Предисловие
Алгебра
Неизвестные цифры
Преобразование выражений
Условные равенства и неравенства
Разложение на множители
Доказательство неравенств
Прогрессии
Уравнения
Текстовые задачи
Планиметрия
Треугольники
Треугольник и окружность
Параллелограммы
Трапеция
Теорема Пифагора
Подобие фигур
Правильные многоугольники
Площади фигур
Стереометрия
Параллельность прямых и плоскостей
Изображение плоских фигур в стереометрии
Стереометрические построения
Перпендикуляр к плоскости
Перпендикуляр и наклонные
Угол прямой с плоскостью
Система координат в пространстве
Двугранные и трехгранные углы
Многогранники
Призма и параллелепипед
Пирамида
Сечение многогранника плоскостью
Параллельные сечения пирамиды
Площадь поверхности многогранника
Правильные многогранники
Объемы параллелепипеда и призмы
Объем пирамиды
Тела вращения
Площадь поверхности и объем тела вращения
Тригонометрия
Ответы, указания, решения
Планиметрия
Стереометрия
Тригонометрия
Text
                    ы
w
+.****
о*
S
wo
О
С
ь
ПРОСВЕЩЕНИЕ


КНИГА ДЛЯ УЧАЩИХСЯ МОСКВА «ПРОСВЕЩЕНИЕ» 1995
Рецензенты: кандидат педагогических наук, доцент Б. А. Кордемский учитель школы № 566 Санкт-Петербурга В. И. Рыжик Лоповок Л. М. Л77 Тысяча проблемных задач по математике: Кн. для учащихся.— М.: Просвещение, 1995.— 239 с: ил.— ISBN 5-09- 003849-Х. Сборник содержит задачи проблемного характера по разделам «Алгебра», «Планиметрия», «Стереометрия», «Тригонометрия» школьного курса математики и адресован учащимся, которые интересуются математикой, любят решать занимательные задачи. Книга может быть использована учителем в индивидуальной работе. _ 4306020000—244 .оок __„ OQ Л г-ггт Уточн. пл., 1995 г., № 126 ББК 22.1 103(03)—95 ISBN 5-09-003849-Х © Лоповок Л. М., 1995
ПРЕДИСЛОВИЕ Дорогие друзья! Эта книга содержит задачи из разных разделов школьного курса математики. Некоторые из эт^х задач похожи на те, которые вы решали или будете решать по школьной программе, но почти в каждой из них есть такой элемент, который делает ее непохожей на известные задачи и, возможно, потребует для решения некоторой сообразительности, смекалки, творческого подхода. Цель этой книги — расширить ваши возможности в решении задач и тем самым содействовать развитию ваших мыслительных способностей. Обсудим вопрос: что такое математическая задача? Математической задачей называют требование осуществить некоторую математическую деятельность в указанных условиях. Обычно в задаче речь идет о нахождении некоторого числа (в частности, длины, площади, объема, меры угла), построении фигуры, установлении рассматриваемой функции и т. п. По характеру вопроса различают задачи на вычисление, на построение, на доказательство, на исследование, на моделирование. Иногда в условии оговариваются средства выполнения задания. Например, требуется определять сумму tg2 10°+tg2 50° + tg2 70° без использования таблиц или калькулятора. Иногда дается дополнительное условие, которое ограничивает пути выполнения предложенного задания. Приведем пример такого ограничения. Обычно геометрические построения на плоскости выполняются с помощью односторонней линейки и циркуля. Если об инструментах в условии ничего не сказано, речь идет именно о них. Однако формулировка может быть иной, например: «Дана окружность с известным центром, точки А и В находятся вне окружности. Постройте, пользуясь только циркулем, точки пересечения прямой АВ с данной окружностью». 3
Ограничение существенно влияет на направленность поиска решения задачи. По роли, которую играют учебные задачи, их делят на репродуктивные, задачи с известным алгоритмом и проблемные. Репродуктивные задачи ставят своей целью припомнить то, что вы узнали на предыдущих занятиях. Обычно их предлагают в виде вопросов, например: «Какую форму имеет график квадратичной функции?», «Как формулируется теорема о трех перпендикулярах?», «Чему равна сумма синусов двух углов?» Они важны уже потому, что без знания теоретического материала нельзя приступать к решению поставленной задачи. Задачи репродуктивного характера в некоторой мере помогают вам систематизировать пройденное. Однако, укрепляя память, они совершенно не развивают мышление, поэтому не могут считаться основными. В задачах второй группы речь идет об использовании вами полученных ранее знаний. При этом общий план решения поставленной задачи ясен, остается только выбрать из числа изученных теорем или формул пригодные для достижения намеченной цели (формулу для решения квадратного уравнения, формулу для вычисления площади, прием разложения на множители и т. п.). Принципиальных трудностей при решении задач второй группы обычно не возникает. Они помогают лучше разобраться в изученном, систематизировать пройденное. При этом они приучают сравнивать возможные пути решения. Так возникают и закрепляются навыки рационального решения задач. Таких задач на уроках математики большинство. Однако задачи с известными алгоритмами не знакомят нас с новыми математическими фактами, с приемами математической деятельности, не способствуют математическому развитию. Проблемная задача характерна тем, что алгоритм ее решения до начала решения нам неизвестен, трудно даже установить, достаточно ли наших знаний и умений для выполнения задания. Главная задача — открыть способ решения и убедиться в его пригодности. Следует иметь в виду, что определить, является данная задача проблемной или нет, можно только относительно конкретного школьника, только с учетом его знаний и умений в момент постановки задачи. Так, например, если требуется найти площадь треугольника, у которого длины сторон 5, 10, 13, то
для того, кто привык применять только формулу S=-y/p(p — a)(p — b)(p — c), «неудобные» числовые данные превращают задачу в проблемную, но для знающего, что S=±^4a2b2-(a2 + b2-c2f, это задача с известным алгоритмом. Для удобства работы сборник разделен на четыре раздела по характеру задач (алгебра, планиметрия, стереометрия, тригонометрия), причем в каждом своя нумерация. Задачи в каждом разделе разбиты в свою очередь на подгруппы, которые в большинстве случаев озаглавлены. Внутри подгрупп задачи размещены в порядке нарастания сложности решения. В сборнике нет деления упражнений по классам, но задачи размещены в последовательности, которая соответствует действующей школьной программе. В подавляющем большинстве геометрических задач применение тригонометрии не предусматривается. Почти ко всем задачам в конце книги помещены не только ответы, но и решения или краткие указания к их решению. (Знак· служит для отграничения указаний от ответа.) В тех случаях, когда часть решения чисто техническая (вычисления, очевидные преобразования), эти записи пропущены. В ряде случаев приведено не единственное решение. Это сделано для демонстрации возможности различных подходов к задаче или для ознакомления с приемами, которые могут оказаться полезными при решении других математических задач. Но, как правило, приводится одно решение, которое заметно лучше друглх возможных. Предполагается, что вы сначала попытаетесь самостоятельно решить задачу и будете смотреть в указания только для сравнения полученного вами результата с ответом или для ознакомления с другими возможными путями решения данной задачи. В некоторых задачах требуется доказывать свойство или соотношение, которое не входит в школьную программу. Заучивать эти теоремы и формулы не требуется. Однако, если эти результаты могут быть целесообразны при решении последующих задач, в указаниях дается ссылка на соответствующий номер задачи. 5
Какие именно задачи выбрать, вы решите сами или посоветуетесь с учителем, какая из задач действительно является для вас уместной в конкретной учебной ситуации. При отборе задач для сборника автор использовал свои задачники, издававшиеся в 1950—1988 гг., материалы математических олимпиад Луганской области, юношеской математической школы при ЛГПИ (1962—1988 гг.), а также задачи ряда зарубежных математических журналов. При окончательной доработке текста автор использовал замечания и пожелания рецензентов Б. А. Кордемского и В. И. Рыжика, что позволило устранить ряд недостатков. Автор надеется, что книга может принести известную пользу и учителям, желающим повысить свою квалификацию в области решения математических задач, и будущим учителям — студентам физико- математических факультетов. Желаем успеха! Автор
*«**-
ДЕЙСТВИЯ НАД ЧИСЛАМИ (1-17) 1. Вычислите: 666666-666666 1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1 777777-777777 1+2+3+4+5+6+7+6+5+4+3+2+1 * 2. Сумма двух натуральных чисел 176. Если в одном зачеркнуть цифру, получится второе. Найдите эти числа. 3. Сумма трех различных натуральных чисел 875. Найдите эти числа, зная, что два из них получаются зачеркиванием у третьего одной цифры. 4. Сумма четырех различных натуральных чисел 357. Найдите эти числа, зная, что три из них получены из четвертого зачеркиванием у него одной цифры. 5. Сумма некоторого числа с числом, записанным теми же цифрами в обратном порядке, равна 1817. Найдите произведение этих чисел. 6. Произведение двух трехзначных чисел 60775. Если в каждом из них зачеркнуть по цифре, произведение станет равным 595. Найдите эти числа. 7. Произведение двух натуральных чисел 29839. Если в большем зачеркнуть одну цифру, получится меньшее. Найдите эти числа. 8. Докажите, что любое натуральное число п, большее 6, можно представить в виде суммы двух взаимно простых чисел. 9. Девятизначное число можно разбить на пятизначное и четырехзначное двумя способами. В одном случае сумма частей равна 45416, а в другом — 51167. Найдите девятизначное число. 10. Пятизначное число можно разбить на трехзначное и двузначное двумя способами. В одном случае произведение частей 10336, а в другом — 4020. Найдите пятизначное число. 11. Произведение пяти последовательных натуральных чисел в 120 раз больше числа АВАВАВ. Найдите названные пять чисел. 12. Произведение трех последовательных нечетных чисел в 5 раз меньше числа БАБАБА. Найдите названные нечетные числа. 13. На циферблате часов в точках III, VI, IX, XII написано по цифре. Идя по ходу часовой стрелки, можно составить из этих цифр две пары двузначных чисел. Произведение одной пары 2795, другой — 1944. Найдите написанные цифры. ь
14. Если треть числа разделить на его семнадцатую часть, в остатке будет 100. Найдите это число. 15. Можно ли числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 разбить на две группы так, чтобы ни в одной не было трех чисел, одно из которых равно сумме двух других? 16. Сумма 1990 натуральных чисел — нечетное число. Каким числом — четным или нечетным — является произведение этих чисел?4 17. Произведение первой цифры числа на оставшуюся часть 576, а произведение последней цифры числа на оставшуюся часть 384. Найдите это число. НЕИЗВЕСТНЫЕ ЦИФРЫ (18—43) 18. Запишите последнюю цифру числа ι 1989 ι 9l989_LQl989_i I1QQQ1989 19. Найдите две последние цифры числа 81989. 20. Найдите четыре последние цифры числа 51989. 21. Найдите две последние цифры числа 4 . 22. Докажите, что число 382 + 231 делится на 11 без остатка. 23. Запишите три последние цифры числа 413 + 423 + 433 + ... + 593. 24. Найдите последнюю цифру числа li+22 + 33 + ... + 19951995. 25. Может ли число l+2 + З + ... + я оканчиваться девяткой? 26. Сумма цифр натурального числа 1997. Может ли это натуральное число оказаться точным квадратом? 27. Верно ли, что каждое из чисел последовательности 16, 1156, 111556, 11115556, ... является точным квадратом? 28. Может ли при каком-нибудь натуральном η число 1978" + 7 оказаться точным квадратом? 29. Докажите, что при любом натуральном η число 2п-\-Ъп не является точным квадратом. 30. Верно ли, что при любом натуральном η число 2 + 7" не простое? 31. Можно ли представить число 1000...02 в виде суммы кубов двух натуральных чисел? 32. Три цифры пятизначного числа — четверки. Найдите это число, зная, что оно делится без остатка на 315. 33. Восстановите стертые цифры числа 843..6, зная, что оно делится без остатка на 468. 34. Восстановите стертые цифры числа 42.3.4, зная, что оно делится без остатка на 504. 35. Восстановите стертые цифры числа 3..977., зная, что оно делится без остатка на 792. и
36. Найдите трехзначное число, любая натуральная степень которого оканчивается этим же числом. 37. Последняя цифра числа — 4. Если ее зачеркнуть, а затем приписать слева, число увеличится вдвое. Найдите наименьшее из таких чисел. 38. Решите в простых числах уравнение 2x3y7z=z2zyy6. 39. Является ли простым число 323 + 2? 40. Какое наибольшее число нулей на конце может иметь число 9"+1 при любом натуральном п? 41. Число написано 99 девятками. Определите сумму цифр квадрата этого числа. 42. Одно число состоит из 100 троек, другое — из 100 шестерок. Определите сумму цифр произведения этих чисел. 43. Найдите четырехзначное число, зная, что оно на цифру сотен меньше квадрата произведения двух последних цифр, а сумма всех цифр его равна квадрату цифры единиц. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ВЫРАЖЕНИЙ (44—72) 44. Даны 400 квадратов со сторонами 1, 2, 3, ..., 400. Как разделить их на две группы, по 200 в каждой, чтобы суммы площадей квадратов в обеих группах были одинаковы? 45. Можно ли разбить числа 1, 2, 3, ..., 30 на 6 групп по 5 так, чтобы в каждой группе одно число было меньше суммы остальных: а) в 4 раза? б) в 3 раза? 46. В числе 10110011100011110000... девяносто цифр. Верно ли, что это число делится на 482? 47. Сколько существует натуральных чисел, каждое из которых превышает сумму своих цифр на произведение этих цифр? 48. Сократите дробь 5J] JV 49. Решите в простых числах уравнение у-\- 1 =х6 — 9х4+ 6х2. 50. Докажите, что числа 5χ+8ί/ и 2х-\-7у кратны 19 при одних и тех же целых значениях χ и у. 51. Верно ли, что У9 + 4 V^—У9~4 VS= 1? 52. Даны 5 чисел, разность любых двух из которых больше 1. Верно ли, что сумма квадратов этих 5 чисел больше 10? 53. О натуральном числе η известно: 1024 <я< 2000. Имеются ли среди чисел 2" + 1 простые? 54. Решите уравнение ('-?)(■-*)('-*)■··('-*)-&■ 55. Верно ли, что число 1986· 1987· 1988-1989+1 является точным квадратом? 10
56. α, b, с — целые числа, причем α + fe + c и a2 + ft2 + c2 делятся на простое число р. Докажите, что а4 + Ь4 + с4 тоже делится на это число р. 57. Зная, что х=91988+2, установите, являются ли взаимно простыми числа х3 + 1 и х2 + 2. Вычислите простейщим способом (58—71). 58. УГ9881989"+2 -19881988"+4 -19881989 —Т— -Vl98819894-2-198819902 + 4· 19881989 + 3. со 2.473744 — (4.Э47482 — 3,710612)2 7,421224-(6,184352-8,658092)2 " 60. 1,23454 + 0,7655" - 1,23453 · 0.76552 - 1,23452 · 0J6553 + + 4,938-3,062. 61. 0.347823+0,652183 + 3 (0,347823 · 0,65218+0,34782 X X 0,652183)+6 (0.347823 · 0,652182 + 0.347822 · 0,652183). 62. (5.54273 + 2,14273+2 · 5,5427 · 3,8427 · 2,1427): (5,54272 + +2,14272). 63. (0,854264 + 0,145744+ 1,70852-0,29148- 1):(0,85426χ Х0Д4574)2. 64 24,1723 + 25,1723 — 25,6723 + 26,1723 + 27,1723 " 24,1722+25,1722-3-25,6722 + 26,1722 + 27,1722 " 65. 98765412 · 98765416 · 98765418 · 98765422 - 98765413 X X 98765415 · 98765419 · 98765421 + 6 · 98765411 · 98765423. 66. (37062833 + 37062813+21694293 + 21694273): (37062832 + + 21694272 +15368533 + 3). 67. 987654329 · 987654326 · 987654324 · 987654321 — 987654328 X X 987654327 · 987654323 · 987654322 + 1975308649 · 1975308651. 68. (876543222·876543221·876543219·876543218 - - 876543216·876543215·876543213·876543212): (17530864392 + +17530864362+ 175308644272). 69. (1,23194+0,76814+1,23193·0,7681 + 1,2319·0,76813- —2,2319· 1,7681) :0,46382. 70. (2268056·4536111■6804166+2268054·4536109·6804164): :(22680532+45361112). 71. (2386159 · 4772317-7158475 · 9544633 - 2386157 · 4772315 X X 7158473·9544631): (23861572 + 23861592 + 71584732 + 71584752) 72. Делится ли 262+1 на 231+216+1? УСЛОВНЫЕ РАВЕНСТВА И НЕРАВЕНСТВА (73—81) 73. Если а, Ь, с, d — действительные положительные числа и a4 + b4-\-c4 + d4=4abcd, то a = b = c = d. Докажите. 74. Верно ли, что ' ■+,,',.—\- , , ', =1, если l+a + ab l+b + bc l+c + ca abc = l и ни один из знаменателей не равен нулю? II
75. Верно ли, что —+-тт-\—т^а + ^-\-с, если а&с=Р 76. Известно, что а-\- 6 + с = 0. Докажите, что: 2 ι 2 2 О о 2а. ,—Υ-^ϋΓι Κτγγί—г= 1» если ни °ДИН из знаменателей 7 2аг-|-Ьс 2£г + ас 2с +я6 не равен нулю; 2) а3 + 63 + с3 = 3а&г, 3) d4 + b4 + c4 = 2(a2b2 + a2c2 + b2c2) = 2(ab + ac + bcf = fl5 + fe5 + c5 ^ fl3 + fe3 + g3 a2 + fe2 + c2 '5 3*2' g3 + ^3+c3 fl4 + fe4 + c4 __ fl7 + ft7 + g7 ΰ' 3 " 4 — 14 77. Если x2 — yz=a, y2 — xz = by z2 — xy = c, то ax + 6t/.+cz = = {a-\-b-\-c) (x+y + z). Докажите. 78. Докажите справедливость равенств при афЬ, афс, ЬФс: jv (х — а)(х — Ь) . (χ —α)(χ —с) ■ (х — fr)(x — с) ^ .. ' (с — а) (с —6) * (b-a)(b — c) ' (а — 6)(а — с) m а2(х —fr)(x—с) . Ь2 (х—а)(х — с) . с2(х — а)(х — Ь) 2. 7 (а-6)(а-с) "·" (b-a)(b-c) "·" (с-а)(б'-6) ~~* ' m gfr (x + fl)(* + fr) ■ ас(х + а)(х + с) . fee (x+fr)(* + c) ' (а-с)ф-с) "^ (а —6) (с —6) "·" (6—а) (с —а) ~~ =х2 + х (а + 6 + c) + ab + ас + be. 79. Докажите, что если среди чисел а, 6, с, d нет равных, то (х — а)(х — Ь)(х—с) , (х — а)(х— b)(x — d) ■ (χ—ά)(χ—с)(х—d) . (rf —a)(rf —6)(rf —с) (c-a)(c-b)(c-d) ~^~(b-a)(b-c)(b-d)^~ . (x — fr)(x — c)(x—d) , ' (a — b)(a — c)(a — d) ~~ ' 80. Найдите все целые лс, при которых выражение х4 + 4х3 + + 6х2 + 4х + 5 равно простому числу. 81. Проверьте справедливость равенств: 1) (a + b + cf = (a + b — cf + (a + c — bf + (b + c — af + 24abc\ 2) VW^T=Vi-Vi+ РАЗЛОЖЕНИЕ НА МНОЖИТЕЛИ (82—101) 82. При п = 1, 2, 3, 4, 5, 6 выражение 2η+1 +3" равно простому числу. Верно ли, что выражение 2/1+1+3" равно простому числу при любом натуральном п? 83. Эйлер установил, что 232+1 делится на 641 без остатка. Сможете ли вы доказать это, не вычисляя 232? 84. Не вычисляя 224, докажите, что число 224+1 делится на 97 без остатка. 12
85. Может ли квадратный трехчлен иметь одинаковые значения при трех различных значениях переменной? 86. Верно ли, что дискриминант квадратного уравнения с целыми коэффициентами не может равняться 35? 87. Докажите, что сумма квадратов 1988 последовательных натуральных чисел не является точным квадратом. 88. Решите уравнение 2128 —297 + 233 — 1 =(3-5.17-257 (216+ I))3 641*. 89. Найдите все простые числа, каждое из которых равно разности кубов двух простых чисел. 90. Найдите все простые числа χ и ί/, такие, что ху-\-ух — простое число. 91. Найдите все целые значения х, при которых значение выражения равно простому числу: а) 2х2-х-36; б) х4-\-2х2 — х + 2. 92. Докажите, что ни при каком целом значении χ число х2 — Зх + 7 не делится на 361. 93. Найдите все простые р, при которых число р3 + р2+ 11р + 2 простое. 94. Разложите на множители многочлен (а3 + Ь3 + с3) аЬс — (а3Ь3 + а3с3 + Ь3с3). 95. Упростите кратчайшим путем выражение (χ + α + 6 + c)3 — — (x + a + bf — (x + a + c)3 — (x + b + cf — (a + b + cf + (x + af + + (x-\-bf + (x + c)3 + (a + bf + (a + cf + (b+c)3-x?(-a3-b3-c3. 96. Докажите, что (a + b + c)4 — (a + bf — (a+cf — (b + c)4 + +a4 + b4 + c4=l2abc (a + b + c). 97. Разложите на множители следующие многочлены: 1) a{b2-c2) + b(c2-a2) + c{a2-b2)\ 2) (a-b)3+(b-cf+(c-a)3; 3) (а-Ь)(а + Ь)2+(Ь-с)(Ь + с)2 + (с-а)(о+а)2·, 4) a(b + c — a)*+b(a + c — bf + c(a + b — c)2 + (b + c — d)(a + + c — b)(a + b — c); 5) a(b-cf + b(c — a)3 + c(a-bf; 6) a(b + c)(b2-c2) + b{c + a)(c2-a2) + c(a + b)(a2-b2yf 7) (a-b)(a + bf+(b-c)(b + c)3+(c-a)(c + a)3', 8) (a-bf+(b-cf+(c-af· 9) (a + b + cf-cf — b* — съ\ 10) (a + b + cf—(a + b — cf—(a + c — bf—(b + c — a)5; 11) (a-b)(a + b)4f(b-c)(b + c)4+(c-a)(c + a)4; 12) a3b3 (a — b) + b*c3 (b — c) + c3a3 (c — a); 13) a4 (b — c) + b4 (c — a) + c4 (a — b). 98. Верно ли, что при любом четном χ число xs-\-9x5-\-8x2 делится на 288? 99. Докажите, что при любом натуральном η число (я+1) (п-\-2) (п-\-3)...(п-\-п) делится на 2", но не делится на 2η+1. 13
100. При каких а и b многочлен хА -(-х3-\-ах2-\-Ъх~\-Ь является точным квадратом? 101. Рациональным или иррациональным числом является сумма: а) 10-, + 1(Г4+10-9+1(Г16 + ...; б) 2-4-Κ2-9+2~16-Κ-? ДОКАЗАТЕЛЬСТВО НЕРАВЕНСТВ (102—119) 102. Докажите, что: а) (ax2-\-bx-\-c)(cx2-{-bx-\-a)^{a'\-b-\-c)2 χ2 при ar b, с, х>0: б) TF+"T2r+"T3r+-*-"t~20oor<0,1; \3^ι 1 . 1 1,1 ^3 103. Что больше: Уа+ 1 +Va+Va~M или -y/a-\--\Ja-\-\ -\-yfa? 104. Что больше: 27,g64 или 4,g19683? 105. Докажите, что при положительных а, Ьу сг сумма которых равна 1, У4^+Т+У4& + 1+У4с-К<;5- 106. Докажите, что при положительных ar fr„ с а- 19 г-Hfi — 9 ' 107. Сравните числовые выражения без помощи, калькуляторов, логарифмов и таблиц: а) ^ίm и У^+УЗО"; б) ^J6+^fϊT и 2Уз"-К\/ЙГ; ν л/2 ■ лД2 УЗО л/6 ■ л/20 л/42, ' 3 "^ 7 "^ 11 5 ' 9 ~Г 13 ' г) V4 + V9+VI6 и V6+V8+VI2; д> л/^ и л/3^; е) лД^ и лД^; ж> x=w(1+t+t+-+w) и ^=ιά9(1+τ+τ+ ' ' 1989 / 108. Сравните значения выражений А и В при положительйых а, 6, с, d: А= !* В=—[— + ' + 1 + 1 + * +—L_ V^+V^ л/а+V^ л/а+V^ V^+V^ V^+V^ V^+V^ 1ч
109. Докажите, что при любом натуральном η и действительном χ χ^η±χ2η-\+χ2η-2±χ2η-3+ +χ2±χ+1>0^ ПО. Докажите, что при положительных а, Ь, с (fl2 + &2 + ,2)(J_+J_+^)>9. 111. х= -ί —+ ρ1 т^+ ρ-1 τ^+·- + Η ■ —. Докажите, что -rr<x<7F- 1990 ΥΪ99Γ+1991 л/1990 44 45 112. Докажите, что длины сторон треугольника связаны неравенством -^a + b + c—2^/ab + ac+^/a + b + c —2^jab + bc-\- +Л1а + Ь + с — 2Уас + ЩГ<Л[а+^+л[с. 113. Сумма девяти натуральных чисел, среди которых нет равных, равна 200. Верно ли, что из них можно выбрать четыре таких, сумма которых больше 100? 114. Если а, Ь, с — положительные числа, причем а-\-Ь-\-с = = аЬс = аъ, то при натуральном η сумма а2п + Ьйп + с2п не меньше Зп+|. Докажите. 115. Докажите неравенства: a) lg29 + lg2ll>lg98; б) lg2 7 + lg2 29>2+lg 4. 116. Существует ли целое число, 58-я степень которого содержит 63 цифры? 117. Числа 21993 и 51993 записаны в строчку одно за другим. Определите количество цифр в написанном таким образом числе. 118. Сумма группы натуральных чисел равна 100. Какое наибольшее значение может иметь произведение этих натуральных чисел? 119. Произведение натуральных чисел, сумма которых 65, оканчивается двумя нулями. Какое наибольшее значение может иметь произведение этих натуральных чисел? ПРОГРЕССИИ (120—136) 120. Найдите четырехзначное простое число, цифры которого образуют арифметическую прогрессию. 121. Могут ли числа 1, -д/2, Уз быть членами одной арифметической прогрессии? А геометрической? 122. Все члены арифметической прогрессии—натуральные числа. Докажите, что среди них найдется такое число, в записи которого имеется хоть один нуль. 15
123. Цифры трехзначного числа образуют арифметическую прогрессию. Если к нему прибавить 990, получится число, цифры которого образуют геометрическую прогрессию. Найдите это трехзначное число. 124. Сумма номеров домов на одной стороне квартала 247. Найдите номер дома, седьмого от угла. 125. Цифры каждого из трех трехзначных чисел составляют арифметическую прогрессию, сумма этих чисел 750. Найдите трехзначные числа. 126. Верно ли, что 2-1990 1+- 1 1 + 2'1+2+3 + ·.· + 1 1991? 1+2 + 3 + ... + 1990 127. Найдите сумму 20 членов последовательности 2'4'8'16^ 128. Заполните пустые клетки таблицы так, чтобы числа в каждой строке и в каждом столбце составляли арифметические прогрессии. 1 16 27 21 129. Заполните пустые клетки таблицы так, чтобы числа в каждой строке и в каждом столбце составляли геометрические прогрессии. 27 6 36 8 16
130. Найдите 16 натуральных чисел, составляющих геометрическую прогрессию, причем первые 4 — восьмизначные, следующие 5 — девятизначные, затем идут 4 десятизначных и 3 одиннадцатизначных. 131. Докажите, что функция f (х) периодическая, если при всех допустимых действительных значениях χ к афО выполняется условие: 132. Известно, что при всех допустимых действительных значениях х. Периодична ли функция Ф(х)? 133. Можно ли на графиках функций у=х2 и у = х2 — 5 отметить соответственно такие точки А и В, чтобы длина отрезка АВ была меньше 0,01? (Графики расположены в одной системе координат.) 134. [а]— целая часть числа а. Какие значения может принимать функция Ф(х)=х—f-f-]— Γ~§Ί~~Г~§"1 ? (См. указание к задаче 145.) 135. Рациональным или иррациональным является число: a) lg 2; б) logs 7; в) 0,12345678910111213...; г) -у/з-у/З^/З...? 136. Найдите сумму бесконечной числовой последовательности: а ι 2Т4Т8Т16Т32Т"·' б) й + 2а2 + 3а3 + 4а4 + ... при |а|<1; ;) а+3а2+5а3 + 7а4 + ... при |а|<1; ) a — 2a2b+3a3b2 — 4a4b3 + ... при |а6|<1. в г) а УРАВНЕНИЯ (137—151) 137. Найдите 5 чисел, у которых попарные суммы равны 5, 7, 8, 9, 10, 12, 13, 14, 16, 18. 138. Найдите 5 чисел, у которых попарные произведения равны 6, 10, 12, 15, 18, 27, 30, 45, 54. 27л:3 -А- 6а:2 Я7χ -А- 4 139. При каких целых значениях χ дробь м * nt 9—^ , ^ r r 27х3 —21х2.—70х+8 можно сократить на 1988? 140. Найдите 4 числа, каждое из которых на 210 меньше произведения трех остальных. 141. Решите уравнения: а) х2 —4=->/х + 4; - б) х2 —7х-4 Ух + 2+3==0; 17
B) x2-5x+6V*+l=6; г) 64-10*= 125-2*; д) 390625-2*J=102*2; е) 5*-1=2*+| (1+2*"1); х—1 χ — 2 χ—3 χ — 4 ч J ι j ι ι ι , ι ι , L_=o· И) К) х+1 х+2 х + 3 х + 4 ' х2 + 6х+12 x2 + 8x + 20 _ x2+iqx_|_30 х2 + 12х+42 х + 3 х + 4 х+5 х+6 χ 2х 1 2х2 — Зх + 2 2х2+х + 2 ЛУ ! I 18 18 =0· ' х2 + 2х-3 ^ χ2 + 2χ+2 χ2 + 2χ4-1 м) (х+1)(х + 3)(х + 4) = (х+1)2+(х+2)2 + (х + 3^ + (% + 4)2; н) л[х+л]х — 5 — 2 Vx2 — 5x = 2x — 25; о) х2+-^л2 = 40; / ν ι ν ν / (* —3) п) ^9 + 4^+^9-4^=322; ρ) Vi^+V?"11^ 1· 142. Решите уравнение χ3 — Зх2—χ + α=0, зная, что его корни образуют арифметическую прогрессию. 143. ρ — корень уравнения х2 —5х+5 = 0. Вычислите значение выражения р4 — 75р + 75. 144. Найдите действительные корни уравнения: а) (2*2-5λ:+3)8+(2λ:2+λ:-6)2 (2х2-5х+3)2+(2х2+х-6)6=0; б) 4 д/*2-24 + 3 Vx2-21 +2 д/х2- Ιο+λ/?13^^- ; в) V32—X + 2V23—X+3V16—х + 4л/8 — х=4х — 2; г) (х+^=3(х+1)(у-1). 145. Решите уравнение: а) х3-7[х]-3=0; б) х4-2х2 + 5[х]-6=0. Указание. Здесь [х] — целая часть числа х, например [6,7]=6; [-1,3]= -2. 146. Решите уравнение |х-2||х + 3||х+6| = |х+1||х+4||х+9|. 147. Решите в целых числах уравнение: а) 2х2 + 9у2 — 8ху — 3у=0; б) 2х2—1=2ху; в) xy+x+-f-=1988; г) 2х2+8у2 = 17ху+407; 3 д) 2у2+13=11ху-15х2. 18
148. Решите систему уравнений: a) ((x-\-yf—χ5 —у5 =210, \(х+у)3 —х3-у3=^18; в) (2ху—ζ=ζ3, ) 2xz—y=y3, \2yz—x=x3; Д) Γ(*-Μ2=ζ2+4, J (y+2)W+9, \(z+xf=y2+36: ж) ( 4f+i)=45> 1 Kf+i-H* И) Л) v 1+x2 X2 /У2 72 /2 /^^-/2-hx2— 4, W2 22 /2 r2^ χ2 -Г y2 "Ι" ζ2 "Ι" ,2 —^, 6) fxy=x-\-2yr I ζ*=ζ+4χ; r) / -^_: yz . 0 + z XZ к) = 15, = 12, =20; β e) Г (У -zf+8=A (z-xf+l6=y2, (x-yf+32=z2; 3) ( У2г --- 1 * 16 ■-xyz, 2 1 •2 X T-=XyZ, х2У + -xyz; С »-Н*+-9 ■ I «-K/+4-) = m) (x3—y = 24, y3-z=24, z3—x=24. 149. Решите систему уравнений: a) fx2 + i/Vjq/ = 72, 6) ί xy2- 18==2y2-3x, \i/2+xV*i/ = 36; l3x«/ —24=6y —5x; в) ί 10x—Зы + 6ху = 47, I 8x+3y5—6xy2 = — 65. 150. Найдите действительные корни системы уравнений --* -4у=-7, 151. Решите уравнение у2 + 2х = 2. х4 + 1 =41 х(х2+1)~ 15 19
ТЕКСТОВЫЕ ЗАДАЧИ (152—220) 152. Каждый член числовой последовательности, начиная со второго, равен произведению двух соседних членов. Произведение первых 10 членов равно 18, а произведение первых 20 членов равно 12. Найдите произведение первых 75 членов последовательности. 153. Слова АКТ, УТРО, КОМАР соответственно означают квадрат, куб и четвертую степень одного натурального числа. Какое слово соответствует числу 9128931? 154. Слова АКР, БАРС, БЕЛКА соответственно означают квадрат, куб и четвертую степень одного натурального числа. Какое слово соответствует числу 19128761? 155. Слова АКТ, КРОВ, ТАЛАНТ соответственно означают квадрат, куб и четвертую степень одного натурального числа. Какое слово соответствует числу 93015823? 156. Слова РИК, ОКРИК, СТАРИК означают соответственно квадрат, куб и четвертую степень одного натурального числа. Какое слово соответствует числу 960591623950? 157. Сколько существует натуральных чисел, каждое из которых превышает произведение своих цифр на их сумму? 158. Верно ли, что среди 12 последовательных натуральных чисел А2, А2 + 1, А2 + 2, А2 + 3, ..., η +11 (п > 10) не менее 8 составных? 159. Произведение четырех последовательных нечетных чисел оканчивается девяткой. Найдите предпоследнюю цифру произведения. 160. Записан первый миллиард натуральных чисел. Какая цифра использована больше каждой из остальных? 161. Сколько натуральных чисел, не превышающих тысячи, в записи которых цифра 9 использована хоть один раз? 162. От двух кусков сплавов с различным содержанием свинца массой 6 кг и 12 кг отрезали по куску равной массы. Каждый из отрезанных кусков сплавили с остатком другого сплава, после чего процентное содержание свинца в обоих сплавах стало одинаковым. Каковы массы отрезанных кусков? 163. В трех семьях мужья на 3 года старше своих жен. Известно, что Николай на 3 года моложе Надежды, Федору и Марии вместе 56 лет, а Степану и Елене вместе 50 лет. Кто на ком женат? 164. В трех семьях мужья старше своих жен на 3 года. Борис моложе Дарьи на 2 года, Василий и Татьяна — ровесники. Возрасты >
Андрея и Марии — точные квадраты. Произведение возрастов Семена и Дарьи — нечетное число. Андрею и Варваре вместе 58 лет, а Борису и Марии вместе 52 года, Семен, Варвара и Мария окончили школу в одном году. Кто на ком женат? 165. Три супружеские пары покупали вещи на ярмарке. Каждый из этих шести лиц уплатил за каждую купленную вещь столько рублей, сколько вещей купил. При этом каждый муж истратил на 45 рублей меньше своей жены. Известно, что Николай купил на 17 вещей меньше Анны, Петр — на 7 вещей меньше Надежды. Сколько вещей купил Василий? Сколько вещей купила Галина? Кто на ком был женат? 166. Мальчики спорили о длине трубы, которую трактор тянул на полозьях. Чтобы выяснить, кто прав, мальчик с длиной шага 0,75 м пошел вдоль трубы. Когда он шел в направлении движения трактора, то сделал вдоль трубы 120 шагов. В другом направлении он сделал вдоль трубы 30 шагов. Какова длина трубы? о ЗОшлгое 120шлгов ζ Л φ 167. Найдите наименьшее натуральное число, половина которого — точный квадрат, треть — точный куб, а пятая часть — точная пятая степень натурального числа. 168. У Нины дома большой живой уголок. Однажды она подошла с мешочком орехов к клетке бурундука, взяла себе оре-
шек, а четверть остатка отсыпала бурундуку. Затем она так же поступала у клетки белок и у клетки морских свинок. Оставшиеся орехи она разделила поровну между четырьмя попугаями. Какое наименьшее число орехов могло быть в мешочке Нины вначале? 169. В классе 33 ученика, всем им вместе 430 лет. Докажите, что в классе найдутся 20 учеников, которым вместе не менее 260 лет. 170. Пловец потерял под мостом флягу, но заметил это только через 3 мин. Повернув назад, он догнал флягу в 100 м от моста. Определите скорость течения на этом участке реки. 171. Скорость течения от Л до β составляет 3 км/ч, а от β до С — 1 км/ч, АВ= 14 км, ВС =15 км. Катер плыл от Л до С на час меньше, чем от С до Л. Определите собственную скорость катера. 172. Из пунктов Л и В одновременно выехали навстречу друг другу два велосипедиста и встретились в 70 км от А, В конечных пунктах они отдыхали по часу и выехали назад с прежними скоростями. Вторая встреча состоялась в 40 км от А. Найдите расстояние от А до В. 173. Окунь вызвал карася на состязание в скорости плавания. Хитрый карась предложил окуню проплыть от коряги до моста, тот затратил на это 12Д> с. Карась проплыл за такое же время от моста до коряги и заявил, что состязание окончилось вничью. Однако арбитр состязания сом предложил каждому из них проплыть ту же дистанцию в обратном направлении. На этот ui^vsi^-N^[ раз окунь затратил всего 10 с. Счи- ^3 ^^ тая^ что собственная скорость каждого пловца была оба раза одинаковой, определите, сколько времени карась плыл от коряги до моста. 174. Два ежа устроили состязание по скоростному бегу. Первый на своем пути не встретил никаких препятствий, а на пути второго оказались две огромные черепахи, и он, не сворачивая, побежал по их спинам. Одна черепаха длиной 1 м двигалась ему навстречу со скоростью 6 см/мин, другая длиной 0,5 м двигалась со скоростью 16 см/мин в том же направлении, что и еж. Оба ежа затратили на пробег одинаковое время. Кто из них был лучшим бегуном? 175. Из пункта А в пункт β, до которого 30 км, в полдень отплыли катер и плот. Достигнув β, катер, собственная скорость которого равнялась 15 км/ч, сразу поплыл назад и встретил плот в 10 км от Л. В котором часу катер вернулся в Л?
176. По одной дороге в одном направлении движутся пешеход, велосипедист и мотоциклист. Когда велосипедист догнал пешехода, мотоциклист был позади на 18 км. Когда мотоциклист догнал пешехода, велосипедист был впереди на 8 км. На каком расстоянии от пешехода был велосипедист в тот момент, когда мотоциклист догнал велосипедиста? 177. Пункт Μ находится между пристанями Л и β на равных расстояниях от них. Из у! и β и из β в ;4 одновременно вышли два катера с собственными скоростями по 18 км/ч. Когда первый поровнялся с М, второй был в 8 км от М. Когда второй поров- нялся с М, расстояние между катерами было 10 км. Найдите скорость течения. 178. В полдень два судна и порт, в направлении которого они движутся с постоянными скоростями, находились в вершинах равностороннего треугольника. После того как первое судно прошло 90 км, судна и порт оказались в вершинах прямоугольного треугольника. Когда второе судно прибыло в порт, первому оставалось плыть еще 84 км. Найдите расстояние между судами в полдень. 179. Из Л и β одновременно выехали навстречу один другому велосипедист и мотоциклист, они встретились в 2 ч дня. Если бы .3
скорость велосипедиста была вдвое больше, они встретились бы в половине второго. Если бы скорость мотоциклиста была вдвое больше, они встретились бы в 12 мин второго. В котором часу они выехали? 180. Из Л и β одновременно выехали навстречу один другому велосипедист и мотоциклист, встреча состоялась в полдень. Если бы скорость велосипедиста была на 50% больше, они встретились бы на 11 мин раньше. Если бы скорость мотоциклиста была на 50% больше, они встретились бы в 33 мин двенадцатого. В котором часу они выехали? 181. Два приятели собрались на охоту. Их дома отстоят от базы на 18 км и 33 км, причем первый живет между базой и домом второго. Они отправились одновременно: сначала навстречу друг другу (первый на своей машине, второй пешком). После того как приятели встретились, они ехали к базе на машине. Всего они добирались до базы час. Если бы второй вышел на час раньше, они встретились бы в 6 км от дома второго. Определите скорость движения машины. 182. Из пунктов А и В одновременно вышли двое и встретились в полдень в пункте М. Если бы первый вышел на 30 мин раньше, а второй на 30 мин позже, они встретились бы в 6 мин первого. Если бы первый вышел на 30 мин позже, а второй на 30 мин раньше, они встретились бы в 2400 м от М. Найдите скорости пешеходов. 183. В полдень в 210 км от Л, куда направлялся автобус, он догнал группу туристов, которые шли по той же дороге со скоростью 5 км/ч. Через 3 ч он встретил мотоциклиста, ехавшего со скоростью 30 км/ч. Второй автобус, ехавший следом за первым с такой же скоростью, догнал туристов в 2 ч дня, а мотоциклиста встретил за 36 мин до того, как проехал столб 80-го километра. На сколько километров второй автобус отставал от первого? 184. Напишите как можно большее натуральное число, у которого последовательные попарные суммы соседних цифр образуют геометрическую прогрессию.
185. Найдите нечетное натуральное число, меньшее 10 000, которое при делении на 3, 7, 8, 9, 11, 13 дает равные остатки. 186. Найдите трехзначное число, которое в 5 раз больше произведения своих цифр. 187. Найдите число, которое меньше 1993 на сумму своих цифр. 188. Найдите четырехзначное число, являющееся точным квадратом, причем сумма его цифр равна квадрату цифры единиц, а цифра десятков наибольшая. 189. К пятизначному числу можно приписать одну и ту же цифру либо в начале, либо в конце. Одно из полученных таким образом чисел в 4 раза больше другого. Найдите такие пятизначные числа. 190. Возраст одного человека в 1990 г. был равен произведению цифр его года рождения. В каком году он родился? 191. Возраст одного человека в 1963 г. равнялся произведению цифр его года рождения. В каком году он родился? 192. Возраст одного человека в 1986 г. был вдвое больше произведения цифр его года рождения. В каком году он родился? 193. Квадрат натурального числа, увеличенный на 5, при делении на 161 дает неполное частное от деления названного натурального числа на 4. Найдите это натуральное число. 194. Квадрат натурального числа, увеличенный на 2, в 201 раз больше неполного частного деления этого числа на 4. Найдите названное натуральное число. 195. Докажите, что из любых 502 натуральных чисел можно выбрать два таких, у которых либо сумма, либо разность делится на 1000. 196. Найдите последнюю цифру суммы квадратов первых 3 456 789 членов арифметической прогрессии 2, 5, 8, .... 197. Найдите геометрическую прогрессию, зная, что ее сумма без ^^ первого члена 1530, без последнего члена 765, а без первых двух и без двух последних 372. 198. На двух скамейках сидят по 6 ребят. Все они разного возраста, Φ ^ (~) £Lr\ О Ώ никому из них еще нет 16 лет. Суммы ■* "^^'—iwr^Sr _ι возрастов ребят (в целых числах) на обеих скамейках одинаковы, одинаковы и произведения их возрастов. Сидят ли на одной скамейке те, кому 15 и 14 лет? 5
199. На двух скамейках сидят по 6 детей, все они разного возраста, суммы возрастов детей на этих скамейках одинаковы, равны и произведения возрастов. Зная, что никто из этих 12 человек не окончил школу, определите возраст каждого из них. Какой возраст у детей, сидящих на одной скамейке с теми, кому 16 лет? 200. На двух скамейках сидят по 8 юношей и мальчиков, самому старшему из них 20 лет. Возрасты всех их различны, суммы возрастов сидящих на скамейках одинаковы, одинаковы и произведения возрастов. Сидят ли на одной скамье два самых старших юноши? 201. Использовав все значащие цифры по одному разу, напишите натуральное число, кратное 13: а) наибольшее возможное; б) наименьшее возможное. 202. Решите предыдущую задачу, использовав по одному разу все цифры (не только значащие). 203. Четырехзначное число делится на 7 и на 29. После умножения его на 19 и деления на 37 получится остаток 5. Найдите четырехзначное число. 204. Напишите семизначное число, у которого первая цифра равна количеству нулей в числе, вторая — количеству единиц в числе, третья — количеству двоек в числе и т. д. 205. Решите предыдущую задачу для десятизначного числа. 206. В классе 38 учащихся, каждый из них занимается хоть одним видом спорта из числа следующих: легкая атлетика, волейбол, плавание. Легкой атлетикой занимаются 19, волейболом — 21, плаванием— 12 человек. Известно, что легкой атлетикой и плаванием занимаются 6 человек, легкой атлетикой и волейболом — 7, а волейболом и плаванием — 3 человека. Сколько учащихся класса занимаются всеми тремя названными видами спорта? 207. На трех лугах, площади которых относятся как 4:5:6, пасутся коровы. На первом 14 коров могут пастись 12 дней, на втором 17 коров могут пастись 20 дней. Сколько дней могут пастись 6
14 π 24 на третьем лугу 24 коровы, если на этих лугах трава растет равномерно и с одинаковой скоростью, а коровы съедают и ту траву, которая была, когда они пришли, и ту, которая выросла за время их пребывания на лугу? 208. В начале олимпиады ученик посмотрел на часы, это было между 10 и 11 часами утра. Окончив работу между 2 и 3 часами дня, он еще раз взглянул на часы и заметил, что за это время часовая и минутная стрелки циферблата точно поменялись местами. В котором часу он окончил работу? 209. Возраст одного человека в 1955 г. был равен сумме цифр его года рождения. В каком году ему исполнилось 50 лет? 210. Житель дома № 21 заметил, что сумма номеров домов на его стороне „квартала равна кубу числа домов. Определите наибольший номер дома на этой стороне названного квартала. 211. Сумма номеров домов на одной стороне квартала 156. Один из этих домов имеет номер 14. Каким номером начинается та же сторона следующего квартала? 212. На вопрос о возрасте Катя ответила, что ей столько лет, сколько было дней рождения у деда. Катя и ее младший брат родились между двумя днями рождения деда. Всем троим вместе ,107 лет. Сколько лет Кате? 27
213. Площади трех прямоугольников 42 см2, 75 см2 и 90 см2. У первых двух равны диагонали, у второго и третьего одинаковые высоты, у первого и третьего равны основания. Определите периметры прямоугольников. 214. Как разрезать прямоугольник со сторонами 5 см и 12 см на три подобных прямоугольника, среди которых нет равных? 215. Найдите сумму цифр первых 1995 натуральных чисел. 216. Написали одно за другим 2000 натуральных чисел: 1234567891011... 199819992000. Полученное число можно представить как произведение простых чисел р\р2Ръ—Рк, среди которых могут быть и равные. Докажите, что fe<8160. Имейте в виду, что lg 2^0,30103, lg 3^0,47712, lg 7^0,84510, lg 12346^4,0915. 217. В конце 1969 г. внук обнаружил, что если между цифрами его года рождения вставить знаки действий X, +, X, то получится выражение, равное возрасту внука. Когда он сказал об этом деду, тот утверждал, что может сказать о себе то же самое. На сколько дед был старше внука? 218. В 1967 г. в день рождения деда Петя спросил, сколько лет каждому в семье. Дед ответил: «Число моих лет втрое больше суммы цифр моего года рождения. Мой старший сын и твой другой дед смогут сказать то же о себе только в будущем году. Число лет твоей матери в следующем году будет вдвое больше суммы цифр ее года рождения». Тогда Петя сказал, что его возраст равен сумме цифр года рождения, а брат сможет сказать то же о себе в следующем году. Сколько лет каждому из названных членов этой семьи? 219. В 1767 г. в день рождения деда, когда за столом собрались многочисленные родственники, Антон спросил, сколько лет каждому из собравшихся. Именинник ответил: «У двух моих старших братьев возраст в 5 раз больше суммы цифр года рождения. У меня же через 3 года возраст будет только в 4 раза больше суммы цифр года рождения. У бабушки это произойдет годом раньше, а другой твой дед может сказать о себе это теперь. У твоего дяди возраст втрое больше суммы цифр года рождения, а твой отец мог сказать то же о себе в прошлом году. Возраст твоей матери больше суммы цифр года рождения вдвое». Подумав, Антон сказал, что его возраст равен сумме цифр года рождения, брат скажет это о себе в будущем году, а сестра могла сказать это о себе в прошлом году. Сколько лет было каждому из собравшихся? 220. В конце 1967 г. мальчик заметил, что возраст матери равен сумме цифр годов рождения отца и деда, возраст мальчика равен сумме цифр года рождения его отца. Если разбить год рождения отца на грани, то сумма этих граней будет равна его возрасту. Сколько лет матери?
<<&***
ТОЧКИ ПРЯМЫЕ УГЛЫ (1 — 10) 1. На луче АВ отмечены такие точки Ль Л2, Л3, Л4, ..., что АА\ = \, А\А2 = 2, А2Аз = 3, .... Перечислите отрезки с концами в отмеченных точках, чтобы длина каждого такого отрезка равнялась 63. Укажите пары неперекрывающихся отрезков, расстояние между серединами которых равно 20. 2. Можно ли построить угол в 1°, имея шаблон угла величиной: а) 17°; б) 19°; в) 27°? 3. Имеется шаблон угла в 35°. Как с его помощью построить две взаимно перпендикулярные прямые? 4. Сколько раз в сутки часовая и минутная стрелки образуют прямой угол? 5. Часовая, минутная и секундная стрелки прикреплены в центре циферблата исправно действующих часов. Сколько раз в сутки секундная стрелка образует равные углы с часовой и минутной стрелками? 6. Часовая и минутная стрелки не совпадают. Если их поменять местами, положение стрелок окажется согласованным. Сколько раз в сутки это может иметь место? 7. Прямые /ι, /2, /з параллельны. Как через данную точку Μ (не принадлежащую ни одной из этих прямых) провести прямую, на которой /ι, /2, /з отсекают отрезки с разностью длин а? 8. Как построить биссектрису угла, вершина которого недоступна? Указание. Точка (или отрезок) считается недоступной, если она находится за пределами той части плоскости (доски, листа бумаги), на которой выполняется построение aV
9. Как решить предыдущую задачу, если вместо циркуля и линейки дана линейка с параллельными краями? 10. Как с помощью линейки с параллельными краями провести к данной прямой перпендикуляр, проходящий через данную точку Af, лежащую: а) на данной прямой; б) вне данной прямой? ТРЕУГОЛЬНИКИ (П—22) 11. Биссектрисы внешних углов треугольника ABC попарно пересекаются в точках D, E, F. Определите вид треугольника DEF (остроугольный, прямоугольный, тупоугольный). 12. На плоскости даны 6 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Верно ли, что из них можно выбрать такие три, которые являются вершинами треугольника, каждый угол которого меньше 120°? 13. Точка D находится на стороне АВ треугольника ABC. Построены окружности (A,AM\=AD), (С, СМ2 = СМХ\ (В, ВМ3 = = ВМ2)у (Ау АМа=АМъ), ..., причем все точки Mk лежат на соответствующих сторонах треугольника. Может ли какая-нибудь из этих точек совпасть с точкой D? 14. В треугольнике ABC угол В между равными сторонами 80°. Внутри треугольника взята такая точка М, что /L.MAC = = 10°, /_МСА = Ж. Найдите величину угла АМВ? Решите эту задачу для случая, когда точка Μ находится вне треугольника ABC. 15. Внутри равнобедренного треугольника ABC, у которого ААВС = ау отмечена такая точка Λί, что Ζ.ΜΑΒ = β, /LMBA = =у. Найдите /LBMC, если α, β, у соответственно равны: а) 100°, 10°, 20°; б) 96°, 12°, 18°. 16. В треугольнике ABC стороны АВ и ВС равны, Δ.Β = 20°. На стороне АВ отмечена такая точка D, что BD=AC. Найдите величину угла ACD. 17. Как в данный остроугольный треугольник вписать треугольник с наименьшим возможным периметром? 18. Всегда ли можно построить треугольник, стороны которого соответственно равны высотам какого-нибудь данного треугольника? Если не всегда, то установите, при каком отношении суммы двух больших сторон такого треугольника к третьей стороне такое построение невозможно. 19. Как построить /\АВС, если даны точка А и две прямые 1\ и /2, на которых лежат биссектрисы внутренних углов β и С? 20. Как построить Δ ABC, если даны прямая АВ и серединные перпендикуляры сторон АС и ВС? 21. Даны прямые /ι, /2, /з· Постройте окружность, три хорды которой длиной а находятся на этих прямых (рис. 1). 22. Как построить три окружности, которые попарно касаются в трех данных точках?
ТРЕУГОЛЬНИК И ОКРУЖНОСТЬ (23—61) 23. Верно ли, что радиус описанной около треугольника окружности не меньше диаметра окружности, вписанной в этот треугольник? 24. Треугольник ABC равносторонний. Найдите все такие точки М, что нельзя построить треугольник, стороны которого соответственно равны МЛ, MB, МС. 25. Точки А и В находятся по одну сторону прямой CD. Как найти на CD такую точку М, что: а) AAMC-ABMD = 90°; б) AAMC = 2ABMD? 26. Внутри ABAC = 45° даны точки D и £ Как построить равнобедренный треугольник, у которого концы основания лежат на луче Л С, третья вершина находится на луче АВ, а боковые стороны проходят через точки D и Ε (рис. 2)? 27. Может ли пластинка иметь форму такого равнобедренного треугольника, чтобы ее можно было разрезать на 5 треугольников с такими же углами, как у начального треугольника? 28. К какой из вершин треугольника ближе всего расположен центр вписанной в этот треугольник окружности? 29. Вписанная в ААВС окружность касается его сторон в точках D, £, F. Установите вид ADEF (остроугольный, прямоугольный или тупоугольный). 30. АА\, ВВ\У СС\ — высоты остроугольного треугольника ABC. Найдите связь между величинами углов треугольника ABC и треугольника А\В\С\. 31. Выпуклый четырехугольник ABCD вписан в окружность. Биссектрисы углов А и С пересекают окружность в точках Μ и N. Проходит ли прямая ΜΝ через центр окружности? \ \ I I \ ч ч* Рис. 1
λ о Рис. 3 Рис. 4 32. Выпуклый четырехугольник вписан в окружность. Биссектрисы его углов пересекают окружность в точках Л., В, С, D. Определите вид четырехугольника ABCD. 33. AD, ВВ\ и СС] — высоты остроугольного треугольника АВС\ точки D\ и D2 симметричны D относительно сторон угла ВАС. Верно ли, что точки D,, D2y β,, С, лежат на одной прямой? 34. Постройте треугольник по точкам, в которых биссектрисы его внутренних углов пересекают описанную окружность (рис. 3). Изменится ли построение, если речь пойдет о биссектрисах не внутренних, а внешних углов? 35. Медиана и высота, проведенные из одной вершины треугольника, разделили его угол на три равные части. Определите величины углов треугольника. 36. На прямой отложены отрезки АВ = % BC = CD = \, DE = 2. Из точки Μ вне прямой все эти отрезки видны под равными углами. Определите градусные меры этих углов. 37. Высота, биссектриса и медиана, проведенные из одной вершины ААВС, разделили его угол на четыре равные части. Определите величины углов ААВС. 38. AD, AE, AF — высота, биссектриса и медиана ААВС, их продолжения пересекают описанную около треугольника окружность в точках К, L, М. Как по этим точкам построить А АВС? 39. Продолжения высот треугольника АВС пересекают описанную окружность в точках /С, L, М. Как по этим точкам построить А АВС? 40. Центр вписанной окружности и центр описанной окружности симметричны относительно стороны треугольника (рис. 4). Достаточно ли такой информации для определения величин углов треугольника? 2 Заказ 741 6
F В ε с Рис. 5 Рис. 6 41. Биссектрисы внутренних углов треугольника ABC пересекают вписанную в него окружность соответственно в точках А\ и Л2, В\ и B2f С\ и С2, причем Аи В\у С\ ближе к соответственном вершинам, чем Л2, С2, В2. Как по точкам Аи Ви С\ построить ААВС? 42. Докажите, что любой треугольник можно разрезать на несколько равнобедренных треугольников. 43. Верно ли, что каждый треугольник можно разрезать на любое большее трех количество равнобедренных треугольников? 44. В треугольнике ABC на стороне ВС есть такая точка М, что ВМ = 2МС и ААМВ=60°. Зная, что А ВАС=60°ч найдите величины остальных углов треугольника. 45. В треугольнике ABC проведена биссектриса BD. Биссектриса внешнего угла при вершине А пересекает прямую ВС в точке Е\ Μ — точка пересечения DE и АВ. Найдите величину /-DMC, если Z.ABC =120°. 46. ABCD, DCEF и FEKM — равные квадраты (рис. 5). Верно ли, что Z.DBK+ Z.FBK+ /.МВК^Ж? 47. На сторонах АВ и CD прямоугольника ABCD отложены равные отрезки А К и DM, затем опущен перпендикуляр ΛΌ на АС. Зависит ли величина угла ВОМ от длины отрезка АЮ Изменится ли ответ, если точки К и Μ находятся на продолжениях сторон АВ и CD? 48. На сторонах АВ и ВС квадрата ABCD отложены равные отрезки ВК и ВМ, затем опущен перпендикуляр ВО на КС. Зависит ли величина угла MOD от длины отрезка ВЮ Изменится ли ответ, если ВК>АВ? 49. На местности был размечен квадратный участок. Из-за дождей его границы были размыты, однако осталась веха в центре и по одному колышку на двух сторонах квадрата. Как по этим признакам восстановить границы участка? ό
50. Решите задачу 49 для случая, когда вехи в центре нет но сохранились колышки: а) в одной из вершин и по одному на сторонах, не содержащих этой вершины; б) по одному на каждой из сторон квадрата. 51. Даны окружность с центром О и точки А и В вне ее. Как, пользуясь только циркулем, найти точки пересечения прямой АВ с данной окружностью? 52. Может ли существовать четырехугольник, у которого все внутренние углы различны, но каждый из них равен одному из внешних углов? 53. Можно ли разрезать равносторонний треугольник на 5 равнобедренных треугольников, ни один из которых не является равносторонним? 54. Желая доказать, что гипотенуза прямоугольного треугольника больше катета, ученик провел из вершины прямого угла ВАС прямоугольного треугольника такой луч AM (Μ — на гипотенузе ВС), что z_bam=-Lac (рис. 6). Как он собирался доказывать теорему? 55. Существует ли треугольник, у которого разность длин любых двух сторон не меньше шестой части периметра? 56. ААВС равносторонний. Найдите все такие точки М, что треугольники МАВ, MAC и МВС равнобедренные. 57. Пункты Л, β, С попарно соединены прямолинейными дорогами, причем ВС^АС^АВ. Внутренний пункт О соединен прямолинейной дорогой с каждой вершиной А АВС. Требуется, начав движение в одной из вершин треугольника, побывать в пункте О и остальных вершинах и вернуться в исходный пункт. Укажите кратчайший маршрут, если точка О в треугольнике АВС является: а) центром описанной окружности; б) центром вписанной окружности; в) центроидом. Указание. Центроидом треугольника называют точку пересечения медиан треугольника (центр тяжести или центр масс). 58. Определите величины углов треугольника, каждая из двух высот которого не меньше стороны, к которой она проведена. 59. Биссектрисы AD и СЕ углов при основании равнобедренного Δ ABC пересекаются в точке К. Центр окружности, проходящей через точки /С, D, С, находится на стороне АС (рис. 7). Определите величины углов А АВС. 60. Как построить треугольник по проекциям его вершин на противолежащие стороны (или продолжения сторон)? 35
Рис. 7 Рис 8 61. Внутри выпуклого я-угольника взяты k точек так, что никакие три из этих k точек и вершин я-угольника не лежат на одной прямой. Соединив отрезками эти точки и вершины я-уголь- ника, получили неперекрывающиеся треугольники, вершинами которых являются только точки из числа упомянутых, причем каждая из этих n-\-k точек — вершина хотя бы одного треугольника (рис. 8). Зависит ли число полученных треугольников от размещения точек внутри η-угольника и способа построения треугольников? ПАРАЛЛЕЛИ! РАММЫ (62-102) 62. На плоскости даны η точек (я>2). Можно ли построить замкнутую простую ломаную, на звеньях которой находятся все данные точки? 63. Длины сторон треугольника а, Ь, с связаны соотношением а — b . b — с . с — а ^ с а ' b Какой это треугольник — разносторонний, равнобедренный или равносторонний? 64. Точки А и С находятся внутри угла М. Как построить параллелограмм ABCD, вершины В и D которого находятся на сторонах угла М? 65. Как построить параллелограмм ABCD по положению вершин Л и С и расстояниям от вершин В и D до данной точки Λί? 66. Как построить параллелограмм ABCD по положению вершин А и В и расстояниям от вершин С и D до данной точки Λί? б
67. Диагональ параллелограмма делит его угол в соотношении 1:3. Зная, что длины сторон относятся как 1:2, найдите углы параллелограмма. 68. Как построить параллелограмм ABCD по лучам ВА и ВС и центру окружности, проходящей через точки Л, С, D (рис. 9)? 69. Каждая высота параллелограмма не меньше стороны, которой она перпендикулярна. Найдите угол между диагоналями параллелограмма. 70. АВ — диаметр полуокружности, CD — хорда, не параллельная АВ. Как найти на полуокружности такую точку Λί, чтобы хорды МА и MB ограничивали на CD отрезок данной длины а? 71. Дан аАВС. Какую фигуру образуют центры всех параллелограммов, у каждого из которых две стороны лежат на АВ и АС, а вершина, не принадлежащая этим сторонам, находится на стороне ВС? 72. Точка находится внутри параллелограмма. Верно ли, что сумма ее расстояний от вершин параллелограмма меньше периметра параллелограмма? 73. Сумма расстояний внутренней точки от всех сторон параллелограмма (или их продолжений) равна среднему арифметическому длин всех сторон параллелограмма. Определите величины всех углов параллелограмма. 74. Внутри Δ ABC взята точка Μ и построены параллелограммы АМВС\У ВМСА\, АМСВ\. Пересекаются ли в одной точке прямые AAU BBly CC? 75. Можно ли построить параллелограмм ABCD по серединам его высот ββι, ΒΒ2 и DD,? 76. Диагонали прямоугольника делят его на 4 треугольника, 9 4 периметры которых равны — и — периметра прямоугольника. Как относятся длины сторон прямоугольника? \ в D Рис. 9 Рис. 10 Рис. 11 3
77. Из точки Μ окружности, описанной около прямоугольника, опущены перпендикуляры МА и MB на его диагонали (рис. 10). Зависит ли длина отрезка АВ от выбора точки Μ на окружности? 78. На стороне ВС прямоугольника ABCD существует такая точка М, что Δ.ΑΜΒ= /.AMD. Зная, что AD = 2AB, найдите названные углы. 79. Постройте ромб ABCD по середине стороны АВ и центрам окружностей, описанных около треугольников ABD и BCD. 80. ABCD — ромб. Под каким углом пересекаются биссектрисы углов ВАС и В DC? 81. ABCD — ромб, ААВМ равносторонний (вершина Μ вне ромба). Найдите величину угла CMD. 82. Постройте ромб, у которого две стороны лежат на двух данных параллельных прямых, а две другие (или их продолжения) проходят через две данные точки. 83. Постройте ромб ABCD по середине стороны АВ и основаниям высот, проведенных из вершины В к AD и из вершины D к ВС. 84. AD — высота остроугольного треугольника ABC, О — центр квадрата, построенного на стороне АВ вне треугольника, Μ — центр квадрата, построенного на стороне АС в одной полуплоскости с вершиной В (рис. 11). Лежат ли точки О, D и Μ на одной прямой? 85. ABCD — квадрат. Найдите все такие точки М, что треугольники МАВ, МВС, MCD и MAD равнобедренные. 86. ABCD — квадрат. Постройте фигуру, у каждой точки которой сумма расстояний от прямых АВ, ВС, CD, AD равна -|- периметра квадрата ABCD. 87. Определите положение центра квадрата, у которого все вершины и одна из сторон находятся вне данной части плоскости (рис. 12). 88. Как построить квадрат по его центру О и расстояниям от концов одной стороны до данной точки Λί? 89. Как разрезать квадрат на остроугольные треугольники? 90. Плоскость· покрыта сетью равных квадратов. Можно ли построить такую окружность, внутри которой находится ровно указанное число вершин этих квадратов? 91. Четыре прямые проходят через центр окружности и делят ее на равные части. Касательная к окружности пересекает эти прямые в точках А, В, С, D. Вторые касательные, проходящие через эти точки, ограничивают четырехугольник, форму которого требуется установить. 92. Диагонали четырехугольника взаимно перпендикулярны. Из точки их пересечения опущены перпендикуляры О А, ОВ, ОС, OD на стороны. Докажите, что в четырехугольник ABCD можно вписать и около него описать окружность.
