Text
                    Н. С. ПИСКУНОВ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ
И ИНТЕГРАЛЬНОЕ
ИСЧИСЛЕНИЯ
ДЛЯ ВТУЗОВ
том второй
ИЗДАНИЕ ТРИНАДЦАТОЕ
Допущено Министерством
высшего и среднего специального образования СССР
е качестве учебного пособия
?ля алсших технических учебных заведений
МОСКВА «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1985


22.161.1 П34 УДК 517 Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов, т. 2? Учебное пособие для втузов.—13-е изд.— М.: Наука, Главная редакция физико-математиче- скёй литературы, 1985.—560 с. Хорошо известное учебное пособие по мате- математике для втузов с достаточно широкой мате- математической подготовкой. Второй том включает разделы: дифферен- дифференциальные уравнения, кратные и криволинейные интегралы, интегралы по поверхности, ряды, уравнения математической физики, операцион- операционное исчисление, элементы теории вероятностей и математической статистики, .матрицы. Для студентов высших технических учебных заведений. Николщй Семенович Пискунов ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИВДЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЯ для втузов том 2 Редактор В. В. Донченко Техн. редактор И. Ш. Аксельрод Корректор Л. С. Сомова ИБ № 12688 Сдано в набор 06.08.84 Подписано в печать 31 01 85. Формат 60x90Vie- Бумага тип. № 2. Гарнитура литературная. Высокая печать. Усл. печ. л. 35 Уел кр.-отт. 35,2 5. Уч.-изд. л. 33,67. Тираж 2 50 000 экз. A-й завод 1—-150 000 экз ) Заказ №3531. Цена 1 р. 30 к Ордена Трудового Красного Знамени издательство «Наука» Главная редакция физико-математической литературы 117071 Москва В-71, Ленинский проспект, 15 МПО «Первая Образцовая типография» Союзполиграфпрома при Государственном коми- комитете СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли. 113054, Москва, Ва- Валовая, 28 п 1702050000-042 П 053@2)^85
ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие к девятому изданию ¦ .».,»¦#•»• 9 Предисловие к пятому изданию , , .*•*.»*•• 11 ГЛАВА XIII ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ § 1. Постановка задачи. Уравнение движения тела при сопротивлении среды, пропорциональном скорости. Уравнение цепной линии ... 13 § 2. Определения 16 § 3. Дифференциальные уравнения первого порядка (общие понятия) 17 § 4. Уравнения с разделенными и разделяющимися переменными. Задача о распаде радия ,,..*.., 22 § 5. Однородные уравнения первого порядка t * 25 § 6. Уравнения, приводящиеся к однородным * 27 § 7. Линейные уравнения первого порядка • 30 § 8. Уравнение Бернулли * 33 § 9. Уравнение в полных дифференциалах « 35 § 10. Интегрирующий множитель * 38 § 11. Огибающая семейства кривых • 39 § 12. Особые решения дифференциального уравнения первого порядка. • 45 § 13. Уравнение Клеро «»*»*******.* 47 § 14. Уравнение Лагранжа « 49 § 15. Ортогональные и изогональные траектории 50 § 16. Дифференциальные уравнения высших порядков (общие понятия) 55 § 17. Уравнение вида yW = f(x) 56 § 18. Некоторые типы дифференциальных уравнений второго порядка, приводимых к уравнениям первого порядка. Задача о второй кос- космической скорости 59 § 19. Графический метод интегрирования дифференциального уравнения второго порядка 66 § 20. Линейные однородные уравнения. Определения и общие свойства 68 § 21. Линейные однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами 74 § 22. Линейные однородные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами 79 § 23. Неоднородные линейные уравнения второго порядка 81 § 24. Неоднородные линейные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами 84 § 25. Неоднородные линейные уравнения высших порядков « 90 § 26. Дифференциальное уравнение механических колебаний . . . . , 94 § 27. Свободные колебания. Векторное и комплексное изображение гар- гармонических колебаний ,..,.< , # ¦ 96 § 28. Вынужденные колебания , . t . , , 99 § 29. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений «,..,, 103
4 ОГЛАВЛЕНИЕ § 30. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами р 108 § 31. Понятие о теории устойчивости Ляпунова. Поведение траектории дифФеРенДиального уравнения в окрестности особой точки .... 113 § 32. Приближенное решение дифференциальных уравнений первого по- порядка методом Эйлера 127 § 33. Разностный метод приближенного решения дифференциальных уравнений, основанный на применении формулы Тейлора. Метод Адамса 130 § 34. Приближенный метод интегрирования систем дифференциальных уравнений первого порядка ,...».,.»... 136 Упражнения к главе XIII , , . в »••«•••••••• *4* ГЛАВА XIV КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ § 1. Двойной интеграл •»#•».».» 152 § 2. Вычисление двойного интеграла 151 § 3. Вычисление двойного интеграла (продолжение) 160 § 4. Вычисление площадей и объемов с помощью двойных интегралов 168 § 5. Двойной интеграл в полярных координатах 168 § 6. Замена переменных в двойном интеграле (общий случай) , . . . 174 § 7. Вычисление площади поверхности 179 § 8. Плотность распределения вещества и двойной интеграл ¦ . . . . 182 § 9. Момент инерции площади плоской фигуры 184 § 10. Координаты центра масс площади плоской фигуры 188 § П. Тройной интеграл 190 § 12. Вычисление тройного интеграла , . . . 191 § 13. Замена переменных в тройном интеграле , 196 § 14. Момент ^инерции и координаты центра масс тела 199 § 15. Вычисление интегралов, зависящих от параметра 201 Упражнения к главе XIV , *•»#.» 202 ГЛАВА XV КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И ИНТЕГРАЛЫ ПО ПОВЕРХНОСТИ § 1. Криволинейный интеграл ..,».,... 208 § 2. Вычисление криволинейного интеграла 211 § 3. Формула Грина 217 § 4. Условия независимости криволинейного интеграла от пути интег- интегрирования 219 § 5. Поверхностный интеграл ¦ 224 § 6. Вычисление поверхностного интеграла 225 § 7. Формула Стокса 229 § 8 Формула Остроградского 233 § 9. Оператор Гамильтона. Некоторые его применения 236 Упражнения к главе XV , 239 ГЛАВА XVI ряды § 1. Ряд. Сумма ряда 245 § 2. Необходимый признак сходимости ряда 248 § 3. Сравнение рядов с положительными членами 250 § 4. Признак Даламбера 252 § 5. Признак Коши 256 § 6. Интегральный признак сходимрсти ряда 257 § 7. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница 260
ОГЛАВЛЕНИЕ 5 § 8. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость . . , 263 § 9. Функциональные ряды 266 § 10. Мажорируемые ряды 267 § 11. Непрерывность суммы ряда 269 § 12. Интегрирование и дифференцирование рядов 272 § 13. Степенные ряды. Интервал сходимости 275 § 14. Дифференцирование степенных рядов 279 § 15. Ряды по степеням х—а 280 § 16. Ряды Тейлора и Маклорена 282 § 17. Примеры разложения функций в ряды « 283 § 18. Формула Эйлера 285 § 19. Биномиальный ряд 286 § 20. Разложение функции ln(l+*) в степенной ряд. Вычисление лога- логарифмов . 288 § 21. Вычисление определенных интегралов с помощью рядов 290 § 22. Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью рядов 292 § 23. Уравнение Бесселя 295 § 24. Ряды с комплексными членами 299 § 25. Степенные ряды с комплексной переменной 300 § 26. Решение дифференциального уравнения первого порядка методом последовательных приближений (метод итераций) 302 § 27. Доказательство существования решения дифференциального урав- уравнения. Оценка погрешности при приближенном решении .... 304 § 28. Теорема единственности решения дифференциального уравнения 308 Упражнения к главе XVI ' 310 ГЛАВА XVII РЯДЫ ФУРЬЕ § 1. Определение. Постановка задачи 318 § 2. Примеры разложения функций в ряды Фурье 322 § 3. Одно замечание о разложении периодической функции в ряд Фурье 327 § 4. Ряды Фурье для четных и нечетных функций 329 § 5. Ряд Фурье для функции с периодом 2/ 331 § 6. О разложении непериодической функции в ряд Фурье 332 § 7. Приближение в среднем заданной функции с помощью тригоно- тригонометрического многочлена 334 § 8. Интеграл Дирихле 339 § 9. Сходимость ряда Фурье в данной точке 341 § 10. Некоторые достаточные условия сходимости ряда Фурье .... 343 § 11. Практический гармонический анализ 345 § 12. Ряд Фурье в комплексной форме 346 § 13. Интеграл Фурье 349 § 14. Интеграл Фурье в комплексной форме 352 § 15. Ряд Фурье по ортогональной системе функций 355 § 16. Понятие о линейном функциональном пространстве. Аналогия между разложением функций в ряд Фурье и разложением век- векторов 357 Упражнения к главе XVII 362 ГЛАВА XVIII УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ § 1. Основные типы уравнений математической физики 364 § 2. Вывод уравнения колебаний струны. Формулировка краевой за- задачи. Вывод уравнений электрических колебаний в проводах . . 365 § 3. Решение уравнения колебаний струны методом разделения пере- переменных (методом Фурье) # . . , , 368
6 ОГЛАВЛЕНИЕ § 4. Уравнение распространения тепла в стержне. Формулировка крае- краевой задачи 372 § 5. Распространение тепла в пространстве 374 § 6. Решение первой краевой задачи для уравнения теплопроводности методом конечных разностей 377 § 7. Распространение тепла в неограниченном стержне 379 § 8. Задачи, приводящие к исследованию решений уравнений Лапласа. Формулировка краевых задач 384 § 9. Уравнение Лапласа в цилиндрических координатах. Решение за- задачи Дирихле для кольца с постоянными значениями искомой функции на внутренней и внешней окружностях 389 § 10. Решение задачи Дирихле для круга 390 § 11. Решение задачи Дирихле методом конечных разностей 394 Упражнения к главе XVIII ,,,,.,..,,.,.., 396 ГЛАВА XIX ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ И НЕКОТОРЫЕ ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ § 1. Начальная функция и ее изображение 400 § 2. Изображение функций oQ (t), sin ty cos t 402 § 3. Изображение функции с измененным масштабом независимой пе- переменной. Изображение функций sin at, cos at 403 § 4. Свойство линейности изображения 405 § 5. Теорема смещения 405 § 6. Изображение функций е~а^ shat, cha/, е-*** sin at, е~а* cos at 405 § 7. Дифференцирование изображения 407 § 8. Изображение производных 409 § 9. Таблица некоторых изображений 410 § 10. Вспомогательное уравнение для данного дифференциального урав- уравнения 411 § 11. Теорема разложения 415 § 12. Примеры решения дифференциальных уравнений и систем диффе- дифференциальных уравнений операционным методом 417 § 13. Теорема свертывания 418 § 14. Дифференциальные уравнения механических колебаний. Дифферен- Дифференциальные уравнения теории электрических цепей 420 § 15. Решение дифференциального уравнения колебаний * . . 421 § 16. Исследование свободных колебаний 423 § 17. Исследование механических и электрических колебаний в случае периодической внешней силы 424 § 18. Решение уравнения колебаний в случае резонанса 426 § 19. Теорема запаздывания 427 § 20. Дельта-функция и ее изображение , . . . . 428 Упражнения к главе XIX 9 431 ГЛАВА XX ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ § 1. Случайное событие. Относительная частота случайного события. Вероятность события. Предмет теории вероятностей 434 § 2. Классическое определение вероятности и непосредственный подсчет вероятностей 436 § 3. Сложение вероятностей. Противоположные случайные события . . 438^ § 4. Умножение вероятностей независимых событий 441 § 5. Зависимые события. Условная вероятность. Полная вероятность 443 § 6. Вероятность гипотез. Формула Байеса 446 § 7. Дискретная случайная величина. Закон распределения дискретной случайной величины ,,,,,.., 449
ОГЛАВЛЕНИЕ 7 § 8. Относительная частота и вероятность относительной частоты при повторных испытаниях 451 § 9. Математическое ожидание дискретной случайной величины . . . 455 § 10. Дисперсия. Среднеквадратичное отклонение. Понятие о моментах 460 § 11. Функции от случайных величин 463 § 12. Непрерывная случайная величина. Плотность распределения не- непрерывной случайной величины. Вероятность попадания случайной величины в заданный интервал 464 § 13. Функция распределения, или интегральный закон распределения. Закон равномерного распределения вероятностей 468 § 14. Числовые характеристики непрерывной случайной величины . . . 471 § 15. Нормальный закон распределения. Математическое ожидание нор- нормального распределения 474 § 16. Дисперсия и среднеквадратичное отклонение случайной величины, подчиненной нормальному закону распределения 476 § 17. Вероятность попадания значения случайной величины в заданный интервал. Функция Лапласа. Интегральная функция распреде- распределения для нормального закона , 477 § 18. Вероятное (срединное) отклонение или срединная ошибка .... 481 § 19. Выражение нормального закона распределения через срединное отклонение. Приведенная функция Лапласа 483 § 20. Правило трех сигм. Шкала вероятностей распределения ошибок 484 § 21. Среднеарифметическая ошибка 486 § 22. Мера точности. Соотношение между характеристиками распреде- распределения ошибок 486 § 23. Двумерная случайная величина 487 § 24. Нормальный закон распределения на плоскости 491 § 25. Вероятность попадания двумерной случайной величины в прямо- прямоугольник со сторонами, параллельными главным осям рассеива- рассеивания, при нормальном законе распределения 492 § 26. Вероятность попадания двумерной случайной величины в зллипс рассеивания 494 § 27. Задачи математической статистики. Статистический материал . . 495 § 28. Статистический ряд. Гистограмма 496 § 29. Определение подходящего значения измеряемой величины .... 499 § 30. Определение параметров закона распределения. Теорема Ляпу- Ляпунова. Теорема Лапласа 500 Упражнения к главе XX 504 ГЛАВА XXI МАТРИЦЫ. МАТРИЧНАЯ ЗАПИСЬ СИСТЕМ И РЕШЕНИЙ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ § 1. Линейные преобразования. Матрица 508 § 2. Общие определения, связанные с понятием матрицы 511 § 3. Обратное преобразование 513 § 4. Действия над матрицами. Сложение матриц 515 § 5. Преобразование вектора в другой вектор с помощью матрицы . . 518 § 6. Обратная матрица 519 § 7. Нахождение матрицы, обратной данной 520 § 8. Матричная запись системы линейных уравнений 522 § 9. Решение системы линейных уравнений матричным методом . . . 523 § 10. Ортогональные отображения. Ортогональные матрицы 525 § 11. Собственный вектор линейного преобразования 528 § 12. Матрица линейного преобразования, при котором базиСхиые век- векторы являются собственными векторами 531 § 13. Преобразование матрицы линейного преобразования при переходе от одного базиса к другому 532
8 ОГЛАВЛЕНИЕ § 14. Квадратичные формы и их преобразования 534 § 15. Рангоматрицы. Существование решений системы' Линейных 'урав- 'уравнении Jr 536 § 16. Дифференцирование и интегрирование матриц 537 § 17. Матричная запись системы дифференциальных уравнений и. реше- решений системы дифференциальных уравнений с постоянными коэф- коэффициентами в 539 § 18. Матричная запись линейного уравнения п-го порядка 543 § 19. Решение систем линейных дифференциальных уравнений' с пере- переменными коэффициентами методом последовательных' приближений с использованием аматричной записи 544 Упражнения к главе XXI . . . 548 Приложения 550 Предметный указатель 553
ПРЕДИСЛОВИЕ К ДЕВЯТОМУ ИЗДАНИЮ Девятое издание данного учебника отличается от его восьмого издания. Это издание полностью соответствует программе по ма- математике для втузов, рассчитанной на 400 — 450 часов. В учебник включены две новые главы XX и XXI. Глава XX «Элементы теории вероятностей и математической статистики» содержит материал, предусмотренный соответствующим разделом обязательной программы по математике МВССО СССР. Глава XXI «Матрицы. Матричная запись систем и решений систем линейных дифференциальных уравнений» также содержит материал, предусмотренный обязательной программой. Но, кроме того, в этой главе обращено большое внимание на матричную запись систем линейных дифференциальных уравнений и решений систем линейных дифференциальных уравнений. Использована матричная запись последовательных приближен- приближенных решений системы линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами. Этот материал необходимо поме- поместить в курсе дифференциального и интегрального исчисления для втузов потому, что в настоящее время во многих книгах по электротехнике, радиотехнике, автоматике исследование решений систем дифференциальных уравнений производится с использова- использованием аппарата теории матриц. Написаны новые §§ 26, 27, 28 гл. XVI. Здесь рассмотрен метод последовательных приближений решения дифференциальных урав- уравнений, доказывается теорема о существовании решения дифферен- дифференциального уравнения и теорема единственности. Обращено вни- внимание на строгость изложения всей главы о дифференциальных уравнениях. Параграф 31 гл. XIII «Понятие о теории устойчивости Ляпу- Ляпунова» значительно расширен. В этом издании он называется так: «Понятие о теории устойчивости Ляпунова. Поведение траекторий дифференциального уравнения в окрестности особой точки». Здесь параллельно с рассмотрением устойчивости решений, систем диф- дифференциальных уравнений рассмотрено поведение траекторий вблизи особой точки на фазовой плоскости. Это необходимо было сделать потому, что при изучении соответствующих вопросов в курсах электротехники, радиотехники, автоматики этими поня- понятиями необходимо свободно пользоваться. Заново написаны неко-
10 ПРЕДИСЛОВИЕ К ДЕВЯТОМУ ИЗДАНИЮ торые параграфы с изложением теории комплексных чисел. Суще- Существенно расширен § 2 гл. XI, где дано доказательство существо- существования определенного интеграла от непрерывной функции. Написан дополнительный § 11 гл. XI «Интегрирование комплексной функ- функции действительной переменной». Написаны новые §§ 24 и 25 гл. XVI, посвященные рядам с комплексными членами и степен- степенным рядам с комплексной переменной. Написан новый § 12 гл. XVII, посвященный рядам Фурье в комплексной форме. Расширено из- изложение вопроса об интеграле Фурье. Освещены понятия, исполь- используемые в специальной прикладной литературе (спектр, спектраль- спектральная функция). Написаны новые § 15 «Ряд Фурье по ортогональной системе функций» и § 16 «Понятие о линейном функциональном пространстве. Аналогия между разложением функций в ряд Фурье и разложением векторов» в гл. XVIL Этот материал изложен таким образом, чтобы студенты и инженеры могли понимать ма- материал других дисциплин, опирающийся на этот математический аппарат. В главе XIX написан новый § 20 «Дельта-функция и ее изображение». В главе VIII помещен § 19 «Получение функции на основа- кии экспериментальных данных по методу наименьших квадратов». Содержанием этого параграфа ранее являлось Приложение I, по- помещавшееся в конце первого тома этого учебника. В главе VII даны § 10 «Интерполяционная формула Ньютона» и § 11 «Численное дифференцирование». Содержанием этих пара- параграфов ранее являлось Приложение II. Произведены некоторые дополнения в главах V, VII, IX, XII, XIII. Глава XIII «Дифференциальные уравнения» целиком перене- перенесена во второй том. Автор Настоящее A3-е) издание не отличается от предыдущего A978 г.).
ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЯТОМУ ИЗДАНИЮ В пятом издании полностью сохранен без изменений весь текст четвертого издания, но этот материал разделен на два тома (для удобства использования настоящего и предыдущих изданий учеб- учебника нумерация глав тоже оставлена без изменения). Содержание всего учебника определяется программами курса математики для втузов, рассчитанными на 300 — 450 часов. Учеб- Учебник предназначается для изучения курса математики как в ста- стационарных, так и в заочных втузах. Это учитывалось при изло- изложении материала; в частности, с этой целью в учебнике разобрано много примеров, иллюстрирующих изложенный теоретический материал и дающих образцы решения задач. Первый том содержит материал, соответствующий программе 1-го курса втуза, за исключением главы XIII «Дифференциаль- «Дифференциальные уравнения», которая, как правило, проходится на 2-м курсе. Но так как в некоторых втузах предварительные сведения о диф- дифференциальных уравнениях, необходимые для последующих дис- дисциплин, даются на 1-м курсе, то часть этой главы (§§ 1 —28) и помещена в первом томе. Отметим, что материал, содержащийся в программе втузов, рассчитанный на число часов порядка 300, почти полностью со- содержится в первом томе (но в нем содержится и материал, выхо- выходящий за рамки этой программы). Второй том —конец главы XIII (§§ 29 — 34), главы XIV — XIX —содержит материал, соответствующий программе 2-го курса втуза. Первые две главы первого тома —«Число. Переменная. Функ- Функция» и «Предел. Непрерывность функций» написаны в пределах возможного кратко. Некоторые вопросы, обычно излагаемые в этих главах, без ущерба для дела перенесены в третью и последую- последующие главы. Это дало возможность раньше перейти к основному понятию дифференциального исчисления —производной, чего тре- требуют другие дисциплины втузовского курса (целесообразность такого расположения материала подтверждается опытом работы). В связи с включением во втузовскую программу по высшей математике вопросов, необходимых для обеспечения курсом мате- математики втузовских дисциплин, связанных с автоматикой и вычис-
12 ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЯТОМУ ИЗДАНИЮ лительной техникой, в учебнике подробно изложены соответст- соответствующие разделы: «Численное интегрирование дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений»*), «Интегрирование систем линейных дифференциальных уравнений», «Понятие о теории устой- устойчивости Ляпунова», «Оператор Гамильтона», «Интеграл Фурье» и т. д. В главе XVIII рассмотрены основные уравнения математиче- математической физики. Обращено большое внимание на выяснение характера физи- физических явлений, приводящих к уравнениям различных типов и соответствуьощим краевым задачам. Большое внимание уделено численным методам решения дифференциальных уравнений в част- частных производных. В главе XIX излагаются основные понятия операционного исчисления и операционный метод решения дифференциальных уравнений. Это требуется для многих последующих дисциплин, и особенно электротехнических. В учебник включено большое количество задач и примеров для упражнений, многие из которых иллюстрируют связь мате- математики с другими дисциплинами. Задачи и примеры специально подобраны по каждому разделу курса, что способствует усвоению излагаемого материала. Это обстоятельство также делает книгу удобной для самостоятельного изучения курса математики, в частности для студентов-заочников. Автор Шестое издание отличается от пятого только тем, что в конце 1-го тома дано приложение, где изложен важный для инженеров вопрос «Получение функции на основании экспериментальных данных по методу наименьших квадратов». Седьмое издание отличается от шестого только тем, что в конце 1-го тома дано приложение «Интерполяционная формула Ньютона. Численное дифференцирование». *) Обычно излагаемые численные методы анализа также изложены в дан- данном учебнике.
ГЛАВА XIII ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ § 1. Постановка задачи. Уравнение движения тела при сопротивлении среды, пропорциональном скорости. Уравнение цепной линии Пусть функция y = f(x) отражает количественную сторону некоторого явления. Часто, рассматривая это явление, мы не можем непосредственно установить характер зависимости у от х, а можем установить зависимость между величинами х и у и про- производными от у по х: у\ у", .•., у{п), т. е. написать дифферен- дифференциальное уравнение. Из полученной зависимости между переменными х, у и про- производными^ требуется установить непосредственную зависимость у от х, т. е. найти y = f{x) или, как говорят, проинтегриро- проинтегрировать дифференциальное уравнение. Рассмотрим два примера. Пример 1. С некоторой высоты сброшено тело, масса которого т. Тре- Требуется установить, по какому закону будет изменяться скорость v падения этого тела, если на него, кроме силы тяжести, действует тормозящая сила сопротивления воздуха, пропорциональная скорости (с коэффициентом пропор- пропорциональности k), т. е требуется найти v = f(t). Решение. По второму закону Ньютона du _ F dv , где —rr есть ускорение движущегося тела (производная от скорости по вре- времени), a F—сила, действующая на тело в направлении движения. Эта сила складывается из двух: силы тяжести mg и силы сопротивления воздуха—ко (мы берем ее с минусом, так как она направлена в сторону, противоположную направлению скорости). Итак, m-jj-—tng~kv. (i) Мы получили соотношение, связывающее неизвестную функцию о и ее произ- dv водную -^тт-» т. е. дифференциальное уравнение относитель-
14 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. ХШ но неизвестной функции v. (Это уравнение движения некоторых типов парашютов.) Решить дифференциальное уравнение—это значит найти такую функцию v = f(t), которая тождественно удовлетворяет данному дифференци- дифференциальному уравнению. Таких функций имеется бесконечное множество. Читатель легко проверит, что всякая функция вида v = Ce~f+?!? B) к удовлетворяет уравнению A), каково бы ни было постоянное число С. Какая же из этих функций даст искомую зависимость v от t? Для того чтобы ее найти, используем дополнительное условие: при сбрасывании тела ему была придана началь- начальная скорость v0 (которая, в частности, может быть равной нулю); мы предполагаем эту на- начальную скорость известной. Но тогда искомая функция v—-f(t) должна быть такова, чтобы при ? = 0 (в начале движения) выполнялось условие v = vQr Подставляя 2 = 0, v = vQ в фор- формулу B), найдем vo = C+-? , откуда C = i'o — ^f. Таким образом, постоянная С найдена. Следовательно, искомая зависимость v от t такова: I ~. О \ р kt k • B0 Из этой формулы следует, что при достаточно больших / скорость v мало за- зависит от v0. Заметим, что если & = 0 (т.е. сопротивление воздуха отсутствует или оно столь мало, что мы можем им пренебречь), то мы получаем известный из физики результат *): v = vo+gt. (Г) Эта функция удовлетворяет дифференциальному уравнению A) и начальному условию v — v0 при 2 = 0. Пример 2. Гибкая однородная нить подвешена за два конца. Найти уравнение кривой, по которой расположится нить под действием собственного веса (так располагаются подвешенные канаты, провода, цепи). Решение. Пусть Мо @, Ь) — наиболее низкая точка нити, М — ее про- произвольная точка (рис. 250). Рассмотрим часть нити М0М. Эта часть нахо- находится в равновесии под действием трех сил: 1) нзтяжение 71, действующее по касательной в точке М и составляющее с осью Ох угол ф; 2) натяжение Н в точке Мо, действующее горизонтально; 3) вес нити ys, направленный вертикально вниз, где s—длина дуги M0Mt у—линейный удельный вес нити. *) Формула B) может быть получена из B') с помощью предельного перехода: ?.[(*-?) lira k = vo+gt.
§ 1] ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ 15 Разлагая натяжение Т на горизонтальную и вертикальную составляющие, получим уравнение равновесия: Т cos ф = Я, Т sin ф == ys. Деля члены второго равенства на составляющие члены первого, получим -J-s. C) Положим теперь, что уравнение искомой кривой можно записать в виде g = f(x). Здесь к/(л;) — неизвестная функция, которую надлежит найти. Заме- Заметим, что Следовательно * я где через а обозначено отношение —. Продифференцируем обе части равенства D) по d2y 1 ds Но, как известно (см. § I гл. VI), ds Подставляя значение -тг в уравнение E), получим дифференциальное урав- уравнение искомой кривой: ' """. (б) Оно выражает связь между первой и второй производными от неизвестной функции у. Не останавливаясь на методах решения уравнений, укажем, что всякая функция вида {^^ G) удовлетворяет уравнению F) при любых значениях постоянных Ci и С2, в чем можно легко убедиться, подставив первую и вторую производные указанной функции в уравнение F). Укажем далее без доказательства, что этими функ- функциями (при различных С2 и С2) исчерпываются все возможные решения урав- уравнения F). Это будет показано в § 18. Графики всех полученных таким образом функций называются цепными линиями. Выясним теперь, как надо подобрать постоянные Сг и С2, чтобы получить именно ту цепную линию, низшая точка М которой имеет координаты (О, Ь). Так как при л: = 0 точка цепной линии занимает наинизшее положение, то в этой точке касательная горизонтальна, т. е. -р = 0. Кроме того, по условию, в этой точке ордината равна 6, т. е. у = Ь. Из уравнения G) находим
16 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. XIII Подставляя сюда * = 0, получим O^shCf. Следовательно, Ci = 0. Если ордината точки Мо есть Ьу то у — Ь при х = 0. Из уравнения G), полагая * = 0 и С1 = 01 получаем Ь = ~ A + 1) +С2, откуда С2 = Ь—а. Окончательно находим y — ach (x/a)-{-b—a. Уравнение G) принимает особенно простой вид, если ординату точки Мо взять равной числу а. Тогда уравнение цепной линии будет y — ach (х/а). § 2. Определения Определение 1. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную х, искомую функцию y = f(x) и ее производные у', у", ..., у(п\ Символически дифференциальное уравнение можно написать так: F(x% у, у\ у\ ..., у(л>) = 0 или г ( аУ t \Х> У> dbc> Если искомая функция y=f(x) есть функция одной неза- независимой переменной, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным. В настоящей главе мы будем заниматься только обыкновенными дифференциальными уравнениями *). Определение 2. Порядком дифференциального уравнения называется порядок наивысшей производной, входящей в урав- уравнение. Так, например, уравнение есть уравнение первого порядка. *) Наряду с обыкновенными дифференциальными уравнениями в матема- математическом анализе изучаются также уравнения в частных производных. Диф- Дифференциальным уравнением в частных производных называется соотношение между неизвестной функцией z, зависящей от двух или нескольких перемен- переменных х, у, ..., этими переменными х, у, ... и частными производными от z: dz dz d2z Тх* ду% 1х^ И Т' Д' Дифференциальным уравнением в частных производных с неизвестной функцией z (х, у) является, например, уравнение х^- = у j- . Легко проверить, что этому уравнению удовлетворяет функция z = x2y2 (и еще множество других функций). В настоящем курсе уравнениям в частных производных посвящена гл. XVIII.
§3] УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 17 Уравнение есть уравнение второго порядка и т. д. Уравнение, рассмотренное в предыдущем параграфе в примере 1, является уравнением первого порядка, а в примере 2 —уравнением второго порядка. Определение 3. Решением или интегралом дифференциаль- дифференциального уравнения называется всякая функция y=f(x), которая, будучи подставлена в уравнение, превращает его в тождество. d2u Пример 1. Пусть мы имеем уравнение -т-| Функция y = sinXi t/ = 2cos#, y = 3sinx—cos* и вообще функции вида 0 = CiSin#, y = C2cosx или у = Ci sin * + C2 cos x являются решениями дан- данного уравнения при любом выборе постоянных Сг и С2; в этом легко убедиться, подставив указанные функции в уравнение. Пример 2. Рассмотрим уравнение у'х—х2—у — О. Его решениями будут все функции вида у — х2-\-Сх, где С—любая постоян- постоянная. Действительно, дифференцируя функцию у — х2-{-Сх, находим #' = 2дг+С. Подставляя выражения у и у' в исходное уравнение, получаем тождество Bх+С) х—х2 —х2—Сх=0. Каждое из уравнений, рассмотренных в примерах 1 и 2, имеет бесчислен- бесчисленное множество решений. § 3. Дифференциальные уравнения первого порядка (общие понятия) 1. Дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид F(x, у, 0') = О. (!) Если это уравнение можно разрешить относительно у\ та его можно записать в виде #' = /(*, у). (П В этом случае мы говорим, что дифференциальное уравнение разрешено относительно производной. Для такого уравнения спра- справедлива следующая теорема, которая называется теоремой о суще- существовании и единственности решения дифференциального уравнения. Теорема. Если в уравнении »' = /<*. У) функция f (x, у) и ее частная производная ~ по у непрерывны в некоторой области D на плоскости Оху, содержащей некоторую точку (х0; #0), то существует единственное решение этого урав- уравнения удовлетворяющее условию у=у0 при х = х0. Эта теорема будет доказана в § 27 гл. XVI.
18 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ- ХШ Геометрический смысл теоремы заключается в том, что суще- существует и притом единственная функция у = ц>(х)> график которой проходит через точку (лу, у0). Из только что высказанной теоремы вытекает, что уравне- уравнение (Г) имеет бесконечное число различных решений (например, решение, график которого проходит через точку (xQ; у0); другое решение, график которого проходит через точку (л;0; у±) и т. д., если только эти точки лежат в области D). Условие, что при х = х0 функция у должна равняться задан- заданному числу у0, называется начальным условием. Оно часто запи- записывается в виде Определение 1. Общим решением дифференциального урав- уравнения первого порядка называется функция У = Ф(*, С), B) которая зависит от одной произвольной постоянной С и удовле- удовлетворяет следующим условиям: а) она удовлетворяет дифференциальному уравнению при любом конкретном значении постоянной С; б) каково бы ни было начальное условие у=у0 при х=х0, т. е. у\х=Хо=у09 можно найти такое значение С = С0, что функция У = Ч(х, Со) удовлетворяет данному начальному условию. При этом предполагается, что значения х0 и у0 принадлежат к той области изменения переменных х и у, в которой выполняются условия теоремы существования и единственности решения. 2. В процессе разыскания общего решения дифференциального уравнения мы нередко приходим к соотношению вида Ф(*, J/, С) = 0, B') не разрешенному относительно t/. Разрешив это соотношение отно- относительно у, получаем общее решение. Однако выразить у из соот- соотношения B') в элементарных функциях не всегда оказывается возможным; в таких случаях общее решение оставляется в неяв- неявном виде. Равенство вида Ф(х, у, С) = 0, неявно задающее общее решение, называется общим интегралом дифференциального урав- уравнения. Определение 2. Частным решением называется любая функция y = (f(x, Co), которая получается из общего решения у = у(х, С), если в последнем произвольной постоянной С при- придать определенное значение C = CQ. Соотношение Ф(х, уу С0) = 0 называется в этом случае частным интегралом уравнения. Пример 1. Для уравнения первого порядка ^= — JL dx х
§31 УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 19 общим решением будет семейство функций у——\ это можно проверить про- простой подстановкой в уравнение. Найдем частное решение, удовлетворяющее следующему начальному усло- условию: уо = 1 при хо = 2. Подставляя эти значения х0 и у0 в формулу у = С;'х, получим 1 = С/2, или С = 2. Следовательно, искомым частным решением будет функция у = 2/х. С точки зрения геометрической общий интеграл пред- представляет собой семейство кривых на координатной плоско- плоскости, зависящее от одной произвольной постоянной С (или, как говорят, от одного параметра С). Эти кривые называются инте- интегральными кривыми данного дифференциального уравнения. Част- Частному интегралу соответствует одна кривая этого семейства, проходящая через некоторую заданную точку плоскости. Так, в последнем примере общий интеграл геометрически изо- изображается семейством гипербол у = С/х, а частный интеграл, опре- определенный указанным начальным условием, изображается 'одной из этих гипербол, проходящей через точку MQB; 1). На рис. 251 изображены кривые семейства, соответствующие некоторым зна- значениям параметра: С =1/2, С=1, С = 2, С = —1 и т. д. Чтобы сделать рассуждения более наглядными, мы будем в дальнейшем называть решением уравнения не только функцию y = y(xi Co), удовлетворяющую уравнению, но и соот- соответствующую интегральную кривую. В связи с этим мы будем говорить, например, о решении, проходящем через точку (*0; г/0).
20 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ XIII Замечание. Уравнение ¦?c=z—~ не имеет решения, прохо- проходящего через точку, лежащую на оси Оу (см. рис. 251), так как правая часть уравнения при х = 0 не определена и, следовательно, не является непрерывной. Решить или, как часто говорят, проинтегрировать дифференциальное уравнение — значит: а) найти его общее решение или общий интеграл (если началь- начальные условия не заданы) или б) найти то частное решение уравнения, которое удовлетворяет заданным начальным условиям (если таковые имеются). k^A Рис. 252. 3. Дадим геометрическую интерпретацию дифференциального уравнения первого порядка. Пусть дано дифференциальное уравнение, разрешенное относи- относительно производной: аИ <*.*). (П и пусть у — у(х, С) есть общее решение данного уравнения. Это общее решение определяет семейство интегральных кривых на плоскости Оху. Уравнение (Г) для каждой точки М с координатами хну определяет значение производной j-, т. е. угловой коэффициент касательной к интегральной кривой, проходящей через эту точку. Таким образом, дифференциальное уравнение (Г) дает совокуп- совокупность направлений или, как говорят, определяет поле направле- направлений на плоскости Оху.
§3] УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 21 Следовательно, с геометрической точки зрения задача интегри- интегрирования дифференциального уравнения заключается в нахожде- нахождении кривых, направление касательных к которым совпадает с направлением поля в соответствующих точках. Для дифференциального уравнения A) геометрическое место точек, в которых выполняется соотношение -7~ = & = const, назы- называется изоклиной данного дифференциального уравнения. При различных значениях k получаем различные изоклины. Уравнение изоклины, соответствующей значению &, будет, оче- очевидно, /(х, y) = k. Построив семейство изоклин, можно при- приближенно построить семейство интегральных кривых. Говорят, что, зная изоклины, можно качественно определить распо- расположение интегральных кривых С-% на плоскости. На рис. 252 изображено по- поле направлений, определяемое дифференциальным уравнением dx Рис. 253. Изоклинами данного диффе- ренциального уравнения явля- являются — y/x = k, или у = — kx. Это семейство прямых. Они по- построены на рис. 252. 4. Рассмотрим такую задачу. Пусть дано семейство функции, зависящее от одного пара- параметра С: У = Ф(*. Q, B) причем через каждую точку плоскости (или некоторой области на плоскости) проходит только одна кривая из этого семейства. Для какого дифференциального уравнения это семейство функ- функций является общим интегралом? Из соотношения B), дифференцируя по х, найдем ?-*(*. о- C) Так как через каждую точку плоскости проходит только одна кривая семейства, то для каждой пары чисел х и у определяется единственное значение С из уравнения B). Подставляя это зра- чение С в соотношение C), найдем ~ как функцию от х и у. Это и дает нам дифференциальное уравнение, которому удовлет- удовлетворяет Есякая функция из семейства B).
22 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [гл- хш Следовательно, чтобы установить связь между х, у и ^, т. е. чтобы написать дифференциальное уравнение, общий интеграл которого определяется формулой B), нужно исключить С из соот- соотношений B) и C). Пример 2. Найти дифференциальное уравнение семейства парабол д = Сх2 (рис. 253). Дифференцируя по х уравнение семейства, найдем dx Подставляя сюда значение С = у/х* из уравнения семейства, получаем дифференциальное уравнение данного се- семейства: dy = 2y dx x * Это дифференциальное уравнение имеет смысл при х ф. О, т. е. в любой области, не содержащей точек на оси Оу. § 4. Уравнения с разделенными и разделяющимися переменными. Задача о распаде радия Рассмотрим дифференциальное уравнение вида где правая часть есть произведение функции, зависящей только от х, на функцию, зависящую только от у. Преобразуем его сле- следующим образом (предполагая, что }2(у)ф0): ^ (Г) Считая у известной функцией от х, равенство (Г) можно рас- рассматривать как равенство двух дифференциалов, а неопределен- неопределенные интегралы от них будут отличаться постоянным слагаемым. Интегрируя левую часть по у, а правую по х, найдем Мы получили соотношение, связывающее решение у, независимую переменную х и произвольную постоянную С, т. е. получили общий интеграл уравнения A). 1. Дифференциальное уравнение типа (Г) M{x)dx + N(y)dy = O B) называют уравнением с разделенными переменными. Общий
§4J УРАВНЕНИЯ С РАЗДЕЛЯЮЩИМИСЯ ПЕРЕМЕННЫМИ интеграл его по доказанному есть 23 Пример 1. Дано уравнение с разделенными переменными xdx-{-y dy = Q, Интегрируя, получим общи^ интеграл: х2 и2 >w -?—\-~=zClt Так как левая часть послед- последнего равенства неотрицательна, то и правая часть тоже неотрицательна. Обозначив 2Ci через С2, будем иметь х2-\-у2 — С2. Это — уравнение семейства концентрических окруж- окружностей (рис. 254) с центром в начале коор- координат и радиусом С. 2. Уравнение вида Мг {х) #! (у) dx + М2 (х) N2 (у) dy = O C) называется уравнением с разделяющи- разделяющимися переменными. Оно может быть приведено*) к уравнению с разде- разделенными переменными путем деления обеих его частей на вы- выражение N1{y)M2(x): M1(x)N1(y)^ M2(x)N2(y) п Рис. 254, N1(y)M2(x) ИЛИ т. е. к уравнению вида B). Пример 2. Дано уравнение -^=——, Разделяем переменные: — = ах х у . Интегрируя, находим \ — =— \ \-Cf т. е. In | у | = — In | x \ % J У J % I | С | **) I | | I | С/ | б С/ J У J In | С | **) или In | у | = In | С/х |; отсюда получаем общее решение: у = С/х. Пример 3. Дано уравнение (\-\-х)уdx-\-(\—y)xdy = 0. Разделяя не- не<dx-\ ?-dy = O, ( p-ljcU+f 1 J dy — Q. Ин- }^{C ременные, находим (\)у\( ?-dy = O, ( p-ljc тегрируя, получаем In | д:|+^ + 1п | у \ — t/ = C, или In | xy }^{-x—y = C; послед- последнее соотношение есть общий интеграл данного уравнения. Пример 4. Установлено, что скорость распада радия прямо пропор- пропорциональна его количеству в каждый данный момент. Определить закон изме- изменения массы радня в зависимости от времени, если при / = 0 масса радия была т0. *) Эти преобразования законно производить только в той области, где ни Ni (у), ни М2 (х) не обращаются в нуль. **) Имея в виду дальнейшие преобразования, мы обозначили произвольную постоянную через 1п|С|, что допустимо, так как 1п[С| (при С Ф 0) может принимать любое значение от —оо до +00»
24 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. XIII Скорость распада определяется следующим образом. Пусть в момент t была масса т, в момент t-\-At— масса m-f-Дт. За время At распалась масса Am. Отношение —гт- есть средняя скорость распада. Предел этого отношения при lim ^L=i™ At -+ о Д* dt есть скорость распада радия в момент t.. По условию задачи Рис.255. W=-km> D) где &—коэффициент пропорциональности (k > 0). Мы ставим знак минус по- потому, что при увеличении времени масса радия убывает и, следовательно, Уравнение D) есть уравнение с разделяющимися переменными. Разделяем переменные: dm . kdi Решая уравнение, получим \пт — —kt-{~lnCt откуда ln-^- = —ktt т = Се~М. E) Так как при / = 0 масса радия была т0, то С должно удовлетворять соотно- соотношению mo = Ce~k °— О. Подставляя это значение С в равенство E), получим искомую зависимость (рис. 255) массы радия как функцию времени: m = moe-kt. (б) Коэффициент k определяется из наблюдений следующим образом. Пусть за время tQ распадается а% первоначальной массы радия. Следовательно, выпол- выполняется соотношение откуда ила Таким образом было определено, что для радия & = 0,000436 (единица изме- измерения времени—год). Подставляя это значение k в формулу F), получим Найдем период полураспада радия, т. е. промежуток времени, за который распадается половина первоначальной -массы радия. Подставляя в последнюю формулу вместо т значение -~, получим ~^-=т0е~0>00043бГ, откуда
§5J ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 25 —0,000436Г=*—in 2, или г Заметим, что к уравнению вида D) приводят и другие задачи физики и химии. Замечание 1. Пусть функция /2(#)> входящая в уравне- уравнение A), имеет корень у = Ь, т.е. f2(b) = 0. Тогда, очевидно, функция у = Ь есть решение уравнения A), в чем легко убе- убедится непосредственной подстановкой. Решение у — b может и не получиться из формулы (Г'). Мы будел! проводить анализ этого случая, но отметим, что на прямой у = 6 может нарушиться условие единственности. Приведем пример. Уравнение у' = 2Угу имеет общее решение у = (х-\-сJ и решение у = 0, которое не получается из общего решения. На прямой у = 0 нарушается условие единственности. Замечание 2. Простейшим дифференциальным уравнением с разделенными переменными является уравнение вида ^ = /(*)> или dy = f (х) dx. Его общий интеграл имеет вид*/ = } f(x)dx + С, Решением уравнений этого вида мы занимались в главе X. § 5. Однородные уравнения первого порядка Определение 1. Функция /(х, у) называется однородной функцией п-го измерения относительно переменных х и у, если при любом К справедливо тождество Пример 1. Функция / (х, у) = ^/хъ-\-уъ—однородная функция первого измерения, так как f (Xx, hj) = ?/(.UK + (Xyf = X \/х*+у* = Xf (x, у). Пример 2. /{ху)~ху—у2 есть однородная функция второго измерения, так как (JU) (%у)-(ХуJ = Х2 (ху-у2). Х2 у2 Пример 3. f (х, у) = ^— есть однородная функция нулевого изме- пх\ 2 (\уJ х2 ф рения, так как ' ? * ==—^~, т. е. f (kx, ky) = f(x, у), или ) , у). Определение 2. Уравнение первого порядка называется однородным относительно х и у, если функция f(xy у) есть однородная функция нулевого измерения относительно х и у.
26 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. XIII Решение однородного уравнения. По условию f(kx>Xy) = f(x>y). Положив в этом тождестве К=1/х, получим т. е. однородная функция нулевого измерения зависит только от отношения аргументов. Уравнение A) в этом случае примет вид Сделаем подстановку Тогда будем иметь и = —, т. е. у = их. X Подставляя это выражение производной в уравнение (Г), получим Это — уравнение с разделяющимися переменными: du г / x-^ = f( Интегрируя, найдем du г /л ч du dx ^ = f(l,u)-u, или f(hu)_u=— Г du Г dx | г J /A. а) —а — J * ^Ь' Подставляя после интегрирования вместо м отношение у/х9 получим интеграл уравнения (I'). Пример 4. Дано уравнение dy _ ху dx x2—y2 ' Справа стоит однородная функция нулевого измерения; следовательно^ имеем однородное уравнение. Делаем замену у/х = и; тогда dy . du у —их, -— = и 4- л: -г-. . du и du и3 1J I у у ¦ , ^л: I — и2 dx l — u2 Разделяя переменные, будем иметь i — u2) du _ dx u3
§61 УРАВНЕНИЯ, ПРИВОДЯЩИЕСЯ К ОДНОРОДНЫМ 27 отсюда, интегрируя, находим — -gjjr —1п|и| = 1п|дс| + 1п|С|, или — —-.-~\п\ихС\. Подставляя и = у!х, получим общий интеграл исходного уравнения: --*L = ln\Cy\. Получить д как явную функцию от х, записанную с помощью элементарных функций, в данном случае невозможно. Впрочем, здесь легко выразить х через у: х=уУт—2\п\Су\. Замечание. Уравнение вида М{х9 будет однородным в том и только в том случае, когда М (х, у) и N (#, у) являются однородными функциями одного и того же измерения. Это вытекает из того, что отношение двух однород- однородных функций одного и того же измерения является однородной функцией нулевого измерения. Пример 5. Уравнения Bх+3у) dx+(x—2y)dy = 0, (х2+у2) dx—2xgdy=0 являются однородными. § 6. Уравнения, приводящиеся к однородным К однородным уравнениям приводятся уравнения вида dy __ ax+bg+c m dx I1' Если ^ = ? = 0, то уравнение A) есть, очевидно, однородное. Пусть теперь с и ct (или одно из них) отличны от нуля. Сде- Сделаем замену переменных x = x± + h, y = yx + k. B) Тогда dy == dy± ^ dx dxi * Подставляя в уравнение A) выражения х9 у и —-, будем иметь dyt _ d
28 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. XIII Подберем h и k так, чтобы выполнялись равенства '-о' I <4> т. е. определим h и k как решения системы уравнений D). При этом условии уравнение C) становится однородным: dyx dx1 Решив это уравнение и перейдя снова к а: и у по формулам B), получим решение уравнения A). Система D) не имеет решения, если а I =<>. at Ъг т. е. ab1 = a1b. Но в этом случае —^-y"^» т- е- ^ — Ха, Ьг = ХЬ и, следовательно, уравнение A) можно преобразовать к виду dy __ (ax + by)+c - dx ~~ X(ax + by)+Cl * К ' Тогда подстановкой F) уравнение приводится к уравнению с разделяющимися перемен- переменными. Действительно, dz откуда dx~~ b dx b% Подставляя в уравнение E) выражения F) и G), получим 1 dz a z-\-c а это есть уравнение с разделяющимися переменными. Прием, примененный к интегрированию уравнения A), приме- применяется и к интегрированию уравнения dy г/ ax+by+c \ dx ' \aix+b1y+c1)t где /—какая угодно непрерывная функция.
6] УРАВНЕНИЯ, ПРИВОДЯЩИЕСЯ К ОДНОРОДНЫМ 29 Пример 1. Дано уравнение —3 dx x—y—1 Чтобы преобразовать его в однородное уравнение, делаем замену х~хх-\-к% \k. Тогда гy±\ — k—1 Решая систему двух уравнений Л + Л—3 = 0, Я—^ — 1 =0, находим Л = 2, *=1. В результате получаем однородное уравнение dx! x1—y1i которое решаем подстановкой xi тогда dyx . du du \-\-u и мы получаем уравнение с разделяющимися переменными du \-\-u2 Разделяем переменные: 1 + и2 Интегрируя, находим arctg и —g. In (I + и2) = In f Xi | + In | С |, arctg и = In| С*! ]/+м21, ИЛИ Подставляя сюда — вместо «, получим Xi Наконец, переходя к переменным х и у, окончательно получаем
30 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. XIII Пример 2. Уравнение уже нельзя решить подстановкой x = xx+ht у^у^ + к, так как в этом случае система уравнений, служащая для определения h и k, неразрешима ("здесь определитель 2 1 из коэффициентов при переменных равен нулю ). можно свети ( ) Это уравнение можно свести к уравнению с разделяющимися переменными заменой 2х+у = г< Тогда у' = г'—2, и уравнение приводится к виду или 5Н-9 Решая его, найдем Так как z — 2x-\-y, то мы получим окончательно решение исходного уравне- уравнения в виде или Hty—5* +7 In) 10*+5#+9 \ = Си т. е. в виде неявной функции у от х, § 7. Линейные уравнения первого порядка Определение. Линейным уравнением первого порядка на- называется уравнение, линейное относительно неизвестной функции и ее производной. Оно имеет вид d? + P(x)y=Q(x), A) где Р (х) и Q(x)—заданные непрерывные функции от х (или постоянные). Решение линейного уравнения A). Будем искать решение уравнения A) в виде произведения двух функций от х: y = u(x)v{x). B) Одну из этих функций можно взять произвольной, другая определится на основании уравнения A).
§7] ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 31 Дифференцируя обе части равенства B), находим dx-^dx^^Tx Подставляя полученное выражение производной ^ в уравне- уравнение A), будем иметь dv . du ИЛИ Выберем функцию v такой, чтобы | = 0. D) Разделяя переменные в этом дифференциальном уравнении отно- относительно функции v, находим Интегрируя, получаем -inlCil + lnlvl^-^ Pdxt или Так как нам достаточно какого-нибудь отличного от нуля реше- решения уравнения D), то за функцию v (х) возьмем t ч - Г Р dx 71-ч v(x) = e J , E) где }Pdx—какая-нибудь первообразная. Очевидно, что v П ) Подставляя найденное значение v (x) в уравнение C), полу- получим (учитывая, что ) или du _ Q (х) dx~~v (x) ' откуда Подставляя и и v в формулу B), окончательно получаем
32 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ XIII ИЛИ ^ x). F) Замечание. Очевидно, что выражение F) не изменится, если вместо функции v(x), определенной равенством E), мы возьмем какую-нибудь функцию v1(x) = Cv(x). Действительно, подставляя в F) ^(л:) вместо v(x), получим В первом слагаемом С сокращаются; во втором слагаемом про- произведение СС есть произвольная постоянная, которую обозначаем одной буквой С, и снова приходим к выражению F). Если обо- Г О (х) значим \ -^—у dx = q>(x), то выражение F) примет вид x). F') Очевидно, что это—общий интеграл, так как С можно подобрать так, что будет удовлетворяться начальное условие у = у0 при х = х9. Значение С определяется из уравнения y<> = v(x Пример. Решить уравнение dy 2 Решение. Полагаем y = uv, тогда dy du | du dx dx ' dx du Подставляя выражение -j- в исходное уравнение, будем иметь dv , du d ' d dx ' dx x-{~\ vi/' [dv 2 "\ t <*и / , is* ,r,\ и j rrv \-\-v — = (л:+1K. G) \dx x~\-\ J ' dx v ' ' x ' dv 2 л dv 2dx Для определения v получим уравнение -z ХТУ=:"» т# е# "~~а Г» а х х —р" 1 v х ~~у~ 1 откуда ln| v |=2 In) x+\ |, или v = (x-\-\J. Подставляя выражение функции v в уравнение G), получаем для определения и уравнение (х-\-\)* -р = или г? = х+1> откуда M = (l±i Следовательно, общий интеграл заданного уравнения будет иметь вид
§ 8] УРАВНЕНИЕ БЕРНУЛЛИ 33 Полученное семейство является общим решением. Каково бы ни было начальное условие (х0; у0), где х0 Ф —1, всегда можно так подобрать С, чтобы соответствующее частное решение удовлетворяло заданному начальному усло- условию. Например, частное решение, удовлетворяющее условию уо — 3прп лго = О, найдется следующим образом: 3= "L + С@+02> С = 5/2. Следовательно, искомое частное решение таково: у~ ' Ч—тН^-НJ* Однако, если на- начальное условие (х0; у0) выбрать так, что х0 ——1, то мы не найдем частного решения, удовлетворяющего этому условию. Это объясняется тем, что при Л'о =—1 функция Р(х)= -j—r разрывна и, следовательно, условия теоремы существования решения не соблюдены. Замечание. В приложениях часто встречаются линейные уравнения с постоянными коэффициентами di+«y = b, (8) где а и Ь—постоянные. Его можно решить и с помощью подстановки B) или путехМ разделения переменных: dy = {-ay+b)dxt zz^-dx, -Un\- \ = — (ax + C*), где C* = или окончательно /где обозначено —— е~с* — С) . Это и есть общее решение урав- уравнения (8). § 8. Уравнение Бернулли Рассмотрим уравнение вида*) А.. y=Q(x) yny A) где Р(х) и Q (х)—непрерывные функции от х (или постоянные), а пфО и пф1 (в противном случае получилось бы линейное уравнение). Это уравнение, называемое уравнением Бернулли, приводится к линейному следующим преобразованием. *) К этому уравнению приводит задача о движении тела, если сопротив- сопротивление среды F зависит^от скорости так: /7 = XiU+^2yW- Уравнение движения будет тогда m-^ = —-fatr—A^V*, или ~-j—±v = -vn. at at m m * H, С. Пискунов, т. 2
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ I™. ХШ Разделив все члены уравнения на у*, получим г+г =Q. B) Сделаем, далее, замену Тогда Подставляя эти значения в уравнение B), будем иметь линей- линейное уравнение Найдя его общий интеграл и подставив вместо z выражение y-n+iy получим общий интеграл уравнения Бернулли. Пример. Решить уравнение ~~f + ху = #3 У^. C) Решение. Разделив все члены на t/3, получим У~*у' + ху-2=*х*, D) Введем новую функцию z = y-2; тогда -т- =—2у~ъ-~-. Подставляя эти значе- значения в уравнение D), получим линейное уравнение J:—2xz=;-2x*. E) Найдем его общий интеграл: _ dz __ dv .du Z~UV* dx~~Udx+dx~V* Подставляем в уравнение E) выражения ги г: dv . du или \55 у ' дх~~ Приравниваем нулю выражение, стоящее в скобках: dx ~~ ' 1Г~~ ' Для определения ^ получаем уравнение Разделяем переменные: du = — 26-*2*3 <iA:, «i = — 2 С е-*V ^+С.
$3] УРАВНЕНИЕ В ПОЛНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛАХ 35 Интегрируя по частям* найдем , z = «у = *2 +1 + Се*2. Следовательно, общий интеграл данного уравнения есть ', или #=- Замечание. Аналогично тому, как это делалось для ли- линейных уравнений, можно показать, что решение уравнения Бер- нулли можно искать в виде произведения двух функций: y = u(x)v(x), где v(x)—какая-либо функция, отличная от нуля и удовлетво- удовлетворяющая уравнению v'+Pv = 0. § 9. Уравнение в полных дифференциалах Определение. Уравнение 0 (I) называется уравнением в полных дифференциалах, если М(х, у) и N (х, у)—непрерывные, дифференцируемые функции, для кото- которых выполняется соотношение дМ__дМ причем у- и -^ непрерывны в некоторой области. Интегрирование уравнений в полных дифферен- дифференциалах. Докажем, что если левая часть уравнения A) есть полный дифференциал, то выполняется условие B), и обратно — при выполнении условия B) левая часть уравнения A) есть пол- полный дифференциал некоторой функции и(х, у), т. е. уравнение A) имеет вид du(x9y) = 09 C) и, следовательно, его общий интеграл есть и (х, у) = С. Предположим сначала, что левая часть уравнения A) есть полный дифференциал некоторой функции и(х9 у), т. е. тогда 2»
3G ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Сгл ХПГ Дифференцируя первое соотношение по у, а второе—по х, получим дМ __ д2и ayv д2и ду дх ду' дх ду дх' Предполагая непрерывность вторых производных, будем иметь дМ __dN ~ду~~дх> т. е. равенство B) является необходимым условием для того, чтобы левая часть уравнения A) была полным дифференциалом некоторой функции и(х, у). Покажем, что это условие является и достаточным, т. е. что при выполнении равенства B) левая часть уравнения A) есть полный дифференциал некоторой функ- функции и(х, у). х Из соотношения ^ = М (л:, у) находим и=}М(х, у)dx + Ф (у)у где Хь—абсцисса любой точки из области существования решения. При интегрировании по х мы считаем у постоянным и поэтому произвольная постоянная интегрирования может зависеть от у. Подберем функцию <р(у) так, чтобы выполнялось второе из соот- соотношений D). Для этого продифференцируем*) обе части послед- последнего равенства по у и результат приравняем N (х, у): х0 X но так как •^-" — "тг" > то можем написать \ -jn-djH-cp' (y)=N, т. е. ) N{) N (х, y)-N (х„ у)+у' (у) = N (х, у). Следовательно, или Уо *) Интеграл V М (х, у) dx зависит ог у. Для того чтобы найти производ- А'о ную от этого интеграла по у, нужно продифференцировать по у подынтеграль- * X ную функцию: — \ М (х, у) dx = \ -^— dx. Это вытекает из теоремы Лейб- х0 х0 ница о дифференцировании определенного интеграла по параметру (см. § 10 гл. XI).
