έ if* * ff* i
r / fiO /
И НАЧАЛА
МАТЕМАТИЧЕСКОГО
АНАЛИЗА
класс
В двух частях
Часть 2
Задачник
для учащихся общеобразовательных
учреждений (профильный уровень)
Под редакцией А. Г. Мордковича
Рекомендовано
Министерством образования и науки
Российской Федерации
6-е издание, стереотипное
Москва 2009
10

УДК 373.167.1:[512+517]
ББК 22.14я721+22.161я721.6
А45
На учебник получены положительные заключения
Российской академии наук (№ 10106-5215/9 от 31.10.2007)
и Российской академии образования (№ 01-667/5/7д от 29.10.2007)
Авторы:
А. Г. Мордкович, Л. О. Денищева, Л. И. Звавич, Т. А. Корешкова,
Т. Н. Мишустина, А. Р. Рязановский, П. В. Семенов
Алгебра и начала математического анализа. 10 класс
А45 В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных
учреждений (профильный уровень) / [А. Г. Мордкович и др.]
под ред. А. Г. Мордковича. — 6-е изд., стер. — М. : Мнемо-
зина, 2009. — 343 с. : ил.
ISBN 978-5-346-01202-3
Задачник представляет собой вторую часть комплекта из двух книг
предназначенных для изучения курса алгебры и начал математического ана
лиза в 10-м классе с профильной подготовкой по математике (первая часть —
учебник).
УДК 373.167.1:[512+517
ББК 22.14я721+22.161я721.6
© «Мнемозина», 2005
© «Мнемозина», 2009
ISBN 978-5-346-01200-9 (общ.) © Оформление. «Мнемозина», 2009
ISBN 978-5-346-01202-3 (ч. 2) Все права защищены

ПРЕДИСЛОВИЕ ДЛЯ УЧИТЕЛЯ
Издательство «Мнемозина» выпускает учебно-методический
комплект для изучения курса алгебры и начал математического
анализа в 10-м классе профильной школы, состоящий из
следующих книг:
А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. Алгебра и начала
математического анализа. Часть 1. Учебник.
А. Г. Мордкович и др. Алгебра и начала математического
анализа. Часть 2. Задачник.
A. Г. Мордкович, П. В. Семенов. Алгебра и начала
математического анализа. Методическое пособие для учителя.
B. И. Глизбург. Алгебра и начала математического анализа.
Контрольные работы / Под ред. А. Г. Мордковича.
У вас в руках вторая книга комплекта — задачник.
Наличие отдельного задачника позволило авторам
выстроить в нем полноценную (как по объему, так и по содержанию)
систему упражнений, достаточную для работы в классе, для
домашних заданий, для повторения (без привлечения других
источников). В каждом параграфе представлены упражнения трех
уровней сложности: простые, средние (слева от номера такого
упражнения помещен знак «О») и трудные (со знаком «·»).
В конце книги приведены ответы к большинству заданий
второго и третьего уровней. Нумерация упражнений своя
в каждом параграфе.
Число заданий в каждом номере — одно, два (а) и б)) или
четыре (а)—г)). Все они в пределах конкретного номера
однотипны, поэтому советуем вам разбирать в классе пункт а) (или
пункты а) и б)), а на дом задавать пункт б) (или,
соответственно, пункты в) и г)).
Данная книга естественным образом соотносится с извест-
1М заДачником «Алгебра и начала анализа, 10—11» (изда-
льство «Мнемозина», авторы — А. Г. Мордкович и др.),
3

который с 2000 года используется в общеобразовательных
школах России: значительная часть материала, имеющаяся в упо*
мянутом действующем задачнике, содержится и в настоящем
задачнике. Это даст учителю, работавшему ранее по задачнику
для общеобразовательной школы, возможность более комфортно
работать по задачнику для профильной школы.
Количество упражнений в данном задачнике таково, что его
достаточно для учащихся профильных классов различной
математической направленности: и при четырех, и при пяти, и
при шести часах в неделю на изучение курса алгебры и начал
анализа. В дальнейшем предполагается выпуск методического
пособия с комментариями к параграфам учебника, с
решениями трудных упражнений из задачника, с разными вариантами
поурочного планирования. Пока же, для удобства учителя,
мы приводим три варианта примерного тематического
планирования (из расчета 4,5,6 часов в неделю) в первой части
комплекта — в учебнике.
В конце задачника появился новый (относительно
предыдущих изданий) сравнительно небольшой раздел
«Дополнительные задачи». В него мы включили задания с
нестандартными формулировками, идеи которых навеяны материалами
Единого государственного экзамена по математике.
Распределение их по параграфам задачника потребовало бы переверстки
всей книги, что неудобно ни нам, ни вам. Нумерация заданий
в этом дополнительном разделе двойная: первые цифры
указывают, к какому параграфу относится задание, а вторые —
продолжают нумерацию упомянутого параграфа. Так что при
желании (и при возможности) дополните материалы того или
иного параграфа заданиями из нового раздела.
Aemovu

Задачи на повторение
тт 1. Сократите дробь и найдите ее значение при заданных
значениях переменных:
v 9аЪ- ЗЬ2 1. , 3.
а) 5—т~~г» если а = -о» о = έ>
' 12а2 - 4аЬ 3 5
т4 _ -ι -ι
б)—8 7' если *Я = 7>'
m - 1 ^
ч 24*2 + Sst 1. 5 .
в)5*2 + Ш*'еСЛИ'= 4'S=12'
ч *3 + у3 0 0
г)-л—*τ» если χ = 2; у = 3.
х - у
П.2. Сократите дробь:
Зх2 - 10* + 3 ч 2*2 - 9х + 4.
В) *2-16 '
а)
б)
*2-
Ьх2 + χ
х2 +
Зх '
-4.
>
г)
2*2 + Ъх - 3
*2-9 '
П.З. Докажите, что заданная функция является линейной, и
найдите ее область определения:
х4 -5х3 + 3JC-15. ч р3 -4р2 -5р + 20.
а) » = ^Т^ ' в) 2 = ρΓΓΙ '
f4-
(ί +
*3 +
-8f2 +
2Χί2 -
3
16.
-4)'
. - «* -г *ν ' m6 - 16m3 + 64
6) ι/ = ———2——; г) s =
(m2 + 2m + 4Xm3 - 8)
П.4. Докажите, что график данной функции принадлежит
прямой, параллельной оси абсцисс; найдите область
определения этой функции:
ν _ 4х - 5 _ χ - 1 . . _ Зх + 4 _ χ + 4 .
а) ^ " 7* - 21 2л: - 6' в) » " 5* - 10 Зх - 6'
^ „ _ 2jc + 5 _ И(*+1). ν _ х-5 _ Зх-1
°' tf ~ ~^3~ 4х-12 ' Г) ^ ~ Зх + 3 2jc+2#
5

Π.5. Докажите, что график данной функции принадлежит
прямой; найдите область определения этой функции:
_ х3 + Ьх2 - 4* - 20 Xs - 4х2 -9х + 36.
*)у~ х2 + 3*-10 ' В)У~ *2-7* + 12 '
_ Xs - 2х2 - 16* + 32 xs + χ2 - 4* - 4
6)ί/- *2-6* + 8 ' Γ)ί/" *3 + 3* + 2 '
П.6. Выразите переменную χ через переменную у:
3 7
а) у = JT2 + 4; в> У = 7ТЗ " 1;
Упростите выражение:
П·7· а> (й^? " 5Т7> + ώ](25 " 10& + ^
Г 2 4х 1 λ
Г> [l^ " 9Т? " 3T^J<9 + 6* + *2)·
тт и оч 2та _ 2 . Г ш+1 1_\
11.». а) т2 _ 4 т2 _ 4 · g^rg m_ J ,
, 1 1 1 & 26 .
б) & - 1 &2 - Ъ )' Ъ + 2 б2 - 4'
1 4а f 1 1 \
в) о-2 о2-4' а-1 о2-о

ч („ и 2 ^. а2 +1 .
йч Гь а. ч л. 18 Ί &2 - 66 + 9.
B)^-4 + ^T4j-
32_Ί ρ2 + 8ρ + 16
ρ2 + 16 '
,ιν-χ 50 V я2 + 25
γ) \ χ + 5 + =■ : —«—— ^·
' ' χ-δ) χ? - 10* + 25
ч 3-х2 3* . jc , jc - 1.
П.Ю. a) ^τγ + ^"π; · -^Π + ΐΤΤ
5α - 6 α α2 - 4 10 - 3α.
"' α + 2 α + 2 α α + 2'
3ι/-4 у . у 5-2ι/.
β>ϊ + ι ϊ + 17-γϊ + ι'
Γ) 7?
ЗЬ - 2 , 3 Ь + 2 , Ь
+
Ь2 - 4 Ь2 - 4 3 Ь + 2
f 1 5 2jc ^ χ
П.11. а) ^^Г2 + jc2 - jc- 6 + F^3J' 2^ΤΪ;
* Г 2 , 10 , Зас V 3s + 2.
6>[*+1 + **-8*-4 *-4je 3 '
. ί 3 + 4 _2^ϊ . 2jc + 1.
в) [*-3+**-5* + 6 л:- 2j · 3 '
, ( 2х 1 4__ϊ *
гЦх+3 х-1 jc2 + 2jc-3J2jc + 1#
П.12. Упростите выражение и найдите его значение при
указанных значениях переменной:

П. 13. Докажите, что при всех допустимых значениях переменных]
значение выражения не зависит от значений входящих!
в него переменных:
1 1 . 1
Ь{аЬс + а + с) а+ 1 ' а + Г
Ь + ± Ь
с
Упростите выражение:
П.14. а) Ю^Ц - 0,5г/Ш + Щ; в) 15^Ц - 0,5^60 + 2^з|;
б) 4^з| - 0,5756 - Щ;
тик ач 3->/5 3 + >/5.
б) J&S ■ ^|Ш2^,
г) 3^ - V84 - ^1.
в) Vl2V2 · >/ί£7Ι;
4-Уб | 4 + ч/б
Г) 4 + V6 4->/б*
П.16. а) Щ л/β + V2 · 7<Э + чУГг + л/в - ν/2 · л/э - >/Ϊ7 ρ
б)
2 + л/З 2-л/3
л/2 + л/2 + л/3 л/2 - л/2 - л/3
П. 17. Докажите, что
ч/б -зГл/5 -3 , , Υ ч/б -3 , 9Ϊ
-^-[-^-+11^+2J
V г- Л
= -1.
П.18. Сравните числа А и Б, если:
6)A=iT172+iT172'B=-^·
П. 19. а) Известно, что f(x) = yfx. Найдите, при каких значениях
переменной выполняется равенство f(x + 2) = /(2jc+6).
б) Известно, что f(x) = yfx. Найдите, при каких значениях
переменной выполняется равенство /(5jc - 1) - f(3x + 17) =.0.
8

д.20. Сократите дробь:
а) 9z/ - 16л: '
196т2 - Шп.
б) 13ч/й + 14т '
25р - 49д
В) 5^ + 7^'
г)
бУоЬ - 9у/с
81с - ЗбаЬ "
П.21. Избавьтесь от иррациональности в знаменателе дроби:
Р- yfpq +Q. ^х-Зу[х + 9.
а) Гр-Я '
4 + 2^/t+t
б) 2 + V7 '
в) Г5 «—'
' л/л: - 3
а + 2>/а& + 46
г)
Va + 2Vb
Упростите выражение:
Л ч У* - 2 , 2>/Jc + 5 ЗУ*.
П.22. а) тт^ + , г: " Т7='
3vtfi 3ν#ι 3ν#ι
4vjc 4vjc 4vjc
lW/n - 2>/я _ 2yfm - 3yfn 4m - 4n.
_ / _ / г у 9
4Vp -2 _ 2y[p -1 1 .
B) 2Vp 2Vp 2Vp'
v 2>/c - Vd , 2Vc + Vd , Vc - 5>/d
Г) F= + F= +
5Vc
5Vc
5Vc
П.23.а)[(а-&)^ + а-&][(а-4^-1
6)
Vaft -
ab
a + va&
л/ab - b.
a-ft '
в)
r)
Vm _ 1 | Г Vm - 1 _ Vm + ΐ"|
( ^ 2\fm J [ Vm + 1 yfm - 1J
V(a + Vab)(Vg_:Hj) + ^a - 4ab){4ab ^b)
V(a + 4ab){4ab + ft) - V(a - VaftXVaft - b)

Решите уравнение:
11 8
П.24. а) „ , 9 + ~~2—^~ = ~~з—т~'
_ χ 1_ _ 2
б) * + 1 * - 1 χ2 - 1 = °'
2* 1 4
b)jc + 2 х-2 χ2 - 4 " 0;
ч 2 ι 3 - 15
Г) x2 + bx 2*-10 *2-25*
_ок 2х -7 1 _ 1 .
П.25. а) χ2 _ 9jc + 14 ^2 _ 3jc + 2 * _ Г
tt 3 = г + 3 ■
°' л:2 -9 9-6jc + jc2 2*2 + 6*'
3jc 5 L_
в) jc3 - 1 4Х2 + 4х + 4 2(1 - χ) = °5
μ 4jc2 27 _ 6
Γ) 1+ 2*2 + 8* 2*2 + 7*-4 2*-Г
Π.26. Не решая уравнения χ2 + 4jc - 2 = 0, найдите значение
выражения:
где jcx, jc2 — корни заданного уравнения.
П.27. При каком значении т сумма квадратов корней уравнения
х2 + (т - 2)х - (т + 3) = 0 будет наименьшей?
П.28. При каких значениях параметра а квадратный трехчлен
(2а - 2)х2 + (а + 1)х + 1 имеет отрицательные корни больше,
чем -2?
П.29. Известно, что корни xv х2 уравнения х2 - Ъах + а2 = О
удовлетворяют соотношению х\ + х\ =1,75. Найдите значение
параметра а.
П.ЗО. Решите неравенство:
а) -2х + 3(х - 2) < 5jc; в) 8(jc + 1) + 3* < 4* + 15;
б) Ix + 1 > 12(jc - 2); г) Ъх - 4(jc + 3) > 7*.
10

Решите неравенство:
П.31- >) -ΪΪΤ > 0' "> ТТТ < »:
Π 32. а) *2 - Ъх + 15 > 0; в) х2 + Ъх - 36 > 0;
' б) х2 - 12* + 27 < 0; г) х2 - 7х + 20 < 0.
, д + хХ2 + х) (χ - 2X2* - 1)
П.ЗЗ. а) χ2 _ χ _ 2 > 0; в) 2χ2 + 7χ + 3 > 0;
-2 ^ л *2 - 4* + 3 ^ п
б> 2*2 - 11* + 12 < °' Г) **-6* + 5 > °-
(1 + *Х2 + ж) (Х-ЗХ2-Х)
П.34. а) (1 _ χχ2 _ χ) > 1, в) (3 + ж)(ж + 2) < -1,
«ч 2 3 ^ 5· ч 6 13 ^ о
П.35. При каких значениях параметра а любое решение
неравенства х2 - Зх + 2 < 0 будет решением неравенства ах2 - (За +
+ 1)х + 3 < 0?
П.36. Найдите все значения параметра а, при которых
неравенство (а2 - 5а + 6)jc2 - 2(а - 3)х + 1 > 0 выполняется при всех
действительных значениях х. Существуют ли такие
значения а, при которых решением неравенства является пустое
множество?
Решите систему неравенств:
Зх - 1 > 2(х + 5), \2х + 3 < Цх - 1) + 13,
П·37· а) [7х - 1 < 3(3* - 11); в) [х - 1 < 2(3* - 16);
2х + 5 > 4 - Зх, \х + 5 < 12 - 3(х - 4),
б) [4* - 7 < 2(4 - х); г) [8* - 3 > Цх - 5).

I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I ]
ΓΓΓΓΓΓΓΓΓΓΓΓΓΓΓΓΓΓΓΓΓΓΓΓ\
Г „ _ Ί 1
г Действительные
[ числа
Γι ι ι ι ι ι ι ι ι ι ι ι ι ι ι ι ι ι ι ι ι ι ι
ГГГГГГГГГГГГГГГГГГГГГГГП
§ 1. Натуральные и целые числа
1.1. а) Сколько существует натуральных чисел, меньших 100*
и делящихся на 2?
б) Сколько существует натуральных чисел, меньших 100
и делящихся на 3?
в) Сколько существует натуральных чисел, меньших 100
и делящихся на 6?
г) Сколько существует натуральных чисел, меньших 100
и делящихся на 27?
1.2. Может ли из 101 идущих подряд натуральных чисел быть
ровно одно делящееся:
а) на 50; б) на 51; в) на 101; г) на 10001?
01.3. Найдите какие-нибудь 36 идущих подряд трехзначных
чисел, среди которых нет ни одного кратного 37. Какое
наименьшее и какое наибольшее значение может принимать
наименьшее из этих 36 трехзначных чисел?
1.4. Может ли произведение 101 идущих подряд натуральных
чисел не делиться:
а) на 51; б) на 101; в) на 606; г) на 4386?
Докажите утверждение:
01.5. а) Если каждое из натуральных чисел пит делится на
натуральное число р, то (п + т) ! ρ и (п - т) ! р.*
б) Если каждое из натуральных чисел пит делится на
натуральное число р, а х, у — произвольные натуральные
числа, то (пх ± ту) · р.
в) Если натуральное число η делится на натуральное число р,
а натуральное т не делится на р, то ни сумма п + т, ни
разность η - т не делятся на р.
* Если натуральное число η делится на натуральное число р, то
принято писать п\ р.
12

г) Если сумма натуральных чисел и каждое ее слагаемое,
кроме последнего, делятся на некоторое натуральное
число р, то и это последнее слагаемое делится на р.
о1.6. а) Если η : ρ, то (η · т) · ρ для любого натурального т.
б) Если χ : 5, то Зх : 15.
в) Если χ i 7 и ι/ : 3, то (ху + 14i/) i 21.
г) Если х\ 17 иу Ί 23, то (jc3 + ι/3) ! 40.
Докажите, что:
1.7. а) Сумма двух четных чисел есть четное число;
б) сумма двух нечетных чисел есть четное число;
в) сумма четного и нечетного числа есть нечетное число;
г) если х, у — произвольные натуральные числа, то ху(х + у)
и ху(х -у) — четные числа.
1.8. а) Разность квадратов любых натуральных различных
чисел делится на их сумму и на их разность;
б) разность любых натуральных различных чисел является
делителем разности их кубов.
о1.9. а) Если а + Ъ делится на с, а а - Ъ не делится на с, то ни а,
ни Ъ не делятся на с;
б) ad + be + ас + bd делится на а + Ь;
в) если ad + be делится на а + &, то и ас + bd делится на
а + Ь;
г) если ad + be не делится на а + &, то и ас + bd не делится
на а + Ь.
1.10. Объясните, почему не существует натуральных чисел а и b
таких, что:
а) 152а + 134Ь = 12 345; б) 150а + 135& = 1234.
1.11. Найдите все натуральные числа χ и у такие, что:
а) 7х + 12у = 50; в) 5* - у = 17;
б) 11* + 18у = 98; г) Ъх - 11у = 137.
°1.12. Докажите, что:
а) 723 + 343 делится на 106;
б) (I3 + 23 + З3 + ... + 1813 + 1823) делится на 183;
в) 183 + 263 делится на 176;
г) (23 + З3 + ... + 1963 + 1973) делится на 199.
01.13. а) Число 14а + lib не делится на 5; докажите, что и 9а + b
не делится на 5.
б) Число 17а + 29Ь не делится на 13; докажите, что и 4а + ЗЬ
не делится на 13.
13

01.14. Найдите все такие натуральные числа п, при которых:
ч Ъп + 4
а) выражение —-— является натуральным числом;
_ Ъп + 4
о) выражение о является натуральным числом;
In + 12
в) выражение —-— является натуральным числом;
7к+11
г) выражение п_ к является натуральным числом.
01.15. Найдите все такие натуральные числа п, при которых
заданное выражение является натуральным числом:
ч Ъп2 + 7/1-12 ^ п7 + Зп2 + 36
а) , б) ~2 ·
1.16. На графике заданной функции найдите все точки, обе
координаты которых — целые числа:
о 4 . _ Ъх +17
а> * = 2 + ΪΤ3· б) » = ΊΓΓΤ"·
01.17. При каком наименьшем натуральном значении параметра а
на графике заданной функции есть ровно одна точка,
координатами которой являются натуральные числа?
Найдите координаты этой точки:
^У= TTV б)У= 7ΤΤΪ3·
2
01.18. Известно, что при некотором значении а число Ъ = а + — —
целое. Будет ли целым число:
а)а*+4г; б)а*+|г?
01.19. Найдите все значения а, при которых χ и у являются
натуральными числами:
а) χ = - + 3, у = - + а; б) χ = - + 3, у = - + 2а.
01.20. При каких значениях параметра а уравнение имеет два
различных натуральных корня:
а) ах2 -(2а2 + 5)jc + 10α = 0;
б) ах2 - (а2 + 5)jc + За - 5 = 0?
•1.21. Найдите все целочисленные значения параметра а, при
которых оба корня уравнения — целые числа:
4
а) х2 + ах + -^—^ = 0;
б) (а + 2)х2 + (2а - 1)х + а2 - 5а - 4 = 0.
14

Найдите последнюю цифру числа:
а) 21047; б) З1641; в) 71799; г) 91861.
Найдите последнюю цифру числа:
а) 200120022(Ш; в) 134567891*45;
б) 199920021333; г) 23 456789012345.
01.24. Существуют ли такие натуральные числа пик, что
последняя цифра разности указанных двух степеней равна нулю:
а) 627" - 833*; б) 834" - 626*?
#1.25. а) Докажите, что если при некотором натуральном
значении η число п3 - η делится на 6, то и число (η -ι- 1)3 - (п + 1)
также делится на 6. Проверьте наличие делимости для η = 1
и подумайте, для каких еще значений η имеет место
делимость.
б) Докажите, что если при некотором натуральном
значении η число п3 + Ъп делится на 6, то и число (п + I)3 +
+ Ь(п + 1) также делится на 6. Проверьте наличие
делимости для η = 1 и подумайте, для каких еще значений η имеет
место делимость.
в) Докажите, что если при некотором натуральном
значении η число 7" + Зп - 1 делится на 9, то и число
7" + 1 + 3(п + 1) - 1 также делится на 9. Проверьте наличие
делимости для η = 1 и подумайте, для каких еще значений
η имеет место делимость.
г) Докажите, что если при некотором натуральном
значении η число 32п + 2 - 8п - 9 делится на 64, то и число
32п + 4 - 8(п + 1) - 9 также делится на 64. Проверьте
наличие делимости для η = 1 и подумайте, для каких еще
значений η имеет место делимость.
Найдите НОД и НОК чисел:
а) 154 и 210; в) 255 и 510;
6)120 и 144; г) 105 и 165.
а) 232 · З4 · II31 и 223 · З7 · II14;
б) 424 б14 98 и 818 ΙΟ17 1216.
Не пользуясь калькулятором, определите, является ли данное
число квадратом или кубом некоторого натурального числа:
а) 75 625; б) 614 656; в) 31 104; г) 45 212 176.
Найдите все простые числа, меньшие:
а) 50; б) 100.
Найдите все составные числа, меньшие:
а) 50; б) 100.
15

1.31. Выпишите все пары взаимно простых составных чисел, из
отрезка натурального ряда 1, 2, 3, ..., 20.
01.32. Докажите, что: а) наименьший отличный от 1 делитель
натурального числа п, большего 1, есть простое число;
б) наименьший отличный от 1 делитель составного числа η
не больше 4п;
в) еслирх<р2 < ... <рп — простые числа, то числорх р2... рп + 1
является либо простым числом, либо делится на простое
число р, большее, чем рп;
г) простых чисел бесконечно много.
01.33. Докажите, что:
а) любое натуральное число либо взаимно просто с
заданным простым числом р, либо делится на р;
б) если произведение нескольких множителей делится на
простое число р, то хотя бы один из множителей делится на р.
1.34. Составьте разложение на простые множители числа:
а) 504; б) 8281; в) 108 000; г) 12 321.
01.35. Найдите число делителей числа:
а) 24; б) 504; в) 180; г) 60.
01.36. Полагают, по определению, что п\ = 1 · 2 · 3 · 4 · ... · (п - 1) · п\
(символ п\ читают η-факториал), а 1! = 1. С каким
показателем входит число 2 в разложение на простые множители
числа:
а) 10!; б) 20!; в) 40!; г) 100!?
01.37. С каким показателем входит число 5 в разложение на
простые множители числа:
а) 10!; б) 20!; в) 40!; г) 100!?
01.38. Сколькими нулями оканчивается число:
а) 10!; б) 20!; в) 40!; г) 100!?
01.39. Докажите, что среди данных последовательных
натуральных чисел нет ни одного простого числа:
а) 23! + 2, 23! + 3; 23! + 4, ... , 23! + 23;
б) 101! + 2, 101! + 3; 101! + 4, ... , 101! + 101.
в) Сколько составных чисел в каждой серии а) и б)?
г) Выпишите 1 000 000 последовательных натуральных
чисел, среди которых нет ни одного простого.
01.40. Докажите, что:
а) произведение двух идущих подряд натуральных чисел
делится на 2;
16

б) произведение трех идущих подряд натуральных чисел
делится на 3 и на 6;
в) произведение четырех идущих подряд натуральных
чисел делится на 4, на 12 и на 24;
г) произведение пяти идущих подряд натуральных чисел
делится на 5, на 20 и на 120.
qI.41. Найдите простые числа рид, если известно, что корни
уравнения х2 - рх + q = 0 — натуральные числа.
01.42. Найдите все простые числа ρ и q такие, что:
а) 5р + 17q = 140; б) 1р + 3q = 86.
1.43. Составьте формулу натурального числа, которое:
а) при делении на 5 дает остаток 4;
б) при делении на 11 дает остаток 7;
в) при делении на 7 дает остаток 2;
г) оканчивается числом, делящимся на 15.
1.44. Найдите остаток от деления на 10 числа:
а) 1234; б) 43 215 432.
1.45. Число χ при делении на 8 дает остаток 5. Чему может быть
равен остаток от деления числа х:
а) на 2; б) на 3; в) на 4; г) на 6?
1.46. Докажите, что:
а) остаток от деления натурального числа на 2 равен остатку
от деления его последней цифры на 2;
б) остаток от деления натурального числа на 5 равен остатку
от деления его последней цифры на 5.
1.47. Докажите, что:
а) остаток от деления натурального числа на 4 равен
остатку от деления на 4 числа, образованного его двумя
последними цифрами;
б) остаток от деления натурального числа на 25 равен
остатку от деления на 25 числа, образованного его двумя
последними цифрами.
1.48. Найдите остаток от деления на 3 числа:
а) 1 234 321; б) 55 555 155 555.
1-49. Найдите остаток от деления на 9 числа:
а) 1 234 567; б) 55 555 155 555.
°1.50. Докажите, что произведение 1 · 2 · 3 · ... · 13 делится на
(1 + 2 + 3 + ... + 13), а произведение 1 2 · 3 ... 16
не делится на (1 + 2 + 3 + ... + 16).
17

1.51. В числе 23 Ц 47 заполните пропуск такой цифрой, чтобы:
а) число делилось на 3; б) число делилось на 9.
1.52. В числе 233 Π 4 заполните пропуск такой цифрой, чтобы:
а) число делилось на 4; б) число делилось на 12.
1.53. В числе 735 Q 4 заполните пропуск такой цифрой, чтобы:
а) число при делении на 3 давало в остатке 2;
б) число при делении на 4 давало в остатке 2.
1.54. В числе 7345 Q заполните пропуск такой цифрой, чтобы:
а) число при делении на 9 давало в остатке 2;
б) число при делении на 25 давало в остатке 7.
01.55. Рассмотрите два предложения:
а) сумма квадратов двух натуральных чисел делится на 3
тогда и только тогда, когда каждое из этих чисел делится
на 3;
б) сумма квадратов двух натуральных чисел делится на 5
тогда и только тогда, когда каждое из этих чисел делится
на 5.
Докажите, что из этих утверждений верно только одно.
Найдите все пары целых чисел (х; у), удовлетворяющих
уравнению:
01.56. а) 2у - χ = 15; в) 7х + Ау = 123;
б) 6х - у = 25; г) Ъх-1у = 23.
•1.57. а) ух = 15; в) 1ху + 4ι/2 = 11;
б) 36jc2 - у2 = 27; г) х2 - 1ху + 6у2 = 18.
01.58. Сколько делителей имеет данное число:
а) 315; в) 250 000;
б) 9450; г) 623 700?
§ 2. Рациональные числа
2.1. Между рациональными числами а и Ъ поместите 5
рациональных чисел:
а) а = 1,1, Ъ = 1,2; в) а = 11,0001, Ъ = 11,0002;
«ч _ И и _ Ю ν 12 221 _ 122 221
°>а- 12' °~ 11' т)а- 12 222' °~ 122 222*
2.2. Сколько целых чисел заключено между числами:
ч 1111 11512 ^ 1234 78 9109
а> ~W и "ЗбГ; б) "56" и ^789"'
18

2.3. Сколько существует обыкновенных правильных
несократимых дробей со знаменателем, равным:
а) 17; б) 236?
Выпишите наибольшую из этих дробей в каждом случае.
2.4. Среди правильных дробей вида γ^' гДе п — натуральное
число, найдите ближайшую к числу:
а) γ, б) γ, в) γ, г) γ.
2.5. Среди всех дробей вида τγ> где я — натуральное число,
найдите ближайшую к числу:
,2, _ 3. ,4. 6
а) γ, б) γ, в) ψ г) γ.
о2.6. Найдите число вида — (т, η — натуральные взаимно
простые числа) с наименьшим знаменателем, лежащее на
числовой прямой между числами:
,12. ч 3 4.
а) з и д, в) Ί и д,
^ 2 2. ч 121 101
5' 9 и 7' г' 323 и 232*
2.7. Найдите число, равноудаленное от чисел:
,5 6. ^ 171 101
а> 6 и 5' б) 363 и 242*
2.8. Известно, что 0 < а < Ъ. Какое из двух чисел τ или —
лежит ближе к 1?
2.9. Запишите целое число в виде бесконечной десятичной
периодической дроби:
а) 1; б) 20; в) -4; г) -111.
2.10. Запишите обыкновенную дробь в виде бесконечной
десятичной периодической дроби:
,2, ЛЧ 3. ч 8 . ч 4
а) д, б) ψ в) п, г) Yg.
°2.11. Используя калькулятор, определите десятичный знак с
указанным номером после запятой в десятичной записи
числа:
5 6
а) jg, 301-й знак; в) тд» 2000-й знак;
4 7
б) -yjj 123-й знак; г) -од» 78-й знак.
19

Запишите число в виде обыкновенной несократимой дроби:
2.12. а) 0; б) -123; в) 12,0006; г) 0,00123.
02.13. а) 0,(36); б) 12,0(006); в) -1,2(3); г) -0,01(234).
2.14. Запишите число в виде бесконечной десятичной
периодической дроби:
а) 10,1; б) -1,2; в) 4,023; г) -0,0101.
2.15. Запишите данные десятичные периодические дроби в виде
дробей, имеющих одно и то же число цифр в периоде, и
определите период каждой из этих дробей в полученной
записи:
а) 3,(345) и 59,(34); б) 3,(15) и 59,(23454).
2.16. Запишите данные десятичные чисто периодические дроби
в виде смешанных периодических десятичных дробей,
определите их периоды. Единственно ли такое представление:
а) 1,(34); б) 30,(115); в) 6,(543); г) 9,(2610)?
02.17. Выполите действия и представьте результат в виде
бесконечной периодической десятичной дроби:
а) Д(4); б) Д48(4); в) Д(7); г) ,Д3402(7).
02.18. На числовой прямой отмечены точки А(-5) и £(10). С
помощью циркуля и линейки отметьте точку:
а) С(5); б) О(0); в) D(l); г) Р(0,6).
§ 3. Иррациональные числа
03.1. Докажите иррациональность числа:
a) V2; б) 73; в) 1 - V3; г) л/3 - >/Ϊ5.
03.2. Используя результат 3.1, докажите иррациональность числа:
а) 5ч/2; б) -7л/3; в) δ(ΐ - 7з); г) УЦШ.
Ό
03.3. а) Пусть — — несократимая дробь и q > 1. Докажите, что
натуральная степень — » η € ЛГ, есть также несократимая
дробь.
20

б) Пусть ап, η € N — целое число. Докажите, что а — либо
целое, либо иррациональное число.
в) Опираясь на утверждения а) и б), докажите
иррациональность числа \/21.
о3.4. Каким числом, рациональным или иррациональным,
является:
а) сумма рационального и иррационального чисел;
б) разность рационального и иррационального чисел;
в) произведение не равного нулю рационального числа
и иррационального числа;
г) частное рационального, не равного нулю числа, и
иррационального числа?
Какое из данных чисел является иррациональным:
3.5. а) 2,(2345); б) Д(4); в) 7^96; г) Vl^6?
03.6. а) 1 + Vl2 - 2>/3; в) 2>/з - 3>/2;
б) (7 - 7Ш · (7 + >/П); г) 1 + V2 - л/3 - 2>/2?
03.7. Приведите пример двух различных иррациональных чисел,
таких, что:
а) их сумма — рациональное число;
б) их разность — рациональное число;
в) их произведение — рациональное число;
г) их частное — иррациональное число.
03.8. Приведите пример, если это возможно, двух
иррациональных различных чисел, таких, что одновременно:
а) их сумма и разность — рациональные числа;
б) их произведение и частное — рациональные числа.
03.9. Составьте квадратное уравнение с целыми
коэффициентами, у которого один из корней равен:
a) V2; б) 73 - 5; в) V5 - 2; г) 7з - V8.
°3.10. Докажите, что найдется пара иррациональных чисел α и β
таких, что:
а) а2 - β — натуральное число;
б) 2α2 + 3β — целое отрицательное число.
°3.11. Докажите, что существует такое иррациональное число а,
что число с является натуральным:
а) с = а + —; б) с = а2 + а.
21

03.12. а) Докажите, что для любого иррационального числа а,
найдется такое рациональное число β, что произведение
αβ — рациональное число.
б) Докажите, что если точка (х; у) лежит на прямой y = kx + b,
где k * О, Ъ — рациональные числа, то числа χ и у или оба
рациональные, или оба иррациональные.
03.13. Найдите хотя бы одно рациональное число,
расположенное на отрезке:
а) [у/2; &]; в) [л/б - 2; 2,23б];
б) [7з - V2; 73 + V2]; г) [& + л/б; 3,(9)].
03.14. Найдите хотя бы одно иррациональное число,
расположенное на отрезке:
а) [0; 1]; в) [1,2; 1,6];
б) [1,2; 1,22]; г) [1,2; 1,201].
03.15. Найдите хотя бы одно рациональное число,
расположенное на полуинтервале:
а) (1,5; 7з]; б) [7з - V2; 0,5).
03.16. Найдите хотя бы одно иррациональное число,
расположенное на полуинтервале:
а) [θ; л/2); б) (S - &; 0,б].
ОЗ.Г7. Найдите хотя бы одну точку (х; у), имеющую
рациональные координаты, лежащую на прямой:
а) у = хШ + 1) - 2; б) у = ^ - 2.
03.18. Найдите хотя бы одну точку (х; у), имеющую
иррациональные координаты, лежащую на прямой:
а) у = Ъх - 2; б) у = f + 2.
03.19. Могут ли длины сторон треугольника выражаться числами:
а) л/3, V2, 1; б) V3, л/б, 4?
•3.20. Отметьте на числовой прямой точки А(1) и Б(4). С
помощью циркуля и линейки постройте точку:
а) СШ; б) D(l - V7); в) е(-%\ г) G(2 - 7б).
22

§ 4. Множество действительных чисел
1. На числовой прямой отмечены точки А(-2) и £(17).
Найдите координаты:
а) середины отрезка АВ;
б) точки М, если В — середина отрезка AM;
в) точки М, делящей отрезок АВ в отношении AM : MB =
= 2:3;
г) точки С числовой прямой, такой, что АС = ЗСВ.
2. а) Отметьте на числовой прямой нули функции
у = (х- 1)2(31* - 37)(41* - 49);
б) определите промежутки знакопостоянства функции
у = (х- 1)2(31* - 37)(41* - 49);
в) отметьте на числовой прямой нули функции
у = (49* + 59)2(31* + 37)3(41* + 49);
г) определите промежутки знакопостоянства функции
у = (49* + 59)2(31* + 37)3(41* + 49).
3. а) Отметьте на числовой прямой нули функции
У =
(4* - 7)2
(19*- 43Г(17* -39)
б) определите промежутки знакопостоянства функции
(4* - 7)2
У =
(19* - 43Г(17* - 39)
в) отметьте на числовой прямой нули функции
(8* + 17)4
У =
(59* + 69)2(51* + 73)'
г) определите промежутки знакопостоянства функции
(8* + 17)4
У ~ (59* + 69)2(51* + 73)'
4. Укажите два рациональных и два иррациональных числа,
принадлежащих данному промежутку:
в) (0,21; 51);
а)
б)
ι Λ
0>2; 4г
V2j
η
[S9 V2 J
' ι . П
г) (0,21; 0,22).
23

θ4.5. Существует ли геометрическая прогрессия, все члены
которой различны и расположены на отрезке:
а) [1; 2]; б) [1; 1,2]?
Если существует, то приведите соответствующий пример,
если не существует, то докажите это.
4.6. Используя калькулятор, расположите в порядке
возрастания числа:
π, ψ, fjg, 3,14; 3,1415; #31 и у[9№.
4.7. Выпишите 10 различных чисел, расположенных между
числами:
а) 0,123 и 0,456; в) 0,123 и 0,124;
б) -0,123 и -0,132; г) -1,9999 и -2.
04.8. На числовой прямой отмечены точки 0 и 1. При помощи
циркуля и линейки постройте точки:
а) 1,4; б) V2; в) -VlO; г) >/2 - л/3.
04.9. а) На числовой прямой отмечены точки -3 и 1. При
помощи циркуля и линейки постройте точки 0 и 5.
б) На числовой прямой отмечены точки -V2 и 3. При
помощи циркуля и линейки постройте точку 0.
4.10. Найдите расстояние между точками числовой прямой:
а) 2,4 и 17,9; в) 12,14 и 18,92;
б) -4,27 и 5,03; г) -4,27 и -5,03.
04.11. а) Докажите, что в интервале (8; 9) нет ни наименьшего
ни наибольшего числа;
б) докажите, что среди чисел, удовлетворяющих
неравенству х2 < 5, нет ни наименьшего ни наибольшего числа.
04.12. Число т называют точной верхней границей числового
множества X, если для любого числа χ € X справедливо
неравенство χ < т и для любого числа ε > 0 (ε — буква
греческого алфавита эпсилон) существует такое число χε € X, что
хг > т - ε. Найдите точную верхнюю границу множества Xf
если:
а) X = [0; 1]; в) X = 1х\х = -, η е ν\;
б)Х = [0; 1); г) X = lx\x = i±-^L, n g n\.
24

гЛ 13. Число т называют точной нижней границей числового
множества X, если для любого числа χ € X справедливо
неравенство χ > т и для любого числа ε > 0 существует такое
число χε € X, что хг < т + ε. Найдите точную нижнюю
границу множества X, если:
а) X = [0; 1]; в) X = {х\х = К η е Лг};
б) X = [0; 1); г) X = 1х\х = 1±-5*, п е jA.
04.14. а) Найдите все такие значения параметра Ь, при которых
в промежутке (-5; Ь] содержится ровно 8 целых чисел.
б) Найдите все такие значения параметра Ь, при которых
в промежутке (-5; Ъ) содержится ровно 8 целых чисел.
в) Найдите все такие значения параметра Ь, при которых
в промежутке [Ь; 8] находится ровно 8 целых чисел.
г) Найдите все такие значения параметра Ь, при которых
в промежутке (Ь; Ъ + 4] находится ровно 5 целых чисел.
04.15. а) Найдите отрезок наименьшей длины, содержащий
33 целых числа, большее из которых есть 12.
б) Найдите промежуток наибольшей длины, содержащий
не более четырех целых чисел, меньшее из которых есть 18.
04.16. На числовой прямой отмечены точки А(2а - 6а2) и В(2а - 3).
При каких значениях а точка С лежит между А и Б, если:
а) С(2); б) С(-1)?
04.17. На числовой прямой отмечены точки А(12а + 6а2) и В(-2а + 3).
При каких значениях α точка С лежит между А и Б, если:
а) С(-2); б) С(а)?
04.18. При каких значениях ρ числа 2 _ D и >]2р - 4
принадлежат отрезку [-3; 2]?
4.19. Расположите на числовой прямой числа а, Ь, 0, если:
\аЪ < 0, \ab < О,
a> L , , .п. В)
α + & < 0; [α + & > 0;
α& > 0, (ab > О,
α + b > 0; ΓΜα + b < 0.
25

4.20. Пусть ε > 0. Множество всех точек χ числовой прямой,
удовлетворяющих неравенству α-ε<χ<α + ε, называют
ε-окрестностъю точки а, при этом точки а - ε и а + ε
называют граничными точками ε-окрестности точки а. При
каких ε > 0 точка 12,35 лежит в ε-окрестности точки:
а) 12,5; б) 12,2?
4.21. Точки χ и у являются граничными точками некоторой
ε-окрестности. Найдите ε, если:
а) х=12,5, у = 12,7; в) χ = -2,9, у = 3,3;
б) χ = 32,31, у = 31,32; г) χ = -31, у = -29,8.
04.22. Дано множество Ρ = <х\х = —, η е Ν>. Определите, при
каких натуральных значениях η числа из Ρ будут лежать
в ε-окрестности точки 0, если:
а)г=1; б) ε = 0,1; в) ε = 0,0001; г) ε = Л·
4.23. Целой частью действительного числа χ называют
наибольшее целое число, не превосходящее числа х, и обозначают
[х]. Найдите целую часть числа:
а) 4; б) -3,2; в) 4,45; г) -3,3456.
04.24. Докажите:
а) если [х] = k, то для любого натурального числа η верно
равенство [х + п] = k + η;
б) если [х] = k, то для любого числа у справедливо
неравенство [х + у] < k + у.
Решите уравнение:
04.25. а) [х] = 1; б) [х] = -11; в) [х] = -1; г) [х] = 11.
•4.26. а) [х] = х; в) [х] = |;
б) [х + 5] = 1 - х; г) [^] =х + 2.
•4.27. Постройте на координатной плоскости хОу график
соотношения:
а) [х] = [у]; в) [х] < [у];
б) [х] > [у]; г) [х - 1] > [у + 1].
26

4.28. Дробной частью действительного числа χ называют
разность χ - [х]; дробную часть числа χ обозначают символом
{х}. Вычислите:
а) {2}; б) {12,81}; в) {1,08}; г) Ш}.
4.29. Вычислите:
а) {-2}; б) {-12,81}; в) {-1,08}; г) {-V2}.
04.30. Пусть ω € [0; 1). Докажите, что для любого натурального а
верно равенство:
а) {а + ω} = ω; б) {α - ω} = 1 - ω.
04.31. а) Найдите все числа χ, для которых {х} = 0,123;
б) найдите наибольшее целое число, не превосходящее 1000,
дробная часть которого равна 0,123.
•4.32. Постройте график заданной функции на отрезке [-4; 4]:
а) у = [х]; в)у = [х + 4];
б) у = [1 - х]; г)
Γι-*]
•4.33. Постройте график заданной функции на отрезке [-4; 4]:
а) у = {х}; в)у = {х + 4};
б) у = {1 - х}; т)у= {^}.
•4.34. Пусть α € [-4; 0]. Найдите отрезок наименьшей длины,
содержащей все числа вида:
а) 1 + 2а2; в) 5а3;
б) 5а + а2; г) -^j-
§ 5. Модуль действительного числа
5.1. Найдите модуль числа:
a)|l-V2|; в)|2,2-75|;
6)|>/8->/2|; г)|7б-2,5|.
27

5.2. Используя определение модуля, запишите выражение без
знака модуля:
а) |х - б|; в)|х-б|-|4х- б|;
б) \х - 5| + \х + 8|; г) \х - 5| · (х + 3).
о5.3. При каких значениях χ верно равенство:
а) \х\ = х; в) \х\ = -х;
б) \х - 7| = х - 7; г) \х2 -7х + 12| = 7х - х2 - 12?
5.4. Найдите расстояние между точками А и Б числовой
прямой:
а) А(7) и Б(12); в) А(-7) и Б(12);
б) А(-17) и Б(-62); г) О(0) и Б(-12).
На числовой прямой отметьте все такие точки х, которые
удовлетворяют заданному соотношению:
5.5. а) |х| = -χ; в) |х| = χ;
б) \х + 2| = χ + 2; г) |х - 2| = 2 - х.
5.6. а) |х| < х; в) |х + 2| < χ + 2;
б) |х| < -χ; г) |х - 2| < 2 - х.
5.7. а) |х| > х; в) |х + 2| > χ + 2;
б)|х| > -χ; г)|х-2| > 2-х.
5.8. Докажите свойства модуля действительного числа:
а) \а\ > а; в) \а\ > а *=> а < 0;
б) -|а| < а < |а|; г) \а\ + |Ь| + |с| = 0 <=> а = & = с = 0.
Упростите выражение:
5.9. а) \а -Ъ\-\Ъ - а\; б) \а - с\ - \а + с\ - \с - а\ + \-с - а[.
05.10. а) л/π2 - 8π + 16;
б) V(2 - V5)2 + h-sf;
в) >/4π2 - 28π + 49;
г) yj{2J - V7)2 - >/(2,6- V7)2.
05.11. a) Ιλ/51 - 7| + |л/δϊ - 5>/з| + |V75 - ll|;
6) |l - V2| + |V2 - 2V2| + |2V2 - 3n/2| +
+ |5V2 - 6>/2| + |б>/2 - 9|;
28

в) |ι - >/87| +12 - >/зт| + |з - V§7| +... +
+ |б-л/37| + б|7-л/37|;
г) |l - ^JΪ37\ + |2 - лД37| + |3 - лД37"| + ... +
+ |п - лЯзТ| +11 · |Vi37 -12|.
05.12. а) Пусть αλ < а2 < ... < ап. Докажите, что
\<h ~ <к\ + \<к ~ Оз| + |Оз - а4\ + ... +
+ Ια^ι - α»| = |θ! - α»|.
б) Пусть η < л/о < га + 1. Докажите, что
|l - л/а| + |2 - л/а| + |з - л/а| + ... +
+ \п - л/а| + η ■ \\fa - η - l| = — -.
Решите уравнение:
05.13. а) \х + 4| = 5;
б)|*-4| = |10-*|;
05.14. а) |х + 4| = -5;
б) \х - 4| = 15 - л/227;
05.15. а) \х + 4| = 2л:;
б) |* -14| = 8 + 2х;
Решите неравенство:
•5.16. а) |х + 4| < 2х;
б) \х2 - 4х\ < Зх;
•5.17. а) \х + 5| > Ъх - 7;
б) \х2 + χ - 5| > Зх;
в)|х-4| = 15;
г) \х - 4| = |5х|.
в) \х - 4| = л/20 - 2л/5;
г) \х + 4| = 3λ/Ϊ2 - 6л/3.
в) |х2 - 4х| = Зх;
г) \х2 + 7х\ = 4х + 10.
в) \х -14| < 8 + 2х;
г) \х2 + 7х\ <4х + 10.
в)|7х + 4| > 6 + 5х;
г) |-х2 - х| > 4х - 2.
°5.18. а) Какие значения может принимать |х - 7|, если |х - 4| = 6;
б) какие значения может принимать |х + 5|, если |х - 2| = 16?
29

•5.19. а) Найдите все значения α, при которых \х - 2| = а, если
\х - а\ = 1;
б) найдите все значения а, при которых \х - 2а + а2\ = а,
если |jc - а\ = 2 - а.
•5.20. а) Какие значения может принимать \х - у\, если \х - а\ = 7,
\у - а\ = 16;
б) какие значения может принимать \а - Ь\9 если \х - а\ = 7,
|х-ь| = 1б?
•5.21. а) Пусть \х - 1| = 5. Найдите все возможные значения вы-
/ 2|jc + 4[
ражения ^_χ_ 1Q-
б) Пусть \х - 1| < 5. Найдите все возможные значения вы-
\х? -2хУ$
ражения J gg ·
Постройте график функции. Для каждой функции
укажите область определения, множество значений,
промежутки монотонности, нули функции:
05.22. а) у = \х - 5|; в) у = 2-\1 - х\;
б)у = \х + 3\ + \1- х\; г)у = \х + 3\-\1- х\.
05.23. &)у = \х-б\-(х + 3); б) у = \х + 3| · |1 - х\.
•5.24. а) у = \2 - л/5 - х|; в) у = \2 - л/б + х|;
б) у = 2 - л/б - N; т)у=\2- л/б + |х||.
•5.25. Найдите наименьшее значение функции:
а) у = 2 + \х + 5|; в) ι/ = \х - 2| - |дг + 5|;
б) ι/ = \χ - 2| + |дг + 5|; г) ι/ = \х - 2\ · \х + б|.
•5.26. На рисунке 1 изображен график функции у = f(x).
Постройте график уравнения:
а) у = \f(x)\; 6)у = /(|*|); в) \у\ = f(x); г) \у\ = f(\x\).
30

Выполните аналогичные задания для функций у = g(x)
(рис. 2), у = h(x) (рис. 3) и у = φ(χ) (рис. 4).
—
5
Vi
О
\
— 1 ·
■^1
ГЧ ;
.
У
/
/
У =
fix
\
)—
)—
X
Рис. 1
—-
5
\
\
Vi
\°
\
i
1
~ L
*s
/
\
/
/
/
/
У =
/
5
?(*
\
) ■
X
РИС. 2
-5
У1
О
{
\
~~1
:
\
\
.
у
/
У
/
/
*/ =
1
К
v\
ч
X
рис. з
31

—
5
У к
-1 -
IT
Ю
1
У = Ч>(х)
5
X
РМС. 4
•5.27. Постройте график уравнения:
а)|х + 2у| = 4; в) χ + 2|у| = 4;
б) |х| + 2» = 4; г) |х| + 2\у\ = 4.
§ 6. Метод математической индукции
06.1. Методом математической индукции докажите:
а) формулу общего члена арифметической прогресси
а>п= а>\+ d(n - 1);
б) формулу суммы первых η членов арифметической пр<
грессии Sn = -—i—^k —;
в) формулу общего члена геометрической прогресси
bn=b1qn~1;
г) формулу суммы первых η членов геометрической пр<
0 bQ. - дп)
грессии Sn = —1_ q ПРИ <7 * 1·
Вычислите сумму:
06.2. а) 7 + 8 + 9 ... +(п + 6);
6)2 + 11 + 20 + ... +(9п-7);
в) 1,35 + 1,4 + 1,45 + ... + (0,05и + 1,3);
г) 0,(3) + 0,(5) + 0,(7) + ... + (0,(2)п + 0,(1)).
06.3. а) 1-2 + 3-4 + 5-6... + п(-1)Л + 1;
б) -I2 + 22 - З2 + 42 - 52 + ... + (-1)" п2;
в)0 + 3 + 2 + 5 + 4 + 7 + 6 + ... + (и + (-1)");
г) 2 - 6 + 12 - 20 + ... + (-1)п+1(п2 + п).
32

Докажите, что при любом натуральном значении η
выполняется равенство:
06.4. а) 1 + 2 + 3 + ... + η = ^γ^;
б) 1 + 4 + 7 + ... + (Зга - 2) = "^ 1};
в) 5 + 6 + 7+ ... + (га + 4) = *п + 9);
г) 1,6 + 3,1 + 4,6 + ... + (1,5га + ОД) = "@п+3,*),
06.5. а) 1 + 2 + 4 + 8 + ... + 2"-1 = 2" - 1;
6)1 + i + i + - + F = ^-M;
в) 3 - 9 + 27 - 81 + ... + (-3)" - % - (-3)");
4
г) 1 + ОД + 0,01 + ... + 0,000...01 = 1,(1) (1 -
п-1 нулей после запятой
0,000...01 ).
η нулей после запятой
06.6. а) I2 + 22 + З2 + ... + га2 = ^ + Щ2п + 1}-
6
б) I2 + 42 + 72 + ... + (Зга - 2)2 = п(&п ~03п~1);
в) 12 + 32 + 52 + ... + (2га-1)
2 j. Q2 . кг , , /о_ _ ι \2 _ га(4га - 1).
3
г) З2 + 72 + 102 + ... + (4га - I)2 = Wn2 + 12n-l)
06.7. а) I3 + 23 + З3 + ... + га3 = п^п + ^;
4
б) I3 + З3 + 53 + ... + (2га - I)3 = га2(2га2 - 1).
06.8. а) _ + _ + _ + ... + "^ГП) = 7ГТГ
11 ι
б) Τ77+Υ7Το + - +
2-7 7 12 '" (5п-3)(5л + 2) 10п + 4'
33

•6.9. Докажите, что
ι + , ι „,+ . ι, +...+
а · (а + d) (а + d) · (а + 2d) (а + 2d) ■ (а + 3d)
+ Ι = »
(а + d(n - 1))(а + dra) a{a + dn)'
где а * О, d * 0, га € JV:
а) методом математической индукции;
б) без использования метода математической индукции.
Об. 10. Используя тождество из № 6.9, вычислите сумму:
,1,1, 1 , , 1 .
а' 4 9 9 14 14 19 144 149'
«ч * + 1 + 1 . . 1
°' 1,5 2,5 2,5 3,5 3,5 4,5 "' 73,5 74,5'
06.11. Используя тождество из № 6.9, докажите неравенство:
а> Т~^ + 2~3 + F~4 + - + п(п + 1) < **
б> Т~2 + 2~3 + 3~4 + - + 98~99 < 0,99;
в) Т~3 + 3~5 + 5~7 + - + (2л - 1)(2л + 1) К °'5;
г> Л + зЬ + бЬ + - + 997^999 < °'4"6·
Докажите, что при любом натуральном значении га выпол
няется равенство:
06.12. а) 1 · 4 + 2 · 7 + 3 · 10 + ... + га(3га + 1) = га(га + I)2;
б) 1 · 2 + 2 · 3 + 3 · 4 + ... + п(п + 1) = *п + 1Xn + 2) ·
3
В
) 1 · 3 + 3 · 5 + ... + (2га - ΐχ2ιι + 1) = ге(4га +36n ~ 1};
г) 2 · 5 + 5 · 8 + 8 · 11 + ... + (Зга - 1ХЗга + 2) = га(3га2 + 6га + 1).
06.13. а) 4 · 2 + 7 · 23 + 10 · 25 + ... + (Зга + l^2""1 = га · 22n+1;
123 га _ η га+2.
б) о + 73' + "5з+ — +оЯ"-''2
2 J» ? ? 2"'
12
в) 1 · 22 + 2 · З2 + ... + (га - 1)га2 = η{η* ~ 1)(3η + 2)·
1+2.J.. , η _ Цл 2га + 3^
г> 3+ З2 З3 3" " 41 3"+1 /
34

JL+ _?!_+ η2 _ n(n + l).
06.14. a) χ . 3 3 · 5 (2re - Щ2п + 1) 2(2re + 1)'
ι :+ ι +... + . ι -1П
6) Г~2~з 2 · 3 ■ 4 л(п + lXn + 2) 2[2 (и + 1Хи + 2) /
14 2 5 τι · (η + 3) _ τψι + 1).
в> 2 3 3-4 (η + 1)(и + 2) η + 2 '
12 3 1 =
Γ> 1 3 5 3 5 7 5 7 9 '" (2η - 1)(2η + 1)(2η + 3)
η(η + 1)
2(2л + 1)(2л + 3)'
•6.15. Докажите, что для любого η ζ Ν выполняется равенство:
а) 1 · 1! + 2 · 2! + 3 · 3! + ... + и · и! = (и + 1)! - 1;
6)έ + | + | + - + (^ = 1-(^ΤΊ)ϊ (см. №1.36).
•6.16. Рассмотрите три утверждения, начните их доказывать в
указанном порядке методом математической индукции и
определите, какое из них является верным для любого
натурального значения п, а какие нет:
а) 2 + 7 + 14 + ... + (п2 + 2п-1)= п(2п2 + 9п + 2)^
о
2 + 7 + 14 + ... + (га2 + 2га - 1) = "(2"2 + 7" + 3)>
О
2 + 7 + 14 + ... + (га2 + 2га - 1) = га(2"2 \9п + 1};
О
6)1+!+4-+¥+···+-^ = 21~η+2η'
1+!+4-+¥+-+^ = 31~л + 3(га-1)'
1+!+ϊ+¥+···+^ = 21~η+2(η-1)·
•Ь-17. Докажите неравенство:
а) 5Л > Зи - 1, где η е Ν;
б) Зл > 2п2 + Зп, где η е Ν, п> 4;
в) 2Л > 5и + 1, где η € Ν, η > 5;
г) 5Л > Зп2 + 10п, где η € Ν, η > 3.
35

•6.18. Докажите методом математической индукции неравенство
Бернулли* (1 + α)η > 1 + η α при α > -1.
Докажите, что для любого натурального η выполняется
неравенство:
•6.19. а) ± + ± + ± + ... + / * 2 < 1;
22 З2 42 (п + I)2
J_, J_,J_, 1 ^ 1
б> 52 θ2 132 (4и + 1)2 4"
•6.20. a) -L + 4- + — + -4— > л/л + 1 - 1;
V2 V3 Vrc + 1
б) 4- + -г- + ··· + / * < 2л/пТТ - 1.
V2 V3 >/л + 1
Докажите, что для любого натурального значения η
справедливо утверждение:
06.21. а) (и3 + 35и) ! 6; в) (п5 - η) \ 30;
б) (п3 + Зп2 + 8n) i 3; г) (2п3 + Зи2 + In) \ 6.
06.22. а) (7Л - 1) ! 6; в) (17л- 1) ! 16;
б) (22л + 1 + 1) ■ 3; г) (132л + 1 + 1) i 14.
•6.23. а) (Ц6л + 3 + 1) ! 148; в) (134л + 2 + 1) ! 85;
б) (72л - 42л ) ! 33; г) (5Л+3 + 113л + 1) ■ 17.
•6.24. а) (62л + Зл + 2 + Зл ) i 11; в) (52 + л + 26 · 5Л + 82л + 1) : 59
б) (52л + 1 + Зл + 22л1) · 19; г) (5Л + 32Л - 125) : 45.
•6.25. а) (6Л + 20и + 24) i 25; б) (7Л + 12п + 17) ! 18.
•6.26. Выведите формулу п-то члена последовательности (ал), за
данной рекуррентным соотношением:
ч Λ (л-1)п.
а) αλ= 0, αη+ι= αη+ η; докажите, что ап= о—'
^ 2 (п - 1)п(2п - 1).
б) αλ= Ο, αη + ι= ал + η ; докажите, что ап= g »
(Зк-29)к.
в) ах = -13, ап+1= ап+ Зп; докажите, что ап= о '
з in - 1)У
г) αλ= Ο, αη+ι= αη+ η ; докажите, что ап= -g ·
* Якоб Бернулли (1654—1705) — швейцарский математик.
36

„ 27. а) Докажите, что количество разных наборов по два
предмета, которые можно сделать из η различных предметов
(п > 2), равно ^2 ·
б) Докажите, что количество разных наборов по три
предмета, которые можно сделать из η различных предметов
(п > о), равно g .
о6.28. а) Докажите, что количество разных непустых наборов,
которые можно сделать из η различных предметов, равно
2"- 1.
б) Докажите, что η различных предметов можно расставить
в ряд п\ способами (см. № 1.36).
•6.29. Докажите, что любое натуральное число h > 4 можно
представить в виде h = Зт + 5я, где тип — целые числа.
об.ЗО. Докажите методом математической индукции, что у
выпуклого я-угольника (п > 3):
а) сумма внутренних углов равна 180°(л - 2);
*ч » Ып - 3)
б) число диагоналей равно ^ 9—-.

I I I I I I I
Числовые функции
Γι ι ι ι ι ι ι ι ι ι ι ι ι ι ι ι ι ι ι ι ι ι ι
ΓΓΓΓΓΓΓΓΓΓΓΓΓΓΓΓΓΓΓΓΓΓΓΠ
§ 7. Определение числовой функции
и способы ее задания
7.1. На рисунке 5 изображен шестиугольник ABCDEFy
составленный из двух прямоугольников, причем АВ = 10,
BC = CD = 3, DE = 2.
Μ,
D
Мх
В
РИС. 5
PUC. 6
Найдите:
а) периметр шестиугольника ABCDEF;
б) площадь шестиугольника ABCDEF;
в) площадь прямоугольника AMiM2F, если АМХ = х%
0 < χ < 7;
г) площадь шестиугольника AMiM2DEF9 если MlM2 \\ AF и
АМ\ = ху 7 < χ < 10.
7.2. Используя условие задания 7.1, выразите площадь S(#)
части многоугольника ABCDEF, расположенной слева от
прямой ΜχΜ2, как функцию от длины отрезка AMх = х.
7.3. Выполните рисунок 5 в тетради и совместите ось Ох с пря-4
мой АВ, а ось Оу — с прямой AF. Определите координаты
точек Α, Μι, Б, С, D, E> M2, F в полученной прямоуголь*
ной системе координат. Задайте функцию, графиком
которой является:
а) прямая DC; в) отрезок DC;
б) прямая FE; г) отрезок FE.
38

4. На рисунке 6 изображен сектор круга, радиус которого
равен 1, а центральный угол равен φ, причем φ € (0; 2π).
а) Выразите площадь S этого сектора как функцию угла
φ : S = δ(φ).
Постройте график функции S = S((p).
б) Вычислите значение функции S = S((p) при φ = g·
в) Найдите S(2) - S(l).
г) Найдите δ(φ + δ) - £(φ).
5. Площадь треугольника со стороной а и высотой h,
опущенной на эту сторону, равна 20. Выразите длину стороны а,
как функцию длины высоты h и найдите область
определения и множество значений этой функции.
6. Перед вами известные физические формулы, связывающие
несколько переменных величин. Выразите указанную
величину как функцию от величины, записанной в скобках,
a) s = vt, t(s); в) υ = ν0 + at, a(v);
б) i= ~k+ i? ад; r)p = l2Rt> '(*).
7. Выясните, при каких значениях переменных χ и у линии,
представленные на рисунках 7—10, задают функции вида
у = f(x) или/и вида χ = φ(ι/) (за единицу масштаба принят
размер одной клетки).
У1
О
i
X
РМС. 7
Vi
с
{
\
о
{
0>*~
■ —*
ч
X
1 \ у\ 1 III
Μ
/
Μ ,
Μ τ
ΤΊ
Рис. 8
Ι Ι у\ Ι Ι Ι Ι
ΓΤΊ—rr-J
II \Jr\
5κΤΊ Ί
Ι^γΤ
PMC. 9
Рмс. 10
39

7.8. Из прямоугольного листа жести размером 30 х 50 см по ур„
лам вырезали квадраты со стороной χ см и из полученной
заготовки в форме «креста» согнули коробку
прямоугольной формы высотой, равной χ см (см. рис.11). Выразите
объем полученной коробки как функцию от х.
X СМ1
X CMI
рмс. 11
7.9. На рисунке представлен график функции, определенной на
отрезке [а; &]; S(x) — площадь «подграфика» на отрезке
[а; х]9 а < χ < Ь. Выразите величину S(x) через χ и
постройте график функции у = S(x). По этому графику
найдите область значений функции у = S(x):
а) рис. 12 (а = 0, Ъ = 2); б) рис. 13 (а = -4, Ъ = 8).
ι
5
| **>j 2
_4 *
ι
9
I
I
--4—
ι
2
1
I
8
PUC. 12
рмс. 13
Решите данное уравнение относительно у и относительно χ
Исходя из полученных решений и допустимых значений
переменных, выясните, можно ли говорить, что данное
уравнение задает функцию вида у = f(x) или/и вида χ = φ(ι/):
в) 7х - Ъу = 35;
2.
7.10. а) 2х + 3у = 24;
к\ х~у - 2·
rt 2* + У
•7.11. а) 2* - 3ι/2 = -12;
б)
χ + 1 _ у
χ + 4 ζ/ - 3
у±1
у + 4*
7.12. Постройте график функции:
а) ι/ = 2х - 3;
в) ι/ = 0,5jc + 1;
б) у = 6 - Зх; г) у = -2- з*.
40

Постройте график функции:
3 2
7.13. а) у = 2л:2; б) у = --; в) у = -0,5л:2; г) у = -·
7 14. а) У = л:2 - 4; в) у = 2х2 + 1;
б) у = (х - I)2; т)у = -(х + 2)2.
7.15. а) ι/ = л:2 - 6л: + 8; в) ι/ = л:2 + 4л: + 7;
б) у = -х2 + 2л: + 3; г) у = -2х2 - 6х + 1.
7.16. а) у = >fx; в) у = л/л: - 1;
б) ι/ = у/х + 2; г) у = л/л: + 2 - 4.
2 2
07.17. а) ι/ = ^—j' в) ι/ = ^—j + 3;
2 + * ч 3*-1
б) ι/ = ^ + d> г) ι/ = ^τγ*
7.18. а) у = |*|; в) ι/ = |*| - 3;
б)» = |х + 2|; г) у = |х- 1| + 2.
7.19. а) у = 3 - х; б) ι/ = 4 -|л:|.
О7.20. а) Воспользовавшись тем, что
л:-5 1 (л: + 1) - 6 If. _ 6 ^ -3 1
2л:+ 2 2' л: + 1 2^ х+1) л:+12'
χ - 5
постройте график функции ι/ = Οχ + 2' Запишите
уравнения асимптот полученной гиперболы.
*ч>1ч ах + Ъ Л α ^ & -»^
о) Функцию ι/ = т, где с * О, — * -j называют дробно-
линейной функцией. Докажите, что графиком дробно-
линейной функции является гипербола с асимптотами
d a
°'·21. Постройте график функции и найдите область ее значений:
а) у = 2х? - 1, χ € (-2; 1];
б) у = f^I' х € t°; +<х>>;
в) у = у/х + 3 - 1, χ € (-2; 1];
г) ι/ = 2*2 + 2х - 1, л; € [-1; 2].
41

07.22. Постройте график функции у = f(x) и найдите область ее
определения и область ее значений:
WM J2 - х, -3 < х < 1, \χ\ -3 < * < 1,
а) /(ж) = i , 6) f(x) = i
[ж2, 1<х<2; V [2 - ж, 1 < х< 2.
Найдите область определения функции:
7.23. а) у = -^—χ· Β) У
07.24. а) ι/ = ^_^; в) у =
χ2 -χ-\ϊ
χ + 2
χ2 + χ + 12*
yjx+12.
х*-1 '
jc - у/-х2 - 7х
+
_8
дч 1 - У-*2 - 7х + 8. . , . „ .„
б)У= 1 + Л + 9 ' Г)У= 1 + Л + З
7.25. Пусть /(ж) = -Зле + 2. Найдите:
а)/(-ж); б) Л*+ 5); в)/(/(1)); г) ЛЯ*))·
7.26. Пусть /(ж) = ж2. Найдите:
а)Л2*); б) Я*-5); в) WW, г) f(f(x)).
Зх + 2
07.27. Пусть /(jc) = о * Найдите:
a) /f^l; б) f(2x - 1); в) ДД5)); г) /(/(*)).
Φ
07.28. а) Пусть f(x) = χ2 + 2. Докажите, что f(x) = f(-x).
б) Пусть f(x) = -χ3 + 2х. Докажите, что f(x) = -f(-x).
в) Пусть f(x) = — · Докажите, что (f(x))'1 = f\ — \
г) Пусть f(x) = χ2 + 2. Докажите, что /(|дф = /(*), a |/(jc)| = f(x).
•7.29. Найдите область определения функции, учитывая все
возможные значения параметра а:
ч 4х- а. ч Vjc2 - 7* + 12.
а) » = ΊΓ^\' в)у= —~^1—'
а · х3 - yj-x2 - 7х + 8
*ч /ϊ ΓΊ ч ах- у-х - <
б) у = V1 - α Μ; г) у = —?—
1 + V* - a
42

1 + 2*
07.30. Пусть f(x) =2 - Vl - χ; 8(χ) = s+ χ' НайДите область
определения функции:
а) у = fix) + g(x); в)У=Ш'
б) у = fix) - gix); г) у = |g.
07.31. Пусть fix) = χ2 - Зх - 4; g(#) = 5х - я2. Найдите область
определения функции:
Щх).
а)у= -Щрё) ■ VifO*·); в) у = -т==,
б)у- >//(*)· Ж*); г)у = ^
07.32. Пусть D(f) = [-4; 1] — область определения функции у = f(x).
Найдите область определения функции:
7 + 4/(*).
а) ι/ = 15л: - /(*); в) у =
4 + χ
^ 7.+ 4/(лс). ч л: - 3/(лс)
07.33. Пусть D(f) = [-5; 10]. Найдите область определения
функции:
а) у = f(-x); в)у = f(\-x\);
б)у = \К-х)\; т)у = f(-\x\).
07.34. Пусть D(f) = [-2; 9]. Найдите область определения
функции:
а) у = Щх - 1); в) у = 4 · № - 1;
б)у = -Щх + 11); г) у = -4 · /(*) + 11.
07.35. а) При каких значениях параметра а функция у = 3 -yjx - a
определена во всех точках отрезка [-11; 7]?
б) При каких значениях параметра а функция у = 3 - yjx - 3
определена во всех точках отрезка [а - 1; а + 1]?
•7.36. Найдите все значения параметра а, при которых областью
определения функции у = yjx - 3 + л/алГ+4 будет:
а) луч;
б) отрезок;
в) единственное число (единственная точка);
г) пустое множество.
43

07.37. а) Докажите, что, если число Ъ принадлежит области
определения функции у = у]х4 - 7 χ + 3 - у1х4 + 7х + 3, то и
число (-Ь) принадлежит этой области.
б) Докажите, что, если число Ь не принадлежит области
определения функции у = \1х5 - χ + 3 + Зу]-х5 + χ + 3, то
и число (-Ь) не принадлежит этой области.
•7.38. Найдите все такие числа Ь, принадлежащие области опре-
1 - л/2*2 - 7х - 22
деления D(f) функции у = qq » для которых:
а) число & + 1 не принадлежит £>(/);
б) число Ъ - 1 не принадлежит £>(/);
в) оба числа Ъ + 1 и Ъ - 1 принадлежат £>(/);
г) отрезок [& + 1; & + 2] принадлежит £>(/).
07.39. а) Докажите, что все значения функции у = Ъх + 3
положительны в окрестности точки 0 радиуса 0,2.
б) Докажите, что в 0,5-окрестности точки -1 найдутся как
положительные, так и отрицательные значения функции
у = Ъх + 3.
07.40. Пусть область значений функции у = f(x) есть отрезок [-3; 5].
Найдите множество значений функции:
а) у = (f(x))2; в) у = (f(x))3;
б)у = \f(x)\; т)у= V4 + №.
07.41. Пусть область значений функции у = f(x) есть отрезок [-3; 5].
Найдите множество значений функции:
а) у = f(x + 5); в) у = 5 - f(x);
6)y = 5-f(x+5); т)у = а- f(x + Ь).
07.42. Пусть область значений функции у - f(x - 5) есть отрезок
[-3; 5]. Найдите множество значений функции:
а) у = f(x); в) у = 5 - f(x);
6)y = 5-f(x + 5); т)у = а- f(x + b).
44

η 43. Пусть область значений функции у = f(x) есть отрезок [-3; 5].
Найдите все целочисленные значения функции:
а> у = 5Тт; в)у= т—нх);
Ь)У= 7+ /(*)' Г^У= б^Тоо"
#7.44. Найдите область значений функции:
а) у = \х\ · (х - 6) - 2; б) у = χ · \х - 6| - 2.
#7.45. Выполните в указанном порядке задания а) и б), и,
обобщив их результаты, предложите алгоритм нахождения
множества E(f) значений функции у = f(x), исследуя
вопрос существования корней уравнения f(x) = α, а также
предложите алгоритм исследования существования корней
уравнения f(x) = α, если известно E(f).
а) Найдите область значений функции у = х2 - Ах - 1 и
определите, при каких значениях параметра Ъ уравнение
Ъ = х2 - 4jc - 1 имеет хотя бы один корень.
б) Определите, при каких значениях параметра а
уравнение х2 + 4jc - 3 = а имеет хотя бы один корень и найдите
область значений функции у = х2+ 4jc - 3.
•7.46. а) Определите, при каких значениях параметра а
уравнение х2 - ах + 3 = 0 имеет корни, и найдите область E(f)
значений функции у =
х2 + 3.
б) определите, при каких значениях параметра а
уравнение ах2 - 4jc + а = О имеет корни, и найдите область E(f)
4х
значений функции у = —%-
χΔ + 1
•7.47. Найдите область значений функции у = f(x):
а) № =
б) № =
х2 + 8
χ '
х2 + 8.
ν χ 1 '
х2 -4
в) fix) = ί-τ±\
χ2 -4
г) fix) = ^ΤΤ·
45

§ 8. Свойства функций
8.1. Найдите область определения функции, заданной
графически:
а) рис. 14; б) рис. 15; в) рис. 16; г) рис. 17.
/
/
/
\
\
yi
\°
\
ι
1
i
J
/
/
\
Ν
χ\
\
РМС. 14
i
^—
У'
о
\
{
Υ
\
ι
7
/
'
Χ
Рис. 16
Найдите область определения функции:
* + 1 .
РМС. 17
8.2. а) у = ^-^
6)у~ х(х+5) + б;
8.3. а) у = £Ζ-;
I *-12 .
б)г/= ^-16* +48'
х2-1
в)у=1г-10х'
г> У - (х- 10)х - 24'
-4*
г)у= ix2 + 14x + 33*
08.4. а) 1/ =
-, х > 1,
ж3, ж < 1;
в) !/ =
-, х < 1,
л;
ж3, χ > 1;
'
ν
\
,
\
у\
ι
\
\
/
^
^
°л
,
Ί
PUC. 15
|
/
(
\
\
У>
У
/°
\
1
V
|\
L
V
\
х\
ν ,L
46

б)у =
6х
χ + 7
18
2- *
, * > -1,
, χ < -1;
г)У =
6х
х+ 7
18
2-х
, χ < -1,
, χ > -1.
Придумайте выражение, задающее функцию,
определенную только при всех тех значениях х, для которых
выполнено условие:
08.5. а) х * 100;
б) 100 < χ < 101;
08.6. а) х * 1 и χ * 10;
б) 0 < |х| < 1;
в)χ < 100;
г) χ = 100.
в) χ < 1 и χ > 2;
г) 0 < |х - 2| < 5.
Найдите область значений функции, заданной графически:
8.7. а) рис. 14; б) рис. 15; в) рис. 16; г) рис. 17.
8.8. а) рис. 18; б) рис. 19; в) рис. 20; г) рис. 21.
/
/
1
/
г
У'
У
о
<
L
χ
РИС. 18
I
ι
\
\
1
J
У*
/
/
Ό
ι
Χ
^
,
,/
7
f
\
\
χ
\
Ν
y\
1
"ж
г
i I 1
у \/
\M
'Ί
5
PMC. 19
\
\
>
I w
1 1
t
k
\\
Ы
—^o—
i 1 1
k\
/ Ψ
/Τ
/
A
f\
X
PUC. 20
PUC. 21
47

Найдите область значений функции:
8.9. а) у = 1 - 2х;
б)у=1- 2х2;
в) у = Зх2 - 12* + 1;
г) у = -Зх2 - 12* + 1, χ е [-6, 1).
08.10. а) у = 1 - |; в) у = | - 12;
б> * = ΪΤΓ г) У = Ϊ2ΪΤ5·
08.11. а) у = V* + 5; в) у = 2 - V* + 3;
б) ι/ = 1 - 2V3 - *; г)у=-1 + 2>/-5 - 10*.
08.12. а) у = 2 + ]f|5 в) у = 2х - ^;
б) у = х2 + 2х - -£-; г)у= х2-2х+ х + 1
\х + Ц
•8.13. Найдите область значений функции у = /(*), если:
бч /ω _ W _ I*-1! + Ι*-2Ι _ к-з|
0j 'W " χ χ-\ χ-2 x-3'
Найдите все значения параметра α, при которых
уравнение имеет решение:
08.14. а) х2 + 3 = а; в) х2 - 36 = -а;
б> 2^ = V г) 2Т^ = Х " а·
08.15. а) *2 + 5* + 3 = а; б) 2*2 + 5* - 3 = 7 - а.
•8.16. а) * + |* + 2| - 2 = а; б) 5* + \х - 7| - 2 = За.
8.17. Используя условия заданий 8.7 и 8.8, определите
промежутки монотонности функций, заданных графически.
08.18. Найдите промежутки монотонности функции:
а) у = 2х2 - Зх + 4; в) у = Ъх2 + 6* - 11;
б) у = у/1 - *; г) у = л/3 + Ъх.
48

08.19. Докажите:
а) если функция у = f(x) возрастает на промежутке X и
а > О, то при любом значении Ъ функция у = а · f(x) + Ъ
возрастает на X;
б) если функция у = f(x) убывает на промежутке X и а < О,
то при любом значении Ь функция у = а · f(x) + Ь
возрастает на X;
в) если функция у = f (χ) убывает на промежутке X и а > О,
то при любом значении Ъ функция у = а · f(x) + Ь убывает
на X;
г) если функция у = f (х) возрастает на промежутке X и
а < 0, то при любом значении Ъ функция у = а · f(x) + Ъ
убывает на X.
08.20. Докажите:
а) если каждая из двух функций возрастает на
промежутке X, то их сумма также возрастает на этом промежутке;
б) если каждая из двух функций убывает на промежутке X,
то их сумма также убывает на этом промежутке.
08.21. Определите промежутки монотонности функции:
а) у = 4 - Зл/jc - 5; в) у = -3 + 5>/2 - х;
б)у= у/х + 1 + л!2х - 3; г) у = yjl - χ + л/3 - 4*.
08.22. а) Пусть функция у = f(x) возрастает и принимает только
положительные значения на промежутке X. Докажите, что
функция у = (f(x))2 возрастает на промежутке X.
б) Пусть функция у = f(x) убывает и принимает только
положительные значения на промежутке X. Докажите, что
функция у = (f(x))2 убывает на промежутке X.
в) Пусть функция у = f(x) возрастает и принимает только
отрицательные значения на промежутке X. Докажите, что
функция у = (f(x))2 убывает на промежутке X.
г) Пусть функция у = f(x) убывает и принимает только
отрицательные значения на промежутке X. Докажите, что
функция у = (f(x))2 возрастает на промежутке X.
Найдите промежутки монотонности функции:
°8.23. а) у = (х2 + I)2; в) у = (х2 - Зх + 10)2;
б) у = х4 + 6х2 + 15; г)у = (х2 + 2)2 - 2*2 - 3.
°8.24. а) у = (х2 - I)2; в) у = (х2 - Зх - 10)2;
б) у = (х2 - 9)2 + 6; г) у = (х2 - х - 20)2 - 18.
49

8.25. На рисунке изображен график функции у = f(x). Найдите
промежутки монотонности функции у = (f(x))2:
а) рис. 22; б) рис. 23; в) рис. 24; г) рис. 25.
Vi
о
i
:
Ч
/
)
/
\
PUC. 22
Г
г
1
У>
\
>
о
{
к
у
/
г
X
1 1 1 у\ I 1 11
A J
ι Ή /\
Ки \
г т^ 1 —τ—1
PUC. 23
I | У| I I I
ш
А——————\—
PUC. 24
PUC. 25
08.26. а) Пусть функция у = f(x) возрастает на X и принимает на
X только положительные значения. Докажите, что функ-
1
Ция у =
fix)
убывает на X.
б) Пусть функции у = f(x) возрастает на X и принимает на
X только отрицательные значения. Докажите, что функ-
1 ν
ция у = -jr-τ возрастает на X.
в) Пусть функция у = f(x) убывает на X и принимает на X
только положительные значения. Докажите, что функция
1
У =
№
возрастает на X.
г) Пусть функция у = f(x) убывает на X и принимает на X
только отрицательные значения. Докажите, что функция
У = ут^ч убывает на X.
50

лй.27. Найдите промежутки монотонности функции:
а) У
х* + 1'
В)!/=7Л;
&)У = χ>+6χ + 10;
Г)У= х2-4х- 12-
08.28. На рисунке изображен график функции у = f(x). Найдите
промежутки монотонности функции у = -7гт:
а) рис. 26; б) рис. 27; в) рис. 28; г) рис. 29.
PUC. 28
\
N
ν
Ч
yi
/
/
о
ι
^ч
:
^ч
>
/
х\
PUC. 26
Уь
\
\
о
^
L
к"
\
7
/
/
■
X
PUC. 29
°8.29. Пусть функция у = f(x) возрастает на R. Решите:
а) уравнение f(Sx + 2) = /(4jc2 + χ);
б) неравенство f(Sx + 2) < /(4л:2 + χ);
в) уравнение /(3* - 48) = f(-x2 + χ);
г) неравенство /(3* - 48) < f(-x2 + *).
L
\
\
ч\
о
J
J
1
/·
'
"N
\
JC
РИС. 27
>
/
/
/
У>
\
\
о
к
к'
\
7
/
/
/
г
JC
51

O8.30. Пусть функция у = f(x) убывает на R. Решите:
а) уравнение f{^ ^ _ 7) = ^+^_5}
б) неравенство f[^ ^ _ 7) > ^Х_Ъ)
•8.31. Пусть функция у = f(x) определена на интервале (-1; 1)
и возрастает на нем. Решите:
а) уравнение f(Sx + 2) = /(4jc2 + χ);
б) неравенство f(Sx + 2) < /(4jc2 + χ).
•8.32. Пусть функция у = f(x) определена на отрезке [-1; 1]
и убывает на нем. Решите:
а) уравнение f(Sx + 2) = /(4jc2 + χ);
б) неравенство f(Sx + 2) < /(4jc2 + χ).
08.33. Докажите:
а) если функция у = f(x) возрастает или убывает на
промежутке X, то уравнение f(x) = а не может иметь более
одного корня на X;
б) если функция у = f(x) возрастает на промежутке X, а
функция у = g(x) убывает на промежутке X, то уравнение
f(x) = ё(х) не может иметь более одного корня на X.
Решите уравнение:
08.34. а) хг = 2 - х;
б) х3 = 10 - х;
•8.35. a) VJc + yJx -5 = 23 - 2х;
6)^ = 8^;
в) Vjc + у/х - 3 = 43 - 6х - х2;
г) (х2 + 4х + 9>s/4jc + 1 = 9.
8.36. Для функций, графики которых изображены на рисунках
к упражнениям 8.7, 8.8, найдите экстремумы, а также
наибольшие и наименьшие значения.
8.37. а) Докажите, что функции, графики которых изображены
на рисунках к упражнениям 8.7, 8.8, ограничены в области,
их определения.
б) Докажите: если функция имеет наибольшее и
наименьшее значение на множестве М, то она ограничена на этом
множестве.
52
в) yjx + 1 = 5 - χ;
г) Зх = yJlO - χ.