о ^ Рис. 12 93. Три окружности, проходящие через точку Λί, попарно пересекаются в точках Л, β, С. Через точку А проведена прямая, которая пересекает две из этих окружностей в точках D и Е. Находится ли точка пересечения прямых BD и СЕ на третьей окружности (рис. 13)? 94. Точки А и В симметричны относительно данной прямой /. Как с помощью односторонней линейки провести перпендикуляр к / через данную точку С, если: а) С0; б) Се/? 95. Даны окружность и ее диаметр АВ. Можно ли, пользуясь только односторонней линейкой, построить перпендикуляр к прямой АВ через точку Λί, которая: а) находится вне окружности не на прямой АВ; б) находится внутри окружности не на пряхмой АВ: в) находится на данной окружности; г) находится на отрезке АВ; д) находится на продолжении отрезка АВ: е) совпадает с точкой А? 96. Как построить треугольник по точкам, которые симметричны его ортоцентру относительно всех его сторон (рис. 14)? Указание. Ортоцентром треугольника называют точку пересечения высот треугольника. 97. Точки D, £, F симметричны ортоцентру ААВС относительно середин всех его сторон. Как по точкам Д £, F построить ААВС? Рис. 13 59
в Μ к Рис. 14 οζ Рис. 15 О D Рис. 16 Рис. 17 98. Как построить А ЛВС по точкам Οι, Ог, Оз, которые симметричны центру описанной окружности относительно сторон треугольника (рис. 15)? 99. Точки Ль Ви С\ симметричны вершинам Δ ABC относительно соответствующих сторон. Зная, что /\A\B\C\ равносторонний, постройте ААВС по точкам А\, В\, G. При этом имейте в виду, что условию отвечает не один треугольник, а 7. 100. Требуется с помощью линейки и циркуля опустить перпендикуляр из данной точки Μ на данную прямую /. Обычное построение невозможно, так как искомый перпендикуляр проходит близко к доступному краю части плоскости. Как осуществить построение? Э
101. Постройте треугольник по середине его основания и серединам высот, проведенных к боковым сторонам. 102. Пираты решили спрятать награбленные ценности на необитаемом острове. Выбрав крупные камни А и В и дерево С, они отметили такие точки D и £, что AD=AC и ВЕ = ВСУ причем углы CAD и СВЕ прямые. Ценности зарыли на середине отрезка DE. Когда через много лет один из пиратов прибыл на остров, он нашел камни Л и β, но не обнаружил следов дерева С. Поэтому он не смог найти место, где спрятаны ценности (рис. 16). А можно ли было это сделать? ТРАПЕЦИЯ (103 134) 103. Основания равнобокой трапеции 11 см и 17 см. Как разрезать ее на 4 равные трапеции? 104. Определите величины углов трапеции, которую можно разрезать на 4 равные равнобокие трапеции. 105. На какое наименьшее число трапеций, среди которых нет прямоугольных, можно разрезать квадрат? 106. Три стороны трапеции равны. Окружность, диаметром которой является основание трапеции, делит боковую сторону пополам. Найдите величины углов трапеции (рис. 17). 107. Окружность, диаметром которой является меньшее основание трапеции, касается большего основания и делит каждую из диагоналей пополам. Определите величины углов трапеции. 108. Прямая отсекла от равностороннего треугольника трапецию, которая делится диагоналями на 4 равнобедренных треугольника. Определите величину угла между диагоналями трапеции. 109. Две окружности пересекаются в точке О. Как построить через эту точку прямую, на которой названные окружности отсекают равные отрезки? ПО. Точки Л, В, С не лежат на одной прямой. Как построить через эти точки параллельные прямые, которые отсекают на данной прямой отрезки: а) равные; б) с данной разностью длин? 111. Как построить равнобедренный треугольник по его высоте и медиане, проведенным к боковой стороне? 112. Постройте трапецию ABCD (AB\\CD) по прямым ВС иАОч середине диагонали АС и точке Μ на прямой CD. 113. Высоты АА\ и СС\ остроугольного ААВС пересеклись в точке Я; Ε—середина АС, К—середина ВС, D — середина НА. Равны ли треугольники C\DE и ЕКА{> 114. На сторонах А АВС вне его построены квадраты. Как по центрам этих квадратов построить ААВС? 41
115. AD — высота прямоугольного аЛВС. Биссектрисы углов В и CAD пересекаются в точке Λί, а биссектрисы углов С и BAD — в точке N. Параллельны ли прямые ВС и MN (рис. 18)? 116. Имеется циркуль и линейка. Как с их помощью построить прямую через две данные точки, расстояние между которыми больше длины линейки и более чем вдвое превышает возможный размах циркуля? 117. Дана окружность. Как с помощью линейки с параллельными краями построить центр окружности? Особо рассмотрите случай, когда ширина линейки больше диаметра данной окружности. 118. Все вершины трапеции недоступны, но на рисунке дана часть каждой стороны (рис. 19). Постройте точку пересечения диагоналей трапеции. 119. Докажите, что пятиугольник можно разрезать на три трапеции. 120. Верно ли, что выпуклый я-угольник (я>4) можно разрезать на п—-2 трапеции? 121. Каждый угол треугольника менее 120°. Найдите точку с наименьшей суммой расстояний от всех вершин данного треугольника. 122. Постройте многоугольник с нечетным η > 3 числом вершин по серединам всех его сторон. 123. Постройте пятиугольник по серединам всех его диагоналей. 124. Найдите сумму внутренних углов звездчатого семиугольника (рис. 20). 125. Докажите, чго среднее арифметическое диагоналей выпуклого семиугольника больше среднего арифметического его сторон. 126. В окружность вписан выпуклый семиугольник, у которого величины трех углов по 120°. Имеет ли этот семиугольник равные стороны? 127. Один из углов равнобедренного треугольника 108° Найдите отношение длин двух биссектрис неравных углов. 128. Все вершины четырехугольника недоступны, но на рисунке дана часть каждой стороны. Как построить точку пересечения диагоналей четырехугольника ABCD? 129. Постройте равносторонний треугольник ААВС по его центру О и двум окружностям, одна из которых касается стороны А В. а другая — стороны ВС этого треугольника, если известны точки касания. 130. Постройте равносторонний треугольник, зная расстояния от всех его вершин до данной точки Λί. 131. На сторонах ААВС вне его построены равносторонние треугольники ABD, АСЕ, BCF. Как по точкам D, £, F построить А А ВС?
Рис. 18 Рис 19 В D Рис. 20 Рис. 21 Рис. 22 132. Каждая сторона выпуклого я-угольника является диаметром круга. При каких η эти круги полностью покрывают я-уголь- ник? 133. АЕ и CD — биссектрисы углов при основании равнобедренного А ЛВС. Можно ли по прямой АС и точкам D и Ε построить А ЛВС? 134. На сторонах остроугольного АЛВС вне его построены квадраты ADEB и АКРС. Докажите, что расстояние между точками D и К вдвое больше длины медианы АО треугольника ABC. ТЕОРЕМА ПИФАГОРА (135—158) 135. Определите вид треугольника, длины сторон которого связаны соотношением а3-\-Ь3 = с3. 136. Четыре точки плоскости определяют 6 расстояний. Докажите, что наибольшее из них превышает наименьшее по крайней мере в -д/2 раз. 137. Точка М, в которой окружность, вписанная в прямоуголь-. ный треугольник, касается его стороны, делит эту сторону в от-
ношении 1:3. Определите отношение катетов этого треугольника. 138. Хорды окружности АВ и CD лежат на прямых, которые взаимно перпендикулярны и пересекаются в точке М. Верно ли, что квадрат диаметра окружности равен МА2-\~МВ2-\-МС2-\- + MD2? 139. Точка В лежит между точками Л и С. По одну сторону прямой АС построены равносторонние треугольники ABD и ВСЕ, а по другую — равносторонний AACF. Верно ли, что центры этих треугольников являются вершинами равностороннего треугольника? 140. АВ — хорда окружности. Окружности радиусов R\ и /?2 касаются данной окружности и в точке С касаются АВ\ окружности радиусов /?з и /?4 касаются данной окружности и в точке D касаются АВ. Зависят ли отношения -^- и тг"От положения точек Д2 А4 С и D на АВ? 141. Дан отрезок АВ длиной 5 см. Окружности (Л, 4 см) и (β, 3 см) пересекаются в точке С и пересекают отрезок АВ в точках D и Е. Найдите радиус окружности, вписанной в криволинейный треугольник CDE (рис. 21). 142. На окружности даны трчки А и В. Постройте параллельные хорды AD и ВС, разность (или сумма) которых имеет заданную величину. 143. Центр окружности, касающейся основания и продолжений боковых сторон треугольника, и центр описанной окружности симметричны относительно основания треугольника. Можно ли по такой информации найти величины углов треугольника? 144. Диагональ АС четырехугольника ABCD является диаметром описанной окружности, AM и CN — перпендикуляры, опущенные на диагональ BD. Равны ли отрезки ВМ и DN? 145. Постройте параллелограмм ABCD по вершине D и серединным перпендикулярам сторон АВ и ВС. 146. а, 6, с — длины сторон треугольника, та, ть, тс — длины его медиан. Можно ли построить треугольник с длинами сторон а-\-та, Ь + ть, с-\-тс? 147. Как построить равносторонний треугольник периметра Р, чтобы две его вершины лежали на двух данных параллельных прямых, а третья — на данной окружности? 148. В центре сада, имеющего форму квадрата, находится зайчик. В каждой вершине квадрата находится лиса, скорость которой на 40% больше скорости зайчика, причем 0 1 ι
лисы могут бежать только по сторонам квадрата. Может ли при таких условиях зайчик убежать из сада? 149. Можно ли построить пятиугольник, стороны которого соответственно равны диагоналям данного пятиугольника? 150. ABCDE — пятиугольник, Оь 02, Оэ, 04 — середины его сторон АВ, ВС, CD и ΡΕ: Μ _и_ N — середины отрезков 0\Оз и 0204. Докажите, что ΑΕ = 4ΜΝ? 151. В окружность с центром Μ вписан правильный много- угольник AiA2As...An. Верно ли, что МЛ1+МЛ2 + МЛ3 + ...+ +МАп=0? 152. Найдите точку с наименьшей суммой квадратов расстояний от вершин данного правильного многоугольника. 1531 Хорды окружности АВ, CD, EF равны ее радиусу. Верно ли, что середины отрезков ВС, DE и AF — вершины равностороннего треугольника? 154. Медианы AD и СК треугольника ABC взаимно перпендикулярны. Верно ли, что угол В треугольника меньше 45°? 155. Точки Си Αι, Вх расположены на сторонах АВ, ВС, СА треугольника ABC так, что АСХ :СХВ = ВАХ :АХС = СВХ :ВХА (рис. 22). Верно ли, что центроиды треугольников ABC и АХВХСХ совпадают? 156. Медианы ААВС пересекаются в точке М. Верно ли, что для любой точки Τ ТА2 + ТВ2 + ТС2 = МА2 + МВ2 + МС2 + ЗТМ2? 157. На плоскости даны девять точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Как найти точку с наименьшей возможной суммой квадратов расстояний от этих девяти точек? 158. Постройте равносторонний А АВС по точке А и двум прямым, из которых одна проходит через точку В, а другая — через центроид треугольника. ПОДОБИЕ ФИГУР (159—192) 159. Как построить равносторонний треугольник по его центру, зная, что концы одной из медиан находятся на двух данных окружностях? 160. Во сколько раз расстояние от центра описанной окружности до стороны треугольника меньше расстояния от ортоцентра до вершины, лежащей против названной стороны? 161. Верно ли, что центроид треугольника лежит на отрезке, соединяющем ортоцентр с центром описанной окружности? Если да, то в каком отношении делится при этом названный отрезок? 162. Остроугольный аАВС вписан в окружность с центром О. Известно, что ОА-\-ОВ-\-ОС = ОМ. Лежит ли точка Μ внутри А АВС? 4
163. Окружность касается сторон угла Μ в таких точках А и β, что Μ А =МВ= 12 см. Хорда АС\\МВ, отрезок МС пересекает окружность в точке D. На какие части прямая AD делит отрезок MB? 164. Верно ли, что сумма квадратов диагоналей четырехугольника меньше суммы квадратов его сторон на учетверенный квадрат расстояния между серединами диагоналей? 165. Докажите, что четырехугольник, у которого сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов его сторон,— параллелограмм. 166. Подобны ли два треугольника, у которых соответственные стороны взаимно перпендикулярны? 167. Точка D лежит на стороне ВС треугольника ABC. Докажите, что AD2-BC=AB2-DC+AC2.BD — BC-BD-CD. Указание. Эта формула носит имя шотландского математика XVIII в. М. Стюарта. 168. Найдите основания трапеции, у которой боковые стороны 25 см и 40 см, а диагонали 51 см и 74 см. 169. Верно ли, что середины сторон треугольника, основания высот и середины отрезков, соединяющих ортоцентр с вершинами, лежат на одной окружности? 170. Верно ли, что каждый треугольник можно разрезать на любое число я>5 подобных ему треугольников? 171. Основания трапеции а и За. Середину каждого основания соединили с концами другого основания. Найдите расстояние между точками пересечения проведенных отрезков. 172. ABCD — ромб, В К и СЕ— перпендикуляры, опущенные на прямую AD, Μ — середина KD, Τ — середина СЕ. Перпендикулярны ли прямые AT и ВМ (рис. 23)? 173. АВ — диаметр полуокружности, хорды АС и BD (или их продолжения) пересекаются в точке М. Верно ли, что АС-АМ-\- + BD-BM = AB2? 174. ABCD — параллелограмм. Окружность, проходящая через вершину А, пересекает лучи АВ, AC, AD соответственно в точках В\, С\, D\ (рис. 24). Верно ли, что AB'ABl+AD-ADl=AC'ACi? 175. Верно ли, что произведение диагоналей вписанного четырехугольника равно сумме произведений его противоположных сторон? 176. Как построить прямоугольный треугольник по его гипотенузе и биссектрисе прямого угла? 177. Из вершины ромба построены две высоты, расстояние между их основаниями вдвое меньше длины диагонали ромба. Определите величины углов ромба. 46
Рис 23 Рис 24 р в о Μ Рис. 25 Рис. 26 178. Диагональ BD ромба ABCD равна его стороне. На луче DA вне ромба взяга точка М. Отрезок МС пересекает АВ в точке К. Под каким углом пересекаются прямые MB и DK (рис. 25)? 179. На продолжении хорд А В и АС окружности взяты такие точки D и Еч что расстояние от Ε до прямой А В равно длине хорды АВ, а расстояние от D до прямой АС равно длине хорды АС. Сравните отрезок DE с диаметром окружности. 180. Можно ли в трапецию поместить две окружности с радиусами 1 см и 3 см так, чтобы каждая из них касалась трех сторон трапеции, а общая касательная проходила через точку пересечения диагоналей трапеции? 181. Внутри А АВС на серединном перпендикуляре стороны АВ отмечена точка О. Затем зне ААВС построены треугольники ACT и ВСМ, подобные ААВО, причем соответственные стороны треугольников АС, ВС и АВ. Установите форму четырехугольника ОМСТ. 182. Две вершины треугольника недоступны. Как определить длины его сторон и положение центроида и ортоцентра?
183. На обломке круга сохранились часть дуги АВ, часть хорды АВ и центр круга О (рис. 26), Найдите величину угла АОВ. 184. Μι, М2, Мз, Λί4 — центроиды треугольников ABC, BCD, CDA и DAB. Подобны ли четырехугольники ABCD и Af iAi2Ai3Ai4? 185. Стороны АВ и CD выпуклого четырехугольника ABCD равны. Окружность, касающаяся сторон АВ, ВС, AD, и окружность, касающаяся сторон ВС, CD, AD, пересекаются в точках Ε и F. Сравните периметры частей, на которые прямая EF делит четырехугольник ABCD. 186. Через точку пересечения диагоналей четырехугольника проведена прямая. Из точек ее пересечения с двумя сторонами четырехугольника опущены перпендикуляры на его диагонали (рис. 27). Являются ли основания этих перпендикуляров вершинами параллелограмма или трапеции? 187. Простая замкнутая ломаная имеет 1999 звеньев. Может ли прямая, не проходящая ни через одну вершину, пересекать все звенья ломаной? 188. Турист двигался по ломаной, все звенья которой имели равные длины, и записывал повороты, которые делал в ее вершинах: вправо 15°, 30°, 90°, 105°, влево 120°, вправо 75°, 30°, 90?, 45°. Был ли его маршрут замкнутым? 189. Верно ли, что у выпуклого четырехугольника имеется диагональ, которая больше по крайней мере двух сторон четырехугольника? 190. На сторонах выпуклого четырехугольника ABCD вне его построены квадраты с центрами Οι, Ог, 03, 04. Верно ли, что диагонали четырехугольника О1О2О3О4 равны и взаимно перпендикулярны? Рис 27 Рис. 28
191. Сумма катетов прямоугольного А АВС равна /. На его гипотенузе ВС вне треугольника построен квадрат. Найдите расстояние от центра квадрата до вершины А треугольника. 192. ABCD — трапеция, вписанная в окружность с центром О. Продолжения боковых сторон АВ и CD пересекаются в точке М. Касательная к окружности в точке В и биссектриса угла BOD пересекаются в точке Т. Параллельны ли прямые МТ и ВС (рис. 28)? ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ (193 216) 193. Около окружности радиуса г описан треугольник и в него вписан квадрат так, что две вершины его лежат на основании треугольника, а две другие — на боковых сторонах. Верно ли, что сторона квадрата больше г-\/2 и меньше 2г? 194. В равностороннем пятиугольнике ABCDE угол BCD вдвое больше угла АСЕ. Найдите величины этих углов. 195. Основания равнобокой трапеции 1 и 8. Найдите радиус окружности, которая проходит через точку пересечения диагоналей трапеции, касается основания и боковых сторон трапеции. 196. Все углы выпуклого шестиугольника равны. Равны ли разности длин его параллельных сторон? 197. Точка Μ находится в плоскости правильного шестиугольника ABCDEF. Можно ли построить шестиугольник (необязательно выпуклый), стороны которого равны AL4, MB, MC, MD, ME, MF? 198. Из каждой вершины квадрата проведены лучи, разделившие его углы на три равные части. Сколько правильных многоугольников ограничивают эти лучи в пределах данного квадрата? 199. Даны окружность и ее центр. Как разделить ее на 12 равных частей, пользуясь только циркулем? 200. Середина каждой стороны квадрата соединена с концами параллельной стороны. Проведенные отрезки ограничили выпуклый восьмиугольник. Является ли он правильным? 201. Верно ли, что сторона правильного девятиугольника равна разности его диагоналей — наибольшей и наименьшей? 202. ап и Ьп — длины сторон правильных вписанного и описанного многоугольников с числом вершин п. Верно ли, что С12п=-^0'П'Ь2п} 203. Как построить через центр равностороннего треугольника прямую, чтобы ее отрезок, ограниченный сторонами треугольника, имел длину: а) наименьшую возможную; б) наибольшую возможную? ι
204. Около квадрата описана окружность. Через середины каждых двух соседних сторон проведены прямые. Являются ли точки пересечения этих прямых с окружностью и вершины квадрата вершинами правильного двенадцатиугольника? 205. На сторонах квадрата A BCD вне его построены равносторонние треугольники АВН, ВС К, CDM, DAT. Верно ли, что середины отрезков АН, ВН, НК, ВК. СК, KM, CM, DM, МТ, ТА, TD, ТН являются вершинами правильного двенадцатиугольника (рис. 29)? Решите эту задачу для случая, когда треугольники построены внутри квадрата. 206. На какое наименьшее число частей следует разрезать правильный шестиугольник, чтобы из этих частей можно было сложить треугольник с отношением величин углов 1:2:3? 207. Угол между диагоналями равнобокой трапеции 6(Г (два случая). Как разрезать эту трапецию на возможно меньшее число частей, из которых можно сложить равносторонний треугольник? 208. Найдите в плоскости равностороннего ААВС все такие точки, для каждой из которых сумма расстояний до прямых АВ, АС, ВС вдвое больше высоты треугольника. 209. Произведение высот прямоугольного треугольника в 4 ра за меньше произведения его сторон. Найдите величины острых углов треугольника. 210. Боковая сторона равнобокой трапеции равна а. Расстояние от середины боковой стороны до прямой, на которой лежит Ρ ν |\ \ \ ^ Ч \ \т Рис 29 Рис. 31 г0
другая боковая сторона, равно Ъ. Определите площадь трапеции. 211. Расстояния от точки, находящейся внутри равностороннего треугольника, до его высот х, у, г. Верно ли, что одно из этих расстояний равно сумме двух других? 212. Как разрезать правильный 12-угольник на возможно меньшее число частей, из которых можно сложить: а) три равных квадрата; б) квадрат; в) два равных квадрата? 213. На всех сторонах правильного шестиугольника внутри его построены квадраты. Являются ли вершины квадратов, не лежащие на сторонах шестиугольника, вершинами правильного 12- угольника? 214. Каждый угол треугольника разделен на три равные части. Построенные трисектрисы пересеклись в точках D, £, F (рис. 30). Докажите, что ADEF равносторонний. 215. Верно ли, что из двух правильных многоугольников, вписанных в одну окружность, больший периметр имеет тот многоугольник, у которого число вершин больше? 216. Граница двух полей — ломаная ABC, края полей — параллельные прямые (рис. 31). Нельзя ли заменить эту границу более короткой, не изменяя площадей полей? ПЛОЩАДИ ФИГУР (217-254) 217. Верно ли, что площадь четырехугольника не превышает произведения полусумм длин его противоположных сторон? 218. О длинах сторон треугольника а, 6, с известно, что а^2^6^3^с^4. Какую наибольшую площадь может иметь такой треугольник? 219. Разность двух сторон треугольника равна разности высот, проведенных к этим сторонам. Что можно утверждать о величинах углов, лежащих против названных сторон? 220. Верно ли, что сумма расстояний от внутренней точки до всех вершив треугольника не меньше удвоенной суммы расстояний от этой точки до всех сторон данного треугольника? 221. Как через вершину выпуклого четырехугольника провести прямую, которая разделит четырехугольник на две равновеликие части? 222. Как через данную точку на основании треугольника провести две прямые, которые разделят треугольник на три равновеликие части? 223. Все стороны выпуклого многоугольника равны. Какая из внутренних точек имеет наименьшую сумму расстояний от всех сторон многоугольника (или их продолжений)? 224. Найдите величины углов треугольника, который делится двумя высотами на две пары равновеликих частей. 225. Площадь остроугольного треугольника Q Из середины каждой стороны опущены перпендикуляры на другие стороны. 51
Найдите площадь выпуклого шестиугольника, ограниченного этими перпендикулярами (рис. 32). 226. Найдите точку, имеющую наименьшую возможную сумму квадратов расстояний от всех сторон данного треугольника. 227. Диагонали равнобокой трапеции взаимно перпендикулярны. Продолжения боковых сторон AD и ВС пересекаются в точке Μ под углом в 30° Зная, что площадь ААВМ, лежащего вне трапеции, равна Q, найдите площадь трапеции. 228. В равнобокой трапеции ABCD известно, что AB = CD\ AD = 28 см, высота 24 см. Окружность радиуса 3 см с центром в точке пересечения диагоналей трапеции касается меньшего основания ВС и боковых сторон. Найдите площадь трапеции. 229. Площадь остроугольного треуольника Q. В каждой вершине построены лучи, перпендикулярные сторонам угла с этой вершиной. Найдите площадь шестиугольника, ограниченного этими лучами. 230. Середины сторон выпуклого шестиугольника последовательно соединены отрезками. Верно ли, что площадь полученного шестиугольника больше половины площади начального шестиугольника? 231. Найдите величины углов ромба ABCD, у которого биссектрисы углов ВАС и В DC пересекаются на стороне ВС. 232. Верно ли, что площадь правильного восьмиугольника равна произведению двух его диагоналей? Если да, то каких? 233. Радиус вписанной в треугольник окружности г. Касательные к этой окружности, параллельные сторонам треугольника, отсекли треугольники. Радиусы окружностей, вписанных в эти треугольники, п, г2, г3. Верно ли, что г\+г2 + г3 = г? 234. Докажите, что в остроугольном треугольнике сумма расстояний от центра описанной окружности до всех сторон треугольника равна R-\-r. 235. Длины сторон выпуклого четырехугольника, вписанного в окружность, а, Ь, с, d. Верно ли, что его площадь S = л/О^-Г^Йр^) (р-с) (p-J), где ρ — полупериметр четырехугольника? 236. Верно ли, что площадь четырехугольника, вписанного в окружность, равна квадратному корню из произведения длин всех его сторон, если известно, что в четырехугольник можно вписать окружность? 237. Вписанная в четырехугольник окружность касается его сторон в точках Л, β, С, D. Докажите, что отрезки AC, BD и диагонали четырехугольника пересекаются в одной точке. 238. Площадь выпуклого четырехугольника равна Q Точки К и L, Μ и N делят соответственно стороны ВС и AD на три равные части. Определите площадь четырехугольника KLNM. 5
τ Рис. 32 Рис. 33 239. Площадь правильного шестиугольника ABCDEF равна Q. Вершину А соединили с серединой ВС, вершину В — с серединой CD, вершину С — с серединой DE и т. д. (рис. 33). Найдите площадь шестиугольника, ограниченного проведенными отрезками. 240. Докажите, что сумма медиан треугольника не больше — /?. 241. Докажите, что в каждом треугольнике: ) ι . ι . 1^1. ' та + тъ та-\-тс ть + гпс^ R ' б) j | ι | L>JL ' rtia mb mc ^ R 242. Многоугольник ABCDE... правильный. Определите число его вершин, зная, что ~~АВ = ~~АС ' ~АВ ' 243. Является ли правильным выпуклый многоугольник, имеющий не менее двух осей симметрии, если число его вершин: а) 5; б) 7? 244. Гомотетичны ли фигуры у=х* и у = 4х0? Если да, укажите центр и коэффициент гомотетии. 245. Каждая диагональ выпуклого четырехугольника ABCD делит его на две части равного периметра. Верно ли, что ABCD — параллелограмм? 246. Точка Μ находится внутри равностороннего треугольника и удалена от его вершин на 2 см, 1 см, д/зГ см. Под какими углами из точки Μ видны стороны равностороннего треугольника? π
247. ABCD — ромб. Из вершин его тупых углов проведены высоты ВВ\, Яй2, DD\, DD<2, которые пересекаются в точках Μ и N. Верно ли, что четырехугольники ABCD и BMDN подобны? 248. Боковые стороны трапеции 15 см и 20 см. Найдите периметр и площадь этой трапеции, если известно, что одна из диагоналей является ее высотой, а сумма тупых углов трапеции 270°. 249. Стороны треугольника и диаметр вписанной окружности составляют арифметическую прогрессию. Верно ли, что этот треугольник прямоугольный? 250. В равнобедренном треугольнике сторона делит пополам угол между высотой и биссектрисой внутреннего угла, проведенными из одной вершины. Найдите величины углов треугольника. 251. Символ одной из велогонок Мира состоял из трех равных окружностей, две из которых касались в центре третьей. Определите отношение площадей частей, на которые две касающиеся окружности разделили круг, ограниченный третьей окружностью. 252. Пятиугольник ABCDE правильный. Требовалось построить прямую BNy которая делит пятиугольник на части с отношением площадей 1:2. Школьник превратил пятиугольник в равновеликий АВКТ и отметил точку Μ на КТ так, что км=\кт. Другой школьник обратил внимание на то, что при этом пришлось несколько раз строить параллельные прямые. А можно ли было решить задачу, не проводя параллельных прямых? 253. На круге единичного радиуса отмечены 7 таких точек, что расстояние между любыми двумя из них не меньше 1. Докажите, что одна из точек — центр окружности. 254. Диагонали выпуклого пятиугольника делят каждый его угол на три равные части. Является ли этот пятиугольник правильным?
<**$£**
ПЛОСКОСТИ И ТОЧКИ (1- 10) 1. Даны прямые АВ, АС, ВС. Докажите, что центры окружностей, касающихся всех названных прямых, находятся в плоскости ABC. 2. На сколько областей делится пространство плоскостями всех граней: а) треугольной призмы; б) куба; в) треугольной пирамиды; г) четырехугольной пирамиды? 3. Даны η точек (я>4), причем каждые 4 из них лежат в одной плоскости. Верно ли, что все эти точки принадлежат одной плоскости? 4. Сколько различных плоскостей определяют все вершины: а) треугольной призмы; б) пятиугольной пирамиды; в) куба? 5. Вне плоскости параллелограмма ABCD взяты точки Е, К, Я, Μ так, что А — середина отрезка £/(, В — середина отрезка КН, С — середина отрезка НМ. Верно ли, что точка D — середина отрезка ME? 6. Даны точки А, В, С, D, Е. Середины отрезков AC, AD, BD, BE, СЕ лежат в одной плоскости, причем никакие две из этих середин не совпадают. Лежат ли точки А, В, С, D, Ε в одной плоскости? 7. Середины отрезков АВ, ВС, CD, DE, ЕА лежат в плоскости δ. Принадлежит ли этой плоскости хоть одна из точек А, В, С, D, Е? 8. В условии задачи 7 вместо пяти дано большее нечетное число отрезков. Изменится ли результат? 9. ABCDE— замкнутая пространственная ломаная, середины четырех звеньев которой принадлежат плоскости δ. Принадлежит ли этой плоскости и середина пятого звена? 10. ΑιΑ2ΑΛ...Α2η — пространственная ломаная, середины всех звеньев которой лежат в плоскости δ. Лежит ли в этой плоскости и середина отрезка А\А2п? ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ (11-30) 11. Проверьте следующий признак параллельности прямых в пространстве: две прямые параллельны, если любая плоскость, пересекающая одну из них, пересекает и другую. 12. На боковых гранях призмы отмечены точки А и В. Как через эти две точки провести два параллельных отрезка? Решите аналогичную задачу, заменив призму пирамидой. 13. Две параллельные прямые пересекают две соседние грани куба: одна в точках А и В, другая в точке С и еще одной, которую требуется построить. 14. Призма ABCDEFA\B\C\D\E\F\ правильная. Параллельны 5о
ли прямые ВС\ и AD\? Если нет, то как построить через точку А прямую, параллельную ВС\? 15. A BCD — квадрат. На параллельных прямых AM и СТ по одну сторону от плоскости квадрата отмечены такие точки Αι и Си что АА\ :CCj=4:3. Зная, что АВ=6 см, определите, на каких расстояниях от вершин квадрата находится точка, в которой прямая А\С\ пересекает плоскость квадрата. 16. ABCD — квадрат, периметр которого Р. Точка О пространства соединена со всеми вершинами квадрата. Через центроид треугольника АО В проведены прямые, соответственно параллельные прямым О А, ОВ, ОС, OD. Они пересекли плоскость квадрата в точках Ль Ви Си D\. Найдите периметр и площадь четырехугольника A\B\C\D\. Решите аналогичную задачу, заменив квадрат правильным шестиугольником. 17. Точка Μ находится вне плоскости правильного шестиугольника, периметр которого 48 см. Найдите расстояния между серединами отрезков, соединяющих точку Μ с вершинами шестиугольника. 18. ABCDEF — замкнутая пространственная ломаная. Отрезки, соединяющие середины звеньев ВС и £D, AB и EF, равны и параллельны. Параллельны ли звенья CD и AF? 19. Длина каждой стороны треугольника ABC равна а. Точка Μ удалена от каждой его вершины на расстояние Ь. Найдите расстояние между серединами отрезков АВ и МС. 20. Длина стороны квадрата ABCD равна 6 см. Точка Μ удалена от каждой его вершины на 17 см. Найдите расстояния от середины отрезка МА до середин всех сторон квадрата. 21. Даны плоскости δ и σ. Точка Μ не принадлежит ни одной из них. Через точку Μ можно провести единственную прямую, параллельную δ и σ. Параллельны ли эти плоскости? 22. Отрезки трех параллельных прямых, заключенные между плоскостями δ и σ, равны. Параллельны ли эти плоскости? 23. Точка Μ находится вне плоскости параллелограмма ABCD. Найдутся ли параллельные средние линии у треугольников: а) МАВ и МВС; б) МАВ и MCD? 24. Плоскости δ и σ параллельны. Где находятся центры всех параллелограммов, у каждого из которых одна сторона лежит на плоскости δ, а другая — на плоскости σ? 25. Даны прямые а и Ь. Известно, что можно построить только две параллельные плоскости, одна из которых содержит прямую а, а другая — прямую Ь. Докажите, что а и Ь скрещиваются. 26. Три плоскости попарно пересекаются. Верно ли, что линии их пересечения либо пересекаются в одной точке, либо параллельны? 27. Три параллельные плоскости пересекают две скрещивающиеся прямые соответственно в точках А\ и A2f В\ и B2j С ι и С2. Верно ли, что А\В\ ιВ\С\ =А2В21B2C2? У/
28. Плоскость проходит через основание трапеции на расстоянии 6 см от средней линии и на расстоянии 8 см от точки пересечения диагоналей трапеции. Найдите отношение длин оснований этой трапеции. 29. Стороны двух квадратов соответственно параллельны. Параллельны ли соответственные диагонали этих квадратов? 30. Докажите, что углы с сонаправленными сторонами равны. ИЗОБРАЖЕНИЕ ПЛОСКИХ ФИГУР В СТЕРЕОМЕТРИИ (31 -39) 31. Дано изображение квадрата ABCD. Изобразите правильный шестиугольник, одна из сторон которого АС. 32. Дано изображение равностороннего треугольника ABC. Изобразите квадрат, вписанный в этот треугольник так, что две вершины его лежат на АВ, а две — на других сторонах треугольника. 33. Дано изображение квадрата ABCD с точкой ΜζΑΒ. Изобразите прямую, которая находится в плоскости квадрата, проходит через точку С и перпендикулярна MD. 34. Дано изображение квадрата ABCD. Изобразите равносторонний Δ А КМ, вписанный в этот квадрат. 35. Дано изображение равностороннего треугольника ABC, D^AB, Е£ВС. Постройте прямую, которая находится в плоскости ABC, проходит через вершину В и перпендикулярна прямой DE. 36. Дано изображение прямоугольника, стороны которого относятся как 2:3. Как построить серединные перпендикуляры диагоналей этого прямоугольника? 37. На изображении равнобедренного треугольника отмечен (на одной из медиан) центр вписанной окружности. Постройте точки касания этой окружности со сторонами треугольника. 38. Дано изображение равнобокой трапеции, в которую можно вписать окружность. Постройте точки касания этой окружности со сторонами трапеции. 39. Постройте изображение: а) правильного пятиугольника; б) правильного восьмиугольника, СТЕРЕОМЕТРИИ* ( КИЕ ПОСТРОЕНИЯ (40 48) 40. Дано изображение четырехугольника ABCD и параллельные проекции на плоскость δ точек ΚζΑΒ, L£BC, M£CD. Постройте проекцию четырехугольника на эту плоскость. Решите аналогичную задачу для пятиугольника ABCDE. 41. Даны параллельные проекции пятиугольника ABCDE и точек Р, К и Μ на плоскость 6, причем показано положение и самих точек Ρ, Κ, Μ относительно плоскости δ (рис. 34). Постройте изображение пятиугольника. 42. Даны точка Μ вне плоскости δ и прямая /? не параллельная δ. Постройте через точку Μ прямую, которая параллельна плоскости δ и пересекает прямую /. г>8
Μ, D S Рис. 34 43. Нижние основания двух призм находятся на плоскости δ. Боковые ребра этих призм параллельны. Прямая пересекает поверхность одной призмы в точке Д а поверхность другой — в точке В. Постройте другие точки пересечения этой прямой с поверхностями призм. 44. Основания двух треугольных пирамид находятся на плоскости δ. Прямая пересекает поверхность одной пирамиды в точках Л и β, а поверхность другой в точке С и еще одной, которую требуется построить. 45. Основание пирамиды и одно из оснований призмы находятся в плоскости δ так, как схематично изображено на рисунке 35. Вершина пирамиды спроектирована на плоскость δ, причем проектирующая прямая параллельна боковому ребру призмы. Постройте линию пересечения поверхностей призмы и пирамиды. 46. Дано положение точечного источника света М. Постройте: а) тень данного треугольника ABC на плоскость δ, если даны ортогональные проекции точки Μ и вершин треугольника; б) тень данной призмы на плоскость нижнего основания; в) тень одного Μ Μ \ Рис. 35 Рис 36 j9
куба на поверхность другого, если их основания находятся на плоскости δ. 47. Прямая АВ находится на плоскости δ, а прямая CD пересекает эту плоскость. Постройте через данную точку Μ прямую, которая пересекает обе названные прямые (рис. 36). 48. Дан куб ABCDAXB\C\D\. Как построить через центр грани АА{В\В прямую, которая пересекает прямые BD\ и CCi? ПЕРПЕНДИКУЛЯР К ПЛОСКОСТИ (49-59) 49. а) Верно ли, что плоскость и не принадлежащая ей прямая параллельны, если они имеют обший перпендикуляр? б) Точка Μ находится вне плоскости δ, одна из сторон треугольника МАВ лежит на этой плоскости. Какую фигуру образуют центроиды всех таких треугольников? 50. Вершины треугольника удалены от плоскости δ на 10 см, 13 см, 17 см. Найдите расстояние от центроида треугольника до этой плоскости. 51. Плоскость δ проходит через основание трапеции на расстоянии 8 см от средней линии и на расстоянии 10 см от точки пересечения диагоналей трапеции. Найдите отношение длин оснований трапеции. 52. Какую фигуру образуют все точки, расстояния от которых до параллельных плоскостей δ и σ относятся как га:я? 53. Из вершин правильного шестиугольника ABCDEF в одну сторону от его плоскости построены к этой плоскости перпендикуляры. Плоскость δ пересекает эти перпендикуляры так, что ААι =2 см, ВВ\ =3 см, СС\ =6 см. Какие отрезки она отсекает на других перпендикулярах? 54. На поверхности куба найдите все точки, равноудаленные от двух данных точек: а) на одном ребре; б) на двух соседних сторонах одной грани; в) на двух параллельных сторонах одной грани. 55* На поверхности куба ABCDA\B\C\D\ найдите все точки, ι удаленные на — диагонали грани от плоскости, проходящей через ребра АА\ и СС\. 56. Прямые а, 6, с параллельны. Известно, что а пересекает ВС, b пересекает А С, с пересекает АВ под равными углами. Докажите, что прямые а, Ь, с перпендикулярны плоскости ABC. 57. Верно ли, что на трех параллельных прямых можно отметить такие точки Л, β, С, что А АВС окажется равносторонним? 58. В треугольнике ABC известно, что Δ.Α = 60°, ΑΒ = 49 см, АС = 50 см. Через точку А проведена плоскость, параллельная ВС. Зная, что проекция угла А на эту плоскость — прямой угол, найдите расстояние от плоскости до стороны ВС. о0
Решите аналогичную задачу, если Δ.Α=60°, ΑΒ = 5 см, АС=1 см, а проекция угла А на эту плоскость—угол в 120°. 59. Точка Μ удалена от вершины угла ВАС, равного 60°, на 25 см, а от сторон ЛВ и ЛС на 20 см и 7 см. Найдите расстояние от точки Μ до плоскости ABC. Решите аналогичную задачу, если АВАС=120°, а точка Μ удалена от прямых АВ и АС на 20 см и 24 см. ПЕРПЕНДИКУЛЯР И НАКЛОННЫЕ (60-72) 60. Прямая / параллельна плоскости δ. Какую фигуру образуют на плоскости δ концы всех наклонных длиной а, проведенных к плоскости δ из точек прямой /? 61. Точки А и С находятся в плоскости δ, а точки В и D — в плоскости σ, причем АВ = 9 см, CD= 15 см, А С = 7 см, BD= 11 см и отрезок АВ перпендикулярен плоскостям δ и σ. Найдите расстояние между серединами отрезков АВ и CD. 62. На плоскости два острых угла с соответственно перпендикулярными сторонами равны. Верно ли утверждение о равенстве таких углов в том случае, когда названные углы не принадлежат одной плоскости? 63. Какую фигуру образуют все точки пространства, равноудаленные от трех прямых а, Ь, с, находящихся на плоскости δ? 64. Углы А и В треугольника ABC равны по 30°. Найдите точку с наименьшей суммой расстояний от нее до всех вершин треугольника ABC. 65. Основания равнобокой трапеции 18 см и 24 см, ее высота 3 см. Найдите расстояние от плоскости трапеции до точки М, которая удалена от каждой вершины трапеции на 17 см. 66. Плоскость δ параллельна гипотенузе треугольника ABC. Проекции сторон треугольника на плоскость δ соответственно равны 51 см, 43 см, 20 см. Определите периметр и площадь треугольника ABC. 67. Стороны треугольника ABC равны 15 см, 15 см и 24 см. Точка Μ удалена от каждой из прямых АВ, АС, ВС на 12 см. Найдите расстояние от точки Μ до плоскости ABC. 68. Если проекция прямой МА образует с прямыми АВ и АС равные углы, то и прямая МА образует с этими прямыми равные углы. Верна ли обратная теорема? 69. Точка К находится на ребре А\В\ куба ABCDAXB\C\D\. Найдите на ребре AD такую точку М, что АА\КМ = Δ.ΑΜΚ. 70. МО — перпендикуляр к плоскости δ. Точки О, А, В находятся на этой плоскости. Зная, что Μ А = 48 см, MB = 25 см, Δ. Μ ВО = = 2/.МАО, найдите длину МО. 71. Из точки Μ^δ к плоскости δ проведены перпендикуляр МО и наклонные МА и MB. Зная, что АО = 33 см, ВО = 8 см, Δ.ΑΜΟ = =— Ζ.ΒΜΟ, найдите длину МО. 61
72. Из точки Λί^δ проведены к плоскости 6 перпендикуляр МО и наклонные МАУ MB, Μ С. Проекции MB и МС на плоскость меньше проекции МА на 33 см и 48 см, АОАМ: Z.OBM: ^ОСМ= 1:2:3. Найдите длину МО. УГОЛ ПРЯМОЙ С ПЛОСКОСТЬЮ (73-77) 73. Прямая проходит через вершину прямого угла ВАС и образует с его сторонами углы в 60° и 45°. Какой угол она образует с плоскостью ABC? 74. Окружности, описанные около всех граней правильной четырехугольной пирамиды, равны. Определите величину угла между боковым ребром и плоскостью основания пирамиды. 75. Угол между боковым ребром и плоскостью основания правильной треугольной пирамиды равен 45°. Найдите угол между плоскостью основания и прямой, которая проходит через вершину пирамиды и делит сторону основания в отношении 1:2. 76. Из точки Μ опущены перпендикуляры: МО на плоскость ABC, MD и ME на стороны АВ и АС равностороннего треугольника, периметр которого Ρ = 72 см. Известно, что точка 0£ВС, а углы между MD и ME и плоскостью треугольника составляют 30° и 60°. Найдите длину МО. 77. Диагональ правильной четырехугольной призмы образует с плоскостью боковой грани угол в 30°. Определите угол наклона диагонали призмы к плоскости основания. ( ИС ТЕМА КООРДИНМ β ПРОСТРАНСТВЕ (78 83) 78. Докажите, что координаты центра правильного многоугольника равны средним арифметическим соответствущих координат его вершин. 79. Верно ли, что сумма координат середин звеньев замкнутой пространственной ломаной равна сумме соответствующих координат ее вершин? 80. Найдите на трех попарно скрещивающихся ребрах куба такие точки /С, L, М, сумма квадратов расстояний между которыми наименьшая возможная. 81. Найдите точку с наименьшей возможной суммой квадратов расстояний от всех вершин данной правильной я-угольной: а) призмы; б) пирамиды. 82. Напишите уравнение плоскости, которая проходит через точку М(1; 2; 7) и отсекает на координатных осях равные отрезки. 83. Найдите расстояние между плоскостями ax-\-by-\-cz + d = 0 и ax-\-by-\-cz — d=0. 6.
ДВУГРАННЫР И TPFXTPAHHblE УГЛЫ (84—102) 84. Плоскость δ проходит через гипотенузу прямоугольного треугольника и образует с его катетами углы в 30° и 45°. Какой угол она образует с плоскостью треугольника? 85. Дан двугранный угол в 60°. Можно ли пересечь его плоскостью так, чтобы лучи на гранях двугранного угла образовали угол в 90°? в 120°? 86. АВ — ребро прямого двугранного угла, лучи ОС и OD находятся на его гранях и равно наклонены к АВ. Зная, что Z. COD —150°, найдите Z.AOC. 87. Точка Μ находится внутри двугранного угла в 60° и удалена от его граней на 1 см и 22 см. Найдите расстояние от точки Μ до ребра двугранного угла. Решите аналогичную задачу для двугранного угла в 120° и точки М, удаленной от его граней на 26 см и 37 см. 88. ABCDAXB\C\D\ — куб. Найдите величину угла между плоскостями A\B\D и BXC\D. 89. Две параллельные прямые пересекают грани данного двугранного угла: одна в точках Л и β, другая в точке С и еще одной, которую требуется построить. 90. Паук находится в точке А на стене комнаты с квадратным основанием и ползет в точку В на соседней стене. Постройте кратчайший возможный путь паука по стенам. 91. Вне равностороннего Δ ABC со стороной 14 см взята такая точка УИ, что плоскости МАВЬ MAC и MB С образуют с плоскостью ABC соответственно углы 30°, 30°, 60°. Определите длину отрезка MB. Решите аналогичную задачу для случая, когда названные углы между плоскостями 30°, 60°, 90°. 92. Треугольник ABC находится на плоскости δ, его ортогональная проекция на плоскость σ - /\A\B\C\. Площадь ортогональной проекции треугольника А{В\С\ на плоскость δ на 25% меньше площади треугольника ABC. Найдите угол между плоское тями 6 и σ. 93. Ортогональная проекция квадрата на плоскость δ - параллелограмм со сторонами 7 см и 8 см и диагональю ί 1 см, Опре делите: а) площадь квадрата; б) угол между плоскостью квад рата и плоскостью δ. 94. Какую фигуру образуют все точки, сумма расстояний каждой из которых от двух данных пересекающихся плоскостей равна а? 95. Какую фигуру образуют все точки, разность расстояний каждой из которых от граней данного двугранного угла рав на а? 96. Докажите, что сумма плоских углов выпуклого трехгран ного угла меньше oG0°. 97. Внутри выпуклого трехгранного угла МАВС проведен луч Ьи
Рис. 37 Рис. 38 МО. Верно ли, что сумма углов ОМА, ОМВ, ОМС меньше суммы плоских углов трехгранного угла? 98. Докажите, что сумма двугранных углов выпуклого трехгранного угла больше 180°. 99. Докажите, что сумма двугранных углов треугольной пирамиды больше 360°. 100. Точка О находится внутри треугольной пирамиды ABCD. Докажите, что сумма углов, которые лучи АО, ВО, СО, DO образуют с ребрами пирамиды, меньше 720°. 101. Плоские углы при каждой вершине основания пирамиды равны между собой. Определите форму основания пирамиды. 102. Плоские углы выпуклого трехгранного угла МАВС прямые, МО — перпендикуляр к плоскости ABC (рис. 37). Докажите: а) ААВС— остроугольный; б) О — ортоцентр треугольника ABC; в) МО~2 = МА~2-\-МВ~2-\-МС~2; г) квадрат площади треугольника ABC равен сумме квадратов площадей треугольников МАВ, MAC и Μ ВС. МНОГОГРАННИКИ (103 -110) 103. Докажите, что не существует многогранник, имеющий ровно 7 ребер. 104. Докажите, что может существовать многогранник с любым натуральным числом ребер п>7. 105. Нарисуйте многогранник, имеющий 11 ребер. 106. Нарисуйте многогранник, отличный от пирамиды, у которого вершин столько же, сколько граней. 107. Существует ли многогранник, имеющий нечетное число граней, причем все они четырехугольники? 108. Существует ли многогранник, число вершин которого 1 3 меньше числа ребер: а) вдвое; б) в 2— раза; в) в 2-~- раза? θ
109. Точки Л, β, С, D, Ε являются вершинами двух многогранников, у которых нет других вершин. Совпадают ли эти многогранники? 1Ю· Верно ли, что у каждого многогранника найдутся две грани с одинаковым числом ребер? ПРИЗМА И ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД (111 — 129) 111. Можно ли определить призму как многогранник, две грани которого — равные многоугольники, лежащие в параллельных плоскостях, а все остальные грани — параллелограммы? Если нет, приведите изображения многогранников, опровергающие это определение. 112. Пьедестал имеет форму правильной призмы. Проходя мимо, можно видеть то 3, то 4 боковые грани. Определите число боковых граней пьедестала. 113. Точки А и В находятся на боковых гранях прямой призмы. Найдите на плоскости нижнего основания точку с наименьшей возможной суммой расстояний от Л и β. 114. ABCDA\B\C\D\ — куб. Точка Μ находится на грани АВВ\А\, а точка N— на луче СС\ вне куба. Найдите на плоскости ABC точку Τ с наибольшей возможной разностью расстояний от Μ и N. 115. ABCDA\B\C\D\ — куб с ребром 2 см. Паук находится в центре грани АВВ\А\. Какую наименьшую длину может иметь путь паука по поверхности куба в вершину С\? 116. Л и В — середины двух несмежных боковых ребер правильной шестиугольной призмы. Какую фигуру образуют на плоскости нижнего основания все такие точки М, что наклонные AM и ВМ равно наклонены к этой плоскости? 117. Какую фигуру образуют центроиды всех треугольников, вершины каждого из которых лежат на трех боковых ребрах призмы ABCAiBiCi? 118. ABCDEFA\B\C\D\E\F\—правильная шестиугольная призма. Постройте отрезок с концами на ребре АА\ и диагонали ВЕ\У чтобы он был параллелен плоскости основания призмы и в — раза больше стороны основания. 119. Какое наибольшее число равных диагоналей может быть у наклонного параллелепипеда? 120. Верно ли, что сумма квадратов диагоналей параллелепипеда равна сумме квадратов его ребер? 121. Докажите, что куб диагонали прямоугольного параллелепипеда больше суммы кубов его измерений. 122. Если диагонали четырехугольной призмы пересекаются в одной точке, то эта призма — параллелепипед. Верно ли это утверждение? 3 Заказ 741
123. Дана четырехугольная призма, у которой сумма квадратов ребер равна сумме квадратов диагоналей. Докажите, что это параллелепипед. 124. Расстояния от центра симметрии параллелепипеда до его вершин 18 см, 15 см, И см, 10 см. Зная, что длины трех ребер в сантиметрах выражаются последовательными целыми числами, найдите периметры граней. 125. Боковое ребро параллелепипеда 14 см, стороны основания 13 см и 9 см. Зная, что длины диагоналей в сантиметрах выражены последовательными четными числами, найдите эти длины. 126. Если диагональ прямоугольного параллелепипеда образует с плоскостями его граней углы α, β, γ, то tg2a + tg β + + tg2y^l,5. Докажите. 127. Докажите, что расстояние между скрещивающимися диагоналями двух соседних граней куба втрое меньше диагонали куба. 128. Верно ли, что диагональ АС\ параллелепипеда ABCDA\B\C\D\ проходит через центроид треугольника BDA\? 129. Μ — середина ребра ВВ\ параллелепипеда ABCDA\B\C\DX. В каком отношении плоскость МА\С\ делит диагональ B\D? ПИРАМИДА (130-151) 130. Могут ли все грани пирамиды быть: а) прямоугольными треугольниками; б) равнобедренными прямоугольными треугольниками? 131. Докажите, что можно построить треугольник, у которого длины сторон равны суммам длин скрещивающихся ребер тетраэдра. 132. Основание пирамиды — равносторонний треугольник. Докажите, что можно построить треугольник, стороны которого равны боковым ребрам пирамиды. 133. Все ребра η -угольной пирамиды равны. Докажите, что эта пирамида правильная, и установите, какие значения может иметь п. 134. У какой пирамиды сумма плоских углов при вершине может превысить сумму внутренних углов многоугольника, являющегося основанием пирамиды? 135. На сколько частей пространство делится плоскостями всех граней правильной четырехугольной пирамиды? 136. Докажите, что сумма двугранных углов я-угольной пирамиды больше 180° (п — 1). 137. Точки А и В находятся на боковых гранях правильной пирамиды. Найдите на плоскости основания пирамиды точку с наименьшей возможной суммой расстояний от точек А я В. 138. Может ли развертка боковой поверхности пирамиды оказаться: а) равносторонним треугольником; б) квадратом; в) правильным пятиугольником; г) правильным шестиугольником?
139. Основание пирамиды — квадрат, ее высота проходит через вершину основания. Зная, что длина наибольшего ребра /, а двугранный угол при этом ребре 120°, найдите длины ребер. 140. Основание пирамиды MABCD — прямоугольник. Верно ли, что MA2 + MC2 = МВ2 + MD2? 141. Если скрещивающиеся ребра треугольной пирамиды попарно равны, то сумма плоских углов при каждой вершине пирамиды равна 180°. Докажите. 142. Докажите, что отрезки, соединяющие середины скрещивающихся ребер треугольной пирамиды, пересекаются в одной точке. Как относится сумма квадратов этих отрезков к сумме квадратов ребер пирамиды? 143. Если все грани пирамиды равны, то они остроугольные треугольники. Докажите. 144. Из каждой вершины основания правильной четырехугольной пирамиды проведены перпендикуляры на плоскости противоположных боковых граней. Точки пересечения этих перпендикуляров — /С, L, М, N. Докажите, что эти точки лежат в одной плоскости, и выразите площадь четырехугольника KLMN через площадь Q основания пирамиды. 145. Боковое ребро правильной пирамиды МАВС образует со стороной основания угол в 75° и имеет длину /. Паук начал ползти от вершины А и, побывав на всех боковых гранях, вернулся в эту точку (рис. 38). Какова могла быть наименьшая длина пути паука? 146. Отрезок, соединяющий вершину тетраэдра с центроидом противолежащей грани, называется медианой тетраэдра. Докажите, что медианы тетраэдра пересекаются в одной точке. В каком отношении они при этом делятся точкой пересечения? 147. Каждую вершину тетраэдра соединили с центром окружности, вписанной в противолежащую грань. Если все эти отрезки пересекаются в одной точке, то произведения длин скрещивающихся ребер равны. Докажите. Сформулируйте и докажите теорему, обратную условию этой задачи. 148. Через точку пересечения медиан тетраэдра МАВС проведена плоскость δ, пересекающая ребра AL4, MB, MC. Докажите, что расстояние от точки Μ до плоскости δ равно сумме расстояний от остальных вершин тетраэдра до этой плоскости. 149. Если высота тетраэдра проходит через ортоцентр грани, то суммы квадратов длин скрещивающихся ребер тетраэдра равны. Докажите. Верна ли теорема, обратная условию этой задачи? 150. Если одна из высот тетраэдра проходит через ортоцентр грани, то и остальные высоты имеют такое свойство. Докажите. 151. Если суммы квадратов длин скрещивающихся ребер тетраэдра равны, то все высоты тетраэдра пересекаются в одной точке. Докажите. 17
СЕЧЕНИЕ МНОГОГРАННИКА ПЛОСКОСТЬЮ (152—185) 152. Измерения прямоугольного параллелепипеда ААХ=6 дм, AD= 12 дм, АВ= 16 дм. Найдите площадь сечения, проведенного через вершину С\ и середины ребер АВ и AD. 153. Измерения прямоугольного параллелепипеда 5 см, 6 см, 7 см. Можно ли построить сечение, имеющее форму квадрата и не содержащее ни одного ребра параллелепипеда? 154. Ребро куба а. Постройте сечение, имеющее форму правильного я-угольника, и определите площадь сечения для каждого допустимого значения п. 155. Через боковое ребро треугольной призмы построены два сечения: одно перпендикулярно противолежащей боковой грани, другое через ее центр. Плоскости сечений делят двугранный угол на три равные части. Определите двугранные углы между боковыми гранями призмы. 156. Каждое ребро правильной шестиугольной призмы ABCDEFA\B\C\D\E\F\ 4 см. Найдите площадь сечения, которое проходит через вершины А и С параллельно диагонали призмы ВЕХ. 157. В правильной четырехугольной призме проведены два параллельных сечения: одно через середины двух смежных сторон оснований и центр симметрии призмы, другое делит отрезок, соединяющий центры оснований, в отношении 1:3. Зная, что площадь первого сечения Q, найдите площадь второго. 158. Площадь боковой грани правильной шестиугольной призмы Q. Найдите площадь сечения, которое перпендикулярно большей диагонали основания и делит ее в отношении l:k (k — натуральное число). 159. Через боковое ребро четырехугольной призмы проведите сечение, которое делит основание призмы на две равновеликие части. 160. Каждое ребро правильной шестиугольной призмы имеет длину а. Найдите площадь сечения, которое проходит через середины параллельных сторон основания под углом 45° к плоскости основания. 161. Каждое ребро правильной шестиугольной призмы имеет длину а. Найдите площадь сечения, которое проходит через середину большей диагонали призмы перпендикулярно этой диагонали. 162. Меньшая диагональ правильной шестиугольной призмы образует с плоскостью основания угол в 45°, сторона основания 6 см. Найдите периметр и площадь сечения призмы плоскостью, которая проходит через середину названной диагонали перпендикулярно этой диагонали. 163. Все ребра правильной шестиугольной призмы имеют длины по а. Найдите площадь сечения, которое проходит через сторону основания и делит двугранный угол при основании призмы в отношении 1:2 (два случая).
