Text
                    

ЛЕОНАРД .ЭЙЛЕР ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Том III ПЕРЕВОД С ЛАТИНСКОГО И КОММЕНТАРИИ ф.И. фРАНКЛЯ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО фИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ МОСКВА • 1958
Леонард Эйлер ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ТОМ ТРЕТИЙ В КОТОРОМ ИЗЛАГАЕТСЯ МЕТОД ОПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИЙ ДВУХ И МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ ПО ДАННОМУ СООТНОШЕНИЮ МЕЖДУ ДИФФЕРЕНЦИАЛАМИ ЛЮБОГО ПОРЯДКА. С ПРИЛОЖЕНИЕМ О ВАРИАЦИОННОМ ИСЧИСЛЕНИИ ИС ДОПОЛНЕНИЕМ, СОДЕРЖАЩИМ ИЗЛОЖЕНИЕ НЕКОТОРЫХ ОСОБЫХ СЛУЧАЕВ ИНТЕГРИРОВАНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ О о
INSTITVTIONVM CALCVLI INTEGRALS VOLVMEN TERTIVM, IN OVO METHODVS INVEN1ENDI FVNCTIONES DVARVM ET PLVRIVM VARIABIL1VM, EX DATA RELATIONE DIFFERENTIAL1VM CV1VSVIS GRADVS PERTRACTATVR. VNA CVM APPENDICE DE CALCVLO VARIATIONVM ET SVP- HJEMENTO, EVOLVTIONEM CASVVM PRORSVS SINGVLAR1VM CIRCA INTEGRA- T10NEM AEQVAT1ONVM DIFFERENTIAUVM CONTINENTS AVCTORE LEONHARDO EVLERO ACAD. SCIENT. BORVSSIAE DIRECTORE VICENNALI ET SOCIO ACAD. PETROP. PARISIN. ET LONDIN. PETROPOLI, Impenfis' Academiae Imperials Scientiarum 17 7 о»
ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ КНИГА ПОСЛЕДНЯЯ ЧАСТЬ ПЕРВАЯ ИЛИ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ ПО ДАННОМУ СООТНОШЕНИЮ МЕЖДУ ДИФФЕРЕНЦИАЛАМИ ЛЮБОГО ПОРЯДКА РАЗДЕЛ ПЕРВЫЙ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ ПО ДАННОМУ" СООТНОШЕНИЮ МЕЖДУ ДИФФЕРЕНЦИАЛАМИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА ОБЩЕЕ О ПРИРОДЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕ- НИЙ, КОТОРЫМИ ОПРЕДЕЛЯЮТСЯ ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ ЗАДАЧА 1 1. Пусть 2 — какая угодно функция двух переменных х и у, Определить свойство дифференциального уравнения1)^ которым, выражается соотно- шение между дифференциалами dx, dy и dz. !) definite indolem aequationis differentialis.
*6 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛАМ ПЕРВОГО ПОРЯДКА РЕШЕНИЕ Пусть Pdx 4- Qdy-\- Rdz — 0 — уравнение, выражающее соотношение между дифференциалами dx, dy и dz, где Р, Q и R — какие угодно функ- ции переменных я, у и 'z. Прежде всего необходимо, чтобы это уравне- ние получалось из некоторого конечного уравнения между этими пере- менными путем дифференцирования и деления полученного дифферен- циала на некоторое количество. Итак, пусть задан некоторый множи- тель, положим М, после умножения на который выражение Р dx + Q dy + Rdz становится интегрируемым, ибо если бы такого множителя не было, то предложенное дифференциальное уравнение было бы бессмысленным и ничего бы не выражало. Следовательно, все дело сводится к тому, чтобы ука- зать критерий, с помощью которого можно было бы отличать такие бессмысленные и ничего не выражающие дифференциальные уравнения от реальных. С этой целью будем рассматривать уравнение Р dx-]-Q dy + R dz = О как реальное. Пусть М — множитель, делающий его интегрируемым, так что выражение MP dx + MQ dy 4- MR dz действительно является дифференциалом некоторой функции трех пере- менных я, у и г; пусть эта функция обозначена через V, так что уравне- ние V = const будет полным интегралом предложенного уравнения. Стало быть, если предположить постоянным либо х, либо г/, либо г, то выра- жения: MQ dy + MR dz; MRdz-^MPdx; MP dx-\-MQdy должны быть интегрируемыми каждое в отдельности. Отсюда и из природы дифферен- циалов следует \ dy ) \ dx ) ’ откуда после раскрытия скобок вытекают следующие три уравнения: Если умножим первое уравнение на Р, второе на Q, третье на R и сложим их, то в сумме производные М уничтожаются и полученное уравнение после деления на М принимает вид Этим и выражается критерий для отличия реальных дифференциаль- ных уравнений от бессмысленных; всякий раз, как это соотношение между величинами Р, Q и R имеет место, дифференциальное уравнение Р dx 4-Q dy 4- R dz = О
Гл. I. ОБЩЕЕ О ПРИРОДЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 7 является реальным. Кроме того, надо здесь помнить, что заключенное . в скобки выражение представляет значение , если при диф- ференцировании Q только величина z рассматривается как переменная; то же относится к остальным соответствующим выражениям, которые таким образом всегда сводятся к конечным функциям. СЛЕДСТВИЕ 1 2. Стало быть, если предложено дифференциальное уравнение между тремя переменными: Р dx + Q dy + R dz = О, то надо прежде всего выяснить, имеет ли место вышенайденное соот- ношение или нет. В первом случае уравнение реальное, во втором слу- чае—бессмысленное и ничего не выражает, и никогда решение какой- либо задачи не может привести к такому уравнению. СЛЕДСТВИЕ 2 3. Найденное соотношение можно выразить еще так: (PdQ—QdP^ QdR~-R dQ (RdP — PdR^ __ Q причем скобки относятся не к конечным количествам, а ограничивают дифференцирование только одним из переменных. СЛЕДСТВИЕ 3 4. Вместе с тем, если уравнение, выражающее найденный крите- рий, разделить на PQR, оно принимает вид d р\ dLT)\ dlJi\ __— Д-1____2- _L ___£L =о. \Rdz/'\Pd / ' \ Q dy / Его можно выразить еще и так: / dQ dP \ / dR dQ \ [ dP dR \ Q_____p I R______Q I p_______R = л \ R dz / ^ \ P dx / \ Q dy / ПОЯСНЕНИЕ 1 5. В то время как все дифференциальные уравнения между двумя переменными всегда реальны и всегда ими определяется некоторое соотношение между этими переменными, мы выяснили, таким образом, что иначе дело обстоит с дифференциальными уравнениями, содержа- щими три переменные, и уравнения вида Р dx + Q dy + R dz = О выражают определенное соотношение между х, у и z только тогда, когда величины Р, Q, R таковы, что имеет место найденный критерий. Отсюда понятно, что можно предложить бесконечно много таких диффе- ренциальных уравнений между тремя переменными, которым не соот- ветствует никакое конечное соотношение и которые поэтому ничего
8 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛАМ ПЕРВОГО ПОРЯДКА собственно не определяют. Очевидно, можно как угодно1) образовывать такого рода уравнения, которые ни к какой задаче не приспособлены; но, как только определенная задача сводится к дифференциальному уравнению между тремя переменными, всегда должен быть выполнен указанный критерий, так как в противном случае уравнение ничего бы не выражало. Таким ничего не выражающим уравнением является, например, уравнение zdx-^xdyу dz = Q, и нельзя придумать ни одной функции z от х и у, которая бы удовле- творяла такому соотношению, ибо наш критерий дает в этом примере — x- y — z, а эта величина не исчезает, откуда вытекает бессмысленность уравнения. ПОЯСНЕНИЕ 2 6. Чтобы легче можно было применять найденный критерий к раз- ным случаям, следует сначала по уравнению Р dx + Q dy + R dz = О вычислить выражения ууууу^ и левая часть нашего критерия представится в виде LP + MQ + NR. Если это выражение исчезает, то предложенное уравнение реально и выявляет некоторое конечное уравнение, а если оно не сводится к нулю, то заданное уравнение бессмысленно и нечего и думать об его интегрировании. Так, в вышеуказанном примере, имеем Z> = z; Q~x‘, R = y, так что L= -1, М= -1 и N = - 1, откуда для левой части критерия получаем — x — y — z, что означает бессмысленность [заданного уравнения]. Дадим, напротив, еще пример реального уравнения: dx (у2 + nyz + z2) — х (у + nz) dy — xzdz = 0. Поскольку R = 2/2 + пУ% + z2; Q = — ху — nxz и R = —- xz, то L = —- пх\ М = —3z — ny и 7V = Зу 4- 2nz, откуда LP 4- MQ + NR = —~пх (у2 + nyz + z2) + х (у + nz) (3z + пу) ~~ xz (Зу + 2nz) = ~х(~~ пу2 — n2yz — nz2 + 3yz + 3nz2 + пу2 + n2yz — 3yz — 2nz2) = 0 x) pro arbit^io.
Гл. I. ОБЩЕЕ О ПРИРОДЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 9 и, так как это выражение исчезает, дифференциальное уравнение дол- жно считаться реальным. Подобным образом, если предложено уравнение 2dx (у + z) + dy (х + Зу + 2г) + dz (х + у) = 0, поскольку Р = 2у + 2г; Q = х-±~ Зу + 2г; 7? — х-±~ у, имеем Zz = 2— 1 = 1; М-1-2- -1 и 7V = 2 —1 = 1, и, следовательно, LP + MQ -\-NR = 2yJr2z--x~3y—-2zJrxJ^y — Q, так что данное дифференциальное уравнение реально. ЗАДАЧА 2 7. Пусть дано дифференциальное уравнение между тремя перемен- ными ху у, 2, которое является реальным. Найти его интеграл, из кото- рого вытекает, какой функцией остальных двух переменных является одно из них. РЕШЕНИЕ Пусть предложено дифференциальное уравнение Pdx+ Qdy -[-Rdz —О, в котором Р, Q, R — функции х, у и 2, такое, что найденный выше критерий реальности удовлетворяется, ибо если бы это уравнение не было бы реальным, было бы смешно пытаться его интегрировать. Итак, примем, что уравнение реальное, так что существует соотношение между величинами х, у и 2, удовлетворяющее заданному дифференциальному уравнению. Чтобы его найти, заметим, что если в интеграле считать постоянным одно из переменных, например 2, то, приравнивая нулю дифференциал, мы должны получить уравнение Р dx-[- Qdy — 0. С другой стороны, если считать постоянным одно из переменных, например 2, то интегрирование дифференциального уравнения Pdx-^Qdy = 0, которое содержит только два переменных, приводит к искомому инте- гралу, если только постоянная интегрирования соответствующим образом зависит от 2. Отсюда мы извлекаем следующее правило для интегриро- вания заданного уравнения. Будем рассматривать одно из переменных, например 2, как постоянное, так что получается уравнение Pdx^Qdy=^Q содержащее только два переменных х и у; находим его полный инте- грал, который содержит, следовательно, произвольное постоянное С. Далее постоянное С рассматривается как некоторая функция 2, а теперь, считая и 2 переменным, снова дифференцируем найденный интеграл; полученное дифференциальное уравнение, в котором все три величины х, у и 2 рассматриваем как переменные, сравним с заданным уравне- нием Рdx-[-Qdy-[-Rdz — 0. Тогда функции Р и Q возникают автомата-
10 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛАМ ПЕРВОГО ПОРЯДКА чески, а сравнение функции 7? с полученным коэффициентом при dz -определяет зависимость буквы С от z. Таким образом получается иско- мый интеграл, который будет полным, поскольку буква С содержит произвольное постоянное слагаемое, так как она определяется по своей производной, СЛЕДСТВИЕ 1 8. Итак, интегрирование такого рода дифференциальных уравне- ний, содержащих три переменных, сводится к интегрированию диффе- ренциальных уравнений, содержащих только два переменных, которое, стало быть, надо выполнять, когда это возможно, при помощи методов, изложенных в предыдущей книге. СЛЕДСТВИЕ 2 9. Итак, это интегрирование может быть выполнено тремя спосо- бами в зависимости от того, будем ли мы вначале рассматривать как постоянное или 2, или ж, или у. Но при этом обязательно получается одно и то же интегральное уравнение1), если только дифференциальное уравнение было реальным. СЛЕДСТВИЕ 3 10. Если попробовать применять этот метод к невозможному диф- ференциальному уравнению, то не удастся определить постоянное С таким образом, чтобы оно зависело только от того переменного, которое мы приняли за постоянное; и отсюда тоже можно извлечь критерий реальности [уравнения]. ПОЯСНЕНИЕ 11. Чтобы легче понять эту операцию, испробуем ее вначале при- менительно к невозможному уравнению z dx + х dy + у dz == 0х Здесь, беря z за постоянное, получим zdx+xdy = § или ^^~-^dy = 0, интеграл которого есть zlx-^y=C, где С зависит только от 2. Диффе- ренцируем теперь это уравнение, считая z за переменное. Тогда, поло- жив dC -^Ddz, где D — функция только от 2, получим + dy + dz lx = D dz, или 2 dx + x dy + dz (x'lx ~ Dx) = 0. Таким образом, должно быть х lx — Dx = у или D = lx—, что невоз- можно. Теперь применим нашу операцию к реальному уравнению 2dx (у + 2) 4- dy (х + Зу + 2z) + dz(x + y) = 0а г) В смысле «интеграл дифференциального уравнения».
Гл. I. ОБЩЕЕ О ПРИРОДЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 11 Принимая у за постоянное, получим 2dx (у + z) + dz (х -j- у) = 0 или dz q х + у y + z ~ Интегралом этого уравнения будет 2Z(^ + y) + Z(y + z)-C, где С содержит еще у. Итак, пусть dC = Ddy. Тогда дифференцирова- ние при переменном у дает 2dx + 2dy dy + dz _ & , х+у y+z У или 2dx (у + z) + 2dy (у + z) + dy (x + y) + dz(x + y) = D dy (x + y) (y + z), а это выражение при сравнении с предложенным уравнением дает 2) = 0, откуда dC = 0 и С — действительно постоянное. Таким образом, инте- гралом будет (z + y)2(y+z) = const. ^Следуя этому методу, рассмотрим несколько примеров. ПРИМЕР 1 12. Найти интеграл реального дифференциального уравнения dx (у + z) + dy (х + z) + dz (х + у) = 0. Прежде всего, ясно, что это уравнение реальное, поскольку P = y + z; L = l —1 = 0; Q=x + z\ М = 1-1 = 0; R = x + y. N = 1-1=0. Рассматривая z как постоянное, получим уравнение dz(y + z) + <ty(a: + z) = O или -?£- + -^-=0, интегралом которого будет 1(х + z) + 1(у + z) = / (z). Итак, положим (а: + z) (у + z) = Z, где функция Z должна быть найдена путем дифференцирования. Имеем dx (у + z) + dy (х + z) + dz (х + у + 2z) = dZ, и, вычитая отсюда исходное уравнение, получим 2zdz = dZ, откуда Z = z2 + С, так что полным интегралом будет (x + z)(y-Yz) = Z2 + C или ху + XZ + yz = С, что, впрочем, можно легко получить из предложенного уравнения у dx -|- z dx + х dy + z dy + x dz + у dz = 0, поскольку его члены попарно дают интегрируемые комбинации.
12 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛАМ ПЕРВОГО ПОРЯДКА ПРИМЕР 2 13. Найти полный интеграл реального дифференциального уравнения dx (ay — bz) + dy (cz — ax) dz (bx — cy) = O. Реальность этого уравнения показывается так: поскольку Р = ay — bz, Q = cz — ах, R=bx — су, то будет L = 2c, M = 2b, N = 2а, откуда, очевидно, LP -\-MQ 4- NR == 0. Теперь принимаем за постоянное ъ и получаем: dx । rfy __ Q cz—ах ‘ ay—bz * так что jLzay-&±== a cz — ах ' 4 ' Положив ~—^-=z, находим после дифференцирования a dx (ay — bz) + a dy (cz— ax) + a dz(bx — cy) __ (cz — ax)z ’ и сравнение с предложенным уравнением дает dZ = 0 и Z = С, так что- полный интеграл есть х~ = 11 или ау + пах — (Ь 4- пс) z. Если интеграл написать в виде Ах + By + Cz — O, то эти постоянные должны быть связаны уравнением Ас А-ВЪ + Са == 0, и таким образом произвольное постоянное вводится в более изящном виде. СЛЕДСТВИЕ 14. Итак рассмотренное уравнение становится интегрируемым, бу- дучи поделено на (cz — ax)2, и для той же цели годятся также делители (ay —bz)2 и (Ъх — су)2, ибо, на основании интеграла, эти делители находятся между собой в по- ау— bz стоянных отношениях. Б самом деле, если —---= п, то cz— ах Ьх— су —b — пс Ьх— су —b — пс cz — ах а ау — bz па ПРИМЕР 3 15. Найти полный интеграл реального дифференциального уравнения dx (у2 + yz + z2) + dy (z2 + xz + x2) + dz (x2 + %У + у2) — 0.
Гл. I. ОБЩЕЕ О ПРИРОДЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 13 Уравнение это реальное, поскольку Р = у* ~\-yz -J-Z2, Q = Z2 + zz + ж2, R == x2 -\-xy + y2, следовательно, L = 2z -J-x — x — 2y = 2 (z — у), M =-2x-\-y — у — 2z = 2 (x — z), N — 2y+z — z — 2x = 2(y — x), откуда LP + MQ + NR = 2(z*-y3) + 2(x3-z3) + 2(y3-x*)==0. Чтобы найти интеграл, примем z за постоянное и получим dx dy Q х2 4- xz 4- z2 "" у2 4- yz + z2 Интеграл этого уравнения есть —7= arctg -------------arctg — = / (z). 2 -j/З 6 2z + х z j/з 6 М У После сложения углов он переходит в 2 , (xz-}~ yz-}- ху) у 3 , / ч Положим, следовательно, xz 4- yz 4- ху _ 2 2z2 4- xz 4- yz — ху Дифференцируя это уравнение, причем считаем переменными и я, и у, и z, находим 2z dx (у2 4- У% 4- z2) 4- 2z dy (z2 4- xz 4- x2) —2x dz (z2 4- yz 4- y2)“2y dz (z2 4- xz 4- x2) _ (2z24-xz-}- yz — xy)2 Поскольку, однако, из предложенного уравнения вытекает, что dx {у2 4- yz + z2) + dy (z2 + xz -|- x2) = —dz (x2 4- xy 4- y2), то после подстановки получим — 2z dz (x2 4- xy -r y2) — 2x dz (z2 -}-yz-}- y2) — 2y dz(z2 4- xz 4- x2)_ (2z2 4- xz-}- yz — xy)2 ’ то есть — 2 dz (x2z 4- xz2 4- y2z 4- yz2 4- x2y 4- xy2 4- Зя yz) _ (2z2 4- xz-}-yz — xy)2 что приводится к такому виду: — 2dz (я 4- у 4- z) (ху 4- xz 4- yz) _ .у (2zs 4- xz 4- yz — xy)2 А так как Z — xy-}-xz-}- yz 2z2 4- xz 4- yz — xy ’ TO “2Z2 dz (x 4- у 4- z) -.rj —dZ 2dz (x 4- у 4- z) ----------------- = OtZ ИЛИ —— -----------;---;----. xy-}-xz-}-yz Z2 xy-}-xz-}-yz
14 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛАМ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Следовательно, необходимо, чтобы выражение .xy + xz + yz x + y + z было функцией только от z, которую обозначим через 2, так что* t/Z 2dz тт * * ~Z2’=”S-' чтобы закончить решение, нужно выяснить еще форму функции Z, что может быть выполнено так. Поскольку Z = 9 ^+^z , имеем i + Z = 2zz 4- xz 4- yz — xy 4-х- 4- Уz — xz 1 откуда 14-Z_ 2z(x-py 4-z) Z ±y 4- xz 4- yz С помощью этого уравнения можно исключить количества я и' у из; дифференциального уравнения, а именно: - dZ = dz 2(x-H/ + Z_) = dz 1+Z Z2 xy 4- xz 4- xz Zz откуда \-la. Итак, — dZ ~_dz —dz ' dZ Z(14-Z) " T = “T" + r+Z ’ 7 7i+Z и после интегрирования lz = I z - z 14-2 _ z Z ~~ a Таким образом, искомый интеграл a xy-{-xz-\-yz . . / I I \ = или xy + ^z + yz = a(x + y + z). и Z =-------- z — a есть Эта простейшая форма может быть также сразу получена из уравнения* 2z (х 4- у 4- z) _ 1 4- Z __ z ху 4- xz 4- yz Z а СЛЕДСТВИЕ 15(a)1). Поскольку полный интеграл данного уравнения есть xy + xz + yz = a(x + y + z) или v~++z = const, то из этого уравнения путем дифференцирования снова получается* предложенное дифференциальное уравнение. Отсюда ясно, что оно1 ста- новится интегрируемым путем деления на (ж + у + z)2, а также на [xy^-xz + yz)2. ПОЯСНЕНИЕ 16. Из этого примера видим, что определение функции, вводимой при интегрировании, иногда связано с довольно серьезными затрудне- ниями; в данном случае мы определили функцию Z несколько извили- А) В первом издании ошибочно повторен § 15.
