Η. Д. Золотарёва, Ю. А. Попов,
Н. Л. Семендяева, М. В. Федотов
ОСНОВНОЙ КУРС
с решениями и указаниями
ЕГЭ
ОЛИМПИАДЫ
ЭКЗАМЕНЫ в ВУЗ

Η. Д. Золотарёва, Ю. А. Попов,
Н. Л. Семендяева, М. В. Федотов
ОСНОВНОЙ КУРС
с решениями и указаниями
Учебно-методическое пособие
Под редакцией
М. В. Федотова
Электронное издание
4
Москва
Лаборатория знаний
2018

УДК 373.3:51
ББК 22.1я729
3-80
Золотарёва Н. Д.
3-80 Алгебра. Основной курс с решениями и указаниями
[Электронный ресурс] : учебно-методическое пособие / Н. Д.
Золотарёва, Ю. А. Попов, Н. Л. Семендяева, М. В. Федотов ;
под редакцией М. В. Федотова. — Эл. изд. — Электрон,
текстовые дан. (1 файл pdi : 581с.). —Μ. : Лаборатория знаний,
2018. —(ВМК МГУ —школе). —Систем, требования: Adobe
Reader XI ; экран 10".
ISBN 978-5-00101-622-9
Настоящее пособие составлено на основе задач вступительных
экзаменов по математике в МГУ имени М. В. Ломоносова и задач
Единого государственного экзамена преподавателями факультета
ВМК МГУ имени М. В. Ломоносова. Пособие содержит
теоретический материал, подборку задач, а также идеи, указания (подсказки)
и решения задач.
Рекомендуется школьникам при подготовке к сдаче Единого
государственного экзамена, абитуриентам при подготовке к
поступлению как в МГУ, так и в другие вузы, учителям математики,
репетиторам, руководителям кружков и факультативов, преподавателям
подготовительных курсов.
УДК 373.3:51
ББК 22.1я729
Деривативное электронное издание на основе печатного
аналога: Алгебра. Основной курс с решениями и указаниями :
учебно-методическое пособие / Н. Д. Золотарёва, Ю. А. Попов,
Н. Л. Семендяева, М. В. Федотов ; под редакцией М. В. Федотова. —
М. : Лаборатория знаний, 2018. —576 с. : ил. — (ВМК МГУ —
школе). —ISBN 978-5-00101-139-2.
В соответствии со ст. 1299 и 1301 ГК РФ при устранении ограничений,
установленных техническими средствами защиты авторских прав,
правообладатель вправе требовать от нарушителя возмещения убытков
или выплаты компенсации
ISBN 978-5-00101-622-9
© Золотарёва Н. Д.,
Попов Ю. Α.,
Семендяева Н. Л.,
Федотов М. В., 2018
© Лаборатория знаний, 2018

Оглавление
От редактора 7
Предисловие 8
Часть I. Теория и задачи 11
1. Преобразование алгебраических выражений, простейшие уравнения
и неравенства 11
1.1. Формулы сокращённого умножения, преобразование
алгебраических выражений 11
1.2. Сравнение чисел 14
1.3. Модуль числа и алгебраического выражения, уравнения и
неравенства с модулем 15
1.4. Квадратный трёхчлен, разложение квадратного трёхчлена на
множители, квадратные уравнения и неравенства, теорема
Виета 19
2. Рациональные и иррациональные уравнения и неравенства,
простейшие системы уравнений 23
2.1. Рациональные уравнения и неравенства, метод интервалов . . 23
2.2. Простейшие системы уравнений. Подстановка и исключение
переменных при решении систем уравнений 26
2.3. Радикалы. Иррациональные уравнения и неравенства,
равносильные преобразования 29
2.4. Смешанные задачи 33
3. Преобразование тригонометрических выражений, стандартные
тригонометрические уравнения 34
3.1. Соотношения между тригонометрическими функциями
одного и того же аргумента, формулы двойного и половинного
аргументов 34
3.2. Простейшие тригонометрические уравнения. Разложение на
множители, сведение к квадратному уравнению 37
3.3. Применение тригонометрических формул для сведения
уравнений к простейшим 40
3.4. Различные задачи на отбор корней 44
4. Стандартные текстовые задачи 46
4.1. Пропорциональные величины 46
4.2. Арифметическая и геометрическая прогрессии 48
4.3. Скорость, движение и время 51
4.4. Работа и производительность 55
4.5. Проценты, формула сложного процента 56
5. Стандартные показательные и логарифмические уравнения и
неравенства 58
5.1. Преобразование логарифмических выражений. Сравнение
логарифмических и показательных значений 58
5.2. Простейшие показательные уравнения и неравенства,
равносильные преобразования 62

5.3. Простейшие логарифмические уравнения и неравенства,
равносильные преобразования 66
5.4. Смешанные задачи 70
Линейные и однородные тригонометрические уравнения, системы
тригонометрических уравнений, использование ограниченности
тригонометрических функций 71
6.1. Линейные тригонометрические уравнения, метод
вспомогательного аргумента 71
6.2. Однородные тригонометрические уравнения второй степени,
замена тригонометрических выражений 74
6.3. Системы тригонометрических уравнений 77
6.4. Использование ограниченности тригонометрических
функций, оценочные неравенства 82
Изображение множества точек на координатной плоскости,
использование графических иллюстраций в уравнениях и неравенствах
различных типов 86
7.1. Геометрические места точек, графики функций, правила
линейных преобразований графиков 86
7.2. Плоские геометрические фигуры, применение метода
координат 91
7.3. Использование графических иллюстраций при решении
уравнений и неравенств 93
Элементы математического анализа 96
8.1. Производная, её геометрический и физический смысл.
Производные элементарных функций, основные правила
дифференцирования функций 96
8.2. Исследование функций с помощью производной 100
8.3. Первообразные элементарных функций, основные правила
нахождения первообразных. Вычисление площади плоской
фигуры с помощью первообразной 104
Текстовые задачи 108
9.1. Скорость, движение и время 108
9.2. Арифметическая и геометрическая прогрессии 110
9.3. Концентрация, смеси и сплавы, массовые и объёмные доли . 113
9.4. Целые числа, перебор вариантов, отбор решений 116
Раскрытие модулей в уравнениях и неравенствах различных видов . 119
10.1. Различные приёмы раскрытия модулей, системы уравнений
и неравенств с модулями 119
10.2. Раскрытие модулей в тригонометрических уравнениях .... 124
10.3. Раскрытие модулей в показательных и логарифмических
уравнениях и неравенствах 127
Разложение на множители и расщепление в уравнениях и
неравенствах различных видов 129
11.1. Понятие расщепления, равносильные преобразования 129
11.2. Расщепление в тригонометрических уравнениях и
неравенствах 132
11.3. Расщепление в показательных и логарифмических
уравнениях и неравенствах, модифицированный метод интервалов . . 136
11.4. Смешанные задачи 140

5
Часть II. Указания и решения 143
1. Преобразование алгебраических выражений, простейшие уравнения
и неравенства 143
1.1. Формулы сокращённого умножения, преобразование
алгебраических выражений 143
1.2. Сравнение чисел 149
1.3. Модуль числа и алгебраического выражения, уравнения и
неравенства с модулем 154
1.4. Квадратный трёхчлен, разложение квадратного трёхчлена на
множители, квадратные уравнения и неравенства, теорема
Виета 160
2. Рациональные и иррациональные уравнения и неравенства,
простейшие системы уравнений 168
2.1. Рациональные уравнения и неравенства, метод интервалов . . 168
2.2. Простейшие системы уравнений. Подстановка и исключение
переменных при решении систем уравнений 179
2.3. Радикалы. Иррациональные уравнения и неравенства,
равносильные преобразования 184
2.4. Смешанные задачи 199
3. Преобразование тригонометрических выражений, стандартные
тригонометрические уравнения 218
3.1. Соотношения между тригонометрическими функциями
одного аргумента, формулы двойного и половинного аргументов . 218
3.2. Простейшие тригонометрические уравнения. Разложение на
множители, сведение к квадратному уравнению 223
3.3. Применение тригонометрических формул для сведения
уравнений к простейшим 232
3.4. Различные задачи на отбор корней 243
4. Стандартные текстовые задачи 256
4.1. Пропорциональные величины 256
4.2. Арифметическая и геометрическая прогрессии 259
4.3. Скорость, движение и время 271
4.4. Работа и производительность 281
4.5. Проценты, формула сложного процента 285
5. Стандартные показательные и логарифмические уравнения и
неравенства 290
5.1. Преобразование логарифмических выражений. Сравнение
логарифмических и показательных значений 290
5.2. Простейшие показательные уравнения и неравенства,
равносильные преобразования 298
5.3. Простейшие логарифмические уравнения и неравенства,
равносильные преобразования 311
5.4. Смешанные задачи 329
6. Линейные и однородные тригонометрические уравнения, системы
тригонометрических уравнений, использование ограниченности
тригонометрических функций 343
6.1. Линейные тригонометрические уравнения, метод
вспомогательного аргумента 343

6.2. Однородные тригонометрические уравнения второй степени,
замена тригонометрических выражений 351
6.3. Системы тригонометрических уравнений 356
6.4. Использование ограниченности тригонометрических
функций, оценочные неравенства 371
7. Изображение множества точек на координатной плоскости,
использование графических иллюстраций в уравнениях и неравенствах
различных типов 380
7.1. Геометрические места точек, графики функций, правила
линейных преобразований графиков 380
7.2. Плоские геометрические фигуры, применение метода
координат 388
7.3. Использование графических иллюстраций при решении
уравнений и неравенств 397
8. Элементы математического анализа 408
8.1. Производная, её геометрический и физический смысл.
Производные элементарных функций, основные правила
дифференцирования функций 408
8.2. Исследование функций с помощью производной 411
8.3. Первообразные элементарных функций, основные правила
нахождения первообразных. Вычисление площади плоской
фигуры с помощью первообразной 419
9. Текстовые задачи 425
9.1. Скорость, движение и время 425
9.2. Арифметическая и геометрическая прогрессии 433
9.3. Концентрация, смеси и сплавы, массовые и объёмные доли . 441
9.4. Целые числа, перебор вариантов, отбор решений 450
10. Раскрытие модулей в уравнениях и неравенствах различных видов . 460
10.1. Различные приёмы раскрытия модулей, системы уравнений
и неравенств с модулями 460
10.2. Раскрытие модулей в тригонометрических уравнениях .... 472
10.3. Раскрытие модулей в показательных и логарифмических
уравнениях и неравенствах 482
11. Разложение на множители и расщепление в уравнениях и
неравенствах различных видов 492
11.1. Понятие расщепления, равносильные преобразования 492
11.2. Расщепление в тригонометрических уравнениях и
неравенствах 504
11.3. Расщепление в показательных и логарифмических
уравнениях и неравенствах, модифицированный метод интервалов . . 520
11.4. Смешанные задачи 534
Варианты ДВИ МГУ последних лет 555
Ответы 562
Список литературы 576

От редактора
Уважаемый читатель, Вы держите в руках одну из книг серии «ВМК МГУ -
школе». Учебно-методические пособия, входящие в эту серию, являются результатом
более чем десятилетнего труда коллектива авторов, работающих на
подготовительных курсах факультета Вычислительной математики и кибернетики (ВМК)
МГУ имени М. В. Ломоносова. Сначала были созданы пособия для очных
подготовительных курсов, затем были разработаны электронные версии учебников,
используемые при дистанционном обучении. На основе этого опыта
подготовлена серия книг для старшеклассников, одной из которых и является настоящее
пособие.
Сейчас изданы пособия по алгебре, геометрии и физике. По каждому предмету
вышли два пособия: основной курс и углубленный курс, содержащий сложные
задачи единого государственного экзамена и нестандартные задачи вступительных
экзаменов в вузы (в основном это задачи различных факультетов МГУ имени
М. В. Ломоносова). Основной курс содержит все разделы соответствующего
предмета, необходимые для решения задач первой части ЕГЭ и некоторых задач второй
части, а также первой половины задач вариантов вступительных экзаменов в
вузы. Углубленный курс содержит задачи, научившись решать которые, вы сможете
решать все задачи ЕГЭ и все или почти все задачи олимпиад и вступительных
экзаменов в вузы (за отведённое время можно просто физически не успеть решить
все задачи).
В серии «ВМК МГУ - школе» вышли два пособия по информатике. Первое
рекомендуется в качестве пособия при подготовке к ЕГЭ по информатике и ИКТ.
Разделы этого пособия соответствуют темам, включенным в ЕГЭ. Второе -
пособие по программированию - поможет вам подготовиться к экзамену по
информатике, научиться решать задачи по программированию на языке Паскаль.
Отличительной особенностью наших пособий является то, что наряду
с традиционными составляющими (теоретический раздел, примеры с решениями,
задачи для самостоятельного решения) мы предлагаем решения всех
предложенных задач с идеями и последовательными подсказками, помогающими решить
задачу оптимальным способом без посторонней помощи. Это позволит ученику
самостоятельно продвигаться в решении задачи так, как если бы за его спиной
стоял учитель и направлял ход его мысли при решении трудных задач. Конечно,
мы понимаем, что настоящего учителя не может заменить никакая книга, но если
учителя рядом нет, то, как показал опыт наших дистанционных
подготовительных курсов, наличие грамотных подсказок помогает учащимся самостоятельно
научиться решать задачи. С помощью нашего пособия приобретение такого опыта
учениками будет значительно облегчено. С другой стороны, наши пособия
помогут молодым учителям вести занятия. Мы знаем на собственном опыте, что не
всегда легко направлять ученика так, чтобы он сам догадался, как решить
задачу. Второй особенностью наших пособий является спиралевидная схема
подачи материала, когда каждая тема повторяется несколько раз, причём
каждый раз на более сложном уровне, чем в предыдущий. Это позволяет не забывать
пройденный материал и постепенно подходить к сложным задачам.
Заместитель декана по учебной работе
факультета ВМК МГУ имени М. В. Ломоносова
М. В. Федотов

Предисловие
До 2017 года «основной курс» назывался «базовым курсом», но в связи с
разделением ЕГЭ на базовый и профильный уровни, во избежание путаницы наш
«базовый курс» был переименован в «основной курс».
«Основной курс» рассчитан на закрепление школьного материала по алгебре
и приобретение навыков, необходимых для решения задач ЕГЭ и стандартных
задач вступительных экзаменов в вуз.
Предлагаемый курс изначально не предполагает знаний, выходящих за
рамки базовой школьной программы. Все приёмы, необходимые для решения задач,
демонстрируются по ходу изучения материала.
Задачи в разделах расположены по принципу «от простого - к сложному».
Аналогичная ситуация имеет место и с последовательностью разделов, поэтому
сами разделы и задачи в разделах рекомендуется изучать в предложенном порядке.
Приступать к решению задач надо после изучения соответствующего
теоретического материала и разбора примеров. Если самостоятельное решение задачи
вызывает трудности, рекомендуется воспользоваться системой указаний (подсказок).
В случае, если Вам не удалось получить правильный ответ или у Вас возникли
сомнения в правильности Вашего решения, рекомендуется изучить решение,
предложенное авторами.
При составлении пособия авторы придерживались спиралевидного принципа
подачи материала: сначала предлагаются простые задачи по всем основным
разделам математики и методы их решения, затем рассматриваются более сложные
задачи, для решения которых требуются более сложные методы или их
комбинации. Это позволяет не только закрепить, но и осмыслить на новом уровне уже
пройденный материал. Такая схема обучения с успехом применяется на очных и
дистанционных подготовительных курсах факультета ВМК МГУ имени М. В.
Ломоносова.
Каждый раздел пособия содержит теоретические основы, описание методов
решения задач, примеры применения методов и набор заданий для решения.
Запись (У) после номера задачи означает, что задача предлагалась на устном
экзамене по математике в МГУ.
Для задач письменного экзамена сначала идет сокращенное название
факультета, затем - год, в котором была задача (если после года в скобках идет цифра
1 или 2 - это значит, что эта задача была на весенней олимпиаде факультета; на
мехмате и физфаке весной проходили две олимпиады; на ВМК, геологическом,
химическом, географическом факультетах и факультете почвоведения - одна
олимпиада весной). После точки идет номер задачи в варианте (обычно, чем больше
номер, тем сложнее задача в данном варианте). Например, (ВМК-98.3) означает,
что задача была в 1998 году летом на вступительных экзаменах на факультете
ВМК, третьим номером в варианте, а (М/м-97(2).1) означает, что задача была в
1997 году на второй весенней олимпиаде механико-математического факультета
первым номером в варианте.

9
Сокращения названий факультетов, принятые в данной книге
М/м - механико-математический факультет,
ВМК - факультет Вычислительной математики и кибернетики (.Б - отделение
бакалавров по прикладной математике, .И - отделение бакалавров по
информационным технологиям),
Физ - физический факультет,
Хим - химический факультет,
ВКНМ - Высший колледж: наук о материалах,
ФНМ - факультет наук о материалах (до 2000 года - ВКНМ)
Биол - биологический факультет,
Почв - факультет почвоведения,
Геол - геологический факультет (.ОГ - отделение общей геологии),
Геогр - географический факультет,
Экон - экономический факультет (.М - отделение менеджмента, .К - отделение
экономической кибернетики, .В - вечернее отделение),
ВШБ - Высшая школа бизнеса,
Псих - факультет психологии,
Фил - философский факультет,
Филол - филологический факультет,
Соц - социологический факультет,
ИСАА - Институт стран Азии и Африки,
ФГУ - факультет государственного управления (отделение «Антикризисное
управление»),
ЧФ - Черноморский филиал МГУ (г. Севастополь).
Используемые обозначения
{а} - множество, состоящее из одного элемента а;
U - объединение; Π - пересечение; 0 - пустое множество;
G - знак принадлежности; С - знак включения подмножества;
V - для любого; А\В - разность множеств А и В;
=> - следовательно; <^=> - тогда и только тогда;
N - множество всех натуральных чисел; No = N U {0};
Ъ - множество всех целых чисел;
Q - множество всех рациональных чисел;
R - множество всех действительных чисел;
ОДЗ - область допустимых значений;
Г ... - знак системы, означающий, что должны выполняться все
\ ... условия, объединённые этим знаком;
Г... - знак совокупности, означающий, что должно выполняться
|_... хотя бы одно из условий, объединённых этим знаком.
Рекомендуется школьникам при подготовке к сдаче единого государственного
экзамена, абитуриентам при подготовке к поступлению как в МГУ, так и другие
вузы, учителям математики, репетиторам, руководителям кружков и
факультативов, преподавателям подготовительных курсов.
Желаем удачи!

Часть I. Теория и задачи
1. Преобразование алгебраических выражений,
простейшие уравнения и неравенства
1.1. Формулы сокращённого умножения,
преобразование алгебраических выражений
Теоретический материал
В этом разделе собраны задачи, при решении которых используются различные
полезные формулы и преобразования: формулы сокращённого умножения,
выделение полного квадрата, домножение на сопряжённое выражение.
Необходимо знать и уметь применять следующие формулы:
а2 -Ъ2 = (а-Ь)(а + Ь); (1)
(а + 6)2 =а2 + 2а6 + 62; (2)
(а-Ь)2 =а2 -2аЪ + Ъ2; (3)
а3 + Ъ3 = (а + Ъ)(а2 - аЪ + Ъ2)· (4)
а3 - Ъ3 = (а - Ъ)(а2 + аЪ + Ъ2); (5)
(а + б)3 = а3 + За26 + Заб2 + Ъ3; (6)
(а - б)3 = а3 - За26 + Заб2 - Ъ3· (7)
причём все формулы нужно узнавать не только «слева направо», но и «справа
налево».
Применение формул сокращённого умножения является одним из самых
простых способов разложения алгебраического выражения на множители. Все
формулы справедливы при любых вещественных а и Ъ, которые сами могут являться
числами, функциями или другими выражениями.
Помимо основных формул сокращённого умножения полезно знать и формулы
для большего числа слагаемых, например:
(а + Ъ + с)2 = а2 + Ъ2 + с2 + 2аЪ + 2Ъс + 2ас.
В общем случае: квадрат суммы нескольких чисел есть сумма квадратов этих
чисел плюс сумма всевозможных удвоенных попарных произведений.

12
Теория и задачи
Полезно знать также две следующие формулы, верные Vn Ε Ν:
(α - b)(an~L + an~2b + ап~3Ъ2 + ... + afrn^ + bn~L);
a2n+l + 62n+l = (fl + 6)(a2n _ a2n-l6 + ^n-^
„2η-2τ2
afr
2n-l
+o·
Примеры решения задач
Пример 1. (Геол-98.1) Найти численное значение выражения
9а2 - Ш2 а2Ъ - ЗаЪ2
6аЪ -
8а3 - Ъ3
46 + За аЪ ) \ 2а - Ъ
Решение. Согласно формулам (1) и (5)
9а2 - Ш2 = (За - Щ(3а + 46), 8а3 - Ъ3 = (2а - Ъ)(4а2 + 2аЪ + б2).
Последовательно преобразуем исходное выражение:
(3a-46)(3a + 46) ab(a - ЗЪ)
6аЪ -
(2а-Ъ)(4а2 + 2аЪ + Ъ2)
АЪ + 3a ab J \ 2а — Ъ
= (За - АЪ - а + ЗЪ)2 : (6аЪ - 4а2 - 2аЪ - Ъ2) = (2а - Ъ)2 : (4а2 - АаЪ + б2) · (-1) = -1.
Отметим, что выражение имеет смысл только при АЪ + За φ 0, аЪ φ 0, 2а т^ 6-
Ответ. -1 при 46 + За φ 0, аб ^ 0, 2а φ Ъ.
Пример 2. (М/м-78.1) Выражение J|40л/2 - 57| - \/40л/2 + 57 является
целым числом. Найти это целое число.
Решение. Первый способ. Выделим полные квадраты в подкоренных
выражениях:
40л/2 - 57 - V 40л/2 + 57 = \/57 - 40л/2 - \/40л/2 + 57
32 - 2 · 4 л/2 · 5 + 25 - у 32 + 2 · 4 л/2 · 5 + 25 = J (4л/2 - б)'
4л/2 - б| - (4л/2 + б) = 4л/2 - 5 - 4л/2 - 5 =
4л/2 + 5
-10.
Замечание. Коэффициенты полных квадратов можно найти методом
неопределённых коэффициентов (ищем а, Ъ Ε Ν):
57 + 40л/2 = (а + Ьл/2) = (а2 + 262) + 2а6л/2.
V + 262 = 57,
Получаем систему уравнений
аЪ = 20;
значит, Ъ Ε {1; 2; 4; 5}, число a
нечётное. Подходит пара a = 5, 6 = 4; следовательно, 57 + 40л/2= (5 + 4л/2у
Аналогично 57 - 40л/2 = (5 - 4л/2)2 .

1.1. Формулы сокращённого умножения...
13
Второй способ. Примем числовое значение выражения за параметр и решим
соответствующее уравнение.
Обозначим за А выражение л/|40л/2 - 57| - \/40л/2 + 57; тогда А < О, так
как первый радикал меньше второго.
Возведём обе части в квадрат:
А2 = 57-40л/2 + 57 + 40л/2-2А/Г57-40л/21 · (57 + 40л/2
^^ А2 = 114-2\/572-1600-2 ^^ А2 = 100 ^^ А = ±10.
Значит, А = —10.
Ответ. —10.
Задачи
1. (ЕГЭ) Найти значение выражения
при α = 4, 6 = 5.
Va2 + afr л/а + Ъ) у а + Ь
2. (ЕГЭ) Найти значение выражения —— при ρ = 8, g = 9.
3. (ЕГЭ) Сократить дробь
4. (ЕГЭ) Сократить дробь
y/p-y/q p-q
a-81b
/а-9у/Ъ'
а + 276
т/а + Зуб
5. (Геол-93.1) Найти численное значение выражения
f%ay/a + Wb_ _ r-λ Uyb + 2Vb\
V 4Λ/^ + 2Λ/6 α )\ 4α -b )
6. (Почв-98(1).1) Упростить выражение
(^Да-л/b V2a~+Vb\ ί ΓΤ Га\
\V2a~+Vb V^-Vb) [\l4α \bj'
7. (Псих-84.1) Вычислить, не используя калькулятор
3(^-0,125:l|):480>t _1 . /679-НГ2 + Q λ
(7: 1,8-2| : 1,5) : 2|у \ °> 7
8. (ЕГЭ) Вычислить \А + 2л/3 - \А - 2л/3.
9. (ЕГЭ) Выражение л/з - л/8 - л/2 является целым числом. Найти его.
10. (Почв-96.1) Доказать, что число
целое, и найти его.

14
Теория и задачи
11. (ЕГЭ) Упростите до целого числа выражение \Л0 + 6л/3-л/3.
12. (МГУ-48.3) Выражение у/Ъу/2 + 7 - \/бл/2 — 7 является целым числом.
Найти это целое число.
13. (МГУ-48.2) Выражение \/20 + 14л/2 + \/20 - 14л/2 является целым числом.
Найти это целое число.
14. (ИСАА-99.2) Упростив выражение
. ЗаЬ — ЪуаЬ + ayab — ЗЬ2 λ з 7
Л = —. — 2ао — баз &2 где а > о > О - действительные
^-ЦаЪ^+а-Щ-О^
числа, выяснить, что больше: А или 0,01?
1.2. Сравнение чисел
Теоретический материал
В этом разделе собраны простейшие задачи на сравнение чисел. В большинстве
случаев достаточно сгруппировать подходящим образом слагаемые и возвести обе
части неравенства в нужную степень. При этом в чётную степень можно возводить
только неотрицательные величины.
Примеры решения задач
Пример 1. (У) Доказать, что л/2 + л/3< л/10.
Решение. Для того чтобы избавиться от квадратных корней, будем возводить
в квадрат. Так как обе части исходного неравенства неотрицательны, то можем
возвести их в квадрат:
5 + 2л/б<Ю ^^ 2л/б<5.
Возведя обе части последнего неравенства в квадрат, получим очевидное
неравенство 24 < 25. Следовательно, исходное неравенство также справедливо.
Пример 2. (У) Выяснить, что больше: уЗ или у5?
Решение. Составим формальное неравенство
и будем сводить его к очевидному неравенству с помощью алгебраических
преобразований. Для того чтобы избавиться от радикалов, надо возвести обе части
неравенства в пятнадцатую степень:
^-\ 15 / ^\ 15
Щ ν (Щ
З5 V 53
243 > 125.
Поскольку не было преобразований, меняющих знак неравенства, полученный
знак соответствует исходному, то есть уЗ > у5.
Ответ. \/3 > \/5.

1.3. Модуль числа и алгебраического выражения...
15
Пример 3. (Экон-88.1) Какое из двух чисел больше: л/ϊ + λ/2 или 3?
Решение. Составим формальное неравенство
л/А + л/2 V 3
и будем работать с ним как с обычным, исключив преобразования, меняющие его
знак. Возведём обе части неравенства у4 V 3 — у2 в куб:
4 V (3 - λ/2)3 = 45 - 29λ/2
29λ/2 V 41.
Теперь возведём обе части неравенства в квадрат и получим 1682 > 1681; так как
не было преобразований, меняющих знак неравенства, полученный знак
соответствует исходному, то есть л/ϊ + л/2 > 3.
Ответ. Первое число больше.
Задачи
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
1990 /1991
ВМК-92.1) Какое из двух чисел \1 или \ больше?
J J A/ 1991 V 1992
?
Геол-94(1).1) Какое из двух чисел меньше: ν47 или ν 13
Геол-82.1) Какое из следующих чисел больше: \ ctg — — 2 sin — или л/5?
У) Сравнить числа: З400 и 4300.
У) Сравнить числа: л/7 + λ/ΪΟ и л/3 + λ/Ϊ9.
11
ЕГЭ) Сравнить л/2004 + л/2007 и л/2005 + л/2006.
У) Сравнить числа: \/38 + 17л/5 и \/9 + 4л/5 +
У) Выяснить, что больше: ЗЗ44 или 4433?
У) Сравнить числа: π и λ/Ϊ0·
1\ΐ/6 /1\1/5
У) Сравнить числа: ( - I и '
1.3. Модуль числа и алгебраического выражения,
уравнения и неравенства с модулем
Теоретический материал
Определим модуль (абсолютную величину) вещественного числа χ следующим
образом:
J ж, если χ > 0,
I —х, если χ < 0.

16
Теория и задачи
Функция у = \х\ является чётной и
неотрицательной на всей числовой оси.
Геометрическим смыслом модуля числа
считается расстояние по числовой оси от
начала отсчёта до рассматриваемого числа, причём
одному и тому же значению \а\ соответствуют
две симметричные относительно начала
отсчёта точки: а и —а соответственно.
Для преобразований выражений с модулями,
а также для решения уравнений и неравенств,
содержащих функции неизвестных величин под
знаком модуля, рассматривают варианты
раскрытия модулей в зависимости от знака подмо-
дульного выражения. Например:
\а\
\а\
а
а
\f(x)\=g(x)
\f(x)\>g(x)
\f(x)\<g(x)
f(x) =g(x),
fix) > 0;
-fix) = g{x)i
J(x)<0;
fix) > g{x),
fix) > 0;
-fix) > dix),
J(x)<0;
f(x) <g(x),
fix) > 0;
-fix) < gix),
fix) < 0.
(8)
(9)
(10)
В случае нестрогих неравенств с модулем неравенства равносильных систем также
становятся нестрогими. Кроме того, принципиальной разницы в приписывании
случая f(x) =0 к любой из получаемых систем (или даже к обеим сразу) нет.
Иногда бывает удобно раскрывать модули через геометрический смысл.
Например, при положительном а
\f(x)\=a
f(x) = ±α;
(И)
|/(х)|<о
1/(^)1 >а
-а < f(x) < a;
f(x) > a;
f(x) < -a.
(12)
(13)

1.3. Модуль числа и алгебраического выражения...
17
Примеры решения задач
Пример 1. (Физ-95.3) Решить уравнение 2|ж + 1| = 2 — ж.
Решение. Подмодульное выражение меняет знак в точке ж = — 1. Рассмотрим
два случая.
1) При χ > — 1 исходное уравнение примет вид
2(ж + 1) = 2-ж ^^ ж = 0.
Так как найденный корень удовлетворяет условию ж > — 1, то χ = 0 является
решением исходного уравнения.
2) При χ < — 1 уравнение запишется в виде
-2(ж + 1) = 2-ж ^^ ж = -4.
Найденный корень удовлетворяет условию χ < — 1, следовательно, также является
решением исходного уравнения.
Ответ. —4; 0.
Пример 2. (Экон-84.3) Решить неравенство 2|ж — 4| + |3ж + 5| > 16.
Решение. Отметим нули подмодульных выражений на числовой прямой и
проанализируем знаки подмодульных выражений.
-5/3 4
+ х-4
+ Зх+5
1) При χ < — оба подмодульных выражения отрицательны, следовательно,
о
X <
3'
-2(ж-4) - (Зж + 5) > 16;
χ<-3,
х < —-;
5
χ е
13
-оо;—-
5
2) При — < χ < 4 исходное неравенство примет вид
о
--<*<4,
-2(х - 4) + (Зж + 5) > 16;
3) При χ > 4 получим
[х>4,
\ 2(ж - 4) + (Зж + 5) > 16;
3
ж> 3
х > 4,
19
ж > —:
< ж < 4,
ж G [3; 4).
ж G [4; +оо).
Объединив все три полученных промежутка, получим ответ.
131
О
U[3;+oo).

18
Теория и задачи
Пример 3. (Экон-89.3) Решить уравнение ||3 — х\
Решение. Перепишем уравнение в виде \\х — 3| — χ
крывать модули, начиная с внутреннего.
Первый случай:
ί χ > 3,
1 \х — 3 — χ + 1\ = 6 — х\
Второй случай:
б — х;
■х + 1| + ж = 6.
- 11 = б — χ и будем рас-
4.
6 — х.
Так как при χ < 3 всегда б — ж > 0, то дальше удобнее раскрывать модуль через
геометрический смысл:
( χ < 3,
2ж-4:
2ж-4:
б — х\
χ — б;
ж < 3,
10
-2;
Ответ. —2; 4.
Задачи
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
Хим-00.1) Решить уравнение \х\ = 2 — х.
Геол.ОГ-79.1) Решить уравнение \2х — 3| = 3 — 2х.
Геогр-77.1) Решить неравенство 2|х + 1| >ж + 4.
Геогр-9б(1).1) Решить уравнение \Бх — 3| — \7х — 4| = 2ж — 1.
Биол-95.2) Решить уравнение |х — 1| + |2х — 3|=2.
Геогр-00.2) Решить уравнение \2х + 8| — \х — 5| = 12.
Псих-95.1) Решить уравнение |2х — 151 = 22 — \2х + 7|.
Псих-98.1) Решить уравнение \Ах — \х — 2|+3| = 1б.
Геогр-97.1.) Решить неравенство
11 + 10
>2.
4|ж-1| +3
Хим-9б(1).3) Решить неравенство |х + |1 — х\\ > 3.
Геол-91.б) При всех значениях параметра а решить уравнение
а) \х + 2| + а\х - 4| = 6; б) |ж + 3| - а|ж - 1| = 4.
12. (Физ-84.4) Найти все значения параметра а, при которых все решения
уравнения 2\х — а\ +а — 4 + ж = 0 принадлежат отрезку [0; 4].

1.4· Квадратный трёхчлен, разложение...
19
1.4. Квадратный трёхчлен, разложение квадратного
трёхчлена на множители, квадратные уравнения
и неравенства, теорема Виета
Теоретический материал
Квадратным трёхчленом называется выражение вида
f(x) = ах2 + Ъх + с,
где ау Ьу с - коэффициенты (постоянные числа), а ф О, χ - переменная. Если
а = 1, то квадратный трёхчлен называется приведённым.
Уравнение ах2 + Ъх + с = 0 называется квадратным уравнением.
Число хо G Μ называется действительным корнем квадратного трёхчлена,
если f(xo) = 0. Соответственно, это же значение хо обращает квадратное уравнение
в верное равенство, то есть является корнем квадратного уравнения.
Число D = Ъ2 — Аас называется дискриминантом квадратного трёхчлена
ах2 + Ъх + с.
По значению дискриминанта можно определить количество корней: если
• D < 0, то квадратный трёхчлен не имеет действительных корней;
• D = 0, то квадратный трёхчлен имеет единственный корень хо =
2а
(иногда говорят о наличии двух совпадающих корней);
• D > 0, то квадратный трёхчлен имеет два корня, вычисляемые по форму-
-Ь-y/D -b + VD
лам: χι = , х2 = .
2а 2а
Замечание. В случае b = 2ру ρ £ Μ, формулы корней можно упростить,
используя понятие чётного дискриминанта: Ό\ = ρ2 — ас. Тогда формулы для корней
принимают вид
-р - л/Г>1 -р + л/Г>1
Х\ = , Χ2 = ·
Разложение на линейные множители. Если дискриминант квадратного
трёхчлена ах2 + Ъх + с положителен, то справедливо разложение
ах2 + Ьх + с = а(х — х\)(х — х^)^
где х\ и Х2 - корни квадратного трёхчлена.
Замечание. В случае нулевого дискриминанта квадратный трёхчлен преобра-
/ \2 Ь
зуется к виду а[х — xq) , где χ о = — — - его корень.
Используя формулы корней квадратного трёхчлена (в случае
неотрицательного дискриминанта, то есть при их наличии), можно установить связь между
корнями и коэффициентами, которая нередко позволяет избежать
непосредственного вычисления самих корней.

20
Теория и задачи
Теорема Виета. Если квадратное уравнение ах2 + Ъх + с = 0 имеет два корня
χι и Х2 (может быть, совпадающих), то для них выполнены соотношения
Ъ
~а' (14)
Обратная теорема Виета. Если числа х\ и х^ являются решениями системы
|*1+*2 = -р, (15)
\х\Хч = q,
то они же являются корнями приведённого квадратного трёхчлена х2 + рх + q.
Применяя формулы сокращённого умножения и соотношения из теоремы
Виета, можно получить полезные выражения для вычисления различных комбинаций
корней квадратного уравнения без непосредственного вычисления самих корней.
Например:
Ъ2 с
х\ + х\ = (χι + х<2)2 - 2х!Х2 = ~2 - 2-; (16)
bib2 c\
х\+х\ = {Xl + Х2) ((Х1 + Х2? ~ ЗЖ1Ж2) = "2 " 3- 5 (17)
4 у α V αΔ α I
/ l2 \ Δ 2
εϊ + ^ = ((Ж1+Ж2)2-2Ж1Ж2)2-2(Ж1Ж2)2= (^ ~2-\ -2^
Подобным образом можно выразить и многие другие комбинации корней через
коэффициенты квадратного уравнения.
График квадратичной функции. Функция вида f(x) = ах2 + Ьх + с, где
а^О, называется квадратичной функцией. В силу представления
2 l /" *> V Я
fix) = ах +ох + с = а[х-\ ,
\ 2а J 4α
где D = b2 — 4ас, можно говорить о том, что график квадратичной функции
получается из графика степенной функции у = х2 последовательными элементарными
преобразованиями:
у=х2^{х+1) -^а{х+1) ^а{х+1) -£=/(ж);
то есть графиком квадратичной функции f(x) является парабола с вершиной
[Хъ'чУъ)·) гДе хв = — — ? 2/в = — -j- · -Вертикальная прямая ж = — — задает ее ось
симметрии. 2а 4а 2а

1.4· Квадратный трёхчлен, разложение...
21
а>0; D<0
а>0; D=0
а>0; D>0
а<0; D<0
а<0; D=0
а<0; D>0
Ветви параболы направлены вверх при а > 0 и вниз при а < 0.
Пересечение параболы с осью абсцисс обусловливается наличием корней у
квадратного трёхчлена, то есть знаком его дискриминанта.
Замечание. Опираясь на знание расположения параболы на координатной
плоскости, можно решать квадратные неравенства, избегая промежуточных
преобразований. Например, для f(x) = ах2 + Ъх + с при D = Ъ2 — Аас > 0 и
а > 0:
• f(x) > 0 при χ <х\ или χ > Х2;
• f(x) < 0 при χι < χ < Х2;
где χι и Х2 - корни трёхчлена.
Примеры решения задач
Пример 1. (Геогр-80.1) Найти все значения параметра /с, при которых
уравнение х2 — 2кх + к2 + 2к — 1 = 0 имеет два различных решения.
Решение. Рассмотрим уравнение как квадратное относительно χ и вычислим
его дискриминант:
х2 - 2кх + к2 + 2к - 1 = 0, D1 = к2 - (к2 + 2к - 1) = 1 - 2к.
Два различных решения у квадратного уравнения будут лишь при положительном
дискриминанте: 1 — 2к > 0, откуда к < -.
О'
1

22
Теория и задачи
Пример 2. (Экон.М-00.1) Решить уравнение 3|х + 1| + х2 + 4ж — 3 = 0.
Решение. Подмодульное выражение меняет знак в точке χ = — 1.
Первый случай:
χ > -1,
3(ж + 1)+ж2 + 4ж-3 = 0;
0.
-3.
Второй случай:
ί χ < -1, J ж < -1,
| -3(> + 1)+ж2+4ж-3 = 0; ^^ |ж2+ж-6 = 0; ^^
Ответ. —3; 0.
Пример 3. (У) Пусть х\ и ж 2 _ корни уравнения Зж2 — Ъх — 4 = 0. Найти
х\х2 + ΧΐΧ2·
Решение. Дискриминант данного квадратного уравнения Ό = 73;
следовательно, корни иррациональны, и непосредственное вычисление выражения х\х2 + х\х\
будет громоздким. В этом случае удобнее выразить искомую комбинацию корней
через коэффициенты квадратного уравнения, используя теорему Виета.
В искомом выражении вынесем общий множитель за скобку и воспользуемся
формулами (14) и (16):
о о /9 9 \ С [ О С \
х\Х2 + х\х\ = х\хъ\х\ + х2) = - · I -о - 2- ] .
Подставив α = 3, 6 = —5, с = —4, получим —196/27.
Ответ. -196/27.
Задачи
1. (Физ-83.2) Решить уравнение |5ж2 — 3| = 2.
2. (Соц-00.1) Решить уравнение \х2 — Зх\ = 2х — 4.
3. (Геол-81.1) Решить уравнение ж2 — 4ж + |х — 3| + 3 = 0.
4. (Биол-96.2) Решить уравнение (х — 7)2 — \х — 7| = 30.
5. (Геол-95.2) Решить неравенство х2 — 6 > |х|.
6. (Геол-77.2) Решить неравенство х2 — \Бх — 3| — χ < 2.
Зж
7. (Хим-95.1) Решить неравенство — > 1.
8. (ВМК-87.2) Существуют ли действительные значения а, для которых
а2 — 4а + л/3 = —ал/2? Если да, то сколько их?

2.1. Рациональные уравнения и неравенства...
23
9. (Почв-96.2) Решить неравенство Зж4 + 4 < 13ж2.
10. (Геол-98.2) Решить уравнение ||4 — х2\ — х2\ = 1.
ж2 _|_ 4ж + 3
11. (Филол-98.1) Решить неравенство —: :— < 0.
12. (Экон.К-83.1) Решить уравнение х2 + 11 + л/х2 + 11 = 42.
13. (У) Решить уравнение х2 + рх + 35 = 0 при условии, что сумма квадратов
корней равна 74.
14. (У) Пусть £ι,£2 ~ корни квадратного уравнения х2 + рх — q = 0. Найти
xf + ж|, не вычисляя этих корней.
15. (Геогр-92.2) Найти три числа а, Ь и с, если известно, что их сумма равна 2,
а квадратное уравнение аж2 + Ъх + с = 0 имеет единственное решение ж = 2.
16. (ВМК-80.4) Найти все значения параметра а, при каждом из которых
уравнение (За — 1)х2 + 2ах + За — 2 = 0 имеет два различных корня.
2. Рациональные и иррациональные уравнения
и неравенства, простейшие системы уравнений
2.1. Рациональные уравнения и неравенства,
метод интервалов
Теоретический материал
Неравенство называется рациональным, если левая и правая его части есть суммы
отношений многочленов. При решении рациональных неравенств удобно
применять метод интервалов. Для этого неравенство приводится к виду
(х - Х1)^ (х - χ2γ-... (χ - Xk)Pk > o
(Χ - Xk+l)Pk+1 (Χ - Xk+2)Pk+2 ... (Ж - Хп)Рп
где рт - кратность корня хт.
При этом полезно следовать следующему правилу: при старшей степени
в уравнениях и неравенствах должен быть знак плюс, то есть каждая разность
должна иметь вид (х — хш), а не (хт — х). Затем рисуется числовая ось, на ней
расставляются все корни х^, при этом точки, стоящие в знаменателе,
выкалываются, а точки, стоящие в числителе, выкалываются, если неравенство строгое.
После этого находятся знаки левой части на получившихся интервалах: они
чередуются с учётом кратности каждого корня. Для наглядности можно рисовать
змейку: начинаем справа сверху, переходим через ось, если кратность корня
нечётная, и остаёмся на той же стороне, если кратность корня чётная.

24
Теория и задачи
Примеры решения задач
1
> -3.
Пример 1. (Геол-87.3) Решить неравенство —
1-х
Решение. Перенесём всё в одну сторону и приведём к общему знаменателю:
1 Λ 1 + 3(1 - χ) Λ 4 - Зх Λ Зж - 4 Λ
'- 3 > 0 ^^ - - >0 ^^ >0 ^^ >0;
1-х 1-х 1-х χ — 1
+ - +
//////////////////φ g///////////////^
1 4/3
4
значит, ж < 1 или ж > -.
- з
Ответ. ( —oo;l)(J
|;оо
Пример 2. (Биол-84.1) Решить неравенство < χ — б.
1 — χ
Решение. Перенесём всё в одну сторону и приведём к общему знаменателю:
Х * + 6<0 ^ s+(6-s)(l-*)<0 ^
1 — ж 1 — ж
ж + б — ж + ж2 — бж Λ ж2 — бж + б
<ί=> < 0 <ί=> > 0.
1-х χ — 1
Найдём нули числителя:
х2 - 6х + 6 = 0 ^^ ж = 3 ± л/3.
Проставим знаки дроби на числовой оси:
+ +
1 3-л^З 3+лПз
значит, 1 < χ < 3 — \/3 или ж > 3 + λ/3-
0 τ ве т. (1;3-л/3)и(3 + л/3;+оо).
\х — 51 — 1
Пример 3. (ИСАА-92.3) Решить неравенство — . < 1.
Δ\Χ Ό 4i
Решение. Подмодульные выражения меняют знаки в точках χ = 5 и ж = б.
1) При χ < 5 исходное неравенство запишется в виде
5-ж-1 4-ж I - < 1,
< 1 ^^ ^ г < 1 ^^ < 2 - '
2(6-ж) -4 - 2(4-ж)
χ Φ \.

2.1. Рациональные уравнения и неравенства...
25
Следовательно, в этом случае χ Ε ( — оо; 4) U (4; 5).
2) При 5 < χ < б получим
x-5-l <г х-6_к1 ^ х-6-8 + 2Х<0 ^ 3*-14>0ι
2(6 - χ) - 4 ~ 8 - 2х ~ 8 - 2х ~ χ - 4
Это неравенство выполняется Vx Ε [5,6).
3) При ж > б неравенство примет вид
χ — 5 — 1 ж — б ж — б — 2ж + 16 χ — 10 Л
<1 ^^ ~ тт: < 1 ^^ <0 ^^ ^>0,
2(ж - 6) - 4 _ 2ж - 16 ~ ж - 8
откуда, с учётом условия χ > 6, получим ж Ε [6; 8) U [10; +оо).
Объединив все результаты, получим ответ.
Ответ. (-oo;4)U(4;8)|J[10;+oo).
Задачи
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
9.
10.
11.
12.
(х — 2)(4х + 3)
ЕГЭ) Решить неравенство > 0.
2
ЕГЭ) Решить неравенство 10 > 0.
χ
ЕГЭ) Решить неравенство < 0.
χ - 5
М/м-77.1) Решить неравенство χ < 3
х-1
тт χ т. 2ж - 3 1
Псих-82.1) Решить неравенство — > —.
4-х χ
Почв-00(1).1) Решить неравенство < 1.
О ΔΧ
8х — 2
Геогр-00(1).1) Решить неравенство χ < — .
1
х-2
ИСАА-00.1) Решить неравенство \2х — 1| >
2ж + 5
Геол-82.2) Решить неравенство г > 1.
|ж + 1|-
3
Биол-99.2) Решить неравенство г > 2х + 5.
\х-1\
1 χ
Геол-96(1).1) Решить неравенство < .
w J F χ - 1996 -χ- 1996
Филол-99.2) Решить неравенство — > —
J F x2 + 8x - 9 - Зх2 - Ъх + 2

26
Теория и задачи
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
Геол-98(1).1) Решить неравенство (х2 + Ъх — 6)|х + 4| * < 0.
5ж + 3
ВМК-98.1) Решить неравенство 2х >
|ж + 2|
12 2
М/м-85.2) Решить неравенство Ь :—; >
1 J ж + 1|ж|-1~ж-1
Геол-97.3) Решить неравенство — < 10.
\х + 3| + χ
Физ-93.5) Решить неравенство > 1.
X ~т~ £
χ17 _ l l _ χ15
Почв-00(1).1) Решить уравнение ^ = ^^ -.
2 11
Соц-00.3) Решить неравенство 1 >
х-1 х + 2 2ж + 3
12 — х\ — χ
Экон-87.3) Решить неравенство : < 2.
412 — х\
Соц-99.5) Решить неравенство — — \х — 21 < 0.
4 - χ
Физ-82.2) Найти все значения параметра а, при каждом из которых решение
уравнения 10ж — 15а = 13 — Бах + 2а больше 2.
Геол-79.1) Для каждого значения параметра α найти все ж, удовлетворяю-
а о
щие равенству = о.
2а — χ
2.2. Простейшие системы уравнений. Подстановка и
исключение переменных при решении систем уравнений
Теоретический материал
В этом разделе собраны системы уравнений, решаемые стандартными
приёмами: почленное сложение и вычитание уравнений, умножение и деление уравнений,
подстановка и замена переменных.
Примеры решения задач
Пример 1. (Биол-94.1) Решить систему уравнений л 2 2
χ + 2у = 6,
Зж2 - ж?/ + %2 = 48.
Решение. Выразим χ из первого уравнения и подставим во второе:
\ χ = 6 — 2у,
| 3(6 - 2у)2 - (6 - 2у)у + 4у2 = 48.

2.2. Простейшие системы уравнений...
27
Теперь рассмотрим отдельно второе уравнение:
3 · 36 + 12у2 - 72у - 6у + 2у2 + Ау2 = 48
Зу2 - 13у + 10 = 0,
откуда у = 1 или у
10
10
При у = 1 имеем ж = 6 — 2?/ = 4; при ?/ = —- имеем χ = б — 2у
о
Ответ.
■|=Τ Ι·'*"-
Пример 2. (Филол-88.2) Решить систему уравнений
Решение. Перепишем систему в виде
3|ж + 1| +2\у-2\ =20,
χ + 2у = 4.
1з|ж + 1| + |22/-4|=20,
1 2г/— 4 = -ж.
Подставим выражение для 2?/ — 4 из второго уравнения в первое, получим
уравнение с одной неизвестной 3|х + 1| + |х|=20. Раскроем модули по определению:
χ < -1,
-3(ж + 1) -х = 20;
f-I <ж<0,
3(ж + 1) -ж = 20;
'ж >0,
3(ж + 1)+ж = 20;
23
17
Т'
Подставив полученные значения ж во второе уравнение исходной системы, найдём
23 39 17 1
значения у. При χ = получим ?/
—, при χ = — получим ?/
Ответ.
23 39 \ /17 Г
"Τ;¥/ 1т;~8Г
Замечание. Нередко более рациональным оказывается решение, в котором
подставляется не явный вид одной из переменных, а некоторое выражение,
однозначно его заменяющее или восстанавливающее.
Пример 3. (Физ-77.2) Найти все значения параметра а, при которых числа χ
χ + у = а,
2х — у = 3;
неравенству χ > у.
и 2/, удовлетворяющие системе уравнении
подчиняются также

28
Теория и задачи
Решение. Выразим обе переменные через параметр. Для этого сначала
почленно сложим уравнения, а затем из удвоенного первого уравнения почленно вычтем
второе уравнение:
{Зх = а + 3,
Зу = 2а- 3.
Требуемое неравенство χ > у эквивалентно неравенству Зх > Зу. Подставляя
в это неравенство найденные Зх и Зу, получаем
α + 3>2α-3 ^^ а < 6.
Следовательно, при а < б решения системы подчиняются условию χ > у.
Ответ, ( — оо; 6).
Задачи
Г 2и + ν = 7,
1. (Псих-80.2) Решить систему уравнений <
[ \и - υ\ = 2.
2. (ВМК-87.1) Решить систему уравнений
3. (М/м-79.3) Решить систему уравнений
у/х + Зу = 9,
χ - 1 = 2/(х/х + 1).
2 3 _ 1
2х — у χ — 2у 2'
2 1 1
2х — у χ — 2у 18
4. (Псих-94.2) Известно, что ж = 1, у = — 1- одно из решений системы
{2аж + fo/ = 1,
0 0 найти все её решения.
ах2 + for = 2;
5. (Физ-81.2) Найти все значения параметра а, при каждом из которых система
г х2 + ^2 — i5
уравнений < ' имеет единственное решение.
[ ж + ?/ = а
6. (Почв-70.2) При каких значениях параметра а система уравнений
Г ах — 4?/ = а + 1,
\ 2ж + (се + 6)ί/ = се + 3
не имеет решений?
7. (Экон-78.3) Найти все значения параметра, при которых система
(bx + 2y = b + 2,
< , ч имеет хотя оы одно решение.
[2&г + (6 + 1)2/ = 26 + 4
8. (Филол-00.5) Найти все значения а, при каждом из которых уравнения
(2а — 1)х2 + бах + 1 = 0 и ах2 — χ + 1 = 0 имеют общий корень.

2.3. Радикалы. Иррациональные уравнения и неравенства...
29
2.3. Радикалы. Иррациональные уравнения и неравенства,
равносильные преобразования
Теоретический материал
Уравнения и неравенства с радикалами. Общей идеей при решении
уравнений и неравенств с радикалами (корнями различной степени) является избавление
от соответствующих корней, для чего применяется возведение в степень,
соответствующую показателю корня. Однако в ряде случаев подобное действие приводит
к приобретению посторонних решений, вследствие чего рекомендуется
использовать равносильные преобразования на всех этапах решения задачи с учётом
возникающих дополнительных условий. Кроме того, иногда полезно перед возведением
в степень преобразовать решаемое соотношение к виду, наиболее близкому к
простейшему.
Простейшие уравнения и неравенства с квадратным корнем. Методы
решения простейших уравнений и неравенств с квадратным корнем хорошо
алгоритмизированы и основаны на следующих равносильных переходах:
λ//0*0 = 9{χ)
f(x)=92(x),
g{x) > 0;
(19)
следует заметить, что неравенство f(x) > 0, задающее область существования
радикала, в приведённой системе выполняется автоматически (подобное касается
и других типов задач);
vTR > 9(х)
л/ТЩ < g(x)
\ fix) >92{x),
[g(x) > 0;
if (χ) > o,
\g(x) < 0;
f(x) < g2(x),
fix) > 0,
g(x) > 0;
(20)
(21)
заметим, что в последнем равносильном переходе вместо условия д(х) > 0 молено
использовать условие д(х) > 0, поскольку исходное неравенство не имеет решений
при д(х) = 0. Однако, нет необходимости над этим задумываться, так как при
возведении неравенства в квадрат, главное, чтобы обе части неравенства были
неотрицательными.
В случае нестрогих неравенств соответствующие знаки неравенств в
равносильных системах становятся нестрогими:
л/1Щ > д(х)
f(x) > д2(х),
j(x) > 0;
' f{x) > о,
д(х) < 0;
(22)

30
Теория и задачи
л/т < д{х)
т < я2{х),
f(x) > 0,
д(х) > 0.
(23)
При отличном от простейшего типе задания, уравнение или неравенство
решается последовательным приведением к простейшему виду. Для этого нередко
приходится группировать радикалы, возводить обе части в соответствующие
степени, при этом также нужно использовать только равносильные переходы.
Примеры решения задач
Пример 1. (Геогр-93.3) Найти область определения функции у
Решение. Область определения задается условием:
(х-2)2
4ж - х2
>0
х2 +х-2 ~ (ж+ 2)(ж- 1)
Ответ. (-2;1)U{2}.
<0
χ = 2;
0 + 2)0-1) <0;
4х - х2 - 4
χ2 + χ - 2 '
χ = 2;
-2 <х < 1.
Пример 2. (Соц-97.3) Решить уравнение л/—Зх + 3 = χ — 1.
Решение. Согласно (19) л/—Зх + 3 = χ — 1
-Зж + 3 = О- I)2,
χ - 1 > 0;
ж2 + ж - 2 = О,
ж > 1;
Значит, χ = 1.
Ответ. 1.
Пример 3. (Геол-84.2) Решить неравенство л/2х2 — 6х + 4 < ж + 2.
Решение. Согласно (21) \/2ж2 — 6ж + 4<ж + 2
2ж2 -бж + 4 < 0 + 2)2,
2ж2 - 6х + 4 > О,
ж + 2 >0:
ж2 - 10ж < О,
х2 - Зх + 2 > О,
ж > -2;
XG (0; 10),
ж G (-оо; 1] U [2;+оо),
ж > -2;
ж G (0;1]U [2; 10).
Ответ. (0;1]U [2; 10).

2.3. Радикалы. Иррациональные уравнения и неравенства...
31
Пример 4. (Биол-80.3) Решить неравенство \/—х2 + 6х — 5 > 8 — 2х.
Решение. Согласно (20)
-ж2 + 6ж-5 > (8-2ж)2,
8 - 2х > 0;
\/-ж2 + 6ж - 5 > 8 - 2х
Ъх2 - 38ж + 69 < 0,
ж < 4;
'же [1;5],
χ > 4;
-ж2 + 6ж - 5 > 0,
8 - 2ж < 0:
Ье(3;23/5),
|х<4;
же (4; 5];
хе (3;5].
Ответ. (3;5].
Пример 5. (Почв-98.1) Решить уравнение v^ + 1 — л/2ж — 1 = 1.
Решение. Перенесём второй радикал в правую часть:
л/я + 1 = л/2ж- 1 + 1.
Так как обе части уравнения неотрицательны, то можно возводить уравнение
в квадрат. При этом условие χ + 1 > 0 писать нет необходимости, так как в
получающемся уравнении (х + 1) равно квадрату положительной величины:
ж + 1 = (л/2ж- 1 + 1)2 ^^ ж + 1 = 2ж-1 + 1 + 2л/2ж- 1 ^^ 2л/2ж - 1 = 1-х.
Полученное уравнение решаем стандартным способом:
' -2 10ж + 5 = 0,
4(2ж- 1) = 1+ж2 -2ж,
1 -х >0;
ж < 1.
Корень ж = 5 — л/20 — подходит, а корень χ = 5 + \/20 — нет.
Ответ. 5-л/20.
Задачи
1. (Экон-89.1) Найти область определения функции у
л/х2 -9
л/-ж2 + ж + 20 '
2. (Геол-94.5) Решить неравенство
3. (Экон-94.2) Найти область значений функции ?/ = — \J—Зх2 + 12ж — 3.
4. (ЕГЭ) Решить уравнение л/4ж2 - 27 = —ж.
5. (Геол-96.1) Решить уравнение \/Зж — 5 = χ — 11.

32
Теория и задачи
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
Геогр-00.1) Решить уравнение л/Зх + 2 = 2ж — 4.
Соц-99.1) Решить уравнение л/2/ — 1 = 6 — У ·
Физ-98(1).2) Решить уравнение л/Зх — х2 — 2 = 2ж — 3.
ВМК-91.1) Решить уравнение л/# + 4 + ж - 2 = 0.
Геол-95.1) Решить уравнение л/Ъх — б + ж = 4.
Хим-98(1).1) Решить уравнение 7 — ж = Зл/5 — ж.
Геогр-99.2) Решить уравнение л/2ж2 - 8х + 5 = ж — ζ.
Биол-77.1) Решить уравнение л/6 — 4ж — ж2 = χ + 4.
Почв-87.2) Решить неравенство л/2ж + 3 > х.
Хим-96.2) Решить неравенство л/χ + 5 > 7 — χ.
Экон-95.1) Решить неравенство 2х — 5 < л/^2 — ж — 6.
Псих-97.2) Решить неравенство л/^ + 3 > 5 — 2£.
Псих-88.3) Решить неравенство 2х — 11 < 2л/36 — ж2.
ВМК-75.1) Решить неравенство Vx2 + 4ж - 5 - 2ж + 3 >0.
Геол-04.3) Решить неравенство — χ2 < χ + 21.
Геол.ОГ-84.2) Решить неравенство л/ж2 - Зх + 2 < Зж-3.
Экон-03.1) Решить неравенство л/8 + 2х - х2 < 2х + 1.
Физ-05.2) Решить неравенство л/Ъх — х2 + б < л/б — ж.
Физ-85.2) Решить уравнение л/ж4 — 2х — 5 = 1 — х.
Физ-99(2).2) Решить уравнение л/ж + 2 · л/2ж + 1 = χ + 4.
Экон-00.1) Решить уравнение Зл/ж2 — 4ж + 4 — 4 — ж = (л/—ж2 + ж + 2)
ИСАА-91.1) Решить уравнение л/Зх — 5 — л/4 — ж = 1.
Почв-98.1) Решить уравнение л/жТТ - л/4ж - 3 = 1.
Псих-93.2) Решить неравенство л/1 — ж — л/^ > ~^= ·
л/3
Геол.ОГ-82.2) Решить уравнение л/χ + 3 — л/2ж — 1 = л/Зж — 2.

2.4· Смешанные задачи
33
2.4. Смешанные задачи
Данный раздел рекомендуется изучать только после детального ознакомления
с предыдущими базовыми разделами. В противном случае рекомендуется либо
отложить его изучение, либо вернуться к изучению предыдущих разделов до
достижения необходимого уровня знаний.
1. (ЕГЭ) Пусть (хо; 2/о) ~~ решение системы уравнений < Най-
у-\х-Ь\=2.
ти разность xq — уо.
2.
ЕГЭ) Решить уравнение \JA - 7х\х + 2| = Зх + 2.
Геогр-95.3) Решить уравнение л/2 — х2 = \х\ — 1.
5ж — 3
Псих-99.1) Решить неравенство , < 1.
7 F л/Ъ/^λ
/ 4
Физ-98(1).2) Решить уравнение \ Ь 1
1
Физ-00.2) Решить уравнение + \]х + 2 = \/Зх + 1.
V # + 2
М/м-94(1).2) Решить уравнение Зл/х + 4 = 5 - 2|ж + 2|.
Физ-00(2).2) Решить неравенство у^х2 + |х — 4| — 18 > χ — 4.
М/м-98.1) Решить неравенство 3v^|x + l| -3 > л/х2 -2ж-3.
ВМК-94.2) Решить неравенство \/# — 3 < 3 — |х — 6|.
Физ-97(2).3) Решить неравенство л/х2 + χ + 4 < 2ж + |3х — 2|.
Экон.В-98.1) Решить неравенство \/^2 + Зж + 2 < 1 + л/х2 — χ -
Экон.К-74.1) Решить уравнение л/2х2 - 4ж = лЛг2 + 1 + л/ж2 - 1.
Биол-97.3) Решить неравенство у/\\ -8ж| -2 <ж + 1.
Экон-93.3) Решить неравенство 3\/х + 2 < б — |х — 2|.
л/χΖ — 5ж + 8
ИСАА-93.1) Решить неравенство > 1.
3 - ж
4χ -|- 15 — Ах2
М/м-95(2).1) Решить неравенство , = > 0.
л/Ах + 15 + 2х
1 Ίζ — 1
Биол-93.3) Решить неравенство 5^/1 >
-η- ч ^ \/51 — 2ж — ж2
Псих-83.2) Решить неравенство < 1.
1 - χ

34
Теория и задачи
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
л/3 -х х-2'
Филол-76.2) Найти все целочисленные решения неравенства
О ι/ оо о^ η Л/Ж2 +Ж + 6 + ЗЖ + 13
Экон.К-88.3) Решить неравенство > 1.
Экон-98.3) Решить неравенство \ χ + 4(2 — л/4 + х) <
ж+ 12
8 - 5л/4 + х '
Геол-99(1).2) Решить систему уравнений ^ 2
Ъу + 4ж = л/1бж2 — 25г/2,
х2 + 6ж - 7 = 0.
Геол-72.3) Решить неравенство —^=^ >
у/\ — жз _ ^
М/м-90.3) Решить неравенство < х.
ж3 — 8 + бж(2 — х)
М/м-9б(1).2) Решить неравенство .—
о ^±Х
Почв-97.б) Для каждого значения параметра а решить неравенство
ι) л/а2 - χ2 > а + 1; б) л/а2 - х2 > 2-а.
Псих-89.5) Для каждого значения параметра а решить неравенство
а) χ + 2а - 2л/3аж + а2 > 0; б) χ + 2а - л/Заж + 4а2 > 0.
Почв-99.7) Для каждого Ъ < 0 решить неравенство > 6.
3. Преобразование тригонометрических
выражений, стандартные тригонометрические
уравнения
3.1. Соотношения между тригонометрическими функциями
одного и того же аргумента, формулы двойного и
половинного аргументов
Теоретический материал
Рассмотрим окружность с центром в начале координат радиуса, равного единице
(эту окружность обычно называют тригонометрической окружностью).
Рассмотрим произвольное действительное число а и радиус ON, образующий
с положительным направлением оси Ох угол, радианная мера которого равна
числу а (положительным считается направление против хода часовой стрелки).
Пусть конец единичного радиуса OTV, соответствующего углу се, имеет
координаты 7V(a; b).

3.1. Соотношения между тригонометрическими функциями...
35
Определение. Число, равное ординате конца
единичного радиуса, образующего угол се с
положительным направлением оси Оху называется
синусом угла в се радиан и обозначается sin се.
Поскольку каждому значению величины угла
се соответствует единственная точка N(a; b) такая,
что радиус ON образует угол се с осью Ох, то
введённое отображение у = sin се является функцией.
Определение. Косинусом угла в се радиан
называется число, равное абсциссе конца единичного
радиуса, образующего угол се с положительным
направлением оси Ох. Оно обозначается cos се.
Поскольку каждому значению величины угла се на тригонометрической
окружности соответствует единственная точка N(a; b) такая, что радиус ON образует
угол се с осью Ох, то введённое отображение у = cos се является функцией.
7Г
Определение. Тангенсом угла се, се φ — +πη, η Ε Ζ, называется число, равное
отношению синуса угла се к косинусу этого угла. Тангенс угла обозначают tg се.
Так как каждому значению величины угла се, кроме се
+ πη, η Ε Ζ,
можно поставить в соответствие однозначно определённое значение у = tgce, то
это соответствие является функцией.
Определение. Котангенсом угла α, α φ πη, η Ε Ζ, называется число, равное
отношению косинуса угла се к синусу этого угла. Котангенс обозначают ctg се.
Так как каждому значению величины угла се, кроме а = πη, η Ε Ζ, можно
поставить в соответствие однозначно определённое значение у = ctg се, то это
соответствие является функцией.
Соотношения между тригонометрическими функциями одного и того
лее аргумента:
sin2 χ + cos2 x = 1 (основное тригонометрическое тождество);
tgx · ctg ж = 1, χ ψ —, η Ε Ζ;
1 π 1
1 + tg2 χ = —, χ φ —\- 7гп, η Ε Ζ; 1 + ctg2 χ = —~—, χ φ πη, η Ε Ζ.
cos^ χ 2 sin χ
Формулы двойного аргумента:
sin 2x = 2 sin χ cos x; cos 2x = cos2 χ — sin2 χ = 2 cos2 χ — 1 = 1 — 2 sin2 ж;
2 tff Ж 7Г 7Г 7Г
tg2x= ^—, хф — Л—/с, /с Ε Ζ, χ^ l· 7гп, η Ε Ζ.
1 - tg2 ж 4 2 ^2
Формулы тройного аргумента:
sin Зх = 3 sin ж — 4 sin3 ж; cos Зж = 4 cos3 ж — 3 cos ж.

36
Теория и задачи
X
tg- =
й 2
sin ж
1 + cos χ'
η X 1 — COS Ж
sm χ = —^—;
2 2
х^7г + 2πη, η G Ζ;
cos2 — =
2
χ
tg-
й 2
1 + cos χ
2 5
1 — cos χ
sin ж
Формулы половинного аргумента (для синуса и косинуса — формулы
понижения степени):
, χ φ πη, η G Ъ.
Примеры решения задач
Пример 1. (Псих-86.1) Найти tg22ce, если since =
Решение. Выразим тангенс через синус и косинус, распишем двойные углы и
перейдём от косинуса к синусу с помощью основного тождества:
о sin2 2се 4 sin2 се cos2 се 4 sin2 ail — sin2 а) 4 · -г-г · —г 112
ts: 2се = = = - - = — — =
6 cos22ce (1-2 sin2 се)2 (1-2 sin2 се)2 (ι _ ^)2 9
9 1 1 1 112
Другой способ: tgz 2се = — 1 = к—— - 1 = к - 1 = ——.
^FJ 6 cos22ce (1-2 sin2 се)2 (l - π)
η 112
Ответ. .
9
4
Пример 2. (Почв-00.3) Найти tg2ce, если известно, что since = -, sin4ce > 0.
5
Решение. Из основного тригонометрического тождества следует, что
3 4 2tgce ±f
cos се = ±- =^> tga = ±- =^> tg2ce = ^— = те" = ^
χ ,Ь ^ χ 9
sin 2ce
Так как sin4се = 2sin2сеcos2се > 0 <^> tg2ce = > 0, то tg2ce>0.
cos2ce
Ответ. —.
7
Задачи
1. (ЕГЭ) Упростить выражение
cos4 се + sin2 ce cos2 се
sin2 се
2. (ЕГЭ) Найти значение выражения 2 — tg2 ж · cos2 ж, если sin ж = 0, 2.
3. (ЕГЭ) Найти tg се, если cos се = у=, се G ( —; π] .
. /τπ™, Λ, 1 + cos2ce
4. (El Э) Упростить выражение .

3.2. Простейшие тригонометрические уравнения...
37
5. (ЕГЭ) Найти значение выражения Зл/2 sin 2х, если sin χ = = .
ν 3 '
π 3π
- < χ < —.
2 2
6. (ΒΜΚ-80.1) Вычислить cos2ce, если since = -.
о
1 π
7. (Хим-95(1).2) Найти sin2ce, если since = . и 0 < се < —.
χ 1
8. (Геол-00.2) Вычислить tg2x, если tg — = -.
ζ о
^ , _ о^ оЧ тт . \/5 4π ττ се
9. (Физ-87.3) Известно, что since = ——, π < се < —- . Найти cos се и tg-.
ό ό Δ
10. (Почв-98.2) Найти cos — , если tgce = - и 7г<се<27г. Установить, какое
а\ 2
cos — или - г
2 I 7
из чисел больше:
3.2. Простейшие тригонометрические уравнения.
Разложение на множители, сведение к квадратному уравнению
Теоретический материал
Простейшими тригонометрическими уравнениями называются уравнения вида
sin ж = a, cos ж = а (где \а\ < 1);
tgx = α, ctgx = а (где а Е ( — оо; +оо)).
Формулы решений этих уравнений имеют следующий вид:
sinx = а при Н<1 <^> χ = ( — l)n arcsina + πη, η Ε Ζ;
cos ж = α при Н<1 <^> ж = ± arccosa + 2πη, η Ε Ζ;
tgx = a <^> ж = аrctga + πn, η Ε Ζ;
ctgx = a <^> ж = arcctga + πη, η Ε Ζ.
В частных случаях α = 0, α = 1, α = — 1 получаются следующие формулы:
sin ж = 0 <^> χ = πη, η Ε Ζ;
π
sin ж = 1
ηχ = —1
cos ж = 0
cos ж =
^
^
^^
1 ^=
ж = V 2πη, η Ε Ζ;
π
ж = h 2πη, η Ε Ζ;
π
ж = h 7гп, η Ε Ζ;
> χ = 2πη, η Ε Ζ:

38
Теория и задачи
cos ж = — 1
tgx = О
cte; χ = О
χ = π + 2πη, η G Ζ;
г, η G Ζ;
■ 7ГП, П G Ζ.
ж = πη, η G
π
Решение уравнения sin ж = α часто удобно записывать в виде двух серий корней:
χ = arcsina + 2πη, χ = π — arcsina + 2πη.
Уравнения вида
sin(cjx + ^) = a, cos(cjx + 0) = a, tg(cjx + ^>) = a, ctg(cjx + ^) = a, где a,cj,^GlR
также относятся к простейшим. Их следует решать по общим формулам, заменив
ωχ + φ на t, и уже после этого находить ж из равенства ωχ + φ = t.
Примеры решения задач
Пример 1. (ВМК-80.2) Решить уравнение sin2x — л/Зсовж = 0.
Решение. Применим формулу синуса двойного угла и разложим левую часть
уравнения на множители:
cosx(2sina:—л/3) = 0 <^>
cos ж = 0;
л/3
2 '
sin ж
χ = —Ь 7гп, η G Z;
χ = (-1)т- + тгт, mGZ.
о
7Г 7Г
Ответ. — + πη, ( —l)m—+πτη; η, m G Ζ.
Δ ό
Пример 2. (Геол-87.2) Решить уравнение 4 sin2 ж + 4 cos χ = 1.
Решение. Используя основное тригонометрическое тождество, сведём уравне
ние к квадратному:
1
"2;
3
4 cos χ — 4 cos ж — 3 = 0
cos ж
cos ж = - > 1;
2
2π
±—-+2тгп, η G Z.
о
2π
Ответ. ± Κ2πη, η G Ζ.
о
Пример 3. (ВМК-94.1) Решить уравнение 12sin5x = cos 10x + 7.
Решение. Применим формулу косинуса двойного угла и сведём уравнение
к квадратному:
sin Ъх + б sin Ъх — 4 = 0
sin5x = νΪ3 — 3;
sin5x = -3- λ/Ϊ3 < -1;
Ответ. arcsin(Vi~3 — 3) +
о о
Ъх = (-l)n arcsin(V13 - 3) + тгп, η G Ζ.
πη
η G

3.2.
Простейшие тригонометрические уравнения...
39
Задачи
л/3
ЕГЭ) Решить уравнение sin Ах = — .
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
ЕГЭ) Укажите наименьший положительный корень уравнения
sin7nr(cosa; — 2) = 0.
ЕГЭ) Найдите наибольший отрицательный корень уравнения
cos χ + cos 2x = 2.
Почв-99.2) Решить уравнение cos2x = sin ж.
Экон-87.1) Решить уравнение cos 2ж + Зл/2 sin ж — 3 = 0.
Хим-9б(1).2) Решить уравнение 5 + cos2x = б cos ж.
Геогр-89.1) Решить уравнение sin (χ — — J = cos ι 2χ — J .
Биол-99.1) Решить уравнение 8cos6x — 12sin3x = 3.
Биол-00.2) Решить уравнение 3cos2x + 4 + 11 sin ж = 0.
Геогр-99(1).1) Решить уравнение 2cos4x — 4sin2x = — 1.
ВКНМ-99(1).1) Решить уравнение (7sinx - 4л/3)(7зтж - Ъу/2) = 0.
Экон-85.2) Решить уравнение 2 sin ж = 3ctgx.
Физ-76.1) Решить уравнение cos 2х + 4 sin3 χ = 1.
Экон-76.2) Решить уравнение 3tgx = 2\/5cos — .
Χ XX
Геол-00(1).2) Решить уравнение 5 sin — = cos — cos — .
Геол-98.3) Найти все решения уравнения 5 Η ~— = 7ctg3x.
sin Зх
Экон.К-84.3) Найти все решения уравнения
2 *
3 — 12 sin χ — 2 cos Ax -
1 + tg2 x'
Экон.В-98.3) Решить уравнение cos(2x2) — \/3cos(a;2) — 2 = 0.
ВМК-85.3) Решить уравнение 4 - cos 2тг(13ж + 9)2 = 5 sinтг(13ж + 9)2.

40
Теория и задачи
3.3. Применение тригонометрических формул для сведения
уравнений к простейшим
Теоретический материал
Формулы для тригонометрических функций от суммы и разности:
sin (χ + у) = sin χ cos у + cos χ sin у;
sin (χ — у) = sin x cos у — cos x sin у;
cos (ж + ι/) = cos x cos ι/ — sin x sin 2/;
cos (x — y) = cos ж cos i/ + sin χ sin 2/;
w , \ tgx + tgy π
tg(x + y) = - —, х,у,х + уф - +πη, η£Ζ;
l-tgx-tg2/ 2
tg(x-2/) = —— —, х,у,х-уф-+жщ neZ;
1 + tg χ · tg 2/ 2
Формулы преобразования суммы в произведение:
Л . χ + 2/ # — 2/
sin χ + sin у = 2 sin —-— cos —-—;
0 . χ-у х + у
sin χ — sin v = 2 sin cos :
* 2 2 '
χ + 2/ x — 2/
cos χ + cos у = 2 cos cos ;
* 2 2 '
. x + 2/ . я-?/
cos χ — cos ν = — 2 sin sin ;
y 2 2'
sin(x + 2/) , π _
tgx + tg2/= , χ,2/^-+ττη, η G Ζ;
cos χ cos 2/ 2
sin(x — y) π
tgx-tg2/= , х,2//-+тгп, η G Ζ.
cos χ cos 2/ 2
Формулы преобразования произведения в сумму:
sin x sin 2/ = -(cos(x — у) — cos(x + 2/));
cos χ cos 2/ = -(cos(x + y) + cos(x — 2/));
sin χ cos 2/ = -(sin(x + 2/) + sin(x — y)).

3.3. Применение тригонометрических формул...
41
Формулы приведения:
sin ( — — χ) = cos ж; cos ( — — χ j = sin ж;
sin (π — χ) = sin ж; cos (π — χ) = — cos ж.
Соотношения между синусом, косинусом и тангенсом половинного угла:
2tg -
sin ж = §—, ж ^ тг + 2πη, η Ε Ζ;
1-ti
г2 ж
cos ж = ^5Т, ж ^ тг + 2πη, η Ε Ζ;
1 + tg2 §
2 ti?" — 7Γ
tgx = i-r? ж t^ π + 2πη, χ/ h 7г/с, η, k Ε Ζ;
1 - tgz § 2
1 _ tg2 £
ctgx = — ^-, χ φ πη, η Ε Ζ.
2tg ^
Эти формулы иногда называют формулами универсальной тригонометрической
подстановки.
Все формулы нужно уметь читать не только «слева направо», но и «спра-
ва налево». 1ак, например, в записи sin — cos ж — cos — sin ж нужно узнавать
sin ( — — χ] , а не принимать ошибочно за sin (x — —
т-г А — COS Ж
Проверьте себя и напишите, чему равно выражение W . Если вы убеж-
V 1 + cos χ
дены в том, что это выражение равно тангенсу половинного угла, обратите
внимание на то, что выражение, о котором идёт речь, неотрицательно, а тангенс
половинного угла - знакопеременная функция. Таким образом,
1 — cos χ
1
χ
й2
χ χ
и не следует писать в этом случае ± tg — . Мы пишем ± tg — , чтобы «примирить»
выражение, стоящее в левой части, которое может быть отрицательным, с неотри-
х
цательным корнем. Поставив ± tg — , мы получаем двузначную функцию; символ
« ± » говорит лишь о том, что для каждого фиксированного χ мы обязаны выбрать
определённый знак, в зависимости от того, в какой четверти тригонометрического
круга оказывается угол, стоящий под знаком функции в левой части формулы.
Если уравнение не является простейшим, то его нужно свести к одному или
нескольким простейшим уравнениям, совокупность которых равносильна
заданному.
При решении тригонометрических уравнений часто используется метод
разложения на множители и метод замены переменной (введение новой переменной).
При решении уравнений следует следить за равносильностью преобразований.
Иначе при решении полученной совокупности простейших уравнений возможно
появление посторонних корней.

42
Теория и задачи
Примеры решения задач
Пример 1. (Геол-91.1) Решить уравнение sin 7х cos χ = sin 6x.
Решение. Первый способ. Преобразуем произведение тригонометрических
функций в сумму, после чего используем формулу разности синусов:
sin 8x + sin 6x = 2 sin 6x <^> sin 8х — sin 6х = 0 <^> 2 sin x cos 7x = О,
откуда smi = 0 или cos7x = 0; следовательно, χ = πη или χ = —- Η—— .
Второй способ. Представим 6х в правой части уравнения в виде 7х — χ и
воспользуемся формулой синуса разности:
sin 7ж cos ж = sin (7χ — χ) <^> sin 7χ cos ж = sin 7χ cos ж — cos 7χ sin ж <^>
<^> cos 7x sin χ = 0. Далее аналогично.
_ π ππι
Ответ, πη, — Л——; η, τη G Ζ.
14
7
Пример 2. (Физ-83.1) Решить уравнение sin Зж + sin 5ж = sin Ax.
Решение. Преобразовав сумму тригонометрических функций в произведение,
получим
sin4x = 0; Ι χ = —-, η G
25
2 sin Ax cos χ = sin Ax
cos ж
± Ь 2πτη, τη G
о
_ πη π
Ответ. ——, ±—+ 2πτη; η, τη G Ζ.
Пример 3. (ИСАА-91.3) Решить уравнение
cos2 (45° + ж) = cos2 (45° - ж) + \/5 cos ж.
Решение. Понизим степень у квадратов косинусов:
l + cos(90° + 2x) = 1 + со8(90°-2ж) + 2л/5со8ж ^^ sin 2x + л/б cos ж
cos ж = 0;
sin ж = < — 1;
2
Ответ в градусах, согласно условию.
Ответ. 90° +п · 180°, nGZ.
ж = 90°+п-180°, nGZ.
Пример 4. (ВМК-94(1).3) Вычислить cos2 (се — — ), если tga
π
1
V7'
Решение. Преобразуем искомое выражение, используя формулу приведения и
формулу универсальной тригонометрической подстановки:
cos 2 ( а —- ) = cos (2а ) = sin 2а = -
V 47 V 27 1
2tgce
+ tff2ce
2
1+7-
л/7
4 '
Ответ.
4 '

3.3.
Применение тригонометрических формул...
43
Задачи
(ЕГЭ) Решить уравнение cos 2х cos χ — sin 2x sin x = 1.
(ЕГЭ) Решить уравнение sin (π — χ) — cos ( — + χ j = — 1.
(Хим-00.2) Решить уравнение cos Зх + sin x sin 2х = 0.
(Физ-98(1).1) Решить уравнение sin3x — sin 2х cos χ = 0.
(Физ-97(2).1) Решить уравнение cos9x — cos 7x = V2 sin χ.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
Физ-94(1).1) Решить уравнение sinxsin3x = -.
Хим-78.1) Решить уравнение sin 2х + sin 6х = 3 cos2 2x.
Физ-99(1).1) Решить уравнение sinl4x = cos4x — sin6x.
Физ-00(1).1) Решить уравнение sin5x + sin2x = sin7x.
Физ-99(2).1) Решить уравнение sin ж — sin — cos — = 0.
Физ-96.1) Найти все решения уравнения cos3x — sin ( 7χ ) = cos5x.
Геогр-74.2) Решить уравнение sin ж + cos I 5х —J = \/3sin (Зх + π).
Хим-83.1) Решить уравнение
cos (2х + — j + cos (2x — — j +4 sin χ = 2 + \/2(l — sin x).
Псих-90.1) Решить уравнение
4sin2 (2 U + -\\ -2(л/5-л/3)со8(2х-^ + л/15-4 = 0.
Биол-81.2) Решить уравнение cos ( 2х 1 = sin(4x + 3π).
Экон.К-80.4) Решить уравнение sin ( χ) + cos ί χ) = л/3.
Почв-9б(1).1) Найдите cos (a + — j , если известно, что since = —-, tgсе > 0.
Геол-94(1).4) Найти все решения уравнения sin5x = sin5.
Физ-93.2) Решить уравнение cos5x = cos(5 + χ).
ИСАА-00.3) Решить 3sin2x - - = 4 cos (χ - -
) 2 V 4
л/г/ ™/Λ\ α\ ττ ~ sin (α + Τ) sin (β + Τ) sin (се + 7) sin (β + 7) 4
М/м-00(2).4) Найти - у ^ ^, если - - ^ = -,
cos 7 cos (се + ρ + 7) cos ce cos ρ 9

44
Теория и задачи
3.4. Различные задачи на отбор корней
Данный раздел рекомендуется изучать только после детального ознакомления
с предыдущими базовыми разделами. В противном случае рекомендуется либо
отложить его изучение, либо вернуться к изучению предыдущих разделов до
достижения необходимого уровня знаний.
Примеры решения задач
Пример 1. (ЕГЭ) Указать корни уравнения
cos χ = -, для которых sin χ < 0.
Решение. Решениями исходного уравнения являют-
7Г
ся χ = ± Ь 27г/с, к G Z. Так как синус отрицателен
о
в третьей и четвёртой четвертях, то нам подходит толь-
7Г
ко χ = — — + 27г/с, fc G Z.
о
7Г
Ответ. Ь 27г/с, /с G Z.
о
π/3+2πΙ<
π/3+2πΙ<
Пример 2. (Биол-85.2) Найти все корни уравнения
7 /37Г
7 cos ( —— ж
1 + 5 cos 2x, принадлежащие отрезку
π 3π
Решение. Применив формулы приведения и косинуса двойного угла, получим
-7sinx = 1+5(1-2 sin2 ж)
lOsin x—7sinx—6 = 0
6 η
sinx = ->l,
5ι
smx = —.
2
Значит, χ = ( —l)n+1—h 7τη, η G Z.
Для удобства отбора корней представим это решение в виде двух серий:
χι = Ь 2πΖ и Ж2 = l· 2πτη, Ζ, га G Ζ.
6 б
π 3π1
Отберём Ζ G Ζ такие, что х\ G
π π 3π
видно, что таких целых I нет.
Для второй серии
2' 2
2π
то есть
5π
— < 2πΙ < —
3 ~ ~ 3
1 , 5
з - - б'
π 5π 3π
-<--+27rm<T
4π Λ 7π
— < 2тгга < —
3 - - 3
2 7
- < га < -:
3 - - 6'
5π 7π
подходит τη = 1. В результате χ = \- 2π = — .
6 6
Ответ.
7π

3.4· Различные задачи па отбор корней
45
π /т^л/гт^ \ т^ 2 sin χ + 3\/2sinx — sin2x + 1
Пример 3. (ВМК-83.2) Решить уравнение = — 1.
2 sin χ cos x + 1
Решение. Область определения:
7Г
2 sin ж cos χ + 1 т^ 0 <^> sin 2ж т^ — 1 ^^ х ^ — — + π/c, /с £ Z.
Домножив на знаменатель исходное уравнение, получим
2 sin2 ж + 3\/2 sin ж — sin 2х + 1 = — sin 2х — 1 <^> 2 sin2 ж + Зл/2 sin ж + 2 = О,
откуда либо sin ж = — л/2, либо sin ж = — . В первом случае решений нет, так как
\/2
— \/2 < — 1. Во втором случае χ = ( —1)η+1— + πη, η £ Ζ. Эта серия разбивается
на две: χ = — — + 2πΖ, / £ Ζ - не входит в область определения, и χ = —— + 2πτη,
m £ Ζ - подходит.
Зтг
Ответ. + 2πτη, m £ Ζ.
4
Задачи
λ/3
1. (ЕГЭ) Указать те корни уравнения cos ж = , которые лежат в
промежутке [0; 2 π].
/з
2. (ЕГЭ) Указать те корни уравнения sin ж = —, для которых cos ж > 0.
3. (ЕГЭ) Сколько корней имеет уравнение tgx = —i= h 2 на промежутке
γ3 — 2
"π; 2 J ?
4. (Филол-85.1) Найти все решения уравнения 2 sin2 ж = v^sinx,
удовлетворяющие условию — 5 < χ < — 3.
5. (М/м-89.1) Решить уравнение 4| cosx| + 3 = 4sin2 ж.
6. (Геол-82.3) Решить уравнение у/\ — cos2 χ + 6cos2x = 0.
7. (М/м-79.1) Найти все решения уравнения 1 — 5sinx + 2 cos2 ж = 0,
удовлетворяющие неравенству cos ж > 0.
COS X
8. (Физ-84.1) Решить уравнение tgx Η = 0.
2 — sin x
9. (Геол.ОГ-78.1) Решить уравнение v^sinx + ctgx = 0.
10. (Псих-77.1) Решить уравнение 3 tg2 χ — 8 cos2 x + 1 = 0.
2
11. (Физ-00.1) Решить уравнение 3cos3x-| = 3cosx.
cos ж

46
Теория и задачи
12. (Биол-85.2) Найти все решения уравнения 5cos2x + 7cos [χ -\— j +1 = О,
принадлежащие отрезку
π 3π
2'Ύ
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
_ ^ ч _ 2 — 3sinx — cos2x
1еол-80.2) Решить уравнение —^^————— = 0.
Λ ^г оч тт ll7r 2ctgx + 3
Филол-75.3) Найти все решения уравнения ctg = —-; ——
Геол-99(1).1) Решить уравнение cos (6 sinχ) = — 1.
tg ( x +
π^τ/ οο . _ l + 2sm χ — 3\/2sinx + sin2x
ΒΜΚ-83.2) Решить уравнение = 1.
2 sin χ cos χ — 1
ВМК-91.2) Найти все решения уравнения tg I 1 sin ж 1=1·
cos Qx
Физ-00(2).1) Решить уравнение h 6sin2x + 1=0.
cos2x
Псих-82.3) Решить уравнение 2sinx — \/3 = (л/2 — \f\2)v/sni~r.
Экон-89.4) Найти все решения уравнения tg(4sinx) = л/3, удовлетворяю-
π 3π
щие условию — < χ < —.
4. Стандартные текстовые задачи
4.1. Пропорциональные величины
Теоретический материал
В этом разделе собраны стандартные текстовые задачи, приводимые к одному
линейному уравнению или к системе линейных уравнений.
Примеры решения задач
Пример 1. (Биол-95.4) Саша и Серёжа дважды обменивались марками,
причём каждый раз 1/7 количества марок, имевшихся на данный момент у Саши,
обменивалась на половину количества марок, имевшихся у Серёжи. Сколько
марок было у Саши и сколько у Серёжи до первого обмена, если после первого обмена
у Саши было 945 марок, а после второго обмена у Серёжи - 220?
Решение. Пусть сначала у Саши было η марок, а у Серёжи т марок.
г г, 6 1 _ .. 1 1
После первого оомена у Ьаши станет —п Л—т штук, а у Ьережи —п-\—т
штук, причём -п Л—т = 945.

4.1. Пропорциональные величины
47
После второго обмена у Серёжи будет - · 945 + т:(^+7:^) = 220 штук.
ι Δ \ ( Δ
Получаем систему уравнений:
6 1
-η Η—т = 945,
7 2
1.945 + 1 ^n+im] =220;
Ответ. 1085 и 30 штук.
6 1
-η Η—m = 945, f 1ПОг
7 2 J η = 1085,
11 17n ^ |m = 30.
-η + -m = 170: k
7 2
Задачи
1. (ЕГЭ.А) На склад привезли 126 тонн яблок, груш и слив. Яблок оказалось
в 4 раза больше, чем груш. Слив на 18 тонн меньше, чем груш. Сколько тонн
яблок привезли на склад?
2. (Почв-84.1) Площади участков земли относятся как 4:3:5. Средняя
урожайность всех трёх участков одинакова и составляет 28 ц зерна с гектара.
Известно, что с третьего участка собрано на 84 ц зерна больше, чем с первого.
Определить, какова площадь каждого из трёх участков.
3. (Почв-93.1) Представить число 128 в виде суммы четырёх слагаемых так,
чтобы первое слагаемое относилось ко второму, как 2:3, второе к третьему,
как 3 : 5, а третье к четвёртому - как 5:6.
4. (Почв-94(1).1) С двух полей, первое из которых по площади вдвое меньше
второго, собрали урожай свёклы. Средняя урожайность составила 150 ц/га,
в то время, как на первом поле собрали по 156 ц/га. Какова урожайность
свёклы на втором поле?
5. (Почв-92.2) Самолёт, осуществляя полет по заданному маршруту, может
лететь в метеоусловиях А, Б или В с одной и той же скоростью, но по-разному
расходуя горючее. В первый раз самолёт находился в метеоусловиях А
половину полётного времени, в метеоусловиях Б - треть времени, в метеоусловиях
В - 1/6 полётного времени. Во второй раз он находился четверть времени
в метеоусловиях А и 3/4 - в метеоусловиях В. В третий раз - по четверти
полётного времени в метеоусловиях А и Б, а половину времени - в
метеоусловиях В. На сколько процентов израсходует самолёт полётный норматив
горючего, двигаясь весь путь в метеоусловиях В, если в первый раз он
израсходовал его на 10l| %, во второй раз - на 92,5 %, а в третий - на 97,5 %?
6. (Соц-98.3) В городе N 9 % коренного населения в зимний период заняты
народным промыслом. Летом 36 % коренного населения уезжает из города, но
общая численность за счёт приезжающих туристов составляет 4/5 от
численности населения в зимний период. Определить, какая часть от общей
численности населения в летний период занята народным промыслом, если среди
коренного населения доля занятых народным промыслом осталась такой же,
как в зимний период.

48
Теория и задачи
4.2. Арифметическая и геометрическая прогрессии
Теоретический материал
Последовательность чисел αϊ, α2,··· , ап называется арифметической прогрессией,
если найдётся такое число d, называемое разностью прогрессии, что
а2 = а\ + d, а3 = а2 + d, · · · , αη = αη_ι + d.
Для решения задач на арифметические прогрессии необходимо знать следующие
формулы:
αη = αϊ + (η - l)d, α*; = ,
0 , , αι+αη 2ai + (n-l)d
Sn = a1A l·an = η = η.
Последовательность чисел έ»ι, έ>2? * * * ·> Ьп (где &ι / 0) называется
геометрической прогрессией, если найдётся такое число a ^ 0, называемое знаменателем
прогрессии, что
62 = М, ^з = b2q, · · · , frn = bn-iq.
Для решения задач на геометрические прогрессии необходимо знать следующие
формулы:
Ьп = Мп~\ Ь\ = bk-i - bfc+i,
1 -qn
Sn = hiA \-bn = bi-- при q ф\, Sn = n-bi при a = 1.
Если \q\ < 1, το δι Η l· bn-\ = b\ · .
Примеры решения задач
Пример 1. (Экон.В-98.2) Второй член арифметической прогрессии αι,α2,...
равен 2, а сумма пятого и шестого членов равна 9. Найти сумму первых двадцати
членов прогрессии, номера которых кратны 2.
Решение. Пусть αϊ и d - первый член и разность данной прогрессии. Тогда
9
а2 = 2, J ai + d = 2,
as + clq = 9; 1 (αϊ + 4d) + (αϊ + bd) = 9;
Искомая сумма S = a2 + a^ + a§ + · · · + ass + ^40 может быть найдена как сумма
членов арифметический прогрессии с разностью 2d, первым членом а2 и η = 20.
В нашем случае формула суммы арифметической прогрессии примет вид:
S = 2й2 + (202" 1) ■ 2d ■ 20 = 2(ai + ^ + Ш ■ 20 = 10(2а1 + Ш) = 2-ψ.
2180
Ответ. .
7
αϊ
d =
= —
V
5
7

4-2. Арифметическая и геометрическая прогрессии
49
Пример 2. (Хим-94(1).3) Для членов геометрической прогрессии bi, &25 · · ·
известно, что b2b^ = 25 и &з + ^5 = 15. Найти δι.
Решение. Пусть bi к q — первый член и знаменатель геометрической
прогрессии, тогда b2b± = biq · biq3 = b2q4, b3 + 65 = frig2 + frig4 = 6i<?2(l + q2) и
ГЬ2Ь4 = 25, fb?<Z4 = 25, ίΜ2 = ±5,
\Ьз + Ъъ = 15; \b^2(l + q2) = 15; |Ь^2(1 + q2) = 15.
Из второго уравнения следует, что biq2 > 0, так как 1 + q2 > 0, поэтому
^2
biq2 = 5, J 9 =2,
biq2(l+q2) = l5; ^
5
Ответ. -.
2
Пример 3. (Биол-91.3) Время, затрачиваемое велосипедистом на прохождение
каждого очередного километра пути, на одну и ту же величину больше, чем
время, затраченное им на прохождение предыдущего километра. Известно, что на
прохождение второго и четвёртого километров после старта он затратил в сумме
3 мин 20 с. За какое время велосипедист проехал первые 5 км после старта?
Решение. Пусть tn мин - время прохождения η — го километра пути. Известно,
что tn = tn-\ +т, где г - постоянная величина, то есть tn является
арифметической прогрессией с разностью т. Известно, что t2 + £4 = 3 мин 20 с, поэтому
1 5
t2 + U = h + г + h + Зт = 2ti + 4т = 2(ti + 2т) = 3- <^> ti + 2т = -;
о о
время, затраченное на прохождение 5 км после старта:
2ti + (5 - 1)т , ч 5 25 1
h + t2 + ί3 + U + *5 = — ^ ' 5 = 5(ίι + 2т) = 5 · - = у = 8-.
Ответ. 8 мин 20 с.
Замечание. При формулировании ответа рекомендуется сохранять
обозначения и наименования, предложенные в условии.
Задачи
1. (ЕГЭ) Сумма второго, девятого и десятого члена арифметической
прогрессии равна 60. Найти седьмой член этой прогрессии.
2. (ЕГЭ) В геометрической прогрессии (Ъп) известно, что Sq = 63, q = —0,5.
Найти Ь\.
3. (ЕГЭ) В арифметической прогрессии (ап) а^ = —36, а%$ = 142. Найти а$8-
4. (ЕГЭ) В геометрической прогрессии {ап > 0) известно, что an+m = 27,
ат-п = 12. Найти ат.

50
Теория и задачи
ч ,ъгъ\ъ l + 2 + 22 + ... + 213
5. (Ы Э) Вычислить — .
6. (ЕГЭ) Вычислить 180-1,3(4).
7. (ЕГЭ) Вычислить сумму геометрической прогрессии # = 1 Η 1 Ь ...
и ои
8. (Физ-79.2) Седьмой член арифметической прогрессии равен 21, а сумма
первых семи членов этой прогрессии равна 105. Найти первый член и разность
этой прогрессии.
9. (Экон-87.2) В магазине продано 12 тонн орехов трёх сортов по цене
соответственно 2 руб., 4 руб. и б руб. за 1 кг на общую сумму 42 тыс. руб.
Известно, что количества тонн проданных орехов соответственно первого,
второго и третьего сортов образуют арифметическую прогрессию. Сколько
тонн орехов каждого сорта продано в магазине?
10. (ВМК-88.1) Найти сумму первых двадцати членов арифметической
прогрессии, если известно, что сумма третьего, седьмого, четырнадцатого и
восемнадцатого членов этой прогрессии равна 10.
11. (ИСАА-93.2) Сумма третьего и пятого членов арифметической прогрессии
равна 8. Найти сумму первых семи членов этой прогрессии.
12. (ВМК-96.1) Числа а, 6, с и d являются последовательными членами
геометрической прогрессии. Известно, что a + d = 10, α · d = 7. Найти b3 + с3.
13. (Геогр-91.3) Числа αϊ, α^ аз образуют арифметическую прогрессию, а
квадраты этих чисел (в том же порядке) образуют геометрическую прогрессию.
Найти αϊ, а^, аз, если известно, что αϊ + а2 + аз = 21.
14. (Физ-92.5) Найти первый член и разность арифметической прогрессии, если
известно, что пятый и девятый члены дают в сумме 40, а сумма седьмого и
тринадцатого членов равна 58.
15. (ВМК-95(1).1) В арифметической прогрессии с отличной от нуля разностью
сумма членов с четвёртого по четырнадцатый включительно равна 77. Найти
номер того члена прогрессии, который равен 7.
16. (Хим-89.2) Последовательность чисел αι,α2,α3,... является
арифметической прогрессией. Известно, что αϊ + а$ + а^ = 3. Найти а$ + ад.
17. (Почв-95.1) Первый член арифметической прогрессии в два раза больше
первого члена геометрической прогрессии и в пять раз больше второго члена
геометрической прогрессии. Четвёртый член арифметической прогрессии
составляет 50 % от второго члена арифметической прогрессии. Найти первый
член арифметической прогрессии, если известно, что второй её член больше
третьего члена геометрической прогрессии на 36.
18. (М/м-95(1).1) Найти первый член геометрической прогрессии, если
известно, что третий член этой прогрессии равен ( — 10), а его квадрат в сумме
с седьмым членом дает утроенный пятый член.

4-3. Скорость, движение и время
51
19. (Псих-97.3) В возрастающей геометрической прогрессии сумма первого и
последнего её членов равна 164, а произведение второго и предпоследнего
членов равно 324. Найти последний член прогрессии.
20. (ВМК-79.1) Даны арифметическая и геометрическая прогрессии. В
арифметической прогрессии первый член равен 3, разность равна 6. В
геометрической прогрессии первый член равен 3, знаменатель равен л/2. Выяснить, что
больше: сумма первых шести членов арифметической прогрессии или сумма
первых восьми членов геометрической прогрессии?
21. (М/м-93(1).2) Сумма первых пяти членов геометрической прогрессии равна
её первому члену, умноженному на 5, а сумма первых пятнадцати членов
равна 100. Найти сумму первого, шестого и одиннадцатого членов этой
прогрессии.
ЛЛ /ж пг л тт ^ 9 1 — 3 cos3 ж
22. (Филол-75.4) Найти сумму корней уравнения cos 2х + tg x = ~ ,
cos^x
принадлежащих отрезку 1 < χ < 50.
4.3. Скорость, движение и время
Теоретический материал
В этом разделе собраны задачи на движение. При составлении систем для таких
задач обычно не требуется никаких особых математических знаний. Требуется
лишь здравый смысл и знание того, что
расстояние = скорость · время.
Примеры решения задач
Пример 1. (Геогр-89.2) Из пункта А в пункт £>, находящийся на расстоянии
12 км от пункта Ау по горной дороге со скоростью б км/час поднимается в гору
пешеход. Одновременно с ним из пункта А в пункт В выехал автобус. Доехав до
пункта В менее чем за один час, автобус поехал обратно навстречу пешеходу и
встретил его через 12 минут после начала движения из пункта В. Найти скорость
автобуса на подъёме, если известно, что она в 2 раза меньше его скорости на
спуске.
Решение. Пусть χ км/ч - скорость автобуса на подъёме, а км - расстояние от
пункта А до места встречи пешехода с автобусом на его обратном пути. Запишем
условие одновременного начала движения и встречи:
а 12 12-а
+
6 χ 2х
время движения автобуса от пункта В до встречи с пешеходом:
12-а 12
2х 60
и ограничение времени движения автобуса от пункта А до пункта В:
12
0 < — < 1 ^^ χ > 12.
χ

52
Теория и задачи
Из полученной системы найдём х:
12-а 1
5' | α = 12 - -ж,
аж = 3(36 — а),
д > 12;
2ж
а _ 12
б χ
χ > 12;
2ж
х2 - 27ж + 180 = 0,
χ > 12;
откуда χ = 12 (не подходит) или ж = 15 (подходит).
Ответ. 15 км/ч.
Пример 2. (М/м-97.3) Из пункта А в пункт В со скоростью 80 км/ч выехал
автомобиль, а через некоторое время с постоянной скоростью выехал второй.
После остановки на 20 минут в пункте В второй автомобиль поехал с той же
скоростью назад, через 48 км встретил первый автомобиль, шедший навстречу, и был
на расстоянии 120 км от В в момент прибытия в В первого автомобиля. Найти
расстояние от А до места первой встречи автомобилей, если АВ = 480 км.
Решение. Первый способ. Пусть второй автомобиль выехал со скоростью χ км/ч
из А через г часов после первого автомобиля. Первая встреча произошла на
расстоянии а км от А при обгоне вторым автомобилем первого:
а
80
а
-+т;
χ
встреча двух автомобилей после разворота второго:
480 - 48 _ 480 + 48
80 ~ ~х
+ т-
20
60'
прибытие первого автомобиля в В:
48
80
Из третьего уравнения получаем χ =
2
ДИМ Г =
120 - 48
χ
120 км/ч. Тогда из второго уравнения нахо-
часа и, подставляя все в первое уравнение, получаем
1
80
1
120
а = 160.
Второй способ: если отсчитывать время с момента первой встречи, то получим
систему из двух уравнений с двумя неизвестными:
<
откуда а = 160.
Ответ. 160 км.
f 480 - а - 48
80 =
48 72
,80 ~ "ж"'
480-
- а + 48 20
~х + 60'

4-3. Скорость, движение и время
53
Пример 3. (Геол-95(1).5) Поезд, идущий с постоянной скоростью из пункта А
в пункт В, был задержан у семафора на 16 мин. Расстояние от семафора до пункта
В равно 80 км. При каких значениях первоначальной скорости поезд прибудет
в пункт В не позлее запланированного срока, если после задержки он увеличил
скорость на 10 км/ч?
Решение. Пусть χ км/ч - первоначальная скорость поезда. Для того чтобы
поезд прибыл не позднее расписания, необходимо, чтобы фактическое время в пути
от семафора до пункта В не превышало планового, то есть
16 80 80 1 200
+ ττ: < — ^^ — <
60 χ + 10 - χ 15 - ж(ж + 10)'
откуда с учётом χ > 0 получаем
х2 + 10ж - 3000 < 0 <^^ -60 < χ < 50 => χ е (0; 50].
Ответ. Не более 50 км/ч.
Задачи
1. (ЕГЭ) Велосипедист каждую минуту проезжает на 800 м меньше, чем
мотоциклист, поэтому на путь в 30 км он затратил времени на 2 ч больше, чем
мотоциклист. Сколько километров в час проезжал мотоциклист?
2. (ЕГЭ) Моторная лодка прошла 10 км по озеру и 4 км против течения
реки, затратив на весь путь 1 ч. Найдите собственную скорость лодки, если
скорость течения реки равна 3 км/ч.
3. (ЕГЭ) Два пешехода отправляются одновременно навстречу друг другу из
двух пунктов, расстояние между которыми равно 50 км, и встречаются через
5 ч. Определите скорость первого пешехода, если его скорость на 2 км/ч
больше, чем у второго.
4. (Почв-82.1) Из пункта А в пункт В отправился скорый поезд. Одновременно
навстречу ему из В в А вышел товарный поезд, который встретился со
скорым через 2/3 часа после отправления. Расстояние между пунктами А
и В равно 80 км, поезда двигались с постоянными скоростями. С какой
скоростью двигался скорый поезд, если 40 км он шел на 3/8 часа дольше,
чем товарный поезд шел 5 км?
5. (Геогр-78.1) Пароход, отчалив от пристани А, спустился вниз по течению
реки на 60 км до устья впадающего в реку притока и поднялся вверх по
притоку (против течения) на 20 км до пристани В. Весь путь от А до В пароход
прошёл за 7 часов. Скорость течения реки и скорость течения притока
равны 1 км/ч. Найти собственную скорость парохода. (Собственная скорость -
скорость в неподвижной воде.)
6. (Филол-99.1) Расстояние в 160 км между пунктами А и Б автомобиль
проехал со средней скоростью 40 км/ч. Часть пути по ровной дороге он ехал со
скоростью 80 км/ч, а другую часть, по бездорожью, со скоростью 20 км/ч.
Какое расстояние автомобиль проехал по ровной дороге?

54
Теория и задачи
7. (Геогр-95.2) Теплоход затратил 5 часов на путь вниз по течению реки от
пункта А до пункта В. На обратный путь против течения он затратил 8
часов 20 минут. Найти скорость теплохода, если путь от А до В равен 100
километрам.
8. (ВМК-97.1) Пункты А, В и С расположены на реке в указанном порядке
вниз по течению реки. Расстояние между А и В равно 4 км, а между В и
С - 14 км. В 1200 из пункта В отплыла лодка и отправилась в А. Достигнув
пункта А, она сразу же повернула и в 1400 того же дня прибыла в пункт С.
Скорость течения реки равна 5 км/ч. Найти скорость лодки в стоячей воде.
9. (Хим-78.2) Из пункта А в пункт В выехал грузовой автомобиль. Через
1 час из пункта А в пункт В выехал легковой автомобиль, который
прибыл в пункт В одновременно с грузовым автомобилем. Если бы грузовой
и легковой автомобили одновременно выехали из пунктов А и В
навстречу друг другу, то они бы встретились через 1 час 12 минут после выезда.
Сколько времени провел в пути от А до В грузовой автомобиль?
10. (Экон.К-77.2) Из пункта А в пункт В выехал велосипедист. В тот момент,
когда он проехал 1/4 пути между А и Ву из В в А выехал мотоциклист,
который, прибыв в А, не задерживаясь, повернул обратно и одновременно
с велосипедистом прибыл в В. Время движения мотоциклиста до первой
встречи с велосипедистом равно времени движения мотоциклиста из А в В.
Считая скорости мотоциклиста при движении изАвБиизБвЛ
различными, найти, во сколько раз скорость мотоциклиста при движении из А в В
больше скорости велосипедиста.
11. (Геогр-99.3) По реке из пункта А в пункт В выплыл катер. Одновременно
из пункта В в пункт А выплыла моторная лодка. Пройдя четверть пути от
В к А, лодка встретилась с катером. Катер, достигнув пункта В, повернул
обратно и прибыл в пункт А одновременно с лодкой. Во сколько раз скорость
катера больше скорости лодки?
12. (Биол-86.3) Из пункта А по одному и тому же маршруту одновременно
выехали грузовик и легковой автомобиль. Скорость легкового автомобиля
постоянна и составляет 6/5 скорости грузовика. Через 30 минут вслед за ними
из того же пункта выехал мотоциклист со скоростью 90 км/час. Найти
скорость легкового автомобиля, если известно, что мотоциклист догнал
грузовик на один час раньше, чем легковой автомобиль.
13. (Хим-79.3) От пристани А вниз по течению реки одновременно отплыли
пароход и плот. Пароход, доплыв до пристани В, расположенной в 324 км от
пристани Ау простоял там 18 часов и отправился назад в А. В тот момент,
когда он находился в 180 км от А, второй пароход, отплывший из А на
40 часов позднее первого, нагнал плот, успевший к этому времени проплыть
144 км. Считая, что скорость течения реки постоянная, скорость плота равна
скорости течения реки, а скорости пароходов в стоячей воде постоянны и
равны между собой, определить скорости пароходов и течения реки.
14. (Геол-79.4) Расстояние между двумя городами скорый поезд проходит на
4 часа быстрее товарного и на 1 час быстрее пассажирского. Известно,

4-4- Работа и производительность
55
что скорость товарного поезда составляет 5/8 скорости пассажирского и на
50 км/ч меньше скорости скорого. Найти скорости товарного и скорого
поездов.
4.4. Работа и производительность
Теоретический материал
При составлении систем уравнений для задач этого раздела надо помнить, что
работа = производительность · время.
Примеры решения задач
Пример 1. (Геол-85.3) Первый рабочий изготовил 60 деталей на три часа
быстрее второго. За сколько часов второй рабочий изготовит 90 деталей, если, работая
вместе, они изготовили за один час 30 деталей?
Решение. Пусть хну деталей в час - производительности 1-го и 2-го рабочих
соответственно; t = 90/у часов - искомая величина. Из условия получаем
60 60 Λ
χ у
30
{х + у
1;
χ + у =
20 (I-
\У
= 30
X
1.
Выразив χ из первого уравнения и подставив его во второе, получим уравнение
у2 — 70у + 600 = 0 с корнями у = 60 и у = 10. Корень у = 60 > 30 не подходит,
а при у = 10 искомое время t = 9 часов.
Ответ. 9 часов.
Задачи
1. (ЕГЭ) Для распечатки 302 страниц были использованы две копировальные
машины. Первая работала 8 минут, вторая 10 минут. Сколько страниц в
минуту печатает первая машина, если первая печатает в минуту на 4 страницы
больше, чем вторая?
2. (ЕГЭ) Двое рабочих изготавливают по одинаковому количеству деталей.
Первый выполнил эту работу за 6 ч, второй за 4 ч, так как изготовлял в
час на 14 деталей больше первого. Сколько деталей изготовил второй
рабочий?
3. (ЕГЭ) На строительстве стены первый каменщик работал 5 дней один. Затем
к нему присоединился второй, и они вместе закончили работу через 4 дня.
Известно, что первому каменщику потребовалось бы на выполнение этой
работы на 5 дней больше, чем второму. За сколько дней может выстроить
эту стену первый каменщик, работая один?
4. (ЕГЭ) За определенное время на заводе собирают 90 автомобилей. Первые 3
часа на заводе выполняли установленную норму, а затем стали собирать на
1 автомобиль в час больше. Поэтому за час до срока уже было собрано 95
автомобилей. Сколько автомобилей в час должны были собирать на заводе?

56
Теория и задачи
5. (Геол-93.3) Для рытья котлована выделили два экскаватора. После того, как
первый проработал 2 ч, его сменил второй, который за 3 ч закончил
работу. Всю работу один второй экскаватор выполнил бы на 4 ч быстрее, чем
один первый экскаватор. За какое время выроют котлован оба экскаватора,
работая вместе?
6. (Фил-79.4) Три автоматические линии выпускают одинаковую продукцию,
но имеют разную производительность. Производительность всех трёх
одновременно действующих линий в 1,5 раза выше производительности первой и
второй линий, работающих одновременно. Сменное задание для первой
линии вторая и третья линии, работая одновременно, могут выполнить на 4 ч
48 мин быстрее, чем его выполняет первая линия; это лее задание вторая
линия выполняет на 2 ч быстрее по сравнению с первой линией. Найти время
выполнения первой линией своего сменного задания.
7. (Геол-98(1).4) Первая бригада выполняет работу на 2 часа быстрее второй
бригады и на 7 часов медленнее, чем обе бригады, работающие одновременно.
Выполнят ли бригады, работающие одновременно, эту работу быстрее, чем
за 7 часов 57 минут?
4.5. Проценты, формула сложного процента
Примеры решения задач
Пример 1. (Геол-94.7) Технология изготовления дискет состоит из четырёх
этапов. На каждом из них увеличивается содержание кремния на определённое
количество процентов по отношению к результату предыдущего этапа: на первом
этапе - на 25%, на втором этапе - на 20%, на третьем этапе - на 10%, на
четвёртом этапе - на 8 %. На сколько процентов в результате увеличится содержание
кремния?
Решение. Напомним, что одним процентом называется одна сотая часть числа.
Пусть S — исходное содержание кремния, R - содержание кремния после четырёх
этапов.
Фраза «величина S увеличилась на ρ % » означает, что значение величины S
S c_l S я(л^ 1 \
возросло на —— · ρ и стало равно Ь + —— · ρ = Ь I 1 Η—— · ρ Ι , то есть увеличение
на ρ % даёт увеличение в ( 1 + —— · ρ I раз. Тогда после четырёх этапов:
/ 25 λ/ 20 λ/ 10 \ f 8 \ 5 6 11 27 „
(R — S\
Содержание кремния увеличилось на ( —-— I · 100 % = 78, 2 %.
S
Ответ. 78,2%.
Пример 2. (ИСАА-95.3) На счёт, который вкладчик имел в начале первого
квартала, начисляется в конце этого квартала т\ процентов, а на ту сумму,
которую вкладчик имел на счету в начале второго квартала, начисляются в конце

4-5. Проценты, формула сложного процента
57
этого квартала г 2 процентов, причём г\ + г 2 = 150. Вкладчик положил на счёт
в начале первого квартала некоторую сумму и снял в конце того же квартала
(после начисления процентов) половину этой суммы. При каком значении т\ счёт
вкладчика в конце второго квартала окажется максимально возможным?
Решение. Пусть вкладчик в начале первого квартала вложил S денег, тогда на
начало второго перейдёт сумма
в конце второго квартала на счету будет
<Ш + \ К' + &И(& + 5 У 1 + Т
Ώ- + ϊ\(ϊ-ΙΐΛ
рассмотрим функцию
S i
V100 ' 2) \2 100У
™-<ш + \ Ш-ш)
(П + 50)(250 - п) = S · 10-4(-г^ + 200п + 12500).
1002
Наибольшее значение /(γι) принимает в вершине параболы, которая задаётся
квадратным трёхчленом относительно т\. Абсцисса вершины т\ = 100%.
Ответ. 100%.
Задачи
1. (ЕГЭ) Некоторое число уменьшили на 20 %. На сколько процентов надо
увеличить результат, чтобы получить первоначальное число?
2. (ЕГЭ) Цену товара повысили на 50%, а затем снизили на 50%. Как
изменится цена товара?
3. (ЕГЭ) Магазин в первый день продал 40 % имеющихся овощей. За второй
день он продал 80 % овощей, проданных в первый день. В третий день
оставшиеся 28 кг. Сколько килограммов овощей было в магазине первоначально?
4. (ЕГЭ) Цена изделия составляла 1000 рублей и была снижена сначала на 10 %,
а затем еще на 20 %. Какова окончательная цена товара?
5. (ЕГЭ) Цену товара повысили на 25 %, затем новую цену повысили еще на
10 % и, наконец, после перерасчёта произвели повышение цены еще на 12 %.
На сколько процентов повысили первоначальную цену товара?
6. (ЕГЭ) Сумма двух чисел равна 1100. Найдите наибольшее из них, если 6%
одного из них равны 5 % другого.

58
Теория и задачи
7. (ЕГЭ) Найдите первоначальную сумму вклада (в рублях), если после
истечения трёх лет она выросла на 765,1 рубля при 2 % годовых.
8. (Соц-00.2) В городе N в течение 2 лет наблюдался рост числа жителей. Во
втором году процент роста числа жителей города N увеличился на 1 по
сравнению с процентом роста числа жителей в первом году. Найти процент роста
числа жителей в первом году, если известно, что он на 5,2 меньше, чем
процент роста населения за два года.
9. (Геол-98.4) Из цистерны в бассейн сначала перелили 50 % имеющейся в
цистерне воды, затем еще 100 литров, затем еще 5 % от остатка. При этом
количество воды в бассейне возросло на 31 %. Сколько литров воды было
в цистерне, если в бассейне первоначально было 2000 литров воды?
10. (Экон.М-95.4) В первый год разработки месторождения было добыто 100
тыс. тонн железной руды. В течение нескольких последующих лет годовая
добыча руды увеличивалась на 25 % по сравнению с каждым
предшествующим годом, а затем на протяжении последующих 3 лет поддерживалась
на достигнутом уровне. Общий объём добытой руды за все время добычи
составил 850 тыс. тонн. Сколько лет разрабатывалось месторождение?
11. (Геол-96.6) В двух банках в конце года на каждый счёт начисляется
прибыль: в первом банке - 60 % к текущей сумме на счёте, во втором - 40 %
к текущей сумме на счёте. Вкладчик в начале года часть имеющихся у него
денег положил в первый банк, а остальные деньги - во второй банк, с таким
расчётом, чтобы через два года суммарное количество денег на обоих счетах
удвоилось. Какую долю денег вкладчик положил в первый банк?
5. Стандартные показательные и логарифмические
уравнения и неравенства
5.1. Преобразование логарифмических выражений.
Сравнение логарифмических и показательных значений
Теоретический материал
Функция у = ах, где ж Ε Μ, α > 0, α ^ 1, называется показательной. Областью
её определения являются все χ Ε Μ. Областью её значений являются все у > 0,
причём У у > 0 найдётся только одно значение ж, на котором он достигается.
Если а > 1, то у = ах возрастает; если 0 < α < 1, то у = ах убывает.
У.
а
—~"Т
О
у=ах; а>1у
"1У\
1
X
\ У=ах; '
\ 0<а<1
гч —
-1
.У
1/а
О
X

5.1. Преобразование логарифмических выражений...
59
При преобразовании выражений с показательными функциями необходимо
помнить свойства степеней с вещественными показателями:
ах+у = ах -ау, ах~у
Ίχν
аУ
(ах)у = (ау)х, x,yeR, а>0;
(аЪ)х = ах-Ъх, (τΥ = ζ, z€R, а > О, Ь > 0;
а0 = 1, а1 = а.
Функция у = logax, где ж > 0, а > 0, а ^ 1, называется логарифмической.
Напомним, что число 6 называется логарифмом числа с > 0 по основанию a > 0,
o^l, если ab = с; обозначение: 6 = loga с, где с > 0, а>0, аф\.
у=1оа х; а>1
а
У-
О
-1
\y=log х; 0<а<1
\ 1/а
1\ Ι \
^!
\^
Показательная и логарифмическая функции являются взаимно обратными.
Областью значения логарифмической функции является вся числовая ось,
причём \/у G Μ найдётся только один ж > 0, на котором ?/ достигается.
Если а > 1, то ?/ = loga χ возрастает; если 0 < a < 1, то у = loga x убывает.
При преобразовании выражений с логарифмическими функциями необходимо
помнить свойства логарифмов:
\ogaxy = loga \x\ + loga \yl а > 0, а ф 1, ж?/ > 0;
loga- =loga|x| -loga|i/|, a>0, a ^ 1, - > 0;
2/ 2/
\ogaxy =i/logax, a > 0, a ^ 1, ж > 0;
logax2n = 2nloga |ж|, a > 0, a^l, η e Z, x^0;
logay ж = - loga ж, a > 0, a^l, ж > 0, ?/ ^ 0;
log ж
logn ж = -—-—, a > 0, a^l, с > 0, с ^ 1, ж > 0.
a bgca
Последняя формула называется формулой перехода к новому основанию и имеет
полезные следствия:
bga х
1
log^a
a > 0, α т^ 1, ж > 0, χ ^ 1;
χ-
loga ?/ _ ^loga ж
a > 0, α φ 1, ж > 0, ?/ > 0.

60
Теория и задачи
Напомним также то, что
logaa = l, logal = 0, a > 0, α φ 1; lgx = log10x, lnx = logex;
и основное логарифмическое тождество:
a = 6logba, a>0, 6>0, b^l.
Примеры решения задач
Пример 1. (Биол-98.1) Вычислить log63 у~^ъ—^, если log6a = \/3·
ЪуЪ
Решение. Перейдём к основанию Ъ:
7/г _ l°gbb7b _ logb^-logbbVb _ 7lQg^~2 _ 7^~2
log,
б3 V^
Ответ.
bVb \ogb(b*10) logb63 + log6^ 3+5logfca 3+5^
2\/3-21 _ 2-7\/3 _ (2-7\/3)(7л/3-5) _ 49\/3-157
~ 42 + 10V3 ~ 14λ/3 + 10 ~ 2(49 -3-25) ~ 244 '
49\/3-157
244 '
ч R л 2УЗ-21
^замечание. Ь принципе, полученную в ходе решения дрооь -= тоже
можно считать ответом. Проведённые преобразования носят сугубо формальный
характер.
Пример 2. (Геогр-97(1).1) Найти область определения функции
у = л/х2 - χ - 2 + log3+2. (9 - χ2).
Решение. Область определения данной функции складывается из
неотрицательности подкоренной функции, положительности функции, стоящей под
знаком логарифма, положительности основания логарифма и неравенства основания
единице:
(х2 - χ - 2 > 0, [х е (-оо; -1] U [2; +оо),
9 - х2 > О,
3 + ж > О,
[3 + х^1;
3<*<3' ^(-3;-2)U(-2;-l]U[2;3).
χ s> о,
Ответ. (-3;-2)U(-2;-l]U[2;3).

5.1. Преобразование логарифмических выражений...
61
Пример 3. (Биол-94.2) Какое из двух чисел больше: γ 11 или
— loff fl + —^ + — loff 2
92 &з V ^ 9/ ^ 2 &8? Ответ должен быть обоснован.
Решение. Преобразуем показатель степени второго числа:
1 / 1\ 3, 1 10 1, 1, 10 1
2 bg3 (1 + Ъ) + -bg82 = -log3 - + -log22 = - log3 y + - =
1 Λ ίο , Λ ι, ю
= 2^g3y+log33j=-log3y.
1 ιοβ: ίο j ff 10 ю
Значит, второе число имеет вид 92 ьз з =3 йз з = —. Сравниваем:
о
>/й ν И
3
?>λ/ΪΪ V 10
99 V 100.
Поскольку 99 < 100 и не было преобразований, меняющих знак неравенства,
полученный результат соответствует знаку неравенства между исходными числами.
Ответ. Второе больше.
Задачи
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
9.
10.
ЕГЭ) Вычислить log2log2Y/2.
ЕГЭ) Вычислить log6 8 - log6 2 + log6 9.
2
ЕГЭ) Указать значение выражения (γ^β)loS9 6 .
ЕГЭ) Указать значение выражения log6 — , если log6 а = —6.
ЕГЭ) Указать значение выражения lgl5, если lg2 — α, lg3 — b.
21og'2-log'l8-(log32)log318
ЕГЭ) Упростить 6-°'5+1°8β^ _2-o>5+iog2o,5>
ЕГЭ) Найти значение выражения
21og32 + log318
3/l О
ЕГЭ) Вычислить log3y2 . , если log9 б = а.
γ 12
ВМК-84.1) Известно, что \ogah = 7. Найти logb (a2b).
Экон-90.1) Имеют ли общие точки область значений функции
у = γ^ + 2γ/2χ — 2х2 и промежуток [log3 15; +00)? Ответ обоснуйте.
11. (ВМК-83.1) Найти область определения функции
у = л/16 — х2 log2 (χ2 — Ъх + 6).

62
Теория и задачи
12. (Геол-89.1) Определить, какое из чисел больше: 21ogi- или 31og826?
Ответ должен быть обоснован.
13. (ВМК-82.1) Какое из чисел больше: л/8 или 2
21og25+logi 9
?
14. (Геол.ОГ-85.1) Определить, какое из чисел больше: 2logs 5 - 0,1 или 51о§з2?
Результат обосновать.
3/а
15. (Физ-82.3) Известно, что \ogba = л/3. Вычислить logy^ —=.
ь \/Ь
16. (М/м-92.3) Даны числа ρ u q такие, что ρ = logz i/, д = logx у. Найти число
log/ z\3 ^Jxyz, считая, что оно определено.
5.2. Простейшие показательные уравнения и неравенства,
равносильные преобразования
Теоретический материал
При решении простейшего уравнения с показательными функциями
а/(ж) = а*(я), а>0
возможны два случая:
1) а = 1, f(x) и д(х) определены;
2) а>0, а^1, f(x)=g(x).
При решении простейшего неравенства с показательными функциями
а№ >a9(x)^ а>0
возможны следующие варианты:
1) а>1, /(ж)>р(ж);
2) а = 1, нет решений;
3) 0 < а < 1, f(x) < д(х).
Заметим, что в случае нестрогого неравенства между показательными
функциями нестрогим становится и неравенство между f(x) и д(х), причём случай
а = 1 рассматривается отдельно.
Особого внимания заслуживает ситуация, когда в качестве основания степени
выступает не число, а функция а(х):
а(х)^х) = а(х)9^х)
а(х) = 1,
f(x) и д(х) определены;
: (24)
а(х) е (0;l)U(l;+oo),
f(x) = д(х)·

5.2. Простейшие показательные уравнения и неравенства...
63
a(x)f(x) > а(х)д^х)
а(х)Пх) > а(х)
д(х)
j а{х) > 1,
[f(x) >g(x);
(θ < а(х) < 1,
[f(x) <g(x);
а(х) > 1,
J(x) >9{x)',
а(х) = 1,
f(x) и д(х) определены;
(25)
(26)
JO < а{х) < 1,
\f(x) < д(х).
Отметим, что требование а(х) > 0 фактически накладывается определением
показательной функции.
Примеры решения задач
Пример 1. (Экон.М-97.1) Решить уравнение З'^' = Ъх +Зж.
Решение. Используя основное логарифмическое тождество, приведем правую
часть уравнения к показательному виду с основанием 3 и воспользуемся
монотонностью показательной функции:
ιΝ
(3log;
54 χ +3х
3|ж| _ д(>2 +3ж) log3 5
\х\ = х(х + 3) log3 5.
Модуль будем раскрывать по определению.
1) Значение χ = 0 является решением.
2) При χ > 0 уравнение примет вид
χ = х(х + 3) log3 5 <^> (х + 3) log3 5 = 1 <^>
Это значение отрицательно и, следовательно, не подходит.
3) При χ < 0 получим
—χ = х(х + 3) log3 5 <^> (х + 3) log3 5 = — 1 <^>
Ответ. 0; — log5 3 — 3.
log5 3-3.
log5 3 - 3 < 0.
11-3
х-1
31
Пример 2. (Геол.ОГ-77.1) Решить неравенство
Решение. Обозначив ζ = 3х > 0, получаем
Иг-93 ^ 10ζ2-11ζ + 3
>5.
12ζ2-11ζ-15
> 5
12ζ2 - llz- 15
<0.
Отметим нули числителя ζ = -, ζ =
2 ϋ
числовой прямой и применим метод интервалов.
и нули знаменателя ζ
на

64
Теория и задачи
-3/4
I —
J///////////Q
1/2
3/5 5/3
Получим
1
следовательно,
о о
1
3 л 5
log3- <x<log3-.
О
3 5N
log3-;log3-
твет. ( —oo; — log3 2] U
Пример 3. (BMK-72.1) Решить уравнение gi-(x-i)2 _ 12 . З"^-1)2 + 1 = 0.
Решение. Обозначив ζ = З-^-1^ > 0, получим
9ζ2 -12ζ + 1 = 0
ζ =
_ 2±л/3
Возвращаемся к переменной х:
3-(χ-ΐ)2 = 2±ν^ ^
3 <=> -(x-l)2=log3(2±v/3)-l ^
(ж - I)2 = 1 - log3 (2 - л/3) = 1 + log3 (2 + л/3);
[ (х — 1) = 1 — log3 (2 + ν 3) < 0 — нет решений;
x-l = ±^/l + log3(2 + v/3) <ί=> x = l±^/l + log3(2 + v/3).
О
твет. 1 ± ^1 + log3 (2 + л/3) ·
Задачи
1. (ЕГЭ) Решить уравнение 3х = 27 · л/9.
2. (ЕГЭ) Решить неравенство ( - I < 1.
3. (ЕГЭ) Решить неравенство 7х- (л/7) -6>0.
4. (ЕГЭ) Решить неравенство (0,1)4*2-2*-2 > (0,1)2*-3.
5. (Экон-83.1) Решить уравнение 2Х+2 · 5Ж+2 = 23х · 53ж.
6. (Физ-95(2).1) Решить уравнение 2х'1 · 3х = 0, 5 · б2"* .
7. (Хим-98.1) Решить уравнение 4х + 2Ж - 2 = 0.
8. (Геол-84.1) Решить уравнение 3 · 9Ж+1 - 6 · Зж - 1 = 0.

5.2.
Простейшие показательные уравнения и неравенства...
65
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
Хим-90.1) Решить уравнение 4х + 3 · 2Ж+2 = 64.
Физ-82.4) Решить неравенство Ъх - Зж+1 > 2(5Ж~1 - З^-2).
Геол-80.1) Решить неравенство 7~х — 3 · 71+ж > 4.
ВМК-77.1) Решить неравенство 22х+1 - 21 · ί - ) + 2 > 0.
Физ-80.4) Решить неравенство 2х г > [ —
2
Физ-97(1).5) Решить неравенство 2х < —^-.
Геол-97(1).4) Решить неравенство I - ) > 2, 25χ2~10 .
;ЕГЭ.С) Решить неравенство (1У2Б)1~Х < (0, 64)2(1+^ .
Физ-96(1).3) Решить уравнение 32х = (0, 6х + 2) · 25*.
Биол-91.1) Решить уравнение 4^+1'5 - 13 · 2^т + 20 = 0.
Физ-96.3) Решить уравнение 5^ — 52-^ = 24 · 5~t.
20. (Физ-94(1).3) Решить уравнение 5^ - 53~^ = 20.
21. (Физ-96(2).5) Решить неравенство 4Ж~0'5 + 2Ж+1 - 16 < 0.
22. (М/м-75.1) Решить неравенство 98 - 7χ2+5χ~48 > 49хЧбх~49.
23. (Геогр-73.4) Найти решения уравнения 3х +4ж = —, удовлетворяющие
неравенству χ > — 3.
, /тт ч ^ 9* - 82 · 3х + 162 - 3f+2
24. (Почв-92.3) Решить уравнение ^ = —9.
Зз—9
25. (Хим-97.2) Решить неравенство (л/2 + 1)х + 1 < 2(л/2 - 1)ж.
26. (Хим-95(1).3) Решить неравенство 2~^ < 2~^~ + 1.
27. (Физ-85.4) При каждом значении параметра а решить уравнение
4х -2а(а + 1)-2х~1+а3 = 0.

66
Теория и задачи
5.3. Простейшие логарифмические уравнения
и неравенства, равносильные преобразования
Теоретический материал
При решении простейших уравнений и неравенств с логарифмами используются
переходы к системам и совокупностям равносильных условий, что нередко
упрощает последовательность преобразований, а также часто избавляет от
необходимости находить условия на область допустимых значений переменной.
Например, простейшее логарифмическое уравнение
loga /О) = loga g(x), a > 0, аф\
равносильно условиям f(x) = g(x) > 0. Заметим, что из двух требуемых условий
f(x) > 0 и д(х) > 0 при выполнении равенства f{x) = д(х) достаточно выбрать
лишь одно (удобнее выбрать более простое).
При решении простейшего логарифмического неравенства
loga f(x) > bga д(х), а > 0, аф\
возможны два случая:
1) a>l, f(x)>g(x)>0;
2) 0<а<1, 0<f(x)<g(x).
Особого внимания заслуживает ситуация, когда в качестве основания
логарифма выступает не число, а функция а(х):
1°£а(х) /О) = 1°£а(х) 9(х)
f{x) = д(х) > 0,
а(х) е (0;l)U(l;+oo);
(27)
причём из двух требуемых условий f(x) > 0 и д{х) > 0 достаточно выбрать одно
(более простое);
loga(x) f{x) > loga(a;) g(x)
α (χ) > 1,
J(x) >д{х) >0;
Ό < а(х) < 1,
0 < f(x) < д(х)·
(28)
loga(x) f(x) > loga(a;) g(x)
α (χ) > 1,
J(x)>g(x)>0;
fQ < a(x) < 1,
0 < f{x) < g(x).
(29)
Естественно, что любые другие задачи с логарифмическими функциями так
или иначе сводятся к решению приведённых простейших уравнений и неравенств.

5.3. Простейшие логарифмические уравнения...
67
Примеры решения задач
Пример 1. (Геол-74.2) Решить уравнение
log16 (χ2 -2х- З)2 - 21og16 (χ2 + χ - 2) = -.
Решение. Представим 16 в виде 24, вынесем все степени за знаки логарифмов
и, домножив равенство на 2, получим
log2 \х2 - 2х - 3| - log2 (χ2 + χ - 2) = 1 ^^
-2 ' - ολ Г|(ж + 1)(ж-3)| = 2(ж2+ж-2),
■2ж-3| =2(ж2+ж-2),
■2ж-3| >0;
I ж т^ — 1 и х^·
Решим полученное уравнение с модулем.
1) При χ G ( — оо; —1) U (3; +оо) получим
х2 - 2х - 3 = 2х2 + 2х - 4 ^^ ж2 + 4ж - 1 = О
Подходит χ = — 2 — \/5·
2) При ж G ( —1;3) получим
-2±л/5.
-ж2 + 2ж + 3 = 2ж2 + 2х - 4
Подходит χ
О·
Зх2
7
χ = ±
>твет. —2 — у5; \/ ·
1 о
Пример 2. (Геол-98.5) Решить неравенство log ι (ж — 2) > Η— .
"з ^ '
Решение. Обозначив ζ = log ι (χ — 2), получаем
1 3
Ζ>~ζ + 2
1
2ζ2 -3ζ-2
откуда — - < ζ < 0 или ζ > 2.
+
QV////////fr
-1/2
0
>0
(2ζ + 1)(ζ-2)
>0,
-&///fff////////^ ζ
Ο
Следовательно,
- \ < logi (χ - 2) < 0; ^
logi (ж - 2) > 2;
твет. \2; у) и(3;л/3 + 2).
λ/3 >χ-2 > 1;
0 <ж-2 < -;
3<х < л/З + 2;
2<ж<у.

68
Теория и задачи
Пример 3. (Геогр-94.3) Решить неравенство log^ (2 — χ — χ2) > 0.
Решение. Первый способ. Исходное неравенство эквивалентно совокупности
χ > 1,
2 -х-х2 > 1;
О < χ < 1,
0<2-ж-ж2<1;
χ > 1,
-1 - \/5
< ж <
-1 + л/5
ж > 1,
ж2 + χ - 1 < 0;
0 < χ < 1,
ж2 +ж-2 < 0,
ж2 + ж - 1 > 0;
Ό < ж < 1,
-2 <ж < 1,
/ —1 — л/бЛ , , /-1 + л/5 Ν
х е "°°5 ^ U о ' +0°
л/5-1
< χ < 1.
Второй способ. Из положительности функции под логарифмом следует
2 — ж — х2 > 0, то есть — 2 < ж < 1. Значит, основание логарифма меньше 1 и
исходное неравенство равносильно системе
2 - ж - х2 < 1,
0 < ж < 1;
ж е I -ос; I U I 2 ' +°°
0 < ж < 1;
л/5-1
откуда < ж < 1.
π М-1 Л
Ответ. ;1 .
Задачи
1. (ЕГЭ) Найти произведение корней уравнения 2 log4 ж + log4 χ — 1 = 0.
2. (ЕГЭ) Решить неравенство log3
х-7
2х-Ъ
<0.
3. (Соц-98.2) Решить уравнение log2 (х2 — 5) = - log^g (1 — ж).
4. (Почв-77.2) Решить уравнение 2 lg ί ж + - ) - lg (χ - 1) = lg ί χ + - ) + lg 2.
5. (Геол-00.1) Решить неравенство logy^ (5х — 4) < 8.
6. (Геол.ОГ-83.3) Решить неравенство log3 (Ъх2 + бж + 1) < 0.