ο8.38· Убедитесь, что функция, график которой изображен на
заданном рисунке, не имеет ни наибольшего, ни
наименьшего значений; задайте эту функцию аналитически:
а) рис. 30; б) рис. 31.
2/J
О
i
:
. N
X
У
\
\
\
!/|
L
ч
>
ч,
—^lr
*
J
/
ι
1
ί
Χ
PMC. 30
рмс. 31
8.39. а) Приведите пример функции, определенной во всех
точках отрезка [а, Ь], ограниченной на этом отрезке, но не
имеющей ни наибольшего, ни наименьшего значений на
отрезке [а, Ь].
б) Приведите пример функции, определенной и
ограниченной на R, но не имеющей ни наибольшего, ни
наименьшего значений на R.
08.40. Докажите: если функция у = f(x) имеет наибольшее и
наименьшее значения на отрезке [a, b], a отрезок [аь &х]
является частью отрезка [а, Ь], то:
а) i/наиб на [а, Ь] не меньше уя&иб на [аь 6J;
а) ι/наим на [а, Ь] не больше 1/наим на [аь &J.
08.41. Докажите: если функция у = / (х) имеет наибольшее и
наименьшее значения на отрезке [а, Ь], причем ун&иб = увемм, то
функция является постоянной на отрезке [а, &].
°8-42. Докажите, что если ι/ = χ + — > то:
а) при χ < 0 унаиб = -2;
б) при х > 0 ув
2.
°8-43. Найдите наибольшее и/или наименьшее значение функции
ι/ = Зх2 - 24* - 100:
а) на отрезке [-1; 5]; в) на луче [0; +оо);
б) на луче (-оо; 0]; г) на R.
53

08.44. Найдите наибольшее и/или наименьшее значение функции
у = -2х2 - 12* + 3:
а) на отрезке [-1; 3]; в) на луче [-4; +оо);
б) на луче (-оо; -4]; г) на R.
08.45. Найдите наибольшее значение функции:
2 2
а) У = Т2~ГТ; в) У = ~2 '
** + 1 '* *2-4* + 1(Г
2 2
б) У = J±Qv2m? Г) У = 74 τΓ2
jc4 + 8^ + 1' '* χ*- 8*'+ 17
•8.46. Используя результаты упражнения 8.42, найдите
наибольшее и наименьшее значения функции:
ч 2х . ч 10*
*) У = Т2-ГТ' в) У = 7Г
х*+1 '* х* + 4'
ЛЧ 4*-4 . ч 49(* - 2)
j^-2* + 17 '» j^-4* + 53
•8.47. Найдите наименьшее значение функции:
а) у = \х\ + \х- 2|;
б) у = \х - 1| + \х - 3| + |х - 5|;
в) у = |х| + |х-2| + |х-4|;
г) ι/ = |л:| + |х - 1| + ... + \х - п\, η € N.
08.48. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции для
каждого значения параметра а:
а) у = х2 + Ах + 5а на отрезке [-1; 1];
б) у = -jc2 + 4jc - α на отрезке [-1; 3].
•8.49. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции для
каждого значения параметра а:
а) у = jc2 - Ах на отрезке [-1; а];
б) у = -х2 + 2х - 3 на отрезке [а; 3].
~о КЛ ^ 15*2 + 60
•8.50. а) Функция у = —4 _ 1fi определена только для
допустимых целых значений х; найдите ее наибольшее
значение.
*ч ^ч 14л:2 + 126
б) Функция у = —г: — определена только для допу-
о1 — X
стимых целых значений х; найдите ее наименьшее
значение.
54

#8.51· Докажите теорему: если функции у = f(x), у = g(x)
определены на множестве X и наибольшее значение одной из этих
функций на X, равное А, совпадает с наименьшим
значением другой функции на том же множестве, то уравнение
f{x) - ё(х) равносильно на X системе уравнений
#8.52. Опираясь на теорему из упражнения 8.51, решите
уравнение:
а) V*100 + 49 = 7 - х4;
б) V*2 - 2х + 5 = 1 + 2х - х2;
в) V*22 + 64 = 8 - х12 - хы;
г) V-x2 - 4л: - 1 = jc2 + 4jc + 7.
§ 9. Периодические функции
9.1. Функция ι/ = f(x) — периодическая, с периодом Τ = 2.
Известно, что /(0). Вычислите:
а) /(2);
б) /(-22);
в) f(12k + 8), где k — некоторое целое число;
г) /(4 - 8k), где k — некоторое целое число.
9.2. Функция у = f(x) — периодическая, с периодом
Известно, что f(l) = 1, /(-1) = 7. Вычислите:
а) /(1 + 8>/б); б) /(-1 - 22л/б).
9.3. Может ли областью определения периодической функции
быть:
а) отрезок; в) луч;
б) интервал; г) множество целых чисел?
9·4. На рисунке изображена часть графика периодической
функции с периодом Τ на промежутке /. Постройте
график этой функции на промежутке 1Х:
а) (рис. 32) Τ = 2, I = [-1; 2]; /г= [-4; 8];
б) (рис. 33) Τ = 3, / = [1; 4); /г= [-3; 10,5);
в) (рис. 34) Τ = 4, I = (-3; 1]; /,= (-5; 11];
г) (рис. 35) Τ = 1,5; / = (0; 1,5); h= (-3; 6).
55
/(*) = А,
g(x) = Α.

yi
\
\
\
\
J
J
A
/
h
X
PMC. 32
puc. 33
1 1 1 2/4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 i/4 1 1 1 1
\
\ -J
Nil Irk
1 i J Μι Ν .
W b ϊ Η MM*
PUC. 34
PUC. 35
o9.5. Пусть у = f(x) — периодическая функция с периодом 3,
определенная для всех действительных значений х, причем
/(3) = 7, Д4) = 11, /(17) = 13 и /(ОД) = 0. Вычислите:
а) /(141); /(-134); /(332) /(-8,9);
б) /(17,3) - /(20,3); /(32,(3)) - /(332,(3)); /(0,(1)) - /(-2,(8));
в) /(10); /(100); /(111111);
г) /(13,1) · /(14,1) · /(15,1) · /(16,1);
/(8888...88) - /(22222...22).
η цифр
η цифр
09.6. Пусть у = f(x) — периодическая функция с периодом 4,
определенная для всех действительных значений х, причем
/(3) = 5; /(4) = 11; /(5) = 9 и /(6) = 0. Сравните:
а) /(1) и /(31); в) /(-17) и /(831);
б) /(И) и /(110); г) /(б + 3/3) и /($* - б).
56

о9.7. Является ли функция у = f(x) периодической:
a) f(x) = 2; в) /(*) = ^f| - 3;
4
09.8. Докажите:
а) если 3 — период функции у = f(x), то 6 — также период
данной функции;
б) если 9 — период функции у = /(#), то 9 — период
функции у = 5/(jc + 2) - 1;
в) если 2 — период функции у = f(x), то 8 — также период
данной функции;
г) если 5 — период функции у = f(x), то 5 — период
функции у = -3/(2 - х) + 25.
09.9. Докажите:
а) если 3 — период функции у = f(x), то 6 — период
функции у = 5/(0,5* + 2) - 1;
б) если 9 — период функции у = f(x), то 3 — период
функции у = 3 - 1,4/(3* - 7);
в) если 2 — период функции у = f(x), то 3 — период
функции у =100/р^1 + 7;
г) если 5 — период функции у = /(*), то 1 — период
функции у = 81 - 3/(0,7 - 5jc).
09.10. Докажите, что если период функции у = f(x) равен Т9 то
а) период функции у = k · f(x + α) + b (k Φ 0) равен Т;
Τ
б) период функции у = kfipx + а) + b (pk Φ 0) равен т—г
\Р\
09.11. Пусть период функции у = f(x) равен Tl9 а период функции
У = ё(х) равен Т2. Докажите, что период функции у = h(x)
равен Тг:
а) Тг = 2, Т2 = 7, h(x) = 5/(*) - Sg(x), T3 = 14;
б) 7\ = 15, Т2 = 10, h(x) = Sf(x) + 5g(*), T3 = 30;
в) Тх = 3, Т2 = 13, h(x) = 0,2/(jc - 3) - g(x + 11), Ts = 26;
г) Тг = ^, Τ2 = ^, й(х) = 5/(jc) - 3 g(x), T3 = ^ψ.
°9.12. Пусть для любого х из области определения функции
у = f(x) выполняется равенство f(x - 0,1) = f(x + 0,1) =
= /(*). Докажите, что тогда для любого χ из области
определения функции выполняется равенство f(x - 2) =
= /(* + 2) = /(*).
57

09.13. Пусть для любого χ из области определения функции
у = fix) выполняются равенства fix - 3) = fix + 3) = fix)
и fix - 5) = fix + 5) = fix). Докажите, что для любого χ
из области определения функции выполняется равенство
f(x - 2) = f(x + 2) = fix).
9.14. Пусть [χ] — целая часть действительного числа х, а {х} —
дробная часть этого числа (напомним, что, согласно
определению, [х] € Ζ, х < [х] < χ + 1, {х} = χ - [х]).
а) Найдите целую и дробную часть числа: 6; -3; 5,3; -5,3;
35. 35. 535. 535
53' 53' 353' 353'
б) Найдите целую и дробную часть числа: n/Й; ν/ΪΪ-2;
3 - ν/ΪΪ; π; 0,(4); -2,(3); -7,(1).
09.15. а) Докажите, что для любого значения χ выполняются
равенства [х + 1] = [х] + 1, [х - 1] = [х].
б) Докажите, что для любого значения χ выполняются
равенства {х + 1} = {х} = {х - 1}.
в) Докажите, что функция у = [х] не является
периодической.
г) Докажите, что функция у = {х} является периодической
с периодом 1.
09.16. Докажите, что 1 — наименьший период функции у - {х}.
Постройте график функции и определите, является ли
функция периодической:
•9.17. а) у = [х]; в) у = [2*];
б) у = [х - 2,5]; г) у = [\х\].
•9.18. а) у = \[х]\; в) у = {х} + [ж];
б) у = χ + [х]; т)у = [{*}].
•9.19. а) у = {х}; в) у = {2х};
б)у = {х- 2,5}; г) у - {|*|}.
•9.20. а) у = \{х}\; в) у = χ - {χ};
б)у = х + {χ}; г)у = {[χ]}.
Найдите основной период функции:
09.21. а)у = {х + 2};у = {х- 3,7}; у = 2{х + 1,1} - 14;
у = 13 - 5{х - 0,(3)};
58

б) у = {2*}; у = 3{2* - 2,5}; у = {2* - 2,5};
ι/ = 4 - 0,5{2* - 2,5};
в) у = {0,5*}; у = 3{0,5*}; у = 7{0,5*} + 6; у = 9 - 1,1(0,5*};
#9.22. а) ι/ = {* - 3,7} + 3{2* - 2,5}; у = {^ + <Ц + 5{* - И};
б) у = {2х} + {3* - 2,5}; у = 4 - {12* - 2,5} + {18*};
в) у = {0,3*} + 5{0,25*}; у = 7{0,15*} + 1,1{0,25*};
ч /3*1 /5*+21. Гй 10*1 _ь q f!5* + 21
Г) у = ΙτΓ brrу = ιβ - ίγ)+3 · 1-й-)·
•9.23. Постройте график функции:
а) г/ = (Μ)2; в) ι/ = VW;
«ч 1 · ч М-1
6)ί/={*}' Γ)ί/=ΪΓ2{*}·
Выясните, может ли функция быть периодической, если
она обладает указанным свойством; если может, то
приведите пример, если не может, — объясните почему:
09.24. а) Областью определения функции является отрезок или
луч;
б) областью определения функции является объединение
бесконечного множества отрезков, но не прямая;
в) функция определена на всей числовой прямой, кроме
одной точки;
г) функция определена на всей числовой прямой, кроме
бесконечного числа точек.
09.25. а) Функция имеет шесть нулей;
б) функция не имеет нулей;
в) функция положительна при χ > 3 и отрицательна при
х< 3;
г) при χ > 3 функция принимает положительные значения.
°9.26. а) Функция убывает на всей области своего определения;
б) функция имеет бесконечно много промежутков
убывания;
в) функция имеет наименьшее значение, но не имеет
наибольшего;
г) функция убывает на интервале (3; 11).
59

Постройте график данной периодической функции у = f(x)
и укажите область ее определения, область значений,
промежутки монотонности, точки экстремума, наибольшее и
наименьшее значения, нули функции, промежутки знако-
постоянства; исследуйте функцию на четность-нечетность:
09.27. а) Период функции равен 2 и f(x) = Зх на промежутке (-1; 1];
б) период функции равен 4 и f(x) = 4 - χ2 на отрезке [-2; 2];
в) период функции равен 3 и f(x) = 2 - χ на промежутке [0; 3);
г) период функции равен 1 и f(x) = 2х2 - 1 на промежутке
(0; 1).
09.28. а) Период функции равен 2 и f(x) = \х\ на отрезке [-1; 1];
б) период функции равен 4 и f(x) = 3 у}χ + 2 на промежутке
[-2; 2);
в) период функции равен 3 и f(x) = 3 - |2 - х\ на промежутке
[0; 3);
г) период функции равен 1 и f(x) = 3 - V4 - Зх на
промежутке (0; 1).
09.29. а) Период функции равен 2 и f(x) = на промежутке
X + Lt
(-1; 1];
б) период функции равен 4 и f(x) - — на промежутке (-2; 2];
X
в) период функции равен 3 и /(jc) = ~ на промежутке
Л£ τ &
[0; 3);
|*|
г) период функции равен 5 и f(x) = ι^-ι _ ^ на промежутке
[-2; 3).
09.30. Наибольшее значение периодической функции с периодом 3
на отрезке [-1; 2] равно 5, а наименьшее значение равно -2.
Найдите, если это возможно:
а) наибольшее и наименьшее значения функции на
промежутке (-2; 11];
б) наибольшее и наименьшее значения функции на
промежутке (-5; 8];
в) наибольшее и наименьшее значения функции на
промежутке (-2; 1];
г) наибольшее и наименьшее значения функции на
промежутке (-оо;1).
60

09.31. Пусть у = f(x) — периодическая функция с периодом 4 и
f(x) = Ъх + 2 на интервале (0; 4). Решите:
а) уравнение f(x) = 7; б) неравенство f(x) > 7.
^9.32. Пусть ι/ = f(x) — периодическая функция с периодом 5 и
f(x) = χ2 + 2х на полуинтервале (-3; 2]. Решите:
а) уравнение f(x) = 0; в) уравнение f(x) = 8;
б) неравенство f(x) > 3; г) неравенство f(x) < 0.
#9.33. Пусть у = f(x) — периодическая функция с периодом 4 и
f(x) = χ2 + 8х + 5 на отрезке [-6; -2]. Решите:
а) уравнение f(x) = -11; в) уравнение f(x) = -10;
б) неравенство f(x) < 11; г) неравенство f(x) > -10.
#9.34. а) Существует ли такая функция у = f(x), что для любого
χ из области ее определения выполняется равенство
f(x) = f(x + 2), а функция не является периодической? Если
существует, приведите пример такой функции,
б) Существует ли такая функция у = f(x), что для любого
χ из области ее определения выполняется равенство
f(x) = f(x - 3), а функция не является периодической? Если
существует, приведите пример такой функции.
•9.35. а) Существует ли такая функция у = f(x), что для любого
χ из области ее определения выполняется равенство
f(2x) = f(x), а функция является периодической? Если
существует, приведите пример такой функции,
б) Существует ли такая функция у = f(x), что для любого
χ из области ее определения выполняется неравенство
f(2x) > f(x), а функция является периодической? Если
существует, приведите пример такой функции.
§ 10. Обратная функция
х2
10.1. Дано равенство у = —§—-· Выразите из этого равенства χ
через у, если:
а) χ > 0; б) χ < 0; в) χ > 2; г) χ < -0,21.
st3
10.2. Дано равенство ρ = 9 _ > связывающее три величины:
р, s, t.
а) Выразите из этого равенства s через ρ и t;
б) выразите из этого равенства t через вир.
61

10.3. Для функции, заданной графически, укажите область
определения и выясните, имеет эта функция в своей
области определения обратную функцию или нет; в случае
положительного ответа постройте эскиз графика обратной
функции:
а) рис. 36; б) рис. 37; в) рис. 38; г) рис. 39.
У1
О
i
X
S
^
"->
Ук
\
\
\
О
ν
\
^
^-
s
S
χ
>
Рис. 36
PUC. 37
у
/
у
л
у
г
yi
^
о
<
ч
\
>
ν
\
I
/
/
X
У1
/6
\
-ι
i
PUC. 38
PUC. 39
10.4. Для функции, заданной табличным способом, укажите ее
область определения и выясните, имеет эта функция в
своей области определения обратную функцию или нет; В
случае положительного ответа постройте график обратной
функции:
а)
X
У
1
3
2
4
5
7
7
3
в)
X
У
1
5
2
8
3
9
7 1
1J
б)
X
У
1
3
1
5
1
8
2
3
5
0,(6)
7
1,(4)
г)
X
У
-1
4
1
1,(7)
2
1*
3
ъ\
1
62

10.5. Найдите область определения и множество значений
функции у = g(x), обратной для функции у = f(x), если:
а) £>(/) = R, E(f) = (3; -к» );
б) £>(/) = (2; 3) - [5; 6), E(f) = (3; 4) w (7; +~);
в) D(f) = [-5; 6), E(f) = (-«>; И];
г) D(f) = E(f) = {-3; 4; 7} w (Ю; +<х>).
10.6. Найдите множество значений каждой из
взаимно-обратных функций у = f(x) и у = g(x), если указаны их области
определения:
а) D(f) = R, D(g) = [-2; +~);
б) D(f) = [-3; 4], D(g) = [4; И];
в) D(f) = (0; -к»), D(g) = (-<х>; 7 );
г) D(f) = {-1; 2; 4}, £>Qf) = {-2; 78; 123}.
оЮ.7. Являются ли функции у = f(x) и у = g(x)
взаимно-обратными, если:
а) f(x) = 3* + 5, g(x) = f * - f;
б) № = | - 6*, g{x) = ОД - \х;
О О
в) f(x) = ±х - 3, g(x) = 7* + 3;
г) /(*) = \х + |, £(*) = f * + |?
Найдите функцию, обратную данной. Постройте на одном
чертеже графики этих взаимно-обратных функций:
10.8. а) у = Зх; в) у = χ - 7;
б) у = Ъх + 2; г) у= |*-4.
010.9. а) ι/ = —^-; в) ι/ = ——А;
' * * - 1 ' * χ + 4
_ χ + 7 ч 2лс - 1
°Ю.10. Является ли данная функция обратной по отношению
к самой себе:
а) у = х; в) у = -х;
6)у = Зх; г)у = -х+1?
63

OlO.ll. Совпадает ли данная функция со своей обратной:
ν 7.
а) у = -.
6>* = 7Ь;
ч 8.
в) у = --,
г) у = 5 - £?
О10.12. Задайте функцию, обратную данной; постройте ее график:
[2jc, если Jt < О,
I Зх, если jc > 0;
а) ι/ =
б)у =
в) У =
г) г/ =
-5jc - 3, если χ < -1,
-1 - Зх, если χ > -1;
-jc, если χ < 0,
3jc, если jc > 0;
2jc + 1, если χ < 2,
-jc + 4, если jc > 2.
2
О10.13. Задайте функцию, обратную данной; постройте графики
заданной и обратной функций:
а) у = yjx + 3; в) у = ^2х - 1;
б) ι/ = -V2 - jc; г) ι/ = -л/3 - 5jc.
ΟΙΟ. 14. Может ли функция иметь обратную, если она:
а) линейная; в) дробно-линейная;
б) квадратичная; г) вида у = >Jx + а?
010.15. Обязательно ли функция имеет обратную, если она:
а) линейная; в) вида у - 4х + а;
б) дробно-линейная; г) вида у = х3 + а?
010.16. Может ли функция иметь обратную, если она:
а) четная; в) периодическая;
б) нечетная; г) непериодическая?
010.17. Может ли функция иметь обратную, если она:
а) возрастающая; в) имеет три нуля;
б) убывающая; г) не имеет нулей?
64

10.18. Рассмотрите график функции, представленный на
рисунке, и укажите несколько числовых промежутков, на
которых данная функция имеет обратную, и несколько, —
на которых она не имеет обратной:
а) рис. 40; б) рис. 41; в) рис. 42; г) рис. 43.
——
4
/
(
λ
f
yt
"\
о
ι
.
ч
N
,1
Ч
4
7
У
1
Л
^
X
\
_
/
/
L
\
\
>
yt
L.
\
ι
<Г
у
т
ч*
РИС. 40
PUC. 41
<
J
(
/
г
г"
У1
\
d
\.
V]
\
ι)
/
/
\
\
,я
1
У
\
N
L
ч
У>
J
\
/
г
о
N
L
,
ч
у
L
'
X
PUC. 42
PUC. 43
Рассмотрите данную функцию на каждом из указанных
промежутков; если она на этом промежутке имеет
обратную функцию, то задайте обратную функцию
аналитически, укажите ее область определения и область значений,
постройте ее график:
010.19. у = х2:
в) на (-1; 5];
г) на (-оо; 0].
а) на R;
б) на [1; +оо);
010.20. у = х2 - 2:
а) на R;
б) на [1; 2);
010.21. у = (х + З)2 - 2:
а) на R;
б) на [-3; +оо);
в) на (-1; 5];
г) на [-2; 0].
в) на (-оо; -3];
г) на [-4; 4].
65

010.22. (См. задание на с. 65.) у = х2 - 4* + 18:
а) на R; в) на (-оо; 0];
б) на [2; +оо); г) на [-оо; 3).
•10.23. На каждом из указанных промежутков найдите, если это
возможно, функцию, обратную данной:
\2х - 5, если χ < 1,
а) у = < а i на (-оо; 1], на (1; +оо), на R;
[х - 6, если χ > 1
[5 - х, если χ < 2,
б) у = \ на (-оо; 2], на (2; +оо), на R;
[7 - 2х, если χ > 2
Зх + 5, если χ < 0,
х2, если χ > 0
в) ι/ = <{ 2 _ Л на (-оо; 0], на (0 +оо), на R;
[З - х, если jc < 0,
г)у=< на (-оо; 0], на (0; +оо), на Л.
[2 - 7х, если jc > 0
•10.24. Постройте на одном чертеже какие-нибудь графики двух
взаимно-обратных непрерывных на (-5; 10) функций
у = f(x) и у = g(x), для которых:
а) /(3) = 3, £(5) = 5;
б) /(3) = 7, /(7) = 8, g(9) = 9;
в) /(-1) = -1, £(3) = 3;
г) /(1) = 9, /(2) = 7, £(4) = 4.
•10.25. у = f(x) и у = g(x) — взаимно-обратные функции.
а) /(3) = 5 и g(7) = 1. Решите уравнения f(x) = 7 и g(x) = 3·
б) /(4) = 4 и g(25) = 9. Решите уравнения f(x2) = 25 и
g(x2) = 4.
в) /(15) = -3 и g(-7) = 1. Решите уравнения f(t) = -7 и
№ = 15.
г) /(7) = 5 и g(7) = 1. Решите уравнения f(3x) = 7 и
£(5 - х) = 5.
Постройте график функции у = f(g(x)), если:
010.26. a) f(x) = 4jc, g(x) = 0,25*;
б) f(x) = x-3, g(x) = x + 3;
в) f(x) = -2x, g(x) = -05*;
г) f(x) = -Ъх + 5 , g(x) = -0,2* - 1.
66

оЮ.27. a) f(x) = -, g(x) = |;
в) /κχ) = £. «ω = £;
ч -ν ν л: - 1 , ν * + 1
Γ> Λ*) = 7ΤΪ' Λ*) = —χ·
010.28. a) /(jc) = χ2, gix) = у/х; β) f(x) = χ2, g(x) = -y/x;
6) f(x) = -χ2, g(x) = уЩ; г) f(x) = -χ2, g(x) = -лП.
010.29. a) f(x) = χ2 + 1, gix) = y/x-1;
б) fix) = 3 - 0,5jc2, gix) = V6 - 2x;
в) fix) = x2-2, gix) = y/x + 2;
r) /(x) = 8 - 2x2, gix) = -V4 - 0,5*.
•10.30. Пусть ι/ = /(jc) и у = gix) — взаимно-обратные функции.
Постройте на двух различных чертежах графики
функций у = figix)) иу = gifix)), если:
а) Dif) = Eif) = R; в) Dif) = [1; 3]; Eif) = R;
б) Dif) = Eif) = (0; 3]; r) Dif) = [-2; 3]; Eif) = [-3; 2].
•10.31. Постройте на одном чертеже графики таких двух
взаимно-обратных функций у = fix) и у = gix), чтобы уравнение
/(*) = х:
а) имело один корень;
б) имело три корня;
в) имело бесконечно много корней;
г) не имело корней.
•10.32. Постройте на одном чертеже графики таких двух
взаимно-обратных функций у = fix) и у = gix), чтобы уравнение
№ = Ах):
а) имело один корень;
б) имело три корня;
в) имело бесконечно много корней;
г) не имело корней.
67

•10.33. Пусть у = f(x) и у = g(x) — некоторые взаимно-обратные
функции. Являются ли равносильными следующие
уравнения:
а) /(*) = χ и g(x) = χ; б) f(g(x)) = хи g(f(x)) = χ?
Постройте график функции и определите, существует ли
для нее обратная функция. Если да, то на том же
чертеже постройте график обратной функции и задайте ее
аналитически:
•10.34. а) у = Зх + \х\; в) у = 2\х\ - 5jc;
б) у = χ + 2\х\; т)у = 2х- б\х\.
•10.35. а) у = х\х\; в) у = 2 - х\х\;
б)у = х2+2\х\; г)у = х\х-2\.

ι ι ι ι ι ι ι ι ι ι ι ι ι ι ι ι ι ι ι ι ι ι ι ι ι
ΓΓΓΓΓΓΓΓΓΓΓΓΓΓΓΓΓΓΓΓΓΓΓΓ
Γ
г Тригонометрические
г функции
Γι ι ι ι ι ι ι ι ι ι ι ι ι ι ι ι ι ι ι ι ι ι ι
ГГГГГГГГГГГГГГГГГГГГГГГП
§11. Числовая окружность
Горизонтальный диаметр СА и вертикальный диаметр DB
разбивают единичную окружность на четыре четверти:
АВ — первая, ВС — вторая, CD — третья, DA —
четвертая (рис. 44).
11.1. Вторая четверть разделена на две равные части точкой М,
а третья — на три равные части точками К и Р. Найдите
длину дуги:
a) AM; 6)ВК; в) РМ; г) РК.
11.2. Первая четверть разделена на две равные части точкой М,
а четвертая — на три равные части точками К и Р.
Найдите длину дуги:
a) DM; б)ВК; в) РМ; г) PC.
11.3. Третья четверть разделена точкой Μ в отношении 2 : 3,
первая — точкой Ρ в отношении 1 : 5. Найдите длину дуги:
а) СМ; б) АР; в) РМ; г) MP.
11.4. Можно ли найти на единичной окружности точку Ε с
указанной ниже длиной дуги ΑΕΊ Если да, то укажите
четверть, в которой расположена точка Е:
&)АЕ = 2; в)АЕ = 6,3;
/— >/3 + 1
б) АЕ = >/8π; г) АЕ = 2Jg—[·
11.5. а) К радиусам О А и ОС проведены серединные
перпендикуляры, соответственно, MN и PQ (рис. 44). Чему равен
центральный угол АОМ? Найдите длину хорды MN.
Найдите длину дуги QN. Докажите, что точки Α, Μ, Ρ, С, Q,
N делят окружность на шесть равных частей.
б) К радиусам ОВ и OD проведены серединные
перпендикуляры LK и TS, соответственно (рис. 45). Чему равен
центральный угол КОВ? Найдите длину хорды KL.
Найдите длину дуги TL. Докажите, что точки К, Б, L, 7\ D,
S делят окружность на шесть равных частей.
69

Гс'
/
/
ν
1
'
(
j^
Ρ*
I
В
^^^
о
J
I
■4
■^"j
VI
V
\
>
hA~
rc'
s/
/
f
s\
/
r
s*
1
В
О
D
I
->.
V
>
\J -
\
Л
-УТ
I
РИС. 44
PMC. 45
Найдите на числовой окружности точку, которая
соответствует заданному числу:
3π
11.6. a) -£
11.7. a) f;
„„ „ . 10π.
11.8. a) -jj-;
11.9. а) ji
11.10. а) 1;
б)-π;
б) з'
б) 4 '
б) 12'
б)-2;
в) 4π;
ч 7π·
в) Т'
ч 31π
в)—»
ч 7π·
В>12'
в) 3,5;
Γ)-τ·
3π
г) χ-
ч 19π
ч 11π
Г>""Г
г)-7.
Какой четверти числовой окружности принадлежит
точка, соответствующая заданному числу?
Oll.ll. а) 6; б) -4,5; в) 3,3; г) -5.
011.12. а) 10;
б) -17;
в) 31;
г) -95.
Oil.13. Укажите однозначное натуральное число, которому на
числовой окружности (рис. 44) соответствует точка,
наиболее близкая:
а) к точке А; в) к точке С;
б) к точке Б; г) к точке D.
70

11.14. Как расположены на числовой прямой и на числовой
окружности точки, соответствующие числам:
а) t и -t; в) t и t + π;
б) t и t + 2π£, fc € Ζ; г) t + π и t - π?
Найдите на числовой окружности все точки Μ(ί),
соответствующие заданной формуле (во всех формулах
предполагается, что η ζ Ζ):
11.15. a) t = 2πη;
π
6) t = — + πη;
в) t = πη;
г) t = ±~ + 2тт.
11.16. a) ί = ±- + 2тт;
о
б) * = —,
в) t = ±- + тт;
о
г)*=Т.
11.17. a) t = (-1)"τ + πη;
Β)ί = (-1)"+1^ +πη;
χ\ j. π ,πτι.
6>ί=ϊ + Τ'
г) f = -— + ——·
7 6 3
Числовая окружность разделена точками на восемь
равных частей (рис. 46). Составьте формулу для всех чисел,
которым соответствуют точки:
011.18. а) А и С; б) В и D; в) Μ и Р; г) N и Q.
011.19. а) М, Ν, Р, Q; б) А, М, Б, Ν, С, Р, i), Q.
|-с<
-Ν
~Р
I
О
J
)
AJ
k A
Ό-
(
дл
г^
d
1
t4
&
'
4V
А
^
S
I
β
О
J
0
>
^
<
>
у
1
ν
\
1
ι
λ
г
4-J
►aJ
ι·
PMC. 46
PMC. 47
71

Числовая окружность разделена точками на 12 равных
частей (рис. 47). Составьте формулу для всех чисел,
которым соответствуют точки:
011.20. а) Μ и К; б) Ρ и Е; в) Ρ и L; г) Μ и F.
011.21. а) А, Р, L; в) F, М, Q, #;
б) Б, #, F; г) A, Ν, Р, С, L, Я.
Найдите все числа t, которым на числовой окружности
соответствуют точки, принадлежащие указанной
открытой дуге или объединению дуг (рис. 46):
011.22. а) АВ; б) АВ u CD; в) BD; г) ВС и DA.
011.23. a) MN; б) NM; в) БР; г) РБ.
011.24. a) QA и М?; в) MiV и PQ;
б) AN и CQ; г) AM и BN и СР и £>Q.
Найдите все числа ί, которым на числовой окружности
соответствуют точки, принадлежащие указанной дуге
(рис. 47):
ОИ.25. a) MP; б) AQ; в) BL; г) DF.
ОИ.26. a) EN; б) QM; в) КА; г) ЛГУ.
Выделите на числовой окружности дугу, точки которой
удовлетворяют заданному неравенству (во всех формулах
предполагается, что η € Ζ):
11 27 al - + 2тт < ί < — + 2тт; в^ - + 2πη < t < — + 2тт;
ii.At. d) 6 3 ' 2 2
б) 2тт < ί < — + 2тт; Γ) π + 2тт < f < — + 2тт.
11.28. a) — + 2πη < t < | + 2тт;
7π
6
3π , ο— ^ ^ ^ 2π
6) — + 2πη < t < — + 2тт;
°' 6 6
Β) 4 3
τΛ -- + 2тт < ί < — + 2πη.
Γ) 6 4
Найдите на числовой окружности все точки Μ(ί),
соответствующие заданным формулам; составьте общую формулу
для всех чисел, которым соответствуют найденные точки:
Oil.29. a) t = 2πη, t = π + 2тт; в) t = — + 2тт, t = -г + 2тт;
6) ί = тт, t = — + тт; г) ί = тт, ί = —·
72

Я КП
0Ц.ЗО. a) t = ±~ +πη, t = —;
б) t = (-1)" J + πη, t = (-l)n+1 j + πη;
в) ί = ±— + 2πη, t = 2πη;
г) t = (-!)"£ + тт, t = (-1)л+1£ + тт.
#11.31. a) f = -- + π(2η + 1), ί = — + —;
б) t = (-1)"^ + πη, t = (-1)л+1? + πιι, t = πη;
it Jl ι 11
в) t = ~ + πιι, * = 7 - "λ + π^;
, π π
г) ί = ±— + πιι, £ = — + π/ι, ί = πιι.
011.32. На числовой прямой и числовой окружности отметьте все
точки Μ(ί), заданные формулой и принадлежащие
отрезку
71. 71
2' 2
6),= ±f + f;
в) t = (-1) 8 + 4 '
ι 3π . τζη
011.33. На числовой прямой и числовой окружности отметьте все
точки M(t)j заданные формулой и принадлежащие отрез-
ку [-2; 4]:
a) t = ±- + πη,
6>* = (-«i+?s
ν . , 3π . πτι.
г)* = (-1Г+1? + ?·
011.34. На числовой прямой и числовой окружности отметьте все
точки M(t), заданные формулой и принадлежащие
отрезку [-π; 2π]:
a) t = η; в) t = 2п + 1;
б) ί = - + 2л;
lx3n
73

§ 12. Числовая окружность
на координатной плоскости
Всюду в этом параграфе предполагается, что центр
числовой окружности совпадает с началом координат
плоскости хОу.
Найдите декартовы координаты заданной точки:
12.1. а)М|^|;
б) м[1)
в) Μ
(!
г) М\ f
12.2. а) Μ(-3π); б) Λίίγ];
в)М|-||;
12.3. а) Μ\-ψ]
|; б) Μ(117π); в) М\ -ψ\
г) Μ(126π).
12.4. Найдите наименьшее положительное и наибольшее
отрицательное числа, которым на числовой окружности
соответствует заданная точка:
а)М V
rv§.
2'
\
(1
2' "
V
о
2 '
/
_S)
2
б) м -; -^f
в)М|-^|'·
г)м|-|;-#
12.5. Каким числам из заданного отрезка соответствует точка
( V2 72^1
М\ ——'> — | числовой окружности:
2 2
а) [-4π; π];
к\ Г 3π· Ή
б) ГУ т>
в) [0; 5π];
Ol2.6. На отрезке
Γ_3π. Ππ
I 8' 6 .
укажите числа, которым на
числовой окружности соответствует заданная точка:
" 2' 2
. .,,1. ViP
а)М|-; —
б) Ml -^; ^
7 ' 2 2
в) Μ
г) Μ
2' 2
74

12.7. Имеется ли на числовой окружности точка, абсцисса или
ордината которой равна:
а) 0,7; б) J; в) J; г) >/Ϊ7 - V26?
Укажите знаки абсциссы и ординаты заданной точки
числовой окружности:
012.8. а) £?(2); б) ϋΓ(-4); в) Р(3,2); г) М(-4,8).
012.9. а) Е(12); б) ϋΓ(-15); в) Р(49); г) М(ЮО).
#12.10. Что больше, абсцисса или ордината заданной точки
числовой окружности:
а) Д(1); б) ϋΓ(-2,5); в) Р(7); г) М(-4)?
•12.11. Что больше, модуль абсциссы или модуль ординаты
заданной точки числовой окружности:
a) J(2,8); б) L(-4,2); в) ϋΓ(-0,5); г) М(4,5)?
12.12. Как связаны между собой абсциссы точек числовой
окружности:
а) t и -t; в) t и π - t;
б) ί и И π; г) ί и 2π - ί?
12.13. Как связаны между собой ординаты точек числовой
окружности:
а) t и -t; в) t и π - t;
б) ί и t + π; г) ί и 2π - ί?
На числовой окружности укажите все точки, координаты
которых удовлетворяют данным условиям, и составьте
формулы для всех чисел, которым соответствуют эти точки:
12.14. а) χ = 0; б) χ = h в) χ = -^; г) χ = 1.
12.15. а) х = £; б) χ = -&; в) χ = ^; г)ж = -1.
12.16. а) у = 0; б) у = |; в) у = -^; г) у = 1.
12.17. а),/ = &·, б) у =4; в)г/="4; γ)* = -ι·
12.18. а) * = ^, у < 0; в) ж = -^, у < 0;
б) х = ^, у > 0; г) * = -|, у > 0.
75

12.19. (См. задание к упражнениям 12.14—12.18.)
а) у = &, х> 0;
б) у = -^, χ < 0;
в) у = ^, χ < 0;
г) у = ~2» * > 0.
012.20. (См. задание к упражнениям 12.14—12.18.)
а) у = х; в) χ + у = 0;
б) ι/ = -W3; г) £ = л/3.
Найдите на числовой окружности все точки с абсциссой
или ординатой, удовлетворяющей заданному неравенству
или системе неравенств, и запишите (с помощью двойногд
неравенства), каким числам t они соответствуют:
012.21. а) х > 0;
012.22. а) х > -^-;
012.23. а) у > 0;
012.24. а) у > -^-;
б) х < f,
6)x<f;
б) у < |;
6)</<f;
в) * > ^
в)ж < -f;
В) У > 2'
в) ι/ < -4^
г) χ < 0.
г)*>-|.
г) ι/ < 0.
г) !/>-!·
012.25. а)
б)
χ > 0,
!/ < 0;
л: < 0,
</>--;
в)
г)
л; >
Т2
012.26. а) ж - j/ > 0; б) лгу > 0; в) л; + у < 0; г) *ι/ < 0.
012.27. а) х + у < 1; б) χ - у > -1; в) χ + у > -1; г) ж - у < 1
012.28. а) 2ж2 - χ < 0; в) у + 2у2 > 0;
б) (2х - 1)(у - 3) > 0; г) (2у - >£)(* + 2) < 0.
012.29. а) 4ж2 - 1 < 0;
б) 1-2уг< 0;
в) 3 - 4ι/2 > 0;
г) 2ж2 - 1 > 0.
76

§ 13. Синус и косинус. Тангенс и котангенс
Вычислите sin t и cos ί, если:
13.1. a) t = 0; 6) t = |; в) t = ψ, τ) t = π.
Л ч ^ 5π. -ч . 5π ч . 7π. ч 9π
13.2. a) t = -g-; 6) * = т; в) * = -g-, r) t = τ·
Л w 13π. *w 8π. w 23π. w 11π
13.3. a) t = -g-, 6) ί = —з", в) ί = -g-, r) t = —з".
Вычислите:
13.4. a) sin I ~ ] + cos-| + cos[ ~ |;
^4 π я π π
б) cos — · cos — · cos — · cos —;
' 6 4 3 2
в) sin — - cos (-π) + sin |;
ч . π .π .π .π
γ) sin— · sin— · sin— · sin—.
6 4 3 2
13.5. a) sinI —- + cos -— + sin— · cos— + cosO · sin—;
1 4 J ^ 4j 4 2 2
^ 5π , 4π , . 3π . 5π 3π
б) cos— + cos— + sin— · sin— · cos—.
' 3 3 2 8 2
Найдите значение выражения:
13.6. a) cos 2ί, если t = -~;
ο) sin—, если t = —о»
в) sin t - cos t, если t = -j;
r) sin2 ί + cos2 i, если t = ττ·
13.7. Вычислите:
а) tgf; в) tgf;
б) ctgf; r) ctgf.
77

Вычислите:
13.8. a)tg|--^j; в) tgf-|\
6)ctg|-|j; r)ctg(^-|
13.9. a) tg* · sin | · ctg J;
6) 2 sin π + 3 cos π + ctg ψ,
B)2sin|.cos|-|tg|;
r) 2 tg 0 + 8 cos — - 6 sin -.
2 3
13.10. a) tg | · ctg |; в) tg f · ctg f;
oo 7 7
6) 3 tg 2,3 · ctg 2,3; r) 7 tg ^ · ctg ^.
13.11. a) sin2 (1,5 + 32π) + cos21,5 + cos | ~ + sin ~
6) cos2 - + 4π + sin2 - - 44π
Λ
8 ) [8 j
13.12. a) tg 2,5 · ctg 2,5 + cos2 π - sin2 £ - cos2 £;
О О
6) sin2 ψ - 2 tg 1 · ctg 1 + cos2 (-ψ) + sin2 Ц.
13.13. a) cos 1 + cos (1 + π) + sin | ~ 1 + cos I ~ ;
6) sin 2 + sin (2 + π) + cos21 -— ] + sin2 -^.
013.14. Докажите равенство:
sin ^ - cos π - tg ^ /^
aj Q . π . 3π " 4 '
2 sin - - sin -g-
ctg -ρ + sin — tg (-—)
6) Ц, ^ ^L_ = V3 - 1.
2cos^ + 2sin2^
6 4
78

j3.l5. Упростите выражение:
а) sin t · cos t · tgt; в) sin21 - tg t · ctg t;
ч l-cos2i
б) sin t · cos f · ctg f - 1; r) 1_ g^·
Докажите тождество:
13.16. a) 1 + tg2 * = cos"2 *; в) sin21 (1 + ctg2 *) = 1;
6) 1 + ctg21 = sin"21; r) cos21 (1 + tg2 *) = 1.
13.17. a) tg (π - t) = -tg t; в) ctg (π - t) = -ctg *;
6) tg (2π + *) = tg *; r) ctg (2π + t) = ctg i.
Найдите наименьшее и наибольшее значения выражения:
13.18. а) 2 sin t; в) -3 cos ί;
б) 3 + 4 cos t; г) 3 - 5 sin t.
15 1
°13·19· a) 2|sini| + 3; B) 3sin2i + 4cos2i
2 +'
5 sin2 t + 5 cos2 ί
3|cos ί| + 2
6) V7 cos2 * + 9; r)
Определите знак числа:
13.20. a) sin ^; 6) cos i-^\ в) sin ψ, г) sin ί-^
013.21. a) sin (-2); 6) cos 3; в) sin 5; r) cos (-6).
013.22. a) sin 10; 6) cos (-12); в) sin (-15); r) cos 8.
Определите знак выражения:
013.23. a) sin 1 · cos 2; в) cos 2 · sin (-3);
π
7πλ ч ( ЫпЛ . ( 4π
— : ri год · sin
6) sin — · cos —— ; г) cos · sin
7 \ Ь J ; ^ 9 j ^ 9
013.24. a) cos — - tg —; в) sin — - ctg —;
6) tg 1 - cos 2; r) sin 2 - ctg 5,5.
°13.25. a) sin 1 · cos 2 · tg 3 · ctg 4;
6) sin (-5) · ctg (-6) · tg (-7) · ctg (-8).
•13.26. Вычислите:
a) sin 4 + |sin 4| + 2 cos 13 - 2|cos 13|;
tgll + ltglll
6)
ctg 121 - ctg 12'
79

Решите уравнение:
13.27. a) cos t = ^ψ; в) cos t = ~;
6) sin t = —=; r) sin t = ^-.
13.28. a) sin t = -^; в) cos t = -^-;
6) cos t = v3; r) sin t = —-.
о
13.29. a) 10 sin t = V75; в) 8 cos t - >/32 = О;
6) V8 sin t + 2 = 0; r) 8 cos t = -л/48.
13.30. a) sin2 £ + cos2 £ - л/2 sin * = 0;
8 8
6) J-z cos t = cos21 + sin21.
V «5
013.31. a) |sin f| = 1; в) |cos t\ = 1;
6) Vl- sin2i = i; r) Vl - cos2* =
Li
Ol3.32. Имеет ли смысл выражение:
Vi
а) ^/sin 10,2π; в) ^/sin (-3,4π);
б) ^cos 1,3π; г) д/cos (-6,9π)?
Решите неравенство (относительно переменной х):
013.33. a) cos 2 (2х - 1) < 0;
б) cos 3 · cos 5 · (χ2 - 4) < 0.
013.34. a) (cos t - 5)(3jc - 1) > 0;
6) (2 + sin t)(9 - x2) > 0.
013.35. a) ctg 5 (x - 1) > 0;
tg7 cosl 2
6> sin 1 &x ~ 72> < 0;
в) (tg 2 sin 5) · (7 - 5jc) < 0;
r) tg 1 · ctg 2 · tg 3 · ctg 4 · (jc2 + 2) > 0.
80

Сравните числа а и Ь:
ol3.36. a) a = sin 1, Ъ = cos 1; в) а = sin 2, Ь = cos 2;
б) а = sin 4, & = cos 4; г) α = sin 7, & = cos 7.
•13.37. a) α = sin 1, b = cos 6; в) a = sin 4, & = cos 2;
6) α ='sin 2, b = cos 4; r) a = sin 3, & = cos 5.
Расположите в порядке возрастания числа:
013.38. a) sin -; sin -; sin —; sin —; sin —-;
7 о о о о
^ч π π 5π 5π 7π
6) cos —; cos —; cos —; cos —; cos —.
8 3 6 4 4
•13.39. a) sin 2, sin 3, cos 4, cos 5;
б) cos 3, cos 4, cos 6, cos 7;
в) sin 3, sin 4, sin 6, sin 7;
r) cos 2, cos 3, sin 4, sin 5.
•13.40. a) 1, sin 1, cos 1, tg 1; 6) 2, sin 2, cos 2, ctg 2.
Вычислите:
•13.41. a) yjsin21 + sin2 2 - 2 sin 1 · sin 2 + J-j - sin 1 + sin21 +
+ ^/l + sin2 2 - 2 sin 2;
6) л/cos2 6 + cos2 7 - 2 cos 6 cos 7 + J-j - cos 7 + cos2 7 +
+ д/l + cos2 6 - 2 cos 6.
•13.42. a)
6)
/•2e o· e · 11π, . 2 ИТС
Jsin 5-2 sin 5 · sin + sin
V 6 6
-Jsin2 — - 2 sin — · sin 5 + sin2 5;
V 6 6
Jcos2 4 - 2 cos 4 · cos — + cos2 ψ +
4
+Jcos2 4 - 2 cos 4 · cos f + cos2 ^.
3 3
81

Решите неравенство:
013.43. a) sin t > 0;
6)sin*< ^;
013.44. a) cos t > 0;
б) cos t < ^;
Li
в) sin t < 0;
r) sin
t>A
в) cos t < 0;
r) cos
t>A
013.45. a) sin t < -γ
6) sin t > -^-;
013.46. a) cos t > -^;
Li
6) cos ί < -^;
в) sin ί > —g;
г) sin * < -^.
в) cos £
<-4i
r) cos ί > -■=.
013.47. a) sin t < |;
6) cos t > -^;
Li
в) sin f > -^;
r) cos t < ?§-.
Li
Решите систему неравенств:
isin t > 0,
013.48. a)
6)
013.49. a)
sini < -;
[cos t < 0,
cos f > --;
[sin t > 0,
1.
cos f <
2'
в)
r)
в)
42
sin t > ,
Li
sin £ < —;
Li
COS t >
2'
cos ί < ^-.
Li
sin ί > —
•h
cos ί < —;
Li
6)
fcos £ < 0,
sin t > -|;
r)
cost >
2'
sini<^f.
82

013.50. Решите неравенство:
а) sin t · cos t > 0; в) ctg t · cos t < 0;
б) sin ί · tg * < 0; r) tg * · ctg * > 0.
Докажите неравенство:
013.51. a) sin t < tg t, если 0 < ί < -|;
6) cos ί < ctg £, если 0 < t < тт.
#13.52. a) 1 < sin 1 + cos21 < 1,25;
17
6) 2 < 2 sin21,2 + cos 1,2 < -g-.
•13.53. a) 0 < tg у + cos"2 Ц- < 1;
6)-l < sin"2 4 + ctg4 < 1.
§ 14. Тригонометрические функции
числового аргумента
Упростите выражение:
14.1. а) 1 - sin21; в) 1 - cos21;
б) cos21 - 1; r) sin21 - 1.
14.2. a) (1 - sin t)(l + sin t); в) (1 - cos t)(l + cos t);
6) cos2 * + 1 - sin21; r) sin21 + 2 cos2 f - 1.
14.3.
14.4.
^ Х 1
a) 2.-i;
cos t
ч 1 - sin2 f
7 COS t
(sin ί + cos t)2.
a' 1+ 2sinicosi'
ΛΛ X ·
*)1_ sin2 Γ
1 - cos2 f
Γ) 1-sinV
1 - 2sinicosi
6* (cos*-sin*)2
14.5. Докажите тождество:
ч cos2i . ч „ч sin2i
a> Y^m -emi = l; 6) jj^ + cos t = 1.
83

14.6. Докажите, что при всех допустимых значениях f
выражение принимает одно и то же значение:
a) (sin f + cos tf - 2 sin f cos f;
2 - sin21 - cos21 u
' 3 sin2 t + 3 cos2 t'
в) sin4 f + cos4 f + 2 sin2 f cos2f;
sin4 f - cos4 f
Γ) · 2 . 2 . #
' sin f - cos f
14.7. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции
s = f(t), если:
а) /(f) = 1 -(cos21 - sin2f);
б) /(f) = 1 - sin f cos f tg f;
в) /(f) = cos21 tg21 + 5 cos2 f - 1;
r) /(f) = sin f + 3 sin2 f + 3 cos2 f.
Упростите выражение:
. . Л ч cos2 * ~ ctS2 *. 2 . 2 , , 2
14.8. a) -γτί—-τττ·> в) cos2 f - sin2 f (ctg2 f + 1);
sin f-tgf \ о /
о о sin2 f - 1
6) ctg2 f - (sin"2 f - 1); r) cog21 _ χ + tg f ctg f.
sinf sinf cos £ cos £
14·9· a' 1 + cos t 1 - cos t' B' 1 + sin f 1 - sin f'
6) ctg2 f (cos2 f - 1) + 1; r) ^IgV
14.10. a) (3 sin f + 4 cos f)2 + (4 sin f - 3 cos f)2;
б) (tg f + ctg tf - (tg f - ctg f)2;
в) sin f cos f (tg f + ctg f);
r) sin2 f cos2 f (tg2 f + ctg2 f + 2).
Докажите тождество:
tg ί о ctg t о
°14·η· a> tgf + ctgf = sin *5 B> tgf + ctgf = cos *'>
1 + tg t 1 - ctg t
6> ТТЩП =*«*'> r) T-^7 =-ctgi.
„ , ^ Λ v „ . cos f + ctg ί 1 - sin t _ cos t
014.12. a) 1 + em ί = ^ ; в) -^п~ - j^^T5
^ sin t + tg t . ч sin f _ 1 + cos ί
б> —til— = l + cost> г> Г^^Т " "liiTT-·
84

0χ4.13. Докажите тождество:
(smt + cost)2 -1 _ 2
a' ctg*- sin* cos* " zxg r'
6) sin3 i(l + ctg i) + cos3 i(l + tg f) = sin t + cos i;
(sint + cost)2 - 1 _ 2
B) tgi-sinicos* " 2ctg *;
1-4 sin2 t cos2 ί
г) / ■ . , T3~ + 2 sin t cos f = 1.
7 (sin t + cos i)
По заданному значению функции найдите значения
остальных тригонометрических функций:
4 π
14.14. a) sin ί = ^, ^ < ί < π;
5 π
б) sin t = -jg» 0 < t < t>;
в) sin t = -0,6, -| < t < 0;
r) sin ί = -0,28, π < t < ψ.
14.15. a) cos t = 0,8, 0 < t < |; в) cos * = 0,6, ψ < t < 2π;
6) cos ί = —jo, ^ < t <π; г) cos ί = —?jg» π < ί < -5-.
14.16. a) tg * = |, 0 < t < f; в) tg t = -|, \ < t < π;
6) tg * = 2,4, n<t < ^-; г) tg * = -|, ^ < * < 2π.
014.17. a) ctg * = ψ, 3n<t < ψ;
б) ctg t = ^, 2π < t < ψ,
в) ctg t = -j2> -у < t < 4π;
r)ctg*= -yg, у <ί <3π.
о
°14.18. а) Дано: sin (4π + t) = g, 0 < t < |. Вычислите: tg (π - ί).
12 3π
б) Дано: cos (2π + ί) = yg, -5- < ί < 2π. Вычислите:
ctg (π - ί).
85

5
014.19. а) Дано: cos t = "To* 8,5π < t < 9π. Вычислите: sin(-i).
4 9π
б) Дано: sin t = ^> -5- < t < 5π. Вычислите: cos (-t) + sin (-£),
014.20. а) Известно, что sin t + cos t = 0,8. Вычислите: sin t cos £.
б) Известно, что sin t - cos t = 75· Вычислите: 9 sin ί cos t.
•14.21. Известно, что sin t + cos t = 0,6. Вычислите:
a) sin31 + cos31; 6) tg t sin ί + ctg t cos i.
•14.22. Известно, что tg ί + ctg ί = 2,3. Вычислите:
a) tg21 + ctg21; 6) tg31 + ctg3 *.
•14.23. Известно, sin t cos ί = -0,5. Вычислите:
а) sin21 + cos21; в) sin6 t + cos6 i;
б) sin4 t + cos4 t; r) sin8 ί + cos8 t.
12
•14.24. Известно, что sin ί cos ί = "Тп· Вычислите:
a) tg t + ctg ί; 6) tg21 + ctg2 ί.
•14.25. Вычислите:
1 7 π
а) sin t + cos i, если tg t - ^zj = -j= и 0 < ί < «;
б) 2 sin ί + cos ί, если 4 ctg ί + 6 tg t + 11 = 0 и ^ < t < ^ψ.
ч ^ , sin ί + 3 cos ί ,
014.26. а) Вычислите tg t, если известно, что gin t _ 3 CQg t = 4.
^4 ^ , 2 sin ί - 3 cos t _
б) Вычислите ctg t, если известно, что 2 cos f - 3 sin t =
014.27. а) Вычислите tg t, если известно, что 5 sin t - cos21 = 2,36
и ψ < t < 3π.
б) Вычислите ctg t, если известно, что sin21 + 2 cos ί +
+ 0,56 = 0Η-|<ί< -3π.
2 sin* cos* 3
•14.28. а) Вычислите ctg t, если известно, что ~ 2 + _ ^21 = 7 й
£ < t < π.
4
б) Вычислите tg ί, если известно, что
2 sin2 f + 3 sin t cos f - cos2 t 1 π π
2cos2f-sin2i = "2 И "4 <f < 2·
86

#l4.29. Зная, что tgt = а, найдите:
а) cos41; в) sin41;
б) sin t cos t; r) sin31 cos t.
014.30. Зная, что ctg t = а, найдите:
a) 2 sin21 + 3 cos2 i; 6) 2 sin21 - 3 sin ί cos ί - 5 cos2 i.
Упростите выражение:
ч /1 + cos ί , ίΓ^
014.31. a) ^_008ί + ^
- cos t , 2 _ 7π
^oI7 + iHT? если 3π < ί < T;
б> VirS + **'· если 2π < ί < f.
•14.32. a) Vsin"2 * ~ ctS2 * + c°s2 * - * +
если
+ -y/cos 2 * - tg2 ί + sin2 ί - 1 + 2 sin ί - cos i,
te (13; 14);
6) ^/sin2 *(1 - 2 ctg t) + 4 cos2 *(1 - 0,5 tg t) +
+ sini + cosi, если t € (0; 1).
•14.33. Расположите в порядке возрастания числа:
ν 1 . 1 . 13 -ч 1 - - -
а) ^, sin ^, sin 2^; б) ^, cos 1, cos 1,1.
•14.34. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции:
а) у = sin2 χ + 2 sin jc - 5;
б) ι/= sin2 jc - 3 cos2 Jt + 2 cos x;
в) ι/ = 4 cos2 jc - 4 cos χ - 2;
r) ι/ = cos2 jc - 3 sin2 jc - 4 sin jc.
Постройте график функции:
°14.35. а) у = cos2 χ + sin2 χ; в) ι/ = sin2 Vjc + cos2 vjc;
б) у = cos2 - + sin2 -; r) ι/ = sin2 χ2 _ 4 + cos2 ^2 _ 4*
014.36. a) i/ = tg χ ctg jc;
6) ι/ = 3 cos2 χ + 2 tg jc ctg χ + 3 sin2 *.
87

§ 15. Тригонометрические функции
углового аргумента
Переведите из градусной меры в радианную:
15.1. а) 120°; б) 220°; в) 300°; г) 765°
15.2. а) 210°;
Переведите
15.3. а) ψ;
15.4. a) -g-;
б) 150°;
в) 330°;
г) 675°.
из радианной меры в градусную:
κι Ш·
б) -%-,
л\ 7π·
б)12'
ч 6π.
В) -д-,
ч 11π.
Β>Ί2";
ч 46π
г)-д-·
ч 47π
г)-д-
Вычислите sin α, cos α, tg α, ctg α для заданного значения
угла а:
15.5. а) 90°; б) 180°; в) 270°; г) 360°.
15.6. а) 30°; б) 150°; в) 210°: т) 240°.
Расположите в порядке воз
015.7. a) sin 40°, sin 80°, sin 120°,
б) cos 40°, cos 80°, cos 120°,
015.8. a) sin 380°, sin 830°, sin 210
6) cos 390°, cos 460°, cos 92(
015.9. a) sin 22,5°, cos 37,4°, cos 990°, sin 990°;
6) tg 100°, ctg 225°, cos 94,3°, sin 77°.
15.10. В прямоугольном треугольнике известны гипотенуза с и
острый угол а. Найдите катеты, площадь и радиус
описанной окружности, если:
а) с = 12, α = 60°; в) с = 4, α = 30°;
б) с = 6, α = 45°; г) с = 60, α = 60°.
15.11. Хорда АВ образует с диаметром АС окружности угол а0.
Найдите длину хорды АВ, если радиус окружности равен R
015.12. Докажите, что площадь выпуклого четырехугольника
равна половине произведения его диагоналей на синус
угла между ними.
015.13. В ААВС известно, что АВ = 4>/2 см, ΖΑ = 45°, ZC = 30°.
Найдите ВС, АС и площадь ААВС.
88

nl5.l4. Высота треугольника равна 5 см, а углы, прилегающие к
основанию, равны 60° и 45°. Найдите площадь
треугольника.
#χ5.ΐ5. Использовав геометрические соображения, вычислите:
а) sin 15° и cos 15°; б) sin 22,5° и cos 22,5°.
Вычислите:
015.16. a) sin2 733° + cos2 347°;
б) 2 cos2 395° + sin21000° + 2 sin2 755° + cos2 800°.
015.17. a) tg 1° tg 2° tg 3° ... tg 89°;
6) ctg 2° ctg 4° ctg 6° · ... · ctg 178°.
#15.18. a) sin21° + sin2 2° + sin2 3° + ... + sin2 90°;
6) cos21° + cos2 2° + cos2 3° + ... + cos2180°.
015.19. Докажите, что верно равенство:
а) (4 sin 30° + tg 60°)[cos(i60O) + ctg 150° j = 2 sin 150°;
б) (ctg 210° + 2 cos 120°)(tg 420° - 2 sin 330°) = 4 cos2 315°.
•15.20. Дано выражение sin 1° sin 2° sin 3° · ... · sin n°.
а) При каких натуральных значениях п это выражение
положительно?
б) При каких натуральных значениях η это выражение
отрицательно?
в) При каких натуральных значениях η это выражение
равно нулю?
•15.21. Дано выражение cos 1° cos 2° cos 3° · ... · cos n°.
а) При каких натуральных значениях п это выражение
положительно?
б) При каких натуральных значениях η это выражение
отрицательно?
в) При каких натуральных значениях η это выражение
равно нулю?
•15.22. Дано выражение sin 1° + sin 2° + sin 3° + ... + sin n°.
а) При каких натуральных значениях п это выражение
положительно?
б) При каких натуральных значениях η это выражение
отрицательно?
в) При каких натуральных значениях η это выражение
равно нулю?
89

•15.23. Дано выражение cos 1° + cos 2° + cos 3° + ... + cos n°.
а) При каких натуральных значениях п < 360 это
выражение положительно?
б) При каких натуральных значениях η < 360 это
выражение отрицательно?
в) При каких натуральных значениях η это выражение
равно нулю?
•15.24. Использовав равнобедренный треугольник с углом 36° при
вершине, вычислите sin 18°, cos 18°, sin 36°, cos 36°.
Указание. Проведите биссектрису угла при основании
треугольника.
§ 16. Функции у = sin χ, у = cos χ,
их свойства и графики
Найдите значение функции:
4π.
16.1. а) у - 2 sin ί χ - ^ ] + 1 при χ = -g-;
б) у = -sin | # + -τ ] ПРИ х = ~\;
в) у = 2 sin bt - — + 1 при χ = -^-»
бГ Р 6
ч -ι π^\ 15π
г) у = -sin \x + -j при χ = —£-.
16·2· У = ^iT' если:
2π. _ 11π
а) х = -q-> б) jc = -g-·
16.3. у = 2cosfx-|l-l,
если:
а) л: = -g,- б) χ = ^.
16.4. Не выполняя построения, ответьте на вопрос, принадле*
жит ли графику функции у = sin x точка с координатами:
а) [-|; -l]; б) (|; 1} в) (π; 1); г) [f; -l]f
90

16.5. Принадлежит ли графику функции
точка:
в) т; al»
у = -sin\x + l· ]+ 2
а) (<* |)
б)
б' "Τ + ^
г) (4π; 2,5)?
16.6. Принадлежит ли графику функции у = cos x точка с
координатами:
ВМ о » о
Г)
а)| 3; 2 |'
б) '
Г*. I)
[б' 2/
2/
5π. Уз
6 ' 2
16.7. Принадлежит ли графику функции у = 2 cos д: - ^ + 1
точка с координатами:
а) (0; л/3 + 1); в) [|; 2J
б)
И
г) |;3|?
16.8. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции
у = sin jr.
ч Γπ. 2πΊ. ч Г 3π. 3π\
а) на отрезке т» ~о~ > в) на интервале —о", -j- I,
б) на луче U;+oo; г) на полуинтервале -π; -~ .
16.9. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции
у = cos x:
а) на отрезке
Γπ. 2π
|_6' 3.
в) на луче
[-*
+оо ;
б) на интервале -π; -τ ; г) на полуинтервале —ψ -g- L
°16.10. Исследуйте функцию у = /(jc) на четность:
а) /(*) = х5 sin §;
б) /(*) = jc3 sin x2;
2sin-
в) fix) = —^-2·;
г) /(jc) = jc3 - sin jc.
91

Исследуйте функцию на четность:
хг sin χ
016.11. a) f(x) = χ + sin χ; в) f(x) = о _ Q ;
sin2jc о л
6) f(x) = ^r—[; г) Л*) = sin2 * - ж4.
COSJu
016.12. a) f(x) = sin л: cos χ; в) /(*) = 5 _ ^ ;
б) Л*) = |т^2 ί г) /(ж) = (4 + cos x)(sine л: - 1).
016.13. а) /(ж) = ж2 cos ж; в) f(x) = ""f^*1;
б) f(x) = χ5 cos Зх; г) f(x) = χ11 cos x + sin jc.
016.14. Найдите область значений заданной функции на
заданном промежутке:
а) у = sin jc, jc € -о» -Q-
в) ι/ = sin χ, χ € (-1; 6);
б) у = cos Jt, Jt € (1; +00); г) ι/ = cos χ, χ € [1,2; 7,5].
Вычислите, преобразовав заданное выражение (sin ί или
cos ί,) к виду sin ί0 или cos ί0 так, чтобы выполнялось
соотношение 0 < ί0 < 2π или 0° < ί0 < 360°:
16.15. a) sin 50,5π; в) sin 25,25π;
6) cos 51,75π; г) sin 30,5π.
16.16. a) sin 390°; в) sin 540°;
6) cos 750°; г) cos 930°.
16.17. Докажите тождество:
а) sin2 (χ - 8π) = 1 - cos2 (16π - χ);
б) cos2 (4π + χ) = 1 - sin2 (22π - χ).
016.18. Найдите основной период функции:
а) у = sin 2х; в) у = sin -=;
Зх
б) у = cos Зх; г) у = cos -7-.
016.19. Преобразуйте заданное выражение (sin ί или cos t) к виду
sin ί0 или cos ί0 так, чтобы выполнялось соотношение
0 < ί0 < 2π:
a) sin 8; б) cos (-10); в) sin (-25); г) cos 35.
92

16.20. Вычислите:
a) cos (t + 4π), если cos (2π - t) = —gi
16.21
6) sin (32π - ί), если sin (2π - ί) = -jg·
Решите уравнение:
а) sin (t + 2π) + sin (t - 4π) = 1;
б) 3 cos (2π + ί) + cos (ί - 2π) + 2 = 0;
в) sin (f+ 4π) + sin (t - 6π) =
г) cos (t + 2π) + cos (t - 8π) =
Найдите область значений функции:
016.22,
016.23,
а) у = 2 sin jc;
б) у= (3 cos jc - 2)4;
ν _ 1
a)i/" sin*+ 2'
8
в) у = -3 cos χ + 2;
г) ι/= (1 + 4 sin jc)2.
В> » = ϋηΤ^3;
б)^" 3COSJC-5'
016.24. а) у = sin2 jc - 6 sin x + 8;
б) у = yj2 - cos x;
г) ι/ =
15
4 + cos jc "
в) у = cos2 jc + cos χ + 2;
г) у = y/8sinx - 4.
016.25. Найдите все целочисленные значения функции:
а) ι/ = 5 + 4 cos χ; в) у = 3 - 2 sin jc;
б) у = <у/2 - 7 cos χ; г) ι/ = ^/11 + 2sinx.
016.26. Найдите все значения х, при которых заданному
промежутку принадлежит только одно целое число; укажите это
число:
а) (5 - 2 sin χ; 5 + 2 sin x);
б) [4 + 2 cos x; 4 - 2 cos jc].
Постройте график функции:
16.27. а) у = sin
б) у = sin
π
Я"8
* + ft
в) ι/ = sin (jc - π);
г) у = sin
3
χ6.28. а) у = sin jc - 2;
6) ι/ = sin jt + 1;
в) у = sin x + 2;
г) у = sin jc - 3.
93

Постройте график функции:
016.29. а) у = sin [ χ - ^ ] + 1;
016.30. а) у = -sin | χ + -
016.31. а) у = sin | χ + Щ ] + |;
б) ι/ = -sin | jc - ^ | + 2;
б) ι/ = sin
л + -
1.
б) ι/ = -sin χ + 3.
в) у = sin(x - π) - 1;
г) у = -sin J χ + - J - 2.
016.32. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции
у = sin Ι χ +0,5 на промежутке:
)Jl Oil
τ; -г
π
_4;
ί3π
и
Зтс]
4 J
9π
' 4
в) [0; π);
β) hr; -т
г)
-; +оо
4
Постройте график функции:
χ + -\;
16.33. а) ι/ = cos
б) у = cos χ - 2;
в) ι/ = cos χ - - ;
г) у = cos x + 1,5.
016.34. а) у = cos | χ + | 1 + 1; в) ι/ = cos χ - | Ι + |;
б) у = cos Ι χ - -| Ι - 2; г) ι/ = cos χ + -| | - 3.
•16.35. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции
у = -cos J χ + — J + 1,5 на промежутке:
а)
б) (1; 9); в) [231; 238]; г)
*!}
16.36. Известно, что f(x) = 3 sin x. Найдите:
а) f(-x); в) 2f(x) + 1;
б) 2f(x); г) /(-*) + /(*).
94

16.37.
Известно, что f(x) = —- cos x. Найдите:
а) f(-x);
б) 2f(x);
в) f(x + 2π);
г) f(-x) - fix).
16.38.
Известно, что f(x) = cos —. Найдите:
О
а) /(-*);
б) 3f(x);
в) f(-3x);
r) f(-x) - f(x).
16.39. Известно, что f(x) = sin 2jc. Найдите:
а) /(-*);
б) 2/(*);
в) /| "f
r) /(-JC) + f(x).
016.40. а) Дано: f(x) = 2x2 - χ + 1. Докажите, что /(sin χ) =
= 3-2 cos2 χ - sin χ.
б) Дано: f(x) = 3JC2 + 2х - 7. Докажите, что /(sin jc) = 2 sin x -
- 3 cos2 χ - 4.
016.41. а) Дано: /(jc) = 2jc2 - 3jc - 2. Докажите, что -/(cos jc) =
= 2 sin2 χ + 3 cos jc.
б) Дано: /(jc) = 5jc2 + χ + 4. Докажите, что /(cos jc) =
= 9 + cos χ - 5 sin2 jc.
16.42. Исследуйте функцию ι/ = sin χ на монотонность на
заданном промежутке:
в> (~Т; "Г/
а)
б)
5π
_2;
"_7π
6
7π]
2 J
π
5 6_
Γ)
тс 7π
з; 3
16.43. Исследуйте функцию у = cos x на монотонность на
заданном промежутке:
(7π Ππλ
в>[т;т/
а) [3π; 4π];
б)
π Jt
з; з
fit. 1U)
Г> [б' 6 J"
°16.44. На каких промежутках функция у = sin
а) возрастает; б) убывает?
π
χ
3
95

016.45. На каких промежутках функция у = cos \х + — :
а) возрастает; б) убывает?
•16.46. Докажите, что функция у = sin x:
а) возрастает на отрезке [12; 13];
б) убывает на интервале (8; 10);
в) достигает на интервале (7; 12) наименьшего и
наибольшего значений;
г) не достигает на интервале (-1; 1) ни наименьшего, ни
наибольшего значений.
•16.47. Докажите, что функция у = cos x:
а) возрастает на отрезке [-3; -0,5];
б) убывает на интервале (7; 9);
в) достигает на интервале (3; 7) наименьшего и
наибольшего значений;
г) не достигает на интервале (-3; -0,5) ни наименьшего,
ни наибольшего значений.
Решите графически уравнение:
016.48. a) sin χ = χ + π; в) sin x + χ = 0;
6) sin χ = 2x; г) sin χ = 2x - 2π.
016.49. a) sin χ = — χ; в) sin x = — χ + 3;
π π
6) sin χ + Ι χ + ^ +1 = 0; γ) sin χ = χ2 + 1.
016.50. a) sin
f χ - I I = π - 3jc;
б) sin χ - у]χ - π = 0;
в) sin
г) -sin χ = yfx.
Ml-i'-il·1'
016.51. a) cos χ = χ + —; в) cos χ = 2x + 1;
6) -cos χ = 3x - 1; r) cos χ = -χ + —.
016.52. a) cos χ = yfx + 1; в) cos jc = -(x - π)2 - 1;
ix=r~i;
6) cos # = Jx - —; r) cos # = |ж| + 1.
96

016.53
Сколько решений имеет система уравнений:
\у = sin*,
а) [у = х2 + 4* - 1;
\у = sin*,
В) \у = -Зх2 - 2;
б)
у = sin*,
1
У = -х>
г)
у = sin*,
\х\ - У = О?
ol6.54. Сколько решений имеет система уравнений:
I у = cos *,
а |ι/ = -χ2 + 2* - 3;
ι/ = cos*,
B)W-3;
б)
у - cos χ,
χ
г)
у = cos χ,
\х\-У = О?
016.55. Решите графически уравнение
•16.56
016.57.
•16.58,
a) sin χ = cos x;
Решите уравнение:
|3х 3|
a)sin*=|--7|;
Решите неравенство:
a) cos* > 1 + |*|;
a) sin * > —;
5π
б) sin * + cos * = 0.
б) cos * +
3* _ _3^
5π 10
= 0, * > 0.
б) sin * < -
3π ,
6) cos* < — - 1.
2π
Постройте график функции:
016.59. а) у = |sin *|; в) у = |cos *|;
cos *
2
•16.60.
б)у =
г)у = sin |*|;
б) ι/ = sin
3
г) ί/ =
sin* + —
21
в) ι/ = cos |*|;
г) у = (
:os
, 2π
* + —
3
°16.6l. Постройте и прочитайте график функции:
[* , если * < О,
а) У = Ί
I sin *, если * > 0;
sin*, если * < О,
I х , если χ > 0.
97

[sin x, если -π < χ ^ q|
016.62. Дана функция у = f(x), где f(x) = \ /-
I vjc, если χ > 0.
а) Вычислите: /
-| |, /(0), /(1), /(π2);
б) постройте график функции у = f(x);
в) прочитайте график функции у = f(x).
016.63. Дана функция у = f(x), где f(x)
—, если χ < 0,
л:
sin χ, если 0 < х< п.
а) Вычислите: /(-2), /(0), /(1);
б) постройте график функции у = f(x);
в) прочитайте график функции у = f(x).
Постройте и прочитайте график функции:
016.64. а) у =
016.65. а) у =
χ + 2, если χ < 0,
cos χ, если χ > 0;
cos χ, если χ < —,
Li
sin jc, если jc > —;
2
б)у =
—, если χ < 0,
-cos χ, если χ > 0.
ί-cos jc, если jc < 0,
12x2 - 1, если х > 0.
•16.66. Постройте график функции:
sinx|
а) ι/ = —-
в) У =
2cosjc
S1I1JC
б) ι/ = tgx · |cos jc|;
016.67. Постройте и прочитайте график функции:
(cos χ |
г) ι/ = ctg jc · |sinjc|.
a) y =
2x - π, если jc < —,
Li
cosx, если — < jc < —.
3π
2
6)tf =
3π ^ 3π.
jc, если д: > —;
2 2
f sin jc, если jc < 0,
x2, если 0 < jc < —,
cos jc, если χ > —.
98

01б.68. Дана функция у = f(x), где f(x)
2х + 2π, если χ < - π,
sin χ, если -π < χ < О,
-2л:, если χ > О.
а) Вычислите: /(-π - 2), Я -£ L /(2);
б) постройте график функции у = f(x);
в) прочитайте график функции у = f(x).
016.69. Дана функция у = f(x), где f(x) = \
-х2, если χ < О,
sin χ, если 0 < χ < π,
-(jc - π) , если jc > π.
а) Вычислите: /(-3), /
f I, Λ2π - 3);
б) постройте график функции у = f(x);
в) прочитайте график функции у = f(x).
016.70. Дана функция у = f(x), где
№
sin
3π
JC + -L если - — < χ < О,
χ + 1, если 0 < л: < 2;
->/jc - 2 + 3, если jc > 2.
а) Вычислите: /(0), /(6), /(-π - 2);
б) постройте график функции у = f(x);
в) прочитайте график функции у = f(x).
Постройте график функции:
•16.71. а) у
S1I1JC
б)г/ =
COSX
•16.72. а) у = sin (sin x);
б) у = sin (cos x);
в) у = cos (cos x);
г) у = cos (sin χ).
99

§ 17. Построение графика функции
у= mf(x)
Постройте график функции:
1 4
в) у = -ох ;
17.1. а) у = Зл/х;
б) у = -2\х\;
17.2. а) у = -2(х - I)3
б)у = 3\х + 2\;
17.3. а) у = 2 sin x;
б) у = 3 cos jc;
17.4. а) у = -2 sin jc;
б) ι/ = —3 cos jc;
г) У = -γ
в)у= -2yjx - 3;
г) ι/ = 0,5jc"3.
в) у = -sin jc;
г) ι/ = -cos jc.
в) ι/ = 1,5 sinjc;
г) у = -1,5 cos x.
17.5. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции
ι/ = 2 cos x:
а) на отрезке
тс тс
V 2
в) на полуинтервале
б) на интервале [ 0; — |;
Зтс
г) на отрезке
тс Зтс\
3' 2 /
_3тс _тс]
2; 4J·
17.6. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции
у = -3 sin x:
а) на луче [0; +оо);
б) на открытом луче -°°; τ К
в) на луче
-; +оо
4
г) на открытом луче (-оо; 0).
017.7. Постройте график функции:
а) у = 2 sinx - 1;
в) у = ~ sin χ + 3;
б) у = -- cos χ + 2;
г) ι/ = 3 cos jc - 2.