§ 9] УРАВНЕНИЕ В ПОЛНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛАХ 37 Таким образом, функция и (х, у) будет иметь вид х у u=\M(x,y)dx+\N(x0, у)dg + C,. Здесь Р(х0; у0)—точка, в окрестности которой существует реше- решение дифференциального уравнения A). Приравнивая это выражение произвольной постоянной С, по- получим общий интеграл уравнения A): х у 5 М (х, y)dx+<\N {xQ, у) dy = С. E) Х0 Уо Пример. Дано уравнение Проверяем, не есть ли это уравнение в полных дифференциалах. Обозначим А1?? jy У3 У* тогда дм__ вх <т___ вх ~ду у* ' дх ijv Условие B) при у Ф 0 выполняется. Значит, левая часть данного уравнения есть полный дифференциал некоторой неизвестной функции и (х, у). Найдем эту функцию эту функцию. Так как ^=~з » то» следовательно, где ф (у)—не определенная пока функция от у. Дифференцируя это соотношение по у и учитывая, что ди дт у2—Зх2 ? ?~' находим следовательно, | Таким образом, общий интеграл исходного уравнения есть ? 1-е У3 У
38 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ ХШ § 10. Интегрирующий множитель Пусть левая часть уравнения М(х9 y)dx + N(x,y)dy = O A) не есть полный дифференциал. Иногда удается подобрать такую функцию \i(xy у), после умножения на которую всех членов урав- уравнения левая часть уравнения становится полным дифференциалом. Общее решение полученного таким образом уравнения совпадает с общим решением первоначального уравнения; функция \к{х> у) называется интегрирующим множителем уравнения A). Для того чтобы найти интегрирующий множитель jx, посту- поступаем следующим образом-: умножим обе части данного уравнения на неизвестный пока интегрирующий множитель |х: Для того чтобы последнее уравнение было уравнением в полных дифференциалах, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось соотношение ду дх т. е. дМ ИЛИ После деления обеих частей последнего уравнения на jx, получим м дХпУ Nд]п^ —дМ дМ (9\ Очевидно, что всякая функция [i(x> у), удовлетворяющая по- последнему уравнению, является интегрирующим множителем урав- уравнения A). Уравнение B) является уравнением в частных произ- производных с неизвестной функцией f,i, зависящей от двух переменных хну. Можно доказать, что при определенных условиях оно имеет бесчисленное множество решений и, следовательно, уравне- уравнение A) имеет интегрирующий множитель. Но в общем случае задача нахождения \х(х, у) из уравнения B) еще труднее, чем первоначальная задача интегрирования уравнения A). Только в некоторых частных случаях удается найти функцию \l(x, у). Пусть, например, уравнение A) допускает интегрирующий множитель, зависящий только от у. Тогда
§11] ОГИБАЮЩАЯ СЕМЕЙСТВА КРИВЫХ 39 и для отыскания fx мы получаем обыкновенное дифферен- дифференциальное уравнение dN dM d\n\i дх ду из которого определяется (одной квадратурой) 1пц,, а следова- следовательно, и \i. Ясно, что так можно поступать только в том слу- случае, если выражение ох м у не зависит от х. dN дм Аналогично, если выражение ¦ * N y не зависит от у, а за- зависит только от ху то легко находится интегрирующий множи- множитель, зависящий только от х. Пример. Решить уравнение iy+xy2) dx—xdy = 0. Решение. Здесь М=у-\-ху2> N = — x, дМ__ 2 dN__ дМ dN ~ду~~ ХУ' дх~~~~ ' ~ду ~дх' Следовательно, левая часть уравнения не есть полный дифференциал. Посмотрим, не допускает ли это уравнение интегрирующего множителя, зави- зависящего только от у. Заметив, что dN дМ ~дх~~"ду__—\ — \—2ху_ 2 М У-\~ХУ2 У ' заключаем, что уравнение допускает интегрирующий множитель, зависящий только от у. Находим его: , г = ; отсюда lnu==—2 In r/, т.е. u=l/w2. йУ У После умножения всех членов данного уравнения на найденный интегрирую- /1 , \, х . щии множитель \х получаем уравнение ( —\-х ) dx ^dy — О в полных диф- (дМ dN 1 \ _ У У л т ференциалах ("Т~;==;~== г)* Решая это уравнение, найдем его общий § И. Огибающая семейства кривых Пусть дано уравнение вида Ф(*. У, Q = 0# A) где х и у—переменные декартовы координаты, а С—параметр, могущий принимать различные фиксированные значения.
40 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. ХЦ1 При каждом данном значении параметра С уравнение A) опре- определяет некоторую кривую на плоскости Оху. Придавая С все- всевозможные значения, мы получаем семейство кривых, зави- зависящих от одного параметра, или — как часто говорят—одно- параметрическое семейство кривых. Таким образом, Уравнение A) есть уравнение одно- параметрического семейства кривых (так как оно содержит только од- одну произвольную постоянную). Рис. 256. Рис. 257. Определение. Линия L называется огибающей однопара- метрического семейства линий, если она в каждой своей точке касается той или иной линии семейства, причем в различных точках линии L ее касаются различные линии данного семейства (рис. 256). Пример 1. Рассмотрим семейство линий (а:—СJ+#2 = #2, где R— постоянная, С—параметр. Это—семейство окружностей радиуса/? с центрами на оси Ох. Очевидно, что это семейство будет иметь огибающими прямые y—R, tj = — R (рис. 257)." Нахождение уравнения огибающей данного се- семейства. Пусть дано семейство кривых Ф(*, у, С)-0, A) зависящих от параметра С. Предположим, что это семейство имеет огибающую, уравнение которой можно записать в виде у = ц>(х)у где ф(х)—непрерывная и дифференцируемая функция от х. Рассмотрим некоторую точку М(х\ у)у лежащую на огибающей. Эта точка также лежит на не- некоторой кривой семейства A). Этой кривой соответствует опреде- определенное значение параметра С, которое при данных хну опре- определяется из уравнения A): С = С(ху у). Следовательно, для всех точек огибающей удовлетворяется равенство Ф(*. У, С(ху у)) = 0. B) Допустим, что С (л:, у)—дифференцируемая функция, не постоян- постоянная ни на каком интервале рассматриваемых значений х, у. Из уравнения B) огибающей найдем угловой коэффициент каса- касательной к огибающей в точке М(х\ у). Продифференцируем
§Uj ОГИБАЮЩАЯ СЕМЕЙСТВА КРИВЫХ 41 равенство B) по дг, считая, что у есть функция от х: дФ , дФ^д? , /дФ , дФ_дС_\ ,_0 ал: "•" ОС дх "*" V &/ ¦*" дС ду ) У ~~ ' ИЛИ {|| )о. C) Далее, угловой коэффициент касательной к кривой семейст- семейства A) в точке М(х\ у) найдется из равенства = 0 D) (С на данной кривой постоянно). Мы предполагаем, что Ф^=^0, в противном случае мы счи- считали бы х функцией, а у аргументом. Так как угловой коэффи- коэффициент k огибающей равен угловому коэффициенту k кривой се- семейства, то из C) и D) получаем Но так как на огибающей С(ху у) Ф const, то дх ^ ду и потому для ее точек справедливо равенство &с(х> у,С) = 0. E) Таким образом, для определения огибающей служат следующие два уравнения: ф(*. у, О=о, л Ф'с(х, у, 0 = 0. ) (Ь) Обратно, если, исключая С из этих уравнений, получим уравне- уравнение у^у(х), где ф(х)—дифференцируемая функция, при этом значение С =# const на этой кривой, то у = ц>(х) есть уравнение огибающей. Замечание 1. Если для семейства A) некоторая функция у = ф (х) является уравнением геометрического места особых точек, т. е. точек, где Ф^ = 0 и Ф^ = 0, то координаты этих точек так- также удовлетворяют уравнениям F). Действительно, координаты особых точек можно выразить через параметр С, входящий в уравнение A): G) Если эти выражения подставим в уравнение A), то получим тождество относительно С: Ф(ЦС),
42 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференцируя это тождество по С, получим: [ГЛ. ХШ так как для любых точек выполняются равенства Ф* = 0, Ф^ = 0, то, следовательно, для них также выполняется равенство Фс — 0. Этим мы и доказали, что координаты особых точек удовлет- удовлетворяют уравнениям F). Итак, уравнения F) определяют либо огибающую, либо гео- геометрическое место особых точек кривых семейства A), либо соче- сочетание того и другого. Таким образом, получив кривую, удовлет- удовлетворяющую уравнениям F), необходимо дополнительно исследовать, является ли она огибающей или геометрическим ме- местом особых точек. Рис. 258. Рис. 259. Пример 2. Найти огибающую семейства окружностей зависящих от одного параметра С. Решение. Дифференцируя уравнение семейства по С, получаем 2 (х—С)= = 0. Исключая С из этих двух уравнений, получим уравнения у%—R2 — Q или y=±R- Из геометрических соображений ясно, что полученная пара прямых является огибающей (а не геометрическим местом особых точек, так как окружности, входящие в семейство, не имеют особых точек). Пример 3. Найти огибающую семейства прямых: *cosa+#sina—p = 0, (а) где a—параметр. Решение. Дифференцируя по а данное уравнение семейства, будем иметь: —*sina+#cosa = 0. (b) Для исключения параметра а из уравнений (а) и (Ь) умножим члены пер- первого на cos a, а второго—на sin^fc- и вычтем из первого второе; тогда будем иметь *=pcosa. Подставляя это выражение в равенство (Ь), найдем у = = р sin а. Возводя члены двух последних уравнений в квадрат и складывая почленно, получим #2 + */2 = /?2. Это—окружность. Она является огибаю- огибающей семейства (а не геометрическим местом особых точек, так как прямые линии не имеют особых точек) (рис. 258). П р и м е р 4. Найти огибающую траекторий снарядов, выпущенных из пушки со скоростью vQ под различными углами наклона ствола орудия к горизонту. При этом будем считать, что орудие находится в начале координат, а траек- траектории снарядов лежат в плоскости Qxij (сопротивлеаием воздуха пренебрегаем).
5 ИЗ ОГИБАЮЩАЯ СЕМЕЙСТВА КРИВЫХ 43. Решение. Найдем сначала уравнение траектории снаряда в том случае, когда ствол орудия составляет с положительным направлением оси Ох угол а. Во время полета снаряд участвует одновременно в двух движениях: равномер- равномерное движение со скоростью v0 в направлении ствола орудия и падение вниз под действием силы тяжести. Поэтому в каждый момент времени t положение снаряда М (рис. 259) будет определяться равенствами x=vot cos a, y — Votsin<x—~г-. z Это—параметрические уравнения траектории (параметром является время t). Исключив t, найдем уравнение траектории в виде наконец, введя обозначения tga = k, 2vq cos2 a =я, получим (8) Это уравнение определяет параболу с вертикальной осью, проходящую через начало координат и обращенную ветвями вниз. Для различных значений k мы получим различные траектории. Следовательно, уравнение (8) является уравнением однопараметрического семейства парабол, являющихся траекто- траекториями снаряда при различных углах а и данной начальной скорости vQ (рис. 260). Найдем огибающую этого семейства парабол. Дифференцируя по к обе части уравнения (8), имеем х—2akx2=0. (9) Исключая к из уравнений (8) и (9), получим у==*ах2. * 4а Это—уравнение параболы с вершиной в точке (О; т~), ось которой совпадает с осью Оу. Она не является геометрическим местом особых точек (так как параболы (8) не имеют особых точек). Итак, парабола »«2 является огибающей семейства траекторий. Она называется параболой б^е з о п а с н о с т и, так как ни одна точка за ее пределами не достижима для снаряда, выпущенного из данного орудия -с данной начальной скоростью v0.
44 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ ХШ Пример 5. Найти огибающую семейства полукубических парабол if—(x—CJ = 0. Решение. Дифференцируем по параметру С данное уравнение семейства: 2(*—О = 0. Исключая параметр С из двух уравнений, получим У=-0. Ось Ох является геометрическим местом особых точек—точек возврата первого рода (рис. 261). Действитель- У но, найдем особые точки кривой при фиксировании значения С. Диф- Дифференцируя по х и у, находим Геометрическое Рис. 261. Решая совместно три предыдущих уравнения, найдем координаты особой точки: #—С, */ = 0; таким образом, каждая кривая данного семейства имеет особую точку на оси Ох. При непрерывном изменении параметра С особые точки заполнят всю ось Ох. Пример 6. Найти огибающую и геометрическое место особых точек семейства (у-О3—j (*-Q3=o. (Ю) Решение. Дифференцируя по С обе части равенства A0), найдем или ?_С-(л:-О2 = 0. A1) Исключим теперь параметр С из полученного равенства A1) и из уравне- уравнения A0) семейства. Подставив выражение у—С = (х — О2 в уравнение семей- семейства, получим (x_CL-|-(*--O3 = (), пли (x-Cf Г(Л—Q—11=0; отсюда получаем два возможных значения С и два соответствующих им реше- решения задачи. Первое решение: С=х; поэтому из равенства A1) находим или У=х. Второе решение: поэтому из равенства A1) находим 2 Г 2 12 *+ |+] или
§12] ОСОБЫЕ РЕШЕНИЯ 45 Мы получили две прямые у=х и у=х—-^-. Первая из них является гео- геометрическим местом особых точек, а вторая—огибающей (рис. 262)» Замечание 2. В §7 гл. VI было доказано, что нормаль к кривой служит касательной к ее эволюте. Следовательно, семей- семейство нормалей к данной кривой является в то же время семей- семейством касательных к ее эволюте. Таким образом, эволюта кривой является огибающей семейства нормалей этой кривой (рис. 263). Рис. 262. Рис, 263. Это замечание позволяет указать еще один метод для нахож- нахождения эволюты: чтобы получить уравнение эволюты, надо сначала найти семейство всех нормалей данной кривой, а затем найти огибающую этого семейства. § 12. Особые решения дифференциального уравнения первого порядка Пусть дифференциальное уравнение имеет общий интеграл Ф(*. у, С) = 0. A) B) Предположим, что семейство интегральных кривых, соответ- соответствующее уравнению B), имеет огибающую. Докажем, что эта огибающая также является интегральной кривой дифференциаль- дифференциального уравнения A).
46 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. XIII Действительно, в каждой своей точке огибающая касается некоторой кривой семейства, т. е. имеет с ней общую касательную. Следовательно, в каждой общей точке огибающая и кривая се- семейства имеют одинаковые значения величин х, у, у'. Но для кривой из семейства числа х, уу у' удовлетворяют уравнению A). Следовательно, тому же уравнению удовлетворяют абсцисса, ордината и угловой коэффициент каждой точки огибаю- огибающей. Но это и означает, что огибающая является интеграль- интегральной кривой, а ее уравнение является решением данного диффе- дифференциального уравнения. Так как огибающая не является, вообще говоря, кривой семей- семейства, то ее уравнение не может быть получено из общего инте- интеграла B) ни при каком частном значении С. Решение дифферен- дифференциального уравнения, не получающееся из общего интеграла ни при каком значении С и имеющее своим графиком огибающую семейства интегральных кривых, входящих в общее решение, называется особым решением дифференциального уравнения. Пусть известен общий интеграл Ф(х, у, С) = 0; исключая С из этого уравнения и уравнения Ф^ (ху у, С) = О, получим уравнение я|э (#, у) = 0. Если эта функция удовлетворяет дифференциальному уравнению (и не принадлежит семейству B)), то это и есть особый интеграл. Отметим, что через каждую точку кривой, изображающей особое решение, проходит по крайней мере по две интегральные кривые, т. е. в каждой точке особого решения нарушается единственность решения. Заметим, что точка, в которой нарушается единственность решения дифференциального уравнения., т. е. точка, через кото- которую проходит по крайней мере две интегральные кривые, назы- называется особой точкой *). Таким образом, особое решение состоит из особых точек. Пример. Найти особое решение уравнения Решение. Найдем его общий интеграл. Разрешим уравнение относи- относительно у'\ dx=± Разделяя переменные, получим •) Граничные точки области существования решения также называют особыми. Внутренняя точка области, через которую проходит единственная интегральная кривая дифференциального уравнения, называется обыкновенной точкой.
§13] УРАВНЕНИЕ КЛЕРО 47 Отсюда, интегрируя, находим общий интеграл (x-C)*+y*=R2. Легко видеть, что семейство интегральных линий представляет собой семей- семейство окружностей радиуса R с центрами на оси абсцисс. Огибающей семейства кривых будет пара прямых у= ± R. Функции y=±R удовлетворяют дифференциальному уравнению (*). Сле- Следовательно, это есть особый интеграл. § 13. Уравнение Клеро Рассмотрим так называемое уравнение Клеро Оно интегрируется с помощью введения вспомогательного пара- параметра. Именно, положим -?с = р\ тогда уравнение A) примет вид у = хр+$(р). (Г) Продифференцируем по х все члены последнего уравнения, имея в виду, что р = -г является функцией от х: или Приравнивая каждый множитель нулю, получим И C) 1) Интегрируя равенство B), получаем р = С (С=const). Под- Подставляя это значение р в уравнение (Г), найдем его общий интеграл D) который с геометрической точки зрения представляет собой се- семейство прямых линий. 2) Если из уравнения C) найдем р как функцию от л: и под- подставим ее в уравнение (Г), то получим функцию У = хр(х)+Ц[р(хI (Г) которая, как легко показать, представляет собой решение урав- уравнения A).
48 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. XIII В самом деле, в силу равенства C) находим -^ = ~& » т- е- Тх = р' Поэтому, подставляя функцию (Г') в уравнение A), получаем тождество xp-\-ty(p) = p\ty(p) Решение (Г') не получается из общего интеграла D) ни при каком значении С. Это есть особое решение; оно получается в результате исключения параметра р из уравнений />) = О, или, что все равно, исключением С из уравнений Следовательно, особое решение уравнения Клеро определяет огибающую семей- семейства прямых, заданных общим интегралом D). Пример. Найти общий и особый интегралы уравнения dy dx 4 dx Яастпныа шения X Решение. Общий интеграл получаем, заме- dy dx аС du няя -г на С: Рис. 264. Для получения особого решения дифференцируем последнее уравнение по С: ¦ а =о. Особое решение ^уравнение огибающей) получается в параметрическом виде (где параметром служит С) *=— - а аС* Исключив параметр С, можем получить непосредственную зависимость между х я у. Возводя обе части каждого уравнения в степень — и складывая о почленно полученные уравнения, найдем особое решение в следующем виде: Это — астроида. Однако огибающей семейства (а следовательно, и особым ре- решением) является не вся астроида, а только ее левая половина (так как из параметрических уравнений огибающей видно, что х^О) (рис. 264).
§14] УРАВНЕНИЕ ЛАГРАНЖА 49 § 14. Уравнение Лагранжа Уравнением Лагранжа называется уравнение вида где ф и г|э — известные функции от ~. Это уравнение линейно относительно у к х. Рассмотренное в предыдущем параграфе уравнение Клеро является частным случаем уравнения Лагранжа при ф(у') = */'. Интегрирование уравнения Лагранжа, так же как и интегрирование уравнения Клеро, производится с помощью введения вспомогательного па- параметра р. Положим </' = />; тогда исходное уравнение запишется в виде У = хч{р)+Ц(р). (Г) Дифференцируя пол:, получим ИЛИ р-ф(р) = [*ф'(р)+*'(р)]-?. О") Из этого уравнения сразу можно найти некоторые решения: именно, оно обращается в тождество при всяком постоянном значении р = р0, удовлетворяющем условию Действительно, при постоянном значении р производная -р = 0, и обе части уравнения (Г) обращаются в нуль. Решение, соответствующее каждому значению р = р0, т. е. ~^ = р0, является линейной функцией от х(так как производ- производная ~ постоянна только у линейных функций). Для того чтобы найти эту функцию, достаточно подставить в равенство (Г) зна- значение р = р0: Если окажется, что это решение не получается из общего ни при каком значении произвольной постоянной, то оно будет особым решением. Найдем теперь общее решение. Для этого запишем урав- уравнение (Г') в виде dx х <?'(р) = У(р) dp р — ф(р) р~~ ф(р)
50 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [гл- ХШ и будем рассматривать х как функцию- от р~ Тогда полученное уравнение будет линейным дифференциальным уравнением отно- относительно функции х от р. Решая его, найдем * = ©(/>, Q. B) Исключая параметр р из уравнений (Г) и B), получим общий интеграл уравнения A) в виде Пример- Дано уравнение У = ху'*+у'*. (I) Положив у' — р, будем иметь у = хр* + р*. (Г) Дифференцируя по х, получим р = р* + [2хр + 2р]^9 (Г) Найдем особые решения. Так как р — р2 при /;0=0 и рх = 1, то решениями будут линейные функции [см. (Г)] [# = л;-02-{-02, т. е. у=0, и У = х+\. Будут ли эти функции частными или особыми решениями, мы увидим, когда найдем общий интеграл., Для его разыскивания запишем уравнение (I") dx 2 2 в виде -т х-. ==ТИ— и ^Удем Рассматривать х как функцию незави- независимой переменной р. Интегрируя полученное линейное (относительно #) урав- уравнение, находим Исключая р иа уравнения: (Г) и (II), получим общий интеграл Особым интегралом исходного уравнения будет * = 0, поскольку это решение не получается из общего ни при каком значении С. Функция же у — х-\-\ является не особым, а частным решением; она получается из общего решения при С=0. § 15. Ортогональные и изогональные траектории Пусть им^ем одаопараметрическое семейство кривых ф(*, у, О-о, A) Линииг пересекающие все кривые данного семейства A) под постоянным углом, называются изогональными траекториями. Если этот угол прямой, то траектории называются ортогональ- ортогональными траекториями.,
$15] ОРТОГОНАЛЬНЫЕ И ИЗОГОНАЛЬНЫЕ ТРАЕКТОРИИ 51 Ортогональные траектории. Найдем уравнение орто- ортогональных траекторий. Напишем дифференциальное уравнение данного семейства кривых, исключая параметр С из уравнений и дФ . дФ cly п Пусть это дифференциальное уравнение будет = 0. (Г) Здесь ~ есть угловой коэффициент касательной к кривой семей- семейства в точке М(х\ у). Так как орто- ортогональная траектория, проходящая че- через точку М(х; у), перпендикулярна к соответствующей кривой семейства, то угловой коэффициент касательной к ней -р связан с -г соотношением (рис. 265) dx dy-p Чх Подставляя это выражение в уравне- уравнение (Г) и опуская индекс Т, получим Рис 2б5. соотношение между координатами про- произвольной точки (х; у) и угловым коэффициентом ортогональной траектории в этой точке, т. е. дифференциальное урав- уравнение ортогональных траекторий F(x* y~wY°- © \ dx J Общий интеграл этого уравнения Ф±(х, У, С) = 0 дает семейство ортогональных траекторий. С ортогональными траекториями приходится иметь дело, на- например, при рассмотрении плоского течения жидкости. Положим, что течение жидкости на плоскости происходит так, что в каждой точке плоскости Оху определен вектор v (x, у) скорости движения. Если этот вектор зависит только от поло- положения точки на плоскости, но не зависит от времени, то движе- движение называется стационарным, или установившимся. Такое дви-
52 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. XIII жение мы и будем рассматривать. Кроме того, мы допустим, что существует потенциал скоростей, т. е. такая функция и(х, у), что проекции вектора v (х, у) на оси координат vx (x, у) и vy (х, у) являются ее частными производными по х и у: ди Линии семейства ди и(х, у)-= D) E) называются эквипотенциальными линиями (т. е. линиями равного потенциала). Линии, касательные к которым во всех точках совпадают по направлению с вектором v(x> у), называются линиями тока и дают траектории движущихся точек. Покажем, что линии тока суть ортогональные траектории семейства эквипотенциальных линий (рис. 266). Пусть ф —угол, образованный вектором скорости v с осью Ох. Тогда на основании соотношения D) L дм(*, у) ~дГ~ = | v\ sinq>; отсюда находим угловой коэффициент ка- касательной к линии тока F) Рис. 266. Угловой коэффициент касательной к эквипотенциальной линии получим, дифференцируя по х соотношение E): откуда dx дх ди ду G) Таким образом, угловой коэффициент касательной к эквипотен- эквипотенциальной линии обратен по величине и противоположен по знаку угловому коэффициенту касательной к линии тока. Отсюда и сле- следует, что эквипотенциальные линии и линии тока взаимно орто- ортогональны.
§15] ОРТОГОНАЛЬНЫЕ И ИЗОГОНАЛЬНЫЕ ТРАЕКТОРИИ 53 В случае электрического или магнитного поля ортогональными траекториями семейства эквипотенциальных линий служат сило- силовые линии этого поля. Пример 1. Найти ортогональные траектории семейства парабол у = Сх\ Решение. Напишем дифференциальное уравнение семейства t/ 2 1 Исключая С, получим -^— = — . Заменяя здесь у' на г , получим диф- У х У ференциальное уравнение семейства ортогональных траекторий -=—, xdx или уау— 2~. Его общий интеграл Следовательно, ортогональными траекториями данного семейства парабол будет некоторое семейство эллипсов с полуосями а=-2С, Ь = СУ~2 (рис. 267). Рис. 267. Изогональные траектории. Пусть траектории пере- пересекают кривые данного семейства под углом а, причем tga^=k Угловой коэффициент ^=tgq) (рис. 268) касательной к кри- кривой семейства и угловой коэффициент -р = tg -ф к изогональной траектории связаны соотношением tg ф = tg (ф — ос) = •
54 т. е. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. XIII dy dx B') dx Подставляя это выражение в уравнение (Г) и опуская ин- индекс 7\ получим дифференциальное уравнение изогональных тра- траекторий. Пример 2. Найти изогональные траектории семейства прямых У = Сх, (8) пересекающие линии данного семейства под углом а, тангенс которого Решение. Напишем дифференциальное уравнение данного семейства. Дифференцируя по х уравнение (8), находим ~ = С. С другой стороны, из того же уравнения С=у/х. Следователь- Следовательно, дифференциальное уравнение дан- du и ного семейства имеет вид -~ = —. dx х Рис. 268. Рис. 269. Пользуясь соотношением B'), получим дифференциальное уравнение изо- изогональных траекторий dM_k dx y х "dx^1 Отсюда, опуская индекс Т, находим dy__ ~x dx 1-fti Интегрируя это однородное уравнение, получаем общий интеграл In l/"**+ya=-r- arctg -^-4-In Ct (9) ft V ' ^ '
§ 16] УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ 55 который и определяет семейство изогональных траекторий. Чтобы выяснить, какие именно кривые входят в это семейство, перейдем к полярным коорди- координатам: натам: Подставляя эти выражения в равенство (9), получим 1пр=— Ф + lnC, или p=<p/Cg*. Следовательно, семейство изогональных траекторий является семей- семейством логарифмических спиралей (рис. 269). § 16. Дифференциальные уравнения высших порядков (общие понятия) Как уже указывалось выше (см. § 2), дифференциальное урав- уравнение n-го порядка символически можно записать в виде F(x,y,y',y", ..., */<«>) = 0, A) или, если его можно разрешить относительно n-й производной, yln) = f(x, у, у', у", ..., у<»-»). (Г) В настоящей главе мы будем рассматривать только такие уравнения высших порядков, которые можно разрешить относи- относительно высшей производной. Для этих уравнений имеет место теорема о существовании и единственности решения, аналогичная соответствующей теореме о решении уравнения первого порядка. Теорема. Если в уравнении y{n) = f(x, у, у\ ..., у'п~г)) функция f(x> у, у\ ..., у{п~1]) и ее частные производные по аргументам у, у'> ..., у{п) непрерывны в некоторой области, содержащей значения х = х0, у=у0, y' = yi, ..., У{п'1] = Уоп}, то существует и притом единственное решение у = у (х) уравне- уравнения, удовлетворяющее условиям У]х=х0— Уоу У \x-Xq — Уоу •••» У 1*=*0— Уо • W Эти условия называются начальными условиями. Доказатель- Доказательство этой теоремы выходит за рамки данной книги. Если рассматривать уравнение второго порядка / = /(*, У> У*)> то начальными условиями при х^=х0 для решения будут условия где х0У у0У у о—заданные числа. Геометрический смысл этих усло- условий следующий: через заданную точку плоскости (*0;#0)с задан-
56 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. ХШ ным тангенсом угла наклона касательной у'о проходит единствен- единственная кривая. Из этого, далее, следует, что если мы будем задавать различные значения у'о при постоянных х0 и у0, то получим бес- бесчисленное множество интегральных кривых с различными углами наклона, проходящих через заданную точку. Введем теперь понятие общего решения уравнения п-го порядка. Определение. Общим решением дифференциального урав- уравнения п-го порядка называется функция С19 С 2, зависящая от п произвольных постоянных Си С2, ..., Сп и такая, что: а) она удовлетворяет уравнению при любых значениях посто- постоянных Си С2, ..., Сп\ б) при заданных начальных условиях У\хшх> = Уо> У' \х=х0 = У*, • •, У{п~1] |л-= v0 = y{Qn'l) постоянные С19 С2, ..., Сп можно подобрать так, что функция у = у(х, С1У С2, ..., Сп) будет удовлетворять этим условиям (пред- (предполагая, что начальные значения х09 у0, yQy ..., у^} принад- принадлежат области, где выполняются условия существования ре- решения). Соотношение вида Ф (х, у, Си С2, ..., Сп) = 0, неявно опре- определяющее общее решение, называется общим интегралом диффе- дифференциального уравнения. Всякая функция, получающаяся из общего решения при кон- конкретных значениях постоянных Ciy C2, ..., Сп, называется част- частным решением. График частного решения называется интеграль- интегральной кривой данного дифференциального уравнения. Решить (проинтегрировать) дифференциальное уравнение п-го порядка—значит: 1) найти его общее решение (если начальные условия не заданы) или 2) найти то частное решение уравнения, которое удовлетво- удовлетворяет заданным начальным условиям (если таковые имеются). В следующих параграфах будут изложены методы решения различных уравнений п-го порядка. § 17. Уравнение вида y(n)=f(x) Простейшим уравнением п-го порядка является уравнение вида #(п) = /(*)• A) Найдем общий интеграл этого уравнения.
§ 17J УРАВНЕНИЕ ВИДА yin)=f (x) 57 Интегрируя по х левую и правую части и принимая во вни- внимание, что у{п) = (у{п^1)УУ получим х0 где x{i—любое фиксированное значение х, а Сх — постоянная инте- интегрирования. Интегрируя еще раз, получим Продолжая далее, получим, наконец (после п интегрирований), выражение общего интеграла (я —2I Чтобы найти частное решение, удовлетворяющее начальным усло- условиям Уи=лгэ — Уо» У |дг=^0 — Уо> •••,[/ 1а = а'о— ?/о г достаточно положить Пример 1. Найти общий интеграл уравнения #" = sin (&*) и частное решение, удовлетворяющее начальным условиям р|*-о = О, У' U—о = 1 • Решение. X cos kx—1 '= \ sinkxdx+C1 = О г— или Это есть общий интеграл. Чтобы найти частное решение, удовлетворяю- удовлетворяющее данным начальным условиям, достаточно определить соответствующие значения Сг и С2. Из условия у \х=*о находим С2 = 0. Из условия у' 1^=0 = 1 находим Сх = 1.
5g ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. ХШ Таким образом, искомое частное решение имеет вид __ sin kx . у~~~ k* ""*" Дифференциальные уравнения рассмотренного вида встречаются в теории изгибания балок. Пример 2. Рассмотрим упругую призматическую балку, изгибающуюся под действием внешних сил, как непрерывно распределенных (вес, нагрузка), так и сосредоточенных. Направим ось Ох горизонтально, по оси балки в ее недеформированном состоянии, ось Оу—верти- Оу—вертикально вниз (рис. 270). Каждая сила, действующая на балку (на- (например, нагрузка балки, реакция опор), имеет момент относительно какого-нибудь поперечно- поперечного сечения балки, равный произведению силы на расстояние точки приложения силы от дан- данного сечения. Сумма М (х) моментов всех сил, приложенных к части балки, расположенной по одну сторону от „данного сечения, с абс- Рис. 270. циссой х, называется изгибающим моментом балки относительно данного сечения. В курсе сопротивления материалов доказывается, что изгибающий момент балки ра- равен EJ/R, где Е—так называемый модуль упругости, зависящий от мате- материала балки; J—момент инерции площади поперечного сечения балки от- относительно горизонтальной линии', проходящей через центр тяжести пло- площади поперечного сечения; R—радиус кривизны оси изогнутой балки, кото- который выражается формулой (§ 6 гл. VI) 0 * а? —**; 4t л1* . .. Л и Р at ч~ \у"\ ' Таким образом, дифференциальное уравнение изогнутой оси балки имеет вид у" ^Л1*1. B) ,3/2 EJ ' {Z) Если считать, что деформации малы и что касательные к оси балки при изгибе [образуют малый угол с осью Ох, то мы можем пренебречь квадратом малой величины у'2 и считать R = \/y". Тогда дифференциальное уравнение изогнутой балки примет вид *"=4г-« <2'> а это уравнение есть уравнение вида A). Пример 3. Балка наглухо заделана в конце О и подвергается действию сосредоточенной вертикальной силы Р, приложенной к концу балки L на рас- расстоянии / от места закрепления (рис. 270). Весом балки пренебрегаем. Рассмотрим сечение в точке N (х). Изгибающий момент относительно сече- сечения N в данном случае будет равен М (#) = (/—х)Р. Дифференциальное урав- уравнение B') примет вид Начальные условия: при я = 0 прогиб у равен нулю и касательная к изогну- изогнутой оси балки совпадает с осью Ох, т, е, #)*=<> = 0, ^/' |АГв0 = 0. Интегрируя
§ 18] НЕКОТОРЫЕ ТИПЫ УРАВНЕНИЙ уравнение, найдем В частности, из_ формулы C) определяется прогиб h на конце балки L: Plz hy\ §18. Некоторые типы дифференциальных уравнений второго порядка, приводимых к уравнениям первого порядка. Задача о второй космической скорости I. Уравнение вида dx2 ' [Ху dx) W не содержит явным образом искомой функции у. Решение. Обозначим производную ~ через р, т. е. положим dy гг. Л d2y dp -2т = d. i огда —г-z =* -%—. dx ^ dx2 dx Подставляя эти выражения производных в уравнение A), полу- получим уравнение первого порядка относительно неизвестной функции р от х. Проинтегрировав это уравнение, находим его общее решение а затем из соотношения -г- = Р получаем общий интеграл уравне- уравнения A) Пример 1. Рассмотрим дифференциальное уравнение цепной линии (см. § 1) Положим
60 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [гл- хш тогда <Ру_ dp dx1 ~~ dx ' и мы получаем дифференциальное уравнение первого порядка относительно вспомогательной функции р от х Разделяя переменные, будем иметь dp _dx откуда In (р Но так как р = —¦ , то последнее соотношение представляет собой дифферен- дифференциальное уравнение относительно искомой функции */. Интегрируя его, полу- получим уравнение цепной линии (см. § 1) Найдем частное решение, удовлетворяющее следующим начальным условиям: #U=o = a, у' U=o = O. Второе условие дает ^ = 0, первое С2—0* Окончательно получаем y — ach (х/а). Замечание. Аналогичным способом можно проинтегриро- проинтегрировать уравнение Полагая у{п)~ру получим для определения р уравнение первого порядка Узнав отсюда р как функцию от х, из соотношения у{п~1] = р на эдем у (см. § 17). II. Уравнение вида > dx B) не содержит явным образом независимой пере- переменной х.
§18] НЕКОТОРЫЕ ТИПЫ УРАВНЕНИЙ 61 Для его решения снова положим но теперь мы будем считать р функцией от у (а не от х, как прежде). Тогда d2y dp dp dy dp dx2 dx dy dx dy P' Подставляя в уравнение B) выражения ^ и ^f, получим урав- уравнение первого порядка относительно вспомогательной функции р % Р). D) Интегрируя его, найдем р как функцию от у и произвольной постоянной Сг\ Подставляя это значение в соотношение C), получим дифферен- дифференциальное уравнение первого порядка для функции у от х Разделяя переменные, находим Интегрируя это уравнение, получим общий интеграл исходного уравнения Ф(х, у, Clt C,) = 0. Прим е,р 2. Найти общий интеграл уравнения Решение. Положим з^ = Р» рассматривая р как функцию от у. Тогда У" — Р~т~* и МЬ1 получаем уравнение первого порядка для вспомогательной функции р Интегрируя это уравнение, находим/?2 = СХ—у"^3 илпр=± \ С±—#~2/з. и dy Но Р — -Т- ; следовательно, для определения у получаем уравнение dy . vxUdu = dx. или У иУ . = dx, откуда дг+С2 = \ —У аУ .. Для вычисления последнего интеграла сделаем подста-
62 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. XII новку C%yl* — I =t2. Тогда 1)'/. » , ^=3* (<*+ i)V. -i-Л. Следовательно, Г y''dy __ 1 C3t(t*+\ Окончательно получаем *+C2 = ± 3 / ** х Пример 3. Пусть точка движется по оси Ох под действием силы, зависящей только от положения точки. Дифференциальное уравнение движе- движения будет — ~F( j. л * dx Пусть при / = 0 будет x~xQ, — = v0. Умножив обе части уравнения на -тт- dt и проинтегрировав в пределах от 0 до /, получим X или |=~/П1/о = const. Первое слагаемое последнего равенства представляет собой кинетическую энергию, второе—потенциальную энергию движущейся точки. Из полученного равенства следует, что сумма кинетической и потенциальной энергии остается постоянной во все время движения. Задача о математическом маятнике. Пусть материальная точка массы m под действием силы тяжести движется по окружности L, лежа- лежащей в вертикальной плоскости. Найдем уравнение движения точки, пренебре- пренебрегая силами сопротивления (т. е. силой трения, силой сопротивления воздуха и т. п.). Поместим начало координат в низшей точке окружности, ось Ох направим по касательной к окружности (рис. 271). Обозначим через / радиус окружности, через s—длину дуги от начала О до переменной точки М, где находится масса т, причем эту длину берем с соот- соответствующим знаком (s > 0, если точка М правее точки О; s < 0, если М левее О). Наша задача заключается в установлении зависимости s от времени t. Разложим силу тяжести mg на тангенциальную и нормальную составляю- составляющие. Первая, равная—mgsinq), вызывает движение! вторая уничтожается реакцией кривой, по которой движется масса т.
§18] НЕКОТОРЫЕ ТИПЫ УРАВНЕНИЙ 63 Таким образом, уравнение движения имеет вид d2s т dt* •= — mgstacp. Так как для окружности угол ср = $//, то мы получаем уравнение Это дифференциальное уравнение II типа (так как оно не содержит явным образом независимой переменной t). Интегрируем его соответствующим образом: ds d2s dp Следовательно, р —р- = — g sin у-, или р dp = =— g sin у ds, откуда = 2gt cos j Обозначим через s0 наибольшую длину ду- дуги, на которую отклоняется точка М. При s = sQ скорость точки равна нулю: ds | Л Рис. 27U Это дает возможность определить Сг\ О = 2gl cos-j-+ Ci, откуда Сг == =—2 gl cos -у-. Поэтому р2 = f -~- J = 2g/ f cos -т—cos -j-) , или, приме- применяя к последнему выражению формулу для разности косинусов, откуда *) E) F) Это—уравнение с разделяющимися переменными. Разделяя переменные, получим sin 2/ sin s0— s 2/ G) *) Перед корнем мы берем знак плюс. Из замечания в конце решения задачи следует, что рассматривать случай, когда берется знак минус, нет надобности,
64 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ XIII Будем пока предполагать, что s Ф s0, тогда знаменатель дроби отличен от нуля. Если считать, что s = 0 при ? = 0, то из равенства G) получаем s f J О j/ s o — S (8) Это равенство и дает зависимосгь s от t. Интеграл, стоящий слева, не выра- выражается через элементарные функции, не выражается через элементарные функ- функции и функция s от t. Рассмотрим поставленную задачу приближенно. Будем предполагать, что углы so/l и s/l малы. Углы (s+so)/2/ и (s0—s)/2/ не будут превосходить s0//. В уравнении F) синусы углов заменим приближенно углами: ds dt — r б* V 2/ 2/ или Разделяя переменные, получим (предполагаем пока, что s Ф s0) Снова будем считать, что s=t) при ^ = 0. Интегрируя последнее уравнение, получим ==/!• ИЛИ arcsin—= J/ -y-f, откуда s = sosin у -S-1. (9) Замечание. При решении мы предполагали, что s Ф s0. Но путем непосредственной подстановки убеждаемся, что функция (9) есть решение уравнения F') при любом значении t. Напомним, что решение (9) является приближенным решением уравнения E), так как уравнение F) мы заменили приближенным уравнением F'). Равенство (9) показывает, что точка М (которую можно рассматривать как конец маятника) совершает гармонические колебания с периодом колеба- колебания Т = 2л у —• Этот период не зависит от амплитуды колебания s0. Пример 4. Задача о второй космической скорости. Определить наименьшую скорость, с какой нужно бросить тело верти- вертикально вверх, чтобы оно не вернулось на Землю. Сопротивлением воздуха пренебречь. Решение. Обозначим массу Земли и массу брошенного тела соответст- соответственно через М и т. По закону тяготения Ньютона сила / притяжения, действующая на тело т, будет , .Mm
§18] НЕКОТОРЫЕ ТИПЫ УРАВНЕНИЙ 65 где г—расстояние между центром Земли и центром масс брошенного тела, k—гравитационная постоянная. Дифференциальное уравнение движения указанного тела с массой т будет или d2r M tm Мы взяли знак минус потому, что в задаче ускорение отрицательно. Дифференциальное уравнение A0) есть уравнение вида B). Будем решать это уравнение при следующих начальных условиях: r=/?, ~Jf~vo ПРИ *==0« Здесь/?—радиус Земли, v0—скорость бросания. Обозначим —тг-^и, -щ- — dv dv dr dv _. = -—=~—-—-=^-7-, где v—скорость движения. Подставляя в уравне- dt dr dt dr ние A0), получим v-r^—^~i~- Разделяя переменные, получаем vdv = =—kM—? . Интегрируя это уравнение, находим Из условия, что v = v0 на поверхности Земли (при r = R), определим С\. или С -__^4-— Подставим найденное значение Сг в равенство A1): ИЛИ По условию тело должно двигаться так, чтобы скорость всегда была положи- положительной, следовательно, v2/2 > 0. Так как/величина kM/r при неограниченном возрастании г делается как угодно малой, то условие v2j2 > 0 будет выпол- выполняться при любом г только в случае ' vl kM л -2~ Х^0, A3) или — • Следовательно, наименьшая скорость будет определяться равенством Н. С. Пискунов, т. 2
gg ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. XIII где fc = 6,66.Ю-8 -^V, Я =63-107 см. г-с2 На поверхности Земли при r = R ускорение силы тяжести равно g(g=981 см/с2). На основании этого из равенства A0) получаем g~k-^-f или M^zS—. Подставляя это значение М в формулу A4), получаем = У%-981-63-107 » 11,2-105 см/с=11,2 км/с, § 19. Графический метод интегрирования дифференциального уравнения второго порядка Выясним геометрический смысл дифференциального уравнения второго порядка. Пусть имеем уравнение / = /(*, У, У')- A) Обозначим через ср угол, который касательная к кривой образует с положительным направлением оси Ох; тогда |=tgq>. B) Чтобы выяснить геометрический смысл второй производной, вспомним формулу, определяющую радиус кривизны кривой в данной точке *), Отсюда у. R Но у'3 = 1 -htg^ф = sec2Ф, A + у^/^i5есф{=?_2_^ поэтому Подставляя теперь в уравнение A) полученные выражения для у и у", будем иметь *) До сих пор мы всегда считали радиус кривизны положительным числом, однако в настоящем параграфе мы будем считать радиус кривизны числом, которое может принимать как положительные, так и отрицательные значения: если кривая выпукла (у" < 0), мы считаем радиус кривизны отри- отрицательным (R < 0); если кривая вогнута (у" > 0),— положительным (R > 0).
i 19] ГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОД ИНТЕГРИРОВАНИЯ 67 ИЛИ П __. 1 cos3ф |./(*> у, tg<p) D) Уо 0 Mo с ё ч /яр* k у Отсюда видно, что дифференциальное уравнение второго порядка определяет величину радиуса кривизны интегральной линии, если заданы координаты точки и направле- направление касательной в этой точке. Из предыдущего вытекает способ приближенного построения интеграль- интегральной кривой при помощи гладкой кривой, составленной из дуг окруж- окружностей*). Пусть, например, требу- требуется найти решение уравнения A), удовлетворяющее следующим началь- начальным условиям: У \х=хо = Уо, У' \х=х0 = У1 Рис. 272, Через точку М0(х0; у0) проведем луч М0Т0 с угловым коэф- коэффициентом у' = tg ф0 = у'о (рис. 272). Из уравнения D) найдем величину R = R0. Отложим отрезок М0С0, равный R0J на перпен- перпендикуляре к направлению М0Т0, и из точки Со, как из центра, опишем небольшую дугу М0М± радиусом 7?0. Заметим при этом, что если Ro < 0, то отрезок М0С0 нужно направлять в ту сто- сторону, чтобы дуга окружности была обращена выпуклостью вверх, а при R0 > 0 — выпуклостью вниз (см. сноску на предыдущей странице). Пусть, далее, х1У yi — координаты точки Miy лежащей на построенной дуге и достаточно близкой к точке Мо, a tgq^ — угловой коэффициент касательной MtTt к проведенной окруж- окружности в точке М±. Из уравнения D) найдем соответствующее точке Mi значение R=Rt. Проведем отрезок №гС1у перпендику- перпендикулярный к M±Tiy равный Rly и из точки Q, как из центра, .опишем дугу МХМ2 радиусом Rt. Затем на этой дуге возьмем близкую к Mt точку М2(х2У у2) и продолжаем таким образом построение, пока не получим достаточно большой кусок кривой, состоящей из дуг окружностей. Из предыдущего ясно, что эта кривая при- приближенно является интегральной линией, проходящей через точку Мо. Очевидно, что построенная кривая будет тем ближе к интегральной кривой, чем меньше будут дуги MQMiy MtM2y .. ¦ *) Кривая называется гладкой, «ели она имеет касательную во всех точ- точках, причем угол наклона этой касательной есть непрерывная функция от длины дуги s. 3*
68 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. XIII § 20. Линейные однородные уравнения. Определения и общие свойства Определение 1. Дифференциальное уравнение п-го порядка называется линейным, если оно первой степени относительно сово- совокупности искомой функции у и ее производных у\ ..., уКп""г\ уКп\ т. е. имеет вид aoy{») + a1y^)+...+any = f(x)y A) где а0, aiy а2, ..., ап и f(x) — заданные функции от х или постоян- постоянные, причем а0ф0 для всех значений х из той области, в кото- которой мы рассматриваем уравнение A). В дальнейшем мы будем предполагать, что функции а0, aiy ..., ап и f(x) непрерывны при всех значениях х, причем коэффициент ао= 1 (если он не равен 1, мы можем все члены уравнения поделить на него). Функция f{x), стоящая в правой части уравнения, называется правой частью уравнения. Если }(х)фО, то уравнение называется линейным неоднород- неоднородным или уравнением с правой частью. Если же / (л;)==0, то урав- уравнение имеет вид и называется линейным однородным или уравнением без правой части (левая часть этого уравнения является однородной функ- функцией первой степени относительно у, у\ у\ ..., у{п)). Установим некоторые основные свойства линейных однородных уравнений, ограничиваясь в доказательствах уравнениями второго порядка. Теорема 1. Если уг и у2—два частных решения линейного однородного уравнения второго порядка у" + а1у'+а2у = 0, C) то yiJry2 есть также решение этого уравнения. Доказательство. Так как ух и у2 — решения уравнения,то У1 + агУ[ + а2у± = 0, yl + агу2 + а2у2 = 0. D) Подставляя в уравнение C) сумму у± + у2 и принимая во внима- внимание тождества D), будем иметь (Ух + У%У + аг {уг + У2У + а2 {уг + у2) = = (Ух + агУг + я 2#i) + (У1 + йхУг + ад) = 0+0 = 0, т.е. Уг + у2 есть решение уравнения. Теорема 2. Если ух есть решение уравнения C) и С — по- постоянная , то Суг есть также решение уравнения C).
ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ 69 Доказательство. Подставляя в уравнение C) выраже- выражение Суъ получим (СУгУ + а± (Суху + а2 (Сух) = С(у'[ + а±у[ + а2 уг) = С ¦ 0 = 0; тем самым теорема доказана. Определение 2. Два решения уравнения C) у± и у2 назы- называются линейно независимыми на отрезке [а, 6], если их отноше- отношение на этом отрезке не является постоянным, т. е. если f#const. В противном случае решения называются линейно зависимыми. Иными словами, два решения у± и у2 называются линейно зави- зависимыми на отрезке [а, 6], если существует такое постоянное число л, что — = Я при а^х^Ь. В этом случае yt = ky2. Пример 1. Пусть имеем уравнение у"—у~0. Легко проверить, что функции ех, е~х, Зех, 5е~х являются решениями этого уравнения. При этом функции ех и е~х линейно независимы на любом отрезке, так как отношение __-=е2* не остается постоянным при изменении х. Функции же ех и Зех Зех о линейно зависимы, так как —?-s=3 = const. Определение 3. Если yt и у2 суть функции от х, то опре- определитель TV7/4. и \ #1 У'г У г = УгУ* - У1У2 называется определением Вронского, или вронскианом данных функций. Теорема 3. Если функции yt и у2 линейно зависимы на отрезке [а, Ь\ то определитель Вронского на этом отрезке тождественно равен нулю. Действительно, если y2 = hyb где к = const, то #2 = ^i и ь У 2) = yi Уг У± tyi у[ К У1 У1 = 0. Теорема 4. Если определитель Вронского W(y±, t/2), состав- составленный для решений ух и у2 линейного однородного уравнения C), не равен нулю при каком-нибудь значении х = хона отрезке \ау Ь\ где коэффициенты уравнения непрерывны, то он не обращается в нуль ни при каком значении х на этом отрезке. Доказательство. Так как yt и у2 — два решения урав- уравнения C), то У % + ащ\ + а2у2 = 0, г - 0.
70 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1ГЛ. XIII Умножая члены первого равенства на у1У члены второго ра- равенства на у2 и вычитая из первых вторые, получим (УгУ1 - yiy2) + <Н (У1У2 - У [у 2) = 0. E) Разность, стоящая во второй скобке, есть определитель Врон- Вронского W(yi9 у2)9 а именно, W (yi9 у2) = у1у2-у'1Уъ. Разность, стоя- стоящая в первой скобке,-есть производная от определителя Вронского W'x (Уи У%) = (УгУ* - У1У2У = УлУ\ - У\У* Следовательно, равенство E) принимает вид = 0. F) Найдем решение последнего уравнения, удовлетворяющего начальному условию W \х=Хо = WQ. Найдем сначала общее решение уравнения F) в предположении, что W Ф 0. Разделяя переменные в уравнении F), получаем -^ = — агйх. Интегрируя, находим ИЛИ t W С , 1п-^- = —j axdx% х0 откуда х -J atdx W C G) Заметим, что можно было написать функцию G) и сказать, что эта функция удовлетворяет уравнению F), в чем можно легко убедиться непосредственной подстановкой этой функции в урав- уравнение F). Предположение №ф0 пе требуется. Формула G) называется формулой Лиувилля. Определим С так, чтобы удовлетворялось начальное условие. Подставляя х = х0 в левую и правую часть равенства G), получаем Следовательно, решение, удовлетворяющее начальным усло- условиям, примет вид х -J axdx W = Woe *<> . G') По условию W0=?0. Но тогда из равенства G') следует, что W Ф 0 ни при каком значении х, потому что показательная функ-
§ 203 ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ 71 ция не обращается в нуль ни при каком конечном значении аргумента. Теорема доказана. Замечание 1. Если определитель Вронского равен нулю при каком-нибудь значении х = х0У то он равен также нулю при любом значении х из рассматриваемого отрезка. Это непосредст- непосредственно следует из формулы G): если W = Q при х = х0, то следовательно, W = 0, каково бы ни было значение верхнего предела х в формуле G). Теорема 5. Если решения уг и у2 уравнения C) линейно независимы на отрезке [а, 6], то определитель Вронского W> составленный для этих решений, не обращается в нуль ни в одной точке указанного отрезка. Доказательство. Предварительно заметим следующее. Функция у==0 есть решение уравнения C) на отрезке [а, 6], удовлетворяющее начальным условиям У \x=xQ = 0, у' \х=Хо = 0, где х0 — любая точка отрезка [а, Ь]. Из теоремы существования и единственности (см. § 16), которая применима к уравнению C), следует, что не существует другого решения уравнения C), удов- удовлетворяющего начальным условиям Из этой теоремы так же следует, что если решение уравне- уравнения C) тождественно равно нулю на некотором отрезке или интер- интервале (а, р), принадлежащем отрезку [а, 6], то это решение тожде- тождественно равно нулю на всем отрезке [а, Ь]. Действительно, в точке х = $ (и в точке х — а) решение удовлетворяет начальным условиям у|*=р = О, у' U=p = 0. Следовательно, по теореме единственности оно равно нулю в неко- некотором интервале |3 — d<#<p + d, где d определяется величиной коэффициентов уравнения C). Таким образом, расширяя интервал каждый раз на величину d, где у = 0, мы докажем, что у = 0 на всем отрезке [а, Ь]. Теперь приступим к доказательству теоремы 5. Допустим, что ^ (#it У2) = 0 в некоторой точке отрезка [а, Ь]. Тогда по теореме 3 определитель Вронского W (у19 у2) будет равен нулю во всех точ- точках отрезка [а, Ь\\ W = 0 или у1у'2—у'1у2 = Ъ. Допустим, что угф0 на отрезке [а, Ь]. Тогда на основании последнего равенство можно написать —2 , * 2 =0 или (—\ —0. Отюда следует Jj-=X = const,
72 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ?гл- хш т. е. решения уг и у2 линейно зависимы, что противоречит пред- предположению о их линейной независимости. Допустим далее, что r/f = 0 в точках xiy х2, ..., хкУ принад- принадлежащих отрезку [а, Ь]. Рассмотрим интервал (а, хг). На этом интервале у± Ф 0. Следовательно, на основании только что дока- доказанного следует, что на интервале (а, л^) -^- = Х = const, или y2==hyi> Рассмотрим функцию у = у2 — ^у^ Так как у2 и у± суть решения уравнения C), то у = у2 — куг — решение уравнения C) и у = 0 на интервале (а, хг). Следовательно, на основании замечания в начале доказательства следует, что у = Уъ — 'Ьу±==0 на отрезке [а, 6], или на отрезке [а, Ь], т. е. у2 и у± линейно зависимы. Но это противоречит предположению о линейной независимости решений у2 и у±и Таким образом, мы доказали, что определитель Вронского не обращается в нуль ни в одной из точек отрезка [а, Ь]. Теорема 6. Если у± и у2 — два линейно независимых реше- решения уравнения,C), то (8) где Сг и С2—произвольные постоянные^ есть его общее решение. Доказательство. Из теорем 1 и 2 следует, что функция С1у1-\-С2у2 есть решение уравнения C) при любых значениях Сг и С2. Докажем теперь, что каковы бы ни были начальные условия у |л-=а'о = Уоу у'\х=х0 = У'о> можно так подобрать значения произволь- произвольных постоянных С± и С2, чтобы соответствующее частное решение СхУ1 + С2у2 удовлетворяло заданным начальным условиям. Подставляя начальные условия в равенство (8), будем иметь У о = Сгу10 + С2у20У у о = Сгу[0 + С2у'20> (9) где обозначено У1\х=х0 = Ум* У2 U=^o== #20> Уг \х=хо — У10) Уч |^=лг0=:У20. Из системы (9) можно определить Ct и С2, так как определитель этой системы Ю У20 0 «/20 есть определитель Вронского при х = х0 и, следовательно, не равен 0 (в силу линейной независимости решений yt и у2). Част- Частное решение, которое получится из семейства (8) при найденных значениях Cf и С2, удовлетворяет заданным начальным условиям. Таким образом, теорема доказана.