164. В правильной шестиугольной призме проведена плоскость через малую диагональ основания и наиболее удаленную вершину другого основания. В каком отношении эта плоскость делит боковые ребра призмы? 165. Докажите, что сечение параллелепипеда плоскостью не может оказаться правильным пятиугольником. 166. Ребро куба ABCDAXB\C\D\ равно а. Точка Μ делит ребро АА\ так, что АМ = ЪМА\. Найдите площадь сечения, которое проходит через точку Μ параллельно прямым BD и А\С. 167. Площадь сечения правильной четырехугольной пирамиды плоскостью, которая проходит через середину стороны основания перпендикулярно этой стороне, равна Q. Найдите площадь сечения, которое перпендикулярно стороне основания и делит ее в отношении lift (ft^l). 168. Площадь сечения правильной треугольной пирамиды плоскостью, которая проходит через вершину пирамиды перпендикулярно медиане основания, равна Q. Найдите площадь сечения, которое перпендикулярно стороне основания и делит эту сторону в отношении 1ι3. 169. Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды MABCD равна 12 см, высота вдвое меньше. Найдите площадь сечения, которое проходит через вершину А и середины ребер MB и MD. 170. Боковое ребро правильной треугольной пирамиды вдвое больше стороны основания. Как построить сечение, которое проходит через сторону основания перпендикулярно скрещивающемуся с этой стороной боковому ребру? 171. Основание правильной пирамиды — квадрат ABCD, сторона основания и высота пирамиды равны по 6 см. На диагоналях основания отмечены такие точки Μ и /С, что АМ\МС = 1:7, DK:KB=\ :3. Найдите площадь сечения, которое проходит через точки Μ и К параллельно высоте пирамиды. 172. Докажите, что пирамиду, основание которой — выпуклый четырехугольник, можно пересечь плоскостью так, что сечение будет иметь форму параллелограмма. 173. Сторона основания правильной треугольной пирамиды 20 см, боковое ребро 30 см. Постройте сечение, имеющее форму квадрата, и определите его площадь. 174. МАВС — правильная треугольная пирамида. Даны точки D и Ε на ее гранях МАВ и МВС (рис. 39). Постройте равнобедренный треугольник, у которого вершина лежит на ребре MB, концы основания — на сторонах АВ и ВС, а боковые стороны проходят через данные точки D и Е. Как изменится решение этой задачи, если вместо треугольной пирамиды будет дана правильная пирамида MABCD? 175. Точки Μ и N лежат на гранях SAB и SCD правильной четырехугольной пирамиды SABCD. Постройте равнобокую трапецию, у которой боковые стороны содержат точки Μ и Ν, одно из
оснований находится в плоскости SAD, а другое — в плоскости SBC. 176. Все диагональные сечения правильной шестиугольной пирамиды MABCDEF равновелики. Найдите двугранный угол: а) при основании пирамиды; б) между плоскостью основания и плоскостью MAC. 177. Основание пирамиды MABCD — ромб с диагоналями АС = 24 см и BD = 2\ см. Боковое ребро МА = 18 см перпендикулярно плоскости основания. Найдите площадь сечения, которое проходит через А и середину наибольшего ребра пирамиды параллельно диагонали основания. 178. Боковое ребро правильной шестиугольной пирамиды 13 см, сторона основания 10 см. Найдите площадь сечения, которое проходит через центр основания параллельно боковой грани. 179. Докажите, что площадь сечения, проходящего через сторону основания правильной четырехугольной пирамиды и среднюю о линию противоположной боковой грани (рис. 40), больше — площади основания. 180. Докажите, что площадь сечения, проходящего через сторону основания и среднюю линию параллельной боковой грани 13 правильной шестиугольной пирамиды (рис. 41), больше — площади основания. 181. Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды 16 см, высота пирамиды 18 см. Найдите расстояние от вершины пирамиды до плоскости, проходящей через сторону основания и середину скрещивающегося ребра. 182. Через сторону основания и середину высоты правильной четырехугольной пирамиды проведено сечение. Найдите расстояние от вершины пирамиды до плоскости сечения, если сторона основания 9 см, а высота пирамиды 12 см. -j Рис 39 Рис. 40 70
Ι1 Рис. 41 Рис 42 183. Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды а, боковое ребро Ь. Найдите площадь сечения, проведенного через середины двух соседних сторон основания параллельно боковому ребру, пересекающему эти стороны. 184. Основание пирамиды MABCD — параллелограмм, у которого длины двух сторон и одной диагонали соответственно 15 см, 13 см и 4 см. Высота пирамиды МО = 3 см проходит через центр основания. Найдите площадь сечения, которое проходит через середины двух меньших сторон основания параллельно большему боковому ребру. 185. Основание пирамиды — параллелограмм, у которого длины сторон и одной диагонали соответственно 17 см, 10 см и 9 см; высота пирамиды Я = 30 см проходит через центр основания. Найдите площадь сечения, которое проходит через вершину острого угла основания параллельно меньшей диагонали основания и делит высоту пирамиды в отношении 4:1, считая от вершины пирамиды. ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ СЕЧЕНИЯ ПИРАМИДЫ 186—189> 186. Периметр основания правильной четырехугольной пирамиды 64 см, боковое ребро 17 см. Сечение, параллельное плоскости основания пирамиды, равновелико боковой грани. В каком отношении оно делит высоту пирамиды? 187. Боковое ребро и высота правильной четырехугольной пирамиды 12 см и 4 см. Найдите ребро куба, вписанного в пирамиду так, что его 4 вершины находятся на основании пирамиды, а 4 — на ее апофемах. 188. Основание пирамиды — прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 8 см. Высота пирамиды Я = 24 см находится внутри пирамиды. В пирамиду вписан куб так, что его 4 вершины находятся на основании пирамиды, а боковые грани параллельны меньшим сторонам основания. Найдите ребро куба. I
189. Правильная шестиугольная призма и пирамида, каждое боковое ребро которой 17 см, имеют общее основание площадью 96д/3 см2. Зная, что площадь малого диагонального сечения призмы 80 УЗ см2, найдите длину линии, по которой пересекаются поверхности этих многогранников. ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ МНОГОГРАННИКА (190—206) 190. Периметр основания прямого параллелепипеда 30 см, центр параллелепипеда удален от его граней на 2 см, 3 см и 4 см. Определите площадь поверхности параллелепипеда. 191. Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда равна 192 см2. Если бы каждое измерение было на 1 см больше, площадь поверхности была бы на 82 см2 больше. Найдите длину диагонали параллелепипеда. 192. В правильной шестиугольной призме через две параллельные стороны оснований проведено сечение. Зная, что его площадь вдвое меньше площади боковой поверхности призмы, найдите угол между плоскостью сечения и плоскостью основания призмы. 193. Какую наибольшую площадь поверхности может иметь прямоугольный параллелепипед, длина диагонали которого d? 194. Площадь боковой поверхности правильной я-угольной призмы в 2 раза больше площади основания. Найдите угол наклона диагонали боковой грани к плоскости основания. 195. Через сторону основания и центр другого основания правильной треугольной призмы проведено сечение. Его площадь относится к площади боковой поверхности как 18:35. Определите угол между плоскостью этого сечения и плоскостью основания. 196. Основание прямой призмы — трапеция, у которой длины параллельных сторон 9 см и 39 см. Три боковые грани призмы — квадраты. Определите площадь поверхности призмы. 197. Основание прямой шестиугольной призмы вписано в окружность, диаметр которой равен боковому ребру призмы. Три стороны основания призмы имеют длины по 3 см, а три — по 5 см. Найдите площадь поверхности призмы. 198. 5 ребер треугольной пирамиды имеют длины по а. Какую наибольшую площадь поверхности может иметь эта пирамида? 199. Длины трех ребер пирамиды по 10 см, а трех остальных — по 12 см. Какую наибольшую площадь поверхности может иметь эта пирамида? 200. Может ли одна из боковых граней тетраэдра иметь большую площадь, чем две остальные боковые грани вместе? 201. Стороны А В и АС основания пирамиды Μ ABC равны, ребро МА перпендикулярно плоскости основания. Зная, что площадь боковой поверхности в 4 раза больше площади основания, а сумма двугранных углов с ребрами МА и ВС равна 180°, найдите величины этих углов.
202. Правильная призма и правильная пирамида имеют общее основание и общую высоту. Может ли площадь боковой поверхности призмы быть меньше площади боковой поверхности пирамиды? Если да, то при каком условии? 203. Из центра основания правильной треугольной пирамиды МАВС, площадь поверхности которой Q, проведены лучи ОА\, ОВ\, ОС\, соответственно параллельные боковым ребрам пирамиды (рис. 42). Найдите площадь поверхности пирамиды ОА\В\С\. 204. Через середину высоты правильной пирамиды проведена плоскость, параллельная плоскости основания. Площади поверхностей полученных многогранников относятся как 3:11. Найдите двугранный угол при основании пирамиды. 205. Боковые грани треугольной пирамиды взаимно перпендикулярны, их площади относятся как 2:6:9. Площадь основания пирамиды 66 см2. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды. 206. Площадь основания треугольной пирамиды 14 см2. Боковые ребра взаимно перпендикулярны, их длины в сантиметрах выражены последовательными четными числами. Определите площадь боковой поверхности пирамиды. ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОГРАННИКИ (207—217) 207. Изобразите многогранник, который не является правильным, но все грани его: а) равносторонние треугольники; б) квадраты. 208. АО — высота правильного тетраэдра ABCD, точка Μ — середина этой высоты. Определите плоские и двугранные углы трехгранного угла MBCD. 209. Площадь поверхности куба Q. Куб повернут на 45° вокруг прямой, проходящей через центры двух параллельных граней куба. Найдите площадь поверхности общей части обоих положений куба. 210. Через центр куба проведены три попарно перпендикулярные прямые. Является ли правильным многогранник, вершины которого — точки пересечения названных прямых с поверхностью куба? 211. Расстояние между двумя параллельными гранями октаэдра а. Найдите площадь поверхности октаэдра. 212. Вершины куба лежат на ребрах октаэдра. Как относятся площади поверхностей этих многогранников? 213. Сечение правильного тетраэдра плоскостью — правильный я-угольник. Определите возможные значения η и вычислите площадь сечения для каждого из этих значений, зная, что площадь тетраэдра Q. Решите аналогичную задачу для октаэдра. 214. Если двугранный угол правильного тетраэдра а, а двугранный угол октаэдра β, то α + β=180°. Докажите.
215. Углы куба срезаны так, что получился многогранник, у которого 6 граней — квадраты, а 8 — равносторонние треугольники. Найдите отношение площади поверхности полученного многогранника к площади поверхности куба. 216. Углы правильного тетраэдра срезаны так, что получился многогранник, у которого 4 грани — равносторонние треугольники, а 4 — правильные шестиугольники. Как относится площадь поверхности полученного многоугольника к площади поверхности начального тетраэдра? 217. Площадь поверхности октаэдра Q. Его углы срезаны так, что получился многогранник, у которого 6 граней — квадраты, а 8 граней — правильные шестиугольники. Найдите площадь поверхности полученного многогранника. ОБЪЕМЫ ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА И ПРИЗМЫ (218—23^) 218. Измерения прямоугольного параллелепипеда 4 см, 6 см и 9 см. Как разрезать его на две части, из которых можно сложить куб? 219. Определите объем прямоугольного параллелепипеда, у которого расстояния от центра до трех ребер равны 7 см, 8 см и 9 см. 220. Диагональ прямоугольного параллелепипеда вдвое меньше периметра основания, боковое ребро /. Найдите объем параллелепипеда. 221. Длины ребер четырех кубов в сантиметрах выражаются последовательными целыми числами. Зная, что объем одного из этих кубов равен сумме объемов остальных, найдите площади поверхности этих кубов. 222. Длина диагонали прямоугольного параллелепипеда d. Какую наибольшую величину может иметь объем этого параллелепипеда? 223. Все ребра параллелепипеда имеют длины по а. Найдите его объем, зная, что плоские углы при одной вершине 45°, 60°, 90°. 224. Основание параллелепипеда — ромб с диагоналями 8 см и 16 см, боковое ребро 10 см. Три диагонали параллелепипеда равны. Найдите его объем. 225. Расстояния от центра симметрии прямого параллелепипеда до основания и боковых граней 9 см, 8 см и 6 см, периметр основания 70 см. Найдите объем параллелепипеда. 226. В прямом параллелепипеде ABCDA\B\C\D\ диагонали АС\=6 дм и BD\=8 дм взаимно перпендикулярны. Зная, что ВС = Ъ дм, найдите объем параллелепипеда. 227. Площадь полной поверхности прямого параллелепипеда 176 см2. Расстояния от центра параллелепипеда до его граней 1 см, 2 см и 3 см. Найдите объем параллелепипеда. 228. Площадь основания правильной четырехугольной призмы равна Q. Диагонали двух граней относятся как 1:3. Найдите объем призмы.
229. Железобетонная силосная полубашня имеет форму правильной призмы. Расстояние от прямой, проходящей через центры оснований, до стен 3,65 м. Найдите толщину стен, зная, что их объем равен 6,45% полезного объема. 230. Площадь боковой грани правильной шестиугольной призмы Q. Плоскость, проходящая через боковое ребро, делит призму на части с отношением объемов 1:3. Найдите площадь сечения. 231. Основание прямой призмы — четырехугольник, вписанный в окружность радиуса 25 см. Площади боковых граней относятся как 7:15:20:24, диагональ наибольшей боковой грани 52 см. Найдите объем призмы. 232. Основание призмы — правильный шестиугольник. Объем призмы в 2— раза больше произведения длин ребер, исходящих из одной вершины. Найдите угол между боковым ребром и плоскостью основания призмы. 233. Из деревянного куба объема V вытесывается правильная шестиугольная призма. Какой наибольший объем может иметь эта призма? 234. Основание призмы — трапеция, параллельные стороны которой а и Ь. Середина каждой стороны трапеции является вершиной куба, около которого описана призма. Найдите объем призмы. 235. Найдите объем правильной треугольной призмы, у которой сторона основания а, а наибольшая возможная площадь сечения, проведенного через центры оснований, Q. ОБЪЕМ ПИРАМИДЫ (236—267) 236. Найдите объем правильной треугольной пирамиды, у которой боковое ребро /, а основание и осевое сечение равновелики. 237. Длина пяти ребер треугольной пирамиды не больше 2 см (каждого). Верно ли, что объем пирамиды не превышает 1 см3? 238. Вершины тетраэдра являются центроидами граней другого тетраэдра. Как относятся объемы этих тетраэдров? 239. Вершины тетраэдра являются вершинами параллелепипеда, причем ни одно ребро тетраэдра не совпадает с ребром параллелепипеда. Как относятся объемы этих многогранников? 240. Длина каждого бокового ребра пирамиды 65 см, ее основание — трапеция, у которой длины сторон 14 см, 30 см, 50 см, 30 см. Найдите объем пирамиды. 241. Найдите объем и площадь поверхности пирамиды, ограниченной координатными плоскостями и плоскостью 2х-\-2у — г — -24=0. 242. У тетраэдра МАВС имеем: МА=ВС = а, МВ=АС = Ь, МС=АВ = с. Найдите объем тетраэдра. 75
243. Основание пирамиды — прямоугольный треугольник, периметры боковых граней 32 см, 34 см и 36 см. Зная, что боковые ребра равно наклонены к плоскости основания, найдите объем пирамиды. 244. Длины сторон основания пирамиды 32 см, 34 см и 34 см, периметры боковых граней 162 см, 150 см и 150 см, причем наибольший периметр у грани, содержащей наименьшую сторону основания. Найдите объем пирамиды. 245. Основание пирамиды — треугольник периметра 36 см. Сумма длин боковых ребер 39 см. Какой наибольший объем может иметь эта пирамида? 246. Развертка пирамиды — квадрат со стороной а. Найдите объем пирамиды. 247. Докажите, что объем треугольной пирамиды меньше — квадратного корня из произведения длин всех ребер пирамиды. 248. Каждый отрезок, соединяющий середины двух скрещивающихся ребер треугольной пирамиды, перпендикулярен этим ребрам и имеет длину Ь. Найдите объем пирамиды. 249. Длина каждого бокового ребра пирамиды MABCD равна /. Известно, что Z.AMB= Z.BMC = /_АМС = 90°, Z.AMD = = Z-CMD. Найдите объем пирамиды. 250. Основание пирамиды — треугольник со сторонами 15 см, 16 см и 17 см. Боковые ребра наклонены к плоскости основания под углами по 45°. Найдите объем пирамиды. 251. Высота правильной четырехугольной пирамиды Я, расстояние от стороны основания до параллельной боковой грани а. Найдите объем пирамиды. 252. Насыпь при переходе через овраг имеет высоту 7 м, ширину по верху 6,5 м, длину 18 м, откосы 1:1,5. Найдите объем земляных работ, выполненных при сооружении насыпи, если поперечное сечение оврага — треугольник. Указание. В строительстве откос задается в виде отношения 1:й, т. е. высоты к «заложению» (горизонтальной проекции откоса). 253. Найдите объем общей части двух пирамид с одинаковой высотой //, если: а) общее основание — квадрат с диагональю d, через концы которой проходят высоты этих пирамид; б) общее основание — квадрат со стороной а. Высоты проходят через середины двух параллельных сторон квадрата. 254. В правильной треугольной призме АВСАХВ\С\ построены сечения АВС\ и А\В\С. Как относятся объемы четырех частей, на которые разделилась сечениями призма? 255. Высоты тетраэдра Н\у //2, //з, На> расстояния от внутренней точки до граней соответственно Х\, х2, *з, аг4. Верно ли, что: a) ^+ilr+-Tr+-*r=U б) ^L+^l+-^i+^i>l6? Н\ Н2 #з НА ' Χι х2 Хз X* 7Ь
256. Объем правильной шестиугольной пирамиды V. Через малые диагонали основания проведены плоскости, параллельные высоте пирамиды. Найдите объем части пирамиды, ограниченной названными сечениями и поверхностью пирамиды. 257. Точка Μ — середина ребра ВВ\ параллелепипеда ABCDAiBidDi. Отрезки МА, МС и ВТ (Т — середина DD,) имеют длины а, Ь, с и лежат на попарно перпендикулярных лрямых. Вычислите объем параллелепипеда. 258. Развертка поверхности пирамиды — правильный пятиугольник с длиной стороны а. Найдите объем лирамиды. 259. Докажите, что объем правильной пирамиды менее — куба длины бокового ребра. 260. Основание призмы— ААВС. Плоскость, перпендикулярная боковым ребрам, пересекла их в точках Аи В\, С\. Докажите, что объем части призмы, заключенной между плоскостями АВС и А\В\С\, равен произведению площади сечения на среднее арифметическое длин отрезков ААи ВВ\, СС\. 261. Объемы двух тетраэдров, имеющих по равному трехгранному углу, относятся как произведения длин ребер этих углов. Докажите. 262. Через сторону основания правильной четырехугольной пирамиды и среднюю линию параллельной боковой грани проведена плоскость. Найдите отношение объемов частей, на которые при этом разделилась пирамида. 263. Объем правильной треугольной пирамиды равен V. Найдите объемы частей, на которые пирамида делится плоскостью, проходящей через середину высоты параллельно боковой грани пирамиды. 264. Через сторону основания и середину высоты правильной шестиугольной пирамиды проведена плоскость. Найдите отношение частей, на которые она разделила пирамиду. 265. Ребро куба 3 см. Сумма расстояний каждой точки поверхности тела Φ от плоскости всех граней куба 15 см. Найдите площадь поверхности и объем тела Ф. 266. На гранях МАВ, MAC и МВС тетраэдра Μ АВС как на нижних основаниях построены три призмы. Плоскости верхних оснований этих призм пересекаются в точке D. На грани АВС как на основании построена призма, боковое ребро которой равно и параллельно отрезку MD. Докажите, что объем четвертой призмы равен сумме объемов трех первых призм. 267. Основание пирамиды — трапеция. Через вершину пирамиды и среднюю линию основания проведено сечение. Докажите, что объем пирамиды равен — произведения площади, сечения на расстояние от основания трапеции до плоскости этого сечения.
ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ (268—313) 268. В эллипс можно вписать сколько угодно ромбов Верно ли, что существует окружность, вписанная во все эти ромбы? 269. Изобразите вписанную в данный цилиндр правильную призму: а) пятиугольную; б) двенадцатиугольную. 270. Изобразите описанную около данного цилиндра правильную восьмиугольную призму. 271. На боковой поверхности цилиндра даны точки А и В. Соедините их по боковой поверхности кратчайшей линией. 272. Барабан лебедки имеет длину 727 мм и диаметр 530 мм. Во время работы на него наматывается 225 м троса диаметром 17 мм. Во сколько слоев наматывается трос? 273. В треугольной пирамиде центры вписанной и описанной сфер совпадают. Докажите, что сумма плоских углов при каждой вершине равна 180°. 274. В сферу радиуса R вписана правильная четырехугольная пирамида MABCD, у которой угол между боковым ребром и плоскостью основания а. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, которая проходит через точку А и центр сферы параллельно BD. 275. Докажите, что сечение цилиндра плоскостью, пересекающей все его образующие, имеет форму эллипса. 276. Вершины прямоугольника лежат на окружностях оснований цилиндра, у которого радиус 13 см, а образующая 32 см. Найдите площадь прямоугольника, зная, что его стороны относятся как 1:4. 277. Высота и основание равнобедренного треугольника 8 см и 6 см. Цилиндр касается всех сторон треугольника, образующие наклонены к плоскости треугольника под углами по 30° (рис. 43). Найдите радиус цилиндра. β А— ~ К С Рис. 43 3
278. Длина ребра правильного тетраэдра а. Найдите площадь осевого сечения цилиндра, у которого диаметрами оснований являются два скрещивающихся ребра названного тетраэдра. 279. Плоскость, не проходящая через вершину конуса, пересекает все его образующие. Установите форму сечения. 280. Наибольшая возможная площадь сечения конуса плоскостью, проходящей через вершину конуса, вдвое больше площади осевого сечения конуса. Найдите величину угла между образующей и плоскостью основания конуса. 281. Радиус основания конуса 11 см, его высота 9 см.. Найдите наибольшую возможную площадь сечения конуса плоскостью, проходящей через вершину конуса. 282. В конус вписана правильная треугольная призма, у которой каждое ребро имеет длину а. Четыре вершины призмы находятся на окружности основания конуса, а две — на его боковой поверхности. Найдите высоту конуса. 283. Ребро куба ABCDA\B\C\D\ равно а. Основание конуса находится в плоскости грани ABCD, а вершина — в центре параллельной грани. Прямая / касается боковой поверхности конуса. Определите радиус основания конуса, если прямая / проходит через: а) вершину В\ и середину ребра CD; б) вершину В и середину ребра C\D\\ в) вершину В\ и середину диагонали грани DD\C\C\ г) вершину В и середину диагонали грани DD\C\C\ д) вершину С и середину ребра DD\\ e) вершину G и середину ребра DD\\ ж) середины ребер CD и ВВ\\ з) середины ребер C\D\ и ВВ\\ и) середины ребер А\В\ и AD\ к) середины ребра AD и диагонали грани АА\В\В\ л) середины ребра А\В\ и диагонали грани AA\D\D\ м) вершины D и С\. 284. Около конуса описана треугольная пирамида, площади боковых граней которой относятся как 5:6:7. Как относятся площади частей, на которые боковая поверхность пирамиды делится линиями касания поверхностей пирамиды и конуса? 285. Диагональ куба проходит через вершину и центр основания равностороннего конуса, причем один ее конец является вершиной конуса, а окружность основания конуса касается трех граней куба. Найдите радиус основания конуса. 286. Какую фигуру образуют все такие точки М, через каждую из которых можно построить к данной сфере три взаимно перпендикулярные касательные? 287. Точка Μ находится вне плоскости δ. Какую фигуру образуют центры всех сфер радиуса а, которые проходят через точку Μ и касаются плоскости δ? 288. Два сечения шара взаимно перпендикулярны, их площади 185 π см2 и 320 π см2. Определите радиус шара, зная, что общая хорда сечений 16 см. 289. В шаре радиуса 18 см проведены два взаимно перпендикулярных сечения, общая хорда которых 2 см. Зная, что площади сечений относятся как 4:9, найдите площади сечений.
290. В сферу радиуса R вписана правильная шестиугольная призма. Радиус сферы, проведенный в вершину призмы, образует с плоскостью боковой грани угол а. Найдите площадь боковой поверхности призмы. 291. Четырехугольная призма описана около сферы. Верно ли, что суммы площадей противоположных боковых граней равны? 292. Скрещивающиеся ребра тетраэдра попарно равны. Верно ли, что центры вписанной и описанной сфер совпадают? 293. Каждое ребро четырехугольной пирамиды имеет длину а. Найдите радиус сферы, которая касается всех ребер пирамиды. 294*. Радиус описанной около тетраэдра сферы /?, радиус вписанной сферы г. Докажите, что R^3r. 295. Радиус вписанной в тетраэдр сферы г; радиусы сфер, каждая из которых касается одной грани и продолжения трех остальных граней, Γι, г2, /"з, /Ч- Докажите, что: a) ^-=-L+-L+J-+J-; б) Г1 + Г2 + Гз + Г4>8г Г Г\ Гч Гз Га 296. Около сферы радиуса г описан тетраэдр. Плоскости, касательные к сфере и параллельные граням тетраэдра, отсекли от него 4 тетраэдра. Радиусы сфер, вписанных в эти тетраэдры, /Ί, г2, /"з, r^· Докажите, что /Ί+γ2 + γ3 + γ4 = 2γ. 297. Величина двугранного угла а, шар радиуса R касается его граней. Найдите радиусы наибольшей и наименьшей сфер из числа тех, которые касаются граней двугранного угла и названного шара. 298. Четыре шара радиуса R расположены так, что каждый касается трех остальных. Найдите радиус сферы, которая касается названных четырех шаров. 299. Центры четырех шаров радиуса R находятся в вершинах квадрата, периметр которого 8R. Пятый шар радиуса R касается четырех названных шаров. Найдите радиус сферы, которая касается всех пяти шаров. 300. Даны плоскость δ и точки А и В. Какую фигуру образуют центры всех сфер, каждая из которых проходит через точки А и В и касается плоскости δ? 301. Напишите уравнение сферы, которая имеет центр в начале координат и касается плоскости, отсекающей на осях координат отрезки длиной а, Ъ, с. 302. Двугранные углы одного из трехгранных углов тетраэдра прямые, длины ребер, исходящих из вершины этого угла, равны 4 см, 6 см и 18 см. Найдите радиус сферы, вписанной в этот тетраэдр. 303. Около шара радиуса г описан куб. Найдите радиус сферы, которая касается данного шара и трех граней куба. сЭ
304. Плоскость δ касается шара в точке А. На продолжении диаметра АВ = Ь взята такая точка М, что МВ=ВА. В этой точке находится источник света. Определите площадь тени на плоскость δ. 305. Радиусы окружностей, описанных около основания и боковой грани правильной треугольной пирамиды, соответственно 8 см и 7 см. Найдите радиус сферы, описанной около этой пирамиды. 306. Радиусы окружностей, описанных около основания и боковой грани правильной четырехугольной пирамиды, соответственно 4 см и 3 см. Найдите радиус описанной сферы. 307. Около шара радиуса г описан правильный тетраэдр. Найдите радиус сферы, которая касается данного шара и трех граней тетраэдра. 308. Около сферы описана правильная я-угольная призма. Определите угол между диагональю боковой грани и плоскостью основания призмы. 309. Докажите, что меньшая из дуг окружности большого круга сферы, проходящей через две точки сферы, соединяет их по сфере кратчайшим путем. 310. Шар, вписанный в правильную четырехугольную пирамиду, и сфера, описанная около этой пирамиды, имеют общий центр. Найдите плоский угол при вершине пирамиды. 311. Сфера касается всех ребер тетраэдра. Верно ли, что суммы скрещивающихся ребер тетраэдра равны между собой? 312. Основание пирамиды — параллелограмм со сторонами 12 см и 30 см, боковые ребра равны, высота пирамиды 8 см. В пирамиду вложены 4 равных шара, каждый из которых касается двух шаров, боковой грани и основания в точке на отрезке, соединяющем середины параллельных сторон основания. Определите радиусы вложенных шаров. 313. Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна 6 дм, высота Я = 4 дм. В пирамиду вложены 4 равных шара, каждый из них касается двух шаров, основания и одной из апофем пирамиды. Найдите радиусы шаров. ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ И ОБЪЕМ ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ (314—346) 314. Через диаметр основания равностороннего цилиндра радиуса R проведена плоскость под углом 45° к основанию. Найдите объемы частей, на которые эта плоскость разделила данный цилиндр. 315. Квадрат, площадь которого 120 см2, согнув, поместили на поверхности конуса так, что одна диагональ совпала с образующей, а концы другой диагонали совместились. Найдите объем конуса. 81
316. Около треугольной пирамиды, периметры боковых граней которой 180 см, 194 см, 196 см, описан конус. Зная, что одна из граней пирамиды содержит высоту конуса, определите объем конуса. 317. Длина бокового ребра правильной треугольной пирамиды 10 см, сторона основания 12 см. Боковая грань вписана в окружность основания конуса, одно боковое ребро находится на боковой поверхности конуса. Найдите объем конуса. 318. Для вычисления объема конической кучи сыпучих материалов применяют приближенную формулу где / — длина «перекидки» (ломаной, соединяющей через верщину кучи две диаметрально противоположные точки окружности основания). Зная, что у большинства сыпучих материалов угол естественного откоса 25°—45°, исследуйте точность формулы. 319. Вписанный в правильную четырехугольную пирамиду по- лушар (основания пирамиды и полушара находятся в одной плоскости) касается боковых граней пирамиды в ортоцентрах этих граней. Докажите. 320. Все ребра четырехугольной пирамиды равны по а. Высота пирамиды является диаметром шара. Найдите длину линии пересечения поверхностей этих тел. 321. В цилиндр вписан конус, а в конус — шар. Объемы конуса и шара вместе составляют 50% объема цилиндра. Найдите величину угла при вершине осевого сечения конуса. 322. Радиусы четырех шаров составляют арифметическую прогрессию с разностью 3 см. Найдите объемы этих шаров, зная, что объем одного из шаров равен сумме объемов остальных. 323. Плоскость отсекает от шара радиуса R сегмент высотой Я. Докажите, что объем этого сегмента v=*#(R-f) · 324. Расстояния между центрами попарно касающихся сфер 6 см, 8 см, 10 см. Найдите объемы шаров, ограниченных этими сферами. 325. Докажите, что объем шарового слоя, у которого радиусы оснований и высота соответственно а, Ь, Я, V=-fH(3a2 + 3b2 + H2). 326. Шар радиуса 6 дм и плотностью — г/см3 плавает в воде. На какую высоту он выступает из воды?
327. Шар радиуса 9 см плавает в воде, из воды выступает его часть высотой 6 см. Определите плотность материала, из которого сделан шар. 328. В цилиндр вписана треугольная призма, периметры ее боковых граней 54 см, 56 см, 72 см. Зная, что одна из боковых граней призмы содержит центры оснований цилиндра, определите площадь боковой поверхности цилиндра. 329. В цилиндр вписана четырехугольная призма, у которой периметры боковых граней 30 см, 46 см, 56 см, 64 см. Зная, что одно из диагональных сечений призмы содержит центры оснований цилиндра, найдите площадь поверхности цилиндра. 330. Ребро куба а. Ось равностороннего цилиндра лежит на диагонали куба, каждое основание касается трех граней куба. Определите площадь поверхности и объем цилиндра. 331. Длина каждого ребра четырехугольной пирамиды равна а. Найдите площадь поверхности равностороннего цилиндра, у которого образующая находится на основании пирамиды, а окружность каждого из оснований касается апофем двух несмежных боковых граней. 332. Ребро куба а. Четыре параллельных ребра куба являются осями цилиндрических поверхностей радиуса а. Найдите площадь поверхности и объем тела, ограниченного названными поверхностями и гранями куба, не содержащими ни одного из указанных ребер. 333. В конус вписана четырехугольная пирамида, у которой периметры боковых граней 78 см, 94 см, 104 см, 112 см. Зная, что одно из диагональных сечений содержит высоту конуса, найдите площадь поверхности конуса. 334. В правильную треугольную пирамиду вписан конус и около нее описан конус. Отношение площадей боковых поверхностей конусов равно 1:3. Найдите величину плоского угла а при вершине пирамиды. 335. Высота правильного тетраэдра 12 см. Точка, равноудаленная от всех вершин тетраэдра, является центром сферы радиуса 4 см. Найдите площадь той части сферы, которая находится внутри тетраэдра. 336. В цилиндр вписан конус, а в конус — шар. Зная, что отношение площади боковой поверхности цилиндра к площади поверхности шара равно 8:3, найдите величину угла а при вершине осевого сечения конуса. 337. Найдите площадь сферы, которая касается всех координатных плоскостей и имеет центр на плоскости 8χ + 4ί/ + ζ — 48 = 0. 338. В сферу площади Q вписан правильный тетраэдр. Найдите площади частей, на которые сфера делится плоскостями всех граней тетраэдра. 339. Ребро куба 10 см, центр куба является центром сферы радиуса 6 см. Найдите площадь поверхности той части куба, которая находится внутри сферы. Ьо
340. Равносторонний конус и полушар радиуса R имеют общее основание, по одну сторону которого они находятся. Найдите площадь поверхности той части полушара, которая находится внутри конуса. 341. Измерения прямоугольного параллелепипеда 50 см, 48 см, 30 см. Шар касается двух меньших граней параллелепипеда в их центрах. Найдите площадь поверхности той части параллелепипеда, которая находится внутри шара. 342. Радиус основания равностороннего конуса /?, высота конуса является диаметром шара. Найдите площадь той части шара, которая находится внутри конуса. 343. Около сферы описана правильная шестиугольная призма. Через боковое ребро проведена плоскость, разделившая призму на части с отношением объемов 1:5. Как относятся площади частей, на которые плоскость разделила сферу? 344. Около сферы описана правильная треугольная призма. Через боковое ребро призмы проходит плоскость, которая делит призму на части с отношением объемов 1:2. Как относятся площади частей, на которые эта плоскость разделила сферу? 345. Около сферы площадью 20π см2 описана правильная четырехугольная пирамида MABCD, у которой сторона основания 6 см. Плоскость, проведенная через вершину С и середину стороны АВ перпендикулярно плоскости основания, разделила сферу на две части. Найдите их площади. 346. Двугранный угол при основании правильной шестиугольной пирамиды 60°. Через малую диагональ основания проведена плоскость, параллельная высоте пирамиды. Как относятся площади сфер, из которых одна вписана в шестиугольную пирамиду, а другая — в отсеченную треугольную пирамиду?
<*$^
Вычислите (1—4). - 2 sin2 χ — 4 sin χ cos χ + 1 . 1 1. ——. — 5——t— При tgX=—. 7 sin x cos x-j-4 cos x— 1 r ° 2 Λ 2 sin4x—3sin2x+l A 1 2. - — при tgx=—. 3 + cos2x-2cos4x . 3 Q sin x—2 cos χ π^¥τ , v 2 . 3· cos'*-3sin»x "РИ tg X = T- 4. (s;nx+cosxy + 2(sinx-co8x) tg* = 0,6. (sin x — cosx) — 7 (sin x+cos x) r ° Найдите соотношения между ά, 6, исключив переменные χ и у (5-14). 5. a) sin χ— cosx=a, sin3 χ—cos3x=6; 6) sin x + cos χ=α, sin4 x + cos4 x=b. 6. a) a sin x + 6 cos x = a cos x— b sinx = c; 6) asm2 x-\-b cos2 x=a cos2 y + b sin2 у =lf atg x = btgy. 7. sinx —cosx = a, tgx—ctgx = 6. 8. tgx + ctgx = a, — 1 =b. 00 sin χ cos χ 9. sinx —cos x = a, sin3 x + cos3 x = b. 10. sinx — cosx = a, tg2x + ctg2x = 6. - - sin3 χ , cos3 χ sin χ , cos χ , 11. : =a, 3 —7-3—=0. cos χ sin χ cos χ sinJ χ - 0 Sin X , COS X AiA t. 12. —5 —r-o— = a, tgx + ctgx = &. cos2 χ ' sin2 χ & & 13. sin x + cos x = a, sin 2x + cos 2x = 6. 14. sin x + cos x = a, sin3 x + cos 3x = 6. Докажите неравенства (15—23). 15. 4-<.ίηα + .Γ" <-r. если «-острый угол. 2 1+sina 1+cosa 7 r ^ 1 с 2 ^ sin2 a , cos2 a ^ f 3 1+cos a 1+sin a 17. 0,4<-j!il^-+|f)S,(: <0,5. 1+sin a 1+cos a
,8.o,4<.?m,<; +.cos? <ι. ΙΟ ι ^ ^»ιι ^ iy· 3 ^1+sin3 b-f-cos α 1+sin α α^ 1 + 20 — <Г cos α_< если α — оСТрЫЙ уГОЛ. < 1, если a — острый угол. 1+sin3 a -|—г!—>2 У2, если a — острый угол. 21. - cos a sin a 22. a) 2sinZx + 2cos2*>2V2; б) 2sinx.3cosx<4; в) 2SJnx-5cosx<6. Учтите, что lg 2^0,301, lg 3^0,477. 23. tgl0 + tg2° + tg30 + ... + tg44°>44(V2-l). Установите, при какой комбинации знаков верны равенства (24—25). 24. 2 cos -р-= ±л/1 +sin a±Vl —sin α, причем a = 556°. 19 25. 2 sin -^-= ±λ/1 +sin adzл/l —sin a, причем a: 11 Постройте графики функций (26—30). 26. */=-Vsin4 x + 4 cos2 x+Vcos4 x + 4 sin2 x. 27. */= ysin4 x+cos 2x + vcos4 x—cos 2x. 28. y = -yj9 — cos 2x + 8 sin χ+ί/9 — cos 2x —8 sin x. 29. i/= \/2 + sin4 * —cos 2x+-V2 + cos4 x + cos 2x. 30. у = л}А sin4 x —2 cos 2x + 3+V4 cos4 * + 2 cos 2x + 3. Докажите равенства (31—36). «« 3 — 4 cos 20° +cos 40° =tg4 iQo 3 + 4cos20° + cos40° g ,2 tg212° + ctg212°-6 _ 18o ό*' tg212° + ctg212° + 2 -cos4^· 33. "V2+Vi 34. 1ё^=У2-л/2+л/2+УЗ:л/2+л/2+л/2Ч^- 192 ' ι 48 or- 1 А Л · Jl · Jl · OJl 35. Ttgr=sm-.sm-.sin-
η£% 2π ι 4ji ι 6π , 8π , Юл г\ г- 36. cos — +cos —+cos —+cos —+ cos—= —0,5. Докажите условные равенства (37—48). 37. Если tg2 α=2 tg2 β+ 1, то cos 2a + sin2 β = 0 38. Если £2i«=i!iL«.f то p.cos 2a + ^-sin 2a = p. 39. Если a·tga + *·tgβ=(a + 6)·tg^±£,τoa·cosβ = 6·cosa. 40. Если a-cos x = 6-cos ί/, то ctg x~ty -cig x~y = c^ . At τ? sin4 χ ι cos4x 1 sin8x , cos8x 1 41. Если 1 —=——, то —3—[- >з · b a + 6 ' ал ' b0 (а+ЬУ Д9 ρ sin χ sin 2x sin 3x sin Ax a-^-c b + d a b с d b с ' лп, r? sin a sin За sin 5a Л x—2y-\-z y—3x 43. Если = = , то =*-!—=- . χ у ζ ух 44. Если tg а и tg β корни уравнения x2-{-px-\-q=0y то величина суммы sin2(a+-β)+/>·sin(a + β)cos(a + β) + ^cos2(a + β) не зависит от р. 45. Если α, β, γ составляют арифметическую прогрессию, то sin(a + P) sin(p + Y) _o ___ 9ft sin (α-β) sin (β-γ) ~~Z LUb Zp' 46. Если sin β равен среднему пропорциональному sin а и cos α, то cos2p = 2cos2(-^+a) . 47. Если i/ = arctg-^^^b^?-, то x2 = sm2y. 48. Если arctgx + arctg t/ + arctg ζ=π, то x + y + z=xyz. Докажите, что при α + β+γ = π верны равенства (49—57).
49. .tg (α-β) + ίβ (β—T) + tg (T-a) = tg (a-^-tg (β-γ)Χ Xtg(v-a). 50. ctgP+ ,cosv =ctgY+ cosP . e cos a-sin β e ' cos a-sin γ 51. sin a + sin β + sin γ = 4 cos -|-cos -γcos -|-. 52. sin a —sin β + sin γ = 4 sin -f-cos -£-sin -γ. 53. cos a + cos β+cos y= 1 +4 sin -|-sin -^-sin -Ϊ- 54. cos 2a + cos 2β + ^5 2γ + 4 cos a cos β cos γ+1=0. 55. sin2 2a + sin2 2β + 5ΐη2 2γ + 2 cos 2a cos 2β cos 2γ = 2. гЛ _· 2 Υ (sin β + sin γ —sin a) (sin γ + sin a —sin β) DO. Sin —— -j : : p; . 2 4 sin a sin β -- cos a | cos β . cosy q sin β sin γ sin a sin γ sin a sin β Докажите соотношения в треугольнике ABC (58—65). 58. (a-b):(a + b) = tg^-:tg^-. 59. S<-i-(a2 — ab + b2). 60. (b + c) cos Л +(a + c) cos β+(α + 6> cos C=P. 61. (fe + c)-cos2 A+(a + c).cos2 ^_+(a + fc).cos2 £-=±P. r,„ sin2 Л cos Λ - cos В . cos Л · cos С , cos β-cos С a1 ab * ac ' be 63. a-sin (B-C)+fe.sin (C — j4) + c-sin (Λ —β) = 0. 64 a2.sin(fl — C) ■ fr2.sin (С—Л) ■ c2-sin^ — В) __0 sin Л ' sin β ' sin С * 65. Если против сторон a, by с лежат углы, радианные меры которых α, β, γ, то π ^ αα + ^β + ^Υ π 3 ^ а+6 + с 2 ' Докажите соотношения в четырехугольнике ABCD (66—69). 66. sin ,4 + sin£ + sin C+sin D = 4 sin ^γ^-sin ^t^-sin -^y^-
67. sin^-sinB + sinC-sinD = 4cos^^sin^±^cos^±^. 68. cos^+cos^ + cosC + cosD = 4cos^^cos^±^cos^ii. 69. cos Л — cosB + cosC—cos D = 4 sin ^^ cos ^±^ sin-^±^. Найдите зависимость между углами α, β, γ (70—76). 70. tgα + tgβ + tgγ = tgα.tgβ■tgγ. 71. cos α + cos β + cos γ=1 +4 sin -^sin -j^-sin -|-. 72. sin ce + sin β + sin γ=4 sin ^±£sin ^±lsin ^-. 73. sin2 a + sin2 β + sin2 γ —2 = 2 cos a cos β cos γ. 74. sin2 a + sin2 β — sin2 у = 2 sin a sin β sin γ. 75. ctg -f-ctg -f+ctg -f-ctg -f-+ctg -f-ctg -1-= 1. 76. tgf .tg-|-+tg-f--tgf+tg-f-tgf =1. Выполните упражнения с помощью тождественных преобразований (77—84). 77. Верно ли, что при положительных х, у, ζ tg(igf)+tg(ig^-)+tg(igf) = = tg(lgf)-tg(lgf)-tg(lgf)? 78. Вычислите без помощи таблиц и калькуляторов: toa—— 2te—+1 lg 24 g24^ te2—h2te hi le 24^ ё24^ 79. Верно ли, что tg2 -ψ и ctg2 -f-— корни уравнения χ2 — 6х+1=0? 80. Исключите χ и у, зная, что tgx + tgi/=tga, ctgx + ctg£/ = ctgpt х + у=у. 81. Исключите χ и ί/, зная, что sin x + sin y = a, cos x+cos y = b, cos (χ — y) = c. 90
82. Докажите, что tg 5° + 2 tg 10° + 4 tg 20° + 8 tg 40° = ctg 5°- 16 ctg 80°. 83. Докажите, что произведение синусов внутренних углов тре- 2 угольника меньше —. 84. Величины углов 3°, 21°, 39°, 57°, ... составляют арифметическую прогрессию. Докажите, что произведение синусов любых десяти последовательных членов этой прогрессии по модулю рав- 1 но 1024 ' Вычислите без помощи таблиц и калькуляторов (85—101). 85. a) cos 12°.cos 24°-cos 48°-cos 96°; g*\ л 2ji 3ji 6) cos— -cos— -cos—. 86 tgl2° I tg24° 1 tg48° 1 tg96° * cos 24° ■" cos 48° ■" cos 96° "" cos 192° * от \ ~~~ 9π _ 13π 15π 16π 87. a) cos—-cos-^y-· cos-j^-· cos-jy-; 6) cos 6° - cos 42° - cos 66° ■ cos 78°. oo ~~ π ~ 2π 3π 4π 5π 6π 7π 88. cos -· cos —· cos —. cos —· cos -— cos —· cos —. on Λ π ~ ?π 13π 19π 25π 89. COS--COS — COS— -cos—cos —. 90. sin 6°-sin 12°-sin 18°-sin 24°-...-sin 84°. 91. tg20Q-tg30°-tg40°-ctg 10°. 92. ctg 20°-ctg 40°·ctg«0°. 93. tg9°—tg27°—tg63°-Htg81°. 94. a) sin210o + sin250° + sin270°; 6) sin2 20° 4- sin2 40° + sin2 80°. 95. cos4 10° + cos4 50°+cos4 70°. 96. a) tg210° + tg250°+tgl70°; б) ctg2 l0°+ctg250° + ctg270°; в) tg4 10o + tg450° + tg470°. 97· a^ sin2 10° + sin2 50° + sin2 70° ' ,. 1.1,1 ' cos2 10° ' cos2 50° "r" cos2 70°' c.
98. a) sin 18°; 6) cos 36°; в) tg 22°30'; r) tg 67°30'; д) tgl5°; e) tg 75°; ж) tgf-tg^. 99. a) sin7°4-sin43° + sin79° + sin 115°+sin 151° + sin 187°+ 4-sin 223° +sin 259° +sin 295° +sin 331°; 6) cos 5° + cos 29° + cos 53°+cos 77° + cos 101°+cos 125° + + cos 149° +cos 173° +cos 197°+ cos 221° +cos 245°+cos 269° + + cos 293°4-cos 317°4-cos 341°. 100. tg l° + tg5° + tg9° + ... + tg 177°. 101. (lg(2'-tgr) + lg(22.tg20)+lg(23.tg30) + ...+ 4-lg(289.tg89°)):lgsin45°. Докажите, что при натуральных тип выполняются равенства (102—105). 102. sin -^-+sin ^-+sin -^+- + sin (2"-/)/"" = o. /ι +1 /i+l /i+l ' ' /2+1 <ЛО . 2шл . . бгад . . 10тд . . . 2(2/г — 1)тл 103· 51П2^+Т+51П2ЙГТ+51П2^+Т + - + 51П 2я+1 = _1_1 2тл ~~ΊΓ g 2/I+1 * 1AJ Λ 2/ηπ , 4/ηπ , 6/ηπ , , 2η·ηιη 1 104· cos^+r+cosl^+T+cos 2^+r+"+cos-2^+r=-^· 105. sin2 7^r+sin2 ^-+sin2 J2SL+... + sin2 fi2±U22L= «±L. Найдите сумму числовой последовательности (106—127). 106. sin a + 2sin2a + 3sin3a + 4 sin4a + ..., если α — острый угол. 107. sin α + З sin2 α + 5 sin3 α + 7 sin4 α + ..., если α— острый угол. 108. cos α— 2 cos2 α + З cos3 α— 4 cos4 α + ··-, если α — острый угол. 109. cos α + З cos3 α+ 5 cos5 α + 7 cos7 α + ..., если α — острый угол. 110. sin α sin2 -^-+2 sin -^sin2 -^+4 sin -£-sin2 -£-+... + 2 ζ 4 4 8 + 2"-|sin^rsin2^.
111. tg^seca + tg^sec^+tg-^sec-^+... . При этом ι sec x = . cos χ 112. -^+-J_+-J_+...+ l sin 2° ' sin 4° ' sin 8° ' '" ' sin 1048576° ' если 0<a< cos a cos 2a cos 2a cos 3a cos 3a cos 4a "" cos 1000a cos 1001 a ' π 2002 114. arctg -i-+ arctg -j-+ arctg -^+... + arctg /|2+1/|+1 · 115. arctg 3 +arctg 7 +arctg 13 + ... + arctg (az2 + az+1). 116. arctg -i-+ arctg -i-+ arctg -^+ - + arctg ^-2. « *_ π , Зл ι 5π , , 17л 117. COS-+COS-+COS -+... + COS —. 1ι о 2л ι 4л ι 6л ι ι 20л 18. cos—+cos—+cos—+.- + COS—. 119. cos α + cos (a + p) + cos (a + 2|3) + ...+cos (α + Αζβ). 120. sin α sin 2a + sin 2a sin 3a + sin 3a sin 4a + ...+ + sin 1000a sin 1001a. 121. sin a + sin 3a + sin 5a + ...+sin (2n— 1) a. 122. sin a —sin 2a + sin 3a —sin 4a + ... —sin 500a. 123. sin2 a + sin2 2a + sin2 3a + ...+sin2 na. 124. cos a —cos 2a + cos 3a—cos 4a+ ...—cos 1000a. 125. cos2 a + cos2 2a + cos2 3a + ...+cos2 999a. 126. sin3 a + sin3 2a + sin3 3a + ... + sin3 na. 127. cos3 a + cos3 3a + cos 5a + ... + cos (2n—l)a. Докажите, что для треугольника ABC справедливы утверждения (128—132). 128. Если (а2 + b2) sin (А - В) = (a2 -b2) sin (А + В), то треугольник равнобедренный или прямоугольный. 129. Если • Л 2 В -В 2 Л sin — cos^ —= sin — cos^ —, то треугольник равнобедренный.
130. Если углы А, В, С треугольника равны соответственно 2а, За, 4а, то 131. Если cos A + cos β = 4 sin2—, то числа а, 6, с образуют арифметическую прогрессию. 132. Если в треугольнике α-sin B-\-b-s\n A = 2mCy то этот треугольник равнобедренный. Решите уравнения (133—138). 133. a) sin9x + cos6x + 2 = 0; б) (sin x)~smx= 1 + ctg2 χ. 134. sin 6χ — cos4 χ = 4y2 + 4ί/ + 3. 135. sin2 x + sin2 2x + sin2 Зх + sin2 4x + sin2 5x = 2,5. 136. 8sin*=-^H — cos χ sin λ: 137. Узт2х + У^^с=\[4. 138. tg (π tg x) = ctg (π ctg x). Решите планиметрические задачи (139—154). 139. Докажите, что в треугольнике ABC Vsin Л , Vsin В \/sin B-\- /sin С—л/s'in Л Vsin Л+-Vsin С—Vsin В д/sin С ->3. д/sin Л + Vsin β + Vsin С 140. Центроид прямоугольного треугольника лежит на вписанной в него окружности. Найдите величины острых углов треугольника. 141. Ортоцентр равнобедренного треугольника лежит на вписанной в него окружности. Найдите величины углов треугольника. 142. Радиус окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, в 3— раза меньше боковой стороны. Найдите величины углов треугольника.
143. В треугольнике ABC известно, что Δ.Α = АС = 70° Внутри треугольника отмечена такая точка Л4, что Δ.MAC = 30°, /_ MCA = 50°. Найдите AM ВС. 144. Сумма высот равнобедренного треугольника в 4— раза больше диаметра вписанной окружности. Найдите величины углов треугольника. 145. Периметр равнобедренного треугольника относится к высоте, проведенной к боковой стороне, как 10:3. Найдите величины углов треугольника. 146. Внутри треугольника ABC отмечена такая точка УИ, что АМАВ= АМВС = /_МСА = ц>. Докажите, что ctg (p = ctg A +ctg β + ctg С. 147. В треугольнике ABC отмечены такие точки Μ и Ν, что АМАВ= Z-MBC= /LMCA = Z.NAC= /_NCB= Ζ.ΝΒΑ=ψ. Докажите, что MN2 = 4R2 sin2 φ (1 —4 sin2 φ). 148. Точка М находится внутри окружности. Две окружности, касающиеся одна другой в точке М, касаются и данной окружности. Докажите, что радиусы /ί и г2 этих окружностей и радиусы г3 и г4 другой пары таких окружностей связаны соотношением [ ι _ J ι г\ г2 га г4 149. Сторона равностороннего треугольника α Найдите сумму квадратов расстояний от всех вершин треугольника до прямой, проходящей через его центр. 150. Лучи AM, BMt CM образуют со сторонами треугольника ABC, из вершин которого они проведены, соответственно углы αϊ и α2, βι и β2, γι и γ2. Докажите, что sin αϊ -sin βι -sin γι =sin a2-sin β2·5ΐη γ2. 151. Сформулируйте и докажите теорему, обратную условию задачи 150. 152. Через точку О биссектрисы угла Μ проведены две прямые, пересекающие стороны этого угла в точках А и В, С и D Верно ли, что 1111 153. ABCD — квадрат. Точка Μ луча В А находится вне квадрата. Отрезок MD пересекает окружность, описанную около квадрата, в точке К. Хорда КС пересекает сторону квадрата в точке Ε (рис. 44). Верно ли, что AM ' АВ АЕ ' <")5
154. Диагонали четырехугольника ABCD пересекаются в точке /С Тогда #ι и #2 — ортоцентры треугольников АВК и CD/C, точки М\ и Μ 2 — центроиды треугольников ВСК и ADK. Докажите, что ΗιΗ2±ΜιΜ2. Решите задачи на свойства перпендикуляра и наклонных к плоскости (155—160). 155. Из точки Μ^δ проведены к плоскости δ наклонные МА = 23 см и MB = 9 см. Углы, которые составляют эти наклонные с плоскостью, относятся как 1:3. Найдите расстояние от точки Μ до плоскости δ. 156. Из точки Λί^δ проведены к плоскости δ наклонные МА = = 79 см и MB = 25 см. Зная, что углы, которые составляют эти наклонные с плоскостью, относятся как 1:5, определите расстояние от точки Μ до плоскости δ. 157. Из точки Μ ^ δ проведены к плоскости наклонные Μ А и MB так, что проекция Μ А = 600 см и проекция МВ= 119 см. Угол между MB и плоскостью δ в 4 раза больше угла между МА и этой плоскостью. Определите расстояние от Μ до плоскости δ. 158. Из точки Αί, не принадлежащей плоскости δ, проведены к этой плоскости наклонные длиной 20 см и 7 см и перпендикуляр МО. Одна из наклонных образует с МО угол, вдвое больший, чем другая. Определите расстояние от точки Μ до плоскости δ. 159. Из точки Μ^δ к плоскости δ проведены наклонные Μ А и MB, углы наклона которых к плоскости δ относятся как 1:3. Зная, что проекции наклонных на плоскость 11 см и 37 см, найдите расстояние от точки Μ до плоскости. 160. В точке О к плоскости δ восставлен перпендикуляр. На нем отмечены такие точки Л, β, С, что АО — ВО = 144 см, ВО — СО = 25 см. На плоскости есть такая точка М, что Ζ.ΑΜΟ: /LBMO: /.СМО = 4:3:1. Найдите МО. Решите задачи на свойства многогранников и тел вращении (161 — 184). 161. Углы, которые диагональ правильной четырехугольной призмы образует с тремя гранями, имеющими общую вершину, относятся как 2:3:2. Найдите величины этих углов. 162. Малая диагональ правильной шестиугольной призмы образует с плоскостью основания угол на 15° меньше угла между Рис. 44 Q
этой плоскостью и диагональю боковой грани. Найдите величины названных углов. 163. Основание пирамиды — равносторонний треугольник, ее высота равна радиусу окружности, описанной около основания. Двугранные углы при основании относятся как 1:1:2. Найдите величины этих углов. 164. Основание пирамиды — квадрат, двугранные углы при основании относятся как 1:2:7:2. Найдите величины этих углов. 165. Основание пирамиды — прямоугольник с отношением сторон 2:3. Двугранные углы при основании относятся как 1:2:3:2. Найдите величины этих углов. 166. Основание пирамиды — прямоугольник, одна из сторон которого в 14 раз меньше периметра. Найдите величины двугранных углов при основании, зная, что они относятся как 1:2:1:3. 167. Диагонали правильной шестиугольной призмы образуют с плоскостью основания углы, которые относятся как 2:3. Найдите величины этих углов. 168. Развертка поверхности пирамиды — треугольник, у которого к стороне длиной а прилегают углы по 54°. Найдите объем пирамиды. 169. Двугранный угол при основании правильной шестиугольной пирамиды в 2 раза меньше угла между смежными боковыми гранями. Найдите эти углы. 170. Площадь боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды равна сумме площадей основания и диагональных сечений. Определите величину плоского угла α при вершине пирамиды. 171. Площадь боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды равна сумме площадей основания и малых осевых сечений пирамиды. Найдите плоский угол а при вершине пирамиды. 172. Площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды равна сумме площадей основания и осевых сечений. Найдите величину плоского угла а при вершине пирамиды. 173. Площадь полной поверхности правильной шестиугольной пирамиды равна сумме площадей диагональных сечений, не проходящих через центр основания. Найдите величину плоского угла α при вершине пирамиды. 174. Радиус сферы, описанной около правильной четырехугольной пирамиды, в 3 раза больше диаметра вписанной сферы. Найдите величину плоского угла а при вершине пирамиды. 175. MABCDEF — правильная пирамида. Угол между плоскостью основания и сечением MAC в полтора раза больше двугранного угла при основании пирамиды. Найдите названные углы. 176. Объем шара, вписанного в конус, в 2— раза меньше объе- 4 Заказ 741
ма конуса. Определите угол а между образующей и плоскостью основания конуса. 177. В цилиндр вписана правильная треугольная пирамида, а в нее — шар. Зная, что объем шара в 24 раза меньше объема цилиндра, найдите величину плоского угла а при вершине пирамиды. 178. Определите величину двугранного угла а при основании правильной четырехугольной пирамиды, у которой центры вписанной и описанной сфер симметричны относительно плоскости основания. 179. Высота правильной четырехугольной пирамиды равна Η и является диаметром сферы. Плоский угол при вершине пирамиды а. Найдите длину линии, по которой сфера пересекает поверхность пирамиды. 180. Плоский угол при вершине правильной четырехугольной пирамиды а<60°. Основание пирамиды вписано в основание полушара радиуса /?. Найдите длину линии /, по которой пересекаются поверхности этих тел. 181. Сосуд, имеющий форму полушара, наполнен водой. На какой угол нужно наклонить сосуд, чтобы из него вылилось — содержимого? 182. Площадь поверхности тела, образованного вращением прямоугольного треугольника вокруг его гипотенузы, относится к площади сферы, вписанной в тело вращения, как 125:72. Найдите острые углы треугольника. 183. Сфера, касающаяся всех ребер правильной четырехугольной пирамиды, делит высоту пирамиды пополам. Найдите угол а между боковым ребром и плоскостью основания пирамиды. 184. Площадь поверхности тела, образованного вращением 84 прямоугольного треугольника вокруг гипотенузы, равна — площади сферы, в которую вписано названное тело вращения. Найдите острые углы прямоугольного треугольника.