5.3. Простейшие логарифмические уравнения...
69
7. (Псих-80.4) Решить неравенство logi ί χ — — I + logi (χ — 1) > 1.
8. (BMK-86.1) Решить неравенство log3 (х + 2) + log3 (ж - 4) - 1 < 0.
9. (М/м-87.2) Решить неравенство logyg-^ (χ2 + 4ж + 11 - 4л/3) < 2.
10. (ВМК-90.1) Решить неравенство log2,2+48 < 1.
11. (Биол-96.3) Решить неравенство 1 + logi (log3 (4 — χ)) > 0.
12. (Геол-00(1).3) Решить неравенство log2 (χ - 3)(ж + 2)+logi (x + 2)(ж - 6) < 2.
13. (Филол-98.3) Решить уравнение Ί ° , ~ ч = 2.
V } log5 (ж+ 1)
14. (Геол.ОГ-82.3) Решить неравенство
log3 ((χ + 2)(ж + 4)) + logi {x + 2) < 1 logy3 7.
15. (Хим-97(1).2) Решить уравнение logx (Зж - 2) = 2.
ж2
16. (Физ-97(1).3) Решить уравнение log9 — + log3 (x + 5) = 1.
χ
17. (Биол-80.2) Решить уравнение 2(log2x)2 — 31og2 — — 11 = 0.
18. (Геол.ОГ-76.1) Найти все решения уравнения 4 + log2 χ2 = log^ 64.
19. (Хим-98(1).2) Решить уравнение log4 x + 2 logx 4 = 3.
20. (Филол-89.3) Решить уравнение log2x+2 (2ж2 — 8х + 6) = 2.
21. (Почв-71.5) Решить неравенство 2 logi (χ — 2) — logi (ж2 — х — 2) > 1.
22. (Почв-9б(1).2) Решите уравнение к^4ж_ж2 ж = log12_3;cx.
23. (ВМК-96(1).2) Решить уравнение log2;c+3 (ж - 2)2 = logf +i (ж - 2)2.
24. (Почв-95(1).3) Решить неравенство — log2 — < 2.
l°Sx ^ х
25. (Геогр-72.3) Найти все значения ж, для которых справедливо неравенство
2 log7 ж - log^ 49 < 3.
26. (ЕГЭ) Решить неравенство log2,_1 (ж + 2) < 0.
27. (ВМК-73.2) Решить неравенство loga;2_18a;+91 I 5ж — — ι < 0.
90 у 10/
28. (Филос-92.2) Решить неравенство logx(x2 -ж3 + 21ж) >3.
ж2 _|- Зж — 4
29. (М/м-97(1).2) Решить неравенство log2,+1 — < 1.
ΔΧ 4i

70
Теория и задачи
χ — 1
30. (Экон-98.1) Решить неравенство к^ж2_ж > 0.
5 2
31. (Геол-75.2) Решить неравенство log9;c2_6;c+1 —-^ —— — < -1.
5.4. Сме1панные задачи
Данный раздел рекомендуется изучать только после детального ознакомления
с предыдущими базовыми разделами. В противном случае рекомендуется либо
отложить его изучение, либо вернуться к изучению предыдущих разделов до
достижения необходимого уровня знаний.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
ЕГЭ) Решить уравнение Ю1"1^ = 1002+1^.
ίαχ о t oy о
Хим-92.1) Решить уравнение χ + 1 + logi (—2 + 3~х) = 0.
М/м-76.1) Решить уравнение 1с^п(_ж) ι sin — + sin —- ι = 1.
ИСАА-99.1) Решить уравнение lg2 (χ - 2)2 = 321°^ ^ . bg5 (2 - χ)
Экон.К-80.1) Решить неравенство log5 (26 — 3х) > 2.
/ 7Г \ 27Г
Биол-71.1) Решить уравнение logi 2х · log ι (ж cos5 — j = 7 cos — · log ι 2.
2
М/м-95.2) Решить неравенство —^ > —3.
log2 χ
М/м-88.2) Решить неравенство log52,_4;c2 4_ж > 0.
Физ-87.2) Решить уравнение As[nx + 25-2sinx = 18.
М/м-94(2).2) Решить систему ^ о 2 χ_χ
2х + 2у = 1,
Зу - 6у2 = 2х
\ х _|_ 2У+1 = 3
Почв-83.3) Решить систему уравнений <
Почв-75.3) Решить уравнение χ + 27^' logQV3 v^l = — .
о
1 \ sin2 ж
Биол-74.2) Решить уравнение 5 · ( — ) + 4 · 5cos2x = 2$ —

6.1. Линейные тригонометрические уравнения...
71
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
Физ-89.3) Решить уравнение log2 (х + 4) + 2 log2 v^ — 5.
Геол-97(1).2) Решить уравнение 2 — log3 ж = log3 ( -|х| + 2
Физ-94(1).2) Решить уравнение - log2 {х — 2) = logi у/Зх — 5.
6 3 8
3 1
Физ-83.3) Решить неравенство - log4 у/х — - log2 х > 1.
Геол-83.3) Решить неравенство logsin ж (ж2 — Зж + 2) > 2.
ИСАА-94.2) Решить уравнение 2х1°^7 · 7хЧх = 1.
Филол-91.2) Решить уравнение log2 (5 · 2х + 3) = 2х + 1.
3 log0 5 ж
Биол-87.3) Решить неравенство —1 > 2 log0 5 χ + 1.
2 — logo,5 ж
Почв-70.2) Решить уравнение log8 (4*2-1 - 1) + - = log8 (2χ2+2 - 7).
о
ΒΜΚ-76.2) Решить систему уравнений < 2
\2Х -\og2y = 1.
Геол-9б(1).3) Решить уравнение log *-ι (χ — 1) = 2.
|2ж — 3 I
г η7 r\ D ΛΛ bgA. log7 ж logi logu ж
1еол-97.5) Решить неравенство 11 и < 7 7
Физ-81.4) Решить неравенство
2 log3 ί/ + log^ 3 = Зж.
6. Линейные и однородные тригонометрические
уравнения, системы тригонометрических
уравнений, использование ограниченности
тригонометрических функций
6.1. Линейные тригонометрические уравнения, метод
вспомогательного аргумента
Теоретический материал
Линейным тригонометрическим уравнением называется уравнение вида
a sin χ + Ъ cos x = с.

72
Теория и задачи
Если хотя бы один из коэффициентов а или Ъ равен нулю, то решение не требует
специальных подходов, поэтому будем рассматривать случай а^О, b =£ 0.
Если свободный член линейного уравнения равен нулю, то оно принимает вид
a sin χ + Ъ cos χ = 0
и называется линейным однородным тригонометрическим уравнением.
Для его решения рассматривается возможность cos ж = 0, которая при
подстановке в уравнение приводит к условию sin ж = 0, противоречащему в данном
случае основному тригонометрическому тождеству
sin2 χ + cos2 x = 1.
Делением на cos x (где cos х^О) исходное уравнение приводится к виду
atgx = —6,
после чего оно решается как простейшее тригонометрическое уравнение.
Для преобразования левой части линейного тригонометрического уравнения
a sin χ + Ъ cos x = с
используется способ введения дополнительного угла (метод вспомогательного
аргумента) ; обе части уравнения делятся на величину л/а2 + Ь2 ^ 0:
а . Ъ с
■ sin χ -\ . cos χ
Va2 + b2 Va2 + b2 Va2 + b2 '
из свойств тригонометрических функций заключаем, что найдётся единственный
угол φ такой, что
V az + bl ν or + ο^
после чего уравнение переписывается в виде
sin χ cos α? + cos x sin φ = . =, то есть sin (ж + о?) = —= ,
а затем решается как простейшее тригонометрическое уравнение.
При решении уравнения
а . Ь с
: Sin X ~\ . COS X = :
Va2 + b2 Va2 + б2 л/α2 + б2
можно в качестве дополнительного угла использовать ψ Ε [0; 2π) такой, что
/ Ь · ι α
cos ψ = =, sin ψ = =; тогда уравнение примет вид
л/а2 + б2 ν α2 + б2
cos (ж — V0
л/а2 + Ь2'
Выбор пути сведения к простейшему уравнению относительно синуса или
косинуса зависит от конкретных условий рассматриваемой задачи, однако
возможность введения дополнительного угла обусловлена основным тригонометрическим

6.1. Линейные тригонометрические уравнения...
73
тождеством, то есть Vp, q Ε Μ таких, что р2 + q2 = 1, найдётся такой угол
φ Ε [0; 2π), что sin φ = py cos φ = q.
Таким образом,
α sin χ + b cos ж = у a2 + б2 sin (ж + φ) = γα2 + Ъ2 cos (χ — ψ).
Примеры решения задач
Пример 1. (Геол-85.4) Решить уравнение 3sinx + 5cosx = λ/Ϊ7.
Решение. Уравнение является линейным и решается методом вспомогательного
аргумента:
, sin ж Η ■== cos ж = . , где л/34 = у З2 + 52:
л/34 л/34 л/34
^ ^ 3 5
существует угол (/? Ε [0; 2π) такой, что sm(/? = , cos(/? = , поэтому
ν 34 γ 34
cos (χ — φ) = —— <^> χ — φ = ±— + 2πη, η e Ζ <^> ж = arctg - ± — + 2πη, η e Ζ.
λ/2 ^4 5 4
Замечание. В качестве значения дополнительного угла можно использовать
любой из вариантов:
3 5 3 5
φ = arcsm . = arccos . = arctg - = arcctg -.
Ψ л/34 л/34 5 3
3 π
Ответ, arctg - ± h 2πη, η Ε Ζ.
5 4
Задачи
1. (ЕГЭ) Найти сумму корней уравнения sin ж — л/3 cos χ = 0, принадлежащих
промежутку [—π; π]. Ответ записать в градусах.
2. (Физ-9б(1).1) Решить уравнение 1 — sin5x = cos5x.
3. (Хим-82.1) Решить уравнение \/3sin2a; — cos 2х = л/3.
4. (Хим-79.1) Решить уравнение sin2x = 1 + л/2 cos χ + cos2x.
5. (Физ-94(2).2) Решить уравнение 5 cos ж + 2 sin ж = 3.
6. (Физ-98(2).1) Решить уравнение cos4x — sinЗхcosx + cos2x = 0.
2
7. (Филол-94.1) Решить уравнение — sin ж + cos 19π = cos ж.
π
8. (Псих-81.3) Найти все решения уравнения cos sin7x = -л/2, удовле-
творяющие условию 0, 4π < χ < —- .
9. (Геол-79.3) Найти все числа А, при каждом из которых уравнение
5 sin χ + 2 cos x = А имеет решение.

74
Теория и задачи
10. (Экон-92.1) Вычислить logn/25 I sin 3^| + logn/25 I sin/3|, если
-("-ϊ)+-("-ϊ)=Λ·
11. (Геол-90.3) Решить уравнение 1 — (2 cos ж + \/3) · ctgx = 2 sin ж.
12. (Геол.ОГ-79.б) Найти все значения параметра се, при каждом из которых
о 2х 1 г Λ
уравнение χ Л . Η l· 2ν 2 = 0 имеет единственное решение.
V sin ce cos a
13. (Геогр-00(1).3) Решить уравнение
3(sin χ — 1) + 4 cos ж + cos I 2ж + 4 arctg -1=0.
6.2. Однородные тригонометрические уравнения второй
степени, замена тригонометрических выражений
Теоретический материал
Тригонометрическое уравнение вида
ао sinn χ + а\ sinn_1 ж cos ж + ... + αη_ι sinxcosn_1 x + ап cosn x = 0,
где η G Ν, все ak ^ ^y k = 0,1,2,..., η, называется однородным
тригонометрическим уравнением η-ой степени (все слагаемые имеют одинаковую степень
относительно sin ж и cos ж).
При ао = 0 левая часть уравнения раскладывается на множители.
Приравнивая их к нулю, приходим к совокупности уравнений: cos ж = 0 и однородному
уравнению меньшей степени.
При ао ^ 0 рассматривается возможность cos ж = 0, которая при подстановке
в уравнение приводит к условию sin ж = 0, противоречащему в данном случае
основному тригонометрическому тождеству
sin2 ж + cos2 ж = 1.
Значит, в однородном уравнении cos ж φ 0, и обе части уравнения можно
разделить на cosn χ. Полученное уравнение
a0tgn χ + aitgn_1x + ... + an-itgx + ап = 0
является уравнением η-ой степени относительно tgx.
Однородное уравнение второй степени имеет вид
ao sin2 χ + а\ sin x cos χ + α2 cos2 x = 0.
Пусть ао φ 0. Делением на cos2 χ φ 0 (в соответствии с общим приёмом
решения однородных тригонометрических уравнений) оно приводится к виду
a0 tg2 χ + αϊ tg χ + α2 = 0,
после чего решается как квадратное уравнение относительно tg χ.

6.2. Однородные тригонометрические уравнения...
75
При ненулевой правой части тригонометрического уравнения
ао sin2 χ + а\ sin χ cos χ + α2 cos2 ж = аз
полезно использовать представление аз = аз · 1 = аз (sin χ + cos2 x), что позволяет
привести уравнение к однородному:
(ао — аз) sin2 χ + а\ sinx cos x + (аг — аз) cos2 ж = 0.
Заметим, что если при решении линейного уравнения
as'mx + b cos ж = с
воспользоваться формулами двойного угла и основным тригонометрическим
тождеством, то уравнение запишется в виде
.Ж X / 2 ^ ·2^\ / 2 ^ ·2
2α sin — cos — + b ( cos — — sin — J = с I cos — + sin
Δ Δι V Δι Δι / V^
2,
<^> (6 + c) sin2 2a sin — cos —V (c — b) cos2 — = 0,
v J 2 2 2 2
то есть линейное уравнение свелось к однородному уравнению второй степени.
Замечание. Для сведения линейного уравнения к уравнению второй
степени молено также воспользоваться формулами универсальной тригонометрической
подстановки:
2tgf l-tg2f
sin ж = %—, cos ж = 7Г*-.
1 + tg2 f ' 1 + tg2 f
Следует отметить, что эти формулы сужают область определения исходного урав-
X
нения, так как не допускают случая cos — = 0, то есть χ = π+2π/ί:, k E Ъ\ поэтому
серию χ = π + 2πη, η Ε Ъ как возможное решение следует проверять отдельно,
до применения этих формул. В результате получим
a sin χ + b cos χ = с <^> (b + с) tg2 2a tg —h с — b = 0,
χ
то есть задача свелась к решению того же квадратного уравнения для tg —, что
и в предыдущем случае.
Можно, наоборот, свести однородное уравнение второй степени к линейному.
Для этого надо использовать формулы понижения степени
о 1 — cos 2х о 1 + cos 2x
sin χ = , cos χ = .
2 ' 2
В этом случае однородное уравнение
ao sin2 χ + а\ sin x cos χ + α2 cos2 ж = 0
примет вид
1 — cos 2x sin 2ж 1 + cos 2x
ао +αι^— +а2 =0 ^^
<^> ai sin 2x + (а2 — ао) cos 2х = —ао — а2-
Полученное уравнение можно решить методом вспомогательного аргумента.

76
Теория и задачи
Примеры решения задач
Пример 1. (Геол.ОГ-85.4) Решить уравнение 5sin2 χ — 4sinxcosa: — cos2 χ = 4.
Решение. Представив правую часть в виде
4 = 4 (sin2 χ + cos2 x) = 4 sin2 x + 4 cos2 ж,
после приведения подобных слагаемых получим
sin2 ж — 4 sin χ cos ж — 5 cos2 χ = 0.
Если cos ж = 0, то из уравнения следует, что и sin ж = 0, а это противоречит
основному тригонометрическому тождеству, поэтому решения уравнения cos ж = 0
не являются решениями рассматриваемого уравнения, и обе его части молено
поделить на cos2 χ у^ 0:
tg2 χ - 4tgx -Б = 0
tgx = -1;
tgx = 5;
χ = h 7гп, η G Ζ;
4
ж = arctg 5 + ππι, m e Ζ.
7Г
Ответ. — —+πη, arctg5 + πm; п,т<ЕЪ.
Пример 2. (Геогр-76.3) Решить уравнение 1 — sin 2х = — (sin ж + cos χ).
Решение. Обозначив ζ = sin ж + cos ж, получаем ζ2 = 1 + sin2x, то есть
sin 2ж = ζ2 — 1. Исходное уравнение после подстановки принимает вид
1-(.2-1)
ζ = 2.
Возвращаясь к переменной ж, получаем совокупность уравнений и применяем
метод вспомогательного аргумента:
sin ж + cos ж = — 1;
sin ж + cos ж = 2;
cos ( χ — —
cos χ
1
λ/2>1.
Второе уравнение решений не имеет; из первого
— = ±—- + 2πη, η G
4 4
то есть
χ = π + 2πη, η <Ε Ζ;
π
χ
+ 2πτη, τη G Ζ.
Ответ. ——+ 2πτη, π + 2πη; m,neZ.
Замечание. Если величины sin ж и cos ж входят в уравнение только в виде
суммы (или разности) и произведения, то с помощью замены ζ = sin x + cos x (или
ζ = sin ж — cos χ) исходное уравнение сводится к квадратному относительно ζ.

6.3. Системы тригонометрических уравнений
77
Задачи
1. (ЕГЭ) Указать число корней уравнения б sin2 χ + 5 sin x cos χ + 3 cos2 ж = 2,
принадлежащих промежутку [—π; 0].
2. (Физ-91.1) Решить уравнение 8 — 7sin2x = 12 sin2 ж.
3. (ИСАА-97.3) Решить уравнение 1 — 3 sin x cos χ — 5 cos2 χ = 0.
4. (Геол.ОГ-80.1) Решить уравнение sin 2ж = 2л/3 cos2 ж.
5. (Хим-94(1).2) Решить уравнение sin2x + cos2 ж = 0.
1 -I- /ч
6. (Почв-79.3) Решить уравнение sin 2х = (л/3-1) cos2 χ + 1.
7. (ВМК-98.3) Решить уравнение 24| cos3 х\ - 2 sin3 ж + sin ж = 0.
8. (Хим-94.3) Решить уравнение л/sin 2х = Vcos ж — sin χ — 1.
6.3. Системы тригонометрических уравнений
Теоретический материал
Если в системе уравнений переменные являются аргументами
тригонометрических функций, то говорят о системе тригонометрических уравнений. При
решении таких систем используются в комплексе как методы решения систем
уравнений в целом, так и способы решения тригонометрических уравнений в
отдельности. Наиболее часто встречаются системы, решаемые подстановкой, а также
системы, сводящиеся к функциям от суммы или разности переменных.
Отдельное внимание при решении систем тригонометрических уравнений
следует уделять связи или независимости целочисленных переменных в различных
сериях решений.
Примеры решения задач
Пример 1. (Экон.К-79.1) Решить систему уравнений
{4 sin у — бл/2 cos χ = 5 + 4 cos2 у,
cos2x = 0.
Решение. Из второго уравнения получим 2 cos2 χ — 1 = 0 <^> cos χ = ±
Рассмотрим два случая.
1) cos ж = —=. Подставим в первое уравнение:
4 sin у — б = 5 + 4(1 — sin2 у) <^> 4 sin2 у + 4 sin у — 15 = 0
5
sinί/ = -- < -1;
решений нет.
sin?/ = - > 1;
у/2'

78
Теория и задачи
2) cos ж
1
Подставив в первое уравнение, получим
4 sin у + б = 5 + 4(1 — sin2 у)
3
4 sin у + 4 sin у — 3 = О
smy
smy
<-i;
ι
smy
2/=(-1)"-+πη, nGZ.
В результате решением системы являются
χ = ±-^- + 2тгт, т G Z; 2/ = (-1)п^ + πη, ^ £ Z.
Ответ. ( ±—- + 2πτη; ( —1)η—+ πη ) ; m,n G Z.
ί · · ι
I sin ж sm и == —
Пример 2. (Геол-81.4) Решить систему уравнений < 4'
[3tgx = ctgi/.
Решение. Преобразуем исходную систему следующим образом:
sm χ sm у
1
4'
3 sm x cos 2/
cos ж sin у '
1
sin χ sin 2/ = -,
cos χ cos ι/ = 3 sin χ sin 2/,
cos ж φ 0, sin i/ т^ 0;
sm χ sm 2/ = -,
cos ж cos 2/ = 3 · -,
cos ж 7^ 0, sin 2/ t^ 0.
Из первых двух уравнений следует, что cos ж φ 0, sin у φ 0; значит, исходная
1
sm χ sm у
система равносильна системе \
нения, находим:
4'
cos χ cos у
cos (ж — у) = 1,
cos (ж + 2/) = -;
χ — у = 2πη,
π
ж + 2/ = =Ь—■ + 2πτη;
< о
Складывая и вычитая эти урав-
х — у = 2πη,
π
ж + у = — — + 2ππι;
< о
' χ — у = 27г/с,
х + 2/ = — + 2πΖ;
откуда <
ж = Ь 7гт + πη,
б
π
2/ = l· 7гт — πη
б
или
χ = —Ь 7г/ + π/c,
б
π
2/ = - + πΐ - 7rfc,
6
где η, га, fc, Z G Ζ.
Ответ, ί-- + 7г(га + η); -- + 7г(га - η) J , ί- + π(Ζ + /с); - + π (Ι - к)) ;
n,m, k,l G Ζ.

6.3. Системы тригонометрических уравнений
79
Пример 3*. (Биол-79.5) Найти все пары чисел χ и у, удовлетворяющие
(л/3 + 1)(1 + cos (ху) sin (ху)) = (л/3 + 1) sin2 (ху) + cos (2xy),
условиям \х У ~ У +1 = U,
\ + У2 < 6.
ΧΔ
Решение. Из первого уравнения, используя формулы 1 = sin2 (ху) + cos2 (ху)
и cos (2xy) = cos2 (xy) — sin2 (xy)y получаем
(л/3 + 1) sin2 (xy) + (л/3 + 1) cos2 (xy) + (v3 + 1) sin (xy) cos (xy) =
= (\/3 + 1) sin2 (xy) + cos2 (xy) — sin2 (xy) <^>
<^> sin2 (xy) + (v3 + 1) sin (xy) cos (xy) + v3cos2 (ж?/) = 0.
Это однородное уравнение второй степени. Так как cos (xy) = 0 не является
решением, оно сводится к уравнению
tg2 (ху) + (1 + \/3) tg (ху) + V3 = 0, D = (y/3- 1)2;
tg (xy) = — л/3 или tg (ху) = — 1; значит, ху = Ь 7гп или ж?/ = — — + πτη, где
n,m G Ъ.
Теперь рассмотрим второе уравнение исходной системы: х2у2 — у2 + 1 = 0.
Обозначим ζ = ху и с помощью этого уравнения выразим хну через ζ. Заметим,
что у = 0 не является решением уравнения; поделим уравнение на у2, получим
ό2 , откуда ж2
2/' У
1 9 9 2/2 _ 1 гл
1 = — + χ , откуда лг = ^— . Следовательно,
2 - 1 + 72
Ζ2
у1 = 1 + ζ
J1
1 + ζ2
Подставив эти зависимости в последнее условие системы — + у2 < б, получим
хг
l + z2
— + 1 + ζ2 < 6 ^^ ζ4 - 4ζ2 + 1 < 0 ^^ 2-λ/3<^2<2 + λ/3.
ζζ
Покажем, что при η, τη т^ 0 в ранее полученных сериях \ζ\ > 2 и, следовательно,
эти значения не подходят:
ч π π 2π
1) для ζ = h 7гп при η > 1 получаем ζ > h тг = — >2, а при η < — 1
о о о
π
получаем, что ζ < — — — π < — 2;
о
ч π π 3π
2) для ζ = — — + πτη при τη > 1 получаем ζ>——+π = —->2, а при η < — 1
π
получаем, что ζ < — — — π < — 2.
Следовательно, решение возможно только при η = 0 и τη = 0. Проверим
соответствующие значения ζ:
1) при η = 0 получаем ζ = , и так как 1< — <2,то 2 — \/3 < г2 < 2 + \/3;
3 9

80
Теория и задачи
7Г 1 7Г
2) при т = 0 получаем ζ = — —, и так как -< — < 1, то 2 — л/3 < ζ2 < 2 + \/3·
π π
Окончательно получаем <
ху = -- или ж?/ = --,
{xyf
1 + (χι/)2
X2 = _^L, у2 = 1 + (а;у)2;
in π 2 π2 2 π2 + 9
1) если χ?/ = , το χ = — , ι/ = ; учитывая, что χ и у разных
π
лАг2 + 9 π л/тг2 + 9
знаков, получаем χ = , ?/ = ; χ = , ?/
π
π2 9 π2 + 16
2) если ху = — —, то ж2 = — > У2 = ' '·> учитывая, что χ и у разных
4 έζ + 16 16
π л/тг2 + 16 π л/тг2 + 16
знаков, получаем χ = . , и = ; χ = . = , и = ,
У л/π2 + 16' У 4 ' л/π2 + 16' У 4
/ π л/π2 + 9 \ / π л/тг2 + 9 \ / π л/тг2 + 16
/ π л/тг2 + 16 \
ул/тг2 + 1б' 4 у*
Задачи
Г π
2; — |/ = —
1. (ЕГЭ) Решить систему уравнений < 2'
[cos ж — cosy = — л/2-
В ответе записать значение у в градусах, где у Ε [0; 360°].
л /π ^лт^^^^чтт I cos 2ж + sin i/= \/3 cos 30°
2. Пеол.О! -71.1) Найти все решения системы <
I 2 cos 2х — sin 2/ = sin 540 .
3. (Экон.К-76.2) Найти все решения системы уравнений
4
tg2 (x-y)--=tg(x-y) + l = 0,
1 ^
smx= -,
ν. Ζ
π
удовлетворяющие условиям 0 < χ < —, —тг < г/ < 0.
itgxtgi/ = 5 - 2\/б,
π
х + У = -£·
5. (ΒΜΚ-73.1) Решить систему уравнений χ . 2
2 sin ж sin у + cos ж = 0,
1 + sin у cos ж = 2 cos2 у sin ж.
^ /га т^ ^ ^\ тт I 2/sin ж + cos ж = 2,
6. (Экон.К-72.2) Найти tgx, если <
I —4 sin ж + 2ycosx = —у.

6.3. Системы тригонометрических уравнений
81
_ /τ^, ττ^ ^ ^\ -г, I sm (2х + sin у) = О,
7. (ВМК-75.2) Решить систему уравнений So
χ — 3sin у = —2.
ж + ?/ = —,
(Филол-00.4) Решить систему < 4
\tgx-\-tgy = 1.
9. (Геол-76.2) Найти все решения системы уравнений
== · (sin2 χ + ctg 2/ — 1) = О,
cos (f - χ)
4
2 , *>&У ι η
cos ж Η ■ 1 = 0.
ί ^s'mx+tgy _ γ
10. (Геол-75.3) Найти все решения системы < .2,-2
ν / г л γβιη ж+tg у = γ
щие условиям 0 < ж < π, 0 < г/ < тг.
удовлетворяю-
11. (Псих-99.3) Решить систему <
sin2 χ + cos2 у
cos χ · smy
cos ж > 0.
λ/6
_4'
3 sin Зж + cos у = —4,
12. (Геол-83.4) Решить систему уравнений ϊ 3π
13. (Почв-94(1).4) Найти все решения системы <
sm χ · cos у
cos χ · sm 2/
4Ί
7Γ 7Г 7Г 7Г
удовлетворяющие неравенствам < ж < —, < 2/ < — .
isin (2ж — ι/) == 0
cos (ί/-ж) = 1,
удовлетворяющие условиям π < ж < 2π, —тг<у<п.
15. (ВМК-77.3) Решить систему уравнений
sin2(-2x) - (3 - л/2) tg 5ί/=
tg252/+(3-A/2)sin(-2x) :
Зл/2-1
3λ/2-1
16. (Хим-99(1).3) Найти все значения ж из отрезка [0; π], удовлетворяющие си-
'2sin3x + 2cos4x = 1 + л/2,
стеме
2 sin 7х — 2 sin ж = л/2.

82
Теория и задачи
17. (Биол-80.5) Найти все те решения уравнения
3 sin3 χ — 3 cos2 χ+7 sin χ — cos 2x+1 = 0, которые являются также решениями
уравнения cos2 χ + 3 cos ж sin 2x — 8 sin ж = 0.
18. (Биол-79.5) Найти все пары чисел χ и ?/, удовлетворяющие условиям
cos2 ху — 3 sin χ?/cos ху = 2 cos ?/ cos (2x2/ ~ у) ~ % c°s2 (ж2/ — 2/) ?
3 - ху + 1 = О,
^х6 + 2ху < 5.
6.4. Использование ограниченности тригонометрических
функций, оценочные неравенства
Теоретический материал
При решении уравнений этого раздела следует помнить основные свойства
тригонометрических функций и знать тригонометрические формулы, приведённые
в предыдущих разделах.
Рассмотрим следующие приёмы решения тригонометрических уравнений:
• sina(x) + cosb(x) = 2, где а (х) и Ь(х) - функции переменной х. Поскольку
каждое из слагаемых левой части не превосходит 1, решение надо искать
среди тех ж, для которых sina(x) = 1 и cosb(x) = 1, то есть
/ \ 7 / \ ^ | sina(x) = 1,
sina(x) + cos ж ж) = 2 <^> < ; ;
I cosb(x) = 1.
Аналогичная ситуация имеет место, если в левой части уравнения стоит
сумма или разность синусов или косинусов.
• sina(x) · cosb(x) = 1, где а (х) и Ь(х) - функции переменной х.
Поскольку каждый из множителей левой части по абсолютной величине не
превосходит 1, решение надо искать среди тех ж, для которых sin a (ж) = ±1 и
cosb(x) = ±1, то есть
sina(x) · cosb(x) = 1
Аналогичная ситуация имеет место, если произведение синусов или
косинусов равно —1.
• sin χ + cosm x = 1, где к и πι - заданные натуральные числа. При /с, т > 2
sina(x) =
cosb(x) =
sina(x) =
cosb(x) =
ι,
i;
-1
-1
из неравенств
sin^ χ < sin2 ж, cosm χ < cos2 x
и основного тригонометрического тождества
sin2 χ + cos2 x = 1

6.4· Использование ограниченности...
83
следует, что
1 = sin χ + cosm x < sin2 x + cos2 χ = 1.
Равенство возможно лишь при условии
sin^ χ = sin2 ж,
cos"" x = cos" x:
sin2 x(sin
fc-2 ,
1) = 0,
cos2x(cosm 2ж-1)=0.
Полученная система легко решается.
Подобным образом молено найти решение уравнений такого типа и при
/с, т < 2, и при /с, τη ^ N.
• a(x)sinx + 6(x)cosx = с(х), где функции а(х), Ь(х), с(х) таковы, что
с2(х) > а2(х) + Ъ2(х). Вводим вспомогательный угол φ(χ) так, чтобы
sin</?(x)
Ь(Ж)
ζ, COS(/?(x)
a(x)
V^xJ+f^x)
Исходное уравнение запишется в виде
γα2 (ж) + b2(x) sin(x + φ (χ)) = с(х)
с(х)
V^xJ + i^x)"
sin(x + φ (χ))
v/a2(x) + b2(x)
Так как в рассматриваемом классе задач с2(х) > а2(х) + 62(х), то правая
часть уравнения по модулю не меньше единицы. Поскольку левая часть
уравнения по модулю не больше единицы, решения уравнения содержатся среди
решений системы
| sin(x + φ(χ))\ = 1,
y/a2(x) + b2(x) = \c(x)l
которая в конкретных задачах, как правило, легко решается.
Примеры решения задач
Пример 1. (У) Решить уравнение cos Зх + sin ( 2х
7π
-2.
7тг\
Решение. Так как — 1 < cos Зх < 1 и — 1 < sin I 2х ] < 1, то исходное
равенство может выполняться только при условии
cos3x = — ]
sin 2х = — 1;
Зх = π + 2πη, η G Ζ,
2χ = + 2тг&, к G Ъ\
π 2πη ^
з + — nGZ'
π
—h 7г/с, к G Ъ.

84
Теория и задачи
Из первой серии на тригонометрической окружности получаем три точки, из
второй - две.
Только одна точка окружности принадлежит сразу двум сериям, это
7Г
х = — + 2πτη, т G Z.
о
π/3+2πη/3
π/3+πΙ<
Ответ. h 2πτη, τη G
о
Пример 2. (У) Решить уравнение sin11 χ + cos5 x = — 1.
Решение. Перепишем исходное уравнение в виде
— sin11 χ — cos5 x = 1.
Так как — sin11 ж < sin2 χ и — cos5 ж < cos2 ж, то
1 = — sin11 χ — cos5 x < sin2 ж + cos2 χ = 1,
это возможно только при условии
J sin ж = О,
\ -cos5:
χ = sin ж,
χ = cos2 ж;
cos ж
1;

ΓΙ ct
sin ж = — 1,
cos ж = 0;
χ = π + 2πη, η G Ζ;
ж = -- +2тг&, fc G Ζ.
Ответ, π + 2πη, — — + 2nk] n,keZ.
Пример 3. (Геогр-98.4) Решить уравнение sin ж+\/3 cos χ = 2+3 cos2 ( 2х + —
Решение. Поделив обе части на два, преобразуем левую часть с использованием
дополнительного угла:
1 . λ/З л 3 о / π
- sinx + —- cos ж = 1 + - cos \2x-\- —
cos ж
6
3 9 / π
1 + -COS"1 (2ж + -
Область значений косинуса составляет отрезок [—1;1], поэтому левая часть
полученного уравнения не превосходит единицы, тогда как правая часть не меньше
неё. Значит, равенство возможно только в случае

6.4- Использование ограниченности...
85
[cos (х- J) =
os (2*+J)
1,
= 0:
7Г
χ = h 2πη, η G Ζ,
6
π πτη
ж = 1 , πι G Ζ:
π
решением этой системы является серия ж = Ь 2πη, η G Ζ.
6
7Г
Ответ. h 2πη, η G Ζ.
6
Задачи
1. (ЕГЭ) Решить уравнение sin ( \- х ) = Зж2 + 1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
У) Решить уравнение sin ж + sin9x = 2.
У) Решить уравнение cos ж — sin3x = — 2.
ЕГЭ) Решить уравнение 2 cos2 2х — sin Зх = 3.
ЕГЭ) Решить уравнение sin χ + cos3 x = 1.
У) Решить уравнение sin3 ж — cos7 x = 1.
У) Решить уравнение sin ж + v/cos~r = 1.
У) Решить уравнение sin χ · sin 7χ = 1.
У) Решить уравнение cos ж · cos6x = — 1.
У) Решить уравнение sin5 χ · cos6 x = —.
γ
У) Решить уравнение sin6 χ · cos10 ж = -.
У) Решить уравнение cos χ = χ2 + 1.
У) Решить уравнение cos2(7nr) — \/ж2 — 5ж + 4 = 1.
У) Решить уравнение cos2 χ = 0, 5 (\/l + 4ж2 + л/l + ж2) .
3
У) Решить уравнение sin 9ж · sin χ + cos x = -.
У) Решить уравнение sin5 ж + cos5 x = 2 — sin2 ж.
У) Решить уравнение cos2 χ + cos2 \/3^ = 2.
Геогр-98.4) Решить уравнение sin ж — л/Зсовж = 2 + 5 sin2 (2х
Экон-90.5) Найти все корни уравнения \Л — ctg2 2πχ · cos πχ + sin πχ = \/2,
расположенные на отрезке [—3; 1].

86
Теория и задачи
7. Изображение множества точек на
координатной плоскости, использование графических
иллюстраций в уравнениях и неравенствах
различных типов
7.1. Геометрические места точек, графики функций,
правила линейных преобразований графиков
Теоретический материал
Геометрическим местом точек с данным свойством называется множество всех
точек плоскости (пространства), обладающих этим свойством.
Например, геометрическим местом точек плоскости, удалённых на расстояние
R от данной точки О этой плоскости, является окружность радиуса R с центром
в точке О; геометрическим местом точек плоскости, равноудалённых от точек А и
В, является серединный перпендикуляр к отрезку АВ, лежащий в этой плоскости.
Функцией называется отображение числового множества X на числовое
множество Y, при котором каждому значению χ из множества X, называемого
областью определения, ставится в соответствие единственное значение у из множества
Υ, называемого множеством значений. Для обозначения функции используется
У = /О)·
График функции у = f(x) - это множество точек плоскости с координатами
(х, у), у которых χ Ε X - допустимые значения аргумента, а у = f(x) Ε Υ -
соответствующие им значения функции.
Графическое изображение функции даёт наглядное представление о её
основных особенностях.
Функция у = f(x) называется чётной, если для всех ж Ε Χ выполняется
соотношение (—х) Ε Χ и равенство f(x) = f(—x).
Функция у = f(x) называется нечётной, если для всех ж Ε Χ имеет место
соотношение (—х) Ε Χ и равенство f(x) = —f(—x).
Замечание. График чётной функции симметричен относительно оси у, а
график нечётной функции центральносимметричен относительно начала координат.
Функция у = f(x) называется периодической, если существует такое число
Τ > 0, что для всех ж Ε X выполняются соотношения (χ + Τ) Ε Χ, (χ — Τ) Ε Χ
и равенства f(x — Τ) = f(x) = f(x + T). При этом число Т называется периодом
функции.
Функция у = f(x) называется возрастающей на множестве Del, если для
любых х\, Х2 £ D, х\ < Х2 выполняется неравенство f(x\) < /(#2)·
Функция у = f(x) называется убывающей на множестве Del, если для
любых χι, Х2 £ D, х\ < Х2 выполняется неравенство f(x\) > /(#2)·
Функция у = f(x) называется монотонной на множестве D С X, если она
является возрастающей или убывающей на этом множестве.
Все задачи этого раздела решаются с помощью преобразования графиков
элементарных функций:
у = хп, η Ε Ζ;
у = ах, у = loga χ, а > 0, аф\\
у = sin ж, y = cosx, y = tgx, y = ctgx.

7.1. Геометрические места точек...
87
Замечание. Графики линейной (у = кх + Ъ) и квадратичной (у = ах2 -\-Ъх + с,
а^О) функций могут быть также получены с помощью приведённых ниже
преобразований из графиков функций у = χ и у = х2. Однако на практике их обычно
строят непосредственно: вычисляют точки пересечения с осями координат, для
параболы находят координаты вершины и так далее.
Приведём основные приёмы преобразования графиков функции:
• График функции у = f(x ± а), а > 0 получается из графика функции
у = f(x) сдвигом вдоль оси ж на α единиц влево для f(x + a) и на а единиц
вправо для f(x — а).
Пример: график функции у = 1η (χ + 3) получается сдвигом влево на 3
единицы графика у = In ж.
• График функции у = f(x) ± а, а > 0 получается из графика функции
у = f(x) сдвигом его вдоль оси у на α единиц вверх для f(x) + а и на а
единиц вниз для f(x) — a.
Например, график функции у = 2х — 3 получается сдвигом вниз на 3 единицы
графика у = 2х.
• График функции у = kf(x) при /с > 0 получается из графика функции
у = f(x) деформацией исходного графика у = f(x) вдоль оси у:
растяжением в к раз при к > 1 или сжатием в 1/к раз при к < 1. При /с = — 1
происходит симметричное отражение графика у = f(x) относительно оси ж,
а при к < 0 л к у^ — 1 происходит отражение сначала относительно оси ж
с последующим необходимым деформированием этого графика.
Например, график функции у = 2 cos ж получается растяжением в два раза
вдоль оси у графика у = cos ж.
• График функции у = f(kx) при к > 0 получается из графика функции
у = f(x) деформацией исходного графика у = f(x) вдоль оси х: сжатием в
к раз при к > 1 или растяжением в 1/к раз при к < 1. При /с < 0
предварительно необходимо симметрично отобразить график у = f(x) относительно
оси 2/, а затем осуществить необходимую деформацию этого графика.
Например, график функции у = sin 2x получается сжатием в два раза вдоль
оси χ графика у = sinx.
Замечание. Если у = f(x) - периодическая функция с периодом Т, то
Τ
функция у = f(kx) - периодическая функция с периодом Т\ = —.
К

Теория и задачи
У А
y=2cos χ
y=sin x
y=sin 2x
График функции у = f (kx + b) = f l к
строится как комбинация
первых двух пунктов. А именно, f(x) сначала деформируется в к раз, а
Ъ
затем переносится на — единиц в нужную сторону.
к
• График функции у = |/(х)| получается из графика функции у = f(x)
следующим образом: часть графика, лежащая над осью ж, остаётся без
изменения, а часть графика, находящаяся под осью ж, отражается симметрично
относительно оси х. Таким образом, ниже оси χ графика нет.
Например, график функции у = \х2
отражением нижней части графика.
3| получается из графика у = х2 — 3
• График функции у = /(|х|) получается из графика функции у = f(x)
следующим образом: вместо левой (относительно оси у) части графика
изображается отражённая (относительно оси у) правая. При этом правая часть
графика остаётся без изменения.
Например, график функции у = 2^1 получается из графика у = 2х
отражением правой части графика.
• Метод сложения графиков. Он заключается в следующем. Чтобы построить
график у = /ι (χ) + /2 (x), сначала нужно построить вспомогательные
графики функций у = /ι(ж), у = /2(^)5 а затем складывать соответствующие
значения у для этих функций в каждой точке х. При этом следует помнить,
что число точек, в которых необходимо провести сложение графиков,
выбирается таким образом, чтобы получить достаточно полное представление о

7.1. Геометрические места точек...
графике функции у = /ι(χ) + /2(^)5 используя необходимые закономерности
поведения функций у = fi(x) u у = /2(2;).
Например, график функции у = χ -\—
полуде
чается сложением графиков функций у = χ
1
и у = -.
Сумма возрастающих (убывающих)
функций есть также возрастающая (убывающая)
функция. Сумма возрастающей и убывающей
функций может вообще не являться
монотонной функцией.
Все перечисленные выше факты
позволяют не только эффективно строить графики
функций, но и на их основе делать выводы о
свойствах этих функций.
Примеры решения задач
Пример 1. (У) Построить график функции у
-3sin2|d.
Решение. Построим график функции у = sin ж и последовательными
преобразованиями приведём его к графику функции у = —3 sin 2|ж|.
Сначала сжатием в два раза вдоль оси χ получим график у = sin 2x.
y=sinx
У*
y=sin(2x)
ΛΑΑΑΛ
Потом растяжением в 3 раза вдоль оси у получим график у = 3 sin 2x, отразив
который относительно оси ж, получим график у = — 3sin2x.
y=3sin(2x)
y=-3sin (2x)
И, наконец, с помощью отражения правой части графика относительно оси у
получаем график у = — 3 sin 2|x|.
жу y=-3sin (21x1)
-3

90
Теория и задачи
Пример 2. (Экон.К-72.3) Найти и изобразить на координатной плоскости
точки, координаты которых удовлетворяют системе уравнений
Ul-x)(x + y + 3)(2x-y)=0,
у(х-1)(Зх + Зу + 1) = 0.
Решение. Заметим, что χ = 1
является решением системы, и проведём на
координатной плоскости
соответствующую прямую. Оставшиеся решения
исходной системы удовлетворяют
системе
'у = -ж-3;
_у = 2х;
У
Каждое уравнение в системе задаёт
прямую на координатной плоскости.
Поскольку первая и третья прямые
параллельны, решением системы будет
точка пересечения прямых у = 2х и
у = —х . Координаты точки пересе-
о
чения можно найти, решив систему из
этих двух уравнений.
Ответ. Прямая χ = 1; точка А I — -;
Задачи
1. (ЕГЭ.А) На одном из четырёх рисунков изображён график нечётной
функции. Указать этот рисунок.
Ч
2. (У) Построить график функции у = \х2 + Ъх
3. (У) Построить график функции у = х2 + 5\х\
4. (У) Построить график функции у = 3cos2x.
5. (У) Построить график функции у = 1 — -—-.
\х\
X
6. (У) Построить график функции у =
■6|.
-6.
1

7.2. Плоские геометрические фигуры...
91
sin χ
7. (У) Построить график функции у = .
$тх
8. (Экон-72.2) Найти и изобразить на координатной плоскости точки,
координаты которых удовлетворяют системе уравнений
jl8x2y2 - Ах3у2 - Зх2у3 = О,
[12у2 -2ху2 + 3у3 = 0.
9. (ВМК-99.2) На координатной плоскости (ж, у) проведена окружность
радиуса 4 с центром в начале координат. Прямая, заданная уравнением
у = 4 — (2 — л/3)х, пересекает её в точках А и В. Найти сумму длин отрезка
АВ и меньшей дуги АВ.
10. (Геол-82.5) Построить на координатной плоскости множество точек,
координаты каждой из которых удовлетворяют условию у = 4 -
у-
6
X
-2
3
X
-1
и среди точек этого множества найти те, у которых координата у принимает
наибольшее значение.
7.2. Плоские геометрические фигуры, применение метода
координат
Теоретический материал
При решении задач этого раздела следует алгебраическими преобразованиями
привести исходную задачу к системе равенств и неравенств вида1
а < χ < 6,
У = f(x),
У > 9{х),
у < h(x).
После этого на координатной плоскости необходимо изобразить графики всех
функций у = f(x)y у = д(х) и у = h(x). Они разобьют координатную плоскость
(ж, у) на подобласти, на каждой из которых надо построить соответствующие
множества точек или графики, удовлетворяющие системе.
Примеры решения задач
Пример 1. (Геол-81.3) Найти площадь фигуры, которая задаётся на коорди-
ί У< 6-2|d,
натнои плоскости системой неравенств < . 0 , 0
\ у> 2 + 2|ж|.
Решение. Построим на координатной плоскости графики функций у = б — 2\х\
и у = 2 + 2|ж|.
ХВ конкретных задачах может встречаться несколько равенств и неравенств одного вида, или
некоторые из них могут отсутствовать. Знаки нестрогих неравенств могут быть заменены на
строгие.

92
Теория и задачи
Нас интересуют точки, которые лежат ниже
графика функции у = б — 2\х\ и выше графика функции
у = 2 + 2|х|, то есть точки, лежащие внутри ромба
ABCD, где 5(0; 6) и 5(0; 2) - точки пересечения
графиков с осью Оу.
Для того чтобы вычислить координаты точек
пересечения графиков друг с другом {А и С), достаточно
решить систему уравнений
6-2|ж|,
2 + 2|ж|;
у=2+2|х|
откуда А(-1;4) и С(1;4).
Площадь ромба равна половине произведения диагоналей, то есть
S = -АС · BD = - · 2 · 4
2 2
Ответ. 4.
Пример 2. (Экон-88.4) Найти площадь фигуры, заданной на координатной
плоскости соотношением
у — -х
У 2
У+ 2χΖ
<ж + 2.
получим
1
-у
1 9 1 9
-ж2 + у + -ж2 < 2 -
Решение. Раскрываем модули по определению.
х2 11
1) При у < — — получим —?/ + -х2 — у — -х2 < 2 + χ
2) При -^<у<Х-
х2 11
3) При у > — получим у — -х2 + у + -х2 < 2 + χ
Построив на плоскости точки, координаты
которых удовлетворяют этим неравенствам,
получим трапецию ABCDy где
координаты вершин А[-1;-), 5(2; 2), С(2;-2),
χ
У>
у ~ 2
<
1.
хе[-1;2].
1.
5
-1;
ι
вычисляются как общие точки
соответствующих функций. Площадь
трапеции равна
S
ABCD
i(5C+A5)Atf = i(l+4).3=y,
где Я ( 2
Ответ.
АН - высота трапеции.
у=х/2+1
у=-х2/2
у=-х/2

7.3. Использование графических иллюстраций...
93
Задачи
1. (ИСАА-96.2) Найти площадь фигуры, заданной на координатной плоскости
„ Г 2/>-|ж|-1,
системой < * οι ι ι о
2. (Геол-99.3) Найти площадь фигуры, заданной на координатной плоскости
/ ν ~ Г ж(ж + г/ - л/2) < О,
(ж, 2/) системой неравенств < £ 2 ^ о _
3. (Геол.ОГ-81.4) Найти площадь фигуры, которая задаётся на координатной
плоскости условием |х| + |?/ — 1| < 4.
4. (Экон-88.4) Найти площадь фигуры, заданной на координатной плоскости
соотношением 2 · (2 — х) > \у — х2\ + \у + х2\.
5. (Геол.ОГ-80.5) Найти площадь фигуры, которая задаётся на координатной
Г I|х — у\ — \и — 111 = ж — 2г/ + 1
плоскости следующими условиями < ) ^2 ι / V\2 <- ι '
6. (Экон-91.5) Найти площадь плоской фигуры, состоящей из точек,
координаты которых удовлетворяют условию (х2 + у2 — χ — у) · (х2 + у2 — 1) < 0.
7. (ИСАА-97.5) Найти площадь фигуры, заданной условиями < у~ . '
8. (Геол-95(1).8) Изобразить на координатной плоскости фигуру, заданную
неравенством х2 + у2 + 6(х — \у\) < 0. Найти площадь этой фигуры.
9. (Почв-9б(1).б) Определить площадь фигуры, расположенной на
координатной плоскости и состоящей из точек (ж, у), удовлетворяющих неравенству
log{x2+y2)(x + y) > 1.
7.3. Использование графических иллюстраций
при решении уравнений и неравенств
Теоретический материал
В этом разделе приведены задачи, при решении которых вам помогут графические
иллюстрации. Однако, помните: все заключения, которые вы делаете, используя
график, необходимо строго обосновать.
Примеры решения задач
Пример 1. (Экон.К-70.2) Решить уравнение
πχ
πχ 2πχ ^ ~ο~
15 - 6х\ - 4 sin 4 sin 1 ^г = 0.
3 3 1+tg2^

94
Теория и задачи
2tg^
Решение. Используя формулу sin α = =-^, преобразуем последнее сла-
1+tg2-
гаемое к виду
πχ
8t£
1 +te
3 л · 2πχ πχ . ^ . 3 _
Ц^г = 4sm —ζ—, где cos — 7^ 0, то есть ж ^ - + 3n, nGA
Уравнение переписывается в виде \Ьх — 5| = 4sm — , то есть sin —
Построим графики левой и правой частей уравнения.
2*~А
у=|Зх/2 - 5/4|
1) При ж < 0 решений нет, так как в этом случае
> 1 > sin -
2) Рассмотрим χ Ε
0;:
. Значение χ
является решением. Других
решета
ний нет, так как на этом отрезке функция у = sin— возрастает, а функция
убывает.
5 3 πχ 3 5
3) При — < χ < — исследуемое уравнение примет вид sin — = —χ . Значение
χ = 3/2 является решением этого уравнение, но не входит в область определения
3
исходного уравнения, так как включено в серию χ = —Ь Зп при η = 0. Для
того чтобы доказать отсутствие других решений на этом промежутке, достаточно
доказать возрастание функции f(x) = -χ — — — sin —.
5 3
Рассмотрим - < χ ι < Χ2 < - и покажем, что f(x2) — f(xi) > 0· Преобразуем
разность f(x2) — f(xi) следующим образом:
f(x2) - /Οι) = -(х2 - χι) - (si
πχ2 . πχιΝ
sin sin
3 3 ,
-(ж2 -^ι) -2sin cos .

7.3. Использование графических иллюстраций...
95
5 3
1ак как аргументы синуса и косинуса при - < х\ < х2 < - принадлежат первой
четверти, справедливы оценки:
п . π(χ2+^ι) . 1 п , . π(χ2 - χχ) π(χ2 - χχ)
О < cos < 1 и 0 < sin < .
6 - 6 - 6
Следовательно,
f(x2) -f(xi) > 2^2 -αϊ)
. тг(ж2 -Χι) .
2 sin >
> -{X2 -Xl)
2 = (x2 -xi)
>0.
Возрастание функции f(x)y а значит, и отсутствие решений при
доказаны.
4) При χ > — решений нет, так как в этом случае
- < χ < -,
б ~ 2'
> 1 > sin -
πχ
Ответ. -.
2
Задачи
1. (ВМК-86.2) Найти координаты точки, лежащей на прямой Зх — by = 17 и
наименее удалённой от начала координат.
χ — 2а — 1
2. (Почв-74.4) Найти все значения а, при которых неравенство < О
выполняется для всех таких ж, что 1 < χ < 2.
χ — а
3. (Псих-85.4) Найти наибольшее и наименьшее значения функции
г 13"
у = |ж2 + х\ + |ж2 — Зж + 2| на отрезке —; -
4. (Почв-95(2).5) Найти все значения 6, при которых система
Ау = 46 + 3 - х2 + 2ж,
х2 + ι/2 = 2ж
имеет два решения.
5. (Хим-93(2).5) Найти число решений уравнения 2:
ж+1
)1 —ж
1 -4ж-ж .
6. (Геогр-00(1).5) Эпицентр циклона, движущийся прямолинейно, во время
первого измерения находился в 24 км к северу и 5 км к западу от метеостанции,
а во время второго измерения находился в 20 км к северу и 3^ км к западу
от метеостанции. Определите наименьшее расстояние, на которое эпицентр
циклона приблизится к метеостанции.
7. (ВМК-82.5) Для каждого значения параметра а найти все значения ж,
удовлетворяющие уравнению |ж + 3|— а\х — 1|=4.
8. (Экон.М-96.6) При каких значениях ρ площадь фигуры, заданной на
координатной плоскости условием \2х + у\ + \х — у + 3\ < р, будет равна 24?

96
Теория и задачи
8. Элементы математического анализа
8.1. Производная, её геометрический и физический смысл.
Производные элементарных функций, основные
правила дифференцирования функций
В этом разделе собраны задачи, при решении которых вам понадобится умение
вычислять производные простейших функций и знание геометрического и
физического смысла производной.
Заметим, что производная не входит в программу вступительных экзаменов
некоторых вузов (в частности, МГУ) и, следовательно, все задачи, предлагаемые
на вступительных экзаменах в эти вузы, могут быть решены без использования
производной.
Все задачи этого раздела взяты из материалов ЕГЭ и снабжены указанием
соответствующего уровня сложности:
А - задачи базового уровня сложности;
В - задачи повышенного уровня сложности;
С - задачи высокого уровня сложности.
Для успешного решения задач этого раздела достаточно запомнить
производные элементарных функций, уметь применять основные правила
дифференцирования и иметь представление о геометрическом и физическом смысле производной.
Все эти сведения приводятся ниже. Строгое определение предела, непрерывной
функции и доказательство основных формул входит в программу первого курса
вуза, и ознакомиться с этим можно в соответствующей специализированной
литературе.
Теоретический материал
Геометрический смысл производной
Рассмотрим график непрерывной функции у = f(x) и зафиксируем на нём
точку Ао с координатами (xo]f{xo))· Пусть точка A(x;f(x)) также принадлежит
графику, но не совпадает с точкой Ао. Проведём секущую через точки Ао и А.
Если при приближении точки А к точке Ао секущая, проведённая через эти
две точки, стремится к некоторому предельному положению, то это предельное
положение секущей называют касательной в точке Ао (левый рисунок).
Установим связь между касательной, проведённой в точке Ао, и производной
функции у = f(x) в точке хо.
В дальнейшем величину Ах = х — хо будем называть приращением аргумента,
а величину Ay = f(x) — f(xo) приращением функции у = f(x).
Пусть а есть угол наклона секущей АоА, а а0 - угол наклона касательной.
Рассмотрим прямоугольный треугольник ААоАВ (правый рисунок), где точка
В имеет координаты (x;/(xq))· Получим
tga_ АВ _ /Qr) - /(хр) _ А^
АоВ χ — хо Ах
Если приращение аргумента Ах устремить к нулю, то точка А будет
стремиться к точке Ао, и секущая будет стремиться к касательной. Следовательно,
Ay ^
—— будет стремиться к tg a0.

8.1. Производная...
97
По определению, производная в точке хо есть предел, к которому
стремится отношение приращения функции Ау к приращению аргумента Ах при Δχ,
стремящемся к нулю, запись такова:
гы
hm ——.
Аж^О Ах
Ау
И так как —— стремится к tg сео, то значение производной равно угловому коэф-
Ах
фициенту касательной. В этом заключается геометрический смысл производной.
Физический смысл производной
Пусть точка движется вдоль координатной прямой и её координата в момент
времени t определяется функцией f(t). Рассмотрим промежуток времени [to; t]. В
момент времени to точка имеет координату /(to), а в момент времени t -
координату /(£). Значит, её перемещение за промежуток времени At = t — to равно
Δ/ = f(t) — /(to). Разделив перемещение на промежуток времени, получим
среднюю скорость движения за промежуток времени [to;t]
/(*) - f(to)
ί - ίο
Δ/
Δί'
Предел средней скорости при Δί, стремящемся к нулю, называют мгновенной
скоростью движения в момент времени ίο. Следовательно,
hm ——
At^O At
/'(ίο)-
В общем случае, если какая-либо величина у изменяется по закону у = /(t), то
мгновенная скорость изменения этой величины при t = to равна /'(to). Таким
образом, производная есть мгновенная скорость изменения функции. В этом
заключается физический смысл производной.

Теория и задачи
Производные элементарных функций
Для того, чтобы успешно решать задачи с использованием производных,
необходимо запомнить, чему равны производные следующих элементарных функций:
С' = 0 для любой константы CgM, (30)
ж' = 1, (xaY = axa-\ (31)
(sin ж)' = cos ж, (cos ж/ = —sin ж, (32)
(tgxY = —, (ctgxY = -—ϊ-, (33)
cosz χ sin χ
(ех)' = ех, (1па0' = ^ (34)
(ах)' = ах In а, (]оёах)' = -}—. (35)
x та
Основные правила дифференцирования функций:
1) постоянный множитель молено выносить за знак производной; производная
суммы двух функций равна сумме их производных:
(Cf(x))' = С f {x), {f{x) + д(х)У = f(x) + д'(х); (36)
2) производные произведения и частного двух дифференцируемых функций
вычисляются по формулам:
(Дх) · д(х))' = f'(x) ■ д(х) + f(x) ■ д'(х), (37)
'f{x)\ _Г{х)-д{х)-!{х)-д'{х).
^д(х) J g2(x)
3) производная сложной функции вычисляется следующим образом:
(f(g(x)Y = f(g(x))-g'(x)- (38)
В частности, для линейной функции д(х) = кх + Ь:
(f(kx + b))' = kf'(kx + b). (39)
Примеры решения задач
Пример 1. (ЕГЭ) Найти производную функции у = 3 cos χ + χ2 .
Решение. Согласно (36) имеем:
у' = (3 cos χ + χ2)' = 3(cos χ)' + (χ2)'.
Далее, применив (32) и (31), получим: у' = —3sinx + 2х.
Ответ. — 3sinx + 2a;.

8.1. Производная...
99
Пример 2. (ЕГЭ) Точка движется по координатной прямой согласно закону
x(t) = 3 + 2£ + t2, где x(t) - координата точки в момент времени t. В какой
момент времени скорость точки будет равна 5?
Решение. Так как скорость точки в момент времени t есть значение
производной #'(£), то нам надо найти t такое, что х'(t) = 5. Поэтому
3
x'(t) = b <^^ 2 + 2£ = 5 <^^ t=o'
3
Ответ. -.
2
Пример 3. (ЕГЭ) Найти угловой коэффициент касательной, проведённой к
графику функции f(x) = 2х + ех в точке с абсциссой хо = 0.
Решение. Тангенс угла наклона касательной в точке с абсциссой xq равен
значению f'(xo). Поскольку f'(x) = 2 + ех, искомый угловой коэффициент равен
/'(О) =2 + е° = 2 + 1 = 3.
Ответ. 3.
Задачи
1. (ЕГЭ) Найти значение производной функции у = х2 + sin ж в точке жо — ?г·
2. (ЕГЭ) Найти /'(1), если f(x) = - + 4еж.
3. (ЕГЭ) Найти скорость точки, движущейся прямолинейно по закону
t2
x(t) = —, в момент времени to = 4.
4. (ЕГЭ) Решить уравнение /'(ж) = 0, если f(x) = (Зж2 + 1)(3ж2 - 1).
5. (ЕГЭ) Найти значение производной функции у = х2ех в точке жо = 1 ·
6. (ЕГЭ) Найти значение производной функции у = хЫх в точке хо = е.
2-х
7. (ЕГЭ) Найти значение производной функции у = в точке хо = 0,5.
χ
8. (ЕГЭ) Найти значение производной функции у = — в точке жо = 2.
χ
9. (ЕГЭ) Найти угловой коэффициент касательной, проведённой к графику
функции у = 4ж3 — 6х2 + 9 через точку с абсциссой хо = 1.
10. (ЕГЭ) Найти угловой коэффициент касательной к графику функции
7Г
у = 3 sin ж + 12ж в точке с абсциссой ж0 = — — .
11. (ЕГЭ) Найти тангенс угла наклона касательной, проведённой к графику
4
функции у = в точке с абсциссой хо = —2.

100
Теория и задачи
8.2. Исследование функций с помощью производной
Теоретический материал и примеры решения задач
С помощью производных молено находить промежутки2 возрастания и убывания
функций:
• если f'(x) > 0 во всех точках некоторого промежутка, то f(x) возрастает
на этом промежутке3;
• если f'(x) < 0 во всех точках некоторого промежутка, то f(x) убывает на
этом промежутке.
Наглядный смысл признака возрастания (убывания) функции ясен из
физических рассуждений.
Пусть точка движется по оси ординат согласно закону у = /(£), тогда её
скорость в момент времени t равна f'(t). Если f'(t) > 0 в каждый момент времени t
из промежутка /, то точка движется в положительном направлении оси ординат,
то есть если t\ < £2 ? то f(t\) < /(£2)· Это означает, что функция f(t) возрастает
на промежутке /.
Замечание. Если функция f(x) непрерывна в каком-либо из концов
промежутка возрастания (убывания), то эта точка присоединяется к этому промежутку.
Пример 1. Производная функции f(x) = χ3 равна f'(x) = 2ж2; она
положительна на ( — оо; 0) и (0;+оо). Согласно признаку возрастания f(x) возрастает на
( —оо; 0) и (0; +оо), а согласно замечанию точка χ = 0 присоединяется к каждому
из промежутков. В результате получаем, что f(x) = χ3 возрастает на ( — оо; +оо).
Экстремумы
Определение. Функция f(x) имеет в точке хо строгий локальный максимум
(сокращённо максимум), если её значение в точке хо больше других значений
вблизи4 этой точки.
Определение. Функция f(x) имеет в точке хо строгий локальный минимум
(сокращённо минимум), если её значение в точке хо меньше других значений
вблизи этой точки.
С помощью производной можно вычислить экстремум (максимум или
минимум) функции, руководствуясь правилом: если функция f(x) имеет в точке χ = хо
экстремум, то в этой точке производная либо равна нулю, либо не существует.
Проиллюстрируем это утверждение с помощью геометрического смысла
производной.
Пусть точка хо является точкой максимума функции у = f(x). Возможен
только один из следующих двух вариантов:
2Под промежутком подразумевается одно из следующих подмножеств прямой: интервал,
отрезок, полуинтервал, луч (как содержащий, так и не содержащий начальную точку), а также
вся прямая.
3Это условие не является необходимым, а является только достаточным. См. замечание и
пример 1.
4То есть существует интервал (а; Ь), содержащий точку xq , такой, что для любого χ £ (а; Ь),
отличного от xq , справедливо f{x) < f(xo).

8.2. Исследование функций с помощью производной
101
У I
у=х
1) если производная в точке хо определена, то она равна нулю, то есть функция
имеет в этой точке горизонтальную касательную (левый рисунок);
2) производной в точке хо не существует, то есть функция не имеет в точке xq
касательной (центральный рисунок).
Замечание. Точка хо, в которой производная функции у = f(x) обращается
в ноль, может и не являться точкой экстремума. Например, для функции у = х3
производная у' = Зх2 обращается в ноль при хо = 0, однако, эта точка не
является точкой экстремума, так как слева и справа от неё функция у = х3 возрастает
(правый рисунок). Поэтому равенство нулю производной является лишь
необходимым условием.
Одним из достаточных условий экстремума является смена знака производной
при переходе через точку, в которой производная равна нулю или не существует.
х3 х2
Пример 2. (ЕГЭ) Найти минимум5 функции у = 1 2ж + 7-.
О Δ О
Решение. Для начала вычислим производную функции у:
У
X + X ■
(ж + 2)(ж-1).
Производная обращается в ноль в точках х\ = — 2, х^ = 1.
При переходе через точку χ = — 2 производная меняет знак с плюса на
минус, это значит, что сама функция сначала возрастала, а потом стала убывать и,
следовательно, точка χ = — 2 является точкой максимума функции у.
При переходе через точку χ = 1 производная меняет знак с минуса на плюс,
это значит, что сама функция сначала убывала, а потом стала возрастать и,
следовательно, точка χ = 1 является точкой минимума функции у. Сам минимум
равен
У(1)
7-
6.
О'
5 В задачах ЕГЭ под минимумом подразумевается строгий локальный минимум - не путать
с наименьшим значением.

102
Теория и задачи
Пример 3. (ЕГЭ) При каком наибольшем значении а функция
2
f(x) = -χ3 — ах2 + 7ах + 5 возрастает на всей числовой прямой?
о
Решение. Исследуем знаки производной в зависимости от значений
параметра а. Производная
f\x) = 2х2 - 2ах + 7а.
Если квадратное уравнение 2х2 — 2ах + 7а = 0 имеет корни х\ φ Х2, то f'(x) < 0
на интервале (х\',Х2)· Следовательно, на этом интервале f(x) убывает, и этот
случай нам не подходит.
Если квадратное уравнение 2х2 — 2ах + 7а = 0 не имеет корней, то f'(x) > 0
на всей числовой прямой, и этот случай нам подходит.
Если же квадратное уравнение 2х2 — 2ах-\-7а = 0 имеет только один корень xq ,
то f'(x) > 0 на ( —оо;жо) и (жо;+оо), а согласно замечанию точка хо
присоединяется к каждому из промежутков. В результате получаем, что f(x) возрастает
на ( — оо; +оо).
Итак, нас устраивает случай, когда квадратное уравнение 2х2 — 2ах + 7а = 0
либо не имеет корней, либо имеет только один корень, то есть случай, когда D < 0.
Таким образом,
£><0 ^^ —=α2-14α<0 ^^ ае[0;14].
Наибольшее значение а = 14.
Ответ. 14.
Пример 4. (ЕГЭ) Найти наибольшее значение площади прямоугольника со
сторонами, параллельными осям координат, и диагональю ОРу где О - начало
3
координат, а Р - точка на графике функции у = —\- 16х2е3~4х; 0, 4 < χ < 1.
χ
Решение. Пусть А и В - проекции точки Ρ на оси координат. Тогда искомая
площадь равна
S = ОА-ОВ = 2/. ж = 3 + 16х3е3~4х.
Наибольшее значение функция S принимает либо в точке локального максимума,
либо на конце отрезка [0, 4; 1]. Сначала вычислим значение S на концах отрезка:
Si = 5(0, 4) = 3 + 16 · 0, 43е3-4'0'4 = 3 + 1, 024ε1'4;
52 = 5(1) = 3 + —.
е
Теперь вычислим значение S в точке локального экстремума. Найдём нули
производной:
S' = 0 ^ Щх3е3-Ах)' = 0 ^ (х3)'е3-Ах + ж3(е3~4*)' = 0 ^
^ Зх2е3~4х + х3е3-4*(-4) = 0 ^ х2е3-4*(3 - 4ж) = 0.

8.2. Исследование функций с помощью производной
103
з
На отрезке [0, 4; 1] это уравнение имеет единственный корень χ = -, значение S
в этой точке равно
*-*(!)-з+1.(?)"-?-4
Покажем, что #2 < Ss. Для этого воспользуемся оценкой 2, 4 < е < 3:
о 16 0 16 0 20 2 3 0
Теперь сравним 5з и 5Ί:
^3
»ϊ
·!
27
Τ
27
27
V
V
V
V
V
V
Si
3 + 1, 024ε1'
1,024ε1'4
1,024ε1'4
4-1, 024ε1'4
4,096ε1'4.
Так как 5 · З3/2 > 4, 096ε1'4, то, доказав неравенство 27 > 5 · З3/2, мы получим, что
27 > 4,096ε1'4. Итак, сравним 27 и 5 · З3/2:
27 V 5 · 33/2
27 V 5 · л/27
л/27 V 5
27 V 25.
Так как 27 > 25, то 27 > 4,096ε1'4 и Ss > Si. Следовательно, наибольшее
значение площади прямоугольника равно Ss = 9, 75.
Ответ. 9,75.
Задачи
1. (ЕГЭ) Найдите максимум функции у =
Xs
3
х2 5
2. (ЕГЭ) Найдите минимум функции f(x) = χ -\— .
3. (ЕГЭ) Найдите минимум функции f(x) = χ2 -\—- — 2.
χζ
3 ж2 χ4
4. (ЕГЭ) Найдите минимум функции у = 5- + Зх + — ж3 — .
5. (ЕГЭ) При каком наибольшем значении Ъ функция f(x) = χ3 + kc2 + 3kc — 1
возрастает на всей числовой прямой?

104
Теория и задачи
6. (ЕГЭ) При каком наибольшем значении т функция
f(x) = —χ3 + тх2 — Атх + 3 убывает на всей числовой прямой?
7. (ЕГЭ) Найдите длину промежутка возрастания функции у
Ъх
х2 + 1
1
8. (ЕГЭ) При каком натуральном значении параметра а уравнение
х3 + Зх2 — 9х — а = 0 имеет ровно два корня?
9. (ЕГЭ) При каком наименьшем целом значении параметра ρ уравнение
о
-х2 — 6х = ρ имеет 3 корня?
10. (ЕГЭ) Найдите середину промежутка убывания функции f(x) = χ — 21ηχ.
11. (ЕГЭ) Точка А лежит на графике функции у = f(x), точка В - на оси Ох,
и её абсцисса в четыре раза больше ординаты точки А. Найдите наибольшее
значение площади треугольника АО В, где точка О - начало координат, а
f(x) = γ7 + 3 sin χ — (Зх + 1) cos ж, —- < χ < —.
4 8
12. (ЕГЭ) Требуется разместить на земле участок ABCDEFGH площадью
1800 м2, состоящий из трех прямоугольных частей и имеющий форму,
изображенную на рисунке, где FG = EF = 10 м, ВС = 15 м и CD > 40 м.
Найдите наименьшее значение периметра такого участка и какие-либо
значения длин KL,LH и CD, при которых периметр является наименьшим.
Η
F
N
С
Μ
В А
8.3. Первообразные элементарных функций, основные
правила нахождения первообразных. Вычисление площади
плоской фигуры с помощью первообразной
Теоретический материал и примеры решения задач
Определение. Непрерывная и дифференцируемая функция F(x) называется
первообразной для функции f(x) на заданном промежутке, если для всех χ из
этого промежутка
F'(x) = f(x).

8.3. Первообразные элементарных функций...
105
Пример 1. Функция F(x) = — является первообразной для функции f(x) = χ2
о
на промежутке ( —оо; +оо), так как
X \ 2
F'(x) = ^Y) = x2 = f(x).
Заметим, что Ь 5 имеет также производную х2 и поэтому также является
о
первообразной для функции f(x) = χ2 на ( — оо; +оо).
В общем случае справедливо следующее утверждение: любая первообразная
функции f(x) на промежутке / может быть представлена в виде
F{x) + С,
где С - произвольная постоянная, a F(x) - одна из первообразных функции f(x)
на промежутке /.
Пример 2. Функция Fix) = — не является первообразной для f(x) =
X X1
на промежутке ( —оо;+оо), так как в точке χ = 0 равенство F'(x) = f(x) не
выполняется. Но на каждом из промежутков ( — оо; 0) и (0;+оо) функция F(x)
будет первообразной для f(x).
Приведём для основных элементарных функций соответствующие им
первообразные:
+ С; (40)
(41)
(42)
(43)
(44)
f(x) = ex, F(x)=ex + C; (45)
f(x) = -, F(x)=\n\x\+C. (46)
При вычислении производных мы пользовались тем, что постоянный
множитель можно выносить за знак производной и производная суммы двух функций
равна сумме их производных. Эти же правила используются при нахождении
первообразных.
ха (а е R, а ф
f(x) = sin ж,
f(x) = cos ж,
/Υ-τΛ
J\X) — о '
cos^ χ
/Υ-τΛ
Τ\Χ) — .2 '
sin χ
τα+1
1)5 ^(Χ)"α + 1
F(x) = -cos ж + С;
F(x) = sin ж + С;
F{x) = tgx + C;
F(x) = -ctgx + C;

106
Теория и задачи
Пример 3. Найти первообразную F функции f(x) = ех + sin ж, если известно,
что F(0) = -1.
Решение. Так как первообразная суммы двух функций равна сумме
первообразных, то сначала, используя (45) и (41), найдём первообразные каждого из
слагаемых, а потом их сложим. Получим
F(x)
■ cos χ + С.
где С - произвольная постоянная. Теперь выберем из множества всех
первообразных ту, которая удовлетворяет условию F(0) = — 1. Для этого определим значение
константы С из условия
F(0) = e°-cosO + C
следовательно, F(x) = ex — cos ж — 1.
Ответ. F{x) = ех — cos ж — 1.
-1
С
-1,
Вычисление площади плоской фигуры с помощью первообразной
Рассмотрим на отрезке [а; Ъ] непрерывную знакопостоянную функцию у = f(x).
Фигуру, ограниченную графиком этой функции, осью Ох и прямыми χ = а и
χ = 6, называют криволинейной трапецией.
Для вычисления площадей криволинейных трапеций применяется следующая
теорема.
Теорема. Если f(x) - непрерывная неотрицательная на отрезке [а; Ъ] функция,
a F(x) - её первообразная на этом отрезке, то площадь S соответствующей
криволинейной трапеции равна приращению первообразной на отрезке [а; Ъ], то есть
S = F(b)-F(a).
Пример 4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной прямой у = 6х и
параболой у = 12х — Зх2.
Решение. Построим на координатной плоскости графики этих функций.
Координаты точек их пересечения найдём из системы:
6х,
12ж - Зх2:
χ
У
χ
У
= 0;
0;
12;

8.3. Первообразные элементарных функций...
107
у=12х-3х
следовательно, графики пересекаются в точках А(0; 0) и В(2; 12). Для того
чтобы вычислить интересующую нас площадь, надо из площади, находящейся под
параболой, вычесть площадь, находящуюся под прямой. Площадь криволинейной
трапеции ABC равна
Si = F(2) - F(0),
где первообразная функции у = 12х — Зх2 равна F(x) = 6х2 — х3. Следовательно,
Si = F(2) - F(0) = 16 - 0 = 16.
Площадь под прямой есть площадь прямоугольного треугольника ABC, где
С(2; 0). Поэтому здесь нет необходимости использовать первообразную:
S2 = -AC-ВС = -.2-12 = 12.
2 2
Искомая площадь равна Si — S2 = 16 — 12 = 4.
Ответ. 4.
Задачи
1. (ЕГЭ) Указать первообразную функции f(x) = χ + cos ж.
2. (ЕГЭ) Указать первообразную функции f(x) = 2х -\ на промежутке
(0;+оо).
3. (ЕГЭ) Указать первообразную функции f(x) = 2 — ех.
4. (ЕГЭ) Найти первообразную F функции f(x) = ех + cos ж, если известно,
что F(0) = -1.
5. (ЕГЭ) Известно, что F{x) - первообразная функции f(x) = — 18ж2 — 7
и F(0) =0. Найти F(l).
6. (ЕГЭ) Для функции f(x) = 2 cos ж указать первообразную F, график
которой проходит через точку Μ ( —; 0) .
7. (ЕГЭ) Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у = х2 — 2х + 5;
ж = 0; ж = 3; ι/ = 0.

108
Теория и задачи
8. (ЕГЭ) Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у = Зл/х и
3 „1
9. (ЕГЭ) Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у = 2 sin -ж,
у = sin ж, 2/ = 0 при 0 < χ < 2π.
10. (ЕГЭ) Найти значение выражения 2$, если S - площадь фигуры,
ограниченной линиями у = х2 -\- 1 л у + χ = 3.
11. (ЕГЭ) Найти значение выражения 6$, если S - площадь фигуры,
ограниченной графиком функции у = х2 — 2х + 1 и графиком её производной.
9. Текстовые задачи
В этом параграфе, в отличие от §4, рассматриваются более сложные задачи,
приводящие к нелинейным уравнениям и системам. Рассматриваются также задачи
на целые числа с перебором вариантов и отбором решений.
9.1. Скорость, движение и время
Теоретический материал
В этом разделе собраны задачи на движение. При составлении систем для таких
задач требуется лишь здравый смысл и знание того, что
расстояние = скорость · время.
Примеры решения задач
Пример 1. (М/м-87.4) Два поезда выехали одновременно в одном направлении
из городов А и В, расположенных на расстоянии 60 км друг от друга, и
одновременно прибыли на станцию С. Если бы один из них увеличил свою скорость на
25 км/ч, а другой - на 20 км/ч, то они прибыли бы одновременно на станцию С,
но на 2 часа раньше. Найти скорости поездов.
Решение. Обозначим захиу км/ч соответственно скорости первого и второго
поездов, за а км - расстояние ВС. Условие одновременного прибытия в точке С
записывается уравнением:
а + 60 а
=-, χ > 0, у > 0, а > 0;
χ у
так как явно не сказано, какой именно из поездов увеличил скорость на 20 км/ч,
а какой на 25 км/ч, с формальной точки зрения получаем совокупность:
а + 60 а а а + 60 а а
= = 2 или = = 2.
ж+ 25 у + 20 у ж+ 20 у + 25 ?/

9.1. Скорость, движение и время
109
1) Рассмотрим первый случай:
( а + 60 _ а
χ у'
α+ 60
ж+ 25 ί/+ 20'
а--2;
{у + 20 у
почленно делим первое уравнение на второе:
χ + 25 ?/ + 20
2/
откуда ж = -у;
подставляем в первое уравнение: -(а + 60) = а <^=> а = 240 км; подставляем
240 240
в третье уравнение: = 2 <^> у = 40 км/ч. Тогда χ = 50 км/ч.
2/ + 20 ι/
2) Рассмотрим второй случай:
fa+ 60
X
a+ 60
ж+ 20 "
a
a
2/
а
у + 25'
-α 9·
• У + 25 ι/
почленно делим первое уравнение на второе:
χ + 20 2/ + 25
2/
откуда х = -у;
5
подставляем в первое уравнение: -(а+ 60) = а
вариант не подходит.
Ответ. 50 км/ч; 40 км/ч.
-300 < 0; значит, данный
Задачи
1. (Геол-00.3) От причала А к причалу В отплыли катер и лодка, причём
скорость катера в 5 раз больше скорости лодки. Известно, что они плыли
с постоянными скоростями, но катер сделал несколько остановок. Сколько
времени катер затратил на все остановки, если он доплыл до причала В за
2 часа, а лодка за 4 часа?
2. (Биол-87.2) Из пункта А по реке отправляется плот. Одновременно
навстречу ему отправляется катер из пункта В, расположенного ниже по течению
относительно пункта А. Встретив плот, катер сразу поворачивает и идет
вниз по течению. Найти, какую часть пути от А до В пройдёт плот к
моменту возвращения катера в пункт В, если скорость катера в стоячей воде
вчетверо больше скорости течения реки.

по
Теория и задачи
3. (ВМК-99(1).1) Пункты А, В, С и D расположены на одной прямой в
указанной последовательности. Пешеход выходит из пункта А со скоростью
5 км/час и направляется в пункт D. Достигнув пункта Dy он поворачивает
обратно и доходит до пункта £>, затратив на всю дорогу 5 час. Известно, что
расстояние между А и С он прошел за 3 часа, а расстояния между А и Ву
В и С, С и D (в заданном порядке) образуют геометрическую прогрессию.
Найти расстояние между В и С.
4. (Геогр-77.4) Грузовик и гоночный автомобиль выехали одновременно из
пункта А и должны прибыть в пункт С. Грузовик, двигаясь с постоянной
скоростью, доехал до пункта С, проделав путь, равный 360 км. Гоночный
автомобиль поехал по окружной дороге и сначала доехал до пункта В,
расположенного в 120 км от пункта А, двигаясь со скоростью, вдвое большей
скорости грузовика. После пункта В он увеличил свою скорость на 40 км/ч
и проехал путь от пункта В до пункта С, равный 1000 км. Он прибыл в
пункт С на 1 час 15 минут позднее грузовика. Если бы гоночный
автомобиль весь свой путь от пункта А до пункта С ехал с той же скоростью, что
и от пункта В до пункта С, то в пункт С он прибыл бы на 1 час позднее
грузовика. Найти скорость грузовика.
5. (ВКНМ-99(1).3) Из города в деревню одновременно отправились бегун Б и
пешеход Π ι, а в тот же момент из деревни в город вышел пешеход Π 2 .
Скорости пешеходов были равны. Встретившись, Б и Π 2 некоторое время стояли
на месте, а затем направились в деревню. При этом Б побежал с прежней
скоростью, равной 12 км/ч, а П 2 уменьшил свою скорость в полтора
раза. В результате в деревню сначала прибежал Б, а затем через промежуток
времени, в два раза больший длительности встречи Б и П2, одновременно
пришли оба пешехода. Найти скорость пешехода Π ι.
6. (Хим-81.3) Из города А в город В выехал автомобиль. Одновременно с ним
из пункта С, расположенного между А и Ву в город А выехал второй
автомобиль. Первый прибыл в В одновременно с прибытием второго в А.
Затем автомобили одновременно выехали навстречу друг другу, встретились
в пункте D и одновременно прибыли первый в Ау второй в В. Каждый
автомобиль ехал со своей постоянной скоростью, но второй сделал остановку
на пути от С к А, а первый - остановку той же продолжительности на пути
от В к D. Найти расстояние между С и D, если известно, что расстояние
от А до С равно 270 км, а расстояние от С до В равно 180 км.
7. (ВМК-92.4) Из города А в город В выехал автомобиль. Спустя некоторое
время из В в А по той же дороге выехал мотоцикл. Скорости автомобиля
и мотоцикла на всем пути постоянны. Автомобиль до встречи с мотоциклом
находился в пути 7 часов 30 минут, а мотоцикл до встречи ехал 3 часа.
Мотоцикл прибыл в А в 23 часа, а автомобиль прибыл в В в 16 часов 30
минут того же дня. Найти время отправления мотоцикла из города В.
9.2. Арифметическая и геометрическая прогрессии
Перед тем, как приступить к решению задач этого раздела необходимо повторить
соответствующие определения и формулы, приведённые в разделе 4.2, стр. 48.

9.2. Арифметическая и геометрическая прогрессии
111
Примеры решения задач
Пример 1. (Геогр-99(1).2) Сумма первых пяти членов возрастающей
геометрической прогрессии равна 15, а их произведение равно 1155. Найти шестидесятый
член прогрессии.
Решение. Обозначим за d разность прогрессии, аз = х; получаем систему урав-
ί (а3 - 2d) + (а3 - d) + α3 + (α3 + d) + (α3 + 2d) = 15,
j(a3 -2d)(a3 - d)a3(a3 + d)(a3 + 2d) = 1155;
ίδχ = 15,
^ |(ж2 - 4d2)(:r2 - d2)x = 1155.
Из первого уравнения системы получаем χ = 3 и подставляем во второе:
(9 - 4d2)(9 - d2) = 385 ^^ 4d4 - 45d2 - 304 = 0,
откуда d2 = 16, то есть d = 4 с учётом условия d > 0. Следовательно,
«60 = ai + 59d = a3 - 2d + 59d = 3 + 57 · 4 = 231.
Ответ. 231.
Пример 2. (Псих-00.2) Рассматриваются геометрические прогрессии, у
каждой из которых первый член равен десяти, сумма второго и третьего членов равна
целому числу, кратному четырём, и не превосходит одной тысячи, а знаменатель
больше единицы. Указать знаменатели всех таких прогрессий.
Решение. Если первый член геометрической прогрессии равен 10, то второй
и третий равны 10α π 10α2, где а знаменатель прогрессии. По условию задачи
10а + 10а2 = 4п < 1000, где η G Ъ. Следовательно, η < 250 и
а2 + a - — = 0 4
5
(Z -
-1 -
-l±^l + f
2
V1+^„„
Так как по условию a > 1, то корень a = не подходит. Отберём η,
при которых второй корень больше единицы:
>1 ^^ л/1 Ч—— > 3 ^^ η > 5.
8п
В результате получаем a = ^ при η = б, 7,..., 250.
-1 + л/1+ 5
8п
Ответ. при η = б, 7,..., 250.
-1 + л/1+ 5

112
Теория и задачи
Задачи
1. (Геол-94.1) Какое из двух чисел больше: 2\/Ϊ7 или 8, (24)?
2. (Почв-00.2) Первый, второй и четвёртый члены арифметической прогрессии
одновременно являются соответственно первым, вторым и третьим членами
некоторой геометрической прогрессии. Найдите все значения, которые может
принимать знаменатель этой геометрической прогрессии.
3. (ВМК-90.2) Числа αϊ, а^,..., а^\ образуют арифметическую прогрессию.
Известно, что сумма членов этой прогрессии с нечётными номерами на 15
больше суммы членов с чётными номерами. Найти а\ч, если а2о = Зад.
4. (М/м-97(2).2) Даны арифметическая и геометрическая прогрессии. Сумма
их первых членов равна (—3), сумма третьих членов равна 1, а сумма пятых
членов равна 5. Найти разность арифметической прогрессии.
5. (ЕГЭ.С) Четыре числа образуют геометрическую прогрессию. Если к ним
прибавить соответственно 2, 5, 7 и 7, то получим четыре числа, образующих
арифметическую прогрессию. Найдите числа, образующие геометрическую
прогрессию.
6. (ЕГЭ.С) Сумма утроенного второго и четвёртого членов арифметической
прогрессии равна 12. При каком значении разности прогрессии произведение
третьего и пятого членов прогрессии будет наименьшим?
7. (Геол-80.4) В гору ехал автомобиль. В первую секунду после достижения
пункта А он проехал 30 м, а в каждую следующую секунду он проезжал
на 2 м меньше, чем в предыдущую. Через 9 с после того, как автомобиль
достиг пункта А, навстречу ему выехал автобус из пункта В, находящегося
на расстоянии 258 м от пункта А. В первую секунду автобус проехал 2 м, а
в каждую следующую секунду он проезжал на 1 м больше, чем в
предыдущую. Какое расстояние проехал автобус до встречи с автомобилем?
8. (М/м-00(1).2) О первых семи членах убывающей арифметической
прогрессии известно, что сумма пятых степеней всех этих членов равна нулю, а
сумма их четвёртых степеней равна 51. Найти седьмой член этой
прогрессии.
9. (ВМК-94(2).5) В начальный момент лечения пациенту была произведена
первая инъекция б единиц некоторого лекарства, а во время каждой
последующей инъекции ему вводится 4 единицы того же лекарства. За время между
инъекциями количество лекарства в организме уменьшается в 5 раз. Какое
количество лекарства будет содержаться в организме пациента сразу после
30-й инъекции?
10. (Соц-98.5) Найти все натуральные значения параметра п, при каждом из
которых задача: «Найти арифметическую прогрессию, если известны её
семнадцатый член и сумма η первых членов» не имеет решений или её решением
является бесконечное множество арифметических прогрессий.

9.3. Концентрация, смеси и сплавы...
113
9.3. Концентрация, смеси и сплавы, массовые и объёмные
доли
Теоретический материал
Все задачи этого раздела сводятся к системам линейных или квадратных
уравнений. При решении задач на сплавы и смеси надо помнить, что
/fW. масса вещества ^
концентрация вещества (/о) = -, г · 100 %.
полная масса раствора (сплава)
Примеры решения задач
Пример 1. (Геогр-81.3) Имеется два раствора серной кислоты в воде: первый -
40 %-й, второй - 60 %-й. Эти два раствора смешали, после чего добавили 5 кг
чистой воды и получили 20 %-й раствор. Если бы вместо 5 кг чистой воды добавили
5 кг 80 %-го раствора, то получился бы 70 %-й раствор. Сколько было 40 %-го и
60 %-го растворов?
Решение. Пусть количество 40%-го раствора составляет χ кг, а количество
60%-го раствора - у кг. При смешивании χ кг 40%-го раствора, у кг 60%-го
раствора и 5 кг чистой воды получается раствор массой (х + у + Б) кг, содержащий
20 % кислоты по условию. Поскольку в ж кг 40 %-го раствора кислоты содержится
X
—— . 40 = 0, Ах кг, а в у кг 60 %-го раствора содержится 0,6?/ кг кислоты, то в
(х + у + 5) кг полученного раствора содержится (0, Ах + 0, 6у) кг кислоты, что
составляет 20 % от (х + у + 5) кг, то есть 0, 2{х + у + 5) кг. Получаем уравнение
0,4ж + 0,б£/ = 0,2(> + 2/ + 5).
Если же вместо 5 кг воды добавить 5 кг 80 %-го раствора, то получится раствор
той же массы (χ + y + b) кг, но масса кислоты в нём составит (0, Ах + 0, 6у + 0, 8 · 5)
кг. Так как полученный раствор по условию 70 %-й, то справедливо равенство
0, Ах + 0, 6у + 0, 8 · 5 = 0, 7(х + у + 5).
Итак, хну можно найти из системы уравнений:
ίθ, Ах + 0, 6у = 0, 2(х + у + 5), (х + Чу = 5, (х = 1,
jo,4x + 0,6i/ + 4 = 0,7(> + 2/ + 5); ^^ |зж + £/ = 5; ^^ [у = 2.
Ответ. 1 кг 40 %-го раствора и 2 кг 60 %-го раствора.
Пример 2. (Геол-91.3) В баке находится 100 литров смеси кислоты с водой. Из
бака отлили часть смеси и добавили равное по объёму количество воды, которое
на 10 литров превышает первоначальное количество кислоты в смеси. Затем снова
отлили такое же количество смеси, как в первый раз, в результате чего количество
кислоты в баке уменьшилось в четыре раза по сравнению с количеством её в
исходной смеси. Определить количество воды в исходной смеси.
Решение. Проследим за изменением количества кислоты в баке на каждом из
этапов. Пусть изначально в баке было χ литров кислоты. На первом этапе из бака
отлили у литров смеси (причём у = χ + 10) и долили у литров воды. На втором
этапе из бака отлили у литров смеси. Занесём в таблицу характеристики смеси.

114
Теория и задачи
1 этап
2 этап
всего смеси
100 л
100 л
кислота
X
X
х~уш
концентрация
X
100
х ~ УТоо
100
отлили кислоты
X
У' Ϊ00
х ~ УТоо
У 100
Так как количество кислоты в баке уменьшилось в четыре раза по сравнению
с количеством её в исходной смеси, то
/ χ \ χ - y-rL· χ ( χ \ / у \ χ
\х - УШ - у^оГ" = 4 ^ \х - уш) Ч1 - ϊοο) = 4 ^
ТЛ_ Μ (л_АЛ-± <=+ (л-АЛ2-λ ^^ ι у ι 1
Г ЮОУЧ1 100У " 4 V1 100У "4 100" 2'
откуда 2/ = 50 литров или i/ = 150 литров; по смыслу задачи у < 100;
следовательно, у = 50, ж = 40 и искомая величина 100 — χ = 60 литров.
Ответ. 60 литров.
Задачи
1. (ЕГЭ) Масса первого сплава на 3 кг больше массы второго сплава. Первый
сплав содержит 10 % цинка, второй 40 % цинка. Новый сплав, полученный
из двух первоначальных, содержит 20 % цинка. Определите массу нового
сплава.
2. (ЕГЭ) Кусок сплава меди с оловом массой 15 кг содержит 20 % меди.
Сколько чистой меди необходимо добавить к этому сплаву, чтобы новый сплав
содержал 40 % олова?
3. (ЕГЭ) Свежие грибы содержат 92% воды, а сухие 8%. Сколько получится
сухих грибов из 23 килограммов свежих?
4. (ЕГЭ) К 40 % раствору соляной кислоты добавили 50 г чистой кислоты, после
чего концентрация раствора стала равной 60 %. Найдите первоначальный вес
раствора.
5. (ЕГЭ) Какое количество воды нужно добавить в 1 литр 9 %-ного раствора
уксуса, чтобы получить 3 %-ный раствор?
6. (Филол-00.1) Имеется 40 литров 0,5 % раствора и 50 литров 2 % раствора
уксусной кислоты. Сколько нужно взять первого и сколько нужно взять
второго раствора, чтобы получить 30 литров 1,5 % раствора уксусной кислоты?
7. (Физ-78.2) Руда содержит 40 % примесей, а выплавленный из неё металл
содержит 4 % примесей. Сколько получится металла из 24 тонн руды?

9.3. Концентрация, смеси и сплавы...
115
8. (Экон-80.4) Имеются два сплава, состоящие из цинка, меди и олова.
Известно, что первый сплав содержит 40 % олова, а второй - 26 % меди.
Процентное содержание цинка в первом и втором сплавах одинаково. Сплавив 150
кг первого сплава и 250 кг второго, получили новый сплав, в котором
оказалось 30 % цинка. Определить, сколько кг олова содержится в получившемся
новом сплаве.
9. (Геол-95.6) Имеются два слитка, содержащие медь. Масса второго слитка
на 3 кг больше, чем масса первого слитка. Процентное содержание меди
в первом слитке - 10%, во втором - 40%. После сплавливания этих двух
слитков получился слиток, процентное содержание меди в котором - 30%.
Определить массу полученного слитка.
10. (Геол-9б(1).5) В одном декалитре кислотного раствора 96% объёма
составляет кислота. Сколько воды можно долить, чтобы концентрация кислоты
в полученном растворе была не больше 40 %?
11. (ВМК-96.2) Первый раствор содержит 20% азотной кислоты и 80 % воды,
второй -60% кислоты и 40 % воды. Первая смесь была получена из 15 л
первого раствора и некоторого количества второго раствора. Смешав то же
самое количество второго раствора с 5 л первого раствора, получили вторую
смесь. Сколько литров второго раствора было использовано для
приготовления первой смеси, если процентное содержание воды во второй смеси вдвое
больше процентного содержания кислоты в первой?
12. (ВМК-00.2) Имеется некоторое количество раствора соли в воде. После
испарения из раствора 1 л воды концентрация соли возросла на 0,05, а
после разведения получившегося раствора 39 л воды концентрация соли стала
в три раза меньше первоначальной. Найти концентрацию соли в исходном
растворе, считая массу 1 л воды равной 1 кг.
13. (Экон-79.3) Из сосуда, до краёв наполненного чистым глицерином, отлили 2
литра глицерина, а к оставшемуся глицерину долили 2 литра воды. После
перемешивания снова отлили 2 литра смеси и долили 2 литра воды. Наконец,
опять перемешали, отлили 2 литра смеси и долили 2 литра воды. В
результате этих операций объём воды в сосуде стал на 3 литра больше объёма
оставшегося в нем глицерина. Сколько литров глицерина и воды оказалось
в сосуде в результате проделанных операций?
14. (Геол-81.5) Для составления смеси из двух жидкостей А и В были взяты
два сосуда: первый ёмкостью 10 литров, второй - 20 литров. Сначала в оба
сосуда было налито всего 15 литров жидкости А. Затем первый сосуд был
дополнен доверху жидкостью В и было произведено перемешивание. После
этого второй сосуд был дополнен доверху смесью из первого сосуда. После
того как в первый сосуд было добавлено жидкости А столько, сколько было в
него её налито сначала, отношения количества жидкости А ко всему объёму
имеющейся жидкости в сосуде для первого и второго сосудов стали равными.
Сколько литров жидкости А было налито первоначально в первый сосуд?

116
Теория и задачи
9.4. Целые числа, перебор вариантов, отбор решений
Теоретический материал
Все задачи этого раздела сводятся к уравнениям и неравенствам в целых числах,
решение которых может быть получено перебором.
Для того, чтобы организовать перебор, надо отбросить заведомо неприемлемые
варианты.
При решении задач на целые числа полезно использовать делимость целых
чисел, разложение на простые сомножители, соображения симметрии.
Рассмотрим некоторые основные приёмы решения уравнений в целых числах.
Разложение на множители
Пусть каким-либо образом удалось получить представление исходного уравнения
в виде
Л (я, 2/, я) · f2(x,y,z) = d,
где d - некоторое целое число, а функции /ι(χ, у, ζ) и /2(2;, 2/, ζ) принимают только
целочисленные значения при целых хууу ζ. После этого следует перебрать
всевозможные пары целых чисел (d\,d2) такие, что d\ · d2 = d, и для каждой такой
пары решить систему уравнений
ί fi(x,y,z) =du
\ f2(x,y,z) = d2.
Предполагается, что каждое уравнение системы проще исходного уравнения.
Рассмотрим наиболее типичные преобразования к требуемому виду.
1. Пусть (ах)2 — (by)2 = d. Тогда формула разности квадратов приводит к
искомому равенству (ах + by) · (ах — by) = d.
2. Пусть ах2 + Ъху + су2 = d и квадратный трёхчлен at2 + bt + с
раскладывается на множители с целыми коэффициентами. Это означает, что
соответствующий дискриминант является полным квадратом. Тогда легко выписать
требуемое представление
(а\х + Ъ\у) · (а2х + b2y) = d.
В этих рассуждениях а, 6, с, d - целые числа.
Использование оценок
Рассматривается уравнение /г(хууу z) +f2(y, z) +f3(z) = d, где /ь /2, /3
-заданные неотрицательные выражения, d - натуральное число. Из уравнения следует
неравенство
О < h(z) = d-f!(x,y,z) - f2(y,z) <d,
откуда определяются возможные значения ζ. При каждом конкретном ζ$ мы
будем иметь уравнение
/ι(χ,2/,2?ο) + /2(2/, го) = d- f3(z0).

9.4· Целые числа, перебор вариантов, отбор решений
117
Таким образом, мы свели исходное уравнение к аналогичному уравнению с
меньшим числом слагаемых и переменных. Для него аналогичным образом получается
неравенство
0<f2(y,zo)<d-f3(zo),
откуда для данного zo находятся возможные значения у. При каждом конкретном
2/о мы будем иметь уравнение
/ι(ζ,2/ο,2ο) = d-/2(2/0,20) -/3(20),
откуда находятся целые значения хо, отвечающие (2/о?^о)? либо делается
заключение об отсутствии решений при данных (уо, zq) . Перебрав все возможные пары
(?/о? ^о) ? найдём все возможные значения хо .
Примеры решения задач
Пример 1. (У) Найти все пары натуральных чисел ρ и q, для которых
V = q2 - 9.
Решение. Перепишем уравнение в виде (q — 2p)(q + 2р) = 9. Так как ρ и q -
натуральные числа, то q + 2р > 3, следовательно, возможны только следующие
варианты:
Так как нас интересуют только натуральные значения, то второй вариант не
подходит.
Ответ. (2; 5).
Пример 2. (У) Решить в целых числах уравнение Ъх2 + у2 + 3z2 — 2yz = 30.
Решение. Перепишем уравнение в виде
(y-z)2 + 2z2 = 30-5ж2.
Так как левая часть уравнения неотрицательна, то и правая часть уравнения тоже
должна быть неотрицательна, то есть
30 - Ъх2 > 0 ^^ х2 < 6.
Учитывая, что iGZ, получаем, что х2 может принимать значения 0; 1; 4.
1) При х2 = 0 получаем уравнение (у — ζ)2 + 2ζ2 = 30 или (у — ζ)2 = 30 — 2ζ2. Из
условия 30 — 2ζ2 > 0 следует, что ζ2 = 0; ζ2 = 1; ζ2 = 4; ζ2 = 9, однако ни при
одном из этих значений не существует целого у.
25
2) При х2 = 1 имеем уравнение (у — ζ)2 = 25 — 2ζ2. Из условия ζ2 < — получаем
возможные значения: ζ2 = 0; ζ2 = 1; ζ2 = 4; ζ2 = 9. Уравнение имеет целые
решения только при ζ2 = 0. В этом случае ι/2 = 25 <^> у = ±5.
3) При х2 = 4 имеем (2/-^)2 = 10 -2г2. Так как ζ2 < 5, то ζ2 = 0; ζ2 = 1; ζ2 = 4.
При этих значениях уравнение не имеет целых решений.
Ответ. (1;5;0), (1;-5;0), (-1;5;0), (-1;-5;0).

118
Теория и задачи
Пример 3. (ВМК-86.3) В академическом собрании сочинений, включающем
менее 20 томов, число томов с художественными произведениями кратно числу
томов с письмами, которых, в свою очередь, в три раза меньше, чем томов с
публицистикой. Если число томов с художественными произведениями увеличить в два
раза, то их станет на 14 больше, чем томов с письмами. Сколько томов с
публицистикой содержит собрание сочинений?
Решение. Обозначим количество томов в собрании: η штук с художественными
произведениями, I штук с письмами, ρ штук с публицистикой. Из условия задачи
получаем
η = /с/, п,к,1 Ε Ν,
3l=p, peN,
n + l+p < 20,
2n = 14 + /;
подставляем последовательно η = kl и р = 3/ в два последних условия:
(kl + l + 3l < 20,
\2Ы = 14 + /;
из второго уравнения следует, что I - чётное; подставляем из уравнения в
неравенство: 2Ы = I + 14, то есть I + 14 + 8/ < 40, откуда 9/ < 26, 1 = 2 или
1 = 1 — нечётное; значит, 1 = 2, ρ = 31 = 6.
Ответ. 6 шт.
Задачи
1. (У) Решить в целых числах уравнение 6х2 + Ъу2 = 74.
2. (У) Решить в целых числах уравнение 2х3 + ху — 7 = 0.
3. (У) Решить в целых числах уравнение х2 — у2 = 21.
4. (У) Решить в натуральных числах уравнение 2ху = х2 + 2у.
5. (У) Решить в целых числах уравнение х2 = у2 + 2у + 13.
6. (У) Решить в целых числах уравнение 1Ъх2 — llxy + 2у2 = 7.
7. (Экон.К-бб.1) Группа студентов, состоящая из 30 человек, получила на
экзамене оценки «2», «3», «4» и «5». Сумма полученных оценок равна 93, причём
«троек» было больше, чем «пятёрок», и меньше, чем «четвёрок». Кроме того,
число «четвёрок» делилось на 10, а число «пятёрок» было чётным.
Определить, сколько каких оценок получила группа.
о /гл η,^ττ (7875ж3 = 1701?/3,
8. (Экон-94.1) Найти все целочисленные решения системы <
\\х\ <5.
9. (Биол-92.4) Найти все пары целых чисел р, q, удовлетворяющие одновре-
\р2 + q2 < 18р - 20q - 166,
\32p-q2 > ρ2 + 12<7 + 271.
менно двум неравенствам ^ 2 2

10.1. Различные приемы раскрытия модулей...
119
10. (Почв-77.5) Рота солдат прибыла на парад в полном составе прямоугольным
строем по 24 человека в ряд. По прибытии оказалось, что не все солдаты
могут участвовать в параде. Оставшийся для парада состав роты перестроили
так, что число рядов стало на 2 меньше прежнего, а число солдат в каждом
ряду стало на 26 больше числа новых рядов. Известно, что если бы все
солдаты участвовали в параде, то роту можно было бы выстроить так, чтобы
число солдат в каждом ряду равнялось числу рядов. Сколько солдат было
в роте?
11. (ВМК-82.4) На заводе было несколько одинаковых прессов, штампующих
детали, и завод выпускал 6480 деталей в день. После реконструкции все прессы
заменили на более производительные, но также одинаковые, а их количество
увеличилось на три. Завод стал выпускать в день 11200 деталей. Сколько
прессов было первоначально?
12. (М/м-00(2).2) Два друга, Ваня и Петя, ходили за грибами. Встретившись
перед возвращением домой, они обнаружили, что Ваня нашёл 35 грибов, среди
которых было несколько подосиновиков, а Петя грибов не нашёл. Ваня взял
себе белые грибы, а остальные отдал Пете. Петя, обнаружив среди них
червивый подберёзовик, выкинул его. Сколько было найдено подосиновиков, если
доля белых в найденных Ваней грибах оказалась равной доле подосиновиков
в принесённых Петей домой грибах?
13. (Геол.ОГ-88.5) В пионерский лагерь отправилась автобусная колонна с 510
пионерами, состоящая из «Икарусов» и «Лиазов», причём количество тех и
других нечётно. Число пионеров в каждом из «Лиазов» одинаково и кратно
трём, а в каждом «Икарусе» - в 1,2 раза больше, чем в одном «Лиазе».
Сколько всего автобусов в колонне?
10. Раскрытие модулей в уравнениях
и неравенствах различных видов
В этом параграфе предлагаются более сложные и интересные задачи по сравнению
с разделом 1.3, в котором рассматривались простейшие задачи с модулями.
10.1. Различные приёмы раскрытия модулей,
системы уравнений и неравенств с модулями
Теоретический материал
Напомним определение модуля вещественного числа х:
ίχ, если χ > 0,
—ж, если χ < 0.
Раскрытие модулей по определению
Приведём уже упоминавшиеся ранее эквивалентные переходы при раскрытии
модулей по определению:

120
Теория и задачи
\f(x)\=g(x)
\f(x)\>g(x)
\f(x)\ <g(x)
f(x) = g(x),
J(x)>0;
-f(x) = g(x),
J(x)<0;
f(x) > g(x),
J(x)>0;
-f(x) > g(x),
J(x) < 0;
f(x) < g(x),
J(x)>0;
-/0*0 < g{x),
f(x) < o.
(47)
(48)
(49)
Заметим, что при подобном раскрытии модулей нам не приходится исследовать
знак функции д(х)у стоящей в правой части неравенств:
• из равносильной совокупности (48) автоматически следует, что все значения
χ из области определения f(x) и д(х), при которых д(х) < 0, являются
решением исходного неравенства;
• из равносильной совокупности (49) при д(х) < 0 автоматически следует
отсутствие решений у исходного неравенства.
В случае нестрогих неравенств с модулем неравенства равносильных систем
также становятся нестрогими. Кроме того, нет принципиальной разницы в
приписывании случая f(x) = 0 к любой из получаемых систем (или далее к обеим
сразу).
Рассмотрим другой подход к раскрытию модулей, основанный на
использовании геометрического смысла модуля.
\а\
\а\
Раскрытие модулей через геометрический смысл
Геометрическим смыслом модуля числа считается
расстояние по числовой оси от начала отсчёта до
рассматриваемого числа, причём одному и тому же —Ρ
значению \а\ соответствуют две симметричные
относительно начала отсчёта точки: —а и а.
Использование геометрического смысла модуля позволяет существенно
сократить равносильные преобразования при раскрытии модулей. Например:
-а
а
\f(x)\=g(x)
'д(х) > о,
'f(x) = д(х),
_ί(χ) = -д(х);
(50)

10.1. Различные приемы раскрытия модулей...
121
|/(*)|>5θΌ
\f{x)\<g(x)
f(x) > g(x),
f(x) < -g(x);
-g(x) < f(x) < g(x).
(51)
(52)
Заметим, что при таком раскрытии модулей в неравенствах нам не приходится
исследовать знак не только функции д(х), стоящей в правой части неравенств, но
и функции f(x), стоящей под знаком модуля. Это сокращает работу при решении
задач.
В случае нестрогих неравенств с модулем все неравенства равносильных систем
также становятся нестрогими.
Дополнительные факты и сведения
В ряде случаев для упрощения решения бывает удобно использовать специальный
вид уравнения или неравенства. Например:
1/(*)1 = №
fix) > 0;
(53)
1/(*)1 < /(*)
fix) > 0;
(54)
\f(x)\ + \g(x)\=f(x)+g(x)
\f(x)\ + \g(x)\<f(x) + g(x)
f(x) > 0,
j(x) > 0;
Ί(χ) > о,
д(х) > 0.
(55)
(56)
Примеры решения задач
Пример 1. (Экон.К-78.1) Найти все решения уравнения \х2 + χ — 11 = 2х — 1,
Уз
удовлетворяющие неравенству χ < .
Решение. Раскроем модуль через геометрический смысл. Согласно (50)
получаем:
\х2+х-1\ = 2х-\
2х - 1 > 0,
х2 +ж- 1 = 2х- 1,
х2 +х- 1 = -(2х- 1);
χ >
1
х2 — χ = 0,
х2 + Зх - 2 = 0;
χ >
1
χ = 0 или χ = 1,
-з-л/Гг
17
ИЛИ X
χ = 1,
17

122
Теория и задачи
л/3
Корень χ = 1 не удовлетворяет неравенству χ < . Проверим второй корень:
л/Гг-з
V
1
Значит,
17-3 1
2 <73
2 л/3
л/51-Зл/З V 2
л/51 V Зл/3 + 2
51 V 31 + 12л/3
20 V 12л/3
5 V Зл/3
25 < 27
17-3
Ответ.
л/17-3
и ж
является решением задачи.
Пример 2. (Биол-83.3) Решить неравенство 8 + б · |3 — V'х + 5| > ж.
Решение. Раскроем модуль через геометрический смысл. Согласно (51)
получаем:
6Vx + 5 < 26-ж,
6л/х + 5 > ж+ 10.
6(3 - л/ж+ 5) > ж - 8,
6(3 - л/ж+ 5) < 8 - х]
Каждое из получившихся неравенств решаем по стандартному алгоритму для
радикалов:
'36(ж + 5) < (26-ж)2,
χ > —5,
26 - χ > 0;
1) 6л/ж~П5<26-
;2 - 88ж + 496 > 0,
-5 < χ < 26;
χ е (-оо; 44 - 12λ/Ϊ0) U (44 + 12λ/Ϊ0; +оо)
-5 < χ < 26;
-5 < χ < 44 - 12λ/Ϊ0;
2) 6л/ж + 5 > ж+10
36(ж + 5) > (ж + 10)2,
х> -10,
-4 < ж < 20.
)ж + 5 >0
_ [х< -10;
I -4 < ж < 20,
^^ |ж>-10; ^^
Объединяя результаты первого и второго случаев, получаем:
5 < χ < 44 - 12λ/Ϊ0,
4 < ж < 20;
Ответ. [-5; 20).
16ж - 80 < 0,
ж > -10,
-5 < ж < 20.

10.1. Различные приемы раскрытия модулей...
123
Пример 3. (ВМК-74.3) Найти все значения χ, удовлетворяющие одновременно
(|ж-2| + |ж-3| = 1,
следующим условиям < 0
J J |813ж-974< 163ж2.
Решение. Сначала рассмотрим уравнение
\х-2\ + |х-3| = 1 ^^ |ж-2| + |3-ж| = (ж-2) + (3-ж) ^^
2 <х < 3.
Теперь найдём корни квадратного трёхчлена 163ж2 — 813ж + 974. Вычисление
дискриминанта будет достаточно громоздким, поскольку все коэффициенты
являются трёхзначными числами. Если лее целочисленный корень (х\ = 2) найти
подбором, то второй корень можно получить с помощью теоремы Виета из соот-
ношения Х1-Х2 = ^. Непосредственное вычисление дискриминанта
163
D = 8132 - 4 · 163 · 974 = 25921 = 1612
Χχ
163
= 8132 - 4 · 163 · 974 = 25921
813-161 487 π
2, Х2 = · В результате исходная система равносильна следу-
приводит к тем же значениям
2-163
ющеи:
487
Ϊ63
; +оо
~ X
_
= 2,
"487 -
.163' _
Ответ. {2}U
487 ^
163'
Задачи
1. (Геол-91.2) Решить уравнение \х2 — 2х — 1| — χ + 1 = 0.
2. (Физ-98(2).2) Решить неравенство \х2 + 2х - 8| > 2х.
3. (Биол-98.2) Решить неравенство \х2 + χ — 2| + \х + 4| < х2 + 2ж + 6.
4. (Физ-96(2).3) Решить неравенство -1 < |ж2 - 9| < 27.
5. (Экон-90.2) Решить уравнение л/25 + \16х2 - 25| = 4 + 4|ж + 1|.
6. (Геогр-99(1).3) Решить уравнение V^x2 + Ux + 47| -1 = \х + 7| - 1.
7. (BMK-OO(l).l) Решить неравенство | \х2 - 8х + 2| - х2\ > 2х + 2.
/™/ ™/ χ χ -г, ч|ж-4|-|ж-1| |ж-3| + |ж-2|
8. (М/м-00(1).1) Решить неравенство а) . .—
_^<^_
б)
|ж + 4| |ж ■
II
|ж-2|-|ж + 1| ' |ж + 4|
9. (Почв-00.4) Решить систему уравнений <
ж — у\ + 2ж = 6,
2х — у\ + Зж = 6
и изобразить множество решений на координатной плоскости (ж, у).

124
Теория и задачи
10. (ИСАА-99.5) Решить неравенство
у/х*
■6-3
II
> 1.
11. (ВМК-98(1).2) Решить неравенство
а) \у/х=4-3\ > |л/9^ж-2| + 1; б) \V~2x - 4 - 3| < |л/9 + 2ж - 2| + 1.
12. (Геогр-78.5) а) Найти все значения параметра а, для каждого из которых
существует только одно значение ж, удовлетворяющее системе уравнений
- Ъх + 4| - 9х2 - Ъх + 4 + 10ж|ж|
2(а- 1)ж + а(а-2) =0.
0,
б) Найти все значения параметра а, для каждого из которых существует
ровно два значения χ, удовлетворяющих системе уравнений
J \х2 - 7х + 6| + х2 + 5ж + 6 - 12ж|ж| = 0,
1 ж2 - 2(а - 2)ж + а(а - 4) = 0.
13. (Геол-86.5) а) Для каждой пары положительных чисел а и Ъ найти решение
1
неравенства
1
1
>
б) Для каждой пары положительных чисел cud найти решение неравенства
1
1
1
>
+
14. (ВМК-95(1).4) Для каждого значения а решить неравенство
1
а) |ж + 2а| <
б)
2а
> х.
10.2. Раскрытие модулей в тригонометрических уравнениях
В этом разделе собраны тригонометрические уравнения с модулями. Для
успешного решения таких задач необходимо помнить и уметь применять
тригонометрические формулы, приведённые в предыдущих разделах.
Примеры решения задач
Пример 1. (Геогр-97(1).3) Решить уравнение | cosx|— cos3x = sin2x. В ответе
указать сумму корней уравнения, принадлежащих отрезку [—8π; 7π].
Решение. Раскроем модуль по определению.
1) При cos ж > 0 получим
cos χ — cos Зх = sin 2x
2 sin x sin 2x = sin 2x
sin2x = 0,
1
Γ πη π 5π Ί
xG< —, l· 2πτη, h 27г/с; η, τη, /с G Ζ > .
Согласно условию cos ж > 0 оставляем углы I и IV четвертей:
Г 7Г 7Г "|
xG 2πη, h 7rm, h 27rfc; η, τη, /с G Ζ > .

10.2. Раскрытие модулей в тригонометрических...
125
2) При cos ж < 0 получим
— cos χ — cos Зх = sin 2х <^> cosx(sina; + cos2x) = 0
sin ж = 1,
2 sin2 χ — sin χ — 1 = О
sin χ
1
25
χ e
{ι
+ 2πη, h 2πτη,
6
5π
5π
+ 27rfc; η, τη, /c G Ζ
Согласно условию cos ж < 0, получим χ = —— + 2πη, η G Ζ.
Теперь найдём сумму корней, лежащих на отрезке [—8π; 7 π].
1) χ = 2πη G [—8π; 7 π]; тогда η = —4, —3,..., 3; 5Ί = —8π — 6π — ... + 6π = — 8π.
7Γ
2) ж = —+πτη G [—8π; 7π]; тогда — 8 < πι < 6; данную серию можно рассматривать
7Г
как арифметическую прогрессию из 15 членов с разностью π и а\ = 8π;
52 = ^ί^.15 = 15(α1 + 7^ = 15(|-8π + 7π)=-^.
7Г
3) χ = h 7г/с G [—8π; 7π]; тогда — 8 < k < 6; это арифметическая прогрессия из
π
15 членов с разностью π и αϊ = — — 8π;
53=2£ί±^.15 = 15(αι+7ίί) = 15^_8π + 7^=_25Ξ_
157Г 257Г
В результате 5 = 5ι + 52 + 53 = -8π — = -28тг.
Ответ. —28π.
Пример 2. (Биол-75.4) Решить уравнение
sin χ — 2 sin 2x + sin Зж = 11 — 2 cos χ + cos 2x|.
Решение. Преобразуем обе части уравнения:
sin χ + sin Зх — 2 sin 2ж = 11 + cos 2x — 2 cos x| <^>
<^> 2 sin 2ж cos ж — 2sin2x = |2cos2 x — 2cosx| <^=
<^> 2sin2x(cosa: — 1) = |2cosx(cosx — 1)| <^>
<^> 2 sin χ cos x(cos χ — 1) = | cos x| · | cos χ — 11.

126
Теория и задачи
Рассмотрим два случая:
1) cos ж = 1 является решением, то есть χ = 27г/с, к Ε Ζ.
2) Если cos ж φ 1, то уравнение можно поделить на |1 — cosx| = 1 — cos ж > 0.
Получим:
-2 sin ж cos ж = I cosxl
cos ж = 0,
cos ж > 0,
1
sin ж = —
2
cos ж < 0,
1
2'
Объединив найденные решения, получим ответ.
7Г 7Г
Ответ. h7rn, Ь7гт, 27г/с; n,m,/cEZ.
Δ Ό
π
Ж = h 7ГП, П Ε Ζ,
π
ж = h 2πτη, τη Ε Ζ,
5π
ж = — + 27rg, </ Ε
Задачи
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
9.
10.
11.
ЕГЭ.С) Решить уравнение cos2 ж + 0,5| cosx| · sin ж = 0.
Экон.К-77.1) Решить уравнение ^ = I cos^| ·
(х + |)2
Почв-77.3) Решить уравнение | sinx| = sin ж + 2 cos ж.
Почв-99(1).2) Решить уравнение
Псих-89.2) Решить уравнение
1
cos ж
1
sin ж
COS
χ 2
2 ~ 5
Почв-97.3) Решить уравнение 2 sin2 x
5 cos x + 1.
2„ lsm^l =0
cos ж
1 РОЧ Ύ
Геол.ОГ-76.3) Найти все решения уравнения sin χ = 4 sin2 x cos χ.
1 — cos x
Биол-98.3) Решить уравнение \/\ — cos 2х = v2sinx ( cos ж
Почв-91.3) Решить уравнение \/2cos (χ + — J — sin ж = | cosx|.
Экон-95.2) Решить уравнение 2| sinx| + \/31ogt
cosx
0.
Экон-97.1) Решить систему уравнений
. π(χ + у)
sin — -
1 — sin
7Г(Ж - у)
^/4-\χ\-\ν + 2\ = ^/4-\χ\-\ν + 2\.

10.3. Раскрытие модулей в показательных...
127
12. (Геол-99.5) Решить уравнение
| ctg2 2х + 8v/-ctg2x - 3| = | ctg2 2х - 8v/-ctg2x - 3|.
13. (Хим-96.5) Решить уравнение
|1 + со^11л/х\ + \х2 — 1Ъх + 441 = 1Ъх — х2 — со^ттл/х — 45.
14. (ВМК-81.5) Найти все решения уравнения | sin(2x — 1)| = cos ж,
удовлетворяющие условию \х\ < 2π.
10.3. Раскрытие модулей в показательных
и логарифмических уравнениях и неравенствах
В этом разделе собраны задачи с модулями, содержащие показательные и
логарифмические функции.
Для успешного решения таких задач необходимо помнить и уметь применять
соответствующие формулы, приведённые в предыдущих разделах.
Примеры решения задач
I _ д; _|_ 1| _|_ |д; _|_ 1|
Пример 1. (Экон-91.2) Решить неравенство logi log3 > 0.
Решение. Поочерёдно снимаем логарифмы, используя монотонность
логарифмической функции, не забывая при этом про ОДЗ:
0 < log3
\х-1\
Is+ 11
2ж + 1
< 1
1 |s-i| + |s + i| <3
2ж + 1 ~
Так как числитель дроби положителен всегда, то неравенство имеет смысл только
1
при положительном знаменателе, то есть при χ > — -, что позволяет уйти от
дроби и снять второй модуль в числителе:
2х + К \х - 1| + χ + К 6х + 3 ^ \\х-1\>х,
1 ' _ |ж-1 <5ж + 2:
раскрываем модули в неравенстве через геометрический смысл:
χ — 1 > х;
х-1> -5ж-2,
χ - 1 < Ъх + 2;
1
Х<2
X > —
X > —
1
6'
3
4;
1 1
- < χ < -.
6 - 2
Все найденные решения удовлетворяют условию χ >
О'
1 1
"б'2

128
Теория и задачи
Поимев 2. (ВМК-88.4) Решить неравенство 8х > 6 · 9^'^ .
Решение. Раскрывая модуль по определению, получаем два случая.
/д\х з 3
1) Если χ > 1, то 8х > 6 · 9х'1 ^^ ( - ] < - ^^ χ < log| -.
2) Если χ < 1, то 8Ж > 6 · 9
1-ж
72* > 54 ^^ ж > log79 54.
В итоге ж G [log72 54; 1) U
3
l;log
β 2
ж G
S72^
з
log7254;log| -
Ответ.
Задачи
1.
log72 54; log
β 2
2.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
Экон.К-86.1) Решить уравнение 2|ж+11 = (у/2\
М/м-98(1).1) Решить уравнение 22х - 2Х+2
-2ж+3
2х
3
7
3'
М/м-93(1).1) Решить неравенство 5
35ж
/ с|ж2+6ж —1|
21 - 2х - 26~х - 13 - 2Х\
М/м-97(2).1) Решить неравенство z — τη > 1·
Почв-84.3) Решить неравенство log2
5- |3-2*|
1->ι.
Физ-95(2).5) Решить неравенство | log7 (χ + 2)| > 1.
Экон.К-85.2) Решить неравенство xlogi I χ \ > \х\
Геол-92.3) Решить уравнение |3 log^ χ4 + 7 log7 2 · log2 x2 | = — log^ 49.
Экон.М-99.1) Решить неравенство log1+|7a.+17|(|3x + 8| + \7х + 17|) < 1.
ВМК-70.2) Решить уравнение II - log ι χ\ + 2 = 13 - log ι χ\.
ВМК-93.3) Решить неравенство \3Х - 4| + |ж2 - 4ж + 3| < 3х + 4ж - х2 - 7.
Экон-83.3) Решить неравенство log3(x — 2) < log3 I -\x\ — 1 I .
Геол-99(1).5) Решить неравенство 2 < 21ogi(3x + 1) — 4
1
< 3.
. 83х > 2^+з
Соц-97.5) Решить систему ^ д/32
'хл/2- 1| = уДх- 1.
М/м-90.2) Решить уравнение 3 · 2е
с+Зу^
cosx+3\/l — sin2 x
+ 11-2
2 cos ж
34 = 0.

11.1. Понятие расщепления...
129
11. Разложение на множители и расщепление
в уравнениях и неравенствах различных видов
11.1. Понятие расщепления, равносильные преобразования
Теоретический материал
В этом разделе собраны задачи, для решения которых необходимо иметь
навыки разложения на множители алгебраических выражений. После разложения на
множители получающиеся уравнения и неравенства решаются расщеплением.
Основная идея расщепления при решении уравнений f(x)-g(x) = 0 достаточно
проста и основана на том, что произведение равно нулю тогда и только тогда, когда
хотя бы один из сомножителей равен нулю, а другой при этом имеет смысл, то
есть
Дх) · д(х) = О
f{x) = О,
д(х) - определена;
д(х) = О,
определена.
Неравенство f(x) · д(х) < 0 справедливо тогда и только тогда, когда
множители имеют разные знаки, то есть
/(ж) > О,
д(х) < 0;
Дх) < 0,
д(х)>0.
Неравенство Дх) · д(х) > 0 справедливо тогда и только тогда, когда
множители имеют одинаковые знаки, то есть
f(x)-g(x)<0
f(x)-g(x)>0
f{x) > 0,
д(х) > 0;
Дх) < 0,
д(х) < 0.
При решении нестрогих неравенств можно воспользоваться аналогичной
совокупностью с нестрогими неравенствами, например,
f(x)-g(x)<0
f(x) > 0,
д(х) < 0;
fix) < 0,
д(х) > 0;
f(x)-g(x)>0
но иногда удобнее расщепить нестрогое неравенство на равенство и строгое
неравенство
" /(ж) · д{х) > 0,
f(x)-gix)=0.
Теперь рассмотрим более общий случай. Пусть уравнение или неравенство
приведено к виду, когда в правой части стоит нуль, а в левой - произведение
сомножителей F\(x) · F2(x) · ... · Fn(x), зависящих от аргумента таким образом, что

130
Теория и задачи
решение уравнения Fk(x) = 0 или неравенства Fk(x) > 0 при Vfc = 1,2, ...,η
трудностей не представляет.
Правило расщепления уравнений: произведение равно нулю в тех и только тех
случаях, когда хотя бы один из его сомножителей равен нулю, а все остальные
имеют при этом смысл.
Правило расщепления неравенств: произведение отрицательно в тех и только
тех случаях, когда нечётное число его сомножителей отрицательны, а остальные
положительны; произведение положительно в тех и только тех случаях, когда
чётное число его сомножителей отрицательны, а остальные положительны (при
этом нуль может считаться чётным числом).
Замечание. Случай, когда множителей больше, чем два, можно свести к
случаю с двумя множителями, последовательно производя расщепление.
Примеры решения задач
Пример 1. (Псих-81.1) Решить систему уравнений
Решение. Рассмотрим второе уравнение системы
ν>5
■2/+ \[х2
ХЪ · л/х*
V = 2,
V = о.
χ
-Vx~2
V = о.
Возможны два варианта: либо χ = 0 и при этом х2 — 4у2 > 0, либо х2 — 4у2 = 0.
В первом случае получаем систему
ж = 0,
х1 - V > 0,
χ — и + \/х2
V
х = 0,
- V > о,
-2/+\/ZV = 2;
х = 0,
2/ = 0,
0 = 2;
то есть система не имеет решений.
Во втором случае получаем систему
χ — 4у
х-у
0,
+ у^~2
V
откуда и получаем ответ.
Ά 2Ν
Ответ.
3' 3
(4;2).
Пример 2. (Геол-94(1).б) Решить неравенство \х\ · (ж4 — 2х2 — 3) > 0.
Решение. Исходное неравенство равносильно совокупности уравнения
\х\ · (ж4 - 2х2 - 3) = 0 (*)
и неравенства
\х\ · (ж4 - 2х2 - 3) > 0. (**)

11.1. Понятие расщепления...
131
1) Решим уравнение (*) расщеплением. Один из корней уравнения χ ι = 0, другие
являются корнями биквадратного уравнения х4 — 2х2 — 3 = 0, решая которое,
получим Х2 = л/3, хз = —λ/3-
2) В силу неотрицательности модуля неравенство (**) при χ φ 0 равносильно
неравенству
ж4-2ж2-3>0 ^^ (ж2 + 1)02-3) >0 ^^ (ж-л/3)(ж + л/3) >0 ^^
^^ ж G (-оо; -л/з) U (л/3; +оо ]
Объединяя найденные решения, получаем ответ.
Ответ. (-оо;-л/3] U{0}U [л/3;+оо).
Задачи
1.
2.
3.
4.
5.
6.
10.
11.
12.
13.
14.
ЕГЭ.В) Найти сумму корней уравнения (х + 1) · л/2ж2 + 5ж + 2 = 0.
ЕГЭ.В) Найти произведение корней уравнения (2х — 3) · \/2х2 — Ъх + 2 = 0.
Экон-86.3) Решить уравнение л/Зж + 4 · (9ж2 + 2\х + 10) = 0.
ВМК-78.1) Решить неравенство (х — 1) · лЛс2 — ж — 2 > 0.
Геол-88.2) Решить неравенство (х2 + 8х + 15) · л/ж + 4 > 0.
Экон.К-8б.З) Решить неравенство (8х2 — 6х + 1) · у/—2Ъх2 + 15ж — 2 > 0.
д/(3 -1-Х — Ж л/6 Н- Ж — X
М/м-83.1) Решить неравенство > .
1 } 2х + Б ~ х + 4
М/м-95(1).2) Решить уравнение ' ' L ' = 0.
' KJ J V2x2 - Αχ - 1 - \х\ + 2
ЕГЭ.С) При каких значениях параметра а уравнение
х2 + Ах + 3)у/х — а = 0 имеет ровно два решения?
π ч -г, \/4ж + 7 - Зж + 5
Псих-98.3) Решить неравенство < 0.
ΙΌ όΧ ~\~ ΔΔΧ
Геол-95.3) Решить систему ^ 0 2
х3 · у/х-у = 0,
2у2 + у = 21 + 2ж2/.
тт χ т. / ж 5 15 \2
Псих-90.3) Решить неравенство I — — + - — ———— ) < 1.
у 2 8 88 — 32х J
Геол-99(1).7) Решить неравенство
у/Ах - х2 - 3 > у/х2 ~ 7х + 12 - у/х2 - Ъх + 6.
М/м-73.3) Решить неравенство
4ж + 8\/2 - ж2 > 4 + {х2 - х) · 2х + 2Ж+1 · ж л/2 - х2.

132
Теория и задачи
15. (Геогр-9б(1).4) Решить неравенство
Зх — 2 arccos ( — - J J (ж — logyg 2\/7)
. 241π
<0.
12
11.2. Расщепление в тригонометрических уравнениях
и неравенствах
В этом разделе собраны тригонометрические уравнения и неравенства, которые
решаются с помощью разложения на множители и расщепления.
Для успешного решения таких задач необходимо помнить тригонометрические
формулы из предыдущих разделов.
Примеры решения задач
Пример 1. (Биол-83.1) Решить уравнение 4cos3 χ + 3v^sin2x = 8cosx.
Решение. Распишем синус двойного угла и вынесем общий множитель:
4cos3x + 6v2sina;cosa; = 8 cos ж <^> cos ж · (4cos2x + 6v2sina; — 8) = 0.
Либо cos ж = 0 и χ = π/2 + πη, η G Ζ, либо 4cos2x + 6v2sina; — 8 = 0. Используя
основное тригонометрическое тождество, получим квадратное уравнение
3λ/2±λ/2 Ьтх = л/5;
Sill X = ; <^> | у/2
sin ж = —.
2
2sin2x - 3v^sinx + 2 = 0
В первом случае решений нет, так как у2 > 1; во втором случае
х = (-l)fcy +nk,k GZ.
4
Ответ. -^ + πη, ( — l)k-j + тг/с; η,/с G Ζ.
π
4
Пример 2. (М/м-95.3) Решить уравнение л/sin Зх · tg ( 2х ) = 0.
Решение. Первый случай:
sin3x = 0,
cos (2х - J) φ 0;
х= —, η G Ζ,
. π πτη _
^^ + —, m G Ζ;
5π/6
m=0
отметив соответствующие значения на
тригонометрической окружности с учётом выколотых точек,
получаем χ = πη или χ = — — + πτη; η, τη G Ζ.
ο
Второй случай:
m=2
tg (2ж - J) = 0,
sin3x > 0;
η G Ζ,
π 3πη _
- + —, flGZ,

11.2. Расщепление в тригонометрических...
133
Рассмотрим тригонометрическую окружность с аргументом Зх. Каждое из значе-
7Г )7ГТ)
ний серии Зх = —| , η Ε Ζ попадает в одну из четырёх точек А(п = 0, 4, 8...),
В(п = 1, 5, 9...), С(п = 2, б, 10...), D(n = 3, 7,11...) этой окружности.
t
г
ч
л
μ
Так как синус положителен только в первой и второй четвертях, то нам подходят
только А и D. В результате получаем
π πη
η Ε Ζ,
12 2
η = 4/, / Ε Ζ;
η = 3 + 4fc, /с Ε Ζ;
ж = — + 2πΖ, Ζ Ε Ζ,
19π
ж = —— + 2тг&, к Ε Ζ.
7Г 197Г 7Γ
Ответ, πη, ——+πτη, ——- + 27г/с, —-+2πΖ; η, ra, fc, Ζ Ε Ζ.
Пример З. (М/м-93(2).3) Решить систему уравнений
π
+ te
J (cos 2/ + sin ж — 1) · ί tg ί χ
[ (sin ж — cos у) · (2 — sin 2?/ + sin у) = 0.
Решение. Область определения:
(cos (ж- -J ^ 0,
I cos(?/ + -J 7^0;
Исходная система равносильна следующей системе совокупностей:
χ т^ V 7г/с, /с Ε Ζ,
б
2/^|+π/, /Ε Ζ.
sin ж + cos?/ = 1;
sin (χ - -J = sin ^ + -J = 0;
sin ж = cos i/;
sin i/ + 2 = sin2i/.
Рассмотрим отдельно последнее уравнение
• ^ ί sin 2ν = 1,
sin и + 2 = sin 2?/ <^> < . y ' <^>
1 siny = — 1;
cosy
sin у --

134
Теория и задачи
решений нет. Следовательно, исходная система равносильна системе
sin ж + cosy = 1;
[ sin [χ - -J = sin (y+^)= 0;
sin ж = cosy;
\ sin ж + cosy = 1,
I sin ж = cosy;
7П
sin [x - - 1 = sin (2/-
sinx = cos?/.
6/
Из первой системы следует, что sin ж = cos у = -, то есть
7Г 7Г
х = ( —1)η— + πη, у = ±— + 2πτη; п,т G Z;
и о
... π π
откуда с учетом области определения получаем ж = Ь 2πη, 2/ — \- 2πηι;
6 3
n.mGZ.
Ι χ=π/6+2πη,
neZ
/
\ /
\ /
\ /
\ /
N. /
»y=
/'
/
/
/
/
\
\
\
\
\
-π/3+2πηη
me Ζ
1
Из второй системы следует, что
' 7Г 7Г
ж = - +πη, ί/ = -- +7гш,
[smi = cos i/.
Подставим значения χ иуво второе уравнение и преобразуем его:
sin ( — + πη j = cos ( h π
π \ (π
sm ι —h πη = cos πηι
3 / V6
<^> sin ( — + πηJ = sin ( — — (— — ππι)J <^> sin ( — + πηJ = sin ( — + πηι j.
Значит, числа η, m G Ζ должны быть одинаковой чётности, то есть m — η = 2/с,
/с G Z; следовательно, ж = Ь 7гп, 2/
системы.
6
+ 7г(п + 2 к) - решение исходной
О
/π
τ ве т. —
V6
+ 2πη; h 2πτη
о
7Г 7Г
— + π/; —— + π(1 + 2fc)) ; n,m,k,l G
о и
Задачи
1. (Псих-84.3) Решить уравнение 2(cosx — l)sin2x = 3sinx.

