Text
                    ЛЕОНАРД <ЭИЛЕР
ИНТЕГРАЛЬНОЕ
ИСЧИСЛЕНИЕ
Том II
ПЕРЕВОД С ЛАТИНСКОГО
И ПРЕДИСЛОВИЕ
И.Е. ПОГРЕВЫССКОГО
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
ТЕХНИКО-ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА • 4957

11-5-4 Леонард Эйлер. Интегральное исчисление, т. П. Редактор А. П. Разумовская. Техн, редактор С. С. Гаврилов. Корректор Л. О. Сечейко. Сдано в набор 1/Х 1957 г. Подписано к печати 21/XI 1957 г. Бумага 70X108 1/1б. Физ. печ. л. 23. Условн. печ. л- 31,51. Уч-изд. л. 24,17. Тиране 5000 экз. Цена книги 14 руб. 10 коп. Заказ № 1423. Государственное издательство технико-теоретической литературы. Москва, В-71, Б. Калужская, 15. 16-я типография Московского городского Совнархоза. Москва, Трехпрудный пер., д. 0.
ОТ ПЕРЕВОДЧИКА Общая характеристика «Интегрального исчисления» Леонарда Эйлера дана в предисловии М. Я. Выгодского к первому тому. Там же указаны те основные положения, которыми руководились в своей работе пере- водчики. Поэтому нет, казалось бы, нужды в отдельном предисловии к настоящему тому. Однако читатель этого издания «Интегрального исчисления» будет пользоваться им не так, как современник автора или читатель девятнадцатого века. Как правило, он не будет изучать клас- сический труд Эйлера «от доски до доски», а, познакомившись с ним в общих чертах, он будет на выборку, в соответствии со своими интере- сами, внимательно читать отдельные главы и разделы. Можно быть уверенным, что со временем он прочтет таким образом весь или почти весь трехтомный трактат Эйлера, так как это сочинение и сейчас может заразить своим живым, творческим духом, дать пищу для размышлений историку, исследователю, методисту, а по богатству материала в некото- рых своих частях остается непревзойденным. Все же, надо думать, опи- санное выше «мозаичное чтение» будет правилом, а не исключением. Поэтому для ориентировки полезна краткая справка о содержании тома —нечто вроде расширенного оглавления, тем более, что названия глав оригинала не полностью раскрывают их содержание. * * $ Второй том «Интегрального исчисления» — это теория обыкновенных дифференциальных уравнений порядка выше первого. Основное его содер- жание составляет первый раздел, в котором рассматриваются дифферен- циальные уравнения второго порядка. В главе первой . этого раздела изучаются уравнения второго порядка простейшего вида,—когда вторая производная искомой функции выражается через одно только перемен- ное: либо через аргумент, либо через искомую функцию, либо через ее первую производную (у"?=Цх), y'' = f(y), у” = / (у')). Во второй главе интегрируются уравнения вида f(x, у', у”) — 0 и /(у., у', у”) — 0. Даже* в этих главах обилие примеров и обстоятельный разбор представляющихся здесь частных случаев делают изложение Эйлера интересным и поучи* тельным. Еще в большей мере это относится к третьей главе этого раздела:
4 ОТ ПЕРЕВОДЧИКА однородные (в том или ином смысле) уравнения второго порядка, инте- грированием которых занимается там Эйлер, почти не затрагиваются даже в обширных руководствах. Семь глав первого раздела — четвертая, пятая и с седьмой по один- надцатую— образуют теорию линейных уравнений второго порядка. Здесь почти все создано самим Эйлером, отсюда идут направления исследований, актуальные и в наше время. В первой из перечисленных глав устанав- ливаются общие свойства однородных и неоднородных линейных уравне- ний второго порядка, выясняется их связь с уравнением Риккати, под- робно рассматриваются уравнения с постоянными коэффициентами. В главе пятой к линейным уравнениям второго порядка применяется созданный Эйлером метод интегрирующего множителя. Задача ставится здесь как пря- мая — определить для данного уравнения интегрирующий множитель, так и обратная — определить, каковы те уравнения, для которых множитель данного вида является интегрирующим. В двух главах, седьмой и вось- мой, линейные уравнения второго порядка интегрируются с помощью степенных рядов. При этом Эйлер не стремится к возможно более общей постановке вопроса, а выделяет такие типы уравнений, для которых метод степенных рядов является эффективным. В силу такого подхода Эйлер занимается в седьмой главе уравнением вида у" + ахпу — 0, в восьмой — уравнением х2 (а + bxn) yff х (с + ехп) у' + (/ + gxn) у = 0. Он выделяет, таким образом, те типы уравнений, изучение которых привело в следую- щем столетии к созданию аналитической теории дифференциальных урав- нений и сыграло важную роль в развитии теории функций, в частности специальных функций математической физики. Изложенные в этих главах результаты Эйлера составляют один из важнейших его вкладов в анализ. Стоит отметить, что ряды, которые строит Эйлер, сходятся в некоторой области значений аргумента, и пополнить изложение отсутствующими у Эйлера исследованиями сходимости не представляет затруднений для современного читателя. Эйлер занимается также в этих главах выяснением условий того, чтобы построенные им ряды обрывались, то есть вопросом о существовании полиномиальных решений, дополняет изложенную им выше теорию уравнения Риккати, находит случаи, когда в общем интег- рале отсутствуют логарифмические члены, которые должны были бы в него входить согласно общей теории, и т. д. Девятая глава первого раздела посвящена преобразованию линейных однородных уравнений второго порядка как с помощью замены искомой функции, так и с помощью замены независимого переменного. Применяя такие преобразования к уравнениям, рассмотренным в предыдущих двух главах, Эйлер снова получает некоторые уже ранее установленные им результаты. Но следующая глава содержит новый метод интегрирования дифференциальных уравнений — с помощью определенных интегралов (как Эйлер сам выражается — с помощью квадратур кривых). Большое значение этого метода было ясно его первооткрывателю (см., например,
ОТ ПЕРЕВОДЧИКА 5 § 1016 этого тома), и в одиннадцатой главе он продолжает его развивать в сопоставлении с методом интегрирования с помощью бесконечных рядов. Шестая глава первого раздела представляет как бы попытку про- никнуть в нелинейную область с помощью метода интегрирующего мно- жителя. Этот метод применен здесь в основном к уравнениям вида (Бу2 + С + 2Dx + Ьх2)/ + Ау = 0, где Л, В, С, D и b — постоянные. В конце главы решается одна из обрат- ных задач на применение интегрирующего множителя (§ 923 и сл.). Последняя, двенадцатая глава первого раздела излагает обобщение на уравнения второго порядка метода численного интегрирования, кото- рый в первом томе был применен к уравнениям первого порядка. Второй раздел тома значительно беднее содержанием первого. По теории дифференциальных уравнений порядка третьего и выше Эйлер мог дать только классификацию простейших таких уравнений (уравнений вида где а и принимается равным х, у, у', . .., у*71-*)) с выделением отдельных типов, допускающих полное или частичное интегрирование (см. первую главу раздела), затем решение линейного уравнения с постоянными коэффициентами произвольного порядка одно- родного (глава вторая) и неоднородного (глава третья) и сводимого к нему уравнения, которое носит теперь имя Эйлера (глава пятая). Чет- вертая глава раздела содержит только примеры. Однако и в этом раз- деле можно найти немало поучительного. Так, например, по вопросам, рассмотренным в первой главе, изложение Эйлера остается, по-видимому, наиболее полным. В теории линейных уравнений с постоянными коэффи- циентами Эйлер не владел методом вариации произвольных постоянных, который был развит Лагранжем несколько позже выхода в свет «Инте- грального исчисления». Поэтому Эйлер строит теорию неоднородного урав- нения особым образом, фактически независимо от теории однородного уравнения. Применяемый при этом метод последовательного понижения порядка уравнения, сходный с тем, каким впервые проинтегрировал однородное линейное уравнение с постоянными коэффициентами Иоганн Бернулли, для уравнений невысокого порядка может быть удобнее метода Лагранжа. И нельзя не сказать о единственном в своем роде месте в мате- матической литературе (см. третью главу, § 1164), где Эйлер излагает ошибочный способ решения (в случае кратных корней характеристиче- ского уравнения) с тем, чтобы потом, для пользы читателя, разъяснить характер допущенной им ошибки и лишь затем изложить верное решение! При чтении надо учитывать также некоторые особенности термино- логии и обозначений. В переводе сохранен термин «полный интеграл» в смысле «общий интеграл». Независимое переменное обычно определяется указанием, что его первый дифференциал принимается постоянным или же (гораздо реже), что его второй дифференциал равен нулю. Полные и частные производные обозначаются одинаково, но, впрочем, Эйлер
ОТ ПЕРЕВОДЧИКА 6 часто различает их, беря частные производные в скобки. Логарифм (натуральный) обозначен курсивным I. Остальные (немногочисленные) отклонения в обозначениях от ныне общепринятых не воспроизводятся. В этом отношении настоящий том, как и все издание, воспроизводит латинское переиздание оригинала в полном собрании сочинений Эйлера. Из этого переиздания в наше перенесены все примечания редактора Л. Шлезингера—они отмечены инициалами Л. Ш, Остальные сноски сделаны переводчиком.
Леонард Эйлер ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ТОМ ВТОРОЙ В КОТОРОМ ИЗЛАГАЕТСЯ МЕТОД нахождения функций ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО ПО ДАННОМУ СООТНОШЕНИЮ МЕЖДУ ДИФФЕРЕНЦИАЛАМИ ВТОРОГО ИЛИ ВЫСШЕГО ПОРЯДКОВ о1 'о
OS^^I(INTEGRALIS VNОЙ| 1м-: I Я11!К®|НИЙ1Й^ ill 11 1ИНИ I mpen(is; Asacicm’ Imperi alis Sici«fttiarum
д - f " А ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ КНИГА ПЕРВАЯ Г^9 ЧАСТЬ ВТОРАЯ ИЛИ МЕТОД НАХОЖДЕНИЯ ФУНКЦИЙ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО ПО ДАННОМУ СООТНОШЕНИЮ МЕЖДУ ДИФФЕРЕНЦИАЛАМИ ВТОРОГО ИЛИ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ О’ РАЗДЕЛ ПЕРВЫЙ О РЕШЕНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА, СОДЕРЖАЩИХ ТОЛЬКО ДВА ПЕРЕМЕННЫХ Л ГЛАВА I ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ПРОСТЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА ОПРЕДЕЛЕНИЕ 706. Обозначим два переменных через х и у и положим dy — pdx и dp= qdx. Любое уравнение, определяющее соотношение между количест- вами х, у, р и q, называется дифференциальным уравнением второго порядка между двумя переменными х и у.
10 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА СЛЕДСТВИЕ 1 707. Итак, подобно тому как буква р обозначает дифференциаль- ное отношение первого порядка, поскольку р = ~ , так же буква q обозначает отношение дифференциалов второго порядка. Действительно, положив, как это обычно делают, элемент dx равным постоянному, получим dp — ^- , стало быть, 7 = • СЛЕДСТВИЕ 2 708. Итак, поскольку в рассматриваемое уравнение входит буква q, постольку оно является дифференциальным уравнением второго порядка. Если же буква q отсутствует, а имеется лишь р, уравнение будет дифференциальным уравнением только первого порядка; если же в нем отсутствует как /?, так и q, будем иметь уравнение между х и у, ‘и никакого иного уравнения искать не требуется. СЛЕДСТВИЕ 3 709. Итак, требуется иметь метод для определения соотношения между переменными х и г/, из которого явствовало бы, какой функцией от х является у, либо наоборот, если предложено некоторое уравне- ние, в которое входят как оба переменных х и у, так и количества dy dp г dx 4 dx ПОЯСНЕНИЕ 1 710. Вводя указанным образом букву q, мы освобождаемся при рас- смотрении дифференциальных уравнений второго порядка от условия рас- сматривать какой-либо из дифференциалов первого порядкакак постоян- ный. Действительно, когда мы переходим к конечным количествам, кото- рые выражают отношение дифференциалов первого порядка, постоянство [какого-либо] дифференциала совершенно не приходится учитывать1). А когда дифференциальные уравнения второго порядка, как обычно, рассматриваются таким образом, что один из дифференциалов принй- dy dp - мается постоянным, мы, вводя величины р = --- и q-~- избавляемся dx 1 dx от дифференциального вида записи, поскольку получается уравнение, в которое входят только конечные количества2). И, наоборот, если дано уравнение между конечными количествами я, у, /?, q, его можно привести бесконечным числом способов к обычному виду, для чего тот или другой из дифференциалов следует положить постоянным; однако все эти виды, различные по внешности, полностью согласуются между собой, так что, даже если никакой дифференциал не полагаем постоян- ным, мы можем осуществить приведение к обычному виду. х) Consideratio differentialis constantis ne locum quidem habere potest. 2) Species differentialium penitus tollitur, dum aequatio tanlum quantitates finitas complectitur.
ГЛ. I. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПРОСТЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ Ц ПОЯСНЕНИЕ 2 711. Следовательно, нам прежде всего надлежит вкратце показать, каким образом уравнение в дифференциалах второго порядка, записан- ное обычным образом, можно привести к нашему виду, какой бы дифференциал мы ни принимали постоянным. Пусть ds есть тот диф- ференциал, который принят постоянным, так что отношение этого дифференциала к dx вследствие того, что ~ = р, выражается через р и, возможно, через самые переменные жиг/. Итак, мы полагаем ds—vdx, причем v должно быть конечным количеством. А поскольку в уравнении встречаются d2x и d2y или во всяком случае какой-либо из этих дифференциалов, вместо d2x будем писать dsd^-, так как вследствие того, что ds постоянная величина, имеем dsd = d2x. Сле- ds довательно, будем иметь d2x = dsd~ = • Таким же образом, запи- сывая d2y в виде ds*d~- — dsd~ , получаем d2y — ds(vdp^ . д так как v выражается через р, ж, г/, получим dv = М dx + N dy + Р dp — dx (М + Np + Pq), так K&wdp — qdx и, таким образом, = (M + Np + Pq) И d2y (qv — Мр — Np2 — Р pq). При подстановке вместо d2x и d2y этих значений в уравнение в нем оста- нутся только дифференциалы первого порядка, и, после того как все они будут выражены через dx, с помощью деления на dx дифференциалы будут исключены полностью из уравнения. Наоборот, если предложено подобное уравнение между ж, у, р и q, то оно преобразуется к обыч- ному виду, когда принимается постоянным некоторый элемент ds, если, dy 1 7 dy во-первых, везде вместо р напишем ~, а вместо q напишем — d-f- — CL3C ctx (LX dx d2y — dy d2x =-----? причем пока еще не учитывается постоянство какого- либо элемента1). Но вследствие того, что ds = v dx есть постоянное коли- чество, мы получаем дополнительно vd2x~\-dv dx — О, или, так как dv = Мdx-YNdy + Pd—^; , будем иметь vd2x + Мdx* + Ndxdy + Р dx d y~dy d-x = 0, i) Ubi quidem nullius adhuc elementi constantis ratio est habita.
12 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА откуда по желанию можно исключить либо d2x, либо d2y и можно также получить бесконечно много эквивалентных видов, не исключая ни тот, ни другой дифференциал. ПОЯСНЕНИЕ 3 712. Итак, из изложенного отлично видно, какое преимущество имеет то выражение в конечном виде, в котором мы здесь представляем дифференциальные уравнения второго порядка, по сравнению с обыч- ными: одно и то же уравнение при обычном его представлении может быть дано бесконечным множеством способов в соответствии с тем, какой элемент полагаем постоянным, тогда как при нашем способа выражения одно и то же уравнение всегда приводится к одному и тому же виду. Поэтому, если при нашем способе получаются различные уравнения, то несомненно, что они выражают различные соотношения между переменными х и у, в то время как при обычном способе выражения самые различные дифференциальные уравнения второго порядка могут определять одно и то же соотношение, и чрезвычайно затруднительно выбрать из этих уравнений такое, которое наиболее удобно для решения. Так как мы разыскиваем метод, с помощью кото- рого по некоторому предложенному уравнению между четырьмя количе- ствами х, у, р и q можно было бы определить соотношение между двумя переменными х и у, а этот вопрос, мне представляется, превышает человеческие силы1), то следует начать с простейших случаев. Простей- шими же случаями, несомненно, являются те, когда в предложенное уравнение входят только два количества, а именно, либо только х и д, либо у и либо р и д, то есть если q есть функция либо только от х, либо только от у, либо только от р. Рассмотрение таких случаев составляет предмет этой главы. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 713. Дифференциальное выражение второго порядка называется простым, если, положив dy^pdx и dp = qdx, получаем величину q в виде функции либо только от х, либо только от т/, либо только от /?. СЛЕДСТВИЕ 1 714. Стало быть, мы имеем три вида простых дифференциальных выражений второго порядка в соответствии с тем, выражается ли величина q функцией только от р, либо только от х, либо только от т/, В этой главе надлежит научить, как их решать. СЛЕДСТВИЕ 2 715. Следовательно, если X обозначает функцию только от х, Y — функцию только от у и Р — функцию только от /?, то три вида этих простых выражений суть: 1) q = X, 2) q = Y, 3) q = Р; в них содержится простейший случай q = Const. х) Наес quaestio vires hmnanes superare videtur.
ГЛ. I. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПРОСТЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ 13 СЛЕДСТВИЕ 3 716. Если мы хотим записать эти выражения обычным образом, то, dp 1 7 dy d2y 1 так как q = = -z— d , получим q ^, принимая элемент dx йх dx ax dy d2x постоянным; принимая же постоянным элемент dy, получим q =-^-3- ; если же ни тот, ни другой элемент не полагаем постоянным, то будем иметь q= dx d УХ \ все эти формулы в значительной мере усложняют рассматриваемые выражения. СЛЕДСТВИЕ 4 (dx*dy*) d2x в виде q-— -----, " dxAdy оно получается в виде q = 717. Если, как это часто бывает, принимается постоянным эле- мент ]/cta2 + dy2, то будем иметь dx d2x-\~dy d2y — 0; откуда окончатель- ное выражение для самого q вследствие того, что - — dxd - , получается либо на основании того, что d2x~ — * (d2x ~-dy2} d2y dxP ПОЯСНЕНИЕ 718. Мы отказываемся от того, чтобы записывать дифференциаль- ные уравнения второго порядка с помощью обычных отношений [дифференциалов], так как при этом выражения сами по себе простые могут чрезвычайно усложняться. Мы будем пользоваться установленными здесь положениями, чтобы получить решение простых выражений указанного вида1). ЗАДАЧА 92 719. Полагая dy^pdx и dp^qdx, найти зависимость между пере- -менными х и у, если q есть некоторая функция только от /?. РЕШЕНИЕ Итак, пусть q—P, где обозначаем через Р какую угодно функцию только от р. Так как q = , мы получим dp = Pdx, откуда dx = и dy = pdx = . Отсюда, интегрируя, мы получаем л 1 С dp 1 г . Срdp г) Ratione hie stabilita utamur, indeque resolutionem hujusmodi formularum -simplicium doceamus.
14 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА так что как .т, так и у выражаются через одно и тоже новое переменное р. Так как при этих двух интегрированиях появились два новых постоян- ных а и Ь, этот интеграл следует рассматривать как полный1). СЛЕДСТВИЕ 1 720. Если уравнение интегрирование которого мы здесь изложили, привести к обычному виду, полагая dx постоянным, то оно преобразуется в уравнение d~y = dx~j , так как q = . Это есть дифференциальное уравнение второго порядка, в котором отсутствуют сами переменные х и у. СЛЕДСТВИЕ 2 721. Мы получаем такую же форму этого уравнения, если пола- гаем постоянным элемент dy или другое дифференциальное выраже- ние, в которое не входят сами переменные х и у, хотя бы ’\^dx*-\-dy\ Следовательно, таким способом можно проинтегрировать любое дифферен- циальное уравнение второго порядка, в которое не входят сами пере- менные х и у. СЛЕДСТВИЕ 3 722. Если же принимаем постоянным такой элемент, как ydx — xdy^ так что yd2x — хd?y = 0, то вследствие того, что _ 1 л dy _ dx d2y— dy d2x dx dx dx3 ’ получим {ydx — x dy) d2x (y dx — x dy) d2y x dx3 у dx3 ’ и это выражение, если оно равно функции только от р =, может быть проинтегрировано. СЛЕДСТВИЕ 4 723. Если Р есть постоянное количество, так что ? = будем; иметь х = а + и у=Ь + ^, откуда У = Ъ + (х - а)2 пли у = у /я2 - atx+^o.y + Ъ, или, меняя запись постоянных2), i) Здесь заявление о полноте полученного интеграла, поскольку он содержит два постоянных, сделано без обоснования. Но этот пункт разъясняется несколько» ниже, в § 724. 2) Mutata forma constantium—буквально: меняя вид постоянных.
ГЛ. I. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПРОСТЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ 15 ПОЯСНЕНИЕ 724. Поскольку, очевидно, дифференциальное уравнение второго порядка требует двух интегрирований, при этом, если оба интегриро- вания произведены в общем виде, появляются два новых постоянных, и в этом состоит критерий того, является ли полученный таким обра- зом интеграл полным. Действительно, точно так же, как полное инте- грирование дифференциальных уравнений первого порядка вводит одно произвольное постоянное, так же, если дифференциальное уравнение будет второго порядка, в полный интеграл войдут два новых постоянных, а если дифференциальное уравнение третьего или высшего порядка, то три или большее число постоянных. Те же задачи, решение которых приводит к таким дифференциальным уравнениям высших порядков, по своей при- роде таковы, что определение решения требует соответствующего количества постоянных. Соответственно этому для уравнения q=f, или, полагая dx 1 постоянным, d2y = fdx\ полное’интегральное уравнение у = у fx* -тСхл- D включает два новых постоянных С и D, что также будет видно из по- следующих примеров. ПРИМЕР 1 725. Найти полный интеграл дифференциального уравнения второго порядка ad2y = : dx dy, в котором постоянным полагаем элемент dx. Если положим dy = pdx и dp = qdx, получим d2y^qdx\ и отсюда aq = р и Р = ~, Вследствие этого получаем, интегрируя х = ? — С + alpи y=\^adp — D-\- ар. Так как р = у - , будем иметь х = Сal ———, а что является полным интегральным уравнением, содержащим два посто- янных С и D, ПРИМЕР 2. 726. Определить соотношение между х и у, полагая dx постоянным, так, чтобы (dx2-}-dy2) dx2~\rdy2 _ — dx d2y • Положив dy = pdx, будем иметь d2y — dpdx, так как ^ — постоян- ное количество. Поэтому наше уравнение будет (1+р2Н1+р* —dp dx = а. т) Напоминаем, что 1р у Эйлера обозначает логарифм р, обычно —логарифм натуральный.
16 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО, ПОРЯДКА откуда (1+т>2)/а и dy — ар dp (1+р2)’77’ Интегрируя, мы находим ар И у = В -|--Л___: , У1+р2 х = А откуда заключаем, что (А-^+(1/-В)2-а2. СЛЕДСТВИЕ 727. Если х и у обозначают прямоугольные координаты кривой, (dx2 + dy2) dx2 A-dy2 то выражение ----' ,2——— дает радиус соприкасающегося круга. Найденное интегральное уравнение показывает, что для того, чтобы этот радиус был постоянным и равным а, кривая должна быть окруж- ностью радиуса а. ПРИМЕР 3 728. Полагая ds = ^dx2 А-dy2 и принимая этот элемент постоян- n я ds dy a dx ным, определить соотношение между х и у так, чтобы = -т—. d х dy Положив dy = р dx, будем иметь ds — dx |/1 -р р2 и, так как ds есть постоянное, то есть d2x )/1 р />а~-р = О, — pdxdp аХ~~ 1+/?2 * Таким образом, предложенное уравнение переходит в следующее: pd^Vi^p2 м . ох А — pdxdp Z р 1 или же dx = —~~а dp-3/ - и dy = ——а-^ -, ^(1+Л /2 (1+^2)3/2 следовательно, y — D — —==. В первой из предыдущих формул мы 1 положим р—у, и тогда _______________________ ar2 dr a dr a dr “ (1_рг2)3/2 "" /ip?2 (Грг2)3/2 ’ откуда интегрированием находим I-C-j7fps + “'('- + T/1+''a) или 1'1 +? г
ГЛ. I. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПРОСТЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ 17 ПРИМЕР 4 729. Полагая ds — У dx* 2 -f dy2 и принимая этот элемент постоянным, о ds dy . dy надо получить — a arctg — Если положим, как раньше, dy — pdx, приходим к интегрированию такого уравнения: — <7я(1-4-рг)3/2 . -----------------------------= a arctg р, то есть dx =-------arctg р и dy — —--------arctg р. (1 ^2)3/2 (1_|_ ^2)3/2 Теперь, так как d arctg P — будем иметь — ар . С р dp х = г. .= arctgр — а \ ------- а/ , /1+р* 6 ' (1+р2)3/2 а . С dp У = г — arctgр — а \ ------ а. . /1+/>2 3 (1+/>2)3/з На основании этого мы получаем /у> - р1_______. 0>Р_ fJTptcp П /гёр /1+Р g р y = D~ тТтй + arctg р- yi+/>2 У 1+/>2 СЛЕДСТВИЕ 1 730. Если гс—абсцисса, а у — аппликата кривой, радиус соприкаса- ющегося круга кривой должен быть пропорционален углу, который касательная к кривой образует с осью [гг-ов]. Отсюда ясно, что эта кривая должна быть некоторой спиралью, которая разворачивается вокруг начала координат2). СЛЕДСТВИЕ 2 731. Если обозначим тот угол, тангенс которого есть р, через ср, будем иметь /? = tgcp, поэтому х = С — a cos ср— а sin ср и у = D — a sin ср -у а ср cos ср, и, следовательно, х cos ср -у у sin ср = С cos ср + Z) sin ср — а. х) Обозначение Эйлера: Ang. tang . 2) circa originem abscissarum se evolventem
18 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА СЛЕДСТВИЕ 3 732. Для того чтобы при = 0 исчезали как х, так и у, надо положить С = а и D --- 0; тогда х = а — a cos — а ср sin ср и г/ — — a sincp + а <р cos ф. Отсюда при весьма малых значениях угла получаем X = — У a'f + ~ ау* и у = - ~ а<р3 + ср3. Следовательно, приближенно* 1) X3 9 2 8х3 то есть ^=-9^-. ЗАДАЧА 93 733. Определить соотношение между двумя переменными х и у, если, при dy^pdx и dp~qdx. количество q есть функция только от х (которая пусть будет X). РЕШЕНИЕ Так как q=X, то qdx = dp-~Xdx, откуда, интегрируя, получаем jo — Xdx-yC, а отсюда вследствие того, что dy — pdx, находим у = dx X dx + Сх -Р D. Но ^dx\^Xdx = x \^Xdx— Xxdx, что сразу проверяется дифференцированием. Таким образом, полное интегральное уравнение, определяющее соотношение между двумя переменными х и г/, имеет вид у = х \^Х dx — Хх dx + Сх 4~ D. В него входят два произвольных постоянных С и D, и оно будет алгебраическим, если оба дифференциальных выражения Xdx и Xxdx допускают интегрирование2). СЛЕДСТВИЕ 1 734. Следовательно, если q — 0, или же, полагая dx постоянным, d2y = = 0, то естьХ = 0, полным интегральным уравнением будет у = Сх + D. х) Proxime. 2) Трудно сказать, каков смысл термина алгебраический в этом утверждении. 1 Буквально его принимать нельзя, как показывает хотя бы пример X— .
ГЛ. I. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПРОСТЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ 19 СЛЕДСТВИЕ 2 735. Те дифференциальные уравнения второго порядка, которые можно проинтегрировать указанным способом, полагая dx равным постоянному, содержатся в записи d2y = X dx2, так что первое интегри- рование дает dy = dx X dx — С, а второе — у = dx Xdx-^Cx+D. СЛЕДСТВИЕ 3 736. Если же принимается постоянным дифференциал dy, то, так как р^~^, будем иметь dp= — —^-^==qdx, и вид уравнений, которые можно таким образом проинтегрировать, есть — dy d2x = У dx3. СЛЕДСТВИЕ 4 737. Если постоянным полагаем элемент ds — dx2 --dy2, то, поскольку dxd2x-d dyd2y = 0, будем иметь , dx d?y— dy d2x —ds2d2x , =------~Г~ =-wr==(>d^ Следовательно, форма уравнений, которые можно проинтегрировать таким способом, есть — ds2 d2X — X dxsdy. Так как имеем также dp=-qdx = эти уравнения можно представить в виде ds2d2y = Xdx4-. ПОЯСНЕНИЕ 738. Из изложенного ясно, насколько важно освободиться от пред- ставления дифференциальных уравнений второго порядка в обычном виде, когда принимается постоянным некоторый элемент, и привести их к установленному здесь виду. Действительно, если предложено уравнение ds~d2y = Xdx4, причем полагаем постоянным элемент ds = |/с/т2 -ddy2, то далеко не очевидно, каким образом следует при- ступить к его интегрированию. Согласно же нашему методу, если положим dy = р dx, так что ds = dx У"1+ р2 и d2y = pd2x -±dxdp, мы придадим этому уравнению следующий вид: б£г2(1 + р2) (р d2x + dxdp) = X dx4-, то есть (pd2x + dx dp) (1 + p2) = X dx2. А поскольку постоянным является ds и, следовательно, также и ds2 = = б?ж2(1 + р2), будем иметь d2x (1 4- р2) + р dx dp — 0 или d2x = ,
20 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА а потому р <Рх + dx dp = , так что получим dp = Xdx, и это уравнение уже очень легко решить. Здесь, конечно, следует воспользоваться и тем, что выше1) изложено относительно интегрирования простых дифференциальных выражений. ПРИМЕР 1 739. Найти полный интеграл [уравнения} d2y = axndx2, полагая dx постоянным. Так как ~^ = axndx, мы получаем интегрированием, учитывая, что dx равно постоянному, ^ = ^T.zn+1 + C, dx n-f-l откуда, снова интегрируя, получаем У == 1-------жхП+2 "h Сх + D. * (^4-1) (л + 2) 1 1 Тут следует отдельно рассмотреть случай лг = — 1 и п = —-2. т гг л d2y <xdx dy . „ I. Итак, если п = —-1. имеем =, откуда -^^alx^C, и, сле- d х х dx довательно, так как dy =?adxlx-\-С dx, новое интегрирование дает у = axlx — ах + Cx-j-D. Если вместо С —а напишем С, мы получим у = ах 1х 4- Сх + -О. тт г? о d у <х dx dy — я . у', II. Если и = — 2, то есть -г^=—у, получаем -< =---[-С, откуда dх х dx х у = — alx 4- Сх + D. ПРИМЕР 2 740. Найти полный интеграл [уравнения] полагая ds — Уdx2 4- dy2 постоянным. ds2d2y Из вышеизложенного [§ 717] ясно, что —— q, так что предло- женное уравнение это q = ~ cos у , откуда получаем q dx~dp = cosи, интегрируя, находим с . х „ dy п = — sin —уС — ~~. 1 а с dx Поэтому у = — у cos у + Сх 4-D, что и есть полное интегральное уравнение. Ч § 733.
ГЛ. I. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПРОСТЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ 21 ЗАДАЧА 94 741. Если величина q равна некоторой функции только от у (кото- рую обозначим через У), найти полное интегральное уравнение в [пере- менных] х и у. При этом полагаем dy = pdx и dp = qdx. РЕШЕНИЕ Так как 7 = У = , то dx = , и отсюда pdx~dy~ . Это при- водит к уравнению с разделенными переменными гр и у: pdp^Ydy, интегрирование которого дает и />=|/с + 2^У^ = |. Отсюда далее получаем, что х = \ —7— у =г-, JVC + 2 j Ydy и это новое интегрирование вводит еще одну произвольную постоянную, так что мы имеем таким образом полное интегральное уравнение в [пе- ременных] х и у. СЛЕДСТВИЕ 1 ис?х==~^, то £ = Поэтому, поскольку есть 7= У, получим £^==У, отсюда pdp^ ay 742. Так как q = ^r~ * dx предложенное уравнение = У dy, и, таким образом, сразу получается предыдущее интегриро- вание. СЛЕДСТВИЕ 2 d^y 743. Так как, принимая элемент dx постоянным, имеем q — -^ » проинтегрированные нами уравнения будут вида d2y = Ydx2. Интегра- ция их в этом виде становится очевидной после умножения на dy, а именно 4- dy2 = dx2 \y dy + 4- C dx2, J £ так как dx постоянное, и отсюда следует, что dx — — d^ .... =- , как У С + 2 |У dy выше. ПОЯСНЕНИЕ 744. Итак, вот пример дифференциальных уравнений, преобразуе- мых в интегрируемые с помощью подходящего множителя. Отсюда за ключаем, что метод множителя может быть использован также и для этих уравнений, но будет уместно полнее развить этот метод позже, так как его применение имеет существенное значение главным образом для дифференциальных уравнений высших порядков, когда разделение переменных не может нам помочь. По этой же причине мы уже ранее [§ 447, т. I] рекомендовали метод интегрирования с помошью множи- телей и ставили его выше метода разделения переменных.
12 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА ПРИМЕР 1 745, Найти полный интеграл, если имеем [уравнение} a2d2y^ydx2, еде полагаем dx постоянным. Умножим предложенное уравнение на 2dy, что дает 2а2 dy d2y = 2у dy dx2. Так как dx есть постоянное, получаем интеграл a2 dy2 = у2 dx2 + С dx2. Отсюда следует, что dx = , V У2+С и новое интегрирование дает нам x = al(y+ J^y2 +C) — alb. Обозначая через е число, логарифм которого^-!, получаем отсюда, что Ъех/а = у у и, избавляясь от иррациональности, Ь2е2х/а — 2Ъуех^а = С, так что У = ± Ье^-~ье а. Меняя запись постоянных С и Ъ, получим X X y = Ce^ + De что является полным интегральным уравнением. ПРИМЕР 2 746. Найти полный интеграл, если имеем [уравнение} a2 d2y-\- у dx2 = О и полагаем dx постоянным. После умножения на 2dy находим интеграл уравнения 2а2 dy d2y + 2г/ dy dx2 = О в виде a2 dy2 Ц- у2 dx2 = с2 dx2, откуда получаем и новое интегрирование дает нам х = a arcsin — Ц- Ь1), с 1 х) У Эйлера: .г --a Aug-sin —
ГЛ. I. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПРОСТЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ 23 Следовательно, будем иметь у . х—b b . х . Ъ х — = sin--= cos — sin — — sin — cos — , c a a a a a или, заменяя постоянные b и с так, чтобы с cos — = С и — с sin — = а а получим у — С sin — + D cos — а а Если сохраним первоначальную запись1), получим у = с sin + а . СЛЕДСТВИЕ 747. Этот пример может быть решен на основании предыдущего, так как еи]Л^1 = cos и у _ 1 sin и и е-и V-1 _ cos — 1 sin и и, наоборот, cos и]/— 1 ^=^-еи + ^-е~и и sin и У— 1 ——Д= еи------^=e-w. У 2 Г2 v 2/-1 2/ —1 ПРИМЕР 3 748. Найти полный интеграл, если имеем [уравнение] dfiyYay^dx2 где полагаем dx постоянным. Так как имеем 2dy d?y =dx2, то, интегрируя, получим У «У 2 = 4n dxi = * V а У а откуда 2J.r=-rfy/.5 У /?/+/« Пусть, удобства ради, пУа^Ь и У у = z, так что 7 о 7 dx У п z dz dy = 2zdz и —= -7== . УЪ Vb^z Интегрируя последнее соотношение, находим = 4 (z - 2Ь) УЬ + 1+С, } ъ ° или, возвращаясь к прежним обозначениям, - 4 (V, - 2 /7Г+7? -г с. х) Retenta prima forma.
24 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА где с и С суть два произвольных постоянных. Итак, будем иметь 3-й±4>_ (f^-2 УГ) /РТТТт; 2 у а полагая С = -г7=у а возведя в квадрат, получим /а 9 =уУу — ЗуУс + ^сУ с. 4 у а ПОЯСНЕНИЕ 749. Обычная форма уравнений, которые можно проинтегрировать таким образом, полагая элемент dx постоянным, есть d2y — Y dx2, и интегрируемость таких уравнений становится очевидной после умноже- ния на dy. Если же принимается постоянным элемент dy, то, так как dp dy dyd2x х q = ~ и p == , будем иметь q =-----^-5- ; обычной формой таких урав- нений будет, следовательно, dy d2x= — Y dx3. В свою очередь, полагая элемент ds = dx2 4-dy2 постоянным, так что dxd2x^-dyd2y = 0, полу л/'t* fl'll чим вследствие того, что dp —------у - 2 --, либо q —-----, либо ах ах°ау ds2d2y : это приводит к следующему ds2 d2x v --------------= -7 или dxa dy уравнения после умножения на dy уже менее очевидно. Подобным же образом, 7 = виду уравнений: ds2 d2y у dx* ' можно проинтегрировать, хотя если мы полагаем Эти это постоянным элемент ydx, так что у d2x ^-dxdy = 0 и d2x = — т / , сРу . dy2 \ получаем уравнение следующего вида (потому, что dp = уd?y + dy2 — Yydx2. Левая часть становится интегрируемой после умно- жения на любую функцию, зависящую только от ydy и ydx, следова- у dy тельно, и после умножения на 2 , а этот множитель одновременно делает интегрируемой также и правую часть Yydx2. Итак, разобрав эти простейшие случаи дифференциальных уравне- ний второго порядка, которые уже не представляют каких-либо труд- ностей, перейдем к более трудным, и прежде всего к таким уравне- ниям, в которые не входит одно из двух переменных х и у; следова- тельно, предлагаемые уравнения содержат только три буквы х, р и q либо у, р и у, причем в обоих случаях исследование проводится почти одинаковым образом1). L) Utriusquc enim ratio fere perinde est comparata. о
ГЛАВА II О ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ ВТОРОГО ПОРЯДКА, В КОТОРЫЕ НЕ ВХОДИТ ОДНО ИЗ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ ЗАДАЧА 95 750. Положим dy — pdx и dp^qdx и пусть дано некоторое уравне- ние относительно трех величин х, р и qt в которое не входит другое переменное у\ определить соотношение между переменными х и у. РЕШЕНИЕ В предложенное уравнение входят три количества х, р и q. Вместо q напишем его значение , и мы получим дифференциальное уравне- ние первого порядка, в которое входят только два переменных коли- чества х и р, и это уравнение надо решать в соответствии с правила- ми первой части и определить его интеграл. После же того как этот интеграл найден, причем, для того чтобы он был полным, он должен содержать произвольную постоянную, мы можем из него определить либо р через х, либо х через р. В первом случае, когда можно опре- делить р через х, так что р равно некоторой функции только от х, которая пусть будет X, мы вследствие того, что р — X, получим р dx — dy =- X dx, откуда найдем у = Xdx-\ Const, и это уравнение определяет искомое соотношение между х и у. Во втором случае, когда х определяется через р и равно некоторой функции Р только от р, так что х Р будем иметь у^ pdx = ^pdP или у — Рр — Pdp. Если же нет возможности определить ни х через р, ни р через х? то следует посмотреть, нельзя ли выразить оба эти количества через новое переменное и так, чтобы получить х — V и p — U\ тогда мы най- дем у ~ \ U dV,
26 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДНА СЛЕДСТВИЕ 1 751. Таким образом, решение дифференциальных уравнений второго порядка состоит в том, что они сводятся к дифференциальному урав- нению первого порядка относительно двук переменных х и р, и если последнее может быть проинтегрировано, то одновременно мы проин- тегрируем исходное уравнение [второго порядка], причем добавляется какое-то новое постоянное. СЛЕДСТВИЕ 2 752. Если предложенное уравнение относительно х, и q таково, что либо измерение q не выше первого, либо уравнение может быть приведено к такому виду, то мы получаем простое дифференциальное уравнение, в которое дифференциалы входят только в первой степени, и при этом следует использовать те правила, что были изложены раньше. СЛЕДСТВИЕ 3 753. Если же количество q входит в более высоком измерении, или же оно входит в уравнение трансцендентно, то следует попытаться применить приемы, которые изложены в конце предшествующей части, в связи с решением таких уравнений. ПОЯСНЕНИЕ 754. Если в уравнение относительно х, р и q буква q входит dp в первом измерении, так что, положив q = , мы приходим к просто- му дифференциальному уравнению, то главные случаи, когда интегри- рование удается, таковы: 1) если это уравнение допускает разделение переменных; 2) если одно из переменных р и х с учетом также дифференциа- лов имеет измерение не выше первого; 3) если оба переменных х и р во всех членах дают одно и то же измерение, в каковом случае уравнение называется однородным. Случаи менее очевидные, на которых мы останавливались выше1), здесь мы не упоминаем. Затем, если величина q входит в более высоком измерении или даже трансцендентным образом, главные случаи, когда мы получаем решение, в соответствии с изложенным выше, таковы: 1) если предложено какое-угодно уравнение относительно х и q, причем р отсутствует; 2) если уравнение содержит только р и q\ оба эти случая мы уже рассматривали в предыдущей главе; 3) если в заданном уравнении оба переменных р и q везде дают одно и то же число измерений; 4) если в уравнении относительно х> р и q одна из двух букв - либо х, либо р — входит в первом измерении, и, наконец, !) Имеется в виду I том.
ГЛ. II. УРАВНЕНИЯ, В КОТОРЫЕ НЕ ВХОДИТ ОДНО ИЗ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ 27 5) если уравнение составлено так, что, полагая х = р = zlx+v и q — мы получим однородное уравнение относительно у, z и Z, т. е. такое, что эти переменные везде дают одно и то же число измерений. В соответствии с указанными случаями мы дадим примеры. ПРИМЕР 1 755. Определить соотношение между х и г/, если при dx постоян- (dx2 + dy2)3/2 п ~ л Л ном выражение-— 2-— равно заданной функции одного х, которая CLOD CL с/ пусть будет = X. Полагая dy=pdx и dp — qdx, будем иметь (1 + ?2)а/а = х (1 + ?2)3/2^ £ dp и потому tZx _ dp (1+р2)3/2 ’ Так как здесь переменные х и р разделены, то интегрирование дает Р___dx Vi+p* ~ j х • doc Обозначим \ через V и будем считать этот интеграл полным; V является функцией от х. Итак, р^УУ1+р2 и р ~= — . Поэтому л л Vdx dy = pdx-= —r. — , я г у откуда мы получаем С Vdx У = \ ~г - • J/1 — V2 Кроме того, мы находим элемент Vdx^ + dy^ dx /1+7* =- y=f и, интегрируя, получаем dxVT+p*= ( . J J ]/ 1 —V2 СЛЕДСТВИЕ 1 756. Если х п у суть ортогональные координаты кривой, выраже- на-?2)372 ние 3—— дает ее радиус кривизны, следовательно, мы определили кривую, радиус кривизны которой равен какой угодно функции абсциссы х.
28 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА СЛЕДСТВИЕ 2 757. Итак, пусть радиус кривизны должен быть обратно промер- ^2 ционален абсциссе х. Принимая, что X = , мы получаем 2х dx а2 x* 2-}-ab откуда С (х2 + ab) dx У J /а‘-(х2 + а^ ’ и это соотношение дает кривые, образуемые упругой пластинкойг). СЛЕДСТВИЕ 3 1 758. Если V = х, то есть X = , то, опуская постоянное слагаемое, мы находим у = , и этот интеграл может быть выражен алге- 1 ______________1 браически в тех случаях, когда либо п = + > либо п = , обозна- чая через i целое положительное число2). ПРИМЕР 2 759. Определить соотношение между х и у, если, полагая dx по- стоянным, имеем dx (dx2 + dy2) +xdy d2y = асРу j/*dx2 + dy2. Полагая dy = pdx, мы вследствие того, что d2y — dpdx, приведем наше уравнение к виду dx (1+р2) + хр dp = a dp 1 + р2 и путем деления на + Р* получим интегрируемую форму, что дает нам то есть х == ар^-- -. А /1 + ?2 то будем иметь х + р2 = ар + Ь, так как у = р dx = рх — xdp, + __ С dp(ap-\-b) У /Т+72 J /1+^ formatas. — Имеются в виду формы равновесия упругой 1 х) a lamina elastica линии. 2) Интеграл у с помощью подстановки xn~t при п— приводится к рас- — 1 смотренному в § 122 (I т.), при п= —к рассмотренному в § 123 [Л. Ш.].
ГЛ. И. УРАВНЕНИЯ, В КОТОРЫЕ НЕ ВХОДИТ ОДНО ИЗ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ 29 и, выполняя интегрирование, найдем а /1 + р* - b I Р+/1+Р2 , лиоо, иначе, = Ър~д __ i + />2 У /1 + р2 п Таким образом, оба переменных х и у выражаются через р. А так как из полученного выше следует, что то после подстановки этих значений найдем __а (а2-\-Ь2— x2)-\-bx У а2-^Ь2— х2 бЦ-у^а2-]-^2— я2 Ьх~}~а }/"а24-^а — ж2 п(х или, иначе, V . -ыь + . СЛЕДСТВИЕ 760. Если принять постоянное 6, которое вводит первое интегри- рование, равным нулю, то зависимость между х и у будет алгебраи- ческой, а именно у~Уа2 — х2. Если же b не равно нулю, то интегральное уравнение является трансцендентным и содержит логарифмы. ПРИМЕР 3 761. Определить соотношение между х и у, если, полагая dx посто- янным, имеем a2d2y У а2 ~}~х2 + a2 dx dy = х2 dx2. Полагая dy = р dx, получим уравнение в виде a2 dp У а2 + х2 + a2 pdx = x2 dx, либо в виде dp+ p=dx^ = ..ХЪЛХ , Уа2-[-х2 а2 У а2 -[-х2 в которое переменное р входит только в первом измерении. Так как
30 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА это уравнение становится интегрируемым после умножения на х 4- У а2 4- #2, и тогда получаем х2 dx (а?4-1/ а24-х2) а2 У а2 + х2 то есть Но Отсюда = 1 (Ж2 _ 2а2) |/а2 + д.2 + С У а2 4-я2 3 ( । । 2“ ।-2 \ (х2 — 2д2) 4- X2 4- X3 „ р (ж 4- |/а2 4- ж2) = i---------г— 4- С. Умножая последнее равенство на ]/а24-.т2— %, что дает нам а*Р = + + с Сх< О и учитывая, что dy=pdx, после интегрирования получаем а2у — — тря3 — ~а2х + у (а2 4- х2) У а2х2—~ Сх2 4- С dx Уа2~[-х2. Если постоянное С исчезает, зависимость между х и у будет алгебраи- ческой, а именно: 9Л/ 4- 6 а2.г г ж3 — 2 (а2 4- х2) У а2 4- х2. ПРИМЕР 4 762. Полагая dx постоянным, найти интеграл следующего дифферен- циального уравнения второго порядка: (a2 dy2 4-х2 dx2)d2y = пхdx3dy. Имеем dy = p dx и, так как d2y = dp dx, получаем (a2/>2 4- x2) dp -^n pxdx. Поскольку это уравнение является однородным, мы полагаем х — ри, и, следовательно, р2 (а2 4- и2) dp = пр2и (р du 4- и dp), или же dp ____________________________ пи du р а2-^ (1 — п) и2 ’ и это после интегрирования дает нам lp = 2(l-~n)z[я2 + (! - и)«2] + Const. Отсюда следует, что р = С ( а2 + (1 - п) «2]2Т^'>
ГЛ. II. УРАВНЕНИЯ, В КОТОРЫЕ НЕ ВХОДИТ ОДНО ИЗ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ 31 а также п х = Си [а2 + (1-п)и2]^~^. Поскольку мы теперь получаем Зп-2 у — рх— \ xdp и dp = Спи du [а2 + (1 — п) и2]2 И-71), будем иметь п 2п-1 у = С2и[а2 + (1 — п) и2]*~п — пС2 u2du[a2 + (1— п) и2] 1~п . В том случае, когда тг= 1, мы находим Zp = тгт + С и и = а ]Л21 ~ , 1 2а2 1 г с откуда х ар ]/2 Z— и у = ар2 ]/2 I ~ — а р dp У 2 I ~ . СЛЕДСТВИЕ 763. При тг = у получаем х = Си + у и2 и у = С2к(а2 + 4м2)-^ + Я = С2И(\2 + 4и2)+ так что зависимость между х и у выражается алгебраически, и это же 2 3 4 оудет иметь место при тг — у, и при лг = — , и при тг ~ у и т. д. ПРИМЕР 5 764. Полагая dx постоянным, проинтегрировать дифференциальное уравнение второго порядка a dx dy2 + x2dx d2y = nx dy Уdx* + a2d2y2. Принимая во внимание, что dy — p dx и dp ~qdx, так что d2y^=qda2, мы можем привести наше уравнение к виду ap2 + qx2 = прхУ 1 -\-a2q2, однородному относительно р и х. Поэтому мы положим р = их, так что аи2 q — пи У 1 + a2q2* А так как dp = q dx = и dx + х du, мы получаем, что dx __ du х q — и *
32 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА Из уравнения относительно q и и следует, что аи2 + пи V 1 —п2а2и2а^и4 $ “ nWu2 — 1 п л т1 __ и (1 -|-au — л2а2и2) + ли 1/1— w2aau2 + a4u4 q~U пг<№ — 1 ’ так что rfx _ du п2а2и2 — 1 х и i-^-au— n2a2u2-p^]/l—w2a2ua+a4u4 Следовательно, x выражается через п, а значит, также и р^их выра- жается через и. Отсюда мы получаем у = р dx = их dx. СЛЕДСТВИЕ 1 765. Рассмотренное дифференциальное уравнение преобразуется в уравнение dx__du 1 + аи— п2а2и2— п /1 — n2a2u2-paV х и п2— 1 — 2аи-\-(п2 — 1)ааиа Отсюда легче усмотреть способ интегрирования. СЛЕДСТВИЕ 2 766. Заслуживает быть отмеченным случай и2 = 2, когда имеем dx ______________du i-\~au — 2а2и2—(1—а2и2)У 2 х и (1 — аи)2 то есть dr _ du 1+2ац -(1+ац)/2 __ du (1 — /2) а<?ц(3 —2/2) х и 1 — аи и 1 — аи ’ откуда следует: lx = (\-V2}lu- (3-2/2) Z(1 — аи) 4- Const, либо, иначе, xu^-\l-avrf~2}ri = С. ПРИМЕР 6 767. Найти интеграл уравнения dx3 dy — х ds2d2y = a dx ds У (d2x)2 (d2y)2, принимая постоянным элемент ds = Уdx2 + dy2. Полагая dy = pdx, будем иметь ds = cb'/l p2 и, так как d2s=0, получаем ,2 _ pdp dx = — pqdx2 a 1+p2 l + pa ’
ГЛ. II. УРАВНЕНИЯ, В КОТОРЫЕ НЕ ВХОДИТ ОДНО ИЗ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ 33 принимая, что dp = qdx. Заодно находим, что d2y = pd?x + dpdx = =^Tp -\-qdx2 = ’ вследствие чего V(d2x)2 + (d2y)2 = g±L . 1 1 + р2 После подстановки полученных выражений в наше уравнение мы при- ведем его к виду p — qx= aq. Продифференцировав последнее, найдем, что — xdq = adq, следовательно, dq = Q и • Поэтому р = qdx = —, и то же самое значение мы получаем из уравнения р — (х + a) q без интегрирования. Тогда Г , х2-\-2ах , y=^pdx = —--------h b, что является полным интегральным уравнением с двумя постоянными & и с. ПРИМЕР 7 768. Определить интеграл дифференциального уравнения второго порядка dx3 dy — x ds2d2y b dx^ ds2 d2x Ydx6 + a2ds^ (d2y)2 1 принимая элемент ds = ]/dx2 + dy2 постоянным. Полагая dy = pdx и dp —qdx, мы получаем вследствие того, что *ds = dxY\^ р2 и с?2№0, 79 —pqdx2 „ —dx d2x —d2x qdx2 1+p2 x dy p 1+p3 Следовательно, ds2d2y = qdx^, и наше уравнение получается в виде Дифференцируя, будем bq р — qx — - __ . /1+а2?2 иметь J bdq — xdq =-------2-s- . (1 + aV)3/2 Отсюда мы заключаем, что либо бЛ? = О, либо В первом случае Q—p — Ъ X = --------• (1 + а2^2) /2 х . Ъ " °т“Уда y=\pdx 2с + /с2 + а2 Во втором случае, когда х —---------------, получаем (1 +а2?2) /2 __ —bq bq ______ a2bq3 Р ~ (1+а2</2)3/2 + /1+aV ~ (lJ-a2?2)S/2 ’
34 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА А так как , -r~3a2bq dq dx= —---------Чт~, (14-а2?2) /2 то dy = pdx = 3a^b2q^ dq (1-4-a2#2)4’ и росле приведений 1 v =____?_____________l -L ъ2 C_______ y (14-aV)3 2 J (1 -1- a2?2)3 ’ Справедлива формула C dq ____________ \q 2n—1 Г dq J (14-a2?2)n+1 2n (1 -|-a27a)n ‘ 2n j (l-j-a2#2)’1 Следовательно, f dq q , 3 f dq J (14-a VP “ 4(14- a2?2)2 "4 j (14-a2?2)2 и C d(l __ 9 1 1 \ 7 ] 1 Д . | J (14-a2?2)2 - 2(14-a392) T J l-j-a2?2 ^Z(14-a2?2) 1 2a лгсъ§ aQ- Таким образом, __ 1 ____• 1 Аг(Ъйя (14-a2?2)3- 4(14-a2?2)2 -r8(14-a'V) ‘ 8a ё Поэтому __ —b2q (1 -x~2a2q2) ! b2q 3b2q 3b2 V 2(14-a2?2)3 8(in-a'^2)2n' 16(14-a2^2) 1 16a причем Отсюда следует, что — b (1 -j-a2?2)3'2 1 -4 a2<72 = и, таким образом, мы можем получить в явном виде зависимость между х и у. Впрочем, этот интеграл, как мы видели выше [§ 723], является только частным. ЗАДАЧА 96 769. Положим dy = pdx и dp = qdx\ пусть дано некоторое уравне- ние относительно у, р и q, так что переменное х в него не входит^ требуется найти интегральное уравнение, связывающее х и у. РЕШЕНИЕ Поскольку q = ~ и dx = , будем иметь q = . После под- v dx Р &У становки в уравнение, связывающее г/, р и q, вместо q его значения Pdp dy получается дифференциальное уравнение первого порядка, содер-
ГЛ. П. УРАВНЕНИЯ, В КОТОРЫЕ НЕ ВХОДИТ ОДНО ИЗ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ 35 жащее только два переменных р и у, и следует пытаться решить это уравнение с помощью изложенных выше методов. После же того, как найдено интегральное уравнение, в которое входят р и у, из него либо р определяется через у, либо у определяется через р, с учетом того, как удобнее произвести следующее интегрирование. Если можно удоб- ным образом определить у через р, так что у равняется некоторой функции одного р, которая будет Р, то есть у = Р, мы получим , dP С dP Р . С Р dp ъ * dx = , откуда = ~Р2’ ^сли же можно удобнее опре- делить р через у, так что p = Y, обозначая через Y некоторую функ- цию только от у, то, поскольку dx=~-d? , мы получим х= Если же нам не удается ни то, ни другое, мы, вводя новое переменное н, выражаем через него оба количества р и у, так что p = U иу = Е, при- чем U и V являются функциями только от w. Отсюда будем иметь , dV dV гг dx=-y и x = jj-> 1аким образом, с помощью двукратного интегри- рования получаем полный интеграл. СЛЕДСТВИЕ 1 770. Согласно изложенному методу решение дифференциальных уравнений второго порядка приводит к дифференциальному уравнению первого порядка, и если решение последнего оказывается возможным, то тем самым оказывается возможным получить интеграл первого уравнения. СЛЕДСТВИЕ 2 771. Если уравнение относительно у, р и q таково, что из него можно удобным образом получить значение q, так что q равняется функции только от уър, которая пусть будет Т, получим pdp—Tdy, что является простым дифференциальным уравнением первого порядка. СЛЕДСТВИЕ 3 772. Если же подобного рода преобразование не удается вследствие того, что буква q встречается в более высокой степени, либо находится под знаками радикалов, либо даже входит трансцендентно, получается дифференциальное уравнение первого порядка, но сложное, и оно дол- жно быть исследовано с помощью методов, изложенных выше. ; ПОЯСНЕНИЕ 1 773. Поскольку лишь в немногих случаях можно проинтегрировать дифференциальное уравнение первого порядка, полезно и здесь на них указывать и иллюстрировать такие случаи примерами. Вместе с тем и в остальных случаях следует рассматривать вопрос как решенный, поскольку самое большее, чего можно требовать при рассмотрении дифференциальных уравнений более высоких порядков, это то, чтобы их решение сводилось к решению уравнений низшего порядка. Ведь в Анализе те вопросы, которые предшествуют в порядке рассмотрения, систематически рассматриваются как разрешенные, даже если для этого многого не хватает, чтобы таким образом уменьшить количество
36 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА требований. Так, например, хотя мы еще очень далеки от того, чтобы быть, в состоянии решать алгебраические уравнения всех степеней, по- скольку до сих пор в наших силах решать уравнения степени не выше четвертой, однако в высшем Анализе мы считаем решение всех этих уравнений известным. И это нас даже не ограничивает/ поскольку прак- тически может быть достаточным приближенное решение, которое воз- можно с любой желательной точностью. Подобным же образом, по- скольку мы изложили метод приближенного решения дифференциальных уравнений первого порядка, мы с полным основанием можем рассма- тривать всю эту проблему как целиком решенную, когда мы можем свести к ней решение дифференциальных уравнений высших порядков. Поэтому в настоящей второй части мы будем считать вопрос полно- стью исчерпанным, как только мы свели дифференциальное уравнение второго порядка к уравнению первого порядка. ПОЯСНЕНИЕ 2 774. Итак, дифференциальные уравнения второго порядка, которые сводятся указанным образом к дифференциальным уравнениям первого порядка, образованы таким способом, что, полагая dy — pdx и dp^qdx, мы устраняем из них переменное х и получаем уравнение относительно только трех переменных у> р и q. Следовательно, те случаи, когда подобное уравнение оказывается возможным решить, суть двух родов/ причем к первому из них мы отнесем случаи, когда в уравнение q входит в первом измерении, так что q можно приравнять некоторой функции только от у и р. Поскольку, таким образом, имеем — — f{y, р)1), каковую функцию обозначим через Т, то решение удается: 1) если Т есть однородная функция первого измерения от у и /?; 2) если получаем Р y+Q , обозначая через Р и Q некоторые функ- ции только от р, откуда следует Р dy = y pdp-YQpdp. Сюда же относится случай, когда Т =___-__• v+Qyn 1 3) если имеем Т = p(Yp 4- Z), где У и Z являются какими угодно функ- циями от у, потому что тогда уравнение dp = Yр dy 4- Z dy вследствие того, что р входит в него только в первом измерении, является интегрируемым, и сюда же надо отнести тот случай, когда T = p(Yp + Zpn\ Что касается случаев второго рода, когда величина q входит в более высоком измерении, или находится под знаками радикалов, или даже входит трансцендентным образом, то уравнение относительно у, р и q оказывается разрешимым: 1)если, положив q = рщ так что будем х) Обозначение Эйлера: / : (у и р).
ГЛ. II. УРАВНЕНИЯ, В КОТОРЫЕ НЕ ВХОДИТ ОДНО ИЗ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ 37 и = иметь dy ’ получаем однородное уравнение относительно у и /?, т. е. такое, в котором у и р везде дают одно и то же число измерений, как бы, впрочем, ни входило в уравнение н; 2) если в уравнение между у, р и w, которое получается после подстановки q = pu, одно из двух переменных —либо у, либо —входит в первом измерении; 3) если, полагая у = ^, = и и —получаем однородное уравнение отно- сительно трех переменных о, z и ведь решение подобного рода урав- нений было изложено выше [§ 698, т. I]. ПРИМЕР 1 775. Найти полный интеграл дифференциального уравнения вто- рого порядка (Ру + Adxdy + By dx2, = О, полагая элемент dx постоянным. Полагая dy=pdx и dp = qdx, мы получим наше уравнение в виде q + Ар + Ву= О, ИЛИ р dp + А р dy + By dy = 0. Так как последнее уравнение однородное, полагаем р — оу и получим t/2y dy + vy2 do + Avy dy A-Bydy = 0, откуда dy vdv p у v*A~AvA~B Пусть u2 + Ao A-В = (v + a)(v +г6), так что a-j-p— А и a$ = B. Будем иметь dy ._____________________a dv fidv __ У + («-?) (*+«) " (« —W (у+W “ Отсюда, интегрируя, получаем ly+AAl(v + «)-^гэя^+₽) то есть Р -д у = а (о + р)я-0 (у + а)3-*3, так что Р —а р = оу~ао (о А- р)а~? (и 4- а)®-Р. Вместе с тем Р чу dy —vdv откуда вследствие того, что — л \п > получаем У -1 I dv , — dv dv - + а) ~ (*-р)(У-Н) и X = I + Const, a —В у + Р
38 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА Правда, это решение может быть легче получено следующим образом. Так как мы имеем dy _ —v dv . __ —dv (t’+ “)(*' + ?) И Х ~ (» + ’)(»+?) ’ ТО + и + = У &+₽ У 1 V-j-a ’ откуда ly + ах = la — I (о + р), ly + p# = 1Ь — I (v + а). Следовательно, v 4- 8 = — е~ах и v -4- а == — е~$х Г V У так что получаем а — Р = у (Ье~$х — ае~ах), а отсюда, изменяя постоянные у = причем такое интегрирование применимо тогда, когда а и 3 суть веще- ственные и неравные количества. Так как мы положили v2 + Av + В = (v + «) (и + Р), то а= уЛ + У La^-B, В= ^А~У~А2 - В. Таким образом, в соответствии с тем, будет ли выражение -^-А2 — В положительным, отрицательным или исчезающим, следует рассмотреть три случая: 1) Пусть ^А = т и А2 — В~ я, тогда полный интеграл пред- ложенного уравнения есть у __ (тп+п)х _|_ (т—— е—тпх (%£—пх Т $ВеПх). 2) Пусть уА=тп и 1; так как епх _ cos пх 1 sin пх и е-пхУ-1 — cos пх — )/* — 1 sin пх, то, меняя постоянные, получаем у = cos пху^) sinrcz) = Qe~~mx cos (пх + п). 3) Пусть у А = т и |/ ^-А2 — В = 0, т. е. соответственно первому случаю пусть п^О: так как = 1 — пх и епх = 1 + пх г), получаем у = + ®х). *) Конечно, эти равенства—-приближенные и представляют разложение по сте- пеням бесконечно малой величины пх, оборванное на членах первой степени.
ГЛ. и. УРАВНЕНИЯ, В КОТОРЫЕ НЕ ВХОДИТ ОДНО ИЗ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ 39 СЛЕДСТВИЕ 1 776. Итак, для нахождения интеграла предложенного уравнения надлежит исследовать корни уравнения о2 +Ла-|-В = 0, и, когда по- следние найдены, легко указать полный интеграл. СЛЕДСТВИЕ 2 777. Рассмотренное квадратное уравнение и2 -f- Av -f- В = 0 имеет замечательную аналогию с предложенным уравнением d2y A dy dxBy dx2 = О, dy d*y л о из которого оно получается, если вместо у, и ~ писать 1, v, Vх, СЛЕДСТВИЕ 3 778. Если, образовав указанное алгебраическое уравнение и2+Л^ + В = мы определили его множитель и-|-а, мы можем сразу по этому множителю получить частный интеграл у = и подобным же обра- зом второй множитель v 4- 3 дает частный интеграл у = ®(°“^х, а объеди- няя эти интегралы, получаем полный интеграл у = §(е-ах + 55е_рх. ПОЯСНЕНИЕ 779. Ниже х) излагается более легкий метод для того же типа диф- ференциальных уравнений второго порядка, который к тому же при- меним к уравнениям вида d2y ^Pdydx-^Q dx2^= О, где Р и Q суть какие угодно функции от х, и этот метод распростра- няется даже на уравнения вида d2y Р dy dx-'-г Q dx2 X dx2, где через X обозначена произвольная функция от х. Этот метод осно- ван на том обстоятельстве, что в уравнениях указанного типа перемен- ное у вместе со своими дифференциалами dy и d2y везде входит в пер- вом измерении или даже в нулевом, и, используя это обстоятельство, решение можно свести к решению уравнения первого порядка, а тем самым задачу следует рассматривать как завершенную. Но, хотя таким образом дифференциальное уравнение второго порядка сводится к диф- ференциальному уравнению первого порядка, следует все же предо- стеречь от того, чтобы это сведение принимать за интегрирование, ибо это сведение произведено только с помощью подходящей подстановки, а если хотим получить полный интеграл, то два интегрирования по- прежнему следует еще произвести, и при этом будет введено столько же произвольных постоянных. Все это мы ясно видим в последнем примере и в предшествующих. Э См. гл. IV.
40 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА ПРИМЕР 2 780. Предложено дифференциальное уравнение второго порядка ab d2y = dx]fy2 dx2 + д2 dy2. Определить его интеграл. Если положить dy — pdx и dp — q dx, это уравнение переходит в следующее: abq = Ууг^аг‘Р2‘ = а^~ (так как Так как это уравнение однородно, мы полагаем и получаем ydyj/1 = — ydu), или и2 dy •]/ а2 + и2 = abu dy — aby du, откуда dy__________________________ abdu У abu—u2j/a2-[-u2 г------ а2 Полагая ]/а2 + и2 = su, получим и2= s2~^ > du —sds dy —bs ds ' —s ds — =------ и — —------------=----------- . и s2 — 1 у bs2 — as — b s2 — 2ns — 1 если обозначим у через 2и» Итак, /п2 + 1 = -rfs(n + /n2 + l) rfs(n —/и3 + 1) У s — п—У п2-^-1 s— п + Уп2-^-1 откуда v2/^= CU-n+/n^l)"-^T~ (s - п - У rfl +1 )n+^n2+1 Следовательно, у отсюда получаем выражается через 5, так что мы положим y — S, и а u = —r - - и p = — 1 a а также dx = a dS 7 — , то есть dx == l/s2 — 1 —as ds (s2 — 2ns— 1) У s2 — 1 Эту формулу можно привести к рациональному виду и проинтегриро- вать с помощью логарифмов или круговых функций х) 2) Arcus circulares, т. е. дуг окружности.
ГЛ. II. УРАВНЕНИЯ, В КОТОРЫЕ НЕ ВХОДИТ ОДНО ИЗ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ 41 ПРИМЕР 3 781. Найти интеграл уравнения (pi + yi)^p2 + y‘i __ 2p2 + y2-qy ~ПУ’ полагая dy = pdx и dp = qdx, m Р д-Р Так как q = , получаем dy (р2 4- y2)Vp2 Н- У2 = 2пр2У dy + пу3 dy — пу2р dp. Вследствие однородности этого уравнения полагаем р = иу и получаем y3dy (и2 1)3/2 = 2пи*у3 dy + пу3 dy — пи2у3 dy — пиу* du, откуда находим dy — пи du __ пи du У (u24“l) У и2 + 1— пи* — п (и2Ц-1) (п — }/и24-1) так что у определяется через и. Поэтому мы определяем через^н вели- чину р^иу и находим dx = dy =ndu . иу (и24-1) (п—)/и2 + 1) В том случае, когда п = 1, получаем dy _______—u du _______ — du (1 -1- У и2 -}-1) V — (и2 + 1) (/5ЧЙ-1) - и(“2 + !) И rfn(14-/u2 + l) А так как С du _ ] J u(u2 + l) ” J С du _ J J J U )/u2 + 1 то отсюда находим Cl ” Vu и x = Отсюда находим /и2 так что х = L u2(u24-l) u C du 1 A . /u24-l ’ J u2(u2 + l) и g ’ /u241-l C du Ум2 4-1 И J и* 1Ли2 + 1 и <S=tL_cfi t--7^J_ •) 2+i —i < V“2+i—i Р+нц^±1+АгсШ„. 4 у V %аУ— -и 1 = —— И и — у — а у—а ) + -уд - 4- Arccos ;
42 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА эти формулы, вводя угол <р, косинус которого равен , можно бо- лее удобным образом представить в виде а г । । . ф у = ------ И X = £ + ср + cot “ . 1 — cos ср т 2 СЛЕДСТВИЕ 1 782. Из уравнения с разделенными переменными, которое мы сна- чала получили, найдем частное решение, полагая и равным такому постоянному количеству, чтобы исчезал знаменатель, т. е. полагая и = j/zz2 — 1, отсюда р = у |/ n2 — 1 и dx}/п2 — 1 = у , что дает ly 1а + х ]Аг2 — 1. СЛЕДСТВИЕ 2 783. Тогда, когда п=1, в отмеченном частном случае оказывается, что у = а, при любом значении второго переменного; действительно, при этом к = 0, отсюда следует, что и р = 0, и уравнение dy = pdx не определяет количество х. ПОЯСНЕНИЕ 784. Если у обозначает радиус-вектор, проведенный из фиксиро- ванной точки к некоторой кривой, и я —угол, который образует этот радиус с некоторой вполне определенной прямой, то формула (р2 + у2) выражает радиус кривизны этой кривой. Таким образом, в рассмотрен- ном примере мы ищем кривую, обладающую тем свойством, что ее ра- диус кривизны равен величине пу, и в том случае, когда мы нашли решение в виде у = а, т. е. при такой постановке вопроса мы получаем окружность. То же можно получить и из интегрального урав- С U2—|— 1 гр нения у =—~, если положить постоянное С равным нулю. 1ог- у и2 -f-1 — 1 да необходимо принять, что и = 0 и р = 0, так что угол х не опреде- ляется. Кроме окружности [уравнению] удовлетворяет также бесконеч- ное множество других кривых. Так, если п > 1, частное решение 1у = 1а-у х j/zz2 — 1 дает логарифмическую спираль, кроме которой реше- ниями являются и другие кривые в бесконечном числе. В тех же слу- чаях, когда zz < 1, нет ни одного частного решения такого типа, а сле- дует фактически проинтегрировать выражения для у и dx, ПРИМЕР 4 785. Полагая dy = pdx и dp^qdx, найти такое соотношение меж- ду х и у, чтобы (^2+у2) УУ+у2 _
ГЛ. II. УРАВНЕНИЯ, В КОТОРЫЕ НЕ ВХОДИТ ОДНО ИЗ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ 43 Поскольку полагаем p2^-y2 = z2 и, так как pdp^qdy, мы получим qdy + у dy = zdz, то есть q 4- у = . Предложенное уравнение преобразуется к следующему виду: z3 = a(2z2-J/2-?j/) = a^2z2-^^ , ИЛИ z2 dy = 2az dy — ay dz, откуда dy a dz — = л-----т , то есть у Zaz—z* Интегрируя, мы находим П С* Z ЯП у = й----- И = Z — --------- 2а— z 1 2а — z 2dy _ dz У ~~ dz z '2a— z Cz — Cz-[-2az2>—z3 2a— z rv 2 ay2 Так как %=„ . -g, то с 4-у2 2 _ 4аУ _ 2 у2 [4а2у2—(СЦ-у2)2] У {С + У^ У (С+у*)* Отсюда мы получаем dx = (С-\-уг)йи у]/4а2у2—(С+у2)2 и, обозначая г/2 через и, будем иметь dx~ 2и У ^а2и— (С^-и)2 Чтобы облегчить решение этого уравнения, мы положим и — 2а2 — С + 2а cos (о ]У а2 — С), так что dx — а [д + cos (? I 'а2 — С)] 2a2 — С -+ 2а cos (<р У а2—С) или С dv 2а2 —С -|- 2а cos У а2 —С) 2dx — —d^ После интегрирования получаем 2x = ^-?-ArccoS^+^-> т 1 4“ т COS Ср 2a Ea2— С где мы положили т = ^а2^С ’ И П0ЭТ0МУ r 2a2/l-m2 С —-----г и 14-У 1 — т2 та 14" У 1 — т2 Отсюда 2 2а2 (1 -|-m cos ср) 1 J- 1 — гм3
44 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА так что мы получаем C0S * ~ 2та~2 и тп-pcoscp у2(1-(-У1 — т2) — 2а2 (1 — т2) 1 + m cos ср " ту2 (1 + ^1—т2) СЛЕДСТВИЕ 1 Г7ОП гр 2 2а2 (1 -р 7WCOS ср) 786. Так как у2 = —-—' т , то у2 = а2 + Ь2 + 2ab cos <р, , а (1 —]/ 1 — т2) если мы положим о = —------—------ , откуда 2а6 , гл-—o' д2 — ^ = ^+62 И Таким образом, 2х = С - ? - Arccos 2?+<t+*;)C0S(p , т а2~Р&2 + 2а6 cos ср ’ то есть 2ж = £ — <р — Arcsin (“2+ь2)^ У2 СЛЕДСТВИЕ 2 787. Если радиус-вектор у и угол х относятся к кривой, как вы- ше, то эта кривая должна быть окружностью, описанной радиу- сом = а. Действительно, тогда как у2 = а2 + Ъ2 — 2ab cos <р, имеем , rfcp (а2— абсозср) dx = J, ,,—А-у—— , отсюда следует, что а2 + &2 — 2аЪ cos ср ’ J Ж = ^ + АгС^а-^Ь и геометрическое применение этого соотношения делает вопрос очевид- ным. ПРИМЕР 5 788. Пусть предложено уравнение d^y (ydy + a dx) = dy (dx2 + dy2)] принимая элемент dx постоянным, найти его интеграл. Положив dy = pdx и dp ~ qdx, мы получаем 7(РУ + а)-Р(1+р2). Так как q = , будем иметь <7p(py + a) = rfy(l+p2) или л, РУЛР _ а ЛР ау 1 + р» ~ 1+₽* •
ГЛ. II. УРАВНЕНИЯ, В КОТОРЫЕ НЕ ВХОДИТ ОДНО ИЗ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ 45 Интегрирование дает нам /1+р2 yi+z?2 откуда у^ар + ЬУ 1 + р2 И Х= J = alp + Ы(р+ у\ + />2) + С. Таким образом х и у выражаются через одно и то же переменное /?. Если принять постоянное b == 0, получаем частный интеграл у— ар и х = alp~\- С = — или в показательных функциях y = Cexia. Если же принять Ь — а, то, учитывая, что Р + У1+р^ И р = у^, получим х=а1~1^+с’ или у2 = а2~\-Сех/а. ПРИМЕР 6 789. Найти интеграл дифференциального уравнения второго порядка dy2 У &2У —- dx2dy2 + a2 (d2y}\ полагая dx постоянным. Пусть dy = pdx и dp ^qdx. Тогда имеем p2 — qy — n У* р? Ya2q2 и, полагая здесь q = pu, так что --~~ — ри, [откуда dp udy, получим это уравнение в виде р2 — риу — npY\~\- а2и2 или — иу —пД^\~\- а2у2. Дифференцируя это уравнение и принимая во внимание, что dp — udy, находим , па2 и du — у du— ~ . ] 14-а2ц3 Отсюда или du = 0, или у — —--- . * У1+а2и2 1) В том случае, когда du — 0, получаем и—а, р = аг/ + р и dx = » откуда ах — I (аг/ + Р) + С.
46 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА 2) Если у = - , будем иметь у 14- а2и2 Г П /1 + а2^ Таким образом, 1 dy — a2 du . . dx = -- = -j—,—о-9 и х = — a arete- аи 4- С. р 1~\-а2и2 ° Так как У и = —, получаем искомое уравнение относительно х и у а у п2а2 — у2 в виде Ь~х . у у = arete- • = arcsin — , а У п2а2— у2 па откуда . b — х у па sin . v а Однако это соотношение следует рассматривать только как частный интеграл.
ГЛАВА III ОБ ОДНОРОДНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ ВТОРОГО ПОРЯДКА И ОБ УРАВНЕНИЯХ, КОТОРЫЕ ПРИВОДЯТСЯ К ТАКОМУ ВИДУ ЗАДАЧА 97 790. Выяснить природу однородных дифференциальных уравнений второго порядка и привести их к конечному виду, полагая dy^pdx и dp = qdx. РЕШЕНИЕ Принимая постоянным элемент dx, мы будем называть дифферен- циальное уравнение второго порядка, записанное обычным образом, однородным, если, считая не только сами переменные х и у, но также и их дифференциалы dx и dy, а равно и d2y имеющими первое измере- ние, мы получим уравнение, все члены которого одного и того же измерения, как, например, уравнение х2 d2y + х dx2 у dy2 = 0, где каждый член третьего изменения. Поэтому, если мы положим dy dp d2y ~ ~-~=р, а также = q, то следует считать букву р нулевого tix dx dx* измерения, а букву q надо считать имеющей измерение, равное минус единице. Поэтому дифференциальное уравнение второго порядка, при- веденное к принятой нами здесь форме, когда оно содержит только конечные количества х, у, р и q, будет однородным, если, приписывая буквам х и у первое измерение, а букве р нулевое, тогда как букве q приписывается измерение, равное минус единице, мы получим в каждом члене уравнения одно и то же измерение. Наоборот, всякий раз, когда будет иметь место такое свойство в уравнении относительно четырех: количеств х, у, р и q, это уравнение будет однородным, и эта одно- родность будет вполне очевидной, если такое уравнение записано в обычном виде.