Постройте график функции:
017.8. а) у = 2 sin
*-!'
в) у = -sin
-I
б) у = -3 cos
6
г) у = 1,5 cos
JC -
2π
017.9. a)i/ = 2sinix + | 1 + 1;
б) у = -3 cos
5π ι 0
в) ι/ = -1,5 sin
ΜΗ
r)» = 2,5cos|* + y |-1,5.
•17.10. а) у = 2|cosjc|;
б) у = -3 cos
х+«
6
в) у = 3 sin | лг|;
г) у = -2
sin
* 3
017.11. Подберите коэффициенты а и Ъ так, чтобы на данном
рисунке был изображен график функции у = a sin χ + Ъ или
ι/ = α cos * + b:
а) рис. 48; б) рис. 49; в) рис. 50; г) рис. 51.
1 II I I 1 1 у\ I I 1 1 1 III 1 II II 1
тЗ
И N
мм
1 /ι \ У
К \л\ \\\\\\\\\\а\\
МЧ / 14 К1 И
-7ϊ Μ | 1/| °| 1 1 1 | | π \ | Ι Μ 2π | х\
1 1 1 X^L/T Ι Ι ί Ι Ι Ι Ι Ι Ι Χ ΙνΓ I I I I
PMC. 48
101

/
1
/
л
/\
/\
"7Г
π
2
ΎΙ
o\
I
^o
К
-o,u
о
Δ
^/
/
/
0,5
A
71
j
/
с
2
J
1
/Ί
Ν
π
\
Ν
\
\
ν
3π
2
И
PMC. 49
к
У1
О
1
i
τ
с
И
PMC. 50
\
.
у
\
\
\
\
-π
к
у
)
/
/
I
I
I
/
/
F
У>
f
о
{
2l5
N
-0,5
1 Q f
4-»,l
π
У
\/
γ
у
/
/
г
и
PUC. 51
102

ni7.l2. Подберите коэффициенты α и & так, чтобы на данном
рисунке был изображен график функции у = a sin (χ + b)
или у = a cos (χ + b):
а) рис. 52; б) рис. 53; в) рис. 54; г) рис. 55.
1 I II I 1 У\ \ \
\ 4-1
УС пч
И N
I I ^| I |о| Ι л\
Ы и
ΙΙι τ τ
Рис
II I I I I I I I v\
И >
Иг
/
/I
I I v«\ Ι/Ι Ι Ι π I
\4 /ie
ι И
к
Рис
J/^г4
/\
\ У
Mill ί/^π I
l> ИМ
ГП
\л\
Ив
>5 *
IN^LxKI 3 I I II
. 52
о
Ζ
\ l \ τ \ >\
°\ AI | in | Ι Απ| *|
3 4 Ι "β" I / 3
N I И I
·> ж
τ— Γ Ι ——Γ Τ
. 53
I 2/f I | | | | | | |
lie:
> 1
ГЧ
II \ у
\o\ \ \λπ\
h> / «
LlJvUrl
Μ ΠΙ
χ
РИС. 54
103

I
ι
/
/
/
/
F
f
\
№
\
\
О
L
-4
V
\
\
■ - '
\
■л\
г
Ι t
3
2π
3
N
ь
\
N
\
\
\
\
x\
PMC. 55
017.13. Составьте возможную аналитическую запись функции по
ее графику, изображенному:
а) на рис. 56; б) на рис. 57.
Г-
2
1
2/J
А
4
1
1
о
1
π
2
7
ι
JC
/
ί
π
2
У1
1,5
/
f
<*
1
О
к
π
2
_^
X
РМС. 56 РМС. 57
017.14. Постройте и прочитайте график функции:
а) у
3 sin χ, если χ < —;
3jc3, если jc > —;
104

-2 cos x, если х < О,
-χ4, если jc > 0.
|Χ7.15.
б)у=1
Решите уравнение:
а) 2 sin*- 1= [χ-γ\ - π
9'
•17.16,
б) 2 cos χ = —2"
Решите неравенство:
а) 2 cos x < 2 + χ4;
6) -2 sin jc > Jr[ * + \
Постройте график функции:
3 sin3 χ
а) г/ =
1 - cos2 jc
б)г/ =
2 sin2 л; - 2'
•17.17.
•17.18. а) у = 3 sin χ + |sin jc|; б) у = cos * - 3|cos χ |.
•17.19.
a) ί/ = ΐΰ~ +
sinx |апл:|'
η 2 + Χ
6) ι/ = +
•17.20.
•17.21.
•17.22.
sin χ, ч
а) и = —.—-(x - π);
> <* sin r
б) у
cos* I cos jc|
COSJC
IcosjcI
(χ + π).
а) у = sin χ + sin |jc| + |sin x\;
б) у = cos л: + cos | x\ - |cos x\.
\ , x ~ \X\ , I I
а) у = cos jc + cos —<y—l + |cos jc|;
б) ι/ = sin jc - sin —p-i—^ + |sin x\.
§18. Построение графика функции у = f (Aor)
Постройте график функции:
18.1. а) у = >/2Ϊ; б) у = ^; в) у = (2х)4; т) у =
18.2. а) ι/ = sin -οι
б) ι/ = cos 2x;
в) у = cos -g;
г) у = sin 3jc.
105

Постройте график функции:
018.3. а) у = 3 sin |;
б) у = 2,5 cos 2х;
в) У = -3 sin 2х;
г) у = 2 cos -о·
018.4. а) у = 3 sin (-jc); в) ι/ = 2 sin (-2x);
б) у = -2 cos (-Зл:); г) у = -3 cos (-*).
18.5. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции:
у = sin 2x:
а) на отрезке
б) на интервале
; о
V 2
в) на отрезке
V 4
г) на полуинтервале (0; π]
18.6. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции:
χ
у = cos —:
υ 3
а) на луче [0; +оо);
б) на открытом луче (-оо; π);
в) на луче
г) на открытом луче т:? +°°
018.7. Постройте график функции:
а) у = sin 2х - 1; в) у = cos 2х + 3;
б) у = cos -g + 1;
г) у = sin -о - 2.
Постройте и прочитайте график функции:
[cos 2х, если д: < π;
018.8. а) у = <
б)у =
018.9. а) у =
б)у =
--, если χ > π;
-sin3jc, если jc < 0;
если jc > 0.
-2 sin jc, если jc < 0;
если χ > 0;
если jc < 0;
3 cos jc - 3, если χ > 0.
106

ι8.10· Составьте возможную аналитическую запись функции по
ее графику, изображенному:
а) на рис. 58; в) рис. 60;
б) на рис. 59; г) рис. 61.
гПП \у\ 1 III II II
^μΊ
^w J
HjSj
ч1ХЛх /ik
±J NK 4 / r
\\ \°\ Ι Λ1 1 / 1*1
it 'J 2i\Y\
yk
ι
7
f
π Ο
6
-1
\
>
6 \3_j
τ
ι
χ
PMC. 58
PUC. 59
-π
π
2
^>
2/i
2<
1
1
У
/
k
О
-1
_2
π\
2 \
7
ι
^
Λ
'
/
/
I
3π
JC
2
Puc. 60
2π
/-π
щ
2
^
О
-1
-2
k
7
^
i
ίπ"
^3π
χ
РИС. 61
107

Ol8.ll. Исследуйте функцию у = 2 sin Зх на монотонность на
заданном промежутке:
г2п 5πΛ
а)
*ι
б) (-1; 0); в)
3' 3
г) (3; 4).
018.12. Исследуйте функцию у = -2 cos -=· на монотонность на
заданном промежутке:
а)
*т
б) (-3; 2); в)
2π 5π
з; з
г) (3; 9).
2х
018.13. На каких промежутках функция у = -0,5 sin —:
3
а) возрастает;
б) убывает?
Зх
018.14. На каких промежутках функция у = 1,5 cos —:
а) возрастает; б) убывает?
Постройте график функции:
2кх
018.15. а) у = sin πχ; в) у = -2 sin ——;
3
б) у = -2 cos —;
г) у = 3 cos
3πχ
018.16. а) у = - cos 3
Li
χ
3
б) у = -1,5 sin I (* + f
•18.17. а) у = sin (x + \x\);
б) у = cos —2"1-1;
в) ι/ = cos(x + |*|);
г) у = Sin £-L-L.
•18.18. Решите уравнение:
a) sin πχ = 2x - 4;
6) cos -«- = yjljax.
§ 19. График гармонического колебания
Ol9.1. Постройте график функции:
а) у = 3 sin
χ +
б) у = cos - ί χ + |
108

Постройте график функции:
019.2. а) у = -2 cos 2
'•♦г
-2 sin 3
*+2
019.3. в) у = 2 sin
019.4. а) у = - si
sin
v2 6
6)1/
6)i/
3 fa; π
б) у = -- cos \- ~ J
-3 cos 2л: +
#19.5. Подберите коэффициенты α, £> и с так, чтобы на данном
рисунке был изображен график функции у = a sin (bx + с):
а) рис. 62; б) рис. 63.
)
\
\
\
\
1 i
1
π \Ι
12J
Ч/
l·
\
\
1
^y
2
Ρ
f\
э\
L 9
к
\
\
\
5π
12
I
\
\
\
ч /
/
/
/
/
f
l:
.π
12
x\
PMC. 62
—
/^
Ятг
-""T
2/i
О
^
-ι
—
5-
i,s
π
2
>
Я
π
2
./ρ
£_
2
PMC. 63
109

•19.6. Подберите коэффициенты α, b и с так, чтобы на цанном
рисунке был изображен график функции у - a cos (bx + с):
а) рис. 64; б) рис. 65.
-π
У1
О
i
\
{
^9
Δ
А
J
/
I
2
π
3
π
4π
3
χ
PUC. 64
4
ι ι ι ι у\ \
Ι Ι ο
/Κ
/ \
ϊ 1
Ι Η
/ \
/ \
- \°
/ 7 \\
U \\\
/1
Λ \\\Κ
Α 3 ν-
ι ι ι г ι
/\
\\\
11
/ Μ\
/ \
/ 1 J
/ 2π \4 Γ
/τ
/ ι ,
/
/Ν
PUC 65
110

0χ9.7· На каких промежутках функция у = -1,5 sin — - — ·"
а) возрастает;
б) убывает?
θΐ9.8· На каких промежутках функция у = 3 cos
а) возрастает; б) убывает?
3
0l9.9. Чему равен основной период функции:
а)у = -1,5 sin I -| - -J 1; б) у = 3 cos 2* + γ
019.10. Исследуйте функцию у = -1,5 sin
на заданном промежутке:
а) [0; 2π]; б) (2; 4); в)
2 4
-?;°
на монотонность
г) (-1; 2).
019.11. Исследуйте функцию у = 3 cos 2x +
2тЛ
на монотонность
на заданном промежутке:
а)
о;|
б) (1; 2); в)
-S"»
г) (-1; 1).
•19.12. При каких значениях параметра α функция у = 2 sin I -77 + —
2 6
ч ι 2π 2π^
а) возрастает на \ a ; a + —
б) убывает на
a; a + —
•19.13. При каких положительных значениях параметра α
функция у = -3 cos
з*-*
а) возрастает на (а; 2а);
б) убывает на
а; а + —
о
111

§ 20. Функции у = tg χ, у = ctg лг,
их свойства и графики
20.1. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции
у = tg χ на заданном промежутке:
(π ЗтсЛ
а) на интервале —; —
б) на полуинтервале
в) на отрезке
π тс
4; 6
г) на полуинтервале
'Зтс '
π, Τ|.
20.2. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции
у - ctg jc на заданном промежутке:
π π ,
в) на интервале (-π; Ο);
а) на отрезке , ,
б) на полуинтервале
2'Я
г) на отрезке
тс Зтс
б5 4
20.3. Найдите область значений заданной функции:
а) у = tg χ, χ е
б) у = ctg χ, χ е
*§
5π _π
"б5 3
в) i/ = tgx, хе \—; γ
и
3π 7π
г) ι/ = ctg χ, χ e I -; π
u
20.4. Решите графически уравнение:
a) tg x = -л/3; в) tg x = -1;
6)tgx= 1; г) tgx = 0.
20.5. Решите графически уравнение:
а) ctg л: = 1;
б) ctg χ = —;
в) ctg л: = -—,
г) ctg χ = 0.

Исследуйте функцию у = fix) на четность, если:
О20.6. a) f(x) = tg χ - cos x; в) f(x) = ctg2 χ - χ4;
6) fix) = tg χ + χ; г) f(x) = xs - ctg χ.
020.7'. a) f(x) = tgx sin2 x; в) fix) = x5 tg x\
6) fix) = ~^ΓΓι> г) К*) = χ2 + sin * + tg x.
jc4 ctfif χ
020.8. a) /(*) = sin χ + ctg x; в) /(χ) = ^ _ 4 >
2 ctg χ
6) ft*) = 3—5 r) /(jc) = ctg χ - χ cos x.
020.9. Дана функция у = fix), где fix) = tg χ. Докажите, что:
а) fi2x + 2π) + /(7π - 2jc) = 0;
б) /(π - χ) + /(5π + χ) = 0.
020.10. Дана функция у = fix), где fix) = χ2 + 1. Докажите, что:
Найдите основной период функции:
020.11. а) у = tg 2х; в) у = tg Ьх;
χ 2х
б) У = tg -3; г) у = tg -тр
020.12. а) ι/ = tg χ + sin 2jc - tg Зх - cos Αχ;
б) у = sin 3jc + cos 5jc + ctg χ - 2 tg 2x.
3
20.13. Известно, что tg (9π - χ) = —-. Найдите: tg x, ctg x.
20.14. Известно, что ctg(7π - χ) = —. Найдите: tgx, ctgjc.
020.15. Определите знак разности:
а) tg 200° - tg 201°; в) tg 2,2 - tg 2,1;
б) tg 1 - tg 1,01; г) tg ψ - tg ^·
Постройте график функции:
20.16. a)j/ = tgix + |\
б) у = tg χ + 1; г) у = tg χ - 2.
в) у = tg Ι χ - ^ |;
113

Постройте график функции:
020.17. а) у = tg\x +
+ 1;
χ -
2π
б) у = tg
020.18. а) у = -tg x;
6)y = -tgx + 1;
020.19. а) у = ctg \x + -
2'
в) J/ = tg
г) ι/ = tg
в) J/ = -tg
г) У = -tg
я -
* + ϊ
l;
-2.
χ + —
3
-2.
jc
3
б) у = ctg χ + 1;
020.20. a) ι/ = 2 tg *;
6) ι/ = -0,5 ctg *;
в) у = ctg
г) у = ctgx - 2
B)y = tg 2x;
г)у = ctg ^.
020.21. Исследуйте заданную функцию на монотонность:
+ 1;
-2;
a)y = 2tg|*-£
в) у = -tg | χ + J I - 3;
б) ι/ = ctg I χ + ΐ
r)y = -2ctg|x-£| + l,5.
Постройте график функции:
020.22. а) у = |tg x|; в) у = |ctg x|;
6)y = tg|*|;
020.23. a) y = tgx+\tgx\;
020.24. а) у = tgx|ctgx|;
020.25. а) у = 2 tgx ctg x + \x\;
б) у = tg χ ctg χ + Vjc.
020.26. a) i/ = sin2 (tg jc) + cos2 (tg x);
б) у = 3 cos2 (ctg *) + 3 sin2 (ctg jc)
•20.27. а) у = -tg (cos x) · ctg (cos jc);
б) у = -2 tg (sin x) · ctg (sin x).
г) у = ctg\x\.
б) У = I ctg χ | - ctg л:.
6) ι/ = |tgx|ctgx.
114

B)tg*> -£;
2Q#28. Решите неравенство:
а) tgx < 1;
б) ctg χ > л/3; г) ctg jc < -1.
020.29. Решите систему неравенств:
a)
б)
tgx > О,
sin χ > --;
ctgjc < 1,
cos л: > —
я.
в)
г)
tgx
COSJC
ctg л:
sinjc
<#·
< 0;
> -&,
<A
§ 21. Обратные тригонометрические функции
Вычислите:
л/3
21.1. a) arcsin —;
Li
б) arcsin l;
21.2. a) arcsin
6) arcsin
в) arcsin —;
Li
г) arcsin 0.
в) arcsin (-1);
2 )
г) arcsin —
021.3. Найдите область определения функции:
а) у = arcsin x;
б) у = arcsin (5 - 2х);
в) у = arcsin —;
Lt
г) у = arcsin (χ2 - 3).
021.4. Имеет ли смысл выражение
Г 2}
3
a) arcsin
в) arcsin (3 - V20);
б) arcsin 1,5; г) arcsin (4 - V20)?
°21.5. Найдите область значений функции:
а) у = 2 arcsin χ; в) у = arcsin χ + —;
Li
б) у = -4 arcsin χ; г) у = π - 2 arcsin x.

021.6. Исследуйте функцию на четность:
arcsin χ
а) У = ——4—5
б) у = sin2 χ + χ arcsin x;
в) у = arcsin χ3 + 3 cos 2x;
г) у = 2 tg χ + χ5 - 3 arcsin 2χ.
Постройте график функции:
021.7. а) у = arcsin x;
б) у = arcsin (-x);
021.8. а) у = arcsin (χ - 1) + -г-;
я
б) у = -arcsin (χ + 2) - -q.
в) ι/ = -arcsin jc;
г) ι/ = -arcsin (-χ).
021.9. а) у = 2 arcsin χ;
б) у = — - arcsin x;
о
в) У = ~"^ arcsin jc;
о
г) у = -2 arcsin (χ - 3).
О21.10. а) ι/ = arcsin 2x;
б)у = arcsin |- + -;
в) у = arcsin —;
г) у = arcsin 2(х - 1) + —.
021.11. Постройте и прочитайте график функции:
кх л
—, если χ < -1;
2
а) у = \ arcsin χ, если -1 < χ < 1;
—, если χ > 1.
Li
б) у
[ arcsin χ, если -1 < χ < 0;
-arcsin χ, если 0 < χ < 1;
(х _ 1)2 _ * если 1 < χ < 3.
021.12. Постройте график функции:
а) у = 3| arcsin jc| - arcsin jc;
б) ι/ = arcsin χ + I arcsin jc |;
в) l/ =
г) у = -arcsin \x - 2|.
arcsin χ
3
116

21.13.
21.14.
Вычислите:
a) arccos 0;
б) arccos l;
a) arccos
о
V " )
б) arccos
2
Vs.
в) arccos -p-»
г) arccos ~·
; в) arccos (-1);
» г) arccos —
21.15. a) arccos (-1) + arccos 0;
1 >/3.
6) arccos - - arccos -5-»
2
( V^
2
V2.
+ arccos —;
в) arccos
r) arccos - ρ - arccos -·
021.16. a) arccos -- I + arcsin — ;
I 2j ^ 2j
6) arccos
в) arccos
2
< VT
ν 2 у
4~2
- arcsin (-1);
+ arcsin
r) arccos — - arcsin
2
{ 2
021.17. a) cos
2arccos— 3arccos0 - arccos —
2 2
6>±
3
arccos- + arccos —
3 { 3
°21.18. a) sin [ arccos f--|]
в) ctg (arccos 0);
6)tg
arccos-
/
r) sin
arccos
vr
117

Вычислите:
1 ( 1
о21.19. a) sin I 2arcsin— Затесов1
1 2
6) cos — arcsin 1 + arcsin
2
I 2
B)tg
r) ctg
^s
4~2
arcsin — + 2 arccos — ;
2 2
3arccos(-l) - arcsin
I 2jj
21.20. Докажите тождество:
а) sin (arccos χ + arccos (-x)) = 0;
б) cos (arcsin χ + arcsin (-x)) = 1.
021.21. Найдите область определения функции:
а) у = arccos χ; в) у = arccos 2x;
б) у = arccos (χ - 1); г) у = arccos (3 - 2х)
21.22. Имеет ли смысл выражение:
a) arccos л/5;
б) arccos J-;
в) arccos —;
5
г) arccos (-л/3)?
021.23. Найдите область значений функции:
а) у = 2 arccos x;
в) У = "7" arccos jc;
Li
б) у = 1,5 arccos χ - —\ г) у = π - 2 arccos jc.
Li
021.24. Исследуйте на четность функцию:
а) у = arccos χ2 + —;
о
arccos jc2.
б) у = —ρ—>
в) ι/
arccos jc
г) у = 2х3 arccos x .
021.25. Постройте график функции:
а) у = arccos x;
б) у = arccos (-x);
в) у = -arccos x;
г) у = -arccos (-jc).
118

Постройте и прочитайте график функции:
021.2б. а) у = arccos (χ - 1) - |;
б) у = arccos (χ + 2) + 75·
02l.27· a) ι/ = -3 arccos *;
б) у = -τ— arccos x;
021.28. a) ι/ = arccos 2jc;
6) ι/ = arccos -g - -g-;
в) ι/ = -g arccos jc;
г) ι/ = -g arccos (jc + 1,5).
χ
в) у = -arccos -«;
г) у = arccos 2(x - 1) - -=
021.29. a) i/ =
6)tf =
π, если jc < -1;
arccos x, если -1 < jc < 1;
V* - 1, если jc > 1.
arccos jc, если -1 < χ < 0,5;
—, если 0,5 < χ ч —;
о о
χ, если — < jc < 3.
3
•21.30. Постройте график функции:
а) у =
arccos χ -
б) у = arccos \x\;
Вычислите:
21.31. a) arctg 1;
б) arctg (-V3);
21.32. а) агсс
б) агсс
tgl;
2π
3
; в) у = -2 i
■irccos
1*1;
г) у = arccos 1 jc — 2|.
в) arctg л/3;
г) arctg [-^ J-
в) arcctg
r) arcctg (
r s
3
).
)
119

Вычислите:
021.33. a) arcctg (-1) + arctg (-1);
6) arcsin
в) arcctg
I 2 )
+ arcctg (-л/3);
- arctg —;
г) arccos — - arcctg (->/з).
021.34. a) 2 arcsin
f £\
{ 2 J
+ arctg (-1) + arccos —;
Li
6) 3 arcsin — + 4 arccos
Ci
в) arctg (-л/з) + arccos
л/2 , ,
3
f лр
I 2
+ arcsin 1;
r) arcsin (-1) - - arccos — + 3 arcctg —— .
Li Li О
V /
021.35. a) sin (arctg (-л/з)); в) cos (arctg 0);
6)tg
arctg
< Д"
I 3 )
021.36. a) tg (arcctg 1);
6) sin (arcctg v3);
r) ctg (arctg (-1)).
в) cos (arcctg (-1));
r) ctg
2 arcctg
i—11
( Vs J/
021.37. Найдите область определения функции:
а) у = arcsin χ + arctg x;
б) у = arcctg yfx + arccos —;
Li
в) у = arctg — - arccos (2x - 0,5);
г) у = arcsin (x2 - 1) + arctg 2x + arcctg (x - 1).
120

21.38. Исследуйте функцию на четность:
arctg χ
а) у = χ4 '
б) у = sin2 χ + χ arctg x;
в) у = arcsin x + arcctg x;
г) у = 2 arcctg jt + χ5 - 3 arcsin 2jc.
o2l-39. Найдите область значений функции:
а) у = 2 arctg jc;
б) ι/ = -- arcctg *;
в) ι/ = 1,5 arcctg χ - τ>;
г) ι/ = π - 2 arctg jc.
021.40,
021.41,
Постройте график функции:
а) у = arctg (-χ); в) у = -arcctg x;
б) у = arcctg (-*); г) у = -arctg (-*).
а) у = arctg (* - 1) - f;
б) ι/ = arcctg (jc + 2) +
021.42. а) у = 0,5 arctg χ;
2π
6) ι/ = γ - arcctg *;
021.43. а) у = arctg Зх;
в) I/ = -3 arcctg *;
г) 1/ = 1,5 arctg (χ + 2).
3*
в) у = arcctg
б) ι/ = arctg - - -;
г) у = arcctg 2(x - 1).
°21.44. Постройте и прочитайте график функции:
ί arctg χ, если χ < 0;
*)У= \ Г п
[V*, если χ > 0.
6)ι/ =
arcctg jc, если jc < 1;
°21.45.
[arctg χ, если jc > 1.
а) у = |arctg х|; в) у = -2 arcctg |x|;
б) ι/ = arcctg | χ|;
г) ι/ =
arctg x + -

Вычислите:
021.46. a) cos arcsin -—
021.47. a) sin
б) tg (arcsin 0,6);
< 3
arccos —
5
/
6)tg
/
arccos
\\
13
021.48. a) sin
arctg- |;
6) cos arcctg
12
в) cos
/
arcsin -
8
r) ctg (arcsin (-0,8)).
в) sin (arccos (-0,8)).
r) ctg
в) sin
r) cos
4
arccos —
5
f ( л\\
arcctg --
i"*«i-s
•21.49. Докажите, что
χ
а) sin (arctg x) = j^p '
χ
б) tg (arcsin x) = l_ ^2'
1 .
в) sin (arcctg x) = о—-j'
Jl _ v2
r) tg (arccos x) = .
Постройте график функции:
•21.50. а) у = cos (arccos χ);
б) у = arctg χ + arctg (-x);
в) у = tg (arctg x);
г) у = arcsin x + arcsin (-x).
•21.51. а) у = arccos χ + arccos (-χ);
Η)
б) у = arccos — + arccos
χ
в) у = arcctg x + arcctg (-x);
г) у = arcctg yfx + arcctg {-y[x).
•21.52.
•21.53. а) у = arccos (cos x);
а) у = sin (arccos x);
б) у = tg (arcctg x);
в) у = cos (arcsin x);
r) I/ = ctg (arctg *).
6) 1/ = arctg (tg x).
122

021.54
Решите уравнение:
а) arcsin 2х = —;
о
б) arctg (Ах + 1) = ^|;
в) arccos (3jc
2π
3,5) = т;
г) arcctg (4jc + 1) = —.
4
021-55.
а) arcsin (3* - Ъх + 1) = —;
Li
б) arctg (ж3 - 27 - &) = -|;
О
в) arccos (Зх2 - 10* + 2,5) =
2π
3'
г) arcctg (хг - 8х2 + 15* + 1) = -J.
021.56. a) arcsin
6 4
3π
- arcsin
i-i-o-·
6) arccos ctg ψ + arctg V2jc - 1 - -^ = 0.
021.57. a) 8 arcsin2 χ + 2π arcsin χ = π2;
б) 18 arctg2 χ - 3π arctg jc = π2;
в) 18 arccos2 x = 3π arccos jc + π2;
г) 16 arcctg2 jc + 3π2 = 16π arcctg x.
021.58. a) arcsin
2x + 34 I = arcsin I —-
6) arctg (jc2 - 9) = arctg 8jc;
b) arccos (3x + 1) = arccos (2x + 5);
r) arcctg (x2 - x) = arcctg (4jc - 6).
•21.59. a) arccos χ = arctg x;
6) arccos χ = arcsin x;
в) arcctg χ = arctg x;
r) arcsin χ = arcctg x.
в) arcsin χ <
r) arcctg χ <
Решите неравенство:
°21.60. a) arccos χ > —;
4
6) arctg χ > -—;
4
•21.61. a) 9 arcsin2* < π2;
6) 36 arctg2 jc > π2;
•21.62. a) 8 arcsin2 χ + 2π arcsin jc < π2;
б) 18 arctg2 χ - 3π arctg jc > π2;
в) 9 arccos2 χ < 9π arccos jc - 2π2;
г) 16 arcctg2 χ + 3π2 > 16π arcctg jc
3π
4;
5π
6 '
в) 16 arccos2 χ > π2;
г) 9 arcctg2 x < π2.

I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I
г Тригонометрические
Г уравнения
Γι ι ι ι ι ι ι ι ι ι ι ι ι ι ι ι ι ι ι ι ι ι ι
τ-
"Г"
"Г"
"Г"
§ 22. простейшие тригонометрические уравнения
и неравенства
Решите уравнение:
22.1. a) cos χ - —;
б) cos jc = ;
22.2. a) cos jc = -;
о
б) cos jc = -1,1
ν 7з
в) cos χ ;
Li
ν л/2
г) cos χ = —.
' 2
ν S
в) cos x = ;
3
ч S
r) cos χ = —.
2
022.3. Найдите корни уравнения на заданном промежутке:
V5
a) cos χ = —, χ € [0; 2π];
Li
б) cos χ = -—, χ € [2π; 4π];
Li
в) cos jc = —, jc € [-π; 3π];
Li
r) cos jc = -1, jc €
-*;*
Решите уравнение:
лл . 8 cos jc - 3 +
22·4· a) 3cos* + 2 = 1;
^4 3 cos χ + 1 , 5 cos jc - 1 ! „к
6) g + 3 = 1,75.
022.5. a) 6 cos2 χ + 5 cos χ + 1 = 0;
6) 3 + 9 cos χ = 5 sin2 #.
124

022.6· Найдите корни уравнения на заданном промежутке:
a) cos χ = -, χ е [1; 6];
б) COS X = —, JC €
Li
--· 12
4' 12
в) cos jc = —-, jc € [2; 10];
Li
г) cos jc = ——, jc €
Li
-4;т
022.7. Сколько корней имеет заданное уравнение на заданном
промежутке:
а) cos χ = -, * € [1; 6];
б) cos * =-0,4, χ е [3; 11]?
Решите уравнение:
2/8.
2 '
Vi.
22.8. a) sin χ =
б) sin x =
22.9. a) sin χ = «^;
Li
6) sin jc = ;
Li
22.10. a) sin jc = \\
4
в) sinjc = 1;
r) sin χ - —.
Lt
в) sinjc = -1;
r) sin χ = —т.
Li
в) sin χ = -—;
6) sin χ = —;
4
r) sin jc = —.
3
°22.1l. a) (2 cos χ + 1) (2 sin jc - 7з) = 0;
б) 2 cos χ - 3 sin jc cos jc = 0;
в) 4 sin2 χ - 3 sin jc = 0;
r) 2 sin2 jc - 1 = 0.
°22.12. a) 6sin2* + sinjt = 2;
6) 3 cos2 χ = 7(sin χ + 1).
125

022.13. Решите уравнение:
ν . 2 SX л/2 . 2 ЗЛС .
а) sin = sin jt - cos — + 1;
4 2 4
л/3
б) cos2 2jc — 1 — cos jc = sin2 2x.
2
Найдите корни уравнения на заданном промежутке:
22.14. a) sin* = \, χ е [0; π];
Li
б) cos χ = -—, χ € [-π; π];
Li
в) sin χ = ——, χ e [-π; 2π];
Li
л/3
г) cos x = —, χ £ [-2π; π].
022.15. a) sin χ = -, χ e
Li
2; 4
б) sin χ = -—, χ e -—; 6 ;
в) sinjc= ^-, jc G (-4; 3);
г) sin χ = ——, χ e (-3; 6).
Li
022.16. Сколько корней имеет заданное уравнение на заданном
промежутке:
ι 4
a) sin χ = 0,6, χ е
б) sin χ = --, jc € (2; 7)?
Решите уравнение:
22.17. a) tg χ = 1;
6)tg*=-^;
в) tg x = -1;
г) tg χ = —.
22.18. a) tg χ = 0;
6) tg x = -2;
в) tg x = -3;
г) tg χ = -.
126

22.19. a) ctgx = 1;
6) ctg χ = л/3;
22.20. a) ctg χ = -л/3;
6) ctgx =-1;
22.21. a) tg2 χ - 3 = 0;
22.22
6) 2 tg' χ + 3 tg χ = 0;
а) tg2 * - 6 tg * + 5 = 0;
б) tg2 jc - 2 tg χ - 3 = 0.
22.23. a) sin 2* = ^;
Li
6) cos - - --;
22.24. a) sin f-| J = ^5
/ч
6) cos (-2л:) = -*£■;
Li
в) ctg jc = 0;
r) ctg χ = —.
в) ctg jc = —
VI.
r) ctg χ = -5.
в) 4 tg2 jc - 9 = 0;
r) 3 tg2 χ - 2 tg χ = 0.
ч . * 1
в) sin - = -;
r) cos 4jc = 0.
в) tg (-4*) = -t=;
ЛГ
r) ctg
-fl-1.
022.25. a) 2 cos
= n/3;
022.26.
a) cos I - - 2x
6
= -i;
6)tg
= -l;
в) 2 sin I 3x - -
r) sin
в) 2 sin
'* π^
2 6
(
-л/2;
+ 1 = 0.
5-fl-A
г) 2 cos I i - 3*
= 72.
°22.27. Найдите корни уравнения на заданном промежутке:
а) sin Зх = ^, [0; 2π]; в) tg | = ^, [-3π; 3π];
л/3
б) cos 3jc = —, [-π; π]; г) ctg Ax = -1, [0; π].
Lt

Найдите корни уравнения на заданном промежутке:
022.28. a) sin χ = --, [-4; 4];
б) cos x=l, [-6; 16].
022.29. a) sin f = 0, [-12; 18]; б) cos 3* = ~, [1; 7].
022.30. Решите уравнение sin
2х - — I = -1 и найдите:
а) наименьший положительный корень;
б) корни, принадлежащие отрезку
в) наибольший отрицательный корень;
г
г) корни, принадлежащие интервалу -π;
022.31. Решите уравнение cos — -2х = — и найдите:
а) наименьший положительный корень;
, π 3π
б) корни, принадлежащие отрезку
2' 2
в) наибольший отрицательный корень;
г) корни, принадлежащие интервалу | -π; —
Решите уравнение:
•22.32. а) \х + 3| sin χ = χ + 3; б) 2\х - 6| cos χ = χ - 6.
•22.33. a) Vl6 - χ2 sin χ = 0;
б) (V2 cos χ - l)V4jc2 - 7χ + 3 = 0;
в) л/7д: - ос2, (2 cos jc - 1) = 0;
г) (2 sin χ - у/з)у!Зх2 - 7χ + 4 = 0.
022.34. Найдите область определения функции:
sinjc v Vjc
а^ " 2cosjc-1'
б^- я-Зсоз*'
в) ι/ =
у1х - 5
SUIJC
128

#22.35.
#22.36.
#22.37,
#22.38,
#22.39,
•22.40
•22.41
Найдите область значений функции:
а) у = sin χ + v-cos2 x;
б) у = cos χ + v-sin2 jc.
а) ι/ = cos 3jc + Vc°s2 3x - 1;
б) ι/ = sin 2jc + vsin2 4* ~ 1·
Решите уравнение:
а) |sin л:I = |cos x\;
б) V3 ctgjc = 2|cosjc|;
а) (2x - 3) | sin χ \ = sin x;
б) (3jc - 7) cos χ = 5 |cos jc|.
а) Jt2|tgjt| + 9tgjc = 0;
б) x2ctgx - 4 | ctg jc | = 0.
а) (2x2 - 12* + 13) sin χ = 3 | sin x\;
б) (x2 + 8x+ 11) |cos 2x\ = 4 cos 2x.
Сколько корней имеет уравнение:
а) sin I Зх - -)yj8x - χ2 - 7 = 0;
б) cos Ux + -\/l0 - x2 - 3x = 0?
в) |sin2jc| = cos2jc :
r) V2 tgx + 2|sinjc| = 0.
Решите неравенство:
1
22.42. a) cos t >
6) cos t < -^-;
°22.43. a) cos t < |;
О
6) cos t > —-;
%22.44. a) 3 cos2 ί - 4 cos * > 4;
6) 6 cos21 + 1 > 5 cos t;
4i
в) cos t > ;
Li
r) cos t < —.
в) cos t > —;
о
1
г) cos ί < -—.
в) 3 cos21 - 4 cos ί < 4;
г) 6 cos21 + 1 < 5 cos t.

Решите неравенство:
022.45. а) 4 cos21 < 1; в) 9 cos21 > 1;
б) 3 cos2 ί < cos t; г) 3 cos2 ί > cos t.
22.46. a) sin * > —; в) sin * < ^-;
6) sin t > -—; r) sin t < —-.
022.47. a) sin t < -; в) sin ί > -;
О о
6) sin t > -0,6; г) sin t < -0,6.
•22.48. a) 5 sin21 > 11 sin t + 12;
6) 5 sin2* < 11 sin ί + 12.
•22.49. a) 6 cos21 + sin ί > 4; 6) 6 cos2 * + sin * < 4.
022.50. a) tg * < V3; в) tg χ < 0;
6) ctg χ > 0; г) ctg * > -1.
022.51. a) tg x < 3; в) ctg x < 2;
б) 3 ctg jc - 1 > 0; г) 2 tg jc + 1 > 0.
022.52. a) tg2 x> 9; в) tg2 jc < 9;
6) tg2 jc > tg x; r) tg2 jc < 2 tg x.
ι /ч
022.53. a) sin 2x < -; в) cos 3x > v -
x_
2
6) 3 cos 4jc < 1; r) 7 sin f > -1
022.54. a) sin Ux --)>-; в) cos Ux - J ] > ~;
6,со^1-*|<|; r)sb^-*)<f.
Найдите область определения функции:
•22.55. а) у = yjsinx + , ;
vcosjc
б)»= |
cos * - — + ctg 2ж;
130

B)y= tg2x- ;
л/1 - 2sinjc
г) ν = ——: Jcos * —1=-
' υ sin 4* \ ^2
#22.56. а) у = arcsin| + ^sin* + ±;
6) ι/ = arccos (2л: - 1) + J—j= - cos x.
Решите уравнение:
[): 6Ϊ поя4 2x 4- 1 = поя2 I jc -
#22.57- a) sin2 jc + sin2 3jc = 0; 6) cos4 2x + 1 = cos2 f χ - -
#22.58. a) sin Ax + cos 2jc = 2; 6) sin 5jc + cos 3x = -2.
При каких значениях параметра α множество корней
заданного уравнения не пусто:
022.59. a) sin χ = 2а - 1; в) cos χ = За - 2;
б) cos χ = 2а2 - Ъа + 1; г) sin χ = а2 - 3?
лл лл ч α cos jc ^ч a sin лс + 1
·22·60· a> 2cos* + a = ^ б> 2a-3sin* = 2'
•22.61. Решите уравнение с параметром a:
а) sin (2x - ^ а~Х
χ . π^
3 J a + 1
2a - 1
6)cos^ + Ij a_2
•22.62. Решите уравнение:
а) ctg i-cos27CJt ] = л/3;
б) sin (2π cos jc) = —.
^2.63. Решите неравенство:
a) sin W4- χ2 < 0; 6) cos Wx + 2- χ2 > 0.
^2.64. При каких значениях параметра α решением заданного
неравенства служит любое действительное число:
а) a cos χ - 2 < 0; б) (2а - 3) sin χ + 1 > 0?
131

Решите систему неравенств:
•22.65.
•22.66.
•22.67.
•22.68.
а) -
а) <
а) <
а) «
sin χ > -—,
о
cos x > —;
о
ί · „ >/8
SIIIJC < ,
tgx > 1,5;
7з
ctg* < -ήρ
sinjc > -0,8;
sin2jc < —,
[25 - jc2 > 0;
б) <
6) «
б) «
6) <
sinx < -,
7
cos л; < 0,6.
cos л: > --,
tgx < -0,1.
4
cosx < -,
9
ctgx > -3.
cos[3jc + j J <
|x + 21 < 3.
§ 23. Методы решения
тригонометрических уравнений
Решите уравнение:
023.1. а) 3 sin2 χ - 5 sin χ - 2 = 0;
б) 3 sin2 2x + 10 sin 2x + 3 = 0;
в) 4 sin2 jc + 11 sin χ - 3 = 0;
r) 2 sin2 f - 3 sin £ + 1 = 0.
' 2 2
023.2. a) 6 cos2 χ + cos χ - 1 = 0;
б) 2 cos2 3jc - 5 cos 3jc - 3 = 0;
в) 2 cos2 χ - cos jc - 3 = 0;
r) 2 cos2 f + 3 cos f - 2 = 0.
3 о
023.3. a) 2 sin2 jc + 3 cos χ = 0;
б) 8 sin2 2x + cos 2x + 1 = 0;
в) 5 cos2 jc + 6 sin χ - 6 = 0;
r) 4 sin 3jc + cos2 3x = 4.
132

023.4. a) 3 tg2 χ + 2 tg * - 1 = 0;
б) ctg2 2x - 6 ctg 2jc + 5 = 0;
в) 2 tg2 jc + 3 tg χ - 2 = 0;
r)7ctg2| + 2ctg| =5.
023.5. a) tg χ - 2 ctg χ + 1 = 0; в) 2 ctg jc - 3 tg χ + 5 = 0;
_ tg*+ 5 1 .
6) о = ——»
r)
7- ctgjc 1
023.6. a) 2 cos2 | + V3 cos |- = 0;
6) 4 cos2
6
-3 = 0;
в) V3tg23x- 3tg3* = 0;
r) 4 sin
2* + f I - 1 = 0.
023.7. a) sin2 x- ——— sin л: - Зл/2 = 0;
Li
6) cos2 * - 8 ~/8 cos χ - 2-Д = 0.
023.8. a) tg3 χ + tg2 χ - 3 tg χ = 3;
6) ctg4 2* - 4 ctg2 2x + 3 = 0.
023.9. a) sin2 \x - -t
(cos 2x + 1) = 0;
6)|cos2f2* + ! -|
sin - = 0.
°23.10. a) tg л: sin 2x = 0;
1
6)(1 +COSX) 3
sin χ
-1
в) cos χ tg 3x = 0;
= 0; r) (1 + cos x) tg I = 0.
°23.11. a) sin χ = — cos x;
4
6) 3 sin χ = 2 cos x;
в) 2 sin χ + 5 cos χ = 0;
r) sin х cos χ - 3 cos2 χ = 0.
133

Решите уравнение:
023.12. a) sin χ + V3 cos x = 0; в) sin χ - 3 cos jc = 0;
6) sin χ + cos jc = 0; г) \/з sin л: + cos л: = 0.
023.13. a) sin2 χ + sin jc cos χ = 0;
б) \/з sin л: cos jc + cos2 χ = 0;
в) sin2 jc = 3 sin jc cos x;
r) v3 cos2 jc = sin χ cos jc.
023.14. a) sin2 χ + 2 sin jc cos jc - 3 cos2 jc = 0;
б) sin2 jc - 4 sin χ cos jc + 3 cos2 χ = 0;
в) sin2 jc + sin jc cos χ - 2 cos2 jc = 0;
r) 3 sin2 jc + sin χ cos jc - 2 cos2 χ = 0.
023.15. a) sin 2jc = cos 2jc; в) sin — = V3 cos —;
б) л/3 sin 3* = cos Зх; г) V2 sin 17л: = S cos 17л:.
023.16. а) 2 sin2 2* - 5 sin 2x cos 2* + 2 cos2 2x = 0;
6) 3 sin2 3x + 10 sin 3x cos 3* + 3 cos2 3x = 0.
023.17. a) sin2 f = 3 cos2 f; 6) sin2 4* = cos2 4*.
023.18. a) 5 sin2 χ - 14 sin χ cos jc - 3 cos2 jc = 2;
б) 3 sin2 χ - sin χ cos jc = 2;
в) 2 cos2 jc - sin χ cos jc + 5 sin2 jc = 3;
r) 4 sin2 jc - 2 sin χ cos Jt = 3.
023.19. a) 5 sin2 χ + V3 sin jc cos jc + 6 cos2 χ = 5;
6) 2 sin2 jc - 3 sin jc cos χ + 4 cos2 jc = 4.
023.20. a) 3 sin2 2* - 2 = sin 2jc cos 2x;
6) 2 sin2 Ax - 4 = 3 sin 4jc cos 4jc - 4 cos2 4jc.
023.21. a) 4 sin2 ^ - 3 = 2 sin f cos f;
6) 3 sin2 — + 4 cos2 — = 3 + \/3 sin — cos —.
ό О О О
023.22. a) sin2 jc - 5 cos jc = sin χ cos jc - 5 sin x;
6) cos2 jc - 7 sin χ + sin jc cos χ = 7 cos jc.
023.23. a) sin6 jc + sin4 χ cos2 jc = sin3 χ cos3 * + sin χ cos5 jc;
6) sin2 χ cos2 jc - 10 sin χ cos3 jc + 21 cos4 χ = 0.
134

23.24. a) cos χ + sin χ = —;
16'
~-4 X
,4 *
6)cos-4|[2sin4|-l
= 2.
023.25. a)
023.26. a) \
Решите систему уравнений:
2 sin χ - 5 cos г/ = 7,
5 sin jc + cos ι/ = 4;
sin jc + cos у = —,
* 2
sin χ cos ι/ = —;
Li
6)
6)
5 sin 2jc + 3 cos 3y = 1,
8 sin 2x - 6 cos 3i/ = 7.
sin cos 2y = 1,
Li
2sin2- - 3cos2i/ = 2.
2 "
Решите уравнение:
1
#23.27. a) |ctg x\ = ctg χ + -r^S
6) tg χ + J ctg * = J-Д- -1-1-
9 \cos2jc
•23.28. a) |cos jc| = 2 cos χ - у/з sin jc;
6) sin χ = V3 cos jc + 2 | sin jc|.
лл лл ч sin jc + cos χ
°23·29· a> cos 2* = «J
^ч . sinjc
6)ctgx+ 1 + CQSX = 2;
*сьП ΛΛ ν 2 sin jc - 3 sin χ + 1
•23.30. a) 2 = 0;
7 COS JC - COS X
в)
COS JC + COS JC
sinjc
= 0;
ч tgX
r) . ^n = cos л:.
1 + tg2*
4sin32jc- 3sin2jc
6)
cos3x
= 0.
•23.31. Для каждого значения α решите уравнение:
«0 ϊϊ
α sin χ - 1
sin jc + cos jc
= 0;
Решите уравнение:
•23.32. a) χ2 - 2x cos πχ + 1 = 0;
•23.33. a) cos5 χ + sin4 * = 1;
•23.34. a) 3 sin2 § + 5 sin2 χ = 8;
α cos χ - 1
6) = 0.
' sin χ - cos χ
6) x2 - 2x sin ^ + 1 = 0.
6) cos8* + sin3л: = 1.
6) cos2 2л; - 2 cos3 3* = 3.
135

Решите уравнение:
•23.35. а) 2 sin f|x - jl -3 cos (2x + |1 = 5;
^ч . jc r» χ - 2π _
б) sin -j + 2 cos —о— = 3.
•23.36. a) ^5 - 2sinx = 6 sin jc - 1;
6) ^/2 + 4cosx = 3 cos * + 0,5.
•23.37. а) \/з sin χ - y]2 sin2 jc - 2 sin jc cos jc + 3 cos2 jc = 0;
6) cos χ + vs^n2 * ~ 4 sin χ cos jc + 4 cos2 jc = 0.
•23.38. a) V3sin5jc - cos2* - 3 = 1 - sin jc;
6) -y/2 cos 4jc - sin2 jc - 2 = 1 + cos x.
Решите неравенство:
•23.39. a) 4 sin χ cos χ - 1 > 2 sin jc - 2 cos jc;
6) 1 + 2 sin χ > 4 sin jc cos Jt + 2 cos jc.
•23.40. a) 4 sin2 jc - 2(V3 - l) sin χ - 7з < 0;
б) 4 cos2 jc - 2(V3 + l) cos jc + V3 > 0.
•23.41. a) sin χ - cos jc > 0; в) sin χ + cos jc < 0;
6) sin χ - у/з cos χ < 0; r) V3 sin jc + cos χ > 0.
•23.42. a) sin2 jc - 6 sin jc cos χ + 5 cos2 jc > 0;
б) sin2 jc - 6 sin jc cos χ + 5 cos2 jc < 0;
в) sin2 jc - 3 sin χ cos Jt + 2 cos2 jc < 0;
r) sin2 χ - 2 sin jc cos jc - 3 cos2 χ > 0.

I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I
преобразование
тригонометрических
выражений
ι ι ι ι ι ι ι ι ι ι ι ι ι ι ι ι ι ι ι ι ι ι ι
§ 24. Синус 14 косинус суммы 14 разности аргументов
24.1. Представив 105° как сумму 60° + 45°, вычислите:
a) sin 105°; б) cos 105°.
24.2. Вычислите:
а) sin 15°;
б) cos 15°;
Упростите выражение:
24.3. a) sin (α + β) - sin α cos β;
в) sin 15° cos 15°;
r) cos2 15° - sin215°
6) sin
π 1 1 .
- + α --sinα;
в) sin α sin β + cos (α + β);
( πλ Л .
γ) cos α + — + -^ sin α.
4 2
24.4. a) sin | γ - α
- - cos α;
6) λ/3 cos α - 2 cos α - ·|
ч V3 · , („ 5π
β) -^ sin α + cos α ——
2 Ι 3
γ) V2si
sin
α
4
sin α.
24.5. a) cos (α - β) - cos α cos β;
6) sin (α + β) + sin (α - β);
2д ft sin (α + β) - cos α sin β.
" a* sin (α - β) + cos α sin β'
sin (α - β) + 2 cos α sin β .
' 2 cos α cos β - cos (α - β)'
β) sin α cos β - sin (α - β);
γ) cos (α - β) - cos (α + β).
cos (α + β) + sin α sin β.
Β' cos (α - β) - sin α sin β'
Γ)
cos (α - β) - 2 sin α sin β
2 sin α cos β - sin (α - β)"
137

24.7.
24.8.
24.9.
Представив 2х в виде χ + χ, докажите тождество:
a) sin 2jc = 2 sin x cos χ; 6) cos 2x = cos2 χ - sin2 $
Докажите тождество:
а) sin (α + β) + sin (-α) cos (-β) = sin α cos β;
б) cos (α + β) + sin (-α) sin (-β) = sin α cos β.
ч 7з , ι . . fit ,
a) -^- cos χ + -^ sin χ = sin — + χ
£ & 13
6) τ> cos χ - ^j- sin jc = cos — + Jt |;
ч 7з ι .
в) -у- cos χ - -g sin jc = sin
8~*
ν 1 л/3 . Γπ
г) ■« cos jc + -у- sin χ = cos — - χ
24.10. a) sin 5jc cos 3x + cos 5jc sin 3jc = sin Sx;
6) cos 5jc cos 3x - sin 5jc sin 3x = cos 8jc;
b) sin 7x cos 4jc - cos 7x sin 4jc = sin 3x;
r) cos 2jc cos 12jc + sin 2л: sin 12jc = cos IOjc.
24.11. a) cos (a - β) + sin (-a) sin β = cos a cos β;
б) sin (30° - a) - cos (60° - a) = -V3 sin a;
в) sin (a - β) - cos a sin (-β) = sin a cos β;
г) sin (30° - a) + sin (30° + a) = cos a.
V2 cos a - 2 cos ^ - a
024.12. a) -( г—* ί = -J2 tgoc;
2 sin ^ + a 1 - y/з sin a
cos a - 2 cos I 5 + a
6)
2 sin
-Ϊ)-
Тз sin a
= -V3 tg a.
Используя формулы сложения, выведите следующие фор"
мулы (их называют формулами приведения):
24.13. а) sin (π - χ) = sin x;
6) cos (π + χ) = -cos x;
ίπ λ
24.14. a) sin — + χ = cos x;
а) sin I - + χ
б) cos I Ц - χ
= -sin x;
в) tg (2π - χ) = -tg x;
г) ctg (π - χ = -ctg x.
B)tg
-2~Х
= ctg x;
г) ctg
2* + *|=-tg*.
138

Вычислите:
24 15. a) sin 74° cos 16° + cos 74° sin 16°;
б) cos 23° cos 22° - sin 23° sin 22°;
в) sin 89° cos 1° + cos 89° sin 1°;
r) cos 178° cos 2° - sin 178° sin 2°.
24.16. a) sin | cos-^ + cos| sin^;
^4 2π 5π . 2π . 5π
б) cos— cos sin— sin—;
7 7 7 7
ч . π 11π , π . 11π
в) sin— cos + cos— sin ;
' 12 12 12 12
ч 2π π . 2π . π
г) cos—- cos sin— sin—.
15 5 15 5
24.17. a) cos 107° cos 17° + sin 107° sin 17°;
б) cos 36° cos 24° - sin 36° sin 24°;
в) sin 63° cos 27° + cos 63° sin 27°;
r) sin 51° cos 21° - cos 51° sin 21°.
η* to \ 5π 3π , . 5π . 3π
24.18. a) cos— cos— + sin— sin—;
8 8 8 8
<~\ . 2π π 2π . я
6)sin-cosI + cos-sin?;
ч π π . π . π
β) cos— cos sin— sin—;
' 12 4 12 4
γ) sin— cos cos— sin—.
12 4 12 4
024.19. Докажите равенство:
4' -, —— ™„v ^ 4
a) sin 75° cos 75° = \\ в) sin 105° cos 105° = ~;
б) cos2 75° - sin2 75° = -^; г) cos2 75° + sin2 75° = 1.
°24.20. Решите уравнение:
a) sin 2x cos χ + cos 2x sin x = 1;
6) cos 3x cos 5jc = sin 3x sin 5jc;
b) sin 6x cos χ + cos 6x sin χ = —;
/3
r) cos 5jc cos Ix - sin 5jc sin Ix - -—.
7 2
139

024.21. Найдите наименьший (в градусах) положительный коре^»
уравнения:
а) sin χ cos 45° + cos x sin 45° =
= cos 17° cos 13° - sin 17° sin 13°;
б) cos χ cos 45° + sin χ sin 45° =
= sin 200° cos 80° - cos 200° sin 80°.
024.22. Решите уравнение:
а) cos 6x cos 5jc + sin 6x sin 5jc = -1;
б) sin 3x cos 5jc - sin 5jc cos 3x = 0,5.
024.23. Найдите корни уравнения на заданном промежутке:
а) sin 0,2jc cos 0,8jc + cos 0,2jc sin 0,8jc = cos 3x cos 2x +
+ sin 3x sin 2x, χ e [0; 3π];
б) cos 0,7jc cos 1,3jc - sin 0,7jc sin 1,3jc = sin 7x cos 9x -.
- sin 9x cos 7jc, jc € [-π; π].
Решите уравнение:
024.24. a) V2 cos
б) V2sin
π
χ
4
cos χ = 0,5;
+ sin — = !—.
2 2
024.25. a) — sin χ cos χ = 1;
2 2
6) sin λ: - cos χ = 1;
ν Vi , 1 . .
в) — cos χ + — sin jc = 1;
2 2
г) 7з cos χ + sin jc = 1.
024.26. a) — sin χ + — cos jc = 1;
2 2
6) sinjc + cos χ = 1;
ч V3 1 · 1.
в) — cos χ sin χ = ц
2 2
r) V3 cos χ - sin jc = 1.
024.27. Зная, что sin t = —, 0 < £ < —, вычислите:
5 2
a) sin
3
f+'t
6) cos I — + t
\
в) sin
r) cos | - + t
024.28. Зная, что cos t = ——, — < t < π, вычислите:
13 2
a) sin | t + | |;
в) cos
1+ft
6) COS
2
\ ι ^ , 3π
г) sin Ι ί + —
140

24.29. Зная, что sin α = —, cos β = -г, 0 < α < -, 0 < β < -,
найдите значение выражения:
a) sin (α + β); 6) cos (α + β).
024.30. Зная, что sin α = -^, cos β = -—, -<α<π, -<β<π,
найдите значение выражения:
a) sin (α + β); 6) cos (α + β).
024.31. Зная, что sin α = —, sin β = ——, 0 < α < -, -γ < β < 2π,
найдите значение выражения:
a) sin (α + β); 6) cos (α + β).
024.32. Зная, что sin t = —, — < t < π, вычислите:
lo 2
a) sin
(И
в) sin I - - t
\
6) cos
-i*
r) cos I - - t
024.33. Зная, что cos t = —, — < t < 2π, вычислите:
Э Δ
a) sin
6) sin
t -
V
/
t -
π'
>
. 3π^-
2
1
в) cos
f
t -
3π
г) cos | t - J |.
°24.34
η . 4 015π ^π0^
Зная, что sin α = -ζ-, cos β = ——, — <α<π, — <β<π,
D 17 2 2
вычислите:
a) sin (α - β); 6) cos (α - β).
°24.35(
10 Чтг тг
Зная, что sin β = ——, cos α = -0,8, π < β < —, — < α < π,
Ιο 2 2
вычислите:
a) sin (α - β); 6) cos (α - β).
141

Решите неравенство:
024.36. a) sin 5jc cos Sx - cos 5jc sin Sx > -;
Li
^4 χ . . χ 2
б) cos jc cos — + sin χ sin — < —-;
Li Li I
ч . χ χ χ . χ 1
в) sin— cos cos— sin— < —;
' 4 2 4 2 3
л/3
г) sin 2jc sin bx + cos 2jc cos bx > .
' 2
024.37. a) sin χ cos Sx + cos jc sin 3x > -;
Li
б) cos 2jc cos 5jc - sin 2x sin 5jc < —-;
3
ν . χ χ ^ 2
в) sin χ cos — + cos χ sin — < —-;
Lt Li I
r) cos— cos sin— sin— > -^.
' 2 4 2 4 2
•24.38. Докажите, что для любого действительного значения ι
справедливо неравенство:
а) sin (5 + χ) cos χ < cos (5 + χ) sin x;
б) cos (7 - 2x) cos 2x > sin (7 - 2x) sin 2x.
024.39.
а) Зная,
sinjc.
б) Зная,
cos x.
ι
что sin
V
f
что cos
V
* - — = О,о и — < χ < —, вычислите:
л: +
2π
= -0,8 и — < jc < —, вычислите:
3 6
024.40. Определите знак числа а:
а) а = (cos 1 + cos 2)2 + (sin 1 - sin 2)2 - 2;
б) а = (sin 3 + cos 4)2 + (cos 3 + sin 4)2 - 1.
024.41. Сравните числа а = cos x cos 2х и Ъ = cos Sx, если:
а) 0 < χ < |;
б) £ < χ < π.
Li
024.42. Сравните числа α = sin x cos 2jc и b = sin 3jc, если:
a) - < * < π;
6) π < jc <
3π
142

#24.44
#24.45
Сравните числа а и b, если:
sin 3 cos 3
sin 4
я) a = „· л' & = 7' 6) α = г» & =
α' sin 4 cos 4 ' cos 5
cos 4
sin 5
а) Зная, что cos (χ + у) = α, cos (χ - у) = b, найдите tg χ tg у.
tgx
б) Зная, что sin (χ + у) = α, sin (χ - у) = b, найдите т~~~·
Докажите, что не существует пары (х; у), такой, что:
а) sin χ cos у = 0,7; cos x sin у = 0,4;
7б . . л/2
б) cos jc cos у = —; sin jc sin ι/ = ——.
3 2
#24.46. а) Докажите, что если tg (α + β) sin γ = cos γ, το α + β +
+ γ = | + πη;
б) докажите, что если ctg (α + β) sin γ = -cos γ, το α + β +
+ γ = πη;
024.47. Постройте график функции:
ν . Их χ + ΙΟπ IIjc . χ
а) у = sin-— cos cos-— sin—;
5 5 5 5
/
6) у = cos
f
2x + — | cos
12
Χ + Ί
+ sin
7π
2x + —
12
sin
. 9π
4
Вычислите:
•24.48. a) sin
π , 3
— + arccos —
3 5
6) cos I — + arccos
Γ5
в) sin
r) cos
arcsin— ;
4 5
π . 5
arcsin —
2 13
•24.49
a) sin | arccos --
+ arcsin-
6) cos arctg- + arcsin —-
4 (^ 5
•24.50.
Докажите равенство:
4 2 1
arcsin arccos-^ = arctg—.
5 V5 2
143

Докажите равенство:
•24.51. arccos— + arccos
2
ί 1 Λ
arccos
f 13 ^
14
•24.52. arcsin— + arcsin— + arcsin— = —.
5 13 65 2
§ 25. тангенс суммы и разности аргументов
Вычислите:
25.1. a) tg 15°; б) tg 75°;
око , tg25° + tg20° .
ΔΟ.Δ. a) ι_ tg25otg20o'
6)
1- tg70°tg65°.
tg70° + tg65° '
Упростите выражение:
0- Q . tg 2,22+ tg 0,92 .
Δδ.ό. aj χ_ tg2,22 tg0,92'
в) tg 105°; г) tg 165°.
tg9° + tg51° .
в> 1- tg9°tg51°'
г)
1 + tg 54° tg 9°
tg 54° - tg 9° *
tg 1,47-tg 0,69
D) 1 + tgl,47 tg0,69'
iM)»i}+«Mf-«
l-tg(f + a}tg(f-a
6)
tg (45° + a) - tg a
1 + tg(45° + a)tga*
Докажите тождество:
025.5. a) Y^f£ = tg(45°-a);
3π
6) tg I — - χ + tg χ = tg — - χ | tg χ - 1;
3π
tg a + tg β tg a - tg β _
3> tgio + β) teia-β) ~Z;
r) tg | a + J - tga = 1 + tg J + a
tga.
025.6. a) tg (α + β) - (tg a + tg β) = tg (a + β) tg a tg β;
6) tg(a - β) - (tga - tg β) = tg^ - a) tga tgβ.
144

tg2 2x - tg2 χ
025.7. a) 1_tf2xifx = tg 3* tg x;
tg230°-tg215°
6) l-tg230°tg215° -tgl5 ·
25.8. Представив 2х в виде χ + χ, докажите тождество
2tgx
tg2* =
1-tgV
лел π ί6(α-β)-ί6α + ί6β
025.9. Докажите, что значение выражения tg (α - В) tg β
не зависит от значения β.
025.10. Вычислите:
a)tg
'5-
|, если tg α = -;
б) tg | α + ^ , если tg α = ■=·.
025.11. Известно, что tga = —, tg β = —. Вычислите:
a)tg(a + p);
025.12. а) Вычислите tg α, если tg
6)tg(a-p).
б) вычислите ctg α, если tg [ a + — | = 0,2.
025.13. а) Зная, что tg α = 3 и tg (α + β) = 1, вычислите tg β;
б) зная, что tg α = — и tg (α - β) = 2, вычислите tg β.
-ι η o_
025.14. Известно, что sin α = -—, π < α < —. Вычислите:
13 2
Λ
a) tg Ι α + J
6)tg
ο π
°25.15. Известно, что cos α = —, Ο < α < —. Вычислите:
5 2
a)tg
« + fl;
6) tg I α - f |.
145

025.16. Дано: α - β = —. Докажите, что:
. 1 + tgp
ο&τ·**.
025.17. Решите уравнение:
tg χ + tg Зх
a)TT
1 - tg x tg Зле
l;
tg 5* - tg Зле _ /ό
б> l + tg3*tg5* " Vd'
025.18. Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [-π; 2π]:
Уз-tg* _
а) i + V3tg* '
025.19. Решите неравенство:
tg£ + tg*
°' tg£tg2x + l
О
б) tg^^i > L
tg Sx + 1
025.20. Решите систему уравнений:
ftg (* + ι/) = -3,
a)
2 tg * - tg у = 0;
6)
tg(x-y) = "2>
[2tgx + tgz/ = 5.
•25.21. Вычислите β, если известно, что tg (α + β) = -3, tg (α - β) =
1
3 " 2
1 π ο
= οΗ-τ<β<π.
•25.22.
Вычислите
a)tg
fit. 2^
J + arctg|
6)tg
-£ - arccos
4
B)tg
'i-arcctg^
r) tg f
arcsin— + arcctg
5
1}
•25.23. Докажите, что прямые у = 3х+1иу = 6-2х пересекаются
под углом 45°.
•25.24. Точка К — середина стороны CD квадрата ABCD. Чему
равен тангенс острого угла между диагональю АС и
отрезком ВК?
146

§ 26. Формулы приведения
Упростите выражение:
26.1. a) sin
2
26.2.
26.3.
26.4.
26.5.
26.6.
б) cos (2π - t);
а) sin (π - t);
б) cos
2
а) cos (90° - a);
б) sin (360° - a);
а) tg (90° - a);
б) ctg (180° - a);
в) cos f — + t
I2 ,
r) sin (π + t).
в) cos (2π + t);
r) sin |'M - t
в) sin (270° + a);
r) cos (180° + a).
B)tg(270° + a);
r) ctg (360° + a).
Вычислите с помощью формул приведения:
а) sin 240°; б) tg 300°; в) cos 330°;
ν 5π
а) cos —;
о
в) sin —;
б) sin
/
г) cos
7π
а) sin 3090°;
б) tg 2205°;
в) cos 4650°;
г) ctg 4110°.
026.7
026.8. а) cos 630° - sin 1470° - ctg 1125°;
б) sin (-7π) + 2 cos —г- - tg —;
3 4
в) tg 1800° - sin 495° + cos 945°;
49π
г) cos (-9π) + 2 sin | —g~
ctg
_21π>)
4 /
026.9.
г) ctg 315°.
Упростите выражение:
a) sin (90° - a) + cos (180° + a) + tg (270° + a) + ctg (360° + a);
6) sin | £ + *
cos (π - t) + tg (π - t) + ctg
2
147

Упростите выражение:
9А 1П . cos (180° + α) cos (-α). sin (-α) ctg (-α)
οζο.ιυ. a) gin (α) gin (90ο + α) , в) CQS (360ο _ α) tg (180ο + α),
sin (π - t) cos (2π - t) . sin (π + t) sin (2π + t)
' tg (π - t) cos (π - t) ' r' , ( .. (3π
tg (π + t) cos I -=- + t
o26.ll. a)
cos (π - t) + cos | ^ - ί
sin
(2π-ί)-Βίηί^-ίϊ
sin2(n - f) + sin2(^ - f
6) —t 77^ L · tg (π - t).
' sin (π - t) ь v '
sin3 (a - 270°) cos (360° - a)
026.12. a) tg3 (a _ 90O) CQS3 (a _ 270O) '
6)
sinjf + *jtg[| + i/j sin
cos(n - *)ctg| f - „Ϊ " C0S(27C - ^)tg(ll7C - X) '
¥-»HfH
026.13. Докажите тождество:
-о -if»
2(π - f) + sin2 f £ - 11 + cos (π + f) cos (2π - f)
/ J ,„ ч = cos21;
+ / rt sinf^ + i
&) COS(jC-^ /Ό- ^ tg *'
sin (π - t) CgJ2 J cos (2π - t) _ .
te(« + *) ' tgfjE + tV sinH) ~
cos2'
tg2[i-||ctg2[^ + i
sin2 f-^ cos(2tc- f)
Γ) f r-J τ —-^ = COS t.
*{*-%)«*{*-τ
148

Вычислите:
11 cos 287°- 25 sin 557°
026.14.
026.15.
a' sin 17°
13 sin 469° - 8 cos 341°
C> cos 19°
2cos^ + 8sin^
a) π
cos —
0
6)
с · 5я , о 25я
5 sin -=- + 2 cos -ζΓ-τ-
. 2π
sin —
026.16. a) sin 77° cos 17° - sin 13° cos 73°;
6) cos 125° cos 5° + sin 55° cos 85°.
026.17. a) sin
6) cos
- + flcosf- - A+ sini— + flsin
3
± + t cos JL-*
- cos
4
cos
** + *
12 .
cos 105° cos 5° + sin 105° cos 85° .
026.18. a) gin 195o CQS 5o + cos 195o sin 185o;
sin 75° cos 5° - cos 75° cos 85°
6) cos 375° cos 5° - sin 15° sin 365° *
+«.19π +«· 7π
n9fi 1Q л\ tg380° + tg25° . tg^"tg36
UtO.lV. Ά) t 225o + ct 290o ct 65o > 0) 7π ηπ ·
V3ctgT-ctgMctg^
026.20. Известно, что ctg | χ
3π
= 0,4, tg
Вычислите: a) tg (χ + у); 6) ctg (jc - у).
Ι + ί/
= -3.
Решите уравнение:
026.21. а) 2 cos (2π + *) + sin
'π ^
2+*
= 3;
6) sin (π + ж) + 2 cos | — + χ
\
= 3;
β) 2 sin (π + χ) + cos
f-'-4-
γ) 3 sin | - + χ | - cos (2π + χ) = 1.
149

Решите уравнение:
026.22. а) 5 sin
— + χ \ - sin
2
3π ,
Ύ + χ
- 8 cos (2π - χ) = 1;
6) sin (2π + χ) - cos | jc
+ sin (π - χ) = 1.
026.23. a) sin2 (π + χ) + cos2 (2π - χ) = 0;
6) sin2 (π + χ) + cos2 (2π - χ) = 1.
026.24. a) sin ί- + 2χ ] + cos ί| - 2jc ] = 0;
6) 2 sin (π - 3χ) + cos (2π - 3χ) = 0.
3 cos
Λ
π-^|=0;
026.25. a) cos if " f 1 -
б) 7з sin ίπ - I j + 3 sin if - f 1 = 0.
026.26. a) sin2 χ + cos
χ | sin
π
2'*
2 cos2 χ = 0;
6) sin2 3jc + 3 cos2 3x - 4 sin | - + 3x
cos
\ + 3* | = 0;
026.27.
в) sin2 jc + 2 sin (π - χ) cos jc - 3 соэ2(2я - jc) = 0;
r) sin2 (2π - 3x) + 5 sin (π - 3jc) cos 3jc + 4 sin2 f ^ - 3x
ч о · 2 * , · * · (П Χλ 0
a) 3 sin - + sin - sin -g - -g = 2;
= 0.
6) 2 cos2 ^ - 3 sin π - ^
в) 4cos2 [- + x)+ V3
+ 3 cos2 (π + jc) = 3;
sin
r) 3 sin2
χ -
3π
2 cos
cos
3π
3π
2π - 4 1 + 7 sin21=3;
sin (π + χ) +
— + jt | cos (π + jc) +
+ 2 sin2 (x - π) = 2.
150

026.28.
a) 2 siiT (π + χ) - 5 cos | -| + χ | + 2 = 0;
6) 2 cos2 χ + 5 cos
f-*|-4 = 0;
в) 2 cos χ + sin
'тс ^
-1 = 0;
r) 5 - 5 sin 3 (π - χ) = cos (π - Зх).
а) 2 tg2 2x + 3 tg (π + 2x) = 0;
б) tg2 3* - 6 ctg [η- - Зх] = 0.
026.29.
026.30. a) 3 tg2 | - 2 ctg pj + f 1 - 1 = 0;
б) tg (π + χ) + 2 tg
в) 3 tg2 4x - 2 ctg
r) 2 ctg * - 3 ctg
(π
я
\
(π
I2
Λ
+ χ
J
- Ax
)
+ 1 = 0;
= 1;
I-ж 1+5 = 0.
026.31. a) sin2 χ + cos2 2x + cos2 I — + 2x I + 2 cos χ tg χ = 1;
6) 2 cos л: - sin
χ - - | + tg χ tg
, + |l=o.
026.32. Постройте график функции:
а) ι/ = sin (3π + Зх) sin
99π
+ sin —;
б) у = cos (π + χ) cos
16π
+ cos—.
•26.33. Докажите равенство:
ν sin 50° + cos 50°
a) 7= = 1;
' V2 sin 85°
— - x 1+sin [- + 3x | sin(47C-*) +
о x \ ί π , 1 3π + χ t
3π cos — + χ \ cos —-— +
cos 40° - УЗ sin 40°
δ) sin 190° ~Ζ'
151

•26.34. Докажите, что:
a) arcsin χ + arccos χ = —, χ e [-1; 1];
6) arctg x + arcctg χ = -, jt € Λ.
Вычислите:
•26.35. a) arcsin
/
sin-
2π
6) arccos I sin —
( 2πΛ^
в) arcsin | sin ——
r) arccos
cos,-|
ЛЛ
•26.36. a) arcsin
/
-cos-
4π
в) arctg
Μ-Ψ
6) arccos
cos
24π
г) arcctg
tg
tell
{ 7 JJ
•26.37. Постройте график функции:
а) у = arcsin (sin χ); б) у = arcsin (cos x).
§ 27. Формулы двойного аргумента.
Формулы понижения степени
Упростите выражение:
™ - ч sin2i
27.1. а) —-г - sin t;
б)
cos t
SUl6t .
cos23*;
sin 40°.
27·2· a) sin 20°;
6)
cos 80°
cos 40° + sin 40°'
в) cos21 - cos 2t;
cos 2t
r)
cos t - sin t
sin 100°
sin £.
B> 2 cos 50°'
cos 36° + sin218°
r)
cos 18°
27.3. Вычислите:
а) 2 sin 15° cos 15°;
б) (cos 75° - sin 75°)2;
в) cos215° - sin215°;
r) (cos 15° + sin 15°)2.
152

Вычислите:
27.4. а) 2sin— cos—;
8 8
27.5.
27.6.
„ . π π , 1
6) sin-cos- + -;
tg75° .
a) 1-^75°'
ν sin 2t - 2 sin t
a) —ΤΖΓ+—λ—'
6)
27.7.
C0s2t - COS2*.
1 - cos2* '
2
a) tgf + ctgf'
2
6)
в) cos sin —;
8 8
ч у/2 ( π , . π .
Γ)-- С08? + 8Ш¥|.
6)
2tg^
8 12
. β 5π ч
tg 12 -1
tgi - ctgf*
в) sin 2t ctg f - 1;
г) 2 cos —-. 2 sin —-.—.
4 4
в) (1 - tg21) cos2 f;
r) (tg t + ctg i) sin 2t.
27.8.
Докажите тождество:
а) (sin t - cos i)2 = 1 - sin 2t;
б) cos4 ί - sin41 = cos 2t;
в) (sin ί + cos tf = 1 + sin 2i;
r) cos4 ί - sin41 = 1 - | sin2 2*.
27.9.
027.10.
a)
sin2 2* =
6) 2 sin2 -|
Li
a)
6)
cos2 3* =
1 - cos t
1 + cos t
1 - cos 4*
2 '
+ cos t = 1;
l + sin(f-
2
= tg2f;
6*1
j
в) 2 sin2 2* = 1 + sin — - 4*
3π
в) sin
4
1 - sin 4t.
ч 1 - cos ί χ t
r> ^ET~ = ** 2·
°27.11. a) 1 + sin α = 2 cos2
45°-^
6) 2 sin2(45° - a) + sin 2a = 1;
в) 1 - sin a = 2 sin2
45° -«
r) 2 cos2(45° + a) + sin 2a = 1.
153