11.2.
Расщепление в тригонометрических...
135
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
Почв-94.1) Решить уравнение sin3 χ — sin2 χ = sin2 χ cos2 ж.
ИСАА-98.1) Решить уравнение sin2 χ + sin2 6x = 1.
Псих-91.2) Решить уравнение (cosx — 1) ( sinx cos2x — 11= sin2 ж.
Фил-78.3) Решить уравнение 5 sin χ + б sin 2ж + 5 sin Зх + sin 4ж = 0.
Биол-89.3) Решить уравнение
sin x(3 sin 2x sin3 ж + 12 sin 2x sin ж — 16 cos χ) + 2 sin 4ж = 0.
ЕГЭ.С) Найти сумму корней уравнения sin 2х · (tg ж — 1) = 0,
принадлежащих промежутку [0; 2π]. Ответ записать в градусах.
Почв-9б(1).5) Решить уравнение (1 — cos8x)tgx = 6sin24x · ctgx.
М/м-97.1) Решить уравнение (2 sin2 ж — 3sinx + l)^/tgx = 0.
М/м-97.1) Решить уравнение (2 cos2 ж — cos ж — l)^/ctgx = 0.
14.
15.
16.
17.
Экон.К-87.1) Решить уравнение (2 sin ж — l)^/cos (χ + — ] = 0.
М/м-81.2) Решить систему ^ 0 . 2
л/sin ж · cos?/ = 0,
2 sin2 ж — cos 2у — 2 = 0.
ВМК-78.2) Решить уравнение (1 +tg2 2x) I sin —— cos —- + sin —- cos —
1 ( χ Ъх 7х 2\х
sin — cos — sin —- cos
cos22x V 4 4 4 4
7Г
Филол-70.2) Найти все ж, удовлетворяющие условию — <
Зх
2
< π и
являющиеся решением уравнения 1 + cos χ + cos 2x = sin χ + sin 2x + sin Зж.
ВМК-98(1).3) Решить уравнение tgx · \/sin χ — 2 cos χ — 1 = 0.
Псих-98.4) Решить уравнение tg8x — tg6x = при ж Ε
sin4x
М/м-00(1).3) Найти все корни уравнения
π 3π
4;Т
χ 9 хх ж 1 ж 9 ^
cos ж sin —| sin χ + 2 sin — cos —h sin cos = 0,
4 10 4 2 4 2 4 20
принадлежащие отрезку
9π 3π
"~2~;~Τ

136
Теория и задачи
11.3. Расщепление в показательных и логарифмических
уравнениях и неравенствах, модифицированный метод
интервалов
Теоретический материал
В этом разделе собраны показательные и логарифмические уравнения и
неравенства, которые решаются с помощью разложения на множители и расщепления.
Однородные выражения второй степени
Однородное уравнение второй степени можно свести к квадратному уравнению
делением обеих частей, например, на (д(х))2:
Af2(x)+Bf(x)g(x) + Cg2(x)=0y АуС^0 ^
f{x) = О,
д{х) = 0;
/(*)V , о /И
\g(x)J д(х)
В случае, когда функции f{x) и д(х) не имеют общих нулей (например, f{x) = sin ж,
д(х) = cos ж; f(x)y g(x) - показательные функции), от выписанной совокупности
остаётся только квадратное уравнение.
С другой стороны, если сразу рассмотреть S(x) как квадратный трёхчлен
относительно f(x) с коэффициентами А, Вд(х), Сд2(х), то деления не потребуется.
В случае, когда нам надо разложить на множители выражение вида
S(x) = Af(x) + Bf(x)g(x) + Сд2(х), А,С^0,
можно также рассмотреть его как квадратный трёхчлен относительно f(x) с
коэффициентами А, Вд{х), Сд2(х) и воспользоваться разложением на множители
квадратного трёхчлена. Напомним, что ах2 -\-Ьх + с = а(х — х\){х — х^), где х\ и
Х2 - корни квадратного трёхчлена.
Модифицированный метод интервалов
При решении различных неравенств нередко бывает удобно заменить некоторые
функции (показательные, логарифмические и др.) более простыми, но того же
знака, быть может, с дополнительными условиями эквивалентности. Целью такой
замены является приведение неравенства произвольного вида к рациональному,
которое решается обычным методом интервалов.
На практике для реализации такого модифицированного метода интервалов
наиболее часто используются следующие утверждения, истинность которых легко
доказать, используя домножение неравенства на выражение, сопряжённое левой
части неравенства (первые два утверждения), или используя монотонность
показательной и логарифмической функций (третье и четвёртое):
• |/(х)| " |5(*)| V 0 <=> f(x) -g\x) V 0;
• 2Ш-#) V0 ^ f(x)-g2k(x) V 0
при /(ж)>0, д(х)>0;

11.3. Расщепление в показательных...
137
• а(ху№ - а(ху№ V0 ^ (а(х) - 1) (f(x) - д(х)) V О
при а(х) > О;
• bga(x) f{x) - loga(iB) g{x) V О ^ (а(ж) - 1) (/(ж) - #(*)) V О
при /(ж) > О, <7(х) > О, а(х) > О, а(х) φ 1;
то есть в произведениях Fi(x)F2(x)...Fn(x) V 0 множители указанного вида
молено с необходимыми условиями эквивалентности переходов (чаще всего
сводящимися просто к условиям существования конкретных выражений) заменять
более простыми того же знака.
Из двух последних утверждений можно получить следующие видоизменения:
• а(ж)/(х) _ ь{х) V 0 ^ (а(х) - 1) (/(я) - loga(x) Ъ(х)) V О
при Ъ(х) > 0 , 0 < а(х) φ 1 (b(x) = а(х)1оёа^ b^ по основному
логарифмическому тождеству);
. loga(x) f(x) - Ъ(х) V 0 ^ (а(х) - 1) (/(ж) - a{xf&) V О
при f(x) > О, а(х) > 0, а(х) φ 1;
если в некоторых случаях вычитаемое является константой (и, в частности,
нулём), то утверждения существенно упрощаются, но сохраняют свой вид, например:
l0ga(l) f(x) V 0 ^ (а(х) - 1) (/(ж) - 1) V О
при f(x) > 0, а(х) > 0, а(х) φ 1.
Примеры решения задач
Пример 1. (Почв-88.3) Решить уравнение 3 · 4х - 7 · 10* + 2 · 25* = 0.
Решение. Разделим обе части уравнения 3 · 22х — 7 · 2х · Ъх + 2 · 52ж = 0 на 22х и
/5\ж 1
положим ζ=Ι-Ι > 0, тогда 2ζ2 — 7ζ + 3 = 0; ^ = - или ζ = 3, следовательно,
- J =3 или ( - J = - , откуда ж = log| 3 или χ = log| - = - log| 2.
Ответ, —logs 2; logs3.
2x — 1
Пример 2. (Физ-93.1) Решить неравенство < 0.
2х — 1
Решение. Применим модифицированный метод интервалов, то есть заменим
в исходном неравенстве 2х — 1 = 2х — 2° на (2 — 1) (х — 0) = х:
2х - 1 Л 2ж - 1 Л Л 1
<0 ^^ <0 ^^ 0<ж<-.
Ответ. 0,
2
2Ж - 1 ж 2

138
Теория и задачи
Пример 3. (М/м-94(2).3) Решить неравенство
1 1
log2-5* 3 + log2(2_5x) < iog6(6x2-6x + l)·
Решение. Преобразуем левую часть неравенства:
log2-5* 3 + 1о^2-5х 2 <
1
log
2-5х
6 <
log6 (6х2 — 6х + 1)
1 1
log6 (6х2 — 6х + 1)
приведём к общему знаменателю:
log6(6x2 - 6х + 1) - log6(2 - Ъх)
log6(2 — Ъх) log6(6x2 — 6х + 1)
<
log6(2 - Ъх) ~ log6(6x2 - 6х + 1)'
<0.
Выражение loga f(x) при a > 1 и /(ж) > 0 имеет тот же знак, что и /(ж) — 1, а
выражение loga f(x) — logag(x) при a > 1 и /(ж) > 0, д(ж) > 0 имеет тот же знак,
что и f(x)— g(x) (модифицированный метод интервалов), поэтому неравенство
равносильно системе:
6х2 - 6х + 1 - 2 + Ъх
(2 - Ъх - 1)(6х2 -6ж + 1 - 1)
6ж2 - 6ж + 1 > О,
^2-5ж > 0;
<0,
6х — χ — 1
(5ж - 1)ж(ж - 1)
6х2 - 6х + 1 > 0
>о,
X G
>Мй
ж 1_оо;—б—) ^
U(i;+oo)
З + л/З
6
; +оо
ж G
■Йи
Ί з-л/з^
ж < -;
5
Ответ.
>М1^
Задачи
1. (Хим-84.1) Решить неравенство
2. (М/м-81.1) Решить неравенство
>0.
log3 χ2
\Jx - Ъ
>0.
bg^O - 4) - 1
3. (Геол-88.3) Решить уравнение (2х2 - Ъх + 2) · (log2;c 18ж + 1) = 0.

11.3. Расщепление в показательных...
139
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
М/м-71.1) Решить уравнение
о
χ + 4) log4(x + 1) - (χ - 4) log2(x - 1) = - log2(x2 - 1).
3 χ3 1
Псих-78.1) Решить уравнение log3 — log2 x — log3 -η= = - + log2 л/х.
x ν 3 2
Почв-78.5) Решить уравнение
^qV^3 _ 3v^^3) = 32v^^3+l _ 3^^^+! + 6^ _ 18.
1 ж
ВМК-98(1).1) Решить неравенство -г- > log2 1.
1 ^
bg2-
X
ЕГЭ.В) Решить уравнение 2 · 4* - 3 · 10* = 5 · 25*.
Геол-98(1).2) Решить уравнение log9(4* - 2 · 18*) = 2х.
ЕГЭ.С) При каких значениях параметра а уравнение
2 · 9* — (2а + 3)6* + За · 4х = 0 имеет ровно один корень?
2 · 6х - 4х - 15
Геол-86.3) Решить уравнение = 3.
6х — 9х — 5
Физ-00(1).7) При каких значениях Ъ уравнение
25* — (2Ъ + 5) · 5*~~ + 106 · 5~~ =0 имеет ровно два решения?
Почв-80.4) Решить неравенство {Ах2 — 16х + 7) · log2 (χ — 3) > 0.
3* - 2
Геол-95.4) Решить неравенство — < 0.
хг — 6х + 5
ЕГЭ.В) Указать количество целых решений неравенства
2х -1)(25-5*) >0.
х2 - 3
ЕГЭ.С) Решить неравенство < 0.
Экон-93.1) Решить неравенство log7*_625 < 2.
*· 0 - ϊ)
М/м-91.2) Решить неравенство -^ — > 1.
1 } F log92x
Почв-79.2) Решить неравенство г—ζ < .
) Р log3(x2-7x + 12) log320
ВМК-97.2) Решить неравенство log ι 2 < log22,2 - .
ИСАА-91.5) Решить неравенство loglogl x log ι χ > 0.
2 7
.у/2 — χ2 + 2х + χ — 2
М/м-89.2) Решить неравенство -г- ^ < 0.
log3 ( 2 -χ) +1оёз2

140
Теория и задачи
11.4. Смешанные задачи
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
ЕГЭ.В) Указать число корней уравнения (2х -32)л/3^ = 0.
W—4x2 + 13χ — 3 + 1
Геогр-98.1) Решить неравенство > 0.
1оёзж7
Экон.К-83.2) Решить уравнение л/4 — χ2 · (sin27rx — 3cos7rx) = 0.
М/м-99(2).1) Решить уравнение
(х2 + 4) lg sin2 Зх + χ2 lg cos2 2x = 4 lg (cos 2ж sin3 Зх) .
М/м-97.2) Решить неравенство (1 ) log13_3.2* 4 < 1.
М/м-73.1) Решить уравнение
cos 2х + log4 - sin χ + 2 cos x log ι sin χ = 2 cos ж + sin2 χ log2 sin2 χ.
2 2
f3^=x,
Физ-86.3) Решить систему < л . . л л 9 ж
I 2 sin χ + sin 2ж = 2 cosz —.
cos 10x — cos 8x cos 6x — cos 4ж
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
Геол-96.3) Найти все решения уравнения —
2х2 + 7пг — π2 2х2 + πχ — πζ
принадлежащие интервалу (0; π).
1 + log/o λ/^ + 4 + log ι (13 - ж)
М/м-98(2).2) Решить неравенство —,—-f —-—^— — > 0.
гт o7m/hP (log23r-(log23)2 ^ п
11очв-97(1).4) Решить неравенство — > 0.
(\og23)-x -xlog2,3
ИСАА-92.5) Решить неравенство log ι | cosx| · log5(x2 — 9) < 0.
ί6χ2 + 17 xy + 7y2 = 16,
М/м-98(1).3) Решить неравенство
log2 ( J χ + у + I + 1 J · log3(-2x - x2) > log3 Ш + ^ j . log2(-2x - x2).
ИСАА-95.5) Решить неравенство λ/4 ж — χ2 — 3(\/2cosa: — \Д + cos2x) > 0.
Биол-88.5) Решить систему уравнений
(V3cos ψ + sin π(2:Ε~/~2)) · (^З-хЗ-^ + га; - з) = 0,
πχ π (2χ — у) г- π (2χ — у)
3cos— +sin^ ^ = λ/3 cos —^ ^.
2 6 6

11.4- Смешанные задачи
141
16. (Геол-95.5) Решить уравнение
2л/3 8т(тпг + Зтг) - tg (πχ - -)) · bg2(4 - χ2) = 0.
17. (М/м-75.5) Найти все значения χ в промежутке —0, 5 < χ < 1,5,
удовлетворяющие уравнению log3 I sin Зх — cos 2x — — I = log3 I sin 7x — cos 6x — —
18. (Экон.К-83.б) Для калсдого неотрицательного значения параметра а решить
неравенство а3х4 + 6а2х2 —ж + 9а + 3>0.
19. (Экон-84.6) Найти все значения параметра а, при каждом из которых ровно
одно решение неравенства
х3л/а3 + а2 - а - 1 - х2л/а3 + а2 + хл/а4 - а2 - а2 <0
удовлетворяет условию а < χ < 2а + 1.

Часть II. Указания и решения
1. Преобразование алгебраических выражений,
простейшие уравнения и неравенства
1.1. Формулы сокращённого умножения,
преобразование алгебраических выражений
Задача 1. (ЕГЭ)
Найдите значение выражения . = . : х при а = 4, Ъ = 5.
Идея. Используя информацию об области допустимых значений, разложить
числитель и знаменатель первой дроби на множители.
Указание. Сократить числитель и знаменатель первой дроби на у/а.
Решение. Область допустимых значений α > О, а -\-b > 0; значит, при α = 4,
b = 5 выражение определено; упрощаем:
^/α \ / α / у/а · у/а у/а
V'а2 + afr y/a + bj γ а + 6 V\А · л/а + Ь у/а + Ъ) у а + Ь
0.
Va + b VaTbJ ' У a + b
Ответ. 0.
Задача 2. (ЕГЭ)
2 2^
Найдите значение выражения — при ρ = 8, g = 9.
x/v- y/q ν-я.
Идея. Привести выражение к общему знаменателю.
Указание. Разложить знаменатель второй дроби на множители и привести
выражение к общему знаменателю.
Решение. Область допустимых значений ρ > 0, <? > 0, ρ / q; приводим
выражение к общему знаменателю:

144
Указания и решения
2 2у/р = 2 2^
Vp~Vq ρ-я Vp~Vq (Vp - Vq)(Vp + Vq)
= 2(^+^-2^ = 2^/q = 2^
я о 2v^ «
при ρ = 8, g = У выражение принимает значение = — Ь.
8 — 9
Ответ. —6.
Задача 5. (ЕГЭ)
Сократите дробь
у/а-9\/Ъ'
Идея. Разложить числитель на множители.
Указание. Используя формулу разности квадратов, разложить числитель на
множители.
Решение. Раскладываем выражение в числителе дроби по формуле разности
квадратов двух чисел (а > О, Ъ > О, у/а / 9уЪ):
816 (y/a-9Vb)(y/a + 9Vb)
у/а-9л/Ъ у/а-9л/Ъ
Ответ, у/а + 9Vb.
Задача 4- (ЕГЭ)
Сократите дробь
■9л/Ь.
Идея. Разложить числитель на множители.
Указание. Используя формулу суммы кубов, разложить числитель на
множители.
Решение. Раскладываем выражение в числителе дроби по формуле суммы
кубов двух чисел (у/а / —3\/Ъ):
а + 27Ъ (ffi + 3^) ((v^)2 - v^ · 3v^ + {Зл/Ъ)2
Uj? -3^ + 9^2.
^ + 3v^ ^ + 3v^
Ответ. \a? — 3\/аЬ -\- 9\/b^.
Задача 5. (Геол-93.1)
[8ay/a~ + bVb ,-Д /4^5 + 2^
Найти численное значение выражения —— ναο · —
^4^ + 2^ J V Aa~b
2

1.1. Формулы сокращённого умножения...
145
Идея. Применить формулы сокращённого умножения и сократить общие
множители.
Указание. Разложить числитель первой дроби по формуле суммы кубов и
сократить первую дробь.
Указание. Разложить знаменатель второй дроби по формуле разности
квадратов и сократить вторую дробь.
Решение. Разложим числитель первой дроби по формуле суммы кубов, а
знаменатель второй дроби по формуле разности квадратов и сократим дроби (а > 0,
6>0, 4а фЪ):
(8ау/а + Ъу/Ъ _ /-λ Uy/a + 2y/b\
1^4^ + 2^ /\ 4a~b J
= f(2y/E + Vb)((2y/E)2 - 2^. л/б + (Vb)2) ,-λ ί 2(2y^+ Vb) V =
\ 2(2v^+v^) a )\(2у/Е-у/Ь)(2у/Е+у/Ь))
= /(2лА)2-2лА>у/6 + (л/б)2 _ гЛ ί 2 ^ 2
V 2 а;Л(2лА-лА),
_ (2y/a)2 - 2 · 2y/a · Vb-l· (Vb)2 4 _(2yb-Vb)2 4
2 (2yb-Vb)2 2 (2yb-Vb)2
Ответ. 2 при а > 0, b > О, 4а φ b.
Задача 6. (Почв-98(1).1)
'л/2а-л/Ъ V2a + Vb\
2.
2а + Vb л/2а - Vb
Упростить выражение
Идея. Приведя выражения в скобках к общему знаменателю, применить
формулы сокращённого умножения и сократить общие множители.
Указание. Учитывая наличие \2а и в первой скобке, можем утверждать,
что α > 0 и b > 0 для преобразования дробей во второй скобке.
Указание, (a-b)2 = a2-2ab + b2; (a + b)2 = a2 + 2ab + b2; a2-b2 = (a-b)(a + b).
Решение. Последовательно преобразуем (α>0, 6 > О, 2α φ b):
fV2ol-Vb V2a~+Vb\ ( [V ГЛ (V2a~-Vb) - L/2a~ + Vb) b _ 2a
f2a + Vb V2a-Vb) \\ 4a \ b J 2a - b 2Vab
2a + b-2V2ab-2a-b-2V2ab 4V2Vab r-
2Vab 2Vab
Ответ. 2\/2, если α > 0, b > 0, 2α φ b.

146
Указания и решения
Задача 7. (Псих-84.1)
Вычислить, не используя калькулятор
)-2
+ 0,3
3(^-0,125:1§) :48Q^ f 679 - 10~2
(7: 1,8-2^ : 1,5) :2| У V °> 7
Идея. Преобразовав все дробные числа к удобному для вычислений формату,
выполнить указанные действия последовательно, в соответствии с приоритетами
операций.
Указание. Вычисления в делимом удобнее производить в обыкновенных
дробях, а в делителе логичнее использовать десятичные.
Замечание. Несмотря на допустимость вычисления значения исходного
выражения «по действиям», преобразования «по цепочке» значительно оптимизируют
процесс.
'з(^-0,125:1§) :480^-1 (679 · 10~2
10
Решение. -^ '—л Ц- =- ] : — +0,3
^(7:1,8-2|:1,5):2|У V 0,7
_ Al-Ml·16^"1 . 6.79 + 0,21 _ ^ = 160
(Ш _ Ζ 2\ 3 ί · Q7 21 3
V18 3*3/8/ ' ^ 9 ' 8
1 9 8\ 1 90-20
: 180.
90 160 21 3/ 10 10
Ответ. 180.
Задача 8. (ЕГЭ)
Вычислите \/4 + 2л/3- лД - 2л/3.
Идея. Выражения под радикалами сворачиваются в полные квадраты
соответствующих чисел.
Указание. 4 + 2л/3 = (1 + лД)2 ; 4 - 2л/3 = (1 - л/3)2 .
Решение. Последовательно преобразуем:
4 + 2л/3 - \/4 - 2л/3 = a/ (l + л/3)2 - \ (l - л/зУ
= |1 + л/3|-|1-л/3| = 1 + л/з + 1-л/3 = 2.
Ответ. 2.
Задача 9. (ЕГЭ)
Выражение ν 3 — л/8 — л/2 является целым числом. Найдите его.
Идея. Выражение под радикалом сворачивается в квадрат разности двух чисел.

1.1. Формулы сокращённого умножения...
147
Указание. 3 - у/8 = 3 - 2л/2 = (1 - л/2)2.
Решение, \/з - л/8 - у/2 = \/з - 2л/2 - у/2 = \](1 - у/2) - у/2 =
= |1 - л/2| - л/2 = л/2 - 1 - л/2 = -1.
Ответ. —1.
Задача 10. (Почв-96.1)
Доказать, что число ( (л/3 — л/27) + 7) · ( (л/3 + л/27) — 7 1 целое, и найти его.
Идея. Последовательно применить формулы квадрата разности и суммы,
привести подобные слагаемые и использовать формулу разности квадратов.
Указание. (а-Ъ)2 = а2-2аЪ + Ъ2; (а + Ъ)2 = α2 + 2α6 + 62; (а + Ь)(а-Ь) = а2-Ъ2.
Решение. Последовательно преобразуем выражение:
(7^3 - ^27)2 + 7У ((УЗ + ^27)2 - 7
л/3 + л/27 - 2л/81 + 7) · (л/3 + л/27 + 2л/81 - 7
= (^4л/3 + l) · (^4л/3 - l) = 48 - 1 = 47
Ответ. 47.
Задача 11. (ЕГЭ)
Упростите до целого числа выражение \/10 + 6л/3-л/3.
Идея. Выражение под радикалом сворачивается в полный куб соответствующего
числа.
Указание. 10 + 6у/3 = (уЗ + l) ; соответствующее число несложно
угадывается или подбирается.
Решение. Последовательно преобразуем:
'10 + 6л/3-л/з= Шл/3 + l) -л/3 = л/3 + 1-л/3 = 1.
Ответ. 1.
Задача 12. (МГУ-48.3)
Выражение — 7 является целым числом. Найти это целое число.
Идея. Выражения под радикалами сворачиваются в полные кубы
соответствующих чисел.

148
Указания и решения
Указание. 5л/2 + 7= (л/2 + 1) ; 5л/2 - 7 = (л/2 - 1) ; соответствующие числа
несложно угадываются или подбираются.
Решение. Последовательно преобразуем:
\/5л/2 + 7- \/5л/2-7= ^/(л/2 + 1) - ^ (л/2 - l) = л/2 + 1 - л/2 + 1 = 2.
Ответ. 2.
Замечание. Для поиска выражений в основаниях третьей степени можно
применять метод неопределённых коэффициентов, однако в данном примере он не
слишком актуален: все коэффициенты легко подбираются или угадываются.
Задача 13. (МГУ-48.2)
Выражение \/20 + 14л/2+ а/20 - 14\/2 является целым числом. Найти это целое
число.
Идея. Преобразовать выражения под радикалами к полным кубам
соответствующих чисел.
Указание. 20 + 14л/2 = (2 + л/2) ; 20 - 14л/2 = (2 - л/2) ; соответствующие
числа несложно угадываются или подбираются.
Замечание. Метод неопределённых коэффициентов для поиска
соответствующих чисел в скобках в данном случае не слишком актуален, числа несложно
подобрать.
Решение. Последовательно преобразуем:
20 + 14л/2+\/20-14л/2= {/(2 + л/2) + \j (2 - y/ί] =2 + л/2 + 2-л/2 = 4.
Ответ. 4.
Задача 1^. (ИСАА-99.2)
л. л ЗаЪ - Ъл/аЪ + ал/аЬ - ЗЪ2 ι з , _
Упростив выражение А = — — 2ао —6g2fr2 , где а > о > 0 -
л/2-2(аЬ"1+а-1Ь)-0,5
действительные числа, выяснить, что больше: А или 0,01?
Идея. Преобразовать выражение, используя формулы сокращённого
умножения, вынесение множителей за скобку и группировку слагаемых.
Указание. Числитель дроби преобразуется к виду (a—b)(3b+Vab), знаменатель
, а — Ъ
преобразуется к виду
2Vab

1.2. Сравнение чисел
149
Решение. Преобразуем исходное выражение:
ЗаЬ — Ьл/ab + ал/ab — ЗЬ2 л 7 л 17 з
А = = - 2аЪ - ба^Ь*
ЗЬ(а — Ь) + уаЫа — Ъ) Ί г- Ί г- (а — b)(3b + yah) Ί Ί /—
v J v ^^ - 2afr - бл/a · bVb = ± . A y- - 2a6 - 66Va6
I fa , j>\ _ I /a2+62 _ I
4Ura/ 2 V4a6 2
= ^β±^^ _ 2a5 - ббч^ = 66^ + 2a6 - 2a6 - 66^ = 0,
|a — o|
где использовалось условие a > 6 > 0 для преобразования корня из дроби и
раскрытия модуля; сравнив А с числом 0,01, получаем, что 0,01 больше.
Ответ. 0,01.
1.2. Сравнение чисел
Задача 1. (ВМК-92.1)
/1990 з/1991
Какое из двух чисел \ или \ больше?
У V 1991 V 1992
Идея. Составить формальное неравенство и преобразованиями, не меняющими
его знака, привести его к очевидному сравнению.
Указание. Составить формальное неравенство w \/ w , возвести обе
V 1991 V 1992
его части в куб и использовать равенства 1990 = 1991 — 1; 1992 = 1991 + 1.
Решение. Составим формальное неравенство w V w , возведём обе
V 1991 V 1992
его части в куб:
1990 з/1991
1991 V γ 1992
1991-1 J 1991
1991 v V 1991 + 1
(1991 — 1)(1991 + 1) V 19912
19912 - 1 < 19912.
Так как не было преобразований, меняющих знак неравенства, полученный знак
соответствует исходному, то есть второе число больше.
Ответ. Второе число больше.
Замечание. Молено рассматривать эту задачу в общем виде: доказать, что
w ка П ~ 1 П ι л/ ч П ~ 1
Vn G 1ч < . Кроме того, молено использовать функцию }[п) = ,
η η + 1 η
доказав её возрастание, то есть f(n)<f(n + \).

150
Указания и решения
Задача 2. (Геол-94(1).1)
Какое из двух чисел меньше: γ47 или у13?
Идея. Составить формальное неравенство и преобразованиями, не меняющими
его знака, привести его к очевидному сравнению.
Указание. Возвести обе части неравенства в шестую степень.
Решение. Составим формальное неравенство γ47 V V13 и возведём обе его
части в шестую степень, чтобы избавиться от радикалов:
λ/47 V λ/Ϊ3
472 V 133
2209 > 2197.
Так как не было преобразований, меняющих знак неравенства, полученный знак
соответствует исходному, то есть второе число меньше.
Ответ. Второе число меньше.
Задача 3. (Геол.ОГ-82.1)
Какое из следующих чисел больше: yctg 2sin — или у5?
Идея. Составить формальное неравенство и преобразованиями, не меняющими
его знака, привести его к очевидному сравнению.
Указание. Вычислить предварительно табличные значения
тригонометрических функций. Формальное неравенство принимает вид уЗ V у5. Возвести обе
его части в куб, а затем в квадрат.
т-, · 3π -л π τ
Решение, sin — = — 1, ctg — = 1, поэтому формальное неравенство имеет вид
возводим обе его части куб: Зл/3 V 5, затем в квадрат: 27 > 25; так
как не было преобразований, изменяющих знак неравенства, полученный знак
соответствует исходному, то есть первое число больше.
Ответ. Первое число больше.
Задача 4- (У)
Сравнить числа З400 и 4300.
Идея. Составить формальное неравенство и преобразованиями, не меняющими
его знака, привести его к очевидному сравнению.
Указание. Возвести обе части неравенства в степень 1/100.

1.2. Сравнение чисел
151
Решение. Составим формальное неравенство З400 V 4300 и возведём обе его
1
части в степень :
100
/о400\Тоо w /^ЗООчТоо
З4 V 43
81 > 64.
Поскольку не было преобразований, меняющих знак неравенства, полученный
знак соответствует исходному, то есть З400 > 4300.
Ответ. 3400>4300.
Задача 5. (У)
Сравнить числа л/7 + λ/ΪΟ и л/3 + л/19.
Идея. Составить формальное неравенство и преобразованиями, не меняющими
знака, привести его к очевидному неравенству.
Указание. Составить формальное неравенство л/7 + λ/ΪΟ V л/3 + л/19,
возвести
обе его части в квадрат, привести подобные члены и снова возвести в квадрат.
Решение. Возведём обе части неравенства λ/7 + λ/ΪΟ V л/3 + л/19 в квадрат:
17 + 2л/70 V 22 + 2л/57
2л/70 V 5 + 2л/57
280 V 25 + 228 + 20л/57
27 V 20л/57.
Из соотношений 27 < 140 = 20-7 < 20л/57 получаем, что первое число меньше
второго.
Ответ. л/7 + λ/ΪΟ < л/З + л/19.
Задача 6. (ЕГЭ)
Сравните л/2004 + л/2007 и л/2005 + л/2006.
Идея. Составить формальное неравенство и преобразованиями, не меняющими
его знака, привести его к очевидному неравенству.
Указание. Составить формальное неравенство
л/2004 + л/2007 V л/2005 + л/2006;
возвести в квадрат, привести подобные слагаемые и ещё раз возвести в квадрат.
Указание. Воспользоваться равенствами 2005 = 2004 + 1; 2007 = 2006 + 1.
Указание. После возведения в квадрат, приведения подобных и повторного
возведения в квадрат получаем 2004 · (2006 + 1) V (2004 + 1) · 2006.

152
Указания и решения
Решение. Составим формальное неравенство, возведём в квадрат, приведём
подобные слагаемые и ещё раз возведём в квадрат:
л/2004 + л/2007 V л/2005 + л/2006
2004 + 2007 + 2л/2004 · л/2007 V 2005 + 2006 + 2л/2005 · л/2006
л/2004 · л/2007 V л/2005 · л/2006
2004-(2006 + 1) V (2004 + 1)-2006
2004 < 2006.
Поскольку не было преобразований, меняющих знак неравенства, полученный
знак соответствует исходному, то есть второе выражение больше первого.
Ответ. Второе выражение больше первого.
Задача 7. (У)
Сравнить числа \/38 + 17л/5 и \/9 + 4л/5
1000
Идея. Упростить выражения \/38 + 17л/5 и \/9 + 4л/5 и свести неравенство
к очевидному.
Указание. Представить выражение 9 + 4л/5 в виде квадрата суммы двух чисел.
Указание. Представить выражение 38 + 17у5 в виде куба суммы двух чисел.
Решение. Преобразуем выражения под радикалами, используя формулы
сокращённого умножения:
9 + 4л/5 = 5 + 2·2·λ/5 + 4 = (λ/5 + 2)2;
38 + 17л/5 = 23 + 3·22·λ/5 + 3·5·2 + 5л/5 = (2 + л/5)3;
следовательно, л/9 + 4л/5 = л/5 + 2; \/38 + 17л/5 = 2 + л/5. Таким образом, надо
сравнить 2 + л/5 и 2 + л/5 Η———. Очевидно, что второе число больше.
Ответ. \/38 + 17л/5 < у/9 + 4л/5 + -jjjj^.
Задача 8. (У)
Выяснить, что больше: ЗЗ44 или 4433?
Идея. Составить формальное неравенство и преобразованиями, не меняющими
его знака, привести его к очевидному неравенству.
Указание. Возвести обе части неравенства в степень — и сократить общие
множители.

1.2. Сравнение чисел
153
Решение. Составим формальное неравенство и возведём обе его части в сте-
1
пень —:
зз44
зз4
з4 · и4
V
V
V
4433
443
43 · И3
З4 · 11 V А6
891 V 64.
Из неравенства 891 > 64 следует, что ЗЗ44 > 4433.
Ответ. ЗЗ44 >4433.
Задача 9. (У)
Сравнить числа π и γΙΟ, где π = 3,14...
Идея. Сравнить π2 и 10, оценив π сверху и снизу.
Указание. Использовать оценку 3,14 < π < 3,15.
Решение. Так как тг2 < 3,152 = 9,9225 < 10, то π < лЛО.
Замечание. Если в качестве оценки для π взять 3,14, то решение будет
неверным, так как в данной задаче должна использоваться оценка сверху.
Ответ, π < λ/ΪΟ.
Задача 10. (У)
!\i/6 /lNi/5
Сравнить числа ( - 1 и ( -
Идея. Составить формальное неравенство и преобразованиями, не меняющими
его знака, привести его к очевидному неравенству.
Указание. Возвести обе части неравенства в степень 30.
Решение. После возведения обеих частей неравенства в степень 30 получим:
1 1
¥ V 5ё
56 V б5
15625 V 7776.
Из очевидности последнего неравенства следует, что первое число больше второго.
/Л1'6 /IN1/6
Ответ, i-j > (-

154
Указания и решения
1.3. Модуль числа и алгебраического выражения,
уравнения и неравенства с модулем
Задача 1. (Хим-00.1)
Решить уравнение \х\ = 2 — х.
Идея. Раскрыть модуль по определению и решить уравнение на
соответствующих промежутках.
Указание. Точкой смены знака подмодульного выражения является χ = 0.
Решение. Раскрываем модуль:
1) при χ > 0 получаем уравнение χ = 2 — χ; значит, χ = 1;
2) при χ < 0 получаем — χ = 2 — χ - неверно.
Ответ. 1.
Задача 2. (Геол.ОГ-79.1)
Решить уравнение \2х — 3| = 3 — 2х.
Идея. Использовать тот факт, что уравнение имеет вид |/(х)| = —f(x).
Указание. Если |/(х)| = —/(ж), то f(x) < 0.
3
Решение. \2х - 3| = -(2х - 3) <^> 2х - 3 < 0 <^> χ < -.
2
η I 3
Ответ. — оо: -
' 2
Задача 3. (Геогр-77.1)
Решить неравенство 2|х + 1| > ж + 4.
Идея. Раскрыть модуль по определению и решить уравнение на
соответствующих промежутках.
Указание. Точкой смены знака подмодульной функции является χ = —1, то
есть для раскрытия модуля придётся рассмотреть два промежутка: χ < — 1 или
χ > -1.
Решение. Раскрываем модуль по определению.
_ Гж + 1 >0, \х > -1,
1 L, 7 ' , ^^ < ~ ^^ х>2.
} |2(ж + 1) >ж + 4; |ж > 2;
2) /* + 1<0' ^ Ь<"1, ^ χ<_2
J [-2(х + 1) > χ + 4; |ж < -2;
Объединяем найденные промежутки: ж Ε ( — оо; —2) U (2; +оо).
Ответ. (-oo;-2)U(2;+oo).

1.3. Модуль числа и алгебраического выражения...
155
Задача 4- (Геогр-96(1).1)
Решить уравнение |5х — 3| — |7х — 4| = 2х — 1.
Идея. Раскрыть модули по определению и решить уравнение на
соответствующих промежутках.
Указание. Точками смены знака подмодульных функций являются значения
3 4
χ = - и ж = - .
5 7
Решение. Раскрываем модули через определение:
5х-3 - - +
7х-4 - + +
4/7 3/5
4
1) При х < — уравнение принимает вид 3 — 5х + 7х — 4 = 2х — 1 <^> iGM;
4
значит, χ < - ;
7
4 3 4
2) при - < χ < - получаем 3 — Ъх — 7х + 4 = 2х — 1 <^> ж = -; значит,
4
χ = — - решение;
3 13
3) при χ > - получаем Ъх — 3 — 7χ + 4 = 2х — \ <^> ж = - < нет решений.
4
Ответ. ( —оо; -
Задача 5. (Биол-95.2)
Решить уравнение \х — 1| + |2х — 3| = 2.
Идея. Раскрыть модули по определению, вычислив точки смены знака
подмодульных функций, и рассмотреть уравнение на соответствующих промежутках.
Указание. Точками смены знака подмодульных функций являются χ = 1 и
χ = 3/2, поэтому надо рассмотреть три случая: χ < 1, 1 < χ < 3/2 и χ > 3/2,
решив соответствующие уравнения на каждом из них.
3
Указание. Например, при 1 < χ < - уравнение принимает вид
(х - 1) - (2х - 3) = 2.
Решение. Раскроем модули по определению, через точки смены знаков подмо-
3 3
дульных функций. Исследуем три промежутка: χ < 1, 1 < χ < — и χ > —.
х-1 - + +
2х-3 - - +
· · ^- χ
1 3/2

156
Указания и решения
1)
Ι χ < 1,
II - χ - 2х + 3 = 2;
2) <;^Ж<2'
χ - 1 - 2ж + 3 = 2;
3) <ж^2'
ж - 1 + 2х - 3 = 2;
1 <х <
2
нет решений.
Ответ. -; 2.
о
Задача 6. (Геогр-00.2)
Решить уравнение \2х + 8| —
12.
Идея. Раскрыть модули по определению, вычислив точки смены знака подмо-
дульных функций, и рассмотреть уравнение на соответствующих промежутках.
Указание. Точками смены знака подмодульных функций являются χ = — 4 и
χ = 5, то есть требуется рассмотреть три промежутка: χ < — 4, —4<ж<5,ж>5.
Указание. На промежутке, например, ж < —4, уравнение принимает вид
-2Х-8 + Х-5 = 12.
-25.
Решение. Раскрываем модули через точки смены знака.
\х < -4,
I -2X-8 + X-5 = 12;
ί-4<χ <5,
I 2ж + 8 + ж-5 = 12;
ίχ > 5,
[2ж + 8-ж + 5 = 12;
Ответ. -25; 3.
1)
2)
3)
χ = 3.
нет решении.
Задача 7. (Псих-95.1)
Решить уравнение \2х — 151 = 22 — \2х + 7|.
Идея. Раскрыть модули по определению, вычислив точки смены знака
подмодульных функций, и рассмотреть уравнение на соответствующих промежутках.
Указание. Точками смены знака подмодульных функций являются χ = —7/2 и
χ = 15/2, поэтому требуется рассмотреть три случая: χ < —7/2, —7/2 < χ < 15/2
и х> 15/2.
7
Указание. На промежутке, например, χ < —, уравнение принимает вид
-(2ж-15) = 22 + (2ж + 7).

1.3. Модуль числа и алгебраического выражения...
157
Решение. Точками смены знака подмодульных функций являются χ
15 л
χ = —, поэтому треоуется рассмотреть три промежутка.
2х-15
2х+7
-7/2
+
+
15/2
χ <
1)
2)
3)
Г" 2'
[15-2ж = 22 + 2ж + 7
( 7 15
-2^Х<Т'
1 15-2ж = 22-2ж-7
ί ъ15
о^
2ж - 15 = 22 - 2х - 7;
7 15
2' Τ
χ<—2,
7
7 15
2 ~ 2
нет решении.
ж >
15
У'
15
15
У'
Задача 8. (Псих-98.1)
Решить уравнение |4х — |х — 2| + 3|
16.
Идея. Раскрыть внешний модуль через геометрический смысл, а внутренний -
по определению модуля через рассмотрение двух промежутков.
Указание. Если |/(х)| = а, где а > 0, то f(x) = ±а.
Указание. Удобно решать задачу единой совокупностью с рассмотрением
соответствующих условий.
Решение. Раскроем внешний модуль через его геометрический смысл:
4ж
Ах
\х-
\х-
-16;
16;
■2| = 4ж + 19;
21 =4ж-13.
По определению модуля нужно рассмотреть два промежутка:
~х-2 = 4ж + 19;
1) при χ > 2 совокупность принимает вид
2 - χ = Ах + 19;
2 - χ = Ах - 13;
χ
2 = Ах- 13;
значит, χ -
2)
О
при χ <
твет. -
11
= У
?
2 получаем
17
~У;
11
У'
■
ж
ж
—
=
3;
17
У
-7;
11
У;
17
У'

158
Указания и решения
Задача 9. (Геогр-97.1)
|ж-1| + 10 .
Решить неравенство — : > 2.
F 4|ж-1|+3
Идея. Используя положительность знаменателя, перейти к линейному
неравенству с модулем, которое решить через геометрический смысл последнего.
Указание. Так как знаменатель дроби положителен, то на него можно
умножить обе части неравенства без дополнительных ограничений:
\х - 1| + 10 > 8|ж - 1| + 6, то есть 7\х - 1| < 4.
Замечание. Как видно из контекста, замена t = \х — 11 > 0 при используемом
способе решения совершенно неактуальна.
Решение. Заметив, что знаменатель дроби всегда положителен, получаем после
умножения на него обеих частей неравенства
4
\х-1\ + 10> 8|ж-1| +6 ^^ 7|ж-1|<4 ^^ |ж-1|<
7'
4
- < χ -
7
л 4
- 1 < ;;,
7'
то есть
3 11
- < χ < —
7 7
раскрывая модуль через геометрический смысл, получаем
η Г3 П
Ответ. -; —
7 7
Задача 10. (Хим-96(1).3)
Решить неравенство |х + |1 — х\\ > 3.
Идея. Раскрыть внутренний модуль по определению.
Указание. Точкой смены знака внутреннего модуля является значение χ = 1.
Решение. Раскрывая внутренний модуль по определению, получаем два случая:
ν Г χ > 1, Г ж > 1,
; \ |х + х - 1| > 3; ^^ \|2ж-1|>3;
заметим, что при χ > 1 \2х — 1| = 2ж — 1. Поэтому получаем
ж> 1,
2ж - 1 > 3; ^^ Ж > 2;
ν Г ж < 1, / ж < 1,
; \ |ж-ж + 1| >3; ^^ \ 1 >3;
Ответ. (2;+оо).

1.3. Модуль числа и алгебраического выражения...
159
Задача 11. (Геол-91.6)
а) При всех значениях параметра а решить уравнение \х + 2\ + а\х — 4|=б.
Идея. Раскрыть модули по определению.
Указание. Точками смены знака подмодульных выражений являются χ = — 2
и χ = 4.
Решение. Раскрываем модули по определению:
1) при χ < — 2 получаем уравнение — х—2—ах+4а = б <^> х(а-\-1) = 4(а—2);
• если а = — 1, то 0 = —12, нет решений;
• если а φ —1, то ж = . Проверим условие χ < — 2:
а + 1
40 - 2) а - 1 „
-^ ^ <-2 <^> <0 ^^ -1<а<1.
а + 1 а + 1
/ η и 4(а-2)
Значит, при α Ε (— 1; 1 ж = .
v J α + 1
2) при —2 < ж < 4 получаем ж + 2 —аж + 4а = б <^> х(а — 1) = 4(а — 1);
• если а = 1, то ж Ε Μ =^> — 2 < χ < 4;
• если а^1, то ж = 4;
3) при ж > 4 получаем ж + 2 + аж — 4а = 6 <^> χ (а + 1) = 4(а + 1);
• если а = — 1, то ж Ε Μ, то есть ж > 4;
• если аф — 1, то х = 4;
объединив три случая в совокупность, находим ответ.
Ответ. Если α < — 1 или α > 1, то χ = 4; если а = — 1, то ж> 4; если а = 1,
4(а - 2)
то —2 < ж < 4: если — 1 < а < 1, то χ = 4 или χ
1
Задача 12. (Физ-84.4)
Найти все значения параметра а, при которых все решения уравнения
2\х — а\ + α — 4 + ж = 0 принадлежат отрезку [0; 4].
Идея. Раскрыть модуль по определению и на каждом из промежутков найти
решения уравнения. Затем объединить полученные решения в совокупность в
зависимости от промежутков, диктуемых контрольными значениями параметра, и
проверить их принадлежность отрезку из условия задачи.
Указание. Точка смены знака подмодульной функции разбивает числовую ось
на два промежутка, на каждом из которых можно снять модуль с конкретным
знаком и выразить аргумент через параметр. Каждое решение требуется
проверить на принадлежность рассматриваемому промежутку и отрезку, заявленному
в условии. Удобнее будет решить уравнение для всех значений параметра, а затем
рассмотреть соответствие решений отрезку из условия.

160
Указания и решения
Решение. Точкой смены знака подмодульной функции является χ = а;
раскрываем модуль по определению.
1) Если χ < а, то уравнение принимает вид χ = За — 4; проверяем выполнение
условия За — 4 < а <^> а < 2, то есть при а < 2 значение χ = За — 4 является
решением исходного уравнения.
α + 4
2) Если χ > α, то уравнение принимает вид Зх = α + 4, из которого ж = —-—;
а + 4
проверяем на принадлежность промежутку > α <^> α < 2, то есть
а + 4
при а < 2 значение χ = —-— является решением исходного уравнения.
о
Таким образом,
• если α > 2, то решений нет;
а + 4
• если а < 2, то уравнение имеет два решения χ = —-— и χ = За — 4; по
о
условию задачи оба корня должны лежать в отрезке [0; 4]:
0<^<4, ί-4<α<8, 4 g
3 ^^ < 4 8 <^ ~<а<^
0<За-4<4; [ g " * " З5
4
значит, - < α < 2;
' з -
I
I
л и//////А/////^ ш -^ ν
-4 4/3 2-8/3 8
а + 4
• если а = 2, то χ = и ж = За — 4 совпадают и принимают значение,
о
равное 2; найденное решение принадлежит отрезку [0; 4].
Ответ.
1;2
3'
1.4. Квадратный трёхчлен, разложение квадратного
трёхчлена на множители, квадратные уравнения
и неравенства, теорема Виета
Задача 1. (Физ-83.2)
Решить уравнение \Ъх2 — 3| = 2.
Идея. Использовать геометрический смысл модуля числа для его раскрытия.
Указание. Геометрический смысл модуля: |/(х)| = а, где а > 0, означает,
что f(x) = ±α; в данном случае это значительно выгоднее раскрытия модуля по
определению.
Указание. Уравнение равносильно совокупности
Ъх2 - 3 = -2;
Ъх2 - 3 = 2.

1.4· Квадратный трёхчлен, разложение...
161
Решение. Используем геометрический смысл модуля:
Ответ. ±1; ±
Ъх1 - 3 = -
Ъх2 - 3 = 2;
1
л/5*
5ж^
5ж2
1;
5;
±
ι
л/б'
±1.
Задача 2. (Соц-00.1)
Решить уравнение \х2 — Зх\ = 2х — 4.
Идея. Удобнее раскрыть модуль через геометрический смысл.
Указание. Наложить ограничение на правую часть о неотрицательности и
раскрыть модуль через геометрический смысл.
Решение. Раскрываем модуль через геометрический смысл:
2х - 4 > О,
.2
.2
Х^
Зх
■(2ж-4);
χ > 2,
5±3
1 =Ь л/17
Ответ. 4;
л/Гг + 1
ж > 2,
2 _
х2-
0;
X
4;
1
17
Задача 3. (Геол-81.1)
Решить уравнение х2 — Ах -\- \х — 3| +3 = 0.
Идея. Раскрыть модуль по определению.
Указание. Точка смены знака подмодульной функции делит область
определения исходного выражения на два промежутка, на каждом из которых можно снять
модуль с конкретным знаком и решить два соответствующих уравнения с отбором
корней по соответствующим промежуткам.
Решение. Точкой смены знака подмодульной функции является значение χ = 3;
1) если χ > 3, то уравнение принимает вид х(х — 3) =0, решением которого на
рассматриваемом промежутке является χ = 3;
2) если χ < 3, то уравнение примет вид х2 — Ъх + б = 0, решение которого χ = 2
из рассматриваемого промежутка добавляется к ранее полученному.
Ответ. 2; 3.

162
Указания и решения
Задача 4- (Биол-96.2)
Решить уравнение (х — 7)2 —
7| = 30.
Идея. Ввести переменную ζ = \х — 7| > 0 и решить уравнение, после чего
вернуться к переменной χ и раскрыть модуль через геометрический смысл.
Указание. Использовать факт того, что |/(ж)|2 = (/(ж))2 , и ввести новую
переменную ζ = \х—7| > 0, после чего решить относительно неё квадратное уравнение,
отобрать неотрицательные корни и раскрыть модуль через его геометрический
смысл.
Решение. Введём новую переменную
7| >0:
\х-7\ = 6
Ответ. 1; 13.
ζ > 0,
ζ = —5;
ζ = 6;
ж - 7 = ±6
ζ = 6
χ
χ
i;
13.
Задача 5. (Геол-95.2)
Решить неравенство ж2 — б > \х\.
Идея. Неравенство является квадратным относительно \х\.
Указание. Воспользоваться тем, что \х\2 = ж2, и решить данное неравенство
относительно модуля, раскрыв его позлее через геометрический смысл.
Решение. Рассмотрим неравенство как квадратное относительно t = \х\ > 0:
t2 — t — 6 > 0. Корнями квадратного трёхчлена являются значения —2 и 3. Поэтому
исходное неравенство перепишем в виде:
(|ж|+2)(|ж|-3) >0 ^
Ответ. (-oo;-3]U[3;+oo).
3>0
Id > 3
χ < —3;
χ > 3.
Задача 6. (Геол-77.2)
Решить неравенство х2
15а: — 31 -х <2.
Идея. Раскрыть модуль по определению (через точку смены знака).
Указание. Точка смены знака подмодульной функции делит область
определения на два промежутка, на каждом из которых можно снять модуль с конкретным
знаком и получить совокупность двух неравенств с условиями отбора
промежутков. Полученные результаты объединяются.

1.4· Квадратный трёхчлен, разложение...
163
3
Решение. Точкой смены знака подмодульной функции является χ = -.
Раскроем модуль по определению.
3
1) Если χ > -, то неравенство принимает вид х2 — 6х + 1 < 0. Решаем его через
5
чётный дискриминант, находим интервал 3 — у8 < х < 3 + γ8· Сравним числа
З-л/8 и -:
о
ν/8 V
12 V
6 V
36 <
3
5
Юл/2
5л/2
50.
з
Значит, 3 — \/8 < -, поэтому решением в этом случае будут χ £
ζ
|;3 + л/8
f//////////////////////6
3-^8 3/5 3+V~8
3
2) Если χ < - , то неравенство принимает вид х2 + 4ж — 5 < 0, решением которого
о
3
будет промежуток — 5 < χ < 1; значит, — 5 < χ < -.
5
Объединяя результаты в совокупность, получим — 5 < χ < 3 + γ8·
Ответ. (-5;3 + л/8).
Задача 7. (Хим-95.1)
Решить неравенство — > 1.
Идея. Учитывая положительность знаменателя, умножить на него левую и
правую части и решить получившееся квадратное неравенство.
Указание. Знаменатель дроби всегда положителен, поэтому умножение на него
обеих частей неравенства является равносильным переходом.
Решение. В силу положительности знаменателя можем умножить на него обе
части неравенства:
Зж>ж2 + 2 ^^ ж2-Зж + 2<0 ^^ 1<ж<2.
Ответ. [1;2]
Задача 8. (ВМК-87.2)
Существуют ли действительные значения а, для которых а2 — 4а + уЗ = — ал/2?
Если да, то сколько их?

164
Указания и решения
Идея. Требуемые значения а существуют при наличии решений у заданного
квадратного уравнения, то есть при его неотрицательном дискриминанте.
Указание. Вычислить дискриминант данного уравнения и проверить его
неотрицательность .
Решение. Перепишем условие в виде квадратного уравнения
а2 - а(4 - л/2) + л/3 = 0;
требуемые а существуют, если у данного уравнения есть решения; решения у
квадратного уравнения имеются при неотрицательном дискриминанте
D = (4- л/2)2 - 4л/3 = 16 + 2 - 8л/2 - 4л/3 = 2(9 - 4л/2 - 2л/3).
Сравним дискриминант с нулём:
2(9-4л/2-2л/3) V 0
9 V 4л/2 + 2л/3
81 V 32 + 12 + 1бл/б
37 V 16л/б
1369 < 1536.
Значит, D < 0 и решений нет, поэтому требуемых в условии значений параметра
а не существует.
Ответ. Нет.
Задача 9. (Почв-96.2)
Решить неравенство Зж4 + 4 < 13х2.
Идея. Решить неравенство как квадратное относительно х2 .
Указание. Неравенство является биквадратным и решается относительно х2.
Решение. Неравенство является биквадратным. Решим его относительно х2:
Зж4 - 13х2 + 4<0 ^^ -<ж2<4 ^^ — <|d<2.
3 л/3
Раскрывая модуль через геометрический смысл, получаем ответ.
Задача 10. (Геол-98.2)
Решить уравнение ||4 — х2\ — х2\ = 1.
Идея. Уравнение является линейным относительно t = χ2 .
Указание. Раскрыть внешний модуль через геометрический смысл, а
внутренний - по определению.

1.4· Квадратный трёхчлен, разложение...
165
Решение. Заменив t = χ2, получим 114 — t\ — t\
раскрываем модуль по определению.
't >4,
t — 4 — £ = ±1 - нет решений;
t <4,
t = ±1:
1)
2)
t <4,
4-t = £- 1;
4-t = £ + 1;
значит, ж
±j| и * = ±jf.
Ответ. iJ^; ±J\.
5
2;
3
2;
5
3
t= -;
Задача 11. (Филол-98.1)
χ2 + Αχ + 3
Решить неравенство —: :— < 0.
I J- \ XI
Идея. Исходное неравенство равносильно неположительности числителя при
ненулевом знаменателе.
Указание. Знаменатель дроби на области допустимых значений заведомо
положителен, поэтому от него можно избавиться, оставив только числитель, сохранив
знак неравенства на области определения.
Решение. Знаменатель дроби на области допустимых значений всегда
положителен, поэтому исходное неравенство равносильно системе
|ж2 + 4ж + 3 < 0,
\хф-\',
Ответ. [-3;-1).
-3<х < -1.
Задача 12. (Экон.К-83.1)
Решить уравнение χ + 11 + Vx2 + 11 = 42.
Идея. Уравнение является квадратным относительно радикала.
Указание. При t = л/х2 + 11 > 0 уравнение примет вид t2 + t — 42 = 0.
Решение. Обозначим t = л/х2 + 11 > 0, тогда получаем
t >0,
t >0,
t2 + t - 42 = 0;
t
t = 6;
Возвращаемся к исходной переменной: х2 + 11
Ответ. ±5.
36
£ = 6.
25
ж = ±5.

166
Указания и решения
Задача 13. (У)
Решить уравнение х2 + рх + 35 = 0 при условии, что сумма квадратов корней
равна 74.
Идея. Использовать теорему Виета.
Указание. С помощью теоремы Виета найти ρ, а потом решить квадратное
уравнение.
{
Решение. По теореме Виета i _ „/' Выразим х\ + х\ через р:
х1 + х2 = (χι + χ2) - Ъх\Х2 = р2 - 70;
следовательно, р2 — 70 = 74, откуда ρ = ±12. При ρ = —12 корни χ ι = 5, χ 2 = 7;
при ρ = 12 корни χι = —5, Х2 = —7.
Ответ, χι = 5, ^2 = 7 или χ ι = —5, Х2 = —7.
Задача i^. (У)
Пусть χι, #2 ~ корни квадратного уравнения х2 +рх — q = 0. Найти xf + х|, не
вычисляя этих корней.
Идея. Воспользоваться теоремой Виета.
Указание. Выразить сумму четвёртых степеней через сумму и произведение
корней с помощью выделения полного квадрата.
Решение. По теореме Виета < _ ' Выразим х\ + х\ через ρ и q:
х\ + Х2 = (χι + χϊ)2 - ^χϊχ1 = ((χι + χ2? ~ 2^ιχ2) - 2χ2Χ2 = (ρ2 + 2q)2 - 2α2.
Ответ, (ρ2 + 2q)2 -2a2.
Задача 15. (Геогр-92.2)
Найти три числа α, b и с, если известно, что их сумма равна 2, а квадратное
уравнение ах2 + Ъх + с = 0 имеет единственное решение χ = 2.
Идея. Квадратное уравнение имеет единственный корень при нулевом
дискриминанте; при а = 0 уравнение не является квадратным.
Указание. В условии задачи говорится о квадратном уравнении; значит, α ^ 0.

1.4· Квадратный трёхчлен, разложение...
167
Решение. Данное уравнение имеет единственный корень либо при нулевом
старшем коэффициенте, либо при нулевом дискриминанте. В условии задачи говорится
о квадратном уравнении; следовательно, а^0и!) = 62- Аас = 0. Получаем:
Ъ2 - Аас = 0,
а + Ь + с = 2,
4а + 2Ъ + с = 0;
ί с = 2 — а — 6,
4а + 2d + 2 - а - 6 = 0;
6 = —За — 2, тогда с = 2 — α — (—За — 2) = 2а + 4; подставляем в первое:
(-3α-2)2-4α(2α + 4) = 0 ^^ а2 - 4а + 4 = 0 ^^ (а - 2)2 = 0,
то есть а = 2, b = — 8, с = 8.
Ответ. (2;-8; 8).
Замечание. Вместо уравнения, полученного из условия равенства нулю
дискриминанта, молено было использовать теорему Виета с х\ = ж 2 = 2.
Задача 16. (ВМК-80.4)
Найти все значения параметра α, при каждом из которых уравнение
(За — \)х2 + 2ах + За — 2 = 0 имеет два различных корня.
Идея. Квадратное уравнение имеет два различных корня при положительном
дискриминанте.
Указание. Уравнение является квадратным при ненулевом старшем
коэффициенте.
Решение. Квадратное уравнение имеет два различных корня при
положительном дискриминанте и ненулевом старшем коэффициенте:
[За-М0, ^ ία^, ^
\£>ι = а2 - (За - 2)(3а - 1) > 0; \δα2 - 9а + 2 < 0;
/ 1
а^ з'
9-л/Гг 9 + л/17
1 9-л/17 9 +л/17
Сравним число - с числами и :
F 3 16 16
9-л/Гг 9-4_ 5 1 9 9 + л/17
16 < 16 ~ 16 < 3 < 16 < 16 '
1
значит, из найденного интервала следует исключить значение α = -.
о
Ответ. (*^;l)O(L,»±M).
\ 16 '3/и\3' 16 /

168
Указания и решения
2. Рациональные и иррациональные уравнения
и неравенства, простейшие системы уравнений
2.1. Рациональные уравнения и неравенства,
метод интервалов
Задача 1. (ЕГЭ)
(ж-2)(4ж + 3) „
Решить неравенство > 0.
ж + 4
Идея. Решить неравенство методом интервалов.
Указание. Отметить на прямой нули числителя и знаменателя и решить
неравенство методом интервалов.
3
Решение. Неравенство решается методом интервалов; нули числителя χ = ——
и ж = 2; нуль знаменателя χ = — 4; решением является объединение двух проме-
жутков ж G ( —4; — - U [2; +оо).
3
Ответ. ( —4; —
4
U[2;+oo).
Задача 2. (ЕГЭ)
2
Решить неравенство 10 > 0.
χ
Идея. Привести левую часть к общему знаменателю и решить неравенство
методом интервалов.
Л7 тт 5х — 1
Указание. Неравенство переписывается в виде > 0.
χ
Решение. Решим неравенство методом интервалов:
2 2 - 10ж Ъх - 1 / 1
10 > 0 ^^ > 0 ^^ < 0 ^^ ж е 0:
/Ύ» /Ύ» ΓΥ* \ £ч
«Лу «Лу *Xj \ KJ
1
Ответ. (0;
Задача 3. (ЕГЭ)
Решить неравенство < U.
χ — 5
Идея. Разложить числитель на множители и решить неравенство методом
интервалов.
л, тт 3х(Х + !) ^ η
У казание. Неравенство переписывается в виде < U.
χ — 5

2.1. Рациональные уравнения и неравенства...
169
Решение. Разложим числитель на множители и решим неравенство методом
интервалов:
3^+Γ1} <0 ^ же(-оо;-1]и[0;5).
χ — 5
Ответ, (-оо;-1] U [0; 5).
Задача 4- (М/м-77.1)
Решить неравенство χ < 3 .
χ - 1
Идея. Решить неравенство методом интервалов.
Указание. Перенести все слагаемые в одну сторону и привести к общему
знаменателю.
Решение. Перепишем неравенство в виде
1 ■.»-3<ο ^ 1 + (*-з)(*-Р<0 ^
Ж — 1 Ж — 1
^ х2 - 4х + 4 < о ^ (ж - 2)2 < Q
ж — 1 — χ — 1 ~
Решая это неравенство методом интервалов, получаем ответ.
Ответ. (-oo;l)U{2}.
Задача 5. (Псих-82.1)
2х - 3 1
Решить неравенство > — .
4 — χ χ
Идея. Решить неравенство методом интервалов.
Указание. Перенести все слагаемые в одну сторону и привести к общему
знаменателю.
Решение. Перенесём все слагаемые влево и приведём к общему знаменателю:
2х - 3 1 Л х(2х -З)-(А-х) Л
4 — χ χ х(4 — х)
2х2-Зх-4 + х Л ж2-ж-2 Л (ж + 1)(ж-2) Л
^^ 7 г; < ° ^^ —? jv~ < ° ^^ -—/ ,χ < 0;
х(х — 4) х(х — 4) х(х — 4)
+ - + +
(J/////////Q tf/////////////////ft ^ χ
-1
значит, — 1 < χ < 0 или 2 < ж < 4.
Ответ. (-1;0)U(2;4).

170
Указания и решения
Задача 6. (Почв-О0(1).1)
Решить неравенство < 1.
Идея. Решить неравенство методом интервалов.
Указание. Перенести все слагаемые в одну сторону и привести к общему
знаменателю.
Решение. Перенесём все слагаемые влево и приведём к общему знаменателю:
3
1
3-2ж
1 - 3 + 2х Л х-1
КО ^^ <0 ^^ >0
3-2ж
Ответ. ( —оо; 1] U ( -;+оо ) .
2ж-3
х<1.
Задача 7. (Геогр-00(1).1)
8ж-2
Решить неравенство χ < .
χ + 5
Идея. Решить неравенство методом интервалов.
Указание. Перенести все слагаемые в одну сторону и привести к общему
знаменателю.
Решение. Перенесём дробь в левую часть и приведём к общему знаменателю
х2 + Ъх - 8х + 2
<0
■Зж + 2
<0
0-1)0-2)
χ + 5
<0;
//////////////φ
значит, χ < — 5 или 1 < χ < 2.
Ответ. (-оо;-5) U [1;2].
щ(////////4
1
1
Задача 8. (ИСАА-00.1)
Решить неравенство \2х — 1| >
Идея. Рассмотреть правую часть неравенства. Определить промежутки знако-
постоянства.
Указание. При χ < 2 правая часть отрицательна и основное неравенство
выполнено, так как модуль по определению неотрицателен.
Решение. Рассмотрим промежутки знакопостоянства правой части.
• При χ < 2 правая часть отрицательна и основное неравенство выполнено,
так как модуль по определению неотрицателен.

2.1. Рациональные уравнения и неравенства...
171
• При χ > 2 подмодульная функция положительна и неравенство принимает
вид 2х—\ > . Пользуясь положительностью знаменателя правой части,
х-2
умножим на него обе части неравенства, получим
(2ж-1)(ж-2) > 1 ^^ 2ж2-5ж + 2>1 <
5-
Решаем неравенство методом интервалов: χ <
Учитывая, что χ > 2, окончательно получаем χ >
2х2 - Ъх + 1 > 0.
17 5 + λ/Ϊ7
или χ > .
4
5 + λ/Ϊ7
Объединяя результаты рассмотрения двух случаев, приходим к ответу.
оч (b + y/vf \
Ответ. ( — оо; 2) U ;+оо I .
Задача 9. (Геол-82.2)
2х + 5
Решить неравенство : > 1.
|х + 1|-
Идея. Домножить неравенство на \х + 11.
Указание. Учитывая ОДЗ, домножить неравенство на \х + 1| и раскрыть
модуль по определению.
Ре ше
ние. < ι , 11
I |ж + 1|
< 2х + 5;
ж > -1,
χ + 1 < 2х + 5;
ж < -1,
-ж- 1 < 2ж + 5:
ж > -1,
χ > -4;
ж < —1,
χ > -2;
значит, χ > — 1 или —2 < χ < — 1.
Ответ. [-2;-l)U(-l;+oo).
Задача 10. (Биол-99.2)
3
Решить неравенство
> 2ж + 5.
\х-1\
Идея. Домножить неравенство на \х — 1|, раскрыть модуль по определению
и решить методом интервалов.
Указание. Учитывая ОДЗ, домножить неравенство на \х — 1| и раскрыть
модуль по определению.
Решение. Так как на области определения \х — 11 > 0, то умножим неравенство
на \х — 11, получим (2х + 5)|х — 1| < 3. Далее раскрываем модуль по определению.
1)
χ > 1,
(2ж + 5)(ж- 1) < 3;
χ > 1,
2х2 + Зх - 8 < 0;

172
Указания и решения
χ > 1,
-3 - л/73
<х<
-З + л/73
2)
χ < 1,
(2ж + 5)(1 -ж) < 3;
f х<1,
ж < -2;
1
^25
Ответ. ( — оо; —2] U
^^ 1< χ<
χ < 1,
2ж2 + Зж - 2 > 0;
л/73-3
χ < -2;
- <ж < 1.
1 Л /, V73-3
2;1Г 1;^ϊ—
Задача 11. (Геол-96(1).1)
Решить неравенство —— <
χ - 1996 ~х- 1996
Идея. Решить неравенство методом интервалов.
Указание. Перенести все слагаемые в одну сторону и привести к общему
знаменателю.
Решение. Перенесём все слагаемые вправо и приведём к общему знаменателю:
1 χ χ — 1
<
χ - 1996 ~х- 1996
Ответ. (-oo;l]U(1996;+oo).
χ - 1996
>0
χ < 1;
ж > 1996.
Задача 12. (Филол-99.2)
Решить неравенство
>
1
х2 + 8х - 9 ~ Зж2 - Ъх + 2 '
Идея. Решить неравенство методом интервалов.
Указание. Заметив, что квадратные трёхчлены в знаменателях дробей имеют
общий корень, разложить знаменатели на множители х2 + 8х — 9 = (х — 1)(х + 9),
Зх2 — Бх + 2 = (х — 1)(3х — 2), с последующим вынесением за скобки для упрощения
вычислений.
Указание. Переписать неравенство в виде ( ) > 0.
χ — 1 \х + 9 Зх — 2
Решение. Разложим знаменатели на множители:
1 1 1/11
>
0-1)0 + 9) - (ж-1)(Зж-2)
Зх — 2 — χ — 9
>0
х-1 \ж + 9 Зж-2
2ж-11
>0
0 + 9)0-1)(Зж-2) - " * ' 0 + 9)0-i)(3a;-2)
решая неравенство методом интервалов, получаем ответ.
>0;

2.1. Рациональные уравнения и неравенства...
173
////////(У
Ответ. (-oo;-9)U( з^Чи
2/3 1
—«w/л^ χ
11/2
11
у;+оо
Задача 13. (Геол-98(1).1)
Решить неравенство (ж2 + 5ж — 6)|ж + 4|-1 < 0.
Идея. Исходное неравенство равносильно отрицательности числителя при
ненулевом знаменателе.
Указание. На области допустимых значений знаменатель дроби заведомо
положителен, поэтому неравенство выполняется при отрицательности числителя и
ненулевом знаменателе.
Решение. Перепишем неравенство в виде
х2 + Ъх - 6
< 0; на области допу-
|ж + 4|
стимых значений знаменатель заведомо положителен, поэтому неравенство
равносильно системе
' х2 + Ъх - 6 < 0, Г (ж - 1)0 + 6) < О, Г - 6 < ж < 1,
χ ^-4; \ж^-4; \ ж ^-4.
Ответ. (-6;-4)U(-4;l).
Задача ί^. (ΒΜΚ-98.1)
5ж + 3
Решить неравенство 2ж >
|ж + 2|
Идея. Избавиться от дроби, воспользовавшись положительностью знаменателя
на области допустимых значений, после чего раскрыть модуль через точку смены
знака.
Указание. На области допустимых значений знаменатель дроби положителен,
поэтому на него можно умножить обе части неравенства, раскрыв затем модуль
по определению.
Решение. На области допустимых значений знаменатель всегда положителен,
поэтому 2ж|ж + 2| >5ж + 3, χ ^ —2. Далее раскрываем модуль по определению.
1)
2)
х > -2,
2ж2 - χ - 3 > 0;
χ < -2,
2ж2 + 9ж + 3 < 0;
^ <
^
Г х> -2,
^
(
" χ < -1;
3
χ < -2,
-9-V57
значит, χ G (—2; — 1) U
-9 +л/57
-00
< X <

174
Указания и решения
Сравниваем числа:
-9-л/57 -9-л/49_-9-7
4 < 4 ~ 4
-9-л/57
значит, из второго случая
<-2;
< χ < -2.
-9 + л/57 -9 +л/49
Объединяя оба случая, получаем ответ.
Ответ, ( 9 4 57;-2j U(-2;-l)uQ;+oo).
Задача 15. (М/м-85.2)
12 2
Решить неравенство ——^ + :—: >
χ + 1 \х\ — 1 х — 1
Идея. Раскрыть модуль по определению и решить соответствующие неравенства
методом интервалов.
Указание. Точкой смены знака для подмодульного выражения является χ = 0.
Удобно рассмотреть два случая снятия модуля, а только потом приводить дроби
к общему знаменателю.
Решение. Раскроем модуль по определению:
1)
2)
χ > О,
1 2 2
+ >
χ + 1 χ — 1 χ — 1
ж >0,
1
ж + 1
>0;
ж > О,
х^ 1.
χ < О,
Зж + 1
(ж + 1)(ж-1)
<0;
ж < —1;
1
<х < 0.
ж + 1
Объединяя оба случая, получаем ответ.
Ответ. (-oo;-l)U --;lj U(l;+oo).
Замечание. Идея с раскрытием модулей после приведения дробей к общему
знаменателю в подобных примерах нерациональна, так как ведёт к формальному
повторению одинаковых по технологии действий.

2.1. Рациональные уравнения и неравенства...
175
Задача 16. (Геол-97.3)
X
Решить неравенство — < 10.
20 -у/х
Идея. Рассмотреть неравенство относительно ζ = у/х, решив его методом
интервалов.
Указание. Ввести новую переменную ζ = л/х > 0, привести разность левой и
правой частей неравенства к общему знаменателю и решить методом интервалов.
Решение. Введём новую переменную ζ = у/х > 0 :
-2 ζ2 + 10ζ-200 _ (ζ-10)0+ 20)
< 10
<0
20 - ζ 20 - ζ ζ - 20
так как ζ > 0, то ζ + 20 > 0 всегда; сократим неравенство на (ζ + 20):
>0;
10
>0
ζ -20
Ответ. [0;100)U(400;+oo).
ζ< 10;
ζ> 20;
у/х< 10;
у/х > 20;
0 < χ < 100;
χ > 400.
Задача 17. (Физ-93.5)
Решить неравенство
> 1.
Идея. Сначала перенести единицу влево и привести к общему знаменателю.
Затем раскрыть модуль по определению, рассмотрев соответствующие промежутки
знакопостоянства подмодульной функции.
Указание. Перенести единицу влево и привести к общему знаменателю.
Указание. Точкой смены знака подмодульной функции является χ = — 3,
поэтому необходимо рассмотреть два промежутка χ < —3 и χ > — 3, на каждом из
которых решить получившееся неравенство методом интервалов.
Решение. Сначала перенесём единицу влево и приведём к общему знаменателю:
|х + 31 + χ . Λ |д: Ч- 3| — 2
1 >0
>0.
х+2 х+2
Точкой смены знака подмодульной функции является значение χ
рассмотрим два промежутка.
'ж>-3, (х>-3,
!) U + 3-2 Λ ^^ S ж + 1
-3, поэтому
2)
х + 2
χ < —3,
-ж-3-2
>0;
>0;
>0;
χ ■
-3 <х < -2;
ж > -1.
-5 < χ < -3.
<0;
Объединяя оба случая, получаем ответ.
Ответ. (-5;-2)U(-l;+oo).

176
Указания и решения
Задача 18. (Почв-00(1).1)
Решить уравнение
Идея. Преобразовать уравнение по правилу пропорции, перемножив
соответствующие выражения, не забывая при этом про область определения.
Указание. Уравнение равносильно тому, что (х17 — 1)(х13 — 1) = (1 — ж15)2 при
хф\.
Решение. Раскрывая по правилу пропорции, с учётом области определения
получаем:
{ (х17 -1)(х13-1) = (1-х16)2.
Решим уравнение:
х30 - х13 - х17 + 1 = 1 - 2х1Ъ + х30 ^^ х17 - 2х1Ъ + х13 = 0 ^^
^ х13(х4-2х2 + 1)=0 ^ х13(х2-1)2=0 ΪΧ = 0;
х = ±1;
с учётом области определения получаем, что χ = — 1 или χ = 0.
Ответ. —1: 0.
Задача 19. (Соц-00.3)
2 11
Решить неравенство 1 >
х-1 х + 2 2ж + 3
Идея. Перенести все слагаемые в левую часть, привести к общему знаменателю
и решить неравенство методом интервалов.
Указание. После приведения к общему знаменателю неравенство принимает
5ж2 + 14ж + 11
ВИД (х-1)(х + 2)(2х + 3)
Решение. Переносим все дроби в левую часть и приводим к общему
знаменателю:
2ж + 4 + ж-1 1 (Зж + 3)(2ж + 3)-(ж-1)(ж + 2)
0-1)0 + 2) ~ 2ж + 3 > ^^ (ж-1)(ж + 2)(2ж + 3) > ^^
6ж2 + 6ж + 9 + 9ж-ж2 +ж + 2 -2ж 5ж2 + 14ж + 11
^^ (ж-1)(ж + 2)(2ж + 3) > ^^ (х-1)(х + 2)(2ж + 3) >
Так как дискриминант числителя Di = 49 — 55 < 0, то числитель всегда
положителен, поэтому переходим к следующему эквивалентному неравенству:
3
(ж-1)(ж + 2)(2ж + 3) >0
-2<х< 2,
ж > 1.
Ответ. ( -2;-- ) U(l;+oo).

2.1. Рациональные уравнения и неравенства...
177
Задача 20. (Экон-87.3)
\2-x\-x п
Решить неравенство ; < 2.
F |ж-3| - 1 ~
Идея. Раскрыть модули по определению и решить неравенство методом
интервалов.
Указание. После раскрытия модулей перенести все слагаемые в одну сторону
и привести все дроби к общему знаменателю.
Решение. Раскрываем модули через точки смены знака по интервалам:
χ < 2,
2-2ж
1)
2)
3)
<2;
χ
χ < 2,
1
χ —
<0;
2 <х < 3,
χ — 3
>0;
χ
χ > 3,
χ — 3
ж - 4
>0;
2 <ж < 3,
ж < 2;
χ > 3;
ж > 3,
ж < 3;
ж > 4;
Объединяя все три случая, получаем ответ.
Ответ. (-oo;2)U{3}U (4;+оо).
χ < 2.
ж = 3.
ж > 4.
Задача 2ί. (Соц-99.5)
4|2-х|
Решить неравенство — :—-
\х-2\ <0.
Идея. Разложить левую часть неравенства на множители и решить полученное
неравенство методом интервалов.
Указание. Вынести за скобку общий множитель \х — 2|.
Решение. Вынесем за скобку общий множитель \х — 2|:
4 Л _ №-21
1 <0
>0
Отсюда получаем ответ.
Ответ. (-oo;-4)U{0}U{2}U(4;+oo).
х = 0;
х = 2;
\х\ > 4.

178
Указания и решения
Задача 22. (Физ-82.2)
Найти все значения параметра а, при каждом из которых решение уравнения
10ж — 15а = 13 — Ъах + 2а больше 2.
Идея. Уравнение является линейным относительно переменной, поэтому можно
вычислить его корень в явном виде и проверить требуемое условие.
Указание. Уравнение преобразуется к виду Бх(а + 2) = 17а + 13, то есть
17а + 13
решением будет χ = — при α Φ —λ.
5(а + 2)
Указание. Найденное решение проверить на выполнение условия χ > 2.
Решение. Исходное уравнение является линейным по переменной χ, перепишем
его в виде Бх(а + 2) = 17а + 13. Тогда получаем два случая:
1)если α = —2, то Ъх · 0 = —21, то есть решений нет;
/ „ 17α+ 13
2) если αφ —2, то χ = — - корень уравнения; проверим его на выполнение
о( α + Δ)
условия χ > 2:
17α+ 13 α-1 Λ
>2 ^^ >0
α < -2;
α > 1.
5(α + 2) α + 2
Ответ, (-οο;-2) U (1;+οο).
Задача 23. (Геол-79.1)
Для каждого значения параметра α найти все ж, удовлетворяющие равенству
2а — χ
Идея. Решить уравнение относительно переменной и проверить найденные
корни в области определения дроби.
Указание. Уравнение равносильно 3(2а — х) = а, где 2а — χ Φ 0.
Решение. Уравнение равносильно системе
Г 3(2а — х) = а, Г Зж = 5а, I ж = -а,
\ 2а - ж ^ 0; \х^2а; 1 ж ^ 2а;
5
проверим, когда найденный корень выпадает из области определения: —а ^ 2а,
о
то есть если а = 0, то решений нет.
5а
Ответ. Если а = 0, то решений нет; если α ψ 0, то ж = — .
о

2.2. Простейшие системы уравнений...
179
2.2. Простейшие системы уравнений. Подстановка и
исключение переменных при решении систем уравнений
Задача 1. (Псих-80.2)
Г 2и + ν = 7,
Решить систему уравнений <
[ \и - υ\ = 2.
Идея. Раскрыть модуль через геометрический смысл, получить совокупность
двух систем, каждую из которых решить, сложив уравнения для исключения
неизвестной.
Указание. Второе уравнение системы равносильно совокупности двух
уравнений, что позволит переписать систему в виде совокупности двух систем. В
каждой из новых систем, после сложения уравнений, выражается одна из переменных.
Вторую удобно находить подстановкой.
Решение. Раскрывая модуль через геометрический смысл, получаем два
случая:
2u + v = 7y Г 3^ = 5, 5 11
<^^> < <^^> и = -, υ = —.
и — ν = —2; [ν = и + 2; 3 3
1)
Г 2и + υ = 7, ( Зи = 9,
2) < <*==> < <*==> и = 3, υ = 1.
' \и-г; = 2; [w = u-2;
Ответ. (3;1), С|;^
Задача 2. (ВМК-87.1)
Решить систему уравнении <
[ж- 1 =2/(Vx + l).
Идея. Разложить левую часть второго уравнения на множители и упростить
тем самым само уравнение.
Указание. Левая часть второго уравнения раскладывается на множители как
разность квадратов относительно л/х > 0, в результате чего в обеих частях будет
общий положительный множитель, на который можно сократить само уравнение.
Получившуюся после этого систему можно решить вычитанием одного уравнения
из другого.
Решение. Область определения χ > 0. Разложим второе уравнение на
множители
Г у/Б + Зу = 9,
\(>/5-ΐ)(ν£+ΐ) = !/(>/£ +1);
выражение л/х-\-1 всегда положительно, поэтому сокращаем на него второе
уравнение
\у/х-1 = у; \ у/х-у = 1;

180
Указания и решения
вычитаем одно из другого: Ау = 8 <^=> у = 2; подставляем у во второе
уравнение: л/х = 3, χ = 9.
Ответ. (9; 2).
Замечание. Проводить замену переменной ζ = ^/х > 0 нецелесообразно, так
как большого выигрыша это не приносит.
Задача 3. (М/м-79.3)
2 3 _ 1
„ . 2х-у х-2у 2'
Решить систему уравнении \ 0
2х-у ~ х-2у ~ 18'
2
Идея. Решить систему методом исключения неизвестных относительно
2х — у
и . В целях упрощения записи можно произвести соответствующую замену
х-2у
переменных.
Указание. Умножить второе уравнение на три и сложить с первым для
получения значения 2х — у. Вычесть одно уравнение из другого в исходной системе
для получения значения χ — 2у. В полученной системе двух уравнений с двумя
переменными воспользоваться методом исключения неизвестных или
подстановкой.
Решение. Вычитаем второе уравнение исходной системы из первого, получим
4 11 4 8
ж-2|/ 2 18 х-2у 18
χ - 2у = 9;
χ — 2у φ 0 - выполнено. Умножив второе уравнение на три и сложив с первым,
получим
811 4 1 Л
о = о + а ^ о = q ^ 2х-у = 12;
2х — у 2 6 2х — у 3
знаменатель первой дроби также не равен нулю. Таким образом, получаем
систему:
(х-2у = 9, ^ (2х-4у = 18, ^ Г-Зу = 6, ^^
у2х-у = 12; у2х-у = 12; [2ж + 2 = 12;
Ответ. (5;-2).
Замечание. Выполнимость условий области определения в данной задаче не
вызывает сомнений в силу получившейся после преобразований линейной системы,
однако указать этот факт в решении нужно обязательно.

2.2. Простейшие системы уравнений...
181
Задача 4- (Псих-94.2)
( 2ах + by = 1,
Известно, что ж = 1, у = —1 - одно из решений системы < 0 Найти
by'
все ее решения.
Идея. За счёт известного решения молено вычислить значения параметров, при
которых имеющаяся пара переменных является решением системы. Затем
получившаяся система решается заново и находятся все её решения.
Указание. Подставить заданное в условии решение системы и найти значения
параметров, при которых данное решение у системы существует.
Указание. После получения значений параметров подставить их в исходную
систему, которую затем решить.
Решение. Подставим заданное в условии решение χ = 1, у = — 1; получаем
(2а-Ъ = 1,
систему для параметров
сложив уравнения, находим а = 1; из вто-
+ 6 = 2;
рого уравнения получаем Ъ = 2 — а = 1. Найденные значения параметров а = 1.
Ъ = 1 подставим в исходную систему:
2х + у = 1,
х2 + у2 = 2
у = 1-2х,
х2 + (1 - 2х)2
у = 1 - 2ж,
5ж2 — 4х — 1
χ = 1, У = — 1 - задано в условии;
1 7
ж = —, i/= второе решение системы.
5 5
Ответ. (1; —1)
Замечание. Одной из типичных ошибок при решении подобных задач
является забывчивость при выписывании всех требуемых решений: решение, заданное
в условии, также должно быть выписано в ответ.
Задача 5. (Физ-81.2)
Найти все значения параметра а, при каждом из которых система уравнений
У
1,
ж+ 2/
имеет единственное решение.
Идея. Выразить одну из переменных из второго уравнения системы и подставить
в первое. Полученное в результате этого уравнение имеет столько же решений,
сколько их у исходной системы.
Указание. Выразить одну из переменных из второго уравнения системы и
подставить в первое.

182
Указания и решения
Указание. В силу линейности второго уравнения система имеет столько лее
решений, сколько и получившееся квадратное уравнение, то есть для единственности
решения системы квадратное уравнение должно иметь нулевой дискриминант.
Решение. Выразим из второго уравнения у = а — χ, подставим в первое:
х2 + (а - х)2 = 1 ^^ 2х2 - 2ах + а2 - 1 = 0;
количество решений этого уравнения равно числу решений исходной системы, так
как у выражен через χ линейно. Для единственности решения квадратного
уравнения необходимо и достаточно, чтобы дискриминант был равен нулю:
D1=a2 - 2(а2 - 1) = 0 <^> а2 = 2 <^> а = ±л/2.
Так как все преобразования равносильны, то дополнительных проверок не
требуется.
Ответ. ±\/2·
Замечание. Дополнение про эквивалентность переходов при решении
актуально практически во всех задачах с параметрами, так как часто они решаются лишь
на уровне необходимости в условиях, что может привести к появлению лишних
или ложных результатов.
Задача 6. (Почв-70.2)
ах — Ау = а + 1,
При каких значениях параметра а система уравнений .
2х + [а + 6)у = а
не имеет решений?
Идея. Исключив из системы χ, перейти к одному уравнению с одной
неизвестной.
Указание. Выразить из второго уравнения 2х и подставить в первое
уравнение, умноженное на 2.
Указание. При решении получившегося уравнения отобрать те а, при которых
нет решений.
Решение. Выразим из второго уравнения 2х = а + 3 — (а + 6)у и подставим
в первое уравнение, умноженное на 2. После приведения подобных получим
(а2 + 6а + 8) у = а2 + а - 2 ^^ (а + 4) (а + 2) у = (а + 2) (а - 1).
Если последнее уравнение имеет решение у,тои исходная система имеет решение,
так как χ выражается линейно через у. Будем искать у из последнего уравнения
и отберём те се, при которых не будет решений:
1) если а = — 2,то?/£М, решения есть ^=> не подходит;
2) если а = —4, то 0 · у = 10, решений нет ^=> подходит;
а - 1
3) при всех остальных а ф — 2, αφ— 4 у = . Значит, решение есть ^=>
не подходит.
Ответ. —4.

2.2. Простейшие системы уравнений...
183
Задача 7. (Экон-78.3)
Найти все значения параметра 6, при каждом из которых система уравнений
(bx + 2y = b + 2,
< , . . , имеет хотя бы одно решение.
|2Ьх + (Ь + 1)г/ = 2Ь + 4 Л Р
Идея. Решить систему для каждого значения параметра и выбрать случаи, в
которых есть решение.
Указание. Выразить из первого уравнения 2у и подставить во второе
уравнение, умноженное на 2.
Указание. При решении получившегося уравнения отобрать те Ь, при которых
есть решения.
Решение. Выразим из первого уравнения 2у = Ъ + 2 — Ъх и подставим во второе,
умноженное на два. После приведения подобных получим
(Ъ2 - Щх = Ъ2 -Ъ-6 ^^ Ъ(Ъ-3)х = (Ъ + 2)(Ъ - 3).
Если последнее уравнение имеет решение ж, то и исходная система имеет решение,
так как у выражается линейно через χ. Будем искать χ из последнего уравнения
и отберём те значения 6, при которых есть решение:
1) если Ъ = 3, то χ Ε Μ, то есть бесконечное число решений =^> подходит;
2) если 6 = 0,то0-ж = — б, решений нет => не подходит;
6 + 2
3) если 6^0,6^3, то χ = —-—, то есть решение есть ^=> подходит.
Ответ
Задача 8. (Филол-00.5)
Найти все значения а, при каждом из которых уравнения
(2а — 1)х2 + бах + 1 = 0 и ах2 — χ + 1 = 0 имеют общий корень.
Идея. Найти а, при которых система из этих двух уравнений имеет решения.
Указание. Если вычесть одно уравнение из другого, то полученное уравнение
разложится на множители.
Решение. Два уравнения имеют общий корень, если имеет решение система,
составленная из этих уравнений:
ί (2α - l)x2 + бах + 1 = 0, ί (α - l)x2 + (6α + Ι)χ = 0,
Ι αχ2 - χ + 1 = 0; | αχ2 - χ + 1 = 0;
χ ((α- 1)χ + 6α + 1) = 0,
αχ2 — χ + 1 = 0;
χ = 0;
(α- 1)χ + 6α + 1 = 0;
αχ2 - χ + 1 = 0;

184
Указания и решения
1λ . ж = О, ^ |а: = 0,
ХЧ α*2-* + 1=0; ^ 1 1 = 0; => решенИИ нет'
2) ί _2
α — 1 / α — 1
(α- 1)ж + 6а + 1 = О,
аж2 — χ + 1 = 0;
а) если а = 1, то из первого уравнения получаем 0 · χ + 7 = 0, нет решений;
о) при α ψ 1 из первого уравнения ж = подставляем во второе:
а — 1
6а + 1 \ 6а + 1 Λ о о
* + + 1=0 ^^ 36а3 + 19а2 - 6а = 0 ^^
^ а(а-£Ка + £>=0'
2 3
откуда α = 0 или α = - или α = — - искомые значения. Так как все
преобразования равносильны, то проверка не требуется.
3 2
Ответ. --; 0; -.
2.3. Радикалы. Иррациональные уравнения и неравенства,
равносильные преобразования
Задача 1. (Экон-89.1)
л/х^^9
Найти область определения функции у
V-x2 + χ + 20'
Идея. Составить систему неравенств, выражающую неотрицательность
подкоренных выражений и отсутствие нулей в знаменателе, после чего решить её.
Указание. В область определения функции входят те значения переменной,
при которых знаменатель не обращается в нуль, а подкоренные выражения
неотрицательны.
Решение. Область определения функции задаётся системой
ί - х2 + х + 20 > 0, Г χ2 - χ -
Ι х2 - 9 > 0; ^ I \х\ > 3;
ж2+ж + 20>0, Гж2-ж-20<0, [ -4<ж<5,
χ < —3;
χ > 3;
-су////ф ψ////////^ ^ χ
значит, —4 < χ < — 3 или 3 < χ < 5.
Ответ. (-4;-3]U[3;5).

2.3. Радикалы. Иррациональные уравнения и неравенства...
185
Задача 2. (Геол-94.5)
Решить неравенство V^z-3-z2 т^О.
Идея. Учитывая неотрицательность радикала, неравенство справедливо во всех
точках области допустимых значений за исключением тех, где радикал обращается
в нуль.
Указание. Так как λ/4ζ - 3 - ζ2 > 0 при всех ζ из области допустимых
значений, то неравенство справедливо при 4ζ — 3 — ζ2 > 0.
Решение. Учитывая, что всегда на области допустимых значений радикал
неотрицателен, можно говорить о справедливости неравенства при всех ζ из области
определения без нулей левой части:
4ζ - 3 - ζ2 >0 <^^ ζ2 - 4ζ + 3 < 0 ^^ 1 < ζ < 3.
Ответ. (1;3).
Задача 3. (Экон-94.2)
Найти область значений функции у = — \/—Зх2 + 12ж — 3.
Идея. Рассмотреть область значений квадратного трёхчлена.
Указание. Выделить полный квадрат в выражении под радикалом и учесть
неотрицательность последнего.
Решение. Преобразуем подкоренное выражение, выделив полный квадрат:
У
-\/-Зж2 + 12ж-3 = -ν/9-3(χ-2)2;
учитывая область определения радикала и неотрицательность полного квадрата,
получаем, что выражение 9 — 3(х — 2)2 принимает все значения из отрезка [0; 9];
тогда корень из него принимает все значения из отрезка [0; 3]. Возвращаясь к
исходной функции, получаем, что Ε (у) = [—3; 0].
Ответ. [-3;0].
Задача 4- (ЕГЭ)
Решите уравнение л/Ах2 — 27 = — х.
Идея. Использовать соответствующий эквивалентный переход.
Указание. у/Щ = д(х) ^ № = ^
Решение.
|-ж>0; |ж<0;
Ответ. —3.

186
Указания и решения
Задача 5. (Геол-96.1)
Решить уравнение л/Зх — 5 = χ — 11.
Идея. Использовать соответствующий эквивалентный переход.
Указание. у/Щ = g(x) ^ l^Zf^'
Решение.
г- _ Гзж-5 = (ж-11)2, [х2 -25ж +126 = 0,
|ж-11>0; |ж>11.
Корень χ = 18 подходит, а корень χ = 7 - нет.
Ответ. 18.
Задача 6. (Геогр-00.1)
Решите уравнение л/Зх + 2 = 2х — 4.
Идея. Использовать соответствующий эквивалентный переход.
_ \f{x)=g\x),
Указание. л//(х) = д(х)
Решение. л/Зх + 2 = 2ж — 4
4ж2 - 19ж + 14 = 0,
χ > 2;
19 +л/137
Ответ. .
Задача 7. (Соц-99.1)
д(х) > 0.
]3ж + 2 = 4ж2 + 16-
|2ж-4>0;
19±л/137
Ж= 8 ' «
ж > 2:
- 1бж,
19 +л/137
=► х=
Решить уравнение у/у — 1 = б — у.
Идея. Использовать соответствующий эквивалентный переход.
Указание. J/Щ = д(х) ^ V^Zf^'
\д(х) >0.

2.3. Радикалы. Иррациональные уравнения и неравенства...
187
Решение, у/у — 1 = б — у
2/2-132/+ 37 = О,
У<6;
n 13-V21
Ответ. .
Задача 8. (Физ-98(1).2)
у - 1 = 36 + у2 - 12?/,
6 - у > 0;
13^21 ^
У<6;
Решить уравнение -\/3:г — х2 — 2 = 2х — 3.
Идея. Использовать соответствующий эквивалентный переход.
Указание. у//Щ = д(х) ^ № ζ^
Решение. л/Зх — х2 — 2 = 2х — 3 <^>
^^ |3х-х2-2 = (2х-3)2, ^^ ίδχ2-15χ + 11 = 0,
15 + л/5 15-л/5
Корень ж = — подходит, а корень χ = — нет.
г, 15 +л/5
Ответ. .
10
Задача 9. (ВМК-91.1)
Решить уравнение \Jx + 4 + χ — 2 = 0.
Идея. Использовать соответствующий эквивалентный переход.
Указание. у/Щ = g(x) ^ l^Zf^'
уд(х) > 0.
Решение.
ζ τ Л Гж + 4 = 4 - 4ж + ж2, Гж2-5ж = 0,
|2-ж>0; |ж<2;
Ответ. 0.

188
Указания и решения
Задача 10. (Геол-95.1)
Решить уравнение \/Ъх — б + χ = 4.
Идея. Использовать соответствующий эквивалентный переход.
Указание. JJ{x) = g(x) <ί=> \f(x)=g2(x),
VJK J УК } \g{x) >0.
bx - 6 = 16 - 8x + χ ,
Решение. \/Ъх — б = 4 — ж <^>
[4-ж>0;
Гж2 - 13ж + 22 = 0, Ux- 2)0 - 11) = О,
Ι χ < 4; J ж < 4;
Ответ. 2.
ж = 2.
Задача 11. (Хим-98(1).1)
Решить уравнение 7 — χ = 3^5 — ж.
Идея. Использовать соответствующий эквивалентный переход.
Указание. JJ{x) = g(x) <ί=> \f(x)=g2(x),
VJK J УК } \g{x) >0.
Решение. Перепишем уравнение в стандартном виде 3^5 — χ = 7 — χ. Тогда
получаем:
|9(5 - х) = (7 - ж)2, (х2 - Ъх + 4 = 0, ί (ж - 1)(ж - 4) = О,
[7-χ>0; ^^ |ж<7; ^^ |ж < 7;
подходят оба решения χ = 1 и ж = 4.
Ответ. 1; 4.
Задача 12. (Геогр-99.2)
Решить уравнение л/2х2 — 8х + 5 = ж — 2.
Идея. Использовать соответствующий эквивалентный переход.
Указание. J/Щ = g(x) ^ V^Zf^'
\д(х) >0.

2.3. Радикалы. Иррациональные уравнения и неравенства...
189
Решение. л/2х2 — 8х + 5 = ж — 2
Гж2-4ж + 1 = 0,
^ \х>2;
Ответ. 2 + \/3·
2ж2 -8ж + 5 = (ж-2)2,
ж - 2 > 0;
χ = 2 ± л/3,
ж > 2;
2 + л/З.
Задача 13. (Биол-77.1)
Решить уравнение л/б — 4х — χ2 = χ + 4.
Указание. \/f(x) = g(x)
Идея. Использовать соответствующий эквивалентный переход.
Ь(ж)>0.
6-4ж-ж2 = (ж + 4)2,
ж + 4 > 0;
Решение. \/б — Ах — х2 = ж + 4
Гж2 + 6ж + 5 = 0,
^^ |ж>-4; ^
Ответ. —1.
(ж + 1)(ж + 5) =0,
χ > -4;
-1.
Задача 1^. (Почв-87.2)
Решить неравенство л/2х + 3 >
Идея. Перейти к равносильной совокупности двух систем.
Указание. Неравенство вида \/f(x) > g(x) равносильно совокупности двух
ff(x)>g2(x), if(x)>0,
g{x) > 0
l(x) < 0.
Решение. Переходим к равносильной совокупности двух систем.
/2ж + 3>ж2, Гж2-2ж-3<0, ί-1<χ<3,
χ > 0;
3
1)
2)
χ > 0;
'2ж + 3 >0,
ж >0;
0 <ж < 3.
ж >
"2'
<ж <0.
ж < 0; 1 „ / п. 2
Ответ содержит объединение найденных промежутков.
Ответ.

190
Указания и решения
Задача 15. (Хим-96.2)
Решить неравенство л/χ + 5 > 7 — χ.
Идея. Перейти к равносильной совокупности двух систем.
Указание. Неравенство вида \/f(x) > g(x) равносильно совокупности двух
if{x)>g\x), J/(x)>0,
систем < , ч или < , ч
\д(х) > 0 \д(х) < 0.
Решение. Переходим к равносильной совокупности двух систем.
ιλ (ж + 5> (7-ж)2, (ж2-15ж + 44<0, \а < χ < 11,
1) < v J ^^ < ^^ < ^^ 4 < χ < 7.
7 |7-ж>0; ух < 7; |ж < 7;
. Ι χ > —5,
2 - ' ^^ ж> 7.
J [7-ж<0;
Объединяем: ж > 4.
Ответ. (4;+оо).
Задача 16. (Экон-95.1)
Решить неравенство 2х — 5 < л/х2 — χ — б.
Идея. Перейти к равносильной совокупности двух систем.
Указание. Неравенство вида \/f(x) > g(x) равносильно совокупности двух
if{x)>g\x), f/(x)>0,
систем < , ч или < , ч
\д(х) > 0 \д(х) < 0.
Решение. Перепишем неравенство в стандартном виде
ух2 — χ — 6 > 2х — 5.
Это неравенство равносильно совокупности двух систем.
(х2-х-6> (2х - 5)2, ^^ ί3*2 " 19а; + ЗК 0,
\2х-5>0; ^ 1Ж-|
1} = 361 — 12-31 < 0 => неравенство не имеет решений; значит, и система не
имеет решений;
(х2_х_6>0 ((х + 2)(х-3)>0,
[2ж-5<0; \Х<2;
Ответ, (—оо;— 2].

2.3. Радикалы. Иррациональные уравнения и неравенства...
191
Задача 17. (Псих-97.2)
Решить неравенство
Идея. Перейти к равносильной совокупности двух систем.
Указание. Неравенство вида \/f(x) > g(x) равносильно совокупности двух
//(*) > g2{x), ff(x) > О,
систем < . , или < , ч
\д(х) > 0 \д(х) < 0.
Решение. Неравенство равносильно совокупности двух систем.
/ 0 Г 21 - \/89 21 + ^89
ίί + 3>(5-2ί)2, Ш-2и + 22<0, 1^^<ί<^^,
j\5-2t>0; **{*<? [*<f;
сравниваем числа:
21-у/89 21 - λ/8Ϊ _ 12 _ 3 5 21 + л/89 21 + л/81 30 5
8 < 8 ~ ~8~ ~ 2 < 2' 8 > 8 > ~8~ > 2'
21-л/89 5
значит, < £ < -:
8 _ 2'
) \5-2ί<0; |t>-; 2
21-л/89
Окончательно получаем, что t > .
8
/21-л/89 \
Ответ. ;+оо .
Задача 18. (Псих-88.3)
Решить неравенство 2х — 11 < 2л/36 — х2.
Идея. Перейти к равносильной совокупности двух систем.
Указание. Неравенство вида у/(х) > д(х) равносильно совокупности двух
ff(x)>g2(x), //(*)> 0,
систем < ' или < ; ч
\д(х) > 0 \д(х) < 0.
Решение. Перепишем сначала неравенство в стандартном виде
2\/36-ж2 > 2ж-11.
Это неравенство равносильно совокупности двух систем.

192
Указания и решения
1)
4(36-ж2) > (2ж-11)2,
2ж-11>0; ^^
11-л/167 11 + л/167
8ж2 - ААх - 23 < О,
11
*>у;
< X <
11
11 +л/167 11 + 11
сравниваем числа: >
2)
36 - ж2 > О,
2ж-11 <0;
-6<х < 6,
11
ж <
Объединяя оба случая, получаем ответ.
П + лДбЛ
О
-6;
11 11 11 +л/167
— ; значит, — < χ < .
2 ' ' 2 ~ 4
-6 <ж <
11
Задача 19. (ВМК-75.1)
Решить неравенство л/х2 + Ах — 5 — 2ж + 3 > 0.
Идея. Перейти к равносильной совокупности двух систем.
Указание. Неравенство вида y^f(x) > g(x) равносильно совокупности двух
'/(*) > £2(х), //(ж) > О,
/ ч или < , ч
д{х) > 0 | р(ж) < 0.
систем
Решение. Перепишем неравенство в стандартном виде
л/х2 + Ах - 5 > 2ж - 3 .
Это неравенство равносильно совокупности двух систем.
1)
2)
х2
2х
х2
2х
+ Ах - 5 > (2х -
-3>0;
ί^<*<
1*4
+ Ах - 5 > 0,
-3<0;
з)2
8 +
?
л/22
3
/■·
ь
Зж2 - 16ж + 14 < 0,
3
3 8 + л/22
2^Я<—3—
ж G ( — оо; —5] U [1; +оо),
3
Ж<25
Объединяя найденные промежутки, получаем ответ.
η ι-. 8 + л/22^
Ответ. ( — оо; —5J U
χ < —5;
К ж < -.
2

2.3. Радикалы. Иррациональные уравнения и неравенства...
193
Задача 20. (Геол-04.3)
Решить неравенство — χ2 < χ + 21.
Идея. Использовать соответствующий эквивалентный переход.
Ί{χ)<92{χ),
Указание. \/f(x) < g(x)
Решение. л/441 - χ2 < χ + 21
д{х) > 0.
441-ж2 < (χ + 21)2,
441 - ж2 > 0,
ж+ 21 >0:
ж(ж + 21) > 0,
(ж-21)(ж + 21) <0,
ж > -21;
Ответ. {-21}U [0;21].
χ G (-оо;-21] U [0;+оо),
хе [-21; 21],
χ > -21;
G {-21}U[0;21].
Задача 21. (Геол.ОГ-84.2)
Решить неравенство л/ж2 - Зж + 2 < Зж-3.
Идея. Использовать соответствующий эквивалентный переход.
(f(x)<92(x),
Указание. л//(х) < д{х) ^^ I f(x) > О,
[д(х) > 0.
(х2 -Зж + 2 < (Зж-3)2,
ж2 - Зх + 2 > О,
Зх - 3 > 0;
Решение, л/^2 — Зж + 2 < Зж — 3
8ж2 - 1Бх + 7 > О,
ж G (-oo;l] U [2;+оо),
χ > 1;
^^ ж G {1}U [2;+оо).
Ответ. {1}U [2;+оо).
χ G (-оо; 7/8] U [1;+оо),
χ G (-oo;l] U [2;+оо),
χ > 1;
Задача 22. (Экон-03.1)
Решить неравенство л/8 + 2х - х2 < 2х + 1.

194
Указания и решения
Идея. Использовать соответствующий эквивалентный переход.
'т<д2(х),
Указание. \/f(x) < д(х)
Решение. V8 + 2х — х2 < 2х + 1
О'
(x-l)lx+-j >0,
(ж-4)(ж + 2) <0,
1
х>—2,
г. [1;4].
f(x) > О,
д(х) > 0.
ж G
ж G
х>
-оо;-
-2; 41,
1
"2;
7"
~5
> + 2х-х2 < (2х + 1)2,
ί + 2х - х2 > 0,
2х + 1 > 0;
U[l;+oo),
ж€[1;4].
Задача 23. (Физ-05.2)
Решить неравенство л/Ъх — х2 + 6 < \/б — ж.
Идея. Использовать соответствующий эквивалентный переход.
7о*о <02о*о,
Указание. \/f(x) < g(x)
Решение. \/5х — х2 + 6 < \/б -
л/6+- ) ) >0,
(ж + 1)(ж-6) <0,
[х < л/б;
Ответ. [-1;0).
/(ж) > 0,
д{х) > 0.
(бх-х2 + 6 < (л/б-ж)2,
Ъх - х2 + 6 > 0,
л/б-а; > 0;
χ е (-оо; 0) U ( л/б + -; +оо
хе [-1;6],
[х < л/б;
xG [-1;0].
Задача 2^. (Физ-85.2)
Решить уравнение л/х4 — 2х — 5 = 1 — х.
Идея. Использовать соответствующий эквивалентный переход.
ί/(χ)=52(χ),
Ь(а;)>0.
Указание. ^/]{х) = д(х)

2.3. Радикалы. Иррациональные уравнения и неравенства...
195
Решение. Уравнение равносильно системе
ж4-2ж-5 = (1 -ж)2,
1 -х > 0;
Ответ. —γ3·
χ4 - χ2 - б = 0,
^х < 1;
==> χ = -л/3.
Задача 25. (Физ-99(2).2)
Решить уравнение v^ + 2 · \/2ж + 1 = χ + 4.
Идея. Возвести обе части уравнения в квадрат, записав систему с условиями
равносильности.
Указание. В систему должны быть включены условия неотрицательности
подкоренных выражений.
Решение. <
> + 2)(2ж + 1) = (ж + 4)2,
х + 2 >0,
^=> <
η 3 + ^
TRfiT.
ν/65
3±л/65
^^
^^
<
'ж2 -Зж- 14 =
ж > -2,
1
х- ~г
^х > -4;
З + л/65
= 0,
Задача 26. (Экон-00.1)
Решить уравнение Зл/х2 - 4ж + 4 - 4
(^
^ ·
Идея. Заметив, что от радикалов в данном выражении можно сразу избавиться,
перейти к рациональному уравнению.
Указание. Уравнение преобразуется к виду 3\х — 2| — 4 — χ = — χ2 + χ + 2 при
условии —х2 + ж + 2 > 0.
Указание. Полученное уравнение с модулем логичнее решать через
определение последнего, рассматривая два промежутка.
Решение. Так как х2 — Ах + 4 = (х — 2)2, то уравнение равносильно системе
3|ж-
-χΔ + χ -
-х + 2 > 0;
3|ж-2| = -ж2 + 2ж + б,
-1 <х < 2.

196
Указания и решения
Из второго условия системы следует, что подмодульное выражение в первом
уравнении системы всегда неположительно, поэтому модуль снимается со знаком
минус:
Г-3(ж-2) = -ж2 + 2ж + б,
|-1 <х< 2.
<^> χ = 0.
Ответ. 0.
2 - Ъх = 0,
-1 <ж < 2;
Задача 27. (ИСАА-91.1)
Решить уравнение л/Зх — 5
>/Г
1.
Идея. Перенеся второй радикал в правую часть, возвести обе части уравнения
в квадрат.
Указание. После перенесения второго радикала вправо обе части уравнения
будут неотрицательными и можно возводить уравнение в квадрат.
Решение. Перенесём второй радикал в правую часть:
л/За
л/4-ж + 1.
Так как обе части уравнения неотрицательны, то можно возводить уравнение
в квадрат. При этом условие Зх — 5 > 0 писать нет необходимости, так как в
получающемся уравнении (Зх — 5) равно квадрату положительной величины:
Зх-Б = (л/4-ж + 1)2 Ф=
Зх-5 = 4-ж + 2л/4-ж + 1 ^^ л/4 - χ = 2ж-5.
Полученное уравнение с одним радикалом решаем стандартным способом:
Ах2 - 19ж + 21 =0,
(2х - 5)2 = 4 ■
2х - 5 > 0;
ж >
Корень χ = 3 подходит, а корень ж = - - нет.
Ответ. 3.
Задача 28. (Почв-98.1)
Решить уравнение \/х + 1 — л/4х — 3 = 1.
Идея. Перенеся второй радикал в правую часть, возвести обе части уравнения
в квадрат.
Указание. После перенесения второго радикала вправо обе части уравнения
будут неотрицательными и можно возводить уравнение в квадрат.

2.3. Радикалы. Иррациональные уравнения и неравенства...
197
Решение. Перенесём второй радикал в правую часть:
л/я + 1 = л/4х-3 + 1.
Так как обе части уравнения неотрицательны, то можно возводить уравнение
в квадрат. При этом условие χ + 1 > 0 писать нет необходимости, так как в
получающемся уравнении (х + 1) равно квадрату положительной величины:
=> ж+1 = 4ж-3+1+2л/4ж - 3 4=
ж+1 = (л/4ж-3+1)2 ^^
Полученное уравнение решаем стандартным способом:
2л/4ж-3 = 3-3ж.
Корень
Ответ.
|4(4ж-3) = 9 + 9ж2-18ж,
|з-3ж>0;
7
ж = - — подходит, а корень
7
9'
9ж2 - 34ж + 21 = 0,
ж < 1.
Задача 29. (Псих-93.2)
Решить неравенство л/\ — χ —
у/х >
V3'
Идея. Перенеся второй радикал в правую часть, возвести обе части неравенства
в квадрат.
Указание. После перенесения второго радикала вправо обе части неравенства
будут неотрицательными, и можно возводить неравенство в квадрат.
Решение. Перенесём второй радикал в правую часть:
1
\J\— χ > \[х Л—у=.
λ/3
Так как обе части неравенства неотрицательны, то можно возводить его в квадрат.
При этом условие 1 — χ > 0 писать нет необходимости, так как в получающемся
неравенстве (1 — х) больше квадрата положительной величины:
1 -х > [у/х +
1
7з
1 — χ > χ
Л Iх !
2W- + -
3 3
χ 1
3<3
X.
Получившееся неравенство решаем стандартным способом:
1 о 2х
χ
3<9
1
3
χ > 0;
χ > 0,
0 <х <
3 '
λ/5
Зх2 - Зх + - > 0,
1 3
0<х<-;
χ <
X >
х/5
6 '
3 + ч/5
0<ж<

198
Указания и решения
////////////Ш//(
Ответ.
0;
у/Ъ
«»ш#
з-лПз
з
з+лПз
Задача 30. (Геол.ОГ-82.2)
Решить уравнение V'х + 3 — л/2х — 1 = ^Зж — 2.
Идея. Перенеся второй радикал в правую часть, возвести обе части уравнения
в квадрат.
Указание. Для уверенности в положительности обеих частей уравнения
перенести радикал л/2х — 1 в правую часть, после чего уравнение молено возводить
в квадрат, не забывая про область определения.
Решение. Перенесём радикал \/2х — 1 в правую часть:
а/хТз = л/2х - 1 + л/Зх - 2.
Так как обе части уравнения неотрицательны, то молено возводить в квадрат.
Условие х + 3 > 0 можно при этом не писать, так как в получающемся уравнении
(х + 3) равно квадрату неотрицательной величины, а вот одно из условий
2х — 1 > 0 или Зх — 2 > 0 написать надо. Достаточно учесть одно из этих
условий, так как наличие радикала в уравнении при выполнении одного условия
гарантирует выполнение и второго условия.
ж + 3 = 2ж-1 + Зж-2 + 2^(2^:- 1)(3ж - 2),
Зх - 2 > 0;
л/ба
■2 - 7х + 2 = 3 - 2ж,
ж >
2ж2 + 5ж - 7 = 0,
2 3
3 ~ ~ 2'
6ж2-7ж + 2 = (3-2ж)2,
3 - 2х > 0,
2
χ = 1;
7
2;
3
КЗ ~ ~ 2'
ж = 1.
Ответ. 1.

2.4· Смешанные задачи
199
2.4. Смешанные задачи
Задача 1. (ЕГЭ)
π / ч „ J у/х - 1 - у = О,
Пусть (хо5 2/о) ~~ решение системы уравнении <
|^- \х-Б\ = 2.
Найти разность хо — уо.
Идея. Исключив из системы переменную у, получить уравнение для переменной
ж, которое решать как уравнение с радикалом.
Указание. Выразить переменную у из первого уравнения системы и
подставить во второе.
Указание. В полученном уравнении \/х — 1 = \х — 5| + 2 обе части
неотрицательны, поэтому молено возвести уравнение в квадрат.
Указание. В получившемся уравнении модуль раскрыть по определению.
Решение. Выразим переменную у = л/χ — 1 из первого уравнения системы
и подставим во второе. В полученном уравнении
у/х- 1 = \х-Ъ\ +2
обе части неотрицательны, поэтому молено возвести уравнение в квадрат. При этом
область определения гарантируется тем, что (х — 1) равно квадрату величины.
χ - 1 = х2 - 10ж + 25 + 4 + 4|ж - 5| ^^ ж2 - 11ж + 30 + 4|ж - 5| = 0 .
Раскроем модуль по определению, рассматривая два случая.
χ < 5,
1)
χ < 5,
ж2 - 15ж + 50 = 0;
ж = 5;
ж = 10;
Значит, жо = 5. Тогда из первого уравнения исходной системы находим уо = 2.
Таким образом, жо — 2/о = 5 — 2 = 3.
Ответ. 3.
Задача 2. (ЕГЭ)
Решите уравнение у^4 — 7х\х + 2| = Зж + 2.
Идея. Использовать соответствующий равносильный переход.
Указание. JJ{x) = g(x) <ί=> \f(x)=g2(x),
VJKJ ИУ J \g(x) >0.
Указание. Учесть, что при неотрицательной правой части уравнения подмо-
дульная функция положительна.

200
Указания и решения
Решение. Уравнение равносильно системе
4-7ж|ж + 2| = (Зж + 2)2
Зх + 2 > 0.
Заметим, что из второго неравенства системы следует положительность подмо-
дульной функции в первом уравнении системы, поэтому модуль молено снять без
рассмотрения случаев:
4 - 7х(х + 2) = 9х2 + 12ж + 4,
2
13
χ
χ >
х = 0;
2
16х2 + 2бж = 0,
χ >
3'
ж = 0.
Ответ. 0.
Задача 3. (Геогр-95.3)
Решить уравнение л/2 — х2 = \х\ — 1.
Идея. Перейти к равносильной системе; решить квадратное уравнение
относительно модуля с последующим отбором решений.
'l-x2 =х2 -2\х\ + 1,
Jx|>l;
в которой уравнение является квадратным относительно \х\.
Решение. Избавляемся от радикала стандартным способом:
Указание. Исходное уравнение равносильно системе
2-х2 =х2 -2\х\ + 1,
\х\ >1;
2\х\2 -2\х\ -1 = 0,
\х\ >1;
значит, \х\
Ответ. ±
_ 1 + л/З
2
1 + л/З
х = ±
1 + л/З
1±л/3
|ж|>1;
Задача 4- (Псих-99.1)
_ Ъх - 3
Решить неравенство = < 1.
л/7х^1
Идея. Домножив неравенство на знаменатель, решить его как стандартное
неравенство с радикалом.
Указание. Учесть, что знаменатель не должен обращаться в нуль.

2.4· Смешанные задачи
201
Решение. Поскольку в знаменателе стоит радикал, то знаменатель всегда
положителен на области определения. Домножим неравенство на знаменатель при
условии, что он не равен нулю, и получим стандартное неравенство с радикалом:
л/7х - 4 > Ъх - 3,
7х - 4 φ 0;
Ответ.
7х - 4 > {Ъх - З)2,
Ъх - 3 > 0,
'7ж-4>0,
Ъх - 3 < 0;
37
χ >
50
3
55
69 37 + л/69
< ж <
50
4 3
й<Ж<55
4 37
7'
69
50
25ж2 - 37ж + 13 < 0,
3
ж > -;
4 3
7<Х<Р
4 37 + л/69
7<Я<—5Q—
Задача 5. (Физ-99.5)
Решить уравнение
х-2
+ 1
х-2
Идея. Сделав замену, решить уравнение как стандартное с радикалом.
Указание. Замена ζ '
Решение. Обозначим ζ
х-2
1
■. Тогда уравнение принимает вид λ/Αζ + 1 = ζ.
χ — 2
Далее решаем стандартным способом:
ζ2 - Αζ - 1 = 0,
г>0;
Следовательно,
Ответ. γ5·
1
х-2
л/5 + 2
ζ = 2 ± л/5,
г>0;
ж = 2 +
1
л/5 + 2
> ζ = л/5 + 2.
2 + л/5 - 2 = л/5.
Задача 6. (Физ-00.2)
1
Решить уравнение
у/χ + 2
+ л/ж + 2 = л/Зж+Т.

202
Указания и решения
Идея. Домножить уравнение на знаменатель.
Указание. При умножении уравнения на знаменатель дроби учесть условия
неотрицательности подкоренных выражений и неравенство нулю знаменателя.
Решение. Умножим уравнение на знаменатель дроби, учитывая при этом
область определения:
ν/(3χ + 1)0 + 2) = χ + 3,
о,
Ответ.
-1 + л/57
χ =
х>
-1±л/57
3'
-1 + ^57
Задача 7. (М/м-94(1).2)
Решить уравнение ?>\/х + 4 = 5 — 2\х + 2|.
Идея. Раскрыть модуль по определению и использовать соответствующий
эквивалентный переход.
ί/(χ)=£2(χ),
Ь(ж)>0.
Указание. yf(x) = д(х)
Решение. Раскрываем модуль по определению.
''χ > -2,
1)
2)
\х>-2,
I Зл/^ + 4 = 1 -2ж; ^
-2<*<1,
4ж2 - 13ж - 35 = 0;
|ж<-2,
^Зл/^ + 4 = 2ж + 9; ^
9
-2<*<"2,
^4ж2 + 27ж + 45 = 0;
Ответ.
15
4'
-3.
9ж + 36 = 1 -4ж + 4ж2,
1 - 2ж > 0;
-2 <ж <
1
2'
(4ж + 7)(ж-5) = 0;

2.4· Смешанные задачи
203
Задача 8. (Физ-00(2).2)
Решить неравенство χ/χ2 + \х — 4|
18>ж-4.
Идея. Раскрыть модуль по определению и использовать соответствующий
эквивалентный переход.
Указание. Неравенство вида yfjx) > g(x) равносильно совокупности двух
'/(ж) > 92{х), jf(x) > 0,
систем
д(х) > 0
или
](х) < 0.
Решение. Раскрываем модуль по определению. Так как подмодульная функция
совпадает с функцией, стоящей в правой части, то в каждом случае нам надо
рассматривать только одну из систем совокупности.
' χ > 4,
1)
χ > 4,
\/х2 +X-22 > χ - 4;
38
χ > 4,
χ2 + χ - 22 > χ2 + 16 - 8х:
значит, χ >
2)
χ < 4,
χ < 4,
\/ж2 - х - Ы > χ - 4;
■ж- 14 > 0;
значит, ж <
57
ж >
38
χ < 4,
ж <
57
ж >
1 + л/57
Ответ.
-оо; ■
1 - л/57
. 38
U[—;+оо).
Задача 9. (М/м-98.1)
Решить неравенство Зл/|ж + 1| -3> л/ж2-2ж-3.
Идея. Заменить неравенство равносильной системой без радикалов.
Указание. Возвести неравенство в квадрат. При этом необходимо выписать
условие неотрицательности подкоренной функции для правого радикала.
Указание. Раскрыть модуль на каждом из отрезков, получившихся из условия
неотрицательности подкоренной функции для правого радикала.
Решение. Возведём неравенство в квадрат. При этом достаточно выписать
условие неотрицательности выражения, стоящего под правым радикалом, так как
получившееся неравенство гарантирует неотрицательность выражения, стоящего
под левым радикалом.
f9(|x + l| -3) >х2
\х2 - 2х - 3 > 0.
-2х - 3,
Из второго неравенства системы следует, что χ Ε ( — оо; — 1] U [3; +оо).

204
Указания и решения
1) На первом промежутке ( — оо; —1] первое неравенство (модуль раскрывается со
знаком минус) имеет вид х2 + 7 χ + 33 < 0. Так как дискриминант меньше нуля,
то в этом случае решений нет.
2) На промежутке [3; +оо) модуль раскрывается со знаком плюс, поэтому
получаем
χ > 3,
χ
11ж + 15 <0:
Ответ.
3;
11
χ > 3,
11 -л/бТ
<х<
11
χ G
11
Задача 10. (ВМК-94.2)
Решить неравенство л/χ — 3 < 3 — \х — 6|.
Идея. Раскрыв модуль по определению, решить два получившихся
иррациональных неравенства по стандартной схеме.
Указание. Решение неравенства разбивается на два случая
χ > б,
у/χ — 3 < 9 — χ
или
X < б,
у/χ — 3 < χ
в каждом из которых применяется схема равносильных преобразований.
Ί{χ) < 92{х),
Указание. Неравенство \/f(x) < g(x) равносильно системе <
1)
Решение. Раскрываем модуль по определению.
(х > б,
χ > б, Ι χ — 3 > 0,
у/х ~ 3 < 9 - х; |9-ж>0,
U-3 < 81+ж2 - 18ж;
6 < χ < 9,
χ
19ж + 84 > 0;
χ > 12;
f{x) > 0,
д{х) > о.
6<х<7.
2)
|ж < 6,
I V^ — 3 < χ
3 <ж < 6,
(ж-3)(ж-4) >0;
Ответ. {3}U[4;7].
χ < б,
ж > 3,
ж-3 < (ж-3)2;
3 <х < 6,
ж < 3;
ж > 4;
х = 3;
4<ж < б.

2.4· Смешанные задачи
205
Задача 11. (Физ-97(2).3)
Решить неравенство л/х2 + χ + 4 < 2х + |3х — 2|.
Идея. Раскрыв модуль по определению, решить два получившихся
иррациональных неравенства по стандартной схеме.
Указание. Неравенство равносильно совокупности систем
Зх - 2 > 0,
\/х2 + χ + 4 < 5ж - 2
Зж - 2 < 0,
л/ж2 + ж + 4 < 2
в каждом случае иррациональное неравенство решается по стандартной схеме.
if(x)<92(x),
Указание. Неравенство \/f(x) < g(x) равносильно системе < /(ж) > 0,
[д(х) > 0.
Решение. Раскрываем модуль по определению.
2
1)
Зх - 2 > 0,
л/ж2 + ж + 4 < Ъх - 2;
ж >
'6
х2 + ж + 4 < 25ж2 - 20ж + 4,
ж2 +ж + 4 > 0,
5ж - 2 > 0;
неравенство χ + ж + 4 > 0 выполнено Vx G Μ, так как D = 1 — 4-4 = —15 < 0;
значит,
2)
ж - з'
24ж2 - 21ж > 0;
'Зж-2 < 0,
Vx2 + ж + 4 < 2 - ж;
^^ж <0.
Ответ. ( —оо;0] U
7
ж - з'
х(8х - 7) > 0;
2
ж >
7
ж2 + ж + 4 < 4 - 4ж + ж2,
2-ж > 0;
■оо
Х < 3'
ж <0,
ж < 2;
Задача 12. (Экон.В-98.1)
Решить неравенство л/х2 + Зж + 2 < 1 + \Лс2 — χ + 1.
Идея. Учитывая неотрицательность обеих частей неравенства, возвести обе его
части в квадрат, не забывая при этом про область определения.
Указание. В силу неотрицательности обеих частей неравенства оно
равносильно системе
х2 + Зх + 2 < 1 + х2
х2 + Зх + 2 > 0.
1 + 2л/ж2 -ж + 1,

206
Указания и решения
Указание. Неравенство с радикалом сводится к простейшему неравенству
V:
χΔ — х ■
1 > 2х, которое решается стандартно: \/f(x) > д(х) равносильно
совокупности двух систем
f(x) >д2(х),
д(х) > 0
или
f(x) > о,
д(х) < 0.
Решение. Учитывая неотрицательность обеих частей неравенства, возведём обе
его части в квадрат, не забывая при этом про область определения:
х2 + Зх + 2 < 1 + х2
х2 + Зх + 2 > 0;
1 + 2л/ж2 -ж + 1,
Vx2 - х + 1 > 2ж,
ж2 + Зж + 2 > 0.
Неравенство с радикалом решаем по стандартной схеме через совокупность двух
систем. Итак, рассматриваем два случая.
!) {
2) <
ж >0,
ж2 - ж + 1 > 4ж2,
ж2 + Зж + 2 > 0;
ж < 0,
ж2 - χ + 1 > 0,
х2 + Зж + 2 > 0;
Ответ. ( — оо; —2] U
f х>0,
Зж2 + χ - 1 < 0,
χ < -2;
ж > -1;
χ < 0,
ж < -2;
ж > -1;
λ/Ϊ3-1
0 <ж <
λ/Ϊ3-1
6 '
χ < -2;
-1 <х < 0.
Задача i5. (Экон.К-74.1)
Решить уравнение л/2х2 — Ах = л/х2 + 1 + \Лс2 — 1 ·
Идея. Возвести обе части в квадрат, не забывая при этом проанализировать
область определений.
Указание. После возведения в квадрат получим \Лс4 — 1 = —2х. Условия
неотрицательности подкоренных выражений выполняются автоматически.
Указание. Уравнение л/х4 — 1 = — 2х решить стандартным способом.
Решение. Возведём обе части уравнения в квадрат. При этом условия
неотрицательности подкоренных выражений автоматически выполняются, так как
х2 + 1 > 0 для любых χ, выражение (2х2 — Ах) равно квадрату положительной
величины, а неотрицательность выражения {х2 — 1) гарантирует наличие радикала
в получающемся уравнении.
2х2
Ах = х2 + 1 + х2 - 1 + 2у/(ж2 + 1)02-1)
S*
1
-2х
ж4 - 1 = Ах2
χ <0;
2±л/5,
χ <0;
yft.

2.4· Смешанные задачи
207
Замечание. Делать эквивалентные (равносильные) переходы очень выгодно.
При этом часто удается избежать решения большого количества лишних
неравенств. Но такой подход требует большой концентрации внимания при решении:
при каждом переходе надо внимательно следить за областью допустимых
значений (областью определения).
Ответ. — γ 2 + л/5.
Задача 14. (Биол-97.3)
Решить неравенство л/|1 -8х\ -2 <ж + 1.
Идея. Раскрыть модуль по определению и использовать соответствующий
эквивалентный переход.
'/(*)< 02(*),
fix) > 0,
g(x) > 0.
Указание. \/f(x) < g(x)
Решение. Раскрываем модуль по определению.
1
1)
1
χ > -,
x/Sx-З <ж + 1;
3
χ >
χ < 3 — л/5;
ж > 3 + л/5:
ж >
8ж - 3 > 0,
ж + 1 >0,
[8ж-3 < (ж + 1)2;
3 г
- < χ < 3 - л/5;
8
ж > 3 + \/5.
3
Ж- 8'
ж2 - 6ж + 4 > 0;
-5-л/Тз -1 -5+л/~23 -1/8 3/8 З-л/ΊΓ З+л/ΊΓ
2)
Or
Ж<8'
у/-8х - 1 < ж + 1;
ж2 + 10ж + 2 > 0;
-5 +л/23;
ж <
-8ж - 1 > 0,
ж + 1 > 0,
[-8ж- 1 <ж2 + 2ж + 1;
■1<х<-|.
ж < -5 - л/23; ^^
ж > -5 + л/23;
-5 +л/23 <ж < --.
8
U
;3-л/5
U [3 + л/5;+оо).

208
Указания и решения
Задача 15. (Экон-93.3)
Решить неравенство Ъу/х + 2 < б — \х — 2|.
Идея. Раскрыть модуль по определению и использовать соответствующий
эквивалентный переход.
Ί{χ) < g\x),
fix) > о,
g(x) > 0.
Указание. \/f(x) < g(x)
1)
Решение. Раскрываем модуль по определению. При снятии радикалов
учитываем информацию из других условий системы.
'х > 2, J2<x<8,
Зл/х~Т2<8-х; ^^ [9Ж + 18 < 64-1бж + ж2; ^^
"2 <х< 8,
х<2; <^^ х = 2.
χ > 23;
2 <х < 8,
ж2 - 25ж + 46 > 0;
2)
ж < 2,
Зл/ж + 2 <ж + 4;
[-2 <ж < 2,
1 ж2 -ж-2 > 0;
Ответ. [-2;-l]U{2}.
-2 <х < 2,
9ж + 18 < ж2 + 16 + 8х;
-2 <ж < 2,
'ж<-1; ^^
χ > 2;
-2 <ж < -1.
Задача 16. (ИСАА-93.1)
л/ж2 - Ъх + 8
Решить неравенство > 1.
3 — χ
Идея. Домножить неравенство на знаменатель, наложив на него условие
положительности.
Указание. Полученное в результате неравенство решить стандартным образом.
Решение. Из неотрицательности числителя и знака неравенства следует
положительность знаменателя, поэтому на него можно домножить обе части
неравенства:
Vx2 - Ъх + 8 > 3-х,
3-х >0;
х2 - Ъх + 8 > 9 + х2 - 6ж,
χ < 3;
1 <х < 3.
Ответ. [1;3).

2.4· Смешанные задачи
209
Задача 17. (М/м-95(2).1)
_ 4ж + 15 - Ах2
Решить неравенство = > 0.
л/4ж + 15 + 2х
Идея. Разложить числитель дробь на множители как разность квадратов.
Указание. Сократив общий множитель, учесть то, что он не должен
обращаться в нуль.
Решение. Разложим числитель на множители по формуле разности квадратов:
(л/4ж + 15 > 2х,
{у/Ах + 15 - 2ж)(л/4ж + 15 + 2х)
>0
л/4ж + 15 + 2х
Найдём предварительно нули знаменателя:
л/4ж + 15 + 2х ф0.
л/4ж + 15 = -2х
χ < 0,
Ах2 - 4ж - 15 = 0:
(х <0,
3
25
2'
Решаем неравенство с радикалом по стандартной схеме при χ φ
1)
χ > 0,
4ж + 15 > 4ж2;
ж >0,
4ж2 - Ах - 15 < 0;
'ж > 0,
2 ~ ~ 2'
2) <
0 <ж < -.
~ ~ 2
χ < 0,
4ж + 15 > 0,
3
х^
2'
Ответ.
ж < 0,
χ >
15
^-|
15 3\ / 3 5
"T;_2/UV 252
15 3
-— < χ < --;
4 ~ 2'
3
--<х<0.
Задача 18. (Биол-93.3)
1 Ίζ — 1
Решить неравенство 5W1 > .
ζ ζ
Идея. Разделив в дроби правой части неравенства числитель на знаменатель
почленно, решить стандартным способом иррациональное неравенство.
Указание. Сделать замену t = - и решить получившееся неравенство стан-
z
дартным способом.

210
Указания и решения
Решение. Неравенство преобразуется к виду 5\/1 — t > 7 — £, где t = -. Это
ζ
неравенство решаем стандартным способом.
J 25(1 - t) > (7 - £)2, ft2 + lit + 24 < 0,
} \7-t>0; ^ \t<7;
значит, —8 < - < —3 <^> — < ζ < —.
ζ 3 8
лЧ fl -t > 0, . . _: .,
2) < <^> «^ ^ ^ нет решений.
Ответ. [
3'
Идея. Второй способ. Разделив в дроби правой части неравенства числитель на
знаменатель почленно, заменить радикал в левой части на новую переменную и
решить квадратное неравенство.
Указание. Неравенство 5W1 > при t = W1 принимает вид
V ζ ζ \ ζ
bt > t2 + 6.
Указание. После решения квадратного неравенства и возврата к переменной
ζ получается неравенство — 8 < - < — 3.
ζ
Решение. Неравенство преобразуется к виду 5W1 > 7 — -; обозначив
V ζ ζ
t = ^/1 , получаем bt > t2 + 6, откуда 2 < t < 3, то есть
4<1 <9 <^^ -8 < - <-3 ^^ -tt<^<-^·
ζ ζ 3 8
Ответ.
1 1
"з'~8
Задача 19. (Псих-83.2)
л/51 - 2х - х2
Решить неравенство < 1.
1-х
Идея. Рассмотреть случаи: знаменатель больше нуля и знаменатель меньше
нуля. Домножить неравенство на знаменатель, учитывая при этом знак знаменателя.
Указание. Рассмотреть два случая знака знаменателя и домножить
неравенство на знаменатель. Получившиеся неравенства с радикалом решать
стандартным способом.
Решение. Можно привести неравенство к виду: дробь меньше нуля. Затем
придётся рассмотреть случаи - числитель больше нуля, знаменатель - меньше нуля,

2.4· Смешанные задачи
211
и наоборот. Поэтому удобнее сразу рассмотреть случаи: знаменатель больше нуля
и знаменатель меньше нуля, и домножить неравенство на знаменатель, учитывая
при этом знак выражения, на которое происходит домножение.
1)
л/51 - 2х - х2 > 1 - ж,
1-ж<0; ^^
ί-1 - 2λ/Ϊ3 < χ < -1 + 2λ/Ϊ3,
\х>1:
Ы-2х-х2 > О,
ж > 1;
1 <х < 2λ/Ϊ3- 1.
2)
л/51 - 2ж - ж2 < 1
1 - ж > 0;
^ж2 > 25,
ж2 + 2ж - 51 < 0, -
ж < 1;
1 -2л/13<ж < -5.
51 -2х-х2 < (1 -ж)2,
51 - 2ж - х2 > 0, Ф=
ж < 1;
χ < -5,
-1 - 2л/13 < ж < -1 + 2л/13;
Ответ. [-1 -2л/13;-5)и(1;2л/13-1].
Задача 20. (Экон.К-88.3)
Решить неравенство
л/х2 + х + 6 + Зх + 13
> 1.
Идея. Перенести всё в одну сторону и привести к общему знаменателю.
Рассмотреть два случая знаков числителя и знаменателя.
Указание. Привести неравенство к виду: дробь больше нуля. Затем
рассмотреть случаи - числитель и знаменатель больше нуля, числитель и знаменатель
меньше нуля.
Решение. Перенесём единицу в левую часть неравенства и приведём к обще-
Ух2 + χ + 6 + 2х + 8 ^ п
му знаменателю. Получим неравенство > U. Дрооь оолыпе
χ + 5
нуля, если числитель и знаменатель одного знака. Получаем два случая.
\х2 + χ + 6 > Ах2 + 64 + 32ж,
1)
\Лс2 + ж + 6 > — 2х -
ж + 5 > 0;
-5 < χ < -4;
'ж2+ж + 6 >0,
χ > -4;
-31-V265 -5 -4 -31+V265
6 6

212
Указания и решения
|Зж2 + 31ж + 58<0,
|-5 <х < -4;
χ > -4;
χ > -5.
2)
I Vx2 + х + 6 < -2ж - 8,
I ж + 5 < 0;
Зж2 + 31ж + 58 > 0,
ж < —5;
-31 - л/265 -31 + л/265
< χ < ,
-5 < χ < -4;
χ > -4;
( х2 + χ + 6 < 4х2 + 32ж + 64,
ж < -4,
ж2 +ж + 6 > О,
χ < —5;
ж <
X >
-31 - л/265
6 5
-31 +л/265
6
[ χ < -5;
/ -31-л/265 \ , г
Ответ. —оо; U (—5;+оо).
χ <
-31 - л/265
Задача 21. (Экон-98.3)
Решить неравенство
+ 4(2 - л/4 + ж) <
12
■ 5л/4 + ж
Идея. Выделить под внешним радикалом в левой части неравенства полный
квадрат.
Указание. Сделать замену ζ = λ/4ΤΪ >0.
Указание. Под радикалом в левой части выделяется полный квадрат (г — 2)2,
поэтому исходное неравенство эквивалентно следующему неравенству:
21 <
ζ2 + 8
8-5ζ'
Указание. В силу неотрицательности левой части и числителя правой части
о
следует, что 8 — Б ζ > 0, то есть ζ < - < 2, поэтому можем снять модуль и
5
умножить неравенство на знаменатель.
Решение. Сделаем замену ζ = л/4 + χ > 0. Тогда под радикалом в левой части
выделяется полный квадрат (ζ — 2)2, поэтому исходное неравенство эквивалентно
следующему неравенству: \ζ — 2| < . В силу неотрицательности левой
5ζ
8
части и числителя правой части следует, что
5ζ > 0, то есть ζ < - < 2,
5
поэтому можем снять модуль и умножить неравенство на знаменатель:
(2-ζ)(8-δζ) <ζ2 + 8,
8
ζ< -;
1
< ζ < 4,
ζ <
8

2.4· Смешанные задачи
213
значит, - < ζ < -, то есть
' 2 5'
_<V^T4<-
15 36\
Ответ. (-T;-2g].
1 , 64
- - 4 < ж < —
4 25
15 36
-— <х < - —.
4 25
Задача 22. (Геол-99(1).2)
Решить систему уравнений
Ъу + 4ж = у/16х2 — 25г/2,
ж2 + 6ж - 7 = 0.
Идея. Сначала упростить первое уравнение, а затем решить отдельно второе
уравнение и результат подставить в первое.
Указание. Упростить первое уравнение, решая его как стандартное уравнение
с радикалом. Затем подставить по очереди решения второго уравнения.
Решение. Для решения первого уравнения переходим к равносильной системе:
у/Ш
2Ъу2 = Ъу + Ах
16х2 - 2Ъу2 = 16х2 + 25у2 + 40ху,
5у + Ах> 0;
2/(5г/ + 4ж) = 0,
Ъу + Ах > 0.
I 2/ = 0,
1 5у + 4х > 0;
5i/ + Ах = 0;
Корни второго уравнения исходной системы ж = 1 и ж
случая:
2/ = 0;
4
^ = -5;
2) если ж = —7, то ?/ = —.
5
I 2/ = 0,
|ж > 0;
Ьу + Ах = 0;
7. Получаем два
1) если ж = 1, то
Ответ. ( —7
28
i;-^b С1;0)·
Задача 23. (Геол-72.3)
Решить неравенство ,_ >
1
л/3^^ х-2'
Идея. Рассмотрев два варианта знака правой части неравенства, избавиться от
знаменателей и свести к простейшему виду с радикалами.
Указание. Если правая часть отрицательна, то неравенство верно на области
определения. Если лее правая часть положительна, то оно равносильно
неравенству χ — 2 > л/3 — χ при 3-х^0·

214
Указания и решения
Решение. Неравенство равносильно совокупности двух систем для
положительной и отрицательной правой части.
!Н
х-2 >0,
2)
л/3
Ju *\ ^ ^ ,
з-х^О;
<
ж -
(2 <х < 3,
^
2
3-V5
З + л/5
<о,
ж > 2,
3-ж < (ж-2)2,
3-ж > 0;
2 <х < 3,
ж2 - Зх + 1 > 0;
З + л/5
3-ж > 0;
ж < 2,
χ < 3;
< ж < 3.
ж < 2.
Ответ, (-оо; 2) U ( +0 ;3
Задача 2^. (Фи л о л-76.2)
Найти все целочисленные решения неравенства \/z + 1 < \/6 — ζ.
Идея. Найдя область допустимых значений переменной, организовать перебор
возможных целочисленных вариантов.
Указание. Область определения ζ -\-1 > О и б — ζ > 0, то есть — 1 < ζ < 6;
учитывая, что zGZ, получаем всего восемь возможных вариантов.
Указание. Заметить, что функция в левой части возрастает, а в правой
убывает.
Решение. Область определения:
ίζ + 1 >0,
1 6 - ζ > 0;
-1 <ζ <6.
В силу целочисленности ζ = —1,0,1,2,..., 6; организуем перебор вариантов:
• ζ = — 1, 0 < ^7 - верно, подходит;
• ζ = 0, 1 < л^б - верно, подходит;
• ζ = 1, \/2 < л/б, 24 < 53 - верно, подходит;
• ζ = 2, \КЗ < ν^4, З4 < 43 - неверно, не подходит;
функция в левой части неравенства возрастает, а в правой убывает =>
больше решений нет.
Ответ. 0; ±1.