§20J ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ 73 Пример 2. Уравнение у"-\ у' -у=0, коэффициенты которого «1=1/л: и а2 = —1/jc2 непрерывны на любом отрезке, не содержащем точки х = 0у допускает частные решения у\ — х, у2 = 1/х (это легко проверить под- подстановкой в уравнение). Следовательно, его общее решение имеет вид Замечание 2. Не существует общих методов для нахожде- нахождения в конечном виде общего решения линейного уравнения с переменными коэффициентами. Однако для уравнения с посто- постоянными коэффициентами такой метод существует. Он будет изло- изложен в следующем параграфе. Для случая же уравнений с пере- переменными коэффициентами в главе XVI «Ряды» будут указаны некоторые приемы, которые дадут возможность находить прибли- приближенные решения, удовлетворяющие определенным начальным условиям. Здесь мы докажем теорему, которая позволяет находить общее решение дифференциального уравнения второго порядка с пере- переменными коэффициентами, если известно одно его частное реше- решение. Так как иногда удается найти или угадать одно частное решение непосредственно, то эта теорема во многих случаях может оказаться полезной. Теорема 7. Если известно одно частное решение линейного однородного уравнения второго порядка, то нахождение общего решения сводится к интегрированию функций. Доказательство. Пусть ух есть известное частное реше- решение уравнения у"-|-а1уЧ-а2у = 0. Найдем другое частное решение данного уравнения так, чтобы ух и у2 были линейно независимы. Тогда общее решение выразится формулой у = 0^ + 0^2, где Си С2—произвольные постоянные. На основании формулы G) (см. до- доказательство теоремы 4) можно написать у'2у±—y2y'x = Ce~*atdx. Та- Таким образом, для определения у2 мы получаем линейное урав- уравнение первого порядка. Проинтегрируем его следующим образом. Разделим все члены на у\: ^/^ ^\Ce'^d\ или ±(Щ = У у ах\ Уг / "¦dx + C. 1 Г н г- Се' Jai * ; отсюда Уг у\ Так как мы ищем частное решение, то, положив С'=0, С=1, получаем -=з—dx. A0)
74 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [гл ХШ Очевидно, что ух и у2—линейно независимые решения, так как i!l=^=const. Ух Таким образом, общее решение исходного уравнения имеет вид ^-dx. (И) Пример 3. Найти общее решение уравнения A— х*)у" —2х Решение. Непосредственной проверкой убеждаемся, что это уравнение имеет частное решение у! = х. Найдем второе частное решение у2 так, чтобы Ух и у2 были линейно независимы. —— 2х Заметим, что в нашем случае %=^ 2~» жа основании формулы (Щ получаем S2x dx »=*J —-W-dx=x] Р dx^x) #\\-*\~ Следовательно, общее решение имеет вид 1+* 1-х о- § 21. Линейные однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами Имеем линейное однородное уравнение второго порядка O, A) где р и q—постоянные действительные числа. Чтобы найти об- общий интеграл этого уравнения, достаточно, как было доказано выше, найти два линейно независимых частных решения. Будем искать частные решения в виде # = е**, где k = const; B) тогда Подставляя полученные выражения производных в уравнение A), находим Так как е^фО, то, значит, O. C)
§21] ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА 75 Следовательно, если k будет удовлетворять уравнению C), то ekx будет решением уравнения A). Уравнение C) называется характеристическим уравнением по отношению к уравнению A). Характеристическое уравнение есть квадратное уравнение, имеющее два корня; обозначим их через kt и k2. При этом Возможны следующие случаи: I. kx и k2—действительные и притом не равные между собой числа (&1=^&2); II. kf и k2—комплексные числа; III. &! и k2—действительные равные числа {ki = k2). Рассмотрим каждый случай отдельно. I.Корни характеристическогоуравнения дейст- действительны и различны: кхфк2. В этом случае частными решениями будут функции Эти решения линейно независимы,, так как К* = J^l = e^ ~ы*ф const. Уг eRiX Следовательно, общий интеграл имеет вид Пример 1. Дано уравнение ?+ Характеристическое уравнение имеет вид Находим корни характеристического уравнения: Общий интеграл есть II. Корни характеристического у равнения ком- комплексные. Так как комплексные корни входят попарно сопря- сопряженными, то обозначим где « = _?. ft =
76 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ XIII Частные решения можно записать в форме y^ete+W*, j/a = e«*-'3>*. D) Это—комплексные функции действительного аргумента, удовлет- удовлетворяющие дифференциальному уравнению A) (см. § 4 гл. VII). Очевидно, что если какая-либо комплексная функция действи- действительного аргумента y = u(x) + iv(x) E) удовлетворяет уравнению A), то этому уравнению удовлетворяют функции и (х) и v(x). Действительно, подставляя выражение E) в уравнение A), будем иметь или (и* + ри> + qu) + i (v" + pv' + qv) = 0. Но комплексная функция равняется нулю тогда и только тогда, когда равны нулю действительная часть и мнимая часть, т. е. Мы и доказали, что и (х) и v (x) являются решениями уравнения. Перепишем комплексные решения D) в виде суммы действи- действительной и мнимой части: уг = еах cos р# + ieax sin fix, y2 = еах cos fix—ieax sin fix. По доказанному частными решениями уравнения A) будут дей- действительные функции S^^'cosP*, F') у2 = еах sin fix. F") Функции ~ух и у2 линейно независимы, так как n p* у2 еах sin Следовательно, общее решение уравнения A) в случае комплекс- комплексных корней характеристического уравнения имеет вид У = Сгух + С2у2 = Cte<** cos fix + C2e«x sin fix, или у = еР* (Ct cos fix + C2 sin fix), G) где Ct и C2—произвольные постоянные.
§21] ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА 77 Важным частным случаем решения G) является случай, когда корни характеристического уравнения чисто мнимые. Это имеет место тогда, когда в уравнении A) /? = 0, и оно имеет вид Характеристическое уравнение C) принимает вид k* + q = Oy <7>0. Корни характеристического уравнения Решение G) принимает вид у = Сг cos fk -f С2 sin рл\ Пример 2. Дано уравнение Найти общий интеграл и частное решение, удовлетворяющее начальным усло- условиям Построить график. Решение. 1) Напишем харак- характеристическое уравнение и найдем его корни 71 \ Следовательно, общий интеграл есть у = е~х (C1cos2x+C2sin2x). 2) Найдем частное решение, удов- удовлетворяющее данным начальным ус- Рис. 273. ловиям, и определим соответствующие значения Сх и С2. На основании первого условия находим: 0 = е~° (С* cos B-0) + + C2sinB-0)), откуда Сх = 0. Заметив, что у'=^е~х-2С2 cos2x—e~xC2 sin 2xt из второго условия получаем 1=2С2, т. е. С2 = 1/2. Таким образом, искомое частное решение есгь у = -~.е~хsin 2x. График его показан на рис. 273. Пример 3. Дано уравнение Найти общий интеграл и частное решение, удовлетворяющее начальным условиям у|*=о = О, У'1**0 = 3. Решение. Напишем характеристическое уравнение ?2 + 9 = 0. Находим его корни: ^ = 3/, fca = —3/. Общий интеграл есть у = Сг cos За: + С2 sin 3*.
78 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [гл- хш Найдем частное решение. Предварительно найдем у' = — ЗСг sin 3*+ЗС2 cos Зх. Постоянные С± и С2 определяются из начальных условий: 0 = d cos Q + C2 sin 0, 3 = — 3Cj sin 0 + 3C2<:os 0. Они равны C\ = 0, C2 = 1 * Частное решение: y = sin Зх, III. Корни ха рактеристического у равней и я дей- действительные и равные. В этом случае kt = k2. Одно частное решение yt = ek^x получается на основании пре- предыдущих рассуждений. Нужно найти второе частное решение, линейно независимое с первым (функция ekzX тождественно равна ektx и поэтому не может рассматриваться в качестве второго част- частного решения). Будем искать второе частное решение в виде у2 = и (х) ek>\ где и(х)—неизвестная функция, подлежащая определению. Дифференцируя, находим = ek^x (и! + ktu)9 ek^x = ek>x (и" + 2kxuf + k\u). Подставляя выражения производных в уравнение A), получаем ebx {и» + {2кг + р)и' + (k\ + рК + Я)и\ = 0. Так как ^х —кратный корень характеристического уравнения, то Кроме того, k1 = k2 = — р/2 или 2АХ = — р, 21 p Следовательно, для того этобы найти и (х)> надо решить урав- уравнение е^хи" = 0, или ц" = 0. Интегрируя, получаем и—Ах-\-В. В частности, можно положить Л = 1, В = 0\ тогда и = х. Таким образом, в качестве второго частного решения можно взять Это решение линейно независимо с первым, так как ^ = хф const. У1 Поэтому общим интегралом будет функция у = С^х + C2xek>x = ek*x {Сг + С2х). Пример 4. Дано уравнение
§22] ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ п-ТО ПОРЯДКА 79 Пишем характеристическое уравнение № — 4& + 4 = 0. Находим его корни: k1 = k2 — 2. Общим интегралом будет § 22. Линейные однородные уравнения п-го порядка с постоянными коэффициентами Рассмотрим линейное однородное уравнение n-го порядка = 0. A) Будем предполагать, что а1У а2, ..., ап—постоянные. Прежде чем указывать метод решения уравнения A), введем определение, нужное нам для дальнейшего. Определение 1. Если для всехх отрезка [а, Ь] имеет место равенство где Аъ Л2, ..., Ап_г—постоянные числа, не все равные нулю, то говорят, что Ф„(лг) выражается линейно через функции () Ф2(>> > Ф^-iW Определение 2. п функций q^ (*), ф2 (л:), ..., чп„±(х), ф„ (л:) называются линейно независимыми, если никакая из этих функ- функций линейно не выражается через остальные. Замечание 1. Из определений следует, что если функции Фх(л:), Ф2(#), ..., ф„(#) линейно зависимы, то найдутся постоян- постоянные С1У С2, ..., Сп, не все равные нулю, такие, что для всех х отрезка [а, Ь] будет выполняться тождество С1ф1 (х) + С2ср2 (х)+...+ Спуп (х) = 0. Пример 1. Функции Ух = ех, у2 = е2х, у3 — 3ех линейно зависимы, так как при Ci = l, С2 = 0, С3 = —5" имеет место тождество о С2е2х + С3 • Зех = 0. Пример 2. Функции #i = l, Уъ — х, у3 — х2 линейно независимы, так как ни при каких Clt C2, С3, одновременно не равных нулю, выражение С1-\-\- + С2д;+Сзл:2 не будет тождественно равно нулю. Пример 3. Функции yi — ekiX, y^ ~ek*x, ..., yn—eknX, ..., где k& &2> •••» ^«» •••—различные числа, линейно независимы. (Это утверждение мы приводим без доказательства.) Перейдем теперь к решению уравнения A). Для этого урав- уравнения справедлива следующая теорема. Теорема. Если функции уи у21 ..., уп являются линейно независимыми решениями уравнения A), то его общее решение есть У = С1у1 + С2у2+...+СпУпУ B) где Clf ..., Сп—произвольные постоянные.
80 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. XIII Если коэффициенты уравнения A) постоянны, то общее реше- решение находится так же, как и в случае уравнения второго по- порядка. 1) Составляем характеристическое уравнение 2) Находим корни характеристического уравнения kly k2i ..., kn. 3) По характеру корней выписываем частные линейно неза- независимые решения, руководствуясь тем, что: а) каждому действительному однократному корню k соответ- соответствует частное решение е**; б) каждой паре комплексных сопряженных однократных кор- корней ?ш = а-НР и йB) = а—*р соответствуют два частных реше- решения еахсо$>$х и e^smfbr, в) каждому действительному корню k кратности г соответствует г линейно независимых частных решений екху xekxy ..., xr~lekx\ г) каждой паре комплексных сопряженных корней кратности \i соответствуют 2\х частных решений еах cos fix, xeax cos |5х, ..., х^~1еах cos fk, Этих частных решений будет ровно столько, какова степень характеристического уравнения (т. е. столько, каков порядок данного линейного дифференциального уравнения). Можно дока- доказать, что эти решения линейно независимы. 4) Найдя п линейно независимых частных решений yiy y2, ... ..., уп, строим общее решение данного линейного уравнения У=С1у1 + С2у2+ ... +Спуаг где Си С2, ..., Сп — произвольные постоянные. Пример 4. Найти общее решение уравнения ylV-y = 0. Решение. Составляем характеристическое уравнение А:4—1=0. Находим корни характеристического уравнения: ki = 1, k2 = — 1, &з = *> &4 = — *• Пишем общий интеграл у = С1ех+С2е~х + С3 cos x+C4sin x, где Cf, C2, С3, С4—произвольные постоянные. Замечание 2. Из изложенного следует, что вся трудность решения линейных однородных дифференциальных уравнений с по- постоянными коэффициентами заключается р решении характери- характеристического уравнения.
§23] НЕОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА 81 § 23. Неоднородные линейные уравнения второго порядка Пусть имеем неоднородное линейное уравнение второго по- порядка " ' f(x). A) Структура общего решения такого уравнения A) определяется следующей теоремой: Теорема 1. Общее решение неоднородного уравнения A) пред- представляется как сумма какого-нибудь частного решения этого уравнения у* и общего решения if соответствующего однородного уравнения У" + а1У'+а2у = 0. B) Доказательство. Нужно доказать, что сумма У=У+У* C) есть общее решение уравнения A). Докажем сначала, что функция C) есть решение уравнения A). Подставляя сумму ~у + У* в уравнение A) вместо у, будем иметь (]}+ tfl" + a^Q+tft' +аЛ(у+ tf)== f (х), или {? + аху1 + а2у) + (у*" + агу*' + а2у*) = /(*). D) Так как у есть решение уравнения B), то выражение, стоя- стоящее в первых скобках, тождественно равно нулю. Так как у* есть решение уравнения A), то выражение, стоящее во вторых скобках, равно /(#). Следовательно, равенство D) является тож- тождеством. Таким образом, первая часть теоремы доказана. Докажем теперь, что выражение C) есть общее решение уравнения (J), т. е. докажем, что входящие в него произвольные постоянные можно подобрать так, чтобы удовлетворялись началь- начальные условия: »[*«*•= Уо. У'\х = х0=Уо, E) каковы бы ни были числа лг0, у0 и у'о (лишь бы лг0 было взято из той области, где функции aiy а2 и f(x) непрерывны). Заметив, что у можно представить в форме y = C1yi + C2y2i где yt и у2—линейно независимые решения уравнения B), a Ct и С2—произвольные постоянные, можем переписать равенство C) в виде У = С1У1 + С2у2 + у\ C') Тогда на основании условий E) будем иметь *) *) Здесь Шо»/1/2о»/ Уо9 ?'1<ь #20, */о' обозначают числовые значения функ- функций УЬ у29 У*, Уь #2, У*' При Х = Х0.
32 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. XIII Из этой системы уравнений нужно определить Сг и С2. Перепи- Переписав систему в виде 20 = yQ—yt, C^io + C2y'2Q = у'о—Уо', F) замечаем, что определитель этой системы есть определитель Врон- Вронского для функций yt и у2 в точке х = х0. Так как эти функции по условию линейно независимы, то определитель Вронского не равен нулю; следовательно, система F) имеет определенное реше- решение С± и С2, т. е. существуют такие значения Ct и С2, при кото- которых формула C) определяет решение уравнения A), удовлетво- удовлетворяющее данным начальным условиям. Теорема полностью доказана. Таким образом, если известно общее решение 1} однородного уравнения B), то основная задача при интегрировании неоднород- неоднородного уравнения A) состоит в нахождении какого-либо его част- частного решения у*. Укажем общий метод нахождения частных решений неодно- неоднородного уравнения. Метод вариации произвольных постоянных. Напишем общее решение однородного уравнения B) 2. G) Будем искать частное решение неоднородного уравнения A) в форме G), рассматривая Ct и С2 как некоторые пока неизвест- неизвестные функции от х. Продифференцируем равенство G): У' = СгУ'г + С2у'2 + С[уг + С2у2. Подберём искомые функции Ct и С2 так, чтобы выполнялось равенство Qy. + Qy^O. (8) Если учесть это дополнительное условие, то первая производная у' примет вид Дифференцируя теперь это выражение, найдем уп\ У° = СгУг + С2у1 + С[у[ + С2у2. Подставляя уу у' и у" в уравнение A), получим СгУ1 + С2у1 + С[у[ + Сгуг + at {Сху[ + Сф) + а2 (Сгуг + С2у2) = / (д), или Сг (yl + агу[ + а2ух) + С2 (У; + агу, + а2у2) + С[у[ + С2у2 = f(x). Выражения, стоящие в первых двух скобках, обращаются в нуль,
§23] НЕОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА 83 так как ух и у2 —- решения однородного уравнения. Следовательно, последнее равенство принимает вид С& + С;й = /(*). (9) Таким образом, функция G) будет решением неоднородного уравнения A) в том случае, если функции Сг и С2 удовлетво- удовлетворяют системе уравнений (8) и (9), т. е. если С'гУг + С2у2 = О, С[у[ + С2уг = /(*). Так как определителем этой системы является определитель Вронского для линейно независимых решений yt и у2 уравнения B), то он не равен нулю; следовательно, решая систему, мы найдем С[ и С2 как определенные функции от х: С! = чг(х), с;=<р,(*). Интегрируя, получим где Сх и С2 — постоянные интегрирования. Подставляя полученные выражения Q и С2 в равенство G), найдем интеграл, зависящий от двух произвольных постоянных Сг и С2, т. е. общее решение неоднородного уравнения*). Пример. Найти общее решение уравнения Решение. Найдем общее решение однородного уравнения Так как -^г=—, то 1п^/ = 1пд:+1пс; t/' = cx; итак, */ = Ci + Чтобы последнее выражение было решением данного уравнения, надо оп- определить Сх и С2 как функции от х из системы Решая эту систему, найдем C1-V2, С2 откуда в результате интегрирования получаем \С Подставляя найденные функции в формулу у = С1х2-\-С2, получаем общее решение неоднородного уравнения — — Xs ~ — или г/==С1^2 + С2+-^-, где Сг и С2—произвольные постоянные. *) Если положить Ci = C2=0, то получим частное решение уравнения A).
84 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ?ГЛ. XIII При отыскании частных решений полезно пользоваться ре- результатами следующей теоремы. Теорема 2. Решение у* уравнения x)t A0) где правая часть есть сумма двух функций /х (л:) и f2 (x) *), можно представить в виде суммы у* = yl + yl, где у\ и yl —со- —соответственно решения уравнений Г^Щх), A1) у1 = f2 (x). A2) Доказательство. Складывая правые и левые части ра- равенств A1) и A2), получим x). A3) Из последнего равенства и следует, что сумма есть решение уравнения A0). Пример. Найти частное решение у* уравнения Решение. Частное решение уравнения У будет > 1 Частное решение уравнения 1/2 будет Частное решение у* данного уравнения будет § 24. Неоднородные линейные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами Пусть имеем уравнение tf + py' + qy = f(x), A) где р и # — действительные числа. *) Очевидно, что соответствующая теорема остается справедливой при любом числе слагаемых правой части.
§24] НЕОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА 85 В предыдущем параграфе был указан общий метод нахожде- нахождения решения неоднородного уравнения. В случае уравнения с по- постоянными коэффициентами частное решение иногда бывает воз- возможно найти проще, не прибегая к интегрированию. Рассмотрим несколько таких возможностей для уравнения A). I. Пусть правая часть уравнения A) представляет собой про- произведение показательной функции на многочлен, т. е. имеет вид f(x) = Pn(x)e™, B) где Рп (х) — многочлен n-й степени. Тогда возможны следующие частные случаи: а) Число а не является корнем характеристического уравнения В этом случае частное решение нужно искать в виде у* = (Аох«+А1х»~1+ ...+Ап) #**=Qn (х) (Р*. C) Действительно, подставляя #* в уравнение A) и сокращая все члены на множитель еах, будем иметь: (x) = Pn(x). D) Qп(х) — многочлен степени n, Q'n(х) — многочлен степени п — 1, Q'n Iх) ~ многочлен степени п — 2. Таким образом, слева и справа от знака равенства стоят многочлены n-й степени. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х (число неизвестных коэффициентов равно я+1), получим систему я+1 уравнений для определения неизвестных коэффициентов Ло, Л1Э Л2, ..., Ап. б) Число а есть простой (однократный) корень ха- характеристического уравнения. Если бы в этом случае частное решение мы стали искать в форме C), то в равенстве D) слева получился бы многочлен (/г— 1)-й степени, так как коэффициент при Qn (х), т. е. a2+pa+q, равен нулю, а многочлены Q'n(x) и Q"n(x) имеют степень, мень- меньшую п. Следовательно, ни при каких Ло, Af, ..., Ап равенство D) не было бы тождеством. Поэтому в рассматриваемом случае част- частное решение нужно брать в виде многочлена (п+1)-й степени, но без свободного члена (так как свободный член этого много- многочлена исчезнет при дифференцировании) *): в) Число а есть двукратный корень характеристиче- характеристического уравнения. Тогда в результате подстановки в дифферен- дифференциальное уравнение функции Qn(x)eax степень многочлена пони- *) Заметим, что все приведенные выше результаты остаются в силе и в том случае, когда а—комплексное число (это следует из правил дифферен- дифференцирования функции етх% где т—любое комплексное число; см. § 4 гл. VII).
g5 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ {ГЛ. XIII жается на две единицы. Действительно, если а —корень харак- характеристического уравнения, то а2 -\-ра -{- q — 0; кроме того, так как а является двукратным корнем, то 2а = —р (так как по .известной теореме элементарной алгебры сумма корней приведенного квад- квадратного уравнения равна коэффициенту при неизвестном в первой степени, взятому с обратным знаком). Итак, 2а + р = 0. Следовательно, в левой части равенства D) останется Qn(*)» т.е. многочлен (п — 2)-й степени. Для того чтобы в результате подстановки получить многочлен степени я, следует частное ре- решение искать в виде произведения еах на многочлен (я + 2)-й степени. При этом свободный член этого многочлена и член в пер- первой степени исчезнут при дифференцировании; поэтому их можно не включать в частное решение. Итак, в случае, когда а является двукратным корнем харак- характеристического уравнения, частное решение можно брать в форме Пример 1. Найти общее решение уравнения у"+4у'+3у = х. Решение. Общее решение соответствующего однородного уравнения есть Так как правая часть данного неоднородного уравнения имеет вид хеох (т. е. вид Pi(x)eox)y причем 0 не является корнем характеристического уравнения k24-4?+3=0, то частное решение будем искать в форме y*=Qi (х) еох, т.е. положим Подставляя это выражение в заданное уравнение, будем иметь 4Л0+3(Л0*+Л1)=*. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получим ЗЛ0 = 1', 4Ло + ЗЛх=:О, откуда 40=1/3, Лх=-—4/9. Следовательно, * 1 4 Общее решенае # = */+#* будет у = Сге-* + С*-**+±х—±. Пример 2. Найти общее решение уравнения 2\9 Решение. Общее решение однородного уравнения найдем легко: ~у = Сг cos Зх+С2 sin Зх. Правая часть заданнога уравнения (х2-\-1)е3х имеет вид Р2(х)е?х. Так кяк коэффициент 3 в показателе степени не является корнем характеристического
§24] НЕОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА 87 уравнения, то частное решение ищем в виде*/*=ф2(.х:) е3*, или у*~(Ах2-\-Вх-\-С)еЬх. Подставляя это выражение в дифференциальное уравнение, будем иметь Сокращая на еВх и приравнивая коаффициенты при одинаковых степенях х, получим 18Л = 1, 12Л + Ш = 0, 2А + 6В+\8С=\, откуда А = 1/18, В =—1/27, С = 5/81. Следовательно, частное решение будет и общее решение у = С1 cos Зх+С2 sin Зх+ (jz*2-%*-f gj) в**. Пример 3. Решить уравнение Решение. Здесь правам часть имеет вид Р1(х)е1'ху причем коэффици- коэффициент 1 в показателе степени является простым корнем характеристического многочлена. Следовательно, частное решение ищем в виде y* = xQi(x)ex, или у* = х(Ах+В)ех; подставляя это выражение в уравнение, будем иметь ЦАх2+Вх) + DАх + 2В) + 2А — 7 (Ах* + Вх) — 7 BАх+В) + б (Ах2 + Вх)] е* = или (—• Шх— Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получим —ЮЛ = 1, —5В+2Л=—2, откуда А= —1/10, 5 = 9/25. Следовательно, частным решением является а общим II. Пусть правая частъ имеет вид f{x) = P (x) e«x cos |3х + Q (x) e™ sin Pjc, E) где Р (х) и Q (х) — многочлены. Этот случай может быть рассмотрен приемом, примененным в предыдущем случае, если перейти от тригонометрических функ- функций к показательным. Заменяя cosfbt и sinpjc через показатель- показательные функции по формулам Эйлера {см. § 5 гл. VII), получим или . F)
88 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. XIII Здесь в квадратных скобках стоят многочлены, степени которых равняются высшей из степеней многочленов Р(х) и Q(x). Таким образом, получили правую часть вида, рассмотренного в случае 1. Доказывается (приводить доказательство мы не будем), что можно найти частные решения, не содержащие комплексные числа. Итак, если правая часть уравнения A) имеет вид f(x) = P (x) еах cos Р* + Q (x) e*x sin р*, G) где Р (х) и Q (х) —• многочлены от х, то форма частного решения определяется так: а) если число a + ifi не является корнем характеристического уравнения, то частное решение уравнения A) следует искать в виде у* = U(x) еах cos fix + V (х) еах sin fix, (8) где U(x) и V (х) — многочлены, степень которых равна наивыс- наивысшей степени многочленов Р (х) и Q(x); б) если число a + ifi есть корень характеристического урав- уравнения, то частное решение ищем в виде у* = х [U(x) е*х cos Р*+V (х) е™ sin p*]. (9) При этом во избежание возможных ошибок надо отметить, что указанные формы частных решений (8) и (9), очевидно, со- сохраняются и в том случае, когда в правой части уравнения A) один из многочленов Р (х) и Q (х) тождественно равен нулю, т. е. когда правая часть имеет вид Р (х) еах cos Рл; или Q (л:) еах sin Рл;. Рассмотрим, далее, важный частный случай. Пусть правая часть линейного уравнения второго порядка имеет вид f(x) = M cos fix + N sin p*, G') где М и N—-постоянные числа. а) Если pi не является корнем характеристического уравне- уравнения, то частное решение следует искать в виде у* = A cos fix + В sin px. (8') б) Рхли р; является корнем характеристического уравнения, то частное решение следует искать в виде у* = х (A cos fix + B sin fix). (9') Отметим, что функция G') является частным случаем функ- функции G) (Р(х) = М, Q(*) = tf, а = 0); функции (8') и (9') явля- являются частными случаями функций (8) и (9). Пример 4. Найти общий интеграл линейного неоднородного уравнения Решение. Характеристическое уравнение &2+2& + 5 = 0 имеет кор- корни Я?! = —1+2**; &2 — —1— 2*. Поэтому общий интеграл соответствующего
§24] НЕОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА 89 однородного уравнения есть Jf=e-X (Cx cos 2х+С2 sin 2л;). Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде у* = А cos x-\-B sinx, где Л и В—постоянные коэффициенты, подлежащие определению. Подставляя у* в заданное уравнение, будем иметь —Л cos х— В sin х+2 (—Л sin х+В cos *) + 5 (A cos х+В sin *) = 2 cos х. Приравнивая коэффициенты при cos x и sin x, получим два уравнения для определения А и В. откуда А = 2/5, В =1/5. Общее решение данного уравнения: #==#+#*, т.е. Пример 5. Решить уравнение y"-{-4y = cos2x. Решение. Характеристическое уравнение имеет корни ki = 2it k2 =—2i; поэтому общее решение однородного уравнения имеет вид у = Сг cos 2х + С2 sin 2лт. Частное решение неоднородного уравнения ищем в форме у* = х (A cos 2x+В sin 2x). Тогда #*' = 2х {—A sin 2л:+5 cos 2х) + (Л cos 2л:+В sin 2лг), у*'' = 4х (—A cos 2* — В sin 2*) -f 4 (—A sin 2* + 5 cos 2x). Подставляя эти выражения производных в данное уравнение и приравни- приравнивая коэффициенты при cos 2x и sin2Ar, получаем систему уравнений для опре- определения А и В: 4#=1, —4Л=0, откуда Л = 0, В = 1/4. Таким образом, об- общий интеграл данного уравнения у = Сг cos 2x+C2 sin 2ЛГ+-Т- х sin 2л\ Пример 6. Решить уравнение у"—у = Зе2х cos x. Решение. Правая часть уравнения имеет вид / (х) = е2* (М cosx + Nsin x), причем Л1 = 3, iV=0. Характеристическое уравнение &2—1=0 имеет корни /гх=1, k2 = —1. Общее решение однородного уравнения есть Так как число а+Ф=2 + М не является корнем характеристического урав- уравнения, то частное решение ищем в виде у* = е2Х (д Cos х + В sin х). Подставляя это выражение в уравнение, получим после приведения подобных членов Bл + 4Я) е2х cos х + (—4Л +2Б) е2х sin л: = Зе2х cos л:. Приравнивая коэффициенты при cos* и sin*, получим
90 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. ХШ Отсюда А = 3/10, ? = 3/5. Следовательно, частное решение а / 3 ,3 а общее Замечание. Отметим, что все рассуждения этого параграфа справедливы и для линейного уравнения первого порядка. Рас- Рассмотрим, например, уравнение первого порядка с постоянными коэффициентами (это уравнение часто встречается в технических приложениях) % Ь, A0) где а и Ь— постоянные. Находим общее решение однородного уравнения Составляем характеристическое уравнение &4-а = 0, k = —а. Общее решение однородного уравнения будет "$=Се-"х. Ищем частное решение у* неоднородного уравнения в форме У* = В. Подставляя в уравнение A0), получаем аВ = Ь, В = Ь/а. Итак, у*-6/а. Общее решение уравнения A0) будет или y = Ce'aK + bla. A1) § 25. Неоднородные линейные уравнения высших порядков Рассмотрим уравнение -1)+...+апу = 1(х)у A) где аъ а2, ..., аи, /(х) — непрерывные функции от х (или посто- постоянные числа). Пусть нам известно общее решение а B) соответствующего однородного уравнения уш + uifn-i) + a2yin^ +...+аау = 0. C)
§25] НЕОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ 91 Как и в случае уравнения второго порядка, для уравнения A) справедливо следующее утверждение. Теорема. Если у—общее решение однородного уравнения C), а у*—частное решение неоднородного уравнения A), то есть общее решение неоднородного уравнения. Таким образом, задача интегрирования уравнения A), как и в случае уравнения второго порядка, сводится к нахождению частного решения неоднородного уравнения. Как и в случае уравнения второго порядка, частное решение уравнения A) можно находить способом вариации произвольных постоянных, считая в выражении B) Си Са, ..., Сп функциями от х. Составим систему уравнений (ср. § 23) 'гУг + Q/2 + • • • + С'пУп = °> ... +• С'пу'п = О, D) О/Г2) + ад-* +... + с;гУг2у = о, Эта система уравнений с неизвестными функциями С'1У С'2у ..., С'п имеет вполне определенные решения. (Определитель из коэффици- коэффициентов при Q, Сг, ..., С'п представляет собой определитель Врон- Вронского, составленный для частных решений у19 у2У ..., уп однород- однородного уравнения, а так как эти частные решения по условию линейно независимы, то определитель Вронского отличен от нуля.) Итак, система D) может быть решена относительно функций Ci, Q, ..., С'п. Найдя их и интегрируя, получим где Cl9 C2, ..., Сп—постоянные интегрирования. Докажем, что в таком случае выражение п E) есть общее решение неоднородного уравнения A). Дифференцируем выражение E) п раз, принимая каждый раз во внимание равенства D); тогда будем иметь +С2у2 +. +С2у2 +..
92 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. XIII Умножая члены первого, второго, ... и, наконец, последнего уравнения соответственно на ап, ап_и ..., аг и 1 и складывая, получим так как yi9 у2, ..., уп—частные решения однородного уравнения, и поэтому суммы членов, полученные при сложении по вертикаль- вертикальным столбцам, равны нулю. Следовательно, функция (где Сь ..., Сп—функции от ху определенные из уравнений D)) является решением неоднородного уравнения A). Это__решение зависит от п произвольных постоянных С1У С2, ..., Сп. Как и в случае уравнения второго порядка, доказывается, что это есть общее решение. Таким образом, утверждение доказано. В случае неоднородного уравнения высшего порядка с постоян- постоянными коэффициентами (ср. § 24) частные решения иногда находятся проще, а именно: I. Пусть в правой части дифференциального уравнения стоит функция f(x) = P(x)eaxJ где Р (х)—многочлен от х\ тогда надо различать два случая: а) если а не является корнем характеристического уравнения, то частное решение можно искать в виде y*=Q(x)e™, где Q (л:)—многочлен той же степени, что и Р(х), но с неопреде- неопределенными коэффициентами; б) если а есть корень кратности \х характеристического урав- уравнения, то частное решение неоднородного уравнения можно искать в форме где Q(x)—многочлен той же степени, что и Р(х). II. Пусть правая часть уравнения имеет вид f (х) = М cos P# + N sin fk, где М и N — постоянные числа. Тогда вид частного решения опре- определяется следующим образом: а) если число C/ не есть корень характеристического уравне- уравнения, то частное решение имеет вид у* = A cos fk + В sin fk, где А и В—постоянные неопределенные коэффициенты;
§ 25] НЕОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ 93 б) если число р* есть корень характеристического уравнения кратности (I, то #* = х» (A cos Р* + В sin p*). III. Пусть f(x) = P (x) еах cos р* + Q (*) еа* sin рл:, где Р(л:) и Q(x)—многочлены от х. Тогда: а) если число a + $i не является корнем характеристического многочлена, то частное решение ищем в виде y* = U (х) еах cos р* + V (х) е«х sin P*, где U (х) и V (х)—многочлены, степень которых равна наивысшей степени многочленов Р(х) и Q(x)\ б) если число a -f р/ является корнем кратности (ш характери- характеристического многочлена, то частное решение ищем в виде у* = х» [U (х) е«х cos Рх + V (х) еах sin P*], где U (х) и V(x) имеют тот же смысл, что и в случае а). Общее замечание к случаям II и III. Даже тогда, когда в правой части уравнения стоит выражение, содержащее только cos Ра; или только sin Ра;, мы должны искать решение в том виде, как было указано, т. е. с синусом и косинусом. Иными словами, из того, что правая часть не содержит cosPa: или sin Ра;, отнюдь не следует, что частное решение уравнения не содержит этих функций. В этом мы могли убедиться, рассматривая примеры 4, 5, 6 предыдущего параграфа, а также пример 2, приведенный в этом параграфе. Пример 1. Найти общее решение уравнения yiv—у = хв-{-1. Решение. Характеристическое уравнение №—1=0 имеет корни k± = 1, k2 = — 1, ks=i, k± — — i. Находим общее решение однородного уравнения (см. пример 4 § 22) 7= Схех + С2е~х + С3 cos x+C4 sin x. Частное решение неоднородного уравнения ищем в форме Дифференцируя у* четыре раза и подставляя полученные выражения в заданное уравнение, получим + Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях х: — Ло = 1, —^ = 0, — Л2 = 0, —Л3=1. Следовательно, у* = -.Х3 — \. Общий интеграл неоднородного уравнения находится по формуле у = у"+у*, т. е< у = Схех + С2е~* + С3 cos *+C4 sin Jt—*3— 1.
94 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. ХШ Пример 2. Решить уравнение i/IV—у — $соьх. Решение. Характеристическое уравнение k*—1=0 имеет корни kx = 1, k2——1, &з —*\ ^4 = —*• Следовательно, общим решением соответствующего однородного уравнения является: С cos x+C4 sin x. Далее, правая часть данного неоднородного уравнения имеет вид / (х)=М cosAr+iVsinA;, где М = 5, N = 0. Так как * является простым корнем характеристического уравнения, то частное решение ищем в виде у* = х(Л cos х~\-В sin a:). Подставляя это выражение в уравнение, найдем 4A sin х— 4В cos х = 5 cos л:, откуда 4Л=0, — 4В = 5, или Л = 0, В — —5/4. Следовательно, частным решением дифференциального уравнения является * а общим решением '5 у = С1ех + С2е~х-{-С3 cos a:+C4 sin x—-j x sin a:. § 26. Дифференциальное уравнение механических колебаний В настоящем и следующих параграфах мы рассмотрим одну задачу прикладной механики, исследовав и разрешив ее с помощью линейных дифференциальных уравнений. Пусть груз массы Q покоится на упругой рессоре (рис. 274). Отклонение груза от положения равновесия обозначим через у. Отклонение вниз будем считать положительным, вверх—отри- вверх—отрицательным. В положении равновесия вес уравновешивается уп- упругостью пружины. Предположим, что сила, стремящаяся вер- вернуть груз в положение равновесия,— так называемая восстанав- восстанавливающая сила—пропорциональна отклонению, т. е. равна —ky, где k—некоторая постоянная для данной рессоры величина (так называемая «жесткость рессоры») *). Предположим, что движению груза Q препятствует сила сопро- сопротивления, направленная в сторону, противоположную направле- направлению движения, и пропорциональная скорости движения груза относительно нижней точки рессоры, т. е. сила — fa> = — Я -^-, где К = const ^ 0 (амортизатор). Напишем дифференциальное уравне- *) Рессоры, у которых восстанавливающая сила пропорциональна откло- отклонению, называются рессорами с «линейной характеристикой».
$26] УРАВНЕНИЕ МЕХАНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ 95 ние движения груза на рессоре. На основании второго закона Ньютона будем иметь О d2y _ ku * *У. Ч dt2 - *У N dt A) (здесь k и %—положительные числа). Мы получили линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с посто- постоянными коэффициентами. Это уравнение можно переписать так: (Г) где обозначено Предположим, далее, что нижняя точка рессоры совершает вертикальные движения по закону z = q>(t). Это, например, будет • Положение рвЗноВесия Рис. 275, иметь место, если нижний конец рессоры прикреплен к катку, который вместе с рессорой и грузом движется по неровности (рис. 275). В этом случае восстанавливающая сила будет равна не — ky, а — &[# + ф@]»сила сопротивления будет —Цу' + <р' (/)], и вместо уравнения A) мы получим уравнение ИЛИ где обозначено dt B) B') Мы получили неоднородное дифференциальное уравнение вто- второго порядка. Уравнение (Г) называют уравнением свободных колебаний, уравнение B')—уравнением вынужденных колебаний.
96 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. XIII § 27. Свободные колебания. Векторное и комплексное изображение гармонических колебаний Рассмотрим сначала уравнение свободных колебаний !?+РУ' + ЯУ = О (Р>О, <7>0, см. § 26). A) Напишем соответствующее характеристическое уравнение и найдем его корни: 1) Пусть р2/4 > </. Тогда корни k^ и k2—действительные отри- отрицательные числа. Общее решение выражается через показатель- показательные функции: у = CleV + c,eV {К < 0, k2 < 0). B) Из этой формулы следует, что отклонение у при любых началь- начальных условиях асимптотически стремится к нулю, если t—*оо. В данном случае колебаний не будет, так как силы сопротивле- сопротивления велики по сравнению с коэффициентом жесткости рессоры k. 2) Пусть /?2/4 = q\ тогда корни kx и k2 равны между собой (и равны отрицательному числу — р/2). Поэтому общее решение будет "t ~Tt e~~. C) Здесь отклонение также стремится к нулю при t—>oo, однако не так быстро, как в предыдущем случае (благодаря наличию сомножителя Сг + С^). 3) Пусть р = 0, т. е. отсутствует сила сопротивления. Уравне- Уравнение A) примет вид 0. D) Характеристическое уравнение имеет вид k2 + q = 0, а его корни равны &i = pi, k2 = — $i9 где $^Vq. Общее решение: y = Ci cos fit + С2 sin fit. E) В последней формуле произвольные постоянные Сх и С2 заме- заменим другими. Именно, введем постоянные А и ф0, связанные с С± и С2 соотношениями Ct = A sin ср0, С2 = А cos ф0. А и ф0 через Q и С2 определяются так:
§27] СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ 97 Подставляя значения Сг и С2 в формулу E), будем иметь у = A sin ф0 cos p/ + A cos cp0 sin р/, или F) Колебания в этом случае называются гармоническими. Интег- Интегральными кривыми являются синусоиды. Промежуток времени Т, за который аргумент синуса изменяется на 2я, называется перио- периодом колебаний; в данном случае T = 2n/fi. Частотой колебания называется число колебаний за время 2я; в данном случае частота равна Р; А—величина наибольшего отклонения от положения равнове- yt сия—называется амплитудой колеба- колебания; ф0 называется начальной фазой. График функции F) изображен на рис. 276. К Zr Рис. 276. Рис. 277. В электротехнических и других дисциплинах широко исполь- используют комплексное и векторное изображения гармонических коле- колебаний. Рассмотрим в комплексной плоскости хОу радиус-вектор А = A (t) постоянной длины | А | = А = const. Конец вектора А при изменении параметра t (в данном случае t—время) описывает окружность радиуса А с центром в начале координат (рис. 277). Пусть угол г|), образованный вектором А и осью 0ху выражается так: *ф = Р^ + Ф0. Величина Р называется угловой скоростью вращения вектора А. Проекции вектора А на оси Оу и Ох будут G) Выражения G) суть решения уравнения D). Рассмотрим комплексную величину г = х + iу = A cos (р/ + ср0) + iA sin (р/ + <р0), или z = A [cos (fit + Фо) + i sin (fit + %)]. (8) Комплексная величина г, как это было указано в § 1 гл. VII, изображается вектором А. 4 Н. С, Пискунов, т# 2
98 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. XIII Таким образом, решения уравнения гармонических колебаний D) можно рассматривать как проекции вектора А на оси О у и Ох, вращающегося с угловой скоростью |3 при начальной фазе ср0. Пользуясь формулой Эйлера (см. D) § 5 гл. VII), выражение (8) можно переписать так: г = Ле*0'+Фо). (9) Мнимая и действительная части выражения (9) являются реше- решениями уравнения D). Выражение (9) называется комплексным ДО Рис. 278. решением уравнения D). Перепишем выражение (9) так: m. A0) Выражение Ае1®* называют комплексной амплитудой. Обозна- Обозначим ее через Л*. Тогда комплексное решение A0) перепишется так: г = А*е'&. A1) 4) Пусть р Ф 0 и —- < q. В этом случае корни характеристического уравнения—комп- уравнения—комплексные числа где Общий интеграл имеет вид у = eat (Ct cos p* + С2 sin fit), или A2) A3) Здесь в качестве амплитуды приходится рассматривать вели- величину Ле"', зависящую от времени. Так как а < 0, то она стре-
§28] ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ 99 мится к нулю при t—>oo, т. е. здесь мы имеем дело с затухаю- затухающими колебаниями. График затухающих колебаний изображен на рис. 278. § 28. Вынужденные колебания Уравнение вынужденных колебаний имеет вид (р>0, <7>0, см. § 26). A) Рассмотрим практически важный случай, когда возмущающая внешняя сила является периодической и изменяется по закону тогда уравнение A) примет вид (Г) 1) Предположим сначала, что рфО и ^~<<7> т» е. корни характеристического уравнения—комплексные числа а± j(J. В^том случае (см. формулы A2) и A3) § 27) общее решение однородного уравнения имеет вид y = Ae^sm(^t + %). B) Частное решение неоднородного уравнения ищем в форме у* = М cos tot + N sin cat. C) Подставляя это выражение у* в исходное дифференциальное уравнение, находим значения М и N: м - — Р™ 1, (д—а>*)а IYl (q—co2J + /?2co2 » й—(О2J+Р2со2* Прежде чем подставить найденные значения М и N в равенство C), введем новые постоянные А* и ср*, положив М = Л* sin ф*, JV = A* cos ф*, т. е. Тогда частное решение неоднородного уравнения можно записать в форме у* = Л* sin ф* cos со^ + Л* cos ф* sin со/ = Л* sin (со^ + Ф*)» или окончательно у* = r sin (at + Ф*).
100 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ . [ГЛ. XIII Общий интеграл уравнения A) равен */=*/+#*, т. е. Первый член суммы, стоящей в правой части (решение одно- однородного уравнения), представляет затухающие колебания; при увеличении t он убывает, и, следовательно, через некоторый про- промежуток времени главное значение будет иметь второй член, опре- определяющий вынужденные колебания. Частота со этих колебаний равна частоте внешней силы f(t); амплитуда вынужденных коле- колебаний тем больше, чем меньше р и чем ближе со2 к q. Исследуем подробнее зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты со при различных значениях /?. Для этого обозначим амплитуду вынужденных колебаний через D(co): D(©) = Положим G = PI (Pi ПРИ р — 0 равнялась бы частоте собственных колебаний). Тогда Введем обозначения co/Pi = b, где X —отношение частоты возмущающей силы к частоте свобод- свободных колебаний системы, а постоянная у не зависит от возму- возмущающей силы.. Тогда величина амплитуды будет выражаться формулой Найдем максимум этой функции. Он, очевидно, будет при том значении X, при котором квадрат знаменателя имеет минимум. Но минимум функции V(l-V)* + y4.* E) достигается при и равен  Т Следовательно, максимальная величина амплитуды равна Дпак
§28] ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ 101 Графики функции D(k) при различных значениях у показаны на рис. 279 (для определенности при построении графиков поло- положено а=1, Pi=l). Эти кривые называются кривыми резонанса. 0,15 0,5 0,75 1,0 1,15 %5 1,75 Zfl 2,15 Л Рис. 279. Из формулы E) следует, что при малых у максимальное значение амплитуды достигается при значениях X, близких к еди- единице, т. е. когда частота внешней силы близка к частоте свобод- свободных колебаний. Если y = 0 (следовательно, /7 = 0), т. е. если отсутствует сопротивление движению, амплитуда вынужденных колебаний^неограниченно возрастает при X—>1, т. е. при <о—* \imD(X) = oo. G=0) При со2 = G имеет место явление резонанса. 2) Предположим теперь, что /? = 0, т. е. рассмотрим уравнение упругих колебаний без сопротивления при наличии периодичес- периодической внешней силы У" = а sin со/. F)
102 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Общее решение однородного уравнения [ГЛ. XIII Если Р=^=со, т. е. если частота внешней силы не равна час* тоте собственных колебаний, то частное решение неоднородного уравнения имеет вид у* = М cos (ot + N sin со?. Подставляя это выражение в исходное уравнение, найдем > q—со2 ' Общее решение есть у = A sin (Р^ + ф0) + _^ а sinco^. Таким образом, движение полу- получается в результате наложения собственного колебания с часто- частотой Р и вынужденного колебания с частотой о. Если (о = р, т. е. частота соб- собственных колебаний совпадает с частотой внешней силы, то функ- функция C) не является решением уравнения F). В этом случае в соответствии с результатами § 24 частное решение надо искать в форме y* = t(M cos fit + N sin fit). G) Подставляя это выражение в уравнение, найдем М п N: Рис. 280. Следовательно, Общее решение будет иметь вид у = A sin (р/ + ф0) — -|g t cos p?. Второй член, стоящий в правой части, показывает, что в этом случае амплитуда колебания неограниченно возрастает при не- неограниченном возрастании времени t. Это явление, имеющее место
§29] СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ЮЗ при совпадении частоты собственных колебаний системы с часто- частотой внешней силы, называется резонансом. График функции у* изображен на рис. 280. § 29. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений При решении многих задач требуется найти функции Уг—у±(х), у2 = у2 (х)у ..., уп = уп (х)у которые удовлетворяют системе диф- дифференциальных уравнений, содержащих аргумент х, искомые функции у1У у2, ..., {/„ и их производные. Рассмотрим систему уравнений первого порядка igL_/ (х и и и) dx г> У** ••-. Уп)> где уь у„ ..., уп — искомые функции, х —аргумент. Такая система, когда в левой части уравнений стоят произ- производные первого порядка, а правые части не содержат производ- производных, называется нормальной. Проинтегрировать систему — значит определить функции yif #2» •••» Уп» удовлетворяющие системе уравнений A) и данным начальным условиям У\ | *=*о — Ую> У* \ Х-Хо ^ ^20» • • • > Уп I * = *о ~ J/nO* B) Интегрирование системы вида A) можно произвести следую- следующим образом. Дифференцируем по х первое из уравнений A): dx2 ~~ дх ^дуг dx ^ '# * ^ дуп dx ' Заменяя производные ~~, -^, ..., -^ их выражениями fi> /2» •••! fn из Уравнений A), будем иметь уравнение Дифференцируя полученное ураввейие и поступая аналогично предыдущему, найдем ^sfr. Уи Уъ> ..-, У„).
Ю4 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. XIII Продолжая далее, таким же образом получим, наконец, урав- уравнение Итак, мы получаем следующую систему: ^ = М*. у* •••• *»>• ^ = F (x и и) Из первых /г — 1 уравнений определим i зив их через х, у± и производные —•, -— лагается, что эти операции выполнимы): C) $, ...» #rt, выра- ., dxn-i (предпо- (предпоПодставляя эти выражения в последнее из уравнений C)t получим уравнение /г-го порядка для определения yi , уи у{, .... «/Г»). E) Решая это уравнение, определим yt: У^Ы*> Ci9 Ca, .•., Сп). F) Дифференцируя последнее выражение п — 1 раз, найдем про-< dm d?in dn~~ittt * л л л изводные -J^ t -^t, •.., -j^ как функции от х, Си С2, ..., Сл^ Подставляя эти функции в уравнение D), определяем у%, у8,..., уй: У2 = ^2 (^i Q» Q> • • • » ^п)? G) Для того чтобы полученное решение удовлетворяло заданным начальным условиям B), остается лишь найти из уравнений F) и G) соответствующие значения постоянных С|, Са, ..., Сп (по- (подобно тому, как мы это делали в случае одного дифференци- дифференциального уравнения). Замечание 1. Если система A) линейна относительно иско- искомых функций, то и уравнение E) будет линейным.
§29] СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Ю5 Пример 1. Проинтегрировать систему ^ g (a) при начальных условиях у\Хтя0=\, 2|л-.0=0. (б) Решение. 1) Дифференцируя по х первое уравнение, будем иметь *y_dy >dz dx^^dx^dx^' Подставляя сюда выражения -У- и j- из уравнений (а), получим или g=-3i/-22+3*+l. (в) 2) Из первого уравнения системы (а) находим и подставляем в только что полученное уравнение; получаем ИЛИ 0+2|+,=5*+1. (д) Общее решение последнего уравнения есть y = (CH-Ct*)e-*+5*-9 (e) и на основании (г) z = (C2—2Ct—2С2*)е-*--6а:+14. (ж) Подберем постоянные С| и С2 так, чтобы удовлетворялись начальные условия (б): ylx=o=^\, z |лг=о=0. Тогда из равенств (е) и (ж) получаем 1=Cj:—9, 0=С2—2Ci+14, откуда Cf=10, C2=6. Таким образом, решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям (б), имеет вид e-*+5*—9, г = (— 14— \2х)е~х—6*+14. Замечание 2. В приведенных рассуждениях мы предпо- предполагали, что из первых п — 1 уравнений системы C) можно опре- определить функции t/2, */g, ..., уп. Может случиться, что перемен- переменные у2, ..., уп исключаются не из п> а из меньшего числа уравнений. Тогда для определения у мы получим уравнение, порядок которого ниже п. Пример 2. Проинтегрировать систему dx , dy , dz , Щ^У+г f=x+z Ш=*+У
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. XIII Решение. Дифференцируя по t первое уравнение, находим Исключая переменные у и z из уравнений dx будем иметь уравнение второго порядка относительно х dt* dt ZX~U' Интегрируя это уравнение, получим его общее решение (а) Отсюда находим p и y = ^-z = -Cie-t+2C,e*t-z. ф) Подставляя в третье из заданных уравнений найденные выражения для х и у% получим уравнение для определения г Интегрируя это уравнение, найдем Но тогда на основании уравнений ф) получаем (б) Уравнения (а), (б) и (у) дают общее решение заданной системы. В дифференциальные уравнения системы могут входить про- производные высших порядков. В этом случае получается система дифференциальных уравнений высших порядков. Так, например, задача о движении материальной точки под действием силы F сводится к системе трех дифференциальных уравнений второго порядка. Пусть Fxt Fyi Fz—проекции силы F на оси координат. Положение точки в любой момент времени t определяется ее координатами я, (/, z. Следова- Следовательно, х, у, z являются функциями от /. Проекции вектора скорости точки ^ dx dy dz на оси координат будут ^, -^, ^. Предположим, что сила F, а следовательно, и ее проекции FX1 Fyi Fz зависят от времени t, положения #, уг г точки и от скорости движения точки, dx dy dz т-е'от TfdfTf Искомыми функциями в этой задаче являются три функции
$29] СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Ю7 Эти функции определяются из уравнений динамики (закон Ньютона) d2x—F (+ dx dy dz\ т~Ш * V ' *' У' *' di ' Ш ' Tt)> d2y r 11 dx dy dz &Ч _ /, dx dy dz тШ*~р{(хугпТ Получили систему трех дифференциальных уравнений второго порядка. В слу- случае плоского движения, т. е. движения, когда траекторией является плоская кривая (лежащая, например* в плоскости Оху), получаем систему двух урав- уравнений для определения функций x(t) и у (t): d*x г Л dx dy\ Решать систему дифференциальных уравнений высших порядков можно путем сведения ее к системе уравнений первого порядка. На примере уравне- уравнений (9) и A0) покажем, как это делается. Введем обозначения dx __ dy _ Тогда d2x du d2y _ dv Система двух уравнений второго порядка (9), A0) с двумя искомыми функ- функциями х (t) и у (t) заменяется системой четырех уравнений первого порядка с четырьмя искомыми функциями х, у, и, v dx __ dy _ — — F (t \ —~F(t \ Заметим в заключение, что рассмотренный нами общий прием решения си- системы может быть в некоторых конкретных случаях заменен тем или иным искусственным приемом, быстрее приводящим к цели. Пример 3. Найти общее решение системы дифференциальных уравнений d2y _ d2z _ dx2 * dx2 Решение. Дифференцируем по х два раза обе части первого уравнения: d*y = d2z dx* ~~ dx2 ' Но -j-?=:0, поэтому получаем уравнение четвертого порядка ~т-х=0. Инте- Интегрируя это уравнение, получим его общее решение (см. § 22, пример 4) у = de*+С2е~х + С3 cos х+С4 sin x. d2u Находя отсюда --~ и подставляя в первое уравнение, найдем гз
108 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. XIII § 30. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами Пусть №ы имеем систему дифференциальных уравнений j/ и11Л1 Г а12Л2 I * * • I UlnXtl> J?l.-a x 4-a x 4- 4-a x Л — и21Л1 • и22Л2 I * * • I U2nA«» где коэффициенты aif суть постоянные. Здесь t — аргумент, i() x2(t), ..., хп(t) — искомые функции. Система A) называется системой линейных однородных дифференциаль- дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Как уже указывалось в предыдущем параграфе, эту систему можно решить путем сведения к одному уравнению я-го порядка, которое в данном случае будет линейным (это было указано в замечании 1 предыдущего параграфа). Но можно решать си- систему A) и другим методом, не сводя к уравнению я-го порядка. Этот метод дает возможность более наглядно анализировать харак- характер решений. Будем искать частное решение системы в следующем виде: x1 = a1ektf x2 = a2eht, .... хя = аяе". B) Требуется определить постоянные аъ а2, ..., ап и k так, чтобы функции агем, a2ekt, ..., anekt удовлетворяли системе уравне- уравнений A). Подставляя их в систему A), получим kaxeht = (aua! + a12a2 + ... + ainan) ek\ ka2ekt = (а21аг + а22а2 + ... + a2nan) ek\ kaneht - (anlax + an2a2 + ... + annan) ekt. Сократим на ekt. Перенося все члены в одну сторону и собирая коэффициенты при alf a2, ..., ап, получим систему уравнений Выберем ai9 a2, ..., an и k такими, чтобы удовлетворялась система C). Эта система есть система линейных однородных ал- алгебраических уравнений относительно att a2, •..,<*„. Составим
§30] СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 109 определитель системы C): п—-k a22—k ... D, Если k таково, что определитель А отличен от нуля, то система C) имеет только нулевые решения а1 = а2= ... =an = 0, а следова- следовательно, формулы B) дают только тривиальные решения Таким образом, нетривиальные решения B) мы получим только при таких ky при которых определитель D) обращается в нуль. Мы приходим к уравнению n-го порядка для определения k: яг* Clnn — k -0. E) Это уравнение называется характеристическим уравне- уравнением для системы A), его корни называются корнями ха- характеристического уравнения. Рассмотрим несколько случаев. I. Корни характеристического уравнения дей- действительные и различные. Обозначим через kly k2J ...,йЛ корни характеристического уравнения. Для каждого корня kt на- напишем систему C) и определим коэффициенты о#\ а$\ ...,a{f}. Можно показать, что один из них произвольный, его можно счи- считать равным единице. Таким образом, получаем: для корня kt решение системы A) для корня k2 решение системы A) для корня kn решение системы A) Xi — otj e n , Л2 — ota ^ t • • • 9 Xn = 06/i e n • Путем непосредственной подстановки в уравнения можно убе- убедиться, что система функций xt = + C2af >Л* + ... 4- Cnaf F)
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. XIII где С1э С2, ..., Сп — произвольные постоянные, тоже является решением системы дифференциальных уравнений A). Это есть общее решение системы A). Легко показать, что можно найти такие значения постоянных, при которых решение будет удовлетворять заданным начальным условиям. Пример 1, Найти общее решение системы уравнений Решение. Составляем характеристическое уравнение 2-fc 2 1 8-* или k2—5& + 4=0. Каходим его корни &i = l, &2 = 4. Решение системы ищем в виде Составляем систему C) для корня ^=1 и определяем ai1} и или откуда а21}?=—о6!1*» Полагая ai1^!, получаем а}р=—g-. Таким обра- образом, мы получили решение системы Составляем далее систему C) для корня k2 — 4 и определяем ai2) и ai2)' откуда ci2> = a22) и cci2> = 1, a22) = l. Получаем второе решение системы Общее решение системы будет (см. F)) И. Корни характеристического уравнения раз- различные, но среди них есть комплексные. Пусть среди корней характеристического уравнения имеется два комп- комплексных сопряженных корня: Этим корням будут соответствовать решения *</> - a}1 Va+'P>' (/=1,2 л), G) х}Я) = а?>в<а-^' (/=1,2, ...,п). (8) Коэффициенты а}1} и ар определяются из системы уравнений C).