48 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА СЛЕДСТВИЕ 1 791. Итак, если в таком однородном уравнении относительно х, у, р и q мы произведем замену у —их и q=~, то все члены будут содержать х в одной и той же степени, и после сокращения на эту степень мы получим уравнение, содержащее только три переменные и, и и р. СЛЕДСТВИЕ 2 792. Следовательно, отличительный признак однородного уравнения относительно четырех количеств х, у, р и q состоит в том, что, пола- гая у^их и мы совершенно исключаем из расчета количество х, СЛЕДСТВИЕ 3 793. Таким образом, выполнив ту подстановку, с помощью которой получается уравнение относительно трех количеств и, v и /?, мы можем из него определить по желанию либо р через и и и, либо v через р и и, либо и через v и р. ПОЯСНЕНИЕ 794. Мы определили понятие однородности для дифференциальных уравнений второго порядка таким же образом, каким мы его использо- вали в дифференциальных уравнениях первого порядка. Но в последних однородность можно было определять только по переменным х и у, поскольку дифференциалы, естественно, должны иметь одинаковое с ними измерение. В дифференциальных же уравнениях второго порядка, кроме самих переменных х и у, следует учитывать при подсчете изме- рений также и букву qt а именно ей надо приписать измерение, рав- ное минус единице; буква же /?, очевидно, в этот подсчет не входит, так как она, как бы она ни входила в уравнение, не нарушает одно- родности. Познать же природу однородных дифференциальных уравне- ний второго порядка имеет большое значение, так как их решение мо- жет быть сведено к решению дифференциальных уравнений первого по- рядка и, если последнее удается, то тем самым будут проинтегриро- ваны исходные дифференциальные уравнения второго порядка. Более подробно мы это покажем при разборе следующей задачи. ЗАДАЧА 98 795. Предложено однородное дифференциальное уравнение второго порядка^ свести его решение к интегрированию дифференциального урав- нения первого порядка, РЕШЕНИЕ После приведения уравнения к принятой здесь форме, полагая dy — pdx и dp -----qdx, так что получается уравнение относительно четы- рех конечных количеств гг, у, р и q, следует положить у-^иа и q = — , Поскольку уравнение является однородным, мы полностью исклю- чаем, таким образом, количество х и, следовательно, получаем уравне-
ГЛ. III. ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ПРИВОДЯЩИЕСЯ К НИМ 49 значений для мы получаем, что du ние относительно трех количеств и, v и р, из которого одно из этих количеств следует определить через два остальных. Теперь же, так как dy~pdx, будем иметь udx-\-х du = р dx, а отсюда' . Затем вследствие того, что dp = qdx, будем иметь также dp = > и поэтому dx dp тт . Из этих двух —-ци = , или vdu = pdp — и dp. Таким образом, если из нашего урав- нения количество v определяется через р и и, мы получим дифферен- циальное уравнение первого порядка относительно двух переменных р и и, и, если его интегрирование окажется в наших возможностях, так что р выразится через dx ---=-----, в котором х Р — и 7 г х будет выражено через ченном интеграле сразу нение между х и г/. и, можно будет проинтегрировать и уравнение переменные х и и разделены; следовательно, и, и поэтому получаем у — их\ или же в полу- ?/ вместо и подставим ~ и найдем X искомое урав- СЛЕДСТВИЕ 1 этого простого это интегриро- 796. Итак, все дело сводится к интегрированию дифференциального уравнения vdu=^ pdp — udp, и если вание можно выполнить с помощью изложенных выше правил, то тем самым будет проинтегрировано дифференциальное уравнение второго порядка. СЛЕДСТВИЕ 2 797. Очевидно также, что решение уравнений указанного вида требует двойного интегрирования, и поэтому появятся два произволь- ных постоянных количества, что и даст нам полный интеграл. СЛЕДСТВИЕ 3 798. Если же интегрирование уравнения vdu^= pdp — и dp не удается, все же мы извлекаем большую пользу из того, что мы свели к нему задачу, так как выше изложен общий метод приближенного определения интегралов всех дифференциальных уравнений первого порядка. ПОЯСНЕНИЕ 799. Итак, является стоящим труда делом тщательно рассмотреть те/случаи, когда уравнение vdu — pdp — udp допускает интегрирование. По этой причине мы рассмотрим, каковой должна быть функция у, зависящая только от р и и, чтобы это имело место. Прежде всего, очевидно, что это уравнение проинтегрируется, если v будет однородной функцией первой степени от р и и, потому что тогда само это уравне- ние является однородным и может быть проинтегрировано с помощью изложенных выше правил. Затем интегрирование удастся также тогда, когда v есть любая функция только от р, потому что в этом случае второе переменное и имеет измерение не выше первого, и интегралом
50 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА уравнения du + —будет е dp v е ® р dp v U = В-третьих, завершить интегрирование возможно, если v является какой угодно функцией от количества р — и. Действительно, полагая р — u — s, так что v есть функция только от 5, наше уравнение, так как p = s^-u. получим в виде vdu = + sdu. поэтому du = и ДД-. Таким образом, это интегрирование сведено к применению простых формул. В-четвертых, наше уравнение vdu — sds-\-sdu (сохраняем обозначение s = p — u) может быть решено, если v = $4 причем Р. Q. R Qu^-Run ’ обозначают любые функции только от 5. Действительно, тогда получаем уравнение Р du — Qu ds 4- Вип ds. В-пятых, очевидно также, что если имеем и = В$2-|-£7$”, причем V и U обозначают какие угодно функ- ции одного и, мы можем провести интегрирование, так как наше урав- нение приводится к виду Vsdu-\- Usn~l du — ds. Да и вообще, если интегрируемым является дифференциальное уравнение ds — Zdu, где Z есть функция двух переменных 5 и и, то, так как наше уравнение вида sds~{y — s)du. мы получим во всех случаях, допускающих инте- грирование, что v = s-\-Zs. ПРИМЕР 1 800. Пусть предложено дифференциальное уравнение х2 d2y — xdxdy Д-пу dx2; принимая элемент dx постоянным. найти его интеграл. Положим dy—pdx и dp = qdx. Получаем уравнение qx2 = рх-{- пу. откуда, подставив у — их. получим qx — р + пи = и, так что v является функцией первого измерения от р и и. и наше уравнение {p-Ynu)du^ = р dp— и dp оказывается однородным. Итак, мы имеем nudu^-pdu^- -\-udp — pdp и, интегрируя, получим С -\-пи2 -\-2pu — р2 и /?==м + рлС + (п + 1)и2. Следовательно, получаем уравнение dx___________________________ du х “ /С+(п+1р? и, снова интегрируя, находим 1Х = 1 I а/Я=1 + /С + (п+1)Ц2 Уп + 1 D или + 1 — и ]/л + 1 + Ус + (п + 1) и2. откуда следует 2)2^2 Кп+Т _ 2DxV^ и С.
ГЛ. III. ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ПРИВОДЯЩИЕСЯ К НИМ 51. Пусть £> = /Уга+1 и C = g(n + l)j так что мы получаем/2#2^71*! — — и = g, причем и=~. В том случае, когда п= — 1, вслед- dx du 1 х у ствие того, что тогда — = — , получаем а/ — = и = — , откуда ха их у = axl — . Если же п + 1 является числом отрицательным, то интегри- рование введет также углы. СЛЕДСТВИЕ 1 801. Пусть п = 0, тогда полным интегралом уравнения х2 d2y — -xdxdy будет /2х2 —2/y = g, каковой случай сам по себе "является d^y dx очевидным. Действительно, из = — вытекает, что = и 2y = fx2-^. СЛЕДСТВИЕ 2 802. Пусть и = 3, тогда полным интегралом уравнения х2 d~y = = xdxdy -|-3ydx2 будет /2z4 — 2/zy = g. Мы получим то же самое, если вместо Уп-pl подставим —2. Действительно, = £ и /2-2/x2/ = gx\ и в обоих случаях приходим к выражению у = ~ + Bz3, ПРИМЕР 2 803. Пусть предложено уравнение ху- Утх2 dy2 + пу2 dx2', найти его полный интеграл, принимая элемент dx постоянным. Так как dy^pdx и dp—qdx, мы получим уравнение qx2 = Утр2х2-{- пу2, которое после подстановки у = их с учетом того, что q — ~ , преобра- зуется к виду qx = У тр2 + пи2 = и. Так как — = du = , будем иметь х р —и v J du Утр2 + пи2 = (р — и) dp, что является однородным уравнением. Поэтому полагаем p=su и по- лучим du V ms2 + п -- (s — 1) (5 du -f- и ds).
52 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА Отсюда (5 — 1) ds du u ms2-\-n — и, следовательно, dx ________________________ du x ~~ (5—1) u ds Таким образом, как и = —, так и х определяются через одно и то же переменное s. ПРИМЕР 3 804. Пусть предложено уравнение nx3d*y = (у dx — x dy)*\ найти его интеграл, принимая постоянным элемент dx. Полагая dy = pdx и dp = qdx, мы получим [уравнение] nx3q = (у — рх)2 = пх2и ^так как д = — Если теперь сделать подстановку у = их, будем иметь . dx du dp n dp nv = (u — P)2, И ----=------= , v 1 x p — и v (и—p)a ’ откуда следует ndp — pdu—u du. Это уравнение после p — u — s переходит в [у равнение] п du + п ds = s du, . Л ds » 5 ' Л * du = ——t откуда u=nl—-—. А тогда вследствие того, будем иметь подстановки или, иначе, что р — U = S, откуда Так как мы dx du _______ п ds х s s (5 — n) и lx = ls-^ ,5 — П И 2/ = ПХ1------- . а 5 — n n получили, ЧТО -------Q— J TO у = nxl --/Л * Q <— • a(l—Par) СЛЕДСТВИЕ 805. Легче решить уравнение nx3q = {у — рх)\ полагая у — px = z, откуда следует, что —xdp = dz. Поэтому, учитывая, что qdx = dp, по- лучаем пх3 dp = z2dx= — пх2, dz, и отсюда следует, что 1 1 п х — а п — =-------- или ----- =------ . х a z ах у—рх Таким образом, пах у dx — xdy У — рх =------------------------------------- х — а dx
ГЛ. III. ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ПРИВОДЯЩИЕСЯ К НИМ 53 Поэтому у dx — x dy _ па dx у _ х х2 х (х—а) х х — а ’ как выше. ПРИМЕР 4 806. Пусть предложено следующее уравнение*. (dx2 + dy2) У dx? 4~ dy2 = ndx d?y У x2 -\~у2\ найти его интеграл^ принимая dx постоянным. Полагая dy^pdx и dp — qdx, мы приведем наше уравнение к сле- дующему виду: (1 + /?2) /1 + р2= nq Ухг±у2. После подстановки у —их и д== — это уравнение переходит в следующее: (1 + р2) У1 + р2 = nv У 1 +и2. А dx du dp А так как имеем ----=-------==—— , то, учитывая, что х р — и v J (1+р2)/1+р2 находим з (1 -рр2)2 du = п (р — и) dpy 1 + • Решение последнего уравнения не является очевидным. Однако, вводя в вычисление углы и полагая /? = tg9 и и = tgco, мы найдем dp — -с 5 j dw du =-----о— , COS2 СО 2 1 Н =-------- . COS ср ,2 1 COS СО sin (ср — а>) и р —и =-------—------ Г cos ср COS О) откуда da> п sin (ср—со) 1 (/ср COS3 Ср cos2 ш COS ср COS ш COSCO COS2 ср 1 или d<o = п dv sin (9 — со) = t/9 — (Й9 — d<o): Следовательно, T 1 — n sin (cp — Ш) Положив теперь 9 —(о = ф, получим С с^Ф 9= \ :—г и 0) т j 1—л sin ф Г_—----ф. sin ф т Отсюда, так как /> = tg9 и и = tg со, находим dx_____du cos ср cos со _ rfco cos ср __ ndty cos ср x sin ф sinc]> cos co cos co (1— n sin ф)
54 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА В том случае, когда п = 1, мы получаем: = = (1 + sin<p) * 1 — sin ср cos2 ср следовательно, 1+sincp . , СО —---1--_L_ । а __ ф и COS ср т 1 . 1 + sin ср --------к а = —!------— COS Ср--COS Ср dx ___dy cos ср___ X COS<1) COS ср cos срsin ср sin Ср dy COS Ср А так как <р — а = sin ф sin ср sin ср * (у а)2 —1 будем иметь 2 (ср — а) ------гл-—Г , COS ф — ча / (ср —а)а + 1 1 (ср — а)а4- Следовательно, dx__________________________________________________________ х 2 (ср — a) cos ср-]—(ср — а)а sin ср —sin ср ’ dy COS ср [(ср — я)2-]- 1] ? = tg Ф 4 СЛЕДСТВИЕ 1 807. Если в случае п=1 положить постоянное а равным бесконеч- ности, получим sincp = l, откуда ф = 90° и о) = <р—90°, и вместе с тем dx dy cos у х sin ср Отсюда следует, что £ = asin<p и и=— cot<p, а потому у= — a cos ср и х2 + у2 = а2. СЛЕДСТВИЕ 2 808. В том же случае, п=1, если не полагать постоянное а бес- конечно большим, числитель дроби, которой равно выражение — , является, к нашему удобству, дифференциалом знаменателя. Таким образом, х = а [(<р— a)2 sintp — sin<p + 2 (ср — а) cos<p]. Вместе с тем п поэтому или Следовательно, со = <р — Arctg Cp-«)2-i 2(ср —а) у > tgCf B==_ = tga>=-.--- (ср —а)2 —1 2 (<? — <*) у 2 (ср — a) sin — (ср — а)2 COS ср-'-COS ср х (ср—а)2 sin ср — sin ср-]-2 (ср — а) COS ср * у = — а [(<р — а)2 cos <р — cos <р — 2 (<р — а) sin ср] Уя2Ч-г/2 = (<р —а)2+ 1. И
ГЛ. III. ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ПРИВОДЯЩИЕСЯ К НИМ 55 ПОЯСНЕНИЕ 1 809. Можно выполнить интегрирование также и в общем случае. Действительно, так как мы имеем , _ сАр dx__ndy cos ср 1 — п sirup я cos со ’ то . 1 п — sind' ср 4- а = — arccos -------—у . т * т/1_____rt2 1 — лзшф Отсюда, полагая (ср + a) 1 — п2 = 6, мы получаем cos 6 и, следовательно, л—sin ф 1 — л sin ф . , п—cos О sin ф = .----д т 1—лсоэ0 и , sinOy^l — ла COS Ф = -------д— т 1—л cos о Но, так как <о = <р —ф, будем иметь dx ____________лс?ср cos ср (1 — л cos 0)__ х cos ср sin 0 —л2-[-sinср (л — cos 0) Поскольку же = — п2, то дифференциал знаменателя этой дроби равен — dy sin у sin 6 У 1 — n2 + dy cos у cos 0 (1 — ns) j + ndycosy — dy cos ср cos 6 + <Z<psin<psin 6 у 1 — n2f что приводится к nd у cos<p(l — ncos в), то есть к числителю. Таким образом, х = a [cos ср sin 9 — n2 + sin«p(n — cos 9)], или же а; = a cos w (1 — п cos 9), и потому у = цх = а sinco (1 — п cos 6). Итак, отправляясь от угла 9, ищем угол ф такой, чтобы , л—cos9 , sin Q т г-л-------s Sin ф = ------г И COS ф = 5----------д- 1/ 1 — 7Г. т 1 — л cos 0 т 1—л cos 6 г Вместе с тем получаем 0 о) = г - - — а — ф, У1— л2 и полный интеграл будет х= а (1 — п cos 9) cos со и у = а (1 — п cos 9) sin <о. ПОЯСНЕНИЕ 2 8Ю. Однако, если число п больше единицы, то это интегрирование приводит к мнимостям, и для того чтобы устранить это неудобство, , С?Ф следует заметить, что интегралом уравнения d,y = ^_является + а _ 1 гтЛГ^Г(1+81пф)+/п+1 (1—sin<p). jAn3 — 1 }/ п — 1 (1 + sin 40 — V п—1 (1— sin 40
56 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА —1 Поэтому, если положим (ср 4-a) ]/n2 — 1 = 6, так что с?9 = с?ср ]/и2 — 1 и ю = <р — ф G то будем иметь г04~1 _ ^(n—l)(14-sin ф) _ (п —1) (14~sin ф) е0 —1 V(ra-bl) (1—sin ф) соэфр^п2 —1 откуда находим . . e°4-2n 4- e~Q . (е9— е~0) —1 Sin ф = —И COS ф =-------------------й---—----s— ne04~2+ne 0 пед-{-2~{-пе 0 Таким образом, по углу 9 определяются углы ф, <р и о>. А так как dx___ndq cos ____ п dq cos ср х cos со cos ср cos ф 4"sin ср sin ф ’ то получим dx __ п dq cos q (neCi-f-2~[-ne~Q) x cos cp (e0— e“J) —l-f-sin cp (e04-2n-H~0) причем снова, к нашему удобству, оказывается, что числитель является как раз дифференциалом знаменателя, что сразу устанавливается диф- ференцированием. Следовательно, получаем х = a [cos <р (е0 — е~0) j/n2 — 1 4- sin <р (е0 4- 2п 4- е~0)] или х = а cos о (пе0 4-2 4- пе-9) v и, так как u = — = tgu>, то у = а sin о (пе0 4- 2 4- ле“9). Таким образом, по углу 6 прежде всего надо определить угол ф так, чтобы sin ф = eQ + 2n + e~Q ne)^2 + ne~Q созф = (е0— е 0) ]/‘л2— 1 пе0 4-24- пе“0 и а найдя ф, берем угол ш = — =^ — а — ф; полученные для х и у фор- у п? — 1 мулы дадут полный интеграл, так как в них входят два постоянных а и <х« ПОЯСНЕНИЕ 3 811. Так как может показаться, что в основном интегрирование нашего уравнения удалось благодаря случайности, то стоит труда разобраться в причинах этой удачи, — не окажется ли возможным яснее усмотреть, на чем это интегрирование основано1). Итак, поскольку <р = ф 4- ш и aq= --Ч—г , г т 1 т 1 — п sin Ф х) Cum hie praecipua pars integrationis fortuito su^cessisse videatur, operae pretium erit in eius causam inquirere, num forte ratio integrandi clarius perspici queat.
ГЛ. III. ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ПРИВОДЯЩИЕСЯ К НИМ 57 а отсюда , п db sin ф 7 . , асо = -—I—— Т- = п dtp sin ф, 1—«31Пф г т dx п rfcp cos ср , то уравнение — = —ш - вследствие того, что cos «р = cos ф cos со— — sin ф sin (о, преобразуется в следующее: dx 7 , п dtp sin ф sin ш — = ndtp cos ф----1--------. X г ‘ COS (О Так как d© = i—г и га dtp sin ф == do), г 1 —п sin ф т т » наше уравнение приводится к интегрируемой форме dx — Пб/фсозф dm sin ш х 1—пзшф созш ’ откуда получаем a cos со a sin ш х = i;—г и У = ------------•" г 1 — л sin ф * 1 — п sin ф (так как у = их~ rrtgco). Вот в общем виде интегрирование нашего уравнения. Соотношение между углами о> и ф таково, что 1 — n sin ф и при этом a cos ш a sin ш х = 1;—г и У = ;—г • 1 — n sin ф и 1 — п sin ф Поэтому, если положим j/x2 + у2 = 2, так чтобы 2 = 2 COSO) И у = 2 sin (О, .. a то найдем z = ----:—r 1—П31Пф А так как , z — a 7 (z —а)б/ф и sin ф = - > откуда dto = -— -- 7 a adz z Уn2z2 — (z — a)2 то _____iz--^z z ]Ai2za— (z- откуда угол со определяется через 2. Если для уничтожения иррацио- нальности мы положим У л222 — (2 — а)2 = 5 (nz 4- 2 — а), то получим _ а(я2 + 1) , 2nrfS(s3-l) ~”“(n+l)s2-n+l (s2 + l)[(n + l)s2 — (n — 1)]’ т. e. 7 __ 2ds 2ds 10 s2 -f-l (^+1) s2 —«4-1 * Интегрирование этого уравнения очевидно.
58 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА ЗАДАЧА 99 812. Пусть дифференциальное уравнение второго порядка только тогда становится однородным, когда переменному у приписывается изме- рение, равное п; свести его интегрирование к интегрированию диффе- ренциального уравнения первого порядка. РЕШЕНИЕ Положим dy—pdx и dp = qdx, так что получаем уравнение отно- сительно четырех конечных количеств х, у, р и q. Мы рассмотрим, каково должно быть это уравнение, чтобы оно оказалось однородным. Итак, прежде всего, если мы принимаем, что х первого измерения, dy а переменное у n-го измерения, то количеству Р=~^. следует приписать измерение, равное п — 1, а количеству q — измерение, равное п — 2. Поэтому мы полагаем у хпи, р = хп~Ч и q = хп~2и. Так как dy = pdx и dp = qdx, мы получим х du + пи dx = tdx и xdt-}- (п — 1) t dx = v dx, и отсюда следует dx du dt x ~~ t — nu v — (n—l)f ‘ Таким образом du [и — (n — 1) г] = dt (t — nu). Но после того как в уравнении относительно х, у, р и q сделаны выше- указанные подстановки, переменное х по условию будет исключено, так что получится уравнение относительно только трех переменных и, t и V, из которого можно будет определить букву v через t и и. После подстановки этого значения для v получим дифференциальное уравне- ние первого порядка относительно двух переменных и и t, откуда л гу dx du можно определить t через и. С помощью уравнения — = -,--- опреде- 4 ОС Ъ -г 7Z1Z V лим х через и, а отсюда, вследствие того, что и = ^, получим инте- гральное уравнение между х и у, и оно является полным, так как найдено двойным интегрированием. СЛЕДСТВИЕ 1 813. Итак, отличительным признаком уравнений относительно х, у, р и q, которые можно трактовать указанным способом, является то, что, полагая у = хпи, р = хп~Ч и q = xn~2v, можно так определить пока- затель п, что переменное х путем деления полностью исключается из вычислений. СЛЕДСТВИЕ 2 814. Если получим п=0, то уравнение составлено таким образом, что, приписывая как у, так и его дифференциалам нулевое измерение, приходим к однородному уравнению. Очевидно, в этом случае только переменное х и его дифференциалы рассматриваются как обладающие измерением.
ГЛ. Ш. ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ПРИВОДЯЩИЕСЯ К НИМ 59 СЛЕДСТВИЕ 3 815. Наоборот, если измерение приписывается только переменному у. таким образом, что оно вместе со своими дифференциалами dy и d2y везде дает одно и то же число измерений, показатель п является бес- конечно большим. ПОЯСНЕНИЕ 816. Если только одно переменное х вместе со своими дифферен- циалами во всех членах дает одно и то же число измерений, то, так как п = 0, имеем и = г/, а в уравнении между х. у, р и q следует t V положить р — ~ и q = ~2 , после чего переменное х исключается из рас- чета и получается уравнение относительно г/, t и v. С помощью этого уравнения мы сводим количество переменных в дифференциальном уравнении dy(v-]-t) — tdt только к двум и после решения последнего получаем, что Интегрирование последнего уравнения не свя- зано ни с какими трудностями потому, что у выражается через t. Во втором же случае, когда одно только переменное у вместе со своими дифференциалами дает во всех членах одно и то же измере- ние, и поэтому надо принять показатель п равным бесконечности, решение следует выполнить другим способом, который вскоре [§ 822] будет изложен (если только мы не пожелаем свести этот случай к пре- дыдущему перестановкой переменных х и у), ПРИМЕР 1 817. Пусть предложено дифференциальное уравнение х2 d2y = ay dx2 + pre dx dy; принимая элемент dx постоянным, найти его интеграл. Мы обнаруживаем здесь, что все члены будут второго измерения, если считать имеющим измерение только переменное х вместе с его дифференциалом dx, Таким образом, имеем п — 0. Если мы положим dy = р dx и dp — qdx. то получим уравнение qx2 — ay -|- $рх и, произведя t v замену р = — и q = , находим v = ay + pz. Таким образом, приходив к следующему дифференциальному уравнению: ay dy + (Р + 1) t dy — t dt и, так как оно однородно, полагаем t = yz и получаем a dy (Р + 1) z dy = yz dz + z2 dy. или dy z dz У ~ “ + (^+1)2 —г2 ' Пусть a + (В J- l) 2 — 22 = (/-•-2) (g—z), так что a --= /g и p + 1 = g - /.
60 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА Таким образом, получаем = / dz 1 _ g dz У f+ё * f+^ f+ё ' f~~z ’ откуда, интегрируя, находим / iy = c то есть / g = а. Вместе тем — х dx dy dz с то есть Отсюда получаем dx 1 dz . 1 rdz f+z' f+s ё—z • X 1 х \s-z) или z+g А так как, следовательно, z м+о '» подставляя это значение, О/ 5* +" 37* * мы получим (Jg) & xf у = a (bf+e 4- x1+Q), а или же, полагая -r-i— = с, f+ё г/ = с причем g — /=Р + 1 и § + /=У(₽+ + СЛЕДСТВИЕ 818. Так как в рассматриваемом уравнении оба переменных х и у везде входят в одном и том же измерении, можно это уравнение трак- товать также по способу, примененному в предыдущей задаче.} ПРИМЕР 2 819. Найти интеграл дифференциального уравнения второго порядка, содержащего только два члена, а именно d2y =: схау$ dx2~'{ dy"t, и dp = q dx, мы получим уравнение в виде полагая dx постоянным. Полагая dy — pdx q~ сх^у^рч, и показатель п здесь можно определить таким образом, чтобы, полагая у = хпи, р — хп~Ч и q = xn~2v, возможно было исключить с помощью деления переменное х. Таким образом, следует принять <х+ + у (п — 1) — п + 2 — 0, х) Когда / + g = 0, получаем полный интеграл в виде xQ (c-}-b log х), где с и b — произвольные постоянные [Л. III.].
ГЛ. 1П. ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ПРИВОДЯЩИЕСЯ К НИМ 61 или п = • При этом получаем v = cufy*. Следовательно, под- лежащее решению диферфенциальное уравнение первого порядка будет вида сиЧ^ du — (n—l)tdu = tdt — nu dt. После того как мы определим из этого уравнения переменное t через и, dx du у надо проинтегрировать соотношение — =------, и тогда, так как w=-, х ъ пи х получим искомое интегральное уравнение между х и у. Только тот случай, когда 04- у = 1, и, следовательно, п бесконечно велико, требует особого рассмотрения (что излагается ниже [§ 822]), если только не одновременно у = а4-2, так как тогда показатель п пол- ностью остается в нашем произволе, а уравнение получаем однородное. ПРИМЕР 3 820. Пусть предложено уравнение х& d2y = х3 dx dy 4- %ху dx dy — 4 у2 dx2, где полагаем элемент dx постоянным; найти его интеграл. Здесь очевидно, что если у и его дифференциалы dy и (Ру будут второго измерения, а х и с?# —первого измерения, то все члены будут шестого измерения. Поэтому, когда мы, положив dy = pdx и dp = qdx, приходим к уравнению x*q = х2р 4- %хур — мы делаем в нем подстановку у — х2и, р-= xt и q = v. Получаем v=t 4- 2ut — ku2. Так как п = 2, наше дифференциальное уравнение будет du (u — t) = dt (t — 2u), и оно преобразуется в уравнение 2и du (£ — 2и) = dt(t — 2и), откуда заключаем, что либо t = 2и, либо г = к24-с. Оба эти ^случая рассмотрим в отдельности. 1) Если t = 2u, получаем, так как ~= , что du — Q, и поэтому и = С. Вследствие этого у = Сх2, что является частным интегралом, удо- влетворяющим предложенному уравнению. 2) Если t = и2 4- с, получаем ~ — —2 , и здесь следует рассмо- треть три случая: Во-первых, если постоянное с=1, будем иметь 7 х 1 Х^ л > л . J X 1 — = --- ИЛИ X2 = (х2 — у) I — . а 1 — и х2—у v а Во-вторых, если постоянное с = 1 — /2, получим ~,
62 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА откуда следует lx = ^lff + u~\ +С. 2/ / — и 4-1 1 Так как и = ~, мы получим Z(/ + l)^-yW <(/ — l)x24-i/J Вл с/я? du -третьих, если постоянное с = 1 + /2, то — = + ^2 , и это после интегрирования дает нам 7х 1 А 4. в —1 к—1 у—х2 , f X > za- = 7Arct§— или — = = Таким образом, в соответствии со значением произвольного посто- янного С либо интегрирование удается в алгебраической форме, либо оно приводит к логарифмам, либо к круговым функциям1), и поэтому результат не может быть выражен в общем виде. ПОЯСНЕНИЕ 821. Найденный нами первым частный интеграл у = Сх2 нельзя получить ни из одной из тех формул, которыми выражается полный интеграл. Тем не менее он удовлетворяет предложенному дифференци- альному уравнению второго порядка. Таким образом, этот пример хоро- шо иллюстрирует то, что было выше изложено [§§ 546, 564, т, IJ отно- сительно того парадоксального явления, когда, как иногда бывает, диф- ференциальному уравнению удовлетворяет зависимость в конечном виде, которая вовсе не содержится в полном интеграле. Итак, мы видим, что это парадоксальное явление имеет место также и для дифференциального уравнения второго порядка. Следует ли рассматривать это уравнение у = Сх2, как интеграл, это уже другой вопрос, который пока никак не следует считать разрешенным. Хотя в данном случае нужно рассматри- вать предложенное уравнение как разлагающееся на множители, из од- ного из которых получается эта зависимость у = Сх2, но мы далеки от того, чтобы считать возможным ограничиться этим объяснением. При- чина в том, что, как нам представляется, главное — обстоятельно рас- смотреть тот вопрос, геометрического или иного происхождения, реше- ние которого привело к данному уравнению. При этом в большинстве случаев не составит труда выяснить, удовлетворяет ли по сути постав- ленного вопроса то, что удовлетворяет дифференциальному уравнению. Например, пусть надо определить падение тяжелого тела с высоты —а. Когда оно находится на высоте х над землей, его скорость равна а—гг, а элемент времени dt = dx . Здесь очевидно, что дифференциальному у а — х уравнению мы удовлетворим, если положим х = а, так что время t оста- ется неопределенным. Однако это совершенно не подходит по сути во- проса, решением которого является только интеграл Z — 2 ]/а— х. 2) Vel ab angulis pendet.
ГЛ. in. ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ПРИВОДЯЩИЕСЯ К НИМ 63 ЗАДАЧА 100 822. Свести интегрирование дифференциального уравнения второго порядка к дифференциальному уравнению первого порядка, если во всех его членах переменное у со своими дифференциалами dy и d2y дает одно и то же измерение, РЕШЕНИЕ Положим dy—pdx и dp = qdx. Тогда уравнение будет таким, что все три переменные у, р, q везде дают одно и то же измерение, тогда как переменное х вовсе не принимается во внимание при подсчете из- мерений. В соответствии с этим, если мы положим р ~иу и q = vy, то во все члены войдет одна и та же степень у, и после ее исключения путем деления мы получим уравнение только с тремя переменными х, и и V, Из него одно из переменных определится через два остальные, так что v будет равно некоторой функции только от х и и. Вследствие же того, что р--- иу, получим dy = uydx, а так как dp— qdx, то udy-\-ydu — vydx. Отсюда следует, что Поэтому du+ u2dx — vdx, и это дифференциальное уравнение содер- жит только два переменных х и и. Итак, если можно это уравнение проинтегрировать и таким образом определить соотношение между х и и, то остается только исследовать интеграл от выражения udx. Найдя этот интеграл, получим ly= udx и таким образом находим интегральное уравнение между я и у, в которое входят два произволь- ных постоянных, так как мы выполнили два интегрирования, и вслед- ствие этого оно представляет полный интеграл. СЛЕДСТВИЕ 1 823. Итак, изложенный способ сводит интегрирование рассматри- ваемых уравнений к интегрированию дифференциального уравнения du-v u2dx — vdx. Если последнее удается решить, то тем самым проин- тегрированы исходные уравнения, так как интегрирование выражения udx не представляет затруднений. СЛЕДСТВИЕ 2 dv f u dx 824. Так как -^ — udx, получаем у = е и, подставляя это выра- жение в предложенное дифференциальное уравнение второго порядка, мы его сразу приводим к дифференциальному уравнению первого поряд- ка. Действительно, имеем f . f и dx йУ — р — eiudxu и ^£=<z = е (du+u2dx) dx fa " dx ’ и при этом экспоненциал сам собою исключается из уравнения.
64 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА СЛЕДСТВИЕ 3 825. Также и наоборот, если дано дифференциальное уравнение первого порядка du\ и2 dx = vdx, в котором v есть какая угодно функция от х и и, то оно преобразуется, если положить и = , в дифференциаль- ное уравнение второго порядка такого вида, что переменное у и его дифференциалы dy и d2y дают везде одно и то же измерение. ПОЯСНЕНИЕ 1 826. Это сведение дифференциальных уравнений первого порядка к уравнениям второго порядка представляется противоречащим законам Анализа, однако оно иногда не бесполезно. Действительно, так как можно трактовать соответствующие дифференциальные уравнения второго по- рядка с помощью других методов, представляя их интегралы либо в виде рядов, либо в конечном виде, то одновременно мы найдем инте- гралы дифференциальных уравнений первого порядка, которые во многих случаях едва ли можно было бы обнаружить другим способом. Мы увидим также в дальнейшем [главы VII, VIII], что такие дифференциальные урав- нения второго порядка, в которые переменное у входит в измерении не выше первого, могут быть удобным образом проинтегрированы с помощью рядов, а к тому же иногда эти ряды обрываются, так что мы получаем интегралы в виде конечных выражений. Помимо этого, предложенная для таких дифференциальных уравнений первого порядка: du-Yu2 dx = vdx подстановка и = -^ тем более достойна внимания, что, полагая элемент dip dx постоянным, получаем du=-----------откуда следует, что dy + d^xi 4- и2dx = , следовательно, два члена при этом объединяются в один. ПОЯСНЕНИЕ 2 827. Здесь, прежде всего, полезно знать те случаи, когда уравнение du + и2dx = vdx допускает интегрирование. С этой целью мы примем, что du = Vdxetyib общий вид таких разрешимых уравнений, где V — некото- рая функция от х и и. Тогда очевидно, что если u = zz2 + V, интегрирова- ние удается. Это будет иметь место, во-первых, если V = , где через X обозначаем функцию только от х, а через U — функцию только от и. Второй случай, — когда V есть однородная функция нулевого измерения от х и и. Третий,—когда V = Хи 2ип, где обозначаем через X и S любые функции только от х. Четвертый,—когда Е = —, где обо- значаем через Р и Q любые функции только от и. Таким же образом мы получаем остальные случаи, исходя из других интегрируемых видов. ПРИМЕР 1 828. Найти интеграл уравнения а-У <?У + $dy* = ^==. у а2 + х2 принимая элемент dx постоянным.
ГЛ. III. ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ПРИВОДЯЩИЕСЯ К НИМ 65 Положив dy^pdx и dp^qdx, получим уравнение ayq -г № = -т= Это уравнение после подстановки р ~иу и q^vy переходит в следующее: av + Bit2 = 11 л < _ 9. Таким образом, нужно решить и Зи2 или и == —7.— - —5— а/а2-]-^ а такое уравнение: и dx Ьи- dx а 1Л /т2 J- rr2 а du + и2 dx Т-Т 1 Принимая и ~ у , получаем а У а2 + х2 ______ £ и после 'умножения на (я + а2 + х2} а и интегрирования находим 1 1 s (я + У a2 + #2)a = 1 + dx {х -Н Уа2 + я2)\ Пусть я + У<22 + я2 = V1, тогда имеем а2 = t2* — 2tax, и отсюда * 2 я л2 4 1 г» х ---------- - trt — a2t(1 и dx ^-{- dt (£а-1 + аЧ~^~х). 2t 2 2 2 v ' Таким образом, или * a \ a-j-1 Затем имеем У дует, что j dx4 udx - =--- 5 A а из дифференциального уравнения сле- ( 4 , Р = . dx < « ) s $ a yfl2_i_x2 ’ Поэтому С 1 "7 + "* + У^2 + ^2) = Следовательно, y = B(sty-+\ Ввиду этого, полагая С = мы полу- чаем у = в(^А-\ гя+1 аЧ^а AJ+P З-f-l 1—Л у причем 1 х = у (t9 — аЧ-а) или t = (я -4- У<22 + я2)а.
66 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА Таким образом, уравнение между х и у таковог): Д+3 . ___. д +1 2 _____ 1 ® Су а =А + ^-^(х-\-Уа* 2 + х2) а -^^—(х+Уа2 + х2)~^~. ПОЯСНЕНИЕ 829. Рассмотренный только что пример таков, что его можно весьма легко решить другим способом, а именно, после того как мы помножим уравнение ay?-! у а2-]-я“ doc на , оно преобразуется с учетом того, что qdx =dp и pdx = dy7 в уравнение a dp bdy dx Р У “ у ’ каждый член которого можно проинтегрировать. Следовательно, получаем = са (х 4- У'ст + #2), и отсюда 3 dy = Cdx (ж4- |/а2 -J- я2)а. Последнее уравнение после нового интегрирования дает найденный выше интеграл. Общий же вид уравнений, которые можно решить ука- занным способом, есть Р dp + У dy + X dx = О, причем Р есть функция от р, У функция от у и X — функция от х\ это уравнение в принятой нами форме запишется как Pq yYp + X = 0. Итак, мы здесь видим, как можно проинтегрировать даже дифферен- циальное уравнение второго порядка с помощью подходящего множителя. Этот метод, который оказался весьма полезным при интегрировании дифференциальных уравнений первого порядка, тем более заслуживает разработки, что он применим даже к дифференциальным уравнениям высших порядков, и мы ниже [гл. V] познакомимся с более подробным изложением этого вопроса. ПРИМЕР 2 830. Пусть предложено уравнение ху d2y = ydxdy Ух dy2 + -- -, где элемент dx принимается постоянным', найти его интеграл. ^2 4 При а=1 получаем Су1 = А y-^~ya2lt, при 1 получаем Су1~~^ = 2 “Л4 -It У а , где г = (х + У а2 У х2У
ГЛ. Ш. ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ПРИВОДЯЩИЕСЯ К НИМ $7 Положив dy = pdx и dp = qdx, находим xyq = ур + хр2 4- ,/-^=2 • V а2 — я2 После подстановок р—иу и q = vy, уравнение переходит в XV = и + и*Х + ---, /fl2-Ж2 откуда получаем следующее дифференциальное уравнение: 7 , 9 1 и dx , 9 7 , bu2 du du 4-u*dx =------k ul dx 4- - • — X /ft2 „^2 ИЛИ x du — и dx __ bx dx "|/rt2_x2 * Интегралом этого уравнения является С — — = — b /а2 — ж2, или и =-------х-— - , « г С-\-ЬУа2—х2 следовательно, dy ___________________________ х dx У ~ С-1-6 С"2—®2 ’ После подстановки /а2 — x2 = t, так что xdx-—tdl, получаем dy _ —t dt _ dt j C dt T = “ ~b~+ bic-^bt} и A ~ “ у + pA (С + 4Ac. Пусть C = nfe2, тогда !_y _ /а3 —ж2 7n&4-p fl2 — x2 c ~~~ b + b 9 где сип — произвольные постоянные. о о о
ГЛАВА IV О ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ ВТОРОГО ПОРЯДКА, В КОТОРЫЕ ОДНО ИЗ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ ВХОДИТ В ПЕРВОМ ИЗМЕРЕНИИ ЗАДАЧА 101 831. Пусть предложено уравнение следующего вида: d2y-]-Pdxdy-\- -]-Qydx2 — 0, причем элемент dx принимаем постоянным, а Р и Q суть Какие угодно функции только от х; привести его к дифференциальному уравнению первого порядка. РЕШЕНИЕ Положив dy = р dx и dp^qdx, мы приведем предложенное уравне- ние к виду q-]-Рр-]-Qy = 0. Если в этом уравнении мы, следуя ранее изложенному методу, положим р = иу и q — vy, то ^получим следующее уравнение между ж, и и v: и + Pu-\-Q = 0. Отсюда = —Pu — Q. Вместе с тем имеем dy^uydx и udy -\-ydu = vytyx* так что °— --udx = vdx — du . Поэтому, подставляя вместо v его значение, а У и получим Ыи -]-u2dx-]- Pud% + Qdx = 0. Решив это уравнение, будем иметь ly = udx. Но и без этих подстано- \ udx вок, полагая сразу в предложенном уравнении у = eh откуда следует dy ^=^udxudx и d2y — e^ud '\(du dx-]- u2dx2), мы получим предыдущее дифференциальное уравнение первого’порядка du + к2 dx-]- Pudx-]-Qdx = 0, r \ udx т; к 'как после указанных подстановок экспоненциал не будет
ГЛ. IV. УРАВНЕНИЯ, ГДЕ ОДНО ИЗ ПЕРЕМЕННЫХ ПЕРВОГО ИЗМЕРЕНИЯ 69 входить в наши вычисления. От решения последнего дифференциального уравнения зависит интегрирование предложенного дифференциального уравнения второго порядка. СЛЕДСТВИЕ 1 832. Указанное дифференциальное уравнение первого порядка можно представить несколькими способами в различных, весьма сходных между собой видах. Например, если положим w = Mz, получаем М dz + z (dM 4- PM fix) + M2z2 dx-}- Qdx = 0. Здесь в качестве M можно принять такую функцию от х. чтобы член, содержащий букву z, исчезал, что будет иметь место, если dM + MPdx = () или М = Се~$ Р dx. СЛЕДСТВИЕ 2 833. В подобном же виде получаем уравнение, полагая « —— , так как тогда имеем — Kdz . dK . К2 dx КР dx ~ А —+ — + -р- + + Qdx = °. ИЛИ К dz — z (dK + КР dx) — Qz2 dx — K2dx = 0, где второй член слева тоже исчезает, если принять К —Се СЛЕДСТВИЕ 3 834. В более общем виде можно произвести подобное преобразова- ние, полагая и — К -}- Mz. При этом получаем dK 4- М dz z dM + K2dx-}~ 2KMz dx 4- M2z2 dx2, -}-KPdx -}~ MPz dx-}~ Qdx— 0, и после группировки слагаемых находим М dz 4- z (dM 4- 2КМ dx 4- MP dx) 4- M2z2 dx2 4- dK 4- K2dx-}~ KP dx + Qdx = 0. В этом уравнении второй слева член выпадает, если принять r -fdx(2K+P) „ — dM — MPdx 2М dx СЛЕДСТВИЕ 4 835. Еще более общая, сходная с предыдущими, форма уравнения K + Mz m получается, если принять . Тогда dz(LM - KN) + LdK ~ К dL + z(LdM ~ М dL + N dK - К dN) 4-z2 (N dM — M dN) + (K-}-Mz)2 dx ±P(K + Mz)(L±Nz)dx + Q(L + Nz)2dx = Q,
№ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА что приводится к следующему виду: O-dz (LM-KN) + z[L dM-MdL + NdK - К dN + + 2KM dx + P (KN + LM) dx + 2LNQ dx] + z2(NdM~- M dN + M2dx + MNP dx + N2Q dx) + LdK~KdL + K2dx + KLPdx + L2Qdxt Здесь в качестве К, L, M и N следует выбрать такие функции х, чтобы получить уравнение в наиболее удобном для решения виде. ПОЯСНЕНИЕ 836. Так как дифференциальные уравнения второго порядка такого рода, что в них переменное у входит в первом измерении, встречаются весьма часто, геометры с полным основанием положили много труда и усилий на решение уравнения du + и2 dx + Ри dx -\-Qdx~ 0. Это уравнение даже в более общем виде может быть представлено еле- дующим образом: dz + Pz dx -Н Rz2 dxJt'Qdx = 0t На замечательный [частный] случай последнего уравнения: dz~\-z2dx = = axndx некогда указал граф Риккати в весьма заслуживающем внима- ния исследовании по математическому анализу1). Среди преобразований для последнего случая особенно заслуживает быть отмеченной замена 2 х — £п+2, что даст dz + -4~~ z4»+2 dt = t»^ dt, л-^2 n-{-2 n откуда, полагая z = получаем (n + 2) Ctn^2 dv dt~\- 2C2tn+2v2 dt — 2atn+2dt, или (n + 2) C dv + + 2C2v2 dt = 2a dt. Таким образом, в последнее уравнение не входит никакая неопре- деленная степень t. Если затем положим то получим _ («+^£1^ + + 2) С rfs + —t—- + 2C2s2 , пСа dt 4C2a.s' dt г ^2 у {— 2а dt. , 2CWdt x) Acta erud., 1723, p. 509, Suppl. t VIII, 1724, p. 66. К этому также Dan. Bernoulli, Acta erud. 1725, p. 473. См. Интегральное исчисление, т. I § 441 [Л. ШД, а также §§ 940—943, 955 — 966.
ГЛ. IV. УРАВНЕНИЯ, ГДЕ ОДНО ИЗ ПЕРЕМЕННЫХ ПЕРВОГО ИЗМЕРЕНИЯ 7< Принимая здесь а = , находим (п -г 2) С ds 4- 2C-S2 dt = 2adt — ,l(~n±^dt. Эта форма представляется простейшей. ТЕОРЕМА 837. Если дифференциальному уравнению второго порядка d2y-'r Р dx dy 'rQy dx2 = О,. где элемент dx принимается постоянным, удовлетворяют частные инте- гралы у — М и y = N такие, что отношение М: N не является постоян- ным, то полным интегралом этого уравнения является y—^M-'r^N. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО Так как значения у — М и y=N удовлетворяют предложенному уравнению; то имеем d2M 4 Р dx dM + QM dx2 = О и d2N -^Pdx dN + QN dx2 = 0, откуда ясно, что уравнению удовлетворяет также у — а.М + $N, так как a (d?M + Р dx dM + QM dx2) Ч- ? (o?2A F P dx dN + QN dx2) 0. Вследствие того, что в этот интеграл у = аМ +fW входят два постоян- ных аир, которые могут быть заданы произвольно, он необходимо является полным интегралом, если только N не есть кратное М, СЛЕДСТВИЕ 1 838. Итак, по данным двум частным интегралам уравнения указан- ного вида можно образовать его полный интеграл, если только исход- ные два интеграла отличны друг от друга. СЛЕДСТВИЕ 2 839. Если положить y — e^udx, т. е. получаем уравнение du Д- и2 dx^Pudx^Qdx — 0. „ dM dN Если этому уравнению удовлетворяют значения и = - и и = — , то 1Y1 Qx 2т QX adM+^dN ему удовлетворяет также значение и — ’ СЛЕДСТВИЕ 3 840. Таким образом, если имеем два частных интеграла и — R и и = 8 уравнения du -|- и2 dx -4- Ри dx-^ Qdx = 0, то, так как M--=e^Rdx и
72 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА \S dx N—е~' , полным интегралом оудет выражение R dx \ S dx ле J R^-^e^ S \ Rdx ( S dx ? ле 4“ 3е или V S dx (S — R) \Rdx \Sdx aeJ 4-3eJ ПОЯСНЕНИЕ 841. Весьма большое значение имеет то обстоятельство, что для уравнений рассматриваемого типа можно указать полный интеграл по двум известным частным интегралам. Очень часто бывает, что известен один частный интеграл, но в него входит знак радикала, и вследствие двузначности последнего тем самым определяются два частных интеграла. Так, например, если уравнению du + и2 dx 4- Ри dx + Q dx = О J удовлетворяет значение и = Т 4~ ]/F, то ему же удовлетворяет и —- Т — откуда получается полный интеграл 2pxKv ле 4“ £ ИЛИ Adx Vv , ле J 4“3 Если бы оказалось, что j/F мнимое количество,, £ то мы положили бы|/И = Так как e*\dx = cos X dx + |/ — Isin^Xd#, полу- чим (л. — В) cos {' X da? 4 (а4~3) sin С X dx-У — 1 t_ и = Т + ——-------- - - - |-X V - 1, + cos ) X dx-\-(a— 8) sin J X dx F —1 или же, полагая (a-fi) |/— 1 = у и a 4-8 — й, 7 cos f X dx — о sin f X dx' u = T+--------------------------------X 6 cos i X da? 4“ Y sin \ X dx лиоо также и = T 4- _Y tg ( Xdx 4--' .
ГЛ. IV. УРАВНЕНИЯ, ГДЕ ОДНО ИЗ ПЕРЕМЕННЫХ ПЕРВОГО ИЗМЕРЕНИЯ 73 ЗАДАЧА 102 842. Найти полный интеграл дифференциального уравнения второго порядка d2y + Ay\dx + By dx2 = О, считая элемент dx постоянным. РЕШЕНИЕ „ i и dx - Положив у = е^ / приходим к уравнению du + и2 dx + Аи dx + В dx ~ О или 7 — du dx = 2 . Л—, и2, -[- Аи -f- В которому удовлетворим, придавая и такое постоянное значение, чтобы получилось и2 + Au-j- В= 0, т. е. полагая и=-~А]± |/ А А2 — В. Таким образом, поскольку получаем два частных интеграла вида у = e^udxто, если положить А2 — Б = га, полным интегралом будет у = е ^Ах (аепх + 18е-пх). Если же п есть мнимое число, положим п~т ]/ —Ч, тогда - - 1 Ах у = е 2 (a cos ига: + Bsin^rraa:) = Се 2 sin (mx-j- 7). Если же п — 0, получаем — Сдх у=е 2 (а + Ря;). СЛЕДСТВИЕ 1 843. Итак, для того чтобы найти интеграл предложенного урав- нения, надо решить алгебраическое уравнение и2 4- Аи + В — О, которое получается из предложенного d2y \- Ady dx^ Bydx2 = 0 заменой у, dy, d2y на га0, и1, и2 и отбрасыванием элемента dx. Два корня этого алгебраического уравнения определяют полный интеграл. СЛЕДСТВИЕ 2 844. Очевидно, что если множителями уравнения и2 + Аи + В= О являются га + / и ra + g, т. е. имеем значения и~ —f и и= ~ g, то полным интегралом будет у = ае_^4- Ве“^. А если g = то у = е-1* (а + Рж).
74 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА СЛЕДСТВИЕ 3 845. Если множители уравнения и2-|~ Ли-|-2? = 0 мнимые, а в этом -случае оно будет вида u2 + 2/u cos£ -р /2 = О, то получаем и = — / cos С ± / ]/ — 1 sin Z, откуда следует, что полным интегралом будет у z-_ е-/х cos с [a cos (jx gin £) _р 8 sin (/z sin £)], или у = Се~^х cos' sin (/z sin £ + у). ПОЯСНЕНИЕ 846. Тот же полный интеграл можно найти обычным методом из 7 — du уравнения az — и2-|-/1и-рв ’ Деиствнтельн0> полагая и2 + Аи + В (и -ь /) (и + g), получаем du откуда du г7+7 Ce<9-/)* = --±| , (g_/)Jz = и или Поэтому _g-Cfe^~^x Ce^x-i — afe9x-\-$gefx U = ae3«—' -3g £ и du dX = ~ J (ГРУ) (” + g) и, следовательно, udx = ~~idu + 1'}~-^-fl<uJrS\ J b J 5 J откуда находим с / у = J “ dx = c (u + f)3~f (u + g}3~f. Вместе с тем 1 ’ ae$x — ^efx 1 ° ae^x — 3efx ’ что дает нам, с изменением постоянного С, /2х — д2х У= -----------.--- = Се-^ + Я'1Х^едх _ ре/х), (ае.<7х_зе/х)9-/ т. е. у = ае~^х-\- 8е“’х, как раньше. Это ясно показывает, насколько удобным является построение полного интеграла по двум частным.
ГЛ. IV. УРАВНЕНИЯ, ГДЕ ОДНО ИЗ ПЕРЕМЕННЫХ ПЕРВОГО ИЗМЕРЕНИЯ ЗАДАЧА 103 847. Пусть предложено дифференциальное уравнение второго порядка (Py+±^dx+^^ = 0} где элемент dx принимается постоянным] найти его полный интеграл. РЕШЕНИЕ Положим dy — pdx и dp - qdx. Получаем уравнение , Ар , By п — Ар By ? + х +^ = ° ИЛИ х Пусть теперь тогда j.. иУ dx _ udyd-ydu иу dx A dy By dx dy ~ И dp - —2 - ~2 j JU *<0 w откуда находим dy и dx и dx—В dx — x du у x xu-\-Ax ’ ИЛИ x du 4- В dx + и? dx-\-(A— l)udx~ 0. dx —du Отсюда следует, что — — * отому уравнению мы, в част- ности, удовлетворим, полагая и2, + (Л — 1) и + В = 0. Пусть, во-первых, гг2 + (Л ~ 1)^ + В = (и + /)(« + #); тогда, в частно- сти, ly- —-fix и у — х~Т, соответственно, у = х~9. Поэтому общий интег- рал есть у = ах~- + fix~g. Если g — f, принимаем g = f — ю при исчезающем w и получаем X'9 = Х~' Хш ~ X4 (1 + следовательно, в этом случае у — x~f (а 4 - Six). Пусть, наконец, и2 4- (А — 1) и -4 В — и2 4- 2fu cos £ -4 /2, тогда и = — /(cos С ± 1 sin С), следовательно, в частности, у = x~fCGS'-x±f sln ’ ~ ^-7 cos: [cos (j sin £ ix^ -j/ „ j. sin(/ sin C /#)]. Таким образом, общим интегралом будет у ~ Сх~1cos с sin (/ sin l • lx - у). СЛЕДСТВИЕ 1 848. Итак, полным интегралом уравнения ^+(/^г + 1)*^ + ^1 = о
76 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА является у = ax~f + а для уравнения полным интегралом будет у = х~’ (а + р/а;). СЛЕДСТВИЕ 2 849. Если же предложенное уравнение будет следующего вида: то его полным интегралом является у — Сх~^С05 :isin(/sin£-Zir + у). ПОЯСНЕНИЕ 850. Таким же образом решается дифференциальное уравнение вто* рого порядка d2y __ _У dy _j_ Вх2Пу dx2 — 0. Действительно, положим dy = xnyudx\ так как d2y = хпу dx du + nxn~ryu dx2 + х2Пуи2 dx2, то, деля на у, находим хп dx du + nxn~yudx2 4- х2пи2 dx2 — пхп~Аи dx2 + Ах2пи dx2 + Вх2п dx2 = 0. Отсюда получаем du + х^и2 dx + Ахпи dx + Вхп dx = 0, следовательно, В частности, этому уравнению удовлетворим, полагая и2 А- Аи-\- В откуда получаем два постоянных значения для и, из которых одно пусть будет —а другое — g. В соответствии с этим получаем част- ные интегралы п+1 y = en+i y = en+i xn+1 Пусть, для краткости записи, хп+1 = Л Тогда полным интегралом будет у = ае ft -г Зе gt, разумеется, в том случае, когда и2 + Аи + В = (и + /) (и + g).
ГЛ. IV. УРАВНЕНИЯ, ГДЕ ОДНО ИЗ ПЕРЕМЕННЫХ ПЕРВОГО ИЗМЕРЕНИЯ И Для случая же, когда u2 + Au^-B^(u—-f)2, получаем] у = е_/С(а 4- РО-. В том же случае, когда и2 4- Аи + В = и2 + 2/к cos /2,- получим у = Ce~1t cos sin (ft'sinX 4- т)« " Этот способ интегрирования может быть применен *и к уравнению такого вида: <Ру _ + АХ dy dx + ВХ*у /ж2 = 0, где X обозначает какую угодно функцию от х. Действительно, положим dy = Хиу dx. или ~ = Xudx. Тогда откуда, полагая Xdx^=t^ получим [полный интеграл (так же, как и ранее. А именно: 1) если A = /4-g и B~fg. интегралом будет у = 4- 2)7если А = 2f и B = f2, интегралом будет у^е-к (а4-?0; 3) если А = 2/cos £ и В = /2, интегралом будетj у = Ce~ft cos’: sin (ft sin C 4- y)- ЗАДАЧА 104 851. Свести интегрирование следующего Дифференциального уравне- ния второго порядка'. d2y 4- P'dy dx г Qy dx2 — Xtdx2 к дифференциальному уравнению первого порядка, если Р. Q и X обозна- чают какие угодно функции от х, а элемент dx считается постоянным, РЕШЕНИЕ Здесь мы будем действовать особым образом и введем вместо у два новых неизвестных. А именно, мы положим у = ио, и, так как dy = и dv 4- v du^in d2y = и dfv 4- 2du dv^-v d2u, наше уравнение будет преобразовано к виду и d?v 4- 2du dv 4- v d2u 4- Pu dx dv 4- Pv dx du 4- Quv dx2 = Xdx2,
78 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДНА Теперь одно из неизвестных v определим так, чтобы исчезли те члены, в которые входит буква и, что произойдет, если d2v + Р dx dv + Qv dx2 = 0. Отсюда, как показано выше [§ 831], v определяется через х, и, когда это сделано, остается уравнение 2du dv-\-v d2u + Pv dx du = X dx2, из которого, поскольку v уже выражено через х, должно быть опреде- лено количество и. Мы полагаем du = sdx и получаем v ds + 2s dv + Psv dx--= X dx. Г P dx Это уравйение после умножения на ve' становится интегрируемым. Действительно, получаем £ Р dx р f Р dx v2se — \ е Xvdx и, следовательно, — f Р dx р D , р J (• \ Р dx s =----5-- \ Xvdx v2 J — С P dx P D , Г e dx f ) Pdxv j u — \ ------ - \ e Xvdx. J V2 J Таким образом, поскольку неизвестное v определяется из уравнения d2v + Р dx dv + Qv dx2 — 0, интегралом предложенного уравнения будет — f Р dx г г. , С е dx С J Pdxv 1 у = v \ — -----\ е Xvdx. СЛЕДСТВИЕ 1 852. Чтобы свести интегрирование к дифференциальному уравпе- f t dx нию первого порядка, полагаем V— , причем количество t опреде- ляется из следующего уравнения: dt +12 dx + Pt dx + Q dx = 0. Когда это выполнено, искомым интегралом будет \tdxr г* , у — eJ \е^ \e
ГЛ. IV. УРАВНЕНИЯ, ГДЕ ОДНО ИЗ ПЕРМЕННЫХ ПЕРВОГО ИЗМЕРЕНИЯ 79> СЛЕДСТВИЕ 2 853. Так как (P^t)dx = то получаем Г 2.1х V (P+t)dx j \ 7 е ~Те и отсюда Р Q dx ? _ ? Q dx 5tdxC 5 ‘ 4 trl C “J ' Ydx у e \e tdx\e , н здесь два интегрирования дают полный интеграл. ПОЯСНЕНИЕ 1 854. Можно осуществить то же самое интегрирование другим спосо- бом, который ближе примыкает к ранее использованному. А именно, положим в предложенном уравнении dy — ty dx-rv dx, где v обозна- чает некоторую функцию от х, которая подлежит определению по функции X. А так как имеем dPy =-~у dtdx \- (ty dx-rvdx) t dx 4- dv dx, то, проделав подстановку, найдем у dtdx-^- Ру dx2 + Pt у dx2 + Qy dx2 -p tv dx2 4- dv dx 4- Pv dx2 — X dx2 = 0. Каждую группу слагаемых в этом уравнении, как ту, что содержит множитель у, так и свободную от у, в отдельности приравниваем нулю и, таким образом, получаем следующие два уравнения: dt +Р dx 4- Ptdx 4- Q dx = 0 и dv -r tv dx Pv dx — X dx.^ Первое из этих уравнений определяет, как и раныпе, t через х, а из второго получаем I (P'.t)dx г X dx. Затем из принятого нами соотношения dy — tydx^ vdx следует — I t dx р — \ / dx е у = \ е vdx. Если здесь мы подставим вместо v найденное его значение, получим интеграл в том же виде, что и в предыдущем пункте. ПОЯСНЕНИЕ 2 855. Как видно, из этих преобразований следует, что интегрирова- ние предложенного уравнения d2y 4- Р dydx-\-Qy dx2 = X dx2
80 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА зависит от интегрирования уравнения d2v -j- Р dv dx + Qv dx2 — 0, поскольку, если удастся решить второе, то можно найти интеграл пер- вого. Однако вовсе не следует заключать отсюда, что, наоборот, если для решения последнего наших сил недостаточно, то и первое уравне- ние ни в коем случае нельзя проинтегрировать. Напротив, легко ука- зать бесчисленное множество случаев, когда первое уравнение допускает интегрирование, в то время как последнее остается неразрешимым. Дей- ствительно, пусть Р — 0 и Q = ax. Несомненно, второе уравнение + + ает^2 = 0 до сих пор нельзя было решить никаким способом1), так Г t dx как, полагая v = , приведем его к виду dt + t2dx + ах dx = 0. Однако отсюда вовсе не следует, что исходное уравнение d2y ~раху dx2 = X dx2 всегда оказывается неприступным, так как можно указать сколько угодно значений для X, при которых интегрирование удается. В самом деле, считая у некоторой функцией только от х, мы найдем X в виде такой функции, что уравнению будет удовлетворять принятое для у значение. В*!/ Например, если положить у = ^~, то, так как d2y==O, получим, что Х = ря2, и, таким образом, уравнению d2y + а ху dx2 = fto2 dx2 удовлетворяет интеграл Впрочем, этот интеграл — только част- ный интеграл и в связи с этим можно усомниться, удастся ли также 1 - « тт , наити полный интеграл. И действительно, если мы положим y = + то для того, чтобы найти полный интеграл, получаем уравнение d2z-|- + axz dx2 — 0, и так как оно не допускает решения, очевидно, что в об- щем случае нельзя получить выражение ддя полного интеграла, если второе уравнение не допускает интегрирования. ЗАДАЧА 105 856. Найти полный интеграл следующего дифференциального урав- нения второго порядка d2y + A?dy\dx + Bydx2 = X[dx2, где X обозначает какую [угодно 'функцию только от х, а элемент dx считаем постоянным, РЕШЕНИЕ Положив y = uv, мы приведем данное уравнение к таким двум урав- нениям: d2v + Adv dx-{- Bv dx2 = 0 г) См. § 929, при n —1 [Л. Ш.].
ГЛ. IV. УРАВНЕНИЯ, ГДЕ ОДНО ИЗ ПЕРЕМЕННЫХ ПЕРВОГО ИЗМЕРЕНИЯ 81 и v d2u + 2dv du + Av dx du = X dx2. Так как из первого уравнения значение v определяется через х, то полный интеграл находим из второго уравнения в виде Г p~Axdx С у = v \---2— \ еЛх Xvdx, <7 J J так как в данном случае Р = А. Поскольку двойное интегрирование в выражении для у дает полный интеграл, в качестве v достаточно взять частный интеграл первого уравнения, что ясно также и из общего решения. А так как для решения первого уравнения нужно составить квадратное уравнение t2 -f- At Ц- В — 0, то для характеристики полного интеграла надлежит рассмотреть три случая. I. Если t2 + At 4- В = (t Ц- /) (t + g), так что A = f-\~g и B = fg, то v = ae~fx + ре“9Х. Возьмем сначала только частный интеграл v = e^x; так как А — /Ц- g, то у = еЧх х dx е°х X dx. Пусть е^~^х dx = dR и едх X dx = *9, так что (j{S- RdS'). ЧТО у — ----е о — — еЧх V dxX dx и f-g f~g j или (f~g)y = e~ex egxXdx — e4x $ efxXdx. Мы получили бы тот же самый интеграл, если бы воспользовались дру- гим частным интегралом v = е~дх. Вообще же, полагая v — $е~дх, обозначим, как и выше, е~(/ + 9) X I Г —--- = dR и \ e(/+s) * Xv dx = у2 J так что подобно тому, как выше, y^v \>S dR = v(RS — $ RdS). Се^х Представим R в виде ; так как dv~ —dx(a.fe~ix то у = е } SdR = e^x Но еи-д)х, откуда следует, 1 Се^х dx (JX + afe tx ц Для того чтобы dR и Ca(f — ^)=1. Так имело заданное значение, должно X. 1 как С — ч, получаем, что а(/~-g) J R = е-дх и RdS—-1— pixXdx. быть X = — g
82 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА Таким образом, лУ = а $ e9XXdx + $ dxXdx, откуда заключаем, что у = v f , е gX— е9ХХ dx + g — efxX dx-----—г eix X dx Л , ‘«(/-gid «(/—$) J 7 или совершенно так же, как и раньше, (/ _g) у = е~дх $ egxXdx—e~fx \^ХХ dx. II. Если Z2 + ^ + £ = G + /)2> то есть A = 2f и 2? = /2, мы полу- чаем из первого уравнения, чтои = е~/х (а + ₽^)- Положим, как и выше, e~-\dx =dR и \ е2/х Xv dx = S. и2 J Таким образом, у = v (^RS — R dS j. А так как dR= > то 1 е'/х jR= -p(« + fkr) = “1Г 5 —а e^XdxA-fi j efxXxdx= (а-(-{&). Поэтому vRS = - j e~fx e1xX dx — e~fx efx Xx dx и R dS = — у dxX dx, откуда следует, что у = e~tx х dxX dx - е’/х $ dxXx dx. Или, иначе, так как d(efxy) = dx ^xXdx, то в более сжатой форме у e~fx dx ^ХХ dx. III. Если i2 +Аг + Б = г34-2/^ cos^ + /2, то есть А = 2/cos £ и ^ = /2, то получаем v = e~fx cos с sin {fx sin + у). Положим e-2fx cos C dx____dx _ v2 sin2 (fx sinC+7) и e2/x cos c Xv dx = e/x cos c X dx sin (fx sin £ 4- y) = dS, так чтобы иметь у = vRS — v \>RdS. А так как /? _ 1 cos(/x sin^+7) ~ / sin £ sin (fx sin £ + 7) ’
ГЛ. IV. УРАВНЕНИЯ, ГДЕ ОДНО ИЗ ПЕРЕМЕННЫХ ПЕРВОГО ИЗМЕРЕНИЯ 83 то получаем vRS = — I* r e~xfcos с cos (jx sin £ + у) \ ^х cos с X dx sin (jx sin £ + y) J SIH ч J И RdS = 4 p Л — , r \ e^x cos ’ X dx cos (jx sin £ 4- y). Поэтому будем иметь fy sin С = +e~/JC cos c sin(/x sin “ -j- y) efx cos c X dx cos (Jx sin £4- y) — e?x cos ' cos jx sin £ + y) efx cos c dx sin (jx sin £ + y). СЛЕДСТВИЕ 1 857. Если в этом последнем интеграле положим /xsin£ = <p, то по- лучим jefx соз С у sjn £ _ (sin у cos ср cos у sill cp) efx cos t.X yx (cos Y cos cp—sin Y sin cp) + (sin у sin 9 — cosy cos 9) efx cos c X dx (sin у cos 9 + cos у sin 9), то есть jejx Cos ч у sin£ = + sin у cos у cos 9 dx c0 sE; X dx COS9 — sin2y cos 9 efx cos ' X dx sin cp -r cos2y sin ср e?x cos c X dx cos cp — sin у cos у sin cp e?x cos * X dx sin cp + sin2y sin cp efx cos c X dx cos cp 4- sin у cos у sin 9 eix cos X dx sin cp — sin у cosy cos 9 e^x cos c X dx cos 9— cos2 у cos 9 e^x ссз: X dx sin 9. Отсюда видно, что угол у полностью исключается из вычислений; дей- ствительно, получаем cos с у sin £ = sin 9 dx cos' X dx cos 9 — cos 9 e1x cos X dx sin 9. СЛЕДСТВИЕ 2 858. Мы видим, таким образом, что если вместо одного уравнения мы составляем два подлежащие интегрированию уравнения, то доста- точно знать только частный интеграл одного из них. Действительно, в обоих предшествующих случаях постоянные аир, входящие в полный интеграл, сами собою выпадают из наших вычислений, а в третьем слу- чае то же самое происходит с постоянным у.
84 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА . ПРИМЕР 859. Найти интеграл уравнения d2y + Adydx + By dx2 = dx2 [лг (тг — 1) хп~2 + пАх71^1 + Вхп], где элемент'dp принимаем постоянным. Этот пример составлен таким образом, что данному уравнению, очевидно, удовлетворяет значение у = хп, что и составляет его частный интеграл. Итак, для того чтобы найти полный интеграл, положим A = / + g и B=fg. А так как [в данном случае] X = fgxn + п (f + g) х71"1 п (п — 1) яп“2, то J е9Х X dx = fePx хп + пеях х""1 + а И е?х Xdx = ge-x хп + пе1х хп”1 + р. Таким образом, в соответствии с найденными нами формулами полу- наем полный интеграл в виде (/ — g) У = /^п -F пхп~г + ae~QX — gxn — пхп~г — или, иначе, Меняя запись постоянных, получаем у = хп 4- аеЧх 4- РК~дх. Если бы мы имели g = f> то следовало бы положить g = f 4~(0 при исче- зающем со, и, так как [тогда] e~QX = e~fx-e~^x — e~fx (1 — <ож), получим У = Хп + еЧх (а4-М, если вместо &4~Р и _рф будем писать [соответственно] аир. Если же / = а4-Ь)/—1 и g = а — Ъ }/ — 1, то получаем у = хп е~ах (ае— bx К—i 3ebx *), или, меняя запись постоянных и учитывая, что е± ьх К-1 == cos bx 4- У — 1 sin bx, находим у — хп 4- е~ах (a cos bx + р sin bx). ПОЯСНЕНИЕ 860 Вообще, если частным интегралом уравнения вида d2y 4- Ady dx 4- By dx2 = X dx2
ГЛ. IV. УРАВНЕНИЯ, ГДЕ ОДНО ИЗ ПЕРЕМЕННЫХ ПЕРВОГО ИЗМЕРЕНИЯ 85 является значение y — t4 то легко найти полный интеграл, полагая Действительно, в силу нашего допущения имеем d2t + Adtdx + Bt dx2 = X dx2. Поэтому, выполнив указанную подстановку, получим d2z -^Adzdx-^Bz dx2 = О, откуда, если ,4 = / + g и находим z = <ze~fx Таким образом, полным интегралом является выражение у == t + + $е~дх в соответствии с тем, что мы уже видели в предыдущем примере. ЗАДАЧА 106 861. Предложено дифференциальное уравнение второго порядка d2y - ndyxdx + Ахп dy dx + Bx2ny dx2 = X dx2, причем элемент dx ? считаем постоянным, a X—любая функция только от х; определить его полный интеграл. РЕШЕНИЕ Можно решить это уравнение, как и выше, исходя из подста- новки у = ии, но мы воспользуемся здесь другим методом для того, чтобы посредством несложной подстановки свести эту задачу к пре- дыдущей. А именно, мы положим xndx~dt, так что xn+1 = (п+1) Z, и при этой подстановке функция X перейдет в 71 — некоторую функ- цию от t. Чтобы нас не затрудняло допущение о постоянстве элемен- та dx, мы устраним это условие, полагая dy = pdx и dp = qdx, и по- лучим, таким образом, уравнение q_n± + Axnp + Bx™y = X. m 7 dt xndy 1еперь, так как dx = — , то , и поэтому, полагая уже элемент dt постоянным, получаем 7 пхп~г dx dy । xnd2y j qdt Следовательно, __________________________nxn~Ydy x2n d2y q~~dl 1 df— ’ и, таким образом, наше уравнение принимает вид x2nd2y . nxn~*dy nxn~'dy Ах2п dy . у dt2 r dt dt dt t y
86 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА Пусть Хх 2П = 9, и это количество в силу того, что xn+1 = (n+ 1) мож- но рассматривать как функцию только от t. Итак, получаем d?y -4- Adydt + By dp = 6 dt2, и в этом уравнении элемент dt рассматривается как постоянный. Инте- грал этого уравнения определяется, как показано выше [§ 856J. I. Если А = f-[-g и B = получаем интеграл в виде (/ — g) У = е 91 \ eql$dt — e \ епВ dt. Если здесь вернуться к значениям dt = xndx и 9 = Хх 2П, сохраняя для краткости обозначение z=--p-xn+1, то получим выражение у через х в следующем виде: (/ - g) У ( e9ix-nX dx - е~п \ е^х^Х dx. II. Если А = 2/ и B — f2, то интеграл имеет вид y — ejlt \ dt — е \ ^9/dt, плп у = е \ dt \ е^9 dt, следовательно, у выражается через х в таком виде: y = e~h xndx ePx~nXdx. III. Если, наконец, Л = 2/cos и В = /2, то интеграл получаем в виде fen С03 51 у sin С == sin ср \ еп cos 9 dt cos у — cos ср \ efi cos с 9 dt sin <р, причем <р =//sin С, то есть ср= так как t гралом предложенного уравнения будет jeft СОЗ С у sjn г = sin (р \ eft cos п% cos у _ cos (р хп+1 n-J-1 ' Поэтому пнте- eft cos "xnXdx sin ср. СЛЕДСТВИЕ 1 862. Если и = 0, рассматриваемое уравнение переходит в такое же, какое мы имели в предыдущей задаче, стоит только положить t = х, п мы получим таким образом интеграл этого уравнения. СЛЕДСТВИЕ 2 863. Пусть теперь п= — 1. Тогда наше уравнение принимает вид Ру + (А + 1) = X dx2. При этом будем иметь t = lx и e*l = xx, и в указанном выше третьем случае угол ср = / sin Цх.
ГЛ. IV. УРАВНЕНИЯ, ГДЕ ОДНО ИЗ ПЕРЕМЕННЫХ ПЕРВОГО ИЗМЕРЕНИЯ 87 ПОЯСНЕНИЕ 864. Тот метод, которым мы здесь пользовались для интегрирова- ния дифференциальных уравнений рассмотренного типа, не предста- вляется достаточно естественным, поскольку он применим едва ли не только к уравнениям этого типа. А так как при рассмотрении диф- ференциального уравнения первого порядка определение множителей, которые делают эти уравнения интегрируемыми, оказалось весьма полез- ным, мы попытаемся показать применение этого метода к дифференци- альным уравнениям второго порядка. Здесь нет основания ожидать настолько общих результатов, чтобы этот метод оказался подходящим чуть ли не для всех видов уравнений. Однако, если мы сможем его использовать хотя бы в малой мере, это надо будет считать заслужи- вающим внимания вкладом в математический анализ1). Но с помощью этого метода можно достаточно удобным образом трактовать прежде всего такие дифференциальные уравнения, в которых одно из перемен- ных у со своими дифференциалами нигде не превышает первого изме- рения, и это указывает на путь, следуя по которому этот метод надлежит развивать далее2). г) Sed quantillum etiam praestare potuerimus, id baud contemnendum, Analyseos incrementum spectari debebit. 3) Hincque via perspicietur, quomodo earn magis excoli oporteat.
ГЛАВА V ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ С ПОМОЩЬЮ МНОЖИТЕЛЕЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА, В КОТОРЫХ ОДНО ИЗ ПЕРЕМЕННЫХ НЕ ПРЕВЫШАЕТ ПЕРВОГО ИЗМЕРЕНИЯ ЗАДАЧА 107 835. Пусть предложено уравнение (Ру 4- A dxdy + By dx2 — X da? , где X обозначает какую угодно функцию от х, а элемент dx считается постоянным. Найти такую функцию от х, после умножения на кото- рую заданное уравнение становится интегрируемым. РЕШЕНИЕ Положим dy — pdx, чтобы получить уравнение в виде дифференци- ального уравнения первого порядка dp?-Ар dx?- By dx = Xdx. Пусть это уравнение становится интегрируемым после умножения на некоторую функцию V от х. Таким образом, Vdp + AVp dxpBVy dx = VX dxt причем, поскольку правая часть VX dx должна быть интегрируемой, то то же самое должно иметь место для левой части. Но сразу видно, что в интеграл этой левой части должно входить слагаемое Vp. Поэтому мы положим этот интеграл равным Vp?-S, так что Vp?-S-- VXdx, откуда следует, что dS = — pdV ?- AVpdx?- BVу dx, или dS = dy?AV + BVy dx.
ГЛ. V. УРАВНЕНИЯ, ГДЕ ОДНО ПЕРЕМЕННОЕ НЕ ВЫШЕ ПЕРВОГО ИЗМЕРЕНИЯ 89 Последнее выражение можно сделать интегрируемым, приняв V = elx; действительно, тогда dS = еХх((Л — tydy -YBydx) и S = (Л — к) е*ху, причем к надо подобрать таким образом, чтобы Лк — к2 =х В, то есть к2 — Лк В — 0. Стало быть тогда получаем е^/> + (Л — к) е^ху = elxXdx, или dy (Л —• к) ydx-^ е-^х dx еХхХ dx, и последнее соотношение после умножения на е^А~^х снова оказывается интегрируемым, что дает е(А-Х) Ху __ е(А-2Х) X dx еххХ dx. Но к —корень уравнения к2 — Лк{-7?0; мы обозначим оба корня этого уравнения через / и g, и пусть к =/, тогда Л — к — g и интегральное уравнение принимает вид едху = №~fixdx efxXdx или e»xw = Д— е(з-/)х е>хХ dx---Г_. С едхх dx, я s—f J g—f J что преобразуется в найденную выше [§ 856] [форму: у = —Г- е-/х dxX dx - — е~зхХ dx. * B—i J g—f СЛЕДСТВИЕ 1 866. Итак, предложенное уравнение или полученное из него уравнение dp~\-Apdx~\- By dx = Xdx становится интегрируемым после умножения на еХх, причем к2—Лк + В — 0; таким образом мы получаем два множителя: как е?х, так и еах. СЛЕДСТВИЕ 2 867. После умножения рассматриваемого уравнения на множитель е-х получаем его интеграл в виде dy gydxss еЧх dx dxX dx, следовательно, оно с помощью интегрирования приводится к дифферен- циальному уравнению первого порядка, которое опять-таки становится интегрируемым путем умножения на eQ\
90 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА ПОЯСНЕНИЕ 868. Множитель V надо было определить так, чтобы выражение dy(^AV BVydx само по себе оказалось интегрируемым. А так как V есть функция одного только х и интегралом для этого выражения будет , то отсюда с необходимостью следует, что AdV-^ = BVdx, или d?V— AdxdV A~BV dx2~Q, и от интегрирования этого уравнения зависит определение искомого множителя V. Однако достаточно иметь только частный интеграл этого уравнения. Действительно, поскольку исходное уравнение преобразуется в интегрируемое, то произвольное постоянное, необходимое для получе- ния полного интеграла, будет введено самим интегрированием. ЗАДАЧА 108 869. Пусть предложено уравнение d2y + Р dydx-VQy dx2 = X dx2, где Р, Q и X любые функции от х, а элемент dx считается постоян- ным. Требуется найти множитель F, который должен быть функцией только от х и после умножения на который уравнение становится интег ри руемым. РЕШЕНИЕ Так как после умножения на V получается интегрируемое уравнение Vd2y + VP dy dx + VQy dx2 = VX dx2, мы положим интеграл левой части равным V dy-V Sy dx, поскольку он не может иметь иной формы, и тогда должно иметь место [соотношение] VP dy dx + VQy dx2 = dy dV + S dy dx-{- у dS dx. Так как S обязательно должно быть функцией только от х, мы полу- чаем, что VPdx = dV + Sdx и VQdx — dS. Отсюда следует, что A = —и поэтому множитель V должен быть определен из следующего уравнения: VQdx^VdPA-PdV, х 1 dx ’ или d2V -PdV dx-yVdx (Qdx — dP) = 0. Если можно решить это уравнение или если хотя бы известен какой- либо его частный интеграл, мы получаем множитель V, и интегралом
ГЛ. V. УРАВНЕНИЯ, ГДЕ ОДНО ПЕРЕМЕННОЕ НЕ ВЫШЕ ПЕРВОГО ИЗМЕРЕНИЯ 91 предложенного уравнения будет Иdy + y(VPdx — dV) — dx VXdx, Так как это соотношение становится интегрируемым после умножения 1 f Р dx на уу е*3 , мы получаем интеграл в виде у — % Р dx С dx f Р dx Г T7V 7 "ге J J Р J VXdx’ или ( Р dx-j-т Г VР dx dx С тт уу т г/ = е 15 И \ е*3 \ VXdx. я 1 и* 1 В этом выражении двойной знак интеграла вводит два произвольных постоянных, что и дает полный интеграл. СЛЕДСТВИЕ 1 870. Таким образом, определение множителя V также зависит от решения дифференциального уравнения второго порядка, которое надо, однако, считать более простым, чем предложенное, потому что в него не входит функция X, а количество V со своими дифференциа- лами dV и d2V входит в него только в первом измерении. СЛЕДСТВИЕ 2 871. Если мы положим 7 = e^l’dx, то количество v будет опреде- ляться следующим дифференциальным уравнением первого порядка: dv -}-v2 dx —Pvdx^Q dx — dP = 0. Если только имеется частный интеграл этого уравнения, то интегриро- вание заданного уравнения может быть доведено до конца. СЛЕДСТВИЕ 3 872. Если же множитель V задан, то можно, в свою очередь, опре- делить характер уравнения, которое интегрируется с помощью этого множителя. Действительно, тогда будем иметь либо n^dP PdV d2V dx^ Vdx Vdx* ’ то есть jd - PdV . d2V dP \ у —Qdx vdx , либо, интегрируя, пт/ dV । f nT/ , n dV , j QVdx PV = — 4- \ QV dx, пли P = тГТ- 4--. dx 1 J x Vdx 1 V
92 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА ПРИМЕР 1 873. Определить вид дифференциального уравнения второго порядка (Ру + Р dy dx 4- Qy dx2 = X dx2, которое обращается в интегрируемое путем умножения на Пусть множитель V = e$vdx=eAx, тогда v = k, и нам надлежит удовлетворить следующему уравнению: к2 dx ~ kP dx + Q dx — dP = О, п dP откуда получаем Q ~ кР — к2 -р . Прежде всего это будет иметь место, если Р и ^ — постоянные величины, и тогда, положив Р = Л и Q = B, следует определить к из уравнения к2 — Лк 4- В — 0, что составляет разо- бранный выше [§ 865] случай. Кроме того, какова бы ни была функ- dP ция Р от х, если только <2=kP —к2 4 , , то уравнение после умноже- ния на еХх становится интегрируемым, причем интегралом будет соот- ношение (dy ^у dx (Р ~ к)) = dx еХхХ dx, то есть dy + (Р — к) у dx = е~Хх dx еХх X dx. Последнее соотношение после умножения на ?х и интегрирования дает — t Р dx+Xx f \ Р dx—2Хх , С , v 7 у — е - \ е^ dx \ ekxXdx. СЛЕДСТВИЕ 874. Пусть Р = А —4 ах и Q В - (^>х. Тогда В fix = Лк + dkx — к2 4- следовательно, Б = Лк —к2 4-а и р=ак. Таким образом, поскольку к=-|-, коэффициенты Л, В, а, р должны быть таковы, чтобы имело место равенство Во2 — Лар — р2 4- а3, то есть Ба2 4- р2 = а (Лр 4- а2) * ПРИМЕР 2 875. Определить вид дифференциального уравнения второго порядка d2y Р dy dx 4- Qy dx2 — X dx2, s \ r dx которое обращается в интегрируемое путем умножения на е* , причем
ГЛ. V. УРАВНЕНИЯ, ГДЕ ОДНО ПЕРЕМЕННОЕ НЕ ВЫШЕ ПЕРВОГО ИЗМЕРЕНИЯ 93 Так как должно иметь место [равенство] dv + v2dx — Pvdx-\-Qdx — dP — О, мы получим - А + - g - ?Рхп + ^ + 2X^-1 + + Q - g = 0. Следовательно, ^ = LT-(2X + ^^n-1-!^n + g + flJPrrn + g. Положим Р = + рггп, тогда Q = А. (X — X2 аХ — а) + ж71"1 (8Х + ар -]- $п — 2Хр -- пр) + х2п (рР -- р2). Пусть <2 = 4^ + ^ 1 + £^2п- Тогда должно быть X2 — (а + 1) X + а + = 0, р (X + п) + р (а — 2Х — и) — 8 рЧР-р-)—, откуда определяются не только буквы X и р, входящие в множитель, но также и некоторое соотношение между буквами а, р, у, 8, е. Например, если положить у == 0 и 8 — 0, получим (X —а) (X— 1) — 0 и отсюда X = а. Тогда имеем (Р — р) (а 4- п) — 0, следовательно, а — X — — и, а р2 — рР + е = 0. Очевидно, что уравнение d2y -\-dxdy $хп " ~ + ^х2пу dx2 = X dx2 \ v dx п , допускает множитель , где г? = — — 4-ря , причем р должно быть лаково, чтобы р2 —Рр + е —0. Таким образом, получаем множитель , И ггП+1 У = J- е + 1 k Хп и е 4 -L_x"+1 2_ ^п4-1 хп Поэтому, если ПОЛОЖИТЬ —; Zn+1 n-pl — Z, получим у = хпе~^ -1- в**-1 \ хп dx с J j хп или у _ е(!х-р) t к е(Р-2ц) i хп dt V J А 1 хп СЛЕДСТВИЕ 1 876. Если принять, что у = 0 и г = 0, получаем и = р, Р(а-Х) = о и (X —<х)(к—1) =0, откуда Х = 1 и о = (а—1)|3. Поэтому
94 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА и множителем уравнения с?2у + (^ “ + !^n dx dy + (а — 1) \г/ dx2 = X dx2 оудет V при условии, что У = — + рж ; таким ооразом, 3 „п+1 Р D , 3 „П+1 У = ;сеп^[ и eJ Х^хаеп+* СЛЕДСТВИЕ 2 877. Следовательно, в этом случае, полагая = получаем интеграл в виде у = х{~а \ х*~2 е~№ dx \ e^Xxdx. • Представить этот интеграл в более простом виде нельзя, потому что в общем случае выражение e-^x*-2dx не допускает интегрирования. ПОЯСНЕНИЕ 878. Поскольку определение множителей, которые делают интегри- руемым уравнение вида d2y + Р dx dy + Qy dx2 = X dx2, требует решения уравнения а это уравнение относится к уравнениям вида d2y + Р dx dy + Qy dx? = О, то следует рассмотреть [вопрос], каким образом нужно решать послед- нее уравнение с помощью множителей. Если обозначить через V неко- торую функцию только от х, являющуюся множителем последнего урав- нения, мы снова придем к уравнению предыдущего вида d2V — PdV dx + Vdx (Qdx-dP)=0, а если обозначим через U множитель этого уравнения, являющийся, функцией от х, то он определяется уравнением d2U + Pdudx + QUdx2^0t Таким образом, достаточно решить одно из указанных двух уравнений. Так же и выше мы приходили к последнему уравнению, когда мы по- лагали y^uv. Нет ничего удивительного, что любое из этих двух урав- нений зависит от второго из них, так как предыдущее получается из- тт — f Р dx т- последующего, если положить U =~-е J г, а последующее полу- __________________ Т Г i Р dx f -Г чается из предыдущего, если положить V = 6, что легко прове- рить г). *) Uti tentanti facile patebit.
