Text
                    ББК 22.31
Б 70
УДК 530.145.63
Блум К.
Б 70 Теория матрицы плотности и ее приложения. Пер, с
англ. — М.: Мир, 1983. —248 с, ил.
Монография известного физика из ФРГ содержит последовательное и
доступное изложение теоретических основ метода матрицы плотности и его
применений к проблемам квантовой электроники, аюмиой и молекулярной
спектроскопии, физики необратимых процессов. Основные понятия подробно
обсуждаются и иллюстрируются простыми примерами.
Для физиков-теоретиков и экспериментаторов, занимающихся квантовой
электроникой, лазерной спектроскопией, ядерной физикой, а также студентов
старших курсов и аспирантов соответствующих специальностей.
_ 1704020000—486
041@1)—83
-84, ч. 1
ББК 22.31
530.1
Редакция литературы по физике
1981 Plenum Press, New Yorh
Перевод на русский язык,
«Мир», 1983
Предисловие редактора перевода
Метод матрицы плотности является основным рабочим ме-
методом квантовой статистической механики как равновесных,
так и неравновесных состоянии. Такое применение матрицы
плотности подробно описано в учебной литературе. Кроме
того, метод матрицы плотности оказывается также очень эф-
эффективным при рассмотрении квантовомеханнческнх проблем,
связанных с рассеянием частично поляризованных пучков, ,ч
в последние годы с успехом применяется в атомно-молекуляр-
ной спектроскопии. Эта сторона метода матрицы плотности
еще недостаточно отражена в учебной литературе по кванто-
квантовой механике. Такой пробел восполняет предлагаемый вни-
вниманию советских читателей перевод книги проф. К. Блума
(университет Мюнстера, ФРГ). Книга дает достаточно полное
представление об основных свойствах и некоторых важных
приложениях метода матрицы плотности в актуальной обла-
области атомно-молекулярной спектроскопии. (Подробный обзор
содержания дан в предисловии автора.)
Метод матрицы плотности, основанный на неполном опи-
описании квантовомеханических систем, и понятие смешанного
статистического ансамбля, или «смеси», относятся к доста-
достаточно тонким вопросам квантовой механики и тесно связаны
с проблемой квантовомеханнческих измерений. Автору уда-
удалось очень просто и физически прозрачно ввести понятие
«смеси» и матрицы плотности, исходя из простых примеров
поляризованных электронных и фотонных пучков и анализа
соответствующих экспериментов. Удачно изложение методов
разделения эффектов, связанных с симметрией и динамикой, с
помощью матрицы плотности в представлении неприводимых
тензоров. Хорошо изложена теория излучения поляризован-
поляризованных атомов и квантовых биений. В конце книги кратко рас-
рассматривается применение матрицы плотности к теории релак-
релаксации и реакции системы на внешние возмущения, которую
можно описать с помощью функции Грина. Чтобы у читателя
сложилось более полное представление о затронутых в книге
вопросах, редактор русского издания счел необходимым дать
примечание к гл. 2, разъясняющее смысл понятия энтропии


б ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА неравновесного состояния, и примечание к гл. 7, поясняющее применение функций Грина в статистической механике. В настоящее время, когда все более усложняется матема- математический аппарат теоретической физики, следует приветство- приветствовать появление книги Блума, где автору удалось дать простое изложение сложных вопросов. Читатель, проработавший эту книгу, будет достаточно хорошо подготовлен к изучению бо- более специальных работ. Книга рассчитана на студентов и аспирантов физических специальностей; она интересна также всем работающим в об- области атомно-молекулярной спектроскопии. Перевод преди- предисловия н гл. 1—3 выполнил д-р физ.-мат. наук Ю. Г. Рудой, гл. 4—7 и приложений — канд. физ.-мат. наук М. Ю. Новиков. Д. Н. Зубарев Предисловие В квантовой механике рассматриваются в основном те со- состояния физических систем, которые могут быть представле- представлены с помощью векторов состояния. Однако во многих случаях интересующая нас система определена не полностью. Напри- Например, она может характеризоваться только некоторой вероят- вероятностью пребывания в точно определенном динамическом со- состоянии, описываемом вектором состояния. Именно благодаря такому неполному знанию о системе возникает необходимость в статистическом усреднении (в том же смысле, как и в клас- классической физике). Матрица плотности была введена Дж. фон Нейманом в 1927 г.1) для описания статистических концепций в квантовой механике. Основная ценность матрицы плотности состоит в том, что она обеспечивает возможность аналитического по- построения общих формул, а также доказательства общих тео- теорем. Вычисление средних значений и вероятностей для физи- физических величин без использования метода матрицы плотности чрезвычайно громоздко. Представление квантовомеханичес- ких состояний с помощью матрицы плотности дает возмож- возможность избежать введения лишних переменных и наиболее эко- экономным и компактным способом описать всю доступную ин- информацию о системе. Преимущество использования метода матрицы плотности состоит еще и в том, что он позволяет единым образом описывать все квантовомеханические состоя- состояния, как полностью, так и неполностью определенные. До недавних пор использование метода матрицы плотно- плотности было ограничено в основном областью статистической физики. В последние годы, однако, применение матрицы плот- плотности начало играть все более важную роль во многих других областях физики. Например, в современной атомной физике ') В том же году матрица плотности ё дискретном представлении кван- квантовых чисел была независимо введена Л. Д Ландау (Landau, 1927) при изучении проблемы затухания в квантовой механике. — Прим. ред.
8 ПРЕДИСЛОВИЕ методы матрицы плотности стали важным инструментом для описания различных квантовомеханнческнх интерференцион- интерференционных явлений, существенных для теории рассеяния, лазерной физики н спектроскопии, в частности квантовых биении и оп- оптической накачки. Данная книга ставит своей целью ввести читателя в методы теории матрицы плотности, причем основ- основное внимание уделяется ее применениям прежде всего в атом- атомной и ядерной физике. Она предназначена для начинающих, а не для тех, кто хорошо знаком с предметом. Поэтому все основные понятия детально обсуждаются, а при вычислениях поясняется каждый этап. Предполагается, что читатель вла- владеет квантовой механикой в объеме обычного годового курса, а также элементами статистической физики. Желательно так- также иметь некоторое представление о современной атомной физике и теории рассеяния. Для овладения материалом, изло- изложенным в гл. 4—6, читателю следует обладать практическими навыками по теории углового момента. В остальном изложе- изложение начинается с низшего возможного уровня. Некоторые воп- вопросы, актуальные в настоящее время, рассмотрены более де- детально с тем, чтобы книга была полезна также читателям, работающим в области атомной или ядерной физики, лазер- лазерной физики и физической химии. Книгу можно разделить на три основные части. В первых трех главах вводятся основные понятия и методы теории матрицы плотности. С этой целью обсуждаются некоторые фундаментальные идеи квантовой механики и статистики. В частности, очень важно ясно понимать различие между чис- чистым и смешанным квантовомеханпческими состояниями. Для этого лучше всего рассматривать простые физические систе- системы. Поэтому в гл. 1 мы ограничиваемся обсуждением состоя- состояний поляризации частиц со спином 1/2 и фотонов, что оказы- оказывается достаточным для простого введения всех основных по- понятий. Матрица плотности впервые вводится по аналогии с функцией распределения классической статистической меха- механики; иными словами, рассматривается, какое число систем находится в ансамбле с данной волновой функцией. Затем по- после обсуждения некоторых важных свойств матрицы плотно- плотности освещается еще один аспект этого понятия. Именно, пока- показано, что при подходящей параметризации матрица плотности является наиболее удобным способом учета всех параметров, представляющих интерес в данной экспериментальной ситуа- ситуации, а также описания их поведения с операциональной точ- точки зрения. В гл. 2 указанные результаты обобщаются на случай си- систем с более чем двумя степенями свободы, причем основные свойства матрицы плотности формулируются более система- ПРЕДИСЛОВИЕ тически. Вводится понятие когерентности, играющее наиболее важную роль при обсуждении явлений квантовомеханичсской интерференции в последующих главах. Дается обзор свойств операторов временной эволюции и вывод основных уравнений движения статистических смесей; кроме того, приводятся не- некоторые примеры их применения. В гл. 3 рассматривается еще один важный аспект матрицы плотности. Часто интерес представляют лишь немногие из большого числа степенен свободы квантовой системы, напри- например когда наблюдается лишь одна из нескольких взаимодей- взаимодействующих систем. В разд. 3.1 и 3.2 показано, что в общем случае невозможно найти волновую функцию, зависящую только от переменных интересующей нас системы (и не за- зависящую от переменных всех остальных систем). Посредст- Посредством усреднения по всем ненаблюдаемым степеням свободы получается матрица плотности, которая описывает поведение интересующей нас системы. Затем показано, что именно такая приведенная, или редуцированная, матрица плотности пред- представляет собой наиболее общее описание открытой квантово- механнческой системы. Следствия из общих результатов ил- иллюстрируются в разд. 3.3 и 3.4, причем особое внимание уде- уделяется квантовомеханической теории когерентности. Наконец, в разд. 3.5 строится и детально обсуждается приведенная матрица плотности системы атомов, возбужденных электрон- электронным ударом. Вопросы, обсуждаемые в гл. 3, связаны с квантовомеха- квантовомеханической теорией измерений; они привлекли большое вни- внимание и интерес физиков в последние годы. Вторая часть книги (гл. 4—6) посвящена применению ме- метода неприводимых тензоров в теории матрицы плотности. Квантовомеханическне вычисления для систем, обладающих симметрией, можно разделить на два этапа. На первом этапе получают максимум возможной информации, исходя из сооб- соображений симметрии. На втором этапе вычисляют динами- динамические величины, для которых нельзя получить информации из чисто симметрийных рассуждений. Зачастую эти два эта- этапа переплетаются. Метод неприводимых тензоров предназ- предназначен для разделения динамических и геометрических (кине- (кинематических) элементов и вычислений; он дает удобный и эф- эффективный способ использования симметрии. В разд. 4.2 и 4.3 обсуждаются основные свойства тензорных операторов и вводятся неприводимые компоненты матрицы плотности (мультипольные состояния, статистические тензо- тензоры). В разд. 4.4—4.6 приводятся различные применения ме- метода, в разд. 4.7 обсуждается временная эволюция мульти- польных состояний при наличии внешних возмущений.
10 ПРЕДИСЛОВИЕ Развитый формализм применяется затем в гл 5 и б к раз- различным проблемам, представляющим интерес в современной атомной спектроскопии, в том числе к теории квантовых бие- биений, электронно-фотонных угловых корреляций и деполяри- деполяризации излучения атома, вызванной тонким и сверхтонким вза- взаимодействиями и магнитными полями. На всем протяжении этих глав обсуждение явлений квантовомеханической интер- интерференции в атомной физике основано на понятии о «коэффи- «коэффициентах возмущений», используемых в ядерной физике для описания возмущенных угловых корреляций. Такой форма- формализм допускает очень экономное описание и интерпретацию экспериментов. Последнюю главу книги (гл. 7) можно читать независимо от гл. 4—6 (кроме некоторых частей разд. 7.5 и 7.6). В этой главе обсуждается подход к описанию необратимых процес- процессов с помощью матрицы плотности, позволяющий связать об- обратимую и необратимую динамику посредством обобщенного основного кинетического уравнения. На протяжении всей гл. 7 используется марковское приближение. В разд. 7.1 путем рассмотрения взаимодействия между «малой» динамической системой и «большой» динамической системой («термоста- («термостатом») введены основные понятия и получены основные урав- уравнения. Необратимость появляется благодаря использованию предположения о том, что термостат остается в тепловом рав- равновесии при постоянной температуре независимо от того, ка- какое количество энергии и информации переходит в него из (малой) динамической системы. Частный случай основного кинетического уравнения Паули (Master equation) рассмот- рассмотрен в разд. 7.2. Развитый формализм применяется затем к простым примерам из области радио- и микроволновой спек- спектроскопии. Чтобы проиллюстрировать применение метода ос- основного кинетического уравнения в квантовой электронике, рассмотрено взаимодействие электромагнитного поля с двух- двухуровневыми атомами. Соответствующее основное кинетичес- кинетическое уравнение подробно обсуждается, причем описано влия- влияние релаксационных взаимодействий на форму излучаемой линии. В разд. 7.4 получены уравнения Блоха и продемонст- продемонстрировано их применение к явлениям магнитного резонанса. Показано, что метод матрицы плотности позволяет рассмат- рассматривать наиболее естественным образом как продольную, так и поперечную релаксацию, избегая тем самым недостатков полуклассических теорий. Кратко обсуждается полезность применения уравнений Блоха к описанию взаимодействий между атомами или молекулами с полями, создаваемыми лазерами или мазерами. ПРЕДИСЛОВИЕ И Обсуждение общего формализма продолжается в разд. 7.5, где дается вывод общих свойств релаксационной матрицы. Обсуждение лиувиллевского формализма в разд. 7.6 ограни- ограничено лишь основными понятиями. Наконец, в разд. 7.7 рас- рассматривается отклик квантовой системы на внешнее поле. Здесь при получении выражения в точном уравнении движе- движения для матрицы плотности сделано приближение, в котором учтены лишь члены, линейные по напряженности внешнего поля. Такой метод тесно связан с теорией запаздывающих функций Грина и представляет интерес в связи с изучением явлений переноса. Теория матрицы плотности и ее применения успешно рас- рассматривались рядом авторов. Мы упомянем здесь, в частно- частности, обзоры Фано (Fano, 1957) и тер Хаара (ter Haar, 1961). В ряде учебников по квантовой механике также рассмотрен соответствующий формализм (Messiah, 1965; Roman, 1965; Gottfried, 1966)г). Эти источники, а также многие другие (ссылки на них даны в соответствующих разделах) были использованы при написании этой книги. Ввиду ее вводного характера мы ссылаемся, как правило, лишь на монографии и обзоры, а также на те оригинальные статьи, результаты которых использованы в тексте. Мое понимание теории и применений матрицы плотности в течение ряда лет совершенствовалось благодаря многочис- многочисленным обсуждениям с коллегами в университетах Стерлинга и Мюнстера. Я особенно благодарен проф. X. Клейнпоппену, который впервые привлек мое внимание к атомной физике, за его постоянную поддержку. Я благодарен проф. Дж. Кессле- ру, который прочитал часть рукописи и дал полезные советы при просмотре первой и второй корректур. Д-р X. Якубович прочитал всю рукопись и внес ряд улучшений, а К. Бартшат проверил большинство уравнений. Кроме того, я благодарен г-же Куин и г-же Раффин за помощь в подготовке рукописи. Карл Блум ') Теорию матрицы плотности см. также в книгах: Ландау и Лифшиц, 1963; Боголюбов, 1970, с. 288—318; Зубарев, 1971, § 7—8. —'Прим. ред.
1 Основные понятия 1.1. Спиновые состояния и матрица плотности для частиц со спином 1/2 1.1.1. Чистые спиновые состояния Чтобы познакомиться с основными понятиями теории матри- матрицы плотности, начнем с проблемы описания спиновых состо- состояний для частиц со спином 1/2. Прежде всего напомним не- некоторые результаты квантовомеханической теории экспери- эксперимента Штерна и Герлаха, а в последующих разделах дадим другую интерпретацию этих результатов и обсудим их более детально. основные понятия 18 Лучок ^ Рис. 1.1. Фильгр Штерна — Герлаха. Рассмотрим пучок частиц со спином 1/2 (например, ато- атомов водорода), проходящих сквозь магнит в опыте Штерна— Герлаха, причем градиент поля направлен вдоль оси z (в фиксированной системе координат х, у, г) (рис. 1.1). В об- общем случае пучок расщепится по вертикали на две части, каждая из которых соответствует одному из возможных соб- собственных значений компоненты Sz спинового оператора S(/n=±l/2). Если один из расщепленных пучков удалить (например, нижний на рис. 1.1), то оставшиеся частицы будут находиться в состоянии, соответствующем лишь одному из этих собственных значений; для схемы опыта, изображенной на рис. 1.1, таким значением будет т = +1/2. Аналогично, если всю установку повернуть так, чтобы градиент поля имел на- направление z'', то оставшиеся частицы будут находиться в со- состоянии, характеризуемом квантовым числом т' = +1/2 (здесь т' — собственное значение оператора Sz' — компонен- компоненты оператора S в направлении г'). Если падающий пучок с самого начала содержит только частицы в состоянии с т = +1/2, то он пройдет сквозь уста- установку, изображенную на рис. 1.1, без какой-либо потери ин- интенсивности. Во всех остальных случаях часть пучка будет отфильтрована и результирующий пучок будет иметь мень- меньшую интенсивность, чем падающий. Однако путем поворота установки на различные углы относительно оси z' можно найти такую ориентацию магнита, при которой пропускается полностью весь пучок. Например, если падающий пучок со- ,S а Рис. 1.2. а —спин «имеет направление» z; б — спин «имеет направле- направление» — г. держит только компоненту спина, соответствующую т' = = +1/2 в системе координат с осью z', то он ослабляется при прохождении установки, изображенной на рис. 1.1. Однако если повернуть магнит так, чтобы градиент поля был направ- направлен вдоль оси z1', то пучок будет проходить без ослабления. В этом случае все частицы отклонялись бы одинаково; иными словами, в данном конкретном эксперименте они все вели бы себя тождественно. Это позволяет нам дать следующее (пред- (предварительное) определение: > Если возможно найти такую ориентацию установки в опыте Штерна—Герлаха, при которой данный пучок полно- полностью пропускается, то говорят, что пучок находится в чистом, спиновом состоянии. Если обратиться к полукласснческой векторной модели, то пучок частиц с определенным значением квантового числа m = +1/2 можно описать, считая, что вектор спина каждой частицы прецесснрует вокруг направления оси z, причем про- проекция его на ось z равна +1/2 (рис. 1.2, а). В таком случае говорят, что частииы обладают «спином вверх» Аналогично
14 ГЛАВА I описывается и случай т = —1/2 (рис. 1.2,6) («спин вниз»); векторы спина частиц, находящихся в собственных состоя- состояниях вектора Sz, прецессируют вокруг оси z. В случае чис- чистого спинового состояния векторы спина частиц прецессируют вокруг только одного направления, параллельного такому рас- расположению установки Штерна — Герлаха, при котором пучок проходит сквозь нее без ослабления. Если известно, что состояние данного пучка является чи- чистым, то совместное состояние всех частиц можно предста- представить с помощью одного и того же вектора состояния |%>. Это существенный пункт, и мы проиллюстрируем его некото- некоторыми примерами. Если пучок частиц полностью проходит через установку Штерна—Герлаха, ориентированную вдоль направления г, то мы говорим, что все частицы в пучке нахо- находятся в тождественных спиновых состояниях с квантовым числом пг = 1/2 по отношению к оси z или что все частицы имеют спин вверх относительно оси z. Такое состояние мож- можно описать, поставив в соответствие всему пучку вектор со- состояния |х> = | + 1/2>. Аналогично пучок частиц с m = —1/2 можно охарактеризовать с помощью вектора состояния \%) = — \ — 1/2). В обычном представлении Паули векторы состо- состояний можно представить двумерными векторами-столбцами. I ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ 15 а сопряженные им состояния — векторами-строками (+1 =A, 0); (-• = @, 1). A.1.16) Вообще говоря, в пучке, выходящем из установки Штерна — Герлаха, в которой градиент магнитного поля направлен вдоль оси z', все частицы пучка находятся в состоянии с оп- определенным квантовым числом т' = +1/2 относительно оси z' как оси квантования. Совместное состояние всех частиц можно описать вектором состояния \%> — | + 1/2, z'>. Общее спиновое состояние |х> всегда можно записать как линейную комбинацию (суперпозицию) двух базисных состо- состояний, например состояний |±1/2>: A.1.2) В представлении A.1.1) это эквивалентно следующей записи: Сопряженное состояние описывается вектором-строкой: <Х I = «, а*); A.1.26) (здесь звездочка означает комплексное сопряжение). Состояние |х> нормируется следующим образом: A.1.3) Чистое спиновое состояние можно характеризовать, задавая либо направление спинов (например, с помощью полярных углов в нашей фиксированной системе координат), либо ко- коэффициенты й1 и а2 в разложении A.1.2). В следующем раз- разделе мы выясним связь между этими двумя описаниями и по- получим явное выражение для коэффициентов а\ и аз. Установка типа изображенной на рис. 1.1 действует в ка- качестве фильтра, так как независимо от состояния падающего пучка выходящий из нее пучок находится в определенном спиновом состоянии, которое зависит от ориентации магнита. Пропускание пучка через фильтр можно поэтому рассматри- рассматривать как способ приготовления пучка частиц в чистом со- состоянии. 1.1.2. Вектор поляризации Для более детального описания чистых спиновых состоя- состояний введем так называемый вектор поляризации Р, компонен- компоненты которого определяются как средние значения соответ- соответствующих матриц Паули: Pi=(Gi) A-1.4) (i = х, у, z). В случае чистых спиновых состояний эти сред- средние значения определяются соотношениями A.1.5) В представлении A.1.1) матрицы Паули имеют вид 0 1 \ /0 — « /0 — «\ /1 0 \ ' = Vt oj- °«4o-iJ- (LL6) Средние значения A.1.5) можно вычислить с помощью опре- определений A.1.2а), A.1.26) и A.1.6), рассматривая векторы- столбцы и векторы-строки как одномерные матрицы и применяя правила умножения матриц. Приведем несколько
16 ГЛАВА 1 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ 17 примеров с целью продемонстрировать важность понятия век- вектора поляризации. Пучок частиц находящихся в чистом состоянии \-\-\/2}, обладает вектором поляризации с компонентами О 14/ 1 Ч i оАоН' /1 0\/ 1 \ p'=V'°\o-iAohl- (MJa) Аналогично для ансамбля частиц, находящихся в чистом со- состоянии | — 1/2>, вектор поляризации имеет компоненты Рх = 0, Ру = 0, Рг = -\. A.1.76) Таким образом, состояния | + 1/2> и | — 1/2> характери- характеризуются векторами поляризации единичной длины, направлен- направленными соответственно вдоль оси (+z) и (—z). Поэтому состо- состояния | + 1/2> и | — 1/2> можно назвать состояниями с про- противоположной поляризацией. Рассмотрим теперь чистое состояние общего вида A.1.2). Прежде всего удобно параметризовать коэффициенты щ и аъ, которые являются комплексными числами и определяются че- четырьмя действительными числами, характеризующими вели- величины и фазы. Полная фаза состояния A.1.2) не имеет физиче- физического смысла и может быть выбрана произвольно; например, можно потребовать, чтобы коэффициент щ был действитель- действительным. Из этого требования совместно с условием нормировки A.1.3) следует, что чистое спиновое состояние общего вида A.1.2) полностью определяется заданием двух действитель- действительных чисел. В качестве таких чисел удобно ввести параметры 6 и б, определив их равенствами а, = cos (9/2), а2 = ei& sin (9/2); A.1.8) здесь б — относительная фаза коэффициентов щ и а,2. Исполь- Используя A.1.8), запишем A.1.2а) в виде / cos (9/2) N 1 Х) \ ei& sin (9/2) ) ¦ A.1.9) Для выяснения физического смысла параметров Q и б рас- рассмотрим вектор поляризации, соответствующий состоянию A.1.9). Тогда получим /О 1 \ / cos (9/2) \ Рх = (cos (9/2) е-'« sin (9/2)) (^ Q Д gi6 ^ (Q/2) J = sin 9 cos б, A.1.10а) A.1.106) A.1.10b) A.1.11) p = sin 9 sin 6, У Вектор поляризации A.1.10) имеет единичную длину: Из выражений A.1.10) следует, что параметры 9 и б можно рассматривать как полярные углы, определяющие направле- направление Р, причем 9 пред- представляет собой угол между вектором Р и осью z, а относитель- относительная фаза б—азиму- б—азимутальный угол вектора Р (рис. 1.3). Можно ввести но- новую систему координат х', у', z' так, чтобы ось z' была параллельна вектору Р. Выбирая ось z' в качестве оси кван- квантования, получим в но- новой системе координат Рх'=0, Р^=0, Рг' = = 1, т. е. все частицы обладают «спином вверх»относительно оси г'. Это означает, что направление вектора поляризации совпадает с тем, «вдоль ко- которого ориентированы спины». Если направить пучок через фильтр Штерна—Герлаха, расположенный параллельно век- вектору Р, то весь пучок пройдет через фильтр полностью. Выражения A.1.9) и A.1.10) позволяют построить в яв- явном виде спиновые функции для любого чистого состояния. Пусть, например, данный пучок частиц находится в чистом состоянии, при котором спины ориентированы вдоль оси х ис- исходной системы координат. Тогда соответствующий вектор поляризации также направлен вдоль оси х и, следовательно, имеет полярные углы 9 = 90°, б = 0. При этом, как видно из Рис. 1.3. Направление вектора Р.
18 ГЛАВА I A.1.9), вектор состояния имеет вид 1 Пучок частиц со «спином вниз» по отношению к оси х имеет вектор поляризации, направленный вдоль (—х), и характе- характеризуется полярными углами 9 — 90°, 8 = 180°. Соответствую- Соответствующий вектор состояния имеет вид М-\} ('1Л2б) Аналогично векторы состояний пучка частиц со «спином вверх (вниз)» относительно оси у будут представлены соот- соответственно векторами-столбцами ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ 19 Следует заметить, что четыре состояния A.1.12) строятся как суперпозиции состояний | -j- 1/2) и | — 1/2) с одинако- одинаковыми по величине коэффициентами \а\\ = |я2| = 1/21'2, но с различными относительными фазами. Соответствующие век- векторы поляризации имеют одинаковые углы 8, но различные азимутальные углы в зависимости от того, какова относитель- относительная фаза (сдвиг фаз) между состояниями | ± 1/2). 1.1.3. Смешанные спиновые состояния Чистые спиновые состояния не являются наиболее общими состояниями, в которых может находиться ансамбль частиц. Пусть, например, два пучка частиц приготовлены независимо, один в чистом состоянии | + 1/2), а другой в чистом состоя- состоянии | — 1/2>. Под словом «независимо» здесь понимается то, что между пучками отсутствует какое-либо определенное фа- фазовое соотношение (этот пункт будет пояснен ниже). Пусть первый пучок состоит из N\ частиц, а второй — из N2 частиц. Будем изучать состояние поляризации всего пучка, направляя его через фильтр Штерна—Герлаха при различной ориента- ориентации последнего. Тогда мы обнаружим, что невозможно найти такую ориентацию фильтра, при которой через него проходит весь пучок полностью. Отсюда следует, что объединенный пучок по определению не является чистым спиновым состоя- состоянием. > Состояния, не являющиеся чистыми, называются сме- смешанными состояниями, или смесями. Теперь следует рассмотреть проблему описания состоя- состояния объединенного пучка. Очевидно, это невозможно сделать с. помощью одного лишь вектора состояния |%>, так как с лю- любым таким состоянием обязательно связано некоторое на- направление, вдоль которого ориентированы все спины, именно направление вектора поляризации. Тогда, ориентируя вдоль этого направления фильтр Штерна—Герлаха, мы должны бы- были бы получить на выходе весь пучок без ослабления. По- Поскольку, однако, такого направления не существует, смешан- смешанное состояние (смесь) невозможно описать с помощью лишь одного вектора состояния. В частности, смесь нельзя представить в виде линейной комбинации состояний | + 1/2> и | — 1/2>, соответствующих каждому из двух составляющих пучков. Чтобы построить та- такую линейную комбинацию, необходимо знать величины ко- коэффициентов щ и ач и их относительную фазу 6. При этом квадраты модулей |ai|2 и |а2|2 представляют собой соответ- соответственно вероятности W\ и W2 обнаружить частицу в состоя- состоянии 1-4-1/2) и |—1/2). В рассматриваемом случае смеси эти вероятности известны: W, = NijN, W2 = N2/N, TV = TV, -(- N2, и их можно использовать для определения величин коэффи- коэффициентов Wi = |ai|2, W2 == 1 «212. Однако существенный момент состоит в том, что оба пучка приготовлены независимо, так что между ними не существует определенного фазового соот- соотношения, а без определенного значения фазы 8 нельзя постро- построить вектор состояния |%), описывающий объединенный пучок. Смесь следует описывать, точно указывая способ ее при- приготовления. Например, в случае рассматриваемого пучка из- известно, что 7V1 частиц приготовлены в состоянии | + 1/2>, Л^ частиц — в состоянии | — 1/2) совершенно независимо друг от друга. Это утверждение содержит всю имеющуюся инфор- информацию о смеси. Продолжим рассмотрение нашего примера и вычислим вектор поляризации, описывающий объединенный пучок. Век- Вектор Р можно получить, беря статистическое среднее по обоим составляющим пучкам: ( Нетрудно установить, что Рх = 0, Р„ = 0, Рг = W{ -W2 = (Nl-N2)IN. A.1.13) Следует заметить, что длина вектора поляризации меньше единицы, причем она пропорциональна разности заселенности двух состояний | + 1/2) и | — 1/2). В более общем случае, когда пучок приготовлен путем смешивания Na частиц в состоянии \%аУ и Ыь частиц в состоя-
20 Глава 1 нии |хь). компоненты вектора поляризации определяются пу- путем статистического усреднения по независимо приготовлен- приготовленным пучкам: = WaP\a) + WbP ?\ <xb\ot\Xb)= A-1.14) A.1.14a) Здесь Wa = Na/N, Wb = Nb/N, P\a\ P?] - компоненты век- векторов поляризации, соответствующих каждому из пучков [см. соотношение A.1.5)]. Соотношение A.1.14) можно перепи- переписать в векторном виде: р = rep(») + IFjPW. A.1.146) Поскольку |Р<а>|= 1, |Р(*)| = 1, длина вектора Р определяет- определяется соотношением A.1.15) W\ l (P'af П + W\ + 2WaWb = (Wa + Wbf = 1. Здесь учтено, что скалярное произведение рсьр**) двух различных единичных векторов всегда меньше единицы. Равенство в A.1.15) имеет место лишь при Р(а)-Р(ь> = = 1, т. е. когда оба пучка имеют одинаковые векторы поля- поляризации. В этом случае оба составляющих пучка находятся в одинаковых спиновых состояниях [описываемых выраже- выражениями A.1.9) и A.1.10)], так что и объединенный пучок на- находится в чистом спиновом состоянии. Напротив, если два пучка смешиваются в тождественных спиновых состояниях, то результирующий пучок состоит из частиц, находящихся в тождественных спиновых состояниях, и потому характеризу- характеризуется вектором поляризации единичной длины. Проведенные выше рассуждения можно без труда обобщить на случай смесей, состоящих более чем из двух пучков. Итак, получен следующий результат: длина вектора поля- поляризации ограничена условием 0<|Р|<1. A.1.16) Максимально возможное значение |Р|= 1 достигается тогда (и только тогда), когда рассматриваемый пучок находится в чистом состоянии. Смеси всегда характеризуются вектором поляризации, длина которого меньше единицы. Полученный результат вновь подтверждает основное свой- свойство чистого спинового состояния: все частицы находятся в тождественных состояниях, причем все спины ориентированы ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ 21 в одном и том же направлении, а именно в направлении век- вектора поляризации Р. В дальнейшем мы будем называть состояния с |Р|>0 поляризованными, а состояния с |Р| = 0 — неполяризованны- ми. Чистые состояния с |Р|= 1 будут называться полностью поляризованными. 1.1.4. Сравнение чистых и смешанных состояний Прежде чем перейти к дальнейшему анализу, важно чет- четко осознать различие между чистыми и смешанными состоя- состояниями. Рассмотрим эти состояния вновь с другой точки зре- зрения. Именно, рассмотрим следующую задачу. Пучок частиц, полностью поляризованный в направлении оси у, т. е. описы- описываемый вектором A.1.12в): 1 падает на фильтр Штерна—Герлаха, ориентированный вдоль оси г. Что произойдет при этом? Как известно из квантовой механики, хотя мы точно знаем, что каждая частица пучка находится в состоянии | + 1/2, (/>, невозможно предсказать, пройдет ли данная отдельная частица через фильтр. Дело в том, что измеряемая система, вообще говоря, испытывает возмущение в процессе измерения. В данном случае изме- измерительный прибор (фильтр) совершенно неконтролируемым способом изменяет состояние падающих частиц. Иными сло- словами, можно лишь предсказать вероятность того, что частица будет пропущена фильтром и после прохождения окажется в состоянии | + 1/2> или будет задержана им. Из выражения A.1.17а) видно, что вероятность каждого из этих событий равна 1/2. Единственный случай, для которого можно пред- предсказать с полной определенностью, пройдет ли данная части- частица через фильтр или нет, имеет место при ориентации филь- фильтра вдоль оси у, именно тогда все частицы свободно пройдут через фильтр. Однако в общем случае процесс измерения мо- может быть описан лишь статистически. В силу сказанного состояние, представленное линейной комбинацией вида A.1.17а), следует интерпретировать сле- следующим образом. До измерения все частицы находятся в тож- тождественных состояниях вида A.1.17а), так что все частицы обладают одинаковым квантовым числом пг' = 1/2, которое определено относительно оси у как оси квантования. Кванто- Квантовое число m относительно оси z остается полностью неопре- неопределенным в состоянии A.1.17а) в том смысле, что любая ча- частица в пучке обладает равной вероятностью как пройти
22 ГЛАВА t через фильтр, ориентированный вдоль оси г, так и быть за- задержанной им. [Грубо говоря, можно сказать, что частицы в состоянии, описываемом линейной комбинацией A.1.17а), «не знают» своего значения т]. Если пучок направляется на фильтр, ориентированный параллельно оси z, взаимодейст- взаимодействие с установкой изменяет состояние пучка и вынуждает ча- частицу перейти в одно из собственных состояний. Рассмотрим теперь смесь, состоящую из = N/2 частиц в состоянии | + 1/2), частиц в состоянии | — 1/2), A.1.176) причем оба составляющих пучка приготовлены независимо. Как видно из равенств A.1.13), результирующий пучок ока- оказывается неполярнзованным. Если этот пучок направить на фильтр Штерна — Герлаха, ориентированный вдоль оси г, про- пропущенный пучок будет обладать лишь половиной интенсивно- интенсивности падающего. В этом опыте смесь A.1.176) и чистое состо- состояние A.1.17а), хотя и по разным причинам, приводят к оди- одинаковому результату. Если в случае состояния |1/2, г/> все частицы пучка находятся в одном и том же состоянии, то в случае смеси A.1.176) мы располагаем меньшей информаци- информацией. Об этой смеси известно лишь, что любая частица может с равной вероятностью находиться в состоянии | +1/2> или | —1/2>. В указанном смысле состояние смеси является не- неполностью определенным. При прохождении через фильтр ча- частицы с т= —1/2 задерживаются, так что через него пройдет лишь половина пучка, соответствующая частицам в состоянии I + 1/2> I + /> Этот пример показывает, что статистика необходима уже для описания начального состояния смеси; состояние частиц точно неизвестно, так что смешанному пучку нельзя припи- приписать какой-либо единственный вектор состояния. В заключение подчеркнем, что при описании ансамбля частиц со спином 1/2 используется два типа статистического усреднения. Прежде всего статистические методы необходимо использовать ввиду неконтролируемого возмущения, которое вносит любое измерительное устройство. Кроме того, при анализе смесей известно лишь, что частицы могут находиться в любом из возможных спиновых состояний. Статистическое описание следует применять из-за отсутствия достаточной ин- информации о системе. Именно для описания второй из этих ситуаций и был прежде всего разработан формализм мат- матрицы плотности. Более систематический анализ поставленных выше задач проводится в гл. 2. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ 23 1.1.5. Спиновая матрица плотности и ее основные свойства 1.1.5.1. Основные определения На любой вопрос, касающийся поведения чистого или сме- смешанного состояния, можно ответить, указав состояния, при- присутствующие в смеси, а также их статистические веса Wi. Однако соответствующие вычисления часто бывают очень громоздкими. Поэтому мы опишем здесь альтернативный ме- метод характеристики чистых и смешанных состояний. Рассмотрим пучок из Na частиц, приготовленных в состоя- состоянии \%а}, и еще один независимый от первого пучок из Nb частиц, приготовленных в состоянии |%ь>. Для описания объе- объединенного пучка введем оператор р, определяемый выраже- выражением где Wa = Na/N, Wb = Nb/N, N = Na + Nb. Оператор р называют оператором плотности или статисти- статистическим оператором. Он описывает способ приготовления пуч- пучков и тем самым содержит всю информацию о полном пучке. В этом смысле смесь полностью определена своим операто- оператором плотности. В частном случае чистого состояния |х> опе- оператор плотности дается выражением A.1.18а) Как будет показано ниже, обычно более удобно записывать оператор р в матричной форме. Для этого выберем набор ба- базисных состояний (обычно | + 1/2> и | — 1/2>) и разложим состояния \ха} и \%ь} по этому набору согласно соотношению A.1.2): 2(а) х2 -,№) -4). _1\ 2/- A.1.19) В представлении A.1.1) запишем а для сопряженных состояний — /у \ УМ la>* A.1.20а) A.1.206)
24 ГЛАВА 1 Применяя правила умножения матриц, получим для «внеш- «внешнего произведения» и аналогичное выражение для произведения )х&)(х&|- Под- Подставляя эти выражения в A.1.18), находим матрицу плотно- плотности р=' Поскольку при выводе выражения A.1.22) были использова- использованы базисные состояния |±1/2>, полученное выражение назы- называют матрицей плотности в {| ±1/2)}-представлении. Чтобы сделать дальнейшие формулы более компактными, введем определения |1/2>=|xi> и | — 1/2> = |х2). В этих обозначениях общий элемент матрицы плотности, стоящий на пересечении i-n строки и /-го столбца, дается выражением (Xt | Р | X,) = Waafaf^ + Wba^af\ A.1.23) где i, j = 1, 2. Матрица плотности имеет, очевидно, различную форму в разных представлениях, тогда как оператор A.1.18) не зави- зависит от выбора базисных состояний. Далее всегда будет пред- предполагаться, что базисные состояния образуют ортонормиро- ванный набор, т. е. <Х/1Х/> = в/Л A.1.24) где б,-/ — символ Кронекера; при i = / выполняется условие A.1.3). При выполнении условия нормировки A.1.3) след1) мат- матрицы плотности дается выражением trp = re + «^=l, A.1.25) которое не зависит от выбора представления. В качестве примера рассмотрим случай смеси, состоящий из N\ частиц, приготовленных в состоянии |xi> = | + 1/2>, и N2 частиц, независимо приготовленных в состоянии | Х2) = ') В русской литературе для операции взятия следа (шпура) матрицы часто применяется обозначение Sp (соответствующее немецкому термину Spur). В переводе мы оставили обозначение tr", соответствующее англий- английскому термину trace, а в тексте используем русский термин «след». — Прим. ред. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ 25 Л/Т). Полный пучок описывается тогда оператором плотности Р = Г1|+4)( + т| + ^2|-у)(-4|- A.1.26а) где Wi = Ni/N, а матрица плотности в {| ±1/2>}-представле- нип диагональна <X<lPlX/> = «W A.1.266) 1.1.5.2. Физический смысл матрицы плотности Диагональные элементы матрицы плотности <Х,|Р|Хг> = ^а|а(,а)|2 + ^й|а^|2 (/ = 1,2) A.1.27) имеют непосредственный физический смысл. Поскольку ве- вероятность нахождения частицы смеси в состоянии \хаУ равна Wa, а вероятность того, что состояние \хаУ входит в |х*>, ра- равна |а;а)|2' произведение иРа|а|-а)|'2представляет собой вероят- вероятность того, что частица, первоначально приготовленная в со- состоянии \ха}, будет обнаружена в состоянии |%/> после того, как произведено измерение. Поэтому диагональный элемент A.1.27) дает полную вероятность того, что частица будет об- обнаружена в соответствующем базисном состоянии \ %;>. Таким образом, если пучок, описываемый оператором плотности (>, пропускается через фильтр Штерна — Герлаха, ориентированный параллельно (пли антнпараллелыю) оси z, (или соответ- СТВеИНО \— 77 IPlXl) =\2" —к) оператора р в {| ± 1/2>}-представле- то диагональный элемент \_ 2 ннп дает вероятность прохождения частицы через фильтр. Этот результат можно обобщить на случай произвольных состояний |х>. Рассмотрим матричный элемент <х|р|х)> ко" торый получается, если «зажать» оператор A.1.18) между состоянием |%> и сопряженным ему состоянием <%|: (X IР IX) = Wа (X I Ха) (Ха IZ) + W,, (х I Хь) (У.ь I /.) = = Wa\a'a)!r + W,,\4[">\2\ A.1.28) ^дссь tf@) = <Ха lx)> fl(fc> = C/ftlx)- Сравнивая выражения A.1.27) и A.1.28), можно видеть, что матричный элемент (xli'lx) представляет собой полную вероятность обнаружить частицу в чистом состоянии |л/>, входящем в смесь, описывае- описываемую оператором р. Таким образом, если пучок, описываемый оператором р, направляется на фильтр, полностью пропускаю- пропускающий только пучок в состоянии |х>, то выражение A.1.28) дает
26 ГЛАВА 1 вероятность того, что любая из частиц пучка пройдет через фильтр. Пусть, например, пучок, описываемый матрицей глотности р A.1.26), направляется на фильтр, ориентированный вдоль оси г/. Вероятность того, что частица из пучка пройдет через фильтр, определяется матричным элементом <1/2, у\р\ 1/2, у). Разлагая | + 1/2, у} по состояниям {|±1/2>} в соответствии с A.1.12в) и используя выражение A.1.26), получаем У Существенно отметить, что всю информацию о спиновом со- состоянии любого пучка можно получить (по крайней мере в принципе), если направлять такой пучок па фильтры Штер- Штерна—Герлаха с различной ориентацией. Следовательно, если известна матрица плотности р, мы можем вычислить резуль- результат любого такого опыта с помощью соотношения A.1.28). В этом смысле р содержит всю существенную информацию о спиновом состоянии данного пучка. 1.1.5.3. Число независимых параметров Рассмотрим далее, сколько параметров требуется для пол- полного определения данной матрицы плотности. Комплексная матрица второго порядка [например, матрица типа A.1.22)] определяется четырьмя комплексными величинами <х<|р|х/)> что соответствует восьми действительным параметрам. Мат- Матрица плотности эрмитова, следовательно, р удовлетворяет условию (Ы.29) В этом можно убедиться, обращаясь непосредственно к вы- выражениям A.1.22) и A.1.23). Отсюда следует, что диаго- диагональные элементы действительны и, кроме того, действи- действительные и мнимые части недиагональных элементов связаны между собой соотношениями Р -7Г) = Ке( - Эти соотношения уменьшают число независимых действитель- действительных параметров до четырех. Условие нормировки A.1.25) основные понятия 27 фиксирует еще один параметр, так что в итоге матрица плот- плотности полностью характеризуется всего тремя действитель- действительными параметрами. Следовательно, для полного определения матрицы плотности, описывающей произвольный пучок частиц со спином. 1/2, необходимо произвести три независимых из- измерения. Полезно рассмотреть этот результат с другой точки зре- зрения. Определяя оператор плотности равенством A.1.18), мы основывались на том, что нам был известен способ приготов- приготовления данного пучка. Такое определение можно обобщить на случай любого числа составляющих пучков. Чтобы записать оператор плотности или соответствующую ему матрицу плот- плотности [выражения A.1.18) и A.1.22)], необходимо, очевидно, указать все присутствующие в смеси чистые состояния | %<,}, ! Хь>> ¦ ¦ ¦ вместе с их статистическими весами Wa, Wb, .... Од- Однако, как было показано выше, для полного определения мат- матрицы плотности для пучка любой сложности достаточно всего трех параметров. Это не столь удивительно, как может показаться на пер- первый взгляд, поскольку одна и та же матрица плотности мо- может описывать различные смеси, приготовленные совершенно различными способами. Рассмотрим, например, смесь, описы- описываемую оператором плотности I _L и смесь, описываемую оператором -тг, X +?¦* 4 — т, * Построив соответствующие матрицы плотности в | ± -^) > - представлении и применив выражения A.1.12а) и A.1,126), можно показать, что оба пучка описываются одной и той же матрицей плотности Л 0 Из соотношения A.1.28) следует, что оба пучка во всех опытах будут вести себя тождественно с точки зрения свойств поляризации. Наоборот, для определения способа, каким при- приготовлен пучок, недостаточно знать только элементы матрицы плотности. В действительности эта информация несуществен- несущественна. Существенная информация содержится только в трех
28 ГЛАВА 1 независимых параметрах, определяющих матрицу плотности, так как, зная эти параметры, мы можем предсказать поведе- поведение соответствующего пучка в любом эксперименте по изме- измерению поляризации. По указанной причине мы будем считать два пучка тождественными, если они описываются одной и той же матрицей плотности. Выражение A.1.18) обычно не применяется. Поэтому вме- вместо того, чтобы определять оператор плотности, указывая характеристики составляющих пучков и их статистические веса, мы используем операциональный подход и выразим матрицу плотности через результаты трех независимых из- измерений. В следующем разделе мы опишем простой способ построения матрицы плотности, исходя из вектора поляриза- поляризации. 1.1.5.4. Параметризация матрицы плотности Умножим выражение A.1.18) справа на матрицу Паули Oi и вычислим след полученного оператора: tr pa, = Wa tr (| la) (%a | a,) + Wb tr (| %b) (%b | at) = = Wa(xa\G{\%a) + Wb(%b\<jl\xb). A.1.30) К этому результату можно прийти, используя явное матрич- матричное представление A.1.6) и A.1.21) или более непосредствен- непосредственно, применяя соотношение tr(lx><xK) —<Х1*/|Х>- A.1.31) Подставляя A.1.14а) в A.1.30), находим важный результат ^ tr 9Oi=Ph A.1.32) где Pi есть i-я компонента вектора поляризации полного пучка. С помощью этого результата можно выразить элементы матрицы р через компоненты Р,-. Применяя правила действий с матрицами, можно показать, что в | ± -j) } -представле- -представлении р дается выражением p = - px-i iPy 1 -Р, )' A.1.33) Более изящный метод получения последнего результата при- приведен в разд. 1.1.6. Три компоненты Рх, Ру, Рг представляют собой тот мини- минимальный набор данных, который необходим для определе- основныв понятия 29 ния матрицы плотности любого пучка; в дальнейшем мы бу- будем считать матрицу плотности определенной выражением A.1.33). Проиллюстрируем применение выражения A.1.33). Пусть пучок частиц, характеризуемый матрицей A.1.33), проходит через фильтр, ориентированный в направлении г. Вероятность того, что частица пройдет через фильтр, согласно A.1.28) определяется выражением Аналогично, применяя выражения A.1.12а), A.1.12в) и A.1.33), можно показать, что вероятности прохождения ча- частицы через фильтр, ориентированный в направлениях х и у, равны соответственно 1 Л 1 •Т. х р +1 » Дадим, наконец, еще одно полезное представление для р, по- получаемое путем перехода к системе координат х', у', г'', где ось г' параллельна вектору Р, а оси х' и у' выбираются произ- произвольно, но ортогональны друг другу и оси г''. В этом случае Рх> = Ру' = 0, Рг' = | Р |. Тогда в представлении с осью кван- квантования г' матрица р имеет вид или, эквивалентно, 0 \ 1-|Р|У A.1.34а) AЛ-34б) Если рассматриваемый пучок полностью поляризован, |Р| = *= 1, то 0\ Р: о о A.1.35) и пучок находится в чистом состоянии | + 1/2,2'>. Если пучок не поляризован, то |Р| = 0 и соответствующая матрица плот- плотности имеет вид Р="Т A.1.36)
30 ГЛАВА 1 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ 31 1.1.5.5. Идентификация чистых состояний В разд. 1.1.2 было показано, что данный пучок находится в чистом состоянии тогда и только тогда, когда длина его вектора поляризации имеет максимально возможное значение |Р|=1. Представим теперь этот результат в другой форме, более полезной при описании более сложных систем. С помощью выражения A.1.33) можно показать, что след матрицы р2 дается выражением 2+P2+P2) следовательно, равенство tr (р2) = 1 A.1.37) является необходимым и достаточным условием того, что рас-| сматриваемый пучок находится в чистом состоянии. [Заме-? тим, что равенство следа в A.1.37) единице следует из усло-j вия нормировки A.1.25).] В случае чистого состояния условие A.1.37) налагает до-j полнительное ограничение на элементы матрицы шютности| Таким образом, чистое состояние характеризуется только дву^ мя независимыми параметрами в соответствии с выражение A.1.9). 1.1.6. Алгебра матриц Паули В разд. 1.1.5 было показано, что результат любого опыта] проведенного с данным пучком, можно вычислить, если из-; вестна соответствующая матрица плотности. До сих пор дли этого требовалось совершить математические действия, ис пользуя конкретное представление и применяя правила мат» ричной алгебры. Такая процедура, вообще говоря, громоздки и трудоемка. В этом разделе будет описан более экономный способ проведения подобных вычислений. Изложение базируется на следующем основном соотноше нии между матрицами Паули (i, j = х, у, z)\ cii = 6G1 + i X ei!kok, A.1.3? где 6*/ — символ Кронекера, 1 обозначает двумерную единич! ную матрицу и * 1, если i, j, k являются четной перестановкой XYZ, = { — 1, если i, /, k являются нечетной A.1.39J перестановкой XYZ, О, если любая пара индексов совпадает. Например, при i = / соотношение A.1.38) дает а'\=\, A.1.40а) а при i = х, j = у имеем oxoy = ioz, ayax = — iaz. A.1.406) Из формул A.1.37) и A.1.40) следует, что при i ф / atat + ар^ = 0. A.1.40в) Соотношение A.1.38) полностью определяет алгебру матриц Паули; его доказательство можно найти в любом учебнике квантовой механики. Важное свойство соотношения A.1.38) состоит в том, что оно сводит квадратичные комбинации матриц Паули к ли- линейным. Это позволяет проводить поэтапное вычисление сле- следов от произведений матриц Паули а,-, уменьшая на каждом этапе число матриц, входящих в данный след. Приведем не- несколько примеров. Прежде всего, как видно из определения A.1.6), tr a,- = 0. A.1.41) Беря след от обеих частей A.1.38) и используя A.1.41) полу- получаем trolo, = 26tl. A.1.42а) Произведение трех матриц Паули можно сначала свести к квадратичной комбинации с помощью A.1.38): беря затем след этого выражения и используя A 1.41) и A.1.42а), находим i°7°m = 2г L, *4ik°kn 2/е ijm- A.1.426) Еще одно важное свойство матриц Паули состоит в том, что любую двумерную эрмитову матрицу можно представить в виде линейной комбинации единичной матрицы 1 и матриц а,-. Рассмотрим, например, матрицу плотности. Предположим, что она имеет следующий вид: Р = й1+ЕЫ; A.1.43) i в этом выражении неизвестны н подлежат определению че- четыре коэффициента а, Ьх, Ьу, Ьг. Такое предположение допу- допустимо, поскольку условие эрмитовости уменьшает число неза-
ГЛАВА 1 висимых параметров, определяющих р, до четырех, а в выра- выражение A.1.43) входит как раз четыре параметра. Один из них можно найти сразу с помощью условия нормировки A.1.25). Используя A.1.41), имеем тогда а =1/2. A.1.44а) Умножая A.1.43) на а,- и вычисляя след полученного выраже- выражения с использованием равенств A.1.41) и A.1.42), находим tr pa, = 2 S bfi,, = 2b,. i С другой стороны, след произведения р и о,- дает соответ- соответствующие компоненты вектора поляризации, так что имеем Ь, = (ЩР,. A.1.446) Подстановка результатов A.1.44а) и A.1.446) в исходное ра- равенство A.1.43) дает 4(У>Л A-1-45) I «+ !>¦)¦ Если матрицы Паули записаны в виде A.1.6), то р можно по- получить в виде A.1.33). В случае чистого состояния \%) опе- оператор плотности записывается следующим образом: тогда, обозначая вектор поляризации состояния \%) через \ имеем Последнее выражение допускает простое вычисление вероят- вероятности <х|р!х>- В силу A.1.31) можно записать (х IРI Х> = tr | %) (% | р. Используя этот результат в правой части A.1.46), находим =тtr а- A.1.47) Последний результат можно интерпретировать следующим об- образом. Пучок частиц может характеризоваться матрицей ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ 88 плотности р. Этот пучок может проходить через фильтр Штер- Штерна — Герлаха с фиксированной ориентацией, полностью пропу- пропускающий лишь пучок в чистом состоянии \%) (это означает, что фильтр ориентирован параллельно вектору Р(х)). Вероятность того, что частица данного пучка пройдет че- через фильтр, определяется тогда скалярным произведением р(х>.р двух векторов поляризации. Вероятность прохождения максимальна, если вектор Р ориентирован в направлении про- пропускания фильтра (т. е. градиента магнитного поля), и мини- минимальна в случае его антипараллельной ориентации. В част- частности, если пучок неполяризован, то для любого фильтра <XlPlx)=l/2. A.1.48) Вывод соотношения A.1.47) может служить первым при- примером того, как можно упростить вычисления, используя пред- представление A.1.45) и алгебраические свойства матриц Паули. 1.1.7. Выводы Результаты, полученные в двух предшествующих разде- разделах, позволяют дать новые определения некоторых из исполь- использовавшихся до сих пор основных понятий. Мы считаем на- начальной информацией о пучке значения трех компонент Рх, Ру, Pz его вектора поляризация. Вектор Р можно определить, например, с помощью соответственно подобранных экспери- экспериментов по рассеянию. [Подробное обсуждение деталей таких экспериментов можно найти, например, в работе Кесслера (Kessler, 1976).]. Если вектор поляризации известен, матри- матрицу плотности можно найти с помощью выражений A.1.33) и A.1.45). Эти выражения в сжатой форме содержат всю ин- информацию о пучке. Полезность выражения A.1.45) при фак- фактических вычислениях станет очевидной в разд. 2.5. Если |Р| = 1, то говорят, что пучок находится в чистом спиновом состояния или, что то же самое, все частицы нахо- находятся в тождественных состояниях. Совместное состояние всех частиц данного пучка можно описать, сопоставив всему пучку один вектор состояния. В таком случае для полного описания спинового состояния достаточно двух параметров, например полярных углов Э и б для вектора Р. С их помощью можно построить соответствующий вектор состояния, исполь- используя выражение A.1.9). Если |Р| < 1, то говорят, что пучок находится в смешан- смешанном состоянии. Такие состояния характеризуются тремя пара- параметрами, например длиной и полярными углами вектора Р. 2 Зак. 648
34 ГЛАВА 1 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ 35 '.?, Состояние поляризации и матрица плотности для| фотонов 1.2.1. Классическое понятие поляризации волны В этом разделе будет дано описание поляризации фотона.; Мы будем следовать рассуждениям разд. 1.1, с тем чтобы' ближе познакомиться с введенными там абстрактными поня- понятиями. Начнем с краткого описания поляризации света в классической оптике. Монохроматическая электромагнитная волна характери- характеризуется тремя величинами: угловой частотой и, волновым век- вектором к= Bя/Л)п (здесь п — единичный вектор в направле- направлении распространения волны, Л — длина волны) и состоянием поляризации, которое определяется колебаниями вектора электрического поля Е. Вектор поля Е монохроматической волны можно записать в виде — rite , \\.z-i) где Л — амплитуда волны, е — вектор поляризации. Ввиду по- поперечного характера электромагнитных волн вектор е пер- перпендикулярен п. В этом разделе мы используем систему коор- координат х, у, z, в которой ось z параллельна п, и ограничиваем- ограничиваемся обсуждением свойств поляризации только световых волн. Если вектор Е колеблется вдоль оси х, то свет называют ли- линейно-поляризованным вдоль оси х. Вектор поляризации па- параллелен оси х и обозначается tx. Если вектор Е колеблется вдоль оси у, то поляризацию можно охарактеризовать, при- приписав пучку вектор поляризации е„, направленный вдоль оси у. Произвольный вектор поляризации е всегда можно разло- разложить по двум ортогональным векторам, например е* и ty: е = а,ех + а2е'ве„, A.2.2) где п\ и о2 — действительные коэффициенты. Наложим на A.2.2) условие нормировки, состоящее в том, что вектор е является единичным. Именно, скалярное произ- произведение вектора е и сопряженного ему вектора е* должно быть равно единице, ее* = 1. Тогда условие нормировки име- имеет вид j -f- О5 —- 1. A.2.о) Равенство A.2.2) соответствует линейной комбинации двух волн равной частоты, с одинаковым волновым вектором, ам- амплитудами А\ н Л2; волны поляризованы соответственно вдоль осей х п у и имеют определенную разность начальных фаз б: Здесь Oi и 02 — относительные амплитуды волн, удовлетво- удовлетворяющие условию нормировки A.2.3): а* = Ai/A (i — 1,2), где Можно ввести параметр Р, определив его следующим об- образом: o1 = cosp, о2 —sinp A.2.4a) [при этом условие A.2.3) выполняется автоматически]; тогда произвольный вектор поляризации A.2.2) запишется в виде ^ е = cos рех-(-е'6 sin реу. A.2.46) Чтобы познакомиться с применением этого выражения, рас- рассмотрим некоторые частные случаи. 1. Пусть две волны, входящие в линейную суперпозицию, колеблются в одинаковых фазах с относительными амплиту- амплитудами Oi и 02 н поляризова- поляризованы соответственно вдоль осей х и у. С помощью вели- величин а\ и 02 можно найти па- параметр р; подставляя затем 5 = 0 в выражение A.2.46), можно найти вектор поляри- поляризации результирующей вол- волны; е = cos ре* + sin pey. A.2.5) В этом случае можно дать простую интерпретацию па- параметру р: вектор е являет- является действительным и распо- расположен в плоскости х—у, так что выражение A.2.5) представляет собой разложение этого вектора по двум ортогональным базисным векторам tx и ty; следовательно, р имеет смысл угла между вектором е и осью х (рис. 1.4). 2. При суперпозиции двух волн с равными частотами н ам- амплитудами Oi = о2, но с разностью фаз б = ±90° возникает результирующая волна с вектором поляризации е ~ tx ± itу. соответствующим левой или правой круговой поляризации (более подробное обсуждение см. в разд. 1.2.3). 3. Если Oi Ф а2 и б ф 0, мы приходим к общему случаю эллиптической поляризации. В дальнейшем мы будем называть световую волну полно- полностью поляризованной, если ее свойства поляризации можно Рис. 1.4. Вектор поляризации линей- линейно-поляризованного света.