2.4- Смешанные задачи
215
Задача 25. (М/м-90.3)
Решить неравенство < х.
Идея. Рассмотрев два случая знака знаменателя, перейти к иррациональному
неравенству и применить формулу сокращённого умножения для выражения под
радикалом.
Указание. Неравенство равносильно совокупности двух систем
ίΐ+χ<0, ίΐ+χ>0,
1 л/1 -х3 > х2 +х + 1; ИЛИ 1 \/1 -ж3 < ж2 +ж + 1.
Указание. 1 — ж3 = (1 — ж)(ж2 + χ + 1), причём квадратный трёхчлен всегда
положителен, так как отрицателен его дискриминант.
Решение. Рассмотрим два случая знака знаменателя дроби. При решении учтём
равенство 1 — х3 = (1 — х)(х2 + χ + 1) и положительность квадратного трёхчлена
в скобках.
1)
1 +ж < О, Ι χ < -1,
л/1 -ж3 > ж2 + ж + 1; 1 л/1 -^ · л/ж2 + χ + 1 > ж2 + χ + 1;
сократим обе части неравенства на второй радикал и возведём в квадрат:
/ж<-1' <<=> ί*<-1> ^ -2<х<-1
|1-ж>ж2+ж + 1; [ж(а; + 2)<0;
2)
1+ж>0, 1ж>-1,
л/1 -ж3 < ж2 + ж + 1; Ι л/1 -х · Vx2 + ж + 1 < ж2 + ж + 1;
-1<ж < 1, I -1<ж < 1,
1 - ж < х2 + ж + 1; | х(х + 2) > 0;
0 <ж < 1.
Ответ. [-2;-l)U [0; 1].
Задача 26. (М/м-96(1).2)
х3 - 8 + 6ж(2 - х) Гл _
Решить неравенство . . < л/Ах — 3.
|3 — 4х|
Идея. Используя формулу сокращённого умножения для числителя дроби и
положительность знаменателя, привести неравенство к одинаковым степеням в
обеих частях.
Указание. Умножив обе части неравенства на положительный знаменатель
и свернув числитель дроби по формуле куба разности, получаем неравенство
(х - 2)3 < (л/4ж - 3) при условии χ φ 3/4.
Указание. Неравенство приводится к виду V'4х — 3 > χ — 2 при χ φ 3/4,
после чего решается стандартным алгоритмом для иррационального неравенства.

216
Указания и решения
Решение. Неравенство при х^т преобразуется к виду
х3 - 6х2 + 12ж - 8 < |4ж - 3|л/4ж-3
(ж-2)3 < (л/4ж-3)с
^^ л/4ж - 3 > χ - 2.
3
Не забывая про χ ^ —, переходим к равносильной совокупности двух систем.
1)
2)
|4ж-3> (ж-2)2,
[ж-2 >0;
2 < ж < 7.
ί4χ-3 > О,
I ж - 2 < 0; ^
ж2 - 8х + 7 < 0,
χ > 2;
1 < ж < 7,
ж > 2;
< ж < 2.
Ответ. [ -; 7
,4
Задача 21. (Почв-97.6)
а) Для каждого значения параметра а решить неравенство V'а2 — х2 > а + 1.
Идея. Перейти к равносильной совокупности двух систем.
Указание. Неравенство y^f(x) > g(x) равносильно совокупности двух систем
//(*)> 52(*), ипи jf(x)>0,
< , ч или < , ч
I д(х) > 0 1 д(х) < 0.
Решение. Неравенство равносильно совокупности двух систем.
1)
2)
■χ2 > α2 + 2α + 1,
1а + 1 >0;
ία2 -ж2 >0,
ж2 < -2а- 1,
а > -1.
х2 < а2,
а < -1.
[а + 1 < 0;
Объединим результаты:
• если а = — 1, то ж2 < 1, то есть при α = — 1 χ Ε [—1; 1];
• если α > —1, то χ2 < —2α — 1. Так как χ2 > 0, то получаем три случая:
а) при α = — χ = 0;
при α >
в) при — 1 < α <
2α - 1 < 0
2α - 1 > 0
нет решений;
=> ж Ε [-л/-2а - 1; д/-2а - 1] ;

2.4· Смешанные задачи
217
• если а < — 1, то х2 < а2 =^>
Ответ. При а < — 1 χ Ε [α; —α]; при α Ε Ι —1; -
1 Λ 1
при α = — ж = 0; при а > — решений нет.
а\ < χ < \а\, то есть а < χ < —а.
χ
Ε [-V-2a-l;V-2a-1]
Задача 28. (Псих-89.5)
а) Для каждого значения параметра а решить неравенство х-\-2а—2л/3ах + а2 > 0.
Идея. Использовать соответствующий эквивалентный переход.
'f{x) <g2(x),
fix) > 0,
g(x) > 0.
Указание. \J f(x) < g{x)
Решение. Неравенство 2л/а2 + Зах < χ + 2α равносильно системе
4α2 + 12ах < 4α2 + χ2 + 4аж,
а2 + Заж > 0, <=
χ + 2а > 0;
Чтобы решить задачу нам надо знать знак а.
'х2 >0,
х(х — 8а) > 0,
а(3ж + а) > 0,
ж > —2а.
1) Если а = 0, то
χ >0;
ж > 0;
2) если а > 0, то -2а < -- < 0 < 8а
о
3) если а < 0, то —2а > — - > 0 > 8а
о
χ < 0,
ж > 8а,
а
*>-з·
^ж > —2а;
χ > 0;
ж < 8g
ж<
а
νχ > —2а;
из последних двух неравенств следует, что решений нет.
Ответ. Если α < 0, то решений нет; если α = 0, то χ > 0;
если α > 0, то ж Ε
-^;θ)υ(8α;+οο).
<ж<0,
χ >
Задача 29. (Почв-99.7)
ТТ 7 ГЛ \ЛС2 — 1 7
Для каждого о < 0 решить неравенство > о.

218
Указания и решения
Идея. Домножив на знаменатель, привести неравенство к стандартному виду.
Указание. Из неотрицательности подкоренного выражения следует, что либо
χ > 1, либо χ < — 1. Удобно решать неравенство на каждом из этих промежутков
отдельно.
Решение. Область определения \х\ > 1. Учитывая условие Ь < 0, получаем:
1) если χ > 1, то левая часть неравенства всегда неотрицательна, а правая всегда
неположительна, поэтому при Ъ < 0 χ > 1;
2) если χ < — 1, то л/х2 — 1 < Ьх, где Ъх > 0;
( х < —1
• при Ъ = 0 получаем < /^ ^ <^> χ = —1;
.при 6 < 0 получаем | J-_"^ bV. ^ | ^"^ < 1;
а) если Ъ = — 1, то χ < — 1;
Г ж<-1,
б) если бе (-1;0), то 1 -Ъ2 > 0 => < 2 1 ^^
1-Ъ2'
<х < -1;
в) если 6 < -1, то 1 - Ъ2 < 0 и х2{1 - Ъ2) < 0 < 1 - верно для \/х е
=> ж<-1.
Ответ. Если 6 < — 1, то χ Ε ( — оо; —1] U [1; +оо);
1
если — 1<6<0,тожЕ ■ , ,
L л/г^2
если 6 = 0, то жЕ { —1} U [1; +оо).
-1
U[l;+oo);
3. Преобразование тригонометрических
выражений, стандартные тригонометрические
уравнения
3.1. Соотношения между тригонометрическими функциями
одного аргумента, формулы двойного и половинного
аргументов
Задача 1. (ЕГЭ)
Упростите выражение
cos4 a + sin2 a cos2 a
sin2 a
Идея. Разложить числитель на множители и применить основное
тригонометрическое тождество.
Указание. Основное тригонометрическое тождество sin a + cos2 a = 1.

3.1. Соотношения между тригонометрическими функциями...
219
Решение. Разложим числитель на множители и применим основное
тригонометрическое тождество:
cos4 се + sin2 се cos2 се cos2 ce(cos2 се + sin2 се) cos2 се · 1 2
Ту — Ту — Ту — vyLci Сл.
sin се sin се sin се
Ответ. ctg2ce.
Задача 2. (ЕГЭ)
Найдите значение выражения 2 — tg2 χ · cos2 ж, если sin χ = 0,2.
Идея. Упростить выражение, воспользовавшись определением тангенса угла.
Указание. 2 — tg2 χ · cos2 x = 2 — sin2 ж.
Решение. Упростим выражение, воспользовавшись определением тангенса:
2 — tg ж · cos χ = 2 — · cos ж = 2 — sin x;
при sin ж = 0, 2 получаем 2 — sin2 χ = 2 — (0, 2)2 = 1, 96.
Ответ. 1,96.
Задача 3. (ЕГЭ)
3 С*
Найдите tgce, если cos се = —, се £ (— ;π
Идея. Вычислить синус угла через основное тригонометрическое тождество
и воспользоваться определением тангенса угла.
Указание, sin2 се = 1 — cos2 се; при се £ ( —; π j sin се > 0.
Решение. Из основного тригонометрического тождества
2
9 19
sinz се = 1 — cosz се = 1 — ( — I = 1 — —- = —-
.2 Л _ -ι _2
2л/7У 28 28*
f 7Г \ л/19 since л/19
При се £ ( —; π) получаем sin се = —— > 0, поэтому tg се
Ответ.
2 / 2л/7 cos се
Ϊ9
Задача 4- (ЕГЭ)
Л7 1 + cos2ce
Упростите выражение .
1 — cos 2ce

220
Указания и решения
Идея. Воспользоваться формулами косинуса двойного аргумента и
определением котангенса угла.
Указание. В числителе применить формулу cos 2се = 2 cos2 се—1; в знаменателе
использовать соотношение cos 2се = 1 — 2 sin2 a.
Решение. Воспользуемся формулами косинуса двойного аргумента и
определением котангенса угла:
l + cos2ce 1 + (2 cos2 се - 1) 2 cos2 се 9
= = = ctff a.
l-cos2ce 1 - (1 - 2 sin2 се) 2 sin2 се
Ответ. ctg2ce.
Задача 5. (ЕГЭ)
тт о /к · ел · 1 π 3π
Найдите значение выражения 3\/2sm2x, если sin χ = ρ, — < χ < —.
Идея. Вычислить косинус угла через основное тригонометрическое тождество
и воспользоваться формулой для синуса двойного аргумента.
9 2 ^ ^7Г
Указание, cos ж = 1 —sin χ: при — < χ < — cos ж < 0; sin 2x = 2 sin x cos x.
' F 2 2
Решение. Из основного тригонометрического тождества
1 \2 12
cos χ = 1 — sin χ = I — [ — =1 = -;
1 л/ЗУ 3 3'
π 3π [2 л
при — < χ < —- cos ж = —\- < 0:
F 2 2 V 3
3ν^ sin 2^ = 3^2· 2 sin ж cos ж = 6л/2 · (—-т=) · -J- J = — =4.
Ответ. 4.
Задача 6. (ВМК-80.1)
Вычислить cos 2се, если sin се = - .
3
Идея. Применить формулу косинуса двойного угла и вычислить его значение.
Указание. Формула косинуса двойного угла cos 2се = 1 — 2 sin2 се.
2 2 7
Решение, cos 2се = 1 — 2 sin се = 1 = - .
9 9
7
Ответ. -.
9

3.1. Соотношения между тригонометрическими функциями...
221
Задача 7. (Хим-95(1).2)
1 π
Найти sin 2а, если sin а = . и 0 < а < — .
λ/ΪΟ 2
Идея. Вычислив косинус угла через основное тригонометрическое тождество,
найти синус двойного угла по соответствующей формуле.
Указание, cos2 а = 1 — sin2 a; cos а > 0 при а Ε ( 0; — ] ; sin 2 а = 2 sin a cos ce.
Решение. Из основного тригонометрического тождества
1 _ 9
То — То'
cos2 а = 1 — sin2 a = 1
3
cos а = > 0, так как угол се в I четверти; по формуле синуса двойного угла
ν 10
sin 2a = 2 sin a cos a = 2
1
λ/ΪΟ лЯО 5'
η 3
Ответ. -.
5
Задача 8. (Геол-00.2)
χ 1
Вычислить tg 2х, если tg — = - .
ζ о
Идея. Дважды применить формулу тангенса двойного угла.
2tgx 2tgf
Указание. tg2x= ^— ; tg ж —
l-tg2x' & l-tg2f
Решение. Используем формулу тангенса двойного угла:
Ых
2tgf _ | _2·25
l-tg2f 1-^ 5-24 12'
2tgx _ Щ _ 10-144 _ 120
tg " l-tg2x " T^^ " Ϊ2ΤΤΪ9 " ΪΪ9"
120
Ответ. .
119
Задача 9. (Физ-87.3)
а
.λ/5 4π ττ
Известно, что since = , π < а < —. Найти cos се и tg — .
3 ' 3 6 2
Идея. Воспользоваться основным тригонометрическим тождеством и формулой
тангенса половинного аргумента.
Указание. Основное тригонометрическое тождество sin2 χ + cos2 x = 1.
χ sin x
Формула тангенса половинного аргумента tg —
2 1 + cos x

222
Указания и решения
Указание. Найдя из основного тригонометрического тождества модуль
косинуса, учесть условие принадлежности угла к заданному интервалу и однозначно
определить знак раскрытия модуля.
Решение. | cos а\ = γ 1 — sin2 се = - , но в III четверти cos се < 0; значит,
о
cos се
2 се since
3' 2 1 + cos се 1
Ответ. —; —γ5·
о
V6
3
-л/5.
Задача 10. (Почв-98.2)
Найти cos — , если известно, что tea = — и что π < се < 2π. Установить без
2 ' & 4
помощи таблиц и калькулятора, какое из чисел больше:
се
2?
или - г
7
Идея. Использовать формулы связи тригонометрических функций одного
аргумента и формулы связи функций двойного или половинного аргумента.
Указание. При известном тангенсе можно вычислить cos се с достоверным зна-
а
ком, после чего найти cos — с учетом принадлежности тригонометрическому кру-
а
гу угла -.
Указание.
а
cos -
1
; сравнение этого значения с числом - проводится
стандартным алгоритмом через формальное неравенство.
Решение. Вычислим cos а через tg a:
1 , 4
55
tg2ce
1
cos се
по условию се G (π; 2π) и tg се = - > 0; значит, угол се лежит в III четверти,
cos се
се
4 9 се
"5; C°S 2
cos — < 0; значит, cos — =
2 '2
Для сравнения чисел
1 + cos се
се
то есть
се
cos ■
1
π
а
1(Г Н° 2" G ^5 тг J, поэтому
10
се
cos —
2
и - составим формальное неравенство:
1
10
V
7 V 2λ/Ϊ0
49 > 40;
значит,
се
cos -
1 2
10 7"
Ответ.
10
се
cos ■

3.2. Простейшие тригонометрические уравнения...
223
3.2. Простейшие тригонометрические уравнения.
Разложение на множители, сведение к квадратному уравнению
Задача 1. (ЕГЭ)
л/3
Решить уравнение sin4x
Δ
Идея. Найти 4ж, а потом найти х.
7Г
Указание. 4ж = ( —1)т—\- ππι, πι Ε Ζ.
о
л/3
Решение, sin Ах = —
2
Ах = (-1)т- +тгт, тЕ Ζ
о
<ί=> χ = (-1)т^ + Jm, т Ε Ζ.
Ответ. i-l)m- + %, mGZ.
v y 12 4
Задача 2. (ЕГЭ)
Укажите наименьший положительный корень уравнения sin7nr · (cosж — 2) = 0.
Идея. Произведение двух сомножителей равно нулю тогда и только тогда, когда
хотя бы один из них равен нулю.
Указание. Исходное уравнение равносильно совокупности
второе уравнение которой решения не имеет.
Решение. Уравнение равносильно совокупности
sin7nr = 0;
cos ж = 2 - нет решений;
наименьший положительный корень χ = 1 при η = 1.
Ответ. 1.
7пг = πη, η Ε
sin7nr = 0;
cos ж = 2;
χ = η, η Ε Ζ;
Задача 5. (ЕГЭ)
Найдите наибольший отрицательный корень уравнения cos χ + cos 2x = 2.
Идея. Используя формулу косинуса двойного угла, свести уравнение к
квадратному.
Указание, cos 2х = 2 cos2 χ — 1.
Решение. Используем формулу косинуса двойного угла:
cos χ + 2 cos ж — 1 = 2
2 cos ж + cos χ — 3 = 0
cos ж = 1;
cos ж
<-i;
Значит, χ = 2πη, η Ε Ζ. Наибольший отрицательный корень ж = —2π при η = — 1.
Ответ. —2π.

224
Указания и решения
Задача 4- (Почв-99.2)
Решить уравнение cos 2х = sin χ.
Идея. Используя формулу косинуса двойного угла, свести уравнение к
квадратному.
Указание, cos 2х = 1 — 2 sin2 χ.
Решение. Используем формулу косинуса двойного угла:
1 — 2 sin2 χ = sin χ <^> 2 sin2 χ + sin χ — 1 =0
sin ж = — 1;
1
sin ж = -;
2'
π π 5π
получаем три серии: χ = \- 2πη или ж = \- 2πκ или ж = Υ ζππι;
2 6 6
7Г 27Г77/
п, /с, τη G Ζ; их можно объединить в одну серию χ = 1 , η £ Ζ.
6 3
_ π 2πη
Ответ. 1 , η £ Ζ.
6 3
Задача 5. (Экон-87.1)
Решить уравнение cos 2ж + Зл/2 sin χ — 3 = 0.
Идея. Применив формулу косинуса двойного угла, свести уравнение к
квадратному.
Указание, cos 2х = 1 — 2 sin2 χ.
Решение. Применив формулу косинуса двойного угла, получим
1-2 8т2ж+Зл/2 8тж-3 = 0 ^^ 2sin2 ж-Зл/2 sinx+2 = 0 ^^
7Г
значит, ж = ( —1)η— + πη, η £ Ζ.
sin ж = л/2 > 1;
sin ж = ;
2 '
7Г
Ответ. ( —l)n—h7rn, η £ Z.
4 y 4
Задача 6. (Хим-96(1).2)
Решить уравнение 5 + cos 2x = б cos ж.
Идея. Применить формулу косинуса двойного угла и свести уравнение к
квадратному.
Указание, cos 2х = 2 cos2 χ — 1.

3.2. Простейшие тригонометрические уравнения...
225
Решение. Применив формулу косинуса двойного угла, получим
5 + 2 cos χ — 1 — б cos χ = 0 <^^
следовательно, χ = 2πη, η Ε Ъ.
Ответ. 2πη, η <ЕЪ.
cos ж —3cosx + 2 = 0
cos ж = 1;
cos ж = 2 > 1;
Задача 7. (Геогр-89.1)
Решить уравнение sin (χ ) = cos ( 2χ
2тг
~3~
Идея. Применив формулу косинуса двойного угла, свести уравнение к
квадратному.
Указание, cos 2x
1-2 sin"1 χ
2π
~з ) ~ ν~ з,
Решение. Используя формулу косинуса двойного угла, получаем
sin [χ - J)
1-2 snT x
2 sin2 (ж - ^) +sin (ж - ^) -1 = 0
sin χ
π
sin ( χ — —
о
-1;
6
■ 2πη;
перечисленные серии можно объединить в одну χ
_ π 2πη
Ответ. 1 , η Ε
6 3
ж = — + 27rfc;
ж = Ь 2πτη;
6
π 2πη _
Задача 8. (Биол-99.1)
Решить уравнение 8 cos 6х — 12 sin Зх = 3.
Идея. Применить формулу косинуса двойного угла и свести уравнение к
квадратному с последующим отбором решений.
Указание. Формула косинуса двойного угла cos 2а = 1 — 2 sin2 a.
Указание. Квадратное уравнение имеет вид 16 sin2 Зх + 12sin3x — 5 = 0.
Решение. Применим формулу косинуса двойного угла и сведём уравнение
к квадратному:
16shr3x + 12sin3x-5 = 0
sin Зх
sin Зх
-З + л/29
8 5
-З-л/29
<-1;

226
Указания и решения
(-1)п л/29-3 πη
χ = arcsm 1 , η Ε Ъ.
3 8 3
(-1)п . л/29-3 πη
Ответ. arcsm 1 , п<Е£.
3 8 3
Задача 9. (Биол-00.2)
Решить уравнение 3 cos 2х + 4 + 11 sin χ = 0.
Идея. Применить формулу косинуса двойного угла и свести уравнение к
квадратному.
Указание. Формула косинуса двойного угла cos2а = 1 — 2sin се.
Указание. Квадратное уравнение имеет вид б sin2 χ — 11 sin ж — 7 = 0.
Решение. Применим формулу косинуса двойного угла и сведём уравнение
к квадратному:
б sin2 ж—11 sinx—7 = 0
1
sin ж = —; 7Г
72 <ί=> ж = (-1)п+1-+тгп, nEZ.
sin ж = - > 1;
3
6
Ответ. (-l)n+1- +7гп, η Ε Ζ.
Задача 10. (Геогр-99(1).1)
Решить уравнение 2 cos 4ж — 4 sin 2ж = — 1.
Идея. Применить формулу косинуса двойного угла и свести уравнение к
квадратному.
Указание. Формула косинуса двойного угла cos2а = 1 — 2sin a.
Указание. Квадратное уравнение имеет вид 4 sin2 2x + 4sin2x — 3 = 0.
Решение. Применим формулу косинуса двойного угла и сведём уравнение
к квадратному 4sin22x + 4sin2x — 3 = 0, решением которого является
совокупность
sin 2x
sin2x = — < — 1
2
7Г 7Г77/
Ответ. (-1)п—+ —, neZ.
у ) 12 2 '
1
о' , iN„ π πη

3.2. Простейшие тригонометрические уравнения...
227
Задача 11. (ВКНМ-99(1).1)
Решить уравнение (7 sin ж — 4\/3)(7sinx — 5\/2) = 0.
Идея. Произведение двух сомножителей равно нулю тогда и только тогда, когда
хотя бы один из них равен нулю.
4л/3
Указание. Исходное уравнение равносильно совокупности
второе уравнение которой решения не имеет.
sin ж
sin ж
7 '
5л/2
Решение. Произведение двух сомножителей равно нулю тогда и только тогда,
когда хотя бы один из них равен нулю:
sin ж
sin ж
4л/3
5л/2
* = (-!)
1λη . 4λ/3
1) arcsin _
■ πη, η G Ζ.
>1;
4\/3
Ответ. ( —1)η arcsin Κπη, η G Ζ.
Задача 12. (Экон-85.2)
Решить уравнение 2 sin ж = 3 ctg ж.
Идея. Используя определение котангенса и основное тригонометрическое
тождество, свести уравнение к квадратному относительно косинуса.
Указание, ctg ж
cos ж
sin ж
■; sin χ = 1 — cos2 x.
Решение. Преобразуем уравнение: 2 sin x
J 2 (l — cos2 χ) = 3 cos ж,
I sin ж 7^ 0;
3cosx
sin ж
2 cos2 χ + 3 cos ж — 2 = 0,
sin ж 7^ 0;
cosx = —2 < —1;
1
cos ж
x = ±- + 27Г&, k G Z.
о
Ответ. ±- +2тг&, fc G Z.
о

228
Указания и решения
Задача 13. (Физ-76.1)
Решить уравнение cos 2х + 4 sin3 χ = 1.
Идея. Применить формулу косинуса двойного угла и разложить уравнение на
множители.
Указание. Формула косинуса двойного угла cos 2х = 1 — 2 sin2 χ.
Решение. Применим формулу косинуса двойного угла и разложим
получившееся уравнение на множители:
1 — 2 sin2 χ + 4 sin3 x = 1
sin ж = 0;
1
sin ж = -:
2'
ж = πη, η Ε Ζ;
ж = (-1)ш? + ^m, me Ζ.
Ответ, πη, ( —l)m—+πτη; n,mEZ.
Задача 14. (Экон-76.2)
Решить уравнение 3tgx = cos —.
Идея. Используя определение тангенса и формулу синуса двойного угла,
разложить уравнение на множители, одним из которых после применения формулы
косинуса двойного угла будет квадратный трёхчлен.
Указание, tgx
sin x = 2 sin — cos —
cos χ 2 2
1 - 2 sin^
Указание. Уравнение преобразуется к виду cos — ( 3 sin — + 2л/Б sin2 — — л/b) = 0,
cos ж φ 0.
Решение. Преобразуем уравнение:
3sinx
2л/5
cos ■
г XX
б sin — cos —
2 2
cos ж т^ 0;
2л/5
cos χ cos■
2
χ
cos ■
2л/5
π
χ
2
sin — + 3 sin — — ν ο = 0:
χ^ h 7г/с, /с Ε Ζ.
Из первого уравнения получаем ж = π + 2πη, η Ε Ζ. Из квадратного уравнения
получаем
. χ
sin —
2
. χ
sin —
2
2<-,
ι
7!;
2(-l)m arcsin —= + 2ππι, πι Ε Ζ.
л/5
Ответ, π + 2πη, 2( —l)m arcsin —7= + 2πτη: η,τηΕΖ.
л/5

3.2. Простейшие тригонометрические уравнения...
229
Задача 15. (Геол-00(1).2)
Решить уравнение 5 sin \
X X
cos — · cos — .
2 4
Идея. Применив формулу синуса двойного угла, разложить уравнение на
множители, один из которых после применения формулы косинуса двойного угла
становится квадратным трехчленом.
. χ Λ . χ χ
Указание, sin — = 2sin — cos —
2 4 4
χ
cos -
1 - 2 snT
χ
2 4
Решение. Применяем формулы двойных углов:
χ
_ . X X X X
10 sin — cos — = cos — · cos —
4 4 2 4
Χ 7Γ
1) из первого уравнения — = — + πη, η£Ζ
cos ■
0;
10 sin ^ = 1 -2sin2^;
4 4
=^> χ = 2π + 4πη, η Ε Ζ;
2) из второго уравнения
2 sin"1
10 sin -
1 =0
sin
4(-l)/carcsin
. Зл/3-5
-5 + Зл/З
2 5
-5-Зл/З
+ 4π&, /с Е
<-ΐ;
Окончательно, объединив обе серии, получим ответ.
Ответ. 2π + 4πη, 4( —l)fe arcsin \- 4π&; n,keZ.
Задача 16. (Геол-98.3)
1
Найти все решения уравнения 5 + 2
sin Зх
7 ctg Зж.
Идея. Применить следствие из основного тригонометрического тождества и
свести уравнение к квадратному.
Указание. 1 + ctg2 x
sin χ
Указание. В результате получим квадратное уравнение ctg2 Зх — 7 ctg Зж+б = 0.
Решение. Применив следствие из основного тригонометрического тождества,
сводим уравнение к квадратному:
1
sin2 ж
ctg^3x-7ctg3x + 6 = 0
ctg3x = 1;
ctg Зх = 6;
π πη ^
1 ππι
- arcctg 6 Η , πι Ε
ο ο
_ π πη 1 πτη
Ответ. — + — , -arcctg6 + — ; n,mEZ.

230
Указания и решения
Задача 17. (Экон.К-84.3)
Найти все решения уравнения 3 — 12 sin2 χ — 2 cos4x
1 + tg^x
Идея. Применить следствие из основного тригонометрического тождества и
формулу косинуса двойного угла, после чего использовать формулу понижения
степени. В результате этих действий привести уравнение к квадратному
относительно cos2x.
Указание. Следствие из основного тригонометрического тождества
1 +tg2 χ = —; формула косинуса двойного угла cos 2а = 2 cos2 а — 1; формулы
cos^ χ
понижения степени 2 sin2 χ = 1 — cos 2x, 2 cos2 χ = 1 + cos 2x.
Указание. После применения приведённых формул уравнение сводится к
квадратному 8 cos2 2х — 17 cos 2х — 3 = 0.
Решение. 3 — 12 sin2 χ — 2(2 cos2 2x — 1) = — 5 cos2 χ <^>
6-12(l-cos2x)-8cos22x + 4 = -5(l + cos2x) ^^ 8cos2 2x - 17cos2x- 3 = 0
cos 2x =
cos 2x =
1
17-V385
16
17+л/385
16
17-л/385
1 17 - V385
χ = ±— arccos — h πη, η £ L·
>i;
+ πη, η Ε Ζ.
Задача 18. (Экон.В-98.3)
Решить уравнение cos (2х2) — \/3cos (ж2) —2 = 0.
Идея. Применив формулу косинуса двойного угла, решить уравнение как
квадратное с последующим отбором неотрицательных значений для нахождения
корней.
Указание. С учётом того, что cos (2ж2) = 2 cos2 (ж2) — 1, уравнение
переписывается в виде 2 cos2 (ж2) — \/3cos (ж2) —3 = 0.
Указание. Серии решений х2 = ± \- 2πη > 0, η Ε Ζ разбить на две
6
о 5π ο 5π
ж = Ь 2πη, η Ε Ζ или ж = Ь 27г/с, /с Ε Ζ
6 6
для последующего анализа их неотрицательности.
Решение. Используя формулу косинуса двойного угла, получаем
2 cos2 (χ2) - л/Зсов (χ2) -3 = 0
cos ι
2^__ч/3
2 '
cos (ж2) = л/3 > 1;

3.2. Простейшие тригонометрические уравнения...
231
9 5π ^
^^ аГ = ± μ 2πη, η G Ζ.
6
Так как ж2 > 0, то, анализируя неотрицательность получившихся решений,
получаем две серии:
5π
"~6~
■ 2тг/с, /с G N;
5π
+ 2πη, η G N0;
ж = ±
ж = ±
5π
+ 2тг&, k eN;
5π
■ 2πη, η G No.
Ответ. ±
Ь2тг&, ±\ Ь2тгп; fc G Ν, η G Ν0.
6 V 6
Задача m (BMK-85.3)
Решить уравнение 4 — cos (2тг(13ж + 9)2) = 5 sin (тг(13ж + 9)2).
Идея. Применив формулу косинуса двойного угла, свести уравнение к
квадратному с последующим отбором неотрицательных значений для вычисления корней
уравнения.
Указание. Учитывая, что cos (2тг(13ж + 9)2) =1-2 sin2 (тг(13ж + 9)2),
получаем уравнение 2 sin2 (π(13χ + 9)2) — 5 sin (π(13χ + 9)2) +3 = 0.
Указание. Найдя (13х + 9)2, учесть его неотрицательность.
Решение. Применив формулу косинуса двойного угла, получаем
4 - (1 - 2 sin2 (тг(13ж + 9)2)) = 5 sin (тг(13ж + 9)2) ^^
^^ 2 sin2 (тг(13х + 9)2) - 5 sin (тг(13х + 9)2) +3 = 0 ^^
sin (тг(13ж + 9)2) = 1;
3in (тг(13ж + 9)2) = - > 1;
(13ж + 9)2 = 2п+ -, пе
Так как (13х + 9)2 > 0, то η > 0, поэтому 13х + 9 = ±W2n + -, η G No. Оконча-
1
-9+W2n
тельно получаем х
1
13
η G N0.
Ответ.
9+ W2n+ ■
Ϊ3~
1
■, η G No.

232
Указания и решения
3.3. Применение тригонометрических формул для сведения
уравнений к простейшим
Задача 1. (ЕГЭ)
Решите уравнение cos 2х cos χ — sin 2x sin x = 1.
Идея. Применить формулу косинуса суммы.
Указание. Формула косинуса суммы cos (а + β) = cos a cos β — sin a sin β.
Решение. Применим к левой части уравнения формулу косинуса суммы:
cos 2ж cos ж — sin 2ж sin ж = 1 <^> cos (2х + х) = 1 <^>
2ттТП
Зх = 2πτη, πι Ε Ъ <^> ж = , m e Z.
2π
Ответ. 771, 777 Ε Ζ.
о
Задача 2. (ЕГЭ)
Решите уравнение sin (π — χ) — cos ί —\- χ) = — 1.
Идея. Воспользоваться формулами приведения.
Указание, sin (π — а) = sin a; cos ( — + а) = — sin α.
Решение. Применяя формулы приведения, получаем
sin (π — χ) — cos ( — + χ) = — 1 <^> 2 sin ж = —1 <^> sin ж = — -
x = (-1)^+1-+7τ/ί;, k Ε Ζ.
7Г
Ответ. (-1)Η1-+π^, /cG
Задача 3. (Хим-00.2)
Решить уравнение cos Зх + sin x sin 2x = 0.
Идея. Заметить, что и применить формулу косинуса суммы.
Указание. Формула косинуса суммы cos(ce + β) = cos a cos /3 — sin a sin /3.
Решение. Заметим, что Зх = χ + 2ж, и применим формулу косинуса суммы:
cos(x+2x)+sin χ sin 2ж = 0 <^> cos χ cos 2ж—sin ж sin 2x+sin χ sin 2ж = 0 <^^
π
cos ж = 0;
cos2x = 0;
cos χ cos 2x = 0
,- 7ГП, 77 Ε
π ππι
Ответ. h7rn, —Η ; η, τη Ε

3.3. Применение тригонометрических формул...
233
Задача 4- (Физ-98(1).1)
Решить уравнение sin Зх — sin 2x cos χ = 0.
Идея. Заметив, что Зх = 2х + ж, применить формулу синуса суммы.
Указание. Формула синуса суммы sin(ce + β) = sin се cos /3 + cos a sin /3.
Решение. Заметив, что Зх = 2ж + χ, применим формулу синуса суммы:
sin(2x + a;) — sin 2ж cos ж = 0 <^> sin2xcosx + cos2a:sina: — sin 2ж cos ж = О
cos 2x sin χ = О
sin ж = О,
cos2x = 0;
χ = πη, η G Ζ,
π πτη
χ = - + "2", ™^
π ππι
Ответ, πη, 1 ; n.mGZ.
4 2
Задача 5. (Физ-97(2).1)
Решить уравнение cos 9x — cos 7χ = л/2 sin ж.
Идея. Применить формулы преобразования разности косинусов и разложить
уравнение на множители.
^ η ^ · а + β · α~ β
Указание. Формула разности косинусов cos се—cos ρ = — 2 sin sin .
Указание. После разложения на множители уравнение принимает вид
sin ж
Решение. Применим формулу преобразования разности косинусов в
произведение и затем разложим уравнение на множители:
-2 sin χ sin Sx = v2sin:
sin ж (V2sin8x + 1) = 0
sin ж = 0;
sin8x = ■=:
л/2
χ = πη, η G Ζ;
8x = (-l)m+1J+7rm, me Ζ;
χ = πη, η G Ζ;
m+1 — -l m G Ζ.
32 + 8
, 1 π ππι
Ответ, πη, ( — ljm+1 1 ; η, πι G
32 8
Задача б. (Физ-94(1).1)
Решить уравнение sin x sin Зх

234
Указания и решения
Идея. Применить формулу преобразования произведения синусов в разность
косинусов, после чего использовать формулу косинуса двойного угла и разложить
уравнение на множители.
Указание. Формула преобразования произведения синусов в разность
косинусов
sin a sin β = - (cos(ce — β) — cos(a + β)).
Формула косинуса двойного угла cos 2а = 2 cos2 а — 1.
Указание. После разложения на множители уравнение принимает вид
cos2x(2cos2x — 1) = 0.
Решение. Применим формулу преобразования произведения синусов в разность
косинусов, а затем используем формулу косинуса двойного угла:
2 sin Зх sin χ = 1
cos 2x — cos Ax = 1
cos 2ж(2 cos 2x — 1) = 0
cos2x = 0;
cos2x = -:
cos 2ж — 2 cos 2x = 0
π πτη
ж
ж
τη G Ζ;
π
±— + πη, η G
6
_ π π πτη
Ответ. ±—h7rn, 1 ; n,mGZ.
6 4 2
Задача 7. (Хим-78.1)
Решить уравнение sin 2x + sin 6x = 3 cos2 2ж.
Идея. Применив формулу суммы синусов и формулу синуса двойного угла,
свести уравнение к тригонометрическому уравнению относительно 2х.
Указание. Формула преобразования суммы синусов в произведение
, · о О · α + β α~β
sin а + sin ρ = 2 sin cos .
P 2 2
Формула синуса двойного угла sin 2a = 2 sin се cos ce.
Указание. После разложения на множители уравнение принимает вид
cos2 Зх(А sin 2х — 3) = 0.
Решение. Применив формулу суммы синусов и формулу синуса двойного угла,
сведём уравнение к тригонометрическому уравнению относительно 2х:
2 sin Ax cos 2х = 3 cos2 2x
cos2 2ж = 0;
sm2x = -;
_ π πη 1 . 3 πτη
Ответ. -+ —, -(-l)marcsm- + —:
4 sin 2ж cos2 2ж = 3 cos2 2ж
π πη _
4+Τ' nG 5
-(-l)marcsm- + —-, m G Ζ.
η, τη G

3.3. Применение тригонометрических формул...
235
Задача 8. (Физ-99(1).1)
Решить уравнение sin 1Ах = cos Ax — sin 6x.
Идея. Применив формулу преобразования суммы тригонометрических функций
в произведение, разложить уравнение на множители.
Указание. Перенести все синусы в левую часть, применить формулу
преобразования суммы синусов в произведение и разложить на множители.
Указание. После применения формулы и разложения на множители уравнение
принимает вид cos4x(2 sin 10ж — 1) = 0.
Решение. Перенесём все синусы в левую часть и применим формулу
преобразования суммы синусов в произведение:
sin 1Ах + sin6x = cos4x <^> 2sinl0xcos4a: = cos4x <^>
π
2
cos4x = 0;
sin 10ж
Ax
■ 7ГП, η G Z;
10Ж:
(-l)m-+7rm; mGZ.
π πη
Ответ. 1 .
8 4 '
Задача 9. (Физ-00(1).1)
Решить уравнение sin Ъх + sin 2x = sin 7x.
Идея. Перенести sin5x в правую часть, применить формулу преобразования
разности синусов и формулу двойного угла, разложить на множители.
Указание. Формула преобразования разности синусов
а
■β α + β
— cos —-—.
sin a — sin β = 2 sin
Δ Δ
Формула синуса двойного угла sin 2a = 2 sin a cos a.
Указание. После преобразований и разложения на множители получается
уравнение sin x(cos 6x — cos χ) = 0. Далее применить формулу разности косинусов
о о ' а~Р ' а + Р
cos a — cos β = — 2 sin sin .
м 2 2
Решение. Перенесём sin5x в правую часть, применим формулу
преобразования разности синусов справа и формулу синуса двойного угла слева. После
проделанных преобразований разложим на множители:
sin 2x = 2 sin x cos 6x
sin ж = 0;
cos6x — cos ж = 0;
2 sin ж cos χ
2 sin ж cos 6x <^>
ж = 7г/с, k G
sin ж
0;
. 7x . 5ж
sin — sin —
2 2
ж
2πη
2έτπ
me Ζ.
Ответ.
2πη 2ππι
~' "Τ"
, 7rfc; η, τη, /c G

236
Указания и решения
Задача 10. (Физ-99(2).1)
Решить уравнение sin χ — sin — cos —
0.
Идея. Применить формулу преобразования произведения тригонометрических
функций, после чего разложить уравнение на множители.
Указание. Формула преобразования произведения тригонометрических
функций sin a cos β = - (sin(ce + β) + sin(ce — β)) .
Указание. После применения формулы преобразования произведения
тригонометрических функций и приведения подобных слагаемых уравнение принимает
вид sin ж — sin2x = 0; далее воспользоваться формулой синуса двойного угла
sin 2а = 2 sin a cos а.
Решение. Преобразуем произведение тригонометрических функций, приведём
подобные слагаемые и разложим на множители, применив формулу синуса
двойного угла:
2 sin χ — sin 2x — sin x = 0
sin χ — sin 2x = 0
sinx(l — 2 cos ж) = О
sin ж
0;
ι
1 25
χ = 7ГП, η G Z;
ж
±— + 2πτη, τη G Ζ.
ό
Ответ, πη, ±—Κ2πτη; п,т<ЕЪ.
о
Задача 11. (Физ-96.1)
Найти все решения уравнения cos Зх — sin ( 7х
cos Ъх.
Идея. Применить в левой части уравнения формулу приведения и формулу
преобразования суммы тригонометрических функций в произведение, после чего
разложить на множители.
Указание. Формула приведения sin (a
= —cosсе, формула преобразо-
α+β α-β
вания суммы косинусов в произведение cos a + cos ρ = λ cos cos .
Указание. В результате разложения на множители уравнение принимает вид
cos Ъх (2 cos 2х — 1) = 0.
Решение. Преобразуем выражение в левой части, применив для вычитаемого
формулу приведения и преобразовав сумму косинусов в произведение:
cos Зх + cos 7x = cos Ъх
cos Ъх (2 cos 2х — 1) = 0
2 cos 2x cos Ъх = cos Ъх
cos5x
cos 2x = -; | Т — -|-:
0;
1
25
π πη
ϊο+ Τ
π
πτη, τη G
_ π πη π
Ответ. 1 , ±—h 7гт; η, τη G
10 5 6

3.3. Применение тригонометрических формул...
237
Задача 12. (Геогр-74.2)
Решить уравнение sin ж + cos I Ъх — J = л/Зет (Зх + π).
Идея. Применив формулы приведения и формулу преобразования суммы
синусов в произведение, разложить уравнение на множители.
( 9π\
Указание. Формулы приведения cos I а — I = sin се; sin (а + π) = — sin a;
формула преобразования суммы синусов sin a + sin β = 2 sin —-— cos —-—.
Указание. После разложения на множители уравнение принимает вид
sin Зх (2 cos 2х + л/3) = 0.
Решение. Применим для второго слагаемого в левой части и для функции в
правой части формулы приведения, затем преобразуем сумму синусов в произведение:
sin χ + sin Ъх + \/3 sin Зх = 0 <^> 2 sin Зх cos 2х + л/3 sin Зх = 0 <^>
<^> sin3x ( 2cos2x + л/3 ) =0 <^>
sin3x = 0;
cos2x = ——; I 2x
л/3
' 2 '
πη
—, η е Ъ\
± l· 2πτη, τη Ε
6
πη 5π
Ответ. —,± h 7гт; η, τη Ε.
Задача 13. (Хим-83.1)
Решить уравнение cos ( 2х + — ) + cos ( 2ж
+ 4 sin ж = 2 + л/2(1 - sin ж).
Идея. Применив формулу преобразования суммы косинусов в произведение
и формулу косинуса суммы двойного угла, свести уравнение к квадратному.
^ а+β α~β
Указание. Формула суммы косинусов cos a + cos β = 2 cos —-— cos —-—;
формула косинуса двойного угла cos 2а = 1 — 2 sin a.
Указание. После применения формул уравнение принимает вид
2 sin2 ж- (1 + v/2)smx + v/2 = 0.
Решение. Преобразуем сумму косинусов в произведение и применим формулу
косинуса суммы двойного угла:
2 cos 2x cos ■
4sinx = 2 + л/2 - л/2 sir
л/2(1 -2 sin2 ж) + 4sinx = 2 + л/2 - л/2 sin ж
^^ 2 sin2 ж- (1 + 2л/2) sins + л/2 = 0.

238
Указания и решения
Особого внимания заслуживает вычисление дискриминанта:
£> = (! + 2л/2)2 - 8л/2 = 1 + 4л/2 + 8 - 8л/2 = 1 - 4л/2 + 8 = (1 - 2л/2)2.
Корни квадратного уравнения:
7Г
Ответ. ( —l)n h7rn, n G Ζ.
1
sin ж = -; 7Г
2 ^^ ж = (-1)п-+тгп, η G Z.
sin ж = л/2 > 1;
Задача 14. (Псих-90.1)
Решить уравнение 4 sin2 ( 2 ( ж Η— ) ) — 2 (\/5 — \/3) cos(2x — π) + \/Ϊ5 — 4 = 0.
Идея. Применив формулы приведения и основное тригонометрическое
тождество, свести уравнение к квадратному и решить его стандартным способом.
Указание, sin (2 (ж + — N =sin (2х + π) = — sin 2х; cos (2х — π) = — cos(2x);
sin2 2x + cos2 2ж = 1.
Указание. Исходное уравнение приводится к квадратному
4cos2 2х - 2 (л/5 - л/3) cos2x - λ/Ϊ5 = 0.
Решение. Используя формулы приведения
cos (2х — π) = — cos(2x), sin ( 2 ( χ + — J J = sin (2x + π) = — sin 2x
и основное тригонометрическое тождество, получаем квадратное уравнение
4 cos2 2ж - 2 (л/5 - л/з) cos 2х - VIE = 0.
Особого внимания заслуживает вычисление дискриминанта:
L>i = (\/5 - л/з) + 4л/15 = 5 + 3 - 2λ/Ϊ5 + 4λ/Ϊ5 = 5 + 3 + 2λ/Ϊ5 = Гл/б + л/з) .
Квадратное уравнение имеет два решения:
C0S2x=- —; 5π 5π
<^> 2ж = ± Ь 2πη, η G Z <^> ж = db h 7rn, η G Ζ.
л/5 ^ 6 12
cos2x = > 1;
2
_ 5π
Ответ. db l· 7гп, η G Z.

3.3. Применение тригонометрических формул...
239
Задача 15. (Биол-81.2)
Решить уравнение cos ( 2х 1 = sin(4x + 3π).
Идея. Применить формулы приведения, формулу синуса двойного угла и
разложить получившееся уравнение на множители.
Указание. Формулы приведения cos (се —J = —since; sin(ce+37r) = —since.
Указание. После применения формул приведения получается уравнение
sin4x = sin2x, в котором целесообразно воспользоваться формулой синуса
двойного угла.
Решение. Применим формулы приведения:
8π — 7ΓΝ
cos \2x
2
cos 2x
cos 2x +
I)
sin2x;
sin(4x + 3π) = sin(4x + π) = — sin4x;
полученное уравнение разложим на множители, воспользовавшись формулой
синуса двойного угла:
sin4x = sin2a; <^> 2 sin 2x cos 2х — sin 2х = 0 <^> sin2x(2cos2a: — 1) = 0 <^>
πη
sin2x = 0;
cos2x
-, η е Ъ\
■ πτη, m G Ъ.
_ πη π
Ответ. —, ±—h 7Γτη; n,mGZ.
Задача 16. (Экон.К-80.4)
Решить уравнение sin ( — — χ J + cos ( — — χ j = л/3.
Идея. Применив формулы синуса разности углов и косинуса разности углов,
приведя подобные слагаемые, свести уравнение к простейшему
тригонометрическому.
Указание, sin се =sm — cos се — cos — sin се;
V3 У 3 3
/π \ π π
cos се = cos — cos се + sin — sin се.
\6 J 6 6
Решение. Используем формулы синуса и косинуса разности углов:
л/3 ^^
7Г 7Г 7Г 7Г
sin — cos χ — cos — sin χ + cos — cos χ + sin — sin χ
3 3 6 6
л/3 1 л/3 1
' * cos ж sin ж Η cos χ -\— sin χ =
2 2 2
2
<^> л/3 cos χ
Ответ. 2πη, η G Ζ.
Vs
ч/З
COS Ж
1
2πη, η G

240
Указания и решения
Задача 17. (Почв-96(1).1)
Найдите cos (а -\— J , если известно, что since
tg се > 0.
Идея. Применить формулу косинуса суммы углов, предварительно использовав
основное тригонометрическое тождество.
Указание. Формула косинуса суммы углов cos (се + β) = cos се cos β — sin се sin β,
основное тригонометрическое тождество cos2 се + sin2 се = 1.
Указание. Найдя из основного тригонометрического тождества модуль
косинуса, по знакам синуса и тангенса угла се однозначно определить знак косинуса.
Решение. Значение |cosce| найдём из основного тригонометрического
тождества:
| cosce| = ν 1
sin2 се
_9_ _ 4
~ 25 ~ 5'
По условию since < 0, tgce
since
> 0; значит, cos се < 0, то есть cos се
cos се
Осталось найти косинус суммы углов:
л/3 1 4 л/3 3 Зл/3-4
_вша = __.. + _.. = __.
Ответ.
Зл/3-4
Ϊ0 "
Задача 18. (Геол-94(1).4)
Найти все решения уравнения sin Ъх = sin 5.
Идея. Применить формулу разности синусов для разложения уравнения на
множители.
^ · . η ^ · а ~ β α + β
Указание. Формула разности синусов sin се — sin β = 2 sin cos .
Решение. Воспользуемся формулой разности синусов:
sin Ъх — sin 5 = 0
Ъх — 5 Ъх + 5
sin
Ъх 5
Τ ~ 2
Ъх 5
0;
= 0;
Ъх = 5 + 2πη;
Ъх = π — 5 + 2πτη;
27ГП ^7
χ = 1 Η —, η £ £]
5
π 2πτη
ж = — — 1 Η —, m G Ъ.
_ 2πη π 2πτη
Ответ. 1 Η — , — — 1 Η — ; η, πι Ε
5 5 5

3.3. Применение тригонометрических формул...
241
Идея. Второй способ. Решить уравнение как простейшее тригонометрическое
и воспользоваться определением функции arcsin χ.
isiny = ж,
7Г 7Г
"2^2-
Решение. Решим уравнение как простейшее тригонометрическое:
sin Ъх = sin 5 <^> Ъх = ( — l)n arcsin (sin 5) + πη, η Ε Ζ.
Используя определение функции arcsin ж, вычислим t = arcsin (sin 5):
£ = arcsin (sin 5)
sint = sin 5,
π π
--<£<-:
2 - - 2'
£ = 5 + 2πη, η Ε Ζ;
t = π — 5 + 2πτη, m Ε Ζ;
π π
- <t< -.
2 - - 2
Подставив в границы, получим η = — 1, и другого решения нет. Значит, £ = 5 —2π,
то есть Ъх = (-l)fc(5 - 2тг) + тг/с, /с Ε Ζ ^^ ж = (-l)fc II ) + —, /с Ε Ζ.
2π
Ответ. (-l)Ml-— + keZ.
nk
Задача 19. (Физ-93.2)
Решить уравнение cos Ъх = cos (5 + χ).
Идея. Применить формулу преобразования разности косинусов в произведение.
ν о „ . α- β . α + β
Указание, cos а — cos ρ = — 2 sin sin .
P 2 2
Решение. Применим формулу разности косинусов:
cos Ъх — cos (5 + χ) = 0
5\ / 5
-2 sin \2х sin [ Зх -\—
2/ V 2
sin ( 2х
_ 5 ππι 5 πη
Ответ. -- Ч—^-, - + —; т,пе
Ъ πη _
х= - + —, η Ε Ζ;
5 πτη
ж = -- + -г-, ш Ε Ζ.
6 3
Задача 20. (ИСАА-00.3)
1 /π
Решить уравнение 3 sin 2x =4 cos ί χ — —

242
Указания и решения
Идея. Заменив косинус в правой части уравнения на новую переменную,
выразить через её квадрат синус двойного угла и перейти к квадратному уравнению.
Указание. Введём новую переменную t = cos (χ — — j , тогда
t2 = cos2 (χ - j) = - (l + cos fox - ^)) = - (1 + sin2x),
то есть sin 2x = 2t2 — 1.
Указание. Полученное в ходе замены переменной уравнение 12£2 — 8£ — 7 = О
1 7
имеет решения t = — и £=-.
Решение. Обозначим t = cos ίχ — — ] Ε [—1; 1], тогда
t2 = cos2 (χ - j) = - (l + cos fox - ^)) = - (1 + sin2x),
то есть sin 2x = 2t2 — 1; подставляем в исходное уравнение:
t
3 (2t2 - 1) - - = 4t
Возвращаемся к переменной х:
6tz - At - - = 0
2
1
2;
π 2π
ж—— = db Κ2πη, η Ε Ζ
5π
11π
+ 2πη, η ^Ъ\
V 2πτη, τη Ε Ζ.
Ответ. — —- + 2πη, ——- + 2πτη; η,τηΕΖ.
Задача 2i. (М/м-00(2).4)
sin (ce + 7) sin (/3 + 7) sin (a + 7) sin (/3 + 7) 4
Найти — , если = - .
cos 7 cos (a + β + j) cos a cos β 9
Идея. Применить в уравнении формулы преобразования произведения
тригонометрических функций в сумму или разность, после чего выразить одно из
слагаемых через остальные и подставить в искомое выражение.
Указание. Формулы преобразования произведения синусов в разность и
произведения косинусов в сумму:
sin a sin β = -(cos(a — β) — cos(a + β)); cos a cos β = -(cos(a + β) + cos(ce — β)).
Указание. Удобно ввести обозначения А = cos(a — β), Β = cos(ce + β),
А — С 4
С = cos(ce + β + 27); тогда равенство примет вид — — = - .

3.4· Различные задачи па отбор корней
243
ЪА — 473
Указание. Выразив из равенства, например, С = и подставив в ис-
4
комое выражение, получим, что оно равно -.
5
Решение. Воспользуемся в левой части равенства формулами преобразования
произведения синусов в разность и произведения косинусов в сумму:
sin(a + 7) sin(/3 + 7) cos(a — β) — cos(a + β + 2j)
cos a cos β cos(a — β) + cos(ce + β)
Обозначим А = cos(ce — β), В = cos(ce + /3), Αφ —Β, С = cos(ce + /3 + 2j); тогда
A - С _ 4 5А-4Б
~ATb~9 ^ 9 '
Преобразуем искомое выражение:
sin(ce + 7) sin(/3 + 7) cos(ce — β) — cos(a + β + 2j)
cos 7 cos(ce + β + 7) cos(ce + /3) + cos(ce + β + 27)
_ A - С _ 9A-9C _ 9A - ЪА + 4Б _ 4(A + Б) _ 4
~ B + C ~ 9B + 9C ~ 9B + 5A- 4Б ~ 5(A + Б) ~ 5'
все преобразования равносильны.
4
Ответ. -.
5
3.4. Различные задачи на отбор корней
Задача 1. (ЕГЭ)
л/3
Укажите те корни уравнения cos ж = , которые лежат в промежутке [0; 2π].
Идея. Найти ж, удовлетворяющие уравнению, и отобрать значения
целочисленной переменной в соответствии с условием задачи.
тт 5π 5π
Указание. Для каждой из серий решения χ = Ь 2πτη и χ = Ь 27г/с
б б
отобрать значения тп, /с G Ζ такие, что χ Ε [0; 2π].
л/3 5π
Решение, cos ж = <^> χ = ± Ь 2πη, η <ЕЪ.
Выполним отбор в серии ж = Ь 2πτη, τη Ε Ζ:
б
• при m = 0 ж = — Ε [0; 2π];
5π
• при πι = — 1 ж = — 2π < 0; все m < — 1 не подходят;
6
5π
• при τη = 1 ж = Ь 2π > 2π; все m > 1 не подходят.
б

244
Указания и решения
Выполним отбор в серии χ = Ь 27г/с, к Ε Ζ:
б
• при /с = О χ = <0; все к < 0 не подходят;
б
• при к = 1 ж = Ь 2π = — Ε [0; 2π];
• при /с = 2 ж = Ь 4π > 2π; все /с > 2 не подходят.
б
Таким образом, χ = — или ж = — .
б б
5π 7π
Ответ. —; — .
6 ' 6
Задача 2. (ЕГЭ)
/з
Укажите те корни уравнения sin χ = , для которых cos x > 0.
Идея. Найти χ, удовлетворяющие уравнению, и произвести отбор в соответствии
с условием задачи.
Указание. Из двух серий решения χ = — + 2πη, η Ε Ζ и ж = —- + 2πτη, m Ε Ζ
ό ό
выбрать ту, для которой cos ж > 0.
Решение, smx = —
π
ж = — + 2πη, η Ε Ζ;
о
2π
ж = h 2πτη, τη Ε Ζ.
ο
Для первой серии cos ж = - > 0; для второй серии cos ж = — - < 0; значит,
π
χ = Ь 2πη, η Ε Ζ.
о
7Г
Ответ. h 2πη, η Ε Ζ.
ο
Задача 5. (ЕГЭ)
Сколько корней имеет уравнение tg χ = —ρ h 2 на промежутке
ν 3 — 2
Идея. Упростить выражение в правой части.
Указание. —= Ь 2 = — л/3.
л/3-2
Решение. Упростим выражение в правой части равенства:
π'
"π;2.
1 2 = 2ч/3-3 = УЗ(2 - л/3) = _^
л/3-2 л/3-2 л/3-2

3.4· Различные задачи па отбор корней
245
Уравнение принимает вид
tgx = — л/3 <^> χ ■
Отберём корни из указанного промежутка:
2тг
— + πη, η G Ζ.
ό
^ 2π ^ π
-π < у + πη < -
, 2 1
-1 < - +η < -
~ 3 "2
значит, η = — 1, то есть промежутку
уравнения.
Ответ. Один.
"2
5 1
- <п< —;
з - - б'
принадлежит только один корень
Задача 4- (Филол-85.1)
Найти все решения уравнения 2sin χ = γ3sinx, удовлетворяющие условию
-5 < χ < -3.
Идея. Перенести всё в одну сторону и разложить на множители.
Указание. Разложить уравнение на множители, решить простейшие
тригонометрические уравнения и произвести отбор по условию.
Решение. Разложим уравнение на множители:
sinx(2sina; — \/3) = О
sin ж = 0;
л/3
2 '
sin ж
χι = πη, η G
π
2π
χ3 = —
Χ2
- 2πτη, πι G Ζ;
+ 2тг&, fc G Ζ.
Выполним отбор в серии х\ = πη, η G Ζ :
• если η > 0, то х\ > 0; все η > 0 не подходят;
• если η = —1, то —5 < —π < —3 =^> χ = —π;
• если η = — 2, то —2π < —5; все η < —2 не подходят.
7Г
Выполним отбор в серии Х2 = h 2πτη, τη G Ζ :
о
• если τη
-1, то
5π
< — 5; все m < — 1 не подходят;
• при т > 0 значения х^ положительны; нет решения.
2π
Выполним отбор в серии х3 = — + 27г/с, k G Ζ :
о
• при /с > 0 все значения х% положительны; все к > 0 не подходят;
• если к
-1, то —5 <
4π
<
4π
• если к = — 2, то
4π
10π
< — 5; все /с < — 2 не подходят.
Ответ.
-π.

246
Указания и решения
Задача 5. (М/м-89.1)
Решить уравнение 4| cosx| + 3 = 4 sin2 χ.
Идея. Использовать основное тригонометрическое тождество и свести уравнение
к квадратному.
Указание. Основное тригонометрическое тождество sin a + cos2 a = 1.
Указание. Уравнение сводится к квадратному 4 cos2 χ + 4| cos x\ — 1=0.
Решение. Воспользовавшись основным тригонометрическим тождеством,
сведём уравнение к квадратному относительно переменной | cosx|:
4 cos x + 41 cos χ Ι — 1 = 0
cos ж
COS Ж
±
л/2-l
± arccos
-1 -л/2
2
л/2-1
~^~~;
л/2-l
<0;
η G Z.
Ответ. ± arccos
л/2-l
+ 7ГП, П G Z.
Замечание. Если не решать уравнение относительно | cosx\, а раскрывать
модуль по определению, то пришлось бы проводить отбор. И хотя он в этом случае
не очень трудоемкий, приведённое выше решение оптимальнее.
Задача 6. (Геол-82.3)
Решить уравнение л/1 — cos2 χ + б cos 2x = 0.
Идея. Используя основное тригонометрическое тождество и формулу косинуса
двойного угла, свести уравнение к квадратному.
Указание. Основное тригонометрическое тождество sin2 a + cos2 a = 1.
Указание. Уравнение сводится к квадратному 12 sin2 χ — | sin x\ —6 = 0.
Решение. Из основного тригонометрического тождества получаем
у/\ — cos2 χ = | sin ж |; далее воспользуемся формулой косинуса двойного угла и
сведём уравнение к квадратному относительно переменной | sinx|:
12 sin2 χ — I sin x\ — 6 = 0
sin ж
sin ж
<0;
sin ж
±-
± arcsin —h 7гп, п G
4
Ответ. ± arcsin-+πη, η G Ζ.

3.4· Различные задачи па отбор корней
247
Задача 7. (М/м-79.1)
Найти все решения уравнения 1 — 5 sin χ + 2 cos2 χ = 0, удовлетворяющие
неравенству cos ж > 0.
Идея. Используя основное тригонометрическое тождество, свести уравнение
к квадратному относительно синуса; найти корни; сделать отбор.
Указание. Воспользовавшись соотношением cos2 χ = 1 — sin2 x, свести
уравнение к квадратному 2 sin2 x + 5 sin χ — 3 = 0.
Указание. Решениями полученного квадратного уравнения являются серии
π 5π
ж = —Ь 2πη и ж = Ь 27г/с; п, /с Ε Ζ.
6 б
Решение. Преобразуем уравнение, используя основное тригонометрическое
тождество:
1 — 5 sin χ + 2 (l — sin2 ж) = 0
sinx = —3 < —1;
1
sin ж = -;
2'
2 sin χ + 5 sin ж — 3 = 0
π
χ
6
5π
+ 2πη, η Ε Ζ;
2тг/с, /с Ε Ζ.
Условию cos ж > 0 удовлетворяет только первая серия.
7Г
Ответ. Ь 2πη, η Ε Ζ.
6
Задача 8. (Физ-84.1)
Решить уравнение tg ж +
cos ж
0.
sin ж
Идея. Воспользовавшись определением тангенса и избавившись от знаменателя,
привести уравнение к квадратному.
л τ since
Указание. tg се = , где cos α ψ 0.
cos ce
Указание. Уравнение сводится к квадратному 2 sin2 χ — 2 sin ж — 1 = 0.
Решение. Воспользуемся определением тангенса и основным
тригонометрическим тождеством:
sin ж
cos ж
cos ж
— sin ж
2 sin2 χ — 2 sin χ — 1 = 0,
cos ж т^ 0;
sin χ
sin χ
1 -л/3
1 + л/З
>1;
( л\п . 1 - λ/3
( —1) arcsin —-—
/3 — 1
Ответ. ( —l)n+1 arcsin Κπη, ηΕ
■ πη, η Ε Ζ.

248
Указания и решения
Задача 9. (Геол.ОГ-78.1)
Решить уравнение л/2 sin χ + ctg χ = О.
Идея. Используя определения котангенса и основное тригонометрическое
тождество, преобразовать уравнение к квадратному.
COS Οι
Указание, ctg a = , где sin а / 0.
since
Указание. Свести уравнение к квадратному 2 cos2 χ — л/2 cos χ — 2 = 0.
Решение. Воспользуемся определением котангенса и сведём уравнение к
квадратному:
г- . cos ж ^ I 2 cos2 ж — v^cosx — 2 = О,
V2sin:r+- =0 <^^ ] ■ *
sin ж / 0;
cos ж = -=\ 3π
л/2 <^> χ = ±— + 2тгп, пе Ζ.
1
л/2>1;
4
Зтг
Ответ. ± \-2πη, η £ Ζ.
4
Задача 10. (Псих-77.1)
Решить уравнение 3 tg2 χ — 8 cos2 ж + 1 = 0.
Идея. Воспользовавшись следствием из основного тригонометрического
тождества и избавившись от знаменателя, свести уравнение к биквадратному.
Указание. Следствие из основного тригонометрического тождества
l+tg2x= —.
cos^ χ
Указание. Уравнение сводится к биквадратному 8 cos4 χ + 2 cos2 χ — 3 = 0.
Решение. По следствию из основного тригонометрического тождества выразим
tg2 χ через cos2 x и избавимся от знаменателя:
3tg2x-8cos2x + l =0 <^> 3( ъ 1 ] -8cos2x + l = 0 <^>
8 cos4 χ + 2 cos2 χ - 3 = 0,
cos ж т^ 0;
2 3
cos ж = — - < 0;
4
2 1
cos ж = -.
2
Для удобства записи ответа, зная cos2 χ, найдём cos 2x:
1 тг г,, тг тгп
cos2x = 2- 1=0 ^^ 2ж = - + πη, η G Ζ ^^ χ = - н , η £ Ζ.
_ π πη
Ответ. 1 , η £ Ζ.
4 2

3.4· Различные задачи па отбор корней
249
Задача 11. (Физ-00.1)
Решить уравнение 3 cos Зх -\ = 3 cos χ.
cos ж
Идея. Перенести все слагаемые в левую часть и привести к общему
знаменателю. Применить формулу преобразования произведения косинусов и формулу
понижения степени.
Указание. Формула преобразования произведения косинусов в сумму
cos a cos β = -(cos(a + β) + cos(a — β)).
Формула понижения степени 2 cos2 a = 1 + cos 2а.
л τ π г- J cos 4x = — -,
У казание. После преобразовании уравнение сводится к системе < 3
I cos ж φ 0.
Решение. Перенесём все слагаемые в левую часть и приведём к общему
знаменателю, полученное уравнение равносильно системе
{3 cos Зх cos x + 2 — 3 cos2 x = 0,
cos ж φ 0;
преобразуем произведение косинусов в сумму и воспользуемся формулой
понижения степени:
3 3
- (cos 4ж + cos 2х) + 2 (1 + cos 2x) = 0, 1
2 2 ^^ cos 4ж = - - ^^
cos ж т^ 0; ^
1 π 1 1 πη
<^> 4ж = π ± arccos —Ь 2πη <^> χ = — ± - arccos —| , η £ Z.
~ π 1 1 πη
Ответ. — ± - arccos—| , η £ Z.
4 4 3 2'
Задача 12. (Биол-85.2)
Найти все корни уравнения 5 cos 2х + 7 cos ( χ Η— ) +1 = 0, принадлежащие
отрезку
π 3π
2'Ύ
2
Идея. Применив формулу приведения и формулу косинуса двойного угла, свести
уравнение к квадратному с последующим отбором решений.
Указание, cos (ж Η—)=— sin ж: cos2x = 1 — 2 sin2 x.
2,
Указание. После преобразований получаем квадратное уравнение
10 sin2 χ + 7 sin χ — б = 0.

250
Указания и решения
Решение. Применим формулу приведения и формулу косинуса двойного угла:
5 (1 -2 sin2 ж) - 7sinx + 1 = 0 <^^ 10 sin2 χ + 7sinx - 6 = 0 <^^
6 Г тг
sin ж
sin ж
<-1;
1
6
Ъπ
+ 2πη. η G
+ 2тг&, fcGZ;
отрезку
π 3π
принадлежит единственное решение χ
5π
5π
Ответ. —.
6
Задача 13. (Геол-80.2)
_ 2 — 3 sin ж — cos 2x
Решить уравнение — = 0.
6xz — πχ — π1
Идея. Перейти к равносильной системе, применить формулу косинуса двойного
угла для сведения уравнения к квадратному с последующим отбором решений.
Указание. Уравнение равносильно системе
2 — 3 sin χ — cos 2x = 0,
6х2 - πχ - π2 φ 0;
2 sin2 χ — 3 sin χ + 1 = 0,
6x2 - πχ - π2 φ 0.
7Γ
Указание. Решениями квадратного уравнения являются серии χ = (— 1 )η —\- πη
7Г 7Г 7Г
и х = Ь 27г/с; п, /с G Z; из неравенства следует, что χ ψ , χ ψ — .
^ _ _ Ι 2 — 3 sin χ — cos 2x = 0,
Решение. Уравнение равносильно системе < 2 2
воспользуемся формулой косинуса двойного угла и сведём уравнение к квадратному:
2 sin2 χ — 3 sin ж + 1 = 0,
бж2 - πχ - π2 φ 0;
sin ж = 1;
1
sin ж = -:
2'
и π
х Г -τ,
χ = —h 2πη, η ^Ъ\
χ = (-ΐ^-^πΐζ, keZ; ^^
π π
Ответ. -+2πη, (-l)fc-+7rfc; n,/cGZ, n^0.
Δ Ό
ж = - + 2πη, η € Ζ \ {0} ;
ж = (-!)*!+irfc, fee Ζ.

3.4· Различные задачи па отбор корней
251
Задача 14- (Фи л о л-75.3)
1Ъг 2ctgx + 3
Решить уравнение ctg ■
6 tg {x + f) ■
Идея. Перейти к равносильной системе, применить формулу тангенса суммы
(с учётом ограничений), после чего свести уравнение к простейшему
тригонометрическому.
11π / 7Г\ π г-
Указание. ctg = ctg 2π = — ctg — = — ν3.
6 V 6/ 6
Указание. Воспользоваться формулой тангенса суммы tg (а + β) = ,
1 -tgatg/3
где cos се φ 0, cos/5 φ 0, tgcetg/5 7^ 1> провести исследование возникших
вследствие этого дополнительных ограничений на аргументы.
Указание. Уравнение приводится к виду — \/3tg ίχ-|—J = 2 ctg ж + 3, где
Решение. Сначала вычислим значение выражения в левой части уравнения:
затем перейдем от уравнения к равносильной системе:
i-\/3tg(a: + !) =2ctgx + 3,
11π
= ctg (2π -
-") =
6/
π
-ctg-
6,
tg χ + tg_
^"6
ГТ А, 4т ( , Μ tgS + tgf
Перед применением формулы тангенса суммы tg ж Η— = ^— прове-
V 6 / 1 — tg χ tg ?
ряем отдельно серии решении:
cos ж = 0 <^> χ = Ь 7гп, η G Z;
π π _ _ _
tgxtg — = 1 <^> χ = h 7г/с, /с G Ζ.
6 3
Первая серия обращает уравнение в тождество, то есть входит в ответ; вторая
серия не входит в область определения tg ( χ Η— 1 , то есть решением не является.
7Г 7Г
После применения формулы тангенса суммы при χ ψ —Κπη, χ ψ ππι, χ ψ —h7r/c,
η, m, k G Ζ получаем уравнение
tgx + -)= 2 ^
-V3 Vrf =2ctgx + 3 «=> -V3tgx-1 = 2ctga; + 3 = -V3tg:r <^=>
l-Tjtgx & 6 χ/3
·ί=> ctgx=^-2 <*=>· ж = arcctg f —= - 2 ) + π/, ieZ.
V3 VV3 У
Ответ. —h 7гп, arcctg ( —7= — 2 1 + πΖ; η, / G Ζ.
2 \л/3 У

252
Указания и решения
Задача 15. (Геол-99(1).1)
Решить уравнение cos (6 sin ж) = — 1.
Идея. Решая уравнение как простейшее, произвести отбор значений синуса в
соответствии с его областью значений, после чего решить полученные уравнения.
Указание, cos се = — 1 <^> а = π + 2πη, η Ε Ζ.
Указание. Областью значения синуса является отрезок [—1; 1].
Указание. В полученном уравнении б sin ж = π + 2πη, η Ε Ζ правая часть
должна принимать значения из отрезка [—6; 6]; значит, η = — 1 или η = 0.
Решение. Решим уравнение как простейшее тригонометрическое:
7Г 7Г77/
cos (6 sin χ) = — 1 <^> б sin χ = π+2πη, η Ε Ζ <^> sin χ = — Η , η Ε Ζ.
υ ο
Поскольку областью значений функции sin ж является отрезок [—1; 1], требу-
π πη
ется отобрать такие целочисленные значения п, при которых — 1 < 1 < 1,
б 3
б + π б — π
то есть — < η < —-—.
2тг _ ~ 2π
б + π б — π
Так как —2 < < — 1 и 0 < < 1, то подходят η = — 1ип = 0.
2π 2π
Значит, sin ж = ±— <^> ж = ± arcsin —Ь πη, η Ε Ζ.
б б
7Г
Ответ. ± arcsin Κπη, η Ε Ζ.
6
Задача 16. (ΒΜΚ-83.2)
1 + 2 sin2 x — 3\/2sinx + sin2x
Решить уравнение = 1.
2 sin χ cos ж — 1
Идея. Умножив левую и правую части на знаменатель, свести уравнение к
квадратному с последующим отбором корней, принадлежащих области определения.
Указание. При условии 2 sin x cos χ = sin 2χ φ 1 квадратное уравнение примет
вид 2 sin2 ж — 3\/2sinx + 2 = 0.
Указание. Решением квадратного уравнения является значение sin ж = —=;
Зтг
учитывая условие sin2х φ 1, получим серию χ = —-—V 2πη, η Ε Ζ.
Решение. Область определения содержит условие неравенства нулю
знаменателя:
7Г
2 sin χ cos χ ф\ <^> sin 2х φ 1 <^> ж ^ τ + πη? ^ ^ Ζ.
Преобразуем уравнение, умножив левую и правую части на знаменатель:
l + 2sin2x — 3v^sinx + sin2x = sin2x — 1 <^> 2sin2 χ — 3\/2sin£ + 2 = 0 <^>

3.4· Различные задачи па отбор корней
253
sin ж = л/2 > 1;
1
sin ж
V?
π
4
3π
Τ
+ 2πτη, m G Ζ;
+ 2тг&, fc G Ζ.
Зтг
Области определения принадлежит только вторая серия ж = —-—Ь 27г/с, /с G Z.
Зтг
Ответ. —- + 27г/с, /с G Ζ.
4
Задача ί7. (ΒΜΚ-91.2)
/3π тгл/2 . \ ,
Найти все решения уравнения tg I 1 — sin x = 1.
Идея. Решить уравнение как простейшее с последующим отбором,
обусловленным ограниченностью области значений синуса.
Указание. Применить формулу приведения tg ( а -\ I = — ctga, решить
уравнение как простейшее для котангенса и выразить синус переменной.
4п — 1
Указание. В получившемся уравнении sin χ = -=—, η G Ζ выпол-
λ/2
нить отбор значений функции в правой части с учётом области значений синуса
£(sinx) = [-1;1].
Решение. Решим уравнение как простейшее тригонометрическое и произведём
отбор значений функции sin ж в соответствии с её областью значений:
/3π тгл/2 Ν
tg I γ + — smx
ctg —-— sin χ
, , 7Γλ/2 . 7Γ
<^> — SinX = — — + 7ГП, П G Ζ Φ=
4 4
Так как — 1 < sin ж < 1, то найдем подходящие п:
sin ж
4п-1
4п - 1
-1 < =- < 1
1-л/2 ^ ^ 1 + л/2
< η <
л/2 " 4 - - 4 '
неравенствам удовлетворяет единственное значение η = 0; значит,
sin ж
1
71
ι 7Γ
ж = (-l)m+1- + тгш, mGZ.
Ответ. ( —l)m+1—+ πτη, m G Ζ.

254
Указания и решения
Задача 18. (Физ-00(2).1)
_ cos 6х
Решить уравнение Ь 6 sin 2х + 1
cos2x
0.
Идея. Привести левую часть к общему знаменателю, применить формулу
преобразования суммы косинусов, разложить на множители и свести уравнение к
квадратному.
Указание. Формула преобразования суммы косинусов в произведение
α+β α-β
cos a + cos ρ = 2 cos cos .
H 2 2
Указание. После приведения к общему знаменателю и преобразования в чис-
cos 2ж(2 sin2 2х — 3 sin 2ж — 1)
лителе суммы косинусов получается уравнение = 0.
cos2x
Указание. После решения уравнения необходимо отобрать корни.
Решение. Приведём выражение в левой части к общему знаменателю и
преобразуем сумму косинусов:
cos 6х + б sin 2x cos 2х + cos 2x
0
cos2x
cos 2x(cos 4ж + 3 sin 2x)
cos2x
'2sin22x-3sin2:r- 1 = 0,
cos2x 7^ 0;
2 cos 4ж cos 2ж + 6 sin 2ж cos 2x
cos2x
J cos 4ж + 3 sin 2x = 0,
I cos2x t^ 0;
0
sin2x
sin2x
17
4
З + л/17
>i;
[cos2x t^ 0;
arcsin -
(_l)n+l
Ответ. arcsin
л/17-З
4
17-3
πη
n£ Ζ.
—, nGZ.
Задача 19. (Псих-82.3)
Решить уравнение 2 sin ж — \/3 = (λ/2 — ν/Ϊ2) λ/sin χ.
Идея. Рассмотреть уравнение как квадратное относительно vslnx и решить его
стандартным способом с последующим отбором решений.
Указание. Квадратное уравнение 2 sin χ — (\/2 — λ/Ϊ2) л/sin χ — \/3 = 0 имеет
решение vslnx = —= .
λ/2
Решение. Уравнение является квадратным относительно л/sina; > 0:
2sinx- fл/2 — λ/ϊΐΓ) λ/sinx- λ/3 = 0:

3.4· Различные задачи па отбор корней
255
вычислим дискриминант:
D = 2 + λ/Ϊ2 - 2л/2^12 + 8л/3 = 2 + λ/Ϊ2 - 4л/3 + 8л/3 = Ы2 + у/Щ ;
корни уравнения:
г. ^12
Vsinx = ^-<0; 1 тг
^^ sinx = - ^^ ж = (-1)η- + πη, η Ε
г^ 1 2 6
ν sin ж = —=;
л/2
Ответ. (-1)η-+πη, η Ε Ζ.
Задача 20. (Экон-89.4)
Найти все решения уравнения tg(4sina;) = γ3, удовлетворяющие условию
π 3π
- < χ < —.
2 2
Идея. Рассмотреть уравнение как простейшее относительно тангенса, выразить
синус и произвести отбор значений в соответствии с областью значений синуса,
после чего дополнительно отобрать решения в заданном интервале.
7Г 7Г77/
Указание. Из уравнения получаем sin ж = 1 Ε [—1; 1], η Ε Ζ. Этому
условию соответствует лишь η = О и η = — 1.
^ ^ ~ (Έ 37Л « . π π
Указание. Отбор решении ж Ε I —; —- I из уравнении sin χ = —- и sin χ = — —
\ ^ ΔΙ L· Δι Χ)
удобнее всего делать с привлечением тригонометрической окружности без
непосредственного решения самих уравнений.
Решение. Решая уравнение как простейшее тригонометрическое относительно
тангенса, получаем
π π πη
4 sin x = h πη, η Ε Ζ <^> sin χ = 1——, η Ε Ζ.
Так как — 1 < sin ж < 1, то найдем подходящие п:
π πη 12 + π 12 — π
-К—+ — <1 ^^ <η< .
- 12 4 - 3π - - 3π
Так как —2 < < — 1 и 0 < < 1, то подходят η = — 1ип = 0,
3π 3π
π π
значит, sin χ = — или sin ж = .
12 б

256
Указания и решения
arcsin(TT/12)
arcsin(^ /6)
Изобразив решения этих уравнений на тригонометрической окружности и отобрав
/π 3π\ /π\ /π\
xG I —; —- I , получаем χ = π — arcsm ( — J или χ = π + arcsm ( — J .
Ответ, π — arcsin ( — J ; π + arcsin ( —
4. Стандартные текстовые задачи
4.1. Пропорциональные величины
Задача 1. (ЕГЭ)
На склад привезли 126 тонн яблок, груш и слив. Яблок оказалось в 4 раза больше,
чем груш. Слив на 18 тонн меньше, чем груш. Сколько тонн яблок привезли на
склад?
Идея. Обозначить за неизвестную величину массу груш, выразить через неё
массу яблок и слив.
Указание. Пусть χ тонн - масса привезённых на склад груш; тогда яблок
привезли Ах тонн, слив χ — 18 тонн.
Указание. Уравнение задачи χ + Ах + χ — 18 = 126.
Решение. Пусть χ тонн груш привезли на склад, тогда яблок привезено Ах
тонн, слив χ — 18 тонн;
χ + Ах + χ - 18 = 126 ^^ 6х = 144 ^^ χ = 24;
яблок привезено Ах = 96 тонн.
Ответ. 96 тонн.
Задача 2. (Почв-84.1)
Площади участков земли относятся как 4:3:5. Средняя урожайность всех трёх
участков одинакова и составляет 28 ц зерна с гектара. Известно, что с третьего
участка собрано на 84 ц зерна больше, чем с первого. Определить, какова площадь
каждого из трёх участков.

4.1. Пропорциональные величины
257
Идея. Обозначить за неизвестную величину одну часть площади.
Указание. Пусть χ га - одна часть площади, тогда Si : S2 : £3 = 4ж : Зх : Ъх.
Указание. Средняя урожайность равна отношению всего собранного урожая
к занимаемой площади.
Указание. Уравнение задачи 28 · Ъх = 28 · Ах + 84, откуда χ = 3.
Решение. Пусть χ га - одна часть площади, тогда Si = 4х, 52 = Зх, 5з — 5х.
Тогда из условия получаем уравнение:
28 · Ъх = 28 · 4х + 84 ^^ ж = 3 => Si = 12 га, 52 = 9 га, S3 = 15 га.
Ответ. 12 га; 9 га; 15 га.
Задача 3. (Почв-93.1)
Представить число 128 в виде суммы четырёх слагаемых так, чтобы первое
слагаемое относилось ко второму как 2:3, второе к третьему как 3 : 5, а третье
к четвёртому - как 5:6.
Идея. Обозначить за неизвестную величину одну часть каждого из чисел.
Указание. Из попарных соотношений для чисел получается, что они относятся
как 2:3:5:6. Если обозначить через χ одну часть каждого из чисел, то
уравнение задачи принимает вид 2х + Зх + Ъх + 6х = 128.
Решение. Из попарных соотношений получаем, что четыре числа относятся как
2:3:5:6. Пусть χ единиц - одна часть. Тогда числа будут равны, соответственно,
2х, Зж, Ъх и 6х. Из условия получаем уравнение:
2х + Зх + Ъх + 6х = 128 ^^ χ = 8.
Значит, искомые числа есть 16; 24; 40; 48.
Ответ. 16 + 24 + 40 + 48.
Задача 4- (Почв-94(1).1)
С двух полей, первое из которых по площади вдвое меньше второго, собрали
урожай свёклы. Средняя урожайность составила 150 ц/га, в то время как на первом
поле собрали по 156 ц/га. Какова урожайность свёклы на втором поле?
Идея. Обозначить за неизвестные величины площадь первого поля и
урожайность второго поля. Выразить через них среднюю урожайность, равную 150 ц/га.
Указание. Средняя урожайность есть отношение всего урожая к общей
площади полей.
Решение. Пусть χ га - площадь первого поля; к ц/га - урожайность второго
поля, тогда площадь второго поля равна 2х га и
156x + 2fcr =150 ^ 2^ + 156 = 450 ^ к = 147.
х + 2х
Ответ. 147 ц/га.

258
Указания и решения
Задача 5. (Почв-92.2)
Самолёт, осуществляя полёт по заданному маршруту, может лететь в
метеоусловиях А, Б или В с одной и той же скоростью, но по-разному расходуя горючее. В
первый раз самолёт находился в метеоусловиях А половину полётного времени, в
метеоусловиях Б - треть времени, в метеоусловиях В - 1/6 полётного времени. Во
второй раз он находился четверть времени в метеоусловиях А и 3/4 - в
метеоусловиях В. В третий раз - по четверти полётного времени в метеоусловиях А и Б, а
половину времени - в метеоусловиях В. На сколько процентов израсходует
самолёт полётный норматив горючего, двигаясь весь путь в метеоусловиях В, если в
первый раз он израсходовал его на 1011 %, во второй раз - на 92,5 %, а в третий -
на 97,5 %?
Идея. Обозначить за неизвестные величины расход горючего по нормативу
и расход горючего при движении в каждом из метеоусловий всё полётное время.
Составить систему из трёх уравнений с четырьмя неизвестными.
Указание. С помощью подходящей замены свести систему из трёх уравнений
с четырьмя неизвестными к системе из трёх уравнений с тремя неизвестными.
Решение. Пусть к л - полётный норматив горючего на всё время полёта. Пусть
ж, у и ζ л горючего расходует самолёт, двигаясь всё время полёта, находясь в ме-
теоусловиях А, Б и В соответственно. Наша цель - найти — · 100%. Согласно
условию задачи
Обозначив а
Шх
Шу
3 6
3ζ
τ
Ί _l -
4 2
ioif
100 *'
92,5
Too"
•fe,
97,5
Too"
•к.
ΙΟΟζ
получим
(a b с _ 305
2 + 3 + 6 ~ ΊΓ'
a 3c _ ^
<I + T = 92'5'
^ b с ^ _
4 + 4 + 2=97'5;
3a + 26 + с = 610,
a + 3c = 370,
a + b + 2c = 390.
Теперь вычтем из первого уравнения третье, умноженное на два:
-170,
370;
вычтем из второго первое: 6с = 540
90.
Ответ. 90%.

4-2. Арифметическая и геометрическая прогрессии
259
Задача 6. (Соц-98.3)
В городе N 9 % коренного населения в зимний период заняты народным
промыслом. Летом 36 % коренного населения уезжает из города, но общая численность за
счёт приезжающих туристов составляет 4/5 от численности населения в зимний
период. Определить, какая часть от общей численности населения в летний
период занята народным промыслом, если среди коренного населения доля занятых
народным промыслом осталась такой же, как в зимний период.
Идея. Обозначить за переменную количество коренного населения.
Указание. Если χ человек - коренное население, то промыслом зимой заняты
О, 09ж человек, а летом 0, 09 · 0, 64ж человек.
Решение. Пусть χ человек - коренное население; 0,09ж человек заняты про-
4
мыслом зимой; -х человек остаётся летом, среди которых 0,09 · 0, 64ж заняты
5
промыслом; доля их от общего числа:
0,09-0,64ж 5-0,09-0,64 Λ _
А = -—-^ = ——-— = 0, 8 · 0,09 = 0,072.
ъх
Таким образом, получается 7,2 %.
Ответ. 7,2%.
4.2. Арифметическая и геометрическая прогрессии
Задача 1. (ЕГЭ)
Сумма второго, девятого и десятого члена арифметической прогрессии равна 60.
Найдите седьмой член этой прогрессии.
Идея. Используя формулу общего члена арифметической прогрессии, свести
условие задачи к уравнению относительно первого члена и разности прогрессии.
Указание. Если а\ и d - первый член и разность прогрессии соответственно,
то а2 = αϊ + α7, α 7 = а\ + 6d, ag = a\ + 8α7, aw = αϊ + 9α7.
Решение. Если αϊ π α7 - первый член и разность прогрессии соответственно, то
α2 = αι+α7, α7 = αι + 6α7, ag = ai + 8a7, аю = αϊ + 9a7. Тогда из условия получаем:
а2 + ад + аю = 3αι + 18а7 = 3(ai + 6d) = 3αγ = 60 <^> αγ = 20.
Ответ. 20.
Задача 2. (ЕГЭ)
В геометрической прогрессии (Ьп) известно, что 5б = 63, а = —0,5. Найдите δι.

260
Указания и решения
Идея. Используя формулу суммы конечной геометрической прогрессии, свести
условие задачи к уравнению относительно первого члена прогрессии.
Указание. Если Ъ\ и q - первый член и знаменатель геометрической прогрес-
1 -qn
от (ς^Ι),το Sn = ϋχ———.
Решение. Пусть Ъ\ - первый член геометрической прогрессии, q = —0,5 -
знаменатель. Тогда сумма первых шести её членов вычисляется по формуле:
1 -q6
S6 = b1-
Значит,
, 1- -0,5 ™ , 63·1,5·26 63-3-64 _
bi —^^=63 <^^ bi = ;Н = = 96.
1 1 + 0,5 г 26-1 2-63
Ответ. 96.
Задача 3. (ЕГЭ)
В арифметической прогрессии (ап) as7 = — 36, а%$ = 142. Найдите ass ·
Идея. Используя свойства арифметической прогрессии, выразить ass через as7
и а8д.
Л. и „ as7 + «89
Указание. По свойству арифметической прогрессии ass — ·
Решение. По свойству арифметической прогрессии получаем:
«87 + ^89 -36 + 142 cQ
ass = —j— = = 53.
Ответ. 53.
Задача 4- (ЕГЭ)
В геометрической прогрессии (а& > 0) известно, что ап+т = 27, аГ1
Найдите ат.
Идея. Используя формулу общего члена геометрической, свести условие задачи
к уравнению относительно m-го члена прогрессии.
Указание. Если αχ и q - первый член и знаменатель геометрической
прогрессии соответственно, то an+m = ai-gn+m-1 = am-qny am-n = α\·απι~η~1 = am-q~ny
2
@"п-\-т ' @"п — т — &т'
Решение. Пусть а\ и q - первый член и знаменатель геометрической
прогрессии. Тогда an+m = αχ · qn^m~1 = am-qn, am_n = αχ · qm~n-1 = am · q~n. Поэтому
получаем:
an+m ' CLn-m = am = 27 · 12 = 18 <^> \am\ = 18.
По условию все члены прогрессии положительны, поэтому ат = 18.
Ответ. 18.

4-2. Арифметическая и геометрическая прогрессии
261
Задача 5. (ЕГЭ)
1 + 2 + 22 + ... + 213
Вычислите
1 + 2 + 22 + ... + 26
Идея. Использовать формулы суммы геометрической прогрессии для
преобразования выражений в числителе и знаменателе дроби и формулы сокращённого
умножения.
Указание. Выражение в числителе есть сумма 14-ти членов геометрической
прогрессии с первым членом Ъ\ = 1 и знаменателем q = 2; в знаменателе дроби -
сумма семи членов той же прогрессии.
Указание. Пусть Ъ\ и q ^ 1 - первый член и знаменатель геометрической
\-qn
прогрессии; тогда Sn = Ь\-
1
Решение. В числителе дроби - сумма 14-ти членов геометрической прогрессии
с первым членом Ъ\ = 1 и знаменателем q = 2; в знаменателе дроби - сумма
семи членов той же прогрессии. Для преобразования выражения воспользуемся
формулой суммы конечного числа членов геометрической прогрессии:
1+2 + 22 + ..
1 + 2 + 22 + .
.+213
.. + 26
1-214
ьтзт
"i.l^"
1-214
" 1-27
214.
~ 27-
-1
-1
1
Разложим выражение в числителе на множители по формуле разности квадратов:
214-1 (27-1)(27 + 1) 7
— Л L± L — 97 4- 1 — 1 2Q
27 - 1 " 27-1 - ^ + 1 - ^У.
Ответ. 129.
Задача 6. (ЕГЭ)
Вычислите 180-1,3(4).
Идея. Представить бесконечную периодическую десятичную дробь в виде
рационального числа, воспользовавшись формулой суммы членов бесконечной
убывающей геометрической прогрессии.
Указание. Представить число 1,3(4) в виде
1, 3(4) = 1, 3 + 0,04 + 0,004 + 0,0004 +... = 1,3 + S,
где через S обозначена сумма членов бесконечной убывающей геометрической
прогрессии с первым членом Ъ\ = 0, 04 и знаменателем q = 0,1.
Указание. Сумма членов бесконечной убывающей геометрической прогрессии
с первым членом Ъ\ и знаменателем \q\ < 1 вычисляется по формуле S = .

262
Указания и решения
Решение. Представим второй сомножитель в виде рационального числа,
воспользовавшись формулой суммы членов бесконечной убывающей геометрической
прогрессии с первым членом Ъ\ = 0, 04 и знаменателем q = 0,1:
180-1,3(4) = 180· (1,3 + 0,04 + 0,004 + 0,0004+...) = 180· (l,3 + —'——
/13 4 λ 13-9 + 4
= 180 · [- + - J = 180 · 9Q = 2 · (117 + 4) = 2 · 121 = 242.
Ответ. 242.
Задача 7. (ЕГЭ)
Вычислите сумму геометрической прогрессии 5 = 1-1 1 Ь ... .
6 36
Идея. Воспользоваться формулой суммы членов бесконечной убывающей
геометрической прогрессии.
Указание. Сумма членов бесконечной убывающей геометрической прогрессии
с первым членом δι и знаменателем \q\ < 1 вычисляется по формуле S = .
Решение. Воспользуемся формулой суммы членов бесконечной убывающей
геометрической прогрессии с первым членом Ь\ = 1 и знаменателем q = -:
б
о -, 1 1 16
6
Ответ. 1,2.
Задача 8. (Физ-79.2)
Седьмой член арифметической прогрессии равен 21, а сумма первых семи членов
этой прогрессии равна 105. Найти первый член и разность этой прогрессии.
Идея. Используя формулы общего члена и суммы арифметической прогрессии,
свести условие задачи к решению системы уравнений относительно первого члена
и разности прогрессии.
Указание. Если а\ и d - первый член и разность арифметической прогрессии
, «Л С 2αΐ+ 6d 7
соответственно, то αγ = а\ + Ьа и ογ = · 7.
Решение. Если а\ и d - первый член и разность арифметической прогрессии
соответственно, то αγ = а\ + 6d и SV = · 7. Тогда из условия получаем:
ίαι +6d = 21,
J (αϊ + 3d) -7 = 105; ^^
Ответ, αϊ = 9; d = 2.

4-2. Арифметическая и геометрическая прогрессии
263
Задача 9. (Экон-87.2)
В магазине продано 12 тонн орехов трёх сортов по цене соответственно 2 руб.,
4 руб. и б руб. за 1 кг на общую сумму 42 тыс. руб. Известно, что количества
тонн проданных орехов соответственно первого, второго и третьего сортов
образуют арифметическую прогрессию. Сколько тонн орехов каждого сорта продано
в магазине?
Идея. Обозначить за неизвестные величины массу проданных орехов второго
сорта и разность арифметической прогрессии, после чего составить уравнения
относительно массы и общей суммы.
Указание. Если а тонн орехов второго сорта продали и d тонн - разность
арифметической прогрессии, то первого сорта продано a — d тонн, а третьего a + d
тонн.
Решение. Пусть продали а тонн орехов второго сорта и d - разность
арифметической прогрессии, то первого сорта продано a — d тонн, а третьего а + d
тонн.
Всего продано 12 тонн орехов. Значит, a — d + a + a + d = 12 =^> а = 4 тонны.
Общая сумма - 42 тыс. руб. Значит,
2 · (а - d) · 1000 + 4 · а · 1000 + 6(а + d) · 1000 = 42000,
так как в одной тонне 1000 кг. С учётом а = 4 получаем:
2(4-d) + 16 + 6(4 + (f) =42 ^^ 4d + 48 = 42 ^^ d = -1,5.
Следовательно, а + d = 2, 5 тонны, а — d = 5, 5 тонны.
Ответ. 5,5 тонны; 4 тонны; 2,5 тонны.
Задача 10. (ВМК-88.1)
Найти сумму первых двадцати членов арифметической прогрессии, если
известно, что сумма третьего, седьмого, четырнадцатого и восемнадцатого членов этой
прогрессии равна 10.
Идея. Применить формулы общего члена и суммы арифметической прогрессии.
Указание. Если а\ и d - первый член и разность прогрессии, то
Ч7 „ 2а\ + (п — l)d „ 2αι + 19d
ап = ai + (n-l)d, Sn = — ^ )—·η => S2o = — 20 = 10(2ai + 19d).
Решение. Пусть а\ и d - первый член арифметической прогрессии и её разность
соответственно. Тогда надо найти
S20 = 2αι + Ш ■ 20 = 10(2οι + Ш).

264
Указания и решения
Из условия получаем
10 = а3 + а7 + аы + а18 = ах + 2d + ах + 6d + ах + 13d + αϊ + 17d = 2(2<ц + 19d),
то есть 2αι + 19d = 5. Поэтому
S20 = 10(2αι + 19d) = 10 · 5 = 50.
Ответ. 50.
Задача 11. (ИСАА-93.2)
Сумма третьего и пятого членов арифметической прогрессии равна 8. Найти
сумму первых семи членов этой прогрессии.
Идея. Применить формулы общего члена и суммы арифметической прогрессии.
Указание. Формула η-го члена арифметической прогрессии ап = а\ + (п — l)d,
2α! + (η - l)d
формула суммы первых η членов Ьп = · п, где а\ и α - первый
член и разность прогрессии соответственно.
Решение. Если а\ и d - первый член и разность прогрессии соответственно, то
надо найти:
2αι + 6d
^7 = ^^-7.
Из условия получаем:
&з + ^5 = οί + 2d + αϊ + Ы = 2αι + 6d = 8.
о
Поэтому SV = - · 7 = 28.
Ответ. 28.
Задача 12. (ВМК-96.1)
Числа α, Ъ, с и d являются последовательными членами геометрической
прогрессии. Известно, что a + d= 10, а · d = 7. Найти Ъ3 + с3 .
Идея. Обозначить за неизвестные величины первый член и знаменатель
прогрессии, после чего выразить через них искомую сумму и использовать условия
задачи.
Указание. Пусть ρ и q - первый член и знаменатель прогрессии, тогда
Ъ3 + с3 = (pq)3 + (pa2)3 = p3a3(l + a3).
Указание. Из того, что a+d = p-\-pq3 = p(l+g3) = 10 и ad = p-pq3 = p2q3 = 7,
получаем ответ.
Решение. Пусть ρ π α - первый член и знаменатель прогрессии, тогда
a + d = ρ + те3 = р(1 + Q3) = Ю и ad = ρ · pq3 = p2q3 = 7;
отсюда б3 + с3 = (pa)3 + (w2)3 = p3a3(l + a3) = p(l + a3) · p2a3 = 10 · 7 = 70.
Ответ. 70.

4-2. Арифметическая и геометрическая прогрессии
265
Задача 13. (Геогр-91.3)
Числа αϊ, α2, аз образуют арифметическую прогрессию, а квадраты этих чисел
(в том же порядке) образуют геометрическую прогрессию. Найти αϊ, α2, аз, если
известно, что αϊ + а2 + аз = 21.
Идея. Удобно выразить αϊ и аз через а2 и разность арифметической прогрессии
d и составить уравнения с этими неизвестными.
Указание. Из условия αϊ + α2 + аз = 21 можно найти а2.
Решение. Поскольку αϊ = а2 — d и аз = а2+а7, из условия а1+а2 + аз = 21
следует, что а2 = 7.
Так как числа af, a|, a| образуют геометрическую прогрессию, то
4 _ 2 2
(2о — СЬл ' CLo
74 = (7-αϊ)2(7 + α7)2 <ί=> 72 = |(7-αϊ)(7 + αϊ)| <ί=> 49=|49-αϊ2|,
откуда d = 0 или d = ±7л/2. В результате получаем ответ.
Ответ, αϊ = α2 = α3 = 7; αϊ = 7 (l - л/2) , ct2 = 7, a3 = 7 (l + л/2);
αϊ = 7 (1 + л/2) , a2 = 7, a3 = 7 (1 - л/2) ·
Задача 14. (Физ-92.5)
Найти первый член и разность арифметической прогрессии, если известно, что
пятый и девятый члены дают в сумме 40, а сумма седьмого и тринадцатого членов
равна 58.
Идея. Используя формулы общего члена арифметической прогрессии, свести
решение задачи к системе уравнений относительно первого члена и разности
прогрессии.
Указание. Если αϊ и а7 - первый член и разность прогрессии соответственно,
то по формуле ап = ai + (n — \)d получаем a5+ag = 2αι + 12α7, αγ+αΐ3 = 2αι + 18α\
Решение. Пусть αϊ и a7 - первый член и разность арифметической прогрессии
соответственно, тогда из формулы общего члена получаем
ία5 + α9 = 40, ίαι + Ы + αϊ + Ы = 40,
Ι αγ + αΐ3 = 58; | αϊ + 6α7 + αϊ + 12α7 = 58;
Ι 3α7 = 9,
^^ |αι + 18 = 20;
Ответ, αϊ = 2; d = 3.
^^
α7 = 3,
αϊ = 2.
Ι αϊ + 6α7 = 20,
|αι + 9d = 29;

266
Указания и решения
Задача 15. (ВМК-95(1).1)
В арифметической прогрессии с отличной от нуля разностью сумма членов с
четвёртого по четырнадцатый включительно равна 77. Найти номер того члена
прогрессии, который равен 7.
Идея. Использовать формулы общего члена и суммы первых членов
арифметической прогрессии в сравнительном анализе.
Указание. Сумму членов арифметической прогрессии с четвёртого по четыр-
* с с с 2αι + (n ~ l)d
надцатыи удоонее искать как разность 014 —оз, где Ьп = η - сумма
первых η членов, а\ и d - первый член прогрессии и её разность соответственно.
Решение. Пусть а\ и d - первый член и разность прогрессии соответственно.
Сумму членов арифметической прогрессии с четвёртого по четырнадцатый будем
искать как разность S^ — Ss:
2αι + 13d 2ai + 2d
*bi4 — 03 = · 14 · 3 = 7(2ai + 13a) — 3(ai + a) =
= llai + 88(i = ll(ai + 8d) = 77.
Следовательно, a\ + 8d = 7, то есть ag = 7 - искомый член прогрессии, поэтому
его номер равен 9.
Ответ. 9.
Задача 16. (Хим-89.2)
Последовательность чисел αι,α2,α3?··· является арифметической прогрессией.
Известно, что а\ + а$ + а\$ = 3. Найти а$ + ag.
Идея. Использовать формулу общего члена арифметической прогрессии для
поиска требуемой суммы через первый член и разность прогрессии.
Указание. Формула η-го члена арифметической прогрессии ап = а\ + (п — l)d,
где αϊ и а7 - первый член и разность соответственно; тогда
«ι + «5 + ^15 = αϊ + αϊ + 4а7 + αϊ + 14а7 = 3αι + 18а7 = 3(αι + 6а7).
Решение. Пусть αϊ и а7 - первый член прогрессии и её разность соответственно.
Найти надо:
&5 + &9 = αϊ + 4α7 + αϊ + 8α7 = 2(αι + 6α7).
Из условия задачи получаем:
3 = αϊ + а$ + αΐ5 = 3αι + 18α7 = 3(αι + 6d)y
то есть αϊ + 6α7 = 1. Значит, α$ + ag = 2(αι + 6α7) = 2.
Ответ. 2.

4-2. Арифметическая и геометрическая прогрессии
267
Задача 11. (Почв-95.1)
Первый член арифметической прогрессии в два раза больше первого члена
геометрической прогрессии и в пять раз больше второго члена геометрической
прогрессии. Четвёртый член арифметической прогрессии составляет 50 % от второго
члена арифметической прогрессии. Найти первый член арифметической
прогрессии, если известно, что второй её член больше третьего члена геометрической
прогрессии на 36.
Идея. Составить систему уравнений для первых членов прогрессий, разности и
знаменателя соответственно через формулы общего члена каждой из прогрессий.
Указание. Если а\ и d - первый член и разность арифметической прогрессии,
то
αη = αϊ + (η — 1)ίί, α4 = αϊ + 3α7;
если Ъ\ и α - первый член и знаменатель геометрической прогрессии, то
bn = hqn-\ b3=hq2.
Решение. Пусть а\ и d - первый член и разность арифметической прогрессии,
и Ъ\ и α - первый член и знаменатель геометрической прогрессии, тогда
а\ = 2Ь\ = 5/9ια,
αϊ + 3d = 0,5(αι + 07),
αϊ + d = hxq2 + 36;
αϊ
61 ν
αϊ + 5α7 = 0,
αϊ + d = biq2
36;
αϊ
из третьего уравнения системы выражаем а = и подставляем в последнее
5
уравнение bi,q и d:
а\ -
Ответ. 50.
αϊ
αϊ 4
Τ ' 25
36
18αΊ
25-36
αϊ = 50.
Задача 18. (М/м-95(1).1)
Найти первый член геометрической прогрессии, если известно, что третий член
этой прогрессии равен ( —10), а его квадрат в сумме с седьмым членом даёт
утроенный пятый член.
Идея. Используя формулу общего члена геометрической прогрессии, составить
уравнение для первого члена и знаменателя прогрессии.
Указание. Если Ъ\ и α - первый член и знаменатель геометрической
прогрессии соответственно, то Ъп = &ιαη-1, bs = Ъ\а21 ϋγ = biq6.

268
Указания и решения
Решение. Пусть Ъ\ и q - первый член и знаменатель геометрической
прогрессии, тогда Ьз = biq2, b2 + b? = (biq2)2 + biq6 = b2q4 + biq6, 65 = biq4. Поэтому из
условия получаем:
(hq2 = -10, (big2 = -10, (big2 = -10,
\b21qi + b1q6 = ^b1qi; \b2 + bxq2 = 36i; \b2 - 3bi - 10 = 0;
Из второго уравнения системы находим b\ = 5 или b\ = —2, а из первого
уравнения системы следует, что 6ι < 0. Поэтому Ь\ = —2.
Ответ. —2.
Задача 19. (Псих-97.3)
В возрастающей геометрической прогрессии сумма первого и последнего её
членов равна 164, а произведение второго и предпоследнего членов равно 324. Найти
последний член прогрессии.
Идея. Обозначив за неизвестные величины первый и последний члены
прогрессии, выразить через них второй и предпоследний члены прогрессии.
Указание. Если Ь\ и Ьп - первый и последний члены геометрической
прогрессии со знаменателем q, то &2 = biq, frn-i = — ·
Q
Решение. Пусть b\ и bn - первый и последний члены геометрической
прогрессии со знаменателем q > 1 (так как прогрессия возрастает). Тогда из условия
задачи получаем:
ίδ1 + 6η = 164, ibi + bn = 164, Гб1 + 6П = 164,
\ί>2 · Ьп-1 = 324; Sb1-q- — = 324; (^ . 6П = 324.
Выразим Ь\ из первого уравнения и подставим во второе. Получаем
(164 - bn)bn = 324 ^^ Ь£ - 1646п + 324 = 0 ^^
6п = 2;
Ь„ = 162.
При Ьп = 2 δι = 162, то есть прогрессия не является возрастающей. При
Ьп = 162 δι = 2, то есть прогрессия является возрастающей.
Ответ. 162.
Задача 20. (ВМК-79.1)
Даны арифметическая и геометрическая прогрессии. В арифметической
прогрессии первый член равен 3, разность равна 6. В геометрической прогрессии первый
член равен 3, знаменатель равен л/2. Выяснить, что больше: сумма первых шести
членов арифметической прогрессии или сумма первых восьми членов
геометрической прогрессии?

4-2. Арифметическая и геометрическая прогрессии
269
Идея. Вычислить требуемые суммы по соответствующим формулам для
прогрессии и сравнить получившиеся числа.
Указание. Если αϊ ий- первый член и разность арифметической прогрессии,
2<ц + (η - l)d
то сумма первых η членов будет Ьп = а\ + · · · + ап = · п, а в
геометрической прогрессии при первом члене Ъ\ и знаменателе q сумма
1 -qn
Sn = h1A μ Ъп = bi .
1 -q
Решение. В арифметической прогрессии а\ = 3, d = 6; в геометрической
прогрессии Ь\ = 3, g = \/2; тогда
56 = 2(ll+5d · 6 = 3(6 + 30) = 108;
сравниваем:
s6
V2-
108 V
12 V
7 V
49 <
-1 л/2-1
5,8 = 45(v/2 + l)
5(л/2 + 1)
5л/2
50,
то есть 5б < Sg.
Ответ. Сумма первых восьми членов геометрической прогрессии больше суммы
первых шести членов арифметической прогрессии.
Задача 21. (М/м-93(1).2)
Сумма первых пяти членов геометрической прогрессии равна её первому члену,
умноженному на 5, а сумма первых пятнадцати членов равна 100. Найти сумму
первого, шестого и одиннадцатого членов этой прогрессии.
Идея. Выразить все величины через первый член и знаменатель прогрессии и
составить систему из двух уравнений с двумя неизвестными.
Указание. Для составления уравнений использовать формулу суммы первых
η членов геометрической прогрессии, а для вычисления искомой величины -
формулы сокращённого умножения.
Решение. Пусть Ъ\ - первый член геометрической прогрессии, q - её
знаменатель. Если q = 1, то Si5 = 15bi = 100 => Ъх = 20/3 => Ъх + Ь6 + Ъц = 3bi = 20.
1 -qn
Если q Φ 1, το Sn = Ъ\ и согласно условию задачи
1 -q
f 1-q5
h- = 5ЬЬ
1 -q
1-q15
h ^— = 100.

270
Указания и решения
Искомая величина равна Ъ\ + Ъ§ + Ъц = δι(1 + q5 + q10). Во втором уравнении
системы заменим 1 — qlb на (1 — g5)(l + qb + q10) (воспользовались формулой
разности кубов) и поделим второе уравнение на первое, получим
b1(l + q5 + q10) = 20.
Ответ. 20.
Задача 22. (Филол-75.4)
тт 9 1 — 3 cos3 χ
Найти сумму корней уравнения cos 2х + tg χ = ~ , принадлежащих
cos^x
отрезку 1 < χ < 50.
Идея. Переписав дробь в виде разности и использовав следствие из основного
тригонометрического тождества, свести уравнение к квадратному. Сумму корней
в заданном отрезке резонно находить по формуле суммы членов арифметической
прогрессии.
Указание. Воспользовавшись следствием из основного тригонометрического
тождества tg2 χ + 1 = — , привести уравнение к виду 2 cos2 χ + 3 cos χ — 2 = 0.
cos^x
7Г 7Г
Указание. Решениями являются серии х = Κ2πη, nGZ и х = —\-2ππι,
о о
m £ Ζ; после отбора значений в отрезок [1; 50] получаем η = 1, 2,..., 8;
τη = 0,1,..., 7.
7Г
Указание. Серия χ = Ь 2πη, η = 1,2,...,8 задаёт арифметическую про-
7Г 7Г
грессию с а\ = —— + 2π, d = 2π; серия ж = — + 2π?τι, m = 0,1,..., 7 задаёт
о о
арифметическую прогрессию с а\ = —, d = 2π.
Формула суммы η первых членов арифметической прогрессии
2ai + (n-l)d
Sn = η.
Решение. Преобразуем дробь в правой части:
2 1
cos 2х + tg ж = г 3 cos χ.
cos^ ж
Учитывая, что по следствию из основного тригонометрического тождества
— =tg2x + l,
и используя формулу косинуса двойного угла cos 2х = 2 cos2 ж — 1, получаем:
cosx = —2 < —1:
2 cos2 ж + 3 cos ж — 2 = 0 <^>
Подставляем серии решений в требуемый отрезок:
1 <ί=^ χ = ±- + 2тг&, fc G Ζ.
cos ж = -; 3
2'

4-3. Скорость, движение и время
271
тг г,, π — 3 π + 150 ^
1) -1 < + 2тгп < 50, η G Ζ ^^ < η < , η е Ъ.
3 6π 6π
7Г — 3 7Г + 150
Так как 0 < < 1 и 8 < < 9, то η = 1, 2,..., 8. Эта серия задаёт
7Г
арифметическую прогрессию с первым членом а\ = \-2π и разностью d = 2π.
ό
По формуле суммы первых восьми членов арифметической прогрессии получаем:
(-§+*)
2(--+2πΙ+7·2π / 2πχ 8π
A = s>= 2 8 = 4(18π-τ)=727Γ-γ;
π _ 3 — π 150 — π _
2) 1 < -+2тгт< 50, mGZ ^^ —— < πι <— , πι е Ъ.
3 6π 6π
3 — π 150 — π
Так как — 1 < < 0 и 7 < < 8, το πι = 0, 2,..., 7. Эта серия задаёт
7Г
арифметическую прогрессию с первым членом а\ = — и разностью d = 2π. По
о
формуле суммы первых восьми её членов получаем:
π
B = Ss=2'^7,2"-8 = 4(l47r+f)=567r+f.
Искомая сумма всех решений исходного уравнения:
о о
А + В = 72π - — + 56π + — = 128тг.
о о
Ответ. 128π.
4.3. Скорость, дви^сение и время
Задача 1. (ЕГЭ)
Велосипедист каждую минуту проезжает на 800 м меньше, чем мотоциклист,
поэтому на путь в 30 км он затратил времени на 2 ч больше, чем мотоциклист.
Сколько километров в час проезжал мотоциклист?
Идея. Обозначить за неизвестную величину скорость мотоциклиста,
выраженную в км/ч, и составить уравнение.
Указание. Пусть χ км/ч - скорость мотоциклиста, тогда скорость
велосипедиста равна: χ — 60 · 0, 8 = χ — 48 км/ч.
30 Л 30
Указание. Уравнение задачи имеет вид \- 2 = .
χ χ — 48
Решение. Если χ км/ч - скорость мотоциклиста, то скорость велосипедиста
будет равна χ — 0,8· 60 = χ — 48 км/ч. Тогда из условия получаем уравнение:
ж = 60;
χ = -12 < 0;
30 30
— +2 =
χ χ - 48
0+15)0-48) = 15ж
~
^^
2х + 30 30
ж χ - 48
ж2-48ж-720 = 0 ^^

272
Указания и решения
значит, скорость мотоциклиста равна 60 км/ч.
Ответ. 60 км/ч.
Задача 2. (ЕГЭ)
Моторная лодка прошла 10 км по озеру и 4 км против течения реки, затратив на
весь путь 1 ч. Найдите собственную скорость лодки, если скорость течения реки
равна 3 км/ч.
Идея. Обозначить за неизвестную величину собственную скорость лодки и
составить соответствующее уравнение.
Указание. При движении по озеру скорость лодки равна её собственной
скорости, при движении против течения реки скорости лодки и течения вычитаются.
Решение. Пусть χ км/ч - собственная скорость лодки, тогда время движения
по озеру равно — , а время движения против течения реки равно . Составим
X X О
уравнение:
10 4 9
— + = 1 ^^ х2 - YJx + 30 = 0.
χ χ — 3
Корни этого уравнения равны 15 и 2. При собственной скорости 2 км/ч лодка не
сможет двигаться против течения реки. Значит, χ = 15 км/ч.
Ответ. 15 км/ч.
Задача 3. (ЕГЭ)
Два пешехода отправляются одновременно навстречу друг другу из двух пунктов,
расстояние между которыми равно 50 км, и встречаются через 5 ч. Определите
скорость первого пешехода, если его скорость на 2 км/ч больше, чем у другого.
Идея. Обозначить за неизвестную величину скорость первого пешехода.
Указание. При движении навстречу скорость сближения пешеходов равна
сумме их скоростей.
Решение. Пусть χ км/ч - скорость первого пешехода, тогда χ — 2 км/ч -
скорость второго пешехода. Так как пешеходы встретились через 5 часов, пройдя 50
км, то
(ж + ж-2)-5 = 50 ^^ χ = 6.
Ответ. 6 км/ч.
Задача 4- (Почв-82.1)
Из пункта А в пункт В отправился скорый поезд. Одновременно навстречу ему из
В в А вышел товарный поезд, который встретился со скорым через 2/3 часа после
отправления. Расстояние между пунктами А и В равно 80 км, поезда двигались

4-3. Скорость, движение и время
273
с постоянными скоростями. С какой скоростью двигался скорый поезд, если 40 км
он шёл на 3/8 часа дольше, чем товарный поезд шёл 5 км?
Идея. Обозначить за неизвестные величины скорости поездов и составить
систему из двух уравнений с двумя неизвестными.
Указание. При движении навстречу скорости складываются.
Решение. Пусть χ км/ч - скорость скорого поезда, а у км/ч - скорость
товарного. Так как поезда встретились через 2/3 часа, пройдя 80 км, то
(х + j/) · | = 80.
Поскольку скорый поезд шёл 40 км на 3/8 часа дольше, чем товарный поезд шёл
5 км, то
40 _ 5 3
χ у 8'
Выразим из первого уравнения у = 120 — χ и подставим во второе уравнение:
' χ = 160;
<^> х2 - 240ж + 12800 = 0
χ = 80.
χ 120-ж 8
При χ = 160 у = 120 - 180 < 0, при χ = 80 у = 120 - 80 = 40 - подходит.
Ответ. 80 км/ч.
Задача 5. (Геогр-78.1)
Пароход, отчалив от пристани А, спустился вниз по течению реки на 60 км до
устья впадающего в реку притока и поднялся вверх по притоку (против течения)
на 20 км до пристани В. Весь путь от А до В пароход прошёл за 7 часов.
Скорость течения реки и скорость течения притока равны 1 км/ч. Найти собственную
скорость парохода. (Собственная скорость - скорость в неподвижной воде.)
Идея. Обозначить за неизвестную величину собственную скорость парохода и
составить соответствующее уравнение.
Указание. При движении по течению реки скорости складываются, при
движении против течения скорости вычитаются.
Решение. Пусть υ км/ч - собственная скорость парохода, тогда время движе-
60
ния по течению равно , а время движения против течения по притоку равно
υ + 1
20 m
. Так как на весь путь ушло 7 часов, то
υ — 1
60 20 9
7 ^^ 7υ2 - 80г; + 33 = 0.
ν + 1 ν — 1
Корни этого уравнения равны 11 и 3/7. Так как скорость парохода должна быть
больше скорости течения, то значение 3/7 не подходит.
Ответ. 11 км/ч.

274
Указания и решения
Задача 6. (Филол-99.1)
Расстояние в 160 км между пунктами А и Б автомобиль проехал со средней
скоростью 40 км/ч. Часть пути по ровной дороге он ехал со скоростью 80 км/ч, а
другую часть, по бездорожью, со скоростью 20 км/ч. Какое расстояние автомобиль
проехал по ровной дороге?
Идея. Вычислить время, за которое автомобиль проехал весь путь. Обозначить
за неизвестную величину длину участка с ровной дорогой, выразить время
движения по каждому из участков через эту неизвестную и приравнять сумму времён
общему времени движения.
Указание. Средняя скорость есть отношение всего пути ко всему времени
движения.
5 . 160 л
Решение. Средняя скорость 1/ср = — => τ = = 4 ч - время в пути;
пусть а км - часть пути с ровной дорогой, тогда
а 160-а а а л 320 2
1 = 4 <^^ =4 <^^ а = = 106- км.
80 20 20 80 3 3
2
Ответ. 106- км.
3
Задача 7. (Геогр-95.2)
Теплоход затратил 5 часов на путь вниз по течению реки от пункта А до пункта В.
На обратный путь против течения он затратил 8 часов 20 минут. Найти скорость
теплохода, если путь от А до В равен 100 километрам.
Идея. Составить уравнения с учётом влияния на скорость теплохода течения
реки.
Указание. Если χ км/ч и у км/ч - скорости теплохода и течения реки
соответственно, то при движении по течению общая скорость равна χ -\-у км/ч, тогда
как против течения χ — у км/ч.
Решение. Пусть χ км/ч и у км/ч - скорости теплохода и течения реки соот-
τ 10° =
ветственно. 1огда время при движении вниз по течению = 5, а вверх по
χ + у
100 20 ^
течению = 8 Η . В результате получаем систему:
χ — у 60
2х = 32 <^> χ = 16 км/ч.
Ответ. 16 км/ч.

4-3. Скорость, движение и время
275
Задача 8. (ВМК-97.1)
Пункты А, В и С расположены на реке в указанном порядке вниз по течению реки.
Расстояние между А и В равно 4 км, а между В и С - 14 км. В 1200 из пункта В
отплыла лодка и отправилась в А. Достигнув пункта А, она сразу же повернула
и в 1400 того же дня прибыла в пункт С. Скорость течения реки равна 5 км/ч.
Найти скорость лодки в стоячей воде.
Идея. Обозначить скорость лодки в стоячей воде за неизвестную величину. При
движении вниз по реке скорость лодки в стоячей воде суммируется со скоростью
реки, а при движении против течения берётся разность скоростей.
Указание. Если χ км/ч - скорость лодки, то на пути из пункта В в пункт А
общая скорость χ — 5 км/ч, тогда как обратно χ + 5 км/ч.
Решение. Пусть χ км/ч - скорость лодки в стоячей воде. Так как весь маршрут
занял два часа, то
4 + 14
χ — 5 χ + 5
х2 - 11ж + 10 = 0
χ
2 - 25 = 2х + 10 + 9х - 45
χ = 10;
χ = 1 < 5 - не подходит по смыслу задачи.
Ответ. 10 км/ч.
Задача 9. (Хим-78.2)
Из пункта А в пункт В выехал грузовой автомобиль. Через 1 час из пункта А
в пункт В выехал легковой автомобиль, который прибыл в пункт В одновременно
с грузовым автомобилем. Если бы грузовой и легковой автомобили одновременно
выехали из пунктов А и В навстречу друг другу, то они бы встретились через 1
час 12 минут после выезда. Сколько времени провёл в пути от А до В грузовой
автомобиль?
Идея. Обозначить за неизвестные величины скорости автомобилей и весь путь,
после чего составить уравнение об одновременных событиях.
Указание. Если χ км/ч и у км/ч - скорости грузового и легкового автомобилей
соответственно, то на пути в S км при одновременном выезде навстречу друг
S
другу время до встречи равно часов.
χ + у
Решение. Пусть χ км/ч - скорость грузовика, у км/ч - скорость легкового
автомобиля, S км - весь путь. Из условия одновременного прибытия в пункт
S S ,
Ь получаем — = \- 1, а из условия движения навстречу друг другу получаем
χ у
S 12 тт S S S
= 1—. Найти надо — ч. Введем новые переменные t = — и и = — .
χ + у 60 χ χ у

276
Указания и решения
Тогда получим систему
(S S
- = - + 1,
х У г ^^
χ + у 5
I S = 6'
Подставим и во второе уравнение:
6(2t — 1) = 5t(t — 1)
5Г-17£ + 6 = 0
£
г/ = £ — 1,
6(и + £) = 5ut.
17± 13
10
£ = 0,4;
t = 3.
Если ί = 0, 4 ч, то и = t — 1 < 0, что не подходит по смыслу =^> t = 3 ч.
Ответ. 3 часа.
Задача 10. (Экон.К-77.2)
Из пункта А в пункт В выехал велосипедист. В тот момент, когда он проехал
1/4 пути между А и В, из В в А выехал мотоциклист, который, прибыв в А, не
задерживаясь, повернул обратно и одновременно с велосипедистом прибыл в В.
Время движения мотоциклиста до первой встречи с велосипедистом равно времени
движения мотоциклиста из А в В. Считая скорости мотоциклиста при движении
изАвВиизВвА различными, найти, во сколько раз скорость мотоциклиста
при движении из А в В больше скорости велосипедиста.
Идея. Обозначить за неизвестные величины весь путь, скорость велосипедиста
и две скорости мотоциклиста, после чего составить систему из двух уравнений.
Указание. Свести задачу к системе из двух уравнений с двумя неизвестными
с помощью подходящей замены.
Решение. Пусть и км/ч - скорость велосипедиста, v\ км/ч - скорость
мотоциклиста из В в A, V2 км/ч - скорость мотоциклиста из А в В, S км - весь
путь. В тот момент, когда велосипедист проехал 1/4 пути между А и В, из В в
А выехал мотоциклист, который, прибыв в А, не задерживаясь, повернул обратно
и одновременно с велосипедистом прибыл в В. Следовательно,
4^
S_
VI
S_
V2
Так как время движения мотоциклиста до первой встречи с велосипедистом равно
времени движения мотоциклиста из А в В, то
Зс
4^
S_
V2
Обозначим а = vi/u, Ъ
и + v\
V2/U. Тогда, сократив на S, получим
(3
4 =
3 _ 1
[4(1 + а) ~ Ь'
1 1
а о

4-3. Скорость, движение и время
277
Выразив из второго уравнения а через Ь и подставив в первое, получим уравнение
для Ъ:
9Ъ2 - 406 +16 = 0.
Корень Ъ = 4/9 не подходит, так как отношение скорости мотоциклиста к скорости
велосипедиста должно быть больше 1. Второй корень Ъ = 4 годится.
Ответ. В 4 раза.
Задача 11. (Геогр-99.3)
По реке из пункта А в пункт В выплыл катер. Одновременно из пункта В в пункт
А выплыла моторная лодка. Пройдя четверть пути от В к А, лодка встретилась
с катером. Катер, достигнув пункта В, повернул обратно и прибыл в пункт А
одновременно с лодкой. Во сколько раз скорость катера больше скорости лодки?
Идея. Обозначить за неизвестные величины скорости катера, лодки и течения,
а также весь путь. Предположить любое из возможных направлений течения,
используя при необходимости противоположный знак его скорости.
Указание. Если χ км/ч, у км/ч, и км/ч - скорости лодки, катера и течения
соответственно, причём χ > 0, у > 0, и ^ 0, то предположив, что и направлена
от А к В, получаем уравнение встречи = , где S км - путь АВ.
у + и χ — и
Решение. Пусть χ км/ч, у км/ч, и км/ч - скорости лодки, катера и течения
соответственно, причём считаем, что река течёт от А к В (если получим и < 0, то
это значит, что течение направлено от В к A); S км - путь АВ. Запишем условие
встречи:
jS -gb
у-
и условие прибытия:
S S
+
у + и у — и χ — и
Требуется найти отношение скорости катера к скорости лодки у/х;
3 1 Г 3 1
у + и χ — и I у + и χ — и
1 1 1 ^^ 1 1 1
у + и χ — и
1 2
у — и у + и
,у-\-и у —и х — и уу + и у —и у + и
{Зх — Зи = у + и, J Зх — у = 4г/,
у + и = 2у-2щ \у = 3и.
Выразив и из второго уравнения и подставив и = у/3 в первое, получим
4 7 ί/9
Зя-2/=-2/ ^^ Зж=-2/ ^^ - = -.
9
Ответ. В - раза.

278
Указания и решения
Задача 12. (Биол-86.3)
Из пункта А по одному и тому же маршруту одновременно выехали грузовик
и легковой автомобиль. Скорость легкового автомобиля постоянна и составляет
6/5 скорости грузовика. Через 30 минут вслед за ними из того же пункта выехал
мотоциклист со скоростью 90 км/час. Найти скорость легкового автомобиля, если
известно, что мотоциклист догнал грузовик на один час раньше, чем легковой
автомобиль.
Идея. Обозначить за неизвестные величины скорость легкового автомобиля
и расстояние от начального пункта до точек встречи мотоциклиста с грузовиком,
после чего составить уравнения по равенству времён.
Указание. Так как встреча мотоциклиста с грузовиком случилась на час
раньше встречи мотоциклиста с легковым автомобилем, расстояние между этими
двумя точками равно 90 км.
Указание. Пусть χ км/ч - скорость легкового автомобиля, 5 км - расстояние
от точки А до места встречи мотоцикла и грузовика. Тогда уравнения для встреч
примут вид
£ + 90 5 + 90 . 1
1L -
90 + 2'
90
+
где —х км/ч - скорость грузовика.
Решение. Пусть χ км/ч - скорость легкового автомобиля, 5 км - расстояние
от точки А до места встречи мотоцикла и грузовика. Из условия следует, что
|ж км/ч - скорость грузовика. Так как встреча мотоцикла с автомобилем
произошла спустя час от встречи с грузовиком, то за это время мотоцикл проехал
90 км. Поэтому 5 + 90 км - расстояние от точки А до места встречи мотоцикла
и легкового автомобиля. Тогда согласно условию получаем систему
S
6^
5
90
5 + 90
X
1
+ 2'
5 + 90
90
+
1
25
6 1 \ _ 1
Jx~ ~ 90У 2'
^(5 + 90) -(90 -χ) = 45ж.
Выразим из первого уравнения 5
АЪх
108-ж
и подставим во второе:
АЪх
108-,
90 (90-ж) = АЪх
(45ж + 90(108 - ж))·(90-ж) = 45ж(108-ж),
^^ хг - Шх + 90 · 108 = 0 <
второе решение не подходит по смыслу задачи.
Ответ. 72 км/ч.
χ = 72;
χ = 135 > 90;

4-3. Скорость, движение и время
279
Задача 13. (Хим-79.3)
От пристани А вниз по течению реки одновременно отплыли пароход и плот.
Пароход, доплыв до пристани В, расположенной в 324 км от пристани А, простоял
там 18 часов и отправился назад в А. В тот момент, когда он находился в 180 км
от А, второй пароход, отплывший из А на 40 часов позднее первого, нагнал плот,
успевший к этому времени проплыть 144 км. Считая, что скорость течения
реки постоянна, скорость плота равна скорости течения реки, а скорости пароходов
в стоячей воде постоянны и равны между собой, определить скорости пароходов
и течения реки.
Идея. Ввести переменные: скорость пароходов и скорость течения. Составить
систему из двух уравнений с двумя неизвестными.
Указание. Обозначить через υ км/ч скорость пароходов, через w км/ч -
скорость течения. Тогда из условия получаем уравнения:
144 144 324 324 - 180 144
+ 40 = , + 18 + = .
V + W W V + W V — W W
Указание. Сократить первое уравнение на 8, второе на 18 и ввести новые
переменные а = 18/w, Ъ = 18/(v + w). Система запишется в виде
а,
8 аЪ 8
Ц г = а.
18 а-2Ъ 18
Решение. Обозначим через υ км/ч скорость пароходов, через w км/ч - скорость
течения. Так как второй пароход, отплывший из А на 40 часов позднее первого,
нагнал плот, успевший к этому времени проплыть 144 км, то
144 _ 144
40
V + W W
Первый пароход, доплыв до пристани В, расположенной в 324 км от пристани А,
простоял там 18 часов и отправился назад в А. В тот момент, когда он находился
в 180 км от А, второй пароход нагнал плот, успевший к этому времени проплыть
144 км. Следовательно,
324 324 - 180 144
■ 18 +
υ + w υ — w w
Сократив первое уравнение на 8, второе на 18, получим систему
18 г 18
+ 5 = —,
V + W W
18 л 8 8
+ 1 + = -.
• V + W V — W W
Введём новые переменные а = 18/wy Ъ = 18/(у + w). Система запишется в виде
Ъ + 5 = а,
7 л 8 аЬ 8
6 + 1 + Ϊ8-^26 = Ϊ8·α;

280
Указания и решения
здесь мы воспользовались тем, что
11 1 аЬ
v-w (v + w)-2w ψ -2· ψ Ща-2Ъ)'
Из первого уравнения системы выразим а = 6 + 5 и подставим во второе:
6 = 55,
6=1.
1 + 1(^ = 1(6 + 5) ^ 62-566 + 55 = 0
Корень 6 = 55 не подходит, так как в этом случае скорость пароходов υ = 3/110
меньше скорости течения w = 3/10. При втором корне 6=1 скорость пароходов
15 км/ч, скорость течения реки 3 км/ч.
Ответ. Скорость пароходов 15 км/ч, скорость течения реки 3 км/ч.
Задача Ц. (Геол-79.4)
Расстояние между двумя городами скорый поезд проходит на 4 часа быстрее
товарного и на 1 час быстрее пассажирского. Известно, что скорость товарного
поезда составляет 5/8 скорости пассажирского и на 50 км/ч меньше скорости скорого.
Найти скорости товарного и скорого поездов.
Идея. Ввести переменные: скорость товарного поезда и длина пути. Составить
систему из двух уравнений с двумя неизвестными.
о
Указание. Если χ км/ч - скорость товарного поезда, S м — весь путь, то —х -
5
скорость пассажирского поезда, а х + 50 - скорость скорого поезда.
Указание. Исходя из условия, получить два уравнения:
S S _ S S _
χ χ + 50 ' |χ χ + 50
5
Решение. Пусть χ км/ч - скорость товарного поезда, S км - весь путь, тогда
8
-х - скорость пассажирского поезда, а х + 50 - скорость скорого поезда.
5
Исходя из условия, запишем систему уравнений:
S S
χ χ + 50
5 5
ж+ 50
1.
Умножим второе уравнение системы на 4 и вычтем из полученного уравнения
первое уравнение системы:
55 45 S . S
2х ж+ 50 χ ж+ 50
После сокращения на 5 и приведения подобных получим:
3 3
2х χ + 50
Отсюда получаем ответ.
Ответ. 50 км/ч, 100 км/ч.
2х = χ + 50 ^^ χ = 50.

4-4- Работа и производительность
281
4.4. Работа и производительность
Задача 1. (ЕГЭ)
Для распечатки 302 страниц были использованы две копировальные машины.
Первая работала 8 минут, вторая 10 минут. Сколько страниц в минуту печатает первая
машина, если первая печатает в минуту на 4 страницы больше, чем вторая?
Идея. Обозначить за неизвестную величину производительность первой
копировальной машины.
Указание. Если ρ стр/мин - производительность первой копировальной
машины, то уравнение задачи примет вид 8р + 10 (р — 4) = 302.
Решение. Пусть ρ стр/мин - производительность первой копировальной
машины, тогда производительность второй машины р — 4 стр/мин. Составим уравнение:
8р + 10(р - 4) = 302 ^^ 18р = 342 ^^ ρ = 19 страниц в минуту.
Ответ. 19.
Задача 2. (ЕГЭ)
Двое рабочих изготавливают по одинаковому количеству деталей. Первый
выполнил эту работу за б ч, второй за 4 ч, так как изготовлял в час на 14 деталей больше
первого. Сколько деталей изготовил второй рабочий?
Идея. Обозначить за неизвестную величину производительность второго
рабочего.
Указание. Если ρ деталей/ч - производительность второго рабочего, то
уравнение задачи примет вид 6(р — 14) = Ар.
Решение. Пусть ρ деталей/ч - производительность второго рабочего, тогда
производительность первого рабочего ρ — 14 деталей/ч. Составим уравнение:
6(р — 14) = Ар <^> ρ = 42 деталей в час.
Значит, за 4 часа второй рабочий изготовил 4 · 42 = 168 деталей.
Ответ. 168.
Задача 3. (ЕГЭ)
На строительстве стены первый каменщик работал 5 дней один. Затем к нему
присоединился второй, и они вместе закончили работу через 4 дня. Известно, что
первому каменщику потребовалось бы на выполнение этой работы на 5 дней
больше, чем второму. За сколько дней может выстроить эту стену первый каменщик,
работая один?

282
Указания и решения
Идея. Обозначить за неизвестные величины производительности каменщиков и
весь объём работы.
Указание. Если через ρ и q м3/день обозначить производительности первого
и второго каменщиков соответственно, ^м3- весь объём работ, то условие задачи
(S = 5p + 4(p + q),
соответствует системе < S S
[р q
Решение. Пусть ρ и q м3/день - производительности первого и второго
каменщиков соответственно, S м3 - весь объём работ. Тогда искомая величина
5
Ρ
|S = 5p + 4(p + g), (S = 9p + 4q,
Составим систему: < S S <^> < S S
|- = -+5; |- = -+5;
(р q {p q
S S
переменные х = —, у = — ; тогда система примет вид
Ρ q
рого уравнения у = χ — 5 подставляем в первое:
введем новые
ι = - + -,
χ у
х = у + Б;
ИЗ ВТО-
ι=9- +
X X
х2 - 18ж + 45 = О
х = 3;
χ = 15;
при χ = 3 у = 3 — 5 = — 2<0; значит, χ = 15 дней.
Ответ. 15.
Задача 4- (ЕГЭ)
За определённое время на заводе собирают 90 автомобилей. Первые 3 часа на
заводе выполняли установленную норму, а затем стали собирать на 1 автомобиль
в час больше. Поэтому за час до срока уже было собрано 95 автомобилей. Сколько
автомобилей в час должны были собирать на заводе?
Идея. Обозначить за неизвестную величину производительность завода.
Указание. Пусть ρ авт./ч - производительность завода; уравнение задачи
90 л о 95 -Зр
1 = 3 + -^.
ρ р + 1
Решение. Пусть ρ авт./ч - производительность завода. Составим уравнение:
=> р2 + 9р - 90 = 0 ^^
90 л о 95 -Зр
1 = 3 + -^
ρ р + 1
р= —15 < 0;
ρ = 6;
значит, на заводе должны были собирать б автомобилей в час.
Ответ. 6.