ГЛ. V. УРАВНЕНИЯ, ГДЕ ОДНО ПЕРЕМЕННОЕ НЕ ВЫШЕ ПЕРВОГО ИЗМЕРЕНИЯ 95 Итак, мы не можем устранить этим способом затруднения при ин- тегрировании, если таковые встретятся. Поэтому надо исследовать, не можем ли мы добиться цели с помощью такого множителя, в который входят оба переменных х и у и их дифференциалы dx udy. или р — Но легко усмотреть, что если дифференциалы не входят в множитель, то мы не добьемся цели. Действительно, пусть множитель представляет собою функцию V только от х и у, тогда первому члену d2y будет соответствовать в интеграле слагаемое V dy. которое в результате диффе- ренцирования дает, полагая dV Mdx-\-Ndy, выражение Ndy2, не фигурирующее в уравнении и к тому же такое, что оно не может сокра- титься с другими слагаемыми в интеграле. Поэтому мы попытаемся использовать множитель такого вида, что в него входит и Отношение дифференциалов p^d^, а поскольку у и его дифференциалы .везде вхо- дят в одном и том же измерении, то то же самое свойства должно обя- зательно иметь место и для множителя: действительно, если бы они входили в разных измерениях, то взятые порознь слагаемые одного и того же измерения должны были бы удовлетворять условиям задачи. ЗАДАЧА 109 879. Принимая элемент dx постоянным, установить условия, чтобы множитель вида Mp-^Ny, причем р = &У а м и N являются функци- dx ями от х. делал интегрируемым уравнение d2y + Pdxdy-]rQy dx* = 0, где Р и Q — функции х. РЕШЕНИЕ Так как dy — pdx, наше уравнение будет вида dp + Ppdx-}- Qy dx = 0, и после умножения на МрД-Ny получаем уравнение Мр dp + Ny dp -J- МРр dy + NPy dy -^NQy2 dy ) + MQy dy / которое должно быть интегрируемым. В соответствии с теми слагаемыми, в которые входит множителем дифференциал dp. в интеграл должны входить слагаемые у Mp2-\-Nyp. и в силу этого мы положим этот интеграл Mp2-'r Nyp-]r S. А так как дифференциал этого выражения должен дать нам предыдущее уравнение, получаем dS = МРр dy + NPy dy + NQy2 dx + MQy dy -^p2 dM — ypdN — Npdy,
96 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДНА и, следовательно, это выражение должно быть интегрируемым. Но так как в него должны входить только дифференциалы первого порядка dx и dy, то необходимо, чтобы количество р исключалось из этого выраже- ния. Поэтому, если положим dM—M’dx и dN—Nfdx, то с учетом соот- ношения pdx dy первая группа слагаемых, содержащая р, должна обращаться в нуль. Таким образом, МРр dy -4- М'р dy — Nр dy = О, z или, иначе, МР-^ то есть Следовательно, будем иметь dS^ydy (NP +MQ-N') + NQy2 dx, и интегралом этого выражения является 5 = 1 у2 (NP + MQ- N’) либо S = y2^NQ dx. Так как эти две формы должны совпадать, то получаем уравнение NP + MQ-^-^2 NQdx, или NdP + PdN + MdQ + QdM-^-2NQdx = Q. Это уравнение вместе с уравнением N = MP — определяет искомые условия, и мы приходим, таким образом, к интегральному уравнению 'Mp* + Nyp + ±y*( NP + MQ-^Pj^C. СЛЕДСТВИЕ 1 880. Если даны функции Р и Q и по ним надо определить функ- ции М и N, то, так как N = MP- dM 2d$ ’ будем иметь dN=MdP±PdM d2M 2dx ’ а функция M определяется следующим уравнением: gH _ ЗР<РМ ^_dpz_5dP 2^\dM+ м( 2Р dP-^-- 2PQ dx + dQ\ = 0. 2dx2 2dx C 2c?x C dx v Вследствие наличия в нем дифференциалов третьего порядка, от этого уравнения пользы мало.
ГЛ. V. УРАВНЕНИЯ, ГДЕ ОДНО ПЕРЕМЕННОЕ НЕ ВЫШЕ ПЕРВОГО ИЗМЕРЕНИЯ, 97 СЛЕДСТВИЕ 2 881. Если же задан множитель Mp^Ny, то само уравнение опре- деляется следующим образом. Во-первых, находим г* — » а за“ тем из соотношения , QdM 2NQdx _ d2N d(PN) M M "Mix M „2 f после умножения на Me ' м и интегрирования получаем „ 2 f dx г* _ 2 \ dx х J2 /и х MQe J м = \е * м СЛЕДСТВИЕ 3 882. Обозначим этот интеграл через Z. Имеем z -.- ; ™ > $ «*!( т - т') Последнее слагаемое правой части после подстановки в него значения Р принимает вид р TV dx С -2 J -ц- 2N dN 2№ dx № dM X J 6 м M2 M2 ) ' -I t —№ Интегралом этого выражения, очевидно, является е J м — и, таким образом. р jv dx z = е~2 J ( d?L — NdM с Л е С dx 2Mdx ) 1 G ‘ Поэтому /?_Сс2^, dN NdM М ' М dx 2M2dx СЛЕДСТВИЕ 4 883. Итак, если предложено уравнение d2y + (N^^L'\dy,y(^e2^^dN.^NdM_y__0 dx г 2М dx) У С М ‘ М 2Мг J ~ U’ М dy то после умножения на 4-7V получаем его интеграл в виде Md^ Nydy^ 12(с №£ , Л2 Ч Const 2dx2 dx ' 2 V \be тМ J Gonst‘ ПОЯСНЕНИЕ 884. Поскольку мы можем в качестве М и 7V брать любые функции от х9 мы получаем, таким образом, бесчисленное множество различных видов дифференциальных уравнений второго порядка, которые могут
98 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА быть проинтегрированы с помощью множителя + Ny. Разумеется, общей формой таких уравнений, которые интегрируются с помощью ука- занного множителя, является, как мы видели, Й + ет (dM + 2Ndx> + Л <2М dN -Х(1М+ 2СМ^ ™Х) = О, A1V1 Q*£ Lilri причем интегралом будет выражение М dy2 ! i\y dy 2dx2 r dx 1 / TV2 2 f 2~&2(jlr+ Ce M ) = Gonst« Легко видеть, что экспоненциальные слагаемые, умноженные на посто- янную С, можно опустить в .обоих выражениях, так как эта постоянная входит только в указанные слагаемые1). Если же мы приведем экспо- 2 f Ndx ненциальные члены к алгебраическому виду, полагая е J м =L, то 2Ndx dL ,г MdL ~ получим = т и N = . Отсюда Md2L dLdM MdL2 а1У/ ~2Ldx + 2L dx 2L2 dx ’ Таким образом, приходим к следующему виду [уравнения]: d2y . dy / dM . dL~\ ,1 Z d2L . 'dL dM dL2 [2CZ, dx > . + + ' ~2 y \^lTx^~ 2LMlx ~ M M dy . My dL После умножения на Ц- -9 * , получаем его интеграл в виде 47 dx lL dx Mdy2 MydLdy 1 , Z M dL2 , CL > _ c ~2d^~+ 2Ldx^ ^L2dx J-bonst. „ dM , dL 2dK n ,, K2 Если же мы положим > так чт0 > т0 получим сле- дующее дифференциальное уравнение второго порядка; d2y \dy dK . 1 / j dL dL2 , dK dL . 2CL2 dx^\__q. d^ dx^K ~2‘У Lli~2L2dx +KLdx^ K2 ) ~ U’ после умножения его на K^(dy ydLy L \dx~^2Ldx J находим интеграл K2fdy2 } у dLdy dL2 2L\dx2 1 L dx2 ^L2dx2 = Gonst- ПРИМЕР 1 885. Пусть K = xtn(aJt-x)n и L = (a-\- x)\ Тогда dK m . n _________ Kdx~ x ' a-\-x~* x(a-\-x) x) ... ubi perspicuum est partem exponentialem constant! C affectam utrinque omitti posse, cum ea sola ista proprietate sit praedita.
ГЛ. V. УРАВНЕНИЯ, ГДЕ ОДНО ПЕРЕМЕННОЕ НЕ ВЫШЕ ПЕРВОГО ИЗМЕРЕНИЯ $9 dL [J- n L dx х а-]-х Поэтому коэффициентом при -^ydx будет выражение ;а \ |х2 |х\ ч2 ! ТПр. ! ГПУ -|“ । х2 (о-|“х)2 2х2 х (а-|-я) 2 (о-|-х)2 х2 х (о-|“х) (а + х)2 + 2Сх2^~2т (а ±х)2у~2п, то есть ^2т-^-2) + ^7~2), + 2Cx2v—2m (а + ^-2п. 2х2 х (а-]-х) 1 2 (о + х)2 1 v 1 7 Здесь полезно отметить следующие случаи. I. Пусть т == р. -J- 1 и n = v. Коэффициентом при — ydx будет [выра- жение] ,Х2 + 4С Ч^+Р , \(\ —2) 2х2 х(а-\-х) 1 2(а-\-х)2 Таким образом, приходим к уравнению + dv (Л J-1« dx Г !х2+4С + + + 1 = о- dx < х а ) 1 4 Х L х2 х (fl + s) (л + *)2 J ' после умножения на х^(а+хГ[^У+( х ' [_dx [ \^ х 1 а-]-х у 2 j и интегрирования получаем +M^+^+<riW>c»„st. 11 1 II. Пусть т = и/г-Ну. Коэффициентом при у у dx будет выражение Н- (н- —1) I 2^ + 11 + ^+4С 4^ — 1) 2х2 ' 2х(а-±х) 2(о + х)2 * Таким образом, приходим к уравнению <Fy + dv(*Ltl+ ^+1 dx 2х + 2(а + ®) ) ^^-ydx( +2-^+N+4С+> о. 4 х2 х (а -|-х) (а + х)2 J После умножения на (а + <'-1 (Й + 1^ (г + Ж))
100 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА и интегрирования получаем ! ‘(a + x)v+i K + W —М 2 7 [_с?х2 dx \ х afx J , 1 2И. + 4С , <2 -Const 4 У lvx2 1 х(а^-х) 1 (а + л’)2 ^onst- Ш. Пусть т = и и п = v 4- 1. Коэффициентом при у у dx будет выражение !х(и-2) 1*Ь + 1) >2 + 4С 2х2 ' х (а Н- х) "'2(fl-L-r)2 Таким образом, приходим к уравнению g+Ч i )+1 ) = °- После умножения на Х^(а+£)7+2Г У Г -• Н-------^0 ' 7 \.dx 2 ' ч х а +# J J и интегрирования получаем |^(«+*r+2 И44Ч-+4-} 2 \ । / [_dx* dx V х а-^х J +т у2 (+ Л/ 1 = c°nst • 4 3 у х- х (а 4- (а 4-х)2 / J СЛЕДСТВИЕ 1 886. Пусть в первом случае имеем ч — 2, С = — р.2. Тогда полу- чаем уравнение d2y , (д + 1)аЦ-(ц.-|-3)а? , , (|хЦ-1) у dx _ „ dx ' ж(а-1-х) " х(а-]-х) Посде его умножения на и интегрирования находим £ 2 dy2 , <лл4-(р-4-2) х у dy 2 ( Iх j dx2, ' х(а-\-х) dx £ з?(л-|-з?) (a£ryy))=Const. СЛЕДСТВИЕ 2 887. Пусть в третьем случае имеем и = 2 и 4С = — v2. Тогда полу- чаем уравнение d?y , » 2л 4- С 4-3) X -d^+dy хСа^ху- (у + l)ydx _ Q х (а 4- х)
ГЛ. V. УРАВНЕНИЯ, ГДЕ ОДНО ПЕРЕМЕННОЕ НЕ ВЫШЕ ПЕРВОГО ИЗМЕРЕНИЯ После умножения на находим его интеграл 4 х2 (а + x)v+ 2 Гf — + —гт- + У2 ( Л Н--------------------7 ~г~ г 'Л ~ Const. 2 ' ’ [dx3 dx \ х ' а-^-х _/' 9 \^х3 ж (a-J-®) у J ПРИМЕР 2 888. Пусть К = хт (а2 + я2)" и L — х^ (а2 + х2)\ Тогда dK __т । 2пх dL ___ jx . 2vz Kdx~~ х а2-J-я2 И Ldx~" х ' а2-\-х2 ’ и дифференциальное уравнение второго порядка приводится к следу- ющему виду: |л(2т — р.—2) , 2np.-|-2v(m— 2х* ’’ аа + ж2 2.(2п-.-2)х3 2Сх2У-2т “г (aa + ®2)2 +(a24-T2)2n“2v - После умножения на (a2 + z8)2n-v ( Q_jly ( Л Л 4 1 7 V dx 1 2 u V x aa-|“£2 7 7 находим его интеграл ж2т-н (a2 ^2)2n-v ?dy2 ydy / ja, 2vx \ dx2 dx V x ~^a2-\-x2J 1 „2 ((JL + 2.x \2 4C^-2m • ‘ 4 " kV x ‘ а24-ж2 J ' i^2\2n-2v = Const. Мы укажем здесь случаи, когда дифференциальное уравнение второго порядка приводится к виду d?y . J 7 2пх Л , 1 J f n , Е . F . Gx2 "\ Л + а2^хг ) +уJ2+ а24-х2 +(Г24-а:2)2 I. Полагаем «х = т и тогда 2>==2С, Е = ~ т (т — 2), F = 2n(m+i) и G = 2n(n —2). II. Полагаем р = т— 1 и v = л; тогда D = o, Е = 2С + ^-(т-1)2, Е = 2п(т + 1) И G ~ 2п (п ~ 2).
102 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА j III. Полагаем р = т — 1 и 2п — 2^ = — 1, или, иначе, = п4-; тогда последнее слагаемое будет —2с;+ • Следовательно, D = 2C, £ = 2Са2-Ну (m-I)2, F = 2(mn + n+l), G = 1 (2« + 1) (2п - 5). 1 IV. Полагаем р, = т и 2п — 2"t = 1, то есть\ — п —% ; тогда последнее 2С слагаемое будет ^_^2, и, таким образом, /) = 0, Е — т(т— 2), F—2С2mnJr 2п — 1, G = 1 (2п - 1) (2п - 3). j V. Полагаем р = т + 1 и у = п,— — ; тогда последнее слагаемое будет 2Сх* 2Са2 „ - ai~j_a;2 “ 26 — д2 . 1аким образом, D = 2C, Е = ~(т + 1) (т-2), F =. - 2Са2 + 2п(т + 1), G = 1(2/г -1) (2и —3). VI. Пусть р. = т~ 1 и > = зг—тогда последнее слагаемое будет 2С 20 2С гр - • 3 , 2 , 2 . 1аким образом, Ct (Ct “Ч 27 ) а2х2 Z> = 0, VII. Пусть а = л? 4-1 и2?з —2^~2. то - 2Сх2 г слагаемое будет 2_,_ 2 . Следовательно, - д2^ + 2тп + 2п — 2, G = l(2n- 1) (2п —3). есть = п — 1; тогда последнее D = 0, £ = 1(лге + 1) (m-3), F = 2n(m+1), G = 2C + 2(n-I)3. VIII. Пусть p = m-J-2 и y.--=n — 1; тогда последнее слагаемое будет 2Сх* 2Са2 2Са2х2 —«кг == 26----s-i—г — г2~—и> следовательно, (afi-Ра?2)2 а2-р а?2 (а2-Ра?2)2 D = 2C, Е = ^(т^-2)(т-4), ^2Са2 + 2тп+2п + 2, -2Са2 + 2(п-I)2. IX. Пусть и = тогда последнее слагаемое будет 2С _ 2С_________________________________2Сх2 а2~Ра?2 а2 (а2-ра?2) а2(а2-^-х2)2 ’ следовательно, D = О, Е = у т (т — 2), F .= + 2тп -р 2п — 2, G= — ^-Р2(и —I)2. а2 а2 4 '
ГЛ. V. УРАВНЕНИЯ, ГДЕ ОДНО ПЕРЕМЕННОЕ НЕ ВЫШЕ ПЕРВОГО ИЗМЕРЕНИЯ ЮЗ X. Пусть р = т — 1 и п — 1; тогда последнее слагаемое будет 2С __ 2С____________4С 2Сх2 х2 (а24“х2)^ а4(а2-|-я2) л4 (а24-ж2)2 и, таким образом, Z) = 0, Е = + F = + 2тига 4- 2п — 4, <? = ^- + 2(/г —iy. ЗАДАЧА ПО 889. Считая элемент dx постоянным, найти полный интеграл сле- дующего дифференциального уравнения второго порядка: d2y dy dK , ( A dL dL2 _^dK dL , 2CL2dx'\^,. d^^di'~K~'^y\aTdi~2JJdi ' KL dx" K* )~~U’ где К и L обозначают любые функции от х. РЕШЕНИЕ Так как данное уравнение становится интегрируемым после умно- жения на 47 4~^Ldx)’ его полным интегралом, как мы выше [§ 884] видели, является К2 / < dy , у dL'у2 r CL2 2\ 2lX\dx+2Ldx) + РУ J -Const, и это дифференциальное уравнение первого порядка снова надо инте- грировать. Поскольку это интегрирование, вследствие наличия неопре- деленного постоянного, является весьма трудной задачей, то мы сначала будем искать только частный интеграл, считая постоянное равным нулю2). Итак, из уравнения < dV , ydby 2 _n < dx 1 2Ldx J 1РУ после извлечения корня находим откуда получаем y ]/L ~ (ie^> K , Так как исходному дифференциальному уравнению второго порядка удовлетворяют оба значения, 2) Еа [constans neglecta.
104 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДНА то ему удовлетворяет также их сумма; а так как при этом вводятся два произвольных постоянных, то полным интегралом дифференциаль- ного уравнения будет а Ь И -с 3 - Г V-c у = —-еJ к Н—(~е J к Это выражение подходит, если ]/ — С вещественное количество1); если же это количество мнимое, то Таким образом, получаем полный интеграл предложенного дифферен- циального уравнения второго порядка. СЛЕДСТВИЕ 1 890. Итак, мы в состоянии ^указать интеграл дифференциального уравнения первого порядка (dy ydL^ CL^ = AL (dx ^2LdxJ -г* X2 X2 ’ которое само по себе является достаточно трудным, а именно a f ~ Г-0 3 - Г К-С у-—-— к -{------е J к , предполагая при этом, что постоянные а и В определены должным образом в соответствии со значением постоянного А, СЛЕДСТВИЕ 2 891. Умножая на |/ L и дифференцируя, получим dyVL-t -С-Л к Отсюда аУ У dL V ^CL / У ~ dx r2Ldx К < и, таким образом, К AL -CL / )L,?VC = ~?е 2 Следовательно, Л ~ 4Са|3, или В = . 4G 2 2) При С~0 полным интегралом будет rai-
ГЛ. V. УРАВНЕНИЯ, ГДЕ ОДНО ПЕРЕМЕННОЕ НЕ ВЫШЕ ПЕРВОГО ИЗМЕРЕНИЯ ПОЯСНЕНИЕ 1 892. Хотя и оказалось возможным проинтегрировать заданное урав- нение с помощью подходящего множителя, однако второе интегрирова- ние представлялось связанным с большими трудностями. Все же иногда с помощью подстановки можно облегчить решение полученного диф- ференциального уравнения первого порядка. Действительно, положим , так что ydh_ V L 2/£ dz. Получим [уравнение] У / dz V \CLz* — AL ^dx yt J + " K2 ' ds Lj , j .<7 9 dz L dx Отсюда — = -^1 A-- Czz или, иначе, —=---= , что после инте- * dx К * УА — Cz2 К грирования дает 1[гу^С + УА^С^]= + Таким образом, мы получаем вышеприведенный интеграл. Впрочем, несколько удобнее можно представить наше дифферен- циальное уравнение второго порядка следующим образом. Считая Р и R какими угодно функциями от х и принимая элемент dx постоян- ным, мы получим после двух интегрирований полный интеграл урав- нения ,й , f dP . dR\ f ?dP dPdR . a2R2dx2> n )-y^d-p--pR~ + ~p5-) = 0 в виде p В dx _ » R dx y=a.Peai p 4-pPe ° J p , если только а является вещественным количеством. Однако, если а = 0, то А если аг = — с2, то получаем zi / □ 1 (* R- dx ''\ y=iPsm Q₽ + c ). Вместе с тем это уравнение становится интегрируемым после умноже- 1 / j у dP Л ния на д 2 ( dy—-?- !, и первый интеграл получаем при этом в виде 1 J t/(ZP>2 a2R2 О 7 дЛ г* # , а ( dy——^--------™~y*dx2 = Const. 2Й2 dx2 Vv P J ™ 9 j Отсюда ясно, что удобно произвести в исходном дифференциальном уравнении второго порядка подстановку y = Pz, с помощью которой оно преобразуется к виду ,2 , j f dP dR\ a2R2 , 2 n dPz 4- dz Q -p — -д- J — -p- z dx* = 0, и это последнее уравнение становится непосредственно интегрируемым
106 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА после умножения на если мы положим получим уравнение tn dS dz d2 z dx2 pi dz+~s--------^-=°> № dz для которого множителем является , что сразу дает интеграл Const. Zdx2 2 ПОЯСНЕНИЕ 2 893. Наоборот, исходя из этого самого простого вида [уравнения] S2 d2z + S dS dz — a2z dx2 — 0, которое становится интегрируемым после умножения на dz. мы можем образовать более сложные формы, полагая z = ^\i 51 = Хотя в общем виде все это достаточно прозрачно, однако в конкретных примерах большей частью такое преобразование оказывается достаточно замаски- рованным, так что оно может ускользнуть от внимания. Например, в случае, рассмотренном в § 888 под номером IX, будем считать т = 2 и С = (п — 1)2я2, следовательно, получим Д = 0, £’~0, F=2n (п 4-1) п (7 =: 0. Мы придем, таким образом, к уравнению^ ^y + 2dy(^ + 7 + +У У d-x = 0, dx & V х а2^-х- J а3—|—а?2 ИЛИ 2 dx dy (а2 + (л -41) х2) п (п +1) у dx2 _ р а У 1 z(a2H-z2) 4- a2 + z2 которое становится интегрируемым с помощью множителя v 1 1 \~dx 1 х (а"-|-а4) / Интегралом будет 1 («-+(' ( +Y + <“5*^ » Const. 2 v f \\dx 1 z(a2-|-z2) / (а3-)-#2)2 / Следовательно, частным интегралом будет с?г/ t dx (n — 1) х dx у 4" x а2д_х2 (п—1) a dx р —-1 а2-|-х2 и отсюда заключаем, что , /1-1 ^-1 , .— ±^~ z 2 . 9 \ 2 j d -I— х у — 1 \ ху(а2 + х~) л—f V? — X у — 1/ Следовательно, сумма этих двух частных интегралов даст полный интеграл у “ у («-»v -in1+!(<+* г 1
ГЛ. V. УРАВНЕНИЯ, ГДЕ ОДНО ПЕРЕМЕННОЕ НЕ ВЫШЕ ПЕРВОГО ИЗМЕРЕНИЯ Ц)7 В рассматриваемом случае наше уравнение приводится к весьма про- стому виду с помощью подстановки 1—n 2/ = A(a2 + a;2) 2 но усмотреть основания для этой подстановки и найти ее — труднее. ЗАДАЧА 111 894. Принимая элемент dx постоянным, определить условия, при которых дифференциальное уравнение второго порядка d2y + Pdxdy + Qy dx2 ~ 0 становится интегрируемым с помощью множителя следующего вида: у dx2 L dy2 4- Му dy dx -4 Ny2 dx2 ’ где буквами L, М9 N, Р, Q обозначены функции от х* РЕШЕНИЕ Будем рассматривать знаменатель указанной дроби в виде (dy + Ry dx) (dy + Sy dx). Легко заметить, что интеграл должен иметь вид = Const. dy+Sydx* Следовательно, мы должны получить предложенное уравнение, диф- ференцируя последнее соотношение. В результате находим 7TZ , (S-R)y dxd2y+(R — S)dxdy2 + ydxdy(dR--dS)-\-y2dx2(SdR— R dS) n dV 4---------------------/ D.. .j-\ I c.. -------------------= V (dy-^Rydx) (dy-\-Sydx) и после приведения к общему знаменателю будем иметь (61 — R) у dx d2y + — S} dx dy2 + ydxdy (dR — dS) + y2 dx2 (S dR — R dS) + dV dy2 + (R + 61) у dx dy dV + RSy2 dx2 dV == 0. Положим dV = (61 — R)dx, чтобы получить уравнение, в котором можно сократить на у. Таким образом, получается уравнение (S-R)d2y + dy (dR-dS) + ydx(SdR-RdS) + (612 - R2) dx dy + RS(S- R)y dx2 = 0. Здесь, для того чтобы получить совпадение с предложенным у равнее нием, надо положить п /D 1 I dR — dS п оо । £ dR — R dS P^(R + S)+{S_Pi}d- п С = ^ + Т15,_д)^- . Если функции Р п Q принимают эти значения, то уравнение d2y - - Р dxdy + Qy dx2 = 0
108 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА после умножения на (6’ — R)y dz (dy4-Ry dz) (dy + Sy dz) дает интеграл Us - R) dx +1 = Const. J v ' 1 dy-+-Sydx Если положим S — M^-NviR = M — N, to P = 2M-~ и = 2V dx Y dr N dx СЛЕДСТВИЕ 1 895, Итак, какие бы функции от х мы не подставили вместо М и N, если по ним мы определим функции /’ = 2М-~ и Q = + , N dx х dz N dx то интегралом уравнения (Ру + Р dx dy + Qy dx* — 0 будет 2\Ndx + l Const. J dy^-(M-\-N) у dz СЛЕДСТВИЕ 2 Г zdx 896. Если положить y=e , то наше дифференциальное уравне- ние получается в виде уравнения первого порядка dz 4- z2dx + Pzdx + Q dx — 0, и, следовательно, его интегралом будет 2 ( Ат dx + I = Const. J 1 z+M + TV СЛЕДСТВИЕ 3 897. Если мы пожелаем, чтобы Р = 0 с целью получить уравнение вида d2y + Qy dx2 = 0, надо принять 2М == . Тогда Q = —М*— и интегральным уравнением будет 2 UV dx 4-1 = Const. з dy+(M-\~N)y dz СЛЕДСТВИЕ 4 898. Вообще же, если постоянное полагаем равным или 4-оо, или — оо, то получаем частный интеграл: или dy 4- (М + N) у dx = 0,
ГЛ. V. УРАВНЕНИЯ, ГДЕ ОДНО ПЕРЕМЕННОЕ НЕ ВЫШЕ ПЕРВОГО ИЗМЕРЕНИЯ Ю9 ИЛИ dy 4~ (М — 7V) у dx — О, откуда следует, что -f (M+W)dx -f (M-N)dx либо у — аед , либо у —Ре Таким образом, находим полный интеграл нашего уравнения — f М dx — f АГ dx f АГ dx у = е 3 (ае ' + ₽eJ ). ПРИМЕР 1 899. Пусть М = а и N = р, тогда Р=2а и Q = aF — Р2. Таким образом, для уравнения d2y + 2а dx dy + (а2 — р2) у dx2 = О интегралом будет 2ps+Z dy4-(g— dy+(a + ?>)y dx = Const. В конечных же количествах полный интеграл получается в виде у = е~~ах (Ле-^ + Ве$х)> В том случае, когда р2 = —у2, уравнение d2y -4- 2а dx dy + (а2 4- у2) у dx2 — О после двукратного интегрирования дает у = Ае~ах sin (угг + С). Если же у =0, то интегралом уравнения d2y + 2а dx dy + а2у dx2 --= 0 будет у = е-аис(Л + Вх). ПРИМЕР 2 900. Если М = ~ и 2V = pa* то Р = и Q = *J-p2z2n-4- X X X ХЛ ап = а(а —п —1) Следовательно, первым интегралом уравнения ! (2а — п) dx dy , а (а — п—1) у dx2 + ~ ~ 4г ‘ £5 ^х2пу dx2 = 0 будет 23 ,i+1 . л dy + jcc — ^x^ydx _ п-|-1 1 х d?/'4 у dx Const. Вторым же интегралом будет й^п+1 .^71+1 —рас рх у = ж-’ (Ле n+1 + Be ”ТГ).
110 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА Если (3 = 0, то получаем у = х-*(А + Вхп^), если же р2= — у2- то У — Лж-’sii) + с J • СЛЕДСТВИЕ 1 901. Положим /г=2а, так что получаем следующее уравнение: d2y “ 3 --dx2 = 0. Его полным интегралом будет 1 Р ~2я+1 y=--x-“(AeZa+i +Be^+l ). Если же (3 = 0, то получаем интеграл у = х~*(А + Вх2а+{), а если р2= —у2, получаем интеграл у-z2a+1 + с)« СЛЕДСТВИЕ 2 902. Положим а = — 1? так что имеем уравнение Стало быть, интегралом этого уравнения будет L _L у = х(Аех +Ве х). Здесь следует заметить, что если р2= —у2, то y = Axsinf~ + C ) . ПРИМЕР 3 903. Положим N^^-- а + ^г’1 ’ dN т 3nzn-1 так что ^~г ='----। Q п , » примем, что N dx х Л Т _ т ~~ 2х 2(а4’£хП)
ГЛ. V. УРАВНЕНИЯ, ГДЕ ОДНО ПЕРЕМЕННОЕ НЕ ВЫШЕ ПЕРВОГО ИЗМЕРЕНИЯ Щ Тогда [§ 895] Р-0 и —т 5п(п — 1)хп~2 £2n2z2Ti“2 = "2^2 2 («Ч-рж”) г 2(а + Эх")2 т2 $тпхп~2 fi2n2x2n~2 4х2 2(аЧ'?хП) 4 (a-pt^71)2 А2х2т _(а+^")2 ’ то есть 4(а + рх»)2 q — in (т -|- 2) । п (т— п-\- 1) 2 ( $2п2х2п~2 — 4А2х2т "= 4^2 1 2(а + ^п) С 1 Так как \ у /Лт, получаем интеграл уравнения d2y-\ Qydzs = =0 в виде л / —\2Vdx \ N dx XX +D‘ >• Можно несколькими способами упростить выражение для Q, а именно так, чтобы числитель последнего слагаемого [в выражении для (>] делился на а + ₽^п. I. Пусть т = п — 1 и А2 = -^-р2п2, тогда д, вместе с тем, 4 с < N ——i'a п и \ N dx = -~-l(a + fixn). а-|-рхП J 2 v г ' П .72 (д2—1) У dx2 п Отсюда получаем интеграл уравнения (гу — ~-------------= 0 в виде у = -7^(С + Ра + Р₽хО. ]/ хп 1 II. Пусть 2т = —2, то есть ттг= — 1, и 4А2 = а2п2. Тогда 0 1 п2$хп~2 $п2хп~2 — ап2х~2 4х2 2(аЧ"РхТг) 4(аЧ"РхТг) ’ n 1 — то есть и — . 9 , как и выше. х 4х2 III. Пусть 2т = — п — 2, то есть и /лэ а3я2 44а —-----. Р Тогда — (п2 —4) 3n2[fo"-2 , п2 ($2хп~2 — а|3х~2 + а2х~п~2) 16х2 4(a4'PxTi) "Г 4p(a4-3zn) то есть 16х2 ~ 4£(* + Bzn)
±12 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА Это выражение переходит в следующее: Q = А—+ g (ах-”"2 - 2?а;-2) = 4~-"~ + < 16х2 4р v г / 16ха 1 43хп+2 Поэтому, поскольку имеем п+2 у___ , па / — з х 2 получим, ЧТО 2К1 3 -J- ’ Ndx^na^a ах______ ?Н-2 (з-Рртп)х 2 Положим 2 п- 3- так что 4 w- "3 ’ N== 3/р Р—Ч 93х3 __4 х 3 3 + рх3 и Отсюда dx * (а + Зх3) х3 Таким образом, интегралом уравнения а V —а з/з будет Если же принять, что п то находим Ndx <Ру + — 93ж3 dx2 - О 1 (го~ \ Ndx пЛ Ndx\ я~7^{Се >' 2 — , а, следовательно, О 2 л л т= -у и (? =—j ЭЗя3 — а ]/ —а з/ё _2 х 3 _2 з + рх 3 З/р dx ~2~ ах' N и .— а х3 dx — з 3/р так что уравнение 9^3 интегрируется таким же образом [как выше].
ГЛ. V. УРАВНЕНИЯ, ГДЕ ОДНО ПЕРЕМЕННОЕ НЕ ВЫШЕ ПЕРВОГО ИЗМЕРЕНИЯ ЦЗ .ПОЯСНЕНИЕ 1 904. Итак, уравнение d2y 4- Лхту dx2 = 0 можно проинтегрировать п / 4 8 , в следующих случаях: ?/? = (J, т = — 4, т = — , т — —-г Iй — Z, v о о т; е. при т~ — 2 + у и т— — 2±-|-. Если же сверх того положим Л — - t ~ , мы сможем подобным же образом ~г4 т! уравнение для тех случаев, когда т = проинтегрировать это и в этих случаях допу- скает интегрирование также дифференциальное уравнение первого порядка dz Д-z2 dx-~ Ах*п dx = 0 Д Однако исследование этих случаев интегрируемости является слишком трудоемким, чтобы излагать его здесь более подробным образом, тем паче, что в дальнейшем [гл. VII, задача 118, особенно § 943] будет получен более удобный метод для рассмотрения всех этих случаев. ПОЯСНЕНИЕ 2 905. Из изложенного можно усмотреть, какой пользы следует ожи- дать от определения множителей, с помощью которых становятся интегри- руемыми дифференциальные уравнения второго порядка, хотя рассмотрен- ные здесь примеры только в незначительной степени иллюстрируют этот метод. Но я здесь рассматривал только некоторые виды множителей, однако нет никакого сомнения, что можно также использовать с немень- шим успехом многие другие виды. Далее, в этой главе мы рассматри- вали только такие дифференциальные уравнения второго порядка, в которых одно из переменных у вместе со своими дифференциалами dy и dry везде входит в первом измерении. Но этот же метод распростра- няется и на другие виды уравнений того же порядка; и хотя до сих пор им мало занимались1), однако не бесполезно будет дать его дальнейшие приложения, изложив интегрирование с помощью множителей других дифференциальных уравнений второго порядка, которые, по-видимому, очень трудно решить иными методами. х) См. работу Эйлера «De aequationibus differentialibus secundi gradus», Novi comment, acad. Sc. Petrop. 7 (1758/9), 1761, стр. 163 (№ 265 по списку Энестрема; также в Opera Omnia, Ser. I, vol. 22). Относительно уравнений, рассмотренных в этой V главе, см. также Эйлера «Obsorvatio singularis circa aequationes differen- tiales lineares», Nova acta acad. Sc. Petrop. 14, 1805, стр. 52 (№ 220 по списку Энестрема; также в Opera Omnia, Ser. I, vol 23) [JI. Ш.]. о 0 о
ГЛАВА VI ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ДРУГИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА О ПОМОЩЬЮ ПОДХОДЯЩИХ МНОЖИТЕЛЕЙ ЗАДАЧА 112 906. Пусть предложено уравнение следующего вида: сри +_____Ay_dx?_____ = q у (By2~\-C+2Dx + Ex2)2 ’ причем элемент dx полагаем постоянным; найти множитель, который делает это уравнение интегрируемым. РЕШЕНИЕ Попробуем искать такой множитель в виде 2Pdy 4 2Qydx^ где Р и Q— функции от х, и интеграл произведения 2d2y (Pdy + Qy dx) 4 2Ау dx2 (Р dy-\-Qy dx) (By2-\-C-\-2Dx+Ex2)2 = 0 представляем в виде Р dy2 ф- 2Qy dxdy-^V dx2 = Const • dx2, где V — функция, содержащая оба переменных х и у. Отсюда получаем равенство + dP dy* 4- 2у dxdQdy 4- 2<? dxdy* 4- dx* dV - = °’ При интегрировании из этого соотношения нельзя будет определить значения V, если только не имеем dP-\- 2Qdx = 0. А тогда получаем dV __ Ay (2Р dy - у dP) 2 , dQ а ' (By2-\-С-\-2Dx-LEx2)2 У У dx9
ГЛ. VI. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДРУГИХ УРАВНЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ МНОЖИТЕЛЕЙ Ц5 Интегралом этого выражения, считая переменным только у и предпо- лагая, что оно допускает интегрирование, будет — АР B(By* + C + 2Dx^Px* 2 * * * *) У dx Следовательно, если мы полагаем у постоянным, должно иметь место [равенство] A dP {Byz + C + 2Dx + Ех2)±2АР dx (D '--Ex) 2 d2Q £(^2+С'4-2£>жН-£'ж2)2 ' V dx . _ —Ay- dP " (By* + C + 2Dx^ Ex2) * ' Оно удовлетворяется, если -^-2- = О и - dP (С 4- 2Dx + Ex2) +- 2P dx (D 4- Ex) = 0. Надо показать, что эти два условия могут удовлетворяться одновременно. Но второе из них дает нам dP _ 2D dx-\-2Ex dx C-Y2Dx-yEx* 1 так что Р С 4“ 2Z)x’ 4- Ex2, откуда с= ~Е-= -Х)~Ех. х 2 dx Следовательно, ~ = — E и — 0. Стало быть, искомым множителем dx dx* будет 2 dy (С + 2Dx 4 • Ex2) — 2y dx (D 4- Ex), и, таким образом, получаем интеграл в виде £(С + 2О14-£г)-^(/>+Лг) — д / д12 X Ач + 7s^2 ~ Const, В (Ву*-)-С-\- 2Dx-\-hx2) 1 или же, добавляя слева и справа , в виде (С 4- 2Dx + Ex*) - 2у^ (Z> -t Ex) dx2 x 7 dx v 1 7 Л?/2 еByt-tC + ZDx+llxi + = Const. СЛЕДСТВИЕ 1 907. Итак, уравнение d2y 4 = 0? гДе Л = а2, В = 1, С = 0, D = 0 и £—1, становится интегрируемым с помощью множителя 2х2 dy — 2ух dx, и его интегралом будет хг dy2, _ 2ху dy 2 а*у* = , 2 dx2 dx У у* . а?2
116 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА СЛЕДСТВИЕ 2 908. Если в этом уравнении положим у = их, то, поскольку dy = udx -\-xdu, будем иметь 2 2 ! 2шг3 du x*du2 , dx dx* "Г 2^2ц2 2u#3 du dx а2и2 1 Ц-??2 ’ =ь\ или же Следовательно, х* du2 __ Ъ2-]-(Ь2 — а2) и2 dx2 ~~ 14-и2 dx __ du У 1-Lu2 х2^ УъЕу(Ь2 — а2)и2 ’ откуда как х, так и у определяются через и. СЛЕДСТВИЕ 3 909. Подобным же образом можно проинтегрировать уравнение и в общем случае. Действительно, примем ради краткости C±2Dx + Ex^ Bz2. Тогда D }- Ех = > и наше уравнение запишется в виде Bz2 dy2 2Byz dy dz F 2 Ay2 _ K_ dx2 dx2 Е-^У В (?/2 J-za) p • Положив здесь y=^uz, получим Bz^ du2 Bu4z2 dz2 ( F 2 2 i Au2 __ К ~dx2 dx2 ' B(l+u2) “ ~B • z2dz2 (DE Ex)2 1ак как -у 2 - h—- » отсюда следует dx2 В2 Bz*du2 , CE—D2 2__ K + (K-A)u2 dx* -1' В 11 ~ 5(l + u2) то есть B2z4 du* _ К + (К — A +D* — СЕ) и* + (Р* — СЕУ^ dx* ~ l+u2 Таким образом, подставляя вместо z его значение, получаем dx __ du у l -H».2________ C + 2Dx+Ex*'~~ ук (X— A^z>2 — С^1) u* + (D* — CE) и* ‘ Следовательно, х определяется через и, значит [через и определяется] также /С-У2Рх-уЕх* --------в----- •
ГЛ. VI. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДРУГИХ УРАВНЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ МНОЖИТЕЛЕЙ Ц7 ПОЯСНЕНИЕ 910. Здесь легко усмотреть подстановку, с помощью которой можно привести к более удобному виду как само предложенное дифференци- альное уравнение второго порядка, так и его множитель. Действи- тельно, положив для сокращения С + 2Dx 4- Ex2 = Bz2, мы преобразуем наше уравнение Ay dx2 _п ГВ2 (г/2+^2) и с помощью подстановки у = uz в [уравнение] z d2u 4- 2 dz du 4- и (Pz 4- = 0 > множителем которого является 2B(z2dy — yzdz), то есть 2Bz3du, либо попросту z3du. А так как dz^= dx(B + Ex) , 2 Edx2 dxdz(D + Ex) Edx2 dx2(D + Ex)2 (CE — D2)dx a Z~~ Bz Bz2 “ Bz B2z* “ B223 Таким образом, z3 d2z = -C-E-^ dx2, так что наше уравнение после умно- жения на z3du приводится к следующему, очевидно, интегрируемому виду: zi du d2u 4- 2z3 dz du2 4- и du dx2 4 = 0» причем интегралом будет уz4du2 + CE2^2D U2dx2 — 2^4'1*+ цД) = 4Const’ Так как z является функцией только от х, то сразу бросается в глаза, как произвести новое интегрирование, потому что . D2- CE 2 , A Const + B2 и +д2(1 IM2\ z2 du dx и здесь переменные и и х уже отделены. Кроме того, здесь следует отметить, что та функция, которую мы приравняли z, удовлетворяет уравнению T?d2z~<idx2, хотя смысл этого не очевиден1). Но после 2 dz о j 72 2я dx2 dz умножения этого уравнения на получаем, что 2dzd*z —-----------— . я dx2 Интегралом последнего уравнения будет dz2=fidx2-------, или же dx zdz-=г , откуда затем получаем р#4- Y = ]/3z2 — а, следовательно, У — а $z2 — а 4- у2 4- 2Руж + $2х2, что и является нашим выражением [для z]. 2) Caeterum hie notetur functionem pro z assumtam satisfacere aequationi z3d2z~ a dx2, cum tamen eius ratio non sit manifesta.
118 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА ЗАДАЧА ИЗ 911, Полагая элемент dx постоянным, определить общий вид тех дифференциальных уравнений второго порядка, которые интегрируются с помощью множителя вида. Му dx \- Ndy, РЕШЕНИЕ Так как множитель может быть преобразован с помощью подста- новки у — Ru к весьма простому виду Sdu, мы преобразуем с помощью этой подстановки само дифференциальное уравнение второго порядка к виду d2u Р dx du 4- = 0. Последнее слагаемое в левой частиJ) интегрируется само по себе после умножения на Sdu, если только U обозначает произвольную функцию от и, тогда как R, S и Р — функции только от х. Так как уравнение A du d2u 4 - PS dx du2 4- U dx2 du = 0 должно интегрироваться, то, если полагаем интеграл в виде -15 du2 dx- U du. = 1 С d;r-, необходимо, чтобы у dS du2 = PS dx du2, то есть P dx = ~ . Поэтому уравнение следующего общего вида: ,2 i clS du 1 U dx-_ u и . 261 ‘ 6* " после умножения на Sdu и интегрирования дает Sdu2 = dx*(C-2 U du} . После нового интегрирования получаем С dx __ Г du ' /У 3 У5“„,2 J * Так как все это очевидно, мы обратимся к более сложным видам, полагая и = , так что U будет уже функцией от -у . При этом имеем 1 _ dy ydR ,2 .__(РУ 2 dR dy у d2R ; 2у dR2 R ~ R2 а U~ R R2 R- ~ ’ 7?3 ’ Таким образом, наше уравнение будет вида d2y 2dR dy yfPR ] 2ydR2 U dx2 ~R R2 R2 ‘ IP ' S~ dS dy yd R dS ’ + 2RS MPS"' 4 У Эйлера коротко: post г emum mem brum (acquationes).
ГЛ, VI. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДРУГИХ УРАВНЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ МНОЖИТЕЛЕЙ Цр g и оно становится интегрируемым после умножения на {Rdy — уdR). Чтобы получить указанный выше вид уравнения, полагаем 5 = а/?4, и [таким образом] уравнение d?y у d*R . U dx2 _ п R R2 ! ” с т ап овптся пн т егр и р у емым после умножен ня на a R2 (Rdy — у dR). Ил п, иначе, уравнение R (py -y(PR-^- f 0Q га о становится интегрируемым после умножения на Rdy — ydR. Для того чтобы больше замаскировать путь, приводящий к интегрированию, положим2) f у. так чт0 V ~ однородная функция нулевого измерения от у и R, а также положим у dzR ~ , и тогда получаем R*d2y + то есть г^3?/+ — 0? а это уравнение становится интегрируемым после умножения на сс dr2 R(Rdy-ydR). Поскольку же d2R = —g , то, как мы видели выше |? nioj. R = у а + 28х 4- ух2. Поэтому, раз Г является однородной функцией нулевого измерения от у п R — ]/а4“28х + ух3, уравнение d2y+------1га2----— = 0 (a+2^ + -fZ2)2 становится интегрируемым после умножения на (об га 28х га у^2) - (Р + ух) У dx. СЛЕДСТВИЕ 1 912. Если мы полагаем R = ]/' а + 2$х4- ух2, то наше уравнение после умножения на R2dy—RydR принимает вид R- dy d2y - - Ry dR d2y + —Г'Д <Д dy-yMt) = ’ ' 1 ' jfl4 ti его интегралом будет 4- R\dy2 - Ry dR dy ~^y dy (R d2R dR2) - dP Vd = Const • dx2. Здесь R d2R + dR- = d(R dR) = d (3 J- у.т) - у dx\ так что интегралом является R2 dy2 — 2Ry dR dy -L yy2 dx2 -J- dx2 Vd = Const - dx2. V У Эйлера / : ~ . -) Ut via ad integratioiiein. perveniendi magis occultetnr, ...
120 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА СЛЕДСТВИЕ 2 913. Вследствие того, что V является функцией только от -р- , выражение Vd -- есть интеграл. Положив для дальнейшего интегри- рования у-Ни и \ Vdu — U, получаем 7?4 du2 - R2u2 dR2 + y/?2u2 dx2 + 2U dx2 - G dx2 или же R* du2 = dx2 [G~2U-r (32 - ay) u2], и отсюда dx du a 4- “ /G^2t/4-(32 —a-) u2 ’ а затем у = и ]/a + 28x ~k yx2. ПОЯСНЕНИЕ 914. Итак, уравнение d2y -k ~~^r~ = 0, где R =- ]/"a + -f pc2, гораздо более общее, чем то уравнение, которое мы рассматривали в предыдущей задаче [§ 906], потому, что здесь можно принять в ка- честве V любую однородную функцию нулевого измерения от у и R, Т7 AR3y вительно, если положим и — + дг)2 > то получаем первона- чально рассмотренное уравнение. Однако тот метод, с помощью которого мы получили наше уравнение, показывает, что оно в частном случае приводится к указанному выше сложному виду, поскольку то соотно- шение, откуда это уравнение получено, R^y-ydm^^f = очевидно, допускает интегрирование после умножения на Rdy — у dR2). В самом деле, R d2y — у d2R = d(Rdy — у dR) и Rdy — ydR у 2?2 2? ' Отсюда после умножения получаем (Rdy — y dR) d (R dy - у dR) dx2f ( dL p o, V Q Quia V est functio ipsius -p , formulae R integrale habetur. — Смысл этой фразы, по нашему пониманию, в том, что Vd является действительно квадратурой. 2) Caeterum ex methodo, qua illam aequatiouem elicuimus, apparet, earn per restrictionem ad hanc formam occultam esse perductam, cum ea aequatio; unde est nata, perspicue integrationem admittat, si per R dy — y dR multiplicetur.
ГЛ, VI. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДРУГИХ УРАВНЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ МНОЖИТЕЛЕЙ 121 и оба слагаемых в этом уравнении интегрируются, каждое в отдель- ности. В уравнении же, которое получается отсюда, способ интегриро- вания усмотреть труднее, и он еще более замаскирован в последующих уравнениях ЗАДАЧА 114 915. Преинтегрировать следующее уравнением у* 2 d2y + у dy2 -г Ах dx2 = О с помощью интегрирующего множителя1), считая элемент dx постоянным. РЕШЕНИЕ Тщетно будем пытаться применить здесь множитель вида Ldy-V М dy. Поэтому мы попытаемся [воспользоваться] выражением 3L dy2 + 2Mdxdy + N dx2, и интеграл уравнения, которое получается после [умножения на такой множитель, запишем в виде2) Лу2 dy3 * + Му2 dx dy2 + fry2 dx2 dy + V dx3 — C dx3. Дифференцирование этого соотношения приводит к следующему урав- нению: dx3 dV = 3Ly dy* + 2My dx dy3 + fry dx2 dy2 -p 2AMx dx3 dy 4- Afrxdx* — 2Ly dy* — y2, dx dy3 + 3ALx dx2 dy2 — y2 dx3 dy - yi dyi ( _ 2My dx dyS ~ y*dxi dy2(x£L) — y2 dx dys — 2Аг/ dx2 dy2 -y^dx2dy2(^~y\ Для того чтобы можно было проинтегрировать это выражение, нужно, чтобы слагаемые, содержащие dy*, dy3 и dy2, исчезали. Отсюда, во-пер- вых, заключаем, что -О, / dL Д X. dy ) где получается при дифференцирований L, полагая х постоянным. Стало быть, если х рассматривается как постоянное количество, то будем иметь = — , следовательно, L = yf(x). х) У Эйлера нет здесь, как и вообще, термина «интегрирующий множитель». Он говорит и тут об интегрировании с «помощью» множителя, который делает его (уравнение) интегрируемым (ope multiplicatoris earn integrabilem reddentis). Но буквальный перевод был бы слишком тяжеловесен. 2) Перевод здесь имеет характер пояснения. У Эйлера сказано уже слишком кратко: ас ponatur product! untegrale. 3) Здесь, как и везде в аналогичных местах, скобки обозначают частные про- изводные.
122 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА Но мы пренебрежем этой функцией от х, т. е. вместо нее подста- вим единицу, так что L — y и ( ~ 0. Следовательно, во-вторых, должно быть {^-^-^ — 0. Поэтому мы примем М = 0, хотя М может обозначать также любую функцию от х, поскольку мы убедимся, что при таком предположении задача может быть решена. В-третьих, полу- чаем также ! = 0. Следовательно, полагая х постоянным, получим ЗАт dy = A; dy ydj\ , откуда Л7у = ЗАху, то есть ./У = ЗАг, причем мы опять пренебрегаем функцией от х, которая должна входить здесь вместо постоянного. Итак, поскольку мы таким образом нашли, что L = y, Л7 —0 и Аг=ЗАг, полу- чаем dV = — ЗАу2 dy АЗЛ2ж2 dx. Так как это соотношение сразу интегри- руется, а именно Г — -/1у3 Ат3, то множителем, который делает наше уравнение интегрируемым, будет [выражение] Зу dy2 -г % Ах dx2, а интегралом уравнения, которое получаем после умножения, будет1) у3 dy3 + ЗЛгсу2 dx2 dy ~ Ay3 dx3 A -A2#3 dx3 = С dx3. Ввиду [наличия] постоянного С это полный интеграл. СЛЕДСТВИЕ 1 916. Левая часть этого интеграла может быть с удобством разло- жена на три множителя2). Если обозначить множители, на которые разлагается выражение z3 — Л, через (z—a) (z — p)(z— у), так что а = , р = -ИТ - 3 у А и Y=- 1-Т XL Кл то найденный интеграл будет ( -а?/+А ( А --₽?/+₽2;с) (~У ~ '1У 7 'У=с' причем а + р + у = 0, ар + ау -|- Ру = 0 и ару = /1. п V Зц Положив - = z, получим такое выражение: z3 + 3Axyz ~ Ау3 4- Л2д:3, п, если обозначим его множитель через z — p— q, то z3 — 3pqz — р3 — q3 = 0, стало быть, р ~ у А и q ~ — х Л2. х) Et product! integrale habebitur ... 2) Hums integralis membrum primum commode in tres factores resolvi potest.
ГЛ. VI. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДРУГИХ УРАВНЕНИИ С ПОМОЩЬЮ МНОЖИТЕЛЕЙ 123 СЛЕДСТВИЕ 2 917. Итак, если мы положим постоянное С = 0, получаем три част- ных интеграла: у dy — ay dx -4 а2х dy = 0; вместо а подставляем 3 и у, имеем ydy — fly dx Jr р-т dx = О и у dy — 4У dx + у3х dx 0. z . ‘ dx — a du Отсюда после подстановки у —их следует — = —,-------j—Снова ипте- * X 11~— XII — j— Я" грируя. будем иметь 1х — 1 ——------------L- Arctg - + Const. I я2 — ?.и±и2 уз 2я —u ПОЯСНЕНИЕ 1 918. Полученное дифференциальное уравнение первого порядка трудно опять проинтегрировать. Можно освободиться от степеней диф- Y ? ? г dx du ференци а лов, полагая dy — pax и | у — их, от к у д а полу чаем . Действительно, будем иметь х3 (и3р3-'г ЗАи2р — Ли3 -г Л2) ==. С, и это выражение после перехода к .логарифмам и дифференцирования дает нам dx . tddp (up2du{upiA~2Ap— Аи) _____ л3/?3-p ЗЛ ii2/» — Au:t -^A2 1 du dx i- , что после подстановки - — ц" вместо — переходит в [уравнение | du (up2 4- А)2 4- и2 (р ~ и) dp (up2 4~ А) — 0. А деля на up2--А. получаем . 1 du -4 up2 du 4- ри2 dp — и3 dp = = 0, что, полагая p = ~, преобразуем к несколько более простому виду, а именно A du 4- qdq-hqudu — и2 dq = 0. Этому [уравнению], если положить А = лп3, в частности, удовлетворяет <7 = ти- т2, однако, по-видимому, едва ли можно обнаружить таким образом полный интеграл. Впрочем, это же уравнение относительно р и и можно непосредственно получить из исходного дифференциального уравнения второго порядка, потому что в последнем оба переменных х и у во всех слагаемых дают одно и то же число измерений. Действие
124 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА тельно, если положить dy = pdx и у = их, уравнение переходит в и?х dp 4- up2, dx 4- A dx = О или же dx —и1 dp _ du х A-{-up2 р — и ' а это и есть предыдущее уравнение. ПОЯСНЕНИЕ 2 919. Однако иногда предложенное уравнение может быть полностью проинтегрировано, а поэтому могут быть проинтегрированы и те урав- нения, которые из него получаются. Впрочем, это получается весьма странным способом — переходом от нашего уравнения к дифферен- циальному уравнению третьего порядка1). Действительно, так как имеем yd)~^—^Ax dx == О, v dx ' ’ то, полагая — = dv7 получим у yd^~ + Axdx=Q, или же d~- 4- Axdv — 0; dv ’ dv 1 ’ если здесь принять элемент dv постоянным и снова продифференциро- вать, найдем d —--4-^ dxdv = 0, то есть d3yd~Aydv3^ 0« Этот вид уравнения [§ 1117] таков, что если ему, в частности, удовлет- воряют у = Р, у = Q, у = R, то ему удовлетворяет также у = DP 4- EQ 4- -\-FR. Но ведь этому уравнению удовлетворяет y~e~av, если а3 = Л, и, так как согласно следствию 1 все три величины а, 0, у определяются одинаковым образом, получаем полный интеграл у De~av 4- Ее~№ 4- Fe~v°, a d2y откуда, так как Ах=~ —-^4-, будем иметь х--------------л , или же, меняя постоянные и учитывая, что А — а3 = 03 = у3, х = 4-^e-«v4-®e-0v4-бе-7”, у = — — ©уе-'^. Следовательно, полный интеграл уравнения A du 4- q dq 4- qu du — u?dq = 0 содержится в таких формулах: _ — &ae~av— — &рГГс х) Hoc autem prorsus singular! ratione praestatur, aequationem illam adeo ad differentialia tertii ordinis evehendo
ГЛ. VI. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДРУГИХ УРАВНЕНИИ С ПОМОЩЬЮ МНОЖИТЕЛЕЙ 125 И q " _р s&r!3v + так как q = ри — == —. Это есть замечательный пример интегри- 37 Ct 37 37 Ct v рования, которое едва ли выполнимо с помощью прямого метода. ЗАДАЧА 115 920. Предложено уравнение 2у3 d2y + уг dy2 + X dx2 = О, причем элемент dx считаем постоянным; найти множитель, который делает это уравнение интегрируемым, если X = а 4- р х + Y х2. РЕШЕНИЕ Здесь тщетно было бы пытаться применить множители вида Ldy -\ Mdx и Ldy2 + М dxdy + N dx2; поэтому мы примем множитель в виде 2L dy3 + М dx2 dy 4- X dx3, а интеграл представим в виде Ly3 dy^^ Му3 dx2 dy2 + 2N dx3 dy + S dx4 = 0, откуда с помощью дифференцирования получаем <7x4 dS = 2Ly2 dy5 4~ My2 dx2 dy3 4- Xy2 dx3 dy2 4- MX dx* dy 4- XX dxb - Uy2 dy5 + 2LX dx2 dy3 - y3dx3dy2(^)- 2y3dx* dy ( ) — y3 dy'1 — 3My2 dx2 dy3 — tiNy2 dx3 dy2 - y3 dx2 dy3 ( ~ 2y3dx3dy2 ( , где L рассматривается как функция только от у. Для того чтобы уничто- жились члены, содержащие dy5, должно быть _L-^ = 0 и £ = -, dy у Затем, для того чтобы уничтожились члены, в которые входит dy3, должно быть полагая же х постоянным, получаем dM I У у* ’ что после умножения на у2 и интегрирования дает Му2 = Р-— и = » у у2 уЗ
126 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА где через Р обозначена какая угодно функция от х. Для того же. чтобы устранить слагаемые, содержащие dy2, надо положить и J dx dx J v dy и, принимая x постоянным, [получаем] 2 г/3 dN -у ЪХу2 dy = dy — у dу.' Это уравнение после деления на У у и интегрирования дает 9 »7 2- 4 dX i/'~~ 2 dP ,/— 2Л^2 XdP з?/ что выражается в причем мы пренебрегаем функцией от х, которую надо было добавить. и поэтому радикал Уу сократится1). Итак, будем иметь 2 dX dP X = -z—-------—— , и вследствие этого у2 dx 2у dx rlS^d.l('PX 2X2 4уб/2Х < 2y2d2P\,2Xd У2 У3 dx2 1 3dx2 J 1 у2 откуда с помощью интегрирования [получаем] v __ X2 _ РХ __ 2г/2 d2X 2г/3 d2P С / Р dX 2Х dP ° dx2 1 у dx2 J у у Зу ' конечном виде, если Р = 0, так как d5X = 0, поскольку Таким образом, получаем т 1 71 т v 2 ^Х у г/3 2г/2 d'*X _ 2у2 d4 dx2 9 dx2 У* У 1 У ’ а также __X2 2у2 d2 у2 dx2 г2 -j- Const. Отсюда следует, у2 dy* — 2Х dx2 dy2 4- 4г/ dX dx2 dy 4 Таким образом, предложенное уравнение 2г/3 d2y + у2 dy2 + dx2 (у 4" Вж -у = О что интегральным уравнением является ^4- - 2?/2 dx2 d2X = С dx\ У“ y3 становится интегрируемым после умножения на 2 dy2 2(а-\~$х X'(х2) dx2 dy 1 2 dx2 (3 4- 2*(х) У* причем интегралом является у2 dy* — 2 dx2 dy2 (а Д- p.r 4- ух2) ф- 4г/ dx3 dy (3 4 2у х) - 4у?/2 = с dx\ то есть (г/2 dy2 — (a + 4- ^x2) dx2)2 4- Xy3dx3 dy (p 4- 2?#) — 4уг/4 dx* = Cy2 dx*. ]) Quoniam irrationalitas Jу in calculum non ingrcditur.
ГЛ. VI. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДРУГИХ УРАВНЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ МНОЖИТЕЛЕЙ 127 ПОЯСНЕНИЕ 1 921. Этот интеграл настолько сложно обнаружить, что, как нам представляется, его едва ли можно было бы найти другим методом. Вместе с тем он так построен, что не видно никакого метода для дальней- шего интегрирования и поэтому можно оценить первое интегрирование как такое, от которого мало пользы. Однако таким же образом, каким мы, исходя из других оснований, вывели полный интеграл в предыдущей задаче, можно и здесь найти такой интеграл, и это тем более заслужи- вает быть отмеченным, что предложенное уравнение, если его рассматри- вать само по себе, решается весьма трудно. Действительно, положим, как и выше, dx — ydv, и так как d2y = dxd-~ = у dvd -Д , 7 dx У dv то, считая уже элемент dv постоянным, будем иметь Таким образом, наше уравнение приводится к следующему виду: 2y3 d2y — у2 dy2 + у2 dv2 (а + Рж уж2) = О, или 2у d2y — dy2 + dv2 (а -|- Рж + уж2) == О, и после нового дифференцирования это дает нам 2у d3y + у dvs (Р + 2уж) -—О, или 2d3y + dv3 (р + 2уж) = 0. Снова дифференцируя, получаем 2d*y + 2уу dv^ = 0, то есть d*y-\- \у dv* = 0, и, если это уравнение каким-либо образом будет решено, то можно будет выразить значение у через V, получим также х = у dv, или без интегрирования ж — —• Но очевидно, что последнему дифферен- циальному уравнению четвертого порядка удовлетворяет у = если только Х4-ру —0. Поэтому мы положим у = — тг4, и мы получим четыре значения для X: X = + п и X = + ]/ — 1. Таким образом [§§ 1125, 1128], полным интегралом этого дифференциального уравнения будет у = Aenv + Be~nv + С sin (nv + Q, а отсюда ж= +— — — e nv—— cos (nv + C) + Д 1 n n n \ । =/ । 2n$ и, следовательно, эти значения удовлетворяют также предложенному уравнению относительно ж и у, если только между постоянными А, В, С и £ будет установлена такая зависимость, чтобы они соответствовали количеству а. Итак, после подстановки соответствующих значений мы должны получить , 2у d2y — dy2 _ г dv2
128 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА где достаточно рассмотреть только постоянные слагаемые, к которым надлежит отнести и те, что содержат квадраты синуса и косинуса угла nv + потому что комбинация таких [членов] дает постоянное количество. Так как имеем 2г/ = 2Лепг + 2Ве"пГ + 2С sin (/го 4- £), = + п2Вё~™' — п2С sin (пи + £), d~ = пАе™ + пВе™ + пС cos(nv + Q, х ~ — enu — — е“пу — cos (nv + С) + Д , п п п v 1 } 2п? то получаем упомянутые члены соответственно в виде р^ д, г 2п4 ’ — п^х2*--+2п2АВ — п2С2 cos (nv + Q2 — Д , 2г/ Ап2 АВ — 2п2С2 sin (пп+ ^)2, — ^*-^2п2АВ --- п2С2 cos (nv + £)2. dv2 Следовательно, a -i- 8пМВ - 2п2С- + Д = О, и потому С-/У£^- то есть а=2^(^4Л£) -Д и а 4- Рд; + ух2 = 2п2 (С2 — 4АВ) — Д — п2х . Итак, остаются три неопределенные постоянные Л, В и £, так что нет никаких сомнений в том, что полученные для х и у формулы представляют полный интеграл. ПОЯСНЕНИЕ 2 922. Те дифференциальные уравнения второго порядка, которые мы рассматривали в последних двух задачах, можно привести к сход- ному виду. Действительно, если положим у dy = ~dz, то есть г/2 = г, то первое из них, У (У d2y + dy2) + X dx2 = 0, где X Ах или X = а + приводится к следующему виду: 4- (Pz ]/*£ + X dx2 — 0,
ГЛ. VI. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДРУГИХ УРАВНЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ МНОЖИТЕЛЕЙ 429 3 dz2 и множителем, который делает его интегрируемым, будет — ~-_/-ЗХ dx2. Вто- V 2 рое же уравнение у2 (2у d2y + dy2) + X dx2 — О, где X = а + р^ + уа:2, приводится к виду , * ~z3 d2z + Xdx2 = 0, 2 если положить — z3. Это дает 2 — - 2 — - 2 —~ dy = -о- 2 3 dz и d2y ~^z 3 d2z —z 3 dz2 <5 3 9 и, следовательно, 2y cpy dy2 = ~ z3d2z. Это уравнение становится интег- рируемым с помощью множителя 16c?z3 4Х dx2 dz , 2rfXrfx3 5 7 "Г 4 27z3 3z3 z3 2X dx2 Отсюда мы заключаем, что для уравнения <722-|------------—- = 0 множителем • _ У2 будет dz2 -\-^Xdx?yz, а для уравнения ,2 . ЗХ dx2 п d2z Н----— = О 4z z2 множителем будет 9X dx2 dz 27 , 2 ?Г~ dz?------+ -5-dXdx2 у z, 4 #7.2 8 r или же для общего обозрения для уравнения (Fz + ^^ = 0, У z d2z+^L = 0, z3 Vz2 множителем будет dz2-\-2X dx2 Уz, ? о 3Jf dx2 dz , 9 7V j 9 3г dz3------^=.---\-~^-dXdx2 у z. f z2 2 весьма заслуживают того/ чтобы быть Впрочем, эти интегрирования отмеченными, поскольку их можно произвести с помощью дифферен- циальных уравнений высшего порядка. Так как из уравнения d3y + A dv d2y + В dv2 dy + Су dv3 = 0, где dv считается постоянным [§ 1117], получаем у = %eav + где а, р, у будут корнями уравнения гЗ + Лг2+ВгЧ_С-0,
130 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА 7 ал и, полагая dv = > а следовательно, cPy^dvd^-^d^ а du у dx И d*y=dV*d^=dV^(±d^=d4d(yrdy^Y dv2 \dv du J у2 \dx dx J ’ находим, считая уже постоянным drr, что ^y = diy-dr^~ и ^ = ^(у(Л + ^)) = <^+ + 1} Отсюда, умножая на г/2, [получаем] y2d3y + 4г/ dy d2y 4- dy3-\- A dx (г/d2 у + dy2) 4- В dx2 dy + С dx3 = 0, что после интегрирования дает у2 (Ру + у dy2 4- Ay dx dy 4- By dx2 4- (Cx 4- D) dx2 = 0 и, следовательно, это уравнение может быть проинтегрировано, как выше. ЗАДАЧА 116 923. Определить условия для функций Р, Q, В и L, М, А, чтобы дифференциальное уравнение второго порядка d2y 4- Р dy2 + QdxdyA-B dx2 = 0 становилось интегрируемым с помощью множителя 3Ldy2 4- 2Mdx dy -^N dx2. РЕШЕНИЕ После умножения интегрирование слагаемых, в которые входит Ру, дает [выражение] L dy3 4- М dx dy2 4- N dx2 dy, поэтому интеграл берем в виде L dy3 4- М dx dy2 4- A dx2 dy 4~ F dx3 — C dx3, и дифференциал этого Выражения должен быть равен произведению предложенного выражения на множитель, откуда получаем dx3 dV = 3LP dy* 4- 3LQ dx dy3 + 3LR dx2 dy2 4- 2MP + 2MQ 4- 2MR dx3 dy -(£) -(S? +NP +Wi? +™d*‘ \ dy ) k dx ) \dx ) ____________ *) Из текста ясен смысл этих необычных для нашего глаза записей: слева дифференциалы вычисляются при независимом переменном и, справа — при неза- висимом переменном х.
ГЛ. VI. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДРУГИХ УРАВНЕНИИ С ПОМОЩЬЮ МНОЖИТЕЛЕЙ Следовательно, здесь должно быть 3LP-^-°- ЗЛ,?+2Л/Р-С^>Ч^>0, 3LB + 2M9 + JVP-(^)-^) = 0. Вместе с тем будем иметь dV = Q2MR + NQ - ")dy + NR dx, и это выражение должно интегрироваться, а из вышеприведенных уравнений находим р 1 fdL\ 1 / 1 ( dM^\ 2М / 3L\dy)' " “ 3Z< dx J + 3l\ dy J QL2\dyJ И R_lLdM~\. i (dN\ N fdL"\ 2M ( dL~\ 2M / dM \ (dL\ K ~~3L < dx J H 3L \ dy J 9 A 2 \dy J 9£2< dx J У12 < dy ) 21b\dyJ СЛЕДСТВИЕ 1 924. Если £, М и N будут функциями только от х, то получим n n dL u dM 2М dL р=°> и 0ТКУда следует» что MM2dL NdL dN\, ! NdM 2MNdL 9£2 dx + 3L dx dx }аУ+ 3Z 9Z2 ’ при dy должен быть постоянным. Поэтому после dV причем коэффициент деления на L3 найдем С dx = 2М dM 4М2 dL . N dL _ dN_ ,fL ' 3L fL 9£2 fT^ 3L fl fb и, интегрируя, получаем r dx MM N С 3L f L f l' t. e. ]V — CL3 { dx 3Z LL } Следовательно, СЛЕДСТВИЕ 2 925. Пусть M = S L\ тогда dM = dS Г 3fL и V -CJ+4- 5 -^y
132 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА а вместе с тем N = ~S3 VL-CL* ~ = (~S2 — C £ 3 J f L < 3 ' fT J и также Р = 0, Q — и 7? — —• Поэтому уравнение оЛах 3<7я у £ 70 I dL dy , dS dx n </? + ti^J7z=o становится интегрируемым с помощью множителя ZLdy2 +2S dxdy ^I?-\-dx2 (Ls2-C J ^L, а интегралом его будет L'dya + Sdxdy* pI2 + dx2dy(Ls2--C^^') [/L + Cydx3 + ±S3dx3-±Cdx3\ dS ( -^ = 0. 27 3 J J f L СЛЕДСТВИЕ 3 926. Последнее выражение, какое бы значение ни придать постоят ному С, должно давать интеграл [дифференциального уравнения Поэтому при С 0 для уравнения /72,. I I _Л У' 3L множителем будет 3Ldy2 + 2Sdxdy \^D^^S2dx2 ^L, а интегралом будет L dy3 -J-S dx dy2 jZZ* + ±S2dx2dy]/L + ±S3dx3 = D dx3, ИЛИ Qdy pL + у 5 dx —D dx2. ПОЯСНЕНИЕ 1 927. Исходя из этих же условий, можно определить функци L, М3 N, когда даны функции Р, Q и R, если только соблюдается после/ нее условие интегрируемости1). Например, если Р = ~-3 Q — (. a R — функция только от х, пусть R — X, так что получаем уравнени J) Quatenus quidem postrema conditio integrabilitatis patitur. Речь иде: видимо, об условии интегрируемости в том виде, в каком оно приведено в kohi §.923: dV=...
ГЛ. VI. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДРУГИХ УРАВНЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ МНОЖИТЕЛЕЙ J33 в виде d*y + ^ + Xdx* = O, и, если множитель уравнения полагаем [равным] 3L dy2 + 2Mdx dy + N dx2, так что интегралом будет L dy3 М dx dy2 -|- N dx2 dy -\-V dx3 = C dx3, 3nL f dL > n тогда во-первых, —--\ dy ) = и’ если считать x постоянным, dL 3ndy > 0ТКуда L~Sy3n, где обозначаем через 6* функцию от х. у Затем имеем *ndS(dM\ п у & dx \ dy ) ’ и, если считать х постоянным, dM_2n^ + g2/3nd2/ = O) что после умножения на у~2П и интегрирования дает у-2П д/ + (и dx уп^ = Т (функции от х). Следовательно, м=ту™--, В-третьих, мы должны иметь 3S Ху2П Ч- — - — у2П Ч-—___W3n+1 - = о * у dx" dy ’ откуда, полагая х постоянным, получаем + g y^dy _ y^dy-3SXy^dy = 0, что после умножения на у~п и интегрирования дает N+и‘"~ 2^ - W =и (ф>™™ »’ э N _ Uy11____^-т-_у21**1 ч__-I и9"*» У {n + l)dxy +2 (n + i^dx^y ф 2п-\-1У Ит этих отношений следует: v3n+i dU п .________________________________________d2T 2„+1 ’, (лЧ-!)^1 У dxy ~ (лЧ-1)«/г2^ _ d*s ..зп+г _ 3d(SX) 2 (л + I)2 dx3y (2n + l)dx У ________и2п*1 di$ уЗл+2 I 3£Х зп+1 Л (лЧ-1)«/хУ ' 2 (лЧ-1)2 </ж2 “ + 2лЧ-1 У ) dV = dy ’ 2ТХу2П + Xdx(^Uyn
134 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА и для того, чтобы это выражение можно было проинтегрировать, должно быть 2у2п d (ТХ) - 2y3ntl -ynd^ + y2n+1 v \ J v (n-|-l) dx J dx J (лг-|—1) dx2 ,.зп+2 d*4 s * * В * Зи3"*1 d*(sX) nUW~rdr I %dT У 2(« + l)2^ iy (2» + l)dr n{JXy ЛХ^ («4-1) У _ (3n+2) Xd2S 3n+1 _ 3(Зп+1).УХ^х „ _ „ 2(»+1)!й У (2«+l) У Но здесь отдельные степени у, поскольку они не равны, должны в от- дельности уничтожаться. Поэтому степень уп-1 дает U = 0, вследствие чего степень у11 также обращается в нуль. Степень у2П дает (2n + 2)2ndX + (27z + 2)Xd2n + (2n+ 1) XdT = О, то есть ^2п+2 у4п+з _ тогда как степень г/2п+1 дает d3T = 0, то есть Т = а + fix4- уз;2. Для обращения в нуль степени узп требуется, чтобы 5 = 0, если только не [имеет места равенство] п~ —, и в этом слу- мым с помощью множителя чае исчезают также сразу степени узп+1 и г/зп+2. Итак, раз U = 0, 5 = 0 -4п-3 и Т = а 4- fix 4- у#2, откуда следует, что X = В (а 4- fix 4 Y^2) 2пТ2, то урав- ndl/2 -4п-3 нение 2у + (а + + Y^2) 24+2 d#2=0 становится интегрируе- 2 (а + 4- 1Х2) у2п dy - ^±4^ У2П+1‘ ПОЯСНЕНИЕ 2 928. Хотя еще далеко от того, чтобы можно было рассматривать этот метод как достаточно развитый, однако примеры, рассмотренные в этой главе, в полной мере показывают, какие результаты можно от него ожидать1), и поэтому, как представляется, следует особенно рекомендовать геометрам развивать этот метод. А так как те методы, которыми надлежит пользоваться при решении дифференциальных уравнений второго порядка, изложены нами достаточно полно, мы переходим к следующей главе, в которой покажем, как интегрировать такие уравнения с помощью бесконечных рядов, если только это может быть сделано удобным образом2). 4 abunde declarant, quanta incrementa Inde expectare queanius. 2) Приводим последнюю фразу в оригинале: Quoniam igitur inethodi, quibus in resolutionc aequatlonum differentio-differentialium uti convent t, satis luculentcr sunt expositae. ad sequens caput progrediamur, ubi Integrationem huiusmodi aequatio- num, quatenus quidem id commode fieri potest, per series infinitas ostendemus. В этом месте, как и в некоторых других, Эйлер как бы подчеркивает разни- цу между собственно решением дифференциального уравнения и интегрированием этого уравнения с помощью бесконечного ряда, лоти именно Эйлер бол.ъше всех своих современников сделал, для того чтобы стерлась грань между решением в ко- нечном виде и в виде бесконечного ряда* о
ГЛАВА VII О РЕШЕНИИ УРАВНЕНИЯ dy* + awny da? = О С ПОМОЩЬЮ БЕСКОНЕЧНЫХ РЯДОВ ЗАДАЧА 117 929. Проинтегрировать с помощью бесконечного ряда дифференци- альное уравнение второго порядка <Ру + ахп ydx2 — О, принимая элемент dx постоянным. РЕШЕНИЕ Мы ищем здесь ряд, расположенный по степеням х, который выра- жает значение у, и так как в одном из членов нашего уравнения количество х вместе со своим дифференциалом dx имеет нулевое изме- рение, а в другом оно имеет измерение п + 2, то очевидно, что пока- затели степеней х должны возрастать или убывать с разностью п + 2. I. Пусть, во-первых, показатели возрастают. Составим ряд у = Ах1 + Вх^+п+'2‘ + С+л+2п+4 и т. д. Тогда ^2 = х (X — 1) + (к + п + 2) (X + п + 1) Вхк+пА~ и т. д., ахпу = аАяЛ+п + и т. д., откуда ясно, что первый член должен отдельно обращаться в нуль, так что k(k — l) = O. Поэтому надо принять либо X = 0, либо Х = 1, и таким образом получаем двойной ряд у = А +Bxn^ + Cxiv^-]-Dx3n+G + Ex^+s+ и т. д. + ^ + ®:гг<+3-г^^ и т. д. После подстановки его в уравнение мы должны получить 0 = (п+2) (п+1)^п+(2п + 4)(2п + 3)Са;2Т1+2+(Зп + 6)(37г+5)1)а;зп+4+ит. д. + а А + аВ + а С O = (n + 3)(n+2)^Ti;1 + (2n+5)(2n+4) fe2n+3+(3n+7)(3n+6)$D^6+ и т. д. + а^ + г) Duplex series —в смысле суммы двух рядов.
