а = ("(1) 1 — 0,5) d,и = = (8 —0,5) 4 = 30 мм. Полная осадка пружины = 6,5-0,016-230 = 23 мм Шаг витков 1.2в,1), 'а> - ^(i) -1- 4 + "(1) I о. 23 + -~р=---8,25мм. 6,5 Полная длина ненагруженной пружины •На» о —^ti)3 Ь па> ('(1) ~-d(1)) = = 30 + 6,5 (8,25 — 4) = 57,6 мм. 57,6 Так как (1) 0 (1) 0 "34,8 1,66 < 2,5, — |и и — • то опасность выпучивания пружины отсутствует. Расчет второй пружи- н ы. Принимаем с(а) = с(1> = 8,7 *. По * Можно задаться d и из условля равенства длин, сжатых до соприкоенсве- нчя пружин, найти л .
Резиновые упругие элементы 181 формуле (31) вычисляем диаметр проволоки Шаг витков '(2) = ^(2) + 1(2) ' 1,16-132-8,7 480 2,9 мм. Принимаем d(2) = 3 мм. Средний диаметр пружины D(2) о = c(2)d(2) = 8,7-3 = 26,1 мм. Определяем радиальный зазор между первой и второй пружинами бг= "7Г U'-'(l) 0 — ^(2> 0 — ^(1) — ^(2)) = = i- (34,8 — 26,1 — 4 — 3) = 0,85 мм. Обычно зазор в клапанных пружинах бг = l-r-1,5 мм. Уменьшаем индекс, принимая г<а> = = 8,5 Тогда средний диаметр пружины £\г> о — с(2)^(2) = 8,5-3 = 25,5 мм, а радиальный зазор бг = 1,15 мм. Податливость одного витка 8D?2l0 8(25,5)3 „ 1,2-20,3 = 3 -| g = 6,05 мм. о Полная длина неиагруженной пружины #(2> 0 = #(2) 3 + 1(2) ('(2) —^(2)) = = 27 + 8 (6,05 — 3) = 51,4 мм. Максимальные напряжения в пружине 8kPt2) pP(2) 2 _ _ 8-1,16-25,5-132 __ я (З)3 ~ = 364 МПа < 400 МПа. Расчет пружин иа прочность. Напряжения в поперечных сечениях пружин: минимальные: 8-fe(1)D(1) рРц) i _ т(2) шах = ■ ^(2) Grfts, 0,83-106 (З)4 т(1, mm-- nd?ij _ 8-1,16-34,8-115 — я (4)3 ~~ 66 МПа; = 0,0195 мм/Н. Необходимое число витков при б(1) = = б<2) 8^(2)^(2)0^(2)1 '(2) тЩ — —То : Л(2> (Р{-2) 2 — Р(2) l) 11,5 8.1,16-26,1-55 ~ я (З)3 максимальные: = 74 МПа; 0,0195(131 —55) = 7,75; _ 8^(1)Д(1) qP(D a l(l) max — .3 округляя до полувитка, получим 1(2) = 8. Полное число витков "(2)1= 1<2)+ 1,5 = 8+ 1,5= 9,5. Длина пружины, сжатой до соприкосновения, #(2) з = ("(2> 1 — 0,5) d(2) = = (9,5 — 0,5) 3-=27 мм. Так как ff(2>-< Я(1>, то втооая пружина не достигнет предельной нагрузки. Полная осадка пружины 6(2) 2 = 1(2)^(2)^(2) 2 = -=8-0,0195-131 =20,3 мм. 8-1,16.34,8.230 = 371 МПа; я(4)3 *(2> max = 364 МПа. Запас прочности по текучести (принимаем тт = 0,6от) 0,6от 0,6-1100 и,иот и,и- i ши . id) т = - = —от! = ' х(1> max ■3' ' Амплитуды переменных напряжений: t(i) max — t(i) mm l(i) a 2 371 — 166 = 102,5 МПа;
1Й Зубчатые передачи т(2> а t(2) шах — т(2) mm 364 — 74 = 145 МПа. Средние напряжения цикла: T(i) may + T(i) mln _ "(l) m — о ~ 371 + 166 .__ . urT — i =. 268,5 МПа; _ _ т(2) щах + T(2) mm ^<2> m — 2 «JW+Zl-atgMn.. Запасы прочности прн т х ■ = 400 МПа; t|>T = 0,2; ет = I: rt(D = T(i) a + ^t^fi) m 400 102,5 + 0,2-268,5 T.l 2,56; T(2) a + ^тт(2) m 400 145 + 0,2-219 = 2,12. Запасы прочности по переменным напряжениям: T-i — ^тТ(П m _ n(i) a = " T(i) a 400 — 0,2-268,5 l<2> a 102,5 т-1~ ^т*(2)т 3,4; Т<2) а 400 — 0,2-219 145 = 2,46. Запасы прочности вполне достаточные. Глава 11 ЗУБЧАТЫЕ ПЕРЕДАЧИ Разрушение зубьев при длительной работе можно в основном подразделять на два вида: 1) поломка зуба от изгиба в зоне его перехода в обод, где имеет место высокая концентрация напряжений (рис. 1); 2) повреждение рабочей поверхности зуба, которое обычно начинается с выкрашивания и может привести к обминанию. задчрам и поломке зуба (рнс. 2), У основания недостаточно прочного зуба при повышенной концентрации напряжений (из-за малого радиуса галтели яли наличия грубых следов обработки) на растянутой стороне появляется усталостная трещина, которая, постепенно распространяясь в глубь тела зуба и вдоль его основания, приводит к разрушению. При больших контактных напряжениях микроскопические усталостные трещины появляются на поверхности зубьев (обычно на ножках вблизи полюсной линии), развиваясь, эти трещины приводят к выкрашиванию мелких частиц металла и образованию пор и ямок, которые затем слипаются, захватывая все большую часть поверхности, вследствие чего передача выходит из строя. В некоторых случаях зуб может сломаться или получить недопустимую остаточную деформацию в результате большой кратковременной (даже однократной) перегрузки. Такое статическое разрушение представляет опасность для зубьев из относительно хрупких материалов (например, чугуиа) или же для зубьев с очень малым радиусом выкружки у корня, когда пластические деформации сильно локализуются. У длинных зубьев иногда откалываются углы, что связано с концентрацией нагрузки у кромок. Если отколовшиеся частицы не попадут в за- цеплеьие, то оставшаяся часть зуба может продолжать некоторое время работать.
Основные обозначения 183 и*' Ч г. РИС Поломка -»\ба от изгиба I Рис. 2. Выкрашивание човерхности зуба Разр\шение поверхности зуба может произойти также вследствие заедания, Которое возникает, если из-за большого выделения тепла при трении зубьев и плохом охлаждении значительно повышается температура в зоне контакта При этом вязкость масла уменьшается, и оно выдавливается эубьями Открьчые передачи подвержены абразивному изнашиванию вследствие попадания между зубьями твердых частиц пыли или грязи. Изнашивание сопровождается утонением зуба и нарушением его поверхности. Зубья рассчитывают: а) на выносливость п статическую прочность при изгибе б) на контактную выносливость активных поверхностей (на изнашивание). ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ Схема зацепления прямозубых цилиндрических зубчатых колес Сез сме-
184 Зубчатые передачи 1. Основные определения н обозначения для прямозубых цилиндрических зубчатых колес Термин, его определение Межосевое расстояние — расстояние между осями зубчатых колес передачи по межосевой линии OjOa Шестерня — зубчатое колесо передачи с меньшим числом зубьев; относящиеся к нему величины имеют индекс 1 Колесо — зубчатое колесо передачи с большим числом зубьев; относящиеся к нему величины имеют индекс 2 Число зубьев: шестерни колеса Передаточное число — отношение числа зубьев колеса zt к числу зубьев шестерни г, (ц > 1) Делительные диаметры. — диаметры делительных окружностей, являющиеся базовыми для определения элементов зубьев и их размеров Начальные диаметры — диаметры начальных окружностей сопряженной пары колес, имеющих общие с зубчатыми колесами оси и катящиеся одиа по другой без скольжеиня (для колес без смещения начальные окружности совпадают с делительными) Диаметры основных окружностей — диаметры окружностей, разверткой которых являются эвольвенты зубьев Диаметры вершин зубьев Диаметры впадин Высота зуба h = 0,5 (rfQ — dA Высота головки зуба h = 0,5 (dQ — d\ Высота ножки зуба h. — 0,5 Id — d.\ Полюс зацепления — точка касания начальных окружностей Линия зацепления — общая касательная к основным окружностям, проходящая через полюс зацепления Активная линия зацепления — часть линии зацепления, по которой происходит взаимодействие зубьев Угол зацепления ~ острый угол между линией зацепления и прямой, перпендикулярной к межосевой линии Диаметры окружности верхних граничных точек однопарного зацепления Диаметры окружностей нижних точек активных профилей зубьев (в колесах без смещения точки Pit Р2 совпадают соответственно с точками Аг, А,) Основной шаг — кратчайшее расстояние по основной окружности между одноименными профилями соседних зубьев Делительный шаг — то же, но по делительной окружности Модуль — характеристика масштаба колеса: m = pin = djzy = </2/Zi Коэффиииент перекрытия -- отношение угла поворота зубчатого колеса от положения входа зуба в зацепление до выхода его из зацепления к угловому шагу т = 2я/г Рабочая ширина венца — общая часть ширины венцов зубчатых колес, участвующая в контакте Толщина зуба (переменная) Окружная скорость, измеряемая по начальной окружности, м/с щеиия показана на рис. 3. В табл. 1 приведены некоторые из основных определений и обозначений по действующим ГОСТ 16530—83 и ГОСТ 16531—83. Если зубчатое зацепление соответствует стандартному исходному контуру, т. е. углу профиля а = 20°, высоте головки зуба ha = m, радиальному зазору с = 0,25т и радиусу закругления у корня зуба pf = 0,38m, то основные геометрические размеры колес без смещения можно определить с помощью табл. 2.
Упрощенный расчет на прочность прямых зубьев 185 Рис. 3. Схема зацепления цилиндрических зубчатых колес без смещения 2. Основные размеры колес без смещения Параметр Делительный (начальный) диаметр Диаметр вершин зубьев Диаметр впадин Межосевое расстояние Постоянная хорда (толщина зуба) s Высота до постоянной хорды (расстояние от вершины зуба) /, Расчетная формула d = гт d„ = (г + 2) m d, — (г — 2,5) т aw = 0,5 (2t + + гг) m s —- 1,3870т Л„ = 0,7476т ность jV (в кВт) и частоту вращения шестерни пх (в мин"1) формулой Г =9555— (1) и определяет окружную силу (в Н) в зубчатой передаче 20007"! F =■ (2) где dm — диаметр начальной окружности шестерни, мм (рис. 4). Удельная расчетная окружная сила w (в Н/мм), отнесенная к единице рабочей ширины венца Ьш (в мм), bw (3) УПРОЩЕННЫЙ РАСЧЕТ НА ПРОЧНОСТЬ ПРЯМЫХ ЗУБЬЕВ Усилие, действующее на зуб. Крутящий момент на шестерне Т1 (в Н-м) выражается через передаваемую мош- удельная расчетная нормальная сила (в Н/мм) wa = , (4) а cosa„, где аю — угол зацепления. Введением коэффициента К можно учесть неравномерность распределения
Зубчатые передачи Из последней формулы 2aw (6) Подставив 7\ и dw, из равенства (1) и (6) в формулу (5), получим и>=^ 9,55-10" (и+ 0 - NK Пча^Ьп (7) Для передач с внутренним, зацеплением, (рис. 5, б) aw = 0,5 (da,a — dwl) = 0,54ш1 (u — 1), Рис. 4. Схема нагруженин дуба нагрузки между зубьями и по ширине зуба и дополнительные динамические нагрузки в зацеплении. В предварительных расчетах принимают К — = 1,5-5-2,0. Из формул (2)—(3) следует: 200074 „ и> = -'■ ■ L К. (5) Для передач с внешним зацеплением (рис. 5, а) межосевое расстояние Од, = 0,5 (dan + dwl) — Q,5dwl (и -j- 1), где du,! — диаметр начальной окружности шестерни, мм; и = zjzx — — dwjdwi — передаточное число. откуда dwi = 2а„ и - н формула для определения удельной силы принимает вид N К w =^9,55- 10е (и— 1) п,аа,Ьа (8) Усилие, действующее на единицу ширины зуба, возрастает с увеличением передаваемой мощности и уменьшается с увеличением частоты вращения, межосевого расстояния и рабочей ширины зуба. Усилие вызывает деформацию поверхностного слоя зуба в зонах контакта и общий изгнб зуба. а) Рис. £ . Схема внешнего (а) н внутреннего {б) зацеплений
Упрощенный расчет на прочность прямых зубьев 187 Расчет на контактную выносливость. Так как контактная деформация носит местный характер, то для упрощения вместо сжатия зубьев рассматривают сжатие двух цилиндров, радиусы которых р! и р2 соответственно равны радиусам кривизны профилей зубьев шестерни и колеса в зоне контакта (см. рис. 5). При сжатии двух цилиндров па их границе образуется площадка контакта, ширина которой Ча возрастает с увеличением нагрузки (рис. 6, а, б). Поэтому среднее контактное напряжение oHm=wa/2a увеличивается медленнее, чем сила доЛ. Фактически напряжения распределяются по ширине контактной площадки неравномерно. Максимальное контактное напряжение (в МПа) для зубьев из одинакового материала он = 0,418 у Рпр (9) где£ — модуль упругости, МПа; рПр — приведенный радиус кривизны зубьев, мм. Для передачи с внешним зацеплением Рпр = Pip2 Р2 + Р1 (10) Из рис. 5, а следует, что Рх = Q,5dm sin aw; р2 = 0,5do,2 sin aw = up!, поэтому рпр = 0,5 « + dm sin a„, и формула (9) для стальных зубьев с углом зацепления aw = 20° принимает вид Рис. в. Увеличение ширины контактной площадки с ростом нагрузки (о2 > ах) Для передач с внутренним зацеплением (см. рис. 5, б) \>пр ■ Рпр; 0,5- _PipJL_ Pi — P2 и dmiSin a„ и соответственно -.-«•/хг^. "3> 0н = 332(ы- \, Л/ ~^~. (1 н У аши 4) Условие контактной выносливости активной поверхности зуба имеет вид он<0нр> (15) где 0нр — допускаемое контактное напряжение, которое устанавливают по экспериментальным данным и обычно выражают через твердость поверхности зубьев. В приближенных рас- а — 4ё9 Т/ w (" + ') > п^ четах можно принимать анр -^а°н 1Im; * "ail U u'aiipiina rrQ. ,. п МПа nnunditdHu na где w определяется по формуле (5). Выразив dwl через межосевое расстояние aw по формуле (6), получим 0н = 332(ц+1) ]/~-, (12) где Оц, — в мм. значения 0°/цт в МПа приведены иа с. 220. Для передач с ограниченным числом циклов (N < 107) значения 0ЯР могут быть увеличены на 10— 30%. Контактные напряжения возрастают с увеличением удельной окружной силы w и убывают с увеличением межосевого расстояния аш. Условием кон-
188 Зубчатые передачи Pz. F 1СГЦ Sffo V > •V, \ "^ *l i Рис. 7. К упрощенному расчету зуба иа изгиб тактной выносливости зубьев определяется минимально допустимая величина межосевого расстояния aw, т, е. габариты передачи. Расчет иа выносливость зубьев при изгибе. Зуб рассчитывают на изгиб как. консольную балку переменного сечения, нагруженную на конце сосредоточенной силой F (рис. 7), которую определяют по формуле (2). Максимальное напряжение в основании зуба а* = ^7а<> = -1Г' (l6) где h — высота % — толщина зуба в опасном сечет,и; а0 — коэффициент концентрации н .пряжений в переходной части зуба. Опасное сечение можно приближенно найтн, если провести касательную к переходной кривой зуба под углом ~30 к его оси. Формулу (16) можно представить в виде W F m (17) где т — модуль, мм, У> — коэффициент, учитывающий форму зуба (безразмерная величина, численно равная напряжению в МПа для зуба с модулем m = 1 мм под действием нагрузки w= 1 Н/мм). Коэффициент Ур определяется по формуле Высота зуба до опасного сечеиия h « 2т. Соотношение между толщиной зуба в опасном сечении Sj и толщиной зуба на начальной окружности %, я: 0,5р, где р = пт — шаг зубьев, зависит от числа зубьев и других факторов. Принимая в среднем Sj/Sk, » х 1,3 и аа х 1,3, получим из формулы (18) У> яь 3,7, и формула (17) примет вид w 0„я»3,7 —, (19) где w — в Н/мм; т — в мм. Более точные значения коэффициента Yf приведены ниже. Условие выносливости при изгибе зуба (20) 0f<0pp, где орр — допускаемое напряжение при изгибе, aF llm . FP ' (21) YF = 6hmaa (18) здесь oFlln, — предел выносливости материала зубьев при пульсационном цикле; Sf — коэффициент безопасности (запас прочности). В приближенном расчете принимают Sf = 2,0ч-2,5 Значения о>цт меняются в пределах от 400 МПз для поверхностно неулрочненных зубьев до 800— 1000 МПа для цементованных и нитро- цементованных зубьев. Напряжения изгиба в зубе возрастают с увеличением удельной окружной силы w и убывают с увеличением модуля т. Из условия прочности зуба иа изгиб определяют модуль т (размер зубьев), а следовательно, ч их число г = dim. Пример. Проверить прочность зубьев при следующих исходных данных: мощность передачи N = 7 кВт, частота вращения шестерни tx = = 400 мин"1; передаточное число и -- = 4, модуль т — 4 мм; чежосевое расстояние аш, = 180 мм; ширина зуба bw = 80 мм; зацепление внешнее. Материал колес — углеродистая сталь без специальной поверхностной термообработки: твердость НВ 300; оР Пт=400 МПа.
Структура расчетных формул по ГОСТ 21354—87 189 Приняв К = 1,5, находим по формуле (7) удельную расчетную окружную силу • = 9.55.10-(4-+ D-g^f—— = 87 Н/мм. По формуле (!2) находим расчетное контактное напряжение он = 332(4-Н)}А 87 [80.4 = 577 МПа. Допускаемое коитактиое напряжение (см. с. 220) °нр = 2-300+ 70 =- 670 МПа. Из сравнения значений пя и ачр следует, что условие контактной выносливости удовлетворяется. По приближенней формуле (19) на ходим напряжение изгиба 87 о„* 3,7 41-= 80,5 МПа. f 4 Коэффициент безопасности 400 SF. 80,5 = 5,0 > 2,5, т. е. величина Sf достаточна. С целью унификации и сопоставимости результатов расчетов зубчатых передач действует ГОСТ 21354—87, который устанавливает структуру формул расчета зубчатых передач на контактную выносливость активных поверхностей зубьев и на выносливость зубьев псй изгибе. Расчетные формулы по ГОСТу имеют ту же структуру, что рассмотренные выше упрощенные формулы, ьо отличаются рядом поправочных коэффициентов, подробнее учитывающих условия работы зубчатых передач. Для передач с непрямыми зубьячи факторы, относящиеся к торцовому сечению или действующие в окружном направлении (силы Ft и u>t), имеют индекс t. СТРУКТУРА РАСЧЕТНЫХ ФОРМУЛ ПО ГОС1 21354—87 Расчет на контактную выносливость активных поверхностей зубьев. Проверка контактной выносливости в полюсе зацепления проводится по формуле ая=0яо/^Г<°ш>, . .О22) где хоитактиое напряжение при К.Н = = 1 °НО — ^ПГН^е FtH "+ 1 ba4i U (23) а коэффициент нагрузки *я = *А*н<ЛнЗ*на- (24) Коэффициенты Ze, Zh, 7-г учитывают соответственно механические свойства материалов зубьев, форму сопряженных поверхностей зубьев в полюсе зацепления и суммарную длину контактных линий; Рщ — это исходная окружная сила при расчете на контактную выносливость: коэффициенты Ка, Кни, Кнв, Кна учитывают соответственно внешнюю динамическую нагрузку, динамическую нагрузку в зацеплении, неравномерность распределения нагрузки по длине контактных линий v распределение нагрузки между зубьями. Удельная окружная сила при "расчете иа контактную выносливость, Н/мм, и-н* = -Т^*я. (25) Коэффициент Ze — в(Н/мм2)" , все остальные коэффициенты — безразмерные. Допускаемое контактное напряжение оч 'Н im^N >Н ZRZVZLZX, (26) где aHllm—предел контактной выносливости поверхности зубьев при базовом числе циклов напряжений; Sjj — коэффициент запаса прочности; коэффициенты Zk, Zr. Z„, 2j_,- Zx учитывают соответственно влияние числа циклов перемены напряжений, шероховатость сопряженных поверхностей зубьев, окружную скорость, влияние смазки и размер зубчатого колеса. Расчет зубьев на выносливость при изгибе. Проверка выносливости зубьев проводится по формуле °F<aFP, (^
190 Зубчатые передачи где ар — расчетное местное напряжение от изгиба в опасном сечении, причем Kf — коэффициент нагрузки, Kf = KaKfvKfuKfo.- (29) Здесь FiF — исходная окружная сила при расчете зубьев иа выносливость при изгибе, коэффициенты Ка> Kfv, Kf$, Kfo. учитывают те же факторы, что и Л'А, Khv, Л'«в. Кна в формуле (24), ио при изгибе; коэффициенты Yfs, Y$, Fe учитывают соответственно форму зуба и связанную с ней концентрацию напряжений, наклон зуба и перекрытие зубьев. Удельная окружная сила при расчете зубьев на выносливость при изгибе, Н/мм, w^^IfKF. (30) Все коэффициенты У — безразмерные. Допускаемое напряжение изгиба зубьев ^P = 1^~y^ayRyx- (3D где aF ,lm b — предел выносливости зубьев при изгибе при базовом числе циклов напряжений; Sf — коэффициент запаса прочности; коэффициенты Yn, Y(k Yц, Ух учитывают соответственно влияние числа циклов переменных напряжений, чувствительность материала к концентрации напряжений, шероховатость поверхности зуба и размер зубчатого колеса. В приложениях к ГОСТ 21354—87 приведены подробные рекомендации по методике расчета входящих в формулы (22)—(31) параметров и коэффициентов для силовых зубчатых передач внешнего зацепления. Ниже рассмотрены основные факторы, которые следует учитывать в уточненных расчетах иа прочность зубчатых передач (для прямозубых колес индекс t опущен). Условия работы и требования к зубчатым передачам в отдельных классах машин существенно различаются, поэтому уточненный расчет передач проводится обычно для каждого класса машин по специальным методикам, в которых второстепенные для данного типа передач факторы не учитываются, а превалирующие учитываются точнее. НАГРУЗКИ, ДЕЙСТВУЮЩИЕ НА ЗУБ Номинальная удельная окружная сила в данном режиме работы Расчетная удельная сила в данном режиме отличается от номинальной: w = wH0MK, где К= 1,34-2,0. Величину К можно представить в виде произведения нескольких коэффициентов, каждый из которых учитывает определенный фактор, влияющий на изменение нагрузки по сравнению с номинальной. Основные факторы, учитывающие нагрузку: неравномерность распределения нагрузки по длине контактных линии (по ширине зуба), учитываемая коэффициентом К&\ удар зубьев при входе в зацепление, учитываемый коэффициентом Kv> динамические нагрузки, связанные с крутильными колебаниями системы, учитываемые коэффициентом ККр- Одновременный вход в зацепление двух и более пар зубьев (благодаря перекрытию) уменьшает нагрузку, действующую на каждый зуб, что учитывается коэффициентом Ка- Следовательно, К = KaKsKvKKp- (33) При расчете динамических нагрузок, связанных с ударом зубьев при их входе в зацепление, вводят коэффициент Ка = КаКо, (34) учитывающий одновременно и удар, и перекрытие зубьев, тогда К = KaK&KKV. (35) На некоторых режимах передача может вращаться вхолостую, не передавая вращающего момента (Юном == 0)>
Нагрузки, действующие на зуб 191 однако динамические нагрузки при этом могут действовать. Величину w определяют в этом случае непосредственно из динамического расчета. При расчете на контактную выносливость и на изгиб коэффициенты нагрузки могут иметь разные значения. При изменении режима (частоты вращения, мощности, направления вращения) меняется как номинальная нагрузка, так и коэффициенты, определяющие расчетную нагрузку. Особенности расчета передачи при работе иа различных режимах изложены ниже (см. с. 221). Неравномерность распределения нагрузки по ширине зуба (коэффициент К$) Во время работы зубья могут прирабатываться один к другому, поэтому различают коэффициент начальной неравномерности нагрузки Щ и расчетный коэффициент Кв ^ /С§. Начальная неравномерность зависит от неточности изготовления и монтажа передачи и от упругих деформаций под нагрузкой элементов передачи (валов, опор, корпусов, тел колес и самих зубьев). Полный расчет упругих деформаций системы представляет собой очень трудную задачу, поэтому обычно рассчитывают только деформации изгиба зубьев, кручения ободьев или тел колес н изгиба валов. Деформация зубьев и кручение ободьев или тел колес (коэффициент /Сф)- Деформация зуба колеса в сечении, где действует распределенная нормальная нагрузка w (индекс сг. опущен) где с2 — жесткость зуба колеса, которую удобно измерять в Н/мм-мкм (1 мкм = 0,00! мм) (см. ниже). Чтобы контакт зубьев не нарушился, несмотря на эту деформацию, соответствующее сечение колеса должно повернуться на угол ф3 (рис. 8), причем б2 _^ ф^ьз = 0,5ф2^а)2 cos ос,»,. Аналогичные соотношения справед ливы для шестерни. Деформация пары Рис. 8. Схема поворота колеса при деформации зуба: 1,2,3 — положения зуба соответственно до деформации, после деформации и после поворота сопряженных зубьев б = 6i -f- 63 = — -- 0,5 cos Ощ, х X (ф^аа + фг^ии). (36) где Из формулы (36) следует, что нагрузка w не изменится по ширине зуба в том случае, если углы поворота шестерни ф! и колеса ф2 во всех сечениях будут одинаковыми, что возможно лишь при очень малой ширине зуба или при очень жестких колесах. В действительности из-за скручивания тел колес вместе с валом (рис. 9) илн ободьев (рис. 10) углы ф! и ф2 меняются, причем особенно резко в тех сечениях, где действуют наибольшие крутящие моменты. В этих сечениях интенсивность нагрузки на зуб возрастает. Расчетная схема, соответствующая передачам, показанным на рис. 9 и 10, а, 6, приведена на рис. 11. Здесь
192 Зубчатые передачи 4~-- I и, bw ^е . ^- 0 0 3, 1. м, \)л € ь-Е •** Е iirhW wm [wmax [ттттттттттШ м, м, а) б) Рис. 9. Неравномерное распределение нагрузки по ширине зуба из-за закручивания тел сплошных колес вместе с валами; вращающие моменты к валам приложены: а —с разных сторон, б— иди о ft стороны CTZZZE 22i ^ ^ 3S f- Ч 5 t" »» ns I —f 1 \ \ II III а) Рис. 10. Неравномерное распределение нагрузки по ширине зуба из-за закручивания ободьев колес; вращающие моменты к ободьям приложены: а — с разных сторон; б — с одной стороны; а — к средней части обода т, (х) и т2 (х) — распределенные вра- связанные с внутренними крутящими щающиеся моменты: моментами Т условиями равновесия элемента вала: Шг (х) — —0,5и> (х) dwl cos ссш; "1 «а (*) = —0,5о» (х) dwi совац,, J (37) UX + т, = 0; an Лс ■ m2 == 0. (38)
Нагрузки, действующие на зуб 193 Из формул (38) и соотношений дли относительных углов закрутки dx Ту #а dx GiJi где Gj, G2 — модули сдвига материалов шестерни и колеса; Jlt У2 — геометрические жесткости на кручение тел колес с валами (см. рис, 9) или ободьев (см. рис. 10), следуют уравнения й-Ц1х т, dx2 <Рфа dx1 Gxh ' /п. Gs/2 (39) Дважды продифференцировав уравнение (36) и учтя выражения (37) и (39). получим дифференциальное уравнение для распределенной нагрузки ^ft-P^O. (40) dx1 где Р' — параметр (l/мм2), определяемый по формулам: Р2 = Р! + PJ; Р? = 0,25с cos2 ес„ di to I ОхУ, ?* = 0,25c cos2 «ш-^ w'2 %J а Решение уравнения (40) a» = A sh Px + В ch P*. (41) (42) где постоянные А к В зависят от условий подведения вращающегося момента к телу колеса илн к ободу. Вращающие моменты Мг и М2 приложены с разных сторон (см. рис. 9, а и 10, а). Граничные условия: при х = 0 Г, (0) = /И,; <*Pi Тх{0) . dx GiJ, ' 1ри x=b (bw = 6) ^2l - о- d(fa dx ' dx 7 Закг» 402 ^ - ° dx Тг(Ь) = М, Га (6) ОгУ2 (43) т. it» о ТТТтп WWW ^-ГП m i mitttTTTTI V'A m, № 7jfW ^rrflflj Рис. II Расчетная схема кручения тел сопряженных колес Так как согласно равенству (36) dw dx 0,5 с cos % + d<w w (da dx dq. ~dx (44) то условия (43) приводятся к виду: при х = 0 dw п , Тг (0) dwi —— = —0,5сcos aw —'' = ax G1i/i при x = ft ~3F 0,5c cos a. T2 (b) dwi G«y2 = "mWl (45) где wm — средняя нормальная удельная нагрузка, Н/мм. Если Т1, Т% — в Нм, b, dw — в мм, то 20007^ (0) bdw\ cos аш 2000Гг (6) bdw2 cos a„, Определив из условий (45) постоянные А и В, получим а»(х)-= ^т г (№У- + (Michp* [ sh P& хс chP* — (Pju)2 sh fk . 146) Характер изменения нагрузки но ширине зуба w (х) показан на рис. 9, а и 10, а. Обычно максимальная нагрузка возникает у кромок зуба со стороны приложения вращающегося момента к шестерне (х = 0), так что
194 Зубчатые передачи 1,5 1,4 и? У 1,0 1^ 2^ 3~~М U=oo~= а=5^ 1, 1 /, '71//// iff/ / ~^и=2 =*~и=1 О." Р,8 t,2 i,e b/dm о 1 U=1^r 1 1 i=7r-| л // // 7 // 77 "=27 / f/ '//ц=во •«=5 -J А) 0,т з,# f,2 1,6 bid* Ю Рис, 12. Зависимости коэффициента неравномерности нагрузки А' от отношений &/<*ш1 и и при кручении тел сплошных колес вместе с валами; крутящие моменты приложены: а — с разных сторон [/ — расчет по формуле (47), 2 - по формуле (48)]. б — с одной стороны [/ — расчет по формуле (50); 2 — по формуле (51)1; 3 — расчет по формуле (52) коэффициент неравномерности нагрузки wmax (fW+(p\6)2chf}6 Km wm pish 06 Для сплошных (см. рис. 9) стальных колес при с = 18 Н/(мм-мкм), 0 = = 8-104 МПа и аш=20°, полагая для грубой оценки ndl. График зависимости (47) показан на рис. 12, а. Используя приближенные значения функций sh f,b « р& + -i- (P6)3; chpb + 4"<W' л = 32 получим Р^ да 0,7! ■ и Km h 32 М«0,7! = 0,71-2— х ъ ' и2 ^ 1+- sh | где Е = 0.71-^1/'+ ■?•• (47) получим ^-i+0,17(.-5iF)(-A-)'2. (48) Кривая, построенная по формуле (48), также показана иа рис. 12, а, откуда следует, что при обычных значениях bi&wx формула (48) обеспечивает достаточную точность. Вращающие моменты М\ и Ms приложены с одной стороны (см. рис. 9, б и 10, б). В этом случае решение уравнения (40) примет вид •м-*»р*-ж|г- <49) Максимальная нагрузка будет у кромки зуба со стороны приложения
Нагрузки, действующие на зуб 195 вращающих моментов. Коэффициент t^max 06 /Сф -= ®т thpft Для сплошных стальных колес М'£1Л+± th 0,71 -f— Используя ние функции получим К„ « 1 1 0, V"±) приближенное th 06 « 06 - 17 Л + ±)(- (50) выраже- -J-tfw * \2 (51) Графики зависимостей (50) и (51) показаны иа рис. 12, б. При и 5* 3 неравномерность распределения нагрузки для сплошных колес определяется практически только жесткостью на кручение шестерни, характер приложения вращающего момента уже не оказывает влияния и формулы (47) и (50) или (48) и (5)) совпадают. В рекомендациях к ГОСТ 21354—87 используется формула Кф= 1 + 0,14 (~-)2, (52) которая дает усредиеиное значение величины /Сф (см. рис. 12). Дляслучая, показанного иарис. 10, s, вместо полной ширины зуба b следует подставлять в формулы 0,56. Для зубчатых колес с тонкими ободьями толщиной ht <g; dwx и h2 <C «ЗСо'ая (см. рнс. 10), полагая ]х я» «* 0,25яА,<4,, /»<« 0,25nh2rf^2 при с = = 18 Н/(мм-мкм), G = 8-10* МПа и aw— 20°, найдем Р»6 0,256 0,256 При этом вместо формулы (50) получим VMaii th 0,256 ]/ 1 + А. и/ц (53) Приближенно Из формулы (54) следует, что с уменьшением толщины обода неравномерность распределения нагрузки возрастает. Обод колеса следует выполнять достаточно жестким. Во многих зубчатых передачах применяют колеса с относительно узкими зубьями. Из приведенных формул и кривых следует, что, если bldm ^ <: 0,3, то для колес обычной конфигурации /Сф «= i, т.е. деформацией закручивания в этих случаях можно пренебречь. Изгибные деформации валов (коэффициент Kf). Силы давления иа зубья, передаваясь на валы, вызывают их изгиб в плоскостях, параллельных плоскости зацепления (рис. 13). Если Y£ — суммарный угол перекоса осей колес в этой плоскости, то отклонение от среднего значения иагрузкн в точке на расстоянии х от середины зуба Aw = ex tg Vj, где для упрощения принято, что по ширине зуба нагрузка меняется линейно. Учитывая, что у кромок зубьев их жесткость понижается, принимают х —-- а/6, где а/ = = 0,3-=-0,4. В этом случае коэффициент неравномерности нагрузки от деформации изгиба валов ^±^L=1+ac^ (55) *, = ■ уН24а12 где -у£ = V-z/wml>> пРичем ПРН малых углах перекоса tg yz я* yz. Осредиен- ные значенияс = (14-5- 18) Н/(мм-мкм). Угол перекоса у£ следует вычислять дли всей системы валов передачи, 7*
196 Зубчатые передачи Рис. 13. К расчету концентрации нагрузки по ширине зуба в связи с изгибом валов передачи (колеса условно раздвинуты) учитывая возможные начальные технологические перекосы, а также податливость опор и корпусов, однако ввиду сложности решения такой задачи обычно ограничиваются расчетом деформаций только тех валов, иа которых закреплена данная пара колес. Усилиями, передающимися иа эти валы со стороны других колес, н технологическими перекосами также пренебрегают. В этом случае у„ — угол перекоса осей в сечеиии, где расположены колеса, от единичной силы, действующей в том же сечеиии иа валы шестерни н колеса. Для коисольно закрепленного колеса (рис. 13) I2 3£7 (1 +1.5Д) а, (56) Для колеса, расположенного между опорами, /2 v = 3EJ (1—5)5(1—25), (57) где а = а/1. где 6 = ft//. В формулу (55) подставляют значение *х = |^±7,|. (58) При расположении зубчатых колес по схемам, показанным на рис. 13, а и б, углы перекоса валов складываются, посхеме, показанной иарис. I3,s — вычитаются. В результате перекоса нагрузка возрастает иа участке зуба, ближайшем к опоре. Наибольшие перекосы обычно возникают при одиостороиием консольном расположении колес (рис 13, б). Общая начальная неравномерность (коэффициент К£\. Если при кручении
Нагрузки, действующие на зуб 197 Рнс. 14. Зависимость коэффициента приработки Kw от твердости поверхности зубьев колеса при работе на постоянном режиме; сплошные линии соответствуют расчету на контактную выносливость; штриховые линии — расчету на изгиб 18 у, м/с ободьев и изгибе валов нагрузка концентрируется у одного и того же края зуба, то общая начальная неравномерность распределения нагрузки определяется коэффициентом ^r' + fVl + ft-')- = /Сф+/С/-). (59) Если при кручении и изгибе нагрузка концентрируется у различных краев зуба, то расчет ведется по величине Ка, равной наибольшей из величин К<р или Kf- Неравномерность распределения по длине зуба контактных напряжений ан соответствует неравномерности нагрузки w, поэтому при расчете на контактную выносливость поверхностей зубьев считают К%р,= Ка- Неравномерность распределения по длине зуба максимальных изгибных напряжений в заделке сглаживается тем сильнее, чем меньше отношение bw/m. Зависимость К'р-л от К°ца, и bwjm при bwlm > 4 может быть приближенно аппроксимирована формулой /к£з-»=(/*&з-»)х 0,54е (60) Концентрация нагрузки у краев зубьев может быть снижена применением продольной коррекции. Приработка зубьев. Приработка зубьев происходит в результате их истирания или пластической деформации и зависит от твердости поверхностей зубьев, от степени равномерности передаваемой нагрузки, от времени работы, окружной скорости и других факторов. В расчетах предполагают, что интенсивность приработки пропорциональна местной нагрузке, поэтому наиболее быстрая приработка про- ясходит в первые часы работы передачи, когда нагрузка распределяется по ширине зуба весьма неравномерно. Затем приработка замедляется, а при большой твердости зубьев прекращается. Расчетный коэффициент неравномерности распределения нагрузки по ширине зуба с учетом приработки определяют по формуле *р =' + (*&-')*- (6i) При работе на постоянном режиме коэффициент Kw зависит от твердости поверхности зубьев колеса, которая обычно меньше или равна твердости поверхности зубьев шестерни. Рассчитанные по формулам ГОСТ 21354—87 кривые для определени значения Kw приведены на рис. )4 С увеличением окружной скорости приработка уменьшается. При работе на переменных режимах условия для приработки также ухудшаются (см. инже).
193 Зубчатые передани Зуб может передать всей шириной нагрузку F — wab cos aw или с учетом выражений (31) и (34) _ wa cos aw b кяккр к$ Так как с увеличением ширины зуба коэффициент К$ увеличивается, то при заданном условиями прочности значении давления wa полная нагрузка F достигает при некотором значении Ь° максимума. При определении Кв по формуле (52) и Ка> » 1. У 0,14 С учетом коэффициента /(/ получают b°ldwi «1 — 3. Увеличивать ширину зуба сверх 6° нецелесообразно. Статическое распределение усилий между зубьями (Коэффициент Ка)* В тихоходных зубчатых передачах с немассивными колесами, где динамические нагрузки невелики, распределение нагрузки между зубьями при наличии перекрытия определяется условиями статики. Если в контакте одновременно находятся две пары зубьев I и II (рис. 15, а), то сумма нормальных усилий wai и wau должна равняться передаваемой нагрузкеша0= w0/cosaw, где wa определяется формулами (30)— (34) при Лд = 1. Опуская индекс «а», имеем ш: + wu = Щ- (62) Прн этом основные шаги зубьев в деформированном состоянии должны быть одинаковыми, т. е. Р'ы = Р'ьг- (63> Здесь индекс 1 относится к ведущему, индекс 2 — к ведомому колесам. Шаг в деформированном состоянии р'ь отличается от шага ненагруженных зубьев рь упругими перемещениями * Решение этой задачи методами теории упругости дано в работах [3 и др. 1. Рис. 15. К расчету статического распределения усилий между зубьями зубьев по линии зацепления (рис. 15, б и в): Р'ь\=Рь\—Ьи \+6i\- \ ,CJ4 РЬ2 = РЬ2 "Г 0Ц2 — б12. J Из (64) следует условие совместности деформаций д -|_ б„ — 6i = 0, (65) где Д = рь — рЬ1 — ошибка по основному шагу; 6i = 6ц ■+- 6i2— сближение сопряженных зубьев / вследствие их упругой деформации; 6ц = = Sill + бц г — то же, для зубьев //. Допуски на основной шаг зубчатых цилиндрических передач fpb~ \pf,— — Рьн I (^Ьн — номинальная величина шага) определяют по нормам плавности
Нагрузки, действующие на зуб 199 ГОСТ 1643—81 в зависимости от степени точности передачи, модуля и диаметра колес (например, для передачи 3-й степени точности при т = = 3,5 -г- 6,3 мм и йг < 125 мм fpb— ±3 мкм). Максимально возможная ошибка в основном шаге сопряженных зубьев Ащах = (Pbijmax (Ры) min = = (Ры)тах ~~ (^Ьг)пип = ' рЪ 1 т 'рЬ г- (66) В зависимости от соотношений между шагами зубьев рЬ1 и рЬ2 действительные ошибки во время работы передачи могут иметь любые значения в пределах — Дтах < Д < Лщах. т. е. ошибка Д может быть положительной, отрицательной или равной нулю. Однако вероятность сочетания (/?Ь2)тах и (Pbi)min или- наоборот, очень невелика. Поэтому в качестве расчетной (вероятной) ошибки Д0 обычно принимают (67) А0=1/72Рм + /; 2 рЬ 2> вероятность которой имеет тот же порядок, что и вероятность выполнения основных шагов по верхнему или нижнему допуску, и считают Д = = ±Д0 (если 1Ры= }ры, то Атах = = 2f ръ, в то время как Д0 = ~\/21 рЬ х ~ 1,41/рь). Упругая деформация зубьев складывается из изгиба и контактного сжатия. Испытания показывают, что полные упругие перемещения зубьев практически пропорциональны приложенной нагрузке, т. е. т — Ci6,; (68) где с\ и Си—удельные жесткости зубьев, Н/(мм • мкм). В простейшей схеме передачи усилия f = w0b (рис. 16, а) общий прогиб сопряженных балок постоянного сечения ЩЬ У\ + У* = I £,У, ^ £,/, ) Риг. i8. Простейшая схема деформации зубьев (а) и изменение удельной жесткости двух одинаковых сопряженных балок постоянного сечения (б) в зависимости от положения точки контакта и удельная жесткость на единицу длины зуба -1 Щ У1 + У2 Удельная .AfJL + JLV жесткость, пропорциональная модулю упругости, имеет максимум при контакте в середине пролета (рис. 16, б) и для геометрически подобных балок имеет одинаковое значение, не зависящее от их абсолютных размеров. Это же справедливо и для зубьев. По данным различных исследований, для стальных прямых зубьев эволь- вентного профиля нормальной высоты удельная жесткость в полюсе (W) cw= (13,5—18) Н'(мм-мкм), в начальной и конечной точках однопар- ного зацепления (1/1 и (/2, см. рис. 3) Си — (13-Н6.5) Н/(мм-мкм), в начальной и конечной точках активного участка линии зацепления (Рг и Рг) Ср= (9,5--12,5) Н/(мм-мкм). В ГОСТ 21354—87 и в последующих расчетах приняты значения жесткостей, близкие к минимальным. Решая совместно уравнения (62), (65) и (68), найдем усилия, действующие на каждый зуб при наличии перекрытия зацепления: wi = ——Г"Г— (wt> + спд); (69) Cl + CU Wu Cl-f CU (w0 — с, А).
200 Чубчатые передачи -Wo/Cjj Рис. !?. Области одно- и дну^парного »ацепленин зубьеи (прн гщах - с*-,) Контактные усилия шг п и<ц не могут быть отрицательными. Если ошибка А > 0 (шаг зубьев ведомого колеса больше шага ведущего), то при Д ■=- Wq'c-i вторая пара зубьев ие будет контактировать (вн -- 0, рис. 17); если ошибка Д<0 (шаг зубьев ведомого колеса меньше шага ведущего), то при абсолютной величине | Л | >и,0/сц не будет контактировать первая пара (wi = 0). Полагая Д — =ЬЛо> полечим (cv. рис. 17) и'1 > 0 при \, < -^- ; «'и > 0 при Л0 < . Эти условия можно объединить в одно, т. е. До<- (70) где с1т]ах — наибольшее нз значений сг и Си при рассматриваемом положении зубьев. Если условие (70) не выполняется, то в данном положении зубьев в зацеплении будет находиться только одна пара (фактического перекрытии нет). Точные, абсолютно жесткие зубья входят в контакт в точке Р± (см. рис. 3). Пока точка контакта вновь вошедшей в зацепление пары зубьев I (см. рис. 15) перемещается по линчи зацепления из точки Р1 в точку t/2, точка контакта предыдущей пары зубьев II перемещается из точки Ui в Р.г. В точке Р2 предыдущая пара размыкается, и в зацеплении на участке UtUx остается одна пара зубьев. Точные (До - 0) упругие зубья встретятся несколько ранее точки Ях (вне линии зацепления), а в тот момент, когда точка контакта пары зубьев I займет положение Ри усилия в зубьях в соответствии с формулами (09) при ст — ср, си — си и Л„ -= 0 "IP, "ill/, ■ W0 ss 0,42tt)0; Си Lp т < и Vq ж 0,58ш>0. (71) К моменту перед выходом пары 11 из зацепления усилия примут значения (Ci - = Си : "I V, MI Я, Си+Ср си "Т ср А» - 0): w0 * 0,5&w0 ■я'0«0,42я.0. (72) Характер изменения коэффициента Ка~- wlwt в точных упругих зубьях схематически показан на рис. 18 жирной линией. В неточных упругих зубьях характер изменения усилий зависит от величины и знака ошибок. Область возможных значений усилий w\ и Wii при некоторой ошибке Дтя\ < wjcu на рис. 18 заштрихована. При оценке усилий по величине ошибки Д0 их наибольшие значения в точках Pi и Р± в соответствии с формулами (69) (й I Р,/гоах °\\ Pjmax (W„ 4- СцЛа) «0,42а>0(1 +^к). (73)
Нагрузки, действующие на зуб 201 где коэффициент еиАо "Фк "= До Щ Ш (74) представляет собой отношение ошибки До к упругой деформации зубьев в точках их или t/2. Наименьшие значения усилий в точках Р, и Р* (ш1 P1)min = (tt,IIP,)rain::5:: *0,42tee(l-Tl)K). Наибольшие значения усилий в точках У, и fs Си (ю0 -г срД0) яг :0,58ш0(1 +ij)c), (75) где г„Д Г))С р"о w0 (ifo* 1,37Ц.»- -£- фИ * 0.73rj>„ (76) Двухпарное зацепление на всем протяжении участка теоретического перекрытия зубьев Pit/j и UiPf будет осуществляться при условии (70), т. е. при Д0 <—- или при i)^< 1. (77) Предельно возможные изменения усилий при г|зк = 1 показаны на рис. 18 штрихпунктирной линией. При больших ошибках, когда tpK> > 1, ко tfc< I. зона двухпарного зацепления будет сужаться, а при илн при грс > (78) в зацеплении будет i аходиться фактически только одна пара зубьев, несмотря на наличие теоретического перекрытия зубьев (ev> 1). Условия зацепления см. в табл. 3. Характер изменения коэффициента Ка= w'iwo при w' — Wx и«)' — а»п на активном участке линии зацепления при различных значениях i|;K и фс показан на рис. Iti. Максимальные статические усилия ttiCT в характерных точках линии зацепления могут быть представлены **с-1(>,,»уи1 Piu 18 И jMoH'-нне коэффициент магического перекрытия К вдоль рабочего участка линии зацеплении при различных значениях параметра вероятной ошибки i[ в виде (79) •"/>,= «of op,; "'«/.---«'(ЛсУ,: WP, - ЩКаР, Для точек t/2 и Ut (рис. 18) следует считать а/ = w0, т. е. KaUl = Каи, = = 1. При расположении полюса в зоне однопарного зацепления Kaw — I- Поэтому в расчете на контактную выносливость КНа ~ ' Для точек Рг и Р2 при двухпарном зацеплении в соответствии с формулой (73) К„„ =0.42(1 ^Ч.к). Л'аЯ, - КаРг ^аР (80) Формулой (80) можно пользоваться при ijv < 1, т. е. при ipK С 1,37. При больших значениях гр„ следует считать КаР~ 1- Для очень тихоходных передач при расчете усилия ш по формулам (31), (34) считают /Сд ~ К а- Динамические усилия на зубьях при крутильных колебаниях (коэффициент А,'Кр) и резонансные режимы Зубчатые колеса составляют вместе с валами и другими присоединенными деталями общую упругую систему,
202 Зубчатые передачи Рис. 19. Схема нагруження колес: / — ведущего, 2 — ведомого динамический расчет которой представляет большую сложность. Однако такая общая система нередко распадается на две части, динамически слабо зависящие одна от другой, так как жесткость зубьев с3 <=« (20 -г- 30) Н/(мм-мкм) обычно значительно превышает жесткость валов св яв « (0,5—2) Н/(мм-мкм). Поэтому при анализе колебаний сопряженных зубчатых колес в связи с упругими деформациями зубьев инерционными нагрузками от других присоединенных деталей пренебрегают и считают, что вращающие моменты постоянны. С другой стороны, при расчете крутильных колебаний зубчатых колес и других деталей в связи с упругими деформациями валов зубья можно считать жесткими. Частота собственных колебаний сопряженных колес. При контакте зубьев вблизи полюса, когда в зацеплении находится одна пара зубьев, дифференциальные уравнения вращения сопряженных колес имеют вид (рис. 19): 7" rfWi ;р dt = l ~~ ШаГь1' J mi —л— — — 1 2 -+- и>агЬг< (81) dt где J, моменты инерции колес, 7\, Т2 — врашающие моменты, отнесенные к единице ширины зуба. При равномерном вращении dmxldt = = 0, datjdt — 0, и из равенства (81) следуют соотношения гы _Zjl гы = cufim = const. (82) Если под воздействием малого случайного возмущения деформация в некоторый момент времени t = 0 увеличилась на Д60, то возрастает и усилие на зуб, условия равновесия колес при постоянных значениях моментов 7\ и Т2 нарушаются и угловые скорости колес начнут периодически изменяться, что будет сопровождаться изменением усилия и деформации с той же частотой. Введя в равенства (81) выражения (82) и обозначая Дю = wa — wm, получим ■'mi ~аГ = -ДюгМ. Т dto2 д причем Дву = Сц, Дб. (83) (84) Если значение Дб0 достаточно мало, то контакт зубьев при колебаниях не нарушится. Условие совместного движения зубьев (рис. 20) требует, чтобы ско-
Нагрузки, действующие на зуб 203 Ряс. 20. Схема совместного движения упругях зубьев вдоль линии зацепления: 12 — положения соприкасающихся поверхностей зубьев в момент времени t\ Г, 2' — положения в момент времени t + dt (вся деформация зубьев условно показана в виде деформации смятия) uzrbldt и, гь1 dt рость сближения их вдоль линии зацепления равнялась скорости увеличения деформации зубьев d(A6) dt (85) Дифференцируя обе части равенства (85) и подставляя в них значения dajdt и dujdt из равенства (83), получим с учетом соотношения (84) дифференциальное уравнение собственных колебаний сопряженных колес (Я(Д6) dt2 + F- Д6 = 0, (86) где К=Ы гЪ К J, . ГЬ2 'mi (87) Решение уравнения (86) при начальных условиях Д6 (0) = Д60 и _^(Д6) 1 dt ,=o 0 Д6 = Д60 cos pV- Частота собственных колебаний колес (в Гц) при однопарном зацеплении вблизи полюса /и 2л 1 г 2л 585 ум V (88) пр где МПр—приведенная масса колес, кг/мм; cw= 13,5 Н/(мм-мкм); М пр \ •> mi J ma / (89) Для оценки значений Jmi и Jmt представим колеса в виде дисков с радиусами гЬ1 и гьг для которых 7"„i = о.5р,я^,; 7т2 = о,5рХ2. (90> где р], р2 — плотности материалов колес. Выразив гЬ1 через диаметр начальной окружности ведомого колеса по формуле _ dw2 cos aw ЛЫ ~ 1и и подставив значения Jm из формулы (90) в формулу (89), получим Мпр: np,d; ш2 8 cos2 a„, ( — + и2) \ Ра / Для стальных колес прн аа /Ипр « 3,6-10-»- ли>2 (91) 20° (92) I +и2' где dW2 — в мм; Д1Пр — в кг/мм. В общем случае при определении Jml и Jms должны учитываться полярные
204 Зубчатые передачи .60 _аЛ Рис. 21. Изменение по времени t силы F, передающейся на колесо со стороны зубьев; Г время одного оборота, с моменты инерции деталей, жестко связанных с зубчатыми колесами. С учетом соотношения (92) формула (88) принимает вид /ш~3,1-106 АПГ2 (93) где dm — в мм; jw — в Гц. В периоды двухпарного зацепления частота собственных колебаний сопряженных колес возрастает до /P = /<*l/i£fi£~1.29/UI. (94) На собственную частоту колебаний сопряженных колес определенное влияние оказывает также податливость обода и тела колес, упругость валов и масляного слоя, податливость опор. Поэтому расчет при использовании формулы (93) дает лишь ориентировочное значение частоты, которое может быть уточнено экспериментально. Помимо высоких частот колебаний сопряженных колес передачи имеют также ряд значительно более низких частот собственных крутильных колебаний, относящихся к упругой системе, которую образуют колеса вместе с валами и другими вращающимися деталями. При расчете этих частот упругостью зубьев можно пренебрегать. Основы методов расчета крутильных колебаний изложены в гл. 21. Резонансные и вынужденные колебания. Если частота собственных колебаний колес совпадает с частотой какой-либо переменной силы, действующей в передаче, возникают резонансные колебания, которые могут явиться источником серьезных дефектов. Основные переменные силы в передаче связаны с периодическим входом зубьев в зацепление, когда за каждый оборот колесо с г зубьями воспринимает г импульсов, так что изменение по времени t силы F, передающейся на колесо со стороны зубьев, имеет вид, показанный иа рис. 21. Наиболее сильная составляющая такой возбуждающей силы имеет частоту (в Гц) 1 пг ~60~ 1000а пт (95) где Тг — период импульсов, с; v — окружная скорость, м/с; m — модуль, мм. Так как форма импульсов ие синусоидальна, а их характер и период Тг из-за неточностей зацепления ие вполне одинаковы, то наряду с частотой fz могут проявляться возбуждающие силы с кратными ей частотами 2fz, 3/г и т. д., а также с близкими частотами / = п {г ± fe)/60, где k = 1, 2 и т. д. При работе на небольших частотах вращения частота /г может резонировать с низкой частотой собственных колебаний системы колес и валов, а при работе с большой частотой вращения — с частотой собственных колебаний сопряженных зубьев. Изменение усилия, действующего на зуб при низкочастотном резонансе, показано иа рис. 22. Несмотря на ограниченное число циклов, которое зуб успевает испытать за время нахождения в зацеплении, уровень переменных напряжений в зубе может стать значительным, так как резонансное усиление колебаний проявляется весьма интенсивно. Кроме того, возникающие при резонансе колебания колес вызывают дополнительные ударные нагрузки при входе зубьев в зацепление. Работа передачи на резонансных режимах не допускается. 1 В некоторых передачах, например в редукторах поршневых двигателей,
Нагрузки, действующие на зуб 205 крутильные колебания могут иметь вынужденный характер. Динамические усилия на зубьях, связанные с крутильными колебаниями и учитываемые коэффициентом /СКр- оценивают обычно экспериментально. При проектировании значение Kkv выбирают по опыту работы аналогичных конструкций. Поломки зубчатых колес могут быть связаны также с резонансными колебаниями ободьев и дисков колес [8]. Оценки возможности резонанса. Для оценки возможности резонанса определяют приведенную массу колес Мпр, собственные частоты колебаний колес при однопарном (fw) и двухпарном (/р) зацеплении. Расчетные резонансные окружные скорости „(«-) Xnmfw, (96) где при основном резонансе X = I, при резонансе со второй гармоникой к частоте зацепления X = 0,5. Возбуждение при двухпарном зацеплении обычно бывает более сильным. Из-за жесткости смежных валов частота несколько повышается, а из-за податливости ободов и опор снижается, поэтому для ответственных передач резонансные режимы нужно уточнять экспериментально тенэометрнрованием колес. При проектировании передач резонансных значений окружной скорости следует избегать. Динамические усилия на зубьях при пересопряжеиии (коэффициенты *д и Kv) Пересопряжение зубьев сопровождается колебаниями зубьев, причем полная (динамическая) нагрузка w может существенно отличаться от нагрузки wCT, определяемой рассмотренными выше условиями статического нагружения. В большинстве случаев нагрузка w в характерных точках линии зацепления больше нагрузки woT в тех же точках, что позволяет условно считать w = wcr+ wv (97) ИЛИ w = wCTKo, (Щ Рис. 22. Осциллограмма изменения усилия на зубе при резонансе где а>е — «сила удара»; К» > I — коэффициент удара. Однако при большой окружной скорости и отрицательных ошибках (Д < < 0) возможны случаи, когда динамическая нагрузка при однопарном зацеплении реализуется неполностью, так что w на этом участке оказывается меньшим, чем wCJ, и понятие силы удара лишается смысла. В общем случае удобнее относить w0 н w к передаваемой нагрузке wB = = о'номЛ'рКкр и считать ю = а*0/Сд, wv = wnKa(Kv-\), (99) где коэффициент динамической нагрузки К„ KaKv Величина /Сд может быть и больше, и меньше единицы. Для статически ненагруженных зубьев wrT = 0, так что w = wv. (100) Динамические усилия (удар) испытывает пара зубьев / (рис. 23), входящая в зацепление. Если шаг ведущего колеса с учетом деформации зубьев меньше шага ведомого, то ножка ведущего зуба / ударяет по кромке зуба ведомого колеса 2 вне линии зацепления вблизи точки Pi (рнс. 23, а). Такой удар условно называют кромочным. Если шаг ведущего колеса с учетом деформации зубьев превышает шаг ведомого, то пара зубьев / входит в контакт на линии зацепле-
206 Зубчатые передачи колеса с учетом деформации зубьев будет меньше шага ведомого. Полный срединный удар возможен только в передачах при фс> '| когда ошибка Д0 превышает упругую деформацию зубьев. Неполный срединный удар, возможный при фс<1, имеет несколько ослабленный характер, так как к моменту начала удара входящие в зацепление зубья оказываются уже частично нагруженными. Характер динамических усилий существенно зависит от соотношений между периодом собственных колебаний сопряженных колес Г = у-2я |/ —^ (101) и отрезками времени, в течение которых протекают отдельные фазы пере- сопряження зубьев. В формуле (101) принимают f ~ fw нли / — /р в зависимости от участков линии зацепления. При умеренных окружных скоростях vK= 77ГК< 1 hvc= T/Tc< 1, где Тк и Тс — продолжительности начальных периодов кромочного и срединного ударов, когда точка контакта одной из пары зубьев находится вне линии зацепления. При этом за время пересопряжения зубьев успевает произойти несколько колебаний, сопровождающихся перераспределением нагрузки с одного зуба на другой. Реа- 3. Влияние параметров неточности зубьев на условия статического зацепления и характер ударов *к *к=° о < ч>к ч, 1 *к > ' *с *с = 0 < фс < I ♦с > ! Условия статического зацепления на участках перекрытия зубьев Двухпарное зацепление Неполное двухпарное зацепление Однопарное зацепление Характер возможных ударов зубьев при — д„ < д < д0 Кромочный н неполный срединный Кромочный и срединный \ // " vff Рнс. 23. Схема возникновения кромочного (а) н срединного (<Г) ударов зубьев иия вблизи точки U% уже после того, как точка контакта зубьев // отойдет от линии зацепления (рис. 23, б). Такой удар условно называют срединным. Если зубья / встречаются ранее точки С2, так что пересопряжение частично происходит еще на линии зацепления, то происходит неполный срединный удар. Кромочный удар возможен при любых значениях Д0 (табл. 3), в том числе и в точной передаче (при Д0 " 0), так как при ошибках Д, заключенных в пределах —Д0 ^Д ^Д0, всегда возможны случаи, когда шаг ведущего
Нагрузки, действующие на зуб 207 лизуются не только первый, «о и последующие максимумы усилия. При срединном ударе зазор между входящими в зацепление зубьями исчезает уже в процессе удара, который полностью реализуется. Благодаря демпфированию в системе колебания от ранее происходящих ударов в значительной мере затухают, что позволяет считать скорость вращения колес к моменту начала нового пересопряжения равномерной. С увеличением окружной скорости величины vK и vc становятся больше единицы, и тогда за время пересопряжения зубьев скорость вращения колес практически не успевает измениться. Входящая в зацепление пара зубьев воспринимает на себя всю дополнительную нагрузку от погрешности в основных шагах, а динамические усилия достигают своих максимальных значений. При еще более высоких окружных скоростях v3 = 777'а, где Г3 — полное время нахождения в зацеплении пары зубьев, также становится больше единицы. Тогда скорость вращения колес практически ие меняется в течение всего времени нахождения пары зубьев в зацеплении. Возникающая при кромочном ударе деформация остается без изменения до выхода зубьев из зацепления, так что реализуется только первый максимум усилия. Срединного удара вообще не происходит, так как зубья отходят от линии зацепления раньше, чем устраняется зазор между ними. Колебаний колес нет, и динамические нагрузки постоянного знака дают дополнительный вращающий момент. Это вызывает изменение среднего взаимного положения колес и требует рассмотрения движения колес в целом. Полный расчет динамических нагрузок в зубьях — задача очеиь сложная и полностью ие решенная. Ниже приведена приближенная методика расчета, основанная на теории динамического пересопряжения зубьев и экспериментально проверенная сопоставлением с результатами опытов разных исследователей практически во всем возможном диапазоне измерения параметров относительных ошибок (от Ус ** 0 до tyc А; 50) и достаточно широком диапазоне изменения параметров инерционности передач (vH ~ - 0,14-11 и vc==- 0,5-10). При экспериментах окружные скорости достигали значений v — 50 м/с, удельная нормальная сила wa — 570 Н/мм, ошибка основного шага Д0 — 72 мкм, передаточное число и = 1 ~2. Расчетные оценки динамических сил вне резонансных режимов соответствуют, как правило, верхним значениям экспериментальных данных. Для расчета динамических сил важное значение имеет правильное определение частоты собственных колебаний передачи и установление действительных наиболее вероятных значений ошибок основных шагов с учетом приработки зуба. Расчет динамических сил. В табл. 4 приведены формулы для расчета коэффициентов Ка, КоПтИ Kv в практически наиболее распространенном диапазоне окружных скоростей, когда v3 = Т/Т3 < 1. Коэффициент динамической нагрузки /Сл = KaKv Относительные ошибки основного шага фс и ipK определяются формулами (74) и (76) с учетом (67): 4>с 9,5 ^ао грк= 1,37ч»с. (Ю2) где А0 При — в мкм, ш,хв — в Н/мм. расчете кромочного удара на заданные значения относительных ошибок Vc и 4>к~ 1.37 фс последовательно определяют: 1) отношение радиусов кривизны эвольвент в точке Pi (при входе в зацепление) Р1Я, Ргя, (1 + и) sin а» uV(l+iky-costa«> — 1; (103) 2) время кромочного контакта зубьев вие линии зацепления Т'к = 6,17.10"*-4=2- X ^^±^(^,(104) f On,since» v P2Pi /
ж ~%б««ям« тередвт 4. Фррму*ы для расчета «ов^фиимечтот удар* Уд»р > кцй • Средня- . ный Точка *>. V, и, ■ , Ар при 0,42 (1 + fB) 0,58(1 +Ф„) ! при *„< 1; 1 при tj^ > 1 1 1 > ;,т ^ • *» к» : " ♦с <i 1.73 , '+♦« % 1.42 f + 0,58^ :" % > 1 1.73 +,(*»- ') 1.73 + (te - 1). < ■о не меде ,2.87 1+У"1 + 2.74(*с-1) Ки - 1} %. но ше бол« Av Не • + <Кр lhn - но не более *в llm Примечание. При. ф > .1 ,* кромочвом и «режимом ударен К^ = I. Где dm» a№ -~ а мм; тт — в Н/им; я — в ■ «/с; Гк — ее; 3) в период собственных колебаний сопряженных колес (в с) Т = ~, ,(105) /*ис.. ,., где /адс — иапервиеитздыюе #иаче- вяе собственной1 частот. Если оно неизвестно» принимают . Г « 0..0364/S^T Р06) где приведенную массу Af П]р, 'колес в кг/мм определяют по формулам =(89)— (92); 4) коэффициент 1 Т v =———»—• 1107) и я т"к 5) предельно возможны! Крцтш фактическийК*' коэффициенты УДаРа ж коэффициент поямой дашамяческой нагрузки К^ —' отдельно для точек /*! и £/, (по табл. 4); 6) енлу удара w0 я волную динамическую силу w по формулам (99). 'При расчете срединного удфа последовательно определяй*: 1) огношешю' радиусов кривизны ажтъжт ш течке Р. (ври вцходе из тшя) (I + в) sta сц» ______ Pw>, Р>-« yfi+^y-crfo. (108) 2) жарадаермотпеское время срединного удара (в с) Гс= 1,46—-S=-X *'-/(£)/(&> "- 3) коэффивдеит Г* к _ • уе ж= VH ■nj>t (110) 4) предельно шдаявжяый K^(im ■ фактический Д-^' коэффициенты удара и коэффициент - водной дяиамшческой нагрузки Jf,c) (по табл. Щ; 5) сиЛу удара «% и волную дииамя- чвекуйэ силу • ио формулам (99).
Нагрузки, действующие на зуб 209 Более детальные расчеты для быстроходных передач с учетом условий реализации срединного удара и других особенностей могут быть выполнены согласно работам [G, 7 и др ]. Из этих расчетов вытекают следующие основные особенности развития динамических нагрузок в прямозубых передачах. Максимально возможный коэффициент динамической нагрузки в точке Pv при кромочном ударе ЛдПт ' лалр 11т ~ = JL(i 4-^)^0,73(1-+-^) соответствует передачам с большой инерционностью (практически для vK > I), когда в процессе удара скорость вращения колес и усилие wu между парой зубьев II не меняются. При меньшей инерционности коэффициент /СдК) определяется формулой где коэффициент смягчения удара хк зависит от параметра vK (рис. 24). Эта зависимость хорошо аппроксимируется ломаной линией: при 0 < vK < 1 си "Т" ср \ си I «0,58-f 0,42vK; при vK > 1 кк = I, что учтено в табл. 3. Сила удара wv= w — юстдля цельнокованых колес при г|)п < I может быть приближенно оценена по формуле В10«0,1» X х/тЫЩ(^^У. где v — в м/с; aw — в мм; Д0 — в мкм; а>о и wv — в Н/мм. При малых окружных скоростях сила удара пропорциональна окружной скорости и увеличивается с ростом ошибки А0. '1 / ' 2 1 ! О 0,5 1 2 J-v» Рис. 24 Зависимости коэффициента смягчения кромочного удара х от параметра vH: / — TL-optMH4fCK 1Я !7l 2 - расчетная Максимально возможный коэффициент динамической нагрузки при полном срединном ударе </.т = 1 + + l/l +2-£Чч>с-1)* «It V 1+2,74(^-1). Это значение К^\\т соответствует передачам с большой инерционностью, когда зазор между зубьями пары I, равный (с учетом деформации зубьев II) Д0— (wn/c у не меняется до полного разжатия этих зубьев. После этого ведущее колесо начинает ускоренно вращаться под действием постоянного вращающего момента, а зубья пары I сближаться, в результате чего происходит удар. При меньшей инерционности удар также смягчается. При неполном ударе динамические нагрузки меньше. При малой окружной скорости сила срединного удара, как и кромочного, пропорциональна скорости. Для ие«
210 Зубчатые передачи 1 ie г ;е 45 н ез гг gi""K Рис. 25. Зависимость коэффициента смягчения кромочного удара статически ме нагруженных зубьев Xе0 от параметра ф точных передач (при ij?c> 1) можно считать [7] wv = 0,32и — X где Т/ц. ' +I.37 l/l-TT 2,37 Величина *Р меняется в пределах от 0,56 до I. Если принять ¥ -— 0,6, считать в среднем уТ~Ф^\Ы^^^ 1 ж - __ а , ие учитывать снижения жесткости зубьев при кромочном контакте и учесть экспериментальную поправку на собственную частоту колебаний а. = 1,1, то формула (112) примет вид где aw — в мм; Д0 — в мкм; о — в м/с; Выражение (ИЗ), предложенное А. И. Петрусевичем (прн 6/?= 0,25), широко применяется для приближенной оценки силы удара зубьев и, в частности, использовано в ГОСТ 21354—87 (с уменьшенным множителем, который для прямозубых передач без модификации головки принимается &F-= 0,16). Сила удара в статически слабо нагруженных передачах. В статически слабо нагруженных передачах (коробки приводов агрегатов и др.) зубья после кромочного удара быстро разжимаются, так что реализуется только первый максимум. Сила удара при этом мало отличается от значения при отсутствии статической нагрузки (wal) — = 0 или yfK-*- oo). Для этого предельного случая сила кромочного удара w — wv = срД0х~, где коэффициент х£° определяется по графику, приведенному на рис. 25 в зависимости от характеристического угла фк<ю, для которого [7] -- _ ' Ту 1Б Фкоо Vkoo On „» ' сл 1 к1 здесь 1 /~ си + ср Т1=У -Тъ 1.54Г; ср Г;. =2,24-10"4 -^-Х У aws'maw \p2Pi /' (114) причем dm; aw— в мм; Д0 — в мкм; v — в м/с; Т (в с) определяют по формулам (105) или (106), а отношение PiPj/РгР! — по формуле (103). Графиком на рис. 25 можно пользоваться для оценки силы кромочного удара статически слабо нагруженных зубьев при 1()с > 1 н vK < 0,5, считая + 0.73фкх». (115) Расчетная динамическая нагрузка. Расчетную динамическую нагрузку определяют для каждой характерной
Расчет зубьев на прочность при изгибе 211 точки линии зацепления: Wp% wu, ww wp, =-- »0*Г; ] = woK*u,; ■=w0KaP,- . (116) В качестве значений Кяи, и A'Aip принимают те из коэффициентов /С_к) и /СдС) для точек U2 и W, которые имеют большее значение. Пример. Найти силу удара wv и динамическую нагрузку w в передаче с параметрами: aw - 250 мм; и — 2; т= 5 мм; аш = 20°; и == 15,7 м/с; 7-я степень точности (Д0 = 28 мкм); w0 = 39,3 Н/мм, 2Х = 32; d^ -= 320 мм. Последовательно находим для кромочного удара: pip /p2p = 0,223; 1рс =- 0,677 (1|>с< 1); 'г|зк =' 0,928; Т* = = 1,76-10~4 с; Afnp= 7,4-Ю-6 кг/мм; Г= 3,1 МО"4 с; vK= 0,560; в точке Рх- Ка= 0,810; Ко Ига = 1.73; /Со = 1,41; /Сд = 1,14; ffii0 = 131 Н/мм; mi = = 448 Н/мм; в точке У,: /Са = 0,975; К0 Mm = 1,978; Ко = 1,55; /Сд = 1.51; Wo = 211 Н/мм; ш= 595 Н/мм; для срединного удара: р2Р /р1Я = 1,081; Г'= 2,05-10-*c;vc=,0,485;/Cullm = = 1,81; /СД = Ко = 1 -393; w0 = = 154 Н/мм; ви= 548 Н/мм. По расчету согласно рекомендациям к ГОСТ 21354—87 g„ = 5,3; Ко = = 1,468; /Сд = '.19; ш0 = 149 Н/мм; а; = 467 Н/мм. Полный расчет согласно табл. 3 (помимо расчета по ГОСТ 21354—87) целесообразно проводить для вновь проектируемых, особенно быстроходных ответственных передач. При расчете передач со смещениями параметры \f> и v надо определять по фактической геометрии зуба и жестко- стям. Уменьшение динамической нагрузки при модификации зубьев можно учесть, принимая в качестве расчетной ошибки Арасч — "о — "аа. где Дао — нормальная глубина модификации профиля головки зуба. По ГОСТ 21354—87 в этом случае принимают бр = 0,11. Влияние динамических нагрузок иа контактную выносливость поверхности зубьев обычно проявляется слабее, чем на выносливость при изгибе, особенно в зубьях невысокой твердости. Поэтому Kfo = Ко. а Кно= 1 + П(Ко-1). (П7) где при твердости НВ > 350 т) = 0,75; при твердости НВ < 350 т) = 0,35. РАСЧЕТ ЗУБЬЕВ НА ПРОЧНОСТЬ ПРИ ИЗГИБЕ Напряжения при изгибе. На единицу ширины зуба действует нормальная нагрузка wa, направленная по линии зацепления, и касательная нагрузка от сил тре.шя q = fwa, где при наличии смазочного материала / = 0,05-f- 0,08. Силы трения направлены в сторону относительного скольжения зубьев, т. е. на ведущем зубе от полюса, на ведомом — к полюсу (рис. 26). Трение несколько увеличивает изгибающий момент иа зубьях ведущего колеса и уменьшает на зубьях ведомого. Практически при расчете зубьев на изгиб влиянием трения можно пренебрегать. Под действием нормальной нагрузки wa на растянутой стороне зуба возникают меньшие напряжения, чем иа сжатой. Однако вследствие того, что поверхностные слои материала зуба оказывают меньшую сопротивляемость усталостным растягивающим напряжениям, чем напряжениям сжатия, наиболее опасными являются напряжения, возникающие иа растянутой стороне зуба. Наибольшие напряжения изгиба действуют в плоскости, нормальной к поверхности зуба. Поэтому поломка зуба происходит, как правило, ие по плоскому, а по цилиндрическому или близкому к нему сечению (рис. 27). Номинальное напряжение изгиба в опасном сечении можно определить по формулам сопротивления материалов. Расчетная схема зуба показана на рис. 28. Действующую по линии зацепления нагрузку wa раскладывают иа две составляющие — из-
212 Зубчатые передачи а) Рис. 26. Направление действия сил трення: а — иа ведомом зубе; б — на ведущем б) гибающую wa cos ух и сжимающую wa sin ух. Изгибающие напряжения, возникающие в опасном сечении зуба, М„ _ 6wahx cos ух о„ = W„ °i напряжения сжатия Few _ ""a sin yx Grrtt — ' 4(118) (119) Рис. 27. Типичная поломка зуба при испытаниях на пульсаторе WocCOSfy Рис. 28. Схема зуба при расчете иа изгиб где Si — толщина зуба в опасном сечении; hx — плечо изгиба, Суммарные номинальные напряжения на растянутой стороне переходной кривой зуба X °"п = ои — а„ж = wn. X sin 'о — "и — "еж 6АЖ cos yx °i |ь). (1И, Формулу к виду (120) можно привести а0 = Yf0 _£_ m (121) где удельную расчетную окружную силу wF принято определять по усилию, действующему на делительной окружности, т. е. <*в>1 cos a w_ = w —г- — w = wa cos a; F dy COSOa, (122) здесь а — угол профиля исходного контура. Безразмерный коэффициент / 6hx cos yx >а \ s, Kf0 = т s, cos < sinYx) (123) называют коэффициентом, учитывающим форму зуба (коэффициентом формы зуба) при расчете номинальных на-
Расчет зубьев на прочность при изгибе 213 пряжений. В ряде прежних работ коэффициентом формы зуба называли обратную величину 1/Yfo- Чем больше коэффициент формы зуба, тем больше напряжения при данных силе и модуле. Из-за концентрации напряжений иа переходной поверхности местные упругие напряжения ар будут больше номинальных а0, что учитывают введением теоретического коэффициента концентрации напряжений °F=<W <124) Местные упругие напряжения, возникающие в зубе при изгибе, могут быть определены как аналитическими методами [3], так и экспериментально, например методом фотоупругости (рис. 29). Наибольшие напряжения соответствуют наибольшей частоте полос и находятся у основания зуба на переходной поверхности. Максимальные местные напряжения °» = Y„,-&. (125) w ■J^#w, / где YFS = aaYF0- Зависимость коэффициента (126) Yfs от Рис. 29. Интерференционные полосы при статическом изгибе модели зуба нз оптически активного материала числа зубьев г и коэффициента смещения х для зубьев с исходным реечным контуром по ГОСТ 13755—81 при приложении силы к вершине зуба показана на рис. 30. -0,1-0,3-0,1 х--0,5 4,0 3,8 3,6 ЗА 3,0 К 10 П 14 11 10 15 30 40 50 60 80 100 150 ZOO °°Z Рис. 30. Зависимость коэффициента формы по местным напряжениям: Урс от числа зубьев я и коэффициента коррекции X при приложении нагрузки к вершине зуба при ■сходном реечном контуре по ГОСТ 13755 — 81 0,3 .0,4 —I -0,1 0 lA'\ 0 ? 0,5 0,6 0,1] . 0,8 ' -=- \ **^~- Т""*"'" ^ 1
214 Зубчатые передачи Напряжения изгиба ар пропорциональны нагрузке wp и растут с увеличением ее плеча (но не пропорционально из-за уменьшения в определенных пределах коэффициента концентрации). Так как максимальная динамическая нагрузка действует в первые моменты зацепления, то в худших условиях обычно находится ведомый зуб, для которого опасным может быть приложение нагрузки на кромке зуба (в точке Ръ см. рис. 3) и в точке U2. Для ведущего зуба опасным также может быть приложение нагрузки на кромке (в точке Р2) или в точке Uu когда проявляется влияние срединного удара и возрастает коэффициент концентрации. Коэффициент формы зуба при приложении нагрузки в точках начала или конца участка одно- парного зацепления U: YFu^VrsYt. (127) Определив из геометрического расчета диаметр окружностей du, на которых расположены точки U, можно найти усредненное значение коэффициента Ye в зависимости от параметра по формуле YE ж 1 — 0,35//. (129) В развернутом виде для прямозубых передач ■V-V.-S*. С») Для приближенной оценки теоретических коэффициентов концентрации напряжений можно пользоваться формулой ао=1 + 0,15-^-, (131) Рт Где Рт — средний радиус переходной поверхности; st — толщина зуба в опасном сечении. По мере уменьшения плеча силы от h х (см. рис. 28) до п'х величина аа увеличивается, причем ««V (132) Более подробные сведения о коэффициентах формы зуба для передач с другими исходными контурами, а также о коэффициентах аа и Кг приведены в работах [1, 3 и др.]. Пределы выносливости зубьев и запасы прочности. Разрушение от усталости начинается на растянутой стороне. Если зубья испытывают одностороннее нагружение, то цикл нагру- жения будет отнулевым. Если нагрузки на зуб последовательно прикладываются с разных сторон (например, у промежуточных шестерен) , и величины их одинаковы, то цикл получается симметричным. При разных нагрузках по формулам (8) и (9) гл. 2 можно найти среднее ат и амплитудное аа значения нагрузки и номинальные напряжения. Коэффициент запаса сопротивления усталости зуба определяют как отношение разрушающей нагрузки Доразр к действующей w, причем wpa3p должна быть приложена в той же точке профиля, что и w: SF = - "разр (133) Переходя с помощью формулы (121) к номинальным напряжениям, найдем Sf = Jo разр (134) где а0 разр — номинальное напряжение, соответствующее разрушающей нагрузке. Аналогичным способом можно выразить коэффициент запаса прочности через местные напряжения aF и aF разр- Существуют два метода определения Оразр и запасов прочности. 1-й метод — по данным усталостных испытаний гладких образцов и образцов с надрезом; коэффициент запаса прочности для отнулевого цикла 2а_! Sf (£ + *Ь для симметричного цикла SF = k„a0 (135) (136)
Расчет зубьев на прочность при изгибе 215 При разных нагрузках, действующих в ту и другую сторону, SF = -k ^ , (137) -£- °\>а + i>oaom где а_! — предел выносливости материала сердцевины зуба; ес — коэффициент влияния абсолютных размеров; ■ф„ — коэффициент влияния асимметрии цикла. При расчете стальных зубьев обычно считают еа я? 1, а_г « ж 0,5ав(, где аве — предел прочности сердцевины зуба. Эффективный коэффициент концентрации напряжений в зубе устанавливают сопоставлением результатов усталостных испытаний гладких образцов и образцов из того же материала и той же термообработки, но имеющих надрез по форме переходной поверхности зуба и подвергнутых поверхностной механической и химико- термической обработке. Зависимость между ka и аа обычно представляют в виде ka = \+qa(0La-l), (138) где qa — коэффициент чувствительности материала к концентрации напряжений, которым условно учитывают также влияние поверхностной обработки. Для зубьев, подвергшихся нормализации, улучшению и поверхностной или объемной закалке, qa я* 0,8 при твердости HRC3 < 35 и qa s» 1 при твердости HRC3 > 35. Если зубья подвергнуты поверхностной химнко-термической обработке, то их напряженное состояние в значительной мере зависит от наведенных напряжений. В этом случае усталостные трещины зарождаются под упрочненным слоем. Эффект концентрации напряжений здесь уменьшается в связи с удалением очага разрушения от геометрического концентратора напряжений (переходной кривой). Для цементованных галтелей принимают <?о *** 0,2 или ka устанавливают независимо от значений аа. Для стальных зубьев цементованных, азотированных или цианированных ka я* 1,2. При грубой оценке прочности можно считать для зубьев из нормализованного и улучшенного материала ka = 1,8, для закаленных зубьев ka = 2,0; для чугунных зубьев ka = 1,2. 2-й метод — по да-'ным усталостных испытаний непосредственно зубьев, как это принято в ГОСТ 21354—87. При таких испытаниях в полной мере учитываются присущие зубчатым колесам технологические особенности изготовления, влияние хнмико-термиче- ской обработки и другие факторы. По имеющимся данным, при базе испытаний 4- 10е циклов предел выносливости зубьев цементованных и нитро- цементованных из сталей, содержащих молибден (25ХГМ) или более 1% никеля и не более 1% хрома (20ХН2М, 12ХНЗА и др.), aF,lmb= 950- 1000 Н/мм2; цементованных и нитро- цементованных из других сталей (20Х, 12Х2Н4А, 20Х2НЧА, 35Х и др.), Op llmb= 700H-800 Н/мм2; азотированных aF ,1тЬ = (300+ 18-HRC3)H/mm2, где 24—40 HRC3 — твердость в сердцевине зубьев. При объемной закалке зубьев aFUmb~ 500т-600 Н/мм2; для зубьев, закаленных npHHarpeBeTB4,aF1Imb= = 700-нЭОО Н/мма при твердости переходной поверхности 52—62 HRC3 и c,FHmb= 500—600 Н/мм2 при 48— 55 HRC3; для зубьев из нормализованной и улучшенной стали при 180— 350 НВ арПтЬ = 1,8-НВ. Шлифование переходной поверхности зубьев снижает указанные значения ар {1тЬ на 20—30%, дробеструйная или электрохимическая обработка повышает их на 10—20%. При симметричном цикле нагружения aF1Imb снижается на 20—30%. Фактическое число циклов нагружения при работе на постоянном режиме NK= 60ant, (139) где а — число вхождений в зацепление каждой стороны зуба за один оборот; л — частота вращения, мии-1; t — время работы, ч.
216 Зубчатые передачи Предел выносливости ар [1т, соответствующий числу циклов NK, определяют по формулам °FUm^V.v. (140) где ,, -« / ' f ]im ,, , YN= у —Jj- при /Vmta ^ <NK*£Ne; (141) При расчете по формулам (135)— (137) Л'р,,,,,^" 107 циклов, ад = а ; по формулам (140)—(142) NF nm~ = 4 10е циклов, 0Д = oF]imb. Для зубьев с нешлифованной переходной поверхностью при твердости НВ> > 350 принимают qF --- 9, в остальных случаях qF = 6. При твердости сердцевины НВ < 350 принимают N0 == 107 циклов и при твердости НВ > >350 N0 -= 15-10', ;Vmln = 5-10' циклов При меньшем числе циклов проводят расчет на малоцикловую усталость. При расчетах на выносливость зубчатых колес в общем машиностроении используют следующие значения коэффициента запаса прочности SF: 1,8 — для отливок стальных или чугунных, термически не обработанных; 1,6 — для отливок стальных или чугунных, подвергнутых отжигу, нормализации или улучшению, 1,4 — для поковок стальных, подвергнутых нормализации нлн улучшению; 1,8 — для поковок стальных; зубья подвергнуты объемной закалке (НВ > > 300); 2,2 — для поковок и отливок стальных, термически обработанных; зубья имеют твердую поверхность (НВ > > 350) и вязкую сердцевину. В передачах, где излом зубьев не допустим по условиям техники безопасности или связан со значительными производственными потерями, коэффициенты безопасности рекомендуется увеличивать на 50% по сравнению с приведенными выше. Для авиационных редукторов принимают Sp = = 1,5--3,0. ' При определении допускаемого напряжения изгиба ajfV по формуле (31) дополнительные коэффициенты YС Ку, Уд приближенно равны: *V-= 1,08—0,1771 g/л, Кх-= 1,05— 1,25- Ю-4 d, где т — модуль, мм; d — в мм; при полировании переходной поверхности YR-=- 1,05-М,2. Более детально рекомендации по выбору пределов выносливости зубьев, коэффициентов безопасности и других коэффициентов приведены в приложениях к ГОСТ 21354—87. Особенности расчета при многорежимной работе рассмотрены ниже. Статическая прочность. Зуб проверяют также на статическую прочность при максимальной кратковремеииой перегрузке. При твердости сердцевины зубьев НВ < 350 во избежание чрезмерной пластической деформации запас по текучести 5Й = -? (143) "о принимают не ниже 1,25. Для стальных (твердость НВ > "> 350) и чугунных колес во избежание хрупкого разрушения запас прочности SL»> = _£s-=-Hi (144) принимают 2,0—2,5. Повысить сопротивление усталости зуба на изгиб можно, увеличивая модуль зацепления, используя усиливающее ножку зуба положительное смещение или применяя более прочный материал. Для снижения динамических нагрузок повышают точность изготовления колес и вводят модификацию поверхности зуба. Для уменьшения концентрации нагрузки у торцов зуб делают бочкообразным. Повышение предела выносливости зубьев обеспечивается: упрочнением поверхности, которое достигается химико- термической обработкой и наклепом впадин; уменьшением шероховатости
Расчет на контактную выносливость 217 поверхности у основания зуба, для чего полезно, в частности, применять направленное полирование впадин (в плоскости, перпендикулярной оси колеса); в ответственных передачах применением стали электрошлакового переплава, в которой отсутствуют неметаллические включения. При нарезании зубьев не слелует допускать уменьшения радиусов переходной поверхности. Использование зубыи, не шлифуемых у основания после т- калки (с иоднутренной конфигурацией ножки), гарантирует отсутствие при- жогов от шлифования, которые снижают предел выносливости. Следует добиваться возможно большей равнопрочности колеса и шестерни правильным подбором материалов н рациональным распределением смещений между зубьями. При проектировании высоконапряженных зубчатых передач целесообразно использовать специальный исходный производящий контур, возможности проектирования передач значительно расширяются при использовании обобщающих параметров [1]. РАСЧЕТ НА КОНТАКТНУЮ ВЫНОСЛИВОСТЬ АКТИВНЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ ЗУЬЬЕВ Контактные напряжения. Рассмотрим сжатие двух цилиндрических тел, радиусы которых р2 и р1 равны радиусам кривизны профилей зубьев колеса и шестерни в точке контакта (рис. 31). Опытами установлено, что деформации каждого цилиндра, как и при обычном испытании на сжатие, про- порцчонал! на нагрузке wa и обратно пропорциональна модулю упругости материала Е, т. е. 44 Ех У-г ---- А Е, (145) где А — некоторый безразмерный коэффициент пропорциональности. С другой стороны (рис. 31), отрезок *i = Pi С —cos ех), (146) sin9i—— -. (147) Pi K где Рис. 31. К расчету контактных напряжений в лубе: а — наружное тацепленне, б - внутренние
218 Зубчатые передани Так как а значительно меньше р,, то а "р7 л» 6,: (148) *,*р,[1-(1-0,5вШ*0,5. Аналогично х, «0,5- Рг Pi (149) (150) Так как yt -f- уг = хх ± xt, где знак плюс соответствует внешнему зацеплению, знак минус — внутреннему, то V с 1 Et J 2 VPi Рг / (151) откуда а = 2/1]/-^5, (152) F *-пр где приведенный модуль упругости и приведенный радиус кривизны PiPs (153) Рпр =; !±Pl (154) Подставляя выражение (152) в формулу гост Нт 1а ' (155) где аНт — среднее напряжение смятия, получим 1 Нт r_ l/iEa^HE.. (156) 4/Л v Рпр Фактически напряжения распределяются по ширине площадки неравномерно и кроме нормальных возникают также касательные напряжения т, причем все напряжения пропорциональны <JHm. Расчеты показывают, что максимальные касательные напряжения возникают на некотором расстоянии от поверхности и определяются по формуле Из-за сил трения между зубьями максимальными становятся напряжения на поверхности контактной площадки, они больше на 15% ттаг по формуле (157) (при коэффициенте трения / = 0,2). Поэтому в ряде прежних работ в качестве расчетной принимали формулу (157) с коэффициентом 0,145. В рекомендуемом приложении № 1 к ГОСТ 21354—87 в качестве расчетной принята формула максимальных нормальных контактных напряжений /2л (1 -V2) Г waEnv У Рпр «0,418 [ ^д£пр Рпр (158) Для полюса с учетом формул (4), (11) и (13) но 0,591 X X ■j Г w и ± 1 Формулу (159) можно представить в виде но ^н]/; w и ± 1 и где ZB = 0,591 1 f EiEj V Et-hE,' ~H i/sin 2ot«, Н/мм; E (160) (161) (162) в МПа; причем w — в dm — в мм. Для стальных зубьев Z% — = 190 (МПа)1''2. Для передач, у которых коэффициент суммы смещений *г = *i + х2 ~ °' ZH = 2-49' Так как по мере удаления от полюса приведенный радиус кривизны Рпр уменьшается, при той же нагрузке контактные напряжения возрастают и определяются формулой jh\ анох
Расчет на контактную выносливость 219 где w. — нагрузка в точке %, Если точка Рх расположена вблизи основной окружности, то 6-»-1 и а„« -*■ оо. В действительности, од- нако, зоиа контакта имеет конечную ширину, поэтому при больших значениях ан (р ( величину {• следует уточнить, определяя ее по среднему значению радиуса кривизны поверхности иа площадке контакта. Влияние смазки и кинематики передачи на выкрашивание. Масло, проникая в мельчайшие трещинки, возникающие на поверхности зуба в результате усталости, углубляет их, и частицы материала откалываются. Поверхность зуба становится неровной, что ведет к возрастанию давлений и к дальнейшему разрушению поверхности. С увеличением вязкости масла повышается сопротивляемость поверх- иостиого слоя, так как уменьшается трение, и смазочному материалу труднее проникнуть в микротрещины. При движении с трением микротрещины, образующиеся в поверхностном слое, наклонены к поверхности (рис. 32). Зубья обкатываются и скользят один по другому. Если направления скоростей качения vK и скольжения vc совпадают, то при приближении зоны контакта к микротрещине силы трения сдвигают металл так, что масло выдавливается из трещины, а трещина прикрывается. После того как зона контакта минует микротрещииу, силы трения будут способствовать ее раскрытию, но масло при пониженном давлении проникает внутрь слабо. Если скорости vK и vc направлены в противоположные стороны, силы трения раскрывают микротрещину как раз в области высокого давления, причем устье трещииы направлено навстречу масляной волне, что ведет к интеисивному проникновению сжатого высоким давлением масла в глубину поверхностного слоя и откалыванию частиц материала. Направления скоростей vK и vc совпа- Рис. 32. Влияние направления качения и скольжения зубьев на проникновение смазочного материала в поверхностные микро- трещииы дают в головках зубьев и противоположны в иожках, т. е. условия работы ножек на выкрашивание менее благоприятны, что подтверждается опытом. Интенсивность выкрашивания возрастает с увеличением сил трения, т. е. с увеличением нагрузки и коэффициента трения, который, в частности, зависит от скорости скольжеиия vc- Максимальное значение коэффициента трения соответствует небольшой скорости скольжения кс = 5-г-15 м/с, которая бывает в точках, близких к полюсу. Именно в этих точках на ножках зубьев и начинается выкрашивание. Ухудшение условий работы в полюсе учитывают, условно понижая допускаемые напряжения. Для точек U2 и Pj допускаемые напряжения повышаются. Опасные расчетные случаи соответствуют положениям, когда наибольшая динамическая нагрузка действует на полюс или ножку ведущего зуба (в точке Ях) Если ведомый зуб имеет менее прочную поверхность, его рассчитывают по нагрузке в полюсе ww. В открытых передачах выкрашивания не наблюдается. Допускаемые напряжения. После появления первых признаков выкрашивания передача может работать еще довольно длительное время, поэтому коэффициент запаса прочности по контактным напряжениям принимают равным Sh ~ 1,1-И,2. Условие обеспечения контактной выносливости зубьев имеет вид ан «S анр, (165)
220 Зубчатые передачи 5. Значения пределов выносливости Материал зубьев колес Сталь; без специальной химико-термической обработки поверхности {твердость НВ < 350) с объемной и поверхностной закалкой /38 — 50 HRC ) цементованная и нитродементованная (твердость HRCg > 56) азотированная (550 — 750 HV) Чугун (при числе циклов N = 10?) серый ковкий и модифицированный Неметалл (в паре со сталью или чугуном) текстолит лигнофоль °°И 11т< н/мм* 2- НВ + 70 17- HRC3 + 200 23- HRCg 1050 1,40- НВ 1.70- НВ 45 — 55 50 — 80 где допускаемое напряжение анр определяется формулой (26). Предел выносливости а^ 1|Я) при базовом числе циклов NUOcT можно принимать в зависимости от средней твердости поверхности зубьев по табл. 5. В авиационных редукторах допускаются более высокие значения сг^ц (до 26-HRCa) при числе циклов до 107. Влияние фактического числа циклов нагружения NK на предел выносливости учитывается коэффициентом Zjv, который для стальных колес определяется по ГОСТ 21354—87 следующими формулами: при Wmln < «S NH^NHnm, (166) но не более 2,6 (что соответствует Л'mm = 0,0032/Vh lira) для однородной структуры материала и 1,8 (NmlD = = 0,029 NH ига) Для поверхностного упрочнения; Zn при NK>NHllm, (167) но не менее 0,75. Базовое число циклов напряжений зависит от твердости ч2,4 Nff ит = 30(ЯНв)2 ио ие более 120- 10е. (168) Для чугунных колес Nh пт~*- °°t для них; flO7 -^-при #K>tfmln; (169) ZN = 2,6 при JVK<A'm,n, (170) где Nmtn = 3,2-104. Поправочные коэффициенты в формуле (26) имеют в среднем следующие значения: коэффициент, учитывающий шероховатость поверхностей зубьев, ZR sw 0,95; коэффициент, учитывающий окружную скорость, Z0 « 1,1; коэффициент, учитывающий влияние смазки, Zj_ = 1; коэффициент, учитывающий размер зубчатого колеса, 1Х = 1 при dw < 700 мм и ZxH = = 0,9 при da, = 2500 мм. Для стальных зубьев, подвергаемых чистому шлифованию или шевингованию, анр следует увеличить на 10—15%, а в случае притирки зубьев каждого зубчатого колеса в отдельности с применением специальных приспособлений и паст — на 25%. Для внеполюсного контакта зубьев допускаемое напряжение повышает в ц раз, т. е. (171) = 1,7 аНР = ^°Н/» где ц = 1,4 в точках U и ц в точках Р. При кратковременных перегрузках поверхность зуба провериют иа контактную прочность: <a„omav (172) Н шах HP max,
Работа передач при различных режимах 221 где ан шах определяется по максимальному вращающему моменту 7"тах при соответствующем коэффициенте нагрузки Кн шах- Допускаемое контактное напряжение анр определяется: для зубьев колес без специальной поверхностной химико-термической обработки — из условия отсутствия пластической деформации анр шах = = 2,8сгт. где от — предел текучести материала колеса; для зубьев цементованных или поверхностно закаленных — из условия сопротивления хрупкому разрушению аНР max = 44 "HRCg' для азотированных зубьев анр шах = = 3 //ну В передачах, в которых работают обе поверхности, каждую сторону зуба рассчитывают самостоятельно. Повысить сопротивляемость поверхности зуба выкрашиванию можно увеличением межосевого расстояния, увеличением угла аш, введением смещения, повышением вязкости смазочного материала, уменьшением шероховатости поверхности зуба, применением материалов с повышенной твердостью поверхностного слоя. Во время работы зубья нагреваются тем сильнее, чем выше давление, скорость скольжения и коэффициент трения. При нагреве вязкость смазочного материала уменьшается, трение усиливается и при определенных условиях может наступить заедание. Уменьшить опасность заедания можно уменьшением нагрузки в зоне, где велико скольжение (используя, например, модификацию); уменьшением скольжения (применяя зубья с меньшим модулем в пределах, допускаемых прочностью зуба на изгиб); применением противозадирного смазочного материала. РАБОТА ПЕРЕДАЧ ПРИ РАЗЛИЧНЫХ РЕЖИМАХ Многие передачи эксплуатируют на различных режимах, отличающихся передаваемой мощностью, частотой вращения, продолжительностью, иногда направлением движения. При приведении всех режимов к наиболее напряженному с действующим напряжением а эквивалентное число циклов Ns при степенной зависимости между напряжениями и числом циклов до разрушения согласно формуле (10) гл. 2 "--2Ш""" (173) где Oi, Ni — напряжение и число циклов на 1-м режиме; п — общее число режимов работы. Относя Ni к общему числу циклов п на всех режимах работы N^ = ^] N{- i=i получим ^=^2(^Г^- (174) *=i При расчете на выносливость при изгибе зубьев с нешлифованной переходной поверхностью с твердостью НВ> 350 величина т = 9; в остальных случаях изгиба зубьев и при расчете на контактную выносливость т = 6. Эквивалентное число циклов следует определять с учетом полных действующих напряжений на каждом режиме, т. е. с учетом коэффициентов, входящих в формулы (31)—(33), и их изменений по режимам. Так как номинальные напряжения изгиба аро пропорциональны крутящему моменту 7\, а номинальные контактные напряжения ано пропорциональны -/Тх, формулу (174) можно представить в виде: при расчете на контактную выносливость (175) при расчете на выносливость при изгибе (176)
222 Зубчатые передачи где, как указано выше, rnF равно 6 или 9. Так как наибольшему изменению по режимам подвержен коэффициент динамической нагрузки л"д, то TltKi _.TuKat .. 7\((l+vt) Г,А' ~ ТгКл T,(l+v) ' (177) где v = /С» — 1; Леи- ** AV При постоянных частотах вращения сила удара wv = w0Kav практически не зависит от статической нагрузки, что позволяет считать 7\jv,- x 7\v и использовать в расчетах значение v для очередного режима, считая, как это принято в рекомендациях к ГОСТ 21354—87, ТгК ~Г,(1+у)- к > Режимы, для которых число циклов Ni больше базовых чисел N\tm, указанных на с. 216 и 220, при суммировании по формулам (175) и (176) не учитываются. При суммировании не учитываются также режимы с высокими, но кратковременными нагрузками, так как опыт показывает, что такие нагрузки в сочетании с более низкими, но длительно действующими, не снижают долговечности зубчатых передач, если они удовлетворяют условиям статической прочности. Число циклов на указанных режимах должно быть меньше Nmia, приведенных выше. По эквивалентному числу циклов NIiE и Nfe определяют коэффициенты долговечности Zjv и Yp/ н затем проверяют условия выносливости по формулам (22) и (27). Для режима, наиболее напряженного из всех режимов «неограниченной» длительности (при Ni "> Niim), необходимо проверить, чтобы коэффициент запаса прочности S был не ниже допустимого. Характер работы передачи оказывает некоторое влияние на уровень напряжений иа каждом режиме из-за изменения процесса приработки, что иногда учитывают в расчете. Предполагают, что степень приработки зубьев на i-м режиме пропорциональна номинальной нагрузке оу и числу циклов нагружения Ni. Если считать, что при работе на максимальном режиме t»oraax в течение всего ресурса Ns коэффициент приработки Kw имеет значение, соответствующее рис. 14, то относительная приработка на i-м режиме ъ-Т^Г' <179> ^о max'«л относительная приработка за весь ресурс (=1 K'omaxjVj, (180) Очевидно, что т|г<т|2^1. Коэффициент неравномерности распределения нагрузки на i'-м режиме х\\-щ{\-Кш)}. (181) При работе на одном постоянном режиме щ = 1, и формулы (181) и (61) совпадают. Для очень кратковременных режимов r|i = 0 и K$i =w ~ к0 «Ар. ОСОБЕННОСТИ РАСЧЕТА ПЕРЕДАЧ С КОСЫМИ, ШЕВРОННЫМИ, КОНИЧЕСКИМИ ЗУБЬЯМИ И ПЕРЕДАЧ М. Л. НОВИКОВА Для приближенного расчета указанных передач используют те же методы н структурные формулы (24)—(29), что и для прямозубых передач, внося определенные изменения в выражения для сил и коэффициентов Д", Z и К. Косозубые и шевронные передачи При расчете на контактную выносливость зубьев с углом наклона Р Ф 0 отнесенная к наименьшей суммарной длине контактных линий '- = *-£* (Ш) удельная окружная сила cos рь 20007\ cos рь Щ = wHt KtZa ba/lwlKi!.e,a К, (183)
Особенности расчета передач 223 где Wjjt— расчетная окружная сила, определяемая по формуле (25); Ъ,„ = = b — Ьк — рабочая ширина веица (за вычетом ширины канавки 6К между полушевронами); Рь — основной угол наклона зубьев (sin $ь = sin Р cos а); /Се — коэффициент среднего уменьшения суммарной длины контактных линий в процессе зацепления, зависящий от коэффициентов осевого ер и торцового еа перекрытий Приведенный радиус кривизны Рпр о<4,1 smata, 2(о+1) cosPb ' нормальная сила w^ а cos atw cos Рь' (184) (185) Введя соотношения (183)—(185) в формулу (158), придем к основному выражению (23) для расчетного контактного напряжения оц0, в котором гя = 2|/' sin 2atw VK*a (186) Ze определяется формулой (161). Коэффициент Zt в ГОСТ 21354—87 рекомендуется рассчитывать по формулам: Ze - у ~^ при ец = 0; г.= 1/ Г (4"-ea)(l —eg) ер при ер< 1; =- при ер> 1. Влияние неточности передачи на неравномерность распределения нагрузки по длине контактных линий Дополнительно учитывается коэффициентом Кна— 1,054-1,1 при степени точности зубьев колес от 6 до 9. При определении коэффициента Кнъ учитывают повышенную жесткость ко- созубой передачи, принимая с = = 20 Н/(мм-мкм) при 8° < Р < 20° и с я» 15 Н/(мм-мкм) при Р>20°. При расчете силы удара по формуле (113) принимают Ьц яг 0,03, а по формуле (117) Т| а* 0,2. При расчете на выносливость при изгибе коэффициент формы Yfs определяют в зависимости от эквивалентного числа зубьев ft, = -4*: (187) еРТ20" cos3 р' принимают Уе » 1, Ур аз где Р — в градусах (Ур > 0,7); здесь п — степень точности по нормам контакта (при 5 ^ п ^ 9); при вычислении коэффициента Kfb принимают 6> ■= 0,06. Конические передачи При расчете прямозубых конических передач их заменяют условно эквивалентными прямозубыми цилиндрическими колесами (рис. 33); при этом модуль зацепления тя-=т / 1—0,5-^-): (189) диаметры колес "»1 (2) э = *( число зубьев г, — 0,5 uw\ (2) COS Л! (2) __ гМ2) 42) в COSA,(2) передаточное число cos А, "э = " -ZTT ' cos Л2 межосевое расстояние (190) (191) (192) (' % = Ul~0,5 -) (193) o. = o(l-0,5-^-); (194) X (tg А, + tg А„); окружная скорость b,
224 Зубчатые передачи /<С\ А ■4. N. ^s/Cf NN<\ \. * ^V ^4v °иУ\ \ ? "W13 %х \ \ \ 4wV aw * * \о„ ^wn ,. ~J Л-' ' г\ Рис. 33. К расчету конических зубчатых колес ширина зуба bw-,=-bw. (195) Углы >ч и к2 начальных конусов зависят от передаточного числа и -— = гг/гх и угла б = Х1 + Х2 между осями конических колес: sin б . tg-И =- tgA* 1 + cos 6 ' и sin 6 1 т и cos 6 ' (196) Номинальная удельная нагрузка (в Н/мм) wa = 1000Г,. "l/l + 2«cos6-i- и2 L ( 1-0,5 *' Z. 6№ cos аш sin б (197) Контактные напряжения для стальных зубьев при а0 — 20° (в МПа) он = 332 1 / г V i(j-0.5ftf) -J / П+- 2u cos б Н- и2 u sin б (198) где wa — в Н/мм; Z, — в мм. Конические колеса с косыми зубьямн условно заменяют эквивалентными цилиндрическими косозубыми колесами. Передача М. JI. Новикова Схема передачи с одной линией зацепления («заполюсной») показана на рис. 34. Рабочая часть профиля ведущего зуба / в торцовом или нормальном сечении очерчена по дуге радиуса р1а с центром в точке La на расстоянии с от оси зуба; ведомый зуб 2 имеет вогнутый профиль с радиусом кривизны р2/ > р10. Обычно принимают р1а яг 1,5т и рг/ « 1, 1рю • В мягких зубьях после приработки значения радиусов р1а и р2/ сближаются, так что в работе зубья контактируют почти по всей длине дуги ВС. Линия зацепления проходит через точку А параллельно осям колес, ее oiw Рис. 34. Схема передачи №.. Л. Новикова
Особенности расчета передач 225 Рис. 85. К расчету зубьев кругового профиля проекция на торцовую поверхность — точка (точечное зацепление), так что для обеспечения непрерывного контакта зубьев их профили равномерно смещаются по длине зуба, образуя винтовую поверхность с углом наклона зубьев к оси (5 (рнс. 35). Обычно Р= 10н-30°. Применяют также передачи с двумя линиями зацепления («дозаполюсные»), когда ведущий зуб контактирует с ведомым вначале своей вогнутой поверхностью ножки (до полюса), и затем — выпуклой (за полюсом). При этом в зацеплении могут находиться от двух до четырех зубьев. Действующая на зуб нормальная сила Fa связана с окружной силой Ft соотношением ^с-оТк^^052^1^- (199) Контактные напряжения. Считая, что для приработавшихся зубьев контактная площадка имеет форму прямоугольника длиной L н шириной Ь (см. Глава 12 В последние годы в машиностроении н приборостроении получили применение шариковинтовые передачи, преобразующие с высоким КПД вращательное движение в поступательное н наоборот. рис. 35), максимальные контактные напряжения можно приближенно рассчитать по формуле ан = 0,418 У-ц£~, (200) где L = SC=- 2р1а(а*ш-6), (201) причем технологический угол б = = 5н-7°; рабочий угол 2 (сцт — 6) = = 30+40° Приведенный радиус кривизны _ г«ли У JTcos2 atw tg2P Рпр o+l smaitt,sin2p (202) Произведение Lpnp для передачи Новикова в несколько раз больше, чем для аналогичной эвольвентной передачи, чем н объясняется ее повышенная сопротивляемость выкрашиванию. Расчет на изгиб. Упрощенную формулу для напряжений изгиба можно получить, рассматривая зуб как консольную балку, к которой в точке А (см. рис. 34) приложена сила Fa. Тогда °-Т5Г* (203) где h — плечо силы; sx — ширина опасного сечения; Ьш — ширина рабочей части зубчатого венца; ф — поправочный коэффициент, учитывающий, что напряжения в зубе распределяются неравномерно по всей длине, а концентрируются на участке, непосредственно примыкающем к площадке контакта; ф да 2,0. Уточненные методы расчета передач с круговыми зубьями изложены в работе [5]. Основные преимущества передач: высокий КПД (т) « 0,9) *; высокая равномерность движения, малое трение * В простой передаче винт-—гайка Т1 — = 0,2-i-0,4. ШАРИКОВИНТОВЫЕ ПЕРЕДАЧИ Заказ 402
226 Шариковинтовые передачи покоя; возможность полного устранения зазора в резьбе и создания натяга, обеспечивающего высокую осевую жесткость. КОНСТРУКЦИИ ПЕРЕДАЧ И МАТЕРИАЛЫ Типичная конструкция передачи показана на рис. 1. Основные профили резьбы винта и ганки О3 нормальном сечении винтовой канавки), применяемые в настоящее время в механизмах, даны на рис. 2. Наиболее распространен полукруглый профиль (рис. 2, а). Радиус профиля резьбы гг выполняют несколько большим радиуса шарика тх, обычно тх = (0,94-4-0,97) гг. При больших значениях гг снижаются контактные напряжения, ио существенно повышаются потерн на трение из-за различия скоростей на площадках контакта. Если передачу с полукруглым профилем резьбы вннта и гайкн изготовить без зазора, то угол контакта ак в не- нагруженной передаче будет равен нулю, а под нагрузкой несколько Рис. 1, Схема шарнковинговой передачи: / — ходовой винт; 2 — гайка. 3 — перепускной канал; 4 =- шарики Рис. 2. Основные профили вннта н гайкн (в нормальном сеченнн винтовых канавок): В, Г — точки контакта шарика; ак — угол контакта
Расчет передач 227 возрастает благодаря контактной деформации. Несущая способность и КПД передач с малым углом контакта невысокие. На практике значительное распространение получили передачи с <хн = 45° благодаря высокой технологичности (возможно изготовление резьбы винта шлифованием без предварительного нарезания). Применяют также стрельчатый или оживальный профиль резьбы (рис. 2, б, в), который позволяет осуществить передачу без зазора или с натягом за счет применения шариков диаметром, несколько большим номинального. В передаче с полукруглым профилем резьбы для выбора зазора или создания натяга следует применять вторую гайку. Прямоугольный (рис. 2, г) и трапецеидальный (рис. 2, д) профили наиболее просты в изготовлении. Однако их применение ограничено низкой нагрузочной способностью из-за высоких контактных напряжений. Обычно такие профили применяют в передачах при малой осевой нагрузке и невысоких требованиях к осевой податливости. Винты изготовляют из сталей ХВГ, 38ХМЮА, 7ХГ2ВМ, 20ХЗВМФ и др., а гайки — из сталей ХВГ, 9ХС, ШХ15, ШХ6 и Др. Рабочие поверхности закаливают до твердости 60 HRC и выше. Шарики изготовляют из сталей ШХ6 и ШХ15. Детали шариковиитовых передач обычно изготовляют с высокой точностью и высоким качеством поверхности. Параметр шероховатости резьбы Ra~ 0,32-^0,63 мкм; отклонения диаметров, соответствующих точкам касания на винте и в гайке, ие превышают 5—8 мкм на длине 1 м для винта и 3—5 мкм иа длине ганки. Наибольшие накопленные ошибки шага резьбы винта не должны превышать ±3 мкм в пределах одного шага, а наибольшая накопленная ошибка шага резьбы гайки на всей ее Длине — не более 5—8 мкм. Равномерность шариков обычно назначают 1—2 мкм. Меньшие нз указанных допусков применяют для передач с d0 = 204-50 мм, а большие — для передач с d0 = = 60-- 100 мм. Передачи смазывают пластичной или жидкостной смазкой. Присутствие в смазке графита недопустимо. РАСЧЕТ ПЕРЕДАЧ Для расчета грузоподъемности и долговечности шариковинтовой передачи необходимо знать максимальное усилие, действующее на шарик. Это усилие можно найти, рассмотрев распределение нагрузки в передаче. В предварительных приближенных расчетах принимается равномерное распределение нагрузки. Основные геометрические параметры профиля резьбы даны иа рис. 3. Общее решение. Уравнение совместности перемещений имеет вид (см. гл. 3) Ai+ A2= [«i(z)+6»(z)l — -l6i(0)+62(0)], (1) где Aj, Д2 — удлинение и укорочение участков винта и гайки от 0 до г (рис. 4); бх (г) -f б2 (г) — сумма прогибов витков винта и гайки, а также контактной деформации в сечении г (в осевом направлении); 51 (0) + + б2 (0) — то же в сечении 0 (индекс 1 соответствует вннту, 2 — гайке). Перемещения Дг и Дг определяют по формулам Дх =£-£-&; A,= j-J.&, (2) Рис. 3. Основные геометрические параметры резьбы 8*
228 Шариковинтовые передачи Рис. 4 Схема соединения типа болт — гайка а перемещения 6; (/=1,2) можно представить в виде «* = Ei '#£(-£) 2/3 X cos \J3j, (3) где pi — усилие на единицу длины линии контакта боковой поверхности витков; X* и 0,-—безразмерные коэффициенты; dm — диаметр шарика; £>,-ш — шаг (расстояние между двумя шариками вдоль контактной линии); ■ф; — угол подъема винтовой контактной линчи (при расчете на прочность можно считать cos \|э = 1). Интенсивность распределения осевых сил по высоте резьбы q (г) и усилия на единицу длины контактных линий связаны соотношением PinDiK sin aK cos tyt = qS, (4) где S — шаг резьбы; D ;к — диаметр цилиндрической поверхности, на которой расположена линия контакта; ак — угол между направлением действия контактного усилия и плоскостью, перпендикулярной к оси резьбы. Принято, что контактное усилив направлено нормально к поверхности контакта. Из условия равновесия шарика вытекает, что направление нормали должно быть общим для точек контакта на витках винта и гайки. Учитывая, что 2 (J; = Q(») i Ft -i- j q (zx) dzlt (5) где Ft — площадь поперечного сечения винта или гайки, и используя зависимости (1), (3), (4), уравнение совместности деформации запишем в виде 2 2. Р J J ? (г2) dz2 dz1 = yq + уяс?/3 - С, о о где •-S i=i EtFi ' Y nsinaK £j DiKEt' t'=i Y. = ( S Г V л sin aK / (6) (7) ; (8) COS1/3 \|3j. (9) Постоянная С = yq (0) + Yk<72/3 в уравнении (6) может быть определена из условия Н ^q(z)dz = Q, (10) где Q — осевое усилие, действующее на соединение; Н — длина свинчивания. Тогда с = -н YQ + YK j <?2/3 (*) dz - о 2l -pj J ^(z^dzzdZidz . (11) Н г г, ■Ш 0 0 0
Расчет передач 229 Внося выражение (11) в уравнение (6), запишем последнее в виде интегрального уравнения где W(q)-- = К(Я) + <7cp. (12) ч' (я) = ц + \ <72/3; (13) 2 2, ?) = -- j ^q(z2)dZidz Lo о Н 2 2] 0 0 0 0 Q Чср— ~jf' i — + (14) (15) Разберем случай соединения типа стяжки (рис. 5). В этом случае уравнение (6) принимает вид Р j j q(z2)dz2dz1 о о „2/3 F-zFi ■С. = yq + y«q""-c (i6) Используя условие (10) для определения С, получим уравнение V (q) = К (q) + q0, (17) в котором Q <7о = <7ср + Y^i (4-0 (18) Величины Ч? (q) я К (q) определяются по (13) и (14). Отметим, что при E2F2 —>- -+■ оо распределение нагрузки в соединениях типа болт—гайка и типа стяжки ие отличаются. Если (5 = 0, то уравнение (12) имеет очевидное элементарное решение Q Я — <7ср = -^-> т- е. если болт и гайка ие испытывают деформаций растяжения или сжатия, то нагрузка по виткам распределяется равномерно. В общем случае Рис. 5. Схема соединения типа стяжки уравнение (12) может быть решено методом последовательных приближений по схеме ТЫ = КЫ+«ср. (19) где qt, qi+l — исходное и последующее приближения Для искомой функции q (г). Принимаем первое приближение Q '(И -'cp-TT' тогда для второго приближения 4,(<7<2>) = M<7cp)+<7op = *2-^-Я2)«7ср + , Ik. ,2/3, (20) Обозначая через /2 правую часть равенства (20), получаем 1(2)-г у 1(2) — 12- Это уравнение легко сводится к кубическому, но в практических расчетах его действительный корень более удобно отыскать по методу Ньютона. Предположим, опуская для простоты индекс 2, что Разлагая функцию F (я) вблизи некоторой точки (?♦. близкой к предпо-
230 Шариковинтовыг передачи лагаемому значению корня, и сохраняя только первые члены разложения, найдем dF F (<?) = F (<?*) + — (?.) (<? - q.) = 0, dq откуда <? = ?* f(g.) df , ч = q*- я+\<2;3- i 2 Ун 1 3 Y а2'ъ (21) Величину g» можно принять в виде / q* = Y Формула (21) обычно дает достаточно точное решение, при необходимости подобным образом уточняют значение корня. Определив значения <7<2) (2)- можно найти следующее приближение <7Э (г). При вычислении К (<7<2)) п0 формуле (14) целесообразно использовать численное интегрирование по правилу трапеций. Расчет заканчивается при достаточной близости двух соседних приближений. В большинстве практических задач достаточно ограничиться вторым приближением. Подобным образом можно решить уравнение (17), заменив qcp иа ?0. Приближенное решение. Если величина q ие очень мала, приближенно можно считать ?2/3 = а + bq, (22) где а и b — постоянные коэффициенты. Уравнение (12) с учетом равенства (22) приведем к виду Р Y + Yk* Н г гх 0 0 0 ] J Ч (*г) &Ч йгх — L0 0 + <?ср- (23) Величина а в формуле (22) не оказывает влияние на распределение нагрузки. Если выбрать коэффициент таким, что аппроксимирующая прямая становится касательной при q = = <7ср. то h 2 ' 6 У<7ср Дифференцируя уравнение (23) дважды по г, находим d?q dz* ■ m*q (г) = 0, (24) где Y + Yk* Y+- Yk VI ср Из уравнения (24) с учетом известных граничных условий для соединения типа болт—гайка получаем закон распределения нагрузки в обычной резьбе: , ч Qm i. где т — параметр, зависящий от контактной деформации. Для расчета необходимо знать упру- гогеометрические параметры (5, у и Yh- Параметр (5 определяется по формуле (7). Выведем соотношения для определения величин Х(* и 8,-, необходимых для вычисления у и Yk- Представим общую податливость внтка виита и гайки в виде ('=1. 2), где б^' (/ = I, 2, 3) — податливость витка в результате деформаций изгиба, сдвига и радиального смещения основания; б^к) — контактная податливость. Первые два слагаемых обычно малы и в расчетах ими можно пренебречь. Податливость витков винта в осевом направлении в результате радиального
Расчет передач 231 смещения основания б{3' =ы, ctgo£Kcos^, = Рх cos aK ctg ак dt cos т|?х = ___ Jt + Dl \d*-Dl VH податливость витков гайки б£3) = u2 ctg aK cos гр2 = _ Pt cos ак ctg qKd3 cos tyz ~ 2SE, /di + Dl , \ где uj, u, — радиальные смещения основания витка винта и ганки; vt, v2 — коэффициенты Пуассона материала вннта н ганки. В соответствии с равенством (3) 6<3' = ^-g-cos^, (25) что позволяет определить эначеине х;. Перемещение в результате контактной деформации (в осевом направлении) можно представить в виде fi<K> =г. Ki6sm aKcost)) X V I Ei ■+-§-=) 2рЛ. (26) i~J гш #г Ridm сумма главных кривизн (приближенно рассматривается контакт шарика и Цилиндрического желоба); Рш = ~ PiSilu — усилие на шарик; Ет — модуль упругости материала шарика; Kit — безразмерный коэффициент, зависящий от параметра %■ ARi- (27) Сопоставляя формулы (3) и (26), находим 0,- == Кщ sin aK х Максимальное контактное напряжение Ol max -- К ia X У 5> ('-^,(■-4) £/ Еш (» = 1. 2), (28) где Kia — безразмерный коэффициент, зависящий ст параметра \. Значения коэффициентов Кц, и Kia даны в табл. 1. Пример. Определим распределение нагрузки по виткам передач типа болт—гайка и типа стяжки. Дано; d0 = 100 мм; S = 12 мм; dm = 7 мм; R = 3,64 мм; DlH = 95,05 мм; D3H = = 104,95 мм; ак = 45°; DB = 70 мм; Dj=130 мм; Я =72 мм; Q = = 72 000 Н. Материал винта, гайки и шариков сталь ШХ6 (£=2, IX Х105 МПа; v = 0,3). Твердость контактирующих поверхностен 60 HRCa. Для определения упругогеометриче- скнх параметров передачи предварительно находим внутренние диаметры резьбы вннта и ганки (см. рнс. 3): d1 = de_2[*-(*-^)]x X cosa„ т= 92,9 мм; di==4. + 2[*-(*-4p)]x X cosaK = 107,1 мм. Площади поперечных сечений Fj = = 29.32 см2; F2 = 42,67 сма. Параметр £i = 1а = 0,9259. По табл. 1 находим *i6 = Ki6 = 0.4153; /С10 = Кга = = 0,2412. Далее вычисляем 6 = = 0,027.10"' 1/Н; ХГ = 9,37; XJ«
232 Шариковишповые передачи I. Значения коэффициентов /С.-*, Ki~ % 0,7385 0.7470 0,7538 0,7627 0.7696 0.7767 0.7862 0.7936 0,8012 0,8088 Ki6 0,5478 0,5442 0.5413 0,3374 0,5341 0.5308 0.5260 0.5222 0,5181 0,5139 «tt 0,3070 0,3051 J 0,3036 0.3016 I 0,2999 0,2981 0,2958 0,2938 1 0,2918 ! 0,2897 • 0.8165 0,8273 0,8355 0.8439 0.8259 0.8617 0.8679 0.8774 0,8871 0,8972 *i6 0,5094 0,5029 0,4976 0,4919 0.4859 0,4793 0,4745 0,4667 0,4582 0,4483 **a 0,2873 0,2841 0,2814 0.2786 0,2756 0.2722 0,2699 0,2660 0,2618 0,2571 I 0.9049 0,9149 0.922b 0,9344 0,9425 0.9510 0.9602 0.9697 0,9804 0,9924 «i6 0,441 1 0,4291 0,4199 0.4039 0.3912 0,3762 0,3578 0.3339 0.2997 0,2345 Kia 0,2537 0,2477 0.2434 0,2356 0,2295 0,2224 0.2137 0.2024 0,1863 0,1555 г к q, кН/см 12 10 SO 60 0 1,2 4* 3,6 %8 6,0 z,cm Рис в. Изменение q по длине гвинчивания соединения: / — болт—гайка 2 - стяжка = 17,68; у= 0,687-10-' cmVH; 6x = = 6г= 0,55; 7к = 8,62- Ю"7 см5/3Н~2/3. Для соединения типа болт—гайка получаем уравнение </+ 12,56^/3 = [г z, [ iq(zi)dztdz1 — о о Н г z, — 0,14 [ [ [ q(z.i)dz2dzldz Я г г. 0 0 0 Н + 1,74 [ q2''3 (z)dz+ 10 000 о Для соединения типа стяжки (/+ 12,56<?2/3 = 0,04 j j q (г2) dz2 dzx ■ о о ■0,14 j [ J q(z2) dztdzxdz + ooo J H -f 1,74 [q2/3(z)dz + + 116,96(3,6 — z) + 10 000, На рис 6 показано изменение q no длине свинчивания (кривые построены по решениям лоследних уравнений). В результате контактных деформаций распределение нагрузки по виткам в шариковинтовых передачах более равномерное, чем в обычных резьбовых соединениях. Максимальное усилие, действующее на шарик, „ _ / \ 5^ш ^ш шах - Я (Z)max ^^ 5Щ ^ cos ^ • (29) Для соединения типа болт—ганка Рт max -= 551 Н, атах = 2087 МПа; для соединения типа стяжки Рш шах — = 456 Н, ow = 1956 МПа В длительно работающих передачах (детали из стали ШХ15), воспринимающих осевые усилия (4 ч- 70) 104 Н и имеющих параметры Dt = 99— 166 мм; DB=50-r-100 мм, dm = — 7,938 или 10,319 мм с числом витков 2-^6 и числом шариков в витке 22н-36, контактные напряжения актах = 2100—3500 МПа. При проектировании шариковинтовых передач, предназначенных для длительной эксплуатации, допускаемые контактные напряжения прн твер-
Материалы и конструкции приводных клиновых ремней 233 дости контактирующих поверхностей деталей 62—64 HRC3 принимают равными [сг]к= 30004-3500 МПа, а при 60-62 HRG3 [а]к = 2599-4-3000 МПа. При кратковременной работе передачи [<т]к= 5000 МПа. При более низкой твердости (HRCa<.'60) контактирующих поверх- HRC 62 58 Кт 1.0 0.89 Глава 13 РЕМЕННЫЕ ПЕРЕДАЧИ Ременные передачи широко применяют для передачи вращательного движения от электродвигателей (большой и средней мощности) к различным агрегатам, а также для передачи мощности на сравнительно большие расстояния (в строительных и дорожных машинах, текстильных станках н т. п.). Преимущества ременных передач: простота конструкции и низкая стоимость; высокая гибкость ремня, допускающая различное взаимное расположение осей шкивов; плавность и бесшумность работы. Недостатки: большие габариты; наличие скольжения ремня; ограниченная мощность и низкая долговечность. Наиболее широко применяют открытую передачу между параллельными валами (рис. 1), включающую в себя ведущий и ведомый шкивы и гибкую связь — ремень в виде кольца. '■■•■"•"'■ <■* ХЛ © Ш& б) б) г) 6) рис. I. Схема ременной передачи (а) н сечений ремней: 6 — прямоугольное; в — трапециевидное: г ~~~ круглое, д — поликлиновое ностей допускаемые напряжения понижают, т. е. Значения коэффициента К ш зависят от твердости контактирующих поверхностей детали передачи из хромистой стали: 54 49 45 40 35 29 0.79 0.69 0 6 0,5 0, И 5 0.38 По форме сечения ремня различают плоско-, кругло- и клиноременные передачи. В настоящее время в основном применяют клиновые ремни (рис. 1, в). МАТЕРИАЛЫ И КОНСТРУКЦИИ ПРИВОДНЫХ КЛИНОВЫХ РЕМНЕЙ Ремни изготовляют с кордом из нескольких слоев вискозной или капроновой ткани (кордтканевые ремни) или одного ряда анидных шнуров (кордшнуровые ремни), намотанных по винтовой линии и заключенных в слой мягкой резины. Кордшнуровые ремни имеют большую гибкость и применяются в нагруженных передачах. Для работы на шкивах малых диаметров используют клиновые ремни с гофрами на внутренней, а иногда на внутренней и наружной сторонах. Клиновые реынн изготовляют бесконечными с углом клина а = 40° и отношением большего основания трапециевидного сечения к высоте W/T ss 1,6 (нормальные ремни) и W/T яв 1,2 (узкие ремни). Основные размеры клиновых ремней даны в табл. 1. Узкие ремни передают в 1,5—?. раза большие мощности, чем нормальные, и допускают работу при скорости 50 м/с. Это дает возможность уменьшить число ремней в комплекте и ширину шкивов. Четыре сечения этих ремней (см. табл. 1) полностью
234 Ременные передачи \. Ov пивные размеры и области применения клиновых ремней ремень Клиновой Клиновой узкий HJ X Сече Z А В С D Е £0 УО УА УБ УВ ^Р 8.5 1 ! 14 19 27 32 42 8,5 1 1 14 19 It/ 10 1.1 17 22 32 38 50 10 13 17 22 Г 6 8 10.5 13,5 19 23,5 30 8 10 13 18 Уо мм 2.1 2,8 4.0 4.8 6,9 8.3 11.0 2.0 2.8 3.5 4.8 Ч 400-2 500 560-4 000 800 — 6 300 1 800 -10 600 3 150 -15 000 4 500— 18 000 6 300-18 000 630 — 3550 800 — 4500 1250 — 8000 2000 — 8000 F. см2 0.47 0.81 1.38 2,30 4.76 6.92 11,70 0.56 0,93 1.59 2.78 с Q s 63 90 125 200 315 500 800 63 90 140 224 V?,. до 5 2 4 7.5 15 — — — — кВт. п м/с 5—10 4 7.5 15 30 60 120 — — ри о. Св. 10 4 7.5 15 60 200 200 200 — Обозначения. W„ — ширина ремня по нейтральному слою; W — ширина большего основания трапеции, Т — высота сечення; у0 — расстояние от большого основания до нейтрального слоя. Lp — расчетная длина; F — площадь сечения; Dmin — минимальный диаметр шкива; Wa — передаваемая мощность; v — скорость ремия. заменяют семь сечений нормальных ремней. В последние годы получили распространение поликлиновые ремнн — бесконечные плоские ремни с высокопрочным полиэфирным кордом и рабочими ребрами иа нижней стороне (см. рис. 1, д). Ремень также работает на шкиве с клиновыми канавками. Благодаря высокой гибкости допускается применение шкивов меньших диаметров, чем в клиноременной передаче, большая быстроходность (до 40—50 м'с) и большие передаточные числа. Передача обладает высокой демпфирующей способностью. Корд и рабочая поверхность расположены по всей ширине ремня, поэтому при одинаковой мощности ширина такого ремня в 1,5—2 раза меньше ширины комплекта нормальных рзмней. Клиновые ремни нормального сечения располагают по ряду предпочтительных чисел £40 (ГОСТ 8032—84) с предпочтением длин по ряду R20, а узкие и поликлиновр0. ремни — по ряд> Я20. МЕХАНИКА РЕМЕННОЙ ПЕРЕДАЧИ Сила натяжения ремня. При движении ремень передает энергию с ведущего шкива на ведомый за счет сил сопротивления на поверхностях контакта. Поэтому натяжение ремня, создающее контактные давления между ремнем и шкивом, является необходимым условием работы передачи и эксплуатации. Если ремень надет на шкивы с натягом, то натяжение его ветвей Т0 будет одинаковым во всех сечениях. Поверхность контакта ремня со шкивами определяется углами обхвата ац (i = 1, 2; рис. 2). Под действием движущегося момента Мг в ведущей ветвн передачи натяжение достигает некоторой величины 7\ вследствие появления момента сопротивления Л?2, а усилие в ведомой ветви уменьшится до величины Т2- При этом окружное усилие (полезная нагрузка ремня) 2$-W. (1) Р =
Механика ременной передачи 235 будет передаваться по всей дуге обхвата. На первом участке АВ — дуге сцепления — за счет нарастающих тангенциальных сил сцепления (меньших полных сил трения) передается малая часть нагрузки, а сдвиговые деформации ремня приводят к небольшому относительному снижению его скорости . В точке В силы сцепления становятся равными силам трения, происходит срыв и начинается скольжение ремня по дуге ВС — дуге скольжения. На этой дуге с углом аск за счет нарастающих от точки В к точке С сил трения передается основная часть окружного усилия и имеет место значительное снижение окружной скорости . Если использовать модель ремня в виде гибкой нити, то усилие (или напряжение) в ведущей ветви передачи можно снизить в ведомой ветви соотношением Эйлера. Условие равновесия (без учета центробежных снл) в радиальном направлении элемента иити, огибающей цилиндр (рис. 3), и условие равновесия сил в окружном направлении Т + ц dN — Т — dT = О, где dN = q dS — нормальная сила, действующая на элемент ремия от шкива; q — нормальное давление на единицу длины; Т — натяжение ремия; (х — коэффициент треиня. Из последнего соотношения ц dN = dT, откуда (с учетом первого условия) dTlT^iida. Если скольжение ремня происходит По всей дуге обхвата (граница буксования), то после интегрирования получим формулу Эйлера Усилия в ветвях нагруженной передачи связаны с усилием начального Рис. 2. Схема взаимодействия ремня со шкивом натяжения Т0 и рабочей окружной силой Р соотношениями Г, = Тв+-|-; Г.^Т.--^-, (3) которые можно получить из условия, что удлинение ведущей ветви ремия равно укорочению ведомой ветви. Из соотношений (3) следует: Тг+Тг= 2Т0. (4) Учитывая, что Тх — Т2— Р я Mv = D, = Р -~- , найдем ецаск _ 1 Mi = T,Dt i_ L . (5) ец ск + 1 Из соотношения (5) следует, что нагрузочная способность передачи будет возрастать при увеличении предварительного натяжения ремня Т0, угла обхвата а; и связанного с ним угла скольжения агк (в расчетах прини- Рис. 3. Схема сил, действующих на элемент ремия
236 Ременные передачи Рнс. 4. Схема снл в 1_еченнн клинового ремня мают <хск я* 0,7а,) и коэффициента трения между ремнем и шкивами. Коэффициент трения (г в формулах (2) и (5) соответствует передаче с плоским ремнем. В клиноременной передаче Ик = -• smT Это соотношение несложно получить, положив, что вследствие натяжения ремня его элемент прижат к шкиву усилием dN (рис. 4). Тогда сила трения в окружном направлении dFr = 2\idR = —^— dN -= \iK dN Если учесть, что для стандартных ремней угол клина а = 40°, то \iK як яг 3fi Отсюда следует, что в клиноременной передаче сцепление ремня со шкивом почти в 3 раза выше, чем в передаче с плоским ремнем. Существенно, что при уменьшении угла а можно повысить приведенный коэффициент трения \iK. Однако при этом возникает опасность самозаклинивания ремия, которое приводит к быстрому его разрушению. Благодаря высокому сцеплению ремня со шкивом клиноремениые передачи хорошо работают при углах обхвата а,- ^ 120° (в некоторых конструкциях допускается а, = 80-г- 100°). В передачах с плоским ремнем рекомендуется обеспечивать a, S* > 150°. Для увеличения угла обхвата на малом шкиве в передачах с большим передаточным числом применяют натяжные ролики. Для увеличения тяговой способности передачи необходимо стремиться к использованию более прочных ремней, допускающих высокие начальные напряжения (например, капрон, нейлон и др.). Однако в этом случае •возрастают нагрузки на опоры. Менее эффективным оказывается использование ремней из материалов с высоким коэффициентом трения, что связано с возрастанием потерь на трение и перегревом ремня при упругом скольжении. Кинематика передачи. Снижение скорости от 4j (для ведущей ветви) до и3 (для ведомой ветви) характеризуется относительным скольжением Передаточное число В расчетах передач принимают следующие значения £: Ремень: прорезиненный, текстильный, синтетический 0,01 клиновой кордшнуровой 0,01 кордтканевый . . 0,02 Тяговая способность передачи. На практике работу передачи принято оценивать по кривым скольжения, которые строят в координатах: относительное скольжение | — коэффициент тяги Ф = Р1(Т,Л + 7\) = Р/2Г0 (рис. 5). По мере увеличения относительной нагрузки до некоторого значения ф0 наблюдается линейное нарастание скольжения ремня от упругих деформаций, сопровождаемые ростом КПД передачи из-за уменьшения влияния потерь вспомогательного хода. Дальнейшее повышение нагрузки приводит к более интенсивному снижению скорости, что связано с увеличением дуги скольжения и ростом потерь скорости при набегании ремня
Механика ременной передачи 2.37 на шкивы. Однако передача устойчиво (без буксования) работает и в этой области, хотя КПД снижается из-за нарастания потерь энергии иа трение. Лишь при значении <р = <pmax начинается буксование передачи. Оптимальным считают иагружеиие, соответствующее наибольшему КПД и некоторому запасу по сцеплению или перегрузке (ф0 = 0,6-1-0,75 — для клиноременных передач, ф0 = 0,4-г- 0,5 — для плоскоременных передач), либо нагруженне, соответствующее некоторой допустимой величине относительного скольжения. Быстроходность передачи. Если положить, что ремень является вращающимся со скоростью v кольцом, то окружные растягивающие напряжения в нем от центробежных сил стокр = Р"г- При Сокр= ао Давление иа всей дуге обхвата будет равно нулю, и передача не сможет передавать нагрузку. Окружная скорость на шкиве при этом и1кр -Vb (8) где р — плотность материала ремия. Для ремня из капрона можно принять напряжение от начального напряжения о0 = 50 МПа и и1кр = 150 м/с. С увеличением быстроходности передачи возрастают потери энергии иа трение. Расчеты показывают [3], что при окружной скорости на ведущем шкиве "1Ц У 5о 5р W потери энергии на треиие будут наибольшими. Режимов работы передачи со скоростью ulfl следует избегать из- за опасности перегрева ремия. Наивыгоднейшая скорость ремней обычно составляет 20—25 м/с, а наибольшая допустимая 30—35 м/с. Узкие клиновые ремни с улучшенным кордом могут работать при скоростях До 40—60 м/с. Напряжения в ремнях. Изменение напряжений в точке ремня за один пробег показано иа рис. 6. а 6 4 2 J f *^ «ад 1^ КПД 0,8 06 О Л О 0,1 О А (16 ft 0,8 If Рис 5 Кривая скольжения и зависимость КПД от коэффициента тяги ф в клиноре- меиной передаче При обегании шкива ремнем наибольшие напряжения испытывают наружные волокна: Сц+ СГи X Р —Г + Оц + <%, и— 1 F (10) где я = е ск; ор, оц, сги — напряжения соответственно от полезной нагрузки, центробежных сил и от изгиба ремня, Сц = риа; (И) Г а„ = Е D (12) здесь Т и D — толщина ремня н диаметр меньшего шкива, Е — приведенный модуль упругости ремня, для прорезиненных ремней Е = 200— 300 МПа, для капроновых ремней Е = 600 МПа, для клиновых кордтка- невых ремней Е — 250-н 100 МПа, для клиновых кордшнуровых ремней Е = = 50CH-G00 МПа. В передаче с передаточным числом и ф 1 иа протяжении одного пробега в ремне будут действовать два максимума напряжений разной длительности (см. рис. 6), а в передаче с и = 1 — два одинаковых максимума напряжений Рис б. Изменение напряжений в точке ремня за один пробег
238 Ременные передачи РАСЧЕТ РЕМЕННЫХ ПЕРЕДАЧ Расчет на усталость. Наиболее часто ременные передачи выходят из строя из-за усталостного повреждения рем- ия Экспериментальные исследования показали что для ремней ие удается установить предела неограниченной выносливости, а ресурс * ремня N (в циклах) связан с наибольшим переменным напряжением соотношением ** " = hr-T- (13) \ "max / Если ввести в рассмотрение число пробегов ремня в секунду v = vIL (v— скорость ремня, м/с, L— длина ремня, м), то при постоянном режиме нагружения и и = 1 N = 3600vzm7\ где гш— число шкивов, Т— срок службы ремня, ч Отсюда r= 3600vZm ("5^7/ * (!4) В передачах с о0 = 1,2 МПа прн и = 1 принимают для плоских прорезиненных ремней m = 5—6, С — = 60—70 МПа, для клиновых корд- тканевых m = 9—11, С =21 МПа, для клиновых кордшнуровых m — = 6-11, С= 30 МПа Значение атах вычисляют по формуле (10) На долговечность ремней влияют напряжения от предварительного натяжения Если срок службы ремня при напряжении в ремне от начального натяжения о0 = 1,2 МПа принять за 100°о, то при других значениях о0 н прочих равных условиях он в среднем составит (по экспериментальным данным) 0„ МПа 0 4 1 12 15 18 Т % 420 250 100 33 13 Для обеспечения высокой долговечности и работоспособности передач ответственного назначения целесооб- * В передачах с и Ф 1 под N понимают эквивалентное чиило циклов от действия двух максимальных напряжений ** Получено нз известного соотноше иия amN = const разно контролировать а0 и применять автоматические способы натяжения Значительное влияние на долговечность ремня оказывает диаметр меньшего шкива, от которого зависят напряжения изгиба в ремне. Если срок службы клиновых ремней сечения С при работе на шкивах cD = = 200 мм принять за 100%, то при других значениях D и прочих равных условиях срок службы, по опытным данным, составит: D мм 160 180 200 225 250 280 Г % 30 56 100 200 370 600 Существенно, что при уменьшении диаметра шкнва температура ремня резко возрастает (из-за увеличения внутренних потерь), что также способствует снижеьию долговечности Таким образом, целесообразно стремиться к использованию в конструкциях шкивов больших диаметров. Минимально допустимые диаметры шкивов ограничены (см табл. 1). Для клиновых ремней наименьшие допустимые диаметры шкивов Dmia можно выбрать по ГОСТ 1284 1—89 Если по конструктивным соображениям приходится использовать шкив малого диаметра, то для обеспечения долговечности ремня следует уменьшить предварительное его натяжение Повышение скорости и уменьшение межосевого расстояния (длины ремня) сокращает срок службы ремня. Последнее вытекает из соотношения (14) и подтверждается опытными данными. Переменность нагружения ремней учитывают поправками к расчету тяговой способности и введением отраниченнй на частоту пробегов ремня v. Для обеспечения нормальных сроков службы приводных ремней в открытой плоскопеременной передаче назначают [v] ^ 3—5, в клнноременной передаче [v) ^ Ю-г-15. Используя эти значения v, можно определить при данной скорости минимальную длину ремня. Расчет иа тяговую способность кли- иоремениых передач *. Общую мощ- * Расчет плоскоремениых передач см в работе [5]
Передачи с зубчатыми ремнями 239 ность передачи W (в кВт) и полезную нагрузку Р (в Н) определяют по формулам W = W0-^~; (15) '-^- <") где Wf,— мощность, передаваемая одним ремнем при угле обхвата а = 180 спокойной работе и сг0 я* да 1,6 МПа (табл. 2); z— число ремней; /Сд — коэффициент динамичности (табл. 3); К = KaKi,Kz — корректирующий коэффициент; Ка — коэффициент угла обхвата: а, ° 70 90 ПО 130 150 180 Ка ■ 0.56 0.68 0.78 0,88 0,92 1 т/"Т~ KL — у ~ коэффициент, учитывающий влияние длины ремня на его ресурс; здесь Z.p н L0 — соответственно расчетная и условная длины ремня; т— показатель степени уравнения кривой усталости ремня (т = = 6—9). Значения /.„ для ремней различных сечений: Сечение . . Z А В С U, мы ... 1320 1700 2240 3750 Сечение . . D Е £0 L,, мм . . — 6000 7100 Кг— коэффициент, учитывающий неравномерное распределение нагрузки между одновременно работающими ремнями и зависящий от числа ремней г: * 2—3 4—6 Св. 6 Кг 0,95 0,9 0.85 Значения мощности, приведенные в табл. 2, даны для ремней с тяговым слоем на основе искусственных волокон (вискозы). Для синтетических волокон величины W0 можно повысить иа 10%. Для обеспечения нормальной работы клиноременных передач непарал- лельпоеть осей вращения назначают ие более 1 мм на длине 100 мм, а допуск на смещение канавок шкивов — ие более 2 мм на 1000 мм межосевого расстояния и увеличивают ие более чем на 0,02 мм на каждые 100 мм межцентрового расстояния свыше 1 м. В «многоручьевой» передаче из-за разгой длины ремней и различных упругих свойств нагрузка между ремнями распределяется неравномерно. В связи с этим не рекомендуется в передаче использовать более 8—12 ремней. При точном подборе длин ремней на жестких валах в исключительных случаях устанавливают до 16— 18 ремней. Тяговую способность узких ремней рассчитывают так же, как и нормальных. Значения №0 и /,0 для этих ремней приведены в табл. 4 [4]. В заключение отметим, что передачи с клиновыми ремнями могут вызывать крутильные колебания ведомой системы из-за неизбежного различия ширины ремня по его длине и, как следствие, изменения передаточного отношения за один пробег ремня. Передачи с поликлиновыми ремнями ие имеют недостатков, присущих кли- ноременным передачам. Расчет передач с поликлиновыми ремнямн и основные размеры ремней даны в работе [2]. ПЕРЕДАЧИ С ЗУБЧАТЫМИ РЕМНЯМИ Зубчатый ремеиь представляет собой по форме бесконечную плоскую ленту с зубцами трапецеидальной формы на внутренней поверхности (рис. 7), входящими в з?!1епление с зубцами на шкивах. Ремни выполняют в основном из армированного металлотросом неопрена или, реже, полиуретана. Спирально навитый по длине ремня трос служит несущим элементом при передаче окружного усилия и обеспечивает неизменяемость шага ремня. Предел прочности троса сгв = = 3000 МПа, относительное удлинение б = 4ч-5%. Каркас кинематических зубчатых ремней (применяются в контрольной и измерительной аппаратуре) изготовляют из стекловолокна или полиамидного шнура, а ремень— из резины, покрытой для повышения износостойкости тканым нейлоном.