Докажите тождество:
027.12. а) . ,.00*2* . - = ctg (π + t) - 1;
smt cost + suri
sin2f - 2 sin [ | - t
б> (и У .'=-^^t;
COS -Д- - t - Sill ί
в) (ctg t -tgt) sin 2* = 2 cos 2t;
1 - cos2t + sin2f f0.f£_/>l
r> 1+соб2*+81п2*^2 rJ = 1·
°27·13· a> l + cos2* ' TT^sl = tg 2'
sin2f cosf cos 2 = tff 1
*l + cos2i'l + cosi'1l f 4'
1 + cos -^
л- ^ . 1 - cos 2i + sin 2t . .
027.14. a) ι ^ οΐΤΐ 9, . ^g 9, = *β*;
7 1 + sin zr + cos Μ
1 + cos2i - sin2i _ fe(n _ t
6' l + sin2i + cos2i * 4
027.15. a) cos2* - cos2 [ - - t ] = -Lsinf- - 2t
6) sin21 - sin2 — - t I = —7= sin \2t - —
И J л/2 I 4
sin 4jc
027.16. a) cos χ cos 2jc = 4 sin χ;
sin 8*
б) cos χ cos 2jc cos 4jc = g . >
ч . л sin 4*
в) sin* cos 2* = j^;
ч . л . sin 8*
r) sin χ cos 2jc cos Ax = -£-——:·
7 О COS JC
027.17. Проверьте числовое равенство:
а) sin 18° cos 18° cos 36° = i sin 72°;
б) sin 18° cos 36° = \.
154

27.18. Упростите выражение д/l - cos2f + -y/l + cos2f, если
a) t e
6)te
[H
>
[?'"]
в) ί e
г) ί €
"τ
27.19.
027.20.
Вычислите (с помощью формул понижения степени):
a) sin 22,5°; б) cos 22,5°;
ч . 3π ч 3π
в) sin —\ г) cos —.
Вычислите:
а) sin 11°15' cos 11°15' cos 22°30' cos 45°;
-ν . π π π π
б) sin—-cos-— cos—-cos—-.
' 48 48 24 12
^ ч 1 + cos 40° + cos 80° . .ΠΟ
027.22.
•27.23.
sin 80° + sin 40°
1 - cos 25° + cos 50°
6) sin 50°-sin 25°
sin 125° cos 125°
-tg65°.
a)
a)
sin 55° cos 55° '
cos — + sin
8
iYcos3^
8A 8
cos 150°
6' sin 40°
• 3 π^\
sin -
sin 150°
cos 40°
_ . 7π( 4 7π . 4 7π^\
6) sin-^ cos ^-sm-j;
ν f π π Υ з π
в) cos sin — cos —
' [ 12 12 Д 12
+ sin3 ±
12 12
r) sin
12
6 Я · 6 7C
cos sin —
24 24
•27.24. a) sin2 ^ + c°s2 ^r + sin4 ^r + c°s4 ^r + sin6 ^r + c°s6 ^
' 8 8 8 8 8 8
-v 2 5π . ο 5π л 5π . 4 5π « 5π . « 5π
6) cos —— sin —- + cos —— sin — + cos — - sin —.
7 8 8 8 8 8 8
•27 9* n\ я 2π 4π 8π 16π
*'·*5. a) cos-— cos-— cos-— cos-— cos-——;
33 33 33 33 33
-ν π 2π 4π 8π 16π 32π
6) cos — cos — cos — cos — cos —- cos ——.
' 65 65 65 65 65 65
155

•27.26. Докажите равенство:
а) 8 cos 10° cos 20° cos 40° = ctg 10°;
б) sin 70° + 8 cos 20° cos 40° cos 80° = 2 cos210°.
5 π
027.27. Известно, что sin t = —, — < t < π. Вычислите:
lo 2
a) sin 2t; 6) cos 2t; в) tg 2t; r) ctg 2t.
027.28. Известно, что cos χ = 0,8, 0 < χ < —. Вычислите:
Li
a) sin 2х\ б) cos 2jc; в) tg 2х\ г) ctg 2x.
027.29. Известно, что tg* = -|, 180° < χ < 270°. Вычислите:
а) sin 2x; б) cos 2x; в) tg 2x; г) ctg 2л\
027.30. а) Известно, что cos t = —, 0 < t < —. Вычислите:
4 Li
t . t . t . t
cos -, sin -, tg -, ctg -.
б) Известно, что ctg t = —, π < t < —. Вычислите:
4 Li
t . t . t , t
cos -, sin -, tg -, ctg -.
ο π
027.31. а) Известно, что sin 2x = —-, - < χ < π. Вычислите:
5 2
cos jc, sin jc, tg jc, ctg jc.
3 5π
б) Известно, что tg 2x = —, π < χ < -τ-- Вычислите:
cos jc, sin jc, tg jc, ctg x.
027.32. а) Зная, что tg — = α, найдите sin —-—, cos —-—;
Li Li Li
. x „ . χ - 3π χ + 3π
б) зная, что tg — = α, найдите sin —-—, cos —-—.
4 Li Li
527 тс тс
•27.33. а) Зная, что cos 4jc = --—-, — < χ < —, вычислите sinJf;
525 4 2
б) зная, что cos 4jc = —, — < χ < —, вычислите tg jc.
θ1 Ζ ТЕ
027.34. Вычислите sin
jc + —
6
если:
a) sin "2 - g = α; 6) cos "ο + 3 = α·
156

027.35. а) Известно, что sin 2α = —. Вычислите sin4 α + cos4 α.
б) Известно, что sin4 α + cos4 α= — π — <α<π. Вычис-
50 2
лите sin 2α.
5
027.36. Известно, что cos 2x = —. Вычислите:
13
a) sin4 χ + cos4 x; 6) sin8 χ - cos8 x.
027.37. Сравните числа α и Ь, если:
а) α = sin —, & = -; б) а = tg -, b = -.
027.38. Выразите:
a) sin 3jc через sin x; 6) cos Зх через cos x.
027.39. Опираясь на результаты № 27.38, сформулируйте
необходимое и достаточное условие для выполнения равенства:
а) sin Зх = 3 sin χ; б) cos Зх + 3 cos jc = 0.
027.40. а) Зная, что f(x) = sin x, f(a) = 0,1, вычислите /(За);
б) зная, что f(x) = sin jc, f(a) = 0,25, вычислите /(4α);
в) зная, что f(x) = cos jc, /(α) = -0,1, вычислите /(За);
2
г) зная, что f(x) = cos jc, /(α) = -, вычислите /(4α).
о
•27.41. а) Зная, что 15 cos 2t + 8 sin ί = 9 и 1 < ί < 3, вычислите
tg*;
б) зная, что 6 cos 2t + 5 cos £ + 3 = 0и4<£<6, вычислите
ctgi.
•27.42. а) Докажите, что если sin2 χ = sin у cos ι/, το cos 2jc
= 2 cos2
— + У
4 *
б) докажите, что если cos2 χ = sin у cos ι/, το cos (π + 2x) =
= 2 sin2
'π
4"*
157

•27.43. а) Известно, что tg χ = -, sin у = -—, 0 < Jt < ^, 0 < у < Иг
Докажите, что χ + 2у = -.
гт гт о
б) Известно, что sin χ = —, cos у = —, cos ζ = —, 0 < χ < i
25 25 5 2
0 < у < —, 0 < 2 < -. Докажите, что jc + -^ = ζ.
Δ Δ Δ
з
•27.44. а) Зная, что t = 2 arccos —, вычислите sin t, cos i, tg t, ctg f;
5
б) зная, что ί = 2 arctg ~τ > вычислите sin i, cos ί, tg f,
( _5_^
13
> вычислите sin t, cos ί, tg f,
ctgi;
в) зная, что t = 2 arcsin
ctgi;
12
г) зная, что ί = 2 arcctg —, вычислите sin t, cos t, tg f,
5
Ctg*.
3 t t t
•27.45. а) Зная, что t = arccos -, вычислите sin -, cos -, tg -;
5 Δ Δ Δ
б) зная, что t = arctg
f з l . t t A ί
,7 вычислите sin —, cos —, tg -;
4 Ι Δ Δ Δ
в) зная, что t = arcsin ~тт:
5 Ϊ . t t A ί
|> вычислите sin —, cos —, tg -5
2 Δ Δ
4- 12 · * * 4. *
г) зная, что ί = arcctg —, вычислите sin —, cos —, tg —.
5 Δ Δ Δ
Решите уравнение:
27.46. a) sin 2x - 2 cos χ = 0; в) sin 2x - sin χ = 0;
6) 2 sin χ = sin 2jc; γ) sin 2x - cos χ = 0.
27.47. a) sin jc cos jc = 1; в) cos2 — - sin2 — = -;
о о 2
6) sin 4jc cos 4jc = -; r) sin2 χ - cos2 χ = -.
2 2
158

27.48. Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [0; 2π]:
а) cos 2х + 3 sin χ = 1; в) cos 2x = cos2 x;
б) sin2 χ = -cos 2χ; г) cos 2jc = 2 sin2 jc.
27.49. Решите уравнение:
а) 2 - cos 2x + 3 sin jc = 0;
б) cos 6x - cos 3x - 2 = 0;
в) 26 sin jc cos χ - cos 4jc + 7 = 0;
r) sin4 χ + cos4 χ = sin jc cos x.
027-50. Найдите (в градусах) наибольший отрицательный корень
уравнения:
sin 22,5° cos 22,5°
a>cos*= cos2 67,5° -sin2 67,5°'
_ sin2 75° - cos2 75°
6) sin л:- 4sini5ocosl5o ·
Решите уравнение:
027.51. a) 3 sin 2x + cos 2x = 1; 6) cos 4jc + 2 sin 4jc = 1.
027.52. a) 4 sin χ + sin 2x = 0, χ € [0; 2π];
6) cos2 f 3x + -
- sin
3* + ^
4
♦4-°·"
3π
027.53. Сколько корней имеет уравнение:
a) (cos χ - sin x)2 = 1 - 2 sin 2jc, на отрезке
20π 28π
9 ; 9
6) 2 cos2 [ 2χ - -
π_ 3π
2; 2
- 2 sin^
2χ Ι + 1 = 0, на отрезке
Решите уравнение:
°27.54. а) 1 - cos χ = 2 sin —;
Li
в) 1 + cos χ - 2 cos —;
6) 1 - cos χ = sin χ sin —;
Li
°27.55. a) sin2 2x = 1;
6) cos2 [ 3jc - -
r) sin χ = tg2 — (1 + cos x).
Lt
в) sin
6 ) 4
r) cos2 be Η— = 1.
159

027.56. Найдите корни уравнения, удовлетворяющие неравенств
а) 4 sin2 χ + sin2 2х = 3; б) 4 cos2 2x + 8 cos2* = 7.
•27.57. Решите уравнение:
а) sin 2х + 2 sin χ = 2 - 2 cos jc;
б) 4 sin 2x + 8 (sin jc - cos jc) = 7.
027.58. Докажите тождество:
2tg| ^tff
a) sin jc = ; 6) cos jc = .
1 + tg2| 1 + tg2|
027.59. Используя замену и = tg -~ и тождества из упражне
ния 27.58, решите уравнение:
a) sin χ + 7 cos x = 5; б) 5 sin jc + 10 cos jt + 2 = 0.
χ
027.60. Вычислите tg -^, если известно, что:
а) sin χ + cos χ = 1,4; 0 < χ < -j;
o_.
б) sin χ - cos χ = 0,2; π < χ < -γ.
Решите неравенство:
027.61. а) 4 sin2 Зх < 3; б) 4 cos2 f > 1-
027.62. a) sin 2х cos 2х < -j; б) cos2 -j - sin2 τ > "о·
027.63. a) cos2 2x - sin2 2jc < -1; в) sin2 3x - cos2 3jc < -1;
1 2x 2x 1
6) sin 5jc cos 5jc > -«; r) sin -g- cos -g- < -—.
Найдите наименьшее и наибольшее значения функции:
027.64. а) у = 2 cos 2х + sin2 χ; б) у = 2 sin2 3jc - cos 6x.
027.65. а) у = 3 - sin χ + cos 2jc; б) у = cos 2jc + 4 cos jc - 1.
•27.66. a) i/ = sin 3jc + cos 2x + 4 sin3 jc;
6) ι/ = cos 3jc + cos 2x - 4 cos3 jc.
027.67. Постройте график функции:
a) ι/ = 4 sin — cos —; б) у = 2 cos2 χ.
160

Постройте график функции:
)1 + cos χ
o27.68. а> У = Vl-cos*;
sin2jc
о27.69. а) у = 1δίΤ;
б)
б)г/ =
027.70. а) ι/ =
б)у =
027.71. а) у =
б)г/ =
cos2jc
sin χ - cos
cos 2jc
cos χ + sin jc
- + sin x; в) у =
+ cos jc; r) у =
h
Vi +
sin2jc
COS JC
cos
cos
cos
2*
2*
2x
cos χ + sin jc
cos
2*
cos jc - sin χ
+ sin jc;
cos x.
\ 2 sin jc cos x, если д: < О,
2 sin2 4» если л; > 0;
4
(sin jc + cos χ)2, если jc < —,
4
2 + — - x, если χ > —.
4 4
sin 2jc
•27.72. a) i/ =
6)i/= -2|cos*|
| sin jc |9
sin2je
r) У =
sin 2jc
-|cos jc|'
sin2jc
2|sinxl"
§ 28. Преобразование суммы
тригонометрических функций в произведение
Представьте в виде произведения:
28.1. a) sin 40° + sin 16°;
б) sin 20° - sin 40°;
28.2. a) cos 15° + cos 45°;
6) cos 46° - cos 74°;
28.3. a) sin -g - sin jq',
b) sin 10° + sin 50°;
r) sin 52° - sin 36°.
в) cos 20° + cos 40°;
r) cos 75° - cos 15°.
ν . π .π.
в) sin g + sin γ,
йх . π . π.
6) sin -ό + sin -τ;
ч . π .π
Γ) Sin "ό - Sin yr.

Представьте в виде произведения:
28.4. a) cos jq - cos tjq» b) cos -g - cos γρ
^ч 11π 3π. ν 3π 5π
6) COS -J2 + cos "7"' Γ) COS "Η" + COS -j-.
28.5. a) sin 3t - sin t;
б) cos (a - 2β) - cos (a + 2β);
в) cos 6t + cos 4i;
r) sin (a - 2β) - sin (a + 2β).
28.6. a) tg 25° + tg 35°; в) tg 20° + tg 40°;
6) tg 5 - tg ^, r) tg 3 - tg T
028.7. a) ^ - cos i; в) 1 + 2 cos i;
6) ^r- + sin i; r) cos ί + sin t.
028.8. a) sin bx + 2 sin 6jc + sin 7jc;
6) 2 cos χ + cos 2jc + cos Ax.
028.9. a) sin t + sin 2i + sin 3t + sin 4i;
6) cos 2i - cos 4i - cos 6i + cos St.
Докажите тождество:
лл - Λ ν sin 2α + sin 6α
28·10· a> cos 2α + cos 6α = ** *a'>
^ч cos 2а - cos 4а , Λ ,
б> cos2a + cos4a = tg3atga.
ΛΛ , , v sin (a + β) + sin (a - β)
θ28·η· a> cos (α + β) + cos (α -β) = *«
cos (a - β) - cos (a + β) _
б' sin (a + β) - sin (a - β) " tg a*
X X X — U
028.12. a) sin χ + sin у + sin (x - y) = 4 sin -~ cos -r- cos —p-2·;
sin χ + sin 2jc + sin 3jc _
' cos jc + cos 2x + cos Зле ~ ^
028.13. a) sin2 (α + β) - sin2 (a - β) = sin 2a sin 2β;
6) cos2 (a - β) - cos2 (a + β) = sin 2a sin 2β.
162

Вычислите:
cos 68° - cos 22°. sin 130° + sin 110° .
028·14· a* sin 68° - sin 22°' B> cos 130° + cos 110°'
• 7π .π . 5π , . 11π
,-,Slnl8-Sm9. rt Sml8+Sln-9-
' 7π π' Γ' λ„ 5π _,_ ^ 11π"
COS^-COSg COS^ + COS-g-
sin α + sin 3α + sin 5α + sin 7α
028.15. a) cos α + cos 3α + cos 5α + cos 7α' если ct^ 4α = °>2>
sin jc - sin 2x + sin Зле - sin 4jc 5#
6' cos χ - cos 2* + cos Sx - cos 4*' если tg Τ = 2*
#28.16. a) sin210° + sin2130° + sin2110°;
6) cos2 35° + cos2 25° - cos2 5°.
#28.17. a) cos 24° + cos 48° - cos 84° - cos 12°;
6) tg 9° - tg 63° + tg 81° - tg 27°.
Проверьте равенство:
28.18. a) sin 35° + sin 25° = cos 5°; в) cos 12° - cos 48° = sin 18°;
6) sin 40° + cos 70° = cos 10°; r) cos 20° - sin 50° = sin 10°.
028.19. a) sin 20° + sin 40° - cos 10° = 0;
6) cos 85° + cos 35° - cos 25° = 0.
028.20. a) sin 87° - sin 59° - sin 93° + sin 61° = sin 1°;
6) cos 115° - cos 35° + cos 65° + cos 25° = sin 5°.
•28.21. a) sin 47° + sin 61° - sin 11° - sin 25° = cos 7°;
6) tg 55° - tg 35° = 2 tg 20°.
•28.22. Докажите, что если α + β + γ = π, то выполняется
равенство:
а) tg α + tg β + tg γ = tg α tg β tg γ ;
б) sin α + sin β + sin γ = 4 cos -^ cos -δ cos Ϊ.
28.23. а) Зная, что sin 2x + sin 2y = a, cos 2x + cos 2y = b (a * 0,
b * 0), вычислите tg (χ + у);
б) зная, что sin χ - sin у = α, cos χ - cos у = b (α * 0, b * 0),
, χ + υ
вычислите ctg —ρ-2·.
163

•28.24. Докажите:
а) если 2 sin χ = sin (χ + 2y), το tg (χ + у) = 3 tg ι/;
б) если 2 cos x = cos (jc + 2y), то ctg (jc + y) - 2 tg jt =
= tg χ + ctg ι/.
•28.25. Докажите:
а) если cos2 χ + cos2 у = m, то cos (jc + ι/) cos (x - y) = m - j,
б) если cos2 (x + y) + sin2 jt + sin2 у = т, то
ι m
sin jc sin ι/ cos (jc + y) = —^—·
Решите уравнение:
028.26. a) cos χ + cos 3x = 0; в) cos χ = cos bx\
6) sin \2x + sin 4jc = 0; r) sin 3jc = sin 17jc.
028.27. a) sin χ + sin 2jc + sin 3jc = 0;
6) cos 3jc - cos 5jc = sin 4jc.
028.28. a) sin 3jc = cos 2jc;
б) sin (5π - jc) = cos (2x + 7π);
в) cos Ъх = sin 15jc;
r) sin (7π + x) = cos (9π + 2x).
028.29. a) 1 + cos 6x = 2 sin2 5jc b) sin2 -= = cos2 -5-;
6) cos2 2x = cos2 4jc; γ) sin2 jc + sin2 3x = 1.
028.30. a) 2 sin2 jc + cos 5jc = 1;
6) 2 sin2 3jc - 1 = cos2 4jc - sin2 4x.
028.31. a) tg χ + tg 5jc = 0; в) tg 2x = tg 4jc;
6) tg 3x = ctg jc; r) ctg I + ctg ^ = 0.
028.32. a) sin χ + sin 3x + cos χ + cos 3jc = 0;
6) sin 5jc + sin χ + 2 sin2 jc = 1.
028.33. Сколько корней имеет заданное уравнение на отрезке
Nl·
а) sin 2х + sin 6х = cos 2x;
б) 2 cos2 χ - 1 = sin Зх?
028.34. Найдите корни уравнения, принадлежащие промежуг^
(0; 2,5):
а) cos 6х + cos 8х = cos 10jc + cos 12jc;
б) sin 2x + 5 sin 4x + sin 6x = 0.
164

28.35. При каких значениях χ числа а, Ь, с образуют
арифметическую прогрессию, если:
а) а = cos 7 χ, Ъ = cos 2х, с = cos 11л:;
б) а = sin Зх, Ъ = cos χ, с = sin 5jc?
28.36. Решите неравенство:
a) sin
х + 1
4
+ sin
X
4
<1;
б) cos [ 2jc ч— | + cos
'*-ί
>-ΐ.
2
o28.37. Постройте график функции:
а)у = 1,б(
9jc + 10π , 9jc - ΙΟπ
cos + cos
6
*ч of - 9x + 2π , . 9x - 2π
6) ι/ = 2 sin + sin
#28.38. Постройте график уравнения:
a) sin 2x = sin 2у; б) cos 2х = cos 2ι/.
§ 29. преобразование произведения
тригонометрических функций в сумму
Представьте в виде суммы:
29.1. a) sin 23° sin 32°; в) sin 14° cos 16°;
ο) cos j= cos "ft'
29.2. a) sin (α + β) sin (a - β);
6) cos (a + β) cos (a - β);
29.3. a) cos a sin (a + β);
б) sin (60° + a) sin (60° - a);
в) sin β cos (a + β);
γ) 2 sin g cos g.
ν ία.βϊ fee
в) cos hjj + ^ cos hjj -
r) 2 sin (a + β) cos (a -
■J)
-β).
r) cos
'«♦ί
COS
°29.4. a) sin 10° cos 8° cos 6°;
°29.5. a) sin χ sin у sin 2;
°29.6. a) sin2 χ cos 4jc;
6) 4 sin 25° cos 15° sin
6) cos χ cos у cos 2.
6) cos2 2x sin 3jc.
5°.

Докажите тождество:
029.7. а) 2 sin t sin 2t + cos 3t = cos t;
6) sin α - 2 sin
j-«·)«»(! ♦"·)-?
029.8. a) sin2 χ + cos [ — - x\ cos — + χ I = -;
6) 4 sin I — - χ
\
sin I — + χ
= 3-4 sin2 x.
029.9. a) 4 sin χ sin
Λ
χ \ sin
о
'π 1
= sin 3jc;
6) tg * tg
π
χ
3
tg
£ + *|=tg3*.
•29.10. cos2 (45° - a) - cos2 (60° + a) - cos 75° sin (75° - 2a) = sin 2a.
•29.11. a) sin χ + sin 2x + sin 3x + sin 4jc + ... + sin nx =
sininj_!)isinz|
sinf
6) cos x + cos 2x + cos 3x + cos 4jc + ... + cos nx =
(n + l)x . nx
_ cos^—^- sin-g-
sin$
Вычислите:
029.12. a) cos2 3° + cos21° - cos 4° cos 2°;
6) sin210° + cos 50° cos 70°.
029.13. a) —По^ - 2 sin 70°; 6) ^^ + 4 cos 100°.
029.14. a) 2 sin 87° cos 57° - sin 36°;
6) 2 sin 59° sin 14° + sin 163°.
029.15. a) sin 12° cos 72° - cos 33° cos 27°;
6) 2 cos 28° cos 17° - 2 sin 31° sin 14° - 2 sin 14° sin 3°.
•29.16. a) cos 10° cos 30° cos 50° cos 70°;
6) sin 10° sin 30° sin 50° sin 70°.
166

oqXI. Сравните числа:
а) а = sin 1 cos 2, b = sin 3 cos 4;
б) a = cos 2 cos 4, b = -sin 3,5 sin 2,5.
29.18. Докажите неравенство:
а) sin (x + 2) cos (jc - 2) < sin (x + 3) cos (x - 3);
б) cos (2x - 3) cos (2x + 3) > sin (1 + 2x) sin (1 - 2x).
О у Ογ
#29·19· а) Зная, что cos χ = -г, вычислите 16 sin -^ sin -γ;
о
б) зная, что cos χ = —к> ■« < х < π, вычислите
4 ПК · X ОХ
125 sin -χ cos -5-.
Решите уравнение:
029.20. a) cos
Jt + —
3
cos I x -- |-0,25 = 0;
6) sin
* + J cos U-f 1=1-
029.21. a) 2 sin jc cos 3jc + sin 4jc = 0;
~. . χ . 3x 1
6) sin -g sin -y = 2·
029.22
a) sin 3x cos jc = sin -5- cos -5-;
6) 2 sin I — + χ sin — - χ
+ sin jc = 0;
в) sin 2x cos jc = sin χ cos 2jc;
r) cos 2x cos jc = cos 2,5jc cos 0,5jc.
°29.23. Найдите наименьший положительный и наибольший
отрицательный корень уравнения:
a) sin χ sin Зх = 0,5; б) cos x cos Зх = 0,5.
°29.24. При каких значениях χ числа а, Ь, с образуют
геометрическую прогрессию, если:
а) а = cos 6jc, b = cos 4jc, с = cos 2x;
б) a = sin 2jc, b = sin 3jc, с = sin Ax?
167

02Θ.25. Решите неравенство:
a) sin |ί + χ J sin [ - - χ \ < 0;
6) sin
'π χ}
v6 2
в) sin I jc - —
7 ' 12
cos
COS
Wi>°··
χ + ^ I < 0;
12 '
r) cos
3x + π
6
cos
Зх-π
6
> 0.
•29.26. Решите систему уравнений:
а)
2si„£^coe^±^ = i
б)
3'
cos (л: + у) cos(* - ί/) = 7,
sin(x + у) sin (ж -ι/) = f,
029.27. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции:
a)y = sinlx + |jcoei*-·^ ;
б) у = sin
*-| sin hc + |
•29.28. Постройте график функции:
а) у = 2
sin л: - -£ |cos
*+ 12
б) ι/ = -3
Зле + π Зле - π
cos cos —-—
6
Постройте график уравнения:
•29.29. а) 2 sin (χ + у) cos у = sin x;
б) 2 cos (jc + у) cos jc = cos y.
•29.30. a) cos ^^ cos *^ = cos2 f;
6) Sin ^i^ cos *£j£ = cos2 (J " |)
168

§ 30. Преобразование выражения A sin χ + В cos x
к виду С sin (х+1)
Преобразуйте данное выражение к виду С sin (χ + t) или
С cos (x + t):
30.1. а) Уз sin χ + cos jc; в) sin χ - cos x;
6) sin jc + Уз cos jc; r) 2 sin jc - λ/Ϊ2 COS Jt.
в) 7 sin jc - 24 cos jc;
r) 8 cos χ + 15 sin Jt.
30.2. a) 3 sin χ + 4 cos x;
6) 5 cos χ - 12 sinjc;
030.3. Докажите тождество:
а) sin χ + cos χ + V2 = 2>/2 cos2
б) cos 2x - sin 2jc - V2 = -2>/2 sin2 ίχ + - I
030.4. Преобразуйте сумму в произведение:
2 8
a) sin t + cos t + 5 cos
i + fi;
6) sin t - cos ί + COS
4
030.5. Вычислите:
sin 38° - cos 38°
a)
6)
V2 sin 7°
sin 377°- УЗ cos 17°.
cos 407°
в)
sin 17° + Уз cos 17°.
2 cos 347°
sin 752° + cos 328°
Г* У2 sin 437°
030.6. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции:
а) у = УЗ sin χ + cos x;
б) у = sin χ - Уз cos x;
в) у = sin jc - cos χ;
г) ι/ = Уб sin x - y/2 cos jc.
°30.7. Найдите область значений функции:
а) у = 3 sin 2x - 4 cos 2jc;
б) ι/ = 5 cos 3jc + 12 sin 3x;
в) у = 7 sin 7г +24 cos -5-;
JC X
г) у = 8 cos -o - 15 sin -q-
169

030.8. Существуют ли значения *, при которых выполняется
равенство:
а) sin 5* + cos 5* = 1,5;
б) 3 sin 2* - 4 cos 2x = V26;
в) sin 7x - V3cos 7x = -~;
r) 5 sin χ + 12 cos χ = Vl70?
030.9. Постройте график функции:
а) у = V2 (sin χ + cos x); в) ι/ = sin * - V3 cos *;
б) ι/ = \/3 sin * + cos *; г) у = sin * - cos *.
Найдите наименьшее и наибольшее значения функции:
О30.10. а) у = cos χ - 2 sin χ - 1;
б) у = |5 sin * + 12 cos jc - 17|;
в) ι/ = 3 cos -| + 4 sin ·|· - 5;
г) у = 17 sin 2x - 24 cos 2x\ + 15.
•30.11. а) у = cos jc - V3 sin χ + 2>/з cos — - χ ;
I6 )
б) у = cos 2jc + sin 2x - yff sin l·^ - 2x .
И J
030.12. При каком значении параметра α наибольшее значение
заданной функции равно числу М:
а) у = 6 sin 1,5jc - 8 cos 1,5jc + α, Μ = 17;
б) у = 7 sin 0,3* + 24 cos 0,3* + α, Μ = -17?
Ο30.13. При каком значении параметра α наименьшее значение
заданной функции равно числу т:
а) у = -9 sin 1,4* - 12 cos 1,4* + α, /η = 1;
б) ι/ = 3,5 sin 0,2* - 12 cos 0,2* + α, τη = -1?
•30.14. При каком значении параметра α наибольшее значение
функции у = /(*) равно наименьшему значению функции
у = g(x):
а) /(*) = 7 sin 5* - 24 cos 5* + а - 1, #(*) = 3 - 2 cos 4*;
б) /(*) = 9 sin (* - 2) + 12 cos (* - 2) - 5 - α,
g(x) = 2 + 7 sin (2* + 1)?
030.15. Решите уравнение:
а) V3 sin * + cos * = 1; в) sin * - V3 cos * = v3;
б) sin * + cos * = v2; r) sin * - cos * = 1.
170

Решите уравнение:
30Д6. a) cos 2х + 7з sin 2х = V2;
б) sin Ъх - cos Ъх = —;
2
в) cos тг - \/3 sin ·|· +1 = 0;
г) sin -g + cos "3=1·
030.17. a) 4 sin χ - 3 cos χ = 5;
б) 3 sin 2x + 4 cos 2x = 2,5;
в) 12 sin χ + 5 cos Jt + 13 = 0;
r) 5 cos 7Г - 12 sin -g = 6,5.
030.18. a) sin 2x - cos 2x = V2 sin 3jc;
б) 7з sin χ - cos jc = 2 cos 3x;
в) sin 5jc + cos 5jc = V2 cos jc;
r) sin 2x + 7з cos 2jc = 2 sin 4jc.
•30.19. a) 2 sin 17jc + 7з cos 5jc + sin bx = 0;
6) 5 sin χ - 12 cos χ + 13 sin 3jc = 0.
•30.20. a) (sin χ + 7з cos χ) - 5 = cos f - - χ |;
(v3 sin jc - cos x) +1 = 4 cos \x + —
•30.21. a) V3 sin χ + cos χ + 2 = —jc;
5π
6) V2 (cos jc - sin x) = 2x - —.
°30.22. Решите неравенство:
a) V3 sin χ + cos χ > 1; 6) 3 sin jc - 4 cos jc < 2,5.
°30.23. При каких значениях параметра α уравнение не имеет
решений:
а) 5 sin 2х + 12 cos 2х = 2а - 1;
б) 3 cos | - 4 sin I + 1 = α2?
б)
171

Докажите, что при любых значениях χ выполняете^
неравенство:
030.24. а) 2 sin2 χ + sin 2x < 2,5;
б) 16 sin2 Зх + 15 sin 6x < 25.
•30.25. а) 3 sin χ + 5 cos χ < 3/2ΪΟ;
б) 7з sin χ - 7 cos χ > -^/390.
Ο30.26. При каких значениях параметра а решением неравенства
является любое действительное число х:
а) 12 sin 2х - 35 cos 2х < 148а2;
б) 35 sin Зх + 12 cos Зх > 18,5(а3 - 10)?
§ 31. Методы решения
тригонометрических уравнений
(продолжение)
Решите уравнение:
031.1. a) sin (χ - 1) = cos (x + 2);
6) sin (Зх + 3) = cos (χ - 1).
031.2. a) sin χ sin 5jc = cos 4jc; 6) cos χ cos 5jc = cos 6x.
λ
6J
031.4. a) 2 cos2 5jc + cos 3jc = 1;
6) sin 5jc + sin Jt + 2 cos2 χ = 1.
031.5. a) 8 sin2 |- - 3 sin jc - 4 = 0;
6) 4 sin2 7Γ - cos2 -g = 1,5 + sin x.
031.6. a) sin2 jc + sin2 2x + sin2 3x = 1,5;
6) cos2 2x + cos2 4jc + cos2 6x = 1,5.
031.7. a) sin2 |- + sin2 χ + sin2 ^- + sin2 2x = 2;
6) cos2 χ + cos2 2jc + cos2 3x + cos2 4jc = 2.
031.8. tg (jc - 15°) ctg (jc + 15°) = ^.
172
031.3. sin Ι χ + -
+ cos I x + ^ I = 1 + cos 2x.

Решите уравнение:
#31.9. 8 sin6 x + 3 cos 2x + 2 cos 4x + 1 = 0.
#31.10. a) 5 sin 3x + 2 sin χ = 0; 6) 7 cos 3jc - 3 cos jc = 0.
#31.11. a) 3|cos x\ + 2 cos jc = 5|sinjc| - 3 sinjc;
6) 7|cos x\ - 4 cos jc = 3|sin x\ + 2 sin jc.
031.12. a) 4 cos3 ^ + Зл/2 sin jc = 8 cos —;
-v 7 jc 3 χ , . jc
6) τ COS -r = COS -r + Sin -jr.
7 4 4 4 2
о
031.13. cos4 χ + sin4 * - sin 2x + ^ sin2 2x = 0.
031.14. a) cos 4jc + 5 cos2 jc = 0,75;
6) cos 4* + 3 sin2 χ = 0,25.
031.15. 2 sin3 χ - cos 2jc = sin x.
•31.16. tgx + ctgx = 3 + cos 4x.
031.17. Решите уравнение 2 sin jc - 3 cos jc = 3 двумя способами:
а) с помощью универсальной подстановки и = tg -^;
б) сведя его к однородному уравнению второй степени
относительно аргумента -г·.
Решите уравнение:
031.18. а) 3 sin 2х + cos 2х = 2; б) cos 4* + 2 sin 4jc = 1.
•31.19. sin2* + tgjt = 2.
031.20. Применив подстановку у = cos χ - sin x9 решите
уравнение 4 - 4(cos χ - sin χ) = sin 2x.
Решите уравнение:
•31.21. a) sin χ cos χ + 6 cos jc + 6 = 6 sin jc;
6) 5 sin 2x - 11 cos χ = 11 sin χ - 7.
•31.22. 2(1 - sin χ - cos x) + tg χ + ctg χ = 0.
•31.23. a) cos -3- = cos2 x; 6) 32 cos6 χ - cos 6x = 1.
173

031.24.
031.25.
•31.26.
•31.27.
•31.28.
•31.29.
Решите уравнение:
sin Ъх + cos 5jc = л/2 cos 13jc.
а) 3 cos (x + 1) - 4 sin (x + 1) = 5;
б) 15 sin (2x - 3) + 8 cos (2x - 3) = 8,5.
3 sin χ - 5 sin
7jc ч— 1=4 cos x.
6
(sin 2x + л/3 cos 2jc) = 2 + 2 cos
= 0.
6
cos2jc- cosjc- sin2*
1 - cos2jc - sinjc
10tgjc
Найдите корни уравнения cos 4jc + -—j^§— = 3, принад*
лежащие отрезку [-2; 1,4].
•31.30.
•31.31.
031.32.
Решите уравнение:
χ 5
3 tg ^ + ctg x =
sinjc
cos2*-3cos*+l = ictg2x-ctgx)sm(x-ny
cos2jc(1 + ctgjc)
= 3 cos x.
031.33. a)
6)
SUIJC - COSJC
2 - sin χ + cos 2x
6x2 - πχ - π2
6 sin2*- 6sJnjc + cos2jc + l
12*2 - Snx + π2
= 0;
= 0.
•31.34. a) 2 ctg 3jc - 2 tg 3* - 4 tg 6x = 1;
6) ctg χ - tg jc - 2 tg 2jc - 4 tg 4jc = 8 tg 8x.
•31.35. 6 tg χ + 5 ctg 3x = tg 2x.
•31.36. sin bx + sin χ = 2 + 2 cos2 jc.
•31.37. (sin jc + λ/з cos jc) sin 3jc = 2.
•31.38. cos 2x
174
l-^sin22jc
4
= 1.

Решите уравнение:
gl.39. sin χ + cos χ = л/2 + sin4 4л\
L.40. л/9 - У? (sin 2л: - 3 cos χ) = 0.
#31.
31.41. а) л/25 - 4JC2 (3 sin 2πχ + 8 sin πχ) = 0;
б) л/49 - 4jc2[sinπ* + 3cos— J = 0.
#31.42. a) fctg| - |sin*\/4x- *2 + 5 = 0;
6) (2 sin 2jc - tg х)л/2 - χ - ι? = 0.
Φ31.43. yjcos2x + ^/1 + sin2jc = 2^/sin л; + cos χ.
#31.44. a) -y/siii 7л: - sin 5x = yjsmx;
6) ^cos bx + cos jc - sin 5x = ^sinx.
•31.45. a) sin (W5 - χ2) = 0,5; 6) cos (тсл/7 - *2) = -0,5.
•31.46. tg -^Ц + sin zr^l = 2.
ъ 1 + x2 1 + χ2
•31.47. а) Дано уравнение с параметром a: yja cos 2x - 3 sin 2jc =
= cos jc. Известно, что jc = 0 является корнем этого
уравнения. Найдите остальные корни,
б) Дано уравнение с параметром а: ^2 sin 2x - a cos 2x +
+ sin χ = 0. Известно, что χ = -— является корнем этого
уравнения. Найдите остальные корни.

§ 32. Комплексные числа
и арифметические операции над ними
32.1. Приведите примеры линейных уравнений с
действительными коэффициентами, которые:
а) имеют целые корни, но не имеют натуральных корней.
б) имеют рациональные корни, но не имеют целых корней
в) имеют действительные корни, но не имеют
рациональных корней;
г) не имеют действительных корней.
32.2. Приведите примеры квадратных уравнений с
действительными коэффициентами, которые:
а) имеют целые корни, но не имеют натуральных корней;
б) имеют рациональные корни, но не имеют целых
корней;
в) имеют действительные корни, но не имеют
рациональных корней;
г) не имеют действительных корней.
32.3. Укажите хотя бы одно значение параметра а, при
котором у уравнения 2х2 + 4jc + а = 0:
а) оба корня целые, но не натуральные числа;
б) оба корня рациональные, но не целые числа;
в) оба корня действительные, но не рациональные числа;
г) укажите все значения а, при которых действительных
корней нет.
32.4. Укажите хотя бы одно значение параметра а, при
котором у уравнения Зх2 + ах + 6 = 0:
а) оба корня целые, но не натуральные числа;
б) оба корня рациональные, но только один из них —
целое число;
в) оба корня действительные, но не рациональные числа
г) укажите все значения а, при которых действительных
корней нет.
176

Вычислите:
32.5. a) i3; б) i5; в)*22; г) iu + i2005.
032.6. а) (-03; в) -i22 - (-i)22;
Л\ / θ;\5. «\ ;3 . .5 . ·7 . . «2005
о) (—Δι) ; г) ι + ι + ι + ... + ι
32.7. Найдите значение многочлена ζ2 + 361 при заданном
значении переменной ζ:
а) ζ = i; в) ζ = -Hi;
б) ζ = -2i; г) z = -19(-03.
032.8. Найдите значение многочлена ζ3 + 3ζ при заданном
значении переменной ζ:
а) z = -i; в) ζ = -3ί;
б) z= V2i; г) ζ = -y/Si.
032.9. Дана геометрическая прогрессия с первым членом,
равным ί, и знаменателем, равным -i.
а) Выпишите первые 7 членов этой прогрессии;
б) найдите значение 27-го члена прогрессии;
в) найдите сумму первых 2007 членов прогрессии;
г) найдите сумму членов прогрессии с 15-го по 30-й.
Для комплексных чисел ζλ и ζ2 найдите их сумму ζλ + ζ2 и
разность ζλ - ζ2, если:
32.10. а) Ζι = 1 + i, z2 = 1 - i; в) ζλ - -ί, ζ2 = 1 - ί;
6) ζλ = 1 + ί, ζ2 = -1 + 2ί; γ) ζλ = ί3 + 4ΐ4, ζ2 = i2 - 3(-ί)3.
032.11. a) ζλ = 1 + ί, ζ2 = 1 - 2ί;
6) Ζι = 2 + ί, 22 = -3 + 2ΐ;
β) 2ι = ί15, ζ2 = 15 + ί;
γ) ζχ = ί17 + Ш18, ζ2 = Ш15 - 16(-016.
032.12. Дана арифметическая прогрессия с первым членом,
равным 3 - 2ί, и разностью, равной -1 + i.
а) Составьте формулу п-го члена прогрессии;
б) найдите значение 15-го члена прогрессии;
в) найдите сумму первых 20 членов этой прогрессии;
г) найдите сумму членов прогрессии с 10-го до 40-го.
32.13. Докажите, что:
а) Ζι + ζ2 = ζ2 + Ζι, Ζι е С, ζ2 € С;
б) (α + b)z = az + bz, a e R, b e R, ζ e C;
в) (ab)z = a(bz), a e R, b e R, ζ e C;
r) a(zi + z2) = azi + az2, a e R, zx e C, z2 £ C.
177

032.14. Известно, что сумма действительной и мнимой частей
комплексного числа az, a e R, равна 1. Найдите а если:
а) ζ = 1 + i; в) ζ = 13 - 23i;
б) 2 = 7 + 3i; г) 2 = 1 - i.
032.15. Вычислите α,2λ + &ζ2, если:
а) 2! = 1 + i, 22 = 1 - ί, α = 2, & = -1;
б) 2λ = 1 + ί, 22 = -1 + 2i, α = -4, b = -5;
в) 2ι = 1 + i, 22 = 1 - i, a = -2, b = 3;
r) 2i = 1 + U z2 = -2 + 3i, α = 12, & = -11.
032.16. Известно, что число α,2λ + 22, а е R, является чисто мни*
мым. Найдите а, если:
а) 2λ - 3 + i, 22 = 6 - i; в) 2λ - 8 + 3i, z2 = -1 - 2i;
б) 2ι = 12 - 13i, 22 = 3ί; г) ζχ = i, 22 = -1 + 2i.
032.17. Известно, что число 2λ + аг2, а е R, является
действительным. Найдите а, если:
а) 2λ = 3 + i, г2 = 6 - ί;
б) 2Χ = 12 - ш, ζ2 = (3 + о2;
в) 2λ - 8 + 3i, z2 = -1 - 2i;
г) 2i = i, 22 = (2 - 3i)2.
032.18. Найдите действительные числа а и Ь, для которых верно
равенство 2 = α,2λ + &ζ2, если:
а) zx = 1, ζ2 = 1 + г, ζ = 5 + 2i;
б) Ζι = -2 + i, z2 = 3 - i, z = i;
в) Ζι = 1 + ί, 22 = 1 - ί, 2 = 3 + 5i;
г) Zi = 4 - i, z2 = -7 + 2i, ζ = 1.
Вычислите:
32.19. a) i(l + /); в) (4 - 3i)i;
6) i(-3 + 20; r) i(4 - 30*(4 + 3i).
32.20. a) (1 - 2i)(l + i); в) (4 - 30(-4 + 30;
6) (1 - 0(1 + 0; r) (12 + 50(12 - 50.
32.21. a) (l + о2; в) (2 + о5;
б) (ί - О3; г) (ί + о3 + (1 - О2·
32.22. Решите уравнение:
а) Ϊ2 - 1; в) (1 + ϊ)2 = i;
б) (1 + i)2 = 1; г) (l + i)2 = l- L
032.23. Дана геометрическая прогрессия с первым членом,
равным ί, и знаменателем, равным 1 - ί.
а) Найдите третий член прогрессии.
б) Найдите девятый член прогрессии.
178

Вычислите:
032.24. а) у, б) -j-,
032.25. a) i2 + Г2; б) i3 + Г3;
ч 1-ί. 1 + i
в> ГГ7' г> π
в) i3 + Г5; г)
в) На каких местах в этой прогрессии расположены
чисто мнимые числа?
г) На каких местах в этой прогрессии расположены
действительные числа?
г) i-a + Г.
2/4 + 3i5 (2 - i)4
•32.26. а) (2 + &Х8 + 0 + (3 - 4*Х8 - 0 '*;
2i16 - Si9 (1 + 2Q4 93 - 36г
б) (2-302 (3-40(24-70 + 325 '
032.27. Решите уравнение:
а) ίζ = (1 - 0; в) (1 + i)2 = i;
б) (1 + ϊ)2 = (1 - 0; г) (1 + if2 = (1 - О3·
032.28. Найдите действительные числа а и Ь, для которых верно
равенство — = α γ + &г2, если:
а) 2i = i, 22 = 2; в) 2X = 1 + 2i, 22 = 1 - 2i;
б) 2ι = 1 + i, 22 = 1 - i; г) Ζι = 1 + i, z2 = 1 + 2i.
ζ2 + 1
032.29. Найдите значение функции и; = —^-г, если:
а) г = 1 + /; в) ζ = 2i;
б) ζ = 1 - i; г) ζ = 2 + i.
032.30. а) Докажите, что число \-b + i\[a) + \Ъ - iyfa) при
любых действительных значениях а > 0 и b является
действительным.
б) Вычислите (2 + />/б) + (2 - *>/б) .
•32.31. При каких действительных значениях а число
ζ = (2 - ш)3 - (3 - aif + 5 + α(1 - α20:
а) является действительным;
б) является чисто мнимым?
°32.32. Для комплексного числа ζ найдите сопряженное число ζ
- ~ζ.
и вычислите произведение ζζ и частное — ·
а) z = i; в) ζ = 3 - 7i;
б) ζ = -i; г) ζ = -5 - 6i.
179

032.33. По заданному сопряженному числу ~г восстановите ком
плексное число ζ и вычислите произведение ζζ и частное
ζ : ζ.
а) ζ = 2i; в) ζ = 1 - i;
б) z = -3i; г) z = -l + 3i.
032.34. Дано: 2X = 1 - i; z2 = 4 + i. Найдите:
Ч г1·
Дано: Ζι = 3
*4τ·>
б)
+
2? .
te)2'
2i; г2 =
-2
в) 22' Г) ^
+ 3i. Найдите:
\ 22 ·
в) za + V
ζ2 - 2^1
Г) (22 + 2!)3"
•32.36. Решите систему уравнений:
[bzi - 3z2 = -9 + 5i, [4zi + z2 = 7 - 6i,
4^1 + z2 = 3 - 4i; [32i - 2г2 = -3 - i;
[7zl + 2z2 = 7 - 4i, \ϊζλ + 2z2 = 3 + 8i,
6) 0_ 0 0. r)
Згг - z2 = 3 - 2i; [2iz1 - z2 = 7L
032.37. Среди корней уравнения ζ2 + (ζ)2 = 8 укажите все корни:
а) с нулевой мнимой частью;
б) с мнимой частью, равной 1;
в) у которых действительная часть равна мнимой части;
г) у которых действительная часть в три раза больше
положительной мнимой части.
•32.38. Среди корней уравнения ζ + 1 = ^ найдите корень:
а) у которого действительная часть наименьшая;
б) у которого мнимая часть наименьшая;
в) который ближе всего расположен к началу координат;
г) который ближе всего расположен к числу ί.
§ 33. Комплексные числа и координатная плоскость
Для комплексного числа ζ = χ + iy, его действительной
части χ и его мнимой части у используют следующие
обозначения: χ = Re ζ, у = Im z (от французских слов reelle -**
действительный, imaginaire — мнимый).
180

33.1. а) Отметьте на координатной плоскости точки,
соответствующие комплексным числам ζλ - 1 + 2i, z2 = 2 + 3i,
z3 = -2 + 5i, z4 = -9 + i, zb = -3 - 2i.
б) Укажите те точки, которые лежат левее оси ординат.
Что можно сказать о знаке действительной части каждой
из таких точек?
в) Укажите те точки, которые лежат выше оси абсцисс.
Что можно сказать о знаке мнимой части каждой из
таких точек?
г) Соедините данные точки последовательно отрезками.
Сколько получилось точек пересечения замкнутой
ломаной с осями координат? Запишите комплексные числа,
которым соответствуют эти точки.
33.2. а) Отметьте на координатной плоскости точки,
соответствующие комплексным числам ζλ - -5 - 4i, z2 = 1 + Si,
z3 = -2 - 4i, z4 = 8 + i, zb = -1 - Si.
б) Соедините заданные точки последовательно отрезками.
Сколько получилось точек пересечения с осями
координат? Запишите комплексные числа, которым
соответствуют эти точки.
33.3. а) Отметьте на координатной плоскости точки Zn(n = 1,
2, 3, 4, 5), если ζλ - -5 - 3i, z2 = 1 + 6i, z3 = -3 - 6i,
z4 = 9 + 2i, zb = 1 - 6i.
б) Соедините отмеченные точки последовательно
отрезками. Сколько чисто мнимых чисел имеется на полученной
ломаной? Назовите их.
в) Сколько на этой ломаной лежит чисел, для которых
Re ζ = -3? Назовите их.
г) Сколько на ломаной чисел, для которых Im ζ = 3?
Назовите их.
Изобразите на координатной плоскости множество всех
комплексных чисел ζ, удовлетворяющих заданному условию:
033.4. а) Действительная часть равна -2;
б) мнимая часть равна 3 или 4;
в) Re ζ = Im z;
г) Re z = (Im ζ)2.
033.5. a) Re ζ = 4 или Im ζ = 4;
б) |Rez| = |Imz|;
в) Re ζ = 5 или Im z = 4;
г) Re z = (Im ζ)2 или (Re z)2 = Im z.
181

оЗЗ.б. а) Действительная часть на 4 больше мнимой части;
б) сумма действительной и мнимой частей равна 4;
в) сумма квадратов действительной и мнимой частей
равна 4;
г) квадрат суммы действительной и мнимой частей равен 4.
•33.7. a) |Rez| - |Imz| = 1; в) (Re zf = Im ζ - 1;
6) (Re zf = Im ζ + 1; г) (Re z)(Im ζ) = 1.
033.8. а) Отметьте на координатной плоскости точки,
соответствующие комплексным числам z0 = 1, ζλ - 1 + i, z2 =
= (l + 02, 2з = (1 +Ο3,.·· ,ζ7 = (1 + 07.
б) Чему равна величина угла: Zz0Ozu ΖζλΟζ2, ... , Ζζ6Οζ7,
Ζζ7Οζ0?
в) Перечислите все пары точек, лежащие по разные
стороны от оси абсцисс. Сколько таких пар?
г) Запишите все числа, у которых произведение
действительной и мнимой частей отрицательно. Сколько таких
чисел?
33.9. а) Отметьте на координатной плоскости точки, соответст-
1 7з. о
вующие комплексным числам ζ0 = 1, ζλ = — + — ι, ζ2 = ζ\,
2з = Zu Z4 = z\, Z5 = z\.
б) Чему равна величина угла: Ζζ0Οζΐ9 ΖζλΟζ2, ... , Ζζ5Οζ0?
в) На каком расстоянии от начала координат находятся
все эти точки?
г) Перечислите все пары точек, соответствующих
сопряженным друг к другу числам. Сколько таких пар?
Изобразите на координатной плоскости множество всех
комплексных чисел ζ, у которых:
033.10. а) Действительная часть больше мнимой части;
б) мнимая часть не меньше действительной части;
в) мнимая часть больше 2, а действительная часть не
больше 3;
г) мнимая часть не меньше 2, а действительная часть
меньше 3.
•33.11 a)Im2>2 или Re ζ < 3;
б) Im z > 2 или Re z < 3;
в) Re z > (Im ζ)2 и (Re z)2 > Im z;
г) Im z > 2 Re ζ или Re z < 3 Im z.
182

033.12. a) Re ζ + Im ζ > 0;
б) 1 < Re ζ + Imz < 2;
в) 1 < (Re z)2 + (Im zf < 16;
r) (Re zf + (Im zf < 1 или 16 < (Re zf + (Im zf.
33.13. Изобразите на координатной плоскости числа ζλ - 1 - ί и
22 = -1 + 3i, а также числа:
а) З^ь б) -2z2; в) 2Х + ζ2\ г) 3^1 - 2г2.
33.14. Изобразите на координатной плоскости числа ζλ - 2 - 3ί и
22 = -5 + 2i, а также числа:
а) ^; б) -3z2; в) ^Г^; г) ^ - З^.
033.15. а) Изобразите на координатной плоскости числа ζλ - -3 + ί
и ζ2 = 5 + 2i.
б) Найдите действительный коэффициент а, при котором
ζλ + аг2 — чисто мнимое число.
в) По правилу параллелограмма постройте сумму чисел
ζλ и αζ2 из пункта б).
г) Найдите действительный коэффициент а, при котором
ζλ + αζ2 — действительное число; по правилу
параллелограмма постройте сумму чисел ζλ и αζ2.
033.16. а) Изобразите на координатной плоскости числа ζλ = -3 + ί
и ζ2 = 5 + 2i.
б) Найдите действительный коэффициент а, при котором
azi + z2 — чисто мнимое число.
в) По правилу параллелограмма постройте сумму чисел
αζι и z2 из пункта б).
г) Найдите действительный коэффициент а, при котором
azi + z2 — действительное число; по правилу
параллелограмма постройте сумму чисел αζλ и ζ2.
•33.17. а) Для η = 1, 2, 3, 4 изобразите на координатной
плоскости точки ζη = (2п - 1) + (5 - n)i;
б) докажите, что все эти точки лежат на одной прямой I;
составьте уравнение прямой;
в) укажите число, лежащее на прямой Z, у которого
Re z = -5;
г) укажите число, лежащее на прямой Ζ, у которого
Im z = 8.
•^3.18. а) Для д = 1,2,3,4,5,6 изобразите на координатной
плоскости точки ζη = (η - 1) + (η2 - Ъп + 6)i.
б) Докажите, что эти точки лежат на одной параболе;
составьте уравнение параболы.
в) Найдите действительную часть суммы ζλ + ζ2 + ... + ζ6.
г) Укажите номер п, начиная с которого мнимая часть
числа ζп будет больше 100.
183

•33.19. а) Для п = 1, 2, 3, 4, 5, 6 изобразите на координатной
1Х 3.
ПЛОСКОСТИ ТОЧКИ 2п = (П + 1) + —I.
η
б) Докажите, что все эти точки лежат на одной гипербо»
ле; составьте уравнение гиперболы.
в) Укажите точку, наиболее близкую к оси абсцисс.
г) Укажите точку, наиболее близкую к началу координат.
Решите уравнение:
033.20. а) ζ Re ζ = 1; в) ζ (Re zf = 1;
6) ζ Re ζ = -1; г) ζ (Re ζ)2 = -1.
033.21. a) ζ Im ζ = ί; в) ζ (Im ζ)2 = ί;
6) ζ Im ζ = -i; г) ζ (Im ζ)2 = -ί;
033.22. a) ζ Re ζ = ζ Im ζ; в) ζ Im ζ = ζ Re ζ;
6) zRez = zlmz; г) ζ Re ζ = ζ Re z.
033.23. a) ζ Re (ζ - 4) = i - 4; в) 2 (Re г - 6) = 21ί - 9;
б) ζ Im (2 + 20 = 7 - i; r) 2 (Im 2 + 4) = 10 + 4i.
§ 34. Тригонометрическая форма записи
комплексного числа
Найдите модуль комплексного числа:
34.1. а) 6 - 8i;
б) 20 + 21i;
34.2. а) |; б)
в) i(2 + О;
г) (3 - i)(2 + 0·
3 . i + 1
—г; в) —:—;
ι ι
»rh
034.3. Для комплексных чисел ζλ - 12 - Ы и ζ2 = 3 + 4i:
а) найдите \ζι\ и \z2\;
б) вычислите 2ι22 и проверьте равенство |ζιΖ2| = Ι^Ι · |ζ2|;
в) вычислите ~ и проверьте равенство
г) вычислите ~ и проверьте равенство
34.4. Для комплексных чисел ζλ = 3 - ί и 22 = 1 + 2i:
а) найдите |^| и |^| и проверьте равенства |^| = |ζι| Я
1з>1 = Ы;
J_
2!
J^J
22
J_
ΓΙ*
*l
*l
184

б) проверьте неравенство |*х + *2| < \z^ + |*2|;
в) вычислите Z& и проверьте равенство \?<&1 = \\ | · \%\\
г) проверьте неравенство \ζλ - ζ2\ > \ζι\- \ζ2\.
о34.5. При каком положительном значении параметра а модуль
данного числа равен 10:
а) а + Si; в) (а + 1) + (а - l)i;
^ч г» ч 50io
б) 2а + ш; г) а + —.
Изобразите на комплексной плоскости множество всех
чисел *, удовлетворяющих заданному условию:
34.6. а)|*| = 3; в) |* + 2| = 3;
б)|* - 1| = 3; г) |* + 3i| = 3.
034.7. а) |* - i\ = 1; в) |* - 1 - i| = V2;
б)|* + 2i| = 2; г) |* + 4 + 3i| = 5.
034.8. Про комплексное число * известно, что Re * - 3 или Re z = 6.
Сколько имеется таких чисел, если, кроме того,
известно, что:
а) |г| = 3; б) |*| = 4; в) |*| = 6; г) |*| = 10?
034.9. Про комплексное число ζ известно, что Re ζ = 3 или
Im z = 4. Сколько имеется таких чисел, если, кроме того,
известно, что:
а) |2| = 3; б)|2| = 4; в) |*| = 5; г) |*| = 10?
034.10. Изобразите на комплексной плоскости множество всех
чисел ζ, удовлетворяющих уравнению:
а) |*| = |* - 1|; в)|* - 1| = |* -i\;
б)|* - 1| = |* -3|; г)|* + 3*| = |* + 4|.
034.11. Число * задано в тригонометрической форме. Укажите его
стандартную тригонометрическую форму:
а) * = cos -τ- + ι sin -j-;
ЛЧ 10π , . . ΙΟπ
б) * = cos -j- + ϊ sin -j-;
в) * = cos -τ- + ϊ sin -j-;
ν 101π , . . 101π
Γ) * = COS —г— + I Sin —г—.
185

Число ζ задано в тригонометрической форме. Укажите его
стандартную тригонометрическую форму:
Ло л н л ч 11я . . 11π.
034.12. а) г = cos -g- + ι sin -g-,
ЛЧ ί 1&0 , . . ( 13π\
б) 2 = COS —g- + I Sill g- Г,
ν 99π , . . 99π.
в) г = cos —j- + ϊ sin —j-;
f 103π^| . . f 103π^ι
[—T"J+iSinf"T"}
Τ) 2 = COS
034.13. a) 2 = cos (13,2π) + ί8ίη(13,2π);
б) 2 = cos (-12,3π) + i sin (-12,3π);
в) 2 = cos (17 arccos (-1)) + i sin (17 arccos (-1));
r) 2 = cos (2 arccos (-0,5)) + i sin (2 arccos (-0,5)).
Найдите аргумент комплексного числа:
34.14. a) 5i; б) 5,55; в) -5,5i; г) -5,555.
034.15. а) 2 - 2i; в) -3 + 3i;
б) (-V3 + if; г)(-3 + 302.
Изобразите на комплексной плоскости множество всех тех
чисел, аргумент которых равен:
34.16.
а) -;
лч 3π
б) — или
ч 2π
а)т;
π
4;
в)
г)
в)
3π
4;
3π π
—— или —
4 4
5π
6'
34.17.
_. π 5π . 2π π
6) -g или -; г) — или -.
034.18. Изобразите на комплексной плоскости множество всех тех
чисел, у которых аргумент:
а) положителен; в) больше чем —;
Li
б) отрицателен; г) меньше чем —.
034.19. Изобразите на комплексной плоскости множество всех тех
чисел, у которых аргумент:
ν г π 3π
а) больше чем -г, но меньше чем —;
2 4
б) больше чем ——, но меньше чем —;
4 6
186

ν- 3π π.
в) больше чем —, или меньше чем —;
4 о
ν 2π -, π
г) отличается от —— не более чем на —.
3 о
034.20. Изобразите на комплексной плоскости множество всех тех
чисел ζ, у которых:
а) I <arg(z)< ^ и \г\ = 2;
б) \ <arg(z)< ^ иЗ<|г|<5;
в) — < arg(z) < \ и |г| = 8;
ч 5π , ч 2π „ . . Л
г) —g- < arg (z) < -о- или 1 < \z\ < 2.
Запишите комплексное число в стандартной
тригонометрической форме:
034.21. а) 5; б) 3i; в) -8; г) -0,5ΐ.
034.22. а) 4 + 4i; б) 1 - i; в) -2 + 2ц г) -2 - 2i.
34.23. a) V3 + i; в) зТз - 3i;
б) -V3+i; г) -2>/3-2i.
034.24. а) 4 - 4V3i; в) -2 - 2>/&;
б) 1 + V&;
ч 1 , л/3.
г) — + -^—1.
' 2 2
034.25.
•34.26.
а) 3 - 4i; б) -5 + Ш; в) 6 + 8i; г) -15 - Ы.
а) sin 35° - i cos 35°;
б) sin (-23°) + i cos (-23°);
в) -sin 40° + i cos 40°;
r) sin (-20°) - i sin (-70°).
6π
•34.27. a) 1 - cos 100° + i sin 100°; в) sin ^r + i
1-cos-
лч · 4π , .
6) sin — + ι
ι 4π
1 - cos —
7
r) 1 - cos 250° + i sin 610°
°34.28. Представьте в алгебраической форме комплексное число:
а) 5
б) -
5π
5π
cos — + ι sin —
6 6
5 cos— + isin —
1 3 3
cos
f -λ
+ isin
I 3
г)
cos
3π 1 , . . ( 3π
— + ism
4 4
γ
187

Выполните действия, используя правила умножения и
деления комплексных чисел в тригонометрической форме:
034.29. а) 6
2π , . . 2яЛ if
5 + I Sin · —
cos — + i sin — ι · —| cos I -— + i sin -—
3 3 J 3^ [ 6 J I 6
6) (-5 - 50 1 cos — + i sin —
4 4
в) 0,3icosf-^-
12
+ ian| —
\\
• 20 cos
— | + ι sin
r) Veicos- + isin-V (2 + 2л/Й).
O34.30. a) 8
00β§ + 'βΙηάΙ :41
W-'
+ isin| —-
6) (10 + Ш) : [ V^icos^ + isin^
ЛЛ
в) 12[cosi^l
+ ism
4
0,3 cos
g1+ ism
r) 16
:-k
+ *sui| --
: (4 - 4>/3ί).
34.31. а) Зная, что ζ = i, изобразите на комплексной плоскости
числа ζ, ζ2, ζ3, 29, г" и найдите их аргументы.
б) Зная, что 2 = -i, изобразите на комплексной плоскости
5 15 -25 -1001 ν
числа г, 2 , 2 , 2 ,2 и найдите их аргументы.
34.32. а) Зная, что 2 = v2 + v2i, найдите г2, запишите числа 2 и
22 в тригонометрической форме, сравните модули и
аргументы этих чисел, изобразите числа на комплексной
плоскости,
б) Зная, что 2=2- 2y/3i, найдите г2, запишите числа 2 и
г2 в тригонометрической форме, сравните модули и
аргументы этих чисел, изобразите числа на комплексной
плоскости.
188

о V2 V2. л/2 , л/2. л
Зная, что 2Х = -^ + Ι—ι и 22 = + —*, изобразите на
Δ Δ Δ Δ
комплексной плоскости числа zu z2, z и найдите аргумент
указанного числа ζ:
034.33. а) ζ = ζλζ2\ в) ζ = zx{z2f\
б) ζ = {ζλ?ζ2\ t)z = (zOW-
034.34. a) z = -, b)z=~> в) ζ = —, г) 2 = ~щ-
Зная, что Ζι = — + —i и z2= —— + —» изобразите на ком-
2 2 Δ Δ
плексной плоскости числа zu z2, z и найдите аргумент
указанного числа ζ:
•34.35. а) ζ = ζλζ2\ в) ζ = ζλ(ζ2γ\
б) ζ = (2ι)2ζ2; г) ζ = (гО1 W°-
2 ζ4 г31
•34.36. а) г = ^; б) ζ = zl; в) ζ = ^ г) ζ = -js-
034.37. Каждое комплексное число, действительная часть
которого равна -4, умножили на ζ. Изобразите на
комплексной плоскости полученное множество чисел, если:
а) ζ = i; б) ζ = -3i; в) ζ = 1 - V3i; г) ζ = 3 - i.
034.38. Зная, что ζλ = 2 + i, z2 = 4 + 3i, zs = -1 + 7i, изобразите на
комплексной плоскости треугольник с вершинами zzu zz2,
zzs, если:
а) ζ = i; в) ζ = -i;
б) ζ = 2i\ г) ζ = 1 - i.
034.39. Зная, что ζλ = 2 - i, z2 = 4 + 3i, z3 = -2 + 5i, изобразите на
комплексной плоскости треугольник с вершинами -j, — >
—» если:
а) ζ = i; б) ζ = 2i; в) ζ = -i; τ) ζ = 1 - i.
•34.40. Для числа ζ = cos (Ο,ΙΙπ) + i sin (Ο,ΙΙπ) укажите
наименьшее натуральное число п, при котором:
а) arg (zn) > j; в) arg (zn) > ψ,
б) arg (zn) > |; г) arg (zn) < 0.
189

•34.41. а) Среди корней ζ уравнения 73(2 + ζ)(ζ - ζ) = 4i9 най
π
дите число, аргумент которого равен —.
6
7з
б) Среди корней ζ уравнения Re z · Im z = -*· найдите
π
число, аргумент которого равен -о·
•34.42. а) Изобразите на комплексной плоскости множество
чисел ζ, удовлетворяющих условию \zi - 3i + 4| ^
1 7з,
21
. Чему равно наибольшее значение \ζ\Ί
б) Изобразите на комплексной плоскости множество
чисел ζ, удовлетворяющих условию \ζί - 3 - 4i| <
<
2 2
. Чему равно наименьшее значение |z|?
§ 35. Комплексные числа и квадратные уравнения
035.1. Найдите все действительные значения параметра а, при
которых уравнение ζ2 - 4jc + α = 0:
а) имеет только один корень;
б) имеет два действительных корня;
в) не имеет действительных корней;
г) имеет два действительных корня разных знаков.
035.2. Найдите все действительные значения параметра а, при
которых уравнение х2 + ах + 9 = 0:
а) имеет хотя бы один действительный корень;
б) не имеет действительных корней;
в) имеет хотя бы один отрицательный корень;
г) имеет два действительных корня, больших, чем 1.
035.3. Найдите все действительные значения параметра а, при
которых уравнение ах2 + 8χ + 16 = 0:
а) имеет только один корень;
б) имеет действительный положительный корень;
в) имеет два действительных корня разных знаков;
г) имеет два действительных корня, сумма квадратов
которых равна 1.
035.4. Решите уравнение:
а) ζ2 + 144 = 0; в) ζ2 + 441 = 0;
б) б*-» = ζ - V45; г) 3?1±2004 = χ + ^
г + 3V5 ζ - V44
190

Составьте квадратное уравнение, корнями которого
являются числа:
035.5. a) i и -i; в) 1Ί и -Тц
б) 7 + 2i и 7 - 2i; г) 1 + i и 1 - i.
035.6. a) 2i и т; в) -2_3i и ^;
i о
б) 1 + Ъг и γ-^τί г) (29 + 27 + 23)i и (З4 - 36)i.
Решите уравнение:
35.7. а) ζ2 - 2z + 2 = 0; в) г2 - 6z + 25 = 0;
б) ζ2 + 4г + 5 = 0; г) ζ2 + Юг + 61 = 0.
035.8. а) ζ2 - ζ + 2,5 = 0; в) г2 - 5z + 6,5 = 0;
б) г2 + 32 + 8,5 = 0; г) г2 + llz + 36,5 = 0.
035.9. При каких действительных значениях параметра а:
а) уравнение ζ2 - 2ζ + α = 0 имеет корень 1 + i;
б) уравнение г2 + 6ζ + α = 0 имеет корень i - 3;
в) уравнение г2 - Sz + (α2 + 9) = 0 имеет корень 4 - 3i;
г) уравнение ζ2 + Юг + (а2 + 4а + 5) = 0 имеет корень -5 + ί?
035.10. При каких действительных значениях параметра а:
а) уравнение ζ2 + αζ + 5 = 0 имеет корень 2 + ί;
б) уравнение ζ2 + аг + 13 = 0 имеет корень -2 - 3i;
в) уравнение г2 + (1 - a2)z + 25 = 0 имеет корень 4 + 3i;
г) уравнение 22 + (а2 + 2а + 2)2 + 41 = 0 имеет корень
-5 + 4i?
035.11. Вычислите \1а + Ы, решив уравнение (х + yi)2 = а + Ы:
a) V4; б) V^4; в) л/θϊ; г) 7^25Ϊ.
°35.12. Вычислите л/α + Ы, решив уравнение (х + yi)2 = а + Ы или
использовав формулу
{
л/α + Μ = *
л/а* + Ь2 + а , . Ь /л/а2 + Ь2 - а
+ * ■ ттт · у 2
Η
а) л/3 - 4i; в) V4 - 3i;
б) V3 + 4i; г) л/12 + Ы.
191

035.13. Вычислите:
а) Vl5 + Si; в) у/24 - 7i;
б) V15 - Si; г) V40 + 9i.
35.14. Изобразите на комплексной плоскости число ζ и мнонсе-
ство если:
а) \ζ\ = 1, arg (ζ) = |; в) \ζ\ = 9, arg (ζ) = |;
б) \ζ\ = 4, arg (ζ) = ~; τ) \ζ\ = 0,25, arg (ζ) = -Щ.
35.15. Изобразите на комплексной плоскости число ζ и
множество если:
а) \ζ\ = 1, arg (ζ) = j; в) \z\ = 9, arg (ζ) = ~;
6)\z\ = 4, arg(z) = ~; r) \z\ = 0,25, arg (z) = -|^.
•35.16. Изобразите на комплексной плоскости множество vi,
если:
а) \z\ = 1, 0 < arg (ζ) < ^; в) \ζ\ = 1, ~ < arg (z) < 0;
б) \ζ\ = 1, 0 < arg (z) < π; г) \ζ\ = 1, —- < arg (ζ) < π.
035.17. Составьте квадратное уравнение, корнями которого
являются числа:
а) 1 + i и 2 - i; в) 1 + 2i и 7 - 2i;
б) 2 + i и 3 - 2i; г) 5 + 4i и 4 - 5i.
035.18. Решите уравнение:
а) ζ2 - 2iz = 0; в) ζ2 - 3ζ + 3 + i = 0;
б) ζ2 + Uz = 0; г) ζ2 - Sz + 11 + 12i = 0.
035.19. Найдите те значения параметра а, при которых:
а) уравнение ζ2 - 2ζ + α = 0 имеет корень 2 = i;
б) уравнение 22 - Siz + α = 0 имеет корень 3 - i; m
в) уравнение z2 + 6z + а = 0 имеет корень -i;
г) уравнение ζ2 + 10te + а = 0 имеет корень -10 + i.
192

035.20. Найдите те значения параметра а, при которых:
а) уравнение ζ2 + αζ + 5 = 0 имеет корень ц
б) уравнение ζ2 + αζ + 13 = 0 имеет корень -2i;
в) уравнение 22 + az + 24i = 0 имеет корень 1 + i;
г) уравнение ζ2 + αζ + 1 + i = 0 имеет корень -3 + 2i.
§ 36. Возведение комплексного числа в степень.
Извлечение кубического корня из комплексного числа
36.1. Пусть ζ = 2 (cos 0,2π + i sin 0,2π). Верно ли, что:
а) z4 принадлежит первой координатной четверти;
б) ζ4 принадлежит второй координатной четверти, а его
модуль меньше л/300;
в) ζ8 принадлежит третьей координатной четверти;
г) ζ8 принадлежит четвертой координатной четверти, а его
модуль больше 100?
036.2. Пусть ζ = 3 (cos 0,3π + i sin 0,3π). Верно ли, что:
а) z6 принадлежит первой координатной четверти;
б) ζ6 принадлежит четвертой координатной четверти, а его
модуль больше 1000;
в) ζ6 принадлежит четвертой координатной четверти, а его
модуль меньше 750;
г) ζ16 принадлежит второй координатной четверти?
036.3. Пусть ζ = соэОДЭя + ίβίηΟ,Ιθπ. Какие числа из
множества {ζ, ζ2, -г3, ... , ζ9, ζ10}:
а) расположены выше оси абсцисс;
б) расположены правее оси ординат;
в) расположены в первой координатной четверти;
г) расположены во второй или в четвертой координатной
четверти?
036.4. Пусть ζ = 2 (cos 0,21π + i sin 0,21π). Какие числа из
множества {ζ, ζ2, ζ3, ... , ζ9, ζ10}:
а) расположены во второй координатной четверти;
б) расположены внутри круга радиуса 500 с центром в
начале координат;
в) расположены в первой координатной четверти;
г) расположены правее оси ординат и вне круга радиуса 500
с центром в начале координат?
193

036.5. Пусть ζ = соз0,17я + isinO,177C. Какие числа из
множества {г, ζ2, г3, ... , ζ9, 210}:
а) расположены выше оси абсцисс;
б) расположены правее оси ординат;
в) расположены выше биссектрисы первой и третьей
координатной четвертей;
г) расположены ниже биссектрисы второй и четвертое
координатной четвертей?
•36.6. Пусть 2 = 0,5(cos 0,23π + i sin 0,23π). Какие числа из мнсь
ζ, ζ , ζ , ... , ζ , ζ }:
а) расположены во второй координатной четверти;
б) расположены вне круга радиуса 0,2 с центром в начале
координат;
в) расположены в первой координатной четверти;
г) расположены правее оси ординат и внутри круга
радиуса 0,001 с центром в начале координат?
Вычислите:
36.7. a) (cos 15° + i sin 150)8; в) (cos 75° + i sin 75°)10;
6) (cos 15° + i sin 15°)18; r) (cos 75° + i sin 75°)100.
036.8. a) (1 + i)4; в) (1 - i)10;
б)(1 + 06; г)(1-о20.
036.9. a) (l + Sif; в) (7з + if;
6)(l + j3if; г)(л/3-0'.
036.10. a) (cos 10° + i sin 10°Г9; в) (cos 10° + i sin ΙΟ0)"12;
6) (cos 10° - i sin 10°Г3; r) (cos 80° - i sin 80°Г18.
036.11. a) (1 + i)"*; в) (1 - i)"10;
б) (l + О"6; г) (1 - О"20·
036.12. а) (1 + л/&)~3; в) (7з + if;
б) (l + Si)'5; r)(S-i)'\
•36.13. a) (l + iSf + (l - i73)7; в) (7з + if + (7з - if;
16iisin|-icos|l 32iisin| + icos|l
б) Ш + if ' Г) Ш-if '
_ / о_ о_. Л
•36.14. а) Вычислите ζ12, если ζ = 2cos— sin— + i + icos—- e
8{ 4 4 J
б) вычислите 2 , если 2 = 2 sin — 1 - cos — + ι sin — l·
12 [ 6 6 /
194

36.15. Пусть {ζ, ζ2, ζ3, ... , ζη, ζη+1, ...} — бесконечная
геометрическая прогрессия со знаменателем ζ = cos 0,2π + i sin 0,2π.
а) Укажите наименьшее натуральное значение п, при
котором zn принадлежит второй координатной четверти.
б) Укажите наименьшее натуральное значение п, при
котором zn принадлежит четвертой координатной четверти.
в) Укажите наименьшее натуральное значение п, при
котором zn = 1.
г) Сколько в этой прогрессии различных чисел?
036.16. Пусть {ζ, ζ2, ζ3, ... , ζη, ζη+1, ...} — бесконечная
геометрическая прогрессия со знаменателем ζ = cos 0,03π + i sin 0,03π.
а) Укажите наименьшее натуральное значение п, при
котором zn принадлежит второй координатной четверти.
б) Укажите наименьшее натуральное значение п, при
котором zn принадлежит третьей координатной четверти.
в) Укажите наименьшее натуральное значение п, при
котором zn = -1.
г) Сколько в этой прогрессии различных чисел?
•36.17. Пусть {ζ, ζ2, ζ3, ... , ζη, ζη+1, ...} — бесконечная
геометрическая прогрессия со знаменателем ζ = cos Ο,ΐπ - i sin Ο,ΐπ.
а) Укажите наименьшее натуральное значение п, при
котором zn принадлежит третьей координатной четверти (не
на координатных осях).
б) Укажите наименьшее натуральное значение п, при
котором zn принадлежит второй координатной четверти (не
на координатных осях).
в) Сколько в этой прогрессии различных чисел?
г) Найдите сумму этих различных чисел.
•36.18. Пусть {ζ, ζ2, ζ3, ... , ζη, ζη+1, ...} — бесконечная
геометрическая прогрессия со знаменателем ζ = cos Ο,ΟΙπ - i sin Ο,ΟΙπ.
а) Укажите наименьшее натуральное значение п, при
котором zn принадлежит второй координатной четверти.
б) Сколько в этой прогрессии различных чисел?
в) Сколько из этих чисел лежат на осях координат?
г) Найдите сумму этих различных чисел.
•36.19. Пусть 2 = 1 + ι. Какие числа из множества {ζ, ζ2, ζ3, ... ,
ζ11, ζ12}:
а) лежат на оси абсцисс; в) лежат левее оси ординат;
б) правее прямой χ = 9; г) выше прямой у = 2?
195

036.20. Вычислите и изобразите на комплексной плоскости:
а) 3/64; б) ^27; в) ^/Ϊ25Ϊ; г) ^512Ϊ.
36.21. Произвольно отметьте на комплексной плоскости число г0,
у которого |з0| = 1 и — < arg (z0) < π.
а) Изобразите корень уравнения ζ3 = ζ0, принадлежащий
первой координатной четверти.
б) Изобразите корень уравнения ζ3 = ζ0, принадлежащий
четвертой координатной четверти.
в) Изобразите множество ψ2ο.
г) Объясните, почему у уравнения ζ3 = ζ0 нет корней,
расположенных в третьей четверти.
36.22. Произвольно отметьте на комплексной плоскости число ζθ9
у которого |ζ0| = 1 и -— < arg (z0) < 0.
а) Изобразите корень уравнения ζ3 = ζ0, принадлежащий
четвертой координатной четверти.
б) Изобразите множество ψ2ο.
в) Объясните, почему у уравнения ζ3 = ζ0 нет корней,
расположенных в первой четверти.
г) Найдите площадь треугольника с вершинами в точках
из пункта б).
•36.23. Решите уравнение:
а) ζ6 + (8 - i)z3 + (1 + О6 = 0;
б) ζ4 + (2 - U)z2 - (1 - О6 = 0.
•36.24. а) При каком действительном значении а выражение
a(sin 75° + i cos 75°)12 β
—— 2·ν2 _ /14 _ ο ·\ _ о является действительным числом"
б) При каком действительном значении Ъ выражение
Ь : (cos 22°30' - i sin 22°30')16
— /Q· _ h\2 _ /q _ мл _ з— является действительным
числом?