■φ
АЛГЕБРА 1.0.· После сокращения первой дроби на 6-6, а второй на 7-7 получается 1111112 — 1111112. 2.· Из условия следует, что одно число трехзначное. Возможные ответы: 160 и 16; 138 и 38; 163 и 13; 158 и 18. 3. 75, 50, 750 и 71, 73, 731. 4. 25, 54, 24, 254. 5. 859-958 = 822922.· Это числа трехзначные. Сумма крайних цифр 17, средняя цифра одна и та же — 5. 6. 325 и 187.· Так как 60775 = 5-5-11 · 13-17, то возможные трехзначные числа 325 и 187, 221 и 275 и так как 595 = 5-7-17, то возможные двузначные числа 35 и 17 Условию удовлетворяют числа 325 и 187. 7. 563 и 53.· Решение аналогично решению задачи 6. 8. Если это число нечетное 2я + 1, то условию отвечают числа η к п-\-1. Если оно четное, то возможны два случая: 4п = (2п-\- 1)-\-(2п — 1) и 4я + 2 = = (2п — 1) + (2αζ + 3). Легко убедиться, что 2αζ+1 и 2п — 1, а также 2п — 1 и 2а2 + 3 взаимно простые. 9. 380547362.· Проверка: 38054 + 7362 = 45416; 3805 + 47362 = 51167. 10. 15268. И. 35, 36, 37, 38, 39.·120-ΑΒΑΒΑΒ = 3-5-8-(3-37-7-13)-ΑΒ = 35-37-39χ Х24-АВ. При АВ = 57 это произведение может быть представлено в виде 35-36-37-38-39. 12. 35, 37, 39.· Решение аналогично решению задачи 11. Данное произведение равно —· БА-37-39. о Следовательно, третий множитель может быть равен 35 или 41. При БА = 25 он равен 35. 13. 5, 4, 3, 6. · 43-65 = 2795; 36-54 = = 1944. 14. 2550. · По условию число делится на 3 и на 17, т. е. делится на 51. Если оно равно 51х, то 17х = Зх-5+100; х = 50. Задача может быть решена и чисто арифметически. 15. Нельзя. 16. Четным.· Если бы все слагаемые были нечетными, то их общая сумма была бы четной. По условию она нечетная. Следовательно, среди этих чисел есть и четное. Поэтому произведение — • четное число. 17. 964. 18. 5.· Последняя цифра числа х1989 меняется периодически. Для десяти чисел подряд она равна 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0, а это значит, что сумма этих десяти чисел оканчивается цифрой 5. Следовательно, сумма 1980 слагаемых оканчивается нулем, а сумма всех слагаемых имеет последней цифрой 5. 19. 28.· Две последние цифры числа 8" {п> 1) меняются с периодом 20. Таким образом, 81989 оканчиваются теми же двумя цифрами, что и 89. 20. 3125.· Последние четыре цифры числа 5" (при А2>4) меняются с периодом 4. Поэтому последние четыре цифры числа 51989 те же, что у числа 55. 21. 81.· Две последние цифры числа 3" (п> 1) меняются с периодом 20. Так как 45<J = 4 25, то искомое число оканчивается теми же цифрами, что и 345 = 31024, !00
т. е. теми же двумя цифрами, что и З4. 22. 382=(35),6·9 = = 24316-9 = (22-11 + 1)16-9=11α + 9. 281=(25)16-2 = 3216-2 = (3χ Χ 11 -Ι)16·2 = 116 + 2. Поэтому 382 + 281 = 11 {a + b+ l). 23. 500. ·413+423 + 433 + ... + 593 = (50-9)3 + (50 —8)3 + (50 —7)3 + ...+ + (50 + 8)3 + (50 + 9)3= 19-50^ + 2-3-50 (92 + 82 + 72 + ... +22 + Η-12) = 19-125000 + 300-285. 24. 4.· В каждых 20 последовательных слагаемых последние цифры 1, 4, 7, 6, 5, 6, 3, 6, 9, 0, 1, 6, 3, 6, 5, 6, 7, 4, 9, 0. Если бы слагаемых было 2000, последняя цифра была бы 0 (сто «двадцаток»). Однако нет пяти последних, их сумма оканчивается цифрой 5. Следовательно, последняя цифра суммы 1995 слагаемых 4. 25. Нет.· Сумма равна "(" + 1) и может оканчиваться лишь одной из цифр 0, 1,3, 5, 6, 8, но не 9. 26. Нет. · Оно не делится на 3. Квадрат натурального числа, которое не делится на 3, должен иметь вид За+ 1, а данное равн^ 3-665 + 2. 27. Да. 28. Нет.· Это выясняется по двум последним цифрам. У этого нечетного числа цифра десятков нечетная. А у точного квадрата это возможно только при цифре единиц 6. 29. По той же причине, что и число в задаче 28. 30. Да.· Оно делится на 3. 31. Нельзя.· Куб натурального числа либо делится на 9, либо имеет вид 9а ±1. Следовательно, сумма двух точных кубов не может оказаться числом вида 9а + 3, каковым является число 1000...02. 32. 44415.· Так как 315 = 5-7-9, то последняя цифра искомого числа 0 или 5. Если это 0, то одна из его цифр 6 (по признаку делимости на 9), но из чисел 4446, 4464, 4644, 6444 ни одно не делится на 7. Если же последняя цифра 5, то одна из цифр 1. Условию отвечает только число 44415. 33. 33.· Пусть искомое число 843χι/6. Учитывая признак делимости на 4, утверждаем, что у нечетное, а из признака делимости на 9 следует, что х-\-у равно 6 или 15. Так как 468 = 4-9-13, остается проверить делимость на 13 чисел 843516, 843336, 843156, 843876, 843696. Условию отвечает число 843336. 34. 1 и 4 или 6 и 8.· Пусть искомое число 42аЗЬ4. Так как 504 = 7-8-9, то, по признаку делимости на 8 имеем b равно 0, 4 или 8. По признаку делимости на 9 сумма а-\-Ь равна 5 или 14. Поэтому возможны варианты 425304, 421344, 426384. Из них на 7 делятся два последних числа. 35. 22 и 6.· Пусть искомое число ЗаЬ977с. Число 792 = 8-9-11. По признаку делимости на 8 цифра с равна 6. По признаку делимости на 11 получим α = 6, а по признаку делимости на 9 сумма а-\-Ь равна 4 или 13, т. е. а = Ь = 2. 36. 625 и 376. 37. 210526315789473684. 38. 42336; χ=5, ί/=3, ζ=2. 39. Нет. · Оно делится на 7. 40. Один. · При натуральном η две последние цифры числа 9" никогда не 99. 41. 891.·(10"-1)2 = 10198-2-10"+1=99...9800...01. Сумма in100 ι цифр этого числа 9-98 + 8+1. 42. 702.· 33...3-66...6= *Х χΑ(ΐο100_1) = -2-(10200 — 2-10100+1) = 22... 2155... 58. Сумма 101
цифр 2-99+ 1 · 5-99 + 8. 43. 1294.· Так как число четырехзначное, его сумма цифр не больше 4-9 = 36, его цифра единиц меньше 6. Если она 5, то сумма цифр 25. Это соответствует числу 2995, но оно не равно (9-5)2 —9. Если цифра единиц 3, то в числе abcx имеем (сх)2 — b <L 27 < 1000. Если χ = 4, то с равно 8 или 9. Вариант (4·9)2= 1296= 1294 + 2 дает искомое число 1294. 44. Разобьем 400 квадратов на 50 групп, по 8 квадратов в каждой: 1 —8, 9—16, 17 — 24, ..., 393 — 400. В каждой такой группе есть две равные подгруппы: х2 + (х + 3)2 + (х + 5)2 + (х + 6)2 = (х+1)2 + (х+ + 2)2 + (х + 4)2 + (х + 7)2. Каждая восьмерка делится на две подгруппы единственным способом, но для всех 400 квадратов общее число вариантов разбиения равно 2199. 45. а) Решений много, например 30, 28, 22, 2j_, 4; 29, 26, 24, 20, 1; 27, 18, 17, 12, 11; 25, 19, 15, 14, 2; 23,16, ]3, 10, 3; 9, 8, 7, 6, 5. В каждой группе подчеркнутое число в 4 раза меньше суммы остальных чисел. б) Невозможно, так как сумма данных чисел (465) не делится на 4. 46. Верно.· В нем 45 единиц, последние 9 цифр — нули. Поэтому оно делится на 9 и на 29, т. е. на (3 · 24)2 = 482. 47.9 чисел. · В таком числе меньше трех цифр: ΙΟΟα+106 + c — (a-\-b-\-c)=abc\ α (99 — bc)-\-9b>0. Для двузначного числа условие Юа-\-Ь — —(a + b) = ab выполняется при Ь=9. Это числа 19, 29, 39, 49, 59, 69, 79, 89, 99. 48. *{*+1Пх-Х]+Х .· х*+х+1 =х8-х2+х2 + х*{х—1)+1 + х+1 =х2 (*3_ 1)(*3+1)+(х2+х+П=(х2+х+1)(х2(х-1)Х Х(х3 + 1)+ 1); х5+х +1 =х5 —х2+х*+х+ 1 =х2 (х3- 1) + (х2 + -\-x-\- 1)=(х2+х + 1) (х3 — х2-\-1). Дробь сокращается на х2+х-|- + 1. 49. (3; 53).#y=x6-(3x2Vl)2 = (x3-3x2 + l)(x3 + 3x2-l). Один из множителей 1, другой — простое число. Это будет при лг = 3 (у=53) или при х=0, что, однако, не отвечает определению простого числа. 50. Правильность утверждения следует из равенства 3(5х + 8у)+2(2х+7у)=19(х+2у). 51. Верно.· V9+4V5=V(2+V5)2=V2+V5=^Vl6 + 8V5= =l-V(l+V5)3=-f(l+V5); y9^4^5=y^SZW=AR^2 = =±-М* V5- 16=i- V(V§~ 1)3~(л/5- 1); +(H-V5) — —5"(V^—1)=1· 52. Верно.· По условию эти числа х\, х2, *з, *4, Хъ такие, что χ2>*ι + 1, *з>*1+2, х4>х\ — 1, хъ>х\— 2. Следовательно, х2 + Х2+*з + 4 + 4>5х2+10>10. 53. Нет.· При нечетном η число 2п + 1 делится на 3, т. е. не простое. При четном η (1024 < Ж 2000) число η не является точной степенью 2 и, значит, имеет делителем нечетное число k> 1. Поэтому 2п+1 де- п лится на 2к +1, т. е. не является простым. Среди рассматриваемых чисел простых нет. 54. х=15.· Левая часть приводится к и _
виду ί±-ί. 55. Верно.· χ(χ+\)(χ + 2){χ + 3) + \=(χ2 + 3χ)Χ X(x2+3x + 2)+l=(x2 + 3x+lf. 56. (a + b + cf = (a2 + b2 + c2) + +2 (ab+ас + be). Следовательно, ab + ac-\-bc делится на p. а4 + 64 + е4 = (аг + Ь2Ц-е2)2 — 2(ab + ac + bc)2 + 4abc(a+b+c). Значит, а4 + 6 +с4 делится на р. 57. Не являются. Так как (9n + 2f^-l=9k, (9" + 2)2+2=9с+6, то оба числа делятся на 3. 58. 2.· Пусть 19881989 = а. Тогда Уа4 + 2 (а — 1)2+4а— 1 — -Уа4-2(а+1)2+4а+3=Уа4 + 2а2+1—Уа4—2а2-Н== = (а2 + 1)—(а2—1)=2. 59. ~^·· Пусть 1,23687=а. Тогда числитель равен —33а4, а знаменатель 720а4. 60. 16.· Если а= 1,2345, 6=0,7655, то а + 6 = 2. Следовательно, а4-\-Ь4 — а362— - о2*3 + 4α·46 = (а2 - б2)2 + 2а262 - а262 (а + Ь) + 16а6 =4 (а - -6)2+16а6=4(а + 6)2=16. 61. 1.· Если а=0,34782, 6=0,65218, то а+6=1; а3 + 63 + 3(а36 + а63)+6(а362+а263)=(а+Жа2- -а6+62)+3а6(а2 + 62)+6а262(а + 6)=а2-а6 + 62 + 3а6(а2 + + 62+2а6)=а2 + 2а6 + 62=(а+6)2. 62. 7,6854.· Если 3,8427 = =а, то ((а+1,7)3 + (а-1,7)3 + 2а(а+1,7)(а-1,7)):((а + 1,7)2 + +(а-1,7)2)=(4а3+4а-1,72):(2а2+2-1,72)=2а. 63. 2. · Если а=0,85426, 6=0,14574, то а + 6=1, делимое α4 + 64 + 2α·26 — -1 =(а2-62)2+2а262 + 4а6-1 =(а-6)2 + 2а262+4а6- 1 =(а + + 6)2 + 2а262-1=2а262; делитель а262. 64. 77,016.· Пусть 25,672 = а. Тогда числитель (а— 1,5)3+(а—0,5)3 — а3 + (а + 0,5)3 + +(а+1,5)3 —За3 + 15а=За(а2 + 5). Знаменатель (аналогично) а2+ 5. Поэтому частное равно За. 65. —255.· Пусть 98765417 = а. Тогда (а —5) (а-1) (а+1) (а+5)-(а—4)(а-2) (а + 2) (а + 4) + +6 (а-6) (а+6)=(а2-25) (а2- 1)-(а2-4) (а2-16)+6 (а2-36). 66. 5875710.· Если а = 3706282, 6 = 2169428, то делитель (а+1)2+(6-1)2+(а-6-1)2+3=2(а2-а6+62+3). Делимое (а+1)3+(а-1)3 + (6 + 1)3 + (6-1)3=2(а + 6)(а2-а6 + 62 + 3). Поэтому частное равно a+ 6. 67. —21.· Если a=987654325, то получим (a+4)(a+l)(a— l)(a—4)—(a+3)(a+2)(a — 2) Χ Χ(α—3) + (2α—1)(2α+1). 68. 1753086434.· Если 876543217 = α, то делимое (α + 5) (α+4) (α + 2) (α +1)—(α— 1) (α—2) (α — 4)χ Χ (α - 5) = 12α (2α2 +13), а делитель (2α + 5)2+(2α+2)2 + +(2α-7)2 = 6(2α2 + 13). Частное 2α. 69. 3,25.· Если α =1,2319, 6=0,7681, το α + 6 = 2, делимое α4 + 64 + α36 + α63—(α+1)χ Χ(6 + 1) = (α+6)(α3 + 63)—(α6 + α + 6 + 1) = 4(4—3α6)—(α6 + +3)=13(1 — ab). Делитель равен (a—6)2=(a + 6)2—4a6=4 (1 — — α6). 70. 5443332.· Если а=2268055, то делимое равно (а+1) (2а+1) (За+ 1)+(а-1) (2а-1) (За-1)= 12а3+ 12а= = 12а(а2 + 1), а делитель (а—2)2+(2а+1)2=5(а2+1). Частное 2,4а. 71. 11930790.· Если а=2386158, то делимое (а+1)Х Х(2а+1) (За+1) (4а+ 1)-(а- 1) (2а-1) (За-1) (4а-1) = = 100а3+20а=20а(5а2+1), делитель (а— 1)2+(а+1)2 + (За- -1)2+(За+1)2 = 20а2+4=4(5а2+1). Частное 5а. 72. Да.· 103
Если 215=х, то делитель 2х2 + 2х+1, а делимое 4х4+1 = =(2x2+lf —4х2=(2х2 + 2х+1)(2х2 — 2х+1), т. е. деление будет выполняться без остатка. Можно ответить на вопрос задачи и на основании деления многочлена на многочлен. 73. Составим разность между левой и правой частями равенства: a4 + b4 + c4 + d4-4abcd=(a2-b2f+(c2-d2f+ -\-2{ab — cd)2. Она равна нулю при a = b = c = d. 74. Верно.· 1 .. 1 , 1 1 . а | ab * 1+α + α6 ' \+b + bc~^~ 1+с + са~~ 1 +a + ab ' a+ab +1 """afc+l+a- " 75. Верно.· Использовать неравенство а2 + Ь2-\-с2^ab-\-ас + be, затем умножить на abc=l. Таким образом, —+-Т2-Н—τΞ^ >-Ь+-Ь+-Ь=аЬсОь+-Ь+Ь) = с + Ь + аЖ D Перенесем 1 в левую часть равенства, приведем дроби к общему знаменателю. В числителе получим — abc{a-\-b-\-c)(a2-\-b2-\-c2 — ab — ac— — Ьо)=0; 2) a3 + b3 + c3=a3 + b3-(a + bf=-3ab(a+b)=3abc; 3) a4 + b4 + c4 = (a2 + b2 + c2)2-2(a2b2 + a2c2 + b2c2)=(-2(ab+ + ас + be))2 -2(a2b2 + а2с2 + Ь2с2)=4 {ab + ас + be)2 - 2 (ab+ас+ - + bcf и т. д.; 4) (а3 + Ь3 + с3)(а2 + Ь2 + с2) = а5 + Ь5 + с5 + (а+Ь + + c)(a2b2 + a2c2 + b2c2) — abc(ab + ac + bc) = a5 + b5+c5- α3 + <)3 + .3 _а2_&2_с2_а5 | fc5 | с5 | (дЗ + г,3 + сЗ)(а2 + /,г + с2) _ 3 2 6 а5 + Ь5 + с5=-^-(а3 + Ь3 + с3) (а2 + Ь2 + с2); α3+ζ+ο3 у+Ь>+с>^ a5 _i_ fj5 _i_ с5 = g ; 5) аналогично предыдущему примеру рассмотрите (а3+-63 + с3) (а4 + Ь4 + с4). 77. Убедиться, что (a + b + c)(x + y+z) — —(ax-{-by-{-cz) = 0. 78. 1) Если это равенство рассматривать как уравнение относительно х, то окажется, что число его корней превышает степень уравнения (в частности, его корни х = а, х=6, х = с), а это невозможно. Поэтому данное равенство не уравнение, а тождество. 79. Это равенство верно при x=af x = b, x = c, x = d. Поэтому оно (как в задаче 78) относительно* не уравнение, а тождество. 80. —2 и 0.· х4 + 4х3 + 6х2 + 4х + 5 = х4 + 4х3 + + 5х2 + х2 + 4х + 5 = (х2 + 4х + 5) (х2-\-1). Оба множителя положительны, поэтому один из них равен 1, а другой — простому чис- з ГТ з Г~2 з /~4~ лу. Это возможно при х = 0 и х= —2. 81. 2) ~\л~^— ν "ο""Ι" ν "о"^ = у5(1_у5+у4)(1+У5) ^3 /_А__\/ 3 = 3(1+V2) V (1+W V 3 + 3V2 + 3V4 = V « ■ з/о ■ з/7 ^vV^—l· 82. Нет. · Например, при я = 7 оно 1+-V2+-V4 делится на 7. 83. Учтем, что 641=54 + 24. Число 232+1=232+ + 228β54_228β54+1=228β(24 + 54)_(214β52_1)(2.4.52+1) = 228χ 104
Хб41-(27.5+1).(27-5-1)(214.52 + 1) = 228.641— 64Ь639(2,4Х Χ52+ 1)=641 -а. 84. Аналогично решению задачи 83, учитывая, что97 = 24 + 34 = 25-3+1. 85. Нет.· Так как ах2 + Ьх+с = а (х — — χι) (χ—χ2) при фиксированных а, 6, с не может равняться некоторому числу Μ при трех разных значениях х, если афО. 86. Верно.· В уравнении ах2-\-bx-\-с = О дискриминант D = b2 — 4ac. При b четном он четный, при b нечетном он имеет вид 4k + 1, т. е. не равен 35. 87. х2 + (х+1)2 + (х + 3)2 + ...+(х+1987)2=1988 + + 1987·1988χ+(12 + 22 + 32 + ... + 19872). Первые два слагаемых кратны 4, а последнее равно 1987· 1325-994, оно делится на 2, но не делится на 4. Следовательно, и вся сумма делится на 2, но не делится на 4. Поэтому оно не является точным квадратом. 88. х = (232+1):641.· Если положить 216 = а, уравнение примет вид(а2-1)3(а2 + 1)=(а-1)3(а+1)3-641х. Откуда х = (232+1):641. Это число целое (см. задачу 83). 89. 19.· Кроме 2, все простые числа нечетные. Так как a3 — b3 = (a — b) (a2 + ab + б2), то а — Ь= 1, т. е. а = 3, Ь=2У разность их кубов 19. 90. 2 и 3. · Если χ и у нечетные, то ху-\-ух четное больше 2, т. е. составное. Следовательно, одно из чисел равно 2. Но 2 в нечетной степени есть число вида 3k—1, а квадрат простого числа р>3 есть число вида За+1. Чтобы сумма оказалась простым числом, второе число ρ должно быть равным 3. Действительно, ·23 + 32=17. 91. а) —5.· 2х2 — —х — 36 = (2х — 9) (х—4). Один из множителей равен 1 или — 1, а второй по модулю равен простому числу. При х=—5 имеем р= 19; б) 0.· При любых натуральных или целых отрицательных χ это выражение равно четному числу больше 2. Только при х=0 оно простое: р = 2. 92. х2 — Зх + 7 = (х + 8) (х— 11)+95. Разность (х + 8)—(х— 11)= 19. Скобки (х + 8), (х— 11) либо обе кратны 19, либо ни одна из них не делится на 19. В первом случае число делится на 19, но не делится на 192 = 361. Во втором случае оно не делится на 19. 93. р = 3. ·ρ3+ρ2 + 11ρ + 2=(ρ2 + 2)Χ Х(р + 1) + 9р. При рфЪ один из множителей делится на 3 и все число не простое. При р = 3 это число равно 71, т. е. является простым. 94. (a2 — bc)(b—ac)(c2 — ab). 95. 0. · Это многочлен третьей степени, но он равен нулю при х=0, при а=0, при 6 = 0, при с = 0, т. е. (как следует из теоремы Безу) делится на xabc. Но многочлен третьей степени может равняться многочлену или одночлену более высокой степени только в том случае, когда оба они тождественно равны 0. 96. Здесь и в ряде следующих задач используется следствие из теоремы Безу: если Φ (χ) — целый многочлен и φ (α)=0, то Φ (χ) делится на χ —α. Будем считать вданном случае основной переменной а. При а = 0 многочлен делится на а — 0, т. е. на а. Так как многочлен допускает круговую перестановку (т. е. симметричен относительно а, 6, с), то другие корни многочлена 6, с. Четвертый (по симметрии) α + 6 + c. Таким образом, этот многочлен равен Kabc (α + b + c). Чтобы найти /С, дадим а, 6, с какие-нибудь значения, не обращающие множители полученного выражения в 0, например а = Ь = с=\. Получим 81 —3· 16 + 105
+ 3 = /C-1 -3, откуда /(=12. Данный многочлен равен \2abc (α-f -\-b-\-c). 97. 1) {а — Ь){Ь— с) (с — а). · Многочлен равен нулю при α = 6, т. е. делится на α — ft. По симметричности он делится также на а — с и Ь — с. При а = 0, 6 = 1, с = 2 находим /(= — 1; 2) 3 (а — — Ь)(с—а)(Ь — с)\ 3) {а — Ь)ф — с)(а—с\ 4) 4а6с; 5) (a —fr)X X(b — c)(c—a)(a-\-b-\-c).9 Найдя первые три множителя, ищем четвертый как многочлен первой степени, симметричный относительно а, Ь, с\ 6) (а—b){b — c)(c—a){a-\-b-\-c)\ 7) 2 (а — Ь)Х Х(а — с)(Ь — с)(а + Ь + с); 8) 5 (а-*) (Ь — с) (с—а) {а2+Ь2 + с*- — ab — ас — be). · Найдя обычным путем, три множителя {а — Ь\ (Ь — с), (с—а\ ищем четвертый как многочлен второй степени, симметричный относительно я, Ьу с: x(a2-\-b2-{-c2)-\-y (ab-\-ac-\-bc). Давая а, Ь, с дважды различные значения (не обращающие ни один из„ множителей в 0), получим два уравнения, саязывающие хну. Находим х = 5, у=—5; 9) 5 (a-\-b)(a-{-c)(b-\-c)(a2-\- + b2 + c2 + ab + ac + bc); 10) 80abc(a2 + b2 + c2)\ 11) (α — b)X Χ(α — c)(b — c)(3a2 + 3b2 + 3c2 + 5ab + 5ac + 5bc); 12) (a — b)(a — — с) ф — с) (a2b2 + а2с2 + b2c2 + о2 be + ab2c + abc). · Здесь последний множитель четвертой степени, в этом отличие от примера 8; 13) (a—b)(a — c)(b — c)(a2 + b2 + c2 + ab + ac + bc). 98. Верно.· Xs + 9х5 + 8х2=х2 (х3 +1) (jc3 + 8). При четном χ число х2 делится на 4, х3-\-8 делится на 8. При х = 3а число х2 делится на 9. При х = 3а±1 число х3+1 или х3 + 8 делится на 9. Таким образом, при любом четном χ рассматриваемое число делится на 4*8-9=288. 99. Это число равно ^-у1. Степень двойки в знаменателе |-£-| + чТг Тг"'' а вчислителе на п больше. 100. а=6—, 6 = 9.· Если многочлен равен (х2-\-—х-\-с J , то с = 3, α=6—, 6=9. 101. Иррациональны. · Оба числа в указанной системе счисления выражаются бесконечной непериодической дробью. 102. a) {ax2 + bx + c)(cx2 + bx + a)—(a + b + c)2 х2=х2(ас(х2+-±г} + + (ab + bc)(x+-j·}— 2(ab + ac + bc)^0y так как х2+Д->2 и х+—>2; б) это выражение меньше γόΗϊ^ϊϊΠϊ^ϊ^ϊ^""""'" +_1ί =_L_J_+_L__L+_L + . _! L_ ι ι ^ ^ 1999-2000 10 11 Μ1 12 ^ 12 ^ - ^ 1999 2000 ~~ 10 2000 ^ <к ■) *>('-i)(-r-i)(i-i)>i= '<'-(i- -i) -(i -i) -(Ы-) -(i-i) <i -»3· π*-* ** ше. · Для сравнения нужно каждое выражение возвести в квадрат. 104. Равны 9 1g3-lg4. 105. При положительном χ имеем 7ϊ+χ<1+-|-. Поэтому У4а+ 1 +^4b+\+^j4~c+l< 1 +2α + 106
+ ] +26 + 1 + 2c=3 + 2 (a+fc+c)=5. 106. Так как среднее арифметическое положительных чисел не меньше их среднего геомет- рического, то Υ^+^Χ+^Χ>3М^+с)(^с)(а+ь)> β/ аЬс — 31/Т 3 V2>f. 107. a) V66>V7 + V 2-yfbc-2^ac-2-^Jab V 8 2 9 +V30; б) y6+VT7<2V3+YiO; в) ^+л|о+л^>^+л21+ Ч-^г" · · Каждая из этих дробей имеет вид V*(*+l) = и 2х+1 =-л/— 2 . С увеличением лг дробь увеличивается; г) Vi+V9+Vi6>W+V5+Vl2·· Так как если не все числа а, 6, с равны, то a2 + b2-\-c2>ab + ac + bc, д) У^<УЗл/1 %ф^= = ,5V(2T^=l5V2048^; ^='5У(ЗТ^= ^2187^; е) V^ > л/З^· · л/З^ = 87(35)8^ = 8л/243^; У^ = = 8V(2¥^=8V^5^>V3^; ж) *>^.·*=τ^, *=^р. причем α>2; χ_^=τ^^--1^>0. 108. Л<В.#Так как (χι+χ2 + *3+ ..·+*„)( 1 1 |-···Η )>я2 при положи- \ Х\ Χι Хз Хп / ( * ι 1 ι 1 ι Ι ι Ι ι тельных xk, то ( ——-Н—-—-Н—-—-=-\—-—-Ч—-——+ +V^+V^)^36. 109. Умножьте обе части на 2 и представьте левую часть в виде x2n+(xn±xn~~lf + (xn~l ±*n~2)2 + ...+(*=b 02 + + 1. ПО. Учтите, что a2 -\-b2-\-c2^ab-{-ac-{-bc и что(а + 6 + с)Х Х( 1—-—| )^9 при положительных а, Ь, с. 111. Учтите, что \ а ь с / г —г—ζ: -= v у , , ην =-= ;= Поэтому дан- ная сумма х=1 :=т. Так как 44<Vl991 <45, то -^-<*< VT99I 44 <^|. 112. sja+b + c — 2-yJab+^c+^/a + b + c — 2^fab + bc + +^a + b + c—^ac — bc=(^ + c—^) + (^a + c—^)+(^^+b — —л1с)<л[Ь + л1с—л&+л[а+^—л1Ь -\-л[с. 113. Верно. · Если такой четверки нет, то 5 остальных имеют 107
сумму более 100. Но тогда хоть одно из них не менее 23. Следовательно, в первой четверке каждое число не менее 24, а их сумма не менее 24 + 25 + 26 + 27, т. е. больше 100, что противоречит сделанному допущению. 114. По условию abc = а3, а2 = Ьс\ Ь-\-с^ ^2л!Ьс = 2а\ а = аъ—(6 + с)<а3 — 2а; За<а3; а>УЗ; Ь2п + с2п^ ^2Ьпсп = 2а2п; а2п + Ь2п + с2п^2>а2п = ?>^п = Ъп+х. 115. a) (lg9- -l)2+(lgll-l)2>0, lg29+lg2ll>2 1g9 + 2 1gll-2 = = 2 (lg 9 + Ig 11 —1) = 2 lg 9,9 = lg 98,01 >lg 98; б) аналогично задаче 115, α. 116. Существует.· 1062<х58< 1063; 62<58 1gx< <63; l,069<lgx<l,086; 11,7<х< 12,2; х=12. 117. 1994.· Если а цифр в числе 21993 и b цифр в числе 51993, то 10а-1<21993< <10а и 106-,<51993<106. Отсюда 10а+6~2< 101993< 10а+6, т. е. 100 а + Ь=1994. 118. 332·4.·ζ = χχ; lnz=— In x; y=*™lnx\ χ Ό χ 100 ί//=—2"(1 — 1η χ); у' = 0 при х=е. Так как χ — натуральное число, то его следует выбирать как можно ближе к е, т. е. х = 3. Поэтому zmax = 332.4. 119. 100-317= 12914016300. «Для получения двух нулей в конце произведения среди множителей должны оказаться 4, 5, 5. Сумма таких множителей не менее 14. Оставшуюся сумму 51 дадут 17 троек (см. предыдущую задачу). 120. 4567. 121. Нет. 122. Какова бы ни была разность прогрессии (равная натуральному числу), существует число, у которого после нуля стоит такое число цифр п, что 10" больше разности прогрессии. Таким образом, хоть один из членов прогрессии окажется числом такого вида, т. е. имеет в своей записи нули. 123. 258. · Цифра тысяч 1, поэтому четырехзначное число 1111 или 1248. Вычитание числа 990 показывает, что подходит только число 1248. 124. 19.· На этой стороне дома с нечетными номерами, их нечетное число. Общая сумма номеров равна произведению номера среднего дома на число домов. Так как 247=1-247 = = 13-19 и число всех домов больше 7, то домов либо 19, либо 13. Первое невозможно—средний номер будет не меньше 19, а 19· 19 > 247. Следовательно, домов 13, номер среднего (а это седьмой от угла!) 19. 125. Например, 147, 258, 345 или 147, 246, 357. 126. Верно.· Определив слагаемые в знаменателе, сократим дробь на 2. Знаменатель примет вид "ir+o"-5+5"T+***4 2 ■ 2-3 ■ 3-4 ■ *'* ' 1990-1991 ' Каждое слагаемое можеть быть представлено в виде —. Поэтому знаменатель равен 1 ——- . 127. 21 —-^ · · Каждый член равен 1 +-1-. Поэтому сумма равна 20+(-γ+-γ+-γ+-+ψο) · 128. Верхняя строка 13, 15 17, 19, 21. 129. Верхняя строка 27, 108
54, 108, 216. 130. 3'5, 5·314, 52·313 и т. д. · По условию а,>107, αΐ6<10". Отсюда <715<10\ \gq<j^ и q<l,82. Кроме того, αΐ4>1010, α4<108. Отсюда ql0>l02, \gq>0,2, q>l,58. Итак, q — несократимая дробь -η- между 1,58 и 1,82. При умножении на q происходит сокращение на Ь. Следовательно, щ делится на ft15, т. е. 6|5<108. Значит, <?=-§-■ 131. a) f(x+2a)= i 1-fW =—\4%-=fw- w=2a^ б> f (*+*")= V3+/^+a) = _ ■ l-V3-/(x) = /W-V3 , ., , Зд)= У3 + /(х + 2а) = ,_/3._V3+7W_ I+V3/-W 1-л/3-/(х + 2а) = 1+V3/W =f(xyt w=3a. 132. Да.· Φ(χ-\-1)=^2·Φ(χ) — ι+λ/3/W — Φ (jc— 1); Φ (χ+2)=ν2·Φ·(^+ 1)—Φ (*)=2·Φ (*)—У2-Ф (л:— -l)-Φ(л:)=Φ(Jt)-л/2·Φ(Jt— 1); Φ(χ+4)=Φ(χ+2)—л/г-Ф^Н- ^^—ф^); φ(χ+8)=—Φ(χ+4)=Φ(χ). Таким образом, ш=8. 133. Да.· Пусть А(хи у), В(х2, у). Тогда АВ = х2—χι = =л/у+5—л[у——; ——. При достаточно большом у, напри- мер при у=2502, длина отрезка АВ меньше 0,01. 134. О^Ф (х)<3. • Ответ дает рассмотрение Ф(х) на интервалах 66^jc<66 + 1, 6Z> + l<x<6fc+2, 66+2<jc<66+3, 66+3<x<66+4, 6ft + +4<Ιλ:<66+5, 66 + 5^jc<:66+6. 135. Все эти числа иррацио- нальны. 136. а) 2.· S=^-+|-+f+^+^+...=^+-f+ + ·- б) (Г^?·· Sa=a2 + 2a3 + 3a4 + 4a5 + ...; S —Sa=a+a2 + +«* + «< + .., SO-«)=·£;; в) ^; г) ^L_. 137. 2, 3, 5, 7, 11.· Если Χι<Χ2<*3<.*4<;*5, το Xi+*2 = 5, Χι+χ3 = 7, ^4+Х5=18, хз + ^5=16. Отсюда Х1+Х2+а:з+а:4+а:5= 112:4 = 28. 138. 2, 3, 5, 6, 9 или —2, —3, —5, —6, —9.· Аналогично задаче 137. 139. х = 8.ф Дробь сокращается на 27х2 + 33х—-4.
140.6, 6, 6, 6.·χ3-χ=210. 141. a) x1 = ~1~^, χ2=1±^1Ι, Первое решение. Пусть 4 = α. Тогда x2—a=^jx-\-a\ χ4-2αχ2+α2^χ+α;α2-α(2χ2 + 1) + χ4-χ=0;α = 2χ2+1^2χ+1); х2 + х + 1=4, x2-x=4; отсюда x^"1"^, χ2=1+^ΪΖ (другие корни посторонние) .Второе решение. После дополнения обеих частей уравнения до полных квадратов получим: —Ух + 4) (*+У* + 4 + 1)=0 и т. д. Третье решение, х4 — — 8х2—х+12=0; х4 — 7х2+12,25—(х2+х + 0,25)=0; (х2 — -3,5)2-(х + 0,5)2 = 0; (х2+х-3)(х2-х — 4)=0 и т. д.; б) χι= !|+^ , Χ2=1ζ^ίϊ.φχ2--6χ+9-(χ+2 + 4ν^+2 + + 4)=0; (x-3)2-(V^T2 + 2)2 = 0; (х- 1 +V^+2) (*-5- —Ух + 2)=0; в) х,=0, х2= —1, χ3 = 3.·χ2—4х+4 —(х+1- -6ν^Π+9)=0; (Х_2)2-(Л/ЙП"-3)2=0; (х+У^+Т-5)(х- _y^+T+l)=0; г) х,=3, х2=]15-3. · 26-2*.5* = 53.2*2; 5*-з = 2**-*-б. 5х-з = 2(х+2)(х-з); х_!3 = 0; 5 = 2*+2; д) χι=2, ^ 1-^2^1+2^2-3 1^2 φ58·2χ3=22χ2-52χ2· 2χ3-2χ2=52χ2_8· *2·3 lg2 2*2(*- 2)=25(χ-2)(χ+2); χ —2 = 0 или 2*2 = 25*+2; е) χ=2.· 5*=1 + + 2·2* + 22*; 52 = 1+2*; (1+4)2 =12+42. Но равенство ау + -j- Ьу = {a + by при положительных α и 6 возможно только при t/ = 1. Поэтому здесь х = 2; ж) *i=0, х2 =—2,5.· Прибавьте к каждой лпоби по 1* 2х 2х = 2х 2х · 2х 2х =0· дроои по . χ+ι χ+2 χ_^3 χ_^4, (χ_|_1)(χ_|_2) (х+3)(л:+4) ' х,=0; (х+1)(х + 2)=(х + 3)(х + 4); х2=—2,5; з) х=-3,5.· 2х + 7 2х + 7 , 2х + 7 2х+7 =(). 9r-U7 = 0· *(* + 7) (х+1)(х+б)"г(х + 2)(х + 5) (х + 3)(х + 4) W' ΖΛ "■" w> х = —3,5. Если χ2 + 7χ + 7 = ί/, то имеем ' у-7 у-\ ' ί/+3 0; ί/2 + 4ί/+13 = 0. Оно не имеет действительных корней; и) х, =0, х2= —4,5. · Исключите из каждой дроби ее целую часть: _3 1_=_Ё 5_. -* = ~х К) Χί=9 х + 3 jc+4 х + 5 х + 6 ' (х+3)(х + 4) (х+5)(х+6) ' х2=0,5; х3>4=~ ^ —. · Так как хфО, сократим каждую дробь ПО
на χ: !— ?——=-i-; если у = 2х+^-9 то -Ц-— χ χ ~^ργ=-β-; ί/2 + 4ί/—45 = 0; ί/ι=5, ι/2=--9; л) *ι=2, χ2=—4, *з,4= — ldz2V2.#x2 + 2x=i/; у2 — 15ί/ + 56 = 0; ι/, =8, ι/2 = 7; μ) χ= —2,5dzV^»25+VT5. · Примите за новое неизвестное среднее арифметическое множителей: ί/=* + 2,5. Получим (у—1,5)Х Χ(ι/—Ο,5)(ι/ + 0,5)(ι/+1,5) = (£/—1,5)2 + (ι/—0,5)2 + (ι/ + 0,5)2 + +(t/+l,5)2; y-2,5t/2+^-=V + 5; £/2=^-=ЬлД5; н) *=9.· V^+ +У*—5=ι/; у2—у—20=0; t/i=5, у2<0, х=9; о) *ι=2, х2=— 6. 9 ' 6х2 9х2 6х2 • Дополните до полного квадрата: * +"37+ _ зУ* 1Гз"=4^; — 40=0; ί/ι = 10; */2=—4; π) x==fcl0. · Так как V9 + 4Vi5X Χι/9 —4л/5=1, положим ^/9 + 4^5f=y9 у+—=322; у=161± ,±72 V5=81 +80=Ь72 V5=(9=fc4 У5)2=(9+4 ^)±2; (^9+4^)^ = =(9+4л/5)±2;р) Х|.2=±^^з.4=±2,Х5.б±2^. •Л/^=:3=У; 4-x2=l-i/2; Vl-i/2=l-i/; */3-4ι/2 + 3ι/ = 0; t/,=0, t/2=l, ί/3 = 3. 142. —1; 1; 3.· Если его корни α, β, γ, το α + β + γ = 3, αγ + αβ + βγ =—1„ αβγ=α. Отсюда β=1, α+γ = 2, αγ + α + + Υ= — 1,α = 3,γ= — 1. 143. —25.· По условию ρ2 — 5ρ + 5 = 0. Поэтому ρ4 — 75ρ + 75 = (ρ2 — 5ρ + 5)(ρ2 + 5ρ + 20)—25. 144. а) χ=1,5. · Все слагаемые неотрицательны, а их сумма 0. Это может быть только при 2х2 — 5х-\-3 = 2х2-{-х—6 = 0, т. е. при х=1,5; б) х=5.· При возрастании x^^J2A левая часть растет, а правая убывает. Следовательно, уравнение имеет только один корень. Равенство выполняется при х = 5; в) х=7.ф Как и в предыдущей задаче, устанавливается, что уравнение имеет не более одного корня; г) х= — 1, у = \. • (* + ι/)2=(λ: + 1 +*/—1)2== =(*+ 1)42 (х+ 1) (у- 1)+(у- I)2; (х+ lf-(x+ 1) (у- 1) + + (у— 1) =0. Это возможно только при х-\-1=у—1=0. 145. а) xx=^J\7, х2= — ί/Ϊ8. · В уравнениях, содержащих целые части переменных, нельзя опираться ни на основную теорему алгебры, ни на теорему Безу. При х>Ъ левая часть положительна, при х = 2 она отрицательна. Следовательно, 2^х<3, т. е. [х]=2. Тогда х3 — 7-2 — 3=0; х=л[\7. Аналогично находят еще один корень: х= — У18; б) x=-\Jl +л/2> х= —V1 +л/22· · Рассуждения аналогичны решению задачи 152, а. 146. Χι=0, χ2=— 3,5, х3=—7. · Модуль произведения равен произведению модулей множителей. Поэтому данное уравнение равносильно такому:
|(x-2)(x + 3)(x+6)| = |(x+l)(x+4)(x+9)|; |*3 + 7x2-36| = = |x3-|-14x2-|-49x+36|; это возможно либо при равенстве под- модульных выражений, либо в том случае, когда сумма этих выражений равна нулю. В первом случае действительных корней нет, во втором х, =0, х2= — 3,5, х3= — 7. 147. а) (0; 0), (6; 3), (5; 2). • 4x2+18i/2— 16xy—6у=0; (2х —4у)2+у2+(«/-3)2=9, но 9=(±2)2+(±2)2+(±1)2=(±3)2+02+02; б) решений нет, так как обе. части разной четности; в) (0; 5964), (—2; —1194), (1988; 0), (—398; — 6). · Зх + 3ху+у=5964. Прибавим к обеим частям по 1: (Зх+1)(у+1)=5965. 5965=1-5965=5-1193; г) (217; 27), (19; 1), (-217; -27), (-19; -1). Ф(2х-у)(х-8у) = = 407; д) (15; 44), (- 15; -44), (27; 68), (-27, -68). • (Зх-у)Х Х(5х-2у)=-13. 148. а) (2; -3), (-3; 2), (1; -3), (-3; 1), (2; 1), (1; 2). · Положим х-\-у=а, ху=Ь\ a b — ab2=42, ab=6. Отсюда а3 — 7а—6=0; б) (~-, ψ, ψ) , (0, 0, 0). · Ес- 1.2 , 1,3 , 1,4 ,. ли χ, у, ζ не нули, то —+—=1, —+γ=1 —+~ =1, в) (0; 0; 0) и (1; 1; 1).·* = ^, У=^, Х = Т^?' ^=1+?)ШТ?Г- Либ° *=У=*=°> -"ибо т^-т^Х Χ ζ 2 = 1. Однако это возможно лишь прих=у = г=1; г) (60; 20; ολν Λ 1 , 1 _ 1 1 , 1 _ 1 1 ,1 _ 1 . ч / 20 . 13 . 45 \ όΌ)· · V+"7"""i5, ~7+Τ-~Ϊ2~' ~+V_20 ' д' \Т* ΤΓ· ~н) · ( ——; ——; —rrj . · Сложив уравнения, получим (x-\-y-\-zf = = 49; е) (3; 5; 6) и (— 3; —5; —6). · Применив к каждому уравнению формулу разности квадратов, выполнить почленное деление 1-го уравнения на 2-е, 1-го уравнения на 3-е, 2-го уравнения на 3-е; ж) (18; 12; 6) и (—18; —12; —6). · Обозначьте ^=а, f-». ?-«.)(£;£; l),(j^ft £*;-*-¥>).·£> ус- ловию y2z—xyz-\--^, z2x=xyz+4-, χ2ί/=χί/2——. Если xyz=t, το36/2-16ί—1=0;*1=4-.'2=—77:и)(0;0;0)и(1; 1; 1). · Ана- 2 1о логично решению задачи 148, в; к) (1; 1; 1; 1) и (—1; — 1; — 1; —1). · Из условия следует, что χ, ί/, ζ, t одного знака. Допущение, что они не равны между собой, приводит к противоречию. Поэтому x=y=z=t\ χ=—(χ-\ j , χ= ±1 ит. д.; л) (3; 3; 3; 3), ( — 6; 6; 6; 6), (6; —6; 6; 6), (6; 6; —6; 6)(6; 6; 6; -6). · Сложим два первых уравнения. Так как при положительном а сумма а-\ не меньше 2, то оказывается, что каждая из дробей равна 1, т. е. ху ί/, ζ, t равны по модулю. По третьему уравнению эти числа 3, 3, 3, 3 или 6, 6, 6, —6 (4 варианта); м) (3; 3; 3).· Ясно, что
χ, у, ζ положительны. Допущение, что числа не равны (х>у или *<«/), приводит к противоречию. Из уравнения х3—х=24 находим х=3. 149. а) (8; 2).· Сделать подстановку: x=yz; б) Х\ = =у,=3, *2 —, У2=~. • (*-2)(у2+3)=12, (*-2)(Зу+5)= = 14; в) (2;3)и(^-; —1§) •(2χ-1)(3ί/+5)=42, (2*-1)(Зу2-4) = =69.150.л;= — 1,у=2. •(х+1)2+(у—2)2=0. 151.^=3, л:2=4-. · Первое решение. х2 + 1 = fex; ^=^==i±-; £i=-j- (fe2<0 — ι +j?" посторонний); Xi=3, x2=—. Второе решение. —= Η?: *+Т=* *τΗέ; '^-41,-30=0; yi=f; ,2<0; —. 152. 36. · Эта последовательность χ, у, —, —, 3 ^ χ χ , λ:, ί/, ..., ее члены повторяются с периодом 6. По условию х,=3, х2=—. 152. 36.· Эта последовательность χ, ί/, О XX J_ _£ λ: 18 и χι/= 12. Отсюда χ = 2, ι/= 6. Произведение шести последовательных членов 1. Поэтому щ ·α2·α$·...-а7ь = а\ -Яг-аз^Зб. 153. ТРАКТОР. «Так как 1000 < х3 < 10000, то 10<х<22. Последние цифры х2, х3, х4 различны, поэтому последняя цифра числа χ не 0, 1,4, 5, 6, 9, т. е. χ может быть только 12, 13, 17 или 18. Но 122 имеет равные цифры, 184 состоит более чем из 5 цифр, у 132 и 134 совпадают первые цифры. Итак, х=17. 154. АРАБЕСКА.· Как в задаче 153, выясняется, что χ равно 12, 13 или 17. Условию отвечает х= 13. 155. ВАЛТОРНА.· 17<х<22. Так как х4 имеет одинаковые первую и последнюю цифры, то х=19. 156. ТРАКТОРИСТКА.· Так как х2, х3, х4 оканчиваются тремя одинаковыми цифрами, то это 376 или 625 (три нуля не отвечают количеству цифр в данных числах). Но 376 не квадрат. Поэтому РИК означает именно 625, х = 25. 157. 9 чисел.· В таком числе менее трех цифр: 100а+ 106 + с — (а + 6 + с)—abc = a (99 — — be)+96 >0. Для двузначного числа Юа-\-Ь — {a-\-b) = ab\ 6 = 9. Таких чисел 9: 19, 29, 39, 49, 59, 69, 79, 89, 99. 158. Верно. · Из этих чисел 6 четных, из нечетных два числа кратны 3. 159. 0. · Ни одно из них не оканчивается пятеркой. Поэтому имеем (10а —3) (10а- 1) (10а+ 1) (10а + 3) = (100а2 —9) (100а2- 1) = = 100а2 (100а2— 10) + 9. 160. 1.*Если записать числа одно под другим, заполнив пустые места ну- 000000001 лями (как показано справа), то в каждом столбце 000000002 всех цифр окажется поровну. Однако в нижней 000000003 строке есть еще единица. Таким образом, больше По
всего единиц (дописанные нули не считаются). 000000009 000000010 000000011 161. 271. 162. 4 кг.· Если свинца в этих кусках было а% и 6%, а отрезано по χ кг, то получа- 999999999 ется уравнение 1000000000 . / (6-х) а . xb \.fi / (12-х) Ъ ■ ха \ ., 9. , \ то "*" loo /β V mo ~Moo/eiZ' x~-*' 163. Супружеские пары — Николай и Елена, Федор и Надежда, Степан и Мария.· Если возрасты Николая, Федора и Степана х, у, ζ, то Надежде х + 3, Марии 56 — ί/, Елене 50 —ζ лет. Это приводит к трем вариантам: { X- Ζ- у- -(56-у)-- -(*+3) = -(50 —ζ) = =3, = 3, =3 или . (х- \г- \у- -(50—ζ)-- -(56-у)= -(* + 3)= = 3, = 3, =3 1 или J 1 (х- у- *■ -(50 —z)= -(56-у) = -(* + 3)= =3, =3, =3. Первая система противоречива, решения последней — дробные числа. Условию удовлетворяет вторая система. 164. Супружеские пары — Борис и Варвара, Василий и Мария, Андрей и Дарья, Семен и Татьяна.· Составьте таблицу и вычеркните невозможные варианты: Борис не старше Дарьи, Василий не старше Татьяны, разность возрастов Андрея и Варвары, Бориса и Марии не 3. Семен не старше Варвары или Марии на 3 года. 165. 1) Купили: Николай — 6 вещей, Надежда — 9 вещей, Василий — 22 вещи, Анна — 23 вещи, Петр — 2 вещи, Галина — 7 вещей. 2) Супружеские пары — Николай и Надежда, Василий и Анна, Петр и Галина. · Если муж купил χ вещей, а его жена у вещей, то у2 — х2 = 4Ьу т. е. (у — х) (*/ + *)= 1 -45 = 3-15 = 5-9. Решая три возможные системы уравнений, заметим, что супружеские пары — Василий и Анна, Николай и Надежда, Петр и Галина. 166. 36 м. · Пусть длина трубы а м, скорость трактора χ м/с, скорость мальчика у м/с. Получаются уравнения -^-=120-0,75, -^-=30-0,75 У ■* У~\~х Отсюда у~х =—, у=-7т- Сложив эти равенства, получим ау 90 ау 45 r J α = 36. 167. 215.3,0-56 = 30233088000000. 168. 61 орех.· х=4а+ 1, 3α = 46+1, 3b = 4c+\9 Зс = 4р; χ = 9ρ + 4+-^|±^. Наименьшее натуральное ρ, при котором χ — натуральное число, 6. Поэтому х = 61. 169. Если только 19 учеников достигли 13 лет, то общая сумма возрастов не более 13-19+12-14, т. е. меньше 430. 170. 1 км/ч.· Скорость пловца относительно фляги в обоих направлениях одинакова. Поэтому он догонял флягу 3 мин. Скорость течения 100 м за 6 мин, т. е. 1 км/ч. 171. 11 км/ч. 172. 125 км.· До первой встречи они проехали АВУ до второй — 114
ЗАВ. Поэтому один проехал до второй встречи 70 км -3 = 210 км. Проехав еще 40 км, он проехал бы 2АВ. Поэтому АВ = 125 км. 173. Примерно 16,7 с.· Если расстояние от коряги до моста α м, то скорости окуня 0,08а м/с и 0,10а м/с. Поэтому скорости карася 0,08а м/с и (0,08а+0,08а —0,10а) = 0,06а м/с. 174. Первый еж. · Если второй еж пробегал 1 м за t с, то первая черепаха отбросила его на Ы см, а вторая подвезла его на 8t см. Следовательно, черепахи помогли второму ежу. Лучшим бегуном был первый еж. 175. В 16 ч 10 мин. · Скорость катера относительно плота постоянна. Поэтому катер плыл от Л до β столько же времени, сколько от В до плота. Отношение скоростей катера 30:(30— 10)=3:2, т. е. i|±£=-|-; х = з. Катер был в пути 30:18 + + 30:12 = 4— (ч) и прибыл в Л в 10 мин пятого. 176. Примерно 5,5 км. · Если два тела движутся в одном направлении со скоростями у км/ч и χ км/ч, причем второе отставало от первого на α км, то второе догонит первое за —^— часов (при условии х>у). По χ у 18 8 ив — υη 4 с условию задачи = , т. е. =-рг · Если рас- им~ »п ϋΒ-<Ίι ^м — υη 9 стояние между пешеходом и велосипедистом станет равным s км, 8 —s ув—ϋη 8 —s 4 72 ι™ о / то аналогично ——= _υ ; —т—=—; s=— км. 177. 2 км/ч. МП %7 1 О • Скорости против течения и по течению относятся как 8:10= = 4:5, поэтому (18 — х):(18+х)=4:5; * = 2. 178. 210 км.· Пусть (рис. 45, а) АВ=х км. Если АС=90 км, то СМ = (х — 90) км, М£)=х-90 км^ £D==x±90 км отсюда 90:^±^=(х-84):х, jc = 210 км. 179. В полдень. · Если AB = S км, скорости вело- Υ 19 fcW Рис. 45 115
сипедиста и мотоциклиста χ км/ч и у км/ч соответственно, то S S = 1 S = 4 . Sx _ 1 . 5t/ = 4 . x + t/ 2χ+ι/ 2 ' x + t/~~ 5 ' (х+у)(2х+у) 2 ' (x + t/)(x+2t/) 5 ' х(*+Ы = 5 „ = 2jc; S = 6x; f=-JHL-=2. 180. В 21 мин один- t/(2x + t/) 8 х+2х надцатого. Аналогично задаче 179. 181. 45 км/ч. 182. 4 км/ч и 6 км/ч.· Если расстояние AB = s км, скорости пешеходов χ км/ч /t ι S — X S ι 1 ι I JC Ζ ι + У(Д-У)=_а_+2>4; -*Ци=11а 183. 80 км.· Пусть скорость х+У х + У х + У 5 j r автобуса χ км/ч. В 3 ч дня мотоциклист был на (210—Зх)-м километре, а в 2 ч дня на (180 —Зх)-м километре. В это время второй автобус догнал туристов на 200-м километре, до столба 80-го километра оставалось 120 км, а до мотоциклиста (20 + Зх) км. По -условию J. x =0,6; χ = 45. Второй автобус отставал от первого на 45-2—10 (км). 184. 53110.· Наибольшее состоит из бесконечного числа девяток (т. е. такого конечного числа не существует). Если же знаменатель цф\, то наибольшее число 53110. 185. 72073.· Это число больше наименьшего общего кратного чисел 3, 7, 8, 9, 11, 13 на 1 или на 2, т. е. 72073 или 72074. По условию оно нечетное, поэтому второе число не годится. 186. 175.· Оно оканчивается цифрой 5, все его цифры нечетные. Поэтому оно делится на 25, его цифра десятков 7. Следовательно, 100χ + 75=λ>7·5·5; χ=1. 187. 1973.· Его первые цифры 1 и 9, т. е. 1993 —(l+9 + x+t/) = 1900+10x + i/; llx + 2y = S3\ х = 79 у = з. 188. 3364. 189. 10256, 12820, 15384, 17948, 20512, 23076.· Пусть искомое число х, приписываемая цифра у. По условию 100000ί/ + χ = 4 (10χ + ί/); χ= 10256, t/ = 4. Другие решения: (12820; 5), (15384; 6), (17948; 7), (20512; 8), (23076; 9). 190. В 1918 г. 191. В 1891 г.· Если он родился в XX в., то 9ху-\- 10χ + ί/ = 63, решений в натуральных числах нет. Если он родился в XIX в., то 8ху+ Юх+у= 163; х. = 9, у=1. 192. В 1914 г. 193. 38.· Искомое число 4х+1, 4х + 2 или 4х + 3, т. е. 161х —5 равняется (4х+1)2, или (4х+2)2, или (4х + 3)2. Второй вариант дает х = 9, остальные не имеют решений в целых числах. 194. 47. 195. 501 число вида 1000х-\-у (у = 0, 1, 2, ..., 500) при различных у имеет сумму и разность пар, не делящуюся на 1000, но уже 502 приведет к тому, что a-\-b или a — b будет кратно 1000. 196. 4.· Последняя цифра квадрата члена этой прогрессии меняется с периодом 10 (4, 5, 4, 1, 6, 9, 0, 9, 6, 1, 4, 5, ...). Последняя цифра суммы последовательных 20 квадратов 0. Поэтому искомая цифра определяется суммой первых 9 слагаемых. 197. 3, 6, 12, ..., 768.· αι + α2 + α3 + ... + αη-ι=765; а2 + аз-\-...-\-ап= 1530; q = 2. По условию ах =S—1530, ап = = S —765. Поэтому S = S — 1530 + 2 (S—1530) + S — 765 + 116
S-765+372; S=1533. 198. Нет.· Из чисел 1, 2, 3, ..., 15 1 2 нужно исключить простые, которые не входят множителями других чисел,— числа 11 и 13. Произведение оставшихся 2И-36Х Χ53·72. Чтобы получить равные произведения, нужно исключить число 10. Сумма оставшихся 86. На одной скамейке сидят те, кому 15, 12, 7 лет, 4, 3, 2 года. Те, кому 15 и 14 лет, сидят на разных скамейках. 199. 2, 3 года, 6, 7, 15, 16 лет. Решение аналогично решению задачи 198. 200. Нет. На одной скамейке с тем, кому 20 лет, сидят те, кому 2, 3 года, 5, 6, 9, 14, 16 лет. 201. а) 987652341; б) 123456879. 202. а) 9876523410; б) 1023456798. 203. 3451.· По условию неполное частное х = —— ~ = Од 5 9о 5 = 104αΗ——— . Наименьшее натуральное а, при котором-—- Οι ОI целое число, 17. 204. 3211000. 205. 6210001000. 206. 6 чел.· Если воспользоваться кругами Эйлера (рис. 45, б) и обозначить искомое число х, то (2+х) + (11+х) + (3+х)+(6 — х) + (7 — х) + +(3—х)+х = 38; х = 6. 207. 4 дня.· Пусть количество травы на единице площади — χ суточных порций, суточный прирост — у порций. По условию 4 (х+ 12ί/)=12· 14; 5 (χ + 20ί/) = 17·20. Отсюда х=3, у = 3—. Для третьего луга 6ί 3 + 3—-t)=24t; t=A. 208. Приблизительно без 9 минут 3 часа.· Если начало работы было в 10+х минут одиннадцатого, а конец в 50 + ί/ минут третьего, то так как минутная стрелка движется в 12 раз быстрее часовой 10 + χ=12ί/, Ь0-\-у=12х. 209. В 1986 г. · 1955=1900 + + 10χ + ί/+10+χ + ί/; \\х-\-2у=АЪ\ х = 3, у = 6. Год рождения 1936. 210. 29. · Номера на этой стороне квартала нечетные. Если до начала квартала было χ номеров, то χ ^ 10. Если домов на стороне квартала ί/, то (х-\-у)2— х2=уъ\ 2ху-{-у2 = у3; у2—у — 2х = 0; у= о Х ■ Наибольший номер при х=10. 211. 26.· На этой стороне данного квартала номера от 2 до 24. 212. 18 лет.· Дед родился 29 февраля. Если Кате χ лет, то деду 4х, 4х+1, 4х + 2 или 4х + 3 лет, а брату Кати х— 1, х — 2 или х— 3 лет. По условию х+х—3+4х<107<х+х— 1+4х+3; 17-|<*<18-^-. 213. 31 см, 42 35 см, 39 см.· У первого основание х, высота —, у третьего основание #, высота —, у второго высота —, основание —. По условию х2+(—J =(ίγ) ~Н —~) ; х=12. 214. Из подобия прямоугольников ^-=^-=^—^ х=^\ у3-24у2+194у- -300 = 0; ί/3-2ί/2-22ί/2 + 44ί/+150ί/-300 = 0; (у-2)(у2- 117
— 22ί/+150)=0 (рис. 45, β). Дискриминант квадратного трехчлена отрицательный; у = 2 см, х=\ см. 215. 27894.· Представим себе числа записанными в столбец (как в задаче 160): 0001, 0002, 0003, ..., 1995. Будем суммировать по вертикалям: единицы — 45-200 — 30, десятки — 450-20—9-4, сотни — 4500-2 — 9-4, тысячи —996. Всего 27894. 216. Всего цифр в этом числе 1-9 + 2-90 + 3-900+4-1001=6893. Написанное число оканчивается тремя нулями, поэтому оно делится на 53. Последние цифры числа 19992000 свидетельствуют, что оно делится на 26, но не делится на 27. Сумма чисел 1+2 + 3 + 4 + - + 2000 = 2001000 делится на 3 (но не делится на 9). Следовательно, и сумма цифр написанного числа (а поэтому и само число) делится на 3, но не делится на 9. Таким образом, написанное число Τ делится на 26-3-53. Кроме этих десяти простых делителей, все остальные не менее 7. Логарифм написанного числа менее 6892,0915. Если разделить на указанные 10 множителей, полученное частное будет иметь логарифм менее 6887,7113. Поэтому к— 10< ^q8^1/4 <8150; £<8160. 217. На 55 лет. · Внук родился в 1944 г., дед — в 1889 г. 218. Дед родился в 1889 г., дядя — в 1923 г., другой дед — в 1896 г., мать — в 1928 г., Петя — в 1951 г., его брат — в 1947 г. 219. Дед родился в 1686 г., его братья — в 1667 г. и в 1682 г., второй дед — в 1707 г., бабушка— в 1693 г., отец — в 1724 г., мать — в 1729 г., дядя — в 1732 г., Антон — в 1752 г., его брат — в 1748 г., а сестра — в 1747 г. 220. 39 лет.· Отец родился в 1924 г., мальчику 16 лет, год рождения деда 1895. ПЛАНИМЕТРИЯ 1. Л2Лц, АЪА\2, А7А\з, Ai9A22> ^зо^зг, Л62^бз· Пары отрезков: А2А3 и АеА7у AgA9 и А10Ап. 2. а) Да. · 17°-53 — 180°-5=1о; б) да.· 19°· 19— 180°-2=1°; в) нет.*При любых целых χ и у число 27χ+180ί/ кратно 9 и поэтому не может равняться 1. 3. Учесть, что 35°· 18—180°-3 = 90°. 4. 44 раза.· Условию отвечает положение стрелок в 3 часа и в 9 часов. Такие углы сохраняются через поворот часовой стрелки по циферблату на — полного угла. За сутки таких положений 11 -2-2. 5. 2876 раз.· Кроме промежутков 0.00—0.01 и 11.59—12.00, в каждой минуте секундная стрелка образует равные углы с часовой и минутной стрелками, и находясь внутри угла, образованного этими стрелками, и находясь вне названного угла. На указанных промежутках равенство углов встречается не дважды, а 1 раз. Всего таких случаев за сутки будет 24-60-2 — 4-1. 6. 40 раз.· В 60 120 Сл 83 — минут второго, в — минут третьего, ..., в 59—- минут один- надцатого и т. д. 7. Построим /4||/ι так, чтобы расстояние между 118
U и /з равнялось расстоянию между 1\ и /2. Затем строим окружность радиуса а с центром в точке Αζ12. Если она пересекает /4 в точках β и С, то искомые прямые соответственно параллельны АВ и АС (рис. 46). 8. Задача имеет много решений. 4 из них показаны на рисунках 47—48. В каждом решении используется либо свойство равнобедренного треугольника, либо свойство биссектрис углов треугольника. 9. Наиболее просто использовать идею рисунка 48, б. Построение основано на свойстве биссектрисы угла: каждая точка ее равно удалена от сторон угла. 10. а) Через данную на прямой точку Μ построим произвольную прямую /, затем (прикладывая край линейки к прямой /) построим прямые U и /2, параллельные /, проходящие по разные стороны от нее, которые пересекут данную прямую в точках А к В. Приложим линейку так, чтобы ее края проходили через точки Μ и А. Прямая, проходящая через точку А по краю линейки, пересечет /2 в точке С. ААВС равнобедренный, поскольку его углы А и В равны, а так как АМ = МВ, то СМ — медиана этого треугольника. Значит, СМА..АВ. б) В произвольной точке A£l строим перпендикуляр к прямой / (задача 10, а). Строим прямую через точку М, пере- ^_ м в Рис 46 Рис 47 С А [ \ В \— 1 D __в1 ε Рис. 48 114 С ~Л с \ \ ) А ■у В В
секающую построенный перпендикуляр в точке В. Приложив линейку к прямой MB, строим СЕ\\МВ, а затем аналогично DH\\CE. Если MD пересекает СЕ в точке О, а ВО пересекает DH в точке Ку то (по свойству параллелограмма) MK\\BD, т. е. прямая МК — искомый перпендикуляр к / (рис. 49). Возможны и другие построения. На рисунке 50 построены произвольные прямые МА и MB, пересекающие данную прямую в точках Л и β, и параллели к ним DC и ЕК. Помещая линейку так, чтобы ее края проходили через точки А и С, а затем через точки В и Е, построим прямые ΑΜι и ВМ\. Из равенства треугольников МАВ и М\АВ следует, что ММ\А-АВ. 11. Остроугольный. · Его углы равны полу- - суммам пар углов треугольника ABC. 12. Верно. · Если, соединив точки, получим выпуклый шестиугольник, у которого хоть один угол меньше 120°, то решение очевидно. Если все углы по 120°, достаточно соединить вершины через одну. Если пять точек являются вершинами выпуклого пятиугольника, а шестая находится внутри пятиугольника, ее соединяют с остальными вершинами. Если две точки находятся внутри выпуклого четырехугольника, одну из них соединяют с вершинами четырехугольника. 13. Да. · Точка УИб совпадает с точкой D. 14. 70°.· АВАС = (180° — 80°): 2 = 50°. Так как 50°+10° = 60°, строим равносторонний AADC; aADB= ACDB (по III признаку равенства треугольников). Z.ADB= Z.CDB = 30°; AADB = = ААСМ (по II признаку равенства треугольников), АВ = АМ; /_ВАМ = 50° — 10° = 40°; /.АМВ = (180° — 40°):2 = 70° (рис.51). Для случая, когда точка Μ находится вне треугольника, Ζ-ΑΜΒ = = 60°. 15. а) 80°.· Первое решение. В А АВС высота ВО пересекает луч AM в точке D. ^BMD= 10° + 20° = 30°; Δ.ΑΒΟ = = 100°:2 = 50°; Ζ. DBM = 50° — 20° = 30°, BD = MD. По симметрии Z_DCB = 10°; AODM=Z-ODC = 60°. Так как Z.BDC = = /LMDC=l20°, ABDC= AMDC (no I признаку равенства треугольников), Z_DMC=Z.DBC; Ζ. ВМС = 30° + 50° = 80°. Рис. 49 Рис. 50 Рис. 51 1 0