с Сечение ремня I 01Я ° я II О --J СТ> СЛ CJt о -wco Ov*- *■ WW - елосл — о о ел ел СЛ Ю Ю W W " СО СЛ tO О о о -** о ел— — — — Q СО Ф •£• 1С £э о о о т Расчетный диаметр меньшего шкнва, мм i i оо оо оо о о ел ст> ел ел _„ м о ооо о СО СО ^q ^5 N3 — — — о о о о оо toco to to wto о оо о ел ел ел -е* со to to to *■ COCO Ю *. *. со to 00 "4^J СП to to — — w to to to SOIU- mvgdddu эжнэггэ^ on
Передачи с зубчатыми ремнями 241 3. Значения коэффициента динамичности Нагрузка Машины Спокойная: пусковая нагрузка до 120% нормальной Электрические генераторы, центробежные насосы и компрессоры; станки с непрерывным процессом резання; вентиляторы; ленточиые конвейеры Умеренные колебания нагрузки; пусковая нагрузка до 150% нормальной Значительные колебания нагрузки; пусковая нагрузка до 200% нормальной Поршневые насосы и компрессоры с тремя и более цилиндрами; стайки-автоматы; пластинчатые конвейеры Реверсивные приводы- поршневые насосы и компрессоры с одним и двумя цилиндрами; строгальные и долбежные станки; винтовые н скребковые конвейеры; элеваторы; эксцентриковые и винтовые прессы с тяжелыми маховиками 1,1 1,25 Ударная и резконеравномерная нагрузка; пусковая нагрузка до 300% нормальной Молоты, мельницы, иожннцы, подъемники, экскаваторы, драги; эксцентриковые и винтовые прессы с легкими маховиками 1.5—1,6 Примечания 1. При частых и резких пусках двигателя с большими пусковыми моментами значение А\, следует повышать на 0,15. 2. При двухсменной работе значение /Сд необходимо повышать на 0,15, а при трехсменной работе — на 0.35. 4. Мощность W0, кВт, передаваемая узким (У) клниовым ремием при а — 180° и спокойной нагрузке Диаметр малого шкива. мм 68 71 80 90 90 100 112 125 140 160 180 200 224 250 280 315 nt, мии-1 950 Ремень УО (£.„ 0,78 — 0,88 0,99—1,10 1.24—1,33 1,50 — 1,60 Ремень У А ( 1,70-1,92 2.11 — 2,33 2,60-2,82 3.12 — 3,34 Ремень УБ (i 4,29 — 4.75 5.47 — 5,93 6,62-7,09 7,80 — 8.24 Ремень УВ ( 11,3—12.4 13.6 — 14,8 16,3-17,4 1Э. 1-20,3 1450 = 1,6 м) 1.08—1,23 1.40—1,55 1,74—1,90 2,13 — 2,28 £.„ = 2,5 м) 2,35 — 2,69 2,94 — 3,28 3,65 — 3,98 4,39 — 4,73 J0 = 3,55 м) 5,90 — 6,61 7,58-8,24 9,20 — 9,86 10,70-11.40 L0 = 5,6 м) 14,9—16,7 18,0-19,7 21,2 — 22,9 24,6 — 26,3 2800 1.74 — 2,02 2,29 — 2,58 2,90 — 3,19 3,55 — 3,84 3,64 — 4,29 4,64 — 5,28 5,79—6,44 6.99—7,65 8,54-9.86 10,9—12,3 13,0—14,4 14,8—16,1 15.2—18,6 16,9 — 20,3 17,4 — 20,8 Примечание. Меньшие значения W0 соответствуют а = 1; 2, большие " > 3.
242 Ременные передачи Рис. 7. Схема передачи с зубчатым ремием Основной конструктивный пара- t метр ремня— модуль т = —, где /— шаг ремня. Значения модуля принимают по табл. 5 с учетом передаваемой мощности и частоты вращения, В зависимости от модуля выбирают ширину ремня: 20 при т — 2-н5 мм и гт1п = 20-Т-25 при т = 7-н10 мм, большие значения назначают при больших скоростях. Число зубьев ремня, находящихся в зацеплении с меньшим шкивом, должно быть не меньше 6. Наибольшая скорость ремия ограничена: •п, мм "max, м/с 2 25 3 30 4 — 10 40 т, мм 2 8 3 12.5 4 20 5 25 7, 10 50 Ь, мм 10 12,5 16 20 25 32 32 40 63 80 16 25 40 50 кроме того, определяют другие параметры: высоту зубьев h = 0,6m, наименьшую толщину S = т., толщину ремня по впадинам Н = m + 1; расчетную длину ремня L = птгр (zp — число зубьев ремня); диаметры делительных окружностей звездочек (рис. 7, б) Dj = тгх\ D2 = mz2; наружные диаметры шкивов зубчатых ремней DH1 = mz1 — 2Д, Оц% ■ метре троса 0,3—0,4 мм и А = 1,3 при диаметре троса 0,65—0,8 мм. Шаг зубьев на наружном диаметре nDH (17) Минимальное число зубьев меньшего шкива принимают равным гШа = 16н- Расчетная удельная (на единицу ширины ремия) окружная сила (в Н/мм) на ремне Р = [р]о СцСнСк. где [р]0— допустимая удельная окружная сила, зависящая от модуля: т. мм . . [р]„. Н/мм 2 3 4 5 7 10 5 10 25 35 45 60 Си — коэффициент передаточного числа, вводится только для ускоряющей передачи (при и ^ 1 Си = 1): 2Д~ где Д = 0,6 мм прн диа- «. 1 — 0,8 0,8 — 0,6 0,6 — 0,4 1 0,95 0,9 0,4 — 0,3 <0,3 0.85 0,"8 СИ — коэффициент, учитывающий влияние начального натяжения на нагрузочную способность ремня; Сн =■ = 0,9 при одном ролике и Сн = 0,8 при двух роликах; Ск— коэффициент, учитывающий неравномерное распределение нагрузки между витками троса и зависящий от ширины ремня: 8 0,67 10 0,77 12,5 0,83 16 0,91 20 0.94 25 1 40 1,04 63 1,09 100 1,2
Порядок расчета и проектирования передач 243 5. Рекомендуемые значения модуля для передачи с зубчатым ремнем W, кВт 0.05 0,08 0.12 0,18 0,27 0,4 0,8 1.5 Частота вращения быстроходного вала п, мин"1 3500 2 2, 3 3 1750 2 2; 3 3 3; 4 1200 2; 3 3 3; 4 850 2. 3 3 3; 4 4 650 3 3; 4 4 кВт 2,2 4,0 5,5 7,0 10 13 17 22 30 Частота вращения быстроходного вала п, мин-1 3500 3, 4 4 5; 7 1750 4 5; 7 7 1200 4 5; 7 7 850 4 4: 5 5; 7 7 7, 10 650 4; 5 5; 7 7 10 Необходимая ширина ремня Ь = £—г, (18) p — qv2 где <? — масса 1 м ремня шириной 1 см; т, мм . . . 2 3 4 5 7 10 q- Ю1, кг/(смх Хм) . . . 0,32 0,4 0,5 0,75 0,9 1,1 V — скорость ремня, м/с; Р— окружная сила, передаваемая ремнем, P = IIjL. (19) v Здесь W — передаваемая мощность, Вт; Кл — коэффициент динамичности (см. табл. 3). Окружная сила Р часто ограничивается давлением на зубья в зацеплении с .малым шкивом. После определения ширины ремня рекомендуется проверять давление на зубья Pz = ■ гМ < [р]г, (20) где ip — коэффициент неравномерности распределения нагрузки между зубьями ремня и шкива на дуге обхвата, г)? = 1,7н-2,0; 2„ — число зубьев в зацеплении, 360 где ах — угол обхвата на малом шкиве, градусы; [p]z—допускаемое давление на зубья ремня, зависящее от частоты вращения быстроходного вала: п, мин-1 . IpL, МПа 200 2 400 1,5 1 000 1 2 000 0,75 5 000 0,5 10 000 0,35 В передаче с зубчатым ремнем не требуется значительное натяжение. Для обеспечения зацепления ремня со шкивом назначают небольшое удельное натяжение S0/b в зависимости от модуля: т, мм 2 3 4 5 7 10 So/b, Н/см 4 6 8 10 14 20 Усилия на валы передачи Q= (l-f-1,2) Р. ПОРЯДОК РАСЧЕТА И ПРОЕКТИРОВАНИЯ РЕМЕННЫХ ПЕРЕДАЧ Рассмотрим порядок расчета и проектирования на примере клиноремен- ной передачи от электродвигателя мощностью 3 кВт; п = 3000 мин-1; и = 2; работа двухсменная; желательное межосевое расстояние ат « 600 мм. Пусковая нагрузка составляет 150% нормальной.
244 Цепные передачи 1. По табл. 1 принимаем сечение ремня А (возможны варианты сечений Z, В); F = 0,81 см2, £>lmtn = 90 мм, Г= 8 мм. 2. Используя значение желательного межосевого расстояния и рекомендации по выбору межосевого расстояния в клиноременных передачах, принимаем аш1п = 0,55 (£>! + D2) + Т; <W = 2 (D, + D%) = 2D, [ 1 + и (1 - т. е. -В]. для и прн 5=0,01 кордшнуровых ремней находим а-т ZV 2[1+и(1 600 ■\)\ 100 мм. 2[1 + 2(1— 0,01)] 3. По формуле (7) вычисляем диаметр второго шкива Da=£>iu(l- £)= 100-2(1- — 0,01) = 198 мм. 4. Определяем наибольшую скорость ремня я£>,л, 3,14-1003000 60-1000 60-1000 = 15,7 м/с. Это значение скорости допустимо для передачи такого типа. 5. Находим длину ремня по формуле L*nDcp + a £2+(-j)2]' Di + Рг . . D3 — D, где ДСр = А = L = 3,14-,49 + 600[2+(^)2] = = 1668 мм. Полученное значение длины ремня округляем до стандартного L = = 1600 мм. 6. Вычисляем окончательное межосевое расстояние L — яРер 4 а -. -+ + 4-УСГ 4 к v- — яОср)2 1600 — 3,14-149 -8Д2 X X "1/(1600 — 3,14-149)2 — 8-492 = = 564 мм. 7. Определяем угол обхвата на малом шкиве а= 180 — — Ы= 180 — 2-49-57 567 « 170° > 120° 8. По табл. 2 при D, = 100 мм и v = 15,7 м/с находим мощность, передаваемую одним ремнем, W„ = = 1,9 кВт и вычисляем потребное число ремней (/Сд = 1,1 по табл. 3, Ка « ss 0,98, /Сг « 1, /Cl = 0,99): WKA 3-1,1 , Г„/С 1,9-0,89 ~ * Принимаем два ремия. При необходимости можно оценить долговечность ремня, приняв начальное напряжение = 1,2 МПа. натяжения а„ = Глава 14 ЦЕПНЫЕ ПЕРЕДАЧИ Цепная передача, как правило, состоит из ведущей 1 и ведомой 2 звездочек, связанных между собой приводной цепью * (рис. 1). Применяют также * В машиностроении наряду с приведенными применяют грузовые и тяговые цепи. передачи с несколькими ведомыми звездочками. К основным преимуществам передач относят широкий диапазон межосевых расстояний (Дтах = 5 м); высокий КПД и отсутствие скольжения (в отличие от ременных передач); возможность передачи движения нескольким ведо-
Конструкции цепей и материалы 245 Рис. 1. Схема цепной передачи мым звездочкам; меньшая, чем в ременной передаче, нагрузка на валы. Недостатки передачи: вытягивание цепей (увеличение шага цепей вследствие изнашивания шарниров) и, как следствие, необходимость применения натяжных устройств; необходимость тщательного монтажа (высокая точность установки валов н т. п.) и ухода (смазывание, регулировка); неравномерность хода передачи, шум. КОНСТРУКЦИИ ЦЕПЕЙ И МАТЕРИАЛЫ В качестве приводных применяют роликовые, втулочные и зубчатые цепи. Роликовая цепь (рис. 2) состоит из последовательно чередующихся внутренних / и внешних 2 звеньев, которые шарнирно соединены между собой. Каждое звено выполнено из двух пластин, напрессованных на втулки (внутреннее звено) или оси — валики (наружное звено). Для уменьшения изнашивания'" зубьев звездочек перед сборкой звена на втулку надевают ролик 3, свободно вращающийся на ней. Концы цепи соединяют с помощью соединительного звена со шплинтами (рис. 3, а) или штифтами, если цепь имеет четное число шагов. Цепь с нечетным числом шагов соединяется через переходное звено (рис. 3, б). Переходное звено слабее обычного, поэтому стремятся использовать цепн с четным числом шагов. Основным параметром цепей является шаг t — расстояние между осями Двух смежных роликов наружного или внутреннего звена. В зависимости от отношения шага Цепи t к диаметру ролика dy (см. Рис. 2. Роликовая цепь Рис. 3. Соединительные и переходные звенья цепи рис. 2) различают цепи легкой (ПРЛ) и нормальной (ПР) серии (при tldx < 2) и длиннозвенные (ПРД) цепи (при //d,> 2). Приводные роликовые однорядные цепи нормальной серии согласно ГОСТ 13566—75 изготовляют с шагом 8—63,5 мм; разрушающая нагрузка * равна 4600—353 800 Н. Эти цепи широко применяют в различных машинах и механизмах. Приводные роликовые длиннозвенные цепи (ГОСТ 13568—75) изготовляют с шагом 31,75—76,2 мм; разрушающая нагрузка равна 22700— 100 000 Н. Они отличаются от нормальных цепей меньшей массой и проч- * Разрушающая нагрузка служит характеристикой прочности цепи и устанавливается заводом-изготовителем экспериментально.
246 Цепные передачи Рис. 4. Зубчатая цепь ностью, их применяют в основном в сельскохозяйственных машинах. При больших нагрузках и скоростях в передачах применяют многорядные роликовые цепи (двухрядные 2ПР, трехрядные ЗПР и четырехрядные 4ПР). Основные размеры и разрушающие нагрузки (пропорциональные числу рядов) для этих цепей регламентированы ГОСТ 13568—75. Многорядные цепи выбирают из тех же элементов, что и однорядные, однако их валики имеют увеличенную длину. В экскаваторах, кранах и других машинах, эксплуатируемых при тяжелых режимах работы, применяют роликовые цепи с изогнутыми пластинами (ПРИ), подобными переходным звеньям обычных цепей. Благодаря высокой осевой податливости звеньев такие цепи лучше работают при ударных нагрузках, частых реверсивах и т. п. Согласно ГОСТ 13568—75 эти цепи изготовляют с шагом 78,1—140 мм, разрушающая нагрузка равна 360 000—1 200 000 Н. В машиностроении наряду с роликовыми цепями применяют так называемые втулочные цепи. Выпускаются втулочные однорядные цепи (ПВ) с шагом 9,525 мм и разрушающей нагрузкой 12 000 Н и двухрядные (2ПВ) с шагом 9,525 мм и разрушающей нагрузкой 18 000 Н. Зубчатые цепи (рис. 4) обеспечивают плавную работу с меньшим шумом, чем роликовые. Они имеют большую допускаемую скорость и повышенную прочность. Цепь собирают из рабочих и направляющих пластин, соединяемых между собой сегментными призмами. В рабочей пластине 1 зубообразной формы имеются два фасонных отверстия для призм. Направляющая пластина 2 предохраняет цепь от смещения вдоль оси звездочек во время работы. Рабочими поверхностями зубьев цепи являются боковые наружные стороны зубчатых выступов пластин, очерченные плоскостями. Этими плоскостями каждое звено садится на два зуба звездочки, имеющих трапециевидную форму. Основные размеры цепей приведены в табл. 1 и 2. Пластины роликовых и зубчатых цепей изготовляют из средне углеродистых и легированных сталей 45, 50, 40Х, 40ХН, ЗОХНЗА и затем закаливают до 40—50 HRC. Оси, втулки и призмы изготовляют из сталей 15, 15Х, 20, 20Х, 12ХНЗА, 20ХНЗА, 20ХН4А, ЗОХНЗА, цементуют и под-
Силы в передаче 247 1, Приводные роликовые цепи по ГОСТ 13568 — 75 (размеры в мм, см, рис. 2) Обозначение цепн ПР-8-460 ПР-9.525-910 ПР-12,7-900-1 ПР-12,7-900-2 ПР-12.7-1820-1 ПР-12,7-1820-2 ПР-15,875-2270-1 ПР-15,875-2270-2 ПР-19,05-3181 ПР-25,4-5670 ПР-38,1-12700 ПР-44,45-17240 ПР-50,8-22Я80 ПР-63,5-35380 t 8,00 9,525 12,7 12.7 12.7 12,7 15,875 15,875 19.05 25.4 38,1 44,45 50,8 63,5 ВВИ' не более 3.00 5,72 2,40 3.30 5.4 7.75 6,48 9.65 12,70 15,88 25,4 25,4 31,75 38,10 d 2,31 3,28 3,66 3,66 4,45 4.45 5,08 5,08 5,96 7,95 11.1 12,70 14.29 19,84 d, 5,00 6,35 7,75 7,75 8,51 8,51 10,16 10,16 11,91 15,88 22,23 25,70 28,58 39,68 h, ие более 7.5 8,5 10 10 11.8 П.8 14.8 14.8 18,2 24,2 36,2 42,4 48,3 60,4 F г ОП' мм* 11 28 18 21 40 50 55 71 105 180 395 475 645 1000 Разрушающая нагрузка «mm- H 4 600 9 100 9 000 9 000 18 200 18 200 22 700 22 700 31 800 56 700 127 000 172 400 226 800 353 800 Масса 1 м цепн, кг 0,20 0,45 0,30 0,35 0,65 0,75 0,80 1,00 1,9 2,6 5,5 7,5 9,7 16,0 2. Приводные зубчатые цепи с шарнирами качения по ГОСТ 13552 — 81 (размеры в мм, см. рис, 4) t 12,7 15.875 19,05 25,4 31.75 » 22.5 — 52.5 •• 30 — 70 ,3 45 — 93 " 57—1 1 1 •» 75—129 *! h 13,4 16,7 20.1 26,7 33.4 Л| 7 8.7 10.5 13.35 16.7 S 1.5 2 3 3 3 и 4.76 5,95 7,14 9.52 11,91 ЧШ1П 10 000 12 50U 15 000 20 000 25 000 *1 На 1 см ширины. " Через 6 мм. *' Через 8 мм. •* Через 12 мм. ** Через 18 мм. При вспомогательном ходе передачи натяжение в ветвях цепи вызвано ее провисанием от силы тяжести. Если ветвь расположена горизонтально и длина ее приблизительно равна межосевому расстоянию, то иатяжеиие от силы тяжести (в Н) So = -ff" * = &ag' где q — масса 1 м цепи; g — ускорение свободного падения; а — расстояние между осями звездочек; / — стрела провисания; £ = -^т — коэффициент. °/ Наличие провисания обеспечивает более плавную работу передачи, меньшее изнашивание в шарнирах цепи. Минимальное значение стрелы прови- вергают закалке до 50—65 HRC. Износостойкость цепей можно повысить диффузионным хромированием деталей шарниров. Технические требования, контроль и испытания роликовых и втулочных Цепей регламентированы ГОСТ 13568—75. СИЛЫ В ПЕРЕДАЧЕ Окружная сила в передаче передается за счет давления зубьев ведущей звездочки на звенья цепи и давления звеньев ведущей ветви на зубья ведомой звездочки. Усилия между зубьями Эвездочек, как и усилия в ветвях, Распределяются неравномерно в пределах угла обхвата.
248 Цепные передачи Рис. 5, Осциллограмма нагрузки в передаче сання ведомой ветви в начале работы новой цйпи в горизонтальной передаче принимают fmln — 0,02а. В этом случае £ — 0,25. Если угол наклона ветви к горизонту составляет 40°, то \ « 3. Для вертикальной передачи Б = 1- В процессе работы передачи под нагрузкой ведущая ветвь растягивается силой ^ .-= F + S„ + Рп + Яд, где Р — полезная сила в передаче; W Р = 101 — (здесь W — мощность, кВт; &ц — скорость цепи, м/с); S0 — натяжение в ведомой ветви от силы тяжести; Рц — натяжение цепи от действия центробежных сил, Рп =. = qv*t; P — динамическая нагрузка в передаче от неравномерности хода цепи [1]. В расчетах цепных передач влияние Рд на работоспособность учитывают с помощью специальных коэффициентов [1]. Ведомая ветвь под нагрузкой растягивается силой ^1 " «I Т Гц, На рис. 5 показана типичная осциллограмма нагрузки па звено цепи за полный оборот вокруг звездочек (участок /—2 соответствует прохождению звеном ведомой ветви; 2—3 — ведомой звездочки; 3—4— ведущей ветви; 4—/ — ведущей звездочки). При средних скоростях движения цепи (уц < 15 м/с) нагрузка на валы цепей передачи Q — kp. где k — коэффициент для горизонтальной и вертикальной передач, соответственно равный 1,15 и 1,05. ВЫБОР ОСНОВНЫХ ПАРАМЕТРОВ ПЕРЕДАЧИ Передаточное число передачи (см. рис. 1) — Л±- — JL Яа zi где rix и Zx — частота вращения и число зубьев ведущей звездочки; п2 и гг — то же Для ведоуой звездочки. Для понижающих передач в машинах общего назначения и < 7 (umax = 7). В тихоходных передачах (иц < 2 м/с) при отсутствии толчков и ударов допускается ит„ = 10. Числа зубьев звездочек гг и г2 выбирают из условия обеспечения минимальных размеров передаем и более плавного хода цепи. Для получения наименьших размеров передачи гх должно быть минимальным. Одчако с уменьшением ?-i увеличиваются неравномерность хода цепи, динамические нагрузки, шум в передаче и снижается долговечность. На основании экспериментальных исследований и опыта эксплуатации передач во многих странах принято zIm!n = 19 при vn > 2 м/с. В тихоходных передачах (vn < 2 м/с) допускается zx mIn =- 13-И5. В передачах, работающих с ударными нагрузками, гг mln = 23. Для обеспечения плавности работы, высокой долговечности, ограничения шума в передачах со средними и высокими скоростями рекомендуется принимать Z! mln = 29 — 2u > 19. Излишне большие значения г, вызывают повышенное изнашивание шарниров и увеличение шага цепи (вытяжку цепи). Для роликовых цепей (кроме ПРИ) 200 К zi max где К = 2 г 6/ ' коэффициент высоты зуба (здесь h — хордальная высота зуба звездочки, ГОСТ 591—69), обычно К = 0,3-^0,5; 6^— допускаемое относительное увеличение шага цепи, % •
Выбор основных параметров передачи 249 3. Наибольшие ре»омендуемые п и предельные п частоты кращешш, мин-1, малой звездочки ролиьовых и зубчать.* передач Шаг МЬй 8 9,525 12,7 15,875 19,05 25,4 Роликовые ПР, ПРЛ, ПРД "нр 3000 2500 1250 1000 9J0 800 "пр 6000 5000 3100 2300 1800 1200 Зуб "нр _ — 3300 2650 2200 1650 чатые "пр . — 4000 3300 2700 200U Шаг цепи, ь;*1 31,75 38,1 44,45 50,8 63,5 78,1 Роликовые ПР, ПРЛ, ПРД "нр 630 500 400 300 200 160 "пр юио 900 600 450 300 210 Зубчатые "нр 1320 — — — — "г.р 1500 — _ — — — П р и и е ч а н и я- 1. При частоте вращения п г1 > \1 > 20 ' 2 При работе передачи с частотой вращения пПр необходами повышенная точность изготовления звездочек н монтама передачи, обильная смазка Цепа ПР применять нецелесообразно Для более равномерного изнашивания цепи рекомендуется применять малые звездочки с нечетным числом зубьев ii большие звездочки с четным. Шаг цепи является основным параметром, от которого зависит несущая способность передачи. С увеличением шага цепи уменьшается быстроходность и несущая способность передачи. Обычно а а 80 ^ ^ 25 В табл. 3 приведены рекомендуемые лнр и предельные ппр частоты вращения малой звездочки в зависимости от шага цепи. Расстояние между осями звездочек а (см. рис. 1) существенно влияет на работоспособность цепи. При малом значении а цепь быстро нанашивается; при большом значении ведомая ветвь сильно провисает, что приводит к ее колебаниям. Нормальная работа передачи обеспечивается при а — (25-ь 80)Л Обычно принимают а — (30-=- 50)Л Минимальное значение а, мм, определяется углом обхвата цепи (Фпап > 120°): ПрИ U : при ц>3 а D. + Da 5 ОвЦП — ■ + (30-50); £>i + D* + 9-г-ц 10 Потребное число звеньев цепи определяют по предварительно выбранным значениям a, t, zt и гл: ю«г 2 + а t г2 + — h Zi + 2 У га t + 2л (1) В разенстве (1) два первых слагаемых равны потребному числу звеньев при гх = г2, третье слагаемое учитывает наклон ветви при гг ф z2. Полученное значение округляют до ближайшего целого числа. При этом рекомендуется принимать w равным четному числу, так как при нечетном числе звеньев приходится использовать соединительные звенья. Окончательное расстояние мезкду осями звездочек получим из уравнения (!)■• Zl + Zg а~±-[«, + (-Ч--У- Для обеспечения нормального провисания ведомой ветви цепи межосевое расстояние уменьшают на (0,2—0,4)% .
250 Цепные передачи НЕСУЩАЯ СПОСОБНОСТЬ ПЕРЕДАЧИ Тяговая способность цепи. Цепные передачи часто испытывают в процессе работы (кратковременно или длительно) значительные статические нагрузки. Для предотвращения чрезмерной вытяжки цепи или ее обрыва полезная окружная сила должна быть р _ Wnun * max — ; t где Рццп — минимальная разрушающая нагрузка (см. табл. 1, 2); к— коэффициент запаса, обычно к = Зч-5. Полезная окружная сила в момент пуска машины 2ЖКП rmax — j > при движении цепи со скоростью Оц, м/с, W "max = M ~ > где Л}„п — крутящий момент пусковой; йя — диаметр делительной окружности ведущей звездочки; W — передаваемая мощность, кВт. Износостойкость. Основной причиной выхода из строя закрытых и полузакрытых цепных передач общего машиностроения является изнашивание шарниров звеньев цепи, приводящее к увеличению шага цепи (вытяжке цепи), неправильному зацеплению со звездочками и, как следствие, к сползанию цепи со звездочек. Шарнирные соединения работают в условиях граничного трения даже при непрерывном смазывании. Степень износа передач принято оценивать по относительному увеличению шага цепи б/ = —, %. Норма предельного износа и связанная с ней продолжительность работы передачи зависят от профиля и числа зубьев большей звездочки, а также требований, предъявляемых к машине по точности перемещений, неравномерности вращения и уровню вибраций и шума. В приводах полиграфических машин допускается предельная вытяжка ие свыше (0,5—0,6)% . Предельная вытяжка цепей в машинах общего машиностроения, имеющих, как правило, га = = 40-f-45, ограничена 2—2,5%. С увеличением нормы износа до 3% часто ослабляются прессовые соединения и снижается прочность изношенных элементов. При невысоком качестве изготовления прессовых соединений возможно проворачивание осей и втулок в пластинах. В основу расчета работоспособности изнашиваемой цепи положено предположение, что цепь обладает достаточной износостойкостью, если давление р в шарнире ие превышает допускаемого значения [р]в: Ри: РКЭ ■<[/»].. (2) где Р — полезная окружная нагрузка, передаваемая цепью; Кэ = кякакн X X ^рег^ом^реш— коэффициент эксплуатации (здесь кя, ..., k реш" частные коэффициенты, учитывающие условия работы передачи и ее конструкцию, см. табл. 4); F0TS— проекция опорной поверхности шарнира (см. табл. 1), Р0П = = Bd j» 0,28?a; d — диаметр оси; В — ширина внутреннего звена для втулочных и роликовых цепей (см. рис. 2), В = (1.4-5-1,75) Вт. Если передача работает при нестационарных нагрузках, то в формулу (2) вместо Р следует подставлять значение эквивалентной нагрузки ЯЭкв- Из соотношения (2) можно определить предельную полезную нагрузку, Н, передаваемую цепью, и предельную мощность, Вт, W = [P]g FonKmOn. Кэ (3) (4) где иц = гуп^1 — ггп^г — расчетная скорость движения цепи, м/с; [р]и — допускаемое давление (табл. 5); Кт — коэффициент, учитывающий число рядов цепи т: 2 1.7 з 2,5
Несущая способность передачи 251 4. Значения частных коэффициентов Наименование коэффициента Коэффициент динамичности нагрузки Коэффициент влияния длины цепи (на изнашивание) Коэффициент расположения передачи Коэффициент монтажа передачи Коэффициент смазывания Коэффициент режима работы Обозначение *д *а *н *рег *см креж Условия работы передачи Спокойная нагрузка Нагрузка с толчками Сильные удары а = (604-80) / а = (304-50) / а < 25/ Наклон линии центров звездочек к горизонтали. <70° >70° Передвигающиеся опоры Наличие нажимного ролика или оттяжных звездочек (не более двух) Нерегулируемое натяжение Непрерывное смазывание в масляной ванне /£>ц = 24- 9 м/с) н цир- куляционно-струйное смазывание (£>ц > 6 м/с) Регулярное капельное или внутри- шарнирное смазывание Периодическое смазывание Односменная Двухсменная Трехсменная Значения коэффициента 1 1,2—1,5 1,8 0,9 1 1,25 I 1,25 I 1,15 1.25 0,8 1 1,5 1 1,25 1.4 5 С учетом соотношения (4) определим шаг, мм, роликовой цепи при Fon= = 0,2&72: = 60 \f- WKa IPhWlKn (5) где П] и г1 — соответственно частота 'вращения и число зубьев ведущей звездочки. Следует принимать цепь с наименьшим шагом, допустимым для заданной нагрузки. Допускаемые давления, установленные на основе многолетнего опыта эксплуатации передач, гарантируют срок службы цепей ~ 15 000 ч при норме предельного износа б/ = = 3°/6, если передача эксплуатируется в нормальных условиях (АГЭ = 1). При расчете зубчатых цепей с шарнирами качения по заданной полезной Нагрузке Р или мощности W, а также по шагу и скорости определяют ширину цепи (для чц< 10 м/с) В = 2ЬР Vva Ka 2bOWK3 (6) 10 м/с, то расчетную силу или мощность в формуле (6) следует умножить на коэффициент, равный , , 0,1<ГОц . 1 -+- —jjt"' где f — масса 1 м цепи. При расчете передач принимают АГэ = = Ад, так как информация о значениях других частных коэффициентов, входящих в формулу для определения Кэ< пока не накоплена. Сопротивление усталости. Высокона- груженные и обильно смазываемые передачи, работающие при низких и средних скоростях (&ц< 15 м/с) и переменных нагрузках, часто выходят
5. Допускаемое давление в шарнирах в зависимости от частоты вращения малой звездочки <50 200 [р ] , МПа, при частоте вращения, мни-1 400 600 800 1000 1200 1600 2000 2400 2800 3200 12.7-15,875 19.05 — 25,4 30 — 38,1 40 — 50 8 35 35 35 35 Роликовые цепи при 2i = 15 т- 30 31 5 30 29 26 28.5 26 24 21 26 23,5 21 17.5 24 21 18,5 15 22 5 19 16,5 — 21 17,5 15 — 18 5 15 — — 16 5 15 14 Зубчатые цепи 12,7 -15.875 19,05 — 25 4 31,75 20 20 20 18 17 16 5 16,5 15 14 15 13 12 14 12 10 5 13 1 1 9 5 12 10 7 10 5 8 5 9.5 7.5 8 5 —■ 8 — 7 — — Ь. Предельная частота вращения, мин"1, н давление, МПа, при расчете на усталость Число зубьев звездочки 15 _>0 25 30 35 40 45 Шаг цепи, t. мм 9,525 "пр 2500 2580 2640 2720 2800 2880 2950 ы; 21,3 21,8 22,1 22 3 22,5 22,7 22,9 12, "пр 1850 1930 2010 2090 2170 2240 2300 7 [Р]у 21,8 22,2 22,5 22,7 22.9 23 1 23,3 15 87 5 "пр 1500 1550 1600 1650 1700 1750 1800 [Р]у 22 22 5 22 7 22 9 23 1 23 3 23 5 19,05 "пр 1300 1350 1400 1450 1500 1550 1600 [Р]у 22 3 22,9 23,1 23,3 23,5 23,7 23,9 25,4 "пр 950 1000 1050 1100 1125 1150 1175 [Ply 22,5 23 3 >3 6 23 8 24 24 2 24 4 31. "пр 800 840 870 900 920 940 950 75 [Ply 22,4 22,9 23,4 23,6 23,8 24 24,2 38 "пр 680 710 730 760 780 800 810 1 [Р]у 22 22,5 22,7 23 23,3 23,6 23.8 44, ппр 570 590 610 630 650 670 690 75 [Ply 22,1 22 5 22 7 22,9 23 1 23 3 23 5 50,8 "пр 530 550 570 590 610 630 650 [Р]у 21 7 22 22,3 22 7 23 23 2 25 3 Примечание Срок службы цепи 15 1 0Э ч Данные таблицы получены при условии, что внутренняя пластина и ролики облэ дают одинаковым сопротивлением усталости
Несущая способность передачи 253 из строя вследствие усталостного разрушения пластин по проушинам, что объясняется высоким коэффициентом концентрации напряжений в этой области и фреттинг-коррозией в прессовых соединениях валиков с пластинами. При высоких скоростях цепи (уц > >■ 15 м/с) существенно возрастают ударные нагрузки при входе в зацепление звена с зубом звездочки. В результате даже при небольших нагрузках наблюдаются разрушения звеньев от раскалывания роликов, ослабления прессовых соединений валиков и пластин. Элементы цепи рассчитывают на усталость по общепринятой методике. Залас прочности по переменным напряжениям определяют из соотношения 8аРо где ст_! — предел выносливости материала при симметричном цикле; еа — коэффициент, учитывающий влияние масштабного эффекта для цепей е0 = 1; Ра — коэффициент, характеризующий состояние поверхности, для пластин с иеупрочиенными отверстиями $а = 1, для пластин с упрочненными дорнова- нием отверстиями р*а = 1,2-;-1,4; Ц>а — коэффициент, характеризующий чувствительность материала к асимметрии цикла. В цепных передачах обычно натяжение цепи невелико, от = 0,5аа, а "Фо = 0,1-г-0,12. В связи с этим запас прочности можно определить, не учитывая влияния среднего напряжения, по формуле vaKa Эффективный коэффициент концентрации напряжений *а= 1 +<7(а<т — 1), где q — коэффициент, характеризующий чувствительность материала к концентрации напряжений, принимают Я = 0,4-^0,6; аа — теоретический коэффициент концентрации напряжений. Для пластин с отверстием при dlh = = 0,3-ь0,5 (см. рис. 2) аа = 2,15-^2,35 (Рис. 6). С учетом посадки пластин на Рис. в. Схема распределения напряжения в пластине втулки и валики, а также изгиба пластин принимают аа = 2,8-^3. Амплитуда переменных напряжений в сеченин пластины по проушинам (см. рнс. 6) „ "max /о\ ga= 4S(h-d)' (8) где Ятах — максимальная полезная окружная нагрузка; S — толщина пластины; h — ширина пластины; d — диаметр втулки или валика (см. табл. 1 и рис. 2). Запас прочности па > 3. В ряде стран сопротивление усталости цепей оценивают по допускаемому (в условиях переменных нагрузок) давлению в шарнире — критерию подобия, отражающему опыт эксплуатации цепных передач. С учетом соотношения (8) давление в шарнире Ру = 4S (h — d) 'ОП < <lp][ Принимая во внимание равенство (7), получим W; = J^«^L. (9, у kana /-on Сопротивление усталости роликов зависит от контактных давлений между роликами и зубьями звездочек, распределения нагрузки между зубьями звездочки и других факторов. Для обеспечения сопротивления усталости значения допускаемых давлений уточняют с учетом этих факторов. В табл. 6
254 Цепные передачи приведены значения [р]', используемые в расчетах Для обеспечения прочности динамически нагруженных передач необходимо, чтобы где АГц — коэффициент качества цепи, для цепей ПРЛ Кц= 1, для цепей ПР Кц = 0,85. При нестационарных нагрузках в выражение (10) вместо Ртах следует подставлять P3VB. Для повышения сопротивления усталости пластин отверстия упрочняют дорнованием, путем обжатия в специальных матрицах и т. п. ОСОБЕННОСТИ ПРОЕКТИРОВАНИЯ И ЭКСПЛУАТАЦИИ ПЕРЕДАЧ Звездочки к приводным роликовым и втулочным цепям рекомендуется изготовлять в соответствии с ГОСТ 591—69 Звездочки тихоходных передач (vY ^ < 2 м'с) можно изготовить из чугуна СЧ 20 с закалкой. В сельскохозяйственном машиностроении используют антифрикционный и высокопрочный чугун с закалкой В общем машиностроении звездочки или венцы изготовляют из углеродистых и легированных сталей 45, 40Х, 40ХН, 35ХГСА с последующей общей или поверхностной закалкой до 45— 55 HRC, а также из низкоуглеродистых сталей 15, 20Х, 12ХНЗА с последующей цементацией на 1 —1,5 мм и закалкой до 55—60 HRC. Венцы малонагру- женных передач иногда изготовляют из полиамидов Расположение передач в вертикальной плоскости может быть произвольным Наиболее целесообразным является горизонтальное или наклоненное (под углом 40—45°) расположение линии, соединяющей оси звездочек. Если вертикальное расположение передачи вызвано конструктивными соображениями, то следует обеспечить небольшое взаимное смещение звездочек в горизонтальном направлении для обеспечения некоторого самонатяжеиия цепи. Ведущей может быть верхняя или нижняя ветвь. Верхняя ветвь должна быть ведущей в горизонтальных передачах с большим межосевым расстоянием (а > 60/) и малыми числами зубьев звездочек во избежание соприкосновения ветвей, а также в передачах с а < 30/ при и < 2 н в вертикальных передачах для предотвращения захвата провисающей верхней ветвью дополнительных зубьев звездочки Регулирование натяжения цепей является эффективным средством повышения долговечности передачи. Предварительное натяжение устанавливают по стреле провисания f (f « 0,02а для горизонтальных и наклонных передач, /= (0,01^-0,015)а для передач, близких к вертикальным). Для устранения вредного влияния вытяжки цепей и сохранения предварительного натяжения и провисания в процессе эксплуатации необходимо периодически регулировать натяжение. С этой целью предусматривают либо возможность перемещения опор, либо использование натяжных роликов или звездочек. Натяжные ролики и звездочки рекомендуется устанавливать на ведомой ветви в месте их наибольшего провисания. Для уменьшения вибраций используют ролики оттяжные, которые устанавливают на ведущей ветви с внутренней стороны. При монтаже передачи необходимо обеспечить параллельность валов, установку и надежное закрепление звездочек в одной плоскости без перекосов (с помощью линейки н уровней) Максимальное отклонение (в мм) звездочек от плоскости принимают равным (0,04—0,08) ~\/а, а предельный угол смещения (в градусах) примерно равен (2,3—4,6) —=-т= (а — межосевое расстояние, У а мм). После монтажа цепи проверяют правильность хода передачи. Смазывание можег быть периодическим (с помощью ручной масленки или капельным способом), а также непрерывным (окунанием в масляную ванну, циркуляционной струей от насоса и т. п.). Периодическое смазывание обеспечивает нормальную работу тихоходных передач (скорость цепи иц < 2 м/с). При капельном смазывании и тех же
Порядок расчета передачи 255 условиях допускается скорость цепи Оц < 6 м/с. Масляная ванна обеспечивает хорошую работу передачи при Од = 6-н8 м/с. При скорости сц> > 8 м/с передачи должны работать в условиях циркуляционного смазывания, которое снижает интенсивность развития фреттинг-коррозии и обеспечивает эффективное охлаждение цепи. ПОРЯДОК РАСЧЕТА ПЕРЕДАЧИ Пример. Рассчитать горизонтальную цепную передачу при W = = 10 кВт, пх = 760 мин-1, п3 =-- = 365 мин-1, bt = 3% ; нагрузка спокойная, 1. Выбираем числа зубьев звездочек: „ = -?L= ™= 2,08; га2 365 гх = 29 — 2и = 29 — 2-2,08 « 25; г2= иг1= 25-2,08 = 52. 2. По табл. 5 принимаем ориентировочно [р]И « 21 МПа. Для однорядной цепи Кт = 1- По табл.4 принимаем Ад = 1, fea = 1, Ан = 1, 6рег = 1,25, [М = 1, 6ре>к= 1. При этих условиях э = 1,25. Затем определяем шаг цепи < = 60 V , , , \ „ -У 10-Ю3-1,25 = 60 У 21.25-760-1 ~19J MM- 3. По табл. 1 выбираем цепь ПР-19,05-3180; / = 19,05 мм; Fon = = 105 мм2; Qmia = 31800 МПа; ц = = 1,9 кг. Для этой цепи по табл. 5 находим 1р]и=.22МПа. Так как предварительно принятое значение [р ]и меньше допускаемого, то выбранная цепь будет Удовлетворять условию износостойкости (5). 4. Определяем скорость цепи »тт = 60-Ю3 25-760-19,05 60-Ю3 = 6 м/с. При этой скорости передача должна работать в условиях циркуляционного смазывания. 5. Определяем полную нагрузку Ртах — 1667 Н. Проверяем статическую грузоподъемность цепи. По табл. 1 находим Стш = = 31 800 Н. Следовательно, Ртах< _, Qmia ^ k " 6. Определяем амплитуду переменных напряжений 4S (h — d) 1667 4 2,2(18,2 — 5,96) 16 МПа. 7. Находим запас прочности по переменным напряжениям при ka = 2,8 и а_! = 200 МПа: 200 ouka 16-2,8 4,5 >3. 8. Определяем давление в шарнире при Кп = 1 и/(„=1: хКа 1667-1,25 Ру~УопКцКт 105-1-Г = 19,8 МПа. Полученное значение ру< 1р]у = = 23,1 МПа (см. табл. 6). Работоспособность цепи обеспечена. 9. Предварительно определяем межосевое расстояние a = 50/ = 50 X X 19,05 = 952,5 мм. 10. Находим потребное число звеньев •*-№-)'т-»•'»-•- I 52—25 у J { 2л / 50 ~~ 25+25 2л = 138,87. Это значение округляем до ближайшего четного числа и принимаем w = 138.
256 Расчет деталей поршневых двигателей 11. Определяем окончательное расстояние между звездочками 2l + 22 :-т0 + + V(-H^r (W] 19,05 138 — 38,5 + / (138 —38,5)а-8 = 952 мм 42-3,14/ 12. Рассчитываем стрелу предварительного провисания ветви: f — 0,02; а = 0,02-952 » 19 мм. Глава 15 РАСЧЕТ ДЕТАЛЕЙ ПОРШНЕВЫХ ДВИГАТЕЛЕЙ РАСЧЕТ КОЛЕНЧАТЫХ ВАЛОВ Коленчатые валы разрушаются от усталости в местах наибольшей концентрации напряжений, обычно у выхода отверстия для смазочного материала на коренных и шатунных шейках вала и у галтелей в сопряжениях шеек со щеками. Нагрузки. Основными нагрузками являются усилия от давления газа в цилиндре двигателя, передающиеся через поршень и шатун на вал, нагрузки от инерционных сил движущихся деталей кривошипно-шатунного механизма и вибрационные нагрузки, возникающие прн колебаниях вала. Давление газа в цилиндре рГ для различных углов поворота коленчатого вала а задается индикаторной диаграммой. Сила давления газа на поршень Pt = {Pv — Po)Fn, (1) где рв — давление в картере двигателя; Fn — площадь поршня. Эта сила передается через шатун на шатунную шейку коленчатого вала. Из условия равновесия шатуна следует (рис. 1): N? = Рг tg p; *г = ГГ = РГ Zr —- Рр cosP ' sin (a -j- Р) cos Р cos («-f- ft) cosp (2) (3) (4) (5) В Рис. 1. Схема сил, действующих на криво- шипно-шатунный механизм опорах вала возникает реакция /Ср, которую также можно разложить иа р;, ы-г или г;, z;. Крутящий момент от окружного усилия Тг sin (а + ft) Мк = TrR = PrR cosP (6)
Расчет коленчатых валов 257 Такой же момент, ио с обратным знаком, который создают силы NT и N'r, передается на подмоторную раму двигателя, В движущихся деталях кривошипно- шатуиного механизма возникают силы и моменты сил инерции Р> = dv dt M, = —J du> (7) где m, J — масса и момент инерции детали; —^ линейное ускорение dt d<ii центра тяжести; —г. угловое ускорение. Массу шатуна тш, совершающего сложное движение, при расчетах условно заменяют двумя эквивалентными массами, расположенными иа осях головок шатуна (рис. 2): "•шв : ^н . тит — tflui (8) Для автотракторных двигателей LjL — 0,2-^0,3; для стационарных двигателей L„lL = 0,3-^0,4. Это позволяет считать, что к верхней головке шатуна приложена сила инер- , ции Р] = - («шв + «п) -$- . (9) t где та, оп — соответственно масса и скорость движения поршня. Ускорение поршня , п « Rtf ( cos а И—j- cos 2а ] . (10) " Сила Р) вызывает в деталях криво- шипно-шатунного механизма усилия N j, Kj, Tj, Zj и момент Mj, которые определяют по формулам (2)—(6), если заменить в них Рг на Pj. На шатунную шейку действует центробежная сила инерции Рш = (тшн -f %ш) Яш". (И) где тшш — масса шатунной шейки. Центробежную силу щек Ящ = /ЛшЯщШ11 (12) Рис. 2. К определению эквивалентных масс шатуиа для простоты считают приложенной на радиусе шатунной шейки. Противовесы также вызывают центробежную силу инерции Япр, плоскость действия которой может не совпадать с плоскостью колена. Вибрационные нагрузки, связанные с колебаниями вала, определяют экспериментально; они не входят в проектный расчет. Просуммировав для каждого значения угла поворота коленчатого вала а нагрузки от газовых и инерционных сил. например Z = Zr-\- Zj — Рщ, N = Nr+ Nj, T = Гг + Tj и т. д., строят графики изменения сил за полный цикл двигателя. При расчете коленчатые валы считают для простоты разрезными, т. е. каждое колено рассматривают как отдельную двухопорную балку, на которую со стороны соседних колен передаются только крутящие моменты, причем a*k<o = aW-i) + 7V?: мк(1) = °- (13) Расчетная схема колена и действующие нагрузки показаны на рис. 3, а типичные эпюры изгибающих и крутящих моментов — на рис. 4—6. Номинальные напряжения. В коренных шейках изгибающими напряжениями обычно пренебрегают и вычисляют только напряжения кручения. В шатунных шейках определяют напряжения кручения и напряжения 9 За
258 Расчет деталей поршневых двигателей ^ 6 ■* *■ Я ^ 'г z)r? р р 1*1 Рис. \. Расчетная схема коленчатого вала Напряжение изгиба в перпендикулярной плоскости (15) а" ■■ иш 2WB _z . Номинальное иапрйжеиие у отвер- al -j+Pnp-Рщ сТИЯ анш = аишсо^ + °;ш81П7, ('6) где v ~ угол между плоскостью колена Рнс. 4. Эпюра изгибающих моментов в пло- и плоскостью П, проходящий через скости колена масляное отверстие (рис 3). В щеках наиболее опасными ивлиют- изгиба. Напряжения изгиба в плоское- ся точки перехода щек в шейки вала ти колена (точки / и 2 иа рис. 3 и 7). В этих местах действуют напряжения изгиба „' _ 0.5Za+(J>np-/>„)» ииш П7 ' I ' где а, Ь — см. рнс. 3; Wata — момент сопротивления изгибу сечения шейки. -"ИЩ 1, 2 (0.5Z + Pup - Рщ) Ъ W ИЩ I 2 (17) 'Vr'V^ M4 + 7R Рис. S, Эпюра изгибающих моментов в плоскостях, перпендикулярных к плоскости колена
Расчет коленчатых валов 259 Рис. 6. Эпюра крутящих моментов (плюс относится к точке 2, минус — к точке /) и напряжения растяжения (сжатия) 0.5Z — Рш °рт=--~; S-. (18) гщ Здесь W„m 1 — момент сопротивления изгибу сечения щеки в точке <; Fm— площадь ее сечения. Разрушение щек реже начинается с угловых точек, где складываются напряжения орщ-)-стищ ь 2, определяемые по формулам (17) и (18), и напряжения О ~ ) ^М' + О ,,QV °ИЩ 3, 4 ~ ± -jw . (1У) w ИЩ 3, 4 где плюс относится к точке 4, минус — к точке 3. Распределение нормальных напряжений в поперечном сечении щеки показано на рис. 7. Напряжение кручения в щеке обычно будет незначительным. Подставляя в формулы (14)—(19) наибольшие и наименьшие (с учетом знака) значения силовых факторов в течение цикла, определяют амплитуды °"а, *а. по которым ведут расчет вала на сопротивление усталости. Влияние средних напряжений обычно невелико. Коэффициенты неравномерности н концентрации напряжений. Из-за сложной конфигурации коленчатого вала фактическое распределение напряжений в шейках значительно отличается от номинального, что учитывают экспериментальными коэффициентами Р 17). Основную роль играют коэффициенты, значения которых принимают в соответствии г табл. 1 и рис. 8—10. Величина перекрытия диаметров определяется формулой Рис. 7. Характер распределения нормальных напряжении в поперечном сечении щеки коленчатого вала \ \ \ \ \ \ 1 N ч V Is N ^ 0.5 0.6 07 Рис, 8. Зависимость коэффициента £hq от отношения длины шейки / к ее диаметру d: I — изгиб в плоскости юлена 2 — изгнб в пер пе ид и кул я р н ой гь i ol кости 1,5 1* 11 U 1,ч V t» 2J> A й А = 0,5 (dR + dm) - R, (20) Рис, Р. Зависимость коэффициента f,v ■ т отношения ширины щеки h к диаметру шейки d 9*
260 Расчет деталей поршневых двигателей Рис. 10 Дна|рамма зависимости коэффициента аотн от угла у: 1 — для кручения 2 ~ длн изгчоа в плоскости колена, 3 — для изгиба кулярной плоскости в перпенди- а коэффициенты Ри1, Риг- Риз — приближенно принимают (см. рис. 3): £„=1,0-0,5 Д 1,9- А d = 1,7 — 0,4 (21) Непосредственно у масляного отверстия возникает местная концентрация напряжений, которую учитывают эффективными к ^ффнциентами концентрации; при изгибе k0= 1,85+ 0,057 X X К —400); при кручении kx —- 1,70 -f -f- 0,035 (ав -400), (22) где аъ ~ в МПа. Коэффициент влияния абсолютных размеров определяют по рис. 13, гл. 2. Теоретические коэффициенты концентрации напряжений в галтели сопряжения щеки с шейками (рис. 3) принимают в соответствии с табл. 1 и рис. 11, 12 и относят их при изгибе к номинальным напряжениям изгиба в середине широкой стороны щеки, а при кручении— к номинальным напряжениям в шейке. Коэффициент Она = 0,6 -f 0,25 -j. . (23) При радиусе галтели г > 3 мм коэффициент чувствительности материала валов обычно достигает значений ц = = 0,9^0,95. Материалы и запасы прочности. Для коленчатых валов применяют стали 35, 45, 40Х, 35ХМ, 18Х2Н4МА и др. Литые валы изготовляют из модифицированных чугунов, а также из стали. Шейки подвергают поверхностной закалке до твердости 50—60 HRC3. Запасы выносливости для высокооборотных двигателей составляют п — = 1,5-гЗД для средне- и ниэкооборот- ных п = 2-т-6. Пример. В соответствии с расчетной схемой на рис. 3 вал имеет следующие размеры: а = 300 мм; Ь = 150 мм; В — = 100 мм; h = 380 мм; dK = dm = = 240 мм; dlK = dlm = 130 мм; R = — 235 мм; г = 25 мм; у = 0. Материал — сталь 45, частота вращения п = — 470 мин-1, порядок работы цилиндров 1—4—2—6—8—5—7—3. Центро-
а и о 3,2 3,0 2,8 2,6 2fi 2,2 2,0 1,8 % % N d,/d^0.7 ^^0J5 ^,/d=0-0,^ £ s N V 4 ^ s s \ 1 ^ ^ <*И1 1,0 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 B/d=0,35^y -D/CL—U,Zl S B/d= 0,20X 0,16 0,24 0,3Zr/B -0,1 0 0,1 0,ZA/d a) ff) Рис II Зависимость коэффициентов ъ и а от отно шений толщины щеки В, перекрытия Д, радиуса галтели г и внутреннею диаметра dt к диаметру шейки d 2,Т кН 500 400 ЗОВ 200 100 О -100 -200 -100 У 20 \и Я 1 V \ А А 1 \ 0 Ч т \ so Ч_ ' ^s У Л \120tx \ Рис 13 Изменение радиальных Z и окружных Т усилий в зависимости от угла поворота коленчатого вала а ако 2,2 2,0 1,8 1,8 1,2 i d,/d=0-0,3 K>k,/d=a8 ш щ k. П ^ ^ 0,02 0,06 ■а) 0,1 r/d Рнс 12 Зависимость коэффициентов ос, , и а,, от от- ноипний толщины щеки В, ширины щеки А, радиуса гал [ели г и внутреннего диаметра di к диаметру шейки d Мк. кН Л / J\ V ц ч ч J_ ж ±\ 7ч г 1 , \ 120 \2Ы^\ 1 /— я VI ' 360 Л \ и \ ) bJ Л 1 1 ; 600 \ V. 7.?0 Рис 14 Изменение крутящего момен га на шестой коренной шейке вала по углу поворота а
262 Расчет деталей поршневых двигателей 1, Коэффициенты неравномерности напряжений в шейках р и концентрации напряжений в галтели а Изгиб Ря = ^(ААгРизРотн Кручение , Рк= > +fV - ')РогН рио ~ п0 рис 8 Ря1 Ри2, РИЗ" п0 формулам (21) Рк0 — по рис 9 по рис 10 «И = аП0аи1аи2 аи()— по рис 1 1, а аи1 — по рис 11.6 аи2 — по формуле (23) ак = акоак1 а — по рис 12. а а — по рис 12, б 2. Расчетные значения напряжений и запаса прочности в сечеииях вала Расчетное сечение б-я коренная шейка 6-я шатунная шейка Щека между ними (в точках 1 и 5, см рнс 7) Номиналь- амплитуды напряжений, МПа Т„ = 24.4 а 1п = 22.4 а аа = 52.0 аа1 = 56.6 Та1 = 24.4 аа5=81'7 Коэффициенты концентра ции с учетом неравиомер- ности 3,47 3,47 0,90 3,46 2,71 1.59 Запасы прочности пт= 1.65 пх = 1,80 1 %=5,55)"=' «0-1= '■33] „ пь = 2.00 76 1,13 бежные силы щек Рт = 36,25 кН, Япр = 0. Кривые изменения усилий Г и Z по углу поворота вала показаны на рис. 13. Расчет показывает, что наибольшая разность Мъ М имеет место на шестой коренной шейке между пятым и шестым коленами (рис. 14). Результаты расчета сведены в табл. 2. В рассматриваемом примере наиболее нагруженной точкой является середина щеки у галтели, причем расчетный запас прочности незначителен. "£'" РАСЧЕТ ШАТУНОВ Поршневая головка шатуна. На головку действует переменная по времени сила К. = АГг + К] и постоянное давле-
Расчет шатунов 263 К ние от запрессовки втулки Сила /С достигает максимального значения в начале рабочего такта, когда поршень находится у верхней мертвой точки A max ~ (Pr max Ро) 'и — -(mn-f тшй)^' (1 + Т')- (24) Минимального (алгебраически) значения К достигает в начале такта всасывания. --(mD-f тшв) Rtfll-i- j-). (25) На участке А А (рис. 15) поршневая головка жестко связана со стержнем шатуна, поэтому распределение в ней напряжений носит различный характер в зависимости от направления действия силы Тензометрированне показывает, что когда сила /С сжимает стержень (/С> 0), нагрузка на нижнюю поло вииу головки распределяется примерно по косинусоидальному закону (рис. 16, а), а когда растягивает (К < < 0), то нагрузка на верхнюю поло вину головки распределяется почти равномерно (рис. 16, б). В обеих случаях опасным является сечение вблизи заделки, положение которого определяется углом а; обычно а .— 90-f- 140°. Рассматривая головку как кривую балку, заделанную в сечении АА и нагруженную, как показано на рис. 16, можно определить изгибающий момент Ма и нормальную силу Na в заделке (рис, 17). Напряжение в заделке где а — ширина; h — толщина стенки головки. На поршневую головку действует также внутреннее давление со стороны запрессованной в нее втулки Er[A -j- (квт—gr) Trd) Г Z>2 + < D>~ d? где d = d*-dir (27) Рис. Схема поршневой головки шатуна Рис. It». Расчетные схемы нагружения поршневой головки шатуна: а - при сипе /С, сжи\иющей шатун, б — при силе /С, растягивающей шатун
264 Расчет деталей поршневых двигателей -пх hr На К 0,05 0,04 0,03 0,02 Ц01 0 1 / , / / 1/ /- ы" 1 1 « —4 / // 90 ЮО по по W ПОа' Рис. 17. Зависимость силовых факторов Ма и Na в сечеиии заделий от угла а при иа гружеиии поршневой головки шатуна: а — по схеме рис 16, а, б — по схеме рнс 16, б где ЕГ; £вт— модули упругости материалов головки и втулки; А — натяг при посадке втулки в головку (в холодном состоянии); аВТ) аг— коэффициенты линейного расширения материалов втулки и головки (для бронзы авт « я* 18-10-61/°С, для стали аг « 10 X X 10""1/°С; Тг — температура нагрева головки при работе двигателя: v — коэффициент Пуассона (v я: 0,3). Обозначения диаметров D, d и dBT см. рис. 15. Постоянное напряжение растяжения от внутреннего давления а„ (28) Материал головки нагружается асимметричным циклом с амплитудой аа = 0,5 (о-! — а4) (29) и средним напряжением °т = ор + 0,5 (о-! • °г). где напряжение, соответствующее силе /Cmia, а а2 — то же. силе Amax. Рекомендуется иметь запас выносливости не ниже п = 3. Для повышения прочности поршневой головки следует по возможности уменьшить угол а и не располагать масляные отверстия в области заделки. Стержень шатуна. Стержень шатуна обычно разрушается от усталости по среднему или по минимальному сечению. При расчете минимального сечения принимают К (30) 1 mln где Fmln — площадь минимального сечения стержня. В среднем сечении кроме сжатия происходит изгиб, связанный с эксцентриситетом сжимающей нагрузки и прогибом от центробежных сил, перпендикулярных к оси стержня. На сжатие стержень шатуна рассчитывают по полуэмпирическим формулам [5] „ _ А"щах "nun — р X гср X ["] + 0,000526 (-МН. (31>
Расчет шатунов 265 где гср- стержня; площадь среднего сечения ср (32) Jх — момент инерции сечения относительно оси, перпендикулярной к плоскости движения шатуна, или _ Лтах X ср X 1 + 0,000132 (-£-)"]• L! = L - 0,5 {dr+dj, (33) (34) dt и а\ — диаметры отверстий поршневой и кривошипной головки шатуиа; '' " (35) = ^L1L < ср J У — момент инерции сечения относительно о<-и, лежащей в плоскости движения шатуна. Растягивающие напряжения Кв (36) ср Запас прочности определяют по наибольшей абсолютной величине o"mln. Рекомендуется иметь л= 1,8ч-2,0 Кривошипная головка шатуна. Расчет кривошипных головок, которые обычно разрушаются от усталости, носи г сравнительный характер Значения силовых факторов для расчетной схемы, показанной на рис. 18, в среднем (опасном) сечении нижней крышки головки приведены на рис. 19. Здесь Р — сила давления иа крышку в начале такта всасывания: Р « (та + тшв) /?<b» (l+ -£-) + + тшнЯаК (37) В сравнительных расчетах, приняв а = 130° = const и учитывая, что часть усилий воспринимает вкладыш, считают о = Р X 0,025с 0,4 X F Г" + ' W /^ipA F+ F, вкл Рис. 18, Расчетная схема кривошипиой головки шатуиа где с— расстояние между болтами {с я* 2r); W— момент сопротивления изгибу крышки; F, FBKJ1 и J, УВкл— площади н моменты инерции среднего сечеиия соответственно для крышки и вкладыша головки. 4 0,06 от от от о \р 1 2 / 90 100 ПО 1?а ПО а' Т 0,5"« 0,52 0,50 ц*е 0,46 €,«4 0,12 0,40 0,38 0,36 0,34 0,32 030 (38) Рис. 19. Зависимость силовых факторов в среднем сечении нижней крышки кривошипной головки шатуна от угла заделки а
266 Расчет деталей поршневых двигателей Напряжения меняются по пульсирующему циклу и при расчете по фор- м\ле (38) достигают 0тах = 100-=- 300 МПа. РАСЧЕТ ПОРШНЕВОГО ПАЛЬЦА Поршневой- палец испытывает сложную деформацию, которую условно расчленяют на изгиб, срез и овализа- цию (рис. 20). В плаваюших пальцах напряжения меняются почти по симметричному циклу. Расчетная нагрузка [6]: Р = {Pr max — Ро) Fn — — mn/?a)2 ('►-?-) (39) Расчетные напряжения в пальце определяют согласно рис.21. Напряжения при изгибе в продольном направлении Mmax _ Р(/-|-2Ь-1,5а) W \,2d*(\ — а4) (40) где d и dl — соответственно наружный и внутренний диаметры пальца; а = = dj/d. Рис. 20. Виды деформаций поршневого пальца: а - изгиб в продольном направлении; б — срез; в — овалнзацня Напряжение среза в сечении между бобышкой поршия и головкой шатуна т = 0,85 + а + а2 <Р (41) Если напряжения овализации условно считать равномерно распределенными по длине пальца, тс при схеме нагружения по рис. 21,6 Pj_ 2 My = ~ ^cos <p + 2 8 1 + — («in Ф — ф cos ф) — -^5-J ; N4 = 2~ X X соБфН (sincp — фсоБф) I (42) а напряжения на внутренних волокнах Ш 6г- ot =■ lh (" 1г ■ т). (43) где h— толщина стенки пальца. Максимальные напряжения от овализации возникают при ф = 90°. Действительное распределение нагрузки на палец учитывают экспериментальным поправочным коэффициентом Х= 1,5—15 (a— 0,4)s, (44) который можно считать действительным при 0,4 <: а <: 0,8. Тогда расчетная формула для максимальных напряжений овалчзации принимает вид [ 6]; Р °l max = °"jA = -П- X [ Id 0,174(l + g)(l—2a) а(1—а)2 0,636 ^|] [1,5— 15(а —0,4)3j. (45) Рекомендуемые запасы выносливости я>2. В транспортных двигателях аи = = 250+500 МПа; т= 120-250 МПа; О» max = 120н-200МПа.
Расчет поршневого пальца 267 ^rfrf JfibT^ HfUHUn а; Рис. 21. Расчетные схемы нагружеиия поршневого пальца: а — прн расчете на нзгиб и срез, б — при расчете на овалнзацию Прочность пальца можно повысить химико-термнческой обработкой его поверхностей. Азотирование повышает прочность пальца на 35—45%, цементация на — 15—20%. Недостаточная чистота обработки внутренней поверхности пальца может существенно понизить его прочность. РАСЧЕТ ПОРШНЕВЫХ КОЛЕЦ Материалом для поршневых колец обычно служит серый чугун. Для возможности сборки и большей податливости кольца делают разрезными. Чтобы обеспечить плотное прилегание кольца к цилиндру во время работы, кольцо в свободном состоянии делают большего диаметра, чем цилиндр. Поэтому при вкладывании колец в цилиндр в них возникают напряжения 0, величина которых ограничивается условием, чтобы при длительной работе не возникла ползучесть материала, которая может привести к уменьшению давления колец на цилиндр. При надевании кольца на поршень оно упруго разгибается н в нем кратковременно возникают напряжения обратного знака о', которые не должны приводить к значительным остаточным деформациям. Распределение давлений по кольцу носит сложный характер и зависит от формы кольца в свободном состоянии и от соотношений жесткостей кольца и цилиндра. Специальным выбором начальной формы кольца можно добиться, чтобы при работе оно прижималось к цилиндру достаточно равномерно по всей поверхности. Для приближенной оценки напряжений о в кольце можно принять схему нагружения, показанную на рис. 22, в. Горизонтальное перемещение свободного конца под действием равномерно распределенной нагрузки q, Н/см, / = 3nD4q 32EJ (46) Полагая / = 0,5As, где As— разность зазоров кольца в свободном состоянии и после установки в цилиндр, н учитывая, что максимальный изгибающий момент М = 0,5D2q, получим М ~W~ 8EJ As Зя£>?Г (47) Для кольца прямоугольного сечения толщиной h в радиальном направлении имеем 0 = -з1^-- <48> Если цилиндр достаточно жесткий, то As^n(DK.c-Dn), (49) где DK. с — наружный диаметр кольца в свободном состоянии; D, внутренний диаметр цилиндра. По формуле (48) можно также определять напряжения при надевании
268 Расчет деталей поршневых двигателей Рис. 22 К расчету поршневого кольца: а — копьца вставлены в цилиндр, б — кольцо в свободном состоянии, в — схема нагруження кольца кольца на поршень а', если считать Д*«я(Оп-0;.с + а); Dn- наружный диаметр поршня; D'K с — внутренний диаметр кольца в свободном состоянии; б— необходимый монтажный зазор. Напряжения в чугунных кольцах обычно а= 150-е-250МПа. Для обеспечения герметичности среднее давление между кольцом и цилин- 16£7As дром ц = —t~7S4— или (для кольЦа прямоугольного сечения) q = 4 Lb As = —^—?гг— не должно быть слишком 9nDi мало. Обычно q = 50-е-150 КПа. РАСЧЕТ ДНИЩА ПОРШНЯ В приближенных расчетах днище поршня рассматривают как круглую пластину постоянной толщины о, заделанную ао внешнему радиусу цилиндра г. Наибольшие напряжения от давления газов рг шах возникают у заделки на внешней (огневой) поверхности днища 0гаах= °-75(-5~ ) Ргтах- Допускают напряжения 0шах = 50-^ 70 МПа для чугунных и алюминиевых поршней и до 100-М20МПа для стальных поршней. С учетом радиальной и осевой неравномерности температур, вызывающей в поршне дополнительные напряжения, приведенные значения допускаемых напряжений увеличиваются в 2— 2,5 раза. ПРОЧНОСТЬ ЭЛЕМЕНТОВ КОРПУСА По передающимся на корпус нагрузкам К'Т и К', могут быть рассчитаны на прочность его элементы. В ответственных случаях, а также при обнаружении дефектов, проводят тензометрирование. На рис. 23 приведена типичная тензо- грамма напряжений на боковой поверхности крышки опоры коренной шейки вала четырехтактного автомобильного дизеля Период колебаний Г равен времени двух оборотов коленвала, появление двух соседних пиков отражают влияние вспышек в прилегающих к данной коренной шейке цилиндрах Больший пик относится к цилиндру, со стороны которого наклеен тензометр. Крышка воспринимает усилия только от давления газа, т е. нагружается по отнулевому циклу. В этом случае можно принимать предел выносливости ао = (1,4—1,6)а_! для стальных и а0 = = (1,2-Н,5)0_! для чугунных крышек. 1 s , 1 L г 1Я— 1 | Л L t Рнс. 23. Тензограмма напряжений на крышке опоры коленвала
Расчет клапанных пружин 269 РАСЧЕТ КЛАПАННЫХ ПРУЖИН Клапанные пружины системы распределения поршневых двигателей испытывают прн открытии клапанов повторные ударные нагружения. Так как основной период собственных колебаний пружин вдоль их оси обычно бывает мал по сравнению с отрезком времени между закрытием клапана и последующим его открытием, то при достаточном демпфировании в клапанном механизме каждое открытие клапана можно приближенно считать независимо как единичный удар. В расчетах пружину заменяют эквивалентным по жесткости и массе стержнем постоянного сечения [8] с плотностью Рэкв и модулем упругости £Экв п0 следующим формулам: РэкЕ =■ Р -ТГГ . (°°) £вм = (?-2ЙО!-' {5!) где р, G — плотность и модуль сдвига материала пружины; D — средний диаметр; s— шаг; d— диаметр проволоки. Скорость распространения продольной упругой волны в эквивалентном стержне экв" У -^-~1ф^ у Ж' (52) период собственных колебаний 'т = -Г-, (53) L3KB где ('— число витков. Продольному усилию N соответствуют максимальные касательные напряжения в проволоке Изменение по времени продольных усилий в различных сечениях пружины N (х, t) в процессе удара можно деталь- Рис. 24, Измеиеиие по времени усилий в клапанной <:ружине но изучить путем расчета по методу прямого математического моделирования (см. гл. 26 н [8]). На рис. 24 приведены результаты расчета усилий в пружине при следующих данных [8] • D = 82 мм; ч = 14.2 мм; d — 9 5 мм; р = 7,75 г/см3; G = 7,85-10* МПа; i = = 9,5; максимальный ход кулачка распределительного вала с параболическим профилем h = 38 мм, время открытия клапана t0 =• 60 мс. По формуле (53) для периода собственных колебаний Т = 18,8 мс. Сжимающее динамическое усилие Nr относится к сечению, примыкающему к тарелке клапана; N2 — к неподвижному сечению у основания пружины. Для обеспечения безотрывного контакта тарелки пружины с кулачком сила предварительной затяжки должна быть больше максимального растягивающего динамического усилия Л'р max ™ 151 Н, возникающего при остаточных колебаниях пружины после закрытия клапана. Ударные напряжения в проволоке ттах — 184 МПа соответствуют максимальному сжимающему усилию Nc max — 754 Н и являются допустимыми. В расчетах можно учесть влияние присоединенной массы клапана, а при наличии двух соосных пружин -- их совместную деформацию.
270 Расчет деталей турбомашин Глава 16 РАСЧЕТ ДЕТАЛЕЙ ТУРБОМАШИН РАСЧЕТ ЛОПАТОК НА РАСТЯЖЕНИЕ ОТ ЦЕНТРОБЕЖНЫХ СИЛ Напряжения от центробежных сил. Центробежные силы, связанные с вращением колес турбомашин, вызывают растяжение лопаток. При определении растягивающих напряжений лопатку рассматривают как консольный стержень переменного поперечного сечения (рис. 1). На малый элемент лопатки объемом F (ri)drt действует центробежная сила dC = pwVjF (rt)drv (1) где р— плотность материала лопатки; ы— угловая скорость вращения; F (гг)— площадь поперечного сечения на расстоянии гг от оси вращения колеса. Полная сила, растягивающая лопатку в сечеиии на радиусе г, C(r) = pw2 J nF (гг) drx (2) где R — наружный радиус лопаточного венца. В незакрученных (или слабо закрученных) лопатках напряжения распределяются по поперечному сечению равномерно, поэтому R С (г) J" rxF (г,) drt ■■ ры2 F(r) (3) Напряжение растяжения определяется только законом распределения площадей сечений по длине лопатки, но не зависит от абсолютной величины площади сечения. Лопатка постоянного сечения. В этом случае F (г) = F, и из формулы (2) получаем С (г) = 0,5p<B2F(/?a—г2), а напряжение растяжения а (г) = 0,5ры2(/?2 — г2). (4) Распределение напряжений по длине лопатки постоянного сечения показано на рис. 2. Наибольшее напряжение испытывает корневое сечение лопатки. Обозначая это напряжение через 0а, получаем о0 = 0,5роЛ?2 (i _-£•-) = ^=0.5рн| (1—Eg). (5> где и.ц = a>R— окружная скорость на конце лопатки; |0 = /■„//? — относительный радиус втулки. б.МПа wo 120 80 ЬО 0 z=22,5 I п=7ОО0мин~' к= л,ь Рис. 1. Определение panai ивающих на- Рис. 2. Распределение напряжений растя- пряжений в лопатке жен и я в лопатке постоянного сечения
Расчет лопаток на растяжение от центообежных сил 271 1. Значения р»р в зависимости от окружной скорости и# и плотности материала р Материал Алюминиевые сплавы Титановые сплавы Стали Жаропрочные сплавы Р. г/см" 2,75 4,5 7,85 8.15 100 28 45 79 82 150 62 101 177 183 200 ПО 180 314 326 Р"Д 250 172 28! 49! 509 МПа 300 248 405 707 734 , при ыд. м/с 350 337 55! 96 2 998 400 440 720 1256 1304 450 557 911 1590 1650 500 688 1125 1963 2038 550 832 1361 2375 2465 Значения рыЛ для разных материалов н окружных скоростей «д приведены в табл. 1. Равенство (5) иногда применяют в форме, более удобной при проведении газодинамического расчета: Р«, CD (6) 1где иср = 0,5ш (R + г0) — окружная ijckbpocTb на среднем радиусе; Я.— коэффициент длины; А = -^; (7) здесь Dcp = R + г0 — средний диаметр; / = R— /•„— длина лопатки. Из формулы (5) также следует: ст0 = рог ~2я~ 5, (8) где S — п (R'2 — г'2,) — площадь проточной части рабочего колеса. Лопатки постоянного сечеиия проще в изготовлении, чем лопатки переменного сечения. Однако им свойственны более высокие напряжения растяжения и меньшая вибропрочность из-за нерационального использования материала. Для сильно нагруженных ступеней лопатки постоянного сечения не применяют. Лопатки с изменением площади поперечного сечения по степенному закону. Площадь поперечного сечения такой лопатки на текущем радиусе F(r) = F (R) + + [F(ra)-F («>]( R или F(r) F(r0) = X-f ( где F (r„) и F (R) — площади корневого и концевого сеченлй лопатки и % = = F(tf)/F(r0). График изменения площади F (г) по длине лопат'<ч для различных значений п при % = 0,25 показан на рис. 3. При п = 1 получается лопатка 0,50 0,25 П' 2^ п •3 и 0,2 0,4 0,6 0,6 1,0 Г-Пд 1*ис. 3. Характер изменения площади поперечных сечений лопатки при различных значениях показатели степени я (для % = 0,25)
272 Расчет деталей турбомашин 6(г)/б0 0,7 0,6 0,5 ¥ 0,2 V \. к-о,ь К-0.2 Х^ m л 0,2 0,Ь 0,6 0,8 r-r„/l Рис. 4. Растягивающие напряжения в лопатке с линейным изменением площади сечений (л = I): I. = 0,5, |„ ^ 0,7 6(г-)/б0 0.6 0,2 0,¥ 0,6 0,8 г-г-,,/1 Рис. 5. Растягивающее напряжение в лопатке с изменением площади сечений по параболе (я = 2): Ь = 0,5; ■ - 1о = 0,7 0,вг-г„/1 Рис. 6. Растягивающее напряжение в лопатке с изменением площади сечений по кубической параболе (я = 3): I, = 0,5; 5о = 0,7 с линейным изменением площади. Отношение % лежит в пределах 0,2 ^ % ^ 1. Кривые растягивающих напряжений при различных значениях п, отнесенных к напряжению в корневом сечении лопатки постоянного сечения (при одинаковых значениях параметра pu2R и относительного радиуса втулки lo = ra/R), приведены на рис. 4—6. При резком возрастании площади сечений лопатки у заделки (л > 2) наибольшие растягивающие напряжения находятся не в корневом сечении, а ближе к середине длины лопатки (рис. 6). В приближенных расчетах при X = 0,3-г0,4 можно считать наибольшее напряжение растяжения в лопатке Тгпах = (0,5-г-О.б) а0. В табл. 2 приведены отношения объемов V лопатки при данных значениях п и х к объему лопатки постоииного сечения: V0 = F (r„) I. Если лопаточный венец имеет бандажное кольцо, антивибрационные полки или проволочные связи, следует определить центробежную силу от этих дополнительных масс, приходящуюся на каждую лопатку, и при расчете растягивающих напряжений в сечениих, расположенных на мень-
Расчет лопаток на изгиб 273 2. Относительный объем лопаток переменного сечения V/V, п X V/V„ 1 0,2 0.60 0,3 0.65 0,4 0.70 0,2 0.47 2 0,3 0.53 0.4 0,60 3 0,2 0.40 0,3 0,47 0,4 0,55 ших радиусах, чем соответствующие массы, включить добавочную центробежную силу в выражение для С (г). Обязательно проверяют напряжения в ослабленном из-за отверстия под проволоку сечении. Вытяжка лопаток. Упругое удлинение лопаток от центробежных сил 1«ли с учетом формулы (2) R R Л/У=рш2 j EF[r) f ^ (ri) dri- (10) Для лопатки постоянного сечения При модуле упругости £ = const i =~Ж O-WO + O'SSo)- (11) 'Лопатка удлиняется также из-за теплового расширения на величину R МТ = | а [Т (г) - 70] dr « : « (Тер — Г0) I, (12) где а — коэффициент температурного линейного расширения материала лопатки; Т (г) — изменение температуры по длине лопатки в рабочих условиях, РС; ТсР—ее среднее значение; Та = = 20\). Дли турбинных лопаток Д/у обычно значительно превосходит величину Д/у. При высокой температуре лопатка Удлиняется с течением времени из-за ползучести материала. Если скорость ползучести vp связана с напряжением о степенным законом vp = ka" (где k, n— экспериментальные постоянные материала), то удлинение лопатки за время t под действием постоянных напряжений а составит Mp = kt j [o(r)]ndr. (13) Вытяжка приводит к уменьшению радиального зазора между концом лопатки и корпусом и может привести к недопустимому цеплянию лопаток за корпус. Уменьшение зазора может быть вызвано также вытяжкой диска (см, ниже) и уменьшением диаметра корпуса из-за его более быстрого охлаждения, чем диска, при выключении двигателя. РАСЧЕТ ЛОПАТОК НА ИЗГИБ Изгибающие моменты от газовых сил. При расчете лопаток на изгиб удобно пользоваться системой координат, показанной на рис. 7. Здесь х, у, г—оси, связанные с вращающимся диском и проходящие через центр тяжести корневого сечения лопатки О. Ось х параллельна оси вращения и направлена по потоку. Ось г направлена вдоль радиуса, ось у лежит в плоскости вращения. Координаты центра тяжести поперечных сечений (выносы) обозначены х (г), у (г). В общем случае линия, соединяющая центры тяжести сечений (ось лопатки), не является прямой, но отношения х/г <; <С 1, у/г <С 1. Поэтому можно считать, что поперечные сечения лопатки перпендикулярны оси г. Через центры тяжести сечений Oj проходят оси Xj, Ух, соответственно параллельные осям х, у. Главные центральные оси сечений обозначены как g. т|, причем £— ось наименьшей жесткости. Угол а между осями £ и хх определиет установку профилей.
274 Расчет деталей турбомашин Рис. 7, Система координат при расчете лопаток рабочим колесом, Па; рх — плотность потока на входе в рабочее колесо, кг/м3; с1а, сга — осевые, clu, с2а — окружные составляющие абсолютной скорости, м/с. Силы рх, ру и скорости с0, си считают положительными, если их направления совпадают с напряжением соответствующих осей, х, у (на рис. 8 с„ > О, сц< 0, поэтому при | сш |<|с1и| сила Ру будет отрицательная). Фактическое направление газовых сил рх, ру для турбинных и компрессорных лопаток роторов правого и левого вращения показано на рис. 9. У лопаток турбин сила рч всегда совпадает с направлением вращения, у лопаток компрессора— против вращения. Равнодействующая газовых сил ps = — -J~p\ + Ру во всех случаях направлена в сторону спинки (выпуклой части) профиля. Для предварительного расчета определяют изгибающие моменты Мх (ге) и Му (/■„) и напряжения в корневом сечении лопатки, причем учитывают только изгиб относительно оси наименьшей жесткости (ось £)• Моменты считают положительными, когда они направлены, против часовой стрелкя, если смотреть с положительного на- Различают роторы правого и левого вращения. На рис. 7 показан ротор праиого вращения,, который вращается по часовой стрелке. е"ли смотреть по направлению потока газа. В этом случае, из соображений газодинамики, угол а > 0. Газовые силы, Н/м, действующие на единицу дликы рабочей лопатки (рис. 8), определяют по формулам 9-пг ч Рх = ~lPi — Р* + Pifio (сю — Caa)]: 2яг Ру = -у- PiCio (Cm — cau). (14) где г— радиус сечеиия, и; г— число лопаток. рх, ра— давление перед и за Рис. 8. Газовые силы, действующие на лопатку, и треугольники скоростей перед и за рабочим колесом
Расчет лопаток на изгиб 275 Прабое вращение сх>0 ♦* -*-и Мх>0;Му>0 Мх<0;Му<0 мх< о; Ну>0 а) а •*- Мх>0;Му<0 б) Рис. 9. Положение профилей и действительное направление газовых усилий: а — турбина, б — компрессор правления соответствующей оси (см. рис. 7 и 8). При рх > 0 момент А}у > !> О, при ру > 0 момент Мх<0- В приближенном расчете можно считать, что -сила ру вдоль радиуса -постоянна. Изгибающий момент в корневом сечении относительно оси х Мх (/■,) = -0,5риР. (15) Величину Мх (г0) можно выразить через крутящий момент на валу Мк, Н-м: Мк = 0,5 | Ру | lzDcp = 9555 — , (16) где Л'— мощность, кВт; п- вращения, мин-1. частота Исключив из формул (15), (16) силу ри, получим \ /Их (г,) I Хг ' (17) где Х= 0Ср/Л При определении изгибающего момента относительно оси у обычно можно считать Px = {Pi — Pa)-j-- С8) Если величина рх—р3 постоянна, то Щ Ы = -^ (Рх - Pi) *R* x X (1—Ео)*(2+Бо). (19) где £0 — г0/#.
276 Расчет деталей турбомашин 0,l<t 0,20 0,16 0,12 0,08 ом 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 £„ Рис. 10. Значение относительного изгибающего момента М и» Со) = ч v Со) ■ С: lcp ■ "t) «' для лопаток ступеней с постоянной циркуляцией Для ступеней, спрофилированных по закону постоянной циркуляции (rclu = const), давление р, меняется вдоль радиуса. В этом случае изгибающий момент в корневом сечении Му (ге) можно определять по кривой иа рис. 10, где р1ср — давление на входе иа среднем радиусе. Действительное направление моментов Мх (г0) л Mv (г0) определяют по рис. 9. Момент в корневом сечении относительно оси с наименьшим моментом инерции Ъ, Щ Ы = Мх (г0) cos а (л0) + + Mv(re) sin а (г0). (20) В формулу (20) моменты и угол установки корневого сечения а (г0) подставляют со своими знаками. В уточненных расчетах находят распределение изгибающих моментов от газовых сил по всей длине лопатки (для ряда расчетных сеченнй, обычно от 3 до 10): Мх1 (г) = R = — { Py(ri)(ri — r)dr1 = г RR = —J J Py(rt)drtdri; Myl (r) = R = J Px Ci) Ci — r)dr1 = R R (21) = | | Px W dr2 drlt где r ^ rx ^ R, rx <! г2<! R, и моменты относительно главных осей инерции каждого расчетного сечения М6 (г) = Мх1 (г) cos а (г) + + Myi (r) sin а (г); М„(г)=— Mxl(r)sma{r) + + Myl(r)cosa(r). (22) Изгибающие моменты от центробежных сил. Отклонение оси лопатки от радиального направления (выносы центров тяжести сечений) могут быть связаны с технологией изготовления лопатки или специально предусмотрены для разгрузки лопатки от изгиба газовыми силами. Выносы центра тяжести приводят к появлению изгибающих моментов от центробежных сил, которые приближенно (для корневого сечения) могут быть определены по формулам (рис. 11) Мх (Г„) : 'ср у(гср)с(го); Му(г„)~-х(гср)С(г0), (23) 4 где х (гср). у (гСр) — выносы оси лопатки на среднем радиусе гср = 0,5Х X (R + г,,); с Ы — центробежная сила всей профильной части (пера) лопатки, определяемая по формуле (2)
Расчет лопаток на изгиб 277 при г = г0. Изгибающие моменты от технологических выносов следует учитывать при больших окружных скоростях (uR > 250 м/с), если их отношение к длине лопаткн превышает 1% (при ия = 25СК-350 м/с) и 0,3% при ив > 350 м/с. Для- разгрузки лопатки от изгиба газовыми силами осуществляют наклон оси лопатки по отношению к замку в сторону спинки (рис. 12, а) или смещают ось лопатки вместе с замком в сторону вогнутой части профиля (рис. 12, б). В уточненных расчетах находят распределение изгибающих моментов от центробежных сил по всей длине лопатки R Мх1 (г) = рш2 j rxF (rj х г X [y(r1)-^--y(r)Jdr1; R X (24) X [x (rx) — x (r)] drlt ; где г < rt < R. Моменты относительно главных осей инерции находят по формулам (20) или (22). Изгибающие моменты от газовых и центробежных сил суммируют с учетом их знаков. Напряжения от изгиба. Для определения напряжений от изгиба необходимо знать положение центра тяжести Ох, главных осей инерции |, т) и некоторые геометрические характеристики сечении лопатки (рис. 13). Прямую, соединяющую две крайние точки профиля на передней и задней кромках, называют хордой (отрезок АС = Ь). Ось наименьшей жесткости \ проходит через центр тяжести сечения Oj практически параллельно хорде. Напряжении от изгиба определяют в точках профиля, расположенных на передней и задней кромках (точки А и С) и на спинке профиля (точка В). От действия газовых нагрузок на кромках профиля (в точках Л и С) возникают напряжения растяжения, Рис. 11. К расчету изгибающих моментов от центробежных сил а) Рис. 12. Конструктивные способы разгрузки лопатки от изгиба газовымн силами р ъ 1\ п т i в \0,- <5 b р"*^, ' ? * t ' к Рис. 13. К приближенному определению геометрических характеристик сечения лопатки а на спинке профиля (в точке В) — напряжения сжатия. Наибольшее растягивающее напряжение обычно получается в точке Ai, близкой к точке А. Для предварительного расчета определяют только наибольшее растя-
278 Расчет деталей турбомашин гивающее напряжение изгиба от газовых сил в корневом сечении лопатки: ■ Ы = Щ (г,) Wt mm (25) где Mi (r0) находят по формуле (20) без учета знака; W* mln — минимальный момент сопротивления корневого сечения на изгиб (см. ниже). При уточненных расчетах находят напряжения изгиба от суммарных изгибающих моментов Mi (г), Л-Ц (г) во всех характерных точках профиля М для нескольких расчетных сечений г. °"иЛ1 {г) = Мъ (г) ЦМ (г) J\(r) МО (26) где 1М (г), т]м (г) — координаты точек (А, В, С, Ах) сечения на радиусе г; J\ М> ^л М — главные моменты инерции этого сечения. В формуле (26) Jl > 0, /ri > 0, а моменты и координаты подставляют со своими знаками; если а м > 0, то напряжение изгиба в точке от газовых и центробежных сил растягивающее. Знак координат определяется в соответствии с изогнутостью профиля (см. рис. 9). На рис. 13 БА<0, Т!А<0; |в>0; т)в> 0 и т. д. В длинных лопагках действительные напряжения изгиба от газовых сил получаются меньше, чем по приведенным формулам, благодаря разгружающему действию центробежных сил на упругих прогибах лопатки. Расчет геометрических характеристик сечения. При предварительных расчетах, когда чертежа лопатки еще нет, можно пользоваться следующими приближенными формулами. Координаты центра тяжести сечения (см. рис. 13) 0,436; 0,76Л, (27) где Ь — длина хорды профиля; h — подъем средней линии профиля. Минимальный момент инерции Jl да 0,04663 (1 + ?2), (28) где б — максимальная толщина профиля, q = Л/б. Площадь поперечного сечения F да 0,766. * (29) Момент сопротивления W да Ш2, (30) где k — безразмерный коэффициент, значения которого для точек Аг, А, В я С приведены в табл. 3. Для симметричного профиля (при h = °) kA = кв = °'083> а kA = = kc = °°- Для точки А можно также пользоваться приближенной формулой, соответствующей значению k да 0,1: Гда0,2^-. (31) Если площадь сечения известна, то, определив коэффициент «полноты» профиля kf = Flbb, можно уточнить значение минимального момента инерции по формуле /| = 0,0883fe^63 (1 + 1.067*,?2)- (32) Значения коэффициентов fej и kq в зависимости от kp приведены на рис. 14. Для уточненных расчетов геометрические характеристики определяют непосредственно по данным чертежа лопатки, на котором координаты верхнего ув и нижнего ун контуров профиля задаются в некоторой исходной (конструкторской) системе координат х, у (рис. 15) обычно в виде таблиц рв (л:в), ун (хн), причем значения хв и хп могут не совпадать. Численным интегрированием вдоль верхнего и нижнего контуров находим: площадь поперечного сечения F = \ 9BdxB- ^ yHdxH; (33)
Расчет лопаток на изгиб • 279 3. Значения коэффициента k для определения моментов сопротивления в точках сечения лопаткн Точки на рис. !3 А, А, С В А, А, С В At А, С В А1 А, С В Л, А, С В «ч- 0.02 0.05 0,10 0.15 0,20 0,02 0,094 0,!07 0,46 0.152 0.155 0,287 0,278 0,279 0.675 0,410 0,410 1,000 0,542 0.542 1.550 Относит 0,05 0,088 0,154 0,082 0,094 0,107 0.116 0,129 0,134 0,221 0.176 0.179 0,358 0,226 0,228 0,51! ельная толщина б — 6/п 0.10 0,086 0,276 0,080 0,039 0,134 0.08Ь 0,094 0,107 0.116 0,109 0.116 0.163 0,130 0,134 0.22! 0.15 0.084 0,406 0.080 0,188 0.177 0.08! 0,089 0, 115 0,093 0,094 0,107 0.116 0 104 0.1 1! 0,146 0.20 0,083 0,537 0,080 0,087 0,225 0,080 О.Ов'Э 0 133 0.085 0 091 0,11! 0,098 0,094 0, 107 0,1 15 К 0,3 0,6 0,5 0,3 ^V-v *рС~ (у Г t у **щ/ /€вУ ум К^У/ /У/ V 0,6 0,7 0,8 0,9 KF Рис. 14. Значения коэффициентов k для определения геометрических характеристик лопаточных профилей статические моменты s* = SP *с 0.5 \9\d*B- ~ХА 'С -0.5 \yUxR; ХА *с = (?АЙ>- ХА *С - ] yn*Hd*i,; (34) координаты центра тяжести сечения Oi Sr, s* *oi — ~р~ I Ум — ~б~ I (35)
280 Расчет деталей турбомашин 0 — Рис. 15, Определение геометрических характеристик профиля лопатки по данным чертежа новые координаты точек верхнего центробежный момент инерции и нижнего контуров *1в — *в — *oi; Ут = Уъ — §ои *ш = Ни- = Ув — «foi» [ = ^Н — %П. I : = Ун — У oi. ) (36) 'XiSi = ~2~ J b y\JlBdxlB - *ь4 осевые центральные моменты инерции 1 Г -2 - л- 2 \ У1н*1н "*1н • (38) 'ь4 3 «1С J^lB^lB- he 'Ы ».- J' 1в*1в^*1в ~~ lb4 j ?la*?H^lH; *ъ4 Угол Р между главной осью | и осью xt определяется по формуле 2Jx в (39) (37) а моменты инерции относительно главных осей /6=/fiCOS«P + + ySisln«P-yiijjeln2p; У„ = /Я1в111«Р + -f^tcoe*p + y^lSta2p. (40)
Запас прочности профильной части лопатки 281 Главные координаты характерных точек профиля М (А, В, С, Аг) W = (*Af-*0l)COSP + + {Ум ~ у<л) sin P: + {Ум - hi) cos Р- (41) Формулы (33)—(41) удобны для расчета на ЭВМ При ручном счете, особенно для тонких профилей, целесообразно определять минимальный момент инерции 7$ по формуле (32). Осевая сила, действующая на все ло- паткя 2я \(Pi-Pi)rdr (42) или, если величина рх—р2 постоянна, ^ос = *Я>1-Р2)0-£о)- (43) Если давление р1 меняется, то Рос можно достаточно точно определить по значению давления picp на среднем радиусе. ЗАПАС ПРОЧНОСТИ ПРОФИЛЬНОЙ ЧАСТИ ЛОПАТКИ Для компрессорных (холодных) лопаток запас статической прочности профильной части лопатки * = -£-, («) где а — наибольшее суммарное растягивающее напряжение от растяжения и изгиба. Для турбинных лопаток, а также для компрессорных лопаток последних ступеней определяют запас длительной прочности п = ■ }№ (45) где стдл — предел длительной прочности материала с учетом температуры Данного сечения лопатки и длительности работы. Рис. 16. Распределение температуры и напряжений по длине лопатки газовой турбины Прн работе на нескольких режимах эквивалентный запас прочности вычисляют по формуле (36) в гл. 2. Типичное распределение напряжений и температур по длине лопатки газовой т>рбины показано на рис. 16. Минимальный запас прочности лопаток переменного сечения обычно находится в сеченин, расположенном на расстоянии (0,2-4- 0,5) / от корневого сечения (заштрихованная зона). В приближенных расчетах можио определить предел длительной прочности по средней (заторможенной по относительной скорости) температуре газа, а напряжение а вычислять для корневого сечения Обычно средняя температура лопатки первой ступени турбины на 50—100 °С меньше температуры газа перед турбиной Запас статической прочности в лопатках турбомашнн обычно п = = 1,5-4- 2 5 Напряжения растяжения в лопатках газовых турбин в сильной степени зависят от типа и назначения турбины, температуры газа, окружной скорости и других параметров. Наибольшие напряжения растяжения обычно лежат в пределах 80— 250 МПа, напряжения изгиба только
282 Расчет деталей турбомаишн от газовых сил — в пределах 50—• 150 МПа, суммарные напряжения (с учетом компенсации первоначальными выносами) — 100—300 МПа. Напряжения растяжения в стальных лопатках компрессора составляют 150— 200 МПа для первых ступеней и 80— 120 МПа для последних. Напряжения изгиба от аэродинамической нагрузки обычно равны 80— 120 МПа для лопаток первых ступеней и i 50—200 МПа для лопаток последних ступеней. Для лопаток из алюминиевых сплавов суммарные напряжения не превосходят 100—120 МПа. РАВНОПРОЧНЫЕ ЛОПАТКИ При проектировании рабочих лопаток для высокотемпературных газовых турбин целесообразно исходить из условия, чтобы на большей части длины пера лопатки запас длительной прочности п, определяемый формулой (45). был бы равен минимально допустимому запасу [л]. У конца лопатки, где напряжения малы, а в некоторых случаях и у замковой части, где температура значительно снижается, величина п может быть больше [л]: п> [я]. Если известно изменение температуры Т (г) по длине пера лопатки, то, определив для каждого сечения значение предела длительной прочности материала адл при соответствующей б Рис. 17 К расчету напряжений в равнопрочной лопатке Рис. 18. Условия равновесия элемента лопатки температуре, найдем допускаемые напряжения адл (г) 1а(г)1=="^г- (46) Действительные напряжения а (г) должны быть равны или меньше допускаемых, что можно обеспечить соответствующим выбором закона распределения площадей поперечных сечений F (г) по длине лопатки (рис. 17). У конца лопатки (участок /) всегда есть область, где а < [а]. Здесь сечение может быть постоянным и равным периферийному сечению F (R). Построив по уравнению (4) кривую ас (г), где ас — напряжения в лопатке постоянного сечения, найдем границу участков / и // (г = гс) как точку пересечения кривых [а] и ас. На участке // о(г)= \о (г)}. Чтобы установить, как при этом должна меняться площадь сечения F (г), рассмотрим условие равновесия элемента лопатки (рис. 18): (а + do) (F + dF) — aF + + ptfrFdr = 0, откуда ~{aF) + pa^rF = Разделив переменные dF do pa>V dr 0. (47) = 0 (48)
Охлаждаемые лопатки 283 F(r0) a) F(R) F(f-0) 6) F(R) 6 ^^\\\\\^^^ ^»»^» yC-F(fl) r-o 6) Рис. 19. Различные случаи равиопрочиой лопатки: | dac I \ d [a] о — а, < [я ], б — общий случай, в — в области // я > [я ] и —-— > — с с I аг | | аг и проинтегрировав в пределах от г до гс с учетом условия а (г) = [а (г)], получим рш* f (') = F (R) о(гс) [о (г)] [ rtdr, J [я (г,)] (49) Температура лопатки у замковой части обычно значительно падает, величина [а] возрастает н площадь, вычисленная по формуле (49), может с некоторого радиуса Гц начать уменьшаться, что недопустимо по условиям обеспечения вибрационной прочности лопатки. При г<Тй (участок ///, см. рис. 17), площадь F следует сохранять постоянной или несколько увеличивать. Значение точки г = га определяется условием dFldr = 0 и может быть найдено численно нли графически. Распределение напряжений на участке /// (при F = const) определится как °(') = c,(M + 0'5Po)2(rrf--r2); Коэффициент уменьшения площади поперечного сечения F(R) F(rc) F Ы F (rd) X = -g('d) c о (rc) (50) В отдельных случаях число участков может быть меньшим (рис. 19). Полученный теоретический закон распределения площадей сечений по длине пера лопатки может служить исходным материалом для последующей конструкторской проработки. ОХЛАЖДАЕМЫЕ ЛОПАТКИ В высокотемпературных газовых турбинах используют рабочие и сопловые лопатки, охлаждаемые изнутри воздухом. В охлаждаемых лопатках температура и напряжения распределяются по поперечным сечениям неравномерно (рис. 20 и 21). Упрощенный расчет на прочность охлаждае-
284 Расчет деталей турбомашин Рис, 20е Температурное аоле охлаждаемой турбинной лопатки мых лопаток ведут по характеристикам длительной прочности, соответствующим средней температуре сечений. При уточненных расчетах учитывают температурные напряжения, которые определяют по формулам, приведенным в гл. 17. При анализе прочности охлаждаемых лопаток следует иметь в виду, что в центральной, более холодной части сечения возникают растягивающие температурные напряжения, которые, суммируясь с напряжениями от центробежных снл, могут приводить к значительным напряжениям. Однако из-за относительно низкой температуры этой части запас ее длительной статической прочности обычно остается достаточным. На горячих кромках, где температура лопатки может достигать 950 С и выше, возникают сжимающие температурные напряжения прн сравнительно небольших суммарных напряжениях. Но прн недостаточном охлаждении ограничение по запасу длительной статической прочности горячих частей сечеиия может стать определяющим. Слишком высокая температура кромок недопустима также из-за снижения антикоррозионных и антиэрозионных свойств материала. При многочисленных повторных пусках турбин материал лопаток испытывает малоцикловую усталость. Чем сильнее охлаждение, тем больше становится неравномерность температуры по сеченню и тем выше уровень возникающих при каждом нагружении температурных напряжений. Сопротивление жаропрочных сплавов малоцикловой усталости при умеренных температурах может быть не больше, чем при высоких, и в центральной части сечения, где действуют большие растягивающие напряжения, возможно появление трещин от малоцикловой усталости. Это явление усугубляется наличием во внутренних полостях охлаждаемых лопаток значительной концентрации напряжений в местах расположения отверстий, ребер, штырьков и других конструктивных элементов, обеспечивающих необходимое течение охлаждающего воздуха вну- Рвс. 21. Распределение напряжений в охлаждаемой турбинной лопатке
Иэгибные колебания лопаток 285 три тела лопатки. Поэтому глубина охлаждения лопаток должна выбираться оптимальной с учетом всех определяющих прочность факторов. ИЗГИБНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ЛОПАТОК Для обеспечения сопротивления усталости лопаток уровень переменных напряжений в них должен быть достаточно низким. Повышенные переменные напряжения возникают в лопатках, в основном на резонансных режимах, когда частота внешних возбуждающих сил совпадает с одной из собственных частот колебаний лопатки. Практическое значение имеют частоты до 10 000—15 000 Гц, а в редких случаях н более высокие. Для отстройки от резонансов важно уже на стаднн проектирования правильно определять собственные частоты колебаний лопаток, особенно первую (низшую) частоту нзгнбных колебаний, связанную с деформацией лопаткн относительно оси минимальной жесткости. Приближенный расчет основной частоты колебаний. Лопатку рассматривают как консольный стержень переменного сечения с непрерывно распределенной массой (рнс. 22), совершающий гармонические колебания в плоскости меньшей жесткости rfir (см. рнс. 7). В приближенном расчете за- крученностью пренебрегают. Смещение осн лопаткн в сеченин г= г — г0 Г) (г, t) = i\ (г) cos pt, (51) где r| (z) — амплитуда смещения; р — круговая частота колебаний, рад/с; t — время. 7 -о- ( Z 1 V(z,t) * г-(г) Частота колебаний, Гц, 1 2я Скорость движения лопатки в данном сечении *) (г, 0 dt = —tj (г) р sin pt. Кинетическая энергия всей лопатки в данный момент времени I ==Р^ sin2 p^F(z)h(z)]Mz, (52) где pf (z) — масса единицы длины лопатки. Внутренняя потенциальная энергия всей лопаткн при деформации изгиба в данный момент времени tf(0 = J_JM8(z, t)4(z, t)dz = О I = -|- cos2 pt^Ji(z) 1ц" (z)lMz, (53) о где Mi (г, t) = EJl(z) щ(г, t) - изгибающий момент относительно оси минимальной жесткости \; xj (z, t) = = —1И'1 ' = ц" (z) cos pt — упругая кривизна осн лопаткн. По закону сохранения энергии прн свободных колебаниях полная энергия К (t) + П (t) остается постоянной для любого момента времени, что возможно только при равенстве /(max -- = "maxi нли рр l»dZ: Рис. 22. К расчету изгибных колебаний Лопатки J F (г) h (z)]2 о i = Е J/5 (z) [Л" (z)]Mz,
286 Расчет деталей турбомашин откуда вытекает формула для частоты собственных колебаний лопаткн (формула Релея) Е ( /Е(г)[п"(г)]М2 б Р J F (г) [т, (z)]*dz (54) Если внести в эту формулу приближенные значения Для ц (z), удовлетворяющие условиям закрепления, то при точном вычислении интегралов частота / получается больше действительной. Из формулы (54) следует. 1. Если амплитудный прогиб увеличивается в k p"33, частота колебаний не изменяется (величина k войдет и в числитель, и в знаменатель) 2. Для увеличения частоты колебаний следует увеличить жесткость сечения на изгиб в районе заделки, где кривизна упругой линии г)" наибольшая, н уменьшить плошадь сечения у конца лопатки, где наибольшие прогибы Г). 3 Частота зависит от отношения £/р, которое для большинства конструктивных материалов (стали, алюминия, F 0 1 ^-^/^ 2 L ^ 2 -* —*■ *- F(L) Z г J171 1 г •^ J(j) -А , J(L) г Jio) О Рис. ^3 Изменение площади и момента ииерцни по длине лопаткн титана и др.) изменяется мало и составляет УЕ/р « 5,1 -106 см/с; поэтому частота изгибных колебаний почти не зависит от материала лопатки. В качестве приближенного значения для f\ (z) можно принять прогиб лопатки постоянного сечения от действия распределенной нагрузки -«-(т)'~Кт)' + + ■ (-г)' (55) Примем степенной закон распределения площадей и моментов инерции по длине лопатки (рис. 23): F(z) = = ^(0)[х+(!-х)(Ц:-г)'л]; У(г) = = У(0)[е + (!-e)(^-Z)"], (56) где Х = ЕЖ F(Q) J (D J ФУ Подставив равенства (55). (56) в формулу (54), получим 1 ~ I* V р V F (0) ~ 5,1 -!05 i/EB. V F(0)' (57) где X — безразмерный коэффициент (табл. 4). Здесь I — в см; J (0) — в см4; F (0) — в см2; / — в Гц. При очень большой «конусности» (% •< 1. t -С 1) меньшие, а следовательно, и лучшие значения для X дает функция Л(*)< (т)"- (58) что учтено при составлении табл. 4. Для лопатки постоянного сечения (Х= 1. в= 1) Х= 0,560,
Иэгибные колебания лопаток 287 СО II с fN С — с ш О о о о о о о о о о о с* Е хг СМ - - •— ~ in о « с* 00 о см см - СП 00 — — 1,1 <£> О — - из о о — „ СМ — _ СМ СМ —' 00 от •— ~ N. *" см ю — ~ о от о 00 О из см СО о о 00 N. о из о см от о со 00 00 о in СО о •«■*■ СМ ОС о _ г— о СО СМ ОТ о N. о ОТ о о Т> =0 о ■чг Г- 00 о 00 о см о о N. о со из о из о со о in о 00 iO t- о •ч* со h~ о о 0,7 чГ 00 из о _ 00 in о N. из t~- о со in о ■"■J* h~ о из см N. _ N- о о - 1Л <£> о ел см иэ о о о иэ о — in in о из со чГ о СМ <£> из о _ ■"■J* из о — СМ 0,6 in от in о со о in о о I-- t© о о <£> о из <£> о iO со из <£> из о о ел 00 iO о щ о о in о со от ■"■J* о 00 00 со о in от in о из г— iO о N. iO 0.5 ГО со ю о о iO ■"■J* о со о иг о см <т ю о _ ей in о о N. ю __ in ю о о со — см -г о см чГ от — г- 00 — — со со -* in in —' CM о от о сч — см 2,0 о in ОТ — из N. 00 ~ см 00 -" см Ю ■"■J* см <£> о —' см иг о ■«г см о см о к N. о — со со ~ 00 о со от о от см N- о от -" in — о 1.0 чГ о см о _ о •"■ — см *~* со о о ~ ■"■J* ■«Г " со см о ~ СЧ <£> 00 о _ 00 г- о из h~ о 00 ОС из о чГ ■"■J* о со см ао о г- от h~ о CM h~ 0,7 CM ■"■J* N. о N- из о ■"■J* со о о 00 ■"■J* о ао о СП 00 h~ h~ r- N. о о см *г ОО из о иг iTj о о _ г- см о СП иг о =0 из о из ■"■J* 0.6 00 из о см сч Ю о от от с£> о J5 00 из о со h~ <£> о о to из о из о о 00 о 1/} о о о 1Л от о m о h~ о h~ о о о N. ЧГ о со из о см из о in о от h~ от иО ю о о из см С^ СО ■"■* СО о со h~ от 00 CN 00 in ■п см 00 ю со СО N- ■"■J* см СО iO 3,1 о ■"■J* о со го от см о от со со см ГО CD см со ю см со _ ю — СО о от — — _ о — ~ 1Г> о - _ от о от УЗ N- о см - •V см — - г- ОС 1,0 сг о м ао 00 00 о LO г- — - in ■"■ СО со _ _ см "~* г- 00 о « о N- о чг о о г- о о in о 00 о см 00 о СП 0,7 от г— о <£, о in со о СМ о =0 о см о LO ао h~ о о -го — о см из о ■£) о о чГ о LO о из о ю 0,6 СМ из о см ю о о г^ о <-ъ о СО 00 иг о о t£> t£> о о см о N. 1Л о о 'О о (О ГО о иг о ю о 0,5 LO о тГ о t£> о ю о гГ »о о со ао in о см ю о о
288 Расчет деталей турбомашин J (0)' Flo) 0,6 0.1 0,2 О 1 у^ ! ■■ i , | п,т --/ г у ы 0,2 ОЛ 0,6 0,8 €, к Рис. 24. Отношение момента инерции и площади сечення я середине лопатки к их значениям в корневом сечении Для выбора показателей тип можно ориентироваться на отношения F (0,5/)/F (0) и / (0,5/)// (0), которые соответствуют определенным значениям тип (рис. 24) Если значения F (0,5/) и J (0,5/) неизвестны, можно в среднем принимать т ж 1, п «2. Пример. Найти основную частоту колебаний для лопатки длиной / = = 20 см с размерами корневого сечения (см рис. 13) Ь = 8 см, 6 = 0,6 см, h = 0,8 см н концевого Ь = 8 см, 6 = 0,2 см, h = 0,2 см при линейном изменении толщины и стрелы изогнутости сечений По формулам (28), (29) находим. F (0) = 0,7& (0) б (0) = 0,7 8-0,6 =- =-- 3,36 см2; F (1)= 0,7-8-0,2= 1,12 см2; F (0,5/) = 0,7-8 0,4=2,24 см2; J (0) = 0.04А (0) б3 (0) {1 + + [h (0)/б (0)]а) = 0.04-8-0.63 [1 + + (0,8/0.6)*] = 0,193 см4; J (/)=0,04-8-0,23[l + (0,2/0,2)2] = = 0,00513 см4; J (0,50 •= 0,04-8-0,48 [1 + + (0,5/0,4)2] = 0,0528 см4; X -~ = 0.333; 3,36" 0,00513 0,193 = 0,0266; F(0 5/) F(0) 2,24 3,36 : 0,667; J (0,5/) J(0) 0,0528 0,193 = 0,274. По рис. 24 устанавливаем, что т = 1, п « 2. По табл. 4 для этих значений m н п путем линейной интерполяции для хие находим значение Я яг 0,638 По формуле (57) / = 5,1.10» 0,638 202 / 0,193 3,36 = 195 Гц Уточненный расчет собственных частот. Более точно собственные частоты колебаний лопатки могут быть рассчитаны методом последовательных приближений. Дифференциальное уравнение колебаний лопатки в плоскости меньшей жесткости имеет вид w*[EJ{z)i?] = pipF{z)r](zh {Щ при граничных условиях для жестко заделанной в замке лопаткн. в заделке 1 (°) = l? (0) = 0; (6°) на свободном конце -■^«SL-o- (6i) Интегрируя обе части равенства (59) в пределах от z до /, найдем с учетом второго условия (61) ж ["«9]- i -= — р2 \ pF (zx) т) (zr) dzr, г г<гх</. Повторяя интегрирование с учетом первого условия (61), получим = р2 Г \pF (zOritaJdz,^.