Гл. I. ОБШЕЕ О ПРИРОДЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 15’ отыми путями. Можно было бы, однако, определить ее гораздо легче; в самом деле, мы находим немедленно, что xy + xz + yz 2z2 + xz + yz — ху / \ ’ а это выражение можно было бы представить в более изящном виде.. В самом деле, так как 1 2s2 + xz + yz -— ху xy + xz-\.yz ’ ТО t 1 =2z(x + y±z) ‘ Z ху + XZ + yz ’ а отсюда ху + XZ + yz 2Zz / / \ х+у+2 1+Z Отбрасывая функцию Z, положим сразу ху + + yz __ у j \ х + у-Vz и после дифференцирования получим сЕ = 0, откуда £== const. Еще легче решается эта задача, если искать интеграл, приняв за постоянное у. Тогда подобным же путем приходим к уравнению xy^xz+yz =Y=^f(y\ х + У + 2 а поскольку это выражение должно быть одновременно функцией только от z и функцией только от у, то необходимо, чтобы оно было постоян- ным, поэтому полным интегралом нашего уравнения будет ху 4" XZ + yz = Л (х 4- у + z) ПРИМЕР 4 17. Найти полный интеграл реального дифференциального уравнения dx (х2 — у2 + z2) — z2 dy -\-zdz (у—х) 4- ~~~ (у2 “ %2) ~ 0. Реальность этого уравнения показывает так: поскольку P^x2_y2+z27 Q = - R = Z (y-x) + ^(y2-X2), TO L= —3z~—, M=—3z-[- ———, A'=—2?/, z 1 z z ’ '7 откуда после соответствующих выкладок получим LP + MQ + NR^O. Полагаем теперь z постоянным и приходим к уравнению dx (х2 — у2 -р z3) — z2 dy == 0. Его интегрирование удается, если учесть, что ему, в частности, удо- ^-2 влетворяет у — х. Положив поэтому у = я 4- — , мы можем найти полный
16 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛАМ ПЕРВОГО ПОРЯДКА интеграл; имеем da/z2- —-4^ = г2 dx + ^ = 0, \ V V2 J 1 v2 откуда 7 2xv dx 1 dv---------------------------------s— — dx. z2 -X2 После умножения на e 22 находим интеграл — X2 — X2 e г2 v— \ e 22 dx + /(z), —X2 где в интегральном выражении \ е z2 dx количество z вать как постоянное и, кроме того, надо учесть, что будем иметь с е г2 2 \e^dx = ------- + Z. J У~х надо рассматри- Z2 v =-----. Итак, у — Х Так как мы хотим дифференцировать это уравнение, считая перемен- ным и z, то возникает затруднение, поскольку надо найти дифферен- — X2 циал количества \ е 22 dx, порождаемый переменностью одного только z. Здесь надо напомнить из основ теории, что если dV = 5 dx^-T dz, fdS\ то должно быть ( — v 57 7 и> слеД°вательн°> если z считать по- С / dS: \ — с ~*2 стоянным, Т = \ dx Q . В нашем же случае 5 — ez2 и V = \ е 22 dx, — X2 где z считается постоянным. Отсюда ( — ) = е 22 и, следовательно, az у Z“ —X2 T = -^\ez2 x2dx. Таким образом полный дифференциал выражения -X2 е 22 dx, порождаемый переменностью как х, так и z, есть 2dz Г — е 22 dx-\--^- \ е 22 x2dx, и это выражение должно который равен — X2 е 22 f dZ равняться дифференциалу выражения -X2 е 22 Z2 ~——+Z, У—х z2 dy + z2 dx 2x2 dz^2xz dx I — (y~~^)2 *" z(y — x) J -X2 Здесь мешает еще интегральное выражение \ е 22 x2dx, в котором z счи- тается постоянным; оно может быть, однако, сведено к выражению
Гл. I. ОБЩЕЕ О ПРИРОДЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 17 . -X2 \ е 22 dx. Если положить — у2 — х —х2 V е 22 х2 dx == Ае 22 х + В \ е 22 dx, то, поскольку здесь только х считается переменным, дифференцирова- ние дает x2dx = Adx — ~Ах dx z2 ’ и, следовательно, А = — ~z2 и В= — A = ~z2, так что с х~ 1 —х2 1 г* ~ж2 \ е 22 х2 dx= —— е 22 xz2 + -у z2 \ е 22 dx. Но поскольку — х2 имеем — Х2 С — 1 — z* 1 е 22 х2 dx = — ~ е 22 xz2 + + у Zz2. После этой подстановки получается следующее дифференциальное уравнение: —Г 2s dz з2 dy , z2 dx 2х dx 2х2 dz 1 . irr =--е -------~t--Л2 + ------- -t- --X + [у-х (y — x)2 (y—xy y—x z (y — x) J которое преобразуется к виду — х2 Г dx (у + х) z2 dx z2 dy z dz x (у + x) dz~\ z dZ — Z dz L y — x (y — x)2 (y — x)2 y~~x z(y — x) J” z ’ ИЛИ — X2 (y_xy [^(y2 — rr2-z2) + z2<fy-zdz(y-rr)-^(y2-a;2)J =ZJZ-Zdz При сопоставлении с исходным уравнением очевидно, что zdZ — Zdz = Q, то есть Z = nz. Таким образом, полный интеграл предложенного уравнения есть -Х2 Г -д:2 Z2 2 \ е 22 dx =~--— + nz, J у— х — X2 где в интеграле \ е 22 dx количество z считается постоянным. 2 Л. Эйлер, т. Ш
18 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛАМ ПЕРВОГО ПОРЯДНА СЛЕДСТВИЕ 18. Предложенное уравнение становится интегрируемым, если его умножить *) на и тогда получается тот интеграл, который мы нашли. ПОЯСНЕНИЕ 1 19. Этот пример прежде всего замечателен тем, что при его реше- нии были использованы некоторые искусственные приемы, которые в предыдущих примерах не требовались. Кроме того, выражение -х2 \ е 22 dx кажется не определяющим этот интеграл полностью, ибо хотя в нем z считается постоянным, все же постоянная, вводимая интегри- рованием, еще не определяется через nz, поскольку не предписано, как — ."V2 надо взять интеграл \ е 23 dx*. так ли, чтобы он исчезал при х = 0, или же как-нибудь иначе. Это сомнение можно устранить, если найденное уравнение разделить на z, так что интегральное выражение принимает вид _ —Х2 г dx \ е — ; поскольку здесь — равно очевидно, что оно является некоторой функцией от — ; а если положить ~ = р, то наше интегральное урав- нение принимает вид e~v2dp + const = е~р2 , и условия, чтобы в интегральном выражении z считался постоянным, больше не требуется, а интеграл определяется точно так же, как если бы дифференциальное уравнение содержало только два переменных. Если учесть это обстоятельство, то определение полного дифференциала выра- е жения е 22 dx при учете переменности как х, так и z, не связано ни с какими трудностями, ибо как только мы придем к уравнению -Х2 2 \ е 22 dx = е 22 —-h / (z), J y~z ' v м мы представим его в виде — Jc2 — Jc2 —Х2 С еЧГ f^ = С —I.Z, J z - J z у—Z 9 В следующем параграфе множитель для этого уравнения определяется точнее. Действительно, приведенное здесь выражение надо разделить на г. [Ф. Э.р
ГЛ. I. ОБЩЕЕ О ПРИРОДЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕхкИИ 19 откуда, если теперь считать переменным также и z, после дифференци- * рования с учетом переменности всех количеств х, у и z получается ____________________д*2 / dx х dz \ __ Г dz . z dx — zdy 2х dx . 2х2 dz Ч е kT Z? J~е Ly—Z~' (у—х)а z {у— х) z2(y—'х) J ’ то есть dx (у \ х) z dx zdy х dz (у + д?) _ dz Ч __ . 2(у—х) (у—х)2 (у — х)* гя(у—х) у—х]~ что приводится к такому виду: — Х2 'z\y~x^ \_dx (у2 - ж2 - z2) + z2 dy-zdz(y-i:)-^(y2-2:2)] =dZ. Отсюда вытекает, что должно быть t?Z = O и Z —const, и получается тот же интеграл, который мы нашли раньше. ПОЯСНЕНИЕ 2 20. Тот же самый интеграл получится, если вместо z принять за постоянное х или у. Вообще следует иметь в виду, что если рассматри- ваем уравнение вида Р dx -I Q dy + R dz — 0, считая z постоянным, то мы должны получить одно и то же решение, какое бы из трех переменных мы ни считали постоянным даже тогда, когда этого казалось бы трудно ожидать. Так, если в предложенном уравнении принять за постоянное у, то нужно будет решить уравнение dx (х2 + з2 — у2) —zdz(x—y) — (х2 — у2) — 0. которое после умножения на z принимает вид (zdx — x dz) (х2 + z2 — у2) + yz2 dz — O. Легко видеть, что оно упрощается, если положить х = pz, ибо в силу того, что zdx — xdz = z2dp, получаем dp (p2z2 + z2 — у2) + у dz — 0. Далее, если положить z — qy, то будет dp (p2q2 + q2 - 1) + dq = 0, л а так как этому уравнению удовлетворяет 7 = то положим 1,1 р д = — 4- — и получим ; 2р р2 . 1 2 1 \ dp dr n ИЛИ dp (2/?2г + + 2г+ р) — pdr = Q, 2*
20 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛАМ ПЕРВОГО ПОРЯДКА или, наконец, dr - = dp (р2 +1). Умножим это' уравнение на А-е^Р2 и интегрируем. Тогда д —р2 Г _ С __р2 dp^l+p2) Г J р2 Но V е-р2 Ц = - е_р2— _ 2 е-Р2 dp, J р2 р J и откуда 6'Р2 С^ + 7)= -\e~P2dp. Но поскольку X 1 2 2 Z (х-----у) р = — и — =----------= —----— , Z г у х ху ’ имеем ху г yz Г , 1 Z Г = = ——х г и —X- Н = ----------- . Z (х—у) рг X (х — у) рл р х — у Отсюда наш интеграл получается в виде -сс2 --х'2 г22 <Чг=е22 а его дифференциал, вычисленный при переменном у, при сравнении с предложенным уравнением дает, как и раньше, /(?/) = const. Впрочем, поскольку в этих примерах переменные х, у и z встреча- ются везде в одной и той же степени, я изложу общий метод исследо- вания таких уравнений. ЗАДАЧА 3 21. Если в дифференциальном уравнении Р dx Q dy + R dz = 0 Р, Q, R — однородные функции от х, у иг одного и того же измерения, то найти его интеграл; конечно, когда это уравнение реальное. РЕШЕНИЕ Пусть п — число измерений, которое дают ’ переменные х, у к z в функциях Р, Q, /?; итак, подставив х = pz и y = qz, имеем P^znS, Q = znT и R = znV, где S, Т, V— функции только двух переменных р и q. А так как dx^pdz^-zdp и dy = qdz-[-zdq, то наше уравнение принимает вид + qT+V)-[-Szdp+ Tzdq —0,
Гл. I. ОБЩЕЕ О ПРИРОДЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ 21 то есть dz ; У dp + Т dq _ и это уравнение может быть реальным только тогда, когда дифферен- циальное выражение S dp-f- Т dq pS+qT+V r содержащее два переменных р и q, непосредственно интегрируется, что имеет место, если w-'-Ч?)+'-Ч?) - +^(?) -«Ч?) - -ЧЧ)+Ч?>«- Всякий раз, как этот критерий соблюдается, наше уравнение будет реальным, а его интегралом будет 7 С S dp + Г dq LZ + \ —с у гг , г< = COIlSt, J pS + qT + V где только вместо букв р и q надо подставить значения — и — . СЛЕДСТВИЕ 1 22. Таким образом, в нашем первом примере [§ 12], поскольку = у + (2~^ + z, R = x-\y, будет 5=7+1, Т=р+1, V^p + q и dz (<? + 1) dp+ (р+1) dq = Q. z 2pq + 2p + 2q ’ интеграл этого уравнения есть lz ч- у I (pq 4- p + q) = у I (xy + xz + yz) = C ИЛИ xy + XZ + yz = C. СЛЕДСТВИЕ 2 23. Во втором примере [§ 13] имеем P — ay~bz, Q=cz~ax, R—Ъх — су^ откуда S = aq— b, T — c — ap, V — bp — cq. Следовательно, dz (aq — b) dp-\- (c — ap) dq ________~ откуда (aq — b)dp + (c — ap) dq = 0,
22 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛАМ ПЕРВОГО ПОРЯДКА и после интегрирования ^aq—b £ ау — bz £ с — ар cz’—ах СЛЕДСТВИЕ 3 24. В третьем примере [§ 14] будет S = q2 + q+l, 7=»2 + ^+1 и V=p2 + pq + q2, откуда dz rfp(g2 + g +l) + rfg (р2+ р+В = Q 2 "> + р72+р2+3/)?+?2 + /)+? где знаменатель равен (/>+ <?+!) {pq + p + q}, так что эта дробь разла- гается на две: — dp — dq dp (q + \) + dq (р +1) р + ^ + 1 pq + p + q вследствие чего интеграл после перехода от логарифмов к числам получается в виде z(pq + p + q) „ xy-\-xz-\-yz _ p + ?+l X + 2/ + Z СЛЕДСТВИЕ 4 25. В четвертом примере [§ 18] будет 5 = /?2-^2+1, T=—l, V = q-p-\-p(q2 — p2), откуда dz dp (р2 — q2 + 1) — dq _ р z 0 ’ и, следовательно, dq = dp (р2 — q2+ 1). Поскольку это уравнение удовлетворяется при q -• р, положим стало быть, dr — 2pr dp ~ dp, а после интегрирования С е-рч _ е^Р2 _Д— . J q—p так что интеграл будет е z2 —= С е z2 const. 1/ —X 2 z ПОЯСНЕНИЕ 26. Итак, поскольку дифференциальные уравнения, содержащие три переменные, не представляют особых трудностей, так как их решение, когда они реальны, всегда может быть сведено к дифференциальным уравнениям в двух переменных, то я об этом предмете больше распро- страняться не буду. Что же касается дифференциальных уравнений в трех переменных, в которых дифференциалы встречаются в более
высоких степенях, как, например, Р dx2 + Q dy2 + R dz2 4- 25 dx dy + 2Гdx dz-[-2V dy dz = 0, то надо иметь в виду, что они всегда бессмысленны, за исключением того случая, когда они с помощью извлечения корня приводятся к виду Р d х 4- Q dy 4- R dz = 0. Ибо, как -бы ни было составлено интегральное уравнение, из него можно ойределить z так, что оно будет функцией обоих переменных х и у, откуда dz — р dx 4- q dy, а переменные x и у никак не зависят друг от друга. Поэтому, если подставим значение pdx-\-qdy вместо dz в диф- ференциальное уравнение, то оно должно удовлетворяться так, чтобы все члены взаимно уничтожались. А это невозможно, если из уравне- ния dz определяется так, что дифференциалы dx и dy стоят под знаком корня. Следовательно, так как приведенное нами для примера уравне- ние при решении дает __ — Т dx — V dy ± V(T2—PR) dx* + 2(TV — RS) dx dy+(V2—QR) dy2 ~ R ' то оно может быть реальным только в том случае, когда корень извле- кается, т. е. если само уравнение разлагается на два множителя вида Р dx^-Qdy^R dz. Но даже если это выполняется и полученные множители приравнены нулю, то уравнение будет реальным только тогда, когда соблюдается вышеприведенный критерий. Отсюда совершенно ясно, что и уравнения такого рода, которые содержат четыре или больше переменных, не представляют затруднений. ЗАДАЧА 4 27. Пусть V —какая угодно функция переменных х, у и в инте- грале V dx количество у считается постоянным. Определить диффе- г ренциал выражения V dx, когда не только х, но и у считается пере- менным . РЕШЕНИЕ Положим, что V dx = Z; тогда Z будет функцией переменных х и у, хотя при самом интегрировании у считается постоянным. Очевидно также, что если при дифференцировании у считается постоянным, то будет dZ — V dx. Следовательно, если считать переменным также и у, то дифференциал Z = V dx имеет вид dZ = V dx 4- Q dy, и вопрос заключается в том, чтобы определить количества Q. Посколь- ку выражение Vdx-[-Qdy представляет полный дифференциал, должно
24 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛАМ ПЕРВОГО ПОРЯДКА быть отсюда н° есть дифференциал Q, когда у рассматривается как по- „ 7 Г dV\ стоянное; отсюда получается (2, если выражение dx ( — J интегрировать так, что у рассматривается как постоянное, то есть Q= с?#—-. Итак, полный дифференциал выражения Z — V dx при переменном как х, так и у будет СЛЕДСТВИЕ 1 28. Поскольку V есть функциями у, то, полагая dV~Rdx 4-Sdy, имеем о = ( \ , откуда dZ = d V dx = V dx + dy S dx, где в выражении S dx точно так же, как раньше в выражении V dx, только количество х должно считаться переменным. СЛЕДСТВИЕ 2 29. Если V есть однородная функция х и у, пусть с числом изме- рений = п, то при dV = Rdx-\-Sdy будет Rx-\-Sy = nV, так что 5 = — — — , откуда S dx = ~ \ V dx —- Rx dx. у у J J у } у } Но при у постоянном имеем Rdx — dV, откуда Rx dx = \ х dV = Vx — \ V dx, j J J так что C Sdx = ^ \ Vdx- — j у J у и dZ = d Vdx=Vdx-V^ + (^^ C Vdx. J У У 2 СЛЕДСТВИЕ 3 30. To же самое легче получить на основании соображения, что функция Z = \ V dx будет однородной функцией п +1 измерения, так что,
Гл. I. ОБЩЕЕ О ПРИРОДЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ 25 положив dZ = V dx + Qdy, будем иметь Vx4* Qy = (п4* 1) Z; итак, (п +1)2 Ух О = -—'— ------, как и выше. У У ПОЯСНЕНИЕ но га 31. Этой я счел не занимается функциями двух и больше переменных. Однако главной задачей этой книги является интегрирование не тех дифференциальных уравнений, о которых речь шла в данной главе и решение которых я вкратце показал. Как мы знаем, когда V есть функция двух перемеп- ных х и у, она дает при дифференцировании две производные Г — 1 и И В ЭТ0Й К1ШГС мы будем рассматривать главным образом во- прос об определении такой функции V из какого-либо данного соотношо- ния между производными j и ) . А такое соотношение выра- жается в виде уравнения между этими производными и переменными х и у, куда может войти и искомая функция V; из свойств этого уравнения надо исходить в построении данной работы. А именно, общая проблема, решением которой мы занимаемся в данном разделе, заклю- функцию V переменных х и у, которая уравнению между величинами . Если в этом уравнении содержится только задачей я занимался еще раньше, в предыдущей книге1), лишним поместить ее и в эту работу, поскольку эта кни- чается в том, чтобы найти удовлетворяет любому предложенному dV\ Г dV\ одна из производных ( -у- ) или ( -т- ) , то его решение нетрудно и сво- ах J \.dy J дится к решению дифференциальных уравнений в двух только перемен- ных. Но когда встречаются в уравнении обо производные, тогда реше- ние гораздо трудное и часто невыполнимо, даже если дифференциаль- ные уравнения в двух переменных считать уже решенными. Вообще в этих вопросах мы всегда будем считать задачу решенной, когда она может быть сведена к интегрированию дифференциальных уравнений в двух переменных. Итак, поскольку согласно данному уравнению про- изводная — j равняется некоторой функции количеств и, ?/, и и ( dV \ ( — }, мы п°ДРазДелим изложение предмета в зависимости от свойств этой функции, рассматривая последовательно случаи, когда эта функ- ция содержит только производную ( ) или, кроме того, еще одно из остальных количеств, или еще два, или же все. Соблюдая такой поря- док, легко будет показать, что до сих пор оказалось возможным полу- чить и чего еще остается пожелать. Кроме того, мы будем излагать еще некоторые вспомогательные предложения 3) о преобразовании обоих производных к другим переменным. *) См. Интегральное исчисление, т. I, 457, 458, а также «Механику» Эйлера, т. II, § 106 в издании Opera Omnia, ser. II, vol. 2, p. 44. 2) У Эйлера: duplices formulas • И дальше речь идет о «for- mulas». 3) Nonmilla subsidia.
26 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛАМ ПЕРВОГО ПОРЯДКА ПОСТРОЕНИЕ ДАННОГО РАЗДЕЛА 32. Чтобы легче объяснить те части, которые должны войти в дан- ный раздел, поскольку эти вопросы касаются функций двух перемен- ных, пусть будут х к у два переменных, a z функция их, которую требуется определить из данного дифференциального уравнения, следо- вательно, требуется найти конечное уравнение между х, у и z. Поло- жим dx = pdx + qdy, так что по принятым обозначениям Р — и стало быть, р и q суть те производные, которые входят в предложенное соотношение. Вообще говоря, это соотношение есть какое угодно уравнение между величинами р, q, z, у и z, и задача этого раздела была бы полностью решена, если бы был указан метод для получения уравнения между х, у и z по любому предложенному уравнению между количествами р, q, х, у и z. А так как это, вообще говоря, не удается выполнить даже для функций одного переменного, то тем менее можно ожидать этого в данном случае. Следовательно, нужно будет только рассмотреть те случаи, которые допускают решение. Но прежде всего решение удается, когда в заданном уравнении одна из производных р или q отсутствует, т. е. когда зада- но уравнение либо между р, х, у и z, либо между <?, х, у и z. Далее, легко удается решить уравнения, которые содержат только обе произ- водные р и 7, так что одна из них должна быть некоторой функцией другой. Далее следуют уравнения, которые, кроме р и q, содержат еще одно конечное количество, или х, или у, или z, и мы увидим, что во всех этих случаях решение возможно. Затем порядок требует, что- бы были рассмотрены уравнения, содержащие кроме обеих производных р и q еще два конечных количества, или х и у. или х и z, или у и z. Наконец, мы займемся решением уравнений, содержащих все перемен- ные р, q, х, у и z и изложим воспомогательные преобразования.
ГЛАВА II О РЕШЕНИИ УРАВНЕНИЙ, В КОТОРЫХ ОДНА ИЗ ПРОИЗВОДНЫХ ЛЮБЫМ ОБРАЗОМ ВЫРАЖЕНА ЧЕРЕЗ КОНЕЧНЫЕ КОЛИЧЕСТВА ЗАДАЧА 4 [а]1) 33. Определить вид функции z двух переменных х и у, если произ- водная ( = р есть постоянное количество — а. \ах J г РЕШЕНИЕ Положим dz = pdx 4- qdy, тогда требуется определить функцию z так, чтобы было p-а или dz = adx-\- qdy. Чтобы найти эту функцию, будем считать у постоянным, тогда dz = adx, и после интегрирования z = ax+const, причем нужно иметь в виду, что здесь постоянное может любым образом зависеть от у. Следовательно, общее решение будет z = ах ч / (у), где / (у) обозначает любую функцию у, которая никоим образом не может быть определена и полностью зависит от нашего произвола. В свою очередь это показывает дифференцирование: действи- тельно, если дифференциал функции /(?/) обозначить через dyj'(у), то непременно будет dz == adx-\- dyf' (у). Итак, — как оно и тре- буется. Отсюда ясно, что в этом случае другая производная q = ~ есть функция только от у, так как q — f'(у)2). СЛЕДСТВИЕ 1 34. Итак, если ищем такую функцию z двух переменных х и г/, чтобы было = т0 2 = + /(у)> и Другая производная будет по необходимости функцией только от у. *) В первом издании ошибочно повторен № 4. 2) В первом издании ошибочно напечатано: так как q~( ~г~ ) . [Ф. Э.]
28 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛАМ ПЕРВОГО ПОРЯДКА СЛЕДСТВИЕ 2 dz 35. Если ищем такую функцию, чтобы было = 0, то она по не- обходимости будет функцией только от у, т. е. вовсе не содержит ко- личества х. Ибо, поскольку изменение одного х не вызывает никакого изменения функции, это количество вовсе не требуется для ее опреде- ления. СЛЕДСТВИЕ 3 36. Отсюда еще вытекает также, что дифференциальное уравнение dz = adx-^qdy может быть реальным только тогда, когда q зависит только от у\ того же требует и вышеизложенный критерий, если урав- нение представить в виде adx -f- qdy —-dz — 0. В самом деле, так как Р = «, <? = ,. Л--1, то Следовательно, для реальности уравнения требуется, чтобы было Но по условию q не зависит от г, откуда в силу = 0 следует = слеД°вательн0> Q не зависит также и от х. ПОЯСНЕНИЕ 37. Из сказанного достаточно ясно, что операция, которой мы определили функцию г, является настоящим интегрированием, которое, как обычное интегрирование, вводит нечто неопределенное. В данном случае вводится какая угодно функция от у, свойства которой сами по себе никоим образом не определены. Ее можно представить себе даже так, что описывается какая угодно кривая, и если ее абсциссы обо- значать через у, то ее ординаты дают такого рода функцию от у. При этом даже ненужно, чтобы эта кривая была регулярной и представля- лась каким-либо уравнением; но любая кривая, свободно проведенная от руки, дает тот же эффект даже когда она крайне иррегулярна и состоит из нескольких частей разных кривых. Такие иррегулярные функции следует называть разрывными или лишенными непрерывной связи1). В связи с этим следует обратить внимание на то, что в то время, как прежде рассмотренные интеграции давали только непрерыв- ные функции, в данном случае в [математическом] анализе появляются также разрывные функции2), что до сих пор многим видным матема- тикам представляется противоречащим его принципам3). Особенная сила интеграций, рассматриваемых в данной книге, в том и состоит, что при них могут встречаться и разрывные функции4); так что надо полагать, что благодаря этому существенно новому исчислению границы анализа значительно расширяются. г) Именно в этом смысле, существенно отличном от современного, Эйлер употребляет в дальнейшем термин «разрывный». 2) hie etiam functiones discontinuae calculo subjiciantur. 3) См. примечание к § 299. [Ф. Э.] 4) etiam funetionum discontinuarum sint capaces.
Гл. II. О РЕШЕНИИ УРАВНЕНИИ С ОДНОЙ ПРОИЗВОДНОЙ В ЛЕВОЙ ЧАСТИ 29 ПОЯСНЕНИЕ 2 38. Точно так же, как встречающаяся в обычных интегрированиях произвольная постоянная всегда определяется природой задачи, кото- рая привела к этому интегрированию, так и в пашем случае природа задачи всегда дает возможность определить ту произвольную функцию, которая появляется в результате интегрирования. Так, если известна форма натянутой струны и мы ее внезапно отпускаем, чтобы она коле- балась, то с помощью принципов механики можно определить форму струны в любой момент времени, а выполняется это при помощи неко- торого интегрирования, в связи с которым появляется некоторая про- извольная функция; а последнюю надо определить так, чтобы получа- лась в начальный момент движения заданная форма струны. А так как решение должно быть общим и отвечать любой начальной форме, то необходимо, чтобы оно было пригодно и в тех случаях, когда струпа вначале имеет совершенно иррегулярную форму и не удовлетворяет никаким условиям непрерывности, что было бы невозможно, если бы при интегрировании не вводились бы такие находящиеся в пашем про- изволе функции, что дают возможность приспособиться даже к иррегу- лярным формам1). Такого рода произвольные функции я буду и в даль- нейшем обозначать через /(у). Таким же образом в дальнейшем запись f(x-ry) будет обозначать произвольную функцию количества х-\~у] и там, где несколько таких функций будут входить в расчет, я буду употреблять, кроме буквы /, еще буквы Ф, ф, 0 и т. д. в том же смысле. ЗАДАЧА 5 39. Определить вид функции 2 двух переменных х и у так, чтобы производная = р была равна данной функции х, которая пусть будет X, так что р — Х, РЕШЕНИЕ Положив dz — pdx-\-qdy, имеем в силу р — Х, что dz Xdx-\- qdy] поскольку слагаемое Xdx в этом дифференциале задано, то для нахож- дения интеграла примем у за постоянное и, поскольку тогда dz ~ X dx, после интегрирования получаем 2 — Xdx A const, причем постоянная может зависеть от у и в качестве со можно взять произвольную функ- цию у. Итак, искомый интеграл есть 2 = X dx А / (у), что при диф- ференцировании дает dz — X dx A dyff (у), так что q~ff (у) и —X, как оно и требовалось. СЛЕДСТВИЕ 1 40. Таким образом интеграл уравнения X, где 2 —функ- ция двух переменных х и у, есть z = Xdx A t(yY Здесь, поскольку X 0 См. примечание к § 299. [Ф. Э.]
30 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛАМ ПЕРВОГО ПОРЯДКА дано, выражение X dx означает определенную функцию х9 ибо постоянная интегрирования может быть включена в произвольную функцию / (г/). СЛЕДСТВИЕ 2 41. Отсюда следует, что дифференциальное уравнение dz — X dx + q dy может быть реальным только тогда, когда q зависит только от у\ это надо понимать с таким ограничением, что q не содержит также величины z; этот случай мы отбрасываем. ПОЯСНЕНИЕ 42. Если q зависит также от z, то уравнение dz~Xdx-\-qdy будет реальным, если q будет какой угодно функцией двух количеств z — X dx и у\ в этом легко убедиться, если положить z — Xdx^u так, что q будет функцией двух количеств илу. Действительно, тогда диф- ференциальное уравнение, которое примет вид du — qdy, содержит только два переменных и и у и, следовательно, всегда реально. Каким бы ни был его интеграл, в силу этого интеграла и будет определенной функ- цией от у, так что и = z — X dx = / (г/), как и раньше. Таким образом, всегда, когда — X, не исключая и того случая, когда q содер- жит также и z, интегралом будет z= X dx = и другого решения быть не может. Этот интеграл является полным, так как он содержит произвольную функцию, что следует рассматри- вать как самый верный признак полного интеграла. Стало быть, для полноты интеграла здесь требуется, чтобы он содержал не какую-либо произвольную постоянную, а произвольную функцию1). Таким образом, если в случае ( — ах2 рассматривать интеграл z — ^-ах3 + А + Бу 4- Су2 + и т. д.; то он будет только частным, даже если взять несколько произвольных постоянных А, В, С и т. д. и возможно даже, когда их будет беско- нечно много; а подлинный полный интеграл Z = 4 ах3 + / (у) имеет намного большую общность2); это надо иметь в виду для правиль- ного понимания дальнейшего. Однако встречаются случаи, когда из-за отсутствия метода нахождения полного интеграла мы вынуждены удов- летворяться частными интегралами, которые даже тогда, когда они содержат бесконечное число произвольных постоянных, должны рассмат- Э Sed functio adeo variabilis arbitraria ingrediatur. 2) infinite latius patet.
Гл. II. О РЕШЕНИИ УРАВНЕНИЙ С ОДНОЙ ПРОИЗВОДНОЙ В ЛЕВОЙ ЧАСТИ 3£ риваться как частные решения. Это замечание надо в дальнейшем по- стоянно помнить, и тогда мы никогда не будем ошибаться в отношении частных и полных интегралов. ЗАДАЧА 6 43. Пусть г — функция двух переменных х, у и пусть производная { = р равняется какой угодно заданной функции х и у. Требуется найти общий вид искомой функции z, РЕШЕНИЕ Пусть V ость та заданная функция х и у, которой равняется про- изводная ( ) = р. Если положить dz = р dx + q dy, то будет, следо- вательно, р — У. Для нахождения формы функции z будем рассматри- вать сперва количество у как постоянное, и тогда dz — V dx. Выпол- няем, следовательно, интегрирование V dx, рассматривая только х как переменное, так как у рассматриваем как постоянное, стало быть, в этом выражении имеется только одно переменное интегрирования х и это интегрирование выполняется без затруднений. При этом надо толь- ко иметь в виду, что в постоянную интегрирования может любым образом входить второе количество у, так что для искомой функции z получаем выражение z= V dx+f(y), где интеграл V dx взят таким образом, что количество у считается постоянным и только х меняется; а / (у) означает какую угодно произ- вольную функцию у, ио исключая и разрывные, которые не выражают- ся никакими аналитическими выражениями, и только при наличии такой произвольной функции интегрирование может считаться полным. СЛЕДСТВИЕ 1 44. Поскольку V — заданная функция х и у, интеграл V dx так- же есть известная и определенная функция тех же переменных х и у, ибо весь произвол, который появляется в результате интегрирования > содержится во втором слагаемом /(у). СЛЕДСТВИЕ 2 45. Отсюда определяется также второе слагаемое qdy в дифферен- циале dx, возникающее в результате переменности у. Ведь уже в § 28 мы нашли дифференциал выражения V dx, возникающий в резуль- тате переменности как х, так и у\ Vdx + dy^dx(J^) ,
32 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛАМ ПЕРВОГО ПОРЯДКА а если обозначить дифференциал функции f (у) через dyff (у), то будет dz = V dx^~dy dx(j^ + dyf (у). СЛЕДСТВИЕ 3 46. Согласно нашему обозначению dz~pdx^qdy имеем p = V и где, поскольку V — заданная функция х и у, также и будет за- данной функцией, а при интегрировании только х рассмат- ривается как переменное. ПРИМЕР 1 47. Ищется такая функция z от х и у, чтобы было __ X V X2 + у2 -- , будет \ V dx ~ Ух2 + у2, так что Вследствие того, что V имеем z = yrx2r+y2 + f(y). Отсюда = 7 = 2 +/'(У), что вытекает также из данного [нами] правила. В самом деле, -ху \ dy J (х2 у2)3/2 и, полагая у постоянным, получим Г , / dV \ Г х dx J \dy )~ У J (г2+у2)®/2 У ПРИМЕР 2 48. Ищется такая функция z от х иу, чтобы было ( —У = у \dx ) /1/2_;г2 у arcsin ^и отсюда Поскольку V = г у , то /у2 — X2 z = yarcsin-^ + /(y). Ищем дифференциал этого выражения, происходящий от переменности у. Вследствие того, что --37 2 (у2—®2)3'2 ’
Гл. II. О РЕШЕНИИ УРАВНЕНИЙ С ОДНОЙ ПРОИЗВОДНОЙ В ЛЕВОЙ ЧАСТИ 33 имеем Г / dV Л_____ С x2dx ________ Г dx 2 С dx J v dy ) J (г/2—х2)3^2 J j/у2— х2 J (г/2—х2)3^2 и, следовательно, С j ( dV \ < х х \ ах ( -у- ) = arcsin--7------, J \ dy у у Уу2 — х* так что q = arcsin — + /' (у). У у г/2 — X2 То же самое мы находим при помощи дифференцирования полученного выражения для z: dz = dy arcsin — + я—7===* + (1у1 (у), у У у—xi откуда для # = получается то же самое значение. ПРИМЕР 3 49. Ищется такая функция z от х и у, чтобы было Так как V — , то У а2 — у2 — х2 \ V dx = a arcsin х , J Vat-tf откуда искомая функция z получается в виде z = a arcsin +/(?/)• У а2—у2 Отсюда, поскольку получаем f 7 f dV \ Г dx ay х J k dy 7 J J (a2—y2—x2fi2 а"~У2 у a2—y2—x2 ’ так что (“) = ?= ~—JT-- 2- -2 + /' к аУ z (a2— у2) у a2— y2— x2 что мы могли бы получить также путем дифференцирования z, ПОЯСНЕНИЕ 1 50. В этих выкладках до сих пор имеется еще одна неопределенность касательно количества q. Ибо для того, чтобы значение 2= \ Vdx-\~f(y) 3 Л. Эйлер, т. III
34 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛАМ ПЕРВОГО ПОРЯДКА было определенным, требуется также, чтобы интеграл \ Vdx был опре- деленным относительно ж, а именно, чтобы для данного значения х он принимал заданное значение; при этом в его полном дифференциале- не может быть никакой неопределенности, значит необходимо, чтобы значение q было так же вполне определено, как и значение р\ вместе С , / dV х с тем выражение \ dx ) не вполне определенное, а содержит новую производную функцию, не зависящую от прежде введенных величин. Чтобы избежать такого неопределенного обозначения, нужно иметь в виду, что то условие, которым определяется интеграл V dx9 нужно приме- нять также к определению интеграла Ибо, если положить, что интеграл Vdx берется так, чтобы он равнялся нулю при х~ау и обозначить его при таком определении через 5, то он содержит мно- житель а—х или ап — хп; и поскольку этот множитель не содержит у, ( dS 'х ( ds \ то J также содержит этот множитель и, следовательно, J тт С dS А Г , ( dV А исчезает при я = Но J \ ах( откуда видно, что если интеграл V dx берется так, что он исчезает при х — а, то интеграл С 7 ( dV \ * * \ \dy~) также Д°лжсн быть взят так, чтобы он исчезал при х — а. В последних двух рассмотренных примерах оба раза интегрирование выполнено так, чтобы интеграл исчезал при я = 0, в первом же примере такое правило не соблюдено: но если применить это правило, то будем иметь \ V dx = Л/х1 — у2 — у и dx ( 4^- у---- ___ I J Г У У У \dy J + ’ откуда получается то же самое решение; ибо здесь у включено в / (у) и, следовательно, -1 в f (у). Вообще, каким бы законом ни определя- лось первое интегрирование, тем же надо пользоваться и во втором интегрировании. ПОЯСНЕНИЕ 2 51. Принцип этого определения опирается на следующую теорему, изящную и достойную внимания: Если S—такая функция двух переменных х и у, которая исчезает при х = а и если dS = Pdx^-Qdy, то количество Q также исчезает при х = а. Отсюда заключаем также, что если S исчезает при у~ Ь, то также будет Р = 0 при у — Ь. При этом, нужно, однако, заметить, что то, что было сказано относительно одинакового определения интегралов V dx и dx j , верно только в том случае, если значение а, которое придается переменному х, является постоянным. Например, вышепри- веденная теорема не имеет места, если, к примеру, функция S исчезает
Гл. II. О РЕШЕНИИ УРАВНЕНИЙ С ОДНОЙ ПРОИЗВОДНОЙ В ЛЕВОЙ ЧАСТИ 35 при х — у, откуда ни в коей мере не следует, что при том же условии должно исчезать Q. Даже если функция 5 содержит множитель х — у n n < ds \ или х —у , то отсюда вовсе не следует, что производная , то есть Q, должна содержать тот же множитель, как это имело бы место, если бы этот множитель был х — а, или хп — ап. Подчеркиваю при этом, что вовсе не нужно, чтобы такой множитель на самом деле присут- ствовал также как степень в функции 5. Например, если S = а~х-^у~ У~а^~~х2 4- у*, то эта функция исчезает при х~а, но она не содержит ни множителя х~а, ни множителя хп — ап; но все же < Л ____________у V dy ) а2-z2- исчезает при х=а. В таких выкладках, какими мы пользуемся в этих задачах, каждый раз, когда требуется вычислить интеграл вида V dx, его надо всегда рассматривать как состоящий из двух частей, из которых одна неопределенная, обозначенная через функцию f (у), а другая, которую мы выразили через V dx в собственном смысле, определяется так, чтобы она исчезала при х = а; при этом безразлично, какое значение берется для постоянной а, поскольку такое изменение всегда [соответственно] изменит вторую, неопределенную часть1). ЗАДАЧА 7 52. Если z должно быть так определено через переменные х и у, чтобы производная — P равнялась некоторой заданной функции у и z, которая пусть будет V, — найти общий вид функции z от хи у. РЕШЕНИЕ Положим dz = pdx-^ qdy, тогда p — V. Таким образом, если у счи- тать постоянным, будет dz = V dx, причем V есть данная функция у и z; итак, при у постоянном имеет место уравнение ~ = dx, которое можно проинтегрировать, и его полным интегралом будет Это уравнение дает соотношение между тремя переменными х, у и z в общем случае, и отсюда можно выразить z через х и у и найти вид функции z. Если мы хотим исследовать второй член дифференциала qdy или r / dz \ С dz функцию то возьмем интеграл , в котором у считает- ся постоянным, так, чтобы интеграл исчезал при z = с и тогда, продиффе- х) dum discrimen perpetuo alteri parti indeterminatae involvitur. 3*
36 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛАМ ПЕРВОГО ПОРЯДКА ренцировав количество , причем у считаем переменным, получим 7 Г dz dz у С , I V ) d}-v=^ + dy\dz\~dr)’ то есть , С dz dz 7 Г dz / dV \ d } V = Г dz / dV \ где в интеграле \~dy у количество у снова считается постоянным/ а интеграл берется так, чтобы он исчезал при 2 = с. Сделав так, мы имеем дифференциал найденного уравнения v - АУ 5 Т* ( ) = dx + W 1 откуда dz = Vdz + dy(v + что нам дает количество q. СЛЕДСТВИЕ 1 53. В этой задаче легче всего определить количество х, как функ- цию остальных переменных у и 2, так как ж== $ где V выражено через у и 2. И ведь безразлично, определить 2 через X и у или х через у и 2. СЛЕДСТВИЕ 2 54. Поскольку соотношение между тремя переменными х, у и 2 определяется так, что = то есть заданной функции у и 2, то 7 dz изс/£ = -р-, что имеет место при у постоянном, следует, что х есть такая функция от у и 2, что , и следовательно, = ПОЯСНЕНИЕ 55. Вообще говоря, какое бы ни было предложено соотношение между тремя переменными х, у и 2, из которого любое из них может быть определено через остальные два и, стало быть, может рассматри- ваться как их функция, всегда будет = 1. Действительно, положим, что из уравнения, которым выражена эта зависимость, по- лучается Р dx 4- Q dy + R dz = 0; тогда, принимая у постоянным, имеем, очевидно, Pdx-\-Rdz = 0,
Гл. II. О РЕШЕНИИ УРАВНЕНИЙ С ОДНОЙ ПРОИЗВОДНОЙ В ЛЕВОЙ ЧАСТИ 37 откуда Г dz\_ — Р dx\_ — R , < dx J R И < dz ) ~ P ’ подобным же образом получаем / dx\ — Q / dy \ — P / dz \ — О . ( ~R \Ty)~ P; \dx)^ Q' \dy R ’ <dzj Q ’ что делает очевидным наше утверждение, также и в случае, когда дано соотношение между более чем тремя переменными. Впрочем, рассмотренный случай отличается от только что изложенного, поскольку функция z, в зависимости от х и у, не дана в явном виде, а должна определяться путем решения найденного уравнения. Будет полезна дать в связи с этим несколько примеров. ПРИМЕР 1 об. Ищется такая функция z от х и у, чтобы было ( dz"\=y \ dx J z ' Поскольку dz = ^~^~4- q dy, то, взяв у постоянным, имеем zdz^ydx и у z2 = ^y4-/(y)« Чтобы найти q, дифференцируем это уравнение в общем виде, и это дает zdz = у dx = xdy 4- dyf (у) и <7=1+4 m что может быть найдено также при помощи вышеприведенного правила. В самом деле, V = у , откуда , где интеграл взят таким п < dV \ 1 ооразом. что он исчезает при z = 0; а вследствие того, что ( j = — , будет С dz / dV \__ Cz dz z2 Соблюдая при интегрировании прежнее условие1) [получаем] *- + + +[+ + /(»)] и + что согласуется с предыдущим результатом. Действительно, сравнение дает *+/'(у) = ^+у/'(у), откуда следует, что х, как и раньше, равняется с прибавлением некоторой функции у. Нужно только иметь в виду, что для полного согласия нужно здесь вместо /(у) писать у/(у). х) eadem integrationis lege observata. — Это значит- что и здесь берем интеграл так, чтобы он был равен нулю при z —0.