4-4- Работа и производительность
283
Задача 5. (Геол-93.3)
Для рытья котлована выделили два экскаватора. После того как первый
проработал 2 ч, его сменил второй, который за 3 ч закончил работу. Всю работу один
второй экскаватор выполнил бы на 4 ч быстрее, чем один первый экскаватор. За
какое время выроют котлован оба экскаватора, работая вместе?
Идея. Обозначить за неизвестные величины производительности экскаваторов,
приняв всю работу за единицу.
Указание. Если всю работу принять за единицу и обозначить через р\ и р^ -
производительности экскаваторов (всей работы в час), то искомое время
совместного выполнения работы равно часов.
Pi +Р2
Указание. Первым уравнением станет 2ρι + Зр2 = 1, а вторым = 4.
Pi Р2
Решение. Пусть весь объём работ равен единице, а р\ и р^ (всей работы в час) -
производительности экскаваторов, тогда искомое время t = . Из условия
Pi +P2
задачи составляем систему
'2Р1 + Зр2 = 1, L _ !-2Ρι
---=4· ^ \ '
Pl Р2 ' [Р2 - pi = 4ριρ2;
подставляем р^ из первого уравнения во второе:
1-32Ρ1 -Ρι=4ρι·1~2ρΐ <ί=> 1 - 5ρι = 4ρι - Sp\ ^ 8pj - 9Pl + 1 = 0;
значит, pi = 1 или pi = —. Если pi = 1, то p^ = — < 0 - не подходит по смыслу
8 3
11 118
задачи; если р\ = -, то р2 = -; значит, t = = -Л τ- = - часа.
8 4 Р1+Р2 ^ + | 3
о
Ответ. - часа.
3
Задача 6. (Фил-79.4)
Три автоматические линии выпускают одинаковую продукцию, но имеют разную
производительность. Производительность всех трёх одновременно действующих
линий в 1,5 раза выше производительности первой и второй линий, работающих
одновременно. Сменное задание для первой линии вторая и третья линии,
работая одновременно, могут выполнить на 4 ч 48 мин быстрее, чем его выполняет
первая линия; это же задание вторая линия выполняет на 2 ч быстрее по
сравнению с первой линией. Найти время выполнения первой линией своего сменного
задания.

284
Указания и решения
Идея. Обозначить за неизвестные величины производительности каждой из трёх
линий, приняв за единицу сменное задание, после чего составить уравнения для
разницы по времени выполнения работы.
Указание. Если ж, 2/, ζ ед.прод./ч - производительности линий соответствен-
1 1 ,48 1 1 о
но, то по условию χ + у + ζ = 1, о(х + у), — = Ь 4— , — = —Ь 2.
Решение. Если ж, 2/, £ ед.прод./ч - производительности первой, второй и
третьей линий соответственно, то из условия получаем
(x + y + z = 1,Б(х + у),
1
У + z
1
48
60'
У
+ 2;
0,5(ж + у),
■ ζ — χ
χ (у + ζ)
У-х о
4
Γζ = 0,5(ж + 2/),
2 2
^2/-х = 2^2/;
из двух последних уравнений находим
5ί?/+ — + — —ж]
ж?/
^'|+!
% _ ж'
2 2
2/(1 -2ж) =ж;
-,f+f
'5(32/-ж) = 24ж(32/ + ж),
2/:
1-2ж'
подставляем в первое уравнение:
Зж
24ж
Зж
Д-2ж
5(3 - 1 + 2х) = 24ж(3 + 1 - 2х)
^^ 24ж2 - 43ж + 5 = 0
1-2ж
+ ж
10 + 10ж = 96ж - 48ж2
1
5 1
3 > 25
1
второе значение не подходит, так как из условия следует, что — > 2, то есть χ
χ
1 ^ 1 1
должен быть меньше -. Остается χ = -, то есть t = — = 8 часов.
2 8' ж
Ответ. 8 часов.
Задача 7. (Геол-98(1).4)
Первая бригада выполняет работу на 2 часа быстрее второй бригады и на 7 часов
медленнее, чем обе бригады, работающие одновременно. Выполнят ли бригады,
работающие одновременно, эту работу быстрее, чем за 7 часов 57 минут?

4-5. Проценты, формула сложного процента
285
Идея. Обозначить за неизвестную величину время выполнения задания при
совместной работе, выразить производительности бригад через эту неизвестную и
составить соответствующее уравнение, приняв всю работу за единицу.
Указание. Если t - время выполнения задания при совместной работе (ч), то
- производительность первой бригады, - производительность второй
бригады (1/ч).
Решение. Обозначим через t время выполнения задания при совместной работе
(ч), объём работы примем за единицу. Тогда t + 7 - время, за которое выполняет
работу первая бригада, производительность первой бригады, £ + 9 - время,
за которое выполняет работу вторая бригада, - производительность второй
бригады (1/ч). Составляем уравнение:
+ ) = 1 => £(£ + 9 + £ + 7) = (£ + 7)(£ + 9) => tz = 63 => t = λ/63.
ч£ + 7 t + 9
Сравним:
ί(ί + 9 + ί + 7)
λ/63
λ/63
63 · 400
25200
=
V
V
ν
<
(ί + 7)(ί + 9)
7^
60
159
~2θ"
1592
25281,
=>
t2
~57
то есть t < 7— .
60
Ответ. Да.
4.5. Проценты, формула сложного процента
Задача 1. (ЕГЭ)
Некоторое число уменьшили на 20%. На сколько процентов надо увеличить
результат, чтобы получить первоначальное число?
Идея. Сперва найти коэффициент уменьшения, затем коэффициент увеличения.
Указание. Пусть χ - исходное число. После уменьшения на 20% останется
80 % от исходного числа, то есть коэффициент уменьшения равен 0,8. Число стало
равняться 0, 8х.
Указание. Найти число, на которое надо умножить 0, 8х, чтобы получить χ.
Решение. Пусть χ - исходное число. После уменьшения его на 20% останется
80% от ж, то есть получим число 0, 8х. Обозначим через к число, на которое
требуется умножить 0, 8х, чтобы получить х. Тогда
0,8х-к = х ^^ к = -?— ^^ к = 1,25.
0,8ж
Значит, надо увеличить на 25 % результат, чтобы получить первоначальное число.
Ответ. На 25%.

286
Указания и решения
Задача 2. (ЕГЭ)
Цену товара повысили на 50%, а затем снизили на 50%. Как изменится цена
товара?
Идея. Найти коэффициенты увеличения и уменьшения.
Указание. Пусть χ - исходная цена товара. После увеличения на 50 % станет
150% от исходной цены, то есть коэффициент увеличения равен 1,5. Цена стала
равняться 1, Ъх.
Указание. После снижения на 50 % останется 50 % от промежуточной цены, то
есть коэффициент уменьшения равен 0, 5. Цена стала равняться 0, 5 · 1, Ъх.
Решение. Пусть χ - исходная цена товара. После увеличения цены на 50%
станет 150%, то есть коэффициент увеличения равен 1,5. Цена стала равняться
1,5х. После снижения на 50% останется 50% от промежуточной цены, то есть
коэффициент уменьшения равен 0, 5. Цена стала равняться 0, 5 · 1, Ъх = 0, 75ж, то
есть первоначальная цена товара снизилась на 25 %.
Ответ. Снизится на четверть.
Задача 3. (ЕГЭ)
Магазин в первый день продал 40 % имеющихся овощей. За второй день он продал
80 % овощей, проданных в первый день. В третий день - оставшиеся 28 кг. Сколько
килограммов овощей было в магазине первоначально?
Идея. Найти коэффициенты проданных овощей (от исходного количества) в
первый и второй день.
Указание. Пусть первоначально в магазине было χ кг овощей. Магазин в
первый день продал 40 % имеющихся овощей. Значит, за первый день было продано
0, Ах кг овощей, в конце дня осталось 0, 6х кг.
Указание. За второй день магазин продал 80 % овощей, проданных в первый
день. Значит, за второй день было продано 0, 8 · 0, Ах = 0, 32 кг овощей, в конце
дня осталось 0, 6х — 0, 32ж = 0, 28ж кг.
Указание. Составить уравнение на количество овощей, проданных в третий
день.
Решение. Пусть первоначально в магазине было χ кг овощей. За первый день
было продано 0, Ах кг овощей, в конце дня осталось 0, 6х кг. За второй день было
продано 0, 8-0, Ах = 0, 32ж кг, осталось 0, 6х — 0, 32ж = 0, 28ж кг. По условию задачи
0, 28ж = 28 <^^ χ = 100 кг.
Ответ. 100 кг.
Задача 4- (ЕГЭ)
Цена изделия составляла 1000 рублей и была снижена сначала на 10%, а затем
еще на 20 %. Какова окончательная цена товара?

4-5. Проценты, формула сложного процента
287
Идея. Найти коэффициенты первого и второго уменьшения цены.
Указание. Коэффициент первого уменьшения равен 0,9. Цена стала равняться
0, 9 · 1000 = 900 рублей.
Указание. Коэффициент второго уменьшения равен 0,8. Цена стала равняться
0, 8 · 900 = 720 рублей.
Решение. После первого снижения цена будет составлять 1000 · 0, 9 = 900
рублей. После второго снижения цены товар будет стоить 900 -0,8 = 720 рублей.
Ответ. 720 руб.
Задача 5. (ЕГЭ)
Цену товара повысили на 25 %, затем новую цену повысили ещё на 10 % и, наконец,
после перерасчёта произвели повышение цены ещё на 12 %. На сколько процентов
повысили первоначальную цену товара?
Идея. Найти коэффициенты каждого увеличения цены.
Указание. Пусть χ - исходная цена товара. Коэффициент первого увеличения
равен 1,25. Цена стала равняться 1,25ж.
Указание. Коэффициент второго увеличения равен 1,1. Цена стала равняться
1,Ы,25ж = 1,375ж.
Указание. Коэффициент третьего увеличения равен 1,12. Цена стала
равняться 1,12· 1,375ж= 1,54ж.
Решение. Пусть χ - исходная цена товара. После увеличения цены на 25%
получим новую цену 1,25ж. После второго увеличения цены на 10% получим
1,1 · 1, 2Ъх = 1, 375ж. После третьего повышения цены на 12 % товар будет стоить
1,12-1, 375ж = 1, 54ж, то есть первоначальная цена товара увеличится на 54 %.
Ответ. На 54%.
Задача 6. (ЕГЭ)
Сумма двух чисел равна 1100. Найдите наибольшее из них, если б % одного из них
равны 5 % другого.
Идея. Составить систему уравнений на два неизвестных числа.
Указание. Обозначим за ж, у - эти два числа. Тогда из условия задачи следует:
(х + у = 1100,
|о,06ж = 0,05?/.
Решение. Обозначим за ж, у - эти два числа. Тогда из условия задачи получаем:
Га;+ 2/= 1100, Гж + г/ = 1100, (х = 500,
[0,06х = 0, ОБу; ^^ убх = Бу; ^^ [у = 600.
Значит, наибольшее число равно 600.
Ответ. 600.

288
Указания и решения
Задача 7. (ЕГЭ)
Найдите первоначальную сумму вклада (в рублях), если после истечения трёх лет
она выросла на 765,1 рубля при 2 % годовых.
Идея. Найти коэффициент ежегодного увеличения. Затем найти коэффициент
увеличения за все три года.
Указание. Пусть χ руб. - первоначальная сумма вклада. Тогда по истечении
первого года на счету стало 1,02ж руб.
Указание. По истечении третьего года на счету станет (1, 02)3ж = 1, 0б1208ж руб.
Указание. Так как вклад возрос на 765,1 рубля, то 1, 061208ж — χ = 765,1.
Решение. Пусть χ руб. - первоначальная сумма вклада.
1) По истечении первого года на счету стало 1,02ж руб.
2) В конце второго года вклад составил 1, 02 · 1, 02ж = 1, 0404ж руб.
3) По завершении третьего года на счету будет 1,02 · 1,0404ж = 1,061208ж руб.,
при этом вклад возрастёт на 765,1 руб.:
1,061208ж-ж = 765,1 ^^ 0,061208ж = 765,1 ^^
765,1 100000-7651 100000-7651 _г_ ,
<^^ χ = = = - = 12500 руб.
0,061208 61208 23·7651 УУ
Ответ. 12500 руб.
Задача 8. (Соц-00.2)
В городе N в течение 2 лет наблюдался рост числа жителей. Во втором году
процент роста числа жителей города N увеличился на 1 по сравнению с процентом
роста числа жителей в первом году. Найти процент роста числа жителей в первом
году, если известно, что он на 5,2 меньше, чем процент роста населения за два
года.
Идея. Обозначить за неизвестную величину процент роста числа жителей в
первом году и составить соответствующее уравнение.
Указание. Если в городе было А жителей и за первый год население
увеличилось на χ %, то число жителей стало равным А · ( 1 Η ) .
Указание. За второй год население увеличилось на χ + 1%, следовательно,
стало равным А · ( 1 Η ) · ( 1 Η
F V 100/ V 10° ,
Решение. Обозначим через А число жителей города N в начале первого года.
Пусть за первый год население увеличилось на χ %, тогда за второй год - на
χ + 1 %, а за два года увеличение достигло χ + 5, 2 %. Составляем уравнение:
х + 1\ / ж + 5,2
"(i+£Ki+w)-4i+
100
^^ (ж+ 100)0+ 101) = ЮОО + 105,2) ^^ х2 + 101ж - 420 = 0;
откуда χ = —105 < 0 или χ = 4.
Ответ. 4%.

4-5. Проценты, формула сложного процента
289
Задача 9. (Геол-98.4)
Из цистерны в бассейн сначала перелили 50 % имеющейся в цистерне воды, затем
еще 100 литров, затем еще 5 % от остатка. При этом количество воды в бассейне
возросло на 31 %. Сколько литров воды было в цистерне, если в бассейне
первоначально было 2000 литров воды?
Идея. Обозначить за неизвестную величину начальный объём воды в цистерне.
Указание. Если χ литров воды вначале было в цистерне, то вылили из неё
всего 0,31· 2000 = 620 литров. Далее составить уравнение относительно вылитой
из цистерны воды и решить его.
Решение. Если χ литров воды вначале было в цистерне, тогда из неё вылито
0, 31 · 2000 = 620 литров:
0, Ъх + 100 + 0, 05(0, Ъх - 100) = 620;
таким образом, 0, Ъ2Ъх = 525 <^> χ = 1000 литров.
Ответ. 1000 л.
Задача 10. (Экон.М-95.4)
В первый год разработки месторождения было добыто 100 тыс. тонн железной
руды. В течение нескольких последующих лет годовая добыча руды увеличивалась
на 25 % по сравнению с каждым предшествующим годом, а затем на
протяжении последующих 3 лет поддерживалась на достигнутом уровне. Общий объём
добытой руды за все время добычи составил 850 тыс. тонн. Сколько лет
разрабатывалось месторождение?
Идея. Используя формулу сложного процента, составить уравнение для суммы
добычи руды по всем годам, обозначив их число за неизвестную величину.
Указание. Если в течение η лет число S увеличивалось на 25 % ежегодно, то
/ 25 \п
через η лет оно станет равным ( 1 Η—— 1 · S = 1, 25п · S.
Решение. Во второй год добыли 1, 25-100 тыс. тонн, в третий год 1, 252* 100 тыс.
тонн и т. д.; значит, через η лет добыча вышла на уровень 1, 25η_1 · 100 тыс. тонн
и ещё три года не менялась;
100 + 1, 25 · 100 + 1, 252 · 100 + · · · + 1, 25η_1 -100 + 3-1, 25η_1 · 100 = 850 ^^
100(1,25"-!) 3 12,п100_8.0.
^ 1,25-1 +1Ж1'25 ·100-850'
(применена формула суммы членов геометрической прогрессии с первым членом
100 и знаменателем 1,25);
400·1,25η-400 + 240·1,25η = 850 ^^ 640 · 1, 25п = 1250 ^^

290
Указания и решения
~ (5)"-(5)' ~ -
Значит, искомое число лет равно шести.
Ответ. 6 лет.
Задача 11. (Геол-96.6)
В двух банках в конце года на каждый счёт начисляется прибыль: в первом
банке - 60 % к текущей сумме на счёте, во втором - 40 % к текущей сумме на счёте.
Вкладчик в начале года часть имеющихся у него денег положил в первый банк,
а остальные деньги - во второй банк, с таким расчётом, чтобы через два года
суммарное количество денег на обоих счетах удвоилось. Какую долю денег вкладчик
положил в первый банк?
Идея. Обозначить за неизвестную величину долю вклада в один из банков и
составить уравнение, вычислив изменение суммы в каждом из банков.
Указание. Если от всей суммы S руб. в первый банк вложена доля р, то во
втором банке окажется сумма (1 — p)S руб.
Указание. Через два года в первом банке окажется сумма l,62pS руб., а во
втором 1,42(1 —p)S руб.
Решение. Пусть от всей суммы S руб. в первый банк вложена доля р, тогда
в нём через два года станет 1, 62pS руб. Во второй банк автоматически попадает
(1 — p)S руб., и через два года в нём станет 1, 42(1 — p)S руб. С учётом удвоения
общей суммы получаем уравнение:
2,56р5+1,96(1 -p)S = 2S <^> 0,6р = 0,04 <^> Р=—-
10
Ответ. —.
15
5. Стандартные показательные и логарифмические
уравнения и неравенства
5.1. Преобразование логарифмических выражений.
Сравнение логарифмических и показательных
значений
Задача 1. (ЕГЭ)
Вычислите log2log2v/2.
Идея. Использовать формулу преобразования логарифма степени.
Указание. Использовать формулу преобразования логарифма степени:
loga ху = у loga ж, а > 0, ο^Ι, χ > 0.

5.1. Преобразование логарифмических выражений...
291
Решение. Используем формулу преобразования логарифма степени:
log2 log2 л/2 = log2 log2 24 = log2 - = log2 2 2 = -2.
Ответ. —2.
Задача 2. (ЕГЭ)
Вычислите log6 8 — log6 2 + log6 9.
Идея. Преобразовать искомое выражение, воспользовавшись формулами
перехода от разности или суммы логарифмов к логарифмам частного или произведения.
Указание. Использовать формулы:
1) loga χ + loga у = loga ху, где а > О, а ф 1, χ > О, у > 0;
χ
2) loga χ - loga у = loga - , где a > 0, α φ 1, χ > 0, у > 0;
3) loga xy = y\ogaxy где a > 0, a^l, ж > 0, г/Gl.
8 · 9
Решение. log6 8 - log6 2 + log6 9 = log6 — = log6 36 = log6 62 = 2.
Ответ. 2.
Задача З. (ЕГЭ)
2
Укажите значение выражения (л/б)loS9 6 ·
Идея. В показателе степени воспользоваться формулой перехода к новому
основанию.
Указание. Формула: log. Ъ = , где 0<аф1, 0<Ьф1.
\ogba
Решение. В показателе степени воспользуемся формулой перехода к новому
основанию:
V6)^ = (6^)21°S69 = 6bge9 = 9.
Ответ. 9.
Задача 4- (ЕГЭ)
Укажите значение выражения log6 —, если log6 а = — 6.
Идея. Преобразовать искомое выражение, воспользовавшись формулами для
логарифмов частного и степени.
Указание. Формулы:
χ
!) loga - = loga х ~ loga У у гДе a > 0, α ^ 1, х > 0, у > 0;
У
2) logax2/ = 2/log χ, где a > 0, a^l, ж > 0, yGM.

292
Указания и решения
Решение. Используем формулы для логарифмов частного и степени:
log6 — = log6 36 - log6 a = log6 62 - log6 a = 2 - (-6) = 8.
Ответ. 8.
Задача 5. (ЕГЭ)
Укажите значение выражения lgl5, если lg2 = a, lg3 = 6.
Идея. Преобразовать искомое выражение, воспользовавшись формулами
перехода от логарифма произведения или частного к сумме или разности логарифмов.
Указание. Формулы:
1) loga ху = loga χ + loga у, где а > 0, а ф 1, χ > 0, у > 0;
χ
2) loSa - = loSa х ~ loSa 2/> гДе a > 0, α ^ 1, ж > 0, ι/ > 0.
Решение. Используем формулы перехода от логарифма произведения или
частного к сумме или разности логарифмов:
3 · 10
lg 15 = lg = lg 3 + lg 10 - lg 2 = b + 1 - a.
Ответ, b + 1 — a.
Задача 6. (ЕГЭ)
Упростить 6-°'5+1°£б Ψ - 2-°>5+1о£2 ο,5
Идея. Воспользоваться свойствами степеней и основным логарифмическим
тождеством.
Указание. Формулы:
1) ах+у = ах-ау, где а > 0, х,у eR]
2) Ь1о%ъа = a, a>0, b > 0, Ь^ 1.
Решение. Воспользуемся свойствами степеней и основным логарифмическим
тождеством:
6-0,5+log6 ψ _ 2-0,5+log2 0,5 = б-0,5 . 6log6 ψ _ 2-0,5 . 6log2 0,5 = _V_^_ l_ = q
2л/6 2л/2
Ответ. 0.

5.1. Преобразование логарифмических выражений...
293
Задача 7. (ЕГЭ)
Найдите значение выражения
2 log^ 2 - log^ 18 - (log3 2) log3 18
21og32 + log318
Идея. Искомое выражение путём преобразований свести к функции переменной
log3 2 и привести подобные слагаемые.
Указание. Использовать формулу:
logaxy = logax + logai/, где a > О, аф\, χ > 0, у > 0.
Указание. Ввести обозначение χ = log3 2. Тогда log3 18 = log3(2 · 9) = χ + 2.
Решение. Введём обозначение ж = log32. Тогда log3 18 = log3(2 · 9) = χ + 2.
Поэтому
2 log^ 2 - log^ 18 - (log3 2) log3 18 _ 2x2 - (x + 2)2 - x(x + 2) _
21og32 + log318 ~~ 2x + ж + 2 ~~
2ж2 - ж2 - 4ж - 4 - ж2 - 2ж — 6х - 4
Зж + 2 Зж + 2
-2.
О'
Задача 8. (ЕГЭ)
\3/Ϊ8
Вычислите log3^2 / > если log9 б = а.
ν 12
Идея. Воспользоваться формулами перехода к новому основанию.
Указание. Формулы:
log Ъ
1) log. Ъ = Ί с , где a > 0, а + 1, 6 > 0, с > 0, с+1;
logca
2) loga ж?/ = bga x + loga ί/, где a > 0, α φ 1, ж > 0, ?/ > 0;
3) \ogaxv = y\ogax, где a > 0, a ^ 1, x>0jGl
Решение. Перейдём к логарифмам по основанию 3:
. log3 б 1 + log3 2
a = log9 6 = = , откуда log3 2 = 2a - 1;
iog3 у ζ
v^8 = 1оёзЦ = |(2 + log32)-i(l + 21og32) =
°g3^ y^ bg3 Зл/2 1 + 1 log3 2
_ 1 -41og32 _ l-4(2a-1) _ 5 - 8a
Ответ.
6a + 3
6 + 31og32 6 + 3(2a-l) 6a+ 3'
5-8a

294
Указания и решения
Задача 9. (ВМК-84.1)
Известно, что loga Ъ = 7. Найти log6 (a2b).
Идея. Искомое выражение путём преобразований привести к выражению,
данному в условии.
Указание. Формулы:
1) loga ху = loga χ + loga ί/, где а > 0, а φ 1, χ > 0, у > 0;
2) logax2/ = 2/logax, где а > 0, α ^ 1, ж > 0, ?/ G R;
3) loga 6 = , где а > 0, а φ 1, 6 > 0, Ь φ 1.
log6a
Решение, b φ 1у то есть loga 6 7^ 0;
2 2 9
log6 (a26) = 2 log6 a + log6 6 = -^— + 1 .
^bo Oil
9
Ответ. -.
7
Задача 10. (Экон-90.1)
Имеют ли общие точки область значений функции у = л/3 + 2л/2х — 2х2 и
промежуток [log3 15; +00)? Ответ обоснуйте.
Идея. Вычислив область значений квадратичной функции, сравнить её границы
с промежутком, заданным в условии задачи.
Указание. График функции у = — 2х2 + 2\/~2х + л/3 является параболой с
ветвями, направленными вниз. Область значений параболы задается промежутком
( — оо; 2/о] ? гДе 2/о ~~ ордината вершины параболы.
Указание. Координаты вершины заданной параболы xq = —=, у о = уЗ + 1.
Для ответа на вопрос задачи требуется провести сравнение чисел log3 15 и л/3-\-1.
Указание. Составить формальное неравенство log3 15 V л/3 + 1 <=> log3 5 V л/3;
провести сравнение методом промежуточной числовой границы - найти такое
число а, что верно одно из двойных неравенств:
log3 5 < а < λ/З или л/3 < а < log3 5.
3
Указание. В качестве а, например, подходит число - ; нетрудно показать, что
о
log3 5 < log3 З2 = - < л/3, то есть log3 5 < л/3.
Решение, у = —2х2 + 2у2х + уЗ - парабола, ветви вниз. Координаты вершины
хо = —=, у о = \/3 + 1, а область значений Ε [у] = ( — оо; л/3 + 1]. Сравниваем:
λ/2
л/З + 1 V logo 15 = 1 + logo 5

5.1. Преобразование логарифмических выражений...
295
л/3 V log3 5;
3
оба числа лежат в интервале (1; 2). Сравним их со значением - (середина
интервала):
2 v 1о^з5
3 V 2 log3 5
log327 > log325.
3
Значит, л/3 > — > log3 5,то есть \/3 + 1 > l°g3 15. Следовательно, область значений
функции у = \/3 + 2л/2х — 2х2 и промежуток [log3 15; +оо) имеют общие точки.
Ответ. Имеют.
Задача 11. (ВМК-83.1)
Найти область определения функции у = л/16 — х2 log2 (х2 — Ъх + 6).
Идея. Область определения данной функции складывается из
неотрицательности подкоренной функции и положительности подлогарифменной функции.
ν пк - Jl6-*2>0,
Указание. Область определения задается системой < 2
I Ж ОЖ Η- Ό ^> U.
-4<ж < 2,
3 < χ < 4.
|16-^>0,
Решение. < 0 <^>
|ж2 -5ж + 6 > 0;
Ответ. [-4;2)U(3;4].
Задача 12. (Геол-89.1)
Определить, какое из чисел больше: 2 logi - или 3 log8 26? Ответ должен быть
о
обоснован.
Идея. Привести оба логарифма к одному основанию и воспользоваться
монотонностью логарифмической функции.
Указание. Удобно привести оба логарифма к основанию 2 и использовать
возрастание функции у = log2 х.
Решение. Преобразуем числа: 2 log ι - = log2 25; 31og826 = log2 26; значит,
log2 25 < log2 26.
Ответ. 31og826.

296
Указания и решения
Задача 13. (ВМК-82.1)
Какое из чисел больше: у8 или 2 2 ?
Идея. Преобразовать второе число и составить формальное неравенство для
сравнения.
Указание. Использовать формулы преобразования логарифмов и основное
логарифмическое тождество.
Решение. Преобразуем второе число:
25
221og25+logi 9 = 221og25-21og23 = 221og2 f
9 "
о /25\2 625 0 . 25
Возведем сравниваемые числа в квадрат: 8 > I — I = . Значит, у 8 > —.
Ответ. γ8·
Задача lJ^. (Геол.ОГ-85.1)
Определить, какое из чисел больше: 2logs 5 — 0,1 или 5logs2? Результат
обосновать.
Идея. Привести обе степени к одному основанию, применив основное
логарифмическое тождество.
Указание. Основное логарифмическое тождество имеет вид:
abga ъ = Ъ^ где a > о, a ^ 1, Ъ > О,
откуда можно получить а1°ёсЬ = Ь1оёса при с > О, с ^ 1, a > О, Ъ > 0.
Замечание. Если выведенная таким образом формула известна заранее, её
можно применять сразу.
Указание. Поскольку 2log3 5 = 5log3 2 , первое число меньше.
Решение. Приведём обе степени к одному основанию и сравним:
2bg3 5 _ ^log5 2log3 5 _ ^log3 5-log5 2 _ 5 1^3 _ 5^3 2.
2log3 5 _ q д v 5log3 2
5bg3 2 _ 0 д у 5log3 2
-0,1 < 0.
Значит, второе число больше.
Ответ. Второе.

5.1. Преобразование логарифмических выражений...
297
Задача 15. (Физ-82.3)
\/а
Известно, что \ogba = γ3· Вычислить logy^ —— .
Идея. Перейти к основанию Ъ.
Указание. В преобразованиях полезно помнить:
χ
!) 1οβα - = 1οβα х ~ 1οβα 2/, гДе α > 0, α ^ 1, ж > 0, ?/ > 0;
2)loga6=-^^, где α>0, α^Ι, с>0, c^l, Ь>0;
logca
3) log. 6 = , где a > 0, α φ 1, 6 > 0, b ф\\
log6a
4) loga аж = ж, где а>0, а ф 1, Vx £ R.
Указание. Полезно сразу применить формулу перехода к новому основанию,
после чего преобразовывать логарифмы по соответствующим формулам.
Решение. Область определения a > 0, 0 < b φ 1у у/а φ Ь.
Воспользуемся формулой перехода к новому основанию и преобразуем
логарифмы в числителе и знаменателе:
ι <β logb~7b log6 ξβ - log6 Vb \\ogba-\
Vb_ _
^ Vb log6 ψ bgb y/a - log6 b \ log6 a - 1
\\β- ^ _ 2л/3-3 _ 2л/3-3 _ 1
±л/3 - 1 ~ Зл/3 - 6 ~ -л/3(2л/3 - 3) ~ л/3'
Ответ. —.
л/3
Задача 16. (М/м-92.3)
Даны числа ρ и q такие, что ρ = logz i/, д = logx у. Найти число log/ \з Jxyz,
считая, что оно определено.
Идея. Искомое выражение путём преобразований привести к комбинации
выражений, заданных в условии.
Указание. В преобразованиях полезно помнить:
χ
!) loSa - = loSa х ~ loSa 2/, гДе a > 0, α ^ 1, ж > 0, ?/ > 0;
2)loga6=p^, где a > 0, αφ 1, c> 0, с ф 1, 6> 0;
iogc а
3) log. 6 = , где a > 0, α φ 1, 6 > 0, b φ\\
log6a
4) loga аж = ж, где а > 0, а ^ 1, Vx G К.
Указание. Применить формулу перехода к новому основанию ζ, после чего
преобразовывать логарифмы по соответствующим формулам.
Указание. Рассмотреть два случая: у = 0 и у φ 0.

298
Указания и решения
XZ
Решение. О < ζ ^ 1, О < χ φ 1, у > 0; кроме того, χϊ/ζ > 0, — > 0> χζ φ у1.
у2
Переходим к новому основанию:
1 logz χί/2 1 logz ж + logz ί/ + 1
log/ чз v^p
5(p0 6 logz xz - 2 logz i/ 6 logzx-21ogz2/ + l"
Рассмотрим два случая:
ι\ ι η ι / X bgzx + l 1
1)при2/ = 1 р = ^ = 0 и log/ чз Л/жр= - · ГТ = «;
(^J б log^x + 1 6
οχ / , ι 1о%ух 1о£гУ Р
2) при у ψ 1 log. ж = -—-— = = -, поэтому
log^ z \ogx y q
, , 1 q 1 p + q+pq
Ы 6 ^ + l-2p 6 P + q~2pq
q
r\ τ? η l и п и η 1 P + q+pq
Ответ. Ьсли р = q = ϋ, то -; если ρ ψ О и д^Щто
б б ρ + </ — 2pq
5.2. ПростеЙ1пие показательные уравнения и неравенства,
равносильные преобразования
Задача 1. (ЕГЭ)
Решите уравнение 3х = 27 · л/9.
Идея. Привести правую часть к показательному виду с основанием 3.
Указание. 27 · л/9 = З3 · 32 = З3'5.
Решение. Приведём правую часть к показательному виду с основанием 3 и
воспользуемся монотонностью показательной функции:
3* = 27·ν/9 ^^ Зж = 33-3^ ^^ Зж = 33'5 ^^ ж = 3,5.
Ответ. 3,5.
2Х*+1
Задача 2. (ЕГЭ)
Решите неравенство I - J < 1.
Идея. Привести правую часть к показательному виду с основанием 0,4.
Указание. Переписать неравенство в виде (0,4)ж <(0,4) .
Решение. Приведём правую часть к показательному виду с основанием 0,4
и воспользуемся убыванием показательной функции с основанием 0,4:
(0,4f+1<l ^^ (0,4f+1 < (0,4)° ^^ ж + 1>0 <^^ х>-\.
Ответ. ( —1;+оо).

5.2. Простейшие показательные уравнения и неравенства...
299
Задача 3. (ЕГЭ)
Решите неравенство 7*-(л/7) -6>0.
Идея. Неравенство является квадратным относительно показательной функции.
Указание. При ζ = (λ/7) > 0 неравенство принимает вид ζ2 — ζ — б > О
и решается стандартным образом.
Указание. С учётом положительности ζ решением неравенства станет ζ > 3,
то есть (λ/7) > 3.
Решение. Пусть ζ = (λ/7) > 0, тогда
ζ2 - ζ - 6 > 0 <
ζ < -2;
ζ >3:
с учётом положительности ζ решением неравенства станет ζ > 3, то есть
'y/i\ > 3 ^^ ж > logyy 3 = 2 log7 3.
Ответ. (2 log7 3; +оо).
Задача 4- (ЕГЭ)
Решите неравенство (0,1)4х ~2х~2 > (О,1)2х~3.
Идея. Воспользоваться убыванием показательной функции с основанием 0,1.
Указание. Так как показательная функция с основанием 0,1 убывает, то
исходное неравенство эквивалентно неравенству Ах2 — 2х — 2 < 2х — 3.
Решение. Воспользуемся убыванием показательной функции с основанием 0,1:
(0,1)4*2-2*-2 > (0,1)2х~3 <<=> 4х2 - 2х - 2 < 2х - 3 <ί=>
^^ 4ж2-4ж + 1<0 ^^ (2ж-1)2<0 ^^ ж = 0,5.
Ответ. 0,5.
Задача 5. (Экон-83.1)
Решить уравнение 2Х+2 · Ьх+2 = 23х · Ъ3х.
Идея. Воспользоваться свойством показательных функций с одинаковыми
показателями.
Указание. Формула: Ух Ε R, а > 0, Ъ > 0 ах -Ъх = (аЪ)х.
Решение. 10ж+2 = 103ж <^> χ + 2 = Зж <^> ж = 1.
Ответ. 1.

300
Указания и решения
Задача 6. (Физ-95(2).1)
Решить уравнение 2Х~Х · 3х = 0, 5 · Q2~x .
Идея. Воспользоваться свойством показательных функций с одинаковыми
показателями.
Указание. Формулы:
1) \/х G М, а > 0, Ъ > 0 ах · Ьх = (аЪ)х;
2) Vx,yeR, α>0 ах~у = — .
7 '* аУ
Решение. - · 6х = - · Q2~x <^> х = 2 — х <^> χ = 1.
2 2
Ответ. 1.
Задача 7. (Хим-98.1)
Решить уравнение 4х + 2Ж — 2 = 0.
Идея. Уравнение является квадратным относительно показательной функции.
Указание. 4х = (2Ж)2, поэтому при ζ = 2х > 0 уравнение принимает вид
ζ2 + ζ — 2 = 0 и решается стандартным образом.
Решение. Введём новую переменную ζ = 2Ж > 0, тогда уравнение примет вид
2 = 0 ^^
значит,
Ответ.
2х =
0.
= 1
ζ2 + ζ
^ X
ζ = -2 <0;
0.
Задача 8. (Геол-84.1)
Решить уравнение 3 · 9Ж+1 — б · 3х — 1 = 0.
Идея. Уравнение является квадратным относительно показательной функции.
Указание. 9Ж+1 = 9 · 9х = 9 · (Зж)2, поэтому при ζ = 3х > 0 уравнение
преобразуется к виду 27ζ2 — 6ζ — 1 = 0 и решается стандартным образом.

5.2. Простейшие показательные уравнения и неравенства...
301
Решение. Введём новую переменную ζ = 3х > 0, тогда получим
1
значит, 3х = 3 х
Ответ. —1.
27'ζ1 - 6ζ - 1 = 0
х = -1.
* = -9<0;
1
г=з;
Задача 9. (Хим-90.1)
Решить уравнение 4х + 3 · 2Ж+2 = 64.
Идея. Уравнение является квадратным относительно показательной функции.
Указание. 4х = (2Ж)2; 2Ж+2 = 4-2ж; поэтому при ζ = 2Ж > 0 исходное уравнение
принимает вид ζ2 + \2ζ — 64 = 0 и решается привычным способом.
Решение. Пусть ζ = 2х > 0, тогда уравнение принимает вид
ζ2 + 12ζ - 64 = 0 ^^
значит, 2Ж = 4 <^> ж = 2.
Ответ. 2.
2 = -16 < 0;
ζ = 4;
Задача 10. (Физ-82.4)
Решить неравенство 5Ж — Зж+1 > 2(БХ~1
эх-2
)·
Идея. Воспользоваться свойством показательных функций с одинаковыми
показателями.
Указание. Привести исходное неравенство к неравенству относительно одной
показательной функции, используя следующие формулы:
1) Уж,г/еМ, а>0 ах~У = — ;
7 'у аУ
2) Уж, ί/ G М, а > 0 аж+^ = а* · а^;
3) Vx G М, а > 0, 6 > 0 ^- = f^V.
bx \о J
Указание. Разделить обе части неравенства на 3х .
Решение. 5х - 3 · 3х > - · 5х - - · 3х Φ
5 9
Разделим обе части неравенства на 3х > 0:
3 25
еж -^ ох
5 > 9 ·
3/5
5 \3
>
25
I1 >
х>3.
Ответ. (3;+оо).

302
Указания и решения
Задача 11. (Геол-80.1)
Решить неравенство 7~х — 3 · 71+ж > 4.
Идея. Неравенство является квадратным относительно показательной функции.
Указание. 7~х = —, 71+ж = 7 · 7х; при ζ = 7х > 0 неравенство принимает
7Ж
вид 21ζ2 + 4ζ — 1 < 0 и решается стандартным образом.
Указание. С учётом положительности ζ решением неравенства станет ζ < - ,
™ 1
то есть 7 < - .
7
Решение. Пусть ζ = 7Ж > 0, тогда неравенство принимает вид
--21я>4 ^^ 21ζ2 + 4ζ-1<0 ^^ — <^<^5
ζ 3 7
значит, ζ<- <^^> 7х < 7-1 ^^ ж<-1.
7
Ответ. ( — оо; —1).
Задача 12. (ВМК-77.1)
2ж+3
Решить неравенство 22ж+1 - 21· ( - ) + 2 > 0.
Идея. Неравенство является квадратным относительно показательной функции.
/1\2ж+3 1 1
Указание. 22х+1 = 2 · 22х = 2 · 4х; ( - I = 0 , Q = , поэтому при
' ^2/ 22ж+3 8-4ж
21
ζ = 4Ж > 0 получаем 2ζ — -—l· 2 > 0, что равносильно неравенству
&Z
16z2 + 16z-21 >0.
Указание. Решая квадратное неравенство, используем положительность г,
3
в результате чего получаем, что ζ > —.
Решение. Пусть ζ = 22х > 0, тогда неравенство принимает вид
21
Л
2ζ +2>0 ^^ 16ζζ + 16ζ - 21 > 0
8ζ
7
=4
значит, 22х > - ^Ф 22ж+2 > 3 <^> 4Ж+1 > 3 <^> χ > log
4
Ответ. |log4-;+oo

5.2. Простейшие показательные уравнения и неравенства...
303
Задача 13. (Физ-80.4)
ι
Решить неравенство 2х ~г > I —
Идея. Привести обе показательные функции к одному основанию и
воспользоваться монотонностью показательной функции.
1
/IV -^
Указание. Используя равенство — = 2 χ , привести неравенство к виду
16,
_1 _i
2х > 2 ж . В силу возрастания функции у = 2х это неравенство равносильно
4
ж - 1 > .
Указание. Последнее неравенство решить методом интервалов.
I _i
Решение. Заметив, что (1/16)ж =2 ж, перепишем неравенство в виде
4 4 г2 — г 4- 4
2-^2-χ ^ х-1>-- ^ ^^>0;
поскольку числитель всегда положителен, остаётся условие χ > 0.
Ответ. (0;+оо).
Задача Ц. (Физ-97(1).5)
о 2
Решить неравенство 2х ό < —.
8*
Идея. Привести правую часть неравенства к виду 2^х) и воспользоваться
возрастанием показательной функции с основанием 2.
2 2 х_ з
Указание. Поскольку —^- = —д- = 2 χ , неравенство принимает вид
8^ 2^
з ^
2ж_3<2~ж.В силу возрастания функции у = 2х оно равносильно ж —3 < 1 .
X
о , 3 0-1)0-з) Л
Указание. Неравенство ж — 3 < 1 приводится к виду < 0 и
решается методом интервалов.
2 2 х_ з
Решение. Преобразуем выражение в правой части: —^- = —д- = 2 ж; значит,
8^ 2χ
..oil 3 ж2 - 4ж + 3 ^
2х-з<21-ж ^^ ж_з<1-- ^^ <0 ^^
Q-i)Q-3) cQ
χ < 0;
1 < ж < 3.

304
Указания и решения
+ +
/////////////////Q Q/////////////////////////Q ^.
0 1 3
Ответ. (-oo;0)U(l;3).
Задача 15. (Геол-97(1).4)
(2\2χ2
Решить неравенство I - 1 > 2, 25
ж2-10
Идея. Привести обе части неравенства к одному основанию и воспользоваться
монотонностью показательной функции.
/2\2χ2 ίΑ\χ2 ί9\~χ2 2 /α^2-10
νκ.,..„. (Η) =(ί) =(!) ;2,^- = (!
Указание. В силу возрастания функции у = I - 1 неравенство равносильно
-х2 > х2 - 10.
Решение. Приведём левую и правую части к одному основанию и воспользуемся
монотонностью показательной функции:
9λ"*2 /9У2-10 2 2 2 ^ г
> - ^^ -ж2 > х1 - 10 ^^ ж2 < 5 <^^ -V5 < ж < V5.
Л) V4
Ответ. (—\/5; \/5)·
Задача i£. (ЕГЭ)
Решите неравенство (1, 25)1~;с < (0, 64)2(1+^).
Идея. Привести обе части неравенства к одному основанию и воспользоваться
монотонностью показательной функции.
Указание. (0.«)».^ = (^) =(Ц) =(|) ;
(1.25>.-=(|)1_*.
/5\ж
Указание. В силу возрастания функции у = ( - 1 неравенство равносильно
1-х < -4(1 + γ/χ).
Указание. Полученное неравенство ж — А^/х — 5 > 0 является квадратным
относительно переменной у = у/х > 0 и решается стандартным способом.

5.2. Простейшие показательные уравнения и неравенства...
305
Решение. Приведём обе части неравенства к одному основанию и воспользуемся
монотонностью показательной функции:
<t=^ 1 -χ < -4(1 + л/^) ^^ ж-4Л/ж-5>0;
введём переменную ?/ = л/х > 0, тогда
у2 - Ау - 5 > 0
2/<-1;
2/>5;
поскольку переменная у принимает неотрицательные значения, остаётся у > 5,
то есть у/х > 5 <^> χ > 25.
Ответ. (25;+оо).
Задача 17. (Физ-96(1).3)
Решить уравнение 32х = (0, 6х + 2) · 25ж .
Идея. Свести уравнение к квадратному относительно показательной функции.
Указание. 25х = Ъ2х, поэтому, разделив обе части уравнения на 2ЪХ > 0,
/з\2ж /з\ж п
получаем уравнение I - I = I - I + 2, являющееся квадратным относительно
Решение. Разделим обе части уравнения на 2БХ > 0, получим
+ 2.
3\2х /3
5/ \5,
Уравнение является квадратным относительно ζ = ( - ) = (0, 6)х > 0:
ζ2 - ζ - 2 = 0
2 = -КО;
ζ = 2;
значит, ж = log0 б 2 ·
Ответ. log0 б 2.

306
Указания и решения
Задача 18. (Биол-91.1)
Решить уравнение 4^+1'5 - 13 · 2^^ + 20 = 0.
Идея. Сократив дробь в показателе функции, привести уравнение к
квадратному относительно показательной функции.
Указание. —= = -= = J~x + 1 при χ φ 1; если ζ = 2^ > 0,
у/х-1 у/х-1
то уравнение принимает вид 4ζ2 — 13ζ + 10 = 0.
Решение. Так как
s-1 (>/£-!)(>/£+1) = ^ |
γ/χ - 1 д/ж - 1
то при замене 2^х = ζ > 0 при условии χ ^ 1 уравнение принимает вид
8ζ2 - 26ζ + 20 = 0 ^^ 4г2 - 13* + 10 = 0
5(
4;
ζ = 2;
Ζ=4;
Вернемся к х:
1)2^ = ^ ^ ^ = log2^ <i=> аг = logl |;
2) 2^ = 2 <^> у/х = 1 <^> χ = 1, это значение переменной не принадлежит
области определения.
Ответ, log2.-.
Задача 19. (Физ-96.3)
Решить уравнение 52 — 5 2 = 24·5~ 2 .
Идея. Уравнение является квадратным относительно показательной функции.
Зх
Указание. Умножив обе части уравнения на 5 2 > 0, получаем равенство
Ъ2х - 25 = 24 · Ъх, то есть ζ2 - 24ζ - 25 = 0 при ζ = Ъх > 0.
Зх_
Решение. Умножим обе части уравнения на 5 2 > 0:
Б2х -2Б = 24-БХ.
Уравнение является квадратным относительно переменной ζ = Ъх > 0:
ζ2 - 2Αζ - 25 = 0
2 = -КО;
ζ = 25;
значит, Ъх = 25 <^> χ = 2.
Ответ. 2.

5.2. Простейшие показательные уравнения и неравенства...
307
Задача 20. (Физ-94(1).3)
Решить уравнение 5^ — 53_л^ = 20.
Идея. Уравнение является квадратным относительно показательной функции.
Указание. 53_Л^ = —— , поэтому, домножив обе части уравнения на ζ = 5^,
получаем уравнение ζ2 — 20ζ — 125 = 0.
Решение. Введём новую переменную ζ = 5^ > 0. Умножив обе части
уравнения на ζ, получим квадратное уравнение
значит, 5^ = 25
Ответ. 4.
20г - 125 = 0
χ = 4.
-5<0;
25;
Задача 2i. (Физ-96(2).5)
Решить неравенство 4Ж_0'5 + 2Ж+1 — 16 < 0.
Идея. Неравенство является квадратным относительно показательной функции.
Указание. 42*-°'5 = — = ^-, 2Ж+1 = 2 · 2*, то есть при ζ = 2х > 0
42 2
неравенство принимает вид ζ2 + 4ζ — 32 < 0.
Решение. Введём новую переменную ζ = 2Ж > 0, тогда неравенство примет вид
ζ2 + 4г - 32 < 0 ^^ -8 < ζ < 4.
Левое неравенство верно всегда, поэтому получаем 2х < 4 <^> ж < 2.
Ответ, ( — оо; 2).
Задача 22. (М/м-75.1)
Решить неравенство 98 - 7χ2+5χ~48 > 49хЧбх~49.
Идея. Ввести новую переменную вместо показательной функции с квадратным
трёхчленом в показателе и решить полученное квадратное неравенство.
Указание. Обозначить ζ = 7х +5ж_48 > 0, тогда неравенство примет вид
ζ >
49

308
Указания и решения
Решение. Пусть ζ = 7х +Ъх 48 > 0, тогда неравенство принимает вид
ζ2 + 49ζ - 49 · 98 < 0 ^^ -98 < ζ < 49.
Поскольку ζ > 0, остаётся неравенство
7*2+5*-48 < 49 ^^ ж2 + 5ж-50<0 ^^ -10 < χ < 5.
Ответ. [-10; 5].
Задача 23. (Геогр-73.4)
2 1
Найти решения уравнения 3х +4ж = —, удовлетворяющие неравенству χ > — 3.
Идея. Привести правую часть к показательному виду с основанием 3.
Указание. Используя основное логарифмическое тождество, привести правую
часть к показательному виду: 3х +4ж = 3-21ogs5.
Указание. Используя монотонность показательной функции, перейти к
равенству для степеней: х2 + Ах = —2 log3 5. Один из корней не удовлетворяет
неравенству χ > — 3.
Решение. Используя основное логарифмическое тождество, приведём правую
часть к показательному виду с основанием 3 и воспользуемся монотонностью
показательной функции:
3х +4ж = 3-21og35 ^^ x2+4x + 21og35 = 0 ^^ x = -2± v/4-21og35;
проверим выполнение неравенства, заданного в условии задачи:
1) при χ = -2 - у/А-2 log3 5
-2- v/4-21og35 V -3
1 V 4-2 log3 5
log325 < log327;
значит, первый корень не подходит;
2) корень χ = — 2 + χ/А — 2 log3 5 очевидно подходит.
Ответ. -2 + v/4-21og35.
Задача 2^. (Почв-92.3)
9* -82·3* + 162-3§+2
Решить уравнение
32-9
Идея. Избавиться от дроби с учётом области определения и решить
получившееся относительно показательной функции квадратное уравнение.
—
Указание. Если принять ζ = 32 > 0, то при ζ ^ 9 получим ζ — 82ζ +81 = 0.

5.2. Простейшие показательные уравнения и неравенства...
309
Решение. Обозначим ζ = 3 2 > 0, область определения для новой переменной
ζ φ 9; в новых обозначениях уравнение принимает вид
ζ4 - 82^ + 162 -9ζ = -9ζ + 81 ^^ ζ4 - 82^ + 81 = 0
*2 = ΐ;
?2 = 81;
поскольку ζ > 0, остаются значения ζ = 1 или ζ = 9, последнее не
припадав
лежит области определения; значит, 32=1 <^=> χ = 0.
Ответ. 0.
Задача 25. (Хим-97.2)
Решить неравенство (л/2 + lf + l <2(л/2-1)ж.
Идея. Неравенство является квадратным относительно показательной функции.
Указание. Заметить, что (ν/2-1)(\/2 + 1) =2-1 = 1, то есть
2
Указание. При ζ = (л/2 + 1)ж > 0 неравенство принимает вид ζ + 1 < -, то
есть ζ2 + ζ - 2 < 0.
Решение. Заметим, что (л/2-1)(л/2 + 1) = 2-1 = 1 ^^ (л/2-lf
(л/2 + 1)*
Значит, неравенство принимает вид
Введём новую переменную £ = (^2 + 1)ж>0, тогда
2 9
2 +К- ^^ ζ2 + ζ-2<0 <^^ -2<2<1.
ζ
Поскольку ζ > 0, остаётся неравенство (\/2 + 1)ж < 1 <^> χ < 0.
Ответ. ( —оо;0).
Задача 26. (Хим-95(1).3)
1-ж 1-2ж
Решить неравенство 2 χ <2 2ж + 1.
Идея. Привести неравенство к квадратному относительно показательной
функции.
1-х 1_1 1 I 1-2ж J^_1 1 _1_
Указание. 2 χ = 2 χ = - · 2^ , 2 2ж = 22ж = - . 22ж 7 поэтому при
ι_ ζ2 ζ
ζ = 22ж > 0 получаем неравенство — < —hi, то есть ζ2 — ζ — 2 < 0.

310
Указания и решения
Указание. С учётом условия ζ > 0 решением неравенства будет ζ < 2, то есть
J_ 1
22х < 2, откуда — < 1.
2х
Решение. Преобразуем показатели степеней:
2x~L < 22x~L + 1.
j_
Пусть ζ = 2 2ж > 0, тогда неравенство примет вид
о
2Г Ζ
.2
<- + 1 ^^ ζζ-ζ-2<0 <^^ -1<ζ<2.
Поскольку ζ > 0, остаётся неравенство ζ < 2, при решении которого используем
метод интервалов:
J_ 1 2ж - 1
22х<2 <^> КО ^^ >0
2х χ
Ответ. ( —оо;0) U ( -;+оо ) .
χ < 0;
1
х>-.
21
Задача 27. (Физ-85.4)
При каждом значении параметра а решить уравнение 4х — 2α(α + 1) -2х~1-\-а3 = 0.
Идея. Уравнение является квадратным относительно показательной функции;
при решении рассмотреть все случаи знака дискриминанта в зависимости от
значений параметра.
Указание. Выполнив замену ζ = 2х > 0, получаем ζ2 — а (а + 1)ζ + α3 = 0, где
D = а2(а — 1)2>0 при всех возможных значениях параметра.
Указание. Отдельно рассматриваются случаи, когда D = 0 и D > 0, причём
в последнем можно явно вычислить два корня квадратного уравнения.
Указание. В случае положительного дискриминанта, то есть при α^0, α φ 1,
уравнение имеет два решения ζ = а и ζ = α2 . Поскольку ζ > 0, далее необходимо
рассмотреть отдельно случаи α > 0 и α < 0.
Указание. Если α < 0, то ζ = а решений по χ не даёт, так как 2х > 0, а
ζ = α2 позволяет вывести 2Ж = а2 <^> ж = 21og2 \а\ = 21og2 (-α).
Решение. Пусть ζ = 2Ж > 0, тогда уравнение принимает вид
ζ2 -α(α + 1)ζ + α3 = 0;
дискриминант D = а2(а — 1)2>0; сначала рассмотрим случай D = 0:
1) если α = 0, то ζ2 = 0, нет решений;
2) если α = 1, то ζ = 1, то есть χ = 0;
затем рассматриваем 1} > 0, то есть а ф 0, α ^ 1. В этом случае квадратное
уравнение имеет два несовпадающих корня ζ\ = а и ^2 = а2 > 0. Рассмотрим
два случая в зависимости от знака а:

5.3. Простейшие логарифмические уравнения...
311
1) если α Ε (0; 1) U (1;+оо), то
χ = log2 α;
χ = 2 log2 α;
2* = α;
2* = α2; ^
2) если α Ε ( — οο;0), то 2х = α2 <^> ж = log2 α2 = 21og2 \a\ = 21og2 (—α).
Ответ. Если α < 0, το χ = 2 log2 (—α); если α = 0, то нет решений; если а = 1,
то ж = 0; если 0 < α ^ 1, то ^ = log2 а или ж = 2 log2 a.
5.3. ПростеЙ1пие логарифмические уравнения
и неравенства, равносильные преобразования
Задача 1. (ЕГЭ)
Найдите произведение корней уравнения 2 log4 ж + log4 х — 1 = 0.
Идея. Уравнение является квадратным относительно log4 x.
Указание. Сделать замену ?/ = log4x. Произведение корней проще искать
через теорему Виета.
Решение. Уравнение является квадратным относительно у = log4 χ:
2у2 + ί/ - 1 = 0, £> = 1 + 8 = 9 > 0.
Так как дискриминант положительный, то уравнение имеет два корня. Поэтому
исходное уравнение также имеет два корня. Для поиска произведения корней
воспользуемся теоремой Виета:
--=у1+у2 = log4xi +log4x2 = log4(xix2) ^^ ^1^2 = 4~2 =
Ответ. 0,5.
Задача 2. (ЕГЭ)
х — Τ
Решите неравенство log3 < 0.
Идея. Преобразовать правую часть неравенства к логарифму с основанием 3
и воспользоваться возрастанием логарифма по основанию 3.
χ - 7
Указание. Преобразовать правую часть уравнения log3 < log3 l
χ — Τ
и воспользоваться возрастанием логарифма по основанию 3: 0 < < 1.
2х - 5
Решение. Преобразуем правую часть уравнения к логарифму с основанием 3
и воспользуемся возрастанием логарифма по основанию 3, не забывая при этом
про ОДЗ:
l0g3^<l0g31 ^ °<Й<1
х-7
2^-5>0'
ж + 2
2^-5>0;

312
Указания и решения
χ е ( -оо; - ) U(7;+oo),
хе (-oo;-2)U ( -;+оо);
χ е (-oo;-2)U (7;+оо).
Ответ. (-oo;-2)U(7;+oo).
Задача 3. (Соц-98.2)
3
Решить уравнение log2 (х2 — 5) = - logyg (1 — χ).
Идея. Преобразовать обе части уравнения к логарифмам с одинаковыми
основаниями.
Указание. После применения формулы logax у = — loga у, где α > Ο,α ^ 1,
у > 0, χ у^ 0У уравнение принимает вид log2 (х2 — 5) = log2 (1 — ж), то есть
ж2-5 = 1-ж>0.
Решение. Перейдём к логарифмам с основанием, равным 2, получим
\ х2 - 5 = 1 - ж,
^ |1-ж>0; ^^
log2 (χ2 - 5) = log2 (1 - χ)
χ2 + χ - 6 = 0,
ж < 1;
Ответ. —З.
-3.
Задача 4- (Почв-77.2)
Решить уравнение 2 lg ί χ -\— 1 — lg (χ — 1) = lg ( χ -\— 1 + lg 2.
Идея. Привести обе части уравнения к десятичным логарифмам от различных
функций.
Указание. Перенести второй логарифм из левой части в правую и применить
формулы:
1) lgxa = algx, где χ > 0;
2) lg χ + lg у = lg xy, где χ > 0, у > 0.
Указание. Из равенства логарифмов получится уравнение х2 + 2х — 21/4 = 0,
где χ > 1.
Решение. На области определения входящих в уравнение логарифмов (ж > 1)
молено воспользоваться формулами логарифма степени и логарифма суммы:
21gix + - ) =lg(2x + 5)+lg(x-1)
lg(x + -) =lg(2x +5)0-1)

5.3. Простейшие логарифмические уравнения...
313
х2+х+- = 2х2-2х-Ъ + Ъх
4
9 21 л
ж2 + 2ж = О
4
области определения принадлежит корень χ
Ответ. -.
2
Задача 5. (Геол-00.1)
Решить неравенство logy^ (^х ~ 4) < 8.
Идея. Преобразовать обе части неравенства к логарифму с основанием 2 и
воспользоваться возрастанием логарифма по основанию 2.
Указание. Преобразовать обе части неравенства к логарифму с основанием 2:
log2 (Ъх - 4) < log2 16.
Указание. Воспользоваться возрастанием логарифма по основанию 2, не
забывая при этом про ОДЗ: 0 < 5ж — 4 < 16.
Решение. Перейдём в правой части неравенства к логарифму по основанию 2
и воспользуемся возрастанием логарифма по основанию 2, не забывая при этом
про ОДЗ:
О'
log2 {Ъх - 4) < log2 16
О < Ъх - 4 < 16
< χ < 4.
Задача 6. (Геол.ОГ-83.3)
Решить неравенство log3 (Ъх2 + 6х + 1) < 0.
Идея. Воспользоваться монотонным возрастанием логарифмической функции
в условиях задачи при выполнении ограничений области определения.
Указание. Неравенство \ogaf(x) < \ogag(x) при а > 1 равносильно системе
if(x) < q(x)
— ' то есть для нашей задачи получаем 0 < Ъх2 + 6х + 1 < 1.
f(x) > 0;
Решение. Исходное неравенство равносильно системе
О'
5ж2 + 6ж + 1 < 1,
Ъх2 + 6х + 1 > 0:
-;-i U
6
- <ж<0,
5
χ < -1;
1
ж > --;
о
< χ < -1;
<ж<0.

314
Указания и решения
Задача 7. (Псих-80.4)
Решить неравенство log ι Ι χ I + log ι (χ — 1) > 1.
Идея. Преобразовать сумму логарифмов в логарифм произведения и
использовать равносильный переход, основанный на свойстве монотонности
логарифмической функции.
Указание. Учитывая ОДЗ (х > 1), левая часть преобразуется к виду
logi (ж - i) (ж - 1) > 1 <i=> (x-i)0r-l)<i,
так как функция у = loga χ при 0 < а < 1 убывает.
Решение. Учитывая область определения (х > 1), в левой части неравенства
преобразуем сумму логарифмов в логарифм произведения и воспользуемся
монотонным убыванием логарифмической функции с основанием, меньшим единицы:
1\ , ч 1 9 3 3
а: — — )(д: — 1)<— <^> х2 - -х < 0 <^> 0< χ < -;
2) v J ~ 2 2 ~ ~ ~ 2'
3
учитывая область определения, получим 1 < χ < -.
/ з
Ответ. ( 1; -
V 2
Задача 5. (ВМК-86.1)
Решить неравенство log3 (х + 2) + log3 (ж — 4) — 1 < 0.
Идея. Привести сумму логарифмов к логарифму произведения и использовать
равносильный переход на основе монотонности логарифмической функции.
Указание. Неравенство переписывается в виде log3 (х + 2)(х — 4) < 1 при
χ > 4 и решается равносильным переходом, основанным на монотонном
возрастании функции у = log3 х.
Указание. После преобразований на области определения исходное
неравенство приводится к виду х2 — 2х — 11 < 0.
Решение. Учитывая область определения (х > 4), приведём сумму логарифмов
в левой части неравенства к логарифму произведения и воспользуемся
монотонным возрастанием логарифмической функции с основанием, равным трём:
ilog3(x + 2)(x-4) < 1, ^^ |(ж + 2)(ж-4) < 3, ^^
)х > 4; 1 χ > 4;
11 < 0, ί 1 - 2л/3 < ж < 1 + 2л/3,
^ |ж>4; ^
^^ 4<ж<2л/3 + 1.
Ответ. (4;2л/3 + 1].

5.3. Простейшие логарифмические уравнения...
315
Задача 9. (М/м-87.2)
Решить неравенство ^Щ^Д-^д (χ2 + 4ж + 11 — 4л/3) < 2.
Идея. Воспользоваться монотонным возрастанием логарифмической функции
в условиях задачи при выполнении ограничений области определения.
Указание. Поскольку л/б — л/2 > 1, то функция у = log^g _^дt возрастает
и неравенство равносильно системе
х2 + Ах + 11 - 4л/3 < (л/6 - л/2)2,
ж2 + 4ж + 11 -4л/3 >0.
Решение. Сравним основание логарифма с единицей:
л/б-л/2 V 1
6 V 2 + 1 + 2л/2
3 V 2л/2
9 > 8;
значит, логарифмическая функция в левой части исходного неравенства
возрастает, поэтому оно равносильно системе
х2 + Ах + 11 - 4л/3 < (л/6 - л/2)2,
ж2 + 4ж + 11 -4л/3 >0.
Решаем первое неравенство системы:
ж2 + 4ж + 3<0 ^^ -3<ж<-1.
Для второго неравенства Ό\ = 4 + 4л/3 — 11 = 4л/3 — 7 < 0 =^> iGM.
Ответ. (—3; —1).
Задача 10. (ВМК-90.1)
Решить неравенство к^ж2+48 < 1.
Идея. Воспользоваться монотонным возрастанием логарифмической функции
в условиях задачи.
Указание. Несмотря на переменное основание логарифмической функции,
можно говорить о её возрастании на области определения, так как х2 + 4 > 1
для всех χ, поэтому исходное неравенство равносильно неравенству х2 + 4 > 8
без дополнительных ограничений.
Решение. Поскольку х2 + 4 > 1 Vx gM,to логарифмическая функция в левой
части неравенства возрастает, поэтому
log^+4 8 < logx2+4 (χ2 + 4) ^^ 8 < ж2 + 4 <^> \х\ > 2.
Ответ. (-oo;-2)U(2;+oo).

316
Указания и решения
Задача 11. (Биол-96.3)
Решить неравенство 1 + log ι (log3 (4 — χ)) > 0.
Идея. Перенеся константу в правую часть, последовательно снять логарифмы,
начиная с внешнего, строго следя за равносильностью всех преобразований.
Указание. log4 log3 (4 — χ) < 1 равносильно неравенству 0 < log3 (4 — χ) < 4,
которое, в свою очередь, равносильно 1<4 — χ < 81.
Решение. Перенесём константу в правую часть и последовательно снимем
логарифмы, начиная с внешнего:
log i (log3(4-x)) > -1 ^^ log4(log3(4-x)) < 1 ^^
^^ 0 < log3 (4 - χ) < 4 ^^ 1 < 4 - χ < 81 ^^ -77 < χ < 3.
Ответ. (-77; 3).
Задача 12. (Геол-00(1).3)
Решить неравенство log2 (х — 3)(х + 2) + log ι (χ + 2) (χ — 6) < 2.
Идея. Привести оба логарифма к одному основанию и упростить левую часть
с учётом области определения, после чего воспользоваться монотонностью
логарифмической функции.
ν н « ι (ж-3)(ж + 2) ^0
У казание. Неравенство может оыть переписано в виде log2 -; г-, г < 2,
I X ~\ Ζι) \Х и)
где (ж-3)(ж + 2) >0 и (х + 2)(ж - 6) > 0.
Указание. В силу монотонного возрастания функции у = log2 £ исходное
ж-3
неравенство равносильно < 4, где ж < — 2 или ж > 6.
χ — б
Решение. Область определения ж Ε ( — оо; —2) U (6; +оо).
Приведём оба логарифма в левой части к основанию 2 и перейдём от разности
логарифмов к логарифму частного:
log2(x-S)(x + 2)-\og2(x + 2)(x-6)<2 ^ log2 |* ~ ^ + ^ < 2 ^
3 ж — 7
<4 ^^ >0
χ — б ж — б
С учётом области определения получаем: χ < — 2 или ж > 7.
Ответ. (-oo;-2)U [7;+оо).
ж < б;
ж > 7.

5.3. Простейшие логарифмические уравнения...
317
Задача 13. (Филол-98.3)
log. (-2х)
Решить уравнение ; = 2.
log5 (χ + 1)
Идея. В левой части уравнения записано выражение из формулы перехода к
новому основанию, после применения которой следует использовать определение
логарифма.
log Ъ
Указание. Используя формулу перехода к новому основанию log„ Ъ = -—— ,
logca
где a > 0, α т^ 1, fr > О, записать уравнение в виде logx+1 (—2 χ) = 2.
Указание. По определению логарифма уравнение logx+1 (—2 χ) = 2 равносиль-
ί-2χ = (х + 1)2,
но системе < χ + 1 > 0, решая которую, получим ответ.
|х + 1/1;
Решение. Воспользуемся в левой части уравнения формулой перехода к новому
основанию:
bg^+i (-2ж) = bg^+i (х + I)2
-2х = (х + 1)2,
х + 1 > О,
ж + 1 ^ 1;
Ог
х2 + 4х + 1
ж > -1,
л/3-2.
л/3.
Задача Ц. (Геол.ОГ-82.3)
Решить неравенство log3 ((χ + 2)(х + 4)) + log ι (χ + 2) < - logyg 7.
Идея. Перейти к логарифмам по основанию 3 и воспользоваться возрастанием
функции y = log3t.
Указание. Формулы:
1) \/х φ 0, а > 0, а φ 1, у > 0 loga* ?/ = - loga ?/;
2) Ух > 0, ί/ > 0, а > 0, α φ 1 loga χ?/ = loga x + loga ?/.
Решение. На области определения (х > —2) перейдём к логарифмам по
основанию 3 и воспользуемся монотонностью логарифмической функции:
log3 (χ + 2) + log3 (x + 4) - log3 (χ + 2) < log3 7 <ί=> χ + 4 < 7
с учётом области определения получаем χ Ε (—2; 3).
Ответ. (-2;3).
χ < 3;

318
Указания и решения
Задача 15. (Хим-97(1).2)
Решить уравнение log^ (Зх — 2) = 2.
Идея. Применить определение логарифма с условиями равносильности
переходов.
Указание. Число Ъ называется логарифмом числа с по основанию а, если
аъ = с, с>0,а>0,а^1. Обозначение: Ъ = loga с, если аъ = с.
I ОХ ^ Χ ,
Указание. Уравнение logx (Зх — 2) = 2 равносильно системе < χ > О,
(х/ 1.
Условие Зх — 2 > 0 не нужно, так как оно выполняется автоматически.
Решение. Уравнение равносильно системе
<
О
Зх - 2 = х2
χ > 0,
^1;
τвет. 2.
χ = 1;
χ = 2;
χ > 0,
х^1;
х = 2.
Задача i£. (Физ-97(1).3)
Решить уравнение log9 — + log3 (x + 5) = 1.
Идея. Привести логарифмы к одному основанию и применить формулу суммы
логарифмов.
У к а з а н и е. Поскольку log9
log3 — , в левой части получим log3
|х|(х + 5)
И(д + 5) =1
Указание, log^
ОДЗ при этом выполняется автоматически.
\х\(х + 5)
3.
Решение. Приведём логарифмы к одному основанию, применим формулу
преобразования суммы логарифмов в логарифм произведения и снимем логарифмы
(ОДЗ при этих преобразованиях выполняется автоматически):
log3 у + bg3 (ж + 5) = 1 <^^ log3
Раскрываем модуль по определению.
1) При χ > 0 х2 + 5х - 6 = 0 <^>
2) При χ < 0 х2 + 5х + 6 = 0 ^^
№ + 5) =1
|х|(х + 5) = 6.
х = 1 или х = — б < 0.
χ = — 3 или ж = — 2 - оба подходят.
Ответ. —3; —2; 1.

5.3. Простейшие логарифмические уравнения...
319
Задача 17. (Биол-80.2)
Решить уравнение 2(log2x)2 — 31og2 — — 11 = 0.
Идея. Уравнение является квадратным относительно log2 х.
χ
Указание. log2 — = log2 χ — 2, поэтому при ζ = log2 х получаем 2ζ2 — 3ζ — 5 = 0.
Решение. Пусть ζ = log2 x, тогда уравнение принимает вид
2ζι - 3ζ - 5 = 0
Ответ. -;4\/2.
-1;
5
25
1
25
4л/2.
Задача 18. (Геол.ОГ-76.1)
Найти все решения уравнения 4 + log2 χ2 = logx 64.
Идея. Приведя все логарифмы к одному основанию, ввести новую переменную
и получить относительно неё квадратное уравнение.
Указание. На области определения (χ > 0, χ φ 1) logx 64 = 6 logx 2
6
log2 ж '
log2 χ2 = 2 log2 ж; если ζ = log2 ж, то уравнение переписывается в виде 4 + 2г = - ,
после чего решается как квадратное.
Решение. Введём новую переменную ζ = log2 χ ^ 0У тогда
4 + 2ζ = -
ζ
Ответ. -; 2.
ζ2 + 2ζ - 3 = 0
ζ = 1;
ζ = —3;
χ = 2;
1
ж = -.
Задача m (Хим-98(1).2)
Решить уравнение log4 x + 2 logx 4 = 3.
Идея. Уравнение является квадратным относительно log4 x.
Указание. logr 4 = , поэтому при ζ = log4x 7^ 0 после домножения на
log4x
него обеих частей уравнения получим ζ2 — 3ζ + 2 = 0.
1
Решение. Заметим, что logx 4
принимает вид
2
log4x
. Пусть ζ = log4 x^O, тогда уравнение
ζ ■
0
^ - 3ζ + 2 = 0
ζ
ζ = 1;
ζ = 2;
ж = 4;
ж = 16.
Ответ. 4:16.

320
Указания и решения
Задача 20. (Филол-89.3)
Решить уравнение log2;c+2 (2х2 — 8х + 6) = 2.
Идея. Использовать определение логарифма для перехода от уравнения к
равносильной системе.
Указание. Уравнение равносильно системе
' 2х2 -8ж + 6 = (2ж + 2)2,
2х + 2 > 0,
2ж + 2 ^ 1;
ОДЗ на функцию, стоящую под логарифмом, будет выполнено автоматически.
Решение. Перейдём к равносильной системе:
\2 + 8х - 1 = 0,
2ж2 -8ж + 6 = (2ж + 2)2,
2ж + 2 > 0,
2ж + 2 ^ 1;
ж > -1,
(ж = -4±λ/Ϊ7;
ж > -1,
χ φ
1
25
^^ ж = -4 + л/17.
Ответ. \/Ϊ7 — 4.
Задача 21. (Почв-71.5)
Решить неравенство 2 log ι (ж — 2) — log ι (ж2 — χ — 2) > 1.
Идея. Разложив квадратный трёхчлен на множители, привести обе части
неравенства к логарифму по одному основанию и воспользоваться монотонностью
логарифмической функции.
Указание. На области определения (χ > 2) преобразовать левую часть
2 logi (χ - 2) - logi (χ - 2) (χ + 1) = log ι (χ - 2) - log ι (χ + 1).
Указание. Решая неравенство, перенести второй логарифм направо:
log ι (ж - 2) > log ι (ж + 1) + 1.
Решение. Разложим квадратный трёхчлен на множители и на области
определения (ж > 2) заменим логарифм произведения суммой логарифмов:
2logi (ж - 2)-logi (χ - 2)(ж + 1) > 1
ж + 1
^^ х-2 < —— Ф=
logi (ж - 2) > logi (ж + 1) + 1
2х - 4 < ж + 1
ж < 5;
осталось учесть область определения, в итоге получим 2 < χ < 5.
Ответ. (2; 5].

5.3. Простейшие логарифмические уравнения...
321
Задача 22. (Почв-96(1).2)
Решите уравнение 1с^4ж_ж2 х = log12_3x х-
Идея. Используя формулу перехода к новому основанию в логарифмах, перейти
к равносильной системе условий.
Указание. Применив формулу перехода к новому основанию, получить
уравнение
log2x = log2x
\og2(4x-x2) ~ log2(12-3x)·
Далее рассмотреть два случая: числители равны нулю при выполнении ОДЗ или
знаменатели равны друг другу при выполнении ОДЗ.
Решение. Применим формулу перехода к новому основанию:
log2x = log2x
\og2(4x-x2) ~ log2(12-3x)'
Далее рассмотрим два случая: числители равны нулю при выполнении ОДЗ или
знаменатели равны друг другу при выполнении ОДЗ.
1)
2)
log2 χ = О,
4ж - х2 > 0, 4ж - χ2 φ 1, <=
12 - Зх > 0, 12 - Зх φ 1;
r\og2(Ax-x2) = log2(12-3x),
χ > 0;
1.
χ^
12 - Зж,
4χ
12-Зж>0, 12-Зж^ 1,
χ > 0;
0 < χ < 4,
-а П
з.
Ответ. 1:3.
Задача 23. (ВМК-96(1).2)
Решить уравнение log22,+3 (х — 2)2 = log χ +ι (ж — 2)2 .
Идея. Использовать формулу перехода к новому основанию в логарифмах и
затем рассмотреть два случая.
Указание. После применения формулы перехода к новому основанию получим
уравнение
log2 (χ - 2)2 = log2 (χ - 2)2
l0g2^ + 3) log2^ + i
Далее рассмотреть два случая: числители равны нулю при выполнении ОДЗ или
знаменатели равны друг другу при выполнении ОДЗ.

322
Указания и решения
Решение. Применим формулу перехода к новому основанию:
log2 (χ - 2)2 log2 (χ - 2)2
log2 (2x + 3)
bg2
6
Далее рассмотрим два случая: числители равны нулю при выполнении ОДЗ или
знаменатели равны друг другу при выполнении ОДЗ.
!) 4
2)
СИ
log2 (χ - 2)2 = 0,
2ж + 3>0, 2ж + 3^1,
χ 1 „ х 1 , ,
6 + 2>0' 6 + 2^
( X
log2 (2х + 3) = log2 - +
\6
2ж + 3^ 1,
ж - 2 ^ 0;
1 \
Τ Ь
2/
=> <
ж
= 1;
[ж = 5;
ж > -3/2,
χ φ — 1, ж φ 3;
Г χ 1
^^ <
2ж + 3 = - + -
6 2
х^2,
2х + 3 > 0,
^2ж + 3^ 1;
15
1.
15
Задача 2^. (Почв-95(1).3)
Решить неравенство log2 — < 2.
log*2 ж
Идея. Привести оба логарифма к основанию 2.
Указание. Формулы:
1) Ух > 0, у > 0, χ φ 1, 2/ ^ 1 logx 2/ = ;
log^x
2) Vx > 0, у е R, а > 0, а ф 1 loga xy = ylogax.
Решение. На области определения (χ > Ο,χ φ 1) приведём логарифмы к одному
основанию:
1
log. 2
-log,*-1 <2
log2 x + log2 x < 2
log2 χ < 1
0 <х < 2.
Учтём область определения: хЕ(0;1)и(1;2].
Ответ. (0;1)U(1;2].
Задача 25. (Геогр-72.3)
Найти все значения χ, для которых справедливо неравенство 2 log7 x — logx 49 < 3.
Идея. Выполнив замену логарифма на новую переменную, привести левую часть
к дроби и использовать метод интервалов.

5.3. Простейшие логарифмические уравнения...
323
Указание. Если ζ = log7x, то log^ 49 = -. Неравенство принимает вид
2z2 - 3z - 2 Л
< 0 и решается методом интервалов.
Решение. Пусть ζ = log7 χ, тогда неравенство принимает вид
2ζ2-3ζ-2 (ζ-2)(2ζ + 1)
2ζ - - < 3
ζ
<0
<0
ζ <
1
2'
0 < ζ < 2;
/////////////////η
-1/2
+ +
возвращаемся к исходной переменной:
log7x < --;
Ответ. (О
х/7
О < log7x < 2;
U(l;49).
О < χ <
1
л/7'
1 < ж < 49.
Задача 26. (ЕГЭ)
Решите неравенство logx_1 (ж + 2) < 0.
Идея. Перейти к равносильной совокупности, используя определение и свойства
логарифмической функции.
Указание. Неравенство вида loga/2,\ f(x) < 0 равносильно совокупности систем
\а(х) > 1, ίθ < а(х) < 1,
\ / ч ИЛИ < , ч
\0 < f(x) < 1; \/(х) > 1.
Указание. Неравенство равносильно совокупности систем
х- 1 > 1,
0 <ж + 2 < 1:
0 <ж-1 < 1,
ж + 2 > 1.
Решение. Рассмотрим два случая в зависимости от значения основания
логарифма:
| -2 <ж< -1;
1 < ж < 2,
ж > -1;
нет решении;
1 <ж < 2.

324
Указания и решения
Задача 27. (ВМК-73.2)
Решить неравенство log£
-18Х + 91 \ ЪХ~ —~ ) < 0.
Идея. Перейти к равносильной совокупности на основе свойств
логарифмической функции.
Указание. Неравенство вида loga/2,\ f(x) < 0 равносильно совокупности систем
а(х) > 1, J 0 < а(х) < 1,
J(x) > 1.
Указание. По определению логарифмической функции неравенство равносиль-
условии < N ' ' или
10</(а:)<1;
но совокупности <
18ж + 91
90
>1,
или
0 < 5ж - — < 1;
0<
18ж + 91
90
<1,
5,-->1.
Решение. Рассмотрим два случая в зависимости от значения основания
логарифма:
х2 - 18ж + 91
90~~
1)<
Сравним числа:
>1,
0 < Ъх - — < 1;
х2 - 18ж + 1 > 0,
3 13
50<Ж^50;
х < 9 - 4\/5;
χ > 9 + 4\/5;
3 13
— < χ < —.
50 - 50
9-4л/5 V —
50
447 V 200л/5
4002 + 472 + 2 · 47 · 400 V 2002 · 5 = 500 · 400
472 + 47 · 800 V 400 · 100
472 V 800 · 50 - 800 · 47 = 3 · 800
1600 + 49 + 7-80 V 2400
49 + 560 < 800
3/50
/////////////////q д^р
9-фЛз 13/50
#w/> χ
9+4^5"
г 3 13 г
значит, 9 — 4у 5 < -^ < — < 9 + 4у 5, поэтому в первом случае решений нет.
2)
50 50
Л х2 - 18ж + 91 л
о < — < ι,
90
Гж2-18ж + 91 >0,
х2 - 18ж + 1 < 0,
χ >
13
50;

5.3. Простейшие логарифмические уравнения...
325
9-4л/5 < χ < 9 + 4\/5,
^505
13
50
< χ < 9 + 4 л/5.
ι 13
Ответ. |—-;9 + 4л/5
50
Задача 28. (Фил-92.2)
Решить неравенство logx(a:2 -ж3 + 21ж) > 3.
Идея. Перейти к равносильной совокупности, используя определение
логарифмической функции и её свойства.
Указание. Неравенство вида log^) f(x) > log^) g(x) равносильно
совокупности условий: при а(х) > 1 f(x) > g(x) > 0; при 0 < а(х) < 1 0 < f(x) < g(x).
Указание. Раскрывая логарифмическую функцию по определению, получаем
совокупность условии: при
0 <х2 -х3 + 21ж<ж3.
χ > 1
χό + 21х > ж , при 0 < χ < 1
Решение. Переходим к равносильной совокупности систем в зависимости от
значения основания логарифма.
1) Если основание логарифма больше единицы, то логарифмическая функция
возрастает:
χ > 1,
х6 + 21х > х
,з.
ж > 1,
ж(2ж2 -ж-21) < 0;
χ > 1,
-3 <ж <
2'
7
2) Если основание логарифма меньше единицы, то логарифмическая функция
убывает:
0 < χ < 1,
х2 -х3 + 2\х < ж3,
х2 - х3
21ж>0;
0 < χ < 1,
ж(2ж2 -ж-21) >0,
х(х2 -ж-21) < 0;
(0<х< 1,
ж < -3;
7
ж
2 -Ж-2К0;
нет решений, так как два первых неравенства не имеют пересечений. При этом
последнее неравенство далее не пришлось решать.
О'
1;
7'
Задача 29. (М/м-97(1).2)
х2 + Зх - 4
Решить неравенство logx+1 — —
< 1.

326
Указания и решения
Идея. Перейти к равносильной совокупности, используя определение и свойства
логарифмической функции.
Указание. Неравенство вида \ogarx\ f(x) <\ogarx\g(x) равносильно
совокупности условий: при а(х) > 1 0 < f(x) < д(х)\ при 0 < а(х) < 1 f(x) > д(х) > 0.
Указание. Раскрывая логарифмическую функцию по определению, получаем:
х2 + Зх - 4 Л х2 + Зх - 4
при ж + 1>1 0< —<х + 1; при 0<ж<1
2ж-4
2ж-4
> ж + 1.
Решение. Переходим к равносильной совокупности систем в зависимости от
значения основания логарифма.
1) При χ + 1 > 1 <^> χ > 0 получаем
Зх-4
2х-А
ν2 + Зх - 4
>0;
χ
5ж
>0,
2ж-4
значит, с учётом ж > 0 получаем
х-2
(х- 1)(ж + 4)
ж-2
>0;
0 < χ < 1;
ж> 5.
2) При 0 < ж + 1 < 1 <^> —1 < ж < 0 получаем
Зж-4
>ж + 1
5ж
2ж-4
остаётся — 1 < χ < 0.
Ответ. (-l;0)U(0;l)U[5;+oo).
<0
>о,
( х(х — 5)
х-2
(х - 1)(ж + 4)
>0;
х(х — 5)
<0;
Задача 30. (Экон-98.1)
Решить неравенство log^
1
>0.
Идея. Перейти к равносильной совокупности, используя определение
логарифмической функции и её свойства.
Указание. Неравенство вида \ogafx\ f(x) > 0 равносильно совокупности
условий: при а(х) > 1 f(x) > 1; при 0 < а(х) < 1 0 < f(x) < 1.
Указание. Раскрывая логарифм по определению, получаем совокупность: при
> 1
> 1; при 0 <
<1 0<
< 1.
Решение. Переходим к равносильной совокупности систем в зависимости от
значения основания логарифма.
1 -л/21
!) \
х-Б1
>1,
>1;
X <
X >
χ > 3;
2 7
1 + л/21
χ > 3.

5.3. Простейшие логарифмические уравнения...
327
3 С
-•tovwtowv^s^ х
1-V21 1+V21 3
2) <
0<
ж — ж
<1,
ж < 0;
ж > 1;
1 -л/21 1 + л/21
< χ < ,
2 2
[1 <ж <3;
ж(ж - 1) > 0,
ж2 - χ - 5 < 0,
1 < χ < 3;
1 < ж <
1 + л/21
1-V21 0 1 1+V21 3
Ответ. ( 1; ) U [3;+оо).
Задача 31. (Геол-75.2)
Решить неравенство log9;c2_6;c+1 9ж2 _ 18χ + 8
< -1.
Идея. Перейти к равносильной совокупности на основе определения
логарифмической функции.
Указание. Неравенство вида log^) f(x) > log^) д(х) равносильно
совокупности условий: при а(х) > 1 f(x) > g(x) > 0; при 0 < а(х) < 1 0 < f(x) < g{x).
Указание. Переписав неравенство в виде log9;c2_6;c+1 (9х2 — 18х + 8) > 1,
раскроем его по определению логарифмической функции: при 9х2 — 6х + 1 > 1
9ж2-18ж+8 > 9ж2-6ж+1; при 0 < 9ж2-6ж+1 < 1 0 < 9ж2-18ж+8 < 9ж2-6ж+1.
Решение. Перепишем неравенство в виде \og9x2_6x_^_1 (9х2 — 18х + 8) > 1 и
рассмотрим два случая в зависимости от значения основания логарифма:
"' х < 0;
1)
9х2 -6ж + 1 > 1,
9ж2 - 18ж + 8 > 9х2
χ <0.
■6ж + 1;
ж(3ж - 2) > 0,
12ж < 7;
2
х>з;
7
Ж<12;
//////////////////Q-
_Q////////////////^^ χ
7/12 2/3

328
Указания и решения
2)
[О < 9х2 -6ж + 1 < 1,
О < 9х2 - 18ж + 8 < 9ж2 - 6ж + 1;
Х^ 3'
ж(3ж - 2) < О,
9ж2 - 18ж + 8 > О,
12ж > 7;
х^
3'
О < ж <
----з'
Г х < 2/3;
1 ж > 4/3;
7
Ж>12;
7 2
12<Ж<3·
_су/////(у//////(]у///////0_
О 1/3 7/12 2/3
7 2
Ответ, (-оо; О) U ( —;-
Задача 32. (Геол-73.4)
Решить неравенство log,
2х — χ
2 X
>0.
Идея. Перейти к равносильной совокупности на основе определения
логарифмической функции.
Указание. Неравенство вида loga/2,\ f(x) > 0 равносильно совокупности
условий: при а(х) > 1 f(x) > 1; при 0 < а{х) < 1 0 < f{x) < 1.
з I
Указание. Переписав неравенство в виде 1с^2ж_ж2
> 0, получаем для
него по определению логарифма: при 2х—х2 > 1
з|
0<
<1.
> 1; при 0 < 2х-х2 < 1
Решение. \og2x_x2 [х —-\ >0 <^>
Переходим к равносильной совокупности.
f2x-x2 > 1, ίθ-1)2 <0,
1)
>1;
3
Х~2
>1;
log.
2ж —ж2
з
Ж"2
>0.
нет решения.

5.4- Смешанные задачи
329
2)
О <2х-х2 < 1,
0<
<1;
(х(х-2) <0,
(х - I)2 > О,
з|
0<
<1;
^l'|;i)u(i;|)u(|;2).
ОтвеТ. Γ|;ΐ)υ(ΐ;|)υ(|;2Ι.
0
X
1
—
2
X
< X <
ф\
< X <
, 3
^
2,
5
—
2'
5.4. Смешанные задачи
Задача i. (ЕГЭ)
Решите уравнение 101_lg:c = 1002+lga\
Идея. Привести показательные функции к одному основанию и воспользоваться
свойством монотонности показательной функции.
Указание. Привести правую часть к основанию 10: 101_lg:c = i04+21ga\
Решение. Приведём показательные функции к одному основанию и
воспользуемся свойством монотонности показательной функции:
10i-ig* = ioo2+lg;c
Ответ. 0,1.
-LQl-lga _ 2Q4+21gx
к χ = -1 ^^
1—lgx = 4+2 lg ж
1
Ϊ0'
Задача 2. (ВМК-85.1)
Решить систему уравнений
6х - 2 · 3^ =
6х · Зу = 12.
Идея. Ввести новые переменные и решить подстановкой.
Указание. Пусть 6х = и > 0, Зу = ζ > 0, тогда система принимает вид
uz = 12.
Подставив и из первого во второе, приходим к стандартному квадратному
уравнению.
Указание. После подстановки получаем ζ2 + ζ — б = 0, то есть при условии
ζ > 0 решением является ζ = 2 => г/ = 6.

330
Указания и решения
Решение. Пусть 6х = и > 0, Зу = ζ > 0, тогда система принимает вид
\u-2z = 2,
\uz = 12;
Подставим и из первого во второе:
ζ2 + ζ - 6 = 0
значит,
ζ = 2,
и = 6;
Ответ. (l;log32).
3^ = 2,
6χ = б
u = 2(z + l),
uz = 12.
z = -3 < 0;
ζ = 2;
2/ = bg3 2,
ж = 1.
Задача 3. (Хим-92.1)
Решить уравнение χ + 1 + logi (—2 + 3~х) = 0.
Идея. Оставив логарифм в левой части уравнения, воспользоваться его
определением на области допустимых значений.
Указание. Уравнение преобразуется к виду log3 (3~х — 2) = χ + 1, далее по
определению логарифма 3~х — 2 = Зж+1.
Указание. Полученное уравнение является квадратным относительно
показательной функции ζ = 3х > 0.
Решение. Преобразуем уравнение:
log3 (3-* - 2) = χ + 1
Обозначим ζ = 3х > 0, тогда
3~ж
зж + 1
1
3ζ
3ζι
■2ζ - 1 = 0
-1 <0:
значит, 3х = -
Ответ. —1.
-1.
Задача 4- (М/м-76.1)
Решить уравнение log;
χ Зх \
sin(-x) \sm-+siny 1 =1.
Идея. Используя определение логарифма, заменить уравнение равносильной
системой и решить её.

5.4· Смешанные задачи
331
ίχ Зх
sin — + sin — = sin (-x),
2 2
0 <sin(-x) φ 1;
решаемой привычными методами тригонометрических преобразований.
Решение. Перейдём к равносильной системе:
sin - + sin —
sin ж > О,
sin ж φ 1;
sin ж,
2 sin x cos —V sin χ = 0,
sin ж < О,
[sinж φ — 1;
Так как sin ж < 0, то из первого уравнения cos — =
с учетом неравенств остается χ = Ь 4πη, η Ε
4π
Ответ. Κ4πη, п<ЕЪ.
ό
1 ,47Γ ,
- ^^ χ = ±γ+4πη;
Задача 5. (ИСАА-99.1)
Решить уравнение lg2 {χ - 2)2 = 321°^ ^ . bg5 (2 - χ)
Идея. Преобразовав левую и правую части по соответствующим формулам,
получить уравнение относительно логарифма.
Указание. Левая часть lg (x — 2)2 = 41g \x — 2|; в правой части
32 log3 V2 _ 3bg3 2 _ 2 1°&5 (2 ~ Ж)
log5 10
lg (2 — χ). Тогда с учётом условия 2 — ж > 0
уравнение переписывается в виде 4 lg (2 — χ) = 2 lg (2 — χ).
Решение. Преобразуем выражения в левой и правой частях равенства:
41g2 |х - 2| = 21g(2 - χ) ^^ 41g2(2-x) =21g(2-x) ^^
lg(2-x) = 0;
Ig(2-x) = J;
2-ж = 1;
2 - ж = λ/ΪΟ;
χ = 1;
χ = 2-
10.
Ответ. 1; 2 - λ/ΪΟ-
Задача 6. (Экон.К-80.1)
Решить неравенство log5 (26 — 3х) > 2.
Идея. Воспользоваться монотонным возрастанием логарифмической функции
в условиях задачи при выполнении ограничений области определения.
Указание. Неравенство log5 f(x) > 2 равносильно неравенству f(x) > 25, то
есть в нашем случае получим, что 3х < 1.

332
Указания и решения
Решение. Используем монотонное возрастание логарифма по основанию 5:
26 - 3х > 25 ^^ 3х < 1 ^^ χ < 0.
Ответ. ( —оо;0).
Задача 7. (Биол-71.1)
Решить уравнение log ι 2х · log ι (ж cos
27Г ι
= 7cos γ -logi 2.
Идея. Вычислив непосредственно значения косинусов, привести обе части к
логарифму по одному основанию.
Указание. Подставив в уравнение табличные значения тригонометрических
7Г 1 27Г 1 X
функций cos - = -, cos — = - - , получим log2 2x · log2 — = 7.
Указание. Последнее уравнение является квадратным относительно log2x;
после преобразований уравнение принимает вид log2 х — 41og2 χ — 12 = 0.
Решение. Подставим в уравнение табличные значения тригонометрических
функций и преобразуем выражения, приведя логарифмы к основанию 2:
Пусть ζ = log2 x, тогда
(1 + ζ)(ζ-5) = 7 <ί=>
ζ = -2;
ζ = 6;
log22x-log2— = 71og22.
bz - 5 + ζ = 7
log2x = -5
log2 ж = 6;
4z - 12 = 0
ж
1
4;
ж = 64.
Ответ. -; 64.
4
Задача 8. (М/м-95.2)
2
Решить неравенство —^
1
> -3.
log2 х
Идея. Выполнив для удобства замену переменной, решить неравенство методом
интервалов.
Указание. Пусть ζ = log2 x, тогда неравенство примет вид
ζ-6
>0, ζ^Ο.
Решение. Обозначим ζ = log2 χ. Тогда при условии ζ / 0 (то есть χ φ 1)
уравнение принимает вид
2ζ
3>0
ζ-6
>0
ζ <2;
ζ >6;

5.4· Смешанные задачи
333
log2 x < 2;
log2 x > 6;
О < χ < 4;
ж > 64.
Осталось учесть условие χ φ 1: χ G (0; 1) U (1; 4) U (64; +oo).
Ответ. (0;l)U(l;4)U(64;+oo).
Задача 9. (М/м-88.2)
Решить неравенство log52,_4;c2 А~х > 0.
Идея. Решить неравенство путём перехода к равносильной совокупности на
основе значения основания логарифма.
Указание. Неравенство вида \ogafx\ f(x) > log^) g(x) равносильно
совокупности условий: при а(х) > 1 f(x) > д(х) > 0; при 0 < а(х) < 1 0 < f(x) < д(х).
Указание. Рассматривая случаи на основе значения основания логарифма,
получаем равносильную совокупность: при Ъх — Ах2 > 1 4~х > 1; при
0<5ж-4ж2<1 4"* < 1.
Решение. Раскрываем логарифм стандартным способом.
КО, ' 1
1)
Ъх - 4х2 > 1,
4"* > 1;
2) {
Ъх - 4х2 < 1,
Ъх - Ах2 > 0,
4ГХ < 1;
4ж2 - Ъх + 1 > 0,
х(Ах - 5) < 0,
χ > 0;
ж е о
ι
U 1;
< χ < 1,
4
ж<0
χ <
1
4'
ж > 1;
t
0 < χ < -
α^μ
tf//////fy////////////////fy////////Q
о^
1/4
1
5/4
Ответ. (0;ij U Μ; ^
Задача 10. (Физ-87.2)
Решить уравнение 4s
->5 — 2 sin ж
18.
Идея. Уравнение является квадратным относительно показательной функции.
32
Указание. 25~2sinx = —:—, поэтому при ζ = 4sinx > 0 получаем уравнение
18г + 32 = 0.
1
Указание. Решая полученное квадратное уравнение, получаем, что sin χ = -
2;
или smx
вторая возможность исключается.

334
Указания и решения
Решение. Пусть ζ = 4sm х > 0, тогда
32
z + ■
18
18г + 32 = 0
ζ = 2;
ζ = 16;
значит,
AS1UX ел
л sin ж
16;
2'
sin ж = 2 > 1;
Ж= (-1)П- +7ГП, η£Ζ.
, тг
Ответ. ( —l)n—b7rn,neZ.
Задача 11. (М/м-94(2).2)
Решить систему i 32/- б^/2 = 2*"1.
Идея. Выразить 2Ж из первого уравнения и подставить во второе.
Указание. Выразить из первого уравнения 2х = 1 — 2у > 0 и подставить во
второе.
Указание. Тогда второе уравнение примет вид 12у2 — 8у + 1 = 0, то есть
у = - или у = -. Поскольку 1 — 2i/ > 0, то корень у = - не подходит.
Решение. Выразим из первого уравнения 2х = 1 — 2у > 0 и подставим во второе:
1
62/ - 12^ = 1-22/
12ι/2 — 8у + 1 = О
2/ =
2/ =
= б5
1
= 25
1 - log9 3
2 °!
1 2
1) при у = - получаем 2х = 1 — 2у = - <^> ж = log2
6 3 о
2) при у = - получаем 2Ж = 1 — 2г/ = 0, следовательно, решений нет.
Ответ. (1 -log23;-
Задача 12. (Почв-83.3)
Решить систему уравнений
ж + 2^+1 =3,
Ах + 4У = 32.
Идея. Выполнив замену показательной функции на новую переменную, решить
систему подстановкой.
ix -\- 2z = 3
Ах + 2г = 32.
Выразить из первого уравнения χ = 3 — 2ζ и подставить во второе.

5.4· Смешанные задачи
335
Указание. После подстановки получим ζ2 — 8ζ — 20 = 0, то есть ζ = — 2
или ζ = 10, причём первое значение отпадает в силу своей отрицательности.
Решение. Пусть ζ = 2У > 0, тогда система приобретает вид
jx + 2z = 3,
{4x + z2 = 32.
Из первого уравнения выражаем χ = 3 — 2ζ и подставляем во второе уравнение:
Sz - 20 = 0
-2<0;
Ю;
значит, 2у = 10 ^^ у = log2 10 = log2 5 + 1; χ = 3 - 2z
Ответ. ( —17;log25 + 1).
-17.
Задача 13. (Почв-75.3)
Решить уравнение χ + 27з 11о§эуз л/^1
10
Идея. Преобразовав логарифм, раскрыть модуль по определению.
Указание. Уравнение принимает вид χ + 3'log3 ж' = — .
о
10
Указание. Раскрываем модуль по определению: при log3 х > 0 ж + ж = -—;
о
при logo ж<0 жН— = —. Дальнейшее решение идёт по стандартной схеме.
χ 3
Решение. После преобразования подмодульного логарифма получаем
уравнение χ + З'log3 ж1 = — . Раскроем модуль по определению,
о
1)
2)
log3 х > 0,
1 - 10·
ι χ -\- χ ,
ilog3x < 0,
< 1 10
\х+- = ^
у χ о
η 1 5
Ответ. -; -.
0 <х < 1,
Зж2 - 10ж + 3 = 0;
ж=з·
3' 3
Задача 14- (Биол-74.2)
Решить уравнение 5 ·
25
4-5'
cos 2x
25^

336
Указания и решения
Идея. Используя тригонометрические формулы, привести показатели к
функциям одного аргумента, после чего выйти на одинаковые основания показательных
функций.
Указание. 2sin χ = 1 — cos2х, поэтому
Тогда уравнение примет вид 5 · 5cos 2x = 5sm 2x .
Указание. Из уравнения получаем 1+cos 2х = sin 2x
-2 sin χ
sin 2x
-cos 2х — 1
1
71'
Решение. Так как
г rcos2x г sin 2x ,
2х- -
-2 sin χ
1 + cos 2x = sin 2x
+ 2πη, η Ε Ζ;
π 3π
2ж = V 2πτη, τη Ε
4 4
7Г 7Г
Ответ. —+πη, Ь7гт: n,mEZ.
4 2
cos 2ж—1
«
^^
το получаем:
sin ( 2χ — —)
г π
χ = — + πη,
π
ж = — + πτη,
1
"71
neZ;
πι Ε 2
Задача 15. (Физ-89.3)
Решить уравнение log2 (x + 4) + 2 log2 v^ — 5.
Идея. Преобразовать левую часть к одному логарифму.
Указание. С учётом формул преобразований логарифмов уравнение
приобретает вид log2 х(х + 4) = 5 при χ > 0.
Решение. Приведём левую часть к одному логарифму, используя формулы
логарифма степени и суммы логарифмов:
Г log2x(x + 4)
\ х>0;
Ответ. 4.
ж(ж + 4) = 32,
χ > 0;
-8<0;
χ = 4.
Задача 16. (Геол-97(1).2)
Решить уравнение 2 — log3 х = log3 ( -|х| + 2 1 .
Идея. Преобразовать обе части уравнения к логарифмам с одинаковыми
основаниями.
Указание. С учётом положительности переменной под логарифмом в левой
части уравнения получаем, что \х\ = χ в правой части.
Указание. После приведения к логарифмам с одинаковыми основаниями
уравнение имеет вид log3 — = log3 ( -χ + 2 1 , так как х > 0 по ОДЗ.

5.4· Смешанные задачи
337
Решение. Заметив, что на области определения (х > 0) |х|
в левой и правой частях к логарифмам по одному основанию:
х, переидем
log3- =log3 ί зж + 2
Ъх1 + 6х - 27 = 0
9
χ
χ
Ъх
-3<0;
9
х=-;
Or
Задача 17. (Физ-94(1).2)
Решить уравнение - log2 (х — 2) = log ι л/Зх — 5.
6 3 8
Идея. Преобразовать обе части уравнения к логарифмам с одинаковыми
основаниями.
Указание. Применив формулы преобразования логарифмов, получим
уравнение log2 (х — 2) — 2 = — log2 (Зх — 5), откуда log2 (Зх — 5)(х — 2) = 2 при
χ > 2.
Решение. Приведём выражения в левой и правой частях уравнения к
логарифмам по одному основанию:
log2 (χ - 2) - 2 = - log2 (Зх - 5)
Ответ. 3.
Зх2 - Их+ 6 = 0,
χ > 2;
log2(3x-5)(x-2) =log24,
χ > 2;
χ = 3.
/
I a
Γ 2
ж=з;
ж = 3;
;>2;
Задача 18. (Физ-83.3)
3 1
Решить неравенство - log4 \[х log2 χ > 1.
Идея. Преобразовать к неравенству относительно одного логарифма.
Указание. Формулы:
1) Vx > 0, у е R, а > 0, а ф 1 logax^ = i/logax;
2) Vx φ 0, a > 0, a ^ 1, 2/ > ° loga, y = - \ogay.
Решение. Перейдём к логарифмам по основанию 2:
log2 χ < -4
1
3 1 1л 1л
2*3*2 g2 X ~ 2 g2 X >
0 < χ <
16'
О
0;
16

338
Указания и решения
Задача 19. (Геол-83.3)
Решить неравенство logsin ^ (х2 — Зх + 2) > 2.
Идея. Воспользоваться убыванием логарифмической функции в условиях
задачи при выполнении ограничений области определения.
Указание. Так как sin -
ч/З
Ε (0;1), то функция у = logsin π t убывает,
поэтому неравенство равносильно системе 0 < х2 — Зж + 2 < -.
Решение. Поскольку основание логарифма меньше единицы sin— =
то неравенство равносильно
\х2 -Зж + 2 < -,
1
Ответ.
х2 - Зх + 2 >(
4
у,
системе
Μ 5
2 - - 2'
^
'ж<1; ^^
.ж > 2;
^<*<ΐ;
5
2 <ж < -.
L - 2
Задача 20. (ИСАА-94.2)
Решить уравнение 2х log2 7 · 7х +х = 1.
Идея. Привести обе степени к одному основанию, применив основное
логарифмическое тождество.
Указание. Основное логарифмическое тождество имеет вид:
α1οδα& = 6, где а > 0, а ф 1, Ь > 0,
откуда получаем, что 2х1°ё2 7 = 7х.
Указание. Уравнение принимает вид 7Ж +2ж = 1, то есть х2 -\- 2х = 0.
Решение. Применив основное логарифмическое тождество к первому
сомножителю левой части, получим
ιγΧ ^ ιγΧ -\-Χ -ι
Ответ. —2:0.
7:
■χζ+2χ
7и
х(х + 2) = 0
χ = -2;
х = 0.
Задача 21. (Филол-91.2)
Решить уравнение log2 (5 · 2х + 3) = 2х + 1.
Идея. Воспользоваться определением логарифма.
Указание. Уравнение log2 (5 · 2х + 3) = 2х + 1 равносильно уравнению
5·2* + 3 = 22χ+1.
Указание. Последнее уравнение является квадратным относительно
показательной функции ζ = 2х > 0 : 2ζ2 — 5ζ — 3 = 0.

5.4· Смешанные задачи
339
Решение. Из определения логарифма получаем 5 · 2х + 3 = 22ж+1. Обозначим
ζ = 2х > 0, тогда уравнение принимает вид
2zz -bz-3 = 0
ζ = —
ζ = 3.
2<0;
Значит, 2Ж = 3
Ответ. log23.
χ = log2 3.
Задача 22. (Биол-87.3)
3 log0 5 х
Решить неравенство —'■ > 2 log0 5 χ + 1.
2 - bg0,5 x
Идея. Перенеся все слагаемые в левую часть и приведя к одному знаменателю,
решить неравенство методом интервалов относительно логарифма.
Указание. Удобно сделать замену ζ = log0 5 χ и, перенеся все слагаемые
\z-l){z^rl) n
в левую часть, привести к общему знаменателю < 0.
Указание. Решая дробь методом интервалов, получим в итоге ζ < — 1 или
1 < ζ < 2, то есть - < χ < - или χ > 2.
~ 4 ~ 2
Решение. Сделаем замену ζ = log0 5 ж, тогда уравнение принимает вид
3z
>2z + l
3z- (2z + l)(2-z)
2-2
(z-l)(z + l)
z-2
<0
<0
2z2
<0
ζ < -1;
1 < ζ < 2;
/////////////////л
-1
^//////////q
1 2
значит,
Ответ.
logi x < — 1;
1 < logi ж < 2;
1 1
4;2
U[2;+oo).
ж > 2;
1 1
- < χ < -.
4 ~ 2
Задача 23. (Почв-70.2)
Решить уравнение log8 (Ах λ — 1) + - = log8 ( 2х +2 — 7

340
Указания и решения
Идея. Приведя обе части к логарифму по одному основанию, приравнять под-
логарифменные функции на области определения.
Указание. Левая часть приводится к виду log8 у4х~1 — 1) + - = log8 ί 4х — 4 J,
после чего уравнение принимает вид 4х — 4 = 4 · 2Ж — 7 > 0. Это квадратное
уравнение относительно показательной функции.
Решение. Преобразуем левую часть к одному логарифму по основанию 8 и
приравняем подлогарифменные функции на области определения:
4ζ - 7 > 0;
ζ
1;
ζ = 3;
7
ζ>ϊ>
4х - 4 = 4 · 2х
4 · 2χ2 - 7 > 0.
■7,
ζ = 3;
значит, 2х
χ2 = log2 3 > 0
Ответ. ±Y/log2 3.
ж = ±v/log23.
Задача ^. (ВМК-76.2)
Решить систему уравнений
3.2*-log22/ = 2,
2Ж - log2 Ϊ/ = 1.
Идея. Ввести новые переменные вместо показательной функции и логарифма,
после чего решить систему стандартной подстановкой.
Зи — ζ = 2,
uz = 1.
Указание. Выразить из первого уравнения ζ = Зи — 2 и подставить во второе.
Указание. Если и = 2х у ζ = log2 2/, то система принимает вид
Решение. Введём новые переменные и = 2х > 0, ζ = log2 у, тогда
ίζ = 3^-2,
^^ 1 м(3м - 2) = 1;
рассмотрим второе уравнение:
ЗгГ - 2гх - 1 = 0
г/ = 1;
и = —
ь*
значит, г/ = 1, ζ = 1; то есть ж = 0, у = 2.
Ответ. (0;2).

5.4· Смешанные задачи
341
Задача 25. (Геол-96(1).3)
Решить уравнение log *-ι (ж — 1) = 2.
Идея. Применить определение логарифма, не забывая про ОДЗ.
Указание. Число Ъ называется логарифмом числа с по основанию а, если
с. Обозначение: Ъ = loga с, если аь = с.
Указание. Исходное уравнение равносильно системе <
ж — 1
2ж-3
ж-1
ж — 1,
>0,
2ж-3|
[ж-1 ^ |2ж-3|;
Решение. Уравнение равносильно системе
2
= ж — 1,
χ — 1
2ж-3
ж-1
2^>0'
[ж-1 ^ |2ж-3|;
'ж-1 = (2ж-3)2,
ж- 1 ^ |2ж-3|.
Рассмотрим квадратное уравнение: 4ж2 — 13ж + 10 = 0 <^>
Первый корень не удовлетворяет последнему неравенству системы.
5
Ответ. -.
χ = 2;
5
4'
ж
Задача 26. (Геол-97.5)
-D -, -, loga. log7 χ Jog! logu ж
Решить неравенство 11 и < 7 ?
Идея. Убрав дроби в основаниях логарифмов, применить основное
логарифмическое тождество для преобразованных показательных функций.
Указание. Основное логарифмическое тождество имеет вид:
aloSab = b, где а > 0, а ф 1, Ь > О,
поэтому в нашем случае получаем:
11log_3_log7x = 11_i0g11log7a; = nlog11log-1x и 7bgi bgllx = γ1ο^ log-i ^
то есть исходное неравенство равносильно неравенству logf ж < log]^ ж, где
log7ж>0, log11ж>0.
Указание. Учитывая ограничения на логарифмы, получаем, что неравенство
< равносильно при ж > 1 неравенству logi λ χ < log7 ж, которое
к^7ж к^пж
решаем переходом κ новому основанию, например, в левой части.
Указание. logn ж = = к^7ж · logn 7.
log7 11

342
Указания и решения
Решение. Избавимся от дробей в основаниях логарифмов и перейдём к
равносильной системе:
< log7x > 0, ^^
[lognx >0;
1
<
1
log7x lognx
ж > 1;
flognx < log7x,
I ж > 1;
log7x(logn7-l) <0,
χ > 1;
ж > 1.
Ответ. (1;+оо).
Задача 21. (Физ-81.4)
Решить неравенство 5 °ёз *+2 < 1.
Идея. Представив правую часть как показательную функцию, избавиться от
степеней.
Указание. Так как 1 = 5°, то в силу монотонности функции у = Ъх
исходное неравенство равносильно неравенству log3
<0.
ж + 2
Указание. Используя монотонное возрастание функции у = log3 х, получаем
2 ^ 2
< 1, учитывая область определения > 0.
χ + 2 χ + 2
Решение. Представим правую часть как степень с основанием 5 и перейдём
к неравенству для показателей:
bg3
х + 2
<0
0<
< 1
хТ2<1'
ж + 2 > 0;
^^ ж > 0.
Ответ. (0;+оо).
Задача 28. (Почв-98.4)
Решить систему
Vх = 3?/,
21og3i/ + log2/3 = 3a:.
Идея. Прологарифмировав первое уравнение, свести систему к уравнениям
относительно переменной χ и логарифма.
Указание. Из второго уравнения следует, что у > 0, у ^ 1, то есть в первом
уравнении можно получить χ = log^ Зу, тогда при ζ = log3 у система принимает
1
х = - + 1,
вид
2г+ ■
1
и может быть разрешена подстановкой.
Зх

6.1. Линейные тригонометрические уравнения...
343
Решение. Так как по ОДЗ у > О, у ^ 1, то прологарифмируем первое уравнение
системы:
Vх = ЗУ ^^ х = bg^ Зу = log^ 3 + 1
и подставим полученную зависимость во второе уравнение:
21og3i/ + log2/3 = 31og2/3 + 3.
Пусть ζ = log3 у, тогда уравнение принимает вид
2z 3 = 0
ζ
2ζι - 3ζ - 2 = 0
1
25
ζ = 2.
По формулам χ = —hi, у = 3Z находим
ζ
3
ж = -; г/ = 9.
о<
**)·(*·
6. Линейные и однородные тригонометрические
уравнения, системы тригонометрических
уравнений, использование ограниченности
тригонометрических функций
6.1. Линейные тригонометрические уравнения,
метод вспомогательного аргумента
Задача 1. (ЕГЭ)
Найти сумму корней уравнения sin χ — γ3 cos x = 0, принадлежащих промежутку
[—π; π]. Ответ записать в градусах.
Идея. Найти корни данного уравнения, рассмотрев его как стандартное
линейное однородное тригонометрическое уравнение.
Указание. Поделить обе части уравнения на cosx и найти из полученного
уравнения значение tgx.
Решение. Пусть χ - решение уравнения sin ж — л/Зсовж = 0. Заметим, что
cos х^О? поскольку в противном случае из данного уравнения получим sin χ = 0,
что противоречит основному тригонометрическому тождеству. Следовательно, мы
можем поделить обе части уравнения на cos ж:
sin ж — vocosx = 0
tgx-уД = 0
χ = 60° + 180° -п, пе
Полученные значения χ принадлежат промежутку [—180°; 180°] только при η = 0
и η = — 1. В результате искомая сумма корней равна 60° + ( — 120°) = —60°.
Ответ. -60°.

344
Указания и решения
Задача 2. (Физ-96(1).1)
Решить уравнение 1 — sin Ъх = cos Ъх.
Идея. Использовать метод вспомогательного аргумента.
Указание. Перенести синус в правую часть данного уравнения, поделить обе
части полученного уравнения на л/2 и воспользоваться формулой косинуса суммы.
Решение. Применим метод вспомогательного аргумента:
cos5x+sin5x = 1 <^> -^cos5aH—— sin5x=^= <^> cos ( Ъх
л/2 л/2 л/2
π\ 1
4 J =72
V2
π , тг ^
ох = ± Ь 2πη, η G
4 4
Ответ.
10
2πη 2πτη
"5"' "Τ"
; η, τη G Ζ.
π 2πη
2πτη
τη G
Задача 3. (Хим-82.1)
Решить уравнение л/3эт2х — cos2x = л/3.
Идея. Использовать метод вспомогательного аргумента.
Указание. Поделить обе части уравнения на 2 и воспользоваться формулой
синуса разности.
Решение. Применим метод вспомогательного аргумента:
λ/З . Л 1 Л л/3 . Д. тг\ _ л/3
π
. л 1 л л/3
— sin 2ж cos 2ж = —
2 2 2
sin (2ж
π π
2х = h 2πη, η G Ζ,
6 3
2χ
2π
6
+ 2πτη, τη G Ζ;
4
5π
12
+ πη, η G Ζ,
πτη, τη G
_ π 5π
Ответ. l· πη, Ь πτη: η, τη G
4 12
Задача 4- (Хим-79.1)
Решить уравнение sin 2x = 1 + л/2 cos ж + cos 2x.
Идея. Разложить на множители, предварительно расписав двойные углы.
Указание. Применить формулы sin2x = 2 sin ж cos ж и cos2x = 2 cos2 ж — 1,
перенести всё в одну сторону и вынести общий множитель.

6.1. Линейные тригонометрические уравнения...
345
Указание. Приравнять каждый из множителей нулю. При решении
полученных уравнений использовать метод вспомогательного аргумента.
Решение. Применив формулы двойных аргументов, получим
2 sin ж cos ж = \/2cosa: + 2 cos2 ж <^> cosx(2sinx — 2 cos ж — \/2) = 0 <^>
π
cos ж = О,
2 sin χ — 2 cos χ — л/2 = 0:
χ
+ πη, η Ε Ζ,
1 1 1
—τ= sin ж ■= cos ж = -.
л/2 л/2 2
Второе уравнение с помощью метода вспомогательного аргумента преобразуется
к виду
sin (χ - J)
π π
χ = —\- 2πτη, πι Ε Ζ,
4 6
π 5π
4 = ~6~
+ 2тг&, fc Ε Ζ;
χ = —- + 2πτη, m Ε Ζ,
13тг , , _
ж = —— + 2тг&, fc Ε Ζ.
„ π 5π 13π
Ответ. l· πη, h 2πτη, Ь 27г/с; η,πι, k Ε Ζ.
Задача 5. (Физ-94(2).2)
Решить уравнение 5 cos x + 2 sin ж = 3.
Идея. Использовать метод вспомогательного аргумента.
Указание. Поделить обе части уравнения на л/52 + 22, рассмотреть вспомога-
2 5 л.
тельный угол φ такой, что sin φ = , cos φ = и воспользоваться форму-
29
29
лои косинуса разности.
Решение. Применим метод вспомогательного аргумента:
3
5 2
cos χ -\ — sin χ
29
29
29
где угол φ Ε [0; 2π) такой, что cos(/? = /__, sin</?
ж — (/? = ± arccos
cos (χ — φ)
2
29'
29'
3
29
29
2πη, η Ε Ζ,
Тогда
5 3
откуда χ = arccos —= ± arccos —= + 2πη, η Ε Ζ.
29
29
Замечание. В качестве вспомогательного угла φ можно было использовать
2 2 5
arcsin —== , arctg - или arcctg - .
λ/29 5 ь2
5 3
Ответ, arccos , db arccos y + 2πη, η Ε Ζ.
29
29

346
Указания и решения
Задача 6. (Физ-98(2).1)
Решить уравнение cos 4х — sin Зх cos χ + cos 2x = 0.
Идея. Применив формулу суммы косинусов, разложить левую часть уравнения
на множители.
Указание. Преобразовать сумму косинусов cos4x и cos2x в произведение
и разложить на множители левую часть полученного уравнения.
Решение. С помощью формулы суммы косинусов, исходное уравнение
приводится к виду
2 cos Зх cos χ + sin Зх cos χ = О,
значит, cos x = 0 или 2 cos Зх = sin Зх.
7Г
Решением первого уравнения является χ = —Ь 7гп, η G Z.
Рассмотрим уравнение 2cos3x = sin3x. Заметим, что cos3x 7^ 0? так как
иначе sin3x = 0, что противоречит основному тригонометрическому тождеству.
Следовательно, мы можем поделить обе части уравнения на cos3x. Получим
1 ππι
2cos3x = sin3a; <^> tg3x = 2 <^> x = -arctg2H , πι Ε Ζ.
ο ο
_ π 1 πτη
Ответ. — + πη, -arctg2H——; n,mEZ.
^ ο ο
Задача 7. (Филол-94.1)
2
Решить уравнение — sin χ + cos 19π = cos ж.
π
Идея. Использовать метод вспомогательного аргумента, предварительно
вычислив значение cosl97r.
Указание. Умножить обе части на π, подставить cosl!^ = — 1 и решить
полученное уравнение методом вспомогательного аргумента.
Указание. Разделить обе части уравнения на л/тт2 + 4 и ввести вспомогатель-
тг 2
ный угол (/? такой, что sin φ = :, cos φ = :.
λ/τγ2 + 4 λ/τγ2 + 4
Решение. Так как cos 19π = cos π = — 1, το
2 2
— sin ж + cos 19π = cos ж <^> — sin ж — cosx = 1 <^> 2 sin ж — π cos ж = π.
π π
Поделив обе части уравнения на л/тт2 + 4, получим
7Г
sin ж cos φ — cos ж sin φ
λ/^ΤΤ

6.1. Линейные тригонометрические уравнения...
347
где угол φ такой, что sin φ
sin (χ — ψ)
cos φ
λ/τγ2 + 4
χ = φ + arcsin
λ/τγ2 + 4
λ/τγ2 + 4
π
λ/τγ2 + 4
. Следовательно,
+ 2πη, η G Ζ,
ж = π + (/? — arcsin
λ/τγ2 + 4
+ 2тг&, fc G Ζ.
Взяв в качестве угла φ значение arcsin
χ = π + 27г/с, ж = 2 arcsin
л/тг2 + 4
π
Ответ. π + 2π!ϊ, 2 arcsin
л/тг2 + 4
л/тг2 + 4
2πη; /с, η G Ζ.
, получим:
2πη; /с, η G
Задача 8. (Псих-81.3)
Найти все решения уравнения cos sin 7ж = -л/2, удовлетворяющие усло-
вию 0, 4π < ж < —- .
7
Идея. Для решения уравнения использовать метод вспомогательного аргумента.
Указание. Разделить обе части уравнения на минус два и свернуть левую часть
в синус разности.
Указание. Найти 7х из полученного уравнения с помощью метода
вспомогательного аргумента и отобрать те значения целочисленной переменной, при
которых выполняется неравенство 2, 8π < 7χ < 6π.
Решение. Разделим обе части уравнения на минус два:
ч/З . 1 1
sin 7x cos 7x = —=
2 2 ^
7х = —I h 2πη, η G Ζ,
б 4
sin ( 7ж
7ж
π 3π
б + Т
2πτη, τη G Ζ;
1
7ж = —- + 2πη, η G Ζ,
11π
7ж = ——- + 2πτη, m G Ζ.
о л л 6π 14π
Запишем ограничение на решение 0, 4π < ж < — в виде < 7ж < 6π и отбе-
7 5
рём подходящие значения η G Ζ для первой серии решений:
14π 5π
—— < — + 2πη < 6π
о 1^
143 67
Ϊ20<η<24
53π
5π 53π
значит 7χ = h 4π = и ж = .
12 _, 12 84
Теперь отберём подходящие значения т G Ζ для второй серии решений:
14π 11π
-—- < —— + 2ππι < 6π
5 12
^^
113 61
——- < πι < —-
120 24
^^
πι = 1,
m = 2.

348
Указания и решения
_ _ 11π 35π 5π
При πι = 1 получим 7ж = Ь 2π = и ж = — .
π 11π , 59π 59π
При πι = 2 получим 7ж = Ь 4π = и χ = ,
F y 12 12 84
5π 53π 59π
Ответ. —; ; .
12' 84 ' 84
Задача 9. (Геол-79.3)
Найти все числа А, при каждом из которых уравнение 5 sin χ + 2 cos χ = А имеет
решение.
Идея. Использовать метод вспомогательного аргумента.
Указание. Поделить обе части уравнения на л/Б2 + 22, рассмотреть вспомо-
2 5
гательный угол φ такой, что smo? = . , cos α? = . и воспользоваться
λ/29 λ/29
формулой косинуса разности.
Указание. Простейшее тригонометрическое уравнение вида cost = а имеет
решения в тех и только тех случаях, когда \а\ < 1.
Решение. Поделив обе части на л/22 + 52 = л/29, получим:
2 5 . А А
cos χ -\ -= sin χ = ^^ <^^> cos [χ — φ)
29 л/29 λ/29 λ/29
5 2 π
где sin φ = / , cos φ = . . Последнее уравнение является простейшим
тригонометрическим уравнением и имеет решения в тех и только тех случаях,
когда
А
<1 ^^ -л/29 < А < л/29.
Ответ, [-л/29; л/29] ·
Задача 10. (Экон-92.1)
Вычислить log11/25 | sinЩ +log11/25 I sinβ\, если sin [β - -J +cos [β - -J = W -.
Идея. Найти sin/5 из данного уравнения и подставить его значение в искомое
выражение.
Указание. С помощью метода вспомогательного аргумента из данного в
условии задачи уравнения найти sin β.
Указание. Преобразовать сумму логарифмов в логарифм произведения и
воспользоваться формулой синуса тройного угла.

6.1. Линейные тригонометрические уравнения...
349
Решение. Сначала преобразуем данное в условии равенство:
7!sin(/3-i) + 7!cos(/?-i) = 7! ^ sin((/?-D + D = 7f'
откуда sin/5 = —= . Теперь преобразуем искомое выражение:
V5
logn/25 I sin 3/31 + log11/25 |sin/3| = log11/25 |sin3/3sin/3|
bgii/25 Isin2 β (3 - 4 sin2 β) | = log11/25
1(з-ί
5 \ 5
logn/25 25 = 1·
Ответ. 1.
Задача 11. (Геол-90.3)
Решить уравнение 1 — (2 cos ж + л/3) · ctgx = 2 sin ж.
Идея. Используя определение котангенса и основное тригонометрическое
тождество, свести данное уравнение к линейному тригонометрическому уравнению.
т-г г- COSX
Указание. Преобразовать данное уравнение, используя то, что ctgx =
sin ж
и sin2 χ + cos2 χ = 1.
Указание. Полученное линейное тригонометрическое уравнение можно решить
с помощью метода вспомогательного аргумента.
Решение. Областью допустимых значений переменной являются χ φ π/с, к Ε Ъ.
Преобразуем исходное уравнение к простейшему виду с помощью равносильных
(на области допустимых значений) преобразований:
/ г-\ COS Ж г 2 2
1—(2cosx + v3) =2 sin ж <^> sin ж — ν 3 cos ж = 2 sin x + 2cos χ <^>
V / sin ж
^ · R o^l. >/3 ^^ . / π\
<^> sin χ — ν 3 cos ж = 2 <^> -sin χ — cosx = 1 <^> sink- — ) = 1,
Δ Δ V ο /
откуда χ = h 2πη, η e Ζ.
6
_ 5π
Ответ. h 2πη, η Ε Ζ.
6
Задача 12. (Геол.ОГ-79.6)
Найти все значения параметра а, при каждом из которых уравнение
χ -\ -=^ Λ V 2у 2 = 0 имеет единственное решение.
V sin a cos a
Идея. Условием единственности решения квадратного уравнения является
нулевой дискриминант на области допустимых значений параметра.

350
Указания и решения
Указание. Найти значения параметра, при которых дискриминант
квадратного уравнения равен нулю.
Указание. При решении полученного уравнения использовать формулы
вспомогательного аргумента и синуса двойного угла.
Решение. Уравнение является квадратным относительно χ с параметром се,
поэтому при sin се > 0, cos се ^ 0 (область допустимых значений параметра)
условием единственности решения является равенство нулю дискриминанта:
1
1
since
cos се
2л/2 = 0
з се — since = v2sin2ce
се = 2се + 2πη, η Ε Ζ,
π
--α
π — 2α + 2ππι. τη Ε Ζ:
π
4
2πη
sin 2ce
12+— η€Ζ'
Зтг
— + 2πτη, m e Z.
_π_+2π_3π ^
12 3 "
π 2π - 7π |
12 3 12
π
Условию since > 0 с учётом совпадения значений отвечают серии: χ = Κ2πη,
ж = Ь 2πτη; η, τη Ε Ζ.
4
_ π 3π
Ответ. h 2πη, ——Κ2πτη; η,τηΕΖ.
Задача 13. (Геогр-00(1).3)
Решите уравнение 3(sin χ — 1) + 4 cos ж + cos ( 2ж + 4 arctg - ] = 0.
Идея. Применив формулу косинуса двойного угла (в её варианте с синусом) и
метод вспомогательного аргумента (в варианте сведения к синусу суммы углов),
преобразовать уравнение к квадратному относительно синуса суммы углов.
Указание. Преобразовать исходное уравнение с учётом того, что
1
cos ( 2х + 4 arctg - I =1 — 2 sin ( χ + 2 arct0
1
3 sin χ + 4 cos χ = 5 sin ( ж + arctg

6.2. Однородные тригонометрические уравнения...
351
1 4
Указание. Показать, что 2arctg- = arctg - и свести полученное уравнение
к квадратному.
Решение. Преобразуем исходное уравнение с помощью формулы косинуса
двойного угла и метода вспомогательного аргумента:
(3 sin ж+ 4 cos ж) -3+ ( 1 -2 sin2 (x + 2arctg-] j = 0 <^^
<^> 2 sin x + 2 arctg - J — 5 sin Ι χ + arctg -1+2 = 0.
1 4
Покажем, что 2 arctg - = arctg -. Поскольку оба угла лежат в пределах от 0
до π, нам достаточно убедиться в равенстве их тангенсов:
1 4 Л Л ( 4
2 arctg - = arctg - <^^ tg I 2 arctg - 1 = tg I arctg -
2tg(arCt4) _4 2.1 _4 4_4
2/ Л 3 /i\2 3 " 3 3'
1 — tg arctg - I 1
υ ±_i2
1 4
то есть 2 arctg - = arctg - и исходное уравнение можно записать в виде
2Ϊ 4λ / 4λ
2 sin Ι χ + arctg -1—5 sin I χ + arctg -1+2 = 0, откуда
/ 4λ 1 4 π
sin Ι χ + arctg - 1 = - <^^> χ = — arctg —h ( — 1)η—l· πη, η G Ζ.
\ ό J Δ OU
4 π
Ответ. — arctg-+ ( —1)η—+ πη, η G Ζ.
ο υ
6.2. Однородные тригонометрические уравнения второй
степени, замена тригонометрических выражений
Задача 1. (ЕГЭ)
Укажите число корней уравнения б sin2 χ + 5 sin x cos ж + 3 cos2 χ = 2,
принадлежащих промежутку [—π; 0].
Идея. Привести уравнение к однородному тригонометрическому уравнению
второй степени.
Указание. Получить однородное тригонометрическое уравнение второй
степени с помощью основного тригонометрического тождества.

352
Указания и решения
Указание. Поделить обе части уравнения на cos2 ж и получить квадратное
уравнение относительно tgx, предварительно убедившись, что cos ж = 0 не
является решением нашего уравнения.
Решение. Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством:
б sin2 χ + 5 sin χ cos x + 3 cos2 χ = 2 (sin2 χ + cos2 χ) <^>
<^> 4 sin2 ж + 5 sin ж cos ж + cos2 ж = 0.
Заметим, что cos ж φ 0, так как иначе из уравнения следует, что и sin ж = 0,
что противоречит основному тригонометрическому тождеству. Следовательно, обе
части уравнения можно разделить на cos2 χ:
tffX
4tg2x + 5tgx + l = 0
tffX
-i;
ι
-— + πη, η Ε Ζ;
- arctg - + ππι, πι Ε Ζ.
Промежутку [—π; 0] принадлежат два корня: ж = при η = 0 и ж
при m = 0.
Ответ. 2.
arctg ■
Задача 2. (Физ-91.1)
Решить уравнение
7sin2x = 12 sin x.
Идея. Привести уравнение к однородному тригонометрическому уравнению
второй степени.
Указание. Применив формулу синуса двойного угла и основное
тригонометрическое тождество, свести уравнение к однородному уравнению второй степени.
Указание. Поделить обе части уравнения на cos2 ж и получить квадратное
уравнение относительно tgx, предварительно убедившись, что cos ж = 0 не
является решением нашего уравнения.
Решение. Применив формулу синуса двойного угла и основное
тригонометрическое тождество, получим:
8 sin2 χ -
>cos χ — 14 sin x cos χ = 12 sin χ
2 sin2 χ + 7 sin χ cos χ — 4 cos2 χ = 0.
Заметим, что cos ж φ 0, так как иначе из уравнения следует, что и sin ж = 0,
что противоречит основному тригонометрическому тождеству. Следовательно, обе
части уравнения можно разделить на cos2 χ:
2tg2x + 7tgx-4 = 0
tgx
tzx
x = — arctg 4 + 7ГП, η Ε Ζ;
X = arctg h 7Γ7Π, 771 Ε Z.
Ответ. — arctg 4 + πη, arctg —h ττπι; nym Ε Ζ.

6.2. Однородные тригонометрические уравнения...
353
Замечание. Исходное уравнение молено было свести к линейному
тригонометрическому уравнению с помощью формулы понижения степени:
8 — 7 sin 2х = 6(1 — cos 2х) <^> 7 sin 2x — б cos 2x = 2 <^>
7 · о 6 2 -Л .6
sinzx == coszx = . <^> sin 2х — arcsin
85 л/85 л/85 \ л/85/ л/85
б 2
=> 2ж — arcsin —= = ( —l)n arcsin —== + πη, η G Ζ
л/85 л/85
1 .6 1/ ,ЧГ7 .2 πη _
х = - arcsin —== Η— (— 1) arcsin —= -\ , η Ε £.
2 л/85 2ν ; λ/85 2
Заметим, что ответы, полученные разными способами, могут существенно
отличаться по форме записи.
Задача 3. (ИСАА-97.3)
Решить уравнение 1 — 3 sin x cos χ — 5 cos2 χ = 0.
Идея. Привести уравнение к однородному тригонометрическому уравнению
второй степени.
Указание. Применив основное тригонометрическое тождество, свести
уравнение к однородному уравнению второй степени.
Указание. Поделить обе части уравнения на cos2 x и получить квадратное
уравнение относительно tgx, предварительно убедившись, что cos ж = 0 не
является решением нашего уравнения.
Решение. Преобразуем исходное уравнение с помощью основного
тригонометрического тождества:
гу гу гу гу гу
sin χ + cos χ — 3 sin ж cos ж — 5 cos x = 0 <^> sin χ — 3 sin ж cos ж — 4 cos χ = 0.
Заметим, что cos ж φ 0, так как иначе из уравнения следует, что и sin ж = 0,
что противоречит основному тригонометрическому тождеству. Следовательно, обе
части уравнения можно разделить на cos2 χ:
tg2 χ — 3tffx
tgx = -1;
tgx = 4;
χ = — — + πη, η G Ъ\
χ = arctg4 + π/c, k G Ζ.
7Г
Ответ. — — + πη, arctg4 + π/ί:; n^keZ.
Задача 4- (Геол.ОГ-80.1)
Решить уравнение sin2x = 2л/Зсов2 ж.
Идея. Перенести всё в одну сторону и разложить на множители.

354
Указания и решения
Указание. Расписать синус двойного угла, перенести всё в левую часть и
вынести общий множитель за скобку.
Решение.
sm 2ж = 2л/3 cos2 χ
δ sm χ cos χ = 2л/3 cos2:
cos ж = 0;
sin χ = cos ж;
χ = — + πη, η G Ζ;
π
χ = — + πη, η G Ζ;
ж = — + πτη; m G Ζ.
ο
tg ж = л/3;
7Г 7Г
Ответ. — + πη, — + ππι; n^meZ.
Δ ό
Задача 5. (Хим-94(1).2)
Решить уравнение sin 2x + cos2 x = 0.
Идея. Разложить левую часть уравнения на множители.
Указание. Расписать синус двойного угла и вынести общий множитель.
Решение,
sin 2х + cos2 χ = 0
2 cos χ sin x + cos x = 0
cos ж = 0;
2 sin ж + cos ж = 0:
χ = — + πη, η G Ζ;
tgx
ж = — + πη, η G Ζ;
χ = — arctg - + πτη, m G Ζ.
π 1
Ответ. — + πη, — arctg-+πτη; n,mGZ.
Задача 6. (Почв-79.3)
ρ 1 + л/З .
Решить уравнение sin
2ж = (л/3- l)cos2x + l.
Идея. Привести уравнение к однородному тригонометрическому уравнению
второй степени.
Указание. Применив формулу синуса двойного угла и основное
тригонометрическое тождество, свести уравнение к однородному уравнению второй степени.
Указание. Поделить обе части уравнения на cos2 ж и получить квадратное
уравнение относительно tgx, предварительно убедившись, что cos ж = 0 не
является решением нашего уравнения.