Иагибные колебания лопаток 289 Перенося EJ (г) в правую часть равенства и дважды интегрируя в пределах от 0 до z, находим с учетом условий (60) П(г) ■и о о EJ (z2) X I I Уравнение (62) решают методом последовательных приближений. Так, для /-го приближения Л, W -= P2Mt-\ (z). (63) где под выражением K^t-i (z) понимают переменный интеграл в правой части уравнения (62), вычисляемый по уже известным значениям r|i_1 (z). В качестве исходной функции г|„ (z) можно принять произвольную функцию, удовлетворяющую условиям закрепления (60), например функцию (58). После вычисления Kr\i-i (z) значе. ние квадрата частот в i'-м приближе. нии р\ можно найти из условия наилучшей близости функций т), и r^i_1. для чего составляем выражение для средней квадратической ошибки «с весом» л' = "т1(т)'-,1'-1)2/7 dz = -7-J("?*r"-i-'i<-i)''? dz и из условия ее минимума д&ц/ dp" =■ 0 находим 1 Р?=°- J F (г) tjl, (г) Кг\,.г (г) dz \ Р(г)[Кци1(г)]Ыг (64) Найдя р\, определяем по уравнению МбЗ) значение i]i(z). Процесс решения, 10 Заказ 402 как правило, быстро сходится (после двух-трех приближений). В результате расчета определяют не только первую собственную частоту, но и эпюру относительных прогибов х\ (г) = г| (z)/r| (/) при колебаниях по первой форме, что позволяет найти эпюры относительных изгибающих моментов X f f pf(z4)t1(z4)dz4dz,dz2dz1. (62) _ J J м l i (z) = P* J J pF (2,) fj (г,) dzt dzx (65) и относительных динамических напряжений а (г). М(г) W(z) При тензометрировании лопаток тен- зодатчики наклеивают в сечении, где о максимально. Методом последовательных приближений с использованием условий ортогональности рассчитывают также более высокие собственные частоты и формы колебаний Колебания вращающихся лопаток. Центробежные силы, создавая растяжение лопатки, повышают собственную частоту ее колебаний. При колебаниях лопатки в поле центробежных сил эти силы совершают работу Лц, в результате чего потенциальная энергия увеличивается на величину Пц = = —Ац. Если прогиб лопатки в плоскости минимальной жесткости равен г| (г), то на элемент лопатки будут действовать силы dCz и dCy (рнс. 25, а): dCz s*dC = = рш2 (r0 + z)F (z) dz; dCv я» dC У С) rB-+z = pci>V (z) F (г) dz, где у (г) = rj (z) cos a (z), (66) пп "30 Здесь (й — угловая скорость (рад/с) п — частота вращения ротора, мии~*
290 Расчет деталей турбомашин К* N 1 п ?*л\ 1 ' W /' 6) а) Работа этих сил для всей лопатки I Ац = J [w (г) dC (г) + о + 0,5</ (г) Су (г)) dz. (67) Множитель 0,5 во втором члене правой части равенства (67) связан с тем, что сила dCy увеличивается пропорционально перемещеняю у. Перемещение сечения г в радиальном направлении z г w (г) = Г dw = - 0,5 f ["4^T<k. о о (68) Рис. 25. К расчету работы центробежных сил при колебаниях лопатки так как согласно рис. 25, б — dw = ~\/dz2 + d4f — .*«4-'А- Из выражений (66)—(68) и (51) следует: О)2 Пц = —Ац= cos2 pt~Y X X К Р (г,+ *) F (z) X "ЯТЬ*- о -Jp [Ч (z)]*»»1 a (*)f (*)&}•
Закрученные лопатки 291 Добавляя величину Яц к выражению потенциальной энергии деформации изгиба (53), получим для слабо закрученной лопатки (при cos а ж » const) вместо (54) следующую формулу: / = ]/fl + Вп\, (69) где /о — частота неврашаюшейся лопатки, Гц, определяемая формулой (54); В — коэффициент, I В \ (r0 + z)F (г) X X $[ йгх j dzx dz [ г\> F (г) dz ■ cos2 a, (70) лс = <в/2л = я/60 — число оборотов в с. Коэффициент В можно определить, задавшись приближенно формой прогиба г] (г), например, согласно формуле (58). Для лопатки постоянного сечения В = 0.833Л -)- 0,5 — cos2 a, (7i) где Х= Dcpil. Для лопатки с линейным изменением площади при задании формы прогибов согласно формуле (55) в _ 0,151Я + 0 049 х 0,206х + 0,051 + 0,091%+ 0,04 0,206х-г 0,051 - cos2 a, (72) При % = 0,5 это дает В = 0.8U + 0,37 — cos9 a. (73) Формулой (73) приближенно можно пользоваться и при других значениях "/. а также для расчета лопатой со степенным законом изменения пло- Щялрй при т ■= 14-3. При колебаниях в плоскости вращения (а = 0) влияние центробежных сил иа увеличение частоты проявляется 10* слабее, чем при колебаниях в осевой плоскости (а = 90°). Для турбинных лопаток учитывают влияние снижения модуля упругости с повышением температуры, что приводит к снижению частоты (см. ниже рис. 45, б). Так как величина В не зависит от упругих свойств лопатки, то собственную частоту вращающейся турбинной лопатки определяют по вытекающей из (69) формуле flET- + Bnl> (74) где Еь, ЕТ — модули упругости материала лопатки соответственно при нормальной и рабочей температуре. ЗАКРУЧЕННЫЕ ЛОПАТКИ Для обеспечения высоких КПД рабочие лопатки компрессоров и турбин при DPD/7<10 обычно выполняют закрученными (с переменным углом установки а). Полный угол закрученности Да = а (Г) — a (0) достигает 45—60°. Слабо закрученные лопатки. Для слабо закрученных лопаток с относительной толщиной сечений 6/6 > 0,2, а также для лопаток, у которых параметр закрученности Y=- 6гДа. б/ ' 1, влияние закрученности проявляется только в изменении положения оси наименьшей жесткости | по длине лопатки. Жесткости на изгиб £У| и на растяжение EF остаются без изменения. Упругая крутизна оси при нз- ги*р в плоскости наименьшей жесткости Щ(г) *t{*)=-EJl(z) __ [^(г) «*«(*) + + Mtt (z) sin a (г)] (75)
292 Расчет деталей турбомашин связана с кривизнами оси .ипатки в неподвижной системе координат х, у, г (см. рис. 7) соотношениями d2y хх = — — = х5 cos a; х» = dz* d2*^ dz2"" х. sm а, (76) где а: (г), у (г) — прогибы в направлении осей х, у- Таким образом, <Рх_ dz2 sin a щ(м.,«*а + + м d?y dz* cos а EJ\ sin а); (Мх cosa-f- + MUis\na). (77) Соотношения (77) позволяют рассчитать статические прогибы и провести расчет на колебания слабо закрученных лопаток. Изгибающий момент MXi вызывает в этом случае прогиб не только в направлении оси у, но и в перпендикулярном направлении вдоль оси х, т. е. лопатка испытывает «косой» нзгиб. Для более сильно закрученных лопаток, особенно с тонкими профилями, закрученность вызывает изменение же- сткостей на изгиб и растяжение и приводит к появлению связи между деформациями изгиба, растяжения н Ив, Рис. 26. Удлинение наклонного волокна закрученной лопатки при повороте сечений кручения. В этом случае лопатку рас- счишвают как закрученный стержень. Основные соотношения теории закрученных стержней. В закрученных лопатках продольные волокна представляют собой винтовые линии. На рис. 26 показано одно из таких волокон, находящееся на расстоянии £ от оси и соединяющее две соответственные точки в сеченнях г и г -f dr (принято т] < |). Угол наклона волокна где a„ — угол начальной закрученное™. При деформациях лопатки закрученность меняется a = Оо -J- 0 и угол наклона волокна становится равным р = р, + ДР - Б da /dag dQ dr ~*\dr + dr У при этом длина наклонного волокна dl0 увеличивается на отрезок dr dr Ш = cos Р cos р0 В лопатках углы Р„ и Р, как правило, не превышают нескольких градусов, что позволяет считать sin р0 ж tg Р0 ж Р0; cospo»i-0,5p2, и аналогично для р. Тогда при Рд < 1 4-(е2-е?) = Ad/: и дополнительная относительная деформация, связанная с поворотом на- dQ da0 клониого волокна, при -*" dr dr будет двв,*« .Ё®.^.. (78) dl0 dr dr *
Закрученные лопатки 293 Суммируя величину Ае с относительным удлинением стержня при плоском изгибе (см. с. 336), для закрученной лопатки получим . = *+ч£ + ££е'. (79) dr dr dr где е0 — удлинение волокна, совпадающего с осью лопатки; <р — угол поворота сечеиия относительно оси наименьшей жесткости \. Поворотом сечений относительно оси т) можно пренебречь Напряжение в наклонном волокне, практически равное напряжению в поперечном сечении, 1 dQ_da, \ ^ dr dr 5 ) • Из условий равновесия adF = N; [ оц dF = М5, (80) (81) (где Л' — растягивающая сила; Мj — изгибающий момент в сечении лопатки) следует: '(*'• + §£'-)- > <82) Здесь учтено, что оси £, г\ проходят *1ерез центр тяжести сечения / ~ 0), и обозначено Jp~Jr) = \t*dF; проходят jr,dF = («3) В закрученных лопатках крутящий момент в сечении Мк уравновешивается не только моментом касательных dQ напряжений GT —г- (см. гл. 18), ио и моментом проекций нормальных напряжений в наклонных волокнах на плоскость поперечного сечения ав„ (рис. 26), так что da с GT^r+ia№dF = Ma (84) или с учетом формулы (80) dQ , „ da„ «и-f+ *$(■* + +f'-) Ми (85) где r' = r + -5-(^)aI^dF- <86> Подставив в равенство (85) выражения для ej и ~- из уравнения (82), найдем dQ dr aetN + ae<tMi + авМк, (87) где aee, ae<p. "e — коэффициенты податливости; a9 = GT' &)' * (88) ,2 ,2 X|i£. + l£6 Подставив выражение (87) в равенство (82), получим е„ = atN + аефМ{ + аееМи; -р = афеЛ/ + афМ| -\- а.увМк, (89)
294 Расчет деталей турбомашин где ое = Яф : EF \+авЕ Eh flee + а@Е (da0\ \d~r) Ji '<М* JPl век вве! вфв = а9ф; (90) Для незакрученнон лопатки —^ = = 0 и соотношения (87) и (89) принимают обычный вид: dr М к . G7" 8о: N EF' 4<? ~dr '' Ml (91) Выражениями (9!) можно пользоваться также при расчете слабо закрученных лопаток и лопаток с относительно толстыми сечениями. Для сечений, симметричных относительно хорды профиля, величины Jpl = 0, аф9 = абф = 0, аф = 1/Е/|, т. е. основное соотношение теории изгиба неза крученных стержней ^ф _ /И| Чг ~Е~Л остается в этом случае справедливым и для стержней закрученных. Выражениями (91) можно приближенно пользоваться при расчете на изгиб лопаток со слабо изогнутыми сечениями (примерно до Л'б =SC 0,3, см. рис. 13). В закрученной лопатке жесткости на изгиб и растяжение убывают, жесткость на кручение возрастает, а все виды деформаций оказываются взаимозаменяемыми. Геометрические и жесткостные характеристики закрученных лопаток. Определение основных геометрических и жесткостных характеристик, необходимых для расчета закрученных лопаток, может быть выполнено по следующим приближенным формулам. J p « ;„-_•= 0,0833V36; Т = О.ЗЗЗЗ^Ьб3; \l*dF=0, 0125£ГЬ66; «8 GT 1 + + 0,0333(l+v)A;v2 1 + 1,067/г?(?2 ■ + 0,0417(1-(-v) х X k'Fy*aQGT]; EJ% + 0,0356(1 +\)к^ yaeGT 1 -f- l,067kqcp ае9 = — 0,0833£геТбае 0,267^Ф9?7 1 -f l ,067kqq2 цфе • вв. b2 dan где q (92) h . T'' У 6 dr Коэффициенты k находят по данным рис. 1 4 в зависимости от значения коэффициента kF — Flbb, определяемого по фактической площади сечения. Ориентировочно можно считать kF = 0,70-^0,75. Момент инерции Jp определяют по формуле (32). Раскрутка от центробежных сил. Центробежные силы, действующие на лопатку с прямой осью, приводят к по-
Закрученные лопатки 295 явлению в поперечных сечениях лопатки растягивающей силы N (г) = С (г) (93) [см. формулу (2)] и крутящего момента (рис. 27) R Мк = рсо2 (" [xydFdrx ~p<o2j г F Jj^dr. (94) Введя формулы (93) и (94) в выражение (87) при Mi = 0 и проинтегрировав его по всей длине лопатки, найдем, что конец лопатки повернется на угол R 9 (Я) = роз2 j аее {г) X X j rxF (п) Л-! + а9 (г) j /„ (гх) X х.^У^ dr. (95) Для равномерно закрученной лопатки постоянного сечения при k„ = = 0,7 и v= 0,3 0(Я) = — 0,65 X gp to + 0.885?2 Да (т)" + 0.885./2 + 0,0364 у2 (96) угол полной закрученности; Ь \ I Ь а а„ опреде- где Да '-"(-J-Xi): ляется формулой (5). Из выражения (96) следует, что центробежные силы уменьшают начальную закрученность лопаткн. С увеличением начальной закрученности угол 6 (R) вначале возрастает, а затем, достигнув максимума, начинает убывать (из-за увеличения крутильной жесткости лопатки). Угол G (R) может составлять не- йСы=рш1ПРц ctCM = paJ2rdf~„ Qu'yNdFN pu)lyMd.FM /HFM Рис. 27. Возникновение крутящего момента от центробежных сил сколько градусов, что необходимо учитывать при газодинамическом расчете. Так как для разных материалов р/Е « я» const, а а„ = р, то угол 6 (R) практически ие зависит от материала лопатки. Упругое удлинение лопатки. Подставив формулы (93) и (94) в первое выражение (89) при Mg = 0 и проинтегрировав его по всей длине лопатки, найдем, что лопатка удлинится на величину Д/ = рю2 j аЕ (г) j rj> Ы dn + r„ L r R , . f . , . sm 2a0 (rr) , + ^8 CO j /ri (ri) f^^l dr (97)
296 Расчет деталей турбомашин Для равномерно закрученной лопатки постоянного сечения при kF = == 0,7, v= 0,3 Д/ = X = A'y ( 1 + ■ + 0,510 -f- 0,885q2 -|-0,885(?2-h 0,0364v2 (98) где Д/у — определяется формулой (11). С увеличением начальной закручен- ности удлинение Д/ возрастает. Напряжения от центробежных сил. Пренебрегая влиянием крутящего момента, можно считать е0 « a^N; dm s, d9 ■■ abeN, а распределение напряжении согласно формуле (80) будет определяться выражением dr a^acp[l+£MP(^)2 ,-r)]. X [^ (99) где среднее напряжение по сечению аср определяется формулой (2). В закрученной лопатке напряжения от растяжения распределяются по поперечному сечению неравномерно. В центральной части сечения напряжения выше средних, у кромок — ниже. У оси лопатки (| = т) = 0) где о (0) = k0acp, k0 = EFat. ■■ + ** (-3?) ,» Л (100) Зависимость коэффициента параметра Здкрученности у = я0 от 6 dr и относительной изогнутости профиля q = hlb приведена на рис. 28. Графиком можно пользоваться для приближенной оценки максимальных напряжений от центробежных сил в закрученной лопатке. Прн растяжении тонких, сильно закрученных лопаток на кромках появляются сжимающие напряжения, что может привести к короблению кромок. Рис. 28. Зависимость коэффициента увеличения напряжений в закрученной лопатке Л0 от параметров 7* Я Колебания лопаток. При колебаниях закрученной лопатки по основной форме Л/ « О, ,И„ « 0 и dm IF = a^Mi; d9 „ авф dm (101) Для такой же незакручениой лопатки dm ~dr где -± = ауоЩ, (102) "Фо - EJi ■ Из сравнения выражений (101) и (102) следует, что основную частоту колебаний закрученной лопатки можно приближенно определить теми же методами, что и основную частоту соответствующей незакручениой лопатки (см. с. 285), но с заменой момента инерции сечения J§ эффективной геометрической жесткостью на изгиб J'|, где & £а,р = Л +«*(£)■£ —1 (103)
Закрученные лопатки 297 Для равномерно закрученной лопатки постоянного сечения при kp = = 0,7 и v = 0,3 где /о — частота колебаний соответствующей иезакручеиьой лопатки. Основная частота колебаний убывает с увеличением параметров закру- чеиности v = —а г1 и относительной ' б ёг изогнутости профиля ц — Л/б. Из формул (101) следует, что изгиб- ные колебания закрученной лопатки сопровождаются поворотом сечений. Относительный угол поворота периферийного сечения лопатки ,где 1] (R) — перемещение конца лопатки, перпендикулярное хорде. Для равномерно закрученной лопатки постоянного сечения при kp — = 0,7 угол ё^ = °'24ттшб4?- (106) Таблицы для расчета основной собственной частоты колебаний закрученных лопаток. Первую собственную частоту колебаний консольных закрученных лопаток, Гц, рассчитывают по формуле где / — длина лопатки, см; б (0) — максимальная толщина корневого сечения, см. Значения коэффициента А. приведены втабл.5*,гдеГ^ш— (щ-)- параметр закручениости (Ь — хорда - лопатки, см; принята постоянной по ее длине; Да — полный угол закручеи- * Ртсчеты выполнены В Н. Тюленевым и В. А. Рудавцом по методике работы [3] иости, градусы); q (0) = -±-j- — относительная изогнутость корневого сечения; 6=6 (1)16 (0), Я = h (l)/h (0), (б (/) — максимальная толщина, h (/) — стрела изогнутости периферийного сечения). Таблица рассчитана для lib = 1,5, ио при определении X ее можно использовать и при других значениях отношения lib, так как его основное влияние отражено в параметре у. Пример. Найти первую собственную частоту колебаний для лопатки, данные которой были приведены в примере на с. 288 при угле закручениости Да = 54°. Определяем 82-54я V~ 0,6-20-180 = ' 4(0) = £|=1.333; 0 2 0 2 6 = ^0,333; *= |£| = 0.2Б. По табл. 5 путем линейной интерполяции находим X = 0,20 и /=5,1-10^0,20 = = 765-0,20^ 153 Гц. Учет зякручрнности привел к заметному снижению основной частоты коле.бяиий. В уточненных расчетах лопатки турбоматии рассматриваются как оболочки переменного сечения с закру- чечно-иэогнутой срединной поверхностью Их статические и динамические численные расчеты проводят на ЭВМ. Используются в основном различные вариационные методы Рчтда, конечных элементов. 0,0316<7V (1 -f 0,885<72) (1 -f- 0,0364v2) (104)
298 Расчет деталей турбомашин 5. Значения V коэффициентов ХДЛ, И Ь 0,1 0.5 1,0 Я (0) 0 0.5 I 0 0.5 I 0 0,5 1 Первая форма hi 0 1 2 5 10 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0.180 0.197 0,217 0,196 0,218 0,193 0,206 0,186 0,192 0,183 0,185 0,242 0,283 0,236 0,583 0,225 0.264 0,203 0.222 0,189 0.197 0.148 0.159 0.168 0.159 0,167 0,158 0,165 0,153 0,157 0,150 0,152 0.190 0,218 0,188 0.214 0,183 0,206 0,168 0,181 0,157 0.162 0.136 0,146 0,150 0,145 0,150 0,144 0,148 0,141 0,143 0,138 0,139 0,171 0,187 0,169 0,186 0,166 0,181 0,155 0.164 0.144 0.148 0 ! 2 5 10 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0,404 0,440 0,517 0,588 0.574 0,404 0,437 0,422 0.511 0,469 0.597 0.577 0,578 0,578 Вторая 0,404 0,435 0,421 0,507 0,459 0,622 0,565 0.590 0.590 форма 0,449 0,463 0,500 0,698 0,669 0.449 0,463 0,461 0,500 0.495 0,697 0,656 0.675 0,677 0.449 0,463 0,461 0,501 0,493 0,700 0.641 0,691 0.697 0,480 0,488 0,514 0,665 0,789 0,480 0,489 0,488 0.514 0.514 0,666 0.661 0,796 0.797 0.480 0.489 0,489 0,513 0,514 0.669 0.658 0.816 0,819 0 1 2 5 10 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 593 0,592 0.592 0,810 1,317 0,643 0,684 0.635 0,709 0,628 0,727 0,814 0.856 1,339 1.277 Третья 0.ь84 0.684 0,710 0.700 0.693 0,743 0,825 0,943 1,346 1,200 форма 0 709 0,709 0.707 0,700 1,151 0,748 0.837 0.745 0,826 0,73 8 0,805 0,716 0,786 1,153 1,161 0,849 1,082 0,836 1,034 0,812 0,980 0.755 0,906 1,156 1,189 0,853 0.852 0,850 0.835 1,040 0.891 0,944 0.888 0.939 0,881 0,926 0.853 0.883 1.040 1,050 0,987 1,177 0.979 1.154 0.962 1,109 0.8«8 0,996 1.0*3 1,082
Шарнирные лопатки 299 ШАРНИРНЫЕ ЛОПАТКИ В некоторых конструкциях осевых компрессоров применяют лопатки с шарнирным креплением к диску, что накладывает определенные особенности на их расчеты. Кинематика, Схематическая картина шарнирного замка показана на рис 29, где Рш — painyc штифта (пальца) шарнира; рг — радиус отверстия в проушине лопатки Для простоты считаем, что штифт жестко закреплен в диске. Относительный радиальный зазор в шарнирном соединении Pi —Рш Pi (107) Обычно Д = 0,О5-т-0,15. Центробежные силы прижимают лопатку к штифту так, что в исходном положении линия контакта лопатки С© штифтом проходит через точку А (рис. 29, а). При отклонении лопатки на угол ф линия контакта перемещается в точку В, определяемую утлом if (рис. 29, 6К При малых отклонениях движение лопатки происходит путем обкатывания без скольжения, т. е. дуги АгВ и АВ между собой равны или РшН' = Pi (Ф — Ф). откуда ф = ъФ, (108) где -^ (109) При движении лопатки как твердого тела перемещение произвольной точки М с координатами у, гш складывается из перемещений от поворота лопатки относительно точки А v' = —у (1 — cos ф) + + гш sin ф « —0,5уф2 + гшф; w' = —у sin ф — гш (1 — cos ф) « «а —уу _ 0,5гшф2 и перемещений самой точки А из-за обкатывания, равных v", w". Из рис. 29, б следует: —v" = p, sin Ф — (Pi — рш) X X sin ф да рхф — (Pl — рш) г|>; —И)" = pj cos ф — [рш + + (Pl — Рш) COS lj>] Я8 « 0,5 (pj - рщ) ф2 — 0,5р2ф». С учетом выражений (108), (109) найдем, что сЛдаО; w"~~0,5 - ршр1 Фг = Pi —Рш = —0,5рш71фг. Суммируя оба вида перемещений, получим v = -0,5(/ф2+г, и) = —г/ф —0,5 (гш + р пф; | PinTi) Фг- У 10) При малых зазорах, когда Yj велико, радиальное перемещение точек Оси лопатки (у = 0) от обкатывания в шарнирном замке соизмеримо с перемещениями от поворота. Маятииковые колебания лопатки. При основной форме колебаний шарнирной лопатки ее деформации обычно невелики, что позволяет приближенно считать лопатку твердым телом, совершающим маятниковые колебания с обкатыванием в поле центробежных сил. Кинетическая энергия колебаний лопатки ™Ис. 29. Схема обкатывания лопатки ■ шарнирном замке
300 Расчет деталей турбомашин где или с учетом выражения (ПО) с точностью до квадратичных членов V = J (*У+ ',■)*■ (пз) L Здесь интегрирование ведется по всей длине лопатки L. Величины Jxl = = I у" dF обычно малы по сравнению F с zJ,F и ими можно пренебрегать. Потенциальная энергия колебаний жесткой лопатки равна работе центробежных сил с обратным знаком: П = -Ац = -р®» f [yv + (rA + + tm)w + 0,5(vi-\-wi)]dV, (114) где г. — радиус точки контакта лопатки со штифтом; лопатка колеблется в плоскости вращения. Введя в равенство (114) выражения для перемещений (110), получим с точностью до квадратичных членов П = 0,5р<о2 [rASA + + РМЗа + »аУ)]ф«, (Н5) где sa = [ 2mdV = JzmFdz, (116) а V = I F dz — объем лопатки. L Полагая ф = ф0 sin pt и приравни- вая Ктах = /7тах, найдем значение квадрата коэффициента настройки частоты при маятниковой форме колебаний лопатки: _ ГА*А+ Wl(SA+rAV) Обкатывание в шарнирном замке увеличивает частоту колебаний лопатки. Шарнирную лопатку следует проектировать так, чтобы величина qM не равнялась и не была близка к целому числу (например, выбирать qH в пределах 1,3—1,7 или 2,3—2,7 и т. д.). Этим обеспечивают отстройку лопатки от возбуждения колебаний по маятниковой форме силами, частота которых кратна частоте вращения. Если штифт посажен в диск с зазором (ра > рш, где ра — радиус отверстия в диске), то приближенно <7* = rS/J, где rS = rASA(Ya-2) + rcScYl + + РшУЛР a + 'aV)\ J = JA(Vt — 2) + JcYi. где Y2= Р2/(Р2-РШ); гс - радиус точки контакта штифта с диском; Sc, Jc определяется теми же формулами, что и SA, J а, но с заменой координаты гш на гш — 2рш. Расчет на изгиб. При отклонении шарнирной лопатки на угол ф центробежные силы дают в текущем сечении лопатки изгибающий момент (рис. 30) I мп= С (»i — i>W= — р<о2фХ X j F («mi — r^m) dimi, (1 8) *ш (117) где v = фгш, [>! = фгШ1, a dC определяется согласно формуле (1). Так как г = гА + гш, r1= г А+ + гШ1, то I Mn=-pcoVA {^(гш1-гш)^ш1. гш Интегрируя последнее выражение по частям, получим Мц = —р<о2фгА X l l X J j Fdzmtdzml. (119)
Шарнирные лопатки 301 г,> ■ ш С к ' 4 А :_ 1 / /М(г,) V, ¥ f V / ■ —// V7>5 У / з / / / / ** / Рис. 80. К расчету изгибающего момента от центробежных сил при отЕЛОиении шарнирной лопатЕИ Суммируя момент Мц с моментом от газовых сил МТ, получим ^х1(2ш) = Мг(гш)-Рш>АХ X j j F (zm2) dzm3 dza (120) В начале координат (при гш = 0) момент относительно точки А Mxl(0) = A*A = MrA-pG)VA5A, (121) где МГА = Мг (0) SA = J J F (zma) dzmi dzml = о *„ J tmF (*ш) ^гш- В то же время сила реакции, проходящая при обкатывании через точку контакта В (см. рис. 29) и равная центробежной силе Сп = ро>яРл> где / Рл= ^rFdzm, о дает относительно точки А момент МА = СЛАВ = р<й2рш71фЯл. (122) так как согласно рис. 29 и формуле (108) __ АВ » ршг|? = рш71ф. Приравнивая выражения (121) и (122), найдем МгА Ф = Р^СА+РшТА)' (123) Таким образом, изгибающий момент в текущем сеченни шарнирной лопатки Мх1 (гш) = Мг (гш) — l I МГАГА \ J '(««) «ЦщЧп rASA + PmVn (124) Для шарнирной лопатки постоянного сечения F = const, нагруженной на длине пера /п постоянной газовой нагрузкой рг = const (рис. 31), формула (124) принимает вид Mxl{'m) = Kl{*m)lm. <125> где M°xi (гш) = 0,5рГ (/„ - г)» - изгибающий момент в лопатке, жестко заделанной по корневому сечению (0 < z < /п); Х,ш — коэффициент влияния шарнирного закрепления: т N а р = const fiu ^i7 Рис. 31. Изгиб шарнирной лопатки постоянной газовой нагрузкой
302 Расчет деталей турбомашин 1 \ ^и V =4 Рис. 32. Типичное распределение изгибающих моментов по длине пера: / — жесткой лопатки, 2 — шарнирной лопатки с учетом обкатывания; 3 — шарнир* ной лопатки без учета обкатывания (или при рш ♦ 0) , ln{2~lu)fA . Ш ^ + ^(' + 2^)' (126) здесь 1= — , га=~Г' Рш = —• При обычных значениях praYi * « 1,0-7-0,5; гд*1-гЗн?пйО,8-г 0,9 величина Кш « 0,3—0,6, т. е. напряжения в пере шарнирной лопатки значительно ниже, чем напряжения при жесткой заделке. Смещение точки контакта нз-за обкатывания приводит к эффекту упругого защемления, поэтому уменьшение напряжений в реальной шарнирной лопатке оказывается меньшим, чем в идеализированном случае при рш = 0. Типичное распределение изгибающих моментов по длине пера жестко заделанной и шарнирной лопаток показано на рнс. 32. БАНДАЖИРОВАННЫЕ ЛОПАТКИ С целью повышения вибрационной прочности и уменьшения газодинамических потерь лопатки газовых турбин делают иногда с бандажными полками (рнс. 33). Полка создает дополнительную центробежную нагрузку Са = pcoHVn, (127) где Vn — объем полки; гп — раднус расположения полки. Напряжения в пере бандажирован- ной лопаткн °(г)== С(ГР(1)СП-- (128) Полку рассчитывают на нзгнб ст центробежных сил как консольную балку переменного сечения, заделанную в сечении, прнмыкаюшем к перу. Изгибающий момент в сечении у, (рнс. 34) М (х) = po)Vn I h{x,)b (xj (х — Xi) dx1 о или M (x) = po)Vn [xV (x) - S (x)],' (129) Рнс. 33. Лопатки с бандажными полками ?cozrnf?{x7)b(xr)dx7 Рис. 34. Нэгиб бандажной полки центробежными силами
Бандажированные лопатки 303 где V(x) = ^h(x1)b(x1)dx1 S (*) = J Xlh (Xl) b (xt) dxt. Напряжения нзгнба o(x) = M(x) W (x) ' где W(x) = -jrb (x) № (x) Во избежание перегрузки периферийных сечений полку следует хорошо центрировать относительно пера лопаткн, а переход полки в перо делать плавным. Бандажированные лопаткн обычно ставят на колесо с некоторым натягом. Если сх — жесткость бандажной полки на сжатие (включая смятие по контактным поверхностям), а са — жесткость лопаткн на крученне, то из рнс. 35 следует, что для ступени с бандажнрованнымн лопатками в собранном состоянии должны удовлетворяться следующие соотношения: tn cos Р = Ь; АЬ = Ь — Ь0 = -?~ (130) ДР = Р - Ро Ptn sin р Где /п = 2ягп/г — шаг лопаток на радиусе расположения полок; Ь0 н Ь — расстояния между контактными поверхностями соответственно до н после сборки; Ро н р — угол наклона контактных поверхностей к окружному направлению до и после сборки, Р — сила контактного давления между бандажными полками. Если задана геометрия полкн в собранном состоянии и выбрана сила Р, то по формулам (130) определяют значения 6„ н Р„ для отдельной лопаткн: А„ = * + ^; p0 = p + Zk!i£P-. Если известны размеры и форма полкн отдельной лопатки (Ь„, Ро), Рис. 35. К расчету натяга по бандажным полкам то, считая угол упругой закрутки лопаткн при сборке малой величиной, т. е. sin Р = sin (Ро + ДР) * ~ sin Ро + ДР cos Ро! cos Р = cos (Ро + ДР) ж « cos р0 — ДР sin Ро, получаем из третьего уравнения (130) ДР = _ £!*. (sin Ро + ДР cos Р„), са откуда (Ptn sin Pq)/c2 др = - 1 + (Ptn cos P„)/ca (131) Тогда, подставив в первое уравнение (130) значения Ь и Р0, получим tn £cos Р„ + 4 (P'nshft.yc, -шВ1_ + l + (WncoSp„)/Ca slnP°J- h p откуда приближенно d ^ 6„ — tn cos Pq t* (132) (tn _1_ Жесткость полкн на сжатие сг обычно гораздо больше, чем жесткость лопаткн на крученне са, так что первым членом в знаменателе формулы (132) можно пренебрегать. Значение угла ДР можно найтн как по формуле (131) через Р, так и непо-
304 Расчет деталей турбомшиин средственно по приближенной формуле лв ~ cosPq —cosP _ ■ sin р„ Ьп — t„ cos Pn t„ sin p„ (133) Величину с2 находят по формулам, для незакрученной лопаткн dz GT(z) для закрученной лопатки J ae(z)dz о (134) Мерой натяга по бандажным полкам служит контактное давление Р °КОНТ — г- I ' конт где Fkoht — площадь поверхности контакта. Обычноаконт — 20-н-40МПа. Иногда натяг характеризуют величинами —2= гп, нлн Ь„ — tn cos Pn, cos p„ которые могут достигать значений ~ 1 мм и являются показательными лишь прн сопоставлении однотипных лопаток В рабочих условиях натяг по бандажным полкам меняется, так как меняются все параметры, влияющие согласно формуле (132) на силу Р. Шаг tn увеличивается из-за нагрева диска и лопаток и растяжения их центробежными силами. Изменение шага Д/п связано с радиальным перемещением диска на наружном радиусе и (Ь) (см. с. 317) н с удлинением пера лопатки Д/ (см. с. 273) формулой Ыа = -^-[и(Ь) + М]. (135) Размер полки Ь0 увеличивается нз-за ее нагрева на величину Д60 = а ДТП60, (136) где АТП — изменение температуры полки. Угол Ро увеличивается (по абсолютной величине) из-за раскрутки пера лопатки в поле центробежных сил (см. с. 294) на величину 6 (R). Жесткости сх и с2 уменьшаются пропорционально изменению модуля упругости материала лопаткн с повышением температуры. Увеличение шага и уменьшение жест- костей снижает натяг, увеличение размера полкн и раскрутка пера лопатки прн положении контактных площадок для турбин правого и левого вращения, показанном на рис. 35, ведут к усилению натяга. РАСЧЕТ ЗАМКОВ ЛОПАТОК Конструктивные формы лопаток весьма разнообразны. Для лопаток газовых турбин часто применяют замок елочного типа (рис. 36). Идея этой конструкции связана с применением равнопрочной формы Профиль зубцов напоминает профиль упорной резьбы. Применяют от двух до шести пар зубцов. Угол между средними линиями зубцов составляет обычно 25—40°. Если на зубец действует сила Рг, то напряжения изгиба в основании зубца (рис. 37) определяют по формуле где bt — толщина обода на радиусе, соответствующем рассматриваемому зубцу (см. рис. 36). Напряжение среза При расчете принимают, что усилие Pi направлено нормально к контактной поверхности (силы трения не учитывают) Если толщина обода постоянна (Ь, — const), то неличину Р, Рис. 36, Замок елочного типа
Расчет замков лопаток 305 Риг. 37. К определению напряжений в зубце замка определяют из условия, что нагрузка иа все зубцы одинакова: где Сц — центробежная сила, действующая на всю лопатку; п — число пар зубцов в соединении; а — угол между рабочей гранью и направлением, перпендикулярным к оси замка. При переменной толщине обода {см. рис. 36) предполагают, что контактные напряжения на всех зубцах одинаковы. Тогда нагрузка на i'-й зубец будет р.= Сл ь_1 ' 2cosa (&1 + &2H \-Ьп) ' (140) Напряжения растяжения в хвостовике лопатки определяют в сеченнях по впадинам. В сечении / (рис. 38) растягивающая сила Qx= Cn-f-Ci. где Сп — центробежная сила профиль- ион части лопатки; Сх— центробежная сила чисти лопатки между корневым сечением и сечением / (объем этой части V\\ он включает и нижнюю полку лопатки) Если площадь сечения / будет F, = = афх, то растягявающее напряжение В ееченни // растягивающая сила С?а = Сп + С, + Са — 2Р, cos a, где Рх — сила , приходящаяся иа первый зубец замка. Растягивающее напряжение с» Для сечеиия /// Qi-CB+C1+C1+CI- — 2 (Р, + Р2) cos a и т. д. Наиболее важным для оценки прочности хвостовика лопатки является напряжение Oj по первой впадине. Приближенно • 0l = (l,l+ 1,2)-£н-, причем центробежная сила профильной части лопатки Сп = о (/■(,) F (г0), где а (/■„) — растягивающее напряжение в корневом сечении лопатки, площадь которого равна F (г0). Величину а (/■„) определяют по графикам (см. рис. 4—6) Запас статической прочности хвостовика лопатки определяют по формуле где адл — предел длительной прочности материала при температуре хвостовика лопатки (обычно температуру Рис 38. К определению напряжений растяжения в хвостовике лопатки
306 Расчет деталей турбомашин в сеченчн принимают на 100—150 "С меньше средней температуры в рабочей части лопатки). Напряжения растяжения по первой впадине зубцов обычно находятся в пределах 100—180 МПа. Для обеспечения равнопрочности профильной части лопатки н замка прн действии вибрационных нагрузок момент сопротивления замка должен быть (W— наименьший момент сопротивления корневого сечення лопаткн). Этим условием учитывается влияние концентрации напряжении в замке. Расчет на прочность замковых выступов диска приведен ниже. Для лопаток компрессоров часто применяют крепление лопатки замком типа ласточкин хвост (рнс. 39). Применение замка этой конструкции для лопаток турбины ограничивается прочностью перемычек диска, которая прн большом • числе лопаток оказы- ваегся недостаточной. Глубина замка h составляет обычно 6—12% длины лопаткн. Угол а применяют в пределах 15 — 30°. Центробежная сила профильной и замковой частей лопаток уравновешивается усилиями N, действующими на боковые грани (рис. 40). Пренебрегая силами треиия, получим N =-o^—, (141) 2 sin a v ; где Сл — центробежная сила профильной и замковой частей лопатки. Напряжения смятия на боковой Рис. 40, Усилия в замке типа ласточкин хвост поверхности замка от действия растягивающей силы °li) = -jr— = -otrJ1—- С42) см F0M 26c sm а ч где ft и с— длина и ширина полоски контакта. Условно считают, что эти напряжения распределяются равномерно по площади контакта (рнс. 41). Допустив, что контактные напряжения от действия изгибающих нагрузок распределяются по линейному закону, получим, что наибольшее контактное напряжение 0,.,= 6(А^С5,| (143) где М — изгибающий момент в корневом сечении лопатки от действия аэродинамической нагрузки н первоначальных выносов; Сп — центробежная сила профильной части лопаткн; е— смещение центра тяжести корневого сечения лопатки от оси замка. Суммарные напряжения смятия Допустимую величину асм принимают в пределах 50—100 МПа для дюралюминиевых и 200—350 МПа для стальных лопаток. Усилие Q, отрывающее перемычку замкового выступа диска, определяют нз условия равновесия Рис. 39. Замок типа ласточкин хвост Q = 2N sin (a + 0,50) + С
Расчет вамков лопаток 307 Рис. 41. К определению напряжений смятия где Р— угол между осями лопаток Ф ■= 2зт/г; z—число лопаток); Св — центробежная сила замкового выступа. Учитывая равенство (141), находим При & -*■ 0 величина Q->-co, поэтому применение малых углов а (а < 15°) невыгодно. Прн большом числе лопаток (г >■ 50) и угле а > 20° можно считать Q « ~ Сл ~г Св. Напряжение, растягивающее перемычку, где Fuep— площадь сечения перемычки. Обычно величина а ие превосходит 300 МПа для стальных дисков. При широких перемычках может произойти разрушение уголков (рис! 42). Уголки рассчитывают на срез или на изгиб. Шарнирные замки (рис. 43) рассчитывают на разрыв проушины по сечению А — А. Опр р , г пр Рнс. 42. Возможное разрушение широкой перемычки диска где С — центробежная сила части хвостовика лопатки до сечеиия А — А; Fnp— площадь этого сечения. Кроме того, эти замки рассчитывают на смятие по поверхности контакта лопатки со штифтом, причем определяют средине напряжения смятия и максимальные контактные напряжения. Средние напряжения смятия ■"-Рш'ш где Сл— центробежная сила всей лопатки; рш— радиус штифта, /ш — суммарная длина частей штифта, расположенных в лопатке (на рис. 43 величина /щ = lx + /a -f- Is)- Максимальные контактные напряжения (146) где pj— радиус отверстия в хвостоьике лопатки; £ь Ет — модули упругости материала лопатки и штифга. Рис. 43. Расчетные сечеиия шарнирного замка
308 Расчет деталей турбомашин Штифт рассчитывают на срез Тш = _^±^, (147) 'шгш где С'ш — центробежная сила частей штифта, расположенных в лопатках; 1Ш — число поверхностей среза (на рис, 43 их четыре); Fm — площадь поперечного сечения штифта. Дисковую часть соединения также рассчитывают на срез по сечениям Б— Б (рис. 43), на смятие от центробежных снл лопатки и штифта, а также на разрыв— по сеченням А — А между отверстиями. Шарнирные замки обладают повышенным демпфированием, почти не зависящим от частоты вращения, благодаря трению по торцевым поверхностям замка. Однако по массе они уступают замкам типа ласточкин хвост. ВИБРАЦИЯ ЛОПАТОК Расчетом достаточно точно определяют напряжения в лопатках от действия постоянных газовых нагрузок и центробежных снл, а также соответствующие запасы статической прочности. Эти расчеты служат для выбора исходных размеров лопатки при ее проектировании. Однако большинство дефектов лопаток в эксплуатации бывает связано с действием переменных напряжений, возникающих при вибрациях лопаток. Оценить уровень переменных напряжений в лопатках можно лишь приближенно, используя статистические данные по выполненным конструкциям. В процессе доводки для обеспечения надежной работы лопаток необходимо определить переменные напряжения экспериментально (тензометрирова- нием) и, если напряжения окажутся значительными, снизить их до допустимого уровня. Основные виды колебаний. Резонансные колебания вызываются совпадением одной из собственных частот лопатки с частотой переменных газовых сил, действующих на вращающуюся лопатку. Параметры газового потока (скорость, давление, температура) по окружности газового тракта имеют некоторую неравномерность. Так, непосредственно за направляющими или сопловыми лопатками скорость потока имеет меньшую величину, чем между ними («след» от лопатки). Такой же «след» оставляют разделительные стойки на входе в компрессор. Температура газа обычно имеет несколько пнков, соответствующих числу камер сгорания. К неравномерности параметров газового потока приводит также несимметричность входа в компрессор, наличие окон для отбора или перепуска воздуха, стойки на выходе из турбины, ограниченные размеры испытательного бокса и другие конструктивные особенности установки. При вращении лопатки, когда оиа последовательно пересекает различные участки газового потока, газовые нагрузки будут также меняться, повторяясь через период Т, равный времени одного оборота ротора; Т = -±-, (148) "с где пс— частота вращения, с"1. Поэтому частота возбуждения от неподвижных источников неравномерности газового потока/воэб(в Гц) всегда кратна частоте вращения ротора: /возб= Ьс, (149) где k~\, 2, 3 ... (целые числа). Величину k называют гармоникой к частоте вращения ротора. Периодически меняющиеся газовые силы рГ могут быть представлены в виде суммы рг (t) = рср + Pl sin {2nnct + щ) -\ + P2Sinl2n(2nc)t + <pt)+... + + pksta[2n{kne)t + Vk] + ..., (150) где рСр— средние значения сил на данном режиме, определяемые формулами (14); р , р рй—амплитуды сил соответственно первой, второй. ..., fc-й гармоник; ф_, ср., ..., <ph— нх фазы. При резко выраженных иеравномер- ностях наибольшее значение имеют амплитуды сил тех гармоник, которые равны илн кратны числу возбудителей
Вибрация (при шести стойках на входе наиболее сильно возбуждение шестой гармоникой, но может проявиться и двенадцатая гармоника) Неравномерности, связанные с несимметричностью входа и другими причинами, обычно вызывают целый ряд низших гармоник. Величина переменных составляющих сил обычно достигает всего нескольких процентов от средней силы, поэтому при вынужденных колебаниях лопаток напряжения в них невелики. При совпадении частоты возбуждающей силы /возб с одной из собственных частот лопатки fj, наступает резонанс и переменные напряжения в лопатке могут сильно возрасти. Условие резонанса hosO=fa- (151) С учетом формулы (148) резонансная частота вращения лопатки, мин"1, где /л— в Гц; k = 2, 3... (целые числа). С первой гармоникой к оборотам (k = 1) рабочие лопатки, как правило, не резонируют, так как с увеличением частоты вращения изгнбные частоты колебаний увеличиваются, причем частота основного тона /Л1>пс> а резонанс крутильной .формы колебаний обычно уходит далеко за пределы рабочей частоты вращения. Для компрессорных лопаток наиболее сильными гармониками являются k = 2-нб (иногда k = 8) и k = zH a, где zH. а — число направляющих лопаток перед и за ступенью. а) б) в) Рис. 44. Схема узловых линий на лопатке i баний: а, 6, б — первая, вторая, третья изгибные Формы; е — пластиночная форма лопаток 309 Для турбинных лопаток наиболее сильными возбудителями являются камеры сгорания и сопловые лопатки. Особенно легко возбуждаются колебания по основной нзгнбной форме. Нередко возникают колебания по второй или третьей нзгибным, первой или второй крутильным формам, а также высокочастотные пластиночные формы. В реальных закрученно-нзогнутых лопатках колебания носят сложный изгибно- крутильный характер, что ведет к искажению картины узловых линий (рис. 44). Наиболее наглядно резонансные частоты вращения выявляются с помощью «резонансной диаграммы» (рис. 45), на которой наносят лучи гармоник к частоте вращения и кривые изменения собственных частот лопатки с учетом влияния центробежных сил и температуры. Точки пересечения кривых собственных частот с лучами гармоник определяют резонансные частоты вращения. Резонансная диаграмма предварительно может быть построена по результатам расчета собственных частот и данным исследований лопаток на электродинамических вибраторах или с помощью пьезовозбуднтелей, а затем уточнена по данным тензометрироваиия лопаток на работающей установке. Эффективным способом экспериментального определения собственных частот и форм колебаний лопаток (отдельных или непосредственно в колесе) является голографнческая интерферометрия. г) д) е) (ри наиболее легко возбудимых формах коле- формы; г. д — первая и вторая крутильные
310 Расчет деталей турбомашин л=го Рис. 45. Типичные резонансные диаграммы компрессорной (а, <Г) и турбинной (в, г) ступеней: през — резонансные частоты вращения, пм Г — частота вращения малого газа, пэр ср частота вращения при резонансе от вращающегося срыва. О — напряжения по первой, Д — по второй форме колебаний Колебания компрессорных лопаток от вращающегося срыва также являются резонансными. Вращающиеся срывные зоны могут возникать при работе осевого компрессора на некоторых нерасчетных режимах. Срывные зоны вращаются в ту же сторону, что и ротор, ио с меньшей угловой скоростью «срыв = юсрьгв«с,пРнчемшсрыв- '(0,3-f- 0,6) Частота возбуждения от вращающегося источника неравномерности газового потока будет кратна разности частот вращения' /возб = * {пс — "срыв) = = *(! — «срыв) "с (153) где k= \, 2, 3, (целые числа). Наиболее сильное возбуждение соответствует k = гсрыв, где гсрЫв —число срывных зон. Обозначив k (1 — ©срыв) = ^срыв. приведем формулу (153) к выражению (149), но теперь число k' = £срыв может быть произвольным и, в частности, не целым. В последнем случае величину k' называют «дробной» гармоникой к частоте вращения ротора. На резонансной диаграмме резонансные частоты вращения от вращающегося срыва соответствуют точкам пересечения кривых собственных частот с лучами гармоник к' (на рис. 45, а штриховая линия k' — 2,3). Срывные колебания возникают в лопатках при работе ступени на нерасчетных режимах. При этом переменные
Вибрация лопаток 311 газовые силы не носят четко выраженного периодического характера. Колебания лопаток происходят в основном по первой форме с неустойчивой амплитудой. Сильные срывные колебания обычно возникают в лопатках компрессора на предпомпажных режимах. Автоколебания лопаток возникают сравнительно редко, но являются очень опасными из-за резкого возрастания напряжений при небольшом изменении режима. Механизм автоколебаний может быть различным. Для лопаток компрессора возможны автоколебания при закритических углах атаки («срыв- ной флаттер»). Если в некоторый момент времени скорость движения лопатки (рис. 46) при колебаниях v = = vn cos pt, то угол атаки i0 меняется на величину At « vlwx, где wl— скорость относительного движения потока. Изменение угла атаки ведет к изменению силы, действующей на лопатку, на величину АР « (tg a;) At, где аг — угол наклона кривой зависимости подъемной силы от угла атаки для данного режима (рис. 47). Переменная сила АР за период колебания Т совершает работу т Ат= Г APvdt = о т = -tgat^\s\n*ptdt. (154) о Если угол атаки на данном режиме ('„ меньше критического iKp, то tg a; > О Рис. 46. Изменение угла атаки &1 при колебаниях лопатки '■О LKp Iff Рис. 47. Зависимость подъемной силы Р, действующей на лопатку, от угла атаки t; 'кр — критический угол атаки и работа за период Лт-< 0, т. е. воздушный поток оказывает сопротивление колебанию лопатки (демпфирует колебания). Если угол атаки i0 больше критического, то tg a;< 0 и работа за период становится положительной, т. е. воздушный поток снабжает колеблющуюся лопатку дополнительной энергией (поддерживает колебания). Тогда при недостаточной интенсивности демпфирования в материале лопатки и ее замке в результате случайного отклонения могут начаться автоколебания. В лопаточных венцах возможны также автоколебания лопаток с общей частотой из-за аэродинамического взаимодействия лопаток. Для уменьшения такого взаимодействия вводят разно- частотную сборку лопгток, а также повышают их жесткость. Опасность автоколебаний возрастает, если собственные частоты изгибных и крутильных форм колебаний лопаток близки друг к другу. Рекомендуется, чтобы эти частоты отличались не менее чем на 15%. Особенности вибраций бандажиро- ванных лопаток. В ступенях, где лопатки связаны кольцевой бандажной связью, лопатки колеблются совместно, образуя некоторое число воли перемещений по окружности колеса. При четном числе лопаток г возможны 0,5г разных форм колебаний венца, соответствующих основной форме колебаний изолированной лопатки, при нечетном числе 0,5 (г — 1). С увеличением числа Р-
312 Расчет деталей турбомашин которой могут быть вызваны любой гармоникой к частоте вращения, резонансные колебания лопаточного венца с числом волн т возбуждаются только той же гармоникой к = т к частоте вращения. Поэтому резонансная диаграмма бандажироваиного колеса имеет особый вид (рис. 49), причем резонансные частоты могут меняться по частоте вращения сложным образом. Частота колебаний бандажированных лопаток возрастает с увеличением жесткости бандажной связи и (до определенных пределов) при увеличении радиуса расположения антивибрационных полок или проволоки. Бандажные связи увеличивают также механическое демпфирование в системе и способствуют уменьшению переменных напряжений в лопатках. Тензометрироваиие. Основным методом экспериментального определения переменных напряжений в лопатках турбомашин является тензометрироваиие на работающей машине в условиях, возможно более близких к эксплуатационным. До начала теизометрирова- иия необходимо для правильной ориентировки при проведении испытаний О 2000 1*000 6000 8000 /ОООО п^ин Рис. 49. Резонансная диаграмма бандажированного колеса № 500 Ш МО 350 1 % Ео 7 'too Ё1 г=п 40 '=0,1 700 */ /l ^5 71 i i 7 9 11 т Рис. 48. Изменение собственных частот колебаний бандажированных лопаток по числу воли перемещений т при разной относительной жесткости бандажной связи ЕТ воли m в указанных пределах частота собственных колебаний веица возрастает (рис. 48). В отличие от изолированной лопатки, резонансные колебания
Вибрация лопаток 313 построить расчетную резонансную диаграмму (см. выше). При первых испытаниях проволочные тензодатчики обычно наклеивают вблизи корневого сечения на спинку лопатки. При обнаружении на рабочих режимах резонансов следует возбудить соответствующую форму колебаний лопатки с помощью электродинамического вибратора или пьезовозбудителя и по тензодатчикам установить место расположения максимальных динамических напряжений. Место максимального напряжения может быть установлено также методами голографической интерферометрии. Дальнейшее тензометрирование ведут по датчику, наклеенному непосредственно в зоне максимальных напряжений, или же с использованием коэффициентов пересчета напряжений L __ °"тах аизм где ашах — максимальное напряжение; аизм — напряжение в месте измерения. Не следует пользоваться коэффициентами пересчета k > 3. Надежные значения коэффициентов пересчета могут быть получены только по результатам испытания двух-трех лопаток. Из-за разброса напряжений на отдельных лопатках тензометрировать необходимо по несколько лопаток на каждой ступени (не менее трех, а обычно по шесть и более). Предварительное тензометрирование на рабочих режимах ведут при медленном изменении частоты вращения. При обнаружении повышенных напряжений проводят тщательную настройку на резонанс каждой из исследуемых лопаток (из-за разброса значений собственных частот резонансные частоты вращения отдельных лопаток могут несколько различаться). Контроль за показаниями тензометров ведут визуально (по катодным осциллографам) и по записи на пленке или бумаге (с помощью шлейфовых осциллографов). Особое внимание обращают на правильность тарироьки аппаратуры. Если анализ резонансной диаграммы показывает на возможность попадания на основные рабочие режимы высокочастотных резонансов от сильных возбудителей (например, от сопловых лопаток), целесообразно провести тензометрирование с наклейкой датчика на кромке в верхней части пера лопатки. Для выявления разброса напряжений между отдельными экземплярами машин проводят тензометрирование по крайней мере двух экземпляров. При обработке записей определяют значения максимальных переменных напряжений, частоты колебаний и резонансные частоты вращения. По этим данным строят диаграммы переменных напряжений, которые удобно совмещать с частотными диаграммами, как показано на рис. 45. При ответственных испытаниях показания тензометров записывают на магнитную ленту с последующим спектральным анализом процесса. Спектрограмма переменных напряжений (рис. 50) позволяет установить собственные частоты колебаний лопаток в рабочих условиях fc, относительную величину гармоник возбуждения, наличие других источников возбуждения колебаний лопаток и уровень демпфирования в системе. Запас выносливости и методы его повышения. Для оценки вибрационной прочности лопаток определяют запас прочности по переменным напряжениям *=-^-, (155) , "a max где а_1л — экспериментально определенный предел выносливости лопаток с учетом асимметрии цикла; аа гаах — максимальное переменное напряжение, замеренное при тензометрировании (с учетом коэффициентов пересчета). При симметричном цикле для лопаток компрессора—стальных а_1л да да 400-н550 МПа, титановых а_1л да да 2504-450 МПа; для лопаток турбин а_1Л да 160-нЗООМПа. Обычно а_1л да да (0,5-г-0,9) а_!, где а^— предел выносливости образцов. Запас прочности должен учитывать разброс максимальных напряжений между отдельными экземплярами машин и между отдельными лопатками, неточность определения максимального
314 Расчет деталей турбомашин 0,22 0,10 0,032 и ргХ ^~^ЛЛ^ "И :CjL .Ж $У Л V \ fc л 10 К 100 zoo 300 wo 500 600 700 f,rn Рис. 50. Спектрограмма переменных напряжений в лопатке: /—10 — гармоники возбуждения напряжения при тензометрировании, возможность случайного повреждения поверхности лопатки в эксплуатации, эрозию поверхности и ряд других факторов. Поэтому для обеспечения надежной работы турбомашины запас прочности лопатки по переменным напряжениям должен быть достаточно большим (обычно п > 3). При проектировании лопаток косвенной оценкой надежности могут служить напряжения в лопатке от изгиба статическими газовыми силами (см. с. 277). Однако дальнейшее экспериментальное определение запасов выносливости лопаток является совершенно необходимым. Если запас прочности по переменным напряжениям оказывается недостаточным, он должен быть увеличен в процессе экспериментальной доводки машины. Основные пути повышения запаса прочности лопаток приведены ниже. Частотная отстройка является наиболее эффективным средством для машин с узким диапазоном рабочих частот вращения, который может быть полностью освобожден от опасных резонансов. Для машин с широким диапазоном рабочих частот вращения полезьо переводить сильные резонансы на малоиспользуемые или проходные обороты. Отстройка большей частью проводится «вверх», т. е. повышением собственной частоты лопатки, хотя в некоторых случаях можно частоту снижать Повышения основной изгиб- ной частоты достигают утолщением корневого и близких к нему сечений. Необходимое изменение размеров лопатки определяют расчетным путем и уточняют экспериментально. Простым и эффективным средством изменения частот, в том числе высоких форм, является подрезка уголков у периферии пера лопатки. Величину подрезки и ее форму устанавливают экспериментально испытаниями лопатки на вибраторе. При отстройке должен быть обеспечен запас на разброс собственных частот отдельных лопаток за счет технологических допусков. Возможный разброс частот устанавливают по результатам испытаний нескольких (не менее трех) комплектов лопаток серийного изготовления. Утолщение опасных сечений лопатки, особенно кромок, приводит к перераспределению динамических напряжений и к изменению их уровня. Эффективным оказывается также повышение качества контроля геометрии лопатки и ужесточение допусков. Изменение режима работы турбомашины, улучшение согласования работы ступеней, различные аэродинамические мероприятия, затягивающие наступления срывов на наиболее напряженных ступенях. Изменение числа стоек, окон перепуска воздуха и других возбудителей меняет интенсивность отдельных гармоник и соответственно резонансные напряжения. Такой же эффект оказывает изменение формы входного устройства, улучшение аэродинамики стоек и другие мероприитии.
Расчет дисков. Напряжения на контуре 315 Увеличение осевого зазора между направляющими и рабочими лопатками снижает интенсивность возбуждения высокочастотных форм колебаний Для ликвидации сильного резонансного возбуждения от сопловых лопатой турбины можно применять так называемую разношаговость, т. е. постановку сопловых лопаток с неодинаковым шагом» При этом резко уменьшается интенсивность возбуждения гармоникой k = zc a> но появляется ряд близких гармоник. Аналогично влияет несимметричное расположение стоек, окон перепуска и других возбудителей. Повышение запаса прочности может быть достигнуто также увеличением предела выносливости лопатки, особенно его минимального значения. Это обеспечивается выбором оптимальных режимов механико-термической обработки и их строжайшим контролем, а также применением специальных методов поверхностного упрочнения лопатки, особенно ее кромок Следует контролировать уровень остаточных напряжений у поверхности (лучше, если они сжимающие) и предел выносливости лопатки а_1л- Простым и полезным неразрушающим средством контроля является проверка основной частоты колебаний всех лопаток в процессе производства. РАСЧЕТ ДИСКОВ. НАПРЯЖЕНИЯ НА КОНТУРЕ Рассмотрим осесимметричное растяжение дисков от действия центробежных сил и неравномерного нагрева. В диске возникают напряжения радиальные о> и окружные (тангенциальные) ад (рис 51) Во всех точках цилиндрической поверхности радиуса г (или, короче, на радиусе л) напряжения одинаковы вследствие симметрии Радиальные напряжения на внешнем контуре о>£, (рис 52) создаются центробежными силами от лопаток и замковой части диска В центре диска без отверстия ар,, = о>0, что вытекает из условия симметрии Для диска с отверстием радиальное напряжение на внутреннем контуре или равно нулю (о>а = О, свободное отверстие), или приравнивается давлению напрессовки на вал Рис. 51. Направления напряжений в диске (о>а = —р, где р—давление напрессовки в рабочих условиях) При определении радиальных напряжений на ободе предполагается, что они распределяются равномерно по цилиндрической поверхности на радиусе Ь. Напряжение от центробежных сил профильных частей лопаток °* = тшр <156) где z— число лопаток, Сп— центробежная сила профильной части лопатки, hb— толщина диска на радиусе Ь Напряжения от замковых частей лопаток и диска выражаются равенством °гъ = Рш го 'ср hb (157) Рис, 52. Граничные условия при расчете дисков
316 Расчет деталей турбомашин где р— плотность материала; со — угловая скорость диска; г0— радиус корневого сечения профильной части лопатки; 6— радиальная высота замка; /icp— средняя толщина замка диска; hb—толщина диска на внешнем радиусе Ь. При выводе формулы (157) предполагалось, что кольцевой слой между радиусами г„ и Ь целиком заполнен металлом; центробежная сила этого слоя создает напряжения <frb. Радиальные напряжения на внешнем контуре диска Jrb- °'гЬ+°гЬ + рсогг„6 2лЫгь + "ср (158) Растягивающее напряжение в опасном сечеиии замкового выступа диска 2л6 ,.сгл °в. a = °гЪ-£-, (159) где 2п6/г — шаг лопатки на радиусе Ь\ с— ширина перемычки (рис. 53). В дисках газовых турбин агЬ = = ЮО-г-180 МПа, а значения а3 в <; < 200-ь 250 МПа. Рис. 53. К определению радиального напряжения на ободе Запас прочности в замковых выступах дисков газовых турбин ■^дл >2,5, (160) где ОдЛ — предел длительной прочности материала диска с учетом температуры и длительности работы. При работе диска на различных режимах запас прочности определяют для каждого режима в отдельности и проводят «суммирование повреждаемости». Общий запас прочности определяют по формуле (33) в гл. 2. Формула (158) справедлива и для замков других типов, если центробежные силы замковой части можно учитывать указанными ранее способами. Для замков типа ласточкин хвост следует принимать во внимание распорное действие клина1 и определять о>£ по формуле zQ / ,!■(«+0,БР) ) _ \ sin а / ~~ 2nbhb (161) где Q — сила, отрывающая перемычку замкового выступа диска; Сл = Сп-\- + С3—центробежная сила профильной и замковой частей лопатки; Св — центробежная сила замкового выступа диска [см. формулу (144)]. Если считать sin (а+0,50) 1, sin a что допустимо, например, при a = 20° и числе лопаток г ^ 50, то формулы (158) и (161) совпадают, так как h0 рш%б С3 -f- Св 2лЬНь 'ср hb Величина агь в дисках осевых компрессоров лежит обычно в пределах 20—80МПа. 1 Если ось замка не параллельна оси вращения, то контактные усилия вызывают скручивание замкового выступа, что в некоторых случаях необходимо учитывать.
Запасы прочности диска 317 Вследствие осевой симметрии точки диска имеют только радиальное перемещение и. Предполагая деформации Диска упругими, будем иметь перемещение на радиусе г: и = 7г(а9-уаг) + гаГ, (162) Р?де Е— модуль упругости материала; *сгд и аг— окружное и радиальное напряжения; v — коэффициент Пуассона; а — коэффициент линейного расширения; Т— температура диска, "С. Все величины, входящие в равенство (162), определяют для заданного радиуса, ЗАПАСЫ ПРОЧНОСТИ ДИСКА Запас прочности по разрушающей частоте вращения. Одной из основных оценок прочности диска является запас по разрушающим оборотам (частоте вращения) feB=-ErL, (163) Где яразр — частота вращения, прн которой произойдет разрушение диска (с учетом температуры и длительности работы); п— максимальная (расчетная) рабочая частота вращения диска. Запас по разрушающей частоте вращения может быть выражен через угловые скорости' шразр со Запас по меридиональному сечению. При приближенном определении разрушающих оборотов исходят из предложения, что в момент разрушения во всех точках диска "в (г) = "в (г), №. е. окружное напряжение равно пределу прочности материала на данном №аднусе. Разрушение происходит по Меридиональному сечению. Величина ав в общем случае нзме- Ьиется по радиусу вследствие неравномерного распределения температуры. Значение kB может быть найдено (Из рассмотрения условия равновесия Рис. 54. К определению запаса прочности по разрушающей частоте вращения половины диска в момент, непосредственно предшествующий разрушению (рис. 54). В этот момент радиальное напряжение на ободе Jrb- Jrb разр где о>ь — радиальное напряжение иа ободе прн расчетной угловой скорости. Напряжениями иа внутреннем контуре (г = а) можно пренебречь, так как давление иапрессовки, если оио и было в рабочих условиях, к моменту разрушения исчезнет совсем из-за больших радиальных перемещений ступицы диска. Центробежная сила собственно масс диска выражается для половины диска следующим равенством: С = 2рсо*/. где J — I r2hdr — момент инерции по- J ловины меридионального сечення диска относительно осн вращения. Проектируя все силы иа вертикальное направление, найдем 2а гЬ "разр %+2рсо'разрУ = =.- 2 Г a3hdr,
318 Расчет деталей турбомашин откуда запас ь - тРазр \ _2 *B1 ^ ш ~ ' aTbbhb+pe>4' (164) Если величина ов одинакова для всех радиусов, то * Ь j aB/i dr = ав j /i Л- = aBF, а а где F— площадь половины меридионального сечения диска. В этом случае Из формулы (165) следует, что для увеличения прочности диска надо увеличивать толщину в области ступицы диска, так как при этом момент инерции возрастает медленнее, чем площадь сечения. Для дисков, работающих при повышенных температурах, под ав следует понимать предел длительной прочности материала (при заданном ресурсе работа) — адл. Запас по цилиндрическому сечению. Кроме разрыва Расчет проводят для различных радиусов г* и для оценки прочности принимают минимальное значение £в,. Если на рассматриваемом радиусе отверстий не имеется, то в формуле (168) полагают 4=0. Формулу (168) применяют при г* > а; при г* — а следует считать так как цилиндрическая поверхность радиуса а свободна от напряжений. Обычно минимачьный запас по цилиндрическому сечению получается в подоходной части полотна диска. по меридиональному сечению возможн разрушение по цилиндрической поверхности и частично в меридиональной плоскости. Такому разрушению способствуют отверстия в полотне диска или местное утонение. Рассмотрим предельное равновесие при разрушении по цилиндрическом} сечению радиуса г* (рис. 55). Допустим для общности, что на этом радиусе находятся центры отверстий диаметра d. По всей поверхности разрушения действующие напряжения считаем равными пределу прочности материала Рассматривая равновесие сил в вертикальном направлении, можно записать ^rb—P-bhb + lp^J, = Ь ' = 2 \ aBhdr -)- ■ г* где * J„ = \hr*dr. (167) г» Из условия равновесия получают Предварительная оценка прочности диска. Такую оценку проводят иа основании определения запаса по разру шающей частоте вращения. Для утовлетвврительно ра^птяющих дисков 'зяпас по разрутияттцгч частоте вращения (разрушение по мери панельному сечегию) ftB1 = 1,4-г 1,6. Минимальное значение запаса по разрушающей частоте вращения при разрушении по цилиндрическому сече- ни'о £вя = 1.35-=-1,6. При экспериментальном опре^е.™!"'» запасов прочности при условиях, близ / Ав2 С*) = иразр м / ■V и ОгъЬЬ-ъ '+ роЛ/,» (г*) (163
Запасы прочности диска 319 * \ ш / *;** Йг иг Рис. 55. К определению запаса прочности по разрушающей частоте вращения прн разрушении по цилиндрическому сечению Ких к рабочим, должно быть kB > > 1,2-^-1,3. Частота вращения в момент разрушения должна быть на 20—30% больше максимальной частоты вращения диска в рабочих условиях. Расчетные значения kBl и £Е2 обычно превышают экспериментальные значения на 5— 10% . При действии высоких температур под оЕ (г) понимают предел длительной прочности одл (г, Т, /), соответствующий определенной температуре Т и длительности нагружения t. При определении запаса по разрушающей частоте вращения температурные напряжения не учитывают. Влияние температуры сказывается на пределе длительной прочности При работе диска на различных режимах с температурой и длительностью Т[ определяют эквивалентный запас по разрушающей частоте вращения (см. гл. 2). Следует, однако, учесть, что запасы по напряжениям соответствуют квадратам запасов по разрушающей частоте вращения и поэтому эквивалентный запас по разрушающей частоте вращения прн работе на п режимах 1 1 (^кв)"*» (*.2(„)Л 1 + ...+ (%<*)>' (169) где «J, ..., тп — показатели в степенных зависимостях длительной прочности при различных режимах. Если, как обычно, режим 1 соответствует режиму с наименьшим запасом длительной прочности по разрушающей частоте вращения, то принимают тзкв — Щ- По формуле (169) определяют эквивалентные запасы прочности при разрушении по меридиональному £В1экв и по цилиндрическому km экв сечениям. Обычно для дисков с центральным отверстием определяющим является запас ftB1, для дисков с тонкой подободной частью — запас kBi. Для более полной оценки прочности диска вычисляют местные запасы прочности по напряжениям где ОдЛ — предел длительной прочности, зависящий от температуры и длительности; ашах — наибольшее напряжение (радиальное или окружное) на данном радиусе. Напряжение атах определяют с учетом температурных напряжений н напряжений изгиба. Запас прочности должен быть km> > 1,Ь. При работе на различных режимах определяют эквивалентный запас прочности. Определение напряжений а дисках рассмотрено далее.
320 Расчет деталей турбомашин Для дисков транспортных машин или установок с большим числом нагру- жений следует определять запас по циклической долговечности где Л'* — число циклов нагружения до разрушения; Л' — число циклов нагружения в процессе эксплуатации. Для удовлетворительно работающих дисков расчетный запас долговечности При экспериментальном определении запаса по долговечности с помощью циклических испытаний в составе изделия или в разгонной камере к^>3. Для расчетного определения запаса по долговечности определяют размах деформации в каждом цикле нагружения (от запуска до останова). Максимальная деформация материала диска (с учетом концентрации деформаций) связана с числом циклов до разрушения N* зависимостью *4ln7^)°'V>-°'6 + где ij) — пластичность материала (поперечное сужение образца при разрушении, обычно i|>= 0,2-^-0,4); одл, Е — предел длительной прочности и модуль упругости материала. При работе материала в упруго- пластической области 8 = енагр — бос т. где енагр—деформация при нагруже- нии; еост—остаточная деформация диска после останова. При числе циклов нагружений N* < < 108 основное знагчение имеет первый член и приближенно Циклическая долговечность диска зависит от пластичности материала где F — площадь сечения образца в шейке в момент разрыва, /•'„ — первоначальная площадь сечения образца Величина \р при работе материала при высокой температуре уменьшается обычно на 20—50% после наработки нескольких тысяч часов, что следует учитывать при назначении ресурса диска. Практические рекомендации. При выборе материала диска следует учитывать характеристики прочности и пластичности материала. Параметры прочности материала (пределы прочности, текучести, длительной прочности и ползучести) являются расчетными характеристиками и должны обеспечи вать рекомендуемые значения запасов прочности. Параметры прочности и пластичности должны контролироваться с помощью образцов, вырезанных из поковок (из ободной и ступичной части) или другими методами контроля (периодической разрезкой и т. п.). Параметры пластичности (удлинение при разрыве б, поперечное сужение ij), ударная вязкость ап) должны обеспечивать работоспособность материала при циклических нагружениях в условиях концентрации напряжений (отверстия, галтели, замковые и переходные части и т. п ). Рекомендуется применять для дисков материалы с величинами б > 12%. \р > 20%; аЛ > 50 Дж/см2. При б < < 6%, \|)< 8%, ан<20 Дж'см2 практически трудно обеспечить работоспособность дисков. Исключение в ряде случаев составляют литые диски малых диаметров (<300 мм), при использовании которых применяют сплошной контроль разгонными испытаниями на (1,05-М,1)ятах- Диски, предназначенные для больших ресурсов, не должны иметь значительных концентраторов напряжений (резьбы, надрезов и др.), а края отверстий и замковых пазов должны обладать достаточными радиусами закруглений. Качество поверхности должно быть высоким, рекомендуется использование упрочняющей технологии (иаклен дробью и другие способы обработки). Пример. Размеры диска даны иа рис. 56. Частота вращения диска п = = 12 300 мин"1 (ш = 1290 1/с); мате-
Запасы прочности диска 321 Рис. 56. К примеру определения запаса прочности по разрушающей частоте вращения риал диска — сплав ХН77ТЮР; плотность материала р == 8,1 г/см3 (8,1 X X Ю3 кг/м3"). Расчет начинают с определения радиального напряжения на ободе. Диск имеет 54 лопатки. Радиус корневого сечения лопатки г0 = = 19,7 см; площадь корневого сечения F (г0) = 3,54 см2. Радиус концевого се- ченич лопатки /?=31,3см; площадь концевого сечения F (R) = 1,03 см2. Центробежнаясила профильной части лопатки. По графику для л = 2 (см. рис. 56) 1,03 поо , 19,7 ПРИ К=Т54-=0'29, 1о=-ЗТТ = = 0,63 определяем а (/•„) = 0,5а0. Напряжение a0 = 0,5po>2tf2(l -$■) = =0,58,1 - Ю3- 12902-0,313а{1—0,63а) = = 3,98-10» н/м2 = 398 МПа. Таким образом, а (/•„) = 0,5-398= 133 МПа. Затем находим Сп=1,99-108-3,54-10-« = 7,04-104 Н. По формуле (158) определяем (Аср = Ль) гСа 54-7,04-104 - рш2г0б = 8,!-!08-!290а x 2л-0,174-0,048 Х 0,197-0,024= 1,361-Юв н/м8 = = 136 МПа. Расчет запаса прочности по разрушающей частоте вращения по меридиональному сечению сведен в табл. 6. В табл. 6 все данные отнесены к сечениям диска на заданных радиусах, которые указаны в первой графе, CTioo — 100-часовая длительная прочность. Пользуясь правилом трапеции, вычислим интеграл Ь J" адлй dr « £ Art (a100h)t ср- Следовательно, необходимо среднее значение а100Л на каждом участке умножить на длину соответствующего участка и просуммировать: Ь (6,36 + 6,36) 106 адлй dr = 3 • + + 2 + 5 (6,36 + 6,36) 105 2 (6,36 + 4,64) !05 (4,64 + 3,18) 10» + 2,4 + 5 (3,18 + 3,84) 106 + = 8,72-10* Н. 6. Расчет запаса прочности по разрушающей частоте вращения г- 102. V 0 3 5 10 15 17.4 ft- 10s. м 6.7 6,7 6,7 5.1 3.7 4.8 Г, °С 300 300 315 380 500 550 01м, МПа 950 950 950 910 860 800 Дг- 10s, м 3 2 5 5 2,4 Oioo *• Ю-'. Н/м 6.36 6,36 6,36 4,64 3.18 3,84 г»- 10*. м* 0 9 25 100 225 302 rsh- 10', м* 0 60 168 510 832 1450 " Закгз 402
322 Расчет деталей турбомашин Далее переходим к вычислению интеграла ь \r*hdr~ V дг, {гщ. ср. Получаем J = !"** = ( 'ЗА4Д + + 260+1б8+5_168^510_ч 510 + 832 832 -f 1450 + 5 i + 2,4 J— j x X I0_e = 8,12- Ю-5 m4. Вычисление интегралов можно провести в более удобном виде для машинного счета, если ввести столбец значений 0,5 (Лг,- -I- ArUl). Запас по разрушающей частоте вращения для длительности работы (100 ч) находим по формуле (164) o-Jidr fcm = /: °>&*Лб -r P<o2J 8,73-10» ],36Ы08-0,174-0,048 + + 8,1.103-12902-8,12-10-6 /: 3,73 1,137+ 1,095 = 1,97. ПРОФИЛИРОВАНИЕ РАВНОПРОЧНЫХ ДИСКОВ Профилирование диска состоит в выборе толщины диска h на радиусе г. Диски турбин и компрессоров часто профилируют так, что напряжения от действия центробежных сил лопаток и самого диска остаются постоянными вдоль радиуса, причем а& ~ аг. Такой диск называют равнопрочным, что, строго говоря, справедливо только при отсутствии неравномерного нагрева. Риг. 57. Диск с постоянными напряжениями (полотно диска) Сечение полотна равнопрочного диска и чпюры напряжений показаны на рис. 57. Если положить о-в (г) = о> (г) = а0, где а0 — допускаемое напряжение в диске, то из условия равновесия (см. с. 324) находим следующее значение толщины диска: h (г) = /гсе р(1)г 2а„ {с1-г') (170) где hc—толщина диска на радиусе с. Отношение толщины диска в центре А0 к толщине диска на радиусе с -^- = е-ст» , (171) "с где ис — сое — окружная скорость на радиусе с. Отношение h0/hc возрастает при увеличении окружной скорости и уменьшается при увеличении допускаемого напряжения в диске. В реальных конструкциях равнопрочный диск имеет обод (для крепления лопаток). Диск равной прочности с ободом и распределение напряжений в нем показано на рис. 58. При расчете следует учесть равенство радиальных перемещений при г — с. Перемещение полотна диска с , . са0 (1 — v) u£=-£-(°6-v<Jr) =—^ '-. где v — коэффициент Пуассона.
Основные уравнения при расчете дисков 323 л ■> Рис. 58. Диск i постоянными напряжениями (диск равной прочности) Из условия равенства перемещений обода и полотна диска будем иметь "гь-^ - "6-^-+ рсо2*2 = а0 (1 - v), (172) где 6 — радиальная толщина обода. В правой части равенства (172) стоит величина окружного напряжения в ободе. Из условия (172) получаем chc + 1 Поскольку же обычно задается величина а0, то o>h b , рсо26г 6 °7 (173) Для ориентировочных расчетов можно считать °о Зависимость (173) служит для определения толщины диска в шейке. Толщину диска в центре определяют из равенства (171). В реальных конструкциях толщины Диска, определяемые по формуле (170), заменяют толщинами диска более прос- II- того профиля, у которого возле центра толщина постоянная, а далее (до шейки диска) идет участок конического профиля. Равнопрочный диск не может иметь отверстия, так как в этом случае нарушается условие ое{г) = аг(г) = а0. Однако при практическом профилировании дисков зависимость (170) часто применяют и для дисков с отверстиями. В этом случае материал центральной части диска в зоне отверстия используют для развития ступицы, так что запас по разрушающей частоте вращения остается таким же, как и для сплошного диска. Приведем формулы для определения массы равнопрочного диска. Масса полотна диска М1 = ?лр [ rhdr = = ^лpЛc J с ро>» , , ic'-r') rdr 2jtp/ic , ро)*с' 'и ! „ 2(7, рсо- где р — плотность материала диска. Или в другой форме Ml ^ 2лрс2 (/i„ — Ae) Масса всего диска Л1 = 2ярГс2(/г0-Лс) .Mi + «Ч,»] ' рш'с (174) При подсчете массы удобно отнести к диску замковые части диска и лопаток, тогда под б следует понимать радиальную толщину обода и замковых частей (включая полки лопаток) Для получения массы диска с лопатками добавляют величину гМл, где Мл — масса профильной части лопатки. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРИ РАСЧЕТЕ ДИСКОВ При определении напряжений и деформаций во вращающемся, неравномерно нагретом диске используют урав-
324 Расчет деталей турбомашин 6ehdr 6rhrae + j^(6hhr)d.rd.e poj2rhdrde Oehdr Рис. 5в. Условия равновесия элемента диска иеиия равновесия, упругости и совместности. Уравнение равновесия представляет собой условие равновесия элемента диска в поле центробежных сил (рис. 59). Оно может быть записано в виде ^-(<V0 + (ст8 — стг) — +pv*rh = 0, (175) где о>, ае — радиальное и окружное напряжения; р — плотность материала диска; со — угловая скорость вращения; h — толщина диска. Если и (г) — радиальное перемещение точек диска на радиусе г, то деформации в радиальном и окружном направлениях будут е, = du dr и ее=Т. (176) (177) Деформации и напряжения связаны уравнениями упругости er = -J- (ar — va„) + aT; (178) 4^-L.{a9—va,) + aT, (179) где Е, v — модуль упругости и коэффициент Пуассона; ос — коэффициент линейного расширения; Т — темпера тура на данном радиусе диска, ЬС. Из уравнений (178) и (179) с учетом зависимости (176) и (177) вытекают соотношения Or = I du . и\ ЕаТ 1—V' (180) Е ( и , du \ ЕаТ ае = ттг^- (- + v-%-) -у^. (181) Если внесем последние соотношения в уравнение (175), то получим дифференциальное уравнение второго порядка относительно и (г). Решение этого уравнения вместе с граничными условиями позволяет определить напряжения и деформации в диске. Однако точное решение указанного уравнения возможно только в некоторых частных случаях (диск постоянной толщины, диск гиперболического профиля и др.), и потому для практических расчетов разработано большое число приближенных методов (свыше 40). Два таких метода приведены ниже. Если за основные неизвестные принимают напряжения, то при решении задачи учитывают уравнение совместности деформаций. Это уравнение основано на соотношении — ( и ^ _ du dr \ТГ) ~ dr ' -^гШ^гг. (182) С учетом равенств (178) и (179) получим уравнение совместности в напряжениях *{'[■ (<7в —var) -far l = ]}" = _(ar-vae)+a7\ (183) Выполнение этого условия означает, что полученная в решении величина радиального перемещения и (г) будет функцией непрерывной, что соответствует физическому смыслу задачи.
Напряжения и деформации в диске постоянной толщины 325 При решении задачи в «напряжениях» исходят из системы двух дифференциальных уравнений первого порядка (175) и (183) относительно двух неизвестных функций аг и ае. Преимущество такого способа состоит в более простых граничных условиях, которые задаются обычно «в напряжениях». НАПРЯЖЕНИЯ И ДЕФОРМАЦИИ В ДИСКЕ ПОСТОЯННОЙ толщины Рассмотрим сначала диск постоянной толщины (рис. 60) с постоянными параметрами упругости. Температура распределяется вдоль радиуса диска по произвольному закону. Для диска с отверстием при граничных условиях о> (Ь) = огЬ, о> (а) = ага, где аТь и ага —заданные напряжения, будем иметь а2 / b* \ + 1±^-ра,2(б2 + а2- x(i—5-)-в(о]; С84) Ь2 ( а* \ а2 / Ь2 \ + ±^Lpcoa(62 + a2 + ^L_ X (1+-7г)+вИ-а7']. (185) где г в (/-) = -V \raTdr. (186) а бгь бгЬ 1 ' 1 ! -• " Рис, 60. Диски постоянной толщины В формулах (184) и (185) первый член выражает напряжения в диске от нагрузки на внешнем контуре, второй — от нагрузки на внутреннем контуре, следующий член — напряжения от центробежных сил самого диска и последний член — температурные напряжении. Из этих формул следует, что в равномерно нагретом диске температурные напряжения отсутствуют (это справедливо для дисков любого профиля с отверстиями и без отверстий). Если температура диска от ступицы к ободу изменяется по степенному закону гЮ-аг (-£)", где ДГ = Т (Ь) — Т (0) — разность температур между ободом и центром, тогда •"-■^[(т)'- -(т)*(т-Л- "87> Для сплошного диска (без отверстия) при граничных условиях о>(6) = о>ь. аг (0) = ае (0) получаем «г = °гЬ + ^~- ро>2 (Ь2 - г2) + + £[9 (6)-9 (г)]; (188) ов = °rb + -Ц^- Р*>2 (b2 - (189)
326 Расчет деталей турбомаишн '///////;/;л=**г> 6 б 1 V 6» / "~Г ' Or- бе ^Г (>/• N , 1 . Л /-V ,—ра »> Jra I \ ir-b б •• Ого. Ьг + пг. Ь2-аг 1^ Ов Г Orab га2 Рис. 61. Напряжении от контурной нагрузки и центробежных сил в сплошном диске Рис. 62. Напряжения от контурной нагрузки и центробежных сил в диске с отверстием / 2/J+v а2 1-\}\ где Э(/-) = -^-jraTdr. Отметим, что 9(0) = lim9(r) = 0,5aT(0). Если температура изменяется по степенному закону, то аДГ в (г)- (т)"- п+ 2 Эпюры радиальных и окружных напряжений в диске постоянной толщины при действии контурных нагрузок и центробежных сил показаны на рис. 61 и 62. Следует отметить, что у внутреннего отверстия напряжения повышаются. При малом отверстии величина ае при г = а приблизительно в 2 раза больше, чем в сплошном диске. Для дисков с числом нагружений (запусков) более 500 следует избегать неподкреп- ленных отверстий. Распределение температурных напряжений в сплошном диске показано на рис. 63. На ободе диска окружные напряжения являются сжимающими, если температура возрастает с увеличением радиуса. Такой же вид имеет эпюра температурных напряжений для диска с отверстием, но у отверстия напряжение аг становится равным нулю, а окружное напряжение возрастает. Радиальное перемещение в диске определяют по формуле и (г) = С- v + X П—v 6г- X О + 3 -+- v pav + ■ 2 bi + -7T(l+v) + -[(й2 + о2) (1 -v) + ] (l+v)-r + 6(*)- Ьгт 3 + v [l-v + + + 7r0+v)] + e(r)(l+v)/-; (190)
Напряжения и деформации в диске переменной толщины 327 t=At п+2 Рис 63. Температурные напряжения в диске на наружном радиусе агЬЬ I й2 + а2 Л и (Ь) ■= 2а2 рш2Ь Е б2 — а2 + 4£ Х X [^(l-v) + a2(3 + v)] + 2b3 + 9 (ft) ft2 — а2 (191) Формулы (190) и (191) справедливы и для сплошного диска, если положить в них а — 0. Рассмотрим диск постоянного сечения с ободом (рис. 64). Температуру диска будем считать во всех точках одинаковой. Диски такой конфигурации применяют в тех случаях, когда окружная скорость на ободе невелика (и < < 200 м/с) и нагрузка создается в рвеновном центробежными силями лопа- Jtok и замков Рис ь4 Диск постоянного сечення с ободом Рассматривая обод как кольцо, получим окружные напряжения в нем Ооб =■ °>ь б hb + ри2й2 где агс—радиальное напряжение на радиусе с, hb— толщина диска на внешнем радиусе Приравнивая радиальное перемещение кольца и диска на радиусе с, найдем Orh ch + рог / сг + а? \ fc2(l — v) + a2(3 + v)|. откуда X Ore =[ <Jrb -у + Р<»2 X - V „2 3 + V Ж' с2 + a2 ch Л = С2_д2 - V + 6hb ■ (192) Равенство (192) выведено для свободного отверстия (о>а — 0) в полотне диска, оно справедливо также и для сплошного диска а — 0 После того как определена величина о>с, по формулам (184) и (185) чаходят напряжения для диска с отверстием, а по формулам (188) и (189) — для сплошного диска. В указанных формулах величину о>ь заменяют о>с, а радиус b радиусом с. В приближенных расчетах толщину полотна диска можно выбрать, задаваясь величиной arc из условия ■hb огь НАПРЯЖЕНИЯ И ДЕФОРМАЦИИ В ДИСКЕ ПЕРЕМЕННОЙ ТОЛЩИНЫ Метод линейного аппроксимирования. Для решения задачи запишем уравнения равновесия и совместности в интегральной форме.
328 Расчет деталей турбомашин Интегрируя обе части уравнения (175) в пределах от некоторого начального радиуса а до г, находим г а г _peiJLJr1Adr1 + -4s-o„l. (193) а где rt — переменная интегрирования. Индекс а здесь и в дальнейшем означает, что рассматривается значение параметра прн г = а. В качестве начального радиуса а для дисков с отверстием принимаем радиус отверстия, для сплошного диска — некоторый малый радиус (а « « 0,1Ь), в пределах которого с достаточной точностью выполняется условие а Га = ава- (194) Запишем уравнение совместностя (183) в виде -|r[4-(ae-var) + ar] = 1+v гЕ (°е— °». Интегрируя обе части равенства в пределах от а до г, получим °е — °Y = — (I— v)o> — г 1+V -'!■ ггЕ ■{Ов — Ог)*! — — Е(аТ — ааТа) + + T-(o&a-veo»). (195) Обозначая разность окружного и радиального напряжений в диске ое- от =у(г) (196) и заменяя величину ог в равенстве (195) значением из уравнения (193), найдем У(г) = 1 —v h j ч а J-£ »('!)*! a г Н ^-fu? \ rxhdrx~E(aT — ■ ПаТа) + -S- (Ова ~ VaOro) — 1—V haOr, (197) Для диска с отверстием, полагая Ого = 0, запишем уравнение в сокращенной форме: г г У = Pi J Qiyfri + Pi J <ЬУ&1 + где P\ = ~- + /. + /г + °вА. (198) 1—v Pi = —E; ft = 7-; ^ = -7^; (1») /•=- 1-v p<os f rjh drx; (200) /r = -£(aT-aaTe); (201) f -■£- (202) Это уравнение справедливо и для сплошного диска [условие (194)], но только следует считать 1 —v Л0. (203) /K = -F-(l-ve)- Уравнение (197) представляет собой нормальное интегральное уравнение, его решают методом линейного аппроксимирования, использующим правило трапеций для вычисления интегралов. Разобьем диск по радиусу на п участков сечениями a= r0, rlt rt, • ••> /•„ = b, значения функций в сечении г = п будем обозначать у (п) = уи Pi (rt) =Pii, Яг (г,-) = ft t и т. д.
Напряжения а деформации в диске переменной толщины 329 Длина i-ro участка диска Дг = П — rUl. (204) Функции famfTb уравнении (198) выражают действие центробежных сил диска и неравномерного нагрева, функция fK связана с нагрузками на краях диска. Обозначим /„+/г + 0бА=/ (205) и рассмотрим общий метод решенкя уравнения (198). Применяя правило трапеций для вычисления интегралов, можно записать: в начальном сечеиии г— а Уо = to', в первом сечении г=Т\ Vi = Рп y (ЯиУ* + QiiJfi) Ai + + Ph~y («fc^o + fti^i) Ai + Л, (206) где Ai = гх — rt; fx — значение функции / Яри Г = Т\. Из равенства (206) получаем й = Р\\ -J QioltiAi + Рп -J <7foCoAi+/i 1 — -у (Pitfii + РиЯя) Ai Во Втором сечении I» = Pi» [~2 (Qidtt + ЯпУг) Ai + + ~2 Chdfi + Quit*) A»J + + Pn Г-g- faatfo + fti^i) Ai + + -g- ^яУ1 + fey») д«1 + /•• «к|гдв Vi = I 1 — 0,5 (рпЯхг + РггЯгг) Аг X [0,5 (pl2qw + PaQto) Д1У0 + + 0.5 (pltqn + p2tq2l) (A! -f- A2)yt + /,]. В общем случае для сечения т= т% можно записать 'i'=i Vt =■ где 1—ац 2а«Л + ^Ь (207) vy=o ^„=0,5(puqu+piiq2t)Ai; (208) aU = °'5 {?иЯц + P,flil) (AJ + Д;+1)- (209) В последнем равенстве следует считать Д0 = 0, так как участки начинаются с Ai = гг — го = rt — а. Соотношение (207) позволяет шаг за шагом вычислить значения у (г) во всех сеченнях. В практических расчетах величину у (г) удобно определять от каждого фактора в отдельности в соответствии с равенством (205). Тогда У (П = Уа (г) + Ут (г) + аваук (г), (210) где у а (г), ... получаются прн расчете по формуле (207), если положить соответственно f (r) = fa (r), f (r) = = fT W. f М = fK (')• В равенство (210) входит величина Ова, которая подлежит определению. Из уравнений (193), (196) и (210) получаем г а г I I* h + ава Т J ~ Ук (r,) dri ~ рш' т[^нйг '♦-Г0' (211) Для диска с отверстием (ага = 0) на внешнем контуре из условия о> (6) = о>ь, (212)
330 Расчет деталей турбомашин где агь — заданное напряжение от действия лопаток и замков, находим "e«= \arbhb - $ 77 К l'i) +■ + Ст (ri)j ^1 + Р"2 j Г1Л drr *Г!: а ' Ь (213) Для сплошного диска (о>а = ова) из соотношений (211) и (212) получаем aea = |a.^h-jA[i/a(r1) + бг,6'в,МПа Jrbnb + Ут Ci)] ^х + Р"1 ^2 = /la+ I— 4fH('"l)*'l- a (214) Зная c6a, из равенств (210) и (211) находим у (г) и о> (/■) и затем а6 (г) = </(/•) + а, (г). (215) Если в диске произвольного профиля температурная деформация аТ остается постоянной на всех радиусах, то температурные напряжения в таком диске отсутствуют, так как /т = -£(аГ-ааГа) = 0. Пример. Определить напряжения в диске, профиль которого приведен на рис. 56. Материал диска — никелевый жаропрочный сплав ХН77ТЮР, плотность материала р =■- 8,1 г/см*, частота вращения диска л = 12 300 мин*1, напряжение на контуре о>ь = = 140 МПа. Эпюры радиальных и окружных напряжений в диске,рассчитанные по методу линейного аппроксимирования, показаны на рис. 65. Здесь а(ш), а(", а — напряжения соответственно от 300 200 100 0 100 200 300 W ~~~^^>в о г Ху6> X. /Г'^'ЧГ'-Ч^, \ W ^\\ X \ г X 6ft\ X \ «III Рис. 65. Эпюры радиальных и окружных напряжений в диске центробежных сил, температурные и суммарные. Метод последовательных приближений. Расчетные зависимости при этом методе более сложные, чем при методе линейного аппроксимирования, но они позволяют непосредственно вычислить напряжения в диске произвольного профиля. Радиальное и окружное усилия на единицу длины lf,{t)=ar(i)h(r); (216) Ne(r)=oe(r)h(r), (217) где о> и ае — радиальное и окружное напряжения в диске. Сплошной диск. В этом случае на малом радиусе а ж 0,16 принимают Nra = Wea- (218) Здесь и в дальнейшем индекс а указывает, что значение параметра относится к сечению г = а. Первое приближение для радиального усилия (вывод формул указан в работе [3]) "У С) = ^Ьф! С) + фШ И + фг (')•' (219) где Nrb = Orbhb — радиальное усилие иа внешнем радиусе диска.
Напряжения и деформации в диске переменной толщины 331 Функция a!+v Г Eh dr. ai+v Г Е Ljana J г <Di (г) = .2+v 1 Тогда, например радиальные напряжения в диске от центробежных сил определяют по формуле a!+v Г Ehdr, r2+v -f- pur 1 (220) Величина Ф, (г) изменяется в пределах О <Ф, (/■) ^ 1. Усилие от центробежных сил диска г Фш (/■) = —рша | г,Л dr, + а г + Oi(r)pc*« Jr,Adr,. (221) a В этом равенстве rj — переменная интегрирования, изменяющаяся в пределах от а до г. Усилие от неравномерного нагрева ^®T(r) = FT(r)-<bi(r)FT(b), (222) г a x(r) = (ir)V; <224) г /rW = 0+v) Jarxdr,- а — (гаГх — аааГа). (225) Коэффициент Пуассона v предполагается постоянным. В практических расчетах при v = 0,3 можно приближенно считать 3, /ь г \ M^ftdr, —^г.Ы/Ч . (227) \а а Это равенство имеет следующий физический смысл: радиальные напряжения от действия центробежных сил в сплошном диске такие же, как в стержне прямоугольного сечения 1 X h (рис 66). Если известно радиальное усилие в диске Nг (/■), то окружное усилие определяют нз равенства Nq (г) = vNr (r) Eh ГУ. (1-v2) х X \-kN^ + #/гМ + Eh r-x. Eaha (N6a~vNra). (228) В частности, если требуется найти Nq ' (г), то в это уравнение вносят puz1hdr- /V ГЛ > / '[КО У/ А к , * (т)'-^- Если при расчете ограничиваются определением только первого приближения, то достаточно хороший результат получается в том случае, если положить в предыдущих формулах Ф1 (г)»!. (226) Рис. 66. Радиальные напряжения в сплошном диске от действия центробежных сил (1-е приближение)
332 Расчет деталей турбомашин Ny> (л) и для сплошного диска учитывают равенство (218). Если при расчете определяют и следующие приближения для jVr, то формулу (228) используют для последнего приближения [обычно для #<.2> (г) или #'" (/■)]. Второе приближение для радиального усилия Nf (r) = N?) (г) + Дт (г). (229) Величина поправки ДСП (Г) = фЧ> (Г) — Ф, (Г) ф<»> (6), (230) где ф<1) (г) = _(1 _V) 5 •' ^ ы Л-1 + + ( -«№ X ? хЫ^"(г2) I ЕЛ Л"» X dr,. (231) В большинстве практических задач достаточно ограничиться вторым приближением (для предварительного выбора конструктивного варианта можно использовать и первое приближение). Если потребуется вычислить третье приближение, то его находят из равенства JV<3>(r) = JV<1,(r) + A,2,('-). (232) где вторую поправку к первому приближению определяют точно так же, как Д11) (г), но исходя из jVJ.21 (г). Окружное усилие в диске определяется из соотношения (228). Диск с отверстием. Первое приближение для радиального усилия #<•> (г) = Л^Ф, (г) + + Nra[ 1 - Ф, (г)] + Фш (л) + Фг (л), (233) где Nra = oraha ■ радиальное усилие на внутреннем контуре. Если диск напрессован на вал и в рабочих условиях должно сохраняться давление напрессовки р, то следует положить стго = —р. Функция С Eh dry Ф, (г) = • ,2+V Ehdr\ (234) r2+V Для диска с отверстием Ь Фа (г) = Ф1 (г) рша J /Vi d/i ■ а г — рш2 r-Jxdrx\ а ®T(r) = FT(r)-<by(r)FT(b), (235) (236) Рис. 67. Схема диска центробежного нагнетателя и диаграмма напряжений: 1 — без учета жесткости лопаток; 2 — с учетом жесткости лопаток
Напряжения и деформации в диске переменной толщины 333 где функция Ft (г) определяется равенством (223). Второе приближение и следующее находят из соотношений (229) и (230). Окружное усилие определяют из формулы (228). Для отыскания окружного усилия на внутреннем радиусе Nea используют формулу Nea- 1 а С Eh а. ^аК J г\к (Л,) Х —ф (Ь) + Nrb — Nra X *'-^i^N + '1 + рша [rxhdrx — FT (b) (237) Величину ф (b) находят по последнему приближению для Nr [формула (231)]. Для упрощения расчета можно использовать результаты для предыдущего приближения Nr и тогда все члены равенства (237) будут известными. Общие указания. Для расчета диск разбивают на 5—8 расчетных сечений. При наличии участков с резким изменением толщины число расчетных сечений должно быть увеличено. Все интегралы вычисляют по правилу трапеций. Для повышения точности расчета следует несколько увеличить число расчетных сечений иа малых радиусах. Особенности расчета дисков центробежных компрессоров. Лопатки центробежных компрессоров (нагнетателей) расположены на боковых сторонах диска (рис. 67). Обычно при расчете жесткость лопаток на растяжение не учитывают и лопатки рассматривают как присоединенные массы. Тогда диск рассчитывают обычным способом, вводя приведенную плотность материала , /kzF (r) \ где k — коэффициент, зависящий от расположения лопаток (при одностороннем расположении k = 1, при двустороннем k = 2); z — число лопаток; F (г) — площадь поперечного сечения лопатки. Учет жесткости лопаток при расчете на растяжение приводит к существенным поправкам (см. рис. 67). Запас по разрушающей частоте вращения Йц где /\oBhdr 1 ь J* = [ p*r*hdr. Для дисков центробежных нагнетателей kB = 1,34-2,2. При наличии покрывающих дисков (закрытые крыльчатки) под h понимают суммарную толщину всех дисков. Запас по разрушающим оборотам должен быть в этом случае увеличен до kB = 2н-2,5.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ НАПРЯЖЕНИЙ И ДЕФОРМАЦИЙ В ЭЛЕМЕНТАХ КОНСТРУКЦИЙ Глава 17 ИЗГИБ СТЕРЖНЕЙ ПЕРЕРЕЗЫВАЮЩАЯ СИЛА И ИЗГИБАЮЩИЙ МОМЕНТ В общем случае на стержень (балку) могут действовать распределенная нагрузка, интенсивность которой характеризуется силой, приходящейся на единицу длины (q в Н/см); сосредоточенные силы и пары сил (моменты), приложенные к какому-либо сечению балки (рис. 1). Рассмотрим двухопорный стержень с нагрузкой посередине (рис. 2). В опорах возникают реакции R\ и Rb Проведем сечение на расстоянии z от левой опоры, где выбрано начало координат. Тогда, рассматривая равновесие левой (отсеченной) части, приходим к выводу, что в сечении должны действовать перерезывающая сила Q = 0,5Р и изгибающий момент М = 0,5Рг. Такие же по величине силы и момент, только направленные в другую сторону, будут приложены к правой, оставшейся части стержня. Момент силы для данного сечения вычисляют относительно оси, проходящей через центр тяжести сечения. Эта ось перпендикулярна к плоскости изгиба (плоскости чертежа на рис. 2). Изгибающий момент в сечении равен алгебраической сумме моментов (относительно рассматриваемого сечения) всех сил, приложенных к отсеченной части стержня (балки). Перерезывающая сила в сечении равна алгебраической сумме всех сил, приложенных к отсеченной части стержня (балки). Изгибающий момент и перерезывающая сила выражают действие отсеченной части стержня на оставшуюся. Сечение разбивает стержень на две части, из которых каждую можно считать либо отсеченной, либо оставшейся. Удобно в качестве отсеченной рассматривать ту часть стержня, к которой приложено меньшее число внешних силовых факторов. Соотношение между изгибающим моментом и перерезывающей силой. Рассмотрим элемент стержня длиной dz (рис. 3). В сечении z действуют сила Q и момент М. Так как эти величины изменяются по длине балки, то в сечении z + dz будут действовать сила Q + dQ н момент М + dM. Составим условия равновесия элемента стержня. Проектируя все силы на вертикальное направление, находим dQ = q dz или dQ dz = Я- Взяв сумму моментов относительно оси, лежащей в сечении z+ dz, получим М + Q dz + 0,5? dz2 — (М + + dM) = 0. Отбрасывая величину 0,5^ dz2 как бесконечно малую второго порядка, будем иметь Следовательно, производная изгибающего момента равняется перерезывающей силе. Условия закрепления. Балку считают закрепленной статически определимым способом, если силы (реакции) и моменты (реактивные моменты) в местах закрепления могут быть определены из условия равновесия. Для плоской системы сил имеются три уело-
Перерезывающая сила и изгибающий момент 335 7ZZ? ' Г " ttttt ^ 7777 Рис. 1. Нагрузки, вызывающие изгиб стержня ■Л д- 2 М 'Vyz А эъ U=t *7У У/т7 Г рр ~t?77 4 ^W (*ис. 2. Определение изгибающего момента И перерезывающей силы У i ♦ttttt 1 z а t < •к* Л -—». [ttttt tttt Pll* 1 -. Al ! Г Ряс. 3. Условия равновесия элемента Стержня *) L ' R '77^77 У&77, ЯШС. 4. Опорные закрепления стержня: J ~ шарннон^я ПОДВИЖЧ1Я опора' б — ^арнирная неподвижная опора в — за Дел к а 7?9^ 5) Рис. 5. Примеры закрепления балок вия равновесия, поэтому опоры балки при статически определимом ее закреплении не должны создавать более трех неизвестных силовых факторов. Типичные случаи опорного закрепления стержня (балки) показаны на рис. 4. Шарнирная подвижная опора может передать вертикальное усилие, шарнирная неподвижная опора — вертикальное и горизонтальное усилия, заделка — вертикальное и горизонтальное усилия, а также момент. Следовательно, балки, показанные на рис. 5, а, являются статически определимыми, а на рис. 5, б — статически неопределимыми. Как правило, использование статически неопределимого закрепления следует избегать. Эпюры изгибающих моментов. Эпюры представляют собой графическое изображение распределения изгибающих моментов подлине балки (рис. 6). Эпюры обладают следующими свойствами: а) если к балке приложены сосредоточенные силы или моменты, то эпюра состоит только из прямолинейных участков; б) в сечении, где приложен внешний момент, эпюра изгибающих моментов имеет скачок, равный по величине приложенному моменту.
336 Изгиб стержней М-Ра ЗРа. .gfl ,,р ■Ра М'Ра 2а "*р M-qa2 Ж qad Ра? М М 1а ЖЩ f^ ^ЩЩ%Г 7Z& "*■ ^щц^цщ \Ч*. Рис. в. Эпюры изгибающих моментов НАПРЯЖЕНИЯ И ДЕФОРМАЦИИ ПРИ ИЗГИБЕ В основе технической теории изгиба лежит гипотеза плоских сечений: точки поперечного сечения после деформации лежат в одной плоскости. Принятая гипотеза подтверждается экспериментом. Относительные удлинения волокон при изгибе. Рассмотрим плоский изгиб стержня. Выбранная система координат показана на рис. 7. Ось г направлена вдоль оси стержня, ось у лежит в плоскости изгиба, то«ча О совпадает с центром тяжести сечения. В силу гипотезы плоских сечений можно считать, что сечение стержня получает поворот вокруг оси х на угол ф и осевое смещение w0 вместе с началом координат (точкой О). Величины ф и wB изменяются по длине стержня. Удлинение волокна стержня, находящегося на расстоянии у от плоскости хг (рис. 8), будет А*Б* — АБ 6 = АБ • Длина отрезка АБ равна dz. Отрезок А"Б* = dz + w0 + dw0 — у (ф -f + йф) — а>0 + у Лр = dz + dw0 — — у Лр. Следовательно, е = ■ dwB dz Оф е0 — У 0*ф (2) где е0 — удлинение волокна стержня, совпадающего с осью z. Для упрощения вывода не рассматривались смещения сечений по оси у (вертикальные прогибы), так как оии (в пределах малых деформаций) ие влияют иа удлинение отрезка АБ. Нормальные напряжения при изгибе. В соответствии с законом упругости Рис. 7. Изгиб стержня а Т (3)
Напряжения и деформации при изгибе 337 Рис. 8. Деформации при изгибе 1) где о — напряжение в плоскости поперечного сечения стержня (напряжение вдоль волокон); Е — модуль упругости материала. Напряжениями, действующими на боковые поверхности волокон, пренебрегаем. Из уравнений (2) и (3) следует. dtp о = Е (га- dz (4) Так как внешняя сила вдоль оси г отсутствует, то из условия равновесия (рис. 9) следует- cdF = О, где интеграл распространяется на всю площадь поперечного сечения. Подставляя значение о из равенства (4) и предполагая модуль упругости постоянным, найдем * J (*-„■£>-... F Так как у dF = 0 как статический момент относительно прямой, проходящей через центр тяжести, то е0= С. Момент, создаваемый напряжениями о, должен быть равен jaydF = —Мх. Направление момента Мх показано на рис. 9. Подставляя значение из Рис. 0. Напряжения изгиба равенства (4) и учитывая, что е0 = О, находим ~1Г Величину у2 dF = Мх. Уг dF = Jx (5) F называют моментом инерции сечения относительно оси х. Следовательно, dy ~dT Е1Л (6) Внося это значение в равенство (4), получаем основную расчетную формулу о—*£-У (7) J X Знак минус в формуле (7) необходим для согласования правила знаков, принятых для момента Мх (положительно направленный момент вызывает сжатие в верхних волокнах), для напряжения о (положительная величина соответствует растяжению) и величины у (положительное направление принято вертикально вверх), В точках плоскости xz (для этих точек у = 0) напряжение изгиба отсутствует, и эту плоскость называют нейтральной. Ось х, проходящую через центр тяжести сечения и перпендикулярную к плоскости изгиба, называют нейтральной линией. Распределение напряжений изгиба по поперечному сечеиию вдоль пря-
338 Изгиб стержней Рис. 10. Распределение напряжений изгиба по сечению мой /4i/42 показано на рис. 10. При изгибе часть волокон растягивается, а часть сжимается. В точках, одинаково удаленных от нейтральной линии (оси х), напряжения одинаковы. Наибольшие напряжения действуют а точках, наиболее удаленных от нейтральной оси (точки Аг и Л2). Напряжения изгиба в этих точках М* h ■ Мх . (8) Очень часто пользуются понятием момента сопротивления. Если точка сечения, например точка А, находится на расстоянии у от оси, то момент сопротивления в этой точке Wа = = Jjy. Иногда под моментом сопротивления понимают наименьшее значение W для сечении: W = Jjhms%, где птах — расстояние наиболее удаленного волокна от нейтральной линии. Формулы для Jx и W некоторых сечений были приведены в табл. 2 на с. 17. Формула (7) справедлива и для стержня переменного сечеиия, если входящие в иее величины относить к рассматриваемому сечению. Нормальные напряжения в общем случае изгиба и растяжения стержня. В общем случае на стержень могут действовать изгибающие моменты Мх и Му я растягивающее усилие N (рис. 11). На основании гипотезы плоских сечений аналогично равенству (2) е = е0 — у dz + х tftp dz (9) где е0 — деформация, связанная с продольным перемещением сечения; ф и ip — углы поворота сечеиия стержня относительно осей х и у соответственно. Если учесть температурные деформации, то иа основании закона упругости ±+«Т, (10) где Т — температура в данной точке сечеиия; а — коэффициент линейного расширения. Вследствие неравномерного нагрева модуль упругости материала Е может быть различным в разных точках сечения. Равенство (10) запишем в форме сг = Е(е — «Г) = = £(е„ Лр Лр dz dz ■аГ (И) Деформацию в стержне характерного dip зуют три параметра: е0, -j—, —f—. Для их определения воспользуемся условиями равновесия: \adF = N; [axdF= My; (12) Рис. 11. Общий случай изгиба и растяжения стержня
Напряжения и деформации при изгибе 339 В этих равенствах интегрирование распространяется на всю площадь поперечного сечения F. В нося в последние зависимости соотношение (11), получим e„j EdF dtp dz \yEdF + Для постоянного модуля упругости во всех точках сечения приведенные и главные осн совпадают с обычными главными осями. Способ определения приведенных главных осей сечения описан ниже. С учетом условий (16) и (17) из уравнений (13), (14) и (15) получим + J£L f xEdF — \aTEdF = N; во \ (13) xE dF — -^- { xyEdF + F F e0 = dtp N I aTE dF F [EdF F \EdF F [yaTEdF F (18) ИлЬ Г С "Ф mx F + -^L \x*EdF—\ xaTEdF = My; -jt = ~r 7~ — • ^ dz J J V dz j yiE dF j угЕ dF (14) F F e0 jy£rff--§- ^y*EdF + F ■ j yaTEdF = d$ dz I xaTE dF x*EdF J x2EdF F -M, (15) Эти уравнения можно упростить соответствующим выбором осей х и у. Выберем положение начала системы координат (точку О) так, чтобы удовлетворялись равенства J xE dF = 0; j yE dF = 0. (20) dw d-ф Внося значения е0, —?— и —^— dz dz в уравнение (11), получим окончательную формулу для напряжений в стержне о = Е / -. у— 2 \- (16) В этом случае точку О называют приведенным центром тяжести сечения. Если модуль упругости во всех точках сечения одинаковый, то приведенный центр тяжести совпадает с обычным. После того как положение начала координат стало определенным, повернем оси х, у ъ плоскости сечения так, чтобы удовлетворялось равенство f aTEdF [yaTEdF + Е\ \EdF F + у- хуЕ dF = 0. (17) Оси координат, удовлетворяющие условиям (16) и (17), называют приведенными главными осями сечения. I xaTEdF _F j х2Е dF F \У*Е aT dF • + (21)
340 Изгиб стержней Первая группа членов в этой формуле выражает напряжения в стержне от внешних сил, вторая — температурные напряжения. Если модуль упругости во всех точках сечения одинаков, то из равенства (21) вытекает „ N Ms , My , Г Jx Jy f \olTuF [ yaT dF IxaTdF \ + х£-Ту a7j. (22> где J х и J у — главные моменты инерции сечения. Если точки сечення стержня имеют одинаковую температуру, то из формул (21) и (22) следует, что температурные напряжения в рассматриваемом сечении отсутствуют. В этом случае напряжения в поперечном сечеиии стержня Из этой формулы вытекает возможность раздельного определения напряжении растяжения (сжатия) я напряжений изгиба (второй и третий член в формуле), которые, в свою оче- Рис. 12. Определение приаедеииых главиых осей сечення редь, можно определять раздельно относительно каждой из главных осей сечения. Определение приведенных главиых осей сечения. Используем произвольную вспомогательную систему координат х^ (рис. 12). Координаты приведенного центра тяжести сечения О: \xxEdF \yiEdF 0 = 4= I * = 4 • (24) I Е dF \EdF F F Угол поворота приведенных главных осей х и у 2 \xxyxEdF tg2p = - £ - . (25) х\Е dF — | у\Е dF F "F Определение приведенных главиых осей и центра тяжести не отличается от обычного способа, если только элементу площади условно приписать «вес» Е. Отсюда следует, что приведенный центр тяжести будет смещаться относительно обычного в сторону, где модуль упругости материала больше. Пример. Определить температурные напряжения в стержне прямоугольного сечения (рис. 13). Температура распределяется по параболическому закону rW = rmax(-f)\ По толщине стержня температура постоянна. Предполагаем, что модуль упругости Е и коэффициент линейного расширения а постоянны. Из формулы (22) находим a = Earmax[-f-(-f)2]. В центре стержня ст (0) = -j- ЕаГшах, в крайних точках а (Ь) = а (-Ь) = - ~- ЕаТтлх. ■
Напряжения и деформации при изгибе 341 X У IV"" 1 2Ь J ' < i m z/j£at Рис. 13. Температурные напряжения в стержнях прямоугольного сечення Эта сила изменяется по длине стержня вследствие изменения величины а. Приращение силы Nf должно уравновешиваться касательными напряжениями на горизонтальной площадке dzb. Таким образом. или dNf = —dzbx dNf dz (26) Вследствие парности касательных напряжений такие же напряжения будут действовать в соответствующих точках поперечного сечения. Нормальное напряжение в слое на расстоянии y-i от нейтральной осн а = М. ■Уи тогда »>=H=-^H= Для стержня из жаропрочного сплава при £=2-105 МПа, а = 16Х Х10-» 1/°С, 7'П1ах=200оС находим а (0) = 213 МПа; а (6) = —426 МПа. Касательные напряжения при изгибе. Если изгиб создается поперечными силами, то в сечении стержня будут действовать касательные напряжения, уравновешивающие перерезывающую силу. Влияние касательных напряжений на прочность и жесткость существенно только для коротких стержней, высота сечения которых составляет не менее 1/3 его длины. При определении касательных напряжений считают, что они не влияют на величину нормальных напряжений изгиба. Это позволяет определить касательные напряжения из условия равновесия. Рассмотрим равновесие части элемента стержня длиной dz (рис. 14). Нормальная сила, действующая на рассматриваемую (заштрихованную) часть сечения, площадь которой составляет /, Nt= j a df. MxSf Jx ' (27) Величина yxdf = Sf — статический момент отсеченной части сечения. Далее находим J* dNf dMx dz dz = -Q Jl J, где Q — перерезывающая сила в сечении. В соответствии с равенством (26) получаем формулу для касательных напряжений в стержне bJr (28) Равнодействующая касательных напряжений равна перерезывающей силе. Для касательных напряжений в стержне прямоугольного сечения (рис. 15) 0.5Н Ух = ЬН*
342 Изгиб стержней Рис, 14. Равновесие элемента стержня 1 ^ Л , 1 У, УА 1 'У/. 0 b ' 1 5» гср Ш Ттах ■* 3» Рис. 15. Распределение касательных напряжений при изгибе стержня прямоугольного сечення Из формулы (28) получаем (±- aJL) \ 2 Я2 I ЬН Распределение напряжений показано на рис. 15. Наибольшее напряжение имеет место при у = 0: Уравнение упругой линии. Ось стержня в изогнутом состоянии называют упругой линией. В пределах малых деформаций угол поворота сечения ф (рис. 16), если пренебречь деформацией сдвига, dy ^ dz ф: В соответствии с равенством (6) dy M(z) dz EJX (z) где М (z) — изгибающий момент в сечении (рнс. 17, а). Далее имеем dP-y dz* EJX (z) (29) 3 Q где тср = -~Jr-- напряжение. Q 3 ЬН ~ 2 ТсР' — среднее касательное УПРУГАЯ ЛИНИЯ СТЕРЖНЯ У , 2. Выражение (29) представляет собой дифференциальное уравнение упругой линии стержня. Оно справедливо и для стержней переменного сечения. Иногда уравнение упругой линии используют в другой форме — из уравнения' (29): Рис. 16. Связь между углом поворота сечения н у (г)
Упругая линия стержня 343 У / г M(z) ^ i 1 * кИ(г) \м(г) Q(z) г а) б) Рис. 17. К выводу уравнения упругой лнннн с учетом деформации сдвига дифференцируя по г, где Q (г) — перерезывающая сила в сечении. Повторив дифференцирование, получаем вторую форму дифференциального уравнения упругой линии: — (El (2) d'y ,\ Я (г), (30) dQ(z) dz где q (г) — нагрузка на единицу длины стержня. Уравнение упругой линии с учетом влияния перерезывающей силы. Если учесть деформацию сдвига (рис. 17, б), то угол поворота сечения <р = * dz + У. (31) где 7 — деформация сдвига, пропорциональная величине перерезывающей силы в сечении: — и. Q(z>. GF(z) (32) здесь k — безразмерный коэффициент зависящий от формы поперечного сечения; G — модуль сдвига; F (г) — площадь поперечного сечеиия. Из энергетических расчетов '-h\ S)dF (33) [см. обозначения к формуле (27)]. Для стержня прямоугольного сечения k — 6/5, для сплошного круглого сечеиия k = 10/9, для тонкостенной трубы к = 2. Из равенств (31) и (32) находим dz :ф- <?(г) GF{z) Дифференцируя с учетом зависимости (6) и влияния перерезывающей силы, получаем дифференциальное уравнение упругой линии -£». = М<г) ь d ( Q (*) \ «*2 £^х (г) A"57(,"oF(irJ • (34) Влияние перерезывающей силы на прогибы стержня учитывают в том случае, когда высота сечения соизмерима с его длиной (см. примеры). Уравнение упругой линии в интегральной форме. Интегрируя обе части равенства (34) от 0 до г, найдем dy 1-М EJX (zj ■dzi — -к-Шги+ьШ-^ dv "сГ(5Г+*с#) + ^-(0Ч35)
344 Изгиб стержней Повторяя интегрирование, получим У{') ж. *, И о о EJX (z2) dz% dzi - Г kQ (Zl) kQ (0) ~J"GF(i0"d2l+ GF(0) ? + о + -^-(0)z + y(0). (36) В формулах (35) и (36) переменные интегрирования обозначены гх и z2. Неизвестные параметры —- (0) и у (0) определяют из условий закрепления. Если пренебречь влиянием перерезывающей силы на прогиб, положив GF —*- оо, то У (2) -И о о М (г, £/s (z2) ■ &r2 dzj -+- Л/ + ^f-(0)z + y(0). (37) Уравнение для дополнительного прогиба стержня от сдвига можно получить из формулы (36), положив EJX -*■ —*■ оо. Тогда Г kQ(zi) j , Уод(2)=- J "GF(iJdZl + + ^Ь+^ + ^>" (38) Но так как (0) 0(0) dz v"' GF(0) ' то в окончательном виде Z о (39) Пример. Определить прогибы консоли постоянного сечения под действием сосредоточенной силы Р Рис. 18. Изгиб консольного сгержоя (рнс. 18). Изгибающий момент в сечении М (z)= — Р{1— г). Перерезывающая сила Q(z)=P. Прогиб от действия изгибающих моментов находим по формуле (37) йУ /т- при У (2) dz • (0) = 0, у (0) = 0: -И РУ-ъ) EJ dZi&Zx = о о EJ К'г'-тг)'ь- ( /Z2 ) EJ \ 2 6 Прогиб на конце консоли »(>) = 3EJ Ebh3 Прогиб от действия перерезывающей силы определяем. с помощью равенства (39). При уCli (0) => 0 kP Усд (г) = Qjr z. Прогиб на конце ионсоли ... _ kP kPl Уса (<)- ~GF~lT= ~Gbh' Отношение г/сд (i) у (i) 4G \ I ) ~ *(l+v) №*•
Упругая линия стержня ш На' 1 А d t ч 1 К '"irl'IMii^i ^| i , , , , , , , - , . , , , , , , , - 1 h. «M\ ■* , L . ^ В z 6 Рис. 19. Изгиб стержня на двух шарнирных опори так как G = Е/2 (1 + v), где v — коэффициент Пуассона. При h = /, v = 0,3 уся(1) 6(1+0,3) У(1) 5-2 : 0,78. Пример. Определить прогибы балки постоянного сечения под действием распределенной нагрузки (рис. 19). В опорах балки действуют реактивные усилия Яа = Rb = 0,5?/. Перерезывающая сила Q (z) = 0,5?/ — qz = q (0,5/ — г). Изгибающий момент М (г) = Q,5qlz — O.bqz* = = 0,5<7 (lz — z2). Прогиб от действия изгибающего момента по формуле (37) 2 2, * (z) = lIV J I(/Z2 ~г|) dz*dZl + о о +3F<"~i&-J(£-?b+ °(f-4) + + 1 (°)-ж? + -4-W» Из условия # (/) = 0 находим dz (0) = _£/3_ 24£7 Таким образом, 9 / lz3 У{г) = 2EJ \ 6 12 ) ql3 24 Е J Наибольший прогиб будет при г = 1/2: У№ = 5 ql* 384 EJ Прогиб от действия перерезывающей силы [формула (39)] 2 Уел (г) = - -Qp j" (-^- - ?г^ dai = -|-(/Z-Z2 Gf Наибольший прогиб Отношение максимальных прогибов fe?/2 8GF Усд (*/2) У('/2) 48 5 384 _£_ 40 G F/2 F/2 Если балка представляет собой тонкостенную трубу с диаметром d и толщиной стенки б, то k = 2; / = = nbd?l%, F = nbd и при v = 0,3 Усд (*/2) У(1/2) »«(4)" Определение прогибов стержней с помощью непосредственного интегрирования уравнения упругой линии [формулы (37) и (39) ] удобно применять в простейших случаях и для стержней переменного сечения. В последнем случае интегралы целесообразно вычислять приближенно по правилу трапеций. Учет влияния перерезывающих сил на прогиб необходим при учете податливости зубьев зубчатых колес, витков резьбы, шлицев, когда размеры поперечного сечения соизмеримы с длиной. Для стержней постоянного сечения при действии сосредоточенных сил, моментов, равномерно распределенных
346 Изгиб стержней Р-1 Рис. 20. К выводу интеграла Мора нагрузок разработаны специальные методы интегрирования уравнения упругой линии, однако во многих случаях более просто использовать интеграл Мора. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОГИБОВ С ПОМОЩЬЮ ИНТЕГРАЛА МОРА Вывод основной формулы. Определение прогибов. Пусть к балке в точке z =-а (рис. 20) приложена сила Р, которая равна единице (единичная сила). Если сообщить балке некоторый дополнительный прогиб у, то работа внешней силы у (а) X 1 будет равна работе внутренних сил упругости . Обозначим изгибающий момент в сечении стержня от действия единичной силы Мх (г). Пусть Лр — относительный поворот двух близких сечений, возникший в результате дополнительного прогиба у балки. Тогда работа внутренних сил (работа деформации, рис. 21) ■"вн — jyM1(z)d9 = = J «, (,)■£*. Приравнивая работы внешних и внутренних сил, получаем / У(а)х\ =[Mj.(z) ~^dz. (40) о Уравнение (40) должно быть справедливым для произвольного (малого) прогиба стержня. у у у уу у у ^^w^ Предположим теперь, что в качестве у рассматривается прогиб от нагрузки. внешней Тогда ИГ М(г) где М (г) EJx(z) ' изгибающий момент в сечении от действия внешней нагрузки. Подставляя отсюда значение —~ dz в соотношение (40), получаем основную расчетную формулу (интеграл Мора) 1 Mt (z) M (г) EJx(z) ,<«) = { ■dz. (41) Следовательно, чтобы найти прогиб в данном сечении стержня, надо приложить единичную силу в этом сечении, определить изгибающий момент М1 (z) от единичной силы и вычислить интеграл (41). Величина Mt (z) в Н-см/Н, так как в равенстве (41) сокращен множитель 1 Н. Единичный силовой фактор при использовании интеграла Мора сле- dz Рис. 21, Работа факторов внутренних силовых
Определение прогибов с помощью интеграла Мора 347 дует считать безразмерной величиной (момент от единичной силы имеет размерность длины). В большинстве практических задач интеграл Мора определяют с помощью правила Верещагина (см. ниже). В общем случае интеграл Мора может быть вычислен по правилу трапеций. Равенство (41) справедливо и для упругопластических деформаций, если соответствующим образом определю лить —f—. dz Если требуется учесть влияние перерезывающей силы иа прогиб, то уравнение (40) будет иметь вид у(а) = $Мг(г) -§-<** + I + J Qi(z)ydz. о (42) где y=kQ (z)lGF (z) — угол сдвига [см. формулу (32)]; Q1 (z) — перерезывающая сила в сечении от действия единичной силы. Вместо равенства (41) будем иметь У(> _ Г М, (г) М (г) "-I EJX (г) dz + J —( (z) Q (z) + » GFiz) *' W Второй член в этой формуле выражает прогиб от действия перерезывающей силы. Преимущества определения перемещения с помощью интеграла Мора особенно сказываются для стержней с непрямолинейной осью. Пусть, например, требуется найти проекцию перемещения точки А (рис. 22) на направление /—/, причем следует учесть влияние изгибающих моментов, перерезывающих и нормальных сил. Повторяя предыдущие рассуждения, Найдем проекцию перемещения точки Рис. 22. Изгиб Г-образного стержня приложения единичной силы на ее направление: + S EF ds, (44) где Mi, Ql N-l — изгибающий момент, перерезывающая и нормальная силы в сечении стержня от действия единичной силы, М, Q, N — то же в поперечном сечении от действия внешних снл. Интегрирование распространяется иа всю длину осн стержня, элемент длины обозначается ds. Определение углов поворота. Формула для определения углов поворота выводится так же, как соотношение (44). В сечении, где определяют угол поворота, прикладывают единичный момент (рис. 23). Работа момента будет ф (а) X 1. В соответствии с этим I С Мх (г) М (г) , ■HflH EJx(z) dz- <45> о В этом равенстве Мх (z) — изгибающий момент в сечении стержня от действия единичного момента.
348 Изгиб стержней f>(a) Рис. 23. Работа единичного момента Вычисление интеграла Мора по правилу Верещагина. Изгибающий момент от внешней нагрузки и изгибающий момент от единичной силы (момента) определяют по одному правилу знаков (например, момент считают положительным, если он создает сжатие верхнего волокна). Если при вычислении интеграла (41) или (45) получается отрицательная величина, это означает, что действительный прогиб или угол поворота сечения направлен в сторону, противоположную направлению соответственно единичной силы или единичного момента. Эпюра изгибающих моментов от единичной силы или единичного момента состоит из отрезков прямых. Рассмотрим участок стержня в пределах от z-l до z2 (рис. 24). Предположим, что изгибающий момент от единичной нагрузки выражается равенством Mt (г) = Az + В, (46) где А и В — некоторые числа. Тогда интеграл Мора на рассматриваемом участке '2 J i г, г, (г) М (г) EJX (г) dz = = ^{Az+B) J??, d2. *• EJX (z) l F ^ 7777 t Z> > Pi //////// ZU Zl СПГ^ 'J////, M z Рис. 24. К выводу правила Верещагина Предположим, что жесткость стержня иа изгиб в пределах участка постоянна, и учтем, что «-1 j M (г) йг = F, где F — площадь эпюры изгибающих моментов от внешних сил. Тогда Далее следует прииить во внимание, что f zM (г) dz = znF, (48) так как интеграл представляет собой статический момент площади F, a zu — абсцисса центра тяжести площади F. Формула (48) справедлива в том случае, когда величина F имеет постоянный знак в пределах участка. Используя соотношение (48), получим из равенства (47) EJ. Мх (г) М (г) EJX (г) (Azu+B) = dz = f/Ищ EJX ' (49)
Определение прогибов с помощью интеграла Мора 349 -^^777777Т~й а) в) S) Рис. 25. Ограничения для применения правила Верещагина где Мщ — момент от единичной нагрузки в сечении гп. Следовательно, интеграл Мора в пределах участка равен произведению площади эпюры моментов от внешних сил на ординату эпюры от единичной нагрузки в сечении, соответствующем центру тяжести этой площади, деленному на жесткость стержня на изгиб (правило Верещагина). 1. Площадь и положение центра тяжести эпюр Эпюра Площадь { ,'/2, . 1 Ml г^тттттгТТТрГ Ml Ml Абсцисса центра тяжести Ограничения для применения правила Верещагина. 1. Эпюра изгибающего момента от единичной нагрузки должна быть в виде одной прямой линии. На рис. 25, а показан случай, когда это условие не соблюдается. Интеграл необходимо вычислять отдельно для участков / и //. 2. Изгибающий момент от внешней нагрузки в пределах участка должен иметь один знак. На рис. 25, б показан случай, когда правило Верещагина следует применять для каждого из двух участков в отдельности. Ограничение не распространяется на момент от единичной нагрузки. 3. Жесткость стержня на изгиб в пределах участка должна быть постоянна. На рис. 25, в приведен случай, когда интеграл нужно вычислить отдельно для участков / и //. Вспомогательные данные для применения правила Верещагина приведены в табл. 1. Если эпюра от внешних силовых факторов на данном участке является линейной (например, при действии сосредоточенных сил и моментов), то равенство (46) можно использовать для момента М (г) и тогда, повторяя вывод, найдем где г7! — площадь эпюры моментов от единичной нагрузки; Мц — ордината эпюры моментов от внешних нагрузок в сечении, соответствующем центру тяжести площади эпюры моментов от
350 Изгиб стержней единичной нагрузки. Все ограничения, указанные выше для формулы (49), соответствующим образом переносятся на формулу (50). ПРОГИБЫ И УГЛЫ ПОВОРОТА В СТЕРЖНЕ ПЕРЕМЕННОГО СЕЧЕНИЯ Если стержень имеет небольшое число участков с различной жесткостью, то при определении прогябов и углов поворота можно применять правило Верещагина. Пример. Определить прогиб стержня в точке А (рис. 26). Вычисляя интеграл Мора для участков, находим 1 1 Pab 2 ab У= "FT" -n- + EJX 2 a + b 3 a + b _1 1_ Pab _2_ ab EJ3 2 a + b 3 a + b РаЧ2 fa b \ 3£ (а + Ь)2 Если жесткости на изгиб участков / и // одинаковы (£7Х = EJt = EJ), то РаЧ2 У ~ 3EJ (а + Ь) ' Табличный метод расчета. При большем числе участков различной жесткости целесообразно применить табличный метод расчета непосредственно но формулам (41) и (45). Интеграл вычисляют приближенным методом по правилу трапеций. Последовательность расчета показана на следующем примере. Пример. Определить угол поворота вала в сечении А (в месте посадки зубчатого колеса). Размеры вала в мм показаны на рис. 27. Силы Р1 = 25 кН, Р2 = 40 кН. Модуль упругости материала Е = 2,1 ■ 106 МПа (2,1 • 10' Н/см2). Реакции определяем из условия равенства нулю моментов всех сил относительно левой эпюры: /?1=25 105 190 40 55 190 = 25,4кН; Яг = 39,6 кН. Для расчета все расстояния между опорными сечениями делим на 10 рав- EJ1 Л М м, ^ттггтТ1!]¥С ^ттттЯТШ^С £J2 Е Pab а+Ь ab а+Ь Рис. 26. Определение прогиба стержня переменного сечения ных участков длиной Д = 1,9 см каждый. Составляем расчетную таблицу (табл. 2). Интеграл Мора по правилу трапеций будет иметь вид И М (г) М (г) EJ(z) dz М{0)Мг(0) , l 2EJ (0) "г Y M(zl)M1(zi) MjDM^l) ~+~ Z_i F.J IzA "+~ 2EJ(l) i=l EJ (zi) = 1,9(0 — 0,52 — 0,79—1,19 — — 1,15—1,43+ 1,02 + 0,57 + + 0,35 + 0,11+0) 10"4 = = —5,6- Ю-1 рад. Угол поворота сечения Ф = —5,8-10"* 360 2л -0°2'. Знак минус означает, что угол поворота направлен в обратную сторону по отношению к единичному моменту.
Изгиб стержня с учетом пластических деформаций 351 §1 kP2 80 о- 20 < >■ " Ж 35 40 . I* 90 20 5 Si .20 -ж 35 P2=WkH R2 55 W 220кН сч 105 Р1 = 25кН *- M=1 100 Iff lUll 0>5 •-^щщцтщ 216 к Н см TMWL -0,55 Рис. 27. Определение угла поворота стержня переменного сечения 2. Расчетная таблица для определения угла поворота сечеиня вала Параметр г, см d, см Jx, см4 м- ю-4, Н* см М, X 0 0 4.5 20,1 22 0 0 1 1.9 4,5 20,1 21,9 — 0,1 - 0,52 Значение 2 3,8 4,8 26,1 21,8 -0,2 — 0,79 3 5.7 4,8 26,1 21,7 — 0,3 -1,19 параметров в 4 7,6 5.2 35,9 21,7 -0,4 -1.15 5 9.5 5.2 35 9 21 6 -0.5 -1,43 сечениях 6 11,4 5.2 35,9 19,2 0.4 1.02 7 13.3 5,2 35,9 14 4 0,3 0.57 8 15,2 4,8 26,1 9,6 0,2 0,35 9 17,1 4 5 20,1 4,8 0,1 0,11 10 19,0 4.5 20,1 0 0 0 ИЗГИБ СТЕРЖНЯ С УЧЕТОМ ПЛАСТИЧЕСКИХ ДЕФОРМАЦИЙ В основе расчета лежит кривая деформирования (рис. 28), представляющая собой зависимость а — f (в), устанавливаемую из опытов на растяжение. Дли конструкционных сталей эта. зависимость имеет такой же вид и при сжатии. Для расчета обычно используют схематизированную диаграмму деформирования, показанную на рис. 29, Первая прямая соответствует упругим деформациям (tga=£); вторая прямая проходит через точки, соот-
352 Изгиб стержней Риг. 28. Диаграмма деформирования ветствующие пределу текучести и пределу прочности tg Gti ав — ат Угол наклона а, значительно меньше угла а (tga, да 0,01 tga), и для расчета вторая прямая иногда представляется горизонтальной линией, как показано на рис. 30 (кривая деформирования без упрочнения). Наконец, если рассматриваются значительные пластические деформации, то участками кривых, соответствующих упругому деформированию, в практических расчетах можно пренебречь. Тогда схематизированные кривые деформирования имеют вид, показанный на рис. 31 Распределение напряжений изгиба при упругопластических деформациях. Для упрощения задачи рассмотрим стержень прямоугольного сечения и предположим, что кривая деформирования не имеет упрочнения (см. рис. 30). Г V В к «в Рис. 30. Кривая деформирования без упрочнения Если изгибающий момент таков, что наибольшее напряжение изгиба a s£j ^ 0Т (рис. 32), то стержень работает в области упругой деформации ^ог При дальнейшем возрастании изгибающего момента в крайних волокнах стержня возникают пластические деформации. Пусть прн данном значении пластическими деформациями охвачена область от 0,5Я, до 0,5# {рис. 32). В этой области ст=стт. При у < <С 0,5#! напряжения изменяются по линейному закону а = а 2уШ1. Из условия равновесия момент внутренних сил 6 Рис. 29. Схематизированная кривая де- Рис.31. Кривая деформирования при боль формирования ших пластических деформациях
Изгиб стержня с учетом пластических деформаций 353 *г\ о I _____ b « * Рис. 32. Изгиб стержне прямоугольного сеченяя в упругопласгичесаой стадии Если бы материал оставался упругим при любых напряжениях, то наибольшее напряжение о» = 6М превышало бы предел текучести материала. Напряжения при идеальной упругости материала показаны на рис. 32. С учетом пластической деформации напряжения, превосходящие предел текучести для идеально упругого тела, снижаются. Если эпюры распределения напряжений для действительного материала я для идеально упругою материала отличаются одна от другой |ири одних и тех же нагрузках), то в теле после снятия внешней нагрузки возникают остаточные напряжения, эпюра которых представляет собой разность эпюр упомянутых напряжений. В местах наибольших напряжений остаточные напряжения противоположны по знаку напряжениям а рабочих условиях. Предельный пластический момент. Из формулы (51) следует, что при М ЬН* величина Нг — 0, т. е. все сеченне стержня находится в области пластической деформации. Изгибающий момент, при котором во всех точках сечения возникают пластические деформации, называют предельным пластически н моментом. Распределение напряжений изгиба по сечению в этом случае показано на рис. 33. В области растяжения а = от, в области сжатия о — —ат. Так как из условия равновесия ст dF — 0, то F нейтральная линия делит сечение на две равновеликие (по площади) части. Для прямоугольного сеченяя предельный пластический момент Рне. 33. Распределение напряжений при действии предельного пластического момента ьт ст.Гт (52) 12 Заказ 402
354 Изгиб стержней Изгибающий момент, при котором возникает пластическая деформация только в крайних волокнах, ЬН2 My = ar —g— = aTW. Отношение пластического момента сопротивления МТ к обычному (упругому) моменту сопротивления для прямоугольного сечения Wr _ ЬН*/4 W ЬН2/6 1,5. Для двутаврового сечеиия при изгибе в плоскости наибольшей жесткости это отношение составляет 1,15— 1,20; для тонкостенного трубчатого ~1,3; для сплошного круглого сечеиия 1,7. В общем случае величину МТ при изгибе в плоскости симметрии сечеиия можно определить следующим способом (рис. 34); разбить сечение линией аа на две равновеликие (по площади) части. Если расстояние между центрами тяжести этих частей обозначить через е, то Fe /WT = ат —— = aTFc, (53) где F — площадь поперечного сечения; с = 0,5е — расстояние от центра тяжести какой-либо половины сечения до центра тяжести всего сечения (точку О находит на равном расстоянии от точек Oj и 02). Предельный разрушающий момент. Изгибающий момент, при котором в какой-либо точке сечения возникает 5; X 1 У "У С b Рис. 35. Распределение напряжений при действии разрушающего момента напряжение, равное пределу прочности материала, называют предельным разрушающим моментом. При определении разрушающего момента будем исходить нз кривых деформирования для полностью пластичного материала с упрочнением (см. рис. 31). Рассмотрим сначала стержень прямоугольного сечения. Распределение изгибающих напряжений показано на рис. 35. В крайних волокнах напряжение равно ов. Напряжение на расстоянии у от оси с = aT -j- (ов — ат) —jj- . Из условия равновесия разрушающий момент 0.5Я 2 j [ат+(°в— °т) ~^ybdy=MB, о или aTWT+(oB — ат)Г = МВ, (54) где пластический и упругий моменты сопротивления соответственно WT = ьт Г = ът Рис. 34. К определению Я„ Равенство (54) справедливо для любого поперечного сечения, имеющего две оси симметрии. Приближенно можно считать, что оно справедливо и-для сечеиия с одной осью симметрии.