I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I
Производная
I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I
§ 37. Числовые последовательности
37.1. Являются ли числовыми последовательностями
следующие функции:
а) у = Зх2 + 5, χ е Z; в) у = 7 - χ2, χ <Ε Q;
б) у = sin χ, χ е [0; 2π]; г) у = cos —, χ е Ν?
37.2. Приведите примеры последовательностей, заданных:
а) с помощью формулы п-то члена;
б) словесно;
в) рекуррентным способом.
37.3. Задайте последовательность аналитически и найдите ее
первые пять членов, если:
а) каждому натуральному числу ставится в соответствие
противоположное ему число;
б) каждому натуральному числу ставится в соответствие
квадратный корень из этого числа;
в) каждому натуральному числу ставится в соответствие
число -5;
г) каждому натуральному числу ставится в соответствие
половина его квадрата.
По заданной формуле п-то члена вычислите первые пять
членов последовательности (уп):
Зп-1.
в> У- = ~2ΪΓ'
37.4. а) уп = 2п2 - п;
(-1)п
г) У η
(-1)п + 2
Зп - 2 '
2π.
37.5. а) уп = 3 cos —;
6)tt. = tg|(-l)"J
\ 1 2 π.
в) уп = 1 - cos -,
г) у η = sin ηπ - cos ηπ.
197

По заданной формуле га-го члена вычислите первые пщ»
членов последовательности (j/„):
37.6. а) уп = sin ψ - ctg \ (2га + 1);
6)i/n = cos-y +tg^(2ra + l);
ч . ПК 2 ΤΙΤί
в) уп = л sin -γ + η cos -g-;
г) уп = sin -j- - и cos -|-.
о^ г, ч 12 3 ... п. ЛЧ 1 3 5 ... (2п - 1)
37.7. а) уп = j^ . б) уп = 2.46..\2„ '-
37.8. Выпишите первые четыре члена последовательности
десятичных приближений числа v2:
а) по недостатку; б) по избытку.
Выпишите первые пять членов последовательности,
заданной рекуррентно:
37.9. а) хх = 2, хп = 5 - хп.г; в) хх = -1, хп = 2 + хп.г;
б) хх = 2, хп = хп-г + 10; г) хх = 4, хп = χη.λ - 3.
37.10. а) хх = 2, хп = ηχη.λ\ в) хх = -2, *л = -χη.λ\
б) X! = -5, хп = -0,5 · χη_!; г) хх = 1, хп= ~^j-
37.11. а) Выпишите первые шесть членов последовательности (хп),
у которой Χι = 5, х2= -3 и каждый член, начиная с третьего,
равен полусумме двух предыдущих членов. Составьте
рекуррентное задание последовательности.
б) Выпишите первые шесть членов последовательности (уп),
у которой у ι = -1, у 2 = 1 и каждый член, начиная с третьего,
равен утроенной сумме двух предыдущих членов. Составьте
рекуррентное задание последовательности.
037.12. Определите значения первых пяти членов
последовательности и составьте формулу ее п-го члена, если график
последовательности представлен:
а) на рис. 66; в) на рис. 68;
б) на рис. 67; г) на рис. 69.
198

*~~
Vni
-9-
7,5-
Τ
ι—■
1
ι
Γ"
6·
Γ5'
3-
.5-
Ο
к
- <
]
>
L ί
<
2 ί
ί
г ι
i
ί Ι
>
3 (
η
PMC. 66
2/ni
-8-
■7-
6-
5-
4-
3·
2·

ΙΟ
^
]
<
L ί
>
<
Ι {
>
г ι
i
ί ί
> .
3 (
ί <
3 '
| ,
Γ ί
*
η
—
Z/ni

■ΙΟ
-Γ
. 2 3 4 S И
W
PUC. 67
2/«>
5-
3-

ΙΟ
9
Ι
_-4.
α.
Ь
]
iw
ί 23456
η
η
PUC. 68
Постройте график функции:
PUC. 69
037.13. а) у = (χ + Ι)"2, χ e N;
б)у = 3χ- χ2, χ е Ν;
037.14. а) у = 2 - χ, χ е Ν;
18
B>y=-V7i>xeN;
г) ι/ .= λΙχ + 3, * € ΛΓ.
ч * + 5 лг
в) ι/ = ——, л: € ЛГ;
6) ι/ = 3jc - jc2, χ e Ν; τ) у - χ2 - 4jc, χ e Ν.
°37.15. а) у = sin £*, jc e N;
6
в) ι/ = tg -*, χ 6 ЛГ;
6) ι/ = ctg -т(2л: + 1), ж 6 Ν; г) ι/ = cos πχ, ж € W.
199

Постройте график последовательности:
037.16. а) уп = 10 - га3; в) уп = п3 - 8;
б) Уп = (-1)" л/9^; г) уп = 4 - лДга".
037.17. а) уП = 2 sin |га; б) ι/η = (-1)" tg 7 (2га - 1).
037.18. а) Все натуральные числа, кратные пяти, расположенные
в порядке возрастания, образуют последовательность.
Укажите седьмой, девятый, двенадцатый, n-й члены
последовательности .
б) Все натуральные числа, кратные семи, расположенные
в порядке возрастания, образуют последовательность.
Укажите шестой, десятый, тридцать первый, n-й члены
последовательности.
037.19. а) Все натуральные числа, которые при делении на 5 дают
в остатке 2, расположены в порядке возрастания.
Найдите первые пять членов этой последовательности.
б) Все натуральные числа, которые при делении на 4 дают в
остатке 3, расположены в порядке возрастания. Найдите
сумму первых шести членов этой последовательности.
037.20. а) Последовательность состоит из квадратов простых
чисел, расположенных в порядке возрастания. Найдите
сумму первых восьми членов этой последовательности,
(Число 1 не считается ни простым, ни составным).
б) Известно, что (уп) — последовательность всех
натуральных степеней числа 3, расположенных в порядке
возрастания. Найдите: у5, у8, yS7, y2n, у2п + 1, у2п.3·
037.21. Задайте формулой η-го члена и рекуррентным способом:
а) возрастающую последовательность всех четных
натуральных чисел, не делящихся на 4;
б) возрастающую последовательность всех натуральных
чисел, которые при делении на 13 дают в остатке 5;
в) возрастающую последовательность всех натуральных
чисел, делящихся на 3 и на 7 (одновременно);
г) возрастающую последовательность всех четных
натуральных чисел, делящихся на 3 и на 5 (одновременно).
Составьте одну из возможных формул п-то члена
последовательности по первым пяти ее членам:
037.22. а) -1, -2, -3, -4, -5, ... ; в) 10, 9, 8, 7, 6, ... ;
б) 6, 12, 18, 24, 30, ... ; г) 4, 8, 12, 16, 20, ... .
200

г,37.23. а) 3, 9, 27, 81, 243, ... ; в) 1, 8, 27, 64, 125, ... ;
б) 9, 16, 25, 36, 49, ... ; г) 2, 9, 28, 65, 126, ... .
о37.24.а)1, -,-,¥, —,...;
3 5 7 ^ 11
D) 4' 6' 8' 10' 12'-;
ν Λ ι и L.
ВМ' 8' 27' 64' 125'-;
г)
3 5' 5 7' 7 9' 9 11' 11 13"" *
огт о* \ 1 А 27 _81_ 243
037.^5. а) 4, 16, 64, 256, 1024,
лч 1 3 5 7 9
в)
г)
л/2* 2' 2л/2* 4' 4л/2"" '
1 4 9 16 25
Vl · 2' л/2 3' л/3 · 4' л/4 · б' >/5 б"" '
4 9 14 19 24
12 3 2 3 4 3 4 5 4 5 6 5 6 7
37.26. Какие члены последовательности (уп) расположены
между членами:
а) 1/732 И 1/745; в) 1/998 И l/10o3;
б) l/„-i И 1/л + 2; Г) у2п_2 И 1/2п + 3?
rt „
037.27. Укажите номер члена последовательности уп = -,
равного:
а)0; б)^; в)^; г)-^.
037.28. Квадрат со стороной 1 см вписан во второй квадрат
таким образом, что вершины первого квадрата являются
серединами сторон второго. Второй квадрат, аналогично,
вписан в третий квадрат и т. д. Получается
последовательность вписанных друг в друга квадратов.
а) Составьте последовательность периметров полученных
квадратов. Выпишите первые пять членов этой
последовательности.
б) Составьте последовательность площадей полученных
квадратов. Выпишите первые пять членов этой
последовательности.
в) Чему равна длина стороны одиннадцатого квадрата?
г) Чему равна площадь семнадцатого квадрата?
201

037.29. Сколько членов последовательности уп = 2п2 - In + 5
принадлежит:
а) отрезку [2; 5]; б) промежутку (-оо; 10)?
Начиная с какого номера все члены последовательности
(хп) будут больше заданного числа А?
037.30. а) хп = Зп - 2, А = 15; б) хп = 5л1, А = 125.
037.31. а) хг = 0, хп = *„_! + 3, А = 28;
б) *! = 1, *л = 7jc„_i, A = 285.
037.32. Сколько членов последовательности не превосходят 1:
1 1 J_ _2_ _2_ _2_
*' 3125' 625' 125""·' В) 729' 243' 81' '" '
β _6_ JJ_ _16^ β _2_ _9_ J6_ ?
' 377' 379' 381""' Г) 219' 222' 225"·· '
037.33. Выпишите все отрицательные члены последовательности:
а) уп = п2 - η - 6; в) уп = п2 - 6п + 8;
^ -181 . , 1+2д
037.34. Найдите число положительных членов последовательности:
а) уп = 4п- п2; в) уп = -п2 + 9п - 14;
140 -к2. ч 123
б) *>" = 6п - 11 ' г) *>" = 147 - 5д'
037.35. Найдите наименьший член последовательности:
а) уп = п2 - 42и + 13; б) уп = п2 - 26п + 41.
037.36. Укажите номер наибольшего члена последовательности:
а) уп = 303 + 38и - и2; б) уп = 145 + 32п - и2.
Λθ- 0- „ „ Зд + 191
037.37. Найдите номер члена последовательности уп = оп + о '
наиболее близкого к числу:
а) 25; б) 2; в) 5; г) 41.
037.38. Дана последовательность уп = п2 - 18л.
а) Установите, сколько в ней отрицательных членов;
б) найдите наименьший член последовательности;
в) укажите номер члена последовательности, который
равен 19;
г) выясните, сколько членов последовательности
принадлежит отрезку [-15; 2].
202

#37.39. Найдите наименьший член последовательности:
а) уп = Зга2 - Юга + 3; в) уп = 2га2 - 7га + 3;
«ч -3 . ν -4
б> »« = 2га~^5' г) у" = "гаТТ
•37.40. Найдите наибольший член последовательности:
а) уп = -2га2 + 11га - 2; в) уп = 20 - 12га - Зга2;
m 3 . 4
б> У· = 2га~^5' г) У" = 7ГТТ
037.41. Является ли ограниченной снизу последовательность:
а) -1, 2, -3, 4, -5, ... ; в) 5, 4, 3, 2, 1, 0, -1, ... ;
б) и. = 7Γ7Ϊ; г>»- = ((-1)" + i)"2?
Является ли ограниченной сверху ш
ч (-1)" + 1. .
а) хп = ^-h ; в) хп =
037.42. Является ли ограниченной сверху последовательность:
п2-1.
п2 + 2'
б) 1, -1, 1, -2, 1, -3, ... ; г) |, |, |, |,... ?
037.43. Является ли ограниченной последовательность:
111 _1
а) 2' 3' 4'·"' п-'
б)-2, 3, -4, 5, ... , (-1)"(га + 1), ... ;
. sinl sin 2 sin3 (-1)""1 sin n
в> 1 ' 2 ' 3 '·"' η '"·;
г) tgj, tg^, tg^,..., tgj(2ra-l),...?
•37.44. Известно, что (xn) — ограниченная последовательность.
Является ли ограниченной последовательность:
1 .
а) уп = - Ъхп + 2; в) zn = 2|^| + 1'
б*Рп = х* + 1* г* *л = *л sin ^3n^?
037.45. При каких значениях параметра ρ заданная
последовательность ограничена сверху числом 1:
а>^= 2ЯТР б>*»= / + /
037.46. При каких значениях параметра ρ заданная
последовательность ограничена снизу числом 1:
η - ρ 2η + 9 ?
а)*>" = ТГТ^' б)*" = 2п + р2{
203

•37.47. При каких значениях параметра ρ последовательность:
ч 2п + ρ
а) уп = оп _ι ограничена сверху числом 1;
б) уп = -д——γ ограничена снизу числом 1?
37.48. Определите, является последовательность (хп) убывающей
или возрастающей:
а) хп = Зп + 2; в) хп = б1-";
5 . ( Г2""1
б> *» = 7ГТз; г> *» = ["'
37.49. Объясните, является последовательность (уп) убывающей
или возрастающей, если для любого номера η
выполняется неравенство:
а) уп + 1 - уп > 0; в) уп + 1 - уп < 0;
б)^<1; г)^<1(Л<0).
037.50. Выясните, какие из приведенных последовательностей
являются монотонными; укажите характер монотонности:
а) уп = 5""; в) уп = д^р
б) уп = cos 7ПГ5' г* Уп = ^п + 8·
037.51. Исследуйте на монотонность последовательность:
а) уп = -2/* + 1; в) уп = cos -;
б) уп = 3п2 + п- 1; г) уп = п2 + 1·
•37.52. Докажите, что заданная последовательность возрастает:
ч 3 г» ч /1+1.
а) уп= η + 2/ι; в) уп = ТППГ
_ к2 _ п4 + Зп2 +1
6)ί/"- η2+ 10' т)Уп~ n4 + 3n2 + 6*
•37.53. Докажите, что заданная последовательность убывает:
3/1 + 5. ч п2 + 15.
а> »» = &Г=~Р в) »» = Ί?Τ29
1 . ч к4 + 2к2 + 7
б)*>" = /ι3 + 2/ι' Γ)ί/"= п2 + 2п2-1'
204

037.54. Если (хп) — возрастающая последовательность с
положительными членами, то что можно сказать о монотонности
последовательности (уп):
а) уп = Ьхп + 7; в) уп = 2 - Зхп;
б) уп = зТ^? г> Уп = (*»>2 + 2?
037.55. При каких значениях параметра ρ последовательность (уп)
будет возрастающей:
а) Уп=рп- 5; в) уп= 2 - рп;
б) ί/η = —; г) ι/η = ——?
П П + 1
037.56. При каких значениях параметра ρ последовательность (ι/„)
будет убывающей:
2 ρ
^ sin —
η
рп + 2. 5tt2 - р9
037.57. Дана последовательность jc„ = η2 - 1. Исследуйте на
ограниченность и монотонность последовательность (уп):
Хп+2 .
а)г/„=л:„; в) ι/„ =
б) ι/„ = х„+1 - хп\ г) ι/„ =
1
#л+1
037.58. Исследуйте последовательность (хп) на ограниченность
и монотонность:
ч п - *ч ^2 +1
а> *» = 7Г72' б> *» = "V
037.59. Приведите примеры последовательностей:
а) возрастающих и ограниченных снизу;
б) возрастающих и не ограниченных сверху;
в) убывающих и ограниченных снизу;
г) убывающих и не ограниченных снизу.
•37.60. Приведите пример последовательности:
а) возрастающей, ограниченной сверху, все члены
которой положительные числа;
б) убывающей, все члены которой принадлежат интервалу
(0; 7); ·
в) возрастающей, имеющей ровно три отрицательных члена;
г) неограниченной, немонотонной.
205

§ 38. Предел числовой последовательности
38.1. Запишите окрестность точки а радиуса г в виде
интервала, если:
а) а = 0, г = 0,1; в) а = 2, г = 1;
б) а = -3, г = 0,5; г) α = 0,2, г = 0,3.
38.2. Окрестностью какой точки и какого радиуса является
интервал:
а) (1, 3); в) (2,1, 2,3);
б) (-0,2, 0,2); г) (-7, -5)?
38.3. Принадлежит ли точка χλ окрестности точки а радиуса г,
если:
а) Χι = 1, а = 2, г = 0,5;
б) хх = 1,1, а= 1, г= 0,2;
в) *! = -0,2, а = 0, г = 0,3;
г) *! = 2,75, а = 2,5, г= 0,3?
038.4. Существует ли номер п0, начиная с которого все члены
последовательности (хп) попадают в окрестность точки а
радиуса г = 0,1, если:
а) хп = -^2' а = 0; в) хп = -—[' α = 0;
б) хп = -^2' α = 1; г) *л = ^jtj, α = 1?
Укажите номер я0 того члена последовательности (jc„),
начиная с которого все члены последовательности
попадут в окрестность точки а радиуса г :
038.5. а) хп = 2^> α = 0, г = 0,1;
б) хп = 3 + А' а = 3, г =0,2;
2
в) jt„ = 1 + —, а = 1, г = 0,01;
η
г) хл = —, а = 0, г = 0,1.
038.6. а) хп = ( з 1 » а = 0, г = 2γ;
б) *л = (-1)" ψ, а = 0, г= ^;
206

в) xn = 2 + hg » α = 2, г = j^gl
г) xn = 3 - I я Ь α = 3, г = gj.
Постройте график последовательности (г/„)и составьте, если
можно, уравнение горизонтальной асимптоты графика:
2
038.7. а) уп = -;
б)
Уп= (i);
в)
г)
в)
г)
Уп
Уп
Уп
Уп
=
=
=
=
4.
п9
а
2-
-3
Г
2.
га'
038.8. а) уП = -1 + ^;
б) J/* = 2 - -г?
038.9. а) Ун = 2 + (-1)" ±; в) ι/„ = -3 + (-1)" |;
б)1/л = (-1)"2+^; г)уп = (-1Г+1-3-1-
38.10. Верно ли утверждение:
а) если последовательность имеет предел, то она монотонна;
б) если последовательность монотонна, то она имеет
предел;
в) если последовательность ограничена, то она имеет
предел;
г) если последовательность не монотонна, то она не
имеет предела?
Пользуясь теоремой о пределе монотонной ограниченной
последовательности, докажите, что последовательность
имеет предел:
038.11. а) хп =
I
•38.12. а) хп = 1 +\ + ψ + - + ^;
«ч 1.1. . 1
б>*«=7ГП + 7ГТ2 + -+2га-
Зп2 + 2.
η
η2 " 5
б)*»=-^Т5
207

Вычислите lim xn:
n-»oo
38.13. а) хп = —; в) хп = ^--,
η η
б) Хп = —Г' г) *« = ητ·
/ι л/и
088Д4. а) *.-£ + £ +£; =)*·=! + ?-| +
038.15. a) χη = Jr; в) jc„ = 7 · 3";
1 _ 4
б) х„ = 2 · 5"л; г) *л = дНТГ-
038.16. a) *л = ^±f;
038.17.
б)*„ =
а) хп =
б)хп =
7га-
га +
2ге2
1 +
-5.
2'
-1.
2 '
2ге +
п2
»!■
в)
г)
в)
г)
*п
*п
*η
*η
=
=
=
=
Зл_+
η +
2и +
Зи-
3- j
η2
Зп -
1.
2'
1
Г
η2.
>
4-
ге2
2n2
Ooo ,o „v v (2n + l)(n - 3). (8b - 2)(2re + 3).
038.18. a) xn = ^2 > в) x„ = ^2
(Зга + 1Х4га-1). (1 - 2ηχΐ + га)
б)*"_ (ra + 1)2 ' Г)*л" (га + 2)2 *
038.19. a) xn = Vn + m3n-4)-6n> + 12n
' η + 5
_ ra2(2n + 5)-2ra3 + 5re2-13.
б)*"- га(га + ΐχη - 7) + (1 - га) '
(1-гаХга2 + 1)+га3.
_ ra(7 - re2) + re3 - Зге - 1
Г' *" " (л + l)(re + 2) + (2n2 + 1)*
208

Вычислите:
#38.20. a) lim
г
1.1.1. 1
+ ■=—г + -—г + ... +
12 23 34 п(п + 1)
б) Iim|715 + ^ + ^= + "-+ г
iZ£{l- 3 3 5 5 7 (2п - 1Х2и + 1)
Ло о^ ч ,. 2 · 3" + 3 · 4" ^ ,. 3 - 5П - 7 ■ 4П
#38.21. a) km —— ; б) km я я ■
л->оо Ζ — О · 4 л->оо Ζ +00
38.22. Найдите сумму геометрической прогрессии (ft„) , если:
а) Ъх = 3, q = gi в) ftx = -1, q = 0,2;
б) ft! = -5, q = -0,1; г) ft1 = 2, g = -|.
38.23. Найдите сумму геометрической прогрессии:
а) 32, 16,8,4,2,...; в) 27, 9, 3, 1, £,...;
б) 24, -8, |, -|, ... ; г) 18, -6, 2, -|, ... .
38.24. Найдите знаменатель и сумму геометрической прогрессии
(ft„), если:
а) fti = -2,*ft2 = 1; в) Ъх = 7, ft2 = -1;
б) ftx = 3, ft2 = |; г) ft1 = -20, ft2 = 4.
38.25. Найдите знаменатель геометрической прогрессии (ft„),
если:
а) S = 2, ftx = 3; в) S = -|, Ъх = -3;
б) S = -10, ftx = -5; г) S = 1,5, bt = 2.
38.26. Найдите первый член геометрической прогрессии (ft„),
если:
a) S = 10, q = 0,1; в) S = 6, q = -0,5;
6)S = -3,g= ~; r)S = -21,g=±
°38.27. Найдите п-й член геометрической прогрессии (ft„), если:
а) S = 15, q = ~, и = 3; в) S = 20, ftx = 22, и = 4;
о
б) S = -20, fti = -16, η = 4; г) S = 21, g = f, и = 3.
о
209

в) 6.
т)Ьп
45.
= 3"'
= (-Ι)"-
■ι 7
б""2'
038.28. Найдите сумму геометрической прогрессии (Ьп), если:
25
а) &„ = -^Г'
б)&„ = (-1)л^г;
038.2Θ. а) Найдите сумму геометрической прогрессии, если
известно, что сумма первого и третьего ее членов равна 29, а
второго и четвертого 11,6.
б) Чему равен пятый член геометрической прогрессии,
если известно, что он в 4 раза меньше куба третьего
члена прогрессии, а сумма прогрессии равна 4,5?
038.30. а) Найдите геометрическую прогрессию, если известно, что
ее сумма равна 24, а сумма первых трех членов равна 21.
б) Найдите седьмой член геометрической прогрессии, если
известно, что ее сумма равна 31,25, а сумма первых трех
членов равна 31.
038.31. а) Составьте геометрическую прогрессию, если известно, что
ее сумма равна 18, а сумма квадратов ее членов равна 162.
б) Найдите сумму квадратов членов геометрической
прогрессии, если известно, что ее сумма равна 2, а сумма
кубов ее членов равна 1 у·
Вычислите:
038.32. а) 2 + 1 + | + ± + ... ; в) | - 1 + § - | + ... ;
б) 49 + 7 + 1 + X + ... ; г) 125 + 25 + 5 + 1 + ... .
2 2 2
038.33. а)-6+ з~27 + 243 ~ *" * '
6)3+73+1+ 4- +...;
в)49- 14 + 4- γ +... ;
г) 4 + 2V2+ 2 +V2+ ... .
038.34. а) 2 + 4 + 6 + ... + 20 + -| + ^ + |... ;
б)1 + 3 + 5 + ...+99+|-^ + т|§-...;
210

в) 21 + 24 + 27 + ... + 51 + з " 9 + 27 " ··· ''
г) 1 + 4 + 7 + ... + 100 + 0,1 + 0,01 + 0,001 + ... .
г
о38.35. Упростите выражение
^ πη
а) sin x + sin2 x + sin3 χ + sin4 χ + ... ;
б) cos χ - cos2 χ + cos3 χ - cos4 χ + ... ;
в) cos2 x + cos4 χ + cos6 χ + cos8 χ + ... ;
г) 1 - sin3 χ + sin6 χ - sin9 χ + ... .
Решите уравнение, если известно, что |jc| < 1:
038.36. а) х + х2 + х3 + х4 + ... + *" + ... = 4;
б) 2* - 4*2 + 8*3 - 16jc4 + ... = |.
1 7
•38.37. а) - + χ + х2 + х3 + х4 + ... + хп + ... = -£;
б) 2* + 1 + х2 - jc3 + х4 - jc5 + ... = ^.
•38.38. Решите уравнение:
а) sin χ + sin2 x + sin3 jc + ... sin" χ + ... = 5;
б) cos χ - cos2 χ + cos3 χ - ... + (-1)""1 cos" jc + ... = 2;
в) 1 + sin2 χ + sin4 * + ...+ (sin jc)2""2 + ... = -g;
r) 7 cos3 * + 7 cos6 χ + ... + 7 (cos jc)3" + ... = 1.
§ 39. Предел функции
39.1. Какая из функций, графики которых изображены на
рис. 70—73, имеет предел при χ —> +оо? при χ —> -оо? при
X —> оо?
39.2. Выясните, имеет ли функция у = f(x) предел при χ —> +оо,
при χ —> -оо или при χ —> оо и чему он равен, если:
а) прямая у = 3 является горизонтальной асимптотой
графика функции на луче (-оо; 4];
б) прямая у = -2 является горизонтальной асимптотой
графика функции на луче [-6; +оо);
в) прямая у--Ъ является горизонтальной асимптотой
графика функции на луче (-оо; 3];
г) прямая у = 5 является горизонтальной асимптотой
графика функции на луче [4; +оо).
211

Ι Ι Ι I |2/f Ι Ι Ι Ι Ι Ι Ι Ι Ι Ι
%l#
\ /
λ /
MM
\\\\\ /
1 /
\ 9 /
Mr/
\ / J
-i\\o\ \A *
III tm->t II
PMC. 70
\
\
\
-\-
-2
X
\
—
—
\
-1
yt
o«
O"
2-
• 1 -
1
4.,
о
1
,s
/
/
'
/
у
^
?.
λ
X
PMC. 71
3
2
-1
ifl
-О-
о
^>
Δ
-1 .
1"
О
^
L_
Z_
^
-
•
X
РИС. 72
212

-3
-2
-1
~yf
ι
1
О
2
1
I
2
3
χ
PMC. 73
039.3. Известно, что lim fix) = 2, lim g(x) = -3, lim h(x) = 9.
x-»°o x->oo n-»°°
Вычислите:
а) lim (f(x) + g(*) - h(x));
X->oo
б) lim (*(χ) · (f(x))2);
в) limOf(x)-/(x) + ft(x));
JC->°°
r) lim (/(*) · g(x) · h(x)).
039.4. Известно, что lim f(x) = -2, lim g(x) = -10, lim h(x) = 6.
X-»°o x-*oo x->°°
Вычислите:
«л nm Λ*>· ^ i«m /(«W*).
бч lim 3/(«) + Ц*).
Γ> ii™ ад·
Постройте график какой-либо функции ι/ = /(jt),
обладающей указанными свойствами:
39.5. a) lim fix) = 3; в) lim fix) = -5;
JC-»°0 JC-»°0
6) lim Дх) = -2; г) lim Дх) = О.
JC-»°o X->oo
39.6. a) lim fix) = 4, lim fix) = 0;
JC->+oo X-»-oo
б) lim /(*) = 10, lim fix) = -2;
JC->+oo X->-oo
в) lim Дх) = -2, lim fix) = 1;
JC->+oo X-»-oo
r) lim Дх) = 3, lim Дх) = -4.
JC-»+oo x-»-oo
39.7. a) lim fix) = 5 и /(*) > 0 на (-оо; +00);
JC->+oo
б) lim /(jc) = -3 и fix) > 0 на отрезке [-7; 3];
JC->-oo
в) lim fix) = 0 и /(*) > 0 на [О, +оо);
JC->+oo
r) lim Дх) = 0 и Дх) < 0 на (-оо; +оо).
213

Постройте график какой-нибудь функции у = h(x), χ ξ ϋ
обладающей указанными свойствами:
039.8. a) lim h(x) = 4 и функция возрастает;
Х->+оо
б) lim h(x) = 5 и функция убывает;
Х->-оо
в) lim h(x) = -2 и функция возрастает;
Х->-оо
г) lim h(x) = -3 и функция убывает.
Х->+оо
039.9. a) lim h(x) = 1 и функция ограничена сверху;
Х->-оо
б) lim h(x) = 1 и функция ограничена снизу;
Х->+оо
в) lim h(x) = 1 и функция ограничена сверху;
Х->+оо
г) lim h(x) = 1 и функция ограничена снизу.
Х->-оо
•39.10. Постройте график непрерывной на (-оо; +оо) функции
у = f(x), обладающей следующими свойствами:
а) lim f(x) = 0; f(x) > 0 на (-оо, 0); E(f) = [-5; 5], функция
JC->°0
убывает на [2; 7];
б) lim /(*) = 5, lim f(x) = 0, E(f) = [-3; 5), /(*) < 0 на
χ-»-οο χ->+οο
(0; +oo), функция возрастает на [3; +oo) и убывает на [0; 3].
Вычислите:
39.11. a) lim (£ + |) в) lim ( Jr + £)
39.12. a) lim [| + l]; в) lim (£ + £ + θ};
039.13. a) lim fl2 —LV IS
Ss(u-?)·
7 '
·» ϋ» (7+1) ·(-?-«
214

в) lim 4 +
039.14. a) lim
χ3) jc5'
x + 1.
*-4.
л:-2'
.. .. 3*-4.
Зх-1 .
039.15. а) Ьтж» + 7я + 5·
б) Ли 2*2-9*;
039.16. a) lim
4а: - х2 + 1.
5х2-2х '
х3-8 .
б) lim "в . 1Я>
Х_»оо JC + 1θ
лл ^- 4 1- 4*2 + 9-
039.17. a) hm я ;
Х_»оо JC + Ζ
^ч .. 12jc2 + 5jc + 2.
б> ί™ 6jc2 + 5jc-1'
39.18. Какая из функций, графики которых изображены на
рис. 74—81, имеет предел при χ —> 3? Чему равен этот
предел?
в) щи
Х->°0
г) lim
Х->°0
в) lim
Х->°0
г) lim
JC->°0
в) lim
Х->°0
г) lim
лс->оо
в) lim
Х->°0
jc+3'
7jc+ 9
6*-Г
-2х - 1 .
3jc2 -4jc + 1'
4jc + 3
12jc2 - 6jc'
3jc - 2jc2 + 4.
3jc2 + 2jc '
jc3 - 3jc2
jc4 + 2x + Г
3jc2 -8.
jc2-l'
IOjc2 + 4jc - 3
—
—
Vi
о
ϋ "
О
k
(
\
JC
Vi
A
4
О
О
ι
г
3
JC
PMC. 74
PMC. 75
215

Vi
A ■
ft
О
\
λ
X
yk
4-
О
ι
3
"i
"η
4
~->J
"*1
-3
J
PMC. 76
PMC. 77
1 1 12/4 1 1 1 1 1 1 1 1 1
f 1
/ \
\ Л
1 1 / Ι \ 1
MM
\\J\ rs_
III l°l II Μ II 1 1*1
2/i
Q
o*
о
\
1
λ
X
PMC. 78
PMC. 79
У1
к
О"
л

Ίο
о ■
О
k
—<
ι
>—
3
2/i
\
k
\
ο
ϋ "
Ο
\
\
>
<
\
>
^
ι
'
^
λ
J
/
г
ι
/
f
Ί
J
PMC. 80
PMC. 81
216

39.19. Постройте график какой-нибудь функции у = g(x),
обладающей заданным свойством:
а) lim g(x) = 2;
х->-1
б) limg(x) = -3;
х->2
в) lim g(x) = -4;
х->-7
г) limg(x) = 3,5.
39.20. Постройте график какой-нибудь функции у = f(x),
обладающей заданными свойствами:
а) lim f(x) = 3 и /(2) = 3;
х->2
б) lim f(x) = 4 и lim f(x) = 0;
JC->-6 JC->-00
в) lim /(jc) = 4, /(-1) не существует;
χ->-1
г) lim/(jc) = -1 и lim f(x) = -5.
39.21. На рис. 82 изображен график функции у = f(x). Найдите:
a) lim f(x); б) lim/(jc);
х->-оо х->0
в) lim/(jc); г) lim f(x).
х->3 x->+oo
2/i
о
У
О
ь
[з"
!/ =
--f<
χ)
Χ
PUC. 82
°39.22. Постройте график функции у = f(x), обладающей
следующими свойствами:
a) lim/(jc) = 5; /(2) = 5; lim f(x) = -1; Д-3) = 1; lim f(x) = -2;
x->2 x-*-Z jc-»°°
функция возрастает на (-оо; 2].
6) lim/(*) = -
E(ff=\-3; 5].
6) lim f(x) = -3; Д-1) = 2; limflx) = -2; ДО) = -2; lim f(x) = 3;
*->-! x->0 лс->оо
217

Вычислите
39.23. а
б
039.24. а
б
039.25. а
б
•39.26. а
б
039.27. а
б
039.28. а
б;
039.29. а;
б
lim (ж2 - 3* + 5);
х->1
lim
2jc + 3.
в) lim (χ2 + 6* - 8);
χ->-1
. ,. 7x-U
ΐ 4r + 2'
lim yjx + 4;
lim
2jc-1
о jc^ + 3jc- 4
lim
snirac
1Й 2F^;
1>>
в)
r)
*)
ιΛ
iim
1
lim
x-»3,5
lim
x-»-l
lim
x->0
lim
21* +
V2jc-
5-
3jc2 -
COSTCJC
! o~
x + 2
2π
cos —
JC
2*
-6;
2jc
2x + 4
>
x-*2 3JC- 1"
lim (2 arcsin jc + 3 arccos x);
x^OJS
lim
arccos χ + π sin tcjc
Л3£в π cos π* + 2 arcsin*'
lim (2 arctg jc - arcctg x);
x-»/3
lim
2 arcctg χ + πχ
ι cos jc - cos (-jc) + arctg χ'
lim — ;
x->0 X - X
χ + 1
lim ~T-—>
*2-l.
lim
ι ;c - 1
lim
*2-4.
iim 9 ,
x_>_2 2 + JC
jc2 + 2jc - 3
jc-1 '
jc- 2 .
2jc2-jc-6'
lim
ч ι. χ2 - 3*.
в) lim _ ч >
лс->3 Χ — О
ч τ * + 5
г) hm 2 , ~ ·
х_>5 JC + OJC
в) lim 5 ,
x->5 JC — О
ч ι· 3 + *
в> Ц1?, *2-2*-35
г) lim
χ2 - 11* + 18
x-9
218

039.30. a) lim^fi
1 + jc3
6) lim ζ—-2;
*->-! 1-Х
4 1. SU1 X .
089.31. a) hm-j^j,
sin 3* + sin χ
6) hm cos3x + cosx;
*-2
в) lim
x->3
r) lim
x->4
в) lim
r) lim
x->0
JC
jc3-
16
64
-3 .
-27'
-jc2
-jc3'
COS JC.
ctgjc'
cos 5jc -
sin
5jc +
cos
sin
3jc
3jc'
"»*■·> *ιΨ*ϊγ··
6) lim (V2* + 3 - -J2x - 7);
JC->+oo
в) i1™ ТаГГб - 3'
г) lim (V5-3* - n/^).
JC->-oo
лл лл ч ι. 1-cosjc ^ч _. sin 7x - sin 3jc
•39.33. a) lim 2—> 0) lim ■ я„—■ 9 ·
7 x_>0 JC x->0 sln °* — sin ^*
39.34. Найдите приращение функции у = 2х - 3 при переходе от
точки х0 = 3 к точке дгь если:
а) JCi = 3,2; в) хх = 3,5;
б) хх = 2,9; г) хх = 2,5.
39.35. Найдите приращение функции у = х2 + 2х при переходе
от точки х0= -2 к точке хи если:
а) *i = -1,9; в) хх = -1,5;
б) хх = -2,1; г) хх = -2,5.
39.36. Найдите приращение функции у = sin x при переходе от
точки х0 = 0 к точке хь если:
ч π. π.
а) хх = g, в) хг = j\
б) Χχ = "g> Г) *! = "-.
°39.37. Найдите приращение функции у = 2 sin x · cos jc при
переходе от точки х0 = О к точке хи если:
ч π. ч π.
а) Χι = --; в) *! = -;
б) Хг = ^; г) х, = --.
219

039.38. Найдите приращение функции у = у[х при переходе от
точки х0 = 1 к точке χλ = х0 + Ах, если:
а) Ах = 0,44; в) Ах = 0,21;
б) Ах = -0,19; г) Ах = 0,1025.
39.39. По графику функции, представленному на рисунке,
найдите приращение аргумента и приращение функции при
переходе от точки х0 к точке хг:
а) рис. 83; б) рис. 84.
-3
J
\
\
\
1
Со
у
\
\
У1
Χι
о
' У
, ι
U
О
,
у
/
/
/
/
/
/
ем
**
//
*
х\
У^
о
Δ*
О
i
L у
Ci
ί/
J
Со
Vi
Χ
РИС. 83 PMC. 84
039.40. Найдите приращение функции у = Ах2 - χ при переходе
от точки χ к точке χ + Ах:
а) х = 0, Ах = 0,5; в) χ = 0, Ах = -0,5;
б) jc = 1, Ах = -0,1; τ) χ = 19 Ах = 0,1.
039.41. Найдите приращение функции у = fix) при переходе от
точки χ к точке χ + Лх, если:
а) f(x) = Зх + 5; в) /(*) = 4 - 2х;
б) /(х) = -х2; г) /(х) = 2*2.
039.42. Вычислите, чему равно отношение приращения функции
у = х2 - Ах + 1 к приращению аргумента при переходе от
точки х0= 2 к точке:
а) х = 2,1; в) χ = 2,5;
б) χ = 1,9; г) χ = 1,5.
39.43. Для функции у = fix) найдите Δ/ при переходе от точки X
к точке χ + Ах, если:
а) fix) = kx + m; в) /(χ) = —;
б) f(x) = ах2; г) f(x) = Vx.
220

θ39.44. Для функции у = fix) найдите д^ при переходе от точки
χ к точке χ + Δχ, если:
a) f(x) = kx + b; б) f(x) = ах2; в) fix) = ^; г) fix) = 4х.
039.45. Для функции у = fix) найдите lim -τ— при переходе от
Δχ->0 ί-ЬХ
точки χ к точке χ + Δχ9 если:
a) fix) = kx + b; б) fix) = ах2; в) /(χ) = ^; г) /(χ) = V*.
§ 40. Определение производной
40.1. Закон движения точки по прямой задается формулой
sit) = 2t + 1, где t — время (в секундах), sit) — отклонение
точки в момент времени t (в метрах) от начального
положения. Найдите среднюю скорость движения точки с
момента 11 = 2 с до момента:
а) t2 = Зс; в) t2 = 2,1 с;
б) t2 = 2,5 с; г) t2 = 2,05 с.
Вычислите мгновенную скорость точки в момент t - 2 с.
40.2. Закон движения точки по прямой задается формулой
sit) = t2, где t — время (в секундах), sit) — отклонение
точки в момент времени t (в метрах) от начального
положения. Найдите среднюю скорость движения точки с
момента f! = 0 с до момента:
а) t2 = 0,1 с; в) t2 = 0,2 с;
б) t2 = 0,01 с; г) t2 = 0,001 с.
Вычислите мгновенную скорость точки в момент t = 1 с.
40.3. Закон движения точки по прямой задается формулой
sit) = 2t2 + ί, где t — время (в секундах), sit) —
отклонение точки в момент времени t (в метрах) от начального
положения. Найдите среднюю скорость движения точки
с момента tx= 0 с до момента:
а) t2 = 0,6 с; в) t2 = 0,5 с;
б) f2 = 0,2c; г) t2 = 0,1 с.
Вычислите мгновенную скорость точки в момент t = 1 с.
О40.4. Закон движения точки по прямой задается формулой
s = s(f), где t — время (в секундах), sit) — отклонение
точки в момент времени t (в метрах) от начального
положения. Найдите мгновенную скорость движения точки, если:
а) sit) = 4ί + 1; в) sit) = 3t + 2;
б) sit) = t2 -t; г) sit) = t2 - 2t.
221

40.5. Функция у = f(x) задана своим графиком. Определите зна
чения f(xi) и f(x2), если график функции изображен:
а) на рис. 85; в) на рис 87;
б) на рис. 86; г) на рис. 88.
4
г
f Χι
ου
2/J
О
i
t - /ι-
_ J ..
*2/
Λ §
Ί
/
/
'
Γ
χ
PMC. 85
~У = Ах
)
χι
Vi
\
ι
Χ2
-U
0°
vj
χ
W
Хг
i
Ο
У = fix)
30°Μ"
У
Χι
"Ί
"^ΓΊ
*λ
χ
PUC. 86
Ι
ι
\
*Τ
Ι
Ι
[
2/i
\
Λ
Χι
<
11
\
\\
\°
L
ν
\
\χ
\
)
χ2
SJ
/
f
J
/
/
/
F
χ
PMC. 87
PUC. 88
40.6. Функция у = f(x) задана своим графиком (рис. 89).
Сравните значения производной в указанных точках:
а) А-7) и f (-2); в) f (-9) и f (0);
б) А-4) и f (2); г) f (-1) и f (б).
l·
9-
3-
Г-(
-5-
4-
3-
2-:
2/J
к
О
у = Л*)
ι :
ι ;
>
з <
ν
\
1 £
V
>
> 6
V
\
•
X
РИС. 89
222

40.7. Функция у = f(x) задана своим графиком (рис. 89).
Укажите два значения аргумента χλ и х2, при которых:
а) Г(х0 > 0, f(x2) > 0; в) f (*i) < О, f'(x2) < 0;
б) Г(хг) < 0, f(x2) > 0; г) f\xx) > О, f(x2) < 0.
40.8. Функция у = φ(χ) задана своим графиком (рис. 90).
Укажите несколько значений аргумента, для которых:
а) φ'(χ) > 0; в) φ'(χ) < 0;
б) φ'(χ) < 0 и χ > 0; г) φ'(χ) > 0 и χ < 0.
1
\
J
ч
/
8
у
/
у
/
S*
N
4
^
\
^
ν
\
У>
ч
i
о,
У
/
/
/
1
1
\
>
3
L ^
\
\
\
1
5
г = <р(х)
X
РМС. 90
Воспользовавшись определением, найдите производную
функции в точке х:
•40.9. а) у = х2 + 2л:;
б) у = |;
•40.10. a)y = >fx;
б) ι/ = ^2;
в) Зл:2 - 4л:;
, 4
г) у = -·
в) у = у/х + 1;
г) ι/ = *3.
Воспользовавшись определением, найдите производную
функции в точке х0 или докажите, что она не существует:
Зх, если χ > О,
Л Л *о = 0.
-2л:+ 3, если χ < 0;
2л:2, если л: > О,
-2л:2, если л: < 0;
-4л: + 2, если л: > 3,
2л: - 4, если χ < 3;
л:2, если л: < 1,
2л: - 1, если χ > 1;
л:0 = 0.
л:0 = 3.
л:0 = 1.
223

•40.12. a)y = \x + 4|, x0 = -4;
б) у = -3x| χ|, x0 = 0;
в) у = 2x\x\, x0 = 0;
г) у = (х- l)\x- l|, x0= 1.
40.13. Найдите скорость изменения функции в точке х:
а) у = 9,5л: - 3; в) у = 6,7л: - 13;
б) у = -16л: + 3; г) у = -9х + 4.
040.14. Найдите скорость изменения функции у = f(x) в указан·
ной точке:
а) f(x) = χ2, х0 = 2; в) f(x) = χ2, χ0 = -2;
б) № = ρ *0 = -1; г) /(х) =рх0 = -0,5.
040.15. Закон движения точки по прямой задается формулой
s(t) = t29 где f — время (в секундах), s(t) — отклонение
точки в момент времени t (в метрах) от начального
положения. Найдите скорость и ускорение (скорость изменения
скорости) в момент времени t9 если:
a) t = 1 с; б) t = 2,1 с; в) t = 2 с; г) f = 3,5 с.
040.16. Закон движения некоторой точки по прямой задается
формулой s(t) = t2 + t, где £ — время (в секундах), s(t) —
отклонение точки в момент времени t (в метрах) от
начального положения. Найдите скорость и ускорение
в момент времени ί, если:
a) t = 1 с; б) t = 2,1 с; в) t = 2 с; г) f = 3,5 с.
§ 41. Вычисление производных
Найдите производную функции:
41.1. а) у = 7х + 4;
б) у = χ2;
41.2. а) ι/ = х5;
б) ι/ =* х10;
41.3. а) ι/ = sin x;
б)у = yfx;
41.4. а) ι/ = tg л:;
б) у = ctg л:;
в) у = -6л: + 1;
ν 1
г) у = -·
в) у = л:4;
г) у = х201.
в) у = cos л:;
г) у = *10.
в) y = tg χ + 4;
г) у = ctg л: + 8.
224

41.5. а) у =
б)у =
41.6. а) у =
б)у =
41.7. а) у =
б)у =
41.8. а) у =
б)г/ =
41.9. а) у =
б)г/ =
41.10. а) у =
б)у =
41.11. а) у =
б)г/ =
41.12. а) у =
б)г/ =
41.13. а) у =
6)у =
41.14. а) у =
б)г/ =
041.15. а) у =
б)У =
°41.16. а) у =
б)г/ =
х2 - 7х;
-Зх2 - 13*;
х3 + 2л:5;
4 9
х - х ;
12л: + VJc;
-2*2 - -;
χ
6>/ί+ -;
-2^ - h
X
cos л: + 2x;
3 sin л: + cos x;
■o sin χ - 3 ctg л:;
2 tg * + V3 cos x;
x5 + 9x20 + 1;
x7 - 4x16 - 3;
(x2 - 1)(*4 + 2);
(x2 + 3)(*6 - 1);
Vjc(2jc - 4);
(xs + 1) · Vjc;
a: · sin л:;
vjc · cos x;
ii + ll(2x-3);
f 7 _ IW + 1);
= x3 · tg x;
= cos x · ctg л:;
в) у = 7л:2 + Зх;
г) г/ = -
-л:2 + 8л:.
в) ι/ = х3 + 4х100;
г) у = х4 - 7х9.
в) у = у/х - 5л:2;
г) ι/ = 10*2 + ρ
в) У= '
т)у=-
Юл/л: + -;
X
-8jx~ - i.
χ
в) у = sin л: - Зл:;
г) ι/ = 2 cos л: + sin x.
в) г/ =
cos χ , . ,
—g— + 1,4 ctg χ;
г) ι/ = 6 tg χ - sin x.
в)у = х6+ 13л:10 + 12;
г) у = х9 - 6х21 - 36.
в)1/ = (
r)i/ = (
в) г/ =
г) г/ =
χ2 + 3)(χ4 - 1);
χ2 - 2)(χ7 + 4).
7χ(8χ - 10);
V* · (χ4 + 2).
в) ι/ = χ · cos л:;
г) у = Vjc · sin л:.
в) г/ =
г) г/ =
в) У =
г) i/ = s
Ι* )
(9 - -\зх + 2).
Ι χ)
1 .
- · ctg χ;
sin χ · tg χ.

Найдите производную функции:
041.17. а) у = (х - 1)(х2 + χ + 1); в) у = (х + 1)(х2 - χ + 1).
б)у = (х2 + 2х + 4)(х - 2); г) у = (х2 - Зх + 9)(* + 3)f
041.18. а) у = 2^; в) у = -^р
б) У = χ^~ί; Г)У= Ί?ΤΪ
041.19. а) у = ^; в) „ = ^fx;
sinjc v cos jc
б)у=—; г)г/=-Г-
л * лл ч X — О . v JC + JC
041.20. а) ι/ = —ρ-; в) у = ^ГТТ;
jc15 . . jc13
б> У = -ν» _, ι; г> ί/ =
jclu + l' х'* jc4-2
041.21. а) ι/ = cos2 тг - sin2 -^; в) ι/ = cos2 Зх + sin2 Зх;
6) ι/ = 2 sin -| cos |; г) у = -sin -| cos |.
041.22. а) ι/ = sin 2х cos jc - cos 2x sin x;
-v . χ 2x , jc . 2л:
б) ι/ = sin — cos — + cos — sin —;
' * 3 3 3 3
в) у = cos Зх cos 2x + sin Зх sin 2x;
χ 4jc jc 4jc
г) у = cos— cos-— - sin— sin-—.
5 5 5 5
Найдите значение производной заданной функции в точке яу
41.23. а) у = у/х9 х0 = 4; в) у = -Зх - 11, х0 = -3;
.2 .1
б) ι/ = χ , х0 = -7; г) у = -, х0 = 0,5.
тс
V
41.24. а) у = sin χ, χ0 = -—; в) ι/ = cos χ, χ0 = -3π;
б) у = cos χ, Χο = -; г) у = sin χ, х0 = 0. ·
о
41.25. а) у = 6х - 9, х0 = 3; в) у = 5х - 8, х0 = 2;
б) ι/ = х3 - Зх + 2, х0 = -1; г) у = х2 + Зх - 4, х0 = 1
226

2 χ 8 jc3
41.26. а) у = - - 2> *o = 4; в) ι/ = - - -у, лг0 = 1;
б) у = \fx + 4, лг0 = 9; г) ι/ = л/л; + 5л;, лг0 = 4.
41.27. а) у = 2 sin χ - 13 cos χ, лг0 = ^5
б) у = -cos χ + -χ2, *0 = -^;
в) ι/ = -sin χ - 3, χ0 = 7}>
г) ι/ = 4 cos л: + Λ;ν2, λ:0 = τ·
41.28. а) у = tg χ + 7π · Vx, лг0 = ^;
б) ι/ = 2 ctg χ - 3 tg χ, лг0 = з;
ν , π2 π
в) у = ctg л: + —, χ0 = --;
г) у = (2χ + 3)2 - 4 tg χ, χ0 = 0.
г,ал on ч sin* ^ ν COSJC
041.29. а) у = —£-, *ο = -£; в) у = —^—, лг0 = π;
6) # = лП' χο = 2; г) у = 773' *ο = °·
041.30. Докажите, что производная заданной функции
принимает положительные значения при всех допустимых
значениях аргумента:
а) у - Зх + 12; в) у = -2 sin χ + 4л;;
б) ι/ = 2л;3 + 15*; г) ι/ = Зх - 1,5 cos x.
°41.31. Докажите, что производная заданной функции
принимает отрицательные значения при всех допустимых
значениях аргумента:
а) у = —и* - 1,5л:; в) у = 1,4 cos χ - Зх;
б) у = -λ/Ϊ + 14; г)у=Ц + 29
227

041.32. а) Найдите те значения аргумента, при которых
производная функции у = Xs - Зх принимает положительные
значения;
б) найдите те значения аргумента, при которых
производная функции у = хь - —х принимает отрицательные
значения;
в) найдите те значения аргумента, при которых
производная функции у - у[х + χ принимает неотрицательные
значения;
г) найдите те значения аргумента, при которых
производная функции у - 1 cos χ + 12 принимает
неположительные значения.
Найдите скорость изменения функции в точке х0:
41.33. а) у = х\ х0 = -0,1; в) у = VJc, x0 = 9;
б) у = -, х0 = -2; г) у = cos χ, χ0 = π.
041.34. а) у = Xs + 2х, х0 = 2; в) у = If| - 2\ х0 = -0,5;
б) у = (V* + l)Vx, *о = 1; г) ι/ = 2 sin χ - 4х, х0 = ^
•41.35. Существует ли производная заданной функции в точке jc0?
Если да, то вычислите ее:
а)у = \х-2\(х-2), х0 = 2;
б) у = (х + 2)\х + 2\, х0 = -2.
•41.36. Существует ли производная заданной функции в
указанных точках? Если да, то найдите значения производных:
а) у = х2 - 5\х\ + 6, х0 = 2, χλ = 3, х2 = 0;
б) ι/ = |x2 - 5|х| + б|, х0 = -2, χλ = 0, х2 = 2,5.
Найдите угловой коэффициент касательной к графику
функции у = /(я) в точке с абсциссой х0:
41.37. а) /(*) = х\ х0 = -4; в) f(x) = |, х0 = \\
б) /(χ) = ρ *о = ~; г) /(х) = х2, *0 = 2.
228

41.38. a) f(x) = sin x, x0 = g5 в) f(x) = cos x, x0 = ^
6) f(x) = cos x, x0 = ~; r) f(x) = sin x> x0 = --.
4 о
Определите абсциссы точек, в которых угловой
коэффициент касательной к графику функции у = f(x) равен ft,
если:
041.39. a) f(x) = 4х - х, ft = 1;
б) f(x) = V* + Зх, ft = 4.
041.40. a) f(x) = sin ·| cos |, ft = -—;
6) /(x) = cos2 |, ft = \.
Найдите тангенс угла между касательной к графику
функции у = f(x) в точке с абсциссой х0 и осью х:
41.41. a) f(x) = χ6 - 4х, х0 = 1;
б) fix) = VJc - 3, хо = \;
в) fix) = -хъ - 2х2 + 2,х0 = -1;
г) f(x) = Щ + 2, хо = f.
041.42. а) /(*) = 10 - cos χ, х0 = ψΐ
б) /(х) = 2 tg х, х0 = J;
в) /(л:) = 4 - sin χ, х0 = 6π;
г) fix) = -4 ctg χ, х0 = ~.
4
041.43. a) f(x) = л:2 sin x, f ί|1 = ?
б) /(*) = *(1 + cos χ), f (π) = ?
в) /(*) = 73 sin л: + ^- + χ sin J, f (|1 = ?
Γ) Λ*) = >/3 cos χ - χ cos ^ + —, f j =?
229

041.44. Определите абсциссы точек, в которых касательная к
графику функции у = h(x) образует с положительным
направлением оси абсцисс заданный угол а:
а) f(x) = χ2 - Зх + 19, α = 45°;
б) f(x) = -£ъ* α = 135°.
041.45. Определите абсциссы точек, в которых касательная к
графику функции у - h(x) образует острый угол с
положительным направлением оси ху если:
а) h(x) = xs - Зх2 + 1; в) h(x) = χ3 - χ4 - 19;
б) h(x) = 4л/я - χ; г) h(x) = tg χ - 4x.
041.46. Определите абсциссы точек, в которых касательная к
графику функции у = φ(χ) образует тупой угол с
положительным направлением оси ху если:
а) φ(χ) = sin x + 3;
б) φ(χ) = 0,2х5 -З^х3 + 9х;
в) φ(χ) = ctg χ + 9х;
г) φ(χ) = χ4 -^χ3 + 21.
041.47. При каких значениях а касательные к графикам
функций у = f(x), у = h(x) в точке χ = а не имеют общих точек:
а) f(x) = х\ Цх) = х8; б) f(x) = χ2 + χ + 3, h(x) = χ3?
041.48. а) При каких значениях χ выполняется равенство f(x) = 2,
если известно, что f(x) = 2у[х - Ъх + 3?
б) При каких значениях χ выполняется равенство f(x) = 1,
если известно, что f(x) = Зх - 4х +13?
Решите неравенство f(x) < 0:
041.49. a) f(x) = х3- 44; б) f(x) = \хъ - §х3 + 6х.
041.50. a) f(x) = sin 2х; б) f(x) = -4 cos χ + 2х.
Решите неравенство f'(x) > 0:
041.51. a) f(x) = χ3 + х\ б) f(x) = γ^·
041.52. a) f(x) = cos2 f - sin2 |;
6) f(x) = sin2 f.
230

При каких значениях аргумента скорость изменения
функции у = f(x) равна скорости изменения функции у = g(x):
041.53. а) /(*) = ^х3 - х\ g(x) = 7,5х2 - 16*;
б) f(x) = лЯ g(x) = ^?
041.54. a) f(x) = cos χ, g(x) = sin χ;
6) f(x) = tg x, g(x) = -ctg x?
041.55. При каких значениях аргумента скорость изменения
функции у = g(x) больше скорости изменения функции у = h(x):
а) g(x) = xs - Зх\ h(x) = 1,5л:2 - 9;
б) g(x) = tg x, Цх) = 4х-81?
041.56. Найдите значения аргумента, удовлетворяющие условию
f(x) = gf(x)y если:
а> Л*> = 5^9' gW = 7^5Р
б) f(x) = ctg x, g(x) = 2x+ 15.
041.57. Найдите значения аргумента, удовлетворяющие условию
f'(x) < gf(x)y если:
а) f(x) = sin χ · cos x, g(x) = -~x + 61;
б) /(χ) = λ: cos χ, g(x) = sin χ.
41.58. Укажите, какой формулой можно задать функцию у = f(x),
если:
а) f'(x) = 2х; в) f'(x) = 3;
б) f'(x) = cos χ; г) f'(x) = -sin x.
041.59. Известна производная функции у = f'(x). Укажите, какой
формулой можно задать функцию у = f(x), если:
а) f(x) = Зх2 + 2х; в) f'(x) = 5х4 - 1;
б) Г(х) = "Дг; г) f(x) = -^jf
•41.60. Задайте аналитически функцию у = f(x), если графиком
ее производной является:
а) парабола (рис. 100); б) ломанная (рис. 104).
231

041.61. а) При каких значениях χ верно равенство у · у + у2 = q
если у = 2 sin χ?
б) При каких значениях χ верно равенство у2 + (у')2 = ι
если ι/ = 4x1
•41.62. При каких значениях а и Ъ функция
\2х - 3, если χ < 1,
[х2 + ах + Ь, если л: > 1:
а) непрерывна на всей числовой прямой;
б) дифференцируема на всей числовой прямой?
•41.63. При каких значениях а и Ъ функция
У= ι 2
У= 1
х2 + 3
, если * < -1,
4
[αχ3 + foe, если χ > -1:
а) непрерывна на всей числовой прямой;
б) дифференцируема на всей числовой прямой?
041.64. Найдите вторую производную функции:
а) у = х4 + 2х\ в) ι/ = sin * + 1;
б) ι/ = х5 - Зх; г) у = 2 cos * - 4.
041.65. Найдите /'"(0), если:
а) у = 2х3 - х2; в) у = 4 sin л: - cos χ;
б) у = χ + cos χ; γ) ι/ = sin x + cos x.
t4 t3
041.66. Тело движется по прямой согласно закону x(t) = Τ ~ "я" ~
- 6t2 + 2t + 1 (где f — время (в секундах), x(t) —
координата (в метрах)). Найдите:
а) ускорение движения в момент времени t = 3 с;
б) силу, действующую на тело массой 1 г в момент
времени t = 3 с.
041.67. а) При каких значениях χ верно равенство у" + у' - у = 0>
если у = 3 cos χ?
б) При каких значениях χ верно равенство (у")2 + 2у ~
= у2 + 1, если у = sin x?
041.68. а) Докажите, что функция у = χ sin x удовлетворяет
соотношению у" + у = 2 cos x;
б) докажите, что при любых значениях а и Ъ функция
у = a sin χ + & cos χ удовлетворяет соотношению у" + у = 0.
232

θ41·69. Строится мост параболической формы, соединяющий
пункты А и Б, расстояние между которыми равно 200 м. Въезд
на мост и съезд с моста должны быть прямолинейными
участками пути, эти участки направлены к горизонту под
углом 15°. Указанные прямые должны быть
касательными к параболе. Составьте уравнение профиля моста в
заданной системе координат (рис. 91).
-~~~
"ТЗ
j.
ι
Vi
о
\
p_
L5(
Э
^L
X
PMC. 91
•41.70. а) При каких значениях параметра α касательные к
графику функции у = Ах2 - \а\х9 проведенные в точках его
пересечения с осью х, образуют между собой угол 60°?
б) При каких значениях параметра а касательные к
графику функции у = х2 + \а\х9 проведенные в точках его
пересечения с осью х, образуют между собой угол 45°?
§ 42. Дифференцирование сложной функции.
Дифференцирование обратной функции
Найдите производную функции:
42.1. а) у = (4* - 9)7;
6),= (l2-fj;
42.2. а) у = sin (Злг - 9);
б) у = cos
*-4*
42.3. a)y = tg\5x-l·
б)у= V50 + 0,2*;
Л12
в)у=\± + 2
г)у = (15 - 9*)13.
в) у = sin (5 - Зх);
г) у = cos (9x - 10).
г)у= V4 - 9*.
233

042.4.
042.5.
Найдите производную функции:
а) у - cos2л: - sin2*; в) у = 1 - 2 sin23x;
б) у = 2 sin л: · cos χ; г) ι/ = sin2 Зх + cos2 Зл:.
а) у = sin Зл: cos 5л: + cos Зл: sin 5л:;
б) у = cos 4л: cos 6л: - sin 4л: sin 6л:;
в) у = sin 7л: cos Зл: - cos 7χ sin Зл:;
г) υ = cos— · cos— + sin— · sin—,
' * 3 6 3 6
042.6. а) у = (1 - χ3)5;
в)у~ (х2-7х + 8)2''
б)у= V*3 + Sx2 - 2x + 1; г) у = JJ^|.
в) ι/ = tg5 л:;
042.7. a) i/ = sin3 x;
6) ι/ = Vct£*;
г) у = tg (x + л:3).
•42.8. a) i/ = л/l - x2 + cos3 л:; в) ι/ = sin2 л: · cos 4x\
б) у = —2 г»
yJdgX
г) У = —з
Найдите значение производной функции в точке л:0:
042.9. а) у = (Зл: - 2)7, л:0 = 3; в) ι/ = (4 - 5л:)7, х0 = 1;
б) ι/ = л/25 - 9л:, л:0 = 1; г) ι/ = >/7л: + 4, л:0 = 3.
042.10. а) ι/ = sin [ 2л: - -1 х0 = |;
б) ι/ = ctg [ | - χ 1 л:0 = |;
в) ι/ = cos [ £ - 4л: |, л:0 = |;
г) у = tg
ί -λ
Зх-1
- JL
Хо" 12'
o42.ll. а) ι/ = (χ2 - 3* + Ι)7, χ0 = 1;
б) у = vfri' *°= 0;
в) ι/ = ^/(χ - ΙΧχ - 4), лго = 0;
γ)ι/ =
*2 + 3
Χο = 1.
234

042.12.
а) у = tg3 χ, χο = j;
б) у = sin V*, x0 = |g5
в) ι/ = cos χ3, x0 = 0;
r)i/ = ctg2x-l, x0 = \.
042.13,
Вычислите скорость изменения функции в точке х0:
а) у = (2х + I)5, х0 = -1; в) у = 12jc _ 5' *о = 2;
б) ι/ = л/7х - 3, х0 = 1; г) ι/ = л/И - 5х, х0 = -1.
4'
042.14. а) у = sin [ Зх - ^ |, х0 = f
б) ι/ = tg 6л:, х0 = «т;
24'
в) у = cos
J-2xl xo- з;
г) у = ctg -о, х0 = π.
042.15. а) у = >/4х2 - 20х + 25, х0 = 3;
б) ι/ = vs^n2 * ~ 2 sin χ + 1, х0 = "£■;
о
в) ι/ = Vl - Юх + 25х2, х0 = 1;
г)
, 1 2 π
cos χ + — cos χ, x0 = —.
4 4
•42.16. а) у = (χ - sin χ)2, χ0 = π;
/1 - sin * π#
б> ^ = V cos* ' χ° = 4'
в) ι/ = ^(sin χ + 1) cos χ, χο = g'
г) ι/ = (tg χ - Ι)4, χ0 = J.
°42.17. При каких значениях аргумента скорость изменения
функции у = f(x) равна скорости изменения функции у = g(x):
а) /(х) = cos 2x, g(x) = sin x;
б) /(χ) = sin 6x, g(x) = cos 12x + 4;
2
в) /(χ) = g sin Зх, g(x) = cos 2x;
r) /(x) = Vx2 - 2x; £(x) = 2Vi?
235

042.18. При каких значениях аргумента скорость изменения фунн*
ции у = g(x) больше скорости изменения функции у = h(xy
h(x) = 6х- 12;
a) g(x) = sin I Зх - -
6
б) g(x) = cos
*-2*
I, h(x) = 3 - yfex?
042.19. Найдите тангенс угла между касательной к графику
функции у = h(x) в точке с абсциссой х0 и осью х:
ΙΟ
a) h(x) = 4^ΤΊ' х° = 0,5; в* h№ = ^6 " 2*> χο = 1;
б) h(x) = cos3 χ у х0= -χ.
г) h(x) = yjigx, χο = 7·
Ο42.20. Определите абсциссы точек, в которых угловой
коэффициент касательной к графику функции у = f(x) равен а,
если:
V2
а) f(x) = sin χ · cos x, k = —τ-;
б) f(x) = cos2 *,&=-.
042.21. Определите абсциссы точек, в которых угловой
коэффициент касательной равен 0:
а) f(x) = tg3 χ; б) f(x) = sin2 χ cos 2x.
042.22. а) Найдите корни уравнения /'(я) = 0, принадлежащие
отрезку [0, 2], если известно, что f(x) = cos2 χ + 1 + sin x.
б) Найдите корни уравнения f(x) = 0, принадлежащие
отрезку
Γπ 3π]
[2' 2 J'
если известно, что f(x) = sin2 χ - cos χ - 1.
042.23. а) Дано: Дх) = α sin 2x + & cos x, f ί jl = 2, f i^l = -4. Чему
равны α и b?
б) Дано: /(*) = a cos 2* + &sin4x, f iyfl = 4, f Pjl = 2.
Чему равны α и &?
042.24. Решите уравнение /'(я) = 0, если:
а) /(*) = yjcos2x; в) /(*) = sin4 x;
б) /(*) = tg2 χ; г) /(χ) = cos3 χ - sin3 χ.
042.25. Решите неравенство у' < 0, если:
а) у =
(1-3*)'.
(2 - 7xf'
(2х + З)4
236

042.26.
042.27.
042.28.
Решите неравенство g'ix) > 0, если:
(2х - I)4.
a) g(x) =
(Зх + 2)'
,5'
(4 - З*)4
Проверьте равенство g'(x) = f(x), если:
а) £(*) = (1 - х2) sin χ2 - cos χ2, /(χ) = 2(χ - χ3) cos χ2;
б) g(x) = (χ2 - 1,5) cos 2x - χ sin 2x, f(x) = (2 - 2χ2) sin 2χ.
Найдите значения аргумента, удовлетворяющие условию
f(x) = &(х), если:
а) f(x) = sin (2x - 3), g(x) = cos (2x - 3);
б) f(x) = y/3x - 10, g(x) = Vl4 + 6*.
042.29. Определите абсциссы точек, в которых касательные к
графику функции у = h(x) образуют с положительным
направлением оси абсцисс заданный угол а:
a) h(x) = 2 · V2x - 4, α = 60°;
б) h(x) = sin
4л:
α = 0°.
Известна производная функции у - f'(x). Укажите, какой
формулой можно задать функцию у = f(x):
042.30.
042.31.
042.32.
042.33.
•42.34.
a) f(x) = 6(2* - I)2;
2
а> Я*) = (2* + 3)2;
a) /'(jc) = sin
'а, - ^
6) f (ж) = -20(4 - 5л:)3.
4
б) Г(х) =
cos (5jc - 1)
Найдите производную функции:
а) у = arcsin 3jc; в) у = (arccos jc)3;
б) ι/ = arctg jc2; г) ι/ = arcctg yfx.
Найдите значение производной функции в точке х0:
а) у = (arccos jc)3, x0 = 0;
2 2jc + 1
б) у = 7з arctg ~7з^' *° = _1;
в) у = arcsin Vjc, jc0 = —;
г) у = arccos ^ ' *о = 1·
237

042.35. Вычислите скорость изменения функции у = g(x) в точке χ~·
а) g(x) = arctg (1 - Зх), х0 = gi
б) g(x) = arcsin Vjc; x0 = 0,25;
в) g(x) = arccos (2x - 3), х0 = 1,5;
г) g(x) = yjarcctgx, Xo = 0.
042.36. Найдите тангенс угла между касательной к графику
функции у = h(x) в точке с абсциссой х0 и осью х:
2
а) h(x) = arcsin (Зх - 2), х0 = д',
б) h(x) = arcsin χ · arccos x, x0 = 0.
042.37. а) Решите уравнение f (χ) = 2, если f(x) = arctg (2x).
б) Найдите те значения х, при которых выполняется
равенство (f'(x))2 = — > где /(jc) = 2 arcsin ν*.
•42.38. Решите неравенство (f'(x))2 > 1, если:
a) f(x) = arcsin 2jc; б) f(x) = 2 arccos Vjc.
§ 43. Уравнение касательной к графику функции
43.1. Определите знак углового коэффициента касательной,
проведенной к графику функции у = f(x), в точках с
абсциссами а, Ь, с:
а) рис. 92; б) рис. 93;
ь
2/i
^^
ι
О
а
1
с
X
с
\*
2/i
О
l
1
>\
с
_м
х\
PUC. 92
PUC. 93
238

43.2. Укажите точки, в которых производная равна нулю и
точки, в которых производная не существует, если
график функции изображен на заданном рисунке:
а) рис. 94; б) рис. 95; в) рис. 96; г) рис. 97.
—
2/J
-2/
1\
ь
О
1 \
л>
1
1
V
\
λ
г з,5
\·
\
\
X
-
4
Ук
-1,5
1
|
о
/]
L
4 \
X
РИС. 94
PUC. 95
\
ν
\
6
ч
4
-
2
У^
\
О
(
г
X
-
4
-
2
У1
i
О
/
/
/
3
/
^
5
X
PUC. 96
РИС. 97
43.3. Найдите угловой коэффициент касательной, проведенной
к графику функции у = f(x) в точке с абсциссой χ = α,
если:
а) f(x) = χ3 - 2х2 + 3, а = -1;
х- 1
б) Я*) = 7ПГ α = 1;
в) /(*) = х4 - 7х3 + 12* - 45, а = 0;
г) fix) =
2jc-1
jc+1
, а = 1.
239

Найдите угловой коэффициент касательной, проведенной
к графику функции у = fix) в точке с абсциссой χ = α
если:
43.4. a) f(x) = у1х - 7, а = 8;
б) f(x) = л/4 - 5*, α = 0;
в) /(*) = л/10 + х, а = -5;
г) /(*) = ^3,5 - 0,5х, α = -1.
π.
43.5. a) fix) = sin χ, α = 0; в) /(jc) = cos 3jc, α = τ> ί
тс тс
б) /(jc) = tg 2jc, α = -g#, г) /(jc) = ctg jc, α = -g·
043.6. a) fix) = yltgx9 a = j; в) fix) = ctg4 x, a = j;
6) /(*) = cos2 x, a = —; r) /(*) = ^/2 - sinx, α = |.
Найдите тангенс угла наклона касательной, проведенной
к графику функции у = fix) в точке с абсциссой х0:
043.7. a) fix) = ix- 2)ix2 + 2х + 4), jc0 = 3;
б) /(jc) = cos2 Зх - sin2 Зх, х0 = -g#>
2 Л._ . ., 1.
в) fix) = (2jc + 1)(4^ - 2x + 1), jc0 = -^;
r) /(jc) = sin χ · cos jc · cos 2x, x0 = —.
043.8. a) /(*) = χ3 *£ + * *, Xo = -l;
б) fix) = yjx2 - 6* + 9, xo = -2;
ч », ч X — OX ·¥ X r\ ·*
в) Л*) = —г ' Xo = -0,1;
г) f(x) = Ух3 - 6x2 + 12* - 8, xo = -5.
240

Найдите угловой коэффициент касательной, проведенной
к графику функции у = fix) в каждой из указанных
точек:
IV - 1, если Η >l·
043.9. а) Кх) = \л , ' ^ = -2,х2 = 0,Хз = 3;
[1 - лг, если|х| < 1,
~. ,, ν \χ2 + 2' если х > О,
б) /(*) = < л 2 *i = -1, х2 = 0, *3 = 2;
[2 - jc , если jc < О,
Г-Злг, если χ < О,
в) f(x) = \ ι— Хг=-1, х2=1, х9 = 5;
Nэх, если* > О,
г) f(x) = \ л еСЛИ Х ^ ' X! = -2, *2 = 2, *3 = 5.
[х - 2, если χ > 2,
043.10. а) /(*) = jc2 - 9|х| + 14, jcx = -7, jc2 = 4,5, *3 = 8;
б) f(x) = χ2 - 4\χ\ - 12, χλ = -3, jc2 = -2, jc3 = 2.
043.11. a) fix) = \χ2 - Ъх + 6|, jcx = Ο, *2 = 2,5, χ3 = 4;
6) /(*) = \-χ2 + 2χ + 3|, JCi = -2, Jt2 = 1, Хз = 2.
Найдите ту точку графика функции у = fix), в которой
угловой коэффициент касательной равен ft:
043.12. a) fix) = Ι,δχ2 - χ + 1, ft = 2;
б) /(*) = jc + ρ ft = 3;
в) /(*) = jc3 - 2jc2 + χ, ft = 1;
r) № = 1 + f > ^ = -3.
043.13. a) /(*) = arcsin 2jc, ft = 2;
б) /(jc) = jc - arccos jc, ft = 2;
в) /(χ) = 3 + arctg χ, ft = ^;
r) /(jc) = arcctg 3jc, ft = 3.
43.14. Какой угол образует с осью χ касательная, проведенная к
графику функции у = fix) в точке с абсциссой χ = а:
а) /(*) = 4 + х2, а = 2; в) /(*) = (1 - х)\ а = -3;
б) fix) = 1 - |, α = 3; г) /(*) = 2* - jc3, α = 1?
241

Какой угол образует с осью χ касательная, проведенная к
графику функции у = fix) в точке с абсциссой χ = а:
43.15. a) f(x) = х2,а = 0,5; в) fix) = 0,2л:5, а = -1;
б) f(x) = -Зх3, а = |; г) fix) = -0,25л;4, α = 0.
43.16. a) f(x) = х3-3х2 + 2х-7,а = 1;
б) fix) = -7х3 + 10*" + χ - 12, о = 0.
2х — 1 1 jc — 1
43.17. a) fix) = 3_2х' α = 2' б* ^ = лПГ α = 1β
43.18. а) /(*) = V6* + 7, α = 3^; б) /(*) = V5 - 2х, а = 2.
3
43.19. а) Л*) = 7з cos ^, α = % б) fix) = \ sin 2*, α = £.
43.20. a) /(*) = tg * + sin f, α = 3π;
о
б) fix) = cos * + ctg —, α = -.
043.21. a) fix) = \2x- x2\, a = 1;
6)/(jc) = |jc2-3jc-4|, a = -2;
в) /(*) = |jc2 + 4jc|, a = -3;
r)/(jc) = |jc2-3jc-4|, a = -l.
Составьте уравнение касательной к графику функции
у = fix) в точке с абсциссой χ = а:
43.22. а) fix) = x\a = 3;
б) fix) = 2 - χ - χ3, а = 0;
в) fix) = х\ а = 1;
г) fix) = χ2 - Зх + 5, а = -1.
043.23. а) /(*) = т^-р о = 2; в) /(*) = f^, о = 4;
б) /(*> = (*~Τ2Γ ° = "3; Г) Г(Х) = 4(27=1?' ° = 1·
043.24. а) /(х) = 2-j3x - 5, a = 2;
б) fix) = V7 - 2лг, a = 3.
242