) c c b^L ) e) Рис. 52 Второе решение. Строим ABDC = аВМА. Тогда ADBM равносторонний, /L В DC = 180° — 20° — 10° = 150°, Z.MDC = = 180°.2 — 60°— 150°. ABDC= AMDC (по I признаку равенства треугольников), ADMC= Z.DBC=20°; /LВМС = 60° + 20° = = 80°. б) 78°. 16. 70°.· Первое решение. АА = (180° — — 20°):2 = 80°. Так как 80° —20° = 60°, строим равносторонний АЛМС; аЛВМ= АСВМ (по III признаку равенства треугольников), ААВМ=Ю°; Z-BAM=/-ABC\ ADBC=AMAB (по I признаку равенства треугольников); Z.BCD= Z.ABM = 10°; /-ACD=80°—10° = 70° (рис. 52, а). Второе решение. ι >]
Строим окружности радиуса АС с центрами в точках С, £, F (рис. 52,6). /.АЕС=80°У /_АСЕ = 20°У Z_ECB = 60°, Z.CEF= = ACFE = 60\ /.DEF = 40°, /.EDF=40°y ADFB = 40° —20° = = 20°, BD = DF=AC. Так как Δ DFC равнобедренный, Z_DCF = = 20°:2=10°; Z.ACD = 80° —10° = 70°. Третье решение. Строим ACBF= АВСА и равносторонний ABMF (рис. 52, β). /_DCB=^MCB=^MCF=[0°. Поэтому /.ACD=80°—10° = = 70°. Четвертое решение. Построим (рис. 52, г) перпендикуляры к АС в точках Л и С и /_ABF=20°. AABF = = АСВЕ (по II признаку равенства треугольников), AFBE равносторонний, ABCD = АВСЕ (по I признаку равенства треугольников), Z.BCD = 90° — 80° = 10°, Z.ACD=80°—10° = = 70°. Пятое решение. Построим вне аАВС равносторонний ААСК так, что DM\\AK (рис. 52, д). Z.ADM= 180° — — 80° —60° = 40°; £BMD = 40° — 20° = 20°; BD = DM; ADM К — параллелограмм; /_DMK=180° — 40° = 140°; /_CMK=20° = = ^CKM\MC = KC=AC=DM\ ^DCM=20°:2=lO°'y Z.ACD= = 80°—-10° = 70°. Шестое решение. Построим равносторонний ААМС и параллелограмм CMDK (рис. 52, е). Z.ADM = = /-Ву ^£>уШ==80о-60о = 20°, AM=MDy MC=DK, поэтому MDKC — ромб, ^DCK=\ /-MCD=\0\ Л A CD=60° +10° = = 70°. Седьмое решение. CE±BAfME=CEf ACMD равнобедренный. (Для доказательства того, что его вершина совпадает с точкой D, проведем MP λ. CD.) /.CDP=10° (рис. 52, ж), ^DPB = 30°+10°-20° = 20°, APCD= /LPDC = 10°, C£=y-X XCAf = CO; AACE= aCOP (no II признаку равенства треугольников), AC = BD\ AACD = 80° — 10° = 70°. 17. Если AKLM вписан в ААВСУ точки Αίι и Λί2 симметричны точке М относительно АВ и ВС (рис. 53), то периметр AKLM равен длине ломаной M\KLM2. При фиксированной точке Μ эта длина минимальна, если точки К и L лежат на отрезке М\М2. В этом случае АМ1ВМ2 равнобедренный, причем Z.M\BM2=2Z.ABCy а М\В = М2В=МВ. Следовательно, М\М2 имеет минимальную длину, если ВМ — высота треугольника ABC. Аналогично AL и СК—высоты треугольника ABC. 18. Не всегда.· Например, из высот прямоугольного треугольника с катетами а и 2а треугольник построить нельзя. В общем случае построение невозможно, если ha-\-hb^hc\ 2S_ 2S 2S_ _L 1 _L _*_ с Но (J_+C\(JL+ a bcabca'b \ a b / \ с Η )^4; ^i-^4. 19. Первое решение. По свойству биссектрисы угла точки А\ и А2у симметричные точке А относительно 1\ и /2, лежат на прямой ВС. Построив прямую А\А2у найдем вершины В я С. Второе решение. Если U и /2 пересекаются в точке О, то /-ВОС=90°-\——. Построив углы ОАВ и ОАСу равные по величине Z.BOC — 90°, найдем вершины В и С. ι ~>
Рис г с Рис. 54 Рис. 55 20. Прямые, симметричные АВ относительно 1{ и /2, пересекаются в точке С. 21. Если эти прямые попарно пересекаются, центр искомой окружности совпадает с центром окружности, вписанной в полученный треугольник. Но нужно рассмотреть случай, когда две прямые параллельны, а третья пересекает их, и случай, когда все три прямые параллельны. 22. Окружность, проходящая через данные точки, вписана в треугольник, вершины которого являются центрами искомых окружностей. 23. Верно.· Первое решение. Пусть точки D, £, F лежат на сторонах треугольника ABC. Окружность, проходящая через эти точки, не меньше вписанной в треугольник: г\^г. Если эти точки — середины сторон R R треугольника ABC, то г\ =—. Таким образом, — ^ г, R ^ 2г. В τ ορό е решение. При положительных χ и у x-\-y^2^fxy. Поэтому a=(p — b)-\-{p—c)^2^(p — b)(p—c). Аналогично Ь^2-\1(р—а)(р — с\ с>2У(/? —а) (/? — &); abc^8(p — a)(p — b)X Х(р — с)\ 4RS >8·—;/?>2 ·—,/?>2г. 24. Все такие точки лежат ρ Ρ на описанной окружности, так как в этом случае один из отрезков МЛ, MB, МС равен сумме двух других. 25. а) Точка Μ определяется пересечением окружности диаметра АВ\ с CD (рис. 54). Пусть Z-BMD=xy L·АМС=90° +*. Если точка В\ симметрична В 121
относительно CD, то Δ.ΑΜΒι=90°. б) Пусть Z.BMD=x. Если В\ симметрична точке В относительно CD, то Z.BiMD=x, прямая В\М является осью симметрии Z.AMC. Если точка E£CD симметрична данной точке А относительно В\М, то В\Е = В\А. Построив серединный перпендикуляр отрезка ЕА, можно найти точку Μ (рис. 55). 26. Если D\ симметрична точке D относительно АВ, то Z.DxKE = 2Ζ.АКТ = 90° (рис. 56). Поэтому вершина треугольника МКР определяется пересечением АВ с окружностью диаметра D\E. 27. На рисунке 57 показаны два треугольника, отвечающие условию задачи. У одного углы 30°, 30°, 120°, у другого — 45°, 45°, 90°. 28. К вершине наибольшего угла.· Используется свойство: в каждом треугольнике против большего угла лежит большая сторона (и наоборот). 29. Остроугольный.· Углы равны полусуммам пар углов ААВС. 30. Z-v4, = 180°—-2 Z.A, /_Βι = \80° — 2Z.B, /-Ci = l80° — 2Z.C. 31. Да. 32. Прямоугольник. · Его диагонали — диаметры описанной окружности. Используйте результат задачи 31. 33. Да.· Используйте результат задачи 30. 34. Построим окружность через точки А\, В\, С\. По углам треугольника А\В\С\ просто определить углы искомого треугольника. При рассмотрении второго случая учитывают, что биссектрисы внутреннего и внешнего углов треугольника, проведенные из одной вершины, взаимно перпендикулярны {А\А2— диаметр, поэтому по точкам А2, В2, С2 просто найти точки Ль В\, С\). 35. 90°, 60°, 30°. · AD — высота и биссектриса угла А треугольника АВО. Поэтому она является и медианой. Построим ОМ А-АС (рис. 58). аАОМ= AAOD (по II признаку равенства треугольников), ОМ = 00=-^ВО=-^ОС; АС = 30°; Z_CAD^=90° — _30° = 60°; Ζ.ВАС = 60°~=90°; Ζ_β = 90° — 30° = 60°. 36. 30°. • Так как МС — биссектриса Z.BMD и медиана треугольника BMD, то MCA-BD. Опустим перпендикуляр ВО на МА (рис. 59). Далее, как в задаче 35. Получим /_АМВ= /.ВМС= Z.CMD = = /.DME = 30°. 37. 90°, 67°30', 22°30'.· Первое решение. Продолжение медианы пересекает описанную окружность в точке Μ (рис. 60). Если ВАС = 4х, то /.АМС= Δ.Β=90°—χ. В ААМС сумма двух углов 90°, поэтому AM — диаметр описанной окружности, и так как он делит пополам хорду ВС, не будучи ей перпендикулярным, то ВС тоже диаметр. Поэтому Z.BAC = = 90°, х = 22°3(У, /.В = 67°Ш, Z.C = 22°30'. Второе решение. Серединный перпендикуляр отрезка ВС пересекает биссектрису угла ВАС в точке L — середине дуги ВС. Так как FL\\AD, то Z.ALF=Z.LAD=Z.LAF. Поэтому FA = FL, точка F — центр описанной окружности, Z.ВАС = 90°, Ζ_β = 67°30', Z.C = = 22°30'. 38. Пусть продолжение AD пересекает описанную окружность в точке Ку продолжение АЕ пересекает окружность в точке L, продолжение AF пересекает окружность в точке М. Эти три точ- I 4
Рис. 56 Рис. 57 Рис. 58 Рис. 59 ки определяют окружность, ее диаметр LT проходит через точку F. Поэтому AK\\LT. Хорда ВС проходит через точку F перпендикулярно LT (рис. 60). 39. Так как Z.BAK= Z.BCM, то ВК=ВМУ аналогично АМ = =ALy CL = CK. Построив через точки /С, L, Μ окружность, можно найти вершины Л, β, С как ее пересечение с серединными перпендикулярами хорд ΛΧ, KM, ML. 40. Достаточно. ФАМСО — ромб, MD±AC, Z.ABM=Z.CBMy ΜζΒΟ; /_OAD=x, ^ОАВ = Ъх. Из треугольника ABD имеем 2х + 3х = 90°. Углы Δ ABC равны 36°, 36°, 108° (рис. 61). 41. Постройте окружность через точки Аи Ви G, ее центр О позволит определить углы искомого тре- Рис. 60 1 5
Μ { Рис. 61 Рис. 62 угольника. Затем (как в задаче 19) постройте касательные к окружности под соответствующими углами к ОАи OBi, ОС]. 42. Хоть одна из высот треугольника находится внутри треугольника. Такая высота делит треугольник на два прямоугольных треугольника. Таким образом, треугольник можно разделить на любое число п^2 прямоугольных треугольников. А каждый прямоугольный треугольник делится медианой, проведенной к гипотенузе, на 2 равнобедренных треугольника. 43. Верно. · Первое решение. См. решение задачи 42. Если получается четное число частей, а требуется получить нечетное число, то можно предварительно отсечь от данного треугольника равнобедренный треугольник. Второе решение. Если данный треугольник равнобедренный, то первое решение может не дать результата. В этом случае используют средние линии треугольника. На рисунке 62 показано, как при любом натуральном k получить 3&, 3&+1, 3& + 2 равнобедренных треугольников. 44. /-АВС = 75°У /-АСВ = АЬ°.% Π ервое решение. Опустим перпендикуляр ВО на AM. Так как Δ.ΜΒΟ=30°, то MO=-j-BM = MC. Поэтому ^МСО = АА^В = 30° =/.МВО. Следовательно, ОВ = ОС, Δ. ВОС=90° + 30° = 120° =2 Z.BA С, т. е. точка О — центр окружности, описанной около треугольника АВС\ АЛОВ прямоугольный, равнобедренный, Z.ABO = =45°. Поэтому ^ЛВС = 45° + 30° = 75°, ААСВ= 180° — 60°- — 75° = 45°. Второе решение. Построим окружность (УИ, МС), которая пересечет сторону ВС в точке D; треугольник MOD равносторонний, OD = BDy AOBM=^f^-=30o] /LMCO= ^ΜΟΟ=^ψ^-=30° = ^ΟΒΜ; OB = OC, Z.COD = =90°, ^L5OC=90o + 30o=120°. Далее, как в первом решении. 45. 30°. ФПервое решение. АЕ и BE — биссектрисы внешних углов AADB. Поэтому их точка пересечения лежит на \2v
биссектрисе Z.ADB. Так как DM и ВМ — биссектрисы внешних углов ABDC, то их точка пересечения Μ лежит на биссектрисе Z.ACB. Если Z-MCD = xy то /_ADB = 60° + 2x (рис. 63); AADM = (60° + 2x):2 = 30°+x; Z.DMC= /_DOC- AMDO = =60°-\-χ—(30°-\-χ). Второе решение. По свойству биссектрисы угла точка Ε равноудалена от лучей ВА и ВР. Точка Ε равноудалена от DT и DP, т. е. точка Μ лежит на биссектрисе AADB. Так же доказывается, что точка Μ лежит на биссектрисе Z.ACB. Далее, как в первом решении. 46. Верно.· Прибавьте к данным квадратам еще три — BJPC, СРТЕ, ΕΤΗ К (рис. 64). AMTF=ATBEy т. е. MT=BTf ^BTE=/.TMF, ABTM равнобедренный прямоугольный, Δ.ΤΒΜ = 45°. Но Δ.ΤΒΜ= Δ.ΤΒΚ+ + Z.MBK=/-FBK+ Z.MBK. Итак, Z.DBK+ Z.FBK + -\- Ζ_Λίβ/ί=45ο+45ο=90ο. Задачу можно решить с применением тригонометрии: учесть, что тангенсы двух меньших углов — и Рис. 63 Рис. 64 12
—, сумма этих углов равна 45°. 47. Нет. ФВКМС— прямоугольник, его вершины лежат на окружности, ее диаметры ВМ и КС. Так как Ζ. КОС = 90°, то точка О лежит на этой окружности. Поэтому Δ.ΒΟΜ = 90°. Если точка К лежит на продолжении В А, ответ не изменится. 48. Аналогично решению задачи 47. 49. Если Μ 6 А В, N£CD, строим М\ симметрично точке Μ относительно центра О. Если М\ совпадает с Л/, задача имеет бесконечно много решений. Если же они не совпадают, строят прямую CD\\AB и т. д. (рис. 65). Если ΜζΑΒ, N£AD, строят окружность диаметра MN. На полуокружности, не обращенной к вершине А, находят середину Р. Прямая ОР определит вершину А. 50. а) Если даны точки А, Е, F, причем Е£ВС, F£CD, то строится окружность диаметра EF и прямая Л/С, где К — середина полуокружности, обращенной к вершине А. б) Используется свойство квадрата: если М^АВ, K£CD, N£BC, L£AD и MK1.NL, то MK=NL. 51. Окружности (А, АО) и (В, ВО) пересекаются в точке С. Окружность с центром С, равная данной, пересекает данную в искомых точках. Если прямая АВ проходит через центр О, то указанное построение неосуществимо (С совпадает с О). В этом случае строят окружность произвольного радиуса с центром А, она пересекает данную в точках Ε и /С. Далее строят окружности (О, Ε К), (Е, ЕО\ {К, КО). Это определит точки Μ и Τ (рис. 66). Окружности (Λί, ОА) и (Т, ОА) пересекаются в точке Я. Окружность (М, ОН) определит искомые точки С и D. При проверке правильности построения используется теорема о сумме квадратов диагоналей параллелограмма. 52. Может.· Четырехугольник, вписанный в окружность. 53. Можно. 9 Идея возможного решения показана на рисунке 67. 54. Z.CAM= Z.CMA, АС = = СМ<сВС. 55. Нет. · По условию а = х, Ь^х-\- — , с^х——. Р Р Отсюда х^ —, т. е. Ь^ — , что невозможно. 56. Требованию задачи отвечает не только центр Μ данного треугольника. Построим окружности (А, АВ), (В, АВ), (С, АВ). Их попарные точки пересечения, середины дуг АВ, АС, ВС и точки, диаметрально противоположные этим серединам, также отвечают требованию. Всего точек 10. 57. Пусть а>Ь>с. Тогда: а) маршрут СОВАС имеет длину 2R-\-b + c. Такую же длину имеет маршрут ВОСАВ; б) АВОСА или АСОВА.ф Отложив на АС отрезок AD=AB, используем неравенство треугольника: OC<OD-\-DC, т. е. АВ-\- -\-ОС<АС. Аналогично АС + ОВ<ВС+АО; в) аналогично задаче 57, б. Используя формулу медианы, можно доказать, что a+JLma>b+^Lmb>c+^-mc. 58. 45°, 45°, 90°. 59. 45°, 45°, о о о 90°.· Пусть Z.BAC=2x. Тогда ABAD= ACAD= AACE= = Z.BCE=x; A.ADB=x + 2x = 3x; Z. KOD = 2<KCD = 2x; AKDO = (l80° — 2x):2 = 90°—x; /LODC= ZOCD = 2x; сумма I2e
Рис. 65 L^^m Рис. 67 viv Рис. 68 углов при точке D: Зх + 90° — χ+ 2* =180°; 4х = 90°. 60. Если ААВС тупоугольный, то углы треугольника А\В\С\ равны 2α, 2β и 2γ—180°, где γ — тупой угол. Если же ААВС остроугольный, то стороны АЛВС лежат на биссектрисах внешних углов AAiBiCi. 61. Нет.· Сумма углов всех треугольников равна 180° (п — 2) + + 360° -k. Поэтому в любом случае всего η — 2 + 2£ треугольников. 62. Да.· На рисунке 68 показаны три способа решения задачи. 63. Равнобедренный.· Преобразуя условие, получим (a — b)(b — с)(с—а) = 0. 64. Если точка О — середина АС и луч а симметричен стороне данного угла относительно О, то пересечение а с другой стороной угла — вершина искомого параллелограмма. 65. Если точка О — середина АС, можно построить точку Μι, симметричную Μ относительно точки О. Расстояния от Μ и Αίι до D известны. 66. Аналогично задаче 65. 67. 60°, 120°.· Пусть АВ = ау ВС = 2а, Z.CBD=x, Z.ABD = 3x. Построим луч ВМ так, что Z.MBD=x. Тогда ААВМ=2х = ^АМВ; ВМ = =AM=MD = a. Отсюда Z_ABD=90°, Ζ.Λ=60°, Z.ABC=\2Q° 5 Заказ 741 1-3
к £ Ρ Рис. 69 Рис. 70 Рис. 71 (рис. 69). 68. Прямая 1и проходящая через центр окружности О перпендикулярно ВС, является осью симметрии AD. Поэтому луч Ш\, симметричный ВА относительно Л, проходит через D. Аналогично строят /2 через О перпендикулярно АВ и луч га2, симметричный ВС относительно /2. Этот луч пересекает т\ в вершине D. Далее просто. 69. 90°, так как этот параллелограмм — квадрат. 70. Если Μ — искомая точка, ЕК = ау делаем параллельный перенос ЕК в положение АР. Так как АРКЕ—параллелограмм, Ζ-ΡΚΒ= Ζ_Λί = 90°. Поэтому точка К определяется пересечением CD с окружностью диаметра РВ (рис. 70). Задача имеет не более двух решений. 71. Среднюю линию треугольника (без ее концов), параллельную ВС. 72. Верно.· Используется неравенство: если точка Μ находится внутри треугольника ABC, то МА-\-МВ<С <АС + ВС. 73. 30°, 150°. 74. Да.· По свойству диагоналей параллелограмма прямые ААи ВВ\, CCi, пересекаясь, делятся пополам. 75. Можно.· aABBi= ADCDi, KL = MH. Серединный перпендикуляр отрезка ВВ2 делит КМ пополам. Построив /Ш, проводим ΒΒι-LKM, DD\±.KM, теперь можно найти точку Τ — середину КМ и построить BB2-LOT. Это определяет вершину В. Далее можно найти ββ2, построить ВА и CD, параллельные 07, и т. д. (рис. 71). 76. 3:4. 77. Нет.· Так как хорда окружности диаметра МО (О — центр прямоугольника), на которую опирается вписанный угол, не зависит от положения точки М: длина хорды равна ΛίΟ-sin Z.AOB. 78. 75°.· Так как Z.MAD = = Z_AMB=Z.AMD, то MD=AD=2CD\ ZCMD = 30°, /_AMB=Z.AMD = (180° — 30°):2 = 75°. 79. Центры окружностей Οι и О2 лежат на АС, центр ромба — Τ — середина Oi02. BD — серединный перпендикуляр отрезка Οι02. Если Μ — середина АВ. то окружность (М, МТ) проходит через вершины А и В. 80. 45°. 81. 30°. ©Первое решение. Пусть ^ВМС=хч Z_AMD=y. Тогда Z-BCM=x, /LADM = y, /LMCD+ Z.MDC=\2Q° — x + y; /-CMD=x + 60°—y; /-MCD+/-MDC=l80° + x—y;y—x = 30°y Z.CMD = 30°. Второе решение. Постройте МТ\\ВС (рис. 72, а). Если Z.BMC=x, Z.AMD = y, то АТМС= АМСВ = = /_ВМС=х, /LTMD= Z.MDA = Z.DMA=y, /_АМВ = 2х + + 2y = 2A.CMD\ /-CMD = 60°:2 = 30°. Третье решение. Постройте ромб МВСО (рис. 72,6). Так как AD = BC=MOy то 130
MOD A— параллелограмм. Но N10=MA, значит, это ромб. По свойству диагоналей ромба ACMD=-j-ААМВ=60°:2 = Ж. Четвертое решение. Выполните параллельный перенос треугольника АМВ в положение CM\D (рис. 72, в). Так как M\M = BC=MiC=MiDf то М\ — центр окружности, проходящей через точки Му С, D. Вписанный угол CMD равен — Z-CM\D = =—·60° = 30°. Пятое решение. Постройте АМСО, симметричный АМСВ относительно МС, затем докажите, что МО\\ВСу и далее, как в третьем или четвертом решениях. 82. Высоты ромба равны. У искомого ромба высота Я равна расстоянию между данными параллельными прямыми. Поэтому можно строить прямоугольный ΑΜΜιΤ с гипотенузой ММ\ и катетом МТ=Н. Прямая ТМ\ содержит сторону ромба (рис. 73). 83. Если Τ — середина КМ, то ВС и AD параллельны ОТ. Построив через К и Μ перпендикуляры к ОТ, можно определить вершины В и D (рис. 74). Далее просто. 84. Да.· Окружности диаметров АВ и АС проходят через с в τ Μ «j ) Рис. 72 С I Рис. 73 131 Рис. 74
α_ _α 2 2 α α 2 2 α fl J 2 2 2 Рис. 75 Рис 76 Рис. 77 Рис. 78 точку D. По свойству вписанных углов Z.ODB= Z.OAB = = Ζ.MAC = Ζ.MDC=45°. 85. Центр квадрата и не лежащие на сторонах квадрата вершины восьми равносторонних треугольников, построенных на сторонах квадрата. 86. Все стороны восьмиугольника, показанного на рисунке 75. 87. Строим EF — общий перпендикуляр параллельных сторон ВС и AD. Это определяет длину стороны квадрата. Если построение EF невозможно, заменяем EF ломаной, у которой соседние звенья перпендикулярны (рис. 76). Через точку Τ — середину EF строим перпендикуляр к EF и строим на нем точку, удаленную от АВ на — . 88. При повороте около О на 90° точка Μ переходит в точку Мь а отрезок MB — в отрезок М\А. Поэтому вершину А можно найти по ее расстояниям от Μ и Мь Далее ясно. 89. Пример построения показан на рисунке 77. Доказано, что общее число остроугольных треугольников, на которые разрезается квадрат, больше 6. 90. Легко проверить, что внутри окружности могут оказаться 1, \о
\ к 2, 3, 4 вершины квадратов. Допустим, что окружность с центром О охватывает ровно k вершин квадратов. Если вершина Му лежащая вне окружности, ближайшая к этой окружности, то построим прямую МО, она пересекает окружность в точках А и В. Построим окружность диаметра МА (точка В ближе к Λί, чем А) и несколько увеличим ее. Внутри ее окажутся k +1 вершины. Таким образом, внутри окружности могут оказаться 5, 6, 7, ...— любое число вершин квадратов (рис. 78). 91. Если принять /LOAB = = а (рис. 79), то ^АСО = = 90° —а, /-АСК= 180° — —2(90° —а)=2а, /.АОВ=АЪ\ Ζ.ΛβΛ/=180°-2(45° + α) = = 90° —2а; Z.KBC=Z.ABN = = 90°-2а, /-ВКС=Ш° — —(90° — 2а + 2а)=90°. Все углы четырехугольника прямые. Но из всех прямоугольников описанным около окружности может быть только квадрат. 92. Если Z.OAD = a, то /_OKD=a, /-OLD=90° — ay Z.OCD = 90° — a (рис. 80). Аналогично если Δ.ΟΑΒ = β, то /-ОСВ = 90° — β. Следовательно, Z-BAD+/-BCD = l80°yT.e. около четырехугольника ABCD 0 Рис. 79 Рис. 80 Рис 81
можно описать окружность. Если Z.KLM=xy Z.NML=yy то AB + CD = OL sin x + ON sin (180° — x)=NL sin x=2R sin χ sin y\ ВС + AD = OM s\n у + OK sin (180° — y) = MK sin y = 2R sin xX Xsin y=AB-{-CD. Следовательно, в четырехугольник можно вписать окружность. 93. Да. · Пусть прямые DB и ЕС пересекаются в точке Т. Тогда Δ.ΜΒΤ-\- Z.MCT= 180° — — Z.DBM + 180°— А Е CM = ^DAM + Ζ. Ε AM = 180°. Следовательно, точка Τ лежит на окружности, проходящей через точки Λί, β, С. 94. а) АС пересекает / в точке О, ВС пересекает/в точке М. Пересечение ВО и AM — точка D, симметричная точке С относительно / (рис. 81). Если расстояния от точек А и С до / мало отличаются, берут иную точку Ε и строят ΕΕχλ.1. Затем поступают, как указано выше, заменив АВ на ЕЕХ. б) Берут на ВС какую-нибудь точку D и строят симметричную ей относительно / точку Е. Если К — середина АВ, Μ — середина D£, то пересечение AM и KD лежит на искомом перпендикуляре (рис. 82). 95. а) МА и MB пересекают окружность в точках С и D. По свойству высот треугольника перпендикуляр к АВ через Μ проходит через точку пересечения AD и ВС. б) Как в задаче 95, а. В остальных задачах приходится строить какой-нибудь перпендикуляр к АВ и использовать приемы, описанные при решении задачи 94. 96. Эти точки лежат на описанной около искомого треугольника окружности. Если даны точки Λί, /С, L, то вершины Л, β, С — середины дуг ML, М/С, KL. 97. Эти точки лежат на окружности, описанной около ААВСУ причем ААВС= ADEF. Первое решение. Постройте окружность по данным точкам. Вершины искомого треугольника симметричны данным точкам относительно, центра построенной окружности. Второе решение. На дополнительном рисунке постройте АА\В\С\ = ADEF, найдите соответствующие точки D\, £Ί, F\ и определите на этом рисунке расстояния АХЕХ и Л,/7,. Затем на основном рисунке постройте окружность через данные точки и находите положение вершин по АЕ и AF. 98. АОх02Ог= ААВС (по III признаку равенства треугольников). Определив радиус R окружности, проходящей через данные точки, можно найти вершины А, В, С как пересечения окружностей (О,, R), (02, /?), (03, R). 99. Одно из решений: условию отвечают середи- Рис. 82 ны сторон ААХВХСХ. Три 7Г В Μ 13
ψ Рис. 83 Рис. 84 решения показаны на рисунке 83. Высоты AAlBlCl продолжены каждая на половину стороны треугольника. Так найдены точки /С, L, М. Точки Ρ, 7\ Ν симметричны С,, Ах, В{ относительно Λί/C, ML, LK. Правильность построения треугольников МРК, LTM, LNK легко проверить вычислением. Еще три треугольника построены на рисунке 84. Если высоты АА\В\С\ пересекаются в точке О, строят биссектрисы углов А\В\0, С\В\0 и т. д. Так как на высотах АА\В\С\ фиксируются по две вершины искомых треугольников — /С, L, М, третьи вершины определяются построением биссектрис углов A\LM, A\LK, C\ML, CiMKy B\KM, B\KL. Правильность построения доказать легко. 100. Первое решение. Возьмем на / точки Л и β. Окружности (A, AM) и (β, ΒΜ) пересекаются в точке Μι, симметричной Μ относительно /. Отрезок MMiJL/. Второе решение. Если а больше половины расстояния от Μ до /, строим окружности (М, а) и (Μ, 2а). Если вторая пересекает / в точке β, a MB пересекает первую в точке О, то окружность (О, а) пересекает / в точке С. Искомая прямая МС. Третье решение. Отметим А £/. Из середины Μ А опускаем перпендикуляр ОВ на /. Основание искомого перпендикуляра — такая точка С, что В — середина АС. Четвертое решение. Построим две симметричные относительно / точки. Далее, как в задаче 94. 101. Если О— середина основания AC, a D и Ε — середины высот АА\ и СС\, то (по свойству средних линий треугольника) можно построить прямые АА\ и СС\ (они соответственно перпендикулярны OD и ОЕ). Отрезок АС строится по его середине О, зная, что его концы находятся на прямых ААХ и ССХ (рис. 85). 102. Да.· Первое решение. Опустите на прямую АВ перпендикуляры DK, СР, МО, ЕТ (рис. 86). AADK=ACAP, aBCP=AEBT; КА = СР = 1^о
°г=г7Г1\/ Рис 85 Рис 86 С ε с Рис. 87 = ВТ; DK=AP, ЕТ=РВ, О — середина АВ; М0=^±™-= АН =—; Μ — вершина квадрата с диагональю АВ. Второе решение. Пусть АВ — ось абсцисс, А — начало координат. Тогда Л(0; 0), D ( — а\ Ъ\ С (b; a\ B(b+c\ 0), м{^\ —t-^-) · Точка Μ находится на серединном перпендикуляре от- Ά R резка АВ на расстоянии — от АВ. Третье решение. Возьмем наугад вместо D точку D\ и последовательно построим точки Ci и £|. Так как при каждом повороте фигуры расстояние между ее точками не меняется, то DDi = CCi=EE\. При этом направление дважды менялось на 90°, поэтому DD\ ||££i, т. е. DD\EE\ — параллелограмм. Середина DE совпадает с серединой D\E\ (рис. 87). 103. Это прямоугольные трапеции с основаниями 2 см и 5 см. 104. 60° и 120°. 105. На 8. · На рисунке 88 показаны два решения. Второе решение основано на том, что любой косоугольный треугольник можно разрезать на 3 непрямоугольные трапеции. 106. 72°, 108°.· Если AB = BC=CD, положим Z.CBD=x. Тогда /.BDC=xy /.BDA=xy /_А=2х, Z.ADF=^-; 2х+-у=90°, х = 36°. Равенство AB=AD = BC невозможно! 136
107. 30°, 150°.· ВО — высота и медиана, поэтому ААВС равнобедренный; AB = BC = 2R, высота трапеции CM = Rf /_MDC = = 30° (рис. 89). 108. 40° или 80°.· По условию ED\\ACy ААОС и AEOD равнобедренные. Если /-ОАС=х, то Δ.ΑΟΕ = 2χ. Далее возможны два варианта: а) АЕ=АО\ 2х + 2х + (60°—х) = 180°, х=40°, ААОЕ = 80°; б) АЕ = ЕО; 2х = 60° — ху х = 20°, ААОЕ = = 40° 109. Первое решение. Выполните параллельный перенос окружности. Тогда (рис. 90) точка 02 перейдет в точку Т, которая определяется пересечением окружности (О, 002) с окружностью диаметра 0\02. Искомая прямая параллельна 02Т. Второе решение. Если Μ — середина Οι02, то ОМ — средняя линия прямоугольной трапеции. Поэтому МОА.АВ. Второе решение заманчиво, но при этом теряется одно из возможных решений задачи: в первом решении точка Τ могла находиться и по другую сторону от 0\02. 111. Постройте прямоугольный AADE, у которого гипотенуза AD = ma, а катет AE = ha. Прямая DE содержит сторону ВС. Отметьте на AD центроид Μ треугольника (AM = 2MD). Так как у равнобедренного треугольника две медианы равны, МС=АМ. 112. Если О — середина АС, то прямая А'С, симметричная ВС относительно О, определит на прямой AD точку 7", соответствующую вершине А искомой трапеции. Далее строят Л О, что определит вершину С, прямую МС (это определяет верши- λ у- Рис. 88 В С 0 Рис. 89 137
D Τ Ζ Рис. 90 Рис. 91 ну D) и АВ\\CD. Можно было найти точку, удаленную от ВС вдвое больше, чем точка О. Прямая, проходящая через эту точку параллельно ВС, определит вершину А. Второй способ следует применять, если точка пересечения данных прямых находится за пределами доступной части плоскости. 113. Да. · Используются свойства средней линии треугольника и медианы, проведенной к гипотенузе. 114. Первое решение. Αθ2Β0Αο = АА0С0Оз (по I признаку равенства треугольников). Поэтому АА0О2Оз равнобедренный прямоугольный. Это позволяет просто построить середины сторон А АВС — точки Л0, Во, С0. В τ ο ρ о е решение. Постройте параллелограмм O3DA0C0 (рис. 91). Ломаные 02ВоА0В и ОзЕ>АоО\ равны. Так как их звенья соответственно равны и перпендикулярны, поэтому равны и перпендикулярны замыкающие: 030ι_1_02β, 030ι = 02β. Так сразу можно построить все вершины искомого треугольника. Если ссылаться на первое решение, то можно рассматривать не параллелограмм, а треугольники (или ломаные) ОзА0О\ и О2А0В. 115. Да.· Если l.BAD=x, то /.ВАМ=х+^-^=4Ъ°+^-\ /-ВОА=45°+^-=/-ВАМ, т. е. АВАО равнобедренный, ВМ не только биссектриса, но и медиана, Μ — середина АО (рис. 92). Аналогично устанавливается, что N — середина АЕ. По свойству средней линии ΜΝ\\ΕΟ. 116. Пусть даны точки А и В. Проводим через А прямую близко от β, откладываем на ней равные отрезки АС\У С\С2у С2Сз, .., Сп-\Сп так, чтобы расстояние СпВ было меньше размаха циркуля. Затем через G, С2, Сз, ... проводим прямые, параллельные СпВ, и откла- 1 2 дываем на них отрезки С\В\=—СпВу С2В2=—СпВ и т. д. Точ- г η η ки В\, B2f ... лежат на искомой прямой. Если АВ меньше удвоенного размаха циркуля, то строим середину отрезка АВ и т. д. 117. · Построим произвольную прямую, пересекающую данную . 3
окружность. Затем известным способом находим середину хорды и строим в ней перпендикуляр к хорде (задача 10). Если диаметр окружности меньше ширины линейки, то вместо хорды строят касательную. 118. Через середину отрезка, соединяющего любые 2 точки оснований, провести среднюю линию трапеции EF и найти ее середину (точка М). Через точку Μ провести KN JlBC, соединить точки Ε и /С; через точку Ρ (середину отрезка КМ) провести прямую а параллельно ЕК. Диагональ АС\\ЕК и отстоит от ЕК на расстоянии вдвое большем, чем расстояние от ЕК до а. Построение упрощается, если учесть, что диагонали трапеции пересекаются на прямой, проходящей через середины ее оснований. 119. В пятиугольнике ABCDE постройте ВО\\АЕ, EO\\DC, затем через полученную точку О проведите ОМ\\ВС (рис. 93). Так как все элементы построения осуществимы, утверждение о возможности построения верно. 120. Верно.· Постройте в я-угольнике пятиугольник, проведя одну из диагоналей. Затем из вершин, не входящих в пятиугольник, проведите прямые, параллельные указанной диагонали. При этом отсекутся трапеции и еще один пятиугольник. По задаче 119 общее число трапеций, на которые будет разрезан многоугольник, 3-2 + (п — 8) = η — 2. 121. Если точка Μ находится внутри треугольника ABC, выполните поворот около вершины А на 60° (рис. 94). Это переместит точку В в D, а точку Μ в М\. Тогда сумма MA-\-MB-{-MC=MM\-\-DM\-\-MC равна длине ломаной DM\MCy концы которой фиксированы. Минимум длины имеет место тогда, когда точки Μ и Μι лежат на DC (при этом ААМС= 120°). Если бы поворот выполнялся около другой вершины, то оказалось бы, что и Δ.ΑΜΒ= Z.BMC= 120°. На этом основано построение. На сторонах А АВС вне его построим равносторонние треугольники ABD и АСЕ. Прямые DC и BE пересекутся в искомой точке М. В той же точке пересекаются и окружности, описанные около треугольников ABD и АСЕ. Вне А АВС искомая точка Μ располагаться не может. 122. Первое решение. Пусть даны середины сторон я-угольника: В\, Вч, ..., Вы+\> Возьмем вместо вершины Ах точку С\ и по серединам сторон будем V Рис. 92 Рис 93
строить точки Сг, Сз, -.., C2k+2- Если бы точка C2k+2 совпала с точкой G, задача была бы решена. Если же они не совпадают, то (по свойству центральной симметрии) C\A\ = C2k+2Ai и вершина А\ — середина отрезка C\C2k+2. Второе решение. Возьмем какую-нибудь точку М. Тогда МВ\— МВ2-\-МВз— Μβ4 + ...+ + ЩН1=}(Ш,+Ш2)-}(Ш2+Шз)+урз+Ш4)- —...+ —-(MA2k + i-\-MAi) = MA\. Построив точку А\, легко найти другие вершины. Третье решение. Середины сторон четырехугольника являются вершинами параллелограмма. Поэтому по точкам В\, В2, Вз легко найти С — середину диагонали ΑιΑ4. Затем по С, β4, Β$ найти середину диагонали А\А% и т. д. Так придем к построению треугольника AiA2kA2k + i по серединам его сторон (рис. 95). 123. Аналогично решению задачи 122. 124. 540°. 125. Используйте неравенство треугольника. 126. Да.· Если два равных угла вписанного выпуклого многоугольника прилегают к одной стороне, то соседние с ней стороны равны. Допустим, что равные углы не соседние, например Z.A = Z.C = Z_£=120° (рис. 96). Тогда по свойству вписанного четырехугольника /_ВСК=60° и Z. DCF = 60°, т. е. Z. BCD > 120°, что противоречит условию. Следовательно, из этих углов два прилегают к одной стороне, т. е. у семиугольника есть равные стороны. 127. 1:2.· Z.C = (180°—108°):2 = 36°; Z.DBC = bA°. Постройте (рис. 97) DKWAE, тогда /.САЕ = 36°:2= 18°; /.BDK=90° —18° = 72°; /-DKB=180° — 72° — 54° = 54°; BD = DK=-yAE\ BD:AE=\:2. 128. Построив прямые 1\ и /2, параллельное стороне ADf проведем прямую через середины полученных внутри четырехугольника отрезков (с концами на АВ и CD). Это определит середину AD. Аналогично находят середины остальных сторон. Далее, как в задаче \-\ 1 1_ k г \^ N А В 1 1 м Аз В А2 В А q Α2κ*ι βί-Α С ---^ *2к ^В "—J ΊΑ* fBs Рис. 94 Рис. 95 140
Ε ^—Κ С Рис 97 Λ Рис. 98 Рис. 99 118. 129. При повороте около точки О на 120° прямая АВ преобразуется в прямую ВС, а окружность (Oi, г\)— в окружность (03, Γι) (рис. 98). Общая касательная окружностей (Ог, г) и (03, Γι)—прямая ВС. Аналогично, повернув окружность (02, г,), можно получить прямую АВ. 131. Отметим наугад А\ вместо А, далее строим равносторонние треугольники DA\A2, FA2Az, ЕА3А4. Так как А\А=ААА и точки А, А\, Л4 лежат на одной прямой, то легко построить точку Л. Далее просто. 132. п>4. · Если найдется точка, лежащая вне названных кругов, но внутри многоугольника, то из нее каждая сторона видна под острым углом. Следовательно, сторон многоугольника более 4. Однако в некоторых случаях сторон может оказаться ровно 4. 133. Можно.· Если DEftAC, условие противоречиво. Если DE\\AC, то AD = CE = = DE. На этом основано построение (рис. 99). 134. Первое решение. Построим параллелограмм АВТС; Z.ABT= 180° — — АВАС= Z.DAK. Поэтому &DAK= ААВТ (по I признаку равенства треугольников), DK=AT = 2AO. Второе решение. Выполним поворот AADK около А на 90° (рис. 100), он займет Рис. 96 В У* 1 1
Рис 100 Рис. 101 положение АМС. При этом окажется, что АО — средняя линия АВМС, т. е. ЛО=-~-МС=-~-£/(. 135. Остроугольный.· Если с2>а2 + 62, то c3^a2c + b2c>a3 + b3. Следовательно, с2<Са2 + Ь2. 136. Если все углы четырехугольника прямые, то диагональ превышает меньшую из сторон больше чем в -ф. раз. Если же диагональ АС лежит против тупого угла, то меньшая сторона треугольника ABC (АВ) меньше А С более чем в-ф раз. 137. 3:4 или (4 —У7):3. · Если точка Μ лежит на катете АС, то АС = 4а. Обозначим ВК = х, где К — точка касания окружности с катетом ВС, тогда (x-f За)2==(4а)2+(л: + а)2; х=2а. Отношение катетов 3:4. Если точка Μ находится на гипотенузе, то отношение катетов (4—У7):3. 138. Да.· Проведем СК\\АВ (рис. 101). Тогда DK — диаметр, Z.KBD прямой, КВ=АС\ DK2 = KB2+BD2=AC2 + + BD2 = MA2-\-MC2-{-MB2 + MD2. Эту задачу можно также решить с использованием векторного аппарата или теоремы о пересекающихся хордах окружности (AM - MB = CM · MD). 139. Да. · Первое решение. Пусть АВ — ось абсцисс, А — начало координат, АВ = 2а, ВС=2Ь, тогда (рис. 102) координаты центров треугольников: Ох(а\ -Μ , 02(2а + Ь\ у) , Оз(а + Ь\ ~^γ) - Вычисления показывают, что Oi02 = 0\02 = 0202=—(a2-\-ab-\-b2\ т. е. 0,02 = 0,03 = 02Оз. Второе решение. /.AO3C=l20°f АО\ и С02 пересекаются в точке Μ (рис. 103), ромб ОзАМС делится диагональю 0$М на равносторонние треугольники. При повороте около 03 на 60° треугольник О^МС займет положение ОзАМ. Так как АО\=М02, то при повороте 02 переходит в Οι, т. е. zLOiO3O2 = 60°, 030i = 0302 и, значит, Δθι0203 равносторонний. 140. Не зависят.· Если расстояние от центра О до АВ равно Ь, а от 0\02 равно а, то a2-\-(R\—bf=(R — R\f, a2+(R2 + bf = (R — R2f. Вычитание дает 2b(Rl + R2)=2R(Rl — R2). н_
D D I U Отсюда —-= ρ , т. е. отношения радиусов от выбора точек А 2 " О СиОне зависят. 141. 60~\/2 — 84^0,853.· Если радиус искомой окружности х, то АО = 4 — х, ВО = 3 — х\ -д/(4 — х)2 — х2 + +V(3-*)2-*2 = 5;x = 60V2 — 84^0,853. 142. Если ЛЯ —ЯС = а, то ΑΜ=-γ (рис. 104, а). Страим прямоугольный Δ^βΛί с катетом ΑΜ=-γ, затем ВС||ЛМ. Если BC+AD = m, то ЕЕ=Ц-, ЕК=-^г· Остается построить АОЕК с гипотенузой 0£ и катетом ЕК\ BCnAD параллельны ЕК (рис. 104, б). 143. Да. 36°, 72°, 72°. 144. Да.· Хорды АЕ и FC равноудалены от центра, поэтому AECF — прямоугольник. Прямая KL\\AE проходит через центр О. ε ε о о в с Рис. 102 Рис 103 ■ . Рис. 104 Рис. 105 I 3
Поэтому она проходит через точку Ρ — середину хорды BD и через середину отрезка ΜΝ (рис. 105), BM = ND. 145. Проводим прямые DC и £>Л, соответственно перпендикулярные Л и /2. Прямая, симметричная DA относительно Л, и прямая, симметричная DC относительно /2, пересекаются в точке В. Найдя В, проведем через В прямые, соответственно параллельные AD и DC. 146. Да.· Так как из медиан треугольника можно построить треугольник, то (а + та) + (Ь + ть) — (c+mc)=(a + b — c) + (ma + mb — тс)>0. Аналогично {а\-та)-\-(с-\-тс) — {b-\-mb)>Q\ (b-\-mb) + (c-\-mc) — ρ — (а-\-та)>0. 147. Поместив сторону АВ=—-так, что ее концы о окажутся на 1\ и /2, строим ААВС и выполним его перенос параллельно /ι, чтобы точка С оказалась на данной окружности (рис. 106). 148. Может. · Зайчик бежит по диагонали (например, к А). Лисы из В и D бегут к А, но лиса в Л не движется: если она побежит, например, к D, зайчик убежит, пересекая АВ. Добежав до М, зайчик сворачивает по MK-LAC (рис. 107). Лиса из А его не догонит. Не догонят его и другие, если правильно выбрана точка М: при ОА = а, МА=х путь зайчика ОМ + М/С=а, а лисы ВК=(а—х) V2. На это уйдет больше времени, чем у зайчика, если х<0,01а. 149._Да. #Первое решение. АС-\- -\-BD-\-CE-{-DA -\-ЕВ=0. Β τ ο ρ о е решение. Выполним параллельные переносы диагоналей: АС в ВК, BD в /CM, AD в ЕР (рис. 108). Останется доказать, что МР = СЕ. Это следует из равенства треугольников PDM и Ε АС. 150. По теореме о координатах ХА~ХЕ Уа~Уе π середины отрезка χΜ — χΝ= ; yM — yN= . Отсюда MN\\AE и AE = 4MN (рис. 109). 151. Да.· Пусть МЛ, +Ш2 + -\-МАз-\-... + МАп = х. Выполнив поворот около центра Μ на угол 360° — , получим те же векторы (с переменой мест), т. е. снова х. Но если вектору можно приписать более одного направления, то это нуль-вектор. 152. Центр многоугольника.· ΤΛχ-\-ΤΑΐ-\-ΤΑΐ-\- л в Рис. 106 Ι ι
β к с Μ Рис. 107 Рис. 108 Μ Ν К Ν Рис. 109 Рис. ПО + ... + ТА2=(ТМ + МА1)2 + (ТМ + МА2)2+(ТМ + МА3)2 + ...+ + (Ш+Ш„)2=л.7М2 + и-/?2 + 2Ш(Ш,+Ш2 + Шз + ...+ -\-МАп). Выражение в скобках (по задаче 151) равно 0. Следовательно, сумма квадратов расстояний от вершин равна п-ТМ2-\- -\-n-R2. Она минимальна при ТМ=0, т. е. искомая точка — центр многоугольника. 153. Верно. · По рисунку ПО KL = =-γ(Α~Β+ψ€)=-γ(Α~Β+Ψθ+'δθ). Выполним поворот на 120° около центра окружности О: /?J>20° (AX)=-i-/?J,20° (AB+~FO+'OC) = =^(BO + 0£+CD)=^-(CD + B£)=ZM. Таким образом, KL = = LM, Δ KLM= 180° —120° = 60°; AKLM равносторонний. 154. Да.· Если AD±CK, то МВ = 2МО=АС (рис. 111), откуда МВ>МА, МВ>СМ. Поэтому Δ.ΑΒΜ<ΔΒΑΜ, /LCBM< <Z.BCM; Δ ABC < Ζ. ВАМ + Ζ. ВСМ = Ζ. Α + Δ С—90° = 180° — — A ABC—90°=90°— Ζ. ABC; ABC <90°— Ζ. ABC, поэтому 2Z.ABC<90°; Z.ABC<45°. 155. Верно. •Если какая-либо ι .
Рис. Ill Рис. 112 Рис. ИЗ точка С] делит отрезок АВ так, что AC\\C\B = t:q, то для любой точки Τ справедливо ТА ТВ. Если ТСХ=- t+q ' t+q (рис. 112) Μ — центроид ААВС, а М\ — центроид аА\В\С\, то 77W, ~(7Vl· + ТШх + ТСх)= ТВ-\—q—TC-\—q—TC+ t+q t+q t + q +j+—TA\=-j-(TA-{-TB+TC)=TMy т. е. точки М и Λί, совпадают^ 156^ Да.· ТА2 + ТВ2 + ТС2 = (т+Ш)2+(Ш+Ш)2 + + Щ+Ш)2 = ЗТМ2 + МА2 + МВ2 + МС2 + 2Ш(Ш + +МС). Но МА-\-МВ + МС=0. 157. Разобьем эти точки на 3 группы по три, центроиды треугольников с вершинами в этих тройках — Λίι, Л4г, Мз. Искомая точка — центроид треугольника М\М2Мз. Правильность построения следует из решения задачи 156. 158. Так как ΑΒ=ΑΜ·^/3, строим прямую /з, гомотетичную U (центр гомотетии Л, коэффициент гомотетии V^)· После поворота около вершины А на 30° получим прямую /4, проходящую через точку В. Значит, вершина В — пересечение /2 и /4. Далее ясно. 159. Центроид треугольника — центр гомотетии концов его медианы (к=—2). Поэтому строим окружность Оз, гомотетичную окружности Ог, ее пересечение с Οι — вершина искомого треугольника. 160. В 2 раза. 161. Да. 2:1. 162. Да.· OD±CB; CD = DB, Ш+^ОС=200=АН, где Я —ортоцентр А АВС. Поэтому Ш+Ш+Ш;=Ш+АН=Ш. По условию 1 о
ОА-\-ОВ-\-ОС=ОМ. Следовательно, точки Н и Μ совпадают. В остроугольном треугольнике центр описанной окружности и ортоцентр находятся внутри треугольника. 163. Равные по 6 см. · Z.MAK=/-ACD=/LCMB (рис. 113). ААМКсо со AMDK\AK:MK=MK:KD-,MK2=AK-KD==KB2,MK=KB = = 12:2 = 6 (см). 164. Верно.· Задача имеет много решений. Приводим решение, связанное с координатами. Пусть AD — ось абсцисс, А — начало координат: А (0; 0), В {х\\ у\), С (х2; Уъ), D (х3; Уъ), середина диагонали АС — точка Е(-—■; Щ-\ , середина диагонали BD—точка F( *'"+"Хз ; ЩЛ . Остается убедиться прямым вычислением, что суммы AB2 + BC2 + CD2 + AD2 и AC2 + BD2 + 4EF2 равны. Другие решения требуют использования формулы длины медианы или формулы Стюарта (см. задачу 167). 165. Учтя результат задачи 164, убедитесь, что середины диагоналей совпадают. Следовательно, данный четырехугольник— параллелограмм. 166. Не всегда.· Если углы одного треугольника α, β, γ, то у другого такие же или дополняющие соответственно до 180°. Если две пары углов равны, то треугольники подобны. Если хоть две пары углов дополняют соответствующие углы первого треугольника до 180°, то сумма углов второго треугольника превышает 180°, что невозможно. 167. Пусть Z.ADC=a, AD = ly BD = t, DC=q (рис. 114). Тогда по теореме косинусов b2 = l2-\-q2 — — 2/?-cos α, c2 = l2 + t2 + 2lt cos α. Отсюда b2t + c2q = i2 (t + q) + + q2t + t2q\ l2a = b2t + c2q — aqt. 168. 38 см, 77 см. 169. Да. · Пусть ω—окружность, проходящая через точки Л0, Во, Со — середины AR сторон ААВС (рис. 115). Отрезок В,С0=—=А0Во, т. е. BiCqAqBo — равнобокая трапеция. Поэтому В\£ω. То же относит- τ и в с в в Рис. 114 Рис. 115 1 7
ся к точкам Αι и С\. Проведем. CqT\\BB\\ /-AqCqT = §0°\ Τ — середина ЛЯ, Во^ — средняя линия ААНС, Δ.ΤΒοΑ0 = 90°. Таким образом, около четырехугольника ТСоА0Во можно описать окружность. Поэтому точка Τ (и середины отрезков НВ и НС) лежит на ω. 170. Верно.· Треугольник делится своими средними линиями на 4 подобных ему треугольника. На рисунке 116, α получено 4, 7, 10, ..., вообще 3fe + l треугольников, подобных исходному. На рисунке 116,6 получено 8, 11, 14, ..., т. е. 3fe+2 треугольника, на рисунке 116, β получено 6, 9, 12, ..., т. е. 3k треугольников. Так показано, что можно получить любое натуральное число п>Ъ треугольников, подобных исходному. 171. -j-. 172. Да.· Первое решение. ВК=Н, /_ТАЕ = а, /_ΜΒΚ=β, tg a Пусть = Η ~2-2(a + b) ли О — центр ромба, то TE = OM=^Jb (a-\-b), tg α AK=ay KM = b, ±- Ec- л!Ь{а + Ь)= 2(a + b) tgP = Рис. 116 β \ ) В Рис. 117 Рис. 118
с ε η о Рис. 119 Рис. 120 =— =t.g β. Отсюда ВМА-АТ. Второе решение. Ана- 2^jb{a + b) логичными вычислениями можно показать, что ААТЕоо аМВК- Отсюда следует, что Δ.АРМ=90°. Третье решение. Установите, что АТ-ВМ = 0. 173. Верно.· Опустите перпендикуляр МО на АВ (рис. 117). Тогда ААОМоо аВСА\ ABOMoo aBDA\ АМ:АО=АВ:АС; АС-АМ=АВ-АО; BM:OB=AB:BD; BD'BM=AB-OB\ AC-AM + BD-BM=AB-AO+AB-OB=AB2. 174. Верно.· Постройте D\M\\AC (рис. 118) и отметьте равные углы. AD\ = MC\ (как диагонали равнобокой трапеции). ААВКоо ooaABiC, ABi:AC=AK:AB; AB-ABl=AC-AK (1); АМКСюо со aACD; MCl:AC = KCl:AD; AD-ADX=AC'KCX (2). Сложив (1) и (2), получим AB-AB\+AD-AD\=AC-AC\. Теорема верна и при условии, что параллелограмм находится вне круга. 175. Верно. · У этой теоремы большое число доказательств. Приводим одно из них. Возьмем на BD такую точку М, что Z.DCM = Z.ACB (рис. 119). ACDMooACAB, CD:AC=MD:AB\ AB-CD = =AC-MD (1); ABCMooAACD; BC:AC=BM:AD; BC-AD = =AC-BM (2). Сложив (1) и (2), получим AB-CD + BC-AD = =AC'MD-\-AC'BM=AC-BD. 176. Опишем около треугольника окружность и построим диаметр ΜΕ λ. ВС (рис. 120). Продолжение биссектрисы AD проходит через точку М. Если ВС = ау AD = l, MD=xy то(/ + χ):α=^-:χ;χ2 + /χ—^=0;х=~/+^/2+—, что легко построить. Строим окружность диаметра а, проводим взаимно перпендикулярные диаметры ВС и ME. Окружность (А4, х) определит на ВС точку D. Прямая MD определит на окружности точку А. 177. 30°, 150° или 60°, 120°.· Если высоты проведены из вершины тупого угла, то возможны два случая: 1) ΚΜ=<ψ (рис. 121, а). Так как КМ\\АС9 то КМ — средняя 149
линия AACD: АК=^-, Ζ.ΑΒΚ = 30°. Углы ромба: 60°, 120°. 2) ΚΜ=ψ; AKBMooABAD; ВК:АВ = №:BD = \:2; ΔΑ = = 30°. Углы ромба: 30°, 150°. Если высоты проведены из вер- АС шины острого угла (рис. 121,6), то КМ=—. Углы ромба: 60°, 120°. 178. 60°.· Докажите, что АМАВ= /LPBD = 120°; MA:AB=MA:BC=AK:KB=AD:PB = BD:PB; AMABoo ooaPBD; /LBOK= /-P+ ^PBO= Δ.ΜΒΑ+ ^BMA = \W° - — 120°=60°. 179. DE=2R.* Убедитесь, что Δ Α KE со д AMD; AE:AD = EK:DM=AB:AC; AADE со a ABC; ED:BC = =AE:AB=l:sina; DE=4^-=2R (рис. 122). 180. Нельзя.· sin a Пусть К — точка пересечения диагоналей трапеции и точка касания названных окружностей. (На рисунке 123 изображена только одна из окружностей.) Тогда FK=2, /C£=6; BF=x, ED = 3x, АЕ=Зх—х = 2х; АВНК со aBAD; ABDC со AKDJ; HK= ^/^/ — y. JL—1L·- JL_Ж· JL_i__JL—ι·,, —3£· MB — r Al — Зу AJ У' 6x~ BD ' 2x~ BD ' 6* + 2* ,У~ 2 ,MB—X,AL — aX, AB = x + 3x + 2~=7x;(7xf-(2xf=82;x=-^-;HL=2HK-=-^r, но расстояние между точками касания через радиусы окружностей выражается по формуле HL2 = (R2-\-Ri)2-{-(R2 — Rif, поэтому Я1=Л/42 + 22=2 л/3- 2 УЗ^А 181. Параллелограмм.· На л/5 рисунке 124 имеем: ААОВооААТС\ АТ:АС=АО:АВ\ /_ТАО=/-САВ\ аАТОооаАСВ; АТ:АС = ТО:ВС: ТО:ВС= = СМ\ВС\ ТО = СМ. Аналогично доказывается, что ТС = ОМ (рис. 124). ОМСТ — параллелограмм. 182. Построение основано на том, что медиана AD треугольника ABC содержит середины всех отрезков, которые параллельны ВС и имеют концы на сторонах АВ и ВС. 183. Построим окружность с центром О радиусу са —. Радиус ОС данной окружности пересекает построенную в точке С\, а АВ — в точке D. Отметим на ОС такую точку Du что OD\=—. Хорда, построенная через D\ параллельно АВ, пересекает построенную окружность в точках А\ и В\. Угол А\ОВ\ искомый (рис. 125). При построении точка О принята за центр гомотетии. 184. Да. · 7VW, =4"(ТА + ТВ+Щ9 ТМ2=\-(ТВ + о о + TC + TD); MiM2 = TM2 — TMl=-\-(TD — TA)=-\-AD. Стороны четырехугольника М1М2М3М4 втрое меньше соответственных сторон четырехугольника ABCD и параллельны этим сторонам. Следовательно, их соответственные углы равны, четьфехугольники 150
Рис. 121 В F С ) к л \ Τ £ Рис. 122 Рис. 123 И<— £ Рис. 124 Рис. 125 151
подобны. 185. Равны.· По свойству касательных, проведенных из одной точки к окружности JK2 = KE'KF = KH2, т. е. ]К = КН. Аналогично РМ = ТМ (рис. 126), ВН+АР=AD = CD = CJ + 77). Таким образом, периметры четырехугольников АВКМ и CDMK равны. 186. Да.· Около четырехугольников MFOE и OJNK можно описать окружности. Поэтому Z.FEC= Z.FMO = 90° — — Z-MOF = 90° — ^KON = 90°—Z-KJN=Z-OIK; FE\\JK, т. е. EFJK — параллелограмм или трапеция. 187. Нет. · Если прямая пересекает поочередно звенья ломаной, то в одной полуплоскости окажутся все вершины с нечетными номерами, а в другой — с четными. Следовательно, вершины А\ и Л1999 окажутся в одной полуплоскости и прямая не пересекает звена ЛИ1999· 188. Да.· Пусть каждое звено имеет длину 1. Начальные координаты туриста (0; 0). Вычислим изменения координат туриста в результате прохождения звеньев ломаной. Результаты показаны в таблице. Ах Δί/ л,л2 0 1 А2А3 sin 15° cos 15° Л3Л4 sin 45° cos 45° Л4Л5 sin 45° — cos 45° Л 5Л6 — cos 30° — 0,5 A&A? cos 30° -0,5 A7As — sin 15° — cos 15° ASA9 — sin 45° — cos 45° A9A10 — cos 45° sin 45° Всего 0 0 Так как Аю совпадает с А\, маршрут был замкнутым. 189. Верно. · Среди углов выпуклого четырехугольника хоть один угол не меньше 90°. Диагональ, лежащая против этого угла, больше хотя бы двух сторон четырехугольника. 190. Верно.· Построим параллелограмм LCKT, где Τ — середина диагонали BD (рис. 127). Тог- Рис. 126 Рис. 127 15.