ГЛАВА 1 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ 87 полностью описать всего одним вектором е [напримео, как это имеет место для плоской волны A.2.1)]. Полезно дать дру- другую интерпретацию приведенного определения, обращаясь к некоторым идеализированным экспериментам. Следуя подходу, принятому в разд. 1.1, свойства поляри- поляризации света можно обсуждать на основе экспериментов с раз- различными оптическими поляризационными фильтрами. Будем считать все используемые фильтры идеальными в том смысле, что они полностью прозрачны только для света данной поля- поляризации. Поэтому свет, прошедший через фильтр, находится в определенном состоянии поляризации. Например, пучок све- света может проходить через призму Николя, которая пропуска- пропускает только свет, поляризованный параллельно оси х. Тогда пропущенный свет становится линейно-поляризованным вдоль оси х. Аналогично пучок света, прошедший через призму Ни- Николя, ориентированную вдоль оси п, будет линейно-поляризо- линейно-поляризован вдоль направления п. Если |3 — угол между вектором п и осью х, то соответствующий вектор поляризации дается выражением A.2.5). Наоборот, если линейно-поляризованный свет с вектором поляризации е пропускается через призму Николя, то всегда можно найти такую ориентацию призмы, при которой пучок полностью проходит через нее. Это имеет место в том случае, когда направление пропускания призмы параллельно вектору е. Свет с круговой поляризацией пропу- пропускается полностью только специальным поляризационным фильтром (например, соответственно ориентированной ком- комбинацией четвертьволновых пластинок и призмы Николя). Обращая эти рассуждения, можно сказать, что световой пучок полностью поляризован, если можно подобрать такой фильтр, который полностью пропускает пучок. Как известно из оптики, свет чаще всего не бывает пол- полностью поляризованным. Обычный источник света состоит из большого числа возбужденных атомов, каждый из которых излучает импульс света за время порядка 10~8 с независимо от всех других атомов. К пучку света все время добавляются новые импульсы, поэтому результирующая поляризация очень быстро меняется. Следовательно, не может возникнуть опре- определенный вектор поляризации, характеризующий весь пучок в целом. В следующих разделах мы обсудим проблему описа- описания пучков такого типа. 1.2.2. Чистые и смешанные состояния поляризации фотонов Применяя релятивистскую квантовую механику к электро- электромагнитному полю, можно установить, что при взаимодействии с веществом волна ведет себя так, как если бы она состояла из фотонов. Начнем этот раздел со следующего определения. > Говорят, что пучок фотонов находится в чистом состоянии поляризации, если он полностью поляризован в смысле, пояс- поясненном в разд. 1.2.1. Обращаясь к нашим идеализированным экспериментам, это определение можно трактовать так: если возможно найти такой фильтр, который полностью пропускает пучок фотонов, то говорят, что пучок находится в чистом состоянии поляриза- поляризации. Иначе говоря, все фотоны в пучке можно считать нахо^ дящимися в одном и том же состоянии поляризации. Это объ- объединенное состояние всех фотонов можно описать с помощью всего лишь одного вектора состояния, который мы будем обо- обозначать |е>. Под этим вектором состояния понимается состоя- состояние поляризации любого фотона в пучке, который на класси- классическом языке описывается вектором поляризации е. Напри- Например, векторы состояний |e.v> и le^) обозначают состояния поляризации фотонов, которые полностью пропускаются при- призмой Николя, ориентированной соответственно вдоль направ- направлений х и у. Состояния Ю и le^) можно выбрать в качестве базис- базисных, тогда любое состояние |е> можно записать в виде линей- линейной суперпозиции \e) = al\ex) + a2\ey)t A.2.6) или I e) = cos p | ex) ei& sin -у I- A.2.7) Эти выражения совершенно аналогичны выражениям A.2.2) и A.2.4). Наши рассуждения подобны проведенным в разд. 1.1. Все эксперименты и их результаты для частиц со спином 1/2 и фильтрами Штерна—Герлаха можно повторить для случая фотонов и поляризационных фильтров. В частности, а\ и а\ являются вероятностями того, что фотон в состоянии поля- поляризации A.2.6) пройдет через призму Николя, пропускаю- пропускающую только свет, поляризованный соответственно параллель- параллельно оси х и у. Как видно из выражений A.2.6) и A.2.7), любая суперпо- суперпозиция двух (или более) состояний, имеющих определенное значение фазы б, с необходимостью дает чистое состояние. Поэтому для описания частично поляризованного света сле- следует рассмотреть суперпозицию состояний, не имеющих опре- определенных фазовых соотношений; иными словами, мы должны ввести понятие смеси. 6 общем случае говорят, что пучок фо- фотонов находится в смешанном состоянии (г, в. представляет
38 ГЛАВА 1 собой смесь), если его невозможно описать с помощью лишь одного вектора'состояния. Полезно сделать понятие смеси более наглядным, обра- обращаясь к некоторым идеализированным экспериментам. Рас- Рассмотрим два источника света, излучающих независимо друг от друга, что означает отсутствие определенного фазового со- соотношения между ними (точнее, относительный сдвиг фаз многократно изменяется за время наблюдения совершенно не- непредсказуемым образом). Оба источника снабжены поляри- поляризационными фильтрами, так что первый источник излучает пучок интенсивностью h с определенной поляризацией |ei>, а второй — пучок интенсивностью U_ с поляризацией |е2). Если объединить оба пучка и исследовать свойства поляриза- поляризации результирующего пучка, направляя его на различные фильтры, то обнаружится, что независимо от природы фильт- фильтра пропущенная интенсивность всегда меньше падающей. Тог- Тогда по определению полный пучок считается находящимся в смешанном состоянии поляризации. Смесь невозможно полностью охарактеризовать посред- посредством лишь одного вектора состояния |е>. В частности, смесь нельзя представить в виде линейной суперпозиции состояний |ei> и \e-i). Причина здесь состоит в том, что, как было пока- показано в разд. 1.1.1 —1.1.4, между составляющими пучками от- отсутствует определенный сдвиг фазы б, с помощью которого может быть построен определенный вектор состояния |е>. 1.2.3. Квантовомеханическое понятие спина фотона В классической оптике для описания поляризации света используется представление о колебаниях вектора электриче- электрического поля волны. Выясним, как интерпретировать состояние поляризации, исходя из характеристических свойств фотонов. С этой целью рассмотрим возможные спиновые состояния фотонов. Существуют некоторые ограничения, налагаемые на понятие спина фотона. Полный угловой момент J любой ча- частицы представляет собой результирующую ее спина S и ее орбитального углового момента L. Поскольку масса покоя фотона равна нулю, к нему неприменимо обычное определе- определение спина как полного углового момента частицы в состоянии покоя. Строго говоря, физический смысл имеет лишь полный угловой момент фотона. Удобно, однако, дать формальное определение его спина и орбитального углового момента. Фо- Фотону приписывается спнн, равный единице, в соответствии с тем фактом, что его волновая функция представляет собой вектор [как видно, например, из A.2.1)]. Значение орбиталь- орбитального углового момента связано с мультиполями, входящими в Волновую функцию (см., например, Ландау и Лифшиц, 1963), основные понятия 39 Вообще говоря, если частица со спином 1 обладает хоро- хорошо определенным импульсом р, то компоненты ее спина в направлении движения могут принимать три значения: +1, — 1, 0. Однако ввиду поперечного характера электромагнит- электромагнитных волн значение 0 должно быть исключено для фотонов. Компонента спина фотона вдоль направления распростране- распространения п, которую мы будем обозначать символом X, может, сле- следовательно, иметь только значения Х=-\-\ («спин вверх») н А, = —1 («спин вниз»). Существенно отметить, что два состояния фотона со спи- спином вверх или вниз по отношению к вектору п как оси кван- квантования имеют прямой физический смысл. Поскольку компо- компонента орбитального углового момента вдоль направления распространения п обращается в нуль, имеем J-n=(L+S)- •n = Sn = X, откуда следует, что fe> X является компонентой полного углового момента фотона в направлении распространения п. Компоненту спина в направлении распространения обычно называют спиральностью, и мы будем говорить о состояниях фотона с X = ±1 как о состояниях с определенной спирально- спиральностью. В соответствии с классическим описанием, когда пучок света с круговой поляризацией направляется на мишень, электроны мишени приходят в круговое движение под дейст- действием вращающегося электрического поля падающей волны. Следовательно, по-видимому, должна существовать взаимо- взаимосвязь между поляризованной по кругу световой волной и фо- фотонами в состояниях с определенным угловым моментом. Действительно, как показано в квантовой электродинами- электродинамике, фотоны с определенной спиральностью связаны с состоя- состояниями левой и правой круговой поляризации. К сожалению, соответствующие обозначения не являются общепринятыми, и мы примем следующее соглашение. Будем обозначать век- вектор поляризации и состояние фотонов со спиральностью Х= 1 соответственно e+i и | + 1> и будем говорить, что свет с положительной сппральностью имеет правую круговую по- поляризацию. Аналогично при Х = —1 вектор поляризации п состояние фотонов будем обозначать соответственно e_i и | —1> и гово- говорить, что такой свет имеет левую круговую поляризацию. Заметим, что в классической оптике обычно принимается противоположное соглашение. Именно, свет с положительной (отрицательной) сппральностью считается обладающим левой (правой) круговой поляризацией. Во избежание этой неод- неоднозначности мы будем всегда использовать обозначение
40 ГЛАВА 1 состояний с помощью спиральностн. Тогда векторы e+i и е_ь а также состояния |±1> определены (с точностью до несу- несущественного фазового множителя), так что для векторов по- поляризации имеем ('')(±.е}), A.2.8) а для соответствующих состояний ) (|е,)±/|ег/» A.2.9) [см., например, Мессиа (Messiah, 1965)] '). Состояния с определенной спиральностью особенно удобно использовать в качестве базисных |е*> и \еу} в тех задачах, где необходимо явно принимать во внимание угловой момент. Поэтому общее состояние поляризации |е> запишем в виде |е) = а1|+1) + а2|-1). A.2.10) Существует тесная формальная аналогия между фотонами и частицами со спином 1/2. Поскольку имеются только два возможных значения спиральности А = ±1 (соответствующих состояниям со спином вверх и спином вниз по отношению к п как оси квантования), эти состояния можно представлять с помощью двумерных векторов-столбцов, пока п остается осью квантования (осью г). Базисные состояния можно запи- записать тогда аналогично выражениям A.1.1): В этом представлении чистое состояние общего вида A.2.9) описывается вектором-столбцом |в> = (°;). 0.2.11а) а сопряженное ему состояние — вектором-строкой (е\ = (а[, а'). A.2.116) Например, состояние пучков света, полностью линейно- поляризованных соответственно вдоль осей хну, находим, обращая выражение A.2.9): \ех) = — (l/2V2)(l +1> —I—1». A.2.12а) | ву) = (г/272) (| +1) + I -1». A.2.126) Интерпретация этих состояний, получаемых путем линейной суперпозиции, аналогична данной в разд. 1.1.4. ') Т. II, гл. XXI, § 28. — Прим. ред. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ 41 В качестве другого примера рассмотрим пучок фотонов, приготовленных в чистом состоянии |e.v>. Как видно из A.2.12а), эти фотоны не имеют определенной спиральности. Однако во всяком произведенном над пучком эксперименте, в котором измеряется угловой момент, любой фотон пучка будет вынужден с равной вероятностью перейти в одно из собственных состояний углового момента, | + 1> пли | —1>. Следовательно, в любом из таких экспериментов любой фо- фотон пучка переносит определенную величину углового момен- момента (соответственно Х== + 1 или —1). Поскольку соответ- соответствующие вероятности одинаковы, полный угловой момент, переносимый всем пучком, равен нулю. 1.2.4. Матрица плотности для поляризаций Компактное выражение свойств поляризации фотонов со- содержится в соответствующей матрице плотности. В разд. 1.2.5 будет дано операциональное определение матрицы плот- плотности фотонов. В этом разделе мы ограничимся повторением рассуждений разд. 1.1.5. Рассмотрим пучок фотонов, являющийся смесью двух пучков, которые приготовлены независимо в состояниях |ея> и \еь) и имеют соответственно интенсивности 1а и 1Ь- Опера- Оператор плотности, характеризующий полный пучок, определяется выражением 9' = Wa\ea){ea\ + Wb\eb){eb\, A.2.13) где Wа = /a//, Wb = /&// и / = /а -(-/(,. Чтобы получить мат- матрицу плотности, необходимо выбрать конкретное представ- представление. Используем в качестве базисных состояния с опреде- определенной спиральностью и разложим два состояния |ея> и |ей> в соответствии с A.2.10): еа) <> I +1) + af |-1 | eb) = af \ +1) + а™ \ -1). Используя явные выражения A.2.11) и применяя правило A.1.21), можно показать, что матрица плотности в представ- представлении состояний с определенной спнральностью имеет вид W, WAa^l W. A.2.14) Из явного выражения A.2.14) следует, что р' удовлетворяет условию нормировки trp/ = U7a + U76 = l. A.2.15) Часто бывает более удобно нормировать матрицу р так, чтобы ее след был равен полной интенсивности соответствующего
42 ГЛАВА 1 пучка фотонов. Этого можно достичь, выражая величины Wa и Wb через интенсивности 1а и h в A.2.13) и A.2.14). Оператор плотности в такой нормировке дается тогда выра- выражением Р = /«|ва><е„| + /»|е6)<еь|, A.2.16) а след матрицы плотности равен trp = /a + /b = /. A.2.17) Матрица плотности р (и р') обладает следующими свой- свойствами (доказательства совершенно аналогичны проведенным в разд. 1.1.5): 1. Диагональные элементы <+1|р'| + 1> и <—1|р'| —1> матрицы A.2.14) определяют вероятности нахождения фотона в пучке в состоянии с соответствующей спиральностью. При выполнении условия нормировки A.2.17) диагональные эле- элементы <+1|р| + 1> и <—1|р| —1> дают соответствующие ин- интенсивности. 2. Если рассматриваемый пучок направляется на фильтр, полностью пропускающий лишь фотоны в чистом состоянии |е>, то элемент + Wh\a^f A.2.18) определяет вероятность того, что фотон пучка пройдет через фильтр; здесь использованы обозначения а<а> = (е|еа), а<й> = (е | еь). Элемент <е|р|е>, полученный с помощью оператора A.2.16), определяет пропущенную интенсивность (e\p\e) = Ia\a^\2 + Ib\a^\2. A.2.19) Поскольку любая информация о свойствах поляризации дан- данного пучка может быть в принципе получена путем пропуска- пропускания пучка через различные поляризационные фильтры, ре- результат любого из таких экспериментов можно вычислить, используя фомулы A.2.18) или A.2.19). Отсюда можно зак- заключить, что вся информация о состоянии поляризации данно- данного пучка содержится в его матрице плотности. 3. Условие эрмитовости A.1.29) уменьшает число неза- независимых параметров до четырех. Одним из них является обычно полная интенсивность пучка /. Если она не представ- представляет интереса, то ее можно опустить, нормируя матрицу плот- плотности аналогично A.2.14) и A.2.15). Тогда р' определяется тремя действительными параметрами, как это имеет место для матрицы плотности частиц со спином 1/2. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ 43 Таким образом, для полного определения матрицы р любо- любого пучка необходимо провести четыре независимых измерения (одно из которых — измерение полной интенсивности /). Если значение / несущественно, получается матрица A.2.14), для нахождения которой необходимо знать три независимых па- параметра. Результат любого другого эксперимента можно тог- тогда вычислить, . применяя выражения A.2.18) или A.2.19). 4. В гл. 2 будет доказано, что в общем случае необходи- необходимым п достаточным условием того, чтобы данная матрица плотности фотонов описывала чистое состояние, является ус- условие tr (p2) = (tr pJ = /2. A.2.20) При нормировке A.2.15) последний результат сводится к формуле A.1.37): Вообще говоря, матрица плотности фотонов удовлетворяет неравенству tr(P2)</2. A.2.20а) 1.2.5. Описание посредством параметров Стокса 1.2.5.1. Параметризация р посредством параметров Стокса Здесь и далее будем использовать условие нормировки A.2.17). Как было показано в предыдущем разделе, для пол- полного определения состояния поляризации произвольного пуч- пучка необходимо провести четыре независимых измерения. Наи- Наиболее удобен тот набор измерений, который дает следующую информацию: 1. Полную интенсивность пучка /. 2. Степень линейной поляризации относительно осей х и у, определенную равенством Лз = [/@)-/(90°)]//, A.2.21а) где /(Р) обозначает интенсивность, пропущенную призмой Николя, ориентированной под углом Р относительно оси х. 3. Степень линейной поляризации относительно двух вза- взаимно перпендикулярных осей, направленных под углом 45° к оси х, определенную равенством |//. A.2.216)
44 ГЛАВА t 4. Степень круговой поляризации, определенную равен- равенством % = (/+i-/-i)//, A.2.21b) где /+i(/_i) — интенсивность света, прошедшего через поля- поляризационные фильтры, полностью пропускающие только фо- фотоны с положительной (отрицательной) спиральностью. Набор параметров 1—4 называется параметрами Стокса; их подробное описание можно найти в книге Борна и Вольфа (Born, Wolf, 1970) (см. также McMaster, 1954; Farago, 1971). Установим связь между параметрами Стокса и элемен- элементами матрицы плотности. Обозначая элементы матрицы р че- через р^ = (X' |р \%), запишем -1.+, A-2.22) где р+1 _j = pt_t +i в силу условия эрмитовости A.1.29). В соответствии с A.2.17) полную интенсивность можно запи- записать так: ^ = Рц + Р_1. _1- A.2.23а) Для получения тK следует вычислить интенсивности /@) и /(90°). Из A.2.19) имеем В представлении, в котором в качестве базисных исполь- используются состояния с определенной спиральностью, векторы со- состояний \ех} и \еу) описываются выражениями A.2.12), от- откуда -1,-1 Рп Pi._i Аналогично имеем /(90°) = A/2){-i, -/)( = A/2) (Pll Отсюда следует, что A.2.236) Совершенно так же можно вычислить параметр [ци опреде- определенный выражением A.2.216). В этом случае оси пропуска- основные понятия 46 ния призм Николя составляют соответственно углы 45 и 135° с осью х. Интенсивности, пропускаемые этими призмами, определяются выражениями /D5°) = (е, |р|е,), /A35°) = (е2 |р| е2). Здесь \е{у — состояние фотона, полностью пропускаемого первой призмой, так что где использовано выражение A.2.5) с Р = 45°. Аналогично е%/ есть состояние фотона, полностью пропускаемого вто- второй призмой; его можно выразить через \ех) и \еу), подстав- подставляя р = 135° в выражение A.2.5): Преобразуя \ех) и \еи} к базису состояний с определенной спнральностью, получаем /T), = -/(Pl _,-p_u) A.2.23b) и аналогично /тЬ = Рп —Р-1,-1- A.2.23г) Обращая эти уравнения, можно выразить элементы рк-х че- через параметры Стокса: 1 ( 1+12 ' ~~ 2 V — % — гт — Лз + ^ 1 — т), A.2.24) Именно такая форма матрицы плотности будет использо- использоваться в дальнейшем. 1.2.5.2. Примеры Из выражения A.2.7) следует, что любое чистое состояние поляризации можно параметризовать следующим образом: | е) = cos Р [ ех) + ei& sin P | еу). A.2.25) Соответствующий оператор плотности имеет вид р = /|е><е|. Вычислим параметры Стокса, характеризующие пучок в со- состоянии A.2.25). Имеем / (90°) = (еу |р \еу) = I \(еу \е) ? = / sin2 р, откуда следует A.2.26а)
46 ГЛАВА 1 Аналогично можно найти т]1 = sin 20 cos б, r\.2 = sin 20 sin 6. A.2.266, в) Например, чистое состояние \ех}, характеризующее пучок света с вектором поляризации вдоль осп х, получается, если подставить б = 0, |3 = 0 в A.2.25). Тогда из формул A.2.26) получим параметры Стокса г\3 = 1, tji = rj2 = 0. Подставляя эти значения в матрицу плотности A.2.24), находим Р = ^- A.2.27а) Пучок, линейно-поляризованный вдоль оси у, можно опреде- определить параметрами |3 = 90°, 6 = 0, так что = — 1, 1 ( 1 «Л A.2.276) Аналогнчно, как показано в разд. 1.2.1, пучок, линейно-поля- линейно-поляризованный в направлении, составляющем угол 0 с осью х, описывается путем подстановки значения 8 = 0 в формулы A.2.25) и A.2.26). Тогда параметры Стокса принимают вид т]3 = cos 2C, 11, = sin 2C, т]2 = 0, а соответствующая матрица плотности "К 1 со.»-/.in» cos2P +'sin 1 Свет с левой и правой круговой поляризацией представляется с помощью матриц плотности 0 I Когда параметры Стокса, а следовательно, и матрица плот- плотности определены, можно непосредственно получить полезное выражение для интенсивности 1е света, прошедшего через фильтр, пропускающий лишь фотоны в состоянии |е>. Иско- Искомый элемент <е|р|е>-равен ^. ie = (//2) A + Т1з cos 2C + Ti, sin 20 cos б + % sin 20 sin б). A.2.29) Заметим, что в A.2.29) параметры 0 и б описывают про- пропущенный пучок, тогда как падающий пучок характеризуется параметрами Стокса. основные понятия 47 1.2.5.3. Степень поляризации Введем еще одно обозначение, которое окажется важным при дальнейшем изложении. Из условий A.2.20а) и A.2.24) следует, что параметры Стокса удовлетворяют ограничению Л? + Л5 + П5<1- A.2.30) Знак равенства имеет место лишь в том случае, если фотоны рассматриваемого пучка находятся в чистом состоянии поля- поляризации. Иначе говоря, пучок полностью поляризован (в смысле, объясненном в разд. 1.2.1) тогда и только тогда, когда выполняется соотношение ^ + ^ + ^=1- A.2.30а) Эти условия удобно записать, вводя величину р = (Л[ + л; + ti|)'a, A-2.31) на которую в силу A.2.30) наложено ограничение Р<1. A.2.31а) Смысл соотношений A.2.30) и A.2.31) можно сформу- сформулировать следующим образом: Г- Данный пучок фотонов находится в чистом состоянии по- поляризации тогда и только тогда, когда Р = 1. Если Р < 1, пучок находится в смешанном состоянии. Если Р > 0, мы будем называть пучок поляризованным (полностью поляризованным, если Р = 1); если Р = 0, будем называть пучок неполяризованным. В последнем случае все параметры Стокса обращаются в нуль и соответствующая матрица плотности принимает вид A.2.32) Поскольку при Р = 0 параметры Стокса обращаются в нуль в любом представлении, выражение A.2.32) не зависит от выбора базисных состояний. Любая смесь независимо приго- приготовленных состояний |ei> и je2> с противоположной поляри- поляризацией (например, |+1> и | —1> или \ех) и \еу)) и одинако- одинаковой интенсивностью /, = /2 = 1/2 описывается матрицей плот- плотности A.2.32). Все такие смеси ведут себя одинаково в смысле своих поляризационных свойств и могут быть ис- использованы как модели неполяризованного света.
48 ГЛАВА I 1.2.5.4. «Операциональное» определение р В этом разделе мы обратим некоторые из полученных выше результатов следующим образом. Чтобы определить поляризационные свойства данного светового пучка, необхо- необходимо выполнить четыре независимых измерения, например для удобства определить параметры Стокса. Далее эти че- четыре параметра используются как исходные данные для определения матрицы плотности согласно выражению A.2.24). Результат любого другого эксперимента, поставлен- поставленного над пучком, может быть затем вычислен с помощью формул A.2.19) или A.2.29). Пучок фотонов находится в чистом состоянии поляриза- поляризации тогда и только тогда, когда Р = 1 (полностью поляризо- поляризованный пучок). В этом случае состояние поляризации пучка можно представить с помощью единственного вектора состоя- состояния |е>. Тогда параметры Стокса не являются независимыми, так как в силу условия A.2.30а) трех из этих параметров достаточно для полного описания пучка [при условии норми- нормировки A.2.15) достаточно двух параметров]. Наконец, пучок фотонов находится в смешанном состоя- состоянии, если Р < 1. В частном случае Р = 0 пучок неполяризо- ван и описывается матрицей плотности A.2.32). Общая теория матрицы плотности 2.1. Чистые и смешанные квантовые состояния В этой главе понятия, введенные в гл. 1, будут обобщены на случай систем с более чем двумя степенями свободы. При- Примеры, рассмотренные в предшествующих разделах, составят физическую основу общего подхода, описанного в этой главе. Начнем с дальнейшего обсуждения чистых и смешанных со- состояний. В классической механике динамическое состояние си- системы, например системы бесструктурных частиц, полностью определено, если известны значения всех координат и импуль- импульсов частиц. Состояние системы в любой последующий момент времени может быть тогда предсказано с полной определен- определенностью. Однако часто задаются только средние значения ко- координат и импульсов частиц. Вследствие столь неполной информации нужно применять методы статистической меха- механики. Мы будем рассматривать квантовомеханические систе- системы, для которых нельзя получить максимально возможную информацию. Однако выражение «максимально возмож- возможная информация» имеет в квантовой механике более ограни- ограниченный смысл, чем в классической физике, поскольку не все физические наблюдаемые величины могут быть одновременно точно измерены. Поэтому наша первая задача состоит в уточ- уточнении смысла понятия «максимальная информация» в кван- квантовой механике. Как известно, точное одновременное измерение двух фи- физических величин возможно только в том случае, когда оба оператора, соответствующие этим величинам, коммутируют друг с другом. Точнее, если два оператора Qi и Q2 коммути- коммутируют, то можно найти состояния, в которых Qi и Q2 имеют определенные собственные значения q\ и qi- Аналогично если третий оператор коммутирует как с Qi, так и с Q2, то можно найти состояния, в которых Qit Q2, Qs одновременно имеют собственные значения q\, qi, qs\ очевидно, этот процесс можно продолжить. Таким образом, собственные значения q\, q2, qz, ... можно использовать для описания системы со все воз- возрастающей точностью. Наибольший набор взаимно коммути-
50 ГЛАВА 2 рующих независимых наблюдаемых Qb Q2 который можно найти для системы, дает ее наиболее полное описание. (Важным примером такого описания является классифика- классификация состояний с помощью интегралов движения.) Измерение любой другой переменной, которая соответствует оператору, не коммутирующему с набором Qu Q2, ..., с необходимостью вводит неопределенность по крайней мере в одну из ранее измеренных переменных. Поэтому становится невозможным дать более полное описание системы. Таким образом, в общем случае максимальную информа- информацию (в квантовомеханическом смысле), которую можно по- получить о системе, дают собственные значения q\, q2, ... пол- полного набора коммутирующих наблюдаемых, полученных в результате измерения («полный эксперимент»). Если над системой проведен полный эксперимент, то можно с уверен- уверенностью утверждать, что состояние системы действительно точно совпадает с соответствующим собственным состоянием набора операторов Q\, Q2, ..., сопоставляемых измеряемым собственным значениям q\, q2 Тогда система полностью определяется вектором состояния \q\, q2, ...), который ста- ставится ей в соответствие. Если сразу вновь повторить измере- измерение наблюдаемых Q\, Q2, ... в состоянии \qu q-2, ...}, то можно быть уверенным в том, что будут получены тс же зна- значения <7ь </2 > Необходимое и достаточное условие, определяющее со- состояние с «максимальной информацией», состоит в существо- существовании такого набора экспериментов, для которого результаты могут быть предсказаны с полной определенностью (Fano, 1957). Состояния с максимальной информацией называются чистыми состояниями. Чистые состояния представляют собой предельный допус- допускаемый принципом неопределенности результат, получаемый с помощью точного наблюдения; такие состояния являются квантовомеханическим аналогом классических состояний, для которых известны все координаты и импульсы всех частиц. Как показано в квантовой механике, вопрос о том, в каком случае набор коммутирующих операторов является полным, может быть решен только с помощью экспе- эксперимента. Полный эксперимент можно поставить так, чтобы подей- подействовать на систему фильтром, который «приготовляет» си- систему в чистом состоянии. Например, для пучка свободных электронов полный набор коммутирующих операторов дается оператором импульса и г-компонентой Sz оператора спина. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ МАТРИЦЫ ПЛОТНОСТИ 51 Направим пучок электронов на последовательную комбина- комбинацию двух фильтров (считающихся идеальными): один из них отбирает частицы, имеющие точное значение импульса р, вто- второй— частицы с точным значением m величины Sz- Таким способом можно приготовить пучок в состоянии |р,ш). Это означает, что частицы пучка, пропущенные обоими фильт- фильтрами, имеют одинаковые значения р и т. Последний факт можно проверить, направляя полученный пучок на второй набор фильтров (идентичный первому): пучок должен быть пропущен полностью. Эксперимент можно повторять вновь и вновь; мы всегда обнаружим одни и те же значения р и т, и такой результат можно предсказать с полной определен- определенностью. Если нас интересуют только спиновые свойства пучка, за- зависимость состояния от всех других переменных может быть опущена (как, например, в том случае, когда рассматри- рассматриваются пучки, в которых все частицы имеют одинаковый им- импульс). Тогда вектор состояния можно обозначать просто че- через |'п), как это и было сделано в гл. 1. Полный набор коммутирующих операторов можно вы- выбрать не единственным образом. Например, вместо разложе- разложения чистого спинового состояния по собственным состояниям |р, т} оператора импульса и z-проскшш спина Sz можно использовать собственные состояния |р, т'} оператора им- импульса и Sz', где оси z и г' не совпадают друг с другом. Рас- Рассмотрим два набора наблюдаемых Qb Q2, ... с собственными состояниями |1ф'/ = |^1, q9, ...\ и Q[, Q'2, . . . с собственными состояниями \ф) = \q\, (]',, •¦•). гДе По крайней мере один из операторов Q; не коммутирует с операторами из первого: набора. Если данная система описывается вектором состоя- состояния |\|)>, его всегда можно записать в виде линейной ком- комбинации всех собственных состояний операторов Q[, Q2, . . . И>>=?ап|*„>, B-1.1) где индекс п нумерует различные собственные состояния. Формула B.1.1) является математическим выражением прин- принципа суперпозиции. Отдельные состояния \фп}, использованные в разложении B.1.1), называются «базисными состояниями»; при этом го- говорят, что состояние |\|)> записано в {\фп}}-представлении. Мы будем всегда предполагать, что базисные состояния яв- являются ортонормироваиными: .> = й„т BЛ.2а)
62 ГЛАВА 2 и составляют полную систему: ? 1Фп)(Фп\=1- B-1.26) п Из свойства B.1.2а) непосредственно вытекает, что коэффи- коэффициенты разложения ап даются выражением ап = (Фп\У)- B.1.3) Выберем нормировку так, чтобы М>1Ч>) = ?К12=1, B.1.4) где использована формула B.1.2а) совместно с разложением М>1=?<<^| B.1.5) для сопряженного состояния <г|з|. Напомним, что квадраты модулей \ап\2 дают вероятности того, что при измерении система будет обнаружена в п-м соб- собственном состоянии. Из формулы B.1.1) следует, что чистое состояние можно охарактеризовать двумя способами. Можно, например, опи- описать его, задав все собственные значения q\, q2, ... для пол- полного набора операторов, но можно и задать также амплитуды а„, определяющие состояние |г|э> через собственные состоя- состояния |г|з«> другого набора наблюдаемых. Обычно второй спо- способ оказывается более удобным. Практически полного приготовления системы редко удается достичь, и в большинстве случаев измеряемые при этом динамические переменные не составляют полного на- набора. В результате состояние системы не является чистым и его нельзя представить одним вектором состояния. Такое состояние можно описать, указав, что система имеет опреде- определенные вероятности W\, W%, ... находиться в чистых состоя- состояниях \ф\), |^2>, ••• соответственно. В случае неполного при- приготовления необходимо использовать статистическое описание в том же смысле, что и в классической статистической ме- механике. > Системы, которые нельзя охарактеризовать одним векто- вектором состояния, называются статистическими смесями. Примеры таких состояний уже приводились в гл. 1. Рассмотрим ансамбль частиц в чистом состоянии |г|з>. Если это состояние не является одним из собственных состоя- состояний для наблюдаемой Q, то измерения соответствующей фи- физической величины дадут набор результатов, каждый из ко- которых является собственным значением Q. Если бы такие ТЕОРИЯ МАТРИЦЫ ПЛОТНОСТИ 83 j i измерения были проведены над очень большим числом час- частиц, которые все находятся в одном и том же состоянии |г|з>, то, вообще говоря, были бы получены все возможные соб- собственные значения Q. Среднее от полученных результатов дается средним значением <Q> наблюдаемой Q, которое опре- определяется матричным элементом <Q> » IQI -Ф> B.1.6) при условии нормировки B.1.4). Для получения <Q> в случае смеси состояний |ipi)> |г|J>, ••• следует вычислить средние значения <Q«> = = <^n|Ql^«) для каждой компоненты (чистых состояний) и затем усреднить их, суммируя по всем чистым состояниям (предварительно умножив их на соответствующий статисти- статистический вес Wn): > <Q>=2>n<4>JQI*n>. B.1.7) tl Следует отметить, что статистика входит в B.1.7) двумя пу- путями: прежде всего через квантовомеханнческое среднее зна- значение <Q/z>, а кроме того, через среднее по ансамблю этих значений с весами Wn- Первое усреднение связано с возму- возмущением системы во время измерения и потому внутренне за- заложено в самой идее квантования. Второе усреднение вво- вводится ввиду отсутствия информации о том, в каком именно из ряда чистых состояний может находиться система. По- Последний тип. усреднения очень сходен с используемым в клас- классической статистической механике; его удобно проводить с по- помощью техники матрицы плотности, которую мы опишем в следующем разделе. 2.2. Матрица плотности и ее основные свойства Рассмотрим смесь независимо приготовленных состояний |г|}„> (и=1, 2, ...) со статистическими весами Wn- Эти со- состояния не обязательно должны быть ортонормированы по отношению друг к другу. Оператор плотности, описывающий смесь, определится тогда следующим образом: 1, B.2.1) где суммирование ведется по всем состояниям, имеющимся в смеси; р называют также статистическим оператором. Чтобы представить оператор B.2.1) в матричной форме, следует прежде всего выбрать удобный набор базисных
54 ГЛАВА 2 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ МАТРИЦЫ ПЛОТНОСТИ 55 состояний, например |^i>, \ф2), ..., который удовлетворяет условию B.1.1). Используя принцип суперпозиции, имеем К)=Е<!|^), (\\ = Еа^(фт\; B.2.2а, б) тогда выражение B.2.1) принимает вид птт B.2.3) Беря матричные элементы выражения B.2.3) между состоя- состояниями \i>j) и (ф[\ и применяя условия ортонормировки B.1.2а), получаем Набор всех элементов B.2.4), где i и / пробегают по всем базисным состояниям, которые включены в сумму B.2.2), дает явное матричное представление оператора B.2.1), или так называемую матрицу плотности. Поскольку при этом ис- использованы базисные состояния \ф„У, принято говорить, что набор B.2.4) дает элементы матрицы плотности в {\фп}}- представлении. Теперь выведем и обобщим некоторые важные свойства матрицы плотности, с которыми мы познакомились в гл. 1. Прежде всего из формулы B.2.4) видно, что р представляет собой эрмитов оператор; это означает, что для матрицы B.2.4) выполняется следующее условие: > <&|р|0/> = #/|р|&>*. B.2.5) Далее, поскольку вероятность обнаружить систему в состоя- состоянии |фп> равна Wn и поскольку вероятность того, что \tyn} можно обнаружить в (чистом) состоянии \фт), равна laJ^M2, вероятность обнаружить систему в состоянии \фт) дается диагональным элементом p№B = Z^n|C!. ^-2'6) п Это выражение позволяет дать физическую интерпретацию диагональных элементов р. Физическое значение недпагональ- ных элементов будет рассмотрено в разд. 2.3. Поскольку ве- вероятности — положительные числа, из выражения B.2.6) сле- следует, что > Pmm>0. B.2.6а) Используя те же аргументы, что и в гл. 1, можно показать, что вероятность W(ty) найти систему в состоянии |if>> после измерения дается матричным элементом > «^ (-Ф) = <•* IР I Ч>> B.2.7) при условии нормировки B.1.4). Это становится очевидным, если подставить выражение B.2.1) для р в B.2.7): и интерпретировать коэффициенты |<i|>n|ty>|2 согласно фор- формуле B.1.3). След оператора р представляет собой константу, не зави- зависящую от представления. Из условия нормировки B.1.4) и условия 1>„ = 1 B.2.8а) следует, что B.2.8) Среднее (или математическое ожидание) любого оператора Q равно следу произведения операторов р и Q: mm' n B.2.9) При получении B.2.9) мы сначала подставили B.2.2) в фор- формулу B.1.7) и затем использовали B.2.4). В более общем случае, если отказаться от условия нормировки B.2.8) (как это было сделано в разд. 1.2.4), величина {Q) дается выраже- выражением «Э> = ^. B.2.9а) Выражение B.2.9) представляет собой важный результат. Напомним, что, согласно квантовой механике, всю информа- информацию о поведении данной системы можно выразить через ожи- ожидаемые (средние) значения соответственно подобранных опе- операторов. Таким образом, основная проблема состоит в вычислении средних значений. Поскольку среднее значение любого оператора может быть получено с помощью выраже- выражения B.2.9), матрица плотности содержит всю физически су- существенную информацию о системе. До сих пор матрица плотности была определена соотно- соотношением B.2.4). В общем случае, однако, удобнее считать, что
56 ГЛАВА 2 р определяется выражением B.2.9) следующим образом. Сле- Следует выбрать столько операторов Qb Q2 сколько имеется независимых параметров у оператора р. Средние значения операторов {Q\), (Q2), ••• представляют собой начальную информацию о системе. Соответствующую матрицу плотности можно найти, решив систему уравнений Если матрица плотности р определена таким образом, лю- любое другое среднее значение можно получить, применяя вы- выражение B.2.9). Например, как было показано в разд. 1.1, матрицу плотности для частиц со спином 1/2 можно полу- получить, если известны три средние значения (а/), т. е. средние значения компонент вектора поляризации. Указанный метод имеет несколько преимуществ. Прежде всего определение смеси B.2.1) не является единственным (по причинам, изложенным в разд. 1.1.5). Кроме того, на- начальная информация о системе часто выражается через сред- средние значения набора операторов, а не с помощью указания чистых состояний, участвующих в смеси. Такой подход, в ча- частности, предлагал Фано (Fano, 1957); мы вернемся к нему в гл. 4. Рассмотрим теперь число независимых параметров, необ- необходимое для определения данной матрицы плотности. Оно зависит от числа ортогональных состояний, по которым про- производится суммирование в выражениях B.2.2). Вообще го- говоря, это число бесконечно, однако часто оно становится ко- конечным, когда интерес представляет какое-либо одно частное свойство системы (например, спин), а зависимость от всех остальных переменных может быть опущена. В последующем обсуждении мы рассмотрим случай, при котором число базис- базисных состояний в разложении B.2.2) равно N. Тогда мат- матрица р представляет собой Л/-мерную квадратную матрицу, содержащую N2 комплексных элементов (что соответствует 2N2 действительным параметрам). Условие эрмитовости B.2.5) ограничивает число независимых действительных па- параметров до N2; кроме того, след р фиксирован условием нор- нормировки. Отсюда вытекает, что N-мерная матрица плотности полностью определяется с помощью N2 — 1 действительных параметров [или N2 параметров, если отказаться от условия нормировки B.2.8), как, например, это сделано в A.2.17)]. Это число можно уменьшить с помощью соображений сим- симметрии; его можно и далее уменьшить, если известно, что рассматриваемая система находится в чистом состоянии. Мы дадим соответствующий явный пример в разд. 3.5. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ МАТРИЦЫ ПЛОТНОСТИ б? Если данная система находится в чистом состоянии, пред- представляемом вектором состояния |ф>, то соответствующий опе- оператор плотности имеет вид Р = И>ХЧ>|. B.2.10) Матрицу плотности можно построить в представлении, в ко- котором |ij)> является одним из базисных состояний. Например, можно выбрать набор ортонормированных состояний [\()> = = I ipi>> 11|>2>, . ¦ • • В этом представлении все элементы мат- матрицы р будут, очевидно, равны нулю, кроме элемента на пе- пересечении первой строки и первого столбца. Тогда, как не- нетрудно видеть, tr(P2) = (trpJ. B.2.11) Рассмотрим теперь обратную задачу, состоящую в определе- определении того, описывает ли данная матрица плотности чистое состояние или нет. В принципе эту задачу всегда можно ре- решить, преобразовав матрицу плотности к диагональному виду. Если такое преобразование сделано и при этом обнаружено, что все элементы матрицы р обращаются в нуль, кроме од- одного (например, i-ro диагонального элемента), то система находится в чистом состоянии, представляемом i-м базисным вектором. Однако диагонализация часто утомительна, по- поэтому полезно вывести условие, которое проще применять. Прежде всего докажем, что соотношение tr(P2)<(trpJ B.2.12) справедливо в общем случае. Рассмотрим произвольную мат- матрицу плотности, которая преобразована к диагональной фор- форме, с диагональными элементами Wn- Тогда tr(p2)=Sw2n, (trp)WX> V. B.2.13а, б) п \ п / Ввиду того что вероятности Wn — положительные числа, от- отсюда непосредственно следует справедливость неравенства B.2.12) для диагонального представления. Поскольку числен- численное значение следа остается неизменным при преобразовании базисных состояний, неравенство B.2.12) справедливо в лю- любом представлении, а не только в диагональном. Положим теперь, что в B.2.12) имеет место знак равен- равенства. В диагональном представлении отсюда в соответствии с B.2.13) следует условие Последнее условие может удовлетворяться, только если все вероятности Wn, кроме одной (например, Wt), обратятся
58 ГЛАВА 2 в нуль. Следовательно, р содержит только один отличный от нуля диагональный элемент в диагональном представлении, и система находится в чистом состоянии, представленном /-м базисным вектором. Итак, соотношение B.2.11), как мы доказали, является не- необходимым и достаточным условием того, что данная матрица плотности описывает чистое состояние. Некоторые следствия из этого результата обсуждались в гл. 1; дальнейшие при- примеры будут приведены в гл. 3. Рассмотрим в заключение случай хаотического распреде- распределения полного набора состояний \фп). В качестве примера можно взять ансамбль атомов со спином S и третьей компо- компонентой М. Этот ансамбль характеризуется векторами состоя- состояний \п, S, М), где п обозначает совокупность всех остальных переменных, необходимых для полного определения состоя- состояний. Пусть, далее, все атомы имеют одинаковые значения п и S, однако ансамбль представляет собой смесь по отношению к М, причем все различные спиновые состояния могут быть найдены с одной и той же вероятностью WM = 1/BS + 1). Такой смеси соответствует оператор плотности p = [l/BS+l)] Z\nSM)(nSM\ = [l/BS+l)]l, B.2.14) где 1—единичная матрица размерности B5+ 1) в спиновом пространстве. Мы применили здесь соотношение полноты B.1.26) к спиновым состояниям. Очевидно, соответствующая матрица плотности диагональна с равными элементами 1/B5+1) в любом представлении. Обобщая определение, данное в разд. 1.2.5 [см. A.2.33)], будем называть атомную систему неполяризованной, если она может быть представ- представлена оператором вида B.2.14). 2.3. Когерентность и некогерентность 2.3.1. Элементарная теория квантовых биений Начнем данный раздел с обсуждения квантовых биений. Наше рассмотрение будет чрезмерно упрощенным в ряде ас- аспектов. В частности, мы полностью пренебрежем поляриза- поляризацией падающих фотонов. Общая теория будет изложена в гл. 5, а данный раздел следует рассматривать частично как введение к определению важного понятия когерентной супер- суперпозиции, а частично как введение к темам, обсуждаемым в гл. 3 и 5. Рассмотрим ансамбль атомов, находящихся в своем основ- основном состоянии |0> с хорошо определенной энергией Ео (кото- общая ТЕОРИЯ МАТРИЦЫ ПЛОТНОСТИ 59 рую мы положим равной нулю). Атомы могут быть возбуж- возбуждены на вышележащие состояния за счет поглощения фото- фотонов. Если возбуждение вызвано очень короткими импульсами света, т. е. длительность импульса А/ значительно меньше среднего времени жизни возбужденных атомов, то можно считать, что возбуждение происходит «мгновенно» (например, в момент / = 0). Импульс света длительностью А/ имеет ши- ширину полосы Дш ~ l/kt, так что энергия фотонов не является Рис. 2.1. Система, в которой происходят переходы с двух возбужденных уровней в одно и то же основное состояние. хорошо определенной. Примем, что разброс энергий фото- фотонов ЙАш превышает разность энергий Е\— Е2 двух атомных уровней \ф\} и |^2> (рис. 2.1). Тогда энергия возбужденных фотонов не будет строго определенной и соответствующее со- состояние непосредственно после поглощения можно предста- представить в виде линейной комбинации обоих состояний: 1*@)> = а1|^@I> + а2|^@J> B.3.1) (более детальное обсуждение принципа суперпозиции см. в гл. 3). Любое состояние |<?@),-> с определенной энергией Et эво- эволюционирует с течением времени по закону Если релаксация возбужденных атомов описывается феноме- феноменологически множителем ехр [—A/2) у it], то временная зави- зависимость состояния B.3.1) дается выражением I ф @) = ах ехр [- (ЦК) Ext - (Yl/2) t] | q> @H + + a2exp [- (i/h) E4 - (Y2/2) t] \ ф @J>, B.3.2) где Yi и \2 — соответственно коэффициенты затухания состоя- состояний \ф\} и |^>2>- Выражение для интенсивности света.
во ГЛАВА 1 излучаемого в момент времени t, можно получить на основе элементарной теории излучения; оно имеет вид B.3.3) где е —вектор поляризации излучаемых фотонов; г —опера- —оператор дипольного момента. Обозначая матричный элемент Время Рис. 2.2. Явление «квантовых биений». <0|е г|^,@)> через Ah a A/2) (Ti выражение B.3.2), получаем y2)-через v и используя / @ ~ | а,Л, |2ехр(- yt) +1 а2А212ехр (- yt) + (i/h) (?, - E3)t - yt] + + а;а2л;л2ехр [+ (i/h) (?, - E2)t - yt]. B.3.4) Выражение B.3.4) показывает, что интенсивность излучения I(t) меняется периодически с частотой (I/ft)(?, — Е2) (рис. 2.2). Это явление известно под названием квантовых биений; его можно понять как интерференционный эффект в смысле выражения B.3.3). Именно, для получения интен- интенсивности I(t) следует сложить амплитуды до взятия модуля матричного элемента. Выражение B.3.4) показывает, что малые разности энергии можно измерять, определяя частоту биений. Такой метод широко используется в настоящее время в атомной спектроскопии (см., например, статьи в книгах» Hanle, Kleinpoppen, 1978, 1979). ОБЩАЯ ТЕОРИЯ МАТРИЦЫ ПЛОТНОСТИ 61 2.3.2. Понятие когерентной суперпозиции Полезно провести следующее обобщение выражения B.3.4), Оператор плотности возбужденных атомов непосредственно после возбуждения дается выражением |^@)><гф@) |. Ис- Используя состояния | ф{) и |^>2> с определенными энергиями в качестве базисных, можно найти элементы матрицы плот- плотности (в энергетическом представлении) и для возбужденного состояния; они имеют вид (ф. | р @) | ф^ = р;/ = aia*i (i, j = — 1, 2). Разумно поэтому сделать следующее обобщение уравнения B.3.4) (формальное доказательство будет дано в гл. 5). Пусть в момент времени / =0 возбужденное состоя- состояние атома не является чистым, но представляется 2 X 2-мат- рицей плотности р@) с базисными векторами \ф{) и |</>2>. В этом случае выражение B.3.4) все еще сохраняет силу, ес- если вместо величин ata, подставить элементы матрицы плот- плотности р,/. Отсюда следует, что квантовые биения связаны с эволюцией во времени недиагональных элементов матрицы плотности возбужденного состояния р@). Если матрица плот- плотности р@) диагональна в энергетическом представлении, то никаких интерференционных членов в выражении B.3.4) не возникает. Указанная связь между интерференцией и неднагональ- ными элементами соответствующей матрицы плотности носит общий характер, что будет видно из дальнейшего обсуждения. Дадим поэтому следующее определение. Если данную си- систему можно охарактеризовать матрицей плотности, записан- записанной в представлении с базисными векторами \фпУ, то ^ система представляет собой когерентную суперпозицию базисных состояний \фп), если ее матрица плотности недна- гональна в {| <?л>}-представлении. Если, кроме того, система находится в чистом состоянии, то ее называют полностью когерентной. Если матрица р диагональна, то система представляет собой так называемую некогерентную суперпо- суперпозицию базисных состояний (при условии, что имеется более одного отличного от нуля элемента) (Cohen-Tannouidji, 1962). В этом смысле временная модуляция интенсивности /(/) служит проявлением когерентного возбуждения состояний с различной энергией [см. B.3.1)]. Различие между полной когерентностью и просто коге- когерентностью часто несущественно, и в литературе термин «ко- «когерентность» обычно применяется в обоих случаях. Мы также будем следовать этому правилу, когда нас не интересует, на- находится ли рассматриваемая система в чистом состоянии или
62 ГЛАВА 2 нет. Понятие когерентной суперпозиции зависит от выбора представления для матрицы плотности. Например, смесь не- независимо приготовленных состояний B.2.1) представляет со-' бой некогерентную суперпозицию состояний \^>пУ, но в общем случае она является также когерентной суперпозицией базис- базисных состояний [как видно из B.2.3) и B.2.4)]. Приведенное выше определение можно рассмотреть и с другой точки зрения. Чистое состояние всегда можно запи- записать в виде линейной комбинации базисных состояний; сле- следовательно, оно является полностью когерентной суперпози- суперпозицией базисных состояний. Величины и фазы коэффициентов в этом разложении хорошо определены (с точностью до об- общей фазы); следовательно, между базисными состояниями существует определенное фазовое соотношение. Другим пре- предельным случаем является смесь независимо приготовленных базисных состояний \фп), представляемых оператором плот- плотности при отсутствии каких-либо определенных фазовых соотноше- соотношений. Матрица р диагональна в {|^>„>}-представленин и, по определению, состояния | фпУ складываются некогерентно. Смесь состояний |^i), | фгУ, • ••, представляемых матрицей плотности, не диагональной в {|^„>}-представлении [см., на пример, B.2.3) и B.2.4)], относится к случаю, промежуточ- промежуточному между двумя предельными: полной когерентности и не- некогерентности по отношению к \фпу. Дадим теперь более об- общее определение. р> Система считается некогерентной суперпозицией состояний H'i>, |Ф2>, ..., если ее можно представить оператором плот- плотности Если набор |г|з,г> ортонормирован, эти состояния можно ис- использовать в качестве базисных, и данное определение экви- эквивалентно приведенному выше. В качестве примера рассмотрим атомную систему, пред- представляющую собой когерентную суперпозицию своего основ- основного состояния (угловой момент / = 0) и возбужденного со- состояния с / = 1. Элементы матрицы плотности для данной системы записываются в виде B.3.5) ОБЩАЯ ТЕОРИЯ МАТРИЦЫ ПЛОТНОСТИ В явной матричной записи р имеет вид р(ОО)оо p"(lO)i'o" рAО)от p@1H1 p(Ol)oo P (°!)o-1 p(l 1)п р(П),о P A1)i -1 p(ll)o. pOOoo p(H)o-i PAO)_1O !р(П)-п Р(П)_, B.3.6) Матрица B.3.6) распадается на четыре подматрицы. Верхняя состоит из одного элемента: вероятности р(ОО)оо нахождения системы в своем основном состоянии. Элементы квадратной субматрицы характеризуют возбужденное состояние. Именно, диагональные элементы описывают вероятности нахождения атома в соответствующем подсостоянии с квантовым чис- числом М. Недиагональные элементы описывают эффекты коге- когерентности между различными частными состояниями. Остаю- Остающиеся элементы в первой строке и первом столбце матрицы B.3.6) характеризуют интерференцию между возбужденным и основным состояниями. Матрицы плотности вида B.3.6) возникают, например, в теории оптической накачки, соответ- соответствующей переходам У = 0 ¦«->- У = 1. 2.4. Временная эволюция статистических смесей 2.4.1. Оператор временной эволюции Эволюция во времени квантовомеханических состояний описывается уравнением Шредингера = //1 -Ф @>; B.4.1) dt уравнение для сопряженных состояний имеет вид dt B.4.1а) Гамильтониан может зависеть явно от времени, например если Н содержит член взаимодействия V(t), обусловленный внешним полем, изменяющимся во времени. Мы, однако, предположим здесь, что Н не зависит от времени. В этом разделе мы рассмотрим, как можно иным полез- полезным способом выразить информацию, содержащуюся в урав- уравнении B.4.1). Обозначим собственное состояние Н с энергией Еп через |цп>: H\lin) = En\iin). B.4.2)
64 ГЛАВА 1 Если система при / = О представляется собственным состоя- состоянием | jli„>, то в момент времени / ту же систему можно обна- обнаружить в состоянии IM/)> = e-("*>JVl|in>, B-4.3) которое, очевидно, является решением уравнения B.4.1). Та- Таким образом, эволюция во времени собственных состояний полного гамильтониана получается простым умножением со- состояний | |д,„> на множитель exp[—(i/h)EJ]. Соотношение B.4.3) можно обобщить в следующем отно- отношении. Любое решение уравнения B.4.1) можно разложить по набору собственных состояний ||_in>: @) = = S Cne ~m) B.4.4) где коэффициенты С„ не зависят от времени. Последнее можно показать, подставляя B.4.4) в уравнение Шредингера и применяя B.4.2). В частности, в момент t = О H>@)>=?Cn||in>. B.4.4а) п В этом случае, т. е. при использовании в качестве базисного набора собственных состояний не зависящего от Времени полного гамильтониана, коэффициенты Сп можно определить, задавая начальные условия. Выражение B.4.4) показывает, как любое состояние |я|з(/)> эволюционирует во времени. Если собственные состояния и собственные значения гамиль- гамильтониана Н известны, то можно предсказать динамическую эволюцию любого вектора состояния. Разложение B.4.4) можно записать в более абстрактной форме. Прежде всего имеем e-("*)B»'||in>=-e-("*)ml|in>, B.4.5) где экспоненциальная операторная функция определена со- соотношением т ^ i _ j_ т _ _1_ _ B.4.6) Действуя оператором B.4.6) на |цп> и затем применяя свой- свойство B.4.2) к каждому слагаемому, можно получить выраже- выражение B.4.5). Подставляя B.4.5) в B.4.4), находим H)@) = e-»/*)»'Zcj|in) = e-W'*>H'lt@)>. B.4.7) п Функцию |г|з(/)> в виде B.4.7) можно найти также более пря- прямым способом, формально интегрируя уравнение B.4.1). ОБЩАЯ ТЕОРИЯ МАТРИЦЫ ПЛОТНОСТИ 65 Оператор схр [—(i/ti)Ht\ содержит всю информацию об эволюции во времени любого состояния |"Ч)(/)>, а следова- следовательно, и о динамике системы. Если состояние |г|з(О)> си- системы при t = 0 известно, то состояние, представляющее си- систему в более поздние моменты времени t, можно найти, действуя на |^@)> оператором ехр[—(i/h)Ht\. Если |^@)> является собственным состоянием \цп) полного гамильто- гамильтониана, то выражение B.4.7) переходит в B.4.3). Однако B.4.7) представляет собой лишь формальное решение урав- уравнения Шредннгера. Действительно, для использования ука- указанного выражения при получении временной зависимости состояния необходимо знать действие экспоненциального опе- оператора на |я|з(О)>; это в свою очередь требует, например, зна- знания всех собственных состояний и собственных значений га- гамильтониана Н. Тем не менее запись решения в виде B.4.7) оказывается очень полезной. Рассмотрим теперь случай, когда гамильтониан явно за- зависит от времени. В этом случае уравнение Шредингера '" Qt " V / I Т \'Ц ч не имеет простых решений B.4.4) и B.4.7). Однако выраже- выражение B.4.7) можно обобщить, вводя оператор U(t) — так на- называемый оператор временной эволюции, который переводит состояние |г|з(О)> в состояние |ifi(/)>: + Ц>@> = Щ'IЧ>@)> B.4.9) и для сопряженных состояний > ^{t)\ = <$(O)\U{t)\ B.4.9а) Подстановка выражения B.4.9) в уравнение Шредингера B.4.8) дает т^Ш_\Ъ@)) = Н (t)U (t)№{0)). B.4.10a) Поскольку соотношение B.4.10а) выполняется для любого состояния |\[>@)>, его можно записать в виде операторного уравнения ihdu_«i = H{()U{iy {2ЛЩ В момент t = 0 система должна находиться в состоянии |\|з@)>. Чтобы обеспечить выполнение указанного условия, необходимо наложить дополнительное начальное условие ?7@) = 1. B.4.11) Для сопряженного оператора имеем B.4.12) 3 Зак. 643
66 ГЛАВА 2 Действуя на уравнение B.4.10) оператором 11* слева, а на уравнение B.4.12) — оператором U справа, а затем вычитая полученные уравнения друг из друга, находим Отсюда следует, что оператор U^U не должен зависеть от времени; принимая во внимание начальное условие B.4.11) ?/@)+?/@) = 1, B.4.13) приходим к выводу, что U — унитарный оператор, a WU— единичный оператор. Можно дать интерпретацию выражения B.4.9), заметив, что величина представляет собой вероятность нахождения системы в мо- момент времени t в состоянии |ф>, если в момент времени t = 0 она находилась в состоянии |г|з(О)>. Содержание этого раздела можно резюмировать следую- следуюм образом Эволюцию во вр | (/)> р о раздела можно резюмир щим образом. Эволюцию во времени состояния | \\> (/)> можно определить, либо решая уравнение Шредингера B.4.8), либо, что эквивалентно, находя U'(/) путем решения уравнения B.4.10). Если Н не зависит от времени, то, формально инте- интегрируя B.4.10), находим у \\> (/)> можно B48) B.4.14) с начальным условием B.4.11). В этом случае B.4.9) сво- сводится к B.4.7). Соответственно для сопряженного оператора имеем U{tf = e(mm. B.4.14а) В общем случае, однако, Н содержит явную зависимость от времени, и решение уравнения B.4.10) будет значительно более сложным, чем уравнения B.4.1). Мы рассмотрим эту задачу в разд. 2.4.3. 2.4.2. Уравнение Лиувилля Пусть в момент времени t = 0 некоторая смесь описы- описывается оператором плотности р@)=2> ОБЩАЯ ТЕОРИЯ МАТРИЦЫ ПЛОТНОСТИ 67 Состояния |i|3@)n> изменяются во времени согласно соотно- соотношению B.4.9); следовательно, оператор плотности становится зависящим от времени: откуда ^ Р(О = ?/(ОР( Если Н не зависит от времени, то B.4.15) :'¦¦*>*". B.4.15а) Дифференцируя B.4.15) по времени t и применяя уравнения B.4.10) и B.4.12), получаем т др @ _ ,fc dU (t) dt ~dt u ч-,, = H @ U @ p @) U (tf - U (/) p @) U (if H (/); подставляя сюда B.4.15), находим р(/)], B.4.16) где квадратные скобки обозначают коммутатор [ff@, р @1 = я (Ор(О-р (>)#(/). Таким образом, зависимость от времени оператора плотности может быть найдена или с помощью выражения B.4.15), или, что эквивалентно, с помощью B.4.16). Дифференциальное уравнение B.4.16) часто называют уравнением Лиувилля, так как оно имеет тот же вид, что и уравнение движения для функции распределения вероятности (в фазовом простран- пространстве) в классической механике (см., например, Tolman, 1954). Уравнения B.2.9) и B.4.16) являются основными уравне- уравнениями теории. Одновременное решение этих уравнений дает уравнения движения для наблюдаемых. Мы приведем явный пример в разд. 2.5. Положим теперь, что можно записать Я@ = Я0 + К@, B.4.17) где гамильтониан Но предполагается не зависящим от вре- времени, a V{t) описывает зависящее от времени внешнее поле, индуцирующее переходы между собственными состояниями
68 ГЛАВА 2 |ц40)) гамильтониана Яо. Используя эти собственные состоя- состояния в качестве базисных, запишем | Ф (>)„> = I С @„ | Ц @Г> = Z С (/)„ е-(//А) ?"'' | ц^>; B.4.18) здесь учтено, что временная эволюция собственных состояний гамильтониана Яо описывается выражением B.4.3), где вме- вместо Еп подставлены собственные значения Е®> гамильто- гамильтониана Но- Зависимость от времени, обусловленная внешней силой V(t), полностью содержится в коэффициентах C(t)n, которые не зависят от времени, если !/(/) = О (см. предыду- предыдущий раздел). Получим теперь выражение, описывающее временную эво- эволюцию элементов матрицы плотности в {^"^-представлении. Матричные элементы полного гамильтониана Я = Яо + V(t) имеют вид «>-1 Я @1 Hg?> = Е®6т>т + 0*» | V @ |.<>>. B.4.19) Если умножить уравнение Лиувнлля слева на Ы$\ и справа на | ix<2>> и б р@| мГ), то на | ц^') и ввести обозначения Р@т'т — получим а/ v - р •Р(')йт- ^>]. B.4.20) Это уравнение можно записать в эквивалентной форме: т ?P^L21 e (^о) _ ?№) р {t)m,m + <^> | [V (/), р (/)] | ^>), B.4.21) что и представляет собой требуемый результат. 2.4.3. Представление взаимодействия Основная тема этого раздела — приближенное нахожде- нахождение оператора временной эволюции. На основе полученных выражений мы обсудим также решение уравнения Лнувилля. Вообще говоря, точное решение уравнения B.4.10) невоз- невозможно. Часто, однако, взаимодействие V(t) в уравнении ОБЩАЯ ТЕОРИЯ МАТРИЦЫ ПЛОТНОСТИ 69 B.4.17) является малым возмущением, и уравнение B.4.10) можно решить с помощью методов нестационарной теории возмущений. Сделаем сначала несколько предварительных замечаний. Прежде всего заметим, что временная зависимость векторов состояния |г|)(/)> определяется в основном гамильтонианом Но- Это достаточно хорошо видно из выражения B.4.18), ко- которое содержит быстропеременные множители ехр[— (i/h) X Х?(^1- Эту явную зависимость можно исключить, записав B.4*18) в виде ? С {t)n j ^ = е-Ш) hj | ^ щ {24<22) где оператор ехр [—(i/ti)Hot] определяется выражением B.4.6), а |Ф@/)=ЕС„@|и5?))- B-4-23) Подставляя разложение B.4.22) в уравнение Шредингера B.4.8) и полагая, что выполняется B.4.17), находим L/A(e-(«/*,W)!l^e Члены, содержащие Яо, взаимно уничтожаются, и мы полу- получаем уравнение движения для вектора состояния |\|з (/);>: где введено определение ^ у (t)s = (t) Hi B.4.25) Из уравнения B.4.24) видно, что д\ \|) (t),}/dt = 0, если 1/@ = 0, т. е. временная зависимость \^{t)S полностью соз- создается внешним потенциалом V(t). Если V(t) — малое воз- возмущение, то |г1з@') будет медленно меняться во времени. По указанной причине уравнение B.4.24) можно решать прибли- приближенно в рамках нестационарной теории возмущений; оно зна- значительно удобнее для практических вычислений, чем B.4.8). Рассмотрение в разд. 2.4.1 и 2.4.2 базировалось на том факте, что векторы состояния |^@) содержат всю зависи- зависимость от времени, обусловленную Яо и V(t), и всю информа- информацию о временной эволюции системы. Такой способ описания временной эволюции называется представлением Шредингера. Как было показано выше, часто бывает удобно устранить из
70 ГЛАВА 2 состояний быстропеременные множители, обусловленные Но- Как видно из выражения B.4.22), этого можно достичь, при- применяя оператор U(t)t = emH>i B.4.26) ко всем состояниям |i|>@> B представлении Шредингера, в результате чего получаем ^ |ф(^/)==е«/*)Я,<|ф(/))< B.4.27) В то же время все операторы Q(t) можно преобразовать, как это сделано с V(t) в B.4.25), и определить новые опе- операторы Q(t)i следующим образом: -u/h)H,t. B.4.28) Соответствующие обратные преобразования имеют вид > |Ф@> = е-('/*'^|ф@/); B.4.28а) > Q(t) = е-1Ч*> H°*Q (/); ?«'/ft> Н°К B.4.286) Очевидно, оператор U(t)o — унитарный. Временная зависи- зависимость состояний |т|з(О/> порождается теперь слагаемым V(t), а временная эволюция операторов Q(i)i обусловлена их собственной зависимостью от времени и, кроме того, сла- слагаемым Но. Описание временной эволюции с помощью со- состояний |т|з(О/> и операторов Q(t)i называется представле- представлением взаимодействия. Поскольку ?/(О)о=1, представления взаимодействия и Шредингера совпадают при t = 0: |1|5@))=|ф@)/>. B.4.28b) (b) После этих вводных замечаний обратимся к проблеме на- нахождения оператора временной эволюции. Это можно сделать на основе представления взаимодействия. Зависимость от вре- .мени состояний |г|)(/)> в представлении Шредингера описы- .вается выражением B.4.9). Аналогичное выражение можно ¦получить для соответствующей величины в представлении .взаимодействия |т|)@/>- Подставляя B.4.9) в B.4.27), полу- полулаем B.4.29) B.4.30) -Применяя соотношение B.4.28в), имеем где > ОБЩАЯ ТЕОРИЯ МАТРИЦЫ ПЛОТНОСТИ 71 а обратное соотношение имеет вид ?/(/) = {е-<«*)»•') t/@/. B.4.31) Оператор U(t)i определяет временную эволюцию состояний в представлении взаимодействия. Чтобы найти UA)i, следует подставить B.4.31) в B.4.10); тогда члены, содержащие Но, сокращаются и мы получаем iti- dt B.4.32) где U(t)i — решение уравнения B.4.32), удовлетворяющее начальному условию ?/@); = 1. B.4.33) Уравнение B.4.32) показывает, что зависимость U (t)j от вре- времени полностью обусловлена членом V(t). Поэтому нестацио- нестационарную теорию возмущений удобнее применять к уравнению B.4.32), чем к его аналогу B.4.10) в представлении Шредин- Шредингера. Для решения уравнения B.4.32) прежде всего формально проинтегрируем его и получим V(xIU(xIdx, B.4.34) где использовано начальное условие B.4.31). Соотношение B.4.34) еще не является решением уравнения B.4.32): оао представляет собой лишь преобразование уравнения B.4.32) к форме интегрального уравнения (в котором неизвестная величина ?/(т)/ находится под знаком интеграла). Уравнение B.4.34) может быть решено методом итераций. Если V(t)=O, то U(t)i = l, и если член V{t) достаточно мал, U(t)i будет лишь немного отличаться от 1. Тогда оператор U (x) i под знаком интеграла в B.4.34) может быть заменен единичным оператором; таким способом мы получаем оператор времен- временной эволюции в первом порядке теории возмущений: B.4.35) Подставляя затем B.4.35) в B.4.34), находим оператор эво- эволюции во втором порядке теории возмещений; с помощью дальнейших итераций можно найти члены высших порядков в операторе эволюции.