136 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА Отсюда, поскольку буквы А и 21 остаются в нашем произволе, мы выразим через них остальные следующим образом: •э —* хч —аВ . -г\ аС («+1)("+2) ’ G = 2(2«+3)(n+2)’ W=3(3n + 5)(n + 2) И Т’ Д” m — а%( /у — аЗЗ _ — а® "°-(п + 3) (п + 2) ’ U —2(2n4-5)(n + 2) ’ — 3(Зп+7) (п-р) И Т’ Д’ Таким образом мы получаем следующее выражение для полного инте- грала: __ j aAxn+z а2Лх2пН У —А~ 1 (п + 1).(п+2) + 1-2 (n+1) (2п-|-3)-(п + 2)2 я»ЛхЗп+в 1-2-3 (п-Н) (2п +3) (Зп + 5).(п + 2)®+ И Т- Д- Q, айхп+3 a23li3n+5 г ^Х 1 (п+3) (п + 2) *’1.2(п+3) (2п + 5)-(п + 2)2 _ азяцзп+т , 1-2-3(п+3)(2п+5)(Зп + 7)-(п + 2)3 1 ц т- д- II. Пусть показатели убывают. Составим ряд у = Ахк + Вхк~п~2 + СяЛ-2п~44- и т- Д- Получаем ^ = Х(Х — 1) ЛяЛ-2 + (Х — п — 2) (X — п — 3)Б^~п“4+ ит. д., ахпу = аАхк^п-\- аВхк~2 + и т. д. Но так как здесь член х1+п не имеет себе подобного, он не может уничтожаться, и поэтому мы не получаем тут никакого решения для уравнения. СЛЕДСТВИЕ 1 930. Найденный для у двойной ряд1) представляет полный инте- грал дифференциального уравнения второго порядка d2y -f- ахпу dx2 ~ 0, так как буквы А и 21 остаются в нашем произволе. Если же мы при- дадим буквам А и й определенные значения, подучим частные инте- гралы. СЛЕДСТВИЕ 2 931. Если положить = то есть п = тп —2, то полный интег- рал уравнения d2y + ах™'2 у dx2 = 0 более удобным образом выразится в следующем виде: аАхт azAx2m ааАх2т У=А~1 (т -1) -т+1 -2 (т-1) (2тс-1) •№ “1-2-3 (т-1) (2т-1) (Зт-1)-т3 + и Т1 д' , a3Ixm+1 , а231х2т+1 + АХ 1 (т+1)-т +1-2(т + 1)(2т+1)-т2 1-2-3(т + 1)(2т + 1) (Зт + 1)-тз+ “ Т' Д‘ ) В оригинале здесь: geminata series (т. е. спаренный, сдвоенный ряд).
ГЛ. VII. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ dy2+axt»i/ dx2=O 137 СЛЕДСТВИЕ 3 932. Если показатель т положителен и больше единицы, эти ряды тем лучше сходятся, чем меньшее значение придается количеству х; в других же случаях практически эти ряды не могут быть использова- ны1), если только их нельзя преобразовать в другие сходящиеся ряды. ПОЯСНЕНИЕ 1 933. Однако бывают случаи, когда эти ряды совершенно не могут быть использованы, что происходит, если какой-либо из составляющих знаменатели множителей исчезает, так что все последующие члены возрастают до бесконечности2), и в таких случаях следует преобразовать ряд к другому виду. Это, прежде всего, встречается в случае т. е. — 2, когда все члены обоих рядов, кроме первых, становятся бесконечно большими. Правда, в этом случае уравнение, которое теперь имеет вид d2y += 0, может быть проинтегрировано особым спосо- бом, так как оно однородно; действительно, можно найти такую сте- пень х, при подстановке которой вместо у уравнение удовлетворяется. А именно, положим y = и получим X (X — 1) -J- ахх~2 — 0, т. е. X2 —Х + а = 0, откуда следует, что Х = у ± J/ — — а, и так как имеем два значения для X, то полным интегралом будет у = Ах 2 г 4 _|_ Jfa 2 Г 4 Это соотношение для случая, когда принимает вид у = Ах 2 sin а —i-^)2 lx + ос J. Отсюда ясно, что в случае а = ~ имеем у = (А + В1х) х. ПОЯСНЕНИЕ 2 934. В остальных случаях, которые приводят к затруднениямг 1 1 либо = у, либо тп= —т-, где i обозначает любое целое число. В том 1 случае, когда = —, только первый ряд является неподходящим,. а в случае, когда не подходит только второй. Поэтому, пола- гая в одном случае А = 0, а во втором ЭД = 0, будем иметь только один подходящий ряд, который представляет частный интеграл. Однако, 2) Allis vero casibus in praxi hae series adhiberi nequeunt. 2) Sicque omnes termini sequentes in infinitum excrescant.
138 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА если известен частный интеграл, который пусть будет у = Р, можно получить полный интеграл уравнения d* 2y 4- ахт~2 у dx2 = О, полагая у = Pz, так как тогда Pd2z %dP dz 4- zd2P 4- ax™~2 Pz dx2 — 0, и, [вместе с тем], по предположению, d2P + ax™-~2Pdx2^. Отсюда следует Pd2z^2dPdz = ^ то есть Pidz = Cdx и z = c\^2. J Но так как P — это бесконечный ряд, то отсюда нельзя определить значе- ние z1). Однако в указанных здесь случаях одна часть интеграла должна содержать логарифм х, и это объясняется тем, что -у эквивалентно 1х2). Поэтому в уравнении d2y 4- ахт 2 у dx2 = О мы полагаем y~p-\-qlx и, так как dy = dp + 4- dq lx, будем иметь d2p _|_ d2q lx-]-а рхт'2 dx2 4- aqxm~2 dx2lx = 0. Здесь необходимо, чтобы слагаемые, содержащие 1х9 отдельно уничтожились, так что получаются следующие два уравнения: d2q-]-aqxm~2 dx2 = 0 dtp + + архт~2 dx" = 0, где в качестве q следует принять тот из двух указанных выше рядов, который остается в силе в рассматриваемом случае, а когда этот ряд составлен, то из последнего уравнения количество р легко выражается в виде ряда. Подобного рода случаи будут рассмотрены в последующих приме- рах. [Здесь] мы только отметим, что это преобразование осуществляется 4 Cum autem Р sit series infinita, liinc valorem ipsius z cognoscere hand licet. Надо полагать, что Эйлер говорит здесь о практической стороне вопроса. 2) At casibus illis memoratis pars integralis logaritbmum ipsius x involvit, quod vol indo intelligitur, quod acquivaleat ipsi lx.
ГЛ. VII. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ (1уг+ахПу dx2 = O 139 таким же образом, если вместо 1х подставляем /я-фа, так что, после того как найдены р и будем иметь У = о? + P-\~qlx, т. е. у = р + qlfix1). ПРИМЕР 1 935. Решить с помощью рядов уравнение (т принимаем равным единице). Полагаем у ~ р A qlx. Нужно принять а91 х2 а291 х3 аЖх4, q — ^x — + и т- Д вместо чего будем писать для краткости q = + S5t:3+ 6а:3 + ®аА + и т, д, Что касается /?, определяем его из уравнения <Рр , 2dg______Л dx2 ~~ х dx х2 1 х А именно, положим р — А + Вх + Сх2 + Dx3 + Ex* -{- и т. д. и получим после подстановки 2С +6Dx + 12Л+Ц-20Т+Ч30&а + и т. д. ) 4-2<>lA + 433 +6Е +8® 4-106 +12$ ( = 0 -% -S3 — 6 -® -® -5 | A а А + аВ + аС -р aD + аЕ + aF J Так как коэффициенты A, gg, 6, ф, 6 и т. д. уже даны, находим А = —— ; количество В не определяется, тогда как c = -3% aB _ - г 3« 91 aB 2 " ~ 02 D --- — 5(X aC — 5a2 91 aC ““б 2A ~ P.2J.32 2‘3 — 7® aD _ A 7a3 91 aD 12 3-4 " i2.22-33-42 3-4 ’ F — -96 aE -9д491 aE 20 4-5 “ I2-22-32-43-52 4-5 и T. Д., х) Впервые Эйлер применил (к дифференциальном}' уравнению, которое рас- сматривается ниже, в § 978) подобные соображения в работе «Animadversiones in rectificationem ellipsis», Opuscula varii argument! 2, 1750, стр. 121 (№ 154 по списку Энестрема; также в Opera Omnia, ser. I, vol. 20) [Л. Ш.].
140 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА где вместо В можно писать 0, если только в интеграле y — p^qlx мы добавим слагаемое aq, которое порождается буквой Вх) и, таким образом, р = А + Сх2 + Dx3 + Ex** + Fx3 4- и т. д. Здесь имеем „ ЗаЯ п - 14а2И г 4-70а3Я Р — 404а 13-22’ 13-23-32 ’ 13-23-33-42 > * 13.2З.33.43.5а причем следует заметить, что 14 = 3-3 + 5-1, 70 = 4-14 + 7-1-2, 404 = 5-70 + 9-1-2-3, а в следующем члене 2688 = 6-404+11-1-2-3-4 и окончательно г/ = /?+а^ + ^. ПРИМЕР 2 936. Решить с помощью рядов уравнение (т принимаем равным —1). Полагаем у = р + aq + qlx. Тогда нужно принять А аА а2А а3А , Ч = А~Г2х + 1-2г-Зх*~ 1-22-Зг-4х3 t' И Т‘ Д-’ вместо чего будем писать для краткости л , В . С D . Е , и т> д” тогда как количество р надо определить из уравнения ,2 , 2dq dx qdx2 apdx2 q Итак, пусть ar 1^1 р = 3(ж + ЯЗ + —+ ^2 + ^5 + ^+ и т. д., откуда после подстановки получаем rr + jr +^г +^г +^г+ и т- Д' -А-В -С -D -Е -F ^ = Oj -2В-4С-6# -8£ -10F [ + 2® + 6® + 12S + 205 + 30S ) и коэффициенты 91, S3, @ и т. д. определяются таким образом, т) Quae ex littera В oritur.
ГЛ. VII. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ dy2 + ax^y ttt2 = O 141 что имеем 91=—; второй коэффициент S3 не определяется, тогда как /у _ЗВ (А8 _ —ЗаА аЯЗ L ~ ПГ Ь2 “ 13-22 ~ Г2 ’ __ 50 aS __ 5а2А aS 2-3 2-3~23*32 2-3 ’ ___7Ф аФ —1а3А а® С “ ЗД ~ ЗЛ = 22-“З3-^2 — 3^4 ’ (-у_9S aS _____ 9алА aS & “ 4?5 ~ 4^5 ~ Й^.^-б2 “ 4^5 ’ И т. д. Если принять, что можно сделать без ущерба для общности 53 = 0, так что получаем ^ = ?Ь: + т+5 + ^ + 1*+ и т- д” то будем иметь ~ —ЗаА Ц-14а2Л ~ —70а2А __ Ц-404а2Л С~" р.22 ’ " 13.2’э.З2 ’ ~ ГМз.з^Тр » 1З.2З.33.43Г52 и т- и эти значения сходны с предыдущими. ПРИМЕР 3 937. Решить с помощью рядов уравнение dty + ^ = O. х у х ^jn принимаем равным J . Положим у — р -\-aq-\-qlx. Тогда надо принять 4a9l I , 16a29I 2 64a39I | , 256a42I 3 7 — 31^ b3 x +1>2>3>4 x 1.2.3-3-4-5 X +1.2-3-4-3-4.5. вместо чего будем писать для краткости 3 5 7 q = 91я: + 5Вя2 + (&г2 + Ъх2 4 @я8-г ^х2 + @kr4 + и т. д., тогда как количество р надо определить из уравнения 2dxdq q dx2 ар dx2 Итак, пусть £ 3 5 р = Д 4- Ах2 -уБх-}- Сх2 + Dx2 ~\-Ех2 + Fxz + и т. д. После подстановки получаем - + аС +aD + аЕх 4- aFx у++ и т. д. х у х х у я -31 -83 -Е -® 4-281 + 333 + 4® +5® +6® +7% j -Т + 0 +^C + 2D+^E +6F +^G j
142 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА Отсюда следует, что л — 31 А -Я А =-----, А ~ > а 4а2 но В не определяется, а затем _ — 4аВ 858 _ — ЬаВ 8-4aSl - 1-3 1-3 ~ 1-3 + 12-32 ’ — 4аС 126 —4аС 12-16-а221 — 2-4 2-4 " 2-4 1-3-22-42 ’ ___—4а£> 16®_____—4aD 16-64-а3ЭД = 3-5 ЗТ— 3-5 + 1-3-2-4-32-52 ’ 4аЕ 20® _ — 4а£' 20-256-а«!1 “ 4-6 4-6 — 4-6 1-3-2-4-3-5-42-62 и т. д. Если же принять 7? = 0, так что — + ]/х + * + Сж]/х + Dx2 + £,жа'|Лж + Fx3 + и т. д., найдем „_8-4л21 -100-16a22l „ 1884-64a38I ° — 12.32 ’ — 12.32.22.42 > 12.32.22.42.32.52 ’ Р_ — 52 416-256a49l ~ 12.32.22.42.32.52.42.62 и т' где следует заметить, что 100 = 2- 4-8 + 1-3-12, 1884 = 3-5-100 + 1 • 3-2-4- 16, 52 416 = 4-6-1884+1-3-2-4-3-5-20. ПРИМЕР 4 938. Решить с помощью рядов уравнение d2y+^=() х2 ух Qm полагаем равным —• Положим у = р + ър + qlx. Тогда надо принять л ЬаА ~~ , 16аЫ _1 64аМ У~А 1.3 х +1-3-2-4 х 1-3-2-4-3-5 Х и т. д., вместо чего будем писать для краткости _1_ 3 _5_ q = A^-Bx 2 + C^r“1 a-Dx 2 + + 2"+ и т. д., а букву р надо определить из уравнения (р \2dxdq qdx2 .ар dx2 g х х2 р у' х Пусть _1 _3 р == Ах -И 25 + Ея 2 + ®;r“1 + ®^ 24-^~24-®х 2q- и т. д.
ГЛ. VH. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ dy2+axny dx3 = O 143 После подстановки получаем аД аОД , а 53 .а® а® , а(£ _1_ as 1 1 х 1 4 я2 х2 j/x х3 X3 С® xi — А -В -С -D ~Е В — 2C — 3D -4Е И +| Е +2® + ^(£ +68- . .Z-3 1 и Т- Д- X4 у X4 -F -5F +¥® > = 0, откуда мы можем определить 91 = — и д = a а но S3 не определяется; затем получаем ~ __ — 4а£ 8В _ — 4а£ С 1-3 1 1-3 1-3 — 4аЕ , 12С —4а® ®- 2-4 +2.4- 2-4 ' ~ — 4а® . 16® — 4а® L 3-5 “* 3-5 3-6 _ — 4а(Е ] 20F_ —4а(£ 4-6 ' 4-6 4-6 и т. д. —А 4а 4а2 ’ 8*4аЛ 12.32 > 12-16а2А 1 1-3-22'42 ’ _ 16-64а3Л 1-3-2-4-32-52 ’ 20-256аМ ‘ 1-3'2-4-3-5-42-62 ’ Если же мы примем 55 = 0, то получим „ _ -8-4аА ^_+100-16а2Л ~ _ — 1884-64^ 12.32 1 12-32-22-42 ’ 12'32-22-42-32-52 И Т* Д’’ и эти числа следуют одно за другим, как и выше. ПОЯСНЕНИЕ 939. Из этих примеров видно, каким образом следует находить и в , 1 остальных случаях, когда т — ± у-, те ряды, которые являются реше- нием уравнения d2y 4- ахт'~у dx2 = 0; ,1 заметим при этом, что если т = 4- у, для q надо орать следующий ряд: 1 1 1 2 1 3 q -= Ах~\-УВх +i+®^ +iJr и т. д., тогда как р выражается в виде такого ряда: 12 3 р = А 4- Вх1 -J- Сх1 -J- Ле * + и т. д. Коэффициенты этого ряда определяются по коэффициентам предыду- 1 щего ряда так же, как и выше. Если же т= —т- , для q надо брать ряд __1 _2 __3 q = J -4- Вх 14~ Сх 14' Ля ' 4- 11 т. Д • 1
144 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА а для р ряд следует принять в следующем виде: 12 3 /> = Шгг Ц-Еа? 7 + 1 4- и т. д. При этом отдельные коэффициенты можно определить, как и раньше, за исключением одного. И вообще следует придерживаться этого при- ема всякий раз, как мы получаем при решении общего уравнения ряды, коэффициенты которых в некоторых случаях обращаются в бесконеч- ность, что большей частью указывает на то, что надо ввести логарифмы. Правда, это же самое уравнение d2y 4- ахпу dx2 = 0 может быть также решено с помощью рядов и другими способами, если его преобразовать предварительно к другому виду. При этом может статься, что соответ- ствующий ряд в определенных случаях будет обрываться, так что, помимо всего, интеграл в таком случае может быть действительно опре- делен1), и поэтому мы изложим здесь подобное весьма заслуживающее внимания преобразование. ЗАДАЧА 118 940. Преобразовать* дифференциальное уравнение второго порядка d2y -г а^пу dx2 = 0 к такому видуу чтобы его можно было удобным образом решить с по- мощью бесконечных рядов. РЕШЕНИЕ Воспользуемся подстановкой y=e^pdxz, где р пусть будет некото- рой функцией от х, такой, что уравнение при этом решается удобным образом. Итак, получаем dy — e$P dx [dz + pz dx) и d2y = P dx (d2z 2p dx dzz dx dp 4 p2z dx2). Следовательно, предложенное уравнение преобразуется в [уравнение] d2z -\-2pdxdz-\-z dx dp + p2z dx2 + axnz dx2 = 0, где p надо выбрать таким образом, чтобы п р2^-ахп = 0, то есть р = х^'}^ — а. Поэтому положим а= — с2 и п = 2т, так что приходим к уравнению с?2?/ — с2х2ту dx2 = 0. Это уравнение, если положить f Л с „т+1 р^схт и у = Р xz — em^i 2, представится в виде d2z 4 2cxmdx dz 4 mczm^z dx2 = 0, i) Здесь у Эйлера то же различение, что и выше (см. § 928): уравнение интег- рируется с помощью бесконечного ряда, но действительно решается тогда, когда этот ряд обрывается, т. е. когда решение получается в конечном виде.
ГЛ. VJI. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ dy2 + ax«y dx2= О 14Л и так как здесь х встречается либо в нулевом, либо в т 1 измере- нии, то мы примем значение z [в виде] z = -|-В.тх+п1+1 4~ Сх?-^2пи’2 -|- и т. д. и после подстановки [этого выражения] получаем X (X -- 1) Лс'~2 + (X + т г 1) (X virA Вх^’т~1 4- г 2Х4с и- т А с и т. д. = 0, откуда ясно, что следует принять либо X = 0, либоХ==1. Следовательно, получаем двойной ряд такого вида: z — А4-Я/,,н4-<^ и т. д. 4-?1г-4Ш^ и т. д. и после его подстановки [в уравнение] находим 0г?4-1) тВхт'1 +2 (т+1) (2т4-1) Сх2т^3 (in-[~l)(3m^2)Dxsmi у- и т. д. ' 4- тАс Л- 2 (т 4- 1) Вс + 4 (т 4- 1) Сс -4 тВс + тСс — 0, (т -1)(ти4-2)Н + 2Ше г'»л_2(ш4Л)(27п4-3)®х2,/г 4- 2 (in 4- 2) S3c 14-3(//?4-1)(ЗлМ-4)®#3'л’'24-и t. д/ 4- 2 (2m 4- 3) Sc - = 0 -4 mtyc 4- mSSc 4- m(£c Отсюда коэффициенты обоих рядов образом: онр еделяются следу ющим в — mAc i 33 — (m + 2) Шс rn(m + 1) - (m+2)(m+l) c — — (3m-42) Be i (У __ — (3m н 4) Юс 2(2m4-l)(m4-l) 1 ! 2 (2m4~3) (m4~l) D — Co , —(5m4-6) 6c 3(3m4-2) (m. + 1) 3 (3m4-4) (m-41) E =- - - (7m.4- 6) De —(7m4-8) Фс 4(4л»+3)(/» + 1) ; Ki- i 4 (4m 4-5) (m-L 1) и т. д. и т. Д., причем два коэффициента А и 21 остаются неопределенными, так что этот интеграл следует рассматривать как полный. ,Д ру гой способ. Если исходить из ряда, в котором показатели х убывают, надо положить 2Х -4 77? - О, то есть т = — 2Х, так что наше уравнение полу- чается в виде сРу — с2х~ !'*у dx2 = 0, и если в нем положить о- Г р dx —х-2Л + 1 р — сх~~ - и y — eJ z — ed*~l z, т то оно переходит в [уравнение] d2z 4- 2сх~2к dx dz ~ 2\сх~2)*~1 z dx2 — 0. Итак, положим z = АаА jSz3*”1 + СхЬк~2 4- Dx'ik~3 4- и т. д Ю Л. Эйлер
146 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА и после подстановки этого ряда получим Х(Х-1)Лхх~24-(ЗХ-1)(ЗХ-2)^х3х~3 + (5Х —2)(5Х —3)Cz5x~4 и т. д. + 2XXcz-x~‘ + 2 (ЗХ - 1) ВС-- 2(5Х- 2)Сс -J-2 (7Х — 3) Ре ’ — 2ХЛс — 2X.Bc —2ХСс - 2Wc откуда коэффициенты определяются следующим образом: — 1)Л __ -А(Ь-1)Л (4\ — 2) с " 2(2\ — 1) с ’ r ~(3k—1) (3\-2)В ~(ЗК —1)(ЗК —2)В G- (8k —4) с ' 4(2\ —1)с _(5\— 2) (5\~3)С __ — (5\ —2) (5\ —3) С U “ (12k —6) с ~ 6(2к —1)с -(7k-3)(7k~4)P _ -(7k-3)(7k-4)P п (16k —8) с ~ 8(2k —1)с U Здесь в нашем произволе остается значение только одной буквы А, и по- этому полученный ряд представляет только частный интеграл. СЛЕДСТВИЕ 1 941. Из первого решения явствует, что один из рядов обрывается всякий раз, когда (2i+ 1) m + 2i = 0, то есть т = 1 ? а второй ряд обрывается всякий раз, когда (2i — 1) rn+ 2i = 0, то есть т — 2^—1 ’ причем здесь i обозначает любое целое число. Таким образом, в этих случаях только частный интеграл может быть выражен в конечном виде, СЛЕДСТВИЕ 2 942. Второе решение дает конечный ряд всякий раз, когда либо (21 -Т 1) X — i = 0, либо (2i— 1) X — i = 0, то есть когда . i — 2г Х = 1Г±1~ и т = ~±Т’ как и выше. В остальных же случаях этот ряд продолжается до бесконеч- ности -1). СЛЕДСТВИЕ 3 943. Итак, в тех случаях, когда уравнение rf2y-c2xnrfx2 = 0, *) In infinitum excurrit.
ГЛ. VII. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ Зу^+ахПу dxB = O 147 а также уравнение du + и2 dx = с2хп dx, которое получается из первого подстановкой ко частный интеграл, имеем п число 1). -4?’ 2г 41 где \ u dx у — , допускают толь i обозначает любое целое ПОЯСНЕНИЕ 944. Впрочем, достаточно найти частный интеграл, потому что по* нему легко определить полный интеграл. Действительно, так как в ин^ теграл входит буква с, тогда как дифференциальное уравнение содержит только [ее] квадрат с2, то можно равным образом положить в интеграле как так и Отсюда следует, что если частный интеграл —это y = P-\-cQ. то и у = Р — cQ тоже будет частным интегралом, и поэтому полным интегралом будет у = а (Р 4- cQ) + р (Р — cQ), то есть у — аР 4- pcQ. Для того чтобы это объяснить более ясно, применим [этот прием] с целью получить другое решение уравнения d2y — с2х~^у dx2 = О, 1 в котором положим ради краткости—.г1 = / и примем y--ectz, а [тогда] найдем, что [§ 940] тзх-1 | 1)(ЗК —1)(ЗХ —2)^1 2(2> —1)С Х 2-4 (2Х —I)2 с2 К () — 1) (ЗК —1) (ЗК —2) (5К—2) (5k —3) Л 71_а , 2-4-6 (2Х — 1)3с3 Х -г- и 1. д. Для того чтобы в этом выражении отделить члены, которые делятся на четные степени с, от тех, которые делятся на нечетные степени, будем писать z = P — cQ, так что Р и Q уже содержат только четные степени с, и тогда одним частным интегралом будет у = ect (P~cQ\ другим— y = e~ct (Р-|- cQ), и поэтому полным интегралом будет у — Р (аес/ 4- ре“с/) —~ cQ (аесГ — ре~с/). Отсюда следует, что если с есть число мнимое, или, иначег с* — — так что уравнение будет вида 4- Ъ2х~^у dx2 = 0, то получаем z = P-bQV~^i и = cos4- V ~~ 1 *sm btt 2) Сопоставить с 436 — 441 (I том).
148 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА следовательно, у -~Р Q 7-;/- cos bl -j- Jz — 1 sin — bQ cos bl [' -- f sin bQ | — 1. Пу ст ь = у и —~ | — 1=3, в этом с л у ч а о i юл и ый и и т е г р а л выражается следующим образом: у 7>(у cos bl л- о sin ЬГ)- bQ(o cos bt - v sin bl), то есть у = — obQ) cos bl + (ЬР -U ybQ) sin bl. Теперь мы разберем те случаи, которые интегрируются указанным способом. ПРИМЕР 1 945. Найти интеграл уравнения (Ру — с~у dx2 = 0. Здесь имеем X —0 и z—/1, а также / — т? откуда получаем (вследст- вие того, что Р~А и (>~0) полный интеграл в виде у = аесх -4- &е^х, В случае же, когда с2 — Ь2 и уравнение имеет вид d2y 4- b2y dx2, полным интегралом будет у -- у cos bx + о sin bx. ПРИМЕР 2 946. Найти интеграл уравнения d2y — Рх'Ру dx2 = 0. Здесь, так как X = 1. имеем z = Ах и Z = — —. Отсюда вследствие того, что Р = 0 и (Е0, получаем у = (аес/ + Зе‘с/) х. В том же случае, когда с2 = — Ь\ находим интеграл уравнения d2y -г b2x^y dx2 — 0 в виде у -- (a cos bl + 3 sin bl) x, 4 1 где l = — — . ПРИМЕР 3 947. Найти интеграл уравнения d2y — c2x 3 у dx2 0.
ГЛ. Vll* РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ dys+axny dx—й Так как X = 1 Р z= х 3 и Q = • то В — — v и z = J г3 —, а также / — Зх3 . ’ Зе Зе ~2- . Следовательно, интегралом будет 14$ откуда у = (aect + 3e^J) J - (aeci - 3e~ci) . В том же случае, когда с2 = -Ь2. интегралом уравнения d*y 4 b2x 3 у dx2 = О будет У (a cos bt 4- 3 sin 6z.) x3 4- ~ (p cos bl - a sin bt). ПРИМЕР 4 948, Найти интеграл уравнения d2y — с2х Зу dx2 = 0. Так как ~ и z — Л.г3 4- х. Таким образом, Р — х3 Итак, полагая t = —З.т 3, представим интеграл в виде 2 , , то В О у — х3 (aecl ре с/) -г (яес1 — В том же с л у чае, гс ог(д а с2 ~ — Ь2, и я тегр ало м уравнения _8 d2z/ -f- b2x Зу dx2 — 0 будет у ~ .г3 (a cos bt -р 3 sin bt) - — (3 cos bt — a $in Ы). OP ПРИМЕР 5 949. Найти интеграл уравнения _8 d2y — с2х 5 у dx2 — 0. Ta ЕС как э то В —4^и С =. t Отсюда 5с з2с2 z = Ах3 5с 52с2 и, следовательно, 1 х5. 9 3 5с2 t Полагая Z — 5х\ получим интеграл в виде 2 1 У = (*'я 5^2 )(аеС( + Зе^')-4(аес‘ - Зе-С?).
150 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА В том же случае, когда с2 — — 52, интегралом уравнения _8 (Ру + &х С/ dx? 0 будет у = (a cos bt + р sin bi) (Р cos bt — а sin bi). ЗАДАЧА 119 950. Определить полный интеграл дифференциального уравнения второго порядка — 4г </2г/ — с2х1~1у dx2 = 0, где i обозначает любое целое число. РЕШЕНИЕ -1 Положим ради краткости £ =—(2?—1) ж2*-1, следовательно, 1 2 г —1 с/ х2Ги =----1—>и если примем, что y = ec z, то в том ряду, который мы найдем как значение г, i i+1 г + 2 £+ 3 z - Ax2i~l + УУх21'1 4- Cx2i~[ Jr Zh;2*-1 4- и т. д., коэффициенты, вследствие того, что X = > будут выражаться дующим образом: еле - 2(2i -1)сС Подставляя эти значения и вводя выражение x2i~~l — ——- что получим, 1^1 — 4- 9,4c2Z2 9,/..ft .3,3 t" 2-4-6 eV и т. д.) или же, в другом виде, '0-D , f (£3 —1) —4)(г —3) " 2с* 2-4 cW 2-4-6-c3i3 и т. д. Отсюда следует, что полный интеграл предложенного уравнения выра- жается так: »<-(!+ц"4(.-4^-‘=а+».. «) где в обеих прогрессиях закон образования отдельных членов вполне очевиден. СЛЕДСТВИЕ 1 951. Таким образом, для уравнения -4г di2?/ -|- б2^21-1 у dx2 — 0
ГЛ. Vir. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ dy«4~ax"y dx»=O 151 полным интегралом будет У 2-4 62«2 +1(1 _ и т. д. Y(a cos bt + рsin bt) Ll *4 ' U * О v i у/ t-i( ‘(*-1) _i(i2-i)(i2-4)(i-3) ‘ < 2i« 2 4-6Z>3«3 + „ T. ,.y{?cosbt_asiabt). -1 где сохраняется [обозначение] — (2i — 1) #2i-1 . СЛЕДСТВИЕ 2 952. Если i — число отрицательное, то все равно такое интегриро- вание удается произвести. Действительно, для уравнения — 4г d2y — c2xi^iydx2 — О интегралом будет +L<'-1)-(&al^+JJ+" ’ «>" +*-> _ ti ( i£+l) , ; (t2-l)(i2-4)(t'+3) V 2c« -r’ 2-4-6 cM , i (i2-l) (i2 —4) (i2—9) (i2-16) (i4-5) 'r 2-4-6-8-10 csts Ь И т. д. где полагаем t = (2i 4-1) х 2i-H1 ' СЛЕДСТВИЕ 3 1 953. Подобным же образом, полагая t = (2i + 1) я 2i+1 , находим пол- ный интеграл уравнения — 4i d2y 4 /Ar2i+1 у dx2 = О У = в виде i(i2-l) (i+2) 2-462t2 , i (i2 —l)(i2—4)(i2—9)(i+4) \ , ,, , Q . ... h 2-4-6-86*~t"~Y— - и T- «-/(acos fa+psmfa) ,4<i(t- + l) t (i2 —1) (i2 —4) (i4~3) < 2bt 24.663«2 <(i2—l)(t2 —4)(i2 —9)(i2—16)(i‘4-5) . fQ ,f . - 3----_ и т. д.) • (P cos to - a sin to). СЛЕДСТВИЕ 4 954. Если положить в выражениях, содержащих синус и косинус, а~ Csin£ и 0 = C cos£,
152 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА то ваши формулы упростятся следующим образом: a cos bt -U (3 sin bt sin (bt -у и 8 cos 3/ — a sin bt = C cos (bt y- Q, где уже С и £ являются произвольными постоянными, обеспечивающими полноту интеграла, ПОЯСНЕНИЕ 955. Из изложенного мы получаем превосходное средство для того, чтобы определять случаи интегрируемости дифференциального уравне- ния первого порядка вида du 4- w2 dx 4 dx — О, а заодно, чтобы находить его полный интеграл. Действительно, указан- ное уравнение получается из уравнения rf2?/ Н- ах" у dx~ ~ О, i и dx если положить е , и, наоборот, из последнего получается первоеу dy а если положить и = , А так как можно определить интеграл послед- — 4i него уравнения в тех случаях, когда показатель т0 в же случаях можно определить и интеграл дифференциального уравне- ния первого порядка, причем, однако, надлежит разобрать два случая соответственно тому, будет ли а~ ~с2 отрицательным числом или по- ложительным: а = + Ъ\ Итак, рассмотреть эти два случая является делом, заслуживающим внимания. ЗАДАЧА 120 956, Определить интеграл уравнения du + н2 dx — c2x2i+1 dx = О, причем i обозначает любое целое как положительное, так и отрицатель- ное число. РЕШЕНИЕ С помощью подстановки и = это уравнение преобразуется в сле- дующее: -4? d2y — c2x2i + [у dx2 = 0; интеграл последнего уравнения, полагая элемент dx постоянным, мы определили. Очевидно, положив t -- (2i -у 1) з:2г+1, имеем У =. («," + fir") (/' + - (аес( р -сЬ (' i (г’+ 0 Zi-J I ' (г2—Д)(<2~4)(г-т3) г1-з ijC 2с + ” ’ 2-4-6 с3 , j (»* — !)(/»—4)(г2-9) (i2-i6)(t'+5)fi-5 , ~ 2-4-6-8-10г» 1 1
ГЛ. VIL РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ dy*+axn.y dx2=O 153 Примем ради краткости у = (aect + Р — (aect - - 8e"ci) Q и, так как — 2л _2i_ dt = x2i+i dx, то есть dx — rr2i4-1 dt , получим dy (acec*-p3e~ci) (dP -~cQ dt)-\~ (aec^ — 3e"c^) (cP dt — dQ) dx 21 ’ T2i+* dt то есть dy _ zect(dP-\-cPdt-dQ- cQdt) + &Tct(dP--cPdt т-dQ -cQdt) dr ~ ...... ....... 2i " * dt Вместе с тем имеем dP :л-у ; i —П(^—4) f_3 г (is—1)(г= —4)(г = —9)(Z^—16) — -r-------------1 +------------------------2^ПГ8? Z 4 ” + ,w j ‘'G3- l)(i2-4)(i + 3) i_3 ~ 2 1 2-4*6c2 f 4/2-lHt2^4)(r2--9)(Z2^16)(Z + 5) , 1 ’ ’ 24.6.8-10c* ' ep-^eti i -BG + 2) h-2j /(Г^-1)(г2^4)(Г--9)(1' + 4) - H 2-4c ~ 1 r "~ТХб’-8^3 1 И f' ' dQ__ i(i'-A) Hj i(t'2~l)(i2-4)(i2-9) . 4 dt 2c r 2.4.6c3" J -Г и г. д.. откуда находим, что dP - - cQ dt _ - i (i -1) _ i (^„.1)(t-2„.4)(t‘„3) ,3 ~ ”” 2 " " ’ 2.4.6c2 2-4-6-8.10c* cPdt -dQ .i . r(i2-l)(i-2) , i(i2-l)(i2 -4)(i2-9)(i-^4) — ci - 2 4c c 2.4-6-8C3 Положим для сокращения n Л r t 1) (Z-b2) ,_2 Z (^— 1) (6^_4)(Г^ —9)(г^4) ,_4 2-4c2 1 2-4-6-8c* “ L О - H-г г(/2 -1)Р~4)(/4-3J {_3 Z ‘ 2c 2.46c3 1 т. ;ъ. т. /к*. Ч-. т. д.» и т. д~ Д-. Z(t2„1)(/2„4)(ta„9)(t-3„16)(Z + 5) д ( r 2-4-6-8.10c5 4 Ut2-l)(t-2) t-(t-2^l)(t-2-4)(t2-9)(t-4) ' 2-4c2 ' " 24.68c* ~ L и т. - 1) 4 t(t2-l)(t2-4)(f‘^-3) ; 3 2c 2.4.6c3 > 4^-l)(t2-4)(t2 -9) (£- -16) (i-5) ?_5 2-4.6-8-10c5
154 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА так что ____ (aect + ре~с*) ( — cS)-\-(aect — Зе-С*) (cR) dx 2* Поэтому, поскольку полным интегралом нашего уравнения будет 1 r2^i„ = + с (аес' + ре-с') Р — (aect — $e~ct)Q ’ или же 1 „ = aeCi (R-S)-№-ct(R+S) с aect (Р —Q)4-3<rc' (Р + Q) ’ и этот интеграл является полным, так как отношение постоянных а : 3 произвольно. СЛЕДСТВИЕ 1 957. Четыре выражения Ру R, S, которые в отдельных случаях, когда i целое число, обрываются, собой, что, во-первых, 7г=р^ с dt находятся в такой зависимости между с г* dP и Л = и-----------, v с dt и, вместе с тем, dP + dR = ^^ и dQ + dS= 2lS~ СЛЕДСТВИЕ 2 958. Итак, полагая либо а = 0, либо Р = 0, можем определить частные алгебраические интегралы уравнения — 4г du + u2dx — c2^2i+1 cta = 0, я именно 1 57ХГ R~s 1 IF.-Г -S-R C X U P^Q И c Л U ’ Таким образом, их можно охватить одной формулой — х 2i+1 и = с p=F<2 ПОЯСНЕНИЕ 1 959. При различных значениях числа i получаем следующим обра- зом как количество i, так и буквы Ру Q, R, S. Прежде всего, очевидно, что если i-О, то t = ху а также Р = 1, Q = О, R — 1 и б1 = 0. Остальные случаи мы представим в следующей таблице:
ГЛ. VII. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ йу* + ахпу dx2--0 155 i= — 1, t= — — X р-^. <2 = о Z =1, t — 3j4 P = t, Q = — - c я=4’ s=^ R = t, S--=0 i= - 2, t= - -Зг i i = 2, t = 5x5 .3 p = 4 Q = — £2 ’ C£3 D 1 I О ° “ £2 1 C2Z4 ’ ° - Ct* ^ = <2 + ^- <2=4* R = t2, 5 = 1/ c Q —5 I — — o. t — —j- x5 i — 3, t = 7x7 n ± • 11 «3 T" C2Z5 <2 = -l c£4 D 1 i *5 £3 1 C2Z5 p 6 3-5 cP 1 c3£6 « “? 1" Id " l " H 6 1 ° + 1 u + ~ CD 4 CQ | О II II II II a. 0 ct; cc i — — 4, t = —y T7 P — _L j_3,5 t* ' C2/8 n^JL^l5 c£5 1 C3£7 n __ 1 । 3-3-5 3-5-7 K tl + c2Z° + c4s r, _ 10 , 3'5-7 л ~ Ct* 1 C3£7 ю 'o co ' — |с» "Г 40 H о» Г- I 1 <wl • -- I и 1J? 4 “? j« li 4 co i ю j co ! ~ Л + C^l + X 21 ° « =o |» II II II II II a, 0 0$ ca . ~9 l — э, t = —-— X® 1 i = 5, t=llx11 !5з Лэ II II II 5 о 4 0 “ n co o w £д " -1 00 lj сл 401 ? IS ’a CH w I3 ^11 0 , CD Oi L7 Ь 4 t-i 10 ° 4 4 4 CO K> CO « Ю w « t>- I № ' )_fQ} LQ LQ po CQ '’o № CQ 1 + CQ 4 | _ 41 *2^ !5 1 ° S 1 ° II II II ~ll ft. Qy o; Oq
156 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА I , 3-5-7 3-5-7-9 Г = ф ~c2t* ' ”сфо~ _ 15 t 4-3-5.7 , 3-5-7.9 Тр 'г ’ сЧ» с5*11 ,> 1 , 2-3-5-7 5'3'5'7'9 3.5 7 911 7‘ " ’ " с2/’ ' cVv 1 ’ cW- v _21 л 4-5-7-Э , 3-57-9-11 cZ7 1 e3Z9 c5Zn i = 6, z=13z13 p _ -r У*» <5 --Ц^' f+>±«M • еЛ c* cG Q = Tt5 + t3 + r R - Iе + 3-~ t* + Z2 c c3 c6 ПОЯСНЕНИЕ 2 960. Если внимательно рассмотреть эти формулы, то можно обна- ружить новое соотношение между значениями букв Р, Q, R, S, кото- рое состоит в том, что всегда PR — QS = £2\ Справедливость этого сна- чала может быть обнаружена по индукции, вместе с тем ее можно доказать, исходя из вышеприведенных соотношений. Действительно, если подставить значения в уравнения dP + dR = ^M- и dQ + dS = то получим следующие два уравнения: 2dP rf2<^ - — 21 d$ и ?dO d*P —2iQdt 2idP cdt — i ct cdt ~~ t ct * Помножив первое на P, а второе на Q и сложив их, получаем 2РdP - 2QdQ + -d2P~d^diQ = (Р2 ~Q2) + ^(QdP-PdQ). Пусть р2 - <22 =.. м и QdP.-P*<L=n. cdt Тогда dM 4- dN = (М + А'), то есть , t v 1 л МД-N t ’
ГЛ. VII. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ dy2 + axvy dx2^0 137 откуда, интегрируя, [находим] Л/-рЛ’ = Ct21. Но имеем также -w HV = P ( /> - РУ -Q ( Q - ) - Pl< - QS и очевидно также, что постоянное С надо принять равным едини нс. ЗАДАЧА 121 961. Определить полный интеграл уравнения du -p и2 dx -г b2x 2i+1 dx ~ 0, где L обозначает любое целое число как положительное, так и отри- цательное. РЕШЕНИЕ / • dy ~ ' С помощью подстановки и преооразуем заданное уравнение в такое: d2y -г b2x 2i+* У dx2 — О, где элемент dx считается постоянным, и интеграл которого указан выше. А именно, положив Z=^(2i + l)3j2i+‘ , мы нашли (§§ 953, 954): С I <) Z . R QM п 1Д ‘ 2-4^ 26 2-4*6*864 т. д. вместо чего ради 2*4-663 сокращения будем писать у = СР sin {bt -Е С) + CQ cos (bt -j- „). Отсюда получаем dy _ С (dP— bQ dt) sin (bl +^)-|-C (dQ + bP dt) cos (bt-CZ) dx 2i (it учитывая, что dt = х 2i+* dx, 2i то есть dx — x2i+l dt. Поэтому, поскольку и^=~~~ , 'будем иметь __(dP— bQ dt) sin (6Z-f-C) + (^QbP dt) cos (bt-^C.) 21 ♦ х dt [Р sin (bt -р С)-~ Q cos (6f Л- с)] Положим iX = r и (2-^ = 5 b dt b dt
158 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА так что 2i 1 2? Л R cos (^+0 — sin (&*+&) b x u~ Psin(&t + Q + (?’cos(^ + ^) где p=p i(P-l)(i+2) #i_2 , i(i2 l)(i2 4)P-9)(i + 4) 4i_d 2-4&2 ‘ 2-4-6-8-10&4 »G + 1) Л-1 _ i(i*-l)P-4)G+3) f_3 2b ~ 2-4-6&3 i (i2 i} (i-2 4) (i2 9) (£2 16) (i+5) , e 2-4-6-8-10&5 И T. Д., i(i® —l)(i—2) /4_г , i(i2_l)(i2_4)P-9)(i-4) 4_„ 2-4&2 2-4-6-861 1 и T. Д. , i (t~ 1) ,i-i 2b _ £(£2_1)(£2„4)(t _3) 2-4-6&3 i (i2— 1) (i2 4) p 9) p 16) (i —5) i_5 2-4-6.8-10&5 и т. Д., причем этот интеграл является полным ввиду того, что содержит угол С- СЛЕДСТВИЕ 1 962. Итак, значения четырех букв Р, Q, R, S находятся в такой взаимной зависимости, что, во-первых, R = P+W и S = Q-^ 1 b dt v b dt и, вместе с тем очевидно, что^ dP + dR^-—- и dQ + dS^2^-. СЛЕДСТВИЕ 2 963. Отсюда получаем также, что имеет место равенство Pft-{-QS = Z2\ которое выводится из формул, указанных в предыдущей задаче [§ 960], если положить с2 — —Ъ2, причем Q и 5 переходят в Q и Sf/ — 1 СЛЕДСТВИЕ 3 964. Этот случай отличается от предыдущего также тем, что здесь нет никаких частных алгебраических интегралов. Действительно, какое бы значение ни придавать постоянному углу С? интеграл всегда будет заключать в себе синус и косинус некоторого угла. ПОЯСНЕНИЕ 1 965. Итак, для уравнения —4г du -f- u2 dx + 1 dx = О
ГЛ. VII. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ dy^ax^y dx2 = O 159 полным интегралом будет 2г А тЖ; = Bcos(fr + O~^sin(^ + C) b Psin(ta + C) + <2cos(^ + Q ’ 1 где полагаем t = (2i + 1) х 2i+1. Для отдельных значений числа i коли- чество i, равно как и буквы Р, Q, R, S, получаются следующим обра- зом: во-первых, если i~Q, то Р=1, <2-0, R=1 И1£ = 0, а также t = х, так что интегралом будет 1 _ cos . bu sin(Ьх+О ’ остальные же случаи представлены в следующей таблице: 4 1 i = — 1, t=-T i = 1, t = Зя3 X P-l, ?-о Р = /, R = t, S = Q i = — 2, P = A * i2 ’ P_A A ~ Г2 ЬЧ t = -- Q-w 3 1 x 3 i = 7? = i 2, t = 5x5 t3-~, o^t b2 b p, s=41 0 1 i~ — 3, — 5 Z — - -p i = 3, t 7x 7 x 5 d_A_1A <2 = — * v bt* P = t3- b2 ’ "~b b3 z?_A_A5 ~ £3 &2£5 о ’ 6 “ bt* 3-5 &3£6 R^t3- - —z S = ~t2 b2 1 b 1 i = — 4, t L i 1 = 4, t = 9x$ 1 1 x1 p = A — t* 3-5 ЬЧ^ P = 3-3-5 2 3-5-7 1 b3 1 ft4 3-5 ЬЧ1 10 о 3-5-7 b* b3 1 "J 3-3-5 ( 3-5-7 62Z« + ЬЧА R = - z4 — — z2 1 b3 c 10 Л bt* 3-5-7 ЬЧ7 S = A/3_3^r b b3
100 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА — 9 L — — 0, 1 — — т /J 3 • 3 • о о * 3 • / Z — /,5 ьх 64/9 /Э -10_ __ 3'5'7 bt^ fes/s о 1 _ 3~5'7 _U 3-5-7-9 /4 62/7 1 ЬЧ° 5 _ 15 4-3-5-7 , 3-5-7-9 ~ bit 63Z8 1 bWO /> — /о „ /3 _L / 1 L ' ' 64 1 О — /4 4 - 3 • а - г о о - 5. / * 9 "Тг & Ь Ь3 Г У -11 I ~ --- О, / — - ял р____ 1 3-5*7 , 3 * 5•7 - 9 1 “* 7^ “ йч* ~г ~ьч^~ 15 4-3-5*7 . 3-5-7*9 - ~ bv ъч? : ' ьч^ р _ 1 2-3.5.7 , 5*3.5-7*9 3-5.7*9-11 * “ Z6 ЬЧ* ..7^ о 21 4-5-7*9 , 3.5.7.9*11 d " bt1 ЬЧ* "r 55/11 ” Q = к $ = i — 6, I = 13я13 2-3-5*7 м , 5*3-5.7-9 2 3-5-7*9*11 р п р I ~^~Ь^~ ^/3_£JbLb3 - 3.5*7*9*11 Ъ 1 № Ь- ' 1 /6__3-5-7 4 ( 3*5-7*9 о 4 ~ б2 1 г 7/ 15 5 4 3*5*7 3 , 3-5.7-9 b Ь3 Ь5 ПОЯСНЕНИЕ 2 966. Найденная форма интеграла помогает1) преобразовать предло- женное уравнение — 4г du + u2‘dx + Ах 2i + i dx = Q к более простому виду. Действительно, прежде всего надо положить V, то есть и = х21+1и, Modum suppeditat.
ГЛ. vn. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ dy^ax^y dx~-G 161 что даст 1 dv — * 2Р 1 v dx 1 ^’2 dx Ля2и1 dx = О, J/-;l то есть - x^lv2dx-< A.i^'^dx = 0, 2/ ••_ 1 г 1 Затем положим t ~ (2i будем иметь /. -Н~ i 7 tZZ tZ-t' dt = Д“г • 1 dx И — = —г—-------- , t 2t-[- 1 x си куда следует, что dv — to dt - Л dt 0, Пусть, кроме того, v — * + *, так что получаем idt } Vi2 dt Vizdt , i2dt Viz dt , 9 . 47, n ---f2 2 dz----------7 ry' — 2“ dt--A dt = 0, то есть ch - 2" dt - _r 4 dt = o, 11 n ос ле д и е е уравнение и и т огр и р у е тся всяк и й раз, когда i — ц е ло с ч и ел о. Таким же образом и уравнение du -р tr dx Л.гп dx = О может быть преобразовано более общо так: положив и — x''-v' 1 , • , и v—z—-^х~~"~А получаем dz 4- xKz2 dx -р --1 (к 4- 2) т л “2 dx -б Ахп~к dx О, п это уравнение, если положить затем xxdx = dt, то есть И — (к 1) t7 переходит в [уравнение] dz Н- Z* dt + -г (> г 1)11 е Г dt = 0. 11 — & Последнее уравнение интегрируется, когда п — 11 отсюда, выои- рая произвольным образом число к, мы можем получить бесчисленное количество [интегрируемых] видов< Если принять к= —1, будем иметь t = lx и dz 4- z- dt - У dt 4е<« + 2>‘ dt = O. О о 0
ГЛАВА VIII О РЕШЕНИИ ДРУГИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПОМОЩЬЮ БЕСКОНЕЧНЫХ РЯДОВ ЗАДАЧА 122 967. Выявить общий вид дифференциальные уравнений второго порядка, которые решаются удобным образом с полипаью рядов, и опре- делить их интегралы. РЕШЕНИЕ Прежде всего, нет возможности удобным образом решать с помощью рядов уравнения, если в них переменное у со своими дифференциалами dy и d2y имеет где-либо измерение выше первого. Причина в том, что при подстановке вместо у бесконечного ряда мы встретимся с чрезмерно обременительными вычислениями, если это количество где-либо входит в более высоком измерении. Таким образом, уравнения подобного рода охватываются выражением d2y + Mdxdy + Ny dx2 = X dx2. Вместо с тем, для того, чтобы какой угодно член ряда, которым мы выражаем у, определялся только через ему предшествующий, что явля- ется наиболее замечательным случаем разрешимости, нужно, чтобы [в уравнение] входили члены относительно переменного х только двух родов, имея в виду при этом, какое измерение дают х и его дифферен- циал Л;1). Таким образом, если мы отбросим член Xdx2, то уравнения,, разрешимые рассматриваемым способом, охватываются следующим выра- жением: х2 (а + bxn) d2y + х (с + ехп) dx dy -j- (/ + ухп) у dx2 = 0. Для решения этого уравнения составим [ряд] у = + Вх^+п -4- СяЛ+2п'4> Dx^+3^-ф- и т. д. *) Duplicis tantum generis terminos ratione alterius variahilis x inesse oportut, siquidem ad dimensiones, quas ipsa x cum suo differential i dx const it-uit, respiciamns.
ГЛ. VIII. РЕШЕНИЕ ДРУГИХ УРАВНЕНИИ С ПОМОЩЬЮ ЪЕСКОНЕЧ НЫХ РЯДОВ После подстановки этого ряда должна обращаться в нуль такая сумм** рядов: (\ + п-1)Вах^ г ^-г2п) (Х-;-2п—1) Сах* * * 2“+ и т. х 4 X (X - 1) ЛЬ -у (X4- /г) (Х + /Г-Л) ВЪ 4. ХЛ с 4- (X + n)j?c 4- (X 4-2л) 64 4- X Ле 4- Q.\-n)Be + я/ 4 Bj 4- .с/ + Ag + Bg Итак, прежде всего, здесь надо так выбрать показатель X, чтобы Х(Х- 1) а 4 Хс 4 / — О, п соответствен ио в остальных [колонках] надо положить ((к+п) (к 4 п - 1) а 4- (к 4- п) с -г- /) В = —(>,(>.— J) 6 4- ке i- g) Л, ((/. -г 2п) (). 4- 2«- 1) а 4- (к н 2п) с 4- /) С = - ((к -ь п) (к 4- п - 1) Z»4 (а-4- /г) е 4- g) В, ((к 4 Зп) (к 4 3/г - 1) а -г (к 4 Зп) с 4- /) I) = — ((' — 2'1) (' 4- 2/г - 1) 6 + (> Т- 2/г) е 4- g) С И т. д. Таким образом, мы, имея Х(Х- 1)«4Хс4-/- о и полагая для сокращения 'Ц'к — l)b + le + g = h, получим (п(п 4- 2Х~ 1) а 4- пс) В — —/гЛ, (2п (2п 4 2Х — 1) а 4- 2пс) С--= —(п(п 4- 2Х - - 1) b 4- пе 4- h) В, (Зтг (Злг 4- 2Х — 1) а 4 Зпс) D = — (2п (2п 4 2Х — 1) b 4 2пе 4 h) С, и т. д. Следовательно, если только а нс равно нулю, мы найдем для X два значения, а именно . а — с 4 У (а — с)2 — 4а/ ------------2а-------- > и поэтому получим для у два ряда, которые в любом сочетании1) дают полный интеграл предложенного уравнения. Другой способ2). Если предложено уравнение х2 (а 4 bx71) d2y 4 х (с 4 ех11) dy + (/ + ^^п) У dx2 — О, то можно составить также ряд, расположенный в обратном порядке3), у = Лхх 4 Вхк^п 4 Сху'~2п 4 Dx3-~‘Sil 4 и т. д.. *) Utcunque combinatae. — Конечно, Эйлер имеет в вид}7 только сложение этих рядов после их умножения на произвольные множители; что таким образом из частных интегралов линейного однородного уравнения 2-го порядка получается общий, доказано в 4-й главе этого раздела. 2) Aliter. в) Ordine retrograde.-
164 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА и тогда в нуль должно обращаться [следующее выражение]: -i-Х (Х — 1) 46х14-п-’-(Х—/г) (X-/г — 1) Вбд1—2?z) (X — 2п — i)Cbz*~n 4* ит. д. X (X -1) Ла + (X - п) (X--п - 1) Ва 4-Х Ае -Р (X п) Be 4- (X —2тг) Се -4 X 4с (X — п) Вс 4- Ag -Т Bg Cg • 4- Af + Bf Таким образом , здесь надо выбрать показатель X так, чтобы Х(Х — 1)6 -4 Хе 4 g = 0. Вместе с тем, если положим X (X - 1) а: + кс то коэффициенты будут определяться следующим образом: л((п —2X-j- i)b-e)B = — hA, 2п ((2n — 2Х 4~ 1) b — е)С ~ — (n (n — 2Х + 1) а — нс 4* /0 В, Зп ((Зп - 2Х + 1) b - е) D = - (2п (2п - 2Х + 1) а - 2пс + h) С . и т. д. СЛЕДСТВИЕ 1 968. Из первого решения получаем, что принятый [нами] ряд оборвется на каком-нибудь месте, если in (in + 2Х — 1) b + ine 4- h = О, или же (X 4- in) (X in — 1) b Т (>‘ - in) е 4- g = О, то есть Х26 4-Х (2in — 1) b + in (in — 1) b ] 4-Хе 4- ine 4- g J где i обозначает положительное целое число. СЛЕДСТВИЕ 2 969. Итак, наше уравнение допускает интегрирование, если буквы / и g находятся в таком соответствии, что / = — X (X — 1) а — Хс и g ~ — (X — in) (X + in — 1)6 — (X + in) e, или /=—— l)a — ptc и g~ — v(v — 1)6 — ve, где числа u и у взяты таким образом, чтобы у — и делилось на показа- тель п1). СЛЕДСТВИЕ 3 970. Отсюда получаем 6_e±}/(6_e)2_46g ‘ 2а 2b *) Конечно, в утверждении, что «уравнение допускает интегрирование, интегрирование надо понимать, как интегрирование в конечном виде.
ГЛ. VIП РЕШЕНИЕ ДРУГИХ УРАВНЕНИИ С ПОМОЩЬЮ БЕСКОНЕЧНЫХ РЯДОВ 165. и наше уравнение будет иметь алгебраический интеграл, если v —p = где i обозначает целое положительное число, т. е. если с __ в — ) Да — г)* 2 — 4а/ 1 2а 2Ь±' " 2b ..." ' 2а СЛЕДСТВИЕ 4 971. Если при определении искомого ряда случится так, что показатель X —мнимое число, то следует принять во внимание, что — х'1 - сЗК- Нх — х* [cos(3Za) -у у — 1 sin ф’/я)], и поэтому оба ряда можно скомбинировать так, чтобы интеграл сохра- нял вещественный вид. ПОЯСНЕНИЕ 972. Как то, так и другое решение дает в общем случае два ряда для переменного у, соответственно двум значениям показателя X, и комбинация этих рядов представляет полный интеграл. А именно: при первом решении мы получаем для показателя X следующие два значения: , __ а — с + Г (а - с)2 - \af 2а ’ а при втором решении [для того же показателя] имеем . _ 6 — е + Г (6 —е)2 - -'ibg ~ "......2Ь ’ ’ " * Таким образом, полный интеграл можно выразить двояко, и хотя эти два представления полного интеграла могут быть совершенно различ- ными[), и к тому же иной раз в одном из этих рядов показатели будут мнимые, тогда как в другом они вещественные, -- однако оба эти представления должны быть равносильными. Вместе с тем, может слу- читься и так, что одно из решений или даже оба непригодны для представления полного интеграла, так как дают только один ряд. Это' затруднение может представиться как для одного, так и для другого решения в двух случаях. А именно: для первого решения тогда, когда, определяя X из уравнения X (X— 1) а-уХс -у/ = О, мы получим для X только одно значение, что будет иметь место либо при а^О, либо при 4а/ —(а —с)2; в первом случае будем иметь только X — —-- , тогда как второе значениеX как бы уходит па бесконечность2):* во втором же случае оба значения X становятся равными между собой, а — с а именно а = же самое затруднение имеет место и для вто- рого решения, если 6 — 0 или 46g —(6 —с)2. Отсюда ясно, что может случиться так,, что при одном из решений встретимся с указанным затруднением, тогда как другое избавлено от него, но может также: случиться, что оба решения с изъяном вследствие этого затруднения. Поэтому нужно показать, каким образом даже в этих случаях следует В Maxi me divcrsae. 2) Altero ipsius X valore quasi in infinitum abeunle. Это выражение показывает, насколько близки современные представления п подобных вопросах к Эйлеровым.-
J66 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА находить полный интеграл. Заодно мы рассмотрим также те случаи,, когда оба значения к—мнимые числа, так как для того, чтобы изба- виться от мнимых количеств1), нужно прибегнуть к особому приему. Сверх того, определение как одного, так и второго ряда для у связано с трудностями всякий раз, когда оба значения X отличаются одно от другого на число, которое делится на показатель п, и рассмотрение этих случаев также требует разъяснений. ЗАДАЧА 123 973. IIредложено дифференциальное уравнение второго порядка х2(а - bxn)d2y-]- х(с ~4 ex?)dxdy'+ (/4- gxn) ydx2 — 0. Выразить его полный интеграл в виде рядов а том случае, когда либо оба ряда но восходящим степеням для у сливаются в один, либо один из них оказывается невозможным. РЕШЕНИЕ Пусть взят ряд у 4- Вхк * п -4Dxl+3n 4- и т. д. Если случится так, что два значения X, определяемые из уравнения Х(Х - 1) « 4~ Хс-4/ —0 либо оказываются равными, либо таковы, что их разность делится на и, то значение у, кроме степеней х, содержит также логарифм х. Поэтому (934] при решении уравнения мы сразу положим y — u^-vlkx, так что у = и 4- vlx + av, где а обозначает какое угодно постоянное количе- ство. Отсюда следует, что dy ~ du 4 Ч?? -j- dvlkx и d2y — d2u — ЧЧ1 4- d2 vlkx, я после подстановки этих значений наше уравнение приводится к сле- дующему виду: х2 (а + bxn) d2u 4- 2:г (а 4- bx11) dxdv — (а -|- bxn) vdx2 ’ -4 х (е 4“ ехп) dx da (с 4 - ехп) v dx2 4- (/ -4 gxn) udx2 Q’ 4- (x2 (a -4 bxn) d2v 4- x (c -4 exn) dxdv -4 (/ - 4 gxn) v dx2) Ikx ‘ где последний член, содержащий логарифм, должен отдельно обра- щаться в пуль. Таким образом, мы положим v = Лх1 -4 Вхх+п -4 Схх^2п -4 Dxl^2n 4- и т. д., где показателю 7. должно быть придано то значение из уравнения Х(Х-1)й 4-ХС-4/-О, которое не приводит к каким-либо затруднениям, а что касается остальных коэффициентов, то, полагая 7. (7. -- 1) Ъ 4- Хе 4- g = nh, 3) Ad imaginariani speciem tollendam—буквально: чтобы избавиться от мни- мой породы.
ГЛ. УШ. РЕШЕНИЕ ДРУГИХ УРАВНЕНИИ С ПОМОЩЬЮ БЕСКОНЕЧНЫХ РЯДОВ 167 мы получим для них [следующие соотношения ((и + 2д - 1) а + с) В + кА - О, 2 ((2/г 4- 2Х - 1 > -г О <’ 4 (('* 4 27.— 1) к 4- е) В 4- кВ - О, 3 ((З/г --- 2Z - 1) a с) I) - 2 ((2/г 2Z - 1) к 4- г) С hC = О, 4 ((4/? --- 27 — 1) а г с) 723 ((3/г -> 2Х — 1) к 4- е) 1) 4- hD ~ 0, и т. д. После того, как эти коэффициенты определены указанным образом, при- чем первый из них Л остается в нагнем произволе*, мы полагаем и ~ А 51э^ -у 53.4 1! 4- 62+ 'н2п ?>ti-4 и т. д.; если подставить это значение* в первое уравнение вместе с найденным для v рядом, то (получаем, что] еле дующие ряды должны быть равны нулю: ,A~ (a -J bxn) ---4, 4- (< ‘ 7 dx- v^n)S + (/ + g^)A н•/.(/.— 1) 51 (k + X (X __ 1) sj(b Z5lc 4- (X 4-и) 33е + X5U + ?V +53/ -rW j 2<+z -2(Х4~л)^ ч 2k Ab J (c — a) B(c — a) -r J (e — b) А так как X (X — 1) a + Ze 4 / = 0 и 1; (X+2n)(},4 2n—1) бах'-'2,1: и т. д. + () + и) (X-!-/?-!) 53ft (X 2а) бс 4- (X 4- п) 53с 4-6/ 4- S3 <' + 2 (X + 2/7) < ,: -4 2 (X 4- п) ВЬ 4- С (с — а) + В(е-Ь) X (X — 1) ft 4 Хе 4- g ~ пк, то это выражение преобразуется к следующему виду: 4 ex")g. 4-(/ + g^)^ + ((2Х—1) а-тс)А:»А * ((2ит2Х—1) аде)В. |-((2Z -т + ф4 4- п ((н 4~ 2k — 1) а - -0 пк 51 ((4лгт2Х—1)a4c)C.zx + :i,4 и т. д. 4-((2п + 2и— 1) Ь^е) В 'гс)Ъ _с2/г((2л4 2Х-1)а + с)6 + н ((л + 2Z — 1) b + е) 53 - У /г/гЗЗ Здесь А обозначает те члены ряда 51 + + 8344 п 4" и т. д., которые надо расположить сначала, так что в порядке убывания имеем д=+ 64~2п + с.+ ~3л4- ... 4-i Относительно того, каким образом составляется в том или ином случае это начало [ряда], нужно заметить следующее1): г) Quod principium quoniodo quovis casu sit constituent!inn, sequentia sunt obser- vanda.
168 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА I. Эти первые члены должны отсутствовать, если не имеет места [соотношение] (к — in) (к — in — 1) а 4- (к — in) с — / = 0. А так как k (к — 1) а — кс -- / = О, то из первого соотношения следует, что а из второго, — что . _ а - - с 4-1 (а — ср — / К ~~ ’ и оба эти значения не могут совпадать, если мы не примем в одном из них отрицательный, а в другом положительный знак перед радика- лом. Если же приравнять эти значения, найдем 1п--= у — с)2~ idf , то есть i2n2a2 = (а — с)2 — 4а/, и отсюда , (d с)" 1 / = < г } 4а 4 следовательно, а - < I . А = -V - - ту 1П. 2а 2 Итак, если заданное уравнение составлено таким образом, что ina = J (а — с)2 — 4а/, то, полагая а для v принимая ряд v ~ Ах* Вх-4 п 4- и т. д., надлежит составить второй ряд (и) следующим образом: и — ia4~in+ ... -J- ЭДх* + 4 (J44-4271 -у и т. д. Это тот случай, когда два зиачения к, определяемые из уравнения к (к — 1) а -у кс / — О, отличаются одно от другого па число, которое делится на п, и при этом следует заметить, что ряд v надо начинать с большего значения к. а ряд и надо начинать с меньшего значения к. II. Начальные члены Д не могут быть опущены, если только не имеем (2к-1)я + с = 0,
ГЛ. VIII. РЕШЕНИЕ ДРУГИХ УРАВНЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ БЕСКОНЕЧНЫХ РЯДОВ 16Я и в этом случае X = —с . Это есть тот случай, когда оба корпя уравне- ния X (Х-1)л-уХс-у/ = О г , (л--с)2 п оказываются равными, стало оьггь, . Этот случаи содержится в предыдущем, если там принять i = 0. Итак, указанным способом получаем решение в тех случаях, когда два значения X равны между собой или когда их разность делится на показатель п. Таким образом,, полный интеграл определяется двумя рядами г и и по восходящим сте- пеням, причем ряд v умножается на 1х. СЛЕДСТВИЕ 1 974. Итак, когда в предложенном уравнении коэффициенты л. с и / таковы, что корни уравнения X (X — 1) а + ас + j = 0 суть Х=р и X = [л — in, где i обозначает целое положительное число, полный интеграл этого уравнения имеет вид у — и + аи + vlx. СЛЕДСТВИЕ 2 975, Здесь можно определить оба количества v и и также из сле- дующих уравнений: L х2 (а + bxn) d2v + х (с + ехп) dx dv (/ -у g£n) v dx2 = 0, IL x2 (a -у bxn) d2u + x (c + exn) dx du + (/ + gxn) и dx2 2x(a + bxn) dx dv-(a-}- bxn) v dx2 + (c -y exn) v dx2 = 0, полагая v = Ar^ + Bx^n -у Сх^2п -У „у и т д., w = ?(^1”!‘n + 53^“in+n-y®a:!X-in+2n-y S^x-in+3n+и т. д. Очевидно, что при подстановке этих рядов можно определить все коэф- фициенты по одному из них. ПОЯСНЕНИЕ 976. Таким образом, в упомянутых нами случаях можно предста- вить полный интеграл предложенного уравнения в виде восходящих рядов, если дополнительно использовать логарифм х, тогда как без этого приема мы находим только частный интеграл. Действительно, когда уравнение X (X — 1).а +Хс-у / = 0 имеет два корня, разность кото- рых делится на показатель п, пусть X — р, и X = и — in, то по первому методу можно определить только тот ряд, который начинается со сте- пени х^\ если же мы вместо у подставим другой ряд, который начи- нается со степени x^L~in, то окажется, что коэффициент некоторого члена бесконечно велик, и поэтому все следующие также становятся беско- нечно большими, но это затруднение устраняется, к счастью, введением логарифма х. Полезно проиллюстрировать использование этого способа решения на нескольких примерах.
170 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА ПРИМЕР 1 977. Найти полный интеграл, дифференциального уравнения второго порядка х d2y + dx dy g.rn“4/ dx2 = 0 в виде восходящего ряда. Приводя это уравнение к нашему виду, будем иметь x2d2y -г # dx dy + ух” у dr? — 0, так что здесь а —1, Ъ — 0, с=1, е = 0 и /=0. Отсюда следует, что /.(к — 1)-рХ — 0, то есть к2 = 0. следовательно, оба значения для к одина- ковы и — 0, Поэтому, если положить у = и•cw4“ vlx, то приходим к решению таких уравнений: I. x2d2v -V х dx dv — yx”v dx2 = 0 и II. x2d2y + x dx du 4- %x”u dx 1 1=0. 4- 2.r dxdv J II так. принимаем v^A-\-Bxn^Cx2n^Dx^nd- и т. Д. и и = 9(4- 35xn + Sx2rt -р Ъх2п + и т. д., и первое уравнение дает нам п (п — 1) Вхп 4- 2п^2п — 1) Сх2п 4 Зп (Зп — 1) Dx#14 и т. д. 1 = 0, + пВ + -Mg + 2пС + в§ н- Зп D откуда находим 2? = --^, С = Гр — Bg ту _ —Q 4/г2 ’ 9/z2 ’ E-dS и г-д- Вместе с тем другое уравнение дает п2Ъхп +4и2(5х2п+9и21)д;зп+ и т. д. 4-91g 4- SSg 4-®g + 2п В -j- 4?гС 4- 6п/) откуда получаем S = S л2 И ’ ..2С 4/22 2/2 * 9/г2 2Р 3/2 И т. Д- Здесь мы можем спокойно принять, что 91 = 0, так как те члены, ко- торые порождаются 912), содержатся в слагаемом аи. Вследствие же того, что о г _ 4-Hg2 /4 ' D = -~Ag3- 1-4.9/г6 ’ - -P/lg4 Е~ 1.4-9-16»8 ” Т’ Д” будем иметь п? ’ 4я5 2'1-4л5 2-1.4/15 ’ ф 6Л£В_ , 2Л?В _ 22/1?» ~ 2-1.4.9и7 г 31 -4-9/г 2-3-1 -4-9Й5 ’ *) Ex ?( oriundi.
ГЛ. VIII. РЕШЕНИЕ ДРУГИХ УРАВНЕНИИ С ПОМОЩЬЮ БЕСКОНЕЧНЫХ РЯДОВ 171 _ — 22.4g-4 24g1 _ - 100Л#4 С “ Т5Г1-4-9- 16/г& 4-1 -4-9- 16п° ~ T“3TT4-9-16^ ’ _ 10Mg5 , 2,-lg5 _ 548.4g5 ft “ 2.3.4.1-4.9-16.25n“ ~г ОТЛИв-25»“ Гз • 4~ 5J • 4 - 9 1Т 25«“ И и отсюда получаем такие значения: п3 ’ 1-8л5 ’ 1-8-27п7 ’ l-8.27.64n’ _ 548Л« _ -3528Л^в ft-1.8.27-64-125»“’ 1.8-27.64Й25.216»1» и *' Д” где числители 2, 6, 22, 100, 548, 3528 и т. д. определяются каждый ио двум предыдущим: 6 = 3-2 — 1-0, 22 = 5-6-4-2, 100 = 7-22-9-6, 548 = 9-100- 16-22, 3528= 11-548-25-100 и т. Д- В силу этого интеграл представится в следующем виде: 9/ _ 2d? „ 6Х^2 Т2П 22Xg3 IQMg4 ’ 1-8п5 ‘ 1-8-27п7 1-8-27-6W Р ^зп _1_______. 1 • 4 9п6 ____g£3 r317. j_~ l-4-9n6 " 1-4-9.16/18 S I g" ~2П л2 1 1-4«4 . Тп -L Л^2 п2 1 1 - 4zi4 х1п 4- и 1-4-9~~16п8 д- Д- 1 Lx т. д., и где А и а -два произвольных постоянных. ПРИМЕР 2 уравнения 978. Представить полный интеграл дифференциального второго порядка х (1 — ж2) d2y — (1 4 х2) dx dy 4- ху dx2 = О с помощью восходящих рядов Уравнение после приведения к принятому нами виду таково: х2 (1 — х2) d2y — х (1 х2} dx dy -4 х2у dx2 = 0; таким образом, имеем п = 2, а = 1, 6 = — 1, с = — 1, е = — 1, п g = 1, откуда находим для уравнения X (X — 1) — X = 0 корни и X = 2, разность между которыми при делении на л=2 дает 1. полагая у = и 4- av 4* vlxy мы должны принять, что v = Ах2 + Вх*4- Сх* -I- Dx^ 4- и т. д. / — О х = о Итак, я + т. д., и эти ряды нужно определить из следующих уравнении; 1. я2 (1 - z2) d2v — х (1 г2) dxdv + x2v dx2 = 0. Il. x2 (1 — ж2) d2u - x (1 4- x2) dx du -r x2u dx2 1 2x — a?) dx dv — 2v dx^ И °' 3) Этому уравнению (см. также §§ 1074— 1076) удовлетворяет периметр эллипса с осями 1 и х < 1. См. работу Эйлера, указанную в примечании к § 934 [Л. Ill.].
172 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА Следовательно, для определения первого ряда будем иметь 2Ах2+ 125++ 305+ + 565+ +и т. д. -2.1 - 12В -305 - 2А -4В -65 -85 > = о, — 2.1 — 4В 65 1 А А-В + С J и, таким образом, 2-45= 1-ЗА, 4-65 = 3-; ЗВ, 6-85 = 5-75 и т. д.. то есть В = ^А, С = 2-4 1-3-3-5 . " 2-4 4-6 Л’ j, __ 1-3-3-5-5-7 . 1 2-4-4-6-6-8Л И т. д. Из второго же уравнения получаем 255+ + 12®.' + 30®+ + 56®+ + и т. д. — 255 -12® -30® - 253 - 4® -6® -8® -255 = 51 + 53 -4® -® + 1 9? = 0, + 4Д + 85 + 125 +165 — 4Л — 8В -125 - 2.4 - 25 -25 -25 и, следовательно, должно быть 51 + 2А = 0, 2-4®- 1-353 + 65-4.4 = 0, 4-6® —3-5® + 105-85 = 0, 6-8®-5-7® + 145—125 = 0 и т. д. А так как В=й-4' «-Й* -О-ЙСкт. то находим 51 = — 2А и, вместе с тем, 2-4®-1-355 О,7 4 , Q 9.7 -44 л-о, 2-4 2*4 2242 4-6® - 3-5® 2» 21 р /л 2-21 р 4-6 В — ®’ — 4,б® 1 426а В> 6-86 — 5-7® 2-43^, л ™. 2 - 43 р 6-8 С —°’ ®‘”6-8® 1 628а С' 8-105-7-9® па - 7-9 к , 2-73 п 8.1O-0-°’ f7~ 8-10® 1 82102 D И Т’ Д’ Итак, если принять ЭД — — 2А, то значение буквы 35 можно назначить, произвольно, и ничто не мешает положить ее равной нулю, поскольку выше введено уже постоянное а. ПРИМЕР 3 979. Представить с помощью восходящих рядов интеграл дифферен- циального уравнения второго порядка х2 (1 bx2) d2y + х ( — 5 -4- ex?) dx dy -j- (5 -j- gx2) у dx2 = 0.
ГЛ. VIII. РЕШЕНИЕ ДРУГИХ УРАВНЕНИИ С ПОМОЩЬЮ БЕСКОНЕЧНЫХ РЯДОВ 173 Так как здесь а = 1, с = -5 и /=5, получаем уравнение Х(Х — 1) — — 5k + 5 — 0, или X2 — 6Х + 5 = О, корни которого X = 1 и X = 5 и разность -этих корней 4 делится на п = 2. Поэтому положим у — uA-zv~\~ vlx и при- мем, что v == /1я5 + Вх1 -у Сх* — /Хг11 +13 + и т. д. н и = 91 х 4- + ®^’7 + и т- Д- Подлежат решению следующие уравнения: I. х2 (1 + bx2) d2v-\- х( — 54- ex2) dxdv-г (5 4- gz2) vdx2 = О, IL х2 (1 4- bx2) d2u 4- х ( — 5 + ex2) dx du (5 + gx2) и dx2 -4 2x (1 4" bx2) dxdv — ( 1 4- bx2) v dx2 + (— 5 4^ ex2) v dx2 J -О, л первое из них дает нам 5 - 4zLr5 4- 7 • ЪВх1 9 • 8C’.z9 4- И * lODx114- и т. д. — 5- 5/1 — 5- 1В — 5 • 9С --- 5 * 1W + 5Л 4- 5В + 5С 4- 5D х-ЬЛАЬ + 7-6В6 -9-8С6 -4 5Ае -47 Be -4 9Се + Ag 4- Bg -\-Cg -а из второго получаем + 2 - 358z3 + 4 5®z5 + 6 • 7®.г? -i- 8- 9(£ге° -5^x4-5-383 -5-5® -5-7® -5-9® 4-581 4-553 4-5® 4-5® -4 5® 4-2-3835 -4 4- 5® b 4-6-7®5 4- ЭДе 4- 353е 4- 56е -4 7®e 4- 51g 4- 83g -4®g 4-2-54 -42-77? 4-2-9C -64 -6В -66’ 4-2-545 4-2-77?5 -Ab -Bb -4 4e -rBe Из первых [равенств] следует: 12В -4 А (206 4- 5е -4 g) - 0, 32C+B^2b + le + g)^Qt 60Z> + C(726 + 9e + g) = 0 И т/ д. то ость 2-6B-4/l(4.56 + 5e + g) = 0, 4-8С + В(б-76+7е+g) = 0, 6-10Z> +С(8-96+9е + g) = 0 и Т. д. Мз вторых [равенств] следует: - 458 4- 91 (e + g) - 0, 0Е + 58 (2-36-4 Зе44 g) + 4+-0, 2+® + E(4-56 + 5e + g) + 8B + .4(96+ е) -0, 4-8® + ® (6-76 +7e + g)+ 12С + В(136 + е) = О и т. д.
174 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА По первым формулам буквы В. С, D и а из следующих формул вторая определяет аг 423 находим ЭД—тогда оп р е до л я ют с я о с т а ль н ы е как 6 может быть коэффициенты т. д. определяются через А,. си — ^А .. 23 = —- , из первой же 2 * 36 + Зе -|- g г выбрано по произволу, а затем и т. д. ПОЯСНЕНИЕ 980. Этот пример представляет нам возможность заметить некоторые странные явления. Действительно, хотя полный интеграл в общем случае содержит /х, однако в некоторых случаях он оказывается свободным от логарифма. В самом деле, пусть, во-первых, g — — е, тогда 23 — 0, причем ЭД остается неопределенным, а, вместе с тем, вследствие того, что 23—0, надо принять Л —0, В — 0, С —0 и т, д., таким образом, и — 0. Но зато м пол у ч а ем 2Л)Э <4Е(5Ь+ <?)-(), 4-8@ + 6®(76 + е)-0, 6 * 10?у л- 8® (96 -9 с) = 0 и т. д., где 6 есть второе произвольное постоянное, и полным интегралом урав- нения .г2 (1 р 6д-2) d-y + х ( — о 4- с.г2) dx dy -f- (5 — ex2) у dx2 — 0 будет у ~ ЭДгг — 4- Сл5 4- ЦгА + 6Л9 + д’.г11 -р и т. д., который к тому же выражается в конечном виде, если е ~ — (2z 4- 5) 6, где считаем i принимающим значения 0, 1, 2, 3, 4 и т. д. Во-вторых, если 2-36 + Зе 4-- g — 0, то есть g=—66 — 3ef то 23 — у ЭД (36 -р е), и тогда А = 0, В — 0, С = 0 и т. д. , следовательно, ^ = 0. Затем находим Т С(76-; <)< ®=-у®(9&4-е), 5-=-^®(11& + е) и т. д.. и, следовательно, у ЭД;т — у ЭД (З64-е) £34-4-+ и т. д., где 21 и С остаются в нашем произволе. В-третьих, если 4'56 + 5е 4-g — 0, то есть g=—206 —5ег то, прежде всего, получаем В=А), С — 0, D-=0 и т. д., а потому и = ЛлА Вместе с тем, 23- _Ч1 (56-he), —23(14б4-2е) + 44 = 0, то есть
ГЛ. VIII. РЕШЕНИЕ ДРУГИХ УРАВНЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ БЕСКОНЕЧНЫХ РЯДОВ ]7Д откуда Л — — ^-91 (56 +е) (764-е), а затем 2-6® + Л (96 + ^) = 0, 4-8® 4- 2® (116 +- е) = О, 6-10$ 4- 26 (136-4 в) = 0 и т. д. Таким образом, коэффициенты 95, J, ®, ®. $ и г. д. определяются через 91, тогда как ® остается в пашем произволе и, следовательно, и этом случае полным интегралом будет у = Лх5/х + &х5 + 91 х + 93х3 -J* 4 4" ®-CJ + и т. д,, причем это выражение будет конечным, если (2+4о) 6 +с — 0* ПРИМЕР 4 981. Найти в алгебраическом виде полный интеграл уравнения х- (1-4 bx-) d2y — х (5 + 7bx2) dx dy + 6 (1 -4 36х2) у dx2 = 0 [которое получается], если в предыдущем примере положить е=—1Ь и g ~ 156. Итак, будем иметь 93 = 4-2916, Л = 0, ® = 0, 6 = 0, и поэтому и О и и — 9(х 4- 2Л6х34- 6х5, откуда, считая 91 и 6 какими-либо постоянными, но луча ем полный интеграл у = 9lx (1 + 26х2) 3- 6х5. Следовательно, частными интегралами будут у — хх (1 + 26х2), у = ах5, у ~ ах (1 + 6х2)2. СЛЕДСТВИЕ 1 982. Положив у = так что z = , найдем, что полным инте- гралом следующего дифференциального уравнения первого порядка: х2 (1 + 6х2) dz 4- х2 (1 + 6х2) s2 dx — х (5 + 76х2) z dx + 5 (1 + 36х2) dx = 0 будет 9( (14-66z3) + 5Q+4 ' 9+ (1 + 2^2) 4-(+6 * СЛЕДСТВИЕ 2 983. Дифференциальное уравнение второго порядка становится интегрируемым после деления па х2(14- 6х2)2, и его интегралом будет х ^’i -- Сdx, или dy — — — С dx (1+ bx2), х (l + 6z“) J x v что дает после деления на х5 интеграл р -С ЬС п хЛ 4х^ 2х2 ’ то есть у = _ 1 Сх (1 + 2Ьх^ Н- ZX5, как и выше.