В F С 0 D Рис. 128 Ε £ \ D Рис. 129 мт ε Рис. 130 да ATL02= Δ 0377(, причем Δ.02Τ03 = 90°. В то же время 7Όι = = Т04 и Ζ_Οι7Ό4 = 90°. Поэтому при повороте около точки Τ на 90° отрезки Οι03 и 0204 совпадут. 191. — .· Первое реше- н и е. Выполним поворот А АО С около центра О на 90° (рис. 128). Так как Z.MBD= Z.ACB, то ^1МВЛ = 180о; АМОА прямоугольный, его гипотенуза MA = MB-\-AB=AC-\-AB = t. Поэтому АО=—. Второе решение. Углы А и О четырехугольника АВОС прямые, поэтому около него можно описать окруж- RC RC ность. По результату задачи 175 имеем ВС-АО=АВ—— -{-АС-—-. д/2 у2 Отсюда АО= Ав+Ас =±. 192. Да.· Обозначим OB = R, Л/2 л/2 Z.BOT=Z.DOT = ay Ζ.ΒΟΜ = β. Тогда Ζ.Α =-~- Z.BOD = ay АМВС=/-А = а, /_TBC=Z_BOM = $. Если ТК±ВСУ то 77(= = ВТ sin β = /? tg α sin β; ΜΡ = ΒΡ tg α = /? sin β tg α= Г/С; МГЦ \\ВС. 193. Да.· Окружность, описанная около квадрата, имеет общую точку с каждой стороной треугольника и хотя бы одну из этих сторон пересекает. Следовательно, она больше вписанной в треугольник окружности: -уг>г, а>г-^2 Окружность, вписан- ная в квадрат, меньше окружности, вписанной в треугольник: ~Y<f, α<2/\ 194. 60° и 30°.· Π е ρ в ое решение. Проведем СО\\ВАу СО = ВА (рис. 129). Тогда /.ОСА = /_ВАС = Z.ACB = =-±- Z.BCO. Следовательно, Z_OCE=-~ Z.OCD= Z.DCE= = A_CED\ CO\\DE. Таким образом, ABDE — ромб, BD=AB, ABCD равносторонний, /.BCD = 60°f ^1ЛС£=-|-60о = 30о. Второе решение. Построим ромб АВСО. Тогда и CDEO — К>3
ромб. ОА = ОЕ=АЕ. Стороны острых углов АОЕ и BCD соответственно параллельны, Z.BCD = Ζ. А ОЕ = 60°, Z.ACE=30°. Третье решение. Начав, как в решении (2), замечаем, что О — центр окружности, проходящей через точки Л, С, Е. Поэтому вписанный Δ.ΑΟΕ=-γ /.АОЕ (центрального) =-i-.60° = 30°. Четвертое решение. Построить СО симметрично ВА относительно АС. Тогда СО \\ А В. Далее по решению (1) или (2). Пятое решение. Если /-ВАС = ау Z.CED = β, то Ζ.АСЕ-\- + ААЕС+ /-САЕ=180°; ААСЕ=-±- Z.BCD = a + $. Следовательно, Δ.ΒΑΕ+ Δ.AED = 180°, BA\\DE, т. е. ABDE — ромб, BD=AB = BC = CD, ABCD = 60°. 195. Γι =4"V2; r2=-|-. #Ta- о о ких окружностей две. Через точку пересечения диагоналей Μ проведем Н]\\ВС (рис. 130). Известно, что HK=KJ. Обозначим НК=у. Из подобия треугольников НВК и ΑΒΌ, DKJ и DBC имеем Ж_ВК_ KJ__DK_ 0тсю__ £+£_вк_ + £Ц. и-* Ряссмот- 8 44 рим трапецию AHJD. По свойству касательных ЯЛ = 4+—=—. У У 8 28 Если КЕ — высота трапеции AHJD, то AM =4 — — = —; О /θ д /θ НМ=—У— ; радиус окружности вдвое меньше ЯМ: η =-^—. Най- о о дя аналогично высоту трапеции HBCJ, получим г2 = ^. 196. Да.· Первое решение. Проведем DP\\BCy CH\\AB, ET\\CD (на рисунке 131, α СН совпадает с CF). Так как углы &KMJ равны, он равносторонний. Остается доказать, что длины его сторон равны разностям длин параллельных сторон шестиугольника. В τ о- ε к м х/ р с в а) F \ \, Ε б К F С Ε ) Рис. 131
A s . 6 8 7 α) δ) Рис. 132 Рис. 133 рое решение. Продлив стороны Л β, CD, EF, получим равносторонний АКМР (рис. 131,6). Поэтому КА-{-АВ-\- ВМ = = MC + CD + DP; AF+AB = CD + DE, AB—DE = CD—AF\ KA+AB + BM = KF + FE + EP; AB + BC = FE + DE; AB — DE = = FE — BC. Третье решение. Ход такой же, как во втором решении, но строят не равносторонний треугольник, а параллелограмм (рис. 131, в). 197. Можно.· Постройте равносторонний треугольник, сторона которого равна стороне данного шестиугольника. И вне его треугольники со сторонами Μ А и АШ, MB и ME, МС и MF. 198. 8 равносторонних треугольников и 2 квадрата. 199. Отмечаем на окружности точки Л, β, С, D так, чтобы АВ = = BC = CD=AO. Окружность (Л, АС) и окружность (D, DB) пересекаются в точке £. Окружность (Л, ОЕ) пересекает данную в точках К и М. Построение остальных точек очевидно (рис. 132). Правильность построения обосновывается с помощью теоремы Пифагора с учетом того, что a& = Ry а3 = /?УЗ, a4 = R^J2. 200. Нет. · Все его стороны равны, но углы равны через один, причем ни один из них не равен 135°, как должно быть у правильного восьмиугольника. 201. Верно. · Π е ρ в о е решение. А2АА\\А\АЪ. Проведите (рис. 133, а) ААМ\\АХА2\ ^МЛ5Л4 = 60°, Ζ.Α4ΜΑ5= Ζ. ΜΑ \Α2 = 60°; аМАаАъ равносторонний, ΑιΑ5 — —Α2Α4 = ΜΑ$=Α4Α*>. Второе решение. αΑ2Α4Μ и AA7AsM равносторонние (рис. 133,6). Поэтому A7AS = MA7 = =А2А7—А2М = А2А7—А2А4. 202. Верно.· AOABoo AOCD (рис. 134); a2n:b2n = OF\R\ AAKBoo aOFB, a2n:-^-an = R:OF. Перемножив два полученных равенства, получим а2п = -^аП'Ь2п. 203. а) Через центр О проведите DE\\AC (рис. 135, а). Чтобы доказать, что DE<MN, проведите МК\\АС и через точку Ε прямую РК\\АВ\ KE = EP=MD\ /_NEP = 60°y Z.P= Z.DMO больше 30°, но меньше 60°, поэтому в AN РЕ наибольший угол
^L о к ■ir° d- ° \ Μ А С A T ED С a) 6) Рис. 134 Рис 135 \ X*l 0Л φ 9 Рис. 136 PNEy NE<EK. Так как /_NEK= 120°, το Ζ.ΜΚΝ тупой. Поэтому MN>MK=DE. Наименьшая длина DE у отрезка, параллельного стороне треугольника, б) Наибольшая длина у высоты. На рисунке 135, б построена высота BD, через центр О проведите МТ\\ \\АВУ затем ЕН (Е между Τ и D). Четырехугольник ВРЕН — параллелограмм; Я/СЦЛС, ОЕ<ОН, ED<KH<BH; PE = BH> >ED, Z.BPD тупой, BD>BP. 204. Да.· В треугольнике ОКН (рис. 136, а) катет ОН=^=^\ Z.BOK- = 30°. Аналогично АМОС= Z_CO/7 = ... = 30°, т. е. окружность действительно разделена на 12 равных частей. 205. Верно.· Равенство сторон 12- угольника устанавливается по свойству средней линии треугольника. Вычисления показывают, что каждый угол 12-угольника 150°. Для случая, когда треугольники построены внутри квадрата, решение аналогичное. 206. 4 части.· Решение показано на рисунке 136,6. 207. Условие допускает две конфигурации. Во всех 156
случаях сторона треугольника равна диагонали трапеции. Построения показаны на рисунке 137. Последний вариант лучше предыдущего. 208. Все такие точки лежат на сторонах шестиугольника DEFKHM (рис. 138), причем DM от AC, EF от АВУ КН от ВС удалены на половину высоты А АВС. Доказательство использует формулу площади треугольника и свойство катета, лежащего против угла в 30°. 209. 15°, 75°. 210. ab. 211. Да.· Используется легко доказываемое свойство: у каждой точки, находящейся внутри равностороннего треугольника или на его стороне, сумма 3 F Ε Рис. 137 Рис 139 157
расстоянии от всех сторон треугольника равна высоте треугольника. 212. а) Разрежьте 12-угольник на 4 равные части, затем три из них дополните до квадратов за счет четвертой части (рис. 139). б) На рисунках 140, а, б и 140 в, г показаны два решения. В каждом из них 12-угольник разрезан на 6 частей, в) На рисунке 140, д показано решение с разрезанием 12-угольника на 2 равные части, каждая из которых в свою очередь тоже разрезается на 4 части. Правильность решения проверяется соответствующими вычислениями. Возможны и другие решения, но в них общее число частей, на которые разрезается 12-угольник, больше восьми. 213. Да. 214. Обозначьте углы треугольника: Δ.Α = 3α, Ζ_β=3β, /_С = Зу. Трисектрисы углов А и С пересеклись в точках D и О (рис. 141). В треугольнике АОС отрезки AD и CD — биссектрисы углов, поэтому и OD — биссектриса внутреннего угла. Постройте DE и DF так, что Z.ODE= Z.ODF = 30°; ADEF равносторонний. Остается доказать, что BE и BF — трисектрисы угла ABC. Постройте точку К симметрично D относительно АО к точку Μ симметрично D относительно СО. ^ЛОО = 90о + ^^С°^90о+у; Z.AED = 180° —а —(90° + Т —30°) = 120° — (α + γ) = 60° + β; /_KEF = 360° — 60° — 2(60° + β)=180° — 2β. Такую же величину имеет и угол EFM. При этом KE = ED = EF=FMy т. е. KEFM — N б) Рис. 140 158
Рис. 141 Рис. 142 равнобокая трапеция. Так как ее можно вписать в окружность, то хорды /(£, EF, FM равны. Вписанные углы, опирающиеся на эти хорды, равны по β. Следовательно, эта окружность проходит через точку В. Таким образом, углы ABE, EBF и FBC равны. 215. Верно.· Первое решение. Синус острого угла о о · 180° 2 R sin растет медленнее значения угла. Поэтому ап an+l _D . 180° 2R sin - л + 1 180° <1^=5±1: ^=^.^<-^_Л±1 = 1. />я<Яя+|. Вто- 180° η Ρη+ι л + 1 αη + ι η + \ η ^ рое решение. Пусть АВ = ап (рис. 142). Разделите дугу АВ на «4-1 равных частей и опустите из точек деления перпендикуляры на АВ, тогда АС = ап+\. Полученные на АВ отрезки растут от концов АВ к середине (так как косинус острого угла с увеличением угла убывает). Следовательно, МВ< °* , AM>—j— an\ an + \>J1—an; Ρη+ι ={η+ 1) αη + ι >(/ι+ 1)·—~αη = Ρη. 216.Мож- но.· Прямая, проходящая через середины АВ и ВС, определяет границу FK=AC<AB-\-ВС. Проведя BD||/i, убедимся, что Sapbe = SAFAE~l·SАкср- Прямая, проходящая через середину FK перпендикулярно краю полосы, дает еще более короткую границу (рис. 143). 217. Да.· Это следует из соотношений S^-^Ц--^-; S^f+f- 2S<(a+c)2(fe+rf); S<£p..*±* . 218. 3.· Пло- щадь окажется наибольшей, если две меньшие стороны взаим- 2-3 но перпендикулярны, т. е. Smax=—. Это отвечает условию, так как с=Д/22 + 32=УТзГ,т. е. 3<с<4. 219. Углы острые.Фа—Ь= 154
Нь — На\ а — b- ; ab (a — b)=2S (a — b). Либо a = by ли- b a 60 ab = 2S. Если треугольник равнобедренный, то углы при его основании острые. Во втором случае треугольник прямоугольный, рассматриваемые стороны — его катеты, они лежат против острых углов. 220. Верно.· Первое решение. Пусть Μ — произвольная внутренняя точка Δ ABC, а точка М\ симметрична Μ относительно биссектрисы угла А (рис. 144, а). Расстояния от М\ до АВ и АС соответственно равны tb и tc. Так как сумма расстояний от вершин β и С до любой прямой, проходящей через вершину угла Л, не больше ВС, то площадь четырехугольника АВМхС удовлетворяет условию £^+^£<^. Откуда Ra>tbX X \-tc . Аналогично Rb^ta а а f+fc.f; Re>t..± \-tb- Ν Κ ε Рис. 143 Μ у Μ Рис. 144 1 О
Рис. 145 Рис. 146 СЛОЖИВ, ПОЛуЧИМ Ra + Rb + Rc^ta(^+^+tb(^+-^J + -Иб(уЧ )^2(ta + tb + tc)'9 так как при положительных χ и у _у_ χ рисунку 144, б >/csin β-И ^ sin γ; Ra>tb· имеем \-—^2, итог вычислений обоснован. Второе реше- По н и е. можно sin γ утверждать DE = Ra sin α \ Ые- sin β -κ- Сложив /?α, /?6, Rcy получим, как и в первом решении, искомое соотношение. Возможны и другие решения, но они существенно используют тригонометрию. 221. Если точка О — середина диагонали BD, то ломаная АОС делит четырехугольник на две равновеликие части. Если провести ОМ \\ А С (рис. 145), то площади АВСМ и AMD равны. 222. Если AD = DE = EC и TD\\BM, KE\\BM (рис. 146), то прямые МТ и КМ искомые. 223. У всех внутренних точек равностороннего выпуклого многоугольника сумма расстояний от сторон (или их продолжений) одинакова. 224. 60°, 60°, 60°. · Возможные случаи (рис. 147): 1) S\=S2\ 2) S2 = S3; 3) Si=S3. В первом случае ВО = ОЕ и S3^S4. Во втором случае AO = OD, Si=£S4. В третьем случае оказывается, что ААВС равносторонний, если углы по 60°. 225. 4f--· Воспользуйтесь тем, что серединные перпендикуляры сторон треугольника пересекаются в центре описанной окружности (в остроугольном треугольнике этот центр находится внутри треугольника). По рисунку 148 ^ == ^ D КС»ОВа I ^ D ECnOAo I ^ DМВ0ОАа == ^ д АаВаСа == ~4~== ~2~ " "6. — = =-|-=—, где а, 6, с — длины сторон ААВС, х, yf z — расстояния от внутренней точки О до сторон ААВС (рис. 149). · Рассмотрите произведение суммы квадратов сторон на сумму квадратов расстояний от точки О до сторон. В этом произведении выде- 6 Заказ 741 161
A Рис 147 Рис 148 \ \ Рис. 149 Рис. 150 Рис. 151 лите SAABCf выраженную через стороны треугольника и указанные расстояния. Так как сумма квадратов сторон и площадь для данного треугольника величины постоянные, то сумма квадратов расстояний будет наименьшей, если наименьшим является рассмот- лм2 ренное произведение. 227. 2Q.· По условию (рис. 150) Q = —-, 1_МАВ = 1Ь\ Z_OAB = 45°, A MAC = 120°9 Z. А СМ = 30°, А М = =ЛС, STp=^=2Q. 228. S = 384 см2. 229. 2Q. 230. Да. · Диагональ делит выпуклый шестиугольник на два четырехугольника. Соединив последовательно середины сторон каждого из этих четырехугольников, получим два параллелограмма, сумма площадей которых равна половине площади шестиугольника. Но при соединении середин сторон шестиугольника получается фигура, площадь которой больше суммы площадей названных параллелограммов. 231. 30° и 150°.· Примените свойство биссектрисы внутрен- А\ 16.
него угла треугольника: мс~~ -Ш=Ш- AB.CD = ACBD; а2 = 2аН\ #=Д-. 232. Да.· Она равна произведению длин наибольшей и наименьшей диагоналей. 233. Верно.· С учетом того, что периметры отсеченных треугольников 2 (р — а\ 2{р— Ь\ 2 (р — с), из подобия треугольников имеем — =£ш£э 12- =р~ t —=£^£, отсюда Г1+Г2+Гз = ι (рис. 151). 234. Обозначьте расстояния от центра описанной окружности до сторон OA0 = ta, OBo = tbj OCo = tc (рис. 152). Так как около четырехугольников ABqOCo, BAqOCq, CBqOAq можно описать окружности, используйте результат задачи 175: R--^-=-y-tb-\-tL ь . г, ь _ tb-\--^"ta\ a-\-b-\-c _ ta b + c •tbX R.p = p(ta + tb + U)-(ta-f+tb^+tc.±) v«±£_Lf a + b Сумма в последней скобке равна S, т. е. ρ-r. Поэтому /? = = ta + tb + tc — rf ta + h + tc = R + r. Заметим, что для тупоугольного треугольника теорема не имеет места. 235. Верно.· Если ζ1ν4 = α, то Z.C=180° — α; S = a ^~ c sin а. По теореме косинусов BD2 = a2-\-d2 — 2ad cos α; BD2 = b2-\-c2 + 2bc cos α. Отсюда cos a = а2 + ^2-Ь2-с2 sin «=74^ + ^2 2ad + 2bc 2arf + 26r =_2,Щ]рпМ_; S=^p-a)(p-b)(p-c)(p-d). 236. Да. · Используйте результат задачи 235, учтя, что у описанного четырехугольника a-\-c = b-\-d = p. 237. Пусть диагональ КМ пересекает АС в точке О (рис. 153). Z.AOK= Z.COM, /_КАС= Z.ACN (по свойству угла между хордой и касатель- Рис. 152 Рис 153 16.
χ ^ Ι Рис. 154 Рис. 155 ной). Поэтому синусы углов КЛО и МСО равны. ^ Л ОМС АО-КО КА-АО ^ АО КО Л =ЖОС-=Жж· °тсюда 1эс=Ш- Ан^огично доказыва- ется, что и диагональ LN делит АС в таком же отношении, т. е. проходит через точку О. Точно так же доказывается, что диагонали пересекаются на отрезке BD. Итак, AC, BD, КМ и LN пересекаются в одной точке. 238.-^-.· Пусть SAABK=x, SAClVD=y (рис. 154). Тогда Q = 3x+3y, SaAKCN = 2x + 2y=^-Q. SOKLNM = = SAKNM + SAKLN = ±~^-Q. 239. -|-Q.#no рисунку АТ:ТМ = = 3α:-§-=6:1; SABAT=j-S^ABM=^; S6 = Q-6--g-. 240. Ис- пользуйте результаты задачи 234. По рисунку 155 ma^R-\-ta, rrib^R + tb, mc</?4-/c; m„ + m» + mc<3/?+(fe + /* + /c)=4/? + go + r^—. Легко убедиться, что теорема имеет место для любого треугольника (не только для остроугольного). 241. а) Используйте неравенство о среднем арифметическом и среднем геометри-, 1,1,1^ 3 ^ ческом: ■ ■ ■ ^— тг-=— —^ та + ть та + тс ть + тс у(та + ть) (та + тс) (ть + тс) 3 9 I > г г г—τ г—=177—г г—г^~Б"· б) Аналогично та + ть + та + тс + ть + тс 2(та + ть + тс)^ R 3 задаче 241,6: —+—+—> ,--3— >—г-Ц—= , 9 , > та ть тс \[татьтс т^ + ть + тс та + ть + тс 3 9 ^-—. 242. 7. · Воспользуйтесь результатом задачи 175: R 164
AD-CE=AC-DE + CD-AE; AD-AC=AC-AB+AB-AE; -^= =Ж+^Ж-' По Условию -а£7а5Г=-Ш ■ °ТСЮДа AE = AD- Таким образом, AD и АЕ стягивают равные дуги, каждая из которых втрое больше дуги АВ. Это правильный семиугольник. 243. Да.· Доказывая, нужно рассмотреть 3 возможные конфигурации осей симметрии. 244. Да. Центр гомотетии — общая точка графиков — начало координат, коэффициент гомотетии 2. · Прямая y = kx пересекает графики данных фигур в точках А ^\[к\ k^jk) и β(-τ>-; —2J ■ При этом отношение ОА:ОВ не зависит от k. 245. Верно. · Если стороны четырехугольника а, 6, с, d, то по условию a-\-b = c-\-d, a-\-d = b-\-c. Отсюда Ъ — d=d — b. Таким образом, b = d. Следовательно, а = с. По известному признаку этот четырехугольник — параллелограмм. 246. 90°, 120°, 150°. · Выполните поворот треугольника около вершины А на 60° (рис. 156). Тогда АМХ=АМ=2, ВМх=МС=л^. По длинам сторон видно, что ΑΒΜΜι прямоугольный, Ζ-ΒΜιΜ = 30°, Ζ.βΛίΜι=60°; ΑΑΜΜχ равносторонний, Δ.ΑΜΜι=60°, Ζ-ΑΜΒ=120°. Сторона AB=^/22 +12+ Ь2= =V7; из ААМС найдите Z.AMC=90°, тогда /.ВМС = 360° — — 90° —120° =150°. 247. Да.· BNDM — параллелограмм (рис. 157). Его диагональ BD лежит на оси симметрии фигуры, поэтому это ромб. Ζ-ΝΒΜ= Δ.Α. Следовательно, четырехугольники ABCD и NBMD подобны. 248. Р = 60 см, S=150 см2.· Z.A + /_С = = 90° = ΔBDC+/.C. Таким образом, Z.A = Z.BDC, AABDoo ooADBC. Так как BD:BC= 15:20 = 3:4, a AD:BD = 15:20 = = 3:4, то 5D = 12, ЯС=16, AD = 9 (рис. 158). 249. Да.· Обозначьте длины сторон а=2х-\-у, Ь = 2х, с = 2х — ί/, причем х>у. Тогда 2г = 2х-2у. Но г=Д^»-дНр-»Н*--с> . Имеем уравнение 2х-2у = 2-у{х~у)(х+у) ; х = 2у. Отсюда а:Ь:с = 5:4:3. Данный Ч \ \ Рис. 156 Рис. 157
с Рис. 159 треугольник прямоугольный (египетский). 250. 36°, 36°, 108°. 4f-fXf-f>(f-f> :(т""^")^25:7:7:25·252·Мож_ но. · Достаточно было разделить диагональ АС в отношении 1:2. При этом строить параллельные прямые необязательно. На луче АР отметим равные отрезки AM и MP. На луче PC отметим точку / так, что CJ = PC. Точка О — пересечение JM с АС делит АС (по свойству медиан) в отношении 2:1 (рис. 159). Прямая ВО искомая. 253. Пусть О — центр круга, а точки Μι, М2, М3, ..., ΜΊ находятся на окружности. В АОМ\М2 сторона М\М2 не меньше двух других сторон. Поэтому Δ.Μ\ΟΜ2 не меньше 60°. Аналогично и другие центральные углы Af2OAf3, M3OM4, ... не меньше 60°. Однако сумма таких углов больше 360°, что невозможно. Возможен лишь один вариант — 6 точек лежат на окружности, а седьмая — ее центр. 254. Да. · Пусть углы пятиугольника 3α, 3β, 3γ, 3δ, 3φ (рис. 160). Тогда 3α+3β + 3γ + 3δ + + 3φ = 540°; 2α + 2β + 2γ + 2δ + 2φ = 360°; 2α + 2φ + γ= 180°; 2β + 2γ + φ=180°; γ + φ = 2δ. Аналогично α + γ = 2β; β + δ = 2γ; α + δ = 2φ; β + φ = 2α; 3β + α + γ= 180°; 5β=180°; β = 36°; 3α + β + φ=180°; 5α=180°, α = 36°, ... . Из равенства всех углов устанавливается, что треугольники ABC, BCD, CDE, DEAy EAB равнобедренные, т. е. AB = BC = CD = DE = EA. Пятиугольник правильный. Рис. 158 В с* Рис. 160 1 6
СТЕРЕОМЕТРИЯ 1. Данные прямые лежат в плоскости ABC. Точки касания окружностей с этими прямыми, а значит, и сами 4 окружности и их центры находятся в плоскости ЛВС. 2. а) 21; б) 27; в) 15; г) 19.· Число областей равно числу граней, ребер и вершин+1 (внутренняя область). 3. Верно.· Пусть точки Л, β, С, D находятся в плоскости δ. Тогда по условию любая точка из числа данных находится в той же плоскости, что и точки Л, β, С, т. е. в плоскости δ. Для строгости рассуждения нужно рассмотреть и случай, когда среди данных точек k>2 лежат на одной прямой. 4. а) 11; б) 11; в) 20. · Объясним последний случай. Условию отвечают плоскости граней (6), а также плоскости, каждая из которых проходит через два параллельных ребра, не принадлежащих одной грани (6). Кроме того, из каждой вершины куба исходят три ребра, их концы определяют плоскость (8). 5. Да. 6. Да.· Если точка Л не лежит в названной плоскости, то по одну сторону от плоскости находятся точки Л, β, £, т. е. середина отрезка BE не лежит в этой плоскости, что противоречит условию. Следовательно, концы всех отрезков (т. е. данные точки) лежат в той же плоскости, что и их середины. 7. Все принадлежат.· Рассуждения, аналогичные решению задачи 6. 8. Нет. 9. Нет. · Принадлежит только в том случае, когда вся ломаная находится в одной плоскости, но это противоречит условию. 10. Да. 11. Если прямые а и Ъ скрещиваются (или пересекаются), то найдется плоскость, которая пересекает а и параллельна Ь. Если а\\Ьу то плоскость δ, пересекающая й в точке М, пересекает и плоскость, проходящую через а и Ь. Линия пересечения плоскостей не может быть параллельна 6, так как через точку Μ нельзя построить две прямые, параллельные Ь. Следовательно, плоскость δ пересекает прямую Ь (рис. 161). 12. Параллельно линии пересечения этих граней, если грани не параллельны. Если же они параллельны, то решений бесконечно много. Для пирамиды решение аналогично. 13. Прямая АС пересекает >■ л в Рис. 161 Рис. 162
ребро (или его продолжение) в точке D. Искомая точка — пересечение второй прямой с CD (рис. 162). Если АС параллельна ребру, то строят BD параллельно ребру. 14. BCxftADx. Если О — центр верхнего основания, то ВС\\\АО. 15. 18д/2 см, 24 д/2 см, 30 см, 30 см. 16. Четырехугольник A\B\C\D\ подобен квадрату 1 Ό ρ? ABCD, k = — . Поэтому Р,=—, S=—-. Для правильного шести- о о 144 Ρ Ρ2 л/3 Г" угольника />!=—, 5= д . 17. 4 см, 8 см, 4 д/3 см.· Иско- мые расстояния вдвое меньше сторон и диагоналей шестиугольника. 18. Параллельны.· Если середины звеньев обозначим /Си L, Μ и Л/, то KLNM — параллелограмм, у которого стороны КМ и LN равны и параллельны. Докажите, что АС и DF тоже равны и параллельны, т. е. ACDF — параллелограмм. 19. — д/а2 + 62.· Если О —середина МС, то OD2=-^(2CD2 + 2MD2-MC2)=^^. 20. 9,5 см.· Расстояния до середины сторон АВ и AD (по свойству средней линии треугольника) равны по 8,5 см. Постройте KE\\AD\ КЕСО — параллелограмм, КО = СЕ (рис. 163). Поэтому /(0=—-γ/2 (172 + б2) — 172 = 9,5 (см). Такое же расстояние идо середины стороны CD. 21. Нет.· Если бы плоскости δ и σ были параллельны, то через точку Μ можно было бы построить сколько угодно прямых, параллельных этим плоскостям. 22. Параллельны, если указанные прямые не лежат в одной плоскости; могут пересекаться, если прямые лежат в одной плоскости. 23. Да.· а) Обе параллельны MB. б) Обе параллельны АВ. 24. На плоскости, параллельной данным. 25. Если они параллельны, можно построить бесконечно много параллельных плоскостей, одна из которых содержит а, другая — Ь. Если прямые пересекаются, то каждая плоскость, содержащая а, пересекает плоскость, содержащую Ь. Следовательно, а и Ь не параллельны и не пересекаются, т. е. они скрещиваются. 26. Да. 27. Да. 28. 2:1. 29. Да. 30. Плоскости углов параллельны. Отметьте на сторонах одного угла точки β и С, а на сторонах другого — такие точки В\ и G, чтобы АВ = АхВи АС=АХСХ (рис. 164). Так как ААХВХВ и ААХСХС — параллелограммы, то и ВВ\СХС — параллелограмм; ВС = В\Си ААВС = ААХВХСХ (по III признаку равенства треугольников), Z.BAC= Z.BXAXCX. 31. Построение показано на рисунке 165, а. На прямой BD отложите ОК= КМ = ОВ-^3, через К и Μ проведите прямые, параллельные АС, и отложите отрезки MH=MJ = =АО и KE = KF=AC. Искомый шестиугольник — AEHJFC 32. Первое решение. Постройте изображение — А АВС, на его медиане отметьте точку 7\ чтобы ОТ ж—СО (точнее, IU
Рис. 163 Рис. 164 α) δ) В Рис. 165 2 (2 - УЗ)· СО ж 0,536СО), и проведите через Τ прямую, параллельную АВ (рис. 165, б). Второе решение. Постройте равносторонний AABD и впишите в него квадрат E\KMF\. Из К и Μ постройте прямые, параллельные СО (рис. 165, в). 33. Первое решение. Изобразите квадрат в виде параллелограмма ABCD и, отметив точку Л4, постройте квадрат AB\C\D и отметьте точку М\ так, что ММ\\\ВВ\. Построив C\TiJ-M\Dy проведите 7Ύι||ββι (рис. 166, а). Второе решение. Строим MP\\AD (P£BD). Высоты треугольника MPD лежат на прямой CD и на ΜΤ\\АС, они
Τ t J о) Рис. 166 \ F D Рис. 167 О К Τ £ / Г™\С L А о "Л Рис. 168 пересекаются в точке Т. Поэтому TPA-MD. Искомая прямая СЕ\\ТР (рис. 166,6). 34. Аналогично задаче 33. 35. Аналогично задаче 33. 36. Перпендикуляр, опущенный из вершины прямоугольника на его диагональ, разделил ее в отношении 4:9. Искомая линия параллельна этому перпендикуляру. 37. Если центр вписанной окружности О на медиане BDy строим ОЕ и OF параллельно сторонам угла А Так как OEAF — ромб, то D/C, проведенная параллельно EF, определяет на АВ точку касания (рис. 167). 38. Центр окружности О — середина отрезка, соединяющего середины оснований трапеции — точки К и М. Строим ОЕ\\ВС и OF\\AB. Прямая KT\\EF определяет на АВ точку касания (рис. 168). 39. а) Две диагонали правильного пятиугольника, пересекаясь, делятся в отношении 2: (д/5 — 1)^5:3. Поэтому строим параллелограмм АВОС, затем на лучах ВО и СО откладываем отрезки ODzz — BO и о ОЕж — СО. Искомое изображение—ABCDE (рис. 169). б) Сое- 17
динив вершины правильного восьмиугольника через одну, получим квадрат АСЕН. Его средние линии пересекаются в точке О. Прод- лив отрезки О/, ОК, ОРу ОТ примерно на — (или построив так о отрезки: OJ-^/2 и т. п.), получим остальные вершины восьмиугольника. Часть откладывания отрезков можно заменить проведением параллельных (рис. 170). 40. Пусть КМ и LA пересекаются в точке О, которую просто спроектировать в точку Οι на К\М\. Проведя из вершины А прямую параллельно /C/G, определим точку А\ на прямой L\0\. Далее просто (рис. 171). Аналогично для пятиугольника прямая KL пересекает ВМ и BD в точках О и Я, которые легко спроектировать на K\Lu затем найти последовательно точки А\, Ей В\, G, D\ (рис. 172). 41. Решение показано на рисунке 173. В отличие от задачи 40 точка К задана внутри пятиугольника, а точка Μ — вне его. Последовательно строим точки β L i *Н Рис 169 Рис. 170 Рис. 171 Рис 172 171
в X \ \ΰ .β s~ Рис. 173 Рис. 174 ё Рис. 175 Рис. 176
Рис. 177 Рис. 178 Ти /ι, Β\% А1у Оь d, Db £"ι- 42. Возьмите точки А и В прямой (произвольно) и постройте их проекции на плоскость, отложите на АА\ отрезок А\С = ММ\ и постройте CD\\A\B{ (рис. 174). Прямая MD искомая. 43. Прямая А\В\ пересекает основания призм, определяя точки Ci и Di, по ним находят на АВ искомые точки С и D (рис. 175). 44. Прямая А\В\ пересекает стороны основания второй пирамиды в точках G и D\\ CC\ пересекает боковое ребро (или его продолжение) в точке К. Искомая точка — пересечение KD\ с АВ (рис. 176). 45. Построение дано на рисунке 177. Если О — проекция вершины пирамиды М, то строим О/С, OL, ON. На МО отмечаем такую точку Λίι, что М\0 равняется боковому ребру призмы, и проводим М\К\\\ОК, M\L\\\OLy M\N\\\ON. Точки /Ci, Li, N\ на ребрах пирамиды — вершины треугольника, по которому поверхность пирамиды пересекается плоскостью верхнего основания призмы. На боковых гранях призмы отмечают точки пересечения ее боковых граней с соответствующими боковыми ребрами пирамиды. Эти точки соединяют с точками пересечения сторон основания призмы и пирамиды. 46. а) На рисунке 178 построены точки встречи лучей МАУ MB, MC с плоскостью δ. Искомая тень А2В2С2. б) Как в задаче 46, а; тень на рисунке 179 заштрихована, в) Построив тень куба, как в задаче 46, б, находят тень на поверхности второго куба так, как это делали при решении задачи 45. 47. Строим плоскость через точку Μ и прямую CD. Она пересекает плоскость δ по прямой СК (рис. 180). Если СК и АВ пересекаются в точке Г, то искомая прямая МТ (на чертеже она не изображена). Если же СК\\АВ, то задача не имеет решения. 48. Строим плоскость через О и ребро CCi, она пересекает BD\ в точке Е. Искомая прямая проходит через точки О и Ε (рис. 181). 49. а) Да. б) Плоскость, параллельную δ, и отстоящую от δ на расстоянии, равном — расстояния от Μ 1 о
Рис. 179 Рис. 180 D ΧΙ Рис. 181 Рис. 182 до б. 50. 2 см; — см; — см; — см. 51. 5:3. 52. Плоскость, параллельную данным. Если не указано, к какой плоскости точки ближе, условию одновременно отвечают две плоскости (по смыслу речь идет о точках, находящихся между данными плоскостями). 53. 8 см, 7 см, 4 см. · Если О — центр шестиугольника, то 00ι=2 + 6 — 3 = 5, поэтому DD, =2-5 — 2 = 8 (см), ££,= = 2-5 — 3 = 7 (см), FFx=2-b — 6=4 (см). 54. Все эти точки лежат на сторонах прямоугольника, по которому плоскость симметрии данных точек пересекает поверхность куба. При построении этой плоскости учтите приемы решения задачи 33. 55. Два прямоугольника, плоскости которых перпендикулярны плоскости указанного диагонального сечения (рис. 182). 56. Используйте скалярное умножение векторов. 57. Да. · Обозначьте по рисунку 183 стороны треугольника ABC через а, 6, с, BD=x, СЕ=у. Уравнения jr-f-a2=y2-{-b2=(x —yf + c2 при- ι
водят к квадратному уравнению, дискриминант которого 16 (а4 + Ь4 + с4 — а2Ь2 — а2 с2 — Ь2с2) положителен. Следовательно, задача всегда разрешима. 58. 35 см; -\/22 см. 59. -\/37 см. • ОВ±АВ, ОС±АС, ВО пересекает АС в точке D (рис. 184). АВ=\5, ЛС=24, Л£ = 30, CD = 6, ОС = 2УЗ; Л02 = 242 + + (2-д/з)2 = 588; MO=V252 —588=737 (см). В аналогичной задаче ЛЮ=— Д/Ю77 см. 60. Полоса, края которой параллельны /, ее- о ли а больше расстояния от / до δ. Прямая /ι||/, если а равняется расстоянию от / до δ. 61. 7 см.· Это расстояние равно длине медианы ВО треугольника BDE со сторонами 11 см, 7 см и д/152 — 92= 12 (см). Однако его можно определить и как медиану треугольника MCD, две стороны которого определяются по теореме Пифагора (рис. 185). 62. Нет.· Если ОМ — перпендикуляр к плоскости угла, причем точка О на стороне угла, ОВ — перпендикуляр к другой стороне угла, то для любой точки Τ на ОМ стороны угла ОТВ соответственно перпендикулярны сторонам угла ОАВ. Ясно, что равенство углов ОАВ и ОТВ можно иметь толь- К Рис 183 Рис 184 Τ Рис. 185 Рис. 186 175
ко для одной точки Т£ОМ, а не для любого положения этой точки. 63. Если прямые параллельны, то таких точек нет. Если эти три прямые имеют общую точку, условию отвечает перпендикуляр к плоскости, проходящий через общую точку прямых. Если две прямые параллельны, а третья их пересекает, то условию отвечают два перпендикуляра к плоскости δ. Если прямые пересекаются в точках Л, β, С, то условию отвечают четыре перпендикуляра к плоскости δ, проходящие через центры вписанной и вневписанных окружностей треугольника ABC. 64. На плоскости ABC такая точка С. Если АС=ВС = а, то сумма расстояний от D до вершин треугольника ABC меньше, чем ν точки С при условии 0,8α<χ<α (рис. 186). 65. 8 см.· EwnMO±(ABC\OA = OB=OC = OD = R, то (рис. 187) ОА2=\22 + х2, ОВ2 = 92 + (3 + х)2. Отсюда х=9, /?2 = 225. Расстояние МО найдем из Δ ЛАЮ. 66. 120 см и 540 см2.· Рассматривая плоскость, проходящую через гипотенузу, имеем 202+х2 + 432+*2 = 5!2; х2= 176; катеты 24 см и 45 см. 67. 8 д/2 см или 3^/7 см. #5=108, г = 4. 68. Верна. 69. Проведем ΜΝ\\ΑΒ. /LAMK=Z-AyKM=Z.KMN. т. е. МТ — биссектриса угла AMN, MT\\BD (рис. 188). 70. 13,44 см. «Отметим на ОА такую точку С, что ОС = ОВ. Тогда МС = МВУ АСМА =/.МАО, АС = = МС. Зная все стороны треугольника АМС% легко найти высоту МО. Можно было использовать тригонометрию: 48 sin χ=25 sin 2х: cosx=0,96; sinx=0,28; ΑίΟ=48-0,28. 71. 6 см.· Пусть АВМО = = 2хч ААМО = Зх. Обозначим МО = Н. ff-tg 2х=8, Я-tg Зх = 33; 1ё2,:1ё3^8:33;т^:3^С=^; **=„; V + + 83*-21=0, у>0; у=±-; tgjf=-i-; tg2x=^-; Я=8:^-=6. 72. 26,4 см. · Отметим на ОЛ точки Si и С\, чтобы Οβ|=Οβ, ОС\ = ОС (рис. 189); fi,C,=43 —33= 15; если Δ.ΜΑΟ=χ, то ΖΛίβ,0 = 2χ, Z.MC,0=3x, Ζ.ΑΜΒχ =/LBxMC{=x, MB,= = /4β|=33; по свойству биссектрисы угла треугольника /ИЛ:МС| = 33:15=11:5, sin Зх:sin χ = 11:5". sin 3x=2,2 sin x. sin3*-sin* =2cos2jc; 2cos2x=l,2; cos2x = 0,6; sin2x=0,8; sin χ MO = 33-0,8 = 26,4 (см). Можно было использовать формулу sin Зх=3 sin χ—4 sin3 χ или исходить из системы уравнений (МО = = Я): H.ctgx — //-ctg3x=48, #.ctg2x—#ctg3x= 15; Hsm2* = sin χ sin ox = 48; "sin* =15; 4cos2x=3,2; cos2x=0,8; sin2x=0,2; sin 2x sin 3x sin2x=2y0,8-0,2 = 0,8; #(ctg x — ctg 2x)=33; H- . smx =33; Я = 33-0,8 = 26,4 (см). Наконец, можно было бы использовать свойство биссектрисы внутреннего угла треугольника МВ2 = МА X XMCi—АВ\-В\С\ или результат планиметрической задачи 167. 176
Zl L \В Ώ Рис. 187 Рис 188 —— в D Рис. 189 Рис. 190 73. 30°. 74. φ^57°14'.· Если О — центр основания, Οι — центр окружности, описанной около боковой грани, то ААОВ = лв _ /?У2 = Ζ.ΑΟχΒ = 2Ζ.ΑΜΒ, Ζ.ΑΜΒ = 45°: ΜΑ R cos φ=/?: д/2 sin 22°30' AB=a, AO-- V3 Ш: 2 sin 22°30' 2 sin 22°30' ' VI—cos 45°; φ^57°14'. 75. φ = 60°.· =^=Л/5. 76.9см.· По уел овию OD = Λί Ο ·λ/3, ОЕ=—. В рав- уЗ ностороннем треугольнике сумма расстояний от внутренней точки до всех сторон равна высоте треугольника. Здесь а = 24 см, //=12 УЗ см; МО-Уз+^= 12 УЗ; АЮ = 9 (см). 77. 45°. 78. Если л/3 О — начало координат, Μ — центр правильного многоугольника 7 Заказ 741 ·
АхА2Аъ..Ап, то ΟΑι + ΟΑ2 + ΟΑ3+.... + ΟΑη = η·ΟΜ + (ΜΑι + + AL42 +...+ МАп). Так как сумма в скобках равна 0, то ОМ = = -Jj- (ΟΑχ + ОЛ2 + ОЛ3 + ... + OJ„). 79. Да. 80. Пусть три ребра куба, исходящие из одной вершины, определяют координатные оси. Тогда координаты рассматриваемых точек (считая ребро куба а): К (а, у, 0), L (х, 0, α), Μ (0, α, ζ). Сумма квадратов расстояний между этими точками (α — х)2-\-у2-{-а2-\-а2-\-(а —y)2-\-z2-\-x2-\-a24- + (a-zf = 2(x-f)2 + 2(y-f)2+2(z-fy+^a2. Мини- мум достигается при x = y = z=-^-, т. е. в том случае, когда эти точки — середины трех попарно скрещивающихся ребер куба. Таких троек точек 4. 81. а) Середина отрезка, соединяющего центры оснований призмы, б) Если Μ — точка высоты ВО пирамиды ВАхА2Аъ...Ап, то ΜΒ2 + ΜΑ2 + ΜΑ22 + ΜΑ23 + ...,+ ΜΑί= = Аг.М02 + Аг.ОЛ? + 2]^(^+^2 + Мз + ...+ОХ) + МВ2. Сумма в скобках равна 0, п-ОА2 постоянна. Остается найти минимум η·Μ02-\-ΜΒ2. Необходимое условие: МО:МВ=\:п. Легко убедиться, что если М^ВО, то рассмотренная сумма не минимальна. Возможно решение задачи с помощью координат (за ось аппликат принимается О А, за начало координат точка О). 82. Так как отсекаемые на всех осях отрезки равны, то коэффициенты а, Ь, с уравнения плоскости равны по модулю, т. е. оно имеет вид axztby±:Cz-{-d = 0. Подставив в него координаты точки Λί, получим уравнения четырех плоскостей, отвечающих условию x + y + z — 10 = 0, х + у — z-f4 = 0, x—y+z— 6 = 0, χ — у — z4- -4-8 = 0. 83. Это расстояние вдвое больше расстояния от точки О до плоскости ax-\-by-\-cz — d = 0. · Π е ρ в ы й способ. Если OD±AB, то OD= аЪ ; CD2 = с2+-Ά-; ОМ= OC'OD = V^TF ^ a2 + b> CD abc . —. Второй способ решения возможен только после решения задачи 102,6. ОМ~2 = а~2-\-Ь~2 + с~2. гч лжл ft ЛЛ/1 ι „ л1а2Ь2-\-а2с2 + Ь2с2 abc , 1ПГкч Отсюда СШ = 1:—* *——! =—, (рис. 190). *ьс ν^4-Λ2+^2 84. 60°.· АО = х, АВ = 2х, АС = хл[2у £С=хл/б; АВ=2х'Хл® = =Щ=\ sina=^. α = 60°. 85. Да. 86. 21°28'.· Возьмем такие л/з 2 точки С и D, что OC = OD=\ (рис. 191). Тогда CD2 = 2 + + 2cos2x = 2+V3, cosx=^/^, х^21°28'. 87. 26 см.· Рассмотрим сечение двугранного угла плоскостью, проходящей через точку Μ перпендикулярно ребру двугранного угла (рис. 192).