38 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛАМ ПЕРВОГО ПОРЯДКА ПРИМЕР 2 57. Ищется такая функция z переменных хи у, чтобы было ( Л Vy2~z2 \dx ) z Поскольку должно быть +длу, то при постоянном у имеем z dz и, после интегрирования, x = y~Vy2 — z2- f(y), откуда в свою очередь путем дифференцирования получаем dx = dy — - dyf (у) V у2 — *2 или + -i? [ ^ - и-г Ы1 ]. 1/"-у 2 ___ , 22 Согласно же данному выше правилу имеем, так как V -----------г ^ = у-У^—Т2, где интеграл берется так, чтобы он исчезал при z, равном нулю. Но <rfF>._ У и 1 / <*F \ _ yz < rfy. ) Z /y2_22 F2 \ rf?/ / (y2^z2)3/2 ’ следовательно, C / rfF \ у . J F2 \ dy ) Уу* — г2 ’ где интеграл взят при прежнем условии1). Отсюда вытекает, что так же как и раньше. ЗАДАЧА 8 58. Т ребуется определить функцию z от х и у так, чтобы произ- водная ~ Р равнялась произвольно заданной функции от х и z, которая пусть равна V. Определить общий вид функции z от х и г/. !) integral! eadem lege sumto. См. предыдущую сноску.
Гл. II. О РЕШЕНИИ УРАВНЕНИЙ С ОДНОЙ ПРОИЗВОДНОЙ В ЛЕВОЙ ЧАСТИ 39 РЕШЕНИЕ Положим dz^pdx^-qdy и, поскольку р = F, полагая количество у постоянным, получаем dz — V dx — 0. Это уравнение содержит только два переменных х и z и его можно сделать интегрируемым при помощи соответствующего множителя, который пусть равняется М. Таким образом, М dz — MV dx есть точный дифференциал некоторой функции х и z, скажем функции 5, которая не содержит количество у. В силу этого нашим интегральным уравнением будет $ = f(y)4 откуда опреде- ляется функция z через х и у. Если продифференцировать это уравне- ние, считая переменными не только х и 2, но также и у, то будет dS = М dz ~ MV dx = dyf' (у), то есть dz = Vdx + ^-f'(у), так что q = ^f'(y). СЛЕДСТВИЕ 1 59. Множитель М, который делает интегрируемым выражение dz — V dx, не содержит количества у, так как и заданная функция V не содержит у. Однако, как только этот множитель найден, мы находим q = — СЛЕДСТВИЕ 2 60. Если интеграл дифференциала Mdz — MVdx есть функция 5 ют х и z, то решением задачи будет б7 —/(у), откуда вытекает, что постоянная интегрирования, которую, казалось бы, можно добавить к 51), содержится в произвольной функции /(у). ПРИМЕР 1 61. Ищется такая функция z двух переменных х и у, чтобы было X dz\__nz \ dx J х ‘ Поскольку dz — ~ qdy, то при у постоянном имеем dz — nzdx — 0, 1 и это уравнение после умножения на — становится интегрируемым, так что имеем множитель М = — . Отсюда интеграл S = lz — 1хп. Итак, иско- мым интегралом нашего уравнения будет Z-^==/(y); следовательно, также является произвольной функцией у, так что 2 = ^п/(у). ПРИМЕР 2 62. Ищется такая функция z двух переменных х и у, чтобы было \^d)==nx-z- quam quis forte ad adiicere voluerit.
40 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛАМ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Положим dz = (пх ~z)dx-rq dy; при у постоянном имеем dz + zdx — — nxdx = §, что при помощи множителя М = ех дает 5 — exz ~ п ^xdx = exz — nexx + nex, откуда уравнение, выражающее искомое соотношение между я, у и z, есть e*z — пехх.+ пех = / (у) или z = n (х— 1) + е'х/ (у), так что ?=(€)=<ту)- ПРИМЕР 3 63. Ищется такая функция z двух переменных х и у, чтобы было / dz \_ xz \ dx ) x2-\~z2' Положив dz = ~Т_^д2 + g и считая у постоянным, ищем интеграл дифференциального уравнения Это уравнение становится интегрируемым при помощи некоторого дели- теля, который вследствие однородности уравнения получается посред- ством подстановки х и z вместо дифференциалов dx и dz, так что этот делитель есть X2Z Z3 2 X2 + Z2 — X2 + z2 9 X2 I Z2 откуда множитель Л/ = —— . Следовательно, z° j (яг2 + z2) dz х dx dS — -3 7г- и отсюда так что искомое уравнение есть ~2 -3 lz~2i2=f(y) и q=^-2f'(y). В силу этого, положив Zz —^2=м, имеем w = /(y), и в свою очередь У = /(»)- ЗАДАЧА 9 64. Требуется определить функцию z двух переменных х и у так, чтобы производная равнялась любой заданной функции всех трех переменных х, у и z, которая пусть 6ydem = V. Найти общий вид функ- ции z от х и у.
Гл. II. О РЕШЕНИИ УРАВНЕНИЙ С ОДНОЙ ПРОИЗВОДНОЙ В ЛЕВОЙ ЧАСТИ 4 РЕШЕНИЕ Поскольку dz = V dx-j- qdy, то, полагая у постоянным, имеем dz = V dx, что является дифференциальным уравнением двух перемен- ных х и z, причем, однако, буква у все же входит в функцию V. Если имеем множитель М, делающий это уравнение интегрируемым, так что М dz — MV dx = dS, то отсюда вытекает интегральное соотношение между х, у и z S = f(y), где 5 есть функция х, у и z, причем уже М может содержать все эти три буквы. Целесообразно придать функции 5, которую находим интегрированием, определенное значение, так как неопределенное сла- гаемое включается в произвольную функцию /(?/). Положим поэтому, что функция 5 берется так, чтобы она исчезала при х = а и z = c. Если мы отсюда хотим найти в искомом дифференциале второе слагаемое qdy1}, то дифференцируем функцию 5, считая переменным также у, так что dS —М dz-- MV dx^r Qdy = dyf (у}, и, поскольку \ dz J \dy J \dx J \ dy J имеем, снова считая у постоянным, и это выражение безусловно интегрируемо. При этом надо Q взять по тому же закону, по которому мы взяли 5, а именно так, чтобы это количество исчезало при х = а к z~ с, а после нахождения этой вели- чины Q, ввиду того, что dz = V + получим dz \ "Q + /Z(y) 4 < dy J М Это определение основывается на том, что если S такая функция пере- менных х, у и z, которая исчезает при х = а и z = c, то производная Г dS \ \f~dy ) В этом слУчае таюке исчезает. СЛЕДСТВИЕ 1 65. Итак, решение этой задачи сводится к интегрированию диф- ференциального уравнения dz — V dx = О, в котором количество у рассматривается как постоянное и тогда, когда V содержит все три буквы х, у и z. Затем тем или иным образом указы- Э Quodsi hinc aequationis differentialis propositae alteram partem q dy inve- nire velimus.
42 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛАМ В ЛЕВОЙ ЧАСТИ вается множитель М, который делает это уравнение интегрируемым, так что М dz — MV dx — dS, где 5 —какая-то определенная функция х^ у и z. СЛЕДСТВИЕ 2 66. После нахождения этого множителя М и отсюда интеграла S, величина z определяется через переменные х и у так, чтобы было 5 = /(?/), где / (у) обозначает любую функцию у, непрерывную или разрывную, и поскольку эта функция такова, интеграл следует считать полным. СЛЕДСТВИЕ 3 67. Если по этому способу найдено соотношение между z, х, у, то, продифференцировав его, считая все три буквы х, у и z переменными, получаем dz = V dx +/ dy, где величина Q должна быть определена по своему дифференциалу, причем I считаем постоянным, а интегрирование должно быть выпол- нено так, чтобы 5 исчезало, в случае х — anz — си чтобы Q в этом случае также исчезало. ПОЯСНЕНИЕ 68. Мы пришли здесь, следовательно, к такой замечательной тео- реме: Если S есть такая функция х, у и z, которая исчезает при х — а и z = с, тогда при тех же предположениях исчезает также Так, например, если S = Ах2 ^Bxyz-y Cz2 ~ Аа2 — Васу — Сс2, f dS Л тэ тэ et то J =Bxz — Вас и оба эти выражения исчезают при х — а и z = с. Правильность этой теоремы настолько ясна из многочисленных про- смотренных примеров, что специальное доказательство не требуется. Все же (укажем), что такая функция после выделения количеств, со- держащих только г/, может быть разложена так, что она принимает вид S = PY + QY' +RY" + h т. д., где по условию Р, Q, R и т. д. суть функции только от х и z, которые при х — а и z — c каждая в отдельности исчезает. Отсюда ясно, что / dS \ п dY , r>dY‘ , DdY" , ( ) = Р-^— + Q~r- +R-r~ + и т- д-> \ dy J dy ' dy dy я это выражение, очевидно, при тех же условиях также исчезает. Но как бы функция 5 указанного свойства ни была сложна и какие бы
Гл. II. О РЕШЕНИИ УРАВНЕНИЙ С ОДНОЙ ПРОИЗВОДНОЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 43 юна ни содержала иррациональные и трансцендентные выражения, ее всегда можно разложить в ряд такого вида, быть может, бесконечный, и это доказательство сохраняет силу. ПРИМЕР 1 69. Требуется найти такую функцию z двух переменных х и у, s s f dz \ xz чтобы было ( -т— ) = — . < dx J ау Положив dz = ——--\-qdy и приняв у постоянным, получим уравне- ау ние rfz — т = О, так что 1'=— , а множитель будет М =: отсюда ay ay J z „ ,2 х2— а2 л полный интеграл, определяющий функцию 2, будет = ). с 2ау ' z Далее, чтобы найти величину <?, имеем, поскольку и MV = , уравнения dQ = ™ и Q = х); отсюда q = zf (у) - Впрочем, здесь то же значение можно найти путем дифференцирования найден- ного интеграла, что дает dz х dx а2—х2 7 7 ,, , ч откуда 7 xzdx , 7 ,, , ч . z(a2—х2) 7 \ , z(a2— х2) dz==:-^r + zdyf ^^ 2ау2 Лу' ТаК ЧТ° q = + 2ау2 ' ПРИМЕР 2 70. Ищется такая функция z двух переменных х и у} чтобы было Л у Поскольку V = ~y~z > имеем при у постоянном уравнение X ~~ Z Для того чтобы найти его множитель, умножим его сначала на x-^z, что даст х dz + z dz — у dx = 0 или dx — , * у У -а это выражение становится интегрируемым после умножения на е у . и таким образом получаем, что Z Z & Z Z е ух=\е —=— е yz-|-\e у dz. х) В первом издании: c?Q=O и Q = 0, откуда q = zj!(y). Поэтому надо было исправить и формулы следующего параграфа. [Ф. Э.]
44 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛАМ ПЕРВОГО ПОРЯДКА откуда е yx^=~e.yz — ye у + С. Следовательно, множитель есть М = (a; + z)^ и 5 = е у (x + z + y) — е v (а + с + у). В результате полный интеграл будет е «(х + з + у) —е v (а + с + у) = f(y). Z Далее, поскольку МV = — е у , то И Ч dy J У2 откуда <f?=e'V[iz(a: + 2)^_^) + ^]. Считая у постоянным и интегрируя, получаем <'-^+1+v+£b4W+1+f+^)- откуда п^±^У±1^е~Т Гдс + с2 + сЛ+.К2Д_beTf'(y) 4 y^x + z L ?/(^+г) J x + 1 так что Найденное уравнение дает после дифференцирования _е-е-т^ л dy(1, ± + “ _ -e~dy( 1- / V У У s откуда получаем точно такое же значение q. ПРИМЕР 3 71. Ищется такая функция z переменных х и у, чтобы было (= у2+^2 \ dx J у2 + г2 ’
Гл. II. О РЕШЕНИИ УРАВНЕНИЙ С ОДНОЙ ПРОИЗВОДНОЙ В ЛЕВОЙ ЧАСТИ 45 dx + qdy и приняв у постоянным, получаем Положив dz^ 7 (у2z2) dx п dz — —==0, и подходящим множителем для этого уравнения является, очевидно, М ~ 2 2. Отсюда получаем у dz у dx ______________~ '.9 о “ 5 ; 773 и и, после интегрирования, о , z . х . , yz — ух .(с— а) у S = arctg - - arctg - + С = arctg - arctg и искомая функция z определяется следующим уравнением: arct? V+77 - arct£ ^7+^ 1 (2/)' Поскольку, далее, MV = - ,то будет / \___z2 —у2 /• d(MV) Л _ х2 — у2 \dy )~ (y2 + z2)2 И \ dy J (у2+х2)2 ’ .2 Откуда 1П_ (Z2 — у2) dz (х2 — у2) dx аУ (y2 + z2)2 (у2 + х2)2 Мы считаем здесь у постоянным, следовательно, с а -ус2 у2 + а2 + _А__ у2 + Z2 1 у2 + хг — Q+i' (?/) xy и с1~---------- , и эт0 же значение можно получить путем дифферен- цирования [интеграла]. Впрочем, так принять равными будет как постоянные а и с взяты произвольно, их можно нулю или положить только с == а, а тогда интеграл . y(z— х) .. . arct?fer = ^)’ откуда также Ц^ = /(у) и ^±£i = /(2/)j У2 У XZ 7 7 2—X J \Х П а если последнюю функцию обозначать через V, то будем иметь Z У — х ПОЯСНЕНИЕ 72, Вряд ли необходимо специально указать, что, как часто слу- чается, решение такого рода вопросов может превосходить силы ана- лиза, а именно в том случае, когда подлежащее решению дифферен- циальное уравнение [в двух переменных] по может быть проинтегриро- вано известными до сих пор приемами. Например, если взять J = = x^z2 * 0ТКУДа ПРИ У постоянном получается уМх ~ x2dz -\- z2dz, т. е.
46 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛАМ ПЕРВОГО ПОРЯДКА уравнение, которое до сих пор не удается проинтегрировать. Впрочем, так как интеграл может быть выражен при помощи ряда, то, если: только он полный, решение нашей задачи также может быть получено в виде ряда. Именно, положив х = —^~^-и рассматривая элемент dz как постоянный, получим дифференциальное уравнение второго порядка y^d2u + uz2 dz2 — О, интегрируя которое с помощью рядов, получаемт) и = А 1 — 3 4- 3.4.7.82/8 • • • ) 4* Bz 1 — 4 5^4 4- 4.5.8.92/8 где Ап В можно считать какими-то функциями у. Итак, если положить ^ = /(у), то будет 3-4-7г/8 +'" V 4^ + 4-5-8?/8’ —" ) Z3 А Л Z8 \ ’ —jM^*+3-4.7.8y8~-"‘ J + z <1—F5yj + 4-5.8'9y8 —” J и этим уравнением искомая функция z выражается через переменные х и у в самом общем виде. Так как мы уже нашли методы приближен- ного интегрирования произвольных дифференциальных уравнений [в двух: переменных]2), и с получением при этом полного интеграла, то при помощи этих методов все относящиеся сюда проблемы могут быть решены, по крайней мере, приближенно. Вообще в этой более сложной части анализа мы можем считать, что решение дифференциальных уравнений, относящихся к предыдущему разделу анализа, уже выпол- нено, и вообще, при далыпейшем продвижении вперед в анализе, мьь будем всегда считать решенными те вопросы, которые относятся к предыдущим разделам, даже если они не разработаны полностью. Т См. Интегральное исчисление, т. II, § 929. 2) См. Интегральное исчисление, т. I, §§650 — 667 и т. II, §§ 1082 —1099.
ГЛАВА III О РЕШЕНИИ УРАВНЕНИЙ, В КОТОРЫХ ОДНА ИЗ ДВУХ ПРОИЗВОДНЫХ КАКИМ-ЛИБО ОБРАЗОМ ВЫРАЖАЕТСЯ ЧЕРЕЗ ДРУГУЮ ЗАДАЧА 10 73. Ищется функция z переменных хиу, такая, чтобы производные (были между собой равны. Найти общий вид этой функ- х \JLJC / \ Ct U J ции. РЕШЕНИЕ Положим = и = так что dz = р dx 4- q dy. Выра- жение pdx-\-qdy должно быть интегрируемым. Поскольку, однако, тре- буется, чтобы было q — p, то будет dz = p(dx-\-dy), и после подстановки х-\-у=и получаем dz = рdu, а так как эта формула сама по себе инте- грируема, то необходимо, чтобы р было функцией переменного количе- ства и и не содержало никаких других переменных. Таким образом, в результате интегрирования количество 2 = pdu будет функцией и, то есть z = f(u), а эта функция полностью в нашем произволе, так что условиям задачи отвечает в качестве z любая функция от и, как непре- рывная, так даже разрывная. Итак, поскольку и = х-\-у, решением нашей задачи является z = j(x-\-y). Чтобы легче усмотреть, что это выражение удовлетворяет предписанному условию, напишем dj (и) = = dwf'(и), так что, раз и — х-±у, будем иметь dz = (dx 4- dy) f (x 4- у) = dxf (x 4- y) 4- dyf (x 4- y), и поэтому следовательно, ( или q=p, как это и требуется.
48 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛАМ ПЕРВОГО ПОРЯДКА СЛЕДСТВИЕ 1 74. Как бы ни была образована функция количества количе- ство z всегда будет обладать предписанным свойством, j = Такую функцию мы будем обозначать знаком /(# + у), так z = /(# + y). ЧТО СЛЕДСТВИЕ 2 75. Геометрически это решение может быть воспроизведено так: нанесем над осью [абсцисс] произвольную кривую регулярную или нерегулярную, и если абсцисса выражает собою # + то ордината всегда будет давать подходящее для функции z значение. СЛЕДСТВИЕ 3 76. Универсальность этого найденного с помощью интегрирования решения заключается в том, что мы нашли z как произвольную непре- рывную или разрывную функцию количества я + у, и, конечно, такая функция всегда удовлетворяет условию задачи. ПОЯСНЕНИЕ 1 77. В основе нашего решения лежит тот принцип, что дифферен- циальное выражение pdu может быть интегрируемым только тогда, когда р есть функция и, или же, наоборот, и есть функция р, причем никакое другое переменное не принимается в расчет. В силу этого, какой бы функцией и ни было р, интеграл, даже если он не может быть взят в явном виде, всегда, однако, может считаться определенным1). Ибо если и означает абсциссу, а р—ординату любой кривой, регулярной или нерегулярной, чем можно определить функцию переменного и в са- мом широком смысле, то площадь, образуемая этой кривой, дает нам значение интеграла, которое в свою очередь может рассматриваться как функция и; и таким образом, общий вид интеграла pdu дается произвольной функцией величины и2). Что, однако, произвольная функ- ция от х-\-у, взятая в качестве 2, удовлетворяет тому условию, что в дифференциале dz = pdx-\-qdy имеем p — q или само по себе очевидно, так что это утверждение не требует иллюстрации примерами. Дадим все же такой пример: z = а2-]- Ь (х + у) + (я + у)2 = а2 + Ьх-\- Ьу-\-х2 + 2ху-\- у2, дифференцирование дает » G)-i’+2*+2^ и эти значения равны между собой. х) integrale nisi exhiberi, semper tamen concipi potest. 2) ex quo vicissim functio quaecunque ipsius и naturam formulae integral! p du exhaurit.
ГЛ Ш. УРАВНЕНИЯ С ОДНОЙ ПРОИЗВОДНОЙ, ВЫРАЖЕННОЙ ЧЕРЕЗ ДРУГУЮ 49 ПОЯСНЕНИЕ 2 78. Обозначая через z dz — р dx + qdy, так что функцию двух переменных х и у и полагая / dz Л / dz \ мы будем рассматривать в этой главе такие вопросы, когда задано про- извольное уравнение между р и q, в которое остальные переменные х, у и z не входят. Итак, когда предложено любое уравнение между р и q и постоянными, требуется определить вид функции z переменных х и у так, чтобы соответствующие производные р dz \ dx ) удовлетворяли этому условию. Мы начали изложение этого вопроса с простейшего примера p-^q, решение которого может быть выполнено при помощи только что изложенного принципа. И этот же принцип достаточен для решения следующей, более общей задачи. ЗАДАЧА И 79. Требуется найти такую функцию z двух переменных х и у, чтобы было а — Y • общий вид функции z. РЕШЕНИЕ Положим dz — pdx-r qdy и потребуем, чтобы было«/> + = у. Отсюда, ар — г поскольку q = - -3-- • -, получим Р dz р dx + dy, то есть dz=^dy + ^Qdx-ady), и эта формула должна быть интегрируемой. Но поскольку слагаемое 4pdy само по себе интегрируемо, то второе слагаемое тоже должно быть интегрируемым, откуда следует, что после подстановки $х~—ау = и, когда оно принимает вид — du, р должно быть функцией и, и, сле- р довательно, соответствующий интеграл также должен быть функцией количества и = pre — ay. Поэтому положим p($dx-ady) = f$x-ay), и тогда z = y У + jHfo-ay) Итак, искомое уравнение, определяющее вид функции z, будет ?2 = у?/ + /(13а:-аг/), 4 Л. Эйлер, т. III
50 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛАМ ПЕРВОГО ПОРЯДКА где знак / обозначает какую угодно функцию, непрерывную или раз- рывную, от выражения $х~ау. Обозначая дифференциал функции /(и) через duff (и), будем иметь p = f'^x-ay) и 7 = откуда, очевидно, вытекает ар + = СЛЕДСТВИЕ 1 80. Можно получить то же решение, подставляя для р его значение 7 — р =. г что дает dz = — dx + “ (a dy — р dx) и тем же путем, как и раньше, получаем Хотя это выражение по внешности отличается от предыдущего, но оно все же легко к нему сводится, если положить / (Р* ~ ау) = 7 ^х~ау} 4- А ф (ау - ря), и в этом виде оно также является функцией от ^х — ау. СЛЕДСТВИЕ 2 81. Итак, если в выражении dz = pdx-^qdy должно быть = то так как а —1, р = 1 и у = 1, решение сводится к Z = y + /(z-y). Если, следовательно, построена любая кривая и абсциссе х — у соответ- ствует ордината V, то будет z = y-\-v. ПОЯСНЕНИЕ 82. Если предложено другое соотношение между р и то полу- чить этим методом решение уже невозможно; но надлежит пользоваться другим принципом, правильность которого следует из первых элементов интегрального исчисления. А именно, нужно иметь в виду, что р dx = рх — х dp и, подобным же образом, 7 dy = ЧУ — У dq; так что если z== (pdx + qdy), то будет z = px + qy— (xdp + ydq). Как этот принцип можно применять к решению тех вопросов, которые относятся к данной главе, будет показано в нижеследующих задачах.