72 ГЛАВА 2 На основе выражений B.4.34) и B.4.35) можно, используя B.4.30), получить соответствующие выражения для опера- оператора U(t) в представлении Шредингера. Перейдем теперь к уравнению движения для оператора плотности. Применяя к оператору плотности B.4.15) в пред- представлении Шредингера унитарное преобразование B.4.26), находим Р @/ = I Wn 1ф (/)„, ,) ft (/)„. /1, B.4.36) п где оператор плотности в представлении взаимодействия определяется следующим образом: р (/)/ = (е«/Л) hj) p (/) (е-<г/й) Но<). B.4.37) Подставляя B.4.15) в B.4.37), приходим к уравнению дви- жения )I = U(t)lp@IU(t)j, где Р Аналогично, подставляя р (/) = , eW) ш B.4.38) B.4.39) B.4.40) в уравнение B.4.16), получаем уравнение Лиувилля в пред- представлении взаимодействия: ih—r-^- B.4.41) Для получения приближенного решения этого уравнения преобразуем его сначала к виду интегрального уравнения. Формальное интегрирование B.4.41) дает > Р @/ = Р @)/ -j\[V (т.),, р Ш dx. B.4.42) о Это интегральное уравнение можно решать с помощью итераций аналогично уравнению B.4.34). Положим, напри- например, что У(/)=0 для всех значений ts^.0. Тогда при ^ s^ 0 данная смесь описывается в представлении взаимодействия не зависящим от времени оператором плотности р(/)/ = р@)/. Предположим, что при всех значениях t > 0 присутствует возмущение V(t); тогда, если это возмущение невелико при t >0, оператор р(/)/ будет мало отличаться от своего на- начального значения р @)/. Поэтому в интеграл B.4.42) вместо р(т)/ можно подста- подставить его начальное значение р @)/. Тогда решение уравне- уравнеОБЩАЯ ТЕОРИЯ МАТРИЦЫ ПЛОТНОСТИ 73 ния B.4.42) в первом приближении теории возмущений имеет вид t Р @; = Р @)/ - j \ [V (х)„ р @)Л dx. B.4.43) о Продолжая процесс итераций р(т)/, можно получить члены высших порядков. Соотношения, выведенные в этом разделе, будут проиллю- проиллюстрированы на примерах в последующих главах. Более де- детальное обсуждение различных представлении, используемых для описания временной эволюции, можно найти в любом учебнике по квантовой механике. 2.5. Спиновая прецессия в магнитном поле В качестве примера использования формализма, развитого в предыдущих разделах, рассмотрим теперь прецессию час- частиц со спином 1/2 в статическом магнитном поле. Компо- Компоненты магнитного момента частиц со спином 1/2 даются вы- выражениями Щ=4уйа< B.5.1) (j = x, y,z), где у — гиромагнитное отношение, a at обозна- обозначают матрицы Паули. Взаимодействие между частицами, об- обладающими магнитным моментом [г,-, и внешним магнитным полем Н описывается гамильтонианом ,Н, (j = x,y,z). B.5.2) Вектор поляризации изменяется во времени, и матрица плот- плотности р частиц зависит от времени. Скорость изменения век- вектора поляризации Р определяется уравнениями B.2.9), B.4.16) и B.5.2): д(а.) д —g^- = Ш-^ (tr p • а,) ih tr /1р где использовано свойство независимости следа произведе- произведения от циклических перестановок операторов-сомножителей.
74 ГЛАВА 2 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ МАТРИЦЫ ПЛОТНОСТИ 75 ПодСтавляя выражение A.1.45) для р в уравнение B.5.3а), Получаем i) а,]вк)). B.5.3) Применяя соотношение A.1.42а), имеем tr[cr,, сг/] = О, а соотношение A.1,426) дает в силу антисимметрии тензора е,Цк [см. A.1.39)]. Подставляя эти результаты в уравнение B.5.3), находим B.5.4) \к Например, для компоненты Рх имеем из- A.1.39) и B.5.4) ?*- = - Y (НуРг - НгРу) = + Y [РН]Х; B.5.4а) здесь индекс х обозначает компоненту вдоль оси х векторного произведения Р и поля Н. В векторных обозначениях уравне- уравнение B.5.4а) можно записать так: 4j- = y[PH]. B.5.5) Заметим, что уравнение B.5.5) совпадает с классическим уравнением движения для прецессии вектора Р относительно направления поля. Вывод уравнения B.5.5) служит хорошим примером ис- использования уравнений B.2.9) и B.4.16) при выводе урав- уравнений движения. Он также иллюстрирует значительное упро- упрощение, которое достигается при использовании в процессе вычисления компактного выражения A.1.45) для матрицы плотности и свойств матриц Паули A.1.38). Уравнение B.5.5) можно вывести и не применяя метод матрицы плотности, но вычисления становятся при этом гораздо более громоздкими. 2.6. Системы в тепловом равновесии Очень большое значение имеет применение матрицы плот- плотности к динамической системе, находящейся в тепловом рав- равновесии с окружающей средой. В квантовой статистической механике показано, что состояние системы при температуре Т можно представить оператором плотности P = exp(-Ptf)/Z, B.6.1) где р = 1/kT и k — постоянная Больцмана. Наличие в B.6.1) статистической суммы Z = trexp(-ptf) B.6.2) обеспечивает выполнение условия нормировки trp = l. B.6.3) Выражение вида B.6.1) имеет место для канонического ан- ансамбля, т. е. для системы с постоянным объемом, постоянным числом частиц и данным средним значением <#> гамильто- гамильтониана (средней энергиейI). ') Статистический оператор B.6.1) соответствует максимуму инфор- информационной энтропии Si = —tr(plnp) при заданной средней энергии (Н) и сохранении нормировки. Статистический оператор большого канониче- канонического ансамбля Гнббса p = Z~'exp[—f$(H — ^N)] соответствует макси- максимуму информационной энтропии при заданной средней энергии и среднем числе частиц. Энтропию статистически равновесного состояния определяют как средний логарифм статистического оператора с обратным знаком. На- Например, для канонического распределения энтропия равна S = —<1п р>о = = In Z + р (Н) о, (Н) о = tr [HZ-1 exp (—f,H)]. Такое определение соответ- соответствует равновесной термодинамике. Понятие энтропии неравновесного состояния в статистической механике требует специального определения, чтобы оно соответствовало неравновес- неравновесной термодинамике. Пусть неравновесное состояние определяется набором средних значений операторов Qi- Например, для описания неравновесного состояния простой жидкости достаточно задать средние плотности энергии Н(х), импульса р(х) и числа частиц п(х). Максимуму информационной эн- энтропии при заданных (Q,) и сохранении нормировки соответствует квази- квазиравновесный статистический оператор pq — Z~' (t) exp f — ^ Fi(l)Qi\, где параметры Ft(() определяются нз условия совпадения средних, вычис- вычисленных с помощью р,, со средними, найденными с помощью неравновесного статистического оператора, удовлетворяющего уравнению Лиувнлля t(Qp,) = tr(Q,p). Энтропию неравновесного состояния можно определить как энтропию такого квазиравновесного состояния, соответствующего набору операторов Qi, в котором средние квазиравновесные значения Qi ргвны их неравновес- неравновесным значенпяем, т. е. S = —(In pq) = in Z (t) + ^ F; (t) (Qj). Неравно- i весный статистический оператор р можно найти как частное решение урав- уравнения Лнувилля B.4.16), зависящее от времени лишь через параметры Fi(t). Это можно сделать с помощью наложения соответствующего гранич- граничного условия к уравнению Лиувилля, добавив к нему бесконечно малый член, отбирающий такие решения, что dpjdt + A/2й)[р, Н] = —е(р — р„), где е->-+0 после термодинамического предельного перехода. Если выбрать для однокомпонентнон жидкости в качестве Qi величины Н(х), р(х), п(х), I
76 ГЛАВА 2 Оператор плотности B.6.1) играет ту же роль в кванто- квантовой статистике, какую каноническая функция распределения играет в классической статистической механике. Эту экви- эквивалентность можно показать, рассматривая энергетическое представление Я\п) — Еп\п), в котором элементы матрицы плотности даются выражениями Диагональные элементы <п|р|п> дают вероятность нахожде- нахождения системы в состоянии с энергией Еп. Поэтому система в тепловом равновесии описывается некогерентной суммой собственных состояний п оператора энергии со статистиче- статистическими весами, пропорциональными больцмановскому множи- множителю ехр(—р?„). Среднее значение <Q> оператора Q, действующего на си- систему, дается выражением = (l/Z)ir[Qexp(-ptf)], B.6.5) которое вытекает из B.2.9). Выражения B.6.1) и B.6.4) будут использованы в гл. 7. Здесь мы проиллюстрируем их на простом примере. Рассмот- Рассмотрим систему частиц со спином 1/2, на которую действует ста- статическое магнитное поле Нг в направлении осп г. Гамильто- Гамильтониан такой системы дается выражением B.5.2): Н = — (г • Н = — yhHzoz/2. Макроскопическая намагниченность М системы определяется следующим образом: Mi = Nyh(ai)/2, B.6.6) где N— число частиц в единице объема. В условиях тепло- теплового равновесия матрица плотности дпагональна и заполне- то получим квазиравиовесное, или локально-равновесное, распределение р, ~l @ ехр { - (г, О (Я (х) - v (.V, t) ¦ р (х) - ц (х, t) - -^-v*(x, t)n{x))dx где \(х, t) —гидродинамическая скорость, \i(x, t) —химический потенциал. Неравновесный статистический оператор, вычисленный на основе р,, дает для параметров |3(.v, t) и v(x, t) уравнения теплопроводности и уравнение Навье — Стокса. Таким образом, приведенное выше определение энтропии неравновесного состояния согласуется с уравнениями неравновесной тер- термодинамики (см. Зубарев, 1971, гл. IV, приложение III). — Прим. ред. ОБШЛЯ ТЕОРИЯ МАТРИЦЫ ПЛОТНОСТИ 77 ние магнитных подсостояний соответствует распределению Больцмана B.6.4). Отсюда ясно, что Мх = Му = 0 и Мг = Nyh tr [exp (- рЯ) <rz]/2Z. B.6.7) Пусть температура достаточно высока, чтобы было приме- применимо разложение ехр (—|ЗЯ) « 1 — |ЗЯ = 1 + $ytiHz8z/2; ис- используя равенства tra^ = 0 и 1га2 = 2, получаем Из определения B.6.2) имеем в высокотемпературном пре- пределе Z= ?(ш|ехр(-рЯ)|т)~ 2. B.6.8) т Окончательно получаем Mz = Лфу2Й2Яг/4, B.6.9) что представляет собой закон Кюри для намагниченности ча- частиц со спином 1/2.
Связанные системы 3.1. Несепарабельность квантовых систем после взаимодействия В гл. 2 были получены основные уравнения движения B.4.15) и уравнение Лиувилля B.4.16). Они были применены к опи- описанию взаимодействия между квантовой системой и внешним классическим полем. В этой главе мы рассмотрим проблему описания состояния квантовой системы, взаимодействующей с другими квантовыми системами (над которыми может и не производиться процесс измерения). Эта тема очень важна и по существу имеет первостепенную важность для всего дальнейшего обсуждения. Квантовомеханические теоремы, ко- которые будут сформулированы, дают основу для понимания таких явлений, как квантовые биения, угловые корреляции и эффекты спиновой деполяризации. В разд. 3.1 и 3.2 изло- изложена необходимая общая теория, а в разд. 3.3—3.5 приве- приведены примеры, иллюстрирующие смысл и применение общих теорем. Начнем с анализа следующей ситуации. Две первона- первоначально отдаленные друг от друга невзаимодействующие си- системы частиц сводятся воедино и получают возможность взаимодействовать друг с другом. Рассмотрим проблему ана- анализа конечного состояния всей системы, когда составляющие ее системы вновь разделяются и взаимодействие между ними прекращается. Обозначим эти подсистемы соответственно че- через Ф и ф. Полный набор ортогональных векторов состояния | Ф;> можно выбрать так, чтобы описать систему Ф, т. е. любое состояние этой системы может быть записано в виде линейной комбинации базисных состояний |Ф,->. Аналогично можно выбрать набор базисных состояний |ф,>, описываю- описывающих систему ф. Индексы i и / относятся к наборам кванто- квантовых чисел, необходимых для полной характеристики каждой системы. Если до взаимодействия две отдаленные друг от друга системы находились в чистых состояниях, описывае- описываемых соответственно векторами |Фа> и j Фр> (эти состояния не обязательно входят в число выбранных базисных состоя- состояний), то состояние объединенной системы до взаимодействия тредставляется хорошо определенным вектором состояния СВЯЗАННЫЕ СИСТЕМЫ 79 |фш) = |Фа) |фр) в объединенном пространстве (см. прило- приложение А). В процессе взаимодействия временная эволюция вектора состояния |xf>in) определяется соответствующим оператором эволюции во времени, который является линейным операто- оператором в объединенном пространстве. Линейные операторы пре- преобразуют один вектор состояния снова в один вектор состоя- состояния (не совпадающий с исходным). Поэтому начальное чис- чистое состояние |г|)|„) должно эволюционировать так, чтобы ко- конечное состояние объединенной системы также можно было представить одним вектором состояния (мы обозначим его | здесь стрелка символизирует действие оператора эволюции во времени. Состояние-|i|)(aP)out) зависит от переменных обеих подсистем. Это можно увидеть явно, разложив |^(aP)out> по базисным состояниям |Ф;>|ф/>=|Ф/Ф/> разъ- разъединенной системы: |*(aPHUt)=I>W, aP)|a\)|q>y), C.1.16) где сумма может включать интегрирование по непрерывным переменным. Коэффициент a(ij, сф) представляет собой амплитуду ве- вероятности перехода |Фа>|ф&>-ЧФ|>|ф/Х так что квадрат его модуля \a(ij, оф) |2 дает вероятность нахождения частицы си- системы Ф в состоянии | Ф,-> и одновременно частицы системы ф в состоянии |ф;> после взаимодействия. Вклад в разложение C.1.1) дают только те комбинации |Ф/>|ф/>, которые допус- допускаются законами сохранения. Другими словами, данное кон- конкретное конечное состояние |Ф,> коррелировано с одним (или несколькими) конечными состояниями |фу> таким образом, что все необходимые законы сохранения выполнены. Вообще говоря, сумма в выражении C.1.16) содержит более одного слагаемого. Существенно, что амплитуды зави- зависят от переменных обеих подсистем. Следовательно, невоз- невозможно записать соотношение C.1.16) в виде | \|)out> =|Ф>|ф>, где |Ф> —вектор состояния, зависящий только от перемен- переменных системы Ф. а |ф> — вектор состояния, зависящий только от переменных системы ф. По существу разделение такого типа разрушило бы корреляции, которые обязательно суще- существуют между двумя подсистемами. Чтобы разъяснить это утверждение, рассмотрим случай, когда две системы вообще не взаимодействуют между собой Тогда вероятности найти систему Ф в состоянии |Фг>, а
80 ГЛАВА 3 = ( I а систему ф — в состоянии |ф/> не зависят друг от друга, а ам- амплитуды могут быть факторизованы, т. е. записаны в виде a(ij, оф) = a(i, ос) a(j, |3) (см. приложение А). Подставляя последнее выражение в C.1.16), получаем I = | Ф) I Ф>, C.1.2а, б) где состояния |Ф> и |ф> определены соответственно первым и вторым сомножителями в C.1.2а). В этом случае |Ф> за- зависит только от переменных системы Ф, а |ф> — только от переменных системы ср. Однако в общем случае, если две си- системы взаимодействовали друг с другом в прошлом, то ам- амплитуды вероятности коррелированы и не могут быть факто- факторизованы. Эти результаты можно резюмировать следующим образом. > Если две системы взаимодействовали в прошлом, то в об- общем случае невозможно приписать один вектор состояния любой из двух подсистем. В этом состоит существо утверждения, иногда называе- называемого принципом несепарабельности (d'Espagnat, 1976). Мы показали, что этот принцип является прямым следствием об- общих правил квантовой механики. Следует заметить, что прин- принцип несепарабельности имеет серьезный концептуальный смысл и вызывает многочисленные дискуссии, касающиеся интерпретации квантовой механики. По-видимому, высшим проявлением таких трудностей является знаменитый пара- парадокс Эйнштейна — Розена — Подольского (см., например, d'Espagnat, 1976; Jammer, 1974)'). Из указанного принципа вытекает важное следствие. Пусть лишь одна из систем (для определенности ф) подвергается наблюдению после взаимо- взаимодействия. Несмотря на то что обе системы находились перво- первоначально в чистых состояниях, взаимодействие создает кор- корреляцию между двумя системами; следовательно, в более поздние моменты времени система ф будет обнаружена в смешанном состоянии. Таким образом, тот факт, что си- система Ф не подвергается наблюдению, приводит к потере когерентности в системе ф. Это важное следствие из прин- принципа несепарабельности проиллюстрировано различными при- примерами в разд. 3.3 н 3.4, где обсуждается когерентность !) Разъяснение парадокса Эйнштейна, Розена и Подольского дано Н. Бором (УФН, 1936, т. 16, с. 446); см. также статью Бора «Дискуссии с Эйнштейном о теоретико-познавательных проблемах в атомной физике» в книге «Философские вопросы современной физики». — М.: Пзд-во ЛИ СССР, 1959. — Прим. ред. СВЯЗАННЫЕ СИСТЕМЫ 81 только между вырожденными состояниями. Более общий слу- случай когерентно возбужденных состояний с различными энер- энергиями требует более детального обсуждения временной эво- эволюции системы и будет рассмотрен в гл. 5. 3.2- Взаимодействие с системой, не подвергаемой наблюдению. Приведенная матрица плотности Рассмотрим две (или более) взаимодействующие кванто- квантовые системы. Во многих случаях интерес представляет только одна из двух подсистем, а другие не подвергаются наблюде- наблюдению. Обозначим состояния интересующей нас системы через |ф/>, состояния всей остальной (не подвергаемой наблюде- наблюдению) системы в совокупности через |Ф<>, а элементы мат- матрицы плотности р@> описывающей полную систему в момент времени t, через (Фгфу |р@ |Ф;ф/>. Как показано в предыду- предыдущем разделе, вследствие наличия взаимодействия система ф находится в смешанном состоянии. Поэтому необходимо рассмотреть, как можно построить матрицу плотности р(ф, /), которая характеризует только интересующую нас систему. Рассмотрим оператор B(ф), действующий только на пе- переменные системы ф; его матричные элементы даются выра- выражением IQ (ф) I = <Ф/-1Q (ф) I Ф/> бГ?, C.2.1) причем предполагается ортогональность состояний |Ф;>. Среднее значение <(?(ф)> можно найти, используя выраже- выражения B.2.9) и C.2.1): = trp@Q(q>) = = .1 <ФгФ/-1 р @1 Ф<Ф/> <Ф«Ф/1Q (ф) I Ф.'Ф/') = /- 1Р(О |Ф C-2.2) Определив элементы матрицы р(ф, г) следующим образом: C.2-3)
82 ГЛАВА 3 можно записать соотношение C.2.2) в форме > (Q (ф, 0> = Е <Ф/' I Р (ф, О IФ/> <Ф/1 Q (Ф) IФ/'> = C.2.4) совпадающей по виду с B.2.9). Вся информация относительно системы ф может быть вы- выражена через средние значения (Q(q>, t)} того числа опера- операторов, которое необходимо для ее описания. Из соотношения C.2.4) следует, что любое из этих средних значении можно найти, если известна матрица р(ф, t). В указанном смысле матрица р(ф, t) содержит всю информацию о системе ф. Матрицу р(ф, /) называют обычно приведенной, или ре- редуцированной, матрицей плотности. Как видно из выражения C.2.3), эта матрица получается путем взятия тех матричных элементов полной матрицы плотности p(t), которые дпаго- нальны по не подвергаемой наблюдению переменной /, с по- последующим их суммированием но всем значениям L Таким путем можно исключить все несущественные индексы. Фак- Фактически вычисляется полная матрица плотности р(/), кото- которая затем проектируется на интересующее нас подпростран- подпространство. В этом состоит наиболее ценное свойство матрицы плот- плотности, и мы будем широко его использовать в остальной части книги. Для удобства введем сокращенное обозначение где \гф указывает на взятие следа по всем переменным, не подвергаемым наблюдению. Тогда выражение C.2.3) можно записать в виде C.2.5) или в операторной записи > Р(ф.О = тгфР(О. Замкнутая квантовомехоннческая система (изолированная от всего остального мира) обладает «гамильтоновой» эволю- эволюцией; это означает, что существует не зависящий от времени гамильтониан Н и унитарный оператор U(t)=exp(—iHt/h), такой, что временная эволюция системы определяется уни- унитарным преобразованием B.4.15) или, что эквивалентно, уравнением Лиувнлля B.4.16). При такой эволюции чистое состояние всегда преобразуется в другое чистое состояние, СВЯЗАННЫЕ СИСТЕМЫ 83 так что статистические смеси не могут ни создаваться, ни разрушаться. Рассмотрим теперь взаимодействие между квантовой си- системой и внешними «классическими» силами. Термин «клас- «классический» означает здесь, что можно пренебречь обратным действием системы на источник полей. Примерами могут служить полукласснческие теории излучения или теория по- потенциального рассеяния, в которой действие мишени на на- налетающие частицы может быть приближенно описано потен- потенциальной функцией. Временная эволюция квантовой системы описывается унитарным оператором U(t), и система подчи- подчиняется уравнению Лнувилля (или уравнению Шредингера в случае чистого состояния). Для зависящих от времени внешних сил наблюдаемые, в частности гамильтониан, зави- зависят явно от времени (см. обсуждение в разд. 2.4). В тех случаях, когда нельзя пренебречь обратным дей- действием (реакцией) квантовой системы (ф) на внешнее окру- окружение (Ф), можно расширить систему ф, добавив к ней Ф; тогда объединенная система оказывается замкнутой и обла- обладает гамильтоиовой эволюцией. Часто система Ф не подвер- подвергается наблюдению. В этих случаях мы будем называть ф открытой квантовомеханнческой системой. Динамическая эво- эволюция такой открытой системы радикально отличается от эволюции закрытой системы. В частности, как видно из об- обсуждения в разд. 3.1, система будет обнаруживаться в сме- смешанном состоянии после взаимодействия с неподвергаемой наблюдению квантовой системой даже в том случае, если до взаимодействия обе системы находились в чистых состояниях. Следовательно, > временная эволюция открытой квантовомеханнческой си- системы не может описываться уравнением Лнувнлля (или уравнением Шредингера). Другими словами, соответствующую приведенную матрицу плотности р(ф,t) нельзя представить в виде унитарного пре- преобразования матрицы плотности р(ф,0) в более ранний мо- момент времени / = 0. В этом состоит важное различие между открытыми и замкнутыми системами (или системами, описы- описываемыми квазикласснчески). Указанное различие сыграло важную роль, например, в недавних дискуссиях о примени- применимости так называемых «неоклассических» теорий излучения. Детали см. прежде всего в статье Чоу и др. (Chow, Scully, Stoner, 1975). Отправной точкой при обсуждении временной эволюции открытых систем служит уравнение Лиувнлля для соответ- соответствующей «расширенной» системы, включающей в себя все
ГЛАВА 3 взаимодействующие системы. Предположим, например, что замкнутую систему можно разделить на две взаимодействую- взаимодействующие квантовые системы ф и Ф. Объединенная система опи- описывается гамильтонианом Н, состоящим из трех слагаемых: Эти слагаемые относятся соответственно к свободному дви- движению систем и взаимодействию между ф и Ф. Примем, что экспериментальный интерес представляет только система ф, а система Ф не подвергается наблюдению. Из-за наличия члена взаимодействий V, связывающего ф и Ф, не существует гамильтониана, описывающего только динамику системы ф. Временная эволюция приведенной матрицы плотности р(ф, t) получается посредством взятия частичного следа 1Гф (по части переменных, описывающих Ф) в обеих частях выраже- выражения B.4.15). Используя обозначения C.2.5), имеем тогда > Р(ф. O = trQf/(Op(O)f/(O+ C.2.6а) или, учитывая B.4.16), р (ф, /) (i/A) tro [//, C.2.66) Здесь р@ и U(t) — операторы замкнутой системы, а Я не зависит от времени. Следует отметить, что временная эволюция объединенной системы является обратимой, поскольку начальное состояние р@) может быть получено математически из p(t) путем об- обратного преобразования exp(iHt/h)p{t)exp(—iHt/h). Откры- Открытые системы, однако, часто обнаруживают необратимое пове- поведение. Это обусловлено взамодействнем открытой системы с системами, не подвергаемыми наблюдению (например, с «термостатом»), и выражается формально с помощью сум- суммирования по всем подвергаемым наблюдению переменным в выражениях C.2.6). Процедура взятия следа как раз и яв- является фундаментальным квантовомеханнческим источником необратимости. Мы обсудим эти вопросы подробнее в гл. 7. Абстрактные разультаты, полученные в настоящем и пре- предыдущих разделах, заслуживают подробных пояснений и ил- иллюстраций. Оставшаяся часть главы посвящена этой задаче; мы подробно рассмотрим некоторые простые примеры. Смысл выражений C.2.6) и их применение рассматриваются в сле- следующих главах. Итак, в этом и предыдущих разделах мы столкнулись со связанными квантовомеханическими системами, лишь одна из которых (ф) исследуется экспериментально. Поэтому ра- рационально найти сокращенное описание одной лишь системы СВЯЗАННЫЕ СИСТЕМЫ 85 ф. Мы показали, что в общем случае не существует вектора состояния, описывающего динамическое поведение подсисте- подсистемы, связанной с другими квантовыми системами. Поэтому от- открытую систему следует характеризовать с помощью ее при- приведенной матрицы плотности. В принципе все физические системы взаимосвязаны друг с другом, так как невозможно полностью изолировать систему. Поэтому обычная схема по- построения квантовой механики, основанная на использовании векторов состояния, всегда является идеализацией. Затем была рассмотрена временная эволюция открытой квантовомеханической системы под влиянием ее окружения. Соответствующая теория должна быть основана на уравне- уравнении Лиувнлля, которое дает полное микроскопическое опи- описание замкнутых систем. Уравнение, описывающее динами- динамическое поведение открытой системы, можно получить путем построения соответствующей приведенной матрицы плотности (точнее, путем исключения всех не подвергаемых наблюде- наблюдению переменных). Результаты, полученные в разд. 3.1 и 3.2, имеют фунда- фундаментальное значение в квантовой теории измерения. Мы не будем здесь обсуждать этот интересный, но в высшей степени противоречивый раздел современной физики. Читателю ре- рекомендуется обратиться, например, к книге д'Эспанья (d'Espagnat, 1976) и приведенным там ссылкам; в качестве введения можно рекомендовать книгу Яуха (Jauch, 1973)'). 3.3. Анализ света, излученного атомами (ядрами) 3.3.1. Свойства когерентности состояний поляризации Чтобы проиллюстрировать теорию, развитую в предыду- предыдущих разделах, рассмотрим релаксацию ансамбля возбужден- возбужденных атомов (или ядер) за счет излучения фотонов. В част- частности, изучим когерентность, которая существует между со- состояниями с различной поляризацией. Рассмотрим для начала ансамбль возбужденных атомов, находящихся в тождественных состояниях, описываемых век- вектором состояния |ао/оМо>, где /0 и Мо — соответственно угло- угловой момент атома и его г-компонента, а ао описывает совокупность всех остальных переменных, необходимых для полного задания состояния. Для анализа результирующей объединенной системы атомов и фотонов воспользуемся про- процедурой, описанной в разд. 3.1. Начальное состояние |^in> яв- является чистым, поэтому возможно поставить в соответствие !) См. также монографию: Холево А. С. Вероятностные и статистиче- статистические аспекты квантовой теории. — М.-. Наука, 1980. — Прим. перев.
86 ГЛАВА 3 объединенной системе атомов и фотонов один вектор состоя- состояния |i|>out>: Здесь вектор |if>Out> можно разложить по набору базисных состояний |oci/iMi> и |cuini^,i>, характеризующих соответ- соответственно конечное состояние системы атомов и фотонов. Число возможных комбинаций |ai/iMi>|coirii^i> конечных состояний ограничено относящимися к данной задаче зако- законами сохранения (в данном случае законами сохранения энергии и углового момента). Вектор |if>Out> можно получить тогда путем умножения всех разрешенных комбинаций | oti/iMi> |coini^i> на соответствующие вероятности перехода с последующим суммированием (интегрированием) по всем дискретным (непрерывным) переменным. Условия, существующие в данном эксперименте, приводят к отбору конкретного набора состояний из всех состояний, дающих вклад в разложение |if>Out). Примем для простоты, что детектор фотонов может быть настроен так, чтобы он принимал лишь фотоны с одной частотой, например, со, =со{. Кроме того, пусть положение детектора фотонов определяет и направление распространения детектируемых фотонов п,=п[. Таким образом, наблюдение ограничено фотонами, имеющими строго определенную частоту со[ и строго опреде- определенное направление распространения п'. Поскольку наблюдаемые фотоны имеют фиксированную энергию, излучившие эти фотоны атомы обладают строго определенными значениями oci и J\ (например, а[ и J'A, при- причем энергия должна сохраняться: Е (а[/[) = Е (ао/Л—Нш[. Следовательно, интересующий нас вектор конечного состоя- состояния описывается разложением \%^=^a(Mx%vM0)\a[][Mx)\v[n[Xx). C.3.1) Если поляризация фотонов не измеряется, квантовые числа Mi и %\ остаются неопределенными, и, как видно из C.3.1), следует взять сумму по этим не подвергаемым наблю- наблюдению переменным. Коэффициенты а(М\к], Мо) представ- представляют собой амплитуды вероятности соответствующего пере- перехода \aJuM0}-+\a'lJ'lMx) |tu'n^,^>, а квадраты их модулей | a (Miki, Mo) |2 дают вероятности нахождения атома в конеч- конечном состоянии |а[/{МЛ при условии, что детектором обнару- обнаружен фотон в состоянии |Цп{Я,Л. В дальнейшем мы опустим зависимость состояний от всех фиксированных переменных. СВЯЗАННЫЕ СИСТЕМЫ 87 Следует заметить, что вектор состояния C.3.1) описывает только подансамбль атомов и фотонов, именно только тех фотонов, которые регистрируются детектором и имеют строго определенные со[ и п', и только тех атомов, которые излу- излучили детектированные фотоны. Рассмотрим состояние поляризации фотонов. Выражение C.3.1) можно записать так: M1>Za(M1A,1.M0)|>.1>=S|M1>|e(M1,M0)), C.3.2) C.3.3) где вектор состояния описывает состояние поляризации подансамбля фотонов, из- излученных при переходе между состояниями |Mo>->-|Mi> (см. рис. 3.1 для случая дипольного излучения). Выражение (М0-1,М0)> М, =М0-1 Рис. 3.1. См. объяснение в тексте. C.3.3) показывает, что эти фотоны находятся в тождествен- тождественных состояниях поляризации, характеризуемых вектором со- состояния |e(MiM0)>. Таким образом, если детектор фотонов регистрирует только те фотоны, которые были излучены при переходе атомов в единственное состояние \М\), то детекти- детектированные фотоны находятся в чистом состоянии |e(MiMo)>- В принципе этого можно достичь, пропуская атомы в конеч- конечном состоянии через фильтр Штерна — Герлаха (последний пропускает только атомы с определенным значением магнит- магнитного квантового числа Mi). Прошедшие фильтр атомы можно затем зарегистрировать с помощью счетчика и фиксировать совпадения между счетчиком и детектором фотонов. Наблю- Наблюдаемый таким способом подансамбль фотонов с необходи- необходимостью является полностью поляризованным (в смысле, об- обсуждавшемся в разд. 1.2). Именно, степень поляризации Р
88 ГЛАВА 3 имеет максимально возможное значение Р = 1. Действитель- Действительное состояние поляризации определяется величиной и отно- относительной фазой двух коэффициентов а(ММ, Мо), где Ъ\ = = +1 или h = — 1. Например, если a(Muii = +1, Мо) = = —a(Mi,X,1 = —1,MO), то фотоны линейно-поляризованы в направлении оси х, что описывается выражением A.2.12а). Существенно отметить, что для детектирования полностью поляризованных фотонов необходимо, чтобы наблюдение было ограничено только подансамблем фотонов. Исключение составляет лишь случай, когда атомы в конечном состоянии имеют угловой момент J\ = 0. Обозначая соответствующее состояние через |0>, можно записать C.3.1) в виде C.3.4) Поскольку все атомы находятся в одинаковом конечном состоянии, соответствующий вектор состояния можно выде- выделить как общий множитель перед суммой в C.3.4). Состояние фотонов тогда является чистым состоянием, описываемым выражением в квадратных скобках в C.3.4); следовательно, в этом случае все фотоны, излученные в направлении п,, с необходимостью являются полностью поляризованными. 3.3.2. Описание излученных фотонов Рассмотрим случай, когда излученные фотоны (имеющие частоту ю{) детектируются в направлении п,', а атомы в ко- конечном состоянии не подвергаются наблюдению. Тогда в соответствии с принципом несепарабельности со- состояние детектированных фотонов нельзя описать с помощью единственного вектора состояния. Таким образом, детекти- детектируемое излучение не находится в чистом состоянии поляри- поляризации и с необходимостью является частично поляризован- поляризованным (в соответствии с разд. 1.2.5 это означает, что Р< 1). Последнее можно показать, построив приведенную матрицу плотности р(у). описывающую только систему фотонов. По- Поскольку конечное состояние полной системы описывается век- вектором состояния |^out>, соответствующая матрица плотности имеет простой вид: Pout = | ¦„„,> <^out I = Е a (Mft, Мо) а (М^, M0J | М[ М\ М\ СВЯЗАННЫЕ СИСТЕМЫ 89 здесь было использовано разложение C.3.2). Элементы при- приведенной матрицы плотности можно найти, применяя выра- выражение C.2.3): Mi C.3.5) Полученная матрица соответствует оператору плотности, имеющему вид P(Y)= Z a {MM, M0)a(MiluM0)*\X'i)(h\ = =еГ: , Mo)' J = 2k(M,M0)>(e(M,iM0)I. C.3.6) Выражение C.3.6) позволяет дать следующую интерпрета- интерпретацию оператора р(у). Можно считать, что фотоны в различных состояниях поляризации \е(М\М0)) испускаются независимо; тогда не существует никакого фазового соотношения между фотонами, излученными при переходах в различные атомные состояния. Таким образом, в соответствии с определением, данным в разд. 2.3.2, систему, состоящую только из фотонов, можно рассматривать как некогерентную суперпозицию со- состояний \е(М]М0)), соответствующих различным переходам. Поскольку не существует определенного фазового соотно- соотношения между фотонами, находящимися в различных состоя- состояниях поляризации, такие фотоны можно в принципе отличить друг от друга. (Например, для этого надо наблюдать атомы в конечном состоянии и фиксировать совпадение с излучен- излученными фотонами или использовать соответствующим образом подобранные поляризационные фильтры.) Различные состоя- состояния поляризации отвечают различным «способам», посред- посредством которых возникает излучение (как схематически изо- изображено с помощью стрелок на рис. 3.1). Поэтому получен- полученный результат часто формулируют следующим образом: Если в принципе можно установить различие между фотонами, излученными различными «способами», то полный ансамбль фотонов можно рассматривать как некогерентную суперпози- суперпозицию соответствующих состояний фотонов. Можно дать и другую формулировку этих результатов, принадлежащую Фано (Fano, 1957).