6.2. Однородные тригонометрические уравнения...
355
Решение. Применив формулу синуса двойного угла и основное
тригонометрическое тождество, получим:
(\/3 + 1) sin χ cos χ = (л/3 — 1) cos2 χ + sin2 χ + cos2 χ <^>
<^> sin2 ж — (л/3 + 1) sin ж cos ж + \/3cos2a: = 0.
Заметим, что cos ж ^ 0, так как иначе из уравнения следует, что и sin ж = 0,
что противоречит основному тригонометрическому тождеству. Следовательно, обе
части уравнения можно разделить на cos2 χ:
tg2x-(v/3 + l)tgx + v/3 = 0 ^^
tgx = 1;
tg x = л/3;
7Г 7Г
Ответ. — + ππι, —Ь тгп: n.meZ.
4 3
4
π
■ πτη, τη G
■ πη, η G
Задача 7. (ΒΜΚ-98.3)
Решить уравнение 241 cos3 х\ — 2 sin3 ж + sin ж = 0.
Идея. Свести исходное уравнение к однородному уравнению третьей степени.
Указание. Свести исходное уравнение к однородному уравнению третьей
степени с помощью преобразования: sin ж = sin ж · 1 = sin ж · (sin2 χ + cos2 x).
Указание. Раскрыть модуль по определению и поделить уравнение на cos3 χ,
предварительно показав, что cos ж ^ 0.
Решение. Сведём исходное уравнение к однородному уравнению третьей
степени с помощью преобразования sin χ = sin χ · 1 = sin χ · (sin2 χ + cos2 χ):
241 cos3 χ Ι
2 sin3 x
0
241 cos3 χ Ι
sin3 x
sin χ cos χ
0.
Заметим, что cos ж φ 0, так как иначе из уравнения следует, что sin ж = 0,
что противоречит основному тригонометрическому тождеству. Следовательно, обе
части уравнения можно разделить на cos3 χ.
1) В случае cos ж > 0 получим
24 - tg3 χ + tg χ = 0
tg3 χ
tgx-24 = 0.
Далее находим корни среди делителей свободного члена и раскладываем на
множители:
(tgx — 3) (tg2x + 3tgx + 8) = 0 <^> tgx = 3 <^> χ = arctg3 + πη, η G Ζ,
откуда с учётом условия cos ж > 0 следует, что χ = arctg3 + 2πη, η G Ζ.
2) В случае cos ж < 0 получим
-24-tg3x + tgx = 0 <^> tg3x-tgx + 24 = 0 <^>
(tg χ + 3) (tg2 ж — 3 tg ж + 8) =0 <^> tg χ = —3 <^> ж = — arctg 3 + π/c, /с G Z,
откуда с учётом условия cos ж < 0 следует, что χ = π — arctg 3 + 27г/с, k G Ζ.
Ответ, arctg 3 + 2πη, π — arctg 3 + 2nh; η, /с G Ζ.

356
Указания и решения
Задача 8. (Хим-94.3)
Решить уравнение л/sin 2х = Vcos χ — sin χ — 1.
Идея. Если в уравнение величины sin χ и cos x входят только в виде суммы
(или разности) и произведения, то с помощью замены ζ = sin ж + cos ж (или ζ =
= sin χ — cos x) исходное уравнение сводится к квадратному относительно ζ.
Указание. Приравнять подкоренные выражения и выписать условие
неотрицательности для одного из них.
Указание. С помощью замены ζ = cos χ — sin x свести уравнение к квадратному
относительно ζ.
Решение. Исходное уравнение равносильно системе:
г~.—— / : Г sin2x = cos ж — sin ж — 1,
vsinzx = V cos ж — sin χ — 1 <^> < . ι \ л
1 cos ж — sin χ — 1 > 0;
неотрицательность первого подкоренного выражения следует автоматически из
неотрицательности второго и равенства подкоренных выражений.
Положим ζ = cos χ — sin x, тогда ζ2 = 1 — 2 sin χ cos χ, откуда sin 2x = 1 — ζ2.
Поэтому система принимает вид:
(1-ζ2)-ζ + 1 = 0,
ζ > 1;
1.
Возвращаемся к χ:
/ 7Г\ 1 π π
cos χ — sin χ = 1 <^> cos χ Η— = —= <^> χ = ± h 27г/с, /с G Ζ.
4 4/^ 4 4
Ответ. ±-+27г&, fceZ.
4 4
6.3. Системы тригонометрических уравнений
Задача 1. (ЕГЭ)
Г π
χ — у = —,
Решите систему уравнений < 2
[cosx — cosy = — л/2.
В ответе запишите значение у в градусах, где ?/ Ε [0; 360°].
Идея. Решить систему подстановкой.
Указание. Выразить χ из первого уравнения и подставить во второе;
воспользоваться формулой приведения и методом дополнительного аргумента.
Решение. Выразив χ из первого уравнения и подставив во второе, получим:
cos (у-\— ) — cos у = — л/2 <^> sin у + cos у = л/2 <^> sin ( у + — ) =1 <^>

6.3. Системы тригонометрических уравнений
357
^^ 2/ + - = - + 2πη, η G Ζ ^^ ?/ = - + 2πη, η G Ζ.
4 2 ^4
При этом χ = у -\— = Ь 2πη, η G Ζ, хотя, для записи ответа он и не нужен.
7Г
Промежутку [0; 360°] принадлежит корень у = — = 45°.
Ответ. 45°.
Задача 2. (Геол.ОГ-71.1)
тт J cos 2х + sin у = \/3 cos 30°,
Найти все решения системы <
I 2 cos 2х — sin у = sin 540°.
Идея. Решить систему с помощью подстановки или сложения уравнений.
Указание. Вычислить значения правых частей уравнений и решить
полученную систему относительно cos2x и sin у.
/з
Решение. Так как cos30° = —, sin540° = 8ΐη3π = 0, то
2 '
cos2x + sini/ = -, icos2x= -, ίχ = ±30° + η · 180°, η G Ζ,
2cos2x - sin2/ = 0; [sinу = 1; [ι/ = 90° + m · 360°, m G Z.
Замечание. Так как в исходной системе числовые значения представлены
в градусах, то и ответ должен быть приведён в них, то есть в той же
размерности.
Ответ. (±30° + η · 180°; 90° + т · 360°); n,mGZ.
Задача 3. (Экон.К-76.2)
Найти все решения системы уравнений <
4
tg2 (x-у) у= tg (х - у) + 1 = 0,
ι ^
sin ж = -:
2'
π
удовлетворяющие условиям 0 < χ < —, — тг < у < 0.
Идея. Найти χ из второго уравнения и tg (x — у) из первого.
Указание. Первое уравнение является квадратным относительно тангенса.
1 Г π"
Решение. Решением второго уравнения системы sin χ = - на отрезке 0; —
π
ляется единственное значение χ = —. Подставив это значение в первое уравнение
б

358
Указания и решения
и решив его как квадратное относительно tg ( у) , получим
*(|-»)-ν*; ^
π π
у = — + πη, η Ε Ζ;
3
π
- - 2/ = - + πτη, m Ε Ζ;
6 6
πη, η Ε Ζ;
6
-πτη, τη Ε Ζ.
С учётом того, что ι/ Ε [—π; 0], находим: у
у = —π (при πι = 1).
(при η = 0), 2/ = 0 (при т = 0),
Задача 4- (Филол-77.2)
ftgxtg2/ = 5-2v/6,
Решить систему уравнений < π
Идея. Выразить тангенсы через синусы и косинусы и преобразовать
произведения тригонометрических функций в суммы.
Указание. Представить произведение тангенсов в виде
tgxtgy
sin x sin у cos (χ — у) — cos (χ-\-у)
COS X COS I/ COS (χ — у) + COS (ж + Ι/)
и вычислить cos (x — у).
Указание. Зная сумму и разность переменных, найти их значения.
Решение. Преобразуем левую часть первого уравнения следующим образом:
sin χ sin у cos (χ — у) — cos (χ + у) cos \x ~ У) ~ ~^Д
tgxtgi/
1 '
COS Ж COS i/ COS (ж — i/) + COS (ж + у) COS (χ — у) + -γ=
1
cos
здесь мы учли то, что согласно второму уравнению cos {x + у)
В результате первое уравнение системы запишется в виде
ί (χ - у) - -у= = (δ - 2л/б] ( cos (x-y) + —
\(х-у)(л-Ь + 2л/б) = -^ (l + 5 - 2л/б
л/б(л/б-2) _ л/3
л/2'
cos
cos (ж — у)
2л/2(л/б-2) 2

6.3. Системы тригонометрических уравнений
359
и система примет вид:
х-у
χ — у = ±—Ь 2πη, η Ε Ζ,
π6
■ 2πη, η Ε Ζ,
ж + 2/
χ — у = —h 2πτη, m Ε Ζ,
6
π
* + !/ = -;
_ , π 5π
Ответ. h 7гп: πη
24 '24
Χ = 24 πη'
2/ = — - πη, η Ε Ζ;
5π
ж = — + ππι,
У = — — 7гш, πι Ε Ζ.
* 24
5π π .
h 7rm: πτη : η, πι Ε Ζ.
24 '24 ' ' '
Задача 5. (ΒΜΚ-73.1)
Решить систему уравнений
2 sin x sin 2/ + cos χ = 0,
1 + sin i/ cos ж = 2 cos2 ?/ sin x.
Идея. Применив основное тригонометрическое тождество в правой части
второго уравнения системы, подставить в него значение косинуса из первого уравнения.
Указание. Преобразовать второе уравнение системы следующим образом:
1 + sin у cos χ = 2(1 — sin2 у) sin χ <^> 1 + smy(cosx + 2 sin ж sin i/) = 2 sin ж,
после чего подставить вместо выражения в скобках соответствующее значение из
первого уравнения.
Решение. Преобразуем второе уравнение системы:
1 + sin у cos χ = 2(1 — sin2 у) sin x <^> l + sin?/(cosa; + 2sina;sin?/) = 2 sin ж
1
sin χ
6
~6~
+ 2πη, η Ε
+ 2ππι, πι Ε
Во втором равносильном переходе мы воспользовались тем, что согласно первому
уравнению системы выражение в скобках равно.
Рассмотрим полученные две серии по отдельности.
1) Подставив χ
6
- 2πη, η Ε Ζ в первое уравнение исходной системы, получим
sin и -\ = О
у 2
5π
у = (-i)k+1-+irk, he z.
о
2) Подставив χ = \- 2πτη, τη Ε Ζ в первое уравнение системы, получим
sin у = О
У 2
у =(-!)<-+ πΐ, ieZ.
Ch
/5π
|+2πη; (-l)fc+1!+7rfc), ί -^ + 2тгт; (-1)'| + πΐ) ; η,Η,πι,Ι €

360
Указания и решения
Задача 6. (Экон.К-72.2)
I у sin χ + cos x = 2,
Найти tgx, если <
I —4 sin ж + 2?/cos ж = —у.
Идея. Свести систему к тригонометрическому уравнению, исключив
переменную у.
Указание. Выразить у в каждом из уравнений и приравнять эти значения.
Решение. Запишем систему в виде
iysmx = 2 — cos ж,
2/(2 cos χ + 1) = 4 sin x.
Заметим, что sin ж ^ 0 (иначе из первого уравнения получим cos ж = 2 > 1).
Заметим также, что cos χ φ — , так как иначе из второго уравнения получим sin χ = 0.
Выразим у из первого уравнения системы и приравняем его у, выраженному из
второго уравнения:
2 —cos ж 4 sin ж л . о /Л ч/Л in
= <^> 4 sin χ = (2 — cos ж) (2 cos ж + 1) <^>
sin χ 2 cos x + 1
4 sin2 ж = 3 cos ж — 2 cos2 χ + 2 <^> 2 cos2 ж + 3 cos ж — 2 = 0 <^> cos χ
откуда χ = db—h 27г/с, /с £ Ζ и tgx = ±\/3·
о
Ответ. ±\/3·
Задача 7. (ВМК-75.2)
^ I sin (2х + sin2 у) = 0,
Решить систему уравнений < 2
I ж — 3sin 2/ = —2.
Идея. Решить систему с помощью подстановки.
Указание. Выразить χ из второго уравнения и подставить в первое.
Указание. В полученном уравнении отобрать значение целочисленной
переменной с учётом области значения синуса.
Решение. Из второго уравнения следует, что χ = 3 sin2 у — 2. Подставив это
выражение в первое уравнение, получим
sin (7 sin2 у - 4) = 0 ^^ 7 sin2 у = πη + 4, η е Ъ.

6.3. Системы тригонометрических уравнений
361
Заметим, что в силу ограниченности синуса уравнение имеет решения только при
2 4 о
п = 0ип = — 1. В этом случае sin у = - и sin у
4- π
соответственно,
и система примет вид
4
sin2 у
V
^х = 3sin у — 2;
4 - π
^7~'
sin 2/
ж = 3sin у — 2;
V = ± arcsin —= + πτη, т Ε
2 ^
Ж = "7;
2/ = =Ь arcsin ^/ — \- π/c, k Ε
3π + 2
/ 2 2
Ответ. —; ± arcsin —= + πτη
1 7 у/7
Зтг + 2 /4-π 7 \ 7 ^
—; ± arcsin л/ — Ь 7г/с ; га, /с Ε Ζ.
Задача 8. (Филол-00.4)
ί_ π
4'
tgx + tgi/ = 1.
Идея. Применить во втором уравнении формулу суммы тангенсов и
преобразовать произведение тригонометрических функций в сумму.
sin (χ + у) 2 sin (x + у)
Указание, tgx -\-tgy = = -.
cos χ cos у cos [χ — у) + cos [χ + у)
7Г
Указание. Поставить χ + у = — в преобразованное второе уравнение.
Решение. Преобразуем второе уравнение системы с учётом того, что х-\-у
следующим образом:
4'
tg χ + tg у = 1
sin (ж + у)
1
л/2/2
COS X COS i/ COS Ж COS у
cos (ж + у) + cos (χ — у) = л/2 <^=
cos ж cos ν = —pz
V2
/2
—- + cos (ж - у) = л/2
, . л/2
cos (ж - 2/) = —
π
χ — у = ±— + 2πη, η Ε Ζ.
В результате, исходную систему молено записать в виде:
х + у
х-у
4'
+ 2πη, η Ε Ζ;
* + У=4>
ж — 2/ = — + 2πτη, га Ε Ζ;
χ = πη, η Ε Ζ,
π
χ = — + πτη, га Ε Ζ,
Ответ, (πη;—— πη], ( — + πτη; — ππι1 ; n,raEZ.

362
Указания и решения
Задача 9. (Геол-76.2)
Найти все решения системы уравнений ^
1
cos (^ — х)
Чу
4
cos2 ж
• (sin2 χ + ctg у — 1) = О,
1 = 0.
Идея. Заменить первое уравнение системы равносильным ему условием: первый
множитель определён, второй - равен нулю. Полученную систему решать
подстановкой или сложением уравнений.
Указание. Исходная система равносильна следующей:
( sin2 χ + ctg у — 1 = 0,
cos2 χ
ЧУ_
4
1 = 0,
х) >0.
Сложив эти уравнения, получим квадратное уравнение относительно tgy.
Решение. Первый сомножитель первого уравнения не может обращаться
в нуль, но задаёт ограничения на значения переменной. В результате исходная
система равносильна следующей:
[ sin2 χ + ctg у — 1 = 0,
2 , Чу л η
cosz χ Η 1 = 0,
4
cos ( — — χ) > 0.
Сложив уравнения, получим:
1
(sin2 χ + cos2 ж) + - tg у + ctg у — 2 = 0
1 1
-tgy+-—
4 tgy
1 =0
tg2y-4tgy + 4 = 0
tgy
у = arctg2 + πτη, m Ε Ζ.
Для того, чтобы найти ж, подставим во второе уравнение системы tgi/ = 2,
получим
cos ж = - <^> cos ж = ±—= <^> ж = ±— + πη, η Ε L.
2 λ/2 4 '
Теперь отберём η такие, что cos (— — χ) > 0.
1) Если χ = — — + πη, η <Ε Ζ, то cos (ж — — j = cos ( — — + πη j = 0.
π
2) Если ж = —+πη, η Ε
π
το cos ( χ — — Ι = cos^n). Это значение положительно
7Г
при η = 2/с, /с Ε Ζ, значит, ж = — + 27г/с, /с Ε Ζ.
Ответ. ( — + 27г/с; arctg 2 + πτη ) ; /c,mEZ.

6.3. Системы тригонометрических уравнений
363
Задача 10. (Геол-75.3)
^s'mx+tgy _ 2
стемы <
О < χ < π, О < у < π
Найти все решения системы < gin2 +t 2 ' удовлетворяющие условиям
Идея. Решить систему относительно синуса и тангенса с помощью подстановки,
предварительно избавившись от показательных функций.
Указание. Данная система равносильна системе
isinx + tgy = 0,
sin2 ж + tg2 у = 1.
Её молено решить подстановкой.
Решение. Согласно свойствам показательных функций, исходная система
равносильна следующей системе
fsinx + tg?/ = 0, jtgy = -sin ж, (tg?/= -sin ж,
1 sin2 χ + tg2 у = 1; 1 sin2 ж + (— sin ж)2 = 1;
Поскольку χ G (0; π), синус положителен, то есть sin ж = —= . На интервале (0; π)
л/2
π Зтг
решениями этого уравнения являются χ = — и ж = —-. теперь из первого
уравнения системы найдём у:
1 1
tg у = = <^> У = — arctg —7= + πη, η G Ζ.
λ/2 λ/2
На интервал (0; π) из этой серии попадает только у = π — arctg —^= при η = 1.
л/2
Ответ, ( ^; π-arctg—=j , I -^; π - arctg —= j .
Задача 11. (Псих-99.3)
sin2 ж + cos" 2/
Решить систему <
2„ , _2,| = 3
4'
ч/б
cos ж · sm у = ——,
cos ж > 0.
Идея. Свести систему данных уравнений к системе относительно cos ж и sin?/
с помощью основного тригонометрического тождества.

364
Указания и решения
Указание. Заменить в первом уравнении системы sin χ на 1 — cos2 ж и cos2 у
на 1 — sin2 у.
Указание. Решить полученную систему с помощью подстановки.
Решение. Преобразуем первое уравнение системы:
3
(1 — cos χ) + (1 — sin у)
cos2 x + sin2 у
4 ■ —- а 4
Заметим, что согласно второму уравнению cos ж /0 и запишем систему в виде
cos2 χ + sin2 у = -,
л/б
$ту= ,
4 cos ж
cos ж > О,
подставив $ту из второго уравнения в первое, получим
cos2x-
л/6
4 cos ж
^cos4x-10cos2x + 3 = 0
cos ж = =Ь—^,
л/2
+ л/3
cosx = ±——.
С учётом того, что cos ж > 0, получаем два случая.
1
!) 4
2) 4
V2'
sin у =
cos ж =
sin у =
ч/З
2 '
V3
2
1
71;
χ = ±— + 2πη, η £ Ζ,
4 π
2/ = (-l)fc- +тг/с, fc G Ζ.
ж = ±—Ь 2πτη, m £ Ζ,
6 π
2/ = (-l)«-+7rg, gGZ.
Ответ. (±j + 2πη;(-1)*;- + 7rfc) , Γ±-+ 2π?η; (-1)9^ + π^ ; n,fc,m,g£Z.
Задача 12. (Геол-83.4)
3 sin Зж + cos 2/ = —4,
Решить систему уравнений ( 3π
Идея. Решить систему подстановкой.
Указание. Выразить у из второго уравнения и подставить в первое.
Указание. Расписать синус тройного угла и полученное кубическое уравнение
разложить на множители.

6.3. Системы тригонометрических уравнений
365
Решение. Выразив из второго уравнения системы у = ж и подставив
в первое, получим:
3 sin Зх + cos I — χ I = —4 <^> 3 sin Зх — sin χ = —4 <^>
<^> 3 · (3sinx — 4 sin3 ж) — sin ж = — 4 <^> 3sin3 χ — 2 sin ж — 1 = 0.
Корень sin ж = 1 легко угадывается, далее раскладываем на множители:
3 sin3 χ — 3 sin2 χ + 3 sin2 χ — 3 sin χ + sin χ — 1 = 0 <^>
(sin ж — l)(3sin2 χ + 3sinx + 1) = 0 <^> sin ж = 1 <^> χ = —h 2πη, η £ Ζ,
2
следовательно, у = π — 2πη, η £ Ζ.
Ответ. ( — + 2πη; π — 2πη ] , η £ Ζ.
Задача 13. (Почв-94(1).4)
Найти
ствам
все решения
π π
2 ~ ~ 2'
системы
π
— — < г/
2 ~ у
<
<
sin χ · cos i/ =
cos χ · sin у =
1
4'.
ι удовлетворяющие неравен-
4;
Идея. Найти sin (ж + у) и sin (χ — у).
Указание. Сложить и вычесть уравнения.
Указание. Для того, чтобы сузить перебор целочисленных переменных, удобно
произвести предварительную оценку величин χ + у и χ — у.
Решение. Сложив почленно уравнения системы и вычтя их друг из друга, с
учётом формул синуса суммы и разности получим:
sin (χ + у) = 0, (х + у = 7гп, η е
sin (χ - у) = i; ^ jar - 2/ = (-1)* J + тг/с, /с £ Z.
Теперь отберём целочисленные переменные таким образом, чтобы выполнялись
данные в условии задачи ограничения — f < ж < f и — -| < 2/ < -|. Заметим, что
согласно уравнениям исходной системы, cos ж /0 и cosy φ 0, откуда χ φ ±f и
2/ т^ if · Следовательно, неравенства в заданных ограничениях нажиу являются
строгими.
Оценим величины х + у и χ — у:
π π
— < χ < — f
2 2' I -7Г <£ + £/< 7Г,
_Ζϋ < 7У < Ζϋ. [-π <ж-2/ <тг;

366
Указания и решения
значит, подходят только η = 0, к = 0 и /с = 1. В первом случае
Во втором случае
Ответ.
+ У =
-у =
о,
π
6;
х + у = 0,
5π
Ж-?/:
6 '
5π 5π\
12' 127' Vl2'~12/
12'
π
12'
5π
12'
5π
~Ϊ2'
Задача 1J^. (Геогр-87.4)
isin (2x — ι/) == 0
удовлетворяющие
cos (ί/-ж) = 1;
условиям π < χ < 2π, —π < у < π.
Идея. Решить систему подстановкой.
Указание. Выразить у из второго уравнения и подставить в первое.
Решение. Из второго уравнения следует, что у = χ + 2тгк, к Ε Ζ. При
подстановке в первое уравнение получим:
sin (2 χ — χ — 2ик) = 0
sin ж = 0
χ = πη, η ^Ъ.
Поскольку ж Ε [π; 2π], подходят только η = 1 и η = 2.
Если ж = π, то у = π + 2ик Ε [—π; π] => у = ±π.
Если χ = 2π, το ?/ = 2π + 2ик Ε [—π; π] =^> у = 0.
Ответ. (π;±π), (2π; 0).
Задача i5. (BMK-77.3)
Решить систему уравнений
sin2(-2x) - (3-V2)tg52/
tg25i/ + (3-v/2)sin(-2x)
Зл/2-1
2 '
Зл/2-1
Идея. Вычесть одно уравнение из другого и разложить полученное уравнение
на множители.
Указание. Разложить уравнение, полученное в результате вычитания второго
уравнения из первого на множители, приравнять каждый из множителей нулю и
далее решать подстановкой.

6.3. Системы тригонометрических уравнений
367
Решение. Положим и = sin(—2х), ζ = tgby, где \и\ < 1 и вычтем второе
уравнение из первого, получим
ζ2 - (3 - л/2)я - (3 - л/2)^ = О
(г/ - ζ)(и + г) - (3 - л/2) (г* + ζ) = О
^^ (г/ + ζ)(и - ζ - 3 + л/2) = 0.
Теперь можно приравнять каждый из множителей нулю, выразить г через и и
подставить в любое из уравнений исходной системы.
1) Если ζ = —и, то из первого уравнения системы получим
и" - (3 - V2) ·(-„)= */Ь1.
Корень г/ = < — 1 не подходит, остаётся корень и = —^=. Тогда
sin2, = --L
χ=(_1)η+ιΞ + ™) nGZ>
1 1 ππι _
2/ = -- arctg —= + —, me Z.
2) Если ζ = и — (3 — γ2) ? то из первого уравнения системы получим
ω2 _ (3 _ ^)ω + (3 - χ/2)2 = ^|—ί.
Вычислим дискриминант D = (3- л/2)2 - 2(23 - 15л/2) = 24л/2 - 35 и сравним его
с нулём:
24л/2 - 35 V 0
24л/2 V 35
576-2 V 352
1152 < 1225
то есть D < 0 ив данном случае решений нет.
Ответ. П-1)п+1- +
π πη 1 1 π?η\
_;__arctg__ + _j;n,mGZ.
Задача 16. (Хим-99(1).3)
Найти все значения χ из отрезка [0; π], удовлетворяющие системе
i2sin3x + 2cos4a: = 1 + у/2,
Ι 2 sin 7х — 2 sin ж = \/2·
Идея. Получить систему относительно sin3x и cos4x.
Указание. Во втором уравнении воспользоваться формулой разности синусов.

368
Указания и решения
Указание. Полученную систему решать подстановкой.
Решение. Преобразуем систему следующим образом:
i2sin3x + 2cos4a: = 1 + у/2,
4 sin Зх cos
Заметим, что cos4x 7^ 0; выразим sin3x из второго уравнения и подставим в
первое:
4 cos Ax
2 cos Ах = 1 + л/2
4cos24x-2 Μ + л/2) соз4ж + л/2 = 0;
2 1 1
D1=(l + y/2\ - 4л/2 = (l - л/2) ; cos4x=- или cos4x-
Первый случай:
cos 4ж = -,
2'
π πη
sin 3x
V2'
π 2ππι
χ
ш G Ζ,
12 3
π 27г/с 7 _
χ = — Η —, /с Ε Ζ.
4 3
С учётом того, что ж Ε [0; π] получим
( ί π 7π 5π 11π
|XG \Ϊ2' 12'Ϊ2'Ί2~
ί π 3π Ί
\Ϊ2'Τ/ '
ж Ε
ж Ε
ж Ε
π 11π
Ϊ2'Τ2~
Γττ ΙΙτγΊ
\4'Ί2"/
Второй случай:
cos4x = —=,
у/2
sin3x = i;
С учётом того, что χ Ε [0; π] получим
π
π 2πς
5π 2πβ
X=18+—'SeZ-
9π 7π 15πΊ
ж Ε
π 13π
18' 18 J '
5π 17πΊ
ίΓ€<Ϊ8'Ί8"/;
ж Ε
Ответ.
π 11π
12' "ΊΤ'

6.3. Системы тригонометрических уравнений
369
Задача 17. (Биол-80.5)
Найти все те решения уравнения
3 sin3 χ — 3 cos2 χ + 7 sin χ — cos 2x + 1 = 0,
которые являются также решениями уравнения
cos2 χ + 3 cos x sin 2ж — 8 sin χ = 0.
Идея. Условие задачи эквивалентно поиску решения системы двух заданных
уравнений.
Указание. Применяя формулы двойного угла и основное тригонометрическое
тождество, привести каждое из уравнений к кубическому относительно sin ж, по-
еле чего исключить из системы sin x.
Решение. Множество решений первого уравнения, также являющихся
решениями второго уравнения, фактически задаёт пересечение областей решений двух
уравнений, то есть условие задачи можно трактовать как требование найти
решение системы:
{3 sin3 χ — 3 cos2 x + 7 sin χ — cos 2x + 1 = 0,
cos2 χ + 3 cos χ sin 2x — 8 sin χ = 0.
Выразим всё через sin ж с помощью основного тригонометрического тождества
и формул двойных углов:
{3 sin3 χ — 3(1 — sin2 x) + 7 sin χ — (1 — 2 sin2 χ) + 1 = 0,
1 — sin2 χ + 3 sin χ · 2 · (1 — sin2 ж) — 8 sin χ = 0;
{3 sin3 χ + 5 sin2 ж + 7 sin ж — 3 = 0,
—6 sin3 χ — sin2 ж — 2 sin x + 1 = 0.
Сложив второе уравнение с удвоенным первым, получим:
i3sin3a; + 5sin2x + 7sinx -3 = 0, i3sin3 ж + 5sin2 ж + 7sinx -3 = 0,
1 9 sin2 x + 12 sin ж — 5 = 0; 1 sin ж = -.
Непосредственной подстановкой у беж: даемся, что sin ж = 1/3 является решением
и первого уравнения, следовательно, условию задачи удовлетворяет серия
χ = ( — l)n arcsin —Ь 7гп, η G Z.
о
Ответ. ( —l)n arcsin—Ь 7гп, η G Z.
о

370
Указания и решения
Задача 18. (Биол-79.5)
Найти все пары чисел χ и у, удовлетворяющие условиям
cos2 ху — 3 sin xy cos ху = 2 cos у cos (2ху — у) — 2 cos2 (ху — у),
ж3 - ху + 1 = 0,
х6 + 2ж£/ < 5.
Идея. Свести первое уравнение к однородному тригонометрическому уравнению
второй степени и найти из него значение величины ху. Отбор целочисленных
переменных произвести с помощью неравенства и второго уравнения системы.
Указание. Преобразовать произведение косинусов в сумму и применить
формулу косинуса двойного угла. Из полученного однородного уравнения найти ху.
Указание. Выразив х3 из второго уравнения системы через ху и подставив
в неравенство, получить ограничение на значение ху и отобрать значения
целочисленных переменных. Далее, с помощью второго уравнения системы найти сами
неизвестные хну.
Решение. Преобразуем первое уравнение системы:
cos2 ху — 3 sin xy cos xy = cos 2xy + cos (2у — 2ху) — 2 cos2 (ху — у) <^>
<^> cos2 xy — 3 sin xy cos ху = cos 2ху + 2 cos2 (ху — у) — 1 — 2 cos2 (xy — у) <^>
<^> cos2 ху — 3 sin xy cos ху = — 2sin2xy.
После деления обеих частей уравнения на cos2 xy (учитывая, что cos2 xy = 0 не
является решением уравнения), получим:
2tg2xy-3tgxy+l = 0
" tg xy =
tgxy =
1,
1
2
ху
+ πη. η G
ху = arctg —h 7rm, πι G Ζ.
Теперь отберём значения целочисленных переменных, при которых справедливо
неравенство исходной системы. Для этого выразим х3 из второго уравнения
системы через ху и подставим в неравенство:
(ху - I)2 + 2ху < 5
(ху)2 < 4
\ху\ < 2.
1) Для серии ху = — + πη, η е Ζ неравенство
при η = 0, следовательно,
+ πη
< 2 выполняется только
х3 — ху + 1 = 0;
^=4'
1;
π
<-1

6.4· Использование ограниченности...
371
2) Для серии ху = arctg - + ππι, т G Ъ неравенство
arctg - + ππι
< 2 выполня-
1 π
ется только при т = 0 (так как 0 < arctg- < arctg 1 = ~r), следовательно,
1
ху = arctg-,
χ3 - ху + 1 = 0;
О'
V
π π
4~ ;—w
ху = arctg-,
V
V
arctg - - 1;
arctg- - 1;
arctg - - 1.
arctg;
arctg - - 1
arctg
ι \
i/arctg--iy
6.4. Использование ограниченности тригонометрических
функций, оценочные неравенства
Задача 1. (ЕГЭ)
. /37π \ ο 9 Λ
Решите уравнение sin I V χ I = ox + 1.
Идея. Использовать ограниченность синуса и свойства квадратичной функции.
Указание. Поскольку sin (^L!L _|_ х
< 1 и Зж2 + 1 > 1, равенство возможно
только в случае, когда функции в левой и правой частях принимают значение,
равное единице.
Решение. Так как sin ( \- χ 1 < 1 и Зх2 + 1 > 1, то исходное равенство
может выполняться только при условии
. /37π \ ι
sin I — +ж I = 1,
Зх2 + 1 = 1.
Из второго уравнения χ = 0. Проверкой убеждаемся, что найденное значение
переменной является корнем и первого уравнения.
Ответ. 0.
Задача 2. (У)
Решить уравнение sin ж + sin 9x = 2.
Идея. Использовать ограниченность синуса.

372
Указания и решения
Указание. Равенство возможно только тогда, когда оба синуса равны 1.
Решение. Так как — 1 < sin χ < 1 и — 1 < sin 9х < 1, то исходное равенство
может выполняться только при условии
J sin χ = 1,
| sin9x = 1.
7Г
Из первого уравнения χ = Ь 27г/с, fc Ε Ζ. Вычислим sin9x:
/9π λ /9ττλ /π \
sin9x = sin I —- + 18πκ Ι = sin I —- Ι = sin ί — + 4π1 =1.
7Г
Следовательно, ж = h 27г/с, /с G Ζ является решением системы и исходного
уравнения.
7Г
Ответ. Ь 27rfc, /с G Z.
Задача 3. (У)
Решить уравнение cos ж — sin3x = — 2.
Идея. Использовать ограниченность синуса и косинуса.
Указание. Равенство возможно тогда и только тогда, когда косинус равен —1,
а синус 1.
Решение. Так как — 1 < cos χ < 1 и — 1 < sin Зх < 1, то исходное равенство
может выполняться только при условии
J cos ж = — 1,
1 sin3x = 1.
Из первого уравнения χ = π + 27г/с, /с G Ζ. Вычислим sin3x:
sin Зж = sin (3π + βπ/c) = 0 ^ 1.
Следовательно, решений нет.
Ответ. Решений нет.
Задача 4- (ЕГЭ)
Решите уравнение 2 cos2 2х — sin Зх = 3.
Идея. Использовать ограниченность синуса и косинуса.
Указание. Равенство возможно только тогда, когда косинус равен ±1, а синус
равен —1.

6.4· Использование ограниченности...
373
Решение. Так как 0 < cos2 2х < 1 и — 1 < sin Зх < 1, то исходное равенство
может выполняться только при условии
Г | cos2x| = 1,
1 sin3x = — 1.
Из первого уравнения χ = —, к Ε Ζ. Подберём к таким образом, чтобы
найденный χ являлся решением и второго уравнения, то есть
. о . /ЗтгАЛ
sm3x = sin = — 1.
ν 2;
Заметим, что если к четно, то sin ( 1 = 0, значит /с = 2п + 1, η Ε Ζ и
А так как cos3nn = 1
7Г
х = —Ь 2πτη, m Ε Ζ.
3π
sin Зж = sm = sin όπη ,
ν 2; ι 2
— ΰθ8 3πη.
η = 2m, m Ε Ζ, το /с = 2η + 1 = 4m + 1 и
Ответ. -+2та, mGZ.
Задача 5. (ЕГЭ)
Решите уравнение sin4 χ + cos3 x = 1.
Идея. Использовать ограниченность синуса и косинуса и основное
тригонометрическое тождество.
Указание. Использовать то, что sin4 χ < sin2 ж, cos3 χ < cos2 ж.
Указание. Тогда из уравнения и основного тригонометрического тождества
получаем 1 = sin χ + cos3 χ < sin2 χ + cos2 χ = 1, что возможно только в случае
sin χ = sin2 ж,
cos3 ж = cos2 χ.
Решение. Используя то, что sin χ < sin ж, cos3 χ < cos2 ж, получаем
sin4 χ + cos3 χ < sin2 ж + cos2 x = 1,
то есть исходное равенство возможно только при условии
sin4 χ = sin2 ж,
cos3 ж = cos2 x:
sin ж = О,
cos ж = 1;
sinx = ±1,
cos ж = 0;
χ = 2π?η, πι Ε Ζ,
^ 7 7 -
ж = h 7г/с, /с Ε ^
Ответ. l· 7г/с, 2πτη; /с, т Ε Ζ.

374
Указания и решения
Задача 6. (У)
Решить уравнение sin3 χ — cos7 χ = 1.
Идея. Использовать ограниченность синуса и косинуса и основное
тригонометрическое тождество.
Указание. Использовать то, что sin3 χ < sin2 ж, — cos7 χ < cos2 χ.
Указание. Тогда из уравнения и основного тригонометрического тождества
получаем 1 = sin3 χ — cos7 χ < sin2 χ + cos2 χ = 1, что возможно только в случае
sm3 χ
sin2 ж,
Решение. Используя то, что sin3 χ < sin2 ж, — cos7 χ < cos2 x, получаем
sin3 χ — cos7 ж < sin2 χ + cos2 χ = 1,
то есть исходное равенство возможно только при условии
= о,
sin3 χ = sin2 x,
— cos7 ж = cos2 χ;
-l;
ι,
:0;
ж = π + 2πη, η Ε Ζ,
ж = - + 2тг&, & Ε Ζ.
Ответ, π + 2πη,
■ 27rfc; η, /с Ε Ζ.
Задача 7. (У)
Решить уравнение sin ж + ^cosx = 1.
Идея. Показать, что синус и косинус могут принимать значения либо 1, либо 0.
Указание. Использовать основное тригонометрическое тождество.
Решение. Заметим, что если sin ж < 0, то левая часть уравнения меньше 1
и решений нет, следовательно, sin ж > 0. Учитывая, что
sin ж > sin ж, vc°s^ > cos ж,
получаем
sin ж + л/cosx > sin χ + cos x = 1,
то есть исходное равенство возможно только при условии
sin ж
sin2 χ,
Y^OSX
cos" x:
χ = 2πη, η Ε Ζ,
π
χ = h 27г/с, /с Е
Ответ. 2πη, —h 27rfc; n, k Ε Ζ.

6.4· Использование ограниченности...
375
Задача 8. (У)
Решить уравнение sin χ · sin 7 χ = 1.
Идея. Использовать ограниченность каждого из множителей.
Указание. В силу ограниченности синуса равенство возможно только в случае,
когда оба множителя равны либо 1, либо — 1.
Решение. Поскольку каждый из множителей по модулю не превосходит 1,
возможно только два варианта: оба множителя равны 1, либо оба множителя
равны — 1.
Первый случай:
J sin χ = 1,
1 sin 7 χ = 1.
7Г
Из первого уравнения χ = \- 27г/с, к Ε Ъ. Вычислим sin7x:
sin7x = sin I —- + 147rfc j = — 1.
Следовательно, в этом случае решений нет.
Второй случай:
J sin ж = — 1,
| sin 7х = — 1.
7Г
Из первого уравнения χ = V 27г/с, к Ε Ъ. Вычислим sin7x:
sin7x = sin ( V 147г/с I = 1.
Следовательно, решений нет.
Ответ. Решений нет.
Задача 9. (У)
Решить уравнение cos χ · cos 6x = — 1.
Идея. Использовать ограниченность каждого из множителей.
Указание. Равенство возможно только в случае, когда один множитель
равен 1, другой — 1.
Решение. Поскольку каждый из множителей по модулю не превосходит 1,
возможно только два варианта. Первый вариант:
J cos ж = — 1,
1 cos6x = 1.
Из первого уравнения χ = π + 27г/с, к Ε Ъ. Вычислим cos6x:
cos6x = ΰοββπ = 1.

376
Указания и решения
Следовательно, χ = π + 2тгк, к Ε Ъ входит в ответ.
Второй случай:
cos ж = 1,
cos6x = — 1.
Из первого уравнения χ = 2тгк, к Ε Ъ. Следовательно, cos6x = 1 и в этом случае
решений нет.
Ответ, π + 2пк, к Ε Ъ.
Задача 10. (У)
, β ι
Решить уравнение sin χ · cos x = —.
Идея. Показать, что левая часть равенства меньше —.
Указание. Свернуть произведение синуса на косинус в синус двойного угла.
Решение. Так как
sin5 χ · cos6 x = — sin5 2x · cos ж < — < —,
25 ~ 32 31'
то исходное уравнение решений не имеет.
Ответ. Решений нет.
Задача 11. (У)
γ
Решить уравнение sin6 χ · cos10 x = -.
7
Идея. Показать, что левая часть равенства меньше -.
8
Указание. Свернуть произведение синуса на косинус в синус двойного угла.
Решение. Так как
1 17
sin6 χ · cos10 x = — sin6 2x · cos4 ж < — < -,
26 ~ 64 8'
то исходное уравнение решений не имеет.
Ответ. Решений нет.
Задача 12. (У)
Решить уравнение cos ж = х2 + 1.
Идея. Использовать оценки левой и правой частей уравнения.
Указание. Равенство возможно только тогда, когда обе части равны 1.
Решение. Поскольку cos х<1,ах2 + 1>1, обе части равны 1, откуда χ = 0.
Ответ. 0.

6.4· Использование ограниченности...
377
Задача 13. (У)
Решить уравнение cos2(7nr) — л/х2 — Ъх + 4 = 1.
Идея. Использовать оценку левой части уравнения.
Указание. Равенство возможно только тогда, когда радикал равен нулю.
Решение. Перепишем уравнение в виде
cos2(7nr) = ух2 — Ъх + 4 + 1.
Поскольку cos2(ttx) < 1, а л/х2 — Ъх + 4 + 1 > 1, то обе части уравнения равны 1.
Следовательно, радикал равен нулю, и решения надо искать среди корней
квадратного уравнения х2 — Ъх + 4 = 0. Так как при χ = 1 и ж = 4 выполняется
cos2(7nr) = 1, то оба корня входят в окончательный ответ.
Ответ. 1; 4.
Задача i^. (У)
Решить уравнение cos2 χ = 0, 5 (л/1 + 4ж2 + л/ГТж2) .
Идея. Использовать оценки левой и правой частей уравнения.
Указание. Равенство возможно только тогда, когда обе части равны 1.
Решение. Минимум правой части уравнения совпадает с максимумом левой,
следовательно, обе части равны 1, откуда χ = 0.
Ответ. 0.
Задача 15. (У)
з
Решить уравнение sin 9х · sin χ + cos x = -.
Идея. Показать, что левая часть уравнения всегда меньше правой.
Указание. Использовать метод вспомогательного аргумента.
Решение. Преобразуем левую часть уравнения:
/—о / sin 9ж 1
sin 9х - sin χ + cos χ = ν sin 9x + 1 -—^^=^^= sin χ -\ = cos χ
\ Vsin2 9χ + 1 Vsin2 9χ + 1 ,
= γ sin2 9χ + 1 · sin (χ + φ (χ)), где </?(χ) = arcsin —-==
V sin2 9ж + 1
Далее, так как —1 < sin (χ + </?(χ)) < 1, то 1 < ν sin2 9x + 1 < \/2
-λ/2 < \/sin2 9ж + 1 sin (ж + φ (χ)) < у/2.
Следовательно, левая часть уравнения для любого χ меньше правой, то есть
решений нет.
Ответ. Решений нет.

378
Указания и решения
Задача 16. (У)
Решить уравнение sin5 χ + cos5 χ = 2 — sin2 x.
Идея. Показать, что максимум левой части уравнения равен минимуму правой.
Указание. Использовать основное тригонометрическое тождество.
Решение. Оценим обе части уравнения:
sin5 χ + cos5 x < sin2 x + cos2 χ = 1, 2 — sin2 χ = 1 + cos2 χ > 1.
Следовательно,
Г sin5 ж + cos5 ж = 1, Г sinx = 1, тг
< , , о , <^> < г> <^> х = — + 2πη, η Ε Ζ.
[ l + cos2x = l; [ cosx = 0; 2
7Γ
Ответ. — + 2πη, η Ε Ζ.
Задача i7. (У)
Решить уравнение cos2 x + cos2 \/Зя; = 2.
Идея. Использовать ограниченность косинуса.
Указание. Равенство может выполняться только тогда, когда оба слагаемых
левой части равны 1.
Решение. Так как cos2 χ < 1, cos2 л/Зх < 1, равенство достигается только при
cos2 χ = 1, Г χ = πη, η Ε Ζ,
cos2 л/Зж = 1; ]^ л/Зж = π/с, /с Ε Ζ.
Значение ж = 0 является решением. Если χ φ 0, то, поделив уравнения друг
к
на друга, получим, что л/3 = —, то есть л/3 является рациональным числом.
η
Поскольку это неверно, решений, отличных от нуля, нет.
Ответ. 0.
Задача 18. (Геогр-98.4)
Решить уравнение sin χ — л/3 cos χ = 2 + 5 sin2 (2x
3,
Идея. Показать, что максимум левой части уравнения равен минимуму правой
части.
Указание. Преобразовать левую часть уравнения с помощью метода
вспомогательного аргумента и показать, что левая часть не превосходит правую.
Решение. Преобразуем уравнение следующим образом
1 . л/3 ,5
2
2 2 2 V 3/ V 3
7Г\ . / π
sin χ cos x = 1 + - sin \2x -\— <^> sin [x = 1 + - sin 2x +

6.4· Использование ограниченности...
379
Поскольку — 1 < sin (χ < 1 и 0< sin2 ( 2х -\— ) < 1, уравнение равносильно
системе:
sin (2х +
π π
χ = — + — + 2πη, η Ε
στ
2χ = Ink, к Ε Ζ;
о
5π
χ = h 2πη, η Ε Ζ,
π π/с 7 _
χ = -- + —, & Ε Ζ;
5π
ж = \- 2πη, η Ε Ζ.
6
5π
Ответ. h 2πη, η Ε
6
Задача 19. (Экон-90.5)
Найти все корни уравнения у 1 — ctg2 2πχ · cos7nr + shi7nr = \/2 ? расположенные
на отрезке [—3; 1].
Идея. Применив к левой части уравнения формулу вспомогательного аргумента,
использовать ограниченность тригонометрических функций для поиска решения.
Указание. Разделив обе части уравнения на у2 — ctg227nr, свернуть левую
часть полученного уравнения в косинус разности.
Указание. Показать, что равенство может выполняться только, если обе его
части равны 1, и решить соответствующую систему.
Решение. Преобразуем исходное уравнение в соответствии с методом
вспомогательного аргумента:
\Л - ctg2 2πχ
у/2 - ctg2 2πχ
cos φ cos πχ + sin φ sin πχ
1
где sin φ
cos πχ
у/2 - ctg2 2πχ
л/2
V/2 - ctg2 2πχ
shi7nr
у/2
\/2 - ctg2 2πχ
cos (πχ — φ)
V2
\/2 - ctg2 2πχ'
= , COS(/?
\Λ - ctg2 2πχ
\/2 - ctg2 2πχ V 2 - ctg2 2πχ
В силу ограниченности косинуса в левой части полученного уравнения,
необходимым условием существования решений является условие
/2 - ctg2 2πχ > л/2 <^^ ctg2 2πχ < О
В этом случае уравнение примет вид
ctg2 2πχ = 0.
ι
cos (πχ — φ) = 1, где shi(/? = cos(/? = —=.
λ/2

380
Указания и решения
В результате, взяв в качестве φ угол —, получим, что исходное уравнение
равносильно системе:
cos τϊχ
ctg 2πχ = 0;
πχ = — + 2πη, η Ε Ζ,
4
π
ζπχ = —h 7Γ7Π, τη Ε Ζ;
ж = 2η + -, η £ Ζ,
4
ж = — + -, m Ε Ζ;
следовательно, ж = 2пН—, ηΕΖ, причём условие χ Ε [—3; 1] выполняется только
7 1
при η = — 1 и η = 0. То есть в ответ войдут χ = —- и χ = —.
Ответ.
7 1
_4' 4"
7. Изображение множества точек на координатной
плоскости, использование графических
иллюстраций в уравнениях и неравенствах
различных типов
7.1. Геометрические места точек, графики функций,
правила линейных преобразований графиков
Задача 1. (ЕГЭ)
На одном из четырёх рисунков изображён график нечётной функции. Указать
этот рисунок.
Ч
Идея. График нечётной функции симметричен относительно начала координат.
Решение. Так как график нечётной функции симметричен относительно
начала координат, то нечётной функцией является только функция, изображённая на
последнем рисунке.
Ответ. На последнем.

7.1. Геометрические места точек...
381
Задача 2. (У)
Построить график функции у = \х2 + Ъх — 6|.
Идея. Получить график функции у = |/(х)| из графика функции у = /(ж), где
/(ж) = ж2 + 5ж — 6.
Указание. График функции ?/ = |/(х)| получается из графика у = f(x)
отражением части графика, находящейся под осью Ох.
Решение. Сначала построим параболу у = х2 + Ъх — б.
у=х^+5х-6
у=|х^+5х-6|
У
49/4
-6 J
/ ' 1
-5/2
! °
\ ' 1
\' /
*
• -6
> -49/4
-49/4
Ветви параболы направлены вверх, координаты вершины и корни равны
соответственно
5
2' Ув
У(хв)
<·
XI
-6, х2 = 1.
Точка пересечения с осью Οι/ имеет координаты (0; —6).
График функции у = |х2 + 5х — 6| получается из у =
отражения наверх той части графика, которая находится ниже оси Ох.
-Ъх — б с помощью
Задача 3. (У)
Построить график функции у = х2 + Ъ\х\ — 6.
Идея. Получить график функции i/
f(x) = χ2 + 5ж - 6.
Указание. График функции у = /(|х|) получается из графика у
мощью отражения правой части графика относительно оси Оу.
f(\x\) из графика функции у = /(ж), где
/(ж) с по-
Решение. Сначала построим параболу у = ж2 + Ъх — б. Ветви параболы
направлены вверх, координаты вершины и корни равны соответственно
XI
-6, х2 = 1.
5 / ч ,„1
^в = -, Ув = у{Хв) = -124'
Точка пересечения с осью Оу имеет координаты (0; —6).
График функции у = х2 + Ъ\х\ — б получается из ι/ = χ2 + 5ж — б с помощью
отражения правой части графика относительно оси Оу.

382
Указания и решения
у=х2+5|х|-6 i у
-4 -49/4
-4 -49/4
Задача 4- (У)
Построить график функции у = 3 cos 2х.
Идея. Получить график функции у = 3 cos 2х из графика у = cos χ с помощью
сжатия и растяжения по соответствующим осям.
Указание. График функции у = f(2x) получается из графика у = f(x)
сжатием в два раза вдоль оси Ох. График функции у = 3/(х) получается из графика
функции у = f(x) растяжением в 3 раза вдоль оси Оу.
Решение. Построим график функции у = cos x и последовательными
преобразованиями приведём его к графику функции у = 3 cos 2x.
Сначала сжатием в два раза вдоль оси Ох получим график у = cos 2x. Потом
растяжением в 3 раза вдоль оси Оу получим график у = 3 cos 2x.
\^3π/2/ \ -π/2/
\ уС ~π Ук J
y=cos(x)
i
Απ/4
Ч
0 \
π/4\
-1
y=cos(2x)
члг/2 / π \ 3π/2/
χ
3 А У y=3cos(2x)

7.1. Геометрические места точек...
383
Задача 5. (У)
Построить график функции у = 1
1
Идея. Получить график функции у = 1 — -—г из графика у
X
1
с помощью
простейших преобразований.
Указание. График функции у = /(|х|) получается из графика у = f(x)
отражением правой части графика относительно оси Оу. График функции у = 1 — f{x)
получается из графика функции у = —f(x) сдвигом на 1 вверх.
Решение. Построим график функции у = — и последовательными преобразо-
х
ваниями приведём его к графику функции у = 1 — -—-.
\х\
Сначала построим график функции у
у = — относительно оси Оу.
χ
1
, отразив правую часть графика
у=1/х
Отразив график функции у = -—г относительно оси Ох, получим график
\х\
функции у = —-,—г, сдвинув который вверх на 1, получим график функции
\х\

384
Указания и решения
Задача 6. (У)
Построить график функции у
ж + 1
Идея. Получить график функции у
простейших преобразований.
Указание. Выделить из дроби
Указание.
1
1
х + 1
χ 1
из графика у = — с помощью
χ + 1 χ
целую часть.
ж+1 ж+1
Решение. Преобразуем искомую функцию следующим образом:
2/:
(ж + 1)-1
ж + 1
ж + 1
1
1
ж + 1
1
Сначала построим график функции у = — и сдвинув его влево на 1, получим
X
график функции у = .
χ + 1
Отразив график функции i/
1
ж + 1
относительно оси ж, получим график
функции ?/
функции ?/ = 1
ж + 1
1
сдвинув который вверх на 1, получим искомый график
х + 1
■ У)
—^-\\ о
i
X
"и
у=-1/(х+1)

7.1. Геометрические места точек...
385
Задача 7. (У)
Построить график функции у
sin ж
Идея. На области определения исследуемой функции раскрыть модуль по
определению и сократить выражение на sin ж.
Указание. На интервалах (27г/с; π + 27г/с), /с Ε Ζ подмодульное выражение
положительно, на интервалах (π + 2π/ί:; 2π + 2π/ί;), /с Ε Ζ подмодульное выражение
отрицательно. В точках π /с, /с Ε Ζ исходная функция не определена.
Решение. Функция определена в точках, где знаменатель дроби не равен нулю,
то есть при χ φ π/с, к Ε Ζ.
y=sin(x)
В остальных точках раскроем модуль по определению.
1) При sin ж > 0 (то есть при χ Ε (27rfc; π + 27г/с), /с Ε Ζ) получим ?/
2) При sin ж < 0 (при χ Ε (π + 27rfc; 2 π + 27г/с), /с Ε Ζ) получим ?/ = -
sin χ
sin ж
-о
-3π
-2π
sin ж
-1.
1 J>
y=|sin(x)|/sin(x)
-о
π
2π
<Ы
3π
Задача 8. (Экон-72.2)
Найти и изобразить на координатной плоскости точки, координаты которых
удовлетворяют системе уравнений
18х2у2 - 4х3у2 - Зх2у3
12у2 - 2ху2 + Зу3 = 0.
0,
Идея. Разложить каждое из уравнений на множители и, приравняв каждый из
множителей к нулю, получить уравнения соответствующих прямых.

386
Указания и решения
Решение. Исходная система равносильна следующей:
х2у2(18-4х-3у) = 0,
у2(12-2х + 3у) = 0;
χ = 0,
2/ = 0,
У = _зж + 6;
"г/ = о,
2
2/ = ттж — 4.
1 i
6
0
Г4
\*
|А(
У=
г4;
-4>
>
0)
/Зн
А
■6
ч '
^
"Έ
^
<Ί$
;\
=2
</з-
-4
к
Заметив, что у = 0 является решением, найдём остальные решения как точки
2 4
-х — 4 с прямыми ж = 0 (т. А(0; —4)) и ?/ = — -χ + 6
т. Б 5
пересечения прямой ?/
2N "
Ответ, ί/ = 0, т. А(0; -4), т. Б 5
Задача 9. (ВМК-99.2)
На координатной плоскости (ж, у) проведена окружность радиуса 4 с центром
в начале координат. Прямая, заданная уравнением у = 4 — (2 — γ3)^, пересекает
её в точках А и В. Найти сумму длин отрезка АВ и меньшей дуги АВ.
Идея. Найти координаты точек А и В. Вычислить градусную меру дуги АВ.
Указание. Градусная мера дуги АВ есть величина центрального угла АО В,
величину которого молено найти по теореме косинусов из соответствующего
треугольника.
Решение. Найдём координаты точек пересечения прямой и окружности из
соответствующей системы уравнений
х2 + у2
16,
4 - (2 - л/3) х.

7.1. Геометрические места точек...
387
Решениями системы являются пары ж = О, у = 4их = 2, у = 2уЗ. Пусть А(0; 4),
В(2; 2\/3) и точка О - начало координат.
По формуле расстояния между точками получим:
АВ2 = 22 + (4 - 2л/з) = 32 - 16л/3.
Из теоремы косинусов для ААОВ следует, что
/о
32-1бл/3 = 16 + 16-2-16-cosZAOE => cosZAOB = — => /АОБ =-.
Длина соответствующей дуги равна 4 · — = — . Ь результате искомая сумма длин
б 3
27Г /
равна Ь 4 ν 2 — \/3·
о
2π
Ответ. — +4\/2- л/3-
о
Задача 10. (Геол-82.5)
Построить на координатной плоскости множество точек, координаты каждой из
которых удовлетворяют условию
у = А
у-
6
X
-2
3
ж
- 1
и среди точек этого множества найти те, у которых координата у принимает
наибольшее значение.
Идея. Раскрыть модули по определению, то есть рассмотреть 4 случая
раскрытия модулей в зависимости от знаков подмодульных выражений.
Указание. Линии смены знаков подмодульных выражений разобьют
координатную плоскость на несколько частей. На каждой из таких частей плоскости
исходное уравнение уже не будет содержать знаков модулей.

388
Указания и решения
Решение. Рассмотрим 4 случая раскрытия модулей:
6
!)
2М
у-
3
X
У =
ν -
3
X
У =
у-
->0,
-1 >0,
= 4
6
-1
:4
b
-2/ +
>о,
<о,
-у +
<о,
6
6
-
+
6
X
6
+ 2;
-2;
>о,
3М
1 >0,
У = 4 + 2/
6
6 6
ж ж
Зж — б
ж — 3
<0,
χ
2/ = 3;
б .,6
- + 1>-,
ж — 3
>0,
χ
6 -,
2/=- + 1;
χ
6
2/< ",
ж€(0;3],
0 = 3-*:
ж€[2;3],
2/ = 3;
ж G (-оо; 0) U (3;+оо),
2/ = - + 1;
У<-,
χ
χ = 2:
4)
2/-- <0,
з х
--КО,
2/ = 4 + ί/-
6 6
- + -
6
у<-,
χ
х-3
>о,
■2;
0 = 2, нет решений.
у;
3
-
у=6/х+1 \
\
2
^^ у=6/х+1
,
3 χ
2/<3,
ж = 2;
Итак, 2/тах = 3 при χ е [2; 3].
Ответ. 2/тах = 3 при 2 < χ < 3.
7.2. Плоские геометрические фигуры, применение метода
координат
Задача 1. (ИСАА-96.2)
Найти площадь фигуры, заданной на координатной плоскости системой
Ь>-N-i,
\у<-2\х\ + 3.
Идея. Искомая фигура представляет собой множество точек, лежащих выше
графика функции у = — \х\ — 1 и ниже графика функции у = — 2\х\ + 3.

7.2. Плоские геометрические фигуры...
389
Указание. График у = — \х\ — 1 получается из графика у = \х\ отражением
относительно оси Ох из верхней полуплоскости в нижнюю и сдвигом по оси Оу
на единицу вниз.
Указание. График у=— 2|ж|+3 получается из графика у = \х\ отражением
относительно оси Ох в нижнюю полуплоскость, изменением в два раза углового
коэффициента образующих лучей и сдвигом по оси Оу на три единицы вверх.
Указание. Искомая фигура является невыпуклым четырёхугольником,
площадь которого удобно считать через разность площадей треугольников.
Решение. Построим графики функций
у = -\х\-\ и 2/ = —2|ж| Ч- 3.
График у = — \х\ — 1 получается из
графика у = \х\ отражением относительно
оси Ох в нижнюю полуплоскость и
сдвигом вниз по оси Оу на единицу;
геометрическим местом точек, задаваемых
неравенством у > —\х\ — 1, является область над
графиком соответствующего уравнения.
График у = — 2|ж|+3 получается из
графика у = \х\ отражением относительно оси
Ох в нижнюю полуплоскость, изменением
в два раза углового коэффициента
образующих лучей и сдвигом вверх по оси Оу на
три единицы; геометрическим местом
точек неравенства у < — 2\х\ +3 является
область под графиком соответствующего уравнения.
В итоге, заданной фигурой оказался невыпуклый четырёхугольник ABCD:
А(-4;-5), Б(0;3), С(4;-5), Я(0;-1);
Sabcd = Sabc — Sacl
где т. £(0;-5).
-АС · BE - -АС · DE = -АС · BD = - · 8 · 4 = 16,
2 2 2 2'
Замечание. Координаты точек пересечения прямых находятся как решения
систем соответствующих линейных уравнений.
Ответ. 16.
Задача 2. (Геол-99.3)
{
Найти площадь фигуры, заданной на координатной плоскости (ж, у) системой
х(х + у-уД)< 0,
х2 + у2 < 2.
неравенств
Идея. Построить отдельно множество точек, удовлетворяющих первому
неравенству, и пересечь с множеством точек, лежащих внутри круга х2 + у2 < 2.
Указание. При решении первого неравенства рассмотреть случаи: первый
множитель больше или равен нуля, второй - меньше или равен, и наоборот.

390
Указания и решения
Решение. Первое неравенство системы расщепляется на две системы:
Таким образом, решением первого неравенства исходной системы будут точки,
лежащие в закрашенной области.
В ответ из них войдут только те, которые лежат внутри круга х2 + у2 < 2.
Прямая у = —х + \/~2 пересекает окружность в точках А(0; л/2), В(\/2;0),
и площадь искомой фигуры складывается из площади сектора СОВ и площади
тг(л/2)2 л/2-л/2_тг
~~4 + 2 ~ 2
треугольника АО В, то есть искомая площадь равна
1.
Ответ. —hi.
Задача 3. (Геол.ОГ-81.4)
Найти площадь фигуры, которая задается на координатной плоскости условием
|ж| + |г/-1|<4.
Идея. Раскрывая второй модуль по определению, найти геометрическое место
точек для каждого случая. Искомая фигура образуется из объединения
соответствующих областей.
Замечание. В принципе, можно раскрывать оба модуля по определению
независимо друг от друга, то есть рассмотреть четыре случая.
У<
5.
Решение. 1) Если у > 1, то \х\ + у — 1 < 4 <
2) Если у < 1, то \х\ - у + 1 < 4 ^^ у > \х\ - 3.
Построив в каждом из случаев задаваемую неравенством область, получим, что
искомой фигурой является объединение двух треугольников - квадрат ABC Ό, где

7.2. Плоские геометрические фигуры...
391
вершины имеют координаты (вычисляются непосредственно): А(—4;1), В(0; 5),
(7(4; 1), D(0; —3); точка Е(0; 1) - центр симметрии;
SABCD = 2SABC = 2.1-.ACBE = ACBE = 8.4 = 32.
а/
у1
5,
1
^у
-4 \
Ч °
-3
I
^
Ε
^=ι>
<|+5
\с
D
>|:
4 χ
<|-3
Ответ. 32.
Задача 4- (Экон-88.4)
Найти площадь фигуры, заданной на координатной плоскости соотношением
2(2-ж) > \у -х2\ + \у + х2\.
Идея. Раскрыв модули по определению, построить на координатной плоскости
соответствующие геометрические места точек и получить геометрическую
плоскую фигуру, площадь которой считается стандартным образом.
Указание. Удобно рассмотреть три промежутка: у <
< у < χ ,
у > χ , на каждом из которых строить соответствующее геометрическое место
точек.
Указание. Искомой фигурой является трапеция, основания которой
параллельны оси Оу.
Решение. Раскроем модули по определению:
1) При у <
получим 4 — 2х > —у + х2
У
у > χ
х2 + χ - 2 < О
2) При —х2 < у < х2 получим 4 — 2х > —у + х2 + у + х2 <
<^^ -2 < χ < 1.
3) При у > х2 получим 4 — 2х > у — х2 + у + х2 <^> у < —х + 2.
Искомой фигурой является трапеция ABCD с вершинами А{—2; 4), 12(1; 1),
(7(1; —1), D(—2; —4) и высотой ВН, где т.Н(—2; 1). Площадь трапеции равна
l-(AD + BC)BH = \(2
15,

392
Указания и решения
ч
н<
-2
А
А
μ -V
м Л
d~~~
i III /
4 /
/Гч ι •
\ • ι ν2 χ
-2\ι \
-4 \
1 \
Ответ. 15.
Задача 5. (Геол-80.5)
Найти площадь фигуры, которая задаётся на координатной плоскости следующи-
\\х~У\ ~ \У~ !|| =х-2у + 1,
(х-1)2 + (у-1)2 <1.
ми условиями
Идея. Изобразив на координатной плоскости геометрические места точек,
задаваемые каждым условием системы, получить плоскую геометрическую фигуру.
Указание. Неравенство системы задаёт на координатной плоскости круг
единичного радиуса с центром в т. (1; 1).
Указание. При решении уравнения модули раскрыть по определению.
Геометрическим местом точек, задаваемых этим уравнением, будет пара пересекающихся
прямых и внутренняя область двух получающихся при этом углов.
Указание. Для вычисления искомой площади удобно перенести один из двух
получившихся секторов и расположить его рядом со вторым.
Решение. Неравенство системы задаёт круг единичного радиуса с центром
в т. (1; 1). В уравнении системы раскроем модули по определению:
'' У<х,
χ 1
2/< о + ο-
Ι)
2)
3М
х-у > О,
\х-у-у + 1\
х-у>0,
jx-y + y-l\
х-у<0,
\у-х + у-1\
22/+ 1;
1 >0;
22/+ 1;
■22/ + 1;
у <х,
2/<1>
\χ-ι\
■22/ + 1;
У>х,
2/<1>
ж - 2ί/ + 1 > 0;
2/<ж,
2/<1,
ж < 1,
У = х-
у > х,
У< 1,
ж 1
2/<

7.2. Плоские геометрические фигуры...
393
4)
χ — у < О,
y-i>o,
\y-x-y-
II
■2у + 1;
■y) + (i-y);
Искомая фигура, задаваемая системой,
состоит из двух секторов А и В у выделенных
на чертеже. Площадь сектора А равна
площади сектора С, так как их образующие углы
вертикальны. Площадь фигуры равна площа-
π
ди сектора с углом
внутри
рассматриваемого круга единичного радиуса, то есть одной
о 1 2 π
восьмой площади круга: Ь = —иг = —.
Ответ.
Задача 6. (Экон-91.5)
Найти площадь плоской фигуры, состоящей из точек, координаты которых
удовлетворяют условию (х2 + у2 — χ — у) (х2 + у2 — 1) < 0.
Идея. Перейти к равносильной
совокупности систем и изобразить на координатной
плоскости геометрические места точек,
задаваемых полученными условиями.
Указание. Перейти к равносильной
совокупности систем, решения которых
изобразить на координатной плоскости.
Указание. Геометрическим местом точек,
удовлетворяющих неравенствам систем,
является либо круг, либо внешняя область
круга, включая границу.
Решение. Перейдём к равносильной
совокупности систем:
χ-у < 0,
1 >0;
■х-у>0,
■КО:
ХЛ
х2 + у2
>1;
2
X
2
2 + у2<1.
У~2
1
^2'
>
Найдём площадь получившейся фигуры. Площадь круга радиуса г ι = 1 равна
Si
ТТГл
π. Площадь круга радиуса г 2 = 1/л/2 равна #2
πΓο
. Площадь

394
Указания и решения
общей части кругов равна
Somakbn = Saaob + Soma + Sobn + Sakb =
= Saaob + ( —— Saaob I + ( —— Saaob = — + -;— Saaob = ~r + ~r - - ·
2 —у у 4
В результате, искомая площадь равна
) 2
4 4 2
5 = 5ι + 52 - 2Somakbn = π+|-2ί|--^=π+|-π + 1 = | + 1.
Ответ. —hi.
Задача 7. (ИСАА-97.5)
Найти площадь фигуры, заданной условиями
у < \/4 — ж2,
2/>|ж-1|-3.
Идея. Искомая фигура состоит из точек, лелсащих выше графика функции
у = \х — 1| — Зи ниже верхней половины окружности х2 + у2 = 4.
Указание. Из условия существования радикала следует, что искомая фигура
лежит в полосе \х\ < 2.
Решение. Рассмотрим первое неравенство:
< у/А-х2
у2 < 4 - х2;
4 - х2 > 0;
2/>0,
ж2 + i/2 < 4;
\х\ <2.
Из второго неравенства системы следует, что искомая фигура состоит из точек,
лежащих выше графика функции у = \х — 1| — 3.

7.2. Плоские геометрические фигуры...
395
Значит, искомая фигура состоит из верхнего полукруга и четырёхугольника
ABC Ό, и её площадь равна:
S = — Ь Sabcd = 2π + Sade — Sbec = 2π + 9 — 2 = 2π + 7.
Ответ. 2π + 7.
Задача 8. (Геол-95(1).8)
Изобразить на координатной плоскости фигуру, заданную неравенством
ж2 + 2/2 + 6(ж- \у\) < 0.
Найти площадь этой фигуры.
Идея. Так как переменная у входит в неравенство чётным образом, то
молено сначала построить часть искомой фигуры в верхней полуплоскости, а потом
отразить её в нижнюю полуплоскость симметрично относительно оси Ох.
Указание. При у > 0 исходное неравенство задаёт круг.
Решение. При у > 0 неравенство запишется в виде
х2 + у2 + 6(х-у) < 0 ^^ (х + З)2 + (у - З)2 < 18.
То есть мы получили часть круга с центром в (—3; 3)
радиуса Зу2, лежащую в верхней полуплоскости.
Окружность, задающая границу круга, пересекает
ось Ох в точках А(0; 0) и В(—6; 0).
Так как переменная у входит в исходное
неравенство чётным образом, искомое множество точек
будет симметричным относительно оси Ох. Поскольку
угол АО В прямой, площадь верхней половины
фигуры равна
-тгг + Saob = —π + 9,
следовательно, площадь всей фигуры равна 27π + 18.
Ответ. 27π + 18.
Задача 9. (Почв-96(1).6)
Определите площадь фигуры, расположенной на координатной плоскости и
состоящей из точек (хуу)у удовлетворяющих неравенству к^/ж2+2/2)(ж + у) > 1.
Идея. Выписать совокупность двух систем, равносильную логарифмическому
неравенству, и для каждой из них построить соответствующее множество точек.

396
Указания и решения
Указание. loga Ъ > 1
О < а < 1,
О < Ъ < а;
а > 1,
Ь > а.
Решение. Запишем исходное неравенство в виде равносильной совокупности:
(θ < х2 + у2 < 1,
bgo^+^o + i/) > ι
О < χ + у < х2 + у2;
х2 +у2 > 1,
χ + у > х2 + у2;
Рассмотрим окружность с центром в начале координат единичного радиуса с пло-
щадью οι = π и окружность с центром в I -; - I радиуса —- с площадью
7Г
#2 = —. Окружности пересекаются в точках А(0; 1) и 12(1; 0).
Первой системе удовлетворяют точки, которые лежат внутри окружности еди-
ничного радиуса, вне окружности радиуса и выше прямой у = —х.
Площадь этой области равна
1
9 S\ — — #2 — £сеГм — —S\ — —S2
-Si — Saaob
Saaob = -·

7.3. Использование графических иллюстраций...
397
Второй системе удовлетворяют точки, которые лежат вне окружности единичного
радиуса и внутри окружности радиуса -—. Площадь этой области равна
U -я -- п
02 ^сегм — *
( jSi - Saaob j = Saaob = -·
В результате искомая площадь равна - + - = 1.
Ответ. 1.
7.3. Использование графических иллюстраций
при решении уравнений и неравенств
Задача 1. (ВМК-86.2)
Найти координаты точки, лежащей на прямой Зх — by = 17 и наименее удалённой
от начала координат.
Идея. Рассмотреть треугольник, вершинами которого являются начало
координат и точки пересечения данной прямой с осями координат. Искомой точкой будет
основание высоты, опущенной из вершины прямого угла на гипотенузу этого
треугольника.
Указание. Для того чтобы найти координаты точек пересечения прямой с
осями координат, достаточно подставить в уравнение прямой вместо соответствующей
координаты ноль и вычислить значение другой координаты.
Решение. Пусть О - начало координат, А - точка пересечения данной
прямой с осью Оу, В - точка пересечения данной прямой с осью Ох. Для того
чтобы найти координаты точек пересечения прямой с осями координат,
достаточно подставить в уравнение прямой вместо соответствующей координаты ноль и
/ 17\ /17
вычислить значение другой координаты. Получим А(0; —— 1 , Б ( —-; О
Обозначим через а угол ΖΑΒΟ и через Η основание перпендикуляра,
опущенного из точки О на отрезок АВ. По теореме Пифагора из прямоугольного

398
Указания и решения
11 /ЧА
ААВО находим АВ = . Тогда sin a =
15
ОН = OB- since =— _-
3 л/34 2
Пусть Ρ u Q - проекции точки Η на оси координат. Получаем:
3
ТзГ
3
cos се =
л/34
5
л/34
ОР = ОН . since = ^ · -JL = 5, OQ = ОЯ · cosce = ^ · -А= = -.
2 л/34 2' 2 ^34 2
Поскольку точка Я лежит в четвёртой четверти, следовательно, её абсцисса по-
'3 5N
ложительна, а ордината отрицательна, то есть она имеет координаты
Замечание. Эту задачу можно решить другим способом. Поскольку высота
ОН треугольника АО В перпендикулярна основанию АВ, а уравнение прямой
3 17
содержащей отрезок АВ нам известно у = -х , то легко найти уравнение
о о
прямой, содержащей высоту ОН. Эта прямая перпендикулярна исходной прямой
и проходит через точку О(0; 0). Затем найти координаты точки пересечения этих
двух прямых из линейной системы.
η ί3 5
Ответ. (-;--
Задача 2. (Почв-74.4)
тт х ~ 2а — 1
Найти все значения а, при которых неравенство < 0 выполняется для
χ — а
всех таких ж, что 1 < χ < 2.
Идея. Проставить на оси Ох нули числителя и знаменателя и применить метод
интервалов.
Указание. Сузить область изменения параметра а, использовав то, что
исходное неравенство должно выполняться при χ = 1 и χ = 2.
Решение. Точки x = 2a-\-lux = a обращают в ноль числитель и знаменатель
дроби соответственно. Для того, чтобы проставить их на оси Ох и применить
метод интервалов, надо понять, какое из этих чисел лежит правее, а какое левее.
Так как исходное неравенство должно выполняться для всех χ Ε [1; 2], то оно
должно выполняться при ж = 1 и х = 2,то есть
( \-2a-l га
<0,
1 — а
2 - 2а - 1
<0;
а-1<0' /0<а<1, г
о ι ^^ \ 1 ^^ - < а < 1.
20-1 <о; U<a<2; 2
а
Следовательно, искомые значения а лежат на интервале ( -; 1 ) , а при таких а
число χ = а находится левее числа χ = 2а + 1 и
х — 2а — 1 , Λ
<0 <ί=> ЖЕ (а; 2а+ 1).
χ — а

7.3. Использование графических иллюстраций...
399
а 1 2 2а+1
1
Но при а Ε I -; 1 I точки ж = 1 и ж = 2 являются решениями исходного
неравенства, следовательно, они лежат на интервале (а; 2а + 1) и, следовательно,
все точки, лежащие между ними, также лежат на этом интервале и являются
решениями.
Ответ. ( -; 1 ) .
Задача 3. (Псих-85.4)
Найти наибольшее и наименьшее значения функции у
1 31
на отрезке
2' 2
Зх
Идея. Найти нули подмодульных выражений, и на каждом из полученных
промежутков найти наибольшее и наименьшее значения функции.
Указание. В соответствии с определением модуля и знаками подмодульных
функций на соответствующих промежутках исходная функция представляется
в виде:
(2х2 - 2х + 2, если χ Ε (-οο; -1) U [0; 1) U [2; +оо),
—Ах + 2, если хе[—1;0),
Ах - 2, если χ Ε [1;2).
Указание. Рассматриваемая функция является объединением частей параболы
и двух отрезков, поэтому наибольшее и наименьшее значения на соответствующих
промежутках могут достигаться только в вершине параболы и на концах отрезков.
Решение. Проставим на числовой прямой знаки подмодульных выражений:
-10 12
—· · · ·
χ -Зх+2 + +
х2+х +
+
+
С учётом того, что χ Ε
13
2'2
, нам надо рассмотреть три случая.
1) Если χ Ε
( ι4
■ν
, то у = —х2 — χ -\- х2 — Зж + 2 = — Ах + 2 - прямая, причём
2/1"2 ) =4, 2/(0) = 2·

400
Указания и решения
у=-4х+2
у=4х-2
2) Если xG [0; 1], то у = χ2 + χ + χ2 — Зх + 2 = 2ж2 — 2ж + 2 - парабола, у которой
1 3
координаты вершины хв = -, 2/в = «' 2/(0) = 2/(1) = 2·
, то у = χ2 + χ — х2 + Зх — 2 = Ах — 2 - прямая, у(\) = 2,
3) Если ж G 1; ■
Наименьшее значение исходной функции достигается в вершине параболы
. раВно „ Ш - I - »»— - „, к„т« р„Р_ „то „
есть у
1
2
l/ljl=4.
Ответ. 4;
Задача 4- (Почв-95(2).5)
Г 4i/ = 46 + 3 — х2 + 2ж
Найти все значения 6, при которых система < 2 , 2 _ о ' имеет
I X ~\ У — ΖιΧ
два решения.
Идея. Построить на координатной плоскости множество точек,
удовлетворяющих первому уравнению, и множество точек, удовлетворяющих второму
уравнению. Исследовать количество точек пересечения этих множеств в зависимости от
значения Ъ.
Указание. Первое уравнение задаёт на координатной плоскости параболу,
второе - окружность.
Решение. Запишем первое уравнение системы в виде
у=Ь+1-у л '.

7.3. Использование графических иллюстраций...
401
■, сдвинутый по оси у на
(х - I)2
Это уравнение задаёт график параболы у =
Ь + 1. Второе уравнение системы молено записать в виде
(ж-1)2 + у2 = 1.
Оно задаёт окружность с центром в (1;0) радиуса 1.
Построим на координатной плоскости параболу и окружность. Так как
вершина параболы имеет координаты (1; Ъ + 1), то при Ъ + 1 < —1 парабола
располагается ниже окружности, и они не пересекаются (левый рисунок). При Ь + 1 = — 1
графики имеют одну общую точку (1; —1) (правый рисунок).
При — 1 < δ + 1 < 1 графики пересекаются в двух точках.
Теперь определим количество точек пересечения при Ъ + 1 = 1, то есть Ь = 0.
Возможные варианты: либо одна точка пересечения (левый рисунок), либо три
(правый рисунок).

402
Указания и решения
Подставим Ь = 0 в исходную систему:
Г 4у = 3-ж2 + 2ж, Г % = 4- (ж- I)2,
\ ж2+2/2 = 2ж; ^^ \ (х- l)2 + i/2 = 1; ^^
Г (χ-1)2 = 4-4ι/,
^ I (х-1)2 = 1-?/2.
Приравняв правые части уравнений, получим квадратное уравнение для у:
у2 - Ау + 3 = 0,
откуда у = 1 или у = 3. При у = 1 из второго уравнения системы следует, что
χ = 1. При у = 3 получаем (ж — I)2 = —8, то есть в этом случае решений нет.
Следовательно, при Ъ = 0 графики пересекаются только в одной точке, и система
имеет только одно решение.
При Ъ > 0 график параболы смещается вверх на Ъ единиц, и общих точек
с окружностью парабола уже не имеет.
1
Ь+1
/ У
/ °
-1
I*
ν 1 У2 \х
Итак, система имеет два решения только при Ь Ε (—2; 0).
Ответ. (-2;0).
Задача 5. (Хим-93(2).5)
Найти число решений уравнения 2Х+1 + 21_ж = 1 — Ах — х2.
Идея. Построить на координатной плоскости Оху графики левой и правой
частей уравнения и исследовать наличие точек их пересечения.
1
Указание. Для оценки левой части равенства использовать то, что а-\— > 2
а
при а > 0.
Решение. Обозначим
f(x) = 2 · (2х + 2-*), д{х) = 1-4х-х2.
Функция д{х) представляет собой параболу с направленными вниз ветвями и
вершиной в точке (—2; 5). Следовательно, д(х) < 5.

7.3. Использование графических иллюстраций...
403
Поскольку а
1
> 2 при а > 0 и равенство достигается только при а = 1,
получаем: /(ж) > 4, причём минимум достигается в точке 0.
Покажем, что функция h(t) = t Η— при £ > 0 монотонна. Это исследование
можно провести с помощью производной, однако производные не входят в
программу по математике для поступающих в МГУ, и мы будем действовать по
определению возрастания (убывания) функции на промежутке.
Рассмотрим числа t\, t2 (0 < ^1 < t2). Оценим разность значений функции h
в этих точках:
M*2)-M*l) = (*2-*l) +
1 1
(*2-*l)-
t2-h
ht2
(t2-ti)·
tit2 - 1
ht2
Видно, что если 0 < t\ < t2 < 1, то h(t2) - h(ti) < 0; если же 1 < t\ < t2, то
h(t2) -h(h) >0.
Следовательно, функция f{x) убывает при χ Ε ( — οο; 0] и возрастает при
χ Ε [0;+οο).
у=2(2х+2 х)
у=-х^-4х+1
Сравним значения функций f(x) и д(ж).
1) Рассмотрим χ Ε ( — οο; —2]. Тогда f(x) > /(—2) = 8,5, но д(х) < 5. Значит, на
этом промежутке решений нет.
2) Если χ Ε (—2; —1], то f(x) > /( — 1) = 5, но д(х) < 5, следовательно, на этом
промежутке решений также нет.
3) Если χ Ε ( — 1; +оо), то f(x) > 4, а д(х) < 4, следовательно, также нет решений.
Ответ. Нет решений.
Задача 6. (Геогр-00(1).5)
Эпицентр циклона, движущийся прямолинейно, во время первого измерения
находился в 24 км к северу и 5 км к западу от метеостанции, а во время второго
измерения находился в 20 км к северу и 3^ к западу от метеостанции. Определите
наименьшее расстояние, на которое эпицентр циклона приблизится к
метеостанции.

404
Указания и решения
Идея. Ввести прямоугольную систему координат с началом в точке, где
находится метеостанция. Провести прямую через точки, где проводились измерения,
и найти расстояние от начала координат до этой прямой.
Указание. Кратчайшим расстоянием будет высота, опущенная на гипотенузу,
в соответствующем прямоугольном треугольнике.
Решение. Поместим метеостанцию в начало координат. Проведём ось Ох с
запада на восток и ось О у с юга на север. Согласно условию задачи первое измерение
проводилось в точке А(—5; 24), второе - в точке В I ; 20
А(-5;24)
В(-10/3;20)
С(0;12)
D(5;0)
Пусть циклон движется по прямой у
следовательно,
kx + Ъ. Точки А и В лежат на этой прямой,
24
20
fc(-5) + b
к
Ъ-
12
"У'
12.
Полученная прямая у
12
χ + 12 пересекает оси координат в точках (7(0; 12)
и D(5;0). Наименьшее расстояние, на которое эпицентр циклона приблизится
к метеостанции - это высота ОН в треугольнике ОС Ό. Для того чтобы вычислить
её длину, запишем площадь треугольника OCD двумя способами:
S ■
1
ОС -OD
1
Οτι
2
60
13"
-ОН -CD
ОН
OCOD
CD
12-Б
л/122 + 52
60
13'
Задача 7. (ВМК-82.5)
а) При всех значениях параметра а решить уравнение |ж + 3|— а\х — 1|= 4.
Идея. Перенести модуль с параметром в одну часть уравнения, все остальные
слагаемые - в другую, изобразить графики обеих частей уравнения на
координатной плоскости и исследовать их точки пересечения.

7.3. Использование графических иллюстраций...
405
Указание. Представить уравнение в виде а\х — 1| = |ж + 3| — 4, построить
графики левой и правой частей на координатной плоскости.
Указание. График функции у = \х + 3| — 4 получается из графика у = \х\
сдвигом по оси Ох влево на три единицы и по оси О у вниз на четыре единицы.
Указание. График функции у = а\х — 1| получается из графика у = \х — 1|
изменением угловых коэффициентов образующих его лучей.
Указание. Исследовать точки пересечения двух построенных графиков.
Решение. Приведём уравнение к виду
а\х- 1| = |ж + 3| -4
и построим графики левой и правой частей на координатной плоскости Оху.
График у = \х + 3| — 4 получается из графика у = \х\ сдвигом влево по оси
Ох на три единицы и вниз по оси Оу на четыре единицы.
График у = а\х — 1| получается из графика 2/ = |я
коэффициентов лучей, исходящих из точки (1;0).
Рассмотрим все возможные значения параметра а.
1| изменением угловых
41
Ч 3
м v\
Ч 4
ч
-4 -3 -2 -1 0
/
ч /
\/
у=|х+3|-4
,У
\ | / у=а|х-1|
\ / /
г. / Х-'
ЧУ
/1 2 3 4 χ
-1
-2
-3
-4
*у
у=|х+3|-4
^
/
/
-4 -3 -2 -1 θί/?>42 3 4
''У\ : "ι 'ν- ιν
\ m \ у=а|х-1|
• При а > 1 график у = а|х — 1| лежит в верхней полуплоскости (ситуация I)
и имеет только одну общую точку со вторым графиком: χ = 1.
• При а = 1 правая ветвь графика у = а|х — 1| проходит ровно по лучу
другого графика, то есть решениями уравнения являются все χ > 1. Левые
ветви графиков параллельны.
• При — 1 < а < 1 график у = а\х — 1| имеет со вторым графиком две общие
точки (ситуация II и IV) х\ и ΐ2, причём ж ι = 1, а для вычисления х^ надо
раскрыть все модули в исходном уравнении с учётом того, что х^ < —3:
■3-4 = а(1 -х)
Х2
а + 7
а-1'
• При а = — 1 левая ветвь графика ?/ = а|х — 1| проходит ровно по части луча
второго графика при — 3 < χ < 1, то есть все они являются решениями.
• При а < — 1 график у = а\х — 1\ целиком лежит в нижней полуплоскости
и имеет (ситуация III) с другим графиком одну общую точку: χ = 1.

406
Указания и решения
Объединив полученные результаты, получим ответ.
Ответ. Если а < — 1 или а > 1, то χ = 1; если а Ε ( —1; 1), то χ = 1 и χ = ;
если α = —1, то χ Ε [—3; 1]; если а = 1, то χ Ε [Ι; +οο).
Задача 8. (Экон.М-96.6)
При каких ρ площадь фигуры, заданной условием \2х + у\ + \х — у + 3\ < ру
равна 24?
Идея. Определить множества точек (ж, у), в которых подмодульные выражения
обращаются в ноль, изобразить решение неравенства на координатной плоскости
и вывести формулу для вычисления площади построенной фигуры.
Указание. Множества точек (ж, у), в которых подмодульные выражения
обращаются в ноль есть две прямые, разбивающие плоскость на 4 области.
Указание. Решить неравенство на каждой из полученных областей и
изобразить решение на координатной плоскости.
Указание. Выписать формулу для вычисления площади полученной фигуры
и определить значение параметра, удовлетворяющее условию задачи.
Решение. Первое подмодульное выражение обращаются в ноль при у = — 2х,
второе - при у = χ + 3. Эти прямые пересекаются в точке 0( — 1; 2) и разбивают
координатную плоскость на 4 области. Раскроем модули и решим неравенство
\у + 2х\ + \у — χ — 3| < ρ на каждой из этих областей. Заметим, что решение
существует только при ρ > 0.
iy > —2χ
~ ' неравенство принимает вид
у > ж + 3;
у + 2х + у-х-3<р <^^ ^-~"2 + 2 + 2'
в этом случае мы получаем точки, лежащие внутри треугольника ВОС.
{у > —2χ
~ ' неравенство принимает вид
у < ж + 3;
ρ
у -\- 2х — у + χ + 3 < ρ <^> χ < 1,
о
в этом случае мы получаем точки, лежащие внутри треугольника COD.
iy < —2χ
~ ' неравенство принимает вид
у <ж + 3;
χ 3 ρ
-у-2х-у + х + 3<р ^^ ^-_2 + 2~2'
и мы получаем точки, лежащие внутри треугольника AOD.

7.3. Использование графических иллюстраций...
407
у < —2х
4) В области < — ' неравенство принимает вид
\у > ж + 3;
-у — 2х + у — χ — 3 < ρ
x.-1-i,
в этом случае мы получаем точки, лежащие внутри треугольника АО В.
Полученные треугольники склеиваются в параллелограмм ABCD. Найдём его
высоту через абсциссы точек А и D:
АН = xD - хА = (- - 1
"з / з'
Теперь выразим длину основания CD через координаты точек С и D:
CD = ус — yD = (хс + 3) — (—2xD) = Зхс +3 = 3( 1] + 3 = р.
А
в
УА
x=-f
У|
\°
)/3-1
I х=
\ L
D
р/з-1 у=х+з
С/
у=-х/2+3/2+р/2
X
Η
у=-х/2+3/2-р/2
\у=-2х^>^^
В результате площадь параллелограмма
2р2
S = AH -CD = — =24
3
ρ = 6.
Ответ. 6.

408
Указания и решения
8. Элементы математического анализа
8.1. Производная, её геометрический и физический смысл.
Производные элементарных функций, основные
правила дифференцирования функций
Задача 1. (ЕГЭ)
Найдите значение производной функции у = х2 + sin χ в точке хо = π.
Идея. Найти у'(х), используя табличные производные и то, что (f-\-g)f = /'+ gf ·
Указание. Воспользоваться формулой (/ + g)' = ffjrgf:
yf(x) = (χ2 + sin χ)' = (χ2)' + (sin x)'.
Указание. Использовать формулы производных элементарных функций:
(х2У = 2х, (sinx)' = cosx.
Решение. ?/(х) = (х2 + sinx)' = {χ2)' + (sinχ)' = 2χ + cosx, следовательно,
2/(π) = 2π + cos π = 2π — 1.
Ответ. 2π — 1.
Задача 2. (ЕГЭ)
5
Найдите /'(1), если /(х) = —Ь4еж.
Идея. Найти /'(х), используя табличные производные и то, что (f-\-g)f = f -\-g',
(С/)'= <?/'.
Указание. Воспользоваться формулами (/ + #)' = /' + д' и (С/)' = С/':
|+4е-)'=(|)' + 4(е-у.
Указание. Использовать формулы производных элементарных функций:
(-)' = -4, (е*)' = е*.
X Х^
Решение. /'(х) = I —V 4еж 1 = ( — ) + 4(еж)' = — — + 4еж, следовательно,
/'(1) = -5 + 4е.
Ответ. —5 + 4е.
Задача 5. (ЕГЭ)
ί2
Найдите скорость точки, движущейся прямолинейно по закону x(t) = —, в
момент времени to = 4.
Идея. Скорость точки в момент времени to есть значение производной x'(to).
Указание. x'(t) = —.
v ) 2

8.1. Производная...
409
Решение. Так как скорость точки в момент времени to равна x'(to), то нам
ft2\' 2£ t 4
надо вычислить х'(4). Получаем х'(£) = ( — 1 = — = — и х'(4) = - = 2.
Ответ. 2.
Задача 4- (ЕГЭ)
Решите уравнение /'(х) = 0, если /(ж) = (Зх2 + 1)(3х2 — 1).
Идея. Найти /'(х), предварительно упростив выражение для /(х) с помощью
формулы разности квадратов.
Указание. Формула разности квадратов: (а + Ь)(а — Ь) = а2 — Ъ2.
Указание, /' (χ) = (9х4 - 1/ = 36х3.
Решение. /'(х) = ((Зх2 + 1)(3х2 — 1)) = (9х4 — 1)' = Збх3, следовательно,
f'(x) = 0 ^^ Збх3 = 0 ^^ χ = 0.
Ответ. 0.
Задача 5. (ЕГЭ)
Найдите значение производной функции у = х2ех в точке хо = 1.
Идея. Найти у'(х), используя табличные производные и то, что {fg)' = f'g-\- fg'·
Указание. Использовать формулу {fg)' = f'g + fg'· {х2ех) = (х2)/еж + х2(еж)/.
Указание. Использовать формулы производных элементарных функций:
(х2)' = 2х, (ех)' = ех.
Решение. у'{х) = {х2ех) = {х2)'ех + х2(еж)/ = 2хеж + х2еж, следовательно,
2/(1) = Зе.
Ответ. Зе.
Задача б. (ЕГЭ)
Найдите значение производной функции у = χ In χ в точке хо = е.
Идея. Найти у'{х), используя табличные производные и то, что (/#)' = f'g-\- fg'·
Указание. Использовать формулу {fg)' = f'gJrfg1'·
(χ In χ) = (χ)'In χ + χ(1ηχ)/.
Указание. Использовать формулы производных элементарных функций:
(х)' = 1, (1пх)' = -.
Решение. у'{х) = (xlnx) = (χ Υ 1η χ + x(lnxY = In χ + χ · — = In χ + 1, следова-
χ
тельно, у'{е) = lne + 1 = 2.
Ответ. 2.

410
Указания и решения
Задача 7. (ЕГЭ)
2-х
Найдите значение производной функции у = в точке xq = 0, 5.
X
Идея. Найти у'(х), используя табличные производные и то, что
Ί\ f'g-fg'
g J g2
Указание. Использовать формулу '
2 - х\ _ (2 - х)'х - (2 - х)(х)'
χ
„ ч /2-аЛ' (2-хУх-(2-х)(хУ -х-(2-х) 2
Решение. у\х) = = ^ ^^ = у- = - —
\ ry* J ry* Zi ry* Zi ry* Zi
2
следовательно, ?/(0,5) = —-—- = —8.
Ответ. —8.
Задача 8. (ЕГЭ)
ех
Найдите значение производной функции у = — в точке хо = 2.
X
Идея. Найти у'(х), используя табличные производные и то, что
7 V f'g-fg'
g,
f\ _ f'g-fg'. fex\' _(exYx-ex(xY
Указание. Использовать формулу ι ι —
- gl \x
_ . /ех\ (ехУх — ех(хУ ехх — ех Ύχ — \
Решение, у = [ — = « = о = е о-? следовательно,
\ х J xz xz xz
2/'(2) = e2.^=0,25e2.
Ответ. 0,25е2.
Задача 9. (ЕГЭ)
Найдите угловой коэффициент касательной, проведённой к графику функции
у = 4ж3 — 6х2 + 9 через точку с абсциссой хо = 1.
Идея. Угловой коэффициент касательной равен у'(хо).

8.2. Исследование функций с помощью производной
411
Указание. (4ж3 - 6х2 + 9)' = 4(ж3)/ - 6(х2)' + 9' = \2х2 - \2х.
Решение. Так как у' = (4ж3 - 6х2 + 9)' = 4(ж3)' - 6(ж2)' + 9' = \2х2 - 12ж, то
угловой коэффициент касательной равен у'{1) = 12 — 12 = 0.
Ответ. 0.
Задача 10. (ЕГЭ)
Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции у = 3sina; + \2х
в точке с абсциссой хо = — —.
Идея. Угловой коэффициент касательной равен у'(хо) ·
Указание. (3sinx + 12a:) = 3(sinx)/ + 12χ; = 3cosx + 12.
Решение. Так как у' = (3sinx + 12х) = 3(sinx)/ + 12a:/ = 3 cos ж+ 12, то угловой
коэффициент касательной равен у' ( ) =12.
Ответ. 12.
Задача 11. (ЕГЭ)
Найдите тангенс угла наклона касательной, проведённой к графику функции
4
у = в точке с абсциссой жо = — 2.
Идея. Тангенс угла наклона касательной равен у'(хо) ·
( 4V (\\ 1
Указание. = —4 — =4·—·
\ х) \х) х
( 4Υ ΛΥ 1
Решение. Так как i/ = = —4 — = 4 · — ? то тангенс угла наклона
\ х) \х) х
касательной равен у'(—2) = 4 · -——— = 1.
Ответ. 1.
8.2. Исследование функций с помощью производной
Задача 1. (ЕГЭ)
х3 х2 5
Найдите максимум функции i/= \- 2х + 8- .
О Ζ Ό
Идея. При переходе через точку максимума производная меняет знак с плюса
на минус.
Указание. Найти нули функции у'{х) и исследовать смену знаков при переходе
через них.

412
Указания и решения
Указание. у'{х) = —х2 — χ + 2 = — (χ — 1)(х + 2).
Решение. Вычислим производную функции у:
у\х) = -х2 - χ + 2 = -(х - 1)(х + 2).
Отметим нули и знаки производной на оси Ох.
+ " У
· · ►
-2 1 χ
При переходе через точку χ = — 2 производная меняет знак с минуса на плюс,
то есть сама функция до χ = — 2 убывает, а после - возрастает. Следовательно,
точка χ = — 2 является точкой минимума.
При переходе через точку χ = 1 производная меняет знак с плюса на минус, то
есть сама функция до χ = 1 возрастает, а после - убывает. Следовательно, точка
χ = 1 является точкой максимума. Сам максимум равен у{1) = 10.
Ответ. 10.
Задача 2. (ЕГЭ)
Найдите минимум функции f(x) = χ -\— .
X
Идея. При переходе через точку минимума производная меняет знак с минуса
на плюс.
Указание. Найти нули числителя и знаменателя функции f'(x) и исследовать
смену знаков при переходе через них.
v *к \ л 1 χ2 ~1 (ж~1)(^ + 1)
Указание. / (х) = 1 - = — = -ζ -.
ΓΥ* Zi Гр Zi Гр Zi
Решение. Производная
flx) = ι _ 1 = Χ—Ζλ = (s-lXs + l).
rpZi rpZi rp Zi
Отметим нули числителя и знаменателя и знаки производной на оси Ох.
+ - - + f(x)
· О · *-
-1 0 1 х
В точке χ = 1 производная обращается в ноль, при переходе через χ = 1
производная меняет знак с минуса на плюс, следовательно, это точка минимума.
Сам минимум равен /(1) = 2.
Ответ. 2.
Замечание. То, что минимум f(x) = χ -\— равен двум, можно было получить
х
из оценки суммы двух взаимно обратных величин
а +
а
< 2 без привлечения
производной.

8.2. Исследование функций с помощью производной
413
Задача 3. (ЕГЭ)
Найдите минимум функции f(x) = х2 Η—о — 2.
X1
Идея. При переходе через точку минимума производная меняет знак с минуса
на плюс.
Указание. Найти нули числителя и знаменателя функции f{x) и исследовать
смену знаков при переходе через них.
Указание. f'(x)=2x ^ = 2 ^ = 2-^ ^ ^ '-.
X6 X6 X6
Решение. Производная равна
fix) = 2* - А = 2^ = afr-lXs + lX*2*!).
Отметим нули числителя и знаменателя и знаки производной на оси Ох.
+ - + f(x)
В точках χ = ±1 производная обращается в ноль, при переходе через эти точки
производная меняет знак с минуса на плюс, следовательно, это точки минимума.
Сам минимум равен /(±1) = 0.
Ответ. 0.
Замечание. Минимум можно было найти без привлечения производной.
Например, используя результат предыдущей задачи или заметив, что функция
является полным квадратом f(x) = ( х
г2
X
Задача 4- (ЕГЭ)
3 х2 х4
Найдите минимум функции у = 5—\- Зх -\ х3 .
Идея. При переходе через точку минимума производная меняет знак с минуса
на плюс.
Указание. Найти нули числителя и знаменателя функции у'(х) и исследовать
смену знаков при переходе через них.
Указание, у' = 3 + χ - Зх2 - х3 = (3 + х)(1 - х2).
Решение. Вычислим производную функции у:
у' = 3 + χ - Зх2 - х3 = (3 + х) - х2(3 + х) = (3 + х)(1 - х2)
Отметим нули и знаки производной на оси Ох.

414
Указания и решения
+ - + - у'
• · · *-
-3 -1 1 х
При переходе через точку χ = — 1 производная меняет знак с минуса на плюс,
то есть сама функция до χ = — 1 убывает, а после - возрастает. Следовательно,
точка χ = — 1 является точкой минимума. Сам минимум равен у( — 1) = 4.
Ответ. 4.
Задача 5. (ЕГЭ)
При каком наибольшем значении Ъ функция f(x) = χ3 + bx2 + 3bx — 1 возрастает
на всей числовой прямой?
Идея. Если производная функции определена на всей числовой прямой и
везде, кроме конечного числа точек, положительна, то функция возрастает на всей
числовой прямой.
Указание. Найти значения Ъ, при которых f'(x) > 0 Vx Ε Μ.
Указание. f'(x) = Зх2 + 2bx + 3b.
Решение. Производная равна f'(x) = Зх2 + 2bx + ЗЬ. Рассмотрим — = b2 — 9b.
При b Ε (0; 9) дискриминант отрицателен и, следовательно, f(x) > 0 при
всех ж, то есть f(x) возрастает на всей числовой прямой.
При b = 0 и b = 9 дискриминант равен нулю и производная обращается в ноль
в единственной точке. В остальных точках она положительна. Но если
производная функции определена на всей числовой прямой и везде, кроме конечного числа
точек, положительна, то функция возрастает на всей числовой прямой.
При остальных значениях b дискриминант положителен, производная
обращается в ноль в двух точках, причём между ними она отрицательна, следовательно,
функция убывает.
В результате, только при b E [0; 9] функция возрастает на всей числовой
прямой; наибольшее значение b равно 9.
Ответ. 9.
Задача 6. (ЕГЭ)
При каком наибольшем значении т функция f(x) = —χ3 + πιχ2 — Απιχ + 3
убывает на всей числовой прямой?
Идея. Если производная функции определена на всей числовой прямой и везде,
кроме конечного числа точек, отрицательна, то функция убывает на всей числовой
прямой.
Указание. Найти значения т, при которых f(x) < 0 Ух Ε Μ.
3
Указание. ff(x) = —χ2 + 2тх — Am.

8.2. Исследование функций с помощью производной
415
3
Решение. Производная равна f'(x) = —х2 + 2тх — Am.
Рассмотрим D/4 = т2 — 6т. Условие убывания кубической функции на всей
числовой прямой равносильно условию f'(x) < 0, которое, в свою очередь,
равносильно условию D/A < 0. Следовательно, искомые значения πι Ε [0; 6],
наибольшее значение равно 6.
Ответ. 6.
Задача 7. (ЕГЭ)
Найдите длину промежутка возрастания функции у
X2 + l'
Идея. Определить промежуток возрастания функции с помощью исследования
знака производной.
Указание. Найти длину промежутка, где у'(х) > 0.
, Ъ-Ъх2
Указание, у =—————.
[χΔ + \у
Решение. Производная равна
, _ (Ьх)'(х2 + 1) - Бх(х2 + 1)' _ Б(х2 + 1) - Ъх · 2х _ 5 - Ъх2
У
(ж2 + 1)2 (ж2 + 1)2 (ж2 + 1)2'
Отметим нули и знаки производной на оси Ох.
+ - у'
· · ^-~
-1 1 χ
На интервале ( —1; 1) производная положительна. Следовательно, промежуток
возрастания функции имеет длину 2.
Ответ. 2.
Задача 8. (ЕГЭ)
При каком натуральном значении параметра а уравнение х3 + Зх2 — 9х — а = 0
имеет ровно два корня?
Идея. Построить график функции у = х3 + Зх2 — 9х и определить, при каком
значении а прямая у = а пересекает его ровно в двух точках.
Указание. Максимум и минимум функции у = х3 + Зж2 — 9х можно вычислить
с помощью производной.
Решение. Построим график функции у = х3 + Зх2 — 9х. Приравняв
производную к нулю, найдём точки минимума и максимума функции:
у1 = Зх2 + 6х - 9 = 3(х - 1)0 + 3) = 0.
Точка χ = — 3 является точкой максимума, так как при переходе через неё
производная меняет знак с плюса на минус. Точка χ = 1 является точкой минимума,
так как при переходе через неё производная меняет знак с минуса на плюс.

416
Указания и решения
у=х3+3х2-9х
Функция у = х3 + Зх2 — 9х принимает каждое из значений а = у(—3) = 27 и
α = 2/(1) = —5 ровно в двух точках. Все остальные значения функция
принимает либо один, либо три раза. Так как нас интересуют натуральные значения
параметра а, подходит только а = 27.
Ответ. 27.
Задача 9. (ЕГЭ)
При каком наименьшем целом значении параметра ρ уравнение -х -\--х — 6х = ρ
о Δ
имеет 3 корня?
1
1
Идея. Построить график функции у = —х6 Л—х2 — 6х и выяснить, при каком
О Δ
значении ρ прямая у = ρ пересекает его ровно в трёх точках
1 , 1 о
Указание. Максимум и минимум функции у = -Г
-х
6х можно вычис-
1
1
6х. Приравняем произ-
лить с помощью производной.
Решение. Построим график функции у
водную к нулю: °
у' = χ2 + χ - 6 = (х - 2){х + 3) = 0.
Точка χ = — 3 является точкой максимума, так как при переходе через неё
производная меняет знак с плюса на минус. Точка χ = 2 является точкой минимума,
так как при переходе через неё производная меняет знак с минуса на плюс.
у=х3/3+х2/2-6х

8.2. Исследование функций с помощью производной
417
1 ч 1 9
Функция у = -χύ -\—χ — 6х принимает все значения
р€(!/(2);у(-3))= ("7^13,5
ровно в трёх точках. Так как нас интересует наименьшее целое значение
параметра р, подходит ρ = — 7.
О
твет.
Задача 10. (ЕГЭ)
Найдите середину промежутка убывания функции f(x) = χ — 21ηχ.
Идея. Определить промежуток убывания функции с помощью исследования
знака производной.
Указание. Найти промежуток, где f'(x) < 0.
Указание. f'(x) = 1 = .
X X
2 χ — 2
Решение. Производная равна fix) = 1 = . Отметим нули числителя
χ χ
и знаменателя и знаки производной на числовой оси.
+ Г(х)
На интервале (0; 2) производная отрицательна; следовательно, это есть
промежуток убывания функции. Серединой этого промежутка является 1.
Ответ. 1.
Задача 11. (ЕГЭ)
Точка А лежит на графике функции у = f(x), точка В - на оси Ох, и её абсцисса
в четыре раза больше ординаты точки А. Найдите наибольшее значение площади
треугольника АО В, где точка О - начало координат,
3π 9π
f(x) = \/Ί + 3 sin χ — (Зх + 1) cos ж, —- < χ <
4 о
Идея. Представить площадь треугольника АО В в виде функции от ж и с
помощью производной найти её максимум.
Указание. Площадь Sao в — —OB-h, где h - высота, опущенная из вершины А
на основание О В.
Указание. SAOB = \θΒ -h = y 4/(ж) · /(ж) = 2/2(х).
Решение. Рассмотрим на графике функции f(x) = ^/7 + 3 sin χ — (Зх + 1) cos x
точку A(x;f(x)) и точку Б(4/(х);0) на оси Ож.

418
Указания и решения
A(x;f(x))
B(4f(x);0)
Площадь треугольника АОВ равна
S
-OB-h= - ·4/(χ) · f(x) = 2f2(x) = 2(7 + 3sinx- (3x + l)cosx).
Вычислим нули производной:
S'= 0 <^> 3cosx — 3cosx + (Зх + 1) sin ж = О
На отрезке
=> (Зх + 1) sin ж = 0.
лежит только один корень χ = π. Точка χ = π являет-
3π 9π
ся точкой максимума, так как при переходе через нее производная меняет знак
с плюса на минус.
Итак, наибольшее значение площади треугольника АОВ равно
5(тг) = 2(7 + (3π + 1)) = 16 + бтг.
Ответ. 16 + 6π.
Задача ijg. (ЕГЭ)
Требуется разместить на земле участок ABCDEFGH площадью 1800 м2,
состоящий из трёх прямоугольных частей и имеющий форму, изображённую на рисунке,
где FG = EF = 10 м, ВС = 15 м и CD > 40 м. Найдите наименьшее значение
периметра такого участка и какие-либо значения длин KL, LH и CD, при которых
периметр является наименьшим.
Идея. Представить периметр участка в виде функции от какой-либо переменной
и с помощью производной найти её минимум.
Указание. Если обозначить KL = х, LH = у и CD = ζ, тогда периметр
участка равен Ρ = 2 (χ + у), а площадь участка равна S = ху — 10· 10 — \Ъ · ζ.
Решение. Пусть КL = χ, LH = i/ и CD = ζ. Так как площадь участка равна
1800 м2 и по условию задачи ζ > 40, то
1800 = ху-10-10-15-г<=>ху = 1900 + Ιδζ > 2500.
2500
Следовательно, у > , и периметр участка
Р = 2(х + у)>2[х
2500

8.3. Первообразные элементарных функций...
419
F
N
С
Μ
2500
Рассмотрим функцию j(x) = х Η и найдем её минимум при χ > 0.
Производная
2500 _ (ж - 50) (ж + 50)
t [Х) " ^ " ^
обращается в ноль при ж = 50, причём левее этой точки она отрицательна, а
правее - положительна, следовательно, это точка минимума и Ρ > 2/(50) = 200.
Это минимальное значение достигается при χ = 50, у = 50, ζ = 40.
Ответ. 200, 50, 50, 40 м.
8.3. Первообразные элементарных функций, основные
правила нахождения первообразных. Вычисление площади
плоской фигуры с помощью первообразной
Задача 1. (ЕГЭ)
Укажите первообразную функции f(x) = χ + cos ж.
Идея. Найти первообразную F(x), используя табличные первообразные и
основные правила нахождения первообразных.
х2
Указание. Функция F\(x) = — является первообразной функции fi(x) = ж,
а функция F2(x) = sin ж - первообразной функции /2 (x) = cos ж.
Решение. Так как функция F\ (x)
является первообразной функции
/ι (χ) = ж, а функция ^(х) = sin ж - первообразной функции /2 (x) = cos ж,
х2
то искомая первообразная равна F(x) = .Fi(x) + ^(ж) = \- sin ж.
Ответ. Ь sin ж.
Задача 2. (ЕГЭ)
Укажите первообразную функции /(ж) = 2х -\— на промежутке (0; +оо).
χ

420
Указания и решения
Идея. Найти первообразную F(x), используя табличные первообразные и
основные правила нахождения первообразных.
Указание. Функция F\(x) = χ2 является первообразной функции /ι(χ) = 2х,
а функция i*2(x) = In ж - первообразной функции /2(ж) = — ·
Решение. Так как функция F\(x) = χ2 является первообразной функции
/ι (χ) = 2х, а функция ^(х) = In ж - первообразной функции /2 (ж) = —, то
искомая первообразная равна F(x) = Fi(x) + F2(x) = χ2 -\-\ιιχ.
Ответ, х2 + In ж.
Задача 5. (ЕГЭ)
Укажите первообразную функции /(ж) = 2 — ех.
Идея. Найти первообразную F(x), используя табличные первообразные и
основные правила нахождения первообразных.
Указание. Функция F\(x) = 2х является первообразной для fi(x) = 2, а
функция F2(x) = ех - первообразной функции /2 (х) = ех-
Решение. Так как функция F\(x) = 2х является первообразной для fi(x) = 2,
а функция F2(x) = ех - первообразной функции /2 (х) = еж, то искомая
первообразная равна F(x) = Fi(x) — F2(x) = 2х — ех.
Ответ. 2х — ех.
Задача 4- (ЕГЭ)
Найти первообразную F функции f(x) = ех + cos ж, если известно, что .F(O) = —1.
Идея. Определить общий вид первообразной F(x), константу найти из условия
F(0) = -1.
Указание. F(x) = ех + sin χ + С, константу найти из условия F(0) = — 1.
Решение. Так как F(x) = ех + sin ж + С, то
F(0) =-1 ^^ e°-sinO + C=-1 ^^ 1 - 0 + С =-1 ^^ С =-2
и, следовательно, F(x) = ех + sin ж — 2.
Ответ, e^ + sinx —2.
Задача 5. (ЕГЭ)
Известно, что F(x) - первообразная функции f(x) = —18ж2 — 7 и F(0) = 0.
Найдите -F(l).
Идея. Определить общий вид первообразной F(x), константу найти из условия
F(0) =0.

8.3. Первообразные элементарных функций...
421
Указание. F(x)
Решение. Так как F(х)
F(x) = -6х3 - 7х и F(l) -
Ответ. —13.
6х3 — 7х + С, константу найти из условия F(0) = 0.
(7 = 0. Следовательно,
-6х3-7х+С, toF(O) = 0
-6-7= -13.
Задача 6. (ЕГЭ)
Для функции f(x) = 2 cos ж укажите первообразную F, график которой
проходит через точку Μ I —; 0) .
Идея. Определить общий вид первообразной F(x), константу найти из условия
F(tt/2) = 0.
Указание. F(x) = 2 sin ж + С, константу найти из условия F(jr/2) = 0.
Решение. Первообразная F(x) = 2sina; + C. Так как график функции F(x)
проходит через точку Μ ( —; 0) , то выполняется равенство
F{,2]=°
2 sin - + С = 0
2 + С = 0,
откуда С = — 2 и, следовательно, F(x) = 2 sin ж — 2.
Ответ. 2 sin ж — 2.
Задача 7. (ЕГЭ)
Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у = х2 — 2ж + 5; ж = 0; ж = 3;
у = о.
Идея. Площадь криволинейной трапеции есть приращение первообразной.
Указание. Площадь равна S = F(3) — F(0), где F(x) - первообразная функции
у(х).
X3
Решение. Так как первообразная F(x) = χ2 + 5х, то искомая площадь
равна 5 = F(3) - F(0) = (9 - 9 + 15) - 0 = 15.
Η
Ответ. 15.

422
Указания и решения
Задача 8. (ЕГЭ)
3 1
Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у = Зл/х и у = —х + 2-.
Идея. Площадь искомой фигуры есть разность площадей двух криволинейных
трапеций.
Указание. Площадь каждой из криволинейных трапеций есть приращение
соответствующей первообразной.
Зх 9
Указание. Найти точки пересечения графиков функций у = Зл/х и у = \- — .
з 3 9
Указание. F\(x) = 2χ2 и ^(х) = -ж2 + -х соответственно - первообразные
8 4
3 1
функций 2/1 (ж) = Зу/ж и ί/2(ж) = т^ + 2- .
3 1
Решение. Решив систему из двух уравнений у = Зл/х и у = -х + 2-, получим
абсциссы точек пересечения этих функций: χ = 1 и χ = 9.
Пусть 5Ί - площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком
функции у = Зл/х у осью Ох и прямыми χ = 1 и χ = 9.
У)
0
У=
у=3л/х^
Djr^
<
1
=3χ/4+9/4^
4
"с
к В,
Э χ
Тогда площадь искомой фигуры 5 есть разность площадей этой
криволинейной трапеции и трапеции ABCD:
S = Si - S^cd = (Ή(9) - *ι(1)) - №(9) - F2(l)),
з 3 9
где Fi(x) = 2x2 и ^(χ) = -χ2 + -χ - первообразные функций у ι (χ) = Зу^
8 4
3 1
и 2/2 (ж) = τ ж + 2- . Следовательно, £ = 52 — 48 = 4.
Замечание. Можно было сразу искать площадь фигуры, ограниченной
графиками двух функций 2/1 (х) и 2/2 (ж) как приращение первообразной F(x) функции
2/(х) = 2/10) -2/2(ж).
Ответ. 4.

8.3. Первообразные элементарных функций...
423
Задача 9. (ЕГЭ)
y=2sin(x/2)
Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у = 2 sin -χ, 2/ = sin ж, у = О
при 0 < χ < 2π.
Идея. Площадь фигуры, ограниченной графиками двух функций у\{х) и 2/2 (х)
(где 2/1 (х) > 2/2(^)) есть приращение первообразной функции /(х) = 2/1 (χ) — 2/2(х)·
Указание. Рассмотреть отдельно отрезки
[0;7г] и [тг;2тг].
Решение. Представим искомую площадь S в
виде суммы площадей S\ (при χ G [0; π]) и 52
(при χ G [π; 2π]).
Для того, чтобы найти 5Ί, рассмотрим на от-
X
резке [0; π] функцию /ι(χ) = 2 sin sin x.
Заметим, что /ι (χ) > 0, так как
/ι (ж) = 2 sin - - 2 sin - cos - =
= 2sin^(l -cos^) > 2sin^ > 0.
2V 2J ~ 2 ~
Площадь Si есть приращение первообразной
F\(x) функции /ι(χ) на отрезке [0; π], то есть
Si = Fi(n) - Fi(0), где F1(x) = -4cos- + cosx
7Г
=> Si = (—4 cos — + cos π) — (—4cos0 + cosO) = —1
2.
Площадь #2 есть приращение первообразной ^(х) функции /г(х) = 2sin— на
отрезке [π; 2 π], то есть
£2 = Ή(2π)-Ή(π), где F2(x) = -4cosJ =>
S2
-4ΰοβπ — (—4 cos—) = 4.
ν 27
Искомая площадь равна Si + S2 = 2 + 4
Ответ. 6.
Задача 10. (ЕГЭ)
Найдите значение выражения 25, если S - площадь фигуры, ограниченной
линиями у = х2 + 1 и£/ + х = 3.
Идея. Площадь фигуры, ограниченной графиками двух функций у\(х) и 2/2 (х)
(где 2/1 (х) > 2/2 (х)) есть приращение первообразной функции /(х) = 2/1 (х) — 2/2 (х)·

424
Указания и решения
Указание. Для определения отрезка, на котором следует вычислять
приращение первообразной, надо найти точки пересечения исходных функций.
Решение. Решив систему из двух уравнений у = х2 + 1 и у = — ж + 3, получим,
что эти две функции пересекаются в точках с абсциссами —2 и 1.
Следовательно, площадь искомой фигуры равна
S = F(l) - F(-2),
3 2
где F(x) = h 2х - первообразная функции
О Δ
f(x) = {-χ + 3) - (χ2 + 1) = -χ2 - χ + 2.
В результате 25 = 2(F(1) - F{-2)) = 2 · 4, 5 = 9.
Ответ. 9.
Задача 11. (ЕГЭ)
Найдите значение выражения 65, если S - площадь фигуры, ограниченной
графиком функции у = х2 — 2х + 1 и графиком её производной.
Идея. Площадь фигуры, ограниченной графиками двух функций у\{х) и У2(х)
(где 2/1 (х) > 2/2 (#)) есть приращение первообразной функции /(ж) = у ι (χ) — у2(х).
Указание. Для определения отрезка, на котором следует вычислять
приращение первообразной, надо найти точки пересечения функций у = х2 — 2х + 1 и
у' = 2х-2.
Решение. Функции у = х2 — 2х + 1 и 2/ = 2х — 2 пересекаются в точках
с абсциссами 1 и 3.

9.1. Скорость, движение и время
425
Рассмотрим функцию f(x) = у' — у
-х + Ах — 3. Площадь искомой фигуры
равна приращению её первообразной F(x)
есть
4
х "3
Ответ. 8.
S = F(3)-F(1) =0
+ 2х2 — Зх на отрезке [1; 3], то
63 = 8.
9. Текстовые задачи
9.1. Скорость, движение и время
Задача 1. (Геол-00.3)
От причала А к причалу В отплыли катер и лодка, причём скорость катера в 5
раз больше скорости лодки. Известно, что они плыли с постоянными скоростями,
но катер сделал несколько остановок. Сколько времени катер затратил на все
остановки, если он доплыл до причала В за 2 часа, а лодка за 4 часа?
Идея. Обозначить за неизвестные величины время остановок, скорость лодки и
путь, после чего составить уравнения для времени.
S
Указание. Если χ км/ч - скорость лодки, то Ъх км/ч - скорость катера; — ча-
х
сов - время лодки в пути на S км.
Решение. Пусть χ км/ч - скорость лодки, Ъх км/ч - скорость катера; всего
S км. пути, t часов на остановки:
откуда t = 2 — - = - часа.
/Ь 0 0
- =4;
χ
Замечание. Можно было и не вводить неизвестных, а рассуждать следующим
образом. Так как скорость катера в 5 раз больше скорости лодки, то время,
необходимое катеру на преодоление расстояния, в 5 раз меньше, чем время лодки, необ-
ходимое на преодоление того же расстояния. Значит, время катера равно * часа.

426
Указания и решения
Следовательно, из двух часов катер плыл * часа, а остальное время нотратнл на
5
« 4 б
остановки: 2 = - часа.
5 5
Ответ. - часа.
5
Задача 2. (Биол-87.2)
Из пункта А по реке отправляется плот. Одновременно навстречу ему
отправляется катер из пункта Ву расположенного ниже по течению относительно пункта
A. Встретив плот, катер сразу поворачивает и идёт вниз по течению. Найти,
какую часть пути от А до В пройдёт плот к моменту возвращения катера в пункт
B, если скорость катера в стоячей воде вчетверо больше скорости течения реки.
Идея. Обозначить за неизвестные величины скорость течения и время движения
плота и катера до момента встречи. Выразить через эти величины всё расстояние
АВ и время движения катера от точки встречи до пункта В.
Указание. Если υ км/ч - скорость течения, то Αν км/ч - скорость катера
в стоячей воде, 3υ км/ч - скорость движения катера против течения и bv км/ч -
скорость по течению.
Решение. Пусть υ км/ч - скорость течения, a t ч - время движения плота
и катера до момента встречи, тогда Αν км/ч - скорость катера в стоячей воде,
3υ км/ч - скорость движения катера против течения и bv км/ч - скорость по
течению. За время t ч плот проплыл vt км, а катер 3vt км; значит, всё расстояние
АВ = Avt км.
Расстояние от точки встречи до пункта В равно 3vt км, катер проплыл его
ш т
со скоростью bv км/ч; значит, он затратил на это = — ч. оа это время плот
5υ 5
проплыл ν— км. Поделив весь путь плота vt + v— на расстояние АВ = Avt км,
получим:
3£
vt + v- 2
Avt 5
Ответ.
Задача 3. (ВМК-99(1).1)
Пункты АУВУС и D расположены на одной прямой в указанной
последовательности. Пешеход выходит из пункта А со скоростью 5 км/час и направляется в
пункт D. Достигнув пункта D, он поворачивает обратно и доходит до пункта 5,
затратив на всю дорогу 5 часов. Известно, что расстояние между А и С он
прошел за 3 часа, а расстояния между А и В, В и С, С и D (в заданном порядке)
образуют геометрическую прогрессию. Найти расстояние между В и С.

9.1. Скорость, движение и время
427
= 0 <=►
10 км, ВС --
.« = -з<0;
= aq = 5 км.
Идея. Используя формулы для членов геометрической прогрессии, составить
уравнения для времени прохождения пути.
Указание. Если расстояние АВ обозначить за а км, то расстояния ВС и CD
соответственно равны aq и aq2 км, где q - знаменатель прогрессии.
Указание. Система уравнений для модели задачи имеет вид:
а + aq = 3 · 5, а + aq + aq2 + aq2 + aq = 5 · 5.
Решение. Обозначим за а км расстояние АВ, тогда расстояния £>С = ад км,
CD = aq2 км, где а - знаменатель прогрессии. Учитывая заданные времена и
скорость в 5 км/ч, получаем:
ία + αα = 3 · 5, J α(</ + 1) = 15,
a + aq + aq2 + aq2 + αα = 5 · 5; 1 α(2α2 + 2α + 1) = 25;
поделив второе уравнение на первое, получаем
V + 2д + 1 5 2
д + 1 =3 ^ 6* +q-
1 m 15
по смыслу задачи q = -. Тогда α = -
Ответ. 5 км.
Задача 4- (Геогр-77.4)
Грузовик и гоночный автомобиль выехали одновременно из пункта А и должны
прибыть в пункт С. Грузовик, двигаясь с постоянной скоростью, доехал до
пункта С, проделав путь, равный 360 км. Гоночный автомобиль поехал по окружной
дороге и сначала доехал до пункта 5, расположенного в 120 км от пункта А,
двигаясь со скоростью, вдвое большей скорости грузовика. После пункта В он
увеличил свою скорость на 40 км/ч и проехал путь от пункта В до пункта С,
равный 1000 км. Он прибыл в пункт С на 1 час 15 минут позднее грузовика. Если
бы гоночный автомобиль весь свой путь от пункта А до пункта С ехал с той же
скоростью, что и от пункта В до пункта С, то в пункт С он прибыл бы на 1 час
позднее грузовика. Найти скорость грузовика.
Идея. Первый способ. Приняв за неизвестную величину скорость грузовика,
составить уравнения времён в обоих случаях задачи и решить их как систему.
Указание. Теоретически можно, составив уравнения относительно неизвестной
скорости грузовика в обеих описанных ситуациях, решить каждое в отдельности
и выбрать общий корень, однако решение системы двух уравнений, пусть даже
с одним неизвестным, гораздо рациональнее.
Указание. Если χ км/ч - скорость грузовика, то уравнение для первой
ситуации имеет вид:
360 15 _ 120 1000
~Г+ 60 ~ ~2х + 2ж + 40'
Аналогично составляется и второе уравнение.

428
Указания и решения
Решение. Пусть χ км/ч - скорость грузового автомобиля. Тогда для первой
ситуации движения:
а для второй ситуации:
360 15 _ 120 1000
~Г+ 60 ~ ~2х~ + 2ж + 40'
360 л 120 1000
' 1 = т. ^ +
χ 2ж + 40 2ж + 407
решаем как систему (у двух уравнений должен быть хотя бы один общий корень):
500 300 _ 5 (Ьх-Зх- 60 _ 5
^Т20"^ = 4' I х(х + 20) "400'
560 360 ^^ 1 14ж - 9х - 180 1
■ ж+ 20 χ ' 1 х(х + 20) 40'
разделив первое уравнение на второе, находим:
2χ — 60 1
^ Ах- 120 = Ъх- 180 ^^ χ = 60.
5ж - 180 2
Так как при делении одного уравнения на другое для решения оставили лишь одно
условие, то необходимо проверить этот корень, подставив его в любое из исходных
уравнений. Подставим χ = 60, например, в первое уравнение:
2ж-60 _ 5 60 _ 1
х(х + 20) ~ 400 ^ 60-80 ~ 80 ~ ВбрН°'
Значит, χ = 60 - решение системы.
Идея. Второй способ. Приняв за неизвестную величину скорость грузовика,
составить одно уравнение, исходя из того, что отличие двух вариантов поездки
гоночного автомобиля происходит на участке АВ.
Указание. Пусть χ км/ч - скорость грузовика. Так как второй вариант поездки
гоночного автомобиля отличается от первого варианта только участком АВ, то
можно составить уравнение:
120 120 1
χ χ + 40 4
Решение. Пусть χ км/ч - скорость грузового автомобиля. Так как из условия
следует, что при втором варианте поездки гоночный автомобиль проехал участок
АВ на 15 минут быстрее, чем при первом варианте, то можно составить
уравнение:
120 120 1
χ χ + 40 4'
которое легко решается и находится χ = 60. Далее на всякий случай надо
проверить баланс времён:
360 л 1 120 1000 п \ л 25
hl- = 1 ^^ 6 + 1- = Ц -верно.
60 4 2-60 2-60 + 40 4 4 Р
Ответ. 60 км/ч.

9.1. Скорость, движение и время
429
Задача 5. (ВКНМ-99(1).3)
Из города в деревню одновременно отправились бегун Б и пешеход Πι, а в тот
же момент из деревни в город вышел пешеход Π2. Скорости пешеходов были
равны. Встретившись, Б и Щ некоторое время стояли на месте, а затем направились
в деревню. При этом Б побежал с прежней скоростью, равной 12 км/ч, а П2
уменьшил свою скорость в полтора раза. В результате в деревню сначала прибежал Б,
а затем через промежуток времени, в два раза больший длительности встречи Б
и П2, одновременно пришли оба пешехода. Найти скорость пешехода Πι.
Идея. Обозначив за неизвестные расстояние от города до деревни, расстояние от
места встречи до деревни, скорость пешеходов и длительность встречи, составить
три уравнения для времени соответствующих событий.
Указание. Если S км - расстояние от города до деревни, а км - расстояние
от места встречи до деревни, χ км/ч - скорость пешехода, а г ч - длительность
встречи, то система уравнений для задачи принимает вид:
S -а
12
а
= —
X
S — а а
—Г^- + Т + 7^ + 2г =
12 12
S
—
X
S
— =
X
а
- —
X
Указание. Для решения полученной системы эффективно выразить а из
Heps'
вого уравнения, подставить в два других, из которых исключить — .
г
Решение. Обозначим за S км расстояние от города до деревни, а км -
расстояние от места встречи до деревни, χ км/ч - скорость пешехода, г ч - длительность
встречи. Из условия следует, что χ < 12 км/ч. Запишем баланс времен:
из условия встречи бегуна и пешехода Π 2:
12
а
χ :
прибытие бегуна в деревню в сравнении со временем пешехода Πι:
S-a а Л S
^Г+Г+12
■2т
. S а а
прибытие пешеходов в деревню: — = —\- τ + -~— .
a = -
5
χ
S
Решаем получившуюся систему уравнений: <
χ
исключаем а:
1
12
ж+ 12
S_
" 12
Ъа
" 2х
S,
Зт,
г;
Зт,
2(ж + 12)
приравнивая — из этих уравнений, получаем:
1
χ
2(ж + 12)
1
Зх
1
36
2 1
Зх 36
20 + 12)

430
Указания и решения
24 + χ 5
^^ ж2-54ж + 12-24 = 0 ^^ ж = 27 ±21 => ж = 6.
Второе число не удовлетворяет условию χ < 12.
Ответ. 6 км/ч.
Задача 6. (Хим-81.3)
Из города А в город В выехал автомобиль. Одновременно с ним из пункта С,
расположенного между А и Ву в город А выехал второй автомобиль. Первый
прибыл в В одновременно с прибытием второго в А. Затем автомобили
одновременно выехали навстречу друг другу, встретились в пункте D и одновременно
прибыли первый в Ау второй в В. Каждый автомобиль ехал со своей постоянной
скоростью, но второй сделал остановку на пути от С к А, а первый - остановку
той же продолжительности на пути от В к D. Найти расстояние между С и D,
если известно, что расстояние от А до С равно 270 км, а расстояние от С до В
равно 180 км.
Идея. Приняв за неизвестные величины скорости автомобилей, искомое
расстояние и время остановки, составить систему из трёх уравнений.
Указание. Полученную систему удобно решать подстановкой, последовательно
исключая неизвестные.
Решение. Пусть χ - скорость первого автомобиля, у - скорость второго
автомобиля, s - искомый путь CD, t - время остановки. По условию АС = 270 км,
ВС = 180 км; значит, АВ = 450 км.
I 1 1 1
A D С В
Первый автомобиль прибыл в В одновременно с прибытием второго в А,
причём второй делал в пути остановку:
450 _ 270
χ у
Затем автомобили одновременно выехали навстречу друг другу, одновременно
прибыли первый в А, второй в В, причём первый в пути сделал остановку:
450 _ 450
χ у
Во время этого движения автомобили встретились в пункте D :
270 -s 180 + s
= +t.
У х

9.1. Скорость, движение и время
431
Получаем систему:
' 450
X
450
X
270
270
У
+ £ =
— s
-+*,
450
1
У
180+ s
+ £.
у χ
Выразив из первого уравнения t и подставив это выражение во второе и третье
уравнения, получим:
_ 450 270
χ у
900 720
χ у
540 -s 630 + s
Теперь выразим из второго уравнения χ = —у и подставим в третье уравнение:
540 - s 4(630 + s)
У
Ъу
5(540 -s) = 4(630 + s)
20.
Ответ. 20 км.
Задача 7. (ВМК-92.4)
Из города А в город 5 выехал автомобиль. Спустя некоторое время из В в А
по той же дороге выехал мотоцикл. Скорости автомобиля и мотоцикла на всём
пути постоянны. Автомобиль до встречи с мотоциклом находился в пути 7 часов
30 минут, а мотоцикл до встречи ехал 3 часа. Мотоцикл прибыл в А в 23 часа, а
автомобиль прибыл в В в 16 часов 30 минут того же дня. Найти время отправления
мотоцикла из города В.
Идея. Первый способ. Обозначив за неизвестные величины скорости автомобиля
и мотоцикла, а также путь и требуемое время выезда, составить три уравнения
для пройденного расстояния.
Указание. Если хну км/ч - скорости автомобиля и мотоцикла
соответственно, S км - путь АВ, Τ ч - время выезда мотоциклиста, то можно составить
уравнения:
7, Ъх + Зу = 5, (23 - Т)у = 5, (16, 5 - (Т - 4, Ъ))х = 5.
χ и
Указание. Свести систему к уравнениям относительно Т, — и —.
Указание. Система уравнений
7,5s + as
ι У- = 1 £
' S 23-Т' S
21
эффективнее всего решается подстановкой в первое уравнение.

432
Указания и решения
Решение. Так как автомобиль до встречи с мотоциклом находился в пути 7
часов 30 минут, а мотоцикл до встречи ехал 3 часа, то мотоцикл выехал на 4 часа
30 минут позлее автомобиля. Обозначим за χ и у км/ч скорости автомобиля и
мотоцикла соответственно, S км - расстояние АВ, Τ ч - время выезда
мотоциклиста из В, получаем систему:
7, Ъх + Зу = S,
(23 - Т)у = S,
(16,5- (Т-4,5))ж
S;
7,5
У
S
X
S
χ w
23-Г'
1
21 -Г'
1,
χ у
Подставив в первое уравнение — и —, выраженные из второго и третьего урав-
нений, получаем:
7,5 3
1
2Т2 _ б7Т + 495 = 0
21-Τ 23-Τ
По условию задачи Τ < 16, 5, поэтому Τ = 11.
Г = 11;
Τ = 22,5.
Идея. Второй способ. Воспользоваться геометрической интерпретацией задачи,
построив графики зависимости пути от времени и рассмотрев подобие
получающихся при этом треугольников.
Указание. Учитывая равномерность движения автомобиля и мотоцикла,
графиками их пути от времени будут прямые.
Указание. Геометрическая интерпретация задачи имеет вид, представленный
на чертеже.
23:30 t
Указание. Для вычисления Τ как координаты по оси Ot эффективно
использование подобия прямоугольных треугольников АКМ с АС Η и ЕКМ с ЕВТ
соответственно.
Решение. Учитывая равномерность движения автомобиля и мотоцикла, можно
построить прямолинейные графики зависимости пути от времени в координатах
Ots (см. чертёж). Расстояние между осью Ot и ВС равно S км; на оси Ot точки
Η и Ε имеют «абсолютные координаты»: 16,5 и 23 соответственно. Требуется

9.2. Арифметическая и геометрическая прогрессии
433
найти аналогичную «абсолютную» координату точки Τ (время выезда мотоцикла
из точки В).
л л^ъ, , л^тт АМ КМ 7>5 КМ
ААКМ ~ ААСН =► — = —, то есть 16>6_ (г1 (7>6 _3)) = ~СН 5
АЕКМ ~ Δ^Τ => ^ = ™ то есть ^-(Г + 3)) = КМ
ЕТ ВТ ' 23 - Τ БТ '
учитывая равенство расстояний Ci7 и БТ (так как ВСНТ— прямоугольник),
получим уравнение:
7, 5 20 - Τ
2Т2 _ б7Т + 495 = 0
Т = 11;
Τ = 22, 5.
21-Τ 23-Τ
Так как Τ < 16, 5, то Τ = 11.
Ответ. 11:00.
9.2. Арифметическая и геометрическая прогрессии
Задача 1. (Геол-94.1)
Какое из двух чисел больше: 2\fYJ или 8, (24)?
Идея. Представить бесконечную периодическую дробь в виде обыкновенной
либо через уравнение, либо через геометрическую прогрессию.
24 24
Указание. 0, (24) = —— + ————— + · · · - бесконечно убывающая
геометрическая прогрессия с первым членом 0,24 и знаменателем ——; её сумма равна
S = . Если идти другим путём, то молено обозначить: 0,(24) = а, то есть
1 -q
24 + 0, (24) = 100а и вычислить а.
Решение. Представим 8,(24) в виде обыкновенной дроби.
Первый способ:
8,(24) = 8 + 0,(24) = 8+^ + тН1+-.. = 8+г^_ = 8+|=8 + | = ^,
где используется формула суммы членов бесконечно убывающей геометрической
Q h 24 1
прогрессии Ь = с первым членом Ь\ = и знаменателем а = .
Р Р 1 - q P 100 У 100
Второй способ: обозначим а = 0, (24). Тогда 24, (24) = 24 + 0, (24) = 24 + а, но
24, (24) = 100а. Получаем уравнение
24 8 8 8 34
24 + α = 100α <ί=> ffl = — = — => 8, (24) = 8 + 0, (24) = 8 + а = 8 + — = —.

434
Указания и решения
Теперь сравним 2\fYJ и 8, (24)
33
2λ/Ϊ7
33λ/Ϊ7
33
1089
V
ν
ν
>
8-34
33
8-17
8λ/Ϊ7
1088
так как не было преобразований, изменяющих знак неравенства, можно
утверждать, что 2γ17 > 8, (24), то есть первое число больше.
Ответ. Первое.
Задача 2. (Почв-00.2)
Первый, второй и четвёртый члены арифметической прогрессии одновременно
являются соответственно первым, вторым и третьим членами некоторой
геометрической прогрессии. Найдите все значения, которые может принимать знаменатель
этой геометрической прогрессии.
Идея. Обозначить за неизвестные величины первый член прогрессии и
знаменатель геометрической прогрессии.
Указание. Если Ъ - первый член прогрессии, q - знаменатель геометрической
прогрессии, то из условия получаем
bq2 -bq = 2(bq-b).
Решение. Пусть Ъ - первый член прогрессии, q - знаменатель геометрической
прогрессии. Так как 6, bqy bq2 являются соответственно первым, вторым и
четвертым членами арифметической прогрессии, то получаем уравнение для
определения q:
bq2 -bq = 2(bq - b) <^^ q2 - 3q + 2 = 0
q = 2.
Так как нет никаких ограничений на принятие этих значений, то подходят оба
значения.
Ответ. 1:2.
Задача 3. (ВМК-90.2)
Числа αϊ, α2,..., α2ΐ образуют арифметическую прогрессию. Известно, что сумма
членов этой прогрессии с нечётными номерами на 15 больше суммы членов с
чётными номерами. Найти а\ч, если а2о = Зад.
Идея. Составить уравнения с неизвестными разностью и первым членом
прогрессии для заданных сумм и решить систему, после чего вычислить требуемое.