176 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА ПОЯСНЕНИЕ 984. Мы до сих пор нс нашли полного интеграла для нашего общего уравнения с помощью восходящих рядов в том случае, когда а О и, следовательно, Xc-j-/ = 0. В этом случае мы находим для показателя а только одно значение X — —-- , которое дает лишь частный интеграл, да и тот отпадает, если только с=0. Но так как в этом случае а = 0, то коэффициент b обязательно должен быть [в уравнении], и поэтому полный интеграл может быть представлен с помощью нисходящих рядов, так как уравнение Х(Х — 1)6-4Хе4-# = 0 всегда имеет два корня, по кото- рым мы получим два* ряда. Правда, и здесь может встретиться то затруд- нение, что оба корня X либо оказываются равными, либо их разность делится на показатель л. Однако, чтобы обойти это затруднение, мы можем применить то же средство, которым мы воспользовались в послед- ней задаче, а именно ввести ряд, умноженный па Z;r, поэтому излишне было бы здесь повторять эти выкладки1). Остается показать, каким образом надлежит представить полный интеграл с помощью бесконеч- ных рядов в том случае, когда оба корня X как для восходящих, так и для нисходящих рядов оказываются мнимыми. ЗАДАЧА 124 985. Предложено дифференциальное уравнение второго порядна х2 (а 4- bxn) d2y + х (с ехп) dx dy -J- (/ -р g#n) у dx2 — 0; представить его полный интеграл с помощью восходящих рядов в том 'случае, когда уравнение X (X — 1) я -у Хс -р / — 0 имеет мнимые корни. РЕШЕНИЕ Из вышеизложенного (§ 971) следует, что в таком случае надо поло- жить у — V sin (р/л-) г и cos (Дт), откуда dy = •' dv — ) sin (u lx) 4- *4 du j cos (u lx) и / 7,> 2u dx du . *xudx- ф-vdx- "... d-y - ^dh) - ----4 ‘ -;-2 - J SIJ1 01 lx) . / 2ii dx dv iiy dx- фи dx2 \ , , , T Q d'u + -L_------------J cos (t± 1X). Подставив эти выражения и приравняв пулю в отдельности тс члены, которые содержат sin(<t lx), и те, которые содержат cos (u 1х), получим следующие два уравнения: I. х2 (а-4*- bx11) d2v 4- х (с 4- ехп) dx dv 4 (/ + ухп) v dx2 - - 2uz (a 4 bxn) dx du — д2 {a 4- bxn) v dx2 4- p (a т bxn) и dx2 ’ — ц. (с + exn) и dx2 , 2) Islam evolutionem.
ГЛ. VIII. РЕШЕНИЕ ДРУГИХ УРАВНЕНИЙ G ПОМОЩЬЮ БЕСКОНЕЧНЫХ РЯДОВ 177 IL z2(a + ^n)d2M + z(c + ezn)dzdzz + (/-l-gzn)ttdJc2 ' + 2их (а + bxn) dx dv - р2 (а 4 Ьх11) и dx2 -,\a + b^vdz2 =°: + р (с + ехп) v dx2 количества и и и берем в виде восходящих рядов: v = Ах1 + Вх^±п + Схх+2п 4- и т. Д«> и = 91аЛ + 53#х+п+ S^~2n + ®аЛ+3п + и т. д., и после подстановки этих рядов из первого уравнения получаем к (к—1) Лахх+(к+п) (к+а- +к(к-1)Л6 -l)£axA-+n+(k+2n)(k+27z— l)CaaA+2n+ и т. д. +(к + п)(к + га-1)В6 + ХЛс + (Х + п) Вс Ц-ХЛе +(к 4 2n) С с 4“ (к “Н и) Be +Л/ +Bf +Ag +Cf +Bg - 2рк31а —2р. (к + п) 33а — 2pk3Ii — 2р(к + 2п) Sa —2р (k + n) 53Z> — Р2Аа +р2Ва —^АЬ —P2Ca -^2Bb 4-р31а +р53а +р316 +pS8b — рЭДс — рЗЗс —р31е —pSc —pSSe Второе уравнение легко получается отсюда перестановкой латин- ских и готических букв и, кроме этого, изменением знака числа Итак, первая степень хх в первом и во втором уравнении приво- дит к равенствам Л(Х(Х- l)a + Xc + /-p2a)-^p?I(2Xft-fl + c) = 0, 91 (X (X- 1)а + Хс + /-р2а) + рЛ(2Ха-а-|-с) = 0, откуда с необходимостью следует, что как 2\а — а-\-с = О, так и X (X — 1)а + Хс + /-р2а = 0. Следовательно, X = ~ — , и после подстановки этого значения в послед- нее равенство получаем ( 1 с2\ с с2,/ 2 а . с с2., 4а*)+'2 — Т + "2 — 4а"^’ то есть и, следовательно, )^4а/ — (а — с)2 . а — с р =-----------}— И X = . 2а 2а
178 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА Отсюда ясно, что это решение имеет место, если 4а/> (а —с)2, — в том именно случае, когда предыдущее решение [§ 967] становилось мнимым. При этом количества А и ЭД остаются в нашем произволе. Что касается членов с то в обоих уравнениях они приводят к следующим равенствам: •В((ХЭД п) (к 4 п — 1) а ЭД (к ЭД я) с ЭД/ — р2а) ЭД Л (к (к — 1) бЭДке + §— р-2^) - р$В (2(к ЭД п) а - а ЭД с) - цЭД (2к& - Ъ ЭД е) = О и S3 ((к Н-лг) (к ЭД я-1) а ЭД (к ЭД я) с ЭД/-г2а) ЭД ЭД (к (к - 1) b + ке ЭД g - г26) ЭД (2 (к ЭД п) а - а ЭД с) ЭД М (2Х& - Ъ ЭД е) = 0. Положим для сокращения (к ЭД п) (к ЭД п — 1) а ЭД (к ЭД п) с ЭД / — р2а = п2а = а, > (к - 1) Ъ ЭД ке ЭД g - р2& = р, 2 (к ЭД п) а — а ЭД с — 2па — у, 2кЬ-ЬЭДе=ЭД. Тогда будем иметь Ва ЭД Лр — р-ЗЗу —' р-ЭДо — 0 и $Ва ЭД ЭДр ЭД рВу ЭД аЛВ = 0, откуда следует, чтц о _ — Л ЭДЗ 4- [л27о) + -р*() и $8 = ~~ + н2р) — М (а5 — ?л) а2 -и Но в соответствии с введенными значениями 9 п (ае— be) (а — с) bf . о , ае— Ьс а — п2а, р = - ЭДу-------ЭДэд у = 2иа, о —----, ’ 1 2а2 а 1 ° ‘ а и, таким образом, исходя из Л и ЭД, определим В и ЭД, а по ним затем (ЭД D, ® и т. д. ПРИМЕР 1 986. Пусть с —а и f = a, так что р. = 1. Надо найти интеграл следующего уравнения: х2 (а bxn) d2y + х (а -|~ ехп) dxdy ЭД (а + gxn) у dx2 0. Итак, здесь к —0 и р. = 1, поэтому мы положим у = г/sin 1х ЭД и cos lx, a v и и возьмем в виде рядов v = А ЭД Вхп ЭД Сх2п ЭД Dx311 ЭД и т. д., а-ЭД + ЭД^п + ®ЭД2пЭД2)а;зпЭД и т. д., где коэффициенты Л и ЭД могут быть выбраны произвольным образом. Так как а =ига2, p=^g —6, у = 2па п В = в — <ЭД мы найдем, прежде всего, „ _ —Л (п2а (g—b) 4- 2па (е - Ь)) 4- Я (ч2а (e — b) — 2na (g — b)) п4а2 4- 4п2а2
ГЛ. VIII. РЕШЕНИЕ ДРУГИХ УРАВНЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ БЕСКОНЕЧНЫХ РЯДОВ 179 или, иначе, в _ —A (n (g—&) + 2 (е- &)) + % (n (e—b)—2 (g-b)) па (n2 + 4) И ^^n(g-b) + 2(e-b))-A(n(e~b)-2(g--b)) па (ft2 + 4) Для следующих коэффициентов получаем С (2п (2п — 1) а + 2па + а — а) -|~ В (п (п — 1) b 4~ пе + g — b) — Е (4па — а 4- а) — 55 (2nb — Ь 4-е) = О, то есть 4п2Са + В {(п2 — п — 1) b + пе + g) — 4/г — 55 ((2п — 1) b + е) = О, и 4п2Еа + 55 ((п2 — п — 1) b + пе + g) + 4л Са + В ((2п — 1) b + е) = О, а помножив первое из этих равенств на п и сложив его с последним, мы получим 4n (n2 + 1) Са + В [(п3 — л2 + п — 1) b 4- (л2 -f 1) е -h ng] + 55[^(n2 + l)6 + g]-O, откуда r _ — 2? ((n—1) (ft2 4- 1) & 4-(ft2 + 1) е 4-ftg) + ((д2 + 1) b—g) 4na (ft2 4- 1) И „ _ ^^((n-l)(n2+ l) + (n2+ l)e+ ng)-^((n2+ 4пя (n2 + 1) Затем находим Qn2Da+C(^n2-2n^l)b + 2ne + g)-~ 6n ®a - К ((4n - 1) b + e) - 0, 9n2®a+ E ((4n2 — 2n — 1) b + 2ne-gg) 4- QnDa 4- C ((4л - 1)6 4- e) = 0, и, умножив первое из этих равенств па Зп, а второе на 2 и сложив, получим Злг (9п2 4- 4) Da + С [(12л3 - 6л2 + 5л - 2) 6 + 2 (Зл3 4~ i) е + 3z?g] 4 СЦ( - 4п2 — п ~ 2) b + we 4~ 2g] = .0, откуда определяем _ — С ((12я3 — 6я2 + 5л — 2) 6 4- 2 (Зл2 -г 1) е + 3??^) 4- CS (( W 4- п + 2) & — пе— 2g) Зп (9п2 -ь 4) а . ’ _ — S ((12п3— 6п2 + Ьп— 2) Ъ -г 2 (Зп1 + 1) е 4- 3ng) — С ((gm2 4- п 4- 2) b — ne- -2g) : (9п2 4- 4) а ° * Вообще же по любым коэффициентам AI и 3}с следующие коэффици- енты N и 3^ определяются с помощью таких формул: in (г/г2 4-4) Na 4- М ((г (г — I)2 п3 — i (г — 1) п2 + (Зг — 4) п — 2) b -4 i (г — 1) гге 4- 2е 4- ing) - Ж ((2 (г - 1) п2 + (^~2)п + 2)6-(г-2) ne~2g)^0, in (i2n2g- 4) 9fta + Ж ((/ (г — I)2 п3 — i (i — 1) n2 4- (Зг — 4) n — 2) b 4- z (z — 1) n2e + 2e 4- mg)4 + M((2(f-l)n24- (f-2)n4h2)6-(z-2)ne-2g)^0.
ISO ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА СЛЕДСТВИЕ 1 987. Если количества b, е, g таковы, Дто два соответствующих друг другу коэффициента 7V и исчезают, то исчезают и все следу- ющие, и полный интеграл выражается в конечном виде. Так, напримерг, для того чтобы исчезли В и S3, должно быть 2 (g — b) = п (е — Ь) и п (g — b) = — 2 (е — Ь),' откуда следует, что g = e=^fe, и в исходном уравнении, таким образом, содержится множитель а-^Ьх*1. СЛЕДСТВИЕ 2 988. Вообще же интеграл выражается в конечном виде тогда, когда g = (4 — 1) П2 + J (i — 2) п + 1 b — (i — 2) пе, где через i обозначено любое положительное целой число, причем е = — (2 (f — 1) тг— 1) fe. Отсюда следует, что g=((j-l)2W2+1)L ПРИМЕР 2 989. Принимаем п=1 и пусть e=-bu g = 2b. Определить полный интеграл уравнения ж2 (а + bx) d2y 4- х (а — bx) dx dy 4- (и 4- 2Ьх) у dx2 = 0. Из только что найденных формул получаем в _ —A (g + 2g-36) + ЗД (g + 6 -2g) ЗЛ6-4216 5а 5а И ~ 3216 + 4Л6 ® =-----Ьа--’ вместе с тем, 67=-g(2e + g) + g(26-g) = () и 6 = 0. 5а Поэтому будем иметь Л , (ЗЛ —421)6 , (321 + 4Л) 6 v = А4- ——Е-— х и и = 21 4----------Е—~~я, 1 5а 5а и отсюда находим полный интеграл у = A sin lx 4- 21 cos lx 4- ((ЗЛ — 421) sin lx 4- (3214- 4A) cos lx). СЛЕДСТВИЕ 1 990. Если положить 21 = 0, получим частный интеграл л Z . j . 36г . j . 46г . \ у = А( sm lx 4- sin lx 4- cos lx J. Если же принять Л = 0, получим другой частный интеграл у = 21 ( cos lx — sm lx 4- cos lx J.
ГЛ. VIII. РЕШЕНИЕ ДРУГИХ УРАВНЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ БЕСКОНЕЧНЫХ РЯДОВ .181 СЛЕДСТВИЕ 2 991. С помощью подстановки у —e^sdx наше уравнение приводится к следующему: я2 (а + bx) ds + х2 (а р bx) s2 dx + х (а — Ьх) s dx + (а 4- 2bx) dx = О, - dy интегралом которого будет и отсюда этот интеграл опреде- ляется. Последнее уравнение можно преобразовать в различные другие формы. ПОЯСНЕНИЕ 992. Подобным же образом можно осуществить интегрирование с помощью нисходящих рядов, если показатели отдельных членов оказываются мнимыми, и не составляло бы труда отдельно изложить это. Однако достаточно и того, что сказано, для разъяснения, к каким предосторожностям следует прибегать при решении уравнений с помо- щью бесконечных рядов. Наибольшую же пользу приносят эти разло- жения тем, что мы можем установить, каковы те дифференциальные уравнения второго порядка, для которых можно указать, [правда], только частный алгебраический интеграл, и такие случаи были приве- дены выше в § 969. Затем подобное же интегрирование с помощью бесконечных рядов может быть равным образом распространено на урав- нения следующего вида: х2 (а 4- Ьхп + p^2n) d2y + х (с + ехп + ех2П) dx dy + (/ + gxn 4- ^х2П) ydx2 = 0. Только здесь какой угодно член искомого ряда определяется через два предшествующих, так что если исчезают два рядом стоящих члена, то и все последующие также становятся равными нулю1). Однако, если в уравнение входит также свободный от у член, то решение в виде рядов становится более легким, и поэтому я считаю, что такое обстоятельство заслуживает упоминания. Например, если пред- ложено следующее уравнение: x2d2y — xdxdy + ахп ydx2 = bxm dx2. то ряд должен начинаться со степени хт. и мы положим y^Axrn+Bxm^+Cxm^n + Dxm^n+ и т. д.; отсюда следует, что т (т — 1) Ла:т4_ (т4-лг) (т4~ п— 1) Вхт+п-~ (т (гп~-\-2п— 1) C,rrn+2n4' и т. д, | — mA —(т^-п) В —(тп4-«)С' | = 0, — b +Sa I откуда j 6 ту z-, Ви т (т— 2)* (т4" я) (т + п — 2)’ (m4-2n) (/п^-2м — 2) И Т‘ ’) См. работы Эйлера «Constructio aequationis differentio-differentialis+ + (В + Си) du dy + (D + Ей + Fu2) d2y — 0 sumto elemento du constante», Novi com- ment. acad. sc. Petrop. 8(1760/1), 1763, стр. 150 и «Specimen transformationis singularis serierum», Nova acta acad. sc. Petrop. 12(1794), 1801, p. 58 (№ 254 и 710 по списку Энестрема; также в Opera Omnia, ser. I, vol. 22 и 16) [Л, Ш.].
182 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА При этом встречаются многие заслуживающие быть отмеченными [слу- чаи], которые можно разрешить с помощью указанных выше правил1). Однако более всего полезным в этом вопросе оказывается преобразова- ние предложенного уравнения с помощью подстановок в другие уравне- ния, решение которых посредством рядов является более простым. Так как это может быть сделано различными способами, то этот предмет следует более подробно рассмотреть в следующей главе, притом для уравнений вида L d2y -р М dxdy + Ny dx- == О, так как для других видов такое преобразование редко оказывается применимым2). г) Ubi quidem inulta observanda occurunt, quae per praecepta supra data expe- dire licet. 2) Rare locum invenit.
ГЛАВА IX О ПРЕОБРАЗОВАНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА ВИДА JC d2y + М dx dy + Ny doc2 = О ЗАДАЧА 125 993. Преобразовать к иному виду дифференциальное уравнение вто- рого порядка L d2y 4- М dx dy + Ny dx2 = О с помощью подстановки у = е- Р dxz, причем L, М, N — какие угодно функ- ции от х, а элемент dx принимается постоянным. РЕШЕНИЕ Поскольку имеем Рdx-{-^ [§ 940], то мы получим с помощью дифференцирования dJy_w = dxdp+<^^t У у2 2 z2 следовательно, _|_ dx dp + />2 dxz Таким образом, поскольку наше уравнение может быть приведено к виду L£y + Mdxdy Nd^ = У У выполнив подстановку, получим Ld^z 2LPdxdz j dx dp + Lp2 dx2 .M dxdz + Mp dx2 N da.2 = 0 f z z z или же, умножая на 2, L d2z + (2LP + M) dxdz-\-zdx(LdP + LP2 dx + MP dx^Ndx) = 0, где в качестве P можно принять какую угодно функцию от х, и, таким образом, получается бесчисленное множество уравнений относительно двух переменных х и z. СЛЕДСТВИЕ 1 994. Стало быть, если указанное преобразованное уравнение можно проинтегрировать или решить с помощью ряда, то по найденному ( Р dx значению для z получим у — е^
184 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА СЛЕДСТВИЕ 2 995. Преобразованное уравнение сходно с заданным в том отно- шении, что в нем переменное z вместе со своими дифференциалами dz и d2z везде входит в первой степени, — таким же образом, как и у в предложенном уравнении. СЛЕДСТВИЕ 3 996. Если случится, что оба уравнения, как предложенное, так и преобразованное, одинаково удобно решаются с помощью рядов, то таким образом могут быть получены несколько решений одного и того же уравнения. ПОЯСНЕНИЕ 1 997. Уравнения, которые удобным образом могут быть решены с помощью рядов [§§ 967, 985], охватываются следующим представле- нием: х2 (а 4- bxn) d2x 4- х (с 4- ехп) dx dy-[-(f-[- gxn) у dx2 — О, где, следовательно, L = x2 (a-[-bxn), M — x(c-^- exn), N = f + gxn, а для того, чтобы преобразованное уравнение приводилось к подобному же виду, надо положить LP~x(p 4-vxn), откуда Р — . Отсюда следует, что j п — ро — р (п 4-1) Ъхп -4 v (п — 1) ахп — vbx2n : х2 (а-[-Ьхп)2 ' и поэтому LdP + LP2dx + MP dx ’ — pa — (п 4-1) pbxn 4- (п — 1) wn — vbx2n 4- р-2 + 2ржгп 4-р-с4'Р-е^п 4“^^’ : а + bxnt + ^ех2п J \ Принимаем, что частное где должно выполняться деление на = рА + ^кхп, стало быть, Р = а — с-[-ah, v 5= b — е -j- bk и, кроме того, 2рл— (n + 1) рб 4-(^ — + ре 4- = pWz4~ vak. Если в последнее равенство подставить предыдущие значения, получим (h — к + п) (be — ае) = nab (/г — к) -f- ab (h — к)2, откуда либо h~k = be -а- либо h — к—— п. ab Итак, одна из букв h и к остается в нашем произволе, и преобразо- ванное уравнение получается в виде х2 (а 4- bxa) d2z 4- х [2р + с 4- (2^ + е) хп] dx dz + [/+ ph + (g + ^k) xn] zdx2 = 0.
ГЛ. IX. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ УРАВНЕНИИ ВИДА L d*y+Mdx dy+Ny dx2 = 0 185 Решение этого уравнения как с помощью восходящих, так и с помощью нисходящих рядов приводит к одинаковым степеням х. Сама же под- становка будет а —с [ bc—ae (h—k) у~ха (а + Ьхп)паЪ п z. Для того чтобы [в это выражение] не входила только одна степень х, надо положить h — k=—n. Не имеет никакого значения, каким обра- зом здесь выбирается h, поэтому принимаем /г=0, получаем А—п, и, таким образом, подстановка будет а —с Ьс—ае_|_ у~~ха {а-^Ъх^} паЬ 2, что приводит к следующему уравнению: х2 (а + bxn) d2z + х {2а — с + (2 {п + 1) b — е) хп) dx dz + (/ + (и + 1) b —- пе + g) хп) z dx2 = 0. ПОЯСНЕНИЕ 2 998. Мы видели выше, в § 970, что предложенное уравнение отно- сительно х и у допускает алгебраический интеграл, если имеем с е Y(а — с)2 — ^af ]/(& —е)2 —46g . 27 16 ' 2а 26 ln’ если мы рассмотрим таким же образом преобразованное уравнение, получим, что алгебраический интеграл может быть указан, если с е V(a—c)2 — luif V\b-c}2—4bg _ . “ 17 + 26 ’ • Та •' 26 П ~ 1П- Объединяя оба эти условия, мы можем заключить, что уравнению удовлетворяет алгебраический интеграл, если только следующее выра- жение: Ьс — ае ^(а — с)2—4а/ V(6—е)2 — 46g 2ab ’ ‘ ’ 2а * ’ 26 представляет, число, делящееся на показатель п. Здесь я применил знак . . для обозначения положительности и отрицательности совместно. Поэтому [алгебраический] интеграл существует в том случае, когда выражение ~ представляет целое число, либо положи* тельное, либо отрицательное. Здесь мы положили , (а— с)2 — № (6 —е)2— /с2 ПРИМЕР 999. Пусть предложено уравнение х2 (1 —- х2) d2y + х (1 + 2mx2}dx dy — m (m Ц- 1) x2y dx2 — 0. Определить me случаи, когда может быть найден только частный алге- браический интеграл.
186 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА В этом примере а= 1, b = — 1, с = 1, е = 2т, /= О, g — — т {т + 1) и п=2. Следовательно, получаем h = У {а — с)2 - 6.af = О и к = У {b—e)2 — /ibg = У{2т + I)2 — 4m (m + 1), то есть Ar= ± 1. Итак, выражением, которое равно целому числу, — 1 — 2т -к 1 является ----~ , откуда т получается в двух видах: либо 2т + 2 = ± 4z, либо 2m = ± 4г, то есть либо т = ± 2i — 1, либо т = х 2г. Итак, если только т —целое число, либо положительное, либо отри- цательное, то может быть найден частный алгебраический интег- рал. А подстановкой, дающей преобразованное уравнение, является — 1— 2m 2m + 3 у=(1— х2) ~2 z = (l — х2) 2 z, и само преобразованное уравнение будет х2 (1 — х2) d2z 4- х (1 — 2 {т + 3) х2) dx dz — (m+ 2) (m + 3) x2z dx2 — 0. Очевидно, что оно получается из исходного уравнения, если вместо т писать — т — 3. Сами же интегралы мы определим, полагая, с учетом того, что к2 == 0, у = А + Вх2 Сх^ + Dx^ + Ех% 4~ и т. д., откуда следует 2Вх2 + 12Сх4 + 30ZZre + 56£я84- и т. д. -2В — 126> -30Z) | + 2В +4С 4- 6Z) + 8D у = 0. + ^тВ 4- 8тС + i2mD | — т (т -j- 1)А — т (m+ 1)В - т (т-\- 1) С — т {т + 1) D J Следовательно, определение коэффициентов произойдет следующим об- разом: ^(^ + 1) j (m —1) (т —2) в (m —3)(т —4) д 4 * 16 ’ 36 Если также положим z = $ + $&г2 + fc4 + Ш6 + 6я8 + и т. д., то найдем sg — (т4“2) (^4-3) g = (m+4)(m+5) 16 (m-кб) (пг-|-7) ~ —36 - ® И т- д- ЗАДАЧА 126 1000. Преобразоватъ дифференциальное уравнение второго порядка L d2y -- М dxdy + Ny dx2 = 0 с помощью подстановки — = $ другое уравнение того же вида1). х) В следующем абзаце постановка задачи уточняется.
ГЛ. IX. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ ВИДА L d2y^Mdx dy+Ny dx2^0 ]£7 РЕШЕНИЕ Конечно, здесь ставится вопрос о том, какую функцию от х надо принять в качестве Р для того, чтобы после подстановки переменное z вместе со своими дифференциалами dz и c?2z везде входило в первом А dy 1 z dx2 у у измерении. А так как у=—? то получим с помощью дифференци- рования d2y dy2 _ —Pzdx~d2z zdx2dP , n ? 2 у y“ dz- dz ‘ и d2y — Pz dx2d2z . z dx2dP . 2 -- =-------------П-----r? dx2, у dz21 1 dz2, и после подстановки этих выражений будем иметь + ’-мр + LP + Л' *= - 0. dz2 ‘ dz 1 1 dz dz __N Итак, положим LP + N = 0, или, иначе, Р=—-т—; после умножения на — dz* ЛОТ найдем L(Pz- L-d^-Z_LPzdx2-Mdxdz = 0, то есть Ld2z-Mdxdz-Ld^dz + dLdz + Nz dx2 = Q. Следовательно, заданное уравнение с помощью подстановки dy —Nzdz2 ~ — преобразуется в урав^ние L Л + (g _ М _ ) dx * + _ °. Таким образом, если отсюда может быть определено значение z, то мы получим также выражение для у через хя СЛЕДСТВИЕ 1 1001. Если, наоборот, в этом преобразованном уравнении поло- жить — — dx2- , то получается исходное уравнение. Следовательно, z X dy эти два уравнения так связаны одно с другим, что одно получается из другого с помощью одинаковых преобразований. СЛЕДСТВИЕ 2 1002. Если в преобразованном уравнении положить вслед за первой подстановкой [§ 993] , то получим такое новое
188 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА преобразованное уравнение: 4- vdx ( LdQ + LQ2dx 4- QdL - MQ dx - + N dx') = 0, которое, следовательно, выводится из предложенного уравнения под- dy — Nv dx2 становкои — —7-\ . у L{dv~YQv dx) ПОЯСНЕНИЕ 1 1003. Комбинируя те две подстановки, которыми мы пользовались в двух предыдущих задачах, приходим к общей подстановке следую- щего вида: dy~P dz-\-Qz dx , V " lRdz + Sz dx aXt Если сделать эту подстановку в уравнении Ld2y + М dx dy + Ny dx2 = 0, то надо так определить функции Р, Q, Л, S, чтобы в получающемся уравнении переменное z вместе со своими дифференциалами нигде не входило в измерении выше первого. Однако мы получаем члены, куда входит dz2, и, для того чтобы их уничтожить, надо положить L dx (Р2 + QR- PS) + L(RdP~PdR) + MPR dx 4- NR2 dx = 0, то есть n_ps Р2 dP PdR MP NR R R dx'RdxL L * Тем самым приходим к следующему уравнению: Ld2z(PS-QR) + Ldz (RdQ — QdR + SdP — PdS) + dx dz (2LPQ + M(QR + PS) + 2NRS) + Lz dx (SdQ-QdS + Q2dx) + ^Szdx2(MQ-\-NS) = Qp Правда, это уравнение легче получить, применяя обе указанные под- становки поочередно. ПОЯСНЕНИЕ 2 1004. На изложенное здесь преобразование следует тем более об- ратить внимание, что даже если преобразованное уравнение допускает решение, то предложенное уравнение может тем не менее решаться не без затруднений. Действительно, если определена функция от хг которая при подстановке вместо z удовлетворяет преобразованному уравнению, то для того, чтобы найти значение у, нужно определить, dy Nzdx2 сверх того, интеграл уравнения -----L , и здесь, хотя переменные х и у разделены, могут возникнуть значительные трудности при вычи- слении интеграла. Следовательно, может получиться так, что с помо- щью этой подстановки оказывается возможным определить интегралы таких уравнений, которые едва ли можно получить прямым путем. Конечно, если случается так, что интеграл преобразованного уравне-
ГЛ. IX. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ ВИДА L d*y+ Mdx dy+Ny dx* = 0 189 ния может быть определен либо с помощью какого-либо из вышеиз- ложенных методов, либо с помощью ряда, который обрывается, то тогда можно получить также интеграл самого предложенного уравнения. А если в последнем случае нам известен только частный интеграл, то все-таки по этому интегралу всегда можно определить полный рал уравнений интег- удовлетворяет, лучаем тогда такого типа. Ведь если уравнению L d2y -Y М dxdy Ny dx2 = 0 в частности, значение у~Х, то полагаем y = Xv = 0. LX d2v + 2L dX dv + Lv d2X -P MX dxdv-Y Mv dxdX < -P NXv dx2 А так как по предположению Х = у удовлетворяет уравнению, иметь и по- будем Ld2X+MdxdX + NXdx2 = 0 И LXd2v + (2L dX + MX dx) dv^O, то ебть d2v . 2dX М dx____р Отсюда, интегрируя, получаем С М dx X2dv = Ce~* и затем С Cdx v=\-^e L • Таким образом, полным интегралом будет л _ Г М dx y^Cx\^e~^t J "" следовательно, он может быть выведен из какого угодно частного ин- теграла у = X. ПРИМЕР 1005. Преобразовать дифференциальное уравнение второго порядка х2 (а -р bxn) d2y -|~ х (с + ехп) dx dy -р fy dx2 = 0 и проинтегрировать его с помощью ряда. Так как здесь мы имеем L = х2 (а-p Ьхп), М~х(с-}-ехп) и N = f, „ dy —fzdx1 следует воспользоваться такой подстановкой: ~ > которая приводит наше уравнение к виду х2 (а -р bxn)d2z-± х (2а — с -р ((п-р 2) b — е) хп) dxdz-Y fzdx2 = 0. Если для решения этого уравнения положим z = Ах1 -р Схх+2п -Р и т. д.,
190 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА то должно быть Х(Х„1)а + Х(2а-с) + / = 0, то есть \2а + X (а — с) -f- j = 0, следовательно, . _ — У О с)2 — 4а f 2а * Согласно § 970 ряд обрывается, если выражение с \ е п \ ( е п 1 л । У (ао2-•« — 2^ “Г 26“”2 ± <2Ь— "2 “ТУ ~ 2а ~ 1П’ где i обозначает целое положительное число, т. е. _ А А __ 2. _ и _ь /(« —с)2 —4а/ _ 2ап b 2 2а ~ П’ либо с , 1 ГСа —с)2-4а/ "2^“ГТ±-------2а----= 1П- Если же мы находим указанным образом решение предложенного урав- нения в виде ряда, то этот ряд обрывается при условии, что 2а 2Ь ± 2Ъ ± 2а ~ 1П' т. е. что либо с е 1 /(а —с)2 —4а/ + -----2а-----= либо с 1 ГГ(а- с)2 —4а/ __ 2а 2 ± 2а Отсюда понятно, что интеграл может быть выражен в конечном виде, будет ли число i целым ^положительным или целым отрицательным. Оба эти случая мы получали уже при первой подстановке (§ 998), так что эта новая подстановка не дает никаких новых случаев интегриру- емости. ПОЯСНЕНИЕ 1 1006. Все же, для того чтобы было ясно, каким образом можно по конечному значению для z получить конечное значение для у, рас- смотрим уравнение г) х2 (а + bx2) d2y + х {За ex2) dx dy — 24а у dx2 = 0,’ . г) . 0 г Q г »—г dy 24аz dx2 где n — 2, c = 3a и — 24a. Применив подстановку — = • 9, , 94 , , ' r у x2 (a-\-bx2) dz мы преобразуем его к виду х2 {а bx2) d2z 4- х [ — а + (4Ь — е) х2] dx dz — 24az dx2 = 0, l) В оригинале: contemplemur casum.
ГЛ. IX. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ ВИДА L d’v+Лв dx dy + Ny dx2 = 0 19$ откуда для восходящего ряда получаем k2 —2k —24=0, то есть (к-6) (к4-4)=0. Полагаем z = Ах^ + Вх~2 + С + Dx2 + и т. д., следовательно, 20Aax 4 + QBax 2 + 20 Ab * + 6В6 4- 2D ах2 4- * и т. д. —J— ^Aa “f~ 2Bd -4/ (46- — 24Ла -24 Ba * е) — 2В (4Ь -24Са - 2Dd — ё) * -2Wd Ь = о. Таким образом, поскольку 5 = 0, жаются. Вместо с тем имеем то следующие члены все уничто- 165а - 4Л (Ь + е), 24Са = -2ВЬ + 2Ве, откуда Т> A' G д si € Ь -ту G“ Ь2 . В == А, С = . д В = , 2 А, 4а 12а 48а2 следовательно, — A f L д_ 1_ е2"&2 Л А (48а2 + 12а(6 + е) z24-(e2—b2) z4) Z \z4 4az2 48а2 ) 48a2z4 Отсюда следует, что = j = ^^(8a + (Z>+ е)я2). Итак, dy _ — (48а2 q- 12л (b-}-e)z2-|-(e2— Ь2) г4) у х (а + bz2) (8а4-(Ь-\-е) г2) ’ или же, разбивая на слагаемые, dy____________________ —Qdx (5b — е) х dx 2(b-,l-e) xdx у x ' aNbx2 ~T" 8a-p(b-J-e)z2 ’ откуда интегрированием получаем А —6 2/“3 (a + k*2) 2ь (8а ^(Ь^ф;2). ПОЯСНЕНИЕ 2 1007. В этом случае то, что по найденному значению z оказалось возможным удобным образом определить количество г/, может предста- вляться случайной удачей, однако следующим образом можно в общем виде показать, что это должно всегда получаться. Действительно, по- скольку заданное уравнение L d2y 4- М dx dy -у Ny dx2 = 0 t dy Nz dx2 с помощью подстановки =-----------B~dN ГЕРе00РазУется в уравнение L d2z — Al dx dz — ~ + dL dz 4- Nz dx2 = 0,
192 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА то, если последнее разделить на Ldz, получаем c?2z М dx dz ТГ dN ,dL___ Nz dx2__dy N~~^~~L" Ldz ~ V ’ откуда с помощью интегрирования находим L dz N dx r Mdx J L " Таким образом, когда найдено значение z, сразу получаем без после- дующего интегрирования значение у. Далее, так как dy~—т0 _ С М dx dy ~ — azdxe J L , следовательно, На эти соотношения тем более следует обратить внимание, что, исходя из них, мы можем предложенное уравнение свести к преобра- зованному только длинными обходными путями1). Действительно, то выражение, которое подставляем вместо у, приводит к дифферен- циальному уравнению третьего порядка, каковое, впрочем, очевидным образом интегрируется и дает то уравнение, которое здесь получено. Таким образом, здесь мы встречаемся с тем случаем, когда надо найти такие подстановки, которые хотя и приводят к дифференциалам третьего порядка, однако с помощью интегрирования сводятся, как выясняется, ко вторым дифференциалам. ЗАДАЧА 127 р dz 1008. Преобразовать с помогцъю подстановки у — -~г—дифференциалъ- и>Х ное уравнение второго порядка Ld2y + М dxdy -\- Ny dx2 = 0 в другое дифференциальное уравнение также второго порядка. РЕШЕНИЕ гг Р dz 1ак как ?/ = -—, то dx т Pd2z-}-dPdz dy =------rx---- и d2y = Р d32 + 2 dP d2z -P dz d2P dx и после подстановки этих выражений получаем следующее дифферен- циальное уравнение третьего порядка: LPd3z + 2LdPd2z + Ldz(PP + MPdx (Fz + МdxdPdz + NPdx2dz = 0. Мы предполагаем, что это уравнение таково, что оно оказывается 2) Quod ex iis aequatio proposita nonnisi per plures ambages ad transformatam reduci possit.
ГЛ. IX. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ ВИДА Ld2y+Mdxdy+Nydx2=Q 193 интегрируемым после умножения на некоторую функцию от х, и пусть эта функция будет Q. Итак, интегрируемым должно быть следующее выражение: LPQ d*z + 2LQ dP d2z + MPQ dx d2z + LQdz d2P + MQ dx dP dz + NPQ dx2 dz — 0, и пусть его интегралом является LPQ d2z + iS dxdz + Tz dx2 = C dx2. Отсюда получаем d2z (2LQ dP + MPQ dx) - d2z (d(LPQ) + $dx), dz (LQ d2P + MQ dx dP 4- NPQ dx2) = dz (dx dS + T dx2) и z dx2 dT = 0; таким образом, T — постоянное количество. Отсюда также следует, что Лт dx = LQdP — LP dQ -PQdL+ MPQ dx, откуда с учетом предыдущей зависимости получаем Тdx2 - LQd2P + MQdx dPNPQdx2 — LQd2P — LdP dQ— Q dP dL + LPd2Q + LdP dQ + PdQ dL + PQd2L + PdQdL-rQdPdL - MP dx dQ - MQ dx dP -PQdxdM, или T dx2 = Pd2 (LQ) — Pdxd (MQ) + PNQ dx2. Так как T - - количество постоянное, положим Т = мы можем отсюда легко определить функцию Р, а именно р __ a dx2 Г ~ d2(LQ)-- dxd(MQ) + dx2 ’ и, принимая это значение для Р, преобразуем предложенное уравне- Pdz ние с помощью подстановки у = в следующее: LPQ d2z + dz (LQ dP -LPdQ — PQ dL + MPQ dx) + az dx2 = Cdx2, Здесь можно опустить постоянное С, так как z можно увеличить на постоянное количество. Затем разделим это уравнение на PQ, что дает Ld2z~dz(J^-^-dL + Mdx^ + ^f = Q, или же, подставляя в последний член значение Р, Ld2z + dz(^-d^l + Mdx') + -^ (d2(LQ)-dxd(MQ) + NQdx2) =0, причем здесь можно принять в качестве Q какую угодно функцию от х. СЛЕДСТВИЕ 1 1009. Предыдущую [§ 1000] подстановку можно отсюда вывести, полагая d2(L0-cW(M(?) = O, откуда следует, что d(LQ)-MQdx = Cdx,
194 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА то есть _ Р М dx [* М dx е L LQ — C \ е r L dx-\-D. А если здесь принять С = 0, то получим п + f M_dx п т-ь &L л то есть Р = е d 1010. Если же так что — е d L и P = -_= — Le NQdx2 NQ ' M dx L , как выше [§ 1001]. СЛЕДСТВИЕ 2 положим d2 {LQ) — dxd {MQ) = dX dx, D__ a dx ~ dX^NOdx ’ d {LQ) — MQ dx = Xdx-{- A dx то получим и затем, интегрируя, находим _ Р М dx _С М dx е L LQ = \ е F L dx (X + А) + В и Р М dx F М dx Р М dx Q = -^~^ \ е * L dx(X + A) + ^-e^ L . СЛЕДСТВИЕ 3 _ P M dx _ P M dx 1011. Положим \ e ' L Xdx — e L V и A = 0, B = 0; тогда v dV MV n V - A= — —27 и<==7^’ таким образом, yj a dx p ^d^V M T7J 4/ . N ' --j--Y-dV — Vd —г-\—rdx dx L L L Следовательно, если положить 7 = а, то будем иметь п _ 2. р_________£2 dx____ v L ’ LNdx — LdM-\-M dL и получаем окончательно уравнение L d*z 4- dz (LIL + M dx ) + z dx (LN dx-L dMA-M d_L) = 0< ПОЯСНЕНИЕ 1012. Все это, однако, является слишком общим, чтобы отсюда можно было сделать какие-либо заключения для общего использования. Впрочем, как бы ни выбиралось преобразование и как бы ни опреде- лялось в виде ряда решение преобразованного уравнения, оно, как
ГЛ. IX. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ УРАВНЕНИИ ВИДА L d'y+M dx dy+Ny dx2=0 195 видно, не обрывается ни в каких случаях, кроме тех, когда само предложенное уравнение и, стало быть, уравнение, которое получается из него с помощью первой подстановки, имеют решение в виде где- либо обрывающегося ряда. Отсюда ясно, что вряд ли можно получить какие-либо новые случаи интегрируемости с помощью такого рода преобразований. Впрочем, если до сих пор мы вводили с помощью подстановки вместо переменного у другое переменное z, а перемен- ное х, из степеней которого образовывали ряды, мы сохраняли, то теперь мы вкратце исследуем вопрос — как надо выполнять преобра- зование, при котором вместо х вводится другое переменное t. Здесь, прежде всего, укажем на то, что как первоначально принимается постоянным элемент dx, так в уже преобразованном уравнении нужно принимать постоянным элемент dt. Конечно, здесь мы обозначаем через t некоторую произвольную функцию1) от х, которая, впрочем, должна быть таковой, чтобы получающееся уравнение не было слишком сложным. ЗАДАЧА 128 1013. В предложенном дифференциальном ураенении второго порядка L (By М dxdy-У Ny dx* = 0 ввести вместо количества х другое количество t, которое является какой- либо функцией от х. РЕШЕНИЕ Поделив уравнение на dx, мы представим его в виде и g + М dy + Ny dx = 0, чтобы уже в дальнейшем не рассматривать элемент dx, который при- нимался раньше постоянным. Так как t равно некоторой функции от х, то, следовательно, dt^Pdx, или же = и таким образом, находим L d ^r + м dy + = °’ dt * Р ’ или же, считая элемент dt постоянным, LP d2y + L dP dy + М dt dy + = 0, где остается только во все конечные выражения, в которые до сих пор входило переменное х, ввести вместо него переменное t. ПРИМЕР 1014. Предложено уравнение х* (а + bxn) d*y 4- х (с 4- ехп) dx dy + (/ + gxn) у dx* = 0, ввести в него вместо выражения h-\-kxn [переменное] t. Стало быть, полагаем t — h 4- kxn *) Hie igitur t scribetur loco certae cujnspiam functionis ipsius x.
196 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА и будем иметь dt = пкх^1 dx у следовательно, Р = nkxnl и dP = п (га - 1) кхп~2dx = . Поэтому получаем пкх^1 (а + bxn) d2y -|- (п — 1) х dt dy (а + bxn) + х (с + еяп) dt dy । (f + gxn)ydt2 _f) 1 nkx1^1 или, иначе, пк (а 4- bxn} d2u -I- dt dy (а + + dt dy (с + ехП> i + Sxn) У dt2 = q. \ “г / у 1 хп “г пкх2п А так как вместе с тем хп = » то после подстановки этого значения находим п , (fk — gh + gt)ydt2 _0 n(t-h)2 U* Конечно, здесь везде встречается t — h, так что уравнение получится более простым, если вместо t — h писать и, а это то же самое, что вместо степени хп писать количество и; однако это не приносит никакой пользы при получении новых рядов. (ак — bh 4- bt)d2v -J- dy(ak — bh + bt) + dt dy (ck — eh + et) t—h СЛЕДСТВИЕ 1015. Если в общем уравнении [§ 1013] вместо ^\мы пожелаем писать С то будем иметь dt — mx,n~Y dx иЛР — тх^1 и, так как dP = т (m — 1) х™~2 dx = -т , получаем следующее уравнениев mLxm~ld2y + ^~^dtJy. + Mdtdy 4-= 0, mLd2y 4- dtdy 4-tMxdtdy 4- Nx2ydti = 0. ПОЯСНЕНИЕ 1016. Нет необходимости в дальнейшем рассмотрении такого рода преобразований [дифференциальных] уравнений потому, что на основа- нии изложенного можно без труда получить все удобные в применении преобразования1). Зато будет дан другой, вполне своеобразный2), метод J) Gum ex his fontibus baud difficulter omnes transformationes ad usum idoneae derivari queant. 2) Prorsus singularis.
ГЛ. IX. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ УРАВНЕНИИ ВИДА Ld2y4-М dxdy4-Ny dx2=0 197 для представления интегралов такого рода дифференциальных уравне- ний второго порядка. При этом используются интегральные выражения, в которые входят два переменных, причем одно из них при интегриро- вании рассматривается как постоянное. Так, пусть Р есть некоторая функция двух переменных х и и, и мы положим у» ^Pdx, рассма- тривая и при интегрировании как постоянное; этот интеграл Р dx будет функцией от х и и, и, если его определить так, чтобы он исче- зал, когда полагаем а затем принять х = ау), получим функцию только от и, равную у, и если она удовлетворяет некоторому предло- женному дифференциальному уравнению относительно и и у, то реше-- нием этого уравнения будет выражение у= Pdx, которое можно рас- сматривать как его [уравнения] интеграл. И таким образом могут быть представлены интегралы бесчисленного множества дифференциальных уравнений второго порядка, которые, по-видимому, совершенно недо- ступны другим методам* 2). При этом, хотя выражение Р dx, в котором количество и рассматривается как постоянное, фактически может не интегрироваться, однако его интеграл3) в данном вопросе можно при- нимать как известный, так как его значение во всяком случае может быть определено приближенным способом. Очевидно, если х считать абсциссой и если Р обозначает прямоугольную аппликату, ей соответ- ствующую, то выражение Pdx представляет площадь, определяемую абсциссой х этой кривой; когда же полагаем х~а, получается опреде- ленная площадь, значение которой равно ?у = Pdx согласно только что данным определениям, и, стало быть, эта площадь, как обычно выра- жаются, может быть определена в виде квадратуры кривой. Поэтому будет удобно назвать этот способ интегрирования построением с помощью квадратур4). Но здесь прежде всего надлежит учесть те соображения, в силу которых мы различаем частные и полные интегралы: надо осо- бенно предостеречь от того, чтобы рассматривать найденные таким способом интегралы как полные, если только они не содержат двух произвольных постоянных. А так как одному и тому же дифферен- циальному уравнению соответствует бесчисленное множество частных интегралов, не следует удивляться, если мы будем находить указан- ным способом для одного и того же предложенного уравнения несколько различных интегралов. Эти рассмотрения являются почти полностью новыми, и до сих пор они никем не были изложены, за исключением некоторых примеров, О Si deinceps statuatur = —Это значит на современном языке, что инте- грал Р dx рассматривается как определенный с пределами интегрирования 0 и а 2) Quae aliis methodis prorsus intractabiles videntur. 3) Ejus integrate...; конечно, логичнее звучало бы: этот интеграл (his integrate). 4) Эйлер выбирает это название, так как он, задаваясь подынтегральной функцией в определенном интеграле, конструирует те дифференциальные уравне- ния второго порядка, решением которых является исходный определенный интег- рал. Отсюда и название следующей главы.
198 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА которые, право, я уже давно приводил1). Но не следует из-за этого сомневаться в том, что этот метод, если его более тщательно разрабо- тать, приведет со временем к весьма замечательным вкладам в Анализ2). х) См. письма Эйлера к Даниилу Бернулли от 1734 г., опубликованные Эне- стремом в Biblioth. Mathem. 73, 1906/7, стр. 126, особенно стр. 140 (также в Opera Omnia, Ser. Ill, vol. 12), и работы Эйлера J\i® 44, 45, 52, 70, 274 по списку Энестрема: «De infinitis curvis eiusdem generis», Comment, acad. sc. Petrop. 8 (1734/5), 1740, стр. 174; «Additamentum ad dissertationem de infinitis curvis eiusdem generis», там же, стр. 184; «Solutio problematum rectificationem ellipsis requirentium», Com- ment. acad. sc. Petrop. 8 (1736), 1741, стр. 86; «De constructione aequationum», Com- .ment. acad. sc. Petrop. 9 (1737), 1744, стр. 85; «Constructio aequationis differentio — differentialis Ay du2~]-(B-]-Cu) du dy + (D + Eu-\-Fu2) d2y — Q sumto elemento dr constante» , Novi Comment, acad. sc. Petrop. 8 (1760/1), 1763, стр. 150 [Л. П1.]. 2) Ex quo dubitare non licet, quin ista methodes, si diligentius excolatur, ali- quando forte praeclara incrementa in Analysin sit allatura.
ГЛАВА X О ПОСТРОЕНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПОМОЩЬЮ КВАДРАТУР КРИВЫХ1 ЗАДАЧА 129 1017. Пусть У — V dx, еде V обозначает какую угодно функцию двух количеств х и и, из которых, однако, и при интегрировании рассматривается как постоянное, и пусть после интегрирования полагаем х^=а, так что у равняется некоторой функции от и; определить зна- dy I чение рассматривая уже и как переменное, РЕШЕНИЕ Гак как V dx представляет некоторую функцию двух коли- честв х и и, дифференциал которой, когда полагаем и постоянным, есть V dx, то, если как и, так и х рассматриваются как переменные, дифференциал равенства у — V dx2) будет иметь такой вид: dy = Vdx-|- -\-Uda\ а так как это есть настоящий дифференциал3 4), то необходимо, чтобы \ ) *), С другой стороны, поскольку V является заданной функцией от г и и, следует положить dV — Pdx + Qdu, и будем иметь — Q, следовательно, = Рассматривая здесь и снова как постоянное, получаем, что dU — Qdx и U dx, причем при этом интегрировании только х является переменным. Вследствие этого, если рассматривать это значение Qdx как извест- г) Разъяснение смысла этого заголовка см. в § 1016, в частности примечание 4. 2) В оригинале differentiale aequationis. 3) Verum differentiale; в современной терминологии — точный дифференциал. 4) Еще раз напоминаем, что круглыми скобками Эйлер обозначает частные производные.
200 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА ное, поскольку мы можем его определить с помощью квадратур, полу- чаем, что dy = V dx ф- du Qdx. Но мы ищем тот дифференциал [пере- менного] г/, который определяется изменением только ~ dy = du Qdx, то искомое значение равно Qdx, после интегрирования положить и здесь ж = а. и. Так как это конечно, если СЛЕДСТВИЕ 1 1018. Поскольку у = \ V dx есть функция от х и и, а при интегри- ровании выражения V dx, в котором и рассматривается как постоянное, может добавиться вместо постоянного какая угодно функция от и, функция у сама по себе является неопределенной, однако она сразу определится, раз интеграл V dx принимается таким, чтобы он исче- зал при х = 0. СЛЕДСТВИЕ 2 1019. Если соблюдается условие, чтобы у исчезал при я = 0, какое бы значение ни приписывать второму количеству и, то будем иметь = 0, когда ж = 0, и, следовательно, Отсюда ясно, что \ Qdx — ~ тоже должен быть определен так, чтобы J иЛ& он исчезал при я = также СЛЕДСТВИЕ 3 1020. Так как у = Vdx, то Если же положить = V, откуда dV du J Z, то будем иметь также следовательно, J = J . Поэтому, рассматривая и как постоянное, dZ~dx(^~-^ и Z=^dx(^ получим dV > du ) 7 откуда СЛЕДСТВИЕ 4 1021- Стало быть, если после интегрирований, таким образом, чтобы интегралы исчезали при ж = 0, произведенных положить х = а? Подразумевается: при х=0. 2) Здесь, собственно, нет ничего нового по сравнению с § * С dV \ равенство может быть сразу написано, так как 1 —- 1 . 1017, и последнее 2
ГЛ. X. ПОСТРОЕНИЕ УРАВНЕНИИ С ПОМОЩЬЮ КВАДРАТУР КРИВЫХ 201 то как значение V dr, так и будет определен- ной функцией от и. СЛЕДСТВИЕ 5 1022. Действуя таким же образом и дальшет), найдем du* 2 J \ du2 J Поэтому, если Л, М и N обозначают любые функции от w, то du2 ' du 1 * J L k du2 J 1 k du J ' J и все дело сводится к тому, чтобы это выражение допускало интегрирование. ПОЯСНЕНИЕ 1023. Очевидно, если даны функции L, Л/, N от и, то надо искать такую функцию V двух переменных х и гг, чтобы выражение где и рассматривается как постоянное, было вполне интегрируемым2), а его интеграл надо для определенности выбирать таким, чтобы он исчезал, когда полагаем я = 0. Вместе с тем надо принять х~а, и если указанный интеграл исчезает также и в этом случае, то будем иметь ^+^ + ^ = 0, du1 { du ' и, следовательно, этому уравнению удовлетворяет значение у = V dx, определенное по указанному правилу. Однако задача найти по задан- ным функциям L, М и N функцию V является в высшей степени неопределенной и не может быть в общем случае решена с помощью известных до сих пор методов. Поэтому следует ее рассматривать в обратном порядке, так, чтобы, задаваясь функцией V, определять остальные функции L, М и N 3). Таким образом мы придем к дифферен- циальным уравнениям второго порядка, чьи интегралы можно будет опре- делить указанным способом, и это даст значительную выгоду, когда к этим уравнениям нельзя применить другие методы. Если же указан- ный интеграл г) Simili modo ulterius progrediendo. 2) Absolute fiat integrabilis. 3) Ut sumta functione V alterae Z, M et N indagentur.
202 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА не исчезает, когда полагаем а представляет заданную функ- цию U от и, то значение у — V dx удовлетворяет уравнению du2 1 du * Так как последнее уравнение можно бесчисленным множеством спосо- бов преобразовывать к другим видам, то определяются также интегралы и в этих случаях, и это оказывается удобным и тогда, когда мы получаем только частные ийтегралы, потому что большей частью можно по ним без труда найти полный интеграл. ЗАДАЧА 130 1024. Найти дифференциальные уравнения второго порядка вида ^У + Л1^У + Ну = и, du2 du 1 где L, М и N — функции от и, элемент которого du здесь принимается постоянным, чьи интегралы могут быть построены с помощью квадратурJ). РЕШЕНИЕ Пусть V является некоторой функцией двух переменных и и х и пусть интеграл V dx, где количество и рассматривается как посто- янное, берется так, чтобы он исчезал при = вместе с тем полагаем х=а, где а обозначает некоторое постоянное количество, чтобы V dx выражал уже некоторую функцию только от и, и этой функции при- равнивается количество у, так что у = V dx. Поскольку отсюда следует: du J V du J du* j du2 J причем эти интегралы тоже берутся так, чтобы они исчезали при гс —0, и вместе с тем принимаем [в них] х=а, то надо найти такие функции L, М, N от и, чтобы выражение было вполне интегрируемым; при этом интеграл определяется так2), чтобы он равнялся U, когда полагаем х^а. Если все это выполнено, то очевидно, что принятое нами выражение у = V dx удовлетворяет дифференциальному уравнению второго порядка du2 1 du * х) В оригинале: quarum integrate ope constructionis per quadratures exhlberi possiL 2) Fiat absolute integrabilis, ejusque integrate i ta determinetur... И тут надо было бы заменить «его интеграл» на «этот интеграл».
ГЛ. X. ПОСТРОЕНИЕ УРАВНЕНИИ С ПОМОЩЬЮ КВАДРАТУР КРИВЫХ 203 СЛЕДСТВИЕ 1 1025. Итак, выбор функции V не целиком в нашем произволе, а следует всеми средствами стремиться к тому1), чтобы выражение интегрировалось бы непосредственно* СЛЕДСТВИЕ 2 1026. Стало быть, на этом основании сразу исключается бесчислен- ное множество выражений, непригодных для указанной цели, и к ним относятся F = UP, где U - функция только от и и Р — функция только от х, так как тогда мы имели бы тт С п у dy dU С п 7 d2y d2U Г n , y = U\Pdx, ~-^~—\Pdx и -г4- = \ Pdx, J du du J du2 du2 J так что из их комбинации нельзя получить непосредственно интегри- руемого выражения, поскольку в них входит один и тот же интеграл. ПРИМЕР 1 1027. Пусть V = хп у frzr““2 и У = xndx у “2_t ^2, где интеграл исчезает при # = 0, а в нем принимаем х — а2). Итак, будем иметь < = и X. du J / (и2 + х2)(с2 — х2) (и2-|“^2)^ — я2 и интегрируемым должно быть следующее выражение: п т /________Lx*________।____________________1 /у У и2 + х2\ Х ах\ 3 _________ /(u2 + z2)(c2— X2) V С2 — Z2 Г \(и2 + х2)2 ] с2 — X2 J то есть ------------------\Lx~ + Ми (w2 + .-г2) + N (и2 + ж2)2]. (и2 + х2? У с2 — х2 хп+1 т/" с2_х2 Пусть интеграл3) равен — ——. Так как его дифференциалом У и2 4- х2 будет (n + 1) (с2 — X2) (и2 + X2) — Хп+2 (и2 + X2)-хп+2 (с2—X2) 1 - (IX, (и2 + х2)2 ]лс2 — X2 А) Sed ad hoc potissiinuin est spectandum, ut..- 2) Как выше, подразумевается, что эта подстановка выполняется после того, как интегрирование произведено, т. е. х~а есть верхний предел интеграла, кото- рым выражается у. 3) То есть интеграл от предыдущего, выражения.
204 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА то есть xndx |(и 4- 1) С2Н2 + (п 4- 1)C2Z2 - (пт 1) U2X2 — (п + 1) Я4} I ______I — с2х2 - U2X2 J J ’ (и2 + х2)2 у с2 — х2 то из сравнения с заданными выражениями получаем Ми3 4- Nu^ = (п + 1) с2«2, L 4- Ми + 2Nu2 = пс2 — (п -|- 2) и2 и _(п + 1). Отсюда находим Ми = (п + 1)(с2 + м2), то есть д/= Q + 1) (с2 + и2) и ’ и L = — (п -j-1) (с2 + и2) + 2 (п J- 1) и2 + пс2 — (п + 2) и2, то есть L=-<?-u2. Поэтому будем иметь (c2 + u2)d2i/ , (n4-l)(c2+ u2)dy , 1А„_ап+1/с2 —а2 du2 + uduj У'^ЧУ ’ С п_7 , Ли2 + ж2 и этому уравнению удовлетворяет у = \ х ах у g2, где интегри- рование выполняется так, как указано. СЛЕДСТВИЕ 1] 1028. Таким образом, если принять а = с, то интегральное выражение С п 7 /и2 + х2 у = у dx у -^-2, . в котором после интегрирования полагаем х = с, представляет интеграл уравнения и (с2 + и2) d2y — (п + 1) (с2 + u2ydu dy + (п + 1) иу du2 = 0, т. е. [уравнения] _ О+О eta dy rp+Qyttay = 0 " LIJ 1 С2 + и2 СЛЕДСТВИЕ 2 1029. Пусть п=1; с помощью интегрирования находим С , f и2 + X2 1 , 2 2А . '2xS^C2+u2j \xdx у ^^2 = у(с +^2) aresm - J — у ]/с2^2 + с2х2 — и2х2 — ж4 —(с2 + и2) arcsin г' с2_у^2 + 4 си'
ГЛ. X. ПОСТРОЕНИЕ УРАВНЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ КВАДРАТУР КРИВЫХ 205 и, полагая х^с, будем иметь (c* 2 * + u2)arccos^q-ir2 + Tc?z! следовательно, dy 1 и2—с2 -тг и arccos -5-;—-2 du 2 с2-\-и2 И d2y 1 u2 — с2 си du2 2 с2-|-и2 с2 + и2 и эти выражения, очевидно, удовлетворяют уравнению1) СЛЕДСТВИЕ 3 1030. В этом случае интеграл может быть выражен также следующим образом: Г , о , 9\ • 2си , 1 г У = -т -г ^2) arcsmj——-2 + у си, 4 или же, так как его любое кратное также удовлетворяет [уравнению], У = (с2 + И2) arcsin + 2си. Но [уравнению] удовлетворяет также у = с2 + и2,$ поэтому полным интегралом является у = а (с2 + «2) arcsin + 2а си + ,8 (с2 + н2). ПОЯСНЕНИЕ 1031. Что уравнению заключить из найденного удовлетворяет значение 2/ = c2 + w2, можно интеграла, так как ведь Arcsin есть функция многозначная и может возрастать на 2т, а интеграл может возрастать на 2т (с2 + гг2). Но вообще должна удовлетворять [уравнению] и разность обоих интегралов, следовательно, должно удовлетворять уравнению также у = 2т (с2 + и2} и, общим образом, у = р (с2 + ^2). В этом случае легко усмотреть, почему принятое выражение удовлетворяет общему уравнению, даже если нельзя его развернуть с помощью интегрирования. Очевидно также, что п-}-1 должно быть положительным числом, потому что иначе условие, чтобы интеграл исчезал при л; —0, не может быть выполнено2). х) В формулах этого параграфа, как и во всем «Интегральном исчислении», имеем не Arcsin, Arccos, a Angsin, Angcos. Можно было бы думать, что Эйлер здесь имеет в виду однозначные ветви этих функций, так как он использует % и2 — с2 и2 — с2 соотношение — — arcsin —х—arccos -s------т, но это опровергается текстом 2 с2-\~и2 с2 + и2 § 1031. 2) При raJrl действительно получается расходящийся интеграл, а так как для Эйлера путь интегрирования мог быть только отрезком вещественной прямой, он не мог обойти особой точки х —0.
206 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА ПРИМЕР 2 1032. Принимаем V = хп^ (и2 + я2)ц (с2-х2)\ Т огда (2) = ^рня^1 (и2 4-я2)11'1 (с2 —я2)* и (2) = (с2 ~ + 2 (и - 1)и2 (и2 + ^Т'2|. то есть = 2рхп-' (с2 - z2f (и2 + z2)’1-2 [(2м. - 1) и2 + х2]. Таким образом, полностью интегрироваться должно следующее выра- жение: хп 1 dx (с2 — х2У (и2 + х2)^ 2 2р [(2р. - 1) и2 + х2] L 4- 2ри (и2 -j- х2) М 4- (и2 4- х2)2 N то есть хп 1 dx (с2 — х2У (и2 4- я2)ц 2 2р(2р — i)Lu2 + 2pLx2 + Nx* ' 4-2рЛ/и3 -\-2pMux2 + Nu* +2Nu2x2 Интеграл положим равным а? [и2x2"f 1 (с2 — я2)*^1, и так как его дифференциалом будет /'"Чх (и2 4- я2/1"-2 (с2 — х2) (п (и2 4- х2) (с2 — х2) 4- 2 (р — 1) х2 (с2 — х2} — 2(^4- 1)я2 (а2 4- я2)), то найдем 2р (2р — 1) Ли2 4- 2рМи3 4- Nu* — пс2и2, 2рЛ4" 2рМи 4- 2Nu2 = пс2 — пи2 4- 2 (р — 1) с2 — 2 4- 1) и2> N = - п- 2(р - 1)-2(v 4- 1)= _n-2p-2v. Но если из первого уравнения 2р(2р— 1)£4- 2рМи4-^м2 = пс2 вычесть второе, получим 4р (р —*1)L — Nu2 — (п4- 2^ 4“ 2)и2 — 2(р — 1) с2, то есть 4р(р- 1)L= — 2(р — 1)(и24-с2), откуда т —с2—и2 • Подставив это значение в первое уравнение, получаем — (2р— 1) (с2 4- и2) 4- 2[iMu — (п4- 2р 4- 2^)и2 — пс2, то есть 2ttMu = (п4- 2р — 1) с2 4- (п 4“ 4р 4- 2^ — 1) и2,
ГЛ. X. ПОСТРОЕНИЕ УРАВНЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ КВАДРАТУР КРИВЫХ 207 следовательно, м (п + 2р, -1) (c2 + u2) P4~v Если п > 0, то вышеуказанный интеграл исчезает, когда полагаем я = 0, поэтому, если положить х — а, получим такое уравнение: __ (c24-u2) d2y , (n4~2p —l)(c24-u2)<fy , (y+'^udy 2р. du2 2pu du p du - (n + 2р. + 2v) у = an (a2 + и2)и-1 (c2 - a2)v+1, интегралом которого является y = a:71-1 da: (w2 4-о:2)и (c2 — rr2)\ причем интеграл здесь берется так, чтобы он исчезал, когда полагаем я = 0, после чего принимаем х=а. СЛЕДСТВИЕ 1 1033. Если принять а = с, чтобы последняя часть была =0г), если только показатель v4-l больше нуля, то выражение У" хп~г dx (и2 х2)^ (с2-- х2)\ в котором полагаем х = с после интегрирования, произведенного таким образом, чтобы при я = 0 было у = 0, становится интегралом уравнения и (с2 + и2) (Ру — (п + 2р — 1) (с2 + и2) du dy — 2 (р 4- v) и2 du dy 4- 2р (и + 2р 4~ 2v) иу du2 = 0. СЛЕДСТВИЕ 2 1034. Пусть п 4- 2р —1 = а и и4“4р4~2у— 1 = 0, тогда 2р — a 4- 1 — и и 2v = В 4~ 1 — я — 2a — 2 4- 2м = В — 14- я — 2a, и интегралом уравнения и (с2 4- и2) d2y — (ас2 4" ₽и2) du dy 4- (а 4- 1 — п) (0 — а 4- п) иу du2 = 0 будет а+1—П 3— l-j-П — 2а у = хп'х dx (и2 4- х2) 2 (с2 — х2) 2 где полагаем х = с, если только и>0 и В—1-рлг>2а. ПОЯСНЕНИЕ 1035. Это построение вполне подходит для уравнения х2 (а 4- bxn) d2z 4- х (с + exr) dx dz 4- (/ 4- gxn) z dx2 = 0. Действительно, во-первых, здесь без ухцерба для общности можно принять п = 2, полагая хп = и2. Вместе с тем, как мы видели выше, 0 Речь идет о правой части дифференциального уравнения, полученного в конце предыдущего параграфа.
208 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА в § 997, если положить a~C-|-h Ьс—ае z = xa (a^bx)nab у1), то уравнение переходит в х2 (а + bxn) d2y + х [2а — с + 2ah + (2b — е + 2nb + 2bh) хп] dx dy + [/ + ah~ ch + ah2 + (g + (ft — e + nb + bh) (n ft)) xn] у dx2 — 0, и если выбрать здесь ft так, чтобы ah2 + (а — с) ft +/ = 0, то получаем уравнение такого вида, построение которого мы дали. Однако в осо- бых случаях могут встретиться трудности, и в следующих примерах указано, как их надо преодолевать. ПРИМЕР 3 1038. Пусть V = етах хп(с - х)\ Тогда = тетах хп+1 (с - хУ и ( = т2етих хп+2(с - х)\ Стало быть, нужно сделать интегрируемым выражение етих хп ^т2£х2 тМх ДГ). Его интеграл возьмем в виде етаххп+1 (с — ж)^+1, и, следовательно, диф- ференциал этого выражения должен быть равен дифференциалу выра- жения, приведенного выше. Так как последний есть emuxxndx(c _ [тих (с — х) +(n -F 1) (с — х) — (у Ь 1) ж], то находим N — (п +.1) с, тМ — тси — (п + v + 2), m2L = — mu. Теперь примем х = а, и тогда выражение у = етиххп dx (с — х^ будет интегралом уравнения и । си dy т du2 "Т” du emau an+i (с _ a)v+l _ mdu i \ i / г? \ Здесь можно положить m=l; принимая c = a, получаем, что интегра- лом уравнения и d2y — аи du dy -Т (n + м + 2} du dy — (и + 1) ay du2 = 0 будет у — euxxn dx(a — x)\ где после интегрирования полагаем х = а, если только м -f-1 > 0 и n-pl >0, чтобы интеграл мог быть сделан исчезающим при я = 0. *) В § 997 эта подстановка дана только при ft = 0, но следует заметить, что приведенное дальше уравнение получается из последнего уравнения § 997, если положить z = [Л. IIL].
ГЛ. X. ПОСТРОЕНИЕ УРАВНЕНИИ С ПОМОЩЬЮ КВАДРАТУР КРИВЫХ 209 СЛЕДСТВИЕ 1 \ zdu 1037. Если здесь положить у — е^ , то и dz + uz2du — auzdu + (n + т/4-2) zdu — (n-\-1) adu = 0, и интегралом этого уравнения будет S eUX dx (а— У du § е1гххп dx (а—x)v Если же положить z^-^a + v, то указанное уравнение преобразуется в уравнение 1 1 и dv + uv2 du + (n + + 2) v du —а2и du —- (n — v)adu = (), которое, если положить v == u~n“v~2s, переходит в u-n~v-t ds-\- M-2n-2v-3 s*du —\~a2u du^— (n — ^adu^Q. 4 2 7 СЛЕДСТВИЕ 2 1038. Пусть, далее, u~n~v~2 du = dt, то есть и~п~у~1 = — (n + ^+l)Z, так что ds + s2 dt — a2u2n+2v+4 dt —~ (n — u2n+2v+3 dt = 0. Таким образом, и это уравнение может быть построено1). Пусть -(n + ^+l)Z = r, тогда —2n —2v~4 — 2п — 2v — 3 , s2 dr a2r dr (n — \i) r yr ds ~ n+v+1 + 4(n + v + l)~ + 2(n + v+l) = U’ и это уравнение, если положить s= —(п + ^+1)^, переходит в — 2п—2у—4 —2п—2у—3 , , a-r ra+v+1 dr —2(n—v)r n+v+1 dr „ <T dr---------------, , л ;2----------= o, где -1 7Z+V + 2 и = rra'?v+1 и z = у a — (n -j- ч 4- 1) rra+v+1 q. ПОЯСНЕНИЕ а dy + + v + dy __ (n + i}aydu = q " ~ и и 1039. Так как для дифференциального уравнения второго порядка d2y du 0 Подразумевается: с помощью квадратур кривых, т. е. оно получается, исходя из некоторого наперед выбранного его решения в виде определенного интеграла.
210 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА интегралом является у = еиххп dx (а — то мы рассмотрим, каким образом это уравнение можно цреобразовать к другим видам. Во-первых, пусть м = следовательно, = dt. Отсюда получаем A d dy —adv4-+ gydt = 0 аХ 4Х — 1 dt ар t а принимая уже элемент dt постоянным, будем иметь d2y Q^ — i)dy ad . (n+^ + 2)tZy X(n+l)aydt Q a)P~1 dt alp at* г то есть dPy — akaft-i dt dy + + dt dy __ ^2 у dt2 — 0, и интегралом этого уравнения является у= eatlx Р1 dx(a — х)\ Затем положим ^ = Pdt + - , У Z так что - Г Pdt 2 = е у, и получим [§ 993] d2z + 2Р dt dz — akaZ^-i dt dz + (kn + Ь + X + 1) dtdx + zdt dP + zdt* [7>2_akaZx-ip + I^±M±tl)A_ak2(n + i)aZx-2j =o. Для того чтобы уничтожить члены, в которые входит элемент dz, примем и придем к уравнению dtz — zdi? Г (^+Ь+Х)2-1 + 1 а)2(ге_ v) а/Х-2 + 1 аЗК2а2^2Х-1 ] =01) [_ 4г2 ‘2х 4 J интегралом которого, следовательно, будет 1 .1 Хм+Xv+X + l Г .1 п 7 / \V ~2aa^-----2---\ eat Хх dx(a-x) . z^e t J Если же v = n, X2 (2n + I)2 — 1 = 0, то есть ” 9^2Г и a = i Т = i 2 (2w j )? zn 4-1 л ’) z=e 2 “ t 2 у [Л. Ш.].
ГЛ. X. ПОСТРОЕНИЕ УРАВНЕНИИ С ПОМОЩЬЮ КВАДРАТУР КРИВЫХ 211 то получим уравнение + 2 2 d2z—a2zt 2n + 1 dt2 = О, интегралом которого будет _±1_ z = e±(2n+i)a/2« + lz 2 2 ^e^^tW^dx{a-x}n. Или, иначе, для уравнения (Fz-aW-Zzdtt^Q интегралом является Л (. ±—-1 ±—-- „ —„ * чС^ ~ 2Х 2 , , Л2Д. 2. z — в t \ в х dx [a xj и мы здесь воспользуемся случаем, чтобы более общим образом рас- смотреть интегрирование подобного рода. ПРИМЕР 4 1040. Пусть Р и Q — некоторые функции от и и пусть у = Р е^х7^1 dx (а — х)^~{, где, конечно, после интегрирования полагаем х = а. Ищем дифференциаль- ное уравнение второго порядка ^ + M*y + Ny = 0> du2 du 1 3 интегралом которого является указанное значение у. Для сокращения вычислений положим dP — P'du и dP,—P,,du, а также dQ^Q'du и dQ' — Q''du, отсюда получаем = е(^ххп~1 dx(a — x)v-1 + PQ' е$ххп dx(a — x)v“4 и = eQ*xn-1 dx(a — х)^-1 + 2P’Q( е^ххп dx(a — х)^'1 + PQ" е®ххп dx (а - х)^1 + PQ'2 $ е$ххп+1 dx (а - я?"1. Таким образом, мы находим Ч-3 + ^ + A'S LP" + 2LP'Q'x + LPQf/x + LPQ,2x21 + MPf + MPQ'x + NP J ’ и этот интеграл принимаем =е^ххп(а — х)\ так что ои исчезает, когда полагаем х = а, если только м > 0, и он исчезает также при х —0, если только п > 0. И так как дифференциалом этого выражения является eQ^xn-1 dx (а — x)v~1 [<?х (а — х) + па — (n + v) х], е^ххп 1 dx (а — х) 1
212 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА то, сравнивая его с уже найденным выражением, получаем LP" + МР’ +NP = na, 2LP’Q’ + LPQ" + MPQ’ = a.Q - (n + v) и LPQ'2=—Q, то есть Ь = =£-г, следовательно, . aQ n+, ZP'Q Q'2 PQ' PQ' 1 PaQ'2 1 PQ'3 и v na P"Q MP' W p 1 p2Q'Z p » так что дифференциальное уравнение второго порядка этим опреде- ляется. СЛЕДСТВИЕ 1 1041. Если нам желательно, чтобы было М = 0, то должно быть а<2-(п + ^) + ^? + -^ = о> и после умножения на ~ q - получаем уравнение интегралом которого является Const. ИЛИ ^„crT^'T-yg. СЛЕДСТВИЕ 2 1042. Пусть Q = 2аи1, тогда Q' = 2акмх~1 и Цп + 1)+1 Р = и 2 Следовательно1), -цл+у+п+з Т __ *_paau^ it 2 и у па Qd2P Р ' P'2dQ2 ‘ г) Принимается 0 = 1.
ГЛ. X. ПОСТРОЕНИЕ УРАВНЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ КВАДРАТУР КРИВЫХ 213 Но так как Q _ dQ2 “ 2a\2du2 1 и dP л 1 । Х(тг-)-\—1)+1 du -р = — а\аи^~Чи+ — — ~2—, получим = - аХ а - 1) аи*~2 du2 - х(”+-'-*)-1 + ЛУ^-2 du2 Р v 2 и2 + —1)+1] + 1М-+7-П+1Г , то есть = а2\2а2и2х~2 du2 — аХ2 (ft + v) <шЛ“2 du2 + * (w+^—J)_ —_j Р \ ' / 1 4 и2 откуда . Q d2P 1 2 , . 1 , . , X2(n~H —I)2 —1 , Па + 1&-р-= 2Ми Х + у(^-^)д+ -8aiH--------U п .V М„Л -x(n+v~1>-1 Г ! 1 х2(п+-7 —1)2—1 . -| Л=е,аии 2 аа2иА-j-— (п — м) а-)-Q ---------и к . [_ Z Z оаЛ. J СЛЕДСТВИЕ 3 1043. Таким образом, будем иметь — = — 2а\2их~2 L-j аа + у (я — м) а + ~8аХ2 -- U~X J ’ и интегралом уравнения [ a2X2<22u2x-2 + аХ2 (n — v) аих~2 + --“~1 du2 L v 4u2 J будет X(7l+V-1) + 1 * y^e~aauXu 2 \ e2^^-1 dx (a — x^-i. Положим 1 \ j f X2 (n4-\—I)2 — 1 a — у , X (n — “ Л т0 есть ч = /г — у- и —-—L-^—L-----= откуда _ /4-х +1Л1+ 4g — X+^+V^i+^g . 2X " 2X интегралом уравнения d2y = у du2 (a2ft2x~2 + a/ftx-2 + gu^2) будет X(n+v-l)+l 2x^ y = ek и 2 x^1 dx(a— rc)v~1, то есть -a uA l+Kl + 4g 2x uX -/-к+КГ+Т у = ex и 2 \ ex x 2X dx (a — x) 2л
214 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА СЛЕДСТВИЕ 4 1044. Если положить <Х = —, X(«-v)=-/ и 4 -----= ё> ТО _/+к+/1+4? / + К+/1+47 П =------2Х-------- И “---------2к------’ я, таким образом, интегралом уравнения сРу = у du2 (а2и2х~2 + ajux~2 + gu~2), которое совпадает с предыдущим, будет а_ 1 l + VTHg . —2х -/—Л 4- V~T+~4g +/-^-FKT + 4^ у=е1 и 2 \ е х U х 21 dx(a—x) 2Х , причем необходимо, чтобы было п > 0 и > 0. ПРИМЕР 5 1045. Положим y=^dx(a2 — x2y-{ cosau^x, где после интегрирова- ния принимаем х = а, так что у равняется некоторой функции от и; найти дифференциальное уравнение второго порядка, которому эта функция удовлетворяет. Так как имеем ~ = — акгЛ"1 xdx (а2 — r2)^'1 sinazz^ du J v и = x dx(a2 — x2y*-i [ —ak (k — l)zzx~2 sinazz^z — a2\2u2l~2x cos azz^j, то отсюда LdZy , Mdy v du2 ~r du ' L У _Г / 2 x2\*-Y dx \Ncosaulx~^\Mux~{xshYauXx — a>dy~tyLux~2xs\nauXx\ [ — a2'k2Lu2l~2x2 cos au^x / Возьмем интеграл в виде (а2 — х2у* sin аи1х, так что он исчезает как при я = 0, так и при х = а, и мы найдем из сопоставления этих выра- жений Т U~^ + 2 ,, 2kv — k—1 J _Li ЛТ о , А = —, Л1=-----—и"^+1, N = aa2u< aka akA Поэтому интегралом уравнения + (2ki/ _ к _|_ 1) + a2k2a2w2^-2y = 0 du2 1 ' 1 7 и du 1 будет у = \ dx (а2 — ж2)^1 cos аи^х.
ГЛ. X. ПОСТРОЕНИЕ УРАВНЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ КВАДРАТУР КРИВЫХ 215 СЛЕДСТВИЕ 1 1046. Стало быть, если положить v = 44 и а = у, то для урав- ZA. Л. нения л-а^и^-^у = 0 du? J интегралом будет С 1 г/= \ dx (а2 — х2) 24 cos^u^x, « если только после интегрирования полагаем х = а, а интеграл берется так, чтобы он исчезал при = СЛЕДСТВИЕ 2 __1 1 1047. Итак, пусть —тп— ==г (целому числу), то есть X = ; инте- гралом уравнения — 41—4 d2y-]-a2u 2i+1 ydu2 = u является у — dx(a2 — я2)1 cos что, действительно, может быть вычислено. Очевидно, мы получаем [здесь] указанные выше1) случаи интегрируемости. ПОЯСНЕНИЕ 1048. Когда мы полагаем у — Vdx, где V — какая угодно функ- ция от и и х, причем при этом интегрировании только х рассматри- вается как переменное, нет нужды обязательно определять интеграл так, чтобы он исчезал при x = Q, а достаточно, чтобы он исчезал при Некотором х=Ь2У Если это имеет место, полагаем затем х — а, так чтобы у равнялось некоторой функции от и, которую можно выразить с помощью квадратур, поскольку мы здесь с полным основанием посту- лируем, что от нас не требуется интегрировать простые выражения s). И это значение у, выраженное через и, представляет интеграл некото- рого дифференциального уравнения второго порядка Ld2y 4- Мdu dy-]- Ny du2 = Udu2, причем, однако, необходимо, чтобы следующее выражение х) § 951. 2) Sed sufficit ut certo quodam casu e vanescat. 3) Quam per quadraturas assignare licet, quandoquidem hie integrationem for- mularum simplicium nobis concedi jure postulamus. — Под интегрированием простых выражений Эйлер здесь, видимо, понимает интегрирование функций. Он выражает здесь тот взгляд, что решением для дифференциального уравнения является и при- ведение к квадратуре.