Гл. Ш. УРАВНЕНИЯ С ОДНОЙ ПРОИЗВОДНОЙ, ВЫРАЖЕННОЙ ЧЕРЕЗ ДРУГУЮ 51 ЗАДАЧА 12 83. Требуется найти такую функцию z двух переменных х и у, чтобы при dz — р dx 4- q dy было pq=l. Найти общий вид функции1) РЕШЕНИЕ Заметим, что согласно вышеустановленному принципу z= px+qy— (xdp-\-ydq). Но поскольку из pq = 1 следует q = —, то будет -~^dp должно быть интегрируемым. Но только тогда, необходимо, Поэтому выражение — вообще выражение вида допускает интегрирование когда и есть функция одного р. Поэтому в нагнем чтобы количество было функцией только /?, откуда следует, что интеграл dp Qx~~ мы обозначим через /(/?) и ее дифференциал через dpf (/?). Тогда V t / X V ff f X z = px+p-f(p) (/’)• случае Г также будет функцией одного р, которую. Следовательно, для решения нашей проблемы нужно ввести новое пере- менное /?, а по этому переменному, вместе со вторым переменным у^ определяются остальные переменные х и z. Следовательно, если возьмем переменное р и его произвольную функцию / (/?) вместе с ее производ- ной f (р), то вычислим сперва а затем 2 = -у + Pt' (P)~f(P)’ что и является искомым общим решением задачи. СЛЕДСТВИЕ 1 84. Итак в этом случае не удается выразить искомую функцию z через переменные х и у в явном виде; дело в том, что, вообще говоря, нельзя определить количество z через х и у из уравнения х— ~ = СЛЕДСТВИЕ 2 85. Тем не менее, решение должно рассматриваться как подходя- щее и полное, поскольку после введения нового переменного р по неза- висящим друг от друга у и р определяются остальные переменные х и z. *) В этой задаче и далее, по-видимому, впервые применяется преобразование, позже названное «преобразованием Лежандра». См. об этом статью переводчика в конце тома. 4*
52 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛАМ ПЕРВОГО ПОРЯДКА СЛЕДСТВИЕ 3 86. Если принять f (р) — а Д- ~ , f(p) = <Ч>~J и то будет х — а = 1—2 Р2 откуда р следовательно, искомая функция z получается _2уУ х — аг/ + £х аг/— Зх + 2а;В /3 + У /(х — а) (З + У) ]/(х~а) (3+у) ИЛИ Z ~ 2У(х-а)(у + ^), что является частным решением, а в про- стейшем случае z = 2 Y ху . ПОЯСНЕНИЕ 1 87. Таким образом, решение этой проблемы выведено из другого прин- ципа, так что и по форме решение отличается от предыдущих: в данном случае не удается получить в явном виде уравнение между х, у и z, а вводится новое переменное р. Поскольку раньше решение представля- лось одним уравнением между переменными х, у и 2, то теперь, раз введено новое переменное р, решение требует двух уравнений между четырьмя переменными, которые мы в нашем случае и нашли: z = + -/(/?) и = где dj(p)~dpf (р), причем неопределенность обозначения функции допускающего и раз- рывные функции, выявляет универсальность решения. Если бы удалось исключить величину р, то отсюда получилось бы уравнение между х, у и z. Это исключение удается, если для / (р) взять алгебраическую функцию р. но в общем случае на это никоим образом нельзя надеяться. Тем не менее решение задачи может быть построено с помощью произ- вольно выбранной кривой: если взять какую угодно кривую, регуляр- ную или нерегулярную, и принять абсциссу а ординату обозначить чёрез /'(/?) = г, то f(p)= ^rdP Дает площадь, образованную этой кри- вой; обозначим эту площадь через 5; тогда уравнения У , У X---г и 2 рх - - ~--------$ Р* 1 Р дают полное решение задачи. Разумеется, при каком угодно значении х будет у — р*(х — г) и отсюда z = 2рх — pr — s и в этом решении с прак- тической точки зрения ничего не остается пожелать. Таким образом, как видно, может случиться, что придется ввести два новых перемен- ных, а решение будет тогда представляться тремя уравнениями: но и в этом случае налицо все, что нужно для практических целей.
Гл. III. УРАВНЕНИЯ С ОДНОЙ ПРОИЗВОДНОЙ, ВЫРАЖЕННОЙ ЧЕРЕЗ ДРУГУЮ 53 ПОЯСНЕНИЕ 2 88. Когда требуется, чтобы в выражении dz = pdx-\-qdy было pq=l, можно получить другое более изящное решение, вводя неопре- деленный угол ср. Именно, если положить p = tgcp, то будет £=ctgcp й, поскольку dz — dx tg ср + dy ctg ср, получим при помощи вышеуказан- ного преобразования* Z^tgCp + yCtgCp-^^^-----------^2-)’ откуда вытекает, что выражение - а---должно быть функцией количества ср, которую обозначим через f (ср). Эта функция и ее интеграл $ (?) = / (?) дают два уравнения, содержащие решение: 7^77----= /'(?) И 2 = * tg ср + у ctg ср - / (ср), VUD у Dill откуда можно исключить по желанию либо х, либо у. Мы можем сделать как одно, так и другое. Тогда через переменные z и ср осталь- ные переменные х и у выражаются так: Z = Г z ctg + 1. ctg (?) + 1 cos У =4ztgtp + tg / (<р) — 4“ sin ср2/' (ср). Так, что если перейти здесь к дифференциалам, полагая йг/ = О, из второго уравнения получается соотношение между dz и dcp, откуда, если подставить значение dcp в первое уравнение, с необходимостью вытекает dz = dx tg ср; подобным образом, если полагать rfrr = О, из второго уравнения вытекает dz = dy ctg ср. ЗАДАЧА 13 89. Требуется найти такую функцию z двух переменных х и у, чтобы при dz = pdx-\- qdy было р2 + q2 = 1. Найти общий вид функции z. РЕШЕНИЕ Мы пользуемся преобразованием z = рх + qy — \ (я dp + у dq). Чтобы избежать иррациональностей, положим 1 — г2 2г Р = 1 + г2 и 9 = 1 + г2 ’ так что будет p2-r-q2=l. Итак, имеем; dp = — 4r dr (Ц-г2)2 2dr (1 —г2) (1 + г2)
54 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛАМ ПЕРВОГО ПОРЯДКА откуда _ (1 — r2)x + 2ry ] 2xr dr — у dr (1 — г2) 2 “' Г+Р гz J (1+г2)2 • Входящий сюда интеграл является функцией одного переменного г; обозначим ее через /(г) и ее дифференциал — через drf\r), откуда получим 2rx~y (1 —г2) __ ,, ,. (1 + т-2)2 7 k } И (1 — г2) х + 2гу . z==-----Г+72------ Если исключить отсюда будем иметь z = (1 + г2) У + 1^. f (г) + 2/ (г) СЛЕДСТВИЕ 1 90. Если мы не побоимся иррациональностей, то, поскольку q = \f 1 — р2 и dq = , v r * у 1— p2 получим z = px + yVi-pi- ^dp(^x--^L^y Если это написать в виде z = px+yV 1 -р2-/(р), то х----г = f (р)- /1—р2 СЛЕДСТВИЕ 2 91. Наиболее простое решение, несомненно, нять / (р) — 0, и тогда в силу того, что х получается, если при- ру = , получаем X Р - - -------7 1/ 'г2 4- -J/2 У у , а отсюда 2 । ./2 г2 2 = При этом значении имеем f dz\ х dz k dx ) Р у х2 + у2 ^dy ) ух2 + у2 стало быть, р2 4- г/2 1.
Гл III. УРАВНЕНИЯ С ОДНОЙ ПРОИЗВОДНОЙ, ВЫРАЖЕННОЙ ЧЕРЕЗ ДРУГУЮ 55 СЛЕДСТВИЕ 3 92. Если положить y? = sin^, то будет q — cos и отсюда z = х sin ср + У cos ср — dcp (х cos <р — у sin ср). Интеграл в этой формуле обозначим через / (<р) и его дифференциал через dcpf (ср). Тогда z — .х sin ср 4* У cos ср — / (ср) и я cos — г/sin ^ —/'(^). ЗАДАЧА 14 93. Если z должно быть такой функцией z двух переменных хи у, чтобы при dz~pdx-\-qdy количество q равнялось заданной функции от pt—найти общий вид функции z. РЕШЕНИЕ Поскольку q— заданная функция р, положим dq—rdp, также будет данной функцией р. Таким образом, наше общее уравнение, которое дает решение, принимает вид Z = рх + qy — ( dp(x + ry), откуда вытекает, что интеграл ( dp (х + гу) является функцией р, ко- торую мы обозначим через f(p), а ее дифференциал через dpf (у>). Имеем z = px+qy -Цр) и x + ry = f (/?), и эти два уравнения содержат самое общее решение задачи, так как / (у?) может обозначать какую угодно функцию р, непрерывную или разрывную. СЛЕДСТВИЕ 1 94. Поскольку q — заданная функция р и отсюда г— то, если обозначить неопределенную функцию р через /(/>) —Р, ив силу того, - ,t ( х dP что / , решение будет заключаться в уравнениях z = рх+ qy — Р и xdp-Yydq = dP. СЛЕДСТВИЕ 2 95. Если для построения воспользуемся произвольной кривой, абсциссу которой примем за р, а ординату за /' (у?), то площадь, опре- деляемая этой кривой, даст значение f(p)- Если же ординату обозна- чить через / (у?), то через /' (у?) выразится тангенс угла, который каса- тельная к кривой образует с осью [абсцисс].
56 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛАМ ПЕРВОГО ПОРЯДКА ПОЯСНЕНИЕ 96. Следовательно, можно двояким способом использовать для ре- шения нашей задачи произвольную кривую, либо непрерывную, то есть заданную каким-либо аналитическим уравнением, либо проведенную свободно от руки и как угодно начерченную. Именно, если обозначать абсциссу через р, то в качестве ординаты можно взять либо f(p), либо fr (р), и трудно сказать, что будет практически удобнее. Но когда такие задачи встречаются в действительности, решение обычно определяется добавочными условиями и отсюда для каждого случая легко получается наиболее удобное построение. Что же касается задач механики, для которых требуется этот раздел интегрального исчисле- ния, то они всегда приводят к выражениям в дифференциалах второго или высшего порядка, о решении которых невозможно даже догадаться раньше, чем будет изложен метод для производных первого порядка. До сих пор поставленные задачи удавалось решить полностью; но когда / dz\ f dz \ заданное соотношение между производными ( J и ( ) содержит остальные переменные х, у и z, то решение удается, вообще говоря, лишь при условии, что это соотношение связывает [фактически] только одно из этих переменных с обеими производными. о о
ГЛАВА IV О РЕШЕНИИ УРАВНЕНИЙ, КОТОРЫМИ ЗАДАЕТСЯ СООТНОШЕНИЕ МЕЖДУ ОБЕИМИ ПРОИЗВОДНЫМИ И ОДНИМ ИЗ ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ ЗАДАЧА 15 97. Если функция z двух переменных х и у должна быть такой, чтобы при dz ~ рdx r qdy было —определить общий вид этой функции. РЕШЕНИЕ Поскольку dz-pdz+ali-p и '; + *), и это выражение должно быть интегрируемо, то необходимо, чтобы рх, а следовательно также и z, было функцией количества Zz-j- . Поэтому, в общем случае, решение нашей проблемы получается таким: z = /(Zx+f) и = + где, конечно, df (и) = du /' (и). Отсюда получаем = + и ? = 4'^(Zz + 4') ’ так что q—~-, как оно и требуется. СЛЕДСТВИЕ 1 98. Поскольку z = px-<\jxdp+^ Р^У= Рх+ ,
58 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛАМ ПЕРВОГО ПОРЯДКА го отсюда можно вывести другую форму решения. А именно, если положить то будет и отсюда СЛЕДСТВИЕ 2 99. В этом решении вводится новое переменное р\ через которое вместе с у вначале определяется а затем уже искомая функция z=pz+f(Jr-lp) > Но предыдущее решение, несомненно, имеет преимущество перед этим, поскольку оно выражает величину z непосредственно через х и у. ПОЯСНЕНИЕ 100. Чтобы быть в состоянии сравнивать эти два решения между собой, заметим, что произвольные функции, входящие в них, имеют различный вид, и мы применим для них различные обозначения. Пер- вое решение дает а второе + и px=^FXi-lp')’ так что должно быть и /(Л+ь)=/'СЬ''р)+/''СЬ'Ю’ откуда не только определяется соотношение между функциями / и F, но также должно вытекать, что а это вовсе не очевидно. Эта задача в особенности тем замечательна, что второе решение, при котором вводится новое переменное р, совпа- дает с первым, в котором у непосредственно определяется через z и х, а совпадение этих двух решений прямо показать нельзя. Поэтому, когда мы в дальнейших задачах будем приходить к подобным решениям, в которых вводится новое переменное, как было и в последних задачах
Гл. IV. УРАВНЕНИЯ С ДВУМЯ ПРОИЗВОДНЫМИ И ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ 59 предыдущей главы, мы не должны сразу отказываться от всякой на- дежды исключить его, поскольку в рассмотренном случае второе реше- ние, несомненно, сводится к первому, хотя вовсе не видно метода для такого сведения; этим мы займемся ниже, в § 119. ЗАДАЧА 16 101. Установить общий вид такой функции z двух переменных х и у, чтобы при dz = pdxXqdy было q — pX^T, где X и Т— про- извольные функции х, РЕШЕНИЕ Поскольку имеет место уравнение dz — р dx-\- рХ dy УТ dy, положим Т p — r — v, откуда получается, что А , , Tdx . — Tdx v f dx , \ dz — rdx--- + rX dy — -1- rX ( -J- dy J . Теперь, очевидно, что как гХ, так и $ + dy') являются функциями количества у • Поэтому если положим И(?+с,Ю=/С’+\?У то будем иметь rX-/'(S+5 J), так что искомая функция есть С Т dx , f С z=-)-;r+yy+}x)' и это решение благодаря содержащейся в нем произвольной функции / является полным. Оно дает «“/'(? + откуда вытекает, что q=pX-+T. А так как X и Т~заданпые функ- ции х, интегралы ( и не затрудняют вычисление решения. J л. J А СЛЕДСТВИЕ 1 102. Несколько легче получается решение, если на основании пред- 9 Т писанного условия положить р = -у, откуда л л , Т dx . q dx , 7 rfz=---x~+^r + qdy
60 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛАМ ПЕРВОГО ПОРЯДКА И С Т dx Г / , . dx\ z j х + J 9\^dy+ x )' тогда очевидно, что откуда получается предыдущий результат. СЛЕДСТВИЕ 2 103. Таким же образом решается задача, если предложено условие g = pY , где Y и V — заданные функции у. Действительно, dz = pdxA-pY dy + F dy и z= V dy + p(dx~YY dy), следовательно, p(dz-\-Y dy) = f(^z+ Y dy) , и решение будет z=^V dy + f (jc + ^Ydy) , откуда P =/'(x + ^Ydy) И [q = V + Yf (x + ^Ydy) . ПОЯСНЕНИЕ 104. По только что найденной форме решения можно установить, каким образом должна быть поставлена задача, чтобы решение можно было получить указанным способом и чтобы функция z могла быть выражена через два независимых переменных х и у. Пусть К и V — какие угодно функции я и у, так что продифференцировав, имеем dK = Ldx-^M dy и dV — Р dx + Q dy. Будем исходить из вида решения и положим z = K + f(V). Тогда после дифференцирования находим dz = L dx + М dy + (Р dx + Q dy) /' (7). Сравнивая это с выражением = pdx-Yqdy, получим p = L + P/'(7) и q = M + Qf(V), так что Qp-Pq = LQ-MP. Следовательно, если задача поставлена так, что при dz -= pdx-Y qdy
Гл. IV. УРАВНЕНИЯ С ДВУМЯ ПРОИЗВОДНЫМИ И ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ 61 должно быть то решением будет z = К 4- / (7), причем М и L, а также Р и Q должны быть таковы, чтобы было Ldx-^Mdy^dK и Р dx + Q dy = dV. Впрочем, эти случаи относятся уже к следующей главе г). ЗАДАЧА 17 105. Если z должно быть такой функцией двух переменных х и у. чтобы при dz = р dx 4- q dy было где Р и II— заданные функ- ции р, —найти общий вид функции z. РЕШЕНИЕ Поскольку dz = р dx + Рх dy 4- 11 dy. то z = рх-\- (Рх dy + И dy — х dp'^ . Введем обозначение Аг 4-11 = о, так что х = v- , и, следовательно, z = px+ (vdy + . Так как Р и И являются функциями р. то то же самое относится С II dp к интегралу \ , и будем иметь С II dp С / , dp\ z^px-^} -p^-r v\dy- -f) , откуда вытекает, что как V, так и должны быть функ- циями выражения у — ~ . Положим поэтому тогда V = Рх 11 = /' ( у - , и отсюда — П 1 С С dp^\ x = ~r + pt и, наконец, Н£?А₽+М!'-Иг>/С’Нт’)- 4 См. особенно § 146. [Ф. Э.]
62 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛАМ ПЕРВОГО ПОРЯДКА СЛЕДСТВИЕ 1 106. При решении этой задачи опять-таки вводится новое пере- менное р, через которое вместе с переменным у определяется вначале* переменное х, а затем уже искомая функция z. СЛЕДСТВИЕ 2 107. Однако это новое переменное р здесь исключить из выкладок невозможно; дело в том, что здесь Р и П обозначают функции р* и эти функции входят в самую постановку задачи. СЛЕДСТВИЕ 3 108. Подобным образом решается задача, если поменять местами о: и у и соответственно количество р задать через у и так что р = Qy -|-Е, где Q и Е означают функции q. ПОЯСНЕНИЕ 109. В этой главе мы решили рассматривать такие задачи, усло- вия которых выражаются уравнением между двумя производными g и одним из трех переменных х, у и z. Однако обе задачи такого рода, которые мы здесь изложили, охватывают некоторые случаи, решение которых может быть выполнено частным методом и приводит к более простым формулам. Так, во второй задаче было принято такое соотношение между /?, q и х, а именно q~ рх + П, что в выражение q через р и х количество х входит только в первом измерении; наоборот, в первой задаче, где q~ рХД-Т, в выражение q через р и х количество р входит в первом измерении. Однако вообще полезно заметить, что как количества р и х, так и q и у могут меняться местами. В самом деле, поскольку р dx = рх — х dp, то вместо z — (р dx + q dy) можно писать z = рх+ (cidy — xdp). Подобным образом имеем Z = qy+ (pdx-ydq) и, следовательно, z^px-^qy— (х dp + ydq). Если, наконец, одно из этих четырех интегральных выражений яв- ляется интегрируемым, то все остальные три тоже допускают инте- грирование. Поскольку мы, однако, в предыдущей главе нашли реше-
гл. IV. УРАВНЕНИЯ С ДВУМЯ ПРОИЗВОДНЫМИ и ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ 63 ние в соответствии с первой формулой, если р или q каким-либо обра- зом заданы через х и у, то этим же путем можно найти решение в соответствии с второй формулой, если q дано через р и у, в соответ- ствии с третьей формулой, если р дано через х и у, и согласно четвер- той формуле, если х дано через р и q или же у дано через р и у. Как эти вопросы рассматриваются в общем случае, мы покажем в сле- дующей задаче. ЗАДАЧА 18 110. Пусть dz — pdx^qdy и дано соотношение между р, q и х, определяемое произвольным уравнением. Найти в общем виде выраже- ние функции z через х и у. РЕШЕНИЕ Из предложенного уравнения между /?, q и х вычисляется х, и это количество будет какой-то функцией от р и q. Имеем z = рх + qy - (xdp + ydq). А поскольку х является функцией переменных р и q, можно интегри- ровать выражение xdp при постоянном q и получится xdp = V + f (у), где V — известная функция р и у, которая после дифференцирова- ния дает dV = xdp+ S dq, где 5 — также данная функция р и q. Поскольку,однако, выраже- ние ^(%dp^-ydq) допускает интегрирование, оно должно равняться выражению Е + /(у), откуда с помощью дифференцирования получаем х dp + у dq = х dp + 5 dq + dqf (у) и, следовательно, У=8 + /'(?), ^ = Px + qy-V-f(q), то есть z = px + Sq + qf' (q)-f(q)-V. Решение, следовательно, получается так: сперва, согласно предписан- ному условию, выражаем х через р и у; затем образуем при постоян- ном q V = xdp, откуда в свою очередь dV = xdp + Sdq\ после нахож- дения V и S через р и q остальные количества у и z выражаются через р и q так: y = S + f'(q) и z = px + $q+qf' (q) - f (q) = V. Это решение, поскольку оно содержит произвольную функцию / (у) количества q, непрерывную или разрывную, должно считаться полным и наиболее общим.
64 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛАМ ПЕРВОГО ПОРЯДКА ДРУГОЕ РЕШЕНИЕ 111. Иначе из заданного уравнения между р, q и х выразим р через q и z, так что р будет равно некоторой заданной функции двух переменных х и через которые постараемся выразить остальные количества у и 2. С этой целью воспользуемся формулой z = (pdx — ydq); и так как р есть функция х и то находится функция V тех же переменных такая, что dV = pdx-\-Rdq. Следовательно, получается (pdx-ydq) = V + /(<?) и отсюда y=-R-f{q) и z = qy + V + f(q). СЛЕДСТВИЕ 1 112. Оба решения одинаково удобны, если из предложенного соотно- шения между р, q и х можно одинаково удобно вычислить как х, так и /?; если же одно из этих количеств легче вычисляется, чем дру- гое, то надо пользоваться тем решением, которое к этому случаю приспособлено. СЛЕДСТВИЕ 2 ИЗ. Если нельзя просто исключить ни р, ни х, то тем не менее мы принимаем здесь, что разрешимо уравнение любой степени, и даже трансцендентноег). Но если q даже легко выражается через р и z, то это не облегчает выкладок. СЛЕДСТВИЕ 3 114. Исходя из этой весьма общей задачи можно решить также обе предыдущие, однако найденные таким образом решения будут [по форме] отличаться от предыдущих, поскольку последние были найдены частным методом. Все же представляет интерес сравнить между собой такие пары решений* 2). ПРИМЕР 1 115. Пусть q~pX-\-T, где х и Т —функции х. Найти вид функции 2. г) sin autem neque р neque х commode eliciqueat, turn nihilo minus hie resolutio aequationum cicusque ordinis, quin etiam transcendentium tanquam concessa assumitur. См. рассуждения Эйлера в конце § 72. 2) has duplices solutiones inter se comparare.
Гл. IV. УРАВНЕНИЯ С ДВУМЯ ПРОИЗВОДНЫМИ И ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ 65 Здесь надо пользоваться последним решением в соответствии с формулой p = q~^; считая q постоянным, получим TZ С 7 С dx С Т dx V = ^р dx = q , откуда D / dV \ . С dx так что решение содержится в следующих формулах: q=pX+T, у = - -/' (q), z= -^^^-qf'(q'j + fiq), в то время как вышенайденное решение имеет такой вид: Q = pX + T; и Z= - + 5 Jr) • ПОЯСНЕНИЕ 116. Совпадение этих двух решений можно выявить тем, что из найденного здесь выведем предыдущее как закономерное след- ствие1). В самом деле, имеем f'(q)=-y-^ . Обозначим для краткости ?/ + ^ -^- = 0, так что —v\ в свою J очередь q будет равно какой-то функции от у, которую мы обозначим через F' (у), откуда dq = dvF,f(v) и, следовательно, dqf (q) = —vdvF"(v)= —vdF'(v), а после интегрирования получаем f(q) = — v dF' (у) = — vFf (у) + dvF' (и) = — vF' (и) + F (у). Но поскольку z= 2?-9/,(9)+/(9)’ то будем иметь Z = - ( + vF’ (p)-vF’ (и) + F (d), то есть С Т dx р , Г dx \ что и совпадает с предыдущим решением. ПРИМЕР 2 117. Пусть q ~ где Р и П — заданные функции р. Найти вид функции 2, причем dz = pdx Д- q dy. J) per legitimam consequential!!. 5 л. Эйлер, т. in
66 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛАМ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Здесь надо пользоваться первым решением в соответствии с фор- мулой х = --. Полагая q постоянным, найдем V=^xdp = q^--*\^P , откуда Г dV\_ С dP 6 У dq J } Р • Решением, следовательно, будет у=\ или z = + ,/'(?) _/(,). Вышенайденное решение этой задачи [§ 105] было --J+4-/'(у- ПОЯСНЕНИЕ 1 118. Покажем, каким образом найденное здесь решение может быть сведено к предыдущему. Поскольку мы здесь нашли у-\^- = Г(я\ то, обратно, q является функцией количества у— Положим, поэтому так что вместе с тем Введем для краткости обозначение у — — = V, тогда q = F' (v) и и будем иметь F (у) = ^7 dv = qv — v dq=qv— dqff (<?). Следовательно, F(v) = qv — f(q), так что f (7) = Q (у - “ F (у - 5 ’ то есть =
Гл. IV. УРАВНЕНИЯ С ДВУМЯ ПРОИЗВОДНЫМИ И ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ 67 Подставив эти значения, имеем ЧИЧМНЧЧЧНЧЧ то есть =- что совпадает с вышенай денным решением. ПОЯСНЕНИЕ 2 119. После того, что мы доказали это совпадение, мы можем также доказать вышеотмеченное совпадение (§ 100), которое кажется гораздо более скрытым. Второе найденное там решение было рх = F' (Jt-lp') И z^px + F^-lp') . Из первой формулы вытекает, что, обратно, ~ ~ 1р является функ- цией рх, следовательно, то же самое относится к выражению у — 1р 4- 1рх, так что ^+1х также равняется функции рх. Снова обра- щая это соотношение, мы видим, что рх равняется некоторой функции- количества у ц- 1х. Положим, следовательно, рх = ff + 1х^ а поскольку ТО Подставив для рх его значение f(^~-\-lx^, получим ~рж+/(^+/Ю’ так что 2 = 1 что совпадает со вторым решением. Это пре- образование проливает немало света на другие тайны подобного рода. Сущность этого рассуждения сводится к тому, что если r = f(s), то будет также г =F' (s-\-R), где /?— функция г; впрочем, это очевидно, поскольку в обоих случаях г выражается через s. Итак, поскольку /'(*)-г-/" ($4 /?), 5*
68 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛАМ ПЕРВОГО ПОРЯДКА ТО / (s) = dsf (s)=^rds = г (ds + dR — dR) = = (ds + dR) F' (s-\-R) — rdR и, следовательно, /(s)^F(s + Z?)-^rd/?. Вследствие этого вместо функций количества s можно ввести функции количества $ + /?. А именно, если г = j' (s), то можно полагать также r = F'(s + R), где R — какая угодно функция г, откуда в свою очередь f(s) = F(s + R)- rdR. ПРИМЕР 3 120. Положим dz=pdx+qdy; если х —однородная функция сте- пени п переменных р и q— найти вид функции z. Поскольку х выражается через р и нужно пользоваться первым решением, а так как х равняется однородной функции степени п коли- честв р и (?, то, положив p — qr, получим x~qnR, где R — функция одного г. Возьмем теперь q за постоянное и найдем V = xdp = qn+1R dr (вследствие того, что dp — qdr), так что V=?n+1 $ R dr, а этот интеграл может считаться заданным. Продифференцировав, получаем dV = qn+1Rdr + (п + 1) q" dq R dr. а это выражение можно сравнить с выражением dV = xdp + 5 dq = qnRdp-\- S dq, которое в силу того, что dp = qdr + г dq, дает dV = qn+1R dr + qnRr dq+S dq. Следовательно, S — — qnRr + (n+l)qn ^R dr, откуда y = - qnRr+ (n+ 1) qn Rdr-{-f (q), x = qnR, z^nq”*1 Rdr + qf (q) -f(q), где p = qr.