9.2. Арифметическая и геометрическая прогрессии
435
Указание. Сумма членов с нечётными номерами является, в свою очередь,
новой арифметической прогрессией. Сумма членов с чётными номерами также
образует арифметическую прогрессию.
Указание. Если а\ - первый член прогрессии, d - её разность, то получаем:
ίαι + аз + ··· + Ci2i = 15 + α2 + α4 + ... + α20,
αϊ + 19d = 3(αι + 8d).
Найти надо αι2 = αϊ + lid.
Указание. Сумму членов с нечётными номерами молено посчитать как сумму
11 членов прогрессии с тем же первым членом и разностью 2d; сумму членов с
чётными номерами можно посчитать как сумму 10 членов прогрессии с первым
членом αϊ + d и разностью 2d:
2ai + (ll-l)2d лл ,
αϊ + α3 + ... + α2ι = Ц- 11 = 11(αι + 10d),
2(ai+d) + (10-l)2d in in/
a2 + a4 + ... + a20 = -^ -γ — · 10 = 10(ai + lOd).
Решение. Если αϊ - первый член прогрессии, а d - её разность, то из условия
ίαι + аз + ··· + ο>2ΐ = 15 + α2 + α4 + ... + α20,
αϊ + 19d = 3(ai + 8d).
Найти надо αι2 = αϊ + lid. Сумму членов с нечётными номерами можно посчитать
как сумму 11 членов прогрессии с тем же первым членом и разностью 2d; сумму
членов с чётными номерами можно посчитать как сумму 10 членов прогрессии
с первым членом ai + d и разностью 2d:
2ai+21Q-2^.ll = 15+2(ai+^ + 9>2^10, ^ iai + 10d=15,
2ai + 5d = 0; ^ J2ai + 5d = 0;
15,
&12 = αϊ + lid = 17.
Ответ. 17.
Задача 4- (М/м-97(2).2)
Даны арифметическая и геометрическая прогрессии. Сумма их первых членов
равна (—3), сумма третьих членов равна 1, а сумма пятых членов равна 5. Найти
разность арифметической прогрессии.
Идея. Выразить все элементы через первые члены прогрессий, знаменатель
и разность. Составить систему из трёх уравнений с четырьмя неизвестными.
Указание. Исключить из полученной системы сначала первый член
арифметической прогрессии, потом первый член геометрической прогрессии.

436
Указания и решения
Решение. Пусть а\ - первый член арифметической прогрессии с разностью
d. Пусть Ъ\ - первый член геометрической прогрессии со знаменателем q. Тогда
согласно условию:
αϊ + δι = -3,
аз + ^з = 1,
«5 + ^5 = 5;
ai+bi = -3,
αχ +2d+ 6i<72 = 1,
αχ +4d+ 6i<74 = 5.
Выразив а\ из первого уравнения и подставив в остальные, получим систему из
двух уравнений:
ibi(<Z2-l) = 4-2d,
|bi(g4-l) = 8-4d.
Разложим g4 — 1 во втором уравнении как разность квадратов:
b^q2 -l)(q2 + l) = 8-4d.
Подставив вместо первых двух множителей правую часть первого уравнения,
получим
(4 - 2d)(q2 + 1) = 8 - 4d ^^ (4 - 2d)(q2 - 1) = 0.
Значит, либо d = 2, либо q2 = 1. Если д2 = 1, то из первого уравнения последней
системы следует, что d = 2. Поэтому d = 2 — единственное решение.
Ответ. 2.
Задача 5. (ЕГЭ)
Четыре числа образуют геометрическую прогрессию. Если к ним прибавить
соответственно 2, 5, 7 и 7, то получим четыре числа, образующих арифметическую
прогрессию. Найдите числа, образующие геометрическую прогрессию.
Идея. Составить систему, воспользовавшись критериями геометрической и
арифметической прогрессий.
Указание. Пусть а, 6, с, d - искомые числа. Они составляют геометрическую
прогрессию. Тогда числа а + 2,6 + 5,с + 7, d + 7 образуют арифметическую
прогрессию. Воспользуемся критериями геометрической и арифметической прогрессий:
ас = Ь2,
bd = с2,
(а + 2) + (с + 7) =
β + 5) + {ά + 7)~-
= 2(6 + 5),
= 2(с + 7).
Решение. Пусть a, by cy d - искомые числа. Они составляют геометрическую
прогрессию. Тогда числа а + 2,6 + 5,с + 7, d + 7 образуют арифметическую
прогрессию. Воспользуемся критериями геометрической и арифметической прогрессий:
ас = Ь2,
bd = с2,
(а + 2) + (с + 7) =
(Ь + 5) + (d + 7) =
= 2(6 + 5),
= 2(с+7);
^ <
ас = б2,
с2 = bd,
а + с = 2Ь + 1,
6 + d = 2c + 2.

9.2. Арифметическая и геометрическая прогрессии
437
Сложив первые два уравнения последней системы, получим:
с(а + с) = b(b + d).
Воспользуемся последними двумя уравнениями:
с(2Ь+1) = 6(2с + 2) ^^ с = 2Ъ.
Тогда из третьего уравнения системы находим а = 1, а из первого уравнения,
учитывая условие Ъ φ 0, получаем Ъ = 2; значит, с = 4, d = 8.
Ответ. 1; 2; 4; 8.
Задача б. (ЕГЭ)
Сумма утроенного второго и четвёртого членов арифметической прогрессии
равна 12. При каком значении разности прогрессии произведение третьего и пятого
членов прогрессии будет наименьшим?
Идея. Записать условие задачи через первый член и разность прогрессии.
Указание. Воспользоваться свойствами квадратичной функции.
Решение. Пусть а\ - первый член прогрессии, d - её разность. По условию
3
3(αι + d) + (αϊ + 3d) = 12 <^^ 4<ц = 12 - 6d ^^ αϊ = 3 - -d.
Рассмотрим произведение третьего и пятого членов:
(αϊ +2d)(ai + Ad) = ί 3- -d + 2d) ί 3- -d + 4d
= ^(6 + d)(6 + 5d) = i(5d2 + 36d + 36) = f(d).
Графиком функции /(d) является парабола с ветвями, направленными вверх;
минимальное значение параболы достигается в вершине. Абсцисса вершины
А 36
4 = -ϊο·
Ответ. —3, 6.
Задача 7. (Геол-80.4)
В гору ехал автомобиль. В первую секунду после достижения пункта А он
проехал 30 м, а в каждую следующую секунду он проезжал на 2 м меньше, чем в
предыдущую. Через 9 с после того, как автомобиль достиг пункта А, навстречу
ему выехал автобус из пункта 5, находящегося на расстоянии 258 м от пункта
А. В первую секунду автобус проехал 2 м, а в каждую следующую секунду он
проезжал на 1 м больше, чем в предыдущую. Какое расстояние проехал автобус
до встречи с автомобилем?

438
Указания и решения
Идея. Законы движения автомобиля и автобуса подчиняются формулам
арифметической прогрессии, в которых путь вычисляется суммой членов.
Указание. До момента выезда автобуса автомобиль проехал 198 м:
59 = 2й1 + (9-^.9,
2
где а\ = 30 м, d = —2 м.
Указание. В момент выезда автобуса между ним и автомобилем было 60 м,
что является суммой членов двух соответствующих арифметических прогрессий
с одинаковым неизвестным числом секунд.
Указание. Составив формулу пути автомобиля, начиная с десятой секунды
движения, сложить с путём автобуса для встречи на дистанции 60 м.
Решение. За каждую п-ю секунду автомобиль проезжает
ап = αι + (п — \)d м, где а\ = 30 м, d = —2 м; значит, через 9 секунд он проедет
2α1 + (9-ΐμ
2
Автобус за каждую k-ю секунду проезжает bk = αϊ + (к — \)q м, где Ь\ = 2м,
q = 1м. Начиная с десятой секунды движения, автомобиль сближается с
автобусом на дистанции 258 — 198 = 60 м; аю = αϊ + 9d = 12 м; если до встречи
пройдет η секунд, то уравнение принимает вид:
2аю + Ы — l)d 2έ»ι + (η — l)q Λ , ч
—^ ^ ^·η + — ^ }—·η = № ^^ η(26-2η) + η(η + 3) = 120 ^^
η2 - 29η + 120 = 0
η = 5;
η = 24.
Так как за 24 секунды автобус проедет
#24 = 24 · - · (4 + 23) = 27 · 12 > 60 м,
то по смыслу задачи подходит только η = 5; S$ = 5 · - · (4 + 4) = 20 м.
Ответ. 20 м.
Задача 8. (М/м-00(1).2)
О первых семи членах убывающей арифметической прогрессии известно, что
сумма пятых степеней всех этих членов равна нулю, а сумма их четвёртых степеней
равна 51. Найти седьмой член этой прогрессии.
Идея. Обозначить за неизвестные величины четвёртый член прогрессии и её
разность.
Указание. Если а^ = a, d - разность прогрессии, то αϊ = α — За7, а2 = а — 2а7,
аз = а — а7, а$ = а + а7, ав = а + 2а7, αγ = а + За7, где а7 < 0 по условию.
Указание. Сумма пятых степеней:
(а - За7)5 + (а - 2а7)5 + (а - а7)5 + а5 + (а + а7)5 + (а + 2а7)5 + (а + За7)5
равна нулю при α = 0.

9.2. Арифметическая и геометрическая прогрессии
439
Решение. Обозначим за d < 0 - разность прогрессии, сц = а, тогда а\ = α — 3d,
а2 = а — 2dу as = а — d, а$ = а + d, ав = а + 2d, α γ = α + 3d. Тогда из условия
получаем систему:
ί (α - 3d)5 + (а - 2d)5 + (а - d)5 + а5 + (а + d)5 + (а + 2d)5 + (а + 3d)5 = О,
|(а - 3d)4 + (а - 2d)4 + (а - d)4 + а4 + (а + d)4 + (а + 2d)4 + (а + 3d)4 = 51.
Рассмотрим три случая:
1) Пусть а > 0. Тогда получаем
а5 >0,
a-d>0 и |a-d|>|a + d| => (а - d)5 + (а + d)5 > 0,
a-2d> 0 и |a-2d| > |a + 2d| => (а - 2d)5 + (а + 2d)5 > 0,
а - 3d > 0 и |а - 3d| > \а + 3d| => (а - 3d)5 + (а + 3d)5 > 0.
Поэтому
(а - 3d)5 + (а - 2d)5 + (а - d)5 + а5 + (а + d)5 + (а + 2d)5 + (а + 3d)5 > 0.
2) Пусть а < 0. Тогда получаем
а5 <0,
a + d<0 и |a + d| > |а - d| => (а - d)5 + (а + d)5 < 0,
a + 2d<0 и |a + 2d| > \а - 2d\ => (а - 2d)5 + (а + 2d)5 < 0,
а + 3d < 0 и |а + 3d| > \а - 3d| => (а - 3d)5 + (а + 3d)5 < 0.
Поэтому
(а - 3d)5 + (а - 2d)5 + (а - d)5 + а5 + (а + d)5 + (а + 2d)5 + (а + 3d)5 < 0.
3) Пусть а = 0. Тогда получаем
а5 = 0,
a + d = -(a-d) => (а - d)5 + (а + d)5 = 0,
а + 2d =-(а-2d) => (а - 2d)5 + (а + 2d)5 = 0,
а + 3d =-(а-3d) => (а - 3d)5 + (а + 3d)5 = 0.
Поэтому
(а - 3d)5 + (а - 2d)5 + (а - d)5 + а5 + (а + d)5 + (а + 2d)5 + (а + 3d)5 = 0.
Значит, а = 0. Подставляя во второе уравнение системы, получаем:
2-81d4 + 2.16d4 + 2d4 = 51 ^^ d4 = — ^^ d = ±\—,
196 V 196'
но d < 0, значит,

440
Указания и решения
Задача 9. (ВМК-94(2).5)
В начальный момент лечения пациенту была произведена первая инъекция б
единиц некоторого лекарства, а во время каждой последующей инъекции ему
вводится 4 единицы того лее лекарства. За время между инъекциями количество
лекарства в организме уменьшается в 5 раз. Какое количество лекарства будет
содержаться в организме пациента сразу после 30-й инъекции?
Идея. Составить формулу для нахождения количества лекарства сразу после
n-й инъекции на основе анализа процесса.
Указание. Заметить, что сразу после k-й инъекции в организме будет 5 Η—-г,
к G N единиц лекарства.
Решение. Приняв за ап количество единиц лекарства сразу после n-й
инъекции, получим:
1 11 1
сц = б; а2 = -αϊ +4 = 5 + -; α3 = -α2 + 4 = 5 + —;
О 0 0 О
α4 = -а3 + 4 = 5 + —; ... ; ап = -αη_ι + 4 = 5 + —— => азо = 5 + -^.
Ответ. 5 + ——.
5zy
Задача 10. (Соц-98.5)
Найти все натуральные значения параметра п, при каждом из которых задача:
«Найти арифметическую прогрессию, если известны её семнадцатый член и
сумма η первых членов» не имеет решений или её решением является бесконечное
множество арифметических прогрессий.
Идея. Обозначить за неизвестные величины первый член прогрессии и её
разность и составить систему из двух уравнений с двумя неизвестными.
ia\ + 16d = αιγ,
2αι + din — 1)
2 n = Sn.
Решение можно искать с помощью подстановки.
Решение. Пусть χ - первый член прогрессии и у - её разность. Тогда, согласно
условию задачи, получаем
χ + 16у = ayj.
2х + у(п- 1)
•п = Sn.
2
Выразив χ из первого уравнения и подставив во второе, получим:
2а17 + у(п - 33) 2Sn
η = Sn ^^ y(n - 33) = 2а17.
2 η

9.3. Концентрация, смеси и сплавы...
441
При η = 33 и правой части, равной нулю, решений бесконечно много. При η = 33
и правой части, не равной нулю, решений нет. При η φ 33 значение у определяется
однозначно и равно
Значение χ определяется из первого уравнения системы.
Ответ. 33.
9.3. Концентрация, смеси и сплавы, массовые и объёмные
доли
Задача 1. (ЕГЭ)
Масса первого сплава на 3 кг больше массы второго сплава. Первый сплав
содержит 10 % цинка, второй 40 % цинка. Новый сплав, полученный из двух
первоначальных, содержит 20 % цинка. Определите массу нового сплава.
Идея. Обозначить за неизвестную величину массу первого сплава и составить
уравнение для цинка.
Указание. Пусть χ кг - масса первого сплава, в нём 0,1х кг цинка. Тогда
(х — 3) кг - масса второго сплава, в нём 0, 4(х — 3) кг цинка. Новый сплав весит
(2х — 3) кг, в нём 0, 2(2ж — 3) кг цинка.
Решение. Пусть χ кг - масса первого сплава, в нём 0,1х кг цинка.
Тогда (х — 3) кг - масса второго сплава, в нём 0, 4(х — 3) кг цинка. Новый сплав
весит (2 χ — 3) кг, в нём 0, 2(2ж — 3) кг цинка. Получаем уравнение для цинка:
0,1ж + 0, 4(ж - 3) =0,2(2ж-3) <^> 0,1х = 0, 6 <^> χ = 6.
Следовательно, масса нового сплава равна 2х — 3 = 9 кг.
Ответ. 9 кг.
Задача 2. (ЕГЭ)
Кусок сплава меди с оловом массой 15 кг содержит 20 % меди. Сколько чистой
меди необходимо добавить к этому сплаву, чтобы новый сплав содержал 40 % олова?
Идея. Обозначить за неизвестную величину массу чистой меди и составить
уравнение для олова.
Указание. В сплаве меди с оловом массой 15 кг содержится 0,2-15 = 3 кг
меди и 15 — 3 = 12 кг олова. Пусть у кг - масса чистой меди, необходимой для
получения нового сплава. В новом сплаве должно быть 0, 4(15 + г/) кг олова.

442
Указания и решения
Решение. В сплаве меди с оловом массой 15 кг содержится 0, 2 · 15 = 3 кг меди
и 15 — 3 = 12 кг олова. Пусть у кг - масса чистой меди, необходимой для
получения нового сплава. В новом сплаве должно быть 0,4(15 + у) кг олова. Составим
уравнение для олова:
12 = 0,4(15 + 2/) ^^ 0,4?/= 6 ^^ у = 15.
Ответ. 15 кг.
Задача 3. (ЕГЭ)
Свежие грибы содержат 92 % воды, а сухие 8 %. Сколько получится сухих грибов
из 23 килограммов свежих?
Идея. Обозначить за неизвестную величину массу сухих грибов и составить
уравнение.
Указание. Составить уравнение на сухое вещество, которое одинаково в свежих
и сухих грибах.
Решение. В 23 кг свежих грибов содержится 0, 08 · 23 кг сухого вещества. Пусть
χ кг - масса сухих грибов. Они содержат 0, 92ж кг сухого вещества. Получаем
уравнение:
0,08-23 = 0,92ж <^> χ = 2.
Ответ. 2 кг.
Задача 4- (ЕГЭ)
К 40 % раствору соляной кислоты добавили 50 г чистой кислоты, после чего
концентрация раствора стала равной 60%. Найдите первоначальный вес раствора.
Идея. Обозначить за неизвестную величину первоначальный вес раствора и
составить уравнение для кислоты.
Указание. Пусть χ г - первоначальный вес раствора, в нём 0,4ж г кислоты.
После добавления 50 г чистой кислоты новый раствор стал весить χ + 50 г, в нём
оказалось 0, 6(х + 50) г чистой кислоты.
Решение. Пусть χ г - первоначальный вес раствора, в нём 0,4ж г кислоты.
После добавления 50 г чистой кислоты новый раствор стал весить χ + 50 г, в нём
оказалось 0, 6(х + 50) г чистой кислоты. Составим уравнение для кислоты:
0,4ж + 50 = 0,6(ж + 50) ^^ 0,2ж = 20 <^> χ = 100.
Ответ. 100 г.

9.3. Концентрация, смеси и сплавы...
443
Задача 5. (ЕГЭ)
Какое количество воды нужно добавить в 1 литр 9 %-ного раствора уксуса, чтобы
получить 3 %-ный раствор?
Идея. Обозначить за неизвестную величину количество добавляемой воды и
составить уравнение для уксуса.
Указание. В 1 литре 9%-ного раствора уксуса 0,09 л уксуса. Пусть χ л -
количество добавляемой воды. Новый раствор содержит 1 + χ л, в нём должно
быть 0, 03(1 + х) л уксуса.
Решение. В1 литре 9 %-ного раствора уксуса 0, 09 л уксуса. Пусть χ л-
количество добавляемой воды. Новый раствор содержит 1 + χ л, в нём должно быть
0, 03(1 + х) л уксуса. Составим уравнение для уксуса:
0,09 = 0,03(1 +ж) ^^ 3 = 1+ж <^> х = 2.
Ответ. 2 л.
Задача 6. (Филол-00.1)
Имеется 40 литров 0,5 % раствора и 50 литров 2 % раствора уксусной кислоты.
Сколько нужно взять первого и сколько нужно взять второго раствора, чтобы
получить 30 литров 1,5% раствора уксусной кислоты?
Идея. Обозначить за неизвестные величины объёмы каждого из растворов для
смешивания, после чего составить уравнения для концентраций.
Указание. Если χ л первого и 30 — χ л второго растворов использовать для
смешивания, то 0, 005ж + 0, 02(30 - х) = 0, 015 · 30.
Решение. Если взять χ л первого раствора, то второго раствора надо взять
30 — χ л. Тогда получаем уравнение:
0,005ж + 0,02(30 -х) =0,015-30 ^^ 0, Ъх + 2(30 - х) = 45 ^^ χ = 10.
Ответ. Юли 20 л соответственно.
Задача 7. (Физ-78.2)
Руда содержит 40 % примесей, а выплавленный из неё металл содержит 4 %
примесей. Сколько получится металла из 24 тонн руды?
Идея. Разделив условно продукт каждого этапа на «чистое вещество» и
«примеси», отталкиваться от неизменности массы и количества «чистого вещества» для
начального и конечного состояния.
Указание. Если найти массу чистого металла в руде (60% от 24 т), то она
останется неизменной в конечном продукте, хотя составит в нем другую долю
(96%).

444
Указания и решения
Решение. В 24 τ руды 40% примесей, а значит, 60% чистого металла, то есть
0, 6-24 = 14,4 т. В выплавленном металле уже 4 % примесей и 96 % чистого
металла, а это те же самые 14,4 тонны. Поэтому, если обозначить за χ массу
выплавленного металла, то получим уравнение:
14,4
0,96ж = 14,4 ^^ х=^— ^^ ж = 15.
0,96
Ответ. 15 тонн.
Задача 8. (Экон-80.4)
Имеются два сплава, состоящие из цинка, меди и олова. Известно, что первый
сплав содержит 40 % олова, а второй - 26 % меди. Процентное содержание цинка
в первом и втором сплавах одинаково. Сплавив 150 кг первого сплава и 250 кг
второго, получили новый сплав, в котором оказалось 30 % цинка. Определить,
сколько кг олова содержится в получившемся новом сплаве.
Идея. Процентное содержание цинка одинаково не только в первом и втором
сплавах. Оно такое же и в получившемся новом сплаве.
Указание. Найдя процентное содержание цинка в исходных сплавах, легко
найти процентное содержание олова во втором сплаве.
Решение. Так как процентное содержание цинка одинаково в первом и втором
сплавах, то оно такое же и в получившемся новом сплаве. Значит, в исходных
сплавах процентное содержание цинка равно 30 %. Тогда процентное содержание
олова во втором сплаве равно 100 — 26 — 30 = 44%. Поэтому легко посчитать
сколько кг олова содержится в получившемся новом сплаве:
0,4 · 150 + 0,44 · 250 = 60 + ПО = 170.
Ответ. 170 кг.
Задача 9. (Геол-95.6)
Имеются два слитка, содержащие медь. Масса второго слитка на 3 кг больше, чем
масса первого слитка. Процентное содержание меди в первом слитке - 10 %, во
втором - 40 %. После сплавливания этих двух слитков получился слиток, процентное
содержание меди в котором - 30%. Определить массу полученного слитка.
Идея. Обозначить за неизвестную величину массу первого слитка. Посчитать
массу меди в первом слитке, втором слитке и новом слитке, полученном после
сплавливания, используя известные концентрации меди и массы слитков.
Указание. Если χ кг - масса первого слитка, χ + 3 кг - масса второго, то в
первом слитке содержится 0,1х кг меди, во втором - 0, 4(х + 3) кг.
Указание. Масса нового слитка - 2х + 3 кг, а меди в нём - 0, 3(2х + 3) кг.

9.3. Концентрация, смеси и сплавы...
445
Решение. Пусть χ кг - масса первого слитка, χ + 3 кг - масса второго слитка.
Значит, масса нового слитка - 2х + 3 кг. Тогда в первом слитке содержится 0,1х
кг меди, во втором - 0,4(х + 3) кг, в третьем - 0,3(2ж + 3) кг. Следовательно,
получаем уравнение:
0,1ж+ 0,4(ж + 3) = 0,3(2ж + 3) ^^ 0,5ж + 1,2 = 0,6ж + 0,9 <^^ χ = 3.
Значит, масса полученного слитка: 2х + 3 = 9.
Ответ. 9 кг.
Задача 10. (Геол-96(1).5)
В одном декалитре кислотного раствора 96 % объёма составляет кислота. Сколько
воды молено долить, чтобы концентрация кислоты в полученном растворе была
не больше 40 %?
Идея. Обозначить за неизвестную величину объём доливаемой воды.
Указание. Если долить χ декалитров воды, то концентрация вычисляется по
0,96
формуле .
χ + 1
Решение. Пусть доливают χ декалитров воды. Так как в исходном растворе
было 0, 96 декалитров кислоты, то в получившемся растворе концентрация не
больше 40 %, если
0,96
-J <0,4 ^^ 0,4ж>0,56 ^^ ж>1,4.
χ + 1
Ответ. Не менее 1,4 декалитра.
Задача 11. (ВМК-96.2)
Первый раствор содержит 20 % азотной кислоты и 80 % воды, второй - 60 %
кислоты и 40 % воды. Первая смесь была получена из 15 л первого раствора и некоторого
количества второго раствора. Смешав то же самое количество второго раствора с
5 л первого раствора, получили вторую смесь. Сколько литров второго раствора
было использовано для приготовления первой смеси, если процентное содержание
воды во второй смеси вдвое больше процентного содержания кислоты в первой?
Идея. Обозначив за неизвестную величину количество использованного второго
раствора, одинаковое в каждой смеси, вычислить концентрации кислоты и воды
соответственно в первой и второй из них.
Указание. Если χ литров второго раствора использовать для первой смеси,
0,2-15 + 0,6ж
то концентрация кислоты в ней , а концентрация воды во второй
χ + 15
0,8-5 + 0,4ж
смеси равна .
χ + 5

446
Указания и решения
Решение. Пусть χ литров второго раствора берут для приготовления смеси.
Тогда концентрация кислоты в первой смеси равна
0,2-15 + 0,6ж
ж+ 15 '
а концентрация воды во второй смеси равна
0,8-5 + 0,4ж
χ + 5
Тогда из условия получаем уравнение
0,8-5 + 0,4ж 0,2-15 + 0,6ж , w ч ,
-г— = 2~ ^ ' ^ (4+0,4ж)(ж+15) = (6+1, 2ж)(ж+5) ^
X + О X + 10
О, 8х2 + 2х - 30 = 0 ^^ 2х2 + 5ж - 75 = 0 ^^ ж
так как χ > 0 по смыслу задачи.
Ответ. 5 литров.
-5 + 25
Задача 12. (ВМК-00.2)
Имеется некоторое количество раствора соли в воде. После испарения из раствора
1 л воды концентрация соли возросла на 0,05, а после разведения получившегося
раствора 39 л воды концентрация соли стала в три раза меньше первоначальной.
Найти концентрацию соли в исходном растворе, считая массу 1 л воды равной
1 кг.
Идея. Обозначив за неизвестные величины массу всего раствора и массу соли в
нём, составить систему из двух уравнений с двумя неизвестными, используя то,
что концентрация соли в растворе есть отношение массы соли к массе раствора.
Указание. Если в ζ кг раствора содержится χ кг соли, то концентрация равна
X X
—. После испарения 1 л воды она станет равной , а после добавления 39 л
ζ ζ — 1
χ
воды станет равной .
F z + 38
Решение. Пусть имеется ζ кг раствора, в нём содержится χ кг соли. Надо
χ
найти значение — . Составляем систему:
ζ
-+0,05=-^-,
ζ ζ — 1
Зх χ
U + 38
Из второго уравнения получаем
3 1
19.
ζ + 38 ζ
Подставляем ζ = 19 в первое уравнение системы:
Ϊ9+0'°5 = ϊ! ~ ΠΓΪ9=°'05 ~ * = °'9·19 => Ι = Ϊ9=°'9·
Ответ. 90%.

9.3. Концентрация, смеси и сплавы...
447
Задача 13. (Экон-79.3)
Из сосуда, до краёв наполненного чистым глицерином, отлили 2 литра глицерина,
а к оставшемуся глицерину долили 2 литра воды. После перемешивания снова
отлили 2 литра смеси и долили 2 литра воды. Наконец, опять перемешали, отлили
2 литра смеси и долили 2 литра воды. В результате этих операций объём воды
в сосуде стал на 3 литра больше объёма оставшегося в нем глицерина. Сколько
литров глицерина и воды оказалось в сосуде в результате проделанных операций?
Идея. Обозначив за неизвестную величину объём сосуда, проследить за
изменением количества глицерина в результате трёх отливаний смеси с последующим
добавлением воды.
Указание. Объём глицерина, остающийся в сосуде, равен объёму оставшейся
в сосуде смеси, умноженному на текущую концентрацию глицерина.
Решение. Пусть V - объём сосуда. Занесем в таблицу, состоящую из
четырех колонок (№ операции, объём чистого глицерина, концентрация глицерина в
растворе и объём всего раствора), поэтапно все операции, описанные в условии
задачи:
№
0
1а
lb
2а
2Ь
За
ЗЬ
глицерин
V
V -2
V -2
V<"-«
(V - 2)2
V
^■iv-*
(V - 2)3
V2
концентрация
1
1
V -2
V
V -2
V
(V - 2)2
V2
(V - 2)2
V2
(V - 2)3
уз
всего смеси
V
V -2
V
V -2
V
V -2
V
Прокомментируем таблицу:
0) Изначально в сосуде был чистый глицерин. Поэтому глицерина и всего смеси
было по V, а концентрация равна 1.
1а) Из сосуда отлили два литра. Значит, осталось всего V — 2 литров смеси
с концентрацией 1 и, следовательно, осталось V — 2 литров глицерина.
lb) В сосуд долили 2 литра воды. Значит, стало всего V литров смеси, а
глицерина осталось столько лее сколько и было, то есть V — 2 литров. Следовательно,
V -2
концентрация глицерина стала равняться ——— .

448
Указания и решения
2а) После перемешивания снова отлили 2 литра смеси. Значит, осталось всего
V -2
V — 2 литров смеси, а концентрация глицерина не изменилась ———. Поэтому
V -2
глицерина осталось ——— · (V — 2) литров.
2Ь) В сосуд снова долили 2 литра воды. Значит, стало всего V литров сме-
(V - 2)2
си, а глицерина осталось столько же сколько и было, то есть — литров.
r (V-2)2
Следовательно, концентрация глицерина стала равняться —— .
V2
За) После перемешивания снова отлили 2 литра смеси. Значит, осталось всего
(V -2)2
V — 2 литров смеси, а концентрация глицерина не изменилась ——-— . Поэтому
V2
(V -2)2
глицерина осталось ——-— · (V — 2) литров.
V2
ЗЬ) В сосуд снова долили 2 литра воды. Значит, стало всего V литров сме-
(V - 2)3
си, а глицерина осталось столько же сколько и было, то есть —— литров.
V2
г (V ~ 2)3
Следовательно, концентрация глицерина стала равняться —— .
V6
Заметим, что при каждой операции две колонки таблицы легко заполняются,
а третья по ним считается.
В результате этих операций объём воды в сосуде стал на 3 литра больше объёма
оставшегося в нем глицерина. Так как объём воды в сосуде равен разности объёмов
всей смеси и глицерина, то из этого условия легко выписывается уравнение:
(V - 2)3 (V - 2)3 2(У - 2)3 _
ν ν2 ~ ν2 ν2
^^ У3-9У2 + 24У-1б = 0 ^^ (V-l)(V-A)2 = 0.
Так как из сосуда отливали 2 литра, то его объём больше 2. Поэтому V = 4. Из
последней строчки таблицы легко получаем ответ.
Ответ. Глицерина 0,5 л; воды 3,5 л.
Задача 1^- (Геол-81.5)
Для составления смеси из двух жидкостей А и В были взяты два сосуда: первый
ёмкостью 10 литров, второй - 20 литров. Сначала в оба сосуда было налито всего
15 литров жидкости А. Затем первый сосуд был дополнен доверху жидкостью В и
было произведено перемешивание. После этого второй сосуд был дополнен доверху
смесью из первого сосуда. После того как в первый сосуд было добавлено
жидкости А столько, сколько было в него её налито сначала, отношения количества
жидкости А ко всему объёму имеющейся жидкости в сосуде для первого и второго
сосудов стали равными. Сколько литров жидкости А было налито первоначально
в первый сосуд?
Идея. Обозначив за неизвестную величину количество жидкости А в первом
сосуде изначально, составить таблицу, отражая в ней изменения количества жид-

9.3. Концентрация, смеси и сплавы...
449
кости А, её концентрации и общее количество смеси в обоих сосудах на каждом
шаге.
Указание. Если χ л жидкости А первоначально налили в первый сосуд, то во
втором оказалось 15 — χ л. После дополнения первого сосуда доверху жидкостью
χ
В, концентрация жидкости А в первом сосуде станет равной —. В V л смеси из
X
первого сосуда жидкости А будет -7 л.
Решение. Пусть χ л жидкости А налили в первый сосуд, тогда во втором
оказалось 15 —ж л. Составим таблицу, отражая в ней изменения количества жидкости
Ау её концентрации и общее количество смеси в обоих сосудах на каждом шаге.
Первый сосуд:
№
1
2
3
4
жидкость А
X
X
— (Ъ-х)
10v J
х(Ъ — χ)
концентрация
1
χ
ΪΟ
χ
ΪΟ
x(b — χ) ,
ΪΟ ■" Χ
5
всего
χ
10
10 - (χ + 5)
5
Второй сосуд:
№
1
2
3
4
жидкость А
15-ж
15-ж
15-Ж + ^-(ж + 5)
15-ж + ^0 + 5)
концентрация
1
1
15 - χ + jq{x + 5)
20
15-Ж + ^(ж + 5)
20
всего
15-ж
15-ж
20
20
Прокомментируем таблицу:
1) Первый сосуд: налили χ литров жидкости А] поэтому всего тоже χ литров,
а концентрация равна 1.
Второй сосуд: налили 15 — χ литров жидкости А] поэтому всего тоже 15 — χ
литров, а концентрация равна 1.
2) Первый сосуд: после дополнения доверху первого сосуда жидкостью В всего
л Х
стало 10 литров, а концентрация жидкости А в нем стала —.

450
Указания и решения
Второй сосуд: изменений не произошло.
3) Первый сосуд: во второй сосуд из первого сосуда перелили 20 —(15 —ж) = 5+ж
литров; поэтому в первом сосуде осталось 10 —(ж+ 5) = Б —χ литров, концентрация
X
не изменилась, а жидкости А осталось — (5 — х) литров.
X
Второй сосуд: всего стало 20 литров, жидкости А добавилось — (х + 5), тогда
концентрация легко считается.
4) Первый сосуд: в первый сосуд добавилось χ литров жидкости А, всего тоже
стало на χ литров больше, тогда концентрация легко считается.
Второй сосуд: изменений не произошло.
Так как концентрация жидкости А в обоих сосудах стали равными, получаем
уравнение:
Х\О X) X . ч
1П +^ 15-х + —(х + 5)
ш ш ^^ 4(ж(5-ж) + 10ж) = 10(15-ж)+ж(ж + 5)
20
х2 - 13ж + 30 = 0
х = 10.
Так как на третьем этапе в первом сосуде осталось 5 — χ литров, то χ = 10 - не
подходит. Поэтому χ = 3 литра.
Ответ. 3 л.
9.4. Целые числа, перебор вариантов, отбор решений
Задача 1. (У)
Решить в целых числах уравнение 6х2 + Ъу2 = 74.
Идея. Получить ограничения на одну из переменных и действовать перебором.
Указание. Ограничения на χ следуют из неотрицательности обеих частей
равенства Ъу2 = 74 — 6х2.
Решение. Перепишем уравнение в виде Ъу2 = 74 — 6х2. Так как левая часть
уравнения неотрицательна, то 74 — 6х2 > 0, следовательно, х2 может принимать
только следующие значения: х2 = 0; х2 = 1; х2 = 4; х2 = 9.
В результате перебора получаем, что целое значение у существует только при
х2 = 9. В этом случае у = ±2.
Ответ. (3;2), (3;-2), (-3;2), (-3;-2).
Задача 2. (У)
Решить в целых числах уравнение 2х3 + ху — 7 = 0.
Идея. Перенести 7 в правую часть равенства, а левую разложить на множители.
Указание. Число χ является делителем числа 7.

9.4· Целые числа, перебор вариантов, отбор решений
451
Решение. Так как 2х3 ± ху — 7 = 0 <^> х(2х2 ± у) = 7, то χ может быть равно
либо ±1, либо ±7. Следовательно, возможны четыре варианта:
χ = —1, Г χ = —1,
2x2 + i/=-7; ^ 1 2/= -9;
Х) { 2х2 + у = 7; ^ \у = 5;' 2) { ^-2
Ответ. (1;5), (7;-97), (-7;-99), (-1;-9).
Задача 3. (У)
Решить в целых числах уравнение х2 — у2 = 21.
Идея. Использовать разложение на множители, далее действовать перебором.
Указание. Воспользоваться формулой разности квадратов.
Решение. Воспользовавшись формулой разности квадратов, получаем:
х2 - у2 = 21 ^ (х- у){х + у) = 21.
Первый множитель может принимать значения: ±21; ±7; ±3; ±1. При этом второй
множитель равен ±1 ± 3; ±7; ±21. Перебрав все эти варианты, получим ответ.
Ответ. (5;±2), (-5; ±2), (11; ±10), (-11; ±10).
Задача 4- (У)
Решить в натуральных числах уравнение 2ху = χ2 ± 2у.
Идея. Использовать разложение на множители.
Указание. Выделить два полных квадрата.
Решение. Сначала выделим полный квадрат, в который уйдут все слагаемые,
содержащие ж, а затем выделим полный квадрат, в который уйдут оставшиеся
слагаемые, содержащие у:
2ху = х2 + 2у ^^ у2 - 2у = (х - у)2 <^^ (у- I)2 - (х - у)2 = 1 ^^
^ (2у-х-1)(х-1) = 1.
Так как χ и у - натуральные числа, то оба множителя равны единице и, значит,
х = 2, у = 2.
Ответ, χ = 2, у = 2.

452
Указания и решения
Задача 5. (У)
Решить в целых числах уравнение х2 = у2 + 2у + 13.
Идея. Использовать разложение на множители, далее действовать перебором.
Указание. Выделить полный квадрат и, сделав замену, решать в натуральных
числах.
Решение. Выделим полный квадрат по у:
х2 =i/2 + 2i/ + 13 ^^ х2 = (i/ + l)2 + 12 ^^ х2 - (у + 1)2 = 12.
После замены а= |х|, 6= |?/ + 1| уравнение принимает вид:
а2 - Ь2 = 12.
Заметим, что Ъ > 1 (поскольку при 6 = 0 целых а нет) и α > 4 (поскольку должно
быть а2 > 12).
Переберём возможные значения а и b такие, что
(а-Ь)(а + Ь) = 12.
Первый множитель (он меньше второго) может принимать значения 1, 2, 3.
Второй, соответственно, 12, б, 4. Так как сумма и разность двух чисел имеет
одинаковую чётность, то первый и последний случаи не подходят. Итак:
( а -Ь = 2, Га = 4,
\ а + Ъ = 6; ^^ \ Ъ = 2.
Следовательно, χ = ±4, i/ = 1 или —3.
Ответ. (±4;1), (±4;-3).
Задача 6. (У)
Решить в целых числах уравнение \Ъх2 — \\ху + 2i/2 = 7.
Идея. Разложить левую часть уравнения на множители.
Указание. Рассмотреть однородное уравнение Vox2 — llxy + 2y2 = 0.
Решение. Так как квадратное уравнение 15х2 — llxy + 2у2 = 0 имеет корни
2у у
xi = —, Х2 = -, то
5 ό
15х2 - llxy + 2у2 = 7 ^^ (5χ-2ί/)(3χ-2/) = 7.
Первый множитель может быть равным ±1, ±7, второй, соответственно, ±7, ±1.
Перебрав эти варианты, получим ответ.
Ответ. (13; 32), (-5;-16), (-13;-32), (5; 16).

9.4· Целые числа, перебор вариантов, отбор решений
453
Задача 7. (Экон.К-66.1)
Группа студентов, состоящая из 30 человек, получила на экзамене оценки «2», «3»,
«4» и «5». Сумма полученных оценок равна 93, причём «троек» было больше, чем
«пятёрок», и меньше, чем «четвёрок». Кроме того, число «четвёрок» делилось на
10, а число «пятёрок» было чётным. Определить, сколько каких оценок получила
группа.
Идея. Обозначив количество соответствующих оценок за неизвестные величины,
составить уравнения задачи и организовать целочисленный перебор вариантов с
учётом делимости.
Указание. Если число «2» было п, «3» было т, «4» было ру «5» было /с, где
π,πι,ρ, к Ε N, то получаем:
'п + т+Р + к = 20,Р>т>к,Р\10,
k2n + 3m + 4p + 5fc = 93, fc:2.
Указание. Исключив из уравнений η и заменив ρ = 10g, к = 2s, где g,sGN,
получим: т + 20q + 6s = 33, откуда q = 1.
Указание. Используя тот факт, что q = 1, получаем: т + 6s = 13, откуда
s = l или s = 2; вариант s = 2 приводит к т = 1 и не отвечает неравенству:
к = 2s < т.
Решение. Обозначим количество полученных оценок соответственно: «2» -
η шт., «3» - т шт., «4» - ρ шт., «5» -к шт., η,τη,ρ, к Ε Ν; получаем из
условия задачи:
(п + т + р + к = 30,
2п + Зт + Ар + 5& = 93,
Кк < т < р, р: 10, /с: 2;
исключив η из уравнений и подставив ρ = 10<7, к = 2s (g, s Ε Ν), получаем:
in = 30 — m — ρ — /с, к = 2s, ρ = 10g, к < πι < ρ, \ πι + 20q + 6s = 33,
60 - 2m - 2ρ - 2fc + 3m + 4p + 5fc = 93; ^ [2s < m < 10?;
из уравнения находим: q = 1, τη + 6s = 33 — 20,
s = 2, τη = 1-не подходит;
s = 1, m = 7;
значит, получаем: g = 1, s = 1, т = 7,то есть η = 11, m = 7, ρ = 10, к = 2.
Ответ. 11 оценок «2», 7 оценок «3», 10 оценок «4» и две оценки «5».

454
Указания и решения
Задача 8. (Экон-94.1)
(7875ж3 = 1701?/3,
Найти все целочисленные решения системы <
у\х\ < 5.
Идея. Организовать перебор вариантов в соответствии с делимостью
переменных из уравнения.
Указание. Заметив, что 7875 = 7 · З2 · 53, а 1701 = 7 · З5, получаем:
63-(5ж)3 = 63-(3у)3.
Указание. Из условия Ъх = Зу в целых числах получаем, что χ : 3, у : 5.
Решение. Разложим числа на множители:
ί7·32·53·χ3 = 7·35·£/3, |(5ж)3 = (Зу)3, {$х = 3у,
|-5<ж<5; ^^ |-5<ж<5; ^^ 1 -5 < χ < 5;
то есть ж:3, у'. Б; учитывая, что — 5 < χ < 5, получаем: χ = 0, у = 0; ж
у = -54; ж = 3, у = 5.
Ответ. (0;0), (-3;-5), (3; 5).
Задача 9. (Биол-92.4)
Найти все пары целых чисел ρ, q, удовлетворяющие одновременно двум неравен-
\р2 + q2 < 18р - 20q - 166,
ствам < о о
\32p-q2 >р2 + 12<? + 271.
Приведем два способа решения этой задачи.
Идея. Первый способ. Рассмотреть каждое неравенство как квадратное по одной
из переменных и записать необходимые условия наличия целочисленных решений
у них, после чего организовать перебор возможных вариантов.
Указание. Необходимым условием наличия решений у квадратного
неравенства является положительность его дискриминанта. В данной задаче
дополнительно накладывается условие целочисленности переменных.
Указание. Переписав систему в виде:
JV + 20q + (ρ2 - 18р + 166) < 0,
[q2 + I2q + (ρ2 - 32ρ + 271) < 0;
получаем для дискриминантов:
Г100 - ρ2 + 18р - 166 > 0,
1 36 - р2 + 32р - 271 > 0.

9.4· Целые числа, перебор вариантов, отбор решений
455
Указание. Решая систему неравенств для дискриминантов при ρ Ε Ъ,
получаем, что ρ = 12.
Указание. Подставив найденное значение ρ в исходную систему неравенств,
вычисляем q.
Решение. Перепишем систему в виде:
2-18р+166) <0,
2-32р + 271) <0.
Необходимым условием наличия решений является положительность обоих
дискриминантов. С учётом целочисленности ρ получаем:
ί 100 - ρ2 + 18р - 166 > 0, JV - 18р + 66 < 0,
|зб-р2 + 32р-271 >0; ^^ jp2 - 32р + 235 < 0; ^^
^ Г9- λ/Ϊ5 <Ρ < 9 + λ/Ϊ5, ^ ίρ = 6;7;...;12, ^^
^^ 116 - λ/2Ϊ < ρ < 16 + λ/2Ϊ; ^^ \р = 12; 13;...; 20; ^^ Р
Возвращаемся к системе неравенств с переменной q, подставив найденное ρ = 12:
JV+ 20<? + 94<0, Г-10 - л/б < g < -10 +л/6,
Ь2 + 12д + 31< 0; ^^ | -6 - л/Ъ < q < -6 + л/5;
в целых числах получаем:
Ответ. (12;
~1^; —δδ'^ ...; —<
-8;-7;...;-4;
Идея. Второй способ. Выделив полные квадраты в обоих неравенствах, провести
оценки возможных значений переменных.
Указание. Систему молено переписать в виде:
ί(ρ-9)2 + (4 + 10)2<15,
|(р-16)2 + (4 + 6)2<21.
Указание. Из системы следуют оценки:
ί -л/15 < ρ - 9 < λ/Ϊ5, ί -λ/Ϊ5 < <? + 10 < λ/Ϊ5,
| -λ/2Ϊ < ρ - 16 < λ/2Ϊ; \ -λ/2Ϊ < <? + 6 < λ/2Ϊ.
Указание. Из полученных оценок с учётом целочисленности ρ u q находим:
(б<р< 12, i-13<q< -7,
|l2 <p< 20; j-10<g< -2;
значит, ρ = 12.
Указание. Подставив ρ = 12 в исходное неравенство с переменной g, получим,
что q = — 8.

456
Указания и решения
Замечание. Перебор чисел q = —10;—9;—8;—7 в соответствии с полученной
оценкой возможен, но такое решение будет не оптимальным.
Решение. Выделим полные квадраты:
Г(р - 9)2 + (д + Ю)2 < 15,
1 (р - 16)2 + (д + б)2 < 21;
получаем оценочные неравенства:
-λ/Ϊ5 < ρ - 9 < л/15,
-λ/2Ϊ < ρ - 16 < л/21,
-λ/Ϊ5 < g + 10 < λ/Ϊ5,
-λ/2Ϊ < q + 6 < λ/2Ϊ;
6<ρ< 12,
12 <ρ< 20,
-13 < 4 < -7,
-10 < ^ < -2;
значит, ρ = 12] возвращаясь к исходным неравенствам, уточняем оценку для q:
Г —12 < q < -8,
ί(^ + 10)2<6,
\(^ + 6)2<5;
значит, q = — 8.
Ответ. (12;-i
-10-л/б <^ < -10 +л/6,
-6 - л/5 < g < -6 + л/5;
-8 <<? < -2;
Задача 10. (Почв-77.5)
Рота солдат прибыла на парад в полном составе прямоугольным строем по 24
человека в ряд. По прибытии оказалось, что не все солдаты могут участвовать
в параде. Оставшийся для парада состав роты перестроили так, что число рядов
стало на 2 меньше прежнего, а число солдат в каждом ряду стало на 26 больше
числа новых рядов. Известно, что если бы все солдаты участвовали в параде, то
роту можно было бы выстроить так, чтобы число солдат в каждом ряду равнялось
числу рядов. Сколько солдат было в роте?
Идея. Обозначив число рядов в построении за неизвестную величину, получить
условия на оценку этой переменной и организовать перебор вариантов.
Указание. Если η Ε Ν рядов в построении, то получаем:
(п - 2)(гс - 2 + 26) < 24п, где 24η = ρ2, ρ Ε Ν.
Указание. Из неравенства получаем: η2 — 2η — 48 < 0, то есть η = 1; 2;...; 7.
Решение. Обозначим за η Ε Ν число рядов в построении. Тогда из условия
получаем
(п-2)(п-2 + 26) < 24п,
24η = ρ2, ρ Ε Ν;
η2 - 2η - 48 < 0,
24η = ρ2, ρ Ε Ν;
-6 < η < 8,
24η = ρ2, ρ Ε Ν;
но η Ε Ν, поэтому η = 1; 2;...; 7. Перебрав все семь вариантов, под условие полного
квадрата 24п = р2 подходит только η = 6У 24п = 144.
Ответ. 144 человека.

9.4· Целые числа, перебор вариантов, отбор решений
457
Задача 11. (ВМК-82.4)
На заводе было несколько одинаковых прессов, штампующих детали, и завод
выпускал 6480 деталей в день. После реконструкции все прессы заменили на более
производительные, но также одинаковые, а их количество увеличилось на три.
Завод стал выпускать в день 11200 деталей. Сколько прессов было первоначально?
Идея. Обозначив за неизвестную величину число прессов до реконструкции,
составить неравенство для производительностей в день до и после реконструкции, по
смыслу являющихся целочисленными величинами, после чего с учётом делимости
числителей на знаменатели организовать перебор возможных вариантов.
Указание. Если первоначально было η прессов (η Ε Ν), το ρ = Ε Ν -
η
производительность до реконструкции и q = Ε Ν - производительность
η + 3
после неё, причём р < q.
Указание. 6480 = 5·34·24, 11200 = 7·52·26; при этом 6480 : η и 11200: (η + 3),
η > 5, η Ε Ν.
Указание. Так как 11200 не делится на три, то η + 3 не делится на три => η
не делится на три, 6480 : η и 6480 = 5 · З4 · 24; значит, число η является делителем
числа 5·24.
Указание. Для организации перебора вариантов делителей 5 · 24 удобно не
терять из виду, что η + 3 является делителем числа
7·52·26 = 11200.
Решение. Обозначим за η Ε Ν число прессов до реконструкции. Тогда из усло-
6480 11200
вия задачи получаем: ρ = < = q, где ρ, q Ε Ν - производительности
η η + 3
по деталям в день до и после реконструкции соответственно. Следовательно,
(6480(η + 3) < 11200η,
6480: η,
Ul200:(n + 3);
Так как 6480 = 5 · З4 · 24, 11200 = 7 · 52 · 26, то из первого неравенства системы
получаем:
243
34(п + 3) < 35 · 4η ^^ η > — => η > 5, η Ε Ν.
Исследуем делимость чисел:
6480:η, то есть 5·34·24:η;
11200 : (η + 3), то есть 7 · 52 · 26 : (η + 3);
Так как 11200 не делится на 3, то и η + 3 не делится на 3, тогда и η не делится
на 3. Значит, в разложении η на простые множители только делители числа 5·24;
при этом η > 5. Переберем все возможные варианты:
п = 5; п + 3 = 8- подходит;

458
Указания и решения
η = 23; η + 3 = 11 - не подходит;
η = 24; η + 3 = 19 - не подходит;
η = 5 · 2; η + 3 = 13 - не подходит;
η = 5 · 22; η + 3 = 23 - не подходит;
η = 5 · 23; η + 3 = 43 - не подходит;
η = 5 · 24; η + 3 = 83 - не подходит.
Ответ. 5 прессов.
Задача 12. (М/м-00(2).2)
Два друга, Ваня и Петя, ходили за грибами. Встретившись перед возвращением
домой, они обнаружили, что Ваня нашел 35 грибов, среди которых было несколько
подосиновиков, а Петя грибов не нашел. Ваня взял себе белые грибы, а остальные
отдал Пете. Петя, обнаружив среди них червивый подберёзовик, выкинул его.
Сколько было найдено подосиновиков, если доля белых в найденных Ваней грибах
оказалась равной доле подосиновиков в принесённых Петей домой грибах?
Идея. Обозначив количество соответствующих грибов за неизвестные
величины, составить уравнение по условию равных долей и решить его с организацией
целочисленного перебора вариантов.
Указание. Если было собрано χ подосиновиков и у белых грибов (х,у Ε N,
χ > 1), то из условия равенства долей получаем: — = .
35 34 — 2/
Указание. Получающееся квадратное уравнение у2 — 34?/ + 35ж = 0 даёт
выражение: у = 17± л/289 - ЗБх Ε N.
Указание. Перебрав возможные варианты 289 — 35ж > О, iGN, χ > 1, то есть
χ = 2;...; 8, получаем, что лишь χ = 8 даёт у Ε N.
Решение. Пусть было собрано χ подосиновиков, у белых грибов (х,у Ε Ν,
χ > 1). Тогда из равенства долей по условию получаем:
■У- = —^— <^ у2 - My + 35ж = 0.
35 34-у у У
Для существования решения квадратного уравнения получаем условие на
дискриминант D = 289 —35ж > 0. Так как χ Ε Ν, χ > 1, το χ = 2;...; 8. Теперь исследуем
на целочисленность решение уравнения
у = 17±λ/289-35χεΝ => 289 - 35ж = ρ2, ρ Ε Ν => χ = 8.
Ответ. 8 шт.
Задача 13. (Геол.ОГ-88.5)
В пионерский лагерь отправилась автобусная колонна с 510 пионерами, состоящая
из «Икарусов» и «Лиазов», причём количество тех и других нечётно. Число
пионеров в каждом из «Лиазов» одинаково и кратно трём, а в каждом «Икарусе»- в
1,2 раза больше, чем в одном «Лиазе». Сколько всего автобусов в колонне?

9.4· Целые числа, перебор вариантов, отбор решений
459
Идея. Обозначив за неизвестные число автобусов каждого типа и число
пионеров в «Лиазе», составить уравнение в целых числах и решить его с организацией
перебора вариантов.
Указание. Если число автобусов τη и η соответственно, а р - число людей в
«Лиазе», то имеем: ρ · η + I -р) · т = 510, где η и т - нечётные, ρ: 3.
Указание. После преобразований с учётом того, что ρ: 3 и ρ : 5, то есть ρ: 15,
ρ = 15/с, к Ε N, получаем: fc(5n + бтп) = 34-5.
Указание. Из того, что пит нечётны, следует, что Ъп + бтп > 11 и тоже
нечётно.
Решение. Обозначим число «Икарусов» за т штук, «Лиазов» за η штук, ρ
человек в «Лиазе». Тогда получаем уравнение:
/6 λ
ρ · η + Ι -ρ 1 · m = 510,
где ρ : 3, η и τη - нечётные. Требуется найти 5 = η + τη, где η, τη,ρ Ε Ν. Так как
-ρ Ε Ν, το ρ: 5. Так как ρ: 3 π ρ : 5, το ρ: 15. Значит, ρ = 15/с, /с Ε Ν. Поэтому
5
из уравнения получаем
\Ък · η + 18fc · τη = 510 ^^ (5η + 6тп)/с = 170.
Так как пит нечётны, то Ъп нечётно и, следовательно, 5п + бтп > 11 и нечётно.
Значит, к - чётное, то есть к = 2г, г Ε N. Поэтому уравнение принимает вид:
2г(5п + бтп) = 2 · 5 · 17 ^^ г(5п + бтп) = 5 · 17.
Следовательно, возможны только два варианта:
Г 5η + 6τη = 17, Γ 5η + 6τη = 85,
(г = 5; ИЛИ {г = 1;
в первом случае возможно лишь значение τη = 1, но тогда Ъп = 11, нет решений.
Решая уравнение Ъп + бтп = 85, используем нечётность переменных:
η = 2£+1, τη = 2<? + 1,
где i,gEN (при £ = 0 получаем бтп = 80 - нет целых решений, a q = 0 приводит
к Ъп = 79, что тоже неверно). Тогда уравнение принимает вид:
5(2*+ 1) + 6(2д + 1) = 85 ^^ 10t + 12g = 74 ^^ 5£ + 6q = 37.
Значит, q = 1;2;3;4;5;6. Проверяя все значения для поиска q Ε Ν и £ Ε Ν,
получаем только g = 2, £ = 5. Таким образом, η = 2ί + 1 = 11, тп = 2д + 1 = 5;
всего автобусов: 5, = п + тп = 5 + 11 = 1б.
Ответ. 16 автобусов.

460
Указания и решения
10. Раскрытие модулей в уравнениях
и неравенствах различных видов
10.1. Различные приёмы раскрытия модулей,
системы уравнений и неравенств с модулями
Задача 1. (Геол-91.2)
Решить уравнение \х2 — 2х — 1\ — χ + 1 = 0.
Идея. Раскрыть модуль через геометрический смысл.
Указание. Переписав уравнение в виде \х2 — 2х — 1\ = χ — 1, раскрыть модуль,
используя его геометрический смысл:
с-1 >0,
х2 — 2х -
х2 — 2х -
-1 =
-1 =
= χ — 1,
= -(х-
1)·
Решение. Перепишем уравнение в виде \х2 — 2х — 1\
используя его геометрический смысл:
х- 1 > 0,
2 2ж-1
χ
х>1,
χ — Зх = 0,
2 - 2 = 0;
£■
Ж
1. Раскроем модуль,
гх > 1,
' χ = 0 или ж = 3,
ж = — 1 или ж = 2;
х — 1, <^>
ж2 — 2ж — 1 = 1 — х;
значит, χ = 2 или ж = 3.
Ответ. 2; 3.
Замечание. Естественно, молено раскрывать модуль и по определению,
однако точками смены знака подмодульной функции являются не самые удобные
для сравнения иррациональные числа, поэтому раскрытие через геометрический
смысл предпочтительнее.
Задача 2. (Физ-98(2).2)
Решить неравенство \х2 + 2х — 8| > 2х.
Идея. Раскрыть модуль через геометрический смысл.
Указание. Неравенство равносильно совокупности:
х2 + 2х - 8 > 2х или х2 + 2х - 8 < -2х.
Решение. Раскрывая модуль через геометрический смысл, получаем:
χ < -2л/2,
χ
■2х-
■2х-
> 2х,
< -2х:
χΔ >8,
х2 + Ах - 8 < 0;
χ > 2л/2,
-2-2л/3 <ж < -2 + 2л/3;

10.1. Различные приемы раскрытия модулей...
461
Объединяя полученные промежутки, получим ответ.
Ответ. ( — оо; — 2 + 2л/3) U (2л/2; + 00).
Задача 3. (Биол-98.2)
Решить неравенство \х2 + χ — 2| + \х + 4| < х2 + 2х + 6.
Идея. Раскрыть модули в левой части через точки смены знака подмодульных
функций и решить получившиеся неравенства на соответствующих промежутках.
Указание. Точками смены знака подмодульных функций являются значения
χ = 1, χ = —4, ж = —2, то есть потребуется рассмотреть четыре промежутка.
Решение. Раскрываем модули по определению. Точками смены знака
подмодульных функций являются χ = — 4, χ = — 2, χ = 1. Значит, нужно исследовать
четыре промежутка.
-2
1
х^+х-2 +
х+4
+
+
+
+ +
Согласно расстановке знаков достаточно рассмотреть три случая:
1)|ж<"4' ^
7 ]ж2+ж-2-ж-4<ж2 + 2ж + б:
2)
3)
-4 <ж < -2,
ж > 1,
ж2+ж-2 + ж + 4<ж2 + 2ж + б;
-4<ж < -2,
ж > 1;
-2 <х < 1,
-ж2 - χ + 2 + ж + 4 < ж2 + 2х + 6:
6 < χ < -4:
-2 <ж < 1,
ж2 + χ > 0:
значит, χ G [-2; -1] U [0; 1).
Объединяя все три результата в совокупность, получаем ответ.
Ответ. [-6;-l]U [0;+оо).
2 <х < 1,
ж < -1,
χ >0;
Задача 4- (Физ-96(2).3)
Решить неравенство -1 < |ж2 -9| < 27.
Идея. Раскрыть модуль через геометрический смысл.

462
Указания и решения
Указание. С учётом неотрицательности модуля исходное неравенство
равносильно неравенству \х2 — 9| < 27.
Указание. С учётом геометрического смысла модуля неравенство \х2 — 9| < 27
равносильно неравенству — 27 < ж2 — 9<27.
Решение. С учётом неотрицательности модуля исходное неравенство
равносильно неравенству \х2 — 9| < 27, которое раскрываем через геометрический смысл
модуля:
-27 < χΔ - 9 < 27
-18 < χΔ < 36
χΔ < 36
-6<х < 6.
Ответ. (—6;6).
Задача 5. (Экон-90.2)
Решить уравнение \/25 + \16х2 — 25| = 4 + 4|х + 1|.
Идея. С учётом неотрицательности правой части возвести уравнение в квадрат,
после чего раскрыть модули через точки смены знака.
Указание. Так как обе части уравнения неотрицательны, то можно возвести
их в квадрат:
25 + \16xz
251
16 + 16(ж + 1)2 + 32|ж + 1|
Указание. Полученное уравнение удобно решать, раскрывая модули через точ-
5
ки смены знака подмодульных функций (х = ± -, χ = — 1).
Решение. В силу неотрицательности правой части уравнения оно равносильно:
25 + \16х2 - 25| = 16 + 160 + !)2 + Щх + 1| ^^
<^^ \16х2 - 25| = 16х2 + 32х + 7 + 32\х + 1|.
Раскрываем модули по определению:
16х2-25
х+1
-5/4
+
-
-1 5/4 χ
- - +
- + +
1) {Х< 4'
16ж2 - 25 = 16ж2 + 32ж + 7 - 32ж - 32;
ж <
0 = 0;
4'
ж <
4'
2) < 4-χ<_1'
25 - 16х2 = 16х2 + 32ж + 7 - 32х - 32;
( 5
—4<х<-1,
,5
х = ±4;
з) < ■1^а:<4'
25 - 16ж2 = 16ж2 + 32ж + 7 + 32ж + 32;
-1<х<
4'
16ж2 + 32ж + 7 = 0;

10.1. Различные приемы раскрытия модулей...
463
-1<х<
4'
16 ±12
~Тб 5
4) *^4'
[ 16х2 - 25 = 16х2 + 32ж + 7 + 32ж + 32;
Объединяя все результаты, получаем ответ.
Ответ.
-оо;--
U
{4}-
64ж + 64 :
0;
Задача 6. (Геогр-99(1).3)
Решить уравнение ^/\х2 + 14ж + 47| -1 = |ж + 7| - 1.
Идея. Выделив полный квадрат под модулем в левой части уравнения и сделав
замену переменной, решить уравнение как иррациональное стандартным
алгоритмом.
Указание. Уравнение сводится виду:
у/\Ь2-2\ -1 =£-1, где t = \х + 7| > 0.
Указание. По стандартным алгоритмам возвести в квадрат и раскрыть модуль.
Решение. Преобразуем уравнение, выделив полный квадрат в левой части:
Vl(^ + 7)2-2|-l = \х + 7| - 1.
Сделаем замену t = \х + 7|, тогда получаем: \/|£2 — 2| — 1 = t — 1. Это уравнение
равносильно системе:
i|t2-2| = (t-l)2 + l,
yt> ι.
Так как (t — I)2 + 1 > 0 при всех t G Μ, то удобно раскрывать модуль через
геометрический смысл:
t2 - 2 = t2 - It + 2;
t"
-(t2-2t + 2);
I t > 1;
Возвращаясь к переменной х, получаем
t = 2;
t2 - t = 0;
£ > 1;
|x + 7| = l,
|x + 7| =2;
ж + 7 = ±1,
ж + 7 = ±2;
ί = 2;
t = 1.
ж G {-9;-8;-6;-5}.
Ответ. —9;
-6;-5.

464
Указания и решения
Задача 7. (BMK-OO(l).l)
Решить неравенство | \х2 — 8х + 2| — х21 > 2х + 2.
Идея. Последовательно раскрыть модули через геометрический смысл
равносильными переходами.
Замечание. Раскрытие модулей через точки смены знака более трудоёмко в
силу иррациональности корней подмодульного квадратного трёхчлена.
Указание. Неравенство равносильно совокупности:
х2 -8ж + 2| -х2 > 2ж + 2,
8ж + 2|
х2 <
-2ж-2.
Указание. Ещё раз раскрыть модули, используя геометрический смысл.
Решение. Раскроем внешний модуль через геометрический смысл:
8х-
8х-
■ х2 > 2х + 2,
х2 < -2х - 2;
8х-
8х-
■2| >х2
■21 <х2
2х-
2х-
Ещё раз раскрываем модули, используя геометрический смысл:
τ2 - 8х + 2 > х2 + 2х + 2,
ж2 - 8ж + 2 <
2ж-2;
с2 - 8ж + 2 > -х2 + 2ж + 2,
Ό2 - 8х + 2 < х2 - 2х - 2;
" ж < 0,
ж2 - Зж + 2 < 0,
Г ж2 - 5ж > 0, ^^
\ 6ж > 4;
"ж < 0
1 <х < 2
х>Ъ.
Ответ. (-оо;0]и[1;2]и[5;+оо).
|ж-1| |ж-3|
Задача 8. (М/м-00(1).1)
,р |ж-4|-
а) Решить неравенство - — . . .
J F |ж-3|-|ж-2| |ж-4|
Идея. Умножить обе части неравенства на сопряжённую в смысле разности
квадратов в левой части дробь и снять оставшиеся модули через возведение в
квадрат или геометрический смысл.
Указание. Умножив обе части неравенства на положительную дробь
\х - 4| + \х - 1| (х - 4)2 -(х- I)2 \х - 4| + \х - 1|
получаем:
' (х - З)2 -(х- 2)5
<
Указание. После ряда эквивалентных преобразований приходим к
неравенству:
|ж-1|>2|ж-4|, χ φ Α, χ φ^,
которое легко решается возведением обеих частей в квадрат.
Замечание. Конечно, можно решать исходное неравенство раскрытием
модулей по определению, но тогда придется рассматривать пять случаев.

10.1. Различные приемы раскрытия модулей...
465
Решение. Умножим обе части неравенства на заведомо положительную дробь
\х _ 4| + \х — 1|
, после чего получим:
х-
X
(х - 4)2 -(х- I)2 \х_
■4| + |ж-1|
(х - З)2 -(х- 2)2
(х - 4 - χ + 1)(ж - 4 + ж - 1)
(ж-3-ж + 2)(ж-3 + а;-2)
<1 +
|ж-И
3(2ж - 5)
(2х - 5)
< 1
Возводя обе части неравенства в квадрат, получаем:
(х - I)2 - (2х
>0,
(х- 1 -2ж + 8)(ж
1 + 2ж-
>0,
(ж-7)(ж-3) <0,
3 < ж < 7,
Ответ. (3;4)U(4;7).
Задача 9. (Почв-00.4)
Решить систему уравнении <^ 2ж - i/l + Зж = 6
ний на координатной плоскости (х,у).
и изобразить множество реше-
И дея. Найти значения переменных аналитическим путём, после чего построить
соответствующие точки на координатной плоскости.
Указание. Раскрыть модули в уравнениях через геометрический смысл и
переписать исходную систему в совокупность условий.
(х <2,
Указание. Система преобразуется к виду: <
у = Зх — б,
у = 6-ж,
у = Ъх — б,
у = 6 - х]
Указание. Далее рассмотреть четыре случая.
Решение. Раскроем модули в обоих уравнениях через геометрический смысл:

466
Указания и решения
\х — у\ = 6 — 2х,
\2х - у\ = 6 - Зж;
(б-2ж>0,
χ — у = 6 — 2х\
χ — у = 2х — 6;
6 - Зж > О,
2ж — у = б — Зж;
2х — у = Зх — 6;
Отсюда получаем четыре случая:
1)
ж < 2,
2/ = Зх — 6,
2/ = Ъх — 6;
ж < 2,
2) { у = Зх - 6,
2/ = 6 - х;
3) <
4) {
χ < 2,
2/ = 6-ж,
2/ = 5ж — 6;
χ < 2,
2/ = 6-ж,
2/ = 6 - ж;
2/
-6;
ж
I Ж
(у
и
[У
<2,
= 3,
= 3;
= 2,
= 4;
х <2,
2/ =
= 6 — ж;
Нб
-4θ
АШ; 6)
(χ <2,
2/ = Зх — 6;
2/ = 6 - ж;
2/ = Ъх — 6;
2/ = 6 - ж;
6 χ
решение (2; 4) входит в семейство ж < 2, у = 6 — ж, то есть (£; б — t), где 2 > t Ε Μ.
Геометрически на координатной плоскости решения системы изображаются
точкой (0; —6) и лучом у = 6 — χ с началом в точке (2; 4).
Ответ. (0; -6), (£; 6 - t), где £ < 2, £ Ε :

10.1. Различные приемы раскрытия модулей...
467
Задача 10. (ИСАА-99.5)
Решить неравенство
л/ж2 - 6 - 3
1
> 1.
Идея. Рассмотреть два случая в соответствии с вариантами знака знаменателя.
Указание. Неравенство равносильно совокупности:
χ < — 3 или χ > 5,
Vx2 - 6 > \х-1\ -1;
-3 < χ < 5,
л/
or
■6 < |ж-II
1.
Указание. С учётом ОДЗ рассмотреть два случая для каждой из полученных
систем. При этом модуль снимается однозначно в каждом случае, а полученные
неравенства с радикалами легко решаются.
Решение. Рассмотрим два случая, в зависимости от знака знаменателя:
1|_>4, ' ' Ж>5,
6-3 > |ж-II
1} Ϊ л/^
■4;
χ <
л/ж2"
■6 > |ж-II
1.
Далее рассматриваем две области по χ отдельно. При этом в каждом случае
подкоренное выражение положительно, правая часть неравенства положительна и
модуль снимается однозначно
2)
{
.{
|х-
л/х
χ > 5,
л/х2 -
X < -
л/х2 -
6>
з,
6>
-1|<4,
2-6-3<
χ —
-ж,
\х-
2;
-1
χ > 5,
х2 - 6 > х2 - Ах -
χ < —3,
х2 - 6 > х2;
-3 < χ < 5,
χ > 5.
л/х2 - 6 < |ж-II
1.
С учётом ОДЗ получаем две области по ж, на каждой из которых правая часть
неравенства положительна и модуль снимается однозначно:
{
-3 < χ < -л/б,
л/х2 — 6 < —χ;
л/β <х < 5,
\Jx2 — 6 < ж — 2;
-3 < ж < -л/б,
ж2 - 6 < ж2;
Ответ. (-3;-л/б] U
л/б;
{
U(5;+oo)
л/б <ж < 5,
х2 - 6 < х2 - Ах -
-3<х< -л/б,
л/6 <ж <2,5.
Задача ϋ. (ΒΜΚ-98(1).2)
а) Решить неравенство \у/х — 4 — 3| > |л/9 — χ — 2| + 1.

468
Указания и решения
Идея. Учитывая ОДЗ, снять один модуль, а второй модуль раскрыть через
геометрический смысл.
Указание. Заметим, что на ОДЗ (χ Ε [4; 9]) выражение, стоящее под первым
модулем, всегда отрицательно. Поэтому левый модуль однозначно снимается со
знаком минус:
|л/9-х - 2| < 2 - л/ж -4.
Указание. Модуль в получившемся неравенстве лучше снимать, используя
геометрический смысл модуля:
у/9-χ - 2 > у/х-А - 2,
у/9-χ - 2 < 2 - у/х-4;
Решение. Заметим, что на ОДЗ (χ Ε [4; 9]) выражение, стоящее под первым
модулем, всегда отрицательно. Поэтому левый модуль снимаем однозначно со знаком
минус:
\V9-x - 2| < 2 - Vx -4.
Модуль в получившемся неравенстве снимаем, используя геометрический смысл
модуля:
л/9 - χ - 2 > ^х ~ 4 - 2, Г л/9 - ^ > л/ж - 4,
л/9-ж - 2 < 2 - л/ж -4; ^^ 1 л/9 - ж + л/ж - 4 < 4;
9-ж >ж-4, ( χ < 13/2,
9-ж + ж-4 + 2 л/9 - хл/х ~ 4 < 16; ^^ 1 л/9 - ж л/ж - 4 < 11/2;
~ {^ЛзЛ/2265/4>0; ~ 4<х<13/2,
так как дискриминант уравнения D = 132 — 265 < 0, поэтому неравенство
выполняется для всех х.
Ответ.
4;^
' 2
Задача 12. (Геогр-78.5)
а) Найти все значения параметра а, для каждого из которых существует только
одно значение ж, удовлетворяющее системе уравнений
ί \х2 - Ъх + 4| - 9х2 - Ъх + 4 + 10ж|ж| = О,
\х2 - 2(а - 1)х + а(а - 2) = 0.
Идея. Решить первое уравнение путём раскрытия модулей через точки смены
знака и сопоставить с решениями второго уравнения при всех возможных
значениях параметра.
Указание. Первое уравнение от параметра не зависит и решается
привычной схемой раскрытия модулей по определению на промежутках знакопостоянства
подмодульных выражений.
Указание. Решая уравнение с параметром как квадратное по независимой
переменной ж, находим: χ = а — 2 или χ = а.

10.1. Различные приемы раскрытия модулей...
469
Указание. Исходная система равносильна:
ίχ = — 1 или 1 < χ < 4,
χ = а — 2 или χ = а.
Эта система должна по условию иметь только одно решение, что выполняется,
соответственно (анализируя расположение рассматриваемых чисел),
ία-2 < 1, ίΐ <α-2 < 4,
при α = — 1 или < или <
|ΐ<α<4; |α>4.
Решение. Рассмотрим уравнения по отдельности.
1) \х2 - Ъх + 4| + 10ж|ж| - 9ж2 - 5ж + 4 = 0;
раскрываем модули через точки смены знака:
ч (х < 0, (х <0, _
а^ [ж2 - Ъх + 4 - 10ж2 - 9ж2 - 5ж + 4 = 0; ^^ \9ж2 + Ъх - 4 = 0; ^^ Ж ~ "
0 < ж < 1,
ж>4, ^^
б)
0 <ж < 1,
^ > 4, ^^ ж = 4.
^ж2 - Ъх + 4 + 10ж2 - 9х2 - Ъх + 4 = 0; [ж2 - 5ж + 4 = 0;
, (1 <х < 4, fl <ж <4,
Bj \-ж2 + 5ж - 4 + 10ж2 - 9х2 - Ъх + 4 = 0; ^^ \0 = 0; ^^ - Ж <
соответственно, получаем: χ = — 1 или 1 < ж < 4.
2) ж2 — 2(а — 1)х + а(а — 2) = 0; решаем как квадратное относительно х:
D1 = (a- I)2 - а(а - 2) = а2 - 2а + 1 - а2 + 2а = 1,
то есть χ = а — 2 или ж = а.
Тогда исходная система принимает вид:
J χ = — 1 или 1 < ж < 4,
I ж = α — 2 или χ = α;
ьы.
V///////////////////////J
-1 1 4
эта система по условию задачи должна иметь только одно решение. Анализируя
расположение всех задействованных точек на координатной оси при движении
числа α вдоль неё, получаем:
α < — 1 - нет решений;
α = — 1 - одно решение;
— 1 < α < 1 - нет решений;
α = 1 - два решения;
а>1,но а — 2 < 1 - одно решение;
а — 2>1,ноа<4- два решения;
а>4,ноа — 2<4- одно решение;
α — 2 > 4 - нет решений;

470
Указания и решения
значит, нас устраивают три случая:
ία-2<1, (а-2<4,
а = — 1 или < или <
(а > 1; (а > 4;
откуда получаем: а = — 1 или 1 < α < 3 или 4 < а < 6.
Ответ. {-1}U(1;3)U(4;6].
Замечание. В приведённом решении рассмотрено число решений системы при
всех возможных значениях параметра, что в данном случае излишне. Это было
сделано для того, чтобы показать как исследовать вопрос о количестве решений
в аналогичных задачах.
Задача 13. (Геол-86.5)
а) Для каждой пары положительных чисел а и Ъ найти решение неравенства
1 1
-г: о >
1 1
Идея. Возвести обе части неравенства в квадрат и решить получившееся
неравенство с учётом выявленных необходимых условий.
Указание. В силу неотрицательности обеих частей, неравенство равносильно
11112
х2 а2 х2 Ъ2 Ьх'
1 а2 + Ъ2
Указание. Неравенство приводится к виду: — > ^—-, то есть χ > 0, после
χ 2azb
2а2Ъ
чего получаем, что фактически 0 < χ < —ζ -т.
аг + Ьг
Решение. В силу неотрицательности обеих частей неравенства оно равносильно:
11112 2 а2 + Ъ2
Ьх а2Ъ2
, „ 1 а2 + Ъ2 ^
но о > 0, поэтому находим: — > ^-— > 0, откуда χ > 0 и окончательно:
χ 2azb
2a2b
U < χ < -г, г^" ПРИ всех положительных а и о.
а1 + о1
2а2Ъ
Ответ. Va > 0, \/Ь > 0 0 < χ < — — .
az + bz
Задача Ц. (ВМК-95(1).4)
а) Для каждого значения а решить неравенство \х + 2аI < —.
χ
Идея. Перейти к равносильной системе неравенств, раскрыв модуль через
геометрический смысл, в которой использовать необходимое условие
положительности правой части исходного неравенства для перехода к системе квадратных
неравенств.

10.1. Различные приемы раскрытия модулей...
471
Указание. Исходное неравенство при условии χ > 0 равносильно системе:
Каждое из этих неравенств является квадратным и решается стандартным
алгоритмом.
Указание. Для выяснения расположения корней квадратных трёхчленов на
числовой оси удобно рассмотреть контрольные значения параметра а = ±1 и
соответствующие им промежутки.
Решение. Из неравенства следует, что решения могут быть только при χ > 0,
поэтому все дальнейшие рассуждения будем вести на этом луче. Поэтому исходное
неравенство равносильно системе:
1 f
Х + 2а~х' . * \x2jr2ax-l <0, Όχ = α2 + 1,
χ + 2α >
χ
Ι [χ2 + 2αχ + 1 > 0, Όχ = α2 - 1;
χ'
решением первого неравенства системы Va G Μ будет отрезок
л/а2 + 1 < χ < -а + л/а2 + 1,
но так как ж > 0, то в системе останется 0 < χ < — а + л/а2 + 1;
для второго неравенства:
1) a = ±1, Ό\ = 0, поэтому левая часть сворачивается в полный квадрат. Значит,
χ Ε М, то есть все χ > 0 являются решениями;
2) — 1 < а < 1, .Di < 0, левая часть не имеет корней, то есть неравенство
выполнено ViGM, значит, все χ > 0 являются решениями;
3) а < — 1 или а > 1, .Di > 0, корни х\ = —а — л/а2 — 1 и Х2 = — а + \/^2 — 1;
решением неравенства будет χ < х\ или χ > Х2 на луче χ > 0.
Заметим, что при а > 1 χ ι < ^2 < 0, то есть на луче χ > 0 из χ < х\ или χ > Х2
останется решение χ > 0; тогда как при а < — 1 0 < χ ι < Х2, то есть на луче
χ > 0 решением останется 0 < χ < х\ или χ > Х2 ·
Пересекая решения первого и второго неравенств системы, получаем:
при а > — 1 0 < χ < — a + \/«2 + 1;
учитывая, что при а < — 1 имеет место порядок:
0 < -а - \/а2 - 1 < -а + \Л*2 - 1 < -а + \/«2 + 1,
получаем при а < — 1
0 < χ < -а - \/а2 - 1,
- а + \/а2 - 1 < х < -а + \/а2 + 1.
Ответ. Если а < — 1, то χ Ε (0; —а — \/&2 — 1] U [—а + \/&2 — 1; — о* + Vet2 + 1];
если а > — 1, то χ Ε (0; —а + \/«2 + 1] ·

472
Указания и решения
10.2. Раскрытие модулей в тригонометрических уравнениях
Задача 1. (ЕГЭ)
Решите уравнение cos2 χ + 0, 5| cosx| · sin ж = 0.
Идея. Раскрыть модуль по определению и решить получившиеся уравнения
разложением на множители и расщеплением.
Указание. После раскрытия модуля по определению и вынесения cos x за
скобки, получаем два уравнения. Второе уравнение лучше решать как однородное
уравнение первой степени.
Решение. 1) При cos χ > 0 уравнение принимает вид:
2 cos χ + cos χ · sin x = 0
cos x(2 cos χ + sin χ) =0
cos ж = 0,
tgz = -2;
отбираем корни, удовлетворяющие условию cos ж > 0:
π
χ = — + πη, η G Ζ или ж = — arctg2 + 2πτη, m G Ζ.
2) При cos ж < 0 уравнение принимает вид:
2 cos ж — cos χ · sin ж = 0
cosx(2cosx — sin ж) = 0
cos ж = 0,
t£x = 2;
условию cos ж < 0 удовлетворяет только χ = arctg2 + π + 27г/с, /с Ε
Объединяя результаты, получаем ответ.
7Г
Ответ. — + πη, arctg 2 + π + 2πτη, — arctg 2 + 2nk; η, πι, к Ε Ζ.
Задача 2. (Экон.К-77.1)
cosx
Решить уравнение 2 = I cos^| ·
(χ + |)2
Идея. Раскрыть модуль, предварительно исследовав знаки всех множителей
в разных частях уравнения, после чего решить квадратное уравнение с отбором
корней.
Указание. Правая часть всегда неотрицательна, знаменатель в левой части
всегда положителен, поэтому, в силу равенства обеих частей, числитель дроби
в левой части тоже неотрицателен.
Указание. За счёт неотрицательности косинуса в числителе дроби модуль сни-
cosx
мается и уравнение переписывается в виде: 2 = cos ж, где cos ж > 0.
(* + §)
Это уравнение легко решается разложением на множители и расщеплением.

10.2. Раскрытие модулей в тригонометрических...
473
Решение. Правая часть всегда неотрицательна, а знаменатель в левой части
положителен. Поэтому для выполнения равенства необходимо, чтобы и числитель
дроби был неотрицателен, то есть cos χ > 0, а это позволяет снять модуль в
уравнении:
cos ж
к = cos ж.
(* + §)
Решая это уравнение, получаем два случая:
+ πη, η G Ζ;
2)
cos ж > 0;
χ = —
χ = —
cos ж > 0
5
2'
1
2'
О'
2' 2
■ πη, η G Ζ.
Задача 3. (Почв-77.3)
Решить уравнение | smx\ = sin ж + 2 cos ж.
Идея. Рассмотреть два случая раскрытия модуля по определению и решить
тригонометрические уравнения в каждом случае.
Указание. Снимая модуль по определению, получаем два случая:
sin ж > 0, Г sin ж < 0,
ел или Л ел
cos ж = 0; sinx + cosa; = (J.
Решение. Раскрывая модуль по определению, получим два случая:
1)
2)
sin ж > 0,
sin χ = sin χ + 2 cos x;
sin ж < 0,
sin ж > 0,
cos ж = 0;
sin ж < 0,
sin χ + cos x
π
■ 2πη, η G Ζ;
- sin ж = sin ж + 2 cos ж; ] sinx + cosa; = 0
разделив последнее уравнение на sin ж ^ 0, получаем:
J sin ж < 0,
ctgx
π
1;
+ 2πτη, τη G
Ответ. Κ2πη, — —+ 2πτη: η, πι G
2 4
Задача 4- (Почв-99(1).2)
Решить уравнение

474
Указания и решения
Идея. Раскрыть модуль по определению или через его геометрический смысл.
Указание. Раскрывая модуль по определению, получаем:
1
cos ж > -,
- 2'
1 1
cos ж = smi ;
2 2'
или <
COS Ж <
1
2'
1 1
cos ж Η— = $тх ;
2 2'
в каждом из случаев уравнение решается стандартными приемами для
тригонометрического уравнения.
Решение. Раскрывая модуль по определению, получаем два случая:
1)
2)<
1
cos ж > -,
- 2'
1 1
cos ж = sin ж ;
2 2'
1
cos ж < -,
2'
1 1
— cos ж Η— = sin ж ;
2 2'
1
cos ж > -,
- 2'
tea; = 1;
cos χ < -,
2'
I cos ж + sin ж = 1;
■ 2πη, η G Ζ:
cos ж <
V2
COS Χ
cos ж < -,
2'
π π
χ = — ± — + 2πτη, m G Ζ:
4 4
cos ж <
2πτη, τη G Ζ,
ж = 27г/с, /с G Ζ;
<^> ж = — + 2πτη, m G Ζ.
7Г 7Г
Ответ. —+2πη, Κ2πτη: n,mGZ.
4 2
Задача 5. (Псих-89.2)
Решить уравнение
C0S 2"5
5 cos χ + 1.
Идея. Свести уравнение к линейному тригонометрическому уравнению с
модулем, применив формулу понижения степени.
Указание. Применив формулу понижения степени, получим уравнение:
|5cosx + 1| = 10 (5cosx + 1),
которое легко решается, если ввести замену t = 5 cos ж + 1.
Решение. Сначала понизим степень уравнения:
C0S 2"5
5 cos χ + 1
\С08Х + То
5 cos χ + 1
|5cosx + 1| = 10 (5 cos ж + 1),

10.2. Раскрытие модулей в тригонометрических...
475
то есть \t\ = 10t, где t = 5 cos ж + 1. Раскрывая модуль через геометрический
смысл, находим, что единственным решением этого уравнения является t = 0, то
есть
cos ж
χ = ± arccos
■ 2πη = π ± arccos —h 2πη, η Ε Ζ.
5
Ответ, π ± arccos —\- 2πη, η Ε Ζ.
5
Задача 6. (Почв-97.3)
Решить уравнение 2 sin ж
I Sin XI
COS Ж
0.
Идея. Перенеся дробь в правую часть, раскрыть модуль по определению.
Указание. Уравнение 2sin x
sin ж > 0,
2 sin2 x =
sin χ
или
cos χ
sin χ < 0,
2 sin2 x =
равносильно совокупности:
smx
ν cos χ ν cos χ
которая решается стандартными способами.
т-, Л · 2 smx
Решение. 2sin χ =
cos χ
случая:
sin χ > 0,
1) ^ 2 sin2 χ cos χ = sin x, <=
cos χ τ^ 0;
. Раскрывая модуль по определению, получаем два
2)
sinx < 0,
2 sin2 χ cos x
smx;
π
sinx > 0,
sinx = 0,
sin2x = 1;
sinx < 0,
sin2x = — 1;
Ответ. ±—+2πη,πτη; η,τηΕΖ.
χ = πτη, га Ε Д
π
χ = — + 2πη, η Ε Ζ;
+ 2тг&, fc Ε
Задача 7. (Геол.ОГ-76.3)
Найти все решения уравнения
II — cosxl
1 — cos x
sin χ = 4 sin χ cos χ.
Идея. С учётом области определения уравнения и области значений
косинуса раскрыть модуль и перейти к совокупности простейших тригонометрических
уравнений.
Указание. Из ОДЗ следует, что cos χ ^ 1 и за счёт области значений косинуса
1 — cosx > 0, то есть модуль в уравнении снимается.
Указание. Уравнение равносильно совокупности: sin χ = 0 или sin 2x = -, где
cos χ φ 1.

476
Указания и решения
Решение. Поскольку знаменатель дроби не должен равняться нулю, то в данном
уравнении cos ж φ 1, однако, так как cos ж < 1 по области значений, то модуль
всегда раскрывается с плюсом, то есть уравнение переписывается в виде:
sin ж = 4 sin ж cos ж,
cos ж φ 1;
sin ж = О,
sin 2х
cos ж φ 1;
1
χ = 7г/с, k Ε Ζ,
[χ φ 2πτη, m Ε Ζ;
7Г 7Г77/
значит, окончательно получаем: χ = π + 27г/с или ( — 1)η 1 , /с, η Ε Ζ.
7Г 7Г77/
Ответ. π + 2ττ/ί;, (-1)η—+ —; Μ Ε Ζ.
Задача 8. (Биол-98.3)
Решить уравнение \Λ — cos 2ж = \/2 sin ж I cos x
Идея. Применить в левой части формулу косинуса двойного угла и раскрыть
возникший модуль по определению.
( 2%
Указание. Уравнение приводится к виду: | sin x\ = sin x cos x
3/'
чего решается раскрытием модуля по определению.
Указание. Раскрывая модуль по определению, приходим к совокупности:
sin ж > О,
sin ж = О,
5
cos ж = -;
sin ж < О,
cos ж
Решение. Применив к левой части формулу косинуса двойного угла, получаем:
2N
1 — (1 — 2 sin2 χ) = V2 sin χ ( cos χ
sin ж = sin ж cos ж
Раскрывая модуль по определению, получаем два случая:
sin ж > О,
2N
1)
2)
sin ж > О,
sin χ = sin χ ι cos x
sin ж < О,
sin ж = О,
5 .
cos ж = - > 1;
о
sin ж < О,
χ = πη, η Ε Ζ;
■sinx = sin χ cos χ
ЗУ'
1
з;
arccos I — - J + 2πk, к Е Ζ.
Ответ, πη, — arccos ( — J + 2nk; η, к Е

10.2. Раскрытие модулей в тригонометрических...
477
Задача 9. (Почв-91.3)
Решить уравнение \/2cos ίχ -\- — ) — sin ж = | cosx|.
Идея. Применить формулу косинуса суммы углов и раскрыть модуль по
определению.
Указание. Формула косинуса суммы:
cos (а + β) = cos a cos β — sin a sin β,
за счёт её применения уравнение преобразуется к виду:
cos χ — 2 sin x = I cos x\.
Указание. Полученное уравнение решать, раскрывая модуль по определению.
Решение. Применив формулу косинуса суммы углов, уравнение преобразуется
к виду:
cos χ — 2 sin x = I cos x\.
Раскрывая модуль по определению, получаем два случая:
_ |cosx>0, |cosx>0, ^ ι ι Г77
I cos ж — 2 sin x = cos ж; I sin χ = ϋ;
. Jcosx<0, Jcosx<0, Jcosx<0,
1 cos ж — 2 sin ж = — cos ж; [sina; = cosa;; [tgx = l;
<^> χ = —-—h 2πτη, τη G Z.
3π
Ответ. 2πη, —— + 2πτη: n.meZ.
4
Задача 10. (Экон-95.2)
т^ \ \ Гл ( COS Ж \
Решить уравнение 2 sin χ + v31offfo.^ — г =0.
11 tgx \ I sinx|y
Идея. Раскрыть модули за счёт области определения входящих функций и
перейти к простейшему тригонометрическому уравнению с отбором корней.
Указание. Область определения уравнения задаётся условиями:
sin ж .
tgx = > 0, tgx ψ Ι,
cos ж
cos ж
г > 0, sin ж ψ 0;
| sinx|
из которых получаем: cos ж < 0, sin χ < 0, tgx φ 1, что позволяет сразу
раскрыть входящие модули.

478
Указания и решения
Указание. Уравнение равносильно системе:
iv^bgtg^ctgx = 2sinx,
1 sin ж < 0, cos ж < 0, tgx т^ 1>
л/3
" 2 '
sin ж
sin ж < 0, cos ж < 0, tgx т^ 1.
Решение. Область определения:
sin ж
tgx
cos ж
>0, tgx^l,
cos ж
I sinxl
> 0, sin ж φ 0;
из второго неравенства получаем, что cos ж < 0, тогда из первого следует, что
sin ж < 0. Значит, sin ж < 0, cos ж < 0, tgx Φ 1, что позволяет записать исходное
уравнение без модулей:
Л . /-. COS Ж
-2smx + v31ogt — = 0
\/3 logt x ctg ж = 2 sin:
sin ж
л/з
2
то есть χ = — — + 2πη или ж = — —- + 2πτη; п,т G Ζ. Согласно области
о о
определения нас интересуют углы третьей четверти. Поэтому χ = \- 2πτη,
о
771 G Ζ.
Ответ.
2π
+ 2πτη, 777 G Ζ.
Задача 11. (Экон-97.1)
Решить систему уравнений
sin ■
7Г(Ж + у)
1 — sin
π(χ - у)
.V4-
\у + 2\ = у/4-\х\-\у + 2\
Идея. В первом уравнении воспользоваться тем, что сумма модулей всегда
неотрицательна, а из второго уравнения остаётся только ОДЗ.
Указание. Так как сумма модулей всегда неотрицательна, то первое уравнение
равносильно системе двух уравнений:
. 7Г(> + У)
Sill ;
. 7Г(Х-У)
0, sin -
1.
Второе уравнение обращается в верное равенство всюду на области определения.
Указание. Из тригонометрических уравнений получаем:
χ = 1 + 2n + 4fc, n,k G Z,
у = х-2-8к, к G Z,
Js| + |2/ + 2|<4.
Указание. Из первого равенства следует, что χ — нечётное целое число, а из
неравенства следует, что χ G [—4; 4]. Поэтому возможны только χ = —3; —1; 1;3.
Рассмотреть по очереди эти четыре случая.

10.2. Раскрытие модулей в тригонометрических...
479
Решение. Так как сумма модулей всегда неотрицательна, то система
равносильна следующей:
( . 7г(ж + 2/)
1 sin —
о,
. тг(х-у) <
sin—^ = 1,
[4-|ж|-|2/ + 2|>0;
χ + у = 4n, η Ε Ζ,
ж-2/ = 2 + 8fc, k Ε Ζ,
|ж| + |2/ + 2|<4;
ж = 1 + 2n + 4fc, n,fc Ε Ζ,
у = х-2-8к, к Ε Ζ,
|ж| + |2/ + 2|<4;
Из первого равенства следует, что ж — нечётное целое число, а из неравенства
следует, что ж Ε [—4; 4]. Поэтому возможны только χ = — 3; — 1; 1;3. Рассмотрим
по очереди эти четыре случая:
!) <
2) <
3) {
у=-Б-8ку к Ε Ζ,
|2/ + 2|<1;
ж = —1,
2/ = —3 — 8fe, к Ε Ζ,
|2/ + 2|<3;
ж = 1,
2/ = —1 — 8fe, к Ε Ζ,
|2/ + 2|<3;
)ж = 3,
2/ = 1 - 8fc, к Ε Ζ, Φ=
|2/ + 2|<1;
Ответ. (1;-1), (-1;-3).
χ = —ό,
г/ = —5 — 8fe, к Ε Ζ,
—3 < у < —1;
ж = —1,
2/ = —3 — 8fe, /с Ε Ζ,
-5 < у < 1;
χ = 1,
2/ = —1 — 8fe, /с Ε Ζ,
-5 < 2/ < 1;
χ = 3,
2/ = 1 - 8fc, /с Ε Ζ, 4
-3 < 2/ < —ΐ;
ж =
У =
ж =
У =
-ι,
-3;
1,
-i;
Задача 12. (Геол-99.5)
Решить уравнение
| ctg2 2х + 8v/-ctg2x - 3| = | ctg2 2ж - 8v/-ctg2x - 3|.
Идея. Перейти к равносильному уравнению путём возведения обеих частей
неравенства в квадрат.
Замечание. В принципе, можно выбрать любой из двух подходов:
а) уравнение |/(х)| = \д(х)\ равносильно уравнению: f2(x) = д2(х), то есть
(f(x)-g(x))(f(x)+g(x))=0;
б) уравнение |/(х)| = \д(х)\ равносильно совокупности:
f{x) = д{х) или f{x) = -д{х).
С точки зрения универсальности применения, в том числе и для неравенств,
которые при разложении на множители эффективно решаются методом
интервалов, предпочтительнее первый подход, который и положен в основу идеи решения.

480
Указания и решения
Указание. Уравнение |/(х)| = \д(х)\ равносильно уравнению f2(x) = д2(х), то
есть (f(x) - g{x)){f{x) + g(x)) = 0.
Указание. После разложения на множители по формуле разности квадратов
уравнение принимает вид:
xj- ctg 2х · (ctg2 2х - 3) = 0.
Указание. Последнее уравнение решается расщеплением с учётом области
определения: ctg2x < 0.
Решение. Так как обе части уравнения неотрицательны, то его обе части можно
возвести в квадрат:
I ctg2 2х + 8v/-ctg2x - 3J = (ctg2 2х - 8v/-ctg2x - 3
Раскладывая по формуле разности квадратов, получаем:
16v/-ctg2x · (2 ctg2 2x - б) = 0.
Расщепляя это уравнение, получаем:
ctg2x = 0,
ctg2 2x = 3, ^^
ctg2x < 0;
7Г
2х = \- 7г/с, /с G Z,
2
5π
2ж = h 7гп, η G Ζ;
L 6
4+T'fcG
5π
12
πη
-, η G
π 7г/с 5π
Ответ. 1 , —
4 2 ' 12
πη
k,n e ζ.
Задача 13. (Хим-96.5)
Решить уравнение |1 + cosn^/x\ + |ж2 — \Ъх + 441 = \Ъх
cosn^/x — 45.
Идея. Заметив, что в правой части стоит сумма подмодульных выражений левой,
взятых со знаком минус, перейти к соответствующей равносильной системе без
модулей.
Указание. Переписать уравнение в виде:
1| + \х2 -15ж + 44|
(cos тгл/ж + 1) - (х2 - 15ж + 44)
-f(x) — g(x) равносильно системе:
и перейти к равносильной системе условии.
Указание. Уравнение вида \f(x)\Jr\g(x)\
/(ж)<0, д(х)<0.
Решение. Перепишем уравнение в виде:
|со8тгл/ж + 1| + \х2 - 15ж + 44| = -(со8тгл/ж + 1) - (х2 - 15ж + 44);
так как в правой части стоит сумма подмодульных выражений левой, взятых со
знаком минус, получаем равносильную систему:
cos π л/ж + 1 < 0,
х2 - 15ж + 44 < 0;
cos π л/ж = — 1,
А<х< 11;
л/ж = 3 <=
у/х = 2п + 1,
2 < у/х < л/И;
9.
Ответ. 9.

10.2. Раскрытие модулей в тригонометрических...
481
Задача 14. (ВМК-81.5)
Найти все решения уравнения | sin(2x — 1)| = cos ж, удовлетворяющие условию
\х\ <2тг.
Идея. Возвести обе части уравнения в квадрат с учётом дополнительных
условий равносильности, после чего понизить степени тригонометрических функций
по соответствующим формулам и решить тригонометрическое уравнение с
отбором корней.
Указание. Условие задачи равносильно системе:
cos2 χ,
sin2(2x- l)
cos χ > О,
\χ\ < 2тг.
Указание. Понижая степень в обеих частях уравнения по тригонометрическим
формулам, получаем: cos2x + cos (4x — 2) =0, где \х\ < 2π, cos ж > 0.
Указание. Финальный отбор решений эффективнее всего делать через
тригонометрическую окружность.
Решение. Возводя обе части уравнения в квадрат, с учётом дополнительных
условий равносильности получаем систему:
sin2(2x — 1) = cos2 ж,
cos ж > 0, <^>
\х\ < 2тг;
для основного уравнения получаем:
cos 2x + cos (4х - 2) = 0 <^=
Зх — 1 = Ь 7гп, η G
1 - cos(4x - 2) = 1
cos ж > 0,
\х\ < 2тг;
cos2x,
2 cos (Зх — 1) cos (χ — 1) = 0
+ πτη, πι G Ъ\
π 1 πη
6 + з + Т'
7Γ
nez,
1 + πτη, πι G Ζ.
5π/6+1/3

482
Указания и решения
Отметим все полученные серии на тригонометрической окружности, причём для
удобства обозначим соответствующие точки числами из промежутка [0; 2π]:
π Ι πη
• точки серии χ = 1 1 , η Ε L получаются из точек «стандартной»
6 3 3
7Г 7Г77/
серии χ = —| , η Ε Ъ сдвигом каждой из них (поворотом) по окружности
и о
в положительном направлении на угол
И*§)=
π
• точки серии χ = \- 1 + ππι, τη Ε Ζ получаются из точек «стандартной»
π /π πΝ
серии ж = —Ь 7Г7П, τη Ε Ζ сдвигом каждой из них на угол 1 Ε ( —; —
Δ \ 4 о /
учитывая условие cos ж > 0, требуется рассмотреть углы только I и IV четвертей;
из промежутка [0; 2π] подходят углы:
π 1 3π 1 3π 11π 1
б + з' Т + з' Τ ' ΊΓ + 3;
в соответствии с неравенством \х\ < 2π, то есть —2π < ж < 2π, в окончательный
ответ требуется записать в дополнение к перечисленным точкам их же,
уменьшенных на 2 π:
π 1 3π 1 3π Ik 1
6 + 3-27Γ'Τ + 3-27Γ'Τ + 1-27Γ'ΊΓ + 3-27Γ·
-π+ 2 3π + 2 ±π + 2 ±11π + 2 -3π + 2 9π + 2
Ответ. _^, ^_7 ^_, _ , _ , __.
10.3. Раскрытие модулей в показательных
и логарифмических уравнениях и неравенствах
Задача 1. (Экон.К-86.1)
-2ж+3
Решить уравнение 2'ж+1' = (у/2
Идея. Перейти к равенству для показателей степеней, которое решить, раскрыв
модуль через геометрический смысл.
Указание. Переписать уравнение в виде 2'ж+11 = 2^_2ж+3^/2 и перейти к
равенству для показателей степеней, которое решить, раскрыв модуль через
геометрический смысл.
Указание. Переходя к равенству для показателей степеней, получить
уравнение:
,, -2ж + 3
|* + 1| = 2 '
которое решить, раскрыв модуль, например, через геометрический смысл.
Решение.
2Ι*+ΐ| = (л/2)-2ж+3 ^ 2l*+1l = 2(-2ж+3)/2 ^ \х + 1| = ~2Ж + 3 ^

10.3. Раскрытие модулей в показательных...
483
-2ж + 3 > О,
х + 1
-2ж + 3
ж + 1
2 7
-2ж + 3
3
*<2'
ж =
2 =
1
4'
—3 - неверно.
Ответ.
Задача 2. (М/м-98(1).1)
Решить уравнение 22х — 2Х+2 +
2х
Идея. Рассматривая уравнение относительно показательной функции, раскрыть
модуль по определению и решить два квадратных уравнения с отбором решений.
Указание. Уравнение можно переписать в виде:
zz -Az-
7
+
1
О, где ζ = 2х > 0.
Указание. Раскрывая в полученном уравнении модуль по определению,
приходим к совокупности:
1
К
-2-5ζ +
1
г-з'
ζ2 - 3ζ + 2 = 0;
или
0 < ζ <
ζ2
0;
которая решается стандартными способами.
Решение. Введем новую переменную ζ = 2х > 0. Тогда уравнение перепишется
в виде:
■4г+ ■
7
1
0.
Раскрывая модуль по определению, получим два случая:
1
1)
2)
ζ >
ό
ζ2 - 3ζ + 2 = 0;
1
0 <ζ <
■5ζ+ ■
0;
ζ = 1,
ζ = 2;
{ 3ζ2-15ζ + 8 = 0:
15 ± V129
6 5
15
/129 15
> —
/144 1
так как
6 6
не попадают.
Возвращаемся к ζ = 2х:
> - , то оба найденных значения в 0 < ζ < -
2 3' 3
2* = 1,
2х = 2;
ж = 0,
х = 1.
Ответ. 0; 1.

484
Указания и решения
Задача 3. (М/м-93(1).1)
35ж
Решить неравенство 5
^ х)\х2+6х-1\
Идея. Перейдя от показательного неравенства к стандартному неравенству с
модулем, решить последнее через геометрический смысл модуля числа.
Указание. Неравенство переписывается в виде:
§ΐ-ψχ < 5|ж2+бж-1|
\хг + 6х- II > 1
35
"б"
-х.
Указание. Неравенство с модулем лучше решать через геометрический смысл.
Решение. Преобразовав левую часть, приходим к неравенству:
§ΐ-ψχ < 5|ж2+бж-1|
\х2 + 6х- II > 1 - —х.
6
Раскрываем модуль через геометрический смысл:
35
6х - 1 > 1
6х- 1 < -1
6
35
"б
■ж;
6х2 + 71ж - 12 > О,
6х2 + χ < 0;
χ < -12,
1
ж >
1
6'
< ж < 0.
Ответ. (-oo;-12)U ( --;0) U ί-;+оо
Задача 4- (М/м-97(2).1)
21 - 2Ж -26~х - 13-2*1
Решить неравенство ; : > 1.
F Б-\3-2Х\
Идея. Рассмотрев неравенство относительно показательной функции, раскрыть
модуль по определению.
Указание. Если ζ = 2х > 0, то неравенство молено записать в виде:
21 - ζ \z-S\
ζ > ι
5-|ζ-3|
после чего рассмотреть случаи ζ > 3 и ζ < 3.
Решение. Введем новую переменную ζ = 2х > 0. Учитывая чётность модуля,
неравенство перепишется в виде:
21 - ζ |2-3|
г i >1·
5-Ь-З

10.3. Раскрытие модулей в показательных...
485
Раскрывая модуль по определению, получаем два случая:
1) При ζ > 3 получаем:
64
21- ζ ζ + 3
2 >1
5-Ζ + 3
24ζ - 2ζ2 -64-8ζ + ζ2
z(S-z)
<^^ z-S >0
2) При ζ Ε (0; 3) получаем:
>0
24г - 2ζ2 - 64
ζ(8-ζ)
ζ2 - 16ζ + 64
> 1
ζ >
z-S
> 2х >
>0
64
21 -ζ + ζ-3
2 >1
18ζ - 64
>1,
(*■
ж > 3;
5 + ζ-3 _ ' ζ(ζ + 2)
но ζ (ζ + 2) > 0, поэтому неравенство эквивалентно следующему:
18ζ-64> ζ2 + 2ζ <^> ζ2-16ζ + 64<0 <^> (ζ - 8)2 < 0
Значит, нет решений при ζ Ε (0; 3).
Ответ. (3;+оо).
>0
ζ = 8.
Задача 5. (Почв-84.3)
Решить неравенство log2
1 + -
> 1.
Идея. Перейдя от логарифмического неравенства к неравенству с модулем,
раскрыть его через геометрический смысл.
Указание. Снимая логарифм, получить неравенство: 11 +
> 2, которое
проще всего решать, используя геометрический смысл модуля.
Решение. Снимая логарифм, получаем:
1
1 + -
х
> 2, что равносильно:
1 + - <-2,
χ
1 + - > 2;
χ
3<0,
1 >0;
Зж + 1
χ
1-х
L X
<о,
>0;
1
< χ < 0,
0<ж< 1.
О:
1
;0 U(0;1).

486
Указания и решения
Задача 6. (Физ-95(2).5)
Решить неравенство | log7 (χ + 2)| > 1.
Идея. Раскрыть модуль через геометрический смысл и решить два
логарифмических неравенства.
Указание. Неравенство равносильно совокупности:
log7(x + 2)>l;
log7(x + 2)<-l;
Решение. Раскрываем модуль через геометрический смысл:
решаемой стандартными способами.
О'
log7(x + 2)>l;
log7(x + 2)<-l;
13\
-2;-у) U (5;+оо).
χ + 2 > 7;
О <х + 2 < -;
χ > 5;
!3
2<ж<-у.
Задача 7. (Экон.К-85.2)
Решить неравенство ж log ι I χ) > |χ|.
Идея. Раскрыв модуль по определению, выйти на простейшее логарифмическое
неравенство с отбором решений.
Указание. Неравенство равносильно совокупности:
χ > 0, xlogi
1
χ 1 > χ:
χ < 0, xlog^ ( - — χ J > —ж.
Решение. 1) χ = О - решение.
χ > О,
2)
xlogi
χ > χ:
ж > О,
lQgi
ж > О,
1 1
-- < χ < -;
б - з'
О < ж <
ж < О,
3)
1
хз
1
3'
χ < О,
χ >1;
χ log ι ( - — χ ) > —χ;
f χ < О,
log j
χ <-1;
χ <
χ <
3'
Or
U
0;
1
χ > 0,
1 1

10.3. Раскрытие модулей в показательных...
487
Задача 8. (Геол-92.3)
Решить уравнение |3 log^ χ4 + 7 log7 2 · log2 x21
log, 49.
Идея. Рассмотрев уравнение относительно логарифма по постоянному
основанию, раскрыть модуль через геометрический смысл и решить совокупность двух
квадратных уравнений с отбором корней.
Указание. Используя свойства логарифмов, переписать уравнение в виде:
|12 + 141og7x|
log7x
Указание. Сделав замену ζ = log7x, раскрыть модуль через геометрический
смысл.
Решение. Используя свойства логарифмов, перепишем уравнение в виде:
|121оёж ж + 14 log7 ar| = -21оёш 7.
Введем новую переменную ζ = log7 x. Тогда уравнение примет вид:
Раскрываем модуль через геометрический смысл:
1
ζ
f
^ ζ
7ζ + 6 =
7ζ + 6 =
<0;
-
1
ζ
ΊζΔ-
Ίζ1-
ζ<0;
Возвращаясь к логарифму, получаем:
-3±λ/2
6ζ + 1 = 0;
6ζ-1= 0;
-3±λ/2
7
-1.
log7x
log7x
7
-3±V2
7^"
x=-r
^3±V2 1
Ответ. 7 7 · -
7
Задача 9. (Экон.М-99.1)
Решить неравенство log1+|7a.+17|(|3x + 8| + \7х + 17|) < 1.
Идея. По определению логарифма перейти от логарифмического неравенства
к неравенству с модулями и воспользоваться геометрическим смыслом модуля.
Указание. Основание логарифма всегда не меньше единицы, поэтому при
снятии логарифма знак неравенства сохранится.
Указание. Неравенство равносильно системе:
|3ж + 8| + \7х + 17| < 1 + |7ж + 17|, χ φ
17

Указания и решения
Решение. Учитывая, что \7х + 17| > 0, получаем, что основание логарифма не
меньше единицы, поэтому неравенство равносильно системе:
Г |Зж + 8| + |7ж + 17|<1 + |7ж + 17|,
\ 1 + |7ж + 17| ф\\
Раскрываем модуль через геометрический смысл:
Ответ.
о 17\ . . / 17 7
-3<ж<
7
3'
Задача 10. (ВМК-70.2)
Решить уравнение |1 — log ι χ\ + 2 = 13 — logi x\.
6 6
Идея. Рассмотрев выражение как уравнение относительно логарифма, раскрыть
модули через точки смены знака подмодульных функций на соответствующих
промежутках.
Указание. Ввести переменную ζ = log6 ж, чтобы упростить рассуждения.
Указание. После замены уравнение принимает вид: |z + l|+2 = |z + 3|. Для
раскрытия модулей надо рассмотреть промежутки: ζ < —3; — 3 < ζ < — 1; ζ > — 1.
Решение. Учитывая, что logi χ — — log6 χ, введем переменную: ζ = log6 x.
Тогда уравнение примет вид: |ζ + 1| +2 = |ζ + 3|. Раскрываем модули по определению,
через точки смены знака:
ζ+1 ■
ζ+3
-3
-
+
-1
ζ
+
+
ζ < -3,
-ζ-1+2 = -ζ- 3;
1)
2)
3<ζ<-1,
ζ-1 + 2 = ζ + 3;
ζ > -1.
■2 = ζ + 3;
Возвращаясь к логарифму, получаем: log6 χ > — 1
Ответ.
;+οο .
£>

10.3. Раскрытие модулей в показательных...
489
Задача 11. (ВМК-93.3)
Решить неравенство \3Х — 4| + \х2 — Ах + 3| < 3х + Ах — х2 — 7.
Идея. Сгруппировать слагаемые в правой части равенства и воспользоваться
нестандартным методом решения неравенств с модулями.
Указание. Неравенство вида \f(x)| + \д(х)| < fix) — д(х) равносильно системе:
/(ж)>0, д(х)<0.
Решение. Сгруппируем слагаемые в правой части равенства:
|Зж-4| + |ж2-4ж+3| < Зх+4х-х2-7 ^^ |Зж-4| + |ж2-4ж+3| < (Зж-4)-(ж2-4ж+3).
Это уравнение эквивалентно системе неравенств:
3х - 4 > 0, { х> log3 4,
Ι ι
*2-4r + 3<0; ^ 1l<x<3; ^ !<>& 4 < я < 3.
Ответ. [log34;3].
Задача 12. (Экон-83.3)
Решить неравенство log3(x2 — 2) < log3 ( -\х\ — 1 ) .
Идея. Перейти к неравенству для подлогарифменных функций; рассмотреть
полученное неравенство как квадратное относительно новой переменной у = \х\.
Указание. Учитывая монотонность логарифмической функции, снять
логарифмы, не забывая при этом про ОДЗ:
0<х2 -2< -Id -1.
21 '
Полученные неравенства решить относительно \х\.
Решение. Учитывая монотонность логарифмической функции, снимем
логарифмы, не забывая при этом про ОДЗ:
/ 2 „ч ι /3, , λ „ о Λ 3, , ^ Г2х2 - 3|ж| - 2 < О,
log3(*2-2)<log3(-|*|-lJ ^ 0<х2-2<-\х\-1 ^ ^ > 2 М
Решим эти неравенства относительно \х\:
"2<|Ж|<2' ^ л/2 < |х| < 2
|ж| > л/2;
Ответ. (-2;-л/2) U (л/2; 2).
-2<х < -л/2,
л/2 < ж < 2.

490
Указания и решения
Задача 13. (Геол-99(1).5)
Решить неравенство 2 < |21ogi(3x + 1) — 4| < 3.
Идея. Раскрыв модуль через геометрический смысл, перейти к совокупности
логарифмических неравенств, каждое из которых решается стандартными
способами.
Указание. Используя чётность модуля, неравенство молено переписать в виде:
K|log2(3x + l) + 2|<^.
Указание. Неравенство а < \f(x)\ < Ь при Ъ > а > 0 равносильно
совокупности: а < f(x) < Ъ или —Ъ < f(x) < —a.
Решение. Перепишем неравенство в виде:
2 < | -21og2(3x + l) -4| <3
1 < |log2(3x + l) + 2| < -.
Последнее неравенство равносильно совокупности:
Klog2(3x + l) + 2<-;
- | < bg2(3x + 1) + 2 < -1;
Klog2(3x + l)<--;
J<log2(3x + l)<-3.
В силу монотонности логарифмической функции получаем:
СИ
1<Зх + 1<-Ь
V2-16, _7_\ (_ 1 л/2-2
48 ' 24/Ul 6' 6
1 л/2-2
< τ < — ·
6 < ~ 6 '
λ/2-16 7
< χ < .
48 " 24
Задача 14- (Соц-97.5)
d3x
Решить систему
/32
> 2Ж+3,
сл/2-II = л/2х-1.
Идея. Выполнив преобразования показательных функций в неравенстве
системы, перейти к равносильному неравенству для показателей степеней.
Указание. Привести неравенство к виду:
Указание. Система эквивалентна следующей системе:
9х2 - - > χ + 3,
хуД-1 >0.

10.3. Раскрытие модулей в показательных...
491
Решение.
1
/32
Зх \ 9^+3
сл/2-1| = л/2^-1;
29х2-| > 2^+35
жл/2-1 >0;
χ >
Ответ. | -; +оо
'27ж2 -Зх-14>0,
1
л/2'
ж <
7
Ж>9'
*>—;
з'
9х2 - - > χ + 3,
χ >
л/2'
ж >
Задача 15. (М/м-90.2)
Решить уравнение 3 · 2е
зж+Зу^
11-2
2 cos χ
34 = 0.
Идея. Воспользовавшись основным тригонометрическим тождеством и раскрыв
модуль в показателе по определению, перейти к квадратным уравнениям.
Указание. Применив основное тригонометрическое тождество, получить:
О щ OCOSX + 3| COS^I ill сл2сОБХ о Л Г)
Указание. Раскрыв модуль в показателе по определению, перейти к
квадратным уравнениям относительно 22 cos x .
Решение. Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством:
3-2'
,cosx+3| cosx|
+ 11-2-
2 cos x
34 = 0.
Раскрывая модуль по определению, получим два случая:
1)
cos ж > 0,
о . oleosa; ill. oleosa;
1
cos ж = -
2
34 = 0;
±— + 2πη, η G Ъ\
ό
cos ж > 0,
92cosx __ о·
2)
cos ж < 0,
о . о- 2 cos ж ill. oleosa;
34 = 0;
( cos ж < 0,
92cosx _
92cosx _
11'
3;
cos ж < 0,
cos ж =
2l0g2U'
cos ж = -log23;
cos ж < 0,
cos χ = — log2 л/Й,
cos χ = logo л/3;
но
logo л/Й < — logo 3 < — 1, a logo л/3 > 0, то есть
в этом случае решении нет.
Ответ. ±—+2πη, nGZ.
о

492
Указания и решения
11. Разложение на множители и расщепление
в уравнениях и неравенствах различных видов
11.1. Понятие расщепления, равносильные преобразования
Задача 1. (ЕГЭ)
Найдите сумму корней уравнения (х + 1) · л/2х2 + Ъх + 2 = 0.
Идея. Использовать метод расщепления уравнения.
Указание. Уравнение равносильно совокупности условий: либо первый
сомножитель равен нулю, а второй имеет смысл, либо второй сомножитель равен нулю.
Решение. Расщепляя уравнение стандартным образом, приходим к следующей
совокупности.
1) Первый сомножитель равен нулю, а второй имеет смысл:
I ж + 1 = 0, ^^
|2ж2 + 5ж + 2>0; ^^
2) Второй сомножитель равен нулю:
2х2 + Ъх + 2 = 0
Сумма корней S = — 2 — 0, 5 = —2, 5.
Ответ. —2, 5.
нет решении.
-2;
-0,5.
Задача 2. (ЕГЭ)
Найдите произведение корней уравнения (2х - 3) · ξ/2χ2 - Ъх + 2 = 0.
Идея. Использовать метод расщепления уравнения.
Указание. Уравнение равносильно совокупности условий: либо 2х — 3 = 0,
либо 2х2 - Ъх + 2 = 0.
Указание. Заметим, что второй сомножитель имеет смысл Vx Ε Μ.
Решение. Уравнение равносильно совокупности (расщепление стандартным
образом):
2х-3 = 0; Г* = 1>5;
2ж2 - 5ж + 2 = 0;
Произведение корней Ρ = 1,5-2-0, 5 = 1,5.
Ответ. 1,5.
χ = 2;
ж = 0,5.

11.1. Понятие расщепления...
493
Задача 3. (Экон-86.3)
Решить уравнение л/Зх + 4 · (9х2 + 21х + 10) = 0.
Идея. Использовать расщепление уравнения стандартным образом.
Указание. Уравнение равносильно совокупности: Зх + 4 = 0 или
9ж2 + 21ж + 10 = 0 при Зж + 4>0.
Решение. Расщепляя уравнение стандартным образом, получаем равносильную
совокупность.
1) Зж + 4 = 0 <^^ χ
/9ж2 + 21ж + 10 = 0,
4
~3'
2)
Ответ.
Зх + 4 > 0;
4 2
-21 ±9
"Ί8-'
4
Задача 4- (ВМиК-78.1)
Решить неравенство (х — 1) · л/х2 — χ — 2 > 0.
Идея. Учитывая неотрицательность второго сомножителя, свести неравенство
к равносильной совокупности.
Указание. Неравенство равносильно совокупности условий: либо х2—х—2 = 0,
либо χ — 1 > 0 при х2 — χ — 2 > 0.
Решение. Второй сомножитель на области определения неотрицателен, поэтому
неравенство равносильно совокупности
0;
х- 1 > 0,
χ
х-2 > 0.
Корни уравнения χ = — 1 и ж = 2.
Решаем систему неравенств:
ж- 1 > 0,
χ
х-2 > 0;
Объединяем решения: ж = — 1 или ж > 2.
Ответ. {-1}U [2;оо).
х> 2.

494
Указания и решения
Задача 5. (Геол-88.2)
Решить неравенство (х2 + 8х + 15) · л/аГ+4 > 0.
Идея. Использовать расщепление неравенства с учётом области определения
и неотрицательности второго сомножителя.
Указание. Неравенство равносильно совокупности: χ = — 4 или х2-\-8х-\-15 > 0
при χ > —4.
Решение. Поскольку второй сомножитель всегда неотрицателен, неравенство
равносильно совокупности
χ = -4,
|ж2 + 8ж + 15 >0,
|ж > -4.
Решения квадратного неравенства ж < — 5 или χ > —3; условию χ > — 4
удовлетворяет луч ж > — 3.
Ответ. {-4}U [-3;оо).
Задача 6. (Экон.К-86.3)
Решить неравенство (8х2 — 6х + 1) · \/—2Бх2 + 1Бх — 2 > 0.
Идея. Использовать расщепление неравенства с учётом области определения
и неотрицательности второго сомножителя.
Указание. Неравенство равносильно совокупности
- 2Бх2 + 15ж - 2 = 0;
(&г2 -6ж + 1 >0,
|-25ж2 + 15ж-2>0;
Решение. Учитывая область определения и неотрицательность второго
сомножителя, перейдём к равносильной совокупности.
1) Второй сомножитель равен нулю:
-25χζ + 15х - 2 = 0
1
х = -;
2
2) Первый сомножитель неотрицателен, а второй имеет смысл:
1
8х2 - 6х + 1 > 0,
-2Бх2 + 15ж - 2 > 0;
ж <
ж >
1 1
5 4
1 2
_ < т < _·
15 ~ ~ 5'

11.1. Понятие расщепления...
495
Объединив результаты, получим ответ.
Ответ.
1 1
5;4
U
Ш-
Задача 7. (М/м-83.1)
_ л/б + χ — х2 л/б + χ — х2
Решить неравенство > .
2ж + 5~ ж+ 4
Идея. Перенеся выражения в левую часть и разложив разность на множители,
применить стандартный метод расщепления.
Указание. После разложения на множители получим неравенство
\/б + х - х2 · ( —!— Ц ) >0.
\2ж + 5 ж + 4у ~
Указание. Полученное неравенство равносильно совокупности:
л/б + χ — х2 = 0 или > 0 на области определения.
2ж + 5ж + 4~
Решение. Перенесём дробь из правой части неравенства в левую и разложим
разность на множители:
1 1
л/б + χ - х2 · ( I > 0.
\2х + Б ж+ 4/ _
Применим стандартную процедуру расщепления.
1) Первый сомножитель равен нулю:
χ = -2;
χ = 3.
6 + χ - χΔ = 0 ^^
2) Второй сомножитель неотрицателен, а первый определён:
1
2ж + 5
б + χ —
1
ж + 4
х2 >0;
>0,
1
2ж + 5
-2 <ж
> —
< 3
1
Т4
Заметим, что при χ Ε [—2; 3] оба знаменателя положительны, поэтому система
будет равносильна следующей:
|Ж + 4^ + 5' ^ Ι"""1' ^ -2 <*<-!.
\-2<х<3; \-2<а;<3; " "
Объединив с ранее найденными точками, получаем, что χ G [—2; —1] U {3}.
Ответ. [-2;-l]U{3}.

496
Указания и решения
Задача 8. (М/м-95(1).2)
\х3\ - \Ъх\
Решить уравнение . = 0.
xj2x2 - Ах - 1 - \х\ + 2
Идея. Перейти к равносильной системе; корни числителя проверить на
принадлежность области определения непосредственной подстановкой в знаменатель.
Указание. Уравнение равносильно системе
\хг\ - \Ъх\ = 0,
2х2 - Ах - 1 > 0,
V2x2 -Ах-1 - \х\ + 2 φ 0.
Указание. Корнями уравнения являются числа χ = 0 и ж = ±у5? первое
из которых не отвечает условию неотрицательности подкоренной функции, а два
других обращают её в полный квадрат.
Решение. Уравнение равносильно системе
|ж3| - \Ъх\ = 0,
2х2 - Ах - 1 > 0,
л/2ж2 - 4ж - 1 - |ж| + 2 ^ 0.
Корни уравнения ж = 0 и ж = ±γ5· Подставим найденные значения в
неравенства системы:
• если χ = 0, то подкоренная функция 2х2 — Ах — 1 = —1<0, то есть этот
корень не подходит;
• если χ = \/5, то 2х2 — Ах — 1 = 9 — Ал/5 = (л/5 — 2)2, тогда левая часть
второго неравенства принимает вид |\/Ъ — 2\ — \\/Ъ\ + 2 = \/Ъ — 2 — \/Ъ + 2 = 0;
значит, χ = л/Ъ не подходит;
• если χ = — \/Ъ, то 2ж2 — Ах — 1 = 9 + A\Jb = (\/5 + 2)2, то есть для второго
неравенства системы находим |л/5 + 2|-|-л/5|+2 = л/5 + 2-л/5 + 2 = 4^0-
верно.
Ответ. —γ5·
Задача 9. (ЕГЭ)
При каких значениях параметра а уравнение (х2 + Ах + 3)\/х — а = 0 имеет ровно
два решения?
Идея. Применив расщепление, перейти к равносильной совокупности; свести
задачу к перебору возможных вариантов расположения корней уравнений в
зависимости от значений параметра.

11.1. Понятие расщепления...
497
Указание. Уравнение равносильно совокупности
Указание. Корни первого уравнения χ = — 3 и χ = — 1, корень второго
уравнения χ = а.
Указание. В зависимости от значений параметра уравнение может иметь от
одного до трёх различных корней; необходимо отобрать те значения параметра,
при которых корней ровно два.
Решение. Расщепляя уравнение стандартным образом, получим совокупность
условий.
1) Первый сомножитель равен нулю, а второй имеет смысл:
2) Второй сомножитель равен нулю:
χ — а = 0 <^> χ = а.
В зависимости от значений параметра а исходное уравнение может иметь от
одного до трёх различных корней:
• если а < —3, то совокупность имеет три решения ж = α, χ = — 3 и χ = — 1.
Значит, значения а < —3 не подходят;
• если а = —3, то у совокупности два решения χ = — 3 и χ = — 1.
Следовательно, значение а = — 3 удовлетворяет условию задачи;
• если — 3 < а < — 1,тоу совокупности два решения χ = а и χ = — 1. Значит,
значения — 3 < а < — 1 подходят;
• если а = — 1, то решение единственное χ = — 1;
• если а > — 1, то решение единственное χ = а.
Итак, ровно два решения существуют при а Е [—3; — 1).
Ответ. [—3; —1).
Задача 10. (Псих-98.3)
л/4х + 7 - Зх + 5
Решить неравенство < U.
F 16 - Зх2 + 22ж -
Идея. Решить неравенство расщеплением, то есть перебрать возможные
варианты знаков числителя и знаменателя.
Указание. Рассмотреть два случая: числитель не отрицателен, знаменатель -
отрицателен и числитель не положителен, знаменатель - положителен.

498
Указания и решения
Решение. Первый случай:
л/4ж + 7 - Зх + 5 > О,
16 - Зх2 + 22ж < О;
л/4ж + 7 > Зж - 5,
Зж2 - 22ж - 16 > О;
)4ж + 7> (Зж-5)2,
[Зж-5 >0;
[4ж + 7>0,
[Зж-5 <0;
U^2 - 22ж - 16 > О;
9х2 - ЗАх + 18 < О,
5
х-з;
7
5
х<з;
хе ( -оо;-- ) U(8;+oo);
хе [ -оо;-- ) U(8;+oo);
ж G
ж G
5 17+л/127
з;
9
7 5
"453
хе ( -оо;-- ) U(8;+oo);
χ G
7 17-
"45~
а27
XG ( -оо;-- ) U(8;+oo);
χ G
Здесь мы воспользовались тем, что
17-V127 17-11
<
2 5
3 < З5
Второй случай:
9 3 3' 9
л/4ж + 7 - Зх + 5 < О,
16 - Зх2 + 22ж > 0;
(4ж + 7< (Зж-5)2,
Зж - 5 > 0;
4ж + 7 > 0;
Зж2 - 22ж - 16 < 0;
7. 2
"4;~3
17+л/127 17+11 _ 28 5
> 9 ~ ~9~ > 3'
л/4ж + 7 < Зж - 5,
Зж2 - 22ж - 16 < 0;
ж G —оо;
5
17-л/127
U
17 +л/127
-;+оо ;
х>
3\
χ G
χ G
17 +л/127
;8

11.1. Понятие расщепления...
499
Объединив найденные промежутки, получим ответ.
Ответ.
и
17 + Λ/Ϊ27
Задача 11. (Геол-95.3)
х3 · л/х — у = О,
Решить систему
2у2 + у = 21 + 2ху.
Идея. Применив расщепление к первому уравнению системы, свести её к
совокупности случаев, решаемых подстановкой.
Указание. Первое уравнение системы равносильно совокупности χ = у или
χ = 0 при χ > у. Подставляя эти значения во второе уравнение, решаем систему.
Решение. Первое уравнение системы равносильно совокупности χ = у или
χ = 0 при χ > у. Рассмотрим эти два случая.
1)
2)
х = у,
2у2 + у = 21 + 2ху;
'х = 0,
х>у,
%2 + 2/ = 21 + 2ху;
7
2'
значит, χ = 0, у
Ответ, (о;-^); (21;21).
ж = 21,
у = 21.
х = 0,
У<0,
2у2 + у-21= 0;
(х = 0,
У<0,
У =
7
у = 3;
Задача 12. (Псих-90.3)
Решить неравенство
χ 5
2 + 8
15
32ж
< 1.
Идея. Разложить неравенство на множители с помощью формулы разности
квадратов.
Указание. Приведя сомножители к единым знаменателям, решить неравенство
методом интервалов.
Решение. Перенесём единицу в левую часть и воспользуемся формулой для
разности квадратов:

500
Указания и решения
приведем слагаемые в каждом сомножителе к одному знаменателю:
{Ах + 3)(11 - Ах) + 15 {Ах - 13)(11 - Ах) + 15
8(11 -Ах) 8(11 -Ах) ~ '
числители дробей разложим на множители и применим метод интервалов:
ί {ААх + 33 - 16х2 - \2х + 15) {ААх - 143 + Ъ2х - 16х2 + 15) < 0,
\х^11/4; ^
ί (16ж2 - 32ж - 48)(16ж2 - 96ж + 128) < 0,
|(ж2 -2ж-3)(ж2 -6ж + 8) <0, |(ж + 1)(ж-2)(ж-3)(ж-4) < 0,
^ 1 ж ^ 11/4; ^ Ь ^П/4;
-1 2 11/434
значит, — 1 < ж < 2 или 3 < ж < 4.
Ответ. [-1;2]U [3; 4].
Задача 13. (Геол-99(1).7)
Решить неравенство л/Ах — х2 — 3 > л/^2 — 7ж + 12 — лАс2 — 5ж + б.
Идея. Разложив подкоренные выражения на множители, вынести общий
множитель за скобки с учётом соответствующих условий на области определения.
Указание. Область определения
Ах-х2 -3 = {х-1){3-х) >0,
х2 - 7х + 12 = (х - 3)(х - 4) > 0, <^^ χ е [1; 2] U {3}.
х2 - Ъх + 6 = (х - 2){х - 3) > 0;
Указание. Разложив подкоренные выражения на множители и учитывая
область определения, вынести за скобки л/3 — χ.
Указание, χ = 3 является решением, а на остальной области определения
неравенство равносильно системе
л/3 -х · л/х- 1 > л/3 -х · (л/4 -х - л/2-ж),
1 <ж < 2.
Указание. Неравенство \/# — 1 + л/2 — ж > л/4 — ж решается по стандартному
алгоритму равносильных преобразований для неравенств с радикалами.

11.1. Понятие расщепления...
501
Решение. Разложим на множители подкоренные выражения:
V(x-l)(3-x) > ч/(ж-3)(х-4) - ч/(ж-2)(х-3).
Область определения неравенства задаётся системой
1 <х < 2;
ж = 3.
Проверив, что χ = 3 является решением неравенства, рассматриваем далее
xG [1; 2]. Поскольку в этом случае неравенство принимает вид
л/х- 1 > л/4-ж - л/2 -ж ^^ л/ж- 1 + л/2 -ж > л/4 - ж.
Решаем это неравенство как стандартное с радикалами:
/"
V
1 <х < 3
ж < 3;
ж > 4;
ж < 2;
ж> 3.
1 + 2 - ж + 2л/2ж - 2 + χ - х2 > А-х
2\/?>х-2-х2 > 3
х.
Заметим, что при xG [1; 2] правая часть последнего неравенства строго
положительна, поэтому возводим в квадрат без дополнительных ограничений:
А(Зх-2-х2) > (3-ж)2
12ж-
Лх2 > 9-6х + х2
5ж2-18ж + 17<0.
Дискриминант квадратного трёхчлена отрицателен, поэтому неравенство не имеет
решений.
Ответ. 3.
Задача 14. (М/м-73.3)
Решить неравенство Ах + 8л/2 — х2 > 4 + (х2 — х) · 2х + 2Х+1 · χ л/2 — х2.
Идея. Сгруппировав слагаемые, разложить выражение на множители и решить
неравенство методом расщепления.
Указание. После группировки слагаемых и разложения на множители
получим неравенство (4 — χ · 2х)(χ — 1 + 2л/2 — х2) > 0.
Указание. Первый сомножитель положителен на области определения.
Указание. Неравенство для второго сомножителя χ — 1 + 2л/2 — х2 > 0
решается стандартно.
Решение. Область определения \х\ < л/2. Сгруппируем слагаемые и разложим
выражение на множители:
4(ж - 1) - х(х - 1)2* > 2л/2-х2(х · 2х - 4) ^^
(х - 1)(4 - ж · 2Ж) + 2\/2-ж2(4 - ж · 2х) > 0

502
Указания и решения
^^ (4-х· 2х)(х - 1 + 2\/2-ж2) > 0.
Далее применим метод расщепления. Прежде всего найдём корни первого
сомножителя и определим промежутки знакопостоянства. Корни первого
сомножителя определяются из уравнения
4 - χ · 2х = 0 ^^ χ · 2х = 4.
Решения могут быть лишь при χ > 0, то есть с учётом области определения
при хЕ (0; V2] · В этом случае в левой части уравнения стоит произведение двух
монотонно возрастающих положительно определённых функций f(x) = χ · 2х.
Значит, f(x) > 0 и монотонно возрастает. Поскольку
/(л/2) = л/2 · Т^ < л/2 · 21'5 = 4,
то на промежутке (0; л/2) f(x) < 4, то есть χ · 2х < 4. Следовательно, на ОДЗ
4-х-2х >0.
Значит, в решаемом неравенстве достаточно потребовать положительности
второго сомножителя:
х-\ + 2\/2-х2 >0 ^^ 2\/2-ж2 > 1 - х.
Переходим к равносильной совокупности систем в зависимости от знака правой
части.
1) При неотрицательной правой части возводим неравенство в квадрат:
|4(2 - х2) > (1 - ж)2, ibx2 - 2х - 7 < 0,
jl-x>0; ^^ \я<1; ^^
7
-1 < χ < -, __
5 <^> -1 < х < 1.
^ж < 1;
2) При отрицательной правой части учитываем область определения:
1 1 - ж < 0; 1 ж > 1;
Объединяя результаты, получаем ответ.
Ответ. (—1;л/2] -
Задача 15. (Геогр-96(1).4)
(Зх — 2 arccos (— А)) (х — log /о 2\/7)
Решить неравенство ^ < 0.
χ - 8 sin Ц^
Идея. Учитывая неотрицательность второго сомножителя в числителе и
вычислив значения логарифмической и тригонометрических функций, расщепить
неравенство и решить стандартным методом интервалов.

11.1. Понятие расщепления...
503
241π π /π π\ л/3-1 ( 1\ 2π
Указание, sin = sin — = sin = ■=— ; arccos — = — ;
12 12 V3 4/ y/8 ' V V 3
logy3 2v/7 = log328.
Указание. Расщепляя неравенство, получим, что χ = log3 28 - решение. Оста-
х - —
ётся неравенство ,- , %. < 0.
χ - л/8 (л/3 - 1) ~
Решение. Прежде всего вычислим значения тригонометрических и
логарифмической функций:
1\ 2π
arccos .
2) 3
logy3-2v/7 = log328;
241π / π \ π /π π
sin = sin 20π Η = sin — = sin
12 V 127 12 V3 4
7Г 7Г 7Г . 7Г л/3-1
= sin — cos — — cos — sin -
3 4 3 4 ^8
Подставляем найденные значения в неравенство:
(x-f)(x-log328)2
ж - л/8 (л/3 - 1)
<0.
Значение χ = log3 28 является решением. При χ φ log3 28 неравенство
принимает вид
4π
-^Е <о.
Сравним числа:
ж - л/8 (л/3 - 1)
f v VS(V5-i
9
π V
π < 4 < 4,5 = ^ < ^ (>/б - V2) .
47Γ
Значит, решением неравенства будет промежуток — < χ < у8 (уЗ — l).
Ответ.
47Г
—; у/8 (л/3-1)) U {log328}.