§30] СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ \\\ Так же как ив § 21, можно показать, что действительные и мнимые части комплексного решения тоже являются решениями. Таким образом, мы получаем два частных решения ^-^(M^cospx + Xf ship*), хJ) = eat (Kf> sin px + fya> cos px), U где М1}, Ц2\ Цг\ №} — действительные числа, определяемые через а^и af. Соответствующие комбинации функций (9) войдут в общее решение системы. Пример 2. Найти общее решение системы dx-t dx% dt dt Решение. Составляем характеристическое уравнение ~7s2k _5_*И или ?2 + 12&+37 = 0 и находим его корни Подставляя k± ——6 +г в систему C), находим Пишем решение G): Подставляя ?2 = — 6— i в систему C), находим Получим вторую систему решений (8): Перепишем решение G'): jcx1> =e~6* (cos t-\-i sin t), xi } = A + 0 e~6* (cos t-\-i sin t)t или x?) = e-(it (cos t—sin t)-\-ie-6t (cos /+sin t). Перепишем решение (8'): A'22) =е~6* (cos t—sin t) — ie~^ (cos ?+sin t). За системы частных решений можно взять отдельно действительные части и отдельно мнимые части: = e-6*cos?, хъ^^е-ы (cos t—sin 0» \ Общим решением системы будет JCl = C1e-6t cos jc2 = Ci^-6t (cos /—sin 0 +C2e-e* (cos *+sin t).
112 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. XIII Аналогичным методом можно находить решение системы линей- линейных дифференциальных уравнений высших порядков с постоян- постоянными коэффициентами. В механике и теории электрических цепей исследуется, на- например, решение системы дифференциальных, уравнений второго порядка = а1гх + а12у, ^ = a2ix + a22y. A0) Снова ищем решение в форме Подставляя эти выражения в систему A0) и сокращая на ekt, получаем систему уравнений для определения а, р и k 0f а21а + (а22-?2)|3 = 0. A1) Отличные от нуля а и (J определяются только в том случае, когда определитель системы будет равен нулю: Это есть характеристическое уравнение для системы A0); оно является уравнением 4-го порядка относительно k. Пусть kit k2, k3 и &4 —его корни (предполагаем, что корни различны). Для каждого корня kt из системы A1) находим значения аир. Общее решение, аналогично F), будет иметь вид х = Сга™ё* + CjxW + С&™е№ + С4аше№9 у = С$™е*** + CJPW + C?we№ + Сф™**. Если среди корней будут комплексные, то каждой паре ком- комплексных корней в общем решении будут соответствовать выра- выражения вида (9). Пример 3. Найти общее решение системы дифференциальных уравнений dH . d2y Решение. Пишем характеристическое уравнение A2) и находим его корни: М&2 I —1 1— к* Решение будем искать в форме = 0, ) = а<3> еУТ t,
§311 ПОНЯТИЕ О ТЕОРИИ УСТОЙЧИВОСТИ ЛЯПУНОВА ЦЗ Из системы A1) находим а^> и pw>: а<« = 1, ра> = 1/2, а<2> = 1, р<2) = 1/2, aC) = if pw = _l/2, сс<4> = 1, р<4> =—1/2. Выпишем комплексные решения: **> = e-tt=: cos *¦— t sin *, ^2) = о,5 (cos *—- i sin 0- Решением будут действительные и мнимые части: Теперь можем написать общее решение x=Ct cos t + C2 sin 0=y Ci cos *+y C* sin t~ C/Zt ~~ C4e"K?/. Замечание. Мы не рассматривали в этом параграфе случай кратных корней характеристического уравнения. Этот вопрос подробно изложен, напри- например, в книге: Петровский И. Г. Лекции по теории обыкновенных диф- дифференциальных уравнений.— М.: Наука, 1970. § 31. Понятие о теории устойчивости Ляпунова. Поведение траектории дифференциального уравнения в окрестности особой точки Так как решения большинства дифференциальных уравнений и систем уравнений не выражаются через элементарные функции или квадратуры, то в этих случаях при решении конкретных дифференциальных уравнений применяются приближенные методы интегрирования. Понятие об этих методах было дано в § 3; кроме того, некоторые из этих методов будут рассмотрены в §§ 32—34, а также в главе XVI. Недостаток этих методов заключается в том, что они дают только одно частное решение; чтобы получить другие частные решения, нужно все вычисления проводить снова. Зная одно частное решение, нельзя сделать заключение о характере других решений. Во многих задачах механики и техники бывает важно знать не конкретные значения решения при данном конкретном значе- значении аргумента, а характер поведения решения при изменении аргу- аргумента и, в частности, при неограниченном возрастании аргумента. Например, бывает важно знать, являются ли решения, удовлет- удовлетворяющие данным начальным условиям, периодическими, прибли- приближаются ли они асимптотически к какой-либо известной функции и т. д. Этими вопросами занимается качественная теория диффе- дифференциальных уравнений.
114 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. XIII Одним из основных вопросов качественной теории является вопрос об устойчивости решения или об устойчивости движения; этот вопрос был подробно исследован знаменитым русским мате- математиком А. М. Ляпуновым A857—1918). Пусть дана система дифференциальных уравнений TT = ft(t,x9y), % = f.(t,x9y). A) Пусть x = x(t) и y=y(t) — решения этой системы, удовлетворяю- удовлетворяющие начальным условиям *|*=о = *о> У\г=о = Уо- (Г) Пусть далее, ~x = x(t) и у = у (t) — решения уравнения A), удов- удовлетворяющие начальным условиям *|*=о = *о, У\ыо = ~Уо- (Г) Определение. Решения х = х(t) и у = у(t), удовлетворяю- удовлетворяющие уравнениям A) и начальным условиям A'), называются устойчивыми по Ляпунову при t—*оо, если для каждого как угодно малого е > О можно указать S > 0 такое, что при всех значениях t > 0 будут выполняться неравенства s, \y(t)-y(t)\<e, B) если начальные данные удовлетворяют неравенствам K~*o|<S, 1*Го-Уо|<а. C) Выясним смысл этого определения. Из неравенств B) и C) следует, что при малых изменениях начальных условий мало отличаются соответствующие решения при всех положительных значениях t. Если система дифференциальных уравнений является системой, описывающей некоторое движение, то в случае устойчи- устойчивости решений характер движений мало изменяется при малом изменении начальных данных. Разберем это на примере одного уравнения первого порядка. Пусть дано дифференциальное уравнение dy , . 1Г=-^ + 1- (а) Общим решением этого уравнения является функция у = Св-* + 1. (б) Найдем частное решение, удовлетворяющее начальному условию #!*=о=1. (в) Очевидно, что это решение у=\ получится при С = 0 (рис. 281). Найдем, далее, частное решение, удовлетворяющее начальному условию l/lt=o=]/o-
§311 ПОНЯТИЕ О ТЕОРИИ УСТОЙЧИВОСТИ ЛЯПУНОВА Найдем значение С из уравнения (б): откуда Подставляя это значение С в равенство (б), получаем Очевидно, решение у—\ является устойчивым. Действительно, Ц5 при t —> оо. Следовательно, при произвольном е будет выполняться неравенст- неравенство C), если будет выполняться нера- неравенство ~ (УО— 1) = 6 < 8. Если уравнения A) описы- $ вают движение, где аргумент t есть время, и при этом уравне- уравнения не содержат явно времени t, т. е. имеют вид Рис-281' то эта система называется автономной. Рассмотрим, далее, систему линейных дифференциальных уравнений --jj — cx + gy, -yf =ax~\-by. D) Будем предполагать, что коэффициенты a, b, cy g постоянные, при этом очевидно, что х = 0, у = 0 есть решение системы D), в чем убеждаемся непосредственной подстановкой. Исследуем вопрос о том, каким условиям должны удовлетворять коэффи- коэффициенты системы, чтобы решение х = О, у = 0 было устойчиво. Эта исследование проводится так. Дифференцируем первое уравнение и исключаем у и -?-- на основании уравнений системы: d*x _ d, dt2~~c d или E)
Цб ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ?ГЛ. XIII Характеристическое уравнение дифференциального уравнения E) имеет вид %2—(b + c) I—(ag—be) = 0. F) Это уравнение принято записывать в виде определителя С-Ь ? [-о G) (см. уравнение D) § 30). Обозначим корни характеристического уравнения G) через Kt и Я2. Как мы увидим ниже, устойчивость или неустойчивость решений системы D) определяется характером корней %t и %г. Рассмотрим все возможные случаи, I. Корни характеристического уравнения дей- действительные, отрицательные и различные: ^ <0, >v2<0, %1фк2. Из уравнения E) находим Зная х, из первого уравнения D) находим у. Таким образом, решение системы D) имеет вид L (8> Замечание. Если g = 0 и афО, то уравнение E) мы со- составим для функции у. Найдя у, из второго уравнения системы D) находим х. Структура решений (8) сохранится. Если же g = 0, а = 0, то решение системы уравнений принимает вид: Анализ характера решений в этом случае производится проще. Подберем Сг и С2 так, чтобы решения (8) удовлетворяли начальным условиям Решение, удовлетворяющее начальным условиям, будет & | Я A CJ у Из последних равенств следует, что при любом е > 0 можно вы- выбирать |л;01 и \уо\ столь малыми, что для всех f>0 будет 1*@|<е. \y{t)\<e, так как е.**<\; в^<1. Отметим, что в данном случае lim х @ = 0, Ит y(t) = Q. A0) t -»¦ + » t -» + »
§31J ПОНЯТИЕ О ТЕОРИИ УСТОЙЧИВОСТИ ЛЯПУНОВА Ц7 Рассмотрим плоскость хОу. Для системы дифференциальных уравнений D) и дифференциального уравнения E) эта плоскость называется фазовой плоскостью. Решения (8) и (9) системы D) будем рассматривать как параметрические уравнения некоторой кривой на фазовой плоскости хОу: * = Ф(*. Съ С2), y = y(U Си С2), A1) xot Уо). A2) Эти кривые являются интегральными кривыми, или траекториями дифференциального уравнения dy_ax+by которое получается из системы D) путем деления друг на друга правых и левых частей. Начало координат О@; 0) является особой точкой для диф- дифференциального уравнения A3), так как эта точка не принад- принадлежит к области существования и единственности решения. Характер решений (9) и вообще решений системы D) наглядно иллюстрируется расположением интегральных кривых F(x, y% Q = 0, образующих общий интеграл дифференциального уравнения A3). Постоянная С определяется из начального условия у \х=Хо = у0. После подстановки значения С получаем уравнение семейства в форме Fix, у, *0, Уо). A4) В случае решений (9) особая точка называется устойчивым узлом. Говорят, что точка, двигаясь по траектории, неограниченно при- приближается к особой точке при t—* + оо. Очевидно, что соотношение A4) может быть получено путем исключения параметра t из системы A2). Не производя в дальней- дальнейшем полного анализа характера расположения интегральных кри- кривых вблизи особой точки на фазовой плоскости при всех возмож- возможных случаях корней характеристического уравнения, ограничимся иллюстрацией этого на простейших примерах, не требующих про- проведения громоздких вычислений. Отметим, что характер поведения траекторий уравнения A3) вблизи начала координат при произ- произвольных коэффициентах качественно такой же, какой будет рас- рассмотрен в примерах. Пример 1. Исследовать устойчивость решения # = 0, у = 0 системы уравнений dx dy n
118 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. XIII Решение. Характеристическое уравнение будет I— 1—Л- 0 1^ О —2-Я Корни характеристического уравнения ^1==— 1, Я,2 = —2. Решения (8') в данном случае будут * = de-*f у = Сф~*. Решения (9) будут х = хое-*, У = Уое~*К (а) Очевидно, что х (t)—у О и у (t) —> 0 при ? —Н-°° • Решение л:=0, у=0 устойчиво. Обратимся теперь к фазовой плоскости. Исключая параметр t из уравнений (а), получаем уравнение вида A4) *о У о (б) Это семейство парабол (рис. 282). Уравнение вида A3) для данного примера будет 3i dx х Интегрируя, получаем = Сх\ (в) Определим С из условия Рис. 282. Подставляя найденное значение С в (в), получаем решение (б). Особая точка О @; 0) есть устойчивый узел. II.Корни характеристического у равнения дей- действительные, положительные, различные: A,j>0, ^2>0, ^\Ф\- В этом случае решения выражаются также форму- формулами (8) и соответственно (9). Но в данном случае при как угодно малых |лго( и |#0| будет |*(/)|—>оо, \y(t)\—+oo при t—>-f°o, так как е**' —> оо и ек** —у оо при t —> 4" °° • На фазовой плоскости особая точка—неустойчивый узел: при ?—>-foo точка на траекто- траектории удаляется от точки покоя х = 0у у = 0. Пример 2. Исследовать устойчивость решений системы dx dy n Ж=х' Ж=2«- Решение. Характеристическое уравнение будет 1—1 0 0 2-Я, =0; его решения
§31J ПОНЯТИЕ О ТЕОРИИ УСТОЙЧИВОСТИ ЛЯПУНОВА Ц9 Решение будет Решение неустойчиво, так как |*@1—><*>* 1#@1—> °° ПРИ *—>-+оо. Исключая t, получаем \х0) у о (рис. 283). Особая точка 0@; 0) есть неустойчивый узел. Рис. 283, Рис. 284, III. Корни характеристического ураанения действительные, разных знаков, например, ^i>0, Х2<0. Из формул (9) следует, что при как угодно малых |*0{ и | у01, если cx0+gy0—xol2 Ф О, будет | x{t) \ —* оо, j у (t) | -+ со при г—^^оо. Решение неустойчиво. На фазовой плоскости особая точка называется седлом. Пример 3. Исследовать устойчивость решения системы dx dy Ж~~х* ~dt"~"~~ У' Решение. Характеристическое уравнение будет О —2-Х следовательно, Аа = 1, Я2 = —2. Решение будет ==0, Решение неустойчиво. Исключая параметр /, получаем семейство кривых на фазовой плоскости Особая точка О @; 0) есть седло (рис. 284). IV. Корни характеристического уравнения комплексные с отрицательной действительной частью: ?^ = а4-*'Р, К^1**—*'Р(<* <0)- Решение системы D)
120 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. ХШ будет у=± e«f [(aCt+PC2 -cCt) cos p/ -f («C2-pCf -cC2) si о Если ввести обозначение iS = ?, cos 6 = ^, то уравнения A5) можно переписать в виде где Ct и С2—произвольные постоянные, которые определяются из начальных условий х = х0, у~у0 при ? = 0, причем хо = С sin б, у0 = -~ [(а—с) sin б -fP cos6], о откуда находим С1в^, Сг = ^-у~С) . A7) Снова заметим, что если g = 0, то вид решения будет несколько иной, но характер анализа не изменится. Очевидно, что при любом е>0 при достаточно малых \хо\ и \Уо\ будут выполняться соотношения ИОК*. \y(t)\<*- Решение устойчиво. В данном случае при t—>^oo х@-*0 и 1/@ — 0, неограниченное число раз меняя знаки. На фазовой плоскости особая точка называется устойчивым фокусом. Пример 4. Исследовать устойчивость решения системы уравнений dx , dy ж=-х+у' чг=-х-у- Решение, Составляем характеристическое уравнение и находим его корни: Находим Ct и С2 по формулам A7): Ci=xOi C2=y0. Подставляя в A5), по- получаем x = e~i(x0cost-{-y0sintI y = e-f (y0 cos t—xosin t). (A) Очевидно, что при любых значениях t При /—^+оо имеем x(t)—>0, е/@-*>0. Решение устойчиво.
§31j ПОНЯТИЕ О ТЕОРИИ УСТОЙЧИВОСТИ ЛЯПУНОВА 121 Выясним характер расположения кривых на фазовой плоскости в этом случае. Преобразуем выражения (А). Пусть Тогда равенства (А) примут вид x^Me-tcos (t—Ь), y = Me~f sin (*—6). (В) На фазовой плоскости перейдем к полярным координатам р и Э и установим зависимость р = /@). Уравнения (В) принимают вид р cos Э = Me-'cos (*—6), psln8 = Me-*sin(*—6). (С) Возведя в квадрат правые и левые части и складывая, получим или Установим зависимость t от 9. Деля члены нижнего из равенств (С) на соот- соответствующие члены верхнего равенства, получим откуда f-9+б. Подставляя в (D), получаем или Р = Ме~6-д. Обозначая Me~6 = Mi, окончательно получаем р^Мхе-в. (Е) Это семейство логарифмических спиралей. В этом случае при t —»- оо точка по траектории приближается к началу координат. Особая точка 0@; 0) есть устойчивый фокус. V. Корни характеристического уравнения ком- комплексные с положительной действительной ча- частью: ^ = а + Ф, %2 = а—ф (а>0). В этом случае решение также выразится формулами A5), где а > 0. При любых началь- начальных условиях х0 и уо{Ух1 + у*офО) и при t-+ + oo величины 1*@1 и 11/@1 могут принимать как угодно большие значения. Чтение неустойчиво. На фазовой плоскости особая точка назы- называется неустойчивым фокусом. Точка по траектории неограни- неограниченно удаляется от начала координат. Пример 5. Исследовать устойчивость решения системы уравнений dx , dy ж=х+у ж= Решение. Составим характеристическое уравнение:
122 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. XIII Решение A5) с учетом A7) в данном случае будет х = е*(х0 cost-\-y0sin t), у — ё*(у0 cos t—#о sin t). На фазовой плоскости получим кривую в полярных координатах Особая точка — неустойчивый фокус (рис. 285). «2? Рис. 285. Рис. 286. VI. Корни характеристического уравнения чисто мнимые: %± = ф9 Х2 = — ф. Решения A5) в этом случае примут вид y=J j pCi— cC2) sin Щ. Постоянные С± и С2 определяются по формулам A7): г —y Г 8У+сх A8) A9) Очевидно, что при любом е > 0 и при всех достаточно малых | х0 \ и | j/o I будет | х (t) | < е, | у (t) | < е при любом t. Решение устойчиво. Здесь х и у—периодические функции от t. Чтобы произвести анализ интегральных кривых на фазовой плоскости, целесообразно первое из решений A-8) записать в сле- следующем виде (см. A6)): B0) где С, б—произвольные постоянные. Из выражений B0) следует, что х и у—периодические функции от t. Исключаем параметр t из уравнений B0):
§31] ПОНЯТИЕ О ТЕОРИИ УСТОЙЧИВОСТИ ЛЯПУНОВА 123 Освобождаясь от радикала, получим Это семейство кривых 2-го порядка (кривые действительные), зависящих от произвольной постоянной С. Каждая из них не имеет неограниченно удаленных точек. Следовательно, это семей- семейство эллипсов, окружающих начало координат (при с = 0 оси эллипсов параллельны осям координат). Особая точка называется центром (рис. 286). Пример 6. Исследовать устойчивость решения системы уравнений dx dy . Решение. Составим характеристическое уравнение и найдем его корни: — А, 1 — 4 — X = 0, Решения B0) будут Уравнение B1) будет иметь вид На фазовой плоскости имеем систему эллипсов. Особая точка — центр. VII. Пусть A,i = 0, ?v2 < 0. Решение (8) в этом случае при- принимает вид y — i-C.c + C^-c)^]. B2) Очевидно, что при любом е>0 и при достаточно малых |а:0| и | у01 будет |х(t)\ < е, \y(t)\<& при t > 0. Следовательно, ре- решение устойчиво. Пример 7. Исследовать устойчивость решения системы dx r, dy . . HF=0' Ж — »' <«> Решение. Находим корни характеристического уравнения; Здесь g — 0. Решения находим непосредственно, решая систему, не пользуясь формулами B2): x = Ci9 y = C2e~t. (P) Решение, удовлетворяющее начальным условиям x=xQy у = Уо при ^ = 0, будет х = х0, y = yoe-f. (у) Очевидно, что решение устойчиво. Дифференциальное уравнение на фазовой плоскости будет -т-=0. Общий интеграл будет дс = С. Траектории—прямые,
124 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. XIII параллельные оси Оу, Из уравнений G) следует, что точки по траекториям приближаются к прямой у = 0 (рис. 287). VIII. Пусть ^? = 0, >i2>0. Из формул B2) или (8') следует, что решение неустойчиво, так как | х (t) \+\ у (t) \ —+ оо при t —>+оо. IX. Пусть 911 = Я2<0. Решение будет B3) Так как е***—>0 и teK>*—+0 при 0 , то для любого е>0 Рис. 287. Рис. 288. можно подобрать Ct и С2 такие (путем выбора xQ и у0), что будет 1*@1<8> |у@1<8 ПРИ любом t > 0. Следовательно, решение устойчиво. При этом x{t)—>0 и y(t)—+O при /—> + оо. Пример 8. Исследовать устойчивость решения системы dA: dy It х' Ж~"~у' Решение. Находим корни характеристического уравнения* I —1 —А, 0 I о — 1 —; Здесь g = 0. Решение системы будет иметь форму (8'): причем х—>0, у—^0 при /—>+<*>• Решение устойчиво. Семейство кривых на фазовой плоскости будет — ssss~^—=г^} Т. е. у = кХ. X ^**1 Это семейство прямых, проходящих через начало координат. Точки по тра- траекториям приближаются к началу координат. Особая точка О@; 0) есть узел (рис. 288).
§31] ПОНЯТИЕ О ТЕОРИИ УСТОЙЧИВОСТИ ЛЯПУНОВА 125 Заметим, что в случае ^f = Я2 > 0 форма решения B2) со- сохраняется, но при t—++00 I * (О I "—"УО° и If/COl""^00- Решение неустойчиво. X. Пусть Х1 = %2 = 0. Тогда 1 г -^ ' ^ -cC2f]. B4) Откуда видно, что х -> оо и */->оо при ?->-f-oo. Решение успгойчиео. Пример 9. Исследовать устойчивость решения системы уравнений dx dij л Решение. Находим корни характеристического уравнения: Находим решения Очевидно, что х —*оопри /—^+ °°« Решение неустойчиво. Уравнение на фазовой Облает неустойчивых 0 W ._ Я А* решений Рис. 289. Рис. 290. плоскости будет ;/=0. Траектории ^=С—-прямые, параллельные оси (рис. 289). Особая точка называется вырожденным седлом. Чтобы дать общий критерий устойчивости решения системы D), поступим следующим образом. Запишем корни характеристического уравнения в форме ком- комплексных чисел: (в случае действительных корней A,i* = 0 и hi* =0).
126 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1ГЛ. ХШ Возьмем плоскость к*к** комплексной переменной и будем изображать корни характеристического уравнения точками на этой плоскости. Тогда на основании рассмотренных случаев ус- условие устойчивости решения системы D) можно сформулировать следующим образом. Если ни один из корней 9^, к2 характеристического уравне- уравнения F) не лежит справа от мнимой оси, причем хотя бы один корень отличен от нуля, то решение устойчиво; если же хотя бы один корень лежит справа от мнимой оси или оба корня равны нулю, то решение неустойчиво (рис. 290). Рассмотрим теперь более общую систему уравнений B5) Решение такой системы, кроме исключительных случаев, не вы- выражается через элементарные функции и квадратуры. Для того чтобы установить, устойчивы или неустойчивы реше- решения этой системы, ее сравнивают с решениями линейной систе- системы. Предположим, что при х -* 0 и у -*¦ О функции Р (х, у) и Q (*> У) также стремятся к нулю и притом быстрее, чем р, где иными словами, ^ = 0, lim Q (*>y)=0. Тогда можно доказать, что, кроме исключительного случая, ре- решение системы B5) будет устойчиво тогда, когда устойчиво ре- решение системы % = cx + gy, % = ax + by, D) и неустойчиво, когда решение системы D) неустойчиво. Исклю- Исключение составляет тот случай, когда оба корня характеристичес- характеристического уравнения лежат на мнимой оси; в этом случае вопрос об устойчивости или неустойчивости решения системы B5) решается значительно сложнее. А. М. Ляпунов *) исследовал вопрос об устойчивости решений систем уравнений при довольно общих предположениях относи- относительно вида этих уравнений. В теории колебаний часто рассматривают уравнение d2x р / dx\ /о«ч ?[x) <26> *) Ляпунов А. М. Общая задача об устойчивости движения.— М.; Лл ОНТИ, 1935.
§32] МЕТОД ЭЙЛЕРА 127 Обозначим <27> Тогда получаем систему уравнений ah". 2=/<*•">¦ <28> Фазовой плоскостью для этой системы будет плоскость (х, v). Траектории на фазовой плоскости дают геометрическое изобра- изображение зависимости скорости v от координаты х и наглядно ка- качественно характеризуют изменение х и v. Если точка # = 0, и = 0 является особой точкой, то она определяет положение рав- равновесия. Так, например, если особая точка системы уравнений есть центр, т. е. траектории на фазовой плоскости представляют собой замкнутые линии, окружающие начало координат, то движения, определяемые уравнением B6),— незатухающие колебательные движения. Если особая точка фазовой плоскости есть фокус (при этом \х\ -*•(), \v\ ->0 при t-+oo), то движения, определяемые уравнением B6),— затухающие колебания. Если особая точка есть узел или седло (и это единственная особая точка), то х ->- ->±оо при t -*oo. В этом случае движущаяся материальная точка уходит в бесконечность. Если уравнение B6) линейное вида j^r^^x-t-b—, то система B8) имеет вид dx dv v a Это система вида D). Точка # = 0, v = 0 есть особая точка, она определяет положение равновесия. Отметим, что переменная х— не обязательно механическое перемещение точки. Она может иметь различный физический смысл, например, обозначать вели- величину, характеризующую электрические колебания, § 32.: Приближенное решение дифференциальных уравнений первого порядка методом Эйлера Мы рассмотрим два метода численного решения дифференци- дифференциального уравнения первого порядка. В этом параграфе рассмот- рассмотрим метод Эйлера. Найдем приближенно решение уравнения на отрезке [х09Ь]9 удовлетворяющее начальному условию y=yQ при х = х0. Разделим отрезок [xQj b] точками д:0, xi9 x2, ..., хп = Ь на п равных частей (здесь xQ < х± < х2 <.,. < хп). Обозначим
128 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1ГЛ. XIII х±—х0 = х2 — хг = .., = Ь — xn_t = kx = h, следовательно, h b~~x° Пусть y = q>(x) есть некоторое приближенное решение урав- уравнения A) и Обозначим В каждой из точек х0, Xf, •,., х„ в уравнении A) производную заменим отношением конечных разностей: При дс = дсв будем иметь ^ = / (*о> Уо), АУо = f (^о. или В этом равенстве #0, у0, ft известны, следовательно, находим При * = *f уравнение B') примет вид или уг) ft. Здесь известными являются я*, уъ ft, а г/2 определяется. Аналогично находим 2, У.) А, Таким образом, приближенные значения решения в точках х0, Xf,..., хп найдены. Соединяя на координатной плоскости точки (*0; Уо)> (Xi\ Ух), • • •, (хп; уп) отрезками прямой, получим лома- ломаную—приближенное изображение интегральной кривой (рис. 291). Эта ломаная называется ломаной Эйлера.
г 321 МЕТОД ЭЙЛЕРА 129 Замечание. Обозначим через y = (fh(x) приближенное ре- решение уравнения A), соответствующее ломаной Эйлера при &x=h. Можно доказать*), что если сущест- существует единственное решение у = у*(х) уравнения A), удовлетворяющее на- начальным условиям и определенное на отрезке [л:0, 6], то ,iim | фл (х)—ф* (х) |= =0 при любом х из отрезка [х0У 6]. Пример. При л:—1 найти прибли- приближенное значение решения уравнения удовлетворяющего начальному условию yQ=\ при хо=О. Рис, 291. *% Решение* Разделим отрезок [0, 1] на 10 частей точками С ft = 0,l. З р 0,1; 0,2; ..., 1,0. Следовательно, кать по формуле B'): или Таким образом, получаем г/2=1,1 + A,1+0,1).0,1 = 1,22, В процессе решения составляем таблицу: ] Значения ylt y2i ,,., уп будем хк Xq =0 х± =0,1 х2 =0,2 х3 =0,3 *4 =0,4 хь =0,5 *в =0,6 х7 =0,7 хв =0,8 х9 =0,9 ,000 ,100 ,220 1,362 1,524 1,7164 1,9380 2,1918 2,4810 2,8091 3,1800 Ук+Хк 1,000 1,200 1,420 1,620 1,924 2,2164 2,5380 2,8918 3,2810 3,7091 0,100 0,120 0,142 0,162 0,1924 0,2216 0,2538 0,2892 0,3281 0,3709 Мы нашли приближенное значение у |x=i = 3,1800. Точное решение дан- данного уравнения, удовлетворяющее указанным начальным условиям, будет *) Доказательство см., например, в книге: Петровский И. Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений.— М.: Наука, 1970, Н. С. Пискунов, т, 2
|30 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ XIII Следовательно, Абсолютная погрешность: 0,2566; относительная погрешность: ~^gg=O,075« = 2(*—l)= 3,4366. тная погрешность: 0,256 «8%. § 33, Разностный метод приближенного решения дифференциальных уравнений, основанный на применении формулы Тейлора* Метод Адамса Снова будем искать решение уравнения y' = f(*,y) A) на отрезке [л;0, 6], удовлетворяющее начальному условию у = у0 при х = х0. Введем нужные для дальнейшего обозначения. При- Приближенные значения решения в точках х0, xi9 х2, . •., хп будут Уоу Ун У%у •••> Уп* Первые разности, или разности первого по- порядка: ЬУо = У1-Уо, Ьу1 = уъ-уи ,.., куп-1 = Уп-Уп-ь Вторые разности, или разности второго порядка: Д2г/0 = Ayt - А */0 = уш - 2ft +1/0, Д2^1 = д#2 - д Уг == Уз - №Уп-2 = ДУ«-1 - Д^-2 = Уп - 2У« Разности вторых разностей называются разностями третьего по- порядка и т. д. Через y'Qi y'u ...,#„ обозначим приближенные зна- значения производных, через yl, ft, ..., i/^ — приближенные значе- значения вторых производных и т. д. Аналогично определяются пер- первые разности производных вторые разности производных и т. д. Напишем далее формулу Тейлора для решения уравнения в окрестности точки х = х0 (т. I, гл. IV, § 6, формула F)); m. B) В этой формуле у0 известно, а значения y'Of y"Q, ... производных
§33] РАЗНОСТНЫЙ МЕТОД 131 находятся из уравнения A) следующим образом. Подставляя в правую часть уравнения A) начальные значения х0 и yOf найдем yi: Дифференцируя члены уравнения A) по х, получим *¦-%,+%«¦¦ <3> Подставляя в правую часть значения х0, у0, y9 найдем ^= \Тх+ТуУ) |,„„ ушу., ушу? Дифференцируя еще раз равенство C) по х и подставляя значе- значения х09 у0, Уоу у'о, найдем у'о". Продолжая*) так, можем найти значения производных любого порядка при х = х0. Все члены, кроме остаточного члена Rm, в правой части формулы B) из- известны. Таким образом, пренебрегая остаточным членом, мы можем получить приближенные значения решения при любом значении х; их точность будет зависеть от величины \х — хо\ и числа членов в разложении. В рассмотренном ниже методе по формуле B) определяют только несколько первых значений у, когда \х — хд\ мало. Мы определим значения yf и у2 при x1 = xQ + h и при x2 = x0 + 2hf беря четыре члена разложения (у0 известно на основании на- начальных данных): ^ + ТТг^ + зГ^0 » W 1у'.+^у; + ^У»'. D') Таким образом, будем считать, что известны три значения **) функции yQJ yly у2. На основании этих значений, пользуясь уравнением A), определяем Уо = / (ХО9 у0), y[ = f (Xit Ух), у'% = f(x2, y2). Зная уо» Уи У*2, можно определить Дуо, Ayi, А2у0. Результаты вычисления заносим в таблицу: *) Мы в дальнейшем будем предполагать, что функция f (х, у) столько раз дифференцируема по х и по у, сколько требуется по ходу рассуждений. **) Если бы мы стали находить решение с большей точностью, то потре- потребовалось бы вычислять больше трех первых значений у. Подробно об этом см., например: Безикович Я. С, Приближенные вычисления»—М.; Гос- техиздат, 1949, 5*
132 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ |ГЛ. ХШ X х0 xt == Xq + h x2 = x0 + 2h ... **-i = *e + №— 0* ** = *о + *А Уо Уг ... у! ... Ai/' ... ... Допустим теперь, что нам известны значения решения у9, у19 у2У ..., yk. На основании этих значений, пользуясь уравнением A), мы можем вычислить значения производных у'О9 y'lf уг, ..., j4, а следовательно, Д^, Ly'u ..., Аг/Li и Д2#;, Д2у;, ..., Д2у^2. Определим значение yk+i по формуле Тейлора, полагая а = хк9 + h — 4- '4- "J- '"Л- jl.<i Ограничимся в нашем случае четырьмя членами разложения: ЖчУь • E) В этой формуле неизвестными являются yl и у^\ которые мы попытаемся определить через известные разности первого и вто- второго порядков.
§33] РАЗНОСТНЫЙ МЕТОД ]33 Предварительно представим по формуле Тейлора у'к_и пола- полагая a = xk, х — а =— ft: У'ь-г = Й + Ц** # + (-=# Ун% F) и tjk-г, полагая а = хкУ х — а =—2ft: Из равенства F) находим Ук ~ y'k-i=&yLi = т ifi—П2 #*"• (8) Вычитая из членов равенства F) члены равенства G), получим y'k-t - y'k-ъ = Д^-2 = у У* y y'k"- (9) Из (8) и (9) находим или ^' = 1Д^_2. A0) Подставляя выражение y'k" в равенство (8), получим йв*?=!+?й=2. A1) Итак, у? и ^" найдены. Подставляя выражения A0) и (И) в разложение E), получим Это и есть так называемая формула Адамса с четырьмя членами, Формула A2) дает возможность, зная yk, ук_г, ук_2У определить ук+1. Таким образом, зная у0, ух и */2, мы можем найти уъ и далее У*, Уъ, ••• Замечание 1. Укажем без доказательства, что если суще- существует единственное решение уравнения A) на отрезке [х0, Ь\ удовлетворяющее начальным условиям, то погрешность прибли- приближенных значений, определенных по формуле A2), по абсолютной величине не превосходит yVf/i4, где М — постоянная, зависящая от длины интервала и вида функции / (г, у) и не зависящая от ве- величины ft. Замечание 2. Если мы хотим получить большую точность вычисления, то следует брать больше, чем в разложении E), членов, и формула A2) соответствующим образом изменится. Так,
134 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. XIII если вместо формулы E) мы возьмем формулу, содержащую справа пять членов, т. е. дополним членом порядка fi4, то вместо фор- формулы A2) аналогичным путем получим формулу h f , h A , . Ых к в* г . Здесь f/^+i определяется через значения yk, yk_it yk_2 и yk^^. Таким образом, чтобы начать вычисления по этой формуле, нужно знать четыре первых значения решения у0, yi9 y2, t/3- При вычис- вычислении этих значений по формулам типа D) следует брать пять членов разложения. Пример 1. Найти приближенные значения решения уравнения у' = у-{-х, удовлетворяющего начальному условию Уо—1 при #0 = 0. Значения "решения определить при #=0,1; 0,2; 0,3; 0,4. Решение. Найдем сначала у$ и у2 по формулам D) и D'), Из уравне- уравнения и начальных данных получаем Дифференцируя данное уравнение, получим / = */'+!. Следовательно, y; = fo' + l)L=o==l + l=2. Дифференцируем еще раз: Следовательно, Подставляя в равенство D) значения yOi y'o, yl и h = 0,1» получим Аналогично при h = 0,2 получим 0 2 0 22 0 2 Зная i/q, yi, у2, на основании уравнения находим i= 1,1103+0,1 = 1,2103, 2= 1,2427+0,2 = 1,4427, Д^= 0,2324, A2i/i = 0 Полученные значения заносим в таблицу:
§33] РАЗНОСТНЫЙ МЕТОД 135 X *i = 0,l *2 = 0,2 *з = 0,3 *4 = 0,4 У уо = 1,0000 #1 = 1,1103 у2=^ 1,2427 1/з=1,3995 t/4 = l,5833 0* 00=1 у[= 1,2103 й = 1,4427 0з=1,6995 А0' Д0о' = 0,2103 A0i = 0,2324 Д02 =0,2568 ду Д20о = 0,0221 A2^ = 0,0244 По формуле A2) находим 03: 03 = 1,2427+^ • 1,4427+^ • 0,2324+^i . 0,0221 =1,3995. Далее находим значения 03, Д02, Д20ь Снова по формуле A2) находим 04Т Точное выражение решения данного уравнения: у = 2е*—х— 1. Следовательно, у\х-^л — 2е0'4—0»4—1 = 1,58364. Абсолютная погрешность: 0 0003 0,0003; относительная погрешность: -г~Еооа ^ 0,0002 = 0,02%. (Абсолютная по- 1,ООО0 грешность значения 04, вычисленного по методу Эйлера: 0,06; относительная погрешность: 0,038 = 3,8%.) Пример 2. Найти приближенные значения решения уравнения удовлетворяющего начальному условию 0О=О при дго = О. Значения решения определить при # = 0,1; 0,2; 0,3; 0,4. Решение. Находим
136 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ По формулам D) и D') получаем [ГЛ ХШ Из уравнения находим = 0,0400. На основании этих данных составляем первые строки таблицы, а затем значения ув и уА определяем по формуле A2). X *x = 0,i *2 = 0,2 *3 = 0,3 *4=0,4 У уо=0 «/! = 0,0003 у2 =0,0027 #3=0,0090 ^=0,0213 у' Уо = 0 (/1=0,0100 1/2 = 0,0400 уз =0,0901 Д#о = 0,0100 Ду1 = 0,0300 Д(/2 = 0,0501 Д2у;=0,0200 А2у1 = 0,0201 Итак, ^3 = 0,0027+^-0,0400+^.0,0300+1.0,1.0,0200 = ^ = 0,0090+^-0,0901 +^1.0,0501 +--0,1.0,0201=0,02133. Отметим, что первые верные четыре знака в у± таковы: */4 = 0,0213. (Это можно получить другими, более точными методами, с оценкой погрешности.) § 34. Приближенный метод интегрирования систем дифференциальных уравнений первого порядка Рассмотренные в §§ 32 и 33 методы приближенного интегри- интегрирования дифференциальных уравнений применимы и для решения систем дифференциальных уравнений первого порядка. Рассмотрим
§341 ПРИБЛИЖЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ СИСТЕМ 137 здесь разностный метод для решения систем уравнений. Рассуж- Рассуждения будем проводить для системы двух уравнений с двумя искомыми функциями. Требуется найти решения системы уравнений dy ? / v /л\ d? = h(x,y,*), B) удовлетворяющие начальным условиям у = у0, z = zQ при х = х0. Будем определять значения функции у и г при значениях аргумента #0, xiy x2> ..., хкУ хк+ь ..., хп. Пусть снова Приближенные значения функции обозначим и соответственно Напишем рекуррентные формулы типа A2) § 33j А ' jl.1Lд ' -|_—/iA2 ' D} Чтобы начать вычисления по этим формулам, нужно знать кроме заданных у0 и г0 еще у^ у2\ ziy г2; эти значения находим по формулам типа D) и D') § 33: h , , Л2 „ . Л8 ,„ ^1 == ^о 4" "f го "Ь ~ го Ч* "зГ 2° ' ^2 == ^о г "у ^о Н 2—^oi—3J—^° ' Для применения этих формул нужно знать y'Oi yly у'ъ\ z'Of 2j, 2j", к определению которых мы сейчас и приступим. Из уравне- уравнений A) и B) находим y'o = fi(*o> У*, г0), z'9 = f2(x0t у0У г0).
138 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. ХШ Дифференцируя уравнения A) и B) и подставляя значения х0, yQ9 *о» Уо и z'o, найдем Дифференцируя еще раз, найдем у'о" и г'0'\ Зная уь y2, гъ z2, находим из данных уравнений A) и B) у[9 у'2, г'и г'2, Ау09 А#;, А2(/0, AzJ, Az'u A2zJ, после чего мы можем заполнить первые пять строк таблицы: X Xq Ч х3 У Уо У± Уч Уз У' Уо я У1 У* Уъ &у'о &У1 At/2 А2 у' А2Уо A2yi г 20 Zi 22 23 г' л 20 к 22 г'з Az' Аз' Az[ А22 АН А2го A>z[ По формулам D) и E) найдем у3 и г3, а из уравнений A) и B) найдем у3 и г3. Вычислив Ау^ &2Уи Агг, А2г^, снова по фор- формулам D) и E) найдем у4 и г4 и т. д. Пример 1. Найти приближенные значения решений системы с начальными условиями #о = О, zo=l при дго = 0. Вычислить значения реше- решений при *=0,1; 0,2; 0,3; 0,4. Решение. Из данных уравнений находим * \ 1 * I /\
§341 ПРИБЛИЖЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ СИСТЕМ 139 Дифференцируя данные уравнения, найдем По формулам типа D) и E) находим w=o+5fi. i+^.o+^-1=0,1002, 0 9 0 92 0 2 </=0+^ • 1+М • 0+^ ^ М- • 0+^- . 1=0,2013, = 1 +^ • 0+°^ • 1 +°-? • 0= 1,0050. *=1+М. 0+^.1+^.0=1,0200. На основании данных уравнений находим ^=1,0050, 21 = 0,1002, t/2 = 1,0200, 22=0,2013, Ау[ = 0,0150, Azi = А2«/о = 0,0100, А2*; = 0,0009 и заполняем первые пять строк таблицы (см. с. 140), Далее по формулам D) и E) находим ?±1.0,1011+—• 0,1-0,0009=1,0452 и аналогично ^! • 1,0452+^1.0,0252 +~0,1-0,0102 = 0,4107, ^1. 0,3045+^-.0,1032 + ~.0,Ь0,0021 = 1,0809. Очевидно, что точные решения данной системы уравнений, удовлетворяю- удовлетворяющие указанным начальным условиям, будут у — sh дс, z — ch х. Поэтому пять верных после запятой знаков решений будут #4 = sh 0,4 = 0,41075, z4=ch 0,4= 1,08107. Замечание. Так как уравнения высших порядков и си- системы уравнений высших порядков во многих случаях сводятся к системе уравнений первого порядка, то изложенные методы применимы к решению этих задач.
140 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ XIII о о о о см я сГ S о о ю о § 8 о" 2 о о 050 S о" о* со о о и со о* сГ
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ ХШ 141 Упражнения к главе XIII Показать, что указанные функции, зависящие от произвольных постоян- постоянных, удовлетворяют соответствующим дифференциальным уравнениям: Функции Дифференциальные уравнения 2. у = п d?y 3 d2y dx3 x rfjc2 6. y = 8. u = - dx* ^ x dx Проинтегрировать дифференциальные уравнения с разделяющимися пере- переменными. 9. ydx—xdy = 0. Отв. у = Сх. 10. (l+a) vdu+(\— v) и dv=0. Отв. inuv + u-*v = C. 11. (\+y)dx—(\—x)dy = 0. Отв. (\+y) (I— x) = C. 14. zdt — (t*—a2)dz = 0. Отв. г2а = С^~. 15. ~ ^-- !6- (l+s)^— ^Frfs^O. Отв. 21^*?—arctgs=C. — ьу 17. dp-}-ptg9d9=0. Отв. p = Ccos9. 18. sin9cosq>d0—cos Ввтф dcp—O. Отв. 19. sec29tg9d9+sec29tg9rf<p = 0. Ome. 20. sec29tg^^4-sec29tg9d9=0. Ome. sin2 9+sin2<p=-C. 21. (l+л:2) dy— V\—y2dx=0. Ome. arosiny—a 22. Y"U^dy—VT^dx = 0. Отв. у УТ^с2— 23. 3e*tgt/d*+(l— e^) sQczydy = O. Ome. tg>= 24. (л:—</2л)д(а:+(^—x*y)dy = 0. Ome. Задачи на составление дифференциальных ур авнен ий 25. Доказать, что кривая, у которой угловой коэффициент касательной в любой точке пропорционален абсциссе точки касания, есть парабола. Отв. у==ах2-\-С. 26. Найти такую кривую, проходящую через точку @; —2), чтобы угло- угловой коэффициент касательной в любой ее точке равнялся ординате этой точки, увеличенной на три единицы, Отеш у — ех—3,
142 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. XIII 27. Найти такую кривую, проходящую через точку A; 1), чтобы угловой коэффициент касательной к кривой в любой точке был пропорционален квад- квадрату ординаты этой точки. Отв. k(x—\)у—*/-}-1=0. 28. Найти такую кривую, для которой угловой коэффициент касательной в любой точке в п раз более углового коэффициента прямой, соединяющей ту же точку с началом координат. Отв. у = Схп. 29. Через точку B; 1) провести кривую, для которой касательная в любой точке совпадает с направлением радиус-вектора, проведенного из начала коор- координат в ту же точку. Отв. у — х/2. 30. Найти в полярных координатах уравнение такой кривой, в каждой точке которой тангенс угла между радиус-вектором и касательной равен обрат- обратной величине радиус-вектора, взятой с обратным знаком. Отв. гF+С) = 1- 31. Найти в полярных координатах уравнение такой кривой, в каждой точке которой тангенс угла, образуемого радиус-вектором с касательной, равен квадрату радиус-вектора. Отв. г2 = 2(8+С). 32. Доказать, что кривая, обладающая тем свойством, что все ее нормали проходят через постоянную точку, есть окружность. 33. Найти такую кривую, чтобы в каждо? ее точке длина подкасательной равнялась удвоенной абсциссе. Отв. у = С^ х. 34. Найти кривую, для которой радиус-вектор равен длине касательной между точкой касания и осью х. Решение. По условиям задачи -^-1 V"l +J/'2 = У^ + У2* откуда — = = ± — . Интегрируя, получаем два семейства кривых у = Сх и у — —, X X * 35. По закону Ньютона скорость охлаждения какого-либо тела в воздухе пропорциональна разности между температурой тела и температурой воздуха. Если температура воздуха равна 20° С и тело в течение 20 мин охлаждается со 100° до 60° С, то через сколько времени его температура понизится до 30° С? Решение, Дифференциальное уравнение задачи ^-jr—kiT—20). Инте- Интегрируя, находим Т—20 = Се**; Т=100 при t = 0, Г = 60 при *=20, поэтому С = 80, 40 = Се2<>*, **=(уI/2°> следовательно, 7 = 20+80 (~V/2°. Пола- Полагая Т = 30, найдем / = 60 мин. 36. В какое время Т вода вытечет через отверстие 0,5 см2 на дне кониче- конической воронки высотой 10 см с углом при вершине d = 60°? Решение. Подсчитаем двумя способами объем воды, вытекшей за время между моментами t и t-\-At. При постоянной скорости у за 1 с через отвер- отверстие вытекает цилиндр воды с основанием 0,5 см2 и высотой у, а за время А? вытекает объем воды dv, равный—dv = — 0,5vdt =—0,3 V2gh at *). С другой стороны, вследствие утечки высота воды получает отрицательное * приращение» dh, и дифференциал объема вытекшей воды равен —dv = яг2 dh = -jr(h+ 0,7J dh. Таким образом, ^(h + 0,7Jdh = — 0,3 *) Скорость v истечения воды из отверстия, находящегося на расстоянии h от свободной поверхности, дается формулой v = 0,6^2^ где g—ускорение силы тяжести,
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ Х1Ц 143 отсюда t = 0,0315 (lO5/2-/i5/2) + 0,0732 Полагая h = 0, получаем время истечения Т— 12,5с. 37. Замедляющее действие трения на диск, вращающийся в жидкости, пропорционально угловой скорости вращения со. Найти зависимость этой угловой скорости от времени, если известно, что диск, начав вращаться со скоростью 100 об/мин, по истечении I мин вращается со скоростью 60 об/мин» Отв. @=100 C/5)* об/мин. 38. Допустим, что в вертикальном воздушном столбе давление на каждом уровне обусловлено давлением вышележащих слоев. Найти зависимость дав- давления от высоты, если известно, что на уровне моря это давление равно 10 Н на 1 см2, а на высоте 500 м оно равно 9,2 Н на 1 см2. Указание. Воспользоваться законом Бойля—Мариотта, в силу кото- которого плотность газа пропорциональна давлению. Дифференциальное уравнение задачи dp = —kpdh, откуда р= 10е-°»00017^. Отв. р = 10е-°>00017>*. Проинтегрировать следующие однородные дифференциальные уравнения: 39. (у—х) dx+(y+x) dy = O. Отв. y2 + 2xy—x2=Ct 40. (х+у) dx+x dy = O. Отв. x2 + 2xy = Ct 41. (х+у) dx+(y—x) dy = 0. Отв. ln(*2 + */2)V2 — _arctg-^-=:C. 42. xdy—y dx=}fx2+y2 dx. Отв. l+2Cy—C2x2 = 0. 43. (8ij+10*) dx+Ey+7x) dy = 0. Отв. (x+yJ Bx+yK=C. 44. B VTt — s)dt+ + tds = O. Отв. teVs/t = Ct или s = Hn2y. 45. (t—s) dt+tds=O. Отв. tesft^C, или s = t\x\ — % 46. xy2 dy = (xb + t^) dx. Отв. у = 47. x cos ~ {y dx-\-xdy) =ysin~(x dy—у dx)t Отв. xy cos — = C« XX X Проинтегрировать дифференциальные уравнения, приводящиеся к одно- однородным 48. (Zy—7x+7)dx—Cx—7y—3)dy = 0. Отв. (х+у—If (*—у— 1J = С 49. (x+2y+l)dx—Bx + 4y+3)dy = 04 Отв. 1D+8+Ь)+84 50. (x+2y+l)dx—Bx—3)dy = 0. Отв. InBл:—3)— 51. Определить кривую, поднормаль которой есть среднее арифметическое между абсциссой и ординатой. Отв. (х—уJ(х+2у) = С. 52. Определить кривую, у которой отношение отрезка, отсекаемого каса- касательной на оси Оу, к радиус-вектору равно постоянной величине» dy it у ^ dx ( х \т Решение» По условиям задачи =т, откуда (-7т-) — V х2+у2 Vе/ / С \т_2у ~\~) -7f 53. Определить кривую, у которой отношение отрезка, отсекаемого нор- нормалью на оси Ох, к радиус-вектору равно постоянной величине, ? Решение. По условию задачи ¦¦ =/п, откуда х2+у2=/п2 (лг—СJ. Ух2+у* 54. Определить кривую, у которой отрезок, отсекаемый касательной на оси Оу, равен asec0, где 0—угол между радиус-вектором и осью х%
144 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ XIII Решение. Так как tg 6 = — и по условию задачи t/—л: ~=л sec 0, то dy V*2 + y2 Л -~+ь -(±+ь)\ получаем y—xj- = a- -*-, откуда у = — L е х —е ^х 'J • 55. Определить кривую, для которой отрезок, отсекаемый на оси ординат нормалью, проведенной в какой-нибудь точке кривой, равен расстоянию этой точки от начала координат. х Решение. Отрезок, отсекаемый нормалью на оси Оу, равен у-\—- ; поэтому по условию задачи имеем у-\—г= Ух2-\-у2 , откуда х2 = С Bу-\-С). 56. Найти форму зеркала, которое все лучи, выходящие из одной и той же точки О, отражало бы параллельно данному направлению. Решение. За ось х принимаем данное направление, точку О—за начало координат. Пусть ОМ — падающий луч, МР— отраженный, MQ — нормаль к искомой кривой: а=Р, ОМ = OQt NM=y, NQ = Y~ = S/ctg § = y~ji , откуда ydy~(—x-\- Vx2 + y2) dx; интегрируя, имеем у2 Проинтегрировать следующие линейные дифференциальные уравнения: 5 ±1 Отв. У^Сха+\^Г-\* 59- (х Отв. у=ах+СхУ\—х2, 60. -^г cos t+ssin t = ].Ome. s = sin /+Ceosf. 61. ^-+sQ0st = ^-s\n2t. Отв. s^slnt— 1+Ce~sln^. 62. y'*- — y=e*xn. tit ? x Отв. у = хп(е* + С). 63. ^ + ~^ = ^-. Отв. хпу = ах+С. 64. y' + y = e~*. Отв. e*y=-x+C. 65. y'+iz^^—1=0. Отв. у = х2 (\ + CeVx). x Проинтегрировать уравнения Бернулли: 66. у'+ху = х3у*. Отв. у2(х2+1+Се*2)=1. 67. (\—у2)у'—Ху—аху2 = 0. Отв. {CV~\—x2—a)y=\. 68. Зу2у'~ау*—х—\=0. Отв. а2у3 = Сеа* — [2/ ] 2/ {V)y уу у — а(х+\)— 1. 69. у'(*У+*у)-=1. Отв. х [B—у2) е^2/2+ С]= еу2/2 . 70. (у\пх—2)ydx=xdy. Отв. у (Сх2 + Ых2+\) = 4. 71. y—y'fiosx = l— ътх). Отв. ^ = —1—-., Проинтегрировать следующие уравнения в полных дифференциалах: 72. (x2+y)dx + (x—2y)dy = 0. Отв. -^- + */*—У2 = С. 73. (t/—Зд:2)^— y—x)dy = 0. Отв. 2у2—ху+х3 = С. 74. (у*—х)у' = у. Отв. у* = Е 76. 2C^2+2д:3)^а:+3Bл:2^+1/2)^ = 0. Отв. *+З22+* .c. 7, (^ о™. ,•+„'=&«. 79. V^ — Ю- ^—У 80. xdx+ydy= У ^~\У . Опт. Jt2+^_2arctg- = C. * т1/ У
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ XIII 145 81. Определить кривую, обладающую тем свойством, что произведение квадрата расстояния любой ее точки от начала координат на отрезок, отсе- отсекаемый на оси абсцисс нормалью в этой точке, равно кубу абсциссы этой точки. Отв. у2Bх2+у2) = С. 82. Найти огибающую следующих семейств линий: а) у = Сх-\-С2. Отв. *2+4*/ = 0. b) у = ^-+С2. Отв. 27х2 = 4у3. с) ~ Ijk^2- Отв. 27у = х*. d) С2х + Су— 1 =0. Отв. у* + 4х = 0. е) (*—СK + + (у-СJ = С2. Отв. х = 0; у = 0. f) (х-СJ+у2 = 4С. Отв. у2 = 4х+4. g) (х-СJ + (у-СJ = 4. Отв. (х-у)ъ = ъ. h) Cx* + C*y = l. Отв. х*~\-4у = 0. 83. Прямая перемещается так, что сумма отрезков, отсекаемых ею на осях координат, сохраняет постоянную величину а. Составить уравнение оги- огибающей всех положений прямой. Отв. х1^2 + г/1/2 = а1/2 (парабола). 84. Найти огибающую семейства прямых, на которых оси координат отсе- отсекают отрезок постоянной длины а. Отв. я2/3 -\-y2l* = а2/3. 85. Найти огибающую семейства окружностей, диаметрами которых слу- служат удвоенные ординаты параболы у2 = 2рх. Отв. у2 — 2р (*+*к-) • 86. Найти огибающую семейства окружностей, центры которых лежат на параболе у2 = 2рх, причем все окружности семейства проходят через вершину этой параболы. Отв. Циссоида хв-\-у2 (х-{-р) = 0. 87. Найти огибающую семейства окружностей, диаметрами которых слу- служат перпендикулярные к оси х хорды эллипса ЬЧ2 + а2*/2 = a2b2. 88. Найти эволюту эллипса x2b2-\-a2y2 = a2b2 как огибающую его норма- нормалей. Отв. (ахJ/з+(Ьу)Уз = (а2 — Ь2J/з. Проинтегрировать следующие уравнения (уравнения Лагранжа): 89. у = 2ху' + у'*. Отв. х = ^~р9 у=??=-?. 90. у=ху'*+у'*. Отв. у = (Ух+\ + СJ. Особое решение: у = 0. 91. у = хA +*/') + (уУ- Отв. х = Се-Р—2р+2, у = С (р + \)е-Р—р*+2. 92. у = уу'2+2ху'. Отв. 4Сх — 4С2—у2. 93. Найти кривую, имеющую постоянную нормаль. Отв. (х—СJ-\-у2 = а2. Особое решение: у=±а. Проинтегрировать данные уравнения Клеро: 94. у = ху'+у'—у'2. Отв. у = Сх+С—С2. Особое решение: 4у = (х + \J. rl— у'2. Отв. у = Сх+У\—С2. Особое решение: #2—х2 = 1. Отв. у = Сх+С. 97. у=ху' + -±г. Отв. у = ^ У с Особое решение: у2 = 4х. 98. у~ху' 71.0тв.у = Сх—~г2. Особое решение: 99. Площадь треугольника, образованного касательной к искомой кривой и осями координат, есть величина постоянная. Найти кривую. Отв. Равнобо- кая гипербола 4ху— ± а2. Кроме того, любая прямая семейства у — Сх ± аУ^С. 100. Найти такую кривую, чтобы отрезок ее касательной между коорди- координатными осями имел постоянную длину а. Отв. у = Сх ± . Особое решение: *2/з+//з=а2/3. 101. Найти кривую, касательные к которой образуют на осях отрезки, сумма которых равна 2а. Отв. у — Сх—-—^. Особое решение: (у—х—2аJ=8ах.