Круглый вал 355 Это равенство можно записать в другом виде: М, ■-"'['+(3-'Ш (55) Например, для стержня прямоугольного сечення прн W/WT= 1/1,5 и aja-r = 1,5 получаем Мв « 1,ЗЗМТ. Прн выводе формулы для Мв пренебрегали изменением сечения стержня в процессе деформации. Глава 18 КРУЧЕНИЕ СТЕРЖНЕЙ КРУГЛЫЙ ВАЛ При кручении круглого вала (рнс. 1) образующие цилиндра получают наклон к оси. Поперечные сечення вала остаются плоскими, радиальные направления остаются после деформации прямолинейными; поперечное сечение вала, не деформируясь, поворачивается вокруг оси. Такая картина деформаций установлена экспериментально. Если угол поворота концевого сечения ф (/), то угол сдвига на радиусе R У = Ф(0* Величина / ф(0 0 (1) (2) представляет собой угол закрутки на единицу длины вала. Касательное напряжение в соответствии с законом Гука (рис. 2) т = Су = GQr, (3) где G — модуль сдвига. Прн кручении круглого вала касательные напряжения распределяются вдоль радиуса по линейному закону. Из условия равновесия момент касательных напряжений должен быть Рис. 1, Кручение круглого вала 12* равен внешнему крутящему моменту, т. е. xr dF= М„ С0 [ г2 dF = Мк, о откуда следует: GQJp = Мк, R R /р= [r*dF = 27t \rsdr-. (4) (5) где о 2 nd* 32 :0,ld« — полярлый момент ннерцни круга диаметром d = 2R. Из формул (2) и (3) находим г-^-г. (6) Максимальные касательные напряжения - _ Мк п _ Мк _ Tmax - ~Jp~ H~'WP~~ м к М- к nd3 16 0,2d3 (7) Угол поворота концевого сечения Ф(') = -^- (») Связь между максимальным касательным напряжением и углом закру-
356 Кручение стержней В этом случае Рис. 2. Распределение напряжений при кручении вала сплошного сечения Ф(0 чивания ф (/) выражается равенством " рттах' "^тах "* GJp ~ G d ' (9) У валов малого диаметра при одном и том же угле закручивания касательные напряжения меньше. Формулы (6) и (8) остаются справедливыми для полого вала (рис. 3). Полярный момент инерции полого вала Максимальное касательное напряжение Тщах — ■ Ми М„ 16 \ d* / Если толщина стенки б = 0,5 (d — d{) мала по сравнению со средним радиусом гСр = 0,25 (d + dj, то можно считать, что касательные напряжения постоянны по толщине. т = Mv 2w»p« (10) СТЕРЖЕНЬ С ЭЛЛИПТИЧЕСКИМ ПОПЕРЕЧНЫМ СЕЧЕНИЕМ При кручении стержня некруглого сечения точки поперечного сечения после деформации не лежат в одной плоскости. Они получают не только поворотные смещения, ио и смещения вдоль оси. Угол закручивания на единицу длины е = -^, (it) где Т — геометрическая жесткость на кручение стержня эллиптического сечения (рис. 4), '—s?W- <12> Составляющие касательного напряжения В точках контура вектор полного касательного напряжения направлен по касательной к контуру. В точках прямой, проходящей через начало координат, векторы полных касательных напряжений параллельны. Наи- чу ■ (13) ГЧ >!~ X а « » А Ph 0 J Б а « • "^1 ■^1 Рис. 3. Распределение напряжений при кручений круглого вала Рис. 4. Кручение стержня «ллнптичеекого сечения
Стержни прямоугольного сечения и тонкостенные 'У 357 Рис. 5. Осевые перемещения при кручении стержня эллиптического сечення большее напряжение имеет место в концах малых полуосей: т Мк (14) Смещение точек в направлении оси г (депланация сечения) определяется равенством Мк{а*-Ь>) w = ■ Gna3b3 ху. (15) Распределение w в точках контура показано на рис. 5. Приведенное решение справедливо для случая чистого кручения стержня концевыми парами при свободных торцах. При стеснении осевых смещений (например, при заделке торца стержня) возникает стесненное кручение. В зоне стесненного кручения в поперечном сечении возникают нормальные напряжения, распределенные приблизительно по такому же закону, как и величина в». Максимальные нормальные напряжения в заделке ашах ** 1|5ттах. Напряжения стесненного кручения быстро убывают по мере удаления от заделки. Так, например, при г = а величина атах составляет только ^>2Т(пах- СТЕРЖНИ ПРЯМОУГОЛЬНОГО СЕЧЕНИЯ И ТОНКОСТЕННЫЕ Максимальное касательное напряжение действует на середине большей стороны (а> Ь), как показано на рис. 6: Рнс. 6. Касательные напряжения при кручении стержня прямоугольного сечения Коэффициент кг с достаточной точностью может быть найден по приближенной формуле .—ч- 34-1,8 — а Угол поворота на единицу длины стержня e = ^#V- (17> Gk2ab3 v Для сечения в виде вытянутого прямоугольника kt = k* = — . Таким образом. М = -£-Ь. (18) аЬг Для тонкостенных стержней (открытого профиля) L Т = -J" j б3 (s) ds, о где б (s) — толщина стенки; ds — элемент дуги средней линии, длина которой L. Наибольшее напряжение Мк (19) Прн стесненном кручении стержня с сечением в виде вытянутого прямоугольника наибольшее нормальное напряжение в заделке может достигать атах ** 2,5ттах.
358 Кручение стержней Эти напряжения быстро затухают, т. е. носят местный характер. У тонкостенных стержней (типа швеллера, двутавра) искажение напряженного состояния в районе заделки затухает медленно и при расчете следует учитывать стесненное кручение. Это составляет предмет исследований теории тонкостенных стержней. Если для сечения стержня параметр к = —^3- < 3, где /mIa — минимальный момент инерции сечения, то можно применять обычную теорию изгиба и кручения стержней. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ КАСАТЕЛЬНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ Согласно гидродинамической аналогии касательное напряжение представляет собой скорость жидкости, вращающейся внутри цилиндрического сосуда, стенка которого совпадает с контуром сечения вала. Эта аналогия позволяет сделать ряд практически важных выводов (рис. 7). 1. Во всех входящих углах (рис. 7, а) образуется концентрация напряжений. Если радиус закругления вершин входящего угла стремится к нулю, то касательное напряжение стремится к бесконечности. 2. Во внешних выступах (рис. 7, б) касательные напряжения уменьшаются (по гидродинамической аналогии здесь образуются застойные зоны с малой скоростью течения). По мембранной аналогии касательное напряжение пропорционально уклону резиновой пленки, закрепленной по контуру сечения и находящейся под действием внутреннего давления. Объем, образованный пленкой и плоскостью контура, пропорционален жесткости стержня на кручение. УЧЕТ ПЛАСТИЧЕСКИХ ДЕФОРМАЦИЙ При кручении круглого вала картина деформаций остается такой же, как н при упругих деформациях. Из опытов на кручение тонкостенных труб получена зависимость (рис. 8) т = Ф (у). (20) Для приближенного построения можно использовать обычную кривую деформирования (С, 8), ПОЛОЖИВ Т = = а/УЗ, у = УЗв. Расчетную зависимость т = Ф (у) ча сто принимают в виде диаграммы, показанной на рис. 9. Допустим, что до радиуса гг (рис. 10, а) материал вала работает в упругой области. Тогда на участке / (область упругости) т = Trr/rj, на участке // (область пластичности) т = тт. Крутящий момент •-J М„ = \ xr dF = 2я \ тт — dr -f + 2я \ ттг2 dr, i Мк = 2ятЦ^ i.J. (21] a) 6) Рис. 7. Качественные особеииости распределеиня касательных напряжений при кручении
'ГруОчитыс стержни 359 Рнс. 8. Диаграмма деформирования Р»с 10. Распределение касательных напряжений при упругопластнческнх деформациях: Из этого равенства ■-V 4#з &МК ятт (22) Предельное значение Мк, соответствующее работе стержня целиком в пластической области (гх = 0): 2 ЛГ. • Я#3ТТ (23) Распределение напряжений в этом случае показано на рис. 10, б. Для угла сдвига справедлива зависимость у = 6г. Для радиуса rt 6 = силу соотношения (22) тт 1 у 4#з 6МК (24) (25) Из формулы (25) следует, что при приближении величины Мк к Мкг деформация вала сильно возрастает. Если исходить из точной кривой деформирования т = Ф (у) (см. рис. 8), рнс. 9. Диаграмма деформирования без упрочнения то значение угла сдвига на внешнем радиусе можно определить из соотношения где 2nR3F (yR) = Мк, (26) F(yR) = — \ Ф(у)У2с1у. Функцию F (ув) вычисляют, задаваясь различными значениями yR, и затем строят зависимость Мк = = Мк (ун) (рис. JJ). Искомое значение Yh соответствует заданному крутящему моменту. Расчет следует начинать при yR ^ ^ tt/G, так как это соответствует началу пластичности в точках внешнего контура. ТРУБЧАТЫЕ СТЕРЖНИ При расчете трубчатых тонкостенных стержней на кручение предполагают, что вектор касательного напряжения параллелен касательной к сред- м $ ' к 1 0 i ТуГ Гя Рис. 11. Зависимость М = М НъЛ
360 Кручение стержней r(s) Рис. 12. Касательные напряжения прн кручении трубчатого стержня ней линии контура и напряжения распределяются равномерно по толщине стенки (рис. 12). Из условия равновесия элемента стержня, показанного на рис. 13, следует: 61Т1 = 62Т3- или 6 (s) т (s) = const. (27) Сумма моментов всех касательных напряжений относительно оси, проходящей через произвольную точку сечения (рис. 14), равна рх (s) б (s) ds, L где р — длина перпендикуляра, опущенного нз точки О на касательную к контуру. Интеграл берется по всей длине L контура. Приравнивая этот суммарный момент внешнему крутящему моменту, в соответствии с равенством (27) получим М „ = Т (S) б (S) | Р ds. (28) Так как р ds = 2dFc, где dFc — площадь заштрихованного на рис. 14 сектора, то J"pds=2Fc, где Fc — площадь, ограниченная средней линией сечения трубы. Из равенства (28) вытекает формула Бредта r(s) = 26 (s) Fc (29) Жесткость стержня при кручении. Потенциальная энергия деформации стержня U = -± \ \ -^-dFdz = о р 2 J J G 7 _ _L Г Г M*6 (s) 4G62 (s) Fl ■ ds dz, о о где /— длина стержня; L — длина дуги средней линии (периметр). Отсюда получаем 8GFI J ds 8(s) (30) Из равенства работ 0,5Л4кф ([} = U, откуда угол поворота ф (0 = GT У 1 1 а d Рис. 13. Равновесие элемента стержня Рис. 14. К определению жесткости стержня иа кру- Рис. 15. Стержень коробчатого сечения
Плоская деформация колец 361 где Т ■ ds в (О геометрическая жесткость сечения стержни при кручении. Дли трубы с постоинной толщиной стенки 4Я6 Например, для круглой трубы радиусом г с толщиной стенки б 4л2г*6 2пг = 2пгЧ; дли трубы коробчатого профили постоянной толщины (рис. 15) 4а46 4а = а3б. Глава 19 РАСЧЕТ КОЛЕЦ ПЛОСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ КОЛЕЦ Предполагается, что одна из главных осей сечении лежит в плоскости кольца. В этой же плоскости действуют внешние нагрузки. Замкнутое кольцо при действии прямоугольной нагрузки ивлиетси 3 раза статически неопределимым. При расчете на прочность тонкого кольца можно считать справедливыми зависимости, установленные в теории примолииейных стержней. Основную (статически определимую) систему получим, разрезая кольцо в некотором сечении 8=0 (рис. 1). Неизвестные силовые факторы в сечении обозначим: Xi — растигивающая (сжимающая) сила; Х2 — перерезывающая сила; Х3 — изгибающий момент. Пренебрегая влиинием нормальных и перерезывающих сил на деформацию, можно записать с помощью интеграла Мора обобщенное перемещение б МРМХ EJ ds, (1) где Мр — изгибающий момент в сечении кольца (в основной системе) от действия внешних нагрузок; Мг — изгибающий момент в сечении кольца от единичной нагрузки; EJ — жесткость сечении на изгиб. Для решения задачи в соответствии с равенством (1) следует определить изгибающие моменты от единичных Рис. 1. Статически определимая система и эпюры изгибающих моментов от внешних нагрузок и единичных силовых факторов
362 Расчет колец силовых факторов, приложенных в направлении Хх, Х2, Х3. Из условия равенства нулю относительных перемещений получаем систему (канонических) уравнений: «1Л+ 61Л+ 6i3X3 + вхр = 0; (2) «и*1 + баЛ + б^Хз + б2Р = 0; (3) б3Л + б32Х2 + 633Х3 + бзР = 0. (4) Коэффициенты, входящие в последние уравнения, называют коэффициентами влияния. Каждый из этих коэффициентов получается в результате умножения эпюр, указанных индексами коэффициентов. Используя свойства симметричности и кососимметричности эпюр, легко установить, что б12 = 621 = 0; б23 = б32 = 0. Из уравнения (3) находим v 62р 2 — л—' 022 а из уравнений бц*! + б13Х3 + 61Р = 0; 6аЛ + 633Х3 + б3р = 0 следует: 2Я (5) 63p6i3 — 6ip633 ** = ■ 6ц633 ■ 6ip63i - - 613631 ■ бзрбц бцб33 — 61363 (6) (7) Перейдем к вычислению коэффициентов влияния. Изгибающий момент в эпюре «/» Muv (0) = 1 • R (1 — cos 8). Момент считают положительным, если он уменьшает кривизну стержня (см. рис. i). Изгибающие моменты в эпюрах «2» и «3» М1Ш (6) = lysine; М1(„(в)»1. Для кольца постоянного сечения: 2я EJ 2л 1 (1 — cosG)2de = Зя/?3 EJ 6is RdQ = 2лЯ2 ] ^1(1)^1(3 о 2л =-g-j(l-cos 9) *9= .^-, о 2я rrJM?(2)£de = 2л I 0 2л У j Mf(3)/?d9 = £У /?3 С . 20 .„ я/?3 о 2л о Далее имеем 2л HP ■тг1> MpMlwRdB = 2л R2 Г = ~Ё7~ МР(\—cos в) dB; 1 2Я б2^= £7" J MpMl{2)RdQ = 2л /?2 Г = -Try \ Afpsm9dG; о 2л °ЗР- £7 5 мр MI(3)tfd9 = 2Я £7 Mpd9; здесь /Ир— изгибающий момент в сечении 9 в эпюре Р, т. е. момент or внешних сил в разрезанном кольце.
Плоская деформация колец 363 Место разреза Место разреза Рис. 2. Симметричная (а, б) и кососимметричная (в) нагрузки на кольцо Теперь подставляй эти значении в равенства (5)—(7), получаем 2л Хг = ~Ш \ МР (В) cosB dB; (8) о 2л Х3 = — — { МР (9) sin 9 dB; (9) о 2Л *з = - ~ j МР (9) dQ - 2л — — j МР (В) cosQdQ. (10) о Изгибающий момент в сечеиии 9 М (в) = MP(G)+ Л^Я (1 — — cos в) + X2R sin 9 + Xa или с учетом равенств (8)—(10) 2л М (9) = МР (9) - ~ j Mp(0) о 2л COS 0 С — \ MP{B)cosBdB- dB- 0 2л Sin п9 Г — \ МР (0) sin 9 dQ. (11) Для вычислении изгибающего момента в сечении кольца следует определить изгибающий момент в разрезанном кольце Мр (9) и вычислить интегралы, входящие в равенство (11) *. При вычислении интегралов можно пользоваться приближенными методами, например правилом трапеций. Угол 0 отсчитывают от произвольного сечеиия разреза (9 = 0). Если внешние нагрузки имеют ось симметрии, то разрез целесообразно делать по этой оси (рис. 2, а, б). Для симметрично нагруженного кольца М(В) = МР(В) — 2 cos 9 j Мр (9) cos 0 dQ — 4k dQ. (12) При кососимметричиой нагрузке (рис. 2, в) М (0) = Мр (в) — л 2 sin 9 С — J МР (0) sin 0 dQ. (13) о Пример. Кольцо нагружено двуми сосредоточенными силами (рис. 3). Разрез проводим по оси симметрии, разделяя нагрузку поровну по краям разреза, в результате получим Мр(В) = — -^-sin0. * Момент в сеченин кольца равен моменту в разрезанном кольце за вычетом трех первых членов разложения этого момента в ряд Фурье.
364 Расчет колец 0,118•РЯ 0,t82P/f Рис. 3. Кольцо под действием двух сосредоточенных сил а) Ю Рис. 4. Кольца под действием двух сосредоточенных моментов Находим Вычисляем л MP(B)dQ PR \ sin9d9 = — PR; f МР (9) cos 9 d& = 0. Из равенства (12) следует: M(B) = PR (-1 ^sin0) • При 9=0 имеем М(0) = — PR = 0,318PR. я При 9 = я/2 "(t)-U—J0«- [ MP(d)dQ = — f MdQ = 6 о = — M (я —а); л [ Мр (9) cos 9 dQ = о я = — М [ cos 9 dQ = M sin а. о Пользуясь равенством (12), находим М (9) = Л*Р (9) + — (я — а) — 2 cos 9 я я М sin а. При 9 < а М (9) = /ИМ —- sinacosa J. При 9 > а М (9) = — М х Пример. Кольцо нагружено двумя х I ~^~ + ~ sin a cos a / " сосредоточенными моментами (рис. 4). „ . , ,,„™„„» В этом случае (рис. 4, а) МР(в) = 0 Расчетные формулы для некоторых при 0 < 9 < а- случаев нагрузки колец даны в табл. 1. ~~" """" ' Эпюра изгибающих моментов приведе- Мр (9) = —М при a < 9 < я. на иа рис. 4, б.
Плоская деформация колец 365 I. Формулы для расчета колец Обозначения: М (6) — изгибающий момент в сечении кольца; положительное направление момента принято, квк уквзано на рисунке; 6 — текущий угол (а, Р — фиксированные углы, определяющие положение действующей ивгрузки); 6Х, 6у — изменения диаметре кольцв в направлениях х и у; J — момент инерции сечения; Е — модуль упругости. Эпюры нзгибвющих моментов двиы для значений а. уквзвииых ив эскизвх Эпюры изгибвющих моментов Рвсчетиые формулы Кольцо под действием сосредоточенных одиивковых рвдиальиых сил, приложенных с одинвковым шв- гом по окружности ' М (В) = Рг _1_ Прн 0 < в <а 2sin а Ы{в) 2 sin ■(-!—)• 2л где а = —~— рвд (п — число сосредоточенных снл). п Перемещение точки приложения силы относительно центра кольцв Рг' EJ 1 2.!».-§- 4. РГ * \ * 1 2 sin1 + -J-sin a- + , _Pr 1 / а , sin a \ "*" EF „ , , а I 4 + 4 I 2 sin' -х- * ' При мвлых углвх (а < 20°) Рг' а" EJ 720 + • Рг EF 0 <6 <а а=*5' М (в) 0,113Рр 0,15^Рг = Pr (sin a — L * IS в |в) •] — а cos a + a cos в — — sin a cos a cos в) — — cos в + соа ( а < в <я 1 = Pr (sin a а + a cos в) - a cos a cos 6 М (в) — a cos a + a cos в) Кольцо под действием двух горизоитвльных сил Рг* Г 2 1 1 6Х = -gj- — (sin a — a cos а) + — (sin а cos а —а) ; Рг* Г 2 йу = -p-j- — (sin a — а cos a) + cos а + ■ slnJ а 1 В этом случве учитыввют влияние иормвльиого усилия N (6), которое при п > 8 оказыввется существенным. Влиянием перерезывающих снл можно пренебречь.
366 Расчет колец Продолжение табл. 1 Эпюры изгибающих моментов Расчетные формулы a=U5 о <е <а М (в) = + 2 cos (а + *.[4 в sin а) — 11 а <в <л Ж (в) = М0 Г— (а + + 2 cos в sin а) Кольцо под действием двух сосредоточенных моментов б, = М0г EJ EJ * ( 2 — -— а — sin а V я — ( а + cos а — 1 ] а=30° fi=120° О < 6 =&а М (9) = Рг Г (Р sin Р + cos P — а sin а — ■ cos а — cos 6 sin* а -j- cos 6 sin* P) — sin P + sin a I; a <6 <p M (6) = Pr \ Ф sin p + cos P — a sin a — ■ cos a — cos 6 sin' a -f- cos 6 sin' P) — sin p + sin 6 ; P < в <л M (6) = Pr Г (P sin P + cos p — a sin a — L я — cos a — cos 6 sin' а + cos 6 sin' P) Q17Pf P Кольцо под действием двух вертикальных сил в, = Рг1 Г I EJ [4(sin*a + sin* р) + (Р sin р + + cos р — a sin а — cos а) + 1 — 2 sin f) ; Pr3 Г I 6„ = —r-r- -5- (sin P cos p + Р — sin а cos a — а) + EJ + (Р sin р + cos р — a sin a — cos а) + + sin а — sin |
Плоская деформация колец 367 Продолжение табл.1. Эпюры изгибающих моментов Расчетные формулы Zprsina -0,312 рр г Кольцо под действием распределенной нагрузки и уравновешивающей вертикальной силы 6 = 0 М(0): , Г i , sin' a , i / , a sin' a 'РГ'[— +^Г- + — (81пИ 2 "*■)]■ sin* а 3 sin a cos а i 4 0 <6 <а М (в) = М (0) — pr' [sin а cos а — S'" a (i — cos 6)1 а <в <л М (в) = М (0) + pr' f S',n„' a (1 - cos в) — 1 - — (sin» , Г sin* а а + sin1 8)1 6..= 2рг« Г i ж Е/ Г i sin а sin' а ["4 2 + 2 sin' а i I а , 3 . , а sin' а \ + — sin а cos а Ц sin а п \ 4 У EJ [ 12 + " 4 sin' а sin' а cos a 12 а sin' а г sin а cos а 1_ / а sin' 4 — 6 я ^ 2 + -Т- sin а cos а + -т sinaj ■ + JP \-0,207ргг Кольцо под действием двух распределенных нагрузок 6 = 0 М (0) = ргг Г-L (-у- + a sin» а + n"al. 3 1 -|—— sin а cos а) — sin» 0 < 6 <а М (в) = М (0) ^—sin* в. 0 < в < л М (в) = М (0) — ргг (sin а sin в 2~ sIn' а) Ь-Щ-^а. sin' а ■ + -I (а + 3 sin а cos а + 2а sin я • а) 1;
368 Расчет колец Продолжение таил, i Эпюры нэгнбающнх моментов SAW/s^S^V Д Кольцо под действием вертикальной распределенией на1 рузки постоянной интенсивности и двух ураз- новешнвающнх вертикальных сил Расчетные формулы , рг* Г , , sin1 a У ~ ~F~r a — а sin rs г— cos а — 2 ,2 я sin а ! , ~ 3 c°sn+"3 +2 я X X (2а sin" а + 3 sin а cos а -f- а) J 0 = 0 М (0) — pr' |-i—S- cos a + а sin а --я sin а + &in" а |; N (0) = pr (sin* ct - -i-Л; 0 < 9 < а М (9) = М (0) — N (0) г (! — cos 0> + + рг* {в sin 6 -f cos в — !). а <9 <я М (в) = .М (0) — N (0) г (1 — cos в) + + рг1 (9 sin 9 + cos 9 — i — я sin 6 •+• я sin а) пг4 Г я 1 6^ — -~- — (1 +sin* а> + 2 (а sin а -feosa) ; 6у = -|£- Г —2.467 + -—- (sin а cos а + + а — 2 sin а) + 2 (а sin а •+• cos a) ОСЕСИММЕТРИЧНАЯ ДЕФОРМАЦИЯ КОЛЕЦ Под действием осевой силы (рис. 5) кольце испытывает осесимметричную деформацию — сечение кольца поворачивается на некоторый угол. В общем случае на кольцо могут действовать равномерно распределенные силы и моменты (рис. 6, сила qi в Н/см распределена по окружности радиусом at, момент пц в Н-см/см — по окружности радиуса Ь{) н сечение кольца получит радиальное перемещение щ н поворот на угол <р против часовой стрелки (рис. 7). Рассмотрим приближенное решение, основанное на допущении, что деформации в плоскости сечения кольца отсутствуют (физическая модель такой расчетной схемы — кольцо из жестких шайб, связанных кольцевыми упругими нитями). Начало координат помещено в центре тяжести сечения. Относительное удлинение в окружном направлении "о г ■'■?■■ (14) По закону упругости напряжение в окружном направлении Е* = Е(±- + у±.).. (15) где Е — модуль упругости материала. Неизвестные зеличины щ, и ф, входящие в что равенство, определяют из условий равновесия половины кольца (рис. 8): [adF = N; iaydF=M, (16)
Осесимметричная деформация колец 369 где N и М — растягивающая сила и момент в сечении кольца. Эти усилия уравновешивают половину кольца. Плоскость действия момента перпендикулярна оси Для вычисления N а М используют формулы (см. рис. 6) N = £ amcosaf, (17) •м •= 2 (b.-mi-<¥?,• siiia<- — aie^i cos at), (18) где суммирование распространяется на все приложенные, нагрузки. Внося равенство (15) в условия (16), находим л \ dF "° 3 ™ F 1- Фь-| ydF. N; (19) u0E^tL + (fE^y^L^M,m Разберем два основных случая. Размеры поперечного сечения кольца малы по сравнению с радиусом. В этом случае можно считать г = г0, где г0 — радиус окружности центров тяжести сечений. Учитывая, что [ydF=0, так как ось х проходит через центр тяжести сечения, из уравнений (19) и (20) получаем ,У EF Ф М (21) где F — площадь поперечного сечения кольца; Jх = г/2 dF — момент ннер- F цни сечения кольца относительно осн, проходящей через центр тяжести и перпендикулярной к оси кольца. Из равенства (15) вытекает: N , _М_ J, ' <у = -р- + у (22) Рис. 5, Осегимметричная деформация кольца (кручение кольца) под действием осевой сил и Рис, В Распределенные внешние силы и моменты, приложенные к кольцу h—н Рис. 7, Деформация кольца Рис. 8, Растягивающее усилие N и момент М в поперечном сечении кольца
370 Расчет колец 0-1 1- 4i b ' < I т г-о а-1 1 ///у щ <; -* 1 \ 'У Рис. 9. Кольцо прямоугольного сечеиия под действием осевой силы Кольцо под действием осевой силы. В этом случае (см. рис. 5) общая осевая сила Q — 2na1q1 = 2па2<?2^ Из формул (17) и (18) л л «1: а2 = N = 0; М = —a]qx 4- a\q.2 = где е = а2 — ох — разность радиусов опорных окружностей. Угол поворота кольца _ r0M _ /•0(a|72~gi'?i) _ £7, £7, 2л£/. Осадка кольца (вертикальное перемещение точки приложения силы) б = <Ре = -2л£77- Напряжения в поперечном сечении кольца Qc Для кольца прямоугольного сечения (рис. 9) 6r0Qc . _ _ 6Qc Ф =■ а = у nEbk3 ' " " nbh? Наибольшие напряжения 3Qc Растягивающие напряжения действуют при у = 0,5/г, сжимающие - при у — —0,5h. Кольцо под действием радиальной на этом случае (рис. 10) = ад; М = axeq. Далее находим Ц0 __ а-хЧЧъ ._ \1ахед /■„ Ehbr0 Ebh3 Напряжение в кольце Qi<7 , „ 12ote</ грузки. В «1 =0; Nx = а = • bh + У bh3 Температурные напряжения. Рассмотрим неравномерно нагретое кольцо при действии внешних нагрузок. Вследствие влияния температуры модуль упругости в различных точках сечения может иметь различные значения. Деформация кольца EaTdF О ^- = ——- с 2л ' "о Н N ( р 1 Е dF [ EdF Р F (23) EaTydF М r° ^Ey2dF ' \Еу* dF (24) Начало координат осей х, у помещено в приведенный центр тяжести сечения, так что [ EydF~=0; j ExdF = 0. r*o ■ч Of 7/ 0 i > <z 3 У b X Ц Рис. 10. Кольцо прямоугольного сечёняя под действием радиальной нагрузки
Осесимметричная деформация колец 371 - 1 И V, to V ' V го г 1 Л х1 «/ л А Рис. 11. Общий случай расчета осесимме- тричиой деформации кольца, когда размеры поперечного сечения соизмеримы с радиусом При его определении единице площади поперечного сечения приписывают «вес» Е. Напряжение в кольце а = Е I- \-у \ + £df + £ EaTdF \EdF F JEy*dF + Расстояния у1 и с можно отсчитывать от произвольной оси, в данном случае вспомогательная ось проходит через верхнюю точку сечения. Ось у направлена параллельно оси кольца и проходит через центр тяжести сечения. Из уравнений (19) и (20) при условии (7) находим "•—7ГЗГ-"' (28) ф = Напряжения кольца М (29) dF поперечном сечении N 'I dF М К (30) dF EaTydF + У \Еу> а.Т dF (25) Вторая группа членов в этой формуле выражает температурные напряжения. Размеры поперечного сечения кольца соизмеримы с радиусом. В этом случае равенство г = г„ ие используют, а положение оси (размер с, рис. 1!) определяют из условия (yi~c)dF F P что дает 9\ dF J-f 0, (26) (27) Кольцо прямоугольного сечения под действием осевых сил. На кольцо действуют распределенные силы q± и </, и распределенный момент m (рис. 12). Силовые факторы определяем по формулам (17) и (18) N = 0; М = —max — a\qx -\- a\q-2. аг Гг . i b /774 1 У а, ^у г0 'Н >"2 ' '{///, ////, У 1г J -С; ' X Рис. 12. Кольцо прямоугольного сечения под действием распределенных усилий и момента
372 Расчет колец Равенство (26) будет удовлетворено, если ось х проходит через центр тяжести сечения. Далее вычислим ь_ н_ F Ь ft ~£.ш. 'о + Л3 ТУ Угол поворота кольца по формуле (29) ^ 12(aj(72 —ajgi—aim) # (3|) £А» In -U. Н апряження в У 12(а|(?2- /"1 кольце a?9i — fliff») ft3 (32) Если Го н /"! близки между собой, то In (/y^i) ж г2 — гх= b; r = г0 н формулы (31) и (32) совпадают (при т = 0) с полученным ранее решением для кольца, размеры поперечного сечения которого малы по сравнению с радиусом. Коническое кольцо. Тонкостенное кольцо (б < г) находится под действием осевых распределенных снл 9i и 9г (Рис- 13). Введем вспомогательные координаты £ и т), тогда Ух = I sin a + т) cos а; г = rx + | cos а — т) sin а. С достаточной точностью можно положить г = /"j + % cos a. Для определения с по равенству (27) вычисляем 6 1 Р о ' djdn cos a г + £ cos а ■'■-£' Рис* 13. Коническое кольцо под действием распределенных осевых сил Г й^ / 2 = 1 i £ sin a + г| cos а 'l + \ cos а dgrfl = 6tga cos a и находим (,,_,,_,,!„ IL) с-Ца/^^-гЛ. Далее определяем tg2« cos a + r?lnZL]+^-Cosaln^-~ — c* cos a ■In-U-.
Формула Эйлера 373 Напряжения в кольце у дга\ — дха\ Осадка кольца (сближение точек приложения сил qx и 0j) 6 = ср (а2 — ах) = _ (яга\ — ?! а?) (а,—а,) £7* Пределы применимости приближенного решения. Приведенное решение основано на допущении, что сечение кольца не деформируется. Следовательно, для случая, показанного на рис. 14, а, изложенное решение не пригодно, тогда как для случая, изображенного на рис. 14, б, изложенное решение можно использовать. Если г,//*! < 1,4, то целесообразно применять решение, основанное на формулах (21) н (22), прн rjrt> 1,4 — более сложное решение [формулы (28)-(30)]. \77777Z I У/////Л J а.) п | У////А , Г " ш,« jwnvy | ю Рис. 14. Области применения приближенного решения для осесимметричной деформации колец: а — кольцо заделано в массивное тело — решение не пригодно; б — кольцо оперто и имеет возможность поворота — решение может быть использовано Для тонких пластин (hl(rt—гх) < •<0,2) прн rjr1> 2 приближенное решение часто дает большие погрешности и приходитси использовать теорию пластин (см. гл. 23). Глава 20 УСТОЙЧИВОСТЬ СТЕРЖНЕЙ ФОРМУЛА ЭЙЛЕРА Если тонкий прямой стержень сжимать вдоль оси, постепенно увеличивая силу Р, то вначале он будет оставатьсн прямым, но затем при некоторой нагрузке Якр, называемой критической, стержень начнет резко изгибаться. Это явление называют потерей устойчивости (рнс. 1). При потере устойчивости напряжения быстро возрастают, что может привести к разрушению детали. Для нормальной работы большинства конструкций потеря устойчивости недопустима. Обычно допускаемая нагрузка не превышает (0,5-0,7) Рир. Чтобы найти критическую силу Якр, рассмотрим условия, при которых сжатый стержень может находиться в изогнутом состоинии в условиях равновесия (рис. 2). Прн малых прогибах справедливо обычное уравнение изгиба -Ру или где d*y йхг +- *V = о. А* = EJ " (О (2) Общее решение уравнении (1) у = A sin kx + В cos kx для опертого по концам стержня должно удовлетворять граничным условиям у (0) = 0, у (Г) = 0, что возможно, если В — 0, A sin kl = 0. Стержень может прогнуться (Л ф 0) только прн условии sin kl = 0. Пока сжимающая сила Р мала, так что величина k = ypjEJ < nil, значение sin Мф Ф 0 и стержень остается примолиней- ным. Прн k = nil нли * = *«, = *¥- № стержень может принять помимо прямолинейной формы, котораи становится
374 Устойчивость стержней Рис. I. Потеря устойчивости стержня при сжатии Рис. 2. Осевое сжатие двухопорного стержня неустойчивой, новую форму равновесия с изогнутой осью. Для определения величины прогиба при Р ^ Ркр необходимо использовать в уравнении изгиба точное выражение кривизны стержня (см. рис. 2) и учесть изменение расстояния А/ между концами стержня в результате изгиба. При малых прогибах это приводит к выражению Угтх_ ±1/ 1/РкР — I я \ v Р кр р • (4) При Р/РКр = 1 прогиб отсутствует, но при дальнейшем увеличении силы Р прогиб очень быстро растет. Так, если сжимающая сила превысит критическую всего на 1,5%, то стержень длиной 1 м прогнется на 11 см. Критическую силу определяют по минимальному моменту инерции сечения. Величина Ркр зависит от условий закрепления, характера нагружения и конфигурации сечений стержня. Из сравнения форм прогибов двухопорного стержня, консольного (рис. 3, а) и с двумя заделанными концами (рис. 3, б) следует, что условия потери устойчивости будут у них одинаковыми, если заменить длину стержня / «приведенной» длиной /Пр = = v/; для двухопорного стержня v = 1, для консольного v = 2, а для стержня с заделанными концами v = 0,5. В общем случае формулу Эйлера (3) можно представить в виде EJ где pkp = ti-j5-, (5)
Общий случай расчета критической нагрузки 375 У Л a'i , ——-^""^ * , ^7 В (у) =» х, *- -л 1 1 » X Рис. 3. Формы прогибов при по* Рис. 4, К общему случаю расчета критической на- тере устойчивости стержней грузки Критической нагрузке соответствует откуда напряжение сжатия ^нр п2Е °нр - — - ~jr» (7) О где коэффициент Л характеризует приведенную гибкость стержня с учетом п действии на стрпжень в срченнях условий его опирания и нагружения: „ "Р11 Действии на стержень в сеченнях J y FJ xi нескольких продольных сжимающих сил Рг и распределенной продольной (8) нагрузки q (х) (рис. 4) 1 — р _ I _ п I п Здесь i — радиус инерции поперечного M(x)=Sl PtSi [у; —y(x)] 4- сечения, -—< + j q(xi)ly[x1)-y(x)]dxl, (12) С учетом выражения (7) формулу х (5) можно записать в виде Где кр I 0 при х>хг. ОБЩИЙ СЛУЧАЙ РАСЧЕТА *' * КРИТИЧЕСКОЙ НАГРУЗКИ D В частном случае, при защемлении Дифференциальное уравнение изгиба "юЬ-Го " flrtlf - "о * = °' ^^ (1) можно записать в углах поворота ' * ' ^ ' 6 = ^- как ах dx EJ ' (IU' у(х)= jet^dx,; 90 = 0, (14)
376 Устойчивость стержней В безразмерном виде * = т= 7Ч; ~р< *=i; *=Ь " 'кр (15) где У0 — значение J при х = 0; Ркр — критическое значение одной ил нагрузок или их суммы; q0— значение q в некоторой выбранной точке, Q = I 1 = J q (х) dx = 9о;/с; с"1 = j ? (|) dg; Pi, Q— заданные отношения нагрузок при потере устойчивости. Тогда из (11) — (15) В (Е) = ri^r [в (Б) ]. (16) где К [6 (£)] — интегральный оператор; е о h i + Qc Hl3)dl3dlt dli (17) Уравнение (16) решают методом последовательных приближений- по функции e(m-'> (£) находят АГ(т) = = К [в""-1» {%)] и из условия минимума среднего квадратического отклонения [1] — значение 1 \Bim-l)G)Klm)(l)dl т,<-»>= ° [*<Я,,(Е>]2« e<m> (|) = т1(т)л:<т> (i). В качестве исходного приближения 8<0) {£) выбирают функцию, удовлетворяющую кинематическим граничным условиям (для защемленного стержня 6 (0) = 0). Пример. Найти коэффициент т) для консольного стержня постоянного сечения, сжимаемого силой на конце (У = = 1, Q = 0, Pt = 1, h = 1). Принимая 9(0) = 6, находим I 1 K(1)(S)= j \hdUdl1 = о Si „(i). ~Н'-*)= о || « 2.471. что мало отличается от точного решения т) = я'/4 я» 2,467. В общем случае интегралы находят численно. При других граничных условиях меняется только вид оператора (17). ТАБЛИЦЫ ДЛЯ РАСЧЕТА КРИТИЧЕСКОЙ НАГРУЗКИ Значения коэффициента т) для различных расчетных случаев, получев- ные методом последовательных приближений, приведены в табл. 1*. Чем больше величина т), тем лучше сопротивляется стержень потере устойчивости. При нагружении несколькими (18) киной. Расчеты выполнены Н. А Малин-
Таблицы для расчета критической нагрузки 377 1,00 0,90 0,80 0.70 0.60 2.47 COOO■^•■^•■^•■^•'<f,*^'*',«',»,'*,»,ч'• — С) CJ <N <N (N C-i СО CO CI C-i <N CI CJ О — WtNWlMCIWlNtNtNlNMM o— — ojcjc-icicjcjojcjcjcjcj £50___-C4C:CJCJ<NC)CJCJCl 000---flWCMNC'IWN« r--tN—'00 — СОСЛ1Л OSrtNU>iO ОЛФОЧ'фСООПтгЬСО— C4 О О О - - -* - N N N СЧ N rt rt OOOO— —• — — (N(NC»rt«« £ 00 00---1-««СЗП*10 о о о о о- - О CJ СП ■*• Ю 00 — юоооооооооооо ООООООООО — — CjiOO я о C4 CI CI '"Ч CJ <N !M CI CI CN CI CO CO ■* CJ чг С". чСППч-СОЛ — ScO"flOOOO- ОСТ)С7100Г--С£110Ю10^,С£>С>СЛ — !£if^. I I | irs ci cicicjcj ci cicJcicicico^coo ■*• с ic я v ^ - т ^f^-ст: — cjootct^- ^^f"-oco"cji~4cIcicJcJcJo-:co-*io o<c^conocosxi^ior»oD — r- cj i I lO^^COOOCOC^CJCJtNcIcitNcOCO-^'r-- h lfilOSW01SlU^lO(£)SC0- CO CO I cnrtN(NN(N(M<NWClMn ^COCO^cJtNCJCItNtNCIcJcirt 00(Olftr--e4CN|s.**,©t--c0Cf>OCNinf-l--00O f~ h 'CO^rtCOC^ClCNCJCJCNCtCNCNCNCNCO CN — — OCCO-SOOOin —NSSOCOOlCDn —D УЭСОГ-СЧООСОС*С*1— ■^•■^•■^•■^ ^- ■* ^ Ю CO Г-- ^COCOh-^COCOClCJCJC4CJCJCNCNCNCNCNCN iO CM — — t^ 00 00 «Г> О — (D — SN^NNNNOOCDO ■*^^0-;сГ)Г-СЛСП^-*-^-^-^-^-^-^.т1--*,1Л O) CJ — 0300000000000000000 OOOOOiOCjC*— о — CNCOiOcOOOOO - OOOOOOOOOO — СЧЛО I I I I I I ! 17 1 c 3* 0.0. . V ^ 0. + oT
^iN3—OOOOOOOOO OOO00CT)^*.WN3 — OO ООООООООООСЛ — *■ W ГО N3 tO tO - C^N3N3N3N3N3N3- I^-N3N3N3N3N3N3rON3- OJN3N3N3N3N3N3tOtON3- N3K^N3KjN3tON3N3t4jN3N3N3 N3N3N3 ONsroN-rororot^f. tOtOtOtOtOtOtON3N3N3N3ro S-Soi'" Wt^-< О tO W a> 4»- rororot^.Kjrot^.roK3t^t^.K3 •< a п + ■о "n Л -MINI ОСЯМ- OOOOOOO- OOOOOOOOOOOOOO — 00 oooooooooo- WN3tOtOtOtOtON3N5N5W*.O)0043 osoo*-j*-oct>os*-0" — os оэ оо ел C*5N3N5N3tOtOK3N3W*-Cn*^OOa3 4* С*Э ОЭ OMM ОС*ЭС*Э*-СЛ*^ООЮ A. W CO ГО O«0WU^*WWCB(0 Os — CftStO — 4» СЛ СЛ tO W —■ (ОСли oiwwwrorowww-*«-oi--ioot£> ОЭО- — wsiooo + ceJOmw •< fi> фЗНЖбдШЭ 91иЭО9ПЬП0И1Э/£ m
Таблицы для расчета критической нагрузки 379 Е о о ■*■ о СП о о 00 о о Г"~ о о to о о с о чГ о о о о о о ~^ о о о «< (О ю 3 4J К и to ■чр CN чг CN со со CN CN О -' л (О -' о чр ~"' со — о to со о о о <Г> ч1- CN ч1- CN го СО CN (О CN (М о — <м о СГ> *" ел (О ~"' (Л -*■ <м СО со ~" ю о о ^ ■чс CN ьЛ чр CN о чр <м СО (М со — еч CN о (N 1Л *~ г~ to о 1Л о -~ о ^ ■чс CN ьЛ чр (М CN чр CN (О СО (М ^ CN (N 1П — CN CN О CN СО со г- а> о о ■чс (N (О ч^ CN сО ч1- CN СП СО <м CN СО CN ГО CN CN CN —• CN О CN СО (О О О чГ CN г- ч1- CN СО 4t CN „. 4t CN _ чр CN со CO CN СП CN CN О CN CN — CN О CN О О ЧГ о (N li С ^ ч1- CN (О ч1- CN in чр CN CN T CN 00 CN CO CO CN t-~ CN CN СП- ~" CN — CN CN CN О О t-~ чр CN (О -* CN ьЛ чр CN чр CN чр CN r^ CO CN CN CO CN (O CN CN О CN CN CO — CN О (О О чр CN es. -* CN (O чр CN ьл чр CN -* CN CN чр CN О -* CN CO CO CN CO еч CO CN О £C ~" f~ 4t CN f~ 4t CN ^ 4f (N f~ чр CN ^ -* CN f~ -* CN f~ чр CN f~ чр CN чр CN f~ чр (N О О чр CN r^ чГ CN СП ч1- CN _ 1Л CN ьл ьл CN О to CN no (O CN Г- CN О СП CN 1Л о CO о о CN 4f CN 00 -* CN ьл CN (O ьЛ CN ■чС «? CN (O t-~ CN tn СП CN CN CO О 1Л CO чГ о о ю (О ■* CN ч^ CN CO CN CN О О CN 00 CO —' CO — —• —■ СП о о CO О о о (О чг CN СО •«■ CN СО CN CN CN О CN Г^ — 1П Ю —■ СО ~ о о о (О ■ч- CN v ■* CN СП СО CN CN CN CN СП — Г"~ — Ю CN О / К к г- -* CN Ю •«■ CN CN ■* CN ЬЛ СО CN 1Л CN (N CN —• CN ГО СП *" CN СО (D СО ьЛ О 04 О 7 1 ы -* CN СП -* CN СО ч^ (N СО CN СО CN CN CN CN СО — CN ГО СП m 00 СО J1-. о со о \ 1 es. ч» CN ^ -* CN (О чГ CN чГ еч 4f CN in со еч го CN CN CN О CN СП ш GO о чр О г~ -* CN (D 4f CN 1Л 4f CN CN чГ CN CO CO CN CO CO CN (D CN CN CO —• CN (N О CN О iO о со II с f~ 4t- CN (O 4t CN ьЛ 4t CN CO 4f CN 4t- CN CO CN CO CN «? CN CN (71 — еч CN — CN О CO О r^ 4»> CN f~ 4t- CN CO 4f CN 1Л 4f CN , 4t CN CN 4t- CN О чр CN CO CM CO CN CO CN О CO О f~ чГ CN 4f CN 4f (N r^ 4f CN r- 4f CN 4t CN (N CN ■^, CN ЧГ (N О о r^ 4f CN ^ 4t- CN 00 4f CN 1Л CN 4* ьЛ CN О (О CN r^ (D CN (O f- CN 00 CO CN CO О CO л о CN 4f CN 00 4f CN О m CN 1Л ьл CN CO (D CN 1Л r^ CN CN СП CN CO О lO CO о о ч1- o о 1Л
380 Устойчивость стержней Е о — ф о 00 о Г"~ о tO О ю о ч*" о (О о о CN О о — о о о .< 00 г- 2 X V и чГ CN О СО CN О CN CN 00 00 *" CN Ш *" CN *" О О 00 г- о ф о •«■ л о о о •«■ CN •«■ CN СО CN 00 — CN о — сч г~ — •«■ — 00 CN " 1П О о л о о •«■ CN •«■ CN ОТ) СО CN CN CN — CN сч О — СЧ г- — со л СО CN О — о •«■ CN Щ •«■ CN ■*• CN чГ СО CN CN CN „ — CN О — 00 1П Ф ш о CN О Л \ \ г- •* CN Ф •«■ CN СО •«■ CN 00 СО CN СО CN CN CN <Ъ О CN СО О 00 г- о СО о ^ г- г- CN Г- •* CN Ф •V CN чГ чГ CN О чГ CN 1П СО CN г- CN CN ОТ) — CN 00 О СЧ № t^. 00 о •«■ о \ \ г- •* CN Ф ■V CN Ш чГ CN СЧ •* CN 00 СО CN СЧ СО CN CM CN 00 — CN ("ft О CN О CN О Щ о r- 4*" CN Ф •V CN m •* CN CO •* CN О ■*• CN Ф CO CN со CN lO CM CN О -~ CN СЧ — CN О Ф о ч*" с r~ •* CN r- •* CN Ф •V CN л •* CN •* •* CN СЧ •* CN О 4t- CN f- co CN •* CO CN CO CN О 00 о r- •* CN r- •* CN r- •* CN r- •* CN r- •* CN r- •* CN r- •* CN r- •* CN r- •* CN r^ ■*■ CN О О •* CN r- •* CN 00 •* CN л CN л CN ("ft m CN to CN to f- CN 00 00 CN CN О CO о о CN r~ •* CN 00 •* CN О л CN л л CN CN Ш CN •* r- CN o> CN CO — rt •* CO CO о rt О о л r~ •* CN Ф •* CN m •* CN CN •* CN b- rt CN _ CN •* CN л -" CN «O CN Ф <y> О r- •* CN Ф •* CN in •* CN CN •* CN rt CN _ « CN ■*• CN CN л -" CN to о CN О л о r~ •* CN t© •* CN л •* CN CN •* CN 00 rt CN CN rt CN чТ- CN Ф •" CN to О CN b- o о — о r- 4t- CN Ф tf CN Щ •«■ CN CN •«■ CN 00 rt CN CN CN m CN CN (- ™ CN CJ CN CJ CJ о о Hi 1 к «6 r- •* CN Ф tf CN л •«■ CN CO ■*• CN ("ft CO CN 4t- CN b- CN CN О CN CN -~ CN CO О CN О CO о r- ■*• CN •* CN ■*• CN m •* CN CO •* CN О •* CN л CO CN О CO CN rt CN to — CN on О CN О 4*" о r~ •* CN Ф ■*• CN m •* CN 4*" •* CN _ •* CN r- rt CN IN CO CN to CN О CN CN CO — CN О Щ О = 0.5 к r- •* CN Ф ч*" CN Ф •V CN •* •* CN CN •* CN О CO CN л CO CN О CN m CN CN CN О Ф О r- •* CN r~ 4*" CN Ф •* CN Ф •* CN •* •* CN rt •* CN _ ■*• CN 00 CN to rt CN fN CO CN О 00 о N- •* CN b- •* CN r- ■*• CN r~ ■* CN ■*• CN r~ ■*• CN Г- ■* CN b- •* CN •* CN •* CN О r- ■* CN r- 4*" CN ("ft •* CN CN л CN lO CN 4*" to CN ■*• f- CN b- 00 CN О CO in CN CO О CN r- ■* CN 00 4*" CN CN л CN О Ф CN CN C^ CN CN О CN CN CN CO СП to CO Щ ■*• •* о r- Щ о lO •
+ rr^Tti - hi t? •* ~ °" ~. л i i и и i _s W — ОООООООООО—ЮСЛОО OOOOCnWM-O-MWWOOOOO •OOOOfDO- COAW^.-OOtDO-'-MAOHO- *ФАЮ-ООЮОО"-ЮЫСПЧ(»(0 • oocnw-ooiooo--«*oi>ioo 00O)W—ООЩОО —— УЛСЛ'ЧОО I C0ffiW-OO(0OO-t-W*01S00 I 00,--©t0*00W4-,4OAM-M S5*«MOOOSWUlWW-CO*OlO ' 0iSASOJ4»M0iO0i0>C0-000l *aUl00SAN(CSO00M-0)M01 M————— __——_____ . V;D*.W — О ФООО^- — W V W4* ' WO WW V СЛ OO — *■-sj-OO С»* О0Ю СВФ- WOl4tCOOW*OWmW* wto — — — — ————————— I MtnftN3-p«00000---- . . ФФ*ЮО(ОФ(С(СФ(С(ОФ(СФ ' I *.lj — ОЭФ 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 II '~r ОСПМ- — OOOOOOOOO СПО W*MM«-'-00000 MIOyi*W(Ob3- •— — OOOO ©ooocnwvwfo — — oooo «.^ooootocntooo^tocntoo О» — «ООСЛСЛОО — СП — -J© СЛСЛ (0»Ocn*WUNItO--00 0 tDOO-40)m**-WWM-000 0000-J-J0>OCH*»*'WiO— OO (OWSMOiOtOOOIO^yi*.^- O(0W(0-O»-(0(D00W0)0> (0000000SSC0iWV*M"-O иэююиэоооооооооочф^м© ^<OIO(OIOIOIOtCtO(D(OODSIO Si П I I8g nxe/jdgvH ромээъпшпс/м vwdhovd ttrg nhnrgvj.
382 Устойчивость стержней сжимающими силами коэффициентом т) определяется сумма этих сил: EJn /» при нагружении сжимающей Pt и растягивающими (Р < 0) силами "кр — °кр1 I /2 ВЛИЯНИЕ НАЧАЛЬНОГО ПРОГИБА И ВНЕЦЕНТРЕННОГО ПРИЛОЖЕНИЯ СИЛЫ НА ВЫПУЧИВАНИЕ СТЕРЖНЯ Если в ненагруженном состоянии стержень имеет не вполне прямую ось и сжимающая сила приложена с эксцентриситетом, так что с самого начала нагружения возникает изгибающий момент М0 = —Ру0 (рис. 5), то уравнение изгиба для деформированного состояния принимает вид EJ^ff^^-Py (19) при граничных условиях для двух- опорного стержня у (0) = е, у (/) = е. Положив, например, у0 = е -\- a sin ■ (20) получим из (19) d'y + k*y = (21) \у-Уо>та» L 0,25 0,20 0,15 0,10 0,05 е/1 = 0,1-^ е/1 = 0,01-^ е/1=0,001^ 1 ^^ , ' ' , V о 0,2 Ofi 0,6 Р/Р, кр Рис. 6. Зависимость упругого прогиба эксцентрнчио сжатого стержня от сжимающей силы и эксцентриситета откуда с учетом указаяиых граничных условий cos[~0,5A/(l — 2^П~] У = е cos 0,56/ TTOSMif- <22> -(4) Максимальный упругий прогиб при х/1 = 0,5 \У — J'oJmax — 1 0StVpvp + Рис. 5. Сжатие стержня с начальным прогибом и эксцентриситетом приложения силы
Расчет сжатых стержней на прочность и жесткость 383 + а- нр (23) 1 —• нр где Ркр определяют по формуле (5). Зависимость К-У~^-Щ \ ~нр — ] при а = 0 показана на рис 6, В отличие от идеально прямого центрально нагружаемого стержня из- гибные деформации (выпучивание) появляются с самого начала действия сжимающей сялы При приближении силы Р к ее критическому значению Рнр прогибы резко возрастают РАСЧЕТ СЖАТЫХ СТЕРЖНЕЙ НА ПРОЧНОСТЬ И ЖЕСТКОСТЬ В реальных конструкциях неизбежны некоторые отклонения оси стержня от прямолинейного направления и эксцентричное приложение сжимающих сил. Поэтому уже при нагрузках меньше критических начинается боковое выпучивание стержня и напряжения в его поперечных сечениях распределяются неравномерно. Максимальное напряжение в сжато-изогиутом стержне при начальном прогибе а (см. рис. 5) F -о (l + W J'max (24) где а. _Р_ F W — момент сопротивления сечения при изгибе; Углах — (25) ■"кр С учетом формул (7) — (9) получим NX = 0" / 1 + ■ 1 ОА* я2£ где N a VFJ I W ' (26) (27) Когда максимальные напряжения "max достигнут предела текучести при 6,МПа 300 гоо 100 \ (Ю бпред (а) ( К ^ к* Pv<s ^ W 80 12D 160 Рис. 7. Зависимость предельного напряже- а — критическое напряжение для упругого состояния, б — с учетом пластических деформаций сжатии ат, среднее сжимающее пряжение а = апрец. Обозначив Ф = и подставив в значения атах = чнм уравнение Jnpen < I (28) (26) соответствующие = ат и а = аПред, полуда 1-ер Х2от я2£ (29) связывающее коэффициент ф с гибкостью А., свойствами материала ат/Е и геометрическим параметром N. На основании статистических данных можно считать, что влияние начального прогиба и эксцентриситета достаточно надежно учитываются, если принять / (1 +2,5) Ю"3. Величина \/FJI'^l = 1 для двутаврового, V5 = 1,73 — для прямоугольного и 2 — для круглого сечений. Считая в среднем N а* ~[/3- \0~3 — = const, можно из уравнения (29) найти для данного материала зависимость ф (X), определяющую величину апрвд. как показано на рис. 7. При
384 Устойчивость стержней 2. Значения коэффициента ф Гибкость А, 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 1 10 Стали СО (J сч *■ и 1,00 0,99 0,96 0.94 0. У 2 0.89 0,86 0 81 0, !Ь 0.69 0.60 0,52 m н V 1,00 0,98 0.96 0,9 J 0,89 0,»5 0.80 0,74 0 67 0 59 0,50 0.43 Ч .-'Е ■вЦ<-> Е£х сою 1,00 0,93 0,95 0.92 0.89 0.84 0.78 0.71 0.63 0.54 0.46 0,39 е£ X и X о 1.00 0,98 0,95 0.92 0.88 0,82 0,77 0.68 0,59 0.50 0.43 0.36 Чугуны да о юо — ^i D"D" и и i.oo 0,97 o.ei 0,81 0.69 0,57 0.44 0.34 0.26 0 20 0,16 — о СЧЗ 1Л сч 2' и 1,00 0,95 0.87 0.75 0,60 0.43 0.32 0 23 0.18 0.14 0,1." о V о. ■< 1.00 0,99 0,97 0,93 0,87 0.80 0 7! 0.61 0.48 0,38 0.3! 0.26 Гибкость Я 1 120 130 140 150 1 160 170 180 190 200 210 220 Стали -*• О с» Н О 0,45 0.40 0,36 0,32 0,29 0.26 0,23 0.2! 0,19 0,17 0,16 1Л н С1 0,37 0,32 0,28 0.25 0.23 0,21 0.19 0.17 0.15 0.14 0,13 .Et Ф СЧ ~' и. их iflOlR 0,33 0,29 0,2'i 0.23 0,21 0,19 0.17 0,15 0.13 0,12 0,1! < X О !«: о " 0,3! 0,27 0,23 0.20 0,18 0,16 0.14 0.12 0.11 0 10 0.09 Дерево 0,22 0 18 0,!6 0,14 0,12 0,П 0 10 0,09 0.08 — — т. е. а пред - величина <р ■ X -* 0 величина <р - — CF ; при X -* ос - п*Е'1*аг, г. е апрвд = (7К„. Значения <р (X) для некоторых материалов приведены в табл. 2. С учетом необходимого коэффициента запаса прочности я (для стали обычно я =1,6} допускаемые максимальные напряжения при сжатии рт п (30) а допускаемое среднее но сечению напряжение [°]ср = <р[а]. (31) Поэтому условие прочности сжатых стержневых элементов конструкций с учетом возможности их бокового выпучивания принимает вид а = —<<р[<т] (32) или, в часто употребляемой записи.. Р <W = -^T<[ff|. (33) В формулы (32) и (33) подставляют площадь брутто (всю площадь сечения без учета местных ослаблений). При наличии значительных местных ослаблений производят дополнительную проверку на прочность по площади нетто Fj,, учитывающей эти ослабления. по формуле 4~^1с]. (34) Гц В общем случае нагруження гибкость X определяют по формуле (8) с учетом значений коэффициента т| по данным табл. 1. В ряде случаев работоспособность конструкции можег ограничиваться допустимыми значениями прогибов при боковом выпучивании сжатых стержневых элементов. Если нет специальных ограничений, то вводят допустимые предельные гибкости [X]. Для основных строительчых конструкций принимают [X] — 120, для остальных допускают [X] = 150--200 [3]. Пример. Подобрать размеры двутаврового сечения для шарнир чо опертого стержня длиной 2 м, сжатого силой 200 кН. Материал—СтЗ с [а] = =- 160 МПа. Задаемся произвольным значением коэффициента 0< <р< 1, например Ф = 0,5; переводим силу в Н, напряжения в Н/м2 и определяем F Р 2-10» ф[а] 0,5-1,6-Ю8 "~ = 2,5.10-' мз==25 см». По сортаменту подбираем дву-тавр № 16 (Р = 26,1 см*; i = 1,89 см).
Потеря устойчивости при упругопластических деформациях 385 Определяем гибкость 1 = 105,8. 1,89-Ю-2 По табл. 2 с помощью линейной интерполяции находим <р = 0,554, что достаточно близко к принятому выше значению. Величина _ Р 2-10" °гаах~<р£~ 0,554-2,61-Ю-3 ~ = 1,383-Ю8 Н/м2= 138,3 МПа. Так как 138,3 < 160, то условие прочности с учетом бокового выпучивания удовлетворено ПОТЕРЯ УСТОЙЧИВОСТИ ПРИ УПРУГОПЛАСТИЧЕСКИХ ДЕФОРМАЦИЯХ Формула (7) справедлива, пока напряжение сгкр не превышает предела пропорциональности материала сг^ц, т. е. для стержней достаточно большой гибкости X > ^лред. гДе ' Or, , лпред В качестве значений А,11реД обычно принимают: для стали 90—105, дюралюминия 50—60, чугуна 55—80, дерева ПО. На практике многие элементы конструкций имекп гибкость меньше предельной Х< Хпред. Потеря устойчивости таких стержней зависит от вида кривой деформирования материала Стержни из материалов с выраженной площадкой текучести (низкоуглеродис- тая сталь) теряют устойчивость, как только сжимающие напряжения достигнут предела текучести, так как при акр = ат дальнейшее повышение напряжений невозможно, и возникающий при случайном малом отклонении стержня изгибающий момент остается неуравновешенным. При определении критической силы стержней из упрочняющихся материалов, диаграмма деформирования которых приведена на рис. 8, учитывают, что если при постоянном значении сжимающей силы Р произойдет искривление оси стержня, то волокна у 13 JdKo.l 41U ; г— ) 1 ; йер 1—'—г"* £ Рис. 8. Диаграмма деформирование линейно упрочняющегося материала вогнутой (сжатой) стороны догрузятся по закону Дпд = £кДед, где Ек = = tgax — касательный модуль, зависящий от положения точки на кривой деформирования, а волокна у выпуклой стороны упруго разгрузятся по закону ДсГр = £Дер. В этих условиях жесткость сечения стержня на изгиб определяют с помощью приведенного модуля £пр (модуля Кармана) из соотношения £прУ = J E,y\ dF = F = £ J y\dF + EK J y\dF, где Fp и Ft, — площади частей сечения, испытывающих соответственно разгрузку и догрузку. Граница между этими частями (положение нейтральной линии, от которой отсчитывают координату ух) определяется условием J E^hdF= = £ j yxdF-^EK j y,dF = Q. p д Для прямоугольного сечения 4££„ £np — (1/£ + У£к)а (35) для двутавроього сечения с тонкой стенкой 2££
386 Устойчивость стержней Напряжение, соответствующее критической силе, нр яг£, пр -"нр " (37) Так как £Пр = / (^кр). то ДЛЯ расчетов по формуле (37) вначале строят обратную зависимость -I / ^ПР (а«р) А(анр) = я у — . Приведенный модуль £пр всегда меньше модуля упругости Е, поэтому критическая сила с учетом упругопласти- ческих деформаций всегда меньше кри ■ тической силы по формуле Эйлера. ВЫПУЧИВАНИЕ СТЕРЖНЯ ПРИ УПРУГОПЛАСТИЧЕСКИХ ДЕФОРМАЦИЯХ Критическая нагрузка Ркр определяет момент, когда малое случайное отклонение оси стержня при постоянном значении сжимающей силы приводит к внезапному интенсивному росту прогибов (теоретически, в линейной иостанозке — до бесконечности). Пока нагрузка меньше критической и напряжения ниже предела текучести, стержень сохраняет устойчивую прямолинейную форму и при постепенном возрастании сжимающей силы. Однако в упругопластической стадии нагру- жения, начиная с некоторого значения нагрузки Ркр < Ркр, прямолинейная форма равновесия при возрастающей нагрузке становится неустойчивой, что ведет к выпучиванию стержня, резко увеличивающемуся при приближении силы Р к ее критическому значению Ркр, т. е. стержень ведет себя так же, как при вяецентреииом • приложении силы. Рассмотрим это явление на примере сжимаемой жесткой стойки, опирающейся иг два упругоилагтических стержня из линейно упрочняющегося материала, кажаый площадью F (рис. 9). Пусть при некоторой нагрузке Р и отклонении оси стойки иа малый угол г|з она находилась в положении 1 P*dP Рис. 9. Сжимаемая жесткая стойка на упругопластнческих стержнях равновесия. Если при увеличении нагрузки иа dP равновесие сохраняется, то должны удовлетворяться соотношения: а) совместности деформаций de2 — dtx = — d\p; (38) б) равновесия ' dP ddi + dot = -р-; do* ~dol = -^F(Pd^+^ dP); (39) в) физические соотношения day . , da2 dti — - Ei ' dti ■■ (40) где Ex, E2 зависят от положения точки иа диаграмме деформирования а — = / (е) и знаков dalt do3. • Положительные приращения da здесь соответствуют сжатию
Выпучивание стержня при упругоплаапических деформациях 387 Исключив из выражений (38)—(40) приращения деформаций, получим _Р Р1 da% IT l 21 к 2F (-£) и + -Т-* 2F (l-pss) (41) где РГ- b*F 21а 2PfP р; £j; PJ = 2/u -t-^2 и дифференциальное функции ip (Р) Л£ 1_ ^р — р«*. _ (*- 2/а £t + £„ ' (42) уравнение для . Ь Е,-Е,\ 21 Ei- (43) Решение уравнения (43) для участков, на которых Ei = const, £a = = const, с начальным условием i|> ■= \|)0 при Р .=- Ра дает закон изменения углов \|* (Р) для равновесных состояний , Р*ш — Ро * = *» "БД Б" + + & (£t - £,) P - Р0 2;(£t + £2) P** — l (44) Предположим вначале, что в исходном состоянии стойка была строго прямолинейна, т. е. \\.0 = 0 при Р0 = 0. Пока напряжения в стержнях а1 == = аа = P,'2F остаются меньше предела текучести ат, модули £ь £2 'фи малых случайных отклонениях стойки сохраняют исходное значение Ег = = Еа = Е, тогда Р\ Р'.=-Р"^Р1Р- b*F 21а Е, где Pi (45) критическая эйлерова нагрузка при упругой деформации даи- вой системы. 13* Из (44) следует, что если Ръ < <; Рт = 2FaT, то вплоть до значения Р =^кр упругая система остается прямолинейной (г|з = 0). Если стержни достигнут предела текучести при нагрузке РТ<Р|' то при дальнейшем увеличении нагрузки возможны два случая деформирования. 1. Оба стержня продолжают догружаться (dai>0, do2> 0), модули Ei, E2 принимают значение касательного модуля Ек, тогда Pi = Pl кр b*F ~2аТ "■ (46) При этом прямолинейная форма равновесия остается устойчивой, но только до нагрузки Р = Ркр, определяемой касательным модулем Ек. 2. Стержень 2 догружается (da, > 0), стержень / упруго разгружается (dOi < 0). Величины £4 и Ег становятся различными {Ег = Е, £2 = Ек), так что р: рз р■ — р 'кр- г2 — 'кр' baF р»» _ р _ ___!_ р„ Г -*кр- 2/а ПР' где приведенный модуль £пр определяется формулой (36) Из первой формулы (41) следует, что разгрузка первого стержня начинается именно в точке Р = Ркр, где угол наклона (производная) кривой \ (Р) скачком меняется от 0 до конечной величины d\|i dP кр Ь Е- (р -р' У 2/ £ + £„' После этого стойка начнет постепенно отклоняться от прямолинейного направления в соответствии с вытекающим из (44) уравнением Ь(Е-ЕК) Р V - 21 (Е + Ек) Ркр - Р ' как показано на рис. 10 (кривая /). Если искусственно задержать стойку в прямолинейном положении до веко-
388 Устойчивость стержней Рис. J H~ ^J* rV Г02 ëРГКР 10. Характер отклинення стойки ири упругопластических деформациях торого значения P02> Ркр, дальнейшее отклонение пойдет по линии 2, Когда в исходном состоянии при Р0 ~~ О стойка нгклонепа на угол у0, отклонение в упругой области будет изменяться, как это следует из (44), по закону Ч> = -Фо рь — р кр После достижении стержнем 2 предела текучести 1емп отклонения стойки возрастает, п^ьчим стержень J будет florpvmaibc» цо величины Р = -- '\р {! — 2l%i/b), после чего о« начнет раЗГружаТЬСЯ, а НараСТеНйе OiK-iOHe- шл пойдет ускоренно *то кривой 5. Эта кривая на разных участках имеет разные асимптоты как покачано на рис. 10 штриховыми линиями. Линии Ь I Р \ ф' -= -757 ( ! ~ соответствует на- \ кр ' 4cuiy упругой радгруакй сгержнл / (при P<KJ- Линия PT характеризует начало пластических деформаций Прн слаоом упрочнении величина Якр может оказаться меньше Рт и тогда боковое выпучивание при возрастающей нагрузке начинается сразу, как только сжимающая сила достигает величины РТ Если же и Ркг станет меньше Рт, то прн Р = рт наступит потеря устойчивости. ДИНАМИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ УСТОЙЧИЙОСТИ. ДЕЙСТВИЕ СЛЕДЯЩИХ НАГРУЗОК В некоторых случаях иагружения стержней оценка потери устойчивости по условию Визможности появления формы статического равновесия в изогнутом состоянии (подход Эйлера) оказывается недостаточной. Более общим является динамический анализ устойчивости, показывающий, как будет двигаться система после некоторого начального малого отклонения. В динамически устойчивом состоянии отклоненный стержень начнет колебаться (без учета сил трения) с постоянной амплитудой, в динамически неустойчивом состоянии прогибы оудуг неограниченно возрастать со временем. В динамическом анализе имеет значение не только распределение жеегкостей, но и распределение масс стержня и иа величина. Для рассмотренных выше задач прн постоянном направления сжимающие сил динамический анализ приводит к тем же результатам, что н статический. Для следящих нагрузок, направление которых меняется в зависимости от деформации стержня (например, реактивная сила стоуи, электромагнитные силы в деформируемых проводни ках и т. п.) критическую нагрузку можно иаи/и только динамическим анализом. Найдем критическое значение следящей касательной силы Ркр в случае консольного стержня с сосредоточенной
Динамический анализ успшйчивисгпи. С/шоящае нагрузки 389 Сие. II. Действие следящей ьагрузкн о — общий сл>чай, 6 — при р -»• оо массой т иа конце, Момент инерции которой равен р2/п, где р — радиус ииериьи Для простоты заменим стержень сиаемой из двух жестких стержней / и 2, иипчньы, двумя упругими шарнирами с коэффициентами жесткости с (рис 11, а). При малом отклонении стержней перемещение у и угол поворота г). массы соответственно у = a f2vi + ■фь); г|> •= ifi + if» и уравнения вращательного движения стержней принимают вид р2т d2if d*y т—— о- сц2- : f (2aa f (<?a I Р»}- df2 J m —?- a ■ та* i 2 - T c(^! —г}я)-|- РаЧ-2 = g^l•2^ , If! J ~Г J. / -c)-|g = 0. d>,J ' «Pi t- (^a Если if10, rfM dr 10) - 0, (47) начальные отклоие- dips df (0) ^ 0, устойчивому состоянию стержня будут соответствовать гармонические колебания Ч>1 = ЧЧо С1Л ">*> <1Ч — ^20 **>о U*'. при которых из (47) получим однородную систему ураьненяй (2а2 -4- р2^ си2%„ -+- L m -J J фм = 0 ( 2о4ша Ч m + | а-и)" L 'Я <*8) Система (48) имьет кс^улезыи решения, если ее определитель равеь нулю, т. е. из* — 2рш' + q = 0, (49) где р = ' . Г(5а2 f 2р2) с — -^»Tp2)Paj; (50) / С \2 ?= I I • \ арт / Корни уравнения (50) определяются формулой (5!) сиа =.- р ± Vp2 /7*~. В отсутствие сжимающей нагрузки рг — q > 0 и система имеет две различные соОстаеиные частоты колебаний: со? .= 2а'"/и ' f ! 16р« (52) где р.= р'а По мере увеличения сжимающей нагрузки Р коэффициент р уменьшается и при Ti Ъс I—-0,4р-г-0.4р« 1а кр ■ (53) 1 -)- 0,5р- выражение р% — q обращается в нуль, а обе частоты колебаний системы принимают одинаковое значение (54) a'mp v При уы\лич?нии силы Р сверх критического значения система становится
390 Устойчивость стержней динамически неустойчивой и ее движение после малого начального отклонения будет представлять собой колебания с неограниченно возрастающими амплитудами. Потеря устойчивости происходит в общем случае при значении шкр ф 0, поэтому отклоненной статической формы равновесия система не имеет. Но пря очень большом моменте инерции концевой массы, когда р -* сю, значение (йкр -*• 0, и в этом случае динамическая величина Ркр = = 2с/а совпадает со статическим значением Ркр для соответствующей системы с неповорачивающимся стержнем 2 (рис. 11,6). Для упругого консольного стержня с сосредоточенной массой на конце коэффициент т) критической величины следящей силы в формуле (5) равен г] = 20,19 при р -<• 0 и г\ = л2 = = 9,87 при р -+ то. Для свободного стержня, к одному концу которого приложена следящая толкающая сила, ц я= 110. ПОТЕРЯ УСТОЙЧИВОСТИ ПРИ НАГРЕВЕ Стержень, зажатый между неподвижными плоскостями, при нягреве до критической температуры Гь.р выпучивается. Свободный стержень при нагреве до Ткр удлинился бы на величину alTKV, где о. — коэффициент линейного расширения. Сила, возвращающая его в прежнее положение, Р = EFaTKV. (55) Приравнивая силу Р ее критическому D n2EF значению Рк$ = ^— » получим для стержня с шарннрно опертым концом При дальнейшем нагреве стержень получит прогиб ' ' кр Пример. Балка двутаврового сечения № 24а длиной /=6м, жестко заделанная по концам, равномерно нагревается по всей длине. Определить По сортаменту для двутавровых профилей находим i = 2,42 см. Для Двусторонней заделки v = 0,5, поэтому Л' _ ~ 11,5-10-«М24г~ ПОТЕРЯ УСТОЙЧИВОСТИ ПЛОСКОЙ ФОРМЫ ИЗГИБА При изгибе прямолинейных стержней (балок) двусимметрнчного поперечного сечения (прямоугольного, двутаврового) нагрузки, действующие в плоскостях главных осей, вызывают прогибы только в тех же плоскостях. Однако, если моменты инерции сечений значительно различаются, ю при действий нагрузок в плоскости большей жесткости плоская форма изгиба является устойчиьой лишь до определенного предела. При достижении изгибающим моментом некоторого критического значения /Икр, помимо изгиба в плоскости большей жесткости, стержень начинает резко прогибаться в плоскости меньшей жесткости и закручиваться относительно продольной оси Это явление называют потерей устойчивости плоский дюрмы изгиба. Оно сопровождается значительным повышением напряжении и может привести к разрушению констр>кции. На рис. 12 схематически показаны ИСХОДнам (и.) И Деформированные формы стержня вытянутого прямоугольного сечения при изгибе в плоскости большей жесткости моментами М на концах: б) при М < Л4кр; в) при М > MHV. Если торцевые сечения закреплены так, что они не могут поворачиваться относительно продоль-
Потеря устойчивости при скручивании 391 CJZ 6) хз Рис 12 Деформация стержня при потере устойчивости плоской формы изгиба ной оси, то критический изгибающий момент определяется формулой МКр = : VEGJ^aT ложенная к концу консольного стержня, имеет критическое значение Ркр * 4£ /2 V 2( (1+v) (59) лЕ I Г V 2(1+v) (58) где Утш — минимальный момент инерции; Т — геометрическая жесткость на кручение сечения. Для стержня вытянутого прямоугольного сечения со сторонами ft, h при (ЫН)г < 1 и v = 0,3 b3h MKV = 0,325£ 2j-. Критическое значение нагрузок, вызывающее потерю устойчивости плоской формы изгиба, зависит от их распределения по длине стержня, условий его закрепления, а также от поведения нагрузок в процессе деформации (являются они следящими или нет). Так, изгибающий момент постоянного направления, приложенный иа конце консольного стержня, не вызывает потери его устойчивости, а изгибающий момент, следящий за положением плоскости большей жесткости — вызывает; при этом Л4кр равен 0,5 величины Мкр, определяемой формулой (58). Сила постоянного направления, при- ПОТЕРЯ УСТОЙЧИВОСТИ ПРИ СКРУЧИВАНИИ Тонкие длинные стержни под действием крутящих моментов могут терять устойчивость прямолинейной формы оси, завиваясь в некоторую пространственную кривую. Для стержня длиной I круглого поперечного сечения дна- метра d, скручиваемого действующими по концам моментами, направление которых «следит» за направлением касательной к оси, критическое значение момента М 2 (1 -+- v) я GJT кр ■ (60) где ,/„ -- nd* Р ~ 32 При совместном действии сжимающей продольной силы Р и крутящего момента М потеря устойчивости происходит при удовлетворении условию кр , / М у _ 'г\мкр) - (61) где Рнр и MKV определяются соответственно формулами (3) и (60).
392 Колебания упругих систем Глава 21 КОЛЕБАНИЯ УПРУГИХ СИСТЕМ ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ Простейшая динамическая система, состоящая из массы, закрепленной на пружине, показана на рис. 1. Если в начальный момент отклонить массу на величину а и предоставить систему самой себе, то возникнут колебания, причем смещение центра массы в момент t будет y=acospt, (1) где р — круговая частота колебания, -Vir- (2) здесь с — коэффициент жесткости пружины, Н/см (усилие при осадке пружины на 1 см); т — масса груза. Амплитуда колебаний, т. е. максимальное отклонение центра массы от положения равновесия, в данном случае равна а. Наименьшее время между двумя совершенно одинаковыми положениями колеблющейся системы называют периодом колебания. Если обозначить период колебания (в с) через Т, то из равенства (1) вытекает cos pt = cos р (t + Т), откуда Т = 2я Частота колебания f = 1/7 — число полных колебаний в единицу времени У / 1 О 1 1 1* 1 1? ;-К —< W ° i - I ' >— «3 ' 1 1 У Рис. I. Колебания одномассовой системы (секунду). Частоту колебаний измеряют в Гц (герц — одно колебание в секунду). Колебания системы без воздействия внешних сил называют свободными. Так как в системе всегда имеются силы трения, то свободные колебания со временем затухают. Если к системе приложена внешняя периодическая сила 0 = 0О cos v>t, то возникают вынужденные колебания с частотой этой внешней силы Отклонение 1 у = аа -j- cos (о/, (3) Qo где а0 = — осадка пружины при статическом действии амплитуды внешней силы; с — коэффициент жесткости пружины. При совпадении частоты возбуждающей силы с частотой свободных колебаний амплитуда колебаний стремится к бесконечности. Этот случай называют резонансом. В действительных условиях при наличии трения амплитуды при резонансе остаются конечными, но достигают значительной величины. Резонанс представляет собой большую опасность для конструкций, и его следует избегать. Одна из основных задач расчета конструкции на вибрацию состоит в определении собственных частот колебаний и выявлении опасных (резонансных) частот. Резонансы устраняют обычно изменением собственной частоты системы; в ряде случаев оказывается возможным изменить частоту возбуждающей силы. Для определения частот собственных колебаний системы весьма эффективным оказывается метод динамических жесткостей.
Метод динамических жесткостей 393 МЕТОД ДИНАМИЧЕСКИХ ЖЕСТКОСТЕЙ Этот метод позволяет провести частотный анализ сложной механической системы при известных динамических жесткостях отдельных ее частей. Рассмотрим вынужденные колебания одномассовой системы (рчс. 2). Частное решение уравнения движения ■■ Q0 cos tot, (4) соответствующее вынужденным колебаниям, будем искать в виде у = a cos <ot. (5) Подставляя зависимость (5) в равенство (4), находнм Qo а = -тсоа + с (6) Отиошенне амплитудного значения силы к амплитудному значению смещения называют динамической жесткостью. Из равенства (6) следует, что динамическая жесткость /СА = -^- = -«о)* + с; (7) здесь т — масса груза. Зависимость Кь от со показана на рнс. 2 (Ка — в Н/см). Динамическая жесткость определяется для заданной точки системы. Главной особенностью динамической жесткости является ее зависимость от частоты приложенной снлы. Если частота внешней снлы равна нулю (статическая сила), то динамическая жесткость совпадает со статической, т. е. К а — °- Эт° равенство спра- q~Q0caso)t Рис. 2. Вынужденные колебания одномассовой системы ведлнво и для любых значений to, если система не обладает массой. Днналшческая жесткость свободной от закреплений массы будет Кт ~ —т<л*. Статическая жесткость свободной массы равна нулю, но при действии периодической нагрузки масса оказывает сопротивление смещению подобно обычной пружнне (силами инерции). Равенство (7) можно представить в виде /Са = ЛГб - mto*, (8) где Кв — с — динамическая жесткость системы в точке Б. Это равенство оказывается справедливым для любой цепной системы. Если известна динамическая жесткость в точке Б, то динамическая жесткость после сперехода» через массу (/Са) получается добавлением (—тсоа). Определим теперь динамическую жесткость в точке А системы, показанной на рнс. 3. Уравнение движения массы сРц, т -jZ± = Q0 cos tot, где yt — смещение центра массы от начального положения Qv откуда У\ Qo COS tot. Так как разность перемещений концов пружины равна (у— yj, то с (у— ух) = Q0 cos со/, что вместе с предыдущим соотношением дает * = Q°(-7--m^)Cosait = = a cos at. Динамическая жесткость к Q» 1 (9) Это равенство представим в виде 1 *А I тсо* Къ + с
394 Колебания упругих систем Q=QB cos u>t^\ K& ♦ м 1 ^ 1 О ш =р Рис. 3. Определение динамической жесткости *А = КЪС Кв + С (10) где Кб — —"!С°2— динамическая жесткость в точке Б; с— статическая жесткость, равная динамической жесткости пружины Равенство (10) справедливо для любой системы. Если известна динамическая жесткость в точке Б, то по этому равенству определяют динамическую жесткость в точке А после «перехода» через участок, обладающий только жесткостью. Выясним зависимость величины Ка от частоты внешней силы. Запишем формулу (9) в виде где Р» К а ~ —то' -V-k- 1 71 (ii) частота колебаний системы при закреплении в точке А. Зависимость Ка °т ш показана на рис 3. При очень большой частоте масса становится «точкой опоры», Ка-+с. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ ЧАСТОТ СИСТЕМЫ МЕТОДОМ ДИНАМИЧЕСКИХ ЖЕСТКОСТЕЙ Пусть система, показанная на рис. 4, совершает собственные колебания с частотой р Если разрезать систему в какой-либо точке А, то на каждую ветвь системы будет действовать периодическая сила X, неизвестная по величине. Допустим, что положительное амплитудное смещение точки А, равное а, направлено вверх. Тогда динамическая жесткость в точке А для верхней ветви Кдв = Х/а и соответственно для нижней ветви Кав = —Х/а. Из этих равенств следует основное соотношение *АВ + *АН = 0. (12) Так как динамические жесткости зависят от частоты р, то равенство (12) представляет собой алгебраическое уравнение для определения р (характеристическое уравнение системы). Корни уравнения (12) являются частотами собственных колебаний. Для многомассовых систем уравнение (12) решают графическим или численным методом: строят функции / (р) — = Л"ан и <р (/>)=— Кав, абсциссы точек пересечения которых дают значения собственных частот. Уравнение (12) получено для сечения системы по внутренней точке. Если сечение проходит через опору, то Ка=°°. (13) так как перемещение этой точки равно нулю. В крайней точке системы Ка = 0, (14) если эта точка свободна от закрепления. Рассмотрим в качестве примера систему, показанную на рис. 5.
Определение собственных частот системы 395 Рис. 4. Сечение системы по методу динамических жесткостей Ряс. 5. Определение «а- стоты собственных колебаний одномассовой системы Динамическую жесткость в точке А иайдем с помощью сАпр^ул перехода-». В точке В Кв=0- Переходя чроез участок с массой, буяем иметь в силу равенства (8) Кв = Кв— ™« = — тр*. Далее, прпруодя через участок с жесткостью, получим в соответствии С рявенством (10) F £С г»г*с Кк-- Кц-ь с С — тр- Так кзк сечение проходит через опор), то И, СЛРЛОВЯТРЛЬНО, е — тр* — О, откуда получаем частоту -V- В этом же примере можно найти частоту из условия Кв — 0, переходя от точки А к точке В. В точке А Ка = со. Пеоехоля к точке Б КАс *б = Л'а + С булем иметь = с. Далее находим Къ = Къ — «Ра = с— трг = 0, что дает полученное ранее значение р. Для двухмасеовой системы / выберем сечение в точке возле массы тг (рис. 6). Для верхней ветви найдем последовательно Къ =- 0; *АВ = Къ- rr>xP> = -mil*. Для нижчрй ветви /Сг = 0, Къ =-Kr~ m2p!--=— т%р*; #а„ — КРг =- - т2рг Из урявнрния (12) следует: -"hr с — т2ра ■ "»,/»* = 0, (15) что дает . -• /' с(ту ■ тг) т2 Графическое решение уравнения (15) представлено иа рис. 6. Динамическая жесткость /f< при чнячпмияу р — I/ — pt имеет вертикальную асимптоту. Ьпррпелим частоты собственных ко- лаяний системы // (рис, 7) л"я ии^чрй Кв = 0; ^Б = -"гр3; „ гПгОЧ . ААН "н С2 для верхней ветви• — Щр* Кр -t- С] Кав = ci — щр* Рис. 6. Определение частоты собственных колебаний двухмассоаой системы /
396 Колебания упругих сигтем Рис. 7 Определение частоты собственных колебаний двухмассовой системы // Рнс, 8. Крутильные колебания Из уравнения (12) следует: тгогСъ ц- п,р- 4-с, -mlPs = 0, (16) что дает два значения собственной частоты Графическое решение уравнения (16) даьо иа рис. 7, Величина -1 с КРУТИЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ В валах поршневых машин (в двигателях вкутреинего сгорания, поршневых компрессорах и т. п.) нередко возникают крутильные юлгбачия, связанные с неравномерностью (по времени) вращающегося момента или момента сопротивления. Такие колебания могут возникать и в валах других машич. если крутящей момент, передаваемы? валом, не является постоянным Расчет крутильных колебаний строят так же, как расчет односвязной ценной системы, изложенный ранее. Одной из основных задач расчета является определение собственных частот системы длр выявления резонансных оборотов. Одномассоиая система. Пусть имеется вал постоянного сечен чч с закрепленным на нем чиском (рис 8). Рассмотрим уравнение движения (вращения) диска при отклонении его от положения равновесия иа угол 9: (17) где Jm — момент инерции массы циска. кг. см2; 9— угол поворота, рад, М — момент, действующий на диск, Н.см Знак минус в правой части равенства показывает, что момент создается силами упругости, препятствующими отклонению. Если жесткость вала обо- зиаччть через с, примем эта величина представляет собой момент в Н см, необходимый для закрутки зала на 1 рад, то М ■= с0. (18) Из равенства (17) получаем ^4гЧс9 = 0. Общий интеграл этого уравнения имеет вид 9 = A cos pt + В sin pt, где р— круговая частота колебания: -V (19) Произвольные постоянные А и В определяют из начальных условий. Если в момент t — О, G - а. -гг = 0, о! то 9 (t) — a cos pt; (20) здесь а— амплитудное значение угла поворота при колеблин^х Уравнение (20) полностью аналогично уравнению (П причем вместо линейного смещения имеен угол поворота, вместо массы— момент инерции. Соответственным образом переносится и понятие динамкчрсчой жесткости.
Крутильные колебания 397 k=0,5 Рис. 9. Сечения валоэ Жесткость вала на кручение. Для прямолинейного вала имеем с=—Л. (2!) I '№ О -= ■ 2 (1 T~vf ~ М0ДУль упругости материала на сдвиг, для сгалей [G = (0,78--0,83) 106 МПа; Jp— полярный момент инерции сечения; для сплошного вала _nd* JP ~ 32 ' яля вала с отверстием Jp = я {d* — d\) здесь d— наружный диаметр; dt — диаметр отверстич. Если сечеиие вала ослаблено шпоночными канавками или шлицами (рис. 9), го в формуле (21) следует принимать л (d — Щ* Jp 32 ' где h — глубина канавки. Значения коэффициента k приведены На рис. 9. Для голого вала со шлицами n[{d— 1,8ft)*— d\] Jv^ 32 :: ^ Al Если вал имеет ступенчатый переход (рис. 10), то участок с большим диаметром че сразу включается в работу. В равенстве (2!) длину с меньшим диаметром увеличивают иг М = kd, причем при радиусе закругления г — = 0, Id можно принимать к = 0,055, если —г < 1,85, и й—-0,!25, если а d ^ Если имеются часто повторяющиеся кольцевые выступы тнпя лабиринтных уплотнений, то л пи определении жест- костч их не учитывают Прч совместно* работе на кручение двух деталей, например "ри шлндевом соединении (рис. 11) или прч прессовой тосадке, принимают, что рнутре"чий вал закручивается с кажлой пороны на дли»е ?х -s- 0,25^. При попечет» жееткостч средней чрсти учитывает жесткость нтулич» Момент инерции Мочеитом ичепцчи массы относительно оси называют cvm- Рис. 10. Переходный участок вала Рис. П. Совместное аручевие вала в гулки
398 Колебания упругих систем Рис. 12. К определению момента инерции диска му Zr2t\m, распространенную на все частицы тела (здесь г — расстояние до оси вращения): /m = Jr»pdV, R А р ,Jmi б ■^тг-^ В С — Г Рис. 13. Двухмассовая крутильная система крутильные колебания с периодом Т. Затем к той же проволоке подвешивают диск, момент инерции которого /т1 известен. Если период колебания этого диска равен 7\, то ■* т — " Т, г» (23) где р— плотность материала; V объем тела. Для диска (рис. 12) будем иметь R Jm = 2лр [ r3h dr = -i- pnR*h = ■MR* (22) где М — масса диска, кг; момент инерции массы в кг-м2. Для деталей сложной формы момент инерции определяют экспериментально. Один из методов состоит в том, что на тонком валу (проволоке) подвешивают деталь, момент инерции которой требуется определить. Отклоняя деталь от положения равновесия, вызывают Частота крутильных колебаний. Для определрния частот будем использовать метод динамических жесткостей. Для двухмассовой системы (рис. 13"» частоту можно определить из условия равенства нулю динамической жесткости в крайнем сечении. Последовательно находим КА-=0; /СБ = -/т1рг; Кт = Кв ■ /т2ра = JmiP2C C — JmiP2 'таР' з = 0. (24) J"mi Jm2 Jn Рис. 14. Миогомассовая крутильная система /Г*
Иэгибные колебания 399 Из равенства (24) получаем р=]/Шт±Ш. (25) ' J ml* ma Эта система обладает еще и нулевой частотой, которая не представляет интереса при анализе колебаний. Рассмотрим систему со многими массами (рис. 14) и в соответствии с методом динамических жесткостей разделим эту систему в сечении Г. Так как амплитудный угол поворота в сечении Г для левых и правых частей одинаков, а направление крутящих моментов различно, то сумма динамических жесткостей левых (Кгл) и правых (Кгп) частей *гл + *гп = 0. (26) Переходя от участка к участку, находим Kb ■ JrniP3 далее Кгл = Кв- Jm*P* _ JmiJtnlP* — Ci (Jrn\ + J mi) P2 Ci — JmiP* Подобным способом получаем АГз^О; Kx = K3-JmtP*; Ке *Д ~JrraP сз Cs — JmtP* JmiP*C3 Jm*P* С8 — JmiP* JmsJmiP* — g3 Vms + J mi) P* . Кг» ■ JmtP* /Сдс2 = ft, Ur^JmiP* — CS (Jmi + ^4) P2] _ JmtJmiP* — fa (•/ms + J mi) + + c2Jmi] P2 + cacs Затем строят графики Кгл и Кгп и находят точки их пересечения (резонансные частоты) Предварительно определяют значения pi., при которых знаменатели обращаются в нуль (вертикальные асимптоты), и значения р%, при которых числители обращаются в нуль. Если представить динамические жесткости в виде отношения Гл фх (/>) *г„ = hiP) <Р»(Р) то отыскиваются, следовательно, нули функций <pj (р) и <р2 (р) и функций h{P) и ft(p). В практических задачах при большом числе масс нули функций находят построением графиков функций. В рассматриваемом случае указанные значения можно получить из аналитических формул На рис. 14 показано решение уравнения, дающее собственные частоты колебаний. Рассматриваемая система имеет четыре частоты, если считать также нулевую частоту. В более сложных случаях частоту определяют с помощью специальных методов, из которых наиболее эффективным является метод Толле (метод остатка). ИЗГИБНЫЕ КОЛЕБАНИЯ V Колебания этого вида связаны с изгибной деформацией стержней (например, колебания груза на несущих балках, колебания лопаток турбин и осевых компрессоров и т. д.). Одномассовая система. Рассмотрим колебания груза на невесомом стержне (рис. 15). Уравнение движения массы т** F где сила упругости (27) (28) В этом равенстве а — прогиб балки (в месте приложения груза) под действием единичной силы (коэффициент податливости). Из уравнения (27) получаем d2y dt2 + -„ = 0. (29)
400 Колебания упругих систем Рис. 15. Изгибиые колебания одкомассо- вой системы Круговую частоту изгибных колебаний определяют по формуле р = -7=г. yarn Это равенство справедливо для любой одно массовой системы; груз может быть расположен между опорами нли консольно, различие только в величине а. Решение уравнения (29) прн произвольных начальных условиях будет таким- у = Уо cos (p/4- ф), где у„ — амплитуда колебаний; <р — сдвиг фазы, зависящий от начальных условии. Если подставить это соотношение в уравнение (29), то получим I Р'ту„ Уо- Последнее равенство можно истолковать следующим образом: сила упру- 1 гости — г/о равна инерционному усилию рггпу0, иными словами — амплитудный прогиб у0 вызывается силой ргтуа. Статическая аналогия состоит в том, что вместо колебаний рассматривают амплитудные колебания системы, вызванные амплитудными величинами инерционных сил (ргту^ представляет собой инерционную силу в крайнем положении системы). Двухмассовая система. Пусть балка несет две массы т1 и пг (рис. 16). Амплитудный прогиб создаемся усилиями ргтхУ\ и ргт4у.1, поэтому У\ = о-пР^Ух + «uP'/nat/.,; | (30) Уг = <*г\РгЩУ\ + ^агР'т^а. J где коэффициенты податливости означают: <хц — прогиб в сеченни /■— / от единичной силы, приложенной в том же сечении; а13— прогиб в сечении J—/ от единичной силы, приложенной в сеченин 2— 2; а21 — "рогиб в сечеиии 2—2 от единичной силы, приложенной в сечении /—/; а„2— прогиб в сепенич 2—2 от единичной силы, приложенной в том же сечении. Коэффициенты податливости могут быть определены с помощью интеграла Мора. Из условия взаимности для упругих систем следует: а12 = а21. Уравнения (30) можно записать в виде {р*а11т1— 1)^1 + р'^мЩУг = 0; i p'iatxmlyl + (p2a22ma — 1) у2 = 0. J (31) Отсюда находим Уг рчгцю8 рНпт1 — 1 р2аг2тг~ 1 Р «2l"Il Приравнивая эти отношения, получаем условие для определения собственной частоты ' (хар?ктеристическое уравнение): р*тхтг (аиаг» — а^) — — Рг (ацЩ — a22m2) -f-l=0. 1 Б более общем случае характеристическое уравнение получается после приравнивания нулю детерминанта системы однородных уравнений. P'vizVz Рис. 16. Иагибные колебания двухмассо- вой системы
Иэгибные колебания 401 Из последнего уравнения получены два значения частоты pt и pt: -2 _ anwi + avim-i — У(<*и'п1 + a22m2)2 — 4тгт2 (а„а22 — а,гг) . 2т]т2(а11а22 — aj2) ' * ' , _ аи% + «гг^г + У(аиЩ + «гг^-г)2 ~ 4/л^; (ОцО^ — Д?г) ,gg* 2т,т2 (апа22 —а,22) Низшей частоте (рг) соответствует форма колебания, когда обе массы двигаются в одну сторону; частоте р% соответствует движение масс в разные стороны. Если система имеет п сосредоточенных масс, то она обладает таким же числом частот и форм колебаний г, причем каждой частоте соответствует своя форма колебаний (распределение амплитудных отклонений по массам). Изгибные колебания стержней постоянного сечения. Задача имеет точное решение Частоты колебаний определяют по формуле р„ = Х„ /а V т' (34) где Хп — безразмерный коэффициент, зависит от формы колебаний (наименьшая частота соответствует первой форме колебаний п = 1) и от условий закрепления. Значения Хп Приведены в табл. 1; п— номер формы колебаний (п — 1, 2, 3, ...): /— длина стержня; Е — модуль упругости материала; J — момент инерции сечения стержня; т — масса единицы длины стержня Если стержень не имеет равномерно распределенных присоединенных масс, то т = pF, где р— плотность материала стержня; F— площадь поперечного сечения. Частота колебаний, Гц, /п 2л ' Изгибные колебания колец. Рассмотрим изгибные колебания кольца постоянного сечения с равномерно распределенными массами. 1 Теоретически возможен случай, когда двум разным формам колебаний соответствует одинаковое значение частоты, но такой случай кратных частот не имеет практического значения. Плоские колебания кольца с двумя узловыми диаметрами показаны на рис. 17, а. Круговую частоту колебаний определяют по формуле Рп п(пг— 1) Ул»+1 W EJX (35) где п — число узловых диаметров (номер формы колебаний1), п= 1, 2, 3, ...; г—радиус кольца, Е,1г— жесткость сечения на изгиб в плоскости кольца, т—масса единицы длины. Для колебаний, перпендикулярных к плоскости кольца (рис 17, б), будем иметь п {пг — 1) |/»ч £73 W EJ% ИГ' GT (36) где GT — жесткость сечения кольца на чрученне; £./2— жесткость се"сии<> на изгпб относительно главной оси, лежащей в плоскости кольца. Остальные обозначения те же, что и в формуле (35). 1 Колебанию с одним узловым диаметром (п -= I) соответствует нулевая частота Рис. !7. Колебания колец с равномерно распределенными присоединенными массами
1. Значения коэффициента к в формуле (34) Форма колебаний Значение "^ *., = 3,52 к, = 22,04 к,= 6!,7 W7? Я, = я> = 9,87 X, = 4л* = 39,5 к3 = 9л2 = 88,9 kt = 22,4 кг = 61,7 к, = 121,0 Эскиз Форма колебаний Значение к, = 22,4 к, = 61,7 к, = 121,0 Г с=- £=^ к, = 15,4 к, = 50,0 ка = 104,0 *.» = 15,4 X,, ■= 50,0 Х,э = 104,0
Частоты собственных колебаний динамических систем 403 Поперечные колебания струны. Круговую частоту поперечных колебаний струны определяют по формуле Рп — я" 1 /" Л_ - I V т ' (37) где п — номер формы колебаний (п = = 1, 2, 3, ...); I— длина струны; Н — сила натяжения струны; т — масс? единицы длины струны. ЧАСТОТЫ СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ НЕКОТОРЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ Значения круговых частот колебаний некоторых динамических систем приведены в табл. 2, а коэффициент податливости при иэгибиых колебаниях — в табл.3. 3. Формулы для определения собственной (круговой) частоты некоторых систем Эскиз г т JL c - t= Частота >-VT -v* Pi = 0; -V с (mt -f rnt) ^ с Pi = 0; »>= I/ 7 7 • J mlJ mi J mi c2 *2 Зубчатая передача при невесомых зубчатых колесах и валах Pi = 0; Р. - , Г ' l'(Jmi + Jrr 1/ _L + — Wmi " с. с. С\ С, с, т, сг ^ с, (т, + т,) + Ci"i« -_ nZ = . —- ;П ^1.2 2т,т, /[с, (т, -f- т») + с^тг» — imim,ctc, С С -|>*AV .|/"JE! 4С
404 Колебания упругих систем Продолжение табл. 1 Эскиз Частота ¥■ с, ^ с, 2 Стерж ленно* ные кс э з 3' umf Jir,Z г !=¥= - 1 :нь с распре массой (кру™ лебания) % | | г щ 1 дели- "I. ... 1 / с, с, fi+^U 2 2 I Jrm ' 'ms ' ^ i , + , - + , ) «i«t j j j ■ / I \ я , f GT n = 1, 2. 3 ... Я , /" ОТ n -= 1, 2, 3 ... Обозначения: m — масса груза; Jm — момент инерции массы, кг-см"; Jр — полярный момент инерции; с — жесткость; GT — жесткость сечения стержня на кручение; рУ„ — полярный момент инерции единицы длины; t = гг1г\ — передаточное число. 3. Коэффициенты податливости а при изгибных колебаниях Эскиз а ы М Ш ; Ш 1 -Л -1 ■Л 4 Р^#" црут^ а 3EJ 1' 48EJ~ Эскиз "щ hm "г ' ц Т"а о |* " "•. * 1 ^ ^-Лк i« a it-."* г К w а а'Ь* 3EJJ» ^ а'Ь' 1 ' 3£ЛР а»' 6» 3£./, ' 3EJ Обозначеиня: m — масса груза; EJ — жесткость стержня на изгиб.
Вал с одним диском 405 Глава 22 КРИТИЧЕСКИЕ ЧАСТОТЫ ВРАЩЕНИЯ ВАЛОВ ВАЛ С ОДНИМ ДИСКОМ Понятие критической частоты вращения. Рассмотрим впл на дв^х опорах с диском посредине (рис. !), вращающийся с угловой скоростью со. Для того чтобы выяснить, является Ии вращение вала с прямолинейной осью устойчивым, предположим, что вал получил некоторое отклонение и деитр тяжести диска стал двигаться пс Окружности радиусом у. Тогда на диск действуют центробежная сила и вила упругости: С — а>гту, F — — у, 1где т — масса диска, а — прогиб среднего сечения вала от действия единичной силы для вала постоянного сече- «ия, р а~~шг- Если С< F, то после отклонения вал снова вернется в первоначачьное Положение, т. р. прямолинейное поло- кение оси является устойчивы.». В момент равновесия, т. е. в момент рачала потери устойчивости, ког^а E=F, прогибы мог> г безгранично возрастать. В этом случае центробежные силы В отклоненном положении Йавны счлям упругости, стремящимся вернусь нал в исходное состояние. Настсты вращения, при которых наступает ряве"с-во центробежных сил и Вил упругости, называют критичес- %ими. "ис. I. Вал на двух опорах с диском посредине При критическом значении со вели чина С — F, отсюда или У am Критическая частота вращения, мич"1. Равенство центробежных сил и сил упругости имеет место при любом прогибе, так как в пределах применимости линейной теории обе указанные силы пропорциональны прогибам. Можно представить, что при критической частоте вращения вал совершенно теряет жесткость па изгиб; даже малая сила может вызвать значительные прогибы. Из равенства (1) следует, что критическая угловая скорость совпадает с круговой частотой поперечных (нагибных) колебаний вала. Этот вывод справедлив и в общем случае, если детали, закрепленные на валу, рассматривают как точечные массы. Учет начального эксцентриситета иентра тяжести диска. В практических задачах центр тяжести лиска имеет некоторое смещение относительно своей геометрической оси и, следовательно, оси вала. Для уменьшения этого эксцентриситета быстровращающиеся валы подвергаются балансировке, которая, однако, имеет ограниченную точность. Например, детали массой 100—300 кг балансируют обычно с точностью порядка 50—ЮОг-см Кроме того, следует учесть, что в рабочих условиях вследствие нагрева, остаточных деформаций и других причин дисбаланс возрастает. При наличии эксцентриситета вал получает прогибы даже при малой угловой скорости, так как к нему приложена неуравновешенная сила.
406 Критические частоты вращения валов Рис. 2. Начальный эксцентриситет диска Обозначим абсолютную величину эксцентриситета диска е (величине е соответствует дисбаланс Ge, где G — сила тяжести диска). На диск действует сила инерции С и сила упругости F (рис. 21. Предполагая величины у и е положительными, получим С = а*пЦу + е); F = J- у. (2) Из условия равновесия следует С = F. Подставляя в это равенство зависимости (2), нахоцим eoAn e у = -j = —2 . (3) а —з 1 Если угловая скорость вращения m меньше критической угловой скорости <ок, то решение соответствует положительной величине у (направления прогиба и эксцентриситета совпадают, см. рис. 2). При О) > Щ (закрнтнческий режнч) величина у < 0 (направления эксцентриситета и прогиба противоположны).В закритической области центр тяжести диска расположен ближе коси вращения, чем точка крепления диска к валу. Из уравнения (3) следует, что при очень больших угловых скоростях (со -*■ оо) у = —е, т. е. центр тяжести диска оказывается на оси вращения. Такое явление называют самоустановлением вала в закритической области. Рассмотрим теперь критический режим, когда (о = <вк. Из уравнения (3) следует, что при совпадении угловой скорости с крити- 1 J U шк и Рис. 8. Зависимость прогиба вэля от угловой скооости ческой угловой скоростью прогибы вала неограниченно возрастают. Зависимость прогиба вала от <о показана на рис 3 Подобным образом возрастает и реакция на опоры. В действительности прогибы при о = fliK остаются конечными, тек как всегда существуют ограничения (защемление в подшипниках, трение и т. п.) и, кроме того, при больших деформациях нарушается линейная зависимость между силой и перемещением. Однако приближение угловой скорости к критической может оказаться опасным, и поэтому зону частот вращения от 0,7лк до 1,3ль- не рекомендуется использовать для рабочих режимов. Во всех случаях желательно работать с жесткими роторами (валами), для которых со< 0,7тк. Работа вала с одним дискам при со ;> 0)к возможна, но прн этом часто требуются специальные демпфирующие опоры для прохождения через критические частоты и для успокоения вибрации в закритической области. Если вал имеет несколько дисков и соответственно несколько критических угловых скоростей «j, щ (оп, то критическое состояние наступает при совпадении игловой скорости с любой из критических скоростей. Для устойчивой работы вала диапазон частот вращения 0,7юг< <о< 1,3(0,- (i = 1, 2, .... п) рекомендуется исключить из рабочих режимов. Для вала с несколькими дисками условия для устойчивой работы в закритической области (ш > o>i) более благоприятны, чем для вала с одним диском.
Вал с одним диском 407 где * R Рис. 4. Вал на пругнх опорах Учет упругости опор. В действительных условиях опоры вовлекаются в колебания. Если пренебречь массой опоры, то в простейшем случае ее можно схематизировать в виде пружины (рис. 4). Предположим для простоты, что опоры обладают одинаковой жесткостью. Для определения критических частот вращения следует рассмотреть равновесие системы при изогнутой оси вала. Центр тяжести диска будет перемещаться по окружности радиусом у, центры опор— по окружности радиусом у0. Если а0 — коэффициент податливости опоры в см/Н, то у0= OoR. Далее следует учесть равенства С = а>2кту; С = — (У — Уо), (4) (5) где а— коэффициент податливости вала. Так как R = 0.5С, то из уравнения (5) следует: (6) I _1_ а0 а 2 ~ Приравнивая соотношения (4) и (6), находим шн = У am = юн 1 <7) "Уат (8) является критической угловой скоростью вала на жестких опорах. Из формулы (7) следует, что поправка, связанная с учетом податливости опор, зависит от податливости вала. Одни и те же опоры можно рассматривать как жесткие или как податливые в зависимости от жесткости вала. В практических конструкциях податливость опор составляет обычно а„ = = (5^-20) 10"7 см/Н, причем податливость подшипников качения для вала диаметром 60—80 мм приблизительно равна (1—3) 10~7 см/Н. При критических частотах вращения в вале возникают постоянные по времени напряжения, тогда как в опорах напряжения будут изменяться по времени, что способствует увеличению сил демпфирования. В технике применяют конструкции, в которых относительно жесткий ротор закреплен на податливых опорах. В силу этого критическая частота может лежать в рабочем диапазоне (<ок< ш)> но, как показала практика, это не нарушает нормальной работы. Прогибы ротора при критических частотах вращения всей системы оказываются малыми, если критическая частота вращения ротора на жестких опорах превышает максимальную (»„ж > <&■ Учет гироскопического эффекта дисков. Рассмотрим центробежные силы, действующие на диск (рис. 5). Ось х является осью вращении, ось Х\ направлена по оси диска. Пусть элемент массы dm находится в точке А. К нему приложена центробежная сила dC, действующая в плоскости вращения, причем dC — drrw?r, где г— длина отрезка О А. Центробежная сила dC может быть разложена на две составляющие dCy и dCz, но усилия dCz вследствие симметрии образуют взаимную уравновешенную систему сил и для дальнейшего не существенны.
408 Критические частоты вращения валов Рис. S, Гироскопический аффект диска Усилие dCy = (o'dm (у + t/x cos ф), (9) так как отрезок ААг = у + ух cos q> представляет собой проекцию отрезка ОД на плоскость ху. Приведем все нагрузки, действующие на диск, к силе С и паре сил М, приложенным в центре тяжести диска. Сила ■ = C,«J dCy — \{У- v ■ yi cos ф) dm. интеграл распространяется на весь объем диска. Величины у (смещение центра тяжести) и ф (угол поворота плоскости диска) одинаковы для всех точек диска и могут быть выкесекы из-под знака интеграла. Тогда С = а>гу dm -f- о2 cos ф i/i dm. Учитывая, что Ух dm = 0 как статический момент относительно прямой, проходящей через центр тяжести, получим С = а*,пу, (10) где т — масса всего диска. Но центробежные силы создают еще и момент, который для рассматриваемого вида движения * (диск неподвижен относительно плоскости, содержащей изогнутую ось вала) может быть легко определен. Этот момент называют гироскопическим: М = dCyyx sin ф dm v или с учетом соотношения (9) М = <оа 1 (у + Ух cos ф) Ух sin ф dm. V Последний интеграл разбивается иа два: М — а2 у sin ф У} dm + v -j- о2 cos ф sin ф у\ dm, v из которых первый равен нучю. Таким образом, М = ш! cos ф sin ф/т, где J т = </j dm — осевой момент инерции, кг-смг. Для тонких дисков /„ 0,5/р. 1 Это движение называют прямой синхронной прецессией Возможны и другие, более сложные движения вала, напоминающие движение гибкого валика во вращающейся трубчатой обойме. Такого рода движения на практике встречаются редко, преимущественно в системах с соосными роторами, имеющими различные частота вращения.
Вал с одним диском 409 Рис. 6. Влияние гироскопического аффекта Так как рассматриваются малые Отклонения вала от пря*молинейиой |юрмы, то cosq> « 1, sjn ф as ф. Момент, создаваемый диском, М — ша/тф. Ври малых углах поворота (И) Ф: dx ' /И = (о2/г dx Существенно, что этот момент пре- 1ятствует прогибу. Следовательно, с учетом гироскопического момента дисков критические числа оборотов по- Ц^ииаютс-я. Перейдем к определению критических частот вращения вала с одним РВском с учетом гироскопического мо- на критическую частоту вращения аала у = иРату — <i>Vm<P; ф = Футу — шаР/тф или у (ш'ат — 1) — ф<ва>-/т = 0; (13) yafiym — ф (со'рУт + 1) = 0. (14) Приравнивая отношение у к ф из равенств (13) и (14), находим e>Vm ш2р/т 4- 1 <о*ат- ы2ут или (и* (ар4 - V3) mJm + + ш! (от — pVm) —1=0. Из последнего уравнения получаем величину критической угловой скорости шн = "1/ у (am - pVm) + ]/ i- (am - p/m.2 + m/m (ap _ yt) (15) йента (рис. 6). Под действием силы С и момента М |ал в месте крепления диска прогибается на величину у и поворачивается ра угол ф: у=аС — Ш; ф = ?С—РМ, (12) ЦГДе а и у — прогиб и угол поворота !от действия единичной силы. 6 и Р — 'прогиб и угол поворота от действия единичного момента. Направление единичных силовых факторов показано на рис. 6 По условию взаимности упругих систем величины у и 5 численно раваы. Подставляя равенства (10; и (11) в уравнение (-12), получим Если Jm = результат 0, то получим известный й» = VI Влияние гироскопического момента особенно существенно для дисков, расположенных вблизи опор. Если вал имеет концевые опоры и несет несколько дисков, то повышение критических частот вращения вследствие влияния гироскопического эффекта дисков невелико. Учет массы вала. В приближенных расчетах массу вала учитывают уве-
410 Критические частоты -вращения валов личением массы диска. Обычнс к массе диска добавляют половину массы вала. Приближенный расчет допустим, если масса вала составляет не более 30% массы диска. ВАЛ С НЕСКОЛЬКИМИ ДИСКАМИ Определим критические частоты вращения вала с двумя дисками (рис. 7). Гироскопическими моментами дисков пренебрегаем. Прогибы вала создаются двумя силами: Сх = tfrn^i, Сг = ч>гтгуг. (16) Введем обозначения- ап — прогиб в сечении /—1 от единичной силы в том же сечении; а12 = аа] — прогиб в сечении /—/ от единичной силы в сечении 2—2; а2г — прогиб в сечении 2—2 от единичной силы в том же сечении. Запишем Уг = *jiCj + atlC2. Подставляя равенства (16), находим (оАхцт, — 1) У1 + »aaismaJ/2 = 0; (lAx^m^, + (ш2аггтг — 1) у2 = 0. Приравнивая отношения у\1у% из последних уравнений, получаем а>*тхтг (апагг — а[.2) — ш* (аит! + + аггОТг) +1=0. Отсюда находим две критические угловые скорости (ut и (os: ct, ,m, -j- <x22m2 — — 4mlm2 (anrx2, — a\2) (of = ^-r ; 2mlm2(alla22~a12) (17) »llml + a22m2 + /(all'"l + a22m f- — 4m1m2(a11a22--a^) (u2 = . 2mlm2(ana22 — af2) (18) От/ тг Рис. 7. Вал с двумя дисками Рис. 8. Форма прогибов вала с двумя дисками при критических угловых скоростях Сравнивая эти равенства с равенствами (32) и (33) гл. 21, можно ви деть, что критические угловые скорости совпадают с круговыми частотами поперечных колебаний1. Этот вывод справедлив при произвольном числе масс. Вал, несущий п дисков, имеет такое же число критических скоростей. Каждой критической скорости соответствует своя форма прогибов. Для вала с двумя дисками формы прогибов при первой и второй критических скоростях показаны на рис. 8. ВАЛ С НЕПРЕРЫВНО РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ МАССАМИ Рассмотрим вал с непрерывно распределенными массами с концевыми шарнирными опорами (рис. 9). Пусть т (х) — масса единицы длины вала в сечении х. Величина т (х) должна учитывать как массу диска, так и массу вала. 1 Критические скорости рассматриваются без учета влияния гироскопических моментов.
Вал с непрерывно распределенными массами 411 q(x)=u)zmU)y(x) откуда 1 х #1= j- \ jq(x2)dxidx1. О О Внося значение Rt в формулу (20), находим М Рис. 9, Вал с распределенными массами Если, например, на участке вала длиной А/ = 10 см расположен диск массой 20 кг, а масса самого вала в пределах участка 2 кг, то т (х) = = 2,2 кг/см. Величину т (х) принимаем постоянной на всем участке. В изогнутом положении вала на него действует распределенная нагрузка q (х) = шгт (к) у (х). (19) Перерезывающая (.ила в сечении х Q(x) = Ri+ ^q(x{)dxu о где величина х, представляет собой переменную интегрирования (0 ^ ^ хх О х). Так как изгибающий момент в сечении х и усилие Q (х) связаны равенством (*)= \ [q^tjdxidx! — 6 о I х --у- j ^q(Xi)dXidXl. (21) о о Полученное равенство выражает изгибающий момент в шарнирно опертой по концам балке при произвольной эпюре q (x). Для рассматриваемого случая q (x) выражается равенством (19) и потому Q(x) = dM (x) dx то М (х) = ш21 Г I m (ха) у (х2) dxidx1 — '-о о ~т\ \т ^у ^dXi dXi I • (22) 6 6 I Последнее соотношение запяшем в более краткой форме: М (х) = и)М„ (х), (23) где X ДГ, АУ (*) = И m (*г) У (*г) dx2 dx, — УИ (дс) = J Q (xj dxx: о XX, 0 0 \ \ m(x2)y(xa)dxadx1. (24) = Я i* + J J q (*,) dx, dxx. (20) 0 0 Из условия равенства нулю изгибающего момента в сечении х = I получаем о о Далее следует учесть основное уравнение изгиба вала d2y M (х) dx2 EJ (х)' (25) М(1). *''+Л q(xt)dxtuxi = 0, где EJ (х) — жесткость сечения вала На изгиб.
412 Критические частоты вращения валив Проинтегрировав обе части равенства в пределах от 0 до х, найдем dy(x) dx J E М(х,) EJ (х,) dXi + уЧО); повторяв операцию, получим "(*4i о о ■ М(х,) EJ (х,) dx.i dxr -j- + У'(0)х+у(0). (26) В рассматриваемом случае у (0) = 0, а из условия у (/) = 0 следует: Г Г **(*»> J J EJ (*,) о о dxs dxr -г- у' (0) / =- 0 У (0) = - т 1 1хх 1 ff Al (xt) о о EJ (г2) dx2 dx\. Подставив это равенство в уравнение (25), будем иметь * *, У {Х) = 1 I М (xt) EJ (Xt) о о I *•. * Г Г Л1 (ла) т}.\ о о £У (*,) dxa dxi — dxadxv (27) Э10 уравнение выражает прогибы вала при произвольном распределении изгибающего момента. Если учесть соотношение (23), то уравнение (27) можно представить в следующей форме: у = <**Ку. (28) где Ку — сокращенная запись интегральных операций (интегральный оператор): ^У -И о о А у (xt) EJ (*,) dx a dxi — ■и Ay Ы х Т J J EJ (Xfs) о о а\* dxy. (29) Уравнение (28) представляет собой интегральное уравнение для определения критических угловых скоростей. Его решают методом последовательных приближений, причем в практических расче!ах больше двух приближений не требуется (второе приближение— для контроля). Исходное приближение у,0) можно выбрать в виде плавной кривой, удовлетворяющей условиям у (0) = 0 и у (I) = 0, например У(0) W sm- / (30) Ут(*)=*Х{11г Х) • (3D Окончательный результат не завн сит от выбора исходного приближения Следующее приближение для прогибов у,х. определяем в соответствии с равенством У И) =(Й?1)/СУ(0). (32) Kt/i0\ означает, что величина у ((J) должна быть внесена в соотнишенне (24), и затем после вычисления Ау (х) следует определить интегралы, входящие в равенство (29). Интегралы определяем приближенно по правилу трапеций. Первое приближение для определения критической угловой скорости находим из условия равенства исходного и последующего приближений Уц) = У10у (33) Это равенство (в приближенном расчете) не может быть спр-аедливым для всех сечений, поэтому ограничиваются удовлетворением его лишь в сечении, где прогибы наибольшие. В рассматриваемом случае можно принять в качестве такого сечення х = 1/2 (середину пролета). Тогда по соотношениям (32) н (33) ШП)=<^ Уо (0) (34) Для контроля можно привести ещ^ одно приближение.