90 Глава s > Неполная поляризация света с необходимостью связана с неполным определением конечного (или начального) со- состояния атомов. Следует отметить, что последнее утверждение является прямым следствием принципа несепарабельности. Основной результат, заключающийся в том, что состояние фотонов не является чистым, можно получить, доказав, что матрица C.3.5) не удовлетворяет условию B.2.11). Анализ, приведенный здесь, не является полным, по- поскольку рассматривалась релаксация возбужденных состоя- состояний только с одним квантовым числом Мо. Важный случай, когда состояние возбужденных атомов представляет собой суперпозицию состояний с различными Мо, н соответствую- соответствующая релаксация этих состояний будут рассмотрены на част- частном примере в разд. 3.4.2. 3.4. Некоторые дальнейшие следствия из принципа несепарабельности 3.4.1. Спиновая деполяризация за счет Столкновений В качестве дальнейшей иллюстрации теории, изложенной в разд. 3.1, рассмотрим упругое рассеяние электронов на ато- атомах со спином 1/2 (или протонов и нейтронов на ядрах). Будем считать, что первоначально как атомы, так и элек- электроны находятся в полностью поляризованных состояниях, например в состояниях с определенными значениями своих спиновых компонент Мо и то. Предположим, что все атомы находятся в своих основных состояниях с орбитальным уг- угловым моментом, равным нулю, и, кроме того, обладают до- достаточной массой для того, чтобы можно было пренебречь их отдачей. Столкновения будут описываться в системе покоя атомов. Будем считать, что электроны приготовлены в состоя- состояниях с одинаковыми импульсами ро. Тогда состояние атомов и электронов можно обозначить соответственно |М0> и |то>. Объединенная система описывается вектором |г|)щ> = = |Мо>|/по>, и, поскольку начальные состояния являются чистыми, конечное состояние объединенной системы может быть описано одним вектором состояния |i|)out>. Разложим |i|)out> по набору векторов состояния |Mi> и |pimi>, описы- описывающих соответственно конечные состояния атомов и элек- электронов. Примем для простоты, что детектор электронов на- настроен на регистрацию только электронов с фиксированным импульсом Pi(|pi| = |po[). Тогда интересующий нас вектор СВЯЗАННЫЕ СИСТЕМЫ 91 состояния имеет вид 0) | Z |X(M,)), C.4. где состояние |mi> неявно описывает состояние импульса электронов, а также их спины. Два вектора состояния |x(Mi)> (Mi = +1/2) в выражении C.4.1) имеют вид I X (М^) = Z а (Мхти Мото) | /п,); C.4.2) mi они описывают состояние электронов с фиксированным им- импульсом pi, рассеянных атомами, у которых одновременно произошел переход |M0>-^|Mi>. Чтобы отобрать подан- самбль электронов в одном из этих состояний |%(Mi)> (на- (например, с Mi = +1/2), детектор электронов должен регист- регистрировать только те рассеянные электроны, которые провзаи- модействовали с атомом, испытавшим переход |M0>->-|Mi> (см. обсуждение в разд. 3.3.1). Поскольку эти электроны на- находятся в чистом состоянии, они с необходимостью полностью поляризованы, как показано в разд. 1.1. Направление нового вектора поляризации относительно первоначального направ- направления зависит от величин и относительных фаз амплитуд а(М\гп\,Мотй), которые в свою очередь зависят от динамики процесса рассеяния. Ситуация особенно проста в случае рассеяния на бесспн- новой мишени. Если обозначить соответствующее атомное со- состояние через |0>, то это состояние будет оставаться неиз- неизменным в процессе столкновения, поэтому его можно вынести в качестве общего множителя перед суммой в C.4.1). Тогда имеем C.4.3) где вектор |%> определен квадратными скобками в C.4.3). Из выражения C.4.3) с очевидностью следует, что электроны находятся в чистом состоянии поляризации. Следовательно, при упругом рассеянии на бесспиновой мишени электроны с определенной (фиксированной) энергией, наблюдаемые в данном направлении, полностью поляризованы, если на- начальное состояние было чистым. Деполяризация невозможна; изменяется лишь направление вектора поляризации. В общем случае, которому соответствует выражение C.4.1), спиновое состояние детектируемых электронов не яв- является чистым, а представляет собой смесь двух состояний |%(M')>, если атомы в конечном состоянии не наблюдаются. Следовательно, наблюдаемые электроны с необходимостью
92 ГЛАВА 3 деполяризуются; |Р|<1. Это можно показать, используя метод, описанный в разд. 3.3. Приведенная матрица плотно- плотности р(е) детектируемых электронов дается соотношением м, Мото)*. C.4.4) С этой матрицей можно связать оператор плотности следую- следующего вида: a{Mitn'i, Motno)a(Mimi,Motno)*\mi)(mi\ = Mi C.4.5) Отсюда следует, что электронное состояние можно считать некогерентной суперпозицией состояний |х(~И/2)> и |%(—1/2)>. Поэтому деполяризация электронов (первона- (первоначально находившихся в чистом состоянии) с необходимостью связана с неполным определением состояния атомов после (или до) столкновения. (Более полный анализ будет дан в разд. 3.5.1.) 3.4.2. «Полная когерентность» возбуждений атомов В качестве второго примера рассмотрим возбуждение ато- атомов гелия из их основного состояния |0> в состояние 'Р по- посредством электронного удара. В этом случае можно прене- пренебречь спин-орбитальным взаимодействием, и, поскольку атомы в начальном и конечном состояниях являются бесспи- бесспиновыми, амплитуда перехода не зависит от спина (что будет показано в более общем случае в разд. 3.5). Следовательно, спин электрона не оказывает влияния на процесс возбужде- возбуждения, и им можно пренебречь. Полагая, что электроны в на- начальном состоянии обладали определенным импульсом р0, разделим орбитальную и спиновую части начального вектора состояния, т. е. запишем |р0т0> = |ро>|«г0>; если же началь- начальное состояние не является чистым, введем начальную мат- матрицу плотности и в обоих случаях пренебрежем спиновыми компонентами. Тогда интересующий нас вектор начального состояния примет вид |г|Iп> = |0>|р0>. Если детектируются только рас- рассеянные электроны с заданным фиксированным импульсом СВЯЗАННЫЕ СИСТЕМЫ 93 рь то интересующий нас вектор конечного состояния имеет вид I = [Е а (Мр„ р р,); C.4.7) здесь М обозначает конечное атомное состояние с магнитным квантовым числом М. Из соотношения C.4.7) видно, что можно провести отбор ансамбля атомов, находящихся в тож- тождественных состояниях |i|)(pi)> [которые определяются квад- квадратными скобками в C.4.7)], если ограничиться наблюде- наблюдением электронов с фиксированным импульсом рь Рассмотрим теперь релаксацию возбужденных атомов в основное состояние, предполагая, что возбуждение и релак- релаксацию атомов можно считать независимыми процессами. Из- Излученные фотоны могут наблюдаться в заданном направле- направлении п. Если электроны (обладающие импульсом pi) и фотоны детектируются по схеме совпадений, то наблюдаться будет только то излучение, которое испускается атомами, находя- находящимися в одном и том же состоянии |\|:(pi)>. Это означает, что детектированные фотоны испускаются в процессе пере- перехода между одними и теми же чистыми состояниями |^(pi)>-»- ->-|0>. В результате фотоны, детектируемые в эксперименте по схеме совпадений, с необходимостью являются полностью поляризованными. В отличие от случая, рассмотренного в разд. 3.3, возбуж- возбужденное атомное состояние не обладает хорошо определенным магнитным квантовым числом. Это, однако, несущественно для наших выводов; важно то, что атомы как до, так и после возбуждения находятся в тождественных состояниях. Именно это гарантирует, что детектированные фотоны будут пол- полностью поляризованными. Последнее можно также показать формально для состояния, описываемого выражением C.4.7), следующим образом. Радиационный переход из подсостояния |М> в основное состояние |0> посредством распада описы- описывается выражением, аналогичным выражению C.3.4): |М>-Ч0)Еа(А, М)\Х), C.4.8) А где опущена зависимость фотонного состояния от направле- направления п. Чтобы найти состояние фотонов, испущенных при пе- переходе |it>(Pi)>~>|0>. выражение C.4.8) следует умножить на амплитуду а(М,ри Ро) и просуммировать по всем М [как в C.4.7)]; 14>out) = I 0) Z a (Mpv р0) а (К, М) \ I) где | е (М)) = Za (Л*р„ р0) о (Л, М) \1), 0) ? I е (М)>, C.4.9) C.4.10)
94 ГЛАВА 3 причем М = ±1, 0. В выражении C.4.10) векторы состояния |е(М)> указывают на состояние поляризации фотонов, испу- испущенных при переходе |М>->|0> (рис. 3.2), а коэффициенты а(М, Рьро) представляют собой амплитуды вероятности на- нахождения атома в состоянии |М>, когда атомная система пребывает в состоянии, описываемом вектором |tj>(pi)>. Со- Соотношение C.4.9) явно показывает, что весь пучок фотонов, детектируемых в определенном направлении, находится в чис- м=+1 м=0 м=-г Рис. 3.2. См. объяснение в тексте. том состоянии поляризации, которое характеризуется векто- вектором состояния Основной результат этого раздела можно резюмировать сле- следующим образом. Полная когерентность между начальными состояниями \Му означает, что фотонное состояние является чистым и потому может быть представлено когерентной су- суперпозицией состояний \е(М)}, соответствующих различным переходам, показанным на рис. 3.2. Частный случай, рас- рассмотренный нами, является примером так называемого пе- переноса когерентности. Мы рассмотрим эту проблему с более общей точки зрения в гл. 5 и 6. 35. Возбуждение атомов электронным ударом I 3.5.1. Приведенная матрица плотности атомной системы В настоящем разделе мы рассмотрим более подробно воз- возбуждение атомов электронным ударом. Основное предполо- предположение, которое будет неявно подразумеваться на протяжении всего раздела, состоит в том, что в процессе столкновения СВЯЗАННЫЕ СИСТЕМЫ 95 можно пренебречь всеми зависящими от спина силами. В частности, будем пренебрегать всеми явно зависящими от спина взаимодействиями между налетающей частицей и ато- атомом, т. е. считать, что изменения спиновых переменных пол- полностью обусловлены процессами электронного обмена. Кроме того, мы пренебрегаем тонким (и сверхтонким) взаимодей- взаимодействием внутри атома в процессе столкновения. Это можно обосновать физически следующим образом. В возбужденных состояниях атома орбитальный угловой момент L и спин S связаны под влиянием взаимодействия, обусловливающего тонкую структуру; оба этих вектора прецесенруют вокруг вектора полного углового момента J атома. Прецессия имеет место в течение времени tLS ~ \/AELS, где A?YS обозначает величину тонкого расщепления соответствующего уровня. Если время столкновения /с значительно короче времени спин-орбитальной прецессии, то прецессия вектора спина не успеет заметно сказаться за время столкновения; тогда век- векторы L и S можно считать не связанными друг с другом во время столкновения. Состояние возбужденного атома непо- непосредственно после столкновения может быть тогда адекватно описано в схеме LS-связи. Предположение tc <C tLS означает, что атомы могут рассматриваться как возбуждаемые мгно- мгновенно (например, в момент времени t = 0) по сравнению со значительно более длинным временем спин-орбитальной пре- прецессии (см. также гл. 5, где дано более детальное обсужде- обсуждение этого утверждения). Наша основная задача здесь состоит в описании экспери- экспериментов, в которых рассеянные электроны (детектированные в направлении ni) и фотоны, излученные при последующем распаде возбужденных атомных состояний, наблюдаются по схеме совпадений. Тогда, как указано в разд. 3.4.1, наблю- наблюдается только излучение, испущенное атомами, которые были возбуждены детектированными электронами. Таким образом, подансамбль атомов, так сказать, «отбирается» в экспери- эксперименте; в этом отборе и состоит сущность метода совпадений. В дальнейшей части этого раздел? рассматривается именно состояние такого подансамбля. Используя сформулнрованны выше предположения, опи- описание эксперимента по методу совпадений можно разделить на три части. Прежде всего мь> должны описать интересую- интересующий нас атомный подансамбль непосредственно после воз- возбуждения, затем — эволюцию во времени возбужденных со- состояний под влиянием тонкого (и сверхтонкого) взаимодей- взаимодействия н, наконец, дать описание фотонов, наблюдаемых в момент времени /. В этом разделе проводится полное обсуж- обсуждение эксперимента по методу совпадений, причем особое
96 ГЛАВА 3 внимание уделяется первой части приведенной выше про- программы. Предполагается, что первоначально атомы находились в своем основном состоянии с орбитальным угловым момен- моментом, равным нулю, и квантовыми числами у0 = aoSoMsO, где So и Mso обозначают соответственно спин атома и его третью компоненту, а а0 — все остальные квантовые числа, необхо- необходимые для полного описания состояния. Начальное состояние электронов можно описать с помощью импульса р0 и компо- компоненты спина ш0. Предполагается также, что все атомы имеют одинаковые точные значения а0 и So, а все электроны — оди- одинаковый импульс. Используем систему координат (так назы- называемую систему столкновений), в которой ось г параллельна ро, а плоскость х — z является плоскостью рассеяния, натя- натянутой на векторы р0 и рь Обычно как атомы, так и электроны в начальных состоя- состояниях являются неполяризованными. Атомный оператор плот- плотности дается тогда выражением B.2.14) 1 Рл = 2S0+l a0S0Ms0> <a0S0Ms01, C.5.1а) а начальное состояние электронов характеризуется с по- помощью оператора плотности Ре = Т C.5.16) Электроны и атомы не коррелированы, пока отсутствует взаи- взаимодействие между ними; поэтому матрица плотности pin объ- объединенной системы факторизуется и может быть представ- представлена прямым произведением 1 \г> г\ ...... f\ \/ r\ .- \ г# Q АЛ *» *-м \ /г* Q ЛА *» *-*-» I / Q С 1 \ Ип — У А /\ге — о^9<ч _L1\ / I uOv^O-'^isoPo'^O/ \aO^0^soP0'^0 • ^«Э*Э. 1 В I MsOmo Опуская зависимость от фиксированных переменных aoSopo, представим элементы матрицы pin в виде (М' т' I р. \ М ш \ = б ' б ' . C 5 2) Матрица C.5.2) является диагональной и имеет размерность 2BSo+l) в объединенном пространстве (спиновое простран- пространство «натянуто» на 2BS0+l) базисных состояний |М50>^ = | aoSoMsO> и | то> = | ро^о>). Используя предположение о том, что tc <C tLs, возбужден- возбужденные атомные состояния непосредственно после столкновения СВЯЗАННЫЕ СИСТЕМЫ 97 можно описать в схеме LS-связп с помощью квантовых чисел 7i = aiLMSiMsi, где М представляет собой z-компоненту ор- орбитального углового момента L. Будет предполагаться, что происходит «отбор» только атомов в состояниях с точными значениями a\LSi (экспериментально этого можно достичь, разрешая излученные фотоны спектроскопическими сред- средствами). Указанное ограничение будет снято в гл. 4. В вы- выполненных до сих пор экспериментах по методу совпадений не проьоднлея анализ частиц в конечном состоянии по спину; поэтому мы ограничимся обсуждением приведенной матрицы плотности, характеризующей орбитальные состояния интере- интересующего нас подансамбля атомов. Для обсуждения экспериментов по рассеянию удобно из- изменить нормировку матрицы плотности. С этой целью запи- запишем переход между состояниями с помощью соответствующей амплитуды рассеяния ДГьГо), которая определяется как матричный элемент оператора пе- перехода Т (подробности см. в приложении Д): f (Г1( Го) = <rt IГ | Го>. C.5.4) Величина /(ГьГо) нормируется в соответствии с условием Г0)р = а(Г„ Го), C.5.5) где ct(Fi, Го) — дифференциальное сечение рассеяния для ука- указанного перехода. Формулы, полученные в разд. 3.1 и 3.2, мо- могут быть преобразованы к новой нормировке посредством подстановки f (Fi, Го) вместо соответствующих амплитуд пе- перехода а(Гь Го) (квадраты модулей которых дают вероят- вероятности переходов). Обозначим конечные атомные состояния \a\LMS\Ms\) =s = |ЛШ<;1>, а конечные электронные состояния |pi/ni> s=\т\У. Матрица плотности pout определяется выражением (Д-5) (см. приложение Д): Беря матричные элементы между конечными состояниями и дважды используя соотношение полноты для начальных состояний MsOrti0 MsOm0) (MsOmo |=1, 4 Зак. 648
98 получаем ГЛАВА 3 X 1 *. C.5.6) 2BS0+l) При выводе C.5.6) было использовано условие C.5.2). Если спины не подвергаются наблюдению, интересующая нас матрица плотности является приведенной матрицей p(L), описывающей только орбитальные состояния атомов. Исполь- Используя формулу C.2.3), можно найти элементы этой матрицы, если взять элементы матрицы pout, диагональные по всем не подвергающимся наблюдению переменным (именно, MSI и mi), и просуммировать по этим переменным. Тогда получим 1 2 BS0 + 1) , C.5.7) где обозначение <.. .> указывает на то, что выполнено усред- усреднение по спину. Матрица C.5.7) является BL + 1)-мерной и содержит всю информацию об орбитальных состояниях рассматриваемого нами возбужденного атомного подансамбля. При условии нормировки C.5.5) диагональные элементы р имеют вид (М |p(L)| М)= * ? \f(MMslmlt MsOmo) f=o(M), C.5.8a) Alt -~. MVomo где а(М) обозначает дифференциальное сечение возбужде- возбуждения магнитного подсостояния |М>, усредненное по всем спи- спинам. След матрицы p(L) дает дифференциальное сечение сг, просуммированное по всем М: м C.5.86) СВЯЗАННЫЕ СИСТЕМЫ 99 Например, явное выражение для p(L) в случае L— 1 имеет вид / сгA) (/(+1)/@Г)(/(+1)/(-1) = \ (f(+l)f(O)T cr(O) (f(O)f(-l)*) , C.5.9) (-i)T <f(o)f(-i)*>* а(-1) где использовано условие эрмитовости B.2.5): (М' | р (L) | М) = (- М' | р (L) | - М)*. C.5.10) Формулы C.5.7) и C.5.9) показывают, что р имеет неисче- зающие недиагональные элементы, и потому рассматривае- рассматриваемый возбужденный атомный подансамбль является когерент- когерентной суперпозицией магнитных подсостояний. Найдя угловое распределение и поляризацию излученных фотонов по схеме совпадений с рассеянными электронами, можно полностью определить матрицу плотности C.5.9) (см. разд. 6.1). Это позволяет извлечь больше информации о процессах рассеяния, чем при традиционных экспериментах, в которых измеряется только дифференциальное сечение рас- рассеяния о. В частности, недиагональные элементы р содержат информацию о фазах различных амплитуд рассеяния, соот- соответствующих значениям М, причем эти фазы не могут быть определены без применения методики совпадений. Чтобы вы- выяснить, сколько измерений следует провести в целях полного определения матрицы р, необходимо установить число неза- независимых параметров, описывающих р; этому и посвящен сле- следующий раздел. 3.5.2. Ограничения, обусловленные требованиями симметрии В дополнение к условию эрмитовости C.5.10) число неза- независимых параметров, описывающих р, ограничивается еще некоторыми условиями симметрии. Плоскость рассеяния (х — г-плоскость системы столкновений) определяется векто- векторами ро и рь однако ни одно из двух направлений, перпен- перпендикулярных этой плоскости, не задается какими-либо усло- условиями геометрии эксперимента; точнее, изучаемый атомный подансамбль не «различает» направлений «вверх» пли «вниз» по отношению к упомянутой плоскости. Следовательно, мат- матрица плотности C.5.7) должна быть инвариантна относи- относительно отражения в плоскости рассеяния. Это условие сим- симметрии выражается соотношением f (MMslmu Msomo) = (- 1)M+S'-S° / (-M - МЛ - mu -Ms0 - mn) C.5. Па)
100 ГЛАВА 3 для амплитуд рассеяния и (М'\р\М) = (- \f'+M (- М' | р | - М) C.5.116) для матрицы плотности. Доказательство можно найти в учеб- учебниках по теории рассеяния (см., например, Rodberg, Thaler, 1967, и Burke, Joachain, 1982). Соотношение C.5.11) дает, в частности, а{М) = а{—М). C.5.12а) В случае L = 1, объединяя условия C.5.11) с условием эрми- товости C.5.10), получаем Ш0)/(-1П = -</@Ш1Г> = -</A)/@O. C.5.126) Далее, элемент </( + 1)/(—1)*> действителен: </(+1)/(-1Г> = </(-!)/(+!)*> = </(-1)/(+1)У- C.5.12в) Таким образом, в случае L = 1 матрица плотности прини- принимает вид / cr(l) </(+1)/@Г> </(-Н)/(-1Г>\ p(L)= </(+1)/@)Т о@) -</(+1)/@)Т ¦ C-5.13) Ч/ (+1) / (— 1)Т —</ (+1) f @)*> <тA) / Она полностью определяется с помощью пяти действитель- действительных параметров, например <хA), <х@), </(+1)/(—1)*>, а так- также действительной и мнимой частей элемента </(-f-l)/@)*>. Удобную параметризацию матрицы C.5.13) предложили Хертель и Столл (Hertel, Stoll, 1978). В этой параметризации четыре параметра Л ==: а@) сос.,_ [а @) ст (I)] sin ф = C.5.14) совместно с дифференциальным сечением рассеяния C.5.8) образуют набор из пяти независимых действительных пара- параметров. Число независимых параметров можно еще уменьшить, если явно принять во внимание сохранение спина. Поскольку мы пренебрегли всеми явно зависящими от спина слагаемыми в гамильтониане, описывающем столкновения, полный спин S и его z-компонента Ms сохраняются в процессе столкнове- столкновений; следовательно, •S~Sq±-9=Si + -7. Ms = MgX + ml=M^Jsr m0. C.5.15) СВЯЗАННЫЕ СИСТЕМЫ 101 В учебниках по теории рассеяния показывается, что зависи- зависимость амплитуд рассеяния от компонент спина может быть факторнзована, например, f(MMslmu AfsOmo) = )). C.5.16) sms Здесь /(Af)(S> обозначает амплитуду рассеяния для возбужде- возбуждения магнитного подсостояння М в канале рассеяния с полным спином S. Заметим, что амплитуды f(M)(S) не зависят от всех спиновых компонент; скобки в C.5.16) обозначают обыч- обычные коэффициенты Клебша—Гордана '). Подставляя выражение C.5.16) в C.5.7) и используя свой- свойства ортонормироваиности коэффициентов Клебша—Гордана, находим = (f(M')f(M)')= C.5.17) BS Условие симметрии C.5.11а) принимает вид f (M)(s) = (- 1)м f (-M)<s>, C.5.18a) что можно показать, используя соотношение C.5.16) и свой- свойства симметрии коэффициентов Клебша — Гордана и проводя некоторые алгебраические выкладки. С помощью C.5.18а), используя также C.5.17), можно получить дополнительное условие симметрии следующего вида: | - М) = I BS C.5.186) В случае L = 1 это условие дает cos а = — 1, так что матрица плотности C.5.13) полностью определена че- четырьмя параметрами а, л, %, ср. ') Сложение угловых моментов и коэффициенты Клебша — Гордана см. в т. 2, гл. 13 книги Мессна (Messiah, 1965) и в гл. 14 книг$ Ландау и. Лифшица (Ландау, Лифшшд, 1963). — Прим. pecI
103 ГЛАВА 3 Еще меньшее число независимых параметров необходимо, если начальное и конечное состояния атомов являются бес- бесспиновыми (So = Si = 0). Тогда разрешен только один спино- спиновый канал с полным спином S = 1/2 и соотношение C.5.17) принимает вид C.5.19) В этом случае нет необходимости в каком-либо усреднении по спину, и полный спин S можно опустить в обозна- обозначениях. Факторизация C.5.19) элементов матрицы плотности на два множителя, один из которых зависит только от М', а дру- другой— только от М, типична для случаев, когда р описывает чистое состояние. Действительно, в разд. 3.4.2 показано, что если So = Si = 0, то состояние изучаемого нами атомного под- ансамбля является чистым и описывается вектором состояния м C.5.20) который представляет собой полностью когерентную супер- суперпозицию магнитных подсостояний. В этом случае все атомы, принадлежащие подансамблю, возбуждались строго одина- одинаково. Поскольку амплитуды f(M) удовлетворяют условию сим- симметрии C.5.18а) с S = 1/2 и поскольку полная фаза состоя- состояния |i|)(pi)> произвольна, состояние C.5.20) полностью опре- определено посредством BL -j- 1) параметров. Для чистых состояний матрица плотности C.5.13) должна удовлетворять условию B.2.11). Применяя его к параметрам C.5.14), получаем в случае L = 1 sin2qp— C.5.21) так что изучаемый подансамбль атомов может быть пол- полностью описан посредством трех параметров а, К, %, где те- теперь х — относительная фаза амплитуд /(+1) и /@). Резюмируем содержание этого раздела. Были рассмотре- рассмотрены эксперименты, в которых в заданном направлении детек- детектируются рассеянные электроны с импульсом pi, причем ана- анализ спинов начальных цли конечных частиц не проводится. Была построена приведенная матрица плотности <М'|р|М>, характеризующая орбитальные состояния атомного подан- самбля, возбужденного детектируемыми электронами. Мы рассмотрели, в частности, в качестве примера случай L = 1 р показали, что р этом случае р описывается посредством пд-* СВЯЗАННЫЕ СИСТЕМЫ 103 ти независимых параметров в силу наличия условий эрмито- вости и зеркальной симметрии в плоскости рассеяния. При использовании условия сохранения полного спина число па- параметров можно уменьшить до четырех. Тогда (и только тогда), когда атомы были возбуждены в тождественные со- состояния, достаточно трех параметров. В этом случае различие между «когерентностью» (в смысле недиагональности матри- матрицы р) и «полной когерентностью» становится существенным. Именно, в последнем случае для полного определения р необ- необходимо меньше параметров (и, следовательно, меньше экс- экспериментов).
Неприводимые компоненты матрицы плотности 4.1. Введение Как обсуждалось в гл. 1 и 2, часто оказывается полезным разложение р по удобно выбранной системе операторов Q,-. Такой метод имеет два основных преимущества. Во-первых, он дает более удовлетворительное определение р (см., напри- например, разд. 1.1.7); во-вторых, явное использование алгебраиче- алгебраических свойств базисных операторов часто значительно упроща- упрощает вычисления (см. разд. 2.5). Полезность этого метода за- зависит от выбора системы базисных операторов. Когда важна угловая симметрия рассматриваемого ансамбля, удобно раз- разложить р по неприводимым тензорным операторам. Указан- Указанный метод представляет собой хорошо разработанный эффек- эффективный способ использования внутренней симметрии системы. Он также позволяет просто учитывать следствия закона со- сохранения углового момента и дает возможность отделить друг от друга динамические и геометрические факторы в рас- рассматриваемом уравнении. Систематическое использование тензорных операторов бы- было впервые предложено Фано (Fano, 1953). В последующий период они широко применялись, например, в теории угловых корреляций в ядерной физике (Steffen, Alder, 1975), в атом- атомной физике (Blum, Kleinpoppen, 1979), в работах по оптиче- оптической накачке (Наррег, 1972; Omont, 1977), в описании экс- экспериментов по квантовым биениям (Fano, Macek, 1973; Macek, Burns, 1976, Andra, 1979) и экспериментов с атомами, возбуж- возбужденными лазером (Hertell, Stoll, 1978). Материал, приведен- приведенный в этой и следующей главах, взят непосредственно из пе- перечисленных работ. В данной главе излагается и иллюстрируется теория, иг- играющая центральную роль для последующего обсуждения во- вопросов, рассмотренных в книге. В разд. 4.2 и 4.3 вводятся сферические тензорные операторы и мультнполи состояния и выводятся их основные свойства. При изложении широко используется теория углового момента, но для удобства чи- читателей некоторые основные понятия, введенные в тексте, и все используемые формулы приведены в приложении В. Чи* НЕПРИВОДИМЫЕ КОМПОНЕНТЫ МАТРИЦЫ ПЛОТНОСТИ 105 татели, которые недостаточно владеют соответствующей мате- математической техникой, могут опустить детали выкладок при первом чтении. Абстрактная теория иллюстрируется различными приме- примерами. В разд. 4.4 показано, что описание спиновых систем с помощью мультиполей является обобщением рассмотренно- рассмотренного в разд. 1.1 подхода, основанного на использовании вектора поляризации. Рассмотрение частиц со спином 1 демонстриру- демонстрирует необходимость введения не только векторов, но и тензоров более высокого ранга. В двух следующих разделах показано, что свойства сим- симметрии системы часто могут быть использованы более не- непосредственно, если вместо элементов матрицы плотности применять мультппольные компоненты. В разд. 4.5 рассмот- рассмотрены аксиально- и сферически-симметричные ансамбли. В разд. 4.6 изучены следствия инвариантности относительно отражения от данной плоскости. В разд. 4.6 продолжается обсуждение матрицы плотности возбужденных состояний, введенной в разд. 3.5, и рассмотрен другой важный аспект мультипольного разложения матрицы р. Элементы матрицы р содержат полную информацию о про- процессе рассеяния. Однако этим элементам трудно дать физиче- физическую интерпретацию; в связи со сказанным важную роль иг- играют мультппольные компоненты р. Свойства мультнпольных компонент часто можно предвидеть, рассматривая физику процесса столкновения. Мы продемонстрируем это на примере вектора ориентации. Наконец, в разд. 4.7 рассмотрена временная эволюция мультиполей при наличии внутреннего пли внешнего возму- возмущения. Результаты настоящей главы используются в гл. 5 и 6, где в полной мере выявляется сила метода неприводимых тензоров. 4.2. Определение тензорных операторов 4.2.1. Общее правило построения Рассмотрим два ансамбля; в первом частицы обладают угловым моментом J', а во втором — угловым моментом /. Если два ансамбля взаимодействуют, то удобно классифици- классифицировать возможные состояния, исходя пз полного момента и его z-компоненты, которые мы обозначим здесь соответст- соответственно через К и Q- Обычное правило сложения моментов дает | (J'J) KQ) = Z (J'Mr, JM | KQ) I УМ1) | JM). D.2.1) M'M
106 ГЛАВА 4 Состояния \JM) ортонормировании: D.2.2) Теперь рассмотрим систему операторов \J'M')(JM\, опреде- определенных как внешние произведения состояний углового момен- момента [см. A.1.21)]. Состояние |/М> можно представить B7 + + 1)-мерным вектором-столбцом с единицей в М-й строке и нулями в остальных строках. Соответствующее сопряжен- сопряженное состояние (JM\ тогда представляется вектором-строкой с единицей в М-и столбце и нулями в остальных. Внешнее произведение тогда можно представить матрицами, используя правило A.1.21). Удобно ввести комбинацию операторов \J'M')(JM\, по- подобную D.2.1). Система операторов T(J'J)KQ определяется соотношением ') > Т(J'J)KQ = ? (-1)'-**(J'M', J-M\KQ)\ I'M')(JM |. D.2.3) M'M Коэффициент Клебша — Гордана отличен от нуля только в том случае, когда удовлетворяется обычное правило сложе- сложения угловых моментов: I /' — / К /С — К<Q D.2.4) Поэтому для любой данной пары угловых моментов /' и / чи- число операторов D.2.3) ограничено; так, например, если /' == = /= 1, возможны следующие операторы: один с К — 0, три сК=\ (Q = 0, ±1) и пять с /С == 2 (Q = ±2, ±1, 0). Явное матричное представление операторов D.2.3) мож- можно получить, заключая соотношение D.2.3) между состояния- состояниями {J'N'| и |/iV> (N' = J' -Г, N = J, ,,., —J) и при- применяя условие D.2.2): (J'N'\T(J'J)KQ\JN) = = ? (— 1 У~м(^'М', J-M\KQ)(J'N'I J'M')(JM | JN) = M'M D.2.5) -1) Мы рассматриваем только операторы с целым /С, НЕПРИВОДИМЫЕ КОМПОНЕНТЫ МАТРИЦЫ ПЛОТНОСТИ 107 Совокупность всех элементов данного оператора T(J'J)kq определяет матрицу с B/' + 1) строками и B/+1) столб- столбцами: KQ: 1,1'1' I T (I'1)KQ | IK (IT | T (l'J)KQ I /./-» ••• О'!' I Г (/'%q | /, -11 ' </'./'-1 I T(!'1)KQ I И) и\1'-П T(l'l)KQ I 1,1-D ...U'.J'-1\T{1'1)Kq\I,-1) | 11) {]', -I'\ TA'1)Kq\ 1,1-1) ...U',-1'\ D.2.6) Если /'=/, то получается B7+ 1)-мерная квадратная мат- матрица. Обратное к D.2.3) соотношение можно получить, умножая обе стороны D.2.3) на коэффициент Клебша—Гордана (J'N', J — N\KQ) и суммируя по всем значениям К и Q с учетом свойства ортогональности коэффициентов Клебша— "Гордана (см. приложение В): Z()KQ KQ = Е(- 1)'"Л'ГZ(J'N', J-N \KQ) (J'M', J-M \KQ)] I J'M')(JM |= = (-iy~N\J'N')(JN\ или \J'N')(JN\=Yu(-iy-N(J'N',J-N\KQ)T(J'J)KQ. D.2.7) KQ Наконец, если использовать 3/-символы для коэффициентов связи, то определение D.2.3) можно представить в виде _JM M'M D.2.8) что дает / V J D.2.9)
108 ГЛАВА 4 Эта частная форма очень полезна, так как специальные свой- свойства симметрии 3/-снмвола [см. (В.5)] позволяют устанав- устанавливать соответствующие свойства симметрии тензорных опе- операторов наиболее прямым путем. 4.2.2. Трансформационные свойства при поворотах. Матрица поворотов Чтобы выяснить смысл определения D.2.3), рассмотрим, как преобразуются тензорные операторы при поворотах. Со- Состояния углового момента D.2.1) и операторы D.2.3) опреде- определены относительно фиксированной координатной системы, имеющей, например, оси X, У, Z. Пусть вторая система с осями х, у, z получается из первой с помощью двух последо- последовательных поворотов: 1) поворота на угол ф вокруг оси Z (в результате которого получаются новые оси х', у, Z) и 2) поворота на угол 6 вокруг оси у (который переводит х' и Z в х и z соответственно). Повороты совершаются против часо- часовой стрелки, если смотреть с конца оси по направлению к на- началу координат. Углы Эйлера, определенные Эдмондсом (Ed- (Edmonds, 1957), таковы: ос = ф, [3 = 0, у = 0. Углы 6 и ф пред- представляют собой полярные углы оси z относительно системы XYZ (рис. 4.1). Ось х имеет полярные углы (8 + 90°, ф), а ось у характеризуется углами (90°, ф + 90°). Оператор углового момента J имеет компоненту Jz относи- относительно оси Z и компоненту Jz относительно оси z. Обозначим собственные значения Jz через М и собственные значения Jz через т. Собственное состояние \JM) оператора Jz не являет- является собственным для оператора /г, так как два оператора Jz и Jz не коммутируют при Z Ф z. Используя принцип суперпози- суперпозиции B.1.1), состояние \JM) можно представить в виде линей- нон комбинации собственных состояний |//??> оператора /г, коэффициенты которой зависят от квантовых чисел углового момента и углов Эйлера со = (у, [3, ос). Обычно эти коэффи- коэффициенты разложения обозначаются через D{№){^4: D.2.10) Коэффициенты разложения можно интерпретировать как ам- амплитуды вероятности обнаружить состояние \Jm) в данном состоянии \JM}, если новая система координат связана со НЕПРИВОДИМЫЕ КОМПОНЕНТЫ МАТРИЦЫ ПЛОТНОСТИ 109 старой углами Эйлера со. Для данного / совокупность всех коэффициентов можно записать в виде матрицы, называемой матрицей поворотов; ее элементами являются амплитуды О^1). Явные выражения для различных / даны, напри- например, в книге Эдмондса (Edmonds, 1957), см. Z/ также приложение В. Закон преобразова- преобразования для сопряженного состояния UM\ имеет вид [см. B.1.5)]: m D.2.11) Свяжем теперь опе- оператор T(J'J)Kq, опре- определенный в системе XYZ, с оператором T{J J)Kq, определен- определенным в системе xyz. Для этого подставим D.2.10) и D.2.11) в D.2.3) и используем свойство симметрии матрицы поворотов Рис 4.1. Пример поворота, определяемого углами 6 и ср. Здесь (—1 )'"-¦« = (—\)м'т, так как т — М есть целое число, и мы получаем т {j'j)KQ = Z (- i)''-'M {Ум', j-m\kQ)X М'М X [Z I I'm') D («>)(?>,] [Z D (co)^ (Jm |] - = Z I J'm') (Jm | Z V'M', J-M\KQ)X m'm M'M = Z (- IO"'" I J'"O (Jm I Z С'"'. J-m\kq)X m'm bqq' X Г Z V'M', J-M\KQ) (J'M', J-M\ kq') &Ц = = Z Г Z (-1 У' V'm', J-m\Kq)\ J'm') (Jm |] D («)<*>, ^'м обычно называют матрицей конечных враще- враще') Матрицу D ний. — Прим. перев.
по или, окончательно, > ГЛАВА 4 ,Я(<о)<*>. D.2.13) При выводе соотношения D.2.13) произведение D((a)(^M, X X D{(nI_)mM было записано в виде линейной комбинации ма- матриц D(cu)(*, [см. (В.17)], затем было выполнено суммирова- суммирование по М и М' с учетом соотношений ортонормированности для коэффициентов Клебша — Гордана и, наконец, использо- использовано определение D.2.3). Соотношение D.2.13) выражает опе- операторы T(J'J)kq, определенные в системе XYZ, через опера- операторы Т{] ])Kq, определенные в системе xyz. Операторы, которые при поворотах преобразуются соглас- согласно D.2.13), называются неприводимыми тензорными операто- операторами ранга К [T(J'J)Kq есть Q-компонекта неприводимого тензорного оператора ранга К]. Соотношение D.2.13) пока- показывает, что ранг тензорного оператора остается инвариант- инвариантным при поворотах. В следующем разделе мы обсудим не- некоторые примеры использования этого соотношения. 4.2.3. Примеры В данном разделе мы рассмотрим случай, когда угловой момент имеет определенное значение (J' = J), и обозначим соответствующие тензорные операторы через T(J)KQ. Прежде всего покажем, что оператор ранга К = 0 есть скалярный оператор, т. е. остается инвариантным при любых поворотах. Это можно сделать, доказав, что оператор Г(/)оо пропорци- пропорционален B/ + 1)-мерной единичной матрице 1. Из определения D.2.8) и соотношения (В.6) получаем D.2.14) М'М B/+ )V» Z-,1 /ч ' п- 1, М где было использовано соотношение полноты 2 \JM)(JM 1 = 1. м Тензорные операторы ранга К = 1 называются векторны- векторными операторами. Три векторных компоненты T(J)\Q связаны с компонентами Jx, Jy, Jz вектора углового момента J относи- относительно фиксированной системы XYZ следующим образом. Введем сферические векторные компоненты ziJy), JO^JZ; D.2.15) НЕПРИВОДИМЫЕ КОМПОНЕНТЫ МАТРИЦЫ ПЛОТНОСТИ 111 тогда ]0\JM) = М\]М}, и величину /о для определенного Ju можно представить B/ + 1)-мерной диагональной матрицей с элементами . D.2.16а) Как следует из D.2.9), Г(/)ю представляется матрицей , _JM Аналогично, используя стандартный результат теории углово- углового момента /± 11 JM) = =F A/2'/») [(/ + М) {] ± М + 1)]'/. | JM ± 1), получаем матричное представление для других компонент: (JM' | /±11 JM) = =F A/2'Л) [(/ТЛ1) G±М+1)]'/2 блг, м ± 1. D.2.17а) С другой стороны, из D.2.9) имеем + м) (J ± м + b-^]'V,AI±i. D.2.176) B/+!)(/+ 1) Сопоставляя D.2.16а) и D.2.17а) соответственно с D.2.166) и D.2.176), получаем операторное соотношение Таким образом, векторные операторы T(J)\Q пропорциональ- пропорциональны сферическим компонентам оператора углового момента. Подобным образом тензор второго ранга T(JJq можно связать с квадратичными комбинациями компонент вектора углового момента. Сферические компоненты T(JJq тензора второго ранга связаны с декартовыми компонентами следую- следующими соотношениями (приводятся без доказательства): Т (/J, ± 1 = =F (ВД [(JXJZ + JZJX) ± i (JYJZ + JzJy)], T (JJ, ±2 = (Л^з/2) [Л - /у ± t (JxJy + JyJx)l D.2.19) ГДе
112 ГЛАВА 4 Нужно отметить, что соотношения D.2.18) н D.2.19) спра- справедливы только в случае определенного значения момента /. Матричные элементы операторов JQ по состояниям (J'M'\ и |/М> при ]'Ф1 обращаются в нуль, в то время как эле- элементы оператора T(J'J)KQ, вообще говоря, отличны от нуля при /' ф J. Мы вернемся к этому вопросу в следующем раз- разделе. 4.2.4. Некоторые свойства тензорных операторов Оператор T(J'J)KQ,. сопряженный оператору T(J'J)KQ, мо- можно определить, выразив его матричные элементы через эле- элементы D.2.9): (JM | Т (/7)+Q | I'M') = (УМ' | Т {J'J)KQ I JM)'. D.2.21) В данном случае звездочка, означающая комплексное сопря- сопряжение, оказывается излишней, так как матричные элементы D.2.9) действительны. Соотношение D.2.21) определяет пред- представление оператора T(J'J)KQ как матрицы с B/+1) стро- строками и B7'+ 1) столбцами, которая получается из матрицы D.2.9) заменой строк на столбцы. Чтобы найти соотношение между операторами, правую часть соотношения D.2.21) нуж- нужно преобразовать в матрицу с B/+ 1) строками и B/' + 1) столбцами. Подставляя D.2.9) в D.2.21) и используя свой- свойство симметрии 3/-символа (В.5), получаем ¦'¦( .М — М' Q. ^ (_ i)/'-/+Q (JM | Т (//%_Q I ГАГ), D.2.22) где 3/-символ во второй строке выражен через элементы D.2.9). Из D.2.22) следует + Т (/'/)*Q = (- 1)/W+Q T (JJ%_Q, D.2.23) где теперь оба оператора представлены матрицами с B/ + 1) строками и B7' + 1) столбцами. Соотношение D.2.23) можно использовать для получения важного результата. С помощью D.2.9), D.2.21) и условия ортонормированности 3/-символов получаем > trT(J'J)KQT(J'J)l,Q,= =J$'M'I T (/7WI JM> «M IT (/7U'Q' I J'M')=\'KbQ,Q. D.2.24) НЕПРИВОДИМЫЕ КОМПОНЕНТЫ МАТРИЦЫ ПЛОТНОСТИ ИЗ Заметим, что произведение Т{J'J)KClT{J'J)K,^t является квад- квадратной матрицей с B//+1) строками и столбцами, поэтому след этого произведения определен. Из D.2.24) следует, что tr T (J)KQ = tr T (J)KQ • 1 = B/ + 1)'/. 6K06Q0l D.2.25) где мы использовали D.2.14). Следовательно, все тензоры T(J)kq, за исключением монополя, имеют нулевой след. Наконец, напомним, что в теории углового момента для всех неприводимых тензорных операторов VKQ справедлива теорема Внгнера—Эккарта: > U'M'\VKQ\JM)=(-\)''-M\_M, цМУУ\\Ук\\Г)- D-2.26) Важно отметить, что приведенный матричный элемент </'11 У*||/> есть скаляр и не зависит от М', М и Q. Следует также иметь в виду, что Зу-снмвол является известным чис- числовым множителем, который отражает геометрию взаимодей- взаимодействия. Таким образом, теорема Внгнера—Эккарта отделяет те величины, которые явно зависят от динамики взаимодейст- взаимодействия, от чисто геометрических величин. Применение соотношения D.2.26) к тензорным операто- операторам T(J'J)KQ дает {УМ' | Т (J'J)KQ | JM) = (- _^, , D.2.27) где </||7VI|/> — соответствующий приведенный матричный элемент. Сравнивая D.2.27) с D.2.9) и используя свойства симметрии 3/-символа (В.5), можно видеть, что lL2. D.2.28) Подстановка D.2.28) обратно в D.2.27) показывает, что тен- тензорные операторы T(J'J)Kq представляют собой чисто геомет^ рнческие величины. 4.3. Мультиполи состояния (статистические тензоры) 4.3.1. Определение мультиполей состояния Рассмотрим ансамбль частиц в различных состояниях уг- углового момента |/М>, характеризующийся матрицей плотно- плотности р с элементами {I'M'\p|Ш> [см., например, B.3.6)].
114 ГЛАВА 4 Оператор плотности в {|/М>}-представлении можно записать согласно B.2.3) и B.2.4) в форме J'JM'M Подстановка D.2.7) в D.3.1) дает D.3.1) q' D-3-2) J'JKQ LM'M ' -М - Мультиполи состояния, или статистические тензоры, опреде- определяются следующим соотношением: > (Т (/'/)*„>= ?(- If" B* + 1)*(^', JM _К\,'М' |р| JM). м'м D.3.3) Подстановка D.3.3) в D.3.2) дает разложение оператора плотности по неприводимым тензорным операторам: Умножим обе стороны D.3.4) на T(]'J)\,Q, и возьмем след, используя D.2.24). Это дает соотношение > <W&Q> = trp7-(/7)?Q, D.3.5) эквивалентное D.3.3). Соотношение D.3.3) можно обратить, умножив обе его части на ?<-* 4) и просуммировав по всем значениям К и Q. Тогда получаем B/( + 1)'/г X (J'N' | р | IN) = Е (- if'"' B/( + 1)'/г * 7 {' -N -qY Следовательно, два описания системы — с помощью эле- элементов матрицы плотности и с помощью мультиполей состо- состояний-— эквивалентны. Они могут быть преобразованы друг в друга с помощью соотношений D.3.3) и D.3.6). Соотноше- Соотношения D.3.3) —D.3.6) очень существенны во всех задачах, где играют роль свойства углового момента, например в тео- теории угловых корреляций, при изучении оптической на- НЕПРИВОДИМЫЕ КОМПОНЕНТЫ МАТРИЦЫ ПЛОТНОСТИ 116 качки и явлений спиновой поляризации. Полезность мульти- мультиполей состояния станет очевидной при рассмотрении приме- примеров в следующих главах этой книги. Если рассматриваемый ансамбль является некогерентной смесью /-состояний, то матрица плотности, как показано в разд. 2.3, диагональна по /: (I'M'| р 1 JM) = (JM'\р\Ш) 6/л,, и из D.3.3) следует D.3.7) Выражение D.3.4) в этом случае сводится к р = Е (T(jfKQ)T(j)KQ. Этот результат показывает, что мультиполи T(J'J)kq с J' ф J описывают когерентность состояний с различным угловым мо- моментом J. Если рассматриваемый ансамбль есть некогерентная су- суперпозиция состояний с различными квантовыми числами М, то матрица плотности диагональна по М, н D.3.3) показыва- показывает, что все мультиполи с Q ф 0 обращаются в нуль. Соответ- Соответствующий оператор плотности в этом случае имеет вид Р= Z (Т{П)ко)Т(П)ко. J'JK D.3.8) Следовательно, когерентность состояний с различными кван- квантовыми числами М характеризуется отличными от нуля муль- типолями с Q ф 0. 4.3.2. Основные свойства мультитлей состояния Для рассматриваемого здесь случая свойство эрмитовости B.2.5) означает, что (J'M' I p | JM) = (JM |р | I'M')". D.3.9) Выполнив комплексное сопряжение в D.3.3) и учитывая D.3.9), получим > (Т(М)ЪУ = {- if-y+Q<r(//')?-Q>. D.3.10) Для определенного значения момента J' = J соотношение D.3.10) связывает друг с другом мультнполи с компонентами Q и —Q: > (Т (J)kqY = (- 1)Q (T (J)k-q)- D.3.11)
116 ГЛАВА 4 В частности, из D.3.11) следует, что мультиполи (Т (J)*Kn\ представляют собой действительные числа. Часто используется другая система параметров: D.3.12а) (в нее входит оператор T(J'J) вместо сопряженного ему опе- оператора). Подставляя D.2.23) в D.3.12а) и используя опре- определение D.3.5), получаем -Q>. D.3.126) Теперь, учитывая D.3.10), легко видеть, что две параметриза- параметризации связаны друг с другом соотношением (Т (/7$q>* = (T (J'J)kq). D.3.12b) Чтобы понять важность мультиполей D.3.3), рассмотрим, как они преобразуются при поворотах. Совокупность мульти- мультиполей (T(J'J)^ с соответствующими квантовыми числами М', М, Q в D.3.3) можно определить относительно осей XYZ. Вторую совокупность мультиполей (Т (J'J)Kq) можно опреде- определить относительно координатной системы xyz, показанной на рис. 4.1. Используя D.3.12а) и D.2.13), получаем = Itr pT (J'J)KQY = Затем, снова используя определение D.3.12а) и соотношение D.3.12в), находим окончательно > (Т (П)\о) = Z(T (J'J)h) D Н(Х D.3.13) я Этот результат показывает, что мультиполи состояния преоб- преобразуются как Q-компоненты неприводимых тензоров ранга К. 4.3.3. Физическая интерпретация мультиполей состояния. Вектор ориентации и тензор выстроенное™ ') Неприводимые компоненты (Т%о) матрицы плотности имеют, вообще говоря, более глубокий физический смысл, чем элементы матрицы р. В этом разделе мы обсудим физическую ') Английский термин alignment tensor переводится дословно как тен- тензор выстроенности. Этот тензор, как видно из дальнейшего, пропорциона- пропорционален квадрупольному моменту и может быть отличен от нуля даже в от- отсутствие вектора ориентации (см. рис. 4.2), хотя термин alignment часто применяется для обозначения ориентации. — Прим. ред. НЕПРИВОДИМЫЕ КОМПОНЕНТЫ МАТРИЦЫ ПЛОТНОСТИ 117 интерпретацию тензоров низших рангов для случая опреде- определенного углового момента. Тензор ранга К = 0 есть просто нормировочная постоян- постоянная. Беря след от разложения D.3.4), получаем с помощью D.2.25) <n/)Jo)=¦^tttf D-ЗЛ4) Три компоненты тензора с К — 1 и Q=±l, 0 преобра- преобразуются как компоненты вектора. Из D.2.18) и определения D.3.5) легко получить, что (Т (/)fQ) = [3/B/ + 1) (/ + 1) J}'h tr р^ = = [3/B/ + 1) (/+ 1) J\k {]%) tr p, D.3.15) где среднее значение \/q) оператора JQ определяется выра- выражением B.2.9а). Сделав комплексное сопряжение в D.3.15), получим с учетом D.3.126) альтернативную форму p. D.3.15а) Три параметра {Т (J)to) с Q = ±1, 0 часто называют компо- компонентами «вектора ориентации». Как показывает соотношение D.3.15), вектор ориентации пропорционален суммарному уг- угловому моменту <J> рассматриваемого ансамбля. Так как < <J>, D-3.16) где <ц> означает магнитный дипольный момент, усредненный по рассматриваемому ансамблю, вектор ориентации оказы- оказывается пропорциональным суммарному магнитному диполь- ному моменту данной системы {g — фактор Ланде, \ув — маг- магнетон Бора). Аналогичным образом компоненты (Т (/)JQ) тензора вто- второго ранга можно выразить через квадратичные комбинации компонент углового момента, используя D.2.19) и D.3.5). На- Например (Т (J)t0) = О2/б1/2) <ЗУ| - J2) tr p. D.3.17) Тензор (Т (J)tQ) называется тензором выстроенности. Его физический смысл определяется тем, что компоненты тензора (^(•Ooq) пропорциональны сферическим компонентам <Q2<?> тензора электрического квадрупольного момента. Это можно увидеть следующим образом. Среднее значение (.Qiq) опреде- определяется выражением B.2.9а). Применяя теорему Вигнера—
118 ГЛАВА 4 Эккарта к матричным элементам Q2q, находим <Q,Q) tr p = tr p Q2Q = Z UM' | р | JM) UM | Q-2Q I M') = M'M n Отсюда, используя D.3.3) н симметрию 3/-снмвола, получаем <QoQ)trp = (l/5'/!)(/ IIQI|/><7(/JQ>, D.3.18) где приведенный матричный элемент пропорционален квадру- польному моменту системы (см., например, Edmonds, 1957). Соотношение D.3.18) дает пример того, как разложение матрицы р на неприводимые компоненты в сочетании с теоре- теоремой Впгнера—Эккарта позволяет разделить геометрические и динамические свойства системы. Приведенный матричный элемент содержит всю информацию о динамике, а тензор <7(/J<э> описывает геометрические свойства рассматриваемо- рассматриваемого ансамбля. Этот аспект теории имеет еще большую важ- важность при обсуждении вопросов, рассматриваемых ниже. Наконец, дадим следующие определения. ^ Система является ориентированной, если бы хотя бы одна из компонент вектора ориентации отлична от нуля, выстро- выстроенной, если хотя бы одна пз компонент тензора выстроенно- сти отлична от нуля, поляризованной, если хотя бы один пз мультнполей с К Ф 0 отличен от нуля. Приведенные здесь результаты справедливы только для определенного /. Интерпретация мультиполей с /'ф J будет дана в разд. 4.6. 4.4. Примеры. Спин-тензоры 4.4.1. Спин-тензоры для частиц со спином 1/2 Начнем с пересмотра описания частиц со спином 1/2, ха- характеризующихся матрицей плотности р с элементами (m/\p\my. Определим набор мультпполей состояния (ГE)+ )) так называемых спин-тензоров, с помощью D.3.3) '). Так, для S = 1/2 запишем: 4 D-4.1) ') Cmm-тензорами обычно называются сами неприводимые тензорные операторы T(S)Kq, построенные из оператора спина, а не коэффициенты разложения по ним матрицы плотности.—Прим. перев. НЕПРИВОДИМЫЕ КОМПОНЕНТЫ МАТРИЦЫ ПЛОТНОСТИ 119 <7A/2H0) = Три векторные компоненты GA/2)|( ствующимп компонентами вектора D.3.15а): В силу условия D.2.4) в D.4.1) возможны только члены с К = 0 и К = 1. Монополь с К — 0 является нормировочной постоянной. Если спиновая матрица плотности для спина 1/2 нормирована так, что tr p = 1, как в разд. 1.1, то в соответ- соответствии с D.3.14) монопольный член равен D.4.2) 1Q) связаны с соответ- сппна соотношением D.4.3а) где Sq означает Q-ю сферическую компоненту оператора спи- спина S, определенную выражением D.2.15). Используя опреде- определение матриц Паули A/2)а,- = S* (i = x,y,z) и вектора по- поляризации Р, получаем GA/2)?q} = Pq/2"\ D.4.36) Таким образом, мультиполи состояния (спин-тензоры) /7A/2)[„) пропорциональны сферическим компонентам век- вектора поляризации, определенным выражением D.2.15): P±l = 1z(\/2'h)(Px±iPy), Ра = Рг- D.4.4) Разложенце D.3.4) спиновой матрицы плотности для спина 1/2 по еппн-тензорам имеет вид р = KQ = A/2I+ EG'(l/2)fQO'(l/2)IQ> Q D.4.5) что представляет собой просто другую форму записи выра- выражения A.1.45). 4.4.2. Описание частиц со спином 1 Частицы со спином 1 описываются тремя базисными со- состояниями, соответствующими трем возможным собственным значениям оператора Sz. Эти состояния можно представить в форме трехмерных векторов-столбцов: D.4.6а) m 0 0| oj 0 0 1
120 ГЛАВА 4 0 1 0 1 0 1 0 1 0 i В стандартном представлении D.4.6а) операторы Sx, Sy, Sz задаются следующими матрицами: 0-10 100 1 0 - 1 , Sz = 0 О О О 1 0J 0 0-1 D.4.66) Компоненты вектора поляризации для частиц со спином S определяются выражением Pi = (Si)IS D.4.7) (i = x, у, z). Для S = 1/2 выражение D.4.7) сводится к A.1.4). Для S = 1 имеем Pt = <St). D.4.7а) Поучительно вычислить Р для трех базисных состояний | + 1>, |0>, |—1>. Используя явные представления D.4.6) и выполняя вычисления таким же образом, как в разд. 1.1.2, находим, что Рх = ру = 0 во всех трех состояниях, а Рг= \, 0, —1 соот- соответственно для состояний | + 1>, |0>, | —1>. Важно отметить, что в состоянии |0> вектор поляризации имеет нулевую величину. Это указывает на существенное раз- различие между частицами со спином 1/2 и 1: для S = 1 возмож- возможно чистое спиновое состояние, в котором отсутствует пред- предпочтительное направление (т. е. не обязательно существует направление ориентации спинов). Это легко понять в рамках полукласспческой векторной модели. Состояние М = 0 опре- определяется вектором спина, который перпендикулярен оси z н прецессирует вокруг нее. Ясно, что в таком случае может су- существовать выделенная ось (ось г), но невозможно выделить направление вдоль этой оси. Указанным свойством, в част- частности, вызывается необходимость рассматривать величины более высокого ранга, чем вектор поляризации. Требуемые ве- величины не должны зависеть от направления оси z; следова- следовательно, можно использовать квадратичные комбинации типа (sV) пли> в более общем случае, компоненты тензора второго ранга. Более того, если сравнить пучок частиц в чистом состоя- состоянии |0> со смесью N+=N/2 частиц в состоянии |+1> и N-= = N/2 частиц в состоянии |—1>, то мы увидим, что в обоих случаях Р = 0. Таким образом, задание только вектора по- поляризации недостаточно для полного определения состояния частиц со спином 1, и необходимо ввести дополнительные па- параметры. НЕПРИВОДИМЫЕ КОМПОНЕНТЫ МАТРИЦЫ ПЛОТНОСТИ 121 Наиболее систематический способ получения всех необхо- необходимых параметров заключается в построении соответствую- соответствующих спин-тензоров (T{S)KQ^ для S = 1. Если элементы спи- спиновой матрицы плотности для спина 1 обозначить <М'|р|М>, то, согласно D.3.3), имеем D.4.8) В силу условия D.2.4) необходимо построить монополь, век- вектор и тензор второго ранга. Монополь определяется норми- нормировкой D.4.9) Соответствующую матрицу плотности можно записать в виде р = A/3) • 1 + ^ <r(l>rQ>r(lIQ+ X <T(l)JQ>r(lJQ. D.4.10) Q Q Таким образом, если учесть условие эрмитовости D.3.11), то в самом общем случае спиновая матрица плотности для спи- спина 1 полностью определяется восемью действительными па- параметрами (девятью, если нормировка tr p = 1 не предпола- предполагается, a trp рассматривается как экспериментально опреде- определяемый параметр). В качестве примера рассмотрим некогерентную смесь N+ частиц в состоянии |+1>, N- частиц в состоянии | —1> и No частиц в состоянии |0>. В этом случае матрица плотности в представлении D.4.5) диагональна: M, D.4.11) где Wm = NM/N, a N есть общее число частиц. Подстановка D.4.11) в D.4.8) дает для тензорной поляризации выражение (Т AIо) ~ L, - 2W0) = а для векторной поляризации — выражение 2'/. D.4.12) D.4.13) (все компоненты с Q Ф 0 равны нулю). Компоненты (T{S)^Q) пропорциональны сферическим ком- компонентам вектора поляризации. Подставляя S вместо J в D.3.15а) и учитывая определение D.4.7а), получаем , D.4.14)
122 ГЛАВА 4 НЕПРИВОДИМЫЕ КОМПОНЕНТЫ МАТРИЦЫ ПЛОТНОСТИ 123 где сферические компоненты вектора Р определены выраже- выражением D.4.4). Пять компонент тензора второго ранга (Т EJB) можно построить из квадратичных комбинаций операторов спина S согласно D.2.19), где следует положить /,= S/, Na = l. Применение декартовых тензоров в вычислениях может иметь некоторые преимущества, однако при использовании сферических тензоров (Т (S)^Q\ алгебраические выкладки уп- упрощаются и вычисления становятся менее трудоемкими. Наконец, рассмотрим следствия условия B.2.12). Под- Подставляя разложение D.4.10) для р и используя D.2.24), на- находим tr р = 1 и tr (P2) = Х ) (Т (l)*KQ) tr [Т AW71 A )KQ] = При получении последнего выражения использованы соотно- соотношения D.2.23), D.2.24) и D.3.11). Таким образом, спин-тен- спин-тензоры должны удовлетворять условию 11<?>|2<1; D.4.15) причем KQ D.4.16) если (и только если) р определяет чистое состояние. В ли- литературе пучок частиц со спином 1 обычно называют пол- полностью поляризованным, если он представляется чистым спи- спиновым состоянием, т. е. если (и только если) выполняется условие D.4.16). В этом случае состояние пучка можно пред- представить с помощью единственного вектора состояния |х>, ко- который можно разложить по базисным состояниям D.4.5): IX> = a+il+l>+ao|0> + a_,|-l>. D.4.17) Выражение D.4.17) показывает, что полностью поляризован- поляризованный пучок частиц со спином 1 в общем случае определяется пятью действительными параметрами, например абсолютной величиной коэффициентов ам и их относительными фазами. Развитый здесь формализм представляет интерес для описания процессов рассеяния поляризованных частиц. Эта тема не рассматривается в данной книге, за исключением не- нескольких формул, приведенных в приложениях А и Б. Де- Детальное описание можно найти в учебниках по теории рассея- рассеяния (см., например, Rodberg, Thaler, 1967; Burke, Joachain, 1982). Обсуждение экспериментов по рассеянию поляризо- поляризованных электронов, содержащее многие экспериментальные подробности, можно найти в книге Кесслера (Kessler, 1976). Более формальные аспекты теории рассмотрены Робсоном (Robson, 1974); см. также Blum, Kleinpoppen, 1981. 4.5. Свойства симметрии. Связь между симметрией и когерентностью 4.5.1. Аксиально-симметричные системы 4.5.1.1. Общие результаты Возбуждение ансамбля частиц (атомов пли ядер) может быть достигнуто различными способами: за счет взаимодей- взаимодействия с внешними полями, поглощения излучения, столкнове- венпя с другими частицами и т. д. Предположим, что процесс возбуждения аксиально-симметричен относительно некоторой оси. Эта ось может задаваться, например, направлением внешнего поля. Если при возбуждении за счет соударения с электронами в эксперименте рассеянные электроны не ре- регистрируются, ось симметрии определяется направлением падающего электронного пучка. В этом разделе мы всегда будем принимать ось симмет- симметрии за ось Z нашей координатной системы (ось квантова- квантования). Выбор осей X и У. перпендикулярных осп Z, произво- произволен, и поэтому физические свойства ансамбля не должны зависеть от этого выбора (частицы не могут «знать», как заданы оси X н У). В частности, действительная и мнимая части мультнполей состояния представляют собой непосред- непосредственно измеримые величины (см. гл. 5) и потому должны иметь одни и те же числовые значения в системе XYZ и в любой системе xyZ, полученной поворотом вокруг оси Z на произвольный угол у. Это приводит к следующему усло- условию симметрии: (T(J'J)fKQ) = (T(J'J)fKQ)IoU D.5.1) где (T(J'rfKQ} и (T(J'J)fKQ} определены соответственно в данной системе XYZ и в повернутой системе xyZ. Соотно- Соотношение D.5.1) связывает две комплексные величины, поэтому их действительные и мнимые части должны быть равны. С другой стороны, согласно закону преобразования D.3.13), мультиполи связаны соотношением Z (Т (J'J)hU • D@0Y)'$\ D.5.2)
124 ГЛАВА i НЕПРИВОДИМЫЕ КОМПОНЕНТЫ МАТРИЦЫ ПЛОТНОСТИ 126 Подстановка D.5.3) в D.5.2) дает (Т (J'J)j<Q) = (Т (J'J)KQ)rot exp (- /QY). где у — угол между осями X и х. Для элементов матрицы, определяющей поворот вокруг оси Z, имеем выражение [см. (В.12)] D (ООу)(ЛГ = ехр (- iQy) 69q- D-5.3) D.5.4) Соотношение D.5.4) представляет собой общий закон преоб- преобразования, справедливый для любого угла у. Кроме того, в силу аксиальной симметрии условие D.5.1) также должно выполняться для любого угла у. Это возможно, только если Q ¦== 0. Таким образом, аксиально-симметричные системы характеризуются мультипольными компонентами (Т (]'J)^0), а все компоненты с Q^=0 с необходимостью равны нулю, ибо они нарушают условие D.5.1). Следовательно, оператор плотности, характеризующий систему с аксиальной симмет- симметрией, имеет вид У] К D.5.5) Из D.3.8) тогда следует, что матрица р диагональна по М. Таким образом, мы приходим к следующему общему резуль- результату. Когда возбуждение ансамбля частиц вызывается про- процессом, аксиально-симметричным относительно выделенной оси, состояния с различными компонентами углового момента обязательно возбуждаются некогерентным образом (если ось квантования совпадает с осью симметрии). Для создания когерентной суперпозиции состояний с различными компо- компонентами углового момента необходимо, чтобы процесс воз- возбуждения не был аксиально-симметричным. 4.5.1.2. Обращение оси Z В этом и следующем разделах мы рассмотрим состояния с определенным значением момента /' = J. Аксиально-симметричные системы можно классифициро- классифицировать по их свойствам относительно обращения оси симмет- симметрии: Z-э Z. Обращение оси соответствует повороту на угол я вокруг оси У. Соответствующие элементы матрицы поворота даются выражениями (В.12) и (В.15): q. D.5-6) Подставляя D.5.6) в общее соотношение D.3.14) и учиты- учитывая аксиальную симметрию, получаем \ V /т11\^ \ I 14^+'Л I 1 \^) /тI /У*"„ \ ¦ (А К 7^ / = ?_j \1 \J )Kq/roi\— U °<70 — \—Ч V v'/KO/rot» \t.a.i ) где (T(J)k0) и GЧ-0?о)о1 определены относительно осей Z и —Z. Если данный ансамбль инвариантен по отношению к пре- преобразованию Z-э Z, т. е. значения измеримых величин не меняются при этом преобразовании, то должно выполняться условие () (). D-5.8) Соотношения D.5.7) и D.5.8) могут одновременно выпол- выполняться лишь для мультиполей четкого ранга К- Таким об- образом, аксиально-симметричная система, инвариантная от- относительно обращения оси симметрии, характеризуется мультиполями четного ранга К, а все тензоры с нечетными К с необходимостью обращаются в нуль. В частности, вектор ориентации равен нулю. Следовательно, рассматриваемая система представляет собой частный случай выстроенной си- системы в соответствии с определением в разд. 4.3.3. Посмотрим, какое требование налагает условие симмет- симметрии D.5.8) на элементы матрицы плотности. Используя D.3.6) и свойство симметрии 3/-символа, получаем </ - М | р I/ - М) = ? (Т (J)KD) BK + 1)'/2 X К _м М ^) = <^1Р1-Ш>. D.5.9) так как только мультиполн с четным К дают вклад. Диаго- Диагональные элементы матрицы р пропорциональны заселенности состояния |/М>, а постоянная пропорциональности опреде- определяется нормировкой. Таким образом, D.5.9) показывает, что состояния | JM} и | / —My заселены одинаково. Полезно обсудить эти результаты с иной точки зрения, уделяя больше внимания физике явления. В полуклассиче- полуклассической картине с состоянием |/М> ассоциирован прецессирую- щий вокруг оси Z вектор длиной [7 G + 1)]1/2; его Z-kom- понента равна М. Длину вектора можно изменить, не меняя его направления в пространстве, таким образом, чтобы дли- длина вектора стала пропорциональна числу частиц в соответ- соответствующем состоянии |/М>. Исходя из этой модели, систему, Удовлетворяющую условию D.5.9), можно представить диа- диаграммой, изображенной на рис: 4.2, где стрелки означают
iae ГЛАВА 4 НЕПРИВОДИМЫЕ КОМПОНЕНТЫ МАТРИЦЫ ПЛОТНОСТИ 127 векторы углового момента и имеют разрешенные направле- направления в пространстве. Диаграмма аксиально-симметрична и инвариантна относительно операции Z->—Z, т. е. длина век- векторов, имеющих противоположные направления, одинакова. В частности, диаграмма показывает, что суммарный момент <J> выстроенной системы равен нулю. Условие D.5.9) выполняется тривиальным образом для атомных ансамблей, в которых все частицы находятся в од- одном состоянии |/, М — 0>. Система такого рода представляет собой про- простой частный пример выстроенной си- системы без ориентации. 4.5.1.3 Ориентированные системы Аксиально-симметричная система, не обладающая инвариантностью от- относительно обращения оси симметрии (Z), изображена на рис. 4.3. В этом случае длина векторов, имеющих про- противоположные направления, различ- различна. Как видно из рисунка, система обладает отличной от нуля компо- Рис. 4.2. Выстроенная ак- нентой суммарного момента. Избы- сиально-симметричная си- TQK векторов ^ента, имеющих ОДНО и то же направление можно описать величиной </z> или <^G)ю>- Это пример ориентированной системы. Ориентированные системы могут возникнуть, например, в процессе возбуждения атомов или ядер светом с круговой поляризацией, приводящем к различной заселенности со- состояний \JMy и |/, — My в силу правил отбора по угловому моменту. 4.5.2. Сферически-симметричные системы Рассмотрим ансамбль частиц, не имеющий выделенной оси в пространстве (например, систему неполяризованных частиц со спином 1/2). В этом случае оси XYZ нашей коор- координатной системы можно выбрать произвольно; следователь- следовательно, все физические свойства ансамбля должны быть неза- независимыми от положения координатных осей. Это требова- требование приводит к условию симметрии )Jcq)«* D.5.10) для всех повернутых систем, т. е. для любого выбора углов Эйлера. Сопоставление с соотношением D.3.14) показывает, что условие D.5.10) может выполняться только в том случае, если матрица D((a){^ пропорциональна единичной матрице, т. е. если все мультиполи, кроме монополя с К = 0, обра- обращаются в нуль. Следовательно, сферически-симметричная система характеризуется только монополем (Т (/'/H0). Из правила сложения угловых моментов D.2.4) следует, что Рис. 4.3. Ориентированная аксиально- Рис. 4.4. Изотропное угловое рас- симметричная система. пределение. тензор с К = 0 можно построить только при /' = /, поэтому из D.3.7) вытекает, что соответствующая матрица плотно- плотности диагональна по /. В частности, если у всех частиц дан- данного ансамбля момент / одинаков, матрица плотности, со- согласно D.2.14) и D.3.14), имеет вид __ tr р D.5.11) Это показывает, что сферически-симметричные системы с необходимостью являются некогерентными по J и М. Для данного / все состояния с различным магнитным числом имеют одинаковую заселенность. В полуклассической мо- модели сферически-симметричные системы можно представить изотропным распределением векторов углового момента, как показано на рис. 4.4.