146 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ?гл хш 102. Найти кривые, для которых произведение расстояния любой каса- касательной до двух данных точек постоянно. Отв. Эллипсы и гиперболы» (Орто- (Ортогональные и изогональные траектории.) 103. Найти ортогональные траектории семейства кривых у = ахп. Отв. х2 + пу2 = С. 104. Найти ортогональные траектории семейства парабол у2—2р{х—а) (ее — параметр семейства). Отв. у = Се~х^р. 105. Найти ортогональные траектории семейства кривых х2—*/2 = а (а—параметр). Отв. у = С/х. 106. Найти ортогональные траектории семейства окружностей х2-{-у2 = = 2ах Отв. Окружности: у = С (х2 -{- у2). 107. Найти ортогональные траектории равных парабол, касающихся в вер- вершине данной прямой* Отв. Если 2р—параметр парабол и данная прямая взята за ось Оу, то уравнение траектории будет y-\-C — -g у — ж3 . х3 108. Найти ортогональные траектории циссоид #2==о * Отв. (х2+у2J = С(у2 + 2х2). 109. Найти ортогональные траектории лемнискат (х2-{-у2J = (х2—у2) а2. Отв. (х2+у2J = Сху. _ 110. Найти изогональные траектории семейства кривых х2 — 2а (у—лг|^*3), где а—переменный параметр, если постоянный угол, который образуют траек- траектории с линиями семейства, равен со = 60°. Решение. Находим дифференциальное уравнение семейства у' =—— f 3 и заменяем у' выражением <7 = -Д—тт-—• Если со=60°, то а—— ~=—,и мы получаем дифференциальное уравнение -^ ~=i=~—У 3 . Общий ин- + у} теграл у2 = С\х—у КЗ) дает искомое семейство траекторий. 111. Найти изогональные траектории семейства парабол у2 = 4Сх, когда о> = 45°. Отв. у2—ху+2х2 = СеГ 7 xY 7, 112. Найти изогональные траектории семейства прямых у = Сх для случая 2 КТ arctg -^ со=ЗО°, 45°. Отв. Логарифмические спирали х2+у2=е х ; х 113. у = С1ех-\-С%е~х, Исключить Ct и С2. Отв. у"—у = 0. 114. Написать дифференциальное уравнение всех окружностей, лежащих в одной плоскости. Отв. (l+y'2)y"f—Зу'у — 0. 115. Написать дифференциальное уравнение всех центральных кривых вто- второго порядка, главные оси которых совпадают с осями Ох, Оу. Отв. 2 116. Даны дифференциальное уравнение у'"—2уп—у'-\-2у=0 и его общее решение у = С1ех + С2е"х + Сде2х. Требуется: 1) проверить, что данное семейство кривых действительно яв- является общим решением; 2) найти частное решение, если при # = 0 имеем #=i, #'=(), /=—1. Отв. */=*-?-
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ XIII 147 117. Даны дифференциальное уравнение у"**^ и его общее решение Требуется: 1) проверить, что данное семейство кривых действительно яв- является общим решением; 2) найти интегральную кривую, проходящую через точку A; 2), если касательная в этой точке составляет с положительным направлением оси Ох угол 45°. Отв. t/=-o-V"*3+-j. Проинтегрировать некоторые простейшие типы дифференциальных уравне- уравнений второго порядка, приводящиеся к уравнениям первого порядка. 118. ху"' = 2. Отв. у — х2 In х+Сгх2+С2х+С3; выделить частное решение, удовлетворяющее следующим начальным условиям: х=1, у=\, #'=1, #" = 3. 120. уп = а2у. Отв. ах = In (ay + Va2y2 + Сх) + С2 или y^ 121. y" = aly*. Отв. (С1х+С2J = С1у2-а. В примерах 122—125 выделить частное решение, удовлетворяющее сле- следующим начальным условиям: # = 0, t/ =—1, у'~0. 122. ху"—у'=х2ех. Отв. у = ех (х— 1)+Ci*2+C2. Частное решение: y = e* (*__!). 123. ##"—(i/'J + (^'K = 0. Ome. y+Ct \ny=x-\-C2. Частное ре- решение: # = — 1. 124. i/"+|/' tgA: = sin2A:. Отв. y = C+Csinxx Частное решение: у = 2 sin х—sin x cos х—х—1. 125. (у"J + (у'J = а2. Отв. у = С2—a cos (#+Cx). Частные решения: # = а—1—acosx, y=acosx—(#+1). (Указание. Параметрическая форма у" = a cost, y' = asint.) 126. у"^^* Отв. у= ± -| (*+CiK/2 + C;2. 127. у"' = уГ*. Отв.у = (С1-х) [In (Ci-*)-l 2+з. 128. у'у"'—ЗуГ2 = 0. Отв. х = С1У2+С2у+С3. Проинтегрировать следующие линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами: \29. у" = 9у. Отв. у^Сгё*х-\-С2е~*х. 130. /+г/ = 0. Отв. у = Л cos * + 131. #"—1/' = 0. Ome. у = Сг-\-С2ех. Ш. у"-\-\2у = 7у\ Отв. у = +Cae4*. 133. г/"—.4^ + 4г/ = 0. Отв. у = (Сг+С2х) е2х. 134. ^'+2г/' + = 0. Отв. ^ = e-^f^_cos3^+5sin3A:). 135. у"+3у'—2y = Q. Отв. у = ^ -3-V17 2 *. 136. 4у"— \2у'+9у=0. Отв. y = 137. у"+У' + У = О- Отв. ^ = e- t38. Два одинаковых груза подвешены к концу пружины. Найти движение, которое получит один груз, если другой оборвется. Отв. х — a cos f l/ — t j, где а есть увеличение длины пружины под действием одного груза в состоя- состоянии покоя. 139. Материальная точка массы т притягивается каждым из двух центров с силой, пропорциональной расстоянию. Множитель пропорциональности равен k. Расстояние между центрами равно 2с. В начальный момент точка находится на линии соединения центров на расстоянии а от ее середины. Начальная скорость равна нулю. Найти закон движения точки. Отв. х~ i a cos
148 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. XIII 140. t/V — Ьуп+ 4«/ = 0. Отв. у = С1ех + С2е"х + С3е2х + С4ех. 141. у'" — — 2у" — у'-\-2у=0.Отв. у=С1е2х4-С2ех+С3е~х. 142. у'" — Зау"+3а2у — а?у=0. + C^x+Cbej2x. 144. ^1уЧ-2/+9г/=0. Ome. y=(C1cosVr2i+C, +(С3 cos уг2лг + С4 зш^гл:) ел'. 145. i/lv—8/+16^/ = 0. Отв. ^=С g-2;f. 146. t/iv.L^^o. Отв. y = eV 2 +е 147. yiv — aAy — O. Найти общее решение и выделить частное решение, удовлетворяющее начальным условиям у=\, t/'=0, у" = —а2, у'" = 0 при л:0=0. Отв. Общее решение: y = Cieax + C2e-ax+C3cos ax-\-C4sin ax. Частное решение: t/0 — cos ax, Проинтегрировать следующие неоднородные линейные дифференциальные уравнения (найти общее решение): 148. у"—7у' + 12у = х. Отв. у = С1^х+С2е^ + 12^7 . 149. s"—a*s= Отв. s^C^ + Cae-^ —-^ti-. 150. у" + у'—2у = 8sin 2л:. Отв. у = С1ех + 4- Fsin2*-l-2cos2;t). 151. ^—у=5^+2. Отв. ^=^^+025-^—5*—2. о 152. s"—2as'+«2s = e* (аф\). Отв. s = C1eat+C2tea^+/ е П2 . 153. у* + (а— l)* ==в2^. Отв. у = С1е-х + С2е-5х+^е2х. 154. #" + 9# = &>3*. Отв. je3^. 155. ^—3/ = 2—6ж. Отв. y = . Отв. у=ех(С 157. ^+4^ = 2sin2^. Отв. y = C1sin2x+C2cos2x—~ 158. e//ff—4y"+5y'—2y = 2x+3. Отв. y^(Ci+C2x)ex+C^x—x^^ 159. ^v—a*y = 5a*eaxsinax. Отв. y = (Ci—sin ax) eax+C2e~ax+C3 cos ax+ + Ctslnax. 160. yW+2a2y"+a*y = 8cosax. Отв. у = (Cx + C2*) cos^jc + + (^з+Q*) sin ax g cos ax. 161. Найти интегральную кривую уравнения y"+#ty = 0, проходящую через точку М (х0; у0) и касающуюся в точке М прямой у = ах. Отв. у = = у0 cos А; (*— ^о) + у sin ^ (дс—д:0). 162. Найти решение уравнения ^/+2%' + rt2y = 0, удовлетворяющее усло- условиям у = а> у' = С при * = 0. Отв. y = e-hx (acosyOi2—h?x-\—^а1г у \ У л2—/*2 ^ при Л< п; y = e~hx [(C+ah)x+a] при & = л; у = при /г > /г.
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ XIII 149 163. Найти решение уравнения у"-{-п2у = ks\n px (p ф я), удовлетворяющее условиям */ = я, у' = С при * = 0. Отв. y = acosnx-\ ^П ~Р Т sinn* + + 1 2 sin Рх' 164. Груз массой 4 кг привешен к пружине и увеличивает ее длину на 1 см. Найти закон движения этого груза, полагая, что верхний конец пружины совершает гармоническое колебание, закон которого # = sin]/*100g/, где у из- измеряется по вертикали. Решение. Обозначая через х вертикальную координату груза, считае- считаемую от положения покоя, имеем 4 п*х где /—длина пружины в свободном состоянии и & —400, как легко видеть из начальных условий. Отсюда -—|-+100g# = 100gsinVlQOgt +100/g. Частный интеграл этого уравнения мы должны искать в виде t (Cx cosj/ToO^ + Ca sinV \OOgt) + /, так как первый член правой части уравнения входит в решение однородного уравнения. 165. В условиях задачи 139 начальная скорость равна v0 и направление перпендикулярно к прямой, соединяющей центры. Найти траектории. Решение. Если начало координат взять в середине расстояния между центрами, то дифференциальные уравнения движения будут иметь следующий d^x d^ii вид: т--77т = ? (С—х)—k(C4-x) = —2kx, m-?%>~—2ky. Начальные данные at* ut'j при / = 0: Интегрируя, находим л х . уЧк t . Отсюда ^-+?—г—* (эллипс). а tnvo 166. Горизонтальная трубка вращается около вертикальной оси с постоян- постоянной угловой скоростью со. Шар, помещенный внутри трубки, скользит по ней без трения. Найти закон движения шара, если в начальный момент он нахо- находится на оси вращения и имеет скорость vQ (вдоль трубки). Указание. Дифференциальное уравнение движения есть -тр- = 0Jг. На- Начальные данные: г=0, -зт=уо при г=0. Интегрируя, находим г^=~ [е®*— е~®{]. Применяя метод вариации произвольных постоянных, проинтегрировать следующие дифференциальные уравнения: 167. 2f--70' + 6y==sin*. Отв. y = Cle*+C2e**+ 5sin* + 7 cos* 168. y"-\-y = secx. Отв. y = Ci cos# + C2sin#4-*sinje + 169. y"+y— # Отв. y = Ci cos x+C2 sin x— У cos 2x. cos 2x у cos 2x Проинтегрировать следующие уравнения различных типовз
150 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ XIII Опгв. -^—=С. 172. у = ху'2-\-у'2. Отв. у = (У~х+\+СJ. Особые решения: у = 0, *+1=0. 173. y"+y = secx. Отв. у = Сг cosx + C2 sinx+x sin х + + cos х In cos x. 174. (\+х2)у'—ху~а = 0. Отв. у = ах+С}Г\ -\-х2. 175. — -?=zycos——x. Отв. =С. 176. #" — 4у = е2х sin ?*. 177. Отв. (\пх+\+Сх)у = \. 178. Bx + 2y—\)dx+(x+y—2)dy = 0. + —3 In (х+(/ + 1)=С. 179. Зв^ tg у Лс + A —бх) sec2 г/ d«/ = 0. Отв. tgy = C(i — Проинтегрировать следующие системы уравнений: 180. -п=у+1, -^=д:+1. Выделить частные решения, удовлетворяющие начальным условиям #=—2, (/ = 0 при * = 0. Отв. y = C1et-\-C2e'-i—I, x = Ci€t—Сф~*—1. Частное решение: х* =—е~* — 1, у* = е~*—1. 181. —=х—2yt -~-=ix—у. Выделить частные решения, удовлетворяю- удовлетворяющие начальным условиям х=\, у = \ при ? = 0. Отв. y = CfCOS * + C2sin t, (С + С) cos t-\-(C2—Ci) sin t. Частное решение: #*^=cos t—sin t, t/* = cos t. t. 184. 185. 186. Ш- < %+Ъ+м-тп*. Отв. x = C1et + C2e~i+C3cost + C4smtt -t—c3 cos t—C4 sin t. Отв. х = Сг |—„-3, Отв. y = Отв. у=Cf+C2a:+2 sin *, 2 = — 2Cj—C2B*+l) —3sin#
188. 189. 190. dx ж dy dz dz ~dx" dx yz * dzx УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ XIII 0тв9 х=Сге- 151 Отв9 z= Отв. —~ Исследовать, является ли решение * = 0, у =0 устойчивым для следующих систем дифференциальных уравнений; 191. ( dx о Q Отв, Неустойчиво. 192. 193. dx _ dt 2у. 0тв9 Устойчиво, Отв. Неустойчиво. 194. Найти приближенные значения решения уравнения у'=у2+х, удов- удовлетворяющего начальному условию у=\ при * = 0. Значения решения найти при значениях *=0,1; 0,2; 0,3; 0,4; 0,5. Отв. у @,5) =2,235. 195. Найти приближенное значение y\x-i^ решения уравнения удовлетворяющего начальному условию #=1 при х—1. Сравнить полученный результат с точным решением. 196. Найти приближенные значения #|f=i,4 и у lf-1,4 решений системы уравнений ' ~ dx dy o удовлетворяющих начальным условиям jc=O, y=l при t—\. Сравнить полу- полученные значения с точными.
ГЛАВА XIV КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ § 1. Двойной интеграл Рассмотрим в плоскости Оху замкнутую *) область Z), ограни- ограниченную линией L. Пусть в области D задана непрерывная функция * = /(*. {/)• Разобьем область D какими-нибудь линиями на п частей AS tS ( 292) б AS2, AS3, у X tsSn (рис. 292), которые будем называть площад- площадками. Чтобы не вводить новых символов, будем обозначать через ASX, ..., ASn не только названия соответствующих пло- площадок, но и их площади. В каждой из площадок ASf. (внутри или на грани- границе—безразлично) возьмем точку Pt\ тог- тогда будем иметь п точек Pi9 Р2, ..., Рп. Обозначим через f(PJt /(Р2), ..., f(Pn) значения функции в выбранных точ- точках и составим сумму произведений вида f(P)bS 292. = | f(P§)bSt. A) Эта сумма называется интегральной суммой для функции f(xyy) в области D. Если />0 в области D, то каждое слагаемое f(Pi)ASi можно представить геометрически как объем малого цилиндра, основание которого есть AS,., а высота f(Pi). Сумма Vn есть сумма объемов указанных элементарных цилинд- цилиндров, т. е. объем некоторого «ступенчатого» тела (рис. 293). *) Область D называется замкнутой, если она ограничена замкнутой ли- линией, и точки, лежащие на границе, считаются принадлежащими области D.
§1] ДВОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ 153 Рассмотрим произвольную последовательность интегральных сумм, составленных с помощью функции f(xt у) для данной области D: у пхч угс2» • • • ¦ B) при различных способах разбиения области D на части AS{. Будем предполагать, что максимальный диаметр площадок AS^ стремится к нулю при nk—+oo. При этом оказывается справедливым следующее утверждение, которое мы приводим без доказательства. л Рис. 293. Рис. 294, Теорема 1. Если функция f(x> у) непрерывна в замкнутой области D, то существует предел последовательности B) инте- интегральных сумм A), если максимальный диаметр площадок ASt стремится к нулю, an—»-оо. Этот предел один и тот же для любой последовательности вида B), т. е. он не зависит ни от способов разбиения области D на площадки ASh ни от вырора точки Pi внутри площадки AS(. Этот предел называется двойным интегралом от функции f (к, у) по области D и обозначается так: §j[/4P)dS или $$/(#, y)dxdy, D D т. е. lira < ^ И f (*> У)dx аУ- Здесь область D называется областью интегрирования. Если f (ху у) ^ 0, то двойной интеграл от функции / (х, у) по области D равен объему тела Q, ограниченного поверхностью, образующие которой параллельны оси Ог, а направляющей слу- служит граница области D (рис. 294). Рассмотрим, далее, следующие теоремы о двойном интеграле. Теорема 2. Двойной интеграл от суммы двух функций )+$(> У) по области D равен сумме двух двойных интег-
154 КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. XIV ралов по области D от каждой из функций в отдельности: Теорема З. Постоянный множитель можно вынести за знак двойного интеграла: если а = const, то Доказательство обеих этих теорем приводится совершенно так же, как доказательство соответствующих теорем для определен- определенного интеграла (см. т. I, гл. XI, !у §з). Теорема 4. Если область D раз- разбита на две области Dx и D2 без- об- общих внутренних точек и функция f (Ху у) непрерывна во всех точках обла- области D, то Рис.295, + \\f{xyy)dxdy. C) Доказательство. Интегральную сумму по области D можно представить в виде (рис. 295) 2 / (Р() AS, = 2 / {Рд AS, + S / (Рд AS/, D) D Dt D2 где первая сумма содержит слагаемые, соответствующие площад- площадкам области Diy вторая— слагаемые, соответствующие площадкам области D2. В самом деле, так как двойной интеграл не зависит от способа разбиения, то мы производим разбиение области D так, что общая граница областей D± и D2 является границей площа- площадок AS,-. Переходя в равенстве D) к пределу при ASt-—^0, получим равенство C). Очевидно, что эта теорема справедлива для любого числа слагаемых. § 2. Вычисление двойного интеграла Пусть область D> лежащая в плоскости Оху, такова, что всякая прямая, параллельная одной из координатных осей, на- например оси Оу, и проходящая через внутреннюю*) точку *) Под внутренней точкой области мы подразумеваем точку, не лежащую яа границе области.
§ 21 ВЫЧИСЛЕНИЕ ДВОЙНОГО ИНТЕГРАЛА 155 области, пересекает границу области в двух точках Nt и ЛГ3 (рис. 296). Мы предположим, что в рассматриваемом случае область D ограничена линиями f/ = <Pi(#), У = ф2(#), х = а9 х = Ь, причем 4i(x) ^Ф2(*)> a<by a функции щ(х) и Ф2(#) непрерывны на от- отрезке [а, Ь]. Такую область мы будем называть правильной в направлении оси Оу. Аналогично определяется область, пра- правильная в направлении оси Ох. Область, правильную как в направлении оси Ох, так и в нап- направлении оси Оу, мы будем называть просто правильной областью. На рис. 296 показана именно правиль- правильная область D. Пусть функция f(x, у) непрерывна в области D. Рассмотрим выражение а \ф, (х) которое мы будем называть двукрат- двукратным интегралом от функции /(#, у) по области D. В этом выражении сначала вычисляется интег- интеграл, стоящий в скобках, причем интегрирование производится по у, а х считается постоянным. В результате интегрирования получится непрерывная *) функция от х: ф2(*) (*)= J f(x,y)dy. Эту функцию мы интегрируем по х в пределах от а до Ь: ь В результате получается некоторое постоянное число. Пример. Требуется вычислить двукратный интеграл Решение. Вычисляем сначала внутренний интеграл (стоящий в скобках): *) Мы здесь не доказываем того, что функция Ф (х) непрерывна,
156 КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. XIV Интегрируя полученную функцию в пределах от 0 до 1, находим о = 105 * Определим область D. В данном случае в качестве D рассматривается область, ограниченная линиями (рис. 297) у = 0, у = х2, х = 0, х—\. Может случиться, что область D такова, что одна из функций y=(fi(x)J y = q>2(x) не может быть задана одним аналитическим выражением на всем участке изменения х (от * = а до х = Ь). i 0 У 1 rfffffl к ш а Рис. 297, Пусть, например, а Рис. 298# р <6, причем фх(х) = \р(х) на отрезке [а, с], на отрезке [с, ft], где г|?(л:) и % (*) — функции, задан- заданные аналитически (рис. 298). Тогда двукратный интеграл запи- запишется следующим образом: а \ф, (дг) ф4 КФ2(л; y)dy)dx+ f(x,y)dy)dx. Первое из этих равенств написано на основании известного свой- свойства определенного интеграла, а второе —в силу того, что на участке [а, с] имеем <Pi(x) = t|)(x:), a на участке [с, ft] имеем Vi()%{) Аналогичная запись для двукратного интеграла имела бы место и в том случае, если бы функция <р2 (х) задавалась различными аналитическими выражениями на различных участках отрезка [*, Ь]. Установим некоторые свойства двукратного интеграла. Свойство 1. Если правильную в направлении оси Оу область D разбить на две области Dt и Ь2 прямой, параллельной оси Оу или оси Ох, то двукратный интеграл ID no области D будет равен
§21 ВЫЧИСЛЕНИЕ ДВОЙНОГО ИНТЕГРАЛА сумме таких же интегралов по областям D* и Dz> m. e. 157 Доказательство, а) Пусть прямая х = с(а<Сс<Ь) раз- разбивает область D на две правильные в направлении оси О у области *) Di и D2. Тогда Ь/ф2(х) v Ь с Ь ! S f(x9 y)dy)dx=\ O(x)dx=[<b(x)dx+) Ф(х)йх = \фг (л:) /а а с J /(х, jr)dHde+$( J f(x,y)dy\dx = IDl + IDt. а \ ф! (л) / с \ф! (*) ' б) Пусть прямая у = h разбивает область D на две правильные в направлении оси О у области D1 и D2 так, как изображено на рис. 299. Обозначим через Mi и М2 точки пересечения прямой y = h с гра- границей L области D. Абсциссы этих то- h чек обозначим через а^ и &1в Область D? ограничена непрерыв- непрерывными линиями: D У = Ч?Лх); 2) кривой AtMiMzB, уравнение ко- которой условно запишем в форме имея при этом в виду, что ср! (#) = ф2 (х) при b^^b и что и при (pj(#)=ft при 3) прямыми х — а, х = Ь. Область Dz ограничена лини ями у = (fl (x)> у == ф2 (х) f где Напишем тождество, применяя к внутреннему интегралу тео- теорему о разбиении промежутка интегрирования: J <Pl<*) ^Ф8() \ ф2(> J f(*,y)dy)dx=U J f(x9y)dy+ J f(x>y)dy)dx= <) ^ \<) * *) Тот факт, что часть границы области Dt (и области D2) является куском вертикальной прямой, не мешает этой области быть правильной в на- направлении оси Оу: ведь для того, чтобы область была правильной, необхо- необходимо только, чтобы всякая вертикальная прямая, проходящая через внутрен- внутреннюю точку области, имела с границей не более двух общих точек.
158 КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ XIV Последний интеграл разобьем на три интеграла, применяя к внешнему интегралу теорему о разбиении промежутка интегри- интегрирования: 5( J f(x,y)dy)dx=U J f{x,y)dy)dx+ а \q>; <*) J a \q>; (x) J Ьх ,ф.(ДС) v 6 ф2(*) v + S( J /(*,*)<**) <М-$( J f(x%y)dy)dx\ а>\1(х) У bt\q>l(x) J так как ч\(х) = Чъ{х) на отрезке [а, ах] и на отрезке [Ьи Ь], то первый и третий интегралы тождественно равны нулю. Поэтому Ь/Ч>1{х) ч &, ФИ*) 'd=51 S /(^Й^)л+$( J f(x,y)dy)dx. a V(*) У «Aq>J<*) / Здесь первый интеграл есть двукратный интеграл по области Di% второй —по области D2. Следовательно, Доказательство будет аналогично при любом положении секу- секущей прямой МгМ2. Если прямая МгМ2 разобьет область D на три или большее число областей, то получим соотношение, аналогичное со- соотношению A), в правой части которо- которого будет стоять соответствующее число слагаемых. Следствие. Каждую из полу- полученных областей мы можем прямой, параллельной оси Оу или оси Ох, сно- снова разбить на правильные в направле- направлении оси О у области и к ним приме- применить равенство A). Таким образом, область D можно разбить прямыми, параллельными осям координат, на любое число правильных областей Dl9 D2, Ц,, ..., Db и при этом будет справедливо утверждение, что двукратный интеграл по области D равен сумме двукратных интегралов по частичным областям, т. е. (рис. 300) i 0 v \ a ч ^*- •*• Ш •a* > b as Рис, 300# (о Свойство 2 (оценка двукратного интеграла). Пусть т и М—наименьшее и наибольшее значения функции f (x, у) в области D. Обозначим через S площадь области D. Тогда имеет место соотношение J /(*, y)dy)dx^MS. C)
§2] ВЫЧИСЛЕНИЕ ДВОЙНОГО ИНТЕГРАЛА 159 Доказательство. Произведем оценку внутреннего интег- интеграла, обозначив его через Ф(л;): <р2 (*) ф2 (*) Ф(*) = S f(*> У)ЛУ< S Mdy = M[<ft{x) <Pl (X) ^ (X) Тогда $ J fix, a \(pi(x) т. e. ID^MS. C') Аналогично, Ф1 (л:) Ф1 (х) Ь Ь lD = J ф (х) dx^\ т [ф2 (дс)—Фх (a:)] dx = mS, /D>mS. C") Из неравенств C') и C") и следует соотношение C): mS < ID < MS. В следующем параграфе мы выясним геометрический смысл этой теоремы. Свойство 3 (теорема о среднем). Двукратный ин- интеграл ID от непрерывной функции f (л:, у) по области D с пло- площадью S равен произведению площади S на значение функции в некоторой точке Р области D, т. е. S f(x,y)dy)dx = f(P)S. D) - -<PiK*> J Доказательство. Из соотношения C) получаем Число ~^-ID заключено между наибольшим и наименьшим значе- значениями функции f(x, у) в области D. В силу непрерывности функ- функции f(x, у) она принимает в некоторой точке Р области D зна- значение, равное числу -о-//>, т. е. откуда f(PS E)
160 КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. XIV § 3. Вычисление двойного интеграла (продолжение) Теорема. Двойной интеграл от непрерывной функции f (х, у) по правильной области D равен двукратному интегралу от этой функции по области D> т. е.*) S$(*f y)dxdy=U S /(*, y)dy)dx. D а \ф!(х) / Доказательство. Разобьем область Dпрямыми, параллель- параллельными осями координат, на п правильных (прямоугольных) обла- областей AS±, AS2, ..., ASn. На основании свойства 1 (формула B)) предыдущего параграфа имеем п //> = /as1 + /as1+ • •• +/ASn= 2 hsr A) Каждое из слагаемых, стоящих справа, преобразуем по тео- теореме о среднем для двукратного интеграла: /as, = /(/>,) AS,. Тогда равенство A) примет вид 1 + f(P2)AS2+...+f(Pn)ASn= S /(Л)AS,, B) где Рг—некоторая точка области AS,-. Справа стоит интеграль- интегральная сумма для функции f(xy у) по области D. По теореме о су- существовании двойного интеграла следует, что предел этой суммы при п—>>оо и стремлении наибольшего диаметра площадок AS; к нулю существует и равен двойному интегралу от функции / (л:, у) по области D. Величина двукратного интеграла ID, стоящего в левой части равенства B), не зависит от п. Таким образом, переходя к пределу в равенстве B), получим ID= Hm diam AS или $$/(*. y)dxdy^ID. C) D Выписывая подробно выражение двукратного интеграла ID, окончательно получим Кф2<*) \ J f(x, y)dy)dx. D) *) При этом мы снова полагаем, что область D правильная в направле- направлении оси Оу и ограничена линиями у~уг(х)} # = <р2(*), х = а, х = Ь.
S3] ВЫЧИСЛЕНИЕ ДВОЙНОГО ИНТЕГРАЛА (ПРОДОЛЖЕНИЕ) 161 Замечание 1. Для случая, когда /(ху у)^О, формула D) имеет наглядное геометрическое толкование. Рассмотрим тело, ограниченное поверхностью z = f(x, y)y плоскостью г = 0 и ци- цилиндрической поверхностью, образующие которой параллельны оси Ог, а направляющей служит граница области D (рис. 301). Вычислим объем этого тела V. Выше было показано, что объем этого тела равняется двой- двойному интегралу от функции }(ху у) по области D: z (ху y)dxdy. E) Вычислим теперь объем этого тела, пользуясь ре- результатами § 4 гл. XII т. 1 о вычислении объема тела по площадям парал- параллельных сечений. Прове- Проведем плоскость х = const (a < < х < Ь)у рассекающую рас- рассматриваемое тело. Вычи- Вычислим площадь S(x) фигуры, получающейся в сечении х = const. Эта фигура есть криволи- криволинейная трапеция, ограниченная линиями z = f(xy у) (х = const), 2 = 0, y = q>i(x), y = (<p2)x. Следовательно, эта площадь выразится интегралом F) О а Рис. 301 „ = S f(x, y)dy. Зная площади параллельных сечений, легко найти объем тела ъ или, подставляя выражение F) для площади 5(х), получаем К f(x, y)dy)dx. G) В формулах E) и G) левые части равны, следовательно, равны и правые: J /(*, y)dy)dx. - Ф1М / Н, С, Пискунов, т. 2
162 КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ |ГЛ. XIV Теперь нетрудно выяснить и геометрический смысл теоремы об оценке двукратного интеграла (свойство 2 предыдущего пара- параграфа): объем тела V, ограниченного поверхностью г = /(л:, у)у плоскостью г = 0 и цилиндрической поверхностью, направляющей которой служит граница области D, превосходит объем цилиндра с основанием S и высотой т, но меньше объема цилиндра с осно- основанием S и высотой М (где т и М—наименьшее и наибольшее Рис. 302, 'X z J к о ,. с? J \ * :; Рис. 303. I \ \ \ \ \ Л i i s Is значения функции z = f(x9 у) в области D (рис. 302)). Это сле- следует из того, что двукратный интеграл lD равен объему этого тела V. Пример 1. Вычислить двойной интеграл С \ D—х2—у2) dx dyt если D область D ограничена прямыми # = 0, х=\, у = 0, у — 3/2. Решение. На основании формулы D) Пример 2. Вычислить двойной интеграл от функции f(xf y) — \+x-\-y по области, ограниченной линиями у=—х, х = Уу, у = 2, г=0 (рис. 303).
§3J ВЫЧИСЛЕНИЕ ДВОЙНОГО ИНТЕГРАЛА (ПРОДОЛЖЕНИЕ) Решение, 163 с\ с I у=\| \ (\+x-\-y)dx \dy = 0J Ц J 15 Замечание 2. Пусть правильная в направлении оси Ох область D ограничена линиями * = %(#), х = ty2 (У), У = с, y = d, причем ^ (г/) < % (у) (рис. 304). Очевидно, что в этом случае (8) Для вычисления двойного интеграла его надо представить в виде двукратного. Как мы видели выше, это можно сделать двумя различными способами: или по фор- формуле D) или по формуле (8). В каждом конкретном случае в зависимости от вида области D или подынтегральной функции мы выбираем ту или иную формулу для вычисления двойного интеграла. Пример 3. Изменить порядок интегрирования в интеграле 1 \ f(x,y)dy)dx. 6\х / Решение. Область интегрирования ограничена прямой #=# и парабо- параболой y=Yх (рис. 305). х Рис, 304, SS Рис. 305. Рис. 306. Всякая прямая, параллельная оси Ох, пересекает границу области не более чем » двух точках; следовательно, можно вычислять интеграл по 6*
164 формуле (8), полагая тогда КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 1ГЛ. XIV 5 \ ^ y)dx)dg. У Пример 4. Вычислить \\e^*<iS, если область D представляет тре- D угольник, ограниченный прямыми у=х, #=0, #=1 (рис. 306). Решение. Заменим данный двойной интеграл двукратным. При этом воспользуемся формулой D). (Если бы мы применили формулу (8), то нам пришлось бы интегрировать функцию еУ1* по х\ но этот интеграл не берется в элементарных функциях.) t , Я \ I X С С еУ1* dS = W f еУ'х dy j dx= f (хе&*) j о о \o /о о dx-- Замечание З. Если область D не является правильной ни в направлении оси Оху ни в направлении оси Оу (т. е. су- существуют вертикальные и горизонтальные прямые, которые, про- проходя через внутренние точки области, пересекают границу области более чем в двух точках), то двойной интеграл по этой области мы не можем представить в виде двукратного. Если удается раз- разбить неправильную область D на конечное число правильных или в направлении оси Ох, или в направлении оси Оу областей Dlt D2, .. ¦, Dn, то, вычисляя двойной интеграл по каждой из этих областей с помощью двукратного и складывая получившиеся результаты, мы получим искомый интеграл по области D. Рис. 307# t о Рис, 308. На рис. 307 показан пример того, как неправильную область D можно разбить на три правильные области Dt, D2 и Du.
§3] ВЫЧИСЛЕНИЕ ДВОЙНОГО ИНТЕГРАЛА (ПРОДОЛЖЕНИЕ) 165 Пример 5. Вычислить двойной интеграл [ С ex+ydS D по области D, заключенной между двумя квадратами с центром в начале коор- координат и сторонами, параллельными осям координат, если каждая сторона внутреннего квадрата равна 2, а внешнего 4 (рис. 308). Решение. Область D является неправильной. Однако прямые х = —I и *=1 разбивают ее на четыре правильные области Dlt D2, D3, D4. Поэтому \] H eX+y dS + $ I eX+y ds+ § \ eX+y dS- D Dt Dz ?>3 D4 -1,2 = [ I J Представляя каждый из этих интегралов в виде двукратного, найдем; -1/2 v 1/2 ч e*+ydy)dx+ U [ e*+ydy )dx+ ,-1 ч 2 ex+ydy )dx+\ -e~2) (e2—e) = (e3—e"~3) (e—e-x) = 4 sh 3shl. 1 /-1 -i\-2 Замечание 4. В дальнейшем, записывая двукратный ин- интеграл $ /(*, y)dy)dx, Кф2 мы будем опускать скобки, в которые заключен внутренний ин- интеграл, т. е. будем писать Ь ф« <лг) а ф! (х) При этом, так же как и при наличии скобок, мы буде^ считать, что первое интегрирование совершается по той перемейной, диф- дифференциал которой написан первым, а затем по той переменной, дифференциал которой написан вторым. (Заметим, одйако, что это не является общепринятым; в некоторых книгах принято про- противоположное условие: интегрировать сначала по той переменной, дифференциал которой занимает последнее место*).) *) Очень часто употребляется также такой вид записи: /Фа К Фа \ о ц>2 Фи ' в ф^
166 КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ |ГЛ. XIV § 4. Вычисление площадей и объемов с помощью двойных интегралов 1. Объем. Как мы видели в § 1, объем V тела, ограничен- ограниченного поверхностью z = f(x, у), где f(x, у)—неотрицательная функ- функция, плоскостью z = 0 и цилиндрической поверхностью, направ- направляющей для которой служит граница области D, а образующие параллельны оси Ог, равен двойному интегралу от функции /(#, у) по области D: Пример 1. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями *=0, у=0, х+у+г=\, z=0 (рис. 309). Рис. 309. Рис. 310, Решение. У=\ \ (\—x—y)dydx, где D—заштрихованная на рис. 309 D треугольная область в плоскости Оху, ограниченная прямыми *=0, y=0f \ = \. Расставляя пределы в двойном интеграле, вычислим объем: 1 1-* 1 l Итак, V=-?-Ky6. единиц. Замечание 1. Если тело, объем которого ищется, ограни- ограничено сверху поверхностью г = Ф2(#, #)^0, а снизу—поверхостью г = Ф1(х9 у)^0, причем проекцией обеих поверхностей на пло- плоскость Оху является область Z), то объем V этого тела равен разности объемов двух «цилиндрических» тел; первое из этих цилиндрических тел имеет нижним основанием область D, а верх- верхним—поверхность г = Ф2(*, у); второе тело имеет нижним осно- основанием также область D, а верхним—поверхность г^Ф^я, у) (рис. 310).
§41 ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ И ОБЪЕМОВ 167 Поэтому объем V равен разности двух двойных интегралов: -llox(x9 y)dS9 или . у)-Фг(х9 y)]dS. A) Легко, далее, доказать, что формула A) верна не только в том случае, когда Фх(ху у) и Ф2(л;, у) неотрицательны, но и тогда, когда Фг(ху у) и Ф2(л:, у)—любые непрерывные функции, удовлетворяющие соотношению Замечание 2. Если в области D функция f(x, у) меняет знак, то разбиваем область на две части: 1) область Di9 где /(*> #)^°; 2) область D2, где }(х, */)<0. Предположим, что области Df и D2 таковы, что двойные интегралы по этим обла- областям существуют. Тогда интеграл по области Dx будет положи- положителен и будет равен объему тела, лежащего выше плоскости Ох у. Интеграл по D2 будет отрицателен и по абсолютной величине равен объему тела, лежащего ниже плоскости Оху. Следовательно, интеграл по D будет выражать раз- разность соответствующих объемов. 2. Вычисление площади плоской области. Если мы со- составим интегральную сумму для функции / (х, у) = 1 по области D, то эта сумма будет равна площа- площади S, S=2 l.AS|f при любом способе разбиения. Пере- Переходя к пределу в правой части равен- равенства, получим г с Рис. 311. Если область D правильная (см., например, рис. 296), то площадь выразится двукратным интегралом dy)dx.
168 КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ XIV Производя интегрирование в скобках, имеем, очевидно, ь (ср. § 1 гл. XII т. I). Пример 2. Вычислить площадь области, ограниченной кривыми Решение. Определим точки пересечения данных кривых (рис. 311). В точке пересечения ординаты равны, т. е. *=2—jc2, отсюда х*-\~х—2 = 0, кг=—2, *2=1. Мы получили две точки пересечения Mi (-2; -2), М2(\; 1). Следовательно, искомая площадь С] ) $ -2 ] -2 § 5. Двойной интеграл в полярных координатах Пусть в полярной системе координат 9, р задана такая область Д что каждый луч*), проходящий через внутреннюю точку области, пересекает границу области D не более чем в двух точках. Предпо- Предположим, что область D ограничена кривыми р-ФМ и лучами = а и 0 = р, причем (рис. 312). Такую область снова будем называть правильной. Пусть в области D задана не- непрерывная функция от коорди- координат 0 и р: Рис. 312, * Разобьем область D каким-нибудь способом на площадки AS2, ..., ASn. *) Лучом мы будем называть каждую полупрямую, исходящую из начала координат, т. е. из полюса Р.
§51 ДВОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ В ПОЛЯРНЫХ КООРДИНАТАХ 169 Составим интегральную сумму: itbSk9 A) где Pk—некоторая точка площадки ASk. Из теоремы существования двойного интеграла следует, что при стремлении наибольшего диаметра площадки ASk к нулю сущест- существует предел V интегральной суммы A). Этот предел V есть, по определению, двойной интеграл от функции F (О, р) по области D: B) Займемся вычислением двойного интеграла в этом случае. Так как предел интегральной суммы не зависит от способа разбиения области D на площадки ASk, то мы можем разбить область наиболее удобным способом. Таким наиболее удобным для вычисления способом будет разбиение области с помощью лучей 6 = 00,6=6*6 = 9,, ...,е = е„(гдеео=а,е„=р,ео<е<<02<... ... < GJ и концентрических окружностей р = р0, р = р* ..., р = рт (где р0 равно наименьшему значению функции ФхF), а рт—наи- рт—наибольшему значению функции Ф2@) в промежутке ^б^Р Ро < Pi < • • • < Р*)- о Обозначим через ASik площадку, ограниченную линиями Площадки &Sik будут трех видов: 1) не пересекаемые границей, лежащие в области Ь; 2) не пересекаемые границей, лежащие вне области D\ 3) пересекаемые границей области D. Сумма слагаемых, соответствующих пересекаемым границей пло- площадкам, имеет пределом нуль при Д0*—*0 и Ар,—¦>(), и потому эти слагаемые мы не будем принимать в расчет. Площадки AS?fc, которые лежат вне области Df вообще не входят в интегральную сумму и поэтому нас не интересуют. Следовательно, интегральную сумму можно записать следующим образом: где Pik—произвольная точка площадки AS;*. Двойной знак суммирования здесь следует понимать в том смысле, что мы сначала производим суммирование по индексу t, считая k постоянным (т. е. отбираем все слагаемые, соответствую- соответствующие площадкам, заключенным между двумя соседними лучами *)). *) Заметим, что при суммировании по индексу i этот индекс будет про- пробегать не все значения от i до т, так как не все площадки, лежащие между лучами 9 = 0/5 и 0 = 0ft+i, принадлежат области D,
170 КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. XIV Внешний знак суммирования означает, что мы собираем вместе все суммы, получившиеся при первом суммировании (т. е. суммируем по индексу k). Найдем выражение площади площадки ASik> не пересекаемой границей области. Она будет равна разности площадей двух секторов: или ASik = р* Др? Д8*, где р, < pj < р, + Ар,. Таким образом, интегральная сумма будет иметь вид*) гдеР (б?; pj)—точка площадки ASik. Вынесем теперь множитель Авк за знак внутренней суммы (это можно сделать, так как он яв- является общим множителем для всех слагаемых этой суммы): Предположим, что Др^ —->• 0, а Авк остается постоянным. Тогда выражение, стоящее в скобках, будет стремиться к интегралу ) J F<e;f Р)рф. Теперь, полагая, что Д9Й-—>(), окончательно получим**) Кф« (в) \ J F@, p)pdjpW. C) „ Ф4 @) / Формула C) служит для вычисления двойного интеграла в поляр- полярных координатах. *) Рассматривать интегральную сумму в таком виде мы можем потому, что предел суммы не зависит от положения точки внутри площадки* ¦*) Наш вывод формулы C) не является строгим; при выводе этой фор- формулы мы стремили к нулю сначала Ар/, оставляя Д6& неизменным, и только затем стремили Д0^ к нулю. Это не вполне соответствует определению двой- двойного интеграла, который мы рассматриваем как предел интегральной суммы при стремлении диаметров площадок к нулю (т. е. при одновременном стрем- стремлении к нулю А9д и Ар{). Однако, несмотря на допущенную нестрогость доказательства, результат верен (т. е. формула C) справедлива). Строгий вывод этой формулы можно было бы получить тем же методом, который был применен при рассмотрении двойного интеграла в прямоугольных координатах. Заметим также, что эта формула будет выведена еще раз в § 6 из других соображений (как частный случай более общей формулы преобразования коор- координат в данном интеграле).
ДВОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ В ПОЛЯРНЫХ КООРДИНАТАХ 171 Если первое интегрирование производить по в, а второе по р, то получим формулу (рис. 313) C') Ps/MP) =S( J F<?> P) Pi ^COj (p) Пусть требуется вычислить двойной интеграл от функции/ (л:, у) по области D, заданной в прямоугольных координатах: Hf{x,y)dxdy. D Если область D является правильной в полярных координатах G, р, У Рис. 313. Рис. 314. то вычисление данного интеграла можно свести к вычислению двукратного интеграла в полярных координатах. Действительно, так как = F(e, p), то, следовательно, Кф* (в) \ J /(pcosG, psin0)pdpW D) _ „ ФИЭ) / Пример 1. Вычислить объем V тела, ограниченного сферической по- поверхностью и цилиндром Решение. За область интегрирования здесь можно взять основание цилиндра х2+#2—2ш/ = 0, т. е. круг с центром в точке @, а) и радиусом а. Уравнение границы этого круга можно записать в виде х2+(у—аJ=аа (рис. 314). Вычислим 1/4 искомого объема V, а именно ту его часть, которая расположена в первом октанте. Тогда в качестве интегрирования придется взять
172 КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. XIV полукруг, границе которого определяются уравнениями *=<Pi(#) = 0, х=-у2(у)=У2ау—У2> У = 0 Подынтегральная функция Следовательно, 2 а /V2ay-y2 1 Г* / f* —¦^ — у= \ ( \ У4а2—х2—у2dx )dy. 4 J \ J у 0 0 Преобразуем полученный интеграл к полярным координатам 8, р: ;t=pcos9, # psin8. Определим границы интегрирования. Для этого нгпишем уравнение дан- данной окружности в полярных координатах: так как 2+2 2 i9 j/==psin 9, то р2—2<2psin9 = 0, или p = 2csin0. Следовательно, в полярных координатах Рис. 315, Рис. 316, (рис. 315) границы области определяются уравнениями Р = Ф*@) = О, p = CP2F):=2asine, a = 0, Р = а подынтегральная функция имеет вид Таким образом, получаем 31/2 л/2 Dа2 р2K/2"!2а sin 0 3 |о я/2 =^. f (l-cos3e)dG= о Пример 2. Вычислим интеграл Пуассона + 00 J в-**Дь
§5] ДВОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ В ПОЛЯРНЫХ КООРДИНАТАХ 173 Решение. Вычислим сначала интеграл /д= \ \ e~x% yt dxdy, где о область интегрирования D есть круг x2-{-y2 = R2 (рис. 316). Перейдя в приведенном интеграле к полярным координатам 9, р, получаема О ^0 Если теперь мы будем неограниченно увеличивать радиус R, т. е. неогра- неограниченно расширять область интегрирования, то получим так называемый несобственный кратный интеграл: ч 2зТ /R \ И9= Um U^-p2pdp]rf0= lira яA—в-«")= о \o Покажем, что интеграл \ С e~x*~yt dxdy стремится к пределу я, если область D' произвольной формы расширяется так, что в конце концов любая точка плоскости попадает в область D' и остается в ней (такое расширение области D' мы будем условно записывать соот- соотношением D'—>-j-00)- Пусть /?х и R2—наименьшее и наибольшее расстояния границы области ?>' от начала коор- координат (рис. 317). Так как функция e~K*~yt > 0 всюду, то справедливы неравенства или я A—е Рис. 317. Так как при D'—>+оо, очевидно, Ri—++oo и /?2•—>+«>, то крайние части неравенства стремятся к одному и тому же пределу я. Следовательно, к этому пределу стремится и средний член, т. е. lint E) Пусть, в частности, область ?)'—квадрат со стороной 2а с центром в начале координат; тогда
174 КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. XIV Вынесем теперь за знак внутреннего интеграла сомножитель е~у2 (эю можно сделать, так как е~У* не зависит от переменной интегрирования х). Тогда JJ I -У'( J e-**dx)dy. D* -а \-а У а Положим V е~*2 dx=Ba. Это—постоянное число (зависящее только от а); -а поэтому (a a v потому что С e-**dx= [ e~y*dy\ следовательно, Перейдем в этом равенстве к пределу, заставляя стремиться а к бесконечности (при этом D' безгранично расширяется): [О -12 Г +оо П2 [e~*2dx = [ e~**dx \. -a J L-» J Но, как было доказано (см. E)), Следовательно, "•]- или + 00 Этот интеграл часто встречается в теории вероятностей и в статистике. Заме- Заметим, что непосредственно вычислить этот интеграл (с помощью неопределен- неопределенного интеграла) мы бы не смогли, так как первообразная от е~х2 не выра- выражается в элементарных функциях. § 6. Замена переменных в двойном интеграле (общий случай) Пусть в плоскости Оху дана область D, ограниченная линией L. Предположим, что координаты хну являются функциями новых переменных и и v: х = у(и, v), y = ip(uf v), A)
§6] ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ 175 причем функции ф(«, v) и г|)(м, v) однозначны, непрерывны и имеют непрерывные производные в некоторой области D\ которая будет определена ниже. Тогда по формулам A) каждой паре значений и и v соответствует единственная пара значений х и у. Предпо- Предположим далее, что функции <р и г|) таковы, что если мы дадим х и у определенные значения из области D, то по формулам A) найдем определенные значения и и v. Рассмотрим прямоугольную систему координат Ouv (рис. 318). На основании сказанного следует, что каждой точке Р(х\ у) на плоскости Оху (рис. 319) однозначно соответствует точка Р' (и; v) и и-гАи, и. Рис. 318. ш Рис. 319. на плоскости Ouv с координатами и> v> которые определяются по формулам A). Числа и и v называются криволинейными коор- координатами точки Р. Если в плоскости Оху точка опишет замкнутую линию L, ограничивающую область D, то в плоскости Ouv соответствующая точка опишет замкнутую линию Z/, ограничивающую некоторую область D'\ при этом каждой точке области D* соответствует точка области Z). Таким образом, формулы A) устанавливают взаимно одно- однозначное соответствие между точками областей D и U или, как говорят, взаимно однозначно отображают область D на область D'. Рассмотрим в области D' линию и = const. По формулам A) найдем, что в плоскости Оху ей будет соответствовать, вообще говоря, некоторая кривая. Точно так же каждой прямой v = const плоскости Ouv будет соответствовать некоторая линия в плоско- плоскости Оху. Разобьем область D' прямыми и = const и v = const на прямо- прямоугольные площадки (при этом площадки, задевающие границу области D', мы не будем принимать в расчет). Соответствующими кривыми линиями область D разобьется на некоторые криволи- криволинейные четырехугольники (рис. 319). Рассмотрим в плоскости Ouv прямоугольную площадку AS\ ограниченную прямыми и = const, u + Au = const, v = const, v +
|76 КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. XIV + Аи = const, и соответствующую ей криволинейную площадку AS в плоскости Ох у. Площади этих площадок тоже обозначим соот- соответственно через AS' и AS. Тогда, очевидно, AS' = Аи Av. Вообще говоря, площади AS и AS' различны. Пусть в области D задана непрерывная функция * = /(*. У)- Каждому значению функции z = f(x9 у) в области D соответ- соответствует то же самое значение функции z = F (и, v) в области D', где F(u, ») = /[<p(a, v), 4>(и, v)]. Рассмотрим интегральные суммы от функции z по области D. Очевидно, имеет место следующее равенство: 2/(*. y)AS = %F(u, v)AS. B) Вычислим AS, т. е. площадь криволинейного четырехугольника РгР2РъР* в плоскости Оху (см. рис. 319). Определим координаты его вершин: Ф ) 2 У*) 2 ( , v), у2 = Ц(и + &и, v), з'> Уз), хя = у(и + Аи, v + Av), y3 = ty(u + Au, v + Av), ) ( + Д) У4 = ^(^, v + Av). При вычислении площади криволинейного четырехугольника PiPzPsP* будем считать линии РХР19 Р2Р3, Р3Р±, P^Pt попарно параллельными прямыми; кроме того, приращения функций будем заменять соответствующими дифференциалами. Таким образом, мы будем пренебрегать бесконечно малыми высшего порядка по срав- сравнению с бесконечно малыми Аи, Av. Тогда формулы C) будут иметь вид ** = ф(и, v), У± = Ъ(и, v), При сделанных допущениях криволинейный четырехугольник P\PJ*bPi можно рассматривать как параллелограмм. Его площадь AS приближенно равна удвоенной площади треугольника PiP2PB
ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ 177 и находится no формуле аналитической геометрии: AS « | (х9—хг) (Уз—у2)—(х3—х2) (Уз—Уг) I =* ди dv dv ди ди д\р ~ди~ -w dty здесь вторые (внешние) вертикальные линейки означают, что этот определитель берется по абсолютной величине. Введем обозна- обозначение дф ди д\$ ди up ди dip dv Таким образом, AS«|/|AS'. D) Определитель / называется функциональным определителем функций <р(н, v) и i|)(a, v). Его называют также якобианом по имени немецкого математика Якоби. Равенство D) является только приближенным, так как в про- процессе вычисления площади AS мы пренебрегли бесконечно малыми высшего порядка. Однако чем меньшими будут размеры площа- площадок AS и AS', тем это равенство будет точнее. Оно становится совершенно точным в пределе, когда диаметры площадок AS и AS' стремятся к нулю: |/|= lim ^. diam AS' -* 0 ао Применим теперь полученное равенство к вычислению двой- двойного интеграла. На основании равенства B) можем написать (интегральная сумма справа распространена на область D'). Пере- Переходя к пределу при diam AS' —+ 0, получим точное равенство: $$/(*, v)\I\dudv. E) Это и есть формула преобразования координат в двойном интеграле. Она дает возможность свести вы- вычисление двойного интеграла по области D к вычислению двои-
178 КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. XIV ного интеграла по области D', что может упростить задачу. Впервые строгое доказательство этой формулы было дано выдаю- выдающимся русским математиком М. В. Остроградским. Замечание. Переход от прямоугольных координат к поляр- полярным, рассмотренный в предыдущем параграфе, является частным 4 м'\ 0 А' ш \ M' Рис. 321, fi * Рис. 320. случаем замены переменных в двойном интеграле. В этом случае Кривая ЛВ(р = р1) на плоскости Оху (рис. 320) переходит в прямую А'В' на плоскости О0р (рис. 321). Кривая 1>С(р = р2) на плоскости Оху переходит в прямую DC на плоскости 00р. Прямые AD и ВС плоскости Оху переходят в прямые A'D' и В'С плоскости ОЭр. Кривые Lt и L2 переходят в кривые Ц и L'2. Вычислим якобиан преобразования декартовых координат х и у в полярные 6 и р: | — р sin 9 cos 91 дх дв ду дд дх Ф ду др Следовательно, | /1 = р, и поэтому H J , P)pdp)d9. D a \Ot @) / Эта формула и была установлена в предыдущем параграфе. Пример. Пусть требуется вычислить двойной интеграл Of—др) дх dy по области D в плоскости Оху, ограниченной прямыми у=х—3, У=-—~х-\'—, у=—-
§7] ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДИ ПОВЕРХНОСТИ 179 Непосредственное вычисление этого двойного интеграла было бы затрудни- затруднительным; однако простая замена переменных позволяет свести этот интеграл к интегралу по прямоугольнику, стороны которого параллельны осям координат. Положим и=у—х, v = y-\~Tx. F) Тогда прямые у—х-\-\, у — х—3 перейдут соответственно в прямыеи=1, и — — 3 на плоскости Ouv; прямые же у=—^-х-\—~-, #=—"о~х-\-Ъ перей- о о о дут в прямые v = 7/3, v = 5. Следовательно, заданная область D преобразуется в прямоугольную об- область D', изображенную на рис. 322. Остается вычислить якобиан преобразо- преобразования. Для этого выразим хну через и и v. Решая систему уравнений F), получим 3,3 1,3 Следовательно, дх ду ду ди дх dv ду dv 3 4 1 4 3 4 3 4 16 3_ 16= и абсолютная величина якобиана равна |/| = 3/4. Поэтому -ududv=—8. -з § 7. Вычисление площади поверхности Пусть требуется вычислить площадь поверхности, ограничен- ограниченной линией Г (рис. 323); поверхность задана уравнением z ==f (x> у), где функция /(*, у) непрерывна и имеет непрерывные частные производные. Обозначим проекцию линии Г на плоскость Оху через L. Область на плоскости Оху, ограниченную линией L, обо- обозначим через ?>, Разобьем произвольным образом область D на п элементарных площадок ASU AS2, ASn. В каждой площадке AS.- возьмем точку Pi (ii\ i\i). Точке Pt будет соответствовать на поверхности точка Mi [|z-; i\{\ f(lh T)f)]. Через точку М( проведем касатель- касательную плоскость к поверхности. Уравнение ее имеет вид A)
180 КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. XIV (см. § 6, гл. IX, т. 1). На этой плоскости выделим такую пло- площадку Да?> которая проектируется на плоскость Оху в виде пло- п щадки &St. Рассмотрим сумму всех площадок Да,-: 2 Д^- Предел а этой суммы, когда наибольший из диаметров пло- площадок Д(Т; стремится к нулю, мы будем называть площадью по- поверхности, т. е. по определению положим в= lim diam Aof 2 0 i = 1 B) Займемся теперь вычислением площади поверхности. Обозна- Обозначим через Yi угол между касательной плоскостью и плоскостью Оху. Рис. 324. На основании известной формулы аналитической геометрии можно написать (рис. 324) AS,- = или » cos vi C) Угол y« есть в то же время угол между осью Ог и перпен- перпендикуляром к плоскости A). Поэтому на основании уравнения A) и формулы аналитической геометрии имеем cos Y/ = Следовательно, ?, a,)
§7] ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДИ ПОВЕРХНОСТИ J81 Подставляя это выражение в формулу B), получим с = Игл 2 ^1+/;2(?/, rid + ffdt, Я/ diam AS;-* 0 t-~Q Так как предел интегральной суммы, стоящей в правой части последнего равенства, по определению представляет собой двой- двойной интеграл JJ г*^~(ж) ~^{ж) dxdH, то окончательно получаем -JJ У'+№)¦+№)" Это и есть формула, по которой вычисляется площадь поверх- поверхности z = f(x, у). Если уравнение поверхности дано в виде x = \i(y, %) или в виде у = х(х, г), то соответствующие формулы для вычисления поверхности имеют вид где D' и D;/—области на плоскостях Oyz и О*г, в которые проек- проектируется данная поверхность. Пример 1. Вычислить поверхность а сферы x2+y2+z2 = R2. Решение. Вычислим поверхность верхней половины сферы z = х2_^2 (рис# 325). В этом случае дг__ х дг___ у Следовательно, подынтегральная функция примет вид Область интегрирования определяется условием x2-\-y2*s^R2. Таким образом, на основании формулы D) будем иметь Для вычисления полученного двойного интеграла перейдем к поляр- полярным координатам. В полярных координатах граница области интегрирования
182 КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. XIV определяется уравнением р = #. Следовательно, сг=2\ | V р dp )dQ = 2R \ [—К /?2—Р2]о </9=2# J \ J К/?2—-р2 У J О \0 г / 0 и Пример 2. Найти площадь той части поверхности цилиндра #2+#2 =а2, которая вырезается цилиндром л:2+г'2 = а2. Рис. 325, Рис. 326. Решение. На рис. 326 изображена 1/8 часть искомой поверхности. Уравнение поверхности имеет вид у=Уа2—х2; поэтому *—Xй у а2 Х2 Область интегрирования представляет собой четверть круга, т. е. опреде- определяется условиями Следовательно, a /Va2-x* W( I 7*=**)—'177=1 и dx=a\ dx = a*f § 8. Плотность распределения вещества и двойной интеграл Пусть в области D распределено некоторое вещество, так что на каждую единицу площади области D приходится определенное количество этого вещества. Мы будем говорить в дальнейшем о распределении массы, хотя наши рассуждения сохранятся и в том случае, когда идет речь о распределении электрического заряда, количества тепла и т. п. Рассмотрим произвольную площадку AS области D. Пусть масса вещества, приходящаяся на данную площадку, есть Am.