Вал с непрерывно распределенными массами 413 1^1 II Хступень I ступень Рис. 10. Схема вала кимпренора °асстоянае чежду осями подши^хшоВ Величину у j вычисляем из соот- Значение щ находим из равенства ношения (32), так как (л2{<) и Ку{0) известны. Величину Кущ определяем так же, как KylQ), но функцию у(0) ваменяег* #(1). jmi кА Уц) КУп (1) (35) 1. К расчету критических частот вращения ротора к. см 0 30 во 110 150 180 £15 255 285 310 335 360 380 394 406 430 т (х), кг/Vm 4.0 а,в 29,3 27,9 26,0 24,1 24.8 23 9 23.9 25,2 22.4 22,4 8,8 7,4 6.6 4,0 EJ \,х) Ю-10, Н-сы* 45 251 283 313 2Чо 293 305 313 Зоб 297 278 264 204 147 116 45 *WA) 0 0.260 0,60b 0.76i 0.908 С.973 1 000 0,9о5 0.894 0.805 0,688 0,545 0.411 0,307 0,211 0 *ш<*> 0 0,221 0,bS5 0 723 0.891 0 968 1,000 0,953 0,375 0,775 0,650 0,502 0.370 0,27; 0,183 0 Так определяют первую (наименьшую) критическую угловую скорость. Расчетные сечения нужно выбирать так, чтобы были ограже^ы ре^лне изменения в распределении ма<.с и жесткостей системы (см. рис. 9). Пример. Определить первую критическую частоту вращения ротора центробежного ^омпрессор.1, эскиз которого приведен на рнс. 10. Частота вращения вала п ■— ЗСЮО мин'1. В табл. 1 приведены расстояния расчетных сечений х до левой опоры, значения т (x), EJ (х), исходное приближение для прогибов у,0 (*), полученное по равенству (31) и прогибы первого приближения у.Х) (х). Первое приближение для критической угловой скорости ю(1) = 184.6 рад/с. Второе
414 Критические частоты вращения валов It Ъ IW4 Щ а-г Рис. 11. Общий случай расчета критических частот вращения двухопорного вала приближение, определенное по функции прогибов первого приближения у{1), будет со(2) = 187,1 рад/с (пн = = 1788 мин"1). Общий случай определении критической угловой скорости. Рассмотрим вал (ротор) переменного сечения (рис. 11) на двух шарнирных опорах, загруженный произвольно распределенными массами и моментами инерции. Массу, приходящуюся на единицу длины вала, обозначим т (х), момент инерции на единицу длины вала Jm (x). В соответствии с формулами (10) и (11) на участок dx вала будет действовать внешняя сила dC = т2т (х) у (х) dx и момент dM = a>*Jm (x) у' (х) dx. Перерезывающая сила в сечении х X Q (х) = ч>* \т (ху) у (xi) йхл -f о + S (х, ах) Я, + S {х, at) R„ (36) где S (х, ах) = 0 при *< аь S (х, а{) = 1 при х ^ а^; S (х, а2) = 0 при х ^ а2; S (х, аг) == 1 при х >• аа. Введение единичных разрывных функций S (х, аг) и S (х, а2) значительно упрощает схему расчета, так как позволяет записать в единой для всего вала аналитической форме выражения для перерезывающей силы и изгибающего момента. Ml Изгибающий момент в сечении (*) = со*1J J m (*») у (*,) dxt dx^ + о о + }Jm(xi)y'(.x1)dx1\ + о I + S(x, a1)R1(x~a1) + + S (*, a2}R2 (х — а3). (37) Равенства (36) и (37) запишем в более краткой форме: Q (х) = соМ1у (х) + S (х, a,) Rx + + S (*, аг) R2, (38) М (х) = т2А2у (х) + S (*, ах) X X #! (х — aJ+S (х, а^ R2 (х — а2), (39) где х Aiy (*) = j m (xj у (х^ dxu (40) о к, A2y (*) = J J m (*2) У Ы dx2 dxt + . 0 0 x ' +\jm(xi)y'(xi)dx1. (41) 0 Из краевых условий О (1) = 0 и М (/) = 0 получаем с помощью равенств (38) и (39) Л1 = ш; 1 ■Ц1-а2)А1и(Г) а2 — а\ -(/-ai)^i»(01- (42) Теперь, учитывая равенства (42), запишем соотношение (39) в виде М (х) = <D>Ay (x). (43)
Вал с непрерывно распределенными массами 415 причем Ау (х) = А2у (х) л- S (х, ах) ~ ■ч х к; - о,) л1у (1) + S (х, а3 *-a,[AtvV) ■ах iy (01 + 2J/ I а2 — ai -(1-ах)А1у{Щ. (44) Уравнения (25) и (26) сохраняют силу. Используя зависимости (26) и (43), получаем У(х) ■и ' Ау(х2) EJ [х») „г I I __: ^2 dxi -f о о + У'(0)х + У(0). (45) Из условий H<Ji) = 0; i/(a2) = 0 (46) получаем систему двух уравнений для нахождения у' (0) и # (0): "1 *i ■и о о Ау (*,) ~ЁТ~Ы dx% dxx + (47) + У'(0)а1 + у(0) = 0; о о . +У'(0)в1+»(0)=0. (48) Определяя из этих уравнений у' (0) и у (0) и внося их в формулу (45), получаем основное расчетное уравнение у = «й»/Су. (49) где "' АУ{Х%) А А , - ахг ахг -{- *-и о о £7 (х») "2 — 1l а, х, И Лр (х,) -и о о LQ 0 АУ (*«) EJ (хг) EJ (хг) dx% dxx dx%dxx — + + ■ <*i '* Г Ay (x2) EJ (*,) И &x%dxx— о о о о A y (*g) d*2 rf*i (50) Для расчета требуется значение {/' (*). Его вычисляем по формуле у' = в«С'у, (51) где d Г Ау (xi) о (it 1 а2 — ах а, *, ИЗ Л. (х2) dx2 dxx — ■ о о А у (х2) о о "I Л1 (*t) dxt dxi . (52) Уравнение (49) решаем методом последовательных приближений. В качестве исходного приближения можно выбрать У(0) (*) = С(х - a J (* — а,). (53) Постоянная С несущественна для расчета. Для однообразия вычислений ее можно определить из условия У (С) шах = '■ Если, например, наибольшее значение %) max ПРИ х = //2' то 1 с = - (4-в0(4-в*) В окончательной форме (х — ai)(x — at) У(0) (*) = — (4-e0(4-e«)' (54) У(0) (х) = Г7 2* — ai —- а2 (4-а0(4-г)
416 Критические частоты вращения валов Величины у0 (х) и у0 (х) должны быть подставлены в соотношения (40), (41) и далее в (44) и (50). В результате находим Ку,0), после чего величину ш?Л определяем из равенства <"> ~ Ку, (0) где хт — абсцисса сечения, в котором величина Ку^ имеет наибольшее значение; часто это сечение является одним из концевых сечений вала хт = = 0; хт = I или серединой пролета хт= -£- (аг+ а2). Если требуется определить второе приближение, то вычисляют величину Ут =«(1,^ (1,"-и(0)- И далее с помощью равенства (52) У,1, = «»,!)* У, /(О)" (55) Никаких новых вычислений для определения у(1), в сущности, ие требуется, так как все входящие в равенство (52) величины были рассчитаны ранее. Определение второй и более высоких критических угловых скоростей. Рассмотрим сначала случай, когда гироскопическим моментом можно пренебречь. Для определения второй критической скорости вместо уравнения У = а*Ку следует решить уравнение у = <&К,У, (56) 1 yxKymdx где о К а = Ку — уг —j (57) \my\dx В этом равенстве Ку определяют прежним способом, а уг (х) представляет собой форму прогибов прн первой критической скорости. В качестве уу принимают последнее приближение при определении % (обычно принимают уг = уа)). Исходное приближение при определении второй критической скорости можно выбирать произвольным, ио целесообразно задать такую форму, которая, кроме опорных точек, содержала бы один узел. Например, предполагая, что узел расположен в сечении х ■■= -=-, можно принять У(0) =С(х — а,)(х- *)(' (58) и выбрать С таким, чтобы у{0) гаах = 1. Последнее условие не является обязательным, но оно обеспечивает некоторую однотипность вычислений Величину у,0) получаем дифференцированием равенства (58): Уи) = С Зх (■■ + а, + + -yj x+ ахаЛ + •ах- / а2 ]■ (59) Равенство (57) можно представить в виде КгУ = Ку — Mi. где коэффициент (60) Pi = - тУхКу dx J my\dx (61) Такая структура формулы (60) объясняется тем, что форма прогибов, соответствующая второй критической скорости, должна удовлетворять условию ортогональности \jyi(x)y*(x)m(x)dx = Q. (62)
Вал с непрерывно распределенными массами 417 Слагаемое ^>1у1 в формуле (60) «очищаете оператор Ку от составляющей по первой форме. При определении третьей критической угловой скорости приходится обеспечить условие ортогональности не только по отношению к первой форме, но и ко второй. Рассчитывают прогибы по уравнению у = и>*К3у, (63) где К3у = Ку - Pitt - Р2</.,, (64) причем значение Pi находят из равенства (61), а 1 my2Kydx а 0 J m^dx о Исходное приближение целесообразно выбрать так, чтобы оно, кроме точек закрепления, содержало два узла. Подобным способом можно определить более высокие критические скорости Однако для определения третьей критической скорости необходима повышенная точность расчета, а расчет четвертой н пятой скоростей практически затруднителен. В большинстве конструкций определение этих критических скоростей не требуется, так как они лежат за пределами рабочих частот вращения. Перейдем к определению высоких критических угловых скоростей с учетом влияния гироскопических моментов дисков. При определении второй критической скорости следует принять во внимачие условие ортогональности в таком виде: l . I J ['" (х) УХ (*) Ут (х) - .!,.. о ~^m(x)y[(x)y'2(x)]dx = 0, (66) где Ух (х) и i/2 (х) — формы прогибов при первой и второй критических скоростя>. Расчет ведем по уравнению (56) с учетом равенства (60) для К2у и принимаем 1 J {тухКу — Jmy[Ky) dx P. = ~ • (67) 0 В этом равенстве К'у = —г- {Ку), которое находят по формуле (52). Третью критическую скорость рассчитывают по уравнению (63), причем значение Pt берут по формуле (67), а J (ту2Ку — Jmy'2K у) dx Р2=^ . (68) J \тУ% ~ ]т {у'яУ] d* о = —6,73-Ю7. Первое приближение для второй критической скорости ю(1) = 758 рад/с, второе приближение ю(2) = 766 рад/с (лк(2)=7120 мин-1). (65) При очень сильном влиянии гироскопического момента дисков (например, при расположении дисков вблизи опор) может случиться, что при решении уравнения (49) расчет сводится к первой форме yt (x), но соответствующая ей угловая скорость оказывается мнимой (wj< 0). В этом случае нужно перейти к расчету второй критической скорости, используя, как обычно, условие ортогональности по отношению к полученной форме прогибов уг (х). Вторая расчетная критическая скорость будет для такой системы первой действительной критической скоростью, с которой только и нужно считаться в дальнейшем. Пример. Определить вторую критическую частоту вращения ротора цен- 5 тробежиого компрессора (по данным 1 примера на с. 413). | Определив по формуле (58) исходное приближение у0 (х), найдем коэффициент Рг по формуле (61): Pi = '4 Заказ 402
418 Критические частоты вращения валов Рис. 12. Конструктивные схемы упругих опор: а — упругое кольцо с чередующимися выступами, б — ггакет тонких колец; в — упругое кольцо с прорезями Расчет критических частот вращения с учетом упругости опор. Во многих практических задачах при расчете критических частот вращения роторов приходится учитывать упругость опор. Для роторов быстроходных машин с успехом применяют специальные упругие опоры, которые дают возможность перевести критические скорости в зону малых частот вращения, не используемых при рабочих режимах. Упругие опоры позволяют изолировать корпус от вибраций ротора и снизить нагрузки на подшипник1. 1 Полное устранение радиальной нагрузки на опору нежелательно, так как при этом в подшипниках качения режим качения может сменяться режимом скольжения, приводящим к интенсивному изнашиванию. Применение упругих опор целесообразно сочетать с введением дополнительного демпфирования в систему за счет вытеснения масляного слоя при колебаниях и других видов трения (упругодемпфирующие опоры). Конструктивные схемы упругодемп- фнрующих опор показаны на рнс. 12. Конструкция упругого кольца приведена на рис. 13, а основные размеры даны в табл. 2. Силы демпфирования оказывают значительное влияние на частотные характеристики системы, и при определении критических частот вращения ими можно пренебречь. Схема ротора на двух упругих опорах показана на рис. 14. 0,В*ЬУ 0,6"f5° Рис. 13. Упругое кольцо Рис. 14. Ротор на двух упругих опорах
Вал с непрерывно распределенными массами 419 2. Размеры (мм) упругого кольца (см D, 55 58 60 65 71 75 78 83 88 93 103 113 123 D, 58 61 63 68 74 78 81 86 91 96 106 116 126 Число выступов п 4 6 4 6 4 6 4 6 6 8 6 8 6 8 6 8 6 8 6 8 8 10 8 10 8 10 'max 0,165 0,152 0,120 0,170 0.130 0,180 0.100 0 220 0,270 0,138 0.313 0.155 0.338 0,168 0,325 0. ' 94 0,300 0,223 0,240 0 148 0.334 0,190 0.29ft 0,236 0,294 0.185 6. 5 ■ 6 . рис. « 10 15 13) Dt 125 129 134 144 149 154 164 169 174 '74 184 199 0. 128 132 137 147 152 157 167 172 178 183 188 203 Число выступов п 10 12 10 12 10 12 10 12 12 14 12 14 12 14 12 14 12 14 12 14 12 14 12 14 'max 0,305 0,194 0,330 0,210 0,370 0,230 0.400 0.273 0,299 0,204 0,325 0,220 0 386 0,256 0,430 0,275 0,285 0,200 0,304 0,210 0,325 0.228 0,270 0,200 ь, в 8 н 15 20 Примечания 1 Материал кольца — стали 60С2А (44- 48 HRC3). 40XH2MA (30-36 HRCa) 2. Значения omax определены иэ условия, что напряжение omsx < 500 МПа. 3. Размер Ь* назначается конструктором. 14*
420 Критические частоты вращения валов Прогибы (смещения) в опорах и силы реакции связаны соотношениями —; К дз' У (<ti) = У (а2) ■ (69) (70) где /Сд1 и Кд2 — динамические жесткости опор, Н/см. Знак минус в этих равенствах согласовывает положительные направления усилий и смещений (см. рис. 14). Если в опорах не учитывают присоединенные массы, то динамические жесткости опоры равны соответствующим статическим жесткостям: Яд1 = с, 1 «г /СдЗ -= С2 "= сс2 (71) где <хг и аг — коэффициенты упругой податливости (при выводе формулы (7) принимали (Х[ = сс2 == а0). Для общи* случаев, когда рассматривают сложную динамическую систему, коэффициенты динамической жесткости определяют, как указано в гл. 21. При выводе расчетного уравнения зависимости (36)—(45) справедливы но вместо условий (46) и (47) будем иметь ь>* \ I г,, ,—- dx2 dxx -4- о о EJ (х%) + У (0) а, + у (0) = - А ; АД1 -И (72) £У (дс„) 0 о + У (0) а3 f у (0) : d.*a <£е, -4- = _ А /С да' (73) где /?! и #2 определяют из отношений (42). Из равенства (72) и (73) находим величины у' (0) и у (0) и получаем основное расчетное уравнение для ротора иа упругих опорах у=аЦКу+К.у]. (74) где Ку определяется формулой (50), а величина К „у, учитывающая податливость опор, К,у = 1 (а, — ах)г [ /(д1 Ш — аг)х + % \Д2 [^№ - [I - ау) А1У {[)] . (75) Необходимое для расчета значение {/' (*) вычисляем из уравнения у = ш2 [К'у + К\и\\ (76) значение К'у находим из равенства (52), а К'.У = гг-Лг!Т X :— ai)~ ь Х1—[{1-а2) Аху (I) - А2у (/)] _ --±-1Аа (I) - (I - aj Аху (1)]\ . (77) Расчет по уравнению (74) ведут методом последовательных приближений. Если учитывают обычную упругость опор [формулы (7i)], то такой расчет не содержит существенных отличий от рассмотренного ранее. Выбор первого приближения не влияет на окончательные результаты. В качестве первого приближения можно выбрать Уо(*)= 1. (78) При учете присоединенных масс величина К*у зависит от (о2, так как в иее входят динамические жесткости опор. В этом случае условие (33) приводит к алгебраическому уравнению относительно ш2. Пример Определить первую критическую частоту вращения ротора тур- бомашины, эскиз которого показан на рис. 15, иа жестких и упругих опорах. В соответствии с экспернмен-
Вал с непрерывно распределенными массами 421 Рнс. 15. Вал ротора нагнетателя 1 23 <■ S67 89Ю11 Ti Vn 1516 № сечения Т7№ 19 20 21 тальнычи данными жесткости опор приняты Кт = 2,5 10е Н/см; KBi= 3,3-10» Н/см. При расчете методом последовательных приближений получено по уравнению (49^ для жестких опор пк = 40 400 мин *, по уравнению (74) для упругих опор пн = 33 200 мин""1 Вал с равномерно распределенной массой. Рассмттрнм чаешь А случай {рис. 16), имеющий практическое значение вал постоянного сечения, несущий большое число одинаковых дисков. Эта задача имеет точное решение. Ее/ и m и Jm — касс г ii момент инерции, приходящиеся на единицу длины вала, то критическая скорогтг, порядка i выражается равенством Ряг -. / EJ 1г V m V iWJr (79) ml2 (i = 1, 2, 3, 4, ,..). Форма прогибов, соответствующая критической угловой скорости, будет Ум (80) В равенстве (79) (81) где ш0 критическая угловая скорость вала без учета гироскопического момеита дисков. Следочательно, щ 1 V ml- (82) Из последнего равенства следует, что влияние гироскопического момента для высших критических угло- Boix скоростей увеличивается. Наименьшая критическая угловая скорость вала в соответствии с равенством i"9) будет я2 -1 / EJ m У' -2 1 mU jm mill I ill rnilllllllllllf /83) Рис. Ifi. Вал l дисками
422 Критические частоты вращения валов Для вала постоянного сечения без присоединенных масс имеем юР . m = pF = p —£-, 1 nd* _ nd* Jm -—Jv-9 -64"' _ 64 ' и тогда К 16 ^ (84) Если отношение d/7 значительно меньше единицы, то влиянием гироскопического эффекта можно пренебречь и считать ч-Ь-Ут- ,85) Влияние начального дисбаланса для ротора с распределенными массами. Уравновешивание по собственным формам. Рассмотрим для простоты системы, для которых можно пренебречь влиянием гироскопических моментов дисков. При определении критических угловых скоростей использовали интегральное уравнение у = ы*Ку. (86) Физический смысл этого уравнения таков: прогибы вала у (к) вызываются распределенными центробежными силами шат (к) у (х), в свою очередь, зависящими от прогиба. Очевидно, что уравнение (86) имеет решение у = О, которое соответствует прямолинейной фирме равнивесмя (начальный дисбаланс счиыли отсутствующим). Однако при некоторых Значениях ш, называемых критическими, уравнение (86) обладает отличными от нуля решениями: у1 (х), уг (х)... . Эти решения (с точностью до множителя) и представляют собой формы прогибов при критических скоростях вращения (собственные формы или собственные функции). Следовательно, собственные формы удовлетворяют уравнениям yt = w'lKy-,; у2 = шЩу2;..., (87) где шъ со3 — критические скорости ротора. Собственные формы ух, у2, у3, ... удовлетворяют условию ортогональности I f mytyhdx = 0 (i-£k). (88) о Прогиб у i вызывает распределенные силы ыупу^ а прогиб yk — силы u>lmyh. Так как со, ф мА, то отсюда следует условие (88). Рассмотрим теперь вал, имеющий начальный эксцентриситет расположенных на валу масс в(х). Тогда прогиб вала у (х) будет вызывать силы а>*т(х) [у (х)+е(х)\; у (х) = ш»/е (у+е)= (89) = <игКу + мг/(е. Обозначим / (х) прогиб вала от распределенных усилий а?т (х) е (х): / = мг/(в. (90) Тогда уравнение (89) примет вид y=^Ky+f. (91) Это уравнение выражает прогиб вала при любой угловой скорости со. Прогиб / (*) можно представить в виде ряда t = а\У\ + агУг + азУз + — ■ (92) Для того чтобы определить коэффициент alt умножаем обе части уравнения на ту1 и интегрируем по всей длине вала: / i miyl ах = ах I ту\ их -f 0 0 / / + с» \ my^-idx + а3 Г myxybdx-\ . о о СоГЛаСНО УСЛОВИЮ ОрТОГОНаЛЬНОС-ТИ все интегралы, содержащие разные
Вал с непрерывно распределенными массами 423 собственные формы, обращаются в нуль, но J mfyx dx my\ dx о Точно так же найдем I J mfyt dx о at =■ I (93) my"\dx о ..J Коэффициенты а,- в равенстве (92) называют коэффициентами разложения (прогиба от дисбаланса по собственным формам). Предположим теперь, что общий прогиб вала у также может быть представлен в виде У = &i0i + btyt + ЬъУъ + ■ (94) и требуется определить коэффициенты Ъ\, Ь2, Ь3 Внося значения (94) и (92) в уравнение (91), получим *i0i + Ьгуг + • ■ • = (й*К (bxyt + + btyt+ ■••)+ ai*i + + asyt+ ■•• . (95) Так как величина Ку содержит обычные интегральные операции с функцией у (х), то * 0i*i+*■*•+ ■•■) = Учитывая, что из соотношений (87) ! „ I Kyi = ~W У1' КУг ■у». и подставляя эти зависимости в равенство (95), получим IX1--5-)-*]*+ Последнее равенство возможно (для всех х) только в том случае, если *i ( 1—-=т )-ai = 0; *а | откуда 1 О)2 0)1 1 - a2 1 — J — ai — aj = Ol (D2 (0? CO» ' ' (Of = 0; t * 6, = Внося эти значения в ряд (94), получаем выражение для прогиба вала в рабочих условиях от начального дисбаланса У (*) = а\,а Ух (*) + 1 ®1 аг ■ Уг (х) + ■ (96) 1 щ Из этой формулы следует: прогибы могут неограниченно возрастать при совпадении угловой скорости вала с одной из критических угловых скоростей; для устранения прогибов, связанных с данной критической угловой скоростью (0;, необходимо сделать равным нулю at — коэффициент разложения прогиба от дисбаланса по данной форме. Расположение уравновешивающих грузов для устранения вибраций, связанных с первой критической угловой скоростью, показано на рис. 17.' У * Рис. 17. Расположение уравновешивающих грузов для устранения вибраций, связанных с первой критической угловой скоростью
424 Расчет пластинок 3. Критические угловые скорости некоторых роторов Система Формулы Коэффициент влияния Щ U—X- Вал с одним диском (15) ' «*• + ' 3£V Р = V = 3EJ, ■ а + 3£У, ■ аЬ 4- ЪЕ.1, 1 1 2EJ, Ь» Вал с несколькими дисками (без учета гироскопического эффекта) 1 I LLLLJ ГППРЧ1 0)2 + Hf+- + + ■ Примечание. Jt, J, — моменты инерции сечения вала; шк — первая критическая скорость ротора; <й ®п — то же при наличии i-ro диска. Формулы (90) и (93) позволяют рассчитывать расположение начальных эксцентриситетов е (х) для выполнения условия at = 0. (97) Для гибких роторов (т. е. роторов, работающих при а>^> ш^ обычные методы уравновешивания часто не дают положительных результатов из-за упругих прогибов роторов при рабочих условиях. Более эффективным оказывается уравновешивание по собственным формам, сущность которого состоит в выполнении условия (97) для нескольких первых критических скоростей. Критические угловые скорости для некоторых роторов приведены в табл. 3. Глава 23 РАСЧЕТ ПЛАСТИНОК КРУГЛЫЕ ПЛАСТИНКИ Расчетные формулы. Многие детали (например, диски) рассчитывают на изгиб как круглые пластинки постоянной или переменной толшины Л, симметрично нагруженные давлением q (r) в Н/см2, или отнесенными к единице длины нагрузками Qt в Н/см и моментами Mj в Н-см/см (см. рис. I). В центре сплошной пластинки (а = 0) может быть приложена сосредоточенная сила Р в Н, В сечениях пластинки действуют поперечная сила Q и изгибающие моменты Мг и Mq (рис. 2). Нормаль-
Круглые пластинки 425 _ a, qir) ^ Mr*cLMr Q+dQ Рис. 1. На!ружение круглой пла- Рис. 2. Поперечная сила О и изгибающие мо- стиики менты М , /Ид в круглой пластинке ные напряжения аТ и Gq меняются по толщине пластинки по линейному закону; их максимальные значения у поверхности + Ф24 ~- (a) + J bwtuPi + t=l 6МГ . ft2 ; о6 = ± 6А1е пг ' (I) где плюс относится к нижней стороне пластинки. Из условий равновесия элемента пластинки (рис. 2) •§- (rQ) = ЯП ~ (гМг) - Мв = Qr (2) и соотношении упругости / d2w v dw \ . .. , \ dw , d"-w Мц — D ( -, г-v ) (3) г dr ' dr2 получают дифференциальное уравнение I d ( Ц я ^8 (') = <¥пр (а) + ф8з^г (а) + m dw V"1 + 2_Лфз2/'и/ + (рз; ! /-' da» ■^- (г) = ф«^ (а) + ф«Мг(а) + m + Ф«^г (а) + 2j йф"^* + т dr Л- L r dr + 2 б/ф<2''м/ Н-Ф4*; Х (Л"^)]} = "0"' (4) а'(^) = ^(а)Н-ф51/э(а) + Ф5а'Мг(а) + m -; v - коэффици- -f Фб4 -£~ (а) + ^] б^цЯ* + ГДе° = -Т2ТГ^) еит Пуассона; и» — прогибы пластинки *««» (вверх). „ Последовательным интегрированием vS уравнения (4) в пределах от г — а 2-1 ^№&1М1 + Фб, . до л находят: /=1 я(/-) = Я(а)+ Це..^-f фГ; 1=1 Мг (г) = ф21Я (a) -f- фиМг (а) + 1 6| = где Я = 2nrQ; О при г <rf. I при г ~^ri, Ж
426 Расчет пластинок 0 при г <гу, 1 При T^Tj. (5) Фм Нагрузки Р{ и М) могут быть приложены на любом радиусе в пределах а< ?1< Ь или а< г;-< *. Начальные параметры Р (а), МТ (a), —j— (a) н w (а) определяются граничными условиями на краях. Например, для края г = а: свободный край Р = Ра\ Мг = = Мга; шарнирная опора Mr = Mra; w = 0; dw скользящая опора Р = Ра; -г— = 0; заделка dw ~dT 0; w . где Ра, Мга — контурные нагрузки. Аналогично записываются условия при г = Ь. Функции влияния ф (г) определяются следующими выражениями: пластинка с отверстием, а Ф 0: <Pai =■ 1 8л / 2(I+v)ln—+ 1 Фаз [-(4)*] = фач =- Фэ1 = — v2)D 8я 2(l+v)ln — а -(1 фм •-[-(-^П)= 2а 8nD + «-Ч(т)'-]}= пластинка без отверстия, а = 0; <Й0 (6) dr (а) Фи 4п L l + (H-v)!n^-- Фи = + Ф« = 1 —V 4 1_ 4л 1—v 4л£> ф4а (f)2]; ф„=1; [' + (1 + v) In T + = 1; (l+v)D ' фы = 16nD '-Г-' + -КЯ'}: фб» = 2(1 + v)D» (7) где е — радиус центральной площадки, на которую действует сила Р (0), е < Ь. Функции влияния фа1; фба; опре- деляются соответствующими формула ми (6) при замене радиуса а на ра
Круглые плпстинки 427 дчусы ri или Г]. Функшш <р* (г) для произвольной нагрузки q (r) имеют вчд г ф* = 2jt f <7(гг) г, Л-,; ср? = ©1 J- Ф2; а irrv); ?г = j" ф: ('•о л-,. (8) где Ф Фг W < 4 яг2 j 'ЖЫ^!- (0) Для ря»ночериой нагрузки а, приложенной к участку пластинки от г — г до г= 6 (см. рис. 1): <Х[г) = тгЫг*-су, 1+v О, (л) = ■ т1 (О (?бг X __9вс(г._гТ: где 655-^[^"^ X (гг + or*) — 4С' (2r* + r>) in ^-] , {0 пои л< с ! при г Р~ г. (10) Формулы (5)—(10) ппэпппяют ряс- считывять круглые пластинки при любых условиях зякррплРния и нагрузки. Пример 1. Рассчитять пластинку, заделанную по внутреннему контуру и нагруженную изгибающим моментом Мгь по внешнему контуру. Полагая в формулах (5) Р (а) = —г— (а) = = w (о) = Pt = М] = ф* = 0 и находя Мг (а) из условия Мг (Ь) = Ф?2 (ft) Мг (а) = МгЬ, получим М <r\ _ *Рга (Г) Л/ г()~"ф^г гь = l+v-4-(l-r) (-^-)2 1 4- v С 1 1+v+O-v) (-J- Тп (о) l+v-(l-v)(-2- i+v+(l-v)(-H-)S /И гЬ. /И гЬ. ш(г) Л* гЬ = ф22 (6) 1 а \ а ) l+v-f (1-v Х ID >(т)' Пример 2. Рзсситать пластинку без отверстия, опертую по наружному контуру и нагруженную распределенной нагрузкой, меняющейся по линейному чакону (рис. 3), q (г) = q0 (1 — — rib). По формулам (8)—(9) находим г «Г? С) = 2я?о К1--!-)'1*'1 = о = „7оГ. (l—|-); Рис. 3. Пластинка под распоеделенной нагрузкой, меняющейся по линейному закону
42Я Расчет пластинок Ф| И = I-fv Г (1 -v)9o/-2 Г 96 Г Ф2 (г) = (1 4г» % \ !"('-&) 16 v 15*/' dr. q»r* *w = wl 64r 2256 Полагая в формулах (5) Я (0) = = —,— (0) = Я ( = М, = 0 и находя Л1Г (0) из условия Мг (6) = Ф22 (6) Л4, (0) + Ф5 (Ь) = 0, где ф22 (6) = 1, получим М, (г)-=ф2* (/■;—ф'(6) = --*■№'--£-)- Л^е (г) = Фз С) ~ Фа (й) = 3 1 -f 3v r2 3 -+ v 62 V . . 1 -р- 4v Г3 \ "| 45 {l 4 + v" 63 /J (6'" — /•=) го? (6) . . П'-£-)-*г('-4) + + Т5Г ('->")]• Пример 3. Рассчитать пластинку без отверстия, заделанную по наружному контуру и нагруженную в центре сосредоточенной силой Р. Полагая dw в формулах (5) Я (0) = Я, -т— (0) ■= = Р| — /Vf у = ф* = 0 и находя Л4Г (0) из условия -^- (*) "= Ф«(*)Я + ф«(6)Мг(0) - О, получим с учетом выражений (7) при е- О -[ -[ Мг(г) = Ф21 </) — ф22 И Ч'» (6) >" Я Ф42 (6) ^[l + (l+v,in^]; Мв (г) -, .С)- .(О ф41 W я-= ф42 \Ь) = -~~[v-f(l+v)in^]; Ш (Г) = | ф61 (Л) — ф51 (6) — , , , ,м Ф» (6) 1 п - (Ф5г С) - ф» (6Л ~^щ- / я = = —— ( 6а — г2 4- 2л2 In -— ^ . 16я£ V * J В точке приложения сосредоточенной силы Я расчетные моменты и напряжения стремятся к бесконечности. Поэтому сосредоточенную силу надо прикладывать к пластинке через жесткий центр, относительный радиус которого а0 = а0/'Ь определяют из условия ашах < [а], вследствие чего *(ао)^-^£-, ('О где для пластинки с шарнирной опорой по нагруженному контуру V (о,) = 2 (1 -f- у) in гхц — (1 — у) (1 — ccg) 4n[l+v + (l-v)<] (12) с заделкой по наружному контуру ^ ы = 4л (! — а„ (ГЗ)
Круглые пластинки 429 При ag < 1 и v = 0,3 получаем из формул (12) и (13) соответственно ав > ехр и (-.,,05-^+0,27) | а0>ехр ' - 1,05 р Р [с] Л* 0,50^ . (14) Расчеты с помощью таблиц. Для удобства расчетов в табл. 1 приведены значения функций ф (г), определенные по формулам (6)—(7) и ф* (г) — по формулам (8)—(10) при v = 0,3 в зависимости от параметра х, соответственно равного отношениям а/г или с/г. Если в качестве х принять отношения г\!г или rj/r, получим значения функций ф,- (г) или ф^ (г). Пример 4. Для пластинки без отверстия, заделанной по наружному контуру и нагруженной на радиусе r!b = = 0,2 распределенной нагрузкой Q, найти прогиб на радиусе rib = 0,5. Положим в формулах (5) Я (0) = = -^(0) = М; = ф» = 0, 1=1, Я, = 2toQ, rxlb =-.= 0,2. Из условия dw -£Г (Ь) - ф42 (Ъ) МТ (0) + где согласно табл. 1 при х = alb = 0 ф42 (b) = 0,76923УО и при хх = rjb = = О.2 Ф<п,1 {'о) = 0,08988£>/25, находим МТ (0) г= —0,1168Pi. Далее, из условия w (Ь) = w (0) + ф62 (6) Afr (0) + + <p„tJ (6) Ях = 0, где ф52 (Ь) =- 0,3846262/D и ф51 j (Ь) = = 0,02840^,0, находим w (0) =.- = 0.01652^^8/0 и, полагая для л/6 = = 0,5 величину х1 = rjr = 0,4, определяем w (0,5Ь) - ш (0) + ф62 (0,56) Мг (0) + + Феи (0,5*) Pj = (0,01652 — — 0,38462 -0,5а -0,1168 -f- + 0,00887 -0.52) = 0,00751 Я^ D Для наиболее важных случаев на- гружения в табл. 2 при v = 0,3 приведены значения безразмерных коэффициентов максимальных напряжений Ка, К'а, прогибов Kw. K'w и углов поворота К , /С'*. Если на пластинку действует давление q, то <7*2 . ... _ *- <7*4 dw h- = Л"н £/!3 * / dw \ К v дЬя Eh3 (15) Если действует сосредоточенная в центре сила Я, то Р_. _к. РЬ* . атах = % о dw ~dF = К' max * я/- (16) Для распределенной по окружности П нагрузки Qt — Pil2nn в формулах (16) надо заменить Я на Я,. Если приложен распределенный по окружности тj момент Mj, надо в формулах (16) заменить Я на Mj. Знак при Ка или К'0 соответствует нижней стороне пластинки. В точках заделки Ко9 = "Каг К'аЬ=чК'аг. На ра- диусе приложения момента Mj коэффициенты напряжений претерпевают скачки Д/(ог = 6 и Д/Сов ~ Ь8- Комбинируя данные табл. 2, можно получать решения для более сложных схем нагружения и опирания. Пример 5. Для схемы нагружения на рис. 4, а найти прогиб в центре пластинки. Разобьем пластинку на две части (рис. 4, б): 1 — нагружение соответствует схеме 15 при (S = 0 и схеме 17' при (5=1 и // — нагружение по схемам I и 5 при (5 = ее. Суммируя деформации от силы Я и неизвестного момента М)1 (&х) = = —МГ(ЬЛ= М, найдем отношение М/Р из условия равенства углов поворота обеих частей при г = Ьх, для чего в схемах 15 и 17 надо принять
430 Расчет пластинок о — № ° 00 о ь~ о чО о ш о Tf о СО о сч о о 5К 5 я *х £ « о «V СО о о со со о о о ю о о t^ со о о о о о OJ ел о о о СО — о о о о ■& —' О ТГ СЧ СО СТ1 — с СО с- ■Л СО СЧ О ! 2 ©■ — о \Л СО СО О О о о с- оЗ О о m сч 00 о о о о t^ t^ о о ю t^ со t"- с о с LD о t^ о о ю СО CD о о о тр ,о СО о о \Л со ш СО о 2 к> о •О CD <7> о ю h- ■<f о см о о lO о сО со ю со т1* о о ю сч 00 СО о о \Л сг. о ^ о 00 со — о о СО —' ЕМ iO о ю -Ч" 1 Q ^ ч> № о _ (О 1Л о о о СО со о о СП СЧ еч о о СЧ о ю со о о СЧ со о 1Л о с о о о „, еч ел СП о о о СО СЧ о 1 3 № о о о со о о СО СО СО о о о CD CN Т о о 1Л 00 t^ чГ о о о СЧ ю о о ю СЧ CD uO о о о СП ю о о ю СО X) о о о СО о о МП CD СО о ; ©■ СЗ о о с?> о СО и0 С/> о 1ft сч СО СГ> о о iO СО -£> о о со со а4 о _ о ю со — ^- о ю СП со — со СО - о о со СЧ о ю ю О ■л ч*1 1 Q 1» ч> № о сч со о о о о со со о о о о о со о о а> со ю о о сч со !0 сч о о Tf* а. со о о о CD о л о о 00 00 о 00 о с чГ 00 со Tf — о 1 1» Q J fc> о о о ю СП о о о о о со ы о о о m ю сч о о о о сч t-0 о о о ю t~- со о о о о сч ч* о о ю ю чр о о о о со чГ о о ю ел чр о со сч ел 0.76 -i: Q S t> — (7) со ь~ ел о о ю ь~ ю ел о о о ю Ю о о со со со t- 0> о о о ю сч о — о о ю со ^ —■ t~- со со - о о о 00 СО — о о ю ю со 1 5 № о со о о о о о сч о о о ю оо о о о со сч о о о со CD чр о о ь~ со со о о о „, о СО о о о ч* со сч о о ч»- со ю о о i ^^ 1» Q J fc> о со со о о о ел ю 00 о о о ТР о о ■Л о 00 СО о о СО СО о о —* о о t^ СО со г- о сч со со р~ ^ о — со ь~ о сч о о ел ю со сч о сч 0,38 a S & о со 1Л со СЛ о о со ь~ at ^ о ел а> со сч о CJ1 СО 1Л со со о ь~ р~ р~ 00 чГ о р~ lO о СО о ^_ CD L.O СО ь~ о СО сч Oi о - г- сч 00 со - 1 », _^ 3 & о о ел ел 1Л о ь~ ел о со —* — сч сч о СО .4 сч СО о о сч СГ СО ю со сч ч* ел со со СО сч ю СО со ю 00 сч со ел 1Л о со t~- о — СО ел ю З.Н ^- о ^ *г-4 № о сч t~- о о о о о ir: ь~ со о о ю сч СО о о ь~ о Oi о о сч ь~ ел *^ о СЛ 00 00 Tf ** о о чГ ю ь~ — о ь~ сч СО ел ~" о ю сч 0.20 ^. —-^ *ст № о 1Л о о сч о о о о о о СО сч о о ю ел о ТР о о со ел t~- ю о о со СО ь~ о о СО t~- ел о о — ю о — о ю г- со 0.11 ^. о —-^ •т & о о о о о сч о о о о СО СО о о со со о о о t~- сч ■Л о о ю сч чГ сч о о о ел чГ со о о — со СО чГ о о ч* ь~ СО ю о о о ю сч 0,06 со *^ & о о о о о о о со сч о о о ю о о о ел CTi о о со со со о о со СО чГ СО о о сч ел ь~ ел о о о ю со со ~" о ю сч СО 0.15 о X о Q »UJ &■
Круглые пластинки 431 2. Коэффициенты напряжений К , прогибов К и углов поворота К- для круглых пластинок а 0,1 0,2 0,4 0,6 0,8 0,9 Р 0.1 0.2 0,4 0,6 0,8 0,9 0,2 0,3 0,4 0,6 0,8 0,4 0,5 0,6 0,8 0.6 0.7 0,8 0,8 0,9 0,9 1. 4, \, [ V tfi *л—1—1"- 2Ь KaQ, г = а —3,221 -2,342 — 1.432 -0,857 -0,401 — 0.196 -2,411 — 1.874 — 1.477 — 0,883 — 0,414 — 1.688 — 1,323 -1.010 -0,473 — 1,325 —0,958 — 0,621 -1,104 — 0.540 — 1,023 ГА г — а 0,632 0,572 0.442 0,299 0.148 0.074 0,704 0.612 0,523 0,347 0.171 0,721 0.590 0,465 0.227 0,590 0,434 0.285 0,341 0,168 0,181 а а = —; * U Кф- г = а — 0,644 — 0,468 -0.287 -0.171 -0,080 — 0.039 — 0,966 — 0.749 -0.591 —0,353 — 0,166 — 1,351 — 1,058 — 0,808 -0.378 — 1.59f — 1.150 — 0.745 — 1,766 — 0.864 — 1.841 -1 Кф' Г = ft -0.726 — 0.689 — 0,590 — 0,445 — 0,249 -0.131 — 0,835 — 0.758 — 0,680 -0,498 — 0,274 -1.102 — 0,925 — 0.751 — 0.392 — 1.382 -1.031 —0.688 — 1,653 -0,818 — 1.784 4 >• 2 i 1 2а Pi ^Г1 2Ь «^Ь Ко г' г = а — 2,440 — 1,774 — 1,085 — 0.649 — 0,304 -0,149 -1.746 — 1,354 — 1,068 — 0,639 — 0,299 — 1,004 — 0,787 — 0,601 — 0,281 — 0,546 — 0,395 — 0,256 -0,227 -0.111 — 0,104 4 9 - \ ь г — а 0,4677 0.4518 0.3692 0,2549 0,1280 0,0635 0,3503 0,3375 0,3071 0,2178 0,1106 0,1530 0,1452 0,1256 0,0674 0,0439 0.0396 0,0291 0,0051 0.0035 0,0006
432 Расчет пластинок Продолжение табл 2 0,1 0,2 0,4 0,6 0 S 0.9 Р 0,1 0.2 0,4 0,6 0,8 0,9 0,2 0,3 0,4 0,6 0.8 0.4 0,5 0,Ь 0,8 0,6 0,7 0,8 0 8 0,9 0.9 Я 3 Л Г , i 1 2а J 2* i • = -Г= "--£ *ЧТв' г = а — 2,203 — 1,377 — 0,605 — 0.233 — 0,053 -0,013 — 1,305 -0,865 -0,574 -0,221 — 0,050 — 0,475 — 0,304 -0,183 -0,041 -0,142 — 0,076 -0,032 — 0,02! -0,006 -0,00 3 ^аг' г = ft 0,504 0,478 0,410 0,309 0,173 0,091 0,533 0,484 0,434 0,318 0,175 0,510 0,428 0,347 0.181 0,379 0,282 0.188 0,194 0,096 0,097 Kw, г = а 0,2490 0,2080 0,1308 0,0638 0,0172 0,0044 0,2376 0,1814 0,1438 0,0688 0,0183 0,1333 0,0969 0,0647 0,0174 0.0420 0,0257 0,0123 0,0050 0,0015 0,0006 ', Г~ v,vl,l i ' 1 1 га г/ч ?Ъ \Pl 'if/г ■'- Л i а ft г« Каг< г = а —1,744 — 1,089 — 0,479 — 0,184 — 0,042 — 0,010 -1,123 — 0,745 --0,494 -0,190 — 0,043 — 0,564 — 0,362 -0,217 — 0,049 — 0,285 — 0,152 -0,064 -0,114 — 0,027 -0,052 *пл. Т -= ft 0,455 0,447 0,396 0,304 0,171 0,091 0,413 0,405 0,381 0,298 0,i70 0,311 0,300 0,271 0,164 0,203 0.189 0,149 0 099 0,073 0,048 Kw, r = a 0.1685 0,1578 0,1088 0,0553 0,0153 0,0040 0,1148 0,1070 0,0899 0,0480 0.0136 0,0435 0,0394 0,0302 0,0096 0.0115 0,0095 0,0054 0.0013 0,0006 0,0002
Круглые пластинки 433 Продолжение табл 2 0,1 0,2 0,4 0,6 0,8 0.9 Р 0.1 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1.0 0,4 0,6 0,8 1,0 0,6 0.8 1.0 0.8 1.0 0,9 1,0 5. /Г Кав. г = а —6.12 — 8,05 — 8,56 — 9,41 — 10,59 -12,12 — 6,50 — 8,82 — 9,70 — 10,92 — 12.50 — 8,28 — 11,09 -12,49 -14,29 — 12,75 — 16.39 — 18.75 — 27,33 -33,33 — 57,16 — 63,!6 1 ! V" 1 Za \ 2Ь а - K'w. г = а 0,40 0.76 1.73 2.80 3,78 4,56 1,21 2.21 3.33 4.38 5,25 3,39 4.63 5,85 6,92 5,99 7.39 8,68 8.88 10,39 10,41 11,21 K'v r = а -1,58 -1.61 — 1,71 — 1,88 — 2,12 -2,42 -3,32 — 3,53 — 3,88 — 4.37 — 5,00 -8,07 — 8,87 — 9,99 — 11,43 — 17,46 — 19.66 — 22,50 --46.61 -53,33 — 106.12 — 113.68 Ь К*. ' = * — 0,24 -0.50 — 1.52 — 3,21 — 5.59 — 8,64 — 1,00 — 2,05 — 3,80 — 6,25 — 9.40 — 4,57 — 6,57 — 9,37 — 12.97 -13,50 — 17.18 — 21,90 :,;, -42,67 -61.07 — 102,32 -110,72
434 Расчет пластинок Продолжение табл. 2 0,1 0 2 0.4 0.6 0.8 0.9 Р 0,1 0.2 0,4 0.6 0,8 0,9 0.2 0,3 0,4 0.6 0,8 0,4 0,5 0,6 0,8 0,6 0.7 0,8 0,8 0.9 0.9 6 Ъ | а П С1 2а 2rj г" 2Ь --г- '- Ков- г — а — 5,78 — 7,35 —6,43 — 4,90 — 2,76 — 1.45 -5,17 — 6,61 — 6,10 — 4,65 — 2,61 -3.25 — 4,51 -3.85 — 2.16 -1.19 — 2,38 — 1,68 + 0.52 — 0.68 + 1,21 Kor' г = Ъ 0,17 0,34 1.05 2,23 3.88 4.88 0,64 0,92 1.31 2.43 3.99 2.11 2,53 3,04 4,33 3,70 4,17 4,71 5,01 5,48 5,54 t. г1 b Kw1 г = а 0,277 0.498 0.929 1.102 0,835 0,495 0,656 0,880 1.067 1,207 0,894 0,955 1,084 1.122 0,846 0.642 0,666 0,576 0,197 0,158 0.052 7 г~\ fr а —\—с р ( 2а \ 2Ь -\Mj -т- »- Ког г = а — 6,00 — 5.82 — 5,09 — 3,88 — 2,18 -1.15 — 6,00 — 5,68 -5,25 —4,00 — 2.25 — 6,00 -5,35 — 4,57 -2,57 — 6.00 -4.78 — 3,38 — 6,00 -3,17 — 6,00 Ког г = Ь 0 0.18 0,91 2,12 3.82 4,85 0 0.31 0,75 2,00 3.75 0 0.64 1.43 3.43 0 1,22 2,62 0 2,83 0 i i ч ь Кш* г — а 0 0,230 0,694 0,922 0,734 0,442 0 0.258 0.493 0.770 0,648 0 0.231 0,394 0,437 0 0,154 0.215 0 0.054 0 .
Круглые пластинки 435 0.1 0.2 0,4 0.6 0.8 0,9 0 0.1 0,2 0,4 0,6 0,8 0,9 0,2 0.3 0.4 0,6 0.8 0,4 0,5 0.6 0,8 0,6 0.7 0,8 0.8 0,9 0.9 8. Ч 4. т г 1U. ■ k г Ьг^ U-jJ 26 ь а а С а = IT • Р = ~ Ков- Г — а — 2,379 — 2,126 — 1,45! -0,753 — 0.215 -0.057 -2.192 -1.861 — 1,497 -0,777 — 0,222 -1.710 — 1,288 — 0,888 -0,254 -1,165 — 0,702 — 0.333 -0.592 -0,157 —0,298 Kw- г — а 0.750 0,693 0,504 0,274 0,080 0.021 0.813 0,711 0.586 0,317 0,092 0,787 0,602 0,421 0,122 О.ЬЗО 0.322 0.154 0,184 0.049 0,053 9 7 ffi-FTi 1 га '" 2С " УЛ гь О л С ■-—■ » = — Лот- г = а 5,787 5,749 5,340 4.336 2.597 1,413 3,681 3.646 3,526 2,949 1,814 1.633 1,600 1.491 0,985 0.618 0,586 0,481 0,135 0,103 0.032 кш, г - 6 0,8266 0,8260 0.8041 0.7049 0,4596 0,2606 0,5638 0,5631 0,5570 0.5014 0,3361 0.1926 0,1918 0,1858 0,1362 0,0383 0,0377 0,0333 0,0023 0,0020 0,0001 Продолжение табл. 2 10. 1 1 *^Ч гв | а " — • р = — Ког г = а — 1.802 — 1,610 — 1,099 — 0,571 — 0,163 -0,043 -1.585 -1.345 — 1.082 — 0,562 — 0.160 -1,018 — 0,766 — 0,528 -0,151 -0,481 -0,290 -0,137 — 0.122 — 0,032 -0,030 —* Kw. г = а 0,6282 0,5847 0.4302 0,2355 0,0694 0,0186 0,4925 0,4383 0.3673 0.2029 0,0600 0.2113 0.1688 0,1219 0,0369 0,0500 0,0327 0,0163 0,0035 0,0010 0,0002
436 Расчет пластинок Продолжение табл. 2 а 0,! 0,2 0.4 0,6 0,8 0.9 Э 0.1 0,2 0.4 0,6 0,8 0.9 0.2 0,3 0,4 0,6 0,8 0,4 0,6 0.6 0.8 0.6 0.7 0,8 0,8 0,9 0.9 11. 11 V ! Ш гь а а с «<те. г = а — 0,869 -0,709 -0.371 — 0,129 — 0.018 — 0,002 — 0,672 — 0.507 -0,352 —0,122 — 0.017 — 0,292 -0,184 — 0.101 — 0.014 — 0,079 — 0.036 -0,011 — 0,008 — 0,001 — 0,001 Ког' г = Ь 0,747 0.701 0,534 0,309 0,098 0,027 0.730 0.650 0,549 0.314 0.098 0.596 0,464 0,330 0,100 0,348 0,213 0,103 0.105 0,028 0.028 Kwi г = а 0,1813 0.1600 0.0979 0,0390 0.0062 0,0009 0.1753 0.1422 0,1059 0.0418 0,0066 0.0995 0,0672 0.0396 0.0063 0.0269 0,0132 0.0045 0.0020 0,0003 0.0001 12. ш \ JJI ~i— га гс Г 7h Т1ВД .--f. в- Ког г = а — 0,688 — 0,561 — 0,294 — 0,102 — 0,014 — 0,002 -0.579 —0,436 — 0,303 -0,105 — 0,015 — 0.346 — 0,218 — 0.120 -0.017 — 0.158 -0,071 — 0.022 — 0.040 — 0,005 — 0,010 каг г = Ь 0.728 0,686 0,526 0.306 '. У97 0,027 0.668 0,604 0,517 0,303 0,097 0.474 0.387 0,288 0,094 0.250 0.169 0,089 0.072 0,0i4 0,019 г Kw, г — а 0,1496 0,1341 0,0844 0.0343 0,0056 0,0008 0,1120 0,0944 0,0728 0,0303 0,0050 0,0443 0,0324 0,0204 0,0036 0.0100 0,0056 0,0021 0.0007 0.0001 0.000Q
Круглые пластинки 437 Продолжение табл. 2 13 й PZfe -4— _i£_ 24 1"' /(,.,• ' = 6 к,». ' = ь 0.2 0,4 0.6 0,8 0.9 1.0 0,666 1.355 1,791 2,136 2,292 2,440 0.0159 0,0985 0.2128 0,3398 0,4042 0,4677 -6.09 -6.48 -7,12 -8.02 -8.57 -9,18 -0,349 — 1,291 — 2.317 — 3,243 — 3,628 -3,943 0.4 0,6 0.8 0.9 1,0 0,678 1.108 1,447 1.600 1.746 0,043? 0J325 0,2397 0,2952 0,3503 -0,38 -7 01 -7.90 -8,44 -9,04 -0,920 -1,909 -2,784 -3,138 -3,418 0.6 0,8 0,9 1,0 0,404 0.723 0,867 1,004 0.0274 0,0856 0.1191 0.1530 -6,Ь9 -7.43 -7.93 -8.50 -0,898 -0.645 -1.921 -2,114 0,8 0,9 1,0 0.290 0,421 0.546 0.0148 0.0287 0,0439 -6.7Ь -7.22 -7,73 -0,634 -0,841 -0,958 0.9 1,0 1.0 0.116 0.227 0.104 0.0016 0.0051 0,0006 -6,41 -6.86 -6.43 -0.165 -0.232 -0,056
438 Расчет пластинок Продолжение тзбл 2 р 0 0.1 0,2 0,4 0,6 0,8 0,9 9 0.1 0.2 0.4 0,6 0,8 0.9 1.0 В 0 0,1 0,2 0,4 0,6 0,8 15 f u г"' J ^ р = 41 — - Ч Кдг = ^а0- г «= 0 оо — 1,595 -1,159 — 0,709 — 0,424 -0.199 -0.097 Kw. r =■ ° 0,552 0,536 0,501 0,400 0,273 0,136 0.068 г = Ъ — 0,669 -0.662 — 0,642 — 0,562 — 0,428 -0,241 — 0,127 17 к- *ov — KaQ. г = 0 — 3,92 — 3,98 — 4,24 — 4,66 -5,24 -5,60 -6.00 ■^1 П —~1 Kw- г = 0 0.17 0.52 1.47 2.52 3.47 3.87 4.20 59. w? L — и ^ г- 1 Kor = Ка$. г = 0 — 1,238 — 1,178 — 1,052 -0,718 -0,373 -0.107 г = 0 0.696 0.679 0.630 0,461 0.251 0.074 /Гф. г = » — 0,08 — 0.34 — 1,34 — 3.0? — 5,38 — 6,80 — 8,40 »-т Кф, г = 6 — 5.050 — 1,029 — 0.968 — 0.741 -0,430 — 0,136 16 / ""f 2ft 2b Каг = Ка& г = 0 оо -1,122 -0.701 — 0,308 -0,118 — 0,027 — 0,006 K'or- <■ = * 0,478 0,473 0,458 0,401 0,306 0,172 0,091 Kw r = 0 0.217 0,205 0.181 0.119 0,059 0,016 0,004 18 т—'—t^ г = п — 3,46 -3.74 — 3,28 — 2.50 — 1.40 -0,74 0 20. 1 W я - rl -4 '~~ r = b 0,06 0.24 0,46 2,16 3,84 4.86 6,00 ,i,>,\jiiiw\ 2C 2b ^ г = 0 —0,488 — 0,443 - 0,361 — 0,189 -0,066 -0.010 Kw. r = n 0,126 0,352 0,800 0.78O 0,467 0 ; »--b Kor r = 6 0,750 0,735 0,691 0,529 0.307 0.097 Kw, r = 0 0,1706 0.1640 0.1459 0.0905 0.0364 0,0059
Круглые пластинки 439 а) £rf 6} i м ;( ?=4 ± ьг Mi Температурные напряжения. Если температура меняется по толщине и i вдоль радиуса пластинки Г = / (г, г), где г — расстояние от срединной плоскости (—0,5ft :g z ^ 0,5Л), то в основных соотношениях (5) появляются дополнительные члены фг (г)'- пластинка с отверстием, а Ф 0: Фп = °: Фуг (Л) = г \ 1—v р = —г— J rtMT (rj) dry. Рис. 4. Расчет сложной пластинки r = b = bi, а в схемах 1 н 5 г = а = = ftlt А = 6» и а = ^/бг = ft. Так как do>' ~dT (г = Ь) = dm" , = -__(,=*«) = Кф15**3-*ф1rf "- Я ^ф17^3 + ^Ф5' где 5 = uj/62. й = /ij/hi, а цифры в индексе при KL указывают номер соо ветствующей схемы в табл. 2. Прогиб при г = 0 ш(0) = ш'(0) + ш"(а) = -О' » Pft2 + к;, + тк;5]1?§-. '*' Например, для 6 = 0,4 и h — 0,4 в схемах 1 и 5 следует положить а = =■ Р = 5 = 0,4; тогда -0,669-0,4'+ 1,351 ft .м ft = о . ^ и о »- = —0,162, Фг1(',) = (1-^)Л*г('-)-ФГ2(/-); а г фГ6(0 = j фТ4(л1)^5; а (17) пластинка без отверстия, о=0: ФГ1 = 0, фГ2(/") = (1-^) X 1 J nAlj. (|-ж) drx _ -i- Afr (0) u о Фгз(/') = (1-^ x X [МТ(г) — МТ(0)]-ут2(гу, Фг4 (*■) = - "5" x + -2TT+V^(0) ФТВМ = J fMri)dri, 0 здесь —8,4-0,4*— 8,07 ш(0) = [(0,552+ 0,162-4,4)-0,46 + +0.5Л + 0,721-0,162-3,39] X Мг(г) = т^_ Г Т (z< r) Ш = 0,184 -0,5Л ещ • (18) zdz. (19)
440 Расчет пластинок При г -»- 0 в формулах (18) г -рг J гхЛ1г (rx) drt -*■ 0,5МТ (0), по- о этому фг (0) = 0. Для температурного поля, симметричного относительно срединной плоскости пластинки, Мт^О. При линейном законе Г (г, г) = Тср (г) + ДГ (r) г/Л, где ДГ — разность температур поверхностей; .. , . £7i2a ДГ (г) Мт (г) = 12(1—v) " Пример в. Найти температурные напряжения и деформации в пластинке без отверстия для постоянной по радиусу разности температур ДГ = const при свободном и заделанном наружном контуре. Если Мт = const, то по формулам (18) фГ2 = фГз = 0; / ч гМт ФТ4 (г) = - ФГ5 (г) = — D(l+v) ' r*MT 2D (1 + v) ' Для свободного контура Мт (b) — = Мг(0)= 0, т. е.М,(г) = Мв{г) = = 0 и напряжений в пластинке нет, d2w Мт а ее кривизна^- = - 51^-^) по- стоянна. При заделанном наружном dw Ь контуре -т-(Ь) = г ... Мг(0) - dr ьм7 D /J -|- v) = °' 0ТКуда Мг (0) = М т' т.е. Мг (/•) = Ms (г) = Мг, но ш (г) = 0 (пластинка остается плоской). Максимальные температурные напряжения в пластинке будут £аДГ 0> max = <Je max = 'q я — • (20) Выражение (20) справедливо для пластинки, защемленной по любому контуру. ПРОРЫВНЫЕ МЕМБРАНЫ В технике находят применение прорывные мембраны, которые разрушаются при заданном давлении <?разр- Рис, 5. К расчету прорывной мембраны Так как такие мембраны обычно изготовляют из высокопластичных материалов, то к моменту разрушения первоначально плоская пластинка толщиной h и радиусом Ь сильно прогибается, приближаясь к участку сферы радиусом R = fe/sin ф (рис. 5), толщина ее уменьшается от h до пи а распределение напряжений по толщине становится почти постоянным (кроме узкой области, примыкающей к заделке). Для участка сферической оболочки нз условий равновесия а разр = о> = ае = • 2/i, (21) При больших пластических деформациях сжимаемостью материала можно пренебречь. Первоначальный объем пластинки V = n№h, объем мембраны в деформированном состоянии V\ — = sJi-l, где ее поверхность Si = = 2я#2 (1 — cos ф). Из условия V\ = = V следует: 2/?2U — соэф) h sin2 ф (22) 2(1 — cos ф) В момент разрушения относитель ная линейная деформация #Ф_, Ф b еразр—ег—8д — -1 = Sill ф (23) В качестве условий разрушения при больших пластических деформациях мембраны, находящейся в двухосном напряженном состоянии, примем: а) интенсивность напряжений а; должна достичь истнииого предела прочности SR;
Прямоугольные пластинки ££f 200 175 I b/iesh) !,50 125 tOO - O.h - 0,50 1 1 Ч-разр Vyf Г 75 60 45 - 30 20 40 60 д,"/о 15 Рис. в. Зависимость разрушающего давления tfpd3p и Угла * от относительного удлинения материала при разрыве б б) иитеисивность деформаций ej должна достичь относительного удлинения материала при разрыве б. Так как для двухосного напряженного состояния при v = 0,5 е/ cj ^Уа^ — а^ + а!, 2 V3 =- > el + e,e2 + ei, то при а. 'paip и е. = ернЧр имеем о* — ОрЯЛР, е*— 2вразр, (24) откуда условия разрушения °разр = ^к! 8разр = ",эб Из (21)—(24) следует: (25) Задаваясь рядом значений угла <р, находим величину ф*, соответствующую заданному значению 6, и no q>» определяем разрушающую нагрузку 9разр. Приближенно тогда Фразрб _ sin3 <p SK«aB (1 + 6), 1 •coscp (1+6). (26) Расчетная зависимость (?разр = / (б) по формуле (26) приведена на рис. 6, где также показана кривая <р(б). Разрушающее давление увеличивается с ростом пластичности материала, так как при этом к моменту разрушения кривизна мембраны становится большей. Однако начиная с 6 « 40% давление 0разр меняется слабо. ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ ПЛАСТИНКИ В прямоугольных пластинках (рис. 7) в сечениях, параллельных внешним сторонам пластинки, возникают изгибающие моменты Мх и Му, крутящие моменты Мху = —M,JX и поперечные силы Qx, Qy. Из условий равновесия элемента пластинки и соотношений упругости д*а> дх* + 2 <Э%> d*w дх- ду2 Г Д..4 П ду (27) Решение этого уравнения обычно ищут в форме двойных бесконечных рядов. Пример 1. Свободно опертая пластинка с размерами сторон а и b нагружена давлением, распределенным по закону пх ну q = <?о sin ■sin Граничные условия: w — О, Мх — О при х = 0 и х= а; ш=0, Му = О при у — 0 и у — Ъ. Легко проверить, что в этом случае уравнению (2) и всем граничным условиям удовлетворяет решение t <7о "4D(4-+-H , пх пу X sin sin —г— а о
wnnwawv utdhTVd zn
Основные зависимости 443 Рис. 7. Поперечные силы 0V. изгибающие внутренние моменты Мх, My и крутящие моменты Мху и М в прямоугольной пластинке Максимальные изгибающие моменты и максимальный прогиб в центре пластинки Мх щах = р 7"„ ч ■>-■?" <?°fl М '+(т) у max — FJ3 №*• ШаХ n«[1 + (iL)2]2 №* В общем случае формулы для максимальных напряжений и мал^ималь- ного прогиба прямоугольной пластинки &*ожно записать в виде Ко = Ка да* Eh3 (28) причем коэффициенты Ка и Kw зависят от отношения сторон пластинки bla и от коэффициента v. При действии сосредоточенной силы Р Ра2 апих = К'а Л2 Eh? (29) Значения коэффициентов К0 (А"д) и Кт (К'ш) для некоторых расчетных случаев при v — 0,3 приведены в табл. 3. Глава 24 РАСЧЕТ НА ОБОЛОЧЕК ПРОЧНОСТЬ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОСНОВНЫЕ ЗАВИСИМОСТИ Рассмотрим цилиндрическую оболочку постоянной толщины под действием осесимметричных нагрузок и нагреал (рнс. I). Этот случай имеет основное практическое значение. Уравнение радиального прогиба ободочки. Если w (х) — радиальное перемещение точек срединной поверхности (положительному значению соответствует перемещение точек на окруж- ьосто большего радиуса), то будем иметь следующее дифференциальное уравнение: _ d^w , Eh dx* a* -D(l+ v) </-f Eh a AT где D dx* Eh3 (I) цилиидриче- 12(1—v2) екая жесткость, Н-см; Е — модуль упругости материала; h—толщина оболочки, см; а — радиус срединной поверхности, см; а — распределенная
444 Расчет на прочность цилиндрических оболочек Рис. 1. Силовые факторы в сечениях ци* линдри ческ-', Л оболочки нагрузка, приложенная к срединной поверхности оболочки, Н/с«г (например, внутреннее давление); а — коэффициент линейного расширения, 1/°С; Т0 — температура срединной поверхности оболочки, °С; ДГ — разность температур наружной и внутренней поверхности оболочки, °С; v — коэффициент Пуассона. Распределение температур по толщине стенки предполагается линейным. В поперечном сечении оболочки [сечении, перпендикулярном к оси (рис. 2)] на единицу длины действуют: перерезывающая сила, Н/см, Q = -"[S + ■ . d (ac\T\-\. (2) изгибающий момент, Н-см/см, М* = (3) В продольном сечении (сечении, проходящем через ось) на единицу длины приходятся: М растягивающая сила Ne=--Eh f2L-aTt изгибающий момент D[v dx* -f (1+v) аДГ (4) (5) При отсутствии нагрева Ме = \МХ, Напряжение изгиба в поперечном сечении распределяется по толщине стенки линейно \2М, h3 («) где г — расстояние от точки до срединной поверхности оболочки. Касательное напряжение в поперечном сеченни Q / 3 6z2 \ 1 = т(т-т)' W В продольном сечении возникают нормальные напряжения растяжения и изгиба ГС . 2_ 0р~ h 12/И„ h3 (8) (9) Нормальное напряжение в продольном сечеиии Ne I2M9 (Ю) В формулах (6), (7), (9) и (10) для наружного слоя оболочки г = -^- Л, для I . внутреннего г — тт • ■С а) м8 Х- /~ Мя V °вр Рис. 2. Напряжения в сечеинях оболочки; а — в поперечном; 6 — в продольном ю
Расчет длинных оболочек 445 0о Мо (S С5 y//////tv/////tLp ■ZZZZnZZ?! 777///////7/7777777777777? tJ (jzzzzzzz^ i Рис. 3. Длинная н короткая цилиндрические оболочки Длинные и короткие оболочки. При расчете следует различать длинные и короткие цилиндрические оболочки (рис. 3) Основное отличие длинных оболочек состоит в том, что можно пренебречь влиянием нагрузок, приложенных к одному краю, на напряженное состояние возле другого края. Более детальное исследование этого вопроса показывает, что оболочку можно считать длинной, если параметр оболочки где Р/>3, v2) Принимая v : Р = УаЛ 0,3, находим 1.285 уж (И) (12) Для длинной оболочки I > 2.4 У ah- Если ввести относительную толщину ft = hi а, то получим — ,> 2,4 "|/Т. Например, при h =•- > 0,76, при h ==- ~ 100 находим — > а ■ Ua> 0,24. РАСЧЕТ ДЛИННЫХ ОБОЛОЧЕК Общее решение. Рассмотрим сначала случай, когда температурные напряжения отсутствуют (Г0 = 0, ДТ — 0). Общий интеграл однородного уравнения (1) Щ (х) = е-~&х (С, cos Р* + -f-С'а sin Рх), (13) где величина Р определяется равенством (II). Произвольные постоянные Ct и С2 находят из граничных условии. Для полного решения к величине w0 {х) следует добавить частное решение неоднородного уравнения (1). Например, при постоянном по длние внутреннем давлении q зто частное решение имеет вид щ (х) =■■ да' Eh Основные случаи расчета длинных цилиндрических оболочек: 1-й случай (рис. 4. а). 0; 0; d?w _0_. D ' №(*)=■ ю -и*, os fix; w (0) = О w' (x) = 2P3D ' w' (0) 2p2D X (cosfk-r stop*); _ __£_ 2P2D M*(x) = 4- e-P* sin Px; AfK(0)=0. P
446 Расчет на прочность цилиндрических оболочек Щ\тт /о й \/Л° к О ЩШШ Ъ\иж1 шт ШШШ д) О ж) Рис. 4. Расчетные случаи для длиииой цилиндрической оболочки 2-й случай (рис. 4, б). х = 0; dw d3w ~dx~ = '' ~dW SL- D ' tei(0) w (x) = -ww е~э*x X (cosp* + sin p*); ■; w (x) - Af ж (ж) = УИе-рх (sin P* + cos 0*); Mx(0) = M. 4-й случай (рис. 4, г). d2u> _ M ~D~' x = 0; чу = 0; dx2 w(x) M 4p3D ' ~ v"' 2P2D X e_pi sin px; tei' (0) = 0; 2P2£> e~®xsin?>x;w(0) = 0; w'(x) M Mx (x) = -£- e~P* (sin p* - cos px); 3-й случай (рис. 4, в). d2w _ M . fPoi — • x = 0 w (x) - dx* M . 2P2D e w{0) = 0; dx3 ^(cospx — sinPx); M w' (x) = M PD 2p2£> ' cos fix; 2$D X (cospx — sinp*); ■"'<°> = —^ УИЖ (x) = /We~p*cos px; Mx (0) --= M. 5-й случай (рис. 4, д). x ■= 0; tei = 0; да' = 0; да(х) =-^-ll—ep*(cosPo:-fsinPx)|; w (0) = 0; да' (*) = 2p -^- e-0* sin px; u/ (0) = 0; M* (*) = -glr e_fu (cos P* -sin И; tei' (0) : M PD ' Mx (0) = ■ 2P2 •
Расчет коротких оболочек 447 6-й случай (рис. 4, е) cPw 0; w = 0; dx% 0; w(x) = <7fla (1 Eh w (0) = 0; -0* cos px); »' W = ^ Pe-Px (cos P* + sin px): ю' (0) = p "Ё/Г' Ms (x) = ■ ч .e-e* 2p Ms (0) = 0. 7-й с л у ч а й (рис. 4, ж). d?w „ d3w х = о; -^гг = о; sm Р-г; d*2 в»(х) = ijfl'4 dx3 го' (x) = 0; 0; Eh Mx (x) = 0. РАСЧЕТ КОРОТКИХ ОБОЛОЧЕК Общее решение. Если параметр оболочки $1 < 3, то следует учитывать условия закрепления по обоим краям оболочки. Решение уравнения (1) для короткой оболочки может быть представлено В следующей форме: го (х) = го (0) ДГ. фх) + 1 d?w + ~W ~dlf (0) Ki (fk) + d3w + P» dx3 W 1 f 1' p3£) J AelPlJf- 0 )A9(Px) + - xi)\ f (xi) dxlt (14) ГДе Ко (Px), Ki (M. *2 (Px), *з (Px) - функции А. Н. Крылова, определяемые равенствами: A"o Фх) = ch P* cos P*; *i(Px) = -s- (ch Pxsin Px+shp*cosPx); A", (Px) = -y sh p* sin Px; ^> (p«)=4"(dh p*sin px— — sh Px cos px). Значения этих функций приведены в табл. 1. Функция / (х), входящая в формулу (14), представляет собой правую часть уравнения (1). Основные случаи расчета коротких цилиндрических оболочек. В приведенных ниже формулах значения функции Крылова при х = / обозначены соответственно через Кц, Кг, Кз и К3- Параметр -./3(1-у*) ,285 Yah ' Здесь v = 0,3 — коэффициент Пуассона; а — раднус оболочки; h — толщина оболочки. Цилиндрическая жесткость D = Eh3 12 (1 —v2) 1-й с л у ч а й (рнс. 5, а). Сечение х = 0 свободное, сечение х = / — жесткая заделка: -(0) = »,^; ф. = -^+4КД;; го' (0) = -г|>: Q . Dp2' К,/^ + 4К§. ^ _ Kf + 4КХК3 ' го (х) =- JL [ф1К0 (Рх) - Ц),*, (Рх) + + *i(Px)J; Мх (х) = -|- [-4Ф1/С, (Рх) + + 4^1*3 (Рх) + К, (Рх)]. 2-й с л у ч а й (рис. 5, б).
— ~~ ^-k- *- — — - opoooooooooopooooooooooooooooooooooopoooooooopopoooooopppoo COOOQoO-AN.O!»CJ)*M ooooooooooooooooooooooooooooooooooooooocoooooooooooo — — — — — — — — _— — — _,. Ф-JS lN^OOOOC»OOOOJOCeanO(D;OCOa3Lj^tDCDU)X)X)XltC<J3;OCDtOXl ЛЮЩ^ХКО^УЭЦЗУЗЩ^СЧДЩСО -D<I3<I3<CjOOOOOOOOOQOOOOO ^^00Cn^O0O»0JC0OOUlO^S*-l»*OU>O^ffl^№CD-UWS^-NDWAtnaN4aC0(0<flX110CDl0(Oy3OOOOOOOOOOOOOOO tnoscoo^o-NCr N"OD-^oo-NCXl^*^■-^эo■^^■^i--л*.-alCoa)Cл-o^O!>cxlScлtoзow■чo^oo10lNOo сюооооооооооооооо ——————©ОООООСГООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООО о о о о о о х> д<о^> оаэао»сосососоч-д-д д-ча50)спа5а)сла1СпСдсл*--*^>(:-*--^соизизс>зиз(оьэ^[чаюю — — —ooooooooooooo ^SO)*.U- аЭСОО>*.СО — U3QOO>*-tOOOO-gCnOJ — XINUIO. — CO --J О <j5 — О -JOlO- — (OSWU-DSC«*.-OS!T'*40035J1J4>J'-----0 000 ОСЛ-ОТ-СЛЮ^О^ОМСЛЮОМ^О ■4«ЭО'-1ОШ^и1010)С)^-^»д)00МОЩУЭУЭХ1ЦЭ^ЮЮХ)Х)1ООШО«ЭООООООООС001''ЧООС0ФАМ — аэ С*> *• — ^mw^SDCOCnOW-fW —N —*-СлФШ*' — 00^-tD*-OON34h-gtD— U*00>NOO!»tO!OtDtOO(DO(OOQOOOOOOOOOOOOOOO oooooooooooooooooooor-ooooooo 05№0)№UWy>Ui*'*'*-*'i«i.*'Wwi3WWUWNitOrOWMW10 — _-_._- — _,— OOOOOOOOOO OiW —tD-JCTW — (DNOiU — OCOOV^W — OMNCnJ»-C. -О Ф N О) СЛ A-WW — О X" COCO Ч О) СЛСП *. WO, <X'^aiai^tooJW^cnC"^tD^^^o*>co^^b3Co^o^^~xicoc^^ai-f'cnv^o-oooto-f'-^ — сд ;o 90 ooo©oooooooooooooooooeoooooo_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ООООООООООООООООООООООСрОООООООО O>O4Ln*.CO0-KjNDtO— — ОООООООООООООООО ^.-J — WXiaoCO'fOOWCD-JCflW'- OOOOOOOOOOO oooooooooooo ОООООООООСГ* к -\ . . — f~\ r—i i-^. f—i *—ъ f—\ Г- T^OOOCO-^OCDWCDNCflW'- OOOOOOOOOOO •11,«лВ1,л.,лл».;)ОЮЙЙМ^ __ OOOOOO OO N3 CO 00 [ч CDO> О ОООООООООООООООО OOOOOOOOOOOOOOOOGOOOQOOOOOOOOOOOOOOOOOO OOOOOOOOOO N3 Ю M t-O N3 ■ — — — — — — — — — 000000000000000<_-00000000000000000000000000<£>00000000 01A0-WOU3WN0V0i-l» jJtOtO — ОЦЭУЗОО^ЧОЮИпСЛ й.^«Ык*)ЮЮк-М-'-—'- —00000000-~0000000000000000000 S^IOOMS О^СПСПОСГ-^Ю — C-CnOS — СПООСм-^iK^-gtO NW-OC tw X>O0,O000i*-MO(0n0>01*UW^--'OOOOOOOOOOOOC OOOOO COCOCAXOOOJ-f-tOaONaCXCOCO — K/NOTN" ЩО* — -**-4>.<£)0}--JOcntOt'04-CC>*»tOt43.jJ-«J — —J U .^CJ\Cnf£>W~JOJi0--J-A.W — '— OOOOOOOOOOOO сл-iNoioNMOsa Mowocnooi — oooooooooo
Расчет коротких оболочек 449 Продолжение табл. 1 р* 1.18 1.20 1,22 1,24 1,26 1,28 1.30 1,32 1.34 1,36 1.38 1,40 1,42 1,44 1,46 1,48 1,50 1.52 1,54 1,56 ~2~ 1,58 !,60 1,62 1,64 1.66 1,68 1.70 1.72 1.74 1 76 1,78 1,80 1,82 1,84 1,86 1.88 1,90 1.92 1,94 1,96 1,98 2,00 2,02 2,04 2,06 2,08 2,10 2,12 2,14 2.16 2,18 2,20 2,22 2,24 2,26 2,28 2,30 2.32 2.34 2,36 2.38 2,40 2,42 2,44 2,46 К, <Р*) 0,6784 0,6561 0,6330 0,6082 0,5824 0,5555 0,5272 0,4977 0,4668 0,4345 0,4008 0,3456 0,3289 0,2907 0,2504 0,2095 0,1664 0,1216 0,0746 0,0268 0,0000 0,0233 — 0,0753 -0,129! -0,1819 — 0,2427 — 0,3026 — 0.3644 --0.4284 — 0,4945 — 0,5628 -0,6333 — 0,7060 — 0,7811 — 0.8584 — 0,9382 -1,0203 — 1,1049 - 1,1920 — 1,2815 — 1,3736 — ,'.4683 — 1,5656 — 1,6656 —1.7682 —1.8734 — 1.9815 -2,0923 -2,2058 — 2,3221 — 2,4413 — 2,5633 —2.S882 -2,8160 -•2.9466 — 3,0802 — 3,2167 — 3,3562 — 3,4986 — 3,6439 — 3,7922 — 3,9435 -4,0976 — 4,2548 — 4,4150 — 4,5780 Kt <Р*) 1,1039 1,1173 1,1306 1,1426 1,1545 1,1559 1,1767 1,1870 1,1966 1,2056 1.2139 1.2216 1.2286 1,2333 1.2402 1,2448 1,2485 1,2514 1,2534 1,2544 1,2546 1,2545 1.2535 1.2514 1,2483 1,2440 1,2386 1,2321 1,2240 1,2148 1,2042 1,1923 1,1788 1,1640 1,1476 1,1296 1,1100 1.0888 1.0658 1,0411 1,0145 1.S861 0.9557 0,9235 0,8891 0.8528 0,8142 0,7735 0,7305 0,6852 0,6376 0,5876 0.535! 0.4800 0,4224 0,3621 0,2992 0,2334 0,1648 0,0935 0,0196 — 0,0582 --0,1386 -0,2221 -0,3088 — 0,3987 К, (рх) 0,6812 0.7034 0,7259 0,7486 0,7716 0,7940 0,8182 0,8419 0,8657 0,8897 0,9139 0,9383 0,9628 0,9764 1,0122 1,0370 1,0619 1,0870 1,1120 1,1371 1.1506 1.1622 1,1872 1,2123 1,2373 1,2622 1,2971 1,3118 1,3363 1,3607 1,3849 1,4089 1,4326 1,4560 1,4791 1,5019 1,5243 1,5463 1,5679 1.5889 1,6095 1,6295 1,6489 1,6677 1,6859 1,7033 1 7199 1,7358 1,7509 1,7650 1,7783 1,7905 1,8018 1,8119 1,8209 1,8288 1,8354 1,8407 1,8447 1,8473 1,8484 1,8480 1,8461 1,8425 1.8372 l,830i К, (В*) 0.2713 0,2851 0,2996 0,3142 0.3294 0,3450 0,3612. 0,3778 0,3940 0, Я24 0,4304 0,4489 0,4680 0,4882 0,5075 0,5230 0.5489 0,5704 0,5924 0.6149 0,6273 0,6379 0,6614 0.6854 0,7099 0,7349 0,7604 0,7862 0,8129 0,8398 0,8673 0,8952 0,9236 0 9525 0,9819 1 0117 1,0419 1,0727 1,1038 1,1354 1,1673 1,1997 1,2325 1,2657 1,2992 1,3331 1,3674 1,4019 1,4368 1,4719 1,5074 1.5431 1.5790 1.6151 1,6515 1,6880 1,7246 1,7614 1,7983 1,8352 1,8721 1.9091 1,9460 1,9829 2,0198 2,0564 '5 Заказ 402
450 Расчет на прочность цилиндрических оболочек Продолжение табл. 1 В* 2,48 2,50 2,52 2,54 2,56 2,58 2.60 2,62 2,64 2,66 2,68 2,70 2,72 2,74 2,76 2,78 2.80 2,82 2,84 2,86 2,88 2,90 2,92 2,94 2,96 2,98 3,00 3,02 3,04 3,06 3,08 3,10 3,12 3,14 л 3.16 3.18 3,20 3,22 3,24 3.26 3,28 3,30 3,32 3,34 3,36 3,38 3.40 3,42 3,44 3,46 3,48 3,50 3,52 3,54 3,56 3,58 3,60 /Со (В*) — 4,7439 — 4,9128 — 5,0846 — 5,2593 -5,4368 — 5.6172 — 5,8003 — 5,9862 — 6,1748 -6,3661 — 6,6580 — 6,7565 — 6,9556 — 7,1571 — 7,3611 — 7,5673 — 7,7759 -7.9866 — 8,1945 — 8.4144 — 8,6312 — 8,8471 — 9,0708 — 9,2923 — 9,5158 — 9,7404 — 9,9669 — 10,1943 — 10.4225 — 10.6516 -10,8815 — 11,1119 — 11,3427 — 11,5919 -11.5919 — 11,8045 — 12.0353 -12,2656 — 12,4956 — 12,7373 — 12,9527 — 13,1795 — 13,4048 -13,6286 — 13,8501 — 14,0695 — 14.2866 — 14.5008 — 14.7118 — 14,9197 -15,1238 — 15.3238 — 15,5198 — 15,7108 — 15,8971 -16,0780 -16,2531 — 16,<218 К, (3*) — 0.4920 — 0.5885 -0,6885 -0,7919 — 0,8989 — 1,0094 -1.1236 -1,2415 -1,3630 -1,4881 -1,6477 -1.7509 — 1,8880 — 2,0291 — 2,1743 — 2,3236 -2,4770 -2,6346 — 2,7965 — 2,9626 — 3.1331 — 3,3079 -3,4871 — 3,6707 -3,8588 — 4,0513 — 4,2484 — 4.4500 — 4.6557 — 4.8669 — 5,0823 — 5,3022 -5,5268 -5,7559 -5,7743 -5.9897 — 6,2281 -6,4710 — 6,7187 — 6,9709 — 7,2277 — 7,4890 — 7,7549 -8,0252 — 8,8000 -8,5792 — 8,8627 — 9,1506 — 9,4427 — 9.7391 — 10,0395 — 10,3440 — 10.6524 — 10.9647 - 1 1,2808 — 11,6007 — 11,9240 — 12,2507 Ki(B*> 1,8212 1.8104 1,7976 1,7829 1,7660 1.7469 1,7255 1,7019 1,6759 1,6473 1,6163 1,5826 1,5462 1,5071 1,4650 1,4201 1,3721 1,3210 1,2667 1,2091 1,1481 1,0837 1.0158 1,9442 0,8689 0,7898 0,7068 0,6198 0,5288 0,4336 0,3341 0.2303 0,1220 0,0091 0,0000 — 0.1083 — 0.2304 — 0,3574 — 0,4893 — 0,6262 — 0,7681 — 0,9153 — 1,0678 — 1,2255 — 1,3888 — 1,5576 — 1,7320 -1,9121 — 2,0980 — 2,2899 -2.4876 — 2.6916 — 2.9014 — 3,1176 — 3,3400 — 3,5689 — 3,8041 — 4.0458 К. (В*> 2,0929 2,1292 2,1653 2,2012 2,2366 2.7718 2.3065 2,3408 2,3746 2,4078 2,4404 2,4724 2,5037 2,5343 2,5640 2,5928 2.6208 2,6477 2,6736 2,6984 2,7219 2,7443 2,7653 2,7849 2,8030 2,8196 2.8346 2,8479 2,8593 2,8690 2,8766 2,8823 2,8858 2,8872 2,8872 2,8862 2,8828 2,8769 2,8685 2,8573 2,8434 2,8266 2,8067 2,7838 2,7577 2,7282 2,6953 2,6589 2.6188 2.5750 2,5272 2.4754 2,4195 2,3593 2,2948 2,2281 2,1519 2.0735
Расчет коротких оболочек 451 i Д Y/U/i аии. ш Ю- W ч « Ж щъ '""'■ MX /iT/VV 777777
452 Расчет на прочность цилиндрических оболочек Сечение х = 0 свободное; сечеиие х—1 — шарнирная опора: _0_. 1 Dp3' Kl + 4/Cg ю (0) = ^2 = w(x) 4 (/(1Л'а — КоКз)' W (0) = -^ JL ; K0K, + 4K,Ka . ■ /С0/(з)' г [фЛ (M - 4 (K,/C, DP3 4>iKi(P*) + Ki(P*)]; A'* (*) = -у [-4ф,ДС. (P*) + + 4iMC,(p*)+Ki(P*)]- 3-й случай (рис. 5, в). Сечение х — 0 свободное; сечение х = I — скользящая заделка: Kg + 4K3 Фз 4(/dK0 + 4K2A:3) ' DP3 Ki/Сг — К0К3 «'(0) = -*»пН5. * KiKo + 4/C./t, Dp3 -iMC,(P*) + Ki(P*)]; Q ю W = Шз (Фз^о (М Мх(х) ■ с—ф»л". (Р*) + + 4f3/C3(p^) + /(1(Px)]. 4-й с л у ч а й (рис. 5, г). Сечение х = О свободное; сечение х = I свободное: w (0) = q;,. DP3' Ф4 = 4 (К?-*!*,) ' *«- 4(Ki-K1K3) ' ■>(*) = Щ5 [<РЛ> (Р*) - -4>.Ki(P*) + *i(P*)J: А1«(х)=-|-[-4ф4^|(Р«) + + 44>iK,(p*) + Ki(p*)]. 5-й с л у ч а й (рис. 5, 3). Сечение х = 0 — скользящая заделка; сечение ж = / — жесткая заделка: ф6 = Мх(0) W (0) = фб Ki- _0_. Dp3' К\К3 D *. = ■ ю(х) = K„Ki + 4/С./С. ' Q . 5 DP ' KoKi + Wl . = oi" (0) = tf 0K, + 4ЯаК3 ' -Щ1 [ф6Яо (И - *.^i (Р*) + к* (Р*)]; Л*х (*) = "jp [-4ФбКа (р*) - -iMCo(P*) + *i(P*)]- 6-й случай (рис. 5, е). Сечение х = 0 — скользящая заделка; сечение х = I — шарнирная опора: Q . Dp3' KiKi — К0/С3, w (0) = ( Mg(0) D *6 + 4/(i ' : W" (0) = -,£„ ^ + 4/(I DP ' -iD,MN + *i(P*)]; M» (*) = j- [-4Фв/С2 (р*) - -iMC,(P*) + *i(P*)]-
Расчет коротких оболочек 453 7-й случай (рнс. 5, ж). Сеченне х — 0 — скользящая заделка; сечение х = I — скользящая заделка: Q . w (0) -= ф, DP3' Мх (0) . /n> Q $7 = Kl + Щ ' -4>tKi(P*) + *«(P*)]; Мх (х) = -|- [-4q>7K, (И - ~1>7*o(P*) + *l(P*)]- 8-й случай (рис. 5, в). Сеченне х = 0 — скользящая заделка; сеченне х = / свободное: w (0) = ^ W3' Л1 + 4/С,/Сз . ф8 4 (AVd + 4АГ2/<3) ' K2i-K0K, . KoA'x + 4/С2/(3' ^8 = »(Ж) = Af»(*) ?Л(Р*) + /С3(р*)]; Q Р [-4ф8#2 (Рх) -ф8Л'о(Рл-) + а:1(Рж)]. 9-й случай (рнс. 5, и). Сечение х — 0 свободное; сечение х = I — жесткая заделка: w (0) = i М "DfP' -It ■ KnKi *8 + 4/t,JV м »'(0) = -*,ж; Ф« = tt> (*) ; К0Кг + 4А'2/<3 . *8 + 4/С,К, ' м -Щ2 [ф9^0 (Р*) — -4>,/ti(P*) + /ti(Pjr)]; Мх (х) = М [—4ф9/<2 (Рж) + + 44>,/f,(Px)+/f0(P*)J. 10-й случай (рнс. 5, к). Сеченне х = 0 свободное; сечеиие х = I — шарнирная опора: О1(0) ф10: KoKi М фЮ £)Я2 > 4а:2а:3 и)' (0) = 4 (/Сх/Са - /с*,) ' УИ ^io- Kl + 4Л1 , 4 (АГДг - К (Да)' УИ ш ^= ~ш 'ф1о/с° (^ ~~ -1>icKi(P*) + ^(Р*)]; Л/я (ж) = М [-4ср,0/е, (И + + 4ц>иМР*) + /С,(Р*)1- 11-й случай (рис. 5, л). Сеченне х — 0 свободное; сечение = / — скользящая заделка: М фи ю (0) = фи KiK2 - DB2' - КоКз К0К, f 4Л'2/(3 /И «в (0) = —яри Dp ' fu /С! 4 4/Cj w W = "DB5 1фп/С(> № ~~ --1>nKi(P*) + MP*)J: Af» (*) = УИ [—4<рц/С2 (Р*) + + 4Ц>„Кв (P*) + /Co (Px)l- 12-й случай (рнс. 5, м).
454 Расчет на прочность цилиндрических оболочек Сечение х — 0 свободное; сечение х = / свободное. w (0) = ф12 М ф12 W' (0) = —\|),2 И>12 DP2' /Ср/С- + 4/Cg . 4(^-К,Я3) ' УИ DP ' KvKt + iK2K3 . w (x) м Dp! [ф12^0 (P*) -Wfi(P*)4MP*)]: Mx (x) = УИ [-4Ф12/С2 (Р*) + + 44>1S/Ca (Элг) + /Co (Pjc)1- 13-й случай (рнс. 5, н). Сечение х = 0 — шарнирная опора; сечение х — I — жесткая заделка: w' (0) =-- —ф13 ф13 QJ0) D М W' К1К4 — ЛсЛз' уир . = ю" (0) = —1))13 D ^13 = /Cf — /С0/С2 . м -Wf«(P*) 4 *•№*)]; Мх (х) ■= УИ [4ф,3/С3 (Р*) - -1>iiKi(P*)4*o(P*)b 14-й случай (рис 5, о). Сечение л: = 0 — шарнирная опора; сечение х — I — шарнирная опора ■•<о>—Фи-^; фн = KiK.2 — /Ср/Сз. Q (Q) _ D И>14 : В." (0) = -Ц)и У„*1 + 4К«/С, A'i 4 4Kj л/р . D w (х) М Dp , [-Ф14*! (Р*) - ^и^з (Р*) 4 *• (Р*)1; Мх (я) = М [4фи/С3 (Р*) — -4Wti(P*) + Ke(P*)l- 15-й случай (рис. 5, л). Сечение л: = 0 — шарнирная опора; сечение х — I — скользящая заделка: М DP ' K„Ki + 4/С2/С3 . ф15 Q(0) Кб 4 4*1 D = В1Я (0) : -^11 мр D ^15 = ю (л:) 4 (/Ci/C2 - КрКз) . W 4 4*j ' [-Фи/С! (Р*) УИ DP! -Ч>«МР*) + МР*)]; Мх (я) = УИ [4ф16/С3 (Р*) - — -фж.А-1 (Р*) + /Св (Р«)1- 16-й случай (рис. 5, р). Сечение х = 0 — шарнирная опора; сечение х = I свободное. w' (0) = —фю М Ц + 4КК, . ф1*~4(К1К|-КоК.)* Q (0) „ ,„, Л/р *-*--' = да" (0) = -ф1в -£- D 4>ie — /С0/С2 4 4/Ci w (л:) KiKz — К0Кз' УИ DP! [—Ф1в*1 (Р*) — -1>].Я.(Р*)4МР*)]: Мх (х) = М [4<р1в/С3 ({U) - - Ч>ММР*)4МР*)1- 17-й случай (рис. 5, с). Сечение х = 0 свободное; сечение х = / — жесткая заделка: w (0) = ф1? —gTT '
Расчет коротких оболочек 455 Фп = 1 Кв К1 + 4К.К, ' -•(0) = -*„^f; 4К3 Kl + 4/f,/f, ' -4>i7*i(P*)-*o(P*)]; M«(«)=-p-[-q>i7^i(P*) + + ^i7^3(N+^a(NI- 18-й случай (рис. 5, m). Сечение х = 0 свободное, сечение jc == / — шарнирная опора. И> (0) = ф18 Ф18 = 1 + Eh * ю- (0) = —ф„ /CiAa — /Со/Са £Л ' ф1в = ка /Ci/Ca — /Co/Cj' аа' - ч>и*1 (Р*) - ^о (Р*)1; + 4>u*i(P*)H-MP*)b 19-й случай (рис. 5, (/). Сечение д: = 0 — скользящая заделка, х = I — жесткая заделка: од2 w (0) = ф„ -^; ф)9 = Мх(0) 4/«Гг/С3 —/Ci(l —/Co) . KoKt + ЬКгКз D = и." (0) = -ф1; £Л ^19 = 4/Сз /С/С, + 4/Са/Сз ' »(«) = -^-[»-ф1»^в(Р«)- -4>i»*i(P*)-*e(P*)]; --{- Ч>»*о(Р*) + МР*)Ь 20-й случай (рис. 5, ф). Сечение х = 0 — скользящая заделка, сечение х—1 — шарнирная опора: qa? v> (0) = фао -g£- i фао Мх(0) Ко Ко - 4К1 D = W" (0) : Ьо = qa2Pa Eh 4/:а кь + т' qa* w(x) = -^jrl\ + фа„К„(Р*)- - 4»*i (P*J- /С„ (РжЛ. Мх (*) = -р [—фао^а (Р*) — j- граете (Р*) + ^• (Р*>] • 21-й случай (рис. 5, х) Сечение х — 0 — шарнирная опора; сечение х = I — жесткая заделка W (0) = ф31 £7i * фаг = Q(0)_ D 4к;-к2(\-к0) . К\Кг — КпКз и" (0) = -ф„ qa*$s Ьг Eh ' 4/c1/c,-/c.(i-/c.) , K1K2 — КпКз -WC3(P*)-tfo(P*)]; М* (*) = -р- [-ФиК. (Р*) -
456 Расчет на прочность цилиндрических оболочек 22-й случай (рис. 5, ч). Сечение х = 0 — шарнирная опора; сечение х= I — шарнирная опора: qa?$ . w' (0) = ■ Eh фаа = <?(0) D фаа = 4/Сз/Сз — Кг(\ ~~ К0) . к\ + щ 4 [KiK.-К, (!-*„)]. К? + 4ДС1 ^а - ^аг/Сз (Р*) - Ко (Ml; Af, *х W = -pr [-Фга^з (М - *»Xi (Р*) + *• (Р*)] • 23-й случай (рис. 5, ш). Сечение jc = 0 — жесткая заделка; сечение х = I — жесткая заделка: qa2$\ *1} ' = W" (0) : фаз = Q(0) /С2(1 ■*о) . /CI - /С,/С, qa2$s ^2Э 4/Ci^» —/Ci(l-/CB) . Л1 - К,К3 да' ",W=£Fl1+q)i^i(P*)- -*»*i(P*)-Ke(P*)]; --J-WCi(P*) + K.(P*)]. 24-й случай (рис. 5, «{). Сечение х = 0 свободное либо скользящая заделка; сечение х = / свободное либо скользящая заделка: ааг wa = Х_ ; Ш' (0) = 0; «в (ж) Мя (х) = 0. Графики значений функций ф,- и tyt для различных расчетных случаев, соответствующих рис. 5, а—щ, показаны на рис. 6—11. Приближенный метод расчета очень коротких цилиндрических оболочек. Если длина оболочки мала по сравнению с радиусом, или, точнее, параметр р*/ •< 0,4, то могут быть использованы приближенные решения. Они получаются из точных решений, если <?i 15 9>г \ \ Ч"> \ 4>i \ / /^Ч>, -^Vs fs 0,5 О 1 2 J /31 Рис. в. Значения функции ф для 1 — 8-го случаев п 1,5 10 0,5 О 1 2 3/31 Рис. 7. Значения функции <|> для 1 —8-го случаев \\ \ k \fi\Vk (TV/
Расут коротких оболочек 457 4>i 1,5 1,0 0,5 о 1 г з /л Рис. 8. Значения функции Ф для 9—16-го случаев Vt V РлЦ\ /—*^ k- '"\ <Pt3 Л Vn \ 1p" J/l J J ч V>2 Vs IS 1,0 0,5 0 1 2 3/31 Рис. 9. Значения функции iji для 9 —16-ro случаев при разложении функций Крылова оставить лишь первые члены. Для двух крайних случаев можно указать простое истолкование результатов. Если одно из сечений очень короткой оболочки заделано, то основными напряжениями будут напряжения ах, создаваемые изгибающими моментами Мх. Эти моменты (и напряжения) могут быть определены, если представить себе, что оболочка разрезана Рис. 10. Значения функции ф для 17- 23-го случаев W ¥ гм to V,, \ V-&I/ Г/ *21 / 4>п tzz У Vzi ^ "--. 1,0 2,0 3,0/31 Рис. 11. Значения функции <J> для 17- 23-го случаев вдоль образующих на стержни единичной ширины. Так, например, для оболочки, показанной на рис. 12, будем иметь М (I) = QI, где Q — усилие на единицу длины окружности оболочки.
458 Расчет на прочность цилиндрических оболочек ТГ КУЛУ? S^v^ I к\\\Ч\\ЧЧхЧЧЧ^ % ^v-LASV^ т-уУУ^уУ^ 1 \7, I Рис. 12. Очень короткая цилиндрическая оболочка с заделанным сечением 'JL; ■~-f,-d I. ■•■,.,У — J Of Рис. 13. Очень короткая цилиндрическая оболочка, свободная от закрепления Наибольшие напряжения изгиба ' ft2 " Л2 * »х (О ' Для рассматриваемых случаев окружные напряжения значительно меньше напряжений в поперечном сечении. Другой крайний случай получается для оболочки, свободной от закрепления (рис. 13). Теперь основными напряжениями будут окружные напряжения 0е, а напряжениями ах можно пренебречь. В этом случае можно считать, что образующие оболочки остаются прямолинейными и очень короткую цилиндрическую оболочку можно считать кольцом (см. гл: 19). ТЕМПЕРАТУРНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ В ОБОЛОЧКЕ Оболочка, свободная от закрепления. Рассмотрим сначала оболочку, свободную от закреплений (рис. 14). Пусть оболочка нагрета до температуры /0 (х), причем по толщине оболочки температура постоянна. Допустим, что величина t0 (x) может быть выражена полиномом первой степени 'о (*) = Ьв ■+- bt (x), где 60, Ьх — произвольные коэффициенты. Тогда решение уравнения (1) будет w = аа (Ьв-+ Ьхх). Из равенств (2) и (4) устанавливаем. что перемещение w вызывает усилия Nq и других силовых факторов. В свободной оболочке нагрев с температурой, распределенной по линейному закону, не вызывает температурных напряжений. Оболочка с закрепленными краями. Если края оболочки закреплены, то любой нагрев вызывает температурные напряжения. Пусть, например, оболочка с шар- нирно опертыми краями (рис. 15) нагрета до температуры t0, постоянной но длине оболочки. Радиальное перемещение свободной от закрепления оболочки wt = aat0. Предположим, что оболочка принадлежит к классу длинных. Задачу решаем в следующем порядке. 'у;//;/;;////;///;////, •////;//////////////;;) 1 - > X Рис. 14. Оболочка, свободная от закрепления, при действии Haipeea
Устойчивость пластинок, колец и оболочек 459 л<> ■ At I ////////////////ууЩ ! ^ \Ч У Рнс. 15. Температурные напряжения в оболочке Для определения температурных напряжений прикладываем внешнее усилие Q к краю х = 0 с таким расчетом, чтобы упругое смещение оболочки w (0) = —aat0. Пользуясь решением для случая, показанного на рис. 4, а, находим усилие Q = —2$3Dataa и напряжения, вызываемые этой силой. Для края х = / получаем значение температурной реакции, используя решение по рис. 4, б. Температурные напряжения возникают только вблизи краев оболочки. Рассмотрим случай, когда существует градиент температур по толщине г ■-у.: ■•■■:•■" •••■■"-■—7У~; а у//////;//;////;;//, а V Рис, 18. Температурные напряжения при изменении температуры по толщине оболочки оболочки (рис. 16). Величина Д по длине оболочки не изменяется, края оболочки заделаны. В оболочке возникают температурные напряжения, одинаковые по ее длине. Для точек наружной поверхности ЕаМ 0х = ffe = _ 2(|^_v) . Для точек внутренней поверхности ЕаМ g* = ge=2(1_v)- Более подробно вопрос о температурных напряжениях при осесимметрич- ном нагреве цилиндрических оболочек рассмотрен в работе [2]. Глава 25 УСТОЙЧИВОСТЬ ПЛАСТИНОК, КОЛЕЦ И ОБОЛОЧЕК Потеря несущей способности тонкостенных конструкций может происходить в результате внезапного роста прогибов и деформаций, когда внешние нагрузки достигают критических значений. Такое явление называют потерей устойчивости, оно связано с возникновением новых форм равновесия конструкции при значительных отклонениях от первоначального положения. Потеря устойчивости может возникнуть, когда в пластинках и оболочках образуются зоны действия сжимающих напряжений. При наличии в рабочих условиях напряжений сжатия даже в каком-либо одном направлении пластинки и оболочки должны подвергаться расчету на устойчивость. Обычный расчет состоит в определении запаса устойчивости КР (О где Ркр — значение силового фактора (усилия, давления, момента), при котором возникает потеря устойчивости конструкции, Ртах — максимальное расчетное значение силового фактора в рабочих условиях.
460 Устойчивость пластинок, колец и оболочек В зависимости от назначения конструкции, ее ответственности, последствий потери устойчивости и других факторов принимают 1,5-5, (2) причем большие значения используют при наличии первоначальных отклонений от правильной геометрической формы и т. п. Расчет на устойчивость сводится к определению критических нагрузок или напряжений, приводящих к потере устойчивости. Предполагают, что при расчетных критических напряжениях материал в упругом состоянии, т. е. интенсивность напряжений ai кр = У г а2 4- 02 х кр > у к ■ о а х кр у кр у кр Зт ^ат, *»кр (3) 0Т— предел текучести материала. Если это условие не соблюдается, то в расчетных зависимостях следует заменить модуль упругости Е иа касательный модуль упругости £„-■£. («) который значительно меньше Е [ЕИ = = (0,01 -г-0,1) Е). В приближенных расчетах можно принять, что пластическая неустойчивость наступает при работе материала конструкции в пластической области, т. е. при условии о^кр^Ст. (5) УСТОЙЧИВОСТЬ ПЛАСТИНОК Прямоугольные пластинки. Пластинка, сжатая в о д и о м направлении (ох ф 0; ау — 0; хху— 0)- Критическое напряжение (рис. 1) ах кр = °кр = К -Щ > (Ь) где D = ■ Eh3 цилиндриче- 12(1 —Vs) екая жесткость; £ и v — модуль упругости и коэффициент Пуассона; Рис. 1. К расчету устойчивости пластинки h — толщина пластинки. Значения К при различных условиях закрепления пластинки даны на рис. 2. Прогиб шарнирно опертой по всем сторонам пластинки при потере устойчивости (7) „ . тпх . пли w = С sin sin —т-^. а Ь Минимальные значения критического напряжения (они указаны на рис. 2) получаются при л = 1 (одна полуволна в поперечном направлении) из условия лЮ / Ь . а \2 минимум соответствует ближайшим целым числам mj и т2, заключающим _ а ^тт г~ > (3) /7Zi < <т2. Расчет проводят по формуле (8) для т = т1 и т — т2 и выбирают меньшее значение К- При шарнирном опирании по всем сторонам ^min = * а и соответствует целым значениям —г- (1, 2, 3, 4, ...). Пластинка, сжатая в двух направлениях, при шарнирном опирании всех четырех сторон. При заданном отношении сжимающих напряжений ау кр
Устойчивость пластинок 46! 4,00 Рис. 2. Коэффициенты К при различных условиях закрепления пластинки, сжатой в одном направлении величина ах кр определяется по формуле (6), значения К находят по рис. 3. Решение принимают в форме (7), причем минимальное критическое напряжение находтг из условия 3 1 а/ь Рис. 3. Коэффициент К для шарнирио опертой пластинки, сжатой в двух направлениях Если одно из напряжений (ах или ov) является растягивающим, го в формулах (8) ч (9) величина у < 0. Растягивающее напряжение (до определенного значения) повышает устойчивость пластинки. При наличии значительного растягивающего напряжения в одном из направлений пластинка практически теряет устойчивость, если интенсивность напряжений [условие (3) ] пЮ Jx кр Ii!M ™ -/■ ai кр Ч(тУ + уп ']' 7{/ кр — Уах кр- (10) (11) <£ кр + °v кр х кр у кр т В равенстве (10) т, п — целые числа (1, 2, 3, ...). Для квадратной пластинки m = п = 1. Растягивающие напряжения при расчете на устойчивость считают отрицательными. Пластинка под действием касательных напряжений, шарнирно опертая по четырем сторонам (рис. 4;. Критиче-
462 Устойчивость пластинок, колец и оболочек V 1 1 ''VI 1 и Lxtj а \ 1 1 \ X Рис. 4. Пластинка под действием касательных напряжений ское касательное напряжение находят по приближенной формуле lxy К|) О2/! ' где б2 /^«5,35 + 4-^- (fr<a). (13) Для пластинки с жестко заделанными сторонами /С,» 8,98 + 5,6 Ь2 (*<о) (И) Ограничение критического напряжения по возникновению пластической неустойчивости %ху кр *S ~г\7=~ °т" ' ' Пластинка при совместном действии нормальных и касательных напряжений. Края пластинки шарнирно оперты, вдоль оси х действует нормальное напряжение стх, по всем краям касательное напряжение Тху. Условие устойчивости: Jx кр / хху кр\ х кр "хукт? 16) где °*кр- х%к-р —критические напряжения при раздельном действии нагрузок !формулы (6) и (12)]. Растягивающее напряжение (ах Кр< < 0) повышает устойчивость пластинки при сдвиге. Ограничение по возникновению пласт нческой неустойчивости V' °'хкР + К . <°Ч (17) Круглые пластинки. Сплошная пластинка постоянной толщины. Под действием контурной нагрузки (рис. 5, а) пластинка теряет устойчивость при D К^йГ> (I8) b2h где D ■= ■ Eh3 цилиидриче- 12 (1 —V2) екая жесткость; Ь и h — радиус и толщина пластинки. Для пластинки без центрального отверстия, шарнирно опертой по внешнему контуру (рис. 5, б), К = 4,20. Рис. 5. Круглая пластинка под действием контурной нагрузки
Устойчивость цилиндрических оболочек 463 Рис. е. Круглая кольцевая пластинка под действием контурной нагрузки - Л *v_ ^ 1 '' 2п ,-^v 1 ч 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 а/Ь Рис, 7. Коэффициент К для кольцевой пластинки (т -- число узловых диаметров): / — скользящая заделка по обоим краям; 2 —- шарнирное опираиие по обоим краям; 3 — скользящая заделка по наружному краю; 4 — шарнирное опиранне по наружному краю; в случаях 3 и 4 — по внутреннему краю прогиб без углов поворота При скользящей заделке внешнего края коэффициент К возрастает (рис. 5, в): К = 14.68. Кольцевая пластинка при одинаковом сжимающем напряжении на внешнем и внутреннем контурах (рис. 6). Расчет ведут по формуле (18), значения К. принимают по рис. 7. УСТОЙЧИВОСТЬ КОЛЕЦ Критическое распределенное усилие (рис. 8) определяют по формуле Рис. 8* Устойчивость колец где Ух — момент инерции кольца (при изгибе в плоскости кольца); R — радиус оси центров тяжести сечений. Распределенное усилие ?кр предполагают направленным по нормали к поверхности (силы давления среды). Если усилия действуют всегда ра- диальио (кольцо, загруженное радиальными нитями или мембраной), <7ир — -у 9 EJi, 2 Д3 (20) При возможности неплоской (пространственной) деформации кольца в равенстве (19) под /j следует понимать минимальный момент инерции сечения кольца. Для радиальио направленных внешних усилий при неплоской форме деформации 12£72 <7ир (<+-&) (21) Я» где £72 — жесткость при изгибе в перпендикулярной плоскости; GJK — жесткость на кручение. Приведенные зависимости не учитывают поддерживающее влияние присоединенных элементов конструкций (оболочек) и потому дают заниженное значение критического распределенного усилия. УСТОЙЧИВОСТЬ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК Устойчивость при внешнем давлении. При потере устойчивости (рис. 9) возникает одна полуволна прогиба
464 Устойчивость пластинок, колец и оболочек Рис. 9. Оболочка, потерявшая устойчивость при внешнем давлении вдоль образующей и несколько волн по окружности. Критическое внешнее давление шар- нирно опертой по краям оболочки (рис. 10) определяют по приближенной формуле П Ф Папковича <7кр = • 2я 1 £Л2 -Vй)3 X зуб VTT Х]/А^ 0.92^1-]/А, (22) где Е — модуль упругости, h, I, r — толщина, дпина, радиус оболочки. Расчет по формуле (22) проводят для оболочек средней длины V¥ г ^ v h (23) Здесь и в дальнейшем следует строго соблюдать условия применимости при- га 'УА'-УЛ>Л'У,У// m Рис. 10. Устойчивость оболочки при внешнем давлении ближенных формул. Вне указанных пределов они могут давать неверные результаты Следует также учитывать ограничения по пластической неустойчивости faPr )кр' ■ <о. Для длинных оболочек Vi) (f >з х <7кр: Eh3 4(1 — va)rs ■ = 0,27£-^-, (24) что совпадает с окр для кольца единичной ширины [см равенство (19)]. Для коротких оболочек / — < 3 X !РЬЗ риз = 3,61 -^г , (25) <7кр я3£/г3 3(1 —Vе) г/2' что соответствует критическому усилию сжатия (в окружном направлении) для шарнирно опертой прямоугольной пластинки [см равенство (6)] We кр = °е крЛ = ?крг- (26) Формула (25) дает заниженное значение (?Кр, так как сжимающее напряжение в окружном направлении вследствие лоддерживающего влияния опор ICeK^Kp-Tj- Для приближенного расчета определяют среднее значение окружного напряжения (по длине оболочки) д$ и вводят поправочный коэффициент в формулу (25) г oQih где Oei — среднее окружное напряже ние при давлении q = I. Влияние краевых условий на критическое давление В каждой точке срединной поверхности оболочки появляются три составляющие упругого смещения- и — вдоль образующей, о — вдоль касательной к окружности поперечного
Устойчивость цилиндрических оболочек 465 сечения; w — по нормали к поверхности. В поперечном сечении действует усилие Nх и изгибающий момент Мх (на единицу длины) (см. гл. 24). Формула (22) установлена при следующих краевых условиях: при х = 0 и х = / и»=0; Л1х=0; Nx = 0; v = 0. При выводе не учитывалось влияние моментного напряженного состояния возле опорных сечений; принималось, что окружные напряжения по всей длине оболочки а9 = -«?-£-. Точные значения <7ир. т ПРИ различных краевых условиях с учетом моментного напряженного состояния /(рис. 11, а) и без учета его (рис. 11,6) выли получены с помощью численного решения [4]. Результаты на рис. 11 даны в виде поправки к формуле (22) в зависимости от безразмерной длины оболочки. Существенное влияние оказывает только устранение деформаций вдоль оси оболочки (и — 0), повышающее критическое давление в 1,5 раза. При отсутствии закрепления одного из краев оболочки критическое давление при *— > 3 1/ -г- можно определить по ра- даенств> (24), для коротких оболочек / <3 /? - использовать решение г для критического усилия при свободном-продольном крае пластинки. Поправочные коэффициенты на начальные неправильности. Для сварных оболочек расчетные значения qKp рекомендуется уменьшать на 15%, для точеных оболочек расчетные и экспериментальные данные практически совпадают. Устойчивость при действии осевых сил. Формы потери устойчивости показаны на рис. 12. Для короткой оболочки <1,2 /? (4 < критическое напряжение сжатия jkj> г вр 2nrh (27) определяется равенством Я2£Л2 -'ир 12(1 — v2)f2 0,9Е~, (28) что соответствует шариирно закрепленной полоске единичной ширины с площадью сечения h X 1 и длиной /. Короткая оболочка работает на устойчивость при действии осевых сил как пластинка с высотой I и основанием 2лг. ?=■ ■■кр.т V s&slX .4 t 5 1 7 £=== JLJ '.? { ^ ж—' \~~ ^ 5 i 5 6 8 7 / 1 (._ . 20 40 SO SO WO L_ 6) Vrh 0,81 I I I I I 111 I 0,81 2 4 6 8 10 20 vi7 60 80 КО J_ 2 i 6 8 10 a) ■fh Рис 11, Поправка к формуле (22) при различных краевых условиях: 1 - w = 0, ю' — 0, и — 0, v = 0; 2 — w — 0, ю' = 0, W — 0, v — 0; 3 — w = 0! ю' => 0, и = 0, S = 0, 4 — w = 0, а>' = 0, N = 0, S = 0; 5 — да = 0, Мх = 0, ы = = 0, о = 0; в — w = 0, М =0, N — 0, о = 0; 7 — да = 0, М% = 0, и = 0, S = 0; 8 — tti = 0, А! = 0, N = О, S = 0 (S — сдвигающее усилие на единицу длины обо ■ лочки)
466 Устойчивость пластинок, колец и оболочек а) Рис. 12. Четыре формы потери устойчивости цилиндрической оболочки при действии осевой сжимающей силы: а — короткая оболочка; б, в — оболочка средней длины; г — длинная оболочка Для оболочки средней длины (1,2/А<1<з1/^)критн- ческое напряжение осевого сжатия Eh -"up гУЗ(1—v)! = 0,605£ ■ (29) Критическое осевое усилие, действующее на оболочку, гЛСП = 3,8£Л*. (30) °кр — УЗ (1—v)2 Одним и тем же значениям минимального критического усилия [равенства (29) и (30) ] могут соответствовать две различные формы потери устойчивости (симметричная — рис. 12, б и несимметричная — рис. 12, в). Для длинной оболочки критическое усилие выражает потерю устойчивости оболочки как стержня (рис. 12, г): n*Et*h „. Er3h кр- ■>нр V ЧшЪ. :31 i* я* г* 2 £ Р = 4,93£ -р-. (31) (32) Влияние условий закрепления оболочки при действии осевых сжимающих снл сказывается существенным образом на акр коротких оболочек. Например, если оба торца короткой оболочки заделаны в жесткие кольца (фланцы), то критическое напряжение °"кр = 3,6£ -JJ- (33) При других условиях закрепления короткой оболочки используют соответствующее решение для стержней- полосок. Поправочные коэффициенты иа начальные неправильности. Как показали экспериментальные исследования, влияние отклонений от строгой цилиндрической формы при осевом сжатии весьма значительно. Практический расчет устойчивости проводят по формуле h акр = ас-0,605£ ■ где значения поправочного циента ас следующие: . r/h ... 250 500 750 1000 а„ ... 0.3 0.23 0.2 0.165 коэффи- 1500 0,15 Если начальные отклонения могут быть порядка толщины стеики, то указанные значения ас уменьшаются в 2 раза. Следует учитывать ограничения по пластической неустойчивости -"up < ат Устойчивость прн кручении. По концам оболочки действует крутящий
Устойчивость цилиндрических оболочек 467 Рис. 13. Устойчивость оболочки при кручении момент (рис. 13), создающий в стенках касательные напряжения М где г и Л — радиус и толщина оболочки. Для короткой оболочки I — < <3 /?)« ритическое касательное напряжение определяют как для пластинки высотой / и основанием 2лг (шарнирное опирайте краев): яа£Аг 1кр = *т 12(1 — v2)i^ = 4,83 £ft2 /2 Для оболочки средней длины (35) = 0,25£ А |/± . (37) Приведенными формулами следует пользоваться, соблюдая указанные ограничения на длину оболочек. Краевые условия наиболее существенно влияют на ткр коротких оболочек. Если оба края оболочки заделаны в жесткие кольца, то вместо (35) принимают Eh2 х«р = 8.11 -та— - (38) Влияние начальных отклонений учитывают понижением расчетных значений ткр с помощью коэффициента ак: r/h ... 250 500 750 1000 1500 ак . . . 0,8. 0,7 0,63 0.58 0,5 Для сварных оболочек следует уменьшать указанные значения на 20%. Следует учитывать ограничение по пластической неустойчивости ткр< 0,58с,. Устойчивость при изгибе моментами. Изгибающие моменты МИ, приложенные по тэрцам (рис. 14), создают в стенках оболочки нормальные напряжения М a" = !UkC0Se- (39) Критические напряжения (нх максимальные значения в сжатой зоне)
468 Устойчивость пластинок, колец и оболочек соответствуют критическим напряжениям при осевом сжатии. Для короткой оболочки / — < < 1,2 VT] Для оболочки = 0,9£-^-. (40) средней_ длины (,.2|/i<i<31/i) . (41) ■'и- кр J% = 0,605fA jv2/i г Значение поправочных коэффициентов на начальные отклонения принимают на 15—20% больше указанных для осевого сжатия, аИ — (1,15-И,2) ас. Устойчивость при изгибе поперечной силой. Поперечная сила (рис. 15) создает в стенках оболочки нормальные и касательные напряжения (без- моментное напряженное состояние) nr*h cos 9; nrh sin9. (42) Опасными для потери устойчивостя будут зоны максимальных нормальных напряжений нзгнба (зона /) и максимальных касательных напряжений (зона 2). Рис. 15. Устойчивость оболочки при действии поперечной силы Приравнивая критические напряжения изгиба в первой зоне к критическим напряжениям при осевом сжатии, получим: для коротких оболочек / < < 1,2 V4-) аи- кр — ОпЧ ДЛЯ (,, яггп ■■ 2,83£ оболочек = 0,9£-^-; QUI ■<кр £1- средней (43) длины _ *<кр' Ja- кр ЯГ2/! = 0,605£—' Q%=l.9E har I (44) Критические усилия при потере устойчивости во второй зоне находят приравниванием касательных напряжений изгиба критическим касательным напряжениям прн кручении: оболочек ( — < 3 X для коротких Т (f V- 1и. кр *<кр nrh = 4,83 Eh* /2 Г/!8 п<2) _ 1к <1Е ——• для оболочек средней длины ти. ир — QCa) "<кр : 2,45£/i! Y4r- В качестве расчетного значения критического усилия применяют минимальное значение QKp с учетом поправочных коэффициентов: МОД,»; <!ир Г 1,15«СС
Устойчивость цилиндрических оболочек 469 У. > tmttntmu а) UTTftfttttttfU Рис. 16. Устойчивость оболочки при действии осевой силы, внешнего или внутреннего давления Устойчивость при совместном действии нагрузок на цилиндрическую оболочку. Осевое усилие, внешнее или внутреннее давление. Различные случаи действия осевого усилия и давления показаны на рис, 16. Сжимающее усилие Р и внешнее давление q считают положительными. В оболочке возникают напряжения Р о- = 2ro7i ' Условия устойчивости при действии сжимающего осевого усилия и внешнего давления (рис. 16, а): о х кр О бкр 4- "РЧ=1. (45) "х кр е кр I где ах Кр, (79 кр — напряжения в оболочке в момент потери устойчивости (критические напряжения при совместном действии нагрузок): а° кр — критическое напряжение при действии одной сжимающей осевой нагрузки; °6кр — критическое напряжение при Действии одного внешнего давления. Значения о°кр, Оркр принимаются с учетом поправочных коэффициентов иа начальные отклонения. Если ах, ое — напряжения в рабочих условиях, то °х кр = пуах; ав кр = пуав, (46) Внося значения ах кр и Oq кр из соотношений (46) или (47) в условие (45), получаем формулу для запаса устойчивости. При пропорциональном возрастании нагрузок nv = ох а0 *кр 1 -+- 0° °вкр (48) Подобным образом находят запас устойчивости в других случаях совместного действия нагрузок. Условия устойчивости при действии сжимающего осевого усилия и внутреннего давления (<7<0, рис. 16, б). Расчет проводят по приближенной формуле Jx кр х кр 1 +0,21 °вкр (т) 1,6 + 3 а6кр г h (49) Для оболочки средней длины а» дгкр = а-0,605£ —. (50) Внутреннее давление (до определенных пределов) повышает устойчивость оболочки при действии осевой сжимающей силы. При большом внутреннем давлении может наступить пластическая неустойчивость, если Где пу — запас устойчивости (при про- т/г -r-z Т"7т ^— -> п Порциоиальном вояпаг.тании „arnv.-imrt И°х кр + ав кр + °х кр°6 кр ^ ат • порциоиальном возрастании нагрузок). В общем случае, когда возрастает только одна из внешних нагрузок, например осевая нагрузка, то ахкр = 4tfi°x; о-0кр = ае- (47) (51) В последнем соотношении учтено, что напряжения ах кр и овкр имеют разные знаки (ож<0, ое>0).
470 Устойчивость пластинок, колец и оболочек Запас устойчивости по условию (51) и соотношениям (46) (52) V ai + °е + ахав Запас устойчивости практически совпадает с запасом по пределу текучести от (одно из действующих напряжений является сжимающим). Условия устойчивости прн действии растягивающего осевого усилия и внешнего давления (рис. 16, в, ах> 0, а0<0). Расчет проводят по приближенной формуле °8 кр V" 1+2,6 Jx кр х кр (53) где Oq кр и а°хкг> — критические напряжения при действии соответственно только внешнего давления или только сжимающей силы (с учетом начальных отклонений). Растягивающее усилие (до определенных пределов) повышает критическое внешнее давление. При большом растягивающем усилии следует учитывать возможность пластической неустойчивости, возникающей при условии (51). Крутящий момент, вн еш- иее или внутреннее давление, сжимающее или растягивающее осевое Рис. 17. Устойчивость оболочки прн действии крутящего момента, давления и осевой силы усилие. В стенке оболочки создаются (рис. 17) касательные напряжения Мк Тв_= 2лг*Н. ' осевое и окружное напряжения: Р _ цг ~~шг> а° - г- аг Крутящий момент и внешнее давление (Ое < 0). Условие устойчивости / т„„ \2 I а, кр кр в кр а 9кр (54) где т" — критическое касательное напряжение при крутящем моменте с учетом начальных отклонений. Крутящий момент и внутреннее давление (ое > 0). Расчет проводят по приближенной формуле 2 = 1 + 0,78 I р ' т° \ ткр <>е кр В кр (55) При значениях аекр °е кР > 8 следует пользоваться зависимостью ькр кр = 0,907 аекр "бкр (56) Внутреннее давление (до определенных пределов) повышает устойчивость оболочки при кручении. При большом внутреннем давлении проверяют условие пластической устойчивости /стэ кР + Зткр *So- (57) Крутящий момент и сжимающее осевое усилие (ах < 0). Условие устойчивости: 2 = 1 — чср кр X Кр (58) где значения т£р, ах к принимают с поправочными коэффициентами, учитывающими начальные отклонения. Крутящий момент и растягивающее осевое
Устойчивость цилиндрических оболочек 471 усилие чивости Чф (Oj. > 0). Условие устой- 4 при = 1-(-0,6 Jx кр X Кр и* кр х кр < 6; (59) = 1,2 •кр при "ж кр х кр 3/4 Jx кр с * кр >6. (60) Растягивающее осевое усилие (до определенных пределов) повышает устойчивость при кручении. При большом растягивающем осевом усилии следует проверить условие пластической устойчивости /о <а. (61) Зх кр + Зткр Крутящий момент, ви еш- иее давление и сжимающее осевое усилие. Внешнее давление и сжимающее осевое усилие понижают устойчивость оболочки при кручении. Условие устойчивости 1кр кр \2 а8ир 8кр + Jx кр х кр (62) причем критические напряжения т" , ст8 кр> ах кр принимают с учетом ас (см. с. 466). Некоторые случаи трехкомпонеитно- го иагружения. Внутреннее давление или растягивающее осевое усилие повышает устойчивость оболочки при кручении, если соблюдается условие (3). В запас прочности можно считать повышение устойчивости только от одного (основного) стабилизирующего фактора, используя указанные ранее зависимости для двухкомпоиент- ного нагружения [формулы (49), (53), (55) и (56)]. Изгибающий и крутящий моменты, поперечная сила, давление и осевая сила (общий случай на- Рис. 18. Общий случай устойчивости оболочки при совместном действии нагрузок гружеиия). В общем случае (рис. 18) в оболочке возникают напряжения (х = /): М. 2nrh nr2h cos 9 • Ql nr2h cos 9; -"t; <J9 = 2nr% n nrh sin 9. (63) (64) (65) Положительные направления силовых факторов показаны на рис. 18, растягивающие напряжения ах и ае считают положительными. Условия устойчивости (62) при сжимающих нормальных напряжениях (ах < 0; ае < 0) записываются в виде Мн. kd QKnsin9\2 1 Кр)2 к. кр Q + 2го-2Л кр»" nrh + ■ + ■ х кр | вкр р Я«т/ + кр м Inrh nr*h cos 9 и. кр nr2h = I, cos 9 (66)
472 Устойчивость пластинок, колец и оболочек где значения т°р, а$ , а£ кр принимают для кручения, внешнего давления, осевой сжимающей силы с учетом поправочных коэффициентов, Л1к. кр, М„. „р, QKp. PKP, <?кр — критические значения силовых факторов при совместном их действии. Условие (66) применяют для угла 6, при котором левая часть равенства (66) принимает наибольшее значение. Обычно наиболее опасными являются зоны / по концам вертикального дна- метра (9 =0; 9 = я) или зоны 2 по концам горизонтального диаметра / 6 = -у ; 9 = -к- ) . В общем случае расчет проводят для различных значений 9. При растягивающих нормальных напряжениях устойчивость оболочки повышается, что может быть приближенно учтено по схеме двухкомпонентного нагружеиия, как это было указано ранее. УСТОЙЧИВОСТЬ КОНИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК Устойчивость под действием сжимающей силы (рис. 19, а). В сечениях оболочки действует сжимающее напряжение 2nr (x) h sin a (67) Критическое напряжение совпадает со значением, получаемым для цилиндрической оболочки (средней длины): jKD = 0,605£ —, кр гв ' (68) где г0 — радиус кривизны конической оболочки. Наименьшее значение акр соответствует наибольшему радиусу, однако для всех сечений осевое критическое усилие оказывается одинаковым и равным Ркр = 0,605£А22я sin2 a = =3,8£/i3sin2a. (69) Для практических расчетов следует учесть влияние начальных отклонений, приняв PKP=a0.3,8£h2sinaa, (70) где значение ас приведено на с. 466. Устойчивость под действием внешнего давления (рнс. 19, б). Для оболочек, близких к цилиндрическим (80° < a < 90°), можно использовать формулу (22) <?кр = 0,92 Vh (71) £/ia /Го v г0 где г0 — наибольший радиус кривизны конической оболочки. Для конической оболочки (20° < ^а <; 80°) критическое внешнее давление определяют по формуле <?кр = К £/ia Vh (72) lr0 У г0 где / — длина оболочки; го — наибольший радиус кривизны. Значения К принимают следующими: kll К 0 0.2 3.00 2,62 0.4 2,12 0,6 1,63 0.8 1,32 Поправки на влияние краевых условий приближенно такие же, как для цилиндрической оболочки. Рнс. 1в. Устойчивость конической оболочки
Устойчивость пластинок и оболочек при температурных напряжениях 473 Рис. 20. Устойчивость сферической оболочки и эллипсоидальной оболочки вращения УСТОЙЧИВОСТЬ СФЕРИЧЕСКИХ И ЭЛЛИПСОИДАЛЬНЫХ ОБОЛОЧЕК Сферическая оболочка под действием внешнего давления (рис. 20, а). В стенках оболочки возникают сжимающие напряжения 3L 2Л ' о, = о~ — (73) где г, h — радиус и толщина оболочки. Критическое напряжение оказывается таким же, как прн сжатии цилиндрической оболочки осевым усилием: I ^кр- 1/3 (1 — va) = 0,605£ - г (74) Критическое внешнее давление Jl г <?кр = 2а. кр 1.21£А-, (75) Практический расчет проводят по формуле Яю^асАДХЕ-^, (76) где значения ас указаны на с. 466. Эллипсоидальная оболочка, оболочка вращения под внешним давлением. Критическое давление (рис. 20, б) определяют по формуле ?кр=1,21£ 2йг (77) Прн потере устойчивости вмятины образуются в зоне экватора. Для оболочки, у которой b < а (рис. 20, в), критическое давление <7КР=1.21£-^-. (78) Потеря устойчивости возникает возле полюсов, где радиус кривизны а* В практических расчетах в формулах (77) и (78) вводится поправочный коэффициент а0 (с. 466). УСТОЙЧИВОСТЬ ПЛАСТИНОК И ОБОЛОЧЕК ПРИ ТЕМПЕРАТУРНЫХ НАПРЯЖЕНИЯХ Если температурные воздействия создают поле напряжений, совпадающее с напряжениями от критической нагрузки, и условия закрепления одинаковы, то потеря устойчивости произойдет при значениях температурных напряжений или усилий, совпадающих с критическими, При нагреве пластинки (рис. 21, а), не имеющей возможности радиального удлинения, возникают температурные напряжения ЕаТ ,ага о> = ае = _ i__v , (80)
474 Устойчивость пластинок, колец и оболочек I И Рис. 21. Устойчивость пластинки и оболочки при действии температурных напряжений где а.Т — температурная деформация; £ и v — модуль упругости и коэффициент Пуассона. Потеря устойчивости произойдет [см. формулу (18)] при Е (°-Т)къ D -=4.2-^~. (81) I При нагреве цилиндрической оболочки, не имеющей возможности осевого удлинения (рис. 21, б), возникает температурное напряжение ах = —ЕаТ. Критическое значение температурной деформации в соответствии с равенствами (79) и (34) h (аГ)кр = аг- 0,605 (82) Критическое значение температурной деформации (при потере устойчивости пластинок и оболочек от действия температур) не зависит от модуля упругости материала. При аГ > {аТ)кр начинается быстрый рост прогибов, так как деформация удлинения компенсируется теперь деформацией изгиба. Если нагреваемая оболочка (рис. 21, в) не имеет возможности радиального удлинения, то в'ней возникнут сжимающие окружные напряжения ое = —ЕаТ, однако потери устойчивости при равенстве (79) не произойдет, так как условия закрепления отличны от случая внешнего давления. УСТОЙЧИВОСТЬ АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК Деформации в слое оболочки и действующие напряжения связаны соотношениями упругости (рис. 22): ее Ех °9 ve _2i- £9 а. ~ Ев '* Ех Уху = txe/Gxe. (83) где Ех, Eg, vx, V9 — модули упругости и коэффициенты Пуассона, Gxg — модуль сдвига. Рнс. 22. Связь напряжений и деформаций в слое оболочки
Устойчивость подкрепленных оболочек 475 Параметры упругости ортотропного материала связаны зависимостью у* = ve Ех Ев . = _1Ё- . (84) Устойчивость при внешнем давлении. Для цилиндрических оболочек средней длины !—< 3 1/ ~г- крепленных по краям, 2л 1 <7кр X зУб У (1 - v^e)3 £3а/4£У4/!2 /г (85) Если £е = Ех — Е, vx — ve = v = = 0,3, то зависимость (85) совпадает с формулой (22). Для длинных оболочек (— > >3 1/т <7кр : Еф3 4(1 — v^vq) (86) Для устойчивости оболочки при внешнем давлении модуль упругости в окружном направлении более важен, чем в продольном. Устойчивость при действии осевых сил. Критическое напряжение при осевом сжатии для оболочки средней Длины (—<3 ]/ y) а - h l/ E*E* кр- г V 3(l-vxve) (87) При Ев = Ех = Е; vx = v0 = v = = 0.3 равенства (87) и (29) совпадают. 1, Критическое напряжение оказывается одинаковым для симметричной и [ресимметрнчной формы потери устойчивости. Для длинных оболочек следует проверить общую потерю устойчивости как стержня. Критическое напряжение в этом Случае Г*р = = 4,93 Е-г* (88) УСТОЙЧИВОСТЬ ПОДКРЕПЛЕННЫХ ОБОЛОЧЕК Для повышения устойчивости оболочки целесообразно не увеличивать толщину оболочки, а применять кольцевые и продольные подкрепления (рнс.23). Кольцевые ребра (кольца) часто называют шпангоутами, а продольные ребра — стрингерами. Внешнее давление. Критическое давление для оболочки средней длины I — <3|/ -т-1 <7кр: a -41'4/)3''4 4" (i_v2)1/4- 6 4/27 = 5,38 1т\т ТуГ" (89) где Ах — жесткость на растяжение в продольном направлении; De — жесткость на нзгнб в окружном направлении, Eh + /с (90) D* Eh* 12(1 — v2) + 1ф-, (91) где £, A, v —модуле упругости, толщина обшивки, коэф ицнент Пуассона; £с, Fc, lc — модуль упругости, площадь поперечного ерченнч, шаг по окружности продольг^х ребер (стрингеров), '-«-£-. (92) где Nc — общее число продольных ребер; Em, Jnl, /ш —модуль упругости, моменты инерции, шаг по длине кольцевого подкрепления (шпангоута); Рчс. ЯЗ. Оболочка, подкрепленная продольными и кольцевыми р*брами
476 Устойчивость пластинок, колец и оболочек 1т ~ ll(Nm + 1); Nm — число шпангоутов. Моменты инерции сеченнй шпангоутов вычисляют (в запас устойчивости) относительно осей, проходящих через их центры тяжести. Из равенства (89) следует, что при действии внешнего давления целесообразно применять кольцевые подкрепления (шпангоуты), продольные ребра неэффективны. Если оболочка подкреплена только кольцами (шпангоутами), то Следует проверить устойчивость пролета оболочки между двумя шпангоутами по формуле *,р.пр = 0,92(Яш-Ц)х X Eh? Г h 1/7 (95) ?кр = 0,92 X I Eh' lr 'об (Л'ш-Ь /г ■>] X 3/4 Наименьшая масса оболочки получается при равенстве 9кр = 9кр- пр. (Щ что приводит к моменту инерции шпангоута л/з. = ^об[(А/ш + 1)' ■Vm + hH 'об = 12 (1 (93) (94) J06 — момент инерции продольного сечения оболочки; v — коэффициент Пуассона (v я* 0,3). в/7 о б 2 3 4 1,10 1.34 1,51 i Устойчивость при действии осевых сил. Критическое значение общей осевой силы при несимметричной потере устойчивости для оболочек средней длины I — < < >Vt PKP.H--=^V(l-^)AxDe, (98) где Ах и Dg — см. формулы (90) и (91). При симметричной форме потери устойчивости /'Kp.o = 4nV(l-v») AeDx, (99) где Ад — жесткость на растяжение в окружном направлении; Dx — жесткость на изгиб в продольном направлении, Eh . EmF„ г]- (97) С уменьшением длины пролета (увеличением Л'ш) оптимальная площадь шпангоутов возрастает, что обеспечивает общую устойчивость не ниже устойчивости каждого пролета в отдельности. Значения JmlJo6 в соответствии с равенством (97) будут такими; 5 6 8 10 12 14 16 20 26 65 1.77 1,97 2,13 2,27 2,4 2.51 2,71 2.96 подкреплений (шпангоутов); Ес, Jc, /с — модуль упругости, момент инерции и шаг продольных подкреплений (стрингеров). В качестве расчетного критического усилия принимают наименьшее иэ двух указанных значений {формулы (98) и (99)]. При рациональном подкреплении должно выполняться условие (102) кр- н • "вР- с — °кр Ож = 1—V2 Eh* + In lr. (100) (101) 12 (1 —v2) где £ш, Fm и /га — модуль упругости, площадь сечения и шаг кольцевых AxD9*=AeDx. (103) Для повышения устойчивости оболочки при действии сжимающих осевых сил целесообразно подкреплять ее одинаковым образом в продольном я окружном направлениях. Условие (103) будет выполнено, если EcFc _._ EmFm . ECJC _EmJta 'с 'ш ' 1с 'ш (104) При наличии подкреплений следует проверить устойчивость панели между
Вариационные уравнения 477 двумя стрингерами и шпангоутами. Критическое осевое усилие, воспринимаемое пологой панелью. г < V3(l-v») V т ) ' пгЕк3 EhQ iHp-п- 3(1 — v2)/0 4nV» (105) Предполагая, что общее осевое усилие распределяется равномерно по площади обшивки (оболочки) и стрингеров (продольных подкреплений), получим Р1Кр.п=- ГТ° п_ , (Ю6) где Ркр. п — общее осевое усилие иа оболочку, при котором происходит потеря устойчивости отдельных панелей. Наименьшая масса конструкции будет при ^кр = ^кр. п. что приводит к условию 2пг / я'£/13 + Ehll X М + v2) lc ^ 4nV2 E„F, o+-§e) x Ehic = 4nV(I-v2) AeDx = = 4пУ(1—v*) ЛкОе- (Ю7) Последнее соотношение вместе с равенством (104) служит для выбора оптимального значения шага продольных подкреплений и других параметров подкрепления. Глава 26 ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА КОНСТРУКЦИЙ Появление и развитие ЭВМ изменило математические методы решения инженерных задач. Предпочтение отдается численным методам, поддающимся большей алгоритмизации и удобным для реализации иа современных быстродействующих ЭВМ. В основе численных методов лежит замена континуальной расчетной модели с непрерывным распределением параметров и бесконечным числом степеней свободы дискретной моделью, имеющей конечное число неизвестных, которое может быть и очень большим (в зависимости от требований, предъявляемых к расчету, и возможностей ЭВМ). Большое распространение среди численных методов получил метод конечных элементов, который наиболее удобен для реализации на ЭВМ благодаря четкой формализации отдельных этапов решения задачи и матричной форме расчета. Наряду с этим широко применяются и другие численные методы расчета (вариационные, разностные, интегральные и др.). В основе многих из этих методов лежат вариационные уравнения. ВАРИАЦИОННЫЕ УРАВНЕНИЯ Из начала возможных перемещений следует, что действительному напряженному состоянию упругого тела соответствует минимум полной энергии деформации Ф, т. е. ее вариация: 6Ф = 6(Фе —<М = 6|' [||фе,^~ — [ J (Xvu + Yvv + Zjv) dS —
478 Численные методы расчета конструкций [ [j (Xu+Yv + Zw)dv\ =0, (1) где Фе — потенциальная энергия деформации тела; Фр — потенциальная энергия внешних сил; V — объем тела; S — поверхность тела; Фе] — потенциальная функция деформации. Для равномерно нагретого тела Ф81 — потенциальная энергия деформации на единицу объема тела, Xv. Yv, Zv н X, Y, Z — компоненты поверхностной и объем ой нагрузки; и, v и w — компоненты упругого смещения, удовлетворяюще кинематическим граничным условиям. Соотношение теории упругости в матричной форме имеет вид {ej=[al{al + {ar} + {e°j, (2) где векторы-столбцы деформаций \г). напряжений {о}, температурных {аТ} и дополнительных {е0} деформаций: {е! |аГ} = : 6х е„ Уху Ьг У XX «*г ауТ а,Т «xy? %гТ % Т гх 1 \ ох °v *ху ; {е°} = lyz Tzx 8° ьх 8° *z Z у0 'ху V0 vo IZX (3) [а] —симметричная матрица упругих коэффициентов размерности 6Х 6. Для изотропного упругого тела матрица упругости V т V "Г V \ Е V 0 0 V ~~ т V _. _. 1 £ 0 0 0 0 0 I ~G 0 0 0 0 0 I G о о о (4) Вариация потенциальной функции деформации 6Ф« = (б{е})т{о} = (б(8))тХ х1А]{г}-(Ыг))т\АЦаТ\- -(6{е})г[А) \е°\, (5) где [А ] = [а]"1 — симметричная матрица, обратная матрице упругости; {аТ} — вектор температурных деформаций; {е0} — вектор дополнительных деформаций; верхний индекс «т» — операция транспонирования; for0! = - U\ (e»J. Дополнительные деформации могут возникнуть в результате физико-химических процессов, происходящих в среде. В некоторых задачах оказывается удобным с помощью введения дополнительных деформаций описать пластичность и ползучесть среды. Для изотропного тела с параметрами упругости £ и v из уравнения (5) получим Фо = (о + 4)(в5 + «2 + еЙ + + А (вкев + e„ez + е*ех) +
Вариационные уравнения 479 Е где G = 2(1 +v) Е\ модуль сдвига; ■ — постоянная ■2v аТ (ех -f e„ + ez) ■(°S«*+---+t£.t„), (6) (1+v) (1 -2v) Ляме. Для ортотрониого тела, матрица упругих деформаций которого имеет вид "ху Е V Ух Vzy О О О О О О Л., — | ^зз J*|/> :£,•(! ■^Лц); -"{«• "ее — Gi У* получим следующее выражение потенциальной функции деформации [1J: Фе1 -"- "2" (Л"4 + А22*1 + АзА) + + А13гхг„ + Ладене* + A3lsztx + + Т iA4<V% + АЬЬ?уг + А6бУ1х) - — $\Ttx — $„Те,у — Р3Гег — -(°S"*+---+^«), (8) где элементы матрицы коэффициентов жесткости: А12=Ап-Е'х(Ух1/ + ^ги)< '423=^32 = ^(V + VM. О О О I причем Jxy О О О О о 1 Gyz О о о о о 1 (7) Е**~ m E*' ЕУ ~ m Е"> Е'г = — Ez, г m г' Я» = 1 — SV-^V^V^ — V„Va - — Vi„v„t — Vxy\yx; коэффициенты Р, -= ИцС^ -t- /l,2aj, + /4i3az (*= 1, 2, 3). (Ю) (ID (12) (9) Уравнение (1), учитывая связь деформаций и перемещений, можно записать в виде с*. / ди dm \ п (13) Вариационное уравнение (13) эквивалентно полной системе дифференциальных уравнений теории упругости и граничным условиям задачи. Вариационные методы, применяемые для приближенного решения, основаны иа том, что уравнение (13) решается
480 Численные методы расчета конструкций для некоторого класса функций в предположении п, (=1 где f., q>., if>. — заранее выбранные функции, удовлетворяющие кинематическим граничным условиям. Неизвестные параметры А(, В;, С; определяются из системы линейных уравнений (i = 1, 2, ..., п) дФ ЭФ дФ 0; _- 0.(15) Для тел сложной конфигурации основная трудность состоит в выборе аппроксимирующих функций. Поэтому тело разбивают на малые, связанные между собой области, в пределах которых подбираются простые аппроксимирующие функции. По такому принципу строятся вариацнонио-раэ- иостные методы и метод конечных элементов. ВАРИАЦИОННО-РАЗНОСТНЫЙ МЕТОД Сущность метода поисиим на примере плоской задачи теории упругости при отсутствии температурных и дополнительных деформаций. Учитывая уравнение (6) и связь между деформациями и перемещениями и и v (соответственно в направлении осей х и у), можно записать Фе j J0eldS = где для плоского напряженного состояния коэффициенты Л=- 5 = £v 2 (1 — v2) ' " 1 — v» а для плоской деформации Е (17) А = 2(l+v) (1 ~2v) ' д £v (1 +v)(l— 2v) ' В равенстве (16) S—область тела (единичной толщины) в плоскости х, у; r E 2(l+v) * Вариационное уравнение (1) при отсутствии массовых сил = 6 6Ф = б (Фе — ФР) = ди_\2 , ( dv {УИ(- •У] 4- + в (- ди \ I dv ~дх~) \~ду + 2 { ■ + )(£) + } ду ох / 1 (18) где Xv и Vv — проекции иа оси х и ^ компонентов внешней нагрузки на границе области с контуром L. Для получения приближенного решения уравнения (18) удобно контур области аппроксимировать конечным числом прямолинейных отрезков. Исследуемая область покрывается нерегулярной (или регулярной) сеткой, состоящей иэ линий х = consl и у " = const. Точки пересечения прямоугольной сетки должны совпадать иа границах области с точками иа отрезках, аппроксимирующих контур (рис. 1, а). Кроме того, иа область наносят дополнительную сетку 1, линии которой проходят посередине линий основной сетки. Точки пересечения линий 1 Наносятся штриховыми линиями лишь для получения разностных уравнений.