043.25. a) fix) = cos -g:, a = 0; в) fix) = sin 2x, α = -τ;
6) /(χ) = ctg 2х, α = J; г) /(х) = 2 tg f, α = 0.
043.26. a) /(χ) = arccos 3x + 2x, a = 0;
б) /(x) = 3x2 - 0,2 arcsin 5x, α = 0;
в) /(χ) =2 arctg χ + 3>/x, α = 1;
г) /(χ) = — - 5 arcctg 2x, a = 1.
•43.27. a) /(x) = sin3 2x, α = ^;
б) /(x) = -J^ yjarctgSx, α = 3»
в) /(χ) = cos2 2x, a = gJ
r) /(x) = 2 arcctg (3x2) + 3 arctg (2x3), a = 0.
fx2 + 2x, если χ > -3,
043.28. s)fix) = \ a = -2;
[-2* - 3, если χ < -3,
6)/(jc) = |jc2-3jc|, α = 4;
ί4χ - x2, если χ > 0,
в)/(*)Ч . a = l;
[-4x, если χ < 0,
r)/(x) = x2- 7|x| + 10, a = -l.
043.29. Напишите уравнения касательных к графику функции
у = fix) в точках его пересечения с осью абсцисс, если:
а) fix) = 9 - χ2; в) fix) = χ3 - 4х;
б) fix) = χ3 - 27; г) fix) = χ3 - х\
043.30. Напишите уравнения касательных к параболе:
а) у - х2 - Зх в точках с ординатой 4;
б) у = -х2 + Ъх в точках с ординатой 6.
°43.31. В какой точке касательная к графику функции у - х2
параллельна заданной прямой:
а) у = 2х + 1; в) у = -х - 2;
б) У = -£* + 5; г) у = -х + 5?
243

043.32. Напишите уравнения тех касательных к графику функ-
х3
ции у = -д- - 2, которые параллельны заданной прямой:
а) у = χ - 3; б) у = 9х - 5.
043.33. Напишите уравнения тех касательных к графику
функции у = arcsin χ, которые параллельны заданной прямой:
а) у = 2х - 3; б) у = χ + 2.
В какой точке графика заданной функции у = f(x)
касательная параллельна заданной прямой:
043.34. а) у = 3 + х, f(x) = γ - Sx2 + 10* - 4;
б) у = 0, /(*) = ^ - *2 + 8;
в) ι/ = χ - 3, /(*) = -у - *2 + 2* - 7;
г) ι/ = 2, /(*) = V-*3 + 6?
4
б) f(x) = cos Зл:, у = 0; г) /(*) = sin ^ У = -1?
043.35. a) /(jc) = sin jc, у = -jc; в) /(jc) = tg χ, у = χ;
si
043.36. a) /(*) = cos2 x, у = -χ + 3;
б) /(*) = arcctg (*2), ι/ = -3;
в) f(x) = yjsinx, у = 5;
г) /(jc) = (arcsin χ)2, у = -5.
К графику заданной функции проведите касательную так,
чтобы она была параллельна прямой у = 2 - х:
043.37. а) у = γ + \х2 - χ; б) у = γ + χ2 - χ.
^ο οω ч 3jc + 7. _ jc + 9
043.38. a) j/ = ^тз-; б) г/ = 778·
043.39. а) ι/ = -4%/* + 7; б) ι/ = Vl - 2л;.
043.40. а) ι/ = arccos χ; б) у = arcctg x.
244

043.41. а) На графике функции у = xs - Sx2 + χ + 1 найдите
точки, в которых касательная образует с положительным
направлением оси абсцисс угол 45°. Составьте уравнения
этих касательных.
б) На графике функции у = о найдите точки, в
которых касательная образует с положительным
направлением оси абсцисс угол 135°. Составьте уравнения этих
касательных.
043.42. Составьте уравнение той касательной к графику функции
у = fix), которая образует с осью χ заданный угол а, если:
а) f(x) = 4= xs - SyfSx, α = 60°;
б) fix) =-fiX- ^y*3' « = 30°.
043.43. а) Вычислите координаты точек пересечения с осью у тех
3jc - 1
касательных к графику функции у = g > которые
образуют угол 45° с осью х.
б) Вычислите координаты точек пересечения с осью у тех
χ + 4
касательных к графику функции у = х _к> которые
образуют угол 135° с осью х.
С43.44. Составьте уравнение параболы у = х2 + Ъх + с,
касающейся прямой у = -х в точке М(1; 1).
043.45. Проведите касательную к графику функции у = х2 + 1,
проходящую через точку А, не принадлежащую этому
графику, если:
а) А(-1; -2); б) А(0; 0); в) А(0; -3); г) А(-1; 1).
°43.46. Через данную точку В проведите касательную к графику
функции у = fix):
а) fix) = -χ2 - 7х + 8, Б(1; 1);
б) /(*) = -х2 - 7х + 8, Б(0; 9).
245

Через данную точку Б проведите касательную к графику
функции у = f(x):
•43.47. a) f(x) = л/3- х, В(-2; 3);
б) f(x) = л/3- х, Б(4; 0).
•43.48. a) f(x) = V4jc - 3, Б(2; 3);
б) fix) = V2jc + 1, ВЦ; 2).
043.49. а) Найдите все значения х, при каждом из которых
касательная к графику функции у = cos 7χ + 7 cos jc в точках с
абсциссой χ параллельна касательной к этому же
графику в точке с абсциссой т*·
б) Найдите все значения а, при каждом из которых
касательные к графикам функций у = 2 - 14 sin Зх и
у = 6 sin 7х в точках с абсциссой χ = а параллельны.
•43.50. а) Составьте уравнение касательной к графику функции
у - —, χ > 0, отсекающей от осей координат
треугольник, площадь которого равна 2,25.
б) Составьте уравнение касательной к графику функции
у - —, χ < 0, отсекающей от осей координат треуголь-
* 9
ник, площадь которого равна о·
•43.51. а) Составьте уравнение касательной к графику функции
у = χ3, χ > 0, отсекающей от осей координат треугольник,
2
площадь которого равна -g·
б) Составьте уравнение касательной к графику функции
у = χ3, χ < 0, отсекающей от осей координат треугольник,
27
площадь которого равна -g-·
•43.52. а) На оси у взята точка Б, из нее проведены касательные
к графику функции у = 3 - ^jc2. Известно, что эти
касательные образуют между собой угол 90°. Найдите коор"
динаты точки Б.
б) Составьте уравнения тех касательных к графику
функции у = 0,5jc2 - 2,5, которые пересекаются под углом 90
в точке, лежащей на оси у.
246

$43.53. а) На оси у взята точка В, из нее проведены касательные
к графику функции у = ^г х2 + -^~· Известно, что эти
касательные образуют между собой угол 60°. Найдите
координаты точки Б.
б) Составьте уравнения тех касательных к графику функ-
ции у = -g-(l - х2), которые пересекаются под углом 120°
в точке, лежащей на оси у.
•43.54. а) Найдите точку пересечения касательных к графику
функции у = х2 - \2х - 6|, проведенных через точки с
абсциссами χ = 5, χ = -5.
б) Найдите точку пересечения касательных к графику
функции у = х3 + \х - 1|, проведенных через точки с
абсциссами χ = 2, χ - -2.
•43.55. а) При каких значениях параметра ρ касательная к
графику функции у = Xs - рх в точке χ = 1 проходит через
точку (2; 3)?
б) При каких значениях параметра ρ касательная к
графику функции у = Xs + рх2 в точке χ = 1 проходит через
точку (3; 2)?
•43.56. Является ли прямая у = 4jc - 5 касательной к графику
заданной функции? Если да, то найдите координаты точки
касания:
а) у = Xs + х2 - χ - 2; б) у = х3 - 2х2 - 7х - 13.
043.57. Найдите все такие значения параметра а, при которых
касательные, проведенные к графикам функций у = f(x)
в точке (а; /(а)) и у = g(x) в точке (а; g(a)), параллельны:
а) f(x) = χ6; g(x) = χ7; б) f(x) = χ4; g(x) = χ5.
•43.58. а) При каких значениях параметра а прямая у = ах + 1
является касательной к графику функции у = V4jc + 1?
б) При каких значениях параметра а прямая у = 2х + а
является касательной к графику функции у = V4jc - 1?
247

•43.59. а) К графику функции у = 2 sin2 χ + >/з sin 2jc, jc €
проведена касательная, параллельная прямой у - 4х - 1 = 0.
Найдите ординату точки касания.
б) К графику функции у = 2 cos2 χ + >/з sin 2jc, jc e
проведена касательная, параллельная прямой Зу - 6х +
+ 2 = 0. Найдите ординату точки касания.
•43.60. а) Найдите наименьшее положительное значение х, при
Ъх
котором касательные к графикам функций у = 3 cos -я-
и у = 5 cos -5- + 2 параллельны.
б) Найдите наибольшее отрицательное значение jc, при
котором касательные к графикам функций у = 2 - 14 sin Зле
и ι/ = 6 sin 7jc параллельны.
•43.61. а) Точка А с абсциссой -1 и точка В с абсциссой 1
принадлежат графику функции у = 2х3 + Зле2 - тг + 1.
Найдите сумму абсцисс всех тех точек, в каждой из которых
касательная к этому графику параллельна прямой АВ.
б) Точка А с абсциссой -3 и точка В с абсциссой 3
принадлежат графику функции у = ^jc3 - 2jc2 - 22jc - 28.
Найдите сумму абсцисс всех тех точек, в каждой из
которых касательная к этому графику параллельна прямой АВ.
•43.62. а) Составьте уравнение общей касательной к графикам
функций у = х2-х+1иу = х2 + 5х + 4.
б) Найдите точку пересечения общих касательных к
графикам функций у = х2 и у = -х2 - 8.
•43.63. Углом между кривыми называют угол между
касательными к кривым в точке их пересечения. Под каким
углом пересекаются кривые:
а) у = — и у = V*; б) у = х2 иу = Jx?
248

(χ - 1) (χ + 1)
#43.64. Докажите, что параболы у = —g— и У = —2—
перпендикулярны в точке их пересечения.
#43.65. а) Из какой точки оси у кривая у - Vl + х2 видна под
углом 120°?
б) Найдите множество точек координатной плоскости, из
которых парабола у = х2 видна под прямым углом.
#43.66. а) Найдите значение параметра а, при котором
касательная к графику функции у = х3 + а2х - а в точке χ = -1
проходит через точку М(1; 7).
б) Найдите значение параметра а, при котором
касательная к графику функции у = х4 - Зле3 + 2а в точке χ = -2
проходит через точку М(-1; -8).
•43.67. а) Найдите площадь треугольника, образованного
биссектрисами координатных углов и касательной к графику
функции у = vx2 - 5 в точке χ = 3.
б) Найдите площадь треугольника, образованного
биссектрисами координатных углов и касательной к графику
функции у = в точке χ = о.
•43.68. а) Прямая у = 6х - 7 касается параболы у = х2 + Ьх + с
в точке М(2; 5). Найдите значения коэффициентов Ъ и с.
б) Прямая у = 7х - 10 касается параболы у = ах2 + Ьх + с
в точке χ = 2. Найдите значения коэффициентов а, & и с,
если известно, что парабола пересекает ось абсцисс в
точке χ = 1.
•43.69. Докажите, что треугольник, образованный касательной
к гиперболе у = — и осями координат, имеет постоянную
площадь, а точка касания является центром окружности,
описанной около этого треугольника. Рассмотрев чертеж
к задаче, придумайте геометрический способ построения
касательной к гиперболе.
•43.70. Докажите, что касательная к параболе у = х2 в точке
χ = а делит пополам отрезок [0; а] оси абсцисс.
Рассмотрев чертеж к задаче, придумайте геометрический способ
построения касательной к параболе. Обобщите этот
результат и этот способ построения касательной на любую
степенную функцию у = хп, где η — натуральное число,
большее 2.
249

§ 44. Применение производной для исследования
функций на монотонность и экстремумы
44.1. Определите, какой знак имеет производная функции у = /(#)
в точках с абсциссами а, Ъ, с, d:
а) рис. 98; б) рис. 99.
44.2. По графику производной функции у = f(x),
представленному на заданном рисунке, определите, на каких
промежутках функция у = f(x) возрастает, а на каких убывает:
а) рис. 100; б) рис. 101; в) рис. 102; г) рис. 103.
а
\У
О
А
1
Ь\ ι
I
С
4
X
РИС. 98
с
Л
А
г
ι
* А
^А
А
А
h
\г
А
/
Τ
А
V
\о[
А
/
)
\
А
/ 1
с
А
/
'Л
/
г 1
а
/
}
/ А
>
х\
Рис. 99
250

44.3. На каком из указанных промежутков функция у = f(x)
убывает, если график ее производной представлен на
рис. 104:
а) (-2; 1); б) (-сю; 4); в) (4; +сх>); г) (-сю; -2)?
Г
1_
\
\
\
У
\
V
Vi
О
L
.
У
-77
У
1 1
- f(r\
1
1
/
/
/
1
\
2
X
-4
V
3
ζ/Α
О
I
У = fix)
ι
3
χ
PMC. 100
Рмс. 101
-
2/i
О
1
ι
У
^*
у-
I
ч
>
= /
I I
L
\
>
1 1
X
V
\
1
2/i
О
k
-y
= )
2>\
Чл
.\
)
N
V
N
ν
N
X
k
\
PMC. 102
pmc. юз
f
!,5
2/i
О
ι
L
ι
f(
4
*)-
JC
PUC. 104
251

44.4. Определите, для какой из функций у = f(x), у = g(x)9
у = h(x) отрезок [-1; 1] является промежутком
возрастания, если на рис. 105, 106, 107 изображены графики
производных этих функций.
-1
т
о
\
-у
1
= )
\х
Ь
X
У\
~/-\о
\У
- ё w
1
"Ί
х\
РИС. 105
Рис. 106
У
г =
т
χ)
/"
N
1
У*
\
\
о
ι
\
ч
L
X
РИС. 107
44.5. На рис. 108, 109, 110 изображены графики производных
у = f(x), у = &(х), у = А'(лг). Определите, какая из
функций у = f(x), у = g(x), у = Цх):
а) возрастает на Л; б) убывает на R?
-2
yi
О
\
,
1
Ч = Пх)
X
s
^2"
yi
О
{
У
- & ν·*-;
«м
3
___J
PUC. 108
PUC. 109
252

/
/
-
/
2
~W~
о
t
г
\
У = h'(x)
>
ч
X
Рис. но
■
2/J
Ό
ι
2
у = fix)
\
>
ν
\
^
X
V
\
У!
о
{
L
/ =
g(.
г)
X
Рис. 111
РМС. 112
У'
i
О
2
ν
л .
$*,
X
-1
yi
*
У
о
= (
(К*
у
X
PUC. 113
PUC. 114
На рис. 111—114 изображены графики функций у = f(x),
у = g(x), у = h(x) и у = ψ(χ), определенных на всей
числовой прямой. Используя их, решите неравенство:
44.6. a) f(x) > 0;
б) f(x) < 0;
44.7. a) f(x) < 0;
б) j(x) > 0;
в) Л'(лг) < 0;
г) φ'(χ) > 0.
в) h\x) > 0;
г) ф'(лг) < 0.
253

44.8. а) Изобразите эскиз графика производной функции у = f(x)y
если известно, что данная функция возрастает на (-оо; j)
и убывает на промежутке (1; +оо).
б) Изобразите эскиз графика производной функции у = /(#)э
если известно, что данная функция убывает на луче
(-оо; -1], возрастает на отрезке [-1; 3], убывает на луче
[3; +оо).
44.9. Изобразите эскиз графика функции у = f(x), если
промежутки постоянства знака производной f(x) представлены
на схеме:
а) рис. 115; в) рис. 117;
б) рис. 116; г) рис. 118.
-4
РМС. 115
+
■+■
рмс. 116
-2
РМС. 117
-1
РМС. 118
044.10. Докажите, что заданная функция возрастает на R:
а) у = cos χ + 2х; в) у = х5 + Зл:3 + 7х + 4;
б) у = sin χ + χ3 + χ; г) у = χ5 + 4х3 + 8л: - 8.
044.11. Докажите, что заданная функция убывает на R:
а) у = sin 2х - Зх; б) у = cos Зх + 4х.
254

044.12. Докажите, что функция монотонна на всей числовой
прямой. Укажите характер монотонности.
а) у = *5 + б*3 - 7; в) у = sin χ - 2х - 15;
б) у = χ - cos χ + 8; г) у = 11 - 5* - *3.
Докажите, что заданная функция возрастает:
044.13. а) у = х5 + Зх - 6 на (-оо; +оо);
б) у = 15 - — - ^з на (-оо, 0);
в) у = х7 + 7*3 + 2* - 42 на (-оо; +оо);
г) у = 21* - ^5" на (0, +оо).
044.14. а) у = 7х - cos 2* на (-оо; +оо);
б) ι/ = 10* + sin Зх на (-оо; +оо).
044.15. а) у = 2х3 + 2х2 + IIjc - 35 на (-оо; +оо);
б) у = Зх3 - б*2 + 41* - 137 на (-оо; +оо).
4*
044.16. а)у= -ξ£—ϊ на "7' +°°
ЛЧ 2*-13 / _
б) ι/ = χ_5 на (-оо, 5).
Докажите, что заданная функция убывает:
044.17. а) у = -х3 - 5* + 3 на (-оо; +оо);
б) у = -2*5 - 7х3 - χ + 8 на (-оо; +оо);
в) у = -χ3 + Зх2 - 6* + 1 на (-оо; +оо);
г) у = -4*3 + 4*2 - 2* + 9 на (-оо; +оо).
3* + 7
044.18. а) у = -^γ на <"2' +°°У>
б)у =
-4*+1 '
2* + 1 на
I
-°°'-2
044.19. а) у = 7 cos * - 5 sin Зх - 22* на (-оо; +оо);
б) у = 3 cos 7х - 8 sin -^ - 25* + 1 на (-оо; +оо).
°44.20. Определите промежутки монотонности функции:
а) у = х3 + 2*;
б) у = 60 + 45* - З*2 - *3;
в) у = 2*3 - З*2 - 36* + 40;
г) у = -*5 + 5*.
255

Определите промежутки монотонности функции:
044.21. а) у = з^; б) у = д^·
044.22. а) у = л/З* - 1; в) у = у/Г^2х;
г) у = >j2x - 1 - χ.
044.23.
044.24.
б)г/ =
а) у =
а)у =
б)г/ =
VI - χ
х2
х2 + 2'
sin2 χ;
1 .
з »
+
2л;;
б)у= -
Зх2
х2 + 4
в) у = cos2 jc;
ν 1
cos jc sin χ
044.25. a) i/ = Vx2 - 6jc + 8; б) у = л/бд: - 2 - 2JC2.
•44.26. a) i/ = arcsin χ2; β) ι/ = arccos vjc;
6) ι/ = arcctg Vjc; г) у = arctg2 χ.
\2xs - 6jc, если χ > -1,
•44.27. а) у = \
[χ + 2x + 3, если jc < -1;
\3x4 - 4jc3, если jc < 2,
Ь) У = \
1-х + 4x + 12, если χ > 2.
jc5 - 5jc4 + 1, если jc > 0,
•44.28. a) i/ = \
Ux + 2)2 - 3, если χ < 0;
6)ι/
-3jc5 + 5jc3 - 2, если jc > -1,
—, если jc < -1.
Ijc
044.2Θ. Исследуйте на монотонность функцию у = /(jc) и постройте
(схематически) ее график:
а) /(jc) = jc3 - 3jc + 2; в) /(jc) = jc3 + 6jc2 - 15jc + 8;
б) /(jc) = jc4 - 2jc2 + 1; r) f(x) = -x4 + 8jc2 - 7.
O44.30. Постройте график функции у = /(jc), jc € [0; 10], произвоД'
ная которой равна нулю на интервалах (0; 2); (2; 6);
(6; 10), если известно, что /(1) = 0, /(5) = 3, /(8) = -2.
256

При каких значениях параметра а функция возрастает на
всей числовой прямой:
х - Ϊ
о44.31. а) у = χ + ах;
044.32
044.33
б) у = γ - ах' + Ъх - 3?
а) у = ах - cos χ; б) у = 2 sin 2x - ах?
При каких значениях параметра Ъ функция убывает на
всей области определения:
а) у = 7 + Ъх - х2 - Xs; в) у = Xs + Ьх2 + Зх + 21;
б) ι/ = -2V* + 3 + far; г) у = -2Ъх + Vl - х?
•44.34. При каких значениях параметра а функция у = Xs - Зх:
а) убывает на отрезке [а + 1; а + 3];
б) возрастает на отрезке
а - -; 2а + 2
а - 3; -а + -
6 3
в) убывает на отрезке
г) возрастает на отрезке [а - 2,5; а - 0,5]?
044.35. а) При каких значениях параметра а функция у = 2х3 -
- Зх2 + 7 возрастает в интервале (а - 1; а + 1)?
б) При каких значениях параметра а функция у = -х3 +
+ Зх + 5 убывает в интервале а; а + -
044.36. По графику функции ι/ = f(x), x e R, изображенному на
заданном рисунке, определите точки, в которых ее
производная обращается в 0:
а) рис. 119; б) рис. 120; в) рис. 121; г) рис. 122.
i
I
/
а
Г
f
\
ь
с
У*
к
с
О
1
(
7
X
РИС. 119
257

a
У\
О
b
с
χ
РИС. 120
[
\
\
к
с
;
\
А
Л
/\
\
ъ
W
V,
V
О
ι
J
s
А
/
/
г
(
\
ч
«4.1
X
РМС. 121
ι
I
1
b
2/i
^
О
(
с
1
i
7
X
РМС. 122
044.37. По графику функции у = f(x), χ е R, изображенному на
заданном рисунке, определите точки, в которых произвоД*
ная не существует:
а) рис. 119; б) рис. 120; в) рис. 121; г) рис. 122.
044.38. При каких значениях параметра а заданная функция
имеет одну стационарную точку:
а) у = Xs - Зах2 + 27* - 5; б) у = хъ - Зах2 + 75* - Ю?
258

44.39. Сколько точек минимума имеет функция у = f(x), график
которой изображен на заданном рисунке:
а) рис. 119; б) рис. 120; в) рис. 121; г) рис. 122?
44.40. Сколько точек максимума имеет функция у = f(x),
график которой изображен на заданном рисунке:
а) рис. 119; б) рис. 120; в) рис. 121; г) рис. 122?
44.41. Используя данные о производной у = f'(x), приведенные
в таблице,
X
у = Г(х)
(-оо, 5)
+
-5
0
(-5;-2)
-
-2
0
(-2; 8)
+
8
0
(8;+оо)
+
укажите:
а) промежутки возрастания функции у = f(x);
б) промежутки убывания функции у = f(x);
в) точки максимума функции у = f(x);
г) точки минимума функции у = f(x).
44.42. По графику у = f'(x), изображенному на заданном
рисунке, определите, имеет ли функция у = f(x) точки
экстремума:
а) рис. 100; б) рис. 101; в) рис. 102; г) рис. 103.
044.43. Постройте эскиз графика какой-нибудь функции,
обладающей указанными свойствами:
а) функция имеет две точки максимума, одну точку
минимума и является ограниченной;
б) функция возрастает при χ < 1 и при χ > 5 и убывает
на промежутке [1; 5], точка χ = 1 является критической,
а точка χ = 5 — стационарной;
в) функция имеет разрыв в точке χ = -2, максимум в точке
χ = -1 и минимум в точке χ = 1;
г) функция имеет горизонтальную асимптоту у = 3 при
χ —> оо, одну точку максимума и одну точку минимума.
044.44. а) Постройте эскиз графика функции, дифференцируемой
на интервале (а, Ь), имеющей на этом интервале одну
точку минимума, две точки максимума и не имеющей
наименьшего значения.
б) Постройте эскиз графика функции, дифференцируемой
на интервале (а, Ь), имеющей на нем две точки минимума,
две точки максимума, но не имеющей ни наименьшего,
ни наибольшего значений.
259

044.45. Может ли иметь только одну точку экстремума:
а) четная функция; в) периодическая функция;
б) нечетная функция; г) монотонная функция?
044.46. По графику функции у = f(x), x e R изображенному на
заданном рисунке, постройте эскиз графика ее производ
ной:
а) рис. 123; б) рис. 124; в) рис. 125; г) рис. 12Θ
Vi
\
о
а
:2/ - i\*>)
b
χ
а
У\
О
У
- i\^)~t
ъ
PUC. 123
PUC. 124
а
У\
О
ι
ι
ь
(
* ι
/ =
/(
χ)\
x\
PUC. 125
а
У
о
i
ь
ι
I
/ -
71-
(
о
/
f
•
X
PUC. 126
260

q44.47. Постройте эскиз графика функции у = f(x), x e R по
графику производной, изображенному на заданном рисунке:
а) рис. 127; б) рис. 128; в) рис. 129; г) рис. 130.
1 I I I I 1 1 у\ 1 II
ά 1 1 1 1 1 1 I
Ι νΤΊ°
\j(\
\У\\
Рмс.
Ι Ι Ι Ι Ι Μ I 11 I
1 1 1 f Ι Ι Μ l°l I
LHSU LkN
\V\ 14\V\ ι
и 1 1 1 Nl/Г I I I
111111 τ 1111
Рмс.
Ι II Ι Ι Ι II Ι ΙЩ
NJ
ГЧ
Ν
III
α \ \ ь \°\
Рмс.
Ι Ι Ι Ι II Ι Ι iff
α Ь θΚ
Ι Ι II Ι Ι Ι Ι Ι Ι V
\V\
UK
LM Γ
к
ими
1 Ь 1 1 с 1 1 I d I 1
127
f \\ i J
LHSL H
ч LkT Пч
γΨί 14
Τ γ
128
k I I I I I I I I I I
ИЧ
i4f -
I c Ι ΓΝ I I I I x\
129
\ с /
I I I I f.d I I I I Щ
X
puc. 130
261

Найдите точки экстремума заданной функции и
определите их характер:
044.48. а) у = 2х2 - 7х + 1; в) у = Ах2 - 6х - 7;
б) у = 3 - Ъх - х2; г) у = -Зх2 - \2х + 50.
з с
044.49. а) у = -у - g*2 + 6х - 1; в) ι/ = jc3 - 7jc2 - 5* + 11;
б) у = χ3 - 27* + 26; г) у = 2х3 - 2\х2 + 19.
044.50. а) у = Ъхъ - З*3; в) у = хА - 50*2;
б) у = х4 - 4*3 - 8х2 + 13; г) у = 2хъ + ЪхА - Ю*3 + 3.
044.51. а) у = χ + |; б) у = ^^.
044.52. а) у = χ - 2V* - 2; в) ι/ = 4^2* - 1 - χ;
б) у = у/х + 1 + V5 - jc; г) у = у[х + 2>/7 - *.
044.53. а) ι/ = jc - 2 cos jc, jc € [-π, π];
6) ι/ = 2 sin jc - jc, jc € [π, 3π].
044.54. а) у = (χ3 - 27xf; в) у = (χ3 - Зх2)4;
б)у= yjxz - 27*; г) у = у/х3 - З*2.
•44.55. а) у = arcsin χ2; в) у = arccos χ2;
б) у = 3 arcctg \fx; г) у = arctg >/2*.
044.56. Докажите, что заданная функция не имеет ни точек
максимума, ни точек минимума:
а) у = з х3 + 2*2 + 4* - 12; в) у = ^ х5 + g *3 + χ - 7;
б) ι/ = -|*3 + |*2 - 3* + 9; г) у = -χ3 - χ5 + 27.
044.57. Производная функции у = ах2 + 7х + 1 в точке *0 равна с.
Найдите точку экстремума функции и определите,
является она точкой максимума или точкой минимума, если:
а) х0 = 0,5, с = 15; в) х0 = -1, с = 9;
б) х0 = 3, с = -5; г) х0 = -0,5, с = 7,1.
•44.58. Найдите точки экстремума заданной функции и
определите их характер:
а) у = \х4 + 1| + |*4- 1| + 2*3;
6)ι/ = |*3-8| + |*3-1|-*2.
262

Исследуйте функцию на монотонность и экстремумы:
044.59. а) у = sin χ - -^х;
б) у = § - cos x;
в) у = -^ζ χ + cos x;
г) у = χ - sin χ.
044.60. а) у =
* - sin 2#;
044.61. а) у = \х - 3| - 2;
б)«/ =
1-1
X
>
044.62. а) ι/ = |*3 - 3*|;
б) у = χ + 4 cos -g.
в) ι/ = |(х - 2)(х + 3)|;
г) у = (|*| - 2)|4
б)у = \х-х\
044.63.
044.64,
044.65
044.66
а) у = Зх2 - 4* + 5;
Исследуйте функцию на монотонность и экстремумы и
постройте ее график:
в) у = 7 - χ - 2х2;
г) у = Ъх2 - 15* - 4.
в) у = х3 + Зх2;
т)у = 3х- х3.
в) у = -χ3 + 4*2 - 3;
г) у = х3 - Зх + 2.
044.67,
044.68,
044.69
•44.70
б) у = 3 + 2*
а) у = Зх2 - х3;
б)у = 6х + х3;
а) у = χ3 - Зх2 + 2;
б) у = -х3 + 4* - 3;
а) у = 2х3 + х2 - 2х - 1;
б) ι/ = -у + х2 + 3* - ψ,
в) у = χ3 + χ2 - χ - 1;
\ х . 2 о , ^
г) ι/ = -у + * - Зх + д.
а) ι/ = -*4 + 5*2 - 4;
б) у = х5 - 5*;
а) у = (х - 1)2(* + 2);
б)y=ψx(x-l)3;
Решите уравнение:
а) х3 + 5 = 15 - х;
б) х5 + Зх3 + 1х - 11 = 0;
а) sin Ъх - 2 cos л: - 8х = ж5 - 2;
б) 4 cos 3* + 5 sin J- + 15 = 4 - *3.
в) у = 2х4 - 9х2 + 7;
г) у = 5х3 - Зх5.
в)у = (х + 2)\х - 3);
г) у = х3{2 - х).
в) 2хь + З*3 = 17 - 12*;
г) хъ + Ах3 + 8х - 13 = 0.
263

•44.71. a) 3 cos πχ + 5 sin ψ + 18* = 43 - χ5 - 22*3;
б) 2 sin ttjc - 2 cos πχ - IOjc = x5 - 54.
Докажите тождество:
•44.72. a) arcsin χ = -= - arccos x;
6) arctg χ + arcctg x = \
/- г ί arcsin jc, 0 < jc < 1,
•44.73. a) arccos VI - я2 = \
I-arcsin jc, -1 < χ < 0;
6) arctg χ + arctg γ^
π Λ
-, х > -1,
4
3π 1
-—, χ < -1.
4
•44.74. Докажите, что функция ι/ = f(x) постоянна на указанном
промежутке и найдите значение этой постоянной:
2х
а) f(x) = 2 arctg x + arcsin ——2 при х > 1;
б) /(jc) = arccos ι 0 + arctg χ при jt < 0.
Vl + лг
Докажите неравенство:
1 2
•44.75. а) χ2 - xs < g, если jc > ^;
б) 2Vjc > 3 - — » если jc > 0.
•44.76. a) arcsin χ > χ, если 0 < χ < 1;
б) arctg χ > χ - -д-> если χ > 0.
§ 45. Построение графиков функций
Исследуйте функцию и постройте ее график:
1 -2
045.1. а) ι/ = -^—г; б) ι/ = ^5
045.2. а) ι/ = 2 " ; б) у =
х2 + 4х + 4 ' * х' + 2х + \
264

χ 2
045.3. а) у = 2 + -'
045.4.
045.5.
045.6.
πλΚ Π
а) у =
а) ι/ =
а) ι/ =
сЛ ι# -
2χ
χ2
χ2
χ2
χ2
**_
+ 1,
+ 2
χ
- 4
-1
+ 1'
+ 4
6)ι/ =
б)г/ =
б)г/ =
6)ι/ =
frt II -
χ2 + 4
χ
χ-2
χ2 + 5'
χ-3
л:2-8'
*2-4
*2 + 4
χ2 + 1
w /» ^-4' "' » χζ-1
#45.8. а) у = 24х - х\ б) у = л/х + 4 + f л/9 - Зх.
•45.9. а) у = ^П; б) » = <* - 3)7Ϊ.
"5'10·,,'=ΐ£7: 6)"Ά·
045.11. а) Постройте график функции у = х4 - 2х2 + 3.
б) При каких значениях параметра а уравнение х4 - 2х2 +
+ 3 = а имеет три корня?
045.12. а) Постройте график функции у = -х4 + 2х2 + 8.
б) При каких значениях параметра а уравнение -х4 + 2х2 +
+ 8 = а не имеет корней?
045.13. Сколько корней имеет заданное уравнение при указанных
ограничениях на параметр а:
а) х3.- Зх2 = а, -4 < а < 0;
б) -Xs + Зх2 - 2 = а, а < -2;
в) 3jc2 - jc3 = а, 0 < а < 4;
г) jc3 - 3jc2 + 2 = а, а > 2?
•45.14. Сколько корней имеет уравнение х3 + ах + 2 = 0 при
различных значениях параметра а?
°45.15. Решите уравнение:
а) Зл/λΓΤΪ = -х3 + З*2 + 6;
б) х3 - Зх = (х + I)6 + 2.
265

§ 46. Применение производной для отыскания
наибольших и наименьших значений величин
Найдите наибольшее и наименьшее значения заданно^
функции на заданном отрезке без помощи производной*
046.1. а) у = х6 - 1, [-1; 2]; в) у = х3 - 4, [0; 3];
б) у = -хъ + 2, [-2; 1]; г) у = -2х4 + 8, [0; 3].
046.2. а) у = (х - I)3 + 4, [-2; 1];
б) у = 7 - (2х - 8)\ [-1; 3];
в) у = 5 - (3* + 6), [-2; 0];
г) у = 2(х + З)6 - 4, [-1; 2].
046.3.
046.4.
а) у =
б)у =
в) У =
г) У =
а) у =
б)у =
в) У =
г) У =
sin χ - 3,
J; 3π|;
cos x + 0,5,
-2 sinjc + 1,
4-3 cos χ,
у/1 + cos 2
<Д + sinx
^/1 - sin 2
71 + cos 2
9
-*ι
9
Γπ 5 1
π· 7 J
Я Я
Г2; 2.
0iC
9
x, [0; π];
χ,
я
L~2;
0
•46.5. а) у = ||*| - 4|, [-3; 3]; б) у = |3 - |х||, [-4; 4].
046.6. а) у = 2 - 3 sin jt + 4 cos jc;
б) у = 3 sin jc - 4 cos Jt + 1.
046.7. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции
[-4jc + 12, если jc < 2,
\х2 - 2х + 2, если * > 2
^ = 1 „2
на отрезке:
а) [-3; 0]; б) [3; 4]; в) [-1; 3]; г) [1; 4].
266

θ46.8. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции
\(х + 2)2 - 3, если χ < -2,
У ~ [х2 - 4, если χ > -2.
на отрезке:
а) [-4; -3]; б) [0; 2]; в) [-2; 3]; г) [-3; 0].
046.9. Найдите наибольшее и наименьшее значения заданной
функции на заданном отрезке:
а) у = х2 - 8х + 19, [-1; 5];
б) у = х2 + 4* - 3, [0; 2];
в) у = 2х2 - 8х + 6, [-1; 4];
г) у = -Зх2 + 6х- 10, [-2; 9].
046.10. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции
у = х3 - 9х2 + 24л; - 1 на отрезке:
а) [-1; 3]; б) [3; 6]; в) [-2; 3]; г) [3; 5].
046.11. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции
у = xs + Sx2 - 45jc - 2 на отрезке:
а) [-6; 0]; б) [1; 2]; в) [-6; -1]; г) [0; 2].
046.12. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции
у = х3 - 9х2 + 15л; - 3 на отрезке:
а) [0; 2]; б) [3; 6]; в) [-1; 3]; г) [2; 7].
046.13. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции
у = х4 - 8х3 + IOjc2 + 1 на отрезке:
а) [-1; 2]; б) [1; 6]; в) [-2; 3]; г) [1; 7].
046.14. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции
4
у = χ + у ι на отрезке:
а) [2; 4]; б) [-2; 0].
046.15. Найдите наименьшее и наибольшее значения заданной
функции на заданном отрезке:
, π 3π
а) у = ctg χ + χ,
б) у = 2 sin χ - χ, [0; π];
Г π π
в) у = 2 cos χ + χ, \ —£> -£
267

r)y = tgx- χ,
0;ί
3
Найдите наименьшее и наибольшее значения заданной
функции на заданном промежутке:
046.16. а) у = х3 - 2х2 + 1, [0,5; +оо);
6)у = х- 2^х, [0; +оо);
в) у= 5^5 -χ\ (-°°; 1];
г)у= ^ТТ' (_оо; +оо)·
046.17. а) у = χ + -> (-оо; 0);
Зх
б) у = х2 + 3' [°; +°°);
в) у = -2х - 2£, (0; +оо);
г) у = \/2х + 6 - χ, [-3; +оо).
046.18. а) у = (2х - 1)\х - 2), [-1; 2];
б) У = „*_XL_,> [0; 2];
*' - 2х - 1'
в) у = (х + 4)(3х + I)2,
г> У = χ2-9' [~1; 1ϊ·
-2· -i
* 2
046.19. а) у = χ4 + 8xs + 24л:2 + 32л: + 21, [-3; 0];
б) у = х4 - 4л:3 + б*2 - Ах - 9, [0; 4];
в) у = 4л:3 - 21л:2 + 36* - 2, [1; 2];
г) у = 0,25л:4 - 2\х3 + 3,5, [-1; 2].
046.20. а) у = х2 - 5\х\ + 6, [0; 4];
б) у = х2 - 5|х| + 6, [-5; 0];
в) у = х2 + 8\х\ + 7, [1; б];
г) у = х2 + 8|х| + 7, [-8; -2].
•46.21. а) у = х3 - 2х\х - 2|, [-1; 3];
б) у = Зх\х +1| - л:3, [-1; 2].
268

«46.22.
046.23.
а) у = χ2 - 4χ + 5 + |1 - χ\, [0; 4];
б) у = \χ3 - 1| - 3*, [-1; 3].
а) у = sin3 χ + cos3 x,
б) у = sin5 χ - cos5 x,
.2 Χ
046.24. а) у = sin -^ sin *, [-π; 0];
б) у = cos2 0,5jc cos x, [0; π].
046.25. а) у = xs - Зх, (-oo; 0]; в) ι/ = χ3 - Зх, [0; +оо);
б) у
х4 + 3
, [0; +оо); г) ι/ =
л:4 + 3
> (-°о; 0].
046.26. Найдите сумму наибольшего и наименьшего значений
функции:
а) у = х4 - 2х2 - 6 на отрезке [-2; 2];
б) у = х3 - Зх2 + 2 на отрезке [-1; 2].
Найдите те значения аргумента, при которых заданная
функция достигает наибольшего значения:
046.27. а) у = уЦх - ЩО - х); в) у = J(2x - 6X7 - χ);
б)у = V(* + 2)(4 - χ); т)у= V(5 - х)(х - 3).
046.28. а) у = V* - 5 + л/9 - х; в) у = λ/Ϊ0^~2* + у[3х;
б) у = Зу/х + 1 + V^jc; г) ι/ = л/8 - Зх + Vjc.
046.29. Найдите те значения аргумента, при которых заданная
функция достигает наименьшего значения:
а) у = у/х2 - 8х + 17; в) ι/ = л/*2 + 4* + 10;
б) у = J7(x + 9)(х - 6); г) у = V2(* - 4Х* + 8).
Найдите наибольшее и наименьшее значения функции:
046.30. а) у = J(x - 5)(15 - х); в) у = ^(12 - х)(х - 4);
б) у = V(2jc + 4X3 - χ); τ) у = V(5 - *X3x + 6).
046.31. а) у = ^2х2 - Ъх + 2; в) у = л/а:2 + 6* - 7;
б) ι/ = л/3*2 + 6* + 4; г) у = V2JC2 - 2* + 1.
269

046.32. Найдите наибольшее значение функции:
4 2
а) у = -х8 + 2х4 + 1; б) у = -хА + g χ3 + g.
046.33. Найдите наибольшее значение функции:
а) ι/ = л/5 - х2 + Vjc; б) ι/ = 4-х + л/б - х2.
046.34. Найдите наименьшее значение функции:
а) ι/ = 2|х| - 4; в) ι/ = 3|х| + 9;
б) у = х2 - 5\х\ + 6; г) у = х2 - 6\х\ - 7.
Найдите область значений функции:
046.35. а)у = 2х- yjl6x - 4, χ е \\; Щ-
[_4 4 _
б) у = 2у/х - 1 - 0,5*, jc € [1; 10].
•46.36. а) у = xjx + 2; б) ι/ = Wl - 2*.
-2*2 - 2* - 38
•46.37. у = 2 ^~ ^~А ·
ν χ + 6х + 34
•46.38. а) При каком значении параметра α наименьшее
значение функции у = x-yjx + α равно -бТз?
б) При каком значении параметра α наибольшее значение
функции у = (а - х) у[х равно Юл/5?
•46.39. а) При каком значении параметра η сумма квадратов
корней уравнения х2 - 2пх + 4п2 + Зп = 0 будет наибольшей?
б) При каком значении параметра η сумма квадратов
корней уравнения х2 + пх + 2п - 1 = 0 будет наименьшей?
•46.40. Докажите, что при любых значениях χ выполняется
неравенство:
а) х5 + (1 - х)5 > ^; б) х7 + (1 - х)7 > ^|.
046.41. а) Сумма двух целых чисел равна 24. Найдите эти числа,
если известно, что их произведение принимает
наибольшее значение.
б) Произведение двух положительных чисел равно 484.
Найдите эти числа, если известно, что их сумма
принимает наименьшее значение.
270

046.42. а) Разность двух чисел равна 10. Найдите эти числа, если
известно, что их произведение принимает наименьшее
значение,
б) Разность двух чисел равна 98. Найдите эти числа, если
известно, что их произведение принимает наименьшее
значение.
046.43. а) Известно, что одно из двух чисел на 36 больше
другого. Найдите эти числа, если известно, что их
произведение принимает наименьшее значение.
б) Известно, что одно из двух чисел меньше другого на
28. Найдите эти числа, если известно, что их
произведение принимает наименьшее значение.
046.44. а) Представьте число 3 в виде суммы двух
положительных слагаемых так, чтобы сумма утроенного первого
слагаемого и куба второго слагаемого была наименьшей.
б) Представьте число 5 в виде суммы двух
положительных слагаемых так, чтобы произведение первого
слагаемого и куба второго слагаемого было наибольшим.
046.45. а) Периметр прямоугольника составляет 56 см. Каковы
его стороны, если этот прямоугольник имеет наибольшую
площадь?
б) Периметр прямоугольника составляет 72 см. Каковы
его стороны, если этот прямоугольник имеет наибольшую
площадь?
046.46. а) Нужно огородить участок прямоугольной формы
забором длиной 200 м. Каковы должны быть размеры этого
прямоугольника, чтобы его площадь.была наибольшей?
б) Нужно огородить участок прямоугольной формы
забором длиной 240 м. Каковы должны быть размеры этого
прямоугольника, чтобы его площадь была наибольшей?
046.47. а) Площадь прямоугольника составляет 16 см2. Каковы
должны быть его размеры, чтобы периметр
прямоугольника был наименьшим?
б) Площадь прямоугольника составляет 64 см2. Каковы
должны быть его размеры, чтобы периметр
прямоугольника был наименьшим?
046.48. Огораживают спортивную площадку прямоугольной фор-
271

мы площадью 2500 м2. Каковы должны быть ее размеры,
чтобы на забор ушло наименьшее количество сетки ра-
бицы?
046.49. Сторона квадрата ABCD равна 8 см. На сторонах АВ и ВС
взяты соответственно точки Ρ и Ε так, что ВР = BE = 3 см.
На сторонах AD и CD берутся точки соответственно К и
Μ так, что четырехугольник КРЕМ — трапеция. Чему
равна наибольшая площадь такой трапеции?
046.50. а) В арифметической прогрессии с разностью d девятый
член равен 1. При каком значении d произведение
четвертого, седьмого и восьмого членов прогрессии будет
наибольшим?
б) В арифметической прогрессии с разностью d второй
член равен 6. При каком значении d произведение
первого, третьего и шестого членов будет наименьшим?
046.51. а) Найдите длину отрезка наибольшей длины, который
заключен между графиками функций у = 2х2 (снизу),
у = 4jc (сверху) и параллелен оси у.
б) Найдите длину отрезка наибольшей длины, который
заключен между графиками функций у = х2 (снизу),
у = -2х (сверху) и параллелен оси у.
046.52. а) На графике функции у = х2 найдите точку М,
ближайшую к точке А(0; 1,5).
б) На графике функции у = 4х найдите точку М,
ближайшую к точке А(4,5; 0).
•46.53. Боковые стороны и одно из оснований трапеции равны 15 см.
При какой длине второго основания площадь трапеции
будет наибольшей?
•46.54. Из прямоугольной трапеции с основанием α и & и
высотой h вырезают прямоугольник наибольшей площади.
Чему равна эта площадь, если:
а) а = 80, Ъ = 60, h = 100; б) а = 24, Ъ = 8, h = 12?
•46.55. У пятиугольника ABCDE углы А, В и Ε — прямые, АВ = а,
ВС = &, АЕ = с, DE = т. Впишите в пятиугольник
прямоугольник наибольшей площади, если:
а) а = 7, Ъ = 9, с = 3, т = 5;
б) а = 7, Ъ = 18, с = 3, т = 1.
•46.56. Памятник состоит из статуи и постамента. К памятнику
подошел человек. Верхняя точка памятника находится
272

выше уровня глаз человека на а м, а верхняя точка
постамента — на Ъ м. На каком расстоянии от памятника
должен стать человек, чтобы видеть статую под
наибольшим углом?
#46.57. База находится в лесу в 5 км от дороги, а в 13 км от базы
на этой дороге есть железнодорожная станция. Пешеход
по дороге идет со скоростью 5 км/ч, а по лесу — 3 км/ч.
За какое минимальное время пешеход может добраться
от базы до станции?
046.58. Открытый металлический бак с квадратным основанием
должен вмещать 32 л воды. При каких размерах на его
изготовление уйдет наименьшее количество материала?
046.59. Закрытый металлический бак с квадратным дном должен
иметь объем 343 м3. При каких размерах на его
изготовление пойдет наименьшее количество материала?
046.60. Для перевозки груза требуется изготовить закрытый
короб в форме прямоугольного параллелепипеда, стороны
основания которого относились бы как 2 : 3, а объем
составлял 576 м3. Каковы должны быть размеры всех его
сторон, чтобы полная поверхность была наименьшей?
046.61. Диагональ боковой грани правильной четырехугольной
призмы равна d. При какой длине бокового ребра объем
призмы будет наибольшим?
046.62. Апофема правильной четырехугольной пирамиды равна р.
При какой высоте пирамиды ее объем будет наибольшим?
046.63. Периметр осевого сечения цилиндра равен ρ см. Какова
должна быть высота цилиндра, чтобы его объем был
наибольшим?
046.64. Объем цилиндра равен V м3. Каким должен быть его
радиус, чтобы полная поверхность цилиндра была
наименьшей?

§ 47. правило умножения.
перестановки и факториалы
047.1. Двузначное число составляют из цифр 0, 1, 3, 4, 5, 6, 9
(повторения цифр допустимы).
а) Сколько всего можно составить чисел?
б) Сколько всего можно составить чисел, больших 50?
в) Сколько всего можно составить нечетных чисел?
г) Сколько всего можно составить нечетных чисел,
меньших 55?
047.2. Двузначное число составляют из цифр 0, 1, 2, 4, 5, 6, 7
(повторения цифр допустимы).
а) Сколько всего можно составить чисел?
б) Сколько всего можно составить чисел, отличающихся
от 40 менее чем на 10?
в) Сколько всего можно составить четных чисел?
г) Сколько можно составить чисел, отличающихся от 50
более чем на 20?
•47.3. а) Сколько имеется трехзначных чисел, составленных
только из четных цифр?
б) Сколько имеется трехзначных чисел, которые не
меняются при перемене местами первой и последней цифр?
в) Сколько имеется трехзначных чисел, кратных 5?
г) Сколько имеется трехзначных чисел, которые при
перемене местами первой и второй цифр меняются менее
чем на 90?
047.4. На кусок белого, черного или ржаного хлеба можно
положить сыр, колбасу или масло. Бутерброд можно запить
чаем, кофе, молоком или кефиром, а после этого или
погулять, или пойти в гости, или остаться дома.
а) Найдите общее число вариантов начала выходного дня.
б) В скольких случаях будет выпит молочный напиток?
в) Каков будет ответ в пункте а), если в доме привыкли
масло мазать только на белый хлеб?
274

г) Каков будет ответ в пункте а), если хлеб надо сначала
купить в одном из трех ближайших магазинов?
#47.5. За четверть в классе прошли пять тем по алгебре.
Контрольная работа будет состоять из пяти задач: по одной
задаче из каждой темы. К каждой теме заранее был
составлен список из 10 задач, одна из которых будет входить
в вариант контрольной. Ученик умеет решать только по
8 задач в каждой теме. Найдите:
а) общее число всех вариантов контрольной работы;
б) число тех вариантов, в которых ученик умеет решать
все пять задач;
в) число тех вариантов, в которых ученик ничего не
может решить;
г) число тех вариантов, в которых ученик умеет решать
все задачи, кроме первой.
•47.6. В каждую клетку квадратной таблицы 3x3 произвольно
ставят крестик или нолик.
а) Сколькими способами можно заполнить эту таблицу?
б) В скольких случаях в первом столбце будут одни
крестики?
в) В скольких случаях по диагоналям будут стоять одни
нолики?
г) В скольких случаях во второй строке будет стоять
ровно один крестик?
047.7. В один день происходят выборы мэра города и префекта
округа. На первую должность свои кандидатуры
выставили Алкин, Балкин, Валкин, а на вторую — Эшкин,
Юшкин, Яшкин.
а) Нарисуйте дерево возможных вариантов голосования на
выборах.
б) В скольких вариантах будет кандидатура Эшкина?
в) В скольких вариантах фамилии кандидатов состоят из
разного числа букв?
г) Как изменятся ответы в пунктах а) и б), если учесть
еще кандидата «против всех»?
047.8. Ученик помнит, что в формуле азотной кислоты подряд
идут буквы Η, Ν, О и что есть один нижний индекс — то
ли двойка, то ли тройка.
а) Нарисуйте дерево возможных вариантов, из которых
ученику придется выбирать ответ.
275

б) Сколько среди них тех, в которых индекс стоит не ^а
втором месте?
в) Как изменится дерево вариантов, если ученик помнит
что на первом месте точно стоит Н, а порядок остальных
букв забыл?
г) Как изменится дерево вариантов, если буквы могут
идти в любом порядке?
047.9. В урне лежат три неразличимых на ощупь шара, два белых
и один черный. При вытаскивании черного шара его
возвращают обратно, а вытащенный белый шар откладывают
в сторону. Такую операцию производят два раза подряд.
а) Нарисуйте дерево возможных вариантов.
б) В скольких случаях оба вытащенных шара будут
черными?
в) В скольких случаях вытащенные шары будут разного
цвета?
г) Нарисуйте дерево возможных вариантов для трех
вытаскиваний из двух черных и двух белых шаров.
047.10. Из пяти одноклассниц А, Б, Б, Г, Д только Б и Д дружат
со всеми, Б дружит, кроме Б и Д, только с Г, остальные
не дружат между собой. Для проведения соревнования
надо из этих одноклассниц выбрать капитана и его
заместителя, которые дружат между собой.
а) Нарисуйте дерево возможных вариантов выбора.
б) В скольких вариантах капитаном будет А?
в) В скольких вариантах выбора будет присутствовать Б?
г) В скольких вариантах выбора Г будет заместителем?
o47.ll.
047.12.
Вычислите:
7! +8!.
а) 5! + 6!'
7 (10!)2-(9!)2.
б) И (8!)2 - (7!)2 '
ч 1 . 10 ^ 630.
а> 4! + 5Г + ~6Р
17-6! + 8!.
в) 7! + 9! '
ν (7ί)2·(6!)2
г' 41-5!-8!-9!
« ! + ! - 49
°> 6! 5! 7! *
047.13. Сколькими нулями оканчивается число:
а) 10!; б) 15!; в) 26!; г) 100!?
047.14. Укажите наибольшее натуральное число п, для которого:
а) 10! кратно 2п; в) 26! кратно 5П;
б) 16! кратно 2п; г) 28! кратно 3*.
276

047.15. Докажите тождество:
а) (п + 1)! - п\ = η · η\;
б) (2п + 1)! - (2п - 1)! 2п = Ш (2п - 1)!.
q47.16. Решите уравнение:
а) п\ = 42(и - 2)!; в) 0,125и! = (п - 1)! - 90;
б) (к + 17)! = 420(fc + 15)!; г) (3*)! = 504(3* - 3)!.
047.17. При каких натуральных значениях η выполняется
неравенство:
а) п\ > (п + 1)(п - 2)!;
б) 7 · (2п + 1)! · (2п - 1)! < 8 ((2и)!)2?
Докажите неравенство:
#47.18. а) п\ > (п + З)2 при и > 5; в) п\ > 2п при и > 4;
б) и! > (п + 2)3 при и > 6; г) и! > 4Л при и > 9.
•47.19. а) 2,66 <1+ϊτ + 2! + '"~,"7ΐ! при всех п ^ 3;
б) о4 + о^ + ·" + о" < 0Д25 ПРИ всех п ^ ^;
в) 1 + уу + "оу + ··· + —у <: 3 при всех η (используйте пункт
б) и номер 47.18 в));
г) 1 + ΪΤ + 2! + ·" + 7ϊ! < ^'^ при всех п'
047.20. У мамы и папы — один сын. К ним в гости пришла
другая семья — мама, папа и дочь. За круглым обеденным
столом есть 6 мест. Сколькими способами можно
рассадить людей за столом, если:
а) место хозяина дома неприкосновенно;
б) первыми садятся дети, и они садятся рядом;
в) первыми садятся дети, но не рядом друг с другом;
г) жены садятся рядом со своими мужьями?
047.21. а) В каждом из двух заплывов по шести дорожкам
участвует по 6 пловцов. Дорожки между пловцами в каждом
заплыве разыгрываются по жребию. Найдите число всех
возможных распределений пловцов по дорожкам.
б) То же, но если в каждом заплыве один из пловцов —
победитель отборочных соревнований — плывет по
четвертой дорожке.
в) То же, но если во втором заплыве участвуют 5
пловцов.
г) То же, но если в обоих заплывах участвует по 4 пловца.
277

047.22. Две команды по 5 шахматистов проводят матч из пяти
одновременно проходящих партий, в каждой из которых
встречаются по одному из шахматистов каждой команды.
а) Найдите число всех возможных распределений встреч
в матче.
б) То же, но для двух, независимо проводимых матчей.
в) То же, но если во втором матче участвует только по тря
лучших шахматиста из каждой команды.
г) То же, что и в пункте б), но если во втором матче
капитаны команд обязательно играют между собой.
047.23. Одинаковый текст приглашения напечатан на семи разных
открытках. Их надо разослать директорам семи разных школ,
а) Найдите число всех возможных рассылок
приглашений.
б) То же, что и в пункте а), но если самую красивую
открытку послать директору школы № 1.
в) То же, что и в пункте а), но если в трех каких-либо
приглашениях надо дописать и приглашения завучам по
учебной работе.
г) То же, что и в пункте в), но если надо пригласить еще
трех завучей по воспитательной работе из трех других школ.
047.24. В зоопарке пять львов надо распределить по одному по
пяти клеткам, четырех тигров — по четырем другим
клеткам и трех слонов — по трем вольерам.
а) Найдите число всех возможных распределений львов,
тигров и слонов в зоопарке.
б) То же, но если есть четыре льва и львица и одного льва
(известно какого именно) вместе с львицей надо посадить
в одну клетку.
в) То же, что и в пункте а), но если у львов есть две
семейные пары.
г) То же, что и в пункте а), но если между клетками для
тигров и клетками для львов нет разницы.
§ 48. Выбор нескольких элементов.
Биномиальные коэффициенты
048.1. Встретились несколько человек и стали здороваться друг
с другом. Рукопожатий было от 60 до 70. Сколько
человек встретилось, если известно, что:
а) каждый здоровался с каждым;
б) только один человек не здоровался ни с кем;
278

в) только двое не поздоровались между собой;
г) четверо поздоровались только между собой и остальные
поздоровались только между собой.
048.2, Каждую из η точек, являющихся вершинами выпуклого
л-угольника, соединили отрезками с каждой другой
вершиной.
а) Сколько провели отрезков?
б) Сколько провели диагоналей?
в) Сколько есть двузвенных ломаных, соединяющих
вершину А с вершиной Б?
г) Сколько есть трехзвенных ломаных, соединяющих
вершину А с вершиной В (самопересекающиеся ломаные
допускаются)?
048.3. В футбольной команде — 11 человек: вратарь, 4
защитника, 4 полузащитника и 2 нападающих. Команда
выбирает капитана и его заместителя.
а) Найдите число всех возможных вариантов выбора.
б) Найдите число всех возможных вариантов, если в
команде 3 новичка и они не могут быть капитаном или
заместителем.
в) Найдите число всех возможных вариантов, если
капитан — точно не нападающий, а его заместитель — точно
не вратарь.
г) Найдите в пунктах а) и б), число всех возможных
вариантов выбора пары кандидатов, из которых тренеры
позже будут делать окончательный выбор.
•48.4. Все станции пригородной железной дороги разделены на
10 зон, в каждой зоне более одной станции. В билете на
проезд в одну сторону указывают номер зоны
отправления и номер зоны прибытия.
а) Сколько существует различных типов билетов?
б) Сколько существует различных стоимостей билетов,
если стоимость проезда из зоны χ в зону у
рассчитывается по формуле S = 7 + б\х - у\?
в) Сколько различных типов билетов можно купить не
более чем за 50 руб.?
г) Сколько существует различных типов билетов по цене,
кратной 5 руб.?
279

Вычислите:
a) С27; б) С2
а) А\0; б) Al;
48.5.
48.6.
48.7. а) С\п - С\й
048.8
100»
5.
г) С48.
1?о
б) А?,'
в)С|;
1-20» Г) ^100«
в) Сц + Сц>
в) А22
А3
Упростите выражение:
ρ г3
АН'2 '
б)
048.9. Составив частное двух чисел, выясните, какое из них
больше:
в) (*» или Сг68;
г) Cl или С„8+1.
в) С2 + С2+1 = 49;
г) CS = 70.
б) А2.г - С\ = 79.
в) Сх = Дс + Cx;
г) 0,5А* = З^3., + CU).
048.10.
o48.ll.
048.12.
а) С?7
б) С&
или d48;
или d59;
Решите уравнение:
а) С!
б) СГ
а) Al
а) С*
6)CJ
— ^Сх;
2 = 15;
= 18А*.2;
= Άκ »
= Ά*;
048.13. Решите неравенство:
а) 120 < А2-з < 140;
б) Cl < Al < Cl;
в) Cf0 < 4? < 60;
г) С?9 < Al + С* < 200.
048.14. Три ноты из семи нот (до, ре, ми, фа, соль, ля, си) одной
октавы можно нажать либо одновременно (аккорд), либо
поочередно (трезвучие).
а) Найдите число всех возможных трезвучий.
б) Найдите число всех возможных аккордов.
в) Найдите число всех возможных аккордов, содержащих
ноту «соль».
г) Найдите число всех возможных трезвучий, в которых
подряд не идут две соседние ноты (до и си — не соседние
ноты).
048.15. «Проказница Мартышка, Осел, Козел и косолапый Мишка
затеяли сыграть квартет». Сколькими способами они могуг:
а) выбрать каждый для себя по одному инструменту из
15 данных;
б) выбрать набор из пяти инструментов из имеющихся 1*
инструментов;
280

в) сесть по одному за какие-то четыре из выбранных в
пункте б) инструмента;
г) выгнать одного из участников квартета, и потом сесть
за какие-то три выбранных в пункте б) инструмента?
048.16. Из колоды в 36 карт выбирают 5 карт и потом
одновременно открывают их. Найдите:
а) число всех возможных вариантов выбранных карт;
б) число вариантов, при которых среди полученных карт
есть четыре туза;
в) число вариантов, при которых все полученные карты —
пики;
г) число вариантов, при которых все полученные карты —
одной масти.
•48.17. По программе в концерте должен выступить хор из пяти
певцов и трех певиц. Предварительное согласие на
выступление дали 10 певцов и 8 певиц.
а) Сколько существует различных вариантов состава хора?
б) То же, но если известно, что певцы А и Б ни за что не
будут петь вместе.
в) То же, но если известно, что певец А будет петь тогда и
только тогда, когда будет петь певица Б.
г) То же, если 6 певцов накануне сорвали голос на
футболе и вместо недостающего певца придется выступать
одной певице.
•48.18. Пусть у(п) = -jg-, n > 4.
а) Укажите дробно-линейную функцию, на графике
которой лежат все точки (п; у(п)).
б) Постройте график этой функции.
в) Укажите наибольшее п, при котором у{п) > 0,25.
г) Укажите наименьшее п, при котором у(п) отличается
от g менее чем на 0,01.
•48.19. Пусть у(п) = -ά*-9 η > 4.
Ьп-2
а) Укажите многочлен, на графике которого лежат все
точки (п; у(п)).
б) Постройте график этого многочлена.
в) Укажите наибольшее я, при котором у(п) < 600.
г) Укажите наименьшее я, при котором у(п) > 6000.
281

048.20. а) Докажите, что последовательность т^' /ι = 3, 4, 5,
монотонно возрастает.
б) Докажите, что все члены этой последовательности
больше числа 4.
в) Укажите номер, начиная с которого члены этой
последовательности будут больше 20.
г) Найдите предел этой последовательности при η —> оо,
048.21. Найдите п, при котором:
а) число Cn+i составляет 80% от числа С„;
б) число Cn+i составляет 120% от числа С4;
в) число Cin1 составляет 56% от числа 0£~+\;
г) число С$п+3 составляет 150% от числа CSJ+V
•48.22. Докажите тождество:
а) Сп = Cn-i + Сп_х; в) Сп = Сл_х + Cn_i;
б) сг4 = cU + c:i; г) с* = c:i + ckn:l + c_T2.
•48.23. Выпишите треугольник Паскаля до седьмой строки
включительно.
а) Найдите сумму всех чисел в третьей строке
треугольника Паскаля.
б) Найдите сумму всех чисел в четвертой строке
треугольника Паскаля.
в) Найдите сумму всех чисел в седьмой строке
треугольника Паскаля.
г) Методом математической индукции докажите, что
сумма чисел в п-й строке треугольника Паскаля равна 2\
48.24. Раскройте скобки в выражении:
а) (х + I)7; б) (2х - у)6; в) (х2 + 2)5; г) (1 - *3)4.
048.25. У многочлена Ρ найдите коэффициент при х3:
а) Р(х) = (1 + З*)4;
б) Р(х) = (3 - 2х)5;
в) Р(х) = (х + 2)5 - (2х + I)4;
( „\4
г) Р(х) = (х2 - х)А +
3-^
( if
048.26. В разложении \х + — по степеням χ укажите:
а) член, содержащий х8; в) член, содержащий х2\
б) член, содержащий х4; г) член, не содержащий х»
282

^48.27. Найдите член разложения, не содержащий переменных:
β
а) 2*2+± ; в) 3^ + -^ ;
б) У + хЧ ; г) (χ0·75 + х~*) .
048.28. Известно, что сумма биномиальных коэффициентов
разложения (а + Ъ)п равна 1024.
а) Найдите п.
б) Найдите наибольший биномиальный коэффициент
этого разложения.
в) Сколько в разложении членов с этим наибольшим
коэффициентом?
г) Дайте ответы на вопросы пунктов а), б), в), если сумма
биномиальных коэффициентов разложения (а + Ъ)п
равна 512.
048.29. Найдите k, при котором достигается наибольшее
значение выражения:
а) С5 ; О) Ciq'j В) Cqi'j Г) Сддд + С999·
•48.30. а) Докажите, что для любого натурального числа η > 1 и
любого χ > 0 верно неравенство (1 + х)п > 1 + пх
(неравенство Бернулли).
б) Используя неравенство пункта а), укажите
какое-нибудь решение неравенства 1,001" > 1000.
в) Используя неравенство пункта а), укажите
какое-нибудь решение неравенства 0,99" < 0,01.
г) Докажите, что для любого 0 < q < 1 и любого а > 0
неравенство qn < а верно для всех натуральных п,
начиная с некоторого номера.
§ 49. Случайные события и их вероятности
049.1. Случайным образом выбирают двузначное натуральное
число. Найдите вероятность того, что оно:
а) делится на 5; в) делится или на 15, или на 25;
б) делится на 13; г) не делится на 29.
049.2. Случайным образом выбирают нечетное двузначное
натуральное число. Найдите вероятность того, что:
а) его квадрат меньше 1000;
б) его квадрат больше 9000;
в) сумма квадратов его цифр больше 140;
г) сумма квадратов его цифр не больше 10.
283

049.3. Два ученика независимо друг от друга написали по одно*
му двузначному натуральному числу. Найдите
вероятность того, что:
а) эти два числа различны между собой;
б) сумма чисел равна 100;
в) сумма чисел не больше 25;
г) сумма чисел больше 190.
049.4. Из набора домино случайно выбирают одну фишку.
Найдите вероятность того, что:
а) это дубль;
б) одна из ее половинок — «пустышка»;
в) различие между очками на ней больше 4;
г) сумма очков на ней больше 7.
049.5. Из значений п\ для η = 1, 2, 3, ... , 25 случайно выбирают
одно число. Найдите вероятность того, что это число:
а) меньше миллиона; в) делится на миллион;
б) больше миллиарда; г) не делится на тысячу.
049.6. Из чисел, расположенных в пяти первых строчках
треугольника Паскаля случайно выбирают одно число.
Найдите вероятность того, что это число:
а) двузначно; в) кратно трем;
б) нечетно; г) не является простым числом.
•49.7. В круге с центром в начале координат и радиусом π
случайно выбрали точку с целыми координатами. Найдите
вероятность того, что:
а) сумма координат этой точки больше 3;
б) произведение координат этой точки меньше 4;
в) эта точка лежит в круге с центром в начале координат
и радиусом
г) эта точка лежит вне треугольника с вершинами (0; 2),
(-2; -2), (1; -2).
•49.8. Двузначное число составляют так. Его первая цифра
получается в результате первого бросания игрального
кубика, грани которого пронумерованы цифрами от 1 до 6, а
вторая цифра — в результате второго бросания этого
кубика. Найдите вероятность того, что это число:
а) состоит из разных цифр; в) кратно 7;
б) больше 20; г) простое.
284

θ49.9· Красивых учеников в классе — 22, а умных — 18. Всего
в классе 30 учеников и каждый из них умный или
красивый, или и умный, и красивый.
а) Сколько учеников, которые и умны, и красивы?
б) Сколько учеников, которые умны, но не красивы?
в) Сколько учеников, которые красивы, но не умны?
г) Измените в условии общее число учеников так, чтобы
ответы в пунктах а) и в) были одинаковы.
049.10. При подготовке к экзамену один ученик решил 44 задачи
из общего списка в 50 задач, а второй ученик решил
26 задач из этого же списка. Известно, что каждую
задачу из общего списка задач кто-то из учеников решил.
а) Сколько задач были решены и первым, и вторым
учеником?
б) Сколько задач были решены первым, но не решены
вторым учеником?
в) Сколько задач были решены вторым, но не решены
первым учеником?
г) Измените в условии общее число задач так, чтобы
ответы в пунктах а) и б) были одинаковы.
•49.11. У каждого из туристов есть или тугрики, или «еврики».
У 100 туристов есть только тугрики, у 38 туристов есть
только «еврики», а у 31% туристов есть обе валюты.
а) Сколько всего было туристов?
б) Сколько туристов имеют тугрики?
в) Сколько туристов имеют «еврики»?
г) Измените в условии задачи 31% так, чтобы ответ
в пункте а) стал наибольшим из всех возможных.
•49.12. Каждый из 30 учеников умный или красивый. Красивых
учеников всего 26, умных — 24, а 14 учеников — ростом
выше 180 см.
а) Про скольких учеников гарантированно можно
утверждать, что они и умные, и красивые, и выше 180 см?
б) Каков ответ в пункте а), если известно, что все умные,
но не красивые — ростом ниже 180 см?
в) Каков ответ в пункте а), если известно, что все
красивые, но не умные — ростом выше 180 см?
г) Каков ответ в пункте а), если известно, что 12 умных —
ростом выше 180 см?
285

049.13. Экзамен пересдавали три ученика. Рассматриваются
события: А — экзамен сдал ровно один ученик; В — хоъ*
бы один ученик; С — не менее двух учеников; D — ровно
два ученика. Опишите события:
а) А + С; б) А + D; в) В + D; г) А + В + С + д
049.14. Опишите события, противоположные событиям из
пунктов а) — г) предыдущей задачи.
•49.15. Из чисел 0, 1, 2, ... , 9 выбирают одно. Рассматриваются
события: А — это четное число; В — это число больше 7;
С — это число кратно 3 и не равно 0; D — это или 1, или 4,
или 9. Опишите события:
а) АВ; б) CD; в) ВС; г) ABCD.
49.16. Опишите события, противоположные событиям А, Б, С,
D из предыдущей задачи.
049.17. В темном ящике 5 выигрышных билетов и 4 проигрышных.
Вы случайно вытаскиваете одновременно 3 билета.
Найдите вероятность того, что:
а) все билеты выигрышные;
б) есть ровно один проигрышный билет;
в) есть ровно два выигрышных билета;
г) есть хотя бы один выигрышный билет.
•49.18. В темном ящике η выигрышных билетов и η проигрышных,
η > 2. Вы случайно вытаскиваете одновременно 3 билета.
а) Найдите вероятность того, что есть ровно один
проигрышный билет.
б) Докажите, что эта вероятность убывает с ростом п.
в) К какому числу стремится эта вероятность при η —> оо?
г) Найдите п, начиная с которого эта вероятность будет
меньше 0,4.
•49.19. В темном ящике 5 выигрышных билетов и 4 проигрышных.
Вы случайно вытаскиваете одновременно η билетов, η = 1,
2, 3, ... , 9. Найдите вероятность р(п) того, что у вас есть
ровно один выигрышный билет. Численные результаты
соберите в таблицу.
η
р(п)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
049.20. В темном ящике 6 билетов, из которых η билетов
выигрышных иб-п проигрышных, η = 0, 1, 2, 3, ... , 6. Вы
случайно вытаскиваете одновременно 2 билета. Найдите
286

вероятность р(п) того, что у вас есть ровно один
выигрышный билет. Численные результаты соберите в таблицу.
η
р(п)
0
1
2
3
4
5
6
049.21. В темном ящике 8 белых и 7 черных шаров. Вы случайно
вытаскиваете одновременно 4 шара. Найдите вероятность
того, что:
а) все шары белые;
б) имеется, как минимум, три белых шара;
в) имеется, как минимум, два черных шара;
г) есть хотя бы один белый шар.
•49.22. В темном ящике η белых и η - 1 черных шаров. Вы
случайно вытаскиваете одновременно 4 шара.
а) Найдите вероятность того, что имеется, как минимум,
три белых шара.
б) Докажите, что эта вероятность убывает с ростом п.
в) К какому числу стремится эта вероятность при η —> оо?
г) Найдите п, начиная с которого эта вероятность будет
меньше 0,35.
049.23. Какова вероятность того, что при трех бросаниях монеты:
а) ни разу не выпадет «орел»;
б) ни разу не выпадет «решка»;
в) «орел» выпадет ровно один раз;
г) «решка» выпадет хотя бы один раз?
049.24. Решите задачу 49.23 для четырех бросаний монеты.
•49.25. а) Какова вероятность того, что при η бросаниях монеты
«решка» выпадет хотя бы один раз?
б) Как меняется эта вероятность с изменением п!
в) Найдите предел этой вероятности при η —> оо.
г) При каком наименьшем η вероятность появления хотя
бы одной «решки» будет больше 0,999?
049.26. Три ученика независимо друг от друга написали по одной
цифре от 0 до 9. Какова вероятность того, что среди
написанных цифр:
а) не будет ни одной цифры 0;
б) будет хотя бы одна цифра 5;
в) не будет ни одной четной цифры;
г) будет хотя бы одна нечетная цифра?
287

•49.27. Каждый из η учеников независимо друг от друга написал
по одной цифре от 0 до 9.
а) Какова вероятность того, что среди написанных цифр
будет хотя бы одна цифра 5?
б) Как меняется эта вероятность с изменением п?
в) Найдите предел этой вероятности при η —> оо.
г) При каком наименьшем η вероятность появления хотя
бы одной цифры 5 будет больше вероятности ее
отсутствия?
•49.28. Буквы русского алфавита написаны на карточках. Вы
случайно вытаскиваете одну карточку, читаете букву,
возвращаете карточку и повторяете выбор. Как только
появится гласная буква — процедура заканчивается. (В
русском алфавите 33 буквы, из них 10 гласных.)
а) Какова вероятность того, что никаких повторений не
потребуется?
б) Какова вероятность того, что хватит двух повторений?
в) Какова вероятность того, что хватит именно η
повторений?
г) Найдите предел этой вероятности при η —> оо.
049.29. Стрелок не очень меток: вероятность того, что он попадет
в мишень одним выстрелом, равна всего 0,1. Независимо
от предыдущих промахов он повторяет выстрелы до
первого попадания и после этого прекращает стрельбу.
а) Какова вероятность р(п) того, что ему хватит η
выстрелов?
б) Найдите предел этой вероятности при η —> оо.
в) Численные результаты для η = 1, 2, 3, ... , 7 соберите в
таблицу.
η
р(п)
1
2
3
4
5
6
7
г) Найдите предел суммы р(1) +р(2) + ... +р(п) при η —> оо.
•49.30. Найдите вероятность ρ встречи с контролером при одной
поездке, если известно, что вероятность хотя бы одной
встречи:
а) при трех поездках равна 0,875;
б) при четырех поездках равна 0,9984;
в) при пяти поездках равна 0,98976;
г) при шести поездках равна 0,468559.
288

Дополнительные задачи
#7.48. Найдите наименьшее целое число, принадлежащее
области значений функции:
а) у = у/х2 - 7х - 3; б) у = л/*2 - 7х + 24.
•8.53. а) Дана функция у = f(x), где f(x) = 2х2 - Ъх + 3. Нечетная
функция у = g(x) определена на всей числовой прямой,
причем f(x) = g(x) при χ > 0.
Вычислите h(-2), где h(x) = f(x) + g(x).
Ъх + 1
б) Дана функция у = /(#), где /(χ) = χ2 + ^- Четная
функция ι/ = £(jt) определена на всей числовой прямой, причем
fix) = ё(х) при χ < 0.
Вычислите й(1), где Mjc) = //*'—^г^.
v ' х ' f(x) + g(x)
•8.54. При каком значении параметра а функция у= х\ах +
+ 2а - 6) является:
а) четной; б) нечетной?
•9.36. Известно, что у = f(x) — четная, периодическая функция
с основным периодом, равным 8, и что на отрезке [0; 4]
она задается формулой у = \1х + 1.
а) Решите уравнение f(x) = 0;
б) решите уравнение f(x) = 1;
в) решите неравенство f(x) > 0,97;
\f(x) > 2,
г) решите систему неравенств \
[-4 < χ < 8.
•9.37. Функция у = f(x) является периодической с периодом
Τ = 8. На отрезке [-1; 8] она задана следующим образом:
Г-д;, если -1 < χ < 1;
f(x) = \ х - 2, если 1 < χ < 5;
[8 - х, если 5 < χ < 7.
а) Вычислите: /(40), /(50), /(-65).
б) Сколько корней имеет уравнение f(x) = 0 на отрезке
[-10; 10]?
•13.54. Решите уравнение х4 - 4*3 + 4*2 + cos2 ^ = 0.
•14.37. Сколько целых чисел содержится в области значений
функции:
а) у = yjS - 27sinjc - 4sin2x;
б) у = ^4 + 24 cos* - sin2л:?
289

016.73. Укажите число четных и нечетных функций среди
данных:
а) у ι = 2 sin *, у2 = cos 2*, у3 = х sin *, y4 = sin (x2 + 1)
уь - sin 0,25*3;
_ sin * ο 4
б) i/i = ^rp i/2 = cos 3*, уъ = -χ sin *, y4 = sin (*4 - l)?
1/5 = χ + sin 0,5*;
COS *
в) i/i = 2 - ^-p i/2 = x + cos 0,5*, y3 = xs + *2sin*,
_ sin(*2 + 2) _ sin*
y* " 2 + cos(2-*2)' ^5" * ;
r) ι/i = ^3 + cos 3*, у2 = cos V*, ys = xjl - cos 2*, y4 = sin χ +
+ cos *, i/5 = sin χ cos *.
016.74. Укажите число периодических функций среди данных:
а) yi = cos2 χ, у2 = cos x2, ys = sin (χ2 + 1), у4 = sin (2* + 3),
Уъ = Vl + sin2*;
cos* / /—\ . * +1
б) у ι = ~·^ ι/2 = 5, ι/з = cos W*J, i/4 = sin —£-f
i/5 = >/l + cos2 *;
в) ι/ι = ^-p i/2 = sin (* + 2), y3 = cos f*2 + 2), i/4 = cos (14* - 7),
i/5 = V2 - sin2*;
2 Л . 2 sin 2*
r) ι/i = 2, y2 = χ , ι/з = 2 sin *, i/4 = cos * , y5 = cos2x'
у6 = sin (cos *), уν = cos2 *.
•16.75. а) Функция у = g(x) четная и определена на всей
числовой прямой, а /(*) = g(g(x) + 3) + £(8 + 2g(x)). Вычислите
/(2), если известно, что #(2) = -5.
б) Функция у = g(x) четная, периодическая с основным
периодом Τ = 2 и определена на всей числовой прямой,
а /(*) = g(g(x) + 1) + #(5 + 3g(x)). Вычислите /(3), если
известно, что #(3) = -4.
в) Функция у = g(x) четная и определена на всей
числовой прямой, а /(*) = g(g(x) + 2) + #(14 + 5g(*)). Вычислите
/(1), если известно, что g(l) = -3.
290

г) Функция у = g(x) четная, определена на всей числовой
прямой и периодическая с основным периодом, равным 5,
a f(x) = 2g(13 - 2х) + (χ2 _ 28ч· Вычислите /(10), если
известно, что #(7) = -5.
#20.30. Решите уравнение 9*2 - 6х + 6 = (л/б - tg Зпх)(у/Е + tg 3πχ).
4 - χ
#20.31. а) Сколько целочисленных решений неравенства ■——g > О
удовлетворяют неравенству 1 + ctg2 ^ψ > 0?
б) Сколько целочисленных решений неравенства 5х + 36 > х2
удовлетворяют неравенству 4jc2 + 1 + tg2 -g- > 4jc?
021.63. На сколько процентов:
а) число arccos (sin 45° + cos 135°) больше числа
arcsin lcos-^4;
б) число arccos (sin 30° + cos 120°) больше числа
arcsin (cos-^4;
в) число arcsin (cos —I меньше числа
arccos (sin 30° + cos 120°);
г) число arccos (sin 60° + cos 150°) больше числа
arcsin Icosi^l?
021.64. На сколько:
а) число ctg (arctg 4) меньше числа
tg (arcctg (0,8));
б) число tg2 (arccos (-0,25)) больше числа
tg2 (arccos (-0,5));
в) число tg2 (arccos 0,5) меньше числа ctg2 (arcsin—);
г) число ctg2 (arcsin (-0,2)) больше числа tg2 (arccos —J?
•21.65. Решите уравнение:
а) 2х3 - χ + 4 = IOjc2 + 2 cos (arccos (0,5* - 3));
б) sin (arcsin (5* - 4)) = VlO* + 16.
291

022.69. Сколько корней имеет данное уравнение на данном про-
межутке:
а) 2 + ctg2 χ = (sin ху2 + cos 4jc, χ e ί-π; ^ 1;
б) tg2 χ = (cos x)~2 + sin 3jc, χ e (-0,5π; 2π]?
•23.43. Решите уравнение:
а) |sin x\ (cos x + 2 sin jc) = 2 - 2 cos2 jc;
б) |cos jc| (2 cos χ - 3 sin jc) = 2.
•23.44. Решите уравнение:
2 cos2* + 5|cosjc| - 3 _ 2 sin2jc + | sin χ\ - 1 _
a) 2sin* + V3 "°;6) 4οοβ»χ-8 -°·
•23.45. Решите уравнение cos2 3x - 2 cos 2jc cos 3jc + 1 = 0.
024.53. Найдите значение выражения:
а) ((1 + cos 44° cos 1° - sin 44° sin 1°)2 - 1,5)2;
б) ((1 + sin 57° cos 3° + cos 57° sin 3°)2 - 1,75)2;
в) ((2 + sin 41° cos 4° + cos 41° sin 4°)2 - 4,5)2;
r) ((2 + cos 25° cos 5° - sin 25° sin 5°)2 - 4,75)2.
027.73. Сколько корней имеет данное уравнение на данном
промежутке:
а) 2 cos2 χ - sin 2x = (cos χ - sin x)2, (-0,5π; 3π);
б) 6 cos2 χ + sin 2x = (cos χ + sin χ)2 + 2, (-π; 3,5π)?
028.39. Во сколько раз:
а) число (sin 70° + sin 50°)2 больше числа sin2 80°;
б) число (cos 65° + sin 65°)2 больше числа sin2 50°;
в) число (cos 50° + cos 40°)2 больше числа sin2 85°;
г) число (tg 57° + tg 3°)2 больше числа (cos 54° + 0,5)"2?
•30.27. Сколько целых чисел содержится в области значений
функции у = (smx + V3cosx) + sin lx + -|] + 3?
•30.28. Решите уравнение cos χ - sin χ cos 4jc = V2.
040.17. а) Прямая, проходящая через начало координат, является
касательной к графику функции у = f(x) в точке А(2; -4,5).
Вычислите /'(2).
б) Прямая, проходящая через точку А(1; 1), является
касательной к графику функции у = f(x) в точке £(3; 4).
Вычислите /'(3).
292

#45.16. Решите уравнение yfx(4x3 + Зх2 - 6х + 2,75 - sin гас) = 0.
#46.65. Сколько натуральных чисел принадлежит области
значений функции у = у/(х3 - х2)3 + у/х2 - 6х + 9, χ е [0; 5]?
#46.66. а) Найдите наибольшее и наименьшее значения функции
У = |л/2 — х2 - 2| + л/2 - jc2 - 2 + 2* - х2.
б) Найдите область значений функции
у = | V8 + 2х - х2 - 4| + л/8 + 2* - л:2 + х3 - Зх2 - 9х.