§8] ПЛОТНОСТЬ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕЩЕСТВА J83 Тогда отношение -^ называется средней поверхностной плотно- плотностью вещества в области AS. Пусть теперь площадка AS уменьшается, стягиваясь к точке Р(х\ у). Рассмотрим предел lim -д^-. Если этот предел суще- AS -> О АС> ствует, то, вообще говоря, он будет зависеть от положения точ- точки Р, т. е. от ее координат х и у, и будет представлять собой некоторую функцию f(P) точки Р. Будем называть этот предел поверхностной плотностью вещества в точке Р: Таким образом, поверхностная плотность есть функция / (х, у) координат точки области. Пусть теперь, обратно, в области D задана поверхностная плотность некоторого вещества как некоторая непрерывная функ- функция f(P):=f(Xy у) и требуется определить общее количество ве- вещества М, содержащегося в области D. Разобьем область D на площадки ASi (i = l, 2, ..., п) и в каждой площадке возьмем точку Рг\ тогда /(Р/) есть поверхностная плотность в точке Р{. Произведение /(Pi)AS/ с точностью до бесконечно малых выс- высшего порядка, дает нам количество вещества, содержащегося на п площадке AS,-, а сумма 2 /(Л*)^? приближенно выражает общее количество вещества, распределенного в области D. Но это—интегральная сумма для функции f(P) в области D. Точное значение мы получим в пределе при ASj —*0. Таким образом*), Af= Hm % f(Pt)bSi=llf(P)dS=l$f(x9 y)dxdy9 B) т. е. общее количество вещества в области D равно двойному интегралу по области D от плотности f(P) = f(x> у) этого вещества. Пример. Определить массу круглой пластинки радиуса/?, если поверх- поверхностная плотность / (*, у) материала пластинки в каждой точке Р (х; у) про- пропорциональна расстоянию точки (х; у) от центра круга, т. е. если fix, y) = Решение. По формуле B) имеем где область интегрирования D есть круг ¦) Соотношение AS* —у 0 мы понимаем в том смысле, что диаметр области AS/ стремится к нулю.
134 КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ?ГЛ XIV Переходя к полярным координатам, получаем R о \о / о § 9. Момент инерции площади плоской фигуры Моментом инерции I материальной точки М с массой т относительно некоторой точки О называется произведение массы т на квадрат ее расстояния г от точки О: Момент инерции системы материальных точек ти т2, ..., тп относительно точки О есть сумма моментов инерции отдельных точек системы: Определим теперь момент инерции материальной плоской фигуры D. Пусть фигура D расположена в коор- 5" динатной плоскости Оху. Определим мо- момент инерции этой фигуры относитель- относительно начала координат, предполагая, что поверхностная плотность всюду равна единице. Разобьем область D на элементарные площадки AS( (i = 1, 2, ..., п) (рис. 327). На каждой площадке возьмем точку Р{ с координатами ?;, г\{. Назовем элементарным моментом инер- инерции A/t- площадки AS{ произведение массы площадки ASl на квадрат расстояния г) = Ц + } и составим сумму таких моментов Она представляет собой интегральную сумму для функции f (х, #)=а =зх24~У2 по области D. Момент инерции фигуры D определим как предел этой интег- интегральной суммы, когда диаметр каждой элементарной площадки ASt стремится к нулю: 2! diam ASt--*0 is 0 Пределом этой суммы является двойной интеграл )^(x2+y*)dxdy.
§9] МОМЕНТ ИНЕРЦИИ ПЛОЩАДИ ПЛОСКОЙ ФИГУРЫ 185 Следовательно, момент инерции фигуры D относительно начала координат равен D где D — область, совпадающая с данной плоской фигурой. Интегралы B) <3> называются соответственно моментами инерции фигуры D отно- относительно осей Ох и Оу. Пример I. Вычислить момент инерции площади круга D радиуса R относительно центра О. Решение. По формуле A) имеем /0= \ \ (*2+#2)dxdy. Длявычисле- D ния этого интеграла перейдем к полярным координатам в, р. Уравнение окруж- окружности в полярных координатах есть p = R. Поэтому 2я .R . о / Замечание. Если поверхностная плотность 7 не равна единице, а является некоторой функцией от х и у, т. е. у — = У(Х9 У)» т0 масса площадки AS( будет с точностью до беско- бесконечно малых высшего порядка равна Y(?t> Л*)Д^*» и поэтому момент инерции плоской фигуры относительно начала координат будет Пример 2. Вычислить момент инерции плоской материальной фигуры D, ограниченной линиями у2~\—х, дс = О, у=0, относительно оси Оу, если поверхностная плотность в каждой точке равна у (рис. 328). Решение. Эллипс инерции. Определим момент инерции площади плоской фигуры D относительно некоторой оси OL, проходящей через точку О, которую мы примем за начало координат. Обо- Обозначим через ф угол, образованный прямой OL с положительным направлением оси Ох (рис. 329).
186 КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Нормальное уравнение прямой OL есть х sin ф — у cos ф = 0. Расстояние г какой-либо точки М (х\ у) от этой прямой равно Момент инерции / площади области D относительно прямой OL Рис. 328# по определению выражается интегралом / = Рис. 329. = JJ (xsinq—у cosyJ dxdy = sin2 у ^ D D —2 sin ф cos ф J ) xy dx dy + cos2 ф J J y2 dx dy. D D Следовательно, =s Jyy sin2 ф — 21 Xy sin ф cos ф + Ixx cos2 ф, D) Jyy sin ф 21 Xy здесь 1уУ~\\х2dxdy — момент инерции фигуры относительно D оси у; /хх= j jt/adxdy — момент инерции относительно оси xf a D lxy = \\xydxdy. Разделив все члены последнего равенства на/, D получим Возьмем на прямой OL точку А (X; У) так, чтобы ОЛ=1/|/7. Различным направлениям оси OL, т. е. различным значениям угла ф, соответствуют различные значения / и различные точки Л. Найдем геометрическое место точек А. Очевидно, X== F7 C0S(p'
§91 МОМЕНТ ИНЕРЦИИ ПЛОЩАДИ ПЛОСКОЙ ФИГУРЫ 187 В силу равенства E) величины X и У связаны между собой соотношением \ = IxxX*-2IxyXY + IyvY\ F) Таким образом, геометрическое место точек А(Х\ Y) есть кри- кривая второго порядка F). Докажем, что эта кривая есть эллипс. Справедливо следующее очень важное в приложениях неравенство, установлен- установленное русским математиком В. Я. Буняков- ским*): (\\xydxdyY или Таким образом, дискриминант кривой F) положителен и, сле- следовательно, эта кривая есть эллипс (рис. 330). Этот эллипс назы- *) Для доказательства неравенства Буняковского рассмотрим следующее очевидное неравенство: где к — постоянная. Знак равенства возможен только тогда, когда f(x, у)— — taf(#, у)^0> т- е- если f (х, у) = Ху(х9 у). Если предположим, что f (*> */)/ф (*¦ У) ^ const = Я, то всегда будет иметь место знак неравенства. Таким образом, раскрывая скобки под знаком интеграла, получим $$Р(*. y)dxdy—2k^f(x9 y)q>(xt y)dxdy+№ J J q>*(x, y)dxdg>0. D D D Рассмотрим выражение, стоящее слева, как функцию от К. Это—много- Это—многочлен второй степени, никогда не обращающийся в нуль; следовательно, его корни комплексны, а это будет тогда, когда дискриминант, составленный из коэффициентов квадратного многочлена, отрицателен, т. е. / J J f<pdxdy\2- J \ D / D dx dx dy < 0, ИЛИ fydxdyV < J J /2 dxdy J J ер* dxdg. / D D Это и есть неравенство Буняковского. В нашем случае f (х, у) = х, <р(*, у) = у% х/у ф const. Замечательное неравенство Буняковского постоянно применяется в различ- различных областях математики. Это неравенство во многих учебниках неправильно называют неравенством Шварца. В. Я. Буняковский опубликовал его (среди других важных неравенств) в 1859 г., а Шварц лишь в 1875 г.
188 КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ XIV вается эллипсом инерции. Понятие эллипса инерции имеет существенное значение в механике. Заметим, что длины осей эллипса инерции и его положение на плоскости зависят от формы данной плоской фигуры. Так как расстояние от начала координат до какой-либо точки А эллипса равно \/У/, где /—момент инерции фигуры относительно оси О А, то, построив эллипс, можно легко подсчитать момент инерции фигуры D относительно какой-либо прямой, проходящей через начало координат. В частности, легко видеть, что момент инер- инерции фигуры будет наименьшим относительно большой оси эллипса инерции и наибольшим относительно малой оси этого эллипса. § 10. Координаты центра масс площади плоской фигуры В § 8 гл. XII (т. I) указывалось, что координаты центра масс системы материальных точек Piy Р2, ..., Рп с массами ти т2, .. • ..., тп определяются по формулам Определим теперь координаты центра масс плоской фигуры D. Разобьем эту фигуру на очень малые элементарные площадки Д5{. Если поверхностную плотность принять равной единице, то масса площадки будет равна ее площади. Если приближенно считать, что вся масса элементарной площадки AS t сосредоточена в какой- либо ее точке Р*(?,-; rjj), то можно рассматривать фигуру D как систему материальных точек. Тогда по формулам A) координаты центра масс этой фигуры будут приближенно определяться равенствами У^~Ч 5 A5i S Д51 В пределе при diam ASf —> 0 интегральные суммы, стоящие в числителях и знаменателях дробей, перейдут в двойные инте- интегралы, и мы получим точные формулы для вычисления координат центра масс плоской фигуры: xdx dy V V у dx dy yc = -h • B) \\dxdy \\dxdy D D Эти формулы, выведенные для плоской фигуры с поверхностной
КООРДИНАТЫ ЦЕНТРА МАСС 189 плотностью 1, остаются, очевидно, в силе и для фигуры, имею- имеющей любую другую постоянную во всех точках плотность у. Если же поверхностная плотность переменна: то соответствующие формулы будут иметь вид 55 Y(*. y)xdxdy у(х, у) ydxdy 5 5 у (*> у)dx dy Выражения M «r = S J V ^» У)хахс1У и ^ y)ydxdy называются статическими моментами плоской фигуры D отно- относительно осей Оу и Ох. Интеграл 5 \ У (*» У) dx dy выражает j ф величину массы рассматриваемой фи- фигуры. Пример. Определить координаты центра масс четверти эллипса (рис. 331) и2 У 1 полагая, что поверхностная плотность во всех точках равна 1. Решение. По формулам B) получаем ./f ^ a f a \ 4 4- nab 4 -;- nab 4 ydy jdx ib — nab 4 а О __4я
190 КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ XIV § 11. Тройной интеграл Пусть в пространстве задана некоторая область V, ограни- ограниченная замкнутой поверхностью S. Пусть в области У и на ее границе определена некоторая непрерывная функция /(*, у, г), где х, у, г—прямоугольные координаты точки области. Для ясности в случае, если /(#, у, z)^0, мы можем считать эту функцию плотностью распределения некоторого вещества в об- области V. Разобьем область V произвольным образом на области Avi9 обозначая символом Avt не только саму область, но и ее объем. В пределах каждой частичной области Avt выберем произвольную точку Р{ и обозначим через f(Pt) значение функции / в этой точке. Составим интегральную сумму вида и будем неограниченно увеличивать число малых областей Avt так, чтобы наибольший диаметр Av( стремился к нулю *). Если функция /(#, у, z) непрерывна, то при этом будет существовать предел интегральных сумм вида A), где предел интегральных сумм понимается в таком же смысле, как это было указано при определении двойного интеграла**). Этот предел, не зависящий ни от способа разбиения области У, ни от выбора точек Ph обо- обозначается символом \ \ \ / (Р) do и называется тройным интегра- v лом. Таким образом, по определению Нт ] diam Av> -> О ИЛИ /•/*/• fr f» Г* (х, у, z)dxdydz. B) Если f(x, у, z) считать объемной плотностью распределения вещества в области У, то интеграл B) даст массу всего вещества, заключенного в объеме V. *) Диаметром области Аи/ называется максимальное расстояние между точками, лежащими на границе области. **) Эта теорема о существовании предела интегральных сумм (т. е. о су- существовании тройного интеграла) для всякой функции, непрерывной в замкну- замкнутой области V (включая границу), принимается нами без доказательства.
fi2] ВЫЧИСЛЕНИЕ ТРОЙНОГО ИНТЕГРАЛА 191 § 12. Вычисление тройного интеграла Предположим, что пространственная (трехмерная) область V, ограниченная замкнутой поверхностью S, обладает следующими свойствами: 1) всякая прямая, параллельная оси Ог, проведенная через внутреннюю (т. е. не лежащую на границе S) точку облгсти V, пересекает поверхность S в двух точ- точках; 2) вся область V проектируется на плоскость Оху в правильную (двумер- (двумерную) область D; fay) Рис. 332. 3) всякая часть области V, отсеченная плоскостью, параллель- параллельной любой из координатных плоскостей (Охуу Oxz, Oyz), также обладает свойствами 1) и 2). Область F, обладающую указанными свойствами, мы будем называть провальной трехмерной областью. Правильными трехмерными областями являются, например, эллипсоид, прямоугольный параллелепипед, тетраэдр и т. д. Пример неправильной трехмерной области дан на рис. 332. В на- настоящем параграфе мы будем рассматривать только правильные области. Пусть поверхность, ограничивающая область V снизу, имеет уравнение z — %(x, у), а поверхность, ограничивающая эту область сверху, имеет уравнение z = ty(x, у) (рис. 333). Введем понятие трехкратного интеграла Iv по области V от функции трех переменных f(x, у, г), определенной и непре- непрерывной в области V. Предположим, что область D—проекция области V на плоскость Оху—ограничена линиями Тогда трехкратный интеграл от функции f (х, у, г) по области V
192 КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. XIV определяется так: = S М J Г(*'У' z)dz\dy\dx. а {Фа (х) LX (х, у) J ) A) Заметим, что в результате интегрирования по г и подстановки пределов в фигурных скобках получится функция от х и у. Далее, вычисляется двойной интеграл от этой функции по обла- области D, как это было рассмотрено выше. Приведем пример вычисления трехкратного интеграла по области У. Пример 1. Вычислить трехкратный интеграл от функции / (х, у> г) = s=xyz по области V, ограниченной плоскостями Решение. Эта область правильная, она ограничена сверху и снизу плоскостями 2 = 0 и 2=1—х—у и проектируется на плоскость Оху в правильную плоскую область D, представляю- представляющую собой треугольник, ограниченный прямыми л;с=0, у = 0, у—\—х (рис. 334). Поэтому трех- трехкратный интеграл /у вычислится следующим об- образом: о у^о /\ Рис. 334. xyzdzUo. J Расставляя пределы в этом двукратном интеграле по области D, получим dx = Рассмотрим теперь некоторые свойства трехкратного интеграла. Свойство 1. Если область V разбить на две области Vt и V2 плоскостью, параллельной какой-либо из плоскостей коорди- координат, то трехкратный интеграл по области V равен сумме трех- трехкратных интегралов по областям Vt и V2. Доказательство этого свойства проводится совершенно так же, как и доказательство соответствующего свойства для дву- двукратных интегралов. Поэтому нет необходимости повторять его снова. Следствие. При любом разбиении области V на конечное число областей VIf •.., Vn плоскостями, параллельными коорди- координатным плоскостям, имеет место равенство
§12] ВЫЧИСЛЕНИЕ ТРОЙНОГО ИНТЕГРАЛА 193 Свойство 2 (теорема об оценке трехкратного интеграла). Если т и М—соответственно наименьшее и наибольшее значения функции f(x, у, г) в области У, то имеет- место неравенство где V есть объем данной области, a Iv—трехкратный интеграл от функции f(x, у у г) по области V. Доказательство. Оценим сначала -внутренний интеграл [Ъ(х> У) 1 j / (*, У> z) dz do: %(х, у) J у) У) % (AT, У) v 1 i\ л/ i v //if Итак, внутренний интеграл не превосходит выражения М [ty{x, у)— — %{х> У)]- Поэтому в силу теоремы § 1 о двойных интегралах получим (обозначая через D проекцию области V на плоскость Оху) ГЪ(х, у) 1 'v = SS J f(*> y>*)d2\do^llMto(x9 y)-%(xty)]do=* D L%(x,y) J D \\д)-1(х> У)]do. Но последний двукратный интеграл равен двойному интегралу от функции if(x, у)—х(#» У) и» следовательно, равен объему той области, которая Заключена между поверхностями z=*%(x9 у) и г = -ф(х, у)у т. е. объему области V. Поэтому Аналогично доказывается, что Iv^mV. Таким образом, свой- свойство 2 доказано. Свойство 3 (теорема о среднем). Трехкратный инте- интеграл Iv от непрерывной функции f(x> у, z) no области V равен произведению его объема V *на значение функции в некоторой точке Р области У, т. *. =S И J f(x.y.*)dz\dy\dx = f(P)V. B) a VPt(*) LX(x.y) J J Доказательство этого свойства проводится так же, как и до- доказательство аналогичного свойства для двукратного интеграла (см. § 2, свойство 3, формула D)). Теперь мы можем доказать теорему о вычислении тройного интеграла. Н. С. Пи ежу нов, т. 2
|94 КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ, XIV Теорема. Тройной интеграл от функции f(x, у, г) по правильной области V равен трехкратному интегралу по той же области, т. е. =l\ J S f(x,y,z)dz\dy\dx. a V<PtU) LXU, У) J J Доказательство. Разобьем область V плоскостями, па- параллельными координатным плоскостям, на п правильных облас- областей: А^, Ду2, . •., До„. Как и выше, обозначим через lv трех- трехкратный интеграл от функции f(x9 у, z) по области V, а через /до. трехкратный интеграл от этой функции по области Avt. Тогда на основании следствия из свойства 1 можем написать равенство 1у — ^Afi ~Ь ^Аг>2 4" • • • + /д&л. C) Каждое из слагаемых, стоящих в правой части этого равенства, преобразуем по формуле B): », + ... + f (Pn) Аул, D) где Р(—некоторая точка области Avt. В правой части этого равенства стоит интегральная сумма. По предположению функция / (х, у, z) непрерывна в области V и потому предел этой суммы при стремлении к нулю наибольшего диаметра Avi существует и равняется тройному интегралу от функ- функции f(xy y,sz) по области V. Таким образом, переходя к пределу в равенстве D) при diamAyt-—>0, получим или окончательно, меняя местами стоящие справа и слева выра- выражения, 1 Л *\dy\ J ) f(x>V.*)d*\dy\dx. Y.(x, у) J ) Теорема доказана. Здесь z = %(x, у) и z = ip(*, у) — уравнения поверхностей, ограничивающих правильную область V снизу и сверху. Линии y = <Pi(*)> У = ФЯ(^)» ^ = ^» х = Ь ограничивают область D, являю- являющуюся проекцией области V на плоскость Оху. Замечание. Аналогично тому, как это было в случае дву- двукратного интеграла, можно составить трехкратный интеграл с дру- другим порядком интегрирования по переменным и другими преде- пределами, если, конечно, это позволяет форма области V. Вычисление объема тела с помощьй трехкрат- трехкратного интеграла. Если подынтегральная функция f (я, у,г)=1,
§12] ВЫЧИСЛЕНИЕ ТРОЙНОГО ИНТЕГРАЛА 195 то тройной интеграл по области V вы- выражает объем области V: V=[\\dxdydz. E) Пример 2. Вычислить объем эллип- 2 2 2 Решение. Эллипсоид (рис. 335) ог- ограничен снизу поверхностью z = a сверху—поверх- сверху—поверхностью z — c у 1 ?—-~, Проекцией этого эллипсоида на плоскость Оху х2 ф (область D) является эллипс —2^ГТ2~^1 Следовательно, сводя вычисление объема к вычислению трехкратного интеграла, получим Г v = dz ]dy и J При вычислении внутреннего интеграла ^ считается постоянным. Сделаем под* становку у = Ь у l—^ sin ?, dy = Переменная у изменяется рт —-Ь у 1—"^ до Ь у 1— ^, поэтому ^ ме- няется от —л/2 до я/2. Подставляя в интеграл новые пределы, получим я/2 ' " ~ X* а Г Я/2 -а Ь-я/ •ь я/2 -Я/2 Итак, V = 4nabc/3. Если а = Ь=сг то получаем объем шара: 4atabo
196 КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. XIV § 13. Замена переменных в тройном интеграле 1. Тройной интеграл в цилиндрических коор- координатах. В случае так называемых цилиндрических координат положение точки Р в пространстве определяется тремя числами б, р, г, где 6 и р—полярные координаты проекции точки Р на плоскость Ох у и z—аппликата точки Р, т, е. расстояние точки до плоскости Оху, взятое со знаком плюс, если точка лежит выше плоскости Ох у, и со знаком минус—если ниже (рис. 336). В этом случае данную, пространственную область V разбиваем на элементарные объемы координатными поверхностями 6 = в?, р = Ру, г = гк (полуплоскости, примыкающие к оси Ог, круговые цилиндры, ось которых совпадает с осью Ог, плоскости, перпен- перпендикулярные к оси О г). Элементарным объемом будет криволиней- криволинейная «призма» (изображенная на рис. 337). Площадь основания этой призмы с точностью до бесконечно малых высшего порядка рав- равна р Д9 Др, высота равна Дг (индексы i, /, к для простоты записи опускаем). Следовательно, До = рД0ДрДг. Поэтому тройной инте- интеграл от функции ^(8, р, г) по области V имеет вид = $S$ A) Пределы интегрирования определяются формой области V. Если дан тройной интеграл от функции /(#, у, г) в прямо- прямоугольных координатах, то его легко преобразовать в тройной интеграл в цилиндрических координатах. В самом деле, заме- заметив, что получим JJS К*> У> z = z, = JJJ F@, p, z)pdQdpdzf
§13] ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В ТРОЙНОМ ИНТЕГРАЛЕ 197 ТЖ /(pcosG, psinO, z) = F@, p, г). Пример. Определить массу М полушара радиуса R "с центром в на- начале координат, если плотность F его вещества в каждой точке (х; у; г) про- пропорциональна расстоянию этой точки от основания, т. е. F = kz. Решение. Уравнение верхней части полусферы в цилиндрических координатах имеет вид Следовательно, 2ЯГУ? /VRp \ И M=[[[kzpdQdpdz=[ \[( [ kzdz)pdp\dQ = *v о Lo \ о / J 2л, i п и \ " 4^# 2. Тройной интеграл в сферических координа- координатах, В сферических координатах положение точки Р в простран- пространстве определяется тремя числами 0, г, ф, где г—расстояние точки от начала координат, так называемый радиус вектор точки, ф — угол между радиус-вектором и осью Ог, 0—угол между проек- проекцией радиус-вектора на плоскость Оху и осью 0xt отсчитываемый от этой оси в положительном направлении (т. е. против часовой стрелки) (рис. 338). Для любой точки пространства имеем О < 0 < 2л. Разобьем данную область V на элементарные части Ai> коор- координатными поверхностями г = const (сферы), ф = const (конические поверхности с вершинами в начале координат), 8 = const (полу- (полуплоскости, проходящие через ось Oz). С точностью до бесконечно малых высшего порядка элементарный объем Ду можно считать параллелепипедом с ребрами длиньГ Аг, г Дер, г sin ф ДО. Тогда элементарный объем равен (рис. 339) Av = r% sin ф Дг Д0 Дф. Тройной интеграл от функции F @, г, ф) по области V имеет вид / = J f J F @, г, ф) г2 sin <pdr dQ d(f. (Г) v Границы интегрирования определяются формой области V. Из рис. 338 легко устанавливаются выражения декартовых
198 КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. XIV координат через сферические: x=r sin ф cos 0, у — г sin ф sin 9, z = r cos ср. Поэтому формула преобразования тройного интеграла от декар- декартовых координат к сферическим имеет вид /(*, у, z)dxdydz = ш, s= \ \ \ / (г sin ф cos 9, г sin ф sin 9, г cosy) r2 sin q> drdQdq. v 3. Общая замена переменных в тройном инте- интеграле. Переходы от декартовых координат к цилиндрическим и сферическим в тройном интеграле—это частные случаи общего преобразования координат в пространстве. Рис. 338. Рис. 339, Пусть функции * = Ф(и, t, w), y = ty(u,t,w), z = %(u,t,w) взаимно однозначно отображают область V в декартовых коор- координатах х, уу z на область V в криволинейных координатах и> ty w. Пусть элемент объема Av области V переходит в элемент Дс/' области У и пусть hm т-, = \1 . дУ'->оАу j 1 Тогда f(x, у, z)dxdydz=* *> w)> *("»'» w)> %(u,t9w)]\I\dudtdw. v Аналогично тому, как это имело место в двойном интеграле, / называется якобианом; подобно тому как это делалось для
§14] МОМЕНТ ИНЕРЦИИ И КООРДИНАТЫ ЦЕНТРА МАСС ТЕЛА 199 двойных интегралов, можно доказать, что якобиан численно равен определителю третьего порядка: dx dxdx du dt dw , __ ду ду ду ди dt dw dz dz dz du dt dw Так, в случае цилиндрических координат имеем f = psin0, z = z (p = u, Q = t, cos 9 —psin6 0 sin в р cos 9 О О 0 1 В случае сферических координат л; = г sin cp cos 9, */ = rsinq>sin9, z = rcoscp (r = u, sin ф cos 6 r cos ф cos 9 — r sin ф sin 9 / = sin ф sin 9 r cos ф sin 9 r sin ф cos 9 = r2 I cos ф — r sin ф О § 14. Момент инерции и координаты центра масс тела 1. Момент инерции тела. Моменты инерции точки М(х; у\ z) массы т относительно координатных осей Ox, Oy> Oz (рис. 340) выражаются соответственно фор- формулами Моменты инерции тела выражаются соответствующими интегралами. Так, на- например, момент инерции тела относитель- относительно оси Oz выражается интегралом 1гг = — JSS^'+^M*. y,*)dxdydzy где у(х9 V Рис. 340, у, z)—ллотность вещества. Пример 1. Вычислить момент инерции прямого кругового цилиндра высоты 2h и радиуса R относительно диаметра его среднего сечения, считая плотность постоянной и равной у0. Решение. Выберем систему координат следующим образом: направим ось Oz вдоль оси цилиндра, а начало координат поместим в его центре сим- симметрии (рис. 341). Тогда задача сведется к вычислению момента инерции цилиндра относи- относительно оси Ох: 1ХХ— \ \ \ (y2 + z2) yodxdydz. Переходя в этом интеграле к v
200 КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 1ГЛ. XIV цилиндрическим координатам, получим 2Я , R Г h -1 , (г2 + р2 sin2 Q)dz p dp > d9 = 2я f # Л 2jt —«J = 2. Координаты центра масс тела. Аналогично тому, что мы имели в § 8 гл. XII (т. I) для плоских фигур, коорди- координаты центра масс тела выражаются форму- формулами y(x,ytz)dxdydz УУ (х, у, г) dxdy dz Рис. 34L где — плотность. Пример 2. Определить координаты центра масс верхней половины шара радиуса /? с центром в начале координат, считая плотность у0 постоянной. Решение. Полушар ограничен поверхностями z = Y~R2 —х2—у2, г = 0. Аппликата его центра масс определяется формулой г^°dx dy dz Переходя к сферическим координатам, получаем 2Я/ ТС/2 Г R  ч То \ \ [ \ \ rcosфг2sinфdr \d<p\ 9 _ о I о [о J I Yo J {J J о ч Lo dO , „/?* 1 2яХ*Т я dQ Очевидно, что в силу симметрии полушара хс = ус=^0.
§ 15J ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ, ЗАВИСЯЩИХ ОТ ПАРАМЕТРА 201 § 15. Вычисление интеграловг зависящих от параметра Рассмотрим интеграл, зависящий от параметра а: (Такие интегралы мы рассматривали в § 10 гл. XI т. I.) Укажем без доказательства^ что если функция / (лс, а) непрерывна по х на отрезке [а, 6] и по а на отрезке [alt a2], то функция является непрерывной функцией на отрезке [а?, а2]. Следовательно, функцию / (а) можно интегрировать по а на отрезке [alf a2]: / (лс, a) dx ) d<x. Выражение, стоящее справа, есть двукратный интеграл от функ- функции f (дс, а) по прямоугольнику, расположенному в плоскости Олса. Можно изменить порядок интегрирования в этом интеграл^: Ь ,QLt at\a Эта формула показывает, что для интегрирования интеграла, зависящего от параметра а, достаточно проинтегрировать* по па- параметру а подынтегральное выражение. Эта формула также бы- бывает полезна при вычислении определенных интегралов. Пример. Вычислить интеграл \ dx (a > 0, Ь > 0). о Неопределенный интеграл от подынтегральной функции не берется в эле- элементарных функциях. Для его вычисления рассмотрим другой интеграл, кото- который можно легко вычислить: + 00 \ (X Интегрируя это равенство в пределах от a = a до а~6, получим Ь / + (*з \ Ь
202 КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 1ГЛ. XIV Меняя порядок интегрирования в первом интеграле, перепишем это равенство в следующем виде: + оо Г Ъ П откуда, вычисляя внутренний интеграл, получаем 1 Ь ;=1п—•. а Упражнения к г лаве XIV Вычислить интегралы *): 0ms. f 2. |||^L. Оте. tag. 2 *Уз 2я а 3. J J xydxdy. Отв. ~. 4. Г [ I х 0 а sin 3. J J xydxdy. Отв. ~. 4. Г [ rdtdQ. Отв. \па\ sin в -Отв- f ос/а 0 у-а ft л/2 С С 3 7» \ \ р dQ dp. Отв. -r-z tib*. i2 i 16 Определить пределы интегрирования для интеграла \ \ / (#, у) dx dyt где область интегрирования ограничена линиями: 3 5 8. * = 2, х = 3, у = — 1, у = 5. Отв. \ [ 2 -1 1 1-х2 -1 о 10. х2+у2 = а2. Отв. [ [ f(xty)dydx. N L *) Если интеграл написан так: \ \f(xiy)dxdy1 то, как было указано м к выше, мы будем считать, что первое интегрирование совершается по той пе« ременной, дифференциал которой занимает первое место, т. е. N L N /L \ J \ мк
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ XIV 203 2 I \+х* 11- У==Т+72* У==Л 0Ш' I I f(x,y)dydx. -1 х* а у+ 2а 12. # = 0, у=а, у=х, у=х—2а. Отв. $$/(*» y)dxdy. 0 у Изменить порядок интегрирования в интегралах: 2 4 4 2 13. 5 5 /(*> y)dydx. Отв. Hf(x, y)dxdy. 13 3 1 14. J J /(*, y)dy^. Ome. J 0 jc» 0 i a V2ax-y2 a a* 15. J ? / (*, y) rfA: dy. Ome. J J / (*, 0 0 0 д_КЯП^5 1 16. J J f(x,y)dydx. Отв. J J f(Xiy)dxdy. -io о -vrrp 11-^ 0 VT^x* 1 1 —л? 17. J J f(Xiy)dxdy. Отв. [ J /(*,*)<tyd*+$ $ f(x,y)dydx. о -VT^p -^io oo Вычислить следующие интегралы путем перехода к полярным координатам: 18. Г С Va*—x*—y*dydx. Отв. J J yV— а Уа2-^2 я/2 а 19, r-~ i. С f (x2+f/2)^^. Отв. Г Ср3ф^9=^-. 00 + QO я/2 + со С С e-^+J^dyd*. Отв. J J rp2prfprf9=i. я/2 2fl cos 0 У2ДЛГА: я/2 2fl co 21. \ f dy(te. Отв. f f Преобразовать двойные интегралы, введя новые переменные и и у, свя- связанные, с # и # формулами # = w—uv, y = uv: J в_ е fix 1 +j3 1 - v 22. \ [ f (jc, I/) dy dx. Отв. \ \ f(u—uv, uv) и du dv. 0 ax a 0 1+06
204 КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. XIV с Ъ 23. J lf(x,y)dydx. о о о о b с Ъ_ Ь+с 1 - v b v Отв. \ \ f (и—uv, uv)ududv-\- \ \ f(u—uv, О о __ь_ о Ь+с Вычисление площадей посредством двойного интеграла 24. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой у2 = 2х и пря- прямой у = х. Отв. 2/3. 25. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у2 = 4ах, *-+*/== = 3а, # = 0. Отв. 10а2/3. 26. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями x1I2-}-y1t2 = a1J2, j = a. Отв. я2/3. 27. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями # = sinx, y = cosxt х = 0. Отв. У—\. 28. Вычислить площадь петли кривой p = asin29. Отв. па2/8. 29. Вычислить всю площадь, ограниченную лемнискатой p2 = c2cos2cp. Отв. а2. 30. Вычислить шющадь петли кривой f^-a+p") =—y* Указание. Перейти к новым переменным ^=pacos0 и y~pbsin9. Отв. a2b2/c2. Вычисление объемов Вычислить объемы тел, ограниченных поверхностямиз х у z пЬс CL Ъ С 6 32. 2 = 0, х2+у2=\, *-j-i/+z = 3. Отв. Зя. 33. (*—1J+(г/—1J=1, ху = г, 2 = 0. Отв. я, 35. г/=д:2, a:=z/2, 2 = 0, 2 = 12+^/—х2. Отв. 549/144. 36. Вычислить объем тела, ограниченного координатными плоскостями, плоскостью 2х+3у—12 = 0 и цилиндром z = y2/2. -Отв. 16. 37. Вычислить объем тела, ограниченного круговым цилиндром радиуса а, ось которого совпадает с осью Oz, плоскостями координат и плоскостью —I—=?1. Отв. 38. Вычислить объем тела, ограниченного цилиндрами х2-\-у2 — а29 х2-\-г2—сР. Отв. -q-я3. Вычислить объемы тел, ограниченных поверхностями:
упражнения К главе xiv 205 42. p2 = a2cos29, *2+#2 + z2 = a2, г = 0. (Вычислить объем, внутренний по отношению к цилиндру.) Отв. тг-а3(Зя+20 у Вычисление площади поверхности 43. Вычислить площадь той части поверхности конуса x2-\-y2 = z2, которая высекается цилиндром х2+у2 = 2ах. Отв. 2яа2 ]/~. 44. Вычислить площадь той части плоскости я+#+г = 2а, которая лежит в первом октанте1 и ограничена цилиндром х2-\-у2=а2. Отв. -т-^З. 45. Вычислить площадь поверхности сферического сегмента (меньшего), если радиус сферы а, а радиус основания сегмента Ь. Отв. 2п(аг—и^а2—б2). 46. Найти площадь той части поверхности сферы *2+#2+z2 = a2, которая Х и вырезана поверхностью цилиндра -а+гг^1 (<* > Ь). Отв. 4яа2 — гГа2 ?2 — 8а2 arcsin -^ . а 47. Найти площадь поверхности тела, являющегося общей частью двуя цилиндров х2+у2 = а2, у2+г2 = а2. Отв. 16а2. 48. Вычислить площадь той части поверхности цилиндра х2+у2 = 2ах, которая содержится между плоскостью г=0и конусом x2-{-y2 = z2. Отв. 8аа. 49. Вычислить площадь той части поверхности цилиндра х2-\-у2 = сР, ко- которая содержится между плоскостью г = тх и плоскостью z=0. Отв. 2та2. 50. Вычислить площадь той части поверхности параболоида у2+г%=2ах, которая содержится между параболическим цилиндром у2=ах и плоскостью *=а. Отв. i-яа2 о Вычисление массы, координат центра масс, момента инерции плоских фигур (Всюду в задачах 51—62 и 64 считаем поверхностную плотность постоян- постоянной и равной единице.) 51. Определить массу пластинки, имеющей форму круга с радиусом а, если плотность в любой точке Р обратно пропорциональна расстоянию точки Р от оси цилиндра (множитель пропорциональности равняется /(). Отв. 2паК. 52. Вычислить координаты центра масс равностороннего треугольника, принимая его_высоту за ось Ох, а вершину треугольника за начало координат. Отв. х=аУ^3/3, у=0. 53. Найти координаты центра масс кругового сектора радиуса а, прини- принимая биссектрису его угла за ось Ох. Угол раствора сектора «равен 2а. л 2а sin а л Отв. хс=—^—, ус = 0. 54. Найти координаты центра масс верхней половины круга #2+#2=а2. Отв. хс = 0у ус = 4а/3я. 55. Найти координаты центра масс площади одной арки циклоиды x = a(t—sin 0, y = a(\—co$t). Отв. дсс = ая, ус = 5а/6. 56. Найти координаты центра масс площади, ограниченной петлей кривой 2 = а2cos29. Отв. хс = 57. Найти координаты центра масс площади кардиоиды p=a(l-{-cos9). Отв. дгс 5/6 0
206 КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. XIV 58. Вычислить момент инерции площади прямоугольника, ограниченного прямыми * = 0, х = а, # = 0, у = Ь, относительно начала координат. Отв. аЪ (* + Ь2) 3 х2 и2 59. Вычислить момент инерции эллипса —+4г2-=1- а) относительно оси Оу; б) относительно начала координат. Отв. a) na3b/4; б) nab (a2+62)/4. 60. Вычислить момент инерции площади круга р = 2а cos 9 относительно полюса. Отв. Зяа4/2. 61. Вычислить момент инерции площади кардиоиды р = яA—cos 6) отно- относительно полюса. Отв. 35яа4/16. 62. Вычислить момент инерции площади круга (я—яJ+(#—bJ = 2az относительно оси Оу. Отв. Зяа4. 63. Плотность в любой точке квадратной пластинки со стороной а про- пропорциональна расстоянию этой точки от одной из вершин квадрата. Вычислить момент инерции пластинки относительно стороны, проходящей через эту вер- вершину. Отв. 7^&a5[7j/" + 31n(]/"i2+1}]> где &—множитель пропорциональ- пропорциональности. 64. Вычислить момент инерции площади фигуры, ограниченной параболой у2 = ах и прямой х~а, относительно прямой г/=— а. Отв. 8а4/5. Тройные интегралы 65. Вычислить \ \ \ •:—;—%—гттч $ если область интегрирования огра- JJJ (х+У+г+\K' 12 5 ничена координатными плоскостями и плоскостью x-{-y + z=\. Отв. —^ т^. а ( хГ д -1 \ С I ГI С II aQ 66. Вычислить \ 1 \ I \ хуг dz \dy I dx. Отв. -j^. о ч Lo J J 67. Вычислить объем тела, ограниченного сферой #2 + */2 + z2 = 4 и поверх- 19 ностью параболоида x2-\-y2 = 3z. Отв. —я. 6 68*). Вычислить координаты центра масс и моменты инерции пирамиды, огра- ограниченной плоскостями *=0, у = 0, 2 = 0, — -|—^--}-—= 1. Отв. хс = а/4, ус=з = 6/4, гс = с/4; Ix=a*bc/60, Iy = b*ac/60t Iz = c3ab/60, /o=-^ (a2 + b2+c2). 69. Вычислить момент инерции кругового прямого конуса относительно его оси. Отв. удя/гг4, где h—высота, г—радиус основания конуса. 70. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностью с уравнением (х2+у2+г2J = а*х. Отв. яа3/3. 71. Вычислить момент инерции круглого конуса относительно диаметра основания. Отв. ^ 72. Вычислить координаты центра масс тела, содержащегося между сферой радиуса а и конической поверхностью с углом при вершине 2а, если вершина о конуса, совпадает с центром сферы. Отв. хс = 0, ус = 0, zc=-?-a(l+cosa) (ось конуса принята за ось 02, вершина помещена в начале координат). *) В задачах 68—69, 71—73 считаем плотность постоянной и равной еди« нице.
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ XIV 207 73. Вычислить координаты центра масс тела, ограниченного сферой ра- радиуса а и двумя плоскостями, проходящими через центр сферы и образую- образующими угол 60Q. Отв. р?=у?а, 9 = 0, ф=-гг (линия пересечения плоскостей принята за ось Oz} центр сферы—за начало координат; р, 0, ф—сферические координаты). + 00 1 2 Г* 2 74. Пользуясь равенством • -_ = \ е~а xda(a >0), вычислить Ух Уп 0 Г* cos х dx С sin х dx л п /~~гГ -, f~zC интегралы \ —^=г~ и \ —Т=г-. Отв. Л/ -к-\ Л/ тт • J У х J Ух Г 2 Г 2
ГЛАВА XV КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И ИНТЕГРАЛЫ ПО ПОВЕРХНОСТИ § 1. Криволинейный интеграл Пусть точка Р(х\ у) движется вдоль некоторой плоской ли- линии L от точки М к точке N. К точке Р приложена сила /% ко- которая меняется по величине и направлению* при перемещений точки Р, т. е. представляет собой некоторую функцию координат точки Р: Вычислим работу А силы F при перемещении точки~~Р из положения М в положение N (рис. 342). Для этого разобьем *- кривую MN на п произвольных * частей точками М=М0У Мь М2,... ..., Мп =N в направлении от М к N и обозначим через Ди- Дивектор ~MiMi+1. Величину силы F в точке М( обозначим через F(. Тогда скалярное произведение FfiSi можно рассматривать как приближенное выражение работы силы F вдоль дуги MtMi+1: Пусть x, y)J9 где Х(х, у) и Y(x9 у)—проекции вектора F на. оси Ох и Оу. Обозначив через Axt и Hyt приращения координат X; и у( при переходе от точки Mi к точке Af/+1, получаем
§11 КРИВОЛИНЕЙНЫЙ ИНТЕГРАЛ 209 Следовательно, Приближенное значение работы А силы F на всей кривой MN будет А ж Д F, Д^ ^ Д [X (л:,., I/,) А*, + Y (xl9 yd Ау(]. A) Не делая точных формулировок, укажем пока, что если су- существует предел выражения, стоящего в правой части равенства при AS;—*0 (при этом, очевидно, Дд:,- —>0 и Ду,—>-0), то этот предел выражает работу силы F по кривой L от точки М до точки N: А « Urn 2 [Х(*„ у,)Д*1 + У(*„ j^Ajf,]. B) Справа стоящий предел*) называют криволинейным интегралом от X (х, у) и F(x, у) по кривой L и обозначают так: Л=5Х(*. ^)dx+F(x, t/)^ C) ИЛИ (N) Л= J X(*f у)^ + У(^, y)dy. C') Пределы сумм вида B) часто встречаются в математике и ме- механике, при этом Х(х, у) и Y(x, у) рассматриваются как функ- функции двух переменных в некоторой области D. Буквы М и JV, стоящие вместо пределов интегрирования, заключены в скобки в знак того, что это не числа, а обозначе- обозначения концов линии, по которой берется криволинейный интеграл. Направление по кривой L от точки М к точке N называется направлением интегрирования. Если кривая L пространственная, то криволинейный интеграл от трех функций Х(х, у, г), У (х, уу z), Z(x, у, г) определяется аналогично: х, у, z)dx+Y(x, у, z)dy+Z(x, у, )Ь+2( ykt 0 Л= *) Здесь предел интегральной суммы понимается в том же смысле, как wo было в случае определенного интеграла, см. § 2 гл. XI т. I.
210 КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. XV Буква L, стоящая под знаком интеграла, указывает на то, что интегрирование совершается вдоль кривой L. Отметим два свойства криволинейного интеграла. Свойство 1. Криволинейный интеграл.определяется подын- подынтегральным выражением, формой кривой интегрирования и ука- указанием направления интегрирования. При изменении направления интегрирования криволинейный интеграл меняет знак, так как при этом вектор As, а следова- следовательно, и его проекции А* и А у меняют знаки. Свойство 2. Разобьем кривую L точкой К на части Ьг и L2 так, что MN = MK + KN (рис. 343). Тогда из формулы A) непосредственно следует (АО (К) (N) 5 Xdx + Ydy= J Xdx + Ydy+ J Xdx + Ydy. (Af) (M) (K) Это соотношение справедливо для любого числа слагаемых. Отметим еще, что определение криволинейного интеграла остается в силе и в-том случае, когда кривая L замкнута. В этом случае начальная и конечная точ- точки на кривой совпадают. Поэтому в случае замкнутой кривой мы не можем писать (АО ^ Xdx + Y dy, а только ^ Xdx-\-Y dy> ука- Рис. 343, <М) L зывая при этом обязательно направление обхода по замкнутой кривой L. Для обозначения криволи- криволинейного интеграла по замкнутому контуру L очень ча- часто употребляется также символ §¦ Xdx + Ydy. 'L Замечание. Мы пришли к понятию криволинейного интег- интеграла, рассматривая задачу о работе силы F на криволинейном пути L. В этом случае во всех точках кривой L была задана сила F как векторная функция F от координат точки приложения (х; у); проекции переменного вектора F на оси координат равны скаляр- скалярным (т. е. числовым) функциям Х(х, у) и Y(x> у). Поэтому кри- криволинейный интеграл вида ^Xdx + Ydy можно рассматривать как интеграл от векторной функции F, заданной проек- проекциями X и Y. Интеграл от векторной функции F го кривой L обозначается символом
§2] ВЫЧИСЛЕНИЕ КРИВОЛИНЕЙНОГО ИНТЕГРАЛА 211 Если вектор F определяется своими проекциями X, F, Z, то этот интеграл равен криволинейному интегралу \^ Xdx + Y dy + L + Zdz. В частности, если вектор F лежит на плоскости Оху, то инте- интеграл от этого вектора равен \ X dx + Ydy. L В тех случаях, когда криволинейный интеграл от векторной функции F берется по замкнутой кривой L, этот криволинейный интеграл называют также циркуляцией вектора F по замкнутому контуру L. § 2. Вычисление криволинейного интеграла В этом параграфе мы уточним понятие предела суммы A) § 1 и в связи с этим уточним понятие криволинейного интеграла и укажем способ его вычисления, Пусть кривая L задана уравнениями в. параметрической форме Рассмотрим дугу MN этой кривой (рцс. 344). Пусть точкам М и N соответствуют значения параметра аир. Разделим дугу MN на части As^ точками М±(хг\ уг), Mt(xt;y%), ...,Mn(xn\ уп), при этом положим л:1- = ф(/{), #f = i|)(f/). Рассмотрим криволинейный ин- интеграл X(*f y)dx + Y(x9 y)dy9 A) определенный в предыдущем пара- графе. Приведем без доказатель- доказательства теорему существова- существования криволинейного интеграла. Если функции ф(г) и <ф (t) непрерывны и имеют непрерывные производные q>' (t) и ij)'(O, а также непрерывны функции Х[ср(^), t|)(/)] и К[ф(/), ^(OJ как функции t на отрезке [а, Р], то существуют пре- пределы lim О I lim 0 i ^В, B) где Jct и ~у{—координаты некоторой точки, лежащей на дуге Ast. Эти пределы не зависят от способа деления дуги L на частич- частичные дуги^ А^ при условии, что Asj—>0, не зависят от выбора точки М( (xh yt) на дуге Ast; они называются криволинейными
212 КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 1ГЛ. XV интегралами и обозначаются так: А - J Х(х, y)?tef B= J Г( Замечание. Из теоремы следует, что к тому же пределу — криволинейному интегралу—стремятся суммы, определенные в пре- предыдущем параграфе, где точки Mt(xh yt) являются концами дуги Asj, а система разбиения дуги L на части Ast любая. Сформулированная теорема дает возможность получить способ вычисления криволинейного интеграла. Итак, по определению имеем J X{x, y)dx = lim S Х(д^ yt)bxl9 C) (М) Ax^Ofal где Преобразуем последнюю разнбсть по формуле Лагранжа: где т?—некоторое значение_^, заключенное между значениями timmt и tt. Т^к как точку xh yt на дуге Ast- можно выбирать произ- произвольно, то выберем ее так, чтобы ее координаты соответствовали значению параметра т?: Подставляя найденные значения */f t/e- и Дл:^ в формулу C), по- получим I X(x, y)dx= lim S (М) Л^.-^Ot = 1 Справа стоит предел интегральной суммы для непрерывной функ- функции одной переменной X[<p(t), ф(О]ф'A) на отрезке [a, |JJ. Следовательно, этот предел равняется определенному интегралу от этой функции; J X(x, y)dx=[X[<p{t), ¦@]ф'@Л. (М) а Аналогично получается формула (ЛГ) 0 J Y(x, y)dy^lY[<f(t), ¦ (*)]¦'(ОЛ. (Л1) а
§.2] ВЫЧИСЛЕНИЕ КРИВОЛИНЕЙНОГО ИНТЕГРАЛА Складывая почленно эти равенства, получим 213 Х(х% y)dx+Y(x9 (М) {X [Ф (о, * @] ф' @+у [ф @. Ч> @] ¦' @) л. Это и есть искомая формула для вычисления криволинейного интеграла. Аналогичным образом вычисляется кри- „ волинейный интеграл * Xdx + Ydy + Zdz по пространственной уравнениями х = <р(/), кривой, (t) заданной = %(t). Пример 1. Вычислить криволинейный ин- интеграл от тройки функций я3; Згу2; —4с2у (или, что то же, от векторной функции xzi-\-3zy2j—х2ук) вдоль отрезка прямой, идущего от точки М C; 2; 1) до точки N @; 0; 0) (рис. 345). Решение. Для того чтобы найти параметри- параметрические уравнения линии MN, вдоль которой надле- Рис. 345, Рис. 346, зкит интегрировать, напишем уравнение прямой, проходящей че^ез две точ- точки: з~~2~- 1 5 обозначив все эти отношения одной буквой t, получим уравнения прямой в параметрическом виде: При этом началу отрезка MN^ соответствует, очевидно, значение параметра * = 1, а концу отрезка—значение * = 0. Производные от х, уу г по параметру t (которые понадобятся при вычислении криволинейного интеграла) находятся легко; */ = 3, у/= 2, 2t = \.
214 КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ |ГЛ. XV Теперь искомый криволинейный интеграл можно вычислить с помощью формулы D): (N) о о J x*d*+3zy*dy —x2ydz = J [C03-3 + 3*-B02-2 — CQ2.2M] dt = J Шъdt=* Ш) l l 87 Пример 2. Вычислить криволинейный интеграл от пары функций Ъх*д% 10л#2 вдоль плоской кривой у = х3 от точки М A; 1) до точки W B; 8) (рис. 346). Решение, Для вычисления искомого интеграла 6x2ydx+\0xy*dg (М) надо иметь параметрические уравнения данной кривой. Однако заданное явно уравнение кривой у=х* является частным случаем параметрического: здесь параметром служит абсцисса х точки кривой, и параметрические уравнения кривой таковы: х=х, у=х3. Параметр х меняется от #i = l до х2=2. Производные по параметру легко вычислить: Следовательно, 2 2 е= J Fа:2а:3.1 + 1Ол:^.За:2) ^л: = J Fл:5+30л:9) ^дг = [л:6+Зл:1»]? = 3132. 1 1 Укажем теперь на некоторые приложения криволинейного ин- интеграла. 1. Выражение площади области, ограниченной кривой, через криволинейный интеграл. Пусть в плоскости Оху дана такая ограниченная контуром L область D, что всякая прямая, параллельная той или иной из координатных осей и проходящая через внутреннюю точку области, пересекает границу L области не более чем в двух точках (т. е. область D правильная) (рис. 347). Предположим, что на ось Ох область D проектируется в отре- отрезок [а, 6], причем снизу она ограничивается кривой (/х): а сверху—кривой (/2): (Ух (*
§2] ВЫЧИСЛЕНИЕ КРИВОЛИНЕЙНОГО ИНТЕГРАЛА 215 Тогда площадь области D равна ь ь S=ly2(x)dx—\y1(x)dx. Но первый интеграл есть криволинейный интеграл по кривой 12(MPN), так как у—у2{^) есть, уравнение этой кривой; следо- следовательно, ь y2(x)dx=^ \ ydx. MPN Второй интеграл есть криволинейный интеграл по кривой li(MQN), т. е. ь lyt(x)dx=* S ydx. a MQN На основании свойства 1 криволинейного интеграла имеем Следовательно, MPN ; = — ) ydx. NPM E) NPM MQN L При этом кривая L обходится в направлении против часовой стрелки. м а Рис. 347, Если часть границы L составляет отрезок М±М, параллель- (М) ный оси О у, то ^ ydx = 0, и равенство E) остается справедли- справедливо вым и в этом случае (рис. 348). Аналогично можно показать, что F)
КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 1ГЛ. XV Складывая почленно равенства E) и F) и деля на 2, полу- получим еще одну формулу для вычисления площади S: dy—ydx. G) Пример 3. Вычислить площадь эллипса х~а cos t, y = bsint. Решение. По формуле G) нзходим: 1 Г S = -^ \ [a cos t ф cos t) —b sin t (— a sin /)] dt = nab» о Отметим, что формула G), а также формулы E) и F) спра- справедливы и для площадей, границы которых пересекаются линиями, Рис. 349. Рис. 350. параллельными координатным осям, более чем в двух точках (рис. 349). Для доказательства этого разобьем данную область (рис. 349) с помощью линии /• на две правильные области. Для каждой из них справедлива формула G). Складывая левые и пра- правые части, получим слева площадь данной области, справа — кри- криволинейный интеграл F коэффициентом 1/2)> взятый по всей гра- границе, так как криволинейный интеграл по линии раздела /* берется дважды— в прямом и обратном направлениях и, следо- следовательно, равен нулю. 2. Задача о вычислении работы переменной силы F на некотором криволинейном пути L. Как было показано в начале § 1, работа, совершенная силой F= = Х(х, у, z)i + Y(x, у9 z)J-{-Z(x, уу z)k вдоль линии L = M'N, равна криволинейному интегралу: (N) xt у, z)dz. А= S X(x,y9 z)d (М) Рассмотрим пример, показывающий, как производится вычис- вычисление работы силы в конкретных случаях.
§ 31 ФОРМУЛА ГРИНА 217 Пример 4. Определить работу А силы тяжести F при перемещении массы т из точки Мх (аь blt cx) в точку М2 (а2, &2> с2) по произвольному пути L (рис. 350). Решение. Проекции силы тяжести F на оси координат равны Следовательно, искомая работа (М2) сг Л== \ А) Следовательно, в этом случае криволинейный интеграл не зависит от пути интегрирования, а зависит только от начальной и конечной точек. Точнее, работа 1Силы тяжести зависит только от разности высот конечной и начальной точек пути. § 3. Формула Грина Установим связь между двойным интегралом по некоторой плоской области D и криволинейным интегралом по границе L этой области. Пусть в плоскости Oxfy дана ограниченная замкнутым конту- контуром L область D, правильная как в направлении оси Ок9 так и в направлении оси Оу. Нусть эта область ограничена снизу кри- кривой у =#х(х), а сверху кривой у = у2(лг), ух(х)^yz{x)(a^x^b) (рис. 347). В совокупности обе эти кривые составляют замкнутый контур L. Пусть в области D заданы непрерывные функции X (х, у) и Y(x, У), имеющие непрерывные частные производные. Рассмотрим интеграл Представляя его в виде двукратного, получим: Ъ l A) а Заметим, что интеграл ъ численно равен криволинейному интегралу X (х, у) dx, MPN*
218 КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. XV взятому по кривой MPN, уравнения которой в параметрической форме суть х = х, у=у2(х), где я —параметр. Таким образом, ь [X(x,y2{x))dx = \ X(x,y)dx. B) a MPN Аналогично интеграл ь а численно равен криволинейному интегралу по дуге MQNi ъ lX(x,yi(x))dx= $ X(x,y)dx. C) Подставляя выражения B) и C) в формулу A), получим: W™dxdy= f X(x,y)dx- f X(x,y)dx. D) D MPN MQN Ho J X(x,y)dx = - J X(x,y)dx MQN NQM (cm. § 1, свойство 1). Следовательно, формулу D) можно напи- написать так: H%dxdy^ Г X(x,y)dx+ J X(x,y)dx. D MPN NQM Но сумма криволинейных интегралов, стоящих в правой части, равна криволинейному интегралу, взятому по всей замкнутой кривой L в направлении по часовой стрелке. Следовательно, последнее равенство можно привести к такому виду: ^§ E) Если часть границы составляет отрезок /3, параллельный оси Оу, то и и равенство E) остается справедливым и в этом случае. Аналогично найдем ^ F) ь
§4J УСЛОВИЯ НЕЗАВИСИМОСТИ 219 Вычитая E) из F), получим D L Если обход контура L совершается против часовой стрелки, то *) С С ! dY дХ \ с ЖаГ ду) х У-f х У- Это и есть формула Грина, названная так по имени английского физика и математика Д. Грина A793—1841)**). Мы предполагали, что область D правильная. Но, как и в задаче о площади (см. § 2), можно показать, что эта формула справедлива для любой области, которую можно разбить на пра- правильные области. § 4. Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования Рассмотрим криволинейный интеграл (N) J Xdx + Xdy, (М) взятый по некоторой плоской кривой L, соединяющей точки М и N. Будем предполагать, что функции X (я, у) и У (х, у) имеют непрерывные частные произ- производные в рассматриваемой области D. Вы- Выясним, при каких условиях написанный ^^s^^00 пщ криволинейный интеграл не зависит от фор- формы кривой L, а зависит только от поло- Рис, 351. жения начальной и конечной точек М и N. Рассмотрим две произвольные кривые MPN и MQN, лежащие в рассматриваемой области D и соединяющие точки М и N (рис. 351). Пусть J Xdx + Ydy = J Xdx + Ydy, A) MPN MQN т. е. 5 Xdx + Ydy- J MPN MQN *) Если в криволинейном интеграле по замкнутому контуру не указано направление обхода контура, то предполагается, что этот обход производится против часовой стрелки. Если же обход производится по часовой стрелке, то это должно быть специально оговорено. **) Эта формула является частным случаем более общей формулы, откры- открытой русским математиком М, В. Остроградским.