216 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА могло быть действительно проинтегрировано, и этот интеграл также должен быть взят таким образом, чтобы он исчезал, когда полагаем х=Ъ, и вместе с тем, когда полагаем х = а, чтобы он был = Ц\ ЗАДАЧА 131 1049. Пусть Р и Q — функции от ж, а К — функция от и, и пусть у= Pdx(K-\-Q)n, причем интеграл берется так, чтобы он исчезал при х — Ь, и в нем полагаем х = а, так что у оказывается функцией от и\ найти диффе- ренциальное уравнение второго порядка относительно у и и, которому удовлетворяет это значение у. РЕШЕНИЕ Пусть dK^K'du и dK' = К” du; так как у = (K + Q)nPdx, то g= пК' (K + Q)n~4>dx, и, снова дифференцируя, имеем g = 5 \пК" (К + <?Г"1 + п (п - 1) К'2 (К + QГ*] Р dx. Таким образом, обозначая через L, М, N функции от и, получаем выражение Uy Mdy N С pdx к + <2)n-2 (К~гО)2 + пМК (K + Q) | du * 3 V 7 \+nPK" (K4rQ)^n(n-\)LK'2\ C D , , , nxn-2 ( NK* + nMKK' + NLKK" +П(п-[)ЬК'г\ 3 v ' I +2NKQ^nMK'Q^nLK"Q + NQ2 J Поскольку оно должно интегрироваться, мы примем, что [этот] интеграл = R(K + Q)n~l + Const, причем он должен исчезать, когда полагаем, как и выше, x = b, a R является функцией только от х, Так как дифференциалом указанного выражения будет (A + 0n-2 [KdR + QdR + (n-A')RdQ], то мы должны иметь [АА2 + пМКК' + nLKK" + п (п - 1) LK'2] Р dx + (2NK + пМК' + nLK") PQ dx + NPQ2 dx = KdR+QdR + (n—l)RdQ. Таким образом, здесь должны находиться члены двоякого рода: одни из них, очевидно, свободны от и, в другие же входит функция К,
ГЛ. X. ПОСТРОЕНИЕ УРАВНЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ КВАДРАТУР КРИВЫХ 217 и их следует приравнивать в отдельности. С этой целью мы положим NK2 + пМКК' + nLKK" + п (п - 1) LK'2 = А + аК, 2NK + nMKf + nLK" = В + $К и Исключая из первых двух уравнений М, находим - NK2+ п{п —LK'2 = А + аК — ВК— $К2, и отсюда, так как N = С -\- заключаем, что т _ Л + (а —2?)Х —(3 —С) К- + М<3 “ п(п—1)К'2 следовательно, м В + SK — 2NK - nLK" пК' и таким образом по функции К определяются буквы Л, М и N, при- чем А, а, В, р, С, у обозначают какие угодно постоянные. А теперь остается удовлетворить уравнению Ц + «£)М+(В + ^) P^^ + (C + rK)PQ2da; = KdR + QdR + (n~-l)RdQ, и, приравнивая здесь в отдельности члены и того и другого рода, получаем Pdx(A + BQ + CQ2) = QdR + (n-l)RdQ, Р dx (a + р<2 + Y<?2) = dR, откуда -<4-bBQ + CQ2_p (n^l)RdQ + + ’ dR то есть (n-l)RdQ _A + (B-a)Q + (C — B)Q2 — IQ3 dR ~ « + 3Q+i<22 следовательно, dR_ 4n-l)</Q(a + 3Q + YQ2) л -^+(B-a)Q+(CHW-iQ3’ так что по функции Q определяется функция R; вместе с тем Р dr “________(п И dQ_______ гах^ д + (В_а)(2 + (С„?) Теперь уже интеграл R (К + Q)n~l h Const переходит, если положить х = а, в функцию U, и принятое заранее значение У ~ J ^ + (B-a)Q + (C-p)Q2-TQ3 будет интегралом следующего дифференциального уравнения второго порядка: Л d2y 4- Mdu dy Ny du — Udu2*
218 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА СЛЕДСТВИЕ 1 1050. Так как в качестве Q можно взять любую функцию от х, то ничто не мешает нам положить Q = x. А тогда R надо определять из уравнения dR — (ц —1) (д + ^+т*2) R А-\-(В — а)х + (С — 3)х2—"(х3 ’ и, беря в качестве К любую функцию от и, получим « = („-!) ( _____д^+£).т’_________ 9 ' 7 J Л + (В-а)х + (С —р)х2—fx3 > где интеграл берется так, чтобы он исчезал, когда полагаем х=Ь, а вслед затем надо принять х = а. СЛЕДСТВИЕ 2 1051. По функции К дифференциальное уравнение второго порядка образуется следующим образом: полагаем L = Л-(Д-«)*+^-Р)*2+-Г#3 du2t n(n-l)dK2 M = B-(2C-^K-2,K2da L^K ndK du dK и N^C + ^K. Затем в выражении R (^ + x)n-14- Const, которое составляется так, чтобы оно исчезало, когда х — Ь, мы полагаем х = а, и пусть получа- ющаяся при этом функция от и обозначена через Z7; тогда [искомое] дифференциальное уравнение второго порядка будет L сРу 4- М da dy-'- Ny daP = Udu\ СЛЕДСТВИЕ 3 1052. Если выражение R (К 4- х)п~г 4- Const составлено таким образом, что оно исчезает в обоих случаях —при х=Ь и при х~а, или, лучше сказать, границы интегрирования устанавливаются таким образом, чтобы это имело место, то принятое для у выражение удовлетворяет следу- ющему уравнению: L (Ру 4- Mdu dy 4- Ny dip --= 0; если затем это уравнение будем преобразовывать к другим видам, то можно будет указать интегралы и для них, ЗАДАЧА 132 1053. Пусть й, Q суть функции от х, а К — функция от и, и полагаем у= ек$Р dx, причем интеграл берется так, что он исчезает при х = Ь, а затем полагаем в нем х — а; у равняется функции от и, которая удовлетворяет некоторому дифференциальному уравнению второго порядка, каковое надлежит определить.
ГЛ. X. ПОСТРОЕНИЕ УРАВНЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ КВАДРАТУР КРИВЫХ 219 РЕШЕНИЕ Так как у = eK®Pdx, то будем иметь -^= eK*K'PQdx du J х И g = J №Pdx(K”Q + K’2Q2), и поэтому 4.MpL + Ny = ек®Р dx(N + MK’Q + LK"Q + LK'2Q2), du du j а этот интеграл полагаем равным eKQR + Const, причем это выражение исчезает при х = Ь, Тогда надо положить dR + KR dQ = Р dx [TV + (MKr + LK”) Q + LK'2Q2], и в силу указанных выше соображений [§ 1049] LK'^A + clK, MK' + LK" = B + $K, N = c + ^K; получим гА^аК + LK“ L к,2 и М к, к, , а также найдем следующие уравнения: dR = Р dx (С + BQ + AQ2), R dQ = Р dx (у + [3(2 + а(>2), откуда заключаем, что dR _ dQ(C + BQ+XQ2) R ” l + PQ + aQ2 Найдя же функцию 7?, будем иметь Pdx^= _Rd®____ 1+?>Q + *Q2’ так что у = С eKQ RdQ У J l + ^ + aQ2’ Если же выражение eK®R + Const обращается, когда полагаем х^а, в функцию СТ, то дифференциальное уравнение второго порядка, кото- рому отвечает этот интеграл, будет L d?y + Mdu dy + TVy du2 — UdtP. СЛЕДСТВИЕ 1 1054. Здесь можно, как и выше, вместо Q писать х7 и тогда dR _dx(C±Bx + Ax2) R 7 +
220 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА И == еКх R dx 7 • Д + ах2 a U получается из выражения eKxR 4- Const, когда полагаем х = а. Значение же R может быть представлено в различных видах в соот- ветствии со значениями коэффициентов а, |3, у1). СЛЕДСТВИЕ 2 1055. Вместо же К можно принять какую угодно функцию от и, и от свойств этой функции будет зависеть [наше] дифференциальное уравнение второго порядка2). Действительно, мы имеем dK И следовательно, дифференциальное уравнение второго порядка будет И+^) d2y .(B-\-$K)dy (A±zK)d2Kdy.'r f TJ ----------+~^K......... dK*---- СЛЕДСТВИЕ 3 1056. Так как здесь количество и не входит в формулы, то без- различно, какую функцию от и принять в качестве Z, так что можно даже без ущерба для общности положить К ~и, лишь бы учитывалось, какой элемент принимается постоянным3). ПОЯСНЕНИЕ 1 1057. Стало быть, если принять К = и, а также принять постоян- ным элемент du, так что d?K = то можно построить следующее уравнение: + (С + у = и, du2, 1 du ‘ а где U является функцией от и такого рода, как нами указано. Подоб- ным же образом на основании предыдущей задачи [§ 1051] может быть построено уравнение + п(п — 1) (С +-vu) у = и, *) Valor autem ipsius R, pro ratione cocfficientium a, 3, 7 varias formas induere potest. 2) Pro К autem quaecuque functio ipsius и accipi potest, a cujus indole aequatio differentio — differentialis pendet. 3) Dummodo ratio elementi, quod constans assumitur, habeatur.
ГЛ. X. ПОСТРОЕНИЕ УРАВНЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ КВАДРАТУР КРИВЫХ 221 которое следует считать не менее общим, чем получающееся из него при замене К какой-либо функцией от и. Действительно, отсюда могут быть выведены все эти виды, если вместо и будем писать какую угодно функцию от t и dt будем принимать постоянным. Вследствие этого настоящее уравнение оказывается значительно более общим, чем то, которое выше мы решали в общем виде с помощью бесконеч- ных рядов^ Однако большей частью эти уравнения составлены так, что выполнить их интегрирование другими методами нет возможности, и поэтому указанный здесь метод представляется вполне заслуживаю- щим того, чтобы геометры приложили все силы для его дальнейшей разработки. ПОЯСНЕНИЕ 2 1058. При отыскании построений указанного рода я шел следую- щим путем: сперва, как бы по догадке, я принимал некоторое диф- ференциальное выражение ^Vdx*^y, в котором V была некоторой функцией от и и х и где, впрочем, и рассматривалось как постоянное, и отсюда, придавая х подходящее значение, получал дифференциальное уравнение второго порядка относительно и и г/, которому удовлетво- ряет принятое выражение. Однако здесь надо заметить, что это инте- гральное выражение не находится всецело в нашем произволе, а должно обладать некоторыми определенными свойствами, чтобы после выпол- нения всех действий дело сводилось к дифференциальному уравнению второго порядка. Поскольку, однако, такой выбор был возможен только по догадке, мы подметили только немногие выражения такого рода, которые приводят к поставленной цели, и тем менее можно надеяться на то, чтобы как-нибудь получить таким путем заданное дифферен- циальное уравнение второго порядка, так что, по-видимому, главным образом случаю надо приписать те построения, которые мы здесь изложили. Но так как и по сей день мы весьма далеки от решения задачи отыскать для любого предложенного дифференциального уравне- ния второго порядка то выражение, которое представляет его интеграл, и, по-видимому, даже не ясно, получит ли когда-либо эта задача реше- ние, то тем более нужно прилагать усилия для того, чтобы по крайней мере в частных случаях мы могли определять интегрирующее выраже- ние по свойствам предложенного уравнения, чем мы некоторым образом прокладываем путь к непосредственному решению. Для этой же цели могут быть с пользой применены те бесконечные ряды, с помощью которых, как мы выше показали, решаются такого рода уравнения. Поэтому в следующей главе я изложу метод нахождения по бесконеч- ному ряду, содержащему решение некоторого дифференциального уравнения второго порядка, формулы для интеграла этого уравнения. о о а
ГЛАВА XI О ПОСТРОЕНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА ПО ИХ РЕШЕНИЮ В ВИДЕ БЕСКОНЕЧНЫХ РЯДОВ ЗАДАЧА 133 1059. Предложен бесконечный ряд А + Bs + Cs2 + • + Ms1-1 + As* -j- ит. д., в котором пусть B=bm±hA С = D = ^±LC, In-pA 2тг —[ - /с Зл-рЛ и вообще Л7 = выразить его сумму в виде интеграла1). РЕШЕНИЕ Обозначим искомую сумму через z, так что z — Л-j-5s + Cs2 4- 5s3 + . . . + Ms'-1 + TVs1 + и т. д., и, дифференцируя, получим = 0Л+ lBs+2Cs2 + 3Ds3+ ... + (г- 1) ТИ^"1 + + и т. д., а комбинируя это выражение с предыдущим, найдем ^^j-/iz = M + (»i + /i)5s+(2m + /i)Cs2+--- + [(i-i)m-[-h]Msl~1+(im + h)Nsl+ и т. д.г но затем таким же образом получаем + kz = kA + (и + k) Bs + (2ti + k) Cs2 + -. - 4- [(i — 1) и 4-Л] TWsl-1 + (in,4- k) TVs’' + и т. д.г г) Ejus summain per formulam integralem exprimere.
ГЛ. XI. ПОСТРОЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ПО ИХ РЕШЕНИЮ 223 следовательно, поскольку (nA~k)B = hA, (2nA-k)C = (mA~h)B и т. д., будем иметь + kz = кА 4- + (т~г h) Bs2 4- (2т 4- h) Cs34- и т. Д., откуда, очевидно, получается nJ± + kz = kA + ^hsz ds ds или же sdz(n — ms) A~zds(k — hs) = к A ds, то есть s(n—ms) s(n—ms)' Так как теперь имеем ds (к— hs) _к ds (тк — nh) ds s(n— ms) ns n(n—ms) ’ а это уравнение становится интегрируемым при умножении на к nh—mk s™ (п~- ms) тп , то получаем nh—mk h к 1 nh—mk (п — ms) та s™z = Ак \ s” ds (п — ms) тп , и этот интеграл надо брать так, чтобы, когда полагаем s = 0, было z= Л; заметив это, найдем k mk—nh к * nh—mk z=Aks n(n — ms) тп \ s” ds(n — ms) тп СЛЕДСТВИЕ 1 1060. В особом решении нуждается случай т?г = 0, когда имеем dz + z ds (к- hs)Akds ns ns k^ —hs после умножения на sne n это уравнение дает rii * « (. e n snz = — \ e n sn ds, n 2 откуда h3 p ~hs z = — en sn \ e n sn ds, n J где интеграл берется так, чтобы z = A, когда полагаем s = 0.
224 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА СЛЕДСТВИЕ 2 1061. Случай /г = 0 также должен быть решен отдельно. Действи- тельно, уравнение , . . f hs — к Л А к ds dz + zds[ ---=— =-------о- \ ms* J ms* h k надо множить на sm ems , и тогда найдем интеграл k h k h 2 z =---1 \ s~^~ ds. m J откуда ., -fe -b fe b______________________________2 z =-----e ms s m \ ems s m ds. w j СЛЕДСТВИЕ 3 1062. Если бы было и т — 0 и п = 0, то, так как N = ^M, наш к ряд был бы геометрическим, а наше уравнение было бы zds{k — hs) = Ак ds, то есть — Ак 2 к — hs ’ как, очевидно, требуется по сути дела. ПОЯСНЕНИЕ 1063. Прежде всего, здесь заслуживает быть отмеченным тот случай, когда /с — 0 и сумма z может быть выражена без знака интеграла. Действительно, получаем h (n — ms) т z - Const и, так как при $=0 должно быть z — А, будем иметь ь Const= Апт , следовательно, h -h z=Anm (n~—ms)im или также z — Л(^1 то есть z ~ А Правда, интегрирование удается также и в том случае, действительно, тогда когда к — п; {п. — ms) т sz = Ап \ ds (ji ~ 21—2 ms) т
ГЛ. XI. ПОСТРОЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ПО ИХ РЕШЕНИЮ 225 и этот интеграл равен Ап (п — ms)m Const--- -7—— -------. /г — т А так как при $ = 0 имеем z — А, то получим А 0 = Const —-j---п т , /г — т и поэтому 1_Л _ Ап Г < ”__Л ™ _ л I = Ап Г < 1 _ ms Л т _ 1 ] (Л — т) s L — ms) J (Л— т) s к п ) J Далее, мы усматриваем, что интегрирование может быть выполнено в случае к = 2п, так как тогда имеем h h —3 (п — ms) т и этот интеграл = Const — (д ms)т + \ ds (п - ms) т h — 2т ' 7 1 h — 2т J ' 7 то есть _у_ 9 — “i = Const( п - т s\ ™ _ 2An(n-mS)m_____ где s2z = 2Ап s ds(n — ms) , h 9 с _п h —2т (h — т) (h—2т) h 2Ап^ Const — 7Т~~ \ /г й \ > (Л — т) (h~2m) и, следовательно, _________2Ап2______ Г / п У m 2 (Л —2пг) s 1 2 (Л — m)(k — 2m)s2 |_ \ п —ms ') nJ* Таким же образом интегрирование осуществляется также и в случаях к=3п, к = 4п и т. д. ЗАДАЧА 134 1064. Предложен следующий бесконечный ряд: + + + A9W+ и т. д., причем закон коэффициентов таков: b=^±!la, с = d = ^±^c,..., nAL-^+^m, in—J— к 2п-^-к Зп —р к in—к да °н+л_ эд g _ Ai±2L $8 = -!А^~Т| ® . SJi==IrdLLll + ^ «в- 10 ь+о ’ 2^4-в 3v4-o v’ - ’ ь+о JJt' выразить его сумму в виде интеграла. РЕШЕНИЕ Обозначив сумму [через ?/]: у — АШ + + и т. д., рассмотрим ряд, образованный следующим образом: z = А + Вих тр Си2х2 -у Du2x^ Еи^х^ + и т. д.
226 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА Его сумма, если положить ux = s, как мы только что нашли [§ 1059] есть k mk—nh k nh—mk z = Aks 71 (п — ms) mn ^sn ds (n — ms) mn , где интеграл определен так, что при .s = 0 имеем z = A. Образуем интегральное выражение такого вида: V Pz dx = Р dx (A -f- Buz + Си^х2, + Du3x3 -p и т. д.), в котором и рассматривается как постоянное, а в качестве Р берем такую функцию от ж, чтобы иметь Pxdx = ( Р dx, ( Рх2 dx = Рх dx, \ Px3dx = С Рх2 dx и т. д. J ’Д J J J J J Конечно, в этих интегралах, которые берутся согласно данному пра- вилу, переменному х придается затем некоторое заданное значение1). Поскольку отсюда получаем, что Pxdx — Р dx, Рх2 dx = Pdx, Px^dx = Pdx и т. д., то будем иметь TZ f л . в® .се 2 , Ш) о , л с п , Е = + й + и2 + -^-и3+ и т. д.^Рйя, откуда, очевидно, следует, что эду 31 Pzdx У = -----------------------------= —/------• * I Pdx Р dx Таким образом, так как значение z известно, остается только определить функцию Р от х, удовлетворяющую указанным условиям. Но вообще должно быть: Рхг dx= Рх^1 dx = Рх1~г dx, J ЭЛ j J и так как достаточно, чтобы это равенство имело место только для какого-то определенного случая, когда [количеству] х придается задан- ное значение, то мы вообще положим (iv + 6) Рх1 dx = [(г — 1) р 4- т)] Рхх~г dx xxQ, так чтобы для границ интегрирования2) было (7 = 0. Стало быть, диф- ференцируя, получим (zv + 9) Рхг dx = (zp — р + *1) Рз?~г dx + xldQ + ix^Q dx, или же, деля на х^1, (z\ + Ю Рх dx = (zp “ р + *1) Р dx 4- xdQ 4~ iQ dx, х) Postquam scilicet in his integralibus data lege sumtis variabili x datus quidem valor fuerit tributus. —Иными словами, рассматриваются определенные ин- тегралы, зависящие от параметра и. а) Pro terminis integralibus. Это выражение, применение которого сократило бы Эйлеру многие формулировки, когда у него речь идет об определенных интегралах, появляется здесь в этом томе впервые и в дальнейшем встречается только эпизоди- чески.
ГЛ. XI. ПОСТРОЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ПО ИХ РЕШЕНИЮ 227 а так как это равенство должно оставаться в силе для всех значений i, то мы из него выводим два уравнения: уРх dx = рР dx -\Qdx и ЪРх dx — (tj — ;l) P dx x dQ, откуда двумя способами находим и Pdx = -,~ xdQ . . vx — u Or—(т(— Поэтому, деля одно значение на другое, получаем х dQ __ Ог-]-|Л—7] r dQ — 7|) Q dx nx—[Л ’ * ' Q ~~ r(vr-p-) ’ что преобразуется в = dx Q р-r И- Отсюда, интегрируя, найдем 2L-i ^-^+1 Q = xv- (ух — |i) умнож. на Const, или же ——t + 1 Q = — X^ (|1 — ух) , следовательно, Pdx = x^ dx(p — ух) , и поскольку Г - Г . i+’-l ! (i\ + 6) \ Pxrdx— [(£ — l)u \ Рхг 1 dx — x **• — ух) , если эти интегралы берутся таким образом, что они исчезают, когда £ = 0, и вместе с тем принимается # = то, как и требует наша гипо- теза, Рх1 dx = ——. РхУ1 dx. j iv-р a j Конечно, при этом необходимо, чтобы было i + 2L_ 1 > о и fcTL + l>0. (Л [IV Если это условие осуществляется, то сумма предложенного ряда выра- жается следующим образом: 15 _t бн-^v - ч _ t бр'-'цу у \ х^ dx (|i — чх) p v = $£ \ z dx ([1 — ух) , причем —mk~nh k nh—mk z = Aks n (n— ms) mn \s n ds(n — ms) mn , и этот интеграл берется так, чтобы было 2 = И, когда полагаем s = 0. Когда же найден этот интеграл, вместо $ надо написать их, и после
228 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА подстановки этого значения для z в предыдущую формулу количество и нужно рассматривать как постоянное, пока интегрирования не будут выполнены по указанному правилу. Тогда действительно в качестве у получим функцию от и, выражающую сумму предложенного ряда. СЛЕДСТВИЕ 1 1065. Так как для спаренных коэффициентов нашего ряда принят одинаковый закон построения1), то можно переставлять между собой ряды Л, В, С, D и т. д. и ЭД, 53, (S, ® и т. д., так что по указанному методу получаются две формулы для выражения суммы ряда. СЛЕДСТВИЕ 2 1066. Хотя функция Q не входит в полученные выражения2 * *), ее, однако, нужно знать, так как по ней должны быть установлены гра- ницы интегрирования, так, чтобы для обеих границ было Q = 0. Оче- видно, эти границы суть х = 0 и х == , если только t + 1>0 и 6р.--тр u i q, где целое положительное число, рл СЛЕДСТВИЕ 3 1067. При определении функции Q надо отдельно рассмотреть те случаи, когда либо р—0, либо v = 0. В первом случае при р = 0 имеем dQ __ dx($x— r() ' 6 dx rtdx Q vr2 vx vr2 ’ откуда 3_ 6 Q = e* x " . Во втором случае, когда v = 0, имеем dQ dx (Ox p — tq) _ 6 dx ( yj—p dx Q —[ix p p x и, таким образом, -Qx j__j Q — e и x1(1 ПОЯСНЕНИЕ 1068. Добавленные таким образом построения вполне сходны с теми, которые изложены в предыдущей главе, поскольку дело также сво- дится к интегральному выражению вида Vdx, в котором V — функция двух переменных и и х, причем переменное и считается при интегри- ровании постоянным, а после интегрирования переменному х припи- 0 Quia in geminatis coeff icientibus nostrae seriei similis lex progressions assumitur; смысл этой, пожалуй, чересчур краткой формулировки вполне понятен, если вспомнить условие задачи 134. 2) .Подразумевается: для суммы ряда. В оригинале сказано: Etsi functio Q non in calculum ingreditur ... Буквальный перевод (хотя функция Q не входит в вы- числение...) исказил бы смысл.
ГЛ. XI. ПОСТРОЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ПО ИХ РЕШЕНИЮ 229 сывается некоторое данное значение. Однако последнее ‘ построение распространяется на случаи, которые не охватываются предыдущим методом, поскольку может статься, что количество z содержит сложные трансцендентные функции1). Также, и наоборот, мы видим, что пре- дыдущий метод может быть применен к уравнениям такого рода, кото- рые не могут быть решены с помощью рядов, какие мы здесь рас- сматриваем, и поэтому, как нам представляется, в Анализе таким путем могут быть получены достойные внимания новые результаты2). ЗАДАЧА 135 1069. Предложено дифференциальное уравнение второго порядка х* (а 4- bxn} d2y + х (с 4- ехп) dx dy 4- (/ 4“ g^n) У dx* = 0. Представить значение у в виде интеграла 3). РЕШЕНИЕ I Приведенное выше уравнение (§ 967) развернем в ряд следующим образом: положив у——2 хк (А 4- ВхпСх1п 1)хзп д-Jxx^-Y и т. д.), мы придадим первому показателю X значение корня уравнения Х(Х- 1)а + \с+/ = 0, и тогда, положив ради краткости Х(Х — 1) & 4- Хе 4- g = h, будем иметь о _________________________~_________д п [na4-(2X —1) а4-с] ’ „__ —п2Ь — (2Х — 1) nb— пе— h „ С “ 2п [2шг4-(2Х —1)л4-с] р. —кп2Ъ— 2 (2Х— 1) nb— 2пе — h „ V " 3?i[3na4-(2X —1)а4-с] ° и, следовательно, если обозначить два каких-либо смежных члена указанного ряда через п 4- Nxin, то в общем виде получим у _ — (г — I)2 п2 b—(2Х — 1) (г — 1) nb — (г — 1) пе — h 1 ~ in [гпа4-(2Х—1)а4-с] В этом выражении, поскольку знаменатель уже содержит те множи- тели, которые мы раньше [§ 1064] определили, мы разложим и числи- тель на множители и, приравняв его нулю, найдем (i-i)n= 1)-^ ± / fpT -1?+--Г. то есть (i- l)n= -4(2X-l)-^±/(&-e)2-W 0 Quandoquidem fieri potest, ut quantitas z functiones maxime transcendentes involvat. 2) Здесь Эйлер снова подчеркивает перспективность метода интегрирования предыдущей главы. 3) Valorem ipsius у per formulam integralem construere.
230 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА Положим ради краткости V(b — ef—4bg = q, так что и тогда наше соотношение становится -[(Z-I)n6+I(2x-1)6+Ae-A?] pr-i)„6+l(2x-i)6+Ae+A9J inb [ina(2К—:1)я4~с] Положим теперь хп~и и представим полученный ряд таким образом; -У = ЛЯ + B4Qu + CSw2 + . .. 4- Л/W'-1 + Ши* 1 + и т. д. хк Закон для двойных коэффициентов в этом ряде будет таков: (Z_1)„6 + _L(2^1)6 + A е—U 7V =-------------------------—М — то И 1 11 (Z„l)n6+ (2X-1)6J 91 = -,---• L . -------------— ж, та 4~(2Х — 1) a-pf а так как этот ряд подобен тому, который мы построили раньше, то мы произведем сравнение и получим т = nb, h = у (2Х — 1) b + е — у q, п= — nb и к = 0, P = nb, i) = -i-(2X —1)6 + -|е + у7, у —па и 0 = (2k — 1) а -|- с. Таким образом, мы прежде всего будем искать количество z, а для того чтобы из-за буквы х не получалось двузначности, мы восполь- зуемся вместо буквы х примененной в предыдущей задаче буквой £, так что пусть ut = s, и, так как к — 0, на основании § 1063 будем иметь —(2Х — 1) b—e+Q —(2Х — 1) Ь—е+з Z = А (1 + S) 2пЪ = А (1 + Ut) * Когда найдено это значение, в последующих интегрированиях коли- чество и будем рассматривать как постоянное и, поскольку то, что выше [§ 1064] было [обозначено] г/, теперь есть , a t есть то, что X*- выше было [обозначено] х, получим с 01х—qv - q_1 бн—qv Ar \ dt(p— W) =Я\^ zA([i-W) HV . хК J J Так как здесь м = яп, то мы можем написать сразу это значение вместо и, и, следовательно, -(2Х-1)Ь-е+з И = л(1 + Л) 2пЬ
ГЛ. XI. ПОСТРОЕНИЕ УРАВНЕНИИ ПО ИХ РЕШЕНИЮ 231 и при этих интегрированиях буква х должна рассматриваться как постоянная. Если при этом • + А_1>0 и fcvL+i>0, 1 р, рл 1 то эти интегралы надо брать таким образом, чтобы они исчезали, когда t = 0, после чего [переменному] t надо приписать значение t = . Поскольку единица является наименьшим значением для г, достаточно, чтобы было (2к-1)Ь + е + 9 п 2лЬ U и, вместе с тем, (2к— 1) ab-]~2bc—ае — aq . 2паЬ Н 1 " U‘ А теперь, поскольку \ t»- dt (р — vi) является постоянным количеством, а нашему уравнению, кроме у, равным образом удовлетворяет также любое его кратное, то его инте- грал выражается в таком виде: y = Cx*\tv- zdt(p — vt) , где —(2\ —1) Ь —e+Q г = (1 + Л) 2п6 РЕШЕНИЕ II 1071г). Если переставить между собою спаренные коэффициенты2), так что m = nb, Л = -|-(2к — l)b+^-e + ^-q, п = па, k = (2k — 1)а + с, р. = пй, 7] = у (2k — Ijb+^-e — ^-q, v = —nb} 9 = 0, а К взять из уравнения Х(Х—1)а + кс + / = 0, то, прежде всего, положим xnt = s и будем искать z в виде ~h mh—nh nh—mk_j z = Aks n (n — ms) mn \ sn ds (n — ms) mn , x) В первом издании «Интегрального исчисления» этот параграф занумеро- ван 1071 вместо правильного 1070, но и все следующие параграфы имеют соответ- ствующие номера: 1072, 1073 и т. д. Поэтому для удобства ссылок и сопоставлений мы, следуя примеру Opera Omnia, сохраняем и здесь эту нумерацию. 2) Coefficientes geminates.
232 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА причем интеграл определен таким образом, чтобы при 5 = 0 было 2 = А, а это значение А является произвольным. Тогда, рассматривая х как постоянное, будем иметь г l-i у = Схх \ tA zdt (р — vt) , где интеграл берется так, чтобы он исчезал, когда положим £ = 0, и вместе с тем принимаем t = — , -если только — > 0 и 1—— > 0 (так Г Ч [Л |Л Х как 9 = 0). Заметим здесь, что z определяется следующим дифферен- циальным уравнением: dz Ak-z(k-hs) ds s (n — ms) РЕШЕНИЕ III 1072. С помощью нисходящего ряда будем решать предложенное уравнение [§ 967] следующим образом. Положив у ~ (Л + Вх~п + Сх~2П 4- Dx 3n + и т. д.), надо определить показатель X из уравнения Х(Х- 1) 6 + Xe + g = 0, и тогда, положив X (X — 1) а + Хс 4- / = h, будем иметь Р _______~h_______ А (2k —1)6 — е] 1 —п2а4“(2Х—1) па— пс — h С = 2n[2n6-(2k —1)6-е] & и вообще у _ —(i— 1)2п2а4-(2К— 1) (z— 1) na-|-(z 4~1) «с — h in\inb — (2k—1)6 — е] Это равенство, если положить — с)2 — = после разложения на множители представится в виде1) [1 1 \ 1 г 1 111 (z—1) па —(2k—1) а — у с — у pj (г—1) па—- (2k—1) а— у с4-уР] xv iпа'[inb— (2k — 1)6 — е] Если теперь мы положим х~п=и и составим следующий ряд: ^ = Л^4-В33гг4-С®гг24- ... 4- Жи"14-№№?4-и т. д., то будем иметь 111 (г-1) па—- (2k -1) а--у с—— р N =----------—--------------— М — та И 1 11 (г-1)па- (2k-l)a-v с4- — р =-------- / ПА --------- 9J?, mb — (2k — 1) b — e x) Ita per factores exhibetur.
ГЛ. XI. ПОСТРОЕНИЕ УРАВНЕНИИ ПО ИХ РЕШЕНИЮ 233 и, сравнивая с общим построением, получим 1 11 т = па, h= — у (2к — 1) а — — с — п~ — па и к = О, р = — у (2к — 1) а — у с + у Р, ч — пЪ п 9 = — (27 — 1) b — е. Положим здесь s=ut = x~nt, тогда — h — h z = A (1 + s) = A (1 + x~nt) m , и после того, как найдено это значение, мы получим, считая теперь переменным только количество Z, следующее построение: С 5-1 9р—V у = Сх1\1* zdt^ — vt) , где границы интегрирования установлены таким образом, чтобы на обеих границах было т>_ 9ц.-т)У , 1 —vZ) ' = 0. РЕШЕНИЕ IV 1073. И здесь можно переставить между собой спаренные коэф- фициенты, и тогда 1 11 т = па, Л = —-(2Х— 1)а—уНуР, Z Z Z п = nb, к = — (2Х — 1) b — е, Р = па, т] = — -Г (2k — 1) а — Т с — 7 р, м = — па и 0=- 0. Как и раньше [§ 1072], берем X из уравнения k(k-l)6 + ke + g=:0 и принимаем ]/(« — с)2 — 4«//?; полагая s~x~nt, ищем z из уравнения dz __ Ак — z(k— hs) ds s (п — ms) таким образом, чтобы, когда $=0, было z~A, откуда получаем — k . mk—nh k j nh—mk z~Aksn(n—ms) mn \sn ds(n-ms) mn , и, рассматривая теперь x как постоянное, найдем (* Л-1 9p--~nv у = Сх^ \ zdt(p — vt) p-v где границы интегрирования надо взять таким образом, чтобы на обеих было 1 f,P--Y<V _L 4 =0.
234 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА ПОЯСНЕНИЕ 1074. Каждое из этих построений можно представить несколькими способами, так как не только X может иметь два значения, ио и ради- кальные выражения для р и q обладают двумя знаками. И такие построения дают решение вопроса иным путем, чем предыдущие; для того чтобы это отчетливее выявить, рассмотрим уравнение [§ 978] х2 (1 — х2) d2y — х (1 -р х2) dx dy -|- х2у dx2 = 0. Итак, здесь а = 1, b = — 1, с = -1, 6 = -1, / = 0 и g= l, а также п — 2. Следовательно, при первых двух построениях получается X (X — 1) — X = 0, стало быть, либо X = 0, либо Х=2, и вместе с тем q=-\-2. Таким образом, первое построение дает Х = 0, т — —2, h—^1, п — 2, к — 0, а = — 2, т] = + 1, м = 2, О = — 2. Отсюда получаем 1 г ^=--1 ’ i-1 Z = (1-f-х2^2 и у = С \ t 2 Z dt (1 4- 0 t2 Пусть выбраны нижние знаки, так что г = и у = с\--------- ' (1 +г) Гг (1+г) Покажем, каким образом эти выражения удовлетворяют [уравнению]. Действительно, считая только х переменным, найдем dz xt d2z 1 --—----______ л = dx ]1 + x2t dx2--------------3 (1 + x2t)2 следовательно, dy _ C xi dt d2y _ C t dt di ~ b } 1 3 1 И d^ ~ b J 1 3 3 - t2 (1 + t)2 (14-z2t)2 i2(l + i)2 (1 + x2i)2 откуда получаем я2 (1 - x2)- X (1 + X2) ¥+x2y = c\ x2dt(i-x^) v 7 dx2 4 7 dx 1 3 JI 3 3’ t2(l+t)2(l+*2*)2 2Cx2 УХ и интеграл в этом выражении равен г . Так как он исче- г г У(1 + *)(1 + *2*) зает как в случае 2 = 0, так и в случае £=оо, то построение нашего уравнения [с помощью формулы] „с zdt п Г с?гУ1-1-х2г у — С \ г —— — С \ — J (1 + t)/*(1+0 J (1 + 0/г(1 + «) должно быть завершено следующим образом: полагая х постоянным, производим интегрирование так, чтобы интеграл исчезал при 2 = 0, после чего принимаем / = оо, и та функция от х, которую получаем как [значение] у, удовлетворяет предложенному уравнению. Если же мы выберем второе построение, то, взяв X = 0, будем иметь т — — 2, h = ± 1, п = 2, к = — 2, у. = — 2, т] = ЯГ 1» = 2, 6 = 0, a z так должно быть определено из уравнения dz + + ds $(2 + 2$) ’ где s = чтобы при s = 0 было z=A.
ГЛ. XI. ПОСТРОЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ПО ИХ РЕШЕНИЮ 235 Пусть выбран верхний знак. Тогда имеем , zds(2-]-s) —Ads dz---ъ 7,-—/ = —и---Г’ 25(l-pd’) s(l + $) У 1 4- <s* и, помножив это уравнение на 9 , получим интеграл 5 J г у 1 + 5 ’ то есть _ =/|_ As I 1 + 1 + У “ ~ уТ + /Гу ’ что при $ = 0 дает z = A, каково бы пи было В. Затем получаем С 1—1 _1 г- zdt y=Cyt“ zdt(l + t) -, то есть У = С) > но не легко показать, каким образом это значение удовлетворяет уравнению. Тем более указанный метод заслуживает развития1). ПРИМЕР 1075. Представить те построения дифференциального уравнения второго порядка х2 (1 — х2) d2y — x{l^x2)dxdy -t- x2ydx2 = 0, которые получаются из предыдущей задачи. Так как и = 2, а = 1, &=—1,с=—1,е=—1,/ = 0и§'=1, то для первого построения имеем либо Х = 0, либо К = 2, откуда получаем [такие случаи]. 1) Если X — 0, то, как мы только-что нашли, т — — 2, /т = + 1, /г — 2, А: = 0, ч = — 2, ^=±1, v = 2, 6 = — 2, так что 1 1 1 Z = (1 4- А)Т2 и y = + \ и таким образом получаем два построения2); одно из них: z = 1/Т+~А и у = С \-------~dt___, J (1 + о/Ц1 + 0 а второе: 1 (* z dt Z — Г _ — и у — \ ------. „ /l-px2t J t /t (1+0 2) Если k = 2, то, поскольку q= ±2, имеем яг = —2, /г= —2 + 1, и = 2, А: = 0, ц=—2, т)= —2 ± 1, v = 2, 6 = 2, !) Hocque magis ista methodus excoli meretur. 3) Термин «построение» (constructio) в ходе изложения этой главы постепенно становится синонимом термина «решение» (подразумевается: дифференциального уравнения в виде квадратуры). Это отражено в переводе.
236 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА откуда г ' 1 4 z — (1 + й) и у = Сх2 \ t zdt(A-^t) . Таким образом будем иметь два построения; одно из них: z = (1 + x2t) 2 к у~ Сх2 \ z dt , J у t а второе: z=(1-|-£2Z) % и у = Сх2 z dt У t Для второго построения в общем виде имеем: 3) Если л = О, то, переставляя соответствующие обозначения, по- лучим т — — 2, /г = i 1, тг = 2, к — — 2, р = — 2, ?]= 4= 1, м = 2, 9 = 0 и теперь, положив x2t = 5, прежде всего будем искать z из уравнения с?2 — 2Л-j- 2 (2 ~'г $) ds — 2s (14-5) ’ так чтобы при 5 = 0 было z=A, а тогда будем иметь У ±п“1 T9 t zdt(l-\-t) . Следовательно, отсюда получаются два построения; одно из них: dz _ -2A + z (2 + s) ‘ 2 dt ds 2s(l-p) а второе: dz -2Л + 2(2-.) y = c \ 2 dt У 14~г ds 25(1-H) yr 4) Если k = 2, m = — 2, будем иметь /г= -2 ± 1, n = 2, /с = 2, ц=-2, t]=-2+1, ^ = 2, 9 = 0 и, положив, как и раньше, x2t — s, будем искать z из уравнения d2= 24 —z[2-|-(2T 1)*] ds 25(14-5) ’ и тогда получим _Д 2 ч=1 у-~ Сх2 t 2 zdt(i-^t) 2 , откуда тоже получаются два построения; одно из них: dz___2А— z (2-!-5) _ 2 С z dt ds 25(14-5) J (1+0/ГЙ ’ а второе: dz 2A— 2(24-35) ds 2s (1-|-5) II у = Схг 2 dt iWW
ГЛ. XI ПОСТРОЕНИЕ УРАВНЕНИИ ПО ИХ РЕШЕНИЮ 237 Из третьего решения прежде всего получаем — к (к — 1) — X + 1 == 0, то есть к2 == 1? и, следовательно, к — Т 1 и р — J/4 — 4 2. Таким образом; 5) Если взять к == 1, будем иметь т = 2, кг—41, п=-2, /с-0, ч=2, т]-±1, м— — 2, 0=2, и, следовательно, и у — Сх t 2 z dt (1 +1) , так что снова получаем два построения; одно из них: л второе: С z^t у яа-Н 11 у' Сх J + О 6) Если взять к = — 1, будем иметь т-2, Л-2 4 1, -2, /с = 0, и -2, т] - 2 4 1, v- -2, 6- — 2, и, следовательно, z = 4 + и у^\1 2 z dt (1 -t- i) 2, откуда вытекают два построения; одно из них: х С Г zdt уТ Z — ... — и у — - - \ f , + г J Vl^t а второе: Наконец, из четвертого решения заключаем: 7) Если к — + 1, то т = 2, Л — 4 1, п = — 2, /с—2, ^ = 2, —2, 6 — 0. Положив теперь s — -4-, ищем z из уравнения dz _ — 2Л + z(2 т 4 ds 2s (1 4- $) ’ так чтобы при s — 0 было z — Л, а тогда будем иметь т£_1 J у — Сх t 2 zdt(l-yt') 2,
238 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ уравнения второго порядка откуда получаем два построения; одно из них: dz —2А + z (2 —s) г С zdt ]/.l + t ds 2s (1 + s) J } t У t а второе: dz _ — 2Л +s(2 + s) _ r C zdt ds 2s (1 ч-s) У J |A(1 +t) 8) Если a — — 1, получаем m = 2, h = 2± 1, n = — 2, k = -2, и = 2, Т| = 2?17 v= —2, 6 = 0 t и, положивмы должны искать z из уравнения dz_ +2Л — z[2 + (2±l)s] ds 2s (14~5) * так чтобы при s = 0 было z~A; после чего будем иметь с с У = ~ \ t Z(/Z(l + Z) п таким образом получаются два построения; одно из них: dz 2Л—£(2 + 3s) ds 2s (1 + s) С Г zdt х J /гТП^У ’ а второе: dz_2A—z(2 + s) rfs “ 2s (1 + s) zdt Уt (1 + 0 C y = ~ Итак, всего мы вывели шестнадцать построений. ПОЯСНЕНИЕ 1076. Попытаемся показать, каким образом предложенному уравнению удовлетворяют те построения, которые представляются наиболее сложными, и с этой целью мы выберем последнее построе- ние из 4) [§ 1075], когда имеем , t z ds (2 + 3s) _ A ds Z 1 2s (l-J-s) s (1 + s) Это уравнение после умножения на $]/1 + s дает интеграл szy T+s = A \ -S^L= = 2Ayi + s + B, J У 1 + s т. с. 2А . В 2 = —Ч—777= • S s у 1 + S Для того чтобы при $ = 0 было z = At должно быть В~ — 2А, так что- _ 2Л (/ГТ7—1) __ 2Л _ 2А S ]/1 + S tx2> ?X2]/*14-^2 Отсюда / dz \ _ — 4Л 2А (2 + З^х2) Vrf# ) ~~ г? lx3 (1 4~^Т2)2
ГЛ. XL ПОСТРОЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ПО ИХ РЕШЕНИЮ 239 ( — 12Л _ 6Л(2 + 4- 4z2 зz4 * *) ta4 (1 + ^2)2 XI C x2z dt А так как имеем у —С \ — — , то J ]/?(! +г) Z' dy 'Х । {j С х^ dt f с?2"\ J )Л(1~Н) 1 ' у4(1 + г) И ГЙ^ = 2С \ r Zdt + 4С xdt (г}+с (~А \dx2J Э/г(1 + г) J -/«(I + г) \dxj Дуг(1+г)\<^7 и, следовательно, §-x(i+^)g+^ _С dt J Vt(i+t) 2Ах2 t 2Ах2 (14-4?х2 + Зг2х2) Е ~ t (1 + tx2)2 а этот интеграл равен —4ЛСх2/1+г /г’ 4Л0ж2 /1 + г _ ЬАСх* V'i+t / 1 з _ ( 3 (l + ix2)2^: '(1 + гж2)2 что может быть представлено в следующем виде: - 2Сх* [ 3z 4- я (g) ]/7(Т+7)] или же таким образом: - 2Сх* yt (14-Т). i4~ta2 r v 1 7 Но это выражение становится —0, во-первых, если t= — 1, а затем также если £ = 0, и поэтому найденное для у значение у = d{ —..dt (1----Х j г у г (1 + г) \ /1 + г®2, должно быть определено нри интегрировании так, чтобы оно исчеза- ло, когда t — 0; после чего полагаем £= — 1. Или же, полагая — у, будем иметь y=D\ ±L^(1--A=. J vyu(l — v) \ pA— vx2 где интеграл берется так, чтобы он исчезал при у = 0, после чего при- нимаем v — 1. Этого примера достаточно, чтобы показать, каким образом пред- ставленные построения удовлетворяют дифференциальному уравнению второго порядка. Правда, иногда, если количество z выражается транс- цендентно, например, через логарифмы, установить соответствие можно только с помощью чрезвычайно обременительных вычислений.
240 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА ЗАДАЧА 136 1077. Положим у — С (1 + Z)v-1 (<2 + dt, где при интегрировании количество х рассматривается как постоянное, а затем границы интег- рирования определяются таким образом, чтобы у равнялось определенной функции от х. Найти дифференциальные уравнения второго порядка вида Lx2^ + Mx^ + Ny = 0, dx2, dx которым удовлетворяет эта функция. РЕШЕНИЕ Так как на основании установленных выше положений имеем d~---C XZ(1 + Z)V-1 (a + tx^-ldt g = с р. (х -1) z2 (i + tV~l (a 4- получим = C (1 + Z)v~‘ (a + tx)l~zdt [X(X-1) Lt2x2-\-\Mtx (a-'7-tx) N(a + tx2)] (Na2 -p 2Natx -P Nt2x2 = C (l + Z)v-1(a + Z:r/_2dZ +lMatx + \Mt2x2 J [ H-X(X-l)Az2x2 и это выражение должно полностью интегрироваться, когда прини- маем х постоянным1). Итак, положим интеграл равным С (1 + Z)v (а -р Лг/-1 (Ра2 -Р Qatx), где Р и Q обозначают какие угодно функции от х. Его дифферен- циалом будет С (1 + i)v-1 (а tx)x~2 dt [v (а р tx) (Ра2 Qatx)-\- + (Х — 1)^(1 +Z) (Pa2 + Qatx) + Qax (1 -P t)(a -P ta)] = C(1 + Z)V-1 (a + Zx)k~2dZ + ^\z3 vQa2tx -P 'iQat2x2 + (X — 1) Pa2x vPa2tx + (K-\.)Qat2x2 Qa2x -P (a — 1) Pa2tx p (X — 1) Qatx2 p Qa2tx -P Qatx2 -P Qat2x2 и из сравнения этого выражения с предыдущим находим N = уРа + (X - 1) Рх + Qx, 22V + ХМ =(v-Hl)(?a-f-(X + v- 1) Pa-'r\Qx, N + + l)L=(X + v)(?a. Quae formula sumta x constante absolute integrabilis esse debet.
ГЛ. XI. ПОСТРОЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ПО ИХ РЕШЕНИЮ 241 Вычтя из суммы первого и третьего уравнений второе, получим Х(Х- 1)L= __(Х-1)Ра + (Х-1)Р^ + (Х- 1)<?а — (к — 1) следовательно, XL= (а — х) (Q — Р), т. е. — x)(Q — Р). Вычитание из второго уравнения удвоенного первого дает ХМ = (X - - 1) Ра - 2 (X - 1) Рх + + 1) Qa + (X - 2) Qx, то есть ХМ = [(^+1)а+(Х-2) я] (Q — Р)+ \(а —х) Р. Таким образом, если взять в качестве Р и Q какие угодно функции от х и определить функции Lt М, N так, чтобы L = ^(a — x)(Q — Р), М = 1)<г + (х + 2)а:]«?--Р) + (а — х)Р, N -x(Q — P)+^a + 'kx)Pf то дифференциальному уравнению второго порядка Lx2d?y 4- Мх dx dy 4- Ny dx2 — О будет удовлетворять интегральное выражение у = С (1 + О4-1 (а + tx)x dt, где х рассматривается как постоянное, если только границы интегри- рования установлены таким образом, чтобы на каждой из них исчезало выражение (1 + t)v (а + tx)^1 (Ра + Qtx). (Следует также отметить, что эти границы не должны зависеть от х.) Однако сразу видно, что указанное выражение становится =0 в слу- чае t= —1, если только v > 0. Затем оно исчезает также тогда, когда 2=оо, если только v4-X — 1 4-1 есть отрицательное число, т. е. если v4-^<0- Таким образом, если м>0 и у4-Х<0, интеграл у = С (1 + t)v"‘ (a + tx/dt надо брать так, чтобы он исчезал, когда а затем полагать £=оо, и та функция от х, которая получается как значение у, будет удовлетворять предложенному уравнению. СЛЕДСТВИЕ 1 1078. Так как функции Р и Q не входят в интегральное выраже- ние, принятое для у, то очевидно, что это выражение удовлетворяет всем дифференциальным уравнениям второго порядка, какие бы значе- ния ни придавались буквам Р и Q,
242 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА СЛЕДСТВИЕ 2 1079. Итак, если принять Q — P, то то же интегральное выраже- ние = Д + (a + tx/dt удовлетворяет также следующему дифференциальному уравнению пер- вого порядка: (а — х) xdy 4- (va + ).х) ydx = Q. Действительно, интегралом этого уравнения является у = ——~> х и это значение вообще удовлетворяет также нашему дифференциаль- ному уравнению второго порядка, что быстро обнаружится при про- верке J). СЛЕДСТВИЕ 3 1080. Таким образом, значение интеграла у = С (l + i)V-‘(a + ^)K^ взятого в определенных границах* 2), должно совпадать с алгебраиче- ским выражением Dta-x)^ у =-----» х если только v > 0 и k-}-v<0. ПОЯСНЕНИЕ 1081. Итак, мало что осталось выяснить в интегрировании, которое изложено в предыдущей задаче. Однако сведение интегрального выра- жения у = С (1 + (а tx)K dt к у г— х весьма заслуживает внимания (первое сводится ко второму, если пола- гаем ^ == оо в интеграле, взятом так, чтобы он исчезал, когда Z = — 1). Мы положим X4-v~ —— [j,, так чтобы ц и v были положительными чис- лами, и тогда с ?(1 + dt = D J (я 4- x^ (a—x)^ 3) Id quod tentanti max patebit. 2) Secundum terminos definitos.
ГЛ. XI. ПОСТРОЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ПО ИХ РЕШЕНИЮ 243 Или же, положив l-}-t = z, будем иметь г?"1 dz _ D (а — x-|~a;z)g,+V xv(a — х)и причем границами этого интеграла являются 2 — 0 и 2=00. Впрочем, это замечание не существенное1). Действительно, положив а — х == по1, будем иметь С dz __ D x-+v J " x^ + v^ ’ ? 1 dz и, следовательно, выражение ;——- , где интеграл таков, что он л А исчезает при 2 —(J, а затем принимается 2 — 00, принимает вид — , ил причем А обозначает постоянное количество, нс зависящее от и. Одна- ко оно зависит от показателей р. и у по закону, который легко подме- тить при рассмотрении [отдельных] случаев. А именно, если положим С dz j (и-гА:х4 ^ "и? ' 1 то при v = 1 этот интеграл 1 2 — оэ, получим ----, так что [XIZ' интегрирование также удается, получаем 1 —, и, принимая этом случае А=~. Если же v —2, то л 1 и мы находим А = —-— дает нам если v = 3, 1-2 в ? (Iх + 1) (^ + 2) ’ если же v = 4, то Л = |Ин + 1)(Н+2)([л + 3) ’ откуда вообще заключаем, что . 1-2-3,,.(у-1) (К- 1) (^-р)... (и 4- — 1) В силу этого, произведя интегрирование согласно установленному пра- вилу, будем иметь 12 3 V—1 Г dt р.н-1 ДГ2|ГГз + } (iz4-<+v * Если же показатель v —не целое число, то значение А определяется с помощью интерполирования указанной формулы, составленной в виде произведения. Конечно, при этом войдет квадратура круга2), если по- l) Verum etiam haec observatio non magni est momenti. 2) Quadratura scilicet circnli ingredietur — то есть число г.
244 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА казатель \ содержит дробь ? однако об интерполированиях такогс рода более подробно будем говорить в другом месте, а здесь неуместнс более полно рассматривать этот вопрос1). Нам остается последняя глава этого раздела, в которой излагается приближенное интегрирование дифференциальных уравнений второго порядка. х) Если положить х=------ и — z то рассматриваемый интеграл представится в виде 2 7 1 dz 1 В связи с этим см. том 1, §§ 356 — 396, а также работы Эйлера № 19, 122, 254 и 321 по списку Энестрема, помещенные также в томах 14 и 17 Opera Omnia, ser. I.: «De progressionibus transcendentibus, seu quarum termini generales algebraice dare nequeunt», Comment, acad. sc. Petrop. 5(1739/1), 1738, стр. 36; «De productis ex in- finitis factoribus ortis», там же И (1739), 1750, стр. 3: «De expressione integralium per factores», Novi comment, acad. sc. Petrop. 6 (1756/7), 1761, стр. 115; «Observa- - tiones circa integralia formularum \ xP-1 dx (1 — xn)n posito post integrationem x = l, Misc. Taur. 3 (1762/5), 1766, стр. 156 второй пагинации [Л. Ш.]. о
ГЛАВА XII О ПРИБЛИЖЕННОМ ИНТЕГРИРОВАНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА ЗАДАЧА 137 1082. Пусть предложено какое-либо дифференциальное уравнение вто- рого порядка^ объяснить начала, из которых нужно исходить при его приближенном интегрировании. РЕШЕНИЕ Рассматривается предложенное уравнение между двумя перемен- ными х и у, но, положив dy — pdx и dp — qdx, получим уравнение между четырьмя количествами х, у, р и q, из которого можно будет определить q таким образом, чтобы q было равно некоторой функции трех количеств х, у и р\ эту функцию обозначим через V, так что q — V, или же dp — V dx. Здесь прежде всего надо заметить, что интег- рирование, для того чтобы оно было определенным, требует двойного определения, т. е. можно почти произвольно назначить два условия, которые должны удовлетворяться. Очевидно, недостаточно, чтобы при х = а было у=Ъ, что, как мы видели, использовалось при интегриро- вании дифференциальных уравнений первого порядка [§ 650, т. I], а можно, сверх того, добавить второе условие, которое пусть состоит в том, что когда х — а, то также = c (данному количеству). Итак, когда установлены эти определения — чтобы при х — а было у—Ь и р — с,— вся задача интегрирования сводится к тому, чтобы определить соответ- ствующие значения у и р, если количеству х придаем какое-то иное значение. Действительно, если мы это осуществим, то мы полностью определим интеграл предложенного уравнения, так что ничего более нельзя будет и желать. А так как в общем случае мы этого не можем сделать, то суть приближенного решения состоит в том, чтобы придать х возможно менее отличающееся от а значение, пусть это будет х= а-[-о), и отыскать, насколько при этом значения количеств у и р отличаются от первоначальных b и с. В качестве исходного положения
246 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА мы примем здесь1), что при возрастании х от а до «4-(о значения ко- личеств у и р тоже изменяются настолько мало, что вследствие этого функция V не испытывает сколько-нибудь значительного изменения. В силу этого, если мы, принимая х = а, у — Ь и р — с, имеем V = Fy будем считать, что количество V сохраняет то же значение F, пока х увели- чивается от а вплоть до а-|-(о. Итак, поскольку для этого весьма малого промежутка2) имеем dp—Fdx, то, интегрируя, получим р = Fx -|- Const. А так как, когда полагаем х = а, должно быть р^с. получим р = с-: -\-Fx —Fa. Пусть теперь х = при этом будем иметь р = с ф- F<% что является значением р, соответствующим значению х — a -j-o. Затем, для этого весьма малого промежутка будет dy~cdx, следовательно, у = Ь-\-сх—ас, и для значения х = а ф- со имеем ?/— й-фсо), что является значением р, соответствующим значению ж = а + В силу этого, если v dy первоначальные значения суть х — а. у = о и р = ^| = с, в соответствии с которыми будет V = F, то последующие значения, отстоящие от перво- начальных на весьма малый промежуток, суть х = а ф- со, р — & -|-соц р =2 с-\-Fm, и если эти значения в дальнейшем рассматривать как первоначальные, то, исходя из них, можно таким же образом продвинуться на весьма малый промежуток, и, следовательно, выясняется, что можно продви- нуться и на как угодно большой промежуток. СЛЕДСТВИЕ 1 1083. Чем меньше брать рассматриваемые промежутки, тем меньше будем отступать от истины3), если только количества с и F не слишком велики; однако, когда они к тому же бесконечно возрастают, то оче- видно, что допускаемая при определении количеств у и р ошибка ста- новится значительной. СЛЕДСТВИЕ 2 1084. Если бы количество с или F было чрезвычайно велико, то можно было бы в качестве данного4) взять промежуток, на который возрастает у или р; так, положив ссо = ф, будем иметь следующие зна- чения: Ф т F Ф Х = = и р = сф--‘ А если F оказывается весьма большим количеством, то принимаем, что значение р увеличивается на весьма малый промежуток Ф, так что 74о=Ф, и получим следующие значения: х=а + -р, У = Ъ+у и р = с+Ф. ф Hie pro principle assumimus; возможен и другой перевод: Здесь для начала мы примем. 2) Pro hoc intervallo minimo. 3) Eo minus a vero aberrabitur. 4) Pro dato ...; очевидно, в том смысле, что именно величина этого проме- жутка выбирается достаточно малой.
ГЛ. XII. ПРИБЛИЖЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИИ 247 СЛЕДСТВИЕ 3 1085. Если b есть бесконечное количество, то для определения ближайшего значения у полезно положить 1 1 __ 1 с со —С со -ц у Ъ \— с^у b Ь* 2 Ь2 ' ’ и при этом, для того чтобы рассматриваемое выражение было конеч- ным2), должно быть бесконечным также количество с. В противном случае будет бесконечным пе только значение у, соответствующее х — а, но и то значение у, которое соответствует т=а-( со. ПОЯСНЕНИЕ 1 1086. Всякий раз, когда решение какой-либо задачи зависит от интегрирования некоторого дифференциального уравнения второго по- рядка, условия задачи дают нам два определения, из которых одно требует, чтобы, когда х придается некоторое определенное значение х=а, количество у принимало данное значение у~-=Ь, а второе — чтобы и отношение Р принимало данное значение р = с. Следовательно, если мы хотим в общем виде интегрировать некоторое дифференциаль- ное уравнение второго порядка, то интегрирование можно производить так, чтобы, полагая х = а, было у = Ъ и р — с, причем количества а, Ь, с зависят от нашего произвола. Однако иногда может получиться так, что, когда полагаем х = а, значения у и р оказываются не вполне в на- шем произволе, а уже как заданные обнаруживаются из природы уравнения, и в таких случаях нехватка этих определяющих условий восполняется другими условиями. Например, если предложено ура- внение х2 (а — Ьх) (Ру — 2х (2а — bx) dxdy -\ -2 (За — Ъх) у dx2 = Qa2dx\ то, как бы мы его ни интегрировали3), при х = 0 обязательно будет у = а и ~ — р = Ь, и таким образом для случая х — 0 значения количеств у и р вовсе не находятся в нашем произволе. Вместе с тем, полный интеграл [уравнения] получается в виде ; r (А + Вх) X2 y = a+bx-t - - , -— , у 1 а — Ьх и хотя здесь постоянные А и В могут быть назначены произвольно, однако всегда, когда гс = О, получается у — а и р=Ь. Таким образом, неудивительно, что в подобных случаях при заданном значении х зна- чения количеств у и р не могут быть указаны нами произвольно4). ПОЯСНЕНИЕ 2 1087. Изложенный способ приближенного интегрирования диффе- ренциальных уравнений второго порядка, сводящийся к продвижению на весьма малые промежутки, как мы уже поступали с дифференци- х) Конечно, все эти равенства являются приближенными. 2) «Конечным» в смысле: ограниченным и отличным от нуля. Ср. с § 1088. 3) Quomodocunque еа [aequatio] per integrationem determinetur. 4) Quantitatun у et p valores arbitrio nostro baud permittantur.
248 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА альными уравнениями первого порядка, в некоторых случаях наталки- вается на трудности и не может быть использован без привлечения [дополнительных] средств г). Прежде всего так получается, когда с = оо,— действительно, тогда нельзя найти значения ни у, ни р, каким бы ма- лым ни был взят промежуток со. Подобное же затруднение мешает нам, когда функция V становится бесконечной при х~а, у—Ъ и р = с, вследствие чего оказывается /у1=оо5 и в этом случае не определяется значение р. Затем надлежит отдельно рассмотреть также те случаи, когда исчезает либо с, либо F; действительно, хотя при этом значения у и р определяются достаточно точно, однако, так как они не испы- тывают никаких изменений, поскольку изменение выражается более высокой степенью со * 2), полезно исследовать это изменение, чтобы в даль- нейшем меньше отойти от истины. Если же количество b оказывается бесконечным, то, как мы уже указывали, надо вместо у исследовать его обратную величину —. Мы тщательнее рассмотрим теперь, каким об- разом можно обойти упомянутые выше трудности. ЗАДАЧА 138 1088. Пусть при интегрировании по промежуткам3) оказывается, что в начале какого-то промежутка, когда полагаем х — а, у = Ъ и р= с, ко- личество с либо исчезает, либо бесконечно; произвести интегрирование на этом промежутке. РЕШЕНИЕ Предыдущее приближение дало у — b -|- с (х — а), поэтому, если с = 0, приращение у выражается более высокой степенью количества х — а, а именно у — Ъ + А (х — а)\ где X > 1, причем отброшены более высокие степени, которыми мы по праву пренебрегаем по сравнению с указан- ной, так как промежуток х — а весьма мал. Если же с=оо, то значе- ние у может быть представлено подобным же образом, у — Ъ + А (х — а)х где X < 1, однако так, чтобы X было больше нуля. Таким образом, в обоих случаях исследование сводится к одному и тому же—к опреде- лению из предложенного уравнения dp = Vdx как коэффициента А, так и показателя X. Но из указанного соотношения получаем ^ = /7— ХЛ (х — л)х-1 dx r v 7 И dp = X (X — 1) А (ж — а)х~2 dx, и необходимо, чтобы получался этот же результат, когда в выражении V dx полагаем у — Ь-\-А(х — а)1 и р —ХЛ (z —а/-1, Л Nisi remedium afferatur. 2) Это выражение формально противоречиво, но Эйлер, конечно, не сомне- вался, что читатель поймет его мысль: «никаких изменений» нет — в смысле изме- нений первого порядка малости. 3) Si integrationem per intervalla instituendo.
ГЛ. XII. ПРИБЛИЖЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ 249 причем очевидно, что с — 0, если X > 1, и с — со, если к < 1. Количество V есть функция от х, у, р, и в ней мы везде полагаем х=а, только не там, где входит выражение х — а, которое должно быть сохранено1), и вместе с тем полагаем у—Ь^ если только при этом не получается V = 0 или Г=ос; а в последнем случае вместо у пишем значение Ь-\-А(х— а)1 и подобным же образом вместо р пишем \А(х-- ft)*-1. Затем отбрасываются более высокие степени выражения х — а и удерживаются низшие2), так что для V получается выражение вида С(х-~ ft)11', которое должно быть равно выражению k (k — 1) х X А (х — ft/“2, и отсюда определяются как введенный нами коэффи- циент А, так и показатель к, а следовательно, мы находим приближен- ные значения у = b -'г А (х — а)1 и р = кА (х — ft)*-1, и они будут тем менее отклоняться от истины, чем меньше разность между а и х. Тот же случай, когда k = 1, сам по себе ясен, а к тому же он рассмотрен в предыдущей задаче, так как только в этом случае для количества с получается конечное значение3). СЛЕДСТВИЕ 1 1089. Если для функции V получается конечное значение, когда с=со, а тогда должно быть к<1и выражение к (к— 1) А (х — этому конечному значению не может быть равно, то имеем случай, сам по себе не связанный с какими-либо трудностями, когда значение у даже при самом малом превышении х над а действительно оказывается бесконечным. СЛЕДСТВИЕ 2 1090. Это можно легче усмотреть на примере dp—Qxdx. Имеем здесь р — с + Зх2 — За2 = ~ , откуда у = Ь + (с - - За2) (х — а) 4- х3 — д3, то есть у b — ас 4~ 2ft3 -р (с — 3ft2) х 4- х3. Таким образом, если постоянное с принимается бесконечным, то зна- чение у всегда будет бесконечным, за исключением только случая z = ft. СЛЕДСТВИЕ 3 1091. Если же, когда принимаем с = 0, а в этом случае должно быть k> 1, функция V принимает конечное, и к тому же, когда пола- гаем х = а и у —Ъ, постоянное значение, она будет равна к (к — 1) X *) ... Nisi quatenus formula х— a inest, quae relinquatur. 3) Rejiciantur autem formulae x—a potestates altiores prae inferioribus. 3) См. сноску 2 к § 1085.
250 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА если принять Х==2 и 2А = этому постоянному значению. Так, в предыдущем примере V 6а — 2А, откуда Л = 3а, и приближенно получаем у = Ь + За (х — а)* 2, что совпадает с найденным интегралом, который при с=0 имеет вид у = Ь + 2а3 — За2# + х3 ~ b + 2а) (х — а)2. Это выражение переходит в предыдущее, когда х = а. ПОЯСНЕНИЕ 1 1092. Когда полагаем с = 0, функция У, если в ней принять х = а, у=Ъ и р~с = 0, получает либо бесконечно большое, либо конечное, либо к тому же исчезающее значение. В первом случае, когда У = со, для того чтобы этой функции могло быть равно выражение X (X — 1) А (х — а)к~2 при х = а, необходимо, чтобы было X < 2, где X > 1; для того же, чтобы определить отсюда количества Л и X, надо в функ- ции V писать у = Ь-\А (% — а/ и р — \А (х — а)к~1, а также х = а там, где не встречается выражение х — а. Так как, по условию, в случае х—а имеем У—со, то это значение [для V] полу- чится = С (х — а)и, сопоставляя его с [выражением] X (X — 1) х X А(х — определяем А и X, если только не обнаружится, что Х< 1, каковой случай несовместим с с = 0. Во втором случае, когда V оказывается = конечному количеству, надо взять X = 2, если же в третьем случае V = 0, надо принять X > 2, так чтобы значение V содержалось в выражении Х(Х-1) А(х — а)1~2. Однако, если должно быть с==оо, то, как мы видели, не может слу- читься, чтобы функция V принимала конечное значение, а тем более исчезающее, если только мы не хотим допустить те несообразные случаи, когда у постоянно остается бесконечным1). Стало быть, тогда функция V обязательно принимает бесконечное значение, которое надо сравнить с тем, что дает выражение k(k- 1) А (х-а)1~2, причем X должно быть < I2). Итак, отсюда явствует, что определение количества с не всегда остается в нашем произволе, а кое-когда его нам указывает самый характер уравнения. Например, если предложено ,2 2dx2 уравнение аАу = ~, то = р А-----—~ и у = В + Ах Н---------— , dx г (х—ау v х— а откуда при х = а получаем с == Л — и Ь = В+ Аа + ^у , Nisi quidem casus incongruos, quibus у perpetuo mane at infinita, admittere velimus. 2) Turn igitur functio V necessario valorem infinitum induit cum formula X (X — 1) A (x — coinparandum, ita ut sit X < 1.
ГЛ. XII. ПРИБЛИЖЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ 251 следовательно, 4 = с+-Х и В=Ь-ас--^ + ±- . Таким образом, для того чтобы интегральное уравнение не сводилось только к бесконечностям1), буквы Ъ и с не могут не быть бесконечными. ПОЯСНЕНИЕ 2 1093. Однако не все порядки бесконечных и исчезающих количеств содержатся в выражении (х — а^ при х = а, как мы уже отмечали. Очевидно, выражение хЧх при ж —0 бесконечно больше второй сте- пени х2, однако, вместе с тем, оно бесконечно меньше степени #2~а, сколь бы ни была ничтожна выбираемая нами дробь а. Таким образом, если в вышеприведенном решении мы хотим так подобрать формулы, чтобы они охватывали все порядки как бесконечных, так и исчезающих количеств, то надо принять Гу = b + Л (х — а)х [Z (х— а)]’1, откуда1 = р =: ХЛ (х — а)х~А [Z (х — а)]'л + (х — а)к~* [Z (х — а)][1~*. Но когда положим х = а, первое слагаемое так относится к последнему, как I (х—а) к 1, т. е. как оо ; 1, и поэтому достаточно принять р = ХЛ (х — a)x~i [Z (х — а)]и, откуда мы аналогичным образом заключаем, что ^ = X(X-l)4(z-a)K~2 [Z (х-а)р. Это выражение надо сравнить с функцией V после того, как мы в ней напишем х = а, у = Ь и р — с, или, точнее, у = Ь-}-А(х - а)х Щх — а)]11 и р — ХЛ (х — а)*-1 [/(х— а)]|Х, и таким образом определяются как постоянное Л, так и показатели X и у.. При таком исследовании надо иметь в виду только что сделанные указания, с помощью которых оно распространится на многие другие случаи2). ЗАДАЧА 139 1094. Изложенные выше приближения рассмотреть более тщательно, так чтобы меньше отклониться от истины, если даже промежутки выбираются несколько большими. РЕШЕНИЕ Если положить dy = pdx, то дифференциальное уравнение второго порядка представится в виде — =И, откуда мы раньше определяли р х) Ne aequatio integralis omnino in infinitis versetur. 2) Haec ergo tenencla sunt in ista investigatione, quo ea ad plures casus extendatur.
252 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА так, как если бы V было постоянным количеством, правда, только на чрезвычайно малом промежутке. Таким образом, мы получили р = а), конечно, после того, как мы положили в V х = а, у = Ь и р = эти первоначальные значения надо сохранять на промежутке х — а = и>. Поскольку же функция V не является постоянной, так как она содержит х, у и р, на самом деле будет p = c-|-V(£ -а) — (x — a)dV. Итак, мы положим dV = Pdx + Qdy + R dp, следовательно, dV = (P + Qp + RV)dx, и теперь будем рассматривать количество Р + Qp + RV как постоянное^ значение которого получается при х = а, у = Ь и р = с, и при этом, как мы выше приняли, V переходит в F, Будем иметь р = с + F (х -- а) — -^(Р + Qc + RF)(x — а)2. Затем, так как dy = pdx, получаем отсюда у = b + с (х — а) + у F (х ™ а)2 — (Р + Qc + RF) (х + а)3, и таким же образом можно дальше продолжать приближение. Когда же количества Р, Q, R и V содержат выражение х — а и его степени, причем это выражение нельзя больше рассматривать как постоянное, то это надо учитывать при интегрировании, в силу чего в приближен- ных рядах степени выражения х — а будут возрастать не в [должном] порядке. В связи с этим уместно принять первые члены ряда для р в виде р = с + А (х — а)1, откуда у = Ь + с(х — а) + (ж — а)х+1, и поэтому ^- = \А (х-а)1~1. dx v 1 Последнему выражению надо приравнять функцию V после того, как в ней мы написали вместо у и р указанные значения, а вместо х написали а, кроме как в выражении х — а, если оно встречается, и таким образом определится как показатель К, так и коэффициент А. Если бы с было =0 или — со, то это может быть учтено в нашем вычислении, если положим р = f (х — а)п-|- А (х — а)1, откуда + + АТТ и при подстановке этих значений вместо х и р в функцию V должно получиться nf (х — а)п 1 + Х4 (х — ,
ГЛ. XII. ПРИБЛИЖЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ 253 СЛЕДСТВИЕ 1 1095. Таким образом, можно непрерывно продвигаться дальше по промежуткам, если только отдельные промежутки не выбираются большими, чем нужно, чтобы допускаемые ошибки оставались нечув- ствительными; но при указанной поправке эти ошибки уменьшаются настолько, что промежутки можно выбирать даже большими. СЛЕДСТВИЕ 2 1096. Очевидно, для первого промежутка первоначальные значения х = у=Ъ и р = с выбираются произвольно, а значения, найденные в конце промежутка, представляют начальные значения для второго промежутка, и, исходя из них, вычисление для этого промежутка вы- полняем так же, как и для первого, и так нужно непрерывно про- двигаться дальше. ПОЯСНЕНИЕ 1097. Мы дали два решения рассматриваемой задачи, причем первое, хотя и представляется весьма общим1), однако в некоторых случаях не может быть использовано, и, следовательно, тогда надлежит пользоваться вторым решением. Однако большей частью имеется только очень немного промежутков такого рода, что для них требуется [применить] второй метод, тогда как для всех остальных можно про- вести вычисление с помощью первого метода. Первое имеет место тогда, когда для некоторого промежутка количества Уис либо исче- зают, либо возрастают до бесконечности, так как при этом может статься, что, каким бы малым ни выбирать промежуток, количества у и р будут претерпевать бесконечные изменения, и для их опреде- ления потребуется особое решение. Например, если предложено урав- нение + = 0, промежуток от 0 вплоть до даже если о> принимается весьма малым, дает бесконечные изменения в значениях у и р\ это усматривается из полного интеграла указанного уравнения, так как им является 1 //3 \ у = Ах* sin (-у- Zrc-f-a) , и отсюда А • //3 , . \ . яуТ //з , , А р = —sm lx + а + —r— cos -Ц— 1х + а , 2/х \ 2 / 2/х \ 2 J то есть р = sin (1х-}~а + 60°) . у X \ / Очевидно, что при сс = О будет также у = 0, но значение для р является неопределенным2). Кроме того, сколь бы малое значение мы ни при- давали х, у также получит весьма малое значение, но такое, которое на сколь угодно малом промежутке будет то положительным, то исче- зающим, то отрицательным вследствие весьма большого изменения, г) Etsi latissime patere videtur. a) Incertum.
254 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА которому подвержен 1х, между тем как количество р проходит через все возможные изменения. То же самое еще лучше усмотреть на при- мере [уравнения] 2dx dy f* 2y dx2 0 1 X X4 ’ интегралом которого является у — возрастает от 0 до ю, угол ~ + а нечному значению, и его синус изменяется от -]—1 до —1. Стало промежутки, неудивительно, что отказывают, так как они исходят на весьма малых промежутках сами также крайне исключением таких промежутков указанное быть применено с пользой. “' + aQ- Действительно, пока х переходит от оесконечности к ко- в это время бесконечное число раз быть, когда встречаются такого рода обычные методы для приближения из того положения, что изменения ничтожны; а за решение всегда может ПРИМЕР 1 1098. Предложено уравнение Приближенно проинтегрировать его. Так как имеем dp — — то 7 = — 7 /х ’ fx промежутка х = ау у = b и р == с, то, чуточку ветствии с первым решением2), поскольку Поэтому, если в начале продвигаясь *), в соот- получим р _ У =______L fx2 a2f ’ 2 =-=Л. и я = о, Y fx af 1 b / \ \ p b c p = c----r(x — a) — ----г i(z —a)2, r af v 7 2 < a-/ af J v 77 и ?/ = 6 + c(z — <z) — -Лу- (z — a)2. Итак, положив z — a = a>, найдем для следующего промежутка началь- ные значения: а' = а + ю, 7/ » . Ьи>2 Ъ = ь+сш~~ и г bu> (b— ас) о)2 с = с — --- a f 2а -/ и подобным же образом определим начальные значения для следую- щего промежутка. Правда, если для какого-либо промежутка полу- чится (2 = 0, то вычисление надо выполнять особым способом. А именно, 4) Inde tantillum progrediendo. 2) Имеется в виду первый из методов, указанных в § 1094.
ГЛ. ХП. ПРИБЛИЖЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ 255 принимая в начале этого промежутка ж=0, у~Ъ и р = с, надо по- ложить Лх^ + * р = с + Ах^ и у = b + сх Н—’ и тогда = > лгХ-1 = ____Ах>' dx fx fx f ’ это соотношение не может удовлетворяться, если только не имеем £>—0; тогда получается Х = 0 и Л=со, откуда мы заключаем, что нужно поло- , , . 7 47 . л dp А —Ь — Axlx жить у Ь -[г Axlx, следовательно, p^Alx^A и = — =--------------—---- , откуда А = —~. Для того же чтобы можно было отсюда точнее опре- делить р, полагаем у = b 4- Axlx 4- Вху и тогда р = А1х -4 Л 4- В и = r dx х 1 откуда получаем, как и раньше, ным, так что будет а В остается неопределеи- у — I) _ + Вх и р = —р- 1х — у +В, и, следовательно, если только не имеем при х=- 0, что Ь = 0, количе- ство с обязательно бесконечно. В силу этого, если в начале промежутка имеем х — 0, у^Ъ и р=со, то на его конце и в начале следующего промежутка получим х = (о, , 6<D у ---by V — Ь — —— /о) и р = ----- 1(0. о / г / ПРИМЕР 2 1099. Пусть предложено уравнение х2 d2y — 2х dx dy 4- 2у dx* = которое нужно приближенно проинтегрировать. Так как имеем dp = 2р_ __ _у_ = У dx х х2 j2 * TO р 4. Следовательно, если в начале какого-либо промежутка ж=а, у = Ъу n 2с 2b , Ь Р = Су ТО, поскольку ------+ получим
256 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА И г . z ч .1 < 2с 2Ь b Л , ч2 у = Ъ + с (х - а) + у — - -^2- + -р-) (х - а) > и таким образом вычисление без труда продолжается по промежуткам, если только не имеем а = 0. В том. же случае, когда а = 0, провести вычисление на [таком] промежутке трудно, так как тогда нет возмож- ности придать количествам b и с наперед данные значения, и это легко понять благодаря тому, что полным интегралом предложенного уравне- ния является X - X у = Ае^х^Ве / х. Действительно, при х = 0 обязательно будет у = 0, если только мы не желаем принять коэффициенты А и В бесконечными. Если же поло- жить 6 = 0, то приближение получается сразу1). *) Sumto autem 6 = 0, approximate est in promptu.
ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ КНИГА ПЕРВАЯ 0^3 ЧАСТЬ ВТОРАЯ ИЛИ МЕТОД НАХОЖДЕНИЯ ФУНКЦИЙ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО ПО ДАННОМУ СООТНОШЕНИЮ МЕЖДУ ДИФФЕРЕНЦИАЛАМИ ВТОРОГО ИЛИ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ РАЗДЕЛ ВТОРОЙ О РЕШЕНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ТРЕТЬЕГО И ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ, СОДЕРЖАЩИХ ТОЛЬКО ДВА ПЕРЕМЕННЫХ ГЛАВА I [ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ПРОСТЫХ? ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ ТРЕТЬЕГО ИЛИ ВЫСШЕГО ПОРЯДКА ЗАДАЧА 140 1100. Принимая постоянным элемент dx, найти полный интеграл выражений d3y = O, dly = O, d5y = 0 и т. д. и вообще выражения dny = 0.