128 ГЛАВА 4 4.5.3. Примеры. Фотопоглощение на атомах (ядрах) Теперь проиллюстрируем некоторыми примерами теорию, изложенную в предыдущих разделах. Рассмотрим ансамбль атомов или ядер, который первоначально находится в со- состоянии с угловым моментом /0 = 0, а затем возбуждается за счет поглощения фотонов н переходит в состояние с /= 1. Сначала обсудим случай, когда падающий свет неполяри- зован. Полная система аксиально-симметрична относительно направления распространения света п, поэтому удобно выб- выбрать это направление за ось квантования. Следовательно, матрица плотности для возбужденного состояния диагональ- на: (М'\р\М) — (М \р\МNм'м относительно проекции мо- момента на направление п. Падающий пучок света можно счи- считать некогерентной смесью двух состояний с определенной спиральностью и одинаковой интенсивностью. Поэтому мо- могут возбуждаться атомные состояния только с УИ=±1, а <0|р|0> = 0. Более того, вследствие сохранения углового момента и равной интенсивности компонент с разной спи- спиральностью в пучке света атомные состояния | + 1> и | —1> заселены одинаково, т. е. <+1|р| + 1> = <—1|р| —1>, а суммарный угловой момент атомных состояний равен нулю. Таким образом, атомам не передается никакого сум- суммарного момента и возбужденное состояние является вы- выстроенным, но не ориентированным. Если воспользоваться представлением мультиполей, то атомное состояние пол- полностью определяется только двумя параметрами: монопо- лем <70> и параметром выстроенное™ (Т^)- Рассмотрим теперь случай линейной поляризации падаю- падающего излучения. Ось Z можно выбрать параллельной элект- электрическому вектору Е. Поглощение такого света происходит посредством я-переходов (AM = 0), в результате которых у возбужденных атомов появляется выстроенность, но не воз- возникает ориентации. Таким образом, при выборе оси кванто- квантования, параллельной вектору Е, возбужденный ансамбль снова характеризуется двумя параметрами: <ГОо> и (т1о). Наконец, если падающий свет имеет круговую поляриза- поляризацию и ось квантования выбрана вдоль направления движе- движения, то заселенность состояний | + 1> и |—1> уже не будет одинаковой. Свет создает ориентацию; атомная матрица плотности в этом случае определяется тремя параметрами: (Гоо), \7"ш) и уго), причем G"ш) определяет суммарную ве- величину момента, переданного атомам. I НЕПРИВОДИМЫЕ КОМПОНЕНТЫ МАТРИЦЫ ПЛОТНОСТИ 126 4.6. Возбуждение атомов электронным ударом II. Мультиполи состояния 4.6.1. Возникновение атомной ориентации при столкновениях В разд. 3.5 было выведено выражение для матрицы плот- плотности р, описывающей атомный ансамбль, возбужденный электронами, которые «рассеяны» (с импульсом р^ в опре- определенном направлении. Здесь мы опишем возбужденные атомы с помощью мультиполей состояний. Это будет удобной отправной точкой для рассмотрения, проведенного в гл. 6. Элементы матрицы плотности, усредненные по всем спи- спинам, определяются выражением C.5.17). Используя D.3.3), можно определить компоненты мультиполей (Т (L)fKQ}t опи- описывающие только орбитальные состояния M'U D.6.1) M'lA В соответствии с условием D.2.4) для полного описания атом- атомного ансамбля с данным орбитальным моментом L необхо- необходимо построить все тензоры рангов К = 0, 1, .. ., 2L -\- 1 с компонентами | Q | ^ К. Как обсуждалось в разд. 3.5.2, рассматриваемая система атомов должна быть инвариантна относительно отражений is плоскости рассеяния {XZ). Чтобы увидеть, какие требо- требования эта симметрия налагает на мультиполн состояния, рассмотрим сначала вектор ориентации, пропорциональный суммарному угловому моменту <L> атомного подансамбля. Так как предполагается, что в начальном состоянии все ато- атомы неорнеитнрованы, <L> представляет собой момент, пере- переданный атомам в процессе рассеяния. Теперь обсудим транс- трансформационные свойства L. Предположим, что вектор ориентации имеет неисчезаю- щую компоненту, пропорциональную </.*>, в направлении К, как показано на рис. 4.5, а. Отражение в XZ-плоскости можно воспроизвести, поворачивая систему вокруг оси У на угол л, с последующей инверсией относительно начала. Век- Вектор углового момента преобразуется как аксиальный век- вектор. Полярные векторы, такие, как импульс, и аксиальные 5 Зак. 648
130 ГЛАВА 4 НВПРИВОДИМЫЕ КОМПОНЕНТЫ МАТРИЦЫ ПЛОТНОСТИ 131 векторы одинаково преобразуются при повороте, но различно ведут себя при инверсии: полярные векторы изменяют знак, а аксиальные не изменяют. При отражении в плоскости рассеяния рис. 4.5, а преобразуется в рис. 4.5, б. Так как атомный ансамбль должен быть инвариантен относительно отражения от плоскости рассеяния, ситуации, изображенные на рис. 4.5, а и б, равновероятны. Поэтому суммарная ком- компонента <Lx> должна обращаться в нуль. Те же соображе- соображения справедливы для компоненты <Lz>. В этом случае толь- только компонента <Ly>, перпендикулярная плоскости рассеяния, может быть отличной от нуля. Z, Ро X ¦Ро а Рис. 4.5. Преобразование <L> при отражении в плоскости рассеяния. Таким образом, можно ожидать, что в общем случае воз- возбужденная атомная система будет ориентированной. Клас- Классической моделью механизма возникновения атомной ориен- ориентации может служить падение под скользящим углом (рис. 4.6). Схемы наводят на мысль, что атомы получают перпендикулярный плоскости рассеяния момент, имеющий разные знаки для отталкивающих (рис. 4.6, а) и притяги- притягивающих (рис. 4.6, б) сил. Связь между знаком ориентации, отклонением рассеян- рассеянных частиц и эффективными взаимодействиями была более подробно изучена Фано и Крмото (Fano, Komoto, 1977) и Херманом и Хертелем (Herman, Hertel, 1979). Им удалось показать, что ориентация меняет знак при изменении знака взаимодействия. Эти результаты позволяют сделать некоторые заключе- заключения о поведении вектора ориентации в зависимости от угла рассеяния 0 при заданной энергии. Рассмотрим, например, возбуждение Ф-состояний в гелии. Электроны, рассеянные вперед или назад, не могут передать суммарный угловой мо- момент атомам, и <L> = 0 для 6 = 0 и 6 — 180°. Рассеяние на малые углы определяется дальнодействующими силами при- притяжения, обусловленными атомной поляризуемостью, а рас- рассеяние на большие углы — в основном короткодействую- короткодействующими силами отталкивания от атомных электронов. Поэтому можно ожидать, что <L> имеет противоположные знаки в об- области малых и больших углов и обращается в нуль при промежуточном значении угла, при котором вклады от при- притягивающих и отталкивающих сил равны по величине. Эти Рис. 4.6. Модель возникновения ориентации при столкновениях. выводы подтверждаются недавними измерениями Голливуда и др. (Hollywood et al.; 1979) и Стефа и Гольдена (Steph, Golden, 1980). 4.6.2. Общие следствия инвариантности относительно отражений Обсудим теперь трансформационные свойства мультипо- лей состояния при отражении в XZ-плоскости. Инвариант- Инвариантность рассматриваемой атомной системы относительно отра- отражения означает, что элементы матрицы р должны удовлетво- удовлетворять условию C.5.11): ЦЖ | р (L) | LM) = (- 1)м'+м (L - М' | р (I) | L - М). D.6.2) В частности, для диагональных элементов имеем D.6.2а)
132 ГЛАВА 4 НЕПРИВОДИМЫЕ КОМПОНЕНТЫ МАТРИЦЫ ПЛОТНОСТИ 133 Подстановка условия D.6.2) в D.6.1) дает и тензора выстроенности: М'М D.6.3а) Так как суммирование в D.6.3а) проводится по всем значе- значениям М' и М, можно заменить {-\-М') и (+М) соответст- соответственно на (—М') и (—М). Тогда с учетом свойства симмет- симметрии (В.5в) [см. приложение В] получаем (r(L)^) = (-lf+QE(-Dt Ht XI L -М М'М к Q + DI/2 х = (- lf+Q (T(L)fK-Q). D.6.3) Из этого соотношения и условия эрмитовости D.3.11) сле- сле)\ D.6.4) дует Таким образом, для рассматриваемой атомной системы ин- инвариантность относительно отражения в XZ-плоскости на- накладывает следующие требования на мультиполи состояния: для четных К тензоры (T{L)fKQ) действительны, а для нечет- нечетных К тензоры (Т (?)?Q) чисто мнимые. Компоненты с Q = О обращаются в нуль для нечетных К- Компоненты вектора ориентации и тензора выстроенности связаны с соответствующими компонентами тензоров угло- углового момента соотношениями D.3.15) и D.3.18). В силу ус- условия симметрии D.6.4) действительная или мнимая часть этих выражений обращается в нуль в зависимости от того, нечетно или четно значение К- Используя нормировку C.5.8) tr p = а, получаем следующие выражения для компонент вектора ориентации: ¦a(LY), D.6.5а) D.6.56) (T (L)t±i) = =F (ВД) a (LXLZ + LZLX), (T {L)$±2} = (ВД a {L\ - L\). D.6.6) Следует заметить, что условие эрмитовости D.3.11) огра- ограничивает число независимых мультиполей. Ориентация опре- определяется одним параметром (например, (Т (L)\ +Л), а вы- строенность полностью характеризуется тремя независимыми параметрами [например, компонентами (T(L)lQ} с Q = 0, +1» +2]. Параметры D.6.5) и D.6.6) тесно связаны с системой величин, введенных Фано и Масеком (Fano, Macek, 1973): L (L + 1) ' A i+ л 0 О L(L + 1) • Ап L(L + l D-4) L(L+\) D.6.7) где О\- характеризует ориентацию, а три других параметра — выстроенность. Заметим, однако, что использование вы- выражений D.6.5) — D.6.7) имеет смысл только в том слу- случае, когда возбуждены состояния атомов с заданным мо* ментом L. Если когерентно возбуждены атомные состояния с раз- различными L, то для полного описания атомного ансамбля необходимо строить мультиполи состояния (Т (L'L)xQ\ За- Закон преобразования тензоров (T(L'L)^Q^ при отражении и ин- инверсии зависит от четности суммы V -\- L. Например, если сумма U -\-L нечетна, вектор {т (L'L)fQ } преобразуется как полярный вектор и, следовательно, лежит в плоскости рас- рассеяния, поскольку он должен быть инвариантным относи- относительно отражения от этой плоскости. Применяя теорему Вигнера •— Эккарта, можно показать, что этот вектор связан с компонентами <rQ> вектора суммарного электрического дипольного момента, индуцированного в атомном ансамбле. Здесь мы не будем вникать в детали анализа; более полное рассмотрение можно найти в разд. 4.4 обзора Блума и Клейнпоппена (Blum, Kleinpoppen, 1979),
184 ГЛАВА 4 4.6.3. Аксиально-симметричные атомные системы Применим теперь результаты предыдущих разделов к случаю, когда рассеянные электроны не регистрируются. Тогда геометрией эксперимента определяется единственная ось^ (направление р0). Следовательно, возбужденный атом- атомный ансамбль должен быть инвариантен относительно пово- поворота вокруг этой оси, и применимы результаты разд. 4.5.1.1: все мультиполи с Q^O обращаются в нуль. Если соответ- соответствующую матрицу плотности обозначить через р, то (LM\p\LM)^Q(M), D.6.8) где Q(M) — полное сечение возбуждения состояний с маг- магнитным квантовым числом М. Из соотношения D.6.2а) сле- следует, что Q(M) = Q(-M). D.6.9) Монополь дается выражением ?\ D.6.10) где Q = ?mQ(M) —полное сечение. Подставляя D.6.8) в D.6.1) и используя D.6.9), получаем D.6.11а) что является следствием равенства D.6.9), и в [BZ. + 3) (I + 1) BL + 1) BZ. - 1) ф V D.6.11) где использовано явное выражение для 3/-символа. В част- частности, при L = 1 атомная система полностью определяется двумя параметрами: монополем, или полным сечением, и параметром выстроенное™ (ГA)го). Никакого результирую- результирующего момента <L> системе не передается. 4.7. Временная эволюция мультиполей состояний при наличии внешнего возмущения 4.7.1. Коэффициенты возмущения Временною эволюцию мультиполей состояния можно по- лучить из уравнений B.4.15) или B.4.16) и равенства 14,3.5), В дальнейшем для нас будет представлять особый НЕПРИВОДИМЫЕ КОМПОНЕНТЫ МАТРИЦЫ ПЛОТНОСТИ 135 интерес следующая постановка задачи. Рассмотрим возбуж- возбужденный ансамбль атомов (ядер), состояния которого можно описать гамильтонианом Н = Но + Н', где Н' означает воз- возмущение; последнее предполагается слабым и несуществен- несущественным в процессе возбуждения. Членом Н' можно пренебречь в течение процесса возбуждения. Предполагая, что собст- собственные состояния гамильтониана Но можно задать кванто- квантовыми числами углового момента, будем обозначать рассмат- рассматриваемые состояния через |/М>. Однако после возбуждения временная эволюция определяется полным гамильтонианом Н и соответствующим оператором эволюции U(t). Предположим, что атомный ансамбль возбуждается мгновенно в момент времени t = 0; «мгновенно» означает, что время возбуждения много меньше характерного времени всех переходов, вызванных возбуждением Я'(см. разд. 3.5.1). Тогда сразу после возбуждения ансамбль может быть опи- описан матрицей плотности р@). Тензорные операторы можно построить, используя собственные состояния \JM) оператора Но в соотношении D.2.8). Разложение р@) по этим тензо- тензорам дает Р(О)= Е (T(rj)fKQ)T(J'J)KQ, D.7.1) J'JKQ где мультиполи состояния определяются выражением [см. D.3.5)]: (Г (I'J)*KQ) = tr p @) Т (J'J)fKQ. D.7.2) Мы будем и далее обозначать через (T(J J)KQ) мультиполи, описывающие атомные состояния при t = 0. Суммирование в D.7.1) производится по всем /' и /, имеющимся при / = 0. Матрица плотности р@) под действием полного гамиль- гамильтониана Н переходит в матрицу плотности р (/) = ?/ (/) р @) U iff. D.7.3) За интервал времени 0—/ первоначально возбужденные состояния изменяются и перемешиваются возмущением Н'. Любое состояние |/М> переходит в состояние |ф@> = ~ U(()\JM}, которое можно разложить по полной системе собственных функций |/дп> гамильтониана Но. Из состояний \jni} можно построить тензорные операторы и разложить по ним матрицу плотности Р@= S (Т{!%ч)Т(П)к9, D.7.4) j'lkq где сумма включает все значения угловых моментов /' и /,
136 ГЛАВА 4 которыми могут обладать атомы в момент времени t. Ис- Используя D.7.2) — D.7.4), получаем (Т (ПIЧ) = tr р (О Т (f/)ig = trt/ (/) р @) ?/ @+7 (/7I, = D.7.5) = Е <Г V'J)kq) tr It/ @ Г (J'J)KQ U (tf Т (j'j)tq] = = I (T(J'J)fKQ)G(J'J, j'j; t)%l, J'JKQ где мы ввели коэффициенты возмущения > G (/'У, f у; 0& = tr [U (/) Г (/'/)«« t/ @+ Г (/7) (/7)U- D.7.6) Соотношение D.7.5) выражает мультнполи (T(j'j, 0l9)» xa" рактеризующие состояния атомов в момент времени t, через соответствующие величины в момент времени t = 0. Коэф- Коэффициенты возмущения представляют собой коэффициенты такого разложения. 4.7.2. Коэффициенты возмущений для взаимодействий, обусловливающих тонкую и сверхтонкую структуру Чтобы выяснить смысл понятий, введенных в предыду- предыдущем разделе, рассмотрим изменение во времени атомных состояний, возбужденных в момент t = 0, за счет взаимо- взаимодействия, обусловливающего тонкую структуру. Мы не бу- будем конкретизировать механизм возбуждения. Основные предположения, которые будут сделаны, заключаются в том, что в процессе возбуждения орбитальные и спиновые мо- моменты атомов не связаны и что сразу после возбуждения атомные спины неполяризованы. При этом для атомных со- состояний сразу после возбуждения можно использовать не- несвязанное представление | LMSiMSl), причем спиновые со- состояния заселены одинаково. Мы будем также предполагать, что значения L и Si фиксированы. Сделанные предположения справедливы, например, при возбуждении легких атомов электронным ударом, рассмот- рассмотренном в разд. 3.5. Предполагается, это они справедливы и для атомов, возбуждающихся при прохождении пучка через фольгу. Сразу после возбуждения атомный ансамбль можно представить матрицей плотности р@) с элементами (LM'SXM' Iр@)ILMSlMs\ Далее нас будут интересовать только свойства орбитальных состояний, поэтому определим НЕПРИВОДИМЫЕ КОМПОНЕНТЫ МАТРИЦЫ ПЛОТНОСТИ 137 приведенную матрицу плотности p(L) с элементами (JLM' | р (L) | LM) = ? (LM'S.Ms, | p @) | D.7.7) Например, для случая возбуждения электронным ударом элементы D.7.7) связаны соотношением C.5.7) с амплиту- амплитудами рассеяния. Приведенную матрицу плотности можно разложить по мультиполям состояния согласно D.6.1): 9(L) = Z(T(L)fKQ)T{L)KQ, D.7.8) где тензоры (T(L)KQy характеризуют орбитальные состояния при t — 0, т. е. сразу же после возбуждения. Состояния | LMSiMsi) можно считать собственными со- состояниями гамильтониана Но. После возбуждения атомы релакснруют в соответствии с моделью /М-связи под влия- влиянием взаимодействия Н' ~ LS, которое возмущает возбуж- возбужденные состояния и приводит к тонкой структуре. Если вос- воспользоваться векторной моделью, то это возмущение можно интерпретировать как прецессию векторов L и Si вокруг полного углового момента J (такая прецессия во время про- процесса возбуждения не учитывалась). Взаимодействие, при- приводящее к тонкой структуре, предполагается слабым, по- поэтому переходами между состояниями с различными L и Si можно пренебречь и считать L и Si сохраняющимися ве- величинами. Изменение во времени атомного состояния определяется оператором U(t) = e\p(~iHt/h), где полный гамильтониан Н = Но + Н' включает член взаи- взаимодействия Н', связывающий спиновую и орбитальную си- систему. Так как U(t) действует на обе системы, необходимо рассматривать полную матрицу плотности р@) вместо приве- приведенной матрицы D.7.8), описывающей только орбитальные состояния. Так как орбитальные и спиновые состояния некор- релированы при t = 0, а спины неполярнзоваиы, удобно за- записать р в виде p@)=p(Z.)X2s7+Tl, <4-7-9a) где использованы соотношения B.2.14) и (А. 11) и 1 есть еди- единичный оператор в спиновом пространстве. Подстановка D.7.8) в D.7.9а) дает ~~ X
138 ГЛАВА 4 В момент времени t система описывается матрицей плот- плотности, которая эволюционирует от матрицы р@) и удовлетво- удовлетворяет условию B.4.15): D.7. Ю) Определим мультиполи состояния (T(L, t)\^y описывающие орбитальные состояния в момент времени t, как неприводи- неприводимые компоненты соответствующей приведенной матрицы плот- плотности р (L, t): (T(L, 0U = trp(L, t)T(L)tq, D.7.11a) где элементы матрицы р (L, t) определяются выражением (LM' | р (L, t) |LM> ==? (LM'SlMSl | p @ | LMS,AfSl). Для настоящего рассмотрения удобнее другое определение мультипольных компонент: (T(L, t)tq) = trp(t)[T(L)l,Xl]. D.7.116) где 1—единичный оператор в спиновом пространстве. Экви- Эквивалентность определений D.7.11а) и D.7.116) можно пока- показать, вычислив след D.7.11) с использованием несвязанных состояний | LMSiMSl) (см. приложение А). Подстановка D.7.10) в D.7.116) дает (T(L, 0W-(l/BS,+ I)) KQ t)%l D.7.12) где коэффициенты возмущения G (I; t)Kqk представляют собой коэффициенты этого нового мультипольного разложения: G (L; 0^ =-2sT+Ttr ^ W fr (L^Q X 1] ?/ @+ [У (VU X 1 ]}. D.7.13) Выведем теперь явное выражение для величин D.7.13). Так как элементы оператора U(t) диагональны в представлении собственных состояний | (LSi)JM} полного гамильтониана Н, в матричном представлении элементы U(t) имеют вид JJ'M'\U(t)\(LSdJM) = exp(-lEJ/h)Ъ'Мт, D.7.14) НЕПРИВОДИМЫЕ КОМПОНЕНТЫ МАТРИЦЫ ПЛОТНОСТИ 189 где Е} — энергия уровня LSJ. Используя D.7.14), можно вы- вычислить след в D.7.13) в этом представлении: G(L; 0$= »(?/-?//)//А] X J'M'JM X ((LS{) I'M' | T (L)KQ X 11 (LSi) Щ USx) JM | T {L)\q X XI \(LS{)I'M'). D.7.15a) Оставшиеся матричные элементы можно вычислить, если учесть, что T(L)KqX 1 представляет собой Q-компоненту тен- тензорного оператора ранга К. Применяя теорему Вигнера — Эк- карта ((LSJ УМ' | Т (L)KQ X 11 {LSi) JM) = ^((LSOril^ XI 11(^O) D.7.156) и стандартную формулу теории углового момента [см. (В.20)], находим ((LSl)J'\\TKXl\\(LSl)J)= jf s l)]'fc{ D.7.15b) Здесь использовано явное выражение D.2.28) для приведен- приведенного матричного элемента {L\\T(L)K\\L}. Подобная формула справедлива для матричного элемента оператора T(L)kqXl- Подставляя полученные выражения в D.7.15а) и выполняя суммирование по М' и М с помощью соотношений ортого- ортогональности для ЗУ-символов, получаем 1.7.15) G (L; tfKl = -257+Т 2 B/' + 1) B/+ 1) X Х Символы Кронекера указывают, что мультиполи различных рангов и различные компоненты не перемешиваются за счет взаимодействия. Более того, коэффициенты D.7.15) не зави- зависят от Q и потому могут быть записаны в форме G(L; f)ft = G(L; /)k6«6q,. D.7.16) Коэффициенты D.7.15) действительны. Это легко увидеть, если взять выражение, комплексно-сопряженное выражению
140 ГЛАВА Л в квадратных скобках в D.7.15), поменять местами / и V и использовать свойство симметрии (В.8) 6/-символа. Следова- Следовательно, мнимая часть комплексной экспоненциальной функ- функции в D.7.15) обращается в нуль в результате суммирования по всем значениям У и /, и остается только действительная часть: D.7.17) Из D.7.12) и D.7.16) получаем окончательное выражение > (T(L;t)kQ) = G(L;i)K(T(LfKQ), D.7.18) которое описывает временную эволюцию мультиполей состоя- состояния за счет взаимодействия, вызывающего тонкую структуру. Иногда оказывается удобным представить коэффициенты G(L; t)K в форме G(L; 0« = qrr Z L У S, D B7+1) X где выделены члены с / = J' и с / ф /' и часть, не зависящая от времени, определяется выражением D-7-20) Взаимодействие, приводящее к сверхтонкой структуре, можно рассмотреть тем же методом, который был использо- использован для описания тонкого взаимодействия. Пусть при t = 0 возбуждены атомные состояния с электронным моментом /, причем ядерный спин / не затронут. Построив мультнполн со- состояния (Т CO^q) и (T(J, O^q) из состояний |/М> в момент времени / = 0 и i соответственно, можно показать, что эти тензоры связаны соотношением, подобным D.6.18): (ТA; tUQ) = G(J; l)K(T{J)*KQ), где коэффициенты возмущения G(J;t)K определяются выра- НЕПРИВОДИМЫЕ КОМПОНЕНТЫ МАТРИЦЫ ПЛОТНОСТИ 141 жением D.7.17) с заменой L на /, Si на /, /(/') на F{F'), a F означает полный угловой момент: F'F X J F' IV- \{EP,-Ep)t cos D.7.21) Наконец, рассмотрим случай, когда должны быть учтены как тонкие, так и сверхтонкие взаимодействия. Поскольку сверхтонкое взаимодействие намного слабее тонкого взаимо- взаимодействия, угловой момент электронов / остается хорошим квантовым числом и соответствующие коэффициенты можно вычислить аналогичным образом. В результате получаем =BS, + l1)B/ + l) Z B/ I'JF'F X (У F' I\4L У 5,V ri U j k]\j l к}ехП {Ev-Ev)t D.7.22) При выводе выражения D.7.22) снова предполагалось, что Si к / не меняются в процессе возбуждения и распада. Энер- Энергии Ei и постоянные распада \ч относятся к состояниям с уг- угловыми моментами J и F. Если тонкое и сверхтонкое расщепление сравнимы, тре- требуются более сложные вычисления, так как / в этом случае не является подходящим квантовым числом. Более подробно такой случай рассмотрен, например, в работе Фано и Масека (Fano, Macek, 1973). 4.7.3. Явный пример Поясним теперь на конкретном примере физический смысл коэффициентов возмущения D.7.17), следуя Фано и Масеку {Fano, Macek, 1973). Рассмотрим случай, когда L = 1, Si = ==1/2 и /==1/2, 3/2, и обсудим временную эволюцию век- вектора ориентации: (T(L; t)tQ) = G(L; t){(T(L)tQ). D.7.23)
142 ГЛАВА 1 Необходимые 6/-символы имеют следующие численные значе- значения: з 1 -2- 1 1 2 ' 1 1 - 2  1 1 6-21/» ' 6 * Подстановка их в D.7.17) дает G (L; Oi = 7/9 + B/9) cos [(?,,, - ?,,) //А]. D.7.24) Выражение D.7.24) показывает, что в рассматриваемом слу- случае G(L;t)i осциллирует относительно среднего значения G(L) i = 7/9 с частотой и = {Ет— Е3/2)/п, которая в полу- полуклассической модели равна просто частоте прецессии векто- векторов Si и L вокруг J. Из D.7.23) и D.7.24) видно, что вектор ориентации (T(L)lQ) периодически меняется во времени. Та- Такое поведение обусловлено связью между угловыми момен- моментами. В процессе возбуждения орбитальные моменты приоб- приобретают определенную ориентацию, а спины остаются иеполя- ризованными. Из-за спин-орбитальион связи, которая, как мы предполагаем, мгновенно включается сразу после возбужде- возбуждения, существует передача ориентации между системами ор- орбитальных моментов и спинов. Спины становятся ориентиро- ориентированными, и происходит потеря ориентации орбитальных со- состояний. В течение каждого периода величина (Т {L):Q^ умень- уменьшается, достигает минимума (при максимально возможной ориентации спинов), а затем возрастает опять до своего ис- исходного значения, когда спины оказываются снова неориенти- неориентированными. Такой обмен ориентацией является периодическим и обратимым; это отражает тот факт, что спин-орбитальная связь Н' ~ LS симметрична по L и 5. Полученные результаты можно обобщить для любой мультипольной компоненты. Итак, мультиполи состояния (Т (L; O^q) осциллируют во- вокруг среднего значения G(L)K(T (L)^Q\. Такое поведение обус- обусловлено тонким спин-орбитальным взаимодействием, которое приводит к периодическому и обратимому обмену поляриза- поляризацией между двумя системами. Наблюдаемые следствия таких изменений во времени подробно рассмотрены в гл. 5 и 6. НЕПРИВОДИМЫЕ КОМПОНЕНТЫ МАТРИЦЫ ПЛОТНОСТИ 143 4.7.4. Влияние внешнего магнитного поля Рассмотрим теперь случаи, когда ансамбль атомов (или ядер) возбужден при t = 0 в присутствии магнитного поля В. Полный гамильтониан равен Н = Но + Н', где Н' = —?цвЛВ описывает взаимодействие с полем. Собственные состояния гамильтониана Но выбраны в виде |/Л1>. Магнитное поле вы- вызывает расщепление уровней с одним и тем же значением /, но с разными М. Переходы между расщепленными уровнями характеризуются временем перехода Т ~ 1/АЕ, гдеЛ?—мак- гдеЛ?—максимальное расщепление уровня с угловым моментом /. Будем считать, что время Т велико по сравнению с временем воз- возбуждения. В этом случае влиянием магнитного поля в про- процессе возбуждения можно пренебречь и считать, что возбуж- возбужденные атомы находятся в состояниях \JM}. Поле возмущает эти состояния сразу после возбуждения; мы рассмотрим из- изменение во времени исходных мультнполей (Т (/)^Q) под дей- действием оператора временной эволюции U @ = ехр (— iHt)/h. D.7.25) Соответствующие коэффициенты возмущения определяются выражением G (/; t)H = tr [U (t) T {J)m U (tf T (J)\q\. D.7.26) Исходные мультиполи определены относительно координат- нон системы XYZ, а поле В параллельно направлению г. Вы- Выбрав ось z в качестве осп квантования, получаем ; D.7.27) соответствующие матричные элементы гамильтониана Н имеют вид (Jm' [ Н | Jm) = (Ej - g\xBBm) fim/m. D.7.28) Преобразуем тензорные операторы в систему xyz с помощью D.2.13) и вычислим след в D.7.26), используя состояния \Jm} и учитывая D.7.25) и D.7.28). После некоторых манипуляций получим G(J; t№= I (-l Q'q' = Z (- I)9 [D W^Pq] [D (OP<'-91 X Q'q' X E </m' | T (J)KQ, I ///;> {Jm | T (/)*,/1 Jm') exp (- mLQ't), m'tii D.7.29)
144 ГЛАВА 4 где р — угол между осями Z и г, а — азимутальный угол оси г в системе XYZ, a wl означает ларморовскую частоту. Теперь подставим выражение D.2.9) для матричного эле- элемента неприводимого тензора в системе xyz и выполним сум- суммирование в D.7.29) по т' и т, используя соотношение орто- ортогональности для 3/-СИМВОЛОВ. Окончательно получим G (У; Ок? = б/cfc X ехр (- Шьф) D (OfiapQ D №)?,. D.7.30) Q' Согласно (В. 12), множитель ехр(—iWQ'O можно интерпре- интерпретировать как поворот на угол — ant вокруг оси Z. В простейшем случае, когда направление поля г совпадает с осью Z, имеем р = а = 0, и D.7.30) сводится к выражению G (У, t)%l = bKkbQqехр(- toLQt). D.7.31) В этом случае поле не может изменить мультнполн, а вызы- вызывает просто изменение их фазы во времени: (Т (У; /)?Q> = ехр (- toLQt) (т (J)*KQ). D.7.32) Выражения D.7.30) и D.7.31) используются в разд. 6.3. 4.8. Обозначения, используемые другими авторами К сожалению, для тензорных операторов и мультиполей состояния применяются различные обозначения. Мы приведем здесь несколько обозначений, используемых в литературе. Для тензорного оператора T(J'J)KQ применяются следую- следующие обозначения: TfiaJ', py)-Omont, 1977; T(q (У, У)-Наррег, 1972; TKQ — Brink, Satchler, 1962; Lamb, Ter Haar, 1971. Дьяконов и Перель A965) используют такую нормировку, что их оператор TQ' в наших обозначениях равен Для нашего мультиполя состояния (Т (/'/)^Q) используются следующие обозначения: Pg°(o//, p/)-Omont, 1977; Pjw(/7)-Happer, 1972; P(H')kq — Brink.Satchler, 1962; Lamb, Ter Haar, 1971; (-iy'+'+<3p<K) (/'/)_ steffen, Alder, 1975. Излучение поляризованных атомов. Квантовые биения 5.1. Общая теория I. Описание процессов радиационного распада с помощью матрицы плотности В настоящей главе мы рассмотрим распад ансамбля возбуж- возбужденных атомов за счет испускания фотонов. Будем обсуждать следующий случай. Предположим, что ансамбль атомов «мгно- «мгновенно» возбужден в момент времени t = 0. Как обычно, «мгно- «мгновенно» означает, что время возбуждения меньше среднего вре- времени жизни возбужденных состояний и любого характерного периода прецессии (см. разд. 3.5 и 4.7.1). Механизм возбуждения может быть любым, и атомы мо- могут быть возбуждены, например, с помощью электронного удара, за счет поглощения фотонов или при прохождении пучка через фольгу. Наша главная задача — вывести соотно- соотношения E.2.6) и E.2.7), которые будут использованы в сле- следующих разделах. Читатели, не слишком интересующиеся ма- математическими подробностями доказательств, могут перейти прямо к формулам E.2.6) и E.2.7). Возбужденные атомы можно рассматривать как когерент- когерентную или некогерентную суперпозицию состояний | ai/iMi), где !\ и Mi — квантовые числа углового момента, а.\ означает со- совокупность всех остальных квантовых чисел, необходимых для описания состояния. Предполагается, что атомы переходят на нижележащие уровни \a2J2M2y. Далее мы будем считать ai и а2 фиксиро- фиксированными и опустим зависимость векторов состояния от этих квантовых чисел. Для дальнейшего упрощения будем пренеб- пренебрегать конечным временем жизни конечного состояния. Если использовать формализм спиральностей, то испущен- испущенные фотоны описываются векторами состояния |поЛ>, где п есть направление наблюдения. Выведем теперь выражение для поляризационной матрицы плотности испущенных фото- фотонов. На первом этапе вычислений будем использовать п в ка- качестве оси квантования и все квантовые числа момента отно- относить к этой оси. Такой выбор значительно упрощает вторую часть расчета, проводимого в следующем разделе. В конце вычислений мы преобразуем выражения к координатной си- системе, связанной с процессом возбуждения,
146 ГЛАВА 8 Непосредственно после возбуждения ансамбль возбужден- возбужденных атомов можно описать матрицей плотности р@), которая переходит согласно B.4.15) в матрицу плотности где оператор U(t) описывает временную эволюцию системы за счет взаимодействия с виртуальным полем излучения. (В этом разделе предполагается, что состояния атомов не воз- возмущаются внутренними или внешними полями в период меж- между возбуждением и распадом.) Матрица pOut описывает пол- полный ансамбль атомов и фотонов в момент времени t, т. е. атомы, еще остающиеся в возбужденных состояниях, атомы на низших уровнях и фотоны, испущенные в интервале вре- времени от 0 до t. Процесс распада (радиационного перехода) можно опи- описать в первом порядке теории возмущений. В этом приближе- приближении оператор U(t), определенный соотношениями B.4.35) и B.4.31), имеет вид = U(Оо[ 1 ~ j [и{x)t )tVU(тHd E.1.2) где мы использовали B.4.25). Элементы оператора V, опи- описывающего взаимодействия между атомами и виртуальным полем излучения, будут определены ниже. Поскольку U(t)o представляет собой оператор свободной эволюции, мы имеем U U (Оо I = ехр [— (i/h) E4 — Ш] \ Ш2ап1), E.1.3а) ) = ехр [- №) Eyt - v^/2] | /,M,>, E.1.36) где учтена конечная ширина уровня начального состояния. Через Е\ и Е2 обозначены энергии состояний с угловыми моментами /j и /2 соответственно, a ух — постоянная рас- распада (затухания). Нас интересуют элементы <сопЯ/|р(?) |сопЛ> приведенной матрицы плотности р@> которая описывает только поляри- поляризационное состояние испущенных фотонов. Нормировку вы- выберем так же, как в A.2.17); тогда диагональные элементы <(опл|р(?) \v>niy дают интенсивность фотонов с частотой со и спиральностью X, детектированных в направлении п. Ис- ИЗЛУЧЕНИЕ ПОЛЯРИЗОВАННЫХ АТОМОВ 147 пользуя C.2.3), запишем эти матричные элементы в виде (ami' | р (/) | сопЛ) = X (/2М2сопЯ/ I p (Oout I /2М2а>пЛ>. E.1.4) Подстановка выражений E.1.1) для p(^)out и E.1.2) для U(i) дает1) 11 X J,M2 X </!ATf | p @) | Члены, пропорциональные единичной матрице, не могут давать вклад в переход /i->J^^h- Используя E.1.3), по- получаем ' | р @ I ипЛ) = X </,М, j V | /2М2сопЯ) | J &% ехр [/ (со + со21- + L у() ТН Х x\\dx ехр [i (-to- со21 + iyJ2) т] J, E.1. 5) где со21'=A/Й)(Е2 -?,'), t0si = (l/A)(^2 —Е,), a Ev, v,- и Еи У\ означают энергии и постоянные распада (затухания) со- состояний | ][М'\) и | /iMi) соответственно. Матричные элементы оператора V в дипольном прибли- приближении в нерелятивистском пределе имеют вид (подробности см., например, Берестецкий и др., 1968) | V | = — /со21 I/2 е </2М21 е*х E.1.6) где ех — вектор поляризации A.2.8) (Я = ±1), г — опера- оператор дипольного момента. Интегрирование по времени в ') В соответствии с нормировкой A.2.17) мы должны ввести множи- множитель ha.
148 E.1.5) легко выполняется: ГЛАВА S X^ip^/.m, exp [i (со + co21, + /Yl,/2) t] ¦ 1 \ / Д e'r)t | /2М2) X exp [f (со + со,, + 'У,/2) <] - E.1.7) Для получения численного множителя, стоящего перед всем выражением в правой части, мы положили co2i ~ <°2Г. по- поскольку расщепление верхних уровней намного меньше раз- разности энергий верхних и нижних состояний. Наконец, ум- умножим обе стороны E.1.7) на плотность конечных состояний (o2dQdco/BncKh и проинтегрируем по форме линии. Так как основной вклад вносит область со т со2ь интеграл по со мож- можно распространить до —оо, что дает пренебрежимо малую ошибку, и затем выполнить интегрирование в комплексной ю-плоскости, используя интегральную формулу Коши. Тогда имеем р(п, 0^ = сИ Z (hMAt, J[M\) {J\M\ | р @) | /,М,) X ~exp [~ С (со) = e2co4 dQ/2nc3h E.1.8) E.1.9) где и dQ, — элемент телесного угла, в который испускаются фо- фотоны. В E.1.8) для элементов полученной матрицы плотно- плотности введено обозначение p(n, t\'K. Векторы поляризации е^ и ел- можно исключить из выражения E.1.8), если учесть, что в формализме спиральностей координатный ба- базис состоит из трех единичных векторов е+ь е_ь п, и вектор диполя г можно разложить по этому базису: где г±ь го — компоненты вертора г соответственно вдоль на- направлений e+i. а. Следовательно, г±ь г0 являются сфериче- сферическими компонентами вектора г. В таких координатах ска- скалярное произведение г и ея запишется следующим образом: eIr = rl = -'-_r E.1.10) II ИЗЛУЧЕНИЕ ПОЛЯРИЗОВАННЫХ АТОМОВ 14$ Это приводит к следующему окончательному выражению для элементов поляризационной матрицы плотности фото- фотонов, наблюдаемых в направлении п: p(n, t)K.K= JiMi X и\м[ | р @) | w X - exp [ _ rtK | /2м2) х (Yl, + Yl) f/2] ЛЛ } 5.2. Общая теория IL Разделение динамических и геометрических факторов Чтобы разделить динамические и геометрические фак- факторы в выражении E.1.Н) и явно учесть закон сохранения углового момента, можно применить метод неприводимых тензорных операторов. Прежде всего разложим р@) по мультиполяы состояний, которые характеризуют возбужден- возбужденные атомы непосредственно после возбуждения и определены и системе с осью квантования, направленон по п: р@)= Z Подстановка E.2.1) в E.2.1) дает где след выражается суммой: tr[г_к,т L (J2M2\r_r\j[M[)x X t, | /2M2). E.2.3) Чтобы выполнить суммирование в E.2.3), мы применим сна- сначала теорему Внгнера — Эккарта D.2.27), которая позволяет разделить динамические факторы (приведенные матричные элементы) и геометрические элементы C/-символы), а потом, используя соотношение (В.9) (приложение В), выразим сумму
150 ГЛАВА S по MiMiMo через 6/-символ. Подставляя элементы тензорных операторов D.2.9), получаем E.2.4) В то время как мультиполи (Т (ЛЛ)^9) определены по отно- отношению к оси квантования п, информация о возбужденных состояниях обычно задается с помощью тензоров (^(ЛЛ)™), определенных в системе координат XYZ, которая больше под- подходит для описания процесса возбуждения (как, например, «система столкновения», введенная в разд. 3.5). Поэтому в качестве последнего шага нашего расчета преобразуем тен- тензоры от формализма спиральности к системе XYZ. Если 8 и Ф — полярные углы вектора п в системе XYZ (см., например, рис. 4.1, где ось z может теперь совпадать с направлением п), то, согласно D.3.13), имеем соотношение и обратное ему E.2.5а) D E.2.5) Подстановка E.2.4) и E.2.5) в E.2.2) дает окончательный результат V р(п, о«=с((в) V </2ц з>Х V 1 - ехр [- / (gr - gL) f/й - (yr + V.) f/2] где q = "k'— К. Заметим, что спиральность инвариантна отно- относительно поворотов, так что значения %' и К одинаковы в обеих координатных системах. Выражение E.2.6) дает поляризационную матрицу плот- плотности фотонов, наблюдаемых в направлении п, испущенных за интервал времени @, t). Можно также определить состоя- состояние фотонов, которые испущены в момент времени t (т. е. за короткий интервал от t до t-\-dt). Соответствующая матрица плотности получается дифференцированием матрицы E.2.6) ИЗЛУЧЕНИЕ ПОЛЯРИЗОВАННЫХ АТОМОВ 151 по времени. Обозначив производную матрицы плотности через P(n, t)K'K, найдем > P(n, 0^ = C(co) Далее элементы матрицы плотности можно выразить через параметры Стокса с помощью A.2.24). Это выражение и вы- выражение A.2.29) позволяют получить полную информацию о поведении излучения в поляризационных экспериментах. 5.3. Обсуждение общих формул 5.3.1. Общая структура уравнений На выражениях E.2.6) и E.2.7) основано рассмотрение, проводимое в остальной части этой главы и следующей главе. Поэтому полезно подробно обсудить смысл упомянутых вы- выражении. Здесь мы сосредоточим внимание на выражении E.2.7), а обсуждение выражения E.2.6) отложим до разд. 5.5, хотя многие из последующих замечаний относятся к обе- обеим формулам. Выражение E.2.7) определяет поляризационную матрицу плотности фотонов, испущенных в момент времени t. Предпо- Предполагается, что временная эволюция исходных возбужденных со- состояний атомов в период между их возбуждением и распадом возмущается только процессом распада и определяется опе- оператором эволюции U @„ = ехр [- iHot/h - ГС/2], E.3.1) где |/iMi> — собственные функции гамильтониана Яо и Г — матрица распада: ехр (- ГС/2) | ЛЛГ,) = ехр (- Yl</2) | /,M,>. Подставляя E.3.1) в D.7.6), можно получить выражения для соответствующих коэффициентов возмущения для всех К и Q: = ехр Yl) //2]
1Б2 ГЛЛВЛ 5 Излучение поляризованных атомов 153 Мультиполи состояния, описывающие возбужденные состоя- состояния в момент /, даются выражением (Т №• %Q) = ехР [~ *»,-,< - (Y,< + Y,) //2] (Т (/{/,)¦ ^ E.3.3) Читая E.2.7) справа налево и учитывая E.3.3), получаем р(n, t\,K = [...](Т(/?/,, /)fo) = E.3.4а) = [...]exp[-/co1'1/-(Yl' +Yi)'/2]<7'(/f/i)^>, E.3.4) т. е. мультиполи состояния (T(J'iJi)^Qy характеризуют состоя- состояния атомов сразу после возбуждения и содержат всю ин- информацию о процессе возбуждения. Экспоненциальный мно- множитель описывает временную эволюцию возбужденных состоя- состояний между возбуждением и распадом. Остальные множи- множители в выражении E.2.7), обозначенные квадратными скоб- скобками в E.3.4), связаны с процессом распада в момент времени t. Теперь рассмотрим более подробно множители в квадрат- квадратных скобках в выражении E.3.4). Приведенные матричные элементы содержат всю информацию о динамике процесса распада, а 3/- и 6/-символы представляют собой геометриче- геометрические множители, зависящие от квантовых чисел углового мо- момента. Угловая зависимость излучения явно определяется эле- элементами матрицы поворотов. Каждый элемент ?)<*> связан с соответствующими мультиполями с теми же К и Q. Таким образом, каждая имеющаяся компонента Q мультиполя ранга К дает характерную угловую зависимость излучения. Следова- Следовательно, определяя функциональную зависимость от 6 и ф эле- элементов р^, можно получить информацию о мультиполях состояния (Т (Л/i^q). Подробнее этот вопрос мы обсудим в гл. 6. Мультиполи с одинаковыми К и Q, но с различными Л и /i связаны с одним и тем же элементом матрицы поворотов DqQ и поэтому не могут быть определены по отдельности пу- путем измерений углового распределения и поляризации излу- излучения. Однако эти мультиполи умножаются на различные эк- экспоненциальные множители, и, следовательно, их можно раз- разделить, анализируя временную зависимость рЯ'Я. Такой метод использовался, например, в экспериментах, в которых пучок атомов водорода возбуждался при прохождении сквозь фоль- фольгу (см., например, Burns, Hancock, 1971). Важное значение имеют следствия закона сохранения уг- углового момента при радиационном распаде, связанные с на- личием 3/- и 6/-СИМВОЛОВ в выражениях E.2.6) и E.2.7). Заметим, что эти символы обращаются в нуль при К > 2. Последнее обстоятельство обусловлено тем, что наблюдается только дипольное излучение, когда полный угловой момент /, уносимый фотонами, равен единице. В общем случае при регистрации излучения с мультипольностью / вклад в рк\ дают мультнполи состояния ранга К ^ 2/. Таким образом, хотя все мультиполи состояния ранга К, где К удовлетворяет условиям ! Л — Л К К <Л + Л, тре- требуются для полного описания матрицы плотности возбужден- возбужденных состояний, ^ элементы рЯ'Я зависят только от тензоров с К = О, 1, 2, и только они могут быть определены при наблюдении днпольного излучения. Определение тензоров более высокого ранга с К > 2 требует, например, наблюдения дипольного излучения, испущенного в присутствии внешних полей, которые смешивают тензоры ран- ранга К ^ 2 с тензорами ранга К > 2 (см., например, разд. 6.3.). Информацию о мультиполях более высокого порядка можно извлечь также из экспериментов по рассеянию электронов на возбужденных лазером атомах. Более подробное описание этого метода дано в обзоре Хертеля и Столла (Hertel, Stoll, 1978). В частном случае /2 = 0 все атомы переходят в одно и то же конечное состояние, и, согласно (В. 11), имеем П 1 К\ ( (Л Л о/ АД- В общем случае 6/-символ меньше 7з при /2 ф 0. Если зна- значение /i определено, то все элементы р^ ^ и, следовательно, значения параметров Стокса и степень поляризации Р умень- уменьшаются по сравнению со случаем /2=0 за счет множителя Г 1 к Фактически при /2?=0 атомы переходят в состояния с различ- различными значениями М2, которые не могут быть обнаружены в рассматриваемом эксперименте. Как обсуждалось в разд. 3.3, регистрируемый свет всегда является деполяризованным в том смысле, что Р< 1. Следовательно, 6/-символ можно ин- интерпретировать как фактор деполяризации, который описы* вает деполяризацию излучения, вызванную ненаблюдаемостыо конечных состояний атомов.
154 ГЛАВА Е ИЗЛУЧЕНИЕ ПОЛЯРИЗОВАННЫХ АТОМОВ 155 5.3.2. Проявление когерентности. Квантовые биения Выражение E.2.7) показывает, что угловое распределе- распределение и поляризация испускаемых фотонов модулированы во времени из-за наличия зависящих от времени множителей с Л ф /ь Эти множители определяют временную эволюцию мультиполей {T(J[Ji)^Q} согласно E.5.3). Если состояния с различными /i возбуждены некогерентно, то матрица плот- плотности р@) диагональна по Jt. Тогда, согласно результатам разд. 4.3.1, в выражение E.2.7) дают вклад только мульти- поли состояния c/i=/i,a все члены с Л ф h обращаются в нуль и квантовые биения отсутствуют. Таким образом, нали- наличие квантовых биений можно рассматривать как проявление когерентного возбуждения состояний с различными J\ (к раз- различной энергией). Когерентное возбуждение состояний с различными энер- энергиями возможно только в том случае, когда процесс возбуж- возбуждения удовлетворяет определенным условиям. В случае изо- изотропного возбуждения (разд. 4.5.2) все мультиполи с К. ф О обращаются в нуль. Из выражений E.2.6) и E.2.7) и свойств матрицы поворотов D\q следует, что фотоны излу- излучаются изотропно и являются неполяризованными. При этом 6/-символы обращаются в нуль, если 1[ ф J\, и кван- квантовые биения отсутствуют. Таким образом, анизотропия воз- возбуждения является необходимым условием для наблюдения любого пульсирующего сигнала. Далее, рассмотрим, напри- например, возбуждение из основного состояния с заданной энер- энергией, обусловленное фотопоглощением. В силу закона со- сохранения энергии для когерентного возбуждения необходи- необходимо, чтобы возбуждающий свет содержал область частот Дсо, достаточно широкую для перекрывания разности энергий возбужденных уровней, равной (l//z)(?y — ?i) = <ui', (разд. 3.1). Импульсы света с конечной шириной частот Дсо можно представить в виде когерентной суперпозиции плос- плоских волн с различными частотами: эта когерентность пере- передается атомам и вызывает квантовые биения (см. разд. 2.3). С другой стороны, можно считать, что когерентность возбуж- возбуждения обусловлена требованием, чтобы время возбуждения At было много меньше любого времени, характеризую- характеризующего возбужденные состояния. Время возбуждения и ши- ширина спектра энергий возбуждающих частиц (электронов, фо- фотонов) связаны соотношением неопределенности время — энергия: Д^ ~ 1/Дсо. «Характерное» время возбужденной си- системы равно Д^~1/с01'Ь где ю^ = A/й)(?г — Ех) определяет максимальную разность энергий возбужденных состояний. Из требования Д/ <С Atc снова следует то же условие коге- когерентного возбуждения: неопределенность энергии возбуж- возбуждающих частиц должна перекрывать разность энергий воз- возбужденных состояний. Теперь рассмотрим наблюдаемые эффекты к которым приводит когерентность состояний с одним и тем же зна- значением /ь но с разными Mi. Если эти состояния можно счи- считать вырожденными, то когерентность не приводит к эффек- эффекту квантовых биений. Если магнитные состояния возбужде- возбуждены некогерентно, то матрица р@) диагональна по Mi Как показано в разд. 4.5, в этом случае источник аксиально-сим- аксиально-симметричен относительно оси Z системы координат, в которой описываются столкновения, и все тензоры с Q ф 0 обра- обращаются в нуль. Угловая зависимость элементов р^ тогда определяется элементами матрицы поворотов с Q = 0 («ма- («малыми» с?-функциями): где q = Я/ — К. Следовательно, элементы р^ зависят толь- только от 0 — полярного угла вектора п — и не зависят от ази- азимутального угла ф. Таким образом, испускаемое излучение аксиально-симметрично относительно оси Z координатной си- системы, в которой описываются столкновения. Если состояния с различными Mi (и одним /j) возбуж- возбуждены когерентно, то мультиполи с Q Ф 0 будут отличны от нуля, а элементы рл-л будут зависеть от азимутального угла ф. Таким образом, когерентность состояний с од- одним и тем же значением /i и разными М\ проявляется в из- изменении характера угловой зависимости испускаемого излу- излучения. Рассмотрим теперь случай аксиально-симметричного атомного источника, который выстроен, но не ориентирован. Его можно получить, например, при возбуждении атомов электронным ударом без регистрации рассеянных электро- электронов (разд. 4.6.3) и при поглощении атомами неполяризован- ных или линейно-поляризованных фотонов (разд. 4.5.3). Из соотношения Ч U' -Я —q) — К' К q следует, что рп = p-i-i, и, следовательно, г]2 = 0. Таким образом, в этом случае интенсивности двух компонент ис- испускаемого излучения с различными значениями спираль- ности равны, и степень круговой поляризации обращается в нуль.