220 КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. XV Тогда на оснбвании свойств 1 и 2 криволинейных интегралов (§ 1) имеем $" Xdx + Ydy+ J Xdx + Ydy=0, MPN NQM т. е. криволинейный интеграл по замкнутому контуру L j)Xdx + Ydy = 0. B) L В последней формуле криволинейный интеграл взят по замкну- замкнутому контуру L, составленному из кривых MPN и NQM. Этот контур L можно, очевидно, считать произвольным. Таким образом, из условия, что для любых двух точек М и N криволинейный интеграл не зависит от формы соединяющей их кривой, а зависит только от положения этих точек, следует, что криволинейный интеграл по любому замкнутому контуру равен нулю. Справедливо и обратное заключение: если криволинейный интеграл по любому замкнутому контуру равен нулю, то этот криволинейный интеграл не зависит от формы кривой, соединяю- соединяющей две любые точки, а зависит только от положений этих точек, Действительно, из равенства B) следует равен- равенство A). В примере 4 § 2 криволинейный интеграл не зависит от пути интегрирования, в примере 3 криволинейный интеграл зависит от пути интегрирования, так как в этом примере интеграл по замкнутому контуру не равняется нулю, а дает площадь, огра- ограниченную рассматриваемым контуром; в примерах 1 и 2 криво- криволинейные интегралы также зависят от пути интегрирования. Естественно возникает вопрос: каким условиям должны удов- удовлетворять функции Х(х, у) и Y(x, у) для того, чтобы криволи- криволинейный интеграл ^Xdx + Ydy по любому замкнутому контуру был равен нулю. Ответ на этот вопрос дает следующая теорема: Теорема. Пусть во всех точках некоторой области D функ- функции Х(х, у), Y(xy у) вместе со своими частными производными —д У) и —дх непрерывны. Тогда, для того чтобы криво- криволинейный интеграл по любому замкнутому контуру L, лежа- лежащему в области D, был равен нулю, т. е. чтобы :0, B') необходимо и достаточно выполнение равенства ду ~~ дх \ ' во всех течках области D.
§ 41 УСЛОВИЯ НЕЗАВИСИМОСТИ 221 Доказательство. Рассмотрим произвольный замкнутый контур L в области D и для него напишем формулу Грина: L Если выполняется условие C), то двойной интеграл, стоящий слева, тождественно равен нулю и, следовательно, Таким образом, достаточность условия C) доказана. Докажем теперь необходимость этого условия, т. е. докажем, что если равенство B) выполняется для любой замкну- замкнутой кривой L в области Z), та в каждой точке этой области выполняется и условие C). Допустим, напротив, что равенство B) выполняется, т. е. (pXdx + Ydy^O, L а условие C) не выполняется, т. е. дх ду хотя бы в одной точке. Пусть, например, в некоторой точке Р(х0; у0) имеем неравенство дх ду ^ Так как в левой части неравенства стоит непрерывная функ- функция, то она будет положительна и больше некоторого числа 6>0 во всех точках некоторой достаточно малой области D', содержащей точку Р(х0; у0). Возьмем двойной интеграл по этой области от разности -^ g—. Он будет иметь положительное значение. Действительно, Но по формуле Грина левая часть последнего неравенства равна криволинейному интегралу по границе U области D', который равен нулю. Следовательно, последнее неравенство противоречит условию B) и, значит, предположение, что g у- отлично от нуля хотя бы в одной точке, неверно. Отсюда
222 КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. XV вытекает, что дх ду ~U во всех точках данной области D. Таким образом, теорема полностью доказана. В § 9 гл. XIII было доказано, что выполнение условия дУ(х,у) ^дХ(х,у) дх ду равносильно тому, что выражение Xdx + Ydy есть полный дифференциал некоторой функции и(х> у), т. е. = du (х, у), причем Х(х,у) = ж, Y(x,y) = Ty Но в этом случае вектор есть градиент функции и(х, у)\ функция и (л:, у), градиент которой равен вектору Xi + YJ, называется потенциалом этого вектора. Докажем, что в этом случае криволинейный интеграл (N) /== ^ Xdx + Ydy no любой кривой L, соединяющей точки М и N, Ш) равняется разности значений функции* и в этих точках: (N) (N) J Xdx + Ydy= J du(x,y) = u(N)-u(M). (М) (М) Доказательство. Если Xdx + Y dy является полным диф- дифференциалом функции и(х, у), то Х = ~, Y = -jf и криволиней- криволинейный интеграл примет вид (M) Для вычисления этого интеграла напишем параметрические урав- уравнения кривой L, соединяющей точки М и N: Будем считать, что значению параметра t = 't0 соответствует точка М, а значению t — T — точка N. Тогда криволинейный
§ 41 УСЛОВИЯ НЕЗАВИСИМОСТИ 223 интеграл, сведется к следующему определенному интегралу: т ди dx ,ди d Выражение, стоящее в скобках, есть функция от if являющаяся полной производной от функции и[ср(О> *Ф@] по '• Поэтому Как мы видим, криволинейный интеграл от полного дифференциала не зависит от формы кривой, по которой производится интегрирование. Аналогичное утверждение имеет место и для криволинейного интеграла по пространственной кривой (см. ниже § 7). Замечание. Иногда приходится рассматривать криволиней- криволинейные интегралы по длине дуги L от некоторой функции X (х, у): S X (ху у) ds = hm S X (*/f y,) As/f D) где ds — дифференциал дуги. Вычисляются такие интегралы ана- аналогично вычислению рассмотренных выше криволинейных инте- интегралов. Пусть кривая L задана параметрическими уравнениями где ф@> Ф@» ф'@> Ф' @"" непрерывные функции от ?. Пусть а и Р — значения параметра ^, соответствующие началу и концу дуги L. Так как то мы получаем формулу для вычисления интеграла D): J Можно рассматривать криволинейный интеграл по дуге простран- пространственной кривой x = <p(t)> y = ty(t)y z = x(ty. y X@1
224 КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. XV С помощью криволинейных интегралов по дуге определяются, например, координаты центра масс линий. Рассуждая так же, как в§8 гл. XII (т. I), получим формулу для вычисления координат центра масс пространственной кривой: \xds [yds $zds Хс ~ ~~л э Ус== ~"р > zc=z ~7 * У ) \ds ^ds \ds L L L Пример. Найти координаты центра масс одного витка винтовой линии если ее линейная плотность постоянна. Решение. Применяя формулу E), найдем x _ 0 2я 2я С a cos t У a2 sin21+a2 cos2 t + b2 dt \a cos tY^ 0 x Va2 sin2 t+a2 cos2 t + b2 dt С Ya*+b2dt о о Аналогично #c = 0, 2Л f ft/ )/*a2 о Z°~~ 2яVra2^-ft2 ~" 2л'2 ~Л ' Итак, координаты центра масс одного витка винтовой линии равны *<? = 0, ус = 0, zc — nb. § 5. Поверхностный интеграл Пусть в прямоугольной системе координат Охуг задана неко- некоторая область V. Пусть в области V задана поверхность а, огра- ограниченная некоторой пространственной линией %. Относительно поверхности а мы будем предполагать, что в каж- каждой ее точке Р определяется положительное направление нормали единичным вектором п (Р), направляющие косинусы которого явля- являются непрерывными функциями координат точек поверхности. Пусть в каждой точке поверхности определен вектор F=X(x, у, z)i + Y(x9 у, z)J+Z(x, у, г)к, где X, У, Z—непрерывные функции координат. Разобьем поверхность каким-либо способом на элементарные площадки АсГ|. На каждой площадке возьмем произвольную точку
§ 5. ПОВЕРХНОСТНЫЙ ИНТЕГРАЛ 225 Р( и рассмотрим сумму A) где F(Pi)—значение вектора F в точке Рг площадки Acr,, n (PJ) — единичный вектор нормали в этой точке, Fn—скалярное произве- произведение этих векторов. Предел суммы A), распространенный на все площадки аа{ при стремлении к нулю диаметров всех таких площадок, называется поверхностным интегралом и обозначается символом Таким образом, по определению *) lim diam Да = \\ Fnda. G Каждое слагаемое суммы A) icos(nh B) C) может быть истолкоБ-ано механически следующим образом: этЬ произведение равно объему цилиндрах основанием Аа( и высо- высотой F;cos(ii/, Ft). Если вектор F есть скорость жидкости, протекающей че- через поверхность а, то произведение C) равно количеству жидкости, протекаю- протекающей через площадку Aaf. за единицу времени в направлении вектора щ (рис. 352). Выражение ^ $ Fn do представляет а собой общее количество жидкости, про- протекающей в единицу времени через по- поверхность а в положительном направ- направлении, если под вектором F подразуме- подразумевать вектор скорости течения Жидкости в данной точке. Поэтому поверхностный интеграл B) называется потоком векторного поля F через поверхность а. Рис. 352. *) Если поверхность а такова, что в каждой ее точке существует каса- касательная плоскость, которая непрерывно меняется с перемещением точки Р по поверхности, и если векторная функция F непрерывна на этой поверхности, то этот предел существует (эту теорему существования интеграла по поверх- поверхности мы принимаем без доказательства). Н. С. Пискунов, т. 2
225 КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 1ГЛ. XV Из определения поверхностного интеграла следует, что если поверхность а разбить на части ои аа, ••., ок, то = \ J Fnda + J $ ... 4- $$ fiidcr. Выразим единичный вектор п через его проекции на оси коор- координат: n = cos(n, x)i+cos(n, y)j+cos(n, z)k*). Подставляя в интеграл B) выражения векторов Fun через их проекции, получим =* Ц [Xcos(п, x) + Ycos(n, y) + Zcos(n, г)]da. B') Произведение Дасо^(я, г) есть проекция площадки Да на пло- плоскость Ох у (рис. 353); аналогичное утверждение справедливо и для произведений Да cos (n, х) и Да cos (/I, у): Да cos (я, x) = Да cos (л, у) = Да cos (л, г) = D) Рис, 353, где Дауг, Дах<г, Да^—проекции пло- площадки Да на соответствующие коор- координатные плоскости. На основании этого интеграл B') записывают также" в другой форме: cos t y)-\-Zcos(n, . B") § 6$ Вычисление поверхностного интеграла Вычисление интеграла по кривой поверхности сводится к вычис- вычислению двойного интеграла по плоской области. Укажем, например, способ вычисления интеграла $$Zcos(/&, г)da. Пусть поверхность а такова, что всякая прямая, параллель- параллельная оси 0г% пересекает ее в одной точке. Тогда уравнение поверх- *) В упражнениях встречаются обозначения cos (л, х) = cos о&| cos (л, у) = cos f&j cos (я, г)=cos у.
§61 ВЫЧИСЛЕНИЕ ПОВЕРХНОСТНОГО ИНТЕГРАЛА 227 ности можно написать в виде * = /(*, */)• Обозначая через D проекцию поверхности а на плоскость Оху, получим (на основании определения поверхностного интеграла) \[ Z (х, у, z) cos (n, z) do = lim JJ Z (xh yh zt) cos (nh z) Aot. a diam Aaf- -*0i=l Учитывая, далее, последнюю из формул D) § 5, получим z)do= lim j}Z(xi9 yh f{xiy &))(Aa ),=* 0 diam До -* Of = 1 «=± lim 2 z(xi> У и f(*i, yt))\b0xv\t$ а последнее выражение есть интегральная сумма для двойного интеграла от функции Z(x, у, f(x, у)) по области D. Поэтому $$Zcos(/i, z)do=±[^Z(xy у, /(*, y))dxdy. a D При этом перед двойным интегралом берется знак плюс, если cos (л, г)^0, и знак минус, если cos (я, г)^0. Если поверхность а не удовлетворяет условию, указанному в начале этого параграфа, то ее разбивают на части, удовлетво- удовлетворяющие этому условию, и вычисляют интеграл по каждой части отдельно. Аналогично вычисляются интегралы X cos (я, х) da, ^Y cos (n, у) do. а Доказанное оправдывает запись поверхностного интеграла в форме B") из § 5. При этом правую часть равенства B") можно рассматривать как сумму двойных интегралов по соответствующим проекциям области а, причем знаки этих двойных интегралов (или, как говорят иначе, знаки произведений dydz, dx dz% dx dy) берутся в соот- соответствии с указанным выше правилом. Пример 1. Пусть замкнутая поверхность о такова, что всякая прямая, параллельная оси Ог, пересекает ее не более чем в двух точках. Рассмотрим интеграл С f г cos (n, z) do.V[ Положительнь/м направлением нормали будем считать внешнюю нормаль, В данном случае поверхность можно разбить на две части: нижнюю и верхнюю; их уравнения будут соответственно г~к(хг у) и г = /2(** У)* 8*
228 КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. XV Обозначим через D проекцию а на плоскость Оху (рис. 354); тогда (xt у) dx dy— J J ft (xt y)dxdy. Знак минус у второго интеграла взят потому, что в поверхностном инте- интеграле знак dxdy на поверхности z — f1(xt у) нужно взять отрицательным, так как для нее cos (л, г) отрицателен. Рис. 354. Рис. 355. Но разность интегралов, стоящих справа в последней формуле, дает объем, ограниченный поверхностью а. Значит, объем тела, ограниченного замкнутой поверхностью а, равен следующему интегралу по поверхности: = '\ С z cos (л, г) da. Пример 2. Положительный электрический заряд е, помещенный в на- начале координат, создает векторное поле, так что в каждой точке пространства определяется вектор F по закону Кулона: где г — расстояние рассматриваемой точки от начала координат; г—единичный вектор, направленный по радиус-вектору данной точки (рис. 355); &—постоян- &—постоянный коэффициент. Определить поток векторного поля через сферу радиуса R с центром в начале координат. Решение. Принимая во внимание, что r=/?=c.onst, будем иметь Но последний интеграл равен площади поверхности а. Действительно, по оп- определению интеграла (учитывая, что гл— 1) получим JJ = lim к= lim ke ke Следовательно, поток равняется -щ- a = = 4nke.
§71 ФОРМУЛА СТОКСА 229 § 7. Формула Стокса Пусть имеем поверхность а такую, что всякая прямая, парал- параллельная оси Ог, пересекает ее в одной точке. Границу поверх- поверхности а обозначим через Я. Положительное направление норма- нормали п возьмем так, чтобы она образовывала с положительным направлением оси Ог острый угол (рис. 356). Пусть уравнение поверхности есть z-=f(x,_ у). Направляющие косинусы нормали выражаются формулами (см. § 6 гл. IX т. I): cos(n, *) = дх ?J+(f )¦' cos (я, у) = - cos (я, z) = УЩТШ' A) Будеэд предполагать, что поверхность а всеми своими точками лежит в некоторой области V. Пусть в области V задана функ- функция Х(х, у, г)9 непрерывная вместе с частными производными первого порядка. Рассмотрим криволинейный интеграл по кривой X §Х(х, у, z)dx. А* На линии % имеем 2 = /(*;, у), где*, #— координаты точек линии L, являющейся проекцией линии X на плоскость Оху (рис. 356). Следовательно, мы можем на- написать равенство §Х(х, у, z)dx = §X(x, у, f(x, y))dx. * B) Рис. 356. Последний интеграл есть криволинейный интеграл по линии L. Преобразуем этот интеграл по формуле Грина, положи* Х{х, у, /(*, у)) = Х(*, у), 0 = Y(x, у). Подставляя в формулу Грина вместо X и Y их выражения, получим ff ""%"" »f (х, у, Ш, УМ*. C,
230 КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЦ [ГЛ. XV где область D ограничена линией L. На основании производной сложной функции Х(х, у, f(x, y)\ где у входит и непосредст- непосредственно, и через функцию z = f(x, у), найдем дХ(х, у, f (х, у)) _ дХ(х, у, г) |ч дХ(х, у, г) df (х, у) ^ ду ~ ду ~*~ дх ду ш к } Подставляя выражение D) в левую часть равенства C), получим -^[Щ^+дХ V г)д!%У)] dxdy=§X(x,y,f(x,y))dx. D L Последнее равенство с учетом равенства B) можно переписать так: E) Последние два интеграла преобразуются в интегралы по. поверх- поверхности. Действительно, на основании формулы B") из § 5 следует, что если имеем некоторую функцию А(х, у, г), то справедливо равейство Ц*> У, z) cos (#, z)da= }} A dxdy. a На основании этого равенства интегралы, стоящие в правой части равенства E), преобразуются следующим образом: ¦wdxdy={№cos{n> z)da> ' z)da' Последний интеграл преобразуем с помощью формул A) настоящего параграфа: деля почленно второе из этих равенств на третье, находим cos (п, у)_ df cos (л, z)~~" ду * ИЛИ -§jcos(n, г) = — cos (я, у). Следовательно, П^ИТГ^ У)йо. G) D а Подставляя выражения F) и G) в равенство E), получаем х9 у, z)dx = -^-^-cos(n, z)de+^2X_cos(n, у)А*. (8)
§7] ФОРМУЛА СТОКСА 231 Направление обхода контура к должно быть согласно с выбран- выбранным направлением положительной нормали п. Именно, если наблюдатель смотрит с конца нормали, то он видит обход вдоль кривой к против часовой стрелки* Формула (8) справедлива для любой поверхности, если эту поверхность можно разбить на части, уравнения которых имеют вид z = /(x, у). Аналогично можно написать формулы Y (*, у, z) dy = J J [- -§- cos (л, х) + ~ cos (л, г)] da, (8') Z (х, у, z) dz = J J Г- -g- cos (я, *)+-§¦ cos (я, *)] dor. (8") а Складывая левые и правые части равенств (8), (8') и (8"), полу- получим формулу Эта формула называется формулой Стокда по имени английского физика и математика Д. Стокса.A819—1903). Она устанавливает зависимость между интегралом по поверхности а и криволиней- криволинейным интегралом по границе X этой поверхности, причем обход по кривой К совершается по тому же правилу, которое было ука- указано выше. Вектор Ву определяемый проекциями ***-~ ду dz ' у~ dz дх ' **z~ дх ду ' называется вихрем или ротором векторной функции F=Xi + + Yj+Zk и обозначается*) символом rotF. Следовательно, в векторной форме формула (9) будет иметь вид §^ (9') и теорема Стокса формулируется так: Циркуляция вектора вдоль контура некоторой поверхности равна потоку вихрятчерез эту поверхность. Замечание. Если поверхность а есть кусок плоскости, параллельной плоскости Оху, то Дг = 0, и мы получаем формулу Грина как частный случай формулы Стокса. *) rot—три буквы французского слова rotation, что значит звращениеа.
232 КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ?ГЛ. XV Из формулы (9) следует, что если дУ дх п ы дУ 0 ах az0 0 0 0 то криволинейный интеграл по любой пространственной замкну- замкнутой кривой К равен нулю: = O. A1) Отсюда следует, что в этом случае криволинейный интеграл не зависит от формы кривой'интегрирования. Как и в случае плоской кривой, можно показать, что для выполнения равенства A1) условия A0) являются не только достаточными, но и необходимыми. При выполнении этих условий подынтегральное выражение есть полный дифференциал некоторой функции и(х, у, г): Xdx + Ydy + Zdz = du(x, у, z) и, следовательно, (М) {М) Это доказывается так же, как соответствующая формула для функции двух переменных (см. § 4). Пример 1. Напишем основные уравнения динамики материальной точки mdv*-~Y trdVy-V mdV*-~7 m~dt~x' mW-Y' m!f-z' Здесь m—масса точки; X, У, Z—проекции на оси координат силы, действую- „ dx du dz щей на точку; vx~r* vv~~3T^ Vz~~~di—пРоекЦии скорости v на оси координат. Умножим левые и правые части написанных уравнений на выра- выражения vxdt = dx, vydt = dy, vzdt = dz. Сложив почленно данные равенства, получим m\vx dvx + vy dvy\-vz dvz) Так как ^+^+t'l=c2; то мы можем написать ~ mxA =X dx-\-y dy+Z dz. Возьмем интеграл вдоль траектории, соединяющей точки Mt и М2: (Mt) — mvl-Y^ I *где vt и t>2—скорости в точках Mi и М
§81 , ФОРМУЛА ОСТРОГРАДСКОГО 233 Последнее равенство выражает теорему живых сил: приращение кинети- кинетической энергии при переходе из одной точки в другую равно работе силы, действующей на массу т. Пример 2. Определить работу силы ньютонова притяжения к непод- неподвижному центру массы т при перемещении единичной массы из положения Mi(ai; bx\ Ci) в положение М2 (я2; ^; сё- Ре ше н_и_е_._ Пусть начало координат помещено в неподвижный центр при-„ тяжения. Обозначим через г радиус-вектор точки М (рис. 357), соответствую- соответствующий произвольному положению единичной мас- массы, а через г°—единичный вектор, направлен- направленный по вектору г. Тогда F = ^r°, где k—гравитационная постоянная. Проекции си- силы F на оси координат будут / Г* Г ' ~~ Г% Г* 1 2 Тогда работа силы F на пути-Л^Мз равна Рис. 357. (М2) (Ms) . и С txdx+ydy+zdz ' С г dr . —km J -™/-t- —km \ -r- (Mi) (Mt) (так как t2=a:2+^+z2, rdr=xdx-{-ydy+zdz). Если обозначить через и г2 длины' радиус-векторов точек Мг и М2, то Таким образом, здесь криволинейный интеграл также не зависит от4>ормы кривой интегрирования, а зависит только от положения начальной и конечной _ km точек. Функция « = ~ называется потенциалом поля тяготения, создаваемого массой т. В данном случае v ди >_ ди „ ди Л X Г Z Л т. е. работа при перенесении единичной массы равняется разности значений потенциала в конечной и начальной точках. § 8. Формула Остроградского Пусть в пространстве задана правильная трехмерная область V, ограниченная замкнутой поверхностью а и проектирующаяся на плоскость Ох у в правильную двухмерную область D. Мы пред- предположим, что поверхность а можно разбить на три части alt ot и ай так, что уравнения первых двух имеют вид z = f1(x, у) и z^hix* У), где ft(xf у) и f2(x, у)—функции, непрерывные в об- области D, а третья часть а3 есть цилиндрическая поверхность с образующей, параллельной оси Ог.
234 КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ |ГЛ. XV Рассмотрим интеграл Произведем сначала интегрирование по г: мКТ) D Ч<*. д) ' ~l]Z(x, у, /,(*, y))dxdy-HZ(x, у, U(x, y))dxdy. A) D D Выберем на нормали к поверхности определенное направление, а именно то, которое совпадает с направлением внешней нормали к поверхности а. Тогда cos (я, г) будет на поверхности а2 поло- положительным, а на поверхности"" о^ отрицательным; на поверхности ст3 он равен нулю. Двойные интегралы, стоящие в правой части равенства A), равны соответствующим интегралам по поверхности: $$ V* М*. y))dxdy=[]z(x, у, z)cos(n, z)da; Ц2(х, у, h(х9 у))&х&у= \\Z(x, у, г)(-cos(n, г))da. D 0i В последнем интеграле мы написали (—cos (я, г)) потому, что элемент поверхности at и элемент площади As области D связаны соотношением As = Aa[—cos (я, г)], так как угол (я, г) тупой. Итак, SJ2(*, У, /*(*, y))dxdy = —\\Z(x,y, h(x, y)}c6s(n, г)da. B") Подставляя B') и B") в равенство A), получим {*, y9 z)cos(n, z)de+ JJ Z(x9 у, z)cos(n, г)da. Для удобства дальнейших формул последнее равенство перепишем так (прибавив $$Z(#, уу г) cos (я, г) da = 0, так как на поверхно- ста <г3 выполняется равенство cos (я, г) = 0): , г) da. о,
$ 8] ФОРМУЛА ОСТРОГРАДСКОГО 235 Но сумма интегралов, стоящих в правой части последнего равен- равенства, есть интеграл по всей замкнутой поверхности а; поэтому Ш ъ**dy dz=Иz {х* у>z) cos {п*г) da' Аналогично можно получить соотношения Складывая почленно три последних равенства, получим фор- формулу Остроградского*) = J J (X.cos (», x) + Y cos (я, у)+Z cos (я, г)) da. B) Выражение -^- + —V~fa называется дивергенцией вектора (или дивергенцией векторной функции) и обозначается**) символом divF: ах . 0 Отметим, что эта формула справедлива для любой области, которая может быть разбита на области, удовлетворяющие усло- условиям,, указанным в начале этого параграфа. Дадим гидромеханическую интерпретацию полученной формулы. Пусть вектор F=Xi-{-Yj+Zk есть вектор скорости жидкости, протекающей через область V. Тогда интеграл по поверхности, стоящей в формуле B), есть интеграл от проекции вектора F на внешнюю нормаль п\ он дает количество жидкости, вытекающей из области V через поверхность а в единицу времени (или вте- втекающей в область F, если этот интеграл отрицателен). Это коли- количество выражается через тройной интеграл от divF. *) Эта формула (называемая иногда формулой Остроградского—Гаусса) была открыта знаменитым русским математиком М. В. Остроградским A801 — 1861) и опубликована им в 1828 г. в статье «Заметка по теории теплоты». **) div—три первые буквы французского слова divergence, что значит, (расходимость».
236 КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ {ГЛ. XV Если divF^O, то двойной интеграл но любой замкнутой поверхности равен нулю, т. е. количество вытекающей (или вте- втекающей) через любую замкнутую поверхность а жидкости будет равно нулю (отсутствуют источники). Точнее говоря, количество жидкости, втекающей внутрь области, равно количеству жидкости, вытекающей из этой области. В векторной форме формула Остроградского имеет вид (У) и читается так: интеграл от дивергенции векторного поля F, распространенный по некоторому объему, равен потоку вектора через поверхность, ограничивающую данный объем. § 9. Оператор Гамильтона. Некоторые его применения Пусть мы имеем функцию и = и(х, у, г). В каждой точке об- области, где определена и дифференцируема функция и{х, у, г), определяется градиент Градиент функции и(х, у, г) иногда обозначают так: знак V читается «набла». 1) Равенство B)" удобно символически записать так: 4 и рассматривать символ '?|- C) как «символический вектор». Этот символический вектор назы- называется оператором Гамильтона или набла-оператором (^-опера- (^-оператором). Из формул B) и B7) следует, что при «умножении» сим- символического вектора V на скалярную функцию и получается градиент этой функции: . V« = gradw. D) 2) Можно составить скалярное произведение символического вектора V на вектор JF= iX <+JY + fcZ:
§9] (см. § 8). Итак, ОПЕРАТОР ГАМИЛЬТОНА VF-divF. 237 E) 3) Составим векторное произведение символического вектора V на вектор F=iX+jY + kZ: d Ту Y д dz Z J -/1 d dx X d dz Z d dx X d ду Y t J k d d d dx dy dz X Y Z dZ__dY\ _ jfdZL_d2^\ , d dY dX dZ dY\ , JdX dZ\ , Л dY dX: (cm. § 7). Итак, VxF=rotF. Из сказанного следует, что употребление символического век- вектора V позволяет очень коротко выражать векторные операции. Рассмотрим еще несколько формул. 4) Векторное mMeF(#, r/, г) = iX+JY+kZ называется потен- потенциальным векторным полем, если вектор F есть градиент некото- некоторой скалярной функции и(х, у, z): F=grada, или В этом случае проекции вектора F будут ди :S1 ди ди Из этих равенств следует (см. т. 1, гл. VIII, § 12) ду дх ' dz ду * dz ~дх* дХ dY Л дХ dZ. Л дХ dZ л ИЛИ Следовательно, для рассматриваемого вектора F rotF=0. Таким образом, получаем rot (grad и) = 0. G)
238 КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ?ГЛ. XV Применяя оператор V, равенство G) на основании формул D) и F) можно записать так: Пользуясь тем свойством, что для умножения векторного произ- произведения на скаляр достаточно умножить на этот скаляр один из сомножителей, запишем: = 0. G") Здесь оператор V снова обладает свойствами обыкновенного век- вектора: векторное произведение вектора на себя равно нулю. Векторное поле F(x, у, г), для которого rotF=0, называется безвихревым. Из равенства G) следует, что всякое потенциальное поле является безвихревым. Справедливо и обратное заключение, т. е. если некоторое век- векторное поле F является безвихревым, то оно потенциально. Спра- Справедливость етого утверждения следует из рассуждений, проведен- проведенных в конце § 7. 5) Векторное поле F(x, у, г), для которого divF=0, т. е. векторное поле, в котором отсутствуют источники (см. § 8), на- называется соЛеноидальным или трубчатым. Докажем, что div(rotF) = 0, (8) т. е. что поле вихрей свободно от источников. Действительно, если F=iX-\-jY+kZ, то и поэтому д fdZ dY\ ,д[дХ dZ\,dfdY дХ \ С помощью оператора V равенство (8) запишется так: 0. (8') Левую часть этого равенства можно рассматривать как векторно- скалярное (смешанное) произведение, трех векторов: V, V, F, из которых два одинаковых. Это произведение, очевидно, равно нулю. 6) Пусть имеем скалярное поле и = и(ху уу г). Определим поле градиентов: Найдем далее divfe,adl0 = |(*) + 4(*)+ ?(*). „ли ^^5-. (9,
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ XV 239 Правая часть этого выражения обозначается д„ д2и д2и или символически Символ называется оператором Лапласа. Следовательно, равенство (9) можно записать так: div (grad и) = Аи. A1) С помощью оператора V равенство A1) записываем в виде (W«) = Aa, т. е. A==V2. AГ) Заметим, что уравнение + + 0 или Аи^О A2') называется уравнением Лапласа. Функция, удовлетворяющая урав- уравнению Лапласа, называется гармонической функцией. Упражнения к главе XV Вычислить следующие криволинейные интегралы: 1. \ у2dx-\-2xy dy по окружности # = асо5*, y—asint. Отв. 0. 2. \ydx-xdy по дуге эллипса x~acost, y = bslnt. Отв. —27tab. Г* х v 3# \ х2 4-ц2 dx 2 f 2 dy по окружности с центром в начале координат. Отв. 0. 4. \ ^—2^" 2 ¦ по отрезку прямой у = х от ^=1 до х=2. Отв. In 2. 5. V yzdx+xzdy+xydz по дуге винтовой линии #=acosf, y = z=kt при изменении t от 0 до 2тс. Отв. 0. С f 3 6. \xdy-ydx по дуге астроиды #=acos3*, y=asis?t. Отв. -^ (удвоенная площадь астроиды). 7. \xdy-ydx по петле декартова листа ^^yq^ (удвоенная площадь области j ограниченной указанной петляй). —ухр- 0/п*- За1
240 КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. XV 8. {xdy—ydx по кривой x=a(t—sin t), у —а A — cos /) (<Х*^2я). Отв. — бзха2 (удвоенная площадь области, ограниченной одной аркой циклоиды и осью Ох). Доказать, что: 9. grad(<xp) = cgrad<p, где с—постоянная. 10. grad(c1q)+c2t[?)=c1grad9+c2gradi|?, где с* и с2—постоянные. И. gradfcpiJ^cpgradilJ+^gradcp. 12. Найти gradr, gradr2, grad 1/г5 grad/(r), где r=Vx2+y2 + z2. Отв. г In 2r; -rlr*;J'(r)r/r. 13. Доказать, что div(A+B) = div A + div В. 14. Вычислить diyr, где r = xi+yj+zk. Отв. 3. 15. Вычислить div (Лф), где А—векторная функция, а <р—скалярная функция. Отв. cpdiv ;4 + (gradq>, Л). 16. Вычислить div (re), где с—постоянный вектор. Отв. сг/г. 17. Вычислить div В (гА). Отв. АВ. Доказать, что: 18. rot (CiAi+c2A2)=CiYoi Л1+с2rot Л2? где с± и с2—постоянные. 19. rot-B4c) = gi;ad Axe, где <?—постоянный вектор. - 20. rot rot Л = grad div Л — ДЛ. 21. ЛXgradф = гot (фЛ). Интегралы по поверхности 22. Доказать, что С \ cos (я, 2)da=0, если а—замкнутая поверхность* п—нормаль к ней. 23. Найти момент инерции поверхности сегмента сферы с уравнением а+2+2Я* отсекаемого плоскостью z = Ht относительно оси Ог. Отв. ^ 24. Найти момент инерции поверхности параболоида вращения х2+у2 = 2сг, отсеченной плоскостью z = cf относительно оси Ог. Отв. 4яс4— S* . 1о 25. Вычислить координаты центра масс части поверхности конуса x2-\-y2=R2z2/H2, отсеченной плоскостью г = Я. Отв. @; 0; 2Я/3). - ^26* Вычислить координаты центра масс сегмента поверхности сферы *2+y2+z2=R2, отсекаемого плоскостью г = Н. Отв. @; 0; (R + H)/2)^ 27. Найти \ V [*cos (я, x)-\-ycos (я, ^) + 2cos (я, 2)] do, где а—замкну- тая поверхность. Отв. 3V, где V—объем тела, ограниченного поверхностью а. 28. Найти \ \zdxdy, где о—внешняя сторона сферы Jt2+#2+z2=#2, a Отв. 4-яЯ3. о 29. Найти \\x2dy4z-\-y2dzdx-\'Z2dxdy9 где а—внешняя сторона по- пост верхности сферы x2+y2+z2=>R2. Отв. 0. И V\x2-\-y2do, где а—боковая поверхность конуса
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ XV 241 31. По формуле Стокса преобразовать интеграл ф ydx-\-zdy-\-x dz. i Отв. —¦ \ \ (cos a+cos P+cos у) da. о Найти криволинейные интегралы, применяя формулу Стокса и непосред- непосредственно: — 32. ф (y+z)dx-\-(z + x)dy+(x+y)dztгде!—окружностьx2+y2 + z2 = a29 x+y+z = 0. Отв. О* 33. (hx2tpdx-{-dy-{-zdz, где 'L —окружность x2+y2 = R2i 2 = 0. Отв. Щ1 Применяя формулу Остроградского, преобразовать поверхностные инте- интегралы в интегралы по объему: 34. С f a v 35. J \(х2+У2+г2) (dy dz+dx dz+dxdy). Отв. 2 a -^ 36. \ V xy dx dy-\-yz dy dz-\-zx dz dx. Отв. О. dd2+Tzdxdy- Ome- С помощью формулы Остроградского вычислить следующие интегралы: 38. \ \ (х cos a+^ cos Р + г cos у) da, где a—поверхность эллипсоида a у2 t/2 22 * +|5.+±.==1. Отв. 4nabc. a2 l b2 l с2 39. у \ (х? cos a-j^t/3 cos P + 23 cos y) ^cr» где a—поверхность сферы х2 -f- + «•+2*1/?». Ome. 12я/?5/5. 40. \ \ х2 dy dz-\-y2 dz dx + z2 dx dy, где a—поверхность конуса —^+-^— a 0 @<2^6). Ome. 41. \ \ xdydz+ydxdz-\-zdxdy, где а—поверхность цилиндра х2-\-у2 = а2, — #<*<#. Отв. Zna2H. С С ( д2и д2и \ р ди 42. Доказать тождество \ \ ( •jt+-tt ) «*"#=(!>~3br"s» гДе ^—кон* J J \ ОХ Оуй / ' " D тур, ограничивающий область 1>, а -^ производная по направлению внеш- внешней нормали. Решение. (s, *L-^sin(s, x)] ds,
242 КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ?ГЛ. XV где (s, дс)—угол между касательной к контуру С и осью Ох. Если через (пу х) обозначим угол между нормалью-и осью Ох, то sin(s, *) = cos (w, x)9 cos (s, #) = ¦— sin (л, х). Следовательно, „ -, ди -. ди Полагая X = ^, Y =. -^ , получим и v ^ C0S ^Л> ^^"%"Sin ^ ^V Sj или а« 43. Доказать тождество (так называемую формулу Грина) где и и t;—функции, непрерывные и имеющие непрерывные производные до второго порядка в области и. Символы Аи и Ду обозначают следующее: д2и . д2и . д2и . d2v . дЪ . ,d2v ду2 * ^22 Решение.* В формуле Ш' ах . аг . dz -авг+а^+"яг = JJ [X cos (и, x)+Y cos (л, y)+Z cos (л, г)] Жт а положим X =5= ш^—«y^j Y~vuy—uv'yi Z = vuz—uvz. Тогда дХ , dY . dZ Xcos(/t, jc) + Kcos(/i, y)+Z cos (n, z) = = d («/cos (л, ^)+«^ cos (n, —«(^cos(w, *)+^cos(/*, y)+v'zcos(n, г))^г?—и~^. Следовательно, 44. Доказать тождество
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ XV ' 243 Решение. Положим в формуле Грина, выведенной в предыдущем при- примере, 0=1. Тогда Дс/=О, и мы получаем указанное .тождество. 45. Если и (х, у, г)—гармоническая функция в некоторой области * т. е, такая функция, которая в любой точке этой области удовлетворяет уравне- уравнению Лапласа д2и . д2и . д2ы то Иди , где а—замкнутая поверхность. Решение. Это непосредственно следует из формулы задачи 44. 46. Пусть и(х, у, 2)—гармоническая функция в некоторой области V и пусть в области V находится сфера а с центром в точке М (хх; ух; zx) и ра- радиусом R. Доказать, что Решение. Рассмотрим область Q, ограниченную двумя сферами a, a радиусов R и р (р < R) с центрами в точке М (jcx; y±; Zi). Применим к этой области формулу Грина, установленную в задаче 43, приняв за и указанную выше функцию, а за функцию v Г Непосредственным дифференцированием и подстановкой убеждаемся, что dh) , d2v . d2v л ^ №+W+~д? % Следовательно, Jl\TTn-u-dir)da={ На поверхностях а и_а величина 1/г постоянна A/i? и 1/р) и потому может быть вынесена за знак интеграла, В силу результатаг установленного в за- задаче 45, имеем i? JJ дп P JO дп Следовательно| »=о,
244 ' КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. XV НО дп dr Поэтому или Применим к интегралу, стоящему слева, теорему о среднем: 2 о 9 * где a(g, rj, С)—точка на поверхности сферы радиуса р с центром в точке Заставим р стремиться к нулю; тогда и (|, rj, Q —> и (xi, уь Zi): " - l'??j 4лР2 л Р2 J_J Р2 a Следовательно, при р—*0 получаем pi" JJada—*"(**• W» «i)'4«- Далее, так как правая часть равенства A) не зависит от р, то при р—*0 окончательно получим -?-2 У V и da^lnu (дгь уь г{), или и{хи у и Zi) =
ГЛАВА XVI РЯДЫ I § 1. Ряд. Сумма ряда Определение 1. Пусть задана бесконечная последователь- последовательность чисел*) Выражение и1 + и2 + ив+...+ип+... . A) называется числовым рядом, При этом числа %, u2i ..., ип, ... называются членами ряда. Определение 2. Сумма конечного числа п первых членов ряда называется п-й частичной суммой ряда: Рассмотрим частичные суммы uz+. „ +иа. Если существует конечный предел ?= Urn sn9 - П-> CD то его называют суммой ряда A) и говорят, что ряд сходится. Если lim sn не существует (например, sft—>оо при п—>оо), Л->00 то ггоорят, что ряЗ A) расходится и суммы- не имеет. Пример. Рассмотрим ряд ' a+aq+af+..:+aqn-i+... B) *) Последовательность считается заданной, если известен закон, по кото- которому можно вычислить любой ее^член ип при данном п.
246 рЯДЫ |ГЛ. XVI Это—геометрическая прогрессия с первым членом а и знаменателем? (а Сумма п первых членов геометрической прогрессии равна (при q Ф 1) или 1) Если \q\< li то qn~+0 при /г-*оо и, следовательно, Значит, в случае | q | < 1 ряд B) сходится и его сумма _ а 2) Если | <71 > 1, то f qn | -> оо при п -> оо и тогда a~~a(f > ± оо при /t-»-oo, т. е. lim s^ не существует. Таким образом, в случае |<7| > 1 ряд B) расходится. 3) Если 0=1, то ряд B) имеет вид В этом случав „ т. е. ряд расходится. 4) Если <7=— 1, то ряд B) имеет вид а—а-\-а—#-[-..• В этом случав ~~_ ( 0 при п четном, "~~ \ а при п нечетном. Следовательно, sn предела не имеет—ряд расходится. Таким образом, геометрическая прогрессия (с первым членом, отличным от нуля) сходится только тогда, когда знаменатель прогрессии по абсолютной величине меньше единицы. Теорема 1. Если сходится ряд, получившийся из данного ряда A) отбрасыванием нескольких его членов, то сходится и сам данный ряд. Обратно, если сходится данный ряд, то схо- сходится и ряд, получившийся из данного отбрасыванием нескольких членов. Иными словами, на сходимость ряда не влияет отбрасывание конечного числа его членов. Доказательство. Пусть sn — сумма п первых" членов ряда A), ck—сумма k отброшенных членов (заметим, что при достаточно большом п все отброшенные члены содержатся в сум- сумме sn)f on-k—сумма членов ряда, входящих в сумму sn и не
§1] РЯД. СУММА РЯДА 247 входящих в ск. Тогда имеем: где ск—постоянное число, не зависящее от п. Из последнего соотношения следует, что если существует \\тап^кУ то существует и limsre; если существует lim sw, то суще- ствует и limaw_ft, a это и доказывает справедливость теоремы. Я->оо В заключение параграфа укажем два простых свойства рядов. Теорема 2. Если ряд ... C) сходится и его сумма равна s, то ряд +...1 D) где с — какое-либо фиксированное число, также сходится и его сумма равна cs. Доказательство. Обозначим n-ю частичную сумму ряда C) через sn, а ряда D) —через ап. Тогда Отсюда ясно, что предел n-й частичной суммы ряда D) сущест- существует, так как lim ап = lim (csn) = с lim sn = cs. Итак, ряд D) сходится и его сумма равна cs. Теорема 3. Если ряды +..; E) и Ьг + Ь%+... 'F) сходятся и их суммы соответственно равны s и !, то ряды (а1 + Ь1) + (а2 + Ь2)+... G) и te-*i) + (*.-&,)+... (8) также сходятся и их суммы соответственно равны s+~s и s—1. Доказательство. Докажем сходимость ряда G). Обозна- Обозначая его л-ю частичную сумму через сгЛ, а_п-е частичные суммы рядов E) и F) соответственно через sn n~sny получим
248 * рЯДЫ ?ГЛ. xvi Переходя в этом равенстве к пределу при п—>оо, получим lim ап = lira (sn + sn) = linr sn + lim Jn — s.+7. Таким образом, ряд G) сходится "и его сумма равйа s-J-lr. Аналогично доказывается, .что ряд (8) также сходится и его сумма равна s—F. Про ряды G) и (8) говорят, что они получены в результате почленного сложения или соответственно почленного вычитания рядов E) и F)/ § 2. Необходимый признак «сходимости ряда При исследовании рядов одним из основных вопросов явля- является вопрос о том, сходится ли. данный ряд или расходится. Ниже будут установлены достаточные признаки, на основании которых можно решить этот вопрос. Здесь же мы рассмотрим необходимый признак сходимости ряда, т. е. установим условие, при невыполнении которого ряд расходится. - ~ Теорема. Если ряд сходится, то его п-й член стремится к нулю при неограниченном возрастании п. Доказательство,* Пусть ряд сходится, т. е. имеет место равенство lim sn = s, где s—-сумма ряда (т. е. конечное фиксированное число); но тогда имеет место также равенство так как при п—>оо и л — 1—*оо. Вычитая почленно из первого равенства второе, получаем lim s4- lim snmml= 0, ИЛИ lim (sn-sn_i) = O. Но Sn-Sn_i = Un. Следовательно, litti un = 0, что и требовалось доказать.
§ 2] НЕОБХОДИМЫЙ ПРИЗНАК СХОДИМОСТИ РЯДА 249 Следствие. Если п-й член ряда не стремится к нулю при п—^оо,-~7по ряд расходится. Пример. Ряд 3 ^,5^7^- •' » 2л+1 расходится, так как Подчеркнем, что рассмотренный признак является только необ- необходимым, но не является достаточным, т. е. из того, что п-й член стремится к нулю, еще не следует, что ряд сходится, — ряд может и расходиться. Например, так называемый гармонический ряд 4|1|1.|Х| | 1. | расходится, хотя lim ua— lim — = 0. "Чтобы доказать это, напишем подробнее гармонический ряд ,1,1,1. lflf + "9"+l0 + TT + T2 + l3+T4 + T5 + T6 Напишем, далее, вспомогательный ряд 16 слагаемых ,1,1,1,1,1,1,1,1,1, Г.1! - ,С>\ Ряд B) строится следующим образом: его первый член ра- равен 1, второй равен 1/2, третий и четвертый равны 1/4, члены с пятого по восьмой равны 1/$, члены с девятого по 16-й рав- равны 1/16, члены с 17-го по 32-й равны 1/32 и т. д. Обозначим через s™ сумму п первых членов гармонического ряда A) и чер'ез 42) сумму п первых членов ряда B). Так как каждый член ряда A) больше соответствующего члена ряда B) или равен ему, то для п > 2 - # > #>. - C)
250 РЯДЫ |гл. xvi Подсчитаем частичные суммы ряда B) для значений п, равных 21, 22, 23, 2*. 25: 1+ + 4 слагаемых * 8 слагаемых 1 -1+4.1 4 слагаемых 8 слагаемых 16 слагаемых точно так же подсчитывается, что s2« = 1 + 6• -g-> S27 = l + 7-j и, вообще, s2b = 1 -f k • у. Таким образом, частичные суммы ряда B) при достаточно большом k могут быть сделаны больше любого положительного числа, т. е. lim s?2) = oo, но тогда из соотношения C) следует, что и lim 5^ = 00, т. е. гармонический ряд A) расходится. § 3. Сравнение рядов с положительными членами Пусть имеем два ряда с положительными членами , +...f A) + ... B) Для них справедливы следующие утверждения. Теорема 1. Если члены ряда (I) не больше соответствую- соответствующих членов ряда B), т. е. un<vn (п=19% ...), ' C) и ряд B) сходится, то сходится и ряд A).
§3J СРАВНЕНИЕ РЯДОВ С ПОЛОЖИТЕЛЬНЫМИ ЧЛЕНАМИ 251 Доказательство. Обозначим через sn иапсоответственно частичную сумму первого и второго рядов: i« I ?= 1 Из условия C) следует, что. *»<<V • D) Так как ряд B) сходится, то существует предел а его час- частичной суммы lim в„ = о. П-+СО Из того, что члены рядов A) и B) положительны, следует, что crrt < а, и тогда в силу неравенства D) sn<a. ' Итак, мы доказали, что частичные суммы sn ограничены. Заме- Заметим, что при увеличении п частичная сумма sn возрастает, а из того, что последовательность Частичных сумм возрастает и огра- ограничена, следует, что она имеет предел *) lim sn — s, П->-а> причем очевидно, что На основании теоремы 1 можно судить о сходимости некото- некоторых рядов. Пример I. Ряд сходится» так как его члены не больше соответствующих членов ряда 1 +22 +2? +2**+'" +2^+ '• * Но последний ряд сходится, так как его члены, начиная со второго, образуют геометрическую прогрессию со знаменателем 1/2. Сумма этого ряда равна 3/2. Следовательно, в силу теоремы 1 данный ряд тоже сходится, причем его сумма не превосходит 3/2. *) Для того чтобы убедиться, что переменная sn имеет предел, вспомним один признак существования предела последовательности (см. теорему 7 § Б гл. II т. I): если переменная возрастает и ограничена, то она имеет предел. В данном случае последовательность сумм $п возрастает и ограничена, следо- следовательно, имеет предел, т. е. ряд сходится.
252 РЯДЫ - |гл. xvi Теорема 2. Если члены ряда A) не меньше соответствую- соответствующих членов ряда B), т. е. un>vn, E) и ряд B) расходится, то и ряд A) расходится. Доказательство. Из условия E) следует, что *»>*»¦ F) Так как члены ряда B) положительны, то его частичная сумма ап возрастает при возрастании п, а так как он расхо- расходится, то Но тогда в силу неравенства F) lim sn = со, т. е. ряд A) расходится. Пример 2. Ряд расходится, так как его члены (начиная со второго) больше соответствующих членов гармонического ряда который, как известно, расходится. Замечание 1. Оба доказанных признака (теоремы 1 и 2) справедливы только для рядов с положительными членами. Они остаются в силе и для того случая, если некоторые члены 1-го или 2-го ряда —нули. Однако эти признаки, перестают быть вер- верными, если среди членов ряда имеются отрицательные числа. Замечание 2. Теоремы 1 и, 2 справедливы и в случае, если неравенства C) или F) начинают выполняться лишь для n^N, а не для всех п=1, 2, 3, ... § 4, Признак Даламбера Теорема (признак Даламбера). Если в ряде с поло- положительными членами «i + «2 + «a-f •••+«»+••• (О отношение (п+1)-го члена к п-му при я-too имеет (конечный) предел I, т. е.
§4] ПРИЗНАК ДАЛАМБЕРА ' 253 то: 1) ряд сходится в случае /< 1, 2) ряд расходится в случае I > 1. (В случае / = 1 ответа на вопрос о сходимости или расходи- расходимости рада теорема не дает.) Доказательство. 1) Пусть /<1. Рассмотрим число q, удовлетворяющее соотношению / < ? < 1 (рис. 358). Из определения предела и соотношения B) следует, что для всех значений л, начиная с некоторого номера N, т.* е. для n^zN, будет иметь место неравенство Я- B') Действительно, так как величина t^1 стремится к пределу /, то разность между величиной -??± и числом / может быть сде- сделана (начиная с некоторого номера N) по абсолютному значению меньше любого положительного числа, в частности, меньше q—/, т. е. '^ tJ^J^,J^f Из последнего неравенства и следует не- ~ Рис' 358t равенство B'). Записывая неравенство B') для различных значений /г, начиная с номера ЛГ, получим «лг+1< quNf Рассмотрим теперь два ряда -[r . . ., ^ A) (V) Ряд (Г) есть геометрическая прогрессия с положительным Знаменателем q<\. Следовательно, этот ряд сходится. Члены ряда A), начиная с uN+if меньше членов ряда (Г). На основа- основании теоремы 1 § 3 и теоремы 1 § 1 следует, что ряд A) сходится. 2) Пусть />1\ Тогда из равенства lim^^^l (где / > 1) м-*-» tin следует, что, начиная с некоторого номера N, т. е. для будет имет$> место неравенство
254 РЯДЫ [гл. xvi (рис. 359), или un+i>un для всех n^N. Но это означает, что члены ряда возрастают, начиная с номера N + 1, и поэтому общий член ряда не стремится к нулю. Следовательно, ряд рас- ХОДИТСЯ. Замечание 1. Ряд будет расходить- ся и в том случае, когда lim ^±1= оо.Это и и п Рис. 359, следует из того, что если lim ^^ = оо, то, начиная с некоторого номера n = N', будет иметь место неравенство 1, или un+i>un. Пример 1. Исследовать сходимость ряда 1 + Ь2+Г2Тз+ • •' +-1.2.3-...-Л+#' * Решение. Здесь .11 11 u "п, ""(л Следовательно, lim lm 1 Я->оо Un П^оо Ряд сходится. _ Пример 2. Исследовать сходимость ряда Решение. Здесь ==0<1. «.-?, «.-м-ет» ^в2гтт» пт^-и-.* a>i. Ряд расходится, причем его общий член ип стремится к бесконечности. Замечание 2. Признак Даламбера дает ответ на вопрос о том, сходится ли данный положительный ряд, только в том случае, когда lim ^^ существует и отличен от 1. Если же этот предел не существует или ^существует, но lim ^±1—^ то при- знак Даламбера не дает возможности установить, сходится ряд или расходится, так как в этом случае ряд может оказаться и сходящимся и расходящимся. Для решения вопроса о сходимости таких рядов надо применить какой-либо другой признак. Замечание 3. Если lim^^^l, но отношение ^^ для всех номеров /г, начиная с некоторого, больше единицы, то ряд
§41 ПРИЗНАК ДАЛАМБЕРА 255 расходится. Это следует из того, что если ^~±J> 1, то un+i> ип и общий член не^стремится к нулю при /г—*оо. Рассмотрим примеры, иллюстрирующие сказанное. Пример 3. Исследовать сходимость ряда Решение. Здесь п+1 Ura «±I Un В данном случае ряд расходится,- -так как ~?±2 > i для всех м Un ' Пример 4. Применяя признак Даламбера к гармоническому ряду 1 , 1 . . 1 . 1 1 ++'"+7Г^"""' замечаем» что UnZ==z~j;* "л+^^^ХТ и> следова- следовательно, lim -S±I= lim 1 = 1. Значит, на основании признака Даламбера нельзя установить сходимость или расходимость данного ряда. Но ранее мы установили другим путем, что гармонический ряд расходится. Пример 5. Исследовать сходимость ряда 1 4- 1 4- 1 Л- Д!4 Решение. Здесь lim 22±!=и На основании признака Даламбера сделать заключения о сходимости ряда нельзя, однако, исходя из других соображений, можно установить, что этот ряд сходится. Заметив, что —-—г-г^ —гт * мы можем записать П(П-\-1) П Al-f-1 данный ряд в виде Частичная сумма п первых членов после раскрытия скобок и сокращения будет равна * вя==1~д+Т' Следовательно, lim sn=lim t. e. ряд сходится и его сумма равна 1.
256 РЯДЫ . . [ГЛ. XVI § 5. Признак Коши Теорема (признак Коши). Если для ряда с положи- положительными членами 3+ • • • +ип+ .„ A) величина 1/ип имеет конечный предел I при п—*оо, т. е. то: 1) в случае I < 1 ряд сходится; 2) в случае J> 1 ряд расходится. Доказательство. 1) Пусть /<1. Рассмотрим числом» удовлетворяющее соотношению / < q < 1. Начиная с некоторого номера n = Nt будет иметь место соот- соотношение \yiTn-l\<q-l; отсюда следует, что ИЛИ для всех Рассмотрим теперь два ряда: .., A) (Г) Ряд (Г) сходится, так как его члены образуют убывающую геометрическую прогрессию. Члены ряда A), начиная с uN, меньше членов ряда (V). Следовательно, ряд A) сходится. 2) Пусть 1>А. Тогда, начиная с некоторого номера n = Nt будем иметь или ип>\. Но если все члены рассматриваемого' ряда, начиная с uN> больше 1, то ряд расходится, так как его общий член не стремится к нулю. П р и-м е р. Исследовать сходимость ряда Решение. Применим признак Коши: lim V»n= lim Y(?-r)n= lim Ряд сходится.