Гл. IV. УРАВНЕНИЯ С ДВУМЯ ПРОИЗВОДНЫМИ И ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ СЛЕДСТВИЕ 1 121. Пусть = тогда при p — qr будет х = rm; следовательно^ п равно нулю и R — г™. Отсюда получаем wTTl+l гм У-- +/'<?)=- +/' z = qf (?)-/(?)• 1 тп+1 Следовательно, поскольку г = хт , имеем у= — a; m +/ (?)• СЛЕДСТВИЕ 2 рТП 122. В этом же случае, когда x = ^-^f q есть функция количества ТП-М 7П ------ у-|----rq- х т , и если это количество обозначить через v, то будет 7/1 "Г 1 q = Ff (v) и v = /' (q). Следовательно, / (q) = dq j' (q) = v dvF” (v) (так как dq — dvF"(v)), откуда заключаем, что / n+lx / О) = vF' (и) — F (v) и z = F(v) = F (y x m ). ПРИМЕР 4 123. Найти такую функцию z двух переменных х и у, чтобы, при dz = pdx +qdy, было p3 + x9 = 3pqx. РЕШЕНИЕ Исходим из формулы z = qy+\ (pdx—ydq), где выражение pdx — ydq должно быть интегрируемым. Положим р = их, тогда в силу принятого условия я(1 + и3) = Squ, откуда 3qu 3qu2 = -гт—г и Р — ггг—Г j 1 + и3 г 1 и3 затем 7 _ 3q du (1 — 2u3) 3udq ax~ (1 + u’)2 1 l + «3 ’ так что будет а г.та+ f f + -ydg'), 2 \ (1 + u3)3 (1 + и3)2 X / C 9g2u2rfu(l — 2u3) __ 3g2 (1 + 4u3) C 3q(\ + ku3)dq J (l + u3)8 — 2(14-u3)2 J (1 + m3)2
70 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛАМ ПЕРВОГО ПОРЯДКА С лед ова тельно, . Зу2(1 + 4w3) С , ( 3q \ z — qy+ 2 (1+из)2 \ d(i \ у +1+мз ; • Таким образом, необходимо, чтобы у + которую обозначим через — /'(£), так что было функцией только 7, У^ 3q р ( \ । 3<72 (1Ч-4zz3) . , z ч (7) и 2 = 72/ + _ж--¥_ + /(7), ИЛИ З72 (2zz3 -1) , . . . . z= 2(l + »3)2 -?/ (?) + /(?), где х = • Если из этих трех уравнений исключить количества q и и, то получится искомое уравнение между z, х, у. так что СЛЕДСТВИЕ 1 з 124. Из найденного уравнения для у получается а найденное уравнение для z принимает вид z = - 2(T+W - ® что после исключения и преобразуется к виду Z = -qy- 2qf (q) + f (?)]2 +/ (9). 2;= -u\y + f (7)], и = ’ откуда ж3 = 3q [у + f (7)]2 + [?/ + /' (7)]3. Далее, СЛЕДСТВИЕ 2 125. Если принять f (q) — a, то будет / (7) = aq + b, а х3 — (у + а)3 уравнение дает q= 3[у + ау . Поскольку в данном случае последнее имеем z= - qy ~ aq- ~(у -Yb, то, подставив вместо q полученное для него выражение, получаем __________________________66 (у + а) - (у + а)3 — 2х3 Z— 6(у + а) СЛЕДСТВИЕ 3 126. Поскольку в общем случае ж® = [y + f (qWty + ^q+f (7)],
Гл. IV. УРАВНЕНИЯ С ДВУМЯ ПРОИЗВОДНЫМИ И ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ 71 положим f'(q) = a — 3q, откуда / (q) = b + aq — у q2, так что Следовательно, у 4 а — Зд = и 1 у + а 1, . ч xyx У ~~ з {У 4“ ~ ° з у у + a Итак, отсюда вытекает, что /' (7) = И V У + a f(q) = b + -^±^. X3 6 (y + (Z) ax У x 1 . . ч - —й У + а 3 Е УЛ-а ь L г “ ' ?/“ г ХУ V Х X3 З/у + а _6 (У + a) и, наконец, 4 у (у+«) + 3— -2ay+6?2 d з у y + a x3 3 (y + ci) Ь aq-^-q2 + b, то есть 7 1 / I \ Г yxyx X3 и, после приведений, Z = I 9 2 aq+^q2 1 9 г----------- Z= 6+-g(?/+<z)2 -у .г у х(у + а). СЛЕДСТВИЕ 4 127. выражение Если здесь положить а-Ои 6 = 0, то получаем очень простое z=4yl - 4x ^xy- Легко видеть, что оно удовлетворяет поставленному условию. Находим путем дифференцирования / dz \ / dz \ 1 х'[/'х откуда но р3 + х3 = — ху ху -f- z3, Зрд = х2 — у yfxy. так что Зрдх = х3 — ху ху и, следовательно, р3 4- з? Зр дх.
72 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛАМ ПЕРВОГО ПОРЯДНА ПОЯСНЕНИЕ 128. Таким образом, нам удалось получить решение, когда зада- валось любое уравнение между р. q, х даже в таких случаях, когда его нельзя было решить относительно х или р. Однако еще остаются трудности, связанные с решением конечных уравнений — трудности, которые мы здесь по праву считаем преодоленными1). Все же из по- следнего примера видно, как следует вести вычисления, когда подхо- дящая подстановка дает возможность решить предложенное уравнение, но более подробно я на этом вопросе не остановлюсь. Не буду я также отдельно рассматривать те случаи, когда задано некоторое соотноше- ние между р, q и. у, поскольку в силу перестановочности количеств х и у, а при этом переставляются также р и <?, эти случаи сводятся к пре- дыдущим. Остается, следовательно, тот случай, когда дано уравнение между p,q& z. В этом случае очевидно, что в уравнении dz = р dx + q dy количества р и q не могут рассматриваться как функции одних только х и у, так как они зависят также от z и вид этих функций уже не может быть определен из условия, чтобы выражение pdx^qdy было интегрируемым. Но можно легко вывести условие, нужное для того, чтобы дифференциальное уравнение dz — р dx — q dy — О было возможным; для этого на основании вышеустановленных принци- пов (§ 6) требуется, чтобы при (£>* было Lp + Mq-N = Q, то есть р ) - q (-g) + Qg ) - = 0. Следовательно, если предложено некоторое уравнение между р, q и 2, то вообще нужно определить те условия, при которых выполняется это требование. ЗАДАЧА 19 129. При dz = pdx + qdy должно быть выполнено уравнение p-Yq — ^.t Найти соотношение между функцией z и переменными хи у в общем случае. РЕШЕНИЕ Поскольку д=“- — р, наше уравнение принимает вид dz= pdx — pdy + или *) difficultas quaedam restat, quae autem resolutionern aequationum finitarum potissimum afficit, quam hie merito concedi postulamus.
Гл, IV. УРАВНЕНИЯ С ДВУМЯ ПРОИЗВОДНЫМИ И ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ 73 Но так как оба выражения 7 7 Ий dx — dy и — dy а сами по себе интегрируемы, то из уравнения следует, что—- должно быть функцией количества х—у. Итак,, по- ложим (х — у), так что lz—= / (х — у). Таким образом, z определяется как функция х и у, а поскольку также является функцией х—г/, то если обозначить ее через ТДя —г/), получается у z — eaF(х — г/), откуда (-£) = P = eaF” (х-у) И )^q= ~^Р' (x-y)+-^eaF(z-y), следовательно, 1 - p + q=--~eaF (х-у) как и требуется. СЛЕДСТВИЕ 1 130. Этот пример уясняет нам, каким образом некоторая функ- ция р и q может равняться количеству г, даже если р и q являются функциями х и у. При этом, конечно, вводится в расчет условие ин- тегрируемости выражения dz = pdx-^qdy1). СЛЕДСТВИЕ 2 у 131. Выражение eaF(x — у), найденное как значение z, может быть умножено на любую функцию от х — у. Если, следовательно, умножить х-у на е а , то получается z = еа F (х — у). х) Simul scilicet ratio integralis formulae dz = p dx q dy introducitur in calculum.
74 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛАМ ПЕРВОГО ПОРЯДКА х—у Если же умножить на е 2а , то получается х+у z = е 2(1 F (х—у), и эти выражения в равной мере решают задачу. ЗАДАЧА 20 132. При dz~pdx-\-qdy величина z должна быть заданной функ- цией р и q. Найти в общем виде зависимость z от хи г/. , РЕШЕНИЕ тт 7 dz р dx Предложенное соотношение дает нам dy =---------; положим dz p~qr, так что z будет функцией q и г, и из dy = --г dx получаем У = ^~гх+\ (±^L+xdr) ’ а эта формула должна быть интегрируемой. Поскольку, однако, z дано как функция q и г, то интегрируем выражение при постоянном г и получим $ ^ = V + f(r), откуда путем дифференцирования получаем dV = ^- + Rdr, причем ясно, что должно быть х = R -|- /' (г), следовательно, y = y-7?r-r/'(r) + 74-/(r). Этими двумя уравнениями определяется соотношение между интере- сующими нас количествами. А именно, положив p~qr, находим z в зависимости от q и г. Затем при г постоянном интегрируем выраже- z dq ТТ С z dq ние —, а интеграл пусть равняется V = \ —, что также выра- О < А жается через q и г, а отсюда при постоянном q получим К = ( \ . После этого имеем x — и —r# + V 4- / (г), так что все количества определяются через два переменных q и г. СЛЕДСТВИЕ 1 133. Так как при перестановке х и у происходит также пере- становка букв р и 7, то подобным образом можно было бы начать наше исследование с уравнения dx^dL qdy_ р р
Гл. IV. УРАВНЕНИЯ С ДВУМЯ ПРОИЗВОДНЫМИ И ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ 75 Отсюда мы получили бы сходное решение, отличное от предыдущего по форме, но совпадающее по существу. СЛЕДСТВИЕ 2 134. Положив q = ps, так что dx — — s dy, будем иметь x = ^-sy+ + y ds') . С z dp тт Образуем при постоянном 5 интеграл - = <7, который определяется через р и s, и отсюда = тогда будет у = 5+/' (5) и x^-sy + U + ПРИМЕР 1 135. Найти решение уравнения = Положив p = qr, имеем z = aq(i +г), а интегрируя при постоянном г, получим: 7=^ = «(i+r)Z9 и R = (JL) = alq. Отсюда находим x = alq + f (г) и у = ^-arlq — rf (г)+а (1+r) + / (г), то есть У = а (1 + г) + a lq - rf (г) + / (г). Если исключить q на основании уравнения q = g дается двумя уравнениями то решение х — al ——г- + /' (г) а (1-г г) ’ ' v 7 и У^а1 а^+г) +«(!+/•)-/•/' (г) + /(г). Отсюда можно получить предыдущее решение, а именно, из первой формулы находим --Z-= -Z(l +r) + A/'(r) = functr, а а 4 1 1 а ! v 7 ’ а из обеих вместе У — х = а (1 + г) — (1 4- г) /' (г) + / (г) = fund г.
76 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛАМ ПЕРВОГО ПОРЯДКА __х Поскольку, таким образом, как то есть ze а, так и ?/ — х являются функциями одного г, одно из этих выражений является функцией другого, так что можно положить _х X ze a = F(y — x) или z— eaF(y — ж), что совпадает с вышенайденным решением. ПРИМЕР 2 136. При dz = pdx-^ qdy должно быть z = apq. Найти соотношение между х, у и z. Положив р = qj\ имеем z = aq2r и, проинтегрировав при постоянном г, получим V ~ \ = откуда R = (^^^==aq. Таким образом, по- лучаем x = aq~\-f (г) и y^aqr — rf (r) + /(r), z или, так как г = , aq* и у^-^К^+У^УУ Если обозначить fr (г) = v и соответственно положить r=Ff (у), то, поскольку dr=dvF'(v), будем иметь / (г) = drf (г) = v dvF” (у) = vFr (v) — F (у), или откуда /(r)-r/'(r) = -F(v}. Но так как /'(г) = ж —ш/, то, если положить г = Ff (ж — aq), будет /(г)-г/'(г) = -F(x-aq) и у = aqFf (ж — aq) — F (ж — aq), а также z — aq2Ff (x — aq). ПОЯСНЕНИЕ 137. Последние формулы можно также и прямо вывести из условий задачи. Действительно, так как Р^-—, то , z dx . , 7 dz z dx dz ------\~qdy и dq =-----------5- , aq [ u q aq2 ’ откуда z , C / z dq zdx \ z . Г z / 7 dx \ + ^} = 7+)У^-Т>
Гл. IV. УРАВНЕНИЯ С ДВУМЯ ПРОИЗВОДНЫМИ И ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ 77 где, очевидно, должно быть функцией количества Поэтому, если положить то Чтобы отсюда получить другое решение, заметим, что dx = (dz — q dy), что после подстановки z — qv переходит в dx = — (у dq 4- q dv — q dy), откуда x = aq + -^-(dv-dy). Следовательно, положим так что x = aq + f(v-y). Подставив сюда значение v = ~ , имеем Г7/72 _ . Z 7 и х Первое решение особенно удобно для исключения q и г в примерах. Если, например, положить / х Ъ то получается / (г) = 2b j/r 4- cr откуда z = aq2r, х~ aq-\—4- с, у = aqr 4- b^r 4-с?. I Г л z А так как г = —, имеем aq2 x = aq+bq j/^ + c и у = +-~ + d, откуда / b Va \ , z I ъуа \ x-c = q^a + -^-) и y~d = — (а + ——
78 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛАМ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Теперь путем умножения исключаем q и получаем (z - с) (у - d) = у (а 4- ={b + Vaz)2, так что Ъ + V az = У {х — с) (у — d) и отсюда (х — с) (y—d)—2ЬУ(х — с) (у— d)-\~b2 Z == ------------------------------ , а что при b = с = d = 0 дает простейший случай z = .
ГЛАВА V О РЕШЕНИИ УРАВНЕНИЙ, КОТОРЫМИ ЗАДАЕТСЯ СООТНОШЕНИЕ МЕЖДУ КОЛИЧЕСТВАМИ (JgQ, Qg-) И ДВУМЯ ИЗ ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ х9 у, £, ЗАДАЧА 21 138. Если при dz~pdx + qdy должно быть px-{-qy~Q—найти общий вид функции z переменных х и у. РЕШЕНИЕ Поскольку q = имеем dz = pdx — ^-^L = Рх( — г у \ X у J ИЛИ 7 f dx х dy \ i х d^py(—--7~) = nd1. Отсюда ясно, что ру должно быть функцией ~; и если положить ру ~ f'> то получается z = Напомним, что мы пользуемся следующим обозначением функций и их производных: df (v) ~dvf' (v) и далее df' (v) = dv f" (y), df" (v) dv fr" (v) и т. д. Пусть обозначает какую угодно однородную функцию ± и у нулевого измерения, и пусть переменное z равняется такой функции, а ее дифференциал равняется dz—pdx^qdy, тогда всегда будет
80 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛАМ ПЕРВОГО ПОРЯДКА СЛЕДСТВИЕ 1 139. Итак, если z является однородной функцией нулевого изме- рения от х и у, то при '=(£) и имеем Это положение мы вывели еще раньше1). СЛЕДСТВИЕ 2 140. Поскольку '-МЕ ’-ЕВ то. р будет однородной функцией переменных х и у измерения минус единица, и q — ФУНКЧИЯ же z получается путем интегрирования в виде z = Pyd ~ ‘ ПОЯСНЕНИЕ 141. Подобным образом решается задача, когда требуется, чтобы при dz = pdx-\-qdy было mpx-±nqy = a. Тогда вследствие того, что а трх а == , получаем 4 пу пу J d^^L+pdx^^y.t пу 1 пу то есть & a dy рх S' п dx т dy \ _ a dy рут & хп 2 пу п < X У ) пу пхгг~1 ут ’ откуда Можно также получить решение более общей задачи, когда должно быть рХ + qY = А, где X— функция х и У —функция у. В этом случае - А рХ будет q~^Y-и» следовательно, * = + р+ . Поэтому должно быть откуда х) См. Интегральное исчисление, т. I, § 481.
Гл. V. УРАВНЕНИЯ С ДВУМЯ ПРОИЗВОДНЫМИ И ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ 81 ЗАДАЧА 22 142. Пусть при dz = pdx^ qdy отношение А равняется какой угодно заданной функции х и у. Найти общий вид функции 2. РЕШЕНИЕ Обозначим через У эту заданную функцию переменных х и у, так что q~pV и dz = р (dx Д- У dy). Зададимся таким множителем М, кото- рый также должен быть функцией х и у, чтобы произведение М (dx~\-V dy) стало интегрируемым. Пусть М (dx Д- У dy) = dS, откуда вытекает, что 5 есть функция х и у. Поскольку однако dz = , то, очевидно, коли- чество должно быть функцией от 5, так что, если положить ~ — f (S) имеем z = /(5), откуда p = Mf(S) и q = MVf(S). СЛЕДСТВИЕ 1 143. В данном случае мы сразу находим выражение искомой функ- ции z через х и у, так как 5 определяется через х и у. Но может оказаться, что 5 ~ трансцендентное количество, и может также случиться, что с помощью доселе известных методов не удается найти множи- тель М. СЛЕДСТВИЕ 2 144.-Если*У— однородная функция х и у нулевого измерения, то -----—. Если положить х — vy, то У будет функцией одного у, и dS ~ М (у dv + v dy + У dy). Положим 'у V) тогда л с __ dy t dv dS - V + • откуда ПОЯСНЕНИЕ 145. Благодаря возможности перестановки р и х и соответственно q и у, можно подобным образом решить следующие задачи. I. q=xV, где У—какая угодно функция переменных р и у. В этом случае рассмотрим выражение z — рх Д- (q dy — х dp) = рх + (У dy — dp). 6 Л. Эйлер, т. III
82 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛАМ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Ищем такой множитель М, чтобы было M(V dy-dp) = dS, где 5 —функция р и у, и тогда откуда получается решение ->=/'(?) и z = pMf'(S) + f(S). II. у — pV, где V — какая угодно функция переменных х и qr Рассмотрим выражение z = ЯУ + (pdx — y dq) = dq+^ р (dx — V dq). Ищем такой множитель М, чтобы было M(dx-V dq) = dS, где S — функция переменных х и (?, и тогда Следовательно, р dS ~ М * z = ЯУ + $ -^.=/'(5) и z = qy + f(S), V значит, поскольку р получим y=MVf'(S) и z = qMVf'(S)+f(S). III. y = xV, где V — какая угодно функция переменных р и q. Рассматривается выражение z = рх + qy — dp + X V dq). Ищем такой множитель М, чтобы было M(dp+Vdq) = dS, где S- функция р и q. Тогда . С х dS z = px+qy- \ откуда получается решение > = /'(£) и z = px+qy-f(S). Все эти случаи сводятся к тому, что отношение двух из четырех коли- q q у у честв р, я, q, г/, т. е. или или — , или у, или равняется какой- либо функции остальных двух. ЗАДАЧА 23 146. Пусть dz~pdx+qdy и требуется, чтобы было q — pV + U, где V и U — произвольные функции двух переменных х и у. Найти общий вид функции z.
Гл. V. УРАВНЕНИЯ С ДВУМЯ ПРОИЗВОДНЫМИ И ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ 83 РЕШЕНИЕ Вследствие того, что 7 — pV^U, имеем dz~ р (dx + V dy) + U dy. Сначала ищем множитель Л/, который делает интегрируемым выраже- ние dx + V dy, так что М (dx + V dy) = dS, где М и 5- функции х и у. Тогда dz = ^ + Udy. Поскольку 5 является функцией х и у, то можно также выразить х через у и S, после чего U и М становятся функциями от у и Приняв теперь б1 за постоянное, интегрируем выражение U dy и получим $ Udy^T + f(S). Положив dT = U dy + W dS, будем иметь -§- = ТУ + /'(5) и z = T + /(5). Таким образом, все переменные выражены через переменные у и *$\ СЛЕДСТВИЕ 1 147. Итак, если даны функции V и U переменных х и у и q — pV + [7, для решения задачи требуется, чтобы сперва был найден множитель М, делающий интегрируемым выражение dx-\-V dy, и, когда он найден, определена функция 5 тех же переменных х и у так, чтобы было S= $ M(dx + Vdy). СЛЕДСТВИЕ 2 148. Для этой цели следует рассмотреть дифференциальное урав- нение dx^- Vdy = 0. Если оно интегрируется, то отсюда заодно полу- чается такой множитель М, что выражение M(dx-^Vdy) становится полным дифференциалом некотррой функции 5, которая, таким образом, и определяется. СЛЕДСТВИЕ 3 149. Когда найдена эта функция S, количество х выражается через у и S, так что х равняется функции от у и 5. Подставив это значение в количество Z7, ищем интеграл U dy^=T, рассматривая 5 как постоянное, и Т получается, таким образом, как функция у и S. 6*
84 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛАМ ПЕРВОГО ПОРЯДКА СЛЕДСТВИЕ 4 150. Наконец, когда найдена функция Г, вычисляем W = и получаем решение задачи, содержащееся в следующих двух форму- лах: JL=W + /'(S) и z = 7’ + /(5), где S — функция х и г/, и z оказывается функцией х и у. СЛЕДСТВИЕ 5 151. Если U — функция одного только г/, то нет необходимости выразить х через у и 5, а Т — \U dy будет функцией только от у, так что — —0. Но этот случай сводится, очевидно, к преды- дущему, если заменить z через z — Udy. ПРИМЕР 1 152. Пусть dz^pdx-^qdy и пусть должно быть • Найти вид функции z. Итак, здесь V = - и U = , у х так что, поскольку dx + V dy = dx + - , множителем будет М=у, откуда dS = ydx-\-xdy и S = xy. Таким обра- зом, ТТ У2 х= — и Z7 = 4г . У S Следовательно, Т = U dy = у1^у_ = JfL и w = — J у J £ 3№ Поэтому решением данного примера будет и z==-fr+^- у ио оо -у 2 или, поскольку S=^xy, Z = + / (ху)* ПРИМЕР 2 153. Пусть dz = pdx-\-qdy и пусть должно быть px-\-qy = n \fх*-\-у\ Найти вид функции z. Поскольку здесь q~ ~+ З/2, то V = -- и Z7 = - У У
Гл. V. УРАВНЕНИЯ С ДВУМЯ ПРОИЗВОДНЫМИ И ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ 85 У2 У и = пУТ+У2, Следовательно, dS = М dx—так чт0 наД° взять М = у „ и тогда л о dx х dy „я dS —-------— 1Г Х--= — У Отсюда х — Sy и что при постоянном 5 дает: » 1У==(^_(_7в£). Таким образом, решение нашего вопроса дается соотношениями = + (s) и z = m/j/l +№ + /(.$). у 14-52 Поскольку, где '(>) ОТ X и у. однако, 5 = — , т0 Z= + = , означает любую однородную функцию нулевого измерения ПРИМЕР 3 Поскольку q= 154. Пусть dz=pdx-\-qdy и пусть должно быть рх~ + ру2 = п ху. Найти вид функции z. рх? , пх ч----, то У2 У TZ х'2 V=-----И У^ гт пх L = — У Поэтому так что вследствие 5=1-1= у х того, что dS — МQdx—х, возьмем М — . Отсюда х—У ху х 1 О У ----S и х = . \ , U _-__. и 1-^ так что Если, следовательно, S принять за постоянное, то получим и пу Следовательно, так как О Х — У ху м 1 - Sy^ — v X
S6 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛАМ ПЕРВОГО ПОРЯДКА получим решение 2 = — ПХУ I I-Л- f( Х^У Л Х^у X / ПОЯСНЕНИЕ 155. На основании решения этой задачи может быть решен также следующий, более общий вопрос. Пусть Р, Q, V и U — какие угодно функции переменных х и у и пусть требуется найти функцию z такую, чтобы dz = Р dx + Q dy + L (У dx + U dy) или, что то же, найти функцию L такую, чтобы это дифференциальное" выражение допускало интегрирование. Чтобы этого добиться, найдем сперва множитель М, делающий интегрируемым выражение Vdx-[-Udy, и положим dS = М (У dx + Udy), откуда получается функция 5 от х и у. Тогда определяем х через у и 5, и поскольку dz = Р dx -|- Q dy + , мы подставим сюда это значение х. Но при этом dx = Edy^FdS, где Е и F также известны, и мы получаем dz = EPdy + Qdy + FPdS+ Интегрируя при постоянном 5, получим Т = (ЕР + Q) dy, откуда z = 71 + /(5), что достаточно для решения задачи. Для того же, чтобы найти L, дифференцируем выражение dz = (ЕР + Q) dy + ds (g-) + dSf (5). Но должно иметь место [соотношение] откуда L = -FMP + M(J^-) + Mf (S). Благодаря перестановочности р, х и, соответственно, q, у и отсюда можно получить решения некоторых задач, что вкратце изложу. ЗАДАЧА 24 156. Пусть при dz= pdx^-qdy требуется, чтобы было q = Vx-\-U, где У и U —какие-либо заданные функции от р и у. Найти вид иско- мой функции Z.
Гл. V. УРАВНЕНИЯ С ДВУМЯ ПРОИЗВОДНЫМИ И ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ 87 РЕШЕНИЕ Воспользуемся формулой z = px-\~ {qdy — xdp). Тогда, подставив значение q, будем иметь {Qdy — х dp) = (V xdy — х dp U dy). Зто выражение должно быть интегрируемым. Обозначим его ради крат- кости через -|), тогда = х (V dy — dp) + U dy. Ищем сперва множитель Д/, делающий интегрируемым выражение V dy — dp, так что где 5 выражается через у и р. Отсюда р выражается через у и 5. Подставив это значение, получим d^-^+Udy. Затем, приняв 5 за постоянное, найдем интеграл $ Udy=T + f{S), откуда Следовательно, решение выражается через переменные у и 5 следую- щими двумя уравнениями: x = И Z = ^+T4/(*V). ЗАДАЧА 25 -157. Если при dz — pdx-[-qdy должно быть p — Vy-^U, где V и U— заданные функции от х и q, найти еид функции z. РЕШЕНИЕ Воспользуемся формулой Z = qy + (р dx - у dq) и обозначим интеграл в правой части \pdx — ydq) =-fj. Подставим сюда полученное значение р, что дает d^ = Vy dx-[-Udx—уdq = у (у dx — dq) + Udx. Ищем множитель M такой, чтобы М (Vdx-dq) = dS,
88 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛАМ ПЕРВОГО ПОРЯДКА а поскольку М и 5 являются функциями х и q, мы можем q выразить через х и S, и затем подставить полученное значение q. Так как то определим при постоянном 5 интеграл Т — U dx, тогда t = T + /(5), откуда где вместо 5 надо подставить его выражение через х и q. ЗАДАЧА 26 158. Пусть при dz — pdx-\-qdy должно быть y = Vx-\-U, где V и U — произвольные заданные функции р и q. Найти общий вид функции z. РЕШЕНИЕ Воспользуемся здесь формулой z = рх + qy — (х dp + у dq) и обозначим {xdp + ydq) *= Ij. Подставив для у предписанное значение, получим d-fy — xdp + Vxdq + U dq. Далее ищется множитель М, который делает интегрируемым выраже- ние dp-\-Vdq, так что M(dp+Vdq) = dS, где М и 5 даны в зависимости от р и q\ отсюда значение р выра- жается через q и S, что требуется в дальнейшем. Именно, поскольку db=~+Udq, примем 5 за постоянное и проинтегрируем выражение U dq. Пусть Т = U dq, тогда = Т + / (5) и отсюда ^=(S) + ^ и z = ^ + ^-T-/(5)s Все это выражено через р и q, поскольку выражены таким образом М, 5, Т и * Итак, имеем x = + y = Vx±U И z = px + qy-T-HS)-
Гл. V. УРАВНЕНИЯ С ДВУМЯ ПРОИЗВОДНЫМИ И ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ 89 ПРИМЕР 159. Пусть dz — pdx + q dy\ должно быть рх-\ qy = apq. Определить вид функции z. Так как РХ г У = ~^ + аР' то V = —у- и U — ар. Но поскольку должно быть M^dp-^-^ = dS, положим М = — , что дает s=^ и P = S(I- Отсюда U — aSq, и, приняв ,8’ за постоянное, получим Т=\ U dq = —-aSq2. Поэтому (' dT \ 1 , Ы)=^ад- Таким образом, имеем решение При помощи вышеизложенного преобразования получим y = (aq- х) F’ Г qx - aq- И z = qy-i-F(^qx-^-aq2} . ПОЯСНЕНИЕ 160. Четыре задачи, которые мы здесь рассмотрели, как связанные друг с другом, охватывают достаточно широкий круг вопросов. Они охватывают все те случаи, когда при dz — pdx---qdy в соотношении между р, 7, гс и у либо х и г/, либо риг/, либо х и 7, либо р и q не встречаются в степени выше первой. Поэтому часто может случиться, что один и тот же вопрос решается как частный случай двух или нескольких из этих задач. Так, в последнем примере, в котором не только х и г/, но и х и 7, а также р и у нигде не встречаются в степени выше первой, вопрос может быть сведен к одной из трех вышерассмотренных задач; не сводится он только к первой из них.