Вариационно-разностный метод 481 1 1 ^ j " ( I 1 . т ! 1 Рис. I. Сеточная разметка пластинки основной сетки называют узлами. Подобласти, границы которых образованы контурными отрезками (линиями основной сетки) и линиями дополнительной сетки, называют ячейками. При этом каждая ячейка (заштрихована на рис. 1, б) содержит одну узловую точку и может быть прямоугольником либо треугольником. В качестве основных неизвестных принимаем смещения в узловых точках um и vm, где т — номер узла. Потенциальную энергию деформации каждой ячейки можно найти в предположении, что смещения точек между узлами изменяются линейно и их производные остаются постоянными в каждой ячейке. Используем конечно-разностные соотношения для первых производных в точке т (см. рис. 1): ди Uj,k+i — ui,k . ди ду дх = И<+1 ft — К к '«!, ft » • где Ink — соответственно номера горизонтали и вертикали; h^ и h^— шаги сетки (знаки «+» и «—» указывают, что соответствующие шаги приняты в направлении увеличения или уменьшения координаты). С учетом равенства (16) получим приближенное выражение для потенциальной энергии элементарной ячейки 16 Заказ 402 / с центральным узлом т (i, k), см. рис. 1, б: Ф, 'е (1) Ф, 'в (i, ft) = И Uj, ft+i — U-U ft V + t'i+i, ft + + Vi, ft+1 — 2 + + G X + s vi+l, ft Ъ hy ht EL^f + + "t+i, ft — "г, ft К "t.fe+l — "t.ft h% ■Vi.k К KK + ь> (19) для где qj — «вес» ячейки (qj = 1 /-й ячейки, целиком лежащей внутри области; qj = 0,5— то же для ячейки, примыкающей к косой границе (треугольной ячейки); qj — 0— то же для ячейки вне области l; / = 1, 2 р — номер центрального узла. 1 Законтурные ячейки используются для единообразного формирования системы уравнений иа криволинейной границе области
482 Численные методы расчета конструкций Влияние температуры учитывается введением в выражение (19) дополнительного слагаемого: 1 - 2v а' [ h* + + 4 )' Так как аппроксимации для каждой ячейки имеют вид (19), то, суммируя потенциальную энергию деформации (19) по всем ячейкам сеточной области, получим соотношение для полной потенциальной энергии деформации ф.= Ефе</>. (2°) /=1 где р— число узлов на области. Вариация потенциальной энергии деформации 6<De = JLjL6„m + _^6t,m. (21) oum 0vm Потенциальная функция внешних сил г Фр = £ (Хьиь Мь + Ybvb Mb), (22) 6=1 где Хь и Yb — компоненты внешних сил, относящиеся к внешнему граничному узлу ft; ft = 1,2, ...; г— номер граничного узла; Д/ь—длина элемента границы возле узла Ь. Вариация потенциальной функции внешних сил бФя = ^£_бЦт + ^^бип!. (23) oum ovm Так как вариации Ьит и 6vm произвольны, то из условия (18) следует: дит ~ ' dvm ~ (т=1, 2,.-., р). (24) Величины ит и vm входят в соотношения (19) лишь для двенадцати (из шестнадцати) ячеек, окружающих узел т. Поэтому, записав соотношения типа (19) для каждой из 12 ячеек, прилежащих к узлу т, продифференцировав их отдельно по ит и vm и просуммировав полученные выражения согласно равенствам (21), с учетом равенств (22) и (23) получим два разрешающих уравнения, связывающих смещения ит и vm в узле m с неизвестными смещениями в восьми соседних узлах (см. рис. 1, б) и действующими в них компонентами внешней нагрузки. Записывая разрешающие уравнения для всех узлов сеточной области, получим (р -{- г) линейных алгебраических уравнений; здесь риг — число неизвестных смещений соответственно "ш и vm*, которые можно представить в матричной форме IB]{U)={R), (25) где \В] — симметричная, положительно определенная матрица коэффициентов; {(/}—вектор-столбец с компонентами смещений ит и vm; {R} — известный вектор-столбец, характеризующий внешние нагрузки. Система линейных алгебраических уравнений относительно смещений решается достаточно просто одним из известных методов. Для получения единственного решения система дополняется граиичиыми условиями в перемещениях. В результате расчета при заданных нагрузках на контуре находят смещения во всех узлах сеточной области. Далее можно найти деформации и напряжения в каждом узле. Примеры расчета напряженного состояния в элементах конструкции вариационно-разностным методом приведены в гл. 28 и 29. Вывод разрешающих уравнений для пространственной задачи аналогичен приведенному. МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ В последние годы широкое распространение получил метод конечных элементов, который имеет те же принципиальные основы, что и вариацион- * Число неизвестных смещений ит н v в общем случае может быть различным (например, если на одной нэ осей симметрии нлн в заделке и = 0).
Метод конечных элементов 483 Рис. 2. Конечные элементы но-разностный метод, но более прост при реализации на ЭВМ [3]. Для расчета область расчленяют на конечное число малых элементов, обычно в виде треугольников для плоской задачи и многогранников для пространственной задачи (рнс. 2). В пределах элемента перемещения представляют с помощью суммы аппроксимирующих функций. Например, v и {х, у, z) = }J arfr {x, у, г), (26) где fT (х, у, г) — заранее выбранные функции; аТ— неизвестный параметр. Число параметров v выбирается равным числу узлов элемента, что дает возможность выразить смещения как линейные функции узловых смещений этого же элемента. Для элемента в виде тетраэдра (см. рис. 2) принимают, что смещение представляет линейную функцию координат U (X, У, 2) = GCj -t- «,* Ч- + ац) + a4z. (27) Обозначая и (xi, «/,-, Zj) — щ\ v (xt, У1, z<) = »i; w (xt, Vt, it) = m- где "i. t'»'. u>t — компоненты смещения узла i элемента л, находим нз (27) вектор смещения для чтого узла в виде И (X, У, 2) ' v {х, у, г) Wn) w (х, у, г) = [ф}п>Ф'п>ф'п>ф£>] 16* Ut , (28) где ф["\ ..., Ф'л'—квадратные матрицы (3x3); Ut, .... Um—векторы смещения четырех узлов тетраэдра i, j, I, m: ( ut) ( u„ Ut = Щ Wi Un (29) В более краткой форме равенство (28) можно записать с помощью матриц и векторов, содержащих блоки: 3X1 3X3 3X1 Ы=[ФП] {Un}. (30) 1X1 1X4 4X1 Здесь и в некоторых случаях в дальнейшем указаны числл строк и столбцов в блоке матрицы (верхние цифры) и числа строк и столбцов в самой матрице (нижние цифры). Если одна из пар цифр состоит из единиц (IX 1), то верхние и нижние цифры можно переставлять. При умножении матриц «внутренние» (обязательно попарно одинаковые) числа «поглощаются». После того как сформирована матрица аппроксимирующих функций \ип], вектор десрормаций (3) можно записать с помощью матрицы дифференцирования 1X1 1X3 3X3 3X1 1X3 3X1 {e}=[D] [Фп] {Un)=--[Bn} {Un), 6X1 6X1 1X4 4X1 6X4 4X1 (31) где 4~ 0 0 дх 1X3 ID)- 6X1 0 0 д ду 0 д _ ~дг~ 1X3 3X3 W] 1Ф„] 6X1 1X4 д ~W 0 д дх д дг 0 = 0 д ~дТ 0 д ду д дх 1X3 [ЯпЬ 6X4 (32)
484 Численные методы расчета конструкций В соответствии с законом упругости вектор напряжений [см. уравнения (2) и (5)] 1X1 1X1 / 1X3 3X1 {о„> = М] [Вп\ {Un)~ 6X1 6X6 \ 6X4 4X1 1X1 - {аТ} 6X1 1X1 6X1 (33) Для получения разрешающей системы уравнений используют начало возможных перемещений (для всего тела), что обеспечивает выполнение условий равновесия l\\ifo)yl°)dV- где l^{6uy{P}dV- V J f (6"}T {Q}dS = 0 f*1 -\y \z ( Ях и Q ---= | Яу <?z (34^ (35) — векторы внешних нагрузок (объемной и поверхностной). Проинтегрировав по всем элементам, будем иметь (N3 — число элементов) "9 У. - и ) ( \ \ \ №пУ {°n} dV {6u„}T {P}dV — {6u,,}7 {Q}dS\ = 0. ш (36) snfc- ; Последний интеграл распространяется ча поверхности элемента, принадлежащие внешней поверхности тела; для всех внутренних элементов он обращается в нуль. Учитывая равенства (30), (31) и (33), находим э £ ( Ш [[Вп] {Шп))Т |ЛЛЯ«1х X{Un)dV-j\j ([Bn] {6Un}fx К [А] ({аГ}Н- {t*))dV- - JJJ ([«>»] {bUn}f {P}dV~ - jj ([Фа] {6iM)T <Q> <*S | -0 (37) n=i S" 1X3 , ibUn) X ?X1 1X1 1X3 , [Sn)T [Л] [Bn)dV\ X 4X6 6X6 6X< I 3X1 fpr 3xi„ ixi X {L'n}~ [Bn]T [A]> 4X1 "}^J 4*6 6X6 Tl / IX! 1X1 X {аТ} + {е«} \ 6X1 6X1 4X6 6X6 3X3 3X1 [ФпГ (П^ 4X1 1X1 ■Я sn£s 3X3 3X1 [Фи]т (Qi dS 4X1 IX' = 0. (38) Вследствие не?явисвмогти произвольных вариаций {bUn) соотношение (38) эквивалентно системе 3/Va линейных алгебраических уравнений 2 ШП 1^)г['4п^н]^\ X{i/„}~ Jfj t«n]T 1-4] X X ({аГ} + {е°Л rfV - X
Метод конечных элементов 485 -JJJ {ФпГ {P)dV- J J [On]T{Q}^J -0. (39) Запись л £ i означает, что в уравнение входят только элементы, примыкающие к i-му узлу. Индекс i показывает, что в сумму входят составляющие, связанные с узлом i (в четырехблочном векторе для тетра- идального элемента л сохраняется блок узла i). Матрица разрешающей системы (39) является редко заполненной (имеет небольшой процент ненулевых коэффициентов) и при надлежащем порядке нумерации узлов имеет ленточную структуру. Часто используют механическую трактовку уравнения (39), при которой отдельные слагаемые рассматривают как обобщенные усилия, а величину зхз [Bn]r[A)[Bn)dV=:[kn) (40) 4X4 Ш как матрицу жесткости элемента я. Тогда если через {Qn} обозначить узловые нагрузки, которые статически эквивалентны граничным напряжениям J J [0„]T{Q)rfS= {Qn}, sn£s то уравнение (39) для одного элемента (без учета температурных и дополнительных деформаций) имеет вид [*п] {«»} = {Qn)- (41) Матрица жесткости элемента л имеет блочную структуру, связанную с блочной структурой векторов {ип} и {<?„}: [*п] = kit kit kit *m i kij kjj hi km) hi hi hi kjnl hm Rjm hm *mrr где кц, ..., kmm— квадратные подма. трицы (блоки) размерности (3X3), ktj= JJJ [Btf [AUBjldV, (43) где согласно (32) [Bt] = [D] [Ф\п)]; [Bj\= [0][Ф}">]. Подматрица kfj показывает реакцию (обобщенное усилие) в узле i тетраэдра (элемента я) от единичного смещения его /-го узла при неподвижных узлах i, т, I. Так как вся конструкция состоит из совокупности элементов, то матрицы жесткости отдельных элементов объединяются в матрицу системы. В одном узле сетки обычно сходятся несколько элементов и каждый из иих вносит вклад в матрицу жесткости, и 1-я строка суммарной матрицы жесткости будет содержать соответствующие компоненты матриц жесткости элементов, примыкающих к i-му узлу. С учетом (39) матрица жесткости конструкции [К], содержащей N уз- [К] Ки К-п Kl2 Кг, KiN Kin Km К Nt К NN J (44) Обозначая векторы внешних сосредоточенных в узлах сетки усилий и перемещений узлов сетки соответственно и, {Q) Qi Qn {">- UK (45) (42) получим систему линейных уравнений относительно узловых смещений {<?}---[*]{£/>. (*6) По физическому смыслу уравнение (Щ представляет собой уравнение равновесия сис1е.мы (в смещениях). Для получения единственного решения система должна быть дополнена граничными условиями в перемещениях.
486 Численные методы расчета конструкций (а,а) а) б) Рис. 3. К расчету пластинки Благодаря тому, что система уравнений (46) соответствует минимуму квадратичного функционала полной потенциальной энергии исследуемого тела, матрица этой системы симметрична и положительно определена. Эти ее свойства, а также ленточную структуру и «редкозаполнеиность» используют при решении системы точными методами (метод блочного исключения Гаусса, метод квадратного корня и т. п.). Определив из уравнения (46) узловые перемещения, можно по формулам (33) найти напряжения. Описанный вариант метода конечного элемента является простейшим. Можно повысить порядок аппроксимации функций перемещения в элементе, вводя, например, дополнительные узлы на ребрах тетраэдра или используя элементы другой формы (прямоугольную призму и т.д.). При этом точность расчета повышается быстрее, чем при измельчении сетки простых элементов. Метод конечного элемента может быть эффективно реализован при наличии полностью автоматизированной программы, реализующей все этапы расчета конструкции (идеализация конструкции, формирование системы (39) или (46), решение этой системы, подсчет напряжений и других величин). Программа должна быть универсальной, пригодной для широкого круга практических задач. Весьма эффективны программы, имеющие блок автоматического разбиения области на элементы, сокращающие процесс составления и контроля обширной исходной информации. Целесообразно применять графический контроль (выюд на графопостроитель или экран дисплея) данных о геометрии области и характере ее разбиения, а также выходной информации. Примеры расчета элементов конструкции методом конечных элементов приведены в гл. 28. Ниже приведен пример решения простейшей задачи, иллюстрирующей основные особенности реализации метода конечных элементов. Пример. Определить перемещения в квадратной пластинке толщиной 1 мм от заданной нагрузки Р, Н/мм (рис. 3, а). Для большей наглядности разобьем пластинку всего на два треугольных элемента (рис. 3, б). Для получения разрешающей системы уравнений сформируем предварительные матрицы [А] и [Вп] [см. соотношение (40)]. С учетом равенства (9) матрица коэффициентов жесткости [А\ для плоского напряженного состояния имеет вид 1 v 0 1"]-т^ V 1 о о о 1—v (47) Рассмотрим элемент /. Соотношения (27) для него будут такими: и — ах + а2х + а3у; v =«« + <чх + аву. (48)
Метод конечных элементов 487 Коэффициенты aj а, определяют через перемещения узлов из следующих систем уравнений (принято C/j = = Uh {/,= Uj. Ut= Um): «i + <ВД + <ЧУ1 = Щ\ (49) «4 + «ь*< + а<№ = «<; 1 «4 + a6*j + «eVj = v/, ( (50) «4 + аьхт + ««Ут = vm, J где *j, i/j; *j, у;; *то, ут— координаты узлов. Определяя аг, ..., а, из уравнений (49) и (50) и внося их в соотношения (48), получаем уравнения (28): и = -s-r- [(a; + ft<* + c,-y) «i -f (a} -f fc^ + CjV) uj + (am + fcmx + Cm!/) «ml; 2A где коэффициенты a;, ftj... выражаются через определители: (51) o-i = *1 = *} 'Л хт Ут Vi ' Ут 1 1 ^ 1 хт а; = 6; = с,- Хт Угг Xi Уг Ут 1 У1 1 1 *т 1 хх I ат = I *т = ) С7П — Xi IJi Xj У) У1 1 У; 1 Xi Xi '- » (52) Д = 1 xi yt 1 Xj tjj — коэффициент, 1 xm Ут численно равный площади элемента. В данном случае (плоская задача) матрицы Ф* Фт имеют вид — [i?](a±i&tat)!-! ф. -ti']( 2Д ат + Ьтх + сту 2А ■)■ (53) Для плоской задачи матрица дифференцирования принимает вид [D\ = д дх 0 д ду 0 д ду д дх - Применяя соотношение (32), находим bi 0 [Вп] =■ 1 2Д 0 Ci Ci bi Г bj 01 0 Cj с, bj j или где [Вп] = [Bf ДА»] 6,- 0 IBi 1 2Д 0 Ci bi [Вп bm 0 С о (54) (55) (56) Так как в рассчитываемом примере деформации постоянны в пределах
488 Численные методы расчета конструкций каждого элемента, то матрицы [Вп] ие зависят от х и у. В этом случае соотношения (40) и (43) примут вид [kn] = [Вп)Т [А] [ДП1Д; [k^] = [Btf [Л] [Bj] Д. (57) Перейдем к расчету пластинки, рассмотрим элемент /. По формулам (52) находим: о-\ = 0; аа = 0; а3 = —а2; Ьх = а; Ь2 — —а; Ь3 = 0; сг = —а; с2 =0; ся = а. А- а' • A--J-, Из соотношений (53) получим функции, стоящие множителями у единичных матриц: ах — ау . л —а* В, 1 2Д ГО 0 а °1 а 0 Используя эти зависимости, по фор- муле (57) находим блоки матрицы жесткости *и = [5Х]Т [Л] [3J Д - 2а2 (1— va) Фг. Ф, ф3 ау а 0 0 —а X а 0 —а —а а 0 —а а ■1 v V 1 0 0 0 0 1 —v 1 далее с учетом равенства (54) получаем матрицы _ Q 1 0 Вх = В2 = 2Д 2Д 0 —а а 3-у 2 1 -f v 2(1 —v2 1 +у _ 2 3 —v Проводя аналогичные вычисления, получаем остальные блоки для матрицы жесткости 1-го элемента, которая в рассматриваемом примере будет иметь вид kn *Э1 &12 *22 К32 2(1— v2) X 3 —v 2 1 + v 2 — 1 1 —V 2 1-V 2 V 1 +V 2 3 —v 2 V 1 —V 2 1 —V 2 — 1 — 1 V — 1 0 0 - —V 1—V 2 1 —V 2 0 1 —V 2 1-V 2 0 1 —V 2 1—v 2 0 1 — V 2 1-V 2 0 1 —V 0 о 1
Метод конечных элементов 489 Матрица жесткости для 2-го элемента формируется аналогично: «23 «24 [**] 2(1—V2) 1 —V 2 0 0 1—V 2 1—V 2 1—V 2 0 1 —v 0 V —1 0 - —V 1 0 — 1 V - 1 —V 2 0 0 1 — V 2 1—V 2 1 —V 2 1—V 2 V —1 1—V 2 3 —v 2 1 + У 2 1 —V 2 — 1 V 1—V 2 1 -f v 2 3 —v 2 Матрицу жесткости пластинки в соответствии с равенством (39) можно представить в виде (верхние индексы при k показывают номер элемента) [*]■ «(|) «12 "13 *21 (*22 + *22 ) (л23 + *23 ) *24 *® № + *£>) № + *$) *Й> о l-f-v 3-у 2 2 1 +у 3—v "Т~ ~ *<2> «42 Кц Кц ^13 О ^21 ^22 ^23 ^24 Agl Лэ2 ^33 Ки О К1г Ki3 Kll 1-У 2 1—у 2 ! Ь(2) "43 *<2> Я44 2(1 —у2) -1 1—У 2 1-у 2 — 1 —1 1—У 2 1—У 2 У 0 0 V 1—У 2 1—У 2 — 1 0 0 3-у 2 0 0 1+У 2 1—У 2 1-У 2 0 3—у 2 1+У 2 0 У — 1 О — 1+у 2 1+у 1 —v 1 —у ~~2~ ~~2~ у —1 — 1 О 3—у 2__ 1—у 2 1—у 2 1—у 2 1—у 2 ¥ 3—у 2 1+у 3—у Г ~2~
490 Численные методы расчета конструкций Принимая во внимание краевые условия (Ui = 0, Us = 0), запишем матрицы смещений и внешних сил {U} = о и, о и, {Q} = Qi Q2 Q3 о зованию краевых условий для перемещений Ui и U3 число уравнений уменьшается на 2, и единственное решение задачи получается путем «вычеркивания» 1-й и 3-й строк и таких же столбцов. Таким образом, для определения неизвестных смещений используем уравнения Значения реакций {Qt} и {Q3} ие известны. Однако благодаря исполь [/г. — к» где [**1 {U*}= {Q*}, К22 /С4 L Л 42 к* -v2) х 3 —v 2 0 0 3 —v {U*} = "2 ) U2 "4 ^4 (Q*} = При v = 0,3 получим систему уравнений 1,35ц, -f 0-v%~ 0,35u4 + + 0,35и4 = 0; 0-и2+ 1,35у2 + + 0,3и4- 1-од = —1,82 —; —0,35и2 + 0,3и2 + + 1,35и4 — 0,65и4 = 0; 0,35u2 — l-vt— 0,65u4 + + 1 ,35и4 = 0, откуда 1/, =-3,385 ~; Vf- —2,91 _Р_. Е ' «2 = 0,63-^-; ц4 = —0,49 -4- • t E Для определения неизвестных реакций Qlx, Qly и Q3X, Q3y следует ис- 1 —v 2 — 1 3-v 1 +v 2 3 —v пользовать соответственно 1-е и 3-е матричные уравнения. Для данного примера разрешающую систему уравнений можно получить значительно проще, путем подстановки функции и и v соотношения (51) в уравнение (18) и удовлетворения условий (24). Однако для сложной задачи (с большим числом элементов) указанный алгоритм метода конечных элементов оказывается наиболее простым и универсальным. ДИНАМИЧЕСКИЕ РАСЧЕТЫ Численные методы широко используются при расчетах собственных частот и форм колебаний элементов конструкций, напряжений при установившихся вынужденных колебаниях, при исследованиях границ динамической устойчивости и при решении ряда других сложных проблем динамики. Многие из таких методов, относящихся главным образом к стационарным динамическим процессам, широко освещены в технической литературе [2 и др.].
Динамические расчеты 491 j = l J = 2 j-1 j J4-1 j=n j = n+1 1=1 j-1 ■ * J ,a*, J*! J=n I 1-1 a) j 1*1 6j-!,0-£j-l:l),l'j-',0 "J 1,0 &J 0 б JO , £J0 •' *J0 ~^*- ujb Gl'IJ) Gitlf0ic]*1t0, vi+1,0 S) bj-H'K'*! Рис. 4. Разбиение стержня на элементы (а) и напряженно-инерционное состояние элементов в моменты времени t (б) и t -f- ti (e) Более сложными и менее разработанными являются методы расчета нестационарных задач для деформируемых конструкций, в особенности при меняющихся граничных условиях (ударное и виброударное нагружения, переходы через резонансные состояния, динамика систем с зазорами и переменными точками контакта, воздействие движущихся нагрузок и пр.). К наиболее математически простым, а вместе с тем физически корректным методам численного анализа нестационарных явлений в континуальных одномерных системах относится разработанный в последние годы метод прямого математического моделирования (ПМ.М) на ЭВМ процессов распространения волн механических возмущений (напряжений, деформаций, скоростей и т. п.) [5]. Его сущность изложим на примере расчета продольных волновых процессов в упругом стержне длиной / постоянного поперечного сечения площадью F, боковая поверхность которого свободна от нагрузок. Разобьем стержень на п равных элементов длиной Д* = 1/п; номера элементов / = 1,2, ..., п, номера сечений /= 1,2, ..., п -f 1 (рис. 4, а). Пусть в момент времени t каждый элемент имеет постоянные в его пределах продольную скорость Vj0, напряжение о;-0 и деформацию е^, причем о^0 = = £е;-0, где Е — модуль упругости материала (рис. 4, б). На границах смежных элементов эти параметры могут отличаться на произвольную величину (иметь «сильные» разрывы), которые, однако, в тот же момент времени t должны распасться, в результате чего напряжение на правой границе /-го элемента о| станет равным напряжению на левой границе (/+ 1)-го элемента от.р то же относится к границе /-го и (/ — 1)-го элементов и к скоростям: а;=°ж' «7 "/+>• от — а /-1- "/ (58) Зоны «возмущения» с параметрами (58) будут распространяться в глубь соответствующих элементов в соответствии с законами механики упругого тела со скоростью с, так что глу-
492 Численные методы расчета конструкций бина их проникновения за время t, будет х, = ct% (рис. 4, в). Так, для правой границы /-го элемента получим следующие соотношения. Закон сохранения импульса. Изменение количества движения pFx^ (i'J - - vj(j) массы pFx^ должно быть равно импульсу постоянных сил (о+ — о .„) Ft^, действующих на границах этой массы в течение времени f», откуда о+ -о/0--=рс(«)-и/0). (59) Условие сплошности тела. Разность перемещений (vt— — Vj0) t* границ зоны возмущения за время t* должна быть равна ее абсолютному удлинению (et—ej0\x откуда <?-»,о = с(еТ-е/о)- (60) Закон упругости. Изменение напряжений at — o,Q связано с изменением деформаций et — е,0 соотношением оу-о/0 = £(е+-е/0). (61) Выражения (59)—(61) удовлетворяются совместно только при с = |/ — , (62) что соответствует известной формуле распространения упругих волн в стержне. Аналогично для левой границы (/ -j- 4- 1)-го элемента а/+| - °/+i. о -= f,e (»7+i ~ £'/+i. о) (63) и т. д. Решив уравнения (59)—(63) совместно при учете первых двух условий (58), найдем значения напряжений и скоростей, распространяющихся в глубь /-го элемента от его границы с (/ + 1)-м элементом: °/=0,5[а/+1р0+о/0+ | + Pc(w/+i.o —»/o)]; 1 (64) + (°/+|.о-°/о)/Рс]. т. е. напряжение и скорость изменятся на at - о/0 и vt — Vj0. Аналогично для левой границы /-го элемента 07= 0,5 [O/_li0 + o/0- -рс(»/_1,о-"/о)]; \ (65) «7= °.5 [»/_!.о+ »,о- — (°/-i. о -°/о)/Рс]. Изменение параметров составит от - о/0 и vj - в/0. По принципу суперпозиции линейных деформаций волны (64) и (65) распространяются независимо, поэтому эти соотношения будут справедливы в течение времени At = Ах/с до встречи с противоположными границами элемента. В момент времени t -j- At во всем /-м элементе установятся новые напряжения 0/(/ + до = о/0 + (о;-о/0) + + (a7-0/o) = 07 + a7-°/o (бб> и скорости Vl(t + bt) = vl0 + (vf-vl0) + + (»7 - >) = vf + VJ - °/о. (б7) Формулы (64)—(67) образуют систему рекуррентных (повторяющихся) соотношений, позволяющих по известным в момент t значениям напряжений и скоростей в /-м и в двух соседних (/ -f- 1)-м и (у— 1)-м элементах найти новые значения напряжений и скоростей в у-м элементе для момента времени t + At. Добавляя условия на внешних границах стержня (заданные напряжения, скорости, перемещения) и последовательно решая эти системы для всех элементов с шагом по времени At = Ах/с, получим точную и исчерпывающую картину динамического процесса в стержне при самых произвольных условиях иагру- жения. В более общих постановках задачи произвольно меняющиеся по времени нагрузки аппроксимируются ступенчатыми функциями с постоянными в пределах At значениями. Распределенные по длине стержня нагрузки
Динамические расчеты 493 считаются приложенными на границах элементов всечениях/(Р, /±i)- В число внешних сил могут включаться силы трения, неизвестные силы реакции и прочие. Стержни переменного сечения представляются ступенчатыми с постоянными в пределах элементов площадями F). Если Е и р меняются по длине стержня, он разбивается на элементы разной длины так, чтобы их длины Дл^ удовлетворяли условию Axj=CjAt, где Cj= ~\/Ejlpj при At, одинаковом для всего стержня. При этом в пределах /-го элемента принимается Е] = const, pj= const. При уменьшении отрезков времени At, а следовательно, и AXj принятые условия позволяют воспроизводить переменные характеристики с необходимой точностью. Так как при принятых допущениях соотношения (64)— (67) являются точными, то процесс расчета абсолютно устойчив при любом числе элементов и временных этапов. Для общего случая зависимости типа (64), (65) можно объединить, записав их для упругого стержня в виде wW/0=a/0F.,W/.±1,0=a/±I.oFj.±1. Напряжения определяются затем по формулам (59) или (6i) Условия равновесия на границах элементов Nf-Nf±i±Pf,i±i- <69> Если у£ — перемещение границы /-го элемента в начале этапа, то в конце его yf(i f A/) = 4rjfc + if At. (70) Пример. Упругий стержень длиной 2/ и площадью поперечного сечения F ударяет со скоростью о0 но упругому стержню длиной / и площадью 2F из того же материала, имеющему такую же встречную скорость —о0 (рис. 5, а). Определим скорость отскока v0TCK при упругом ударе и изучим динамическую картину соударения. "о ^ \J-1 \j-2 }=5 ■ Рнс 5. К расчету соударения дву* стержней Так как массы и скорости стержней равны, то по элементарной теории соударения упругих тел они разлетятся с той же скоростью £>o-iem~ = — v0, v0icfa = и„. Однако действительная картина удара из-за разной конфигурации стержней будет иной. Представим 1-й стержень в виде двух элементов, 2-й — в виде одного элемента длиной Ах^ = Ахг = Ах3 = = /. Начальные условия (в момент начала контакта). о10 ■=- о20 = о30 ■= — 0; vw — %, == у0; узд = —Щ- Граничные условия: о, = 0; а^ = 0. При контакте стержней сг} — а~ ^ 0, после отскока at — crj = 0. Первый шаг по времени ( = 1, (j = Д^ = Axle = = Не; с = У£/р. Первый элемент левая граница, формула (63): е>Г = о10 —(or —aI0)/pc = u0; aT =- °: vf = vf±l P/±ic/±if/±i"/±i. о -г PiciFivj ± (*/±i. о ~ Np) + Р,, /±1 Pi±icl±iFl±i^PiciFt (68)
494 Численные методы расчета конструкций правая граница, вторая формула (64) v+ = 0,5 [у10 + и,,, + (02о — о,„)/рс] = = va, o+^O Новые значения а1(/ + Д0 = оГ + оГ-°ю = 0; у, (< + ДО = V* + «Г — »,о = »ю Второй элемент левая граница, иу = uf = и„, о" = = of = О, правая граница, формула (68) при F2 = Л F3 = 2F, Р2,з = О 4. ^30 + ^2^'20 + (^ З^ЛО — ^g2())/pC F24 F3 —2+1 1 = —з—уо = -^-у°; 4 af = °го+ Рс (у* — у2о) = — "J Pcvo< <С 0 есть контакт Новые значения о2 (/ -|- At) -= at -t- Oj — о20 = 4 = з~ Рт°' у2 (< + At) =- ц+ -г uj — уго =- —j t)0 Третий элемент, левая граница- °1 = °зо — PC (»J — о3о) --уРГО, (oj = 0.5ot, но /V; = Nt); правая граница а+ = 0, vt = i-,0 + (0+ - о30)/рс= —о0 Новые значения °з С f ДО = «J + о? - о,0 = 2 = — -д-рСВд, 03(< + ДО = = ^ + Оз — 0,0 = j- V0. Затем проводится аналогичный расчет для момента времени t2 = t\-\- -f- Д? (t = 2) и далее в том же порядке На рис 5, б приведены результаты расчета в виде зависимостей vj и о^ от номера шага г В момент t — AAt, когда упругая волна, отраженная от левой свободной границы первого элемента, возвращается к плоскости контакта, происходит отскок стержней В этот момент второй стержень не на- 7 пряжен и имеет скорость Oj = -=- Щ, которую он и сохраняет в дальнейшем Элементы первого стержня при этом имеют такую же скорость Dj = о8 = 7 = Q- v0, но они испытывают напряжение растяжения ох = а2 = о = -jj- рси0 (вй всех точках, кроме внешних границ, что является источником последующих колебаний) В дальнейшем первый стержень будет двигаться с той же средней скоростью 7 »ср = °.5 (°i + с'а) = — "д- vo< к° в «ем будут происходить незатухающие (в отсутствии сил внутреннего трения) колебательные процессы в виде волн напряжений и скоростей, как показано иа рис 5, б Полная энергия системы стержней после отскока сохраняется постоянной и равной (например, при определении ее в моменты t =• 5, 7 и т д) э2 = /с1 + к2 + л3 = 4-р/?/уоХ = 2pFlvl что в точности равно начальной кинетической энергии стержней и подтверждает упругий характер удара. Потеря скорости из-за упругих колебаний стержней в данном случае составляет ~12% Из приведенного примера следует, что расчет чрезвычайно легко алгоритмизируется.
Уравнения упругости 495 Методом прямого математического моделирования решены задачи кручения и изгиба стержней, деформации струн, плоских и сферических волн, деформации упруговязких и упруго- пластичных материалов. Им успешно решаются многие технические задачи, связанные с проблемами анализа нестационарных процессов в деформируемых элементах машин и конструкций , с динамикой поездов и пр. [4, 5, 6]_ Глава 27 РАСЧЕТ КОНСТРУКЦИЙ С И ПОЛЗУЧЕСТИ УЧЕТОМ ПЛАСТИЧНОСТИ Во многих конструкциях возникают деформации пластичности и ползучести (в деталях паровых и газовых турбин, авиационных и других транспортных двигателей). Нагружеиие часто осуществляется при переменной температуре, когда механические характеристики материала существенно зависят от температуры. В отличие от технологических задач теории пластичности и ползучести (обработка давлением и т. п.) деформации пластичности и ползучести в работающих конструкциях невелики, однако их учет оказывается совершенно необходимым для расчета на прочность, оценки надежности и долговечности их работы. В последние годы расчет на прочность элементов конструкций интенсивно совершенствуется за счет широкого использования электронных вычислительных машин (ЭВМ). Открываются возможности более полного описания элементов конструкций с учетом реальных свойств материалов, характера нагружения и условий разрушения. Ниже рассмотрены основные модели материала и методы расчета напряжений и деформаций в конструкциях при простом и сложном нагружеиии с учетом упругости, пластичности и ползучести. УРАВНЕНИЯ УПРУГОСТИ Уравнения упругости для анизотропного тела с учетом температурных и дополнительных деформаций имеют вид {е}'=[<{а} + {аГ} + {е01, (1) где векторы-столбцы деформаций, напряжений, температурных и дополнительных деформаций {е} Y*v Ууг Угх {аТ\ {е°} = а Т X а Т %гТ *гХТ iyz (2)
496 Расчет конструкций с учетом пластичности и ползучести [а] —симметричная квадратная матрица упругих коэффициентов размерности 6X6. Верхний индекс е соответствует упругим деформациям. Введение дополнительных деформаций в равенство (1) связано с последующим использованием модели упругого тела для описания пластичности и ползучести материала. В некоторых задачах дополнительные деформации позволяют учесть структурные и фазовые превращения в материале. Известно, что напряжения и деформации в точке образуют тензоры. Представление напряженного и деформированного состояния шестимерными векторами, составленными из компонентов тензоров, более удобно для записи уравнений пластичности и ползучести в матричной форме (см. обозначения в гл. 26). 1 "ху _. В соотношениях (2) * е* = ди дх Уху ди dv ду +~ЬЧ~ С*. У, z), где и, v, w— упругие смещения соответственно по осям координат х, у, г. Значения уху в технической теории упругости равно удвоенной величине соответствующего компонента тензора деформаций. Для ортотропного тела матрица упругих коэффициентов имеет вид [а]* = *ух Ех О О yZy для обычного изотропного тела V т V Т V т 1 Е V ~Ё~ М' = * Здесь и в дальнейшем символы (х, у, г) означают, что недостающие соотношения выписываются по правилу круговой перестановки индексов. •yxz "уг V т Е О 2G *У о О 1 2G 2G У1 О О О О о 20г О О О о (3) (4) 2G О 2G
Уравнения пластичности 497 где £*, G — соответственно модули упругости и сдвига; v— коэффициент Пуассона. Отметим, что в формуле (1) коэффициенты линейного температурного расширения представляют собой средние значения в температурном интервале от 0 до Т. Например, линейная температурная деформация в направлении оси х ej = ахТ = | а* (9) dQ, (5) где ах истинный коэффициент температурного расширения; в—текущая температура. Из последнего равенства вытекает' а*(т) = Чт К7")- (6) Считая коэффициенты упругости зависящими от температуры, из уравнения (1) получаем {dz}' = [а]е {dc} + +(4r[a]e){a)dT+ J _d(aT)_ \ dT+{dza). C) Для изотропного тела соотношения (7) в развернутом виде будут такими: УРАВНЕНИЯ ПЛАСТИЧНОСТИ Деформационная теория пластичности [3, 4) предполагает наличие однозначной зависимости между суммарными деформациями в упруюпласти- ческом теле и напряжениями. Для изотропного тела основные соотношения деформационной теории имеют вид 1 +v е« —6 =—w— Ц(ох — а),...; 1 1 -f v Цтху,... (х, у, г), (8) где Е, v— соответственно модуль упругости и коэффициент Пуассона. Средние деформации и напряжение связаны соотношением упругости е= '~^2V ° + *Т; (9) здесь е и а— соответственно средняя деформация и среднее напряжение: е = -3" te* + Ey + ег); а = -у (стж + o-j/ + °г)- (10) В равенствах (8) величина \р представляет собой параметр пластичности: ег °1 2(1 + v) at (И) где о"; и Et — соответственно интенсивности напряжений и деформаций, < = T[dax-y{da]l + dat)]. -£Г [а* - v (°у + ог)] J=Br dT - йЕ ИГ 1 dv - T(ov + at)--rdT + dy dT ie =- ху dG -Q-^xt- G*"C*y-dTdT + dy*v (х.У.г). V2 x/(a*-°!,)2 + ..-+6(^+...); (12) V2 x/(*x-«gs + - + f №*+-); a* — интенсивность напряжений в упругом теле, соответствующая интенсивности деформаций ег. В расчетах принимается, что интенсивности напряжений Oj и деформаций
498 Расчет конструкций с учетом пластичности и ползучести Упруго? тело Рис. 1. Кривая деформирования е,- связаны однозначной зависимостью (рис. 1) °i = Ф (в,). (13) Эта зависимость (обобщенная кривая деформирования) предполагается одинаковой для любого напряженного состояния. При растяжении стержня ах = °о; ау = °; oz = 0; \ху = 0; xyI — 0; xzx = 0; ex = e0; гу = —v*e0; ez = —v*e0; yXy = 0; yyz = 0; yzx _= 0 и из (12) получим Oj = a0; 2(1 + v*) e< = l з ' в». (14) где v* — коэффициент Пуассона в области упругопластических деформаций (v ^ v* ^ 0,5). Часто в практических расчетах принимают v* = 0,5, и тогда уравнение (13) представляет собой зависимость а0— е0 при растяжении стержня. При упругих деформациях параметр пластичности "ф = 1 и уравнения (8) совпадают с уравнениями упругости о Ухи 1 +v (15) Верхний индекс е, как и раньше, означает, что рассматривается упругая часть деформации. Вычитая из соотношений (8) равенства (15), получим выражения для пластической деформации: 1 _f- у №- i) (°x — °). (16) 1 _f_ v (У—1)1хи'---(х'У-г) где верхний индекс р соответствует деформациям пластичности. При выводе последних соотношений учитывали, что для пластических деформаций и поэтому е — Ее. Равенства (8) можно записать в векторной форме: {<>} = 1 -4>{S>. (17) где {е} — вектор-девиаюр деформаций; {S}—вектор-девиатор напряжений Ъ2 1 2 1 2 1 — е Уху Ууг {S} = ах~а Oj, —О oz — о хуг tzx {е} = 2~yzx , (18) Соотношения (16) можно представить в виде {е}' 1+v (г|> - П (S). Вектор пластической деформации кол- линеарен вектору-девиатору напряжений. Приведем еще несколько соотношений деформационной теории пластичности. Если каждое из уравнений (8) возвести в квадрат, сложить все
Уравнения пластичности 499 шесть полученных равенств и извлечь квадратный корень, то получим е* 2(1+у) 3£ Wl, что соответствует зависимости (11). Подобным образом можно найти интенсивность пластических деформаций из уравнений (16): Из последних соотношений вытекает: *t=*>t+2ll+V) 3£ "i — Ef i e<» (19) т. е. интенсивность деформации равна сумме интенсивностей пластических и упругих деформаций. Для случая растяжения получим °i = ао> «? = 4- Так как пластическая деформация протекает без изменения объема, то р" = р" = L о" L рР *у ьг 2 * ~~ 2 °' Из уравнения (19) о , 2(1 + v) в; = е£ Н Ч~-- ап = еп 3£ Jo — со" 2(1 +v) или ej = e0 3£ 1 — 2v ae В качестве обобщенной кривой деформирования можно рассматривать обычную кривую деформирования при растяжении а0— е0. Для приведения кривой деформирования, соответствующей сложному напряженному состоянию, к эквивалентной кривой при простом растяжении, следует положить ее = в, + 1 ■2v 3 * Экспериментальные исследования показали, что основные зависимости деформационной теории пластичности справедливы по крайней мере при монотонном возрастании и в случае простого нагружения *. Если {о}о— обобщенный вектор напряжения, соответствующий внешним воздействиям в момент времени ta, то при простом нагружении в момент времени t {о) = [a}0f (t), (21) где / (/)— произвольная, неубывающая функция времени. Из равенства (2!) следует, что в процессе простого нагружения все компоненты вектора напряжения увеличиваются в одинаковое число раз. Следовательно, при одноосном напряженном состоянии нагружение всегда будет простым. Деформационная теория пластичности нашла широкое применение в практических расчетах. Однако при сложном нагружении, особенно когда на некоторых этапах происходит разгрузка, применение деформационной теории может привести к погрешностям. Основной недостаток этой теории — отрицание роли «истории нагружения». Во многих случаях более оправданным является ррименение теории пластического течения [7] В соответствии с теорией пластического течения приращения пластической деформации в процессе нагружения + FT{Pt,T)dT][ax-a),...; (22) ■dt lFo-(°i, T)d°i + ■\-FT(°i, T)dT]xxy,.., (x, y, z), где о,- — интенсивность напряжений [см. (12)]; Т—температура. Применяя равенства (22) для случая простого растяжения при Т = (20) * Нагружение называют простым, если соотношение между компонентами напряжения остается неизменным в процессе нагружения.
500 Расчет конструкций с учетом пластичности и ползучести arctgE(T0) OtrtOnst arctg£(T,) Рис. 2. Кривые деформировання при растяжении с постоянной температурой (а) и с постоянным напряжением (б) 2о,- (■ Ек {at, T) Е(Т) = const, находим функцию напряженного состояния F„(a,, T) = )• (23) где Е (Т) — модуль упругости материала при температуре Т; Ек (Oj, Т) — касательный модуль, определяемый по обычным кривым демпфирования при о0 = Oj, T — const (рис. 2, и). Термомеханическая функция Fr(a,, T)-,. = JL Гй _l °< dEjJ)_ 2oj Lр_|~ £2(Г) dT где Р = f (о;, T) — коэффициент температурной податливости, зависящий от напряжения и температуры. В упругой области а _ о; dE (Т)~\ т J' о; £2 dT Коэффициент р (о,-, Г) определяют по экспериментальным кривым растяжения при о0 = а; = const и непрерывно повышающейся температуре (рис. 2, б), этот коэффициент представляет собой приращение деформаций при о; — const за счет увеличении податливости материала при возрастании температуры на 1 °С. Термомеханическую функцию можно представить в виде Ft (°i. T) = = -Fa (oi, Т) *°ЛТ>*1) дТ (24) где as (Г, tPi \ — мгновенный предел текучести, соответствующий температуре Т и накопленной пластической деформации е^ (рис. 3). Величина е? равна сумме интенсивности приращений пластической деформации на всем пути иагружения: < = ] -£-*, о где 3 (teP- =• dt X (25) x]/(^-de*)2+...+ + |[«)2 + -]- (26) Равенства (22) описывают приращение пластической деформации при выполнении условия активного иагружения (<*е^ > 0) ai = aayldai>^-dT. (27)
Уравнения ползучести 501 Рис. 3. Поверхность деформирования Если справедливо хотя бы одно из условий а, < а8 или da, < -^- dT, (28) U1 то следует считать, что приращения пластической деформации нет. В этом случае имеет место либо разгрузка, либо упругое нагружение. Равенства (22) можно представить в векторной форме {<te}p = [Fa (a,, T)dot + + FT(aitT)dT]{S}. (29) Вектор приращения пластической деформации коллинеарен вектору-девиа- тору напряжений. Изложенный вариант теории пластического течения предполагает изотропное упрочнение по мере увеличения e.Pi и не описывает эффект Баушин- гера. Однако его можно использовать как первое приближение при расчете конструкций в условиях сложного иагружения. УРАВНЕНИЯ ПОЛЗУЧЕСТИ Ползучесть материала (возрастание деформаций с течением времени при постоянном уровне напряжений) проявляется в теплонапряженных конструкциях. В современных моделях ползучести приращение деформаций ползучести принимается равным *£ = ФЯ(ох-0),...; jdfxy = 0>dtTxy,... (х, у, г), (30) где / — время; Ф — функция ползучести, зависящая от инвариантов напряженного и деформированного состояния. Верхний индекс «с» соответствует деформациям ползучести. В векторной форме равенство (30) запишется в виде [de}c = <Ddt {S}. (31) Вектор приращения деформации ползучести коллинеарен вектору-девиа- тору напряжений. Теории ползучести различаются определяющими параметрами. В теории течения [5, 7] принимают Ф = Ф (at, T, /); (32) в теории упрочнения [5, 7] Ф = ф(а(, Г, гси), (33) где t\ — накопленная деформация ползучести. Величина ecit определяется соотношениями (25), (26), в которые входят приращения деформаций ползучести *. Пусть известна кривая ползучести (рис. 4) и определена скорость деформации ползучести % _-?<> ё_ dt ' где tc — деформация ползучести при одноосном растяжении. Применяя теорию течения при ползучести для случая простого растяжения, из уравнений (30) получим ф = W7l{0i' T' °- (34) Скорость ползучести определяется по времени нагружения. Потеории упрочнения скорость ползучести зависит от накопленной деформации ползучести и ф=-£7*(°*т'$-)* {35) где а, = а0, е^ = eg. В зависимости (34) историю нагружения отражает время t, в уравнении (35) — накопленная деформация ползучести е' . В расчетах используют * Соотношения для е(- получаются из равенств (25) и (26) заменой в них верхнего индекса р на с.
502 Расчет конструкций с учетом пластичности и ползучести Рис. 4. Кривая ползучести также теорию старения, которая основана на изохронных кривых ползучести аналогичных кривым деформирования материала. Эти кривые получают перестроением кривых ползучести при Т= const, t= const. Расчет по теории старения аналогичен упругопла- стическочу расчету. Основной недостаток теории старения — ограниченные возможности описания сложного нагружения. РАСЧЕТ КОНСТРУКЦИЙ НА ПРОЧНОСТЬ С УЧЕТОМ ПЛАСТИЧНОСТИ И ПОЛЗУЧЕСТИ (ПРОСТОЕ НАГРУЖЕНИЕ) Часто используют модель простого нагружения, при котором в каждой точке тела соотношения между компонентами напряжений в процессе нагружения остаются неизменными. Использование такой модели не приводит к существенным погрешностям и в тех случаях, когда нагружение является монотонно возрастающим и главные направления тензора напряжений (или направления главных напряжений) остаются неизменными в процессе нагружения. Определение напряжений и деформаций в элементах конструкций с учетом пластичности и ползучести связано с большими трудностями, так как расчетные соотношения оказываются нелинейными. Для линеаризации задачи можно использовать метод переменных параметров упругости и метод дополнительных деформаций. Метод переменных параметров упругости основан на предоставлении зависимостей для упругопластическоготела в форме уравнений упругости, в которых параметры упругости зависят от напряженного состояния и поэтому переменны в различных точках тела. Соотношения деформационной теории пластичности (8) и (9) представим в обычном виде закона Гука е* = -£- К — v* (ау + о^] 4- аГ,...; (36) 2(I+vJ Уху = - £* •ixy... (ж, у, г), где переменные параметры упругости зависят от напряженного состояния, т. е. 3 v, = 2(1 +v)\p+ 1 — 2v ij? (1 +v) — (I — 2v) 2гр(1 +v)4- 1 — 2v (37) (38) здесь гр — параметр пластичности, определяемый по формуле (11). Учитывая уравнения (20), найдем 3 Е Ч> = п,, , ... -тг-Х XI 2(l+v) 1 - 2v •)• (39) где Ес = ео секущий модуль кривой деформирования (при растяжении). Внося (39) в соотношения (37) и (38), получим простые равенства Е = F ■ v* = -f [i—§4l-2v)]. (40) Обычно влияние коэффициента Пуассона на напряженное и деформированное состояния невелико и во многих практических задачах можно положить v* = "Hv + T")==0'Gv + 0,25 или считать в упругой области v„ = v, а при наличии пластических деформаций v* = 0,5. Так как параметр 1р (или секущий модуль Ес) заранее
Расчет на прочность при простом нагружении 503 о о arctg Е 1„ Рис. 5. Схема расчета по методу переменных параметров упругости неизвестны, то при расчете используют процесс последовательных приближений. В первом приближении, считая материал упругим, при Е, (1) = = Е и v„ = v (где £ и v — модуль упругости и коэффициент Пуассона материала, зависящие от температуры) решают упругую задачу, из которой находят aj (1) (рис. 5) в каждой расчетной точке. В плоскости а0 — е0 состояние первого приближения изображается точкой 1, лежащей на пересечении линии ст* (1) и луча, угол наклона которого равен arctg E. Этому состоянию соответствует эквивалентная деформация г - °''(" и секущий модуль Е - а'<" сс (1) —; • 80(1) Во втором приближении полагают £.<2,=£c<>,;v.(2) = -i[i-^ix X (1 — 2v)] и, решая ту же задачу при Е, (2, и v, (2) , находят новое состояние 2 и т. д. Расчет заканчивается при достаточной близости двух соседних приближений. При расчете с учетом деформации ползучести наиболее простая расчетная схема получается для теории старения. В этом случае также используют метод переменных параметров упругости, но для кривой деформирования, соответствующей времени t. Обычную кривую деформирования применяют для начального момента времени (t = 0). Учет ползучести по теории течения или упрочнения проводят по этапам времени. На начальном этапе выполняют расчет по уравнению (36). Для нового этапа после времени At расчетные уравнения имеют вид e*i = -£- [Oxi — v* (°ji + azi)l + + аГ + е^,...; (41) Vxj/ 1 — £ %ХЦ 1 П~ + fxyo--- (*' У< *)• где гсх0 усху0 — деформации ползучести, соответствующие напряженному состоянию в начале этапа нагружения. Из уравнений (30) получим 4о = фо(0*о-0о)д<1-"-; (42) где функции Ф0 находят из уравнений (34) или (35) при значениях определяющих параметров, соответствующих началу этапа нагружения (aj0, Т0< {о~ °> е?»о= °)- Величины а^ ...,%Хуо представляют собой напряжения в упругом материале при отсутствии деформаций ползучести. Для следующего этапа нагружения уравнения упругости имеют вид е,2 = 4- [°х2 ~ V. (°V2 + az2)] + Уху2 = = 2J- xxs,2+rxyV- Ух>У'г)' где е^,, ..., усху{ —деформации ползучести, накопленные к началу этапа нагружения, <1=<4 + ф1(а*1-а1)А'2'"-; J_vc [_vc i 2 'ху\ ~~ 2 xy0 + Ф,тху1Д<»,... (х, у, г).
504 Расчет конструкций с учетом пластичности и ползучести Подобным образом рассчитывают остальные этапы нагружеиия. Длительность этапов выбирают настолько малой, что изменение напряженного состояния в результате ползучести незначительно. Наиболее просто изложенный метод расчета можно применять в случае, когда пластические деформации отсутствуют, а деформации ползучести развиваются в упругом теле. Тогда во всех приближениях принимают £» = Е, v* = v. Если уже иа первом этапе нагружения (t = 0) возникают пластические деформации (напряжения превосходят предел текучести материала), то для расчета используют метод переменных параметров упругости. Этот метод применяют и для второго этапа нагружения, причем расчет считается достоверным, если в точках, в которых имелась пластическая деформация в конце первого этапа нагружения, интенсивность напряжений увеличивается (точнее, пластическая деформация возрастает). Если это условие не выполняется, то расчет проводят снова, причем в точках разгрузки принимают Е„ = Е, vt = v. Аналогично осуществляется расчет последующих этапов нагружения. Метод дополнительных деформаций. В этом методе, в отличие от метода переменных параметров упругости, деформация пластичности рассматривается как дополнительная, имеющая характер анизотропной температурной деформации. Основной в этом случае является обычная задача теории упругости с постоянными параметрами упругости, что существенно упрощает «упругое» решение. Однако структура процесса последовательных приближений оказывается несколько сложнее, чем в методе переменных параметров упругости. Для деформационной теории пластичности основные уравнения имеют вид + аГ + еР,...; (43) где дополнительная пластическая деформация ех = 1Г1 №-1)(а,-а),...; (44) tS,= 2('j~V) (4>-0тяу.-(*,у,г). Учитывая соотношения (8), равенства (44) можно записать в виде, часто более удобном для решения задач: е5 = ('--^-)(е*-е)--: (45) ^*= ('—£-)***•••■ (Х'^ гК Здесь, как и ранее, под дополнительными деформациями понимается разность между действительными упруго- пластическимн деформациями ех, ... и их упругой частью гех, ... . В первом приближении, которое совпадает с первым приближением в методе переменных параметров упругости, решается упругая задача при отсутствии дополнительных деформаций. Определяются значения компонентов напряжений o'j, .... т* (1), ... и деформаций вх (1), .... Уху(1), .... интенсивности напряжений о,(1). В плоскости а0 — е0 состоянию первого приближения соответствует точка J (рис. 6). Значению а* (1) соответствует эквивалентная деформация в0 (1) и определяемая по кривой деформирования величина а,- .1(. Тогда параметр пластичности * = -£i!L. (46) Далее находим дополнительные деформации е*(1) = (' ^-) (Едг(1)~Е(1))----; (47)
Расчет конструкций при сложном нагружении 505 fO(JJ Рис. в. Схема расчета по методу дополнительных деформаций Эквивалентная деформация при простом растяжении е0(1) = (' — -^-je0(i) показана на рис. 6. Во втором приближении рассматривается та же упругая задача, но при наличии дополнительных деформаций рР vP е*(П' "•' Уху(1) *х (2) = J [ax(2) -V (%(2) + °,(2>)]+ + аГ + е£(1),...; (48) W, = о-тху(2) + 7зд(1)....(*,У.г). В результате второго приближения находят новое состояние, характеризуемое компонентами напряжения а*(2), ..., т^(2), ... и деформаций Ех(2)> ■■■'Уху(2\ Этому состоянию в плоскости а0 — е0 соответствует на рис. 6 точка 2, которая лежит на пересечении горизонтальной линии а*,2) и наклонной линии 022, параллельной линии упругого нагружения 01 и сдвинутой на величину 002 = е^(1.. Далее определяют 80(2) = £ f"E0(1), (49) а по кривой деформирования — ац2)- Последующий порядок расчета аналогичен расчету первого приближения. Подобным образом строят третье и последующие приближения, причем для всех приближений параметры упругости Е, v остаются неизменными. Расчет заканчивают при достаточной близости двух соседних приближений. При необходимости учета деформаций ползучести используют изложенный выше метод. Для каждого этапа нагружения (по времени) в уравнения (48) добавляют деформации ползучести, накопленные к началу этапа. Эти деформации остаются неизменными в процессе последовательных приближений, используемых для нахождения деформаций пластичности на данном этапе. РАСЧЕТ НА ПРОЧНОСТЬ КОНСТРУКЦИЙ ПРИ СЛОЖНОМ НАГРУЖЕНИИ Для расчета напряженного и деформированного состояния элемента конструкции нагружение разбивается на ряд этапов. В большинстве случаев оказывается целесообразным проводить расчленение по этапам действительной истории нагружения во времени. На каждом этапе нагружения должны удовлетворяться уравнения равновесия дх ' ду ^ дх "+" , . „ д* Аьц •f p AftX = p gt£ , . . . (х, у. г). (50) где AftOx, ... — приращение напряжений на jfe-м этапе нагружения; AftX — приращение массовой силы; р — плотность материала; А^ц — приращения смещения по координате х. Приращения напряжений должны удовлетворять граничным условиям Дьоу -(- Ькххут + Дьтжгп = = Akqx,... {x, у, г), (51) где I, m, n — направляющие косинусы нормали к элементу поверхности; Afc?x — приращение составляющей по
506 Расчет конструкций с учетом пластичности и ползучести Упругость Пластичность 1 Ползучесть -о > Рис. 7. Модель материала оси х поверхностей нагрузки на k-м этапе нагружения. Используя модель материала в виде последовательного соединения моделей упругости, пластичности и ползучести (рис. 7), для приращений деформаций получим {dt}^{dee} + {dep} + {dzc\, (52) где вектор приращения деформаций de,x dev dez \de) = = J dyxy dyzx (53) Учитывая соотношения для приращений деформаций упругости, пластичности и ползучести, найдем (rfe) = [a)e \da) + Fa (oj, Г) {S} dat+ + {<рг}ЙГ+{Фс)Л, (54) где вектор температурных деформаций Ы-{*&-} + &")* dT X {o}+FT(Oi, T){S) (55) и вектор скоростей деформации ползучести {epe}=a>{S}. (56) В равенстве (54) первое слагаемое выражает приращение деформации упругости в связи с ростом напряжений, второе — подобное приращение деформации пластичности, третье — увеличение деформаций, вызванное повышением температуры, последнее — приращение деформаций ползучести. Вектор температурных деформаций состоит из трех векторов. Первый учитывает обычную температурную деформацию, второй и третий — влияние температуры иа упругие и пластические свойства материала. Функции Fa {at, T) и FT (at, T) в случае разгрузки принимают равными нулю. Для расчета можно использовать метод переменных параметров упругости или метод дополнительных деформаций. В методе переменных параметров упругости уравнение (54) записывают в форме lde) = [a] [da) + [Vr)dT + + ЫЛ. (57) где [a]= [a]'+ [a]p. (58) Для этого надо представить второе слагаемое в равенстве (54) в виде Fa (°i, T) [S) dot = [af {da), (59) Учитывая, что dat dat = дах или итху ■dax+...+ dixv + .. (60) , 3 ах — a , °t (61) и сопоставляя однородные члены в равенстве (59), найдем элементы симметричной матрицы [а]р размерности 6X6: ап (°х — °Г 021 = агУ, 2ot 3F а2а = -23^-(ау-а)2;.
Расчет конструкций при сложном погружении 507 а31 = -^~{Ох — о)т:ху,...; (62) 3F ali^~r2xzx(ax— a),...; 3F а2в = -2^-2тис(а„—а),...; 3Fq 0 Уравнения (57) соответствуют анизотропному упругому телу с дополнительными деформациями, параметры упругости зависят от напряженного состояния. Интегрируя соотношение (57) но времени для этапа нагружения, получим {Afe6)=<[a]>{Afta}-H{<pr})Ar + + <{Фс}>Л<. (63) где угловые скобки означают среднее значение. При расчете используют процесс последовательных приближений. В первом приближении полагают (И> - [«]*_! = К_, + [а]£_„ (64) т. е. принимают параметры упругости, соответствующие напряженному и деформированному состоянию в конце предшествующего этапа нагружения. Принимают сначала, что характер нагружения (нагрузка или разгрузка) остается таким же, как и на предшествующем этапе. Аналогичное предположение принимают для векторов <{<PrJ> = {<Pr}ft-i. <{<Рс}> = {<Pc}ft-i- (65) Далее проводят расчет &-го этапа нагружения анизотропного упругого тела с заданными дополнительными деформациями. После расчета проверяют условия возникновения пластической деформации: °«*, = "Л7".,. *?.(*,)'. (66) Aft"f > -^г- ДкГ, (67) где о"1(м—интенсивность напряжений в конце fe-ro этапа нагружения; °т {T.h> 8?, (ft)) —предел текучести, соответствующий температуре Ть и накопленной интенсивности Пластической деформации в конце /fe-ro этапа нагружения; \Т = T{k) — T{k_x)- приращение температуры на k-u участке нагружения; &hat~ a(.k) — — a: (ft—l) — приращение интенсивности напряжений. Если характер нагружения на k-м этапе остается таким же, как в предыдущем (k — 1)-м, то корректировка значения [а]^ ие требуется. Если на k-м этапе предполагали нагружение, но после расчета условия (66) и (67) оказались не выполненными, то расчет этапа следует провести заново, положив [ajft-t = [«]*_,. (68) Если на k-м этапе предполагали разгрузку [использовали соотношение (68)), но в действительности было нагружение, то расчет следует провести заново, принимая [а];1_1 по равенству (64). В результате рассмотренной процедуры в первом приближении устанавливают приращение напряжений и деформаций на k-u этапе и значение [a]ft. Если принятые вначале величины [ajft_! и полученные после расчета значения [а]ъ дост точно близки, то расчет этапа зака' чивают и приступают к следующему шагу. Если расхождение параметров упругости велико, полагают ([e|>=y([e|»-i+№) (6<П и проводят расчет второго приближения. Расчет fc-го этапа заканчивают при достаточной близости двух соседних приближений, после чего приступают к расчету следующего (k -f 1)-го этапа. При проведении расчетов подобным образом уточняют значения {<Рт) и {Фс}- В методе дополнительных деформаций соотношения (54) представляют в форме {rfe} -=[a]e {do} + id&)p + + ((фг}е+{фг}р)^Г+{фс}Л, (70,
508 Расчет конструкций с учетом пластичности и ползучести л'Ч о, = oD где вектор дополнительной деформации \dep\ =--Fa{at, T) {S} dat. (71) Вектор температурной деформации в упругом материале . ( d(aT) 1 , + (-^[в]')(а). (72) Вектор температурной деформации, связанный с пластическими деформациями, {Фг}=//-(0|. Л {S}. (73) Интегрируя соотношение (70) по времени для ife-ro этапа нагружения, получим {ЛАе} = <[а]0 (Л*а) + + <M°f. n{S})Afto,+ + «{фг)е) + <{фг)р))АГ + + <Ы>Л<- (74) Основная трудность расчета состоит в том, что приращение пластической деформации (второе слагаемое правой части) заранее неизвестно и находится в процессе последовательных приближений. Процесс деформирования будем рассматривать в координатах а0, е0 (рис.8), причем накопленная иитеисивность деформации Рис. 8. Схема расчета по методу дополнительных дефор- А маций при сложном нагру- м '*- жении т Обобщенная кривая деформирования представляет собой обычную кривую деформирования при растяжении образцов, так как для этого случая at = а0; Е(. = ео + -jr = Ео- (76) Для расчета необходимо иметь сетку кривых деформирования прн различных температурах (термомеханическую поверхность деформирования). В первом приближении проводят расчет напряжений и деформаций, предполагая материал упругим, а дополнительные деформации отсутствующими Далее считают, что из расчета предшествующего этапа известны величины ef, {k^l),oT(k_1) = aT(Tk_it Ef* (*—d) и' слеД°вательН0> положение изображающей точки А^_х на кривой деформирования при Т = Th_i- Если точка Ak_i находится внутри отрезка 0ft_ А. , например A'k_lt то первое приближение завершает расчет. Рассмотрим поэтому случай, когда точка Ah_x расположена на кривой деформирования и Оцк-1) ~ °т(*-1) (см. рис. 8). При расчете первого приближения значения [а]е, {фг1*, {фс} принимают соответствующими точке А,к_1). После проведения расчета проверяют выполнение условия нагруження (67). Если имеет место нагружение, то
Расчет конструкций при. сложном нагруокении 509 определяют величину Д^1 >е^ — интенсивность приращений деформаций, полученных из уравнения (74). Полагая где Ек (k-v — касательный модуль в точке /4а_ь проводят расчет второго приближения, в котором дополнительную пластическую деформацию считают равной В расчете принимают среднее значение функции F„ (О;, Т) по ее значениям для точек Ak_l и А^1', При наличии пластической деформации учитывают также дополнительную температурную деформацию (\<pr\p)dT. Подобным образом проводят расчет следующего приближения. Расчет заканчивают при достаточной близости двух соседних приближений. В результате расчета находят приращение напряжений и деформации на fe-м этапе нагруження, векторы напряжений и деформаций в конце этапа нагружения, значения ol (/fe,, ef^,ft.. Для начала расчета следующего (k -f 1)-го этапа точку Ak (при заданных значениях e?*(fc)- Tk} переносят на кривую деформирования, соответствующую температуре 7V Расчет (k + I)-ro этапа проводят по указанной выше процедуре. Пример. Рассмотрим задачу об уп- ругопластическом изгибе стержня прямоугольного сечення при М„ = 1,6 X X 10* Н-см. Стержень (рнс. 9) изготовлен из стали ЗОХГСА, кривая деформирования приведена на рис. 10. Расчет по метод} переменных параметров упругости выполним по схеме, описанной выше. ♦ У Ми U Рш . 9. Расчетная схема задачи Напряжения изгиба в стержне М а = Еу- \в? dF (77) В первом приближении материал принимаем упругим, и при Е = const а" - Му ■ (7Я\ е(1) = £ (79) Деформации е(1) в каждой точке стержня соответствует по кривой деформирования напряжение а(1) (рис. 10) и модуль упругости ^С (1) — ' "(1) Е(1) Во втором приближении М J(2) Ес(»У- 0.SA 26 | Еса)уЫу -<2> J(2) (80) (81) (82) Далее найдем о(а) и Ес (2) и перейдем к следующему приближению. На рнс. 11 показано распределение напря- б„,МПа 1600 fifOO 1200 1000 800 600 <tOQ 200 \ О 0,02 0,0Ь 0,06 0,08 е0 Рис. 10. Кривая деформирования
510 Расчет конструкций с учетом пластичности и ползучести у, мм 1 О -1 -2000 Л ^ ь(1) lJ* 1 1 1 ]jr -woo WOO МПа Рис. 11. Распределение напряжений в поперечном сечении стержня при изгибе жений по сечению стержня в первом и третьем приближении При расчете принимали, что кривые деформирования при растяжении и сжатии одинаковы. Расчет по методу дополнительных деформаций также выполним по схеме, описанной выше. Напряжения изгиба в стержне при введении в расчет дополнительных деформаций вычислим по соотношению а = Е У~ М* ]Еу> dF ■ + \EyeP dF \Е* dF Учитывая, что в рассматриваемом методе основной является упругая задача, при Е = const запишем а = J 4- Еу — J в". dF F.pP. (84) В первом приближении принимаем, что ер = 0 и Мху . аП) Деформации е(1) соответствует по кривой деформирования напряжение а(1) и упругая часть деформации в(1) (85) Дополнительная деформация в каждой точке сечения E(l) ~ Е(1) Б(1) °<и (86) Во втором приближении . , 2ЕЬУ о*21 = аГ1) + —г-^-Х Jx 0,5Л X | tp{l)(y)ydy-EsPl)(y); (87) ef«> =• а?. (88) Далее найдем a,,,, e(2, = e*i!) + ef,,, (83) ef.2) -f- ef„, и перейдем к третьему приближению. Расчет закончим при малой разности между °<0 ■чо- Существенное преимущество этого метода состоит в том, что упругая задача решается лишь один раз, что позволяет значительно сократить длительность расчета при численном решении задач упругости, пластичности и ползучести. Оба метода расчета приводят практически к одинаковым результатам. Глава 28 КОНЦЕНТРАЦИЯ НАПРЯЖЕНИЙ В ДЕТАЛЯХ МАШИН И ДЕФОРМАЦИЙ ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ При проектировании и оценке прочности деталей, работающих при переменных нагрузках и температурах, необходимо особое внимание уделять зонам концентрации напряжений и деформаций —- источникам образования трещин, приводящим к преждевременному разрушению деталей.
Концентрация напряжений около отверстий 511 Концентрацией напряжений (деформаций) принято называть резкое местное изменение поля напряжений (деформаций), вызываемое: а) конструктивными факторами — изменением размеров сечений и формы деталей (выточки, галтели, отверстия, пазы, канавки и т. п.); б) условиями внешних воздействий (силовых, например контактных и т. п., а также температурных); в) технологическими факторами (трещинами технологического происхождения от литья, сварки и т. п.). Существенная особенность явления концентрации напряжений состоит в том, что в зоне концентратора часто образуется сложное напряженное состояние (даже при одноосном напряженном состоянии на невозмущенной границе области). Зона возмущения поля напряжений обычно невелика, однако, как показывает практика, концентрация напряжений снижает прочность деталей, работающих при переменных нагрузках и в условиях повышенных температур. Детали из хрупких материалов (например, нз высокопрочных сталей) могут разрушаться преждевременно и при статических нагрузках. Ниже рассмотрена концентрация напряжений в элементах конструкций, обусловленная конструктивными факторами. Концентрацию напряжений принято оценивать теоретическим * коэффициентом концентрации напряжений а, равным отношению напряжения при наличии концентратора к напряжению в той же точке при отсутствии концентратора. Если деталь работает при простом напряженном состоянии на границе невозмущенной области, то где оппх, ттах — соответственно максимальные местные нормальные н касательные напряжения, вычисленные методами теории упругости или опреде- * Кроме теоретического коэффициента часто используют эффективный, характеризующий прочность конкретного материала в условиях концентрации напряжений (см. гл. 31). яенные экспериментально; оном, сном— номинальные нормальные и касательные напряжения, найденные без учета возмущений (обычно по формулам сопротивления материалов). Для деталей, работающих в условиях сложного напряженного состояния (на границах невозмущенной области), _ °г шах /0ч °i ном где Oi max, о, ном — интенсивность максимального местного и номинального напряжения в точке тела. Для оценки прочности, особенно прн циклических нагруженнях, важное значение имеет теоретический коэффициент концентрации деформаций 8г ном В ряде случаев для оценки сопротивления разрушению помимо коэффициентов концентрации напряжений (деформаций) используют градиент напряжений (деформаций) — быстроту затухания напряжений (деформаций) по мере удаления от концентратора. Градиент напряжений (деформаций) находят как отношение приращения напряжений (деформаций) в двух соседних точках к расстоянию между ними. Расчет концентрации напряжений проводят часто методами теории упругости (с использованием теории аналитических функций и аппарата конформного отображения). В последние годы получили развитие и широкое применение численные методы теории упругости *, позволяющие эффективно решать задачи расчета концентрации напряжений и деформаций в элементах конструкций в условиях упругости, пластичности и ползучести. КОНЦЕНТРАЦИЯ НАПРЯЖЕНИЙ ОКОЛО ОТВЕРСТИЙ Многие элементы конструкций имеют отверстия конструктивного нли технологического назначения. Прн одноосном (в одном направлении) растяжении пластинки большой ши- * См. гл. 26.
512 Концентрация напряжений и деформаций Р — Р Р 1 -о i ^ji '■ s° 1 -1— Ов а с/а =1,5~ ^ д ^ -^*- ж (7J ■«- ■"- 11р 10 р 1 Ь I ! p^sa=7r/2 К ^<Л * -^ -*- р ~*" л 0J ^ Рис. 1, Распределение иапряжеинй в пластинках с отверстиями различной формы рины (b > 5d) с круглым отверстием (рис. 1, а) в точках на контуре отверстия возникают нормальные напряжения а9 = (1 — 2 cos 26) р, (4) где угол б отсчитывается от оси х к оси у\ р — напряжение растяжения на стороне пластинки. В некоторой точке С, удаленной от центра отверстия на расстояние г (см. рис. 1,а), при р = d/2r ^ = [(1-Р2) + + (1-4р».+ 3p«)cos26] 4; а6 = [(1 + р2) — (1 + Зр*) cos 26] (5) xr9 = [(14-2p»-3p*)sin2e]-|-. Наибольшие растягивающие и сжимающие напряжения возникают соответственно в точках пересечения контура отверстия с осью у (сгтах = Зр) и с осью х (сг = —р), а коэффициент концентрации напряжений = 3. (6) Если пластинка большой ширины имеет эллиптическое отверстие (рис. 1, б) и растягивается в направлении оси *, то 1+2- (7) Эллиптические отверстия выгодно располагать так, чтобы большая ось эллипса была параллельна действующему усилию. В пластинках с треугольным (рис. 1,в) и квадратным (рис. \,г) отверстиями высокая концентрация на-
Концентрация напряжений около отверстий 513 с/а 1,0 1.5 2,0 2,5 3,0 3.5 4,0 5,0 Гц/С 0,04 4,8 4,6 4,5 4,4 4,3 0,06 4.2 4.1 4,0 3,9 3,8 3,8 3.7 3,7 0,08 3.8 3,7 3,6 3,5 3,4 3,4 3,5 3,3 0,10 3,5 3.4 3,4 3,3 3,2 3,2 3,1 3.1 0,12 3,4 3,3 3,2 3,1 3,0 3,0 2.9 2,9 0,15 3,1 3,0 2,9 2,9 2,8 2,7 2,7 2,7 0,20 2,9 2,8 2,7 2,6 2,6 2,5 2,5 2,4 0,30 2,9 2,7 2,5 2,4 2,3 2,3 2.3 2.2 0,40 2,9 2,6 2,4 2.3 2.2 2,2 2,1 2.1 0,50 3,0 2,5 2,3 2,2 2,1 2,1 2,1 2,0 Примечание, леяия вершин а, с — стороны прямоугольного отверстия; г„ — радиус скруг- пряженнй имеет место вблизи углов отверстий. В табл. 1 приведены значения теоретических коэффициентов концентрации напряжений в углах прямоугольного отверстия со сторонами а и с при различных относительных радиусах скруг- ления в углах г0/а (отверстие расположено в центре пластинки, растягиваемой в направлении большей стороны прямоугольника с). При двухосном растяжении пластинки больших размеров (6> 5d), ослабленной отверстием диаметром d, концентрация напряжений снижается и зависит от соотношения рг и р2 на иевозмущенной границе области (рис. 2). При рг =, р2 = р {рг — Р2 = = 1) теоретический коэффициент концентрации напряжений ал=2и нор- • мальные напряжения на контуре будут ^одинаковыми во всех точках. Такая гКонцентрация напряжений типична для дисков компрессоров, где часто в полотне имеются отверстия для стяжных болтов, пропускания охлаждающего воздуха и т. д. Большой практический интерес пред ставляет случай действия иа границе ; иевозмущенной области пластинки с 'отверстием растягивающих и сжимающих напряжений (см, рис. 2). Концентрация напряжений в этом случае также зависит от соотношения pt и р2. Такая зависимость встречается в дисках газовых и паровых турбни. где npi- большом градиенте температур окружные напряжения могут быть сжимающими, хотя радиальные напряжения 1' Заказ № 402 растягивающие. Аналогичное напряженное состояние, лишь с равными нагрузками в невозмущенной области (pj = —р2), имеет место при кручении полых валов трансмиссии двигателей. Теоретический коэффициент концентрации напряжений в этом случае имеет наибольшее значение а0 = 4,0 (см. рис. 2). На рис. 3 приведены зависимости теоретического коэффициента концентрации напряжений от отношений bla при различных случаях нагруження пластинки больших размеров с двумя одинаковыми отверстиями. Изменение теоретичес кого коэффициента концентрации напряжений в пластинках, ослабленных рядом отверстий, при различных условиях нагруження показано на рис. 4. При растяжении полосы конечной ширины теоретический коэффициент концентрации напряжений снижается (рис. 5) при увеличении диаметра от- И* -» н ft/>Z<= — ш ul i «- *■ Рг ■*■ ■*■ -*• ■*• <*» * 3 *Ч ; h ^_tt lI гт ♦ -»■ />; Рг 1 ft/fe = ~ -5 -4 -3 I -I 0 I 114 p,/pt Рис, 2. Зависимость а от отношения напряжений на границе невозмущенной области пластинки с круглым отверстием
514 Концентрация напряжений и деформаций 3,0 1,6 3,8 J Л 3,0 2,6 гх 1.8 >л 1.0 1^1 1 ~ ' ! j^...[qrr 1ЩЛЬ Т *, >-?; - ч 1 / / / —*J~ / 1 X «'. 1 1 * р h* t ~" -1 0 1 1 3 * 5 t 7 8 Ыа верстия (или уменьшении ы.фини пластинки), что связано с увеличением номинальных напряжений в наиболее нагруженном сечении: рЬ Ь - а (8) Приведенные значения коэффициентов концентрации можно использовать прн расчете перфорированных колец (например, сепараторов шарикоподшипников и др.). За.ьгсимости теоретического коэффициента концентрации напряжений от отношения основных размеров полосы, • ♦, t6 *., /ь\ t t •ни Г"' -— t » t ttt tot 1 t t — -пинии- ^^ 6_^ §<£ #Jk# ф§'^ J У 2,2 *4, / / f \ \ \\ V 4 bJ= ^^» 1 и- it '** | т r^ p > * $*Zp ! 0 1 L 1 Ь 5 b 1 8 9 b/a Риг З. Зависимости « от отношения b/a для растянутых пластинок, ослабленных двулик отверстиями, при различных схемах нагружения ослабленной смещенным от оси симметрии отверстием, даны на рис. 6. . Для снижения концентрации напряжений в пластинках на практике иногда подкрепляют отверстия жесткими * впаиваемыми втулками нлч кольцами, а также втулками из основного материала, vo большей толщины. На рнс. 7 приведены зависимости коэффициента концентрации напряжений в пластинке от толщины И н диаметра D подкрепляющего кольца. Кривые на рнс 7 можно использовать длн приближенных расчетов в * Из материала с ббльшим модулем упругости, чем основной материал пла с инки <*(! *ttb - *t,l ~ 10 —1 f _Д#=¥„ [МММ Ы \ь\р\ t t ,t и i 11 i Л ц \в=90 i—^tw\ "max i 1 J, 1 I I 1 \B" 0° ~T^U^ I ? 3 * 5 b 1 8 tf 10 b/a ! I 3 't 5 b/a Рнс 4 Зав1еимксги a от отиошення Ь'а для пластинок, ослабленных рядом отверстий при различных схемах иагружения
Концентрация напряжений около отверстий 515 а0 ? И г ь 14 и 7 0 \ \ Р 1 z° "^ О О/ ffZ ffJ 0,4 0/4 Рис. 5. Зависимости i от отношения ft/ft для пластинок конечной ширины с отверстием тех случаях, когда -г- < 6 и Еи = Л Я = Е0 -j-i vH = v0, где Ек и vK — соответственно модуль упругости и коэффициент Пуассона для материала подкрепляющего кольца На практике встречаются случаи цилиндрического изгиба пластинок большой ширины (b > 5d) с отверстием. Значения теоретического коэффициента концентрации напряжений в этом случае можно определить по рис. 8, а; в случае изгиба вала с отверстием — по рис. 8, б. О 01 0,1 0,3 0,h r/c Рис. в. Зависимости /. от отношения г/с Рис. Т Зависимости аа от отношения Я/Л для пластинок с эксцентрическим отвер- для пластинок с подкрепленным отверстием стием «tr 2,6 2,6 2,2 2,0 О 1 \ м \ ^~* ^ми ' 1 ' 1 «и 1 : ма fJ-fcf-A . <з] ! / 2 J 1 5 6 a/h О ОМ 0,08 0,12 0,16 0,20 0,U old a) S) Рис. 8. Зависимости аа от отвошеиия a/h для пластинки (а) и отношения aid для вала (в^ с поперечным отверстием 17*
516 Концентрация напряжений и деформаций Более подробно концентрация напряжений около отверстий рассмотрена ' в работах [1, 2, 4]. КОНЦЕНТРАЦИЯ НАПРЯЖЕНИЙ В ПЛОСКИХ И ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ВЫТОЧКАХ И ГАЛТЕЛЯХ t t t На рис. 9 приведены эпюры нормальных напряжений (осевых стг, окружных ств и радиальных о>) в наиболее нагруженном сечении растянутого стержня с кольцевой выточкой. Для плоского образца такой же формы наибольшие напряжения в сечении выгочки на 20—30% выше, чем длл осесимметрич- ного (из-за отсутствия кольцевых напряжений). На рис 10—13 показачы зависимости теоретического коэффициента Рис. 8. Распределение напряжений в стержне г кольцевой выточюй концентрации напряжений при растяжении и изгибе пластин и осесимметрич- ных стержней с выточками и галтелями от основных размеров. Из графиков следует, что с увеличением радиуса скругления выточки (галтелн) концентрация напряжений снижается. 0 0,04 0,08 0,U tl,1l> 0,10 0,/4 p/d .а) 0 0,04 008 0,11 0,10 0 10 0 Tt 0,28 P/ri Рис. 10. Зависимости а„ от основных ралиеров для пластинок (а) и чержней (tf) при растяжении
Концентрация при пластических деформациях и ползучести 517 ? WW'5 \\V\V3 \\v\\j Ь 1,01 I Д/5 г-Лл* ч-rt Af /OS ^ 0 — 1 o/d*3 К S/d'1,01- r.B/d-0 7 °max 4=Ш 6MU ; — ! -fll —[ \Sk''07 1 № ^ ffltf -1,01 ■" p IP 0,10 0,'t 0 21 p/d 0) 0,16 П21 plt 0,02 0Ю 0,18 l) 0,26 pk Рис. П. Зависимости ад от основных размеров для пластинок при растяжении (а) н изгибе {б) и л hi стержней при растяжении (в) » 1111 , i L- D/ci- Г Щ/ / Z (^ U \\ 1 И ) Л? . -— Г ' 1 i ^ —. И 0,Н (1,08 0,11 0,16 0,10 0,14 О ISpkt О 0,04 0,08 0,11 0,16 0,10 0,14 0,18pill 'О 6) Рис. 12. Зависимости а при изгибе симметричной ступенчатой пластинки с выточками (а) и ступенчатого вала с канавкой (6") от основных размеров КОНЦЕНТРАЦИЯ НАПРЯЖЕНИЙ И ДЕФОРМАЦИЙ В УСЛОВИЯХ ПЛАСТИЧЕСКИХ ДЕФОРМАЦИЙ И ПОЛЗУЧЕСТИ При больших нагрузках в зонах концентрации напряжении появляются пластические деформации. На рис. 14 пошзано распределение напряжений Оу и интенсивности деформаций е; в Нгиболее нагруженном сечении растягиваемой пластинки с отверстием в условиях плоского напряженного состояния, а также изменение нормальных напряжений ав и интенсивности деформаций е!в на контуре отверстия (материал пластинки — сталь 45, сгт = = 650 МПа). Расчет напряжений и деформаций проведен вариационно- разностным методом. Из рисунка следует, что при наличии упругопласти- ческнх деформаций (зоны пластичности заштрихованы) максимум напряжений
518 Концентрация напряжений и деформаций ах 2,7 V 1,9 V 11 |Z>/rf=- \^2 |1Г р \|\ 1,1 \ да WVv V>2\V B/i=1,0t- "*J=T ГН ^ ""N^b^V. ГЪз +o ьа«к :s= 0,18 f/D Рис. 13. Зависимости а при кручении в4л% телью (ff) от основных размеров сдвигается от контура отверстия вглубь. Последнее связано с возникновением в глубине зон плоского напряженного состояния с одинаковыми знаками главных напряжений, что затрудняет пластическое течение и делает соответствующие кольцевые слон более жесткими. Если пластинка работает при повышенной температуре, то в тех зонах около отверстия развиваются деформации ползучести. Характер напряженного состояния в пластянке не меняется, лишь деформации ползучести появляются при более низких напряжениях на границе невозмущенной области. Реальные возможности работы детали в условиях пластичности и ползучести, особенно при циклических нагруже- ниях, целесообразно оценивать не только по коэффициенту концентрации напряжений а*а, значения которого уменьшаются в неупругой области, но и по коэффициенту концентрации деформаций а*, значения которого увеличиваются по мере развития не- упругнх деформаций (рис. 15), Коэффициенты концентрации напряжений а* и деформаций а,* в области упругопластнческнх деформаций связаны с коэффициентом концентрации «нивкой (а) н ступенчатого вала с гал- напряжений в идеально упругом материале aa следующим приближенным соотношением: "X 0,8 -=-0,9. (9) р W МПр Рнс. 14. Распределение напряжений (в МПа) и деформаций при растяжении пластинки с отверстием в условиях упругости (штриховые линии) и пластичности (сплошные линии)
Концентрация при пластических деформациях и ползучести 519 4 2 Упругие деформации 1 ! Чпрцго- плисггичесьие деформации ~\*Z^r^~^ Г"4^ ' ! ! ! О 0 7 в± Г, Ь Р '5Г Рис. 16. Зависимости а.д и а*, от внешней на! рузки в растянутой пластинке с от- ьерсти<-м В случае плоского напряженного состояния коэффициенты а* и а* иа 20—30% выше, чем при плоской деформации для деталей такой же формы. Коэффициенты концентрации напряжений в условиях угругости в этих случаях будут одинаковыми. При двухосном растяжении пластинки с отверстием (рис. 16) развитие пластических деформаций затруднено, и они появляются при больших (почти на 20%) значениях напряжений на невозмущенной границе пластинки, чем при одноосном растяжении. Зона пластических деформаций (на рисунке заштрихована 1/4 часть зоны) в этом случае охватывает весь контур отверстия. Характер изменения коэффи- -»- „ — тин '"Ч^Г 'ОС V. J/ в/ \ 'ПОЬОО } 1 1- тип 1,0 3,0 к10> II fittttt К =х о \о 0,1 500 tn 1 1 1 1 1 V in , —*- 2 111111 f t t f I T t Рис. 16. Распределение напряжений Ci МПа) и деформаций в пластинке с отпоре гием при двухосном растяжении Рис. 17. Распределение напряжений (в №Па) в пластинке с отверстием при разных знаках напряжений на границе вдентов а* и а* такой же, как и в случае растяжения пластинки. При действии на границе невозмущенной области пластинки с отверстием растягивающих и сжимающих напряжений (рис. 17) концентрация напряжений сказывается в большей степени Пластические деформации появляются при меньших (на 40—45%) нагрузках, чем при одноосном напряжении. При растяжении пластинок с двумя симметричными выточками (см. рнс. 10, а), как и при растяжении пластин с отверстием, происходит смещение максимума оеевыл растягивающих напряжений от дна выточки в тело пластины. При растяжении стержня (вала) с кольцевой выточкой (осесимметричная задача) существенного смещения максимума напряжений oz при наличии упругопластических деформаций не наблюдается (рис 18). В этом случае в отличие от плоской задачи (для пластин) в центре впадины имеет место плоское напряженное состояние с одинаковыми знаками главных напряжений сг2 и ое- Следует особо отметить, что при работе деталей в условиях пластичности и ползучести значительное влияние на напряженное состояние, кои-
520 Концентрация напряжений и деформаций П|ИМНИН тп 1065 тгггпттттгптт е0=зоомпа Рис. 18. Распределение напряжений (в МПа) в стержне с кольцевой выточкой при растяжении (штриховые линии соответствуют упругому состоянию, сплошные — упругопластическому состоянию, вертикальные и горизонтальные тонкие линии показывают сеточную разметку области) центрацию напряжений и деформаций оказывают условия нагружения (последовательность нагружения и т. п.). На рнс. 19 сравниваются напряженные состояния двух тонких пластинок *. из сплава ХН77ТЮР (а, = = 560 МПа). В первой пластинке при двухосном растяжении рх = ру =• = 300 МПа пластические деформации отсутствовали (эпюры напряжений на рис. 19 построены сплошными линия, ми). Вторую пластинку вначале растягивали вдоль оси у (ру = 300 МПа), а затем — вдоль оси х (рх -- 300 МПа). При первом нагружении в центральной части пластинки (вблизи отверстия справа и слева) образовались две зоны пластичности (одна из них на рисунке заштрихована), в которых а* = 1,97 и а* = 3. В результате второго нагружения глубина проникновения пластических деформаций несколько уменьшилась вследствие разгрузки и коэффициент концентрации напряжений в * Плоское напряженное состояние, расчет выполнен методом конечных элементов. у ру = 300МПа tttttttttttttttf Рис. 19. Распределение напряжений (в МПа) в пластинке с отверстием при простом и сложном нагружеиии
Концентрация напряжений в элементах конструкций 521 \ \ \ I ♦ 1 1 I I а) Рис. 20. Распределение напряжений (в МПа) в пластинке с отверстием при сложном нагружении точке Л стал равным а* = 1,04. Наибольшие напряжения возникли в точке В на контуре отверстия, где а* = !,86 (эпюры наприжений на рис. 19 после второго иагружения показаны штриховыми линиями). На рис. 20, а сравниваются напряженные состоиния двух пластинок, одиа из которых была растянута лишь вдоль оси у (ру = 300 МПа, эпюры показаны сплошными линиями). При этом в центральной части пластинки вблизи отверстия образовались две зоны пластичности (возле точек Л и В). Вторую пластинку вначале нагружали в направлении оси х (рх = 300 МПа), в результате чего появились две зоны пластичности возле точек С и D (одна из иих заштрихована), а затем полностью разгружали. В результате разгрузки в точках пластинки возникали остаточные напряжения. На рис. 20, б показано изменение нормальных напряжений в сечениях АА' и DD'. После разгрузки пластинку нагружали вдоль оси у (ру = 300 МПа). Эпюры нормальных напряжений иа контуре отверстия Сте, а также напряжений ах и оу в сечениях Оу и Ох, вычисленные с учетом остаточных напряжений от первого этапа нагружения, показаны штриховыми линиями. В результате второго этапа нагружения зоны пластичности возникли вблизи точек Л и В. Глубина проникновения этих зон оказалась меньшей, чем при простом нагружении. Предварительное нагружение до появления упругопластических деформаций н последующая разгрузка увеличивают упругий диапазон нагружения деталей и снижают коэффициент концентрации напряжений. Этот эффект лежит в основе одного из способов упрочнения деталей машин (например, предварительное растяжение болтов). КОНЦЕНТРАЦИЯ НАПРЯЖЕНИЙ В ЭЛЕМЕНТАХ КОНСТРУКЦИЙ Примозубые цилиндрические передачи. При расчете на изгиб зубьев цилиндрических эвольвентных передач вместо теоретического коэффициента концентрации напряжений используют коэффициент Yf, учитывающий форму зуба и равный значению максимальных контурных напряжений сто от окруж-
522 Концентрация напряжений и деформаций Рис. 21. Распределение контурных напряжений (в МПа) в зубе зубчатого колесв (г - 40, т — 1, а ~ 20°), нарезанного долбяком (г„ = 10, .«„ = 0,042) ной силы 1 Н/м, приложенной к вершине зуба с модулем т = 1 (см. гл. 11). Типичная сеточсая разметка области зуба при расчете вариацнонно-разност ь <if) J.r 1,0 11 г\^ i i 1-—. j i ] Г 1 1 W W 90 ПО Рис ?2 Зависимости Yp от z для зубьев колес, нарезанных новым (кривая 1, га = 10, л„ = 0,042), предельно изношенным (ирчвая 3, ха — -0,3) долбягами н фрезой (кривая 2) 3,1 Г ~^^^Гг ным методом и изменение контурных напряжений вдоль сжатой и растянутой сторон показаны на рис. 21. Контурные напряжения достигают наибольшего значения в некотором (опасном) сечерви зуба в областв переходной крввой. Графики (рве. 22—25) для определения значений Yp и ag дополняют матервал гл. 11. Прн нареэанив зубьев долбяком значения Yp зависят от чнеча зубьев колеса г (рис, 22), а также от числа зубьев долбя ка г0 * и в большей степени от коэффициента смещения дол- бяка ха, характеризующего степень его износа. Наиболее существенное влияние иа велвчину Yp оказывает смещение инструмента х (рнс. 23). • При увеличении числа зубьев долбя- ка уменьшается радиус переходной кривой IS 01 о 05 1.5 Рис. 23. Зависимости Yp от х для л^бьев колес, нарезанных новым (кривая /, г0 = 10, ха = 0,042), предельно изношенным (кривая 3, х0 = -0,3) долбяками и фрезой (кривая Я) Рис 24 Распределение напряжений (в МПа) в зубьях колес (г = 40, т — I), нарезанных долбяком при различных смещениях: а — х = —1,0; б — х = —0,5, » — х = 0, г — х = 0,6, д - х = 1,0, е — х = 1,5
Концентрация напряжений в элементах конструкций 523 Рис 25. Распределение напряжений (в МПа) в зубьях без поднутрения (а) и с поднутрением (<Г) Рнс. 26. Распределение напряжений (в МПа) в зубе храпового колеса Последнее связано с изменением ширины зуба в наиболее нагруженном сечении, радиуса переходной кривой и угла давления б (рис. 24). При производстве высоконапряжен- иых зубчатых передач со шлифуемыми зубьями широкое применение получили колеса с поднутренной ножкой зуба. При этом переходную поверхность зуба не шлифуют и, следовательно, исключают прижоги, растягивающие остаточные напряжения и другие неблагоприятные последствия от шлифования. Глубина поднутрения Д0 (рис. 25, б) влияет на наибольшие контурные напряжения. На практике необходимо стремиться к меньшему поднутрению. Зубья храповых колес. На рис 26 показаны профиль зуба храпового колеса и эпюры контурных напряжений (цифры на эпюрах показывают значения напряжений в МПа), полученные методом фотоупругости при силе Р = = 22,4 Н, приложенной к вершине зуба. Размеры модели из эпоксидной смолы шаг зубьев t = 45 мм; теоретическая высота профиля /т = 23,4 мм; притупление зуба с0 = 4 мм; передний угол профиля зуба аг = 10°; половина угла профиля зуба а — 26°; радиус галгели р = 2 мм; толщина Ь = 3,6 мм. Наибольшие напряжения действуют вблизи точки сопряжения радиуса участка галтели с прямолинейной рабочей гранью. Теоретический коэффициент концентрации напряжений в зубьях храповых колес а0=1+ 2у Vf- коэффициент влия- с„ — глу- - коэффи- где у = л л ния угла профиля; / = /т - бина выреза; д = —-2 COS Gti циент. Номинальные напряжения в зубьях вычисляют по известной формуле для изгиба бруса постоянной ширины _ 6Р1 «ном --£§*"• Замковые соединения лопаток. Для закрепления рабочих лопаток в дисках осевых компрессоров, паровых и газовых турбин используют замки различных конструкций (елочный замок, типа ласточкин хвост и т. п.). Замки в турбинах работают в сложных силовых и температурных условиях. Центробежные силы и изгибающие моменты от центробежных и газовых сил вызывают достаточно высокие осевые номинальные напряжения во впадине первого зубца (100— 150 МПа). При этих напряжениях и достаточно высоких температурах (до 700 °С) уже в начальный момент времени в зонах концентрации напряже-
524 Концентрация напряжений и деформаций Рис. 27. Распределение напряжений (в МПа) в елочном замке и ползучести т угловиях пластичности ний появляются упругопластические, а затем и деформации ползучести материалов дисков и лопаток. Разрушение соединений происходит в зонах концентрации напряжений и деформаций. На рис. 27 показано распределение напряжений во впадинах елочного хвостовика лопатки при температуре 700 °С, штриховые линии соответствуют /' = 0 ч и сплошные линии — t = — 100 ч (расчет выполнен методом конечных элементов). Материал лопатки — сплав ХН70ВМТЮ. В качестве расчетной принята нагрузка в корне лопатки от центробежных сил, которая равномерно распределена между зубцами и вдоль зубцов. Из рис. 27 следует, что наибольшие контурные напряжения действуют вблизи перехода от радиусного участка впадины к прямолинейной рабочей грани первого зуба. При нагреве хвостовика до 700 °С в начальный момент времени (t = 0 ч) возникают небольшие упругопластические деформации, хотя номинальные напряжения растяжения в сечении впадины первого зуба составляют 0"н = = 145 МПа и соответствуют типичному
Концентрация напряжений в элементах конструкций 525 ао i «г 7 Ч ч \ 7=20°С 0,1 0.3 0,4 ким него замка Рис. 29. Распределение напряжений (в МПа) в соединении типа ласточкин хвост ао i «г 7 Ч ч \ 7=20 "С o,z о,з 0,4 г,л<м юго замка уровню средних напряжений для многих турбинных лопаток Со временем происходит развитие деформаций ползучести (зона этих деформаций через 100 ч рабош заштрихована на рис. 27, цифры указывают наибольшую глубину распространения деформаций ползучести) Наибольшие напряжения во впадине при этом сущестзенно снижаются и смещаются в глубь тела. Теоретический коэффициент концентрации напряжений также снижается от a* 0 = 3,5 (при / = 0 ч) до а* 100 = 3, а коэффициент концентрации деформаций возрастает на 10% и достигает а* 100 = = 3,8, это значение соответствует наибольшей глубине неупругой зоны, равной 0,05 мм. При увеличении нагрузки до стн = 290 МПа происходит существенное развитие зон пластичности (на * Индексы 0 н 100 соответствуют t — 0 и !00 ч; расчет выполнен по теооии старения с использованием изохронных кривых ползучести, значения ctg вычислены по отношению к Оо глубину 0,27 мм при t — 0 ч) и ползучести (на глубину 0,31 мм через 100 ч работы). !Рез Существенно, что значительное уве- 27, личеиие aj t наблюдается лишь в ИНУ первые часы работы турбины. В даль- 13У~ нейшем изменения a* t незначительны, ине и длительная прочность замкового j н соединения лопаток и дисков турбин кий ПРИ ^ = 50 ч будет в большей степени же. зависеть от характеристик длительной 3 5 прочности материала, чем от концен- , ' чрации деформаций. Существенное снижение коэффициен- в0^_" тов концентрации напряжений и дефор- °~~ маций в елочных Замках можно полупи- чи1ь за счет увеличения радиусов эав" скругления впадин зубцов (рис. 28). зки Однако при увеличении радиусов ест' скругления сокращается перекрытие (на зубцов лопатки и диска к возрастают контактные давления. Последнее может = 0 ускорить развитие деформаций ползу- я^х честн в зубцах. по В соединениях лопаток и дисков осевых компрессоров распространены
526 Концентрация напряжений и деформаций Рис. 30. Зависимости аа от основных параметров для Т-образного хвостовика: а — р/£> = 0,05, б — р/£> = 0,075; в — р/£> = 0,1. г — p/D = 0.2 замкн типа ласточкин хвост (рис. 29) *. Наиболее нагруженными оказываются перемычки в дисках (между соседними пазами). При угле раствора паза 45э контактные давления и коэффициент концентрации напряжений снижаются. Однако в этом случае уменьшается перемычка между пазами и меньшее число лопаток может быть размещено на ободе диска. В ряде конструкций для соединения или взаимного направления деталей используют Т-образные хвостовики, в которых также наблюдается высокая концентрация напряжений. Значения теоретических коэффициентов концентрации напряжений аа при расчете * Расчет напряжений выполнен вариационно-разностным методом с использованием сетки, показанной на рисунке таких хвостовиков (или деталей) можно определить по рис. 30. В заключение отметим, что для исследования концентрации напряжений в элементах конструкций иа практике широко используют теоретические и экспериментальные методы. Среди теоретических методов наиболее распространены численные методы решения на ЭВМ задач теории упругости, пластичности и ползучести (среди них вариационно-разностный метод и метод конечных элементов, см. гл. 26). Они позволяют достаточно точно исследовать концентрацию напряжений в телах произвольной формы (плоских, осесим- метричных и пространственных) при простом и сложном иагружении. Экспериментальные методы исследования напряжений разнообразны. В
Контактные задачи 527 основном применяют тенэометрирова- рентгеновские методы, методы муаро- ние с использованием датчиков сопро- вых полос, лаковых и гальванических тивления, методы фотоупругости и покрытий, фотопластичности, голографические и Глава 29 КОНТАКТНЫЕ ЗАДАЧИ IJ о возникает необходимость рас- счигыьать напряжения и деформации в зонах контакта элементов машин. На рис. ! приведены типичные контактные задачи для элементов простой формы (классические контактные задачи). К ним относятся задачи о контакте шаров, цилиндров и давлении штампа. Результаты решения подобных задач широко используют при расчете подшипников качения, зубчатых передач и др. Обычно при решении классических контактных задач ограничиваются анализом напряжений и деформаций в зонах контакта. Вторую группу образуют конструкционные контактные задачи (рис. 2). Они характеризуются совместным учетом контактных и общих деформаций сопрягаемых элементов машин. Во многих случаях в конструкционных контактных задачах приходится рассматривать несколько зон контакта (рис, 2, а). Основные особенности контактных задач состоят в следующем. В большинстве контактных задач, даже при работе материала в упругой зоне, зависимость между внешней силой и вызванным ею перемещением оказывается нелинейной. Это объясняется изменением (увеличением) площадки контакта по мере возрастания силы. Последнее всегда имеет место, если первоначальный контакт деталей осуществлялся в точке (контакт шаров) или по линии (контакт цилиндров). В том случае, когда площадь контакта остается в процессе нагружения неизменной (давление штампа на полуплоскость), зависимость между силой и перемещением (для упругого материала) линейная Вторая особенность контактных задач состоит в появлении значительных напряжении в зоне контакта, особенно в случаях, когда площадь первоначального контакта равна нулю (контакт в точке или по линии). Однако для зон контакта характерно возникновение всесторонних сжимающих напряжений, что позволяет материалу выдерживать без разрушения высокие поверхностные напряжения. Контактирующие поверхности деталей должны иметь высокую поверх- ТТ7ГГ7Т777, ш а) б) fij Рис 1* Контактные задачи для элементов простой формы: а — контакт шаров; 6 — контакт цилиндров; в — давление штампа на полуплоско!_тъ
528 Контактные задачи < ^Ч&7 Ж ( ,\~>\ - 1 - ■ А' ущщ/ 1 6) п р= 'Л I, I, \\ -I 6) а) \Р Рис 2. Конструкционные контактные задачи для: а — зубчатого соединения, 6 -- цилиндров конечной длины; в прессового соединения иостную прочность, что характеризуется одновременно высокой поверхностной твердостью. Последнее достигается термической и химико-термической обработкой деталей и т. п. КОНТАКТ ДЕТАЛЕЙ ПРОСТОЙ ФОРМЫ Задачи об упругом контакте деталей простой формы (цилиндры, шары и т. п ) имеют решения в замкнутой форме. Рассмотрим контакт цилиндров (рис. 3, задача Герца). На расстоянии | от плоское ш, проходящей через оси цилиндров, возьмем две точки Ау и Л2. Если первоначальный контакт цилиндров (без нагрузки) происходил по линии, параллельной их осям и проходящей через точку В, то расстояние между этими точками вдоль оси у (см. рис. 1) 11 + 1.*-^- + -^- = -^ > О где Rx и R2 — радиусы первого и второго цилиндров; R — «средний» радиус кривизны, 2 \ Ri ^ R2 J ' (2) 7ТТ Рис. 3, К расчету контактирующих цилиндров
Контакт деталей простой формы 529 Под воздействием нагрузки р произойдет деформация цилиндров в зоне контакта, а их оси переместятся к этой зоне на величины Дг и Дг Общее кинематическое перемещение (сближение) осей координат, связанных с цилиндрами, Д = Д: 4- Д2. Точки Аг и А2 займут при этом новое положение А\ и А'г. Давление в зоне контакта деформирует близлежащие неконтактнрующие поверхности цилиндров, и точки А\ и А'ъ получив перемещения, равные С] и vit займут положение А* и AJ. Если в зоне контакта полуширина полоски контакта а ^ §, то точки А" и А% совместятся, поэтому Ai — «1 + &г — «а = Л — «J — ьа = = Л, + Ц2 = -|-. (3) Соотношение (3) представляет собпй условие совместности перемещений контактирующих точек цилиндров. Оно показывает, что кинематические перемещения цилиндров под нагрузкой компенсируются их смещениями в результате деформации Предположим, что между сжимаемыми цилиндрами тренне отсутствует. Тогда в точках контакта будут действовать лишь нормальные давления q (х) и условие равновесия примет вид J q (х) dx = р. (4) Для решения задачи необходимо выразить смещение в уравнении (3) через контактные давления. Рис. 4, К расчету перемещений точек полуплоскости Если ширина полоски контакта мала по сравнению с радиусами цилиндров, то каждый из иих можно приближенно рассматривать как упругую полуплоскость под действием давления ?(*)• Смещение точки А с координатой х = | (рис. 4) можно вычислить, используя извесгиое решение задачи Фламана о действии силы иа полуплоскость: Щ 2(1 -у?) |?(х)|Е-*|Л + + 2(1-vi) In Я ц (5) где Et и V; — модуль упругости и коэффициент Пуассона материала i-ro цилиндра. Подставив соотношение (5) в условие (3) и учитывая равенство (4), получим а (e? + ej) J*win|E-*idx = где ■ + с, С = (9f + 9|) X (6) x[in(^2~4-(- i 1-V, Д; 0? = nEi 2 л£2 (1 (i •v?); ■vj). (7) Если продифференцируем уравнение (6) по |, то получим W + ej) jf=r^ = 2-|- (8) Задача сводится к нахождению функ- ции q (x), удовлетворяющей условию (4) и уравнению (8) при всех значениях — а <! \ ^ а.
530 Контактные задачи *<*) = ■ В соотношении (9) -Уа* — ; Можно показать, что этим требованиям будет удовлетворить выражение Qmax i/^a Zi (9) (10) (И) _ 2р . <?гаах~ па'' Подставляя в равенство (10) и (11) значения входящих в них величин, получим Г Кг 0,798 R± Эх + е, (12) а = 0,798 где е, = +йг(в1+в.), • ег = • я т 1 — V,2 Если цилиндры изготовлены из материалов, у которых Ei — Eg и vj = v3 = 0,3, то Ятях — 0,42 а= 1,52 / р£ Ki- tfitfa Iх £ R, E Ri + R, (Щ Общее кинематическое смещение (сближение осей цилиндров) Л = 2 (1 — Vs я£ Ц.п!**^ 0.815). (14) В соотношениях (12)—(14) Ri и /?2 — радиусы первого и второго цилиндров. Так как полуширина контактной площадки а зависит от р, то смещение Д является нелинейной функцией от р, хотя материал цилиндров предполагается упругим. Это объясняется изменением величины а в процессе нагру- жеиия: полуширина а возрастает по мере увеличения р и относительная податливость контактной зоны уменьшается . Соотношения (13)—(14) применяют в расчетах на контактную прочность деталей машин (фрикционных и зубчатых передач и др ) конечной длины. Использование решения задачи о контакте бесконечных цилиндров в расчетах передач обосновывается тем, что ширина площадки контакта мала но сравнению с высотой зубьев колес и краевые эффекты (возрастание контактных давлений на концах зубьев) распространяются на небольшие участки контактных линий. В заключение отметям, что определение контактных перемещений при контакте двух цилиндров имеет существенную особенность: общие перемещения возрастают с увеличением размеров поперечного сечения [см. (14)]. В этом случае, как и в аналогичной задаче Фламана, перемещения определяют относительно достаточно удаленной от места контакта точки. В формуле (14) в качестве таких точек взяты центры кривизны Ох и 02 (см. рис. 1). Таким образом, считают, что перемещения центров кривизны определяются только общими деформациями цилиндров (или присоединенных к ним деталей) и не связаны с контактной деформацией. Другие случаи контакта цилиндров, а также задачи о контакте шаров решаются аналогично. В табл. 1 и 3 показаны распространенные случаи контакта тел простой формы и даны основные соотношения. Давление штампа. Для штампа прямоугольного сечения (рис. 5) ширина 2. Значения коэффициентов а, 3, \ RJR, i 1.5 2 о 4 6 10 а 0,908 1,045 1,158 " 1,350 1,506 1,762 2,175 3 1 0,765 0.632 0,482 0,400 0,308 0,221 '». 2,080 2,060 2.025 1,950 1,875 1,770 1,613
1. Основные соотношения для задач о жонтажте цилиндров Схема контакта Максимальное давление (напряжение) в зоне контакта ?тах Полуширина площадки контакта а Сближение осей контактирующих тел Д Максимальные касательные напряжения ттпак Глубина залегания ттах 0,798 V 2«<е, + ел 0,798 VipR (0, + 0,) 0,798 «! + R, 2R,R, 0,798 /Ri-R, 2RiRt 0. + в, 1.5Р nab 2p^_(0,41 + in^_) °-798 V2pw!wr^e- 0,798 V^R—it^^ Эллипс с полуосями: a = a x b = pa 2p X (0,815 + ln-i^i) 0,304?„ К (9.+ 0,)* 2«,«, 0,786a Примечания 1 В случае контакте цилиндра н полупространства дано сближение центра цилиндра с поверхностью полупространства (уменьшение радиуса цилиндра). 2. Коэффициенты 1 6 = 1 -V» 3* Т • - Е 3 Формулы для определения сближения всех цилиндров для случаев 1 — 2 получены при £t ~ £, = £ н vt 4 Значения ттах и глубины их залегания получены при £, = Ег — 2- 10s МПа н V, = V, = 0,3. 5. Значения коэффициентов а, р- и Я. для случая контакта 4 даны в табл. 2
3. Основные соотношения для задач о контакте тел сферической формы Эскиз контактирующих тел Максимальное давление (напряжение) в зоне контакта 'max Радиус площадки контакта а Сближение осей контактирующих тел Д 0.918 l/ ««Me, f e,)« 0.72i y2PR (6, + б,) 1,55 V 2E'R 3 Г 3.918 1/ t Я. + R, V 2Я.Я, -)' (в, + е,)« у; 0.721 i/ 2Р д^д (0,+ 0.) ,">5 У V~£-j 2R.R. 0,918 ( R*-R, у (6,4 0,)' 0.721 у IP к*г*хг <е, +е.) 1,55 V v е I ^мтй; R, Эллипс с полуосями: \Я I2-V — и V 2 Я --; X* (6,+ е,)« « = Sa у э. + e, Be4_>4- p,*<e«+e»>" = aVSa Примечаний: 1. Соотношения для коэффициентов 9* см. в табл. 1. 2. Значения коэффициентов £fl, £fc, Е н £^ в зависимостн от отношения О. = 8 — даны в табл. 4 (х = l/Rt + 2/^i + + 1/^а — сумма главных кривизн соприкасающихся тел). 3. Зависимости для определения сближения осей контактирующих тел получены при £i = £2 — £ н Vj 4. Максимальные касательные напряжения хтах = 0,31*7- глубина их залегаиня 0,48а. 0,3 5. Б случаях I—3 площадка контакта — круг радиуса а, в случае 4 — эллипс с большей полуосью а н уеиьшей полуосью 6
Контакт деталей простой формы 533 4, Значения коэффициентов \а, Jj,, \ и £^ а 0,01923 0,03949 0,06087 0,08350 0.1075 0,1330 0,1894 0.2545 0.3314 0,4245 0.4914 0.5161 0,5423 0,5702 0,5999 0,6317 ,0,6662 0.7037 0,7449 0,7911 0,8300 0,8587 0,8904 0,9113 - 0,9187 0.9264 0.9342 0,9425 0.9511 0,9601 0,9698 0,9803 0,9923 6« 1,013 1,027 1,042 1,058 1,076 1,095 1.141 1.198 1,274 1,381 1,473 1,511 1,554 1,603 1,660 1,729 1,812 1,916 2.053 2,248 2,463 2.669 2.975 3,253 3.373 3,514 3.683 3.890 4,156 4,515 5.046 5,976 8,609 lb 0,9873 0,9742 0,9606 0.9465 0.9318 0,9165 0,8837 0,8472 0,8056 0.756$ 0,7216 0.7086 0.6949 0,6801 0,6642 0,6468 0,6276 0,6059 0,5808 0,5505 0.5224 0,4993 0.4704 0,4484 0.4398 0,4304 0,4199 0,4080 0.3942 0.3777 0.3*68 0.3273 0,2722 6, 0,9999 0,9997 0,9992 0.9985 0.9974 0,9960 0,9919 0,9853 0 9746 0,9571 0.9409 0,9340 0,9262 0,9172 0,9067 0,8944 0,8766 0,8614 0,8396 0.8082 0,7774 0,7504 0,7144 0,6856 0,6740 0.6612 0.6467 0,6300 0,6104 0,5864 0,5555 0,5112 0,4267 Еб 0,9999 0,9997 0.9992 0,9985 0,9974 0,9960 0,9919 0,9852 0.9744 0,9366 9,9400 0,9329 0,9248 0.9155 0.9045 0.8916 0.8759 0.8566 0,8320 0,7990 0,7650 0,7349 0,6943 0,6613 0,6481 0.6333 0,6164 0.5970 0,5741 0,5460 0,5096 0,4574 0,3579 площадки контакта равна ширине штампа, а контактное давление 9 Г*) =-——=-, (15) я У а2 — *2 где сжимающая сила а Р= I" q (х) dx. —а Несложно заметить, что вблизи краев штампа (х->- а или х-*- —а) напряжения резко возрастают. Для снижения концентрации напряжений следует скруглять края штампа. ' Для круглого цилиндрического штампа контактное давление q(r) = -——==■. (16) 2яв у а? — г2 Осадка штампа л .._ P(I-v2) ~~ 2аЕ оказывается линейной функцией от нагрузки, так как размер поверхности контакта при нагруженни не изменяется . В этом случае также для снижения концентрации напряжений необходимо скруглять края штампа. * * Под штампом понимают абсолютно твердое тело. Рис. 5. Схема давления штампа на полуплоскость
534 Контактные задачи о а,г o,i о.ь o,6 6/qmt О 0,7 0,4 0,6 0,6 6/ц т0, Т 0,2 0,1 0,6 0,8 и V» 1,6 1, у/а — б* Чтш I 1 - Ч-та , тах Рис. в. Изменение нормальных (а), наибольших касательных напряжений и интенсивности напряжений (б) в контактирующих цилиндрах Для штампа в виде цилиндра с осью, параллельной полупространству, или шара соотношения для qmsx и а получаются, если в соответствующих формулах в табл. 1 и 3 принять Е2~>- °о. Анализ напряженного состояния. Напряженное состояние контактирующих цилиндров является сложным. Однако в плоскости х = 0, проходящей через оси цилиндров, касательные напряжения хху ■ 1ух = 0, а нормальные главные напряжения* Сх = <?тах X X '+>(*)' _/'+(*) 2-2- 2 а ау — —<7тах l/' + (i)! (17) С* = — <7max2v X X /'+Ш! * Начало координат перенесено в центр полоски контакта, а ось 2 направлена вдоль этой полоски При у — 0, т. е. для всех точек средней линии полоски контакта, ах = — ау ~~ —Qmax\ Oz —2v9r, Для материала с v = 0,5 в этих точках будет всестороннее равномерное сжатие. На рис. 6 показано изменение главных напряжений от отношения yia при v = 0,3. На прочность деталей машин существенное влияние оказывают наибольшие касательные напряжения в площадках, нормальных к главным. Расчеты показывают, что наибольшего значения касательное напряжение достигает в точке, лежащей на нормали, восстановленной в середине площадки контакта на глубине у » 0,786 а: = 0,3049тах. (18) Это напряжение действует по двум взаимно перпендикулярным площадкам, нормальным к плоскости ху и образующим с осью у углы, равные
Конструкционные контактные задачи 535 В расчетах на прочность важное значение имеет интенсивность напряжений <?< V2 X X У{ах - <syy + (о» - <Ь)2 4- (19) Изменение интенсивности напряжений показано на рис. 6, б. Из графика следует, что максимальное значение (на глубине у — 0,7 а) ai max ~-0>JJ'9max- При контакте шаров для произвольной точки оси z* все площадки, параллельные этой оси, и площадка, перпендикулярная к ней, являются главными. Это следует и из симметрии напряженного состояния относительно оси г. Нормальные напряжения в окрестности произвольной точки оси г ~<7тах + (г/а)2 -9max X 0,5 (20) — 0 +v)~ arctg~J. Из соотношений (20) следует, что при z=0 напряжение аг = —дтах (в центре площадки контакта), а при г-*- оо а2->- 0. Напряжения а^ и ау в отличие от аг зависят и от упругих свойств материала (коэффициента Пуассона). Для то«ки г = 0 _ _ ' +2v стж — ау — <7тпах п ' прн v = 0,3 а у = — 0,8<7тах, а при ■v ="- 0,5 оу = —qmix. В плошадках, нормальных к плоскости гу и наклоненных на 45° к оси г, действуют максимальные касательные напряжения . 'max = -2- I (°z —<*i/)|. которые достигают наибольшего значения при г = 0,48а (при v = 0,3): т(нанб.) _ п ч, хтах — u-dl<?max. Интенсивность напряжений максимальна на глубине -» = 0,48а: <*i шах = 0,62^тах. Точки поверхности контакта, лежащие на пересечении контура круговой площадки с осью х, находятси в состояния чистого сдвига при напряжениях 1 — 2v стж — ^ ?тах> (21) -2v * Ось z проходит через центр площадки контакта н перпендикулярна к ней. " 9тах ■ КОНСТРУКЦИОННЫЕ КОНТАКТНЫЕ ЗАДАЧИ Классические задачи охватывают случаи контакта тел простой формы (цилиндр, шар и т. д.), в них рассматривают только местные напряжения и деформации в зоне контакта. Многие реальные конструкции имеют более сложную форму и передают нагрузку через несколько площадок контакта (например, в зубчатых передачах, подшипниках качения, резьбовых и зубчатых соединениях и т. п.). При расчете таких конструкций требуется учесть не только местные, но и общие деформации тел (изгиб, сдвиг и др ) в связи с их действительной формой, особенностями закрепления, с действием других силовых факторов и т. п. Наиболее простой способ такого учета — разделение контактных и общих деформаций. Для расчета вводят представление об условном контактном слое, в котором сосредоточивается контактная деформация. Во многих случаях такой слой может иметь реальный смысл, если в задачах рассматривать деформацию микронеровностей поверхности деталей. Упругий контакт стержней. Рассмотрим контакт двух стержней под действием сосредоточенной нагрузки (рис. 7). Будем считать, что контактные давления q направлены вдоль общей нормали к контактирующим поверхностям (силами трения пренебрегаем), а стержень
536 Контактные задачи 1_л /ййж Рис. 7. Схема контакта стержней имеет постоянное сечение вдоль оси х; ось у направлена вдоль общей нормали. На рис. 8 показаны сечения стержней после деформации. Принято, что Of и ОТ — центры жесткости сечений, а оси £: и т](—главные оси сечения (i — номер стержня, t = 1,2). Кинематическое условие контакта в точке А имеет вид Vi + гА — (v2+ г262) : = -(«i + б2 - в). (22) где vt — составляющая поступательного смещения сечения по оси у в результате деформации изгиба и сдвига; 0г — угол поворота сечения; 6; — контактная деформация; е — зазор между контактирующими точками до деформации. Предположим, что между стержнями имеется условный нелинейно-упругий Рис. 8. Сечения стержней после деформации контактный слой и контактная деформация определяется контактным давлением в этом же сеченин: «! + «• =*(?)• (23) Это соответствует обычному в технических задачах допущению, что контактная деформация в данном сечении такая же, как и при постоянном по длине стыка давлении *. Соотношение (23) позволяет приближенно учесть контактные деформации. Введя компоненты смещения по главным осям, запишем условие контакта в следующей форме: & sin aj + Th cos ax + r-fi^ — — £2 sin a2 — r\2 cos a2 — г2в2 = = -hp(g)-e). (24) Последовательное четырехкратное дифференцирование этого равенства с учетом уравнений деформации и равновесия приводит к дифференциальному уравнению d*^{q) , , &q dx* +a dx* ■ + P? = /. (25) где ■-S CtTi kit sin2 ai "T" kti\ cos2 aj \ 2 о _ V ( sin"gi 1 cos2 af \ . /=■ d*e_ 'dx* + 2 <-'>'(*&£* + EiJit Г (=-1 Я (26) здесь G[Ti, GjFj, EtJin,E(Ji£ — жесткости стержня соответственно на кручение, сдвиг и изгиб относительно * Для сложных контактных слоев контактная деформация зависит также от распределения давлений по всей поверхности контакта.
Конструкционные контактные задачи 537 главных осей; fe;j, kir, — безразмерные коэффициенты при учете деформации сдвига, 9;j, ft,, — составляющие внешней распределенной нагрузки по главным осям сечения. При выводе уравнения (25) использовали следующие уравнения деформаций (t= 1, 2): ■■ь ■ dr\j dx dx GiFi kaQtz d6t MiK (27) dx GtTi ' и вытекающие из них соотношения d\ Мц k^ dQi7) dx% d*t, dx2 EiJK M m GiFi dx ' EiJin GiFt dx (28) в которых ij)(, ф,, 6г —углы поворота сечений; Mjj, Miri, MtK — моменты, Qi£> Qin — перерезывающие силы (рис. 9). Силовые факторы связаны условиями равновесия (см. рис. 9) dx dMin = -^+(-l)'?sina.; (24) dMti dx dMiK dx = QiE; dx ~~Q^' -m— (—i)V*. где mj — распределенный крутящий момент, постоянный по длине. Во многих случаях вполне оправдан метод линеаризации контактного слоя. Если представить равенство (23) в виде * (<?) = 6i + бз = *• (<?) Я (30) и положить X (?) = const = X (qcp) = X, (31) + *»-gjr+Prf = /<>. (32) Рис. 9. Схема действия моментов и сил на стержень то уравнение (25) можно записать в виде dlq , _ d2</ где a° = Т ' ^° = "Т ' ^° = Т ' ^33^ Величину податливости слояХ можно выбрать в процессе решения с помощью последовательных приближений. Решение уравнения (32) целесообразно представить с помошью нормальных фундаментальных функций в виде q (х) = q (0) Y0 (x) 4 q- (0) Yx (x) + + q"(0)Y2(x) + q"(0)Y3(x) + x + JY3{x-s)f0(s)ds, (34) о где q (0), q' (0), q" (0), q" (0) - произвольные постоянные, определяемые из граничных условий в сечении к = 0; Yi — нормальные фундаментальные функции: ^о (*) = ~п [2тп ch mx cos nx - ■ (тг — я2) sh mx sin nx]; Yi (*) = 2тп (т2 + я2) — т2) ch т* sin nx т (Зя2
538 Контактные задачи — п (я2 — 3m2) sh mx cos их], У2 (х) = -= sh mx sm nx; У3 (х) - - —г-—5- [т ch mx X 3 v ' 2тп (т2 4 п) X sin nx — п sh mx cos nx] В формулах (35) Г Г" Если упругие постоянные материалов цилиндров одинаковы, то при v = 0,3 0,386 , 0,579 С "Г с X (35) У -т*ч 1/4-?.; " = у та»+ 1/4-р° (36) Рассмотрим в качестве примера упругий контакт цилиндрических стержней при действии сосредоточенной нагрузки (рис. 10, а). - Контактная деформация связана с контактными давлениями известным соотношением А. Н. Диниика бг + б2 = Мр (q) = А (q) q = I 2 V'-Vi/, 2R, l \1 I J=l ' (37) где полуширина полоски контакта 2q b = (38) X In [ 1,725 («, + «»)— ]W. (39) а. = 0.41в/,£(^- + ^-). (40) Пренебрегая деформацией сдвига в цилиндрических стержнях (а = 0), получим 5" + Prf = 0. (41) Граничные условия при х — I (рис. 10, б) ц" (I) = 0; q" (/) = 0 (42) связаны с отсутствием изгибающего момента и перерезывающей силы в этом сечении. При х— 0 ?'(0) = 0; ?"(0) = 4-РоР- (43) С учетом граничных условий </ (х) = -в- Р Р К0 (*) 4 Vv. + jj/.yi 4 КоКг~П yiW + Po^iW I, а0 — наибольшее контактное иапря лсние. Ро (44) Рис. 10. Контахт цилиндрических стержней
Конструкционные контактные задачи 539 где Yi(x) [1=0, .... 3) — функция А. Н. Крылова *; Y\ — значения этих функций при х = I. Протяженность половины зоны контакта может быть найдена из условия q (I) = 0 (45) или 1 q (х) dx=TP. (46) Условие (45) выполняется для достаточно длинных стержней: L > I. Если I > L, то следует принять I = L и задача значительно упрощается, ее решение выражается уравнением (44) при I = L. Рассмотрим случай, когда зона контакта занимает часть длины стержня. Для определения / используем условие (45), тогда получим cos ml = 0; / = п (47) или У X (?ср) (, £\Л + £У2 ) Так как (48) _ Р 9ср — -гц-г то соотношение (48) позволяет найти / и затем X. С учетом равенства (47) решение уравнения (44) можно представить в виде q(x) = Рт Г пх , cos т— en 2sh 21 + , , яд; п (/ — х) "1 .... + sin -jj- sh v2/ j . (49) Относительное распределгние контактного усилия по длине зоны контакта не зависит от нагрузки. Последняя, как и упругие характеристики * Соотношения для функций А Н Крылова можно получить нз формул (35) н (36), если принять сХо = 0 контактного слоя и стержней, влияет только на длину зоны контакта. Подобным образом может быть решена задача и при учете деформации сдвига стержней. Условие для определения длины зоны контакта в этом случае запишем в виде th ml tg nl =-- lmn „■■, (50) m1 — n2 где значения т и п вычисляют из соотношений (36). При а0 = 0 условия (47) и (50) совпадают. В общем случае один из наиболее эффективных методов решения состоит в применении интегральных уравнений и использовании алгоритма последовательных приближений. Интегрируя последовательно уравнение (25) и учитывая граничные условия d*y I /_*!_, dx* U/ \ GxFx + d2y dx2 \x=i i = 0; G2Fi dip I ■)£<* dx. dx |*=o (51) i l получим Ч> (?) = —a J J Я (*г) dxt dxx + * Xi I X, I I + P jj J ^q^dxtdxtdxtdxi. (52) xa 0 xt x. Вводя безразмерную координату £ = = xll и учитывая равенство } Я (I) dl (53) запишем уравнение (52) в виде нелинейного интегрального уравнения: ?(Б) = Р2 Я(«7) \ я(Ъ) 4
540 Контактные задачи 1 I причем 1 ы » 1 X^L^U' (54) или в сокращенной форме q=Kq. (55) Для решения используем метод «подобной итерации», принимая для ■((' + + 1)-го приближения *,* = *№)■ <56> Определив коэффициент подобия q из условия <7,+1 (0) = ctqt (0), (57) получим следующее уравнение для вычисления с,-: с,?1 (0) X —а 1 1 1 Я(сfit (0)) Р2 X ^Нму^^ + о I, + р- iscjf J?(E)dE X 1 I 1 1 о о ЬЬ (58) В качестве исходного приближения можно принять линейное распределение <7о(£) = <7о(0)(1-Е), (59) ?о(0) = /(0 (60) где /(„) — исходное приближение для протяженности половины зоны контакта. Пример. Примем Rt = /?2 = 50 мм; £!=£.= 2-106 МПа; Vj = v2 = 0,3; k= 10/9; сила Р= 10е Н. Принимаем для исходного приближения k = 2,5 Я = 125 мм. В соответствии с равенством (39) Л(?) = -^-[о,386 + + 0,579 1п(з,45Я—)~|. Уравнение (58) для определения с0 принимает вид 5,232-0,579 In с0 = -^ + ^, откуда с0: 1,003. В процессе последовательных приближений получим -L = 2,5: 2,82; 2,69; 2,67; R 9 (0)-10-*, — = 8; 8,03; 8,50; 8,57. На рис. 11 показано распределение q, полученное по уравнению (54) (кривая 3, X = var) и на основании приближенных решений при X = const с учетом сдвига (кривая 2) и без учета сдвига (кривая /). \i 0 0,2 0,4 0,S 0,8 k/l Рис. 11. Распределение давлений на стыке двух стержней
Конструкционные контактные задачи 541 Pml, 12, Схема контакта пластинок Упругий контакт пластинок. Прн осеснмметричной контактной задаче для двух круглых пластинок (рис. 12) имеем следующее дифференциальное уравнение: d*ty(q) . 2 <Pty(q) 1 <Py(q) dr* dr3 г r3 dr ^w dr* + ■f, (61) в котором (=1 1 '--E<-o<£; (62) i=i здесь D; = £i/u — цилиндри- 12(1 -vj) ческая жесткость пластинки* (Л; — толщина пластинки), i — номер пластинки ((= 1,2). Для линейно-упругого контактного слоя уравнение (61) можно переписать в виде где E3 <*E ^v «4 ' + (63) VPq. Pi = PM; /„ = //*• (64) При выводе уравнения (63) независимая переменная г (г — радиус пластинки) заменена другой 5, связанной с ней соотношением \ = аг. Обозначая dV + ТЖ' получим Д2<7 + q = f. (65) (66) Решение уравнения (66) можно, как и для стержней, представить в виде q(l) = q (lc) Ух (Ее Е) + + 9' (бе) ^ (go. & + <Г (lc) К, (Ее, 6) + + Я (Ее) МЕе. £). (67) где ,(«-,), ?'(5с), /(Ее). 9'(У- произвольные постоянные, К; (5С. Е) — нормальные фундаментальные функции при \с от | М^- E) = -yM-«i (5cUo<5)- - о' (5с) /о (5) 4- /' (Ее) v, (5) + У* (5с. 5) = -J 5c (-«• (5c) ?• (5) - -МБс)Мб)-г-МЕе)»о(Е) + + во (Ее) МЕН; ^з(5с. 5) - -£■ 5С К (5с) 'о (5) - -t'6(5c)go(5)-/6(5c)"o(5)-f + Й(6еК<6)1. v4 (£е. 5) = -у 5с 1"о (Ее) /»(Е) - - "о (5с) go (5) - /о (5с) «о (5) + + й, (Ее) ME)I- (68> В соотношениях (68) иц, "о. /о. 8о< «о. »о. /о. £'о — Функции и их производные, определяемые с помощью функций
542 Контактные задачи Кельвина I и 11 родов нулевого порядка: п (-оЧ k t4ft 24*[(2£)!]2 ' о. (Б) S *=0 (-1) * t4fe+2 24*+2[(2£ + 1)!J2 вв(Е)--|- .(с-1п у) «о (Б) + оо + "4-«q(2)- V (-»)*14*+2 у' i 1 |.24*+2[(2/г+ 1)!]2^J m ]' m=I (69) где с = 0,577 — постоянная Эйлера. При больших значениях аргумента можно пользоваться следующими приближенными асимптотическими зависимостями: MS) £о (Б) я /а (6)* У2я£ 2е-° 'Vh 2е" «1/4* sin(a—1), (70) где л/г Граничные условия в рассматриваемой задаче: 0; я" (Бе) = (71) прн 5 = 5с <?' (1с) прн g = U Qri = 0; Л1Г< = 0, (72) где Qr я М, — соответственно перерезывающая сила и радиальный изгибающий момент. Из уравнений (67) с учетом этих условий найдем Я (5с) = -у Qailo (1с Ы; (73) 9" (Бе) Q«T|i(&c. Soi). где •По (Ее. Soi) = ^ПМо,+ (l-v)K;]- -^-,;|}-^So^+('-v)^-,4'] y,!>/!So, + (l-v)>'3]- (74) *h(5o 5ui) = здесь К,нУ| — значения нормальных фундаментальных функций и нх производных прн Бс от I — Б01 (см. рис. 12). Подставляя значения произвольных постоянных из равенств (71)—(73) в уравнение (67), получим <?(£) = T«Q[T)0(£C, Б01) Ы5с Б) + + П1(Бе. Soi) V3(Se. БЛ-МБе. Б)]- (75) Значение goi прн условии, что Я (5oi) = 0, находят из уравнении (75) с помощью известных методов решения трансцендентных уравнений. Аналогично определяют и значение |м- Решение задачи существенно упрощается, если Бм < £в и Боа > 5г (см- рис. 12). В этом случае следует принять |01 = Бв и Боа = Бг- На рис. 13 показано изменение давлений на стыке одинаковых пластинок
Общий метод решения конструкционных контактных задач 54о го ю 0 ,а),М Па \ Рис. 13. Распределение давлений в сты- че двух пластинок Рис. 14. Схема контакта двух тел произвольной формы толщиной Л1=Л2^= 18 мм. Податливость слоя определялась из соотношения Х = - Е Решение задачи об упругом контакте пластинок можно весьма эффективно использовать при расчете беспрокладочных фланцевых соединений [3]. ОБЩИЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ КОНСТРУКЦИОННЫХ КОНТАКТНЫХ ЗАДАЧ Основные уравнения задачи. Рассмотрим для простоты два плоских тела (I = 1, 2) произвольной формы в декартовой системе координат хОу (рис. 14). В некоторых двух точках тел О;, удаленных от зоны контакта, поместим системы координат XiOtyi, жестко связанные с телами. Под действием внешних сил произойдет кинематическое перемещение тел относительно общей системы координат хОу на величины Д;, компенсируемые перемещениями в зоне контакта. В зоне контакта возникнут контактные давления q (x, у). Уравнения равновесия в рассматриваемой задаче имеют вид (силы трения не учитываются): п Uib У, Pimx = e f Qdy; Yi pirny = e J qdx; (76) m==l xia n xib J] M0.{Pim)^e | -(/xdxi- *ib + e j qydy, где Pimx и Pimy — проекции на оси х и у внешних сил fjm \i и т — соответственно номер тела и силы), q — контактные давления; дг,-а и дс;0 — координаты начала площадки контакта в системе х$цц\ xtb и ytb — то же для конца зоны контакта; е — ширина тела (размер по оси г). В результате кинематическою перемещения некоторые сопряженные точки At тел (г = 1, 2) займут новое положение А\ (см, рис. 14) с координатами *И'0 = *(Д.) + Д>*. (77) лг=1 "<о где Дг:с и Ajy — проекции перемещений Д,- соответственно яа оси х и у; Дг-j, = Д; cos а?; Д,^ — Д| sin аг; at — угол поворота осей х> относительно оси Xj в результате кинематического перемещения тел.