156 ГЛАВА 5 ИЗЛУЧЕНИЕ ПОЛЯРИЗОВАННЫХ АТОМОВ 157 Наконец, предположим, что геометрия процесса возбуж- возбуждения характеризуется плоскостью симметрии. Такой случай рассмотрен в разд. 4.6. Для фиксированного значения J\ элементы рк\ зависят от четырех параметров. (не считая монополя): одной компоненты вектора ориентации и трех компонент тензора выстроенности. Такая ситуация возни- возникает при возбуждении пучка, проходящего через фольгу, когда ось фольги наклонена относительно оси падающего пучка. 5.4. Возмущенное угловое распределение и поляризация 5.4.1. Общая теория В настоящем разделе мы рассмотрим случай, когда воз- возбужденные атомы возмущаются внешним или внутренним полем. Теория возмущенного углового распределения была развита в ядерной физике (см., например, Steffen, Alder, 1975). Мы начнем изложение с обсуждения основных прин- принципов теории, а в следующем разделе и в гл. 6 приведем некоторые примеры ее использования. Далее мы всегда предполагаем, что возмущение слабое и мало влияет на процессы возбуждения и распада, но до- достаточно сильно изменяет состояния атомов в период между возбуждением и распадом (предполагается, что моменты возбуждения и распада точно определены). В этом случае применима теория, изложенная в разд. 4.7. Если возмущением можно пренебречь в процессе возбуж- возбуждения, то возбужденные атомные состояния в момент t = О можно характеризовать мультиполями состояний (Т (/i/i)^Q). Последующая временная эволюция мультиполей теперь опре- определяется гамильтонианом Н = Но + Н', где Н' — возмущение, и оператор эволюции имеет вид LJ = ехр[—(i/ti)Ht — Tt/2]. Поэтому в выражениях разд. 5.3 нужно заменить U(tH на U(t). Возбужденные атомы в момент времени t характери- характеризуются мультиполями состояний согласно общему соотношению D.7.5), в котором в оператор U(t) теперь включен член (T(JUi)\q\, описывающий-радиа- описывающий-радиационный распад состояний. Подстановка E.4.1) в E.3.4а) дает KK'Q'Q X D @6cp)JQ G {]\i/x]u t)^ (T (Щ^). E.4.2) Сравнивая с E.3.4), мы видим, что зависящий от времени экспоненциальный множитель в E.3.4) заменяется общим коэффициентом возмущения, описывающим эволюцию во времени. Различные внешние и внутренние поля могут влиять на временную эволюцию. Наблюдая экспериментально, как эти возмущения изменяют угловое распределение и поляриза- поляризацию излучения, можно извлечь информацию о различных свойствах возбужденных состояний. Теперь проиллюстри- проиллюстрируем сказанное несколькими примерами. 5.4.2. Квантовые биения, вызванные «нарушением симметрии» В разд. 5.1—5.3 предполагалось, что атомные состояния с различными значениями углового момента J{ возбуждают- возбуждаются когерентно в момент t = 0. Когерентность приводит к вре- временной модуляции экспоненциального закона распада воз- возбужденных состояний. В случае некогерентного возбуждения квантовые биения отсутствуют. Этот вывод может оказаться неправильным, если время жизни возбужденных атомов достаточно велико и если воз- возбужденные состояния возмущаются внешним или внутренним полем в период времени между возбуждением и распадом. Такие возмущения приводят к искажению возбужденных со- состояний и изменению во времени параметров ориентации и выстроенности и, следовательно, к временной модуляции углового распределения и поляризации испускаемого излу- излучения, даже если когерентность между начальными возбуж- возбужденными состояниями отсутствует. В этом случае квантовые биения обусловливаются возмущением, следующим за воз- возбуждением. Четкое изложение основных принципов можно найти в ли- литературе (см. Series Dodd, 1978; Andra, 1974). В основе ме- метода лежит мгновенное изменение гамильтониана, описываю- описывающего возбужденные состояния. Если при t < 0 атомы нахо- находятся в собственных состояниях |фо> гамильтониана Но и в
158 ГЛАВА В момент t = 0 гамильтониан мгновенно изменяется от Но до Н, то при t > 0 эволюция определяется гамильтонианом Н. Любое собственное состояние |фО> переходит в когерентную суперпозицию собственных состояний гамильтониана Н, и эта когерентность вызывает квантовые биения. Указанный общий принцип применим, например, в ситуа- ситуациях, когда пучок свободных атомов попадает в область, где внезапно возникает внешнее поле. Другим примером может служить случай, описанный в разд. 3.5 и 4.6. Атомный ан- ансамбль «мгновенно» возбуждается при t = О в состояния [LMSiMsO гамильтониана Яо, не учитывающего никаких свя- связей со спинами. Последующая эволюция при t > О опреде- определяется полным гамильтонианом Н свободных атомов с включе- включением спин-орбитальных взаимодействий, приводящих к тонкой (и, возможно, сверхтонкой) структуре. Подобная ситуа- ситуация имеет место, когда пучок возбуждается при прохождении сквозь фольгу. Здесь предполагается, что в течение короткого времени, когда атомы проходят через фольгу, они возбуж- возбуждаются в состояния \LMS\Msi), в которых спины не связаны. После выхода из фольги эволюция состояния атомов опреде- определяется полным гамильтонианом, и следует учитывать явные члены, содержащие спин-орбитальные связи. В качестве примера рассмотрим случай, когда атомный ансамбль с невзаимодействующими спинами «мгновенно» возбуждается при t = 0 и эволюционирует при t > 0 под влиянием спин-орбитального взаимодействия, приводящего к тонкой структуре. Получим элементы р (n, t)%-% матрицы плотности фотонов, испущенных в момент t, подставляя соответствующие коэф- коэффициенты возмущения в E.4.2). Коэффициент возмущения для взаимодействия, обусловливающего тонкую структуру, определяется формулой D.7.17). Учитывая радиационный распад, подставим U @ = ехр (— iHt/h - Г//2) и получим, что коэффициент возмущения равен G(L, ОкХ Хехр(—yt), где G{L,t)K определяется согласно D.7.17). При этом мы предполагали, что все состояния тонкой структуры, на которые расщепляется состояние (LSi), имеют одну и ту же постоянную распада у. Тогда из E.4.2) получим р(п, *)х-х = KQq \G(L,t)KX Xexp(-Y/)G4L)+Q). E.4.3a) ИЗЛУЧЕНИЕ ПОЛЯРИЗОРАИНЫХ АТОМОВ 159 Интенсивность излучения /(п,/), испущенного в момент t в направлении п, определяется выражением /(П, /) = Р(П, Оп + р(п, 0_1_1 = ? \ \(L2\\r\\L)f(-~l)L+L>C(K)X X {11>)W*#X 2Si + 1 X E.4.36) где через С (К) обозначены численные множители: С@) = — 2Dя/3)'/2, (8я/15)'/г. E.4.4) Выражение E.4.3) показывает, что можно непосредственно измерить величину расщепления тонкой структуры, наблю- наблюдая интенсивность испускаемого излучения как функцию вре- времени (см. разд. 2.3). При К — 0 в выражении E.4.36) 6/-символы в квадратных скобках сводятся к (L Л S,) U, L 0j~ (-1Г tBL + 1) B/, E.4.5) к все интерференционные члены c/i^/i обращаются в нуль. Таким образом, для наблюдения квантовых биений, обуслов- обусловленных тонкой структурой, необходима ориентация и (или) выстроенность атомного источника. Так как взаимодействие, обусловливающее тонкую струк- структуру, изотропно, оно, согласно D.7.18), не связывает мульти- поли с различными К и Q. Таким образом, начальная симмет- симметрия сохраняется при всех t > 0. Если, например, начальные возбужденные состояния аксиально-симметричны относитель- относительно некоторой оси, то излучение также симметрично относи- относительно этой оси независимо от возмущения. Аналогичные результаты справедливы для взаимодей- ствия, вызывающего сверхтонкую структуру. Совместный эф- эффект тонкого и сверхтонкого взаимодействий можно учесть, если в E.4.3а) подставить соответствующие коэффициенты возмущения G{Lit)K D.7.22). В нашем изложении были по отдельности рассмотрены эффект когерентного возбуждения невырожденных состояний (разд. 5.1—5.3) и эффекты, вызванные взаимодействием,
160 ГЛАВА 8 ИЗЛУЧЕНИЕ ПОЛЯРИЗОВАННЫХ АТОМОВ 161 обусловливающим тонкую структуру. Вообще говоря, оба эф- эффекта перекрываются и квантовые биения накладываются друг на друга. Такие случаи были проанализированы экспе- экспериментально (Burns, Hancock, 1971) [см. также обзор Ма- сека и Бернса (Macek, Burns, 1976) и приведенную там ли- литературу]. Итак, мы убедились, что для наблюдения квантовых бие- биений требуется: 1) хорошо определенное время возбуждения {импульсное возбуждение с длительностью импульсов, мень- меньшей любого характерного атомного времени) и 2) регистра- регистрация испускаемого излучения во времени с временным разре- разрешением tR<^ 1/со,',. Из-за отсутствия приборов с достаточным временным разрешением применение экспериментов с кван- квантовыми биениями первоначально ограничивалось изучением эффекта Зеемана, когда с помощью магнитного поля созда- создавалось расщепление уровнен, составляющее несколько мега- мегагерц. Широкое исследование квантовых биений стало возмож- возможным только после появления лазеров с наносекундной дли- длительностью импульсов и особенно с развитием техники возбуждения пучка при прохождении через фольгу, где вре- времена возбуждения имеют порядок КН4 с. Подробности экспериментов, результаты а дополнительное обсуждение можно найти в недавно опубликованных книгах и обзорах. Мы особенно рекомендуем книгу Корни (Согпеу, 1977) и отдельные главы обзора Ханле и Клейнпоппена (Hanle, Kleinpoppen, 1978, 1979). 5.5. Временное интегрирование по квантовым биениям 5.5.1. Стационарное возбуждение Вернемся к выражению E.2.6). Оно описывает, например, следующую ситуацию. Ансамбль атомов возбужден в момент времени / = 0, и излучение, испускаемое при последующих распадах, наблюдается в направлении п. Детектор фотонов может иметь такое временное разрешение /д, что учитывает все фотоны, излученные в течение интервала времени @, tR). Соответствующие элементы матрицы плотности определяются выражением E.2.6) с t-*-tK. Периоды ©р} и среднее время жизни т = у~* много меььше обычных значений временного разрешения, так что множитель ехр(—у/д) фактически обращается в нуль. С уче- учетом этого E.2.6) сводится к выражению I Г [| Л> </2 || Г X F.5.1) где мы положили yi = у для всех i и где через р (п)Л'Л обо- обозначены проинтегрированные по времени элементы матрицы плотности для гц ;Э> т. Выражение E.5.1) применимо, в частности, к стационар- стационарному возбуждению (начинающемуся в момент t = 0), напри- например, с помощью волновых пакетов света, испускаемых резо- резонансной лампой, или потока электронов. В этой и следующей главах мы будем использовать импульсное приближение, т. е. будем аппроксимировать падающий поток последователь- последовательностью случайных импульсов, испускаемых в случайные мо- моменты времени. Это вызывает флуктуации, которые должны быть сглажены. Обсуждение затронутого вопроса можно найти в литературе (см. Series, Dodd, 1978), см. также гл. 7. Так как в случае стационарного возбуждения время на- наблюдения испускаемого фотона не определено относительно момента возбуждения, необходимо провести интегрирование по всем возможным значениям времени наблюдения; в ре- результате мы получаем выражение E.5.1). Полная матрица плотности равна Np(n)K'K, где N — число импульсов в секунду. Важно уяснить, что пропорциональные {T{JiJi]^Q) члены, характеризующие когерентность начальных состояний с раз- различными /ь обращаются в нуль, если уровни не перекры- перекрываются, т. е. если co^ много больше ширины линий: al'l ^ у. В этом случае I l/(/«V, + Y) К 1/Y E-5.2) и основной вклад в рА-А дают некогерентные члены с J'l=jl. С другой стороны, если среднее время жизни т много больше времени сор}, то в течение времени жизни атома происходит много осцилляции, которые практически взаимно сокра- сокращаются во всех зависящих от времени выражениях. В этом случае начальная когерентность атомных состояний с раз- различными энергиями не приводит к наблюдаемому эффекту. Наши результаты можно резюмировать следующим обра- образом. Если когерентно возбужден ряд состояний |/iMi> 6 Зак. 648
162 ГЛАВА 8 ИЗЛУЧЕНИЕ ПОЛЯРИЗОВАННЫХ АТОМОВ 163 с различными значениями /j и различными энергиями (это, согласно разд. 5.4, требует достаточно малого времени возбуж- возбуждения), то когерентность приводит к квантовым биениям (ср., например, рис. 2.1 с рис. 3.1, см. обсуждение в разд. 3.4.2). Соответствующие интерференционные члены можно непосред- непосредственно наблюдать в экспериментах с достаточно высоким временным разрешением и хорошо определенным моментом возбуждения. Однако, когда наблюдаются величины, проин- проинтегрированные по времени (что всегда имеет место при ста- стационарном возбуждении), когерентность состояний с различ- различными энергиями сохраняется, только если разность энергий возбужденных состояний мала по сравнению с их шириной. Если же расстояние между уровнями велико, то когерент- когерентность пропадает. 5.5.2. Эффекты деполяризации, вызванные тонкой и сверхгонкой структурой Рассмотрим теперь случай, когда предположения, сделан- сделанные в разд. 5.4.2, применимы, но временное разрешение де- детектора недостаточно для наблюдения квантовых биении. Вы- Выражение E.4.3а) необходимо теперь проинтегрировать по времени от 0 до tR. Полагая, что tR много больше среднего времени жизни возбужденных состояний, мы можем устре- устремить верхний предел интегрирования к бесконечности, допус- допуская при этом пренебрежимо малую ошибку. Интеграл от ко- коэффициентов возмущения G(L,t)Kexp(—yt) равен K^\ dtG(L, t)Kexp(-yt)- нами приводит к потере ориентации и выстроенности. Кроме того, при Ь2ф0 существует еще эффект деполяризации (см. обсуждение в разд. 5,3.1). Аналогичным образом, подставляя соответствующие коэф- коэффициенты возмущения D.7.21) или D.7.22) вместо G(L,t)K в выражение E.4.3а), можно учесть влияние сверхтонкой структуры на испускаемое излучение. Поучительно рассмотреть предельные случаи, когда ши- ширина линий либо много больше, либо много меньше расщеп- расщепления тонкой структуры «i,i. В первом случае имеем ~ — E.5.5) Т + «i'i У во всех членах выражений для параметров Стокса. Из E.5.3) и условия ортогональности для 6/-снмволов (В.10) получаем Л Si , L К BS,+Т) BL + 1) для всех значений К- Суммирование дает > G(L)K = 1/y, E.5.6) т. е. то же самое значение, что и в бесспнновом случае. Полученный результат легко понять, так как в рассматри- рассматриваемом случае среднее время жизни возбужденных состояний {L Л Si I2 Ш ваемом случае среднее время жизни возоужденных состоянии ~2S +1 X Bjr' + 1)BЛ+ l)j , , к \ 2 v 2-- E.5.3) ] % ~ у~1 мало по сравнению с временем прецессии сор', обус- v I -^ J V + ИТ'1 ш .пгтприипй гпин-ппбмтя.пьнпй гяяяьт. Иными гловями- ятом Проинтегрированные по времени элементы матрицы плот- плотности, следовательно, имеют вид р (п)^ = С (со) V tr [r_yT (L)Kq rU] D (n)JQ G (L)K (T (L)JQ). KQQ E.5.4)J Для синглет-синглетных переходов G(L)k— \/y. Для Si ф О можно показать, используя свойства 6/-символов, что G(L)k < \/у при К Ф 0. В силу этого соотношения величина G {L)K(T (?-)^Q) меньше, чем (l/y)(T(L)^Q) в синглетном слу- случае: связь орбитальных моментов с неполяризованными спи-] ловленной спин-орбитальной связью. Иными словами, атом испускает фотон прежде, чем может установиться прецессия. Поэтому взаимодействием, приводящим к тонкой структуре, можно пренебречь, и выражения для параметров Стокса имеют такой же вид, как и в случае бесеппновых атомов. Теперь рассмотрим случай у <С <ап» т. е. т> сор'; тогда Л = Л, при Л ф Л. E.5.7) Таким образом, как указывалось в разд. 5.5.1, основной вклад в параметры Стокса дают члены с Л = Л, а интерференци-
164 ГЛАВА 5 онными членами с Л Ф h можно пренебречь. Из E.5.3) и E.5.7) следует, что в таком случае 1 vp (L /, 8 1 У 5i + 1 E-5-8) Так как G{L)K<: \/у при К ф О, анизотропия и поляризация испускаемого излучения уменьшаются. Чтобы понять этот результат, вспомним, что в рассмат- рассматриваемом случае на время жизни атома приходится много периодов прецессии. Поскольку мы интересуемся величинами, усредненными по интервалу времени @, tR), где tR > т, все интерференционные члены практически компенсируют 'друг друга и сохраняются только не зависящие от времени члены с /i = /i (см. обсуждение в разделе 4.7.3). Подведем итоги нашему рассмотрению. Если расщепление тонкой структуры сравнимо с шириной линий, нужно исполь- использовать выражение E.5.3). Если ширина линии много больше расстояния между уровнями со,-,, то эффектами тонкой струк- структуры можно пренебречь. Если ?,, — ?, > /гу > Е, р- — Е, р , эффекты тонкой структуры следует учитывать, а сверхтонкой структурой можно пренебречь. Соответствующие множители G(L)K определяются выражением E.5.8). Если ширина ли- линии у мала по сравнению со сверхтонким расщеплением SE/ F' — Ej p \ то необходимо учитывать взаимодействие, приводящее к сверхтонкой структуре. Соответствующие вы- выражения для параметров Стокса получаются просто подста- подстановкой коэффициентов возмущения D.7.22) вместо G{L,t)K во все вышеприведенные формулы. 6 Некоторые приложения 61. Теория электрон-фотонных угловых корреляций в атомной физике 6.1.1. Синглет-синглетные переходы Основные выражения E.2.6), E.2.7) и E.4.2) можно при- применить к разнообразным экспериментальным ситуациям. В этой главе мы приведем несколько поучительных примеров их использования. В качестве первого примера покажем, как путем определения параметров Стокса можно извлечь ин- информацию о процессе возбуждения. В частности, рассмотрим возбуждение атомов электронным ударом при условиях, опи- описанных в разд. 3.5 и 4.6. Вся информация о процессе столкновения содержится в приведенной матрице плотности р@), описывающей состоя- состояния возбужденных атомов непосредственно после возбужде- возбуждения. Для полного ее определения необходимо измерить все независимые компоненты Q, —К ^ Q =?^ К, мультнполей со- состояния ранга К =?^ 2L. Если рассеянные электроны не наблю- наблюдаются, то отличными от нуля могут быть только компоненты тензоров с Q = 0. Более полную информацию о процессе воз- возбуждения можно получить, когда рассеянные электроны и испускаемые фотоны регистрируются на совпадение. В этом случае наблюдается только свет, испускаемый подансамблем атомов, а именно теми атомами, которые были возбуждены детектированными электронами. Как было показано в разд. 4.6, такой подансамбль характеризуется монополем, одной компо- компонентой вектора ориентации, тремя компонентами тензора вы- строенности и всеми независимыми компонентами тензоров более высокого ранга 2 < К «?[ L. Однако мультнполи ранга К > 2 могут быть получены из наблюдения дипольного излу- излучения только при наличии возмущений, перемешивающих тен- тензоры разных рангов (см. разд. 5.3). Обсуждаемые здесь эксперименты на электрон-фотонные совпадения позволяют определить четыре параметра кроме дифференциального се- сечения о. Экспериментальное определение этих параметров и сравнение их с теоретическими результатами обеспечи- обеспечивают более чувствительную проверку теоретических предска- предсказаний, чем более традиционные эксперименты, в которых
166 ГЛАВА в определяется только а. В данном разделе мы рассмотрим воз- возбуждение синглетных состояний из основного состояния атома с 50 = 0 и Lo = 0. Предположим, что наблюдается свет, ис- испускаемый при переходе L-^-L^. (S2 = 0), и что временное разрешение tR детектора фотонов много больше среднего вре- времени жизни возбужденных атомов. В отсутствие возмущений поляризационная матрица фотонов, испущенных в течение интервала времени @, tR), дается выражением E.5.1), где /i и /i следует заме- заменить на L. Из поляризацион- поляризационной матрицы плотности можно вывести явные выражения для пара- параметров Стокса. Испус- Испускаемые фотоны наблю- наблюдаются в направлении единичного вектора п, имеющего полярные уг- углы 6 и ф в системе стол- столкновения. Параметры Стокса удобнее всего "х- Система столкновения Рис. 6.1. Системы координат, используемые при описании экспериментов на совпадения. рассматривать в систе- ме координат, где на- nnaBJIelLp n СОВпалает правление и сиштдаи с осью квантования. Вектор поляризации испускаемого света лежит в плоскости, перпендикулярной направлению распространения п. В этой плоскости выберем два ортогональных единичных вектора ei и е2 (см. разд. 1.2). Вектор ei лежит в плоскости, образован- образованной вектором п и осью Z, и указывает направление увеличе- увеличения 0. Вектор е2 перпендикулярен ei и п и указывает на- направление увеличения ср. Вектор ei в системе столкновения имеет полярные углы F + 90е, ф), а вектор е2 — углы (90е, Ф + 90°). Следовательно, ei имеет такой же азимутальный угол, как и вектор п, а е2 лежит в ХУ-плоскости под углом ф к оси У (рис. 6.1). В этой системе координат, связанной с де- детектором, параметр Стокса ti3 равен степени линейной поля- поляризации в направлении ei, а г\\ — степени линейной поляри- поляризации под углом +45° к еь Параметры Стокса можно вы- вычислить, используя выражения E.4.3а), E.2.4) с /i=/i=L и A.2.23), а также явный вид элементов матрицы поворотов. Получаем НЕКОТОРЫЙ ПРИЛОЖЕНИЯ 167 п2е cos 2Ф - (Г(L)*) sin 26 cosФ + '/! (Г (L);>Ccos26- 1))], F.1.1а) X A + cos20) cos 2ф + (T (L)* ) sin 26 cos Ф F.1.16) X [(T (L)t2) 2 cos 0 sin 2ф + (T (L)*) 2 sin 0 sin ф], F.1.1 в) X 2i<Г(L)*) sine sin ф. F.1.1г) Здесь мы использовали приближение, введенное в разд. 5.5. Заметим, что тензоры /Г (/,).]„) и //Г(/,)^\ действительны (см. разд. 4.6). Монополь <lT(L)oo> можно найти путем измерения диф- дифференциального сечения. Выражения F.1.1) дают тогда раз- различные возможности для определения мультиполей состоя- состояний с К> 0. Например, можно измерить / для трех различ- различных пар углов 0, ф (это дает три уравнения для определения трех независимых компонент тензора выстроенностн), а из- измерив /т]2 при одном значении углов 0, ф, определить вектор ориентации. Можно поступить и иначе, а именно измерить все четыре параметра Стокса для одного и того же направ- направления 6, ф и, подставив их в F.1.1), получить четыре урав- уравнения для нахождения параметров ориентации и выстроси- ности. Такими способами можно определить эксперимен- экспериментально параметры возбуждения для различных атомов и сравнить их с теоретическими предсказаниями; дальнейшие подробности см. в обзоре Блума и Клейнпоппена (Blum, Kleinpoppen, 1979). Вообще говоря, все пять мультиполей, входящие в F.1.1), независимы. Следовательно, четыре параметра Стокса и диф- дифференциальное сечение а также являются независимыми ве- величинами. В частности, угловое распределение / содержит
168 ГЛАВА в информацию об атомном источнике, которая не может быть получена из определения других параметров. Первый эксперимент такого рода для возбуждения состоя- состояний 1Р в гелии выполнили Эминян и др. (Eminyan et al., 1974). В указанном случае (L = 1) возбужденные атомы пол- полностью характеризуются тремя параметрами (см. разд. 3.5.2). Обсудим этот случай более подробно. Параметры Стокса не являются независимыми, и для полного определения атомной матрицы плотности требуются только три независимых изме- измерения, например величин а, / и /г]2. Выражая мультипольные параметры через параметры а, К, %, введенные в разд. 3.5.2, получаем из F.1.1) при L = 1, L2 = О г || 1) р ij. о - sin2e cos 2Ф + cos2e) + — ?,)]1/2cosxsin2ecosq>], F.1.2a) КО II г [| 1> |2 ^ [>. A — ?u)]I/2 sin 5c sin 6 sin Ф) F.1.26) где подставлены значения 6/-символов. Отсюда следует, что в данном случае возможно полное определение амплитуд рас- рассеяния. Поэтому случай L= I, S\ — 0 представляет особый интерес. Из выражения F.1.26) следует, что степень круговой по- поляризации пропорциональна фазе %. Соответственно, измеряя величину 1ц2, можно непосредственно определить %. Если фотоны детектируются в направлении оси У (9 = <р = 90°), то степень круговой поляризации получается делением F.1.26) на F.1.2а): Выражая амплитуды рассеяния в D.6.1) через о, К и % со- согласно разд. 3.5.2, можно показать с помощью D.6.5а), что (Ly). F.1.4) Таким образом, гJ непосредственно характеризует степень ориентации или результирующий момент, переданный атомам в процессе возбуждения. Когда фотоны детектируются в щоскости рассеяния, Ф = 0 и % = +!. F.1.5) НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ 169 Это можно показать, если записать F.1.16) для L — 1, /% = - -1' @ " Г " Х) |2 Т {-Ц^ К" * - cos2 6)cos 2(P+ sjn2 61- — Asin26 — [ЯA — Я)]'/а cos x sin 26 cos ф }. F.1.6) Подставив ф = 0 и разделив на F.1.2а), получим F.1.5). Таким образом, фотоны, наблюдаемые в пло- плоскости рассеяния, являются полностью линейно-поляризо- линейно-поляризованными. Вектор электрического поля осциллирует вдоль на- направления еь Как указывалось в разд. 3.5.2, возбужденное 'Р-состояние представляет собой полностью когерентную суперпозицию состояний с различными М. Отсюда и из условия L2 = 0 сле- следует, что детектируемое излучение испускается в результате перехода между двумя чистыми атомными состояниями. Сле- Следовательно, свет обязательно оказывается полностью поляри- поляризованным, т. е. Р = 1. 6.1.2. Влияние тонкого и сверхтонкого взаимодействия на испускаемое излучение Теперь рассмотрим случай, когда электроны возбуждают атомные уровни с орбитальным угловым моментом L и спи- спином S\ ф 0, причем рассеянные электроны и испущенные фо- фотоны регистрируются на совпадение. Будем считать, что пред- предположения, обсуждавшиеся в разд. 3.5 и 4.7.2, выполнены. Непосредственно после возбуждения состояние рассматри- рассматриваемого подансамбля атомов описывается мультиполями со- состояния D.6.1). Затем они возмущаются за счет тонкого (и, возможно, сверхтонкого) взаимодействия, которое в свою оче- очередь оказывает влияние на излучение. Если наблюдаются только проинтегрированные по времени величины (с верхним пределом интегрирования 18>т), то элементы матрицы плотности испущенной радиации опреде- определяются выражением E.5.4), в котором мультиполи состояния определяются формулой D.6.1). Вспоминая, что для бесспи- бесспиновых атомов G{L)k= 1/y. параметры Стокса для рассмат- рассматриваемого случая можно получить, заменив (l/y)(T (L)KQy в выражениях F.1.1) на G (L)K (T (i)^Q). Так, например,
170 ГЛАВА в угловое распределение принимает вид [G(L)o"= 1/vl' ^][(r(L)|2)sin2ecos2<p- sin 26 cos Ф + (Г (L)|o) C cos26 - l)/6Vj]}. F.1.7) Чтобы найти выражения для параметров /tj3 и /tji, следует умножить F.1.16) и F.1.1в) на общий множитель yG(LJ, а /тJ получается умножением F.1.1г) на yG(L)i. В этих выражениях потеря ориентации и выстроенности, вызванная взаимодействием с ненаблюдаемой системой спи- спинов, описывается множителями G(L)i и G(LJ. Поскольку G(L)K < \/у при Кф§, выражение F.1.7) показывает, что угловое распределение становится более изотропным, чем в бесспиновом случае (угловое распределение «размазы- «размазывается» из-за наличия спин-орбитальной связи). Значения других параметров Стокса уменьшаются по сравнению с бес- бесспиновым случаем пропорционально yG(L)\ и yG(LJ соот- соответственно, что приводит к деполяризации испущенного из- излучения. Коэффициенты возмущения G(L)K определяются выраже- выражением E.5.3), если расщепление тонкой структуры со,', срав- сравнимо с шириной линий, выражением E.5.8), если расщеплен- расщепленные уровни не перекрываются (у -С со,',), и выражением E.5.6), если у » eo,'i. В последнем случае тонкое взаимодей- взаимодействие не влияет на испускаемый свет. Эффект взаимодействия, обусловливающего сверхтонкую структуру, можно рассмотреть способом, который описан в общих чертах в разд. 5.5.2. 6.2. Стационарное возбуждение 6.2.1. Поляризация ударного излучения Формулы, приведенные в разд. 6.1, описывают поляриза- поляризацию света, детектированного при совпадениях с рассеянными электронами, т. е. поляризацию фотонов, испущенных только выделенной частью ансамбля атомов. Теперь рассмотрим слу- случай, когда рассеянные электроны не регистрируются. Пред- Предположим, что детектор фотонов обладает достаточным разре- разрешением и может выделить фотоны, испускаемые при пере- переходе между уровнями с фиксированными квантовыми чис» НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ 171 лами LSi -*~ L2S2. Однако, поскольку электроны не регистри- регистрируются, следует учитывать все фотоны, испущенные при этом переходе, независимо от направления вылета рассеянных электронов. Если мы рассматриваем возбуждение стационарным пото- потоком падающих электронов, то момент испускания фотонов не определен относительно момента возбуждения. Поэтому сле- следует использовать усредненную по времени форму поляриза- поляризационной матрицы плотности. Когда рассеянные электроны не регистрируются, рассмат- рассматриваемая атомная система, согласно разд. 4.6.3, является вы- выстроенной, но неориентированной. Поэтому детектируемое излучение характеризуется только двумя параметрами: моно- полем <T(L)oo>, который пропорционален полному сечению Q, и параметром выстроенности (T(L)*0\, который определяется соотношением D.6.11). Соответствующие параметры Стокса легко получить, подставляя нули вместо всех мультиполей, кроме (Т (LH0\ и (T(L)\0\, в выражение F.1.7) и выражения для остальных параметров. Степень круговой поляризации н параметр tji обращаются в нуль, а ненулевые параметры Стокса определяются выражениями 3 BL + II'* 2о) C cos2 6-1), F.2.1a) X G (L2) C/2)v° (T (LJ+0) sin26. F.2.16) Монополь можно определить, измеряя полное сечение. Чтобы экспериментально определить (ТЩ^Л, можно измерить либо угловое распределение /, либо параметр /tj3. Обычно опреде- определяется комбинация этих параметров. Испускаемое излучение регистрируется под прямым углом к оси падающего пучка. Примем направление падающего пучка за ось Z, а направле- направление наблюдения за ось X нашей системы координат. Тогда единичные векторы ei и е2, определяющие введенную в разд. 6.1 систему координат детектора, параллельны соответ- соответственно —Z и У.
172 глава е Излучение, регистрируемое в направлении К, проходит че- через призму Николя, ось пропускания которой составляет угол Р с направлением падающего потока (т. е. угол 180° — р с осью ei). Прошедший через призму свет линейно-поляризо- линейно-поляризован, причем вектор поляризации е дается выражением A.2.5) с заменой р на 180° —р (ср. рис. 6.2 с рис. 1.4): е = — е, cos р — е2 sin р. F.2.2) Интенсивность пропущенного через призму света описывается выражением A.2.29) с r\i = х\2 = 0: 1е = A/2) [/ (X) + /Пз (X) cos 2p], F.2.3) ег где параметры 1(Х) и 1г[3(Х) определяются соответственно выражениями F.2.1а) и е , F.2.16) при 6 = 90°, ф = 0°. Обычно экспериментально измеряют поляризацию . ~ /,,-/, здесь /ц и 1± обозначают ин- интенсивности света, пропущен- пропущенного через призму Николя, Рис. 6.2. См. объяснение в тексте. когда ось пропускания парал- параллельна (р = 0°) и перпендику- перпендикулярна (р = 90°) оси Z. Используя F.2.3), получаем Р = -ГПГГ- = Лз (X)- F.2.5) Поскольку t]i = гJ = 0, абсолютная величина параметра F.2.4) равна степени поляризации Р = (rfi-{- т]| + Ч1I'2, вве- введенной в разд. 1.2. Подставляя в F.2.1) значения 6 = 90°, ф = 0, т. е. рассматривая случай, когда направление п парал- параллельно оси X, получаем — 1 2 Y 3BZ, + 1)'/2 ^ F.2.6) Таким образом, измерение Р в сочетании с определением пол- полного сечения Q позволяет извлечь из эксперимента параметр выстроенности. НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ 173 Для синглет-синглетных переходов G(L)K— \/y и F.2.6) сводится к выражению Р = - 2 3 BL + 1I/г (Чс> + (-1>L+L2 {lit} . F.2.7) В качестве примера рассмотрим случаи, когда излучение ис- испускается в переходе lD-*lP. Параметр выстроенное™ можно выразить через полные сечения Q(M), используя соотноше- соотношения D.6.11) и D.6.9): F.2.8а) м = - B/7)v' [2Q B) - Q A) - Q @)]. Аналогично из D.6.10) получаем (Т B)оо> = A/5)'/2 [2Q B) + 2Q A) + Q @)]. F.2.86) Подстановка выражений F.2.8) и численного значения бу'-еимвола в F.2.7) дает 3 [- 2Q B) + Q A) + Q @)] 6Q B) + 9Q A) + 5Q @) • F.2.9) 6.2.2. Пороговое и псевдопороговое возбуждение Как впервые отметили Персиваль и Ситон (Percival, Seaton, 1957), приведенные формулы значительно упро- упрощаются для порогового возбуждения. Так как мы пренебре- пренебрегаем связью со всеми спинами в процессе столкновения, спи- спиновый и орбитальный моменты сохраняются по отдельности, что, в частности, дает где Мо и /по (М и nil)—магнитные квантовые числа началь- начальных (конечных) состояний соответственно атомов и электро- электронов. Проекция орбитального момента падающего электрона на направление распространения равна нулю (то = О). После порогового возбуждения падающий электрон имеет ну- нулевую энергию и, следовательно, нулевой орбитальный мо- момент (/7ii = 0). Таким образом, магнитное квантовое число атомов не может измениться при столкновении, и, поскольку предполагается, что атомы возбуждаются из основного со- состояния с Lo = 0, при пороговом возбуждении могут возбуж- возбуждаться только состояния с М = 0.
174 ГЛАВА в НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ 176 Итак, при пороговом возбуждении только сечение Q@) отлично от нуля, и из D.6.11) и D.6.10) имеем " " ' " F.2.10а) F.2.106) Подставляя F.2.10) в F.2.6), мы видим, что Q@) исклю- исключается из окончательного выражения для Р. Таким образом, пороговое значение поляризации Pthr есть величина, завися- зависящая только от геометрии процесса возбуждения и не завися- зависящая ни от каких (измеренных или вычисленных) значений сечения: 1 у 3BL+ 1) F.2.11) В случае L=\, L2 = 0, Si — 0 F.2.11) дает значение PthT = 1. Это легко понять, если заметить, что непосред- непосредственно после возбуждения атомы находятся в чистом со- состоянии \L,M = 0>. Регистрируемые фотоны испускаются при переходе между двумя чистыми состояниями \L, М=0}- ->|0> и, следовательно, полностью поляризованы. Если то испущенное излучение деполяризуется, поскольку конеч- конечные состояния атомов с М2 = ±1, 0 не регистрируются. Со- Соответствующий эффект деполяризации явно описывается 6/-символом в выражении F.2.11). Если, кроме того, Si ф 0, то наблюдается дополнительная деполяризация за счет взаи- взаимодействия с ненаблюдаемой системой спинов. Эта деполя- деполяризация описывается множителем G(LJ в выражении F.2.11). В общем случае G(LJ определяется формулой E.5.3). Если уровни тонкой структуры не перекрываются, то справедливо выражение E.5.8) и начальная когерентность различных состояний тонкой структуры нарушается. Если не- необходимо учитывать такое сверхтонкое взаимодействие, то соответствующие коэффициенты возмущения можно опреде- определить из D.7.22). Проведенное обсуждение еще раз показы- показывает важность тонкого и сверхтонкого взаимодействия и влия- влияние ширины уровней; оба названных фактора могут значи- значительно менять поляризацию излучения. Интерпретация этих результатов с помощью векторной модели дана в обзоре Клейнпоппена (Kleinpoppen, 1969). Большой интерес представляет поляризация импульсного излучения у порога. При попытках прямого измерения поро- говой поляризации возникают трудности, связанные с изме- измерениями малых интенсивностей, а также с эффектами возник- возникновения каскадов и резонансов в околопороговой области энергий. Как указали Кинг и др. (King et al., 1972), измере- измерение поляризации, выполненное для подсистемы атомов, кото- которые возбуждены рассеянными вперед электронами, воспроиз- воспроизводит пороговые условия в отношении поляризации, а ошибки, вызванные каскадными процессами и резонансами, при этом устраняются. В самом деле, рассеянные вперед электроны имеют нулевую г-компоненту орбитального углового момента как до, так и после рассеяния (mo = mi = O), если направ- направление движения совпадает с осью квантования. В таком слу- случае, если рассматривать возбуждение из основного состоя- состояния с L = 0 и пренебречь эффектами спин-орбитальной связи в процессе столкновения, могут возбуждаться только состоя- состояния с М = 0. Соответствующие мультиполи (Гоо) и (Тго) определяются выражениями F.2.10), в которых Q@) следует заменить дифференциальным сечением о@), описывающим возбуждение состояний сЖ = 0 рассеянными вперед электро- электронами. В эксперименте регистрируются на совпадение рас- рассеянные вперед электроны и испущенные фотоны и изме- измеряется величина Р. Сечение а@) исключается из выражения для Р, и Р определяется по формуле F.2.11). Такой метод был недавно применен в атомной и молеку- молекулярной физике [см., например, доклад Мак-Конки (McConkey, 1980) и приведенную в нем литературу]. 6.3. Влияние слабого магнитного поля 6.3.1. Коэффициенты возмущения для различных геометрий. Явления когерентности В этом разделе мы рассмотрим влияние магнитного поля на испускание света. Поле предполагается слабым, т. е. мы считаем, что среднее значение взаимодействия с магнитным полем много меньше расстояния между исходными рассмат- рассматриваемыми уровнями в отсутствие поля. При этом можно воспользоваться теорией, развитой в разд. 4.7.4, и пренебречь влиянием поля на процесс возбуждения. Однако при описа- описании временной эволюции возбужденных состояний между мо- моментами возбуждения и распада влияние поля следует учи- учитывать. Если обратиться к векторной модели, то возмущение, обусловленное полем, описывается прецессией векторов угло- углового момента вокруг направления поля Н с ларыоровской частотой,
176 ГЛАВА в Пусть при t = 0 возбуждены состояния | 7М>. Тогда вы- выражение для поляризационной матрицы плотности испускае- испускаемых фотонов получается из E.4.2). Для рассматриваемого случая оно имеет вид р (п, t\,K - С (со) ^ tr [r_vr G,)^ r+x] D (О, 6, „)$ X X G @«J ехр (- yt) (T (/,)+Q), F.3.1) где q — W — К, и след выражения в квадратных скобках определяется формулой E.2.4). Нужный нам коэффициент возбуждения можно найти, воспользовавшись выражением D.7.30): G (tfKq' = E D (OpV)'*' ехр (- i®LQ't) D (OPV)™ F.3.2) 1 НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ 177 Q' Q'Q' где р и а — полярные углы, определяющие направление поля Н в координатной системе XYZ, связанной с процессом возбуждения. Выведем теперь явные выражения для коэф- коэффициентов возмущения для некоторых геометрий, представ- представляющих интерес. 6.3.1.1. Поле, параллельное оси Z В этом случае применима формула D.7.31): G (t)^ = ехр (— iaLtQ) 6Qq', F.3.3) и F.3.1) принимает вид p(n, t)VK = C (<?>) J] tr[r_yT (JA r гЦ]1>@, 6, ф)!5\ ОХ X ехр (— iaLQt — yO {T Vi)kq)- F.3.4) Полученное выражение показывает, что угловое распределе- распределение и поляризация испущенного излучения осциллируют с частотой, зависящей от напряженности магнитного поля. Квантовые биения возникают, когда Q Ф 0, т. е. когда уровни с различными М возбуждены когерентно. Магнитное поле не оказывает никакого влияния, если процесс возбуждения сим- симметричен относительно оси Z (см., например, случай, обсуж- обсуждавшийся в разд. 4.5.3). 6.8.1.2. Вектор п параллелен оси X, поле Н параллельно оси У Теперь рассмотрим, что происходит, когда испущенный свет наблюдается в направлении X, а поле направлено вдоль оси У. В этом случае в выражениях F.3.1) и F.3.2) 6 = 90°, ш = 0, р' = а' = 90°. После ряда алгебраических преобразований получаем 5>@, п/2, 0)^_Kq,G(t)^K^exV(inQ/2)(-lf d(aLt)%+KQ. F.3.5) Подстановка F.3.5) в F.3.1) дает р(X, t\,% =C(o)| tr[r_v7G,)^ w_hrtK]exp(inQ/2)X X (-if d Ш){%+к Q exp (- yt) (T G,4). F.3.6) Временная модуляция pv?, определяется множителем В качестве примера применения соотношения F.3.5) рас- рассмотрим ансамбль атомов, возбужденных с помощью про- процесса, аксиально-симметричного относительно оси Z (напри- (например, возбуждение пучком неполяризованного света или при прохождении пучка через фольгу, ось которой параллельна оси пучка). Возбужденный ансамбль характеризуется моно- полем и параметром выстроенности с К = 2, Q = 0. Интен- Интенсивность излучения, наблюдаемого в момент / в направлении X, определяется выражением + C(co)tr[r_irGIJOr+_,](l/2)(l+3cos20^)X ' F-3.7) где использованы явные выражения для cf-функций и тож- тождество Пх] = (-D^ tr [rK.T Выражение F.3.7) показывает, что интенсивность испытывает осцилляции с удвоенной ларморовской частотой. Интересно рассмотреть эффект когерентности, ответственный за эти квантовые биения. Только (Too) и (Гоо) дают вклад в F.3.7) в результате некогерентного возбуждения состояний |7iiVfi> с различными Mi, где Mi определены относительно оси кван- квантования Z. Интерференционные эффекты между собственными состояниями 17iMi) гамильтониана который задает временную эволюцию между моментами воз- возбуждения н распада, ответственны за квантовые биения
178 ГЛАВА 6 (см. обсуждение в разд. 5.4.2). Если определить М{ по отно- отношению к оси квантования, параллельной Н, то имеем ехр [— (Щ Ht\ | hMi) = exp [— (i/h) (Ел - hvLM[) t] | JxM\). Любое состояние |/iM перпозиции состояний можно записать в виде линейной су- суMf) где не все возможные значения Mi могут существовать в новой системе. Матрица плотности р, описывающая возбуж- возбужденные атомы, диагональна по М, но, вообще говоря, не диа- гональна по М[, если величина <7го> отлична от нуля (в про- противном случае матрица р пропорциональна единичной мат- матрице, которая диагональна в любом представлении). Эта когерентность между состояниями вызывает интерференцион- интерференционные эффекты, выражаемые d-функцией в F.3.7). Приведен- Приведенный пример еще раз показывает, что процесс возбуждения, некогерентный для одной оси квантования, может быть ко- когерентным для других осей. В общем случае если магнитное поле не параллельно оси Z, то интерференционные члены возникают, даже если со- состояния |/iMi> возбуждены некогерентно. Чтобы наблюдать квантовые биения, достаточно получить различную заселен- заселенность состояний |/iMi>, т. е. ненулевой параметр выстроен- ности, как показывает выражение F.3.7). Выражение F.3.7) можно использовать для определения параметра выстроенности, а также гиромагнитного отношения [дальнейшие подробности можно найти в обзоре Масека и Бернса (Масек, Burns, 1976)]. 6.3.1.3. Вектор п и поле Н параллельны оси X Наконец, рассмотрим геометрию, когда направление на- наблюдения и направление поля параллельны оси X. Можно показать, что в этом случае ? D (О, я/2, 0)™_к ,, G (*)« J = d (- я/2) «^ X X ехр [— ltaL {%' - К) t]. F.3.8) Подстановка последнего выражения в F.3.1) дает р {X, t\,x = С (со) Е tr [r_xJ (/,)л %,_% it x] d (- n/2)^k,_x X X ехр [- ftoL {К' -X)t- yt\ (T (/,)^). F.3.9) НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ 179 Нужно заметить, что в такой геометрии интерференционные эффекты не зависят от Q (и поэтому не зависят от того, коге- когерентно или некогерентно возбуждены состояния с различ- различными Mi). Квантовые биения зависят от I/ — К, и только в не- днагональных по % элементах поляризационной матрицы плотности будет проявляться временная модуляция. В сле- следующем разделе мы подробно рассмотрим выражение F.3.9) и его следствия. 6.3.2. Магнитная деполяризация. Теория эффекта Ханле В 1920-х годах Ханле (Hanle, 1924) открыл явление депо- деполяризации резонансной флуоресценции атомов под влиянием внешнего магнитного поля. В течение последних 30 лет метод магнитной деполяризации получил дальнейшее развитие и широко применялся для изучения эффекта Зеемана и сверх- сверхтонкой структуры основного и возбужденных состояний, а также для определения радиационного времени жизни и скорости атомной релаксации. В настоящем разделе мы вы- выведем формулы, необходимые для описания таких экспери- экспериментов. Рассмотрим атомную систему, возбужденную линейно-по- линейно-поляризованным светом. Удобно определить систему столкно- столкновения следующим образом. Ось Z выбирается параллельной вектору поляризации е падающего света, а ось У — парал- параллельной оси падающего пучка. Будем считать, что испускае- испускаемый резонансный свет наблюдается в направлении X, а внеш- внешнее магнитное поле также параллельно X. Как показано в разд. 4.5.3, поглощение плоскополяризо- ванного света с вектором е, параллельным Z, обусловливает выстроенность возбужденных атомов, но не создает их ориен- ориентации. Следовательно, систему атомов можно полностью опи- описать двумя параметрами, (Т (/iH0) и (Т^^). Поляризацион- Поляризационная матрица плотности испускаемого излучения для рассмат- рассматриваемой геометрии дается выражением F.3.9). Параметры Стокса можно определить с помощью F.3.9) и A.2.23), ис- используя систему координат детектора, введенную в разд. 6.2.1 (в нашем случае векторы n, ei и е2 параллельны соответ- соответственно осям X, —Z и У). Считая, что момент возбуждения {t = 0) хорошо определен, получаем HX,t) 2C(co) ^it.) exp (- B/, + 1I/г - С (со) tr [r_J (Л)^ rti] ехр (- V0 (Т (/,)*}. F.3.1Оа)
180 ГЛАВА в НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ 181 . О = - С (со) tr [г_,Г (/,J_2 г\,] C/2)'/г (cos 2coL/) o)' F.3.106) /г), (J, /) = С (со) tr [/•_,! (/,J_2 r+,] C/2)'/2 (sin 2coL/) X Xexpt-v^)^ (/,&), F.3.10b) ' /t]2 (*, fl = 0. F.3. Юг) Последнее равенство следует из того, что начальное состояние возбужденных атомов не ориентировано и что магнитное поле не смешивает мультиполи разных рангов [см. F.3.9)]. За- Заметим, что I(X, t) не зависит от поля. Особый интерес представляют параметры Стокса, проин- проинтегрированные по времени. Интегрируя выражения F.3.10) по времени от 0 до tR, где tR много больше среднего времени жизни (так что верхний предел можно устремить к бесконеч- бесконечности, допуская при этом пренебрежимо малую ошибку), по- получаем /(X) --= [2С(co)/y B/, + I)*] tr (r_,rt,) (Т (/l)oo> - r /1Jог-.]<Г(/02о>. F.3.11а) GTc и tr tr-' F.3.116) tr F.3.11b) Если излучение, наблюдаемое в направлении X, проходит через линейный поляризатор с осью пропускания, составляю- составляющей угол р с осью Z, то вектор поляризации е пропущенного света определяется выражением F.2.2), которое является частным случаем общей формулы A.2.4) при 6 = 0. Интен- Интенсивность пропущенного через поляризатор света можно по- получить, подставляя F.3.11) в A.2.29) и полагая 6 = 0: / (JQ. - / (Х)/2 - A/2) G/2)* tr [r_lT (/,J_2 гЦ (Т G,)^ Х X ( U2 r cos 2P F.3.12) Полезно рассмотреть пример использования соотношения F.3.12). Пусть падающий линейно-поляризованный свет воз- возбуждает атомы из основного состояния lS в состояние 1Р. В силу правила днпольного отбора может возбуждаться тояько состояние с магнитным квантовым числом М = О, и единственный неисчезающий элемент матрицы плотности возбужденного состояния есть (М = 0|р|М = 0> = рОо- Со- Соотношение D.3.3) дает (Гоо) = 3-"/2Роо, G-2о) = -B/3)'/2Роо. F-3.13) Вычисляя следы в выражениях F.3.11а) и F.3.12) и описы- описывая последующий переход в основное атомное состояние с по- помощью E.2.4), получаем tr(r_1rt1) = (l/3)|@||r||l)|2) tr(r-,r(lJorl,) = (l/3-6'/2)l<O||r||l)|2) tr(r-i741),-2rf) = (l/3)|<0||r||l>f. F.3.14) Подстановка F.3.13) и F.3.14) в выражения F.3.11а) и F.3.12) даст | = С(сй)|<О||г||1)|2Роо/3, F.3.15а) Y2 ПХ) = •sin2P F.3.156) Следует заметить, что форма наблюдаемого сигнала 1(Х)е, описываемая выражением F.3.156), зависит от ориентации поляризатора относительно детектируемого пучка. Говорят, что кривая зависимости /(Х)е от напряженности поля имеет лоренцевскую форму при р = 0 и дисперсионную форму при Р = 45°. На рис. 6.3, а и б показаны соответствующие кривые, описываемые выражением F.3.156) в этих частных случаях. Рассмотрим, наконец, поляризацию Р, определенную вы- выражением F.2.4): ' ^-, F.3.16) Р = - + где /ц(/±)—интенсивность света, пропущенного через поля- поляризатор, ось которого параллельна (перпендикулярна) оси Z. Интенсивности /ц и 1± можно получить из A.2.29), полагая Р = 0 и р = 90°. Это дает Р = Чз. F.3.17) Подстановка F.3.11а) и F.3.116) в F.3.17) приводит к сле- следующему результату.
182 Рис. 6.3. Форма кривых Ханле. НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ где Ро — поляризация в отсутствие внешнего поля Множитель 183 описывает деполяризацию испускаемого при флуоресценции света, вызванную магнитным полем. При медленном измене- изменении поля Н поляризация излучения Р изменяется: от макси- максимального значения при нулевом поле она монотонно падает с ростом напряженности поля (рис. 6.4). В этом и состоит эффект Ханле, или магнитная деполяризация резонансного излучения. Мы хотели здесь показать, что формулы F.3.12) и F.3.15) представляют собой прямые следствия общей теории, изло- изложенной в гл. 4 и 5. Интерпретацию эффекта Ханле с помощью полуклассической модели, экспериментальные результаты и приложения можно найти, например, в обзоре Коэна-Тан- нуджи и Кастлера (Cohen-Tannouidji, Kastler, 1966) и в книге Корни (Согпеу, 1977). Рис. 6.4. Деполяризация резонансной флуо- флуоресценции.
КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ РЕЛАКСАЦИИ 185 Квантовая теория релаксации 7.1. Уравнения для матрицы плотности диссипативных квантовых систем 7.1.1. Условия необратимости. Марковские процессы Рассмотрим незамкнутую систему, находящуюся в постоянном контакте с окружающей средой и обменивающуюся с ней энер- энергией, поляризацией и т. д. Если вначале система находится в неравновесном состоянии, то с течением времени — при опре- определенных условиях, которые будут сформулированы ниже,— она перейдет в равновесное состояние, определяемое внеш- внешними условиями, в частности температурой. Этот постепенный переход в равновесное состояние называется процессом релак- релаксации. В настоящей главе мы рассмотрим некоторые методы изучения таких процессов. Явления релаксации представляют собой необратимые процессы. Фундаментальные квантовомеханические уравнения движения — уравнения Шредингера и Лиувилля — описывают обратимую эволюцию во времени, поэтому основная проб- проблема заключается в решении вопроса, каким образом может возникнуть необратимость, если микроскопическое поведение частиц строго обратимо. В последние годы достигнут успех в решении этого вопроса. Подробное рассмотрение современ- современной теории выходит за рамки нашей книги, и мы рекомендуем читателям, интересующимся подробностями, обратиться к со- современным учебникам по статистической физике, например к книге Пригожина (Prigogine, 1981). Начнем с понятий, введенных в разд. 3.2. Рассмотрим си- систему S, взамодействующую с ненаблюдаемой системой R. Обозначим матрицу плотности полной системы через p(t) и полный гамиль'тониан через Н = Hs -f- HR -f- V, где Hs и Hr — гамильтонианы систем S и R, а V описывает взаимо- взаимодействие между S и R. В представлении взаимодействия вре- временная эволюция p(t) описывается уравнением B.4.41) или B.4.42). Подстановка B.4.42) в B.4.41) дает t Р @/ = (- ЦЬ) W (О/, Р @)] - №? \ df [V (t),,[V (t% о G.1.1) где f>@' — производная по времени от оператора p(t)i, a p(t)i и V{t)i — операторы в представлении взаимодействия, связанные с их шредингеровским представлением соответ- соответственно соотношениями B.4.37) и B.4.25), в которых Но сле- следует заменить на Hs + HR. Приведенная, или редуцированная, матрица плотности p{t)s, описывающая рассматриваемую систему S, получается из p(t) путем взятия следа по всем переменным ненаблюдае- ненаблюдаемой системы R согласно выражению C.2.5). Таким образом, в представлении взаимодействия G-1-2) и из уравнения G.1.1) получаем р (thi=(- ЧЩь*[V@/, р @)/]- t - (//А2) \ df tre [V (t),, [V (f),, p (t'),]l GЛ.З) о При записи уравнении G.1.1) и G.1.3) предполагалось, что взаимодействие включается в момент времени t = 0. До этого момента S и R некоррелированы, и полная матрица плотности равна прямому произведению (см. приложение А): = Р@)/. G.1.4) Связь между двумя системами может приводить к обрати- обратимому изменению энергии, поляризации и т. д. Такой пример был рассмотрен в разд. 5.7: связь орбитального углового мо- момента с ненаблюдаемой системой спинов. Чтобы возник необ- необратимый процесс, необходимо наложить на ненаблюдаемую систему дополнительные условия, препятствующие тому, чтобы энергия, первоначально содержащаяся в системе S и перешедшая в ненаблюдаемую систему R, переходила в си- систему S за любое конечное время. В этом вопросе мы следуем Фано (Fano, 1957) и делаем первое из двух ключевых предположений. Предполагается, что R имеет так много степеней свободы, что результат взаи- взаимодействия с S быстро исчезает и не оказывает сколько-ни- сколько-нибудь значительной обратной реакции на S, поэтому система R всегда описывается с помощью теплового равновесного распределения при постоянной температуре независимо от количества энергии и степени поляризации, перешедших в нее из системы S. Другими словами, мы предполагаем, что можно пренебречь реакцией S на R [поэтому система R всегда опи- описывается матрицей плотности р@)р] и корреляциями между •S и R, вызванными взаимодействием. В таком случае р@'
№ ГЛАВА 1 КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ РЕЛАКСАЦИИ 187 можно представить в каждый момент времени в более про-.1 стом виде: > Р @/ -> Р (О/ = Р (Ом Р @)л, G.1.6) не вводя сколько-нибудь заметной ошибки при вычислении p(t)si- Матрица плотности р@)й определяется формулой B.6.1): рЯл)/г. G.1.6)! Соотношение G.1.5) является основным условием необрати- необратимости. Далее мы будем рассматривать поведение «малой» дина- динамической системы S, связанной с «большой» системой R, имеющей много степеней свободы. Во всей этой главе мы будем называть большую систему «термостатом» или «резер- «резервуаром». Например, атомы в газе сталкиваются с другими атомами, и последние могут играть роль теплового резер- резервуара для рассматриваемых атомов. Свет в замкнутой поло- полости взаимодействует со стенками, которые играют роль тер- термостата для света. В экспериментах по магнитному резо- резонансу спиновые переменные взаимодействуют с другими сте- степенями свободы («решеткой») и переменные решетки обра- образуют термостат. Подстановка в уравнение G.1.3) приближенной матрицы плотности G.1.5) дает Р (Ом = - {№) tr* [V (t)h Р @)s р (О)*] - t -A/ЙJ \dt'trR[V{t)h [V(t% p(OwP@)*]]. G.1.7) о Следует заметить, что поправки, не учитываемые в G.1.6) и G.1.7), можно рассматривать путем последовательных приближений. Если член взаимодействия V равен нулю, то система и резервуар некоррелированы и p(t)i = р(/)/- Если взаимодействие V мало (т. е. |V| «; |Я$|, |1^| < |Яя|), то можно записать = Р@мР@)я+Др, G.1.8) где Ар имеет порядок малости V. Подставляя G.1.8) в G.1.3) и удерживая члены порядка V2, мы получаем уравнение, G.1.7). Следовательно, G.1.7) представляет собой уравнение: движения для динамической системы с точностью до второго порядка по взаимодействию. В уравнении G.1.7) p{t')si стоит под интегралом, следо-- вательно, поведение системы зависит от ее предыстории с мо- момента времени if =¦ 0 до момента if = t. Однако движение системы 5 демпфируется за счет ее связи с резервуаром; это демпфирование уничтожает информацию о поведении системы в прошлом. Поэтому мы делаем второе ключевое предположе- предположение: p{t)si зависит только от текущего значения p(t)si- Дру- Другими словами, предполагается, что система теряет всю па- память о своем прошлом. Тогда в уравнении G.1.7) можно сделать замену > р(Ом-Р@м- G-1.9) Эта замена соответствует марковскому приближению и при- приводит к уравнению > Р (Ом = - №) tr* [V @/, P(O)sP (ОЫ - t - A/ЙJ J df\vR [V (О/, [V (П„ p{t)sP(O)R]]. G.1.10) о В следующем разделе мы рассмотрим марковское прибли- приближение более подробно. 7.1.2. Временные корреляционные функции. Обсуждение марковского приближения Следующий шаг при анализе приближения G.1.9) заклю- заключается в рассмотрении коэффициентов при p{t)si- Мы сле- следуем здесь работе Луазелля (Loisell, 1973), в которой можно найти более подробное изложение отдельных вопросов (см. также Sargent, Scully, Lamb, 1974; Haken, 1970). Предположим, что оператор взаимодействия можно запи- записать в виде У=?<2Л-, G.1.11) где операторы Ft связаны с резервуаром, а операторы Q, дей- действуют только на переменные динамической системы. В пред- представлении взаимодействия = exp [i {Hs + HR) t/h] V exp [- / {Hs + HR) t/h] = F{t)iQ(t)i G.1.12) где У@4=ехр(/Я^/Й)^ехр(-/Я^/Й), G.1.13а) Q (t)i — exp (lHatfh) Qi exp (- lHst/h). G.1.136) Подставляя выражение G.1.12) в уравнение G.1.10), ис- используя коммутативность операторов Ft и Qi и свойство
188 ГЛАВА 7 КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ РЕЛАКСАЦИИ 189 цикличности следа, получаем р @5/ = - №) I iQ V)t р @)я/ tr* {F (/), р (о)*) f «Q @/ Q (О/ p Ws/ - Q (O/ p @s/ Q @/) X X tr* {F W,F {t'), 9 @)*) - (Q (ft p {t)SI Q (O/ - - P @s/ Q CO/ Q C)i) tr* (F (П/ F (ft p @)*)}. G.1.14) Рассмотрим сначала средние значения (F @,) = tr* (F @i P @)*) = Z (N | f @,1N) (N | p @)* | N), G.1.15) где след удобно вычисляется с помощью собственных состоя- состояний \N} оператора HR, поскольку равновесная матрица плот- плотности G.1.6) диагональна в этом представлении. Предполагая, что операторы взаимодействия Fi не имеют диагональных элементов в этом представлении (иначе свободный гамиль- гамильтониан можно было бы переопределить так, чтобы включить в него соответствующие члены), получаем <F(ft> = 0. G.1.16) Это эквивалентно предположению, что среднее значение сдвига частоты, обусловленного взаимодействием, равно нулю. Таким образом, первый член в уравнении G.1.14) обращается в нуль. Далее рассмотрим функции (f (ft/7 С0/> = tr* (F @, F (tf), p @)*). G.1.17) Это временные корреляционные функции, т. е. средние значе- значения произведений физических величин, взятых в различные моменты времени. Они характеризуют корреляцию, которая существует в среднем между взаимодействиями в моменты t и V. Как уже говорилось, резервуар предполагается большим и таким, что в нем быстро затухают эффекты взаимодействия, следовательно, резервуар будет быстро «забывать» о взаимо- взаимодействиях с системой 5. Таким образом, можно ожидать, что функция (F(i) iF(f) /> отлична от нуля в некотором интервале t — if c<: т, где % представляет собой характерное время ре- резервуара и называется корреляционным временем резер- резервуара. Взаимодействия в моменты времени t и if становятся очень мало коррелированными для t — V > т и некоррелиро- некоррелированными для t—t">x, когда с учетом G.1.16) имеем (F (/), F (/')/> - (F (/),) (F (/')/) - 0. G.1.18) Следовательно, корреляционная функция (F(t) iF(tr),) имеет максимум при t = V и уменьшается с увеличением разности t-f. Корреляционное время т в среднем определяет время, в течение которого сохраняется некоторая память о взаимо- взаимодействии. Природа т зависит от природы резервуара. В газах, например, т может определяться средним временем свобод- свободного пробега между двумя столкновениями. В экспериментах по магнитному резонансу любые ядра взаимодействуют с маг- магнитным моментом соседних ядер, а в случае жидкостей т определяется средним временем, в течение которого ядра данной пары находятся в непосредственной близости друг от друга, прежде чем разойдутся в результате диффузии. Наконец, заметим, что корреляционные функции G.17) стационарны, т. е. зависят только от разности t — t'. Это можно показать, если использовать определение G.1.13а), свойство цикличности следа и то обстоятельство, что равно- равновесная матрица плотности G.1.6) коммутирует с гамильто- гамильтонианом HR: F (/), F (П/> = tr* [ехр (Шкф) Ft exp (- iHRt/h) exp ЦН^/Н) Х XF,exp(-iHRt'/h) р@)«] = X Fl exp [- IHR (/ - t')lh] Fjp @)*} = ^(Fit-ntFj). G.1.19) Теперь мы используем эти результаты и снова рассмотрим марковское приближение. В силу свойства G.1.18) в инте- интеграл в G.1.7) дает ненулевой вклад фактически только интер- интервал от ? ж t — т до f — t. Следовательно, значения p{t')si в момент if, лежащий вне этого интервала, влияют мало или совсем не влияют на значение p{t)si в момент времени t. Таким образом, система способна помнить свое состояние только в течение интервала времени, немного превышающего корреляционное время. Обычно интерес представляет макро- макроскопическое поведение системы, а не детальные изменения ее состояния. Если т много меньше характерного времени 1/v (времени затухания или распада), требующегося для заметного изменения p(t)si в макроскопическом масштабе, т<1Д>, G.1.20)
190 ГЛАВА 7 то в подынтегральном выражении в уравнении G.1.7) p(t')si » p(t)si и марковское приближение справедливо. Замена p{t')si на p{t)si в уравнении G.1.7) подразуме- подразумевает, что мы не пытаемся подробно описать движение си- системы в течение интервалов времени, сравнимых с т. Нас ин- интересует величина Ар (t)SI p(t + &t)SI - Р @s/ л, , о,ч —кг1-- ft -• <7Л-21> где сравниваются два значения матрицы плотности системы в моменты времени t и t -\- M, причем интервал А^ много больше т, но еще достаточно мал, чтобы изменение p(t)si было линейным по А^. Если удается найти интервал Д^, удов- удовлетворяющий этим условиям, то Др/Atf можно заменить про- производной по времени G.1.10). Необходимо только помнить, что нельзя использовать это уравнение для описания изме- изменений p{t)si в течение интервалов времени, меньших т. В ука- указанном смысле марковское приближение часто называют «крупнозернистым» усреднением, а производную G.1.10) —- «крупнозернистой» производной. 7.1.3. Уравнение релаксации. Секулярное приближение Обратимся к дальнейшему рассмотрению уравнения G.1.14). Применяя соотношение G.1.19) и вводя переменные dt' ... в ин- с t теграл \ dt" Корреляционная функция iF(t")iFj} фак-. тически равна нулю при t" > т, поэтому верхний предел инте- интегрирования можно устремить к бесконечности, что в марков- марковском приближении дает пренебрежимо малую ошибку. Ис- Используя G.1.16), получаем G.1.22) \dt"{[Q(t)it Qit- - [Q@t. PVhiQ(t~ t")i\(F,F(Hi)}- Заметим, что вся информация о резервуаре содержится в кор- корреляционных функциях. Беря матричные элементы от опера- операторов Qt по собственным состояниям |т> гамильтониана Hs, можно написать с помощью G.1.136) (т | Q (/),1 п) = exp (tomnt) (m\Qt\ n), G.1.23) КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ РЕЛАКСАЦИИ \§\ Вводя обозначения ?тып = (W? У {т I Qi | k) (l\ Q, | n) \ dt" exp (- Ш1пГ) (F (t'% F,), Ч о G.1.24a) oo ¦ tnkln = а <m IQ/1 *> <Л Qf I »> \ dt" exp (- mmkt") (F;F {t'%), о G.1.246) после некоторых алгебраических операций получаем выра- выражение Е ? I Р (t)SI | П> { - Е 6тЛW «' I P (t)s, W) ,Jexp[/((omV + (omn)a G.1.25a) которое можно представить в виде (Ш' I p {t)S, | m) = E ? I P {t)si I«) Rm'mn'n X n'n X exp [/(?„' - Em - ?„- + ?n)//A], G.1.256) где не зависящие от ? параметры Rmrmn'n равны величинам в фигурных скобках в выражении G.1.25а). Зависящая от времени экспонента в G.1.256) обращается в нуль при условии р , р р,_|_р — Г) G 1 9(\\ л-*т L-im '^•n i л-'п — "• \' • 1ч-и^ Уравнение G.1.25) часто заменяют приближенным уравне- уравнением ' I P (t)si I т) = ^' (п' | р {t)SI | it) G.1.27) где где штрих у знака суммы означает, что в сумме остаются только секулярные члены, т. е. члены, удовлетворяющие ус- условию G.1.26). Такое приближение означает, что «крупно- «крупнозернистая» производная берется по интервалу Д^, большому по сравнению с периодом свободного движения системы, А/ > 1/сот„, так что в течение интервала Ы. система совершает много циклов. Рассмотрим теперь секулярные члены более подробно. Следуя Луазеллю (Loisell, 1973), обратимся к случаю, когда
192 ГЛАВА ? не существует никакой регулярности в распределении уровней системы. Тогда уравнение G.1.26) удовлетворяется в одном из следующих случаев: A) т'—п', т = п, га'ф га; B) га' = т, п' = п, т'ф п'\ C) га' = га = п' = п. В указан- указанных случаях (га' | р (Os, I tn) = [(га' | р (Os, I m) Rm'mm'mY + + Ьт'т Е ' (П | Р (Os,!.«> ^mmnn + 6m'm («' 1 р (/)s, IГП,') Rm'm'm'm', G.1.28a) где штрих у квадратных скобок указывает, что этот член дает вклад только при га' ф т, а штрих у знака суммы ука- указывает, что член с га = п должен быть опущен. Если штрих у квадратных скобок опустить, третий член в G.1.28а) будет учтен автоматически: > {rnr\p(t)sl\m)=bm'm Z (n\p(t)SJ\n)Wmn—ym'm(m'\ пфт ГДе (при тфп) Wmn = Тпттп + Тптт \т'т = 2-i (Xm'kkm' ~T~ Imkkm) I mmm'm' ' mmm'm'- k G.1.286) G.1.29a) G.1.296) В качестве упражнения предоставляем читателям доказать соотношение (Tmnkl)''^Vtknm, GЛ.30) из которого следует, что величины Wmn действительны. В приближении G.1.28) недиагональные элементы мат- матрицы плотности подчиняются уравнению (m' I p (t)SI | га) = - Ym-m <m' | р (Os, I m). G.1.31) Условие эрмитовости B.2.5) означает 'mm ' mm G.1.32) Физический смысл параметров Wmn и ymn рассмотрен в сле- следующих разделах. Уравнение GЛ.28) можно преобразовать в представление Шредингера с помощью соотношения = exp (ifist/h) p (Os ехр (- Ш8№), которое дает > ('«' I P (Os I m) == - {i/h) {m' | [Hs, p (Os] I m) + + 6m'm Z (« 1 p (Os I П) Wmn ~ Ут'т (m' I p (t)s \ m). G.1.33) КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ РЕЛАКСАЦИИ 193 Первый член в этом уравнении описывает движение иевозму- uieiinoii системы. ^'равнение движения для приведенной матрицы плотности часто называют обобщенным основным кинетическим уровне- пнем (generalized Master equation). Основное кинетическое уравнение (Master equation) впервые ввел в квантовую ста- статистику Паули (Pauli, 1928). В первоначальной форме, ис- использованной Паули, оно представляет собой уравнение для диагональных элементов p(t)s (см. разд. 7.2). Подробное из- изложение этого вопроса и строгие доказательства можно найти в обзоре Хааке (Haake, 1973). Уравнения G.1.25), G.1.28) и G.1.33) играют очень важ- важную роль в физической кинетике. Они описывают необрати- необратимое поведение системы и этим коренным образом отличаются от точных уравнений движения — уравнений Шредингера и Лпувплля. Полезно вкратце вспомнить основные шагн, сде- сделанные при выводе «кинетических» уравнений из общего уравнения G.1.3). Основное предположение заключается в том, что эффект взаимодействия между системой н резервуаром быстро затухает, поэтому резервуар практически остается в состоянии теплового равновесия и описывается матрицей плотности G.1.6). Такое предположение приводит к ннте- грально-дпфференциальному уравнению G.1.7) для элемен- элементов матрицы p(/)s/. Временной интервал, для которого ин- интеграл в этом уравнении действительно отличен от нуля, со- соответствует корреляционному времени т для взаимодействия V(l)i- Если время т мало по сравнению с характерным вре- временем 1/y, в течение которого состояние системы заметно из- изменяется, применимо марковское приближение р (/') 5/ « р (t) SI п верхний предел интегрирования можно устремить к беско- бесконечности. Марковское приближение позволяет свести инте- грильно-диерференциалъное уравнение G.1.7) к системе ли- линейных дифференциальных уравнений для матричных эле- элементов p{t)si с не зависящими от времени коэффициентами Rm'mn'n- Если оставить только секулярные члены, то полу- получается уравнение G.1.28). Мы достаточно подробно изложили вывод уравнений (.1.25) и G.1.33), чтобы показать те предположения, кото- рьте делаются при их выводе, и пределы применимости этих Уравнений. 7.2. Основное кинетическое уравнение Чтобы дать интерпретацию некоторых параметров, фигу- фигурирующих в уравнениях G.1.25) и G.1.28), рассмотрим про- иво диагональных элементов матрицы плотности (>(/)s,
194 ГЛАВА 7 описывающей систему атомов (или ядер), взаимодействую- взаимодействующих с некоторым резервуаром. Оставляя только секулярные члены и учитывая, что диагональные матричные элементы в представлении Шредингера и в представлении взаимодейст- взаимодействия совпадают, из уравнения G.1.28) получаем P@mm= Z; P if)nnW пуп где введено обозначение кфт mkkm mkkm), Используем G.1.29а) и заменим во втором члене полученного уравнения индекс суммирования k на /г; тогда > p@mm= Z 9if)nnWmn — 9if)mm S W nm. G.2.1) пфт пфт Уравнение G.2.1) можно интерпретировать следующим обра- образом. Диагональный элемент р(/)гат дает вероятность обнару- обнаружить атомный уровень \т} занятым в момент времени t. Эта вероятность увеличивается со временем благодаря переходам из всех других уровней |п> на данный уровень |ш>. Она уменьшается в результате переходов с уровня |т> на все другие уровни |п>. Таким образом, скорость изменения диа- диагональных матричных элементов должна определяться в об- общем случае соотношением вида Р (Omm = npiipOCT В | Ш) — убыЛЬ ИЗ | ttt). Член, определяющий «прирост», получается умножением p{t)nn на соответствующую скорость перехода W(n-^m) и сумми- суммированием по всем состояниям |п>. «Убыль» получается умно- умножением рA)тт на скорость перехода W{m->-n) и суммиро- суммированием по всем п. Следовательно, параметры Wmn в уравне- уравнении G.2.1) имеют смысл вероятностей переходов между атомными состояниями | п> ->-1 /п> в единицу времени, вы- вызванных взаимодействием с резервуаром. Уравнение G.2.1) часто называют основным кинетическим уравнением Паули. Условия, при которых это уравнение спра- справедливо, были сформулированы в предыдущем разделе. В частности, для применимости марковского приближения необходимо, чтобы вероятность перехода, происходящего в данный момент времени, зависела только от состояния си- системы в этот момент времени, а не от ее предыстории. Урав- Уравнение G.2.1) играет важную роль в современной статистике и применяется во многих задачах физики, химической кинетики и биологин (см., например, Hakcn, 1978). Полезно более подробно рассмотреть скорость переходов J Гпттп. анализируя соотношения G.1.24). Ис- КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ РЕЛАКСАЦИИ 195 пользуя G.1.13а) и вычисляя trR с помощью собственных состояний |iV> гамильтониана резервуара HR, находим df' exp (- mmnt") trp [F (t' N'N oo X \ dt" exp [/ (EN> — EN — f, о Интеграл, входящий в выражение для dt" exp (ЩппП bR [FtF (Па> Ш = "/h]. G.2.2a) равен N'N X\dt" exp [/ {EN> -EN- о ], G.2.26) где мы заменили t" на —t". Учитывая соотношение G.1.11) Z <m I Qt I «> <^' \Ft\N) = W | V | nN), G.2.2b) подставим G.2.2) в G.2.24); это дает Wmn = I nmmn T 1 nmmn == (n\Qi\m){m\Ql\n)(N'\Fl\N)(N\Fl\Nr)X ijNN' oo X <#' IP @)я | N') J di" exp [/ (E№ — EN — патп) t"/h] + о ifNN' CO X <^' IP @) R\N')\ dt" exp [/ (EN> -EN- Йсопт) t"/h] = A/Й2) Yj(nN'\v\mN)('nNI V InN')<N'I P @)я IN') X NN' X J dl"exv{i{EN--~EN-Uv>mn)t"lh\
196 ГЛАВА 7 КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ РЕЛАКСАЦИИ 107 : Bя/А) ? I (mN | JVJV' | р @)л | N') X G.2.3) В соотношении G.2.3) матричный элемент |<mN| V|nW>|2 есть вероятность перехода атома с уровня |/i> на уровень |т> при условии одновременного перехода резервуара из состоя- состояния \N'} с энергией En> в состояние \N} с энергией EN, при- причем в силу закона сохранения энергии EN — EN, — En — Ет Система Резервуар Рис. 7.1. См. объяснение в тексте. (рис. 7.1). Эти вероятности затем усредняются с тепловым распределением резервуара для получения результирующих скоростей перехода в атомной системе. Соотношение G.2.3) называют «золотым правилом» для скоростей перехода. Так как оператор V эрмитов, вероятности переходов ^'| Т/| /ггЛг> |2 удовлетворяют условию ' | V | mN) p = | (mN | V | nNr) |2, G.2.4) т. е. переход |n>|W>-> |m>|^V> имеет такую же вероятность, как и обратный переход. Однако условие G.2.4), вообще го- говоря, неприменимо к вероятностям Wmn, описывающим ре- результирующий переход |n>->|m>, усредненный по состоя- состояниям резервуара. Поскольку резервуар остается в тепловом равновесии (как обсуждалось в разд. 7.1.1), он с большей вероятностью находится в низшем состоянии \N'}, чем в выс- высшем состоянии \N} (см. рис. 7.1). Поэтому при Еп> Ет пе- переход с атомного уровня [п> на уровень \т} более вероятен, чем обратный, и в общем случае G.2.5) Обсудим полученные результаты более подробно. Из со- соотношения B.6.4) <#' IР @)Л IN') = ехр (- QEN>)/Z G.2.6) получаем Wma = Bn/ftZ) Z I (mN | V | nN') p X NN' X exp (— p?V) 6 (EN> — EN — ha>mn), G.2.7a) и для обратного перехода Wnm = NN' \(nN'\V\mN)\2X X exp (- $EN) б (?Л nm' EN> — ftonra). G.2.76) Используя условие симметрии G.2.4) и закон сохранения энергии EN = EN' -f- En — Em, выражение G.2.76) можно представить в виде Wnm = ехр [- Р (Еп - Ет)\ Bn/ftZ) X X Z \(mN | V | пАО p exp (— p?w<) б (?w- —EN — Лотп). л" л1 Сравнивая с G.2.7а), находим Ц7 /117 =р\пС .f,P УрупС BF "I G О К\ Следовательно, при Е„ > Ет переход с уровня |н> на уровень |//г> более вероятен, чем обратный переход. Рассмотрим, например, двухуровневую систему, имеющую основное состояние |1> с энергией Е\ и возбужденное состоя- состояние J2) с энергией Е2. Из основного кинетического уравнения G.2.1) и соотношения G.2.8) получаем p{l)n = Wv2p(tJ2-W2ip(t)n = = W21 {exp [— р (?, - Е2)] р (tJ2 - р (Он) = — р @22. G.2.9) Равновесие устанавливается, когда результирующая заселен- заселенность уровней постоянна, т. е. когда р11 = р22 = 0. В этом случае из G.2.9) следует, что вероятности заселенностей оп- определяются распределением Больцмгна: Рп = ехр(-Р?,) Г79 1ГЛ Р22 ехр(-Р?2)- у.г.Ш) Итак, если первоначальное распределение отличается от G.2.10), переходы, вызываемые процессом релаксации, стре- стремятся создать равновесное тепловое распределение G.2.10), nP^i котором система находится в нижнем состоянии |1> с большей вероятностью, чем в верхнем состоянии |2>.
198 ГЛАВА 7 1 КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ РЕЛАКСАЦИИ 199 Наконец, заметим, что результат G.2.5) формально сле- следует из того, что связанные с резервуаром операторы Ft и Ft в выражениях G.1.24), вообще говоря, не коммутируют. В противном случае, меняя местами Fi,F, и т, п в G.1.24), МЫ ПОЛУЧИЛИ бы Г*т„ш = Гт,шш И Wmn=Wnm. С ДРУГОЙ СТО- роны, в теориях, где резервуар интерпретируется классиче- ,' ским образом н его действие па систему описываетя с по- помощью случайных функций времени, а не с помощью неком- , мутирующих операторов, имеет место равенство Wmn = Wnm. Последнее является серьезным недостатком всех полукласси- полуклассических теорий релаксации. Дальнейшее обсуждение затрону- затронутого вопроса можно найти, например, в книге Абрагама (АЬ- ragam, 1961). 7.3. Кинетика индуцированного излучения и поглощения В этом и следующем разделах мы обсудим физический I смысл и применение основных уравнений G.1.28), G.1.33) и j G.2.1). Мы рассмотрим взаимодействие атомов или молекул с внешним электромагнитным полем при наличии процессов релаксации. Задачи такого рода особенно важны для кванто- квантовой электроники. Ограничимся теми случаями, когда разность энергий атом- атомных или молекулярных состояний не слишком велика, так что соответствующая частота перехода лежит в области v.<;109— 1012 Гц (т. е. длина волны Х^>, 1 мм). Эта область включает, в частности, радиочастоты A04—109 Гц) и микроволновую область A09—1012 Гц). Основные спектральные переходы в этой области связаны с вращательным спектром молекул в миллиметровом и сантиметровом диапазоне, электронным парамагнитным резонансом и ядерным магнитным резонан- ¦; сом. Изучаемые переходы в атомах соответствуют зееманов- ским уровням, расщепленным внешним магнитным полем, или естественным уровням тонкой и сверхтонкой структуры. Да- Далее мы будем использовать сокращение РЧ для обозначения i всей этой области частот. Одно из существенных свойств переходов в радиочастотной и микроволновой области заключается в преобладании вы- вынужденного излучения. Из теории излучения Эйнштейна сле- следует, что отношение вероятностей вынужденных и спонтанных переходов пропорционально p(v)^3, где p(v)—спектральная плотность излучения. В оптической области p(v) и К малы и — исключая особый случай лазеров — преобладает спонтан- спонтанное излучение. В РЧ-области длина волны К велика и излу- излучение может иметь большую плотность p(v), поэтому вынуж- денное излучение преобладает н часто оказывается, что спон- спонтанным излучением можно пренебречь. Другое различие между оптическими и РЧ-лшшямн связано с тем, что ширина оптической линии обычного источника определяется эффектом Доплера. Для РЧ-лнннй эффект Доплера мал, и, как будет показано ниже, им часто можно пренебречь по сравнению с другими эффектами уширення. Теперь мы продемонстрируем применение основных урав- уравнений, выведенных в разд. 7.1 и 7.2, на простых примерах двухуровневых систем. Пусть основное атомное или молеку- молекулярное состояние 11> имеет энергию Еи а возбужденное со- состояние |2> — энергию Е2. В экспериментах по магнитному резонансу разность энергий двух спиновых состояний возни- возникает за счет постоянного однородного магнитного поля Но. Атомная система обладает аксиальной симметрией относи- относительно оси квантования, определяемой направлением Но, н, следовательно, когерентность между двумя уровнями отсутст- отсутствует. Соответствующая матрица плотности диагональна в представлении с базисными состояннмн |1> и |2>. В состоя- состоянии теплового равновесия заселенность этих уровней опреде- определяется распределением Больцмана. Приложенное РЧ-поле вызывает переходы между состоя- состояниями. Предположим, что поле перпендикулярно осп кванто- квантования, так что существует выделенное поперечное направле- направление. Как было показано в гл. 4 н 6, в этом случае возникает когерентная суперпозиция состояний 11> и |2>; следовательно, приведенная матрица плотности p(Os рассматриваемой атом- атомной системы не будет больше диагональной. Кроме взаимодействия с внешним полем следует учиты- учитывать процессы релаксации. Различные случайные взаимодей- взаимодействия между соседними атомами стремятся установить или сохранить тепловое равновесие в среде, т. е. распределение атомов по двум уровням, подчиняющееся закону Больцмана. В парах такие взаимодействия имеют место при столкнове- столкновениях атомов пара со стенками сосуда. В задачах, связанных с магнитным резонансом, флуктуирующие магнитные поля создаются магнитными моментами атомов. В твердом теле всегда существуют взаимодействия между соседними атома- атомами, которые колеблются относительно своих положений рав- равновесия; с этими колебаниями связана определенная энергия. Далее всегда будет предполагаться, что приняты основные приближения разд. 7.1. Будем полагать, в частности, что «среду», окружающую рассматриваемые атомы, всегда можно считать' тепловым резервуаром, находящимся в состоянии теплового равновесия.
200 ГЛЛВЛ 7 КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ РЕЛАКСАЦИИ 201 Таким образом, необходимо учитывать два конкурирую- конкурирующих процесса. Релаксация стремится восстановить тепловое распределение атомов по двум уровням. Так как вероятности переходов для вынужденного излучения и поглощения равны, внешнее поле стремится выровнять заселенности (в отсутствие спонтанного излучения). В результате за счет конкуренции этих процессов устанавливается динамическое равновесие, при котором заселенность уровня 12> выше, чем при тепло- тепловом равновесии. Релаксация вызывает больше переходов |2>-> |1>, чем переходов в обратном направлении, а РЧ-поле постоянно индуцирует большее количество переходов с ниж- нижнего уровня на верхний, чем обратно. Таким образом число переходов, связанных с поглощением фотонов, превышает число переходов, сопровождающихся вынужденным излуче- излучением Поэтому энергия непрерывно передается от поля к атомной системе, которая постоянно отдает ее резервуару в форме тепла. Такое поглощение излучения можно измерить методами РЧ-спектроскопии. Для системы атомов, взаимодействующих с внешним электромагнитным полем, гамильтониан (без учета релакса- релаксации) может быть записан в виде н (/) = //„ G.3.1) где Но — гамильтониан системы в отсутствие переменного поля (в случае магнитного резонанса статическое поле Но должно быть включено в гамильтониан Но). Взаимодействие атомов или молекул с приложенным полем представим в виде V{t) = V cos со/ = A/2) V [ехр (Ш) + ехр (— Ш)]. G.3.2) Для электрических дипольных переходов, например, оператор взаимодействия равен V (t) = — егЕ @ = — erE cos Ш, G.3.3а) где ег — оператор дипольиого момента атома и Е(/)—на- Е(/)—напряженность электрического поля. Взаимодействие парамаг- парамагнитных атомов или попов с переменным электромагнитным полем, имеющим вектор магнитного поля Н(/), описывается формулой V @ = — МН @ = — ЦН cos Ш, G.3.36) где j.i — дипольный момент атомов (см. разд. 2.5). Следует заметить, что временная зависимость вида G.3.2) обеспечи- обеспечивает эрмитовость операторов G.3.3). Для поперечных полей матричные элементы <щ'|1/|ш> отличны от пуля только при т' фт (т1, т= 1,2). В отсутствие всех релаксационных процессов уравнением движения для интересующей нас приведенной матрицы плот- плотности является уравнение Лнувилля B.4.20), которое здесь мы запишем в форме [р (Ihn'm] = - foVmP (Om'm ~ №) <'»' I W @. P Ш I '»), G.3.4a) где ©,„',„ = {En' — Em)/h. Взаимодействие между атомами и их окружением обычно учитывается путем добавления в урав- уравнение G.3.4а) соответствующего релаксационного члена Р (tln'm = E Rm'mn'nP (On'n- G.3.46) tin' В результате получаем полное уравнение движения: > р (t),n'm = - tOm'rnP (Om'm ~ Ш) <»г' I W @, Р Ш I »0 + + ZR,n'mn'nP(t)n'n, G-3.4) пп' которое является основным кинетическим уравнением для рассматриваемой задачи. Заметим, что в этом уравнении не учитывается связь между различными членами, опреде- определяющими временную эволюцию (>(t)s. В оптической области в уравнение G.3.4) нужно добавить член (p,,,',,,)so, описывающий спонтанное излучение. Поскольку спонтанное излучение является по существу случайным про- процессом, вызванным флуктуацпями вакуумного поля, его мож- можно описать членом IPm'm/sp m'mPm'mt где Г,л -,п — скорость спонтанного распада возбужденного уровня. С учетом соотношения G.2.9) уравнения для диагональ- диагональных элементов можно записать в виде р (/)„ = - (i/h) A | [V (t), p {i)s] 11) + WI2p (О22 - W2lp (t)u, G.3.5a) (> @- = - №) <2 I [V (t), P (t)s] 12) + W2lp @,, - Wl2p (tJ2. G.3.56) Первый член этих уравнений (Pm Jrad s H fM) On I [V (t), P (M I m) G.3.6) есть скорость изменения вероятности заселенности уровня 1»0 за счет РЧ-поля, а другие члены описывают влияние про- процессов релаксации.
202 ГЛАВА 7 Из G.1.33) с учетом выражения G.3.2) и того факта, что диагональные элементы оператора V обращаются в нуль, следует уравнение для недиагональных членов = - i (co21 - iY2,) P @21 - №) <2 I [V (О, Р (Osl 11) = = ~ ' («21 - *Y2i) Р @21 - (ЦЩ B I V 11) [exp (ш/) + + ехр(— to/)] (pu - раз). G.3.7) Уравнения G.3.5) н G.3.7) определяют скорость измене- изменения элементов матрицы плотности за счет совместного дейст- действия внешнего поля и релаксации. Динамическое равновесие устанавливается при Рп = р22 = 0, т. е. когда эффекты вы- вынужденного излучения и поглощения уравновешиваются про- процессами релаксации. Теперь изучим это «стационарное» реше- решение более подробно. Сначала рассмотрим уравнение G.3.7). Элементы P/@m'm в представлении взаимодействия связаны с p{t)mrm соотно- соотношением = exp (— №>2iO Р/ (О21, G.3.8) при выводе которого использовано выражение B.4.37). Под- Подставляя G.3.8) в G.3.7) и умножая обе части уравнения на exp (?co2iO, получаем Р/ @21 = ~ Y2.P/ @21 - №*) <2 IV 11) {exp [i («2, + со) /] + + exp [i (co21 - со) /]} [р (/)„ - Р @22]. G.3.9а) В резонансной области co2i » to основной вклад дает низкоча- низкочастотный член exp [i((O2i — со)/], и в первом приближении быстро осциллирующими членами exp [i (co21 -f- со) t] fa « expBico/) можно пренебречь (такое приближение назы- называется «приближением вращающейся волны»). Тогда уравне- уравнение G.3.9а) упрощается: р/ @21 = - Y2iP/ @21 - №h) B1 v 11) X X exp [i (co21 - со) /] [p (/)„ - р (/J2]. G.3.9) Чтобы система была в стационарном состоянии, элементы матрицы плотности не должны зависеть от того, в какой мо- момент времени они вычисляются. Поскольку «главный» член в G.3.9) меняется как exp [t(to2i — со)/], будем искать реше- решение в виде Р/ @21 = exp [i (co2I - со) /] р (соJ1, G.3.10а) которому в представлении Шредингера соответствует pemei ние вида = ехР (- '«0 Р Н21- G-3. Юб) КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ РЕЛАКСАЦИИ 203 После подстановки G.3.10а) в уравнение G.3.9) зависящие от времени экспоненциальные множители сокращаются и мы получаем I V Pll — P22 — W21 + i\'2i G.3.11а) Элементы p(t)u можно определить таким же способом. Заме- Заметим, что в этом случае в приближении вращающейся волны основной вклад дает член, пропорциональный ехр(цо^). По- Поэтому р(/I2 = ехр(ко/)р(соI2 G.3.116) и применение G.1.32) приводит к результату ш — (o2i — «Y21 G.3.11 в) Из приведенного вывода следует, что приближение вра- вращающейся волны получается, если использовать следующие выражения для взаимодействия G.3.2): B | V @ 11) = A/2) B1 V 11) ехр (— /со/), <l|V(/)|2> = (l/2)<l|K|2>ej G.3.12) а также G.3.106) и G.3.116) для элементов матрицы плотно- плотности. Члены более высокого порядка, пропорциональные exp Bicot), которыми мы пренебрегли, являются основным источником нелинейных эффектов в квантовой электронике. Рассмотрим теперь уравнения G.3.5), описывающие диа- диагональные элементы матрицы плотности. Выражение G.3.6) можно переписать следующим образом: применяя снова при- приближение вращающейся волны, используя выражение G.3.106), G.3.116) и G.3.12) и подставляя для недиагональ- недиагональных элементов решения G.3.11), получаем [р ('Had = ~ ('Vй) <2 I V (/) | 1) Р @,2 + №) О I V (/) | 2) р (/J1 = = -(i/2ft2)|B|K|l)|2(pu-P22)X V/__J А I ГТ^ \ @ — (ОЯ — 1Y21 •V21 ). G.3.13а)
204 ГЛЛВЛ 7 где через y'2l (y"i) обозначена действительная (мнимая) часть параметра релаксации у2\. Аналогично 1 y'i I I /П I 17 I 1 \ |2 '-1 /п n \ /7 4 1 Чп\ / // \ч /ч \r!>~> г* 11/* ^/ «О» 1 OSJj [®— W21 — Y2i)~ + Y2I Выражения G.3.13) описывают изменение вероятности засе- заселенности двух уровней, вызванное РЧ-полем. Сравнивая оба выражения, мы видим, что [р (Oll]rad = — [Р @22]гаA- G-3.13в) Последний результат легко понять, поскольку поле может увеличивать число атомов в состоянии |1> только за счет вынужденных переходов |2>->-|1>, и наоборот, «прирост» заселенности уровня |2> обусловлен индуцированными пере- переходами 11>->-|2>. Введя определение W (соJ1 = 1/й2 \B | V| 1) |2 У2' „ (со — colM — y2i)" „ W (соI2, G.3.14) перепишем уравнение G.3.5) для стационарного состояния в форме Р (Он - Wl2 + W (соI2] р22 - [W.2l + W (соJ1] р„ = 0, Р @22 = [W21 + W (соJ1] р„ - [WV2 + W (соI2] р22 = 0. G.3.15) Как было показано в разд. 7.2, параметры Wl2 и W2\ пред- представляют собой соответственно вероятности переходов 12> ->¦ ->-|1> н |1>-н>-|2>, вызванных механизмом релаксации. Ана- Аналогично параметры W(a)i2 и ^(соJ1 представляют собой ве- вероятности переходов |2>->-|1> и |1>->|2>, индуцированных переменным полем с частотой со. Поэтому мы можем рассмат- рассматривать величины р@22[Wi2+ W(a)i2] и p(t)u [W2i -f №(соJ]] в G.3.15) как скорости увеличения и уменьшения вероятности заселенности уровня 11> при одновременном действии внеш- внешнего поля и процессов релаксации. Если интенсивность РЧ-поля достаточно велика, то ве- вероятности заселенностей р(*)п н p@z2 могут значительно от- отличаться от своих равновесных значений р*/I и р!,1?. В этом случае говорят о накачке, обусловленной полем. Если интен- интенсивность поля мала, то диагональные элементы остаются близкими к своим равновесным значениям и в правых частях выражений G.3.11а) и G.3.11 в) можно положить Pmm-p;i- G-3.16) КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ РЕЛАКСАЦИИ 205 Энергия, поглощенная атомами и отданная полем в еди- единицу времени, с учетом соотношения G.3.13) определяется выражением dE/dt = El [р (Oulrad + Е2 [р (/J2]rad = (?, - Е2) [р (/)„]„„. G.3.17) Если [p@n]rad < 0, то число вынужденных переходов м^_^|2> превышает число переходов сверху вниз |2>-*-|1> и система поглощает энергию РЧ-поля. Так как Е2 > Е\, в этом случае dE/dt > 0. Наоборот, при [p@n]rad > 0 в про- процессе вынужденного излучения энергии выделяется больше, чем поглощается, и dE/dt < 0. Подстановка G.3.13а) в выражение G.3.17) дает с1Е dt 1 П2 7 2^Л2~,—Я (Рп ~ Р22). (со — и21 — Y21) + Y21 G.3.18а) а для слабого поля G.3.186) Так как в тепловом равновесии р'°> > р™, из G.3.186) следует, что dE/dt > 0, и энергия из поля поглощается. В этом случае выражение G.3.186) показывает, что наличие релаксации приводит к двум эффектам: 1) к сдвигу линии за счет мнимой части y"i " 2) уишрению линии за счет действительной части \21 параметра у2\- Если в силу каких-либо обстоятельств возникает ситуа- ситуация, когда р@п<Р@22, что в случае лазеров и мазеров называется инверсией заселенности, то dE/dt < 0. Это оз- означает, что при прохождении через такую среду излучение не ослабляется за счет поглощения, а усиливается индуци- индуцированным излучением. На указанном эффекте основано дей- действие лазеров и мазеров. 7.4. Уравнения Блоха 7.4.1. Магнитный резонанс1) В этом разделе мы применим уравнение G.3.4) к задаче о магнитном резонансе. Простейшей системой, в которой ') Подробнее теорию магнитного резонанса и магнитной релаксации см. в книгах: Абрагам (Abragam, 1961); Сликтер, 1967; Александров, S975. — Прим. ред.
206 ГЛАВА 7 можно наблюдать магнитный резонанс, является двухуров- двухуровневая система, например атомы или молекулы с нулевым орбитальным угловым моментом и спином 1/2 или атомы с нулевым угловым моментом электронов и спином ядра 1/2. Если статическое магнитное поле Но приложено в нап- направлении z, то энергии двух спиновых состояний |1> и |2>, соответствующих ориентации «спин вверх» и «спин вниз», определяются выражением ?¦ = и | Но |, Еч = ц I Но I G.4.1) (см. рис. 7.2, где предполагается, что магнитный момент по- положителен). Энергетическое расщепление равно Пусть к системе приложено поперечное электромагнитное поле с напряженностью магнитного поля Н[(/), которое ос- Ег=и\ио\ ( спин вниз ) I КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ РЕЛАКСАЦИИ 207 El =-ju|H0| (спин вверх) Рис. 7.2. Расщепление энергетического уров- уровня в статическом магнитном поле. циллнрует с угловой частотой cot, удовлетворяющей условию резонанса: h«>L=AE G.4.3) (ларморовской частотой). Тогда энергия поля будет погло- поглощаться за счет перехода электронов (или ядер) с нижнего уровня на верхний (возбуждение). В случае парамагнит- парамагнитного, или электронного спинового резонанса требуемые часто- частоты лежат в микроволновой области. В случае ядерного маг- магнитного резонанса необходимы радиочастоты. Число атомов в верхнем состоянии увеличивается за счет падающего излучения. Однако одновременно идет и обрат- обратный процесс, обусловленный релаксацией, которая приводит к передаче энергии возбужденного состояния «окружающей среде» и стремится восстановить условия теплового равно- равновесия. Действие этих конкурирующих факторов на спиновую матрицу плотности p(/)s описывается уравнением G.3.4), в котором гамильтониан Но включает теперь статическое поле Но: //„ = //& —ц. Но. G.4.4) Гамильтониан Н'о невозмущенных спиновых состояний не входит в уравнение движения из-за вырожденности этих состояний. Используя G.3.36), представим взаимодействие спина с внешними полями с помощью гамильтониана: //(/) =-ц ¦ Но + У (/) =-ц-(Но+ Н (/),). G.4.5) Прежде всего рассмотрим уравнения G.3.5) в отсутствие РЧ-поля. При этом р (/)„ = W 12р (/J2 - W2l9 (/)„ = - р (/J2. G.4.6) Будем считать, что каждый рассматриваемый спин реаги- реагирует на внешние поля независимо от всех других спинов и что «окружающую среду» можно рассматривать как тепло- тепловой резервуар в состоянии теплового равновесия. Добавляя и вычитая член №i2pn в уравнении G.4.6), с учетом условия Рп + Р22 = 1 получаем Р (Он = ^.2 - 0^12 + Wal) Р @п. G.4.7а) Р (/>22 == W2l - {Wl2 + Woy) Р @22. G.4.76) откуда вытекает р (Он - р @22 = {WX2 - w.2i) - (wl2 + w2l) [p (On - p (Ой]. G.4.8) В состоянии теплового равновесия ри:=Р22^0, и из G.4.8) следует п<о) п<о).— ^12 — W2\ /у - q\ где р^ и р.^' — соответственно вероятности заселенностей уровней 11> и |2> при тепловом равновесии (в присутствии статического поля). Определив параметр Т\ выражением ^ ту = 1/(^12 + ^21), G.4.10) G.4.11) Уравнение G.4.8) можно записать в виде (Рн* - Р«) - [Р (Ои - Р (Ом] Заметим, что величина Т\ действительна в силу G.1.30),
208 ГЛАВА 7 КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ РЕЛАКСАЦИИ 209 РЧ-поле можно учесть, добавляя соответствующие члены • в уравнение G.4.11): р (Он - р @22 = - №) 10 IW (/), р (t)s] 11) - - B1 [V (о, р № 12>] + G 4 12)- Теперь рассмотрим недиагональные элементы, пргпебре- гая мнимой частью yi2 (т. е. сдвигом линии). В этом прибли- приближении определим Т2 следующим образом: > Т2=1/у12 G.4.13I и запишем уравнение для неднагональных элементов р (о21 = (- /со12 + \/т2) р (о21 - (i/h) B1 [V (О, р «)s] 11) = р (о;2, G.4.14I которое можно представить в виде Р (Osi = - №) B | [Н (t), p (t)s] 11) + р (/J1/Г2> G.4.15) где H(t) —гамильтониан G.4.5). Макроскопическая намагниченность М определяется фор- формулой B.6.6): Mi = Nyh(a,)/2, i — x, у, z, G.4.16a) где ст,- — соответствующая матрица Паули, N — полное чис- число атомов в единице объема, у — гиромагнитное отношение.. Используя выражения A.1.6) для матриц Паули, можно. записать М в явном виде: Мх = A/2) Nyh (Pl2 + р21), Му = A/2) Nyhi (р12 - р21), Mz = (\/2)Nyh(f>n — p22). G.4.166) В отсутствие эффекта релаксации уравнение движения для вектора намагниченности М совпадает с B.5.5) с заменой Р на М и Н на H0+Hi(^). Добавляя релаксационные члены и используя уравнения G.4.11), G.4.15) и G.4.166), полу- получаем dMy dM? dt - мг г, где G.4.17а) G.4.176). G.4.17в): G.4.18) Как показывает уравнение G.4.17в), Mi0> есть равновесное (dMz/dt = 0) значение Mz в отсутствие РЧ-поля. Уравнения G.4.17) называются уравнениями Блоха; они были впервые выведены Блохом в 1946 г. (Bloch, 1946) для атомов с N уровнями, а в дальнейшем обобщены (Bloch, Wangsness, 1952). Основная особенность общих уравнений Блоха состоит в том, что влияние релаксации описывается с помощью двух действительных параметров Т\ и Т2. Мы привели здесь вывод уравнений Блоха главным об- образом для того, чтобы объяснить различные содержащиеся в них приближения. Эти приближения не всегда справед- справедливы, и релаксация в общем случае описывается не столь просто, как в уравнениях G.4.17). Тем не менее эти урав- уравнения во многих случаях описывают наблюдаемые явления с хорошей точностью. Следует заметить, что макроскопиче- макроскопическая намагниченность М определяется такими же уравне- уравнениями, как и в классических феноменологических теориях, и можно показать, что значения М равны значениям, полу- полученным в классических моделях. Это объясняется тем, что в уравнениях G.3.4) не учитывается спонтанное излучение. Подробное обсуждение затронутого вопроса можно найти в книге-Абрагама (Abragam, 1961). В заключение заметим, что в полуклассических теориях, как указывалось в разд. 7.2, \\712 = W2\, откуда следует м'^ = 0, в противоречии с экспе- экспериментом. 7.4.2. Продольная и поперечная релаксация. Спиновое эхо Подробное обсуждение уравнений Блоха можно найти во многих работах, посвященных явлениям магнитного ре- резонанса; мы ограничимся обсуждением физической природы параметров Т\ и Т2. Предположим, что в определенный момент времени (ска- (скажем, при t = 0) поле H(/)i исчезло. В отсутствие Hi урав- уравнения Блоха сводятся к уравнениям G.4.19) где со/. = ^|Но|. Если все процессы релаксации отсутствуют, вектор М будет свободно прецесснровать вокруг статиче- статического поля Но с частотой со/.. Компонента Mz остается по- постоянной, а Мх и Му постоянны по величине и вращаются в плоскости ху. За счет различных взаимодействий спинов с их окружением спиновая система будет релаксировать dMJdt = - <s>LMx - MJT2,
210 ГЛАВА 7 к состоянию теплового равновесия. Можно показать, что ре- решение уравнений G.4.19) имеет вид М (t)x = A sin К* + Ф) ехр (— t/T2), М @„ = A cos (aLt + ф) ехр (— t/T2), М {t)z = (В - Mf) ехр (— t/T G.4.20) Af«, где А, В и ф — постоянные интегрирования. Выражения G.4.20) показывают, что вследствие релаксации Мх и Му стремятся к нулю с постоянной времени Т2, а Мг стремится к своему равновесному значению с постоянной времени Т\. Таким образом, Т2 отражает распад компонент Мх и Му, пер- перпендикулярных Но, и поэтому называется временем попереч- поперечной релаксации, тогда как Т\ отражает распад продольной компоненты Мг и называется временем продольной релак- релаксации. Обращение в нуль компонент Мх и Му в состоянии теп- теплового равновесия обусловлено отсутствием выделенного поперечного направления. Поэтому направления отдельных поперечных компонент М меняются случайным образом при переходе от одного атома к другому, и суммарная равно- равнодействующая равна нулю. Отличие Мг от нуля связано с осевой симметрией системы, обусловленной статическим полем Но, которое приводит к различию энергий двух уровней. Физическую природу параметров Т\ и Т2 можно понять, обратив внимание на существование различных механизмов релаксации. Прежде всего это спин-решеточное взаимодей- взаимодействие, включающее все процессы обмена энергий между спиновой системой и ее окружением, например кристалличе- кристаллической решеткой. В общем случае все степени свободы, кроме спиновых, мы называем решеткой. Передача энергии от спи- спиновой системы к решетке связана с переходами из верхнего спинового состояния в нижнее и вызывает изменение засе- ленностей двух спиновых состояний, а следовательно, и Mz. Таким образом, продольная релаксация связана с переда- передачей энергии от спиновой системы к решетке. Поэтому Т\ ха- характеризует время, которое требуется системе для достиже- достижения энергетического равновесия со своим окружением. Второй тип взаимодействия, спин-спиновое взаимодейст- взаимодействие, включает все механизмы, посредством которых спины могут обмениваться энергией друг с другом, а не с решет- решеткой в целом. Например, при упругом столкновении, в кото- котором один атом испытывает переход |1>->-|2>, а другой — переход |2>->-|1>, энергия спиновой системы и значение Мг КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ РЕЛАКСАЦИИ 211 не изменяются. Следовательно, такие столкновения не могут дать вклад в продольную релаксацию, но разрушают коге- когерентность между спиновыми состояниями (см. гл. 3); по- поэтому недиагональные элементы спиновой матрицы плотно- плотности и поперечные компоненты М стремятся к нулю. Таким образом, поперечная релаксация связана с потерей коге- когерентности спиновой системы. Отметим, что любой процесс, дающий вклад в Т\, будет в общем случае разрушать ко- когерентность, так что Ti ^ Т2. Метод магнитного резонанса дает возможность определять времена релаксации и полу- получать информацию о различных релаксационных процессах (см., например, Abragam, 1961; Corney, 1977). Физический смысл величины Т2 можно понять с помощью следующей простой модели (которая, однако, не учитывает всех аспектов поперечной релаксации). Непосредственно после выключения РЧ-поля индивидуальные спины начинают прецессировать вокруг Но. В отсутствие релаксации все ком- компоненты спинов вращались бы с одной и той же частотой coi и исходные значения величин Мх и Му были бы постоян- постоянны во времени. Различные случайные взаимодействия маг- магнитных диполей создают вокруг каждого атома магнитное поле, что приводит к появлению помимо внешнего поля Но флуктуирующих компонент, либо усиливающих, либо ослаб- ослабляющих Нэ, и тем самым вызывает увеличение или умень- уменьшение скорости прецессии отдельных спинов. В результате спины теряют синхронность вращения, и с течением времени их распределение размазывается на все более и более ши- широкую область в плоскости ху; в конце концов результирую- результирующая поперечная компонента обращается в нуль. Величина Т2 характеризует время, за которое согласованность движе- движения спинов совершенно исчезает. Прямое измерение времени Т2 представляет собой наиболее однозначный способ иссле- исследования механизмов потери когерентности. Эта простая модель поперечной релаксации позволяет легко объяснить явление, известное под названием спино- спинового эха. Пусть система ядерных магнитных диполей такова, что вектор намагниченности М указывает в направлении статического поля (оси z). К. системе прикладывается ре- резонансное радиочастотное поле, причем длительность им- импульса поля такова, что вектор М поворачивается в на- направлении х («я/2»-импульс; рис. 7.3, а). После окончания импульса отдельные спины прецессируют вокруг направле- направления статического поля. Удобно рассматривать движение спинов в системе координат, которая вращается вокруг оси z с ларморовской частотой. В отсутствие релаксации спины вращались бы свободно вокруг Но с ларморовской частотой,
212 ГЛАВА 7 КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ РЕЛАКСАЦИИ 213 т. е. находились бы в покое во вращающейся системе. Так как частота прецессии имеет разную величину для каждой из компонент моментов из-за процессов релаксации, спины теряют фазировку и распределяются в плоскости ху (рис. 7.3,6). Спустя время t < T2 прикладывается второй импульс такой длительности, что направление всех спинов меняется на обратное («я-импульс»). Иными словами, те- в г Рис. 7,3. Схема, иллюстрирующая возникновение спинового эха. перь компоненты спинов оказываются просто перевернутыми, как показано на рис. 7.3, в. Так как спины вращаются со своей прежней скоростью, они снова сходятся к одному век- вектору (рис. 7.3, г). В результате возникает импульс намаг- намагниченности в этом направлении, который проявляется как «эхо» первого высокочастотного импульса. Абрагам (Abragam, 1961) предложил следующую ана- аналогию рассматриваемого явления. Пусть группа муравьев ползет по краю блина. Все они начинают ползти одновре- одновременно из малой области, но из-за различия скорости своего движения они будут все шире расползаться по окружности блина («Г2-процесс»). Если блин перевернуть («я-импульс»), то муравьи перевернутся, но будут продолжать ползти в прежнем направлении. В конце концов все муравьи снова соберутся вместе, за исключением тех, которые упадут с блина («Грпроцесс»). 7.4.3. «Оптические» уравнения Блоха Как было упомянуто в начале настоящего раздела, су- существует тесная аналогия между двухуровневым атомом и системой со спином 1/2 (в статическом магнитном поле, параллельном оси z). Состояние «спин вниз» соответствует основному уровню атома, а состояние «спин вверх» — воз- возбужденному. Формализм, развитый выше для описания маг- магнитного резонанса, можно обобщить на случай любой двух- двухуровневой системы, на которую действует резонансное по- поперечное поле. Такой подход можно использовать для описания экспериментов в микроволновой или оптической области с применением когерентных полей (мазеров, лазе- лазеровI). Пригодность уравнения Блоха для описания мазера была впервые установлена Фейнманом и др. (Feynmann, Vernon, Hellwarth, 1957). Следуя упомянутой работе, введем фик- фиктивную величину — «вектор псевдоспина» v, компоненты vi которого определяются аналогично компонентам G.4.166): = tr [p (t)s ах] = р (Ои + Р @21. о2 = tr [p (t)s a v] = »з = tr [p (t)s az] = р (On - Р (Ой- -p@2il, G.4.21) В этих выражениях p(t)s — матрица плотности атомной си- системы с двумя уровнями. Как показывают выражения G.4.21), и3 зависит от разности чисел заполнения, a t'i и v2 характеризуют когерентность двух состояний. Исходя из уравнений G.3.5) и G.3.7), можно показать, по аналогии с выводом уравнений G.4.17), что компоненты Vi удовлетворяют следующей системе уравнений, которые называются «обобщенными» или «.оптическими» уравнения- уравнениями Блоха: dvjdt = [<о X v], - vJT2, . dvjdt = [© X v]2 - v2/T2, G.4.22) dv3jdt = [to X v]3 — v3/Tu l) См, лекции Лэмба «Теория оптических мазеров» в книге «Кванто- «Квантовая оптика и квантовая радиофизика». — М.: Мир, 1968. — Прим. ред.
§14 ГЛАВА 7 КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ РЕЛАКСАЦИИ 215 где «вектор» со имеет компоненты <о, = (vl2 + v2l)/h, to2 = - i - v2l)/h, G.4.23) a Vi,- = <t| V\j} представляют собой матричные элементы введенного в разд. 7.3 оператора V, который описы- описывает взаимодействие атомов с электромагнитным полем. Времена релаксации определяются выражениями G.4.10) и G.4.13). Уравнения G.4.22) позволяют дать геометрическую интер- интерпретацию электрических дипольных переходов в двухуровне- двухуровневой системе, аналогичную описанию явления магнитного ре- резонанса. Можно считать, что без релаксационных членов уравнения G.4.22) описывают прецессию «вектора» v вокруг «вектора» со. Релаксационные члены имеют такой же смысл, как соответствующие члены в предыдущем разделе. Релакса- Релаксация 1>з (с постоянной времени Т\ ) связана с различными пу- путями обмена энергией между атомами и их окружением. Ре- Релаксация v\ и V2 (с постоянной времени Т2) соответствует по- потере когерентности, вызванной различными процессами расфа- зировки. Рассматривая прецессию вектора v в промежутке времени между двумя приложенными импульсами, можно использовать такую геометрическую интерпретацию для объ- объяснения фотонного эха. Более того, уравнения G.4.23) можно использовать для изучения электромагнитных переходов в очень сильных полях, когда методы теории возмущений непри- неприменимы. Следует, однако, подчеркнуть, что как уравнения Блоха G.4.17), так и уравнения G.4.22) не описывают все явления, связанные с переходами в двухуровневой системе. Подробный анализ уравнений G.4.22) и их применения чита- читатель может найти, например, в книге Вальтера (Walther, 1976). 7.5. Некоторые свойства матрицы релаксации 7.5.1. Общие ограничения на элементы матрицы релаксации В разд. 7.1 было показано, что производная по времени от матрицы плотности в марковском приближении опреде- определяется системой связанных дифференциальных уравнений, которые в представлении взаимодействия имеют вид Р/ \t)m'm ~~ /Li Rtn'mn'nPl \4n'n> пп' G.5.1) где В секулярном приближении G.1.28) имеем K m'mn'n ^ mrfin'n ' где первый член отличен от нуля только при т ф п. Совокупность не зависящих от времени коэффициентов Rm'mn'n называется матрицей релаксации. Из результатов предыдущих разделов следует, что Rmmnn, например, опреде- определяет скорость перехода атомов с уровня |я> на уровень |т>. Здесь мы, следуя работе Хаппера (Наррег, 1972), покажем, что физические соображения налагают некоторые важные ограничения на элементы матрицы релаксации. При этом будут вновь получены и обобщены некоторые результаты, вы- выведенные в предыдущих разделах. 1. Если механизм релаксации не меняет число имеющихся атомов, то из вероятностной интерпретации диагональных элементов матрицы плотности следует, что Z Р @mm = Z ( Z Rmmn'n) Р/ (t)n'n = 0- m пп' \ m J Так как в общем случае р/ (/)«'« ф 0, имеем I—I *\mmn'n ' ' " G.5.2) для любых п' и п. 2. Рассмотрим уравнение, полученное из G.5.1) комп- комплексным сопряжением: MO^^Z/Cw^MOk- G.5.3а) Из условия эрмитовости следует P/@mm'= Z пп Из уравнений G.5.1) и G.5.36) вытекает Z Р/ (*)„„' (Kn'mn'n ~ R G.5.36) откуда находим n* D t\m тпп — 1\тт пп G.5.3) 3. Диагональные элементы матрицы плотности неотрица- неотрицательны и не могут быть больше единицы (см. разд. 2.2). Что- Чтобы обеспечить выполнение этих условий, элементы матрицы релаксации должны удовлетворять следующим условиям: Rmmmm<0, G.5.4а) Rnnmm>0 G.5.46)
216 ГЛАВА 7 КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ РЕЛАКСАЦИИ 217 для любых двух ортогональных атомных состояний |т> и |п>. В справедливости этих условий можно убедиться сле- следующим образом. Пусть в некоторый момент t заселен только один уровень |m> (p(t)mm= 1, р(/)„„ = 0). При этом Р \Чтт == RmmmmP \Чтт> Р УЧпп == RnnmmP \Чтт для любого состояния пфт. Поскольку элемент p(t)mm имеет максимум в момент t, он может только уменьшаться или оставаться равным единице согласно G.5.4а). Элемент же p(t)nn имеет минимум в момент t и поэтому может только увеличиваться или оставаться нулевым согласно G.5.46). 7.5.2. Релаксация мультиполей состояний Если рассматриваемая система обладает определенной симметрией относительно поворотов, уравнение релаксации | G.5.1) удобно записать с помощью мультиполей состояний. Для простоты ограничимся случаем, когда атомная система находится в основном состоянии с определенным угловым моментом / и процесс релаксации вызывает переходы только между состояниями этого мультиплета. Определим мультиполи состояния аналогично D.3.3): мм' г (О м'м- Тогда, используя обратное соотношение D.3.6), можно за- ;| писать уравнение релаксации G.5.1) в виде d (T (/, t)\Q)ldt = E RKQK,Q, {T (J, t)lQ,), G.5.5) K'Q ГДе RkQK'Q/== 2-i R-M'Mm'mi 1) М'Мт'т J f-M'~m' [BЛ-+1)B/Г+1)]'/2х1 Из условия эрмитовости G.5.3) следует k-qk--q'- G.5.7) Уравнение G.5.5) описывает временную эволюцию муль- типолей состояний при наличии взаимодействий, вызываю- щих релаксацию. В качестве особо интересного примера ис- пользования уравнения G.5.5) рассмотрим случай, когда си- стема находится в окружении, которое в среднем является изотропным. Изотропные условия часто имеют место при релаксации поляризованного ансамбля к неупорядоченному состоянию. В гл. 4 было показано, что взаимодействие, ин- инвариантное относительно поворотов, не может изменить ранг тензора А' и не перемешивает его компоненты. Поскольку процесс релаксации не зависит от выбора оси квантования, скорость релаксации не должна зависеть от Q. Это приводит к условию симметрии Vq> G-5-8) где ук — скорость релаксации всех компонент тензора ранга А. Соотношение G.5.7) означает, что величина ук действи- действительна: У*к = Ук\ G.5.9а) Y«>0. G.5.96) можно показать, что С учетом условия симметрии G.5.8) уравнение G.5.5) упро- упрощается, и все BА + 1) компонент тензора ранга А релакси- руют с одной и тон же скоростью: G.5.10а) т.е. (l(J, t)^n) = (i[J, U)™>exp( — yj). G.5.106) d(T(J, t?K0)/dt = - yK (T(J, tfKQ), Так как монополь (T(J,t)Oo> пропорционален следу матрицы плотности (который постоянен, если не происходит выбыва- выбывания атомов из мультиплета /), то Yo = O; G.5.11) следовательно, все мультиполи с А > 0 стремятся с течением времени к нулю, и в состоянии теплового равновесия все со- состояния мультнплета имеют одинаковую заселенность. Если рассматриваемый мультиплет не является основным состоя- состоянием, то следует учесть возможность радиационного распада состояний. Итак, мы видим, что в условиях изотропии каждый муль- типоль не связан с другими мультиполями и релаксирует с ха- характерной скоростью релаксации ук. Число независимых ско- скоростей, следовательно, уменьшается до B/+1). Это число велико при большом значении /, но часто не все параметры представляют интерес. Существенное упрощение имеет место, например, при возбуждении атомов днпольным излучением. В этом случае может существовать только ориентация и вы- строеиность (см. гл. 5), и независимо от значения J необхо- необходимо исследовать только две соответствующие скорости ре-
218 ГЛАВА 7 лаксации Yi и \2- Такая ситуация существует в большинстве экспериментов с оптической накачкой. В некоторых случаях процесс релаксации не изотропен, но аксиально-симметричен по отношению к некоторой выделен- выделенной оси, как, например, при наличии внешнего поля. С такой ситуацией мы сталкиваемся в экспериментах по магнитному резонансу. Когда высокочастотное поле выключается, релак- релаксация атомов происходит в присутствии статического магнит- магнитного поля, вследствие чего энергия магнитных состоянии ока- оказывается различной. В гл. 4 показано, что мультиполи состояния с компонента- компонентами Q сохраняются в случае аксиально-симметричного взаимо- взаимодействия. Тогда уравнение G.5.5) принимает вид d (T (/, t)\Q)ldt = E RKQK.Q. (T (/, /)* ). G.5.12) к Это уравнение показывает, что компоненты тензоров разных рангов с одним и тем же Q перемешиваются в процессе ре- релаксации. В частности, параметры ориентации и выстроенно- сти с одним и тем же значением Q могут комбинироваться друг с другом. Формализм мультиполей состояния представляет значи- значительный интерес для описания релаксации в атомной и ядер- ядерной физике. Более подробное изложение и применение этого формализма к разным конкретным случаям читатель может найти, например, в обзорах Омонта (Omont, 1977) и Бейлиса (Baylis, 1979) и в цитированных там работах. 7.6. Лиувиллиевский формализм В настоящем разделе мы опишем математический метод, особенно полезный в неравновесной квантовой статистике. Этот метод связан с представлением Лиувилля для матриц плотности. Элементами гильбертова пространства являются векторы состояния [ -ф >- Рассмотрим теперь совокупность линейных операторов А, В, ..., действующих на состояния [г]з>. Любая линейная комбинация линейных операторов есть также линей- линейный оператор. Поэтому множество линейных операторов об- образует другое линейное пространство, которое называется пространством Лиувилля, если внутреннее произведение в нем определено соотношением *> {A\B) = trA+B. G.6.1) Мы будем использовать обозначения \А), \В), ..., чтобы подчеркнуть, что эти операторы рассматриваются как элемен- элементы пространства Лиувилля. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ РЕЛАКСАЦИИ 219 Рассмотри; набор базисных векторов \tn'}, |m> ... в гиль- гильбертовом пространстве. Тогда базис в пространстве Лиувилля образуется набором операторов |m'><m|, которые получаются путем комбинации всех элементов набора |т>. Следуя работе Габриэля (Gabriel, 1969) и используя «дираковские» обозна- обозначения \m'm) для |m'><m| и (m'm| для |m><m'|, а также определение G.6.1), найдем соотношение ортогональности (m'm | п'п) = tr { | m) <m' | п') (п |} = 6mV6mn G.6.2) и соотношение полноты Е I m'm) (m'm | = I, G.6.3) где 1 есть единичный оператор в пространстве Лиувилля. Отсюда следует соотношение (m'm | А) = tr [ | m) <m' | A] = <m' \A\m), G.6.4) т. е. внутреннее произведение любого лиувнллевского вектора А с базисным вектором |m'm) равно обычному матричному элементу (т'\А \т) = Ат'т оператора А в гильбертовом про- пространстве. Если свойства угловой симметрии рассматриваемой систе- системы играют важную роль, то удобно в качестве базисных век- векторов использовать элементы \T(J'J)kq)- Такой набор яв- является ортонормированным согласно D.2.24): (Т (J'J)K.Q. | Т {J'J)m) = tr {T (/'/);,Q, T (J'J)KQ} = и полным: Е \T(J'J)KQ)(T(J'J)KQ\=\. J'JKQ G.6.5) G.6.6) Действуя оператором G.6.6) на матрицу плотности, рассмат- рассматриваемую как вектор |р) в пространстве Лиувилля, получаем разложение IP)= E \T(J'J)KQ)(T(J'J)KQ\p). G.6.7) J'JKQ Мультиполн состояния тогда можно рассматривать как внутренние произведения \p), G.6.8) которые можно записать в обычной форме D.3.5), используя определение G.6.1). Выражения G.6.7) и G.6.8) соответст- соответствуют разложению D.3.4).