*90 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛАМ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Если же между р, q, х, у задается соотношение apx + $qy bq + mx+ny + c = 0, решение может быть выполнено при помощи любой из четырех задач. Конечно, полученные отсюда решения, даже когда они отличны по форме, могут быть сведены друг к другу при помощи вышеуказан- ных примеров. Но решение можно получить и в следующем, гораздо более общем случае, который поэтому нам надлежит рассмотреть. ЗАДАЧА 27 161. Положим dz~pdx^-qdy, и пусть дано такое соотношение между р, х и у, что некоторая функция от р и х равна какой-либо функции от q и у. Найти обгций вид функции z. РЕШЕНИЕ Пусть Р — та функция р и х, a Q— та функция q и у, которые равны между собой. Поскольку, таким образом, P~Q^ положим, что они обе равны у, так что P~v и Q~v. Из первого уравнения можно выразить р через х и v, из второго — q через у и v. После этого Д формуле dz^pdx\-qdy, где р — функция х к v, интегрируется при постоянном v член pdx, и пусть \^pdx = R\ подобным образом, поскольку q функция у и v, интегрируется также, при постоянном у, второй член qdy, и пусть ^qdy~S. Следовательно, R будет функ- цией х и v, а 5 —функцией у и у. Если теперь считать и v перемен- ным, то dR = р dx-\~ V dv и dS == q dy + U dv, откуда dz^dR^dS-dv(V + U\ а так как это выражение должно быть интегрируемым, то нужно, чтобы V + U — f(v). Таким образом, решение задачи содержится в следующих двух уравнениях: V + U^ff{v) и z^R^S— f(y). Конечно, в силу того, что р, R и V выражены через х и v, a q, S и U выражены через у и v, то посредством первого уравнения v выражается через х и у, и после подстановки этого значения во второе уравнение определяется искомая функция z от х и у. СЛЕДСТВИЕ 1 162. Итак, всякий раз, когда q равно такой функции р, х и у, что можно образовать уравнение, в котором одна часть содержит только две буквы х и р, а другая — только две остальные у и q, задача может быть решена. СЛЕДСТВИЕ 2 163. Если функция переменных р и х, которую я обозначил через Р, имеет такой вид, что после приравнивания ее v, легче опре-
Гл. V. УРАВНЕНИЯ С ДВУМЯ ПРОИЗВОДНЫМИ И ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ 91 делить х через р и v, целесообразно пользоваться формулой z = рх + (q}dy — х dp). а дальше вывод происходит так, как выше. СЛЕДСТВИЕ 3 164. Подобным, образом, если из второго уравнения Q — v легче определить у через q и v. то рекомендуется искать решение на осно- вании формулы z = qy+ (pdx — ydq). Если, однако, одновременно можно выразить х через р и и, а у через q и v. то следует пользоваться формулой z = px-±qy — (xdp + ydq). ПОЯСНЕНИЕ 165. Эта задача содержит бесчисленное множество случаев, не заключающихся в предыдущих задачах; при том ее решение покоится на другом основании. Однако мы все же очень далеки от решения общей задачи, которой посвящена данная глава, а именно, найти общее решение, когда задано произвольное уравнение между величи- нами р. q. х. у. Из-за несовершенства анализа на это, однако, нельзя и надеяться. Поэтому мы должны быть довольны и тем, что удалось получить решение в ряде случаев. А чтобы лучше увидеть значение решения последней задачи, прибавим несколько примеров. ПРИМЕР 1 166. Положим dz — pdx 4- qdy, и Найти вид функции z. Поскольку здесь пары переменных a1 2q х2 ! ПОЛОЖИМ у2 а2р a q через у пусть р. х должно быть х2у2 <1=1^ отделить друг от друга, так как выражается через х и v. « и q. у можно т2 a2q откуда р и у, а именно: 1 а2 поэтому х2 dx vy2 dy a2v + a2 Далее выводим: X3 J иу3 За2и ' За2 1 За2 х3 dv v2 у3 dv так что ----у3 должно быть функцией v. Положив „3 Т2--У3 = /' (у) или У3 = ^2 ~ f (vl
92 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛАМ ПЕРВОГО ПОРЯДКА получим СЛЕДСТВИЕ 167. Отсюда Ь3 з = —с , откуда о 3 х3—Ь3 У3~с =-^ легко исключается v, f(v)z= ----c3v. Тогда ^3_^3 ; отсюда v2=^ уз_сз • Вследствие того, что ЗЛ = *3+°У-Ь3-^2 = 2v (у3 _с3)> если положить f'^v) = первое уравнение дает получаем (у3-с3)- ПРИМЕР 2 168. Положим dz = р dx-}- qdy, и пусть должно быть q ~ Ух2-}-у2 — а2р2. Найти вид функции z. Предписанное условие приводится к виду i2#2 — у2 — х2 — а2р2 == у, откуда выводим, что q=-yVy2 + v и р = Но тогда pdx — ~ dx\ х2 — v — ~x]fx2~v — ^- ----- J fZ ЛлН Т/ /р2 ___ у = Та - £ 1 (Х + = 7?> и подобным же образом $ ]/V + a + (у+ ]Л/2 +£’) = £• Поэтому V что приводится к виду 7= -1-lHx + y^^v), 4а 2а ' ' г 71 и подобным образом
Гл. V. УРАВНЕНИЯ С ДВУМЯ ПРОИЗВОДНЫМИ И ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ 93 Теперь, так как V + U = f'(y), получаем а~~ъ I у (у + + = (ar-j-j/x2— откуда v выражается через х и у. А затем находим I (у + 1/У2+г?)1/2Ь (х + У х2— г?)1/2а Ж> то есть ПОЯСНЕНИЕ 169. Это решение может быть освобождено от логарифмических выражений вот каким образом. Положим /'(u) = /Z а — Ъ 4аЬ так что 12ab = (У + ^У2+У)а (х 4- J'7"х2— г?)Ь ’ откуда v выражается через Z. Но тогда должно быть v = tFf (Z), и, поскольку dvf" (у) = ™ , будем иметь и dvf" (v) = vf {у) — f(y) = = F (t), так что 2 = 5 '^~~v S Vy^ --La-^- + F Уь где v = tF'(t) и = + v ’ {х + у'х2-^ ’ откуда Z и v могут быть определены через х и у. Отсюда сразу видно, 2*2 1/^ что при F' (Z) = 0 будет у = 0, /’(/) = 0 и , а следовательно, х у - р—— и ? = у, стало быть, при этом выполняется предписанное усло- вие. Впрочем, этот способ избавиться от логарифмических выражений достоин внимания и может быть широко использован в других случаях. ПРИМЕР 3 170. Положим dz = pdxy~qdy, и пусть должно быть хтуп — Apv-q\ Определить вид функции z. Положим хт Aqv --— —— = уН- Уп
94 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛАМ ПЕРВОГО ПОРЯДКА откуда находим m 1 - V « где А == а\ Теперь получим т + р т + р р и г. dv \pdz = -^ - J (m + н) TO+'<J- J rv+1 И n + v {qdy^-Lf-- {y^tP-idv. J * (« + ^)а (« + v)<z J Следовательно, будем иметь m+p n+v Z — 11 [ 'У v y|X 1 (т + |л)г>7 (^+^)а т+р * v <> n+v , н-v С ? Г (п +v)ах , х 11 + т—:—г?—;—г~ \ dv -----=--------(w + pl)v (тп-г|л) (n + ^) a J L Uv+1 \ ' г/У Отсюда, если положить m + p. n + v (т + |л) 1 (^ + v)a получим m+p n+v (m + |л) и7 (л + *) a bjiv/ (v). В простейшем случае положим /' (и) = 0 и / (и) = 0; тогда откуда в свою очередь . г ^+р n+v z — V7 [ w + n х 11 + (n + V) а У VV~ J ’ то есть 2 = .>+± (m + н) (7П+|Л)^ (п+»)7Л ЗАДАЧА 28 171. Положим dz~pdxA~qdy. Между р, ср х, у задается такое соотношение, что р и q равны функциям от х, у и от нового пере- менного v. Исследовать те случаи, когда удается установить вид функ- ции 2.
Гл. V. УРАВНЕНИЯ С ДВУМЯ ПРОИЗВОДНЫМИ И ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ 95. РЕШЕНИЕ Поскольку р — функция х, у и v, найдем интеграл pdx = Р, рассматривая у и v как постоянные; затем, считая все [эти количества] переменными, получим dP = pdx-\-Rdy + М dv, откуда, если подставить значение pdx, находим dz = dP + (q — R)dy — М dv. Если окажется, что q— R является функцией только у и v, но не х, то определяем, при постоянном v, интеграл (q — R)dy= T, так что dT^(q~R)-dy + Vdv. После подстановки отсюда значения (q — R) dy получим dz = dP + dT - (M + F) dv, а так как это выражение должно быть интегрируемым, полагаем М + У = /'(у), и тогда z = Р + Т — / (у). Вышеприведенные функции Р, R, М зависят от х, у и v, но Т и V зависят только от у и v* решение удается, если только в выражении 7 — R не содержится переменное х. На основании таких же рассужде- ний решение удается, если М зависит только от у и v; тогда мы вычис- лим при постоянном у интеграл Mdv — L и получим dL = М dv-\- N dy и dz = dP + (q — R + TV) dy — dL, Следовательно, нужно положить q-R + N=f {у), так что z = P-L + f(y). Подобным образом можно было бы начать выкладки также со второго члена qdy. Если, однако, ввести неопределенную функцию переменных х, у и v, обозначаемую через К, задачу можно решить в более общем виде: dK = F dx + Gdy + Hdv, и рассмотрим следующее выражение: dz + dK = {p-rF}dx + {q-\-G)dy-\-H dv, Примем теперь у и v за постоянные и найдем (р + F) dx = Р, так что dP == (р + F) dx-\-Rdy -\-М dv,
96 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НО ДИФФЕРЕНЦИАЛАМ ПЕРВОГО ПОРЯДКА откуда dz + dK = dP + (q + G - R) dy + (Я - M) dv. Если теперь окажется, что или q-{-G~R или Н~М содержат только переменные у и у, но не х, то решение может быть получено так, как было показано раньше. ЗАДАЧА 29 172. Положим dz~ р dx-\~ qdy, и пусть дано соотношение между двумя производными р, q и двумя переменными хи z или у и z. Решить эту проблему в тех случаях, когда это возможно. РЕШЕНИЕ Положим, что дано соотношение между р, q и х, z. Этот случай легко свести к предыдущему. Действительно, рассмотрим выражение dy = dz~pdx У Q выведенное из основной формулы; обозначим 1 р — = т и — =—/?, Я Я так что будет Тогда, поскольку dy = mdz-\-n dx. 1 п q~~ и р =-------, in Г т 7 заданное соотношение превращается в соотношение между количе- ствами т, п, z и х и тем самым вопрос становится совершенно подоб- ным тем, которые мы рассматривали раньше, с той лишь разницей, что здесь определяем количество у, тогда как раньше мы определяли z. Это определение выполняется с помощью уравнений, и при этом без- различно, вычислять ли z или у. Итак, если при этом вопрос при- водится к одному из прежде рассмотренных случаев, то задача может быть решена вышеизложенными методами. ПРИМЕР 173. Положим dz = р dx + qdy и пусть должно быть qxz = а2р. Найти вид функции z. Рассмотрим формулу dy dz р dz ч-r р xz -----. Нескольку — = —- , имеем g g g «2 . Но следовательно, 7 dz xz dx Г f dz xz dx dy = T—и C xz dx _x2z C x2 dz j a2 — 2d2 J 2a2 1 C , f 1 x2 \ x2z у — yd z g + 2fl2 J 2д2
Гл. V. УРАВНЕНИЯ С ДВУМЯ ПРОИЗВОДНЫМИ И ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ 97 На этом основании положим 1 . я2 j' / \ q + 2а2 = ' так что Из этого уравнения z положим f(z) = b-^az, определяется через х и у. Если для упрощения то будет При ос = О и Ъ = О Следовательно, — b = х2 ) Z и . . 2аЦу~Ь) 2аа2 — х2 2а2 у получим в простейшем случае z= 4а2у - 2а* Р = + и q = X* Р xz и —- Q X а2 X 2а 2у гр Тогда 7 Л. Эйлер, т. III
Г Л А В A VI О РЕШЕНИИ УРАВНЕНИЙ, КОТОРЫМИ ЗАДАЕТСЯ КАКОЕ-ЛИБО СООТНОШЕНИЕ МЕЖДУ ОБЕИМИ ПРОИЗВОДНЫМИ (£-), (g-) И ВСЕМИ ТРЕМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ .г. у, z ЗАДАЧА 30 174. Положим dz = р dx-\- q dy, и пусть должно быть nz^px^qy^ Найти общий вид функции z. РЕШЕНИЕ При помощи заданного соотношения вычислим или р, или q. rr nz DX Поскольку q =-----— . имеем у У dz = pdx+^y~p^y Г У У а это уравнение преобразуется к виду 7 nz dy / 7 х dy \ 7 х dl-----= тт 7 nzdy Чтобы левую часть уравнения dz----------сделать интегрируемой, 1 f . z 1 на — funct— , или в частном случае на — . z уп У умно- жим уравнение олучим Тогда d\^py^d- . уп у Отсюда ясно, что ИЛИ Z = ynf (у У цией переменных нужно положить ру^п = /' J . так что — Теперь очевидно, что z является однородной функ- х и у степени п.
Гл. VI. О РЕШЕНИИ УРАВНЕНИЙ, СОДЕРЖАЩИХ ДВЕ ПРОИЗВОДНЫЕ Если в общем случае умножить на funct ~, то интеграл левой части примет вид если тогда в правой части поло- жить irfunct^r =/' (Д)> то будет = 0ТКуда п°-пРеж' нему будет равняться произвольной функции количества ~ . СЛЕДСТВИЕ 1 175. Поскольку 2 равняется однородной функции степени п пере- менных х и у, то р и q будут функциями степени п~ 1. Ясно, что если z = ynf ,то откуда, очевидно, nz ~ рх + qy. СЛЕДСТВИЕ 2 176. Если р и q — функции степени п~ 1 переменных х и у, а выра- жение pdx + qdy интегрируемо, то есть , то интеграл всегда равен . Это свойство не раз может оказаться весьма полезным. ПОЯСНЕНИЕ 177. В основу этого решения положено то, что подлежащее инте- грированию уравнение распадается на две части, из которых одну можно сделать интегрируемой при помощи некоторого множителя, благодаря чему определяется одно из переменных, дифференциал которого в урав- нении не встречается. В соответствии с этим наше уравнение может быть представлено еще так: dx х dy __ 1 / nz dy \ __ yn~A / dz nz dy \ У2 РУ \ У d P \У^~~ yn+1 ) ’ или Следовательно, так что или наоборот, 7*
100 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛАМ ПЕРВОГО ПОРЯДКА как и раньше. Можно также с самого начала исключить z из выкладок; в самом деле, так как nz = рх + qy, то ndz^= pdx\- qdy + xdp~\-y dq. Ho n dz — np dx\- nq dy, так что (n — 1) p dx — x dp + (n — 1) q dy — у dq == 0, или xn Г (rt — l)pdx dp ~l n r(ft—dq "| L xn Хп~г J L уП-l J ’ что приводится к виду -O^d ~^=r-ynd-4=r = 0 хп1 ° Уп 1 ИЛИ У71"1 yn x™-1 ’ Положим ^=-/' (-A), тогда -^r = /(-^r). Введем обозначение -^- = v; тогда vn = — > и- если положить, наоборот, -^г = н = -^гА'(у), так что /' («) = -vn, то получаем j duf (к) = f (и) = nF (у) — vFr (у). Таким образом, ц q = уп-Ч («) = пу*-* F^-xy^F'^, откуда nz = px^-qy = nynF (у) или z=ynF(j^, как и раньше. ЗАДАЧА 31 178. Положим dz= pdx + qdy; пусть должно быть apx-yfiqy = nz- Найти вид функции z. РЕШЕНИЕ Из предписанного условия выводим, как раньше, nz арх ?>У ’
Гл. VI. О РЕШЕНИИ УРАВНЕНИЙ, СОДЕРЖАЩИХ ДВЕ ПРОИЗВОДНЫЕ Ю1 откуда , _ nz dy _ , zpxdy a fjy -Pax gy ’ n что после деления на дает 7 z р / j ах dy Ч pya^ 7 x yW ~ yn^ C X &F~ 7 ~ ynl$ ya^ ’ C7 C7 J C7 Следовательно, положив имеем решение Но функция количества сводится к функции количества что z определяется через х и у формулой так или -^ЧЧ> Если количества х^а и считать имеющими первое измерение, то 1 zп будет их функцией первого измерения и, следовательно, количе- ство z будет функцией п измерения. Итак, если в качестве z взять какую угодно однородную функцию степени п двух переменных t и и, а затем положить t~x^a и = то получится подходящее выраже- ние для z. ЗАДАЧА 32 179. Положим dz = pdxJrqdy1 и пусть должно быть Z = pX4rqY, где Z — функция z, X — функция х и Y — функция у. Найти общий вид функции Z. РЕШЕНИЕ тт Z РХ Из предписанного условия имеем q ~ и после подстановки этого значения получаем dz^^p{dx-^, следовательно, и теперь решение очевидно. А именно, положим
102 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛАМ ПЕРВОГО ПОРЯДКА тогда С dz С dy _ , / С dx С dy \ j ~z Л откуда определяется значение z через х и у. СЛЕДСТВИЕ 1 180. Итак, здесь требуется найти z в зависимости от х и у так, чтобы, если X, Y и Z —заданные функции соответственно от х, у и z, имело место уравнение 4£)+y(»z- Стало быть, найденное здесь решение этого уравнения содержится в следующем конечном уравнении: С — С dy Л J 2 ~ J У И / СЛЕДСТВИЕ 2 181. То, что полученное значение действительно удовлетворяет поставленной задаче, получается немедленно путем дифференцирования. В самом деле: dz _ dy t f dx dy\4,f^dx f dy + < ~Y~ '1^7’ откуда и ( _ z r (V _ C \dy J Y Y' < J X J Г так что xG)+y(s-)-z- ПОЯСНЕНИЕ 182. Решение можно было выполнить таким же образом, как и выше, без введения новых букв р и q, с сохранением обозначений производ- ных и ** однако легче писать единичные буквы и выкладки выходят короче. Впрочем, среди задач такого рода, где встречаются все три переменные гг, у и z и сверх того еще производные р и q, только очень немногие могут быть решены; к тем, которые мы уже изложили, едва ли мы сможем добавить ту или иную. Поэтому здесь остается пожелать существенного расширения метода1). Для того, однако, чтобы лучше видеть охват этой проблемы, добавим несколько примеров. г) Unde hie insignia adhuc calculi incrementa desiderantur.
Гл. VI. О РЕШЕНИИ УРАВНЕНИИ, СОДЕРЖАЩИХ ДВЕ ПРОИЗВОДНЫЕ ЮЗ ПРИМЕР 1 183. Положим dz = р dx + q dy, и пусть должно быть г2 = рх2 + qy2. Найти общий вид функции z. В данном случае Z — 22, X — х2 и Y = у2; отсюда имеем С dx __ 1 С dy __ 1 С dz ______ _ 1 j JT х ’ j У у И J Z 2 После подстановки этих значений получим решение в виде „А - _ _1Л z ” ' \ У х ) ИЛИ Следовательно, если взять произвольную функцию количества 1 1 __ х—у у х~ ху и обозначить ее через У, то будет z — —'Ууу * Если, в частности, положить V— то получаем 1 _ 1 п п пу — (п — 1) X z ~ у у х ~ ху 1 откуда - ХУ х» — ; гт « пу^(п— 1) X Следовательно, __ / dz \ _ • пу2 __ Z dz \ _ — (п— 1) х2 ? ~\dx) “ [пу—(п — 1) х]2 И \ [пу—(п —1) х]2 ’ так что 9 I О Х2У2 9 рх2 4- qy- = ?J ..—75 = z2. г [пу— (п~ 1) х]2 ПРИМЕР 2 184. Положим dz = pdx-rqdy, и пусть должно быть — Найти вид функции z. В данном случае Х = -, У = - и Z = -. X у Z Следовательно, х ' у так что решение получается в виде
104 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛАМ ПЕРВОГО ПОРЯДКА ИЛИ z* 2 = ny2 + /(a:2 —у2). Нет необходимости множить на 2п функцию [в правой части], так как знак этой функции уже включает в себя все такие действия1). Если в качестве этой функции взять а (я2 — у2), то получим частное решение z2 = аж2 + (п — а) у2 и z = )/aa;2 + (n —а);у2, откуда __ / dz \ _ ах & \dx ) j/ax2 4- (п— а) у2 И = / dz \ (п —«)у Ч &У / ]/"az2 + (п — а) у2 ’ р а а п — а р , q п то есть — = — и ~.=------, так как — Ц- — = — . X Z у Z X 1 у Z ЗАДАЧА 32 [а]2) 185. Положим dz = pdx~\- qdy, и пусть должно быть q = pT~\-V, где Т — любая функция х и у, а V — функция от у и z. Найти вид функции z. РЕШЕНИЕ Подставив вместо q предписанное значение, получим наше урав- нение в виде dz — V dy = р (dx 4- Т dy). Поскольку V содержит только два переменных у и fz, можно найти множитель М, который делает интегрируемой левую часть dz — V dy\ положим, следовательно, М (dz-Vdy)=dS. Подобным же образом, поскольку Т содержит только х и у, то суще- ствует множитель L, который делает интегрируемым dx~\-Tdy\ итак, t L (dx -|- Т dy) = dR. Количества R и S являются теперь известными функциями, первое — от х и у, второе —от у и z. Таким образом, наше уравнение приводится к виду dS р dR j о рМ dR — = Г Г или dS = . М »£ L Из его интегрируемости следует, что есть функция только от 7?. Мы можем, следовательно, положить = f (R), и тогда ~ /(/?). Этим уравнением определяется соотношение между количествами z и я, у х) non enim est necesse functionem per 2n multiplicari, cum ea omnes operationes iam per se invol vat. 2) В первом издании ошибочно повторен № 32.
Гл. VI. О РЕШЕНИИ УРАВНЕНИЙ, СОДЕРЖАЩИХ ДВЕ ПРОИЗВОДНЫЕ ДО5 СЛЕДСТВИЕ 1 186. Эта задача содержит предыдущую как частный случай: в самом у Z деле, так как Z = pX-\-qY, то q = —— р-\-— , и, применяя получен- ное решение, имеем Т т/ Z Т= -у и У = -. СЛЕДСТВИЕ 2 187. Хотя эта задача намного шире предыдущей1), она все же заключена в очень узких рамках: исходя из нее, нельзя решить даже весьма простое уравнение z = ру-\-qx. ПОЯСНЕНИЕ 188. Уравнение z^py-\-qx достойно внимания, поскольку его не удается решить с помощью каких бы то ни было доныне известных положений. Определяем ли мы из него q — , получая dZ-z^y=p^dx~^y или находим из него р, мы не приходим к решению. Причина этих затруднений, очевидно, заключается в том, что никакой множитель j 2 dy не может сделать интегрируемым выражение dz-; иначе говоря, уравнение dz — 0 является невозможным, если х переменное коли- чество наравне с у и z. Ведь я уже указал выше, что не все дифферен- циальные уравнения между тремя переменными возможны, и установил критерий возможности, который для выражения dz + Р dx Q dy~O приводится к виду Но в нашем случае Р = 0 и так чт0 критерий дает 0^-^ , что неверно, и поэтому уравнение dz~ — 0 невозможно, что и само по себе очевидно. В то же время можно немедленно указать частное решение уравнения z руqx, а именно z^n^x-Yy), откуда p = q — n. В дальнейшем мы дадим метод нахождения общего решения из такого рода частных решений. ПРИМЕР 1 189. Положим dz = pdx-\-q dy, и пусть должно быть py + qx^ . Найти общий вид функции z. х) infinite latius patet quarn praecedens.
106 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛАМ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Поскольку q = — , имеем 7= — и Т = -, Z у так что dS = M(^dz и dR = L(dx-Z^. 1 Z Положим поэтому М = ~, откуда 5 = — и L = 2x, стало быть, R = — х2 — у2. Таким образом, получается решение ^ = /(я3 —£2), ТО есть z = ynf(x2 — y2). ПРИМЕР 2 190. Положим dz = pdx^qdy, и пусть должно быть рх2 + qy2 = nyz. Определить вид функции z. Поскольку д== — ^- + ~, имеем Т=-~ и У = -, У2 У так что этот случай содержится в нашей задаче. Мы получаем dR^L^dx-?-^ и = гт т 1 г» 1 1 Я—у 1 Положив L = — , получим Н =-= -—~ , а положив М = —,, получим х2 у х ху Уп S—~. Таким образом, приходим к решению то есть 2=2/П/СУ9- ЗАДАЧА 33 191. Положим dz — pdx-Yqdy, и пусть должно быть p = qT-\-V, где Т —функция х и у, V — функция х и z. Определить вид функции z. РЕШЕНИЕ Подобным же образом, как выше, подставим вместо р его предпи- санное значение и получим dz — V dx = q (dy + T dx), В силу свойств функций V и Т могут быть выполнены следующие интеграции: М (dz — V dx) = dS и N (dy ~\-Т dx) =^dR, откуда § = то есть dS = ^-dR. Откуда легко получаем такое решение: = и 5 = /(Я).
Гл. VI. О РЕШЕНИИ УРАВНЕНИЙ, СОДЕРЖАЩИХ ДВЕ ПРОИЗВОДНЫЕ Ц)7 ЗАДАЧА 34 192. Положим dz = pdx-\qdy, и пусть должно быть z = Mp-\-Nq, где М и N — любые функции двух переменных х и у. По частному реше- нию z = V найти общий вид функции z. РЕШЕНИЕ Продифференцируем частное решение Vt представляющее собой функцию х и у; мы получим dV = Р dx-{~Q dy* Подставив вместо z это частное решение, так что р = Р и q—Q, имеем, по предположению, V~MP-\~NQv В общем же случае полагаем z = Vf (Г), так что dT — Rdx-\Sdyy и будем теперь искать функцию Г. Путем дифференцирования находим, что /’=CS)==jD/(r)+W(r) и ?=(J) = C/(O + W(O- Поскольку z = Mp + Nq = Vf(T), должно быть Vf (Г) - (MP + NQ) / (Г) + V (MR + 7V5) ff (Т), и, так как, по предположению, V = MP-\-NQt получим М7? + А5 = 0, откуда dT = R(dx Нам не нужно знать R, а достаточно рассмотреть выражение N dx — M dy, которое можно сделать интегрируемым при помощи некоторого множи- теля. Решение теперь легко свести к следующему: исходя из предпи- санного условия z — Mp\-Nq, образуем реальное уравнение dT = R (N dx-Mdy), и, найдя подходящий множитель 7?, путем интегрирования определяем количество Г. Тогда получим z — Vf(T). ДРУГОЙ СПОСОБ Легче найти это общее решение таким образом: исходя из извест- z значения V, положим z = Vv, и пусть dv = г dx + $ dy*
108 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛАМ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Тогда р — Pv-\-Vr И £ = поэтому z = Mp-\-Nq = (MP-\-NQ)v-\-V(Mr-\-Ns) = Vv. Но V^MP + NQ, следовательно, Mr-\- Ns — 0, то есть s = Отсюда dv = r(^dx = dx — Mdy). Следовательно, найдя подходящий множитель .[/?], положим R(Ndx-Mdy)=dT. Тогда откуда заключаем, что д^ = /'(П и и = /(Т), так что в общем случае, как и прежде, z = Vv. СЛЕДСТВИЕ 1 193. Итак, когда задано условие z = Мр -р Nq, причем dz = р dx + q dy> немедленно переходим к рассмотрению дифференциального уравнения R(N dx — M dy)~ dT, откуда находятся как множитель /?, так и инте- грал Т; эта операция не зависит от известного частного решения V. СЛЕДСТВИЕ 2 194. Пусть найдено количество Т; если откуда-либо известно част- ное решение z = F, то общим решением будет z~Vf(T). Необходимо, однако, заметить, что из частного решения можно найти общее только в том случае, если заданное условие имеет вид z = Mp-j-Nq. ПРИМЕР 1 195. Положим dz = pdx--qdy, и пусть должно быть z—py^qx. По частному решению z = x-\-y нашпи общее. Поскольку в данном случае М ~у и имеем следующее урав- нение: R (х dx — у dx) = dT, откуда 7’ = /(ж2-?у2). Следовательно, общим решением будет z = (« + ?/)/(ж2-у2).
Гл. VI. О РЕШЕНИИ УРАВНЕНИЙ, СОДЕРЖАЩИХ ДВЕ ПРОИЗВОДНЫЕ IQQ ПРИМЕР 2 196. Положим dz = pdx-^qdy, и пусть должно быть z = р(х-]-у)-\- — х). По частному решению z^Vx2-\-y2 найти общее. Так как М — х-\-у и N = y — x, то выражение ATdx — Мdy приводит к следующему уравнению: R(y dx — xdx — xdy — у dy) = dT. I Положим R = ~2~.—2 j TaK 4T0 + y2 irp _y dx — xdy xdx+y dy ai " x2+y2 x2 + y2 • Следовательно, T = arctg -J -A I (x* + 2/2). Исходя из этого выражения, содержащего две трансцендентности1), получаем г = р^+Г2/(Т). Отсюда видно, что нет никакого другого частного алгебраического реше- ния, кроме заданного z = j/x2-]- у2. ПРИМЕР 3 197. Положим dz = р dx-\- qdy, и пусть должно быть z — р (arc-j- £г/) + + (УА‘ + ^У)- По найденному частному решению z — V найти общий вид функции Z. Здесь М— %х-\-$у и N — ^х-\-1ьу, так что приходим к следующему уравнению: R [fa + оу) dx — (лх + ₽?/) dy] = dT. Ввиду его однородности должно быть тх2+ (S —а) ху — $у2 ’ так что dT — (5а: + Ьу) dx—(ax + $y) dy ?х2+ (3 — а) ху— $у2 Интеграл находим при помощи подстановки у = их, что дает dT — —(g + Зц) . х т + (S— а) и—3й2 * и, если обозначить n ^—lU, будем иметь T — lx—lU, J Т + (о — а) и— J я поскольку функция количества Т является также функцией количест- ва — , то в общем случае z — Vf . Отсюда ясно, что, поскольку U есть функция от и = , U является однородной функцией нулевого измерения переменных х и у и, следовательно, является функцией измерения единица. х) atque ex valor hoc dupliciter transcendente erit.