ОТВЕТЫ
Повторение
П1 ч - ок _ 16. ч 24. ч 1 π 0 ν 3* -1. _ 5* - 4
П.1. а) 1,35; б) ^; в) -^; г) -jg. П.2. а) χ ; б) —р2;
2л:- 1 2х-1
в^ ν + 4 ' г^ ν _ 3 ' **·**· а) ί/ = * ~ 5, л; — любое число; б) ζ/ = ί - 2,
t ± ±2; в) у = ρ - 4, ρ ± ±7δ; г) ζ/ = т - 2, т * 2. Π.4. а) ζ/ = jg; χ * 3;
3 4 1
б) ζ/ = -^; λ: * 3; β) ζ/ = yg5 χ * 2; г) ζ/ = -1^; λ: * -1. Π.5. а) у = χ + 2,
jc * 2, jc * -5; б) у = χ + 4, χ * 2, jc * 4; в) ζ/ = χ + 3, χ * 3, χ * 4;
3 4
γ) ζ/ = jc - 2, jc * -2, jc * -1. Π.6. a) jc = 7 + 2; 6) χ = 1 ~;
* ζ/ - 4 ' ' ζ/ + 2
в) jc = г - 3; г) χ = 3 3Τ· Π.7. а) 2(5 - b); 6) /η + 2; в) 5(α + 1);
2 111
г) 3 + χ. Π.8. а) -^-^; б) 2ΊΓΡ в) ^-^ г) ^Г П.9. а) а + 1;
1 Ъ χ
б) Ь - 3; в)ρ + 4; г) χ - 5. П.10. а) — ρ б) а; в) у; г) ^Tg* П11· a) д-^З'
3 3 jc χ -1 т(т - Зп) 13
б> ЗГГ4; в> ^3; г> 7ТЗ· ПЛ2· а> "з^; -10' б> m-ιι ; 25·
П.13. -1. П.14. а) ^ψ; б) Щ^\ в) 3>/Ϊ5; г) -^у^. П.15. а) 7; б) 12;
в) 12; г) 4,4. П.16. а) 1; б) 1; в) 27Ϊ7; г) V2. П.18. а) А < В; б) А < В.
П.19. а) Ни при каких; б) 9. П.20. а) т= т=\ б) 14т - 13>/й;
Syjy + 4Vjc
ч к Г π Г ч 1 π 0i ν РУР + gVg . -ν S-tyft.
в) 5^ - 7^; r) -9^ + 6>/^. Π.21. a) p_g . 6) -j-^
, Wi + 27. ч aV^ - 8bVb ποο ч 3 . Ql. V^ - Vd
в) ^_9 ; г) fl_4b - П.22. a) jj-, б) Зд; в) 1; г) ^ ·
П.23. a) 2b(a - b); 6) α; в) ^Ц=^; г) ^-, если a > Ь > 0; —, если
у/т о а
Ъ > а > О. П.24. а) 3; б) 3; в) -0,5; г) -1^. П.25. а) 0; б) 9; в) -1; -3,5;
г) -д. П.26. а) 20; б) 2; в) -10; г) -88. П.27. При т = 1. П.28. К а < 2.
294

χ > 5. Π.34. а) О < χ < 1; χ > 2; 6) χ < 0; 1^ < χ < 2; χ > 4; в) χ < -3;
Π.29. α = ±2« Π.30. а) χ > -1,5; 6) * < 5; в) χ < 1; г) χ < -2. Π.31. а) χ < -4;
1 3
χ > 2,5; 6) -2,5 < χ < 3; в) χ < -Ц; χ > 1; г) χ < jl χ > 2. Π.32. а) χ — любое
число; б) 3 < χ < 9; в) jc < -9; jc > 4; г) таких лс нет. П.ЗЗ. a) jc < -2; χ > 2;
б) χ < 1,5; jc > 4; в) х < -3; -0,5 < χ < 0,5; χ > 2; г) χ < 1; 1 < χ < 3;
5
-2 < * < 0; г) χ < 1; χ > 2. Π.35. При α < О и α > 1. Π.36. α > 3; таких
значений нет. П.37. а) х > 16; б) -0,2 < χ < 2,5; в) χ > 6,2; г) -4,25 < χ < 4,75.
§1
1.3. 112, 113, 114, ... , 147. Наименьшее 112, наибольшее 963. 1.14. а) 1;
2; 4; б) 8; в) 1; 2; 3; 4; 6; 12; г) 6; 7; 28; 51. 1.15. а) 2; 3; 4; 6; 12. б) 1; 2;
3; 6. 1.17. а) 2; (1; 1); б) 114; (1; 1). 1.18. а) Да; б) да. 1.19. а) 1; 2; 4;
б) 0,5; 1; 1,5; 3. 1.20. а) 0,5 и 1; б) таких значений нет. 1.21. а) 0; 3; 5;
б) -1; 3. 1.23. а) 1; б) 1; в) 5; г) 6. 1.24. а) Да, например 6 и 2; б) да,
например 2 и 1. 1.35. а) 8; б) 24; в) 18; г) 16. 1.36. а) 8; б) 18; в) 38; г) 98.
1.37. а) 2; б) 4; в) 9; г) 24. 1.38. а) Двумя; б) четырьмя; в) девятью;
г) двадцатью четырьмя. 1.39. а) 23! + 2 делится на 2, 23! + 3 делится на 3;
23! + 4 делится на 4, ... , 23! + 23 делится на 23; б) 101! + 2 делится на 2,
101! + 3 делится на 3; 101! + 4 делится на 4, ... , 101! + 101 делится на
101; в) 22, 100; г) 1000001! + 2; 1000001! + 3; 1000001! + 2; ... ; 1000001! +
+ 1000001. 1.41. ρ = 3; q = 2. 1.42. а) р = 11; q = 5; б) ρ = 11; q = 3 или
(χ = 1 + 2k; ί x = 4 + k;
, = »;g,lU.*.)|is8^ *€*б>Ь-*-1; *6Z:
{χ = 17 — 4k* [χ = 6 + Ik'
y\ 1 + 7*' k 6 Z; Γ) {„ I 1 + 5*> € Z- 157· a) (1; 15): ("1; "15):
(15; 1); (-15; -1); (3; 5); (-3; -5); (5; 3); (-5; -3); 6) (1; 3); (-1; -3); (1; -3);
(-1; 3); в) (1; 1); (-1; -1); г) решений нет. 1.58. а) 12; б) 48; в) 35; г) 180.
§2
2.6. а) |; б) ^; в) 1; г) |. 2.11. а) 3; б) 7; в) 1; г) 6. 2.13. а) ^-;
1 7 137
б) 12Ш5; в) _1ά; г) "Шоо"· 2·17·а) °'(6); б) 1,8(6); в> i·*3* г> 2.°8(3)·
295

§3
3.4. а); б); в); г) Иррациональным. 3.6. а); б); г) — числа
рациональные; в) — число иррациональное. 3.7. а) >/7 - 3 и 1 - >/7; б) V7 - 3 ц
1 + 77; в) >/7 - 3 и 77 + 3; г) V2 и 5>/2. 3.8. а) Нет таких чисел; б) ypf
и V28. 3.9. а) х2 - 2 = 0; б) х2 + 10* - 22 = 0; в) З*2 + 12* ^
- 3 = 0; г) составить такое уравнение невозможно. 3.10. а)
Например, α = 2 + V3; β = 4>/3; б) например, α = 3 - V2; β = 4>/2. 3.11. а) Су-
щестует, например, при а = 2 + V3 число с = 4; б) существует, напри-
/l О _ 1
мер, при α = —— число с = 3. 3.13. а) 1,5; б) 1; в) 2; г) 3,99.
3.14. a) VOJ; б); в); г) Vl· 44001. 3.15. а) 1,6; б) 0,49. 3.16. a) VU;
б) V3 - 1,4. 3.17. а); б) Единственная точка (0; -2). 3.18. a) (V3; 5>/3 - 2);
б) (7V2; 2 + V2). 3.19. а) Такой треугольник существует, так как
у/2 + 1 > >/3; б) такого треугольника не существует, так как v3 + v5 < 4.
§4
4.5. а), б) Не существует. 4.12. а) 1; б) 1; в) 1; г) 6. 4.13. а) 0; б) 0; в) 0;
г) 5. 4.14. а) 3 < Ъ < 4; б) 3 < Ь < 4; в) 0 < Ъ < 1; г) таких Ь не существует.
1 - ΙΪ
4.15. а) [-20; 12]; б) (17; 22). 4.16. а) а > 2,5; б) ^ < а < 1; а > 1.
4.17. а) ί-1 - ^; - 1 + ^ ); а > 2,5; б) Г-И; ()\ α > 1. 4.18. 3 < ρ < 4.
4.22. a) n > 2; б) η > 11; в) η > 10 001; г) η > 307. 4.25. а) 1 < χ < 2;
б) -11 < χ < -10; в) -1 < χ < 0; г) 11 < χ < 12. 4.26. а) х — любое целое
число; б) -2; в) 0; г) -3. 4.31. а) х = k + 0,123, где k принимает любые
целочисленные значения; б) 999,123. 4.34. а) [1; 33]; б) [-6,25; 0];
в) [-320;
§5
; 0]; г) [-1; ^
5.3. а) χ > 0; б) χ > 7; в) χ < 0; г) 3 < χ < 4. 5.10. а) 4 - π; б) 1;
в) 7 - 2π; г) 5,3 - 2>/7. 5.11. а) 4; б) 8; в) 21; г) 66. 5.13. а) 1; -9; б) 7;
2
в) 19; -11; г) -1; ^· 5.14. а); б) Решений нет; в) 4; г) -4. 5.15. а) 4; б) 2;
в) 0; 7; 1; г) 2; -1. 5.16. а) * > 4; б) * > 2; в) 1 < * < 7; г) -1 < χ < 2.
5.17. а) χ < 3; б) (-оо; 1) и (1 + л/б; +оо); в) i-oq -| 1 и [1; +оо);
296

г) (-оо; 1] и [2; +оо). 5.18. а) 3 или 9; б) 9 или 23. 5.19. а) 0,5; 1,5; б) 1; 2.
5.20. а) 9 или 23; б) 9 или 23. 5.21. а) 0 или 1; б) ' 2>'29
; l\ 5.25. а) 2;
29
б) 7; в) -7; г) 0.
§6
ч (п + 13)n _ (9п - Ъ)п ч Л Лое /00 ч ч (п + 2)л
6.2. а) * «}"' б) 2~~; в* °'025/г(33 + л); г) 18
6.3. a) -k при η = 2&; k при и = 2fe - 1; б) &(2& + 1) при η = 2k; k(l - 2k) при
0, л ч л(тг + 1) 0. л(тг + 1) л 0. i
д = 2« - 1; в) о—- при η = 2k; о—- - 1 при η = 2k - 1;
29 292
г) -2fc(fc + 1) при η = 2k; 2k2 при η = 2k - 1. 6.10. a) ggg; 6) -jj^·
6.16. а); б) Первое равенство неверно уже для η = 1. Второе равенство
верно для η = 1, но не для всех k из A(k) следует А(& + 1). Таким образом,
равенство неверно. Третье равенство верно.
§7
(4 - х\х fS(x + 4), -4 < χ < 2;
7.9.a)S(,)=^-, 0<,<2;6)S(,)=|2jc+262<jc<8
7 11 ч -»■ /2*+ 12. 3z/2 - 12
7.11. a) z/ = ±J « ; χ = * ; уравнение задает функцию вида
х = ψ(ί/) и не задает функцию вида у = f(x); б)у = χ или у = -х - 1; χ = у или
χ = -у - 1 при χ * 3, -4, у * 3, -4. 7.21. а) [-1; 7]; б) (-оо; -1] и (1; +оо);
в) (0; 1]; г) [-1,5; 11]. 7.22. a) D(f) = [-3; 2], E(f) = [1; б]; б) D(f) = [-3; 2],
E(f) = [0; 9]. 7.24. а) [12; +оо); б) [-8; 1]; в) [-12; -1) и (-1; 1) и (1; +оо);
г) [-3; 1]. 7.25. а) 3* + 2; б) -3* - 13; в) 5; г) /(/(*)) = 9х - 4. 7.26. а) 4х2;
б) (χ - 5)2; в) 81; г) х\ 7.27. а) ψ^\ б) |-^|; в) /(/(5)) = 5^-;
ч Ш+ 2
у + 6 · 7.29. а) Если а > 1, то [а; +оо); если а = 1, то (1; +оо);
если -1 < а < 1, то [а; 1) и (1; +оо); если а = -1, то (-1; 1) и (1; +оо); если
а < -1, то [а; -1) и (-1; 1) и (1; +оо); б) если а < 0, то R; если а > 0,
то
; в) если а > 4, то (-оо; 3] и [4; а) и (а; +оо); если а = 4, то
I. Г
а' aj
(~°о; 3] и (4; +оо); если 3 < а < 4, то [а; 4) и (4; +оо); если а = 3, то
(3; 4) и (4; +оо); если а < 3, то [а; 3) и (3; 4) и (4; +оо); г) если а > 1, то
0*> если а = 1, то {1}; если -8 < а < 1, то [а; 1); если а < -8, то
[-8; 1]. 7.30. а) (-оо; -3) и (-3; 1]; б) (-оо; -3) и (-3; 1]; в) (-оо; -3) и
297

и (-3; -0,5] и (-0,5; 1]; г) (-оо; -3) и (-3; 1]. 7.31. а) [4; 5]
б) [-1; 0] и [4; б]; в) [4; 5); г) (-1; 0] и (4; 5]. 7.32. а) [-4; 1]; б) [-4; ц.
в) (-4; 1]; г) [-4; -2) и (-2; 1]. 7.33. а) [-10; б]; б) [-10; б]; в) [-10; 10}
г) [-5; 5]. 7.34. а) [-1; 10]; б) [-13; -2]; в) [-2; 9]; г) [-2; 9]. 7.35. а) а < -Ц
4 4 4
б) а > 4. 7.36. а) а > 0; б) - g < а < 0; в) а = ~; г) а < -g- 7.38. а) Ъ = -31;
-3 < Ъ < -2; б) Ъ = -29; 5,5 < Ъ < 6,5; в) (-оо; -31) и (-31; -30) и (-30; -29) и
и (-29; -3] и [6,5; +оо); г) (-оо; -32) и (-31; -4] и [4,5; +оо). 7.40. а) [0; 25];
б) [0; б]; в) [-27; 125]; г) [1; 3]. 7.41. а) [-3; б]; б) [0; 8]; в) [0; 8];
г) [а - 5; а + 3]. 7.42. а) [-3; 5]; б) [0; 8]; в) [0; 8]; г) [а-5; а + 3].
7.43. а) 1, 2, 3; б) нет таких значений; в) 2, 3, 4, 5, 6, 7; г) 0, 1, 2, 3, 4, 5.
7.44. а) (-оо; +оо); б) (-оо; +оо). 7.45. a) E(f) = [-5; +оо) при Ъ > -5; б) при
а > -7; E(f) = [-7; +оо). 7.46. а) При \а\ > 2л/3; E(f) = (-оо, -2л/з] и
и [2>/§; +оо); б) при \а\ < 2; E(f) = [-2; 2]. 7.47. а) (-оо; -4л/2] и
U [4>/2; +оо); б) (-оо; -8] и [4; +оо); в) (-оо; +оо); г) (-оо; +оо).
§8
8.4. а) (-оо; +оо); б) (-оо; +оо); в) (-оо; 0) и (0; +оо); г) (-оо; -7) U
и (-7; 2) и (2; +оо). 8.5. а) у = 1(χ) _ χ\ б) V(100 - *)(* - 101);
в) у = Ы0 - х; г) у = ^-(100 - χ)2. 8.6. а) у = (1_х)110_ху
л/l- я2, ч П ТТ7 ^ ч л/21 - jc2 - 4х
б) у = ■*—£—; в) у = у1(х - 1)(х - 2); г) у = ^—^
8.10. а) (-оо; 1) U (1; +оо); б) (-оо; 1) и (1; +оо); в) (-оо; -12) и (-12; -too);
г) i-oq il и ί|; +οο\ 8.11. а) [5; +оо); б) (-оо; 1]; в) (-оо; 2]; г) [-1; +<х>).
8.12. а) {1; 3}; б) (-1; +оо); в) (-оо; +оо); г) [0; +оо). 8.13. а) {0; ±2; ±4};
б) {0; 2}. 8.14. а) [3; +оо); б) (-оо; 0) и (0; +оо); в) (-оо; 36]; г) (-оо; 1) и (1; +оо).
8.15. а) [-3,25; +оо); б) ί-οο; 1з1
8.16. а) [-4; +оо); б) (-оо; +оо).
8.18. а) Убывает на (-оо; 0,75]; возрастает на [0,75; +оо); б) убывает на
(-оо; 1]; в) убывает на (-оо; -0,6]; возрастает на [-0,6; +оо); г) возрастает
на [-0,6; +оо). 8.21. а) Убывает на [5; +оо); б) возрастает на [1,5; +оо);
в) убывает на (-оо; 2]; г) убывает на (-оо; 0,75]. 8.23. а) Убывает на (-оо; 0];
298

возрастает на [0; +оо); б) убывает на (-оо; 0]; возрастает на [0; +оо); в)
убывает на (-оо; 1,5]; возрастает на [1,5; +°о); г) убывает на (-оо; 0]; возрастает
на [0; +оо). 8.24. а) Убывает на (-оо; -1] и на [0; 1]; возрастает на [-1; 0]
и на [1; +оо); б) убывает на (-оо; -3] и на [0; 3]; возрастает на [-3; 0] и на
[3; +°°); в) убывает на (-оо; -2] и на [1,5; 5]; возрастает на [-2; 1,5] и на
[5; +°о); г) убывает на (-оо; -4] и на [0,5; 5]; возрастает на [-4; 0,5] и на
[5; +оо). 8.27. а) Возрастает на (-оо; 0]; убывает на [0; +оо); б) возрастает
на (-оо; -3]; убывает на [-3; +оо); в) возрастает на (-оо; -1) и на (-1; 0];
убывает на [0; 1) и на (1; +оо); г) возрастает на (-оо; -2) и на (-2; 2]; убывает
на [2; 6) и на (6; +оо). 8.28. а) Возрастает на [-3; -1] и на [0; 2]; убывает
на [-1; 0] и на [2; 3]; б) возрастает на [-2; -1] и на [1; 3]; убывает на [-1; 1];
в) постоянна на [-3; -1); возрастает на [-1; 0) и на (0; 1]; убывает на [1; 2)
и на (2; 3]; г) убывает на [-3; -2), (-2; -1], [1; 2) и (2; 3]; возрастает на
[-1; 0) и на (0; 1]. 8.29. а) -0,5; 1; б) (-оо; -0,5) и (1; +оо); в) -8; 6;
г) [-8; 6]. 8.30. а) -2; б) [-оо; -2,5) и [-2^; -21 и (1; +оо). 8.31. а) -0,5;
-1 -^/17. _пк ι 832 а) _0 5; б) |_0>5; _1| 834 а) 1; б) 2; в) 3;
б)
8
-; -0,5
г) 1. 8.35. а) 9; б) т; в) 4; г) 0. 8.38. а) у =
4
Π»*
4
"8*
- 3, - 3 < χ < 0;
+ 2, 0 < χ < 3;
6)z/ =
> ~ *
- 2, -2 < χ < 1;
5,
9(Х
8.43. а) уиаиб = -73, уиаям = -148;
- I)2 - 2, 1 < χ < 4.
б) наибольшего значения нет; уиаюл = ζ/(0) = -100; в) наибольшего значения
нет; 1/наим = ζ/(4) = -148; г) наибольшего значения нет; уваим = ζ/(4) = -148.
8.44. а) z/наиб = 13; уИВ11М = -51; б) z/Ha„6 = 19; наименьшего значения нет;
в) Унаиб = 21; наименьшего значения нет; г) уИйИб = у(-3) = 21;
наименьшего значения нет. 8.45. а) 2; б) 2; в) «; г) 2. 8.46..а) уиаиб = 1; уиаим = -1;
б) ί/наиб = 0,5; уиаюл = -0,5; в) унаиб = 2,5; уиаим = -2,5; г) уиаиб = 3,5; уиаи1А = -3,5.
8.47. а) 2; б) 4; в) 4; г) если η
четное число, то уиаим =
\2
п(п+ 2),
если η
нечетное число, то уш
8.48. а) 1/наиб = ζ/(1) = 5(α + 1); ζ/Η1
= (η + 1)'
4
= ι/(-1) = 5α - 3; 6) z/Ha„6 = ζ/(2) = 4 - α; z/HaHM = ζ/(-1) = -5 - α.
8.49. а) Если -1 < α < 2, το ζ/Ηωι6 = ζ/(-1) = 5, ζ/ΗωΜ = ζ/(α) = α2 - 4α; если
2 < α < 5, το z/наиб = ί/(-1) = 5, ζ/ΗβΗΜ = ζ/(2) = -4; если α > 5, то уишб = у(а) =
== α2 - 4α, z/наим = ζ/(2) = -4; б) если 1 < α < 3, το z/HaH6 = ζ/(α) = -α2 + 2α - 3,
ί/наим = ι/(3) = -6; если -1 < α < 1, то уиаиб = ζ/(1) = -2, ζ/ΗβΗΜ = ζ/(-1) = -6; если
α < -1, то уиаиб = ζ/(1) = -2, z/HaHM = ι/(α) = -α2 + 2α - 3. 8.50. a) 3; 6) -2.
8.52. a) 0; б) 1; в) 0; г) корней нет.
299

§9
9.5. a) 7; 11; 13; 0; б) 0; 0; 0; в) 11; 11; 7; г) 0; 0. 9.6. а) /(1) > /(31);
б) /(11) > /(110); в) /(-17) = /(831); г) /(б + Щ) = /(^3 - б). 9.7. а) Да.
б) нет; в) нет; г) да. 9.17. а) — г) Нет. 9.18. а) — в) Нет; г) да. 9.19. а) -~
в) Да; г) нет. 9.20. а) Да; б) нет; в) нет; г) да. 9.21. а) 1; 1; 1; 1; б) 0,5;
0,5; 0,5; 0,5; в) 2; 2; 2; 2; г) |; |; |; |. 9.22. а) Т = 1; Τ = 3; б) Τ = χ.
Τ = т>; в) Τ = 20; Τ = 20; г) Τ = 12; Τ = 4,4. 9.24. а) Нет; б) может,
например: у = л/1 - 2{х}; в) нет; г) может, например: у = -рг. 9.25. а) Нет;
б) у = {х} + 6; в) нет; г) у = {х} + 8. 9.26. а) Нет; б) может, например:
■■>■№
у = {-х}; в) может, например: у = {х}; г) может, например
9.30. а) Наибольшее значение 5; наименьшее -2; б) наибольшее 5;
наименьшее -2; в) определить невозможно; г) наибольшее 5; наименьшее -2.
9.31. а) χ = 1 + 4fc, k е Ζ; б) (1 + 41; 4 + 41], I e Ζ. 9.32. а) х = -2 + 5*;
x = bl,keZ;leZ;6)(l + 5r, 2 + 5r], r e Ζ; в) х = 2 + 5ί, ί 6 Ζ; г) (-2 + 5η; 5η),
η е Ζ. 9.33. а) χ = 4fc, fc 6 Ζ; 6) χ 6 Д; в) χ = -3 + 2η, η е Ζ;
γ) (-3 + 41; -1 + 40, * € Ζ. 9.34. а) Существует, например: f(x) = 3 + \ίχ - \fx;
б) существует, например: f(x) = 3 + ν-* - ν-*· 9.35. а) Существует,
например: f(x) = 1; б) нет.
§10
10.7. а) Да; б) да; в) нет; г) нет. 10.9. а) у = —χ-^-; б) у = 2х - I9
2 + 4х 3jc + 1
в) у = ; г) у = -г —- 10.10. а) Да; б) нет; в) да; г) да.
Χ Δ — X
10,5л;, если χ < О,
1 л.
-«jc, если jc > и;
б)у =
-^l9ecjmx<29 [**, если * < О,
*+3 b)z/= 3
- , если χ > 2; [-jc, если jc > 0;
о
i0,5(jc - 1), если χ < 5, 0 -
г> У = о о >> к 10·13· а) ζ/ = *2 - 3, * > 0; б) ζ/ = 2 - **>
I 2jc - 8, если л: > 5.
300

ν2 + 1 3 - χ2
χ < 0; в) у = J t л: > 0; г) ζ/ = —g—, Jt < 0. 10.14. а) Может; б) не
может; в) может; г) может. 10.15. а) — г) Да. 10.16. а) Нет, не может
(если область ее определения не состоит из одного нуля); б) может; в) не
может; г) может. 10.17. а) Да, может; б) может; в) не может; г) может.
10.19. а) Нет; б) у = 4х\ в) нет; г) у = -yfx. 10.20. а) Нет; б) у = V* + 2;
JXJ) = [-1; 2); E(f) = [1; 2); в) нет; г) у = -Jx + 2; D(f) = [-2; 4]; E(f) = [-2; 0].
10.21. а) Нет; б) у = V* + 2 - 3; D(f) = [-2; +оо); E(f) = [-3; +оо);
в) у = - Jx + 2 - 3; D(f) = [-2; +оо); E(f) = (-оо; -3]; г) нет. 10.23. а) у =—£— ·
7 - jc
ι/ = jc + 6, на Д обратной функции нет; б) ζ/ = 5 - jc, у = —^—»
17 - jc
—s—, если Jt < 3: лс-5 у- Л „
^ в) у = —«—» У = v#, на Л обратной фукнции
5 - ху если jc > 3;
[2 - χ о
2 - jc —-—, если χ < 2;
нет; г) ζ/ = 3 - х, у = —j—, у = 7 10.25. а) /(*) = 7;
[3 - х, если jc > 3.
л: = 1 и g(x) = 3; х = 5; б) /(х2) = 25; корни: -3; 3 и g(x2) = 4; корни: -2; 2;
в) ДО = -7; ί = 1 и g(t) = 15; ί = -3; г) f(Sx) = 7; χ = tj и g(5 - *) = 7;
χ = 0. 10.33. а) Да; б) нет. 10.34. а) у =
■5, если χ < О,
б) нет;
■ -J, если jc > 0;
в) ι/ =
-|, если χ < 0, г/^ ^ χ < 0
г) нет. 10.35. а) у = i — б) нет;
,~, если х> 0; lv*. если * > 0;
[-V2 - лс, если χ < 2,
в) ι/ = S у г) нет.
I-V* - 2, если χ > 2;
§11
11.11. а) IV; б) II; в) III; г) I. 11.12. а) III; б) И; в) IV; г) IV.
11.13. а) 6; б) 8; в) 3; г) 5. 11.18. а) жп; б) ■$ + πη; в) -т + πη; г) —τ + πη.
301

11.19. а) 7 + "о"? б) ~7~· 11.20. a) g + πη; б) -"о + πη; в) ±-g- + 2π/ΐ;
г) ±g + 2πη. 11.21. а) ^; б) | + ^; в) ±j + πη; г) 5J.
11.22. а) 2πη < t < ■= + 2πη; б) πη < ί < -g + πη; в) -^ + 2πη < ί < -γ + 2π/ΐ;
г) -^ + πη < f < πη. 11.23. a) ^ + 2πη < t < -£ + 2πη; 6) —^ + 2πη <
< ί < -τ + 2πη; в) ■« + 2πη < t < -j- + 2πη; г) --j- + 2πη < ί < -χ + 2π/ι.
11.24. a) --j + πη < ί < πη; 6) πη < ί < -j- + πη; в) -τ + πη < t < -j- + π/ΐ;
, πη ^ π πη нн л_ ч π 2π 5π
γ) -γ- < ί < 7 + "ο"· 11-25. а) g + 2πη < t < -g- + 2πη; 6) 2πη < ί < -g- +
4π
π
+ 2πη; в) ^ + 2πη < t < -g- + 2πη; г) -^ + 2πη < t < -g + 2π/ι.
11.26. a) - g + 2πη < ί < -g + 2πη; 6) --g- + 2πη < ί < g + 2π/ι;
5π 7π 11π
β) --g- + 2πη < t < 2πη; r) -g- + 2πη < t < -g- + 2πη. 11.29. a) πη;
-ч πη ч π ν πη „ ΟΛ > πη, π πη ч 2πη. π
6) -γ; β) "2 + πη; r) -tj-. 11.30. a) -g-> ο) -τ + -tj-; в) —g-> г) ± д + πη.
-i-i o-i ч π ^πη. πη. π πη. πη _ 00 .π
11.31. a) gQ + -g-, 6) -g-, в) γ2 + "3"' Γ) χ· И·32·
6
_ ^с 2π.
15' 15'" 5'
*ч ^π ^3π. ч π 3π. . 3π ^2π _^5π лл 00 ч , π 5π 7π.
6) ±8' ±_8~' Β) ~ 8' ~8~' Γ) ±Τ' * 21' * 21' η·33· а) ±6' "б"' ~6~'
*\ Ε ϊ™. \ +Ε 3π 5π тс _π_ 7π 5π.π 13π 2π 7π
°) 4' 4; Β)±4' 4' 4; Γ)"3' 12' 12' 12' 6' 12' 3' 6*
11.34. а) -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6; 6) -1,5; 0,5; 2,5; 4,5; в) -3, -1, 1, 3, 5.
ч Λ Λ λ Λ ολ Α!>.
r)-23, -lg, 3, 1β> 33> 4β.
§12
12.6. a) J, ψ, 6) ^, ψ; в) ψ, г) -J, ^. 12.8. a) * < 0, у > 0;
6) jc < 0, у > 0; в) χ < 0, ζ/ < 0; г) χ > 0, у > 0. 12.9. а) х > 0, ζ/ < 0;
б) jc < 0, у < 0; в) χ > 0, ζ/ < 0; г) χ > 0, у < 0. 12.10. а) х < у; б) jc < у;
в) х> у; г) χ < у. 12.11. а) |*| > \у\; б) |*| < \у\; в) |*| > \у\; г) |*| < |у|·
12.20. а) ^ + πη; б) --g + πη; в) -^ + πη; г) g + πη. 12.21. а) -^ + 2πη <
π Λ ^. π Λ 5πΛ νπ« π«.
< ί < -ρ + 2πη; 6) 3 + 2πη < t < -g- + 2πη; в) --g + 2πη < ί < 3 + 2πη,
302

г) f + 2πη < t < у + 2πη. 12.22. a) --g- + 2πη < t < у + 2тт; б) ^ +
7тг Qtt ^тг 2lC
+ 2тш < ί < -τ- + 2тт; в) у + 2тш < ί < -χ + 2тш; r) -у + 2тш < ί <
2π 7π π
< "ο" + 2πτι. 12.23. a) 2πτι < t < π + 2πη; 6) -у + 2πτι < ί < g + 2πτι;
в) л + 2πτι < ί < у + 2πτι; г) -π + 2πτι < ί < 2πτι. 12.24. а) -tj + 2πτι <
< / < у + 2πη; 6) —^ + 2πη < t < ^ + 2πτι; в) у + 2πτι < t < у + 2πτι;
Γ) -g + 2πη < t < -g- + 2πτι. 12.25. a) -ττ + 2тш < t < 2πη; 6) ^ + 2тш <
7π л ч π Λ 3π 2π 5π
< ί < -g- + 2πτι; β) τ* + 2πτι < * < у + 2π/ι; r) у + 2тт < ί < у + 2тш.
12.26. a) —j- + 2πη < t < ^ + 2тш; б) 2πτι < t < ^ + 2тш; π + 2πη < t <
Отг Отг 7тг -ττ -ττ
< -τ- + 2тш; β) у + 2πη < t < у + 2πη; г) 75 + 2πτι < ί < π + 2тш; -ττ +
+ 2πη < t < 2πη. 12.27. a) ^ + 2πη < ί < 2π + 2тш; 6) -π + 2πη < t < ^ +
+ 2тш; в) ~ + 2πτι < t < π + 2πη; τ) 2πη < t < у + 2тш. 12.28. а) -^ + 2тш <
π я π я 5тс
< ί < --ο + 2тш; -ο + 2πη < t < — + 2тш; 6) 75 + 2πη < ί < у + 2тш; в) 2πη <
7π 11π Λ 5π Λ ^ ^ π
< t < π + 2πτι; у + 2тт < t < —g- + 2тш; г) -у + 2тш < ί < ^ + 2тш.
12.29. а)т5+Я71<£<у+ πη; 6)-j+nn<t<-r-+ πη; в) -75 + тт <
3 + Я/1; Γ)~Τ+π/ΐί"4+ πη*
§13
13.19. а) 3; 5; б) 3; 4; в) ^; т^; г) 1; 2,5. 13.21. а); б); в) Минус;
г) плюс. 13.22. а); в); г) Минус; б) плюс. 13.23. а); б); г) Минус; в) плюс.
13.24. а) Минус; б); в); г) плюс. 13.25. а) Плюс; б) минус. 13.26. а) 0;
б) 0. 13.31. а) | + πη; б) ±| + πη; в) πη; г) | + ψ. 13.32. а) Да; б) нет;
в) да; г) нет. 13.33. а) х > |; б) χ < -2; χ > 2. 13.34. а) х < т^; б) -3 < χ < 3.
13.35. а) χ < 1; б) -6 < χ < 6; в) χ > 1,4; г) -оо < х < +оо. 13.36. а) а > Ь;
б) а < Ь; в) а > Ь; г) а < Ь. 13.37. а) а < Ъ; б) а > Ь; в) а < Ь; г) а < Ъ.
303

л 0 OQ ч . 4π . 7π . π . π . 2π 5π 5π π
13.38. a) sin -q-> sin -g-> sin γ> sin -f> sin -q-> o) cos -g-» cos -j-, cos ■»,
cos -j-, cos g· 13.39. a) cos 4, sin 3, cos 5, sin 2; 6) cos 3, cos 4, cos 7, cos 6;
в) sin 4, sin 6, sin 3, sin 7; r) cos 3, sin 5, sin 4, cos 2. 13.40. a) cos 1, sin 1,
1, tg 1; 6) ctg2, cos 2, sin 2, 2. 13.41. a) 0,5; 6) 0,5. 13.42. a) -1; 6) l'
4я я
13.43. a) 2πη < t < π + 2πη; 6) --g- + 2πη < t < ^ + 2тт; в) -π + 2πη < t <
< 2тш; г) -о + 2π/ι < t < -g- + 2тш. 13.44. a) -^ + 2πτι < ί < -^ + 2тт; б) ~ +
+ 2πη < t < -j- + 2тт; в) ^ + 2πτι < ί < -γ + 2πτι; г) -^ + 2πτι < ί < ~ +
+ 2πη. 13.45. a) -g- + 2тш < ί < -g- + 2πη; 6) -^ + 2тш < t < -^ + 2π/ι;
β) -g + 2тш < t < -β- + 2πτι; г) -τ- + 2тш < ί < -τ- + 2πη. 13.46. а) --тг +
5π Λ ^ 2π 4π ч 5π η
+ 2πη < t < -Q- + 2πτι; 6) -g- + 2тт < ί < -g- + 2тт; в) -g- + 2тт < * <
7π ч 2π 2π л „0 лт ч 7π _ ^ ^ π
< -g- + 2πη; γ) --g- + 2тш < t < -g- + 2тш. 13.47. a) --g- + 2тт < ί < g +
+ 2тш; 6) --j- + 2πτι < ί < -τ- + 2πη; в) -g + 2πη < ί < -g- + 2πη;
г) ^ + 2πη < ί < -£■ + 2тш. 13.48. а) 2тт < ί < g + 2тш; -g- + 2πη < t <
π 2π 4π 3π
< π + 2πτι; 6) -~ + 2πτι < ί < -g- + 2тт; -g- + 2πη < t < -γ + 2πη;
2π
5π
в) --τ + 2тш < ί < -ό + 2тш; -q- + 2πη < t < -τ- + 2πτι; г) -τ + 2πτι < ί <
< -g + 2πη; --g + 2тш < t < —χ + 2тш. 13.49. a) -g + 2πη < t < π + 2πη;
6) ■« + 2πη < t < -g- + 2тт; в) g + 2πη < t < -τ- + 2тт; --j + 2πη < t ^
6
тс
3
< - ^ + 2πη; г) -^ + 2πη < t < -τ + 2тш. 13.50. а) πτι < ί < ^ + π^»
6) ^ + 2πη < t < -γ + 2π/ι; ί = 2πη; в) π + 2πη < t < -γ + 2π^ί
■у + 2πη < t < 2π + 2тш; г) ί 7t ?γ .
304

§14
5 12 5 24 7
14.17. a) sin t = -To» cos t = -To» tg t = yx; ") sln t ~ 25' cos t = 25'
24 ч 12 5 12. ч . 15 8
tgt = -ψ\ в) sin t = -To» cos t = jo> tg t = - "F-» r) sin t = -jy» cos ί = -Ту»
tgi = -^· 14.18. a) -|; 6) ^. 14.19. a) -^, 6) -1,4. 14.20. a) -0,18;
б) 4. 14.21. a) 0,792; 6) -2,475. 14.22. a) 3,29; 6) 5,267. 14.23. a) 1; 6) |;
в) \; г) |. 14.24. a) -|§; 6) ^. 14.25. a) 1,4; 6) 1. 14.26. a) 5; 6) ^.
14.27. a) -f; 6) -f. 14.28. a) -J; 6) 0. 14.29. a) ^2j2> 6) jf^
a4 as 3a2 + 2 2 - 3a - 5a2
B) abf; Γ) aW14·30·a) ~^~: 6) ι + α2 ·14·31·a>0;
6) ^q77· 14.32. a) 3 sin t; 6) 3 cos t. 14.33. a) sin -~; -~; sin 777; 6) cos 1,1;
|; cos 1. 14.34. a) -6; -2; 6) -5; l|; в) -3; 6; г) -7; 2.
§15
15.7. a) sin 160°, sin 40°, sin 120°, sin 80°; 6) cos 160°, cos 120°,
cos 80°, cos 40°. 15.8. a) sin 1000°, sin 210°, sin 380°, sin 830°; 6) cos 920°,
cos 460°, cos 650°, cos 390°. 15.9. a) sin 990°, cos 990°, sin 22,5°, cos 37,4°;
6) tg 100°, cos 94,3°, sin 77°, ctg 225°. 15.13. ВС = 8 см; АС = 4 (>/з + l) см;
S = 8 Ш + l) см2. 15.14. a) 25^ ^ см2. 15.15. a) sin 15° = ^ - V5
О 4
cos 15° = ^J-Jl; 6) sin 22,5° = ^ " ^ , cos 22,5° = ^2 + ^ .
15.16. a) 1; 6) 3. 15.17. a) 1; 6) 0. 15.18. a) 45,5; 6) 90. 15.20. a) n = 1, 2,
3, ... , 179; б) ни при каких; в) η > 180. 15.21. а) п = 1, 2, 3, ... , 89;
б) ни при каких; в) η > 90. 15.22. а) При любых η е Ν, кроме чисел вида
η = 360fc, n = 360fc - 1, k e N; б) ни при каких; в) п = 360fc, n = 360fc - 1,
h e N. 15.23. a) η = 1, 2, 3, ... , 178; 6) η = 180, 181, ... , 359; в) п = 360fc,
л = 360fc - 181, k g N. 15.24. sin 18° = ,~ *; cos 18° = V10 + 2>/5 ■
4 4
sin 36° = VlO - 2v/5 ■ cos 36° = ^il.
4 4
305

§16
16.10. а) Четная; б) нечетная; в) четная; г) нечетная. 16.11. а)
Нечетная; б) четная; в) нечетная; г) четная. 16.12. а) Нечетная; б) четная·
в) нечетная; г) четная. 16.13. а) Четная; б) нечетная; в) четная; г)
нечетная. 16.14. а) [-1; 1]; б) [-1; 1]; в) [-1; 1]; г) [-1; 1]. 16.18. а) я; б) ^;
8π
в) 4π; г) -у. 16.19. a) sin (8 - 2π); б) cos (-10 + 4π); в) sin (-25 + 8π);
г) cos (35 - 10π). 16.22. a) [-2; 2]; б) [0; 625]; в) [-1; 5]; г) [0; 25].
16.23. а)
|; l]; б) [-4; -1]; в) [-1; -±]; г) [3; 5]. 16.24. а) [3; 15];
б) [1; л/3]; в) [i|; 4
; г) [0; 2]. 16.25. а) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9; б) 0, 1,
2, 3; в) 1, 2, 3, 4, 5; г) 3. 16.26. а) 5; 2πη < χ < g + 2πη; -цг +
2π
4π
+ 2πη < χ < π + 2πη; η e Ζ; 6) 4; -χ + 2πη < χ < -g- + 2πη; -g- + 2πη <
Чтг 1 Я 1
< х < -γ + 2тт; neZ. 16.32. a) -g> -g б) уиаим = —g, уиаим не существует;
в) ^-=2^; |; г) |; -|. 16.35. а) 1,5; 2,5; б) 0,5; 2,5; в) 0,5; 2,5;
π 5π
г) ι/наим = 1; ί/наиб не существует. 16.44. а) - g + 2πη < л: < -g- + 2тш, η е Ζ;
~ 5π Λ ^ ^ 11π Λ „ ,Λ^ , 5π Λ ^ ^ 11π
6) -g- + 2тт < χ < -g- + 2πη, η ε Ζ. 16.45. a) -g- + 2πη < jc < -g- + 2πη,
η e Ζ; 6) - g + 2тш < χ < -g- + 2тш, η ε Ζ. 16.48. a) -π; 6) 0; в) О; г) π.
16.49. а) ±^; 0; б) -|; в) |; г) нет корней. 16.50. а) |; б) π; в) |; г) 0.
16.51. а) -|; б) 0; в) 0; г) |. 16.52. а) 0; б) |; в) π; г) 0. 16.53. а) 2;
б) бесконечное множество; в) 0; г) 1. 16.54. а) 0; б) бесконечное множество;
в) 2; г) 2. 16.55. а) ^ + πη; б) -^ + πτι. 16.56. а) |, -gS б) |, -g-·
3π 5π 5π π
16.57. a) χ = 0; 6) χ = -γ. 16.58. a) * < --gS 0 < χ < -gS 6) χ > tj-
306

§17
17.11. а) у = 2 sin χ + 1; б) у = -1,5 cos χ + 2; в) у = -0,5 sin x - 2;
г) ζ/ = 3 cos χ - 0,5. 17.12. а) у = -sin Ι χ - ^ ; б) у = 2 cos χ + ^ ;
B) ζ/ = 1,5 sin (χ + ^X г) ζ/ = -3 cos ίχ - Щ\
Ιχ , если χ < 0,
ι · Λ< < б)у=
— sin χ, если 0 < χ < π;
1,5 cos χ, если - ^ < χ < ^,
π π
χ- -ρ, если χ > -ρ.
π 5π π 5π π
17.15. a) g, -gS 6) ±g- 17.16. а) х < 0; χ > 0; б) --g- < χ < - g.
§18
„Λ „Λ ч ί-χ, если χ < 0, ^ч .
18.10. а) у= . ' ' 6)ζ/ =
Isin2x, если χ > О,
cos Зх, если -?<*<£,
о о
-1, если χ > ^;
г · Q/v. «лтттх <*· ^ η f-2 sin χ, если - 2π < χ < 0,
IsinZx, если х < U, ' '
в) у = < г) у = ·{ χ
[2cosx, если χ > 0; cos-~, если χ > 0.
18.11. а) Возрастает на 0, ^ I, убывает на -«, ?> » б) убывает на -1, ~ ,
возрастает на \~9 0 1; в) возрастает на -^, -^- , убывает на -^-, -τ? ,
возрастает на
Γ7π 3π
[б9 2
3π 5π\
2 ' 3 J'
г) убывает на 3,
7π1
~6">
, убывает на
возрастает на -^, 4 1. 18.12. а) Возрастает на [0, 2π], убывает на 2π, -~- ;
б) убывает на (-3; 0], возрастает на [0; 2); в) убывает на —^, 01,
возрастает на 0, ^ I; г) возрастает на (3, 2π], убывает на [2π, 9).
307

18.13. a) ^ + Зтш < χ < ^ + Зтт, и e Ζ; 6) -^ + 3πτι < χ < ^5 +
„ ,0,, ч 2π ^ш ^ ^ 4π 4тт „ ^ч 4тт
+ 3πη, η g Ζ. 18.14. a) -g- + —g- < χ < -g- + —g- ,neZ;6) —g- < * ^
< ΊΓ + ΊΓ' л G z 18·18· a) 1i» 2' 2Ϊ; 6) i
19.5. a)y = 2 sin ffcc + g\ 6)z/ = -l,5sin i| - |\ 19.6. а)у = -2 cos ^;
6) z/ = 3 cos i2x + ^\ 19.7. a) ψ +4πη<:Χ<: ψ + 4тт, η e Ζ; 6) -| +
+ 4πτι < jc < -ρ- + 4πτι, η e Ζ. 19.8. a) -~g~ + π/ι < jc < --g + π/ι, η е Ζ;
π π
6)--g + тш < jc < τ* + тш, η ε Ζ. 19.9. a) 4π; 6) π. 19.10. а) Убывает на
0, -яг L возрастает на -^, 2π ; б) убывает; в) возрастает на —-г-, -^ ,
убывает на ~9 0 ; г) убывает. 19.11. а) Убывает на 0, ^ , возрастает
7^, -τ? ί б) возрастает; в) возрастает на --г§> -5 к убывает на
_я 0 ; г) убывает на [-1, £, возрастает на ΐ 11 19.12. a) --g
на
2π
2π 13π
+ 4πη < α < 4πτι, re e Ζ; 6) ττ + 4π/ι < α < —g- + 4πτι, η ε Ζ.
19.13. a) g < а < -г; б) α = -τ- + —-г-, η е N.
§20
20.6. а) Ни четная, ни нечетная; б) нечетная; в) четная; г) нечетная.
20.7. а) Нечетная; б) четная; в) четная; г) ни четная, ни нечетная.
20.8. а) Нечетная; б) четная; в) нечетная; г) нечетная. 20.11. а) -~; б) 3π;
308

ρ) ί; г) Щ. 20.12. a) π; 6) 2π. 20.15. а) Минус; б) минус; в) плюс; г) ми-
нус. 20.21. а) Возрастает на —■= + пп; -g- + πη , η е Z;
б) убывает на —о + ли; -«- + яд , η е Ζ;
в) убывает на —j- + яд; -j + яд , ne Z;
г) возрастает на ^ + яд; -^- + яд , η е Z.
20.28. а)--р + π/ι < Jt < -j + πη; б) π/ι < Jt < g + πη;
в) -g + π/ι < jc < -р + πη; г) -j- + π/ι < jc < π + πη. 20.29. а) 2πτι < χ <
< ·= + 2πτι; π + 2πτι < χ < -g- + 2πτι; 6) --j- + 2πτι < jc < 2πτι; -j + 2πτι <
5πΛ4πΛ 7π_4_ π Λ
< χ < -g- + 2πτι; в) -я + 2πτι < jc < -g- + 2πη; г) 2πτι < χ < -τ + 2πτι;
3π 5π Λ 11π
-τ- + 2πτι < jc < -g- + 2πτι; π + 2πτι < χ < -g- + 2πτι.
§21
21.3. a) [-1; 1]; 6) [2; 3]; в) [-2; 2]; г) [-2; -V2] u [V2; 2].
21.4. а) Да; б) нет; в) нет; г) да. 21.5. а) [-π; π]; б) [-2π; 2π]; в) [0; π];
г) [0; 2π]. 21.6. а) Нечетная; б) четная; в) ни четная, ни нечетная;
г) нечетная. 21.16. а) |; б) ^; в) |; г) Щ. 21.17. а) 0; б) |. 21.18. а) ^-;
б) ψ; в) 0; г) Ц-. 21.19. а) Ц-; б) 1; в) -ψ; г) >/3. 21.21. а) [-1; 1];
б) [0; 2]; в)
[-■§; |1; г) [1; 2]. 21.23. а) [0; 2π]; б) [-|; π]; в) [-|; θ];
г) [-π; π]. 21.24. а) Четная; б) нечетная; в) ни четная, ни нечетная; г)
нечетная. 21.33. а) |; б) Щ; в) |; г) -g. 21.34. а) —тр б) -тр в) π; г) π,
309

21.35. a) -^-; б) -^; в) 1; г) -1. 21.36. a) 1; б) |; в) -^-; г) ^.
21.37.а)[-1;1];б)[0;2];в) Γ-Ι; olui(>, |1; r) [-V2; V2]. 21.38. а)
Нечетная; б) четная; в) ни четная, ни нечетная; г) ни четная, ни нечетная.
21.39. а) (-π; π); б) ί-|; θ\ в) ί-|; π\ г) (0; 2π). 21.46. а) Щ; б) |;
15 3 4 12 3 4 3 12 3
в) yfl г) - ^ 21.47. а) ^ б) --g-; в) ^ г) 3· 21.48. a) gi б) ^; в) |;
\2 R 1 2
г) ^. 21.54. a) ^j-; б) нет корней; в) 1; г) —^ 21.55. а) 0; 1 д5 б) 3;
в) |, 3; г) 0; 3; 5. 21.56. а) 4; б) |. 21.57. а) ^-, -1; б) -^, V3; в) ±;
г) ±1. 21.58. а) -1,5; б) 9; -1; в) нет корней; г) 2; 3. 21.59. a) № " \
б) ^; в) 1; г) \^f^. 21.60. а) -К χ < -Ц-; б) х> -1; в) -1 < χ < 1;
г)*>-73. 21.61. а)-^ <*< Ц-; б)*<-^, *> ^-; в)-1<*<^;
г) jc > ^. 21.62. а) -К χ < ^-; б) χ < -^; χ > >/3; в) -| < χ < |;
г) χ < -1; χ > 1.
§22
π 11π. 8π 10π. . π π 7π 9π. ,. οοκ 4.2π^
22.3. a) g, -g-· 6) -g-, -д-, в)-^, j, -ρ -ρ τ)±π. 22.5. а) ±-д- +
( 1λ Ι π 5π.
+ 2π/ι, larccos ~д + 2πη; б) larccos -g + 2πη. 22.6. а) д> -д"»
_ π π 7π 9π 15π 2π 4π 8π. 5π ,3π 00 _ ч 0 лч Q
б) "4* 4* τ* τ* ~τ~; Β) Τ' Τ' Τ'Γ) ±τ9 ±τ·22·7·а) 2; 6) 3·
22.11. а) (-1)"^ + πη, ±-# + 2πη; 6) ^ + πη, (-l)narcsin д + πη;
в) (-l)narcsin| + πη, πη; г) j + ^-. 22.12. a) (-l)n| + πη;
(-l)n+1arcsin д + πη; б) -| + 2πη. 22.13. a) (-l)n+1| + πη; 6) ±-^ + 2πη.
310

π 5π 13π. ^ π 7π 11π. 5π π 3π ч 3π π
22.15. a) g, -g-, -g-, 6) -g, -g-, -g-, в) --1-, p -|-; r) --^, -^,
£p ^. 22.16. a) 3; 6) 2. 22.25. a) ^ + 4πη; 4πη; б) | + 3πη; в) -тр,
■| + —о-; г) --£ + 4πη. 22.26. а) т? + πτι; 6) π + 2πη; в) 8πη, --д- + 8πη;
π 2πη 2πη π π 3π 11π 17π 19π. ,_π_ 11π
Γ> 6 + 3 ' 3 " ^·Λ· а) Ϊ2* 4' Τ* ~Ϊ2~' ~Ϊ2~' 12 ' 6)±18' * 18 '
13π. π 7π 5π. 3π 7π Ππ 15π π 5π 7π.
±18"' Β) 3' 3 ' " 3 ' Γ) 16' 16' 16 ' 16 ' 22·28· а) "6' " 6 ' 6 '
^ч Λ Ο Α ΛΛ ΛΛ 4 Ο Λ Ο >! * 4 1 ^ l^TC 5Я 13Я 7Я
б) 0, 2π, 4π. 22.29. а) -2π, 0, 2π, 4π; б) ^-, -утр ^, Цр ~5~·
~ ΛΛ ν 7π. ^ν π 7π. ν π ν π ΛΛ Λ^ ν π. ^ν Λ π 4π.
22.30. a) -g-; 6) -g, -g-; в) -g, г) -g. 22.31. a) gi 6) 0, g, π, -gS
в) --зр г) --g^, 0, ^· 22.32. а) -3, | + 2пп (п = 0, 1, 2, 3, ...), -| + 2пп
(п = -1, -2, -3, ...); б) 6, -д~> -д~, ±д + 2πη (л = 2, 3, 4, ...), ±-д~ + 2пп
(п = 0, -1, -2, ...). 22.33. а) 0, π, -π, 4, -4; б) 1; |, -^, ±| + 2πη (η = ±1, ±2,
π 5π 1 2π π
±3, ...); в) д> -д~> 0, 7; г) 1, 1т>> ~о~ + 2πη, /ι е Ζ; д + 2πη (η =±1, ±2, ...).
π
22.34. а) χ * ±д + 2πη; 6) χ * πη; в) χ > Ο, χ * π/ι (η = Ο, 1, 2, ...); г) χ > 5,
χ * | + π/ι (η = 2, 3, 4, ...). 22.35. а) {-1, 1}; 6) {-1, 1}. 22.36. a) {-l, 1};
-ч f V2 V2l 00 ο- ч .π _ π π 4χπ πη ,
6) J—2~, -γ\. 22.37. а) ±7 + πη; 6) -^ + πη, д + πη; в) ±ττ + -75-; г) πη,
-j- + πη. 22.38. а) 2, πη; 6) ^ + πη. 22.39. а) 3, πη; 6) -2, ^ + πη.
22.40. а) 1, 4, πη; 6) -5, -7, ^ + ^. 22.41. а) 8; 6) 7. 22.42. а) -| + 2πη <
< t < д + 2πη; 6) -τ- + 2πη < t < -j- + 2πη; в) —j- + 2πη < t < -j- + 2πη;
ч π 5π 2 2
г) д + 2πη < t < -д- + 2πη. 22.43. a) arccos τ» + 2πη < t < 2π - arccos д +
+ 2πη; б) -arccos —= + 2πη < t < arccos —= + 2πη; в) -arccos д + 2πη <
< t < arccos д + 2πη; г) arccos —= + 2πη < t < 2π - arccos —= + 2πη.
311

< t < τ* + 2πη, arccos -g + 2πη < t < 2π - arccos τ> + 2πη; в) -arccos | —5 | +
22.44. a) arccos —5 + 2πη < ί < 2π - arccos —5 + 2πη; б) -■« + 2кп
+ 2πη < t < arccos —5 + 2πη; г) -arccos -5 + 2πη < ί < --g + 2πη,
π _ ^ ^ 1 _ .... ч π 2π w
-g + 2πη < ί < arccos τ> + 2πη. 22.45. a)-gH^n<i<-g- + πΛ; 6) -— +
+ 2πη < t < -arccos -g + 2πη, arccos -g + 2κη < t < ·= + 2πη; в) -arccos -5 +
+ πη < t < arccos τ> + πη; г) ■_ + 2πη < t < -=- + 2πη, -arccos τ> + 2π/ι <
< ί < arccos -g + 2πη. 22.47. a) -π - arcsin -g + 2πη < t < arcsin -g + 2nn;
6) -arcsin 0,6 + 2nn < t < π + arcsin 0,6 + 2nn; в) arcsin -g + 2кп < t <
< π - arcsin g + 2πη; г) π + arcsin 0,6 + 2πη < t < 2π - arcsin 0,6 + 2πη.
22.48. a) π + arcsin 0,8 + 2πη < t < 2π - arcsin 0,8 + 2πη; 6) -arcsin 0,8 +
π 2
+ 2πη < t < π + arcsin 0,8 + 2πη. 22.49. a) -g + 2πη < t < arcsin -g + 2πη;
2 In 2 2
π - arcsin -о + 2πη < t < -g- + 2πη; 6) arcsin -о + 2πη < t < π - arcsin -о + 2πη;
7π Λ 11л _ ΛΛ „Λ ν π π
-g- + 2πη < ί < —g- + 2πη. 22.50. a) -·= + πη < χ < j; + πη; 6) πη < χ <
< -ρ + πη; β) --χ + πη < л; < πη; г) πη < лс < -τ- + πη. 22.51. a) --« +
+ πη < jc < arctg 3 + πη; 6) πη < χ < arcctg -g + πη; в) arcctg 2 + πη < лс <
< π + πη; г) -arctg -χ + πη < χ < τ> + πη. 22.52. a) --^ + πη < jc < -arctg 3 + πη,
arctg 3 + πη < χ < ■_ + πη; 6) -^ + πη < χ < ·= + πη, -j +πη < χ < -^ +πη;
7π
β) -arctg 3 + πη < jc < arctg 3 + πη; г) πη < jc < arctg 2 + πη. 22.53. a) - γ^ +
π ^ν 1 1 πη π 1 1 πη.
+ πη < jc < γ^ + πη; 6) -τ arccos 3 + ~9~ <JC"2~"4 arccos 3 + ~9~'
312

π 2πη π 2κη, ч η 1 1
Β) ""18 + ~~3~ < χ < 18 + ~~3~' Γ) а*"013111 7 + π/ι < л: < 2π + 2 arcsin γ +
+ 4πη. 22.54. a) g + -~ arcsin -ο+πτι<Λ;<-ο---2 arcsin 75 + πη; 6) -χ +
ч π 1 f 1^ 2πτι π
+ 2πη < χ < 2π + 2πτι; в) То ~ з arccos \~~д + ~~3~ < χ < 18 +
+ -q arccos —J + —ο-; γ) Yg + 2πτι < χ < -утг + 2πτι. 22.55. a) 2πη <
< jc < -χ + 2πτι; 6) -"ό + 2πη < лс < 2πτι, 2πη < χ < g + 2πτι;
в) "g" + 2πη < χ < -τ- + 2πτι, -τ- + 2πτι < jc < -j- + 2πτι, --j + 2πτι <
< jc < τ* + 2πτι; γ) -^ + 2πτι < χ < 2πτι, 2πη < χ < ^ + 2πτι. 22.56. a) - g <
<χ<2;6) j < χ<1. 22.57. а) πη; б) ^ + πη. 22.58. а), б) Нет решений.
22.59. а) 0 < а < 1; б) 0 < а < 0,5, 2 < α < 2,5; в) tj < α < 1; г) -2 < α < - V2,
л/2 < а < 2. 22.60. а) -| < α < tjJ б) -1 < α < tj. 22.61. a) g +
/ 1чп 1 · fl ~ 1 π/ι ^ л « ^ л
+ (-1) -χ arcsin ι + -„-, если а > 0; нет решении, если α < 0;
π 2α - 1
б) --ρ ±2 arccos о + 4πτι, если -1 < а < 1; нет решений, если а < -1
1 15
или α > 1. 22.62. а) ±т? + и, η е Ζ; б) ±arccos у^ + 2πτι, ±arccos j^ + %ш>
larccos "То + 2πη, ±arccos "То + 2πΛ· 22.63. а) -2 < χ < 0,
χ = 2; б) -1 < χ < |, jc = 2. 22.64. а) -2 < а < 2; б) 1 < а < 2.
22.65. a) -arcsin -f + 2πτι < χ < arccos -75 + 2πτι; 6) π - arcsin 7? +
π
+ 2πη < χ < 2π - arccos 0,6 + 2πτι. 22.66. a) arctg 1,5 + 2πη < χ < tj + 2πη;
+ arctg 1,5 + 2πτι < χ < -~- + 2πη; 6) ■=■ + 2πτι < χ < arccos —= +
π
π
+ 2πτι; -·= + 2πτι < χ < arctg (-0,1) + 2πτι. 22.67. a) arcsin (-0,8) + 2πτι <
2π 4
< χ < 2πη; -q- + 2πη < χ < π + 2πη; 6) arccos q + 2πη < χ < arcctg (-3) + 2πη;
313

π + 2πη < χ < 2π - arccos g + 2πη. 22.68. a) —^· <χ< —г?г'> -Ш <χ<
^ π . 5π 13π. 17π ^ . κ _ κ ^ ^ 3π. 4π 5π .
< 12' 12 < * < 12"; 12" < * < 5; 6) "5 < * < "Τ; "Τ < * < -~6";
~~3~ < * < ~ 6' ° < * < 1β
§23
23.1. a) (-1)η + 1 arcsin 3 + πη; 6) (-1)η + 1 \ arcsin 3 + у;
β) (-1)" arcsin -τ + πη; г) π + 4πη; (-1)" g + 2πη. 23.2. a) ±-5- + 2πη;
1 2π 2π& 2π
±arccos -q + 2πη; 6) ±-g- + ~~ο~> β) π + 2πη; г) ±π + 6πη. 23.3. а) ±-«- +
ο ^ it ч π 0 / ινη .1 χπ 2πη
+ 2πη; 6) ■« + π/ι; в) ■« + 2πη; (-1) arcsin 5 + πη; г) тт + "~ο~·
ΛΟ . ч π , 1 _ π πη 1 , - πη ч , 1
23.4. а) - -τ + πη, arcctg 3 + πη; 6) g + -5-, -5 arcctg 5 + -γ; в) arctg -5 +
+ πη, -arctg 2 + πη; г) -γ + 2πη, 2 arcctg γ + 2πη. 23.5. a) -τ + πη, -arctg 2 +
+ πη; 6) --j + πη, arctg -« + πη; в) arctg 2 + π/ι, -arctg 3 + πη; r) -j- + πη,
3 ΛΛ Λ ν , 5π . ^ν π ν πη π πη.
arcctg -τ + πη. 23.6. a) π + 2πη, ±~ο~ + 4πη; ο) ^ + πη, πη; в) -тг» q + -о-»
ч тс π/ι π πη ло _ ч , л νη + 1 π -ч . 5π п
г) -J2 + -у» "4 + Τ" 23·7· а) (_1) 4 + Я/1; б) ±_6~ + 2тш'
лл л ч π . π /-ч π πη ι π πη «о л ч πη /-ч πη
23.8. а) -^ + πη; ± 3 + πη; б) ^ + -j-, ±γ^ + "о"· 23.9. а) -=-; б) -у,
~6 + У' 23.10. а) πη; б) ^ + 2πη; в) "о-; г) 2πη. 23.11. a) arctg -τ +πη;
2 я π
б) arctg -о + πη; в) -arctg 2,5 + πη; г) -~ + πη, arctg 3 + πη. 23.12. a) - 3 + πη;
6) --j + πη; в) arctg 3 + πη; г) - g + πη. 23.13. a) πη, --j + πη; б) -~ + πη,
-д + πη; β) πη, arctg 3 + πη; г) -~ + πη, -ό + πη. 23.14. а) -τ + πη,
-arctg 3 + πη; 6) -τ + πη, arctg 3 + πη; в) -j + πη, -arctg 2 + πη; г) —χ +
^ ΛΛ - ~ ν π πη ^ν π πη.
+ πη, arctg 3 + πη. 23.15. a) g + -5-; ο) Tg + "«г» в) -g" + 2πη;
314

π πη «ο *Λ ν 1 χ Λ πη 1 , 1 πη _ 1 , 0
γ) 51 + 17" 23·16· a) 2 arctg 2 + ΊΓ' 2 g 2 + ΊΓ; * "3 arctg 3 +
πη 1 .1 πτι ΛΛ ^ _ ν , 2π _ ^ , π πη
+ -ό"> -β arctg 75 + "ο"· 23.17. a) ±-g- + 2πη; ο) ±yg + -j-.
23.18. a) arctg 5 + πη, -arctg τ> + πη; 6)--j + πη, arctg 2 + πη; в) -j + πη,
-arctg -~ + πη; г) —τ + πη, arctg 3 + πη. 23.19. a) ■=■ + πη, - g + πη; 6) πη,
χ ι ι- лл «л ч π πη Ι , л πη -4 πη Ι , ., _ ,
-arctg 1,5 + πη. 23.20. a) - g + -у, ^ arctg 2 + -g-; 6) -^-, --j arctg 1,5 +
+ ^p 23.21. a) -| + 2πη, 2 arctg 3 + 2πη; б) Щ· + 3πη, | + 3πη.
23.22. a) -j + πη; 6) --j + πη. 23.23. a) πη, -j + πη; б) т> + πη, arctg 7 + πη,
arctg 3 + πη. 23.24. a) ±g + ^η; 6) ±-g + 2πη. 23.25. a) \Χ ~ 2 + ПП'
[у = π + 2π£;
6)
23.26. a)
χ = —ό + 2πτι,
л π
χ = (-!)"£ +π/ι,
ι/ = ±-ί + 2π£, [ι/ = π + 2π£;
6)
[χ = π + 4πτι,
^ 4 + 2 '
jc = (-1)"^ + 2м,
ι/ = ±ΐ + π*.
2π 1
23.27. а) -ο- + 2πη; 6) -arctg τ> + πη,
1 π 4π 2π 7π
-arctg g + πη. 23.28. a) g + 2πη, -«- + 2πη; 6) -g" + 2πη, -g- + 2πη.
23.29. а) Нет решений; б) (-1)" g + πη; в) -~ + πη; г) нет решений.
23.30. a) (-1)" g + πη; б) -g-. 23.31. а) Нет решений, если -1 < а < 1;
-j- + 2πη, если α < - V2, ^т + 2πη, если а = V2; (-1)" arcsin — + πη, если
а < -V2, - V2 < а < -1; 1 < α < V2; α > V2; б) нет решений, если -1 <
< α < 1, -τ- + 2πη, если α = -V2; -j + 2πη, если а = V2;
tarccos — + 2πη, если а < -V2, -V2 < α < -1; 1 < a < 42; a > V2.
315

23.32. a) -1; б) ±1. 23.33. a) | + πη, 2πη; б) | + 2πη, πη. 23.34. а) ψ + 3π/ι;
6) π + 2πη. 23.35. а) 0; 6) 2π + 24πη. 23.36. а) (-1)" ^ + πη; 6) ±^ + 2π/ι.
23.37. а) ^ + 2πη; -arctg 3 + π(2η + 1); 6) -^ + 2πη; arctg 3 + π(2η + 1).
23.38. a) ^ + 2πη; 6) π + 2πη. 23.39. a) -g + 2πη < χ < 5 + 2πη;
-g- + 2πη < jc < -ο" + 2πη; 6) ^ + 2πη < лс < -g- + 2πη; -"ό + 2πη < χ <
^ π л лл ,л ч π π 2π 7π
< - g + 2πη. 23.40. а) - g + 2πη < χ < ττ + 2πη; -q- + 2πη < χ < -g- + 2πη;
б) ^ + 2πη < jc < -£- + 2πη; - д + 2πη < лс < д + 2πη. 23.41. a) -τ + 2πη <
6
6
5π Λ ^ν 2π Λ ^ ^ π ν 3π 7π
< jc < -τ- + 2πη; 6) --ο" + 2πη < χ < ^ + 2πη; в) -j- + 2πη < χ < -τ- + 2π/ι;
5π
5π
γ) -g + 2πη < jc < -7Γ + 2πη. 23.42. a) arctg 5 + πη < χ < -j- + πη;
6) -j + πη < χ < arctg 5 + πη; в) -τ + πη < χ < arctg 2 + πη; г) --χ +
π π
+ πη< ^<--τ + πη; arctg 3 + πη<#<-ρ+ πη.
§24
π 2πτι
π πη.
π πη.
5π πη
24.20. a) g + -3-; 6) jq + -g-ί в) (-1Г 42 + Т; г) ± 72 + Τ"
24.21. a) 15°; 6) 15°. 24.22. a) π + 2πη; 6) (-l)n + 1 γ^ + ^p 24.23. a) |,
5π 9π _ 5π π 3π 7π π π
~4~» ~4~; 6) ~~{р "8' ~8~' "8"" 24·24· a) (_1) 6 π/ι; ^ 3
24.25. a) -J- + 2πη; 6) ■= + 2πη, π + 2πη; в) g + 2πη; г) -~ + 2πη,
- g + 2πη. 24.26. a) -τ + 2πη; 6) 2πη, ·= + 2πη; в) - g + 2πη; г) g + 2πη,
π
2
4>/3+ 3 ^ 3. 4. 4-ЗУз
10 ; б)"5' в) 5' г) 10
--£ + 2πη. 24.27. a) ^v;n "; б) - g; в) |; г) * ,~ν ■ 24.28. а)
12>/з-5.
26 '
12- - ^ig; г) £. 24.29. а) g, б) » 24.зо. а) _|; б) §
б) Tg; в)
316

пл ч 1519. ^ 720 0^ оо ч 12V3 + 5 ^ 5 . ч 12.
24.31. а) -^р б) ^j. 24.32. а) ^—; б) ^, в) -^,
ч 5V3-12 _ . QQ ч 4V3 + 3. ^ 3. 4 ЗУЗ -4 36.
г) 26—· 24·33· а) ίο-; б> 5' в) 5' г) Ю - 24·34· а> * 85f
77 63 16 π 5π
б) gg. 24.35. a) -gg; б) -gg. 24.36. а) ^ + кп < х < \2 + Пп;
(9\ 2 1
—=· + 4кп < χ < 2π + 2 arccos γ + 4тш; в) -4 arcsin -g +
1 ft -5π 2ял 5π 2яд
+ 8яи < jc < 4π + 4 arcsin -q + Snn; r) -rg- + —g- < jc < Tg + ~~o-·
л. огт ч π яи 5π кп. _ 1 f 1 ^ , 2яд
24.37. а)24+-2"<л:<24+-^;б)^ arccos " 3 + ~ х
2π - arccos | -- л л л
3 1 2яи 2я 2 . 2 4jm 4π
—- + "у"» в) -Q- + g arcsin -η + —g- < jc < -g- -
2 . 2 4πη. ч π 8ял π Snn л. лл ч зТз - 4
- -о arcsin у + "о"» г) -g + —q- < jc < g + "о-· 24.39. а) —т^—;
б) 3^0+ 4. 24.40. а) а < 0; б) α > 0. 24.41. а) а > Ь; б) а < Ь. 24.42. а) а < Ь;
Ъ - а а + b Зл/з + 4
б) а > Ъ. 24.43. а) а < Ь; б) а < Ь. 24.44. а) ^^; б) ^-g. 24.48. a) V*Q ;
лч зУз + 4. ν V2. , б бУ2 -4.
б) jg—; в) ^; г) Ig. 24.49. а) 15 ; б) 1.
§25
25.10. а) д; б) ~ 23+80' 25,11в а) 1; б) Τ 2512' а) ~2; б) "I*
25.13. а) -±; б) -1^-. 25.14. а) -у; б) ^. 25.15. а) -25 g9+48; б) γ.
ос._ ч π кп _ π πτι Λ-^Ω ч 11π π 13π _ 17π π
25.17. a) ig + Τ; 6) g + -2". 25.18. a) -^, ^, -^ί б) -^, ~W
13π 14π 43π 29π ^Λ 7π π π πη
"зб"' Ί5"' "3δ"' IS"" 25·19·a) "Ιδ + m < * < 26 + πη; 6) 6 + "3" <
π ял ΟΛ Ιχ = -£ + ял,
< χ < -τ + -g-- 25.20. a) j 4
[у = arctg 2 + кку
χ = -arctg-ρ + π/ι,
ι/ = -| + πλτ,
317

χ = -г + πη, \х - arctg 4,5 + πη, 0- 01 а _ 3π
Γ ^ ^ ' 25.21. а) β = ^. 25.22. а) 1,8;
6) 4
[ι/ = arctg3
6)i; в)^|^; г)-з|. 25.24.3.
§26
26.7. a) -0,5; 6) 1; в) ^-; г) -V3. 26.8. a) -1,5; 6) 2; в) -V2; r) -1.
26.9. a) 0; 6) 2 cos t. 26.10. a) ctg a; 6) cos t; в) ctg a; r) -cos f. 26.11. a) -1;
ι cos2i/
6) ±-. 26.12. a) cos a; 6) -TjZTT· 26.14. a) 36; 6) 5. 26.15. a) -6; 6) 7.
COS X cull у
26.16. a) ^; 6) -|. 26.17. a) 1; 6) |. 26.18. a) 1; 6) 1. 26.19. a) 1;
6) V3. 26.20. a) -jg; 6) 17. 26.21. a) 2πη; 6) —| + 2πη; в) ^ + 2πη, -g- + 2π/ι;
г) ±^ + 2πη. 26.22. a) ±-g^ + 2πη; б) ^ + 2πη. 26.23. а) Корней нет;
б) любое действительное число. 26.24. а) - g + -=-; б) -т> arctg -~ + -g-.
26.25. а) -2 arctg 3 + 2πη; б) -π + 3πη. 26.26. а) -τ + πη, -arctg 2 + πη;
π πτι 1 Λ πτι ν π , Λ 1
6) -γρ + -q"> --«arctg 3 + -g-> в) ^- + πη, -arctg 3 + πη; r) --garctg4 +
+ 4ρ -γτ> + ηρ 26.27. a) -| + 2πη, -2 arctg 2 + 2πη;4 6) ^ + 2πη,
-2 arctg -τ + 2πη; в) πη, --g + πη; г) -~ + πη, -arctg -~ + πη.
26.28. a) (-1)η+1 ^ + πη; 6) (-1)" ^ + πη; в) π + 2πη, ±^ + 2πη; r) g + -g-·
26.29. a) ^, -| arctg § + ^; 6) ^, | arctg 6 + ^. 26.30. a) -| +
+ 2πη, 2 arctg τ> + 2πη; 6) -j + πη, -arctg 2 + πη; B) "J« + ~T*
—7 arctg -g + -г-; г) arctg 2 + πη, -arctg 75 + πη. 26.31. a) πη; 6) π + 2πη,
π 2π π 2π 2π 3π 4π
±3 + 2πη. 26.35. a) -gS б) ^; в) —g-; г) -g-. 26.36. а) ^; б) -g-;
ч 3π. 9π
Β)-Ϊ0' Γ) Π'
318