220 ГЛАВА 7 КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ РЕЛАКСАЦИИ 221 Чтобы производить вычисления, используя пространство Лиувилля, необходимо ввести операторы Q, преобразующие \ вектор И) в другой вектор: = \QA). G.6.9) Операторы Q часто называют «супероператорами». В произ- произвольном базисе имеем {т'т \Q | А) = ? {т'т \Q\n'n){n'n\A) = п'п = Z Qm'mn-nAn'n, G.6.10) п п где использованы условие полноты G.6.3) и соотношение G.6.4). Таким образом, элементы супероператоров характе- характеризуются четырьмя индексами '). В качестве примера обратимся к общему уравнению ре- релаксации G.5.1): Рт'т == Рассматривая матричные элементы как внутренние произве- произведения лиувиллевских векторов согласно G.6.4), можно запи* сать {т'т | р) = Z {т'т | R | п'п) {п'п | р). Подстановка единичного оператора G.6.3) дает {m'm\p) = {m'm\R\p), или | р) = R |р), G.6.11) где R — супероператор релаксации Особое значение для неравновесной квантовой статистики имеет оператор Лиувилля L, определенный для данного га- гамильтониана Н и любого оператора А соотношением , А]), G.6.12) где [Я, Л] означает обычный коммутатор в гильбертовом пространстве. Удобный базис \i, j) для С можно построить из собственных состояний |г>, |/> ... гамильтониана. В этом базисе Z I IO(/l]) = co,/U7), G.6.13) 1) Такое представление называют также тетрадным, а соответствую- соответствующие операторы — тетрадиками. — Прим. ред. т. е. собственные значения оператора Лиувилля совпадают с возможными частотами ш,-/ системы. Уравнение движения B.4.16) для матрицы плотности мож- можно записать в новых обозначениях в следующем виде: . р]), или р. I р) = — /Г I р). G.6.14) Формальное решение уравнения G.6.14) имеет вид I Р @) = IP @)) ехр (— /?/). G.6.15) а соответствующий супероператор временной эволюции равен С/(/)=ехр(— lit). G.6.16) Советуем сравнить выражение G.6.15) с обычной формой B.4.16). Выражения G.6.7) и G.6.15) позволяют получить ком- компактное представление для коэффициентов возмущения, опре- определенных соотношением D.7.6.). Предполагая, что рассмат- рассматриваемая система в момент времени t = 0 описывается мат- матрицей плотности iP(o))=i<n/);Q>in/ а в момент времени t — матрицей получаем из G.6.8) и G.6.15) /. t)\q) = (т {J)kq | р (/)) = (т {j)kq | и (о I р @)) = Z l, G.6.17) где коэффициент возмущения в обозначениях лиувиллевского формализма дается выражением G(t)QKl-(T{J)kq\U{t)\T{J)I<Q). G.6.18) Представленный здесь формализм применялся различными авторами к теории угловых корреляций, возмущенных процес- процессами релаксации (см., например, Gabriel, 1969; Bosse, Gab- Gabriel, 1974). Реальное преимущество оператора Лиувилля проявляется в резольвентной форме. Резольвентный метод, который ио
222 ГЛАВА Т КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ РЕЛАКСАЦИИ 223 пользует идеи и методы теории рассеяния для описания мат- матрицы плотности в лиувиллевском представлении, позволяет представить формализм в компактной форме. Познакомиться с этим методом читатель может по оригинальной работе Цванцига (Zwanzig, 1960). 7.7. Линейный отклик квантовой системы на внешнее возмущение Физические задачи связаны с определением неизвестных свойств системы. Для этого воздействуют на систему внешним агентом и наблюдают реакцию системы. Иными словами, на- наблюдатель задает вопрос системе, а система отвечает. Исходя из такой общей постановки, был развит формализм линейного отклика. Этот формализм Кубо впервые применил к теории необратимых процессов. Его цель состояла в изучении явле- явлений переноса, например эффектов, обусловленных действием на равновесную систему внешних сил, которые вызывают от- отклонение системы от равновесия и появление тепло- и элект- электропроводности или иной реакции на возмущение. В данном разделе мы дадим краткое введение в этот формализм. Пусть на квантовую систему, описываемую матрицей плот- плотности p(t), действует внешнее возмущение V(t). В теории необратимых процессов обычно предполагают, что система находилась в статистическом равновесии с термостатом в от- отдаленном прошлом (t-*—оо). Это выражается начальным условием равно Р(О-»Ро G.7.1) при t-*—со, где Ро — равновесная матрица плотности систе- системы. • Временная эволюция матрицы плотности определяется уравнением Лиувилля B.4.16). Если V(t) достаточно мало, то в первом порядке теории возмущений решение уравнения Лиувилля можно записать в виде t Р @ = Ро ~ (*/А) \ dtf exp [/Яо {? - t)/h] X — 00 X [V (П, Ро] ехр [- Шо (f - О/А]. G.7.2) Его можно получить, преобразовав B.4.43) обратно в пред- представление Шредингера с помощью B.4.25) и B.4.37). В этом приближении изменение среднего значения <Л> оператора А ) G.7.3) Величину Д<Л(^)> можно рассматривать как отклик системы на внешнее возмущение в первом порядке. Нужно отметить, что гамильтониан Яо + V(t) описывает только саму систему и не включает влияние термостата. Предположим, что V(t) можно представить в виде V(O = -f(OB, G-7.4) где f(t)—внешняя вынуждающая сила (например, электри- электрическое поле), а В — оператор, относящийся к системе (напри- (например, дипольный оператор). Подстановка G.7.4) в G.7.3) дает t А (Л @> = №) J dt' tr {[В, Ро] Л (f - /)} f (tf) - -*оо t - №) \ tr {Ро [Л V - О, В]} f (О df; G.7.5) — оо при этом мы использовали циклическую инвариантность следа и ввели величину Л (/' - 0 = ехр {[- Шо (f - 1)Щ А ехр [Шо {? - О/А]. G.7.6) Если ввести функцию Грина > «Л (О В (О» = - (//А) 6 (t - П tr {р0 [Л (О, В (О] }, G.7.7) где Q(t — f) —ступенчатая функция, то верхний предел ин- интегрирования в G.7.5) можно устремить к бесконечности. Тог- Тогда выражение для Д<Л(^)> можно записать так: G.7.8) Выражение G.7.8) показывает, что влияние внешнего возму- возмущения на среднее значение наблюдаемых можно описать с помощью функций Грина, связывающих наблюдаемую вели- величину с возмущением. Смысл функции Грина можно выяснить, если рассмотреть единичный импульс в момент tu т. е. заменить f(t') на Д<Л(О)== \ {(A{t'-t)B))f{t')dtf.
224 ГЛАВА 7 КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ РЕЛАКСАЦИИ 225 6(f — ti), где 6(?— из G.7.8) следует —дельта-функция Дирака. При этом G.7.9) Таким образом, функция Грина «A(f— 0^» есть изменение Д<Л(^)> величины А в момент времени t, обусловленное еди- единичным импульсом в момент времени V'. Тогда выражение G.7.8) можно интерпретировать как линейную суперпозицию откликов, каждый из которых вызван импульсом в момент времени f с амплитудой f(t'). Область значений t'b G.7.8) определяется условием V ¦< t (иначе ступенчатая функция об- обращается в нуль). Следовательно, отклик носит причинный характер, так как учитывается только влияние возмущений, имевших место в прошедшие моменты времени. Поэтому ве- величину G.7.7) называют запаздывающей функцией Грина. Равенство G.7.8) называется формулой Кубо для линей- линейного отклика системы. Важно подчеркнуть, что эта формула выражает неравновесные свойства системы через средние по равновесным состояниям. Можно также определить нелиней- нелинейный отклик системы на внешнее воздействие. Однако функ- функции Грина в этом случае уже не будут определяться свойст- свойствами невозмущенной системы. Рассмотрим частный случай периодического возмущения У @ = — ^о ехр (— Ш + et) В, G.7.10) -I где Vo — амплитуда, а е — бесконечно малая величина, обес- обеспечивающая условие V(t)-+O при /->—оо. Для периодиче- периодического возмущения G.7.10) формула G.7.8) принимает вид Д (А (/)) = VQ exp (- Ш + et) J dt' ((A (/' - t) В» X — оо X ехр [- /со (/' - t) + е (/' - 0] = оо = Vo ехр (— Ш + et) J «А (т) В» ехр (- йот + ет) й% = — оо = Voехр(- Ш + et)«ЛВ»Ю) G.7.11). где т = f — t и «ЛВ»Ю определяется интегралом в G.7.11а). Обобщенная восприимчивость х(ю)> описывающая влияние' периодического возмущения G.7.10), определяется соотноше- соотношением А (А @) = X (ш) Vo ехр (- Ш + et). G.7.12) Сравнивая G.7.11) и G.7.12), получаем х (со) = «АВ»Ш. G.7.13) Это формула Кубо для обобщенной восприимчивости. Выведенные здесь соотношения можно использовать в качестве отправной точки при описании явлений переноса. При соответствующих условиях можно установить связь меж- между формализмом отклика и теорией необратимых процессов Онсагера. Показано, что при достаточно слабом внешнем возмущении, когда допустимо ограничиться первым порядком теории возмущений, коэффициенты переноса можно вычис- вычислить, используя равновесную матрицу плотности. Например, электрическая проводимость непосредственно связана с от- откликом системы на внешнее поле, а этот отклик в свою оче- очередь оказывается связанным с временными корреляционны- корреляционными функциями. Обсуждение затронутых вопросов выходит за рамки нашей книги. Подробное изложение теории и много- многочисленные применения читатель может найти в книге Зуба- Зубарева') A971). ') В этом разделе была рассмотрена теория реакции квантовой системы на внешнее возмущение, которая приводит к запаздывающим термодина- термодинамическим функциям Грина: ((А (О В (t')))r = ih ¦&(t-t')([A(t), 0) где (...) —усреднение по статистически равновесному состоянию. Для этого усреднения удобно использовать матрицу плотности для большого канонического ансамбля Гиббса ро = Z~l ехр (— 2 = tr ехр (— где Ж = Н — p.N, [г — химический потенциал, N — полное число частиц. Такое усреднение имеет преимущество перед усреднением с матрицей плот- плотности канонического ансамбля Гиббса, так как не требует дополнительного условия постоянства числа частиц. Представление Гейзенберга операторов удобно определять также с помощью Ж, а не Н: Термодинамические функции Грина нашли широкое применение в тео- теории твердого тела и вообще в статистической физике равновесных и нерав- неравновесных процессов, так как они очень упрощают решение сложных задач (см. Боголюбов Н. К, 1959; Зубарев Д. Н., 1960; Тябликов С. В., 1975). Кроме запаздывающих функций Грина, вводят опережающие функции Грина: ((А @ В (П»й = - -~ 6 (V - t) {[А @, В (t')] >, B) которые, хотя и не имеют такого простого физического смысла, как за- запаздывающие, очень удобны как вспомогательное средство для аналитиче-
226 ГЛАВА 7 КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ РЕЛАКСАЦИИ 227 ского продолжения фурье-компонент функций Грнна: со В»и = \ ((А (О В (*')» eto <*-v>d (t - П- — оо что облегчает решение уравнений для функций Грина. Применяются также функции Грина, в которых усредняется не ком- коммутатор Л(/)В(/') — B(t')A(t), а антикоммутатор A(t)B(t') + B(t')A{t), и функции Грина, в которых вместо разрывного множителя Q(t — t') стоит символ хронологического упорядочения операторов (причинные функции Грина). Последние при нулевой температуре совпадают с функциями Гри- Грина, применяемыми в квантовой теории поля. Функции Грина зависят только от разности t — V н удовлетворяют уравнению движения А «Л (t) В (*')» = ЬA~П ([Л, В] ) + «[А (О, Щ, В (Г) », C) которое имеет неоднородный член, пропорциональный ЬA — f), возникаю- возникающий при дифференцировании 0(/ — V). Этот член, делающий уравнение не- неоднородным, облегчает его решение, подобно тому как в теории линейных дифференциальных уравнений введение б-образного члена в уравнение оп- определяет функцию Грина, упрощающую его решение. Уравнение C) содер- содержит кроме исходных функций Грина также функции Грпна более высокого порядка. Для них можно также построить подобное уравнение и т. д., т. е. получить цепочку для функций Грнна. Эти уравнения одинаковы как для запаздывающих, так и для опережающих функций Грпна (для антиком- антикоммутаторных функций Грнна нужно заменить средний коммутатор на сред- средний антикоммутатор); следовательно, их необходимо дополнить гранич- граничными условиями. Это делается с помощью спектральных представлений для функций Грнна. Если уравнения для функций Грина удастся приближенно свести к конечной системе уравнений («расцепить»), то, решая полученные уравнения, можно найти не только функции Грнна, но и временные корре- корреляционные функции <А@В(Г)> и средние значения операторов (АВу без явного вычисления следа Для временных корреляционных функций имеет место простое соотно- соотношение (граничное условие Кубо — Мартина — Швингера) (Л (t) В @)> = <В @) А (/ + iftp)>, D) которое легко доказать, выполнив циклическую перестановку операторов под знаком следа: i ?-Чг{е-р38е^"!Ле-шшВ} = (A (t) В @)> tr Следовательно, спектральная интенсивность временных функций обладает свойством корреляционных E) Учитывая спектральное представление для разрывной 6 (t) -функции оо 1 Г е 6 ('} = " T+Ti" dx G) (е > 0 считается бесконечно малой), получаем спектральные представле- представления для функций Грнна ± (8) где знаку г соответствует « + », а знаку а «—» перед ie. Продолжим функ- функцию (8) в область комплексной энергии, полагая 1 И-лГ (со) Е — со ' {{А\В))ГЕ при Im?>0, .\\А\В))аЕ при ImE<0, (9) и будем рассматривать (9) как единую аналитическую функцию в ком- комплексной плоскости Е. Эти простые аналитические свойства делают функ- функции Грнна (9) весьма удобными для приложении. Если известна функция {{А | В))ш, го можно найти спектральную интенсивность простого соотношения » «^ I B» (Р<° с помощью которое следует из формулы (9). Для антикоммутаторных функций Грина множитель еРи—-1 надо заменить на е'и+ 1- — Прим. ред. где поэтому
Приложения А. Прямое произведение Важную роль в матричной алгебре играет прямое произ- произведение С = Ау^В двух матриц А и В; каждый элемент матрицы С получается путем замены каждого элемента ац матрицы А на матрицу ацВ. Таким образом, если А и В пред- представляют собой соответственно N- и «-мерную матрицы, то С является N X «-мерной матрицей. Например, если /а„ al2\ ~~\a2i a22)' 2i есть четырехмерная матрица (A. la) то прямое произведение где каждый «элемент», ацВ означает двумерную матрицу <a4bn а„М (длб) ' \ацЬ21 Можно показать, что если А и С суть т X w-матрицы, а В и D суть п X «-матрицы, то обычное матричное произведение матрицы (АУ(В) на матрицу (CXD) определяется формулой (А X В) ¦ (С X D) = {АС) X ED). (А.2а) Имеется важное соотношение между следами: tr (А X В) = tr A tr В. (А.26) Применение соотношений (А.2) позволяет исключить исполь- использование явных матричных представлений в большинстве рас- расчетов. Определение (АЛ) применимо и для векторов-строк, кото- которые можно рассматривать как матрицы с одной строкой. На- Например, при записи спиновых состояний в стандартном пред- представлении прямое произведение состояния | + 1> со спином ПРИЛОЖЕНИЯ 1 н состояния | —1/2) со спшюм 1/2 имеет вид [01 229 X (А.З) что мы будем записывать в виде 1 + 1I- 1/2) = |1, -1/2). (А.4) В более общем случае рассмотрим два линейных прост- пространства R и г с базисами \N) и |«> соответственно [т. е. лю- любой вектор из R(r) можно записать в виде линейной комби- комбинации состояний |W>(|n»]. Комбинированное пространство (прямое произведение пространств R и г) можно натянуть на множество всех прямых произведений \N, n) = \N)\n), (А.5) т. е. произведении всех возможных пар, составленных из ба- базисных векторов \Ny и |«>. Например, ансамбль частиц со спином 1 может находить- находиться в состоянии | + 1>, а ансамбль частиц со спином 1/2 — в состоянии | —1/2>. Когда системы разделены и не взаимодей- взаимодействуют, состояние комбинированной системы представляется прямым произведением | + 1, —1/2). Это простое представле- представление неприменимо, когда две системы взаимодействуют (см. разд. 3.1). Однако любой вектор |i))>, представляющий состо- состояние связанной системы, можно всегда записать в виде суммы прямых произведений: Mm Г, т)\М)\т), (А.6) где М = ±1,0, т = ±1/2. Прямое произведение состояний обладает следующими важными свойствами. Скалярное произведение определяется соотношением W, n'\N, n) = {N'\N)(n'\n). Матричные элементы оператора Q(R), действующего только на пространство R, имеют вид (N', п' |Q(R) | N, п) = (N'\Q (R) | N)<«' |«>, (А.7)
230 ПРИЛОЖЕНИЯ ПРИЛОЖЕНИЯ 231 прямое произведение операторов записывается следующим образом: (N', n'\Q(R)XQ(r) \N, n) = (N' \Q(R)\N)(n' \Q(r)\n). (A.8) Рассмотрим теперь смесь состояний \N, п), представлен- ' ных матрицей плотности С учетом D.3.14) окончательно имеем Р= 1Ж.»1#. n)(N, n\, N,n (А.9) где Wnk есть вероятность обнаружить систему в состоянии |iV, n> = \N}\n}. Две системы являются некоррелированны- -| ми, если т. е. если вероятность обнаружить одну систему в состоянии \Ny не зависит от вероятности обнаружить другую систему в состоянии \п). Если условие (АЛО) выполняется, то, сог- согласно (А.5) и (А.9), i:. (АЛ1) Таким образом, в частном случае некоррелированных систем . полная матрица плотности представляется прямым произве- произведением матриц отдельных систем. В качестве примера рассмотрим два ансамбля частиц со спинами Si и S2. В отсутствие взаимодействия две системы иекоррелированы и описываются матрицами плотности р (Si) н p(S2). Тогда объединенная система характеризуется матри- матрицей плотности Pin = Р (Si) X Р (S2)- Разлагая матрицы плотности p(Si) и p(S2) по спин-тензорам согласно разд. 4.4, получаем Р.п = [S (Т (S,)*Q>Т E,Ц [S (Т (S2)y Т = S Используя соотношения (А.26), D.2.24) и D.2.25), получаем след: tr [Pin (T (S,)^, X 1)] = S (Т (S^q) (Т (S2)l) X i\Qkq i\Qkq X tr [T (S,)KQ X T {SJkq\ [T (S^, X 1] = .1]. (АЛЗ) Подобным образом спин-тензоры, характеризующие только вторую систему, определяются выражением ]• (АЛ4) Выражения (АЛ2) — (АЛ4) используются, например, в теории рассеяния для описания начального состояния поляризован- поляризованных частиц. Б. Мультиполи состояния связанных систем Рассмотрим две взаимодействующие системы, имеющие моменты / и /. Эти две системы могут быть образованы дву- двумя различными ансамблями частиц, например электронами со спином / = 1/2 и атомами со спином /, или двумя различ- различными характеристиками одного и того же состояния (напри- (например, атомное состояние может характеризоваться электрон- электронным угловым моментом / и ядерным спином /). Мультиполи состояния, описывающие связанную систему, можно построить, связывая сначала состояния \JM} и |/т> в собственные состояния оператора полного углового момен- момента F, а затем используя эти собственные состояния F для по- построения тензорных операторов T(F'F)KQ по формуле D.2.3) и мультиполей состояний согласно D.3.3). Часто оказывается более удобным другой способ представ- представления полной матрицы плотности. Возьмем набор всех тен- тензорных операторов T(J)Kq и T(I)kg, описывающих отдельные подсистемы (K^2J, k^.21), и построим набор всех прямых произведений T(J)KQXT(I)kq, как описано в приложении А. Любой оператор, действующий на полном пространстве, на- натянутом на прямые произведения |/М>|/т>, можно разло- разложить по этому набору. Следовательно, Р = Zkg (T {I)*KQ X Т (I)tq) [T (J)KQ X (Б. 1) Согласно приложению А, мультиполп состояния определяются из (БЛ) путем вычисления следа: (Т (jfKQ X Т (I)lq) = tr p [T (/)*Q X Т (/)* J. (Б.2) Если две системы некоррелированы, то, как следует из приложения А, >. (Б.З)
232 ПРИЛОЖЕНИЯ Во многих случаях особый интерес представляют параметры = B1 + 1)'/! (Т (l)*KQ X Т (/)оо>. (Б.4) (Т {J)*KQ X В выражении (Б.4) использовано соотношение D.2.14) и 1 есть B/+ 1)-мерная единичная матрица. Используя (А.86), легко показать, что (Т (/)+Q X 1> = tr p [T (/)*Q X 1] = tr [p (/) Т (/)+J, (Б.5) где рG)—приведенная матрица плотности, описывающая только систему /: (JM' | р (/) | /М> = ', //п | р | JM, Im). Поэтому, если нас интересует только система /, а система / не наблюдается, то следует рассматривать только набор мультиполей (Т{¦f)\Q'X.l) = (T(rfKQ)- Точно так же если на- наблюдается только система /, то представляют интерес муль- типоли A X Т [l)\q) = (Т A)\ч)- Соответствующие примеры приведены в разд. 4.7. В качестве еще одного примера рас- рассмотрим эксперименты по рассеянию поляризованных ча- частиц со спинами / и /. Для определения поляризационных состояний одной из систем / или /, когда состояния другой системы не поляризованы или не регистрируются, можно использовать набор всех спин-тензоров, соответственно (^V)kqXI) или (IX Т {I)\q)- Если измеряется поляризация обеих систем в эксперименте на совпадения, то нужно рас- рассматривать некоторые или все параметры, для которых К и k одновременно отличны от нуля. Используя для pout выраже- выражение (Б.2), для рш — выражение (А. 12) и соотношение (Д.5), можно связать спин-тензоры конечных состояний со спин-тен- спин-тензорами начальных состояний. Наконец, приведем соотношение между «связанными» тен- тензорами T{F'F)K'q' и «несвязанными» операторами 7"(/)Х XT(I)kq: T{F'F)K'Q>= I [B^+l)Bfe+ KQkq (К k X(KQ, kq |K'Q')\J I F' U I F [T{J)KQ X T (I)kQ], (Б.6) ПРИЛОЖЕНИЯ 233 где {...} означает 9/-символ. Обратное соотношение можно получить, используя свойства ортогональности 9/-снмвола: T{JhQXT{!)kq= I {BK + l)Bk + l){2F'+l)BF + l)ihX FF'K'Q' (К k К'Л XiKQ, kq\K'Q')\l I F'\t{F'F)k,q,. (Б.7) U I F) В частном случае k — 0 соотношение (Б.7) дает Т (J)kq X 1 = B/ + 1)'/= [Т {J)KQ X Т (/H0] = Z Q. (Б.8) Аналогичное соотношение справедливо и для тензорных опе- операторов iy(T(I)kq, описывающих только систему /, когда система / не наблюдается. В. Формулы теории углового момента Коэффициенты Клебша—Гордана Z (/iK I2M'2\JM)(IlMu J2M2\JM) = 6 , б , , (В.la) Е (ЛМ„ /oMol/'Al'Jt/iAl,, /2УИ2|/Л4) = бгЛи.и'. (В. 16) Л1,ЛЬ Свойства симметрии: (/.Л4,, /2Л12|Ш) = = (-1)у'+у'-/(/2,Л12, /,А =[B/+1)/B/2+1)]'/2(- ==[B/-г-1)/B/,+ 1)]"/1(- 3 j-символы Определение: -УИ) = М„ 7-УИ|/2-УИ -УИ, /2М2|/,-Л (В.2а) (В.26) 2)= (В.2в) f,)= (В.2г)
234 ПРИЛОЖЕНИЯ Соотношения ортогональности: B7+1I I ', 2, =, \mx м, м;\м[ m2 m) L Ui м2 mvUi, м2 м) (B.4a> (B.46> Свойства симметрии: 3/-символ не изменяется при цикли- циклической перестановке его столбцов и умножается на (— i)/l+/!+J при нециклической перестановке. В частности, УИ2 A А /,Л Ы Л/, M.J' { Щ Частный случай: / /, /2 0\ ^ (_l)/,-At, \Af i —M2 0/ " & + ])''> 6]-символы Определение: l/i /2 /3/ (В.6) /2 /з /1 h h\fh h h\ —1Щ M2 mj\mi —m2 Mj' ^B^ Симметрия: 6/-снмвол не изменяется при перестановке двух любых столбцов и при перестановке любых двух эле- элементов верхней строки с двумя элементами, расположенными под ними, например /3 it) I/, /2 / (B.8) ПРИЛОЖЕНИЯ 235 Свертка: h h h 2 —M3 m Ортогональность: Частное значение: , пц) U, /, /3J • (B'9) i}==6rr. (B.10) (B.ll) I1/, • Элементы матрицы поворотов Определение: Симметрия: (В. 13) (В. 14) Частное значение: Связь со сферическими функциями Лежандра Р/: и полиномами (B.16a) (В-166) (В.16в) Произведение (со = /.vi.vi' 2 М ' \?ЛХ М2 (ВЛ7)
ПРИЛОЖЕНИЯ Ортогональность: sin = [8я2/B/ + 1)) 6/;-6m.M6m'M'. (B. 18) Матричные элементы неприводимых тензорных операторов. Теорема Вигнера—Эккарта: 1' К I \ __M, Q M)(J'\\TK\\J). (B.19) Редукция для сложной системы (L + S = I, L' -\-S' = /'): Если тензорный оператор TKq действует только на систему с угловыми моментами L, L', то <(I'S') /' || Тк ||(LS) I) = (- if+S+/+« [B/' + 1) B/ + I)]7' X X\l L K\^^TkWL)^s'. (B.20) Г. Эффективность измерительного прибора Диагональные элементы <«|р|п> матрицы плотности да- дают вероятность обнаружить чистое состояние |«> при экспе- экспериментальном наблюдении. Однако в большинстве экспери- экспериментальных ситуаций, которые можно представить, обнаружи- обнаруживается на единственное чистое состояие. Детектор в общем случае реагирует на несколько состояний |«> с относитель- относительными вероятностями («эффективностями») гп. Полная ве- вероятность срабатывания прибора определяется в представле- представлении базисных векторов |«> выражением Введем оператор, аналогичный оператору плотности B.2.1): в = Е е„ I п) (п |; (Г.2) п тогда выражение (Г.1) можно представить в виде (Г.З) Оператор е называется «матрицей эффективности» измери- измерительного прибора и полностью описывает его реакцию. Если прибор с достоверностью реагирует только на одно состояние |п> (т. е. является идеальным фильтром), то е = |п><«|. ПРИЛОЖЕНИЯ 237 В этом случае из смеси можно выделить определенное чистое состояние |п> и (Г.1) сводится к выражению W = Wa = (n\p\n). (Г.4) В качестве примера рассмотрим измерение поляризации частиц со спином 1/2. Матрица эффективности е поляризаци- поляризационного фильтра есть 2 X 2-матрица, которую можно разло- разложить по системе из матриц Паули и двумерной единичной матрицы аналогично разложению матрицы плотности в разд. 1.1.5: | = A/2)A+Q0). е = A/2) A + Е (Г.5) Преобразуя к представлению с базисными состояниями |±1/2, г'}, где матрица е диагональна, находим где Q=|Q|. Таким образом, в этом представлении е имеет вид b = A/2)A + Q)|1/2, z') A/2, z'| + (l/2)(l-Q)X XI- 1/2, z') (-1/2, z' |; (Г.7) это выражение связывает параметр Q с эффективностями выделения фильтром состояний |±1/2, z'}. Далее, из соотношений A.1.46) и (Г.5) следует, что W = tr ре = A/2) A + PQ). (Г.8) Поэтому W имеет максимальное значение W^, когда Р и Q параллельны, и минимальное значение fw, когда Р и Q ан- типараллельны. Отсюда следует, что Q определяет направ- направление, в котором должен быть ориентирован поляризацион- поляризационный фильтр для получения максимальной реакции. Итак, чтобы определить поляризацию Р данного пучка с помощью фильтра с известным Q, нужно менять ориентацию фильтра до тех пор, пока W не достигнет максимального зна- значения. Это направление и есть направление Р. Если пара- параметр Q известен, то абсолютную величину вектора поляри- поляризации |Р| можно найти, измерив значения W^ и W^, соот- соответствующие максимальной и минимальной чувствительности, и воспользовавшись формулой
238 Приложения Д. Оператор рассеяния и оператор перехода В теории рассеяния удобно рассматривать начальное со- состояние частиц как вектор |г])т>, относящийся к бесконечно удаленному прошлому, когда взаимодействием частиц можно пренебречь, а конечное состояние как вектор |ilw>, относя- относящийся к бесконечно удаленному моменту будущего, соответ- соответствующему такому большому расстоянию между частицами, что взаимодействием между ними снова можно пренебречь. Тогда 5-матрицу можно определить соотношением т. е. процесс столкновения рассматривается как «черный ящик», который математически описывается величиной S, преобразующей in-состояния в out-состояния. Если начальное состояние описывается матрицей плотности то матрица плотности pout' описывающая конечное состояние, получается при действии на pin операторов S и S+: I *"ut ^ (but- (Д.2) Поскольку обычно рассматриваются переходы между раз- различными состояниями, удобно вычесть из S единичный опера- оператор 1 и определить оператор перехода r=s-i. (д.з) Из (Д.1) и (Д.2) следует ЛЫ = 1*ои1>-|*1п>- (Д-4) Все возможные переходы (рассеяние, реакции) в системе связаны с различием начального и конечного состояний, т. е. Т преобразует in-состояние в состояния рассеяния. Тогда представляет интерес та часть матрицы плотности (Д.2), ко- которая содержит информацию только о состояниях рассеяния; она имеет вид Pout = 7pinr+. (Д.5) Главная задача теории рассеяния заключается в опреде- определении Т, т. е. в определении всех матричных элементов Т (см. разд. 3.5.). Литература!) Abragam A. A961). The Principles of Nuclear Magnetism. — Oxford: Clarendon Press. [Имеется перевод: Абрагам А. Ядерный магнетизм. — М: ИЛ, 1963.] * Александров И. В. A975). Теория магнитной релаксации. — М.: Нау- Наука, 1975. Andra H. J. A974). Physica Scripta, v. 9, p. 252. Andra H. J. A971). — in: Progress in Atomic Spectroscopy/ed. W. Han- le, H. Kleinpoppen. — NY: Plenum Press. Берестецкип В. Б., Лифшиц Е. М., Питаевский Л. П. A968). Реля- Релятивистская квантовая теория Ч. I. — М.: Наука. Baylis W. Е. A979). — in: Progress in Atomic Speclroseopy/ed. W. Han- le, H. Kleinpoppen. — NY: Plenum Press Bloch F. A946). —Phys Rev., v. 70, p. 460. Block F., Wangsness R. K. A952). — Phys. Rev., v. 89, p. 728. Blum K., Kleinpoppen H. A979). — Phys. Rep., v. 52, p. 203. Blum K., Kleinpoppen H. A981). — Adv. At. Mol. Phys., в печати. * Боголюбов Н. Н. A970). Избранные труды. — Киев: Наукова думка "Боголюбов И. И. A959). —ДАН СССР, т. 126, с. 53. Bom M, Wolf E. A970). Principles of Optics.—NY: Pergamon Press. [Имеется перевод: Борн М., Вольф Э. Основы оптики. — М.: Наука, 19701 Bosse J., Gabriel H. A974). — Z. Phys., Bd. 266, S. 283. Brink D. M., Satchler G. R. A962). Angular Momentum. — Oxford: Clarendon Press. Burke P. G., loachain С J. A982). Theory of Electron — Atom Scatte- Scattering. — NY: Plenum Press. Burns D., Hancock W. H. A971). — Phys. Rev. Lett., v. 27, p. 370. Chow W., Scully M. O., Stoner W. A975). —Phys. Rev., v. All, p. 1380. Cohen-Tannouidji С A962). —Ann. Phys. (Paris), v. 7, p. 423. Cohen-Tannouidji C, Kastler A. A966). —in: Progress in Optics/ed. E. Wolf, v. 5. — Amsterdam, North-Holland. Carney A. A977). Atomic and Laser Spectroscopy. — Oxford, Clarendon Pi ess. d'Espagnat B. A976). Conceptual Foundations of Quantum Mecha- Mechanics. — Readinc: Benjamin. Дьяконов М. И,. Перель В. И. A964). — ЖЭТФ, т. 47, с. 1483. Edmonds A. R. A957). Angular Momentum in Quantum Mechanics.— Princeten: Princeton University Press. [Имеется перевод: Эдмондс А. Угло- Угловые моменты в квантовой механике. — М.: ИЛ, 1961.] Eminyan M., McAdam К., Slevin J., Kleinpoppen И. A974). —J. Phys. v. B7, p. 1519. ') Работы, отмеченные звездочкой, добавлены редактором перевода.— Прим. ред.
240 ЛИТЕРАТУРА ЛИТЕРАТУРА 241 Fano U. A953). —Phys. Rev., v. 90, p. 577. Fano U. A957). —Rev. Mod. Phys., v. 29, p. 74. Fano U., Komoto M. A977). —X. ICPEAC, Paris, Abstract of Papers p. 516. Fano U., Macek J. A973). —Rev. Mod. Phys., v. 45, p. 553. Farago P. S. (.971).— Rep Prog. Phys.. v. 34, p. 1055. Feynmann R. F., Vtrnun F. L, Hellwarth R. W. A957). —J. Appl. Phys v. 28, p. 49. Gabriel H. A969). — Phys. Rev., v. 181, p. 506. Gottfried К A966). Quantum Mechanics. — NY: Benjamin. Haake F. ;1973).—-in: Springer Tracts of Modern Physics, v. 66.— Berlin: Springei Haken H. A970). —in: Encyclopedia of Physics, v. XXV/2c. — Berlin: Springer. Haken H. A978). Synergetics—Berlin, Springer. [Имеется перевод: Ха- кен Г. Синергетика. — М.: Мир, 1980.1 Hanle W. A924). —Z. Phys., Bd. 30, S. 93. Hanle W., Kleinpoppen H. A978, 1979). Progress in Atomic Spectrosco- py, v. A, B. — NY: Plenum Press. Happer W. A972). —Rev. Mod. Phys., v. 44, p. 169. Herman H. W., Hertel I. V. A979). —in: Coherence and Correlation in Atomic Physics/ed. H. Kleinpoppen, J. F. Williams. — NY: Plenum Press Hertel I. V., Stoll W. 41978). — Adv. At. Mol. Phvs., v. 13, p. 113. Hollywood M. I., Crowe A., Williams J. F. A979).—J Phvs v В12 p. 819. Jammer M. A974). The Philosophy of Quantum Mechanics. — NY: Wi- Wiley. Jauch J. M. ^1973). Are Quanta Real? — Bloomington: Indiana Univer- University Press. Kessler J. A976). Polarised Electrons. — Berlin: Springer. King G., Adams A., Read F. H. A972). —J. Phys., v. B5, p. L254. Kleinpoppen H. A969). — in: Physics of the One and Two Electron Atoms./ed. F. Bopp, H. Kleinpoppen. — Amsterdam: North-Holland. Lamb F. K., Ter Haar D. A971). — Phys. Rep., v. 2, p. 253 Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. A963). Квантовая механика. Нереляти- Нерелятивистская теория. — М.: Наука. *Landau L. D. A927).—Z. Phys., Bd. 45, S 430. Loisell W. H. A973). —Quantum Statistical Properties of Radiation — NY: Wiley. Macek J., Burns D. A976). —in: Beam Foil Spectroscopy/ed. S. Bash- kin. — Berlin: Springer. Macek J., Jaecks D. H. A971). — Phys. Rev., v. A4, p. 1288. McConkey J. W. A980). — in: Coherence and Correlation in Atomic Phy- Physics/ed. H. Kleinpoppen, J. F. Williams. — NY: Plenum Press. McMaster W. A954). —Am. J. Phys., v. 22, p. 357. Messiah A. A965). Quantum Mechanics. — Amsterdam: North-Holland. [Имеется перевод: Места А. Квантовая механика. — М.: Наука, 1972.] Omont А. A977). —Prog. Quantum Electron., v. 5, p. 69. Pauli W. A928). Sommerfeld-Festschrift. — Leipzig: Hirzel. Percival I. C, Seaton M. J. A957). — Phil. Trans. R. Soc. v A251 p. 113. Prigogine I. A981). — The Microscopic Theory of Irreversible Processes, в печати. Robson В. А. A974). —The Theory of Polarisation Phenomena. — Ox- Oxford: Clarendon Press. Rodberg J. S.y Thaler R. M. A967). Introduction to the Quantum Theo-. ry of Scattering. -— NY: Academic Press. Roman P. A965). Advanced Quantum Mechanics. — NY: Addison-Wes- lev Sargent M., Scully M. O., Lamb W. E. A974). Laser Physics. — NY: Ad- dison-Wesley. . Series G. W., Dodd J. N. A978). —in: Progress in Atomic Spectrosco- Spectroscopy/ed. W Hanle, H. Kleinpoppen. — NY: Plenum Press. *Сликтер Ч. A967). Основы теории магнитного резонанса. —М.: Мир. Steffen R. M., Alder К. A975). —in: Electromagnetic Interactions in Nuclear Spectroscopy/ed. W. D. Hamilton.— Amsterdam, North-Holland. Steph N. C, Golden D. E. A980). — Phys. Rev., v. A21, p. 1848. ter Haar D. A961). —Rep. Prog. Phys., v. 24, p. 304. Tolman R. C. A954). The Principles of Statistical Mechanics. — L.: Ox- Oxford University Press. *Тябликов С. В. A975). Методы квантовой теории магнетизма. — М.: Наука, 1975. von Neumann J. A927). — Gottinger Nachrichten, 245. von Neumann J. A955). Mathematical Foundations of Quantum Mecha- Mechanics — l.: Oxford University Press. [Имеется перевод: фон Нейман И. Ма- Математические основы квантовой механики. — М.: Наука, 1964.] Walther H. A976). Laser Spectroscopy of Atoms and Molecules. — Ber- Berlin: Springer. Зубарев Д. Н. A971). Неравновесная статистическая механика. — М.: Наука. *3убарев Д. Н. A960) — УФН, т. 71, с. 71. Zwanzig R. (I960).-J. Chem. Phys., v. 33, p. 1338.
предметный указатель 243 Предметный указатель Анизотропное возбуждение 154 Базисные состояния 51 Векторная поляризация 121 Векторный оператор ПО Вектор ориентации 117 Вектор поляризации фотонов 34— 36 частиц со спином 'А> 16— 18 1 120 Возбуждение пучка при прохо- прохождении сквозь фольгу 156, 158 — светом, геометрические харак- характеристики 128 Возмущенное угловое распреде- распределение 156—160 Восприимчивость 224 Временная эволюция вектора со- состояния 63—66 мультнполей состояний 134— 144 необратимая 84, 186, 193 обратимая 84 смешанных состояний 63— 68 Время релаксации 210 Выстроенность атомов П7, 125, 173, 218 Деполяризация фотонов 153, 162— 163, 170, 174, 183 — частиц со спином '/2 92 Диполыюе излучение, правила от- отбора для мультнполей состояний 153 Дисперсионная форма кривой 181 Дифференциальное сечение 98 Закон Кюри 77 Замкнутая квантовомеханнческаЯ система 82 Золотое правило 196 Инвариантность относительно от- отражений 131—133 поворотов 123—127 Инверсия заселенностей 205 Индуцированное излучение 198— 205 Квадрупольный момент 117 Квантовые биения 58, 59, 154— 160 Когерентная суперпозиция 61,63, 99, 115, 124, 155, 199 Когерентные эффекты в столкно- столкновениях 92—99 вызванные магнитным полем 175—179, 199 и квантовые биения 154, 157—160, 176 и угловые распределения 155 и эффекты релаксации 211—213 Корреляционная функция 188, 189 Корреляционное время 188 Коэффициенты возмущения 134—• 136 для взаимодействия сверх* тонкой структуры 141 тонкой структуры 141, 163—164 магнитного поля 143—144 формализм Лиувилля 221 — Клебша — Гордана 233 Крупнозернистое усреднение 190 Ларморовская частота 444 Лоренцевская форма кривой 181 Магнитная деполяризация 183 Магнитный резонанс 199, 205— 209 Марковское приближение 187, 189, 193 Матрица плотности, временная эволюция 66—73, 82—84, 145— 149, 183—193 в формализме Лиувилля 218—222 диагональные элементы и ве- вероятность 54 мультиполыюе разложение 113—118 нормировка 41, 55 прямое произведение 230 число независимых парамет- параметров 26, 56, 100, 101 эрмитовость 54 — поворотов 109, 235 — релаксации 215, 216 в формализме Лиувилля 220 — эффективности 236 Матрицы Паули 15, 30—33, 74, 208, 213 Мультиполн состояния аксиально- симметричных систем 123—126 атомов 129, 134, 149—151 • в пространстве Лиувилля 218—221 ¦ временная эволюция 134— 141 комплексное сопряжение 116 некоррелированных систем 231 — — определение 114 релаксация 216—218 связанных систем 231—233 сферически-симметричных систем 126—127 трансформационные свой- свойства 116 условие эрмитовостн 115 Некогерентная суперпозиция 61, 62, 80, 89, 92 Некоррелированные системы 230— 231 Необратимые процессы 84, 184— 186, 193, 224 Оператор временной эволюции 63—66, 70, 71 — ~ в пространстве Лиувилля 221 Оператор Лиувилля 220 — перехода 97, 238 — плотности 53 для фотонов 40 частиц со спином 'А> 23 — рассеяния 97, 238 — среднее значение 53, 55 для подсистемы 82 — углового момента 110, 111 Оптическая накачка 204 и релаксация 217—21S Ориентация атомов 117, 118, 126, 129, 142, 217, 218 Основное кинетическое уравнение 193—198, 201 обобщенное 193 Открытые квантовомеханнческие системы 83 временная эволюция 83, 84, 184—193 Параметры Стокса 43—46, 167— 169, 171, 179, 180 Полиномы Лежандра 235 Полностью когерентная суперпози- суперпозиция 61, 93, 94, 102, 158, 169 Поляризация атомов 118 — излучения при пороговом воз- возбуждении 173—175 электронном ударе 170— 173 — фотонов 35, 36, 87, 94, 169 — частиц со спином 1/2 21, 91 -со спином 1 122 Представление векторов состояния 51 — взаимодействия 68—73 — матрицы плотности 23, 41, 53 — Шредингера 69 Приближение вращающейся волны 202, 203 Приведенная матрица плотности 81—85, 185, 232 атомов 98, 132, 138 фотонов 88, 146—151 частиц со спином !Д> 92 Приведенные матричные элементы 113 Принцип детального баланса 196 — несепарабельности 78—81 — суперпозиции 51 Причинность 224 Прямое произведение 96, 228—233 Псевдоспин 213
244 ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Ранг тензорного оператора 110 Рассеяние, зависящее от спинов 232 Релаксация 183 — изотропная 217 — поперечная 209—213 — продольная 209—213 Сверхтонкая структура 140, 141 Сдвиг линии 205 Система координат, связанная с детектором 166 — со столкновением 96, 150, 166 Скалярный оператор 110 Скорость перехода 195—197 Смешанные состояния 53 — — фотонов 37 частиц по спином '/г 18 Совпадения электрон-фотонные 165-170 Соотношение полноты 52 в пространстве Лиувилля 219 Сопряженное состояние 15, 40, 52 Сопряженный тензорный оператор 112 Сохранение полного спнна 100 Спиновая прецессия 73—74 Спиновое эхо 211—212 Спиновые состояния 13, 15, 20, 33 Спин-орбитальиая связь 95, 137, 158 Спнн-решеточное взаимодействие 210 Спин-тензоры 119—121, 230—231 Спиральность фотонов 59, 40 Спонтанное излучение 201 Статистические тензоры см. Муль- тнполи состояния Статистический оператор см. Опе- Оператор плотности Супероператор 220 — релаксации 220 Сферические гармоники 235 3/-снмвол 233 6/-СИМВОЛ 234 9/-СИМВОЛ 232 Тензор выстроенности 117 Тензорная поляризация 121 Тензорный оператор 105—113 Теорема Вигнера-Эккарта 113, 236 Тепловое равновесие 74, 197 Тонкая структура, квантовые бие- биения 157—160 расщепление 140 Угловые корреляции 165—170 Уравнение Лиувилля 67, 72, 83, 221 Уравнения Блоха для магнитного резонанса 205—213 — — «оптические» 213—214 Условия ортогональности в про- пространстве Лиувилля 219 коэффициентов Клебша — Гордана 233 ЗУ-символов 234 — эрмнтовостн 54 Ушнрепне линии 205 Фильтр Штерна — Герлаха 12 Формализм линейного отклика 222—225 Формула Кубо 224 Функции Грина 223 Хаотическое распределение 58 Чистые состояния 50 возбужденных атомов 94, 102 фотонов 36, 48, 94 — — частиц со спином '/г 13, 33 — — — со спином 1 122 Эффект Канле 179—183
Оглавление Предисловие редактора перевод? 5 Предисловие 7 Глава 1. Основные понятия '2 1.1. Спиновые состояния и матрица плотности для частиц со спином 1/2 12 1.1.1. Чистые спиновые состояния .12 1.1.2. Вектор поляризации '5 1.1.3. Смешанные спиновые состояния 18 1.1.4. Сравнение чистых и смешанных состояний . . .21 1.1 5. Спиновая матрица плотности и ее основные свойства 23 1.1.6. Алгебра матриц Паули 30 1.1.7. Выводы 33 1.2. Состояние поляризации и матрица плотности для фотонов 34 1.2.1. Классическое понятие поляризации волны ... 34 1.2.2. Чистые и смешанные состояния поляризации фото< нов 36 1.2.3. Квантовомеханическое понятие спина фотона ... 38 1.2.4. Матрица плотности для поляризаций . . . .41 1.2.5. Описание посредством параметров Стокса . . .43 Глава 2. Общая теория матрицы плотности 49 2.1. Чистые и смешанные квантовые состояния 49 2.2. Матрица плотности и ее основные свойства 53 2.3. Когерентность и некогерентность 58 2.3.1. Элементарная теория квантовых биении .... 58 2.3.2. Понятие когерентной суперпозиции 61 2.4. Временная эволюция статистических смесей 63 2.4.1. Оператор временной эволюции 63 2.4.2. Уравнение Лиувилля 66 2.4.3. Представление взаимодействия , 68 2.5. Спиновая прецессия в магнитном поле 73 2.6. Системы в тепловом равновесии 74 Глава 3. Связанные системы 78 3.1. Несепарабелыюсть квантовых систем после взаимодей- взаимодействия 78 3.2. Взаимодействие с системой, не подвергаемой наблюдению. Приведенная матрица плотности 81 3.3. Анализ света, излученного атомами (ядрами) 85
246 ОГЛАВЛЕНИЕ 3.3.1. Свойства когерентности состояний поляризации . . 85 3.3.2. Описание излученных фотонов 88 3.4. Некоторые дальнейшие следствия из принципа несепара- несепарабельности 90 3.4.1. Спиновая деполяризация за счет столкновений . . 90 . 3.4.2. «Полная когерентность» возбуждений атомов . . 92 3.5. Возбуждение атомов электронным ударом I 94 3.5.1. Приведенная матрица плотности атомной системы . 94 3.5.2. Ограничения, обусловленные требованиями симме- симметрии 99 Глава 4. Неприводимые компоненты матрицы плотности 104 4.1. Введение 104 4.2. Определение тензорных операторов . 105 4.2.1. Общее правило построения 105 4.2.2. Трансформационные свойства при поворотах. Мат- Матрица поворотов 108 4.2.3. Примеры ПО. 4.2.4. Некоторые свойства тензорных операторов . . . 112 4.3. Мультиполи состояния (статистические тензоры) . . .113 4.3.1 Определение мультиполей состояния 113 4.3.2. Основные свойства мультиполей состояния . . .115 4.3.3. Физическая интерпретация мультиполей состоя- состояния. Вектор ориентации и тензор выстроенное™ 116 4.4. Примеры. Спин-тензоры 118 4.4.1. Спин-тензоры для частиц со спином 1/2. . . 118 4.4.2. Описание частиц со спином 1 119 4.5. Свойства симметрии. Связь между симметрией и коге- когерентностью 123 4.5.1. Аксиально-симметричные системы 123 4.5.2. Сферически-симметричные системы 126 4.5.3. Примеры. Фотопоглощение на атомах (ядрах) . . 128 4.6. Возбуждение атомов электронным ударом II. Мульти- Мультиполи состояния 129 4.6.1. Возникновение атомной ориентации при столкнове- столкновениях 129 4.6.2. Общие следствия инвариантности относительно от- отражений 131 4.6.3. Аксиально-симметричные атомные системы .... 134 4.7. Временная эволюция мультиполей состояний при нали- наличии внешнего возмущения 134 4.7.1. Коэффициенты возмущения 134 4.7.2. Коэффициенты возмущений для взаимодействий, об условливающих тонкую и сверхтонкую структуру 1.36 4.7.3. Явный пример 141 4.7.4. Влияние внешнего магнитного поля ...... 143 4.8. Обозначения, используемые другими авторами .... 144 Глава 5. Излучение поляризованных атомов. Квантовые биения . . . 145 5.1. Общая теория I. Описание процессов радиационного рас- распада с помощью матрицы плотности 145 5.2. Общая теория П. Разделение динамических и геометри- геометрических факторов 149 5.3. Обсуждение общих формул 151 5.3.1. Общая структура уравнений 151 5.3.2. Прояьленне когерентности. Квантовые биения 154
ОГЛАВЛЕНИЕ 247 5.4. Возмущенное угловое распределение и поляризация . . 156 5.4.1. Общая теория 156 5.4.2. Квантовые биения, вызванные «нарушением симме- симметрии» 157 5.5. Временное интегрирование по квантовым биениям . . . 160 5.5.1. Стационарное возбуждение 160 5.5.2 Эффекты деполяризации, вызванные тонкой и сверх- сверхтонкой структурой 162 Глава 6. Некоторые приложения 165 6.1. Теория электрон-фотонных угловых корреляций в атом- атомной физике 165 6.1.1. Сннглет-синглетные переходы 165 6.1.2. Влияние тонкого и сверхтонкого взаимодействия на испускаемое излучение 169 6.2. Стационарное возбуждение 170 fi.2.1. Поляризация ударного излучения 170 6.2.2. Пороговое н псевдопороговое возбуждение . . . 173 6.3. Влияние слабого магнитного поля 175 6.3.1. Коэффициенты возмущения для различных геомет- геометрий. Явления когерентности 175 6.3.2. Магнитная деполяризация. Теория эффекта Ханле 179 Глава 7. Квантовая теория релаксации 184 7.1. Уравнения для матрицы плотности дисснпативных кван- квантовых систем . . 184 7.1.1. Условия необратимости. Марковские процессы . . 184 7.1.2. Временные корреляционные функции. Обсуждение марковского приближения 187 7.1.3. Уравнение релаксации. Секулярное приближение . 190 7.2. Основное кинетическое уравнение 193 7.3. Кинетика индуцированного излучения и поглощения . . 198 7.4. Уравнения Блоха 215 7.4.1. Магнитный резонанс 501! 7.4.2. Продольная н поперечная релаксация. Спиновое эхо ?09 7.4.3. «Оптические» уравнения Блоха 213 7.5. Некоторые свойства матрицы релаксации 214 7.5.1. Общие ограничения на элементы матрицы релакса- релаксации 214 7.5.2. Релаксация мультнполей состоянии . . . . . °16 7.6. Лнувиллиевский формализм 218 7.7. Линейный отклик квантовой системы на внешнее возму- возмущение 222 Приложения 228 A. Прямое произведение 223 Б. Мультнполн состояния связанных систем 231 B. Формулы теории углового момента 233 Г. Эффективность измерительного прибора 236 Д. Оператор рассеяния и оператор перехода 238 Литература 239 Предметный указатель 242