110 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛАМ ПЕРВОГО ПОРЯДКА ПОЯСНЕНИЕ 198. В этом примере остается еще та трудность, что нужно пред- варительно найти частное решение z — V. Ибо если у нас не будет такого частного решения, то общего решения мы не сможем найти. Но в данном случае такое частное решение можно найти по способу, который будет указан ниже, а так как этот способ несколько своеобразен, то благодаря ему этот раздел анализа несомненно существенно обогатится1). ЗАДАЧА 35 199. Положим dz = pdx-^qdy, и пусть должно быть z = p(ax+^y) + q^ix+^y). Найти частное значение г, удовлетворяющее этому условию. РЕШЕНИЕ Нам удается получить решение, если в качестве значения z будем искать однородную функцию переменных х и у нулевого измерения, так что, если положить у = их, это решение должно быть функцией одного и. Положим поэтому z = /W = /(^y значит, tf / \ dz и, вследствие того, что X ХЛ получим откуда и г, / ч и dz 1 / \ dz Р=-----f W =-----и Q = “ f W = ~r • r x 1 v 7 x du * x x ' x du После подстановки полученных для р и q значений предписанное усло- вие принимает вид откуда dz_____________________________ du z 7 -J- (о — a) u— Bu2 * Положим C________________________________________— iv- J 7+(o—a) и — >2 ’ тогда z = V будет частным решением 9 Pro hoc autem casu solutionem particulareni sequent! modo elicere licet; qui cum aliquid singulare habcat, nullum est dubium, quin eius ope hoc caleuli genus baud parum adiumenti sit consecuturum.
Гл. VI. О РЕШЕНИИ УРАВНЕНИИ, СОДЕРЖАЩИХ ДВЕ ПРОИЗВОДНЫЕ 99' СЛЕДСТВИЕ 1 200. Когда найдено это значение V, легко получить общее реше- ние, воспользовавшись предыдущим примером. Имеем z = где dU (a. + ^u)du U ? + ($ — a)u~3u2 ’ откуда видно, что количество U можно найти по частному решению V. СЛЕДСТВИЕ 2 201, Имеем ________________________________ г y(&+a) (/и IU = — I -у (б — а)и — $и2 + \ ——гт--------г-------г-2, 7 1 j 7 + (о — а) и — стало быть, IU =-_ — I |/v -р (о — а) и — + у (а + о) IV или у!/2(а+5) iX+ (S—а)м —Э»2 ’ отсюда х __У х2 + (& — а) ХУ — ^У2 U у1/г(а +5) * СЛЕДСТВИЕ 3 202. Таким образом, с помощью найденного частного решения z = V, причем dV__ du у У у+(&— a) w — ^и2 ’ U ~ х ’ получаем общее решение z _ уу 7г2 + (^ — x^xy-Jy2 j = У/ r(7r + fy) — + j СЛЕДСТВИЕ 4 203. Отсюда получаем еще другое частное решение, всегда алге- браическое, а именно 1 , z = [x (ух 4- оу) — у (ах + Ру)]а+°' или любое кратное этого решения. Но если V не является алгебраиче- ской функцией, тогда все остальные решения будут трансцендентными, и имеют такой вид: 2 = [х (ух + 5у) — у (ах + ру)”+з ]/ [ Д(ar + 1 .
112 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛАМ ПЕРВОГО ПОРЯДНА ПОЯСНЕНИЕ 204. В одном случае, когда — а, а предписанное условие имеет вид: z - р {ах + Р*/) + q {ух -ay), требуется особое исследование. Прежде всего при подстановке и —~ находим для частного решения z — U значение Далее, так как dU __ (а 4- du U 7 — 2аи — ’ получим U=" 1/---и -J- = l/Y^-2ax2/- р?/2, у у — 2аи — и так что общим решением будет z = Vf (ух2 — 2аяг/ — Рг/2). Само собой очевидно, что вместо / (]/ Т) можно писать также f{T). Следовательно, если V не является алгебраической функцией, то в этом случае вовсе не будет никаких алгебраических частных решений. ПРИМЕР 1 205. Положим dz^pdx^qdy, и пусть должно быть nz = py — qx. Найти вид функции z. Сравнивая с исследованным нами общим случаем, мы видим, что а = 0; р=-; •/=--; 8 = 0. г п * п Но здесь о=х — а, как в предыдущем параграфе, значит, ,Т7 с п du , IV = \ —z--7 = — п arc tg w. j —1 — U2 5 Поскольку, однако, и = , общее решение есть у Z = е "arcte х / (ж2 + г/2). ПРИМЕР 2 206. Положим dz — pdx-Vqdy, и пусть должно быть z=*p{x-Vy) — — q{x~Vy). Найти вид функции^. Сравнение [с общим случаем] дает а= 1; р=1; у = — 1; 8 - - 1, следовательно, /т/ _ £ du _ ..у — J —1 — 2и — u3 1 4- и ’ и общим решением будет х z = ex+yf(X'Vy).
Гл. VI. о РЕШЕНИИ УРАВНЕНИЙ, СОДЕРЖАЩИХ ДВЕ ПРОИЗВОДНЫЕ ЦЗ ПРИМЕР 3 207. Положим dz = р dx -|- qdy, и пусть должно быть z — р(х — 2у)-\- 4- q(2x — 3y). Найти вид функции z. Поскольку здесь <х = 1; 3=- 2: у = 2 и 3, имеем сперва ду._ Г du _ +1 _ х ~ j 2 — 4- 2и2 '2(1 — и) ~ 2 (х — у) ’ а так как в данном случае 6 не равно —а, общим решением будет Z = (2а:2 - 4ху + ^-4Х у + 2у^ _ Но X V — е2(х-у), поэтому z = -^~f[(x~y)2ex-y], Л у а простейшим решением в этом случае будет z =-------. X у ПОЯСНЕНИЕ 208. Следует поставить вопрос, каким образом можно сразу найти общее решение, без помощи частного решения; следующие рассуждения покажут, как это может быть выполнено. Поскольку Р (™ + Ру) = z - q (ух + &у) И q (ух+Ъу) = z — р (ах+Ру), то после подстановки обоих значений порознь в выражение dz — pdx-\- qdy получим следующие равенства: (ах + fry) dz — zdx — q (ух + Zy) dx-\-q (ах + 0у) dy, (ух-\-<>у ) dz = z dyp(yx + 6y)dx- p(ax + $y)dy. Умножим первое на неопределенный множитель М, а второе —на /V; тогда сумма произведений дает dz [М (ах + $у) + N (ух + Zy)] — z (М dx-^ N dy) = = (Np—Mq)[(yx + Zy)dx — (ax + ^y)dy], . где М и N должны быть взяты так, чтобы левая часть допускала интегрирование. В этом случае ее интеграл равен произвольной функ- ции количества С + (ах + Зу) dy J 7х2--{6 —а) ху — $у2 5 вычисление которого показано выше [§ 197], а именно, этот интеграл равен Но, очевидно, целесообразно выбрать М и N таким 8 л. Эйлер, т. ш
114 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛАМ ПЕРВОГО ПОРЯДКА образом, чтобы стало возможным уравнение dz __ М dx-\- N dy z — М (ах + ру) + N (ух 4-By) или чтобы второй член допускал интегрирование; если его интеграл обозначить через IV, то = • Чтобы добиться интегрируемости, положим у = их, а М и N будем считать функциями и. Тогда dz __ (М + Nu) dx + Nx du z Mx (a 4- pu) + Nx (y 4- Bu) * Интегрирование удается, если положить М= — Nu, что дает dz du z 7 + (S — а) и — $u2 ’ ИЛИ iv = С-----—------, J 7 4- (В — a) и — $u2 как и раньше. ЗАДАЧА 36 209. Положим dz—pdx-Vqdy, и пусть должно быть Z = рР -VqQ, где Z —функция 2, а Р и Q — какие угодно заданные функции х и у. Найти вид функции 2. РЕШЕНИЕ Образуем из исходных уравнений следующие: L dz = Lp dx + Lq dy, MZ dx — MpP dx + MqQ dx, NZ dy == NpP dy + Nq Q dy. Образовав их сумму, получим L dz + Z (M dx + A7 dy) = = p [{L 4т MP) dx + NP dy] + q [(£ + NQ) dy + MQ dx]. Для того чтобы правая часть содержала множитель, свободный от р и q, пусть будет L-\-MP_ MQ NP " L + NQ' откуда L2 + LNQ + LMP = 0, то есть L = — MP—NQ. После введения этого значения получим -dz(MP + NQ) + Z(Mdx + Ndy)==(Mq-Np)(Qdx-Pdy). Поскольку, однако, Р и Q — заданные функции х и у, то существует множитель R такой, что R (Q dx — Р dy) = dU и, следовательно, - dz (MP + NQ) + Z (М dx + N dy) = м<1~^р dU. Возьмем теперь неопределенные функции М и N такие, чтобы выра-
Гл. VI. О РЕШЕНИИ УРАВНЕНИЙ, СОДЕРЖАЩИХ ДВЕ ПРОИЗВОДНЫЕ Ц5 М dx 4- /V dy жение стало интегрируемым, что всегда можно сделать. Итак, М dx 4- N dy_ .у ~mTp~+NQ ~ ’ тогда вследствие того, что М dx + N dy == (MP + NQ) dV, наше уравнение примет вид (MP + NQ)( - dz + Z dV) = —dU, ИЛИ Поэтому должно быть ^-dV . Np-Mq___d RZ (МРЦ-NQ) ’ TV p— Mq JtZ(MP~+NQ) и, следовательно, C§-V = /(tZ), то есть C$ = V + /(t/), J Z j Z откуда z определяется через x и у. СЛЕДСТВИЕ 1 210. Для решения этой задачи требуется, следовательно, найти сперва для выражения Q dx — Р dy множитель /?, который делает это выражение интегрируемым, так что R(Qdx~ Р dy) = dU, откуда количество U определяется через х и у. СЛЕДСТВИЕ 2 211. Затем интегрируемым обозначим через выбираем количества М выражение М dx 4- /V dy ~ mp + nq и N так, чтобы становилось интеграл от этого выражения V и получим общее решение задачи в виде ПРИМЕР 212. Пусть Р и Q — однородные функции х и у одной и той же степени п. Найти решение задачи. Положим у = их. Тогда как Р, так и Q будут произведениями хп и некоторой функции переменного и. Итак, пусть P = xnS и Q = xnT, где 5 и Т — заданные функции переменного и. Но тогда, поскольку dy^udx^xdu, выражение Qdx — Pdy переходит в х^Т dx — xnSu dx— xn+1S du xn [(T — Su) dx — Sx du]. &*
116 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛАМ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Положим, следовательно, о 1____ — Su) ’ так что ^тт__dx S du au -'T~~~T—Su ’ откуда находится U. Для второго количества V имеем уравнение чу__________________________(М + Nu) dx + Nx du v ~ (MS + NT) ’ и здесь уже легко выбрать М и N в виде функций и так, чтобы это выражение стало интегрируемым. Интеграл получится в виде у __ — М — Nu “ (n—l)xn~1(MS+NT) ’ М а М и N или должны быть взяты такими, чтобы было 1 j К+и __ 1 du “ (n—l)"^1 й KS + T “ х^1 KS + Т ’ то есть -K2d$ + KS du-uKdS-uS dK + Т dK - К dT + Т du-udT + + (n-l)du(KS+T) = 0. Это можно привести к такому виду: (Т — Su) dK + К (nS du — udS — dT) — К2 dS nT du — udT = 0. Считая это уравнение решенным, находим отсюда количество К, после чего получим у —_________________ (и —l)^-1 (А^4-Т) ’ Поскольку решение предыдущего уравнения затруднительно, положим К+и сразу KS + T- = v, так что откуда „ о 71 — Su ’ Решив это уравнение, получим СЛЕДСТВИЕ 213. Однако случай требует особого исследования. Впрочем, легко видеть, что при этом нужно принять М— —Nu, так что —— и, когда найдено количество F, будем иметь Т •— и \^ = V + f(U). J
Гл. VI. О РЕШЕНИИ УРАВНЕНИЙ, СОДЕРЖАЩИХ ДВЕ ПРОИЗВОДНЫЕ Ц7 ПОЯСНЕНИЕ 214. Поскольку три переменные х, у, z перестановочны друг с другом, эту задачу можно, очевидно, широко обобщить. А именно, если заданное условие выражается уравнением рР + qQ A~R — О, то наш метод решения приводит к успеху не только, когда /? — функция z, Р и Q— функции х и у, но и в том случае, когда Р — функция х, Q и /? — функции у и z, а также в том случае, когда Q — функция у, Р и R — функции х и z. Это последнее условие вместе с прежде рассмотренным обладает тем свойством, что производные р и q отделены друг от друга и встречаются только в первой степени, что означает большое ограничение. Однако если условие более сложное, то, по-видимому, вряд ли можно надеяться на решение. Приведу все же один случай, когда удается получить решение. ЗАДАЧА 37 215. Положим dz = р dxA~ qdy, и пусть должно быть q = Арпх1у^*. Найти обгций вид функции z. РЕШЕНИЕ Подставив это значение q, получим dz = р dx + Арпх'ку'^ dy, откуда Ayv- dy — p~nx-xz~v (dz — р dx). Положим p~nx~xz~v = t, так что _i_ _3 _2 p~t пх пz п и П—1 _ X _2 Ayv-dy = tdz — t п х nz ndx. Далее, принимаем п т0 есть i = zn-\un-\ тогда n v X Ayv- dy — ип~{ zn-1 dz — их п dx. После интегрирования по частям получим . . n П-f-V-l п — А A . rt ft— 1 --7 —---7- Пи —— —— + l = .------- ип-1 z п~1---------Хп — и + 1 И + ч — 1 ft — X 1 n + v-l П—X — \ du (------у и71'1 Z П-1----X п ) , J k ft + > —1 ft —Л J
118 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛАМ ПЕРВОГО ПОРЯДКА и теперь можно получить решение с помощью приемов, данных выше. А именно, принимаем . 1 п+У-1 n—X --;---г ZZn-1 Z n~i-----г Х П = f' 00, n + v— 1 п — \ 1 4 откуда . n n+v—1 п—А - п< (“) - а если из этих двух уравнений исключить и, то получим z в зависи- мости от х и у. СЛЕДСТВИЕ 1 216. Случай п = i требует особого исследования, поскольку при p——x~xz~v имеем Лdy^tdz — x~l z~v dx и ^^+1 = CTa:1_*z~v+ 5 cKz + ct2:1~Xz“v“1) ’ откуда немедленно заключаем, что - у^+* = 1, z~v -\-f (z). н +1 К—1 I / \ / СЛЕДСТВИЕ 2 217. Случаи 1 = Оилг —X — 0 не доставляют никаких затруд- нений, поскольку в первом случае А П+У-1 "-1 =^- а во втором случае п — А X п ~1х. В решение надо подставить именно эти значения. ПРИМЕР 218. Положим dz=^ pdx + qdy, и пусть должно б,ыть pqxy~az, то есть q — ~~. Найти функцию z. Итак, dz = р dx + az dy- или = (dz - р dx). г рху у z ' Положим p—=t, то есть р = — . Тогда a^- = tdz-t^- . Положим z % У л я и a dy и dz u2dx далее Z2z = w2 или t = , так что —- = ---— , Т у у z л
Гл. VI. О РЕШЕНИИ УРАВНЕНИЙ, СОДЕРЖАЩИХ ДВЕ ПРОИЗВОДНЫЕ И9 откуда после интегрирования получаем aly = 2u ]/z — иЧх — du (2 ]/~z — 2ulx), где под знаком интеграла встречается только один дифференциал du. Положим поэтому ]/7— ulx = f (и), откуда aly = 2и]/\ — иЧх — 2/ (и) = иЧх + 2ujr (и) — 2/ (и). В качестве простейшего случая возьмем /' (и) = 0 и / (и) = 0. Тогда У Z и = ^> откуда 7 2z z z aly = ---------------------------------~г = т~ » ° lx lx lx следовательно, в этом случае имеем z = alxly. Полагая f (и) = ulc и f(u)=-^-u2lc, получим и = 7 2 J lx + lc lex И , 2z zlx zlc z lex {lex)2, {lex}2 lex 9 лак что z = aly (lc + lx). Существует еще более общее решение z = a (lb + ly) (lc + 1х). ПОЯСНЕНИЕ 219. Вышеизложенные методы могут быть существенно расширены, если вместо переменных х и у, функцией которых является z, ввести два других переменных t и и, зависимость которых от старых перемен- ных задана. Итак, если z — функция переменных х и у, причем dz = pdx^qdy, то после введения вместо х и у новых переменных t и и и выполнения дифференцирования получим dz = rdt + sdu. Спрашивается, каким образом г и s выражаются через р и при за- данном соотношении между старыми переменными z, у и новыми пере- менными Z, и. Так как и х, и у равны каким-то определенным функциям t и и, имеем dx = Pdt^Qdu и dy == Rdt +5 du, и после подстановки этих значений z окажется функцией t и и. А по- скольку dz = р dx + q dy, будем иметь dz = (Рр 4- Rq) dt + (Qp Sq) du.
120 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛАМ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Но по условию, dz = г dt sdu, следовательно, г = Pp + Rq и s = Qp-\-Sq. Итак, при этой подстановке новые производные определяются через старые производные так: (Ю-ЧгО+яШ ” (s)='?C£)+iG-O- А так как отсюда в свою очередь получается, что Qr-Ps = (QR-PS)q и Аг= (PS — QR) р, то мы заключаем, что / — А Л \ R С dz \ ” PS—qR PS~qR ) и \JTyj PS—qR \dt y4" ps—qp du J ' Поскольку x и у, равно как и z, являются функциями t и и, это соот- ношение может быть так выражено: Л Л Л и- Л Л Л — Л A dt ) V dt ) \ dx} ' \dt )\dy J И \du ) \du ) \*dx) ' \^du ) \dy ) Таким образом, мы достигаем того, что если некоторые задачи, задан- ные в виде соотношения между р, q, х, у, z, могут быть решены, то тем самым получается решение также для вытекающего отсюда соотно- шения между г, 5, Z, и, z. При этом часто получаются задачи, решение которых кажетсд чрезвычайно трудным, так что это может быть весьма существенным вспомогательным средством в данной части Анализа. Но, поскольку польза от этого средства скажется в особенности при рассмотрении дифференциальных уравнений второго порядка, то я на этом вопросе дольше останавливаться не буду и перейду к последним1). г) Следует заметить, что Эйлер уже решил некоторые дифференциальные уравнения того же типа, что рассматриваются здесь в главах II — VI, в статье (№ 285 по списку Энестрема) «Определение функций по заданной зависимости между дифференциалами» Investigatio functionum ex data differentialium conditio- ne), Novi comment, acad. Sc. Petrop., 9(1762/3), 1764, стр. 170 Opera Omnia, Ser. I, vol. 22. [Ф. Э.] о 0 о
ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ КНИГА ПОСЛЕДНЯЯ ЧАСТЬ ПЕРВАЯ ' ИЛИ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ ПО ДАННОМУ СООТНОШЕНИЮ МЕЖДУ ДИФФЕРЕНЦИАЛАМИ ЛЮБОГО ПОРЯДКА РАЗДЕЛ ВТОРОЙ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ ПО ДАННОМУ СООТНОШЕНИЮ МЕЖДУ ДИФФЕРЕНЦИАЛАМИ ВТОРОГО ПОРЯДКА ГЛАВА I ОБЩЕЕ О ПРОИЗВОДНЫХ ВТОРОГО ПОРЯДКА ЗАДАЧА 38 220. Пусть z — какая-либо функция двух переменных х и у, найти ее производные второго порядка.
122 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛАМ ВТОРОГО ПОРЯДКА РЕШЕНИЕ Поскольку z есть функция двух переменных х и у, ее дифферен- циал имеет вид dz = pdx-\-qdy, где р и q — производные первого порядка, которые мы обозначаем так: f dz f dz\ Но поскольку р и q тоже являются функциями х и у, то их производ- ные являются производными второго порядка от z. Таким образом, получаем нижеследующие четыре производные: dx ) ’ \dy)' \dx ) ’ \dyj ’ из которых, однако, вторая и третья между собой совпадают, как было доказано в «Дифференциальном исчислении». Но поскольку , то целесообразно аналогично писать Смысл этого обо- значения совершенно’очевиден. Аналогично = и, так как ? = имеем Но в силу того, что =\dxdy) ’ ФУНКЧИЯ z обладает тремя про- изводными второго порядка, а именно / d2z \ # / d2z \ е / d2z "\ \dxz ) 9 \dx dy ) ’ < dy2 ) СЛЕДСТВИЕ 1 221. Итак, функция z двух переменных х и у имеет две производные первого порядка ( dz\ f dz\ \Тх) И \~dy) ’ и три производные второго порядка: d2z \ / d2z \ ( dx2 J ’ \dx dy ) И \ dy2 J СЛЕДСТВИЕ 2 222. Итак, эти выражения получаются путем двукратного диффе- ренцирования, причем только одно количество принимается в качестве переменного. Первое из них получается, дважды считая переменным х, во втором при одном дифференцировании переменным считается ж, при втором —у, а в третьем— оба раза переменным считается у.
Гл. I. ОБЩЕЕ О ПРОИЗВОДНЫХ ВТОРОГО ПОРЯДКА 123 СЛЕДСТВИЕ 3 223. Подобным образом выясняется, что у функции г есть четыре производные третьего порядка, а именно Z d3z Л Z d3z \ Z d3z Л Z d3z \ \ dx3 ) ’ \ dx2 dy J ’ \ dx dy* ) ’ \ dy3 ) ’ затем пять производных четвертого порядка, шесть порядка ит. д. производных пятого ПОЯСНЕНИЕ 224. Производные второго порядка с помощью дятся к производным первого порядка. Например, ( dz Д после подстановки J = р преобразуется в Г ПРИ помощи той же подстановки преобразуется в По- = q производная ) преобразуется в в • Точно так же, как мы из равен- средством подстановки , а производная ства р = вывели подстановки производная приво- производная из последних равенств получим далее: d2p \ _ Z d3z \ Л d2p Л_________Z d3z Л / d2p \ __ / d3z \ dx2 J \ dx3 ) ' \dx dy ) dx2 dy ) ’ \ dy2 у \dz dy2 ) Точно так же, если положим т0 отсюда следуют равенства — ( d3z Л / d2q Л _ < л3? Л \ dx2 J \ dx2 dy ) И dx dy J \dx dy2 J Это нечто вроде нового алгоритма, принципы которого очевидны сами по себе и дальнейшей иллюстрации не требуют. ПРИМЕР 1 225. Пусть z~xy. Найти производные второго порядка этой функ- ции. Поскольку Cs) = s 1 получим (5>°-
124 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛАМ ВТОРОГО ПОРЯДКА ПРИМЕР 2 226. Пусть z = xmyn. Найти производные второго порядка этой функции. Поскольку получим (£) - “ - *) у"- (Л,") -у" ПРИМЕР 3 227. Пусть z = ]/я2 + ?/2. Найти производные второго порядка этой функции. Поскольку получим ПОЯСНЕНИЕ 228. Точно так же, как производные первого порядка любой функ- ции z так связаны между собой, что и после интегрирования z=$[‘4s)+<i9(S)] точно так же имеем для производных второго порядка и Значит, три производные второго порядка связаны между собой таким образом, что они дают два интегрируемых выражения1), если их соот- ветствующим образом скомбинировать с дифференциалами dx и dy. Это свойство отметим особо, поскольку в дальнейшем оно будет весьма полезно. 2) geminam integrationem praebeant.
Гл. I. ОБЩЕЕ О ПРОИЗВОДНЫХ ВТОРОГО ПОРЯДКА 125 ЗАДАЧА 39 229. Пусть z —функция двух переменных х и у, а вместо х и у вводятся два новых переменных t и и, так что х и у равны определен- ным функциям t и и. Найти производные второго порядка функции z относительно новых переменных. РЕШЕНИЕ Поскольку z дано в зависимости от / dz У f dz У водные первого порядка \ j > \~dy ) ’ а Z d2z У / d2z У Z d2z У порядка ^), ^), и с х и у, то заданы его произ- такжё производные второго помощью этих выражений нужно определить производные относительно новых переменных t и и. Для первого порядка имеем а так как и х, и у выражены через t и и, то После подстановки этих значений получим полный дифференциал z при изменении t и ит) Меняя соответственно либо только t, либо только и, получим производ- ные первого порядка Л __ Л rfx X / dz X / dy X / dz X . dz Z dx X / dz X Z dy X / dz X \ dt J \ dt ) \ dx ) ' \dt )\ dy ) ' du \ du ) \ dx ) ' \ du )\ dy ) ' Идя дальше таким же образом, дифференцируем производные сначала в общем виде, а затем заменяя х и у через t и и\ тогда получим х л х , / л f-ЁеЛ = \ dt J \ dt ) \ dx ) \dt J \ dy J ’ \ du у x du ) \ dx ) ' X du J \dy) (x / x . /^x / x Л Г ( dq>\ । (dy\(d^y X dt ) X dt J \ dx ) \dt ) X dy ) ’ \ du J \du ) \ dx\du )\dy) ’ f dz X f dz X что нам дает возможность наити производные количеств J\~dy) при изменении одного лишь t и одного лишь и; поскольку г) differentiate plenum ex variatione utriusque t ot u.