544 Контактные задачи В зоне первоначального контакта деформируются близлежащие участки тел. В результате точки А\ переместятся относительно местных осей на величины б4 и займут положение А' (рис. 14): x,{AJ) = xt(A't)-ult где vi к Ц[ — компоненты смещений 8; соответственно вдоль осей yt я Xj. Принимая во внимание, что условия касания точек имеют вид У(А!)=ЦА1); *И?) = *И!). и учитывая связь между системами координат, получим условие совместности перемещений для контактирующих точек тел: У (Ai) — У (Аг) = Aiff - Да» — 2 — 2j I—')' ("' cos a, -f- Uj sin ctj); i=\ x (Л,) — * (Да) = Д1ж — Да* — 2 — 2 (—!)'(—»isina,+"iCosa(), (80) где у {Ai) и дс (Л i) — координаты точек тел в ненагруженном состоянии. Из уравнения (80) следует, что кинематические перемещения тел под нагрузкой компенсируются их смещениями в результате деформации. Уравнения (80) в точной постановке задачи должны удовлетворяться для всех сопряженных контактирующих точек тел на всех площадках контакта. Решая совместно системы уравнения (70) и (80) с учетом граничных условий, можно найти контактные давления и размеры площадки (площадок) контакта. Связь между силовыми факторами и перемещениями в зоне контакта. В большинстве контактных задач граничные условия задают в напряжениях на свободных поверхностях (вне зоны контакта!, и решение задач выполняют в напряжениях. ' • Поэтому для решения систем уравнений (76) и (80) необходимо выразить смещения в уравнениях (80) через силовые факторы (контактные давления и внешние нагрузки). В классических контактных задачах связь смещений и давлений принимали такой же, как и при действии сил на полуплоскость (из задачи Фламана). Такой подход позволяет учесть лишь деформации и напряжения в зоне контакта. Если известна система сил, действующих на тело (см. рис. 14), то перемещение некоторой точки С на его поверхности можно определить с помощью функций влияния (функций Грина): Vi (С) = J /С<"> (С, 1) q (I) dl + la п + S K{pv)(c-Xp)pim; m=l (81) h la n где KqV) (C, I) — функция влияния давления q на перемещение точки С, показывающая перемещение точки С в направлении оси у, под действием единичной силы, приложенной в точке |; KqU) (С, |) — то же, что для перемещения точки С в направлении оси х при действии единичной силы в точке £; ■ЛГр* и К(р* — функции влияния сил Pim, показывающие перемещение точки С соответственно в направлении осей yt и Xi от единичной силы, приложенной в той же точке. Подставив соотношения (81) в условия (80), получим систему интегральных уравнений. С помощью этой системы и уравнений равновесия можно найти неизвестные давления в зонах контакта, размеры этих зон и кинематические перемещения тел.
Общий метод решения конструкционных контактных задач 545 Рис. 15. Распределение давлений в зоне контакта Эта система уравнений решается достаточно просто, если принять допущение о наличии дискретного контакта в /-х точках каждой зоны (/ = = 1, 2 k), а неизвестную функцию распределения контактных давлений аппроксимировать ступенчатым законом с постоянными давлениями в зоне /-й точки контакта (рис. 15). В этом случае уравнения равновесия примут вид («= 1, 2) я * £ Pimx = £ <7/Л0»: t Piny=ZqjU)x; m=l /=1 (82) * = £ qj{y1MluJrXjMjx). /=l Соотношения (8!) можно переписать в виде (/ = 1, 2, ..., k) (=1 m=\ k „ (83) 18 Заказ J* «02 где K\f} и Кщ — функции влияния, показывающие перемещения соответственно в направлении осей xi и yi точки тела i в сечении / от единичной силы, приложенной в сечении I. Если вместо нормальных давлений в расчет ввести проекции давлений Ях и Цу, то в соотношениях (81) появятся дополнительные слагаемые, учитывающие изменение перемещений и и v соответственно от проекций давлений qy и qx- Таким ббразом, записывая уравнения (80) для всех k точек контакта и заменяя входящие в них смещения соотношениями (83), с учетом уравнений равновесия (82) получим систему линейных алгебраических уравнений для определения неизвестных давлений, кинематических перемещений и размеров зоны контакта. Эта система с учетом граничных условий задачи решается по методу последовательных приближений (для определения размеров действительной площадки контакта). Определение функций влияния. Дискретность контакта существенно упрощает определение функций влияния. Функции влияния в простых случаях (для стержней, оболочек и пластин) можно вычислить, используя известные соотношения между перемещениями и действующими силами (например, с помощью интеграла Мора для стержней). Для тел сложной формы эти функции достаточно просто вычисляют с помощью одного из численных методов (методом конечных элементов и др.). Функции влияния в этом случае вычисляют по обычной методике численного расчета напряженного состояния в телах при заданных граничных условиях. При этом учитывают реальную форму тела и его общие деформации (см. гл. 26). В более сложных задачах функции влияния можно определить экспериментально, измеряя перемещения в различных точках тела под действием сосредоточенных сил. При определении функций влияния возникает вопрос об уравновешивании свободных (не имеющих точек закрепления) тел прн действии единич-
546 Контактные задачи 1 г— 0 X J1—-J- % Ос Му=1-^ ■Ру=1 / 1 J "7 X 6) Рис, 16, Схема уравновешивания свободного тела ной силы. Следует уравновешивать единичную силу в начале координат тела (рис. 16, а), удовлетворяя условиям равновесия (рис. 16, б). Пример 1. Определить контактные давления под головкой болта (осесим- метричная задача). Рассмотрим контакт головки болта и стягиваемой детали из стали (Е = = 2-106 МПа, v = 0,3). Эскиз деталей показан на рис. 17, а. Граничные условия задачи для головки болта (( = 1) при \)\ = 0 и 0!= 1 МПа О, их = 0; (84) для стягиваемой детали (втулки, i — 2): при у2 = 0; х2 = О "2=0; Ujj = 0. Уравнение равновесия (85) где Гс = 5 мм — радиус стержня болта; Дг/ — ширина /-й ступени с постоянными давлениями qj в сечении радиусом г = г] под головкой; / — номер ступени (/=1,2 5) *. Учитывая, что при нагружении соединения поворота местных осей координат не происходит (а = 0), из уравнений (80) получим следующие усло- * Неизвестный закон распределения контактных давлений аппроксимирован пятистолбчатой функцией вия совместности перемещений (/' = = 1. 2 5): У И,;) - У (Аг1) = 6„ — (Vl] — vtJ), (87) где 8у = Ь1У + 62у — кинематическое перемещение тел (равно расстоянию между точками Ог и 02 при действии внешней нагрузки). В расчете принимали, что опорные поверхности деталей параллельны, в этом случае у (Л^) — у (A2j) = 0 при 0! ~ 0; трение в стыке отсутствует. Смещения уравнений (87) и контактные давления связаны соотношением 5 оу= £*(ЯИД/-|. (88) /=i где Kiji — функция влияния, показывающая перемещение в точке / болта (i — 1) под действием распределенной по окружности радиусом т = г\ единичной силы, К2п — то же для втулки (<--= 2). Записывая [с учетом равенства (88) 1 уравнение (87) для пяти сечений радиусов rj, получим систему нз пяти уравнении с шестью неизвестными (пятью контактными давлениями qx, q2, ..., qb и кинематическим перемещением би). Решая эту систему совместно с уравнением равновесия (86), найдем неизвестные контактные давления и кинематическое перемещение. Для вычисления функций влияния в рассматриваемой задаче использовали вариационно-разностный метод (см. гл. 26).
Общий метод решения конструкционных контактных задач 547 Ф28 <2/7 1*45° t У',& II WW. Щ f26@$f£k ттт Г ф/J q,Mna 10 J \1 V а,=гОМПа r,,rz 13 13,62S П,15 14,875 г,мм SJ а) Рис. 17. Распределение напряжений под головкой болта На рнс. 17, б (кривая /) показано изменение по радиусу контактных давлений под головкой. При опнра- вни головки на жесткое основание (не- деформируемые стягиваемые детали, t2 = 0) контактные давления под головкой распределяются существенно неравномерно (кривая 2 на рис. 17, б). Для снижения контактных давлений на кромке отверстия выполняют фаску. , Из графиков на рис. 17, б следует. |что для а — I МПа раскрытия стыка под головкой не происходит (условие раскрытия стыка q (rj) — 0 в одной из точек контакта). После определения контактных давлений произведем расчет напряженного состояния тела болта. На рис. 17, о показана сеточная разметка тел болта и втулки для вычисления функций влияния и расчета напряженного состояния. На этом же рисунке показано изменение нормальных напряжений на контуре головкн, цифрами обозначены напряжения в отдельных точках (в МПа) прн контакте головки с деформируемой втулкой. При опиранни головки на недеформируемую втулку наибольшие напряжения в галтели незначительно снижаются. Пример 2. Определение контактных давлений при взаимодействии абсолютно жесткого диска (/ = 1) с упругой полуплоскостью (i = 2, плоское напряженное состояние). На рнс 18, а показана сеточная разметка области. Граничные условия задачи: при у = = —100 мм и х = 0 о=0; и = 0. Уравнение равновесия У (=1 q,bx,=-±P, (89) (901 где Д*/ — ширина /-й ступени (/ = 5) контактных давлений <?7-. Множитель 1/2 в правой части уравнения (90) связан с рассмотрением одной половины полуплоскости (по условию симметрии задачи). Уравнение совместности перемещений, как и в предыдущей задаче, имеет внд (87), а смещения связаны с контактными давлениями (i — 1 2) соотношением 5
548 Контактные задачи р = 10 /</яи чоо зоо 200 1 г^ I I О 0,8 IS Ifi Ь 101,мм б) Рис. 18. Распределение напряжений при давлении диска на полуплоскость Порядох решения задачи lie отличается от изложенного выше. Однако рассматриваемый пример имеет следующие две особенности: 1) разность координат точек в не- нагруженном состоянии [си. уравнение (60) j раьна нулю лишь при х = 0, а в остальных точках контакта равна зазору между диском и полуплоскостью, 2) размер (полуширина) площадки контакта заранее неизвестен и зависит от внешней нагрузки (по аналогии с задачей о контакте цилиндров). Поэтому задачу целесообразно решать методом последовательных -ряближе- ний. В нулевом приближении полуширину площадки контакта можно принять такой же, как и для контактирующих цилиндров (иль в общем случае произвольно). Далее площадку разбивают на / ступеней (постоянной или переменной ширины), вычисляют функции влияния, по олнеанной выше методике определяют контактные давления и проверяют выполнение граничных уелоьин: при х = a q(a) = 0. Если в результате расчета окажется, что принятая в нулевом приближении а„(0) больше полуширина площадки действительной а* (а„(0)> а), то в нервом приближении поинимают новое значение ап ,, (например, из условия q (aj) — 0, где aj — координата ступени, в которой давления равны нулю) и повторяют расчет вновь (разбивают новую площадку на ступени и т. д.). Расчет заканчивается, если ап (/+1) s^e, где е — принятая погрешность расчета. На рис. 18, б показано распределение контак^ых давлений при р = •= 10 Н/мм (кривая / соответствуе'! приближенному численному решении задачи, кривая 9 — точаому). Точность решения задачи зависит также от числа разбиений площадки контакта. Б общем случае для оценки точности решения целесообразно увеличивать число первоначально принятых ступеней (в 1,5—2 раза). * В результате расчеаа появляются растягивающие контактные давления.
ОЦЕНКА ПРОЧНОСТИ И НАДЕЖНОСТИ Глава 30 РАСЧЕТ НА ПРОЧНОСТЬ ПРИ СЛОЖНОМ НАПРЯЖЕННОМ СОСТОЯНИИ КРИТЕРИИ СТАТИЧЕСКОЙ ПРОЧНОСТИ Для оценки статической прочности при сложном напряженном состоянии используют критерии прочности или разрушения, зависящие от напряженного и деформированного состояния, а также механических свойств материала. Эти критерии позволяют перенести результаты опытов по разрушению образцов при простых напряженных состояниях на случай сложных напряженных состояний. В курсах сопротивления материалов нх называют теориями или гипотезами прочности. Условие статической прочности или разрушения удобно представить в виде °ькв = f (°i> °j. °'s; К Я-1. •••) = °в. (1) где оэкв — эквивалентное иапряже ние; о-!, 0"2 и о3 — главные напряжения, причем о-! ,> о3 > а3; к0, кх — параметры, зависящие от механических свойств материала; аа — предел прочности материала при одноосном растяжении. Эквивалентное напряжение устанавливает соответствие между сложным напряженным состоянием и одноосным растяжением. Если в ч-^лболее напряженной точке детали °"<)КВ < °В< (?) то условие прочности считают выполненным. При «W > ав (3) наступает разрушение в опасной точке. Условие {3; язляется граничным для состояния прочности и разрушения. Условие прочности или разрушения можно представить через деформации 8skb = ф (8i. в», 83; ш0, щ, ...; ■= ьв, (4) где Bj, ?2, es — главные деформации (ь! > е2 > е^, ш0, (Oj — параметры, зависящие от меланических свойств материала, гв — удлинение в моменг разрушения при одноосном растяжении. Критерии оагичесаой прочности для плаоичных материалов. Для пластичных материалов условия прочности при ра^тя-кепни и сжатии совладают. Разрешение таких материалов определяется преимущественно касательными напряжениями. Основными критериями рлзр1, ыення являются критерий интенсивности i алряжеыш. выражающий «среднее» касательное на- пр^жение в точке, и критерий максимального касательного напряжения. Критерий к и т е н с и в н о- сти напряжений (критерий Губера—Мизеса). Для этого критерия условие прочности 'озкв = ^<Оэ. . (5)
550 Расчет на прочность при сложном напряженном состоянии \ / 1 \ /о S, *»/Л ч •у. <% 1,15 0Й OS \ USOt Рис. 1. Эллипс напряжений где интенсивность напряжений стэкв ; y2->V*- - °г)* + {Ог °у)*+{ау- - °х)г + + 6(^ + ^* + 'Ь): (6) о*. ff«. стг. т^у, Туг, тг:с — нормальные и касательные напряжения в трех взаимно перпендикулярных площадках, нормали к которым обозначены х, у, г. Для плоского напряженного состояния, когда отличны от нуля компо- и т ненты axt о.„. = у/~о'х+а ху- ■°*V з< (7) экв К ~х ' у х у | ""*»• Если оси дс. I/, г совпадают с главными осями напряженного состояния I, т), £, то 1 ^экв у2 (8) Последнее соотношение не зависит от обозначения главных осей. Если, например, aj = Oj, ал = а2, aj = а3, 0р*кп — ут (9) Рис. 2. Напряжения при кручении образца В частном случае плоского напряженного состояния = Уо\=о& + Ц. (10) Критерий интенсивности напряжений (6) для плоского случая выражается эллипсом (рис. 1). Если точка а\, a„ находится внутри эллипса, условие прочности соблюдается, при переходе за пределы области наступает разрушение. Для случая кручення главные напряжения а1 = (И) где т — касательное напряжение в поперечном сечении (рнс 2, площадки главных напряжений направлены под углом 45° к оси вала). Отсюда, с учетом условий (5) и (!№, следует связь предела прочности при кручении и растяжении: Уз * 0,57а. (12) Это соотношение соответствует экспериментальным данным для пластичных материалов. Критерий максимальных касательных напряжений. В соответствии с этим критерием условие прочности а<щв = <*t — "з < Св. С3)
Критерии статической прочности 551 где Oj и а3 — соответственно наибольшее (в алгебраическом смысле) и наименьшее напряжение. Если главные напряжения а\, оп и aj не упорядочены по величине, то критерий прочности имеет вид Оэкв = °ч — а£ <ав- (14) I org — СГ| Jmax Для плоского напряженного состояния критерий максимальных касательных напряжений выражается шестиугольником, вписанным в эллипс. Как следует из рнс. 1, оба критерия близки между собой. Для случая кручения получаем тв -- 0,5сг„. (15) Критерии пластичности. Критерии возникноьсния пластической деформации при слсжном напряженном состоянии, как показали экспериментальные исследования, часто имеют такую же структуру, как и критерии разрушения, но величина ав заменяется на предел текучести ат. Например, критерий пластичности Губера—Мизеса имеет вид ху№-ап)2 + (ап-а:)2 + ^ -о%)* = = ат. (16) Развитие пластических деформаций, вплоть до разрушения путем среза, определяется в основном действием касательных напряжений. Перед разрушением могут возникнуть существенные изменения первоначальной формы детали, что следует учитывать при составлении условий разрушения. В тех случаях, когда деформации стеснены и возникает объемное напряженное состояние, создаются условия, благоприятные дгя хрупкого разрушения. Для оценки прочности подобных состояний приведенные критерии малопригодны. Например, при равномерном всестороннем растяжении (ах = а2 = а3) критерии (6) и (13) прогнозируют бесконечную прочность, что не соответствует физическому смыслу задачи. В связи с указанным условия прочности Оэкв<Ов (17) по уравнениям (6) и (13) должны быть дополнены ограничением на величину наибольших растягивающих напряжений (°М °i = o,i < св. (18) [ 0"g J max Тогда общее условие прочности пластичных материалов получит вид <*1 < ав A ai < ав. (^) где Д — знак конъюнкции (знак логического умножения, т е. одновременного осуществления двух событий). Общее условие разрушения at >ав V Oi>aB. (20) где V — знак дизъюнкции (знак логического суммирования, осуществление одного нз событий или обоих событий вместе). Критерии статической прочности для хрупких {малопластичных) материалов. Одно из важных свойств хрупких материалов — прочность при сжатии выше, чем при растяжении. Ответственными за разрушения являются преимущественно нормальные напряжения. Критерий максимального нормального напряжения. В соответствии с этим критерием условие прочности имеет вид 0зкв= »i< ов. (21) Возможность разрушения в области сжимающих напряжений отрицается. Для случая действия касательных напряжений (кручения) тн < ов, (22) где тк — разрушающее касательное напряжение. Критерий максимальной деформации растяжения. По этому критерию условие прочности принимают в виде Ч < ев, (23) где 6, — наибольшая деформация растяжения, ев — деформация в момент
552 Расчет на прочность при сложном напряженном состоянии разрушения при цов. Для хрупких мают растяжении образ- материалов прини- ев « ав/£. (24) где Е — модуль упругости материала Далее предполагают, что в момент разрушения (25) «1 * 4" [ai ~ 4"(ог*+°з)] • Критерий прочности по максимальной деформации растяжения, выраженный в напряжениях, с учетом соотношений (24) и (25) будет <Ькв = ах — 0,5 (а, + а3) < ав. (26) Область прочности по этому критерию также простирается в бесконечность при сжимающих напряжениях. Критерий прочности Мора. В соответствии с этим критерием условие разрушения зависит как от касательных, так и от нормальных напряжений в опасной площадке Эквивалентное напряжение может быть записано в виде аэкв = ^iai + ^заз> (27) где Xl и Х3 — постоянные материала. Применим выражение (27) к условию разрушения сгэнв = сгв для случая растяжения и сжатия. Так как при растяжении at = 0g, a3 = 0, при сжатии аг =0, сг3 = — сгсж, где сгсж — абсолютная величина предела прочности материала при сжатии, то получим соответственно аэкв = ^lOgj аэкв = —/.3аСш " ав- Из последних соотношений определяем постоянные материала Jc* Условие прочности Мора приобретает вид огя„„ = at — -^5- a3 < aB (28) J3KB или аэкв = °i — Х^з < aB, (29) где х = огв/асш. Величина % характеризует пластичность материалов, для очень хрупких материалов % -»- 0. Если % = 1, то условие Мора совпадает с условием максимальных касательных напряжений. На рис. 3 граница области прочности для критерия прочности Мора составляет неправильный шестиугольник APXCBDP2. Для случая кручения, когда <зг = = —а3 = т, из условия (29) предел прочности при срезе \ (30) 1+Х "в 1+Х- Критерий прочности саренко — Лебедева, сматриваемый критерий может получен, если представить (31) П и- Рас- быть аэкв и Х1 Kai + ^iai. (32) — постоянные материала; соответственно интенсив- и наибольшее на- разрушения где /Ц а,- и ность напряжений пряжение. Применяя условие дэкв = ав для случая растяжения и сжатия, найдем V?b + h°B = ав'> h°cm = ав- Из последних соотношений получаем *«=■ XI ^1=1 (33) и критерий прочности Писаренко—Лебедева приобретает вид огэкв=ХОг( + (!—X)ai<aB- (34) При х = 0,5 этот критерий совпадает с критерием Сдобырева. Для случая кручения при а, — = УЗ т, а1 = т к 1 + (уз-1)х 1 + 0,73* (35) Граница области прочности по Крите рию Писаренко—Лебедева представляет собой неправильный эллипс, опи-
Критерии статической прочности 553 Рис. S. Области прочности при х = для различных отношений ст_ = 1,3. • - = /3. D еж т„ = 1. X 1.2 1,5, Д — ■ V3 санный относительно шестиугольника Мора (см. рис. 3). Критерий Надаи. Эквивалентное напряжение представляется в виде = hflt + -5- *i (°i' ■о„.(36) Применяя критерий для растяжения и сжатия, найдем ^оасж ~~ ~о~ ^1асж = ав- Из последних соотношений получаем условие прочности = -о-0+Х)<»1 +-s-(l-X)X 2 v- , А/-. , 2 X (a, -f- ora -L а3) < ав (37) где х — ов/ост; а; — интенсивность напряжения, аи ог, а3 — главные напряжения. Для прочности при кручении (срезе) из условия (37) находим Уз (38) (1+Х) Наиболее общими условиями прочности являются условия Мора и Писаренко—Лебедева, которые при х = 1 (пластичный материал) переходят соответственно в критерий максимальных касательных напряжений или интенсивности напряжений. При X = О (очень хрупкий материал) критерий Мора и Писаренко—Лебедева совпадают с критерием наибольших нормальных напряжений. Однако при использовании критериев Мора или Писаренко—Лебедева
554 Расчет на прочность при сложном напряженном состоянии требуется знание двух пределов прочности материала при растяжении и сжатии. Если величина сгсж не известна, но имеются результаты опытов на кручение (среза), то по теории Мора х-- (39) по критерию Писаренко—Лебедева А Уз -1 Ь« / (40) КРИТЕРИИ ДЛИТЕЛЬНОЙ И МАЛОЦИКЛОВОЙ ПРОЧНОСТИ Критерии длительной прочности. Для расчета длительной прочности могут быть использованы критерии прочности для хрупких материалов. Условие длительной прочности аэ„в < адл (Л Т), (41) где сгдЛ (t, T) — предел длительной прочности на растяжение при времени t и температуре Т. Критерии Мора для длительной прочности а*кв --= сц — Х°з < °дл С Л. (42) где Х = (t. Т) (43) адл. гж ('• Т) адл. сж (/, Г) — предел длительной прочности на сжатие. На основании экспериментальных данных следует считать 1 < 0,5. (44) Если величина сгдл сж (t, T) неизвестна, то можно принять X = 0,5. (45) Обобщенный критерий прочности для пластичных и хрупких материалов. Условие прочности + Xsas < ав. (46) При надлежащем выборе параметров материала %.0, Х1г ... условие (46) содержит как частные случаи многие практически применяемые критерии прочности. В общем случае параметры материала определяют из базовых опытов на разрушение: при растяжении а; — аЕ, at •= ав; crs =0, а8 = 0; при сжатии сг< = аСИ); ах = 0; ( а2 ■= 0; а3 = —асж; при кручении а; = "]/3 тк, ах = = tr ; a, = 0, а3 = — т„. ' (47) Если пренебречь влиянием «промежуточного» главного напряжения сг8 на прочность и положить Хг = 0, то из условия (46) и (47) найдем I, (2 + Уз)(] (2-rV3)( + 1—уз - As=-(2 + >'3 ) X [i + Q/3-i) —1- Tr J (48) На рис. 3 показаны области прочности для различных значений сгв/тк при aB/acm— 0,5. В более общем случае можно использовать опыты на разрушение трубчатых образцов под действием гидравлического давления. Обозначая разрушающее (окружное) напряжение сгг, получим >.2=2 1 + • (49) При этом критерием прочности (46) и равенствами (48) можно воспользоваться, если известны значения сгв, »сж и тк. Если какая-либо из трех экспериментальных характеристик неизвестна, то следует применять двухпараметри- ческие критерии прочности (например, критерии Мора).
Основные закономерности сопротивления усталости 555 Критерии малоцикловой усталости. Критерий малоцнкловой усталости при одноосном напряженном состоянии — предельный размах полных деформаций ^s■a [см. гл. 2, формула (16)] обобщается на случай сложного напряженного состояния с помощью размаха интенсивности деформаций Де,-, вычисляемого по раяиости главных деформаций еи es, я3- Дрэкв = Дс* = —у- X Глава 31 РАСЧЕТ НА УСТАЛОСТЬ* ОСНОВНЫЕ ЗАКОНОМЕРНОСТИ СОПРОТИВЛЕНИЯ УСТАЛОСТИ Усталостные поломки составляют основной вид разрушения деталей машин и нередко приводят к тяжелым последствиям, тяк как возникают ВНР- аЯПНО. Связь разрушающего напряжения и числа циклов. Экспериментальные исследования показали, что характер разрушения конструкционных материалов (черных и цветных металлов, жаропрочных сп ""вов и яр Л зависит ОТ ЧИСЛЯ ЦИКЛОВ НЯГруЖениЙ. При малом числе циклов в образце из пластичных материалов образуется шейка и разрыв происходит по минимальному сечению — статическое разрушение (рис. 1). При числе циклов 102—104 появляются сетка трещин и заметные пластические деформации — наступает разрушение от малоцикловой усталости. Разрушение имеет смешанный характер в изломе вилиы отдельные участки усталостных разрушений. Наконец, при числе циклов N > 106 наблюдается типичное усталостное разрушение без заметных следов пластических деформаций. При уменьшении знакопеременного (разрушающего) напряжения а число циклов нагружений N возрастает. Число циклов до разрушения имеет статистический разброс и обычно под N пони- xV[A(f1-es)]s+[A(FS-e3)r+'"" ""■" +[A(e3-8l)]s. (50) Если в наиболее деформируемой точке детали ДеЯКв = h?a. то наступает разрушение. Вопросы прочности при малоцикловых нагрузках рассмотрены в работе [5]. Критерии сопротивления усталости при сложном напряженном состоянии приведены в гл. 31. мают среднее число циклов до разрушения. На рис. 2 показаны типичные зависимости о — <р ((V). В логарифмических координатах чти зависимости характеризуются полигональной криной (отрезками прямых линий). Кривая первого типа (рис. 2, а), типичная для детялей из углеродистых сталей, имеет при симметричном цикле нагружения предел выносливости a_i, при напряжениях а < о., усталостное разрушение невозможно. Кривые второго типя (рис. 2, б, высоколрт-ировяиные стали и титановые сплавы) после точки перелома имеют наклон (tg ро ж 0,1 tg px). Для третьего типа кривых (рис. 2, в, легкие цветные металлы, жаропрочные сплавы в определенном интервале температур) наклон прямой сохраняется вплоть до очень малого уровня напряжений. С тип 1ч pt/uip и Малоциклрная Усталость noftmoDHti- t/сталость / статическср t / <■ / 'Л'/Yf/ ', / j / / < ///V// К ' s ', '//S//Л///*///\///■*///*// ///* ШЗШе ЕЗЕЗ- • Пепвонзчальные сведения см гл 2 Рис. I. Типы разрушений в зависимости от числа циклов
556 Расчет на усталость Lqa , \ \ 1 1 1 1 1 1 V4 LtjO Л П И, N, LgN и /V /V, М LyN О /V, О 6) Рис. ?. Три вчдя заоигиности о ■= q> \N) И ЦП В общем случае пределом'выносливости называют наибольшее напряжение цикла, которое может рыдержать деталь (образец) без разрушения при базе испытаний N(, База испытаний Л/д может быть больше или меньше Л/0. Точка перелома кривых усталости (в логарифмических координатах) обычно соответствует числу циклов Л „ !Ов-И0'. При числе циклов N < Nx (Nt » яа 10*-М0*) кривые усталости имеют еще один перелом, связанный с переходом в область малоцикловой усталости, где возрастает роль пластического деформирования. Разделение кривых усталости на три типа явтяется условным. На практике способность материала сопротивляться переменным напряжениям характеризуется величиной переменного разрушающего напряжения при определенном числе циклов /Vj Обычно принимают ,Vg = 2-', 1°н-5- 'О7 циклов. Уравнение кривой усталости. Простая и достаточно точная зависимость между а и N может быть принята в виде amN ■= С (#! < /V < N0), (1) где т и С — 'достоянные, зависящие от свойств материала, температуры испытания, окружающей среды. В логарифмических координатах уравнение (1) ссответствует прямой линии 'lg0 = ~ilg/V + "4",gC- 12) Тангенс угла наклона $1 по абсолютной величине |tgfc| = -^-. О) При увеличении т наклон уменьшается, а при т -*■ оо прямая становится горизонтальной. Обычно значения т лежат в пределах т = 4ч-!0, а для деталей с концентрацией напряжений т — 4-ьб. Точка перелома А0 (рис. 3) принадлежит прямой Д^о и потому С = ffJWo- (4) Зависимость (1) иногда удобно представить в виде \ а,, ) ~ N • (5) Если продолжить прямую /4p4o Д° пересечения с осью коордчнат, то получим предельное сопротивление oj, не совпадающее с пределом прочности 0В. Из соотношения (5) при N = 1 следует: Ol = О, "УТа- (6) Если предел выносливости принять равным разрушающему напряжению в точках перелома a_i = 0о ч Л/0 =_ = 10' циклов, то •* а, =а.1.10"^Г, (7) обычно а; « (Зн-10) а_!. При числе циклов N > Л/0 также справедлива линейная зависимость (в логарифмических координатах) am'N = С0, (8)
Основные закономерности сопротивления усталости 557 Рис. 9. Зависимость «напряжение— число циклов до разрушения» (в обозначениях опущен знак логарифма) ч arctg l/ml ' 'ч nrctq I'rp причем m0 значительно больше т {щ я» Ют). Так как точка А0 одновременно принадлежит прямым (1) и (8), то постоянные С и С0 связаны соотношением «.Со = Со?°-т. (9) В области малоцикловой усталости удовлетвооительное описание можно получить также с помощью прямолинейной зависимости •Л' с,. (10) Если прямая проходит через точку А 2, то С,=<>. (11) Приближенно для точки А1 можно принять а1 яа сгт. Число циклов (Vi, соответствующее переходу в малоцикловую область »-(-£)"•■ (12) Обычно Nj составляет 103— 10а циклов. Влияние постоянных напряжений. Зависимость предельного значения амплитуды переменных напряжений (предела выносливости по амплитуде при асимметричном цикле) оап от среднего (статического) напряжения ат, действующего в той же точке сечения, показана ча рис. 4. Если постоянное напряжение отсутствует, то ааП = а.!- При действии постоянных напряжений, равных пределу прочности ат = сгв, наступает разрушение уже при аап = 0. Исследования показывают, что при сжимающих постоянных напряжениях arctg l/'Bo ' Z ] N 4 5 5 7 8 " 10 (,чЛ предел выносливости повышается (затрудняется зарождение и развитие усталостной трещины). В этом состоит одна из главных причин возрастания сопротивления усталости в результате создания сжимающчх остаточных напряжений а поверхностных слоях от упрочняющей обработки. Для расчетов используют аналогичные зависимости оаи — f (оп) (см. рис. 4). Наибольшее практическое применение получила линейная зависимость (рис. 5, а) ■=o.i — %0; (13) принимают по ■>ап -= u-i где коэффициент ф0 данным табл. 3 гл. 2. В области сжимающих постоянных напряжений ^>а я* 0. В тех случаях, когда известен предел выносливости при отнулевом цикле сг0 (напряжения возрастают от нvля до сг0) предельную прямую можно принять проходящей через точку отнуле- вого цикла. Тогда в равенстве (13) *,- 2g-rq° • <"> Рис. 4. Влияние постоянного (статического) напряжения иа предел выносливости (жривая предельных амплитуд)
558 Расчет на усталость Оа —* " arete if/. 1, К. /_ > "' - / t ctqijr Уг^ . 1. ■^\в<,/0^-°в ——Л—- б) cmS 0 6 °t. Рис. 5. Кусочио-лииейные кривые предельных амплитуд При использовании последнего равенства следует ввести ограничение по статической прочности, приняв (рис. 5, 6) при а„ — а., Отв ~ I — -фо (15) ( fi) Кроме линейных можно использовать зависимости более сложного .вида где а и Р — постоянные материала. Для углеродистых и легированных сталей удовлетворительные результаты дает зависимость (17) при о= 2. Р= 1: ffan "1/" | __ gm 0-1 ^ I7 aB (18) Для титановых, алюминиевых и жаропрочных сплавов можно принять a= P- 1. Влияние концентрации напряжений. При действии переменных нагручок концентрация напряжений представляет большую опасность, Значительное число усталостных разрушений связано с недостаточными радиусами закруглений, наличием рисок, отверстий и других источников повышенных напряжений. Усталостные разрушения имеют резко выраженный локальный характер, что и объясняет существенное В7ияиие местного увеличения напряжений, точечных дефектов материала и т. п. Концентрация напряжений характеризуется теоретическим коэффициентом концентрации напряжений Ощах (19) ГДГ- отах — максимальное напряжение в зоне повышенных напряжений; ан — номинальное напряжение в этой зоне. Номинальное напряжение определяется по простейшим расчетным формулам, однако всегда должен быть указан конкретный способ их определения. Значения теоретических коэффициентов концентрации напряжений для различных источников концентрата1 приведены в гл. 28. Экспериментальные исследования сопротивления усталости показали, что усталостные разрушения начинаются в местах концентрации напряжений при условии Ощахэф = (a-l)d. (20) где (o_j)d — предел выносливости, определяемый при испытании ' гладких образцов. В<>лнчина (a-.i)d соответствует номинальному напряжению при усталостном разрушении. Испытания показали, что эффективное максимальное напряжение amax эф всегда меньше максимального напряжения, опреде леииого (расчетом или экспериментально) для идеально упругого материала: °тах эф ^ атах ■ ('') Для расчета удобно ввести понятие эффективного коэффициента концентрации напряжений К„ "max эф (22)
Основные закономерности сопротивления усталости 559 Условие (21) означает (23) причем равенство возможно для деталей больших размеров и для материалов с повышенной чувствительностью к концентрации напряжений. Учитывая условие усталостного разрушения (20), можно записать Ка (g-i)d (a-i*)d (24) где (a_1K)d — предел выносливости детали (образца) с концентрацией напряжений; (o"_i),j — предел выносливости гладкого образца (детали) того же размера. Зависимость между ост и /С0 обычно выражается следующим соотношением: Ко + q (a0 - 1), (25) где q — коэффициент чувствительности материала к концентрации напряжений, значения которого для различных материалов приведены ниже: Литые материалы и материалы с внутренними источниками концентрации и дефектами (серый чугун и др ) 0,1—0,2 Литые жаропрочные сплавы, стальное и алюминиевое литье, модифицированные чугуны . . 0,1—0,4 Низкоуглеродистые стали, жаропрочные деформируемые сплавы, аустенитные коррозионно-стойкие стали, алюминиевые деформируемые сплавы . , 0,3 — 0,5 Среднеуглеродистые стали, низколегированные стали . . 0,4 — 0,6 Конструкционные легированные стали 0,6—0,7 Высоколегированные стали (типа коррозионно-стойких сталей мартеиситного класса), титановые сплавы 0,7 — 0,9 Величина q возрастает прн увеличения абсолютных размеров, при очень сильных источниках концентрации (<х0 > 10) наступает своеобразное «насыщение» и величина q уменьшается. Для учета «насыщения» при увеличении концентрации напряжений величину q в равенстве (25) можно принять в виде <7 = <7о 1+я(Оо-1) (26) где qt к а — постоянные материала. Приближенно (70 да (1,1 -f- 1,2) ?табл; 0=0,1-5-0,3, (27) где <7табл принимают равным значениям q, приведенным выше. Из равенств (25) и (26) следует, что максимально возможное значение эффективного коэффициента концентрации напряжений при о0 ->- со К* 1 + <7о (28) Влияние абсолютных размеров детали (масштабного фактора). Экспериментально установлено, что с увеличением абсолютных размеров деталей их сопротивление усталости снижается (масштабный эффект). Это объясняется статистической теорией разрушения, в соответствии с которой при увеличении абсолютных размеров возрастает вероятность попадания дефектных зерен материала в зону повышенных напряжений. Существуют и другие причины, способствующие проявлению масштабного эффекта: меньшая однородность материала в деталях больших размеров (например, в валах диаметром >200 м*м), трудность обеспечения стабильности технологического процесса, условий контроля и т. п. Масштабный эффект оценивают с помощью коэффициента влияния абсолютных размеров поперечного сечения (0-l)d Kd = - (29) где (°"-i)d — предел выносливости гладкого образца (детали) диаметром d\ a_i — предел выносливости материала, определяемый на стандартных гладких образцах, обычно диаметром d0 = 7ч-10 мм. Масштабный эффект зависит главным образом от поперечных размеров (диаметра) изделия и в меньшей степени — от его длины. В литых материалах, в деталях и материалах, имеющих рассеянные микро- и макродефекты (неметаллические включения, поры и т. п.), крупнозернистое строение, масштабный эффект сказывается
560 Расчет на сильнее. Легированные стали более чувствительны к неметаллическим включениям и другим дефектам, и для них влияние абсолютных размеров проявляется в большей степени, чем для углеродистых сталей. При увеличении абсолютных размеров (характерный диаметр детали d) коэффициент Ка стремится к определенному пределу К^. Для оценки масштабного эффекта можно использовать зависимость ^-^со+(>"^0О)е_Ы- С30) В приближенных расчетах можно принимать: /Со, = 0,5— для деформируемых материалов (сталей, титановых и алюминиевых сплавов и т. д.); Ксо — 0,4 — для литых материалов. Величину Я. в первом приближении можно принять равной 0,0!—0,03 1/мм. Влияние состояния поверхности и упрочнения. Состояние поверхности детали, как показали экспериментальные исследования, существенным образом влияет на сопротивление усталости. Влияние состояния поверхности на выносливость характеризуется коэффициентом н(к) _ (а-1к)с!п _. (а-1)д ,пп р° ^1^й 1^)7 • (31) где (о_1)д—предел выносливости детали диаметром d с определенным состоянием поверхности; (сг_1к)<; — предел выносливости образца (или аналогичной детали) диаметром d, имеющей такую же концентрацию напряжений, что и деталь, но с состоянием поверхности, соответствующим стандартному образцу. Таким образом, значения (сг_])д и (а-1к)<г могут различаться только из-за состояния поверхностного слоя. Если влияние состояния поверхности устанавливается для детали, не имеющей концентрации напряжений, то коэффициент состояния поверхности Р<о)=|^. (32) Коэффициенты состояния поверхности при наличии и отсутствии кон- усталость центрации напряжений различаются между собой. Это объясняется тем, что взаимное влияние различных источников концентрации напряжений подчиняется статистическим закономерностям. Коэффициент ро зависит от трех основных факторов: шероховатости поверхности и механических свойств поверхностного слоя; наличия коррозионных повреждений (фреттинг-коррозия, воздействие морской воды и т. д.); упрочняющей поверхностной обработки (обдувка дробью н т. д.). В связи с этим коэффициент состояния поверхности можно представить в виде произведения; р<*> = *£>СХ (зз) К0)=^К^С (34) где индексы «к» н «0» означают соответственно наличие или отсутствие концентрации напряжений в деталях (образцах). Коэффициент Kf (рис. 6) отражает влияние шероховатости поверхности. Предполагается, что остаточные напряжения и механические свойства в поверхностном слое при различном состоянии поверхности не отличаются существенно между собой. Легированные стали целесообразно использовать для изготовления деталей, если технологические процессы обеспечивают хорошее качество по- Ш 600 800 1000 б8,МПа Рис. 6. Зависимость Кр от предела прочности материала (углеродистая и легированная стали): / — полирование, 2 — шлифование; 3 — тонкое точение; 4 — грубое точение; 5 — наличие окалины
Основные закономерности сопротивления усталости 561 400 600 800 1000 6s,МП а Рис. 7. Зависимость /СКОр от предела прочности материала детали: / — пресная вода (образец с концентрацией напряжений); 2 — то же, образец без концентрации напряжений, а также образец с концентрацией напряжений в морской воде. 3 — морская вода (образец без концентрации напряжений) верхности (шероховатость поверхности, прочность, пластическая деформация поверхностных слоев и остаточные напряжения в них). Можно считать, что влияние качества поверхности находится в прямой зависимости от коэффициента чувствительности к концентрации напряжений. Влияние наклепа и остаточных напряжений рассматривается в дальнейшем. Значение коэффициентов /С/Я и /С/Я определяется как отношение пределов выносливости деталей, изготовленных по действующей технологии, к пределу выносливости аналогичного образца (или детали), выполненного по «стандартной технологии». Практически установлено существенное влияние коррозии на сопротивление усталости. С увеличением времени наработки в коррозионной среде и числа циклов сопротивление усталости непрерывно падает. Это объясняется возникновением и развитием коррозионных микротрещин, которые становятся дополнительными источниками концентрации напряжений. Обычно коррозия возникает при работе в пресной или морской воде, при работе в агрессивных средах Снижение пределов выносливости в результате коррозионного повреждения поверхностного слоя характеризуется коэффициентами К$р — для образцов с концентрацией напряжений и KirJ„ — для гладких деталей или образцов (рис. 7). Особеьно велико влияние коррозии на стали с высокими пределами выносливости. Одним из эффективных способов увеличения пределов выносливости при коррозии является создание сжимающих напряжений в поверхностных слоях (обдувка дробью обкатка и др.). С применением титана вместо стали часто резко повышается сопротивление усталости благодаря антикоррозионным свойствам титана. Применяют различные покрытия (хромирование, Полимерные покрытия) для ослабления коррозионного воздействия. В прессовых, фланцевых, замковых и других соединениях, осуществляемых с помощью посадок с иатягом при воздействии переменных напряжений, возникают микросмещения (порядка 0,0025 мм), приводящие к разрушению поверхностного слоя. В зоне контакта протекают не только процессы механического изнашивания, но и физико- химические процессы (окисления и др ). Усталостные разрушения образуются при низких переменных напряжениях (20—80 МПа), что свидетельствует о значительном влиянии фретткнг- коррозии (коррозии трения). При наличии фреттинг-коррозии /Скор= = 0,4+0,6— для прессовых соединений деталей из среднеуглеродистых легированных сталей. Для уменьшения влияния фреттинг- коррозии увеличивают твердость контактирующих поверхностей, применяют поверхностный наклеп, а также мягкие покрытия (омеднение, серебрение, полимерные пленки). Коэффициенты .*СцК' и К^ равны отношениям пределов выносливости деталей при упрочняющей технологии и деталей, изготовленных без ее применения. Основные методы упрочнения: пластическое деформирование (наклеп) с помощью обдувки дробью, обкатки роликами и т. п. (рис. 8, /С<,к,= 1.3 + 2,2; Л'<,0,= 1,1 -3-М), химико-термическая обработка (цементация, азотирование, цианирование и т. д.). Обычно /С<,к) = 1,3-f-2,5; К<°> = 1,1 +1,3;
562 Расчет на усталость ' 1,0 1,2 1fi 1,6 1,8 к б Рис. 8. Изменение коэффициента К от Кд в галтелях образцов из стали 45ХН (0В = 1150 МПа), подвергнутых дробеструйной обработке: / — расход дроби Q = 10 кг/мнн при частоте вращения ротора машины п = = 3500 мнн-\ 2 — при 0 = 20 кг/мин пп = 2100 мнн-1 специальная термическая обработка (нагрев до умеренных температур и быстрое охлаждение поверхности для создания сжимающих остаточных напряжений); обычно /С<к>=1,6-2,5, /Г<°»= 1,2 -=_ 1.Б. Эффект пластического деформирования сказывается в большей степени на деталях из материалов повышенной прочности (твердости) и при наличии концентрации напряжений. При химико-термической обработке создается высокая твердость поверхностного < слоя, что повышает его износостойкость. В результате физико-химчче- ских процессов в поверхностных слоях создаются также остаточные напряжения сжатия. Закалка токами высокой частоты увеличивает прочность поверхностных слоев благодаря остаточным напряжениям, возникающим в детали после быстрого ее охлаждения. Значения коэффициентов Kv в значительной степени зависят от режимов обработки деталей. Более подробно влияние технологии на прочность см. гл. 34. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРЕДЕЛОВ ВЫНОСЛИВОСТИ ДЕТАЛЕЙ Экспериментальное определение. Наиболее точным способом определения предела выносливости детали является экспериментальное исследование в условиях, наиболее полно имитирующих реальные условия работы. Испытания проводят с помощью универсальных или специальных машии для испытания на усталость. Среди универсальных машин большое распространение получили электродинамические возбудители вибраций, позволяющие создать переменные напряжения с частотой от 50 до 10 000 Гц. Для определения предела выносливости испытывают 6—20 образцов. При необходимости получения статистических оценок число испытуемых деталей увеличивают до нескольких десятков. Методика экспериментальных исследований сопротивления усталости изложена в работах [2, 4]. Однако экспериментальное исследование натурных элементов (крупногабаритные детали и другие изделия, изготовляемые в небольшом количестве) не всегда возможно и целесообразно. В таких случаях проводят испытания образцов, имитирующих напряженное состояние в опасных зонах детали с наибольшим приближением по источникам концентрации напряжений, абсолютным размерам, технологии, покрытиям, температуре, среде и т. п. Расчетио-эксперимеитальное оп ре- деление. Расчет пределов выносливости основывается на системе экспериментальных данных, полученных с помощью испытания образцов. Предел выносливости материала определяют испытаниями стандартных гладких образцов диаметром d0 (обычно dB= 7-н10 мм). Образец изготовляют по определенной технологии, включающей термообработку, и с определенным качеством поверхности, которое принимают как базовое в дальнейшей системе оценок. Образец подвергают испытаниям на выносливость при определенном напряженном состоянии (например, при переменном изгибе или кручении). Последующие эксперимеи-
Определение пределов выносливости деталей 563 ты проводят при том же виде напряженного состояния. Предел выносливости детали (о.цО^ с характерным размером (диаметром) d и концентрацией напряжений можно определить с помощью оценки влияния каждого фактора в отдельности. Это можно сделать двумя способами: -mid ■ (Q-i)tf (q-iK) d °-i (°-i)d — 0_ К ad (35) v (q-iKb _ к(к) X (a.lK)rf0 ~Л ' (36) где /((0) = "■'--—. коэффициент влияния абсолютных размеров поперечного сечения гладких образцов; (37) (O-l)rf Ко эффективный коэф- (°--к)<* фициент концентраций напряжений для образцов диаметром d; (38) д-(к) _ (g-iK)d коэффициент влия- а (<J-iK)d о ния абсолютных размеров поперечного сечения образцов с концентрацией напряжений; (39) О-! Kw - " (°-iK)rfo ■ эффективный коэффициент концентрация напряжений для стандартных образцов диаметром da. (40) В первом способе масштабный эффект учитывают по гладким образцам, а эффективный коэффициент концентрации определяют при основной размерности детали. Во втором случав величину Ка0) устанавливают иа образцах малого (стандартного) диаметра, а масштабный фактор — на образцах с концентрацией напряжений. Можно сразу учесть концентрацию напряжений и масштабный эффект: (°-1к)<* (°-iK)d = o-i где КпТ = (41) (42) (°-1к)<г эффективный коэффициент концентрации (относительно стандартного, гладкого образца). Сопоставляя равенства (4!), (35) (36), находим *« = кТ _5_ (43) Выбор расчетной формулы (35) или (36) зависит от имеющихся значений коэффициентов Ка и Kd- При расчетном определении предела выносливости следует также учесть влияние поверхностного слоя. Предел выносливости детали о_1Д с помощью оценки влияния отдельных фэкторов можно определить также различными способами. Если влияние концентрации напряжений и масштабного эффекта известно, то °-1Д : о-'к (q-m)d (°-1к)лп а_! о_хк (a_lK)d fc'K . ft(K) hd (0_lK)dn _ „ Pa К$* (°-lR>d К as где ft" 'к). (q-tK>dn (a-m)d (44) (45) коэффициент состояния поверхности для образца с концентрацией напрчже- иий размером d. Если ввести общий эффективный коэффициент концентрации напряжений, учитывающий сразу концентрацию напряжений, масштабный эффект и состояние поверхности, К„, о , Ка„- ■ 'к) Кк) J-m то (46)
564 Расчет на усталость Величина Кс определяется при натурных испытаниях. При расчетно- экспериментальном определении предела выносливости основной зависимостью является следующая: o.v-o^Kjh. (47) Взаимосвязанное определение коэффициентов /Со, Kd, $o указывалось ранее; Ра = KfKkopKc- УСЛОВИЯ СОПРОТИВЛЕНИЯ УСТАЛОСТИ Простое (одиокомпонентное) напряженное состояние. Рассмотрим изгиб гладкого вала при действии переменных и постоянных нормальных напряжений. Пусть в опасной точке наиболее нагруженного поперечного сечения дрйствуют переменное аа и постоянное от напряжения. Принимая линейную зависимость (13), представим условие сопротивления в виде 0a + Vm=O-i. (48) где \ра — коэффициент чувствительности к асимметрии цикла напряжений, характеризующий влияние постоянных нормальных напряжений. Если ввести понятие эквивалентного переменного напряжения °экв = °а + 'vMm, (49) то условие сопротивления усталости будет Оадв = 0-1- (50) При наличии концентрации напряжений и при учете масштабного и поверхностного факторов их действие, как показали экспериментальные исследования, следует отнести только к переменной составляющей цикла. Тогда условие сопротивления приобретает вид Эквивалентное переменное напряжение при наличии концентрации напряжений К Овкв = оа KJ ■ + Vm. (52) Часто условие сопротивления усталости детали удобно записать в другой форме: °а + 'ФадО'т = °-1д. (53) —— — коэффициент где *„„ = *«, Кд влияния постоянных напряжений для детали; о_1д = а_г —^Р*- предел выносливости детали. В равенстве (53) величины оа и ат представляют собой номинальные напряжения в опасной точке детали. Для условия (53) эквивалентное напряжение °экв = ^а + 'ФодО'т. (54) Пря действии касательных напряжений условие сопротивления усталости имеет вид Та -+- Vfxtjr (55) где т_! — предел выносливости при кручении; tyv — коэффициент чувствительности к асимметрии цикла касательных напряжений. Для деталей с учетом концентрации напряжений, состояния поверхности и масштабного фактора is Т° ~ТГ\ Ь ^Тт = Т-1 (56) или 1а + 'ФтдТт = Т_1Д (57) Сложное (многокомпонентное) напряженное .состояние. Рассмотрим сначала действие переменных напряжений, изменяющихся по симметричному циклу (постоянное напряжение отсутствует). На основании экспериментальных исследований для обычных конструкционных материалов можно принять следующее условие сопротивления усталости: 1 в = °Ча = у= V(°xa - °Va)4'"~ '+ (°ua-°za)3 + {°za-Oxa)2 + '"~ (58)
Условия сопротивления усталости 565 где а [а — интенсивность переменных напряжений. Для случая переменного изгиба и кручения вала txya = Та; Туга == 01 tzx =0} (59) и условие (58) будет иметь вид 1/о^ + Зт»=о_1. (60) Поэтому можно записать следующую зависимость пределов выносливости прн кручений и растяжеинн-сжатнн (изгибе): т_, = —— о_, = 0,57о_,. (61) УЗ 1 У > Это значение хорошо подтверждается экспериментально для многих пластичных материалов. Если величина т_! отличается от указанного значения, то можно ввести корректированные двухпараметрнческне условия сопротивление усталости в виде lAs + (-^b="-, (62) В более общей форме условие (62) будет 1 У2- У(°ха~ Оуа)г+ {°иа—°га)*+'%' + (oM-oIa)2 + 2 ("77)2Х ■*"'(^TP^r+ra = 0-i- (63) Для малопластнчных н хрупких материалов дополнительное влияние ча прочность оказывают переменные главные (нормальные) напряжения. Условие сопротивления усталости в этом случае можно представить в виде V>*a + V>ia = C-l. (64) где ко, %х — подлежащие определению параметры материала, о1а — наибольшее переменное главное напряжение. Прнмечяя условие (50) для испытания на выносливость прн действнн только нормальных напряженнй, находим Ola = °-1, Ola = O-iI Xa-j-Xt = 1. (Ь5) Для случая переменного кручення о*а = УЗт_,; o-ia = t_i; о-_,. ь„Уз" + К = - (66) Из уравнений (65) и (66) следует: Внося значения Х^ н ^ в условие (64), находим (67) Последнее условие сопротивления усталости является более общим, чем условие (63). Прн условии (61) соотношения (58) н (67) совпадают. Для хрупких материалов прн t_j = a_t согласно условию (67) получим Оэкв = о1а = о_! (68) Для деталей каждый нз компонентов переменного напряженного состояния должен быть соответствующим образом увеличен с учетом концентрации напряжений, масштабного эффекта н состояния поверхности. В результате условие сопротивления усталости (58) для детали будет (69) °1а -1Д> где о_1д — предел выносливости детали. Подобным образом преобразуются н другие условия прочности (величины о_! н т_! заменяютси на о_1д н т_1д). В общем случае каждый компонент напряженного состояния имеет переменную н постоянную составляющие: аха, oim, Оуа, аут... Условие сопротивления усталости можно получить путем обобщения со-
566 Расчет на усталость отношения (48), вводя в него эквивалентные напряжения °экв а + %Оэкв m = °-1. (~0) где оэкв а и Оэкв m — эквивалентные переменные и постоянные напряжения. Для переменных напряжений в качестве эквивалентного целесообразно выбрать интенсивность напряжений — условие (58) или корректированную интенсивность напряжений — условие (63). Для постоянных напряжений можно использовать наибольшее нормальное напряжение °экь m = aim- (?') Другой способ учета асимметрии цикла при сложном напряженном состоянии заключается в приведении его к симметричному циклу путем линейного преобразования, тогда °х(п) =Ожа-4-\Мзгт; ] °у (и) = <V ■+- iaVym', | (72) 0г<71) = °i<t + faozm; J xxy (n) = xxya -h ЧЧ^т/т! 1 Vim = Туга + tyxxyzm'> j (73) Tz* (7i) = tZXa "T~ ут^гэст- j Условие сопротивления усталости для интенсивности приведенных напряжений: Ol (711 = /- У(Ох(п-)—Оу(п))2 + + (°У (71) — °г (71))2 + (Ог ,71) — '""" -ож(П))2 + 2(^-^-]2'х X(TW (n)+xyz (n)+TL(n)) ="' °—1- (74) Переменные напряжения цикла увеличивают соответствующим образом при наличии концентрации напряжений с учетом масштабного эффекта и состояния поверхности Можно и более просто учесть указанные факторы с помощью замены значений o_t и T_i в равенстве (74) на пределы вы носливости детали о_1ц и т_1д, коэффициентов 1)0 и грт в равенствах (72)— (73) на у>оя и г|)Тд. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЗАПАСОВ ПРОЧНОСТИ ПРИ УСТАЛОСТИ Запас прочности характеризует надежность детали при случайном возрастании переменных напряжений, при уменьшении прочности материала и т. п. Запасы прочности — что критерии сравнения вновь создаваемой конструкции и аналогичных эксплуатируемых. Их необходимые значения устанавливаются путем сравнительного и сопоставимого расчета подобных или сходных деталей машин. Обозначим аха, ахт, ауа, аут ... напряжения, действующие й детали в рабочих условиях, и о*а, о*хт... — напряжения в момент усталостного разрушения. Очевидно, что для на1ежной работы детали действующие напряжения должны бьпъ меньше предельных. Условие усталостного разрушения при действии переменного ч постоянного напряжений будет где о*, а*т — предельные значения напряжений, соответствующих началу усталостного разрушения. Для детали с концентрацией напряжения условие разрушения имеет вид 0«'тЙ7 + ^ = °-ь (76) При определении запасов прочности при усталости следует учесть возможный характер возрастания переменных и постоянных напряжений. Если переменное и постоянное напряжения возрастают пропорционально от точки М на рис. 9 до точки N, например, в зубьях колес, то предельные напряжения о* = w • (т*=ло„ (77) где п — запас прочности по подобному циклу. Внося эти значения в условие прочности (75), получаем часто применяе-
Определение запасов прочности при усталости 567 Рис. 9. К определению запасов прочности: . М«Р „ _ N°N а - маМ ' М„М мую формулу для запаса прочности по подобному циклу: (78) Kdf>a Последнее равенство можно записать я в другой форме, если учесть, что Ка -1д> (79) где о_1д — предел выносливости детали, который может быть определен при натурных испытаниях. Тогда 0.1„ О- -'-1Д -1Д • (80) Во многих случаях усталостное разрушение может происходить при возрастании переменной составляющей цикла от точки М на рис. 9 до точки Р, тогда как его постоянная составляющая остается неизменной (крутильные колебания коленчатых валов, резонансные колебания лопаток и т. п ). Тогда в момент усталостного разрушения (81) °*а = W, где па — запас прочности по переменным напряжениям. Внося эти значения в равенство (76), находим запас прочности по переменным напряжениям: „а = Ы^|££т, (82) или в другой, эквивалентной форме _ °-1д — ^ggqm Яв- Та (83) Аналогичным образом определяют запас прочности при действии касательных напряжений. Например, запас прочности по переменным касательным напряжениям па-= Полученные значения запасов прочности следует сопоставлять с их допустимыми значениями: п^[п], (84) па < [па\. (85) Величины п и [па] определяют из расчета подобных изделий, норм прочности и т. п. Как следует из рис. 9 и расчетных зависимостей, запас по переменным напряжениям (83) всегда больше запаса по подобному циклу (80), па > п. Однако их не следует сравнивать формально, так как они отражают различные процессы с различными характеристиками рассеяния. Обычно [па\ > In]. Например, для удовлетворительно работающих резьбовых соединений [па] = 2,5; [п] = 1,5. Поэтому резьбовое соединение с па = = 2,2; п == 1,8 следует признать ненадежным. Запасы прочности при усталости для сложного напряженного состояния. Рассмотрим сначала определение запаса прочности при совместном изгибе и кручении вала при действии переменных напряжений, изменяющихся по симметричному циклу. Запас прочности по подобному циклу найдем из условия (62), внося в него зависимости (77): - • (86) V "2 + Последнее соотношение можно представить как "rf" = -7Г + ~^Г > (87) где па = • пх ■ частные запасы прочности соответственно по нормальным и касательным напряжениям.
568 Расчет на усталость Равенство (87) часто применяют в виде п„пх УЧ + я? (88) При наличии концентрации напряжений °-1Д п = /°« + (тЙ")%- (89) Рассмотрим определение запасов прочности при совместном действии переменных и постоянных напряжений. Используя формулу (74), при наличии концентрации напряжений получаем условие прочности (^ + V«)2==0-^ (90) X где о*, а'т, т*. т^ — значения номинальных напряжений в опасной точке детали. Запас по подобному циклу, т. е. при условии о;= паа, о*т=пат> та = та< Тт = "тт бУДет °-1д = . 'Х(та+^дтт)2 (91) Последнее равенство можно представить в форме (88), считая частные запасы л„ = Мд °a + ifogOm ' -1Д Ta + 'ФтдТт (92) Запас прочности по переменным напряжениям определяется условиями "Л; °m = om; Ta = ПаТа- т^ = т„ (93) Внося эти значения в равенство (90), находим У{паоа + ^0дот)2 + ( £ziS.) 2 х """"х (па1а + ^Хл1т) = а-Хл. (94) Из последнего соотношения получаем квадратное уравнение для определения па- Подобным образом можно определить запасы прочности при возрастании только нормальных или только касательных переменных напряжений. Каждый из рассмотренных запасов отражает особенности нагру- жеиия конструкции. Если, например, сравниваются два вала в связи с опасностью крутильных или изгибных колебаний, то реальное соотношение надежности валов лучше отразит запас по переменным напряжениям, учитывающий возможность возрастания «опасных» напряжений. Запасы прочности при наличии нескольких компонентов напряженного состояияя определяют подобным образом. Определение запасов прочности при усталости для нестационарного нагру- жения. Детали машин в условиях эксплуатации часто нагружаются переменными напряжениями, амплитуда которых изменяется в процессе иа- гружеиия (нестационарное нагруже- ине). При многоступенчатом иагружеиии (рис. 10, а) деталь работает иа нескольких уровнях нагружения. Непрерывное иагружение (рис. 10, б) характеризуется непрерывным изменением амплитуды действующих напряжений. При блочном иагружеиии (рис. 10, в) в каждом отдельном блоке осуществляется работа на разных режимах. Блочное иагружение типично для машии периодического действия. Расчет иа усталость при нестационарном иагружеиии основан на принципе линейного суммирования повреждений. Допустим, что повреждение характеризуется положительной величиной П (мерой повреждения). В начальный момент П = 0, в момент разрушения /7=1. По мере увеличения числа циклов N в процессе нагруження велячииа П монотонно возрастает:
Определение запасов прочности при усталости 569 у 0 N * (Г А/ i~l гг гг AV aj Рис. 10. Три типа нагружения деталей б) йП dN 0. (95) Скорость повреждения считают зависящей от действующих напряжений и температуры: ■^r = F[aa(N),om{N),T{N)}, (96) где о0 (Л0, от (N) н Т (N) — переменное и постоянное напряжения и температура в момент иагружеиня N. Время /, соответствующее числу циклов нагружеиня N, зависит от частоты нагружения {: -1- Пусть ' прн стационарном иагруже- иин, происходящем прн постоянных значениях oa, om и Г, число циклов до разрушения равно N*. Тогда из условия (96) N* T1(N*)= J F(aa, am, T)dN = о = F(aa, om, Г)Л"=1. (97) Из последнего соотношения F К. om. Г) = 1 где N разрушения. Равенство общее число циклов до -• ^ I dN N*[°a(N), om{N), T(N)) = 1 Величина Л'* также зависит от Oa, я„, Г. Внося значение F в равенство (97), находим в момент разрушения прн нестационарном иагружении (98) выражает принцип линейного суммирования повреждений. При сопоставлении теоретической зависимости (98) с экспериментальными результатами выяснилось, что лучшее соответствие получается с помощью введения параметра материала а: С dN_ J N* [oa (AT), om (N), T (N)) ~ a- 0 (99) В приближенных расчетах можно принимать а= 1. Число циклов до разрушения N* при постоянных напряжениях и температуре имеет существенное рассеяние (в 2—5 раз), связанное со статистической природой усталости. В равенстве (99) под N* следует понимать среднее число циклов до разрушения. Многоступенчатое нагружен » е, эквивалентный запас прочности. Пусть деталь работает при k различных режимах, причем число циклов иа i-м режиме равно Ni. Суммарное число циклов
570 Расчет на усталость amN-C Hi <Р °\ Lqa 0 \^^emN-C 1 t$" ' с W» , ^am'N-C„ LgN 6) Рис. П. Зависимости а = ф (Л') Условие разрушения по принципу линейного суммирования повреждений следует из соотношения (98) А N1 (101) t—\ Кривая усталости для 1-го режима иагружения показана на рис. 11, а. Частный запас прочности на i'-м режиме Я,: (102) где of и о, — переменные разрушающее и действующее напряжения иа 1-м режиме. Циклы иагружения предполагаются симметричными {omj = 0). Рассмотрим сначала уравнение кривой усталости, одинаковое для любого уровня напряжений, a'mNi = afN'. (103) Условие разрушения можно записать теперь в таком виде: §(*)"-§?" ""' Многоступенчатому иагружению поставим в соответствие стацяоиарный эквивалентный режим иагружения. Для эквивалентного режима условие (104) _1-=а. (105) Приравнивая выражения (104) и (105), находим формулу для запаса прочности при усталости для многоступенчатого иагружения (106) 1 2j п? t=\ ' Например, при двухступенчатом иа- гружении »экв = _^_' (107) 1 + ■ Значение т велико, и потому основным при определении эквивалентного запаса является режим минимального запаса прочности. Другой способ определения эквивалентного запаса прочности основан иа предположении, что в момент разрушения все амплитуды переменных напряжений о,- увеличиваются в яЭкв раз. Тогда из условия разрушения (104) находим " т 1=1 т,— Уа V (108) (109) У — И"? Если -/~а « 1, то равенства (107) и (109) дают близкяе результаты.
Определение запасов прочности при усталости 571 В некоторых случаях требуется определить эквивалентный запас по долговечности (по числу циклов). Для i-ro режима запас по долговечности -Л. Ил условия (102) вытекает nlN = я,- . (110) (П1) Запас по долговечности значительно больше запаса по напряжениям, так как т >■ 1 Равенство (110) представим в виде к к i=l i=i 1_ (112) При работе на одном эквивалентном режиме (k — 1) Na 1 n: = а. (113) 'экв акв N Из последних соотношений вытекает 1 п <>ьв N (114) 1 <=1 Эквивалентный запас по долговечности можно рассматривать как отношение 3 (115) где /v'j. и N% —соответственно суммарное число пиклов и число циклов до разрушения при ступенчатом на- гружении. Предыдущие формулы распростра- няютсн и на случай, когда для различных режимов кривые усталости различны, например, вследствие изменения темнерчтуры. Эквивалентное напряжение. Понятие эквивалентного напряжения позволяет привести неста ционарныи режим нагружения к эквивалентному стационарному. Если нестационарный режим при вести к стандартному режиму, имеющему базу испытаний N0, то а Оэкв = ~■-• Ш6) "экв Учитывая равенство (106), находим oSHB = o_1J/ У(^Й". (П7) i=i Так как то получим формулу для эквивалентного напряжения -i-YofN,. (H8) Если исходить из равенства (109), то получим выражение, близкое (118), аэкв - ]/ aN Voftf,. (119) i=i Равенство (117) можно записать в виде 20) т Г k o№»=o-i|/ У!4г- с Часто оказывается целесообразным привести многоступенчатое нагруже- ние к одному, наиболее тяжелому режиму (режиму с наименьшим запасом прочности). Обозначив этот режим индексом 1, получим "экв Учитывая равенство (106), найдем —-*у'+Е(-ЗГ- i=i (121) Так как fij> П] и m >6, то напряжение аэня обычно мало отличается ОТ Oj.
572 Расчет на усталость Многоступенчатое на- груженке, кривая усталости содержит два участка. Рассмотренные ранее зависимости относились к единой кривой усталости. Такие кривые свойственны некоторым материалам (титановым и бериллневым сплавам), усталости при высокой температуре и коррозионной среде. В большинстве случаев более точное описание 'кривой усталости можно получить с помощью кусочно-линейной кривой (в двойных логарифмических координатах, рис. II, б). Принцип линейного суммирования повреждений остается справедливым и в рассматриваемом случае: Ё-JSf--.. т 1=1 Однако связь между долговечностями и напряжениями будет зависеть от уровня напряжений i-го цикла (в момент разрушения). При С,- > С_! a*mNi = a'JtNf. (123) При 5; < a_j a*m'Nl^af'Nf. (124) Обычно величина пц ^> т. Величина St — действующее переменное напряжение в i-ы режиме в момент усталостного разрушения при нестационарном нагружении. Следует считать в( = «экв°!- (125) Условимся теперь присваивать номера (индексы) режимов нагружения в порядке убывания действующих переменных напряжений. Пусть для первых s режимов пэива, > а_х. Тогда условие (104) можно представить так: S «™*+1 " Если naKBat < a_,, то все режимы относятся ко второму участку и тогда Так как где гц—частный запас прочности на »'-м режиме, то для определении ngKB будем иметь: 1. Если «экв аг > а._„ для первых s режимов «- У—+ k 2. При гаэква1< о.х «г С.Лтг=в- (129) (=1 ' Уравнение (128) решают относительно «экв с помощью метода Ныотоьа или подбором. При т0 -*■ оо (второй участок кривой усталости принимают горизонтальным) расчет на долговеч- 0-1 иость при oi < — не проводят. гаэкв СТАТИСТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ УСТАЛОСТИ Экспериментальные исследования показали, что усталость деталей машин, имеет статистическую природу, т. е. зависит от целого ряда факторов, значение которых предварительно учесть практически невозможно (состояние поверхности, наличие внутренних дефектов структуры и т. п.). В связи с этим наблюдается значительное рассеяние результатов испытаний, особенно по усталостной долговечности. Детали, наготовленные по одинаковой технической документации, обнаруживают при испытаниях
Вероятность разрушения и запасы прочности 57.3 на одном уровне нагружения числа циклов до разрушения, отличающиеся в несколько раз. Для описания долговечности детали при переменных нагрузках наиболее употребительным является логарифмически нормальный закон (нормальный закон для логарифма случайной величины). Плотность распределения логарифма числа циклов до усталостного разрушения при работе на постоянном уровне переменных напряжений а f (lg Л') = 1 5igjvl 2л (lg JV-lg Л/)' 2Sfg n где lg Л' и Sig ,v — соответственно среднее значение н среднее квадратн- ческое отклонение логарифма числа циклов до разрушения. Параметры распределения зависят от действующих переменных напряжений: 1?ЛГ=Мо), 5,гА/=^(а). При малом уровне действующих напряжений наблюдается отклонение от логарифмически нормального закона е области малых долговечностей. Удовлетворительное статистическое описание можно получить с помощью введения порогового значения для числа циклов Nn. Предполагается, что разрушение возможно при .V > > Nn. Тогда плотность распределения выражается равенством / (lg (N - Nn)) = ! -== X [\S(N-\n)-lg (N-Nn)]* X с 2S lg (N-Nn) Такое распределение содержит три параметра: k{N- Nn); s\g(N-Nn) « нп Рассеяние пределов выносливости при фиксированном числе циклов значительно меньше, чем рассеяние долговечностей. Приближенно можно считать •Slg а ** — Sis N- т Более полные сведения о статистических моделях усталости содержатся в работе [2]. Глава 32 ВЕРОЯТНОСТЬ РАЗРУШЕНИЯ И ЗАПАСЫ ПРОЧНОСТИ Оценка прочностной надежности проводится с помощью допускаемых напряжений, запасов прочности и вероятности разрушения. При использовании допускаемых напряжений условие прочности 0"niax < [cr J, 0) где Ошах — наибольшее напряжение в детали, [а]—допускаемое напряжение. Такая оценка весьма удобна, если на практике для однотипных конструктивных элементов, стабильных условий нагружения, устоявшейся технологии, производства разработана система допускаемых напряжений. Однако оценке прочностной надежности с помощью допускаемы.*, напряжений присущи и существенные недостатки. Величина [и] не дает в явном виде представления о степени надежности, так как в формуле (1) не показано соотношение действующих и предельных напряжений. Величина допускаемого напряжения носит >с- ловный характер, так как ье отражает характера предполагаемого разрушения (статического, усталостного и т. п.), режима нагружения н других факторов, влияющих на надежность. Допускаемое напряжение, особенно при действии переменных нагрузок, в значительной степени зависит от геометрии детали (концентрации напряже-
574 Вероятность разрушения и запасы прочности ний), материала и технологии изготовления, что затрудняет ее применение в качестве нормативной характеристики. В современных инженерных расчетах допускаемые напряжения используют главным образом для приближенных, предварительных расчетов. Наибольшее распространение получил расчет пи запасам прочности. Условие прочностной надежности в простых случаях записывают в виде п=^ШР_>1п]< (2) "max где га— запас прочности; ОраЭр— разрушающее напряжение; [га]—допустимый запас прочности. Под Ора3р при действии переменных напряжении понимают предел выносливости, гри действии постоянных напряжений — предел прочности или предел длительной прочности. В более сложных случаях (нестационарные режимы нагружения) при определении запасов прочности используют условия суммирования повреждений. Условия прочности по допускаемым напряжениям и запасам прочности связаны соотношением [а] = _£р«зр_ _ {3)' Величина необходимого запаса прочности имеет довольно стабильное значение, тогда как Оразр отражает условия нагружения, геометрию и технологию детали. При действии статических нагрузок используют также запас по несущей способности где Рразр и Р — значения силового фактора (нагрузки) в момент разрушения и в рабочих условиях Запас по несущей способности отражает перераспределение напряжений, возникающее в пластических материалах при нагрузках, близких к разрушающим. В ряде областей машиностроения созданы нормы прочности, регламентирующие допускаемые запасы прочности и условия их определения. Недостатком системы допускаемых напряжений и запасов прочности является детерминированный характер условий прочности. Они не учитывают должным образом неизбежное рассеяние разрушающих и максимальных напряжений. Этот недостаток частично устраняется статистическими запасами прочности, которые рассмотрены в дальнейшем. Другой путь построения статистических моделей надежности — определение вероятности разрушения. ВЕРОЯТНОСТЬ РАЗРУШЕНИЯ Рассмотрим оценку вероятности разрушения на примере лопаток компрессора. Переменные напряжения в лопатке компрессора, возникающие при резонансных колебаниях, обозначим аа. Их определяют с помощью тензоме- трирования в рабочих условиях в местах наибольших напряжений. Величинам аа свойственно значительное рассеяние, связанное с неравномерностью газового потока, условиями демпфирования и т. п. Величину аа сопоставляют с пределом выносливости лопатки о\_1л, который также имеет , разброс вследствие отклонений в технологии изготовления и рассеяния механических свойств материала. Предел выносливости соответствует определенному числу нагружений (обычно 107 циклов). Если в данной лопатке переменное напряжение больше предела выиослиюсти О а > С-1Л. (5) то наступает разрушение. Рассматриваем аа и а.1Л как случайные величины На рис. 1 показаны кривые плотности распределения переменных напряжений и пределов выносливости. Их строят на основании экспериментальных данных по гистограмме распределения. Допустим, что величины ас и о_1Л, которые для краткости обозначим соответственно т) и £, имеют нормальное
Вероятность разрушения 575 Рис. 1. Кривые плотности распределения переменных напряжений а и пределов выносливости a„i распределение. Тогда и разность этих величин (функция неразрушения) С=а_ Оа = Л - I (6) распределена нормально, причем параметры распределения — среднее значение и среднее квадратическое отклонение соответственно ■ ^ -d0 = f| —|; s: = /s^rs (7) Вероятность разрушения равна вероятности условия £< О (рис. 2). Входящий в последнее равенство корреляционный 'момент для независимых случайных величин обращается в нуль. Так как предел выносливости и действующее в лопатке переменное напряжение практически независимы, то ^-УЩТЩ, (8) Рраар=.Р(£< 0)=F(0), (9) где F (£) — функция распределения случайной величины £, Р®=-^- + ф(-^-), (10) х где Ф (х) = -~ J е-0-5"' du-функ- о ция Лапласа. {= И Рис. 2. Распределение функции неразру- шення Из равенства (9) вытекает формула для вероятности разрушения разр ИЛИ —г~фШ I'" Рразр = -g- где «j — коэффициент вариации функции неразрушения, t Л-! (13) Если воспользоваться приближенным представлением функции Лапласа 1 гразп — , /rr— e 2»; t X рмр~ уш X(l-t.| + 3^ ). (14) то погрешность оказываегся не выше последнего использованного при вычислениях члена ряда. ВЕРОЯТНОСТЬ РАЗРУШЕНИЯ ПРИ ПРОИЗВОЛЬНЫХ ЗАКОНАХ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НАПРЯЖЕНИЙ И ПРЕДЕЛОВ ПРОЧНОСТИ В этом случае вероятность разрушения может быть определена из следующих соображении. Пусть имеется переменное напряжение аа = £. Вероятность того, что предел выносливости а_1П = т) окажется меньше данной величины | (наступит разрушение), будет Я (л < Е) = Л| (Е). (15)
576 Вероятность разрушения и запасы прочности где Ft, (ь) — функция распределения случайной величины т), I Л, (6) = J Мп)*1- —оо Для нахождения вероятности разрушения следует учесть все возможные значения £ (все несовместимые пути реализации события) и по формуле полной вероятности Ррчзр= f tt(t)Fb(i)di. (J6) Подобным образом находим равнозначное условие = i- j" Мч)/Ъ(ч;«*»ь (]7) —оо Нахождение вероятности разрушения теперь сведено к вычислению интеграла (16) или (17). В общем случае запас прочности мо*ет быть представлен в виде °разр (18) где °экв — эквивалентное напряжение. Например, при одновременном действии нормальных а и касательных т. напряжений оЭкв = 1/о» + ЗтА (19) Для длительной прочности при нестационарном режиме нагружения функция неразрушения зависит от общего времени работы / С (0 = °дл (О (О- (20) Для длительной статической прочности или сопротивления усталости справедлив степенной закон связи одл и времени (числа циклов) до разрушения о£,(0' = С. (21) где т и С — постоянные материала, зависящие от температуры. Если действующее напряжение в момент времени а (П = a J (;*), (22) где Од — случайная величина, / (/*) — детерминированная функция времени, то при линейном законе суммирования повреждений оЪкв (0 = °о X ' 1 — m X Я"< 0 (f*)jmrf;* =о,^(/). (23) Для сопротивления усталости при нестационарном нагружении функция неразрушения от общего числа циклов нагруження С (N) = °-itf ~ Оэ„в W- (24) В каждый момент нагружения действующее напряжение о № = a J (N). (25) Учитывая зависимости типа (21) ,N = С, -1АГ получим "о X N* \ lf(N)]' dN ■aoV(Nz)- (26) Равенства (23) и (26) справедливы при постоянной температуре. Для расчета должны быть известны среднее значение и среднее квадрати- ческое отклонение пределов прочности и эквивалентного напряжения, причем °экз (0 = о„ур (г); Sa (0 = Sa у (О- При нормальном распределении указанных величин используют соотношение (11). Вероятность разрушения зависит в рассматриваемом случае от времени работы. Доверительные пределы для вероятности разрушения. Прн расчете вероятности разрушения по формуле (11)
Вероятность разрушения 577 предполагают, что статистические характеристики пределов выносливости f), Sn и действующих напряжений |, S| относятся к генеральной совокупности (выборке бесконечно больших размеров). В действительности указанные величины определяют по выборке (объему испытаний), содержащей конечное число образцов. Если при определении действующих напряжений использованы результаты «J испытаний, то К &л, I «I J_ «1 If. 1/2 (27) Соответственно для пределов прочности («2 — число испытаний) Оценим приближенно наибольшее значение вероятности разрушения. Очевидно, что оно реализуется при минимальной разности средних значений и максимальном значении Sj. Будем использовать с доверительной вероятностью Яд следующие односторонние оценки *: Я_ t (га,, Рп) _, ,— с («,, P„)S% ■ 6 max v ' V.) 6n,> '5л, 6ш«х = ЕП1+Чя1- Рд) у~ - ^max лпиу v ' И' 'Ь,' (29) * Значения коэффициентов Стьюден- та * и коэффициентов К о указаны max во многих работах (ем. например, llj). Тогда из равенства (11) получим приближенную оценку р __!__ ' паяп шах — г\ разр max Ф Л mm ьп г ''max » ._ ф ВЦ (30) Для расчета может быть использовано и равенство (14). Доверительную вероятность оценки (30) можно приближенно принять равной Яд. Пример. Определить вероятность разрушения лопаток, если известно, что среднее значение переменных напряжений I -- 100 МПа и среднее квадратическое отклонение S| = — 20 МПа (по данным тензометриро- вания); среднее значение предела выносливости г\ = 200 МПа и среднее квадратическое отклонение S^ = - 30 МПа (по данным испытаний на выносливость). Решение. Находим по формулам (7)_ и (8) 1 = tj — I = 200 — 100 = 100 МПа; St = -/Si + Si = = У'302 + 20а «36 МПа. Вероятность разрушения по формуле (11) 1 . / I ■ — Ф(2,78). По таблице значений функции Лапласа Ф (2,78) = 0,49728; 1 разр 2 ■0,49728-0,272. Ю-2. По приближенной формуле (14) _ 2,78' Рг 1 разр — XI 2,78 У2л -i—1-3 2,782 ^ ° = 0,277. 10 2.781 19 Заказ № *0!2
578 Вероятность разрушения и запасы прочности Значения вероятности разрушения, вычисленные по средним значениям и с учетом рассеяния экспериментальных данных, существенно расходятся между собой. В практических расчетах следует указывать, прн каких условиях получено расчетное значение вероятности разрушения. Вероятность разрушения как характеристика прочностной надежности правильно отражает качественные особенности задачи: она возрастает прн уменьшении запаса прочности и увеличении рассеяния нагрузок и механических свойств материалов. Однако ее использование как нормативной характеристики для определения отказов ответственных конструкций (разрушений с тяжелыми последствиями) ограничено: а) значение вероятности разрушения зависит от «хвостов» распределений, которые даже по выборкам большого объема (л > 100) определяются весьма неточно (погрешность может составлять несколько порядков). В связи с этим расчетная вероятность разрушения носит условный характер. Реальный смысл имеет только сравнение элементов выполненных и вновь проектируемых конструкций, проводимое в сопоставимых условиях; б) при расчете допускается возможность аварии (катастрофы), это создает затруднения психологического характера. Рассмотренная статистическая модель пригодна для отказов с ограниченными последствиями, для которых допустимо использование вероятностей разрушения Рразр>Ь10Ч Более обоснованно использование в качестве нормативных характеристик, особенно для прочностных отказов с тяжелыми последствиями, статистических запасов прочности. СТАТИСТИЧЕСКИЕ ЗАПАСЫ ПРОЧНОСТИ Предельное (разрушающее) и действующие напряжения в опасной точке детали можно рассматривать как случайные величины. Тогда запас прочности конкретной детали представляет величину случайную: я = J!e!«e_ = JL. on °max S Если F (л) — функция распределения запасов прочности, то величина запаса прочности, соответствующая уровню значимости q, удовлетворяет условию F [п(д)]= Вер [п < п (q)]=q. (32) В большинстве практических задач параметры функции распределения «восстанавливаются» по выборкам ограниченного объема с определенной доверительной вероятностью. В связг с этим н запас прочности зависит от принятого значения доверительной вероятности л = л (?, Рд). (33) Например, запись п (Я. Рд)= (0,01; 0,95)= 2 означает, что только у 1 % всех изделий запас прочности может оказаться меньше 2, причем это утверждение справедливо по крайней мере для 95% случаев испытаний. С математической точки зрения равенство (33) имеет следующий смысл: Вер [Вер (л < л (q, PJ)=q) = Pa. (34) Приближенный метод определения статистического запаса прочности. В практических расчетах запас прочности п — ("разр^тт __ JTmm «^ vumaxjmax Smax Используют нижние значения для пределов прочности и пределов выносливости по справочным данным нли механическим испытаниям. Прн определении максимального напряжения в опасной точке детали атах учитывают наиболее неблагоприятные условия нагружения и другие факторы, приводящие к возрастанию напряжений. Однако достоверность оценки Оразр и атах не указывается, что затрудняет сопоставление надежности по запасу прочности. Наиболее простой и практически пригодный метод определения стати-
Статистические запасы прочности 579 стических запасов прочности состоит в следующем. Минимальные характеристики прочности и максимальные значения наггряженин устанавливают в соответствии с нормированным уровнем значимости и доверительной вероятности: n(q, Pa) = ^mJ^^4", (36) где <7п. <?£• Рдя и Рд£ — уровни значимости и доверительные вероятности, с которыми определяют (экспериментально) разрушающее напряжение и максимальное действующее напряжение. В практических расчетах можно принять приближенные соотношения: q = <7л = <7j: (37) Рд = Рдп = Яд|- (38) Статистические запасы прочности, как и обычные запасы прочности, имеют условное значение. Они служат критериями сравнения надежности вновь создаваемых нзделлй с изделиями, удовлетворительно работающими в эксплуатации. Основное преимущество статистического запаса прочности по сравнению с обычными (детерминистскими) запасами состоит в том, что сопоставление приводится к одинаковым условиям (по объему используемой информации) по рассеянны механических свойств материала и действующих напряжений. Если разрушающее и дьйствующее напряжения распределены по нормальному закону, то можно принять п (q, />„) = ln,-rKs(n2,q,Pn)Slni (39) где т| —среднее значение аразр: Я1 — число испытаний (о^ъем выборки), на основании которого определено значение r\n ; S — среднее квадра- тическое отклонение для выборки объема Пу |л и St„ — среднее значение и среднее квадратическое отклонение, полученное для действующею напряжения в опасной точке при га2 испытаниях [см. формулы (27)" и (28)]; Кп (га,, q, Рт) и К\ (ig, q, Рд) — односторонние толерантные коэффициенты Экспериментальное исследование действующих напряжений путем тен- зометрирования часто применяют при определении переменных напряжений (валы, лопатки и т. п.). В других случаях изучают экспериментально условия нагружения (усилия, температуры и др.), оценивают вероятность появления максимальных нагрузок и т. п. Пример. Требуется определить (при уровне значимости q = 0,01 и доверительной вероятности Рд = 0,99) запас прочности лопатки компрессора, для которой среднее значение предела выносливости, полученное в шести испытаниях (гах = 6), составило а_х = = tjrti =-- 420 МПа, а среднее квадратическое отклонение S_„ = 20 МПа. Среднее значение переменных напряжений при тензометрировании 10 лопаток (га2 = 10) оа= |п>= 60 МПа, а среднее квадратическое отклонение Slni= 15 МПа. Решение. Минимальное значение предела выносливости т1т1п=%,-/Сп(Я1' 9' PH)Sn«.' При пх = 6, q--= 0,01 и Рд= 0,99 по таблице значений толерантных коэффициентов [1] находим Л'п(6; 0,01; 0,99) = 5,00 и тогда Л mm = 420 — 5-20 = 320 МПа. Максимальное значение переменных напряжений Ea..x = ii,, + f6(»2. Я. P„)Sj„,. При л2=10, (7=0,01. Рд=0,99 по таблице значений толерантных коэффициентов находим Kl№; 0,01; 0,99) = 4,06 и Т1тах= 60+ 4,06-15= 121 МПа. Запас прочности л (0,01; 0,99} = 320 2,64. Нормальный закон распределения повышает опасность больших откло- 19*
580 Вероятность разрушения и запасы прочности I. Значения вероятности разрушения ^оа„г, в зависимости от запаса прочности по средним I 1.25 1.5 1.75 2.0 2.5 3.0 4.0 о = 0.05 при vt/vr%t равном t 0,5 0,905- Ю-1 0,143- Ю-* 0,5121- Ю-" 0,18987- 10-" 0,4036- 10-" 0,5629- Ю-3* 0,2934- Ю-*' 2 0,5 0,17- Ю-1 0,3167- Ю-* 0.85- 10-" 0.7787- 10-'* 0,35986- I0-" 0.707- 10-»» 0.33216-10-" 3 0.5 0.6178- 10-' 0,1441- 10-» 0,7802- I0-1 0.143- 10-' 0.7964-Ю-'4 0.21333- 10-" 0,17886- Ю-3* с„- 0,10 1 0.5 0,5938- 10-' 0,2803- 10-* 0,996- Ю-4 0,3911- 10-а 0.127- 10-' 0,12961- 10-' 0.17505- Ю-1" некий и часто более целесообразно использовать усеченные распределения, Учитывая, что вероятностные расчеты носят сравнительный характер, рекомендуется для единообразия использовать приближенные толерантные коэффициенты. Рассмотрим теперь случай, когда статистические характеристики араар н °тах считают известными. Это означает, что величины ц, £ и 5Ч и S\ признают достоверными на основании предыдущего опыта или большого числа исследований. Тогда статистический запас будет зависеть только от уровня значимости. При нормальном распределении будем иметь п(д) -и. -^ _ = Д 1 — «l-gPn 1 + "1-905 (40) где uj_9 — односторонний квантиль доверительной вероятности Величина РЯ= 1 Я = . ■я- (41) представляет собой запас по средним значениям. Коэффициенты вариации Значения иг_(1 для некоторых значений уровня значимости будут следующими: q 0.10 0.05 0.01 0.0014 и. „ 1.29 1.64 2.33 3.00 Связь запасов прочности в вероятности разрушения. Вероятность разрушения определяют по формуле °разр — -4—(-:!-)• (43) где i>j — коэффициент вариации функции неразрушения, Ч = л-6 (44) Разделив числитель и знаменатель последнего соотношения на |, получим "£ /«Г п— 1 (45) где «^ = Sg/J к у„ = S„/tj — коэф- фициенты вариации действующих и разрушающих напряжений; л — запас по средним значениям. Теперь равенство (43) можно записать так: "разр о
Основные понятия 581 напряжениям при Vtjo , равном 2 0,5 0.1446 0,2275- 10-' 0.2401' 10~» 0 2001- 10-" 0, 1366- 10-» 0.143- Ю-' 0.10071- 10-'° 3 0,5 0.2206 0,6811- 10-' 0,1539- 10-' 0.2803- 10-» 0.6152- 10-" 0,1239- 10-» 0.1- 10-» о,. = 0,15 при vtjv , равном 1 0.5 0.1492 0,3216 10-' 0.6 569- 10-» 0.1441- 'О-3 0.996- 10-* 0,1222- Ю-4 0,6173- 10-" 2 0,5 0.2389 0,9176- Ю-' 0,3005- Ю-' 0.914- 10-» 0.9043- 10"» 0.1078- 10-» 0,3911- 10-* 3 0,5 0,305 0,1611 0.7483- Ю-1 0,3144- 10-' 0.5234- 10-» 0,8447- 10-" 0,3167- 10-* Из этого соотношения следует, что вероятность разрушения определяется запасом прочности по средним значениям разрушающих и действующих напряжений и коэффициентами их вариаций. Связь вероятности разрушения и запасов прочности показана в табл. 1. Запасы по средним значениям больше практически применяемых запасов прочности, при определении которых используют наименьшие значения разрушающих напряжений и наибольшие значения действующих напряжений. Глава 33 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ НАДЕЖНОСТИ ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ1 Надежностью называют свойство объекта сохранять во времени в установленных пределах значения всех параметров, характеризующих способность выполнять требуемые функции в заданных режимах и условиях применения, технического обслуживания, хранения и транспортирования. Отказом называется событие, заключающееся в нарушении работоспособного состояния объекта. Отказы следует отличать от неисправных состояний, при которых изделие не соответствует хотя бы одному из требоьаний технических условчй, но сохраняет свою работоспособность. Катастрофические отказы — разрушение конструкции, взрывы и т. п., создающие опасность для жизни людей или влекущие большой материальный ущерб, должны быть исключены с помощью специальных испытаний. ' Термины и определения по надежности укаэлиы в ГОСТ 27.002—89. Они не входят в систему количественных оценок теории надежности. Долговечностью называют свойство объекта сохранять работоспособность до наступления предельного состояния при установленной системе технического обслуживания и ремонта. Ресурсом называется суммарная наработка объекта от начала его эксплуатации или ее возобновления после ремонта до перехода в предельное состояние. Назначенным ресурсом называется суммарная наработка, при достижении которой эксплуатация объекта должна быть прекращена независимо от его технического состояния. Прекращение эксплуатации связано с требованиями безопасности или экономической целесообразности. В пределах назначенного (общетехнического) ресурса обычно предусматривается один или несколько ремонтов. Ремонтопригодностью называется свойство объекта, заключающееся в приспособленности к поддержанию и восстановлению работоспособного со-
582 Элементы теории надежности стояния путем технического обслуживания и ремонта. Контролеспособностью называется свойство изделия допускать контроль его состояния в процессе эксплуатации. Контроль осуществляется при помощи датчиков оборотов, температур, вибраций и т. д., а также путем визуальных осмотров с применением оптических и других приборов. ПРАВИЛА НАДЕЖНОСТИ Инженерный опыт создания сложных технических систем позволяет сформулировать основные правила надежности, которых надо придерживаться на различных этапах создания изделия. Проектирование. 1. Система должна содержать максимально возможное число элементов, проверенных на практике. Число «новых событий» в системе должно быть ограниченным 1. 2. Рекомендуется применение «модульного принципа» конструирования (система создается из отдельных автономных узлов), широкое использование стандартных и унифицированных деталей и узлов. 3. Система должна содержать защитные устройства, предусматривающие устранение возможности возникновения катастрофических отказов (ограничение возрастания оборотов, температуры, давления, крутящего момента и т. п.); сигнальные устройства, предупреждающие о нарушении нормальной работы (световые сигналы и т. п.). 4. Система должна обладать высокой контролеспособностью (оснащена контрольной аппаратурой для оценки вибраций, температур; должна быть обеспечена возможность визуальных осмотров, контроля фильтров, зазоров и т. п.). 5. Система должна быть удобной для ремонта, допускать простую замену быстро изнашивающихся деталей, отдельных элементов и узлов без разработки и переналадки всего изделия. 1 К числу «новых событий» относят принципиально новые конструктивные решения, материалы, условия работы н т. п. 6. Нагруженные элементы системы должны подвергаться тщательному расчету на статическую и динамическую прочность. При таком расчете должны быть учтены максимальные нагрузки, наиболее неблагоприятные рабочие условия (температура, воздействие среды и т. п.), минимальная прочность материала и др. 7. Для данного типа систем (изделий) должны быть установлены нормы прочности, регламентирующие допустимые запасы прочности и необходимый объем экспериментальных исследований. Запасы прочности должны учитывать рассеяние механических свойств материала, вероятности рабочих нагрузок различной величины и продолжительности, число циклов иагружений и т. п. Опытное производство и испытания. 1. Опытные экземпляры изделий должны быть предназначены для всесторонних исследований и испытаний в лабораторных, стендовых и эксплуатационных условиях. При исследовании измеряют параметры рабочего процесса (давление, температуру), тен- зометрированием определяют действующие переменные напряжения и т. д. Целесообразно проводить опережающие исследования и испытания отдельных элементов (узлов) системы для скорейшего выявления и устранения дефектов. 2. Должны проводиться определения конструкционной прочности, износостойкости, коррозионной и эрозионной прочности отдельных элементов системы. Исследования осуществляют на образцах-имитаторах и натурных деталях. Во многих случаях окалывается необходимым создание специальных испытательных стендов для исследования надежности элементов и узлов. 3. Опытные экземпляры испытывают на надежность в условиях, имитирующих эксплуатационные. Для более быстрого выявления «слабых мест» и потенциальных возможностей изделия проводят ускоренные эквивалентные и форсированные испытания. 4 Следует проводить специальные испытания, выясняющие работоспособность системы при особых условиях эксплуатации, транспортирования,
Правила надежности 583 хранения и т. п. (климатические испытания, испытания иа перегрузки, на непробиваемость корпуса и т. п.). При использовании материала нового типа, ранее не применявшегося в подобных изделиях, при использовании принципиально новых конструктивных решеннй, схем, условий работы необходимо увеличивать объем испытаний. 5. Для более полного выявления или подтверждения достаточной надежности систем проводят испытания опытной партии в условиях эксплуатации (для изделий, рассчитанных на сернйное изготовление). 6. В процессе опытного производства в конструкцию и технологию должны вноситься нзменения, направленные на устранение выявленных отказов и неисправностей. Стадия опытного производства завершается официальными испытаниями и утверждением эталона для серийно!о производства. Серийное производство. 1. Технологические процессы серийного производства должны обеспечивать качество изделий (конструкционную прочность и др ) не ниже качества изделий опытного производства. 2. При изготовлении деталей, особенно ответственных, нельзя допускать концентрацию напряжений (недостаточные радиусы закруглений, отсутствие фасок и т. д.). 3 Технологические процессы не должны создавать значительные остаточные напряжения, понижающие прочность изделий. Следует устранять причины, порождающие возможность технологических повреждений (при- жогов, перегревов, трещин и др.). 4. Для ответственных деталей необходимо применять упрочняющую технологию (виброгалтовку, обдувку дробью, поверхностный наклеп), должны использоваться защитные покрытия, предохраняющие деталь от коррозии и других вредных воздействий, 5. Следует установить систему входного контроля (для материалов, поступающих в сернйное производство, комплектующих деталей, узлов, агрегатов). Для контроля в процессе производства детали н узлы разбивают на различные группы контроля в зависимости от назначения и ответственности. Условия контроля указывают в чертеже детали. Для ответственных деталей следует применять контроль геометрии, механических свойств, твердости, структуры материала, химического состава и др. Для выявления дефектов (трещин, рыхлот, засорений и т. п.), особенно в лнтых деталях, сварных швах, поковках, необходимо применять дефектоскопию (цветную, люминесцентную и др.). рентгеноскопический анализ, ультразвуковой контроль. Рекомендуется применять разрезку одной детали из партии для проведения более полного исследования; использовать микрообразцы, вырезаемые из деталей для проверки механических свойств. В отдельных случаях целесообразно применять образцы-свидетели, проходящие вместе с основной деталью определенную технологическую операцию (например термообработку, литье, сварку и т. п.). Для новых материалов или при изменении поставщиков входной контроль должен быть усилен дополнительными исследованиями (для подтверждения уровня рассеяния свойств, для выявления чувствительности материала к трещинам, перегрузкам и т п.). 6. Условия контроля долины быть более жесткими в начальной стадии производства. При достижении необходимого уровня качества производства и его стабильности обычно имеется возможность упростить контроль (после соответствующего согласования). Должны быть предусмотрены испытания, подтверждающие стабильность технологического процесса, допустимый уровень рассеяния количественных показателей, физических и других свойств, влияющих на надежность (периодическое определение остаточных напряжений, пределов выносливости и т. п.). 7. Изменения, вносимые в технологию изго-овления и сборки ответственных деталей, в том числе в размеры заготовок, поковок, изменения припусков посадок и допусков и т. п., должны быть согласованы с конструктором и в большинстве случаев про верены при лабораторных, стендовых или других испытаниях.
584 Элементы теории надежности Особо тщательная экспериментальная проверка должна быть при внесении изменений в конструкцию деталей и узлов. Часто подобные изменения, «усовершенствования», «очевидные улучшения», введенные без надлежащей проверки, являются причиной появления отказов и разрушений. Эксплуатация и ремонт. I. Эксплуатация сложных технических систем должна соответствовать техническим условиям и специальным руководствам. При необходимости должны быть указаны допустимые условия по температуре, влажности, загрязненности окружающей среды, продолжительности тяжелых режимов, регламентации переходных процессов и др. 2. Для сложных ответственных изделий должна быть разработана система технической диагностики, осуществляющая сбор, хранение и анализ информации о состоянии изделия. Информация должна непрерывно поступать от датчиков, регистрирующих частоту вращения, температуру, давление, вибрации и т. п. Система технической диагностики должна включать сигнализаторы состояния узлов, наличия стружки в масле, опасного уровня температур и вибраций и т. п. Система должна включать тесты для поиска и локализации неисправностей. 3. Система обслуживания должна содержать регламентные работы, профилактические осмотры и ремонты. Техническое обслуживание может включать принудительную замену отдельных деталей и узлов после определенной наработки или календарного времени. 4. В пределах общего срока службы изделия могут быть предусмотрены промежуточные ремонты, сроки которых определяются соображениями надежности и экономической целесообразности. Надежность отремонтированных изделий должна подтверждаться специальными испытаниями. 5. Должны проводиться исследования конструкционной прочности деталей и узлов с эксплуатационными повреждениями (коррозия, эрозия, забоины, изнашивание и др.). На основании таких исследований и опыта эксплуатации устанавливаются нормы и эталоны на допустимые повреждения. ВЕРОЯТНОСТЬ БЕЗОТКАЗНОЙ РАБОТЫ, ПЛОТНОСТЬ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ИНТЕНСИВНОСТЬ ОТКАЗОВ Время появления отказа t* рассматривают как случайную величину. Вероятность безотказной работы за время t Р (г) = Вер (г* > г). (1) Символ Вер означает вероятность. Пусть в начальный момент времени работает W„ изделий. Если к моменту времени наработки ti исправными оказались ЫИ {to а неисправными N* (ti) изделий, то статистическая оценка вероятности безотказной работы р (М _ NKVi) __ х N* (t() N» Nt (2) Для простоты допустим, что число изделий настолько велико, что статистическая оценка близка к истинной вероятности . Пусть за время работы А</ - tt+1 - tt (3) число отказавших изделий увеличилось bN*t = N'(ti+l)-N*{tt). (4) Вероятность отказа изделия за время Д<: Вер (tt < /* < ti+l) — N*(tt+,)-N*(tj) _ tHN*(tj) No Если отнести вероятность отказа в промежутке Д^ к самому промежутку, то получим плотность распределения отказов tJN*(tj) /('г)~ ЫвМ, ' (5) Более точно плотность распределения в момент t AN* (t) dN* /(0=^о"^Д^ = Ж^ (6)
Вероятность безотказной работы, интенсивность отказов 585 Плотность (частота) отказов (плотность вероятности отказов) представляет собой число отказов в единицу времени (скорость выбывания), отнесенное к первоначальному числу изделий.' Если F (t) — функция распределения случайной величины t*, то F (t) = Вер (t* < 0 = 1-Я (/). (7) Функция распределения связана с плотностью вероятности отказов F(t)= j" f{t)dt=^f(t)dt. (8) так как время до появления отказа— величина положительная. Из последнего соотношения следует: /,„-£—" dt dt (9) Интенсивность отказов X (t) представляет собой число отказов в единицу времени, отнесенное не к первоначальному числу изделий, а к числу изделий, находящихся в эксплуатации в данный момент: i„w_L_i^li!i на) X(ti)^i^w~w-- (10) Если учесть, что *«(<<) А*1 = А<« — суммарная наработка всех изделий за время Л/; ,то интенсивность отказов равна числу отказов в данном интервале времени, отнесенному к общей наработке изделий в этом же промежутке времени: 4U)~WLUL. (..) Более точно интенсивность отказов в момент времени t I dN* Интенсивность отказов характеризует плотность вероятности отказов в ближайший промежуток времени, если до его начала отказ еще не произошел. Интенсивность отказов и плотиость вероятности отказов связаны соотношением МО fit) P(t) (13) Равенство (13) следует из (12), если записать его в виде 40 = • No dN* 'N^W N0dt и учесть формулу (6). Пример. В эксплуатацию с ресурсом 300 ч выпущена партия из 500 объектов. Число снятых объектов после различной выработки характеризуется следующими данными: Время наработки, ч. . . 50 100 150 200 250 300 Общее число снятых объектов ... 20 24 30 34 40 50 Определить плотность вероятности и интенсивность отказов в период времени от 0 до 50 ч и от 200 до 250 ч и вероятность безотказной работы за ресурс. Решение. За первый период снято 20 объектов и плотность вероятности отказов (для середины интервала — 25 ч). / (25) = 20 300-50 0,80-10"3 |/ч; интенсивность отказов (среднее число работающих объектов 490) X (25) ^= 20 490-50 = 0,82-10-3 |/ч. За период от 200 до 250 ч снято 6 объектов. Плотность вероятности отказов f (225) = 500-50 = 0,24-10-3 |/ч. Среднее число работавших обьектов 500— 1/2(34+ 40) = 463. Интенсивность отказов X(225)= 463-50 0,26-Ю"3 1/ч. Вероятность безотказной работы за ресурс Р (300) = 1 50 500 = 0,9. Среднее время безотказной работы. Если / (t) — плотность вероятности от-
586 Элементы теории надежности казов, то среднее время безотказной работы оо Гср = ?= \tf(t)dt. (14) о Интегрированием по частям находим и другую эквивалентную формулу Гср =_[/>(/) Л. (15) ОСНОВНОЕ УРАВНЕНИЕ ТЕОРИИ НАДЕЖНОСТИ Это уравнение связывает вероятность безотказной работы с интенсивностью отказов. Из уравнений (9) и (13) получаем или dP ^w = ~X{t)dL Интегрируя обе части равенства от О до /, находим I In Р (/) [ = In P (t) - In P (0) = = —j X(t)dt. (16) Предполагая, что в начальный момент времени / = 0 изделие находится в исправном состоянии Р(0)= 1, получаем из равенства (16) I P(t) = e ° = = ехр 17) Уравнение (17) является основным уравнением теории надежности, так как позволяет по протеканию интенсивности отказов определять вероятность безотказной работы. ОБЩАЯ ЗАКОНОМЕРНОСТЬ ИЗМЕНЕНИЯ ИНТЕНСИВНОСТИ ОТКАЗОВ ПО ВРЕМЕНИ НАРАБОТКИ Практически установлено, что изменение интенсивности отказов по времени для большинства сложных систем (машин, узлов) носит характер кривой, показанной на рис. 1. Период приработки / характеризуется повышенным значением интенсивности отказов; при нормальной эксплуатации (//) интенсивность отказов уменьшается и изменяется сравнительно мало, отказы носят внезапный, случайный характер. В периоде усиленного изнашивания /// интенсивность отказов снова резко возрастает. Поэтому перед эксплуатацией сложной системы целесообразно проводить кратковременные сдаточные испытания, отсеивающие дефекты приработки. Система, удовлетворительно прошедшая начальный период, более надежна, чем система, находящаяся в начальном периоде. Замена старых узлов (деталей) новыми целесообразна только в период /// . При профилактической замене деталей на новые в периоде // надежность конструкции не возрастает, а уменьшается. Ресурс изделия следует назначать в начале третьего периода (периода изнашивания и старения). Ш Рис. I. Зависимость интенсивности отказов от времени наработки ПРОГНОЗИРУЕМАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ БЕЗОТКАЗНОЙ РАБОТЫ Пусть известно, что система проработала без отказа время t. Какова вероятность безотказной работы в следующий период продолжительности т?
Экспоненциальный закон надежности 587 (18) Если случайная величина — время работы до отказа /*, то Р (1, t) = Вер (t* — t> г) = P(t + x) P(t) • P (t) можно рассматривать как начальную (априорную) прогнозируемую вероятность непрерывной работы системы, которая была нсправна в начальный момент временн t — 0. ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫЙ ЗАКОН НАДЕЖНОСТИ Основной период эксплуатации обычно характеризуется почти постоянной интенсивностью отказов. В этом периоде отказы происходят от случайных факторов (попадание посторонних предметов, неблагоприятное сочетание внешних факторов, усталостные разрушения и др ) и носят внезапный ха'рактер. Время появления отказа не связано с предыдущей наработкой изделия. При экспоненциальном законе надежности предполагается, что интенсивность отказов является величиной постоянной (рис. 2): X (0 = X. (19) Вероятность безотказной работы по уравнению (17) Р (t) = еГи. (20) Плотность распределения отказов Среднее время безотказной работы о о (22) Вероятность безотказной работы можно теперь записать в такой форме: \P.fA Р (t) = e ср (23) Экспоненциальный закон распреде- ле пня справедлив для описания потока отказов с постоянной интенсивностью. Рнс. 2. Экспоненциальное распределение времени безотказной работы Понятие потока отказов вводится для восстанавливаемых в процессе эксплуатации изделий. Для потока отказов величина Тср представляет собой среднюю наработку на один отказ. Важным свойством экспоненциального закона надежности является то, что он относится к «нестареющим» системам. Для такого закона (и только для него!) прогнозируемая вероятность безотказной работы не зависит от предыдущей наработки Р (т. t) = P(t + x) P(t) -X U+т.) -и (24) Пример 1. Изделие имеет ресурс 1000 ч и интенсивность отказов X = = 0,1 • 10~3 1/ч (среднее время наработки на отказ Тср — 10 000 ч). Определить вероятность безотказной работы первые 10 ч и за весь ресурс, считая справедливым экспоненциальный закон надежности. Решение. Вероятность безотказной работы за первые 10 ч работы Р (Ю) = е-°'1'10"'-10» 0,999; за весь ресурс -0.1-10—■-10» 0,90, Р (1000) = е" ио если известно, что изделие отработало исправно 990 ч. то вероятность отсутствия отказов за последние 10 ч снова будет 0,999. Рассмотрим определение интеисив- иостн отказов (или средней наработки на отказ) при экспоненциальном распределении. Если известно, что для п
588 Элементы теории надежности испытуемых изделий время работы до отказа составило /,, /£, ...j (*, то следует принять (25) Однако на практике информация о работоспособности изделий относится к определенному времени эксплуатации, а течение которого часть изделий получила отказы, а остальные отработали его исправно Тогда следует принять для данного времени испытаний *г Т = — = К Суммарная наработка всех изделий Общее число отказов (26) Пример 2. Определить среди юю наработку до отказа для экспоненциаль ного закона надежности, если за время эксплуатации имеются следующие данные' 30 изделий отработали исправно 3000 ч, 10 изделий по 1000 ч, 7 изделий по 1500 ч; сняты три изделия после наработки соответственно 500, 2000 и 2500 ч. Решение. Суммарное время наработки tz =30-3000+ 10-1000+ 7-1500 +- + 500 + 2000 + 2 500 = 115,5 X X 103ч. Средняя наработка на отказ Г J*_- "5.5-10* К ~ 3 = 38,5-10» ч. НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ВРЕМЕНИ БЕЗОТКАЗНОЙ РАБОТЫ Нормальное распределение применяют в теории надежности для описания отказов, вызванных изнашиванием детали. Плотность распределения вре- Рис. 3. Нормальное распределение времен» безотказной работы мени безотказной работы при нормальном законе распределения (рис. 3) <<-0" /(О- о, У 2л 2°? (27) где параметры распределения t и aj — среднее значение времени и среднее квадратическое отклонение. При нормальном распределении время / может быть отрицательным, что противоречит физическому смыслу. Однако если среднее время г значительно превышает о"( (? > За;), отрицательная часть распределения не имеет практического значения. Функция распределения F<t) = ^/(0^=4 + ф(ЦгГ), —оо (28) где Ф — функция Лапласа. Вероятность безотказной работы при нормальном законе распределения Р(0 = I — /=•(*> = 1 (29) Приведем еще значение интенсивности отказов А (/) P(t) а»? „,VB[-i~.(i=i)] (30)
Надежность системы параллельных элементов 589 При больших ((/>?+ 2at) величина X(/)«±ZJL. (31) ai При / -* оо /(f) —0, Х(0-*оо. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕЙБУЛЛА ДЛЯ ВРЕМЕНИ БЕЗОТКАЗНОЙ РАБОТЫ Это распределение используют для статистических моделей надежности в первый период эксплуатации («при- работочные» отказы). Функцию распределения принимают в виде (t > 0) F(t) а-Мт. (32) Закон Вейбулла имеет два положительных параметра: кит. Экспоненциальное распределение является частным случаем распределения Вейбулла при т = 1. Особенно просто по закону Вейбулла выражается вероятность безотказной работы (рис. 4): Р (/) •= I - F (*) = е" -\tm (33) Плотность распределения '*>-■£ Интенсивность распределения kmt е_и - (34) МО P(t) = Wm~'. (35) Если 0 < т < 1, то интенсивность отказов со временем убывает. p(t) ч, aw /vtj Рис. 4. Распределение Вейбулла времени брзогйАаяой работы {:я < О НАДЕЖНОСТЬ СИСТЕМЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЕН ЫХ ЭЛЕМЕНТОВ Если система включает несколько элементов, г.ричем отказ одного из них приводит к отказу всей системы в целом, то такое соединение элементов называют последовательным (рнс. 5). Например, узлы двигателя — компрессор и турбину — можно считать соединенными последовательно, так как отказ одного из этих узлов приводит К отказу всего двигателя. / —* 2 *- j Рнс» 5. Система с последовательными элементам si Предполагая отказы отдельных элементов независимыми, получим вероятность безотказной работы системы из последовательных элементов P(t)^ P1(i)Pi(t)...Pn(t). (36) Прн последовательном включении элементов вероятность безотказной работы уменьшается. Например, если для одного элемента Р1 = 0,99, то для 10 последовательно соединенных подобных элементов Р = PJ1 = 0.9910 = 0,90. Важное свойство системы с последовательными элементами состоит в следующем. Если ki (t) — интенсивность отказов «-го элемента, то для всей системы -J V"" P(t) где Ь>1 (37) (38) При последовательном соединении элементов интенсивности отказов суммируются. НАДЕЖНОСТЬ СИСТЕМЫ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ В этом случае (рис. 6) отказ системы наступает только тогда, когда отказали все без исключения элементы.
590 Элементы теории надежности JT1—J Рис. в. Система с параллельными элементами Вероятность отказа />(/)= l-P(fl. (39) Если^г (/) — вероятность отказа 1-го элемента, то F(f)=Fl(QFt(t)...Fn(Q. (40) Вероятность безотказной работы системы Ж0 = I - (l-Pi (/))(! ~ - Р,(ф...(\- Pn(t)). (41) Если вероятность безотказной работы элементов одинакова и равна Р, М, то Я (0 = I — (I — Pi (/))"• (42) Из этого равенства можно получить Pj (t), если задано Р (/): Pi (0=1- y\-P(t) ■ (43) Пример. Определить необходимую вероятность безотказной работы элемента, если система из трех параллельных элементов должна иметь вероятность безотказной работы (за время t) Р (t) = 0,999. Решение. Из уравнения (43) находим Pi (/) = 1 — УТ— 0,999 = 0,90. Из равенства (42) и (43) можно сделать вывод, что надежность системы с параллельными элементами значительно выше надежности отдельного элемента. Параллельное соединение — метод создания надежной системы из «ненадежных» элементов. Систему, содержащую параллельно работающие элементы, называют системой с резервированием. Применяют три метода резервирования: 1) система с нагруженным («горя- чим>) резервом; 2) система с облегченным резервом; 3) система с ненагруженным («холодным») резервом. В первом случае резервный элемент работает в одинаковых условиях с основным (например, многодвигатель- нын самолет). Во втором случае резервный элемент работает в облегченных условиях, в третьем случае он включается в работу только после отказа основного элемента. Целесообразность применения различных схем резервирования зависит от особенностей системы, назначения элементов н других факторов. Например, если для включения элемента на заданную мощность требуется значительное времч, то возможности использования >о.;одного резерва становятся ограниченными. АНАЛИЗ НАДЕЖНОСТИ СИСТЕМЫ С НЕСКОЛЬКИМИ ПАРАЛЛЕЛЬНО РАБОТАЮЩИМИ ЭЛЕМЕНТАМИ Пусть система содержит несколько одновременно работающих объектов (турбины, электростанции, двигатели самолета н т. п.). При этом возможен отказ одного объекта при работе остальных и т. д. Какова вероятность, что будут одновременно работать все объекты или только определенная их часть. Рассмотрим вопрос на примере системы с одинаковыми элементами. Силовая установка самолета содержит четыре двигателя, причем вероятность безотказной работы двигателя Р, (0 = е-Ч Вероятность отказа Л(0= 1-М0- Для анализа следует рассмотреть вероятности всех возможных ситуаций (первый двигатель работает, остальные отказали, второй работает и т.д.). Оказывается, что такой анализ выпол-
Количественные показатели надежности 591 нить весьма просто, если использовать характеристический полином [Р, (0 + Fi (Щ' = Pi (О + + 4P? (*) F, (t) + 6Pf (0 F\ (t) + + 4P1{f)FW) + Fiit) = l. Первый член PJ (t) выражает вероятность работы всех двигателей, второй — вероятность работы трех двигателей и отказ одного и т. д. Сумма Pi (t) + 4Р? (0 /у означает вероятность отказа не более одного двигателя (отсутствие отказа или отказ одного двигателя). Пример. Определить вероятность отказов двигателей за полет длительностью 10 ч на четырехдвигательном самолете при интенсивности отказов Х= 1/104 1/ч. Решение. Вероятность безотказной работы двигателя ю р1 = е l0i =0,999. Вероятность отказа F(t)= 0,001. Вычислим члены полинома: Р\ = 0,996; 4P^F1 = 3,988-10"3; 6PfFf = 5,988-10-е; 4Р,Р3 = 3,966-10-"; F*-= МО"12. Вероятность безотказной работы всех четырех двигателей Р0 = р\ = 0,996. Вероятность отсутствия отказов или отказа одного из двигателей Р < 1 = р\ + 4P?Fi = 0,999988. Вероятность безотказн ой работы не менее двух двигателей (отсутствие отказов, отказ одного или двух двигателей) Р < 2 = Р\ + 4Р?/?1 -|- + 6PjFi2 = 0,999999996. Так как самолет может продолжать полет с двумя двигателями, то из примера видна высокая надежность системы в связи с отказом двигателей. РАСЧЕТ ЧИСЛА ИЗДЕЛИЙ, НАХОДЯЩИХСЯ В ЭКСПЛУАТАЦИИ Для расчета используют экспоненциальный закон надежности. Если Гд0— средняя наработка до выбывания изделия нз эксплуатации (в ремонт или на списание), то в момент времени t число изделий в эксплуатации Л'и (0 = Л'ое «c - (44) Число «убывших» изделий [ -г" *(t) = Nn \\ — е Дс N*{t) (45) В последних формулах N0— число изделий, поступивших в эксплуатацию в начальный момент времени t = 0 Рис. 7. «Кривая убыли» изделий из эксплуатации На рис 7 дана «кривая убыли» — зависимость относительного числа выбывших изделий от времени наработки. При * = Гдс 11 N0 = 1 — е"1 = 0,63 Это означает, что 63% изделий будут сняты с эксплуатации и направлены в ремонт. КОЛИЧЕСТВЕННЫЕ ПОКАЗАТЕЛИ НАДЕЖНОСТИ Существуют различные показатели надежности, многие из которых включаются в стандарты н технические условия.
592 Технологические методы повышения долговечности Выбор нормируемых показателей надежности и их регламентация связаны с назначением изделия, режимом его использования, последствиями отказов и другими факторами. В качестве основных показателей надежности обычно используют следующие: вероятность безотказной работы Р (t) и наработку на отказ Т. Для ремонтируемых (восстанавливаемых) изделий величина Т представляет среднюю наработку между отказами. Она определяется в рассматриваемом интервале времени N Т = -LJ , (46) (=1 где N— число изделий в статистической совокупности (выборке); tj и тг — наработка и число отказов t'-ro изделия в рассматриваемом интервале времени. Для отказов, не устраняемых в эксплуатации, в качестве показателя надежности используют среднюю нара- Прочность деталей машин (особенно при переменной внешней нагрузке) зависит от концентрации напряжений, а также от физико-механического состояния поверхностного слоя (остаточных напряжений и других факторов). ОСТАТОЧНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ Остаточными называют напряжения, возникающие в деталях в результате обработки (литья, обработки давлением, резанием, термической обработки и т. п.; при отсутствии внешних воздействий (силовых и температурных). Образование остаточных напряжений при различных технологических процессах происходит различным обработку до первого отказа Тср. Среднюю наработку до отказа определяют раздельно для отказов различных типов. Например, для пассажирских авиационных двигателей средняя наработка до отказа в полете составляет обычно Го. п « (2-8) Ю4 1/ч, тогда как средняя наработка на один досрочно снятый двигатель ТДС.Я = (l-f-6) I03 |/ч. Указанные характеристики отражают различные характеристики эксплуатации; величина Тпс.п является, в сущности, экономическим показателем. Практика эксплуатации технических систем показывает, что их надежность по мере увеличения общей наработки парка изделий в эксплуатации возрастает. Это происходит в результате внесения конструктивных и технологических изменений в производство изделий, направленных на устранение отказов. При очень большой наработке (или времени эксплуатации) наступает «старение» парка изделий и наблюдается стабилизация, а затем и понижение уровня надежности. зом. В основе их возникновения лежат необратимые объемные изменения в материале. Наиболее часто остаточные напряжения возникают в результате неравномерной (или неоднородной) предварительной пластической деформации (при механическом нагружении, а также при нагреве и охлаждении тела). При равномерной (однородной) предварительной упругопластической деформации, когда распределение напряжений одинаково, остаточные напряжения не образуются. Например, после растяжения гладкого стержня с напряжениями о^ > ат и последующей разгрузки он получит остаточную деформацию (остаточное Глаза 34 ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ПОВЫШЕНИЯ ДОЛГОВЕЧНОСТИ ДЕТАЛЕЙ МАШИН
Остаточные напряжения 593 Рис. 1. Кривая деформирования образца из конструкционного материала при наличии разгрузки относительное удлинение, рис. 1) ер', где е(у) е(у) = еост — с1' упругая деформация стержня (тела) при разгрузке *, Е ' здесь Е— модуль упругости материала, Е = tg a. При повторном нагружении процесс пойдет по кривой ВАС и новые пластические деформации возникнут при а > ov Если внешние растягивающие напряжения при повторном нагружении а ^ ох, то образец работает в упругой области с новым значением предела текучести ат{1) =а, (в результате первого нагружения увеличивается упругая область работы образца). Если в процессе упругопластического нагружения тела в нем создается неоднородное напряжение или деформированное состояние (например, прн растяжении стержня с выточкой, изгибе или кручении гладкого стержня), то при разгрузке в нем возникают остаточные напряжения. Остаточные напряжения равны разности между истинными напряжениями в упругопластическом теле и напряже- .А- Рис. 2. Схема изгиба стержня ниями, которые создавались бы в ием, если бы его материал был идеально упругим. Поясним это на примере чистого изгиба стержня (рис.2). Для расчета примем схематизированную кривую деформирования без упрочнения (рис. 3), одинаковую для растяжения и сжатия. Если в результате изгиба стержня наибольшие напряжения в крайних (верхних и нижних, рис. 4, а, б) волокнах с ^ ат, то стержень работает в области упругой деформации: "max — 1,12 ^0т- При М > о^ bh2/6 в крайних волокнах возникают пластические деформации. Предположим, что при дачном значении М область пластических деформаций распространяется от 0,5h до O.Sftx (рис. 4) и напряжения в ней с = ат. При t/<0,5ft1 напряжения изменяются по линейному закону 2у О = От -г— • "1 * Процесс разгрузки можно представить как приложение напряжения О", с обратным знаком Рис. 3. Схематизированная кривая деформирования без упрочнения
594 Технологические методы повышения долговечности ЬУ max -я* hi о max -r а) Ю Рис. 4. Эпюры остаточных напряжений после пластического изгиба Из условия равновесия 0,5Л М: Г obydy = ^olb{Ki-h\)+ -0.5Л ■ oTWii находим, что 21/3 УаТЬ г 4 Напряжения в продольных сечениях стержня определяются следующими равенствами (рис. 4, б): 2У ,i 1 и а*иГ; |"|<Т',1; <JT; -у-л1<|^|< -j-h. Если бы материал стержня был идеально упругим, то распределение напряжений соответствовало бы линейному закону 12М а* — и. bh3 У' а наибольшее напряжение при у = = ±0,5Л • _ 6М amax — bh2 • После разгрузки (после снятия момента М) остаточные напряжения в стержне аост = а— а*. Например, при У=-к- Л аост = ат — 6VW bh2 6VW 1 . при у = -j- hx h bh2 Эпюра остаточных напряжений (рнс. 4, в) здесь, как и во всех других случаях, оказывается самоуравновешенной (равнодействующие усилия и моменты равны нулю). В зоне наибольшей напряженности знак остаточных напряжений обычно противоположен знаку деформации, их вызывающей. После снятия момента ось стержня будет иметь остаточный прогиб, который также можно определить следующим образом. Прн действии момента М деформация слоя на расстоянии hj2 от осн стержня в = hil2R = aT/£, где R— радиус кривизны слоя. Наибольший прогиб осн стержня / = 8R Ehi При идеально упругом материале Eh R* = - 2а'
Упрочнение поверхностным пластическим деформированием 595 Рис. 5, Кривая деформирования при изменении направления нагрузки а наибольший прогиб f - """^ - 2 ML2 1 4Eh 2' Ebh* " Остаточный прогиб направлен в сторону прогиба стержня при действии момента М, так как />/*■ На процесс образования остаточных напряжений существенно влияет поведение материала прн последовательном изменении направления нагружения (рис. 5). Кривая ОАС представляет собой обычную кривую деформирования. В точке А начинается разгрузка (участок А В), а затем проводится нагруже- ние в противоположном направлении (сжатие, участок BCi)- Кривая ВС1 расположена несколько выше кривой ВАуС*, повторяющей ветвь ВАС, что объясняется эффектом Баушингера. Условия появления остаточных напряжений, связанные с неоднородностью предварительной пластической деформации, лежат в основе метода упрочнения детален машин путем их преднамеренного поверхностного пластического деформирования, а также термической обработки. УПРОЧНЕНИЕ ДЕТАЛЕЙ МАШИН ПОВЕРХНОСТНЫМ ПЛАСТИЧЕСКИМ ДЕФОРМИРОВАНИЕМ Для повышения конструкционной прочности деталей машин широко применяют поверхностное пластическое деформирование (статическое и динамическое), реализуемое различными способами. Такое упрочнение оказывается наиболее эффективным для деталей сложной формы или изготовленных' из твердых материалов, а также при наличии концентраторов напряжений. Эти способы упрочнения основаны на получении поверхностных сжимающих напряжений за счет неоднородной упругопластической деформации (растяжения поверхностных слоев детали) в зоне контакта детали и цилиндрического или сферического инструмента (ролика, шарика, дорна и т. п.) или рабочего тела (например дроби). Деформирование поверхностных слоев облегчается при скольжении или качении прижатого инструмента по поверхности детали, так как за счет сил трения увеличивается интенсивность напряжений в зоне контакта. Для повышения стойкости инструмента его изготовляют из более прочного материала, чем обрабатываемая деталь. Эффективным оказывается использование материалов с высоким модулем упругости. Дробь изготовляют и из менее прочного материала (чугун, стекло, неметаллы и др.), так как в момент соударения она работает в условиях сжатия. Упрочнение деталей машии дробью широко распространено во многих отраслях машиностроения. Этому в значительной мере способствовали высокая производительность, небольшие затраты на специальное оборудование и возможность эффективного упрочнения разнообразных деталей из различных материалов, особенно деталей сложной конструкции, когда применение других видов обработки затруднено. Остаточные напряжения в поверхностных слоях деталей возникают в результате неоднородной упругопластической деформации поверхностных слоев от ударов дроби.