258 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТРЕТЬЕГО И ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ РЕШЕНИЕ Поскольку dx является постоянным, уравнение d3y = 0 в результате интегрирования дает d2y — 3dx2, и поэтому после нового интегрирования * । получаем dy—3xdx-?$dx, и, наконец, у = у ах2-^ Зх -4 у. Подобным же образом из уравнения d4y = () с помощью четырех кратного интегрирования находим 1) d3y — a dx3, 2) d?y = зх dx2 + 3 dx2, 3) dy — — зх? dx + (3# dx + у dx и, наконец 4) у- зх3 -b- -L 3x2 yx + 8. А из уравнения d5y — 0 с помощью пятикратного интегрирования получаем у = зх4 + -i- Зх3 + А-у? -4 ыс + г. Интеграл же уравнения d^y = 0 получается в виде у=тЬах&++4 тз+45а;2 +&х+ и таким же образом можно переходцть к выражениям вида сГу = О, каков бы ни был порядок, если только п является целым положительным числом. СЛЕДСТВИЕ 1 1101. Итак, начиная с наиболее простого выражения, интегралы располагаются в следующем порядке: Для выражений Полными интегралами являются dy = O d2y — 0 у = ж 4- 3 dsy = () у = у az2 Зх 4- Y d*y = 0 у = у зх3 + Зх2 4- у х + 8 и т. д. и т. д. СЛЕДСТВИЕ 2 1102. Так как постоянные а, р, у и т. д. зависят от нашего про- извола, можно полностью отбросить дроби, и тогда Для выражения | Интегралами будут dy — 0 ?/ = а ^ = 0 У = я.г + 3 Л/ = 0 у = ах2 4- Зх -4 у d^ = 0 у = ах3 -р Зх2 4- л- о dby = 0 у ах4 Зх3 -Л ух2 -4 4- з И т. д. И т. д.
ГЛ, I. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПРОСТЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ 259 СЛЕДСТВИЕ 3 1103. Стало быть, сколько единиц в порядке дифференциального выражения, столько же произвольных постоянных содержит его полный интеграл, и в любом случае эти постоянные нужно определять по задан- ным условиям. ПОЯСНЕНИЕ 1 1104. Если положить dy = р dx, dp = q dx, dq — r dx, dr = sdx и т. д., то все дифференциальные уравнения высших порядков сводятся к конеч- ным количествам, в которых уже не принимается более во внимание тот элемент, который полагали постоянным. Таким образом, все диф- ференциальные уравнения можно представить в следующем виде: Дифференциальных уравнений I порядка 11 порядка III порядка IV порядка и т. д., Общий вид 7> = /(ж и у) q = f(x, у « р) r = У, Р и 9) «=/е, у, р, q п г) где количества у, р, q, г, s и i х д., по исключении dx, зависят друг ( j а у ар ац иг иа от друга таким образом, что ^поскольку dx = = —- = — = ~ и т. д. имеют место следующие соотношения: qdy~pdp, rdy = pdq, sdy — pdr, tdy = pds и т. д., г dp = qdq, sdp^qdr, tdp=qds и т. д., sdq—rdr, tdq = rds и т. д., tdr = sds и т. д. Некоторые из этих формул интегрируются непосредственно, например, ^qdy-\p2, г dp = у г?2, sdq = ^-r\ t dr = ^s2 и т. д. Затем, так как zdv^vz — vdz, мы получаем из последних формул такие: ydq = yq--^p\ ^pdr = pr — -jq*, q ds = qs - 1 г-, C rdt~rt— у$2 и т. д. и с их помощью выводим из предыдущих, что , 1 2 sdy^pr — у q2, tdp — qs — ^-r2, и dq = rt —~ s2, следовательно, у ds — ys — pr — у q2; следовательно, р dt = pt — qs 4- у г2; следовательно, q du — qu — rt + у s2.
260 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТРЕТЬЕГО И ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ Затем отсюда определяем у du = уи — и dy, dy dt но у- — — , откуда у du = yu— р dt = уи — pt + qs — ~ г2. Таким образом, если мы опять введем дифференциалы, то получим следующие интегральные формулы: 5 ydy = ~y", y<Fy = yd2y-^-dy-, ^yd&y = y dly — dy dsy + у d2y2, yd'y^y dey — dy d5y + d2y d*y — j dsy2 и T. Д., так что выражение 5 У dny является интегрируемым всякий раз, когда п есть нечетное число. ПОЯСНЕНИЕ 2 1105. В дифференциальных уравнениях второго порядка мы опре- делили более простые выражения таким образом, что q равняется функ- ции либо только от х, либо только от у, либо только от р, и эти выражения, если записывать прописными буквами функции строчных букв, можно представить в следующем вцде: либо q — X, либо q—У, либо q~P. Стало быть, мы можем подобным же образом определить более простые выражения для дифференциальных уравнений третьего порядка: г = г^У, r = P, r = так что они содержат только два переменных количества, Для четвертого же порядка более простыми видами будут s = X, s = r, s = P, s-<?, s = 7? и для пятого t^X, t = Y, t = P, t = Q, t^n, t = S, и так далее для более высоких порядков. Правда, эти виды не все одинаковым образом допускают интегрирова- ние, поскольку некоторые из них даже ни разу [не интегрируются], некоторые только один раз, а некоторые интегрируются, пока не при-
ГЛ. I. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПРОСТЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ 26! водятся к соотношению между j: и у1), и к этому типу относятся все, указанные первыми в любом порядке. Однако во всех случаях пред- лагается найти соотношение между двумя главными переменными х и у. ЗАДАЧА 141 1106. Положим dy^pdx, dp = qdx, dq^rdx, dr — sdx, ds — tdx и m. д. Пусть при любом порядке дифференциалов какая угодно из букв р, q, г, s, I и т. д. равна функции от х, которую обозначим X; найти соотношение между х и у. РЕШЕНИЕ Во-первых, если имеем р = X, то, помножив на dx, получим pdx== ~dy = Xdx, откуда у = X dx, что представляет случай простых диф’ ференциальных выражений первого порядка- Во-вторых, пусть q = X, тогда qdx^dp^Xdx, откуда p~\^Xdx и pdx — dy^dx Xdx\ следовательно, у dx X dx, или же, в про- стых интегралах, y = x\^Xdx— Xxdx. В-третьих, пусть г —X; поскольку dq = rdx, будет X dx, откуда р q dx dx X dx х X dx - Хх dx, и, наконец, у = pdx -- dx dx Xdx == у ж2 Xdx — х \ Ххdx-j-у X#2dx. В-четвертых, пусть s = X, находим, что у == dx dx dx Xdx, и это выражение развертывается в следующее: у = ~ х3 f X dx —х~ ( Хх dx + Хх- dx —Хх3 dx. В-пятых, пусть t — Х, тогда у — dx dx dx dx Xdx или же у = х± \ X dx— }. x^ \ Хх dx~y-\-x2 ( Хх^ dx -4 J b J 4 j — i х \ Хх3 dx~\- \ - Xx^dx, о J 24 J откуда очевиден закон, по которому надо продвигаться дальше2). *) Aliae per omnes integrationes usque ad relationem inter x et у perduci possunt. 2) Очевидно, Эйлер получает здесь попутно формулу для преобразования «-кратного (««-повторного») интеграла в однократный.
262 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТРЕТЬЕГО И ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ СЛЕДСТВИЕ 1 1107. Итак, имеется столько интегральных выражений1), сколько единиц в порядке дифференциального уравнения, и так как любое из них вводит произвольное постоянное, то столько же постоянных войдут в интеграл, который благодаря этому становится полным, что ясно также по первоначальному виду, который содержит столько же знаков интеграла. СЛЕДСТВИЕ 2 1108. Принимаем постоянным элемент dx; полные интегралы сле- дующих выражений, записанных обычным образом, получаются в таком виде: I. Если dy — X dx. TO у X dx; II. Если d2y=Xdx2, TO ly =-. x X dx — Xx dx; III. Если d3y — X dx3. - TO 2y = x2 X dx — 2x Xx dx + Xx? dx; IV. Если d*y = X dx*. TO бу = х3 X dx — Зх2 Хх dx 4- Зх Хх2 dx — у Хх3 dx; V. Если d5y = XcZ.z5, то 24?/ — х1 \ X dx — 4z3 Хх dx 4- 6я2 Хх2 dx — Yx Хх3 dx 4- Хх* dx J J J J И т. д. ПОЯСНЕНИЕ 1109. Те выражения, которые выше мы ставили на втором месте2) н которые содержат функцию У, нельзя проинтегрировать для порядка выше второго. Действительно, для третьего порядка выражение r = Y никаким способом не может быть проинтегрировано 3), хотя мы знаем, что r^Pd{l^d<lz=d<l dy dp dx ’ нельзя также определить отсюда q через у. Действительно, возьмем [это уравнение] в виде pdq^Ydy, причем pdp~qdy; так как У р =: , получим, что 1 dq dq и, исключая отсюда v Y dy2 dY , У2 dy , dy 7 (1<Г dq dq хотя это уравнение второго порядка, оно в общем случае никоим образом не может быть решено4). Выражение s = У для четвертого !) Имеются в виду те простые интегралы, суммой которых выражается искомая функция у в формулах предыдущего параграфа. 2) Смотреть классификацию простейших дифференциальных уравнений в § 1105. 3) Null о modo integrari potest. 4) Neutiquam in genere resolutionem admittit.—Эти категорические утвержде- ния невозможности (см. выше то место, к которому дана сноска 2) формулируются Эйлером без доказательства.
ГЛ. I. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПРОСТЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИИ 263 порядка можно проинтегрировать один раз, так как ^sdy--= р?'— = ~^Ydy, но продвинуться отсюда дальше нет возможности. Что же касается тех более простых выражении, которые мы для любого по- рядка оставили на последнем месте, а также на предпоследнем, то они оказываются разрешимыми, и мы займемся их интегрированием. ЗАДАЧА 142 1110. Положим, как и до сих пор, dy — pdx, dp~qdx, dq^rdx и т. д., и пусть буквы Т, Р, Q, R и т. 6, обозначают функции от соответствующих строчных букв. Найти интегралы следующих простых выражений'. p^=Y, q--P, k = s—R, t — S и т. д. РЕШЕНИЕ Первое уравнение, поскольку р — , сразу дает , откуда Так как q = , второе уравнение q — P дает dx = и dy^=^-^ ; отсюда, поскольку Р является функцией от р, оба переменных х и у определяются через р следующим образом: х = И У = что то третье уравнение г = Q дает dx = , откуда и р = . Отсюда заключаем, у , следовательно, у = 1~~~. Таким образом, оба и у определяются через одно и то же переменное q, а Так как г ~ , q dx = dp = ~~ , так что pdx-=dy = переменных х именно X — И V J Q j Q ' уравнение s = R~~^ дает dx — ~ , откуда получаем г dx = так что q = \ г-^ . Затем q dx = dp дает нам dp ~ ~ , J /г Н j к , и, поскольку pdx = dy, будем иметь dy = . Таким образом, оба главных переменных х и у опре- Четвертое 7 г dr = d(l=-R’ поэтому р = __dr Г dr С г И J ' деляются через г, а именно С dr С dr С dr С г dr х~ \r И У~ \r\r\~R' Пятое уравнение t^S, если его решить таким же образом, дает С ds С ds С ds С ds С s ds x=}s и У=М Иить- и так можно легко продвигаться дальше.
264 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТРЕТЬЕГО И ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ СЛЕДСТВИЕ 1 1111. Из второго выражения мы видим1), что если х равняется функции от р, так что х~--Р, то будем иметь у — р dP ----- Рр — Pdp* что, впрочем, само по себе очевидно. СЛЕДСТВИЕ 2 1112. Если же имеем х — Q2), то, поскольку dx = dQ, qdx = dp — qdQ, p = qqQ, откуда у = dQ qdQ, т. e. У = Q^qdQ—\ qQdQ. Пли же, так как y=\dQ (qQ- Qdq) , получаем, что У = у 9*?2 + У 5 dq ~~ ® dq’ либо же в таком виде: 2у=с29- 2с 5 5 Qidq- СЛЕДСТВИЕ 3 1113. Подобным же образом, если я = 7?2), то q = rdx— г dR и р =^qdx = dR г dR, а также у = pdx — dR dR г dR, или же на основании предыдущего следствия 2у = dR (R2r-2R Rdr-\- R2 dr) . Следовательно, после приведений, подобных вышеуказанным, бу = R3r - 37?2 ( Rdr + 3R \ R2dr- \ R3dr. СЛЕДСТВИЕ 4 1114. Если имеем х == 5 2), то с помощью подобных приведений находим 24г/ - 54s - 453 5& + 652 $ 52 ds - -45 53&Н- J S*ds. Стало быть, получим отсюда с помощью дифференцирований, в обрат- ном порядке, 2ipdS = 453sd5 —1252dS \ Sds+12SdS \ S*ds-4dS { S3ds, 4) Имеется в виду решение второго уравнения в § 1110. г\” _ л т1 с С С С ds z) дилер пишет здесь Q, В, о вместо \ ур , \ъ’ \ ъ- в решениях J V J В J iS Четвертого и пятого уравнений § 1110. третьего,
ГЛ. I. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПРОСТЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ 265 то есть = S2ds~ Ssds и2д = 52я^25 $ 5ds+ $ S2ds и затем r^Ss- - \ S ds и s = s. ЗАДАЧА 143 1115. Сохраняя те же обозначения, которыми мы пользовались до* сих пор, найти интегралы следующих простых выражений: q—Y, r = P, s^Q, и т. д. РЕШЕНИЕ tz "V Р $Р Из первого выражения q^= У, поскольку q = , pdp=^Ydy и р2 = 2 Ydy, откуда р = yf 2 Ydy == . Отсюда получаем х == \ у — , так что х определяется J У 2 \Ydy Из второго выражения г^=Р, поскольку г = ^-^-, qdq~ Pdp и q — yf 2 Pdp = , откуда находим С dp С pdp X— \ •— - - : И у \ - ---: . получим через у\ получим Из третьего выражения s = Q, поскольку $ г dr —j— , получаем откуда следует, что р — \ Р. А так как г — ^г~, то dx — W^Qdq dX = dp —- . и, ввиду того, что pdx=dq, найдем VZ^Qdq x=\-.d<L_^ и —с-ж„-=. J]2jQrfg JT2 jQd? Jp 2 jQdg T T j. 7“> j. cR Из четвертого выражения t — R, поскольку t = — , находим 5=1/ 2 t R dr. Но имеем s = , откуда dx ~ dr . Однако, вместо ’ J dx . У 2 J R dr с тем, = поэтому q— ? rdr Но так как р= \ qdx, будем dx J ]/ 2 j R dr J иметь р = \ dr.. z. £ rdr - и отсюда получаем у = р dx. Поэтом^? J У 2 j R dr J V 2 j R dr J x и у определяются через г таким образом, что f dr С dr (* dr (* г dr X— \ -——77^- II У = \ \ — \ ~ . «) У 2 J R dr J У 2 J R dr J У 2 J R dr J ]/ 2 j R dr
266 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТРЕТЬЕГО И ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ Из пятого выражения u — S, поскольку и = , определяем £ = ds -i ds т-j 6 б/i = -^—, так что dj' — —- Вместе с тем, t— — , следовательно, dx у 2 J' S ds ,lr = ? —:. А теперь q = \ rdx, p= \ qdx и y=\ pdx, откуда полу- .<]/2j5ds J J ' J P ds С ds (• ds (* ds чается, что x = \ — и у = \ r - \ -—- \ — <’ У 2 j S d s J У 2 J 5 d s J У 2 j’ S d s J ] 2 \ S d s v C 5 ds J У Гу 5 ds ’ ПОЯСНЕНИЕ 1116. Таковы те случаи, когда рассмотренные выше простые выраже- ния могут быть решены, ио пе видно метода, с помощью которого можно разрешить остальные. Гораздо меньше встречается разрешимых случаев для более сложных выражений, в которых равняется функции двух или большего числа переменных количеств. Вследствие такой скудости мы могли изложить в этом разделе только очень небольшой материал. И почти для всех уравнений, которые можно разрешить с помощью найденных до сих пор методов, общим видом является и т. д. =0, J dx 1 dx2 dx3 причем элемент dx принимается постоянным. Положив dy = pdx, dp = qdx, dq = rdx и т. д., мы можем представить их в таком виде: Ay + Bp-Cqd-DrAEs — и т. д. = 0. Затем допускают решение такие уравнения, которые содержатся в сле- дующей, более общей, форме: Ay A-BpA-CqA-Dr^Esd- и г. д. где X обозначает какую угодно функцию от х. Далее, допускают инте- грирование также следующие виды уравнений, которые, впрочем, могут быть приведены к предыдущим: . , Bp , Со , Dr . Es . n Ay-d — —r + —г+ п т- X х^ х3 1 х^ И . , Bp ( Cq , Dr Es v Ay 4- -- 4- 4- —4--Г-Г и т. д. = А. J ’ x x2 ' X3 X'4 Их удается решить, каков бы ни был порядок дифференциалов. Итак, паше изложение будет посвящено развитию [теории] этих уравнений1). г) In liarum ergo aequationum evolutione I racial io nostra versabitur.
ГЛАВА II О РЕШЕНИИ УРАВНЕНИЙ ВИДА л^+-вЙ+с'3+7’Э+7г2! н т- я-=0’ ГДЕ ЭЛЕМЕНТ da- ПРИНИМАЕТСЯ ПОСТОЯННЫМ ЗАДАЧА 144 1117. Найти полный интеграл дифференциального уравнения треть- его порядка Ay + ^ + Wy.»fiy = 0, dx 1 dx* dx* где элемент dx принимается постоянным, РЕШЕНИЕ Так как Л, В, С, D суть постоянные количества, то достаточно слегка присмотреться, чтобы обнаружить1), что рассматриваемому урав- нению удовлетворяет выражение у = еХх, Действительно, так как при этом получаем то после подстановки этих выражений и деления уравнения на е^х будем иметь Л-’гХ7^4-А2С,Н-а31) = 0. Отсюда определяется показатель л, и, так как получаются для него три значения, которые пусть будут а, р, у, мы будем иметь три удо- влетворяющие [уравнению] выражения: у = еах, у = е$х, у=^еух. Но по ха- рактеру предложенного уравнения: очевидно, что если ему удовлетво- ряют значения у = Р, y = Q> У — Р^ то ему будет удовлетворять также любое их сочетание = + *) Levi attention© adhibita patet.
268 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТРЕТЬЕГО И ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ Таким образом, по трем найденным выражениям мы определяем следу- ющее, наиболее общее и также удовлетворяющее уравнению у fye™ -j- + Е<ЛХ, и, поскольку оно содержит три произвольных постоянных SI, S3, К, оно действительно является полным интегралом нашего предложенного уравнения. СЛЕДСТВИЕ 1 1118. Стало быть, полный интеграл состоит из стольких слагаемых, сколько корней, или же сколько множителей имеет уравнение A + Bk± Ck* 2 + Z)k3-0. Если это уравнение имеет множитель а--л, то в интеграле будет слагаемое е~ах, СЛЕДСТВИЕ 2 1119. Очевидно, что такое слагаемое является интегралом уравне- ния ау -4-^. = 0. Поэтому, если имеем л+вх + а2-н zv = (a+k) (6+x)(c+k), то значения для у определяются из следующих простых уравнений: ау -г = 0, Ъу + = 0, су + = 0. 1 dx IV ‘ dx J ' dx Пусть этими значениями будут: у = Р, y = Q, тогда интегралом предложенного уравнения будет y^P + ®Q+ К7Р). СЛЕДСТВИЕ 3 1120. Если два корня равны между собой, положим р = а, то их разность надо рассматривать как исчезающую, т. е. р = а + <о, и поскольку еах . еых — еах ш2), то очевидно, что вместо $teax4-S3e₽x надо писать ®^х + S3eax^ = е™ (% + 83я). Если же все три корня будут равны между собой, так что уравнение будет вида _у 1 3d2V d3V = 0 ' a dx 1 a2rfx2 1 a3dxz ' то, поскольку a = p = Y(= — fl), полным интегралом будет e~ax (Я(+®^+ 6x3). 0 Нам кажется, что повторение в этом параграфе с новой точки зрения того, что получено уже в § 1117, вызвано желанием полнее выявить родство дифферен- циального и алгебраического уравнений. Углубление таких аналогий повело впоследствии к открытию символических методов. 2) См. выше, § 775.
239 ГЛ. II. УРАВНЕНИЯ ВИДА Ау+В^+С ~r+D 44г+ Е 4тг+ 11 т- Д- ах axt axd ах£ СЛЕДСТВИЕ 4 1121. Если два корня становятся мнимыми, так что ос -- U -|- V |/* — 1 и В = U — v]/ — 1, то вместо ЭДеах + $Ве?х нужно писать eixx что приводится к следующему виду: е’1Х (?t cos vx + S3 sin чг). ПОЯСНЕНИЕ 1 1122. Хотя предложенное уравнение требует трех интегрирований, прежде чем получается конечное соотношение между х и у, здесь, однако, мы получаем это соотношение одним действием, которое даже не имеет ничего общего с интегрированием1). Очевидно, мы по догадке йашли выражение, удовлетворяющее, как частный интеграл, уравне- нию2), и одновременно получили три выражения такого вида. Затем, исходя из природы самого уравнения, мы обнаружили, что если ему удовлетворяют в отдельности значения у = Р, у = у — 7?, то ему должно удовлетворять также составленное из них выражение у = ЭДТ5-}- + В" и если бы это не имело места к нашему удобству, то из этих трех значений ничего больше вывести мы не могли бы. Итак, исходя из тех же начал, можно решать как бы одним действием диф- ференциальные уравнения подобного вида в общем случае, каков бы ни был их порядок, так что при этом определяется полный интеграл. ПОЯСНЕНИЕ 2 1123. Так как можно в общем случае решить дифференциальное уравнение третьего порядка dr* ^dr3 полным интегралом которого будет у = -И 4- где ос, р, суть корни кубического уравнения A + B'k + Of + D^O, то это можно заслуживающим внимания образом использовать для других уравнений, в которые преобразуется вышеуказанное. Во-первых, это уравнение может быть приведено к дифференциальному уравнению \tidx второго порядка с помощью подстановки у —, откуда получаем dL = e^udxu ^L=:Audx(' _|_„2Л dr ’ dr2 dr "T- ) и o?3y _ [udx / d2u 3udu 3X dr3 € \ dr* ' dr ' U ) ’ J) quae ne integratione quidem est affinis. a) aequationi partaculariter satisfacientem.
270 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТРЕТЬЕГО И ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ \udx так что преооразованное уравнение после деления на будет л , г> , 9 1 га q I du , 3-Di£ du . Dd2u A--Bu + Cu2 + Du3^-C + r^ = 0- 1 dx * dx 1 dx* Следовательно, поскольку u = -^~5 его интегралом является и = •— —-—-———— . ЪеаХ + + Это же уравнение может быть дальше сведено к уравнению первого порядка, если положим — Действительно, поскольку принимается постоянным элемент dx, получим t d2u — dt du = 0, т> e. d2u = ^^ , du d*u tdt у y откуда и -7— = ~-, так что получается следующее дифферен- UX CLX “ UU циалыюе уравнение первого порядка: Л + Ви + Си2 + Du* -Н t {С + Ы)и) + = 0. Стало быть, решение этого уравнения тоже оказывается возможным: очевидно, можно выразить значения обоих переменных и и t через одно и то же переменное х. Действительно, так как у задается через х, то прежде всего будем иметь и = . Но тогда i + и2 = , так как Следовательно, если вместо у подставить найденное выше зна- чение, то получим 4- Y(£e‘х U = 4 . - — И 1 U ” 9leax + ^x + ^‘x ’ если только а, 3, у суть корни уравнения А+вх + а2 + Ркз-о. Уместно также заметить, что то же уравнение [первого порядка], если положить преобразуется к виду Л + Ви + z (С + Du) + и2) = 0, который представляется более общим, чем те уравнения такого же типа, которые рассматривались выше [§§ 433, 488, т. I]. Известные методы интегрирования не дают способа для решения этого уравнения, но оно весьма легко достигается, если положить dy d2y W = --5“ И Z —J -2 , у dx у dx* откуда получаем _ d2y dy2 i __ d3y _ dy d2y . U у dx y2dx 11 у dx2 y2dx2 ’ и, следовательно, dL — yd3z — dyd2rj yd2y — dy2 du dx(yd2y — dy2) y2dx2
ГЛ. п. УРАВНЕНИЯ ВИДА Ау ±В 44 + В 44 й Е ~Г\ + 11 т. д. — О ri'V /1ПГ*Л zt'-v.S так что приходим к уравнению ydx 1 у dx2' y2dx3 1 y2dx3 ’ или же Ay + B^L^C^+D^^O, dx dx*- dx3 решение которого уже приведено. ПОЯСНЕНИЕ 3 1124. То дифференциальное уравнение первого порядка Dtdt-Yt du (С + 3Du) 4- du (Л 4- Ви + Си2 + Du3) = О, интеграл которого мы нашли, заслуживает более тщательного рассмо- трения. Прежде всего, я замечу, что это уравнение становится инте- грируемым, если его разделить на следующее выражение: D43 + Dt2 (В + 2Си + 3Du2) + t (С 4- 3Du) (А+Ви± Си2 + Du3) + (Л + Ви + Си2 + Du3)2. Отсюда мы заключаем, что становится интегрируемым и уравнение Dz dz — Du2dz - , zdu(C 4- Du) 4- du (Л 4- Bu) = 0, если его разделить на выражение D2z3 4- Dz2 (В -4 2Си) + z [АС -у (ЗЛЯ + ВС) и 4- (BD 4- С2) и2] + А2 + 2АВи + (АС + В2) и2 + (ВС - AD) и3 х). А оба эти делителя, если их приравнять нулю, дают частные интегралы, и отсюда получаются по три значения как для t, так и для 2, и каждое в отдельности является частным интегралом [§ 574, т. I]. Таким образом, заслуживает того-, чтобы им заняться, исследование в общем виде уравнения у dy + уР dx -С Qdx — 0, которое оказывается интегрируемым после деления на выражение 7/3 + ZLz/2 + M?/ + 7V. С помощью разъясненных выше операций [§§ 517 — 527, т. I] находим dL = 2Pdx, dM — PLdx-C 3Qdx, dN^2QLdx и PN-QM=A), откуда заключаем, что P dx = у dL, Qdx^ , 1\Г 1 T AT I 3dN \TAT MdN dM — LdL — и A dL = —— , Z Z Zj то есть , . Л7 dL Ad =-----. dtN *) В первом издании ...+ (ЛЛ + ВС) и3. - Исправление внесено Л. Шлезин- гером.
272 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТРЕТЬЕГО И ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ Подстановка этого значения, причем dN принимаем постоянным, дает 3 dN2 - L2dL dN + 2NL2d2L + 2NL dL2, и это соотношение после умножения на dL переходит в 2>dLdN2 = d(NL2dL2). Правда, эти уравнения решаются более удобным, хотя и своеобразным способом, если принять 7V = aZ3 и L=^, dz , Z d2Z откуда, считая элемент dz постоянным, получаем М = 9 и, сле- довательно, , Z d3Z + dZ d2Z dM= --------2d*-- и П т ,т , 3dN dZdlZ , о 7 , -LdL+^j- = + Стало быть, d3Z — 6а dz\ поэтому Z = az3 + fiz2 + yz + о, P dx = и Q dx = aZ dz. Zdz Таким образом, полагая Z = az3 +[Bz2 + yz-|-В, мы сделаем интегрируемым уравнение ydy + y^, + a-zdz = {^ разделив его на такое выражение: ~ 3 . 2 dZ , Z d2Z . > ^W3 + у2 -5-h У О , •/ + aZ’.) J 1 dz 1 J 2dz2 1 1 Кроме того, если Z\ разложено ана множители1), так что будет пред- ложено уравнение "у dy + у dz (а + 3 + у + 3z) + dz (а + z) (,8 + z) (у + z) = О, то делителем, который делает -это уравнение интегрируемым, будет Иу+(«+z)\3++(а+z) (y+z)]K+(I3+z) (у+z)]> и отдельные множители этого делителя, будучи приравнены нулю, дают частные интегралы [§ 574, т. I]. А из любого такого интеграла полный интеграл получается следующим, более обычным образом. Положим y = (a + z) (8-j-z). и тогда получаем + v]dz(y 4- z) — dv (а + z) (р + z) = 0. Затем пусть dv = pdz, тогда дифференцируя и под- ставляя pdz вместо dv, получаем следующее уравнение: dp (а + z) (Р + z) (у + z) = dz [p3 + (2? — a — ₽) p2 + (y — a) (y — 3) p], которое приводит к уравнению с разделенными переменными dz _ dp (a + z)(p + z) (у + z) — p (pH-у —a) (p + y — 8) ' !) Si Z habeat factores.
ГЛ. II, УРАВНЕНИЯ ВИДА Ay 4-JB + и т. д. - О 273 ЗАДАЧА 145 1125* Найти полный интеграл дифференциального уравнения какого угодно порядка где элемент dx принимается постоянным, РЕШЕНИЕ Очевидно, что и этому уравнению удовлетворяет выражение у = е^х, поскольку, действительно, тогда получаем _ЁУ = )2еХх ^_-)3^х dx “ К ’ dx* ' dx* е ’ г- dnV . n J „ и воооще Ле’ а после подстановки приходим к уравнению (разумеется, после того, как мы разделим на е^х) Л + Вк + а2 + />к3 + 7?к4+ и т. д. = 0, из которого надлежит определить значение к. Отсюда для буквы к получается столько же значений, сколько единиц в порядке предло- женного дифференциального уравнения, и каждое из этих значений в равной мере удовлетворяет предложенному уравнению. Пусть эти значения суть а. р, у, & и т. д., частными же интегралами будут у = 21еах, у = у = £етх и т. д. Но по свойствам самого дифференциального уравнения очевидно, что любая комбинация какого угодно числа этих значений, а следова- тельно и всех их, равным образом удовлетворяет уравнению. Следо- вательно, поскольку комбинация всех значений у — ЭДеах + 9Мх+ ®еух + ®е5х-|- и т. д. содержит столько произвольных постоянных 21, $8, Е, © и т. д., сколько единиц в порядке предложенного дифференциального уравнения, нельзя усомниться в том, что это выражение является его полным интегралом. Если порядок дифференциального уравнения повышается до n-го, так что имеем Ay + B^- + C^ + D^+...+N^ = 0, * dx 1 dx2 dx3 1 dxn ’ то и полный интеграл будет состоять из п слагаемых, которые надо определить с помощью решения алгебраического уравнения n-го по- рядка, а именно A + 5k^Ck2 + W+ .. . +7Vkn = O. Естественно, отдельные простые его множители выявляют соответству- ющие слагаемые в интеграле, так что если множителем является а —к, то из него получается слагаемое в интеграле ЭДеах, которое, как это очевидно, получается при интегрировании простого дифференци- ального уравнения ау—= 0. Подобным же образом соединение двух множителей (a-k)(p-k)-ap~(a + p)k + k2
274 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТРЕТЬЕГО И ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ дает часть интеграла1) которая вместе с тем является ин- тегралом следующего дифференциального уравнения второго порядка: «fo-(«+P)-^+S=o. А также вообще, если множителем указанного алгебраического урав- нения является а + ЬХ + сХ2 + /X3 + и т. д. = 0, то по нему, наоборот, образуется дифференциальное уравнение ау + b-^ +с 44+ / 44 + и т- Д- dx dx2 7 dxA J и если полным интегралом последнего является у--=1\ то это одновре- менно будет частью интеграла предложенного уравнения. Стало быть, таким образом из отдельных множителей алгебраического уравнения Л + 5Х + СХ2+/А3+ ... +Жп = 0 выводятся отдельные слагаемые искомого интеграла, а объединение этих слагаемых дает полный интеграл, так что в основном дело сводится к решению алгебраического уравнения. СЛЕДСТВИЕ 1 1126. Итак, если все простые множители этого алгебраического уравнения будут вещественными и, вместе с тем, неравными, то инте- грирование не представляет никаких трудностей. Действительно, если простым множителем будет /-|-gX, то слагаемым интеграла, которое —/х должно быть отсюда получено, является ЭДе 0 . СЛЕДСТВИЕ 2 1127. Если два простых множителя равны, т. е. если множителем будет (/ + gX)2, то слагаемым в интеграле, которое должно быть отсюда —/х получено, будет е $ (ЭД + ЯЗя). Если множителем будет куб (/-t gX)3, ~/х то отсюда получается в интеграле слагаемое е в (ЭД + 33^ + ®^2), а из биквадратного множителя (/-г gX)4 — слагаемое интеграла такого вида: -/X е 3 (*21 + 33^+ Sz2 + ®£3), и так далее для любого числа равных множителей, как можно заклю- чить на основании § 1120. СЛЕДСТВИЕ 3 1128. Если встречаются мнимые множители, то соединение двух таких множителей является вещественным трехчленным множителем, который представляется выражением /2 + 2/gXcosUg2X2, *) Integrals portionem.
ГЛ. И. УРАВНЕНИЯ ВИДА Ay+B^+C^ + D ^.+ В^-+ и т. д. = 0 откуда получаем Х= _l(cosC± VoisinQ. Сопоставляя это с § 1121, находим р.=—и ч = s^n . Поэтому слагаемым интеграла, которое должно быть получено по такому мно- жителю, будет -/X cos С . ----П ( М---/xsin<o , е 9--------------51 cos -+ S3 sin --J . СЛЕДСТВИЕ 4 1129. Если среди множителей встречается квадрат такого выраже- ния: (/2 +W-cos£ + g2>-2)2, т. е. если два множителя такого вида равны, то мы будем их рассмат- ривать как различающиеся бесконечно мало, так что в одном из них вместо — пусть будет — (1-|-ю). А поскольку ё ё -'со^(1+ш) -/xcosC е 9 =е 9 mfx —^CQS ё /xsin£ , х fx sin С a>/xsin£ . /xsin£ cos 1-----(1 + co) = cos ---------------------sin 1------- ё 4 7 ё ё ё и /х sin£ /Л . х . /xsin£ . co/xsin£ /xsin£ sin 1------( 1 4- co) = sin 1-----—L-----------cos ------, ё v ё ё ё ’ из этого множителя получается в интеграле слагаемое вида /xsin£ co/xcos£ /xsin£ VI cos—------51 —------cos ------- ё ё ё . га/ . /rsin£ ^/(d/xCOS^ . /rsin£ , га/' + S3 sin 3-----53 —-----sin—------1- 53 ё ё ё и его надо добавить к предыдущему. С этой целью стоянные1), положив 51 + %' - е, —fx cos e ~9 эд , со/х sin £ g«п fx sin£ ё ё a)/xsin£ /xsin£ cos ------------------ / мы объединим по- 93 + 93' = 8-, — tyL'vf cos £ S8'a)/sin£ ё ё — ЭД'со/ sin С ЯЗ'со/ cos C ё ё При этом прежние постоянные определяются, как и раньше, и соот- ветствующей частью интеграла будет е 9 £ (® + ®х) cos х £1П+ (3 + sin n j . ПОЯСНЕНИЕ ИЗО. Итак, вот общий способ нахождения интегралов дифферен- циальных уравнений вида Ay + Bd/ + C pi + Dp3+ ... +Nd^n = o, dx dx2, dx3 dxn *) Constantes ita cOntrabamus (буквально: стянем так постоянные).
276 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТРЕТЬЕГО И ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ изложенный в виде наставления1). Надо писать так, как показано на следующей схеме2): Вместо у dy dx d2y dx2 d3y dx3 d^y dx^ ... dny dxn писать 1 z z2 z3 z4 zn Получается следующее алгебраическое уравнение: A + Bz + Cz2 + Dz3 + Ez^+ ... +Nzn = 0. Следует отметить все вещественные множители этого уравнения, как простые, так и двойные, а кроме этого надо должным образом принять во внимание те случаи, когда два или большее число этих множителей равны друг другу. Тогда из следующей таблицы можно уразуметь, ка- кие слагаемые искомого интеграла получаются из отдельных множителей: Множители f + gz (f + g*)2 U + gz)3 u+gz)* И т. д, /24-2/gzcos C-{-g222 (/2 + 2/gz cosC + g222)2 (/2 + 2/gz cos £ —g2z2)3 и T. Д. Слагаемые интеграла -fx ° ~fx (SI + 53x) e ° -fx (% + ®x+$x*)e 5 -fx (^4-^4-©x3 + $a:3) e ° и т. д. —fx cos Z ' F’ ’ (ar /x sin C , ~ . fx sin c > e y SI cos ---------p 53 sin -- ) k g g J —fx cos C e~ —fx cos C e~~« (SI + 53 x) cos fx SgiD (a+bx) sin g (21 + 23x + ®r®)cos ^-Sgln Z / •f I n\ r fx sin u, (a + bx-{- ex2) sin -—-— И т, Д. Кроме того, для каждого множителя в отдельности надо писать раз- личные постоянные буквы, чтобы общее их число давало полный ин- теграл. ПРИМЕР 1 1131. Определить полный интеграл дифференциального уравнения четвертого порядка 2dy , 2d2y 2d3y 2d*y_0 dx ' dx2 dx* c?x4 T) In compendium contractam. 2) Ut iste laterculus indicat (буквально: как показывает этот кирпичик).
ГЛ. И. УРАВНЕНИЯ ВИДА АУ+В + С -^-+D Е + и т. д. = 0 Отсюда получается алгебраическое уравнение l-2z + 2z2-2z3+z4 = 0, которое разлагается на множители (1 — z)2 (1-|-22); первый из этих мно- жителей, поскольку /=1 и g=—1, дает в интеграле слагаемое (ЭД + S3z) еж, а второй множитель, поскольку /= 1т cos^O, g=l и sin£=l, дает слагаемое ЭД cos х 4- S3 sin х. Таким образом, искомым полным интегралом будет у = (ЭД 4- 53z) еж -j- (S cos х 4- ® sin х, где содержатся четыре произвольных постоянных. Если мы хотим, чтобы при z=0 было г/ = 0, то надо положить ЭД 4- ® = 0. Если в этом случае должно также исчезать — , то, поскольку v ct# = (ЭД 4- 53 4- 23#) еж — ® sin х 4- ® cos х, надо положить ЭД 4-S3 + ® = 0. Если, кроме того, должно исчезать —, то, поскольку 4 = + 2S3 + ЯЗж) ех — © cos х — ® sin х, и Я/ надо положить ЭД 4-2S3 — <5 = 0. Таким образом, мы удовлетворим этим трем условиям, принимая £ = — ЭД, 53= — ЭД и ® = 0, так что интегра- лом будет у = ЭД (1 — z) ех — ЭД cos х. ПРИМЕР 2 1132. Проинтегрировать дифференциальное уравнение четвертого порядка где элемент dx принимается постоянным. Алгебраическим уравнением, которое дает интеграл, будет A + Cz2+Ez* = 0, и оно всегда имеет два сдвоенных -1) вещественных множителя, кото- рые могут быть в одном из двух видов; либо (а2 4- 2тиаз4- nz2) (а2 — 2maz 4- nz2), либо (а2 4- m22) (а2 4- nz2). В первом случае имеем Л = а4, С = 2па2 — 4т2а2, Е = пР, а во втором А = а4, С = (т,п) а2, Е~тп. Но первый член А всегда может быть представлен в виде биквадрата а4, и первое решение будет иметь место, если Е является положи- 4 Duplicates.
278 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТРЕТЬЕГО И ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ тельным числом и 2п2а — С, т. ё. 2 У АЕ — С также положительно, следовательно, если ^АЕ > С2. Второе же решение имеет место, если С2 > ^АЕ. Следовательно, нужно определить, к какому именно классу относятся отдельные множители, и таким образом находим следующие случаи: I. Если все четыре простых множителя являются вещественными, то будем иметь А + Cz2 + Ez* = (а + z) (а — z) (b 4- z) (b — z) и получаем уравнение полным интегралом которого будет у = ЭДе^ 4- + ©еЬх + <£)е~Ьх. Если к тому же Ь = а, то для соответствующего уравнения _ 2aWy dty = Q У dx2 dx^ полным интегралом будет у = (ЭД + 93#) еах 4~ (® + ®я) в~ах. II. Если вещественны два простых множителя, а два множителя мнимы, будем иметь A 4-C'z24-£’z4= (a + z) (a —z) (£>24-z2), и получается уравнение а2^ + (а«_ &«)§ + § = О, полным интегралом которого будет у = ЭДеах 4- 53е~ах 4- Е cos bx 4- Ф sin bx. III. Если все простые множители суть мнимые, то нужно рассмо- треть два случая: 1) Если А + Cz2 4- EZ* = (а2 4- г2) (Ъ2 4- г2), то для уравнения полным интегралом будет у = ЭД cos ах 4- 53 sin ах 4- ® cos bx 4- Ф sin bx. 2) Если А 4- Bz2 + Ez* = (а2 4- 2az cos С + z2) (a2 — 2a z cos £ + z2), то для уравнения 4 2a2d2y n «43/--^coS2CH ^ = 0 полным интегралом является у = е+а* сое с cos sin Q 4- 53 sin (ax sin Q) 4- e~~ax cos c (G cos (ax sin Q + Ф sin (ax sin £)).
ГЛ. II. УРАВНЕНИЯ ВИДА Ау+В^+С ® 4Ц- + и т. д. = О ах аХ4 ах& ах* 279 Если к тому же в первом случае имеем а во втором случае — cos;=0, то полным интегралом уравнения «4 +2^/ + ^ = 0 * с?х2 1 dx1 будет У = (ЭД + S3^) cos ах + (® -|- Фя) sin ах. ПОЯСНЕНИЕ 1 1133. Итак, поскольку можно определить интеграл уравнения лу^с-^+^=0, v 1 dx2 dx* ’ то можно проинтегрировать все уравнения, которые из него выводятся. Но это уравнение после умножения на 2у приводится с помощью ин- тегрирования к дифференциальному уравнению третьего порядка + Const. Однако в найденном выше интеграле постоянные ЭД, $8, ® можно определить таким образом, чтобы это постоянное (Const) исчезало, и, следовательно, мы располагаем полным интегралом следующего уравне- ния: л 2 J- I 2Е dy ^y — E(d2y)2 = 0 " 1 dx2 7“4 Теперь положим у = е v dx dx* так что Вследствие того, что dx = V, получим d2y___ J v dx / dv dx2 e \ dx и также dzy [edx X d2v Zvdv . c Наше уравнение принимает следующий вид: л 1/^21 г? (d2v 4t/2cto 4 Л+^2+£<__ + __+и4_ f-У - » dx2 J 7 dv Далее, пусть ах~ —, так что _______________________________dv___ d2y dy2 S dx у dx2 y2dx2 * тогда d2v л -- = os и dx и таким образом получается такое вого порядка: d2v s ds dx2 dv * дифференциальное уравнение nep ds dv $2-p4u2$ + u4 Соотношение между v и $ для этого уравнения определяется по денному соотношению между х и у следующим образом: у = _^_ и ydx най- у2 dx2
280 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТРЕТЬЕГО И ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ ПОЯСНЕНИЕ 2 dy следовательно, ~ = и, и тогда И <%У dx* dy 1134. Если мы сохраним постоянное, которое введено выше инте- грированием, так что будем иметь Лw2 д-Cdy2 I 2Е dy d3yЕ = G У ‘ dx2 ‘ rfx4 ’ то в полном интеграле, который выражает у через х, постоянные ?(, S3, 6, © могут быть определены соответственно этому количеству G. Итак, положим теперь dx=^t d2y__и du dx2 dy Таким образом, = dx* dy dy уравнение второго порядка Отсюда получается дифференциальное Ау' + Ы + Е (^d а^и-и^'} = G, \dy dy dy2 J и здесь элемент, который принят постоянным, не входит в рассмотре- ние. Следовательно, ничто не мешает тому, чтобы принять постоянным dy, и тогда получаем Итак, это последнее уравнение тоже можно проинтегрировать. Если же мы положим у2 = р и и2 = q, то, принимая постоянным элемент dp, получим следующее уравнение: Ap + Cq+E + = G. Если же мы в том же уравнении положим и = г2^, то получим Ау* + О‘/з + А Ег^/з ^ = G. ‘ ‘3 dy2 Интегрирование этих уравнений без указанного приведения 1) представ- ляется весьма затруднительным. ЗАДАЧА 146 1135. Предложено дифференциальное уравнение какого угодно порядка any±d2y Q dxn где постоянным принимается элемент dx; найти его полный интеграл. РЕШЕНИЕ Алгебраическим уравнением, которое служит для решения, являет- ся an-f-zn = O; при его решении надлежит рассмотреть два случая в соответствии с тем, берется ли верхний или нижний знак. 2) Sine hoc snbsidio (буквально: без этой помощи).
ГЛ. II. УРАВНЕНИЯ ВИДА Ау+В^ + С ^+D -^|+Е -^Г + и Т. Д. = О ах axe ах^ ах* 2о1 I. Пусть имеет место верхний знак, так что предложено уравнение апу + ^Уп = О. u dxn Вещественными множителями выражения an-}-zn являются a2 —2azcos —+ Д а2 — 2azcos — 4-z2, п ‘ ’ п 1 ’ а2 — 2azcos~+z2 и т. д., п ’ и среди них последний — это или a2 — 2azcos — 4-z2, или а2 — 2az cos + z2 п ‘ в соответствии с тем, будет ли п или п—1 нечетным числом, причем в первом из этих случаев вместо множителя второй степени а2 4- 2az-\- z2 надо подставить корень из него a-\-z. Таким образом, полным интегралом рассматриваемого уравнения будет ах cos — Z Z те \ . Z . л \ \ у = + е п ( Ж cos ( ах sin — \ 4- S3 sin ( ах sin — \ J Зтс ах cos— Z Z . ЗтсХ — . Z . ЗлА Л 4-е п 6 cos ах sin - J + © sin yjix sin — J J 5 т: ах cos — Z «- + e n ( @ cos ^ax sin 4-gsin fax sin-^Q^ и т. д., и последним слагаемым в этом выражении, если п — нечетное число, будет Этот интеграл может быть также выражен в виде тс - Зт: „ ах cos — Z . л X ах cos — Z . Зтс . у = Же п cos Qarcsin — + а j + ЭЗе п cos sin — 4- Ь J 5 т: ~ 7 тс _ ах cos — Z 5тс \ _ атс cos — Z . 7те t \ + бе п cos ( ах sin — + с ) + ® е п cos ( ах sin ~ + Ь ) н т. д., и это выражение нужно продолжать до тех пор, покуда не получаются прежние члены. II. Если имеет место нижний знак, т. е. предложено уравнение апУ~ 4^ = 0, у dxn f вещественными множителями выражения ап — zn будут a — z, а2 — 2azcos — + z2, а2 — 2az cos — + z2, a2 — 2azcos—Ч-z2 и т. д., п 1 и последним из них, если п— четное число, будет a -j- z, если же п — не- четное, то 2 О 1) I _2 а2 —2azcos -----—• п
282 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТРЕТЬЕГО И ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ Поэтому полным интегралом этого уравнения будет 2тс cos f . 2л . • . 2л у = ^еах + е п ( 53 cos ах sin — + Е sin ах sin — } 4те . / / ах cos — / _ . 4л . гс . . 4л Д + е п ( ® cos ах sin — + @ sin ах sin — } . axcos|p<~ . 6л ш . 6л > Н- е ( S cos ах sin — + ® sin ах sin — \ И т. д., и этот интеграл может быть представлен также в таком виде: 2тс „ ах cos — Z 2л v \ у — ЭДе0Х + ЭЗе п cos ( ах sin — + Ь J 4 л 6 л ~ ах cos — / .4л \ -ч ах cos — Z . 6л с \ + Ее п cos ( ах sin - с J + 5)е п cos ( ах sin — + Ь ) И т. д. Это выражение надо продолжать до тех пор, пока получаются члены, отличные от предыдущих. ПОЯСНЕНИЕ 1 1136. Итак, для различных значений показателя п интегралы полу- чаются в следующем виде (^причем сначала приведем их для уравнения ^+^=оу v dxn J I. Интегралом уравнения + является г/ = 9{е-ах. II. Интегралом уравнения а2г/ + -^- = 0 является у = $1 cos (ая + а). III. Интегралом уравнения a3y-\-^^ = Q является у = ах cos ах-^ 3 q IV. Интегралом уравнения а^у 4- =* 0 является ах —ах у = cos + а) + $ВеС 2 cos + ьу V. Интегралом уравнения + = является у = ЭДе0* cos 36° cos (ах sin 36° + а) + 53е“ах GOS 72° cos (ах sin 72° + Ь) + 6е-ах.
ГЛ. II. УРАВНЕНИЯ ВИДА Ау+В С-^- + О + Е + и т. д. - О 283 VI. Интегралом уравнения aQy + = 0 является ахКз -д*)Лз ?/= 2 cosf Tax+aJ + 53cos(ax + b) + ®e 2 cos(yax4~cj и т. д. Таким же образом для второго вида уравнения п dny л мы получаем следующие интегралы, соответствующие более простым значениям показателя п. I. Интегралом уравнения ау — ~ является у = 91еах. II. Интегралом уравнения а2у — = 0 является у = йеах+53е-ах. d III. Интегралом уравнения asy — = 0 является у = '21еах4-$Ве 2ах cos 6^) • С?41/ IV. Интегралом уравнения а*у —= 0 является у = йеах 4- SB cos (ах + Ь) + 6е~ах. V. Интегралом уравнения а5у--~ = 0 является у = ?1еах 4- SBeax cos 72° cos (ах sin 72° + Ь) + Ев“ах cos 36° cos (ах sin 36° + с). VI. Интегралом уравнения а^у — — 0 является у = ?1еах 4- SBe2 ах cos ? 4- b 4- Се 2 ах cos &х 4-0^4- ®г~ох; и так можно идти дальше, сколько угодно. ПОЯСНЕНИЕ 2 1137. Хотя тот метод, которым я здесь пользовался, легко приводит к интегралам уравнений рассмотренного выше вида, он целиком отходит, однако, от принципов интегрирования1). Действительно, законы инте- грирования требуют, чтобы мы интегрировали дифференциальное урав- нение более высокого порядка поочередно соответствующее число раз, пока не дойдем до конечного соотношения между двумя переменными, и поскольку каждое в отдельности интегрирование вводит произволь- ное постоянное, то только таким образом получается полный интеграл. Однако здесь мы построили окончательный интеграл как бы одним *) A principiis tamen integrationis omnino abhorret.
284 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТРЕТЬЕГО И ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ действием, со всеми постоянными, которые делают его полным. Разу- меется, на самом деле, мы только по догадке получили несколько частных интегралов, а характер уравнения позволил удобным образом образовать по ним полный интеграл. Между тем, если мы хотим строго соблюдать законы интегрирования, то когда предложено, допустим, дифференциальное уравнение четвертого порядка, нужно четыре раза интегрировать, причем первое интегрирование приведет к дифферен- циальному уравнению третьего порядка, а тогда это уравнение с помощью нового интегрирования сведется к дифференциальному уравнению второго порядка, которое после следующего интегрирования приводится к первому порядку, а это последнее, наконец, будучи еще раз проин- тегрировано, дает искомое соотношение между двумя переменными. Можно и таким образом решать уравнения рассмотренного здесь вида с приведением последовательными интегрированиями к более простым порядкам, однако при этом мы найдем те же интегралы, которые полу- чили здесь. Впрочем, так как этот метод применим не только к рас- смотренным здесь видам, а с его помощью можно проинтегрировать и такое более общее уравнение: v л В dy С d2y D d3y X = ^ + -d7- + ^- + ^+ и т- д” где X обозначает какут® угодно функцию от х, и для решения этого уравнения предыдущий метод совершенно недостаточен, я применю новый метод сразу к этому более общему виду. о о о
ГЛАВА III ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВИДА л В dy С d2y D d3y Е diy X = Ay . - — . . - + ; И Т. Д. ** doc doc2 doc3 doc* ЗАДАЧА 147 1138. Предложено дифференциальное уравнение X = I В аУ f Са2У \ Dd^y \ । N dny У dx T dx2 "Г f ’ * "1“ dxn ’ еде принимается постоянным элемент dx, а X обозначает какую угодно функцию от х\ найти функцию от х, после умножения на которую указанное уравнение становится интегрируемым. РЕШЕНИЕ Пусть Pdx тот множитель, который мы ищем. Так как первая часть уравнения X после умножения на него интегрируема, условия для множителя надо определить по второй части. Легко, впрочем, заметить, что выражение для этого множителя должно быть вида так что подлежит определению количество к. Итак, пусть elxdx — мно- житель. Должно быть интегрируемым следующее выражение: J dx dx2 dxA dxn / вследствие чего мы примем его интеграл в виде Bfdy C'd2y M'dn-'y\ dx dx2 T" • • • л dxn~r J * Стало быть, чтобы дифференциал этого выражения совпадал с вышеуказан- ным, поскольку он равен ("1 a f । ^Bfdy . 'kC'd'ty eXxdx < kA у + --т - + —, „y t dx dx2 необходимо, чтобы A, A nf B^Af C~Bf D — C' ,,, M — L' Л_т, c =-^, D = — M =^— Mfdny dx^ \Mf dn~xy . A’ dy । Bfd2y . dxn~x dx dx2
286 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТРЕТЬЕГО И ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ а также, чтобы Mf — N. Отсюда получаем В “ К X2 ’ b ~ X X2 + К3 ’ и —T~'V”t~I3 А.4’ М' = ^_А + А_...±А X. № ' К3 32 V1 и X X2 X3 1 Х^+1 причем из последнего уравнения нужно определить количество к; это уравнение получается в виде Л-5х + Ск2-£)к34£х4-... ±Жп = 0, и отсюда для к определяется п значений и столько же определяется множителей. Покажем, как для отдельных значений показателя it получаются эти выражения. I. Если тг=1, то будет Л—7?Х = 0, и тогда л II. Если п = 2, то будет Л —5k + Ck2 = O, и тогда А' = ~=В-С>. и В' = -^А- = С. X X2 III. Если п = 3, то будет Л —- Bk-j Ck2 — Z)k3= 0, и тогда Л' = 4- = B~Ck + D^’ В' =B\~A=C-DX, С = (^‘~?-^A = D. X 1 ’ X2 X3 IV. Если п = 4, то будет А — В\ 4- Ck2 — Z)k3 + 2?к4 — 0, и тогда Л' = А = В - Ск + DX2 - ЕХ3, X3 В' = ЛК~-4 = С - DX + ЕХ2, X2 ’ п> ЛХ3-СХ2+ВХ — А __ F U - К4 — * V. Если п=5, то будет Л — В^А Fk2 — Z)k34-Ek4 — FX5 = 0, и тогда А' = 4 = В-СХ ± DX2-Ek3 + FX*, X в' =^^A = C-DX + EX2-FX3, с = -2~У+Л = D - ЕХ 4-FX2, D, = РХ2-СХ2^ВХ^А = E_FK X _ EX4 - DX3 + СХ2 - ДХ + Л = F и так далее.
ГЛ. ш. УРАВНЕНИЯ ВИДА Х=Ау+ и т- Д- ОХ UX" ОХ** 0X4 287 Если же найден множитель elxdx, то первым членом уравнения будет eXxXdx, и предложенное уравнение, которое является дифференциальным урав- нением порядка п, с помощью интегрирования приводится к следующему уравнению порядка на единицу меньшего: e^Xdx = e^( А'у + В' ^~ + С' ‘ J у * dx 1 dx2 dxn 1 у СЛЕДСТВИЕ 1 1139- Следовательно, после выполнения этого первого интегрирова- ния предложенное уравнение понизится на один порядок и, после опре- деления коэффициентов Л', В', (У и т. д. из вышеуказанных формул, интегральное уравнение можйо представить в следующем виде: С е^х dx = A'y + Br ^- + С'^-+... + М' . j ° dx dx2 dxn 1 СЛЕДСТВИЕ 2 1140. Поскольку первый член €~\Х е\хХ dx является функцией от х, содержащей произвольное постоянное, то, если вместо него будем писать X', это уравнение будет иметь такой же вид, как и предложенное, поэтому оно снова может быть проинтегриро- вано таким же способом и приведено к дифференциальному уравнению порядка п — 2, которое будет следующего вида: X" = А" у + В" + С" . + L" • 1 dx 1 dx2 ‘ 1 dxa 2 СЛЕДСТВИЕ 3 1141. Идя таким образом дальше, мы придем, наконец, к дифферен- циальному уравнению первого порядка dx ’ которое подобным же способом приводится к конечному уравнению каковое выражает соотношение между переменными х и у. ПОЯСНЕНИЕ 1142. Итак, это есть метод последовательного интегрирования диф- ференциальных уравнений высших порядков рассматриваемого вида, и при этом нужно столько раз интегрировать, сколько единиц в порядке
288 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТРЕТЬЕГО И ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ предложенного дифференциального уравнения. Стало быть, все дело сводится к последовательному определению коэффициентов, которые надо находить по предшествующим коэффициентам с помощью множи- теля. Однако вообще закон, по которому эти коэффициенты последова- тельно определяются по предыдущим, не настолько очевиден, чтобы можно было усмотреть, каков окончательный вид интеграла. Правда, так как из предыдущей главы мы знаем, что в том случае, когда первый член X исчезает, то даже окончательный интеграл определяется по доста- точно простому закону, мы можем с основанием подозревать, что это и здесь имеет место и что мы весьма легко отыщем этот закон, если шаг за шагом будем переходить от низших порядков к высшим. Но в первом же случае, когда дифференциальное уравнение первого поряд- ка, X — Ау 4- В , множителем будет elxdx, если А — Х5 = 0, так что А А Х = —, и, поскольку А' = ~ В, интегралом будет еКхХ dx = ВеКху, то есть eKXXdx — By. Подобно этому мы рассмотрим уравнения более высоких порядков и оты- щем окончательный вид их интеграла. ЗАДАЧА 148 1143. Предложено дифференциальное уравнение второго порядка Х = Ау + В^- + С^. v 1 dx 1 dx2 С помощью двукратного интегрирования найти соотношение между х и у, РЕШЕНИЕ Пусть elxdx — множитель, который делает это уравнение непосред- ственно интегрируемым. Будем иметь А —В\^С\2 и находим А' = 4 = В - С\ и В’ = ^44- = с- X X2 Обозначим elxXdx = Xf. После одного интегрирования получаем уравнение X' = А'у + В' J dx Пусть его множителем является e^xdx\ будем иметь — = O и пола- гаем А" = = В. Положив н е^хХ'dx = X”, получим = что является уравнением дважды проинтегрирован- ным и выражающим искомое соотношение между х и у. Итак, поскольку здесь А” = В' и Bf—С, то уГ = С. Затем после подстановки значений для Аг и Вг уравнение Аг — 5'р. = 0 принимает вид В — С\ — С|х = 0, то есть В — С (к + |х)=х0.
ГЛ. III. УРАВНЕНИЯ ВИДА ^=лУ + -^~+^- + -^-+^Г+ И т- д- Так как из этого уравнения получаем )ч-|- и = -т,-, то очевидно, что О равняется сумме обоих корней уравнения А — 7?Х + Ск2 = 0. А так как X есть один из корней этого уравнения, то и обязательно обозначает его второй корень. Поэтому, если мы по предложенному уравнению составим, как мы делали в предыдущей главе, уравнение А-p Bz-\~ Cz\ то его корнями будут z — и z = — р.. Это значит, что если мы его множители возьмем в виде С (а -у z) (3 -р 2), то буквы а и р дадут значе- ния X и и. Отсюда, поскольку Хг — е-^ e*xXdx. получаем X” = в'Зх х dx еахХ dx. Но с г 1 с 1 с \ е(И-<0 х dx \ erLXXdx = -т-х \ е™Х dx — --\ е*хХ dx, J J В — х j a J откуда заключаем, что Х".= --—е-аж e^XdxA------Ц-е-Р* e$xXdx. $ — a J ‘а—-р J Поэтому полным интегралом предложенного уравнения является 1 Г 4 С Су = — е~ах \ е*хХ dx Н--Ц- е~$х \ е$хХ dx. где буквы аир надо выбрать так, чтобы A + Bz + Cz^C^ + z) (P + z). СЛЕДСТВИЕ 1 1144. Если оба указанные множителя равны, т. е. 3 = а, будем иметь X” = е~ах dx еахХ dx = е~ахх е*хХ dx - е~ах e^Xxdx. и таким образом в случае A-rB2 + Cz2-C(a + z)2 интегралом нашего уравнения будет Су = е~ах ( х е^хХ dx — е''хХх dx^j . СЛЕДСТВИЕ 2 1145. Если оба множителя мнимы, что имеет место, когда А -г Bz + Cz2 - С (/2 + 2fz cos 0 + z2), то а = / (cos 6 + yr — 1 sin G) и P — / (cos 6 — sin 6),
290 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТРЕТЬЕГО II ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ откуда еах — е/х COS 9 [CQS sjn 0) У — 1 sin (jx sin 0)] и e^x_e/xcosfl [COs (jx sin 0)— J/ — 1 sin (jx sin 6)], а также 3 - a = - 2 У / sin 0. СЛЕДСТВИЕ 3 1146. Для того чтобы легче было подставлять эти значения, обо- значим для краткости е/х cos а = cos (jx sin 6) = р и sin (jx sin 0) = q, так что __ eax == nip j_ mq у и e$x=mp~mq l/ -1. Отсюда находим еахХ dx = трХ dx у mqX dx у — 1 и е$хХ dx = трХ dx - mqX dx |/ — 1. При этом е-« = и г?х=Р±?О, т т СЛЕДСТВИЕ 1147. Таким образом получаем С е^х dx = — трХ dx — —------ ( трХ dx J иг J 1 т 2 у ----- mqX dx-\- —- 'у mqXdx, 1 т J J т J 1 7 ,___ г а беря у — 1 с отрицательным знаком, находим e-iS;c у е$хХ dx и, вычитая это выражение из предыдущего, определяем разность — С трХ dx у ( mqXdx, которая должна делиться на г) -2У^Л/sin9. Отсюда находим интеграл Cv — —Д—r \ трХ dx-----Д—а \ rnqX dx. mj sin и J г ?n/sina J J СЛЕДСТВИЕ 5 1148. Если подставить вместо гп, /?, q принятые для них значения, то интегралом нашего уравнения, если А у Bz + Cz2 = С (f2 + 2fz cos 0 + z2), !) ... quae forma incle subtracla re 1 inquit .... hocque residuum dividi debet par.
ГЛ. III. УРАВНЕНИЯ ВИДА Х=Аи+-^-+-^у + Dd^J + ’’Щ + И Т. Д. dx dx2 dx$ dxi 291 будет sin (/a; sinj) C e/.v cos »n i /sin (I J I Cy = cos0 У COS (fx Sin 6) f A.,^av 7 • /r • * — -—й—- \ eJx C()s C\ dx sin (fx sin 6) / sin 0 j 7 Стало быть, это выражение равносильно предыдущему, если аир при- нимают мнимые значения. ЗАДАЧА 149 1149. Пусть предложено дифференциальное уравнение третьего по- рядка Х = Ау + В^--]-С^ + Б^--, 17 dx 1 dx2 dx6 найти его полный интеграл с помощью трехкратного интегрирования. РЕШЕНИЕ Обозначим множитель через B'xdx, тогда должно быть Л-£Х + СХ2-7ЭХ3 = 0. Мы положим Л1 = В - СХ 4- Z>X2, Bf = С - ОХ и С' = D и, принимая е~\х e^Xdx^X', получим после одного интегрирования уравнение Х’ = А'у + В'^- + С dx ' dx- Далее, примем его множитель в виде e[XXdx, так что Л'-5'р. + С'р.2 = О, и положим А' = В' — С'\>. и В" = С. Обозначая е~:^ &*Х' dx = X", получим второе интегральное уравнение X" = А”уВ" Хх у dx которого множитель будет e^xdx, полагая —O"v = 0. Приняв Aft' = В* найдем третье интегральное уравнение evxXff dx = А”1 у = Dy. Итак, надо отыскать количества X, и, у. Но, во-первых, А-Вп-г CX2-DX3 = 0, следовательно, в - С (К -|-11) + D {}.- + Xu -L р2) = о,
292 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТРЕТЬЕГО И ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ и так как А" С - D (X 4- р,) и В" = то, в-третьих, получаем Из этого последнего равенства видно, что X + р. -р равняется сумме корней первого уравнения,* для которого X является одним из корней. А что [1 и v представляют остальные корни, мы покажем следующим образом. Рассмотрим уравнение Если один из его корней есть z~ — X, т. е. одним из множителей его является X -J- z, уравнение делится на него, и тогда получим Dzz + (С - D\) z + В - С\ + D\2 = 0. что представляет именно второе уравнение C'z2 A~B'z-t А' =0, корнями которого являются z ——р. и z = —v, т. е. множителями будут (PL+2)0* + z), как показано в предыдущей задаче. Поэтому, если мно- жителями выражения А -р Bz + Cz2 + Dz3 будут D (а + z) (р 4- z) (y + z), то для нахождения окончательного интеграла полагаем е-^х eaxXdx = X', е-Зх е$хХ' dx = X" и e~ix еххХ" dx = X"' и будем иметь Dy — X"'. Но с помощью приведения интегралов, как мы выше видели, получаем X" = — е-’я еахХ dx 4- —Ц- е~$х e$xXdx, В —a J 1 а — В J а затем отсюда 5 5 ‘”х dl - dx *"~Ы15 5 e"Xdi- где два последние члена приводятся к Поэтому искомым интегралом будет е-^ J eaxXdx е~^х j e^Xdx е~ух j е^хХ dx Dy = (?—«)(!—<*) + (“-PHW) + (“-к)(Э-7)
ГЛ. III. УРАВНЕНИЯ ВИДА Х=Ау+^- + ^-+^- + ^-+ и Т. Д 293 СЛЕДСТВИЕ 1 1150. Если два множителя выражения А + Bz - Cz2 -j- Dz3 равны, положим у = р, то С е^Х" dx = ,0- 1 е<3х е™Х dx - 7 -~ *\ е$хХ dx J • (? — а)“ J (? — а)2 J Н---Ц- х \ $xXdx-----( e^xXxdx, а —J д--3 J ’ и, таким образом, интеграл в этом случае будет е-ах Р e^Xdx e^ С е$хХ dx е~*хх ( e$xXdx — e~~$x f е*хХх d* СЛЕДСТВИЕ 2 1151. Если равны все три множителя, т. е. а = р = у, то е*хХ" = dx ё*хХ dx = х еххХ dx — e*xXx dx и еахХ"' = е*хХп dx = dx dx e™Xdx, то есть е*хХ'" с 1 г e^X dx — х \ е2ХХх dx -(- —- \ еяхХх2 dx, J j откуда получаем в этом случае интеграл Dy = у е~ах Г х2 е*хХ dx~2x С e*xXx dx + е*хХх2 dx или же Dy — е~ах \ dx \ dx \ е*хХ dx. ПОЯСНЕНИЕ 1152. Также и в общем случае, без какого бы то ни было при- ведения интегралов, интеграл нашего уравнения может быть пред- ставлен в виде Dy = е~^х е(т-3) dx е^“а> Xdx е*хХ dx, полагая А + Bz-^Cz2 + Dz3 = D (а + z) ф + z) (у + z). Здесь, прежде всего, представляется заслуживающим быть отмеченным то, что три буквы а, р, у могут каким угодно образом быть перестав- лены между собою, так что это интегральное выражение можно изме- нить шестью способами. Также и в предыдущей задаче [§ 1143], где встречаются только два множителя С (a + z) (p + z)=H+BzlCz2, полный интеграл уравнения Х = Ау + В^- + С^ dx dx1
294 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТРЕТЬЕГО И ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ может быть представлен в виде Су = е~^х х dx е™Х dx, а при перестановке букв а и 3 также и следующим образом: Су = е~ах е(а~^ х dx е^хА dx. Если усмотреть равенство этих выражений, что легко обнаруживается при соответствующей попытке, то становится ясным, как меняются пре- дыдущие выражения. Действительно, пусть е~ах eaxXdx —= X’, тогда в вышеприведенной формуле Dy — е~"х. е^~^х dx е$хХ' dx\ я так как этому равно выражение Dy — е~~$х хdx е*хХг dx, то будем иметь, подставляя значение для X', Dy = e{^~^xdx e^~^xdx eaxXdx, что отличается от первой формулы только тем, что переставлены буквы р и у. Однако то, что можно также переставить буквы (3 и уса, таким способом труднее показать, но это очевидно, если сделать ука- занные при решении приведения, а также на основании свойств самого решения. ЗАДАЧА 150 1153. Пусть предложено дифференциальное уравнение четвертого порядка X = Ay + BdX + Cd^ + D^3 + E^, где элемент dx принимается постоянным, а X обозначает какую угодно функцию от х. Найти его интеграл. РЕШЕНИЕ Мы прибегнем к помощи алгебраического выражения, которое легко образуется по предложенному уравнению А 4- Bz + Cz2 + Dz* + Ez*^P. Пусть оно разложено на свои простые множители, так что P = £'(a + z) (? + z) (у + z) (o-j-z). Тогда множителем, который делает интегрируемым наше уравнение, будет eXxdx, принимая л равной одной из букв а, [3, у, S. Итак, при- мем X = а, так что множителем будет еах dx, и, положив е~~ах \ еахХ dx-- X',
ГЛ. III. УРАВНЕНИЯ ВИДА и т д получим после одного интегрирования уравнение X' =А’и + В'Л/ + С'р^В'р3 , , dx 1 dx2 ' dx3 ’ где Ar, В', Cf, Df определяются таким образом, чтобы _ А — A СаР—.Ва-\-А p.f Dx3— Со? + Ва — А а от_а3 ’_а4 то есть г А -туг В — A' w С — Br r^f D — С' а а а а либо также Л = Л'а, В — В'а-\-А', C~Cra-\-B\ D = D'a \ C'. Из этих определений вытекает, что если положить А‘ 4-#'2-|-C"z2-|-Z)'z3 = (), то это выражение Q получается из выражения Ру если последнее раз- делить на а 4-2, так что c=44=£(?+z)(t+z)(3+z)- Следовательно, мы произведем второе интегрирование таким же обра- зом с помощью множителя e$xdx и, положив e^X'dx — X”, получим интегральное уравнение х''=4,’м+в'4/+с’Й > J 1 dx 1 dx* беря коэффициенты А\ В", С” так, чтобы .4- + В" г, + CV - - Е (Т + г) (( + 2). Далее, интегрируя это уравнение с помощью множителя e^xdx, мы найдем, если положить е~ух е^хХ' dx = X", X"’ = А’"у + В"'^ , 1 dx причем A"f = у—;—r~/Q^ —i—В (о4-2). (a4-2)(p + i)(i4-z) v 7 И, наконец, с помощью множителя e?iXdx, положив е~гх ebxX'tf dx = Х/г", находим окончательный интеграл X— = А’"' yt причем А""^Е. Итак, собрав все это, получим искомый интеграл Еу е~Ьх С e^~~^xdx e^~^xdx \ e^^xdx e'txXdx)
296 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТРЕТЬЕГО И ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ и это выражение можно построить, уже без каких бы то ни было обходных путей, по разложению первоначального выражения P = ^ + ^ + C’z2 + 2)z3 + Ez* на множители, а именно Р = Е (а + z) (₽ 4- z) (у + z) (> + z). При этом нужно отметить, что в каком бы порядке ни переставлять буквы а, р, у, d, для Еу всегда должно получаться одно и то же зна- чение. СЛЕДСТВИЕ 1 1154. Поскольку имеем X' = е-ах e*xXdx, то, как мы уже видели, Г / р(З-а) х (* 1 с х X" = е~»х \ еКХ' dx = е~?х ( -\ е™Х dx - Д- \ Xdx ) , J \ В —a J 3 — 2 J J то есть е-ах f е^Х(]х fi-₽x e^XdX х Ь;—-—Ь— СЛЕДСТВИЕ 2 1155. Далее, так как Xf,f = е~тх eYX X" dx, то, произведя подоб- ным же образом приведение, получаем j е*х х dx е~7х Уе *х х dx e4ix $е₽х х dx е~ух $еУХ х dx Х"= (8-а) (Т-а) + (3-»)(а—f) + (а-'?) (-,-В) + (а-В) ф-f) • что приводится к следующему виду: z/// е~ах J еах X dx е~$х J е$х X dx е~гх § erx X dx Х = (?-“)СГ~а) + (»-В) (7-ТГ + (а-7)(В-7) ’ СЛЕДСТВИЕ 3 1156. Отсюда подобным же образом получается значение X'"', причем достаточно вывести первый член, так как из него сразу обра- зуются остальные, вследствие перестановочности [букв]. Таким образом находим интеграл нашего уравнения в виде следующего выражения: е IX j еах jx е 0Х ЕУ = (3-а) (7_а)(5_а) + (а-3) Й-З) (8-£) J еТхХ(/а. , e-Sx у ^xXdx (а — 7) (В —7) (В — 7) (а —&) (3 —о) (7 — 0) * ПОЯСНЕНИЕ 1157. Если два корня или несколько корней равны между собой, либо мнимы, то найденные интегралы нужно преобразовать, и мы сразу исследуем это преобразование. Впрочем, последняя форма для интеграла представляется весьма подходящей для таких преобразований. Так,
ГЛ. III. УРАВНЕНИЯ ВИДА Х^Ау + -^- + + И Т- Д- dx dx3 dx3 dxi в случае равенства множителей, если, [например], о = у, нужно произ- вести приведение только двух последних членов, и, для того чтобы это сделать, положим g = у — ю. Тогда предпоследний член будет равен е-тх f е{х X dx —ш (а —у) (.8 —у) * а что касается последнего члена, следует заметить, что 1 1 1 (0 1 1 (О а — В “ a — -f -1- (О “ а — 7 (а — у)2 И (3 —у)2 ’ следовательно, 1 __ 1 о (2у— а — 8) (а-W-M = (a~7KFT) + Г«~7)2 (3-7)2 ’ откуда 1 1 2у-а —8 (<Z_S) (3 —5) (7 —S) — <о(<х —7) (Р —7) + (*-7)2(3~7)2 ’ Но тогда в числителе имеем е~5х _ (1 -роя) и е5х = (1 — акт), и, таким образом, е“5х е5хХ dx = еухХ dx + е~ухв)Х е'{хХ dx — u)e~7x е^хХх dx. Следовательно, так как слагаемые, разделенные на о), взаимно уничто- жаются, два последние члена получаются в таком виде: (27 - а - 3) е~ ~х J е<х X dx е~ ^Хх $ е™ X dx -е~'<х j е<х Хх dx G-T)2(?-T)2 1 ’ G-7)O-T)' Это выражение получается также из первого вида [интеграла]. Таким же образом можно решить задачу в общем случае. ЗАДАЧА 151 1158. Предложено дифференциальное уравнение какого угодно порядка X^Ay + B^ + Cd^ + Dp3-r...+Npn, 1 dx 1 dx2 1 rfx3 1 dxn ’ причем элемент dx принимается постоянным, а X обозначает какую угодно функцию от х. Найти его интеграл. РЕШЕНИЕ По этому уравнению образуется алгебраическое выражение Л + Bz -j- Cz2 + Dz3 -|- ... 4- Nzn — Р, которое разлагается на простые множители, так что P=A(a + z) (P + z) (y + z) ... (v + z), и число этих множителей п. В силу этого, если мы будем последова- тельно производить указанным образом интегрирования, мы придем, наконец, к такому окончательному интегральному уравнению: С e^~^xdx \ e^k~t}xdx e^~a^xdx eaxXdx,
298 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТРЕТЬЕГО И ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ т. е., поскольку можно переставлять между собой множители, будем иметь Ny — e~ax e^~^xdx e^~^xdx e^~^xdx evxXdx, Но это выражение с помощью приведений, подобных тем, которыми мы пользовались выше, можно разбить на следующие слагаемые, для более удобного представления каковых положим ради краткости (Р —а) (у —а) (3 —а) . . . (v —а) = а', (а-,3) (у —₽) (4-₽) ... —Р) =£', (»-т)(,3-y)0-т) ••• е-т) = т'. (а — м) (Р — м) (у -- у) ... (tjt — v) = У, а именно, Ny = Д- е~ах е7Х X dx -J- е~$х X dx у- e~'ix e'iX X dx « J Р J 7 J + .. . + У е~чх е™ X dx. Однако нет нужды перемножать столько множителей для определения значений а', Р', у' и т. д., поскольку имеем Р N (а + z) (Р + 2)(r + z)(j + z) • • (> + z), и, очевидно, что эта формула дает значение а',' если в 2= — а. Но в таком случае исчезает как числитель, так Р 1 dP дроои -^-7—;—с, и поэтому ее значением является -гг—. 1 2V(a4-z) нее подставить и знаменатель В силу этого, поскольку Р - А + Bz + Cz2 Dz* 4- .. . + Nzn, получим = в + 2Cz + 3/)z3 nNzn~', dz и если обозначим это выражение через Q, то очевидно, что f Q а у, , если положим z = — а, p/=~7j если положим z= —р, у = -У- если положим z = — у. И т. д. А так как после подстановки этих значений интегральное уравнение можно разделить на N, получаем следующие значения: В - 2Са + 3/>а2 - 4£а3 у . . . + nN а71”1 = , В - 2Ср 4- 3/)32 - 47?р3 + А « АЗ1' 1 - S3, В - 2С4 + 3Z)y‘2 - 4Еу3 г ± лАу"-1 = Е, В-2Сч 4- 3/V-4Е^3 ...
ГЛ. III. УРАВНЕНИЕ ВИДА Л-Ay F Лг^- + “^+4^“+ и т. Д. dx dx2 dx3 dxl д 299 и после того, как они образованы, найдем искомый интеграл в виде у — -X- е~ах \ егх X dx + -X- с е?,х X dx 4- е~~х \ е *х X dx 4- и т. д., ' *1 J К? J J 1 пока не будут учтены все множители1). СЛЕДСТВИЕ 1 1159. Так как имеем , 91 Q, 95 , (£ а *3 = и т’ д” то 9( = AV, 93= Ж/, Е = и т. д. Вследствие этого, поскольку P = A-\-Bz4-Cz~ + Dz3 + . . . + Nzn = N (a -'r z) (^-z) (y + z) ... (v + z), получим Of P 91=----, если положим z = — a, a + z p 93 = —— если положим z — — В, p-|-z nr P IS =—г—, если положим z~ — v, l + - * ’ и так далее. СЛЕДСТВИЕ 2 1160. Итак, правило для определения полного интеграла предло- женного уравнения X = Ау + + С^, + Dp,-'r . .. -\-Npn * dx dx~ dxA dxn получается такое. По этому уравнению образуется следующее алгебраи- ческое выражение: A ~\-Bz + Cz2 + Dz3+ . . . +Arzn = 7>, и мы ищем все простые множители, которые пусть будут a-l-z, B-|-z, у -pz, 8-^z и т. д. и число которых равно числу п. Тогда для каждого из этих множите- лей определяются следующие постоянные количества: 91, 93, ® и т. д., так что ar Р 91 = —т~ , если полагаем z= —а, т. е. a-^z 9( = В - 2Ca + 3/)a2 -- - 4Z?a3 + . . • ± nAV"1: Р 93 = , если полагаем z= — 0, т. е. S = В ~ 26\3 + ЗЛЗ2 - 4 Z?33 + . . . ± пАф^1: гг Р (£ = — - , если полагаем z = — у, т. е. Z 4- ; ’ 1 ®-В^2Сун-ЗЛу2-4Еу3^ - *± nXf-\ и т. д. В Quoad omnes fac tores fuerint in com put um ducti.
300 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТРЕТЬЕГО И ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ Когда найдены все эти количества, получаем искомый интеграл у е~ах е™ X dx + ~ е~$х е$х X dx + е-ч* е<х X dr + и т. д., который состоит из стольких слагаемых, сколько было простых множи- телей в выражении Р. СЛЕДСТВИЕ 3 1161. Таким образом, поскольку интеграл состоит из стольких слагаемых, сколько единиц в порядке предложенного дифференциаль- ного уравнения, и поскольку каждое слагаемое вследствие интегриро- вания вводит произвольное постоянное, очевидно, что интеграл, най- денный с помощью указанного правила, является полным. ПОЯСНЕНИЕ 1162. Итак, интегрирование дифференциальных уравнений рассмо- тренного вида не связано более ни с какими трудностями, если только можно определить все простые множители указанного алгебраического выражения Р, или же, что сводится к тому же, все корни, числом п, следующего алгебраического уравнения: A + Bz + Cz2 + Dz3+ . .. +2Vzn = 0. Правда, здесь встречаются два рода случаев, когда при этом интегри- ровании возникают значительные затруднения, а именно, когда два или большее число указанных простых множителей равны между собой, либо когда они мнимы. Впрочем, в этом последнем случае все неудоб- ство сводится только к тому, что в некоторые слагаемые найденного здесь интеграла входят мнимые количества, которые, однако, при при- ведении взаимно уничтожаются. В первом же случае те слагаемые, которые образуются с помощью равных множителей, оказываются беско- нечными, но с противоположными знаками и такими, что при объеди- нении они тем не менее дают конечное количество, значение которого можно определить только весьма непрямым путем. Следует при этом определенным образом отметить, что в том и другом случае нет никаких затруднений при определении остальных слагаемых интеграла, соответ- ствующих неравным множителям. Но метод, который приспособлен для такой цели, будет разъяснен мной в следующей задаче. ЗАДАЧА 152 1163. Предложено дифференциальное уравнение какого угодно порядка X = Ау + в&+с^+ • • + • При условии, что образованное по этому уравнению алгебраическое выра- жение P^A + Bz + Cz2 -<rDz3 + Ez*+ . . . + Nzn имеет два или большее число равных между собою простых множителей, определить соответствующую этим множителям часть интеграла.