» » ИНТЕГРАЛЬНЫЙ ПРИЗНАК: СХОДИМОСТИ РЯДА Замечание. Как и в признаке Даламбера, случай требует дополнительного исследования. Среди рядов, удовлетво- удовлетворяющих этому условию, могут встретиться как сходящиеся, так и расходящиеся ряды. Так, для гармонического ряда (который, как известно, расходится) Я-> СО й-> 00 Для того чтобы убедиться в этом, докажем, что lim lnj/l/n = 0. . Действительно, Здесь числитель и знаменатель дроби стремятся ^бесконечности. Применяя правило Лопиталя, найдем: — * —J_ . lim In |/"ii— lim =±L1^ lim ^- = 0. /1-х» Итак^ 1П|/1/я—>0, но тогда ^/.l/n—*l, т. lim YTjn = \. Для ряда . + + + ++ также имеет место равенство lim У7?= lim уТ]п*= lim П-> оо «-> оо но этот ряд сходится, так как если отбросим первый член, то члены оставшегося ряда будут меньше соответствующих членов- сходящегося ряда (см. пример 5 § 4). § 6. Интегральный признак сходимости ряда Т е о р е м а. Пусть члены, ряда ui + u2 + u3+...+un+...}i A) положительны и не возрадтают% т. е. %>"*>",>..., . (У) S Н. С, Пиекунов, ». 2
2S& РЯДЫ |ГЛ. ХУГ и пусть f (x) — такая непрерывная невозрастающт функция, что Тогда справедливы следующие утверждениям 1) если несобственный интеграл С f(x)dx сходится (см. § 7 гл. XI т. 1), то сходится и ряд A); 2) если указанный интеграл расходится, то расходится и ряд A). Доказательство. Изобразим члены ряда геометрически,от- геометрически,откладывая по оси абсцисс4 номера 1, 2, 3, ..M'n,7i+lf ••• членов ряда, а по оси ординат — соответствующие значения членов ряда ui9 и29 *..,-«„, ••• (рис. 360). if 12 2 л Л+1 Рис, 361. Построим на том же чертеже график непрерывной невозра* стающей функции удовлетворяющей условию B)„ Рассматривая рис. 360, замечаем, что первый из построенных прямоугольников имеет основание, равное 1, и высоту f(l) = ui. Следовательно, площадь этого прямоугольника равна щ. Площадь второго прямоугольника равна щ и т. д.; наконец, площадь по- последнего (я-го) из построенных прямоугольников равна ип. Сумма площадей построенных прямоугольников равна сумме sn первых п членов ряда. С другой стороны, ступенчатая фигура, образован- образованная этими прямоугольниками, заключает область, ограниченную кривой y = f(x) и .прямыми *=1, я=я+1, у = 0; площадь этой области равна \ f(x)dx. Следовательно, л+1 Л f(x)dx.
§ ei интегральный признак сходимбсти ряда 559 Рассмотрим теперь рис. 361. Здесь первый (слева) из построен- построенных прямоугольников имеет высоту^ и2; следовательно, его пло- площадь также равна щ. Площадь второго прямоугольника равна и3 и т. д. Площадь последнего из построенных пря- прямоугольников равна un+i. Следовательно, сумма площадей всех построенных прямоугольников равна сумме всех чле- членов J ряда, начиная от второго до (п+1)-го, т. е. равна Sn+i'—iij. С другой стороны, как легко видеть, ступенчатая фи- фигура, образованная этими прямоугольниками, содержится внутри криволинейной фигуры, ограниченной кривой у = f (х) и прямыми х=19 jc = n +1, # = 0. Площадь этой криволинейной фигуры равна л+1 / (х) dx. Следовательно, \ л+1 откуда п+1 5й+1< ^ f(x)dx+tH. D) Рассмотрим теперь оба случая. + 00 *1) Предположим, что интеграл \ / (х) dx сходится, т. е. имеет конечное значение. Так как П+ 1 +00 f f(x)dx< f f{x)dxt i Г то в силу неравенства D) 4 +оо 'f(x)dx + ul9 т. е. частичная сумма sn остается ограниченной при всех значе- значениях п. Но при увеличении п она возрастает, так как все члены ип положительны. Следовательно, sn при /г—*оо имеет конечный предел lim sn = s, т, е. ряд сходится. л-> оо + 00 2) Предположим далее, что Г/(*)Жс=*оа. Это значит, п+ / (x) dx неограниченно возрастает при возрастании п. Но тогда 9*
j , . 1ГЛ. в силу неравенства C) sn также неограниченно возрастает* при возрастании п, т. е. ряд расходится. Таким образом, теорема полностью доказана. Замечание. Доказанная теорема остается справедливой, если неравенства (Г) выполняются, лишь начиная с некоторого N. Пример. Исследовать сходимость ряда 1 ¦ 1 Решейие, Применим интегральный признак, положив ft*) = l/jeJ\ Эта функция удовлетворяет всем условиям теоремы. Рассмотрим интеграл при р = 1. Устремляя N к бесконечности, выясним, сходится ли несобственный инте- интеграл в различных случаях. На основе этого можно будет судить о сходимости или расходимости ряда при различных значениях /?. 00 * » /* ft V \ -> В случае р > 1 'будет \ -^= ri т. е. интеграл конечен и, следова- х р тельно, ряд сходится; 00 Cdx \ — = 00 —— J хр в случае р< 1 будет \ ~ = оо — интеграл бесконечен, ряд расходится; в случае p=ii будет V—=оо—интеграл бесконечен, ряд расходится. г х Заметим, что ни признак Даламбера, ни признак Коши, рассмотренные ранее, не решают вопроса о сходимости этого ряда, так как Гр=Иш ( 1/ — J =1я = Ь § 7. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница До сих йбр мы рассматривали ряды, члены которых положи- положительны. В этом параграфе будем рассматривать ряды, члены ко- которых имеют чередующиеся знаки, т. е. ряды вида где иь «2, ..., unt ¦.. положительны.
-5 71 : ЗНАКОЧЕРЕДУЮЩИЕСЯ РЯДЫ. ТЕОРЕМА ЛЕЙБНИЦА 261 ;¦ Теорема Лейбница. Если в знакочередующемся ряде '" «i- + «3—«*+•-. ("п>0) , A) члены таковы, что щ>и2>и3>..; B) Hm и„=0, ' - C) то ряд A) сходится, его сумма положительна и не превосходит первого члена. Доказательство. Рассмотрим сумму л = 2т первых чле- членов ряда A): Из условия B) следует, что выражение в каждой скобке поло- положительно. Следовательно, сумма s2m положительна, и возрастает с возрастанием т. Запишем теперь эту же сумму так: s2m^ut— (и2—и9) - (и,—иъ)—... — {и2тгъ—и2т_±)—и2т. В силу условия B) каждая из скобок положительна. Поэтому в результате вычитания этих скобок из щ мы получим число, меньшее а?, т. е. v , Таким образом, мы установили, что s2m при возрастании т воз- возрастает и ограничена сверху. Отсюда следует, что s2m имеет предел s: и .. Urn s2m = s, причем О < s < ttf. Однако сходимость ряда еще не "доказана; мы доказали только, что последовательность «четных» частичных сумм имеет пределом число s. Докажем теперь, что «нечетные» частичные суммы также стремятся к пределу s. . Рассмотрим для этого сумму п — 2т+\ первых членов ряда A): Так как по условию C) Hm . u2m+i = 0, то, следовательно Hm s2fll+1= lim s2ta+ Iimu2m+i= Hm s2m^'s. Тем самым мы доказали, что lim sn — s как при четном п} так и при нечетном п. Следовательно, ряд A) сходится.
262 РЯДЫ )[ГЛ. XVI Замечание 1. Теорема Лейбница справедлива, если нера- неравенства B) выполняются, начиная с некоторого N. , Замечание 2. Теорема Лейбница иллюстрируется геомет- геометрически следующим образом. Будем на числовой прямой откла- откладывать частичные суммы (рис. 362) И т. д. Точки, соответствующие частичным суммам, будут прибли- приближаться к некоторой точке s, которая изображает сумму ряда. При этом точки, соответствующие четным частичным суммам, рас- располагаются слева от s, a точки, * соответствующие нечетным частичным сум- суммам,— справа от s. Замечание 3. Если знакочередующийся ряд удовлетворяет условию тео- теоремы Лейбница, то нетруд- нетрудно оценить погрешность, ко- которая получится, если заме- заменить его сумму s частичной суммой sn. При такой замене мы от- отбрасываем все члены ряда, начиная с ип+ь Но эти числа сами об- образуют знакочередующийся ряд, сумма которого по абсолютной величине меньше первого «тлена этого ряда (т. е. меньше un+i). Значит, погрешность, получающаяся при замене s на sn, не превосходит по абсолютной величине первого из отброшенных членов. Пример 1, Ряд сходится, так как 1) 1 > 1/2 > 1/3 >...; 2) lim «„= lim 1/я = 0. Сумма п первых членов этого ряда отличается от суммы ряда s на величину, меньшую П р и м е р. 2., Ряд сходится в силу теоремы Лейбница.
<§8J ЗНАКОПЕРЕМЕННЫЕ РЯДЫ ,263 § 8. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость Ряд называется знакопеременным, если среди его членов имеются как положительные, так и отрицательные. Рассмотренные в предыдущем параграфе знакочередую- знакочередующиеся ряды являются, очевидно, частным случаем знако- знакопеременных рядов. Мы рассмотрим здесь некоторые свойства знакопеременных рядов. При этом в отличие от соглашения, принятого в предыдущем параграфе, мы будем теперь полагать, что числа uiy и2У ..., и&% ... могут быть как положительными, так и отрицатель- отрицательными. Прежде всего, дадим один важный достаточный признак схо- сходимости знакопеременного ряда. Теорема 1. Если знакопеременный ряд +..л, A) таков, что ряд, составленный из абсолютных величин его членов, ,| + ...+|ив|+:.., B) сходится, то и данный знакопеременный ряд также сходится. Доказательство* Пусть sn и ап—суммы п первых,чле- первых,членов рядов A) и B). Пусть далее s'n—сумма всех положительных, a s"n—сумма абсолютных величин всех отрицательных членов среди первых п членов данного ряда; тогда По условию, ап имеет предел сг; s'n и s^—положительные воз- возрастающие величины, меньшие ст. Следовательно, они имеют пре- пределы s' и s". Из соотношения sn — s'n—s"n следует, что и sn имеет предел и этот предел равен s'—s", т. е. знакопеременный ряд A) сходится. Доказанная теорема дает возможность судить о сходимости некоторых знакопеременных рядов. Исследование вопроса о схо- сходимости знакопеременного ряда сводится в этом случае к иссле- исследованию ряда с положительными членами. Рассмотрим два примера. Пример 1. Исследовать сходимость ряда sinos , sin 2а , sin За , , sin па , ~ ^Г-т р 1 з^ г"'" "• ^ г • • i W где а—любое число. Решение. Наряду с данным рядом, рассмотрим ряды Isinot , sin2g[ b
РЯДЫ - ?ГЛ. 'XVI + Ряд E) сходится (см. § 6). Члены ряда D) не больше соответственных членов ряда E); следовательно, ряд D) тоже сходится. Но тогда в силу "Доказанной теоремы данный знакопеременный ряд C) тоже сходится. Пример 2. 'Исследовать сходимость ряда cos(jt/4) , cosCtt/4) , cosEft/4) , cos (Bл--1) я/4) з h 32 t 35 f"**;*1 3^ Решение. Наряду с данным рядом, рассмотрим ряд Этот ряд сходится, так как он является убывающей геометрической про- прогрессией со знаменателем 1/3. Но тогда сходится и заданный ряд F), так как абсолютные величины его членов меньше соответствующих- членов ряда G). Заметим, что признак сходимости, доказанной выше, является только достаточным признаком сходимости знакочередующе^ гося ряда, но не необходимым: существуют такие знакоперемен- знакопеременные ряды, которые сами сходятся, но ряды, составленные из абсолютных величин их членов, расходятся. В связи с этим полезно ввести понятия об абсолютной и условной сходимости- знакопеременного ряда и на основе этих понятий классифици- классифицировать знакопеременные ряды. Определение. Знакопеременный ряд Wi4-«2 + tt3+--+^+ ... ^ A) называется абсолютно сходящимся^ если сходится ряд, составлен- составленный из абсолютных величин его членов: \Ui\ + \uz\ + \u3\+...+\un\+.r. , _ B) Если же знакопеременный ряд A) сходится, а ряд B), состав- составленный из абсолютных величин его членов, расходится, то дан- данный знакопеременный ряд A) называется условно или неабсо- лютно сходящимся рядом. Пример 3. Знакопеременный ряд 1 —-«Г+-О-—x~t~ • • • является У с- ловно сходящимся, так как ряд, составленный из абсолютных величин его членовi есть гармонический ряд ^+^""Ь"з"+"^~*# *» который расходится. Сам же ряд сходится, что легко проверить с помощью признака Лейбница. Пример 4. Знакопеременный ряд 1—оГ+оГ—4Г~Ь*** есть Ряд абсо- лютно сходящийся, так как ряд, составленный из абсолютных величин его членов 1+ог+"о7+Г+"*' сходится, как это было установлено в § 4. ?\ о\ 4! *
S в] " ЗНАКОПЕРЕМЕННЫЕ РЯДЫ С помощью понятия абсолютной сходимости теорему 1 часто формулируют следующим образом: всякий абсолютно сходящийся ряд есть ряд сходящийся. В заключение отметим (без доказательства) следующие свой- свойства абсолютно сходящихся и условно сходящихся рядов. Теорема 2. Если ряд сходится абсолютно, то он остается абсолютно сходящимся при любой перестановке его членов. При атом сумма ряда не зависит от порядка его членов. Это свойство не сохраняется для условно сходящихся рядов. Теорема 3. Если ряд сходится условно, то, какое бы мы ни задали число А, можно так переставить члены этого ряда, чтобы его сумма оказалась в точности равной А. Более того,* можно так переставить члены условно сходящегося ряда, чтобы ряд, полученный после перестановки, оказался расходящимся. Доказательство этих теорем выходит за рамки данного курса. Его можно найти в более подробных учебниках (см., например, Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, т. П.— М.: Физматгиз, 1962, с. 319—320). Для иллюстрации того, что сумма условно сходящегося ряда может меняться при перестановке его членов, рассмотрим сле- следующий пример. Пример 5. Знакопеременный ряд сходится неабсолютно. .Обозначим его сумму через s. Очевидно, что s > 0. Сделаем перестановку членов ряда (8) так, чтобы кза одним положительным членом следовали два отрицательных; Та о "Б 5 Г*в ' 2fc—i 46—2 ы i у ^ ¦ i >/m, ^ ¦ ^———v— t •« Докажем,- что полученный ряд сходится, но что его сумма s' в два раза меньше суммы ряда (8), т. е. равна -^-s. Обозначим через sn и s^ частичные суммы рядов (8) и (9). Рассмотрим сумму Zk члейов ряда (9); 1 Следовательно, lim slk = lim т s2k = т s.
266 ряды *гл. xvi Далее, Iims3fe+i 3fe+i~lim ( s'zk + кгта )—Тs fe-*o Таким образом, получаем 1. V , I r hm sn = s =-о" s. Итак, в данном случае сумма ряда изменилась после перестановки его членов (уменьшилась вдвое). § 9. Функциональные ряды Ряд называется функциональным, если его члены являются функция- функциями от х. Рассмотрим функциональный ряд ut (х) + и2 (х) + и3 (х) + . •. + ип (х) + ¦;. A) Давая х определенные числовые значения, мы получаем раз- различные числовые ряды, которые могут оказаться сходящимися или расходящимися. Совокупность тех значеций л:, при которых функциональный ряд сходится, называют областью сходимости этого ряда. Очевидно, что в области сходимости ряда его сумма является некоторой функцией от х. Поэтому сумму функционального ряда обозначают через s(x). Пример. Рассмотрим функциональный ряд Этот ряд сходится при всех значениях х в интервале (—I, 1), т. е. при всех х, удовлетворяющих условию \х\ < 1, Для каждого значения х в интер- интервале (—1, 1) сумма ряда равна -. (сумма убывающей геометрической про- 1 ™~— X грессии со знаменателем х). Таким образом, в-интервале (—lt 1) данный ряд определяет функцию которая является суммой ряда, т. е» Обозначим через sn(x) сумму первых п членов ряда A). Если Этот ряд сходится и сумма его равна s(x), то
S lOJ . МАЖОРИРУЕМЫЕ РЯДЫ 267 где гп(х) есть сумма ряда un+i(x) + un+2(x)+...9 т. е. В этом случае величина гп (х). называется остатком ряда A). Для всех значений х в области сходимости ряда имеет место соотношение limsn(x) = s(x), поэтому lim rn (x) = lim [s (х) — sn (x)] = 0, П->0О tt->0O т. е. остаток гп(х) сходящегося ряда стремится к нулю при п—>оо. § 10. Мажорируемые ряды Определение. Функциональный ряд ui(x) + u2(x) + uz[(x)+...+un(x)+..? A) называется мажорируемым в некоторой области изменения х, если существует такой сходящийся числовой ряд с положительными членами, что для всех значений х и& данной области выполняются соотношения г , Иначе говоря, ряд называется мажорируемым, если каждый его член по абсолютной величине не больше соответствующего члена некоторого сходящегося числового ряда с положительными чле- членами. Например, ряд cos х , cos 2х , cos Зх * . , cos пх , —I • ""IP ' з^"""""^ ' * * ' д2 •" • • • есть ряд, мажорируемый на всей оси Ох. Действительно, для всех значений х выполняется соотношение 1 COS ПХ 1 < 1 /ni о ч а ряд 1 д. 4 л. ! л. Т "*"3" ' З5" ' #' '* как известно, сходится. Непосредственно из определения следует, что ряд, мажори- мажорируемый в некоторой области, абсолютно сходится во всех точках этой области (см, § 8). Кроме того, мажорируемый ряд обладает еще следующим важным свойством.
268 ^ ряды |гл. * Теорема,. Пусть функциональный ряд их (х)+и%(х\+ ...+ип (х)+ .. ¦ мажорируем на отрезке [а, ft]. Пусть s(x)—сумма этого ряда, sn(x)—сумма п первых членов этого ряда. Тогда для каждого» как угодно малого числа ё > О найдется положительное число N такое, что при всех n^N будет выполняться неравенство \s(x)—sn(x)[<e9 . каково бы ни, было х из отрезка \[а, ft]. Доказательство. Обозначим через а сумму ряда <2): .' тогда где ап—сумма п первых членов ряда B), а гп—сумма всех остальных членов этого ряда, т. е. Так как этот ряд сходится, то lim ап = а и, следовательно, lira гп = О* Представим теперь сумму функционального ряда A) в виде где sn(x)=Ut(x)+...+un(x)9 Из условия C) следует, что и поэтому для всех-л: из рассматриваемой области. Таким образом, » \$(x)—sn(x)\<en для всех л: из отрезка [a, ft], причем гп—>0 при п—*-оо. Замечание 1. Полученный результат можно геометрически иллюстрировать следующим образом. Рассмотрим график функции y = s(x). Построим около этой кривой полосу шириной 2е„, т. е. построим кривые yz=s(x)-\-en
НЕПРЕРЫВНОСТЬ СУММЫ РЯДА и y=zs(x)—гп (рис. 363). Тогда при любом е„ график функции sn (x) будет лежать целиком в рассматриваемой полосе. В этой же полосе будут лежать графики всех последующих частичных сумм. Замечание 2. Не вся- всякий функциональный ряд, ^ сходящийся на отрезке [а, 6], обладает свойством, ука- указанным в доказанной теоре- теореме. Но существуют и нема- жорируемые ряды, которые обладают указанным свойст- свойством. Всякий ряд, обладающий указанным свойством, назы- называется равномерно сходящим- ся рядом на отрезке [а, 6]. Итак, функциональный ряд . и± (х) + щ (х) + ... • • • + ип(х) + • • • называется равномерно сходящимся на отрезке V ->-& Рис. 363. + n() + рр щ р [а, Ь], если для любого как ^угодно малого е > 0 найдется такой номер N, что при всех n^N будет выполняться неравенство \s(x)-sn(x)\<B для любого х из отрезка [а, 6]. На основании доказанной теоремы следует, что мажорируемый ряд является рядом, равномерно сходящимся. § П. Непрерывность суммы ряда Пусть имеем ряд из непрерывных функций сходящийся на некотором отрезке [а, 6]. В главе 1Мт. I) мы доказали теорему о том, что сумма ко- конечного числа непрерывных функций есть функция непрерывная. Для суммы ряда (состоящего из бесконечного числа слагаемых) это свойство не сохраняется. Некоторые функциональные ряды с непрерывными членами имеют в качестве суммы непрерывную функцию, у других функциональных рядов с непрерывными чле- членами сумма является разрывной функцией. Пример. Рассмотрим ряд Члены это.го ряда (каждый из них заключен в скобки) суть непрерывные функции при всех значениях х. Докажем, что этот ряд сходится и его сумма есть»разрывная функция. Найдем сумму п первых членов этого ряда: $п==хг^2п+1^—х. Найдем сумму ряда:
270 вяды €СЛИ X > О, ТО s= Iimsn(A:)= lim если д: < 0, то s= limsrt(x) = lim (-J) n-*co /г->оо если *=0, то sn = 0, и поэтому s= limsrt = 0. П->оо Таким образом^ имеем s (^) =—1 —л: при х < О* s(*) = 0 при л;=0, s (д:) = 1 —д? при х > О* Итак, сумма приведенного ряда есть функция разрывная. Ее трафик изображен на рис. 364, где показаны также графики частичных гумм s*(#), s2>(x) иD -/-а? для х<0 О для (в—О 1-х для з}>0 Рис. 364, Для мажорируемых рядов спрредлива следующая теорема. Теорема. Сумма ряда непрерывных функций, мажорируе- мажорируемого на некотором отрезке [а, 6], есть функция, непрерывная на этом отрезке. Доказательство. Пусть имеем мажорируемый .на отрезке [а, о\ ряд непрерывных функций Иг(х) + и2(х)+и3(х)+.,. A) Представим его сумму в виде где +ип(х),
НЕПРЕРЫВНОСТЬ СУММЫ РЯДА 2TV Возьмем на отрезке [а, Ь\ произвольное значение аргумента х и придадим ему такое приращение Ах, чтобы точка #+Ах лежала тоже на отрезке [а, Ь]. Введем обозначения As = s (x+Ax)—s (х)г Asn = sn (x+Ax)—sn (x)t тогда откуда \A\\A\\(+A)\ + \n{xy\. B) Это неравенство справедливо для любого номера п. Чтобы доказать непрерывность s(x), нужно показать, что при любом наперед заданном и как угодно малом 8 > 0 найдется число б > 0 такое, что при всех | Дл; | < б будет | As | < в. Так' как данный ряд A) мажорируемый, то при любом наперед заданном е>0 найдется такой но^ер N, что при всех n^Nf и в частности при n=^Nt будет выполняться неравенство I/>(*)|< в/3- C) при любом х из отрезка [а, Ь]. Значение х-\-Ах лежит на отрезке [а, 6] и потому выполняется неравенство \rN(x+Ax)\<e/3. C') Далее, при выбранном N частичная сумма s'N (x) есть функция непрерывная (сумма конечного числа непрерывных функций) и, следовательно, можно подобрать такое положительное число*8$ что для всякого Ал:, удовлетворяющего условию [ Д# | < б, выпол- выполняется неравенство На основании, неравенств B), C), C') и D) получаем- т. е, | As\ < е при | Д# | < б,N а это и означает, что s(x) является непрерывной функцией в точке ж (и, следовательно, в любой точке отрезка [а, Ь]). Замечание. Из доказанной теоремы следует, что если сумма ряда на каком-либо отрезке [а, Ь] разрывна, то ряд не мажорируем на этом отрезке. В частности, не мажорируемым (на любом отрезке,, содержащем тючку л; = 0, т. е. точку разрыва суммы ряда) является ряд, приведенный в примере.
272. РЯДЫ : [ГЛ. XV? Отметим, наконец, что обратное предложение неверно: сущест- существуют ряды, не .мажорируемые на отрезке и, однако, сходящиеся на этом отрезке к" "нейрерывной функции. В частности, всякий равномерно сходящийся на отрезке [а, Ь] ряд (даже если он не мажорируем) имеет в качестве, суммы непрерывную функцию (конечно, если все члены ряда непрерывны). § 12. Интегрирование и дифференцирование рядов Теорема 1. Пусть имеем ряд непрерывных функций 2(х) + . •. +ип(х)+ ..., A) мажорируемый на отрезке [а, Ь\ и пусть s (x) есть сумма этого ряда. Тогда интеграл от s(x) в пределах от а до х, принадле- принадлежащих отрезку [а, Ь\ равняется сумме таких же интегралов от членов данного ряда, т. е. = S u±(t)dt+ $ u,(t)dt + ... + J utt(t)dt + ... а а а Доказательство. Функцию s(x) можно представить в виде six) = sn(x) + rn(x), или s(x)^ui(x) + u2(x)+...+un(x) + rn(x). Тогда XX X X X - J s(t)dt= $Ul(t)dt+ $ u2(t)dt+... + J utt(t)dt)+ $ ra(t)dt B) a a a a a (интеграл от суммы конечного числа слагаемых равен сумме интегралов от этих слагаемых). Так как исходный ряд A) мажорируем, то при любом* имеем | тп (х) | < в„, где гп —*0 при п —^ оо. Поэтому *) X \rh{t)dt a a Так как гп—*0, то х lim Но из равенства B) получаем: х х *) В приводимых ниже оценках при a < х берется знак +, а при х < се — знак —•
$ I2J< ИНТЕГРИРОВАНИЕ И ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ РЯДОВ 273: Следовательно, lira ИЛИ Hm \it4(t)dt+... + {uu(t)dt\=ls(t)dt. C) Сумма, стоящая в квадратных скобках, есть частичная сумма ряда n(t)dt+... D) a a Поскольку частичные* суммы этого ряда имеют предел, этот ряд х сходится и^егр сумма в силу равенства C) равна }s(t)dt, т. е. a ххх х а это и есть равенство, которое требовалось доказать. Замечание 1. Если ряд не мажорируем, * то почленное интегрирование ряда не всегда возможно. Это надо понимать в том X ^ смысле, что интеграл j s (t) dt от суммы ряда A) не всегда рав^н a сумме интегралов от его членов (т. е. сумме ряда D)). Теорема 2. Если ряд -составленный из функций, имеющих непрерывные производные на отрезке [а, 6], сходится на этом отрезке к сумме s(x) и ряд ..9 . F) составленный из производных его членов^ мажорируем на том же отрезке, то сумма ряда производных равна производной от суммы первоначального ряда, яг. е. Доказательство. Обозначим через F(x) сумму ряда F): F(x) = dl и докажем, что
РЯДЫ. 1гл. X.VI • Так как ряд F) мажорируем, то на основании предыдущей теоремы х хх х lF(t)dt=l «ИО dt+ S* u',{t)dt + ... Производя интегрирование, будем иметь = [ (*)—"i («)]+[w2 (*)—"г («)] + •••+[«. (*)—"»(« / Hq/jio условию s(а) = uf (а) + u2 (а) + . • • +ип (а) + каковы бы ни были числа х и а на отреаке [а, 6]. Поэтому (O^ = s(x) — s(a). Дифференцируя по а; обе части последнего равенства, получим Таким образом, мы доказали, что при выполнения условий теоремы производная от суммы ряда равна сумме производных от членов ряда. Замечание 2. Требование мажорируемости ряда производ- производных является- весьма существенным, и его невыполнение может привести к невозможности почленного дифференцирования ряда. В подтверждение этого приведем, пример, мажорируемого ряда, не допускающего почленного дифференцирования. Рассмотрим ряд sin 14х , sin 24х , sin 34х , < , sinn4x , Этот ряд сходится к непрерывной функции, так как он мажорируем Действительно^ при любом х его члены по абсолютной величине меньше членов числового сходящегося ряда с положительным» членами , I > 1 I 1 Ь НЧ + Напишем ряд, составленный из производных членов исходного ряда: cos х 4- 22 pos 2i%-f.., + л' cos п4
СТЕПЕННБ1Е РЯДЫ. ИНТЕРВАЛ СХОДИМОСТИ Жб Этот ряд^расходится. Так, например, при х=*0 он превращается в ряд (Можно показать, что он расходится не только при ,#=,0.) § 13, Степенные ряды. Интервал сходимости Определение 1. Степенным рядом называется функцио- функциональный ряд вида п + ..., A) где а0, af, а2, .^., апУ ,..—постоянные числа, называемые коэф- коэффициентами .ряда. Областью сходимости степенного ряда всегда является некоторый интервал, который, в частности, может вырождаться в точку. Для того, чтобы убедиться в этом, докажем сначала следующую ?ео- рему, очень важную для ясен теории степенных рядов. - Теорема 1 (теорема Абеля). 1) Если степенной ряд сходится при некотором значении х0, не равном нулю, то он абсолютно сходится при всяком значении х9для которого \х | < | х01; 2) если ряд расходится при некотором значении х'о, то 'он расходится при всяком х, для которого \х\>\х'0\. Доказательство. 1) Так как по предположению1 числовой ряд а0+аг сходится, то его общий член апХо—*0 при п—>оо,а это значит, что существует такое положительное число М, что все члены ряда по абсолютной величине меньше М. Перепишем ряд A) в виде +•.- C) и рассмотрим ряд из абсолютных величин его членов: К1+|вЛ||^| + |^||^|Ч...+|ая«||^Ч-- D) Члены этого ряда меньше соответствующих членов ряда При | х\ < | х0 [ последний ряд представляет собой геометрическую прогрессию со знаменателем. - < 1 и, следовательно, сходится. хо I как члены ряда D) меньше соответствующих членов ряда E), то ряд D) тоже сходится, а это и^ значит, что ряд C) или A) схо- ^дится абсолютно. ,
276 РЯДЫ ?ГЛ. XVI 2) Теперь нетрудно доказать и вторую часть теоремы: пусть в некоторой точке х'й ряд A) расходится. Тогда он будет расхо- расходиться в любой точке х, удовлетворяющей условию |х|>|хо|. Действительно, если бы в какой-либо точке х% удовлетворяющей этому условию, ряд сходился, то в силу только что доказанной первой части теоремы он должен был бы сходиться и в точке х'о, так как |*il<|Jt|. Но это противоречит условию, что в точке х'ь ряд расходится. Следовательно, ряд расходится и в точке х. Таким образом, теорема полностью доказана. Ряд сходится Ряд расходится ' Ряд расходится Рис. 365, Теорема Абеля позволяет судить о расположении точек схо- сходимости и расходимости степенного ряда. Действительно* если ~х0 есть точка сходимости, то весь интервал (—|л:0|, |л:0[) заполнен точками абсолютной сходимости. Если х'ь—точка расходимости, то вся бесконечная полупрямая вправо от точки | x'Q | и вся полу- полупрямая влево от точки — \х'0\ состоят из точек расходимости. Из этого можно заключить, что существует такое число /?, что при \x\<R мы имеем точки абсолютной сходимости и при |л:| > /?—точкиг расходимости. Таким образом, имеет место сле- следующая теорема о строении области сходимости степенного ряда: Теорема 2. Областью сходимости степенного ряда является интервал с центром в начале координат. Определение 2. Интервалом сходимости степенного ряда называется такой интервал от —R до -\-R, что для всякой точки ху лежащей йнутрй этого интервала, рйд сходится и притом^бсолютно, а для точек ху лежащих вне его, ряд расходится (рис. 365). Число R называют, радиусом сходимости степенного ряда. На концах интервала (т. е. при x = R и при х = — R) вопрос о сходимости или расходимости данного ряда решается индивиду- индивидуально для каждого конкретного ряда. Отметим, что у некоторых рядов интервал сходимости вырож- вырождается в точку (/?=0);у других охватывает всю ось Ox(R = <x>).. Укажем, -способ определения радиуса сходимости степенного ряда. Пусть имеем ряд ао + а1х+,а2&+ ... +art#n-f-.. • A) Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин его членов:
- СТЕПЕННЙЕ РЯДЫ. ИНТЕРВАЛ СХОДИМОСТИ ?77 Для определения сходимбсти последнего ряда к (с -положитель- -положительными членами!) применим признак Даламбера. - Допустим, что .существует предел Тогда по признаку Даламбера ряд F) сходится, если L\x\<\% т! е. если )#|<1/L, и расходится, если L"|jd>h т. е. если \x\>\/L. Следовательно, ряд A) сходится абсолютно при |л;|<1/?. Если же | х | > 1/L, то lim ff?±i= | x | L > 1, и ряд F) расходится; * п -> со л причем его общий член не стремится к нулю *). Но_тогда и общий член дайного степенного ряда A) не стремитей к нулю, а это значит на основании необходимого признака сходимости, что этот степенной ряд расходится (при |x|>l/L). i Из предыдущего следует, что интервал (— l/L, 1/L) есть интер- интервал сходимости степенного ряда A), т. е. R = 4- = Нт L П^ОО Аналогичным образом для определения интервала сходимости можно пользоваться признаком Коши, и тогда Hm У|а„Г П-> со г Пример I. Определить интервал сходимости ряда 1 _|_*4-*2+*3+... +хп+... Решение. Применяя непосредственно признак Даламбера, получаем lim Следовательно, ряд сходится при |^| < I и расходится при |*| > I. На границах же интервала (— 1, 1) исследование ряда с помощью признака Далам- Даламбера невозможно* Однако непосредственно видно, что при х^тг * и при #=1 ряд расходится. Пример 2, Определить интервал сходимости ряда 2х B*)а,B*)8* *) Напомним, что при доказательстве признака Даламбера (см. § 4) мы аружили, что если lim n + 1 > довательно/ не стремится к нулю. обнаружили, что если lim-^^ > 1, то общий член ряда возрастает и, слег Ы ft -
278 РЯДЫ 1ГЛ. XVE Решение. Применяем признак Даламбераз Bх)п+1 lim П-+ 1 = lim Bx)n п п Ряд сходится, если \2х\ < 1, т. е. если \х\ < 1/2; при #=1/2 ряд сходится; цри х — — 1/2 ряд расходится. Пример 3. Определить интервал сходимости ряда х% .хъ , , хп , Решение. Применяя признак Даламбера, получим 1= lim I-JL- 1 = 0 <!. , lim 2»±? U lim П -> оо I Ил I" я ->• оо Так как предел не зависит от х и меньше единицы, то, значит, ряд сходится при всех значениях х. Примеру. Ряд расходится при всех значениях х, кроме х=0, так как {пх)п —* оо при п —>- оо, каково бы ни было х, отличное от нуля. Теорема 3. Степенной ряд .. < +апхп+.. s A) мажорируем-кна любом отрезке [—р, р], целиком лежащем внутри интервала сходимости. Интервал сходамосты ¦+- мажорирувтшП Рис. 366. Доказательство. По условию р < R (рис. 366), а потому числовой ряд (с положительными членами) 2|р2+...+|ал|р»4-^.; % G) сходится. Но при |#|<р члены ряда A) по абсолютной величине не больше соответствующих членов ряда G). Следовательно, ряд A) мажорируем на отрезке [—р, р]. Следствие 1. На всяком отрезке, целиком лежащем внутри интервала сходимости^ сумма степенного ряда есть непрерывная функция. Действительно, на этом отрезке ряд мажорируем, а члены его являются непрерывными функциями от х. Следовательно, на осно- основании теоремы 1 § 11 сумма этого ряда есть непрерывная функция.
§14] ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ СТЕПЕННБ1Х РЯДОВ ,279 Следствие 2. Если пределы интегрирования а, Р лежат внутри интервала сходимости степенного ряда, то интеграл от суммы ряда равен сумме интегралов от членов ряда} так как Рис, 367, область интегрирование можно заключить в отрезок [— р, р], где ряд мажорируем (рйс. 367) (см. теорему 1 § 12 о возможности почленного интегрирования мажорируемого ряда). § 14. Дифференцирование степенных рядов Теорема Г. Если степенной ряд s(x) = aQ + a1x + a2x2 + a3xz + a±x*-{~... +апхп+ ¦.." A) имеет интервал сходимости (—R, R), то ряд Ф (х) ^а± + 2а2х+За3х2 +... + папхп~г + •.., B) полученный почленным дифференцированием ряда A), имеет тот же интервал сходимости (—R, R); при этом y(x)~s' (x), если |*|</?f m. e. внутри интервала сходимости производная от суммы сте- степенного ряда A) равна сумме ряда, полученного почленным диф- дифференцированием ряда A). . \ }., 1 „ j ?—М 1 1Ч-" ¦>¦ Рис. 368 Доказательство. гДокажем, что ряд B) мажорируем на любом отрезке [—р, р]„ целиком лежащем внутри интервала сходимости. Возьмем точку % такую, что р < ? < R (рис. 368). В этой точке ряд A) сходится, следовательно, lim anln = Q, поэтому можно п -> се указать такое постоянное число М, что К5Я|<Л! (п=1, 2, ...)• Если |х|<р, то
280, рЯДЫ [ГЛ. XVf где Таким образом, члены ряда [B) при |л;|^р по абсолютной величине меньше членов числового положительного ряда с посто- постоянными членами Но последний ряд сходится, в чем можно убедиться, применяя признак Даламбера: -1 Следовательно, ряд B) мажорируем на отрезке [—р, р], и на "основании теоремы 2 § 12 его сумма есть производная от суммы данного ряда на отрезке [—р, pj, т. е. Г" <р (*) = «'(*). Так как всякую внутреннюю точку интервала^—R, R)можно заключить Ъ некоторый отрезок [—р, р], то отсюда следует, что ряд B) сходится в любой внутренней точке интервала (—Rf R). Докажем, что вне интервала (—R, R) ряд B) расходится. Допустим, что ряд B) сходится при- xt> R. Интегрируя его почленно в интервале @, х2), где R < хй < Xi, мы получили бы, что ряд A) сходится в точке х^, а это' противоречит условиям теоремы. Таким образом, интервал (—R, R) есть интервал схо- сходимости ряда B). Теорема полностью доказана. Ряд B) снова можно почленно дифференцировать и продол- продолжать так сколь угодно раз. Таким образом, получаем вывод: Теорема 2. Если степенной ряд сходится в интервале (—Rf R)i то его сумма представляет собой фщщщо, имеющую внутри интервала сходимости производные любого порядка, каж- каждая из которых есть сумма ряда, получающегося в результате почленного дифференцирования данного ряда соответствующее число раз; при этом интервал сходимости каждого ряда, полу- получившегося в результате дифференцирования, есть тот же интер- интервал (-R, R). § 15. Ряды по степеням х — а Степенньш рядом также называется функциональный ряд вида а9+а1{х—аУ+аЛ(х—ау+...+ап(х^а)^+^.9 A) где постоянные а0У at, ..., ап, ... также называются коэффициен- коэффициентами ряда. Это—степенной ряд, расположенный по степеням двучлена х—а.
$151 РЯДЫ ПО СТЕПЕНЯМ х-а 2Ш При а = 0 получаем степенной ряд, расположенный по степе- степеням ху который, следовательно, является частным случаем рядаA). Для определений области сходимости ряда A) произведем в,нем замену переменной' ' х—а = Х. После этой замены ряд A) примет вид "+.. -, B) т. е. получили степенной ряд, расположенный по степеням X. Пусть интервал—/? <X<R есть интервал сходимости ряда B) (рис. 3695 а). Отсюда следует, что ряд A) будет сходиться при Рис. 370. значениях х, удовлетворяющих неравенству —R< х—а < R или a—R<x<a+ R. Так как ряд B) расходится при |Х|>/?, то ряд A) будет расходиться при |jc—а\ > R> т. е. будет расходиться вне интервала a—R <^x<a+R (рис. 369, р). Следовательно, интервалом сходимости ряда A) будет интервал (а—Ry a~\-R) с центром в точке а. Все свойства степенного ряда, расположенного по степеням х, внутри интервала сходимости {—Ri -\-R) полностью сохраняются для степенного ряда, рас- расположенного по степеням х—а, внутри интервала сходимости (а—/?, a-{-R). Так, например, после почленного интегрирования степенного ряда A), если пределы интегрирования лежат внутри интервала сходимости (a — /?, a + R)y получается ряд, сумма кото- которого равняется соответствующему интегралу от суммы данного ряда A). При почленном дифференцировании степенного рядаA) при всех л;, лежащих внутри интервала сходимости (a—R, a + R)t получается ряд, сумма которого равняется производной от суммы данного ряда A). Пример. .Найти область сходимости ряда (х-2) + (х-2)« + (*-2)»+.., + (др-2)» + ... Решение. Положив х—2 = Х, получим ряд ряд сходится при -г-1 < X < +1. Следовательно, данный ряд сходится при всех jc, для которых —-Л < х—2 < 1, т. е. при 1 < jc <'3 (рис. 370).
282 РЯДЫ {ГЛ. XVI § 16. Ряды Тейлора и Маклорена В § 6 главы IV (т. 1) было показано, что для функции f(x)t имеющей все производные до (я + 1)-го порядка включительно, в окрестности точки х = а (т. е. на'некотором интервале, содер- содержащем точку х = а) справедлива формула Тейлора: /(*) = /(а) где так называемый остаточный член Rn (x) вычисляется по формуле Если функция / (л;) имеет производные всех порядков в окрест- окрестности точки х = а, то в формуле Тейлора число п можно брать сколь угодно большим. Допустим, что в рассматриваемой окрест- окрестности остаточный член Rn стремится к нулю при п—>ооа lim ?„(*) = 0. Тогда, переходя в'формуле A) к пределу при тг—><х>, получим справа бесконечный ряд, который называется рядом Тейлора: Последнее равенство справедливо лишь в том случае, если Rn (x) —> О при п—>оо. В этом случае написанный справа ряд сходится и его сумма равна данной функции f(x). Докажем, что это дейст- действительно так 5 f(x)=Pn где Так как по условию lini Rn(x) = 0, то f(x)= lim Р„(х). П -> 00 Но .Рл(л;) есть п-я частичная сумма ряда B); ее предел равен сумме ряда, стоящего в правой части равенства B). Следовательно, -равенство B) справедливо: /(*И/(а)+^ Из предыдущего следует, что ряд Тейлора представ- представляет данную функцию /(л:) только тогдаг когда
$ 173 ПРИМЕРЫ РАЗЛОЖЕНИЯ ФУНКЦИЙ В РЯДЫ 883 Шп Rn (х) = 0. Если lim Rn (х) Ф 0, то ряд не представляет данной функции, хотя может и сходиться (к другой функции). Если в ряде Тейлора положим а = 0, то получим частный слу- случай ряда Тейлора, который называют рядом Маклорена: /(*)=/@)+тГ@)+4Г@)+...Ч"^Г->@) + ... C) Если для какой-нибудь функции формально написан ряд Тей- Тейлора, то чтобы доказать, что написанный ряд представляет дан- данную функцию, нужню либо доказать, что остаточный член стре- стремится к нулю, либо каким-нибудь иным способом убедиться, что написанный ряд сходится к данной функции. Отметим, что для каждой из элементарных функций, опреде- определенных в §-8 главы 1 (т. I) существует такое а и такое R, что в интервале (а—R, a + R) она разлагается в ряд Тейлора или (если а = 0) в ряд Маклорена. § 17, Примеры разложения функций в ряды 1. Разложение функции f(x) = smx в ряд Макло- Маклорена. В § 7 главы IV (т. 1) мы получили формулу Так как было доказано, что lim R2n (x) = 0, то на основании ска- занного в предыдущем параграфе получаем разложение sin x в ряд Маклорена: Так как остаточный член стремится к нулю при любом х9 то данный ряд сходится и имеет в качестве суммы функцию sin x при любом х. На рис. 371 показаны графики функции sin л; и первых трех частичных сумм ряда A). Этим рядом пользуются для вычисления значений sin л: при различных значениях х. Вычислим, например, sin 10° с точностью до 10~"§. Так как 10° или, в радианах, -^^ 0,174533, то — ^ зГ (т§) +г(т8у' sin Ограничиваясь первыми двумя членами, получим следующее при- приближенное равенство:
ряды [ГЛ. XVI при этом возникает погрешность 8, которая по'абсолютной вели- величине меньше первого из отброшенных членов, т. е. Если каждое слагаемое в выражении для sin щ будем вычис- вычислять с шестью знаками, то получим: sin (я/18) = 0,173647. - За первые четыре знака- можно ручаться. N / / / i i . \ \ \ \ \ \ \ \\ / / S / / a / N > \ у \ V. \2 \ \ \ \ \ 1 J 1 6 r \ 9 Рис. 371, • 2. Разложение функции /(х) = е*врядМаклорена. На основании § 7 главы IV (т. I) имеем так как было доказано, что lim Rn (x) = 0 для любого х. Следо- п -> со вательно, для всех значений х ряд сходится и представляет функ- функцию е*. Если в разложении B) заменить х на (—х), то получаем е~* ;=.!_; — 2! — 31 C)
|UJ ФОРМУЛА ЭЙЛЕРА 285 3, Разложение функции /(#) = cos* в .ряд Макло- рена. v На основании § 7 главы IV (т. I) имеем 15 + S+! W при всех значениях х ряд сходится и представляет функцию cos к. 4. Разложение функций в ряд Маклорена. Разложение этих функций ле^ко получается путем вычитания и сложения рядов B) и C) и деления на два. Итак, il §18, Формула Эйлера До сих Пор вдк рассматривали только ряды с действительными членами/не затрагивая рядов с комплексными членами. Не при- приводя полной теории рядов с комплексными членами, которая выходит за райки данного учебника, рассмотрим" только один важный пример из этой юбласти.' В главе VII (т. I) была определена функция ex+if равенством ех + iy _- ех При л: = 0 прлучаем формулу ЭйЛера: Если определить показательную функцию № с мнимым пока- показателей с помощью формулы B) § ,17, дающей представление функции & в виде степенного ряда, то мы получим то же равен- равенство Эйлера. Действительно, определим eiy, положив в равенстве B) § 17 вместо х выражение iy: Принимая • во внимание, что ta = —1, i% — — i, l*=l, Vi — lf ?6 = — 1 и т. д., преобразуем формулу A) к виду * ~1^ 1! 2! 3! +4! ^ 5!
.РЯДЫ ЕГЛ. XVT Отделяя в этом ряде действительную и мнимую части, найдем е*в = [ 1 _i- + - „.. J + i [-JJ-—3f +-gj • • • J • В скобках стоят степенные .ряды, суммы которых равны соответ- соответственно cost/ и sin у (см. формулы C)-и A) предыдущего параг- параграфа). Следовательно, № = cos y+i sin у. B) Таким образом, мы пришли снова к формуле Эйлера. § 19. Биномиальный ряд § р , Разложим в ряд Мак лорена'функцию /ММ1+)- 1 где m—произвольное постоянное число. Здесь оценка остаточного члена представляет некоторые труд- трудности и потому к разложению данной функции мы подойдем не- несколько иначе. Заметив, что функция f(x) = (l+x)m удовлетворяет дифферен- дифференциальному уравнению - Ц+х)Г(х)=тНх) A) и условию найдем степенной ряд, сумма которого s(x) удовлетворяет урав- уравнению (J) и условию s @) = 1: s(x)=l+a1x + a2x*+...+anx»+...*). B) Подставляя его в уравнение A), получим " - х) Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в разных частях равенства, находим Отсюда для коэффициентов ряда получаем выражения: _ а2(т—2) __ /n(m~-l)(m~-2) 2-3 ... [m—(л—1)] 1-2. „../г *) Мы приляли свободный чйен ра&ньш единиц в силу начального уело- вия s@) = l.
БИНОМИАЛЬНЫЙ РЯД ' Щ Это—биномиальные коэффициенты. Подставляя их в формулу B), получим C) Если m—целое положительное число, то, начиная с члена, содержащего хт+*, все коэффициенты равны нулю, и ряд превра- превращается в многочлен. При т дробном или при т целом отрица- отрицательном имеем бесконечный ряд. Определим радцус сходимости ряда C): _ m(m—l)...(m—/t+lX _ rm(m—i)...(m—n+2) Таким образом, ряд C) сходится при |#|<1. В интервале (—1, 1) ряд C) представляет функцию s (pc)f удо- удовлетворяющую дифференциальному уравнению A) и условию в@)=1. Так как дифференциальному уравнению A) и условию s@)=l удовлетворяет единственная функция, то, следовательно, сумма ряда C) тождественно равна функции A+х)т»н мы получаем разложение ^^ от(т1^2).. C') Б частнорти, при' /л = —1 получаем Ь^=1-*+*2-*3+-- D) При tn = -x будет При т = — -к- имеем 2. Применим разложение бинома к разложейию^ других функ- функций. Разложим & ряд МаКлорена функцию ~ '
(гл. Подставляя в равенство F) вместо х выражение — х2, • получим 1 -1 1 !хМ ьз^ 1 b3'Vl 1 *-3.5.....B»-1)хз„ , 2.4.6" -Т-----Г 2.4-6. ....2л На основании теоремы об интегрировании степенных рядов получаем при |л:| < 1: l-3.5-...-Bn — 2-4-6.,.2 Этот ряд сходится в интервале (—1, 1). Можно было бы дока- доказать, что ряд сходится и для л=±1 и что для этих значений сумма ряда также равна arcsinx. Тогда, полагая jc=1, мы полу- получим формулу для вычисления я: $ 20, Разложение функции 1пA+д:) в степенной ряд* Вычисление логарифмов Интегрируя равенство D) § 19 в пределах от 0 до л (при | < 1), получим или Это равенство справедливо в интервале (—1, 1). Если в этой формуле заменить х на —х, то получается ряд который сходится в интервале (—1, 1). С помощью рядов A) и B) можно вычислять логарифмы чисел, заключенных между нулем и двумя. Отметим, без доказательства, что при %=1 разложение A) также справедливо. Выведем формулу для вычисления натуральных логарифмов любых целых чисел. . > Так как при почленном вычитании»* двух сходящихся рядов получается ряд сходящийся (см. § 1, теорему 3), то, вычитая
РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИИ In A+х) почленно равенство B) из равенства A), находим , Положим далее, j—= ^^; тогда х^^р^. При любом п > 0 имеем 0 < х < 1, поэтому 1п1+*-1пп+1-2Г * 1 * 1 * 1 откуда При п=*1 отсюда получаем Для вычисления In 2 о заданной степенью точности б надо подсчитать частичную сумму sp, выбрав число р ее членов так, чтобы сумма отброшенных членов (т. е. погрешность Rpf совер- совершаемая при замене $ на sp) была меньше допустимой погреш- погрешности б. Для этого оценим погрешность Rp: В 2 Г * 1- 1 1 ! Л 1 Так как числа 2/Н-З, 2р + 5, ... больше 2р+1, то, заменяя их на 2р+1> мы Увеличим каждую дробь. Поэтому или Ряд, стоящий в квадратных скобках, есть геометрическая про- прогрессия со знаменателем -^. Подсчитывая сумму этой прогрес- сии, найдем Если мы хотим теперь подсчитать In 2, например, с точностью до 0,000000001, то надо выбрать р так, чтобы было Rp < < 0,000000001. Этого можно добиться, подобрав р так, чтобы правая часть неравенства была меньше 0,000000001. Непосред- Непосредственным подбором находим, что достаточно взять /? = 8. Итак, 10 Н. G. Пискунов, v. 2
29Q РЯДЫ. 1ГЛ. KV» с точностью до 0,000000001 инеемг ln2«b = 2|TV. +TF3ir+-T^r I -0,693147180. Итак, In 2 = 0,693147180. При этом эти девять знаков верные. Полагая в формуле C) п = 2, получаем 1,098612288 и т. д. Таким- ©бравом, мы можем получить н&туралыгеке любых целых чисел. Чтобы получить десятичные дагарйфмк. чисел, нужна воспользоваться (см. § 8 гл. И т. 1) еоотношением где М = 0,434294. Тогда, например^ псшучим = 0,434294.0,69$147== 0,30105ft. § 21. Вычисление определенных интегралов е помощью рядов В главах X и XI (т. I) было указано, чта существуют- опре- определенные интегралы, которые как" функции верхнего предела не выражаются в конечном виде через элементарные функции. Такие штегралы иногда бывает удобно вычислять а помощью рядов* Рассмотрим здесь несколько примеров. 1. Пусть требуется, вычислить интеграл Здесь первообразная от e~* не является элементарной функцией* Для вычисления этого интеграла, разложим педынтегральн^ро функцию в ряд, заменяя в разложении е* (см. формулу B) § 17) эс на —х2} e-*zl Ф 4 Интегрируя обе части этога равенства & пределах от 0 до получим
ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ у§\ С помощью этого равенства мы можем при любом а вычислить данный интеграл с любой степенью точности. 2. Требуется1 вычислить интеграл ^dx. Разложим подынтегральную функцию в ряд: из равенства #3 X? X7 х+ цолучаем sin х __ « х2 ,х* Xs . причем последний ряд сходится при всех значениях jp. Интегрируя почленно, получим а fsinx Л*, — » * Ъ Г Сумма ряда легко вычисляется с любой степенью точности при любом а. 3. Вычислить эллиптический интеграл 2 Разложим подынтегральную функцию в ^биномиальный ряд, положив т == ^, x — — k* sin2 q> (см. формулу E) § 19): * Этот ряд сходится при всех значениях *<р я допускает почленное интегрирование, так как он мажорируем на любом интервале. Поэтому to*
292 РЯДЫ ?ГЛ. XVI Интегралы, стоящие справа, вычисляются элементарно. При Ф = ~ имеем Я/2 (см. § 6 гл. XI т. I) и, следовательно, т- ¦¦] § 22. Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью рядов Если интегрирование дифференциального уравнения не сво- сводится к квадратурам, то прибегают к приближенным методам: интегрированця уравнения. Одним из таких методов является представление решения уравнения в виде ряда Тейлора; сумма конечного числа членов этого "ряда будет приближенно равняться искЬкЬму частному решению. Пусть, например, требуется найти решение дифференциального уравнения второго порядка iT = F(*f у, у% A) удовлетворяющее начальным условиям yQ[ у'\х=Х9 = у1 B) Допустим, что решение y — f(x) существует и представимо в виде ряда Тейлора (мы не будем останавливаться #а вопросе, при каких условиях это имеет место): ^^ C) Нам нужно найти f(xb), f (x0), f(*0), •••> т, е. значения производных от частного решения при х = х0. Но это можно сде- сделать при помощи уравнения A) и условий B). Действительно, из условий B) следует из уравнения A) получаем f'W = /U = /7fe у» yl). Дифференцируя обе части уравнения (I) по х: x, yf yr)y'^Fyt(x} у. /)/ D)
§22] ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ и, подставляя значение х—'х0 в правую часть, найдем Дифференцируя соотношение D) еще раз, найдем и т. д. Найденные значения прризводных подставляем в равенство C), Для тех значений х, для которых этот ряд сходится, он пред- ставляет решение уравнения. Пример 1. Найти решение уравнения удовлетворяющее начальным условиям Решение. Имеем Из данного уравнения находим #"U=o = /"(O) = Q; далее, и, вообще, дифференцируя k раз обе части уравнения по формуле Лейбница, находим (§ 22 гл. III т. I) Положив х = 0, будем иметь или, полагая + , j,<"> =- (»-3) («-2) yin-*\ Отсюда ^12>«=— 9.10^8)=(— 1KA -2) E-6) (9-10), ;.; * |A4fc> = (—1)*ЧЬ2).E.6).(Э.10)....-[DЛ—3)DЛ—2>Ь .«...,,»** , . . • Кроме того, Таким образом, в нуль не обращаются только те производные, порядок которых кратен четырем. Подставляя найденные значения производных в ряд Маклорена., получаем* решение уравнения
294 РЯДО [ГЛ. КШ С помощью признака Дзламберя можно проверить, что этот ряд сходится при всех значениях х\ следовательно, он является решением уравнения. Если уравнение линейное, то удобнее искать коэффициенты разложения частного решения по методу неопределенных коэф- коэффициентов. Для этого непосредственно «подставляем» ряд в> дифференциальное, уравнение и приравниваем коэффициенты, стоящие при одинаковых степенях х в раакьиг частях уравнешш* Пример 2. Найти решение уравнения удовлетворяющее начальным условиям Решение. Полагаем На основании начальных условий находим %=0, % Следовательно, Подставляя написанные выражения в заданное уравнение и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем 2а2==0, откуда а2==0, откуда а8— lf откуда а4=0, п (я— 1) an=(n~2)>2а„_2+4&/Г.2> откудаап^ ^"р Следовательно^ Подставляя найденные коэффициенты, получаем искомое решение Полученный ряд сходится при всех значениях х. Заметим, что найденное частное, решениег можно * выразить через, элементар- элементарные функции: вынося х за скобку, получим в скобках разложение функ- функции е*2. СледовательнО|
УРАВНЕНИЕ БЕССЕЛЯ § 23. Уравнение Бесселя Уравнением Бесселя называется дифференциальное уравнение вида . A) Решение этою уравнения, как и некоторых других уравнений с переменными коэффициентами, следует искать не в форме сте- пеннбго ряда, а в виде произведения некоторой степени х на степенной рйд: Коэффициент ай мы можем считать отличным от нуля ввиду неопределенности ^показателя г* Перепишем выражение B) в виде tea и найдем его производные: у' = 2 (г + к) щ?**-\ у" - 2 (г + к) (г + к - Подегашпя зхй выражшля ^ ураюение <1): -/?2) 2 Приравнивая лулю коэффициенты лри х в стегшни г, г 2 Ц* получаем систему уравнений [Г(Г—1) + Г—^JiZo=X), ИЛИ (Г2_р2)ао== ~р2]а? = 0, или ^0, или [ Рассмотрим равенство [(г+А)«-/»«За,+в»., = О. C') Его можно переписать так:
РЯДЫ 1Щ. XV? По условию а^ФО; следовательно, поэтому Г|==р или г2 = — Pi Рассмотрим сначала решение в случае г* = р>0/4 Из системы уравнений C) последовательно определяются все коэффициенты аь а2, ...; а0 остается произвольным.; (Положим, например, а0 = 1. Тогда а а*~ kBp+k)* Придавая различные значения k, найдем 0i = O, л8 = 0 и вообще a2v = (— l)v+ l 2.4.б.... -2v Bp+2) Bp+4).. .Bp+ 2v) » *## Подставляя найденные коэффициенты в формулу B), получим Все коэффициенты ^2v oпpeдeлятcяt так как при всяком k коэффициент при ак в уравнении C) будет отличен от нуля. Таким образом, yt является частным решением уравнения A). Установим да