596 Технологические методы повышения долговечности f,MM 0,0Ь 0,02 ,oz ^ ^ s<Z~\ :>~-i 3 2 1 6 Т. мин Рис. 6. Зависимость прогмбив в контрольных образцах после пневмодробеструйной обработки от длительности наклепа прн различных давлениях воздуха: I — Рв = 300 КПа; * — Рв = 500 КПа В зависимости от способа передачи кинетической энергии дроби различают несколько методов упрочнения дробью. Пневмодробеструйное упрочнение деталей осуществляется на универсальных установках, в которых кинетическая энергия струи сжатого воздуха передается дроби. Интенсивность наклепа и размеры ядра распыла дроби зависят от диаметра форсунки и насадки сопла. Для обработки применяют литую стальную дробь ДСЛ диаметром 0,5— 1,4 мм. Если обрабатываемая деталь имеет галтели, то диаметр !фоби d *£C < (1,2-М ,6) Rma, где #mln — минимальный радиус упрочняемой галтели. Упрочнение деталей из сталей и сплавов осуществляют при давлении воздуха рв = 3004-400 КПа в течение 1—3 мин. Время обработки устанавливают экспериментально на контрольных образцах из того же материала. Продолжительность обработки, после которой прогиб контрольного образца не изменяется, определяет время наклепа [2]. На рис. 6 показана зависимость прогибов контрольных образцов из стали 12Х2НВФА от длительности наклепа т при односторонней обработке. В данном примере при т = = 3 мин достигается оптимальная степень наклепа и сплошность обработки. Пневмодробеструйной обработке подвергают сварные соединения (швы и околошовные зоны), зубчатые колеса из закаленных цементованных сталей, корпусные и другие детали машин. При упрочнении плоских сварных образцов из сплава ХН68ВМТЮК дробью ДСЛ диаметром 0,5—1 мм при р = 380 КПа и т == 3 мин создаются сжимающие напряжения (рис. 7) и ликвидируются растягивающие остаточные напряжения от сварки. Эпюры осевых сжимающих напряжений, построенные для трех образцов, имеют подповерхностный максимум, характерный для деталей, прошедших упрочняющую обработку поверхностным пластическим деформированием. Сопротивление усталости в результате такой обработки повысилось в 2 раза [3J. Пневмодикамическое упрочнение является разновидностью пневмодробе- струйного упрочнения. В отличие от последнего пневмодинамический способ обработки позволяет проводить местное упрочнение больших деталей или полное поверхностное упрочнение небольших деталей, помещенных в замкнутую камеру (рис. 8). В нижней части камеры размещаются шарики диаметром 1,3— 1,6 мм из стали ШХ15. При подаче сжатого воздуха (рв — — ЗОО-т-700 КПа) к соплам {или щеле- видному соплу) образуются многочисленные струи, которые подхватывают стальные шарики и направляют их на упрочняемую поверхность. Отраженные от детали шарики попадают либо сразу в днище, либо устремляются к экрану и от него к днищу. Зона эффективного упрочнения в камере расположена на расстоянии 60—80 мм вверх от сопла. Массу шариков для камеры и продолжительность обработки устанавливают экспериментально по контрольным образцам. Обычно т. = 15—20 мин. Такой способ обработки часто применяют для упрочнения сварных соеди- 0 -200 -Ш -600 ь;мпа Рис. 7, Зависимость осевых остаточных напряжений в образцах от глубины стравленного слоя \ * 0,1 SSe / ^ 0,2 А у & У OJh,M У * *<*
Упрочнение поверхностным пластическим деформированием 597 Воздух в коллектор нении, шлицевых хвостовиков валов и т. д. Гидродробеструйноеупрочнекие. Особенность этого вида упрочнения состоит в снижении параметров шероховатости поверхности, что важно для зубчатых колес, лопаток компрессора, трубопроводов и др. Обработка деталей осуществляется струей трансформаторного масла при давлении рь = 300—500 КПа и стальными шариками. Благодаря применению масла (и других смазы- вающе-охлаждающих жидкостей) понижается температура в зоне контакта шариков с поверхностью и исключается трение без смазочного материала. Образующаяся пленка защищает впадины на поверхности детали, выступы (гребешки) деформируются. На рис. 9 приведены графики изменения тангенциальных остаточных напряжений по глубине цементованного слоя при различной обработке выкружки зубьев (табл. 1) колес из стали 20ХЗМВФ (число зубьев z = 50, модуль т = 3 мм, коэффициент смещения х — 0, угол профиля исходного контура а = 25°, ширина зуба Ь — = 8 мм). Зубья нарезали червячной фрезой с протуберанцем, создающим искусственное поднутрение зубьев, которое позволяет осуществлять шлифование эвольвентного участка зубьев со сво- Рис. 8. Схема камеры для пиевмодииа- мичсской обработки деталей бодным выходом круга в зоне переходной поверхности. Анализ результатов наглядно иллюстрирует эффективность дробеструйной обработки. При шлифовании уменьшаются остаточные напряжения в поверхностных слоях. Наибольшие сжимающие напряжения действуют в нешлифованных переходных поверхностях; сопротивление усталости зубьев оказывается наибольшим. Увеличение давления масла (> 550 КПа) не влияет на сопротивление усталости зубьев. Следует отметить стабильное снижение параметров шероховатости от Ra = = 0,63-г1,25мкм до Яа=0,16-г 0,32 мкм. 100 200 а.мкм -400 -800 -1200 2\ \J j И V V// 6 б9(а),МПа Рис. 9* Графини изменения кольцевых остаточных напряжений во впадинах зубьев по глубине цементованного слоя
598 Технологические методы повышения долговечности 1. Результаты влияния технологии обработки переходной поверхности зубьев колес на остаточные напряжения и выносливость зубчатых передач Номер кривой на рис. 9 / 2 3 4 5 6 Характер обработки Цементация на глубину 0,7 —1,2 мм. закалка, обработка холодом и низкий отпуск при 250 °С; твердость поверхности зубьев HRC9 ^ 58. твердость сердцевины 32 — 42 HRC3 То же, шлифование То же, шлифование, обработка дробью диаметром 1,6 мм из стали ШХ15 при рм = 530 КПа То же, рм = 550 КПа То же, рм = 650 КПа То же, рм = 800 КПа °0 max' МПа — 750 — 630 — 950 — 1260 — 1260 — 1300 Предельная нагрузка Р03' Н/см 7 600 7 050 10 000 12 600 12 150 12 500 Примечания: 1. Переходные поверхности зубьев колес (см. кривые 4— 8) не шлифовали. 2. Во всех случаях -с — 3 мин на один зуб. 3. Сопротивление усталости оценивали по предельной нагрузке в вершине зуба, отнесенной к ширине венца; нагрузка изменялась от 0 до Р . Виброгалтовка (вибрационная обработка) является разновидностью гидро- дроСеструйнон обработки. Она проводится в контейнере, жестко закрепленном на столе трехкоординатной виброустановки, стальными шариками диаметром 2,5—5 мм и растворителем. Частота колебаний стола 20—40 Гц, амплитуда 3—6 мм. Таким образом осуществляют упрочнение сепараторов подшипников, лопаток турбин и др. После виброобработки уменьшается шероховатость поверхности и повышается выносливость деталей за счет абразивного и упрочняющего действия рабочих тел смеси [3]. Виброгалтовку рекомендуется проводить после гидродробеструйной обработки для доупрочнения и зачистки кромок деталей. Такая технология упрочнения позволяет иа 50% повысить предел выносливости компрессорных лопаток из сплава ВТ9 [3]. Часто на виброустановках проводят виброшлифование деталей рабочей смесью из стальных шариков диаметром 1,6—2,5 мм, абразивных гранул, паст и растворителя. Иногда применяют стеклянные и кварцевые шарики диаметром 0,05— 0,2 мм. Время шлифования деталей составляет 90—150 мин. В результате виброшлифования уменьшается шероховатость, в поверхностных слоях возникают сжимающие остаточные напряжения, снижается трудоемкость слесарной обработки и т. д. По данным работ [2, 3], виброшлифование повышает сопротивление усталости компрессорных лопаток на 25— 32% . Упрочнение микрошариками. Для обработки тонкостенных деталей, а также деталей с малыми радиусами переходов и галтелей используют микрошарики (стеклянные, фарфоровые и др.) диаметром 0.02—0,2 мм. В результате такой обработки достигают параметров шероховатости поверхности детале:"1, равных 0,16—0,63 мкм. Благодаря высокой проникающей способности микрошариков такая обработка оказывается исключительно эффективной для упрочнения резьбовых деталей, елочных хвостовиков лопаток и пазоз дисков, а также других деталей сложной конфигурации. Кинетическая энергия микрошариками сообщается с помощью центробежных дробеметов, позволяющих лег-
Упрочнение поверхностным пластическим деформированием 599 о -гоо -400 -600 -в оо -woo 0,05 0,10 h,MM J- ГЗ 2 \ б,МПа Рис. 10. Графики остаточных напряжений в образцах после различных видов обработки поверхности ко регулировать скорость полета и размеры ядра распыла дроби. Уменьшение диаметра дроби и увеличение скорости ее полета приводит к возрастанию остаточных напряжений в поверхностных слоях и уменьшению глубины наклепа. Возрастанию остаточных напряжений в поверхностных слоях и смещению максимума остаточных напряжений к наружной поверхности способствует смещение максимума интенсивности напряжений а,- при контакте с деталью дроби малого диаметра вследствие уменьшения размеров площадки контакта (см. гл. 29), а также увеличение сопротивления пластическому деформированию при увеличении скорости полета дроби и уменьшение деформированного объема. Типичные графики остаточных напряжений (рис 10) после обработки микрошариками (кривая 3), гидродро- беструйиого упрочкеьия (кривая 2) и точения (кривая 1) образцов из титанового сплава ВТ9 подтверждают одно из главных преимуществ такого способа обработки. Другое важное преимущество упрочнения микрошариками состоит в существенном сокращении длительности обработки до т =- 15-45 с при скорости полета микрошариков v = 60н- 70 м/с. Меньшие значения т соответствуют меньшим диаметрам шариков. Микрошарикамн целесообразно упрочнять сепараторы и кольца подшипников, диски, зубчатые колеса, резьбовые детали и др. В результате обработки шпилек с накатанной резьбой можно на 40—50% повысить выносливость резьбовых соединений из титановых сплавов. Обработка микрошариками обеспечивает повышение сопротивления усталости замковых соединений турбин на 20% [3]. Алмазное выглаживание в качестве отделочно-упрочняющей обработки получило широкое распространение. Упрочнение достигается пластическим деформированием обрабатываемой поверхности скользящим индентором из монокристалла синтетического алмаза (корунда, карбида кремния, карбида бора и т. п.), закрепленного в упругой (подпружиненной державке). Алмазный наконечник (индентор) выполняют в виде сферы, цилиндра и, реже, тора. Благодаря высокой твердости алмаза и других синтетических корундов и карборундов, низкому коэффициенту трения по металлу (особенно при наличии смазывающе-охлаждающих жидкостей), низким параметрам шероховатости и хорошей теплопроводности удается обрабатывать почти все пластически деформируемые металлы (даже при 60—65 HRC3), получая при этом высокие эксплуатационные свойства (износостойкость, коррозионную стойкость, сопротивление усталости и др.). Алмазное выглаживание деталей осуществляют, как правило, на токарных станках при закреплении державки в резцедержателе. Радиус сферы инден- тора 1,5—3,0 мм. Продольная подача назначается такой, чтобы обеспечивалось перекрытие поверхностью индеи- тора линий контакта (0,03—0,08 мм/об). Скорость выглаживания в пределах 35— 45 м/мин обеспечивает минимальное изнашивание алмаза и плавное смятие микронеровностей. Радиальные усилия (150—300 Н) меньше, чем при других подобных методах обработки (обкатка роликом, шариком и т. п.) вследствие малой площади контакта. Алмазное выглаживание формирует в поверхностных слоях высокие сжимающие напряжения (рис. 11), имеющие подповерхностный максимум [4]. Обычно алмазному выглаживанию подвергают плунжеры насосов, валы и оси. Сопротивление усталости упрочненных деталей на 30—35% выше, чем неупрочненных.
600 Технологические методы повышения долговечности 0,1 0,2 h,MM '/ //^ -200 -Ш -600 -800 -1000 -1200 б.МПа Рис. 11. Графики остаточных напряжений после алмазного выглаживания поверхности образца Наряду с алмазным выглаживанием получает распространение виброалмазное выглаживание, позволяющее формировать сложный (узорчатый) рельеф поверхности деталей, что важно для плунжерных пар, маслоуплотнитель- ных колец и др. Обкатка роликом и шариком. Процесс обкатки осуществляется перемещением прижатого к обрабатываемой детали ролика или шарика, закрепленного в специальной державке (рис. 12). Приспособления могут быть двух-, трех- и многороликовыми (многошариковыми) с механическим, пневматическим и гидравлическим приводом. В зависимости от усилия на ролик (шарик) различают сглаживающе- упрочняющую и упрочняющую обкатку. В первом случае наряду с небольшим упрочнением при относительно небольших радиальных усилиях достигают снижения параметров шероховатости, что в ряде случаев позволяет исключить шлифование. При упрочняющей обкатке за счет высоких давлений в поверхностных слоях деталей возникают высокие сжимающие напряжения, параметры шероховатости при этом повышаются. Упрочняющей обкатке обычно подвергают поверхности валов и осей, впадины зубчатых колес и резьбовых деталей. Диаметр ролика для обкатки валов и осей диаметром d < 20 мм принимают в пределах 0,5 < Dp/d< 5. С уменьшением диаметра ролика и ра- Рис. 12. Инструмент для обкатки деталей диуса его профиля R при прочих равных условиях увеличиваются остаточные напряжения в поверхностных слоях и повышаются параметры шероховатости. При упрочнении (обычно фасонными роликами) галтелей валов зона обкатки должна выходить за галтели на длину не менее 0,05d. Посадочные места валов упрочняются с выходом за зону посадки на длину (0,4—0,5) d. Режимы обкатки (усилие на ролик, скорость обкатки, подача) устанавливают экспериментально. В результате упрочняющей обкатки сопротивление усталости валов повышается на 25— 40%. В ряде отраслей машиностроения применяют виброударную обкатку (чеканку) галтелей валов. Отверстия в деталях упрочняют раскатыванием роликовыми или шариковыми раскатниками, а также протягиванием и продавливанием шарика (для отверстий диаметром <30мм). В результате такого упрочнения сопротивление усталости детали с отверстием удается повысить на 30—50%. ТЕРМИЧЕСКАЯ И ХИМИКО- ТЕРМИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА При термической обработке в поверхностных слоях детали возникают остаточные напряжения. Сжимающие остаточные напряжения могут быть созданы путем быстрого охлаждения после нагрева до температуры ниже критической (например, при нагреве деталей из конструкционных сталей до 600 °С и охлаждения в воде). Экспериментальные исследования показали, что сжимающие остаточные
Определение остаточных напряжений 601 напряжения -после термической обработки повышают сопротивление усталости деталей без концентраторов напряжений на 10—30% и на 50—80% деталей с концентраторами напряжений. При поверхностной закалке токами высокой частоты в поверхностных слоях обычно создаются сжимающие остаточные напряжения, повышающие сопротивление усталости деталей с концентрацией напряжений (на 70—200% при наличии посадки с натягом). В зонах обрыва закаленного слоя, например в галтелях валов, возникают остаточные напряжения растяжения, сопротивление усталости валов в этих местах снижается на 20—30%. Эти зоны после поверхностной закалки необходимо упрочнять (роликом или дробью). Сжимающие остаточные наприжения в поверхностных слоях деталей образуются при цементации, азотировании и цианировании. Если при шлифовании поверхностей после химико-термической обработки не возникают остаточные напряжения (обычно растягивающие), то сопротивление усталости деталей возрастает. Обработка дробью поверхностей,подвергнутых химико-термической обработке и последующему шлифованию, оказывает благоприятное влияние на несущую способность деталей при переменных нагрузках, так как стабилизирует свойства поверхностных слоев деталей (устраняет некоторые дефекты и растягивающие напряжения от шлифования). Остаточные напряжения в поверхностных слоях образуются н прн нанесении гальванических покрытий. При никелировании возникают растягивающие остаточные напряжения, снижающие пределы выносливости деталей на 10—30% (большие значения относятся к сталям повышенной прочности). Несколько меньшее снижение прочности наблюдается в случае хромирования и меднения. При нанесении цинкового, кадмиевого и серебряного покрытий сопротивление усталости деталей не изменяется. При назначении покрытий необходимо учитывать условия работы деталей (особенно рабочую температуру). Эффективность упрочняющей обработки может быть оценена экспериментально путем измерения остаточных напряжений или при проведении натурных механических испытаний деталей в эксплуатационных условиях. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОСТАТОЧНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ Большинство деталей машин после упрочнения оказывается в условиях сложного напряженного состояния. Наибольший практический интерес представляют напряжения в поверхностных слоях. Эти напряжения имеют, как правило, наибольшие значения и оказывают существенное влияние на работоспособность деталей. Обычно определяют остаточные напряжения в направлении главных осей. Если деталь является осесимметричной, то в поверхностных слоях в общем случае имеется двухосное напряженное состояние (рис.13): 0"е—тангенциальное напряжение; cz—осевое напряжение. Радиальное напряжение о> на поверхности детали равно нулю. В слоях, близких к поверхности, значение ог невелико, н этой составляющей обычно пренебрегают. Осевые и тангенциальные напряжения в поверхностных слоях деталей определяют механическими методами, в основном путем последовательного Рис. 13. Схема напряженного состояния цилиндрического элемента
602 Технологические методы повышения долговечности $ в^7/////////////////^/Шс у/ у/////////. Рис. 14. Сечение для выявления остаточных напряжений стравливания поверхностных слоев с призматических стержней и колец толщиной 5—6 мм, вырезаемых из детали электроискровым или другим методом. Для оценки эффективности режимов упрочнения деталей часто ограничиваются сравнительными исследованиями осевых остаточных напряжений, оказывающих в большинстзе случаев наиболее существенное влияние на работоспособность деталей. Рассмотрим определение осевых остаточных напряжений в призматическом стержне. Предположим, что, за исключением небольших областей у концов стержня, остаточные напряжения постоянны по его длине. Для определения остаточных напряжений будем последовательно удалять слои материала A BCD (рис. 14), находящиеся в зоне постоянных (по длине) напряжений. Концевые сечения при этом не удаляются, они размещаются в захватах прибора. Неизвестные напряжения считаем положительными (растягивающими). Они действуют по граням АВ и CD, поэтому удаление области эквивалентно приложению к этим граням равных, но противоположно направленных напряжений. Предполагаем, что остаточные напряжения действуют в площадках, перпендикулярных к оси стержня. Поэтому поверхность ВС не должна быть загружена остаточными напряжениями. Определим остаточные напряжения а (а), действующие в стержне на расстоянии а от верхней грани стержня | V-fr '/ 777777777777777777777777?7//г '/ 1_ . Z Рис. 15. К расчету остаточных напряжений (рис. 15). В результате удаления слоя материала толщиной а оставшаяся часть стержня деформируется под действием напряжений по плоскостям АВ и DC. На расстоянии | от верхней грани действуют напряжения о (£). Изгибающий момент от напряжений на грань АВ относительно середины высоты стержня (точки О) М = §°®[-T& + a)-i]bdl, где b— ширина стержня. Если стержень изгибается сосредоточенными моментами М на конце, то прогиб /-— (П где I— длина стержня; J— момент инерции поперечного сечения, b(h — а)3 J =■ 12 (2) Влиянием осевых сил на изгиб пренебрегаем, что не вносит существенной погрешности. Учитывая равенства (1) и (2), найдем а X j О (|) [-1 (Л + а) - l] bd\. (3) о Перенося величину (h— а)3 в левую часть равенства и продифференцировав интеграл по верхнему пределу а, получим (Л - а)2 -I (а) - 3 (Л - а)Ч (а) = З/2 2£ 1°« )<Ч +
Определение остаточных напряжений 603 + -у a (a) (h — a) (4) Из уравнения (4) при а = 0 получим формулу для определения остаточных напряжений в наружном слое 4Eh2 df °(0) = ^-Зг(0). (5) з/2 da После дифференцирования по а равенства (4) имеем (Л - а)- da1 (a)-6(/i-a)4~(a) + + 6/ (a) = -^ 3/2 da da da (a). Проинтегрировав обе части этого равенства, получим (h-a)^(a)-4(h-~a)f(a) + + 2 jf(£)d£-A*~|.(0) З/2 4£ [о (в) -«(0)]. С учетом соотношения (5) найдем, что остаточные напряжения на расстоянии а от верхней грани a (a) = 4£ (h — a)2 da (а). ■4(Л-а)/(а) +2j/(£)dg о (6) Из соотношения (6) следует, что для определения остаточных напряжений необходимо знать не только прогиб в данный момент, но и проследить за изменением прогиба по мере увеличения толщины снятого слоя. Если тол- шина стравливаемого слоя мала в сравнении с толшиной образца (Л/а< < 15), то в соотношении (6) можно пренебречь последним членом и определять остаточные напряжения по равенству 4£ З/2 ХТ£-М- ■4 (Л [(Л-а)2 х ) f (a)] - (?) При hla > 50 можно сохранить только первый член: а (а) _4£_ З/2 (Л — а)2 da (с). (8) Формулы (7) и (8) часто используют при расчетах остаточных напряжений (обычно h = 4-;-6 мм, a = 0,1—0,3мм). При вычислениях по формулам (6)— (8) необходимо учитывать правило знаков. Если значение ст (а) оказывается положительным, то в слое действуют растягивающие остаточные напряжения. Прогиб f считают положительным, если он направлен в сторону снятого слоя (рис. 16). На практике ост ючные напряжения определяют с пог.тщью специальных приборов. На рис, 17 показана схема прибора, который позволяет индукционным преобразователем и самописцем 2 типа БВ-662 непрерывно записывать прогиб f от времени прн стравливании поверхностных слоев образца 3. ^* -У=^ Снятый слой Рис. 16. Схема прогиба стержня при снятии верхнего слоя: а — растягивающие напряжения; 6 — сжнмаюшие напряжения
604 Технологические методы повышения долговечности Рис. 17. Схема установки для определения остаточных напряжений Поверхности, ие подвергающиеся травлению, покрывают воском. Образец закрепляют в держателе 4 с помощью тонких (упругих) пластинок 7, которые не препятствуют повороту его концевых сеченнл. Прогиб образца через наконечниь ' и рычаг 6 передается на преобрас■■ ,атель /. Для обеспечерч - равномерного травления электролг" перемешивают. Скорость травление образца определяют с помощью взвешивания образца до и после окончания травления. Обычно скорости травления составляют 1— 5 мкм/мин. В зависимости от состава электролита напряжение на электродах колеблется в пределах 20—30 В, плотность тока 10—13 А/дм2. Температура элек тролита 20— 60 "С. Электролит для твавления образцов из углеродисты \ сталей включает 80% фосфорной кислоты (Н3Р04), 15% серной кислоты (HjSOj) и 5% хромового ангидрида. Для жаропрочных сплавов на никелевой основе используют электролит, содержащий 45% Н3Р04, 45% H2S04 и 10% воды. Для титановых сплавов используют электролит, включаюший 50% азотной кислоты (HN03), 10% плавиковой кислоты (HF) и 40% воды. Особое внимание необходимо уделять вырезанию образца, чтобы избежать наведения дополнительных остаточных напряжений. Для этого часто применяют электроискровой метод, а также резку узким шлифовальным кругом с малой подачей и обильным охлаждением эмульсией. Отметим некоторые особенности обработки результатов. Во многих практических задачах остаточные напряжения значительно изменяются в пределах поверхностных слоев (при толщине до 0,3 мм). В этом случае для получения надлежащей точности требуется последовательное удаление очень тонких слоев (травление с малой скоростью). Важным является достаточно точное вычисление величин, входящих в формулы (6)—(8). Непосредственно из эксперимента получают графическую зависимость / (t), которая в условиях равномерного травления эквивалентна зависимости f (а). Требуется определить значения производной этой функции и интервала в расчетных сеченияч. С математической точки зрения это известная задача теории приближенных вычислений. Для более точного вычисления произ- волной кривую заменяют парабочой, проводящей через три Заданные точки (рис. 18) с координатами аг_г fi^; at, fi>ai+i>fi+i Уравнение параболы вэтом случае имеет вид f (п\ - f, (Д — at) (Д — gj+i) , + /г (ai_1 — ai)(ai_l — al^) (a —gj.i) (J —a,+i) . (ai—a-t-i) (а-1 — аш) (a — of_i) (a — at) (ai+i — ai-i> (ai+i — ai) Уравнение производной df (a) _ , 2a — a,- — ai+l da ~'t~1(ai_1 — al)(ai_-l—aUl) 4- + U 2a — a;.i — aj+i (at — Oi-i) (at — ai+]) 2a — a;_! — a,- (ai+l — ai_i)(a,+i — "<) (9)
Постановка задач технической диагностики 605 Рис. 18. График приближенного вычисле« ния производной Если в соотношении (9) положим « = 1, аг-i = Щ = 0, /г_1 = /о = 0, то получим формулу для вычисления производной в начале координат (рис. 19) df ,a, = h (2a " Да) da ai(ai — aa) /,(2а —в1) а2 (а2 — ах) Соотношение для определения напряжения в поверхностном слое можно / df и If f, \. *S ?2 Рис, 19. Графи! приближенного вычисления производной в начале координат получить из равенства (6) при а = 0: 4£/ta d/ о(0) 3i2 da (0), Для повышения точности измерения остаточных напряжений рекомендуется применять большие значения llh (обычно llh> 10). Более подробно вопрос об определении остаточных напряжений в элементах конструкций рассмотрен в монографии [3J. Глава 35 ОСНОВЫ ТЕОРИИ ТЕХНИЧЕСКОЙ ДИАГНОСТИКИ Основная задача технической диагностики — распознавание состояния системы в условиях ограниченной информации. Информация поступает в виде показаний датчиков вибраций, гемператур, давлений, путем визуальных осмотров и т. д. Для сложных технических систем запись параметров ведется дискретно или непрерывно. Кроме того, в технической диагнос ике рассматриваются поиск и автоматический контроль неисправностей. Это связано с разработкой методов и средств контроля, разработкой диагностических тестов, оценкой контролеспособ- иости технических систем. Техническая диагностика стала одним из важнейших методов повышения надежности систем в эксплуатационных условиях. Она допускает эксплуатацию ответственных изделий и их техническое обслуживание «по состоянию», что дает значительный экономический эффект. Одной из важных особенностей технической диагностики является распознавание состояния в условиях ограниченной информации, когда требуется руководствоваться определенными приемами и правилами для принятия решения. Ниже излагаются основы теории технической диагностики. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ ТЕХНИЧЕСКОЙ ДИАГНОСТИКИ Состояние системы описывается совокупностью (множеством) определяющих ее параметров (признаков). Множество определяющих параметров (признаков) может быть различным для разных задач распознавания,
606 Основы теории технической диагностики Состояние системы часто описывается с помощью комплекса признаков K=(Ki, К% К} /Г»), (1) где признак Kj имеет т; разрядов. Простой признак имеет два разряда (nti — 2), которые можно обозначать Kj и Kj (наличие или отсутствие признака) или любым двоичным символом: да, нет; двоичным числом и т.д. Например, признак «повышение температуры больше 20 °С» является двухразрядным. Если признак имеет несколько диагностических интервалов, то его называют многоразрядным. Так, признак Kj может иметь три разряда (з зависимости от уровня повышения температуры): AT .... <m° 1о°—20° >20° Во многих случаях систему удобно характеризовать совокупностью параметров — многомерным вектором X = (*!, *2 *;, -.., Хч). (2) В большинстве случаев параметры Xj имеют непрерывное распределение. Например, параметром xj можно считать «повышение температуры» Xj = AT. Во многих методах диагностики должно быть известно распределение контрольного параметра для данного состояния системы. Описание системы с помощью дискретных величин (признаков) и непрерывных (параметров) зависит в первую очередь от объема располагаемой информации. Распознавание состояния системы. Распознавание — процесс установления диагноза — состоит в отнесении предъявленной совокупности признаков к одному из типичных состояний. Число таких состояний зависит от особенностей задачи и целей распознавания. Часто требуется провести выбор одного из двух возможных состояний, например «исправное состояние» и «неисправное состояние». В друпи случаях необходимо конкретизировать неисправные состояния: «разрушение подшипника», «разрушение шлицевого соединения» и т. п. Теория распознавания тесно связана с проблемой распознавания образов, изучаемой в кибернетике. Постановка задачи технической диагностики состоит в следующем. Имеется техническая система, которая может находиться в одном из таких состояний (диагнозов). Известна совокупность признаков (параметров), характеризующих каждое состояние системы. Требуется построить решающее правило, с помощью которого предъявленный для распознавания объект (набор признаков) был бы отнесеи к одному из диагнозов. Имеются несколько основных методов решения задач распознавания: вероятностные; метрические; логические; методы разделения в пространстве признаков. Ниже кратко изложены основы указанных методов. Более подробные сведения см. в работе [1]. ВЕРОЯТНОСТНЫЕ МЕТОДЫ РАСПОЗНАВАНИЯ Метод Байеса. Метод, основанный на обобщенной формуле Байеса, является весьма эффективным, так как позволяет достаточно просто одновременно учитывать признаки различной физической природы — дискретные и непрерывные. Зп'о достигается благодаря использованию единообразных и безразмерных характеристик признаков — частот встречаемости (вероятностей) признаков при различных состояниях. Если имеется диагноз D,- и простой признак Kj, то вероятность совместного появления событий (наличие у объекта состояния D; и признака Kj) Р (DiKj) = Р <Dt) P (Kj/Di) = = P(Kj)P(DilKj). (3) Из последнего соотношения получим P{Dt/Kj)=:P[Dt)-^jlffi-, (4) где в последнем равенстве Р (Di/Kj) — вероятность диагноза D; после того, как стало известно наличие у рассматриваемого объекта признака Kj (апостериорная вероятность диагноза);
Вероятностные методы распознавания 607 Р (Di) — вероятность диагноза £>,-, определяемая по статистическим данным (априорная вероятность диагноза). Если обследовано N объектов и состояние Di наблюдается в Ni изделиях, то Я(0,)«-^-; (5) P(KjlDi)— вероятность появления Kj у объектов с состоянием D[. Если среди Nt объектов с диагнозом Di у Ni] появился признак К}, то P(^/d,-) = 4t"; (6) Р (Kj) — вероятность появления признака Kj во всех объектах независимо от состояния (диагноза) объекта. Пусть из общего числа N признак Kj обнаружен у Nj объектов (с различным диагнозом!). Тогда Как будет ясно из дальнейшего, специальное вычисление не требуется. Пусть проводится обследование ряда признаков К (Ki Kv) п0 v многоразрядным признакам и К* означает определенную реализацию комплекса признаков. При этом в каждом из признаков Kj появляется один из разрядов, например в признаке Kj разряд р: Kj = KjP. Обобщенная формула Байеса (для комплекса многоразрядных признаков) Я (Di/K*) = Я (Dt) Pp<*ffi> (/=1, 2, ..., п). (8) Здесь Р (Di!К*) — вероятность диагноза Dit если комплекс признаков К получил реализацию К*■ Формула (8) относится к любому из п состояний. Предполагается, что система находится в одном (и только в одном) из указанных состояний и потому £/>(Ds) = l. (9) Вероятность появления комплекса признаков по формуле полной вероятности (комплекс признаков проявляется обязательно с одним из диагнозов) Р (К*) = Я (DO P (K*IDX) +■■■ + + Р (Dn) P (K*/Dn) = = S Я (Da) Я (K*/Ds)- (Ю) Теперь формула Байеса может быть представлена в окончательном виде p(Dt/K.)== P(Dt)PWDi)_m £ Я <Da) Я (K*/DS) 5=1 (И) Если комплекс признаков содержит v признаков, то P(K-/Di) = P(K-l/Di)P(mK-lDi)... • ■•Я(/с;//сг*2*.../с;_1я/)1 (t2) где К] = К!р — разряд признака К/, выявившийся после обследования. Для независимых признаков Я (K'/Dt) = Я (/СГ/D,) Х XP(K;/Dt)...P(Kl/Dl). (13) Если при данном диагнозе Dt некоторые признаки, например К\ и Кг, оказываются зависимыми, то Р (К\Ц/Ос)Ф Р (Kt/D,) P (Ц/D^. (14) Тогда в равенство (13) вместо произведения двух первых членов следует внести P(K\/Di)P(K-2/DiK-l) = P(K'iK'2/Di). (15) В большинстве практических задач, особенно при большом числе признаков, можно принимать условие независимости признаков даже при наличии существенных корреляционных связей. Диагностическая матрица. Для определения вероятности диагноза (состояния) следует составить диагностическую матрицу (таблицу).
608 Основы теории технической диагностики Диагностическая матрица для многоразрядных признаков D . i D, D, '■- D» ■у ".,: Ki rs 9 ^ *< —' '*■ 0.8 0.! ■ ■—■ .1 « ' . 9 iH « ^-" а. 0.2 0.7 9 ^ ■< ^-' а. 0 0.2 К, 9 й * а. 0,1 0 9 S * а. 0,1 0 ^^ 9 3 ^ ^-^ а. 0.6 0.3 _ 9 «4 ^ *—' а. 0,2 0." К1 *^ы 9^ **^ — = Л7 -^ Q а. 0,15 0.12 В ней помещаются условные вероятности признаков и априорные вероятности диагнозов. Рассмотрим применение метода Бай- еса при наличии диагностических параметров^, распределенных непрерывно. Тогда для каждого из диагнозов Di должна быть известна плотность распределения f (XjlDi). Если для данного объекта получили значение xl, то вероятность появления Xj в интервале Д, содержащем точку х",, будет равна / (*;/D,) Д. Величина Д будет в числителе и знаменателе выражения (И) и не повлияет на результат. Для учета непрерывного признака в диагностической матрице должны содержаться плотности вероятности. В практических задачах часто используют нормальное распределение, для которого плотность вероятности задается двумя параметрами — средним значением и средним квадратическим отклонением. В диагностической матрице для признака Kj указаны параметры соответствующего нормального распределения. Тогда при использовании формулы Байеса следует принять pWlDi)- r=-t (*7-*/(о)* 2S* (16) Таким образом, метод Байеса можно применять и в том случае, когда часть .13 параметров задана с помощью непрерывного распределения. В некоторых случаях оказывается удобным провести замену непрерывного распределения многоразрядным признаком, что не изменяет общего метода расчета. Решающее правило. Предъявленный для распознавания объект, обладающий комплексом признаков К*, считают принадлежащим диагнозу Dit если Р (Dt/K*) = max, (17) т. е. вероятность диагноза Di оказалась наибольшей. Сумма вероятностей всех диагнозов £ P(DS/K*)=1. Однако если вероятность Р (D,7/C*^ не слишком велика (например, меньше 0,4—0,5), то следует отказаться от постановки диагноза. Поэтому решающее правило можно сформулировать следующим образом: К* £ Du если Р (Dt/K*) = max, Р (Dt/K*) > Pi, где Pi — пороговое значение для диагноза Di (обычно принимают Pi > 0,9).
Вероятностные методы распознавания 609 Пример. Пусть при наблюдении за газотурбинным двигателем проверяют два признака: Кг— повышение температуры газа за турбиной более чем на 50 °С и Кг— увеличение времени выхода на максимальную частоту вращения более чем на 5 с. Предположим, что для данного типа двигателей появление этих признаков связано либо с неисправностью топливного регулятора (состояние Dx), либо с увеличением радиального зазора в турбине (состояние Da). При нормальном состоянии двигателя (состояние D3) признак К\ не наблюдается, а признак /С2 наблюдается в 5% случаев. На основании статистических данных известно, что 80% двигателей вырабатывают ресурс в нормальном состоянии, 5% двигателей имеют состояние Dx и 15% — состояние D2. Известно также, что признак К\ встречается при состоянии Ьх в 20%, а при состоянии D2 — в 40% случаев; признак К% при состоянии D-l встречается в 30% , а при состоянии D2— в 50% случаев. Сведем все эти данные в таблицу: Dl 01 о, D, Р (Л,/С,) 0,2 0,4 0 P(4Di) 0.3 0,5 0.05 P(Di) 0,05 0,15 0,80 Найдем сначала вероятность состояний двигателя, когда обнаружены оба признака: Кх и /С2. Для этого, считая признаки Кг и Кг независимыми, примем формулы (11), (13): Р (DJKrKj = = 0,05-0,2.0,3 0,05.0,2-0,3+ -0.09; + 0,15-0,4.0,5+0,8-0-0,05 аналогично получим P(D3lKiKJ = 0,91; р (0.ВД.) = о. Определим вероятность состояний двигателя, если обследование показало, что при отсутствии признака К\ признак Кг наблюдается. Отсутствие признака АГх есть признак наличия 20 Заказ .V» 402 К\ (противоположное событие), причем P(K1/Di)= X-P(KjDi). Для расчета применяют также формулу (11), но значения P(K'/DA заменяют иа Р (A^/D;). Получим Р (Ог/КгКг) = - 0,05.0,8.0,3 _ 0,05-0,8.0,3 + + 0,15-0,6.0,5+ 0,8-1-0,05 и аналогично Р {DjKiKA = 0,47; P(D3/^A:2) = 0,41. Вычислим вероятности состояний в том случае, когда оба признака отсутствуют: Р (Dr/КгКг) = + 0,15-0,6-0,5 + 0,8-1.0,95 Р (DJKM = 0,05; Я (D3/KiKd = 0,92. Вероятности состояний Dr и D2 отличны от нуля, так как рассматриваемые признаки не являются детерминирующими. Из приведенных расчетов можно установить, что при наличии Кг и Kz в двигателе с вероятностью 0,91 имеется состояние D2, т. е. увеличение радиального зазора. При отсутствии обоих признаков наиболее вероятно нормальное состояние (вероятность 0,92). При отсутствии признака К\ и наличии признака К^ вероятности состояний D2 и D3 примерно одинаковы (0,47 и 0,41) й для уточнения состояния двигателя требуется проведение дополнительных обследований. Преимущества и недостатки метода Байеса. Некоторые преимущества метода Байеса указывались ранее. Главное из них — возможность оценки вероятности всех состояний системы на основании использования широкого набора признаков различной природы. Основной недостаток метода Байеса — необходимость получения боль-
610 Основы теории технической диагностики шой предварительной информации (составление диагностической матрицы). Применению метода Байеса должна предшествовать статистическая обработка данных эксплуатации и в некоторых случаях специальные исследования, имитирующие неисправности (например, изменение вибраций двигателя, собранного с дефектной лопаткой и т. п.). Другой недостаток метода Байеса — «угнетение» редких диагнозов. Так как решение зависит от Я (D;) — априорной вероятности диагноза, то при малых значениях Я (D;) должна быть очень большая вероятность данной реализации комплекса признаков. Это объясняется тем, что в основной расчетной формуле (11) в качестве множителя стоит Р (Di), н потому данная реализация комплекса признаков для редкого диагноза должна иметь очень высокую вероятность Я (/f*/D;) н малую — при других диагнозах, чтобы величина Я (D tlK*) оказалась наибольшей. Для компенсации этого недостатка проводят расчет, предполагая все априорные вероятности диагнозов одинаковыми: Р (Dx) = - • • = Я (Dn) = -L . Это позволяет выяснить, для какого состояния наиболее характерна рассматриваемая реализация комплекса признаков. МЕТОДЫ СТАТИСТИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ Метод минимального риска. Этот метод был развит в связи с задачами радиолокации, но может вполне успешно использоваться в задачах технической диагностики. Пусть проводится измерение параметра х (например, уровня вибраций изделия) и на основании данных измерений требуется сделать вывод о возможности продолжения эксплуатации (диагноз Di — исправное состояние) или о направлении изделия в ремонт (диагноз D2 — неисправное состояние). На рис. 1 даны значения плотности вероятности диагностического параметра х для двух состояний. Пусть установлена контрольная норма для уровня вибраций хв. В соответствии с этой нормой принимают: *<*0 x^Dx — исправное состояние; ] х>хй x£Dz—неисправное состояние. / (18) Знак £ означает, что объект с уровнем вибраций х относят к данному состоянию. Из рис. 1 следует, что любой выбор величины х0 связан с определенным риском, так как кривые fx и /2 пересекаются . Существуют два вида риска: риск «ложной тревоги», когда исправное изделие признают неисправным, и риск «пропуска цели», когда неисправное изделие считают годным. В теории статистического контроля их называют риском поставщика и риском прнемщнка или ошибками первого и второго рода. При данном х0 вероятность ложной тревоги со а = \fi(x)dx (19) и вероитность пропуска цели Р = J h(x)dx. (20) —00 Задача теории статистических решений состоит в выборе оптимального значения х0. По способу минимального риска рассматривается общая стоимость риска оо R = СпР (Di) J h (x) dx + *• + С12Я(02) { h(x)dx, (21) —ос где С21 — «цена» ложной тревоги; С12 — «цена» пропуска цели; Я (Dx) и Я (D2) — априорные вероятности диагнозов (состояний), определяемые по предвари-
Методы статистических решений 611 f и Рис. 1. Плотность вероятности диагностического признака тельным статистическим данным. Величина R представляет собой «среднее значение» потери при ошибочном решении. Из необходимого условия минимума dR дх-п ~С21Р (DJ U (*,) + + СиР (£>,) /2 (х„) = 0 (22) получаем /i (*о) С)2Я (Рг) C2iP (DO (23) Можно показать, что для одно- модальных распределений условие (23) всегда обеспечивает минимум величины R. Если стоимость ошибочных решений одинакова, то /i(*о) P{Dt) h Ы я (Dt; (24) Последнее соотношение минимизирует общее число ошибочных решений. Оно вытекает также из метода Байеса. Метод Неймана—Пирсона. В этом методе исходят из условия минимума вероятности пропуска дефекта при допустимом уровне вероятности лож- нон тревоги. Таким образом, вероятность ложной тревоги J Mx)dx<a, (25) где а — допустимый уровень ложной тревоги. 20* В рассматриваемых однопараметри- ческих задачах минимум вероятности пропуска цели достигается при j h W dx = a. (26) Последнее условие и определяет граничное значение параметра (значение «о)- При назначении величины а учитывают следующее: 1) число снимаемых с эксплуатации изделий должно превышать ожидаемое число дефектных изделий в силу неизбежных погрешностей метода оценки состояния; 2) принимаемое значение ложной тревоги не должно, без крайней необходимости, нарушать нормальную эксплуатацию или приводить к большим экономическим потерям. В практических задачах можно принимать a = kP(D2), (2 7) где k — коэффициент избыточности. При дефектах с ограняченными последствиями принимают ft = 1ч-3. При опасных дефектах ft = З-т-10. Можно использовать другой подход — определять х0 исходя из выбранного уровня пропуска дефекта. Тогда | /а (х) dx = ft, (28)
612 Основы теории технической диагностики причем можно принимать где k — коэффициент избыточности (й=1~10); N — общее число изделий, находящихся в эксплуатации. Во всех случаях Ь < 0,05, чтобы вероятность пропуска дефекта была пренебрежимо малой. МЕТОДЫ СТАТИСТИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ ПРИ НАЛИЧИИ ЗОНЫ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ Правило решения. В тех случаях, когда стоимость ошибок пропуска цели и ложной тревоги очень высока, можно уменьшить риск с помощью введения зоны неопределенности. Правило решения будет теперь таким (рис. 2): ° } (29) х>хь x£Da, ) ха < х < хь — отказ от распознавания (зона неопределенности). Разумеется, отказ от распознавания может иметь нежелательные последствия. Он означает, что для принятия решения необходима дополнительная информация (осмотр, измерения и т. п.). Метод минимального риска. Общая стоимость риска выражайся равенством ао R = Сг1Р (Dy) | h (*) dx + ХЬ а + C„P(Os) | fi(x}dx + + C„ P{DY) j M*)d*4 "a + P (Dt) j /2 (x) dx (30) где C0 — цена отказа от распознавания. Необходимые условия минимума: 3R дха = С12Р (D2) /, (х„) - - С„ [Р (DO h (хц) + Р (О,)/, (х„)1 = 0; -%£ ~= -СпР (DJhW + CtlPiDd X X h Ы + Р (О,) /2 (хй)1 = 0. Из последних уравнений следует: h Ы (Си - С.) Р (О,) . /г (*а) Л(*ь) С0Р (Dt) С0Я (D,) /а (<Ь) (С21 - С0) Я (Dt) * (31) Если стоимость отказа or распознавания С0 = 0, то хь- и зона отказа занимает всю область. Система распознавания в этом случае выключается из работы, что минимизирует риск (потери за отказ от распознавания отсутствуют). Возможно и другое развитие методов статистических решений при наличии зоны неопределенности. Рнс. 2, Принятие решений при наличии лжы неопределенности
Метрические методы распознавания 613 МЕТРИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РАСПОЗНАВАНИЯ Пространство признаков. Метрические методы связаны с измерением расстояний в пространстве признаков. Будем характеризовать состояние системы (изделия) вектором параметров х = (*i, х2, ••> *т)- (32) Компоненты вектора х могут быть непрерывными или дискретными величинами. В последнем случае xj представляет собой многоразрядный диагностический признак. Каждое состояние изделия в соответствии с равенством (32) может быть представлено точкой в пространстве признаков, а вектор х соединяет эту точку с началом координат. Предполагается, что точки с одним и тем же состоянием (диагнозом) группируются в компактной области пространства признаков («гипотеза компактности»). Метод эталонов. Допустим, что имеется щ образцов с диагнозом D- (рис. 3). Они образуют обучающую последовательность. Точки, входящие в области диагнозов, обычно располагаются более плотно в центральной части области. Примем в качестве «типичного» изделия с данным диагнозом «среднюю точку», которую назовем эталоном. Координаты эталона s'-ro диагноза п1 а,, = — Va (/=1, 2 m), ч гц _ S I (33) где atjS — значение параметра х для образца 5, принадлежащего диагнозу Dt. Пусть предъявлено для распознавания изделие, характеризующееся вектором х в пространстве признаков. Решение вопроса об отнесении изделия к диагнозу D{ связано с измерением расстояния до эталонов. Решающее правило. Принимается по минимальному расстоянию до эталона: 'i=W *£Dt, (34) Рис. 3. Область диагнозов (состояний) в пространстве признаков т. е. если точка х ближе всего к эталону диагноза £>;, то вывод делается в пользу диагноза Dt. Расстояния до 1-го эталона 11 = (^(х1-ац)Л\ (35) Предыдущие равенства определяют обычное евклидово расстояние. В задачах диагностики часто оказывается целесообразным использовать обобщенные расстояния порядка v '< = {£ К— Q«;lv]v • Об) При v = 1 получается расстояние по Хемингу, при v = 2 — обычное расстояние. При возрастании v увеличивается роль наибольшего отклонения по какой- либо координате. Расстояние (35) и (36) можно использовать для однородного, изотропного пространства признаков. Таким пространством будет пространство простых (двухразрядных) признаков, кодируемых двоичными числами (0,1). Однако в задачах технической диагностики часто приходится использовать признаки различной физической природы (например, уровень вибрационных перегрузок и повышение температуры), имеющих различную размерность. Для учета указанного обстоятельства целесообразно ввести безразмерные расстояния. Например, по координате —»- —»- (направлению) xj для точек х и ai
614 Основы теории технической диагностики безразмерное расстояние можно при нять в виде XJ — аИ (37) где Oij — среднее квадратическое отклонение признака xj для диагноза Di. Условие (37) содержит предположение, что для диагностики отклонение следует относить к «характерному масштабу» — среднему квадратическому отклонению. Далее следует учесть различную диагностическую ценность признаков. Для этого введем безразмерные диагностические коэффициенты Cij, и тогда с помощью равенства (36) получим 1 I /=1 'И х) — Д» >И (38) Последние соотношения дают формулы для расстояний в неоднородном, неизотропном пространстве. Определение коэффициентов Cij вызывает известные трудности. В первом приближении для признака Xj, имеющего /п;- диагностических интервалов, можно принять, что величина Cij совпадает с диагностической ценностью признака: си = 1>р (*WDi) х S=l X log р {*islDi Plx, '(J (39) is) где P (xjS/Dt) — вероятность интервала S признака xj для диагноза (состояния) ZX; P (x;g) — вероятность этого интервала для всех состояний. В тех случаях, когда отсутствуют статистические сведения, величины Cij можно назначать с помощью экспертных оценок или подбирать по опыту диагностики. Метод минимального расстояния до множества. В этом методе учитывается минимальное расстояние до образцов, входящих в обучающую последовательность. На рис. 4 показаны расстояния h mm и h- Рис. 4. Метод минимального расстояния до множества Решающее правило имеет вид /<т1п = гшпГ<ЕО(, (40) т. е. если точка х ближе всего к одной из точек обучающей последовательности диагноза D;, то оиа относится к этому диагнозу. Метод минимального расстояния до множества представляет собой диагностику «по прецеденту», т. е. образцу (изделию), наиболее близко напоминающему объект, предъявленный для распознавания. Дополнение к решающему правилу в метрических методах. Метрические методы распознавания в отличие от вероятностных основаны на детерминистском подходе. Решающее правило устанавливает диагноз, считая его достоверным. Обучающая последовательность, как уже указывалось ранее, составляется из образцов (изделий), для которых достоверно известен диагноз. Смысл задачи распознавания: если минимальное расстояние до эталона диагноза £>; мало отличается от других расстояний, то достоверность диагноза Di вызывает сомнения. Введем условные «вероятности» диагнозов _1_ Pi=~~ . (41) 2 *=1 in где If, — расстояние до эталона диагноза Dft. Решение в пользу диагноза Dt принимается в случае, если Pi = Pit.
Метод разделения в пространстве признаков 615 где Pi„ — уровень принятия решения для s'-ro диагноза (обычно PtB "> 0,8). Такой способ сближает вероятностные и детерминистские методы распознавания. Применение метрических методов возможно и в том случае, когда области диагнозов пересекаются. МЕТОД РАЗДЕЛЕНИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ ПРИЗНАКОВ Разделяющая функция и решающее правило. Как и в метрических методах распознавания, состояние изделия характеризуется точкой в пространстве признаков. Предполагается, что области диагнозов не пересекаются и поэтому возможно построить разделяющую поверхность. Рассмотрим распознавание двух состояний D1 и £>а (дифференциальная диагностика или дихотомия). При наличии нескольких диагнозов распознавание может быть сведено к последовательному применению рассматриваемой процедуры. В основе методов разделения лежит построение скалярной функции параметров (признаков) /(*!, xt, .... xm)=/(I), (42) принимающей различные знаки в двух областях диагноза. Такую функцию называют разделяющей, и тогда /Й>о при 7ео1; | f(x)<0 при x£D2. j Таким образом, разделяющая функция имеет положительное значение для всех изделий, имеющих состояние £>i, и отрицательное значение — в противоположном случае. Условие (43) образует решающее правило для разделения в пространстве признаков. Если для предъявленного для распознавания объекта, характеризующегося вектором х, значение / (х) положительно, объект считают принадлежащим состоянию Du при отрицательном значении / (х) — состоянию Рис. 5. Линия, разделяющая функции для двух диагнозов Уравнение / (7) = 0 (44) будет составлять уравнение разделяющей поверхности (поверхности, разделяющей области диагнозов). Наиболее простой вид имеет линейная разделяющая функция / (*) = K*i + К*% + • • • + + ЬтХт + Ki+i,- (45) где т — число признаков (размерность пространства); %it X2, ..., Хт — «весовые» коэффициенты. Разделяющая поверхность будет гиперплоскостью («плоскостью» в многомерном пространстве) f (•*) = h*i + Кч + • • • + + Kixm + "bm+i = 0. (46) Для случая двух признаков (параметров) разделяющая плоскость будет разделяющей прямой (рис. 5). Для удобства геометрической интерпретации введем формально еще один параметр *„,+,= 1. (47) Разделяющая функция может быть теперь представлена в виде скалярного произведения f (х) = Ал +■■■■+ K*v + -f >-v+i*v+i = bs. (48) где Я — «весовой» вектор, 1=(К X Я,т+1). (49)
616 Основы теории технической диагностики Решающее правило будет таким: если Хх>0, то *££>!; если кх < 0, то (50) x£D2. J Уравнение разделяющей гиперплоскости /(7)=ХГ=0. (51) Из последнего равенства следует, что разделяющая гиперповерхность перпендикулярна к «весовому» вектору и проходит через начало координат (в дополненном пространстве признаков размерности m + 1). Чтобы осуществить диагностику с помощью линейной разделяющей функции, достаточно знать компоненты весового вектора. Приближенный способ определения весового вектора. Для построения весового вектора (нахождения коэффициентов А.;) используют объекты (изделия) с установленными состояниями £>! и £>2 (обучающие последовательности). Средние (эталонные) образцы харак- -*- -*- теризуются векторами at и а2, причем компоненты векторов 1 V V Л, Zj П2 i^J 2JS. (52) где а,^, a2j — значения признака (параметра) X] для образцов, имеющих состояния Ъ1 и D2; hx и Л2 — число образцов, входящих в обучающие последовательности для диагнозов Dt и £>2; S — индекс образцов. Примем, что разделяющая плоскость проходит через точку, находящуюся на середине прямой, соединяющей точки эталонов (точку А, рис. 6), перпендикулярно к этой прямой. Так как точка А характеризуется вектором 1/2 (at + a2), то уравнение разделяющей плоскости будет / (х) = £-0,5(£ + а2)] & -о,) = 0. (53) Рис. 6. Приближенный способ построения разделяющей гиперплоскости Скалярное произведение вектора, лежащего в разделяющей плоскости, и вектора, нормального к ней, обращается в нуль. Развертывая уравнение (53), находим fx = («п — a2i) *Н Ь (aim — -"2m) ^ + 0.5(^-^ = 0, (54) где а\ и а\ — квадраты длины векторов at и а2. Сопоставляя равенства (54) и (46), находим составляющие весового вектора: ^•1 = all a2ll "Ч = aU a22l лт = aim a2m! Wl=°'5K-a2)- (55) Последние соотношения устанавливают приближенные значения компонентов весового вектора. Определение весового вектора методом последовательных приближений. Предполагают, что имеется обучающаи последовательность, в которой содержатся сведения об образцах с диагнозами состояний Dl и 02. Принимают первое приближение для весового вектора А.П), например, с помощью равенств (52) или каким-либо другим (произвольным) образом. Выбирают произвольно образец из обучающей последовательности, которому приписывают условно первый номер ж(1); он может иметь состояние Dl или 02. Величину Ад1' «испытывают» по отношению к ж<1,) т. е. определяют Адх)^1».
Логические методы распознавания 617 Если распознавание х<1; произошло с ошибкой, то значение А,'*' корректируют. Принимают следующее приближение: (56) Я.<2> =Х<1)+Х(1), если x<u£Di, ио Х(1'х<1)<0; если Г<1; ££>а, ио l'1'^1'> 0. При неправильных ответах к А,'1' прибавляется или вычитается вектор точки, относительно которой совер- ->■ шена ошибка. Если с помощью А.'1' -> распознавание вектора х(1) было правильным: при ~x<l>£Dl А<1,х<1) >0; при ^^СОг 1'1,х<1,<0, то сохраняется прежнее значение Г<2>=1<1> и предъявляется следующий образец х<2>. Если линейное разделение возможно, то указанный процесс приводит к нахождению вектора X за конечное число шагов. Однако разделение областей диагноза гиперплоскостью не всегда возможно. На рис. 7 приведен такой случай. Если области диагнозов являются выпуклыми (т. е. отрезок, соединяющий любые две точки области, лежит внутри нее) и непересекающимися, то линейное разделение осуществимо. Рис. 7. Случай, когда невозможно разделение областей диагнозов с помощью гиперплоскости Приведенное условие образует достаточный признак линейной разделимости. Область диагноза D2 иа рис. 7 не принадлежит к выпуклым, и достаточное условие не удовлетворяется. Однако признак не является необходимым, так как если «раздвинуть» области диагнозов иа рис. 7, то окажется возможным разделение гиперплоскостью. Укажем теперь необходимый и достаточный признак линейной разделимости. Оиа возможна, если существует хотя бы одно направление, на котором проекции областей диагнозов не пересекаются. Линейные методы разделения не могут быть использованы, если области диагнозов имеют сложные и близко расположенные границы (рис. 7). Более эффективными, но и более сложными являются методы потенциальных функций и методы стохастической аппроксимации, в которых разделяющую функцию принимают в более общем виде / М = ^\Щ (*) + ^2фг (*)+•••. где ф! (х), ф2 (х) — функции параметров (признаков). В более сложных случаях приходится использовать преобразования признаков, указанные в связи с рассмотрением метрических методов распознавания. ЛОГИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РАСПОЗНАВАНИЯ Эти методы основаны на установлении логических связей между признаками и состоянием объектов. В связи с этим рассматривают только простые (двоичные) признаки, для которых возможно только два значения (0 или 1, «да» — «нет» и т. п.). Точно так же и сами состояния изделия (диагнозы) могут либо быть, либо отсутствовать, т. е. иметь только два значения. Это типично для детерминистского подхода, когда вероятности состояния не рассматриваются. Вместе с тем использование двоичных переменных для описания признаков и состояний изделия позволяет применить логические переменные и булев-
618 Основы автоматизированного проектирования ские функции, методы математической логики. Естественно, что детерминистское описание с помощью двоичных переменных является приближенной моделью диагностики. Однако они могут Широкое внедрение электронных вычислительных машин (ЭВМ), быстрое совершенствование их параметров оказывает все возрастающее влияние иа современную науку и технику. Существенно расширились возможности решения задач вычислительного характера (сложных задач математической физики, построения математических моделей процессов и т. д.). Коренные изменения произошли в прикладной математике и других областях знаний, возникли новые эффективные методы численных решений (метод конечных элементов и др.). Современные ЭВМ позволяют решать логические задачи (оптимального управления, распознавания образов, постановки диагноза и т. п.). Широкое распространение получили станки с программным управлением, существенно увеличивающие производительность труда; автоматические устройства, роботы и др. Будущее развитие техники связано с автоматизированным производством, основанным на широком использовании ЭВМ. СТРУКТУРА А ВТОМАТ ИЗ И РО ВА Н Н О ГО ПРОИЗВОДСТВА Автоматизированным (машинным) производством будем называть производство с помощью электронных вычислительных машин. При этом главные решения все же остаются за коллективом специалистов, руководящим автоматизированной системой. Производство современных машии разбивается на четыре последовательных, взаимосвязанных этапа: проектирование, конструирование, изготовление и испытание. Если иа каждом из быть использованы для начальных этапов распознавания и особенно перспективны для второго направления технической диагностики — поиска и локализации неисправностей. этапов предусматривается широкое виедреиие ЭВМ, то следует говорить об автоматизированном проектировании, автоматизированной технологии и т. д. Общая схема автоматизированного производства показана на рис. 1. Автоматизированное проектирование представляет собой оптимальное проектирование путем синтеза математических моделей. Оптимальное проектирование подразумевает отыскание наилучшего, в определенном смысле, варианта проекта. В результате автоматизированного проектирования создается эскизный проект изделия, содержащий его основные параметры, характеристики, скелетную схему конструкции, и математическая модель изделия. Автоматизированное конструирование осуществляет оптимальный синтез конструктивных элементов с помощью ЭВМ. При конструировании за основу принимают скелетную схему конструкции, полученную на этапе автоматизированного проектирования. Схему дополняют конструктивной и технологической разработкой отдельных элементов (соединительных и переходных элементов, уплотнений), определяют размеры, допуски, посадки и т. п. В результате автоматизированного конструирования выпускается техническая документация, необходимая дли технологической подготовки производства. Техническая документация содержит чертежи, получаемые на чертежных автоматах по разработанным программам, и технические условия (условия сборки, контроля и т. п.). В производство передается «машинный образ» конструкции в виде пакета программ, содержащий необходимую информацию для изготовления изделия. Глава 36 ОСНОВЫ АВТОМАТИЗИРОВАННОГО ПРОЕКТИРОВАНИЯ
Структура математической модели 619 ♦ Автоматизированное проек - тироВание Автоматизированное производство * - Автоматизированное нонстри- иро1иние ■. АВтоматизиро- технология * Автоматизированное испытание Рис 1. Общая схема автоматизированного производства Автоматизированная технология представляет собой оптимальную технологию, осуществляемую с помощью ЭВМ. На этом этапе разрабатывают оптимальный технологический процесс (выбирают оборудование, инструмент, оснастку, режимы обработки и т. п.). Создают программы для станков, информационных и управляющих систем производства и т. д. Автоматизированные испытания состоят в экспериментальном подтверждении параметров математической модели. На этом этапе разрабатывают оптимальный план доводочных испытаний, способы идентификации (определения) параметров моделей по данным опыта. Особенностью автоматизированных испытаний является не только проведение эксперимента с реальным изделием, но и с его математической моделью. Во втором случае оказывается возможным оценить поведение элемента, узла и всей машины в целом при различных внешних условиях, нагрузках и т. п. Это позволяет более полно определить надежность системы, выбрать систему диагностики и т. д. Ограничимся рассмотрением проблем автоматизированного (машинного) проектирования. СТРУКТУРА МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ Математической моделью условимси называть совокупность уравнений, условий и ограничений, описывающих функционирование элемента, узла или всей машины в целом. Общая модель должна отражать следующие основные факторы: 1) работоспособность (взаимодействие с внешней средой и другими элементами); 2) энергетический баланс, коэффициенты полезного действия; 3) надежность (запасы прочности, долговечность и др.); 4) экономическую эффективность (стоимость производства и эксплуатации, технологичность и др.). Общая модель обычно содержит частные подмодели, отражающие отдельные факторы функционирования системы. Структурная схема математической модели (в системе автоматизированного проектирования) показана на рис. 2. Модель осуществляет преобразование входных параметров, отражающих условия нагружения, среды и т. д., в параметры выхода, характеризующие процессы и состояние самой системы. Например, при расчете лопатки газовой турбины в качестве входных параметров используют частоту вращения ротора, давление, скорость, температуру и расход газа на входе в турбину, радиусы корневого и концевого сечения и др. Параметры выхода включают показатели, характеризующие состояние газа на выходе из турбины, напряжения и температуру в лопатке, геометрию профилей сечения лопатки на различных радиусах и т. д. Блоки преобразования содержат блоки и модули, каждый из которых осуществляет физически определенную часть преобразования (например, расчет напряжений в лопатке и т. п.). Входные параметры подразделяют иа заданные (приходящие из модели более общей системы) и управляющие. Именно управляющие или внутренние параметры позволяют осуществить процесс оптимизации. Последний реализуется с помощью блока внутренней оптимизации. В этом блоке содержатся наиболее простые и универсальные условия оптимизации (минимум массы, максимум коэффициента полезного дей-
620 Основы автоматизированного проектирования Рис 2. Структура математической модели ствия), позволяющие достичь локального оптимума. Важную роль играет блок ограничений, устанавливающий область возможных значений управляющих и выходных параметров. Модель содержит банк данных, хранящий необходимую для работы информацию, и блок управления. Последний позволяет воздействовать на упрочняющие параметры, осуществлять переключение вариантов и др, В модели предусмотрен блок визуализации, с помощью которого формируются изображения и графическая информация. Все блоки модели связаны между собой, сама модель может являться частью более сложной модели. Работа модели осуществляется по принципу последовательных приближений. Сначала принимают начальные значения управляющих параметров Они вместе с заданными поступают в блок преобразований, где формируются параметры выхода. Выходные параметры направляются в блоки оптимизации и ограничений, в которых вырабатываются указания об изменении исходных значений управляющих параметров. Далее переходят к следующему приближению, причем циклы продолжаются до завершения процесса оптимизации. Окончательные результаты поступают в банк данных и на вход следующих моделей системы. УРОВНИ И КЛАССЫ МОДЕЛЕЙ В процессе автоматизированного проектирования создается большое число математических моделей отдельных процессов, элементов, узлов и т. п. Будем различать уровни и классы моделей. Уровень модели характеризует ее «качество» — степень глубины и полноты отображения связей, существующих между параметрами входа и выхода. Различают модели нулевого, первого, второго и более высоких уровней. Разделение на уровни является условным и зависит от назначения, структуры модели, требований точности и других факторов. Часто используют модели следующих уровней: нулевого — модели, основанные на статистической обработке параметров предшествующих или аналогичных изделий; первого — модели, использующие простейшие одномерные теории при ряде упрощающих предположений; второго — модели, включающие все инженерные расчеты, проводимые для рас-
Создание систем автоматизированного проектирования 621 сматриваемого элемента, узла и т. п.; третьего — сложные модели, использующие двухмерные и трехмерные теории, специальные численные методы типа метода конечных элементов и т. п. В системе автоматизированного проектирования целесообразно использовать модели нескольких уровней: более простые модели для предварительного отбора вариантов, более сложные — для формирования окончательной математической модели. Кгасс модели — определяется ее «объемом», т. е. числом элементов, узлов и т. д., функционирование которых описывает модель. Часто оказывается удобным разбиение на три класса моделей: А — изделия; Б — узла; В — элемента. Например, если класс А представляет собой модель всего двигателя, то модели класса Б — модели компрессора, турбины и т. д., класса В — модели лопаток и т. д. При необходимости могут быть введены подклассы для автономного описания отдельных частей системы. ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ СОЗДАНИЯ СИСТЕМ АВТОМАТИЗИРОВАННОГО ПРОЕКТИРОВАНИЯ При создании систем автоматизированного проектирования целесообразно использовать следующие общие принципы: 1) блочно-модульный; 2) иерархии; 3) адаптации и развития; 4) информационного единства; 5) итерации. Блочно-модульный принцип построения основан на том, что система создается из отдельных самостоятельных частей блоков и модулей. Блоком системы автоматизированного проектирования называют часть системы, имеющую функциональную определенность (например, блок ограничений, блок газодинамического расчета и т. п.). Модули — это наименьшие структурные элементы блока (для определения растягивающих напряжений, расчета крутящего момента и т. п.). Каждый из блоков системы выполняет определенные задачи, имеет свою входную и выходную информацию, составляется и доводится отдельно и только после этого включается в систему автоматизированного проектирования. Среди блоков системы следует выделить стандартные (например, блок решения систем уравнений, блок плоской задачи теории упругости). Стандартные блоки инвариантны по отношению к элементам и узлам изделия и включаются в математические модели как стандартные элементы. При формировании стандартных блоков широко используют библиотеку , стандартных программ. Применение блочно-модульного принципа необходимо, так как попытки создания системы всей «сразу» всегда заканчивались неудачей. Принцип иерархии моделей состоит в том, что каждая математическая модель включается как составная часть в модель более высокого класса. Например, математическая модель элемента входит в модель узла, которая, в свою очередь, включается в модель изделия. Принцип иерархии отражает соотношения «старшинства» в любой сложной системе. По принципу адаптации и развития система автоматизированного проектирования должна быть согласована со сложившейся практикой проектирования. Методы расчета и проектирования, их программное обеспечение должны стать основой при разработке моделей нулевого, первого и второго уровней. Целесообразно, чтобы создаваемые модели и их блоки могли использоваться независимо при проведении инженерных расчетов. Это ускорит и облегчит синтез сложных систем, разработку систем автоматизированного проектирования. Создаваемая система должна предусматривать возможность включения новых моделей и более широкого взаимодействия с другими системами. По принципу информационного единства все потоки информации в системе должны быть совместимыми. Программирование должно осуществляться на одном из универсальных языков (например, на языках PL или Фортран). Термины, условные обозначения, размерности физических величин должны быть одинаковыми для всей системы. Целесообразно с самого начала создания системы выработать единые требо-
622 Основы автоматизированного проектирования Старшая Уточненные параметры \\\ *i i 1 Б' . Параметры III \ 1г 1 ' в, > 1 Рис. 3 t хема процесса функционирования системы автоматизированного проектирования вания к программам, реализующим модели и блоки системы (аннотации, инструкции, описание, графы алгоритмов, тестовые примеры и т.д.). При большом числе действующих программ оказывается необходимым иметь управляющие программы. Для формирования таких программ и работы с ними удобно использовать специально приспособленные для системы автоматизированного проектирования языки, которые можно построить двумя способами — с помощью дискрипторов (ключевых слов) и командных процедур или путем добавления специальных процедур в универсальные алгоритмические языки. По принципу итерации система автоматизированного проектирования решается методом последовательных приближений, результаты постепенно уточняются и конкретизируются. Общая схема функционирования системы показана на рис. 3. Сначала, исходя из потребностей старшей системы и предварительной оптимизации, формулируются технические предложения для основных параметров изделия. Эти параметры поступают в линию анализа, где прорабатываются более детально технические характеристики различных типов изделий и их конструктивных вариантов. Технические условия для всего изделия позволяют указать требуемые параметры узлов и элементов, что дает возможность выбрать их конструктивные схемы, определить размеры, массу, габариты, провести их локальную оптимизацию. После того как выяснен «облик» отдельных элементов, начинается синтез. По техническим характеристикам элементов уточняются параметры узлов и всего изделия, и эти параметры поступают в блок оптимизации старшей системы. В блоке оптимизации вырабатываются указания по изменению параметров и характеристик изделия, и их новые значения поступают в линию анализа для второй итерации (второго цикла), и процесс итерации продолжается. Важно отметить следующую особенность итерационного процесса автоматизированного проектирования. Первые циклы осуществляются только для моделей класса А и лишь частично для моделей класса Б. В них проводится разработка проекта на стадиях технического задания и технического предложения. Полный цикл для всех классов моделей осуществляется только после того, как выбран основной конструктивный вариант изделия. Если первые циклы проводятся на моделях нулевого и первого уровня, то на стадии эскизного проекта используются модели второго и более высокого уровней. Принцип итерации используется ие только для расчета всей системы в целом, но и отдельных моделей. ЦЕЛИ И МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ Одно из главных преимуществ систем автоматизированного проектирования — возможность выбора оптимального варианта решения. Автоматизированное проектирование есть одновременно и оптимальное проектирование. Понятие оптимального решения подразумевает выбор наилучшего, в некотором смысле, варианта среди множества возможных. Оценка «качества» варианта является сложной, не всегда формализуемой процедурой.
Цели и методы оптимизации 623 Следует учитывать основной принцип оптимизации: оценка «качества» системы данного класса определяется эффективностью ее функционирования в системе более высокого класса. Например, качество ступени компрессора следует оценивать по ее влияняю на работу всего компрессора. В свою очередь, эффективность компрессора должна оцениваться в системе более высокого класса (например, газотурбинного двигателя и т. д.). Естественно, что по мере расширения класса цели оптимизации становятся более общими. Однако в практических расчетах в большинстве случаев можно использовать локальную или внутреннюю оптимизацию элементов, узлов и всего изделия, которая, как правило, оказывается полезной и Для глобальной оптимизации. К целям локальной оптимизации относятся максимум экономичности (максимум коэффициента полезного действия), минимум массы, минимум трудоемкости изготовления и др. Допустим, что выбрана система обобщенных характеристик или параметров, характеризующих качество системы: gi> вг> ■••■ gr- Условие оптимальности варианта можно записать в виде условия минимума некоторой целевой функции: w (gi gr) = min. (1) В простейшем случае качество системы характеризуется одним параметром g1# Тогда можно принять w = ft. (2) если условию оптимальности соответствует минимум параметра g1 (напри- меР. gi — стоимость, масса и т.д.). Если оптимальность достигается при максимуме gt (например, gl — коэффициент полезного действия), тогда следует принять » = ~gy (3) Весьма сложно образовать целевую функцию для нескольких параметров качества, так как для этого надо знать сопоставимую «ценность» различных свойств изделия. Поэтому рассматривают условный минимум целевой функции по одному из параметров, полагая другие параметры качества лежащими в «допустимой» области: (»'= К /■; 1фк). (4) Например, если gx — удельный расход топлива, g2 — удельная масса (масса конструкции на единицу мощности), то имеется оптимальный вариант, обеспечивающий минимум удельного расхода, при заданной удельной массе После того как образована целевая функция, возникает задача определения ее минимума. Параметры качества glt ..., gr зависят от параметров системы. Последние однозначно определяют условия функционирования системы: скорости, ускорения, напряжения, деформации, усилия, температуры и т. п. Параметры системы связаны условиями взаимодействия и условиями, отражающими закономерности рабочих процессов. Однако число связей, как правило, меньше числа параметров, и поэтому часть из них можно выбирать независимо. Такие параметры называют управляющими и обозначают через иг, и2 ит. С помощью параметров управления проводится процесс оптимизации. Остальные параметры системы (их обозначают через у1: у2 Уп) условимся называть параметрами состояния. Разделение параметров на две группы условно и определяется постановкой задачи оптимизации, особенностями работы элемента, узла и др. Пусть имеется т управляющих параметров Ц(. Так как параметры качества зависят от управляющих параметров, то задача оптимизации в конечном итоге состоит в нахождении минимума целевой функции w — L [ux ит) = min. (5) Целевая функция w может сложным образом зависеть от управляющих параметров иг ит, причем эта зависимость может включать интегральные и дифференциальные опера-
624 Основы автоматизированного проектирования ции. Параметры состояния и управления связаны условиями связи LlWu •... уп: "1 ит) "=0 (i=~), (6) выражающими уравнения равновесия, сохранения энергии и т. п. Как указывалось, параметры системы должны удовлетворять определенным ограничениям: А^у^В^ С, <«,<*>,. (7) Разработаны многочисленные методы решения задач оптимизации при различных видах целевой функции, уравнениях связи и типах ограничений (градиентные, случайного поиска, динамического программирования, принцип максимума Понтрягина и др.), позволяющие решать достаточно общие задачи оптимизации и оптимального управления. Указанные методы описаны в специальной литературе.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ Главы 1, 2 1. Биргер И. А., Мавлютов Р. Р. Сопротивление материалов. М.: Наука, 1986. 560 с. 2. Конструкционная прочность материалов н деталей газотурбинных двигателей/Под ред. И. А. Биргера и Б. Ф. Балашова. М.: Машиностроение, 1981. 222 с. 3. Конструкционные материалы. В 3-х т./Под ред. А. Т. Туманова. М.: Советская энциклопедия, 1966. Т. 1. 416 с; Т. 2. 407 с; Т. 3. 528 с. 4. Композиционные материалы: Справочник/Под ред. Д. М. Карпино- са. Киев: Наукова думка, 1985. 592 с. 5. Мэнсон С. Температурные напряжения и малоцикловая усталость. М.: Машиностроение, 1974. 340 с. 6. Фридман Я. Б. Механические свойства металлов. В 2-х ч. 3-е изд. М.: Машиностроение, 1974. Ч. 1. 470 с; Ч. 2. 360 с. 7. Шнейдерович Р. М. Прочность при статическом и повторио-статиче- ском нагружениях. М.: Машиностроение, 1968. 343 с. Главы 3, 4 1. Биргер И. А., Иосилевич Г. Б. Резьбовые и фланцевые соединения. М.: Машиностроение, 1990. 365 с. 2. Иосилевич Г. Б., Строганов Г. Б., Шарловский Ю, В. Затяжка и стопо- рение резьбовых соединений: Справочник. М.: Машиностроение, 1985. 224 с. 3. Сопротивление усталости элементов конструкций/А. 3. Воробьев, Б. И. Олькин, В. Н. Стебеиев и др. М.: Машииостроеиие, 1990, 240 с. Глава 5 1. Глухарев Е. Г., Зубарев Н. И. Зубчатые соединения. Л.: Машииостроеиие, 1976. 198 с. 2. Иосилевич Г. Б. Детали машин. М.: Машиностроение, 1988. 368 с. 3. Иосилевич Г. Б. Концентрация напряжений и деформаций в деталях машин. М.: Машииостроеиие. 1981, 223 с. 4. Иосилевич Г. Б., Куликов В. С. Распределение нагрузки подлине шли- цевых соединений оболочек//Прочность элементов авиационных конструкций. Вып. 78. Уфа, УАИ, 1974. С. 107—118. 5. Левина 3. М., Решетов Д. Н. Циклическое скольжение в прямобоч- ных зубчатых (шлицевых) соединениях и условный расчет их на износостойкость//Веста и к машиностроения. 1974. № 7. С. 11—17. Глава 6 1. ГречищевЕ. С, Ильяшеико А. А. Соединения с натягом. М.: Машиностроение, 1981. 240 с. 2. Дунаев П. Ф., Леликов О. П. Вероятностный расчет соединений с на- тягом//Вестник машиностроения. 1974. № 9. С. 31—33. 3. Решетов Д. Н. Детали машии. М.: Машиностроение, 1989. 496 с. 4. Решетов Д. Н., Иванов А. С, Фадеев В. 3. Надежность машии. М.: Высшая школа, 1988. 238 с. Глава 7 1. Кудрявцев В. Н., Наумеи- ков Н. Е. Усталость сварных конструкций. М.: Машиностроение, 1976. 212 с. 2. Николаев Г. А., Куркин С. А., Винокуров В. А. Сварные конструкции. В 2-х ч. М.: Машиностроение. 1982—1983. Ч. 1. Прочность, деформации. 272 с; Ч. 2. Технология, автоматизация, проектирование. 344 с. 3. Проектирование сварных конструкций в машиностроении/Под ред. С. А. Куркина. М.: Машииостроеиие, 1975. 376 с.
626 Список литературы 4. Сервисен С. В., Когаев В. П., Шиейдерович Р. М. Несущая способность и расчет детален машин на прочность. М.: Машииостроеиие, 1975. 480 с. 5. Хряпин В. Е. Справочник паяльщика. М.: Машиностроение, 1981, 348 с. Глава 8 1. Валы и оси/С. В. Серенсеи, М. Б. Громан, В. П. Когаев, Р. М. Шнейдерович. М.: Машииостроеиие, 1970. 319 с. 2. Когаев В. П., Махутов Н. А., Гусеиков А. П. Расчеты детален машин и конструкций на прочность и долговечность. М.: Машиностроение, 1985. 224 с. Глава 9 1. Биргер И. А., Шорр Б. Ф., Иосилевич Г. Б. Расчет на прочность деталей машии. М.: Машииостроеиие, 1979. 704 с. 2. Ерошкии Б. А. Влияние центробежных сил тел качения на долговечность подшипников при высокой частоте вращения. Проблемы прочности и динамики в авиадвигателестроении// Тр. № 1237, ЦИАМ, 1989. Вып. 4. 3. Перель Л. Я- Подшипники качения. Расчет, проектирование и обслуживание: Справочник. М.: Машииостроеиие, 1983. 344 с. 4. Подшипники качения: Справоч- иик-каталог/Под ред. В. Н. Нарышкина и Р. В. Коросташевского. М.: Машииостроеиие, 1984. 280 с. Глава 10 1. Биргер И. А. Расчет кольцевых изгибных пружии//Расчеты на прочность. М.: Машгиз, 1961. Вып. 7. С. 110—121. 2. Жуков В. Б. К расчету осадки прорезной пружины//Вестиик машиностроения. 1968. № 8. С. 16—18. 3. Иосилевич Г. Б. Детали машии. М.: Машииостроеиие, 1988. 368 с. 4. Пономарев С. Д., Андреева Л. Е. Расчет упругих элементов машии и приборов. М.: Машииостроеиие, 1980. 325 с. Глава 11 1. Авиационные зубчатые передачи и редукторы: Справочиик/Под ред. Э. Б. Булгакова. М.: Машииостроеиие, 1981. 374 с. 2. Динамические процессы в механизмах с зубчатыми передачами. М.: Наука, 1976. 3. Иосилевич Г. Б. Детали машии. М.: Машиностроение, 1988. 368 с. 4. Кудрявцев В. Н. Детали машии. Л.: Машиностроение, Лениигр.отд-ние, 1980. 464 с. 5. Павленко А. Б., Федякии Р. В., Чесноков В. А. Зубчатые передачи с зацеплением Новикова. Киев: Тех- шка, 1978. 144 с. 6. Петрусевич А. И., Генкин М. Д., Гринкевич В. К- Динамические нагрузки в зубчатых передачах с прямыми колесами. М.: Изд-во АН СССР, 1956. 134 с. 7. Шорр Б. Ф. К расчету динамических нагрузок на зубья прямозубых цилиндрических колес//Прочность и динамика авиационных двигателей. М.: Машиностроение, 1969. Вып. 5. С. 127—162. 8. Шорр Б. Ф., Егоров В. А. Применение пьезоэлектрических устройств и голографическон ннтероферометрии к исследованию спектров колебаний зубчатых колес//Вестник машиностроения. 1977. № 12. С. 13—15. Глава 12 1. Биргер И. А., Иосилевич Г. Б. Резьбовые и фланцевые соединения. М.: Машиностроение, 1990. 365 с. 2. Проектирование механических передач: Учебно-справочное пособие для втузов/С. А. Чернавский, Г. А. Снеса- рев, Б. С. Козинцев и др. М.: Машиностроение, 1984. 560 с. Глава 13 1. Воробьев И. И. Ремеииые пере- t дачи. М.: Машиностроение, 1979. 163 с. 2. Пронин Б. А., Ревков Г. А. Бесступенчатые клиноремеииые и фрикционные передачи. М.: Машиностроение, 1980. 320 с. 3. Пронин Б. А., Овчинникова В. Д. Расчет клиноремениых передач//Вест- иик машиностроения. 1982. № 3. С. 23—26. 4. Решетов Д. Н. Детали машии. М.: Машииостроеиие, 1989. 496 с. 5. Светлицкий В. А. Передачи гибкой связью. М.: Машиностроение, 1967. 155 с.
Список литературы 627 Глава 14 1. Воробьев Н. В. Цепные передачи. М.: Машиностроение, 1968. 251 с. 2. Готовцев А. А., Котенок И. П. Проектирование цепных передач. М.: Машиностроение, 1982. 336 с. Глава 15 1. Авиационные поршневые двигатели. Кинематика, динамика и расчет на прочность. М.: Оборонгиз, 1950. 2. Ваншейдт В. А. Конструирование и расчеты прочности судовых дизелей. Л.: Судостроение, 1969. 640 с. 3. Двигатели внутреннего сгорания. Конструирование и расчет на прочность поршневых и комбинированных двигателей/Под ред. А. С. Орлкиа и М. С. Круглова. М.: Машиностроение. 1983. 384 с. 4. Истомин П. А., Григорьев Е. А. История и перспективы развития расчетных методов исследований динамики и прочности ДВС//Двигателестрое- иие, 1985, № 10. С. 5—9. 5. Кинасошвилн Р. С. Расчет прочности шатунов авиационных двигате- лей//Тр. ЦИАМ. 1945. № 66 6. Кинасошвили Р. С. Расчет поршневого пальца авиационного двигателя/Яр. ЦИАМ. 1947. № 119. 7. Лейкин А. С. Напряженность и выносливость деталей сложной конфигурации. М.: Машиностроение, 1968. 371 с. 8. Шорр Б. Ф., Мельникова Г. В. Расчет конструкций методом прямого математического моделирования. М.: Машиностроение, 1988. 160 с. Глава 16 1. Биргер И. А. Вариационные методы в строительной механике турбо- машин. М : Оборонгиз, 1959. 28 с. 2. Воробьев Ю. С, Шорр Б. Ф. Теория закрученных стержней. Киев: Наукова думка, 1983. 188 с. 3. Динамика авиационных газотурбинных двигателей/Под ред. И. А. Бир- гера и Б. Ф. Шорра. М.: Машиностроение, 1981. 232 с. 4. Иванов В. П. Колебания рабочих колес турбомашин. М.: Машиностроение, 1983. 224 с. 5. Конструкционная прочность материалов и деталей газотурбинных двигателей/Под ред. И. А. Биргера и Б. Ф. Балашова. М.: Машиностроение, 1981. 222 с. 6. Расчет на прочность авиационных газотурбинных двигателей/Под ред. И. А. Биргера и Н. И. Котерова. М.: Машиностроение, 1984. 208 с. 7. Хроиин Д. В. Колебания в двигателях летательных аппаратов. 2-е изд. М.: Машиностроение, 1980. 296 с. 8. Шорр Б. Ф-, Локштанов Е. А., Халатов Ю. М. Об одном возможном подходе к вероятностной оценке вибрационной прочности деталей турбома- шин//Проблемы прочности. 1972. № П. С. 11—14. Главы 17—19 1. Бндермаи В. Л. Механика тонкостенных конструкций. М.: Машиностроение, 1977. 2. Биргер И. А., Мавлютов Р. Р. Сопротивление материалов. М.: Наука, 1986. 560 с. 3. Бояршинова С. В. Основы строительной механики машии. М.: Машиностроение, 1973. 455 с. 4. Прочность. Устойчивость. Колебания- Справочник. В 3-х т./Под ред. И. А. Биргера и Я. Г. Пановко. М.: Машиностроение, 1968. Т. 1. 831 с, Т. 2. 463 с; Т. 3. 567 с. Глава 20 1. Биргер И. А. Некоторые математические методы решения инженерных задач. М.: Оборонгиз, 1956. 150 с. 2. Вольмир А. С. Устойчивость деформируемых систем. 2-е изд. М.: Наука, 1967. 984 с. 3. Лейтес С. Д. Справочник по определению свободных длин элементов стальных конструкций. М.: Проект- стальконструкция, 1963. 160 с. 4. Паиовко Я. Г., Губанова И. И. Устойчивость и колебания упругих систем, 2-е изд. М.: Наука, 1967. 420 с. Главы 21, 22 1. Бидермаи В. Л. Прикладная теория механических колебаний. М.: Высшая шко.ла, 1972. 400 с. 2. Бнргер И. А. Некоторые математические методы решения инженерных задач. М.: Оборонгиз, 1956. 150 с.
628 Список литературы 3. Пановко Я. Г. Основы прикладной теории упругих колебаний. М.: Машиностроение, 1967. 314 с. 4. Светлицкий В. А. Случайные колебания механических систем. М.: Машиностроение, 1976. 215 с. Главы 23, 24 1. Биргер И. А. Круглые пластинки н оболочки вращения. М.: Машиностроение, 1959. 368 с. 2. Валишвили Н. В. Методы расчета оболочек на ЭЦВМ. М.: Машиностроение, 1976. 227 с. 3. Тимошенко С. П. Устойчивость упругих систем. М.: Гостехиздат, 1955. 4. Тимошенко С. П., Войновский- Кригер С. Пластинки и оболочки. М.: Наука, 1966. 635 с. Глава 25 1. Алфутов Н. А. Основы расчета иа устойчивость упругих систем. М.: Машиностроение, 1978. 309 с, 2. Биргер И. А. Круглые пластинки и оболочки вращения. М.: Оборонгиз, 1961. 368 с. 3. Вольмир А. С. Устойчивость деформируемых систем. М.: Наука, 1967. 984 с. 4. Кармишин А. В., Мяченков В. И., Фролов А. Н. Статика и динамика тонкостенных оболочечных конструкций. М.: Машиностроение, 1976. 376 с. 5. Основы строительной механики ракет/Л. И. Балабух, К- С. Колесников и др. М.: Высшая школа, 1969. 490 с. 6. Прочность. Устойчивость. Колебания: Справочник. В 3-х т./Под ред. И. А. Биргера и Я. Г. Пановко. М.: -Машиностроение, 1968, Т. 1. 831 с; Т. 2. 463 е.; Т. 3. 567 с. Глава 26 1. Биргер И. А. Общие алгоритмы решения задач теории упругости, пластичности и ползучести//Механика де- ормируемых сред. М.: Наука, 1976. . 51-73. 2. Вибрация в технике: Справочник: В 6-ти т. М.: Машиностроение. 1978. Т. I. 352 с; Т. 2. 351 е.; Т. 4. 509 с. 3. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. М.: Мир, 1975. 539 с. 4. Каплунова О. Б. Исследование нестационарных динамических процессов в одномерной дискретно-континуальной системе методом прямого математического моделирования/УМеханика деформируемых сред. Саратов: Изд-во СГУ. 1990. С. 47—53. 5. Шорр Б. Ф. Математическое моделирование волновых процессов в уп- руговязкопластических телах//Изв АН СССР. МТТ. 1984. № 4. С. 144—.51. 6. Шорр Б. Ф., Мельникова Г. В. Расчет конструкций методом прямого математического моделирования. М.: Машиностроение, 1988. 160 с. Глава 27 1. Гохфельд Д. А. Несущая способность конструкций в условиях тепло- смен. М • Машиностроение, 1970. 260 с. 2. Качанов Л. М. Основы механики разрушения. М.- Наука, 1974. 311 с. 3. Малинин Н. Н. Прикладная теория пластичности и ползучести. М.: Машиностроение, 1975. 399 с. 4. Работнов Ю. Н. Ползучесть элементов конструкций. М.: Наука, 1966. 752 с. 5. Термопрочность деталей машии/ И. А. Биргер, Б. Ф. Шорр, И. В. Демь- янушко и др. М.: Машиностроение, 1975. 455 с. Глава 28 1. Александров А. Я-, Ахметзя- иов М. X. Поляризационные оптические методы механики твердого тела. М.: Наука, 1973. 2. Вайнберг Д. В. Концентрация напряжений в пластинах около отверстий и выкружек. Киев: Техника, 1969. 220 с. 3. Иосилевич Г. Б. Концентрация напряжений и деформаций в деталях машин. М.: Машиностроение, 1981. 223 с. 4. Петерсои Р. Коэффициенты концентрации напряжений: Пер. с англ. М.: Мир, 1977. 301 с. Глава 29 1. Биргер И. А. Упругий контакт стержней/УРасчеты на прочность. М.: Машиностроение. 1969. Вып. 14. С. 127—136. 2. Биргер И. А. Контактные задачи теории стержней, пластинок и оболо-
Список литературы 629 чек//Теория оболочек и пластин. Тр. IX Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластин. Л.: Судостроение, 1975. С. 23—25. 3. Иосилевич Г. Б., Мавлютов Р. Р., Ковган С. Т. Расчет соединений с круглыми контактирующими фланцами при действии растягивающих нагрузок// Вестник машиностроения. 1974. № 6. С. 24—26. 4. Расчеты на прочность в машиностроении/С. Д. Пономарев, В. Л. Би- дерман, В. М. Макушин и др. М.: Машгиз, 1956. Т. 1. 884 е.; 1958. Т. 2. 974 с; 1959. Т. 3. 1118 с. Главы 30, 31 1. Биргер И. А. Об одном критерии разрушения и пластичности//Механика твердого тела. 1977. № 4. С. 17—19. 2. Когаев В. П. Расчеты иа прочность при напряжениях, переменных во времени. М.: Машиностроение, 1977. 232 с. 3. Писаренко Г. С, Лебедев А. А. Сопротивление материалов деформированию и разрушению при сложном напряженном состоянии. Киев: Наукова думка, 1969. 209 с. 4. Сервисен С. В., Когаев В. П., Шнейдерович Р. М- Несущая способность и расчеты деталей машин на прочность. М.: Машиностроение, 1975. 480 с. Главы 32, 33 1. Биргер И. А., Шорр Б. Ф., Шнейдерович Р. М. Расчет на прочность деталей машин. М.: Машиностроение, 1966. С. 590—609. 2. Болотин В. В. Статистические методы в строительной механике. М.: Стройиздат, 1965. 279 с. Глава 34 1. Биргер И. А. Остаточные напряжения. М.: Машгиз, 1963. 239 с. 2. Грннченко И. Г. Упрочнение деталей из жаропрочных и титановых сплавов. М.: Машиностроение, 1971 120 с. 3. Кузнецов Н. Д., Цейтлин В. И. Эквивалентные испытания газотурбинных двигателей. М.: Машиностроение 1976. 120 с. 4. Хворостухии Л. И., Волков А. Ф. Влияние алмазного выглаживания на усталостную прочность нержавеющих сталей при повышенных температу- рах//Вестник машиностроения. 1975. № 7. С. 42—45. Глава 35 Биргер И. А. Техническая диагностика. М.: Машиностроение, 1978. 234 с. Глава 36 !. Биргер И. А. Основы автоматизированного проектирования//Изв. вузов. Машиностроение. 1977. № 8. С. 32—35. 2. Керимов 3. Г., Багиров С- А. Автоматизированное проектирование конструкций. М.: Машиностроение, 1985. 218 с. 3. Принс М. Д. Машинная графика и автоматизация проектирования: Пер. с англ. М.: Советское радио, 1975. 232 с. 4. Хроиин Д. В. и др. Основы автоматизированного проектирования. М.: Машиностроение, 1984. 182 с.
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Автоколебания лопаток 311 Амортизатор пневноэластнчный 170 — резиновый 170 Амплитуда колебаний — Понятие 392 — переменных напряжений — Понятие 557 — предельная — Кривая 557, 558 Аналогия гидродинамическая 358 — мембранная 358 Балки — Иэгнб — см. Изгиб стержней Байеса метод распознавания 606, 610 Бандажироваиие лопаток 302 — 304, 311 — 312 Болты — Диаграммы усилий 51 — Допускаемые статические нагрузки 50 — Момент затяжки 50 — Напряжения кручення в стержне 56 — Полное усилие в болте 52 — фланцевые — Расчет на прочность 82 -- Усилие затяжки 81, 82 Бглдта формула 360 Валы — Галтелн и выточки на валах 128 — Жесткость 133 , — Конструктивные формы 126 — 129 — Критические частоты вращения 140, 141, 405—424 — Материалы 128, 129 — Моменты сопротивления сечения и площадь сечения 132 — 135 — Нагрузки на валы 130 — 131 — Основные технические требования 129, 130 — Расчет на колебания 140 — Расчет на сопротивление усталости 131—136 — Расчетные схемы опор 130, 131 — Сечения 397 — Сопряжения ступеней 127 — Устойчивость 133 — Фланцевое соединение валов 128 — Шлнцевое соединение валов 128 — Явление сачоустановлення 406 Валы гладкие 126 — жесткие 406 — коленчатые — Запасы прочности 260, 262 — Материалы 260 — Определение нагрузок 256, 257 — Определение номинальных напряжений 257 — 259 — Расчет 256 — 262 — Эпюры изгибающих и крутящих моментов 258, 259 — круглые — Кручение 355, 356 — с непрерывно распределенными массами — Определение критических частот вращения 41 0 — с несколькими чднсками — Расчет критических частот вращения 410 — с одним диском — Критические частоты вращения 405—410 — ступенчатые 126 — 128 — торсионные 126 Велера кривые 32 Вероятность безотказной работы — Пример определения для экспоненциального закона 587 — Формулы 584 — прогнозируемая 586 Вероятность разрушения 574, 575 — Значения в зависимости от запаса прочности по средним напряжениям 580, 581 — при произвольных законах распределения напряжений н пределов прочности 575—577 — Пример определения 577. 578 Виброгалтовка 598 Виброшлифование 598 Время работы безотказной среднее 585 — эквивалентное 43 Выпучивание стержня — Влияние начального прогиба н внецеитрениого приложения силы 382 — прн упругопластнческих деформациях 386- 388 Вязкость ударная 27 Гайки — Предельная высота 65 — Расчет высоты 64 — растяжение 60, 61 Галтелн иа валах 128 Гармоники частоты вращения 308 Гибкость стержня — Величины 397—381. 384 — предельная — Значения 384 — приведенная 375 Гипотеза плоских сечений 13, 336 Градиент деформаций 511 — напряжений 511 Грузоподъемность подшипников качения динамическая 148 — 150 — статическая 147, 148 Губера —Мизеса критерий 549 — 551 Гука закон 14 Давления контактные в соединениях с гарантированным натягом — Соединения дисков и валов 102, 103 — Соединения дисков и толстостенных цилиндров 101, 103 — Соединения тонкостенных колец 100, 101 Детали крепежные —- Виды покрытий 47 — Контроль 45, 47 — Материалы 45—47 — Покрытия 45 Деформация кольца осесимметричиая от неравномерного нагревания 370, 371 — под действием осевой силы 370 — под действием радиальной силы 370 Деформация линейная температурная 495 — остаточная 182, 692 — относительная поперечная 13, 14
Предметный указатель 531 — ползучести 495 — упругая 506 — элемента тела — разложение 13 Деформирование поверхностное пластическое 595 — упругопластическое — Петли гистерезиса 36 Диагностика техническая — Понятие 605 — Постановка задачи 605, 606 Диаграмма деформирования 359 — деформирования линейно упрочняющегося материала 385 — предельных амплитуд 34 — предельных напряжений 34 — растяжения 25 — растяжения с площадкой текучести 25 — сдвига 166 Диски — Граничные условия 315 — Запас по циклической долговечности 320 — Запас прочности 316, 317—322 — Местные запасы прочности 319 — Основное уравнение для расчета 323 — 325 — Предварительная оценка прочности диска 318—320 — Пример расчета 320 — 322 — Расчет напряжений от действия центробежных сил 315 — 317 — Рекомендации для выбора материала 320 — Уравнения равновесия элемента 323, 324 — Уравнения совместности в напряжениях 324 — Уравнения упругости 324 Диски переменной толщины — Определение напряжений и деформаций 327 — 333 — Расчет методом линейного аппроксимирования 327—330 — Расчет методом последовательных приближений 330 — 333 — постоянной толщины — Напряжения и деформации 325—327 — Температурные напряжения 326, 327 — постоянной толщины с ободом — Рас* чет 327 — равнопрочные — Профилирование 322, 323 — центробежных компрессоров — Запас по разрушающим оборотам 333 — Расчет 333 Долговечность — Понятие 581 — расчетная — Формула 41 Жесткость вала иа кручение — Расчет 397 — динамическая — Определение 393 — Понятие и формула 393 — сечения балки на изгиб — Понятие 19 — сечеиия вала на кручение — Понятие 21 — сечения стержня при растяжении — Понятие 14 — стержня при кручении 360, 361 — цилиндрическая 443 Задачи контактные — Анализ напряженного состояния 534, 535 — Давление штампа 530, 533, 534 — Контакт цилиндров 528—530, 531 — Основные особенности 527, 528 — Упругий контакт пластинок 541—543 — Упругий контакт стержней 535—540 — конструкционные 527 — Определение функций влияния 545 — Основные уравнения 543, 544 — Связь между силовыми факторами и перемещениями 544, 545 Закон надежности экспоненциальный 587 588 Замок елочного типа — Запас прочности статический хвостовика 305 — Момент сопротивления 306 — Нагрузки на зуб 305 — Напряжения в хвостовике 305 — Напряжения изгиба в основании зуба 304 J — Напряжения среза 304 Замок типа ласточкин хвост — Расчет напряжений смятия 306 — Расчет перемычки 307 — Расчет усилий 306 Замок шарнирный — Расчет на прочность 307, 308 — Схема обкатывания лопатки 299 Заневоливание пружии 164 Запас прочности — Выбор 40 — Формула 40 — вала по касательным напряжениям 136 — вала по нормальным напряжениям 136 — вала по переменным напряжениям 13& — дисков 316, 317, 318, 333 — длительной на различных режимах 42, 43 — длительной статической 40 — длительной эквивалентный 42, 43 — коленчатых валов 260 — лопаток по переменным напряжениям 313 — лопаток профильной части 281, 282 — по несущей способности 42, 574 — при кручении 40 Запас прочности при переменных напряжениях 42 — при статических напряжениях 40, 41 — резьбового соединения по переменным напряжениям 67 — 69 — статический — Приближенный метод определения 578, 581 — Пример определения 579, 580 — при усталости — Определение 566, 567 — при усталости для нестационарного на- груження — Определение 568—572 — при усталости для сложного напряженного состояния — Определение 567 — эквивалентный при многоступенчатом нагружеиии — Определение 569, 570 Запас устойчивости 459 Затяжка предварительная резьбовых соединений — Выбор величины 58 Зубчатые передачи — Влияние параметров неточности зубьев 206 — Влияние смазки и кинематики передачи иа выкрашивание 219 — Выкрашивание 182, 183, 219. 220, 221 — Деформация зубьев 191, 198, 199 — Деформация изгибная валов 195, 196 — Допуски иа величину основного шага зубчатых передач 198, 199 — Жесткость удельная 199 — Заедание 221 — Коэффициент запаса сопротивления усталости зуба 214, 215, 216 — Колебания вынужденные 204 — Колебания резонансные 204 — Коэффициент запаса прочности. 216, 219 — Коэффициент динамической нагрузки 205, 207, 208 — Коэффициент концентрации напряжений теоретический 214 — Коэффициент концентрации напряжений эффективный 215
632 Предметный указатель — Коэффициент неравномерности распределения нагрузки 191, 194, 195, 197, 222 — Коэффициент приработки 222 — Коэффициент смягчения 209 — Коэффициент статического перекрытия 201 — Коэффициент, учитывающий форму зуба 188, 212, 213, 214 — Кручеине ободьев или тел колес 191 — 195 — Микротрещины 219 — Модуль упругости приведенный 218 — Момент крутящий в шестерне 185 — Нагрузка динамическая 210, 211 — Напряжения допускаемые 219—221 — Напряжения при изгибе 211—214 — Напряжения касательные 218 — Напряжения контактные 187, 188, 217, 218, 219 — Напряжения местные 213 — Напряжения смятия 218 — Неравномерность начальная общая 196, 197 — Область зацепления зубьев 200 — Определения и обозначения 184 — Оценка возможности резонанса 205 — Пересопряжеиие зубьев 205 — Поломка зуба 211, 212 — Предел выносливости 214, 215, 220 — Приработка зубьев 197, 222 — Прочность статическая 216, 217 — Радиус кривизны приведенный 218 — Размеры основные без смещения 185 — Разрушение зубьев 182 — Распределение нагрузки по ширине зуба 192 — Распределение усилий статическое между зубьями 198 — Расстояние межосевое 186 — Расчет быстроходных передач 209 — Расчет динамических нагрузок в зубьях 207 — Расчет на выносливость в зубьях при изгибе 188, 189 — Расчет иа контактную выносливость 187, 188 — Расчет иа прочность упрощенный прямых зубьев 185 — 189 — Расчет при кратковременных перегрузках 220 — Сила нормальная удельная 188, 185 — Сила окружная 185 — Сила окружная удельная 185, 190, 212 — Сила ударная 208, 209, 210 — Схема зацепления 185, 186 — Схема зуба при расчете иа изгиб 212 — Схема кручения тел сопряженных колес 193 — Схема поворота колеса при деформировании зуба 191 — Схема совместного движения упругих зубьев 203 — Угол перекоса осей 195, 196 — Удар кромочный 205, 206, 207 — Удар срединный 206, 207, 208 — Усилие, действующее иа Зуб 185, 186 — Усилия динамические 201 — Усилия контактные 199, 200 — Усилия статические максимальные 201 — Условие обеспечения контактной выносливости зубьев 219 — Условие совместного движения зубьев 202, 203 — Условия статического ваЦеплеиия зубьев 206 — Частота возбуждающей силы 204 — Частота собственных колебаний сопряженных колес 202—204 — Число циклов иагружения фактическое 215 — Число циклов иагружения эквивалентное 221 — Шаги зубьев 198 Зубчатые передачи конические — Диаметры колес 223 — Модуль зацепления 233 — Нагрузка удельная 224 — Напряжения контактные 224 — Расстояние межосевое 223 — Скорость окружная 223 — Число зубьев 223 — Число передаточное 223 — Ширина зуба 224 — косозубые и шевронные — Длина контактных линий 222 — Радиус кривизны приведенный 223 — Сила нормальная 223 — Сила окружная удельная 222 — Число зубьев эквивалентное 223 — Новикова М. Л. — Напряжения контактные 225 — Радиус кривизны приведенный 225 — Расчет иа изгиб — Сила нормальная 225— Схема передачи 224 — с внешним зацеплением 186, 187 — с внутренним зацеплением 186, 187 Изгиб — Момент сопротивления 16, 17, 18 — Примеры определения опасных сечеиий 16, 15 — чистый — Понятие 15 — шарнирных лопаток — Расчет 300—302 Изгиб стержней — Вычисление интеграла Мора по правилу Верещагина 348, 349 — Зависимость между изгибающим моментом и перерезывающей силой 334 — Максимальные напряжения 593, 594 — Момент инерции сечения 337 — Момент разрушающий предельный 354, 355 — Момент сопротивления сечеиия 338 — Напряжения в продольных сечениях 594 — Нормальные напряжения 336 — 338 — Определение касательных напряжений 341, 342 — Определение прогибов с помощью интеграла Мора 346, 347 — Определение углов поворота сечеиий с помощью интеграла Мора 346, 347 — Относительное удлинение волокон 336 — Предельный пластический момент 353, 354 — Примеры определения прогибов 344 — 346 — Схема 593 — Уравнения упругой линии 342 — 344 •- Условия закрепления 334, 335 — Эпюры изгибающих моментов 336 Изгиб стержней переменного сечения — Определение прогибов и углов поворота 350, 351 — с учетом пластической деформации 351—355 Изломы 38, 39 Индекс пружины 165 Интенсивность отказов 584, 585 — Общая закономерность изменения по времени наработки 586 Кармана Модуль 385 Колебания валов 139, 140 — динамических систем — Формулы для определения круговых частот 403, 404
Предметный указатель 633 — изгибные — Расчет двухмассовой системы 400, 401 — Расчет одномассовой системы 399, 400 — изгибные кольца 401 — изгибные стержней постоянного сечения — Определение 401, 402 — крутильные 396 — Расчет жесткости вала на кручение 397 — Расчет одно- массовой системы 396 — Частота 398, 399 — маятниковые шарнирных лопаток 299 — 302 — одномассовой системы 392 — одномассовой системы вынужденные 393 — поперечные струны 403 — резонансные лопаток 308 — системы свободные 392 Кольца — Осесимметрнчная деформация 361 —368 — Плоская деформация 361—368 — Расчетные формулы 365—368 — Устойчивость 463 — Эпюры изгибающих моментов 361, 365 — 368 Кольца конические тонкостенные — Деформация осесимметрнчная 372, 373 — поршневые — Расчет иа прочность 267, 268 — Прямоугольного сечения — Деформация осеснмметричная под действием осевой силы 371, 372 — упругие 418, 419 Конструирование автоматизированное — Понятие 618 Коитролеспособность — Понятие 582 Концентрация напряжений 21, 22, 510, 513 — Влияние на свойства материалов 27, 28 — Влияние на усталостную прочность 558, 559 — в замковых соединениях лопаток 523 — 527 — в зубьях храповых колес 523 — в прямозубых цилиндрических передачах 521—523 — в резьбовых соединениях 60—63 — при кручении 358 Коэффициент безопасности, учитывающий влияние на долговечность подшипников характера внешних нагрузок—значение 152 — влияния абсолютных размеров 35, 36 »- влияния шарнирного закрепления лопаток 301, 302 — внутреннего давления при расчете фланцев 80 — концентрации деформаций 518 — концентрации деформаций теоретический 511 Коэффициент концентрации напряжений 21, 518 — для коленчатых валов 260, 262 — теоретический 60, 63, 511, 513, 517, 558 — теоретический в соединениях с гарантированным натягом 103 — эффективный 35, 68, 558, 559 — эффективный в сварных соединениях 115, 120 — эффективный для валов 137, 138 Коэффициент масштабный при кручении и изгибе валов 138 — на начальные неправильности цилиндрических оболочек 466 — напряжений для круглых пластни 431 —- 438 — напряжений для прямоугольных пластинок 442 — настройки частоты при маятниковой форме колебаний лопаток 300 — неравномерности напряжений для коленчатых валов 259, 260 — осевой нагрузки для подшипников качения 151 — осевой нагрузки фланцевого соединения 80 — осевой статической нагрузки для подшипников качения 148 Коэффициент податливости 399 — болтов 53, 80 — закрученных лопаток 293 — прокладки во фланцевом соединении 80 — промежуточных деталей в резьбовом соединении 54 — стержня при изгибиых колебаниях 404 — трубы 80 — фланцев 81, 85 — фланцев при действии осевой нагрузки 80, 81, 85 Коэффициент прогибов для круглых пластин 431 —438 — прогибов для прямоугольных пластинок 442 — прокладочный 78 — Пуассона 14 — радиальной нагрузки для подшипников качения 151 —- радиальной статической нагрузки для подшипников качения 148 — состояния поверхности 35 — температурный для подшипников качения 152 — трення в резьбе 57 — трения приведенный 57, 58 — треиня при посадках с гарантированным натягом 99 — углов поворота для круглых пластин 431—438 — учитывающий влияние масла на трение подшипников 159 — учитывающий влияние масштабного эффекта для резьбовых соединений 69 — учитывающий влияние состояния поверхности при изгибе и кручении валов 139 — чувствительности материала болта (шпильки) к концентрации напряжений 68 Кривые Велера 32, 33 — деформирования 498—500, 509. 593, 595 — длительной прочности 28 — плотности распределения переменных напряжений и пределов выносливости 575 — ползучести 31, 502 — предельных амплитуд 557 — убыли изделий из эксплуатации 591 — усталости 33, 558, 557 Критерий длительной малоцикловой прочности 554 — интенсивности напряжений 549, 550 — максимальной деформации растяжения '551 — максимального нормального напряжения 551 — максимальных касательных напряжений 550 — Надан 553 — пластичности 551 — прочности Мора 552 — прочности обобщенный для пластичных и хрупких материалов 554 — прочности Писаренко —Лебедева 552,
634 Предметный указатель 553 — статической прочности для пластичных материалов 549 — 551 — статической прочности для хрупких (малопластичных) материалов 551 — 554 Кручение 20 — вала н втулки совместное 597 — вала круглого 355 Кручение стержней 355—361 — Распределение касательных Напряжений 358 — круглых 355, 356 — прямоугольного сечення 357, 358 — с учетом пластических деформаций 358, 359 — с эллиптическим поперечным сечением 356, 357 — тонкостенных 357, 358 — трубчатых 359, 360 Крылова функции 448 — 450 Лапласа функция 575, 588 Лопатки — Автоколебания 311 — Вандажнрованне 311, 312 — Газовые силы, действующие на лопатку 274, 275 — Замки шарнирные 307, 308 — Замок елочного типа 304—305 — Замок типа ласточкин хвост 306 — Запас прочности 281, 282 — Запас прочности по переменным напряжениям 313 — Конструктивные способы разгрузки от изгиба газовыми силами 277 — Определение геометрических характеристик по данным чертежа 280 — Определение напряжений от изгиба 277 — Осевая сила, действующая на лопаткн 281 — Основные виды колебаний 308 — 311 — Положение профилей и действительное направление газовых усилий 275 — Приближенный расчет основной частоты колебаний 285 — 288 Лопаткн — Пути повышения запаса прочности 313—315 — Распределение нзгнбающнх моментов по длине пера 302 — Расчет вытяжки 273 — Расчет геометрических характеристик сечення 278—281 — Расчет замков 304—308 — Расчет изгибающих моментов от газовых сил 273 — 276 — Расчет изгибающих моментов от центробежных сил 276, 277 — Расчет нзгнбных колебаний 285 — 291 — Расчет работы центробежных сил при колебаниях лопатки 290, 291 — Резонансная частота вращения 308, 309 — Резонансные диаграммы 310, 312 — Резонансные колебания 308—310 — Спектрограмма переменных напряжений 314 — Срывные колебания 310, 311 — Узловые линии 309 — Уточненный расчет собственных частот 288. 289 — Частота возбуждения 309 Лопатки бандажироваиные 302—304 — Изгиб бандажной полки 302 — Расчет натяга по бандажным полкам 303, 304 Лопатки закрученные 291, 298 — Геометрические и жесгкостные характеристики (приближенные формулы) 294 — Колебания 296, 297 — Параметр закрученностн 297 — Пример расчета собственной частоты колебаний 297 — Раскрутка от центробежных сил 294, 295 — Расчет напряжений от центробежных сил 296 — Таблица для расчета собственной частоты колебаний 298 -- Упругое удлинение 295, 296 Лопатки охлаждаемые — Распределение напряжений в лопатке 284 — Распределение напряжений в лопатке 284 — Температурное поле 284 — постоянного сечення — Определение напряжений 270, 271 — равнопрочные — Варианты 283 — Расчет напряжений 282, 283 — Условия равновесия элемента лопаткн 282, 283 — с изменением площади поперечного сечення по степенному закону 271 — 273 — График изменения площади по длнне лопаткн 271 — Кривые растягивающих напряжений в лопатке 272 — слабо закрученные 291, 292 — шарнирные — Кинематика 299 — Коэффициент влияния шарнирного закрепления 301, 302 — Маятниковые колебания 299, 300 — Расчет на нзгнб 300—302 — Схема обкатывания в шарнирном замке 299 Ляме постоянная 479 Материалы конструкционные — Механические свойства прн повышенной температуре 29, 30 — Физические свойств а 14 Матрица диагностическая 607, 608 Мембраны прорывные 440, 441 Метод вариационно-разностный расчета конструкций 480 — 482 — динамических жесткостей 393, 394, 398 — Определение собственных частот системы 394—396 — конечных элементов расчета конструкций 482—486 — примеры расчета 485 — 490 — минимального риска 610—612 — разделения в пространстве признаков 615—617 — распознавания логический 617, 618 Модели статические усталостной прочности 572, 573 Модель математическая — Основные факторы 617 — Понятие 617 — Структурная схема 618 Модель упругости 1 4 — приведенный 385 Момент гироскопический 408 — изгибающий в сеченнн 334 — инеринн диска 397, 398 — ннерцни полярный 355, 356 — инерции сечения лопаток турбомашни 294 — инерции сечения прн изгибе 337 — крутящий 20 — пластический предельный прн нзгнбе 353. 354 — разрушающий предельный при изгибе 354, 355 — сопротивления кручению 20 — сопротивления при изгибе 338
Предметный указатель 635 Моменты сопротивления сечения валов. ослабленных пазом для одной стандартной шпонки 134 — сплошных (круглых) валов 132 — с центральным каналом 133 — шлицевых 135 Мора интеграл 346 Мора шестиугольник 552, 553 Муфты с резиновыми упругими элементами — Конструкции 178 Мэнсона формула 37 Нагрузка критическая 373, 374 — Общий случай расчета 375, 376 — Таблицы для расчета 376—382 — предельная 41 — следящая 388 Надан критерий 553 Надежность — количественные показатель 591, 592 — Основное уравнение теории надежности 586 — Понятие 581, 582 — Правила 682—684 Напряжения — концентрация 21 — во фланце 82 — главные 11 — изгиба прн упругопластических деформациях 351 —353 — касательные при изгибе 341, 342 — касательные при кручении 355 — Распределение 358 — касательные при кручении стержня прямоугольного сечения 357, 358 — касательные при кручении стержня с эллиптическим поперечным сече иисм 366, 367 — касательные прн кручении трубчатых стержней 359, 360 — контактные 460 — критические 460 — кручения в стержне болта 56 — нормальные при изгибе 336—338 Нкпряження остаточные — влияние термической н химико-термической обработки 600, 601 — Влияние технологии обработки 598 — Влияние на усталостную прочность 601 — Графики после различных видов обработки поверхности и алмазного выглаживания 599, 600 — Образование 592, 593 — Определение 602, 603 — Понятие 592 — Процесс образования 595 — Эпюры распределения 549 Напряжения переменные — Свойства материалов при переменных напряжениях 32—36 — Цикл 32 — прн кручении вала 355, 356 — статические — Свойства материалов при статических напряжениях 24 — 28 — температурные — Расчет 22, 23 — температурные в стержне прямоугольного сечения 340, 341 Напряжеиное состояние линейное (одноосное) 23 — объемное (трехосное) 23 — плоское (двухосное) 23 Наработка до отказа средняя — Пример определения для экспоненциального закона надежности 588 — на отказ — Формулы 592 Натяг потребный 103 — Пример расчета 104, 105 — расчетный 103 — Пример расчета 104, 105 Неймана—Пирсона метод 611, 612 Обкатка роликом и шариком — Инструмент 600 — внброударная (чеканка) 600 — сглаживающе-упрочияющая 600 — упрочняющая 600 Оболочки анизотропные — Устойчивость при внешнем давлении 475 — Устойчивость при действии осевых сил 475 — конические — Устойчивость под действием внешнего давления 472 — Устойчивость под действием сжимающей силы 472 — подкрепленные — устойчивость под действием внешнего давления 475, 476 — Устойчивость при действии осевых сил 476, 477 — сферическое — Устойчивость под действием внешнего давления 473 — эллипсоидальные — Устойчивость под действием внешнего давления 473 Оболочки цилиндрические 443 — Напряжения в сечении 444 — Расчет температурных напряжений 458, 459 — Условие устойчивости при совместном действии нагрузок (общий случай) 469-471 — Устойчивость при внешнем давлении 463 — 465 — Устойчивость при действии осевых сил 465, 466 — Устойчивость при изгибе 467, 468 — Устойчивость при кручений 47Е — Формы потери устойчивости 466 Оболочки цилиндрические длинные — Общее решение и основные случаи расчета 445 — 447 — Понятие 445 — Устойчивость при действии осевых сил 465, 466 — Устойчивость прн изгибе 467, 468 -— Устойчивость прн кручении 466, 467 — очень короткие — Приближенный метод расчета 456 — 458 Обработка деталей пневмодииамическая — схема 497 — упрочняющая — Эффективность 602 Опоры жесткие 407 — упругодемпфирующие 418 Оптимизация локальная — Цели 621 Оси сечеиня главные приведенные 340 Отказ 581 — катастрофический 581 Палец поршневой — Виды деформаций 266 — расчет на прочность 266, 267 — Расчетные схемы иагружения 267 Параметр закручениости лопаток 297 Параметры входные заданные 617 — состояние 621 — управляющие 617, 621 Паяные соединения — Виды 111 — Зазоры, применяемые при пайке 124 — Механические характеристики припоев 123 — Пгочность прн срече 124, 125 Передача — см. Зубчатая передача. Ременная передача и т. д. Перемещения точек тела при деформации тел а 12 Период колебания системы 392 Пластинки кольцевые ~ Устойчивость 463 Пластинки круглые — Устойчивость 462, 463 — Примеры расчета пластниок 427—429 — Примеры расчета температурных напряжений 440 — Расчеты по таблицам 429—439
636 Предметный указатель — Расчет температурных напряжений 439, 440 — Расчетные формулы 424—427 Пластинки прямоугольные — Расчет на устойчивость 460—462 — Расчетные формулы 424—427 — под действием касательных напряжений — Устойчивость 461, 462 — сжатые в двух направлениях — Устойчивость 460, 461 — сжатые в одном направлении — Устойчивость 460 Пластинки с отверстиями — Распределение деформаций 518, 519 — Распределение напряжений 512, 518 — 521 Пластичность — Понятие 23 Плотность материала приведения 333 — распределения отказов 584 Поверхность деформирования 501 Подшипники качения - Быстроходность 144 — Выбор !53 — Динамическая грузоподьемность 148 — 1 50 — Контактные напряжения в подшипнике 146 — Материалы 144, 145 — Основные характеристики 141—146 — Плаи скоростей в подшипнике 147 — Причины преждевременного выхода нз строя 160 — 162 — Смазка 156 — 160 — Статическая грузоподъемность 147, 148 — Условное обозначение 144 — Частота вращения сепаратора 146 — Частота вращения шарика 147 Ползучесть 31, 501 Полки бандажные — Расчет на нзгнб 302, 303 Поршень — Расчет днища 268 Правило Верещагина 349 — Выполнение интегр*ала Мора 348, 349 — Ограничение для применения 349 — решающее 613 Предел выносливости — Понятие 33 — детали 42 — Расчетно-эксперименталь- ное определение 562 — материала — Ьлиянне различных факторов 35, 36 — ограниченный — Понятие 33 Предел длительной прочности 28 — доверительный для вероятности разру шения 576, 577 — ползучести 31 — пропорциональности 24 — прочности 25 — прочности истинный 25, 26 — текучести 25 — упругости 25 Прессовые соединения — см. Соединения с гарантированным натягом Принцип итерации 620 — оптимизации основной 621 Прогиб начальный — Влияние иа выпучивание стержня 382, 383 Прогиб оси стержня — Расчет 594, 595 — наибольший 595 — остаточный 595 Проектирование автоматизированное 618, 620 Производство автоматизированное — Понятие 618— Схема 619 Прокладки линзовые — допустимое давление 79 — Усилие уплотнения 78 — плоские — Допустимое давление 79 — Рекомендуемые значения толщины н ширины 77 — Усилие уплснения 76 — фасонные — Допустимое давление 79 — Усилие уплотнения 77, 78 Профилирование равнопрочных дисков 322, 323 Прочность длительная 28 — малоцнкловая 36, 37 — материалов при растяжении 24 — 26 — материалов при сжатии 26 — резьбовых соединений при переменных нагрузках 67 — 70 — Пример расчета 70 — 72 — резьбовых соединений при статических нагрузках 53—67 — соединений с гарантированным иатягом 105 — 108 — Конструктивные — способы повышения 106 —108 — термическая 37 Сопротивление усталости — Влияние абсолютных размеров детали (масштабного фактора) 559, 560 — Влияние концентрации напряжений 558, 559 — Влияние постоянных напряжений 557, 558 — Влияние состояния поверхности и упрочнения 560—562 — Основные закономерности 555—562 — Статистические модели 572 — Условия 564—566 Сопротивление усталости сварных соединений — Влияние конструктивных и технологических факторов 114 —122 — иахлесточиые 117, 118 — с конструктивными элементами 121, 122 — стыковых 114 — 117 —Механическая обработка шва 1)7 — Напряжения в стыковом соединении 115 — Остаточ ные напряжения от сварки 116 — Состояние поверхности основного металла в зоне шва 115, 116 — Форма и размеры шва 116 — тавровых 118, 121 Прочность фланцев 82, 83 — фланцевых болтов 82 — шлнцевых соединений 92—96 Пружины — Диаграмма предельных напряжений 173 — Заневоливание 164 — Материалы 162, 163 — Пример расчета 178, 182 — Расчет на статическую прочность 172 — Расчет иа ударную нагрузку 173, 174 — Расчет на сопротивление усталости 173 — Резиновые упругие элементы 178 — 182 Пружины витые — способы предотвращения выпучиваний 165 — концентрические 165 — растяжения 164, 165 — сжатия 164, 165 Пружины витые цилиндрические— График зависимости между нагрузкой н осадкой пружины сжатия 168 — Допускаемые напряжения 166 — Значения максимальной нагрузки и податливости одного витка пружины 170, 171 — Касательное напряжение в сеченни 165 — Осевая податливость 168 — Расчет 165 — 172 — Силовые факторы в сеченни нагруженной пружины 166 Пружины кольцевые 176, 177 — кольцевые волнистые 177, 178 — многожильные 172 — прорезные 175, 176 — тарельчатые 175
Предметный указатель 637 — фасонные 172 Пуассона коэффициент 14 Разрушение в зависимости о7 числа циклов — Типы 555 — пластическое 555 — хрупкое 38 Распределение времени безотказной работы Вейбула 589 — нормальное 588, 589 Растяжение — Прочность материалов 24 — 26 — стержня 13 Расчет витых цилиндрических пружин 165-172 — числа изделий, находящихся в эксплуатации 591 Расчет на прочность конструкций с учетом Пластичности и ползучести — Метод дополнительных деформаций, 504, 505, 507—509 — Метод переменных параметров упругости 502 — 504, 506, 507 Расчет соединений с фланцами контактирующими 73, 74 — иеконтактирующими 73, 74 — иеконтактирующими свободными 74, 75 — иеконтактирующими уточненный 76 — 78 Резонанс — Понятие 392 Резьбовые соединения — Диаграмма предельных напряжений 68 — Диаграмма усилий 51 — Дополнительные расчетные случаи 48 — 50 — Конструктивные способы разгруаки от скручивания при аатяжке 58 — Мехвмичсские свойства материалов 66 — Определение коэффициентов податливости болта и промежуточных детв- лей 53—55 — Определение усилий в затянутом соединении при действии внешней осевой иагруаки 51 —53 — Основной расчетный случай 47, 48 — Прочность при переменных нагрузках 67-72 — Распределение нагрузки по виткам резьбы 58—63 — Расчет напряжений кручения 56 — 58 — Расчет усилий в сложных силовых схемах 55, 56 — Расчетная схема 51 — Способы разгрузки от напряжений нагиба 65, 67 — Способы разгрузки от сил в плоскости стыка 50 —• Способы улучшения распределения нагрузки по виткам 61 — Типы 48 — Условие цепного среаа 64 — Уточненный расчет 51—56 Релаксация напряжений — Понятие 31 Релея формула 286 Ремеииая передача — Быстроходность 237 — Дуга скольжения 235 — Дуга сцепления 235 — Кинематика 236 — Коэффициент динамичности 239, 241 — Коэффициент треиня 235 — Коэффициент угла обхвата 239 — Коэффициент, учитывающий влияние длины ремия на ресурс 239 — Коэффициент, учитывающий неравномерное распределение нагрузки 239 — Кривая скольжения 236, 237 — Материал ремней 233, 234 — Мощность общая 238, 239 — Мощность, передаваемая одним ремнем 239, 240 — Нагрузка полезная 239 — Нагрузочная способность 235 — Напряжения в ремнях 237 — Недостатки 233 — Порядок расчета 243, 244 — Преимущества 233 — Применение 233 — Размеры клиновых ремиеА 234 — Расчеты на усталость 238 — Расчет на тяговую способность 238, 239 — Ресурс 238 — Самозаклинивание ремня 236 — Сила натяжения ремия 234 — 236 ■- Скольжение относительное 2Л6 - Срок службы 238 — Схема 233 — Схема взаимодействия ремня со шки вом 235 — Схема сил, действующих на элемент ремия 235 — Тяговая способность передачи 236, 237 — Увеличение угла обхвата 236 — Форма сечения ремня 233 — Формула Эйлера 235 — Число передаточное 236 Ремеииая передача с зубчатыми ремнями — Давления удельные на зубья 243 — Материал ремня 239 — Модуль 242 — Мощность, передаваемая клиновым ремнем 241 — Основной конструктивный параметр 242 — Скорость ремия наибольшая 242 — Схема 242 — Усилие окружное расчетное 242 — Шаг на наружном диаметре 242 — Ширина ремия 242 Ремни клиновые 233 — Основные размеры и области применения 234 — поликлииовые 233 Ремонтопригодность — Понятие 581 Роликоподшипники — Типы 142, 143 — Характеристика 142, 143 Роторы жесткие 406 Самоустаиовление вала 406 Сварные соединения — Влияние основных конструктивных и технологических факторов на усталостную прочность 114-122 — Допускаемые напряжения для сварных швов при статической нагрузке 112 — контроль качества 111, 112 — Основные виды 109- 111 — Расчет иг прочность при переменных нагрузках 1'2 — Расчет на прочность при постоянных нагрузках 122 Сдвиг — Понятие 12 Сжатие — Прочность материалов 26 — стержня 13 Сила перерезывающая — Определение 334 Система двухмассовая — Расчет изгибиых колебаний 400, 401 — Определение частоты собственных колебаний 395 — двухмассовая крутильная — Определение частоты колебаний 398 — миогомассовая крутильная — Опреде- левие частоты холгбаиив 398, 399
638 Предметный указатель — одномассовая — Расчет изгибных колебаний 399, 400 — Расчет крутильных колебаний 396 — Определение частоты собственных колебании 394 — параллельных элементов — Анализ надежности 590, 591 — Надежность 589, 590 — последовательных элементов 589 Скорость угловая критическая — Общий случай определения 414 — некоторых роторов 424 Смазывание подшипников 156 —160 Соединение деталей с гарантированным натягом — контактные давления 99 — 103 — Прочность при переменных нагрузках 105- '08 — Услов я неподвижности 99 Соединеик — см Резьбовые соединения, сворны соединения н т. д. Срез — касательное напряжение при срезе 19 — заклепок 19, 20 — цепной в резьбовых соедниеинях 64 — шпонкн 19, 20 Стержни — Влияние начального прогиба и виецентренного приложения силы на выпучивание 382, 383 — Выпучивание прн упругопластнческих деформациях 386 — 388 — Жесткость сечения на изгиб 385 — Изгиб — см. Изгиб стержней — Крученне — см. Кручение стержней — Потеря устойчивости 385, 386 Стержни закрученные — Основные соотношения теории 292—294 — постоянного сечения — Определение изгнбных колебаний 401, 402 — сжатые — График зависимости предельного напряжения от гибкости 383 — Расчет на прочность и жесткость 383—385 — Условие прочности 384 — сжатые эксцентрично — График зависимости упругого прогиба от величины сжимающей силы и эксцентриситета 383 — с кольцевой выточкой — Распределение напряжений 520 Твердость — Понятие 23 — материалов 26, 27 Тензометрированне лопаток 312, 313 Теория пластичности деформационная 497-429 — пластического течения 499 — 501 — ползучести 501 Технология автоматизированная — Понятие 617 Трещина усталостная 182 Угол закрутки единицы длины вала 355 — закрутки стержня с эллиптическим сечением 356 — поворота сечения лопатки от действия центробежных сил 295 Удлинение относительное 12, 25 — полное истинное 26 Упрочнение — Влияние на усталостную прочность 560 — 562 — деталей — Методы 595 — микрошарикамн 598, 599 — отверстий 600 Упрочнение деталей машин дробью гидродробеструйное 597 — пневмодинамическое 596, 597 — пневмодробеструйиое 596 Упругая длина стержня 342—344 Уравновешивание валов 423, 433 Усилие затяжкн фланцевых болтов 81 — обжатия прокладки 79 — уплотнения, необходимое для герметичности стыка во фланцевых соединениях 76 —78 Условия усталостной прочности. — Простое (однокомпонентное) напряженное состояние 564 — Сложное (многокомпонентное) напряженное состояние 564—566 Усталость малоцикловая 36, 37 Устойчивость — Динамический анализ 388 — 390 — Понятие 459 — Потеря при нагреве 390 — колец 463 — пластинок 460 — 463 — пластинок прн температурных напряжениях 473, 474 Устойчивость оболочек анизотропных 474, 475 — конических 472 — подкрепленных 475 — 477 — прн температурных напряжениях 473, 474 — сферических 473 — цилиндрических 463—472 — эллипсоидальных 473 Устойчивость стержней — Потеря 373 — Потеря при упругопластнческих деформациях 385, 386 — Формы прогибов 375 Фактор масштабный — Влияние на усталостную прочность 559, 560 Фланцевые соединения — Напряженное состояние фланца и трубы 83—87 — Разрушающая нагрузка 85, 86 — Расчетная схема соединения с контактирующими фланцами 86, 87 — Расчетная схема соединения с некон- тактирующими фланцами 83—86 — Типы 73, 79 — Упрочненный расчет 73—76 — Уточненный расчет соединений с не- коитактирующими фланцами 76 — 83 Фланцы — Расчет на прочность Хрупкость — Понятие 24 Центр тяжести сечения приведенный 339 Цепная передача — Износостойкость 250. 251 — Конструкции ^45 — Коэффициент коицеитрацни напряжений эффективный 253 — Недостатки 245 — Основные параметры 245, 246, 248, 249 — Основные размеры 247 — Особенности проектирования 254, 255 — Порядок расчета 255, 256 — Преимущества 244, 245 — Расстояние между осями звездочек 249 — Силы в передаче 247 — Сопротивление усталости 251, 253, 254 — Тяговая способность 250 — Число зубьев звездочек 248, 249 — Число передаточное 248 — Шаг 249 — Эксплуатация 254, 255 Цепь втулочная 246 — зубчатая 246 — роликовая 245
Предметный указатель 639 Цикл перемеииых иапряжеиий аснммет ричный 32 — пульсациоииый 32 — симметричный 32 Частота вращения вала критическая 139, 140 — Влияние гироскопического эффекта 409 — Общий случай определения 414—416 — Определение второй и более высоких критических угловых скоростей 416, 417 — Примеры расчета ротора компрессора 413, 414 — Примеры расчета ротора турбомашииы иа упругих опорах 420, 421 — расчет с учетом упругости опор 418 — 420 — Учет начального эксцентриситета центра тяжести диска 405, 406 — Учет упругости опор 407 Частота вращения критическая вала с непрерывно распределенными массами 410 — 413 — с несколькими дисками 410 — с одним диском 405 — 410 — с равномерно распределенной массой 421, 422 Частота колебаний 392 — крутильных 398, 399 Частота переменных напряжений 36 Частота системы собственная — Определение методом динамических жестко стей 394—396 Шариковинтовые передачи — конструкция 226 — Материал винтов и шариков 227 — Напряжение контактное максимальное 231 — Основные достоинства 225, 226 — Основные профили виита н гайки 226 — Податливость витка внита н гайки 230, 231 — Расчет 227 — 233 — Схема соединения типа болт — гайка 228 — Схема соединения типа стяжки 229 — Уравнение совместности деформаций 228 — Уравнение совместности перемещений 228 Шарикоподшипники — Оптимальные углы контакта 143 — Типы и харакгерн сгика 142 Шатуны — Определение иапряжеиий 264 — Расчет кривошипной головки 265, 266 — Расчет на прочность стержня 264, 265 — Расчетные схемы нагружеиия поршне вой головки 263 Шероховатость поверхности — Влияние иа усталостную прочность 560 Шлнцевые соединения — Изнашивание 96, 97 — Концентрация иапряжеиий 96 — Расчет иа прочность 92 — 96 — Способы центрирования 90, 98 — Схема 93 — Фактические средине напряжения смя гня для различных изделий 94 Шлнцевые соединения прямобочиые 90 — с винтовыми зубьями 91 — соосиые 128 — торцевые 128 — треугольные 91, 92 — эвольвеитиые 91, 92 Шпильки — Допускаемые статические иа грузки 50 — Момент затяжки 50 — Схема нагружения 56 Шпонкн призматические обыкновенные 87, 88 — сегментные 88 Шпоночные соединения — основные типы 88 — Расчет 88, 89
СПРАВОЧНОЕ ИЗДАНИЕ Биргер Исаак Аронович, Шорр Борис Федорович, Иосилевич Геннадий Борисович РАСЧЕТ НА ПРОЧНОСТЬ ДЕТАЛЕЙ МАШИН Редактор Т. С. Грачева Художественный редактор С. Н. Голубев Технические редакторы: Л. А. Макарова, И. В. Малыгииа Корректоры: О. Е. Мишина, Л.А. Ягупьева И Б № 0076 Сдано в набор 17.12.91. Подписано в печать 16.07.92. Формат 60x90/16. Бумага офсетная Гарнитура литературная. Печать офсетная. Усл. печ. л.50,89. Усл. кр-отт. 40 Уч.-изд. л 40. Тираж 10 000 экз. Заказ 402. Ордена Трудового Красного Знамени издательство «Машиностроение», 107076, Москва, Стромынский пер., 4 Санкт-Петербургская типография № 6 Министерства печати и информации Российской Федерации. 193144, Санкт-Петербург, ул. Моисеенко, 10