ГЛ. III. УРАВНЕНИЯ ВИДА Х=Ау+^-+^^+^^-+-^- + И Т. Д. 301 РЕШЕНИЕ Пусть, для первого случая, равны между собою два множителя a + z и P + z, т. е. р == а, и пусть остающийся множитель выражения Р есть Q, так что имеем Р=(а-, z) (l3 + z)(2 = (a + z)2<?. Если положить z— — а, то Q переходит в К. Если лишь вначале буквы аир рассматривать как различные, только не в количестве О, которое в обоих случаях будет одно и то же, то для обоих слагаемых интеграла, которые получаются по этим двум множителям, будем иметь $ = (р_а) К и ® = (а-Р) К. А те слагаемые в интеграле, которые получаются отсюда, обозначим буквой V, и таким образом (Р — а) Ку — е~ах еах X dx — е~$х X dx, откуда, дифференцируя, находим (В — а) К dv = — ае~'1Х dx еах X dx-- ре““^х dx X dx. К этому равенству добавим предыдущее, умноженное на fidx, и получим (Р — а) К dv + (р — а) Ери dx == (8 — а) е~ах dx вах X dx, что после деления на 8 —а и умножения на е~ах дает нам, поскольку 8 = а, интеграл dx еах X dx. Вследствие этого вместо двух слагаемых, которые получаются из рав- ных множителей a + z и р -|- z, следует писать такое выражение: v = “ е~ах dx еах X dxt viz J J p где К получается из , если положить z— — a1). Теперь допустим, что в выражении Р есть три равных простых множителя, так что a + z = P + z = у + z, причем сначала мы будем их рассматривать как различные. Итак, положим Р = (a + z) (₽ + z) (у + z) Q, и пусть Q переходит в Ш?, когда полагаем z = — а; для слагаемых же интеграла получаем a = (P-a)(Y-a)3K, $B = (a-3) (у-р) 5Ш, 6 = (а_7)(3-у)ЗЛ. х) См. замечание Эйлера в конце этого параграфа.
302 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТРЕТЬЕГО И ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ Если обозначить сумму трех слагаемых интеграла, которую мы хотим определить, буквой v, то отсюда получаем , е~^х * v (В —а)(7~я) 1 (а-3)(7 — 3) ‘ (* —Т)(В —7) А так как вместе с тем _____1_____-_____1_____Д_______!_____О (3—а)(Т—°) ' (а~3)(Т—3) 1 (а—т)(3—т) то, дифференцируя, найдем Ж du — яе~ах J еах X dx Зе~^х J е$х X dx ye~yx^eyxXdx dx (В — а) (7 — а) (а — В) (7 — ?) (*~ 7) 7) = Если к этому равенству добавить исходное после умножения его на а, получим j e^Xdx X dx Это уравнение мы снова продифференцируем, что дает / dtv adv \ _ --Зе"3* j е^хХ dx ~ ^е~^х $ еух X dx dx ) у — р р — 7 ’ и если прибавить к этому равенству предыдущее, умноженное на Р = а, получаем ЭК f -г + а2сЛ =- е~*;х еух X dx — e~ax { е*х X dx; \ dx dx у j j и здесь уже все неудобства устранены. После умножения последнего уравнения на еах dx и интегрирования будем иметь ЭКбах ~ + av dx е7Х X dx, а это уравнение после умножения па dx опять оказывается интегри- руемым, что дает ЭКе7Ху — V dx \ dx ( eaxXdx. j j J В силу этого, если (а -ф- z)3, надо искать полагаем z-- — а, и вид выражение Р имеет множитель третьей степени Р такое количество ЭК, чтобы ЭК = , когда получающееся отсюда слагаемое интеграла имеет 1 ЭЛ e dx dx e7X X dx. Таким же образом, если выражение Р имеет четыре равных мпожите- Р ля, так что Р = (a-j-z)4<2, надо взять ЭК = ^_Ц?^ , т. е. 9К-= Q, полагая и возникающим отсюда слагаемым интеграла будет е~ах dx dx dx е7Х A dx. Таким же образом легко решаются и те случаи, когда выражение Р имеет большее число равных множителей.
ГЛ. III. УРАВНЕНИЯ ВИДА^ЛН-^+^+^+^-г И Т. Д. 303 ЗАМЕЧАНИЕ Все это решение ошибочно вследствие того* что хотя можно рас- сматривать количества а, 3, унт. д., которые мы положили равными, как различные, однако для отдельных слагаемых ошибочно допускалось, что количество Я)? принимает одно я то же значение. Действительно, так как буквы а, р, у и т. д. рассматриваются как отличающиеся одна от другой бесконечно мало, то и значения, обозначенные буквой ЗК, следует признать разнящимися бесконечно мало, вследствие чего, поскольку отдельные слагаемые интеграла становятся бесконечно боль- шими и в их разложениях бесконечные члены взаимно уничтожаются, бесконечно малые различия в значениях буквы 3Ji приводят к конечным слагаемым. Исправление этих ошибок можно найти в следующей зада- че 154, причем все равные множители объединяются в особое уравне- ние. Однако я предпочел оставить труд исправления этой ошибки при- лежным читателям, а не устранить из этого произведения указанную погрешность. Ведь часто более полезно сохранить ошибки, в которые случается впасть даже при всей опытности, так как изучающим этот предмет на них лучше учиться тому, насколько нужно быть осмотри- тельным, чтобы по заблуждаться в рассуждениях1). СЛЕДСТВИЕ 1 1164. Здесь, конечно, достойно замечания то, что выражения du^twd/JCy d2v + 2а dx dv -ф- а2^ dx2, d3v 4- За dx d2v д- За2 dx2 dv -J- oA’3 dx3 и вообще выражение d^v " a dx dni v + a2 dx2 dn~2 v -|- П ц—— a3 dx3 dn~3 v -p и т. д. после умножения на еах допускает последовательно столько интегриро- ваний, сколько единиц содержит показатель п, причем последним интегралом будет еах го *) См. §§ 1251, 1274. Интегрирование дифференциального уравнения, предло- женного в этой задаче, выполняется по способу, указанному и обоснованному Коши в работе под заглавием Exercices de Mathematiques (1826). Oeuvres comp- letes d’Augustin Cauchy, 11-e Serie, t. VI, Paris, 18881, стр. 252, следующим образом. Пусть а, 3, т и т. д. суть все различные корни алгебраического уравнения Р (z) = A--\-]3z + Cz*+ ... +№" = 0, qZ (X~U) и обозначим коэффициент при степени (z — а)’1 в разложении выражения - Р (z) по восходящим степеням z— х через (х-го /? _____. “ P{z) (резидю для корня а) и аналогично для остальных корней 3, 7 и т. д. Затем, пусть У есть общее решение дифференциального уравнения тогда общим решением предложенного уравнения будет г f шх-uj pi (x-u) ) п т. д.| <1U + Y, где интеграл исчезает при каком угодно определенном значении и, и, вместе с тем, полагаем и~х [Л. Ш.].
304 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТРЕТЬЕГО И ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ СЛЕДСТВИЕ 2 1165. Впрочем, причина этого явления очевидна на основании того, что если последовательно дифференцировать выражение e*xvt принимая элемент dx постоянным, то получаются вышеуказанные дифференциаль- ные выражения, умноженные на еах, так что dn (eaxv) = еах ( dnv Jr a dx dn 1 v + ” 9—a2 dx2 dn 2 у 4- и т. д.) у 1 1 • 2 СЛЕДСТВИЕ 3 1166. Заслуживает также быть упомянутым другое обстоятельство, которое обнаруживается при вышеуказанном решении, а именно, если брать какие угодно числа а, р, у, § и т. д., то (а — — 7) (l —а)(7”Р) (а —3) (« — у) (а —Ь) ([3 —я) (-4 —у) (^ —6) (р-а) (7 — 3) (7— 6) J______1о ^(5 —а) (5 — 3) (5 — 7) И т. Д., сколько бы чисел ни было взято. СЛЕДСТВИЕ 4 1167. Если выражение Р после разложения на простые множители взять в виде Р = N (а 4- 2) (Р 4- z) (у 4- 2). . . (ji 4- z) (v 4- 2), то ранее найденное представление интеграла (§ 1158), а именно Ny = e~ax e^a~^xdx e^~^xdx ^е^~^хdx... х dx е*х X dx, не приводит ни к каким затруднениям при наличии равных множите- лей, но другое выражение [§ 1160], когда интеграл представляется в виде суммы слагаемых, получающихся из отдельных множителей, и которое оказывается гораздо более пригодным для использования, в этом случае значительно труднее получить. ПОЯСНЕНИЕ 1168. Обстоятельство, замеченное в следствии 3, заслуживает тем большего внимания, что его можно отнести также к обычной арифме- тике1), и там оно, как представляется, может быть широко использо- вано, тем более, что его доказательство совершенно не очевидно и т) ...quod etiam ad Arithmeticam vulgarem transferri potest.
ГЛ. III. УРАВНЕНИЯ ВИДА +^+ и т. Д. искать его надо в более глубоких частях анализа. Поэтому я считаю, что не отклонюсь в сторону, если уделю здесь место этой замечатель- ной арифметической теореме, тем паче, что изложенное здесь решение задачи не будет вполне законченным без доказательства этой теоремы. АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРЕМА 1169. Если имеем сколько угодно чисел a, b, с, d и т. д. и если из любого из них вычитаются остальные и образуются следующие произве- дения'. (a —b) (а — с) (a— d) (а — е) и т. д. = 91, (b — a) (b — с) (b~ d) (b — е) и т. д. —25, (с - а) (с— b) (с — d) (с — е) if т. д. = К, (d — a) (d — b) (d — с) (d — е) и т. д. = ф и т. д., то всегда получим 1 1 1 । 1 , 1 . , п 21 1 23 б '+’Ф 1 И Т' Д' ДОКАЗАТЕЛЬСТВО Рассмотрим в соответствии с началами, изложенными во Введении в анализ1), такую дробь: _______________Z____________ (2 — a) (z — b) (z — c) (z — d) и т. д. ’ где Z обозначает целую рациональную функцию от z, такую, что высшая степень z в ней меньше числа множителей знаменателя. Эта дробь может быть разложена на простые дроби, сумме которых она равна, а именно А В . С , D , 2_а + г 11 т- д- At (L Xj I/ Xi С CL Чтобы выполнить это разложение, мы положим, что указанный числи- тель Z —zn, причем п является целым числом, меньшим числа множи- телей, содержащихся в знаменателе. Тогда указанные выше числители определяются следующим образом: _____________а'г__________ . (а — Ь)(а—с) (а — d) и т. д. ’ Г> _ ______________________ “ (d — a) (b—c) (b — d) и т. д. ’ еп с _____________с___________ (с — а) (с — Ь) (с—d) и т. д. и т. д. Следовательно, так как эти дроби, взятые со А , В . С t D ------Г 7---1------Г , 11 a- z b — z с—2 d--z 1 знаком минус, а именно т. д., х) См. Леонард Эйлер, Введение в анализ бесконечно малых, т. I, М. — Л., 1936, гл. 2, стр. 46 и след. 20 л. Эйлер
306 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТРЕТЬЕГО И ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ будучи прибавлены к предложенной дроби, дают нуль, если z есть последнее из предложенных чисел а, 6, с, d и т. д., число которых заведомо больше, чем « + 1, то полагаем (а — b) (а — с) (а — d)... (а — z) — ЭД, (b - a) (b - с) (b - d)... (b - z) - 53, (с — а) (с— b) (с - rf).., (с —z) = 6, (d-а) (d—b) (d — c)... (d-z) = <S и т. д., (z-a) (z-b) (z-c)...(z-y) = 3, 2^1 и предложенной дробью будет . А отсюда о этих дробей будет очевидно, что сумма всех ап , сп dn . . zn п если только п 4-1 меньше числа слагаемых. Стало быть, если положим п = 0, получим рассматриваемый в теореме случай. СЛЕДСТВИЕ 1 1170. Если это применить к выше определенным (§ 1160) числам 6 и т. д., где, впрочем, надо указать на небольшое различие в том, как образуются множители, то обнаруживается, что , 1 , 1 . 1 , 1 , п + 21 + 58 + И Т’ д* “ —i--®- и т- д-=0- И т. д., пока мы не дойдем до такого выражения: ап~1 ОП— 1 уП-1 О71’*1 ±т ±тг±т±т± " т- и эта сумма уже не исчезает больше, а равна дроби . СЛЕДСТВИЕ 2 1171. Это можно получить также путем разложения того выраже- ния, которое рассматривалось в теореме. Действительно, если положить его равным (z— a) (z — b) (z — с).. .(z — у) ’ причем число всех букв a, i, с и т. д. =п, то, так как числитель zn 1 имеет столько измерений, сколько множителей есть в знаменателе,
Bdu Cdtv Dd^u Edlv ГЛ. III. УРАВНЕНИЯ ВИДА И Т. Д. целая часть, содержащаяся в этой дроби, равна единице; указанная часть сохраняется при разложении дроби и применительно к упомяну- 1 тому случаю она дает . ПОЯСНЕНИЕ 1172. Только после доказательства этой теоремы можно ясно по- казать a posteriori, каким образом полученный выше (§ 1160) интеграл удовлетворяет предложенному там дифференциальному уравнению. Действительно, принимая во внимание выражения из § 1170, мы, по- следовательно дифференцируя найденный выше интеграл 1 С 1 г у = -^-е~ах \ е*х Xdx + \ e$xXdx + и т. д., будем получать = — ъге~ах ё1* Xdx — X е^х X dx — и т. д., да? VI j J — 4- е~ах еах X dx + е$х X dx + и т. д., (л/ X -сЛ J Х-/ * ™ е~ах еах X dx — f е$х Xdx — и т. д. dxc VI J ?о J и т. д. вплоть до ✓pi-i,, а71^1 С - йп-1 Г = ± е~ах \ ё*х Xdx ± \ е$х Xdx 4- и т. д., dx™ VI j V? j 1 и отсюда получается дифференциальное выражение q: 'Е-е~ах exxXdx ^-е~^х { e^Xdx^ и т. д. dx™ VI j ю j Can-i Qn—1 -1 'х IF’r-g Ь-ц-+ и т. д.^Х, последний член которого переходит в X. Если же мы все эти выражения, каждое в отдельности, помножим соответственно на количества А, В, С, то, поскольку А - В* + Са2 - Z)a3 + . .. Т Nan = 0, А - Яр + Ср2 - £ф3 + ... 4= Лфп = 0 И т. д. вследствие того, что а-Нз, р -|- z, y + z и т. д. являются множителями выражения A + Bz+Cz2 + Dz3+ . . . +Nzn, мы, очевидно, получим Ay + B^- + C^ + D^+...+NEl=X, J dx dx2 dx3 * 1 dxn что является тем самым дифференциальным уравнением, которое было предложено вначале.
308 ДИФФЕРЕНЦИДДЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТРЕТЬЕГО И ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ ЗАДАЧА 153 1173. Предложено дифференциальное уравнение какого угодно порядка X = Ау + В-df + С+ D + .. . dx dx2 dx3 ' dxn ’ и образованное по этому уравнению алгебраическое выражение P = A+Bz + Cz*-Dz*+ .. . +Nzn имеет два простых мнимых множителя, содержащихся в двойном мно- жителе /2 J- 2fz cos 0 + z2. Найти соответствующие слагаемые интеграла. РЕШЕНИЕ Пусть эти два мнимых множителя суть а + z и р + z, так что а = / (cos 0 + У — 1 sin 0) и р = / (cos 0 — У — 1 sin 0), так как (а + z) (Р + z) = /2 + 2/z cos 0 + z2. Положим p=(/2 + 2/z COS0 + Z2)<2o где Q - Af + B’z + C'z2 + ... + N'z1l~2. 'Гак как слагаемые интеграла, получающиеся из этих двух простых мнимых множителей, суть е^Х dx + -^e~$x e$xXdx = v, то надо эти мнимые значения привести к вещественному виду. Но ® и й будут мнимыми количествами, которые получаются из выра- жения (/ cos 0 + У — 1 / sin 0 + z) Q, если вместо z писать — / cos 0 + У — 1 / sin 0• Выполнив эту подстановку, будем иметь Q = А' — В' cos 0 + cos 20 — D'f3 cos 30+ и т. д. + У B’f sin 0 ± У — 1 С"/2 sin 20 + У — 1 D'f sin 30 + и т. д. Положим ради краткости A' — ^7 cos 6+ С72 cos 20- £>73cos30 + и т. д. =501 и — B'f sin 0 + С72 sin 20 — D'f3 sin 30 + и т. д. = 91, так что 91 У—1, где из двух знаков верхний имеет силу для букв а и 91, а нижний —для букв р и 53. Таким образом, отсюда по- лучаем -зд= _2/-T/sin0(3K + $R]/^l) и 23= + 2sin6 (ЯЛ-ЭИ]/ ^1),
Bdy Cd^y Dd3y Ed^y ГЛ. Ш. УРАВНЕНИЯ ВИДА Х=АУ+-^+-^ + -^+-^г + И Т. Д. 309 2v У — 1 / sin б и поэтому е~ах J еах X dx е~?х J ерж X dx 3»+$R + шц-эг/^Т Но мы имеем gia _ etx cos о |-cos (jx sin 6) + ]/ — 1 sin (fx sin 9)] и ___ е3я _ efx cos о |-cos (jx sin 9) — У — 1 sin (fx sin 9)]. Пусть для краткости угол /я sin 9 = <р, тогда 2/^1 и (ЭЯ2 + W)/sin 9 = — е-/ХСО39 (coscp-sincp) х X &х cos 0 X dx (cos + ]/— 1 sin <р) + (ЭЛ 4-Л У — 1) е_/ЖС05 0 (cos<p + ]/ — 1 sin <р) х X е/ж cos J X dx (cos <p — ]/ — 1 sin ср) = e“/*cos 0 2 У — 1 (ЭЛ sin ср 4-5R cos ср) eMc°s о х dx cos <р — e~fx cos 0 2 У — 1 (ЭЛ cos ср — Л sin ср) &х со8 J X dx sin ср. В силу этого мы получим искомую часть интеграла в виде Ц_е-/хсоз0 (ЭЛ sin ср+ 5R COS ср) е/х COS ILY &х costp — е“/ХСО80(ЭЛ cos ср — Л sin ср) е/ЖСО80Х sin ср где ср = fx sin 9. СЛЕДСТВИЕ 1 1174. Стало быть, основная часть дела состоит здесь в определении мнимого выражения ЭЛ + Л]/ — 1, которое должно быть найдено из ко- личества Q путем подстановки вместо z мнимого значения — / (cos б 4- У — 1 sin б), и это получается удобным образом, поскольку вместо zn следует писать ( —/)n(c°S7z9 4-yr — 1 sin п б). _ 1 V ~ (Ш124-^2) / sin 6 СЛЕДСТВИЕ 2 1175. Так как Q = у2_р2Д cos 64-z2~ ’ т0 можно определить также из этого выражения с помощью той же подстановки мнимое количество ЯЛ-Ь^У^—1- Однако при этом следует заметить, что при указанной подстановке исчезают как числитель Р, так и знаменатель. Отсюда очевидно, что значение этого выражения получается, как обычно, из такой дроби: dP = dP________________ 2(/ cos 9-4—z) <Zz -2/^d/sinBrfz
310 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ уравнения третьего и высших порядков СЛЕДСТВИЕ 3 1176. Стало быть, поскольку = В + 2Cz + ЗА2 + 4£zs + ... + nNzn~\ то, если положим ф = В — 2С/ cos 9 + 3Z)/2 cos 29 — 4Ef3 cos 39 + ... nNf^1 cos (n — 1) 9, Q> = — 2Cf sin 9 -|- 3Df2 sin 29 — 4Ef3 sin 39 -j- ... ± nNf1"1 sin (n -- 1) 9, так что, выполнив подстановку, будем иметь мы получим Q = -й+/ —1 % -/ sin 0 " 2/ sin в и отсюда 3)2 =____""° и 92 =_________. 2/sin 6 и 2/sin 6 СЛЕДСТВИЕ 4 1177. Итак, мы непосредственно получаем выражение для слагаемого в интеграле, соответствующего двойному множителю /2 + 2fz cos 9-]-z2, исходя из количества Р и из производных от него количеств $ и причем полагаем fx sin 9 = ср: 2е—fx cos 3 ф2 + О2 0P cos<p — О sin <p) eJx cos 9 X dx cos<p + sin <p + £) cos<p) e1x coa 0 X dx sin <p ПОЯСНЕНИЕ 1178. Итак, сколько бы двойных (множителей ни имело выражение Р^ A-YBz-YCz2-YDz3-Y и т. д., для каждого из них с помощью указанных правил легко определяются соответствующие слагаемые в интеграле, и так как это не мешает определять те слагаемые в интеграле, которые соответствуют простым множителям, равны ли то между собой или не равны, то, объединяя все эти слагаемые в одну сумму, мы получим полный интеграл предло- женного дифференциального уравнения. Однако эти правила недоста- точны, если среди двойных множителей два или большее число оказы- ваются равными. Действительно, подобного рода случаи требуют особого рассмотрения, сходного с тем, которое было использовано в случае двух или большего числа равных между собой простых множителей. Все же, чтобы не растягивать чрезмерно мое изложение, достаточно будет рассмотреть случай двух равных между собой двойных множите- лей, так как, исходя из этого, легко распространить метод на случай большего числа.
ГЛ. III. УРАВНЕНИЯ ВИДА Х=Аи+^-+^^- + ^^~+^~+ И Т. Д. ах ах2 ах» ах* 311 ЗАДАЧА 154 1179. Предложено дифференциальное уравнение какого угодно порядка X = Ay + B^A-C^ + D^+...+N%lL. у 1 dx dx* dx3 dxn Пусть образованное по этому уравнению алгебраическое выражение P = AA-Bz^Cz2 + Dz3 + . . . + Nzn имеет двойной множитель в квадрате (f2 4- 2fz cos 0 4- z3)2. Найти соответствующую ему часть интеграла, РЕШЕНИЕ Стало быть, полагаем Р ~ (f2 + 2fzcQsO-\-z2) Q, и пусть Q = A' + B'z + C'z2 4- • • • + N'zn~\ Прежде всего примем, что не переменные1) мнимые количества суть а = f (cos б 4- К — 1 sin в) и Р = / (cos 6 — - -1 sin б), так что Р = («4-« + *)2<2. На основании того, что было уже выше сказано (§ 1163) о двух про- стых. равных между собою множителях, мы принимаем, что выражение когда в нем полагаем 2= — а, переходит в а выражение когда в нем полагаем z— - - р, переходит в 53. Когда найдены эти коли- чества ?Г и $8, получающиеся отсюда слагаемые в интеграле можно представить в виде 1 с г 1 с с -ы~в~ах \ dx \ еахХ dx + е- \ dx \ e^xXdr — v, J j 3 3 и, так как они содержат мнимые количества, их надлежит привести к вещественному виду. Как в предыдущей задаче, мы примем ЭД = А' -- B'f cos 6 4- C'f2 cos 26 -- D'f3 cos 36 4- и т. д., 91 = — B'f sin 6 4- C'f2 sin 26 —D'f3 sin 30-4 и т. д., и количество Q при подстановке z= - а = — /(cos 6 4-]/ — 1 sin б) пере- ходит в ЭД 4- 91 "К — 1, а при подстановке z — — 8 = — / (cos 6 — ]/ — 1 sin 6) переходит в ЭД — 91 У - - 1. 4 Non curantes.
312 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТРЕТЬЕГО И ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ А так как мы заодно имеем (Р ™ а)2 — ( _ 2 У" — 1 / sin б)2 — — 4/2 sin2 6 и этому равно также (а — Р)2, то 21 = -- 4/2 sin2 б (ж + 31У~^1) и £Б == 4/2 sin2 0 (Ж -31 у ^Т). Таким образом —4/2 sin2 б (Ж2+312) п=(Ж-31 /^1) J dx е™Хdx + (ж + 31 е~»х J dx е$хХ dx. Но, если положить /ж sin 6 — <р, то, как мы видели [§ 1173], еах _ e/xcos 9 ( C0S«p + — 1 sin ф) , e_QEX == е~/х cos J (cos cp~~y — 1 sin <p) , e^x = e/xcos 0 (cos ф — j/1 sin (?) , e-₽x __ e~fx cos') (COs <p у — j Sin фj , и вследствие этого правая часть предыдущего уравнения переходит в + е~/х cos J [ЭД cos <р — 5R sin ср — 5R У ~ 1 cos ср — Эй У — 1 sin ср] X dx е/х 003 9Х dx ( cos <р + У — 1 sin ср) + е“/х cos 9 [Эй cos ср — 5R sin ср + 5R У — 1 cos ср 4- ЭД У ~ 1 sin ср] Xdx е/х cos °Х dx (cos ср -У—1 sincp)r и здесь мнимые слагаемые взаимно уничтожаются. Таким образом мы получаем — е~/х cos 0 (ЭД cos ср.— Ж sin ср) dx е/х cos 0X dx cos ср — е-/х cos о cos ф sin е/х cos 8 sin 2 (3Ra + ^2)/2 sin2 6 либо в таком виде: + (ЭД cos ср — 5R sin ср) dx е/х cos dx cos <р + (ЭД sin ср + 5R cos ср) dx е/х cos 0Х dx sin ср и в этом выражении мнимые количества полностью устранены. ЗАМЕЧАНИЕ Это решение тоже нуждается в значительной поправке, сделать которую предоставляем усердию читателей1). *) Правильное решение можно получить из решения, указанного в приме- чании к § 1163 [Л. ___________е~/х COS 9 п ~ _______ 2(2R2 + 9l2)/2 sin 62
ГЛ. III. УРАВНЕНИЯ ВИДА Х=АУ+ и т. Д. СЛЕДСТВИЕ 1 1180. Так как мнимое выражение Ш(14-^У “ 1 получается из коли- чества Q, если вместо z написать — / (cos0 + ]/ — 1 sin в), то при той же подстановке оно получается также из выражения ______________________________Р______ (/2 4“ 2/2 COS 0 4“ Z2)2 Правда, здесь как числитель, так и знаменатель при этом исчезают. СЛЕДСТВИЕ 2 1181. Следовательно, то же значение получается также из выражения ___________________________rfP______________ 4 dz [f3 cos 0-[-/2z (14~2 cos2 0)4-3/z2 cos 04“z3l * и так как здесь снова встречается то же самое затруднение, то оно получается также из. выражения __________ d2P 4 dz2 [/2 (14-2 cos2 b) 4-6/2 cos 0 4- 1 СЛЕДСТВИЕ 3 1182. Во-первых, мы положим в знаменателе z = — / (cos 6 4- ]/ — i sin 6) и получим тогда выражение 8/2 dz2 sin2 6 Затем, поскольку = С + 3Dz 4- 6£z2 + - • + Nzn-\ мы положим для краткости = С - 3Df cos 6 4- 6Ef cos 28 — . .. Nf1'2 cos (re — 2) 6, C. = - 3Df sin 0 4- 6£/2 sin 26 - .. . ±n(-^4} Nf1'2 sin (re - 2) 0, так что после подстановки g’f+n/3*. и поэтому ж+я V =-=4^—гР • 4/2 sin2 О Отсюда получаем д» =. и Ь - 4/2 sin2 6 4/2 sin2 6 Итак, можно подставить эти значения в найденную часть интеграла,
314 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТРЕТЬЕГО И ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ СЛЕДСТВИЕ 4 1183. После того, как выполнена подстановка, часть интеграла, соответствующая двойному множителю в квадрате (/2 + 2/zcos0 -•-z2)2 получается в виде ($ cos <р — П sin <р) ( dx e^coseX dx cos ср + (*£ sin<p - П cos cos о v = «₽2+а2 <р) \ dx \ e^cos9X dx sin <р где <p обозначает угол /я sin б. ПОЯСНЕНИЕ 1184. Если сравнить это выражение с тем, которое мы нашли при решении предыдущей задачи, то едва ли будет нужда в фактиче- ском проведении подобных рассмотрений для более сложных случаев. Так, если количество Р = 4 + Bz + Cz24-2)z3+ ... имеет двойной множитель в кубе (/2 + 2/z cosO + z2)3, то. количества $ и Q надо определить таким образом, чтобы $ = D - iEf cos G + 10/V3 cos 2G - 20G/3 cos 30 + .. . + Nf~3 cos (n - 3) 6, Q = - 4Ef sin 9 + 10F/2 sin 29 - 20 G p sin 39 + ... ± ra(ra~1j(”'~2) Nf1"3 sin (» - 3) 6, 1 Z • О а когда они найдены, то соответствующая часть интеграла получается в виде 2е~/xcos) ф2 + П2 cos Ф -Q sin Ф) \ dx \ dx \ dx cos Ф + ($ sin Ф + D cos Ф) \ dx \ dx \ ^xcos6X dx sin Ф Теперь уже дальнейшее рассмотрение не связано ни с какими серьез- ными трудностями. Поэтому мне представляется, что решение урав- нения, < Предложенного в этой главе, является завершенным настолько, что ничего большего желать нельзя. Впрочем, отличной иллюстрацией для этих рассуждений будет применение указанных правил к отдель- ным примерам, и следующая глава посвящается этому. Однако перед этим я укажу замечательное свойство рассмотренных уравнений общего вида, которое, как мне представляется, найдет большие приложения в анализе. ЗАДАЧА 155 1185. Предложено дифференциальное уравнение какого угодно порядка у__ а.. । т> dy , уч d2y ту d3y . । Д7 dm+ny X-Ay + B^ + C^^D-^+ ... +7V .
ГЛ. III. УРАВНЕНИЯ ВИДА X=Av+ ^+^-+-^+^L+ и т. д. Если соответствующее ему алгебраическое выражение P = A + Bz+Cz2 + Dz^-^ t,,^Nzm+n состоит из двух множителей P = QR, пусть (?-9l + SBz+^+...+9hm и R = а + bz + cz2 + ... 4- nzn, то требуется свести интегрирование этого уравнения к интегрированию двух более простых уравнений. РЕШЕНИЕ Если мы рассмотрим первую форму интеграла (§ 1158), то мы без труда придем к заключению, что после того, как проинтегрировано уравнение Х= + + (S-S-+ • • • dx dx2 1 dxm и определено значение v через х и X, значение для у в предложен- ном уравнении получается из уравнения . t dy , d*y , , dny v = ay + Ь + с 4- ... 4- n . J dx dx2 ' dxn В самом деле, это можно показать сразу, подставляя найденные нз последнего уравнения значения для v и его дифференциалов. Действительно, мы получаем X = Way + ад 4- Яс 44 ЯЬ 44 и т. д. * dx 1 dx2 1 dx3 1 + $8а +$ВЬ +$8с + @а + @Ь + ®а А так как по условию имеем P = QR, то получаем, перемножая ряды Q и R, что обязательно А = Ж В-ШЬ + ЯЗа, С = 2Хс + ЭЗЬ Д- и т. д., так что это последнее уравнение сводится к предложенному уравнению. СЛЕДСТВИЕ 1 1186. Если мы ограничимся только случаем простых множителей, то интеграл первого уравнения выразится с помощью членов такого вида: р еахХ dx и т. д., а интеграл второго уравнения с помощью членов вида у = Se~$x \ e$xvdx и т. д.
316 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТРЕТЬЕГО И ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ СЛЕДСТВИЕ 2 1187. Стало подставим члены быть, если в отдельные члены второго интеграла первого интеграла, то получим у — е^~~а^х dx еахХ dx, и это выражение приводится к следующему: ГД /г г у -----( е~ах \ е*хХ dx — \ $хХ dx Члены последнего вида непосредственно определяются с помощью интегрирования предложенного уравнения. СЛЕДСТВИЕ 3 1188. Если бы здесь было р = а, то без всяких приведений сразу получалось бы выражение у == ГДе~ах dx еахХ dx, найденное выше для случая двух простых, равных между собой множи- телей. Поскольку все дело сводится к разложению на множители, либо на простые, либо на двойные вещественные, то предложенное уравнение очень легко решить ранее изложенным способом. о о о
ГЛАВА IV ПРИЛОЖЕНИЕ ИЗЛОЖЕННОГО В ПРЕДЫДУЩЕЙ ГЛАВЕ МЕТОДА ИНТЕГРИРОВАНИЯ К ПРИМЕРАМ ЗАДАЧА 156 1189. Предложено такое дифференциальное уравнение'. Найти его полный интеграл. РЕШЕНИЕ Итак, здесь Р = ап-{- zn. Тут прежде всего заметим, что если п—не- четное число, то будет простой множитель a^-z, из которого получается в интеграле слагаемое 1 ах f V И -g- е \ е A a.L, причем ЭД обозначает то значение, которое принимает выражение Р —г— , когда в нем полагаем z = — а, и так как это значение равно a-f-z также ^!^ = nzn~\ то, поскольку п~ 1 есть число четное, будем иметь ЭД —па”"1. Таким образом это слагаемое интеграла = —еах X dx. пап~г J Все остальные множители имеют вид a2—2azcos9 + 22, где 6 = причем i обозначает какое угодно целое число, а тс обозначает угол, равный двум прямым. Из сравнения этого выражения с задачей 153 и следствием 1 получаем а. А так как z = a (cos 6 + У— 1 sin 0), dP мы заключаем из выражения , что $ = па”"1 cos (п ~ 1) 6 и й = па”"1 sin (п — 1) 6.
318 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТРЕТЬЕГО И ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ А так как cosw9 = -1и sinn9 = 0, то будем иметь — — wan-1cos9 и О — пап~* sin 6. В силу этого, если положим jx sin 6 = — ах sin 6 = <р, получим часть интег- рала, соответствующую какому угодно двойному множителю, в виде ax cos Я ( ~ C0S ® C0S ? ~~ S*11 ® Sin ?) \ е~аХ C0S ° % dx COS ф 2е J па + (— cos 6 sin ф + sin 6 cos <p) e~ax cos 0 X dx sin <p или же — (cos (6 — <p) e~ax cos 9 X dx cos ? — sin (6 - <p) e~ax cos 3 X dx sin <p), а если подставить значение ср, то в виде ах cos о fC0S + аХ sin \ C0S 9 % dX C0S (ах S*11 ®) + sin (6 + ах sin 9) е~ах cos 9 X dx sin (ах sin 9) m a 7C 37l 5tC 1еперь же вместо 9 последовательно подставляем углы , — — , — ит. д., покуда они меньше, чем тс, и все эти выражения объеди- няем в одну сумму, к которой следует сверх того добавить, в. том слу- чае когда п есть нечетное число, первоначально найденное выражение —е^Х dx, nan-1 J ’ и это дает нам искомый интеграл, СЛЕДСТВИЕ 1 1190. В этом же случае, когда п есть нечетное число, последним значением для 6 является л, что, однако, мы обязаны здесь опустить, так как при этом значении последнее слагаемое в интеграле получается в виде \ еахХ dx, пап 1 J поскольку ах sin 9 = 0 и cos 0 = — 1. Оно получается удвоенным по сравнению с надлежащим значением, и причиной этому то, что при 9 = г выражение а2 + 2az + z2 уже больше не является множителем, а множителем будет корень квадратный из него, a + z. В силу этого последний случай было необходимо тракто- вать отдельно. СЛЕДСТВИЕ 2 1191. Если X —0, то интегральные выражения переходят в произ- вольные постоянные, и множитель a2 — 2azcos6 + z2
ГЛ. IV. ПРИЛОЖЕНИЕ МЕТОДА, ИЗЛОЖЕННОГО В ПРЕДЫДУЩЕЙ ГЛАВЕ 319 дает в интеграле слагаемое ---М cos (G + ах sin G) ЭД sin (9 4- ах sin 9)], которое приводится к виду COS О cos g I . ах sin 0) , где s обозначает какой угодно постоянный угол, как мы уже нашли выше [§ 1135]. ЗАДАЧА 157 1192. Предложено следующее дифференциальное уравнение'. Х = апу-^. У dxn Найти его полный интеграл. РЕШЕНИЕ Получающееся при этом алгебраическое выражение P = an — zv всегда имеет простой множитель a — z, откуда получается в интеграле 1 С Р слагаемое -^-eax у e^xXdx, если 91 =------, когда z = a. Итак, поскольку 21 J ’ z —а ’ ’ имеем также 91 = = — nz71"1, то 91= — па^1, и таким образом это слагаемое в интеграле будет = —szpe®* \ e~axXdx. пап 1 J Затем, если п —число четное, а следовательно, и—1 — число нечетное, то множителем будет также a-\-z, что дает в интеграле слагаемое = —4г е~ах еах X dx. пап~г J Все остальные множители в Р являются двойными и имеют вид а2 — 2az cos 0 4~ z2, считая угол 0 = -^-. При сравнении этого выражения с вышепримененным [§ 1173] в общем виде /2 4-2/z cos 9 4-z2 получаем dP г---- /= — а. Из выражения = — ^zn-1 надо получить ф4-£1У —1» по- лагая z = a(cos 9 4- ]/ — 1 sin 9), откуда находим ф = — па71”1 cos (п — 1) 9 и Q = — па71"1 sin (п — 1) 9, т. е., поскольку cos п9=1 и sinn9 = 0, имеем ф= — пап~х cos 9 и Qi=nan“1sin9. Обозначая теперь угол arrsin9 через <р, получим в интеграле (по § 1177) слагаемое 2eax cos 0 na (— cos 0 cos <р — sin 9 sin ср) \ e~axcos 0 X dx costp + ( — cos 0 sin <p 4- sin 9 cos 9) \ e~ax cos 9 X dx sin <p
320 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТРЕТЬЕГО И ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ cos (9 + ах sin 9) * — sin (6 + ах sin 9) \ которое, как и выше [§ 1189], приводится к такому виду: ах cos о х dx cos (ах sin 6) е~ах cos е х dx sin (ах sin 0) Здесь вместо 6 надо теперь последовательно подставлять углы 2^ 4- 6% —, —, — и т. д., покуда они меньше, чем тс, и все эти слагаемые вместе с первоначально найденным, а также вместе со вторым из по- лученных выше, если п есть четное число, будучи объединены в одну сумму, дадут искомый интеграл, т. е. значение для у, СЛЕДСТВИЕ 1193. Поскольку двойной множитель в общем виде а2 — 2az cos 0+ 4-z2 не дает при 9 = 0 и 6 = тг простых вещественных множителей а — z и a-pz, а дает их квадраты, это является причиной того, что получающиеся в этих случаях слагаемые интеграла оказываются удвоен- ными по сравнению с теми, какие надлежит взять. ЗАДАЧА 158 1194. Предложено следующее дифференциальное уравнение: X _ ±dy г г dny Найти его полный интеграл. РЕШЕНИЕ Получающееся при этом алгебраическое выражение имеет вид Р = 1 + Z + Z2 + Z3 + Z4 + . . . + zn, и надо исследовать все его множители. Так как ^22 1 — z 9 то следует взять все множители выражения 1 —zn+1, за исключением 1— z. Отсюда, прежде всего, видно, что если п 4-1 — четное число, то простым множителем будет l~pz, откуда получается в интеграле сла- гаемое ^-e~x\exXdxt где ЭД = = —---р- , когда — 1. Слцдова- f fl j 1) z fi тельно, получаем также ЭД — ..— и, таким образом, ЭД = — (п + 1), так что соответствующее слагаемое в интеграле будет равно е~х \ 6х X dx. n-4-l J Что касается двойных множителей, они будут вида 1 — 2zcos9 + z2, ——г, так что, по § 1173, f= — 1. Надо рас- F) 1 V ' Х если принять угол 9 смотреть выражение dP _ 1 — (П-+-1) z" + nzrt+1 dl (1-г)2
ГЛ. IV. ПРИЛОЖЕНИЕ МЕТОДА, ИЗЛОЖЕННОГО В ПРЕДЫДУЩЕЙ ГЛАВЕ 321 которое при подстановке z = cos 6 + ]/ — lsin9 переходит в ф + £У|Л — 1, так что имеем 1 — (п —1) cos пб -\-п cos (п + 1) 0 — (п +1)!7 — 1 sin пб + п }/* — 1 sin (п + 1) 6 1 — 2 cos 6 + cos 26 —2 )/ — 1 sin 6 + У — 1 sin 26 А поскольку sin (n + 1) 0 = 0 и cos (n + 1)9 = 1, получим sin n9 = — sin 6 и cosn9 = cos9, и поэтому m __ Г 1/ZT1 = n + 1~(n+1)cos 9 + (^+1)/—Isin a — 2cos6 + 2cos62 — 2У — lsinO(l — cos 0) то есть flj 4- Q 1/ — 1 = + —cos9 + / —^sinfl) . 2 (1 — cos 6) ( — cos 6— У —1 sin 0) Умножаем числитель и знаменатель этой дроби на — cos 9 + ]/ — 1 sin9 и получаем со । nV---— (n+1) (1 + cos 0 - 2 cos О2 — ]/— 1 sin 0 (1—2 cos 6)) 45 + J/ — 1 — 2(1 —cos 0) ’ * Таким образом, ф = _1(п + 1) (1 + 2 cos б) И q _ 1 /„ , n sin 0 (1-2 cos 6) 2 ' ' 1 — cos 0 ’ откуда Вместе с тем, полагая угол — a?sin6 = <p, найдем, что сп rs • — (n + 1) (cos (0 —«?) — cos (26 —tp)) $cos?-Qsin?= М2+сХа)----------------------~ сп - I Г> +(п+1) (sin (6 — ср) — sin(20— ср)) ф sin ? + О cos ? = 2(1—cos В)------- ’ а поскольку . с, - £ *+ Ъ • Ъ—а cos а — cos о = 2 sin —sm 2 2 И . , о а-\-Ь . & — а sm а — sin о = — 2 cos —J, - sm —, получаем отсюда 1 -(n + l)siny(36-2<₽) ф cos <р — й sin <р =------------— 2 sin у 9 и - (п + 1) cos Р (30-2<р) ф sin ср + D cos <р =--------------. 2 sin у 9
322 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТРЕТЬЕГО И ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ — 4 , . 1 „ _^ .eXCOS!)sin _£ 0 п+1 2 Трким образом, искомым слагаемым в интеграле будет sin у (30 + 2х sin 0) е~~х cos 0 X dx cos (х sin 6) — cos у (30 + 2x sin 0) e~x cos 0 X dx sin (x sin 0) Итак, мы будем последовательно подставлять вместо 6 углы 2тс бтс п+1 п+1 ’ п + 1 * покуда они меньше, чем тс, и все эти слагаемые соберем в одну сумму, к которой, если п + 1— четное число, прибавляется сверх того п^1е~~Х 5 еХ X и таким образом будет получено значение у. СЛЕДСТВИЕ 1 1195. Если предложенное уравнение продолжено до бесконечности, так что /г —бесконечное число, то первые углы 6 все будут бесконечно малыми и притом в бесконечно большом числе, пока отношение четно- го числа 2гк w+Гне начнет становиться конечным, а после этого для 0 будут получаться конечные значения, возрастающие в арифме- 2тс ’ тическои прогрессии с разностью вплоть до тс, число которых также бесконечно. СЛЕДСТВИЕ 2 1196. Пока угол 0 бесконечно мал, порождаемая его значениями часть интеграла получается в виде [ (3 + 2х) J е~х X dx - 2 е~х Хх dx ] , и так как она делится на куб бесконечности, то даже бесконечное множество таких выражений следует считать исчезающим. СЛЕДСТВИЕ 3 1197. Если бы мы имели Х = 0, так что надо было бы определить интеграл уравнения п __ „ । dy । d*y । d3y . . dny то для произвольного слагаемого этого интеграла получаем е* cos в £ A sin у (36 + 2х sin 6) + ЭД cos у (30 + 2х sin 0) j , либо в более простом виде Ле* cos • cos (£ + х sin 0). Следовательно, если лг — бесконечное число, то в ’"качестве 0 можно принять какой угодно угол и произвольным частным интегралом этого уравнения будет у = Лёхс03® cos (х sin 0 + Q,, причем С также какой угодно угол.
ГЛ. IV. ПРИЛОЖЕНИЕ МЕТОДА, ИЗЛОЖЕННОГО В ПРЕДЫДУЩЕЙ; ГЛАВЕ 323 ПОЯСНЕНИЕ 1198. Однако, для дифференциального уравнения, продолженного до бесконечности + + и т- д-’ где X обозначает какую угодно функцию от х, интеграл можно выра- зить более удобным образом, чем с помощью суммы бесчисленного числа исчезающих слагаемых указанного выше вида. Такой вопрос требует более сложного исследования1), к тому же до сих пор, как нам представляется, для таких целей Анализ развит еще недостаточ- но2). Но в тех случаях, когда . X есть целая рациональная функция, положим X = а + Ъх-{- ся2-р dx3-± ex* -р и т. д., нет никаких трудностей, так как, принимая у = а + 0# ^х2+ оя34- гх* -р и т. д. -ра, мы всегда можем так определить эти коэффициенты а, 0, у и т. д.^ чтобы после подстановки получалось такое уравнение: п . dv - d2v dzv 0=u+^+dp+^+ и т-д- Ему, в частности, удовлетворяет значение v = Аех cos 9 cos (х sin 0 -р Q, когда берем в качестве £ и 6 какие угодно углы. Но по данному зна- чению для А находим а = а — Ь, 0 = 6 —2с, у=с —3rf, В —d —4е, е=е— 5/ и т. д. И вообще, поскольку dX dy d2y . d3y , dx dx~^ dx2^~ dx3~^~ и т* A’» v dX > то очевидно, что всегда, полагая у = Х— -ри, исходное уравнение преобразуем в п , dv - d2v d3v °^v+di+d^+d^+ и т- д- СЛЕДСТВИЕ 4 1199. Вот, следовательновопреки ожиданиям, полностью проин- тегрировано продолженное до бесконечности дифференциальное уравне- ние v 1 dy d2y , d3y d4y . x-y+ й+^+^4^+и т- д” для которого, как мы уже знаем, у = X — -р Аех cos 9 (х sin 6 -р Q, r) Quaestio est altieris indaginis. 2) ISeque adhuc ad hunc scopum Analyseos fines satis videntur promoti.-
324 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТРЕТЬЕГО И ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ и правую часть последнего равенства ввиду произвольности углов С и 9 можно видоизменять до бесконечности. Этот вид интеграла надо считать эквивалентным тому весьма сложному виду, который полу- чается из [предыдущего] решения *). ЗАДАЧА 159 1200. Предложено дифференциальное уравнение X — 2, \ ndy \ , n(n— l)(n— 2)^ У 1 adx^ X'Xofidx* l-2-3a3rfx3 Найти его полный интеграл, если п есть целое положительное число, так что число членов уравнения конечно. РЕШЕНИЕ Здесь надо рассмотреть алгебраическое выражение + и т. Д. = <1 + ±У 1 а 1-2 а21 \ a J ' собою то по § 1163 сразу на- которое, следовательно, имеет только простые, равные между Р 1 множители z-\-a. Итак, поскольку 17 (a-j-z)n аг ходим искомый интеграл у = dx dx dx еах X dx, пока число интегралов не станет равным значению показателя п. Но это выражение можно свести к простым интегралам с помощью приве- дения интегралов в общем виде, нам известного, dx \ V dx—x\ V dx — \ Vxdx, откуда следует dx Г еах X dx= х \ еах X dx — еах Хх dx, с г 1 dx \ dx \ еах X dx — ^-x2 J J " р 1 еах X dx — х \ еах Хх dx + еах Хх2 dx, ydx^dxydx у еахXdx = х3 § еах X di — Зх2 J еах Хх dx-\-3>x § еах Хх2 dx — еах Хх3 dx ьГз И т. д. *) Продолженное до бесконечности дифференциальное уравнение, которое рас- X dx смотрено в этом и в предыдущем параграфе, допускает решение у—Х-----------, dx &Х * если стремится к нулю при п бесконечно возрастающем. Другого решения dx1 этого уравнения не существует. Действительно, уравнение § 1198, которому должно удовлетворять v после однократного дифференцирования, дает и=0, а указанная в § 1197 функция ЛеХС05 0 cos (a; sin 0--[-£) в действительности не является интегра- лом этого уравнения, потому что в правой части уравнения при подстановке туда этой функции имеем расходящийся ряд. Сопоставить с G. Plana (1781— 1864), Nota sopra 1’integrazione di un’equa- zione differenziale data da Euler, Memorie della Societa ital. delle Scienze, t. 18 (1820), стр. 44 [Л. III.].
ГЛ. IV. ПРИЛОЖЕНИЕ МЕТОДА, ИЗЛОЖЕННОГО В ПРЕДЫДУЩЕЙ ГЛАВЕ 325 А так как число знаков интеграла = п, то мы заключаем, что xn~r \ еах Xdx — еах Хх dx __ апе 1 J 1 J У 1-2.. .(я—1)1 +(П-1)(Д-2)^-3 Г eaxXx2dx — ИТ. Д.Г 1 ' J ’ и очевидно, что этот интеграл является полным, поскольку каждый отдельный интеграл содержит произвольное постоянное. СЛЕДСТВИЕ 1 1201. Итак, если Х = 0, то полным интегралом предложенною дифференциального уравнения будет у = е~ах (Ах*1"1 + Bxn~2 + Схп~* + Dxn~* + ... + Мх + 7V), где число произвольных постоянных А, В, С и т. д. также =п. СЛЕДСТВИЕ 2 1202. Если число п бесконечно, то количество а также принимает- ся бесконечным, а именно а = пс\ уравнение, которое надо интегриро- вать, продолжается до бесконечности, и будем иметь Х = у+^+Т-Ягт + -1 9fL 3+ и т. д. э cdx 1 \-lc2dx2 1 1-2-Зс3(/я3 Однако интегральное уравнение в применении к этому случаю не дает ничего определенного1). СЛЕДСТВИЕ 3 1203. Однако какой бы функцией от х ни было у, верно то, что 1 если вместо х писать х-\~ — > она переходит в I dy d*y d3y УЛ--Т~ + I 2 + Л о о ч ч + И Т. Д., 1 с dx 1-2с2 dx2 1 l-2-3c3(/z3 а так как это выражение должно быть = X, то, наоборот, очевидно, что у равно такой функции от х, которая получается из X, если там 1 вместо х писать х —— . ПОЯСНЕНИЕ 1 1204. Для того чтобы это было яснее видно, я замечу, что если бы было предложено какое угодно уравнение следующего вида: Х = + + + и т. д„ dx ' dx2 1 dxd то всегда можно найти без какого бы то ни было интегрирования его приближенный частный интеграл таким образом: положим v , n dX , d*X , . d*X . = + + + s —+ и т. д. 3) Nullam lucem foeneratur.
526 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТРЕТЬЕГО И . ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ Выполнив: эту подстановку, будем иметь V • л V 1 л о dX > л d2X . л . d^X . Х = ЯаХ + Я₽-^-тАу^- + А&^г + и т. д.( Ba. 4" Д® + 5у + Са +С₽ -{-Da 1 и коэффициенты а, р, у, В и т. д. определяются так: а = — > a осталь- ные: __ В а — В Р = -Л’= ’ — Са —— С В2 7 - А - Л2 +А3 ’ -Da-C$—B~( —D 2ВС В3 0 “ А — Я2 + А3 Я4 ’ — E?-D3 — С-( — ВЪ — E^ZBD + C* ЗВ*С В* е Я “ТД2" ' я3 я4 + я3 и т. д. Если это применить к нашей задаче, то получаем — У nrfy n(n +l)rf2X n(n + 1)(n + 2)dUT la dx' l*2a2rfx2 b2-3a3rfx3 * Д* Отсюда в том случае, когда п=со и а = пс, заключаем, что У dX d2X d3X Icdx^ l-2c2dx2 1-2-Зс3^3^ Д*’ и это выражение, хотя и продолжено до бесконечности, опреде- ляет, очевидно, ту функцию от х, которая получается из I, если вместо х писать х—И если мы уже эту новую функцию обозначим через X', а также положим у = Х' -\-v, то уравнение Следствия 2 пере- ходит в уравнение n . dv . d2v . d3v ® ~U + cdx+ 1-2сгЛх3 +1-2-Зс3 dx3^ И т. д., произвольным частным интегралом которого является v = Ae~ncxxmf при- чем п-r бесконечное число, а т — целое положительное число1). г) Выражение и +Г + и т. д. получается из функции п, если с ах 1 • zc ахй 1 вместо х написать х -J---, вследствие чего уравнение, которому должно удовлетво- рять у, не допускает никакого другого решения, кроме у = 0. В примерах, рассмот- ренных в следующих параграфах: 1209, 1212, 1217, 1224, ошибка, допущенная в §§ 1199, 1204, не сказывается; выведенные там (§ 1217) алгебраические уравнения представляют ряды, которые всегда сходятся и имеют бесконечное число корней {Л. Ш.]. .
ГЛ. IV. ПРИЛОЖЕНИЕ МЕТОДА, ИЗЛОЖЕННОГО В ПРЕДЫДУЩЕЙ ГЛАВЕ 327 ПОЯСНЕНИЕ 2 1205. Изложенное приводит меня к следующим соображениям от- носительно суммирования рядов. А именно, пусть имеем некоторый ряд 1 2 3 4 х 4, В. С, Г, член которого, соответствующий значку х, пусть будет какая угодно функция Т от х. Обозначим сумму всех этих членов .. . -р71 == у. Но, очевидно, у есть такая функция от х, что если в ней вместо х писать х— 1, то получается та же самая сумма у без последнего чле- на Т1), а именно у — Т. Но если вместо х пишем х — 1, то функция у переходит в dy , d2y d3y . у—~г+л о j 2 ~ Г О Q J я + И т- Д-» dx 1-2 ах2 1-2-Зс?х3 ’ и отсюда получается уравнение 7’ = ^_____' d3y___________________+ и т д dx 1-2с?х2 1-2*Зс?х3 1.2.3*4dx4^ д*’ которое после одного интегрирования, если обозначить Tdx = X, ста- новится v dy . d2y d3y А = 2/ — . + 1 о о , 2- — . со / , Я - ' и Т. Д., v 1-2с?х 1-2-Зс?х2 1-2-3-4с?х3 м ’ и его, как мы видим, надлежит интегрировать таким же образом, каким мы интегрировали вышеприведенное несколько более общее урав- нение. ЗАДАЧА 160 1206. Предложено следующее дифференциальное уравнение: у — ПУ — п (n — l)dy n(n— l)(n — 2) d2y _ a l-2a2dx l-2-3a3c?x2 * Д* Найти его полный интеграл. РЕШЕНИЕ Образуем соответствующее алгебраическое количество 1 __ (1_£ А” р = ± _ П(п—1)2 п(п—1)(п —2)з2 _ и т д = V Д У а 1*2а2 1’2’За3 Д* z ’ ап—(а — z)n - <, <. <, т. е. Р =----, и любой его двойной множитель будет иметь вид а2 — 2а (a— z) cos 2С + (а — z)2, 2ш причем угол 2^ ——. Но это выражение переходит в 2а2 (1 - cos 2Q - 2az (1 - cos 2Q + z2, 2) Termino ultimo T mulctata.
328 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТРЕТЬЕГО И ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ то есть в 4а2 sin2 — 4а2 sin2 £ + z2. Из сравнения его с общим выражением /2 + 2/z cos 0 + z2 получаем / = 2а sin С и cos 6 = — sin£, откуда 0 = 90° + С и sin 0 = cos С, где ^=~ - Для того же, чтобы определить соответствующее слагаемое в интеграле, рассмотрим выражение [§§ 1173—1177] с?Р__ —ап + [а + (п — 1) z] (а — г)п~г dz t anzz * где мы полагаем z — — j (cos 0 + у^ — 1 sin 0), то есть z — 2а sin £ (sin £ — ул — 1 cosQ = а (1 — cos 2£ — у^ — 1 sin 2Q. Таким образом а — z = a (cos 2£ + ул — 1 sin 2Q, и мы получаем, что ЧЗ + D/^T __—1 + (п—(п— 1) (cos 2С + V— 1 sin 2£)) (cos 2 (п — 1) С + V — 1 sin 2 (п — 1) С) —4а2 sin2 С (cos 2С + \— 1 sin 2С) А так как cos 2п£ — I и sin 2п" — 0, то будем иметь cos 2 (п — 1) С — cos 2С и sin 2 (п — 1) С ~ — sin 2£. Отсюда qj I q — n+n (cos 2^ —/ — 1 sin 2С) — 4a2 sin2 C (cos 2C + — 1 sin X) ’ что приводится к такому виду: sp + а У^Т= 4а2^пЧ (cos 2С - sin 2С + V^Tsin 40. Отсюда заключаем, что — п (cos2С — cos4Q = 9 2П r sin3£, 4а2 sin2 С v 7 2а2 sin £ ’ О = / 2~П2г (sin 2С — sin 4Q = 9 2 n r cos 3£, 4а2 sin2 £ v 7 2а2 sin £ ’ так что и, положив <р = 2ах sin С cos ^ = ах sin 2^, найдем «₽ cos - D, sin ? sin (3^ - ?)
ГЛ. IV. ПРИЛОЖЕНИЕ МЕТОДА, ИЗЛОЖЕННОГО В ПРЕДЫДУЩЕЙ ГЛАВЕ 329 И ^sin(p + ncos(p = ^4bCcos(3^^' Таким образом, отсюда получается такое слагаемое в интеграле: 4fl2 sin С е2ах sin2 £ п sin (3£ — <р) j е~2ах sin2 X dx cos <р + cos (ЗС — <р) е~2ах sin2' X dx sin 9 Здесь вместо £ надо последовательно писать углы п 2ft 3ft 4ft п ’ п * п * п И т. д., пока они меньше прямого угла, а если число п-четное, то к этим слагаемым дополнительно следует прибавить — — е2ах { e~2axXdx, п J что и даст правильное значение для у. СЛЕДСТВИЕ 1 1207. Если X = 0, то слагаемое в интеграле, которое порождается каким-либо из углов Z , получается в виде е2ах sin2 с ц sjn (3^ _ ах s|n 2£) 4-В cos (3£ — ах sin 2Q), либо в таком виде: Ле2ах sin2 - sin (а + ах sin 2Q, причем а обозначает какой угодно постоянный угол. СЛЕДСТВИЕ 2 1208. Если, после того как найден какой-либо частный интеграл у — V, удовлетворяющий предложенному уравнению, мы положим у~ V + v, то получится следующее уравнение; (\nv n(n — l)du n (п —1) (п —2) с?2г> a l-2azdx Г 1-2‘3g3(Zx2 ‘ Таким образом, полным интегралом будет у == V + Ае2ах sin2 ' sin (а + ах sin 2Q, причем в последней части этого равенства производится суммирование по всем значениям СЛЕДСТВИЕ 3 1209. Если мы примем п = оо и а = п, так что получится продол- женное до бесконечности дифференциальное уравнение вида „ dy . d2y d3y . d^y У l‘2-3t/x2 b2-3-4<Zx3^ 1-2-3-4-Э M ’ *) ... ultima hac parte secundum omnes valores ipsius C multiplicata.
330 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТРЕТЬЕГО И ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ то У будет выражать сумму прогрессии, общим членом которой, соот- ветствующим индексу х, является Г = Следовательно, пока угол бесконечно мал, произвольным слагаемым в интеграле, поскольку <p = 2ira, будет 2г2д2 sin (— — 2Ых>\ £ е п Х X dx'cos (2Ых) + cos — 2iicx j \ е п Х Xdx sin(2inx) а если мы опустим исчезающие количества, то Ик ^cos(2iTvx) X dx sin (2ivx)-- sin (2^) X dx cos (2irc) j,. Если здесь подставлять вместо i последовательно все целые числа 1, 2, Зит. д., то сумма всех получающихся таким образом выражений даст правильное и полное значение у. ПОЯСНЕНИЕ 1210. Для предложенного уравнения можно найти частный инте- грал с помощью ранее указанного метода в виде ряда дифференциалов, полагая , BdX . Cd2X , Dd3X , Ed4X . . m = + ---——Ь—гл—h и т- Д* [ dx 1 dx2 dx3 dx41 1 Действительно, выполнив подстановку, находим А = ^, в = ^, С = ^~, D = п 2п Man ’ 24а2п ’ но трудно в общем случае указать закон построения этого ряда. Прав- да, в случае п=оо и а=п, который, прежде всего, заслуживает быть особенно отмеченным в учении о прогрессиях, эти коэффициенты полу- чаются такими: Л = 1, В = 4, С = 1, D-О, я т. д. Отсюда следует то же самое выражение, которое я когда-то1) указал в общем виде для суммы. Но и когда получено это выражение для суммы, которая пусть будет = У, все же надлежит указать, что уравнение у — V является только частным интегралом предложенного уравнения. Впрочем, полный интеграл легко получить, если только мы прибавим к V все выражения вида A sin(a-P 2/ад), причем вместо i последова- тельно надо писать все числа 1, 2, 3, 4 и т. д., а угол а может быть J) См. работы Эйлера № 25 и № 47 по списку Энестрема: Methodus generalis summandi progressiones, Comment, acad. Sc. Petrop. 6 (1732/3), 1738, стр. 68 и Inven- tio summae seriei ex dato termino generali, Comment, acad. sc. Petrop 8(1736) 1741, стр. 9, также в Opera Omnia, сер. I, том 14. Сопоставить также c L. Euleri Institutiones calculi differential is, Part. II Cap. V—VII (Opera Omnia, cep. I, t. 10, стр. 309—395) [Л. Ш.].
ГЛ. IV. ПРИЛОЖЕНИЕ МЕТОДА, ИЗЛОЖЕННОГО В ПРЕДЫДУЩЕЙ ГЛАВЕ 331 выбран всякий раз по произволу. А что каждое из этих значений удо- влетворяет уравнению q___ dv . d*v d3v . d*v d5v U — D — 2dx 6 dr2 — 24 dx3 + 120 dxi ~ 720 dx5 + И T' Д’> можно очень легко показать следующим образом. Положим ради крат- кости = так что v = sin (а 4- тх)\ после подстановок мы должны получить ( • / 1 \ Г Л т? . т4 А Sin(a + ™z) ^1- —+ —— и т. - COS (а + тж) Г — ^ + g-^+H т. д) sin (а + тх) sin т 1 ’ • — cos (а + тх) ~ cos (т — 1) но так как т = 2гтс, то очевидно, что как sin 0, так и cos т — 1 = 0. ЗАДАЧА 161 1211. Предложено следующее дифференциальное уравнение'. у_7. —И d2y 1 n(n-l)(n-2)(n-3) d*y А-2/ + 12 aadxa+ 1-2.3-4 a* dx* + ’ Д Найти его полный интеграл. РЕШЕНИЕ Здесь надо образовать такое алгебраическое количество: n л , п(п— l)z2 п(п— 1)(ге — 2)(га — 3) z4 , „ m „ Р = 1 + ~П2^^ +--------ГГзД--------74 + и т- д- Оно, очевидно, приводится к следующему виду: и его любой трехчленный множитель будет вида (а + z)2 — 2 (а2 — z2) cos 2£ + (а — z)2, где полагаем 2:(2i + l)TC т е (2МИЬ. тъ Но это выражение переходит в 2а2 (1 — cos 2Q + 2z2 (1 + cos 2Q = 4а2 sin2 С + 4г2 cos2 С, и этот общий множитель представится в виде a2 tg2 С + 22, откуда, сравнивая с общим видом /2 + 2/zcos6 + z2, находим / = — a tg £ и 0 = 90°.
332 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТРЕТЬЕГО И ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ Отсюда получаем <?=—aztg£ (§1177), и то значение, которое надо подставить вместо 2, будет — / (cos 9 + — 1 sin 9) = a tg £ — 1. При этом dP n(a-p2)n~x — п (а — z)n'x 2a" переходит в -J- D — 1, следовательно, $ + а ]Л=Ч = ZL [ (1 + tg с /-и р _ (1 _ tg с /^1 г1] 2а cos"-!'' [cos(n-l):+/-l sin (и—1) £ —cos (и-1) sin (re-1);]. Таким образом ф = 0 и Q == в Но так как тс, откуда cos/zC — 0 и sin п£ 1, в соответствии с тем, будет ли i четным или нечетным числом, мы получаем sin (п— 1) £ — ±cos£, и поэтому а =____Чг- . a cosn”2£ В силу этого, поскольку cos 9 = 0, из нашего множителя получается в интеграле слагаемое . 2а cosn~2 f Г v . Г v \ ±----------( cos ср \ A dx sin <р — sin ср \ A dx cos <р \ , или же, так как <р = —aztg£, 9 п-2 Г Sin (аХ \ Х dX C0S (йХ cos Св э П — cos (ах tg С) X dx sin (ах tg £) Здесь вместо С подставляем последовательно углы 7С O7U 5ти 71С 2л ’ Тп ’ 2л ’ 2л И Т' Д’ ’ покуда они меньше прямого, причем их надо поочередно писать со зна- ком + и —. Все эти слагаемые, объединенные в одну сумму, дадут полное значение у, если только последнее слагаемое, получающееся при угле = у , что будет иметь место, если п — нечетное число, берется только в половинном размере [§ 1190]. СЛЕДСТВИЕ 1 1212. Мы сразу применим вышеизложенное к случаю п = оо и а —?гс, т. е. предложим такое дифференциальное уравнение: Л ~ У + 1.2сЧх2 "г" l-2-3-4cMz4 + 1 ... 6Cerfz6 ‘ и т- д- Поскольку здесь значения С бесконечно малы, будем иметь cos= 1 и tgС = С = ’ откуда ах tg £ = (4? ± 1) сх у ,
ГЛ. IV. ПРИЛОЖЕНИЕ МЕТОДА, ИЗЛОЖЕННОГО В ПРЕДЫДУЩЕЙ ГЛАВЕ 333 и вместо этого угла будем писать со. Следовательно, какое угодно слагаемое интеграла будет вида -г 2с sin со X dx cos ю — cos со X dx sin со J , причем оба знака берутся попеременно1). СЛЕДСТВИЕ 2 1213. Если только положим угол ^-сх = у, то весь интеграл выра- зится таким образом: -у- = -j- sin ср \ X dx cos ср — cos ср \ X dx sin ср — sin 3<р X dx cos З'р + cos Зср X dx sin Зср + sin 5^> X dx cos 5ср — cos 5ср X dx sin 5^> — sin 7<p X dx cos 7^ -t- cos 7^ X dx sin 7cp и т. Д., продолжая так до бесконечности. СЛЕДСТВИЕ 3 1214. Если положить С = £]/—!, так что получается бесконечное уравнение X _____________+ ит д У Ь2Шсг2 ^1 ... 1 .. . 6bGdxG Д*> а угол у Ьх обозначить через ф, то полным интегралом будет у = + е~ф е^Х dx — e^ е~^Х dx „е-зф e^Xdx + e^ е~^Х dx _ре-5Ф еь^Х dx — е5^ е~ь^Х dx И т. д. ПОЯСНЕНИЕ 1215. Если по изложенному выше [§ 1204] методу будем искать для уравнения следствия 1 частный интеграл, выраженный через диф- ференциалы от X. и с этой целью положим л х_ Bd2x Cd4X DdGX Ed8X c2dx2 ' c4dx4 cedxG c8dx3 то мы найдем такие значения коэффициентов: 4 = 1, В=Х>’ ^ = г^-4’ D = - 1-2 1...4 „ 1385 „ 50 521 £ = ГТУ8 = ’ / =Г7Г10 и т- Д' 0 Ubi signa ambigua sibi mutuo respondent.
334 ДИФФЕРЕЙЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТРЕТЬЕГО И ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ Если обозначим этот частный интеграл через V, а угол ~^сх через то полным интегралом будет у — V 4~ A sin (а 4- <р) + В sin (р 4- 3<р) 4- 4- С sin (у + 5<р) 4- D sin (В + 7<р) 4- и тч д; ЗАДАЧА 162 1216. Предложено дифференциальное уравнение X = . I Я(л—1)с?у п (n—1) (я —2) (л —3)с?ау п .. (я — 5) dsy . , .; " - ” 1 -2а 2 dx 1 -2-3-4а4 dx2 1 ... 6а6 dx3 Найти его полный интеграл. РЕШЕНИЕ Здесь надо построить алгебраическое количество р _ 1 । "("-!) „ । я(я-1)(я-2)(я-3) 2 , + 1-2аа ZH 1.2.3.4а4 Z +ит-«- = 1(1+ _12Г. 2 \ а / 2 \ а ) Оно получается из предыдущего, если вместо z2 писать z. Принимая угол + re, получим какой угодно множитель в виде a2tg2£-^z, так что все простые множители этого выражения являются действитель- ными. Таким образом, из сравнения этого множителя с выражением Р а z получим а = a2 tg2 £ и, принимая ЭД = при z = — а, найдем слагаемое йнтеграла, получающееся из этого множителя в 1 г _е-«х \ e^Xdx, Но так как Р исчезает при z= — а, будем также ЭД = . Дифференцируя же, находим az виде иметь. с?Р __ п ГЛ &z 4а z L \ Итак, поскольку следует положить — ---1, будем иметь 1 । V z cos 1 sin t Л V z cos £ — V— 1 sin С ' . 4------- “ --------у------ и ----------------------г----- a cos С cos £ откуда __ л 2 р" — lsin(n—1) С n sin (л — 1) С — 4а2 cosn—1 С ~ 2а2 sin c°sn~a5 ’ Мы уже отмечали, что sin= sin (2i1) 1 (где верхний знак имеет силу при четности г, а нижний —при нечетности), а тогда coszz£ — О, откуда sin (п - 1) ± cos С, вследствие чего получаем $ =_______________ 2аа sin.£ cosn 3 С ’
ГЛ. IV. ПРИЛОЖЕНИЕ МЕТОДА, ИЗЛОЖЕННОГО В ПРЕДЫДУЩЕЙ ГЛАВЕ 335 и искомое слагаемое в интеграле находим в виде , 2а2 sin С cos71-3 С Г J+rAv 7 +--------------1 е~а \ еа dx. п J Теперь же последовательно приписываем £ значения тс Зтс 5тс 7тс 2п ’ 2п'' 2п’ 2п И Т' Д’’ пока они не превышают прямого угла, и все эти слагаемые интеграла, будучи объединены в одну сумму, дадут полный интеграл, т. е. значение у. СЛЕДСТВИЕ 1 1217. Если положим п=оо и а = пс, то предложенное уравнение будет продолжено до бесконечности, и мы получаем v < dy . d2y d3y ~ У + ,1-2с2 + 1-2-3-4с* Лг2 + 1 ... 6сМк3 + И Т' Д‘ Возникающее отсюда алгебраическое выражение 3 ,2 -3 1^1 ^=1+172^ + 1-2-3-4^ + 1 ...6с« + ИТ. д.=-^-ес +~2« с и все его простые множители действительны. Так как С бесконечно мало, то tg С = С — откуда получаем общий вид множителей: . (2i + 1)2 2 2 . 4z Z + ---тс2С2 ИЛИ же 1 + -,о. . ,х2 2 2 . 1 4 1 (24 + 1)2^2с2 СЛЕДСТВИЕ 2 1218. Положим ради краткости угол тогда a2 tg2 = 02с2 и, стало быть, л a2 s i n С д 2 cos — 1 И---------= УС. п Поэтому слагаемое в интеграле будет вида ±20с2е~^ e^Xdz, где вместо 9 надо последовательно писать все такие углы, как тс Зтс 5тс 7тс 9тс Т ’ ~2 ’ Т’ ~2 ’ у и т- Д- СЛЕДСТВИЕ 3 1219. Не имеет значения, берем ли мы здесь с2 отрицательным или положительным, поэтому для бесконечного дифференциального уравнения d2y d3y Х~ У+ 1.2irfx +1.2.3-4*62d*2 + ’l-2-3-4.5-663dx3 + И Т‘ Д'
336 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТРЕТЬЕГО И ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ интегралом будет У= 2ЬЪе-^Ьх \ e^bxXdx, где подставляем вместо 6 без двузначности: + - 2 ’ последовательно все указанные углы, но уже Зтс , 5л -у, + у, -у и т. д. Отсюда, если X — 0, получаем частные интегралы вида у = Ае~^Ъх. ЗАДАЧА 163 1220. Предложено дифференциальное уравнение V ~ndy \п (п~1) (п~ 2) d2y п(п-А) (п—2) (и —3) (п— 4) d?y adx^ 1-2-За3 dx*ф Г2-3-4-5а5 dx^ *Д Найти его полный интеграл. РЕШЕНИЕ Хотя это уравнение после умножения на dx непосредственно интегрируется один раз, однако предпочтительно сохранить указанную форму, откуда следует, что nz n(n—l)(n —2)z2 . n(n-l)(n —2)(n —3)(n —4)z3 а 1-2-За3 1.2-3-4-5я5 Это выражение, очевидно, можно представить и так: р=т2П1 + ^Г-41--^Г1 2 L \ -Г а / \ а / J ’ причем сразу обнаруживается один его множитель z. Остальные же множители представляются в виде (‘+-2 (1 - ) “s если принять угол рь о 2lK & £ тс 2i,=--, т. е. = , п п это выражение переходит в 2(1 — cos 2Q + §-(! + cos 2С). Отсюда видно, что в общем случае множителем будет a2 tg2£ + z, что охватывает также и первый множитель z, если положить i = 0. Отсюда, полагая a2 tg2 С ~а, находим слагаемое в интеграле, соответствующее этому множителю, в виде е^Х dxy
ГЛ. IV. ПРИЛОЖЕНИЕ МЕТОДА, ИЗЛОЖЕННОГО В ПРЕДЫДУЩЕЙ ГЛАВЕ 337 если, положив z = — a2tg2£, или = a tg£ — 1, берем я=^=_1_ Г(1 +^n_h-i^n dz 4 / z L \ а / \ « / J Но fl 1 V _ cos — Isin/iC \ a ) cos" C и fl z V — cosn^ — У— 1 sinn£ \ a / ” cos" C ’ поэтому qy__ sinn£ t ncos(n —1)C_________ i71 Д “ 2a tg £ cos"C + 2a cos"'1 C — 2a cos"'2 C ’ поскольку sinzzC^O и cosn^= + l, соответственно тому, будет ли число i четным или нечетным. Поэтому какое угодно слагаемое в инте- грале выразится таким образом: 2а cos" 2 £ Г axV 7 ±-----------е^яя \ eax% dx, п J ’ где oc = a2tg2£. А теперь углу С последовательно надо приписывать значения Оте 1 тс 2тс Зтс — , — , —, — и т. д., п п п ’ п тс покуда они не превышают прямого угла -%, и все эти выражения с соответствующими знаками, будучи объединены в одну сумму, дадут полное значение у. СЛЕДСТВИЕ 1 1221. Итак, первое слагаемое в интеграле порождается углом =0, поэтому оно будет Xdx, но вместо него, по указанным выше [§ 1190] соображениям относительно простых множителей, надо брать только его половину, так что этим первым слагаемым будет ~[Xdx, что л Р* п явствует также из того, что при z=O имеем, очевидно, — = — . СЛЕДСТВИЕ 2 1222. То же надо иметь в виду для последнего слагаемого, если оно порождается значением что имеет место, когда п — четное число. Но так как в этом случае cos£ = 0, то все это слагаемое в инте- грале само собой исчезает.
338 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТРЕТЬЕГО И ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ СЛЕДСТВИЕ 3 1223. Если бы мы имели Х = 0, то для какого угодно слагаемого в интеграле мы получили бы Де~а2 tg2z*x, где Л обозначает произвольное постоянное количество. В самом деле, уравнение у «= He-a2tg2 было бы частным интегралом [предложенного] уравнения, если только полагаем угол л ПОЯСНЕНИЕ 1224. В силу этого, положив п = со и a = n]/£>, мы можем про- интегрировать такое дифференциальное уравнение, продолженное до бесконечности: X dy . d2y , d2y . d^y . fTdx + l-2-362 dx2'rl-2-3-4-563dx3’+' 1-2-3.4-5-6-764 dx4 + и T- «•> а также уравнение, которое получается из него одним интегрированием: 1/7) X dx = -у- + - - + л 9 п / 2 Ъ 2 + 1 9 Q / t Д 7И J 3 + И Т- Д- r J 1 1 1.2*3*4*5о2 dx2 1 •2-3*4-5*о*7о3dx3 Действительно, поскольку угол С = бесконечно мал, будем иметь cos С = 1 и a tg £ ~ ~ i~ ]/£> • Следовательно, а == az tg4 = и мы получим какое угодно слагаемое интеграла в виде ± 2 ]/be~i2n2bx ei2K2bxXdx. Отсюда, беря первое получающееся при i = 0 слагаемое в половинном размере, в силу указанных выше [§ 1190] соображений, получим пол- ный интеграл Xdx — 2e~n2bx^ en2bx X dx 2 ~^2Ьх _2е~^ьх е^ъх xdx + 2e-i&n2bx Xdx- и т. д. ПРИМЕР 1225. Пусть п = 6 и <1=1; таким образом, предлагается проинте- грировать уравнение г — ^dy 1 20 d2y । Ё.Ё3? ““ dx ' dx2 ”r dx3 ’ то есть \xdx = 6y + 2^ + 6-^ . J dx dx2 \ e^bxxdx
ГЛ. IV. ПРИЛОЖЕНИЕ МЕТОДА, ИЗЛОЖЕННОГО В ПРЕДЫДУЩЕЙ ГЛАВЕ 339 Следовательно, значениями угла С и зависящих от него величин буд^т С = 0, 30°, 60°, г , /з 1 cosC= 1, — , ~2 > а = 0, 3- Отсюда получаем искомый интеграл У = Xdx-^e"3* e^Xdx + ^e-^ { e3xXdx, v 6 j 16 J 48 J и тот, кто будет проверять, обнаружит, что этот интеграл удовле- творяет уравнению.
ГЛАВА V ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВИДА Х-Лу \ Sxdv I Сх*а*У | I Ex*d*y ' dx dx* dx3 ' dx* ' ’ ЗАДАЧА 164 1226. Предложено дифференциальное уравнение следующего вида: у__ Л .Bxdy, Сх2 d^y , Dx3 d3y . . Nxn dny Л - Ay + + dx9 + ’ • ’ + dxn • Определить функцию от х, после умножения на которую это уравнение становится интегрируемым. РЕШЕНИЕ Как можно быстро установить, задача решается простой степенной функцией от х. Итак, пусть интегрируемым является уравнение Хх*- dx = Ax'-у dx + Bxx+l dy + Cx~ - y + ••• + • а его интегралом — C v . , ,, .+1 , B'x^dy , C'x^d*y M'xx+nd”-*y } Xx>' dx = A xX+ly + —Tx—+ —— + • • + —— • Так как дифференциал последнего выражения должен быть равен пре- дыдущему, то мы приходим к таким соотношениям: А = (к + 1) А', откуда (К 4-1) А' — А, В = (^ + 2) В'+ А', откуда (k+ 1) (Х4-2) В' = (*• +1) В — А, C = (k + 3)C' + B', » (к+1)(Х + 2)(Х + 3)С' = «(Х+1) (Х + 2)С-(л + 1)В + А, Z> = (X + 4)Z)' +С, » (X + 1) (X + 2) (X4-3) (X + 4)D'= = (Х4-1)(Х + 2) (X4-3)2) - (X 4-1) (л4-2) С 4- (X 4-1) В-А N — M' и т. д.
ГЛ. V. УРАВНЕНИИ вида t . ,. «. М1 И действительно, следующие члены интеграла, в которые входят диф- ференциалы порядка (Гу и более высокого, должны исчезать, так как иначе интегрирование не удалось бы. Следовательно, поскольку в ин- теграле исчезает буква N', мы получаем уравнение 0 = Л-(Х + 1)Б + (Х+1) (Х + 2) С-(X + 1) (X + 2) (Х + 3) £>+... ±(Х + 1)(Х + 2) ... (X + n)7V, из которого надо определить показатель X искомой степени Итак, надо образовать алгебраическое выражение р = Л + Я(г~1) + С(2-1) (z-2)+Z)(z-l)(z-2)(z-3)+... 4-J