^> Рис. 191 Рис. 192 Продлим СМ до пересечения со стороной угла в точке D. Тогда DAf=2, CD = 24, ЛС=8УЗ, ЛМ2 = 222 + (8УЗ)2. В аналогичной задаче 38 см. 88. 60°.· Плоскости пересекаются по прямой BiD, перпендикуляры к ней А\М и СХМ. Если ребро куба а, то а-а^Д Aid ΒιΩ = αΛ/'3, AlCl=AlD = a-j2; ΑιΜ=?^2ΐΆ=^, τ. е. ад/3 л/3 АА\МС\ = 120°. Так как угол между плоскостями острый, то он равен 180°—120° (рис. 193). 89. Аналогично решению задачи 13. 90. Представим себе, что плоскость MOD вращается вокруг МО, пока не окажется в плоскости МОА (рис. 194) в положении MOD\. При этом точка В перейдет в точку С, путь паука окажется отрезком АС. Это определит точку Р£МО и весь путь АР В. 91. -\[6Ϊ см. · Так как АВ=АС = СВ=14 и Z_MDO= Z.MEO = 30° (рис. 195), то О лежит на биссектрисе Z.BAC, АК=7 д/3, 0/С= ом OD-- = 0£ = OMV3, 40 = 20D = 2V30M, OM = 3, OB2 = OK2 + I 11- Рис. 193 Рис. 194
^ Μ \ \L 4 ;&>* К ° D В Рис. 195 Рис. 196 + КВ2 2 " = 52, Μβ2 = Οβ2 + Μ02. 92. 30°.· S-cos2 x=-f-S; cosx= V^ 93. a) 65 см2, ι Если сторона квадрата α, то (рис. 196) ja~—49-Уа2 — 64=У2а2 —121; 2α2—113-2У^-49)(а2—64)= = 2α2— 121. Подставив вместо α2 площадь S, получим S2— 113S + + 3120 = 0; Si =65, S2=48. Второй корень не годится, так как 4λ/Ϊ95 α>8; б) α^64°38'. #cosa=- 65 94. Четыре полосы, попарные края которых принадлежат данным плоскостям и параллельны линии пересечения плоскостей. Аналогично на плоскости: фигура, каждая точка которой имеет указанную сумму расстояний от двух данных пересекающихся прямых,— прямоугольник с вершинами на этих прямых. 95. Полуплоскость, параллельная биссектор- ной полуплоскости данного двугранного угла. 96. Используем теорему: каждый плоский угол выпуклого трехгранного угла меньше суммы двух других плоских углов его. Пусть у трехгранного угла МАВС плоские углы α, β, γ. Продлим его ребро МА, получим трехгранный угол MBCD, у которого плоские углы 180° —а, 180° — β, у (рис. 197). Так как γ< 180° — α+180° — β, τοα + β + +γ<360°. 97. Верно. · Плоскость АΜО пересекает грань ВМС по лучу MD (рис. 198). По свойству трехгранного угла имеем /-AMO+Z.DMCK /-AMC+ADMC, Z.AMO+Z.DMO< < /-АМВ+ /-BMD, /-CMO—/-DMO</-CMD, Z.BMO — — Z.DMO<C Z.BMD. Сложив эти неравенства, получим 2Δ.ΑΜΟ + + Z.BMO+ /_CMO<Z.AMB-\- Z.AMC + 2/.BMC. Аналогично можно получить и неравенства Δ.ΑΜΟ-\-2Ζ.ΒΜΟ-\- Z.CMO<. </-АМВ+/-ВМС + 2/-АМС, /-АМО+/-ВМО + 2/-СМО< < Z-AMC-\- /-ВМС-\-2/-АМВ. Сложив эти три неравенства и разделив на 4, получим искомое соотношение. 98. Если из внутренней точки двугранного угла а опустить на его грани перпендикуляры ОМ и ON, то Z-MON= 180° — а. Если из внутренней точ- 180
D Рис. 197 Рис 198 ки выпуклого трехгранного угла опустить на его грани перпендикуляры ОЛ, ОВу ОС, то плоские углы трехгранного угла ОАВС равны 180° — а, 180° —β, 180° —γ. По задаче 96 их сумма менее 360°. Поэтому 180° — а + 180° — β+ 180° — у < 360°, откуда се + + β + γ>180°. 99. Перенумеровав двугранные углы при ребрах пирамиды, по результату задачи 98 получим неравенства х\ +*2 + +х3>180°, χι+χ4+*5>180°, х2 + *4 + л:б>180о, x3 + *5+*6> > 180°. Сложив эти неравенства и разделив на 2, получим *1+*2+хз+*4+*5+*б>360°. 100. Использовать результат задачи 97. 101. Равносторонний треугольник.· Пусть углы основания Χι, х2> х:и ..., хп. Тогда сумма плоских углов при вершине 180°-я — 180° (п — 2).2= 180° (4 — п). Следовательно, пирамида треугольная. Так как все боковые грани равны основанию, то боковые ребра равны, т. е. пирамида правильная. Следовательно, ее основание — равносторонний треугольник. Можно отметить, что все грани — равносторонние треугольники (т. е. это правильный тетраэдр). 102. а) Используем рисунок 37. АВ2-\-АС=(МА2-\- + МВ2)+(МА2 + МС2)>МВ2 + МС2 = ВС2. Аналогично покажем, что АВ2 + ВС2>АС2 и АС2 + ВС2>АВ2; ААВС остроугольный, б) МА±(МВС), МО±(АВС), МО±ВС. Следовательно, ВС± Х(АЮЛ), BC1.AD, т. е. AD — высота треугольника ABC. Так же доказывают, что и другие высоты треугольника проходят через точку О. Если б) доказывать раньше а), то можно утверждать, что, поскольку ортоцентр ААВС находится внутри треугольника, ААВС остроугольный, в) В прямоугольном треугольнике с катетами а, Ь и высотой Η имеем Н~2=а~2-\-Ь~^ . Так как AAMD прямоугольный, то МО~2 = МА~2-f ΜD~2 = ΜΑ"2 + + МВ-2 + МС~2. г) MD2=AD-OD; MD2.^f=l^ψ^.^^ё£; S амвс—^ аавс'Ь aobd· Аналогично о амас=^ аавс'^ аоас> Ъ амав== ==,Saabc'S aoab- Сложив эти равенства, получим искомое соот- I 1
Рис 199 Рис. 200 Г ■V Рис. 201 Рис 202 ношение. 103. Если все грани — треугольники, общее число ребер делилось бы на 3, а 7 на 3 не делится. Если же хоть у одной грани вершин больше 3, то общее число ребер больше 7. 104. У я-уголь- ной пирамиды ребер 2я, т. е. их может быть 6, 8, 10, ... . Если от пирамиды отсечь уголок, как на рисунке 199, ребер станет 2я + 3, т. е. 9, 11, 13, .... Итак, многогранник с любым натуральным числом ребер k>7 возможен. 105. Примеры приведены на рисунке 200. 106. Пример показан на рисунке 201. 107. Да.· Пример дан на рисунке 202. 108. Да.· а) Пример дан на рисунке 203. б) Например, октаэдр, на 6 гранях которого построены треугольные пирамиды, в) Например, икосаэдр, на 12 гранях которого построены треугольные пирамиды. Такое же соотношение у многогранника, который получится, если на каждой грани как на основании семиугольной призмы построить пирамиду, а затем на грани одной из этих пирамид построить треугольную пирамиду. 109. Не-
обязательно. Например, у фигуры на рисунке 204 вместо ребра AD может быть ребро ЕС. ПО. Да.ф Так как к каждой вершине многогранника сходится не менее трех ребер, то в среднем плоские углы должны быть менее 120°, т. е. грани должны быть треугольные, четырехугольные, пятиугольные. Иначе сумма плоских углов хрть при одной вершине превысит 360°. Но при таких гранях обязательно окажутся грани с одинаковым числом ребер. 111. Нет.· На рисунке 205 приведены многогранники, которые отвечают данному определению, но не являются призмами. 112. 7 или 8. Первое маловероятно. 113. Если А\ симметрична А относительно плоскости основания, то искомая точка — пересечение этой плоскости с А\В. 114. Аналогично решению задачи 113. 115. УШ см. · Если повернуть грань ВСС\В\ около ВВи чтобы она оказалась в плоскости ABB ι (рис. 206), путь паука станет отрезком ОТ — гипотенузой треугольника, катеты которого 1 см и 3 см. Длина этого пути УК) см. 116. Одна из осей симметрии основания призмы. 117. Прямая, проходящая через центроиды оснований призмы. 118. Отметим на BE такую точку /С, что АК=—АВ (в оригинале), Рис. 203 Рис 204 Рис. 205 18
«A/ /7J _ Рис. 206 Рис 207 строим КК\\\ААХ и МК\\\АК (рис. 207). При этом ΑΡ=*ψ-. РК =ал1 ||—7-=-т-лДЗ«0,9α^0,6Ρ£. 119.3. 120. Да. 121. d3 = 16 4 4 v = rf(a24-*2 + ^2) = a2rfH-b2rf + ^2rf>a3 + *34-^3. 122. Да.· Так как диагональное сечение призмы — параллелограмм, значит, диагонали, пересекаясь, делятся пополам. Отсюда делаем вывод, что основание данной призмы — параллелограмм. 123. Если диагонали призмы х\, х2, х.з, *4, боковое ребро а, стороны основания 6, с, диагонали основания du d2j то x2-{-x2 = 2a2-\-2d2y xl + xl = 2a2 + 2dl Следовательно, 4c2 + 4b2 = 2d'i + 2dl т. е. d2-\~d2 = 2b2-\-2c2. Таким образом (по задаче 165 — планиметрия), основание призмы — параллелограмм. 124. 62 см, 64 см, 66 см.· По задаче 120 имеем (χ— 1)2 + х2 + (х + 1)2 = 182 + 152 + + 112+102; Зх2 + 2 = 770; х=16, т. е. длины ребер 15, 16, 17 см. 125. 18 см, 20 см, 22 см, 24 см.· Если длины диагоналей х, х + 2, х + 4, х + 6, то 4(142+132 + 92) = х2 + (х + 2)2 + (х + 4)2 + (х + 6)2; х2 + 6х —432 = 0; χι = 18, х2= — 24 (посторонний). 126. Первое решение. В прямоугольном параллелепипеде cos2 a-f- + cos2 p+cos2y = 2. Так как (cos2 α + cos2 β + cos2 Υ)(^!Γ^+ l+tg2a + 3 *~ cos2 β + cos2 у ) ^9' T0 cos2 α + cos2 β + cos γ 2 + l+tg^+l+tg2v>-|-, τ. e. tg'a + tg^ β + tg^ γ> 2 Второе решение, tg α + tg β + tg y-- Ь* + с2 ' a2 + c2 ' a2 + b2 a2 + b2 + c2 ' b2 + c2 14 a2 + b2 + c2 + c2) + (fe2 + c2))(- a2 + c2 1 , ■14 a* + b2 + C2 4- a2 + b2 1 l=J-((a2 + 62)+(a24- H > • 9 —3 = -|-. 127. >2 + c2^a2 + c2 ' a2 + 62/ ~=^ 2 Через скрещивающиеся прямые AB\ и ВС ι можно построить 18
Иг clJ D ^ Рис. 208 Рис. 209 параллельные плоскости AB\D\ и BDC\y они перпендикулярны диагонали куба А\С и делят ее на три равные части (рис. 208). Поэтому MN=—A\C. Параллельный перенос даст и общий перпендикуляр NN\\\BD. 128. Да. 129. 1:3, считая от В\. 130. а) Да» (рис. 209); б) нет. 131. По неравенству треугольника МА<:МС-{- +ЛС, МА<МВ+АВ, ВС<МВ + МС, ВС<АВ+АС. Сложив эти неравенства и разделив на 2, получим Μ A -\-BC<z(MB-\-AC)-\- -\-(МС-\-АВ). Аналогично доказывается, что MB-\-AC<L{MA-\- +ВС)+(МС+АВ) и МС+АВ<(МА+ВС)+(МВ + АС). Стороны искомого треугольника (АМ + ВС), (MB+AQ, (МС+АВ). 132. Если МО±(АВС\ то MA+MB=^/MA2+MB2 + 2MA.MB> >^A02+B02 + 2AO'BO>^(AO + BOf + M02^C02 + M02== =МС. Аналогично доказывается, что МА-\-МС>МВ и МВ-\- -\-МС>МА. 133. Так как боковые ребра равны, около основания можно описать окружность. Поскольку стороны основания равны, основание — правильный я-угольник (а2 = 3, 4, 5). 134. У треугольной. 135. 19. 136. я-угольную пирамиду можно разделить на η — 2 треугольные пирамиды. Их двугранные углы включают все двугранные углы η -угольной пирамиды и двугранные углы при диагоналях основания (которые появились при делении п- угольной пирамиды на треугольные). Следовательно, рис. 210 I У
χ> 360° (л — 2)— 180° (я — 3)=180°(α2 — 1). 137. Аналогично решению задачи 115. 138. а) Да; б) да; в) да; г) нет. 139. -|-, -^-, ЮЕ±МС (рис. 210). Если АВ = а, то BD = a^2, OE=2-&\ 2 -у 3 з Δ 0£Ссо ΔЛМС. Поэтому ОЕ:ОС=МА :МС\ МА = ι АС = 1-л 4-> то а=—. MB = MD = l V з V3 ли О 2 =/уб 3 3 ' 2 ι Ίΰ7^2_ V3 140. Да Так как Ес- центр прямоугольника, то МЛ2 + МС (МО + ОС)2 = 2^2 + ^2+^2 + 2МО(ОД + ОС) (МО + ОА)2 + 2АШ2 + -{-—АС2. Тому же равна и сумма MB2-\-MD2. 141. Все грани данной пирамиды равны (по III признаку равенства треугольников). Если углы основания α, β, γ, то такие же углы при каждой вершине. 142. Названные отрезки, пересекаясь, делятся пополам. По свойству диагоналей параллелограмма отношение сумм квадратов, указанных в условии, 1:4. 143. Используйте результат задачи 141. 144. Эти точки равноудалены от плоскости основания пирамиды и ортогонально проектируются на середины сторон основания (рис. 211). S=-~. 145. 1л!%. #По развертке пирамиды видно, что (так как плоский угол при вершине пирамиды 30°) кратчайший путь паука — по гипотенузе треугольника, длины катетов которого по /. 146. 1:3. 147. Если МО\ и А02 пересекаются, то пересекаются и биссектрисы углов ВАС и ВМС. Поэтому АВ:АС = ВО:ОС. Отсюда АМ-ВС=АС-ВМ (рис. 212). Аналогично доказывается, что АВ' СМ=А М- ВС. Обратная теорема верна. 148. Учтите, что расстояние от центроида треугольника до Рис. 211 Рис. 212 186
плоскости, не пересекающей треугольника, равно среднему арифметическому расстояний от его вершин до этой плоскости. Если МО— медиана, а Т — центроид тетраэдра, то (по задаче 146) МТ=ЗТО. Поэтому перпендикуляр ММи опущенный на плоскость сечения, втрое больше перпендикуляра 001, опущенного на ту же плоскость, причем ООх=—(АА\ -\-ВВ\ -\-СС\). 149. Используйте свойство: если МО — высота треугольника АМС, то для любой точки Τ на прямой МО справедливо равенство ТА2 — ТС2 = = О А2 — ОС2 = Μ А2 — МС2. Обратная теорема верна. 150. Используйте результат второй части задачи 149. 151. Используйте результат задачи 149. 152. 182 см2.#МЛ/=Уб2 + 82 = 10; КТ=^= = 4,8; КС = ЪКТ=\АЛ- /_СхКС = а, tga=T|3=-^; SOCH=192; 12 с cosa = —; Sc 192'4-β·τΙ==182 (см2) (рис. 213). 153. Да. Сто- рона квадрата может иметь длину 5 см, 6 см, 7 см. 154. п=3, 4, 6; S3=?-fi, S4=a2, S6=4-a2 л/3- 155. 90°, 60°, 30°. 156. 10 -fiE см2. 2 , _, _ , _„ 4 5прЧг1Г-42л/3 = 20УЗ; tg«=f. cos a- _2_ ~У5' г— 2 11 = 20УЗ:—. 157. — Q.· Так как плоскости сечений параллельны, то площади сечений относятся, как площади проекций (а они рав- 3 11 113 ны —- и — площади основания). S = Q· —: —-. 158. При k = 1, 2, 3 4 16 - ifi δ. r S = QV3, при &>3 S: 16' 4 £+1 QV3. 159. Используйте приемы ре- Л—*-- - Ν - ^-^У σ !\ *Ί Рис. 213 Рис 214 \Ь7
шения планиметрических задач 221, 222 и рисунки 145 и 146. 160. —a2 V6.· Ортогональной проекцией сечения является половина основания, ее площадь — а2 д/З- Поэтому Sce4 = =—a2 V3:cos 45°=—а2^/б (рис. 214). Можно было рассматривать сечение как состоящее из прямоугольника и треугольника, их общая сторона ад/3. Высота треугольника -^-д/2, такая же у прямоугольника. 161. -^~ УТ5. · Плоскость делит диагональ основания в отношении 3:5. Сечение — прямоугольник, у которого одна сторона аУЗ, другая -ίρΥδ. 162. — д/б см2. · Высота приз- Г~ 2 2 gj мы 6 -уЗ, сечение — шестиугольник, площадь его проекции — уЗ, а площадь сечения -γ^β см2. 163. 1) а=60°. Sce4=—а2 \/3; 2) оь = 30°. Sce4 = 3a2. 164. 1:2. 165. У пятиугольного сечения параллелепипеда плоскостью есть параллельные стороны, а у правильного пятиугольника таких сторон нет. 166. Sce4=— а2 д/б. · """ί^Η/ϊ· S--T«"· ,e7· "(ITT?' ,68· i«V5. 169. 36 V2 см2. · Сечение — четырехугольник, диагонали которого взаимно перпендикулярны. Одна из них равна половине BD, т. е. 6-\/2, другая делит ребро в отношении 1:2, считая от вершины пирамиды. Поэтому А К=-^-АТ = 12; Sce4 = 12^V2 170. Первое решение. Если ABD — искомое сечение, то BD _1_МС; МО _1_ _LBC. Треугольники BCD и МСО подобны: BC:MC = DC:OC\ ВС = ВС'°С=У£- (рис. 215, а). Второе решение. Если К — МС 8 r r r середина МСУ то Δ /(ВС равнобедренный, его медиана СР является и высотой, высота КЕ\\ МО. Через точку пересечения СР и КЕ проходит третья высота BD. Третье решение. Построим ABMiC — истинную форму треугольника ВМС. Между точками этих треугольников существует соответствие: точка Μ отвечает точке М\. Если BD\±.CM\f то, проведя DD11| Λί Αί ι, получим вершину D искомого сечения (рис. 215, б). 171. —-^26^11,5 см2 φ EF=1,2V26; 5ce4=f l,5.^.+I(l,5 + 3).|^+f 3~ (рис. 215, в). 172. На линии пересечения диагональных сечений отметим такие точки О и Г, что МО = ОТу и проведем из точки Τ прямые, соответственно параллельные боковым ребрам пирамиды. Полученные точки Л, β, С, D — вершины параллело-
/ν Рис. 215 грамма ABCD с центром О (рис. 216, а). 173. Если сторону квадрата обозначим через х, то (20 — х):х = 20:30; х=12, Р = 48 см, S=144 см2 (рис. 216,6). 174. Построение показано на рисунке 217. MD пересекает АВ в точке D\\ D\F\\AC. Прямая DE\\\AC и пересекает MF в точке Е\. Прямая ЕЕ\ определяет две вершины сечения: ΚζΜΒ и Т£ВС, а прямая KD определяет третью вершину сечения Р£АВ. Для правильной пирамиды MABCD решение аналогично. 175. Построение показано на рисунке 218. SM пересекает АВ в точке М\-у М\М2\\ВС. Строим ММз\\ВС до пересечения с SM2 в точке УИ3. Прямая M^N определяет вершины Ρ и F сечения; РК\\ВСУ КМ пересекает SA в вершине Ε сечения. 176. а) 45°; б) 60°. 177. 105 см2. · Диагонали сечения взаимно перпендикулярны. Одна диагональ как медиана, проведенная к гипотенузе МС, равна —-==—-\/182 + 242 = 15; другая определяется из подобия треугольников MBD и MKF с учетом того, что медианы треугольника, пересекаясь, делятся в отношении 2:1. 178. 75 см2. · Сечение — трапеция с основаниями 20 см и 5 см. Апофема пирамиды 12 см, высота трапеции 6 см. 179. Площадь ортогональной проекции сечения на основание равна 1Ь9
S) Рис. 216 Μ -4- Рис. 218 — SOCH. Поэтому S 180. Аналогично решению задачи 179. 181. 9,6 см. · Сечение — трапеция с основаниями 16 см и 8 см. Высота сечения определяется как медиана треугольника со сторонами 16, 2 V97", 2 λβΤ, она равна 15 см. Искомое расстояние — высота треугольника с основанием 15 см и площадью вдвое меньше площади малого осевого сечения (т. е. 72 см2). Можно было определять медиану, не находя апофемы. 182. 3,6 см. · ЛР=-\/4,52 + 62 = 7,5; АТ=—-АР=10, где А — середина стороны основания, Ρ — середина высоты пирамиды, Τ — пересечение ме- 190
дианы СМ грани, параллельной данной стороне основания, с плоскостью сечения, S AAMT=—S ААМС, т. е. 18 см2. Искомое расстояние 3,6 см. 183. 5afr V2 16 1 Сечение можно рассматривать как фигуру, состоящую из двух равных трапеций. Основания каждой из них 1 Стороны сечения со- и-^-, высота^ (рис. 219). 184. 19-4- см2 4 4 г ' 8 ответственно параллельны сторонам грани МАВ (рис. 220), поэтому (АМВ)\\(ЕРК) и высота трапеции вдвое меньше высоты треугольника АМВ. Площадь основания 48 см2, высоты параллелограмма 3,2 и 1,6, МГ = У32+1,62 = 3,4; Я=1,7. 185. 75 см2.· SAABD = 36, его высота 8; tga=-f-; cosa = 0,8; TC:OC = PT:30\ ОТ:ОС = (РТ-6):6; ^+РТ 6 30 1; РТ=Ю = МО 36 Snp = 36·2-^=60; Sce4 = 60:0,8 (рис. 221). 186. тс==ОС^. 17 *· 4 /л/ Ъ> * - <Г Рис 219 Рис. 220 , 1и D IE Рис. 221 Рис. 222 191
α=16 см, SOCH = 256 см . Апофема пирамиды 15 см, STp=120 см ; Xt:H2 = 120:256= 15:32; х:Н = λ[ϊ$ :Αλΐ2\ -?— = ^^ . 187. н-х 4у^Г-УйГ 8 Г" ν ν — (4 — -у 2) см. 188. 3 см.· Катеты сечения Зх и 4х (рис. 222), гипо- 12х ( -12х \ тенуза 5х, сторона вписанного в сечение квадрата — ; ί 24—=- j : :24 = 3х:6;х=^-. Ребро куба-у—^-. 189. / = 16 см.· -|-а2 Уз = = 9бУЗ;а = 8; Япр=10; /:48 = 5:15. 190. · Высоты основания 4 см и 6 см, поэтому его стороны 9 см и 6 см; Я = 8 см; S = 30-8 + + 2-4-9 = 312 (см2). Если брать Я = 4 или Я = 6, то соответственно S = 222-y- см2 или 260 см2. 191. 13 см.· 2 (ab-\-ac + bc) = = 192; 2((a+l)(b + l) + (a+l)(c+l) + (b + l)(c+l))=2(ab + + ac + bc)=82; a + b + c=l9\ а2 + Ь2 + с2 + 2 (аЬ + ас + Ьс)=Ш\ d2=169. 192. а = 30°. · 5сеч=-^УЯ2+За2; S6=6aH\ ЗаЯ = =-Т-У#2 + За2; Я=а; tga=4r- 193. 2d2. · d2 = a2 + b2 + c2^ >afr + ac + 6c=-y; 2d2^Sn. 194. 90° A —1\ · л-аЯ = 9 x 180° ; H = a-ctg^\ tga=^-=ctg-^; a=90°- & rc & a & rc ' 180' 5ju=90°( 1 —Ц . 195. · По задаче 192 H=ay поэтому a=45°. 196. 6642 см2.· Три стороны основания по 39 см, четвертая 9 см, Я = 39 см, SOCH = 864 см2, Sn = 2-864+126-39. 197. 159л/3 см2.· Если переставить боковые грани, чтобы никакие соседние не были равными, площадь поверхности не изменится. Но тогда ЛИ3Л5 — равносторонний треугольник, все углы шестиугольника по 120°; SOCH^^+3-3'5'7t2Q°=i^; SnJl59V3 см2. 198. Smax = = α2ί Ι +-0-) · · Две грани — равносторонние треугольники, две — прямоугольные треугольники. 199. Различные варианты приводят к разным ответам: Si =96+ 10-д/119 ж 205,1; S2 = 25V3+15VTT9^206,9; s3= 144 + 36 д/3ж206,3. Наибольшая площадь во втором варианте (рис. 223). 200. Может.· Один из примеров на рисунке 224, а. 201. 60° и 120°. 202. Да. Если двугранный угол при основании пирамиды меньше 30°. 203. ^г·· Так как ребра пирамиды О А \B\C\ меньше соответственных ребер пира- ι
о о О Рис. 223 С К D К / ι— пУ /V ι м F /ί I В Я F В Рис. 224 миды МАВС в 3 раза, то площадь поверхности меньше в 9 раз. 204. «=60°.· Если S0CH=x, S6=y, то (f+f) -(f+f) = = 3:11, у = 2х. 205. 102 см2. · По задаче 102, г имеем: если площади боковых граней 2х, 6х, Эх, то SOCH=llx; χ=6; S6oK=17-6. 206. 22 см2. · Если длины ребер χ — 2, χ, χ+ 2, то площади боко- у2 2χ χ2 _|_ 9χ χ2 А вых граней —-—, —^—, —-—. По задаче 102, г получаем уравнение Зх4 + 16 = 784; х = 4. 207. а) Наклейте на каждую грань ι
куба правильную четырехугольную пирамиду, у которой каждое ребро как у куба, б) Наклейте на каждую грань куба равный ему куб. Возможны и другие варианты. 208. По 90°. 209. 2Q {^2 — 1). · Она равна площади поверхности правильной восьмиугольной призмы, у которой боковое ребро а, а сторона основания a (V2— 1). Искомая площадь равна 12α2 (ί/2 — 1) или 2Q (ί/2 — 1). 210. Необя- 9 I— Ух зательно. 211. За УЗ. · Если ребро октаэдра х, то а^=—т, jc==a^6. 5 = 2x2V3 = 3a2V3. 212. «Ребро куба х=а(2—^2). St:S2 = 2a2 V3:6x2=(3 + 2V2):2V3. 213. я=3 или 4; 53=-^-; S4=^. Для октаэдра п=А или 6: S4 = ^, 56=^f. 214. Вычисления показывают, что косинусы этих углов равны —и —г-. 215. (3 +д/3):6. 216. 7:9. 217. -|-(6+УЗ). 218. Ребро куба 6 см. Решение показано на рисунке 224, б. 219. 384 УТТ см3. · Если измерения 2a, 2Ь, 2с, то a2 + 62 = 49, а2 + с2 = 64, b2 + c2=8L Отсюда a2=16, 62 = 33, с2 = 48; V=8 V16-33-48. 220. —-. · d = a + 6; a2 + 62 + /2 = a2 + 2a& + &2; l2 = 2ab\ ab=^-\ V=abl. 221. 54 см2, 96 см2, 150 см2, 216 см2. ·χ3+(χ+1)3+(χ + 2)3 = = (х + 3)3; х3 — 6х — 9 = 0; х3 —9х + 3х—9=0; х(х — 3)Х Х(х + 3) + 3(х —3)=0; (х — 3)(х2 + 3х + 3)=0. У трехчлена х2 + 3х + 3 нет действительных корней. Поэтому х = 3. 222. Vmax = =-^-=-^-V3. · d2 = a2 + b2 + c2^ab + ac + bc^3SfoW = Зл/З 9 = 3 УУ2. Равенство имеет место при а = Ь = с = — . 223. -тр·· Бо- ковое ребро образует с прямоугольной гранью угол в 30°. Поэтому #=-—. 224. 512 см3.· Одно из диагональных сечений — прямоугольник с диагональю У164 см, у другого стороны 10 см и 16 см, одна диагональ д/164 см. Высота этого сечения — высота паралле- О 1 ft 0 лепипеда # = 8 см; V=—-—8. 225. 4320 см3.· Высота параллелепипеда //=18 см, высоты основания 16 см и 12 см, стороны основания 20 см и 15 см; SOCH = 240 см2. 226. ΙβΥΪΪ дм3.· АВ = Ь дм. По свойству диагоналей параллелограмма б2 —Я2 + 82 —Я2 = = 2(32 + 52); Я = 4; AC=^^~=^2=2 У5; SOCH = = 2.-^V4-9-20 —(9 + 20 —25)2 = 4VH. 227. 96 см3.· Если a=x, b = 2x, c = 6 см, то 44x=176; x = 4; l/= 16-6. 228. QyTTQ·· Так
как АС<АВ\ -\-B\C, то диагональ боковой грани больше диагонали основания: AC=^2Qy АВ1=3Л/ЩУ H=^Jl8Q — Q=-J\7Q. 229. Приблизительно 11,7 см.ф Если объем полубашни со стенами 1Л, а объем внутренней части (т. е. без стен) 1/2, то V\:V2 = = S\iS2 = liil2, где 1\ и /г — апофемы основания призм; /?:/! = = 1,0645; ZI:Z2 = Vl,0645 ^ 1,032^ /, = 1,032/2. Толщина стен равна 3,65-0,032. 230. -j-Q.· S6 = -а2л/3, S ■т*- -56= 12 Д/4ВС— g "^βί -^дЛСК— S6=4-a2V3- Так как АС=аф, то ΟΚ=-γ (рис. 224, в). ЛЛ:=-дДаУЗ)2+(-|-)2=^-а. 231. 18720 см3. · Так как 72+242=152 + 202, то два угла вписанного четырехугольника — прямые, большая диагональ — диаметр окружности. (15х)2 -|- +(20*)2 = 502, *=2; 5^=^+^=936; Я=У522-482 = 2 :60°.( |-а273-Я=^-а.а·/; // = / — . =20; V=936 -20. 232. а 233. 6a3V2(9 —5V3)·· Если КЕ=х, то BK=j= (рис. 225). (а-^)W+(f-*)2 + *(f-*) ; *2 + а*л/2-а2=0; x=^-(V6-V2); У=-|-азУЗ(л/б—χ/2)3. 6а3^ (9-5 л/3). (fl+fc)3 16-χ^ 234 Средняя линия трапеции равна диагонали грани куба. 235. ^. ·Β плоскости ААВС (основания призмы) построим параллелограмм ВРМЕ и соединим точки Ρ и D (рис. 226). Так как ^РВЕ<60°, то ^ВРМ>120°; PM = BE=2KE>MD; Z.MPD<APDM, т. е. /_MPD<30°, /LBPD тупой, BD>BP. /"...· \ Рис. 225 Рис. 226 105
Таким образом, длина отрезка ME не больше высоты треугольника ABC. По условию °ф.н=(2\ Н=^-\ у=£й.Ш-т 2 ^ ад/3 4 а-у/3 236. §. #^=^.f; Я=а; /2 = tf'+f; a2=f; «=iV* K=^-f=^. 237. Aa.#Soc„<^=V3; Я<^д/3=л/3; l/^—· \/3-УЗ=1 (см3). 238. 1:27.· Так как длины ребер вписанного тетраэдра в 3 раза меньше соответствующих ребер данного тетраэдра. 239. 1:3. 240. 15360 см3.· Основание — трапеция, вписанная в окружность радиуса 25 см, высота пирамиды 60 см; 1/=4-в1±^·24·60· 241· ^=576, S = 576.· Плоскость от- ι секает на осях координат отрезки длиной 12, 12, 24; V=—·12χ Χ12-24. Площади трех боковых граней 72, 144, 144, четвертой (по задаче 102, г) 216; Sn = 72+144-2 + 216. 242. -jy V2 {а2 + Ь2 - с2) (а2 + с2- Ь2) (Ь2 + с2- а2). · Этот тетраэдр вписан в прямоугольный параллелепипед, диагонали граней которого а, 6, с (см. задачу 239). Поэтому измерения параллеле- ^ la2+b2_c2 la2 + c2_b2 л lb2 + c2_a2 { пипеда \J , \J , \J ; VTeTp=- Fnap. 243. 96 см3.· Так как боковые ребра равны, то разности длин сторон основания равны разностям периметров боковых граней. Если стороны основания χ—2, χ, χ+ 2, то (χ — 2)2+χ2 = (χ+2)2; х = 8. Стороны основания 6 см, 8 см, 10 см. Высота пирамиды //=л/132 — 52 = i2 (см); ν=~ψ- 12 (см3). 244. 8064 см3.· Боковые ребра 65 см, 65 см, 51 см, высота наименьшей боковой грани 63 см, высота основания 30 см. Высота пирамиды определяется как высота треугольника Μ DC (рис. 227): МО = 50,4 см; y=-L.32i30.5o,4 (см3). 245. l/max=132 V3 см3.· Наибольший о Δ объем имеет место в том случае, когда пирамида правильная. а3 246. — · Основание пирамиды — прямоугольный треугольник с катетами по -^-, высота пирамиды а. 247. SOCH^-^-, #^c, т. е. К^-т-. Таким образом, V\ < , V2^ ~ , Ο DO л/ ^ AC-BC-MC 17 ^ MA-MB-MC π K3^ » Va^ · Перемножив эти неравенст- б3 /ТГ ва, придем к искомому соотношению. 248. —~—.· Используйте 9/3 ^' результат задачи 149. 249. -^г · · Объем пирамиды МАВС равен 106
/3 —. У пирамиды MADC высота та же, но площадь втрое меньше. /3 а Поэтому ]/=—-—. 250. 340 см3.· Вершина пирамиды ортогонально проектируется в центр описанной около основания окруж- шг г» π ,/ S-fi S abc abc л/ 15-16-17 ности, причем H=R. Поэтому У==—-=—-—== —; V=———. 4Η*ά2 251. . 252. £^614 м . · Насыпь — это призма и две пи- 3(4Я2-а2) рамиды, основания у этих тел — треугольник с основанием 13 м и высотой 7 м; высота призмы 6,5 м, а у каждой пирамиды Hd2 7-1,5=10,5 м (рис. 228). 253. а) Общая часть мида высотой н Ъа2Н 12 — — ™Pa" основание пирамиды — данный квадрат (рис. 229, а), б) ^f- (рис. 229,6). 254. 2:2:3:5. 255. а) Верно; Μ Рис. 227 Рис 228 N Μ N а) β D С Ε δ) Рис. 229 197
б) Верно · При доказательстве второго неравенства учесть, что при положительных a*. (ai+fl2 + «3 + .-- + ^n)( 1 1 h-- + г \ а\ а,2 о,з +—) > п2. 256. ]^ V. 257. ^. · Плоскость MAC перпендикуляр- ап / 1 о о на ВТ и делит ВТ в отношении 1:2. ^вмас=-^~'-^=~^ Но объем параллелепипеда в 12 раз больше объема этой пирамиды. 258. V=a с°* .· Основание пирамиды— ABMD, его площадь a2 cos 18° cos 36°. Высота пирамиды — высота треугольника, у которого стороны М/(, -~, a cos 54° (рис. 230). Если угол между М/С и меньшей стороной названного треугольника φ, то о ^-+a2cos2 18°-a2cos254° 2 2 4 1+4 cos2 18° — 4 cos2 54° COS φ = =—— — = о а ,οο 4cos 18° 2· —acos 18° = l+2(l+cos36°) —2(l+cos 108°) = 1 +2 (cos 36° + cos 72°) = ~~ 4 cos 18° 4 cos 18° /V5+1 V5-l\ _^ l+Z\ 4 + 4 / l+V5=cos36« .^nm= 1 RbICO_ 4 cos 18° 4 cos 18° cos 18° ' ψ 2 cos 18° " та пирамиды #=—sin φ. 259. V = —'— <—cos2 χ sin χ. Но А о о су cos2 χ sin л: имеет максимум при условии cos2x=—. Поэтому sinx=^. К<^-~~=^/3<0,41Г<^-Г. 260. Рассмотрим 3 3 л/3 9л/3 7 1 ι/ ^π/3 2 1 2π ,з п Αί ;з 3 7з "Уз' усеченную призму как состоящую из пирамид СС\АХВ\ и САВВ\А\ /~*/~* АЛ ι рр (рис. 231). Объем первой равен -^-Здл.в.с,» а второй —Ц£—LX Х-—·Лιβι. 261. Совместим трехгранные углы при вершине А. Vl ■ y2==^L.^L= ЛД^С-AfQ = АВ-АСАМ ( 232). 262. К, :У2 = = 3;5. · Используйте результат задачи 261 и постройте диаго- 1/ V 1 , V 1 1 3 17 λ/ 5 17 нальное сечение пирамиды. Κι =^β~2~+~2~β"~2~==~8~ ~8~ 263. К, «0,421/; V2« 0,58 V. · Vx: V2 = 91:125. 264. 25: 83.· Аналогично решению задачи 261 (рис. 233). 265. (198 + 72 -д/2) см2, 297 см3. · Тело Φ состоит из 7 кубов с ребром 3 см и 8 половинок таких кубов. Поэтому У=ПЛ\ (см3). S = 9· 14-H—|— 16+9У2-8 (рис. 234). 267. ν=ψ= τι'Εζ'Μ0 , Но ΡΤ·ΜΟ=ΜΚ·ΚΤ\ 198
-λ — Рис. 230 Рис. 231 Ν Ч Л -ч \% Μ X Рис. 232 Рис. 233 ¥\ Рис. 234 Рис. 235 \т
V=2EF-MK-PT=±8^ртрт (рис 235) 268 Верно.· Пусть (рис. 236) одна диагональ ромба лежит на прямой y=kx, тогда 2 2 другая — на прямой ι/= —γ. Если уравнение эллипса Λ-+-γ2-:=Κ то две вершины ромба Л( *g _ , *_?* =Л и g( Ш; , fl _- J . Вычислив О А и Οβ, установим, что расстояние от О до АВ равно а , т. е. постоянно (не зависит от k). 269. а) Если уа2 + /?2 Л£ и CD — сопряженные диаметры эллипса, центр которого О, строим две хорды, параллельные CD, через такие точки Ε и F на Л β, что 0£:(λ4 «4:5 и Ο/Γ:Οβ«7:10. Концы этих хорд и точка В — вершины пятиугольника, б) Либо вписать правильный шестиугольник, а затем удвоить число его сторон (как в планиметрии), либо вписать квадрат и построить прямые через середины каждых двух соседних сторон квадрата (планиметрия, задача 204). 270. Для изображения описанного восьмиугольника строим описанный квадрат ABCD и через точки пересечения его диагоналей с эллипсом строим прямые, соответственно параллельные АС и BD. 271. На развертке боковой поверхности цилиндра искомая линия окажется отрезком АВ, т. е. боковой стороной трапеции с основаниями ААι и ВВ\. Поэтому строим радиус основания ОС\ через середину хорды АХВ\ и Cd\\AAly причем СС\=-^-(АА\ + ВВ\). Аналогично строим точку D между А и С, точку Ε между С и В и т. д. Полученные точки соединяем плавной линией (рис. 237). 272. 3 слоя.фВ одном из таких слоев имеется витков 727:17 = 42. Длина одного витка π-0,547«1,72 (м). В первом слое длина троса «72,7 м. В каждом следующем слое диаметр витка увеличивается на 34 см, а длина использованного на слой троса — на 4,3 м. Следовательно, трос наматывается в три слоя. 273. Так как КВ=КС = ВЕ = СЕ, то АВКС=/-ВЕС=2/-ВМС (рис. 238, а). Аналогично Ζ_ΑΚΒ = 2Δ.ΑΜΒ, Z.AKC=2Z.AMC. Поэтому Z.AMB+ /-АМС+ Z-BMC=±-(/-AKB+ Z.AKC+ АВКС) = 360° ι опо с%пл 2/?2 cos α sin 2α _ Лго а г* = -—=180. 274. , α>45 . · Сечение — четы- 2 cos За рехугольник, диагонали которого взаимно перпендикулярны. Поэтому S = AJ2EF (рис. 238,6). Так как Z.MEF = a, то EF = = 2/?ctgce, Z-MAJ=/-AMO = 90° — a; /.CJA =270° —За. По AJ AC теореме синусов (из треугольника ACJ): ——= . —т~г~; sin a sin (270 —3a) -4y = sH2C7o'"-3a); ^C=2/?cos(2a-90°)=2*sin2a; _<0
Ν К λ Рис. 236 Рис. 237 Ν Рис. 238
AJ: 2R sin 2α sin α Sce4 = /?ctg Ό 2R sin 2a sin s)· При этом — cos 3a \ cos 3a a>45°. 275. Пусть плоскость δ пересекает поверхность цилиндра по некоторой замкнутой кривой. Вложим в цилиндр два шара, радиусы которых равны радиусу цилиндра. Шары касаются δ в точках А и В, а поверхности цилиндра по окружностям (своим экваторам), плоскости которых перпендикулярны образующим. Образующая цилиндра, проходящая- через точку Μ сечения, касается вложенных шаров в точках С и D названных окружностей. По свойству касательных МА = МСУ MB = MDy т. е. MA+MB = CD. Поскольку CD — общий перпендикуляр плоскостей экваторов, они параллельны и величина CD не зависит от выбора точки М: MA + MB — const, т. е. кривая — эллипс (рис. 238, в). 276. 256 или 400 см2. · Если две стороны прямоугольника совпадают с образующими цилиндра, то длины сторон 32 см и 8 см, S = 256 см2. В ином случае (рис. 239) АВ = х, AD = 4x; 322 + 262=x2 + (4x)2, х2= 100; S=4x2. 277. 1,5 см. · Спроектируем Δ А ВС на плоскость, перпендикулярную образующей цилиндра. Проекция /\АВС — равнобедренный AACD с основанием АС=6 см и высотой 4 см; AD = 5 см, г = 4· (см). 278. a2V2 Высота цилиндра равна 279. Эллипс (в частном случае окружностью. · Доказа- 3 + 5 v~"'* 2 расстоянию между скрещивающимися ребрами тетраэдра, т. е. ал/2 2 тельство — как в случае цилиндра: строят два шара касающиеся сечения и боковой поверхности конуса. Затем доказывают, что любая точка очертания сечения имеет постоянную сумму расстояний от точек, в которых названные шары касаются плоскости се- Рис 239 Рис. 240 ли
-t л Рис. 241 Рис. 242 чения. 280. 15°.· Если угол при вершине осевого сечения конуса тупой, то максимальную площадь имеет не осевое сечение, а проходящее через две взаимно перпендикулярные образующие. ^-=2-l^f^\ sina=-j-; a=150°. Искомый угол (180° — — 150°):2. 281. 101 см2.· По задаче 280 Smax = -^-=-^±^. 282. -iL(2-V3+V6).· АО=±9 АВ=-2=(-у/2-1), ВС=^. Высо- 1 У2 V2 1 ту конуса найдем из пропорции ВС:МО=АВ:АО. 283. a) ^j-.· Построим сечение через вершину конуса О и прямую В\Е (рис. 240). Плоскость касается поверхности конуса по отрезку ОМ, пересекает основание куба по KE\\BD. Радиус основания конуса равен Ο,Μ, т. е. ^; б) |; в) ±ψ; г) -^ΥΤθ~; Д) |дДо"; е) аУ2; ж) ^лДЗ; з) а; и) -|-; к) -|-Л/5; л) а; м) -f-V2- 284. 4:3:2. • По свойству касательных к окружности стороны треугольника делятся на части ρ — α, ρ — &, ρ — с. Так как высоты всех боковых граней пирамиды равны, то Si:S2:S3=(p — α)'·{ρ — b): \{р — с). 285. (3 —Уб) а. · Стороны диагонального сечения куба а и а -д/2, диагональ α -^/3. Образующая конуса образует с А\С угол в 30° (рис. 241). Поэтому а ф=г -д/3 + r ί/2. 286. Сферу, концен- тричную данной, радиус которой в-у — раз больше радиуса данной сферы. 287. Окружность, или точку на плоскости б, или таких точек вообще нет. 288. /? — 21 см.· Радиус шара, проведенный в конец общей хорды, является диагональю прямоугольного параллелепипеда с измерениями "γτ? — 82 см, \rl-82 см, 8 см.
289. 100л см2, 225π см2. 290. 16 R2 sin a Vcos (a+30°)+cos (a—30°) • OM = R sin a, a=^&=2R^\sma,AlB = 2R cos а (рис. 242). ΒΒι ^\UR2 cos2 a—?-R2 sin2 a=^л/3 cos2 α-sin2 a= V ^ д/З =-^-V3 cos2 a— 1 +cos2 а=^-д/2 (cos 2a + cos 60°) = =^Vcos (a+ 30°) cos (a-30°), 5бок=6аЯ=6-2/? ^!8,п "χ л/3 ** X^ Vcos (a+ 30°) cos (a —30°). 291. Да. 292. Верно. · Все грани тетраэдра равны. Поэтому равны и окружности, описанные около граней. Следовательно, все грани равноудалены от центра описанной сферы, т. е. центры описанной и вписанной сфер совпадают. 293. -у--· Пусть К — центр сферы, касающейся ребер пирамиды MABCD, точки Ε и F — точки касания, МО — высота пирамиды. Обозначим КО = х, КЕ=-\[х2+4-; МО = ОС = -^- МК=-~х9 V 4 д/2 л/2 MK=KF-a/2; -?-— x=V2--\/x2 + -f; *i=0, х2=- -fl^· Первое решение — центр сферы совпадает с центром основания, второе не годится. Сфера касается продолжений боковых ребер. В этом случае /?=-—. 294*. Возьмем на каждой грани тетраэдра по точке. Сфера, проходящая через эти точки, не меньше вписанной в тетраэдр (г\ ^г). Если эти точки — центроиды граней то они (см. решение задачи 238) — вершины тетраэдра, у которого ребра втрое меньше ребер данного. Поэтому сфера, проходящая через эти точки, атрое меньше сферы, описанной около данного тетраэдра. Отсюда п=-~, т. е. /?^3г. 295. а) Соединим центр вневписан- ной сферы со всеми вершинами пирамиды. V=V0iABM-\-V0lACM-\- + 1/ 1/ ■Sj'^l ] ^2'/Ί ι Si'Г χ «$4-Г. . 3l7 v OtBCM v OiABC η Ι Γ^ Ι о о · Г1 Таким образом, 1 \ •3 ' 3 3 ' l Si+S-z + Si-Si 1,1,1,1 _S,+S2+S3 —S4 LS,+S24-S}—Ss Γι r2 ' r3 ' r4 3V ' ЗГ ' ■ Si+S3 + S4-Sq . 52 + S3 + S4-S1 = 2{Sx+S2 + S3 + S>) = 2Q = ' 3V ~t~ 3K 3 V Q/ =—. 296. Из подобия тетраэдров -^-=\—Ц-; JJ-=\—?L-y Г Г П\ Т fl2 £L=1_^; IL=1_2L; r,+.r2 + r3 + r4=4_2r/l 1 1 J_\ r h3 r h4 r \ hi h2 hi hA/ В любом тетраэдре ^ + 4γ+ίγ+"τγ=—> τ· е· /Ί+/'2 + /'3 + «1 «2 "3 "4 Γ 4
+ r4=2r. 297. /?Ha„6==/?ctg2(45°-f) , R„m=R tg2(45°-f) . • Рассмотрим сечение плоскостью, проходящей через центр шара перпендикулярно ребру двугранного угла. а sinT -R-\-x-f x- _Ь AjL=Rtg^450-^-J .Аналогич- sin — 1+sin 2 но y = R ctg2i 45°—j-j (χ, ί/ — радиусы наименьшего, наибольшего шаров соответственно). 298. — (~\f6±2).· Центры шаров являются вершинами тетраэдра, каждое ребро которого 2/?. Ра- диус описанной сферы равен —, т. е. ^γ—■ Искомый радиус рр±/?. 299. #(л/2±1). 300. Окружность. 301. х2+у2 + г2 = /?2, где /?= , а/>с .Я02.-2-СМ.· V=ll^=72;S= 12 + 36+ + 54 + 66=168; г=^; г=у- см. 303. г(2—л% 304. ^. #ОС=^-. CM = b^J2, ДЛОМсо дОСМ; ЛО:-|-=2&:6 л/2; Ш=4-. Тень — круг радиуса --. (рис. 243). 305. -^ см.# ЛВ = л/2 л/2 V^ = 8 VS. BD = 4 V3; Ю>=1; ЛШ=1 +7 = 8, MC2= 112, MO = A л/3 (рис. 244). Радиус сферы, описанной около пирамиды, все боковые ребра которой равны по /, вычисляется по формуле R — — . L Рис. 243 Рис. 244 Рис. 245 205
306. Зл/2 см.· AB = 4^/% BE = 2^y EK=U Ai£= 1+3=4, MB = V24, МО = 2 -л/2, R = -J*±- см. 307. х=-^-. · Зг — 3х=г+х. 308. a = 90°(l—Μ .#tga = —2L=ctgl^=tg(90°-^Y V η J * OD . 180° * η SV я / 309. Пусть (рис. 245) через точки А и В проведены дуги большого круга (АСВ) и малого круга (ADB). Вращением малого круга около АВ совместим его плоскость с плоскостью большого круга. При этом дуга этого круга окажется внутри окружности большого круга. Построим OD 1.AB. По свойству пересекающихся хорд COOCl=AO-OB = DO-ODl. Так как Od>OD, то ОС< <ZOD\. Обе дуги имеют общие концы, обе выпуклы, поэтому дуга большей окружности находится внутри меньшей окружности, следовательно, имеет меньшую длину. 310. а = 45°.· Как в задаче 290, сумма плоских углов при вершине пирамиды 180°; а= 180°:4. 311. Верно. · Используйте равенство длин касательных, проведенных из одной точки к сфере. 312. /?ί=^2,516 см.· При решении уточняем, что основание пирамиды — прямоугольник, расстояния от вершины пирамиды до сторон основания 10 см и 17 см. Центры шаров являются вершинами ромба~ сторона которого 2R (рис. 246, а). По свойству биссектрисы угла треугольника (рис. 246, б) 8-15 15 АВ= = —. Поэтому AK=4R. Аналогичный отрезок для другой диагонали ромба равен 2R. Отсюда (15 — 4/?)2 + (6 — 2Rf = = (2/?)2; /?=18±3V7 f так как R<4 то /?=18"3^ (см). 313. R& ^0,88 дм.· Аналогично задаче 312. R=6~^. 314. 1/,=^!, 1/2=Ξ£Ϊ.· Если ОС=х, то CL=^jR'2—x2, так как CL=LF \ > \ .иб
\ Рис. 247 Рис. 248 П2_ 2 (рис. 247), то S ACLF=^——. Приняв АВ за ось абсцисс, а О за 2 r SD2 2 —-—dx = 2 η = -f^/?2x—^-)| _*=-|^3. V2 = V„-Vi. 315. 75π см3. · Μ Л = на развертке боковой поверхности кону- са центральный угол сектора 90°. Поэтому 2л/? = л,-1—; /?=-L=Vl5; 7 = d; H=^(4^lSf--l5=l5\ V=-|--15-15 (рис. 248). 316. 4732л см3. · По условию боковые ребра пирамиды равны. Значит, разности периметров боковых граней равны разностям сторон основания. Обозначим длины сторон х, х — 2, х—16. Так как основание — прямоугольный треугольник, то х2 = = (х—2)2-\-(х— 16)2; χι = 10 (посторонний), х2 = 26. Поэтому / = =(196 —26):2=В5; # = 852—132 = 84; 1/=-|--132-84 (см3). 317. «668,7 (см3). 318. Ошибка 9% при 25°, 1% при 35°—40е, при 45° 7%. 319. Если ME — апофема пирамиды, то строим ОКА-МЕ. OF2 Из прямоугольного треугольника МОЕ: КЕ=-—; ортоцентр Η грани АМВ лежит на ME. Из подобия треугольников АНЕ и МЕВ НЕ:ВЕ=АЕ:МЕ. Отсюда #£=/(£, т. е. точки К и Η совпадают (рис. 249). 320. —л α-γ3. · Высота пирамиды МО=^—, радиус шара г=^=. Если МТ — апофема и КЕ1.МТ (рис. 250), то АМКЕооАМТО;МЕ:МО=МК:МТ.ТаккакМТ=^-утоМЕ= = (^—. Искомая линия состоит из четырех равных дуг радиуса б ME. Каждой из них соответствует центральный угол, вдвое бОль-
ν I ι ε А- -ъ v- r + <-V - 0' ^- N Рис. 249 Рис. 250 л.^-120° ший угла АМВ, т. е. в 120°. Следовательно, 1 = 4 -— . 321. lot) ^=-g-^„; -±-лЯ2Я=-|-лг3; π#3 tg 2χ=π8/?3 tg3 χ; !-Ϊ7=8^3χ; *82*=^ V-4i/+l=0; y=-L; tgx=f; tg2x = 2V2; 2x«70°28'; α = 180° — 2·70ο28'=39°4' (рис. 251). 322. 972π; 2304π; 4500π; 7776π (см3).· -|-πχ3+-ί-π (χ+3)3 + +-ί-π(χ + 6)3=-|-π(χ + 9^3; χ3 — 54χ—243=0; (χ—9)(χ2+9χ + + 27)=0; χ=9 (второй множитель не имеет действительных корней) . 324. Радиусы шаров 2 см, 4 см, 6 см (при внешних касаниях), или 2 см, 4 см, 12 см, или 2 см, б см, 12 см. 326. 3 дм.· лЯ2(6— -£)■ ^-.^-я.63;Я3-18Я2+135 = 0;(Я-3)(Я2-15Я-45): = 0. Корни квадратного трехчлена не годятся: один отрицательный, другой больше диаметра шара. Н = 3 (дм). 327. — г/см3. 328. 203π см2.· Основание призмы — прямоугольный треугольник, длины его сторон можно обозначить х, х — 8, х — 9. Поэтому х2 = = (х —8)2 + (х —9)2; χ2 — 34χ+145 = 0; *ι=5, х2 = 29. Так как по условию х>9, то χι—посторонний; Я = 7, S6 = ji-29-7 (см2). 329. 512,5π см2.· Основание призмы вписано в окружность, одна из диагоналей основания — диаметр этой окружности, т. е. два угла основания прямые. Стороны основания можно обозначить х, х + 8, х+13, х+17. По условию x2 + (x+17)2 = (xf-8)2 + (x+13)2; х = 7; Я = 30:2-7 = 8; 2R = -yJfr+W=2b; 8 = 2π·ψ(ψ+8^ . 330. 5=-|-πα2(3 — 2^2), V=-j- πα3 (5 л/б — 7 V^).# Рассмотрим ϋ8
диагональное сечение куба (рис.252). Если KF=xy то AE = Fd = =*У§, EF = 2x\ 2*У2 + 2х = ал/3; х=-|-(Уб — ^3); 5 = 6π~Χ X(V6-V3)2=^-Ka2(3-2V2); У=пУ{^~^)^а(^-л13). ajj2 331 5==πα2(5 —3-V2) ^ 2/?^ 2 -2R аУ2 2 2(V2 + 2) _2π a(V2-l)^a(V2-l)+^^ 33^ S = 2fl2(^+1 _V5) , У=а3( 1 —л/3+-^-) · Основание рассматриваемого тела состоит из квадрата, сторона которого равна стороне правильного 12- угольника, вписанного в окружность радиуса а, и четырех сегментов, которым соответствуют центральные углы по 30°. 5„CH=4(f2~f)+(2asin l5°)2=«2(f+1-V3) . V=a\f+ + 1—УЗ). 333. 1425π см2.· Основание пирамиды — четырехугольник/вписанный в окружность, одна из его диагоналей — диаметр окружности. Поэтому два угла основания прямые. Стороны основания можно обозначить х, х+16, х + 26, х + 34. Так какх2 + (х + 34)2 = (х+16)2 + (х + 26)2,тох=14;2/?=У142 + 482 = = 50; /? = 25; / = (78—14):2 = 32. 334. а«96°23'.· Если плоский угол при вершине пирамиды 2х, то a = 2/sinx, R=—-^; л/3 =зх Si: 2π/2 sin x V3 R I sin χ c π/2 sin χ cos x r=!-=-VT;S2= ν! 2π/2 sin x ч . π/2 sin λ: cos χ 2 0 Χ ; cosx=—, cos2x = λ/3 3 α- V3 2*. 335. 32π см2 /С Рис. 251 8 Заказ 741 Рис. 252 _1Я Рис. 253
Расстояние от центра сферы до каждой грани 3 см. Следовательно, высота каждого сегмента 4—3=1 (см); S=4ji-42—4·2π·4· 1 (см2). 336. α«73°44' или α«47°40'. mS6 li = 2nR-H=2nR2 tg2x; Sm = 4nH2 tg2 x; 2nR2 tg 2x=fnR2 tg2 x; 71^=8 *g ^ 8 tg3 *- —8tgx + 3 = 0; 8tg3*—6tgx — 2tgx+3=0; (2tgx—1)X X(4 tg2 x + 2 tg *-3)=0; tg Xl =■{-; tg л^^^1; tg *3<0. Поэтому tg 2x, =-|·, 2x, «53°8', tg 2*2^2,27, 2лг2ж66°10', α = 180° — — Αχ. 337. π. 338. -^ и -^-. · Плоскости разделили сферу на 6 двухугольных и 4 треугольные части. Если их площади χ и у, то 6x+4y=Q, Зл;+у=-|-; *=-^, «/=-§-· 339. 138π см2.· На гранях куба появились круги площадей π (62 —52) = 11π; 5=4π·62 — — 6·2π·6· 1+6-11π=138π (см2). 340. π/?2(-|—Vs) ·· Она состоит из сегмента и усеченного конуса (рис. 253). ААЕО равносторонний. Поэтому zl£OC=30°, ΕΟ=-γ, ОС=-^-^\ CF= =-§-(2-л/3). 5сегм =2nR-f(2-^)=nR2 (2-ф); S6ycK = = π/?(/?+-|-)=-|-π/?2; ρ = π/?2(-|—V3~) · 341. 2298π см2.· /? = 25 см, высоты сегментов 1 см и 10 см, радиусы оснований 7 см и 20 см; Q=4jt-252 — 2·2π (1 + 10)+2π (72 + 202) (см2). 342. -г-π/?2.· Радиус шара —£—, образующая конуса, лежащего о 2 3 R л/3 внутри сферы, равна -о-/?, высота сегмента —*—, радиус конуса, 3 3/? 3/? /? л/3 /? л/3 находящегося внутри сферы, -τ-R', (? = π·-^·—+ 2π—^ j-. 343. ^^«-^.344в^=^-«|^.345.4ясм2, 16лсм2.· Плоскость л/3+i 27 л/7+l 30 делит сферу на два сегмента, высоты которых относятся как 1:4. Так же относятся и площади частей сферы. 346. 1:9.· /Ί=^~-Χ Xtg 30°=-^; # = ^-tg 60° =ψ. У отсеченной части пирамиды V= * , площадь основания —*-, сумма площадей основания и 1о 4 ч боковых граней — а2 д/3. Поэтому радиус вписанной сферы -^-, г2:г, = 1:3, Q,:Q2=1:9. .10
ТРИГОНОМЕТРИЯ 1. ——. · Сократите дробь на cos2 x (это возможно, так как cosx=^0). 2. —.· Числитель и знаменатель привести к виду однородных многочленов четвертой степени, затем сократить дробь на cos4x, получится ох Г*?Л+2—πς· Однако можно вычислить J 3 tg4 x + 7 tg2x + 2 cos χ и sin x. По условию cos2 х = -=0,9; sin2 x— 1 —0,9 = 0,1. ,+ΊΓ л « 7 1 ^ (sin x— 2 cos x) (sin2 x-f- cos2 x) (tg x—2)(tg2 x-f-1) 3 * cos3x— 3sin3x 1—3tg3x 47 ^ (sin x-j-cos x)3 + 2 (sin x—cos x) (sin2 x-f cos2 x) 239 " "" (sin x — cosx)3 — 7 (sin x + cos x)(sin2 x + cos2 x) i3_j_o/+rrV n/+rr2v_Ln . 3,008 = i!gx+?! +;;:gx7i;!ig/tii; пРИ tg*=o,6 получим—,^ (tgx— l)3-7(tgx+l)(tg2A:+l) к Б J —15,296 5. a) 2b = a(3— a2); 6) 2fe= 1 +2a2 — a4.· sin4 x+cos4 x= 2 * = 1— 2 sin2 χ cos2 x. Ho 1 +2 sin χ cos x = a2; sin χ cos x = ^-^—\ ft==l_(£bl£. 6. a) a2 + 62 = c2; 6) a2 = fe2. 7. |fe|=2a^?.€l tgx-ctgx=(sinJ:-COSJ:)(sinJC+COSJ:). Ho 2 sin χ cos x=l-a2; О О cin Υ ГСЛЪ Υ sin χ cos χ (sin x + cosx) =(sin x —cosx) +4 sin χ cos x; |sin x + cos x| = =л1а2 + 2(1— a2). 8. b2 = a2 + 2a.9 a=-^-l ; sinxcosx=—; ν · \ / sin χ cos χ a Ь2=-Л 1 \—| —. = ctg2 x + tg2 x + 2 + 2a = (tg x + SUTX ' COS2X ' COSX Sin Χ & & ν to ι +ctgx)2 + 2a. 9. 2fe = (a2+l)V2 —a2.· 6 = (sin x + cos x) (1 — — sin xcosx) = (sinx + cosx)( 1 ~γ~) >(sin * + cos *)2 = (sin x— — cos x)2 + 4 sin χ cosx; lsinx + cosx| =Λ/α2 + 2 (1— a2) = V2 — a2 2-f4a2—2a4 ^ , sin4 χ+cos4 χ 1—2 sin2 χ cos2 χ о (1—a2)2 sin2 χ cos2 χ sin2 χ cos2 χ 4 ~ «« г~7Г t. о a. sin4 x+cos4 χ . 2. 11. a-yjab = b — 2a. * n — — 10. b= /t ,,2 (1—a2)2 * sin χ cosx l N. , sin4 x + cos4 χ β · 2 2 · /я fe= r-1-—о ; —=sin xcos χ; sin χ cos x=-\/— ; -—3 —-3 b V b a 1—2 1 —2sin2xcos2x a = sin χ cos χ , a sin χ cos χ 6 6 1 sin3 x+cos3 χ sinxcosx=- * л !