§27
27.18.a)2sini*-|\ 6)2sini|- t\ B)2sin (t + |\ r)-2sin (t + j\
27.20. a) gi 6) ^g. 27.21. a) 1; 6) 0. 27.22. a) 2; 6) -2. 27.23. a) * + 2^2;
„4 V2 , ЗТЗ. ч 14 +УЗ 0_0. чоЗ. 23V2 „ ок . 1.
б) "1Г; в) ~~8~; г) 64 ' 27·24· а) 28' б) -"Ϊ6"' 27·25· а) 32'
1 120 119 120 119 24 7
б) gi· 27.27. а) "1б9; б) Т69; в) "Й9; г> " Ш· 27·28· а) 25; б) 25;
24 7 24 7 24 7 ίο Ιλα
в) Т; г) ±. 27.29. а) ^ б) ^ в) т; г) £. 27.30. а) ^, ^,
^7/^«ч12010_0, ч1 3 „Ι 3
Τ* ^; 6)-V5' IS' "2'-2· 27-31-а)-^о' ^ό· "3'-з ™»-^ο>
1 _1 3 1J. а2 - 1. 2α
— /—» — о> —3; б) — /—» —7=г» о» 3. 27.32. а) 9 ι > — ι 2»
Τϊο з Vio Vio з α +1 ι + α
1 - α2 2α 4 *-
6) ТТ""*5 7~Γ~2· 27.33. a) -*; 6) -2V2. 27.34. a) 1 - 2α2; 6) 1 - 2α2.
ι + α ι + α ο
17 1 97 485
27.35. a) -jg; б) --g. 27.36. a) -jggJ 6) "2197· 27.37. a) α > b; 6) α < Ь.
27.38. a) sin 3jc = 3 siiuc - 4 sin3 jc; 6) cos Зле = 4 cos3jc - 3 cos x. 27.39. a) χ = πη;
б) χ = I + πη. 27.40. а) 0,296; б) ±Щ^'> в) 0,296; г) - gj. 27.41. а) -|;
™ V2 „*.. ,24 1 24 7 - 24 7 24 7 . 120
б)--j-. 27.44. а) 25, -25' " 7 ' "24' б)~25' 25' ~ 7 ' ~24' в)"Тб9'
119 120 119 120 119 120 119 Уб 2>/5 1
169' "119' "120' г) 169' 169' 119' 120* 27'45· а) ~5~' "б"' 2;
VlO ЗУП) 1. V26 5>/26 1. V26 5>/26 1
' 10 ' 10 ' 3' в) 26 ' 26 ' 5' г) 26 ' 26 ' 5*
27.48. а) 0, π, 2π; б) |, ^; в) 0, π, 2π; г) J, ^, ^, ^. 27.49. a) -| +
α. ο-τΓ»,. / ιν» + ι ΐ _l -тг„. л\ — -l. 2?ш· . , -vn + i π πη. ч π
+ ζπη; (-1) g + πη; ο) ^ + ^^> в) (-1) -=-« + ~η~* Γ) Τ + π/ι·
27.50. а) -120°; 6) -240°. 27.51. а) πη, arctg 3 + πη; 6) ψ, | arctg 2 + ^.
7π
27.52. a) 0, π, 2π; 6) -§-. 27.53. a) 2; 6) 3. 27.54. a) 2πη, π + 4πη; 6) 2πη;
в) π + 2πη, 4πη; г) 2πη, ^ + 2πη. 27.55. а) -τ + -^-; 6) (-1)η gg + "gS
^ πη π π πη π π , 3π , 5π _ , π
} ~2~ " 12' 4 + Τ; Γ) " 3 + ™· 27·56· a) ± 4' ±Τ' ±Τ; б) ± 6'
319

:cos
2 ±.
±_6"' ±ΊΓ* 27·57· a) 2πη, \ + 2π/ι; б) 7 + (-l)narcsin -^— + πη.
1 1 3
27.59. a) 2 arctg -~ + 2πη; -2 arctg τ> + 2πη; 6) 2 arctg 2 + 2m; -2arctg -j + 2πη.
1 π πη π πη 4π
27.60. a) g; 6) -3. 27.61. a)-9 + "3" <*<<{) + "3"' б) ~~3~ + 4тш < * <
4π . η_ΛΛ ν 5π πη 13π πη _ 2π 2π
< -g- + 4πη. 27.62. а) τττ + "ο" < * < ~οΓ + ~ο~; б) ""я" + 4π/ι < χ < ~§" +
™* ~ο ч π πη _ π πη. πη. 3π 3πη „ „ л ч rt „
+ 4πη. 27.63. a) -τ + -=-; 6) t>q + ~5~; Β) "§"' Γ) -"§" + ~~9~· Я7·64· а) 2* "1;
б) 3; -1. 27.65. а) 4 gi 1; б) 2; -4. 27.66. а) 2 gi -4; б) 4; -2 g.
§28
28.7. а) 2 sin [| - |) . sin [| + j); б) 2 sin [| + »] · cos [| - j];
в) 4 cos 3> ~ fi Г cos "2 + 6 г г) >/2 sin ί + -j . 28.8. а) 4 sin 6х
6) 4 cos jc cos2 -х-. 28.9. a) 4 cos t cos -5 sin -5-; 6) -4 sin t sin 2i cos 5i.
28.14. a) -1; 6) -1; в) -73; г) -1. 28.15. a) 5; б) -|. 28.16. a) 1,5; 6) 0,5.
28.17. a) |; 6) 4. 28.23. а) Ц; б) -Ц. 28.26. a) | + πη, j + ^;
_ πη. πη πη. πη π πη πη , 2π
6) -g-f в) -у, -g-, г) "7"» 20 + ίο' 28.27. а) -у, ±-g- + 2πη;
^ ли , <чП π ΛΛ ΛΛ ν π 2πη. ^ч π 2πη. ч π πη.
6) -^-, (-1)" g + πη. 28.28. a) ^ + -g-; 6) ^ + "^ Β) 40 + Τθ;
π πη. ч π 2πη ΛΩ ΛΛ π πη π πη _ πη. π πη
20 + Τ' Γ) 6 + "8"" 28·29· а) 16 + Τ' 4 + Τ* 6) Τ9 Β) 8 + Τ'
π πη. π πη π πη ΛΟ ол ч 2πη 2πη. π , πη
6 + Τ' Γ) 4 + Τ» 8 + Τ" 28·30· а) ~' "Γ* 6) Ϊ4 + Τ'
28.31. а) ^, η * 3 + 6fc; б) | + ^; в) у·; г) | + πη, π + 2πη.
28.32. а) \ + πη, - J + ^; 6) \ + ^; (-1)" χ| + ^ 28.33. а) 3; 6) 2.
οοο^ ч π π 2π π ^ 5π 2π 7π. π π 3π OQ οκ . π
28.34. a) 2» 9' 9 ' 3' 9 ' 9 ' 3 ' 9' б) 4' 2' Τ" ^ а) 4
+ ?· τ 6> 1+ ™· 5+ ?·28·36· а> -τ+ 2πη < * < ι+ 2πη;
б)-д + πη < χ < "ό + πη.
320

§29
29.4. a) -τ (sin 24° - sin 4° + sin 12° + sin 8°); 6) cos 35° - cos 45° +
+ cos 5° - cos 15°. 29.5. a) -j (sin (x + у - ζ) + sin (χ + ζ - у) + sin (у + ζ -
- χ) - sin (χ + у + ζ)); 6) -τ (cos (x + у - ζ) + cos (jc + ζ - у) + cos (у + ζ -
- χ) + cos (jc + ζ/ + ζ)). 29.6. a) -τ (2 cos 4лс - cos 2х - cos блс); б) -τ (2 sin Зле +
+ sin 7x - sin χ). 29.12. a) 1; 6) j. 29.13. а) 1; б) 2. 29.14. а) |; б) Ц-.
29
.15. а) - **; б) V2. 29.16. а) ттт; б) ^. 29.17. а) а < Ь; б) α > Ъ
16' "' 16*
29.19. а) 5; б) 82. 29.20. а) тт; б) ^ + тт. 29.21. а) -γ, ±-^ arccos 7 + ™;
б) ■« + тт, ±-о + 2тт. 29.22. а) тт, ±"ό + ^πη; ^) "? + π/ι; Β) π/ι; г) ^π/ι»
±-^ + 2тт. 29.23. а) ±|; б) ±|. 29.24. а) -^; б) тт. 29.25. а) | + кп <
< χ < "о" + тт; б) --g + 2тт < лс < -5- + 2тт; в) -^ + тт < лс < 7^ + ли;
12
12
2π 2π
г) --g- + 2πη < χ < -g- + 2πτι. 29.26. а)
о
χ = (-1)" arcsin-^ + πη,
у = (-if arcsin-« + nk;
1л: = ±- + яа1, 3 1. _ 1 3
6) ί о 29.27. а) уиая6 = -j, г/наим = - ^; 6) z/Hail6 = -j, z/HaHM = —g.
[y = nk.
§30
30
4. a) 3v3 sin \t + -j + φ L где φ = arcsin —5—; 6) 6 sin \t - -j + φ
где φ = arcsin ^-. 30.5. a) -1; 6) -2; в) 1; г) 1. 30.6. a) -2; 2; 6) -2; 2
в) -V2, V2; r) -2V2, 2V2, 30.7. a) [-5; 5]; 6) [-13; 13]; в) [-25; 25]
г) [-17; 17]. 30.8. а) Нет; б) нет; в) да; г) нет. 30.10. a) S - 1, S - 1
б) 4; 30; в) -10; 0; г) 15; 40. 30.11. а) -4; 4; б) -3; 3. 30.12. а) 7; б) -42
2тс
30.13. а) 16; б) 11,5. 30.14. а) -23; б) 15. 30.15. a) 2nk, -g- + 2nk
321

б) ^ + 2nk; в) -g- + 2nk, π + 2nk; г) | + 2π£, π + 2π£. 30.16. а) (-1)* 5 ^
" Τ2 + ΊΓ; 6) (_1)* 15 + 20 + ~5"; Β) ~3" + 4πΛ' "2π + 4nk; г) 6π*>
-γ + 6π£. 30.17. a) -« + arccos ^ + 2nk; б) (-1)* Jo ~ ~o arccos 5 + "Τ»
5 2π 5 π
в) π + arccos To + 2nk; г) ±-g" - 2 arccos jo + 4π£. 30.18. a) --7 + 2nky
π 2π&. π nk 2π π π£ π π&. π
4 + "5"' 6) 6 + Τ' Τ + π*; Β) 16 + ~2~' 24 + Τ' Γ) 6 + π*'
π π& лл ^л ч π nk κ nk ^ч l 5 π&
9 +Τ· 30Л9· а) "66 + ΪΓ 9 + "б"' б) 4 arccos 13 + Τ'
"2 - -ο arccos ^g + π£. 30.20. a) -g- + 2π£; 6) 2π£, -"§" + 2π£. 30.21. a) -gS
π 2π 4 7π 4
6) 2· 30.22. a) 2nk < χ < "ο" + 2π£; 6) arcsin 5 ~ ~6~ + 2π^ < * < arcsin -g +
+ g + 2π£. 30.23. a) α > 7; α < -6; 6) α > Тб; α < -V6. 30.26. а) а > -=>
а < --=; б) а < 2.
§31
31.1. а)-| + ^+πη;6) J-2 + πη, J - | + ψ. 31.2. а) yg (1 + 2л);
^ πη _ Λ ν π π Λ Λ41 , ч π 2π % π 2π
6) -g-. 31.3. a) -ρ + πη; ±^ + 2πη. 31.4. a) τ* + -ψ η, το + yg /ι;
π πη , „.„ я πη Λ. ^ ,4 ^4 Λ „
6) ^τ + -ρ-, (-1) το + -ο-· 31.5. a) -arctg ~o + πη; 6) -arctg 2,5 + πη.
31.6. a) -g(l + 2η), ± £ + πη; 6) jg + -gS ±"g + -5-· 31.7. a) g(l + 2n),
I + -ψ; б) |(1 + 2n); Jg(l + 2п). 31.8. 45° + 180°п. 31.9. j + ^.
1 тг 1 5
31.10. а) πη; ±-~ arccos (-0,7) + πη; б) -χ + πη; ±-~ arccos γ +
+ πη. 31.11. a) arctg 2,5 + 2πη, π - arctg 0,5 + 2πη, π + arctg -g + 2πη,
5
-arctg g + 2πη; 6) arctg 0,6 + 2πη, π - arctg 2,2 + 2πη, π + arctg 11 + 2πη,
π 2π
-arctg 3 + 2πη. 31.12. a) π + 2πη, (-1)" -ζ + 2πη; 6) 2π + 4πη, (-1)" -g- + 4πη.
322

31.13. 0. 31.14. a) ±-~ arccos —τ + πη, ± g + πη; б) ± g + πη, ±-= arccos -j +
+ πη. 31.15. a) Τ + "Iw; "f + 2тш- 31·16· а) 7 + ядг» ί-1^ "5 arcsin +
+ -«η. 31.17. а) π + 2πη, 2arctg -5 + 2πη. 31.18. a) arctg —=g— + πη;
б) 2й» "о arctg 2 ι „η. 31.19. -j + πη. 31.20. a) 2πη, --^ + 2πη.
31.21. a) ^ + 2πη, π + 2πη; 6) ^ ± arccos -утт + 2πη. 31.22. -^ + πη,
я . ν 2 — ν 10 η ο-* λο ч л , π 3π /-ν π
- ± arccos 72ί— + 2πΛ· 31.23. a) 3πη, ±-τ + -=- η; 6) -χ + πη;
4 4 4 Ζ Ζ
1 f 1^\ л- Λ, ч я πη я πη Λ-1 Λ^
±"2 arccos —τ + πη. 31.24. a) τ^ + "ο"' " 32 + ~7~· 31.25. a) -1 -
3 1 8 π φ π π
- arccos if + 2πη; 6) 1,5 + -~ arccos ту ± g + πη. 31.26. a) - ττ - 36 + З71'
^ + -jo + -τ η, где φ = arccos τ- 31.27. Το + "q71, 31.28. ±-g- + 2πη.
31.29. -||, ^, ||. 31.30. 0. 31.31. 0. 31.32. | +πη, arctg 2 γ7 +πη.
31.33. a) ^ + 2πη, где η = ±1, ±2, ±3, ... ; 6) ^ + 2πη, где η = ±1, ±2,
±3, ... ; (-1)* ^ + nk9 где fc = ±1, ±2, ±3, ... . 31.34. a) ^ arctg 8 + y|;
6) go + -jg. 31.35. a) ±-« arccos 75 + πη, ±-~ arccos —τ + πη. 31.36. -~ +
+ 2πη. 31.37. I + πη. 31.38. πη. 31.39. j + 2πη. 31.40. ±|; ±3. 31.41. a) 0,
5 7 2π 4π π
±1, ±2, ±|; 6) ±1, ±3, ±^. 31.42. a) -1, 5, π, -g-, -g-; б) -2, 0, 1, - tj-
31.43. 2πη, —τ + πη. 31.44. а) (-1)η ун + πη, (-1)η утт + πη, (-1)η -jg + πη, πη;
., , 14η π 5π 0 0. _ 4^νΠ ^Τϊδδ ^>/Ϊ79 -4 _,_>/47
6) (-1)η - + π/ι, — + 2πη. 31.45. a) ±-g~» ± б""' ±_1Γ~; б* ± 3~'
±-ηρ· 31.46. а) 2 ± л/3. 31.47. а) 2πη, -arctg 6 + 2πη; б) -^ + 2πη,
χ 1 о о^о ч_ь>/81 ^>/Ϊ55 ^>/Ϊ79 лч^>/47 _,_ 7δ9
π + arctg -τ + 2πη. 31.48. a) ±-g-, * 6 > ± 6 ; 6) ±—3-» ±Нв~*
323

§32
32.6. a) i; 6) -32i; в) 2; г) 0. 32.8. a) -2i; 6) V2i; в) 18i; г) 0. 32.9. a) i,
1, -i, -1, i, 1, -i; 6) -i; в) 1; г) 0. 32.11. a) zx + z2 - 2 - i, zx - z2 = 3i;
6) Zi + z2 = -1 + Si, Zi - z2 = 5 - i; в) Zi + z2 = 15, Zi - z2 = -15 - 2i;
r) zx + z2 = -34 - 14i, 2i - z2 = -2 + Ш. 32.12. a) (4 - n) + (n - 3)i;
б) -11 + 12i; в) -130 + 150i; r) -651 + 682*. 32.14. a) 0,5; 6) 0,1; в) -0,1;
г) таких а не существует. 32.15. а) 1 + Si; б) 1 - 14i; в) 1 - 5i; г) 34 - 21ί.
13
32.16. а) -2; б) 0; в) 0,125; г) таких а не существует. 32.17. а) 1; б) -g-;
в) 1,5; г) Y2* 32.18. а) а = 3, Ъ = 2; б) а = 3, Ъ = 2; в) а = 4, Ъ = -1; г) а = 2,
Ь = 1. 32.23. а) 2; б) 16i; в) на 1-м, 5-м, 9-м, ... местах; г) на 3-м, 7-м,
11-м, ... местах. 32.24. a) -i; б) -1 - i; в) -i; г) i. 32.25. а) -2; б) 0; в) -2ц
-20+28/
г) 0. 32.26. а) gg ; б) 0,6. 32.27. а) -1 - i; б) -i; в) 0,5 + 0,5i;
г) i - 1. 32.28. а) а = -0,25, Ъ = 0; б) а = -1, Ь = 0; в) а = 0,2, Ъ = -0,48;
г) α = 0,56, Ь = -0,24. 32.29. а) 1 + 2i; б) 1; в) 3i; г) 2 + 2i. 32.30. б) -44.
4
32.31. а) 0; б) 1; --ζ. 32.32. а) 2 = -i; zz =1; z : z = -1; б) z = i; zz =1;
-20 + 21i
ζ \z- -1; в) z = 3 + 7i; zz = 58; ζ : ζ = go ' r) ^ = -5 + 6i; zz = 61;
_ -11-60*
2 : z ~ 61 " 32.33. a) z = -2i; zz = 4; z : z = -1; 6) z = 3i; zz = 9;
z : z = -1; в) z = 1 + i; zz = 2; z : z = i; r) z = -1 - 3i; zz = 10; z : z =
л^ ™„. ν 5-S. _ 16-30*. ч 5+&. ч 2 + &
= -0,8 + 0,6i. 32.34. a) yj ; 6) —289~ B* ~TT" r* 17 '
00 oK ч 17 + 7i. „ -55 + 37i. ч 1 + ы ч 1 - 15i 00 0β ч
32.35. a) —jg—; 6) jg ί в) —g—; r) 4—· 32.36. a) zx = 1;
z2 = 3; 6) Ζχ = 1; z2 = 2i; в) zx = 1 + i; z2 = 3 + 2i; r) Ζχ = 2 - i; z2 = 2 + 3i. 32.37.
1- 1- 3 + i
а) 2; -2; 6) V5 + i; -V5 + i; в) таких корней нет; г) rz · 32.38. а) -2;
1 - л/2 + i
б) -1 - U в) 0; г) ^ ·
§33
5
33.8. б) 45°; в) 3 · 3 = 9; г) ζ3 и ζ7. 33.15. б) 0,6; г) -0,5. 33.16. б) д5
г) -2. 33.17. б) у = 0,5(9 - х); в) -5 + 7i; г) -7 + 8i. 33.18. б) ζ/ = χ2 - 3* + 2;
3
в) 15; г) 13. 33.19. б) у = ^^; в) ζ6 = 7 + 0,5i; г) z2 = 3 + l,5i. 33.20. а) ±1;
б) нет решений; в) 1; г) -1. 33.21. a) ±i; б) нет решений; в) i; г) -i.
324

33.22. a) 0; б) 0; в) 0; г) любое действительное или чисто мнимное число.
33.23. а) 2 - 0,5i; б) 7 - i; в) 3 + 7i; г) 5 - 2*.
§34
34.3. a) |zj = 13, \z2\ = 5; б) ζλζ2 = 56 + 33i, \ζλζ2\ = 65; в) — = ^g l\
r) %= —w~'34·5·a) 6; 6) 2^; B) 7; r) 5>^·34·8·a) 1; 6) 2; B) 3; r) 4·
34.9. a) 1; 6) 3; в) 3; г) 4. 34.11. a) z = cos (~ ] + i sin i~ ]; б) г = cos [--y ] +
5π
5π
+ i sin | —o- ; в) ζ = cos -j + i sin -j; r) ζ = cos ^g1 + i sin ^g1· 34.12. a);
5π
5π
f π] . . ί π 1 , 3π . . 3π ч _.._..
б) ζ = cos —д + * sin -■g Ι; β) ζ = cos -τ- +1 sin -j-; r) ζ = cos -g- +1 sin -g-·
34.13. a) z = cos (-0,8π) + i sin (-0,8π); 6) ζ = cos (-0,3π) + i sin (-0,3π);
в) ζ = cos π + i sin π; г) ζ = cos —=- + i sin —^ L 34.15. a) --jl 6) -75;
в) ^; г) -|. 34.21. a) 5 (cos 0 + i sin 0); 6) 3
в) 8(cos π + i sin π); г) 0,5
Hi]
+ ι sin
(cos[-f)+isin(-l))
34.22. a) 4>/2 icos| + isin^l; 6) V2 | cosf-^Ί
в) 2V2 icos^ + isin^l; r) 2V2
+ ι sin I -—
cos I —— I + ι sin
m
34.23. a) 2|coSg + isin
i)"»»(«T
+ iSUl
5π
6 '
в) 6
cosf—j+isini~ jj; r)4
cos|-- +,sin --
34.24. a) 8
(
cos I -— I + ι sin
в)4
-|]];6)2[cos| + isin|];
( ( 2π^ . . f 2πΥ| ч ( 2π . . 2π'
(cos[-tJ+is1i1[-tJJ; r)[C0ST + ismT>
34.25. a) 5 (cos (-arccos 0,6) + i sin (-arccos 0,6));
6) 13
( f
cos
arccos^-Aj Uisinfarccosl—jj,,
325

в) 10 (cos (arccos 0,6) + i sin (arccos 0,6));
r) 17
cos -arccos
(#))+isin(-arccos(if))
34.26. a) cos (-55°) + i sin (-55°); 6) cos 113° + i sin 113°; в) cos 130° +
+ i sin 130°; r) cos 110° + i sin 110°. 34.27. a) 2 sin 50°(cos 40° +
+ isin40°);6) 2sin^icos^ + isin^\ в) 2sin|^icos|j + isin^\
r) 2 sin 125° (cos (-35°) + i sin (-35°)). 34.28. a) 2,5 (-V3 + i); 6) 0,5 (l + iS);
в) 2,5 (-1 + iV8); r) ^(-1 + i). 34.29. a) 2i; 6) -5iV2; в) 3(V3 + i);
г) ϊλ/3. 34.30. а) -л/3 + i; 6) -5i; в) 40i; r) >/3 + i. 34.33. a) π; б) -^;
\π. \ π ο^ο^ \ π. ^ч π. \ π. \ o^oc \ 5tc. π 4π
в) gi г) "2* 34·34· а> " 2; б) 2; в) " 4; г) π· 3 ·35, а) ""6"' б) " 2; В) 2;
г) 0. 34.36. а) -|; б) π; в) -gS г) -g-. 34.40. а) 3; б) 5; в) 8; г) 10.
34.41. а) 1 + ~7? i; б) 1 + iv3. 34.42. а) Круг радиуса 1 с центром в 3 + 4i,
\z\ = 6 — наибольшее значение; б) круг радиуса 1 с центром в 4 - 3i, \z\ =
= 4 — наименьшее значение.
§35
35.1. а) 4; б) а < 4; в) а > 4; г) α < 0. 35.2. а) |а| > 6; б) -6 < а < 6;
в) а > 6; г) -10 < а < -6. 35.3. а) а = 1 или а = 0; б) а <*0; в) а < 0;
г) а = -16 - 8>/5. 35.4. a) ±12i; б) ±2i; в) ±21i; г) ±32*. 35.5. а) ζ2 + 1 = 0;
б) г2 - 14г + 53 = 0; в) г2 + 49 = 0; г) г2 - 2г + 2 = 0. 35.6. а) г2 + 4 = 0;
б) ζ2 - 2z + 10 = 0; в) 64г2 + 1 = 0; г) г2 + 6482 = 0. 35.8. а) 0,5 ± 1,54;
б) -1,5 ± 2,5i; в) 2,5 ± 0,5i; г) -5,5 ± 2,5*. 35.9. а) 2; б) 10; в) ±4; г) -7; 3.
35.10. а) а = -4; б) а = 4; в) а = ±3; г) а = -4 или а = 2. 35.11. а) ±2; б) ±2i;
в) ±^(1 + 0; г) ±^(1 " 0. 35.12. а) ±(2 - 0; б) ±(2 + 0; в) ±^;
г) ±^±Jl. 35.13. а) ±(4 + 0; б) ±(4 - 0; в) ±^L; г) ±^-£Л 35.17. а) г2 -
V2 V2 V2
3z + (3 + 0 = 0; б) г2 + (i - 5)z + (8 - ϊ) = 0; в) ζ2 - 8ζ +
+ (11 + 120 = 0; г) ζ2 + (i - 9)ζ + (40 - 9i) = 0. 35.18. a) zx = 0, z2 = 2i;
б) Ζχ = 0, z2 = -4i; в) 2χ = 2 - i, z2 = 1 + i; r) 2i = 7 - 2i, z2 = 1 + 2i.
35.19. a) 1 + 2i; 6) 30i; в) 1 + 6i; r) -89 + 120*. 35.20. a) a = 4i; б) а = -4,5i;
40 - 21i
в) a = -13 - 13i; r) a = jo—·
326

§36
36.2. а) Нет; б) нет; в) да; г) да. 36.3. а) ζ, ζ2, ζ3, ζ4, ζ5; 6) ζ, ζ2, ζ8, ζ9,
ζ10; β) ζ, ζ2; γ) ζ3, ζ4, ζ5, ζ8, ζ9, ζ10. 36.4. а) ζ3, ζ4; 6) ζ, ζ2, ζ3, ζ4, ζ5, ζ6, ζ7, ζ8;
β) ζ, ζ2, ζ10; γ) ζ9, ζ10. 36.5. а) ζ1, ζ2, ζ3, ζ4, ζ5; 6) ζ, ζ2, ζ9, ζ10; в) ζ2, ζ3, ζ4, ζ5,
ζ6, ζ7; γ) ζ5, ζ6, ζ7, ζ8, ζ9, ζ10. 36.6. а) ζ3, ζ4; 6) ζ, ζ2; в) ζ, ζ2, ζ9, ζ10; г) ζ10.
36.8. а) -4; 6) -8i; в) -32i; г) -1024. 36.9. а) -8; б) 16 (l - £л/з);
в) -64 (V3 + i); г) -512*. 36.10. a) -i; б) 0,5 (>/з + i); в) -0,5 (l + i>/3);
г) 1. 36.11. а)--|; б) gi; в) ggi; г) -щд· 36.12. а)-0,125; б) 2^(l + 1>/з);
в) 2"8(-V3 + i); г) 2~9ί. 36.13. а) 128; б) -i; в) -32>/3; г) 1. 36.14. a) -64i;
б) L 36.15. а) 3; б) 8; в) 10; г) 10. 36.16. а) 17; б) 34; в) 100; г) 200.
36.17. а) 6; б) 11; в) 20; г) 0. 36.18. а) 101; б) 200; в) 4; г) 0. 36.19. a) z4, z8,
ζ12; б) ζ7, ζ8, ζ9; в) ζ3, ζ4, ζ5, ζ11, ζ12; г) ζ9, ζ10, ζ11. 36.20. а) 4,2(-1 + V&),
-2(l + iyfs); 6)1,5(1 + ί>β), -3,1,5(l - iS); b)2,5(V3 + i), 2,5(-V3 + i),
-5i; г) 4(V3 - i). -4(V3 + i), 8i. 36.23. a) -i, 0,5(±V3 + i). -2,1 ± iV3;
б) ±V2(1 + 0, ±*>/2. 36.24. a) -4; 1; 6) -9; 1.
§37
37.12. a) 1,5; 3; 4,5; 6; 7,5; 9; an = 1,5»; 6) -1; 1; -1; 1; -1; an = (-1)*;
в) 8; 4; 2gi 2; 1,6; an = |; r) 1; -2; 3; -4; 5; an = (-l)n + 1 n.
37.19. a) 7, 12, 17, 22, 27; 6) 102. 37.20. a) 1027; 6) 35, 38, 337, 32\ 32n + 1,
32п-з 3721. a) an = 4n - 2; ax = 2, an = an.x + 4; 6) an = 13л + 5; ax = 18;
яп - an-i + 13; в) an = 21n; ax = 21, an = an.x + 21; r) an = 30»; αχ = 30,
an = an_i + 30. 37.22. a) an = -и; 6) an = 6и; в) an = 11 - n\ r) an = 4и.
37.23. а) 3"; б) (л + 2)2; в) и3; г) η3 + 1. 37.24. a) -^ 6) J£j|; в) ^;
ч 1 or7 „ ч 3* ^ 2к-1. ч (-1Г+1Д2
г> (2п + 1X2» + 3)· 37·25· а> «· = 2=Г· б> «· = "j^yT· в> «· = ^ + 1)>
(-1)л+1(5и - 1) / ^\п-1
г) а*= η(η\ιχη + 2γ 37·27·а) 2; б) 5; в) 13; г) 45·37·28·а) р»= №> 4;
4; 4V2; 8; 8>/2; 16; б) Sn = ШТ'2; 1; 2; 4; 8; 16; в) 32; г) 65 536.
37.29. а) 1; б) 4. 37.30. а) 6; б) 5. 37.31. б) 11; в) 4. 37.32. а) 6; б) 124;
5
в) 6; г) 55. 37.33. а) -6; -4; б) -22 g5 -181; в) -1; г) нет. 37.34. а) 3; б) 10;
327

в) 4; г) 29. 37.35. а) -428; б) -128. 37.36. а) 19; б) 16. 37.37. а) 2; б) 62;
в) 15; г) 1. 37.38. а) 17; б) -81; в) 19; г) 1. 37.39. а) у2 = -5; б) у3 = -3;
4 4
в) у2 = -3; г) у1 = --g. 37.40. а) у3 = 13; б) у3 = 3; в) ух = 5; г) ух = -g.
37.41. а) Нет; б) да; в) нет; г) да. 37.42. а) Да; б) да; в) да; г) да. 37.43. а) Да;
б) нет; в) да; г) да. 37.44. а) Да; б) да; в) да; г) да. 37.45. а) р < 1;
б) ρ — любое. 37.46. а) ρ < -2; б) -3 < ρ < 3. 37.47. а) р < 0; б) ρ > -1.
37.50. а) Убывает; б) не является монотонной; в) убывает; г) возрастает.
37.51. а) Убывает; б) возрастает; в) не является монотонной; г) убывает.
37.54. а) Возрастает; б) убывает; в) убывает; г) возрастает. 37.55. а) р > 0;
б) ρ > 1; в) ρ < 0; г) ρ < -2. 37.56. а) ρ > 0; б) ρ < 0; в) ρ < 0; г) ρ < 0.
37.57. а) Ограничена, возрастает; б) неограничена, возрастает; в)
ограничена, убывает; г) ограничена, убывает. 37.58. а) Возрастает, ограничена;
б) убывает, ограничена. 37.59. а) уп = п2; б) уп = п2 + 5; в) уп = — κ»
г) уп = -п.
§38
38.4. а) Да; б) нет; в) нет; г) да. 38.5. а) 6; б) 3; в) 15; г) 31. 38.6. а) 4;
б) 7; в) 8; г) 5. 38.7. а) у = 0; б) у = 0; в) у = 0; г) у = 0. 38.8. а) у = -1;
б) у = 2; в) у = 2; г) у = -3. 38.9. а) у = 2; в) у = -3. 38.10. а) Нет; б) нет;
в) нет; г) нет. 38.14. а) 0; б) 6; в) 0; г) -4. 38.15. а) 0; б) 0; в) 0; г) 0.
38.16. а) 5; б) 7; в) 3; г) д- 38.17. а) 2; б) 1; в) -1; г) -2. 38.18. а) 2; б) 12;
в) 6; г) -2. 38.19. а) 7; б) 0; в) 1; г) 0. 38.20. а) 1; б) |. 38.21. а) -|; б) |.
2 1 2
38.27. а) 2 gi б) -0,128; в) -0,022; г) 3 д. 38.28. а) 12,5; б) -8 д5 в) 22,5;
2 2 1
г) 36. 38.29. а) 41 gi б) 27. 38.30. а) Ьх = 12; q = 0,5; б) ggg. 38.31. а) Ъх = 12;
q = gi б) 1 д. 38.32. а) 4; б) 57 gi в) 0,9; г) 156,25. 38.33. а) -5,4;
б) | V3(V3 + l); в) 38^5 г) 4V2(V2 + l). 38.34. а) 111; б) 2500^;
1 sin χ cos x 1
в) 396,25; г) 1717 д. 38.35. а) γ—r^; б) j-^^; в)с***;г) χ + sin3 χ·
1 2 l 7 5
38.36. а) 0,8; б) 0,3. 38.37. a) gi gi б) ψ -д. 38.38. a) (-l)*arcsin g + nk,
π π
k g Ζ; б) нет корней; в) ±тт + nk, k е Ζ; г) ± д + 2π&, k e Z.
328

§39
39.3. a) -10; б) -12; в) 4; г) -54. 39.4. а) 0,2; б) 0; в) 1,2; г) -1.
39.13. а) 0; б) -2; в) 0; г) 6. 39.14. а) 1; б) 1,5; в) 1; г) 1 g. 39.15. а) 0;
б) 0; в) 0; г) 0. 39.16. а) - g5 б) 1; в) -gi г) 0. 39.17. а) 4; б) 2; в) 3; г) 2.
39.24. а) 3; б) -|; в) 1; г) д. 39.25. а) 0; б) 0,2; в) 0,5; г) -0,2. 39.26. а) дя;
б) 1; в) |; г) -2. 39.27. а) 0; б) -1; в) 3; г) 0,2. 39.28. а) 2; б) -4; в) 10;
г) -g. 39.29. а) 4; б) ψ в) -|; г) 7. 39.30. а) ^; б) 1,5; в) ~^\ г) g.
1 12
39.31. а) 1; б) 0; в) 1; г) 0. 39.32. а) ^ б) 0; в) 12; г) 0. 39.33. а) |; б) д.
39.37. а) -^-; б) 0,5; в) ^-; г) -0,5. 39.38. а) 0,2; б) -0,1; в) 0,1; г) 0,05.
39.40. а) 0,5; б) -0,66; в) 1,5; г) 0,74. 39.41. а) 3Δ*; б) -2*Δ* - (Ах)2;
в) -2Δ*; г) 4хАх + 2(Δ*)2. 39.42. а) 0,1; б) -0,1; в) 0,5; г) -0,5. 39.44. a) k;
б) 2ах + аАх; в) —; г—г; г) / т=. 39.45. a) k; б) 2ах; в) -—τ;
' х(х + Ах) V* + Ах + 4х х
1
г) *£'
§40
40.4. а) 4; б) 2ί - 1; в) 3; г) 2ί - 2. 40.9. а) 2* + 2; б) --^; в) 6х - 4;
4 1-2 1
г) —5". 40.10. а) —т=; б) —q-; в) —т=; г) Зле2. 40.11. а) Не существует;
χ 2у/х х6 2у/х
б) 0; в) не существует; г) 2. 40.12. а) Не существует; б) 0; в) 0; г) 0. 40.14. а) 4;
б) -1; в) -4; г) -4. 40.15. а) 2 м/с, 2 м/с2; б) 4,2 м/с, 2 м/с2; в) 4 м/с; 2 м/с2;
г) 7 м/с, 2 м/с2. 40.16. а) 3 м/с, 2 м/с2; б) 5,2 м/с; 2 м/с2; в) 5 м/с, 2 м/с2;
г) 8 м/с, 2 м/с2.
§41
41.15. а) 2 + -%; б) 42 + -^; в) 40 + -^; г) 27 + -^. 41.16. а) Зх2 · tg * +
jc3 cosjc ч ctgjc 1 . . . sin л:
+ «—; б) -COS X - . 9 ; В) о~ - Г~2~у Г) S1I1 X + ό-#
cos jc sin jc χ jcsnrx cos jc
329

jc2(jc + 3). 2jc
41.17. a) 3jc2; 6) 3jc2; b) 3jc2; γ) 3jc2. 41.18. a) / ' ,'; 6) -7-2=^»;
(jc + 2) (л: - 1)^
2*(3-2s). I-*2 41 19 . 3(9-2*) , * cos*-sin*
B' ^3 73Г» r' /„2 , 142· 41.1». a) ,- ,, 0)
(3 - 4x)2 ' ' (x2 + l)2' ' 2^(2* + 9)2
x2
. 3x+ 8 . -* sin * - cos χ 6л:9 + 9 ,ч 5*14(*10 + 3)
B) -J-x(8^3xf Г) ? · 41·20· &) ~^-; 6) (jc" + I)2 '
(v5 - IV*—' Γ) (χ4 - 2)2 ' &) "вШ *; * C0S X; B) Г) ~ 2 C0S *·
4 1
41.22. a) cos jc; 6) cos x\ в) -sin jc; r) -sin x. 41.29. a) —-; 6) -2; в) —z\ r) 2.
π π
41.32. a) x < -1 и χ > 1; б) О < jc < 1; в) χ > 0; г) 2πτι < jc < π + 2π/ι.
41.34. a) 14; б) Щ-\ в) 72; г) V2 - 4. 41.35. а) 0; б) 0. 41.36. а) -1; 1;
не существует; б) не существует; не существует; 0. 41.39. а) Tgi б) —.
41.40. а) ±|π + 2nk; б) -| + 2nk. 41.43. а) π; б) 0; в) 2gi г) -5+^ 3.
41.44. а) х = 2; б) χ = 0; jc = -4. 41.45. a) jc < 0; χ > 2; б) 0 < χ < 4; в) χ < 0;
л ЗчЯ π π 2π ^ ^л ν я
О < χ < —; г) -ό +κη < χ < -ή + πη; ■^+кп<х<~о'-\- πη. 41.46. а) -χ +
3 1 7
+ 2πτι < jc < τΓ π + 2πη; 6) -3 < χ < -1; 1 < χ < 3; в) —^ arccos g + π£ <
1 7 1 7*1
< jc < -ρ arccos q + π&; г) jc < 0, 0 < χ < -т. 41.47. а) а = οί б) а = 1, а = - д·
41.48. а) ^д; б) ^ 41.49. а) * > |; б) -V3 < χ < -V2; V2 < χ < Д
41.50. а) ^ + π£ < jc < -π + яй; б) --g- + 2π£ < jc < -g + 2π£.
3 2 2
41.51. а) --г < jc < 0, jc> 0; 6) jc < ^; jc> ^. 41.52. a) -π + 2πη < χ < 2πη;
6) 2πη < χ < π + 2πη. 41.53. а) 1; 16; 6) ^4. 41.54. а) | + nk;
(-l)*+1arcsin-| + π£;6) | + ^. 41.55. a) jc< 0; jc> 3; б) | + k/i<jc< | + πη;
π 2π я
■ρ + πη < χ < "ο- + πη. 41.56. а); б) Таких значений нет. 41.57. a) g +
5π
+ nk < jc < -g- + nk; 6) 2πτι < jc < π + πη, -π + 2nk < jc < 2π&; η = 0, 1, 2,
330

3,... ; k = О, -1, -2, -3, ... . 41.59. а) χ3 + χ2; б) -; в) χ5 - χ; г) 9>/jc.
-у? - 4х, если χ < -2,5,
1*2 + ^ если -2,5 < χ < 1, (вершины
JC3
41.60. а) у = -д- - Зх; б) ζ/ =
,^χ2 + ^jc, если jc > 1
Ιο ο
ломаной не учтены). 41.61. а) —-τ + π&, πτι; б) т>. 41.62. а) а + Ь = -2; б) α = 0,
& = -2. 41.63. а) а + + Ь = -1; б) α = ^, Ь = -|. 41.64. а) 12*2; б) 20*3;
в) -sin χ; г) -2 cos χ. 41.65. а) 12; б) 0; в) -4; г) -1. 41.66. а) 9 м/с2; б) 9 кгм/с2.
π
41.67. a) -arctg 2 + пп; б) ±-д + 2кп. 41.68. а) у" = 2 cos χ - χ sin x;
б) у" = -asinx - Ьcos *. 41.69. а) у = tg 15°[50 - -^ 1 41.70. a) ±V3,
±^; б)±ч/2, ±1.
§42
42.4. а) -2 sin 2х; б) 2 cos 2х; в) -6 sin 6х; г) 0. 42.5. а) 8 cos 8x;
х
6*
1 χ
б) -10 sin 10*; в) 4 cos 4л:; г) -тт sin 77. 42.6. а) -15*2(1 - х3)4;
6
З*2 + 6* - 2 ч 14 - 4* . ч
6*
2V*3 + 3*2-2* + l' ' (x2-7x + 8f ' (J + byJjTt · уБ*^'
42.7. а) 3 sin2 jc cos jc; 6) -
в)
5tg**
г)
1 + Зх2
2sin2*Vc^' ' cos2*' *' cos^ + jc3)
42.8. a)
-x
о 2 · *4Jt2 + l-2jtsin2jc 40 /Z
, - 3 cos"5 jc sin jc; 6) ===== ; в) sin 2x cos sx -
VT^? 2ix* + l)2J&ccos2x
sin2 χ sin
2Vjc
r)-
tgx + esii^Jt^ctgJt
2jc4sin2jc
42.9. a)3 77;6)-lg; в)-35;
г) 0,7. 42.10. a) 2; 6) 4; в) -2; г) 3. 42.11. a) -7; 6) j^; в) -1±; г) jg.
о/о 48 5
42.12. а) 6; б) ^; в) 0; г) -4. 42.13. а) 10; б) 1,75; в) - ggji г) -g.
42.14. а) 0; б) 12; в) - 73; г) -д. 42.15. а) 2; б) -|; в) 5; г) ήρ 42.16. а) 4π;
б) ~\ yJ2(yf2 - l); в) 0; г) 0. 42.17. а) \ + πΛ, (-l)n + 1arcsin ^ + π£;
«ч π π&. , ччЛ + 1 1 . 1 π&. . π& ч
ο) γρ + -λ-> (-1) ^ arcsin -τ + -^-> β) -«-; г) таких значении нет.
42.18. а) Таких значений нет; б) —« + тш < лс < -τ + яи. 42.19. а) -8; б) -1 gi
331

в
о
в) -0,5; г) 1. 42.20. а) ±gK + ш; б) (-1)η + 1 у| + ψ. 42.21. а) х = πη; б) |П;
(-1)" Ι + πη, (-1)η + 1 | + πη. 42.22. а) |, |; б) -у, π, -g-. 42.23. a) α = 2,
Ь = 0; б) а = 2,5, Ь = 0,75. 42.24. а) ψ; б) πη; в) ψ; г) ^, - J + m.
42.25. а) 3, jc > ^|; б) -9,1 < л: < -1,5. 42.26. а) | < χ < 5 gi б) χ < -|,
* > |. 42.28. a) 2g Я + ^; б) 9. 42.29. а) г|; б) || + -γ. 42.30. а) (2х-
- I)3 + С; б) (4 - 5л:)4 + С, где С — любое число. 42.31. а) ^ + з + с?
б) V5JC- 7 + С, где С — любое число. 42.32. а) - о cos I Зх - -^ I + С;
4 3 2г
б) "к tg (5х - 1) + С, где С — любое число. 42.33. а) , : б) .-;
0 Л-9Г 1 + г
»> "3(7СС08^)2; г) -^t-J -. 42.34. а) -^; б) 1; в) 1; г) 2. 42.35. а) -3;
VI - х2 гыху\ + χ) *
б) ^ψ-; в) -2; г) —tL. 42.36. а) 3; б) |. 42.37. а) 0; б) нет таких
значений. 42.38. а) —| < * < -|; б) 0< * < 1.
§43
43.6. а) 1; б) -0,5; в) -8; г) 0. 43.7. а) 27; б) 0; в) 6; г) -1. 43.8. а) -4;
б) -1; в) -103,2; г) 1. 43.9. а) -4, 0, 6; б) 2, 0, 4; в) -3, ^-, |; г) -^р
нет, 1. 43.10. а) -5, 0, 7; б) -2, 0, 0. 43.11. а) -5, 0, 3; б) -6, 0, -2.
43.12. а) (1; 15); в) (0; 0), \^9 т^], г) ^-; -у-], \—ψ-; -γ-)·
43.13. а) (0; 0); б) (0; -1); в) (-1; 3 - |), (l; 3 + |). 43.21. а) 0; б) π — arctg 7;
в) arctg 2; г) касательной не существует. 43.23. а) у = 7χ - 10; б) у = -Зле - 10;
в) у = Ъх - 17; г) у = -* + |. 43.24. а) ζ/ = 3* - 4; б) ζ/ = -* + 4.
43.25. а) ι/ = 1; б) у = | - 2х; в) ι/ = 1; г) у = д*. 43.26. а) у = | - XI
б)у = -х; в)у = 2,5* + 0,5 + |; г) у = * - 5 arctg 2. 43.27. а) ι/ = ^р * +
1 WS «ч 6 2- ч о 1 π. . _ _
+ 8 ~ -[б"' 6) У = πχ + 2 ~ π' в) у = ~2х + 2 + Ί' г) у
332

43.28. а) у = -2x - 4; б) у = Ьх - 16; в) у = 2х + 1; г) у = Ъх + 9.
43.29. а) у = -6х + 18, у = 6х + 18; б) у = 27'х - 81; в) у = -4х, у = 8х + 16,
г/ = 8х - 16; г) ζ/ = 0, у = -х + 1. 43.30. а) у = Ьх - 16; у = -Ьх - 1;
1 3
б) у = χ - 4, у = -х + 9. 43.31. а) лг = 1; б) χ = —τ; в) χ = gi г) χ = -0,5.
8 4
43.32. а) ζ/ = χ - д, ζ/ = χ - gi 6) ζ/ = 9χ - 20, ζ/ = 9χ + 16. 43.33. а) ζ/ = 2χ +
+ ^ - V3, ζ/ = 2χ - ^ + 73; 6) ζ/ = χ. 43.34. а) χ = 3; 6) χχ = Ο, χ2 = V2,
#з = -л/2; в) jc = 1; г) #ι = 0, лс2 = 0,6. 43.35. а) х = π + 2тт; 6) χ - g/ι;
в) χ = пп; г) χ = π + 2πτι. 43.36. a) -j + π/ι; б) 0; в) -χ + πτι; г) 0.
5 1
43.37. а) ζ/ = -jc, ζ/ = 20 g - χ; 6) ζ/ = 1 д - χ; ζ/ = -χ. 43.38. а) ζ/ = 14 - χ,
у = -χ - 2; 6) ζ/ = -χ - 5, ζ/ = -χ - 9. 43.39. а) ζ/ = -χ - 11; 6) ζ/ = 1 - χ.
43.40. а) ζ/ = ^ - лс; 6) ζ/ = ^ - jc. 43.41. a) *ι = Ο, ζ/ = χ + 1, χ2 = 2, ζ/ = χ - 3;
1бУз
3 '
6) χχ = -3, ζ/ = -jc - 1, χ2 = -1, ζ/ = -χ + 3. 43.42. а) ζ/ = V&x; -
/^ 16>/3 V3 2yfs S 2>/з ^0 .0 ч/л 1Ч
ζ/ = л/Зл: + -у-; б) ζ/ = -д- jc - -^-, ζ/ = -д- jc + -^-. 43.43. a) (0; 1),
(0; 21); б) (0; 0), (0; 12). 43.44. а) у = х2 - Зх + 3. 43.45. а) у = -6х -
- 8, у = 2х; б) у = 2х, у = -2х; в) у = 4х - 3, у = -Ах - 3; г) у = 1, у = -Ах - 3.
43.46. а) у = 8 - 7х, у = -Их + 12; б) у = -9х + 9, у = -Ьх + 9.
43.47. а) у = -0,1* + 2,8, у = -0,Ьх + 2; б) у = -0,Ьх + 2. 43.48. а) у = 2х - I,
у = 0,4л; + 2,2; б) у = χ + 1, у - ъх+ д· 43.49. а) а = -тп, а = т* + д и;
6)α=ϊ6+ΊΓ* α=4 + :2Λ' 43.50. а) у = 3 - 2х; б) ζ/ = ^л: + ^.
27 27
43.51. а) ζ/ = 3* - 2; б) ζ/ = ^-* + ^-. 43.52. а) В(0; 3,5); б) у = χ - 3,
7з
7з
ί/ = -χ - 3. 43.53. а) В(0; 0); б) ζ/ = —у-(χ - 1), У = ήρ (* + 1).
43.54. а) ί-|; -2δ\ б) (17; 204). 43.55. а)ρ = 0,5; 6) ρ = -1. 43.56. а) (1;-1);
6 4
б) не является. 43.57. а) ψ б) -g. 43.58. а) α = 2; б) α = 0. 43.59. а) 1;
б) 1 + V3. 43.60. а) £; б) -^. 43.61. а) -1; б) 4. 43.62. а) у = *; б) (0; -4).
43.63. a) arctg 3; б) |, arctg |. 43.65. а)
V41
I; б) у=-\. 43.66. а)-1; 2;
4
333

б) 10. 43.67. а) 5; б) 9. 43.68. а) Ъ = 2; с = -3; б) а = 3; Ъ = -5; с = 2.
43.69. S = 2а2. 43.70. у = 2ах - а2 — уравнение касательной, χ = ~ ^.
Li
абсцисса точки пересечения.
§44
44.31. а) α > 0; б) -V5 < α < V5. 44.32. а) а > 1; б) а < -4.
44.33. а) Ь < -gi б) Ъ < 0; в) ни при каких Ь; г) Ъ > 0. 44.34. а) -2;
б) -2,5 < а < -1,5; α > 1,5; в) 2; г) α < -0,5; α > 3,5. 44.35. а) α < -1; а > 2;
б) а < -1,5; α > 1. 44.36. а) Ь, d; б) с; в) а, 0; г) нет таких точек. 44.37. а) е;
б) а, Ь; в) Ь, с; г) а, Ь, с, d, β. 44.38. а) При а = ±3; б) при а = ±5. 44.45. а) Да;
7
б) нет; в) нет; г) нет. 44.48. а) х - -j, точка минимума; б) χ = -2,5 —
точка максимума; в) χ = -τ — точка минимума; г) χ = -2 — точка
максимума. 44.49. а) х = 2 — точка максимума, χ = 3 — точка минимума;
б) χ = -3 — точка максимума, лс = 3 — точка минимума; в) χ = --о —
точка максимума, χ = 5 — точка минимума; г) лс = 7 — точка минимума,
χ = 0 — точка максимума. 44.50. a) jc = -0,6 — точка максимума, χ = 0,6 —
точка минимума; б) χ = -1, jc = 4 — точки минимума, χ = 0 — точка
максимума; в) χ = -5, χ = 5 — точки минимума, лс = 0 — точка максимума;
г) χ = -3 — точка максимума, χ = 1 — точка минимума. 44.51. а) лс = -2 —
точка максимума, χ = 2 — точка минимума; б) χ = -3 — точка максимума,
х = 3 — точка минимума. 44.52. а) лс = 3 — точка минимума; б) χ = 2 —
точка максимума; в) χ = 8,5 — точка максимума; г) лс = 1,4 — точка
максимума. 44.53. а) χ = -^ — точка минимума, лс = --g- — точка мак-
5π 7
симума; б) лс = "о" — точка минимума, χ = "όπ — точка максимума.
44.54. а) лс = -3 — точка максимума, лс = 3 — точка минимума; б) χ = -3 —
точка максимума; в)лс = 0ил£: = 3 — точка минимума; χ = 2 — точка
максимума; г) нет таких точек. 44.55. а) х = 0 — точка минимума; б) нет;
в) χ = 0 — точка максимума; г) нет. 44.56. а) ζ/' = = (лс + 2)2 > 0 при всех XI
б) ζ/' = -лс2 + Зле - 3 < 0 при всех х; в) ζ/' = χ4 + лс2 + 1 > 0 при всех XI
7
г) ζ/' = —5л:4 - Зле2 < 0 при всех х. 44.57. а) 8; χ = -Та — точка минимума;
б) -2; χ - -г — точка максимума; в) -1; χ = 3,5 — точка максимума; г) а = -0,1;
1
х = 35 — точка максимума. 44.58. а) Нет; б) χ = 0 — точка максимума; χ = з
334

и χ = 2 — точки минимума; χ - 2 — точка минимума. 44.59. а) Возраста-
π
ет на
-| + 2кп; | + 2тт
, убывает на
| + 2пщ ^ + 2тт
' * = -§ +
+ 2тш — точки минимума, лс = -ц + 2πτι — точки максимума; б) убывает
на
^ + 2пщ 1^ + 2тш
возрастает на
π 7 л Ί π
—£ + 2тт; ^π + 2тт , * = -g +
+ 2кп — точки минимума, χ = β π + 2πτι — точки максимума; в) убывает
на
-А + 2тт; ^ + 2тт
4 4
р
, возрастает на | —т + 2тш; -^ + 2πη , * = τ
+ 2πτι — точки максимума, лс = -τ π + 2πτι — точки минимума; г)
возрастает на R. 44.60. а) Убывает на
—я + кп; ·„ + кп
о о
, возрастает на
Г π 5π 1 я π
■^ + π/ι; -^- + πτι , лс=^+яп — точки минимума, χ = - τ* + тш —
точки
максимума; б) убывает на
| + 4πη; ^ + 4πη
, возрастает на
5π
—^- + 4тш; ^ + 4тш , jc = "о + 4тш — точки максимума, χ = -о~ + 4πτι —
точки минимума. 44.61. а) Убывает на (-оо; 3], возрастает на [3; +оо),
χ - 3 — точка минимума; б) возрастает на (-°°; 0) и на [1; +°о), убывает
на(0; 1], х- 1 — точка минимума; в) убывает на (-оо; -3] и на
-1-2
2' г
возрастает на
* 2
и на [2; +оо), лс = -3 и лс = 2 — точки минимума,
х = --= — точка максимума; г) возрастает на [-1; 0] и на [1; +°о), убывает
на (-оо; -1] и на [0; 1], χ = -1, χ = 1 — точки минимума, χ = 0 — точка
максимума. 44.62. а) Убывает на (-оо; ->/з], на [-1; 0] и на [1; >/з],
возрастает на [->/3; -l], на[0; 1] и на [V3; +оо), лг = ->/з, х = 0, х= >/3 —
точки минимума, χ = -1, лс = 1 — точки максимума; б) возрастает на
S.
, на
«Т,
и на [1; +°о), убывает на (-оо; -1], на
-зг ·
и на
т*-\
л 11
, л: = -1, л: = 0, χ = 1 — точки минимума, χ = --т=, лс = -η= —
335

точки максимума. 44.64. г) Возрастает на [-1; 1], убывает на (-°о; -1]
и на [1; +°о), χ = -1 — точка минимума, χ = 1 — точка максимума.
44.65. г) Возрастает на (-°о; -1] и на [1; +оо), убывает на [-1; 1], χ = -1 —
точка максимума, χ = 1 — точка минимума. 44.66. г) Возрастает на (-°°; -3]
и на [1; +оо), убывает на [-3; 1], χ = -3 — точка максимума, χ = 1 — точка
минимума. 44.67. г) Возрастает на [-1; 1], убывает на (-°о; -1] и на [1; +оо),
χ = -1 — точка минимума, χ = 1 — точка максимума. 44.68. г) Возрастает
на (-°°; 1,5], убывает на [1,5; +°о), χ = 1,5 — точка максимума. 44.69. а) 2;
б) 1; в) 1; г) 1. 44.70. а) 0, б) 0. 44.71. а) 1; б) 2. 44.74. а) -у; б) 0.
§45
45.13. а) 3; б) 1; в) 3; г) 1. 45.14. а) 1 корень, если а > -3; 2 корня,
если а = -3; 3 корня, если а < -3. 45.15. а) 3; б) -1.
§46
46.1. а) 255; -1; б) 34; 1; в) 23; -4; г) 8; -154. 46.2. а) увмб = 4;
ι/наим = -23; б) 1/наиб = -9; z/наим = -9993; в) уиаиб = 5; уиаша = -1; г) уиаяб = 31 246;
ι/наим = 124. 46.3. а) z/наиб = -2; уииш = -4; б) z/наиб = 1,5; уиаим = -0,5; в) у^ = 0;
i/наим = -1; г) i/наиб = 7; z/Hamf = 1. 46.4. а) г/наиб = V2; Унаим = 0; б) уваиб = ^2;
= 1; в) z/наиб = V2; i/наим = 0; г) z/наиб = V2; ι/наим = 1- 46.5. а) уиаиб = 4;
ι/наим = 1; б) z/наим = 0, уиаяб = 3. 46.6. a) z/^ = 7; z/на™ = "3; б) z/наиб = 6; ζ/^ = -4.
46.7. а) i/наиб = 24; z/наим = 12; б) z/наиб = Ю; z/наим = 5; в) уиаиб = 16; z/наим = 2;
Г) Z/наиб = 10; Z/наим = 2. 46.8. а) Z/наиб = 1; ί/наим = ~^\ б) Z/наиб = 0; Z/наим = ~4;
в) z/наиб = 5; z/наим = -4; г) уиаиб не существует; z/наим = -4. 46.9.'а) z/наиб = 28;
i/наим = 3; б) Z/наиб = 9; Z/наим = "3j В) Z/Han6 = 16ί Z/наим = "2j г) Z/наиб = "7; Z/наим = "199.
46.10. а) z/наиб = 19; z/наим = -35; б) ζ/ηεη6 = 35; ζ/Η&ΗΜ = 15; в) ζ/^ = 19; ζ/η&Ημ = -93;
Γ) Z/наиб = 19; Z/наим = 15. 46.11. а) Z/наиб = 173j Z/наим = ~2j б) Z/наиб = "43; Z/наим = "72;
В) Z/наиб = 173; Z/наим = 45', Г) Z/наиб = "2j Z/наим = "72. 46.12. a) Z/HaH6 = 4; Z/наим = "3ί
б) Z/наиб = -12; Z/наим = "28; В) Z/наиб = 4j Z/HaHM = "28; Г) Z/наиб = 4; Z/наим = "28.
46.13. а) z/наиб = 20; z/HaHM = -7; б) z/наиб = 4; z/наим = -124; в) z/наиб = 121;
i/наим = -44; г) z/наиб = 148; z/наим = "124. 46.14. a) z/Han6 = 6; z/наим = 5; б) z/наиб = -3;
. ,Л,- ч к Λ 3π ., tf4 3ν3 — π.
ι/наим = -4. 46.15. а) z/наиб = ^ + 1; #наим = ~4 ; ' Уиая6 = 3 '
Ч /О j_ -· - L \ - 3>/3 - π. _ Л
Z/наим — —πί В) Z/наиб ~ VO + β» j/наим ~ ~ 9' #наиб ~ О » ί/наим ~ υ*
5
46.16. а) z/наиб не существует; упвям = -~^\ б) уиаиб не существует; унашл = -1;
в) z/наиб = 0; z/наим не существует; г) z/наиб не существует; уийИМ = 0.
336

л/з
46.17. a) z/наиб = -0; z/Hami не существует; б) уваяб = —; ζ/ω™ = -2; в) упаяб = -2;
z/еаим не существует; г) z/наиб = 3,5; z/Ha„M не существует. 46.18. a) z/,^ = 0;
5
г/наим = -27; б) z/наиб = 0; z/наим = -4; в) ζ/Ηωι6 = 50; уиаим = 0,875; г) ^ = g'
ι/наим = - g- 46.19. а) z/наиб = 21; ζ/™™ = 5; б) z/наиб = 71; z/наим = -10; в) z/наиб = 18,25;
z/наим = 17; г) z/наиб = 6^; ί/наим = "Hg· 46.20. а) и б) z/наиб = 6; z/наим = -0,25;
в) z/наиб = 72; i/наим = 16; г) уийя6 = 135; z/наим = 27. 46.21. а) z/наиб = 21;
40 г~ 3
1/наим = -27^ б) Z/наиб = Ю; Z/наим = 5 - 4V2. 46.22. а) Z/наиб = 8j l/Hami = 1 ^5
л/2 л/2
6)Z/Han6 = 17; Z/наим = -3. 46.23. а) Z/наиб = 1; ί/наим = "у; б) 1/наиб = J-J Z/наим = -1-
46.24. а) z/наиб = 0; уш
Зл/З
ί б) z/иаиб = 1; ι/наим = - g* 46.25. а) z/наиб = 2;
ί/наим не существует; б) z/наиб = "j; ^™™ = 0; в) г/наиб не существует; z/наим = -2;
г) z/наиб = 0; уяаим = -^. 46.26. а) -5; б) -9, 6; г) -8, 4. 46.27. а) 5,5; б) 1;
2
в) 5; г) 4. 46.28. а) 7; б) -0,1; в) 3; г) д. 46.29. а) 4; б) -1,5; в) -2; г) -2.
46.30. а) z/наиб = 5; z/HailM = 0; б) 1унаиб = 7Т\/2; z/наим = 0; в) z/HaH6 = 4;
ί/наим = 0; г) z/наиб = 3,5л/3; i/наим = 0. 46.31. а) z/наиб не существует; ζ/Η&ΗΜ = 0;
б) z/наиб не существует; уиатл = 1; в) у^ не существует; z/HaHM = 0; г) ζ/^ не су-
ществует; z/Ha„M = ^-. 46.32. а) 2; б) 1. 46.33. а) 3; б) 3. 46.34. а) -4;
б) -0,25; в) 9; г) -16. 46.35. а)
3 1
'2' 2
ί б) [-|; |]. 46.36. а) [-М, +оо|-
б) l-oq ^1. 46.37. [-3; -1]. 46.38. а) 9; б) 15. 46.39. а) п = -|;
б) η = 4 - 2л/3. 46.41. а) 12; 12; б) 22; 22. 46.42. а) -5; 5; б) -49; 49.
46.43. а) -18; 18; б) -14; 14. 46.44. а) 2; 1; б) 1^; з|. 46.45. а) 14 см; 14 см;
б) 18 см, 18 см. 46.46. а) 50 м χ 50 м; б) 60 м χ 60 м. 46.47. а) 4 см χ 4 см;
б) 8 см х 8 см. 46.48. а) 50 м χ 50 м. 46.49. 32 см2. 46.50. а) 0,8;
б) -4. 46.51. а) 2; б) 1. 46.52. а) (1; 1); (-1; 1); б) (4; 2). 46.53. 30 см.
46.54. а) 6000; б) 108. 46.55. а) 21; б) 32,4. 46.56. л/а&. 46.57. 3 ч 44 мин.
337

46.58. 4 дм, 4 дм, 2 дм. 46.59. 7 м, 7 м, 7 м. 46.60. 4^5 м, 6^5 м, Щ^- м
о *
±И л* ко Б^А лааъ £ ла ал зГ"
46.61. ^. 46.62. ^. 46.63. ^. 46.64. Я^.
§47
47.1. а) 42; б) 20; в) 24; г) 14. 47.2. а) 42; б) 7; в) 24; г) 20. 47.3. а) 100;
б) 90; в) 180; г) 90. 47.4. а) 108; б) 54; в) 84; г) 324. 47.5. а) 100 000;
б) 32 768; в) 32; г) 8192. 47.6. а) 512; б) 64; в) 16; г) 192. 47.7. б) 3; в) б';
г) Эшкин будет в 4 вариантах. 47.8. б) 4. 47.9. б) 1; в) 3. 47.10. б) 8; в) 3.
47.11. а) 54; б) 5184; в) ψ t)jq. 47.12. а) 1; б) 0. 47.13. а) 2; б) 3; в) 6;
г) 24. 47.14. а) 8; б) 15; в) 6; г) 13. 47.16. а) 7; б) 4; в) 7; г) 3. 47.17. а) п > 3;
б) η > 4. 47.18. а); б); в); г) Начиная с указанного номера п, левая часть
растет быстрее правой части. 47.20. а) 120; б) 288; в) 432; г) 72. 47.21. а) (б!)2;
б) (5!)2; в) (б!)2; г) (6 5 4 З)2. 47.22. а) 120; б) 14 400; в) 720;
г) 2880. 47.23. а) 7!; б) 6!; в) 7! С? =176 400; г) 7! С? С74 = 529 200.
47.24. а)5! · 4! · 3! = 17 280; б) 17 280; в) (5 4 3) 4! 3! = 8640;
г) 2 177 280.
§48
48.1. а) 12; б) 13; в) 12; г) 15. 48.2. а) ^П~ **; б) ^П~ 3*; в) η - 2;
г) ι"" 2Xft- 3>. 48.3. а) 110; б) 56; в) 82; г) 55; 28. 48.4. а) 100; б) 10;
в) 94; г) 18. 48.8. Упростите выражение: а) « ; б) ρ ·
48.9. а) С?7 < d48; б) с& < d59; в) d59 < d68; г) С7п < C*n+l при п > 7,
Cl = Cli при η = 7. 48.10. a) 8; б) 6; в) 7; г) 4. 48.11. а) х = 9 или χ = 10;
б) χ = 11. 48.12. а) 8; б) 27; в) 31; г) 7. 48.13. а) 15; б) 5; в) 8; г) 12.
48.14. а) 210; б) 35; в) 15; г) 100. 48.15. а) 32 760; б) 792; в) 120; г) 240.
48.16. а) 376 992; б) 32; в) 126; г) 504. 48.17. а) 14 112; б) 10 976; в) 7056;
г) 280. 48.18. а) у = *_ 3 ; в) 8; г) 54. 48.19. а) у = 6х(х - 1); в) 10;
г) 33. 48.20. а) у = 24 1 = — монотонно возрастает; в) 23; г) 24.
48.21. а) 7; б) 8; в) 12; г) 3. 48.23. а) 8; б) 16; в) 128. 48.25. а) 108; б) -720;
в) 8; г)-д. 48.26. а) Юх8; б) 120*4; в) 210лГ2; г) 252. 48.27. а) 60; б) 5;
в) 61 236; г) 24 310. 48.28. а) 10; б) 252; в) один; г) 9; 126; два. 48.29. a) k = 2
338

или k = 3; б) 8; в) k = 30 или k = 31; г) 500. 48.30. б) 999 001; в) 9802; г) у к а -
И
= 1 +
1-9
α
зание: найти номер, начиная с которого
§49
49.1. а) 0,2; б) 0,077; в) 0,088; г) 0,966. 49.2. а) 0,244; б) 0,067
в) 0,044; г) 0,088. 49.3. а) 0,989; б) 0,01; в) 0,0026; г) 0,044. 49.4. а) 0,25
б) 0,25; в) 0,107; г) 0,321. 49.5. а) 0,36; б) 0,52; в) 0,04; г) 0,56. 49.6. а) 0,1
б) 0,7; в) 0,15; г) 0,75. 49.7. а) 0,04; б) 0,92; в) 0,36; г) 0,6. 49.8. а) 0,833
б) 0,833; в) 0,167; г) 0,222. 49.9. а) 10; б) 8; в) 12; г) 29. 49.10. а) 20
б) 24; в) 6; г) 48. 49.11. а) 200; б) 162; в) 100; г) 99. 49.12. а) 4; б) 8; в) 4
г) 8. 49.13. а) Это событие В; б) есть ученик, сдавший экзамен, но есть и
ученик, не сдавший экзамен; в) это событие В; г) это событие В. 49.14. а) Все
трое не сдали экзамен; б) или все трое сдали экзамен, или все трое
не сдали экзамен; в) никто не сдал экзамен; г) ни один ученик не
сдал экзамен. 49.15. а) Это цифра 8; б) это цифра 9; в) это цифра 9;
г) невозможное событие. 49.17. а) 0,119; б) 0,476; в) 0,476; г) 0,952.
49.18. а) -ттп—ТТ\> б) указание: постройте график функции из а);
в) 0,375; г) 9.
49.19.
η |
Р(п)
1
5
9
2
5
9
3
5
14
4
10
63
5
5
126
1 6
0
7
0
8
0
9
0
49.20.
η
р{п)
1 °
0
1
1
3
2
8
15
3 Ι
3
5 J
4
8
15
5
1
3
6
0
bn - In
49.21. a) 0,051; 6) 0,338; в) 0,662; г) 0,974. 49.22. а) ц2п - l)(2n - S)1
б) указание: исследуйте функцию из а) на монотонность; в) 0,3125
г) 6. 49.23. а) 0,125; б) 0,125; в) 0,375; г) 0,875. 49.24. а) 0,0625; б) 0,0625
в) 0,25; г) 0, 9375. 49.25. а) 1 - 2п; б) возрастает; в) 1; г) 10. 49.26. а) 0,729:
б) 0,271; в) 0,125; г) 0,875. 49.27. а) 1 - 0,9"; б) возрастает; в) 1; г) 7.
49.28. а) 0,303; б) 0,211; в) ί||1 (Щ\ г) 0.
49.29. а) 0,9га10,1; б) 0;
в)
η
Р(п)
1
0,1
2
0,09
3
0,081
4
0,0729
5
0,06561
6
0,059049
7
0,0531441
г) 1. 49.30. а) 0,5; б) 0,8; в) 0,6; г) 0,1.
339

Дополнительные задачи
7.48. a) 0; б) 4. 8.53. a) 20; б) 8. 8.54. a) 0; б) 3. 9.36. а) Нет корней;
б) χ = 8л, η е Ζ; в) -оо < χ < +оо; г) -4 < χ < -3; 3 < χ < 5. 9.37. a) 0, 0, l';
б) 6. 14.37. a) 6; б) 6. 16.73. a) 3 и 2 ; б) 3 и 2 ; в) 2 и 1; г) 1 и 2. 13.54. 2*.
16.74. а) 3; б) 3; в) 4; г) 5. 16.75. а) -10; б) -8; в) -6; г) 9,8. 20.30. χ = i
о
20.31. а) 4; б) 10. 21.63. а) 200; б) 100; в) 50; г) 50. 21.64. а) 1; б) 12;
в) 5; г) 16. 21.65. а) 5; б) нет корней. 22.69. а) 3; б) 3. 23.43. а) х = πη,
χ = -^ + 2πη, χ = -arctg 75 + 2πη; 6) χ = 2πη, χ = -arctg 77 + 2πη.
23.44. a) χ = "ο + 2πη, χ = -ο" + 2πη; б) нет решений. 23.45. χ = 2π/ι.
24.53. а) 2; 6) 3; в) 8; г) 12. 27.73. а) 7; б) 9. 28.39. а) 3; б) 2; в) 2; г) 3.
30.27. 6. 30.28. х=\+ 2πη. 40.17. а) -2,25; б) 1,5. 45.16. 0,5. 46.65. 101.
46.66. а) 1, -2>/2 - 2; б) [-23; 9].

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие для учителя 3
Задачи на повторение 5
глава 1. Действительные числа
§ 1. Натуральные и целые числа 12
§ 2. Рациональные числа 18
§ 3. Иррациональные числа 20
§ 4. Множество действительных чисел 23
§ 5. Модуль действительного числа 27
§ 6. Метод математической индукции 32
ГЛАВА 2. Числовые функции
§ 7. Определение числовой функции и способы ее задания 38
§ 8. Свойства функций 46
§ 9. Периодические функции 55
§ 10. Обратная функция 61
глава з. Тригонометрические функции
§ 11. Числовая окружность 69
§ 12. Числовая окружность на координатной плоскости .... 74
§ 13. Синус и косинус. Тангенс и котангенс 77
§ 14. Тригонометрические функции числового аргумента ... 83
§ 15. Тригонометрические функции углового аргумента .... 88
§ 16. Функции у = sin χ, у = cos x, их свойства и графики .... 90
§ 17. Построение графика функции у = mf(x) 100
§ 18. Построение графика функции у = f(kx) 105
§ 19. График гармонического колебания 108
§ 20. Функции у = tg х, у = ctg χ, их свойства и графики .... 112
§ 21. Обратные тригонометрические функции 115
341

глава 4. Тригонометрические уравнения
§ 22. Простейшие тригонометрические уравнения
и неравенства 124
§ 23. Методы решения тригонометрических уравнений .... 132
глава 5. Преобразование тригонометрических выражений
§ 24. Синус и косинус суммы и разности аргументов 137
§25. Тангенс суммы и разности аргументов 144
§ 26. Формулы приведения 147
§ 27. Формулы двойного аргумента.
Формулы понижения степени 152
§ 28. Преобразование суммы тригонометрических функций
в произведение 161
§ 29. Преобразование произведения тригонометрических
функций в сумму 165
§ 30. Преобразование выражения A sin χ + В cos x к виду
С sin (χ + t) 169
§31. Методы решения тригонометрических уравнений
(продолжение) 172
глава 6. Комплексные числа
§ 32. Комплексные числа и арифметические операции
над ними 176
§ 33. Комплексные числа и координатная плоскость 180
§ 34. Тригонометрическая форма записи комплексного числа 184
§ 35. Комплексные числа и квадратные уравнения 190
§ 36. Возведение комплексного числа в степень.
Извлечение кубического корня из комплексного числа 193
глава 7. Производная
§ 37. Числовые последовательности 197
§ 38. Предел числовой последовательности 206
§ 39. Предел функции 211
§ 40. Определение производной 221
§ 41. Вычисление производных 224
§ 42. Дифференцирование сложной функции.
Дифференцирование обратной функции 233
342

§ 43. Уравнение касательной к графику функции 238
§ 44. Применение производной для исследования функций
на монотонность и экстремумы 250
§ 45. Построение графиков функций 264
§ 46. Применение производной для отыскания наибольших
и наименьших значений величин 266
глава 8. Комбинаторика и вероятность
§47. Правило умножения. Перестановки и факториалы .... 274
§48. Выбор нескольких элементов.
Биномиальные коэффициенты 278
§ 49. Случайные события и их вероятности 283
Дополнительные задачи 289
Ответы 294

Учебное издание
Мордкович Александр Григорьевич,
Денищева Лариса Олеговна, Звавич Леонид Исаакович и дрт
АЛГЕБРА И НАЧАЛА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
10 класс
В двух частях
Часть 2
ЗАДАЧНИК
для учащихся общеобразовательных учреждений
(профильный уровень)
Генеральный директор издательства М. И. Безвиконная
Главный редактор К. И. Куровский. Редактор С. В. Бахтина
Оформление и художественное редактирование: С. А. Сорока
Технический редактор И. Л. Ткаченко. Корректор И. Н. Баханова
Компьютерная верстка: А. А, Горкин
Санитарно-эпидемиологическое заключение
№ 77.99.60.953.Д.001625.02.08 от 29.02.2008.
Формат 60x90V16. Бумага офсетная № 1. Гарнитура «Школьная».
Печать офсетная. Усл. печ. л. 21,5. Тираж 30 000 экз. Заказ № 0901200.
Издательство «Мнемозина». 105043, Москва, ул. 6-я Парковая, 29 6.
Тел.: 8 (499) 367 5418, 367 5627, 367 6781; факс: 8 (499) 165 9218.
E-mail: ioc@mnemozina.ru
www.mnemozina.ru
Магазин «Мнемозина» (розничная и мелкооптовая продажа книг).
105043, Москва, ул. 6-я Парковая, 29 б.
Тел.: 8 (495) 783 8284, 783 8285, 783 8286.
Торговый дом «Мнемозина» (оптовая продажа книг).
Тел./факс: 8 (495) 665 6031 (многоканальный).
E-mail: td@mnemozina.ru
Отпечатано в полном соответствии с качеством
предоставленного электронного оригинал-макета
в ОАО «Ярославский полиграфкомбинат»
arvato 150049, Ярославль, ул. Свободы, 97
G
япк

"о Ар
ч
\
1
I
"·
г .
1
Ч I "Г"
7
Г» /
О
И НАЧАЛА
МАТЕМАТИЧЕСКОГО
АНАЛИЗА
Часть 2
ЗАДАЧНИК
,^яьс
^ЙЙ^

= ZSL
_ 2 ~ 2
1 + t·
1
sin л: + sin у = 2 sin
17 V -1-
cos л: + cos у - 2 cos
f = -2
_1_
# - у
2
* - ι
- m χ = (-1)71
χ =
1 sin χ -1
Ы
χ + π
+ π
cos χ = 0 cos я = -1
V
η χ -

о (V-
- 1 2
( +
X" ПХ
ι1!- г
«-1 {χ ι χ2
( x\ = cos лс
(с хУ ίΐ я
(tg*)
• 8
fe