504
Указания и решения
11.2. Расщепление в тригонометрических уравнениях
и неравенствах
Задача 1. (Псих-84.3)
Решить уравнение 2 (cos ж — 1) sin2x = 3sinx.
Идея. Применив формулу синуса двойного угла, разложить уравнение на
множители.
Указание. После применения формулы синуса двойного угла уравнение
принимает вид
4 (cos χ — 1) sin x cos x = 3 sin ж,
откуда sin x = 0 или 4 cos2 χ — 4 cos χ — 3 = 0.
Решение. Воспользуемся формулой синуса двойного угла, после чего разложим
выражение на множители:
4(cos χ — 1) sin x cos x = 3 sin χ
χ = πη, η £ Ζ;
1
"2;
3
cos ж
cos ж = - > 1;
2
sin ж = 0;
4 cos2 χ — 4 cos ж — 3 = 0;
ж = πη, η £ Ζ;
2π
ж = ±— + 2πτη, m £ Ζ.
ο
2π
Ответ, πη, ±—- + 2πτη; n,mGZ.
ο
Задача 2. (Почв-94.1)
Решить уравнение sin3 ж — sin2 χ = sin2 ж cos2 x.
Идея. Разложить обе части уравнения на множители и применить метод
расщепления.
Указание. В правой части уравнения воспользуемся основным
тригонометрическим тождеством и формулой для разности квадратов:
cos2 χ = 1 — sin2 x = (1 — sin χ) (1 + sin χ).
Указание. Уравнение приводится к виду
sin2 χ (sin χ — 1) = sin2 χ (1 — sin ж) (1 + sin χ).
Решение. Разложим выражения в левой и правой частях уравнения на
множители, воспользовавшись основным тригонометрическим тождеством и формулой
для разности квадратов:
sin2 x(smx — 1) = sin2 x(l — sin2 x)
sin χ = 0;
sin ж — 1 = (1 — sinx)(l + sin ж);

11.2. Расщепление в тригонометрических...
505
sin ж = 0;
sin ж = 1;
1 + sin ж = — 1;
χ = πη, η G Ζ;
π
χ = h 2πτη, τη G
Ответ, πη, —+2πτη; n,mGZ.
Задача З. (ИСАА-98.1)
Решить уравнение sin2 x + sin2 6x = 1.
Идея. Разложить уравнение на множители, воспользовавшись формулами
понижения степени и суммы косинусов.
. о 1 — cos2ce
Указание. После применения формулы понижения степени sin а =
к каждому слагаемому левой части уравнение принимает вид cos 2x + cos 12ж = 0.
Указание. После применения формулы суммы косинусов
Ω О α + β α~β О >7 К Π
cos се + cos p = 2 cos —-— cos —-— получаем уравнение 2 cos Ίχ cos 5ж = 0.
Решение. Применим формулу понижения степени к каждому слагаемому левой
части:
1 —cos2x 1 —cosl2x
+ - = 1
cos \2x + cos 2x = 0;
2 2
по формуле суммы косинусов уравнение раскладывается на множители:
2 cos 7x cos Ъх = 0
cos 7x = 0;
cos5x = 0;
Ответ.
14
7ж = — + πη, η G Ζ;
Ъх
π πη π
+ πτη, τη G Ζ;
7ГТП
7 ' 10
n,m G Ζ.
π πη ^
π ππι
Io + ^'mG
Задача 4- (Псих-91.2)
Решить уравнение (cos ж — 1) ( sin ж cos2x — 1 ) = sin x.
Идея. Представив правую часть как разность квадратов за счёт основного
тригонометрического тождества, разложить уравнение на множители и применить
формулу косинуса двойного угла.
Указание. В правой части воспользоваться основным тригонометрическим
тождеством и формулой разности квадратов:
sin2 ж = 1 — cos2 ж = (1 — cosx)(l + cos ж);

506
Указания и решения
затем применить формулу косинуса двойного угла:
cos 2х = cos2 χ — sin2 χ = (cos χ — sin χ) (cos χ + sin χ).
Указание. Уравнение приводится к виду
(cos ж — l)(sinx + cos ж) (2 — cos ж + sin ж) = 0.
Решение. Воспользуемся в правой части уравнения основным
тригонометрическим тождеством и формулой разности квадратов:
(cos ж — 1) I sin ж — - cos2x — 1 I = (1 — cosx)(l + cos ж);
вынесем общий множитель за скобки:
(cos ж — 1) ( sin ж cos2x — 1 + 1 + cos ж I = 0 <^>
<^> (cos χ — 1) ( sin χ + cos χ cos 2x 1 =0.
Во втором сомножителе применим формулы косинуса двойного угла и разности
квадратов:
(cos χ — 1) (2 (sin χ + cos χ) — (cos2 χ — sin2 χ)) = 0 <^>
(cos ж — l)(sinx + cos ж) (2 — cos ж + sin ж) = 0
1) Решения первого уравнения совокупности χ = 2πη, η Ε
cos ж = 1;
sin ж + cos ж = 0;
cos ж — sin χ = 2.
2) Второе уравнение совокупности является однородным тригонометрическим
первой степени и решается, например, сведением к уравнению для тангенса. Если
cos ж = 0, то из уравнения следует, что и sin ж = 0, что противоречит основному
тригонометрическому тождеству. Следовательно, cos ж φ 0. Разделим обе части
уравнения на cos ж:
π
tff χ = —1 <^> χ = —— + ππι. τη Ε Ζ.
σ ^ ι
3) Третье уравнение совокупности cos ж — sin ж = 2 не имеет решений в силу
ограниченности тригонометрических функций в левой части; действительно,
равенство возможно только при одновременном выполнении условий cos χ = 1 и
sin x = — 1, что противоречит основному тригонометрическому тождеству.
7Г
Ответ. 2πη, \-ππι: n, raEZ.
4

11.2. Расщепление в тригонометрических...
507
Задача 5. (Фил-78.3)
Решить уравнение 5 sin χ + б sin 2x + 5 sin Зх + sin Ax = 0.
Идея. Используя формулы суммы синусов и синуса двойного угла, разложить
левую часть исходного уравнения на множители.
Указание. Преобразуем левую часть, применив формулу суммы синусов к
первому и третьему слагаемым и формулу синуса двойного аргумента к последнему
слагаемому:
10 sin 2x cos χ + б sin 2x + 2 sin 2x cos 2x = 0.
Указание. Полученное уравнение сводится к совокупности условий sin 2x = 0
или 5 cos χ + 3 + cos 2x = 0.
Решение. Воспользуемся формулой суммы синусов для первого и третьего
слагаемых и формулой синуса двойного аргумента для последнего слагаемого:
5(sinx+sin3x) + 6sin2a;+2sin2a;cos2a; = 0
2sin2x(5cosa;+3+cos2a;) = 0.
Расщепляем уравнение стандартным образом и применяем формулу косинуса
двойного угла:
sin2x = 0;
5 cos χ + 3 + 2 cos2 χ — 1 = 0;
χ = —, η £ /,;
cos ж
COS Ж
1
"2;
-2 < -1:
πη
χ = —, η G Ζ;
2 '
ж = ±— + 2πτη, m G Ζ.
ο
7Γ77/ 27Γ
Ответ. —, =Ь—-+2πτη; n^meZ.
Δ ό
Задача 6. (Биол-89.3)
Решить уравнение sin x(3 sin 2ж sin3 x + 12 sin 2ж sin ж — 16 cos x) + 2 sin 4ж = 0.
Идея. Раскрыв скобки и использовав формулу синуса двойного угла, вынести
последний за скобки для разложения на множители.
Указание. Уравнение приводится к виду sin2x(3sin χ + 4 sin2 χ — 4) = 0.
Указание. Второй множитель удобно исследовать как квадратный трёхчлен
по переменной sin2 x или использовать формулу понижения степени
sin2 χ
1 — cos 2x

508
Указания и решения
Решение. Раскроем скобки и воспользуемся формулой синуса двойного угла:
3 sin 2x sin4 χ + 12 sin 2x sin2 χ — 8 sin 2x + 4 sin 2ж cos 2ж = 0 <^>
^^ sin 2ж (3 sin4 χ + 12 sin2 ж - 8 + 4(1 - 2 sin2 ж)) = О.
Применим метод расщепления:
sin2x = 0;
3 sin x + 4 sin2 ж — 4 = 0;
χ = —, η Ε Ζ;
sin2 ж = -2 < 0;
. 2 2
sin ж= -;
πη
ж = —, η Ε Ζ;
ж = db arcsin \ I - + π/с, /с Е Ζ.
_ πη /2 πη
Ответ. — , ± arcsm W —h тг/с; η, /с Ε Ζ (второй вариант ответа — .
7Г 1 1
— ± - arccos - + πτη; η, m Ε Ζ.)
Δ Δ ό
Задача 7. (ЕГЭ)
Найдите сумму корней уравнения sin2x · (tgx — 1) = 0, принадлежащих
промежутку [0; 2 π]. Ответ запишите в градусах.
Идея. Использовать расщепление уравнения стандартным образом; произвести
отбор по условию.
Решение. Расщепляя уравнение стандартным образом, получаем равносильную
совокупность
J sin2x = 0,
1 cos ж т^ 0;
tffx = 1;
sin ж = 0;
tzx = 1;
χ = π/, Ζ Ε Ζ;
^ 7 7
ж = — + 7г/с, /с Ε
Промежутку [0; 2π] принадлежат корни ж = 0; ж = π; ж = 2π; ж
5π π 5π 9π
ж = —-: их сумма равна 6=π + 2π + — Η—- = — или 810 .
4 4 4 2
π
45
Ответ. 810°.

11.2. Расщепление в тригонометрических...
509
Задача 8. (Почв-96(1).5)
Решить уравнение (1 — cos 8x) tg χ = 6 sin2 Ax · ctg χ.
Идея. Использовав формулу косинуса двойного угла, разложить уравнение на
множители с последующим расщеплением.
Указание. 1 — cos 8x = 2 sin2 Ax.
Решение. Применим в левой части уравнения формулу косинуса двойного угла:
2 sin2 4x tg χ = б sin2 Ax ctg x
sin4x = 0,
sin ж φ 0,
cos ж т^ 0;
tffx = 3ctgx.
1) Решение системы ж = 1 , η Ε
у 4 2
2)tgx = 3ctgx <^> tg2x = 3 <^>
χ = ±— + πτη, τη Ε Ζ.
ο
ι
2π/3^^_<
3π/4χ\
/ ч %
π/ 4
\ ' '
-3π/4Χ/
-2π/3~~-<
1π/2
ι π/3
Λ^π/4
'' -' \
* Τ
^ /
\ 4 /
\ ч /
\\/-π/4
)—-"*-π/3
-π/2
_ π πη π
Ответ. —| , ±—\-ππι: п,т£
4 2 3
Задача 9. (М/м-97.1)
Решить уравнение (2 sin2 χ — 3 sin x + l)-v/tgx = 0.
Идея. Использовать расщепление уравнения стандартным образом.
Указание. Уравнение равносильно совокупности, полученной в результате
расщепления:
{2 sin2 χ — 3 sin x + 1 = 0,
tgx>0;
tgx = 0.

510
Указания и решения
Решение. Расщепляя уравнение стандартным образом, получаем равносильную
совокупность
{2 sin2 χ — 3 sin χ + 1 = 0,
tgx>0;
tgx = 0.
1) Рассмотрим систему
I 2 sin2 χ — 3 sin ж + 1 = 0,
ltgx>0;
sin ж = 1;
1
sin ж = -:
2'
l^tgx > 0.
Учитывая неравенство и область определения тангенса, оставляем
6
+ 2πτη, m £ Ζ.
δπ/бл/
1/2
π Τ
Ιπ/2
\π/β
7°
2) Второе уравнение совокупности даёт решение χ = πη, η £ Ζ.
Ответ, πη, —Κ2π?τι; n,mGZ.
6
Задача ί0. (М/м-97.1)
Решить уравнение (2 cos2 χ — cos ж — l)^/ctgx = 0.
Идея. Применив процедуру расщепления, перейти к равносильной совокупности
условий.
{2 cos2 χ — cos χ — 1 = 0,
ctgx > 0;
|_ ctgx = 0.
Указание. Отбор серий среди решений тригонометрических уравнений удобно
проводить через тригонометрическую окружность.

11.2. Расщепление в тригонометрических...
511
Решение. Уравнение равносильно совокупности
2 cos2 χ — cos χ — 1 = О,
1 ctgx > 0;
L ctgx = 0.
1) Рассмотрим систему
2 cos2 χ — cos χ — 1 = 0,
ctgx > 0;
cos ж = 1;
cos ж
ctffx > 0.
Среди решений простейших тригонометрических уравнений оставляем углы I и III
четвертей:
2π
+ 2тг&, & Ε Z.
2) Второе уравнение совокупности даёт решение ж = —Ь 7гп, η£Ζ.
_ π 2π
Ответ. —l· 7гп, Ь 27г/с; п,к<ЕЪ.
Δ ο
Задача 11. (Экон.К-87.1)
Решить уравнение (2 sin χ — 1) w cos ( χ +
0.
Идея. Использовать расщепление уравнения стандартным образом с отбором
тригонометрических серий решений.
I 2 sin χ — 1 = 0,
Указание. Уравнение равносильно совокупности условий:
cos
(*+ϊ)
>0;
или cos ( χ + — ) =0.
Указание. Решая систему, выполнить отбор корней либо через
тригонометрическую окружность, либо непосредственной подстановкой в неравенство.
Решение. Применяя правило расщепления, переходим к равносильной
совокупности
2 sin χ — 1=0,
(* + :)>*
4,
cos
COS Χ
0.
1) Рассмотрим систему:
2 sin ж — 1 = 0,
cos (χ + — j > 0;
χ = h 2πη, η Ε Ъ\
б
χ = h 2πτη, πι Ε Ζ;
6
cos (ж + — j > 0.

512
Указания и решения
π- π Γ77 ί π\ /π π\ 5π ^
При χ = h 2πη, η G Ζ cos жН— = cos 1— = cos — > 0: значит, эта
6 V 4/ V6 4/ 12
серия подходит.
т-г 5π ^ .77 / πλ /5π π\ 13π
При ж = h 2πτη, πι ^ £ cos χ + — = cos h — = cos < 0; значит,
б V 4/ \ 6 4/ 12
вторая серия неравенству не удовлетворяет.
2) Решаем второе уравнение совокупности:
(-D
cos ( х + -τ ) =0 <^> χ = — + ππι, m G Ζ.
7Г 7Г
Ответ. —Κ2πη, —+πτη; n,mGZ.
6 4
Задача 12. (М/м-81.2)
^ I л/sinx · cos?/ = 0,
Решить систему < 2
I 2 sin χ — cos 2i/ — 2 = 0.
Идея. Применив расщепление к первому уравнению, использовать результаты
для подстановки во второе уравнение системы.
Указание. Первое уравнение равносильно совокупности условий: sin χ = 0
или cos у = 0 при sin χ > 0. Выполнение неравенства проверяется
подстановкой.
Решение. Расщепляя первое уравнение стандартным образом, получаем
совокупность
sinx = 0;
[cosy = 0,
[sinx > 0.
Подставляем найденные зависимости во второе уравнение исходной системы.
1) При sinx = 0 второе уравнение принимает вид cos 2?/ = —2 < — 1; нет
решений.
2) Во втором случае получаем систему
cosy = 0, (ел С π ^
. ' cosi/ = 0, iy= +ππι meZ
sinx > 0, ^ ч / 1 ^ ч / 2
.2 1 )sinx = ^ |χ = (-1)η^+πη, nGZ.
sin χ = -; Ι Λ/2 I v J 4
Ответ. (( —l)n —+πη; h тгт j ; n, m G Z.
Задача i5. (ВМиК-78.2)
Решить уравнение (1 + tg2 2x) ( sin —— cos —- + sin — cos —
1 / χ 5x 7x 21x
sm — cos — sin —- cos ■
cos22x V 4 4 4 4

11.2. Расщепление в тригонометрических...
513
Идея. Преобразовав первый сомножитель в левой части, вынести общий
множитель за скобки и решить уравнение методом расщепления, воспользовавшись
формулами для синуса суммы и разности углов и суммы синусов.
Указание. В левой части 1 + tg2 2х = —, где cos2x^05
cos^ 2x
sin a cos β — sin β cos a = sin (a — β); sin a + sin β = 2 sin cos .
Указание. Уравнение приводится к виду 2 sin Ax cos 3x = 0 при cos 2ж т^ 0.
Использованы формулы для синуса суммы и разности углов и суммы синусов.
Решение. Заметим, что 1 + tg2 2x
равносильно системе
1
cos2 2x
> 0. Значит, исходное уравнение
21ж 7х Ъх χ
sin cos h sin — cos —
4 4 4 4
cos2x t^ 0.
. χ Ъх . 7x 2\x
sin — cos — sin —- cos ——,
4 4 4 4
Переносим все слагаемые уравнения в левую часть и группируем по формулам
для синуса суммы и разности углов:
'2\х 7х
4 4
. , Ъх χ
+ Sm|T"4
sm7x + sin ж = 0.
Используем формулу для суммы синусов:
2 sin 4ж cos Зж = 0
sin4x = 0;
cos3x = 0;
χ = —-, η £ £]
π πτη _
ж = - + —-, m G Ζ.
6 3
Учитывая, что cos2x 7^ 0
πη
η G Ζ и ж
π/c, k G Ζ.
ί G Ζ, оставляем решения
_ πη π
Ответ. —, ±—Ь7г/с; п,к^Ъ.
Δ Ό

514
Указания и решения
Задача 1^. (Фи л о л-70.2)
Найти все ж, удовлетворяющие условию — <
Зх
2
< π и являющиеся
решением уравнения 1 + cos χ + cos 2x = sin χ + sin 2x + sin Зх.
Идея. Применив в левой части уравнения формулу косинуса двойного угла,
а в правой части формулу суммы синусов, разложить исходное уравнение на
множители и решить его, выполнив отбор корней.
Указание. Уравнение приводится к виду cos χ (2 cos x + 1) = sin2x(2cosa; + 1).
Указание. Полученное уравнение равносильно совокупности трёх простейших
1
тригонометрических уравнении
smx = -:
2'
cos ж
0;
1
Указание. Раскрыв модуль в дополнительном условии через его геометриче-
скии смысл, получаем условия отоора: < χ < (J или — < χ < —.
Указание. Отбор удобно делать на тригонометрической окружности.
Решение. Применим в левой части уравнения формулу косинуса двойного угла,
а в правой части формулу суммы синусов:
2 cos2 χ + cos x = sin 2x + 2 sin 2x cos x.
Раскладываем на множители и решаем методом расщепления:
cos x(2 cos χ + 1) = sin 2x(l + 2 cos x)
smx -
cos ж
cos ж
1
25
0;
Раскрываем модуль в дополнительном условии через его геометрический смысл:
<
Зх
<π
г 7Г π
— < Зх - — < π;
2 2 ~ '
π < Зх
<
π
'Г
π π
- < χ < -;
3 - 2'
Найденным промежуткам принадлежит единственный корень χ
π
π
<х <0.
Ответ. —.
2
Задача 15. (ВМиК-98(1).3)
Решить уравнение tg χ · \/sin χ — 2 cos χ — 1 = 0.

11.2. Расщепление в тригонометрических...
515
Идея. Свести уравнение к равносильной совокупности стандартным
расщеплением.
Указание. Уравнение равносильно совокупности двух систем:
|tgx = 0,
I sin χ — 2 cos χ — 1 > 0;
I sin χ — 2 cos χ — 1 = 0,
I cos ж φ 0.
Указание. Первый вариант в совокупности удобно решать непосредственной
подстановкой решения уравнения tgx = 0 в неравенство, тогда как второй
χ
вариант разумно свести к уравнению для tg — по формулам универсальной
подстановки.
Указание. При решении уравнения sin χ — 2 cos χ = 1 воспользуемся форму-
2t 1 - t2
ламп универсальной подстановки: sin x
Χ 7Γ
при — φ — + ππι, τη G Ъ.
1+t2'
cos ж
ι+ί2> где * = *g2
Замечание. Уравнение sin ж — 2 cos x = 1 можно решить и методом
вспомогательного аргумента.
Решение. Уравнение равносильно совокупности двух систем:
tgx = 0,
sin χ — 2 cos χ — 1 > 0;
sin ж — 2 cos ж — 1=0,
cos ж φ 0.
1) Для первой системы получаем
χ = πη, η е Ζ,
—2cosx > 1;
ж = π + 2πτη, τη G Ζ.
2) При рассмотрении уравнения второй системы воспользуемся формулами уни-
2£
1
версальнои подстановки: sin ж
X
1+t2'
1+t2'
где £
при cos— φ 0? то есть при ж ^ π + 27г/с, /с G Z. В этом случае уравнение
sin ж — 2 cos χ = 1 принимает вид
2£ 2(1 -£2)
1 + £2 1 + £2
1
2£ - 2 + 2£2 = 1 + £2
t2 + 2£ - 3 = 0
ί = 1;
£ = -3;

516
Указания и решения
значит,
rf = ί+π/'leZ;
χ
L2
■ arctg 3 + 7ts, s e Ζ:
χ = - + 2π/, Ζ G Ζ;
ж = —2 arctg 3 + 27ts, sGZ.
Условию cos ж ф 0 не удовлетворяет первая серия.
Ответ, π + 2πτη, —2 arctg 3 + 2πβ; га, s G Ζ.
Замечание. Вторая часть ответа может быть получена в виде
π + arccos —= — arcsin —= + 2πτη, га G Ζ, если использовался метод вспомогатель-
V5 Λ/5
ного аргумента.
Задача 16. (Псих-98.4)
Решить уравнение tg 8x — tg 6x
1
sin4x
при χ G
π 3π
4;Т
Идея. Преобразовать выражение в левой части по формуле разности тангенсов;
перейти к равносильной системе; отобрать решения по условию.
Указание. Воспользовавшись определением тангенса и приведя левую часть
sin 2х 1
к общему знаменателю, получим уравнение = .
cos 8x cos 6x sin Ах
Указание. Полученное уравнение равносильно уравнению
sin 2x sin Ах = cos 6x cos 8x
при sin4x т^ 0. Условия cos6x /0 и cos8x φ 0 гарантируются уравнением при
sin ж φ 0.
Указание. После преобразования произведений синусов и косинусов,
приведения подобных слагаемых и использования формулы для суммы косинусов получим
уравнение cos4xcosl0a; = 0, которое решается стандартным методом
расщепления.
Решение. Воспользуемся определением тангенса и приведём левую часть
уравнения к общему знаменателю:
sin2x
1
cos 8x cos 6x sin Ax
sin 2x sin Ax = cos 6x cos Sx,
sin4x φ 0.
Условия cos 6x φ 0 и cos 8ж 7^ 0 гарантируются уравнением при sin χ φ 0. Решаем
уравнение:
cos 2x — cos 6x = cos ΙΑχ + cos 2ж <
<^> cos 4ж cos 10x = 0
cos 6x + cos ΙΑχ = 0
cos4x = 0;
cos 10x = 0.

11.2. Расщепление в тригонометрических...
517
7Г 7Г77/
1) Если cos4x = О, то sin Αχ φ 0. Значит, серия х = —\-——, nGZ подходит.
8 4
Осталось отобрать корни, принадлежащие указанному промежутку:
=> -2 < 1 + 2п < 6 ^^
π π πη 3π
- < - + — < —
4 - 8 4 - 4
3 <r <r 5
- < η < -
2 - ~ 2
2) Если cos 10x = 0
и sin4x 7^ 0:
π π ππι 3π
~4 ~ 20 + Ίθ~ - Τ'
π 2πτη . 7
5+~^
=> гсе{-1;0;1;2}
π πτη
20 10
, τη G Ζ. Проверим условия χ Ε
π 3π
~47Τ
-5 < l + 2m< 15,
1 + 2m φ 5k;
-2 <m < 6,
m^ 2.
ττ π ππι
Итак, решениями задачи во втором случае являются числа χ = — Η — при
те {-2;-1;0;1;3;4;5;6}.
7Г 7Г77/ 7Г 7Г777/
Ответ. - + — , п = 0;±1;2; — + —-, т = -2;0; ±1; 3;4; 5; 6.
о 4 zU 1U
J, W, -Ι--·-, ^, J-, ^, '
π 3π 5π π
Замечание. Возможна другая форма записи ответа: ж = ±— ; —; —; ±— ;
8 8 8 20
3π 7π 9π 11π 13π
20 7 20 7 20 7 20 7 20
Задача 17. (М/м-00(1).3)
Найти все корни уравнения
. χ 9 . ^ . χ χ . χ Ι χ 9
cos χ sin — Η—- sin χ + 2 sin — cos —l· sin — cos — = 0,
4 10 4 2 4 2 4 20
принадлежащие отрезку
9π 3π
Идея. Сгруппировать слагаемые в левой части, применить формулы понижения
степени и формулы двойных углов, разложить уравнение на множители, после
чего свести к простейшим тригонометрическим уравнениям и сделать отбор коней
на тригонометрической окружности.
Указание. После группировки слагаемых и тригонометрических
преобразовать 1\ f χ 9
ний уравнение приводится к виду ( sin χ —
10
0.
1
Указание. Отбор решений уравнения sin ж = - для χ Ε
9π 3π]
удобнее делать непосредственным решением соответствующих неравенств с
целочисленным параметром.

518
Указания и решения
Указание. Для отбора корней уравнения cos -
межутку
9π 3π
10'
принадлежащих про-
х
эффективно перейти к переменной — Ε
9π 3π
"~8~'"~8~
ж 9
Указание. При отборе корней уравнения cos — = по
тригонометрической окружности в соответствии с условием — Ε
π /9
формальное сравнение — V arccos —
8 V 10
9π 3π
"~8~'"~8~
через — V 2 arccos
удобно провести
9
Решение. Последовательно группируем слагаемые и применяем
тригонометрические формулы двойного угла (понижения степени):
. х, ι\ Л · х χ Ι χ 9 / . 1
sin — (cos χ + 1) + 2 sin — cos — — - cos — + — I sin χ — -
0
χ 2 ж жж1ж9/ 1
2 sm — cos —h 2 sm — cos cos —I sm χ
4 2 4224 10 V 2
2 sm — cos — cos —hi
4 2 V 2
1x9/ 1
- cos —I sm χ
2 4 10 V 2
1 χ
4 sm — cos — cos — cos —
4 2 4 2 4
9 / . 1
10 (SmX-2
Λ . χ χ χ 1 χ 9/. 1
2 sm — cos — cos — cos — Η—- sin χ
2 2 424 10 V 2
χ Ι χ
sm χ cos cos —
4 2 4
9 /. 1
10 (SmX-2
1
cos — I sm χ
4 V 2
9
1
10VSm" 2
χ 9
cos —I
4 10
smx =
χ
cos —
4
2'
_9_
10'
1) sinx
+ 2πη, η Ε Ζ;
5π
χ = h 2πτη, m e Ζ.
6
π 9π 3π
Подставляем в отрезок < χ < для отбора решений:
9 1 3
-- < 2п+ - < ;
2 - 6-2'
9 5 3
7 5
- <п< —;
з - - б'
8 7
-- < т < —-:
3 ~ ~ 6'
η =
m
-i;-2;
-2;

11.2. Расщепление в тригонометрических...
519
π 11π π 23π 5π 19π
значит, ж = 2π = , χ = 4π = , ж = 4π = .
6 6 ' 6 6 ' 6 6
Эти значения являются решениями исходного уравнения.
9π 3π
ж 9
2) Для решения уравнения cos— = на отрезке
перейти к аргументу — Ε
9π 3π
Тогда
± arccos
9
ΪΟ
удобно
+ 2πη, η Ε Ζ.
В заданном интервале могут лежать только значения
-π ± arccos
Сравним
π /9
8 V arCCOSU
I V 2 arccos ί-
возьмём косинус от обеих частей и, поскольку в первой четверти косинус убывает,
поменяем знак неравенства на противоположный:
Л
4
у/2
2
л/2
2
л/2
2
(25л/2)2 Л 312
1250 > 961
Л cos 2 arccos
31
50
Л 2 cos2 ( arccos
2
1
9
Ϊ0
_9_
10
π ί 9 \ ж
то есть — < arccos ( — I . Следовательно, —
-π —arccos
10
<
π
-7Γ--,
то
есть не является решением исходного уравнения, тогда как —
10
-π + arccos
10
подходит.
Ответ.
23π
6 '
19π
6 '
11π
6 '
—4π + 4 arccos

520
Указания и решения
11.3. Расщепление в показательных и логарифмических
уравнениях и неравенствах, модифицированный метод
интервалов
Задача 1. (Хим-84.1)
Решить неравенство
log3 х2
>0.
Идея. Используя неотрицательность числителя, свести неравенство на области
определения к положительности знаменателя.
Указание. Неравенство равносильно совокупности: χ = - или log3 х2 > 0
1
при χ > - .
Решение. В силу неотрицательности числителя неравенство равносильно
совокупности
_ 1
Х~ 2'
χ > 1.
Ответ
Ш
U(l;+oo).
Задача 2. (М/м-81.1)
\Jx - 5
Решить неравенство
>0.
bg^Ca; - 4) - 1
Идея. Использовать расщепление неравенства стандартным путём с учётом
неотрицательности числителя.
Указание. Неравенство равносильно совокупности двух систем
Щ и К^-4)-1>0,
[log^(x-4)^l; УХ~Ъ-
Решение. Учитывая неотрицательность числителя, получаем равносильную
совокупность:
χ = 5,
χ > 4,
log^ - 4) - 1 > 0,
χ > 5.
Ответ. {5} U (4 + л/2;+оо).
χ = 5;
χ > л/2-

11.3. Расщепление в показательных...
521
Задача 3. (Геол-88.3)
Решить уравнение (2х2 — Ъх + 2) · i\og2x 18х + 1) = 0.
Идея. Применить расщепление уравнения стандартным образом.
Указание. Уравнение равносильно совокупности
<
2х2 - Ъх + 2 =
= 0,
2х^ 1,
χ > 0;
_ log2, 18ж + 1 = 0.
Решение. Применяя метод расщепления, получаем равносильную совокупность
S
1) В первом случае <
2) Во втором случае <
Ответ. -; 2.
6'
<
'2ж2 -5ж + 2 = 0,
2ж^ 1,
χ > 0;
_ log2;c 18ж + 1 = 0.
\х = 2;
1
\х=2; ^^ х = 2'
0<ж^;
( 1
— = 18ж,
2Ж γ ^^ <
[0<*^-;
ί 2 Х
ж "36' ^ ж_1
ν<χφ-, 6
Задача 4- (М/м-71.1)
о
Решить уравнение (ж + 4) log4(x + 1) — (χ — 4) log2(x — 1) = - log2(x2 — 1).
Идея. Перейдя к логарифмам по одному основанию и представив логарифм
в правой части как сумму логарифмов, сгруппировать слагаемые и решить
уравнение методом расщепления.
Указание. Уравнение приводится к виду
| + 2 - | J log2(:r + 1) = ί Ι + χ - 4 J log2(:r - 1).
Решение. Перейдём к логарифмам по одному основанию и представим на
области определения логарифм в правой части как сумму логарифмов:
1 8 8
-{х + 4) log2(> + 1) - {χ - 4) log2(> - 1) = - log2(> + 1) + - log2(x - 1).

522
Указания и решения
Сгруппируем слагаемые:
- + 2 - - 1 log2(x + 1) = ( - + χ - 4 1 log2(x - 1) <ί=>
<ί=> (Зж - 4) log2(x + 1) = (6ж - 8) log2(x - 1).
Разложим на множители и применим стандартный метод расщепления:
log2(x + l) = 21og2(a;-l);
(3x-4)(log2(x + l)-21og2(x-l)) = 0 <ί=> | (зж-4 = 0,
ж> 1.
1) log2(x + l) = 21og2(x-l)
ж + 1 = (ж- I)2,
χ > 1;
ж = 0;
ж = 3;
ж > 1;
ж = 3.
2)
I Зж - 4 = 0,
|ж > 1;
Ответ. -; 3.
о
Задача 5. (Псих-78.1)
Решить уравнение log3 — log2 χ — log3 —j= = -
3
χ
+ log2y/x.
Идея. Разложить уравнение на множители и расщепить стандартным образом.
Указание. Уравнение приводится к виду
1
log2 χ - log2 x log3 χ - 3 log3 χ = 0
и решается, например, вынесением множителя log2 x за скобки с привлечением
формулы перехода к новому основанию.
Решение. Последовательно преобразуем уравнение:
(1 - log3 χ) log2 χ - 3 log3 χ + - = - + - log2 χ <^^
1
log2 χ - log2 ж log3 χ - 3 log3 ж = 0.
Переходя в log3 ж в последнем слагаемом к новому основанию, получаем
- log2 χ - log2 x log3 x - 3 log2 ж log3 2 = 0 <^^

11.3. Расщепление в показательных...
523
log2 х [ 2 - 1оёз х ~ 3 log3 2 ) = 0.
Применяем метод расщепления:
" log2 χ = 0;
log3 x + log3 8 =
1
2
Ответ. 1:
V3
χ = 1;
л/3
Задача 6. (Почв-78.5)
Решить уравнение ^/х(9^х ~3 — 3^х _3)
32V^2-3+l
)V^2-3+i
+ 6^- 18.
Идея. Используя свойства степеней, сгруппировать слагаемые по сходным
признакам и разложить уравнение на множители.
Указание. 32^^+1 = 3 · 9^^; 3^^+1 = 3 · З^3^.
Указание. Группировка слагаемых приводит к разложению на множители:
(л/^ - 3)(9^^ - З^^з _ 6) = о.
Решение. Используя свойства степеней, преобразуем уравнение и сгруппируем
в нём слагаемые:
/х
fgV^s _ 3V^s\ = з . д^^з _ з . з^^з + б^ _ з)
<ί=> (у/х-3) Ы^*^ - З7*^) = 6(у/х - 3) <ί=>
s/x = 3,
г2 - 3 > 0;
пл/ж2—3 ол/ж2—3
χ > 0;
6,
'ж = 9;
(з^^з
|ж >0
Ответ. 2:9.
х = 9;
ж = 2.
Задача 7. (ВМК-98(1).1)
Решить неравенство -г > logo 1.
1θβ2 -х 8
Идея. Преобразовав логарифмы, ввести новую переменную и использовать
метод интервалов.
Указание. Если t = log2 ж, то неравенство преобразуется к виду
1 >*-4.
2-t
Указание. Решая неравенство методом интервалов, получим t = 3 или t < 2.

524
Указания и решения
Решение. Преобразуем неравенство:
1
2 - log2 χ
> log2 χ — 3 — 1.
Пусть t = log2 x, приводим выражения к общему знаменателю и решаем методом
интервалов:
t2 - 6t + 9
t-2
<0
Значит,
log2x
log2 x < 2;
Ответ. (0;4)U{8}.
(t-з)2
t-2
<0
ж = 8;
0 < χ < 4.
t = 3;
t < 2.
Задача 5. (ЕГЭ)
Решите уравнение 2 · 4х — 3 · 10ж = 5 · 25ж.
Идея. Свести уравнение к квадратному относительно новой переменной.
Указание. Разделив обе части уравнения на 22х > 0, получим квадратное
уравнение относительно новой переменной у = | - ) > 0.
Указание. Из двух корней отбираем положительный.
Решение. Разделим уравнение на 22х >0 и введём переменную у
в новых обозначениях
значит,
О'
Бу2 + Зу - 2 = О
-1.
2/ =-КО;
2
2/ = 75
>0;
Задача 9. (Геол-98(1).2)
Решить уравнение к^9(4ж — 2 · 18ж) = 2х.
Идея. Перейти κ однородному уравнению, используя определение логарифма.
Указание. Уравнение равносильно 4х — 2 · 18ж = 92х, то есть
92х + 2 · 9х · 2* - 22ж = 0.
Указание. Последнее уравнение является однородным второй степени
относительно 9Ж и 2Ж.

11.3. Расщепление в показательных...
525
Решение. Используя определение логарифма, перейдём к равносильному
уравнению
4х - 2 · 18* = 92х <^> 92х + 2 · 9х · 2х - 22х = 0.
Разделим обе части уравнения на 22х φ 0 и, используя замену t = ( - 1 > 0,
получим
£2 + 2£-1 = 0 ^^ t = -1 =Ь \/2.
Значит, (-] =л/2-1 ^^ ж = log|(v^ - 1).
Ответ. log9(\/2 —1).
Задача 10. (ЕГЭ)
При каких значениях параметра а уравнение 2 · 9х — (2а + 3)бж + За · 4х = 0 имеет
ровно один корень?
Идея. Перейти к квадратному уравнению относительно новой переменной.
Указание. Уравнение является однородным второй степени относительно 3х и
2х . Разделив уравнение на 22х > 0, получаем квадратное уравнение относительно
'3N ~
новой переменной у
2у
Указание. При исследовании вопроса единственности решения используются
свойства показательной функции.
(3\х
Решение. Разделим уравнение на 22х и введём новую переменную у = ( -
2у2 - (2а + 3)ί/ + За = 0
у = а;
3
У= о'
з
Исходное уравнение имеет единственный корень при α < 0 или α = -,
Ответ. ( — оо; 0] U
НУ
Задача 11. (Геол-86.3)
2 · 6х - 4х - 15
Решить уравнение = 3.
qx _ gx _ 5
Идея. Перейти к равносильной системе из однородного уравнения второй
степени и неравенства.

526
Указания и решения
Указание. Уравнение равносильно системе
J2 · 6х - 4х - 15 = 3 · 6х - 3 · 9х - 15,
Ι 6х - 9х φ 5;
в которой уравнение приводится к квадратному относительно I - ] , а
неравенство выполнено Ух Ε Μ.
Указание. Для решения уравнения 6х — 9х = 5 удобно рассмотреть χ < О,
χ = 0, χ > 0, используя свойства показательной функции.
Решение. Уравнение равносильно системе
J2 · 6* - 4х - 15 = 3 · 6х - 3 · 9х - 15,
3 · 9Ж - 6Ж - 4х = О,
бж - 9х φ 5.
О1 X
Неравенство решаем методом от противного. Пусть 6х — 9х = 5, тогда:
• если χ > 0, то 6х < 9х и их разность отрицательна, то есть решений нет;
• если χ = 0, то 6х — 9х = 0 φ 5;
• если ж < 0, то бж Ε (0; 1), 9х Ε (0; 1) и их разность не может быть равна
пяти.
Значит, УхеЖ 6х -9х φ Б.
Возвращаясь к уравнению, делим его на 4х > 0:
2х
1 = 0
3\х _ 1±λ/Ϊ3
2 / ~ 6 '
Поскольку ( - ) > 0, остаётся одно значение
Ответ. log|
3
2
1 + λ/Ϊ3
1 + λ/Ϊ3
χ = loo
1 + λ/Ϊ3

11.3. Расщепление в показательных...
527
Задача 12. (Физ-00(1).7)
При каких значениях 6 уравнение 2ЪХ — (26 + 5) · Ъх * + 106 -5 * = 0 имеет ровно
два решения:
?
Идея. Выполнив замену переменных, свести уравнение к квадратному.
Указание. Уравнение является однородным второй степени относительно Ъх и
5~* . Разделив уравнение на 5~* , получить квадратное уравнение относительно
новой переменной h = 5Ж+* .
Указание. При исследовании условий существования двух решений
использовать свойства показательной функции.
Решение. Если принять, что Ъх = f(x) > 0, а 5
имеет однородный вид:
д(х) > 0, то уравнение
f(x) - (26 + 5)f(x)g(x) + 10bg2(x) = 0.
Делим обе части на д2(х) > 0 и заменяем h(x)
1
9 (х)
\χ+ί
. Так как сумма
взаимно обратных чисел х-\— не меньше 2 для положительных ж и не больше —2
χ
для отрицательных ж, то функция h{x) может принимать значения из множества
U [25; +оо), причём каждое свое значение, кроме граничных ( — и 25 I ,
*ъ
25
функция принимает ровно при двух значениях ж, а граничные - только в одной
точке (—1 и 1 соответственно). Рассмотрим получившееся квадратное уравнение:
h2(x) - (2b + 5)ft(x) + 106 = 0.
Найдём дискриминант D = (2b + 5)2 — 4 · 106 = (26 — 5)2.
1) Если D = 0
и h(x)
не принадлежит множеству значении
функции, то есть при 6 = - решений нет.
2) Если 6 φ -, то h(x)
26 + 5-26 + 5 г 7/ч 26 + 5 + 26-5 ^7
= 5 или п[х) = = 26.
Уравнение h(χ) = 5 решений не имеет. Исходя из множества значений функции
h(χ), уравнение h(x) = 26 будет иметь два решения при условии:
0< 26 <
26 > 25;
1
255
0<6<
1
50;
6>
25
Ответ. (0; —JU

528
Указания и решения
Задача 13. (Почв-80.4)
Решить неравенство (4ж2 - 16ж + 7) · log2 (χ - 3) > 0.
Идея. Учитывая рациональность первого сомножителя, решить неравенство
модифицированным методом интервалов с условиями равносильности.
Указание. Выражение log2 f(x) имеет тот же знак на области определения
(f(x) > 0), что и выражение f(x) — 1.
Указание. Неравенство преобразуется к виду (4ж2 — 16х + 7) {х — 4) > 0, где
χ > 3.
Решение. Воспользуемся модифицированным методом интервалов. Логарифм
log2 f(x) при f(x) > 0 имеет тот же знак, что и f(x) — 1, поэтому исходное
неравенство при χ > 3 равносильно следующему:
(4ж2-1бж + 7) (ж-3-1) >0 ^^ (2ж-7)(2ж-1)(ж-4)>0 ^^
<*=> х^ (252) и(4>+°°)·
+ +
QV////////////////////////////////Q ς(/////////^
1/2 7/2 4
Учитывая, что ж > 3, получаем xG ( 3; - I U (4; +00).
2
Ответ. ( 3;- ) U (4;+оо).
Задача 1^. (Геол-95.4)
3* - 2
Решить неравенство — ^ 0·
х2 — 6х + 5
Идея. Разложив знаменатель на множители, использовать модифицированный
метод интервалов (заменить числитель выражением того же знака).
Указание, х2 — 6х + 5 = (х — 1)(х — 5); выражение 3х — 2 имеет тот же знак,
что и ж — log3 2.
Решение. Воспользуемся модифицированным методом интервалов. Выражение
3х — 2 имеет тот же знак, что и выражение ж — log3 2, поэтому исходное
неравенство равносильно следующему:
s-log32 <Q ^ xG(-oo;log32]U(l;5).
(χ — 1)(х — 5)

11.3. Расщепление в показательных...
529
+ +
ШШШПЬ ullllUltlllltltllllllllltltltb ^ х
log3 2 1 5
Ответ. (-oo;log32] U(l;5).
Задача 15. (ЕГЭ)
Укажите количество целых решений неравенства (2х — 1)(25 — Ъх) > 0.
Идея. Использовать модифицированный метод интервалов.
Указание. Используя модифицированный метод интервалов, сделать
равносильный переход: (2х - 1)(БХ -25) <0 ^^ (х-0)(х-2) < 0.
Решение. Используя модифицированный метод интервалов, сделаем
равносильный переход:
(2х -2°)(5х -52) <0 ^^ (ж-0)(ж-2)<0 ^^ 0 < χ < 2.
В этом интервале только одно целочисленное решение χ = 1.
Ответ. Одно.
Задача ί0. (ЕГЭ)
Решите неравенство < 0.
Идея. Использовать модифицированный метод интервалов.
Указание. Используя модифицированный метод интервалов, получить:
(х-Уз)(х + Уз) ^Q
χ - log3 4
Решение. Используем модифицированный метод интервалов:
х2-3 Л (ж-л/3)(я + л/3) л / \ /
3^4 <° ^ *-log34 <0 ~ ^(-oo;-^)u(log34;^
Ответ. (-оо;-л/3) U ^34;л/3).
Задача 17. (Экон-93.1)
Решить неравенство log7*_625<2.
Идея. Использовать модифицированный метод интервалов.
Указание. Сделать замену t = 7х > 0, привести неравенство к виду
log5(£-6)-l Л
; > U и применить модифицированный метод интервалов.
log5(t-6)-0

530
Указания и решения
Решение. Сделаем замену t = 7х > 0, перейдём к логарифму по основанию 5
и приведём всё к одному знаменателю:
1 „ _ log5(i-6)-l
1
>0
log5(i-6) log5(i-6)-0
Применим модифицированный метод интервалов:
>0
(ί-6)
(ί - 6) - 1
ί - б > 0;
>0,
t-11
t-7
t>6;
>0,
Значит, log7 6 < χ < 1 или χ > log7 11.
Ответ. (log7 6; 1) U (log7 11; +oo).
6 < t < 7;
t> 11.
Задача 18. (М/м-91.2)
bg3 (1 - γ
Решить неравенство — > 1.
log9 2x
Идея. Перейти к логарифмам по основанию 3, перенести всё налево и решить
неравенство модифицированным методом интервалов.
Указание. Перейти в знаменателе к логарифму по основанию 3:
21og3 1
Зх
1 >0
21og3(l-y ) -bg32x
log3 2x log3 2x - log3 1
Указание. Применить модифицированный метод интервалов:
>0.
1
Зх
2х
Зх
> 0, 2х > 0, 1 > 0.
~ ' ' 2
2ж-1
Решение. Перейдём в знаменателе к логарифму по основанию 3:
21og3 1
Зх
21og3 1
1 >0
Зх
log3 2x
log3 2x
Применим модифицированный метод интервалов:
log3 2x - log3 1
>0.
'-тУ
2х
1
Ответ.
2ж-1
2х > 0,
Зх
>0,
>0;
2 1
9'2
( 9х2 - 20ж + 4
2ж-1
χ > 0,
2
# < :т;
>о,
2 1
77 < ж < «·
9 - 2

11.3. Расщепление в показательных...
531
Задача 19. (Почв-79.2)
Решить неравенство
<
log3(>2 - 7ж + 12) log320*
Идея. Приведя дроби к общему знаменателю в левой части неравенства, перейти
к равносильной системе неравенств через модифицированный метод интервалов.
logo 20 - logo(>2 - 7х + 12)
Указание. Неравенство — г—ζ — < 0 равносильно системе
log3(x2-7x + 12)log320
' 20 - (χ2 -7х + 12)
χ2 - 7х + 12 - 1
ό2 - 7х + 12 > 0.
<0,
Решение. Перенесём все слагаемые в левую часть и приведём к общему
знаменателю:
log320-log3Qr2-7x + 12)
log302 - 7χ + 12) log3 20
и применим модифицированный метод интервалов:
< х2 - 7х - *
20 - (х2 -7х + 12)
О2 - 7х + 12) - 1
х2 - 7х + 12 > 0;
<0,
-7ж + 11
ж < 3;
ж > 4.
>0,
Первое неравенство решаем методом интервалов. Корни числителя —1; 8. Корни
7±Vb ЛГ 1 7-л/^ 0 , 7 + л/5
. Учитывая, что —1 < < о < 4 < <
знаменателя
получаем
же(-оо;-1)и [!—^;3) U (4;
2
7 + л/5'
U(8;+oo).
+ - + +
//////Q tf///////ft///////ty/////////Q Q^/////^
7"^5 0 „ 7+V5 Q
1 —^— 3 4 -τς— 8 χ
Ответ. (_oo;-l)U ( ^—^;3 ) U ( 4; ^^ ) U (8;+оо).
Задача 20. (ВМК-97.2)
Решить неравенство log ι 2 < log2;c2

532
Указания и решения
Идея. Перейдя в логарифмах к постоянному основанию и приведя все
получившиеся дроби к общему знаменателю в левой части неравенства, использовать
модифицированный метод интервалов.
Указание. Неравенство приводится к виду
log2(l -χ2) -log22x2 <o
log22x2 -log2(l -χ2)
Указание. Выражение log2 f(x) — log2 g(x) имеет на области определения
(f(x) > О, д(х) > 0) тот же знак, что и f(x) — д(х).
Указание. Заменив логарифмы рациональными выражениями, применить для
решения стандартный метод интервалов.
Решение. Перейдём к логарифмам с постоянным основанием:
1 1 _ log22x2-log2(l-x2)
>
>0.
log2 (1 - χ2) log2 2x2 log2 2x2 · log2 (1 - χ2)
На области определения данное неравенство равносильно системе
(модифицированный метод интервалов):
2х2 - 1 + х2
(2ж2-1)(1
1 - х2 > 0,
2х2 > 0;
1)
>о,
(Зх2
1
2,2-1<0'
-1 < χ < 1,
[х^О;
< х2 <
1
Ответ.
"ч/2; ч/3^и(ч/з;л/2
7!<и<71·
1
Задача 21. (ИСАА-91.5)
Решить неравенство loglogl x log ι χ > 0.
Идея. Перейти к равносильной системе условий через модифицированный метод
интервалов для логарифмов.
Указание. Используя модифицированный метод интервалов, перейти к системе
(logi χ — l)(logi χ — 1) > 0,
logi x > 0,
logi χ > 0.
Решение. Перейдём согласно модифицированному методу интервалов к
равносильной системе:
ι м ^ о- ^
χ ι ι - - χ > О,
(logi χ - l)(logi χ - 1) > 0,
logi χ > 0,
logi x > 0;
0 < χ <
Г
1
< χ < 1.
Ответ. (o;^uQ;l

11.3. Расщепление в показательных...
533
Задача 22. (М/м-89.2)
л/2 - х2 + 2х + χ - 2 ^п
Решить неравенство у- г < U.
log3 ( 2 -χ) +1оёз2
Идея. Используя формулу суммы логарифмов, заменить знаменатель
рациональным выражением того же знака и применить расщепление неравенства.
Указание. log3 (§ - х) + log3 2 = log3 (5 - 2х) и имеет ТОТ же знак, что и вы-
ражение (5 — 2х) — 1.
Указание. Используя модифицированный метод интервалов получить, что
в области ( — оо; - 1 исходное неравенство равносильно следующему:
л/2 - х2 + 2х + χ - 2
х-2 _
Далее использовать расщепление.
Решение. Преобразуем знаменатель дроби по формуле суммы логарифмов:
л/2 - х2 + 2х + χ - 2
log3(5-2x)
Выражение log3 f(x) имеет при f(x) > 0 тот же знак, что и f(x) — 1
(модифицированный метод интервалов), поэтому
л/2 - х2 + 2х + χ - 2
4-2х " '
5 - 2х > 0;
л/2 - х2 + 2ж + ж - 2 > 0,
!) ^-2>0,
<
куп
V2
2<
г л/2 - ж2 + 2х + ж -
х-2
5
И 2'
ности систем.
- х2 + 2ж > 2 - ж,
5
-2
>0,
-Ollilitllttllb-
-· ^ χ
1-V3" 2 5/2 1+V3"
Первое неравенство системы выполняется везде на своей области определения
5
[1 - ν/3; 1 + \/3]; значит, 2 < χ < - .
2) {
{ у/2 - х2 + 2х + χ - 2 < 0,
х-2<0, ^ \у/2-х2+2х<2-х,
5 |а; <2.

534
Указания и решения
Неравенство с радикалом решается возведением в квадрат:
2 - х2 + 2х > О,
χ < 2,
2-х2 + 2х < (2 -х)2\
χ2 - 2х - 2 < О,
ж < 2,
ж2 - Зх + 1 > 0;
fl -л/3 <ж< 1 + л/З,
χ < 2,
З-л/5
ж <
2 '
З + л/5
at η З-л/5 3 о 3 + 2 З + л/5
Сравним числа: 1 — V3 < 0 < < - < 2 < < ; осталось
2 2 2 2
сравнить
З + л/5
V 1 + л/З
З + л/5 V 2 + 2л/3
1 + л/5 V 2л/3
6 + 2л/5 V 12
л/5 < 3;
ψ/////////////{
-^- χ
1-V3 3-V5" 2 3+V5" 1+V3"
значит, во втором случае получаем
1 -л/3 <х <
З-л/5
Ответ.
1-л/З;
З-л/5
U 2;
11.4. Смешанные задачи
Задача 1. (ЕГЭ)
Укажите число корней уравнения (2х -32)л/3^ = 0.
Идея. Использовать расщепление уравнения стандартным образом.
или χ = 3.
X _^ О;
Решение. Уравнение равносильно совокупности
" (2χ2 =32,
|з-ж>0; <^>
_3 — χ = 0;
" |х2 = 5,
|ж < 3;
_ж = 3;
следовательно, уравнение имеет три корня.
Ответ. Тр
и.
^=>
ж = \/5;
ж = —л/5;
_ж = 3;

11.4- Смешанные задачи
535
Задача 2. (Геогр-98.1)
Решить неравенство
л/-Ах2 + 13ж - 3 + 1
log3a; 7
>0.
Идея. Рассмотрев знаки числителя и знаменателя дроби, перейти к
равносильной системе условий.
Указание. Числитель дроби на своей области определения заведомо
положителен, поэтому достаточно потребовать на области определения радикала
положительности её знаменателя.
'logs* 7 > О,
Указание. Неравенство равносильно системе
-Ах2 + 13ж - 3 > 0.
Решение. Поскольку числитель дроби на области определения положителен,
неравенство равносильно системе
log3x 7 > 0,
-Ах2 + 13ж - 3 > 0;
χ е ( -;3
Ответ. ( -; 3
Задача 3. (Экон.К-83.2)
Решить уравнение л/А — х2 · (sin27nr — 3ΰθδπχ) = 0.
Идея. Использовать расщепление уравнения стандартным образом.
Указание. Уравнение равносильно совокупности
А-х2 =0;
J sin 2πχ — 3 cos πχ = 0,
I 4 - χ2 > 0.
Решение. Расщепляя уравнение стандартным образом, получаем совокупность
4-х2 =0;
isin27nr — 3cos7nr = 0,
4 - χ2 > 0.
1) Решения первого уравнения χ = ±2.
2) Рассмотрим тригонометрическое уравнение:
2 sin πχ cos πχ = 3 cos πχ
cos7nr = 0;
3
sni7nr = - > 1;
2

536
Указания и решения
В]
^
7ГЖ =
= 2+™'
ыполняя отбор по условию 4 —
ί-2<η + 1
гае Ζ;
<2,
^, :>
η G Ζ
χ2 > 0
Н£
nGZ:
^^
^
3
п<-,
|х
X =
<2
—hn, η G Ζ.
получим систему
> nG{-2;-
-1;0;1};
3 1 1
при η = —2 ж = — - ; при η = — 1 ж = — - ; при η = 0 χ = - ; при η = 1
3
х=-.
1 3
Ответ. ±-; ±-; ±2.
2' 2'
Задача 4- (М/м-99(2).1)
Решить уравнение (х2 + 4) lg sin2 Зх + ж2 lg cos2 2x = 4 lg (cos 2ж sin3 Зх).
Идея. Преобразовав логарифмические выражения с учётом их области
определения, сгруппировать слагаемые в уравнении для разложения на множители.
Указание. После преобразования логарифмов получаем
х2 · lg(sin2 Зх · cos2 2χ) — 4 lg(cos 2x · sin Зх) = 0.
Указание. После группировки и разложения на множители с последующим
расщеплением получаем совокупность
р = 2,
1 sin Зх cos 2x > 0;
lgsin3xcos2x = 0.
Указание. Требование sin3xcos2x > 0 при х2 = 2 проверить
непосредственной подстановкой.
Указание. Тригонометрическое уравнение sin3xcos2x = 1 удобнее всего
решать сведением к сумме sin 5х + sin χ = 2, что равносильно системе
isin5x = 1,
sinx = 1.
Решение. На области определения (sin Зх cos 2х > 0) преобразуем слагаемые по
формулам для логарифмов, после чего разложим на множители:
х2 · (lg sin2 Зх + lg cos2 2x) — 4(lg(cos 2x · sin3 Зх) — lg sin2 Зх) = 0 <^>
<^> χ2 · lg(sin2 3x · cos2 2x) — 4 lg(cos 2x · sin Зх) = О <^>
^^ (x2 - 2) lg (sin 3x cos 2x) = 0.

11.4- Смешанные задачи
537
Полученное уравнение равносильно совокупности
р = 2,
1 sin3xcos2a; > 0;
lgsin3xcos2a: = 0.
1) Из первого уравнения получаем χ = ±л/2; условие sin3xcos2a: > 0
проверяем непосредственной подстановкой:
• при χ = л/2 sin Зж cos 2ж = sin 3л/2 cos 2 \/2;
cos 2л/2<0, так как угол 2л/2 лежит во II четверти;
sin Зл/2 <0, так как π < Зл/2 < 3 · - = - < -— , то есть угол Зл/2 лежит
в III четверти;
значит, sin Зл/2 cos 2л/2 > 0, то есть значение χ = л/2 подходит;
• при χ = —л/2 sin3xcos2a; = — sin Зл/2 cos 2 л/2 < 0, то есть χ = —л/2 не
подходит.
2) При решении второго уравнения совокупности воспользуемся ограниченностью
синуса:
sin Зх cos 2x = 1
sin5x + sin ж = 2
sin5x = 1,
sin ж = 1;
π 2πη _
χ = ϊο + —' neZ'
π
ж = —h 2πτη, τη G Ζ;
ж = —h 2πτη, τη G Ζ.
9π/1θ/^
13π/10^-
ιπ/2
\π/10
--^17π/10
Ответ, λ/2; —Κ2πτη, τη G Ζ.

538
Указания и решения
Задача 5. (М/м-97.2)
Решить неравенство (1 — — ) log13_3.2* 4 < 1.
Идея. Преобразовать неравенство в логарифмическое; затем перейти к
равносильной системе условий с помощью модифицированного метода интервалов для
логарифмов.
1_ £
Указание. Переписав неравенство в виде \og13_3.2x ^ 2 — 1 < 0,
воспользоваться утверждением о том, что на области определения неравенство
1°ёа(ж) f(x) ~ 1 — О равносильно системе
( (a(x)-l)(f(x)-a(x))<0,
а(х) > О,
а(х) φ 1,
ί(χ) > о.
Указание. Неравенство равносильно системе
4
13 + 3 -2* <0
(13-3-2* -1)
13-3-2* >0,
13-3-2* φ 1.
Решение. Используем для перехода от логарифмического неравенства к
равносильной ему системе условий модифицированный метод интервалов:
log
13-3-2*
2 < 1
(13-3-2* -1)
13-3-2* >0,
13-3-2* φ 1;
log
2х
13-3-2Ж 2х 1 — 0
13 + 3-2* ) < 0,
(4-2*)(3-4* -13-2*+ 4) <0,
о* I3
< 3'
2*^4;
(2ж-4) (2Ж - -\ (2х -4) >0,
13 <=►
< 3'
2х φ 4;
значит, χ € [— log2 3; 2) U ( 2; log2
13
Ответ. [-log2 3; 2) U ( 2; log2 у ) .
3 ~ 3
2*^4;

11.4- Смешанные задачи
539
Задача 6. (М/м-73.1)
Решить уравнение cos 2х + log4 - sin χ + 2 cos x log ι sin χ = 2 cos ж + sin2 ж log2 sin2 χ.
Идея. Применив формулу косинуса двойного угла и перейдя к логарифмам по
одному основанию, вынести логарифмы за скобки и разложить на множители.
Указание, cos 2x = 1—2 sin2 ж; log4
sin ж
1 /sin ж
2bg2 —
1, . 1
-log2sinx
2'
log2 sin2 ж = 2 log2 sin χ при sin χ > 0.
Указание. Уравнение раскладывается на множители:
1
2 sin χ + 2 cos £—-1(1 + log2 sin χ) = 0.
Решение. Применим формулу косинуса двойного угла и перейдём к
логарифмам по основанию 2:
1 — 2 sin2 х-\— (log2 sin χ — 1) — 2 cos χ · log2 sin χ = 2 cos χ + 2 sin2 ж · log2 sin ж <^>
log2 sin χ
2 cos ж — 2 sin χ
2 cos ж h 2 sin ж
- — 2 cos ж — 2(1 — cos2 x) = 0,
sin ж > 0;
L log2sinx = — 1;
Из первого уравнения получаем cos x -
2π
4 cos2 χ — 4 cos χ — 3 = 0,
sin ж > 0;
1
sin χ
1 3 л
- и cos x = - > 1; с учетом условия
sin ж > 0 остаётся χ = —- + 2πη, η G Ζ.
о
1 π
Из уравнения sin ж = - находим χ = ( — 1)к—Ь π/с, к Ε Ζ.
.ζ и
Ответ. -^+2тгп, (-l)fc^+7rfc; n,keZ.
ό О
Задача 7. (Физ-86.3)
Решить систему < . . ^9
2 sin χ + sin 2ж = 2 cos
Идея. Решить тригонометрическое уравнение независимо от показательного,
после чего вычислить обе переменные с учётом дополнительных условий.
Указание. Для решения тригонометрического уравнения использовать
формулы синуса двойного угла и понижения степени для косинуса.
Указание. Из показательного уравнения найти у: у = log3 х, где χ > 0.

540
Указания и решения
Решение. Отдельно рассмотрим тригонометрическое уравнение:
2 sin ж + 2 sin ж cos ж = 1 + cos ж <^> 2sinx(l + cos ж) = 1 + cos ж
cos ж = — 1;
1
sin ж = -;
χ = π + 2πη, η Ε Ζ;
7Γ
χ = \- 2πτη, πι e Ζ;
6
ж = — + 2тг&, fc Ε Ζ.
6
Из первого уравнения исходной системы
3^ = χ > 0 <^> ?/ = 1°ёз ж> ж > 0.
"χ = π + 2πη, у = log3 (π + 2πη), η Ε No;
В итоге получаем
7Г /7Г
χ = — + 2πτη, ?/ = 1°ёз ( —Ι" 27Γ7Π ] , τη Ε No;
6
5π
~6~
27г/с, 2/ — 1°£
6
,3 ι у+2πΛ) , /cEN0.
Ответ, (π + 2πη;1(^3(π + 2πη)),
6
V6
2ππι; log3 ( — + 2ππι) ) ,
-^ + 27rfc; log3 ί -^ + 2πΛ ) ) ; η, ш, /с Ε Ν0.
Задача 8. (Геол-96.3)
Найти все решения уравнения
интервалу (0; π).
cos 10x — cos Sx cos 6x — cos Ax
2x2 + их — π2 2ж2 + πχ — π
—, принадлежащие
Идея. Уравнение выполнено при равенстве числителей дробей с отбором
решений по ненулевому знаменателю и заданному интервалу.
Указание. Равносильная система
cos 10х — cos Sx = cos 6x — cos 4x,
2x2 + πχ - тг2 φ 0,
0 < ж < π.
Решение. Данное уравнение с учётом дополнительного условия равносильно
системе
cos 10х — cos Sx = cos 6x — cos 4x,
< 2x2 + πχ - π2 φ 0,
0 < ж < π.
Рассмотрим уравнение
cos 10х + cos 4ж = cos Sx + cos 6x
2 cos 7ж cos 3x = 2 cos 7ж cos ж

11.4- Смешанные задачи
541
cos 7х = 0;
cos3x = cos ж;
cos 7х = 0;
sin 2х sin χ = 0;
π
π πη
—, к е ъ.
Осталось учесть условия χ ^ — π, χ ^ —, 0 < ж < π; после отбора остаются
π 3π 5π 9π 11π 13π
значения — , — , — , — , , .
14' 14' 14' 14' 14 ' 14
Γ π 3π 5π 9π 11π 13πΊ
0твеТ. |_;_;_;_;_;_|.
Задача 9. (М/м-98(2).2)
Решить неравенство
1 + log^2 л/^ + 4 + log ι (13 - χ)
|ж2 + 2ж-3| - |2χ2 - 10ж + 8|
>0.
Идея. Приведя числитель к разности логарифмов по одному основанию и
разложив знаменатель на множители, использовать модифицированный метод
интервалов для перехода к равносильной системе условий.
Указание. Числитель дроби приводится к виду
1 + log2(x + 4) - log2(13 - χ) = log2(2x -
log2(13-x)
и на области определения имеет тот же знак, что и разность (2х + 8) — (13 — х).
Указание. Знаменатель преобразуется к виду
■2ж-3| - \2х2 - 10ж + !
II
= \х- 1| · |ж + 3|
|ж + 3| - |2ж-8|
■2|ж-II
и на области определения имеет тот же знак, что и разность (х + З)2 — (2х
Указание. Искомое неравенство равносильно системе условий
>0,
2ж + 8- 13 +ж
(х + З)2 - (2х - 8]
хф\,
-4<х < 13.
Решение. Преобразуем числитель и знаменатель дроби:
log2(2x + 8) - log2(13 - χ) log2(2x + 8) - log2(13 - χ)
i|
■ 3| - 2\x - 1| · \x - 4| \x - 1| · (|ж + 3| - |2ж ■
Учитывая, что всегда |х — 1| > 0, и применив модифицированный метод
интервалов (разность логарифмов и разность модулей заменяем на выражения того же
знака с учётом области определения), переходим к равносильной системе
( 2ж + 8 - (13 - ж)
(х + З)2 - (2х - 8);
-4 <х < 13,
[х^1;
>0,
Зж — 5
(Зж-5)(ж-11)
-4<х < 13,
<о,

542
Указания и решения
5
значит, —4 < χ < 11, χ φ\, χ φ -.
о
Ответ. (-4;l)u(l;^u(|ll
Задача 10. (Почв-97(1).4)
Решить неравенство ^f~^f > 0.
Идея. Привести числитель и знаменатель к показательным выражениям и
воспользоваться модифицированным методом интервалов.
Указание. Удобно ввести параметрическую замену а = log2 3 > 1; тогда
неравенство приводится к виду > 0 при χ φ 0.
а~х — а
Решение. Обозначив log2 3 = а > 1, получаем равносильную систему, которую
решаем модифицированным методом интервалов:
а
2
. я-2 „ (х-2 Л
α"*-α ' <=> ί-χ-1 ^^ <ж + 1
^0; (ж^О; [х^О;
Ответ. (-1;0)U(0;2).
Задача 11. (ИСАА-92.5)
Решить неравенство log ι | cos ж | -log5(a;2 -9) < 0.
Идея. Воспользовавшись модифицированным методом интервалов, свести
неравенство к системе условий.
Указание. Выражение \ogaf(x) имеет тот же знак при а>\ и f(x) > 0,
что и выражение f(x) — 1.
Указание. Исходное неравенство равносильно системе
'(|cosx| -1)02 -10) >0,
cos ж φ 0,
х2 - 9 > 0.
Указание. Так как |cosx| < 1 всегда, получаем неравенство 3 < \х\ < λ/ΪΟ
7Г77/
с отбором корней по условию χ φ —, η Ε Ъ.
Решение. По формуле преобразования логарифма получаем
log2|cosx| -log5(x2 -9) > 0;
учитывая, что loga f(x) имеет при а>\ и f(x) > 0 тот же знак, что и f(x) — 1,
переходим к равносильной системе

11.4- Смешанные задачи
543
|cosx| -1)(ж2-10) >0,
9>0,
cos ж φ 0.
Первый множитель всегда отрицателен, кроме случая | cosx| = 1, поэтому
'9<ж2<10' μ<\χ\<ντο,
cosx φ ±1; ν 2
единственным подозрительным числом на интервале (3; ν 10) является значение
π > 3; проведём сравнение:
π V λ/ΪΟ
π < 3.15 V λ/ΪΟ
315 V ΙΟΟλ/ΪΟ
63 V 20λ/Ϊ0
632 = 3969 < 400 · 10 = 4000;
следовательно, π < 3.15 < ν 10, то есть π Ε (3; ν 10). Таким образом, окончательно
получаем 3 < \х\ < λ/ΪΟ, \х\ φ π.
Ответ. (-λ/ΪΟ; -тг) U (-π; -3) U (3; тг) U (тг; λ/Ϊ0) ·
Задача i2. (Хим-93(1).4)
( 6х2 + 17ху + 7у2 = 16,
Решить систему уравнений <
[log2;c+2/(3a: + 7i/) = 3.
Идея. Разложить левую часть первого уравнения на множители и
воспользоваться определением логарифма во втором уравнении системы для подстановки.
Указание. Левую часть первого уравнения раскладываем на множители:
6х2 + 17 ху + 7 у2 = (2х + у)(3х + 7у);
из второго уравнения получаем (2х + у)3 = Зх -\-7у при 0 < 2х + у φ 1.
Решение. Разложим на множители левую часть первого уравнения:
6х2 + 17ху + 7i/2 = 6ж2 + Зху + 14ж^/ + 7у2 =
= Зж(2ж + у) + 7?/(2ж + 2/) = (2ж + у)(3х + 7?/).
Во втором уравнении системы на области определения воспользуемся
определением логарифма:
(2х + yf = 3x + 7y при 0 < 2х + у φ 1.

544
Указания и решения
В результате получим систему
'(2х + у)(3х + 7у) = 16,
Зх + 7у = (2х + у)3,
2х + у > О,
из уравнений выражаем (2х + у)4 = 16, то есть 2х + у = 2. Тогда из первого
уравнения следует, что Зх + 7у = 8. Итак,
2х + у = 2,
Зж + 7i/ = 8;
2/ = 2 - 2ж,
Зж + 14 - 14ж
6
ΪΓ
10
Ответ.
6 10
ϊϊ'ϊϊ
Задача 13. (М/м-98(1).3)
Решить неравенство
χ
2 +1 I •log3(-2x-a:2) >log3 . 2
• log2(—2ж — ж2).
Идея. Разложив выражение на множители, применить модифицированный
метод интервалов.
Указание. Модифицированный метод интервалов для данного неравенства:
выражение \ogaf(x) имеет тот же знак при а>\ и f(x) > 0, что и выражение
f(x) — 1; выражение \ogaf(x) — \ogag(x) при а > 1 имеет тот же знак, что и
/(ж) -д(х).
Указание. После применения модифицированного метода интервалов на
области определения —2 < χ < 0 получим неравенство (ж+1)2
Решение. Область определения
f-2x-
X > -
\1х+
N
. 2
-х2
11
У'
11
Τ
3
2>
>
+
Ό
0
2
1
+ 1 >0,
2 < ж < 0,
+ 1 ;
1 ) < 0, то есть
заметим, что при — 2 < χ < 0 справедлива оценка — 1 < -
второе условие последней системы выполнено автоматически; значит, областью
определения будет множество — 2 < χ < 0.

11.4- Смешанные задачи
545
Перейдём в обеих частях исходного неравенства к логарифмам по основанию 2,
перенесём все слагаемые в левую часть и разложим на множители:
bg2
х + у + | + 1 ) bg2(-2x - χ2) > log3 ( γ + § ) log2(-2z - xz)
bg2(-2x - **) I log3 I ^ + γ + f + 1 j - log3 (^ + I) j>0.
Применим модифицированный метод интервалов (выражение loga /(ж) имеет
тот же знак при а > 1 и /(ж) > 0, что и выражение f(x) — 1; выражение
loga /(ж) — logag(x) при a > 1 имеет тот же знак, что и f(x)—g(x)):
(-2х-х2 -1)
11 χ
Ж + Т+2+1
>0
-,χνι/ 11 х \х\ 1 \
(* + 1)^+Τ+2-Τ-2^0;
ж = — 1 - решение. Далее рассмотрим последний сомножитель, на области
определения \х\ раскрывается с минусом:
11 χ χ 1
Ж+Т+2 + 2-2^°
11 1
* + у<2-*;
на области определения χ > 0, поэтому возводим обе части неравенства в
квадрат без дополнительных ограничений:
И 1 2
χ -\ < - + χ — χ
? 21 Л
х2 - 2х > О
4 ~
χ <
χ >
с учётом условия — 2 < χ < 0 получаем — 2 < χ < —.
О'
U{-1}.
Задача lJ^. (ИСАА-95.5)
Решить неравенство л/Ах — х2 — 3(\/2cosa; — ^/1 + cos 2х) > 0.
Идея. Использовать стандартный метод расщепления.
Указание. Область определения Ах - х2 - 3 > 0, то есть χ = 1 и ж = 3
являются корнями исходного неравенства, а при 1 < χ < 3 оно равносильно
тригонометрическому неравенству v2cosx — л/1 + cos2ж > 0.

546
Указания и решения
Указание. Заметив, что под радикалом в тригонометрическом неравенстве
стоит 2 cos2 ж, получаем cosx > | cosx|.
Указание. Учитывая ограничение 1 < χ < 3, неравенство cos χ > 0 выгоднее
решать на тригонометрической окружности.
Решение. Прежде всего заметим, что л/1 + cos 2x = л/2\ cosx\, поэтому область
определения задаётся единственным условием Ах — х2 — 3 > 0 <^> xG [1; 3].
Первый сомножитель исходного неравенства (радикал) неотрицателен на
области определения. Нули первого сомножителя χ = 1 и χ = 3 являются
решениями неравенства.
В остальных случаях при χ Ε (Ι; 3) требуется
исследовать неотрицательность второго сомножителя: А
π/Γ*
cos χ — л/l + cos 2x > 0 <^>
cos ж < cos ж
cos ж > 0.
Отметив соответствующие секторы на тригонометриче-
7Г
ской окружности, получаем, что 1 < χ < —. Объединя-
π
ем с ранее полученными значениями: 1 < χ < — или
χ = 3.
cos(x)>0
Ответ.
U{3}.
Задача 15. (Биол-88.5)
Решить систему уравнений
' πχ . π (2χ - у - 2)
V 3 cos — + sin
3 - χ2 - у2 + 2х - 3
πχ π (2х — у) г- π (2χ — у)
3 cos Ь sin = γ 3 cos .
2 6 6
Идея. Расщепить первое уравнение и решить получившуюся равносильную
совокупность двух систем.
Указание. Область определения исходной системы удобно интерпретировать
как круг на координатной плоскости с центром в точке (1; 0) и радиусом, равным
двум.
Указание. Используя метод вспомогательного аргумента, преобразовать
второе уравнение к виду:
3 πχ ίπ(2x — y — 2)
-cosT+smi
0.
Указание. Одна из полученных при равносильном переходе систем является
тригонометрической. Решением этой системы будет семейство прямых. Для
отбора решений удобно использовать получившийся при поиске области определения
круг.

11.4- Смешанные задачи
547
Указание. Второй получающейся при равносильном переходе системой
является смешанная:
'3-х2 -у2 + 2х = 9,
3 πχ . ( π (2χ — у — 2)\
2C0ST+S14 6 1=°-
Указание. Выделив в первом уравнении полный квадрат по ж, показать, что
оно не имеет решений.
Решение. Прежде всего найдём область
определения системы:
χ
у2 + 2х > О
(x-l)2 + i/2<4;
на плоскости Оху это круг с центром (1;0) радиуса 2.
Второе уравнение преобразуем с использованием
метода вспомогательного аргумента:
πχ .π (2х — у) /-
3 cos — + sin = ν 3
cos
π (2s - у)
6
3 πχ 1 . π (2χ — у) л/3 π (2χ — у)
- cos 1— sin cos
2 2 2 6 2 6
3 πχ (π (2x — у) π
<^> - cos — + sin —
2 2 V 6 3
3 πχ (π(2x-y-2)
-cosT+sm
0.
Расщепляя первое уравнение системы, получаем два случая.
= 0,
0.
!) К
г- πχ . ж(2х-у-2)
V о cos h sin
3 πχ π (2χ — у — 2)
_cos_ + sin _
Вычитая одно уравнение из другого, получаем cos -
πχ
0, значит, и
sm
π (2χ - у - 2)
6
Решаем тригонометрические уравнения:
0.
■ πχ π
Ύ ~ ~2
π(2x-y-2)
6
πη, η G Ζ,
πτη, πι G
χ = 2η + 1, η G Ζ,
2χ — у = 6т + 2, τη G
Учитывая область определения, получаем, что для ж = 2п + 1, η ^Ъ (нечётное
целое) возможны три значения: —1, 1, 3, причём для двух крайних единственно
возможным значением второй переменной является у = 0.

548
Указания и решения
• Если χ = — 1, то у = 0; второе уравнение системы 6т
решений при т Ε Ъ.
-4 не имеет
• Если ж = 1, то ?/ Ε [—2; 2]; уравнение 2х — у = бтп + 2 принимает вид
2/ = —бтп, τη Ε Ζ; из всех возможных значений подходит только т = 0,
в этом случае 2/ = 0; пара (1;0) является решением исходной системы.
• Если χ = 3, то у = 0; уравнение бттг = 4 не имеет решений при т Ε Ζ.
2 -l 2ж - 3 = 0,
^З-х2 - у
2) { 3 тпг . тг (2ж - 2/ - 2)
-cosT+sm
0.
Рассмотрим первое уравнение:
3 - х2 - у2 + 2х = 9 ^^ ж2 - 2ж + 1 + у2 = -5 Ф=
У данного уравнения, а также и у системы в целом, решений нет.
Ответ. (1;0).
(х-1)2 + у2
-5.
Задача 16. (Геол-95.5)
Решить уравнение ( 2λ/?>$\ιϊ(έχ + 3π) — tg (πχ — — j j · log2(4 — χ2) = 0.
Идея. Воспользоваться расщеплением уравнения стандартным образом.
Указание. Уравнение равносильно совокупности
{2\/3sin (πχ) — ctg7nr = 0,
4 - ж2 > 0;
|4-х2 = 1,
1 sin πα; т^ 0.
Решение. Так как sin(7rx + 3π) = — sin πα; и tg(7rx —
меняя расщепление, приходим к равносильной совокупности:
J 2\/3sin (πχ) — ctg7nr = 0,
[4 -χ2 >0;
flog2(4-x2)=0,
j sin πα; φ 0.
ctg7rx, то, при-
1) Рассмотрим первую систему:
J 2\/3sin7rx — ctg7rx = 0,
I 4 - ж2 > 0; ^^
cos πα; = 2\/3
sin πα; т^ 0,
-2 <х < 2;
sin2 πχ,
cos πα; = 2\/3sin27rx,
-2 <ж < 2.

11.4- Смешанные задачи
549
В последнем равносильном переходе использовалось то, что при shi7nr
может выполняться равенство cos7nr — °- ^™~2 '
О не
2л/3 sin πχ.
Найдём корни тригонометрического уравнения:
2л/Зсо827пг + cos7nr — 2л/3 = 0 <Ф=
1
COS7TX
<-1;
4л/3
6 _ л/3.
47з "^~;
^^ ж = ±- + 2fc, fc Ε Ζ;
6
отбираем корни по условию — 2 < ж < 2, учитывая к Ε Ζ:
• -2 < 2fc- - < 2
• -2 < 2fc+ - < 2
б
2) Решаем вторую систему:
U-x2 = 1,
| shi7nr т^ 0;
1 11
Ответ. ±-; ±л/3; ± —
6' ' 6
0;
то есть
-1;
х = -1/6;
х = 11/6.
Гж = -11/6;
|_х = 1/6.
χ = ±\/3,
±л/з.
Задача ί7. (М/м-75.5)
Найти все значения ж в промежутке —0,5 < ж < 1,5, удовлетворяющие
уравнению log3 ( sin Зх — cos 2х I = log3 ( sin 7χ — cos 6x
10
10
Идея. Перейдя к равносильной системе, решить в ней тригонометрическое
уравнение с отбором корней по заданным условиям.
Указание. Условие задачи равносильно системе
( sin Зх — cos 2x = sin 7x — cos 6x,
3
sin Зх — cos 2x
10
>0,
1,-0,5 < χ < 1,5.
Указание. Тригонометрическое уравнение приводится к виду
sin 2x(cos Ъх + sin 4x) = 0.
Ограничив его решения интервалом (—0,5; 1,5), удобнее всего подставлять их
в тригонометрическое неравенство, не решая его отдельно.

550
Указания и решения
Указание. Уравнение вида sin Ах + cos Ъх = 0 можно решить через формулу
приведения: sin4x = cos ( 4х — — ] .
Указание. Решениями основного тригонометрического уравнения являются се-
тгп _ π 27г/с . _
рии χ = —-, η £ £ и ж = — Η — , k G Ζ.
2π 4
Указание. При отборе решений возникает необходимость сравнения cos — V - ,
9 5
5π 1 /π 7Γ\
которое эффективно провести через промежуточный угол — = - ( 1— 1 .
Решение. Исходное уравнение (с учётом условия) равносильно системе
( sin Зх — cos 2x = sin 7x — cos 6x,
3
sin Зх — cos 2х — — > 0,
1,-0,5 < ж < 1,5.
Решаем тригонометрическое уравнение:
cos 6х — cos 2х = sin 7ж — sin Зх <^> — 2sin4xsin2a: = 2sin2xcos5a; <^>
sin2x = 0;
cos5x + sin4x = 0;
Сумму косинусов преобразуем в произведение:
πη
ж = —, η G Z;
cos 5ж + cos ( Αχ
/9х πλ /χ π\
2cosiT--jcos(- + i)=0
9ж π π Ί Ί _
у - - = - + тг/с, /с G Ζ;
ж π π _
- + - = -+πρ,ρ€Ζ;
COS
9ж π
0;
ίχ πλ
Lcos(- + I)=0;
π 2nk Ί _
ж = — Η —, к G Ζ;
ж = — + 2πτη, m G Ζ.
Заметим, что последняя из найденных серий ж = \- 2πτη, τη G Ζ полностью
πη
включается в серию χ = —, η G Ζ, поэтому решениями тригонометрического
уравнения будут две серии χ = -—, nGZ и ж = — Η —, к G Z. Подставим
эти серии в неравенство —0,5 < χ < 1,5:
• -0,5< ^ < 1,5
-1 < πη < 3 =^> η = 0;
=> -9 < тг(4/с + 3) < 27
Значит, для исследования остаются числа χ = 0, ж =
π 27г/с
• -0,5< - + — <1,5
6 9
18'
-1;0;1.
π 7π
6' Х = 18;
проверяем для них справедливость неравенства sin Зх — cos 2х > 0:

11.4- Смешанные задачи
551
3 3
• при χ = 0 sin О — cos О - = — 1 < 0, не подходит;
π / 7Г\ π 3 13 π ^
• при χ = sin — cos = cos — < 0, не подходит:
F 18 V 6/ 9 10 2 10 9 '
π . π π 3 1 3
• при χ = - sin - - cos - - — = - - — > 0, подходит;
π
значение χ = — является корнем уравнения и решением исходной задачи;
б
7π 7π 7π
—- sin— -
18 6
проведем сравнение:
• при χ = — sin cos —
F 18 6 9
3
10
1 2π
h COS
2 9
3
- —
10
2π
= cos
9
4
— —
5
2π 5π /l + cosff ι ι /π π\
cos— < cos—- = \ — = —fa/I + cos — Η—
9 24 V 2 Λ/2ν V4 6/
1 λ/3 1 11 /λ/8 + λ/3-1 \ /4
71' ~2~ ~ 71' 2 " 71V 71 V 5;
возведём обе части этого формального неравенства в квадрат:
л/8 + л/3 - 1 32
1= V —
л/8 25
л/3-1 7
-—^- ν —
2л/2 25
25л/3 V 14л/2 + 25
3-625 V 625 + 2 · 196 + 50 · 14л/2
625 - 196 V 350л/2
429 < 490 = 35-14 = 350-1,4 < 350 · л/2.
m 2π 5π 1 /л/8 + л/3-1 4 7π
1аким образом, cos — < cos —- = —= \ ■= < -; значит, χ = —
9 24 v^V л/8 5' 18
не подходит.
Ответ. —
6
Задача 18. (Экон.К-83.6)
Для каждого неотрицательного значения параметра а решить неравенство
а3х4 + 6а2х2 -ж + 9а + 3>0.
Идея. Разложив левую часть на множители, перейти к равносильной
совокупности условий путём расщепления.
Указание. Представив неравенство в виде а {ах2 + 3) > χ — 3, заметить, что
для разложения его на множители следует вычесть из обеих частей ах2.

552
Указания и решения
Указание. После разложения на множители неравенство приобретает вид
(ах2 — χ + 3) (а2х2 + ах + За + l) > О,
где второй сомножитель при а ф 0 всегда положителен в силу отрицательности
своего дискриминанта.
Замечание. Самым «неочевидным» преобразованием является вычитание из
обеих частей неравенства ах2 как величины, удобной и требующейся для
разложения на множители. Фактически получается, что левая часть имеет четвёртую
степень, а правая часть неравенства всего лишь первую: а (ах2 + 3) > χ — 3.
Единственно «разумной» формулой для понижения четвёртой степени является
разность квадратов, вследствие чего и вычитается х2 с коэффициентом (также
«логичным»), причём с тем расчётом, что после разложения левой части на
множители по формуле разности квадратов один из множителей окажется равным
«новой» правой части.
Как показала практика, объяснить преобразования именно так гораздо
проще, чем «таинственно» вычитать и прибавлять что-то в левой части исходного
неравенства под лозунгом «несложно видеть».
Другим путём разложения может оказаться метод неопределённых
коэффициентов, но в данном случае он громоздок.
Решение. Преобразуем левую часть и само неравенство к виду
а (а2х4 + бах2 + 9) > χ — 3 <^> а (ах2 + 3) > χ — 3;
вычитая из обеих частей ах2, получаем
а ((ах2 + З)2 - х2) > -(ах2 - χ + 3) ^^
<^> а(ах2 — χ + 3)(ах2 + χ + 3) > —(ах2 — χ + 3) <^>
<^> (ах2 — χ + 3)(а2х2 + ах + За + 1) > 0;
дискриминанты:
L>i = 1 - 12а,
D2 = a2 - 4а2(3а + 1) = а2(1 - 12а - 4) = -За2(4а + 1) < 0 при а > 0.
Если а = 0, то 0 > χ — 3 <^> χ < 3.
Если а ф 0, то L>2 < 0, поэтому второй множитель всегда положителен;
неравенство равносильно требованию ах2 — χ + 3 > 0; дискриминант квадратного
трёхчлена Di = 1 — 12а. Тогда
• если α = —-, то Ό\ = 0 и х2 — \2х + 36 > 0 при \/х Ε R;
• если α > —, то .Di < 0 и неравенство выполнено Vx Ε R;
1 1 - VI - 12α
• если α < — , то ж < или ж >
12' 2α
Ответ. Если α = 0, то χ < 3; если 0<α< — ,το χ < или
12 2α
1 + λ/1 - 12α 1
χ > ; если α > —, το χ Ε R.
2α ' ~ 12'
1 +
, 1 -
λ/1-
2α
-VI-
■12α
-12α

11.4- Смешанные задачи
553
а = —1;
а> 1.
Задача 19. (Экон-84.6)
Найти все значения параметра а, при каждом из которых ровно одно решение
неравенства х3л/а3 + а2 — а — 1 — x2\Ja3 + а2 + жл/&4 — &2 — а2 < 0 удовлетворяет
условию а < χ <2а + 1.
Идея. Вычислив область допустимых значений для параметра, разложить
неравенство на множители и исследовать его решение с точки зрения заданного
условия.
Указание. Из неотрицательности подкоренных выражений следует
а3 + а2 - а - 1 = (а + 1)2(а - 1) > О,
а2(а + 1) > О, то есть
а2(а2 - 1) > 0;
Указание. Исходное неравенство на области определения раскладывается на
множители
(ж2л/а + 1 + а) (х\/а2 - 1 - а) < 0.
Указание. Контрольное значение а = — 1 надо проверить отдельно, до
основных преобразований. Решением неравенства в общем случае является промежуток
ненулевой длины.
Указание. Для единственности решения, удовлетворяющего условию,
достаточно потребовать совпадения правой границы промежутка решений с левой
границей условия, учитывая область определения переменной и параметра.
Решение. Область определения для параметра
-а- 1 =а2(а + 1) - (а + 1) > 0,
а2 =а2(а + 1) > 0,
а2 = а2(а2 - 1) > 0;
отсюда получаем а = — 1 или а > 1.
1) Если а = — 1, то исходное неравенство принимает вид — 1 < 0, то есть xGi;
условие а < χ < 2а + 1 принимает вид
-1 <х< 2· (-1) + 1 = -1,
то есть ему удовлетворяет только одно значение χ = — 1, которое является
решением задачи;
2) Если а > 1, то неравенство можно преобразовать:
х3 у/(а + 1)2(а - 1) - х2у/а2(а + 1) + χ у/а2 (а2 - 1) - а2 <0
^^ ж3 vV + 1)2(а - 1) - ж2ал/а + 1 + жа\/а2 - 1 - а2 < 0 ^^
<^> ж2\/а + 1 уху а2 — 1 — а) + а (хуа2 — 1 — а) < 0 <^>
^^ (W^2 - 1 - а) (ж2л/а + 1 + а) < 0;
учитывая, что α > 1, можно говорить о положительности второго сомножителя,
то есть остаётся неравенство х\]а2 — 1 < а. Тогда

554
Указания и решения
• если а = 1, то неравенство справедливо для всех χ Ε
отвечает целый отрезок;
а
, но условию 1 < χ < 3
• при а > 1 находим ж <
для единственности решения этого нера-
венства на отрезке а < χ < 2а+1 надо потребовать, чтобы соответствующие
границы промежутков совпадали, то есть
а>1;
л/а2-1
а > 1;
1;
V2.
Ответ. —1;\/2·

Варианты ДВИ МГУ
555
Варианты ДВИ МГУ последних лет
Июль 2011
1 4
1. Вычислите значение функции х2 — О, 625ж в точке χ = - .
8 5
2. Решите уравнение (sin ж + cos ж)2 = 1.
3. Решите уравнение log2 (Зх — 4) = log4 (2 — χ).
а о л/5^ТЗ-1
4. Решите неравенство . > 1.
л/Зж + 2-1
5. Медианы AL и £>М треугольника ABC пересекаются в точке К. Найти
длину отрезка С К, если АВ = \/3 и известно, что вокруг четырёхугольника
KLCM можно описать окружность.
6. Найдите наибольшее значение функции
9х
4х - 6х + 9х
и точку ж, в которой это значение достигается.
7. В закрытой коробке, имеющей форму куба с ребром 5, лежат два шара.
Радиус первого из них равен 2. Этот шар касается плоскости основания и двух
соседних боковых граней куба. Второй шар касается двух других боковых
граней куба, плоскости основания и первого шара. Чему равен радиус
второго шара?
3. Решите систему неравенств
2х2 + 4ху + 11у2 < 1,
Ах + 7у > 3.

556
Варианты ДВИ МГУ
Июль 2012 года
4
1. Найдите многочлен второй степени, если известно, что его корни равны —-
5
и -, а свободный член равен —2.
о
417
2. Вычислите log2 log81 — .
3. Решите неравенство (9х - Зж+2 + 14)л/4 - 2х < 0.
4. Решите уравнение sin cos χ — sin χ.
5. Найдите площадь фигуры, состоящей из точек (х; у) координатной
плоскости, удовлетворяющих уравнению
|ж| + |ж + 32/|+3|2/-2| =6.
6. Окружность касается сторон АВ и ВС треугольника ABC в точках D и
Ε соответственно и пересекает сторону АС в точках F, G (точка F лежит
между точками А и G). Найдите радиус этой окружности, если известно,
AF = 5, GC = 2, AD : DB = 2 : 1 и BE = EC.
7. Определите, при каких значениях параметра а уравнение
ал/х + у = \/Зж + 2л/у
имеет единственное решение (х; у).
8. В основании пирамиды лежит равнобедренный треугольник ABC со
сторонами АС = ВС = 5 и АВ = б, боковые рёбра пирамиды AS, BS и
CS равны соответственно 7, 7 и 4. Прямой круговой цилиндр расположен
так, что окружность его верхнего основания имеет ровно одну общую точку
с каждой из боковых граней пирамиды, а окружность нижнего основания
лежит в плоскости ABC и касается прямых АС и ВС. Найдите высоту
цилиндра.

Варианты ДВИ МГУ
557
Июль 2013 года
1. Старший коэффициент квадратного трехчлена f(x) равен 2. Один из его
корней равен 5/2. Найдите второй корень, если известно, что /(0) = 3.
2. Вычислите log12 3 · log9 12.
_ι 1 ι 1
3. Решите неравенство 9 (1 + 51_2ж) 2 (52ж + 5)2 > б2 · 5^.
sin5x cos5x sin ж cos ж
4. Решите уравнение = .
sin ж cos ж sin5x cos5x
5. В 14:00 из села Верхнее вниз по течению реки в сторону села Нижнее
отправился катер «Быстрый». Когда до Нижнего оставалось плыть 500 метров,
ему навстречу из Нижнего вышел катер «Смелый». В этот же самый момент
«Быстрый», не желая встречи со «Смелым», развернулся и пошел обратно
к Верхнему. В 14:14, когда расстояние по реке от «Быстрого» до Верхнего
сравнялось с расстоянием по реке от «Смелого» до «Быстрого», на «Смелом»
осознали, что они идут с «Быстрым» на одинаковой скорости, развернулись
и направились обратно к Нижнему. В исходные пункты катера вернулись
одновременно в 14:18. Найдите расстояние по реке между Верхним и
Нижним, если известно, что оба катера движутся равномерно и с одинаковой
собственной скоростью.
6. Трапеция ABC Ό вписана в окружность радиуса R и описана около
окружности радиуса г. Найдите г, если R = 12, а косинус угла между диагональю
АС и основанием AD равен 3/4.
7. В основании прямой призмы ABC А! В' С лежит прямоугольный
треугольник ABC такой, что АС = ВС = 1. На ребре А!В' верхнего основания
(параллельном АВ) отмечена точка Ό так, что AD : DBf = 1:2. Найдите
радиус сферы, вписанной в тетраэдр ABC'D, если высота призмы равна 1.
8. Найдите все значения параметра а, при которых уравнение
sin ( χ Η— J = χ + 1
имеет бесконечно много решений.

558
Варианты ДВИ МГУ
Июль 20Ц года
1. Найдите в явном виде натуральное число, заданное выражением
7-4л/3-(8 + 4л/3).
2. Найдите максимальное значение функции log-L/2 (х2 — 6х + 17).
3. Найдите все положительные х, удовлетворяющие неравенству х3ж+7 > х12 .
. _ 9 2 /5х 5π\ 1 ^
4. Решите уравнение cos χ — cos x sin I — I + - = 0.
5. Окружности Ω ι и Ω2 с центрами в точках Οι и О2 касаются внешним
образом в точке А. Общая внешняя касательная к этим окружностям касается Ωι
и Ω2 соответственно в точках В\ и В2. Общая касательная к окружностям,
проходящая через точку А, пересекает отрезок В\В2 в точке С. Прямая,
делящая угол АСО2 пополам, пересекает прямые 0\В\, ΟχΟ^ , О^В^ в точках
D\, L, L>2 соответственно. Найдите отношение ΒΌ2 : ОгДг? если известно,
что CDx = СОх.
6. Найдите все положительные х, уу удовлетворяющие системе
Г х3/2 + ί/ = 16,
\ χ + ?/2/3 = 8.
7. В основании прямой призмы лежит правильный треугольник со стороной 1.
Высота призмы равна γ2· Найдите расстояние между скрещивающимися
диагоналями боковых граней.
8. Пусть
/(х, у) = γ — 6х2 — 14г/2 — 18х?/ + 6 + У->
д(х,у) = — \/—6х2 — 14г/2 — 18х^/ + 6 -
■2/·
Найдите все значения, которые может принимать хотя бы одна из этих
функций.

Варианты ДВИ МГУ
559
Июль 2015 года
ж 3 1
1. Найдите /(2), если f(x) = - Η μ —.
О X iU
2. Найдите сумму квадратов корней уравнения х2 — 7χ + 5 = 0.
3. Решите неравенство cos ж + \/2cos2a; — sin ж > 0.
4. Решите уравнение logj2x2-3| =4 log,
5. Окружность радиуса 3/2 касается середины стороны ВС треугольника ABC
и пересекает сторону АВ в точках D и Ε так, что AD : .D.E : ЕВ = 1:2:1.
Чему может равняться АС, если ZBAC = 30° ?
6. Велосипедист Василий выехал из пункта А в пункт Б. Проехав треть пути,
Василий наткнулся на выбоину, вследствие чего велосипед безнадёжно
вышел из строя. Не теряя времени, Василий бросил сломавшийся велосипед и
пошёл пешком обратно в пункт А за новым велосипедом. В момент поломки
из пункта А выехал мотоциклист Григорий. На каком расстоянии от пункта
А он встретит Василия, если пункт Б отстоит от пункта А на 4 км, а
Василий доберётся до пункта А тогда же, когда Григорий до пункта Б? Скорости
велосипеда, мотоцикла и пешехода считать постоянными.
7. В правильную треугольную призму с основаниями ABC, А'В'С и рёбрами
AAf, ВВ', СС вписана сфера. Найдите её радиус, если расстояние между
прямыми АЕ и BD равно л/13, где Ε и D - точки, лежащие на А'В' и
В'С соответственно, и А!Е : ЕВ' = В'Ό : DC = 1:2.
8. Найдите все пары (се, β), при которых достигается минимум выражения
4-3since 2 + cos2ce β2 + β + 1 л/Д + 1
2 + cos2ce + β2 + β + 1 + y/β + 1 + 4-3since'

560
Варианты ДВИ МГУ
Июль 2016 года
/2\ χ 3
1. Найдите / ( - 1 , если f(x) = γ— + -.
2. Разность между наибольшим и наименьшим корнями уравнения
х2 + ах — б = 0
равна 5. Найдите все возможные значения а.
3. Решите уравнение 2 cos2 χ + 3 sin 2x = 4 + 3 cos 2ж.
4. Решите неравенство log1_log х (1 + logx 3) < 1.
5. Две окружности касаются внутренним образом в точке Т. Хорда АВ
внешней окружности касается внутренней окружности в точке S. Прямая TS
пересекает внешнюю окружность в точках Τ и С. Найдите площадь
четырёхугольника Τ АС В, если известно, что С В = ВТ = 3, а радиусы
окружностей относятся как 5:8.
6. Ровно в 9:00 из пункта А в пункт Б выехал автомобиль. Проехав две
трети пути, наблюдательный водитель автомобиля заметил, что мимо него в
сторону пункта А проехал некий велосипедист. В тот самый момент, когда
автомобиль прибыл в пункт Б, из пункта Б в пункт А выехал автобус. Когда
до пункта А оставалось две пятых пути, не менее наблюдательный
водитель автобуса заметил, что он поравнялся с тем самым велосипедистом. Во
сколько приедет велосипедист в пункт А, если известно, что автобус прибыл
в пункт А ровно в 11:00? Скорости велосипедиста, автомобиля и автобуса
считать постоянными.
7. В основании правильной пирамиды с вершиной S лежит шестиугольник
ABCDEF со стороной 14. Плоскость π параллельна ребру АВ,
перпендикулярна плоскости DES и пересекает ребро ВС в точке К так, что
В К : КС = 3:4. Кроме того, прямые, по которым π пересекает плоскости
BCS и AFS, параллельны. Найдите площадь треугольника, отсекаемого
плоскостью π от грани CDS.
8. Найдите наименьшее значение выражения
106 + loga cos ax + loga cos10 ax + λ/58 + loga sin ax — loga sin ax
/5 + log2 tg ax + loga tg2 ax
и все пары (α, χ), при которых оно достигается.

Варианты ДВИ МГУ
561
Июль 2017 года
1. Какое число больше: \ —V 7 -\— или 3?
V 7 6
2. Известно, что а + Ь + с = 5 и аб + 6с + ас = 4. Найдите а2 + б2 + с2.
3. Решите уравнение sin7x + sin6x = sin ж.
4. Решите неравенство ж2 log7 χ + 3 log6 ж < ж log7 ж · log6 ж4.
5. Через вершины А и В треугольника ABC проведена окружность,
касающаяся прямых АС и ВС. На этой окружности выбрана точка D (внутри
треугольника), лежащая на расстоянии л/2 от прямой АВ и на расстоянии л/Ъ
от прямой ВС. Найдите угол ZDBC, если известно, что ΖΑΒΌ = ZBCD.
6. Василий с друзьями решили устроить пикник. Для этого им от пункта А
нужно добраться вниз по реке до пункта В, причем в их распоряжении есть
два катера. Считая себя самым ответственным, Василий вызвался
самостоятельно доехать до пункта В на более быстроходном катере и начать готовить
место для пикника. Оба катера вышли одновременно из пункта А. Однако,
промчавшись восемь километров, Василий заметил на берегу машущего ему
рукой Григория, который просил по старой дружбе довезти его до пункта С.
И хоть пункт С Василий уже проехал, он согласился. По пути в пункт С
Василий с Григорием встретили идущий навстречу второй катер с
друзьями Василия, откуда те крикнули, что им до пункта В осталась треть пути
и чтобы Василий нигде не задерживался. Доставив Григория в пункт С,
Василий немедленно помчался догонять друзей. Найдите расстояние между
пунктами В и С, если известно, что оба катера пришли в пункт В
одновременно, скорости катеров постоянны, а Василий, действительно, нигде не
задерживался.
7. Из вершины D на плоскость основания ABC пирамиды ABCD опущена
высота DH. Найдите объем этой пирамиды, если известно, что площади
треугольников АН ВС, АН АС, АНАВ равны соответственно 2/9, 1/3, 4/9,
и что все три плоских угла при вершине D прямые.
8. Решите систему уравнений
—^ - у · tg (χ2 - у2) = л Д,
cos(a^ —у2·) у 2
χ · tg (x2 — у2)
( cos (x2 — у2) у 3

562
Ответы
Ответы
1.1.
1. 0.
2. -6.
3. ^/a + 9\/~b.
4. ^2-3^6 + 9^2.
5. 2 при а > 0, 6> О, 4α φ Ъ.
6. 2л/2, если а > О, 6 > 0, 2а ^ о.
7. 180.
8. 2.
9. -1.
10. 47.
11. 1.
12. 2.
13. 4.
14. 0,01.
1.2.
1. Второе число больше.
2. Второе число меньше.
3. Первое число больше.
4. З400 > 4300 .
5. ν^+ν^ < ν^+ν^·
6. Второе выражение больше первого.
7.
8.
9.
10.
1.
2.
3.
4.
5.
\/38 + 17>/5 < >/9 + 4^ + ^
3344>44зз
π < λ/Ϊ0.
or > α)"··
1.3.
1.
(-°°;i
(-oo;-2)U(2;+oo).
(-°°4
1-
10.
11.
25; 3.
_z. i^l
~2' 2 J
17 11
з ιΤ
7' 7
(2;+оо).
а) Если α < — 1 или α > 1, то χ = 4;
если а = — 1, то ж > 4; если α = 1,
то — 2 < χ < 4; если — 1 < α < 1, то
4(а - 2)
χ = 4 или ж
а+ 1
12.
б) Если а < — 1 или а > 1, то χ = 1;
/-.-.ч -ι α + 7
если а £ (—1:1), то ж = 1 и ж = ;
а - 1
если а = — 1, то χ £ [—3; 1];
если а = 1, то χ £ [1; +оо).
"4
:;2
1.4.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
±1; ±-=.
4· ^+1
2 '
2;3.
1; 13.
(-оо;-3] U [3;+оо).
(-5;3 + >/8).
[i;2].
Нет.
11. [-3;-1).
12. ±5.
13. χι = 5, Ж2 = 7 или χι = —5,
Ж2 = —7.
14. (р2 + 2а)2 -2а2.
15. (2;-8; 8).
16. Г^^;^и^ 9 + ^Г
16 'ЗУ V3' 16

Ответы
563
1.
2.
3.
4.
5.
β.
7.
Μ]
2.1.
U[2;+oo)
(0;0,2].
(-οο;-1] U[0;5).
(-oo;l)U{2}.
(-1;0)U(2;4).
(-°°;ΐ]υ(|;+οο)
(-οο;-5)
U [1:21.
(-oc;2)u(^^;+oc
9.
10.
11.
12.
13.
14.
[-2;-1)υ(-1;+οο).
(-οο;-2] U
;ΐ υ ΐ;
73-3
(-οο;1] U(1996;+oo).
(-οο;-9)υ0;Λυ
(-6;-4)U(-4;l).
9- Vb7
11
:;+οο
4 ;-2JU(-2;-l)u(-;+oo
15. (-oo;-l)U
1
;1 U(l;+oc).
16. [0; 100) U (400; +οο).
17. (-5;-2)υ(-1;+οο).
18. -1; 0.
19. (-2;-^U(l;+oc).
20. (-οο;2) U {3} U (4;+οο).
21. (-oo;-4)U{0}U{2}U(4;+oo).
22. (-οο;-2)υ(1;+οο).
23. Если α = 0, то решений нет;
5α
если α ψ 0, το χ — — .
2.2.
1. (3
4. (1
ι)
2).
-2).
-1),
5 11
3'Υ
1 7
5;5
±λ/2.
-4.
-5· 0· *
4' ' 9'
2.3.
(-4;-3]U[3;5).
(1;3).
[-3;0].
-3.
18.
19 + V137
8
13-λ/2Ϊ
2
15 +ν^
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
10
0.
2.
1;4.
2 + ^·
-1.
(4;+οο).
(-οο;-2].
21
-6;
;+οο
11 +V167
19. (-oo;-5]U
; +V22
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
{-21} U [0; 21].
{l}U[2;+oo).
[ΐ;4].
[-1;0).
-Vs.
з + Увь
2
0.
3.

564
Ответы
28.
29.
30.
1.
2.
3.
4.
5.
β.
7.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
7/9.
з- Vb
23. (-oo;2)u(^^^;3
2.4.
3.
0.
1 + л/З
2
4 37+\/69
7' 50
л/5.
л/57- 1
4' 4' *'
1
U(f;+oo
3;
11 +л/61
{3}U[4;7].
(-oo;0] U
(-oo;-2] U
o5+°° ) ·
v л/13-l
л/2 + \/5.
-5 + л/23;--Ч U |;3-л/5
о J [о
U [3 + У5; +оо).
[-2;-l]U{2}.
[1;3).
15 _3\ /_3 5
" 4 ; 2)Ό\ 2;2
3' 8Г
[-1 - 2^13; -5) U (1; 2ν/Ϊ3 - 1].
-31-у/Ш\11(
-оо; I U (-5; +оо).
15 _36
" 4 ' ~ 25
24. 0;±1.
25. [-2;-l)U[0;l].
26. |^;7
27. а) При а < — 1 ж £ [а; —а];
при α £ ( —1; —1/2)
ж £ [-у/-2а- 1; л/-2а - 1J ;
при а = —1/2 ж = 0;
при а > —1/2 решений нет.
б) При а > 2 ж £ [—а; а];
при а £ [1; 2)
ж £ [-2Vo^T; 2Vo^T] ;
при а < 1 решений нет.
28. а) Если а < 0, то решений нет;
если а = 0, то ж > 0;
если а>0,тож£ — —; 0 1 U(8a; +oo).
б) Если а < 0, то решений нет;
если а = 0, то ж > 0;
Г 4а
если а > 0, то ж £ |——;—a) U
3 '
(0;+оо).
29. Если 6 < -1,то ж £ (-oo;-l]U [1;+оо);
если —1 < Ъ < 0, то
1
ж £
л/r^F' *
= 0, то ж £
U [1;+оо);
{-l}U[l;+oo).
3.1.
1. ctg a.
2. 1,96.
3· з
4. ctg2 a.
5. 4.
7
9'
3
5"
120
119'
2
6.
7.
i;-f Ь ί1;0)·
9.
10.
3'
л/5.
10

Ответы
565
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
1.
2.
3.
4.
3.2.
ι.
-2π.
π 2πη ^
- + — ,ηΕΖ.
(-1)η^+πη, η Ε Ζ.
2πη, η Ε Ζ.
π 2πη ^
(-1)" . ν/29-3 , πη
arcsm h — , η € Ζ.
ο 8 3
(-1)η+1^ + πη, η£Ζ.
( —1)η arcsin —-; h πη, η Ε Ζ.
±^ + 2π&, fceZ.
7Γ
πη, ( — l)m— +πτη; n,mGZ.
π + 2πη, 2(-l)m arcsin —= + 2πτη:
п,т Ε Ζ.
4(-l)fc arcsin h 4π&,
2π + 4πη; к, η Ε Z.
π πη 1 „ π?η _
Ϊ2 + ΊΓ; 3 arcctg + ~1Γ; n'm G
1 17-у
±— arccos
2 16
^85
+ πη, η £ Ζ.
к Ε Ν, η Ε Ν0.
9± W2n +
13
1
■, η Ε No .
3.3.
2π
-m, га Ε Ζ.
(-l)fc+1^+7rfc, fee Ζ.
π π π?η
- +πη, - + —; n,ra G Ζ.
π π?η _
πη, — Η—— ; η, га Ε Ζ.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
(_ \ im_ι_ι 7Γ 7ГТП _
" ^ 32 + _8"; П' ™
, π , π , πτη _
± — + πη, — + —— ; η, τη Ε Ζ.
6 4 2
π πη 1 / _ ч т .3 π?7ΐ
4+Τ; 2("1} arCSm4+^-;
η, га Ε Ζ.
π πη , _,ЧГ71 π π?η _
8+Τ'^ 6θ + Το"; n'mez·
2πη 2πτη
, тгк; n^m^k Ε Ζ.
/ υ
π
πη, ±—+2πτη; n,raEZ.
π πη . π _
— + -=-, ±- +πτη; η, га Ε Ζ.
10 5 6
πη 5π
—-, ± —- + πτη; n,m <Ε £.
(-1)η^+πη, η Ε Ζ.
, 5π _
±—- + πη, η Ε Ζ.
πη π
-τ- , ± — + πτη; η, га Ε Ζ.
2πη, η Ε Ζ.
3^-4
10 '
2πη π 2πτη _
1 + ^—,--Ц — ; n,raEZ;
или в другой форме записи
(-i)fc (ι
2π\ пк 7 ^
+ —-, кеЪ.
5
19.
20.
21.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
5 π?η 5 πη _
■б + — - 4 + T;m'n€Z·
5π Λ 11π _
+ 2πη, —— + 2ππι; n^m^L.
12
5π 7π
ΊΓ' ΊΓ
π
3"
Один.
4π
± arccos
12
3.4.
+ 2πη, η Ε Ζ.
V2-
+ πη, η Ε Ζ.
± arcsin - + πη, η Ε Ζ.
4
π
— + 2πη, η Ε Ζ.

566
Ответы
лД_- ι
~2~
(-l)n+1 arcsin v ~ Чтгп, η е Ζ.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
Зтг
±— + 2πη, η е Ζ.
4
π πη ^
π , 1 1 πη _
— ± - arccos - + — , η е Ζ.
5π
~6~"
| + 2πη, (-l)fci+7rfc;
η, /с £ Ζ, η/0.
—+πη, arcctg ί —ρ — 2 ) + π/; η, Ζ £ Ζ.
7Γ
± arcsin h πη, η £ Ζ.
6
3π
— + 2π&, jfceZ.
(-1)™+1^-+πτη, mGZ.
(~1)η+1 . У^-З , πη ^^
-—j- arcsin 1—— , η £ £.
(-1)η^+πη, η£Ζ.
π — arcsin ί — ) ; π + arcsin ί — ) .
4.1.
1. 96 тонн.
2. 12 га; 9 га; 15 га.
3. 16 + 24 + 40 + 48.
4. 147 ц/га.
5. 90%.
6. 7,2%.
4.2.
1. 20.
2. 96.
3. 53.
4. 18.
5. 129.
6. 242.
7. 1,2.
8. αϊ = 9; d = 2.
10. 50.
11. 28.
12. 70.
13. αϊ = CL2 = аз = 7;
αϊ = 7(1-л/2), «2 = 7, α3 = 7(1 +л/2);
αϊ = 7(1 +л/2), α2 = 7, α3 = 7(1-л/2).
14. αϊ = 2; d = 3.
15. 9.
16. 2.
17. 50.
18. -2.
19. 162.
20. Сумма первых восьми членов
геометрической прогрессии больше суммы
первых шести членов
арифметической прогрессии.
21. 20.
22. 128π.
4.3.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
60 км/ч.
15 км/ч.
6 км/ч.
80 км/ч.
11 км/ч.
106— км.
16 км/ч.
10 км/ч.
3 часа.
В 4 раза.
В 9/7 раза.
72 км/ч.
Скорость пароходов 15 км/ч,
скорость реки 3 км/ч.
50 км/ч, 100 км/ч.
4.4.
1. 19.
2. 168.
3. 15.
4. 6.

Ответы
567
5. 8/3 часа.
6. 8 часов.
7. Да.
5.2.
4.5.
1. На 25%.
2. Снизится на четверть.
3. 100 кг.
4. 720 руб.
5. На 54%.
6. 600.
7. 12500 руб.
8. 4%.
9. 1000 л.
10. 6.
11. 1/15.
5.1.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
-2.
2.
9.
8.
6+ 1 - а.
0.
-2.
5-8а
6а + 3'
9
7"
Имеют.
[-4;2)U(3;4]
31og826.
V8.
Второе.
1
V3
16. Если ρ = q = 0, то - ; если ρ φ 0 и
6
/ π ι p + q + pq
q φ 0, то - · — — .
6 р + q - 2pq
1. 3,5.
2. (
-l;+oc).
3. (21og73;+oo).
4. 0,5.
5. ]
6. ]
L.
L.
7. 0.
8. -
-1.
9. 2.
10. (3;+oo).
11. (
12.
-oo;-l).
log4 ^;+°°) ·
13. (0;+oo).
14. (
15. (
16. (
-oo;0)U(l;3).
->/5;>/5).
25;+oo).
17. log0,62.
18. bgl|.
19. 2.
20. 4.
21. (
22. |
23. -
-oo;2).
-10; 5].
-2+v/4-21og35
24. 0.
25. (
-oo;0).
26. (-oo;0) U -;+oo
27. Если а < 0, το χ = 21og2 (-а);
если а = 0, то нет решений;
если а = 1, то χ = 0; если 0 < а т^ 1,
то χ = log2 а или ж = 2 log2 а.
5.3.
1. 0,5.
2. (-оо;-2) U(7;+oo).
3. -3.
. 3

5.
β.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
1 U
:;0
(4;2>/3 + 1].
(_3;-1).
(-οο;-2) U(2;+oo).
(-77; 3).
(-οο;-2) U [7;+οο).
λ/3-2.
(-2;3).
2.
4λ/2.
8;2·
4; 16.
vTf-4.
(2; 5].
1;3.
11'
(0;1)U(1;2]
1
0;-^)U(l;49).
(ΐ;2).
|;9 + 4У5
ΐ;
(-l;0)U(0;l)U[5;+oo)
1 + уЩ\
U [3; +οο)
(-»;0)u|i|
Η4Ί4Ι"
2.
3.
4.
5.
6.
(i; bg3 2).
-1.
4π
— + 4πη,
1;2 — λ/ΪΟ-
(-οο;0).
η е ъ.
7. -; 64.
4
8. (0;l)U(l;4)U(64;+oo).
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
<)"Ы
(-1)η-+πη,η£Ζ.
logo 3;
(-17;log25 + l).
1 5
3' 3'
π π
— + 7τη, — + πτη; η, πι £ £.
4 2
4.
9
5'
3.
0;
16
ЙЧ*§
-2;0.
log2 3.
11
4' 2
U [2; +c
±\/1о§23
(0;2).
5
4"
(ΐ;+οο).
(0;+οο).
1
-1;
V3
2
6.1
;9
5.4.
1. 0,1.
1. -60°.
π 2πη 2ππι _
2. τ^ + ^Τ' "Η-5 n,m£Z.
10 5 5

Ответы
569
9.
10.
11.
12.
13.
1.
2.
3.
4.
5.
β.
7.
π 5π
— + 7ΓΠ, —- + πτη; η, га £ Ζ.
4 12
π 5π 13π _ ,
2" + πη' Ϊ2 + Ш' ΊΤ + '
η, га, /с £ Ζ.
5 3
arccos . ±arccos . +2πη, η £ Ζ.
л/29 л/29
π 1 π?η _
— + 7ΓΠ, — arctg λ Λ——; η, га £ Ζ.
V7T2+4
+ 2πη;
+ 2πη, η £ Ζ.
π + 2π&;, 2 arcsin
к, η £ Ζ.
5π 53π 59π
12' ~84~' ~84'
[-л/29; л/29]·
1.
5ττ
6
— + 2πη, —-+2πτη; n,ra£Z.
- arctg- + (-1)η^+πη, η £ Ζ.
6.2.
2.
— arctg 4+πη, arctg ~-\-ππι; n,m<EZ.
7Г
— — + 7ГП, arctg 4 + π/с; η, к £ Ζ.
π π _
— + 7ΓΠ, — + ππι; η, ra £ Ζ.
— + 7ΓΠ, — arctg - + π?τι; η, га £ Ζ.
π π
— + πτη, — + πη; η, πι £ Ζ.
4 3
arctg 3 + 2πη, π — arctg 3 + 2тгк;
η, /с £ Ζ.
-^±^+2тг£;, fee Ζ.
4 4
6.3.
45°.
(±30° + η · 180°; 90° + га · 360°);
η,га £ Ζ.
?;0)' Gp-Ю' (?;_π)·
π 5π
24+^; --πη
' 5π π . _
— + π?τι; — - urn ) ; η, га £ Ζ.
(ΐ + 2πη;(-1)«'+1|+πΑ)
^ + 2πίη; (-1)'| + πί'
η, к, πι, Ι £ Ζ.
±λ/3.
/2 2 λ
Ι — -; ± arcsin —= + π?η 1 ; га, /с £ Ζ;
3π + 2 . /4 -π , '
—; ± arcsin 4 / — h π/с
8. (πη
9.
10.
- - πη) , Q + πm; -ππι) ;
^ £ Ζ
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
ί — + 2π&, arctg 2 + ππι1 ; /с, га £ Ζ.
π 1 λ
^π-arctg-j,
3π 1 λ
τ;π- arctg — j .
(±Ξ+2πη;(-1)*|+π&),
(±Σ + 2πτη;(-1)^+π(Ζ);
η, /с,га, g £ Ζ.
ί — + 2πη; π — 2πη) , η £ Ζ.
/π π \ /5π Ι
νΪ2'~Ϊ2/' Vl2'~"
(π;±π), (2π; 0).
5π
'Ϊ2
(-1)
η,га £ Ζ.
π 11π
12' Τ2~"
„■■ι π πη 1 1 π?7ΐ
( —1)η arcsin - + πη, η £ Ζ.
/ \
V
4ί/ι
\7 arctg- - 1;
V
arctg
ι \
arctg - - 1J
6.4.
1. 0.
2. 7^ + 2πk, keZ.

570
Ответы
3.
4.
5.
β.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
Решений нет.
7Г
— + 2πτη, т £ Ζ.
Ь 7г/с, 2πτη; fc,mGZ.
7Г
π + 2πη, — + 2π&;; η, /с £ Ζ.
7Γ
2πη, — + 2π&;; η, к £ Ζ.
Решений нет.
π + 2тг£;, /с £ Ζ.
Решений нет.
Решений нет.
0.
1; 4.
0.
Решений нет.
7Г
Ь 2πη, η £ Ζ.
0.
5тг
β
7.3.
+ 2πη, η £ Ζ.
7 1
4' 4'
7.1.
1. На последнем.
9. |1+4л/2^7з.
10. i/max = 3 при 2 < ж < 3.
7.2.
1. 16.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
- + 1.
2
32.
15.
π
8"'
?+··
2π + 7.
27π+18.
1.
3 _5
2' 2
1
' 2'
(-2;0).
Нет решений.
60
13'
Если а £ ( —оо; —1)U(1; +оо), то χ = 1;
если а£( —1;1),тож = 1 их
если а = —1, то χ £ [—3; 1];
если а = 1, то χ £ [1; +оо).
6.
8.1.
а-1'
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
2тг- 1.
-5 + 4е
2.
0.
Зе.
2.
-8.
0,25е2.
0.
12.
1.
8.2.
1. 10.
2. 2.
3. 0.
4. 4.
5. 9.
6. 6.
7. 2.
8. 27.
9. -7.

Ответы
571
10. 1. 10. 33.
11. Ιβ + βττ.
12. 200; 50; 50; 40 м.
8.3.
1.
2.
3.
4.
5.
β.
7.
8.
9.
10.
11.
χ2 .
— + sin χ.
χ2 + In x.
2χ - ex .
ex + sin χ -
-13.
2 sin χ — 2.
15.
4.
β.
9.
8.
2.
9.3.
1. 9 кг.
2. 15 кг.
3. 2 кг.
4. 100 г.
5. 2 л.
6. 10 л и 20 л.
7. 15 т.
8. 170 кг.
9. 9 кг.
10. Не менее 1,4 декалитра.
11. 5.
12. 90%.
13. Глицерина 0, 5 л; воды 3, 5 л.
14. 3 л.
9.1. 9.4.
5 часов. !· (3;2), (3;-2), (-3;2), (-3;-2).
5
2
2. (1;5), (7;-97), (-7;-99), (-1;-9).
2· 5' 3· (5;±2)> (-5;±2)> (и; ±ю), (-П; ±ю).
3. 5 км. 4. χ = 2, у = 2.
4. 60 км/ч. 5. (±4;1), (±4;-3).
5. 6 км/ч. 6. (13; 32), (-5;-16), (-13;-32), (5; 16).
6. 20 км. 7. 11 оценок «2», 7 оценок «3», 10 оце-
γ 11 · ηη нок <<;4» и Две оценки «5».
8. (0;0), (-3;-5), (3; 5).
9.2. 9. (12;-8).
10. 144 человека.
11. 5 прессов.
12. 8 шт.
13. 16 автобусов.
10.1.
1. 2; 3.
2. (-оо;-2 + 2^)и(2^;+оо).
3. [-6;-1] U[0;+oo).
4. (-6; 6).

572
Ответы
5.
-оо; ■
•НУ
6. -9;-8;-6;-5.
7. (-oo;0]U[l;2]U[5;+oo).
8. a) (3;4)U(4;7);
б) (-13;-4) U (-4;-1).
9. (0;-6) и (t; 6 — t), где t < 2
5
10. (-3; -л/6] U
13
л/6;
U (5, +оо).
11. а)
4:f ); б)
9 _13
V 4
12. a) {-1}U(1;3)U(4;6];
б) {1;2}U(1;3)U[5;6].
13. а) 0 < χ < 9α -9.
б) [—с; 0) при с < d,
2c2d \
-^Td?'°) прис^·
14. а) Если а < — 1, то
0 < χ < —а — \/а2 — 1 или
-а + Va2 - 1 < х < -а + \/а2 + 1;
если а > — 1, то 0 < ж < —а+\/а2 + 1 ·
б) Если а < — 1, то χ £ ( —оо;0) U
(0;а+Va2 + l)U
(—а — \/а2 — 1; —а + \/а2 — 1);
если а > — 1, то χ £ ( —oo;0)U
(0; а + V^TT).
10.2.
1. — + 7гп, arctg 2 + π + 2πτη,
— arctg 2 + 2π&;; n,m,fcG Ζ.
1 π
2. --; - +πη, η G Ζ.
7Г 7Г
3. — + 2πη, — — + 2ππι; п,т £ Ζ.
7Г 7Г
4. — + 2πη, — + 2πτη; η, πι £ Ζ.
4 2
5. π ± arccos —h 2πη, η £ Ζ.
5
2π
10. -— + 2тгт, m G Ζ.
11. (1;-1), (-1;-3).
π π/с 5π πη τ ^
12· 4+T'l2+T'^GZ-
13. 9.
14.
-π + 2 3π + 2 ±π + 2
2 ' 2 ' 6 '
±11π + 2 -3π + 2 9π + 2
β
10.3.
1. 1/4.
2. 0; 1.
3. (-oo;-12)(J
4. (3;+οο).
Ж*
+οο
5.
7.
--;0JU(0;1).
-2;-у) U (5;+οο).
-οο; -
υ
0;-
-3±V2 1
3-7 7 ; -.
9.
10.
-*-?ΐυ
17 _7
7 '~3
;+οο
11. [log34;3].
12. ^-2; —λ/2) U (λ/2; 2) .
13.
λ/2-16. 7λ / 1.λ/2-2
48 ' 24 У U V β' β
14. (7/9; +οο).
15. ±^ + 2πη, η eZ.
6. ±— + 2πη, π?τι; n,m£Z.
7. π + 2ττ£;, (-1)-^ + ^; fc,nGZ.
8. — arccos ί — - Ι + 2π&;, πη; к, η Ε Ζ.
Зтг
9. 2πη, —-—h 2ππι; n,m£Z.
11.1.
1. -2,5.
2. 1,5.
3. Λ, Λ.
3' 3
4. {-l}U[2;+oo).

Ответы
573
5. {-4}U[-3;+oo).
β.
1 1
5;4
U
7. [-2;-l]U{3}.
8. -λ/5.
9. [-3;-1).
10.
11. (0;
7 2
4;_3
7'
υ
17 +V127
; (21;21).
12. [-1;2]U[3;4].
13. 3.
14. (-1;л/2].
15. |^;\/8(л/3-1) j U {log328}.
11.2.
2π
1. πη, ± — + 2πτη; n,mGZ.
7Γ
2. πη, — + 2πτη; n,m £ Ζ.
π πη π π?η _
3· Ϊϊ + Τ'ϊο + Τ";n-mez·
4. 2πη,
+ πτη; η, ra £ Ζ.
πη 2π
5. — , ± — + 2πτη, η, ra £ Ζ.
πη , /2
6. — , ± arcsm W - + πκ; η, /с £ Ζ
, πη
(второй вариант ответа -— ,
π . 1 1 _ч
— ± - arccos - + πτη; η, ra £ Ζ).
7. 810°.
_ π πη , π
8. — + —- , ±— + πτη; η,ra £ Ζ.
4 2 3
π
9. πη, — + 2πτη; η,га £ Ζ.
6
10. ττ+πη,
2π
+ 2π&; η, к £ Ζ.
π π
11. — + 2πη, — + πη-г; η, га £ Ζ.
6 4
12
• ((-υ-;
π \
+ πη; — + πτη ] ; η, га £ Ζ.
πη π
13. —, ±-+π£;; η, к £ Ζ.
14. π/2.
15. π + 2πτη, —2 arctg 3 + 2tts; га, s £ Ζ.
π πη π πηι Λ ■ -. Λ
16· 8+Τ'20 + Ί()^ = 0;±1;2;
ra= -2;0,±1;3;4;5;β.
/.
1.
2.
3.
4.
5.
β.
7.
β ' β ' β
11.3.
jiJu(l;+oc)
{5} U (4 + λ/2; +οο) .
!*·
!=»■
>■■#
2; 9.
(0;4)U{8}.
9. log 9 (λ/2- 1).
10. (-οο;0]υ{^}.
11. log|
1 + λ/Ϊ3
β
12· (°^)u(f;+0°
13. ί3;0υ(4;+οο).
14. (-oo;log32]U(l;5).
15. Одно.
16. (-oo;->/3)U(log3 4;>/3).
17. (log76,l)U(log7ll,+oo).
9'2 '
18.
19. (-oo;-1) U ( 7 „ ;3) U
u(4;^±-^iu(8;+oo).
2a,-71;-7!)u(7i;71
2i. (0;>Q;i
22.
l-\/3;
З-л/5
U 2;
10"

574
Ответы
11.4.
Три.
1 „
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
±'-,±"-,±2.
2' 2'
л/2; ^ + 2тгт, m G Ζ.
[-log23;2)uh;log2y
-^ +2πη, (~l)fc? +7Г^; n,fe G Ζ.
(π + 2πη; log3(V + 2πη)),
(^ + 2πτη; log3 (^ + 2πτη)
^ + 27rfc;log3 ί^ + 2ττ£;
π 3π 5π 9π 11π 13π Ί
ϊΙ'ΊΪ'ΊΪ'ΊΪ'ΊΤ'ΊΤ]'
(-4;l)U(l;|)u(|;ll
(-1;0)U(0;2).
(-VW; -π)υ(-π; -3)υ(3; π)υ(π; л/ΪΟ).
_6_ 10Ν
ϊϊ;ϊϊ/
„ 31
U{-1}.
[i;iju{3}.
(1;0).
±i;±V3;±^.
6 6
π
β"'
Если α = 0, το χ < 3;
1 ^ 1 - VI - 12α
если 0 < α < — , то ж <
или χ >
1 + λ/1 - 12α
2α
если α > — , το χ G
ДВИ МГУ
2011 год
3/200.
тгк/2, keZ.
14/9.
5' 2
- при х = log2/3
1
2"
8. (5/9; 1/9).
19.
-l; v^.
2012 год
1. 2,1ж2 -2,Зж-2.
2. -2.
3. [log3 2;log37]U{2}.
4. - +πη, (-1)-- + —, nGZ.
5. β.
6. л/6.
7. (-оо;л/3) и(л/7;+оо).
о 5λ/Ϊ5
2013 год
1. 3/5.
2. 1/2.
3. [0;1].
π ик , π ик
4· 4 + Т' ±6 + Τ'
тг тгк 7 _
8+Т' fe£Z-
5. 2000.
6. 7.
л/3 + л/2 + 1 + х/-
(-оо;0) U (0;+оо).
2014 год
4.

Ответы
575
(0;1)U ( -;+оо
+ Атгк, к е Ъ.
7тг
3
1.
(4;8).
V2
3
3%/2; Зл/2] ·
7. -V-
5. π/4.
6. 4 км.
9^3'
2^3 + ^2
8. Ж = : — · Д/7Г,
3%/2
4/3 + 24/2
3\/2
V5F.
2015 год
1.
2.
3.
2.
39.
-— + 2тг£;; - + 2тг£;
11π л т 5π л .
—- + 2пк; — + 2тг£;
12 4
fcGZ.
4.
1 \/зТУ17
5.
6.
7.
8.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
1.
2.
3.
4.
V ' л/2' 2
л/3± л/2.
1.
13/6.
α = ^ + 2тг£;, /с G Ζ; /3 = 0.
2016 год
29/35.
±1.
7Г
— + ик, arctg 5 + ик, /с £ Ъ.
(0;1/3]U(1;3).
8л/2.
12:00.
25л/2.
9\/5, α = 2, ж = — + 7Г&, к £ Ζ
8
2017 год
Первое больше.
17.
π/c π 2π&; . . _
— , - + —ък, keZ.
{1} U [log, 7:3 log, 71.

Список литературы
1. Федотов М. В., Разгулип А. В. Алгебра. Подготовка к вступительным
экзаменам в МГУ. - М.: МАКС Пресс, 2007. - 260 с.
2. Федотов М. В., Хайлов Е. Н. Задачи устного экзамена по математике.- М.:
МАКС Пресс, 2002. - 144 с.
3. Математика. Задачи вступительных экзаменов по математике в МГУ имени
М. В. Ломоносова с ответами и решениями (1999-2004 гг.) Сост. Е. А.
Григорьев. - М.: Издательство УНЦ ДО, 2005. - 399 с.
4. Варианты вступительных экзаменов по математике в МГУ (2000-2002, 2003,
2004 гг.). - М.: Механико-математический факультет МГУ.
5. Глазков Ю. Α., Варшавский И. К., Гаиашвили М. Я. Математика. Единый
государственный экзамен. Решение задач группы В. - М.: Экзамен, 2009. -
382 с.
6. Сергеев И. Н. Математика. Единый государственный экзамен. Задания
типа С. - М.: Экзамен, 2009. - 318 с.
7. Депищева Л. О., Войчепко Е. М., Глазков Ю. А. и др. Единый
государственный экзамен 2003-2004: Контрольные измерительные материалы:
Математика. - М.: Просвещение, 2003. - 191 с.
8. Депищева Л. О., Рязаповский А. Р., Семенов П. В., Сергеев И. Н. ЕГЭ 2008.
Математика. Федеральный банк экзаменационных материалов. - М.: Эксмо,
2008. - 240 с.
9. Галеев Э. М. Подготовка к ЕГЭ по математике. Задания типа В и С. - М.:
Издательство ЦПИ при механико-математическом факультете МГУ, 2009. -
96 с.
10. Ежегодные «Справочники для поступающих в Московский университет». -
М.: Издательство Московского университета, 2012-2018 гг.

Минимальные системные требования определяются соответствующими
требованиями программ Adobe Reader версии не ниснсе 11-й либо Adobe Digital Editions версии
не ниснсе 4-5 для платформ Windows, Mac OS, Android u iOS; экран 10"
Учебное электронное издание
Серия: «ВМК МГУ —школе»
Золотарёва Наталья Дмитриевна
Попов Юрий Александрович
Семендяева Наталья Леонидовна
Федотов Михаил Валентинович
АЛГЕБРА.
ОСНОВНОЙ КУРС С РЕШЕНИЯМИ И УКАЗАНИЯМИ
Учебно-методическое пособие
Ведущий редактор М. С. Стригунова
Технический редактор Т. Ю. Федорова
Подписано к использованию 10.09.18.
Формат 145 x225 мм
Издательство «Лаборатория знаний»
125167, Москва, проезд Аэропорта, д. 3
Телефон: (499) 157-5272
e-mail: info@pilotLZ.ru, http://www.pilotLZ.ru

Факультет вычислительной математики и кибернетики
МГУ имени М. В. Ломоносова
ПОДГОТОВИТЕЛЬНЫЕ КУРСЫ
проводят обучение
по
МАТЕМАТИКЕ
ФИЗИКЕ
ИНФОРМАТИКЕ
РУССКОМУ ЯЗЫКУ
учащихся 9-х (трехгодичная программа), 10-х (двухгодичная программа)
и 11-х классов (девятимесячная, шестимесячная и трехмесячная программы)
в целях подготовки к сдаче школьных выпускных экзаменов (ЕГЭ)
и вступительных испытаний в вузы.
Для жителей Подмосковья и ближайших областей организуются
группы выходного дня (только для 11-х классов) с занятиями по субботам.
Занятия на подготовительных курсах
проходят в вечернее время
с18.00до21.10
в учебных аудиториях факультета вычислительной математики и кибернетики
в группах по 15-16 человек (метро «Университет»).
Набор на трехгодичную, двухгодичную и на девятимесячную программы
проходит с 10 по 20 мая и с 1 сентября по 20 сентября,
на шестимесячную программу - в конце декабря,
на трехмесячную - в конце марта.
Справки по телефону
(495) 932-98-08
с 16 часов до 19 часов в рабочие дни.
Учащимся, не имеющим возможности приезжать на занятия,
предлагаются дистанционные подготовительные курсы:
http://ecmc.cs.msu.ru

Факультет вычислительной математики и кибернетики
МГУ имени М. В. Ломоносова
КОМПЬЮТЕРНЫЕ КУРСЫ
Курсы для школьников:
работа на компьютере для школьников 3-5 кл., занимательная логика на
компьютере, программирование для школьников младшего возраста,
базовая подготовка для начинающих (6-11 кл.), игровые алгоритмы, основы
программирования для 6-7 кл., занимательное моделирование в программе
Автокад, моделирование в программе 3D-MAX, создание сайтов,
компьютерная анимация Flash (основы и программирование), графика (Photoshop),
программирование (Паскаль, DELPHI, С, C++, С#, Java), создание домашней
компьютерной сети, машинопись.
Организованным группам школьников предоставляется скидка.
Компьютер для начинающих и углубленно:
Windows, офисные программы, Интернет. Компьютер для работы в офисе.
Машинопись.
Построение сайтов:
HTML и CSS, JavaScript, управление сайтами, РНР
Компьютерная графика и верстка:
Photoshop, CorelDraw, Flash, AutoCAD, 3D-MAX, основы цифровой фотографии.
Профессиональные курсы:
С, C++, С#, Java, 1С, SQL, Создание малой компьютерной сети для офиса и
дома, Управление ИТ-процессами.
Будни и выходные
www.vmk-edu.ru
(495) 939-54-29, 939-36-04
м. «Университет»
Занятия в течение учебного года 1-2 раза в неделю
Интенсивные курсы в июне

-; I: вмкмгу-школе
Развитие и широкое распространение компьютеров вызывают
насущную потребность в высококвалифицированных
специалистах в области прикладной математики, вычислительных
методов и информатики. Сегодня наш факультет - один из
основных факультетов Московского университета, ведущий
учебный и научный центр России в области
фундаментальных исследований и образования по прикладной
математике, информатике и программированию.
Высокая квалификация преподавателей и сотрудников
факультета, сочетание их глубокого теоретического и
практического опыта являются залогом успешной работы наших выпускников в ведущих
научных центрах, промышленных, коммерческих и других учреждениях.
Факультет не только учит студентов, но и ведет большую работу со школьниками
и учителями:
-на факультете работают вечерняя математическая школа, подготовительные курсы
и компьютерные курсы для школьников;
-для учителей есть курсы повышения квалификации и ежегодно проводятся
летние школы по математике и информатике;
-сотрудники факультета и преподаватели других факультетов МГУ, работающие на
подготовительных курсах факультета, готовят учебные и методические пособия
по математике, информатике и физике как для школьников, так и для учителей.
Мы рады видеть новых студентов и приветствуем
новых партнеров в научном сотрудничестве
и инновационной деятельности.
Декан факультета вычислительной математики
и кибернетики МГУ им. М. В. Ломоносова,
академик РАН Е. И. Моисеев
Сайт факультета ВМК МГУ
http://www.cs.msu.ru