(sin x-|-cos χ) 0 —sin χ cos x) yi -j-2 sin χ cos x(l —sin χ cos x) sin2 χ cos2 χ ==i?2"V1+T"(1~"b)· 13e b = a2-l + \a\ V^=V. ·α2 = 1 + + sin 2x; sin 2x = a2- 1; |cos 2x| =Vl — (a2— l)2=V2a2-a4 = = |a| У2 —a2. 14. b=(2a2— 1) У2 —a2. · sin 3x = 3 sin χ cos2 x — — sin3 x; cos 3x = cos3 χ — 3 cos χ sin2 χ; b = 3 sin χ cos2 x —sin3x + +cos3 x—3 cos χ sin2 x=(cos x—sin x) (1 +4 sin χ cos x); sin χ cos x= a2-l 2 1 ; |cosx — sin x| =-\/(cos x + sin x)2—4 sin χ cos x = =Va2-2(a2-l)==V2ir?. 15. l-|-sina 1-f-cosa 2 (sin a+cos a—1)+3 sin a cos a ^ л « , =-—Г7Г-:—:—777-; >0; так как a — острый угол, sin a + 2 (1 + sin a) (1+cos a) r J , >> 1 · Л / sin a 1 cos a \ 6—(sin a-j-cos a)—8 sin a cos a ~*~ CZ^> ' 7 \1 +sinaf 1+cosa/ 7 (1+sin a)(l+cos a) ^ >0, так как sin a + cos a<2, а 8 sin a cos a = 4 sin 2a<4. 16 sin2 a | cos2 a 2_ 3 sin4 a-f-3 cos4 a— 1 —2 sin2 a cos2 a " l+cos2a ""l-l-sin'a 3~~ 3 (1+cos2 a)(l+sin2 a) ~~ 2 (cos2 a — sin2 a)2 ^ p. ι / sin2 a . cos2 a \ ~~ 3(l+cos2a)(l+sin2a) ^ ' Vl+cos2a ' l+sin2a/~~ 3 sin2 a cos2 a ^~ «- sin4 a . (l+cos2a)(l+sin2a) ^ ' ' l+sin4a ' l+cos4a' 5 3 sin4 a-{-3 cos4 a —2 + 8 sin4 a cos4 a 1 +8 sin4 a cos4 a—6 sin2 a cos2 a ~~ 5(l+sin4a)(l+cos4a) ~~ 5(1+sin4 a)(l+cos4 a) ~~ (1 — 4sin2-acos2a)(l —2sin2acos2a) (sin2 a — cos2 a)2 (sin4 a + cos4 a) ^ n. ~~ 5(l+sin4a)(l+cos4a) ~~ 5 (1 +sin4 a)(l + cos4 a) ^ ' 1 / sin4 a , cos4 a \ 1 —sin4 a —cos4 a —3 sin4 a cos4 a ~2 \ l+sin4a ' l+cos4a J ~~ 2 (1+sin4 a)(l+cos4 a) "~ Л . о о „ . a a sin2 a cos2 a( 1 —— sin2 a cos2 a ) 2 sin a cos a — 3 sin a cos a \ 2 Z__"^>0 2 (1 +sin4 a) (1 + cos4 a) (1 + sin4 a) (1 +cos4 a) как 4-sin2acos2a = -|-sin22a<-|-<1· »8. .f1*" - 2 8 8 1 + cos4 a cos4 a 2 5 sin8 a-f-5 cos8 a-f-3 sin4 a + 3 cos4 a— 2 sin4 a cos4 a — 2_ ' l+sin4a 5 5(l+sin4a)(l+cos4a) 5 (sin4 a—cos4 a)2 + 3 (sin2 a—cos2 a)2 —2 (1 —3 sin2 a cos2 a—4 sin4 a cos4 a) ~~ 5(l+sin4a)(l+cos4a) 8 (sin2 a —cos2 a)2 —2 (1 + sin2 a cos2 a) (1 —4 sin2 a cos2 a) ~~ 5(l+sin4a)(l+cos4a) ~~ 2 (sin2 a — cos2 a)2 (3 — sin2 a cos2 a) ^ ~ « / sin4 a . cos4 a \ ~~ 5(l+sin4a)(l+cos4a) ^ ' \ 1 +cos4 a "~ 1 +sin4 a J 1—sin4 a cos4 a — sin8 a — cos8 a 1 —(sin4 a-f-cos4 a)2-f-sin4 a cos4 a ~~ (l+sin4a)(l+cos4a) ~~ (1 -f-sin4 a) (1 + cos4 a)
4 sin2 α cos2 α (sin4 α -j- cos4 a)+5 sin4 a cos4 a ^ /\ |q sin3 a , cos3 a ~~ (H-sin4a)(l+cos4a) ^ 1+sin3 a ' 1+cos3 a~~ 1 2 sin3 a+2 cos3 a+ 5 sin3 a cos3 a— 1 3~~~ 3(l+sin3a)(l+cos3a) "~ (sin a4-cos a) (2 — sin 2a) + 5 sin3 a cos3 a— 1 ^ л . =—- - - = ——s— >0, так как sina + 3(l+sin3a)(l+cos3a) ' ι -^ ι ο ο : \ ι 3 / sin3 a . cos3 a \ + cosa>l, 2 —2 sin a cos a^ 1; ——( , , , 3—l·-— 3—) = 1 5 \l+sin3a l+cos3a/ 3 — 2 (sin3 a + cos3 a)—7 sin3 a cos3 a ^ л · 3 ι 3 ^i = 3(l+sin3a)(l+cos3a) >0· так каК sm3 a+ cos3 a < 1, а 7 sin3 a cos3 a = ^-sin3 2<x<^-< 1. 20. ΐ^α3^+Γ^ -L- 8 ^8 l+cos3a ' l+sin3a 2 sin3 a-j-cos3 a+ 2 sin6 a-j-2 cos6 a— 1 —sin3 a cos3 a 2(l + sin3a)(l+cos3a) ~~ sin3 a-f-cos3 a-f-1 —6 sin2 a cos2 a— sin3 a cos3 a 2(l+sin3a)(l+cos3a) ~~ 3 1 sin3 a + cos3 a-\- 1 —— sin2 2a—^- sin3 2a "^ 0, так как sin3 a + cos3 a^ 2(l+sin3a)(l+cos3a) ^ 2 ' 2 1 — sin6 a — cos6 a -f sin3 a.cos3 a 3 sin2 a cos2 a + 3 sin3 a cos3 a л/2 3 : 9 ~ . 1 . <* л ,5 . / sin3 a , cos3 a \ *ψ, -§-sin22a+-i-sin32a<l-|-; l-( , , 3 + , ■ ■ » Η 2 2 8 8 \l+cos3a l-j-sin^a/ (1 +sin3 a) (1 +cos3 a) (1 +sin3 a) (1 + cos3 a) > 21. -J 1 —>2-v/^ 1 =2-л/-Д— >2V2· 22. б) Это не- sin a cos a V sin a cos α γ sin 2a равенство равносильно следующему: lg 2-sin x + lg 3-cos x< <2 1g2. Ho a sin x + 6 cos x^-^a2-\-b2. Поэтому lg2-sinx + + lg 3-cos x<V'g22 + lg23<V0,3012+0i482<VO34<0,6<21g2. в) Аналогично доказательству неравенства 22, б. 23. Если 0<оь< <х<45°, то tg(x — a) + tg(x + a) =—s 2sln * 2—r-g— > ' &v / · ь\ · / cos2 χ cos2 a —sin2 χ sin2 a >2si"oy^sx^2tgx. Поэтому tg l° + tg440>2tg^-°, tg2° + + tg43°>2tgf-°, ..., tg22° + tg23°>2tgf-°, tgl° + tg2° + + tg3° + .-. + tg44°>44 tgif-°=44(V2— 1). 24. 2cos-f-= =Vl —sin a—^Jl +sin a. 25. 2 sin -f-= —~\/l —sin a+Vl +sin a. 26. Уравнение линии t/ = 3. · Vsin4 χ+4 cos2 x+Vcos4 x-\-A sin2 x= =V(1 —cos2 x)2 + 4 cos2 x+V(l —sin2 x)2 + 4 sin2 x={\ +cos2 x) + +(1 +sin2x) = 3. 27. Уравнение линии y=l. · Vsin4 χ + cos 2x + 213
+Vcos4 x — cos 2x=-\/sin4x+l —2 sin2x-f-Vcos4x—(2 cos2 χ—1)= =V(sin2 x — l)2+V(cos2 x- 1)2=(1 -sin2 x)+(l -cos2 x)= 1. 28. Уравнение линии y = 4-\/2. #У9 —cos 2x+8 sin x-f- +л/9 — cos 2x —8 sin x=^]9>— (1 —2 sin2 x) + 8 sin x + +V9 —(1 —2 sin2 x) — 8 sin x=V2 (4 + 4 sin x + sin2 x)+ +V2 (4—4 sin x + sin2 χ)=^β (2 + sin x)+V2 (2 —sin x)=4 У2. 29. Уравнение линии y=3. Φ -\/2+sin4 χ—cos 2x+-V2+cos4x+cos2x= =V2 + sin4 x — (1 —2 sin2 x)+V2 + cos4 x + 2 cos2 x — 1 = =V(1 +sin2 *)2+V(l +cos2 x)2= 1 +sin2 x+ 1 +cos2 x=3. 30. Уравнение линии ί/ = 4. · ^4 sin4 χ — 2 cos 2x + 3 + +V4 cos4 x + 2 cos 2x + 3=V4 sin4 χ 2 (1 —2 sin2 x)+3 + + V4cos4x + 2(2cos2x—l) + 3=V(2sin2x+l)2+V(2cos2x+l)2= -ρ*ι·χ+ΐ)+(ϊ«-'χ+ΐ)-4. si. ',;:~gg;g = _. 3 — 4 cos 20°+ 2 cos2 20°— 1 _ 2(1— 2 cos 20°+cos2 20) / 1— cos 20° \2 = 3 + 4cos20° + 2cos220°—1 ~ 2(l+2cos20° + cos220) \ l+cos20° / = tg410°. Более сложный подход: *(]-™ΖΙ~^~™ΖΙ - & 4(l+cos20°) —(l+cos40°) = 8 sin2 10° —2 sin2 20° = 8 sin2 10° —8 sin2 10° cos2 10° _ 8 cos2 10° —2 sin2 20° 8 cos2 10° —8 sin2 10° cos2 10° ~~ tg4 10°. 32. tg2 12° + o\2 a_( 2 cos 24° \2 8sin210°(1 -cos210°) = sin2 10°.sin2 10° =fg4 1По Ч9 +cy2 8cos210°(l—sin210°) cos2 10°· cos2 10° + ctg2 12°-6=(tg 12°-ctg 12°)2-4=(- 2s^g° ) -4 = ' -(cos224°-sin224°) = ffiff ; tg2 12°+ctg2 12° + 2 = ~~ sin2 24° v"wo " > sin2 24 -(tgl20+ctgl20)2-i 2 \2= 4- - tg212° + ctg212°-6 = — ^g iz -t-cig iz ; —^ sin 24o ) sin224o , tg212o+ctg212o+2 = cos48°. 33. V^^^V^^^·^^1^ %^ =2cos^; -у 2 + 2 cos -т?-=2 cos -j и т. д. 34. Аналогично решению задачи 33. 35. Так как sin 3α = 4 sin α sin(-^—οΛ sinf -τΜ-α j , то sin -ψ= о Я sin —- = 4 sin-ί-sin Д? sin-^ и sin-£-sin^sin^= 7 - 21 7 21 21 7 21 „ 2π 4 sin—- Qii ΛΛ^ 2π . 4π , бзт . 8π , 36. COS JJ- + COS JJ- + COS JJ- + COS — + Ί4
7π ΠΓ" +cos _=^_(sln __sln _+s,n --sin -JJ-+S1I1 -л 2s,n- • 5π , · 9π 7π , . 11 π 9π \ 1 / π \ _Sin-+Sin--Sin-+Sin— -Sin-)=--r(-Sinir) = 2sinTT = -4-· 37· tg2 α+ 1 =2 (tg2 β+ 1); —L-=-4r- ; cos2 β = 2 cos2 α; 2 & ' V & Μ Ι /' cos2 α cos2 β Μ cos2 β— 1=2 cos2 α — 1; — sin2 β = cos 2α; cos 2α + sin2 β = 0. 38. По условию cosa=— ρ sina= - . Поэтому л1р2+я2 Vp2+?2 p.cos2a + ?.sin2a:=p. ^2~^2 \-q- ^^ =p. 39. a(tga — . α —β . α —β ι ο \ / , ο \ α S,n 7Γ~ Ь Sin — _^S±l)_» ,g£±i-tgP)=0; ^-^^=0; cos a · cos—^ cos β cos ' — t=0; α-cos β— &-cosa = 0. 40. По условию cos χ=—, cos a cos β J a COSy = -f-, T. e. cosx+cosy=£+| Поэ ct £±fi.ctg£z*= J b cosy— cos x a—b J ь 2 ь 2 ^cosx+cosj/^a + fr ^ sin4x . (1— sin2 x)2^ 1 . /a _i_ M2 sjn* χ __ cosy—cos χ a —6 a & a + 6 ' V ι / -2a(a + &)sin2* + a2=0; sin2*—^-; cos2x=-^-; ^+^= a+6' a+6 ' a3 б4 a + b _ 1 — / . г\4 3 ι ν τ LX4 7.3 — / ,1.44—Ί—ττ* · 42. По условию sin x = atf (a + by cr (a + 6)463 (a+6) (a+6)3 J ' sin2*=M, sin3x = ct, sin4x = dt\ Ξ±£.=£ί±£ί=2 cos x\ ±±±= 6 sin 2x с = bt±dL== smto+sinix =2 cos x = £±£ . 43. По условию sin a = c/ sin 3x 2 J . 0 . r χ—2u-\-z sin a — 2 sin 3a + sin 5a = axy sm3a = ayf sin5a = az; ——= r-^—! = J у sin 3a = 2c0s2a-2; g=3£=«"3a-3sin a=2sin <xcos2a_2 = 2 cog 2{χ_ jc sin a sin a —2— *~ y+z . 44. По теореме Виета tga + tgβ= — ρ, tga·tgβ = ^ Поэтому tg(a + p)=-j^-=-^_; 5Ϊη2(α + β) + +ρ sin (a -b β) cos (a + β)+ν cos2 (a + β)=cos2 (a + β) (tg2 (a + β)+ +P^«+P)+^iW(^((Flf+H+9)=TVx X (^гтт - (9-i)2+P2-<7· 4&· tCJIH α Ρ—*. 15
το α_ιγ==2β· δίη(α + β) sin (β+γ) == sin (α + β) - sin (β+γ). = γ μ* sin (α —β) sin (β—γ) sin χ = 2cos2p. 46. sin2 β = sin a cos α; cos 2β= 1 —2 sin2 β = (5ΐη α — — cos af=( sin a — sin (-p—a J J =i2sinia—j- J cos -y-j = VTfp-vr11? =(V2cos(^-a))2 = 2cos2(^+a) . 47. x2 » & ^ x2 ^ l_j_tg2t/ лг :((1+Λ^~χ4)2 + 1 ) =x2. 48. arctg x + arctg у = arctg arctg z = n — (arctg x + arctg #); z= —tg (arctg x + arctg y) = Доказательство аналогично доказательству в задаче 48. 50. α = π — (β + γ); cos α= —cos (β + γ); —£^L?- j_±y_. \—xy ' cos γ cos α sin γ cos α sin β • о о — (sin 2β —sin 2γ) . /0 ч ,0 , \ sin β cos β —sin γ cos γ 2 sin (β —γ) cos (β + v) sin β sin γ cos α sin β sin γ cos α sin β sin γ cos a = slupTsmPj *=<*8β-<^ν·61.γ = π-(α + β);8ίηγ = 8ίη(α + β); sin α + sin β + sin у = sin a + sin β + sin (a + β) = 2 sin аТ" cos °-f = 2sin^±£cos^=^- + 2 sin -^±£-cos ^±IL=2 sin ^-(cos ^P-+cos -Щ^~) = = 2sin(-2~-J-)-2cos-|-cos-|-=4cos-|-cos-|-cos-|-. 52. Аналогично решению задачи 51. 53. cos a+cos β+cos у—1 = = 2 cos ^cos 2=2— 2 sin2 -f= 2 cos ^cos ^-2 cos2 ^±-β= Δ Δ Δ· Δ Δ Δ =2 cos ^±£(cos -2=£ cos a+p ) =2 sin -ϊ-2 sin -f-sin -|-= ^ \ ^ Δ/ Δ Δ Δ = 4 sin -f-sin -§-sin -|-. 54. cos 2a + cos 2β + cos 2γ + 1 = = 2 cos (a + β) cos (α —β) + 2 cos2 y= —2 cos γ cos (α —β) + + 2 cos2 γ = 2 cos γ (cos γ —cos (α — β))=— 2 cos γ (cos (a + β) + + cos (a — β))= —2 cos γ·2 cos a cos β= —4 cos a cos β cos γ. 55. δίη22α + δίη22β + 2δίη22γ-2=1^^+ — 2 = —1-(1 +cos 4a + cos 4β + cos 4γ)= —(cos2 2a + cos (2β + + 2γ) cos (2β — 2γ)) = —cos 2a (соь 2a + cos (2β — 2γ))= —cos 2αΧ Χ2 Cos (α + β — γ) cos (α — β + γ)=— 2 cos 2α cos (π —2γ) cos (π— — 2β)= — 2 cos 2α cos 2β cos 2γ; sin2 2α + sin2 2β + 5ίη22γ + 216
+ 2cOs2aCOs2ecOs2v = 2. 56. (sinP+sin V-sintt)(sinV + sina-sinfl= 4 sin a sin β . 9 .. . лч9 -tr-(l—cos2v—l+cos2a—l+cos26)H-2 sin asin β sin γ—(sin a —sin β)2 2 _ 4 sin a sin β 4 sin a sin β — (—1—cos 2y + cos 2a + cos 2β) + 2 sin a sin β 4 sin a sin β —cos2 γ—cos γ cos (a—fi)-\-2 sin a sin β — cos γ (cos γ-f cos (α— β))-|-25ΐηα5ΐηβ 4 sin a sin β 4 sin a sin β 2 sin a sin β (1 —cos γ) 1 —cos γ · 2 _Y_ cj cos a . cos β . 4 sin a sin β 2 2 sin β sin γ sin a sin γ . cos γ sin 2a-j-sin 2βΗ-5ΐη 2γ sin 2a -f sin 2β —sin (2αΗ~2β) sin a sin β 2 sin a sin β sin γ 2 sin a sin β sin γ = 2 sin (a + β) cos (α — β) — 2 sin (a + β) cos (a + β) 2 sin a sin β sin γ 2 sin (a + β) (cos (α — β) — cos (a-f β)) sin γ·2 sin a sin β о со a — b 2 sin a sin β sin γ sin a sin β sin γ * " a -\-b . A-B A + B = 2R sin Л — 2/? sin В = sin Л—sin β _ 2 2 = 2/? sin Л+2/? sin В sin Л + sin β ~~ Λ . Л + β Л —β 2sin—2~ cos—γ~ tg = Т-Г1Г· 59· 4-("2 — ab + b2)^^-^S. 60. Проведя высоты, учесть, что a = b -cos C + c-cos β. 61. Использовать результаты за- дачи 60 и формулу cos2*= 1+c°s2j: . 62. cos Л cosfl+cos^cosC+ r 2 ab ас ■ cos ^ cos С cos Л cos £ sin С-f cos Л cos С sin £ , cos В cos С sin Л "1~ be ~ 2S ~*~ 2S ~ cos A (cos В sin C-j-cos С sin £)-f-cos β cos С sin Л ~~ 2S ~~ cos Л sin (Д+ C) + cos β cos С sin Л sin Л ( — cos (В+ C) +cos В cos С) ~~ 2S ~~ 2S sin Л sin β sin С sin2 Л «0 . , D /-»\ , , . ,„ дч , = 2 . P . η—= 2—· 63. a sin (β — C)+b sin (C —A)-\- ar sin β sin С a2 \ / · ν / ι sin Л -fc sin (A — B) = 2R(sm A sin β cos C — sin Л sin Ccosfi + -j- sin В sin С cos A — sin β sin Л cos С + sin С sin A cos β — — sin С sin β cos A)=0. 64. Аналогично решению задачи 63. 65. Так как в треугольнике против большей стороны лежит больший угол, то (а — Ь)(а — β)+(6 — с) (β — у)+(с — а) (у — а)>0; (2α — β — γ)α + (2β — a — y)b + (2y — α — β)£>0; (3a —π)α + + (3β — π)6+(3γ — л)с>0; 3αα + 36β + 3ί:γ>π (a + & + c);
αα+Α_μ γ ^~f~' ^° неРавенствУ треугольника (a-\-b — c)y-\- + (a + c — b) β + ib + c — a) a>0; a (n — 2a) + b (π — 2β) + <: (π — -2γ)>0; fla+y+<?v<-g-. 66. sin A + sin β + sin C + sin D = 17 a + 6 + c 2 = sin Л + sin β + sin C — sin (Л + B + C)=2 sin ^j^cos^-— 2 2 о . Л + β Л + Я + 2С о · A + B/ А —В А + В+2С\ — 2 sin T^ cos —τ τ—=2 sin —ϊ—( cosr—о cos 2 —) = A -4- R A -\- С R -4- С = 4 sin T" sin ~^~ sin T" . 67. Аналогично решению задачи 66. 68. Аналогично решению задачи 66. 69. Аналогично решению задачи 66. 70. α + β + γ = πΑ2, ηζΖ.φ tg a + tg β + tg у — -tg a tg β tg γ = 0. tg a + tg β + tg γ (1 -tg β tg γ) = 0; tg« + tgP +t 0 tg(a + p) + tgT = 0; ^±Ш_=0; 1—tgatgP ' & r & \ ι μ/ ι & r cos(a + p)cosv 5ίη(α + β + γ) = 0. 71. ±α±β±γ = π (4αζ—1), A2£Z.#cosa + + cos β + cos γ=1+4 sin -ψsin -|- sin -Ϊ-; 1 —2 sin2-|-+1 — _2 sin2 -f+ 1 -2 sin2 -£-- 1 -4 sin -f sin -fsin -£-=0; sin2 -f+ + sin2 -§-+ sin2 -I~ 1 + 2 sin -f- sin -§- sin -ϊ-= 0; ( sin -|-+ sin -|-χ Xsin^-)2-l + sin2A+sin2^_sin2Asin2-|-=0; (sin-f-+ + sinisinf)2-(l-sin2|-)(l-sin2f)=0;(sin-|-+sin-|-X Xsin-|-) — cos2-|-cos2-£-=0; ( sin -|-+ sin -|- sin -*—cos-|-X Xcos -|-)(sin -f-+sin -J-sin -*-+ cos -|- cos -|-) =0; (sin -|— _cos-&±X)(sin^-|-cos-fa)=0. Отсюда ±|^-Α±Χ= = 2лл—ψ=-γ(4η — 1). 72. α + β-|-γ = πη, га 6 Ζ.· sin a-\-sin β + + sin γ-4 sin ^"Sin -2L^Lsin -Ц3-=0; 2 sin -^±£-cos^-+ + sin γ-4 sin ^±£ sin S±l sin ^-=0; 2 sin ^-(cos -*=£-- _2 sin ^±Xsin £±1) +sin γ=0; 2 sin ^-(cos *f*-cos ^=-β+ +cos" + P2+2T)+sinY=0; 2 sin -g±£- cos «+Р+*г +Sin γ=0; sin(a + p+v)—sinv + sinv=0; sin (α + β+γ)=0. 73. ±α±β± ±γ=π(2η + 1), η£Ζ. ·8Ϊη2α + 5ΐη2 β+sin2 γ—2—2 α>5αΰθ5βΧ Xcos γ=0; 1—cos2 α + 1—cos2 β+1—cos2 γ —2—2 cosa«^X
Xcosv = 0; cos2 α + cos2 β + cos2 γ— 1 + 2 cos α cos β cos γ = 0; (cos α + cos β cos γ)2 —(1 —cos2 β)(1 —cos2 γ)=0; (cos α + cos βΧ Xcos γ)2 —sin2 β sin2 γ = 0; (cos α+cos β cos γ —sin β sin γ)χ X(cos α+cos β cos γ + sin β sin γ)=0; (cos α + cos ^+y))(cosa+ + cos(p —γ)) = 0. 74. γ±α±β = π (2/x+l) или γ±(α — β) = π (2/Ι + + 1). #sin2a+sin2 β—sin2 γ—2 sin a sin β cos γ=0; (sin a—sin βΧ Xcos yf-\-sm2 β (1 —cos2 γ)—sin2 γ = 0; (sin a — sin β cos γ)2 — — sin2 γ cos2 β = 0; (sin a — sin β cos γ + sin γ cos β) (sin a — sin β χ Xcos γ —sin у cos β) = 0; (sin a —sin (β —γ)) (sin a —sin (β + γ)) = 0. 75. α + β + γ = 2π/ζ.# Умножив обе части на tg-^tg-|-tg-|-, получим задачу, аналогичную 70. 76. α + β + γ = π (2/г +1).· tgftgA+tgftgf+tg-J-tg-L-l; tg-Htg+Mg-i-)- tKJL+tKJL ' 1 lS 2 lg 2 ' lg 2 , 4 β t γ X' 1ё 2 lg 2 '' 2 ^ i-tgTtgT +Цу-=т+лп-77· ВеРно·· Если lgy=a' ,gi-=P' lgT=^ το α + β + γ = 0 и можно использовать результат задачи 70. tg2lr-2tg£·'" '· - лч2 78. 15 — Βτβ—6τβ+10τβ.Γ ё 24 ^ ё 24 5π , V6 — λ/2 1—cos— 1 — = ** 24= |-u 5Л = , J6-V2 · 79· ВеР" 1+cos- l+^-j-^- но.· tg2f =(V2-1)2 = 3-2V2; ctg2f=(V2 + l)2 = 3 + 2 ^2; tg2 "ir+ctg2 ~7Г=6, *g2 "ipctg2 1Γ== 1- П° теореме, обратной теореме Виета, tg2-^- и ctg2-^ корни уравнения χ2 — 6χ+1=0. 8°· **■*= l-^tgP ••ctg^+ctg^ XtS! ' *β^8-ν = =7S=tgatgP; tg (* + </)= ^+'™ . 81. a2 + 62 = 2 + 2C. • a2 + 62 = 2 + 2 (sin χ sin t/ + cos χ cos t/) = 2 + 2 cos (x — t/). 82. Используйте соотношение tg a = ctg a —2 ctg 2a, которое легко уста- новить. 83. Так как sin A sin B^sin2 "*" , το sin Л sin β sin C^ <sin3 ^^^sin3 60°=-^<-|-. 84. Так как sin (180° + a) =
= —sin α, а углы последовательно увеличиваются на 18°, то значения членов последовательности по модулю меняются с периодом 10. Поэтому достаточно рассмотреть произведение первых десяти членов: sin 3° - sin 21 ° - sin 39° - sin 57° - sin 75° - sin 93° X Xsin 111°.sin 129°.sin 147°.sin 165°= ^ sin 3°.sin 57°.sin 63° 4 sin 63 у 4 sin21°-sin390-sin81° 4 sin 27°-sin 147°»sin 93° 2 sin 75°-sin 165° v X 4 sin 81° " 4 sin 27° " 2 X у 4 sin 9°-sin 111°.sin 129° _ sin 9° sin 63° sin 30° sin 81° y 4 sin 9° 4 sin 63° 4 sin 81° 2 4 sin 27° X v sin 27° 1 /4 4 sin 9° 1024 Замечание. В приведенных преобразованиях, кроме ^известных, использовались формулы sin За = 4 sin α-sin (60° —α)-sin (60° +а), cos За = 4 cos а · cos (60° — а) · cos (60° + а). 85. a) --L #cos I20.cos24°.cos48°.cos960=|^^.^^ 7 16 2 sin 12 2 sin 24 v sin 96° sin 192° = —sin 12° . βν 1_ ofi л л tg 12° . X 2 sin 48° ' 2 sin 96° 16 sin 12° ' ' 8 ' cos 24° ■" ι tg24° . tg48° , tg96° = sin 12° , sin 24° , ' cos 48° "" cos 96° ' cos 192° cos 12° cos 24° ' cos 24° cos 48° "" , sin48^ . sin_96^ =(tg24° —tg 12°) + (tg48° — ^ cos 48° cos 96° ^ cos 96° cos 192° V ё ё )^Г\1Ъ **° — tg24°)+(tg96° —tg48°)+(tg 192° —tg96°)=tg 192° —tg 12°=0. от «v 1 α ΛΛ„ 9π λ 13π Λ 15π 16π / 8π \ ν, 87. a) -.•cos—cos— -cos— -cos—=^-COs-)X χ( —cos -у j ( —cos -y j ( —cos -jy j . Преобразования, аналогичные преобразованиям задачи 85; б) — .· cos 6°-cos 42°X Xcos 66°-cos 78°= /°8 1Ζο - /OS 5fl ■ Использована (как в зада- 4 cos 54 4 cos 18 . че 84) формула cos 3α = 4 cos α cos (60° —α) cos (60° +α). 88. -тгг. cos 12° - cos 24° - cos 36° ■ cos 48° · cos 60° - cos 72° - cos 84° = sin 24° sin 48° sin 72° sin 96° 1 sin 144° su>168° 1 X 2 sin 12° 2 sin 24° 2 sin 36° 2 sin 48° 2 2 sin 72° 2 sin 84° 128 X 1"К1'££У 89- ±··*—™» К"-™ зада- чи 87,6. 90. -^гг·· Использовать формулу для sin За так: __J_ У| 4 sin 6° sin 54° sin 66° 4 sin 12° sin 48° sin 72° 4 sin 18° sin 42° sin 78° X~~ 2 ' 2 ' 4 ' 4 " 4 X χ 4 sin 24° sin 36° sin 84° =j| sin i8°. sin 36° - sin 54°-sin 72°=^X _jo
чх sin 36° sin 72° _ л/3 cos 36°—cos 108° _ л/3 /„ло qao ι .:„ ιοο\_ A 2 2 —~Ψ* 2 —-^Тз" Vcos c>0 "Τ" Sin lo ; — =^l(iJ4^+^=1)-91. l.#TaKKaKtg3o = tgo.tg(60°-o)X Xtg (60° +а), то tg 20° tg 30° tg 40° ctg 10° = tg 30° (tg 20° X Xtg (60° —20°) tg (60° + 20°))=tg 30° tg (20°-3)=tg 30° tg 60°. 92.^-.· Аналогично решению задачи 91. 93. 4.· tg9° —tg27° — — te 63°4-te 81"= sin90° sin 90° _ 2 2 _ ё "^ g cos 9° cos 81° cos 27° cos 63° ~~ sin 18° sin 54° — 2 (sin 54°-sin 18°) 4 sin 18° cos 36° q4 „ч _3_ Л 4jn2 10° 4-sin2 W4- _ sirr 18° sin 54° _sin 18° cos 36° ■ »*· a> 2 '* Sin Ш +Sln bU + + sin270°=^-(l — cos 20° +1— cos 100°+1— cos 140°)=-±-(3 — —cos 20° —2 cos 20° cos 120°)=-±-(3 —cos 20° +cos 20°); 6) -|-.· sin2 20° + sin2 40° + sin2 80°=-|-(l —cos 40° + 1 —cos 80°+ 1 — -cos 160°)=-i-(3—cos 40° — 2cos40°cos 120°)=-±-(3 — cos40°+ о +cos40°)=—. Можно было использовать результат задачи 94^ α: sin2 20° + sin2 40° + sin2 80°=cos2 70° + cos2 50°+cos2 10°= = 3-(sin2 10o + sin250° + sin270°)=3—|-=-ί|-. 95. -|~.# 2 2 о cos410°+cos450o+cos470°=( 1+c°s20° )2+( »+«^'00° V + +( '+co2sl40° y=-L(3 + 2(cos20°+cos 100°+cos 140°) + +(cos2 20° + cos2 100°+cos2 140°)) ==^-(3+2 (cos 20°+2cos20°X Xcos 120°)+-±-(l +cos 40° +1 + cos 200° +1 +cos 280°))=-i-(3+ 4-2 (cos 20° —cos 20°)+-|-(3 + cos 40°+ 2 cos 240° cos 40°))= =^-(3 + 2-0+-|-(3+со5 40о-со5 40о))=^(з+-|-) . 96. а) 9.· te210°+te2 50° + te2 70°=1~cos20°4-,_cos 100° ' 1_cos 140° l+cos20° ' l+cosl00° ' l+cosl40° 3—^-(cos80°+2cos 120° + cos 160° +cos 40° + cos 240°)—3 cos 20° cos 40° cos 80° 8 cos2 10° cos2 50° cos2 70° 3+A_A 2 V 2 / " 8 ^4 8 27. 3 1 / 3 \ 1 3 3 '"Г^~3'T = 3+/-Т »._g.; б) 33. «Аналогичное |.f 8 8
но решению задачи 96, а; в) 59. · tg4 10° + tg4 50° + tg4 70° = =(tg2 10° + tg2 50° + tg2 70°)2-2 (tg2 10° tg2 50° + tg2 10°tg270°+ -Ufa·2 ™° to·2 70°\ — Я1 o/ 1-cos 20° 1-cos 100° , 1-cos 20° 4/ + tg bU tg Л) j-81-^ 1+cos20o · 1+cosl00o + 1+cos20o X v 1—cos 140° . 1—cos 100° 1—cos 140° \ = X l+cosl40° """ l+cosl00° " l+cosl40° / "~ = 81 3 — (cos 20° + cos 100° + cos 140°) , ~ 8 cos2 10° cos2 50° cos2 70° ~*~ , —(cos20°cos 100° +cos 20° cos 140° + cos 100° cos 140°)+3 cos 20° cos 100° cos 140° = * 8 cos2 10° cos2 50° cos2 70° ~" 3-0+A + 3.-L = 81 4 8_ 97e а) Шф i^4 ■ ι 1 2о/ло * ' *w sin2 10° ' sin2 50° * cos 70° — cos2 30° = l+ctg210o + l+ctg250o + l+ctg270°; 6) 12.· cJ{QO + Η hro 1 htr— =1 Ч-tg2 10o + l+tg250° + l+tg270°. 1 cos2 50° ' cos2 70° & ' & · · & 98. a) -^-t . · Если x=18°, то sin2x=cos3x; 2 sin χ cos x = = cos3 χ — 3 cos χ sin2 x\ 2 sin x = cos2 χ — 3 sin2 x; 4sin2x+2sinx— — 1=0; sinx>0; 6) ^+1 · cos 36°= 1 — 2 sin2 18° = l - ^(^T1)2; B) V2-l.*tg22°30^=-^| —cos 45° 1—cos 45° + cos 45° sin 45° r) V5+l.#tg67«3(K=-^!sr=-|LT; Д) 2-V5. · tg 15" = = tg(60°-45o)=7^r=2-V3; e) 2+Уз.· tg 75°=-^= π . 2π 1 / π Зл\ t sin-—-sin—- —I cos——cos-—) 1 \ [Έ ^ ι π > 2n 5 5 2 \ 5 5/ — —; Ж) V5.· tg— -tg- — - о -,/q ' 55 π 2π Ι/ π Ятг\ 2 v cost-cost t(cos1+c°s¥) л_ VS+1 V5—1 —= /е., ι—/c_i · 99. a) 0. · Пусть векторы длиной π л л/54- 1 , л/Е—1 j^T-s,nTo —Γ-+-Τ- π cos—+ sin 5 ' 10 4 4 по 1 имеют началом начало координат и образуют с лучом ОХ углы 7°, 43°, 79°, ... (углы между последовательными векторами по 36°). Концы векторов — вершины правильного многоугольника. Поэтому (см. планиметрическую задачу 151) сумма векторов — 0. Следовательно, сумма их проекций на ось ординат равна нулю, б) 0. 100. 45. · tg a + tg(60° + a) + tg(120° + a) = 3 tg За. Поэтому tg l° + tg5°+ . + tg9° + tgl30 + ... + tgl770 = 3(tg30 + tgl50 + tg27° + ...+ + tg 1710) = 9(tg9° + tg450 + tg81° + tg 117° + tg 153°) = = 9 (tg 9°+ 1 -ftg 8Г —tg 27° —tg 63°)=9 (1 +4). В конце исполь-
зован результат задачи 93. 101. —8010.· lg(2'-tg l°) + lg(22X Xtg 2°)+lg (2Mg 3°)+... + lg (289-tg 89°)=lg 2 (1 +2+3 + ...+ + 89)+lg(tg lo-tg2°-tg3°-...-tg89o)^=40051g2 + lgl=40051g2 x-4005 1g2:lg^f=40051g2:(-^-lg2). 102. ——L_(l_ 2 sin /г+1 2mn , 2mn 4/ηπ , , 2nmn (2n4-2) тл \ -COS -—+ COS —— — COS ——+...+COS —-—COS —*—-^ ) = /г+1 n-\-l /г+Г /г+l /г + 1 / mo -COS (1— cos2mji) = 0. 103. *2^ (l—( _ . mn ч 7 _ . 2/?ζπ \ 2/г+1 2 sin ——r- 2 sin -—— η + 1 2/г + 1 . 4/?ζπ Smn . 8/ππ 12/?ζπ , . л 4тл(п-1) +cos ^+t-cos 2^+t+cos 2^+t-cos ^+T+-+cos^m— 4/тш_ \ 1 / ι Amnn \ 1 v "COS 2/1+1 У " 0 . 2тл l _COS 2/1+1 У ~ 0 . 2тя Х 2 sin -——j- 2 sin -—— 2/1+1 2/i +-1 X2sin2 lmnn =4~tg 2mjl, . 104. Умножить и разделить выраже- 2/ι + 1 2 2/ι + 1 + 1 2 & 2л+1 /ι 2/л -( 1—COS \ п-\ + 1 sin 4/τζπ /г+1 2 алл «лг· ι / ι 2/71Л ι ι 6/71JI ■ ι sin n , , . 105. —( 1 — cos ———Ь 1 — cos ———Ь l 2/1 + 1 2 \ /г+1 /г + 1 10/τιπ . , , λλ„ 2(2/г + 1) тк\ η- -cos^+... + 1-cos У n+i )=- 2тп 2 2 sin—— /г+1 106. /t sina ч2 · S = sin a + 2 sin2 a + 3 sin3 a + 4 sin4 a + ...; (1— sin a)2 S sin a = sin2 a + 2 sin3 a + 3 sin4 a + ...; S (1 —sin a) = sin a + 1-2 ι·3 ι : 4 ι sin α <Λ- sin a (1+sin a) ^ + sin a + sin0a + sin a + ...=- : . 107. 1Л ч2 ■> 1 1— sin a (1— sin a)2 S = sin a + 3 sin2 a + 5 sin3 a + 7 sin4 a + ...; S sin a = sin2 a + + 3 sin3 a + 5 sin4 a + ...; S (1 —sin a) = sin a + 2 sin2 a + 2 sin3a + , ο · 4 ι · ι 2 sin2 a sin a + sin2 α <ΛΟ cos a ^ + 2 sin a + ... = sin a+- :—=—г—Ц . 108. .· 1— sin a 1— sin a 4 a 4 cos — S = cos a — 2 cos2 a + 3 cos3 a — 4 cos4 a + ...; S cos a = cos2 a — — 2 cos3 a + 3 cos4 a — ...; S (cos a+ l)=cos a — cos2 a + cos3 a — -COS4a + ...= C°Sa ; S = C°Sa ч2 . 109. cosa(l+cosa) % 1 + cos a (1 + cos a) sin4 a S=cos a + 3 cos3 a + 5 cos5 a + 7 cos7 a + ...; S cos2 a = cos3 a + + 3 cos5 a + 5 cos7 a + ...; S (1 —cos2 a)=cos a + 2 cos3 a + , ο 5 ι ο 7 ι ι 2 cos3 a cos a + cos3 a + 2 cos0 a + 2 cos' a + ... = cos a-\ - 2 = ;—-2—■= . 1 — cos2 a 1 — cos2 a 110. 2n~2 sin -ψ^χ — sin 2a. · Так как sin χ -sin2 -ττ= sin χ Χ X {~™sx = -|-sin χ — -^-sin 2x, то S=-|-sin a—^sin 2a + +2(isinf-+ina)+4(-Lsinf-+inf) +
+8(τ-τ-τ-τ)+···+2"+3(τ-#τ-τ-^) = =-^sin α—^-sin 2^+2-4" sin -^~2~sin a + 4~sin -%-— 4X •^ 4 ' Ζ ζ 4 ζ 4 xTsin f+8-Tsin f -8-Tsin f+-+2""1 -Tsin #-- - a ι sin ~o~ _2"-'.Л-8т^. 111. tga-tg^.#S== 2— + cos a · cos —- . a . a sin — sin — , ч . ч +—iJ4r+^rLT+"-(t«—t«f)+('«-f-t«f)+ COS — COS -7- COS -7- COS — 2 4 4 8 +(tg-f—tg-f-) + ···+( ig^r-tgf). 112. ctgl°-ctgl048576°· 1_= Sin (2a-a) . a_ctg 2a. ПОЭТОМУ X = (ctg 1° —Ctg2°) + sin 2a sin a sin 2a b ь J ч & & ' ' + (ctg 2° —ctg 4°)+(ctg 4° —ctg 8°)+... + (ctg 524288° — -ctg 1048576°). 113. 2sinl0OOa - ·· 1 . 1 . sin 2a cos 1001a " cos a cos 2a cos 2a cos 3a ι 1 , _| 1 1 / sin a , cos 3a cos 4a *" cos 1000a cos 1001a sin a \ cos a cos 2a . sin a | sin a . . sin a \ 1 . . cos 2a cos 3a cos 3a cos 4a *** cos 1000a cos 1001a / sin a X((tg2a-tgo)+(tg3o-tg2o)+...+(tg lOOla-tg 1000o))= =-L(tgl001a-tga)= , sin!°°°a . 114. arctg ^br· sin α v & sin α cos 1001a cos α ° n-\-2 arc*g .^+, ~nn==arctg (n+ 1) —arctg п. Поэтому S = (arctg 2 — — arctg l) + (arctg 3 —arctg 2)+(arctg 4 —arctg 3) + ...+ + (arctg (n-\- 1) — arctg Az) = arctg (n-\- 1)—arctg 1. 115. ~γ'η~~ — arctg—J75-· При k^\ arctg k-\-arctg —=-|-. Поэтому S=(f-arctg^-)4<-=-arctg4.)+(f-arctglL)+...+ +(-77—arctg—2-——r) · 116· arctg—7-Г-· Так как arctg77-2 = = arcie~2^T\ arctg 2rc + l - TO S==(arctg 1 —arctg-|-) + +( arctg -i— arctg -i-) +( arctg -|— arctg y-) +... +(arctg^η--- •ζ π COS — 1 \ 1 38 — arctg-—— ) = arctg 1 —arctg-——. H7. . · Умно COST9
π 1 жить и разделить выражение на 2 cos —. 118. —— 19 * 2 21 Умножить и разделить выражение на 2sin-^-. sin —cos(a + (« —1)γ) 119. . · Умножить и разделить выражение sinT на 2sin-f. 120. 500 sin 2a-sin 1000a cos 1002a % yMHOm и 2 2 sin a разделить на 2. S=—(cos a — cos3a+cosa— cos5a + cosa— — cos 7a + ...+cos a —cos 2001a) = 500 cos a — -—.— ((sin 4a — ' 4 sin a xx — sin 2a) + (sin 6a —sin 4a)+(sin 8a —sin 6a) + ...+(sin 2002a — • c\f\f\r\ w гпгл sin 1000a cos 1002a tn+ sin2 «a ^ λ7· — sin 2000a)) = 500 cos a — . 121. —: .· Ум- " 2 sin a sin a 501a . __Л cos —-— sin 250a ножить и разделить выражение на 2 sin a. 122. . cosT • Умножить и разделить выражение на 2 cos -γ. 123. -^— _ sin/ίαcos(/i+l) α φ s=*n _cos 2a + 1 -cos 4a + 1 -cos 6a + 2 sin a 2 + ... + 1 —cos 2na)=-^—-г—.— (sin 3a —sin a + sin 5a —sin 3a + .' ' ' 2 4 sin a v + sin 7a —sin 5a + ... + sin (2я+1)а —sin (2/г — 1) v) = \— . 1001a . ___ sin —-— sin 500a —(sin(2A2+l)a — sina). 124. - . · Умно- 4 sin a v v ' ' a cosy a 999 жить и разделить выражение на 2 cos —. 125. ——\- , sin 999α cos 1000α ^ S = ±-(l +COS 2α+ 1 +COS 4α + 1 + 1 2 sin a " 2 + cos6a + ... + 1 +cos 1998α) = -^- + —4 (sin 3α —sina + 1 7 2 4 sin a x + sin 5a —sin 3α + sin 7a —sin 5a + ... + sin 1999a — sin 1997a) = . па . /г + 1 sin—sin—^—a = _959__^ l (sin 1999a —sina). 126. -л 2 ' 4 sin a v y 4 .a sin — 2 3/ia . 3/г + 3 sin -γ- sin —-— a . ^ Так как sin3 a =—(3 sin a —sin 3a), то „ . 3a 4 4 sin —
3 1 S=—(sin α + sin 2a + sin Зоь + ... + sin no)—7~(sin За + stn 6a + + sin9a + ... + sin3Aza). 127. *in6*a + 3sin. 2™ . 128. Преобра- ' 8 sin 3α 8 sin α r r зуя условие, получим 4/? (sin 25 —sin 2Л)=0, A = B, a = b. Другая возможность: 2A + 2B = 180°, Α + β = 90°, C = 90°. 129. sin-^-(l — -sin*f)=sinf(l-sin*A); (sln£_sin£)(1 + sin£x Xsin|-)=0; l+sin^-sin-|->0; sin ^-= sin -f-; Λ = β; α = 6. 130. 2α + 3α + 4α=180°; α = 20°; (—^-V-l = ли 4 sin —= cos A + cos В, то 4 cos ^ = 2 cos—^—cos——; о Л+β А —В о Л+β · Л+β Л—β . Л+β 2 cos —^—=cos —-— ; 2 cos —^— sin —|—=cos —-— sin —^—; sin(^+B) = -i-(sin,4 + sinB); sin C=-~-(sin A + sin β); 2c = a + b. 132. Так как α-sin B = 6-sin Л = /гс, то высота /гс и медиана тс совпадают. Поэтому а = Ъ. 133. a) x=30o(l+4fe), где fc£Z.· sin9x= —1, cos6x= — 1; χ ι = — ΙΌο + 40οαζ, х2 = 30о + 60°/г, χ = 30ο+120°£; б) х=-^+2л£, где fc£Z. #(sin x)-s,nx=(sin x)~\ sinx^O, sinx=l. 134. xx = 15° + 60°az, х2=45°+90°/г, т. е. x=180°A2 — 45°, гдедгег.· 4y2 + 4y + 3 = (2y+ l)+2>2; sin 6x — — cos4x>2; y=—γ\ sin 6x=l, cos 4x= — 1. 135.xi = 15o+30°az, x2=180°a2±36°, x3=180oA2=fc72°, где az£Z.· 2 sin2 χ+ 2 sin2 2x + + 2 sin2 3x + 2 sin2 4x + 2 sin2 5x = 5; cos 2x + cos 4x + cos 6x-f- -j-cos 8x + cos 10x = 0; 2 cos 6x cos 4x + 2 cos 6x cos 2x+cos 6x = =0; cos 6x (2 cos 4x + 2 cos 2x+1)=0; cos 6x (4 cos2 2x + + 2cos2x— 1)=0; cos6x = Q; cos2x=-^-=^. 136. Xi= —15°-f + 90°az, x2 = 30° + 180X где az£Z. · 8sinx = ^4——; 1 cos χ sin χ 8 sin2 χ cos χ=-\β sin x+cos x; 4 sin 2x sin x=-\f3 sin x + cos x; 2 (cos x —cos 3x)=-\f3 sin x + cos x; cos x —cos 3x=^-sin x+ +-^-cosx; cos3x—(-^-cosx—^-sinxWO; cos 3x—cos(60°+x)= =0; 2sin(2x + 30°)sin(x — 30°)=0. 137. x=-^{\+2n\ η£Ζ. • Vsin2 x+Vcos2 х=Щ\ l+3V4sin2xcos2x=4; Vsin22x=l; 6
sin 2*= ±1; 2χ=^-+πη. 138. * = arctg l+2k±№+4k-15+nk, k£Z, /г>2, 6< -3. · π tg х+л ctg x=-f-+nk; 2 tg x+2 ctg x = = l+2fe; так как |tgx+ctgjt| >2, то fe^O, fe^= — 1, кф — 2; 2tg2x-(l+2fe)tgx+2 = 0; tgx= l+2fe*V4fe'+4fe-15 ,39 Так как α: 6: с = sin Л: sin β: sin С, то данное неравенство равносильно л/а ι Λ/fc ι У* такому: + г^З. Все числители У&+Ус—Уа л/а+Ус—У& л[а+л[Ь — ^' и знаменатели положительны. Например, -\[b-{-^ic — -\[a>0, так как -yJb-\-\[c>^lb-\-c>^[a. Если ^-\-^[с — -\[а=х, л[а-\-^[с — —yb—y, -\Ja-{-^Jb—-y/c = zy то числители соответственно ^-^, * + */ 2 2x +^+^-H(f+f)-Kf+f)+ +(—+—)) · Так как каждая пара слагаемых в скобках не меньше 2, левая часть неравенства не меньше —-2-3 = 3. 140. 22°48', 67°12'.· Пусть (рис. 254) С — начало координат, СА и СВ — оси координат, катеты ВС = ау АС = Ь. Координаты точек О (г; г), Af(-f; -f) .Тогда r2=(f-r)2+(^-r)2; r2- 2 (a + ft)r+J£±£_=0; г= а+б-У^ Так как Γ = α+6-£ ^ то 3 а+Ь — с .2 ~ν · Поскольку г<— и г<—, то а + 6 = = 3c — 2^j2ab; sin x + cos х = 3 —2 ->/sin 2x; l+sin2x = 9 — — 12Vsin2x + 4sin2x; Vsin 2x = y\ 3y2— 12t/ + 8 = 0; t/=^=|-^; sin2x=-|-(2—V3)^0,71456; 2x«45°36'; a«22°48', β^67°12'. 141. 48°12', 48° 12', 83°36'.· Z.B^C = 2x, CD = a, Z.AMD = 2x Рис. 254 Рис 255
Рис. 256 Рис. 257 (pHc.255).2atgx = actg2x;2tgx==-4^;tgx=^;tg2x=^; 2х«48°12'. 142. 53°8', 53°8', 73°44/ или 50°30', 50°30', 79°30'.· 3 ° cos2x ' 3 1—tg: + 3 = 0; 10 tg3 x — 5 tg2 x + 8 tg2 x —4 tg x — 6 tg x + 3 = 0; ^ * *=75fe · -^=4^Й- ■· 10 & * + 3 tf -10 tg *+ (2tg*-l)(5tg2* + 4tg*-3)=0; tg*i=-i-, tgx2 = ^±^, tgx3<0. x,«26034/, x2«25°15'. 143. 10°.· /.ВАМ=40°У /_BCM=20\ /_MBC=xy Z-MBA=40° — x (рис. 256). ~f= sin (40° — x) MC sin jc МЛ _ sin (40°— x) sin 20° sin 20° ' MC~~ sin χ " sin 40° sin 50° sin 30° sin 40° ' MB sin 40° ctg χ — cos 40° ,, orio л по л no t л no = n * -_0 ; 4 cos 20° cos 40° = sin 40° ctg x—cos 40° 2 cos 20° & 4 cos 20° cos 40° + cos 40° _ 2 (cos 20° + cos 60°) + cos 40° _ ctg* sin 40° 2cos20o + l+cos40° sin 40° 2 cos2 10° + 2 cos 10° cos 30° sin 40° 2 cos 10° (cos 10° +cos 30°) 2 sin 20° cos 20° 2 cos 20° cos 10° = ctg 10°. 144. 60°, 2-2 sin 10° cos 10° cos 20° 2 sin 10° cos 20° 60°, 60°.· Если угол при основании 2х, то 4 sin 2x + tg 2х=9 tg x\ у=\-\ ig2 x=\-\ tgx=-p; * = 30°. 145. 53°8', 53°8', 73°44' или ά ά УЗ 50°21х, 50°2И, 79° 18'.· AD=AC-s\n x; P=AC-{ ι АС 10 -sin х- 1 + cos χ ' 3 10 sin χ cos x = 3 (1 +cos χ); 100 sin2 χ cos2 x=9 (1 + +cos xf; 100 cos2 χ (1 —cos2 x)=9 (1 +cos x)2; 100 cos2 χ (1 —cos x)= _8
=9(l+cosx); 100 cos3 χ— 100 cos2 x + 9 cosx + 9 = 0; 100 cos3x— — 60 cos2 x — 40cos2x+24 cos x— 15 cosx + 9 = 0; (5 cosx —3)X X(20 cos2 x — 8 cos x — 3) = 0; cos xx =0,6, cos х2 = 2+^ж 0,63589, cosx3<0; xi^53°8/, х2«50°2Г (рис. 257). 146. Опишем около треугольника ABM окружность, прямая СМ пересекает ее в точке D (рис. 258). /_BDM= /-ВАМ = ц= Z-ACM\ BD\\AC. Если DE1.AC и ВК±АС, то DE = BK, EA = DE-ctgB; EC = EA + +АК+КС; AK=BK-ctg Л, KC = BK-ctg С; ЕС = Н ctg φ = ==Н ctg β + Я ctg Л +// ctg С; ctg (p=ctg A + ctg β + ctg C. 147 ΛΜ Л^-sin φ c-sinq) . *** ЛС-sin φ fr-sin φ sin (180°— A) (рис. 259). AM2 9 . о с sin φ sin A , ft2 sin2 φ sin (180° 2frc»sin2 φ sin Л -A) • cos (A sin A -2φ) = -2φ)) sin φ sin2 A (a2 + 2bc-cosA — 2bcX Xcos(y4-2q>))= sin φ sin2 Л (a2 — 2b с (cos (A — 2φ) — cos A)) = 4^! (a2- sin Л v — 46c · sin (Л—φ) sin φ). По задаче 146 ctg φ — ctg A = ctg В + + ctgC = 2S Ho ctg φ — ctg A sin (Л — φ) sin (Л — φ) sin φ sin Л 6c sin Л a2 sin — 46c 6c be sin Л ; sin(>l-q>)=-£filU!-; MN2 DC ^sin9)=4S^(l-4sin4)=4/?2sin^(l sin φ sin Л Ψ_ (a2 sin2 Л — 4 sin2 φ). 148. OOi=/? — r,; 002 = R — r2\ Ox02 = rx+r2\ OAf=a, Z_ Oi АЮ = α (рис. 260). По теореме косинусов cos а=а +г'~(#—г0 = = а2+2/?г,-/?2 2ar, a2+2Rrx — R2 , -; —cosa = a2 + 2/?r2-/?2 a2 + rl- -№-/·2)2 a2 + 2/?r2-/?2 2αη 2ar2 2ar2 2ar2 ' a2 (rι+r2) + 4/?r,r2-/?*(/·,+ =0; \ 1 *l β f A K Рис. 258 С A Рис. 259
Рис. 261 Рис. 260 + г2) = 0; 4Rrlr2 = (R2-a2) (г, +г2); -^-+^-=^3^=const. Следовательно, и для другой пары окружностей сумма обратных ве- личин радиусов равна --$ 2"» т. е. |-- Г\ /-2 Г3 Г4 . 149. \-R2. Если точка Μ — центр /\АВС, то МЛ ==МВ=МС==/?==-уг; /_AMD = a, /_BMF=/-DMK=60° + a, /.CMF=60°-a (рис. 261). AD2 + BF2 + CE2 = R2 sin2 α + /?2 sin2 (60° + α) + + /?2 sin2 (60° — a) = ^(l-cos2a+l — cos (120° + 2a)+l - — cos (120° —2a))=^-(3 —cos 2a—2 cos 2a cos 120°)=^-(3 — sin g2 MB m sin β, ~~ΜΑ ' — cos 2a + cos 2a)=—R2. 150. По теореме синусов sin β2 MC sin γ2 ΜΑ — ..„ , — ΆΑ„ . Перемножив эти равенства, получим sin γ! MB sin αϊ MC r r J искомое соотношение. 151. Пусть лучи ААи ВВ\, СС\ образуют со сторонами углов Л, β, С углы αϊ и а2у βι и β2, γι и γ2, причем sin αϊ sin βι sin γι __ ^ HQ ЛуЧ qq^ не ПрОХОдИТ через точку D перё- sin a2 sin β2 sin γ2 сечения лучей ААХ и ββι. Построим луч CD, он образует со сторонами угла С углы φι и φ2. По задаче 150 имеем sin a, sin βι sin φι =j χ e sin γι = sin φι Отсюда sin γι—sin γ2 = sin a2 sin β2 sin φ2 ' sin γ2 sin φ2 * sin γι + sin γ2 sin φι —sin <p2 . sin φι -f-sin φ2 ' tg γι— γ2 tg tg γι+γ2 tg φι— q?2 2 j_j0 γι+γ2 __ φι+φ2 φι+φ2 " 2 2 c_ 2 Поэтому острые углы γι γ2 и φι φ2 равны. Отсюда φι =γι, τ. е. луч
СС\ проходит через D. 152. Верно. По рисунку 262 обозначим: МО = а, /_ОМВ = Z.OMD = af /-МОА = ц>. По теореме синусов МА а . MB а . _J ■ 1 sin (α + φ) ι sin φ sin(a + cp) ' sin(180°—φ) sin (φ — α) ' MA MB a sin φ , sin (φ — a) 2 cos a ^ -\ ^ L= , т. е. не зависит от φ. Следовательно, a sin φ a T *м7т^*м77имеет такУю же величину. 153. Верно. · Пусть (рис. 263) АВ = а; Z.ADM=^ACK=a; ^+J-=-L+-I—=sina+cosa= ЛВ χ AM a ' a-tga a sin a V2sin(a+45°) 1A A АЕ AC =— τ—L—-. Из треугольника АСЕ имеем ——= . ,АГО ,—-; a sin a r J sin a sin (45 + a) AE="fj™ Следовательно, -}= =2rin(454-) = VS,in(4S-+4= sin (45° +a) AE ад/2 sin a a sin a =ж+ж·,54· Пусть (рис· 264) AP=a> ^лкв=ц>, hxh2= =H\K-\-KHi. По свойству ортоцентра H\K=AB-ctg φ, /СЯг = = CD-ctg φ; 1^Ж2=ЖК+1Ж2=\Ш+\Ш==\{ВК-\-'СК)-\- +\Щ+Щ=\(ВА + Щ· Угол между Ж~К и CD равен 90° —а, а угол между КН2 и ВЛ равен 90° + «· Скалярное произведение 7Шг-ЖМ2=±(1Пк+~КНг) (SA + C~D)=-\-(~H7KX О О XBA + HlK-CD + KH2-BA + KH2-CD)=-^(HlK-CD + KH2X ХВ~А)=±-(АВ ■ ctg ц>-CD-cos (90° — a) + CD-ctg φ-Λβ-cos (90° + 23 + a))=0, т. е. H\H2A-M\M2. 155. — см.· Из условия следует, О Рис. 262 Рис 263
»f Mf Ik mz / Ho c\ ---.M, Рис. 264 Рис. 265 что 23 sin χ = 9 sin Зх. Первое решение. 23sinx= — 9 (3 sin χ — 4 sin3 x)\ sinx^O; 23 = 27 — 36 sin2 x; sinx=—; МО=Щ-см. Второе решение, sin 3x=4rsin χ; sin 3x~sin x= 3 г г g Sln χ о л о sin Зх—sin χ 14 о о 14 о 7 · 1 = 2 cos 2х; : =тг; 2 cos 2х = —-; cos2x = —; sin х=—; sin χ 9 9 9 3 23_ 3 sin 5x — sin x УИО=-^см. 156. 7,9VlO см. · 79sinx = 25sin5x; sin5x = 3,16sinx; о = 2,16; sin 5x—sin χ sin χ = 4 cos χ cos 3x= 16 cos4 x- — 12 cos2 x; 16 cos4 χ— 12 cos2 x=2,16; cos2 x=0,9; sin x==^—; MO = 7,9 УН) см. Можно было выражать 4 cos χ cos Зх через cos 2x. 157. 120 см. ·600tgx= 119tg4x; 600 tgх=\19{**2х~~4Хх); & & » & 1—6tg2x + tg4x tg χ^Ο; 150 (1 —6 tg2 x + tg4 x)= 119 (1 —tg2 x). 150 tg4 x- — 781 tg2 x + 31 =0; tg x=-\-. 158. 5,6 см. 159. 7,4 см. · 11 tg 3x = о :37 {%х> П-31е-ы¥хХ=371Вх> ^^^°; 11(3 —tg2x) = = 37(1—3tg2x); tgx=4-· 160. 62,4 см.· По условию О ctg x — ctg 4x 169 sin2 Зх 169 sin Зх 13 ctg Зх —ctg 4x 25 25 ' sin x ; 3 —4sin2x = 2,6; ό
sin х=л/ОД; ctg x = 3; ctg 3x=^-. 161. 30°, 30°, 45°.< 2 cos22* + + cos23x=2; 1+cos4jc + 1+c2os6jc=2; cos 6x + 2 cos 4x—1 = 0; 4y3+4y2-3y-3=0; (y+1) (4у2-3) = 0; у+1ф0; -3y-3 = = 30°. 162. 30° и 45° или 45° и 60°. ι cos 2x=y; y=^-\ 2x=30°. 162. 30° и 45° или 45° и 60°.· Если сторона основания а, А\ЕА = х, Z.FEF\=x+l5° (рис. 265), то a.tg(*+15°)=aV3tgx; ^*+Д*15°=^tgx; tg 15° = 2-V3; (2V3-3)tg2x+(l-V3)tgx+2-V3=0; tg2*-(l+-L) tgx + +VT*2 = —+ 2 tgx^ = 30°, xi=45°. Если просто решать квадратное уравнение, нужно учесть, что под корнем 52 — 30-^3 = 27+ 25— 30-\/3 = =(3V5 —5)2. 163. 50°Г, 50°Г, 100°2'. · Сумма расстояний от внутренней точки до сторон равностороннего треугольника рав- на его высоте. По условию #=—(2 ctgx + ctg 2x)\ о +к¥ц?Г > *«*х+3 *8 *-5=0; tg x=-3+V29^ 11926; х=50°1'. Углы 50°Г, 50°1', 100°2' (высота проходит вне основания). 164. 15°, 30°, 105°, 30°.· Если эти углы х, 2х, 7х, 2х, а высота пирамиды Я, то Η (ctg x+ctg 7x)=H 2 ctg 2x. sine* ^гсозгх . 2 sin 8xcos x=2 sin 7xcos 2x; sin 9x + sin 7x = sin 9x + sin 5x; sin 7x—sin 5x=0; 2 sin χ cos 6x = 0; sin x, sin 2x, sin 7x положительны. cos6x = 0; так как 0<6х<180°, то 6x = 90°, x=15°. Углы при основании 15°, 30°, 105°, 30° (высота проходит вне пирамиды). Уравнение можно было представить в виде ctg χ — — ctg2x=ctg2x — ctg7x. 165. 30°, 60°, 90°, 80°.· Решение аналогично решению задачи 164. 166. 30°, 60°, 30°, 90°.· Длины сторон относятся как 1:6. Поэтому 2ctgx=6(ctg2x-fctg3x); L=3( ',χ \ l-tg2* , l-3tg2x tgx \ 2 tg λ: ι tgx = 3 или )■· л/3 3tgx — tg3x Первое невоз можно? 167. Задача не имеет решения. · 2а tg 2x=a V& · tg Зх; л/З·^ -tg3* о 2 tg л: = 1—tg2x v^ 1—3tg2x tg ΧφΟ, tg2 x = y; V3.i/2+(12- —4V3)t/ + 3V3—4 = 0; D<0. Это можно было заметить и по Рис. 266
условию: тангенс острого угла растет быстрее угла, а по условию это не так. 168. 1^75 .· Основание пирамиды имеет сто- 96 cos 54° г ронами средние линии развертки (рис. 266). S0CH=±—SAABC= AC-BF a2tg54° D = = ^ . Высота пирамиды определяется как высота треугольника, стороны которого равны ВК, KF и AF: г/ а и 2 ело ι Дл/sin 18° . ,/= 1 a2 tg 54° flVsin 18° 2 tg 54° ^ & 2 sin 54° ' 3 " 16 2 sin 54° * 169. 62°49' и 125°38'. 170. α«65°20'.· Если сторона основания 2а, плоский угол при вершине 2х, то апофема actgx, высота пирамиды a-yjctg2 х—1\ 4а2 ctg х = 2а2 д/2 (ctg2 χ— 1) + + 4α2; 2 + V2(ctgx— 1) = 2 ctg x; 2 ctg2 x—5 ctg x+3 = 0; ctgxi = l (не удовлетворяет условию), ctgx2=l,5; x2»32°40'. 171. α^61°48'.· Решение аналогично решению задачи 170. 172. оь^27°48'.· При обозначениях задачи 170: 3a-actgx= = 3.^ya2ctg2*-^; 2V3ctgx-2 = 3yctg2x-4-; 3 ctg2 χ — 8 V3 ctg x + 7 = 0; ctg x, =^, ctg ^ = Ί-ψ-. Первый корень посторонний, второй дает α«27°48/. 173. α«35°8/. · Если сторона основания 2а, плоский угол при вершине 2х, то апофема a ctg χ, высота пирамиды д/α2 ctg2 χ — За2, высота диагонального сечения aVctg2x —2; S6oK-fSOCH=6Sce4; 6α2 ctg χ + 6α2 V3 = = 6a2y3Vctg2* — 2; ctgx+V3=V3V^tg2^—2; 2 ctg2 χ— — 2V3ctgx—9=0; ctgxi^3,158; x,^17034/; ctgx2<0 (не удовлетворяет условию). 174. a«79°24/.· Если сторона основания пирамиды 2а, апофема 6, то H=^/b2 — a2y r==—^—^jb2 — a2, (a2 + 62)(a + 6)=12a(&2-a2); a2 + 62 = 12a(6-a); ±=*±M-, tg-|-^0,8304. 175. 30° и 45°. · Если сторона основания 2a, названные углы 2х и Зх, то a-tg 3x = a-\/3 tg2x; gx~~ f x— -л/3- х2У^х ;tgx^0; tg2x = i/; ^ + (6^/3-4)у + 3-2 л/3=0; i/ = 2 — 3V3±V28— 10 л/3 =2 — 3V3±(5 — УЗ); t/i = 7 —4л/3, t/2<0; tg х=-д/7 — 4 ->/3 = 2—V3; χ = 15°. Угол при основании 30°.
176. α=60° иЛи α«78°24'. · Пусть г — радиус шара, R— радиус основания конуса, а = 2х; тогда r = R-tgx; H = R tg 2jt, f-^nRHg* x=±nR2.R tg2x; tgx^O; 3tg2* = 3(1Jtg,x) : tg2x = i/; 9i/2-9t/ + 2 = 0; У\=\* У*=\* *%χ = ψ или tg х=д/-|-; χ = 30° или x^39°12'. 177. 60°.· Если радиус цилиндра /?, двугранный угол при основании пирамиды 2х, то вы- сота пирамиды Н=— tg2x= °2 , радиус шара r=—tg х; ^£.= 24.-|-я ftg3x; tgx^O; 4 tg4 jc-4 tg2 jc+1 =0; 2tg2x—1 = 0; tgx = -p; tg2x = 2V2; H = R-yf2; боковое ребро l=R^/3y т. е. равно стороне основания, α = 60°. 178. α^46°22/. · Если сторона основания 2а, двугранный угол при основании 2х, R = H + rf то r = a-tgxf H = a-tg2xf l2 = 2a2 + a2 tg2 2x, n a2(2 + tg22x) a(2 + tg22x) , ι * о a(2 + tg22x) R= 2aTg2* = 2Tg2, : fltg* + fltg2*= (2+g2x ; tg22*+2tg2*.tg*-2=0; (Д#*у+-118^.-2 = 0; tg2 x=y; by2 — 6y + 1 = 0; y=—^r~ > так как *<С45°, то перед корнем берется знак «минус»: tg х«0,4284; а«46°22'. 179. 1= πΗα Χ 45 cos — X-\/cos α.· Линия состоит из четырех дуг радиуса г (рис. 267), Μ Λ/ Рис. 267 .Λ5 Рис. 268
τ D D 0 *) 1 с Рис. 269 каждой из них соответствует центральный угол 2а. Поэтому /=4·^-=^; АМКОооАМРЕ; %=^щ\ PE = ED = = ME-tgf; r = MO=y^-^tg2f Яд/с о α 2cosY . 180. / = = ^ ί 1—-^г) ·· Условию отвечает рисунок 268. Если ΔΡΒΚ=β, то /=4-^ip.=M-r; AB = R^J2. AM- lot) 4θ /?V2 2sin- ЛЛЛЮоодЛСР; ЛР:ЛО=ЛС:ЛМ; AP = 2R У2 sin -|-; Ρβ2=^ = 8/?2sin2^+2/?2-2.2/?sin^./?V2cos(90°-^)=2/?2; PB = = AB\ β = 90°—£-—a = 90°- 3α . ' 2 ' PB R V2 2 sin l=w- 2π /?Л/2" (*>·-!) 2 cos — 2 cos - •90° Vl_JL-\ 181.30°.· AABC=x,OD = R sin χ, DE = R (I—sin x) (рис. 269, α). ~-|-π/?3 = π/?2 (1 — sin *)2X ΙΌ Ο x(fl fi(l-sinx) \ , 8 sin3 ^ — 24 sin лгЧ- 11 =0; 2sinx=y; t/3 — J6
-12х/+11=0; iy-\)tf + y-U) = 0\ //ι — 1, y2=~l+3^, #з<0, t/2 — посторонний, так как 0<*/<2; sinx = -^-; χ = 30°. 182. 17°7Χ и 72°53/.· Если гипотенуза с, острый угол х, то высота треугольника с sin χ cos x, ST вр =пс sin x cos x (с sin x + + с cos x) = nc2 sin x cos χ (sin χ + cos χ). Радиус сферы г==-^—== с sin χ cos χ ς л c2 sin2 χ cos2 χ . 125 4кс2 sin2 χ cos2 χ sinx-j-cosx ' c* (sinx + cosx) ' 72 (sin x+cos χ)2 = jic2sin χ cos-x (sinx + cosx); 125 sin χ cos x = 18 (sinx + cosx)3; siax + cosx = i/, sin xcos x = y 7"—; 125- y 7"—=18t/3; 36t/3 — -125t/2+ 125 = 0; y=^-z; 36~z3-125~z2+125 = 0; 9z3- -25z2+16=0; 9z3-9z2—16z2+16=0; (z-l)(9z2—16z—16)=0; zi = l, z2,3 = 8-49^. Так как 0<*/<V2, το 0<z<^, τ. е. 5 ос z2 и z3 — посторонние корни; sinx + cosx =—; l+sin2x = —; q 4 16 sin2x=-^-; 2x«34°14' (рис. 269, 6). J83. α«65°32'.· Пусть радиус шара /?, Δ.ΜΑΟ = α (рис. 269, в). Тогда Δ.ΜΚΕ = α, МХ=-^-; МО = 2(-£ /?); KO=^--R=-^-(l -2 cos α); cos α \cosa / 2 cosav ' ЛО = 2М—/?) ctg a=-^-(l -cos a); 0/=-^-=4^(l - \ cos a / sin a 4 ^/2 sin a4 -cos a); /?2 = 2f- (1 -cos a)2H ^—(1-2 cos a)2; t 2(1-cos a)2 , (1—2 cos a)2 f 2(1—cos a) , (1—2 cos a)2 3 , i= η 1 2 ; 1==—— 1 5 ; cos a+ sin a cos a 1-f-cos a cos a + cos2 a — 3 cos a + 1 = 0; cos3 a — cos2 a + 2 cos2 a — 2 cos a — — cos a+ 1 =0; (cos a— l)(cos2 a+ 2 cos a— 1) = 0; cos αχΦ 1; cos a2=V2~— 1 «0,41421; a«65°32'. 184. 36°52' и 53°8'.· Если радиус сферы /?, а острый угол треугольника х, то 5сф=4л;/?2; высота треугольника 2/? sin x cos x, ST Βρ = 2π/? sin x cos χχ X(2R sin x + 2/? cos χ) = 4π/?2 sin χ cos χ (sin x + cosx); 4nR2--^-= — 4π/?2 sin χ cos χ-(sin x + cos x); 168= 125 sin 2x-\/l + sin 2x; 15625 sin3 2x+15625 sin2 2x —28224 = 0; 25sin2x = t/; y3 + 25y2 — — 28224 = 0; y3 — 24t/2 + 49t/2 — 28224 = 0; (y — 24) (t/2 + 49i/ + 4-1176)=0; */ = 24, корни квадратного трехчлена мнимые (D<0); sin 2х = 0,96; х«36°52'.
С ДЕРЖАНИЕ Предисловие 3 Алгебра 7 Действия над числами 8 Неизвестные цифры . 9 Преобразование выражений 10 Условные равенства и неравенства 11 Разложение на множители 12 Доказательство неравенств 14 Прогрессии 15 Уравнения 17 Текстовые задачи 20 Планиметрия 29 Точки. Прямые. Углы 30 Треугольники 31 Треугольник и окружность 32 Параллелограммы 36 Трапеция ..... 4ί Теорема Пифагора 43 Подобие фигур 45 Правильные многоугольники 49 Площади фигур 51 Стереометрия 55 Плоскости и точки 56 Параллельность прямых и плоскостей — Изображение плоских фигур в стереометрии 58 Стереометрические построения — Перпендикуляр к плоскости 60 Перпендикуляр и наклонные 61 Угол прямой с плоскостью 62 Система координат в пространстве —
Двугранные и трехгранные углы 63 Многогранники 64 Призма и параллелепипед 65 Пирамида 66 Сечение многогранника плоскостью 68 Параллельные сечения пирамиды 71 Площадь поверхности многогранника 72 Правильные многогранники 73 Объемы параллелепипеда и призмы 74 Объем пирамиды * 75 Тела вращения 78 Площадь поверхности и объем тела вращения 81 Тригонометрия 85 Ответы, указания, решения 99 Алгебра 100 Планиметрия 118 Стереометрия 167 Тригонометрия 211
Учебное издание Лоповок Лев Михайлович ТЫСЯЧА ПРОБЛЕМНЫХ ЗАДАЧ ПО МАТЕМАТИКЕ Зав. редакцией Т. А. Бурмистрова Редактор Н. Б. Грызлова Младший редактор Η. Ε. Τ ере хина Художники Н, П. Лобане в у А. А. Ширко, О. М. Шмелев Художественный редактор Е. Р. Дашук Технический редактор Н. А. Киселева Корректоры И. А. Григалашвили, Ε. Ε. Никулина ИБ № 13910 Сдано в набор 02.07.93. Лицензия Л Ρ № 010001 от 10.10.91 Подписано к печати 02.03.94. Формат 6θχ9θ7ΐ6· ^Ум- офсетная № 2. Гарнит. Литерат. Печать офсетная. Усл. печ. л 15,0. Усл. кр.-отт. 30,5. Уч.-изд. л. 13,54. Тираж 50 000 экз Заказ 741. Ордена Трудового Красного Знамени издательство «Просвещение» Комитета Российской Федерации по печати, 127521, Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41. Саратовский ордена Трудового Красного Знамени полиграфический комбинат Комитета Российской Федерации по печати. 410004, Саратов, ул. Чернышевского, 59.
ПРОСВЕЩЕНИЕ