126 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛАМ ВТОРОГО ПОРЯДКА найдем / d2z \ / dz \ , / d2y \ Z dz \ , < dx У / d2z \ , <л2 л Сл2 J С dx ) + С dt2 ) С dy ) + С dt ) V dx2 ) + , 2<d2z Л \ СХ2<< rf2z X V dt J\dt J \dx dy J ' \ dt J dy2 ) ’ f d2z \^_fd2x\fdz\ /'d2y\fdz\ fdx\/'dx\/'d2z\ \ dt du J V dtdu J\dx J ' \dt du J \ dy J ' \ dt ) \ du ) \ dx2 J , < Л C d2z Л । Cdy УС ахУC d2z У \ cdyy f ^У С—У V dt J \du J \dx dy J \dt ) \du ) \dx dy J \dt J du J \ dy2 J r C d2z У — Cd2x УС dzy \ C d2y УС dz У ± C dx^C C d2z У л. \ du2 J \ du2 J \dx / \ du2 J \ dy ) ' \du) dx2 } ’* 2СахУСауУС d2z Л 1 cdyy2c d4y \du J \ du J \ dx dy J ' У du J V dy2 J b СЛЕДСТВИЕ 1 230. Итак, если предложено некоторое соотношение между произ- водными функции z, выраженной через t и и, то это соотношение при той же функции z преобразуется к другим двум переменным х и уу зависящим от первых переменных каким угодно образом. СЛЕДСТВИЕ 2 231. Производные XX XX (£) (X выражены через t и и, по посредством соотношения, существующего между х, у п t, и, они могут быть выражены также через переменные х и у. ПОЯСНЕНИЕ 232. В формулах, данных выше, переменность величин t и и выра- жена посредством производных переменных х и у. Но если, наоборот, заданы переменные t и и, из которых определенным образом получаются другие переменные х и у, то имеют место нижеследующие формулы, получаемые только с помощью перестановки переменных. Для произ- водных первого порядка имеем С dzy — С dt У С dz У л- С — — ( ~^\С ~У I (—Л с dzy \di )-~\~di )\~di )^ydx )\du )' \dy J \dy J \dt \dy )\~du ) ’ а для производных второго порядка { f dt du\/- d2z \ du,у C d4 \ < dx )\dx J\dtdu J^\dx J \du2 J' \dxdy J \dx dy / < dt J ' \dx dy ) du ) ' \ dx J \ dy ) \ ,dt2 ) Z' dt \/-du\f d^z > , dt \ / d*z \ Z d*z \ x. dx )\dy)\dtdui)'\dxj\.dyj\dtdy) \dx) \ dy / < du2 ) ’ f dt X C du'x ( d2z \ , Z' du \2 Л d2z \
Гл. I. ОБЩЕЕ О ПРОИЗВОДНЫХ ВТОРОГО ПОРЯДКА 127 где буквы t и и нужно рассматривать как определенные через х и у. Таким образом, если в заданных соотношениях фигурируют, как обычно, переменные х и у и вместо них вводятся какие-то другие переменные t и и, то вместо прежних производных вводятся указанные только что выражения в переменных t и и, а соотношение между переменными х, у и и надо вводить так, чтобы решение вопроса облегчалось. Дадим примеры для нескольких таких соотношений. ПРИМЕР 1 233. Пусть между переменными х, у и /, и дано соотношение t = ах + fly и и = уя + оу; выполнить преобразование производных. Поскольку / dt \ / dt \ 0 / du \ / du \ .> соответствующие вторые производные исчезают, находим для произ- водных первого порядка а для производных второго порядка СЛЕДСТВИЕ 1 234. Если положить t = х и и = х -[-у, то а = 1, S = 0, у = 1 и о = 1и, следовательно, dz \ __ / dz \ /- dz \ . / dz \ __ / dz \ С dx ) — \ dt ) \ du ) ’ \ dy ) \ du ) ’ а также / d?z ( d2z \ < dx2 / \dt du ) ^\du2 ) ’ / d2z \ __ i A / d*z > \ dx dy ) \dt du J \ du2 ) ’ \ dy2 ) \ du2 ) / dz \ ___/ dz л СЛЕДСТВИЕ 2 235. Хотя здесь t — x, тем не менее [равенство] не имеет места. Причиной этого обстоятельства является то, что в выра- / dz \ / dz \ жении ( } принимается постоянным количество у, а в ( \ — коли- чество ы.= rr-h У» что надо вообще иметь в виду, чтобы на основании равенства t—х не делать вывода о равенстве выражений и ОЮ *
128 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛАМ ВТОРОГО ПОРЯДКА ПРИМЕР 2 236. Пусть между переменными t, и и х, у дано соотношение t~axm и и = $уп; выполнить преобразование производных. В данном случае С^)=0' = . Ш “ »• ( €) ” (^) = »(» - *) откуда получим для производных первого порядка а для производных второго порядка — С S )='»('»- >)•«-’ (£ > . С €- )=“<"- *> (£-)+в!?) В этих формулах х и у выразить через t и и. ПРИМЕР 3 237. Выполнить преобразование производных, если между перемен- ными t, и и х, у дано соотношение x=t и — = и. 1 * у Поскольку t = x и и == — , то (УУ-1- Ш-°- Следовательно, выражения, содержащие d2t, исчезают. Далее, ( Л __ 1 „ и —х — —м2 ( ^2и Л м kdx) у L ' \dy J ~~ у2 t 1 V dx2 ) ~~ ’ / d2u \_ — 1_ -и2 / d2u \ 2х • 2и3 \dxdyj у2 ~~ t2 1 \dy2) у3 ~~ t2 1 откуда получаем для производных первого порядка / \ / dz \ и / dz \ ( dz \ — и2 / dz \ \ dx ) \ dt J ' t \ du J f \ dy J t \ du ) 1 а для производных второго порядка — / d2z \ __ / d2z \ 2и / d2z \ и2 /’ d2z \ V dx2 ) V dt2 ) t \dt du ) t2 \ du2 ) ’ ( d2z Л __ —u2 ( dz \ u2 / d2z \ u3 / d2z \ Vdx dy ) t2 \ du ) t \dt du ) t2 du2 ) ’ / d2z \ __ 2u3 / dz \ , w4 / d2z \
Гл. I. ОБЩЕЕ О ПРОИЗВОДНЫХ ВТОРОГО ПОРЯДНА 129 ПРИМЕР 4 238. Выполнить преобразование производных, если между перемен- ными t, и и х, у задано соотношение 1--ех и и=еху, то есть х == It и и У — Итак, здесь k dx J \dy J \dxl 2 J ’ \dxdy J Далее, f du \ v S' du\ v откуда \ dxz ) v у ax dy J \ dy^ J Таким образом, для производных первого порядка имеем а для производных второго порядка — ( Л < dy2 J < du? J * ПОЯСНЕНИЕ 239. В общих формулах, данных в § 231, мы считали переменные t и и выраженными через я и у, а также, обратно, хъу выраженными через t и и. Могло бы казаться удобнее выразить с самого начала / dt \ / dt \ переменные х к. у через t и и, но тогда значения \Jdy у т‘ получаются слишком сложными для того, чтобы ввести их в . выкладки. В самом деле, если задать хы у через t и и, то получается С Л __ \du J \ t/x J ~~ Z t/x > Z с/у> Z с/х> / dy \ * \ dt J \ du J \du J \ dt J а производные второго порядка приводят к значительно более сложным выражениям. В каждом случае, когда мы будем пользоваться таким преобразованием производных, следует выбирать подходящую замену переменных1) скорее по догадке, чем при помощи определенных умоза- ключений. Но можно указать еще другое преобразование, часто при- носящее большую пользу, а именно, можно менять самоё функцию г, например, полагая z = Vv, где V обозначает заданную функцию хну, так что V — искомая функция; и эта новая искомая функция v может быть иначе связана с независимыми переменными2). l) idoneam variabilium immutationem. 2) quin etiam haec nova quaesita v alio modo cum datis implicari potest. 9 л. Эйлер, т. ш
130 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛАМ ВТОРОГО ПОРЯДКА ЗАДАЧА 40 240. Пусть предложена функция z переменных х и у. Положим z — Pv, где Р — какая-то заданная функция х и у. Выразить производ- ные функции z через производные функции и. РЕШЕНИЕ Поскольку z — Pv, то на основании изложенных правил дифферен- цирования имеем для производных первого порядка Отсюда получаем такие выражения для производных второго порядка: / d2z > _ < d2P Л i f dP\f dy\ / dP\f dv\ p / d2v Y \dx dy J \dx dy J V ' \ dx ) \ dy ) ' \ dy J \ dx ) ' \dxdy J ’ Поскольку P — известная функция переменных x и у, то ее производ- ные также известны. СЛЕДСТВИЕ 1 241. Если Р — функция одного х, которую обозначим через X, то при z = Xv будет (^ = ^Lv+x(^ и = \dx J dx \ dx J \ dy } \ dy J ’ а затем \ dx2 J dx2 dx \ dx J \ dx2 J ' d2z ^dX ( dv\ d2v \ ^dx dy J dx \ dy J T \dx dy J ' 4 dy2 J k dy2 J СЛЕДСТВИЕ 2 242. Это преобразование сохраняет переменные х и у и только вводит вместо функции z другую функцию v, тогда как прежде мы оставляли неизменной функцию z и заменяли переменные х и у другими переменными t и и. Стало быть, эти два преобразования различны по типу1). х) generi sunt diversae.
Гл. I. ОБЩЕЕ О ПРОИЗВОДНЫХ ВТОРОГО ПОРЯДКА 131 ПОЯСНЕНИЕ 1 243. Более простой случай имеем, когда, пользуясь сложением, полагаем z~P-\-v, где Р — некоторая заданная функция х и у\ тогда преобразование становится настолько простым, что не требует никакого исследования; действительно, имеем, очевидно, /<Z2z\ — <d2v\ \dx2 } \dx2 ) ’ < d4 Л < dip Л ’ ( d4 Л \jlxdy) \dx dy ) \dx dy \dy2)"\dy2 H\dy2)' He стоит здесь рассматривать более сложные формулы, как, например, z =}/rZ>2 + zj2, так как из этих формул вряд ли можно извлечь пользу. ПОЯСНЕНИЕ 2 также три из них или соотношение, производные 244. Предпослав эти принципы и преобразования, мы перейдем к нашему предмету— к изысканию методов для того, чтобы по дан- ному соотношению между производными второго порядка, первого* порядка и самими основными количествами найти соотношение между последними. Здесь, следовательно, кроме количеств х, у и z и производ- CrfzN / dz\ - — J и J, будут встречаться f d2z\ f d2z N f d2z\ производные второго порядка J, J и J); одна, или две, или все три могут войти в предложенное и при этом большая разница, входят ли в уравнение первого порядка или нет. Перечисление всех возможных комбина- ций, такое, какое мы дали в предыдущем разделе, здесь получилось бы слишком длинным, а кроме того, мешает недостаток подходящих методов; тем не менее, дадим обзор отдельных относящихся сюда вопро- сов. Поэтому мы изложим соответствующие главы так, чтобы стано- вился ясным метод решения, а те [вопросы], где ничего нельзя предло- жить, будем целиком опускать1). 1) Non solum aiitem nimis longum foret omnes combinationes, uti in praece- dente sectione fecimus, prosequi, sed etiam defectus idonearum methodorum impedit, quominus singula quaetionum hue peitinentium genera percurramus. Capita igitu* pertractanda ita instituamus, prout methodus solvendi patietur, ea, ubi nihil praes- tare licet, penitus praetermissuri.
ГЛАВА II О СЛУЧАЕ, КОГДА ОДНА ПРОИЗВОДНАЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА КАК УГОДНО ЗАДАНА ЧЕРЕЗ ДРУГИЕ КОЛИЧЕСТВА1) ЗАДАЧА 41 245. Пусть z —такая функция переменных х и у, что производная второго порядка равна заданной функции х и у. Найти вид функции z. РЕШЕНИЕ Пусть Р ~ заданная функция х и у, так что должно быть Примем у за постоянное, и поскольку d(^^^^da d( \ ~Pdx, откуда, проинтегрировав, получаем = Р. оудем иметь ( — ) = \ Р dx + const. \dxj > J При вычислении интеграла \ Р dx нужно у считать постоянным, и следовательно, постоянная, которую нужно прибавить, обозначает какую угодно функцию у, так что это первое интегрирование дает Рассматривая снова количество у как постоянное, имеем dz = dx( или dz = dx Pidx + dxf (у), где Р dx — функция х и ?/, причем рассматриваем у как постоянное. Тогда повторное интегрирование дает z = dx Р dx + xf (у) ф- F (у), *) То есть приравнено выражению, не содержащему производных второго порядка.
Гл. II. О СЛУЧАЕ, КОГДА ЗАДАНА ОДНА ПРОИЗВОДНАЯ 133 что является полным интегралом предложенного дифференциального уравнения второго порядка так как здесь содержатся две произвольные функции f (у) и F(y), которые обе можно выбрать как угодно, причем не исключаются даже разрывные функции. СЛЕДСТВИЕ 1 246. Если задать такое условие: ( — j = 0', то полным интегралом будет так как /* = 0. Правильность этого решения легко проверяется диф- ференцированием, которое дает сперва (^^^ = /(?/)> а затем СЛЕДСТВИЕ 2 247. Таким же образом проверяется найденный интеграл и в общем случае — дифференцированием. В самом деле, поскольку мы нашли z — dx Р dx + xf (у) + F (у), первое дифференцирование дает а повторное — V^2) СЛЕДСТВИЕ 3 248. Подобным образом, если задано условие где Q — произвольная функция переменных х ну, полный интеграл находим в виде 2= $ dy Qdy + yt(x)+F(x), где в двойном интеграле dy Q dy количество х считается постоянным. ПОЯСНЕНИЕ 249. Отсюда и в общем случае ясно построение полных интегралов дифференциальних уравнений второго порядка: оно определяется тем, что в них всегда содержатся две произвольные функции, причем опять-таки нужно иметь в виду, что они могут быть как непрерывными, так и разрывными. Если, следовательно, в дальнейшем в данном разделе будут встречаться интегралы, не содержащие двух произволь- ных функций, их нельзя будет считать полными. Действительно, каждый раз, как некоторая задача приводится к уравнению вида / d2z\ ъ г _ j =ее характер всегда таков, что, когда переменному х при- дается определенное значение х — а, тогда и производная (^1, и само
134 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛАМ ВТОРОГО ПОРЯДКА количество z даны в виде определенных функций переменного у. Если, следовательно, интегралы Pdx и dx Р dx вычислить так, чтобы они при х = а исчезали, то при том же значении х = а будет = и z = a/(y) + /'(y)’ откуда по условиям задачи определяются обе функции / (у) и F(y). Но так поступить можно только тогда, когда известен полный интеграл; поэтому нужно особенно стремиться к тому, чтобы для всех задач такого рода получить полные интегралы. Я еще раз напоминаю, что везде, где встречается интеграл Pdx, всегда нужно рассматривать как переменное только количество х\ если бы мы рассматривали и количество у как переменное, то выражение Pdx не имело бы смыс- ла. Подобным образом нужно понимать выражение dx Pda: так, что в обоих интегрированиях только х рассматривается как переменное, Если же встречается выражение dy Pdx, то нужно подразумевать, что в интеграле Pdx только х рассматривается как переменное, а обозначив этот интеграл через 7?, имеем R dy, где теперь надо считать переменным только у. ПРИМЕР 1 250. Ищется такая функция z двух переменных х и у, чтобы было d2z \ ___ху dx2 ) а ’ Поскольку здесь Р = ^, получим \Pdx = ^ и idxiPdx^, J 2а J J 6а откуда после первого интегрирования получаем Если положить х — а, то производная J может быть приравнена любой функции у, то есть ординате любой кривой, построенной над осью абсцисс у. После выполнения второго интегрирования, имеем 2=$ + ^(?/) + ^(у)- что при х — а может быть снова приравнено любой функции у. ПРИМЕР 2 251. Ищется такая функция z двух переменных х и у, чтобы ( d2z\ ах было —Z ) = ——7 = . \dx J j/ х2 + г/2
Гл. II. О СЛУЧАЕ, КОГДА ЗАДАНА ОДНА ПРОИЗВОДНАЯ 135 » п ах Вследствие того, что Р = —= ... , имеем У X2 + у2 Р dx = а ]/ х2 4- у2 и d.i\ Р dx = а\ dx 'Ух2 + у2 — — ах V^2 + У2 + v (х + У^2 + у2), так что первое интегрирование дает + + а второе — Z = у ах Ух2 + у2 + у ау21 (х + Ух2 + г/2) -j- xf (г/) + F (у). ПРИМЕР 3 252. Ищется такая функция z двух переменных х и у, чтобы s < 1 ЮЫЛО . \dx2 у j/ fl2 х2 у2 I Поскольку Р = -уг-—-~...., будем иметь У а2—х2 — у2 \ Р dx= arcsin ;--Х_, J уа2 — у2 и далее С 7 С 7 . х С х dx \ dx\ Р dx = х arcsin r — \ ____ - . J J /а2 — у2 Эуа2 —х2— Таким образом, первое интегрирование дает Г = arcsin-—^_______+/(у)> \dxj У а2 —у2 а искомая функция есть z = x arcsin r + У а2 — х2 — у2 + xj (у) + F (у). у а2 — у2 ПРИМЕР 4 253. Ищется такая функция z двух переменных х и у, чтобы было Q^yxsia(x + y). Поскольку Р = х sin (х + у), имеем Р dx ~ х dx s in (х + у) ~ — х cos (х + у) + dx cos (х + у) = — — х cos (#+ у) sin (х Т у}* \ xdx cos (х + у) = хsin {х + у) + cos (х + г/),
136 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛАМ ВТОРОГО ПОРЯДКА откуда dx Р dx = — 2cos (х + у) — х sin (х + у). Таким образом, оба наши интеграла будут = sin (я 4-?/)-я cos (я+ ?/) + /(?/) И Z = — 2cos (х + у} — х sin (х + у) + х] (у) + F (у). ЗАДАЧА 42 254. Пусть z должно быть такой функцией переменных х и у, что бы где Р и Q —какие угодно функции х и у. Найти общий вид функции z. РЕШЕНИЕ Положим здесь = так что = *» тогда уравнениег подлежащее интегрированию, принимает вид (Х)-р',+ч- Рассматриваем как переменное только х\ тогда, поскольку получим dv = Pv dx + G dx. После умножения на е~-Р1х и интегрирования получим е-Уг dxv = dXQ dx -L / (у), откуда (jF) = e^pdx e-^PdxQdx + e^Pdxf{y').- Снова будем считать только х переменным, а у — постоянным; тогда в силу того, что найдем z = е$р dx dx е~^р dx Q dx-\- f (у) е^р dxdx-^ F (у). Поскольку эта формула содержит две произвольные функции f(y) и F (у), она является полным интегралом.
Гл. II. О СЛУЧАЕ, КОГДА ЗАДАНА ОДНА ПРОИЗВОДНАЯ 137 СЛЕДСТВИЕ 1 255. Эта задача гораздо шире предыдущей, поскольку предложен- ное условие содержит также производную первого порядка . Тем не менее решить ее к счастью удалось. СЛЕДСТВИЕ 2 256. Здесь требуется четырехкратное интегрирование: сперва нужно найти интеграл ^Pdx; обозначим его через IR; далее, нужно найти интеграл е dx ух — и, обозначив последний через 5, остается найти интеграл \Rdx\ = [dS \ J J л j J л который может быть приведен к виду е С Q dx С QS dx оR~ , так что сверх прочих нужно найти и эти два интеграла. СЛЕДСТВИЕ 3 257. Точно таким же образом решается задача, если где Р и Q — произвольно заданные функции хну. Действительно7 получается = e-^^Qdy + e^^f^x) И z = е$р dy dy е~^р dy Q dy + / (re) е^р dy dy + F (я). ПРИМЕР 1 258. Ищется такая функция z двух переменных х и у, чтобы было ( Л „ п Л \ dx2 ) х \dx ) Положим =v и будем рассматривать только х как перемен- dv nv dv п dx ное; тогда — = —, откуда — =---, а после интегрирования CLX X V X Снова будем считать только х переменным, так что dz = xndxf(y).
138 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛАМ ВТОРОГО ПОРЯДКА Полный интеграл есть В случае n= — 1, то есть С 50 ’ бУДет и z = lxf(.y') + F(.y')- ПРИМЕР 2 259. Ищется такая функция z двух переменных х и у, чтобы было + Положим — = v и будем рассматривать только х как переменное, тогда 7 пи dx , a dx dv =-------------, х ху и это уравнение после деления на хп и интегрирования дает w a С* dx а . f f x rn у J rn+1 ПХпу~^ то есть V откуда получается Снова рассматривая только х как переменное, имеем dz = ~пу Х +xndxf (.у')’ полный интеграл z=+-4т хП+ч (у)+р (у)- пу 1 п + 1 ' 7 ПРИМЕР 3 такая функция z двух переменных х и у, чтобы 260. Ищется / d2z \ 2пх 0ЫЛ0 \dx* ' Положим = y и будем считать у постоянным. Тогда 7 2nxv dx . х dx dv — —т-—о- Н-----, гН+у2 ау и это уравнение после деления на (я2 + ?/2)п и интегрирования дает v _____ 1 С х dx _ ________1__________, > х (ra+ у2)п ay J (х2+ у*)п 2 (п—1) ау (г2 + у2)71-1 тго есть V
Гл. II. О СЛУЧАЕ, КОГДА ЗАДАНА ОДНА ПРОИЗВОДНАЯ 139 ’Снова рассматривая у как постоянное, получим 2 = (г' + л”dx + F В случае п = 1 или / d2z \ __ 2х / dz \ х \ dx2 ) х2 + у2 \ dx ) + ay будет -23—2 = —^ 4#^-2=т-Ч2;2 + ?/2)+ /(?/)> х2 + у2 ay J х2+у2 lay v 7 } откуда (£)-^l^+y2h-yy-y2)f(y) и z = + у3) “(х3 + 6x2/2 “ 62/3arct£y) + + 4 X (ж2 + Зу2) j (у) + F (г/). О ЗАДАЧА 43 261. Пусть z должно быть такой функцией двух переменных х и у, чтобы было СУУУУУо. где Р и Q — произвольно заданные функции всех трех переменных х, у и z. Найти вид функции 2. РЕШЕНИЕ Рассматривая у как постоянное, имеем С d*z Г dz \ _ dz \ dx2 ) dx2 И \ dx } dx ' Тогда будем иметь обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка, рассмотренное в предыдущей книге: d2z = Р dxdz~]~Q dx2, которое надо считать содержащим только два переменных х и z, посколь- ку у рассматривается в нем как постоянное. Нужно, следовательно, пытаться интегрировать это уравнение методами, там изложенными; если интегрирование удастся, то нужно вместо двух постоянных, появ- ляющихся вследствие двойного интегрирования, подставить две неопре- деленные функции переменного у, которые мы обозначим через /(у) и F (у)\ они могут быть также и разрывными, так что мы получаем полный интеграл предложенного уравнения. СЛЕДСТВИЕ 1 262. Таким образом, решение этой задачи сведено к методу инте- грирования, изложенному в предыдущей книге, где мы определяли функцию одного переменного из заданного дифференциального уравнения второго порядка.
140 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛАМ ВТОРОГО ПОРЯДКА СЛЕДСТВИЕ 2 263. Поскольку здесь мы постулируем, что все уравнения второго порядка, со держащие только два переменных, считаются решенными г то и решение нашей проблемы можно считать выполненным. СЛЕДСТВИЕ 3 264. Само собой понятно, что таким же образом можно рассматри- вать уравнение Его решение можно, следовательно, считать выполненным, каковы бы ни были функции Р и Q переменных х, у и z. ПОЯСНЕНИЕ 1 265. Из способа решения ясно, что можно решить подобным образом. Z ^2Z X гораздо более широкую задачу: пусть производная ( ] зависит каким-либо образом от основных количеств х, у, z и, сверх того, еще ~ / dz \ от производном ( } , причем могут воити степени или какие угодно другие функции величины • Решение всегда сводится к методам,, изложенным в предыдущей книге: если у рассматривать как постоянное, то будет / dz \ dz / d2z > d2z V dx J dx И \ dx2 ) dx2, * так что получается дифференциальное уравнение второго порядка обыч- ной формы, содержащее только два переменных х и z. Надо иметь в виду только то, что вместо обеих постоянных интегрирования нужно будет писать /(у) и Р(у). Итак, мы выполнили значительную часть нашей задачи, а именно, [разобрали] те случаи, когда либо (^^2^ определяется любым образом через х, у, z и , либо любым образом определяется через х, у, z и * В первом случае исклю- чается производная первого порядка , в0 «тором — . Если это не так, то вопрос не может быть решен изложенным методом; это / d2z > < dz > можно видеть хотя бы в простейшем случае ( j = ( J, решение которого приходится считать очень трудным. ПОЯСНЕНИЕ 2 266. Поскольку я таким образом из трех производных второго' порядка (-£-) рассматривал до сих пор только первую и третью, когда они определяются через другие количества и вопрос может быть решен применением указанного здесь метода,
Гл. II. О СЛУЧАЕ, КОГДА ЗАДАНА ОДНА ПРОИЗВОДНАЯ 141 ‘Остается рассмотреть вторую из этих производных J и исследо- вать, для каких случаев ее задания через другие количества х, у, 2, С 7^0’ ? может быть решена задача. В этом деле целесообразно начать с простейших случаев. ЗАДАЧА 44 267. Пусть z должно быть такой функцией переменных х и у, чтобы былЬ- ( f t = Р, где Р — произвольная заданная функция пере- менных х и у. Найти общий вид функции z. РЕШЕНИЕ Положим = так что = откуда = Рассматриваем теперь количество х как постоянное, так что Р будет содержать только одно переменное у. Тогда dv ^-Pdy, откуда путем интегрирования в предположении постоянства х получается и = СЙ9= \Pdy + f(x), где Р dy — заданная функция х и у. Будем считать теперь х пере- менным, а у постоянным, так что перейдем к дифференциальному урав- нению dz = dx Р dy + dxf (х), которое после интегрирования дает Z = dx Pdy + /(х) + F(y). Поскольку здесь содержатся две произвольные функции, это указывает на то, что данный интеграл является полным. СЛЕДСТВИЕ 1 268. Если бы мы в обратном порядке рассматривали как постоянное сначала у, а затем уже х, мы получили бы (77) = 5 pdx+1'и 2= 5dy 5 Pdx+W + FCO> и это решение подходит так же как и предыдущее. СЛЕДСТВИЕ 2 269. Легко видеть, что или dx Р dy ~ dy Р dx, или разность этих выражений есть сумма функции только от х и функ-
142 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛАМ ВТОРОГО ПОРЯДКА ции только от у. Это видно также из того, что если положить dx Pdy == dy Р dx = V, то так или иначе будет P = (^L\ \dx dy J СЛЕДСТВИЕ 3 270. Если Р = 0, то есть если должно быть т0 общим, видом функции z будет z^f(x) + F (у). ПОЯСНЕНИЕ 271. Этот случай встречается часто в теории объемов, а именно, когда природа поверхности выражается уравнением между тремя коор- динатами х, у и и; тогда объем будет udy, так что если объем обозначить через z, будет Щ здесь подразумевается, что орди- наты перпендикулярны к осям х и у. Если положить du — pdx-\~qdy, то поверхность этого тела будет dx dy ]/1 + /?2 + или если поверхность обозначить буквой z, то будет Если, следовательно, в нашей задаче требуется найти такую функцию z от х и у. чтобы было ( _dz\=p то это то же самое, что искать \dxdyj ’ ’ объем, соответствующий поверхности, природа которой выражается урав- нением между координатами х, у и Р. Проиллюстрируем этот вопрос несколькими примерами. ПРИМЕР 1 272. Ищется такая функция z двух переменных х и у, чтобы было* \dx dy J 1 Поскольку здесь Р — ouc-f- t3y, то будет Р dy = а-ху + у ,3г/2 И dz Pdy = yaz2y + ypzy2 = yzy(az + Py), откуда искомая функция z получается в виде 2 = у ху (az + ₽у) + / (z) + F (у).
Гл. П. О СЛУЧАЕ, КОГДА ЗАДАНА ОДНА ПРОИЗВОДНАЯ 14Я ПРИМЕР 2 273. Ищется такая функция z двух переменных х и у, чтобы было Здесь Р = У а2-у2, так что Р dx~ я]/а2 — г/2, где я начал интегрировать при переменном х. Далее имеем dy Р dx = х dy У а2 - у2 = ху У а2 - у2 + у а2х £ <4^1 ’ JJ J 6 J у а*— у2 откуда находим полный интеграл z = 4 ХУ У а2 — У2 + у а2х arcsin — + f У) + F (у) ПРИМЕР 3 274. Ищется такая функция z двух переменных хи у, чтобы была. / d2z >____________________ а \dx dy ) уа2 — х2 — у2 ‘ Поскольку j/"а2— х2— у2 * ТО \ р dy = а arcsin --- . д_ , J * )/fl2-X2 откуда \ dx \ Р dy — а \ dx arcsin r у . J J J /a2 —x2 Положим ради краткости ч arcsm г_ ___ = ср; /<Z2-X2 Г’ тогда dx Р dy = а ср dx =» аху — а х dx , где при интегрировании у считается постоянным. Но поскольку- то будет ух f d^ \ -----Г/“= COS ср. (а2 —х2) /2 \ dx J г
144 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛАМ ВТОРОГО ПОРЯДКА Но У а2 — х2— у2 COS Ф = --, У а2 — х2 откуда ( Л —___________ух________ ч ) (а2 — х2) У а2 — х2 — у2 И С л f dv \ С х2 dx у хеш = у \ --------------т== , j \ dx J j (а2— х2)У^а2 — х2—у2 так что после интегрирования получаем z = ах arcsin -7== - ay —------У==== + / («) + F (у)- у а2— х2 J (а2 — х2) } а2 — х2 — у2 В результате вычисления интеграла это выражение принимает вид у . X z = ах arcsin • . - - - у ay arcsin — }7 а2 — х2 У а2 — у2 - a2 arcsin ху == + / (я) + F {у}. У (а2 — х2) (а2 — у2) В самом деле, интеграл С a2 dx } (а2 — х2) ]/ а2 — х2 — у2 весьма легко вычисляется следующим образом. Положим X • - - — =— р, у а2 — х2—у2 тогда р2(й2-г/2) х " 1 + р2 ’ и логарифмическое дифференцирование при постоянном у дает dx dp pdp __ dp x ~~ p 1 + p2 ~~ p (1 + p2) ’ x откуда, если умножить на - -•-= = />, у а2— х2—у2 dx dp /а2—х2—у2 i + P2 Далее a2_a:2 = ^±PV , 1 + p2 откуда получается интеграл Г a2 dx _ С a2 dp а2 С dp J (а2—ж2) pa2 — х*-у2 J a2 + pV J/2 Ц У2 а . РУ . ху 1 — — а г ctg = — arctg —7- у _ = - У У У а У а2 — х2 — у2 '• р2 - arcsin . - ху . У У (а2 — х2) (а2 — у2)
Гл. II. О СЛУЧАЕ, КОГДА ЗАДАНА ОДНА ПРОИЗВОДНАЯ 145 ЗАДАЧА 45 275. Пусть z —такая функция двух переменных х и у, что где Р и Q - какие угодно функции х и у. Найти вид функции z. РЕШЕНИЕ гг < dz \ Положим ( -^- тогда получается уравнение Ст) = ''1’+е' содержащее количества z, у и и. Рассмотрим сперва х как постоянное, тогда dv = Pvdy^r Qdy, Pdy и после умножения на е * получается J Р dyv — е~ Pdy Qdy + fr (я), откуда Ы. Поскольку эти интегралы содержат х и у, будем рассматривать теперь у как постоянное, и следующее интегрирование дает ^Pdvdx^e ^PdyQdy+^ е^ Pdy dx f'(х) +F (у), и ясно, как надо взять интегралы в каждом случае. СЛЕДСТВИЕ 1 276. При решении этой проблемы нужно сперва найти такое R, что \Pdy = lR, затем определяется 5 по формуле — 5. Наконец, найдем ^RSdx—Т; в первых двух интегралах только у рассматри- вается как переменное, а в последнем — только х. Выполнив эти опера- ции, имеем полный интеграл Z = T + \ Rdxf'(x) + F(y). СЛЕДСТВИЕ 2 277. Итак, здесь в выражении интеграла содержится произвольная функция /(я), которая может рассматриваться как ордината, соответ- ствующая абсциссе х для точек какой-нибудь кривой. Интеграл Rdxf (х) должен быть вычислен отдельно рля любого значения у, так как при этом интегрировании количество у должно рассматриваться как постоянное. 10 Л. Эйлер, т. III
146 ОПРЕДЕЛЕНИЙ ФУНКЦИЙ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛАМ ВТОРОГО ПОРЯДКА ПОЯСНЕНИЕ 278. Точно так же новки переменных х и такая, чтобы было решается задача, получаемая путем переста- у, т. е. задача, в которой ищется функция z где Р и ^ — Функции только от х и г/, не содержащие z. А именно,, решение имеет вид z = ( J Pd*dy\ Pdx Qdx^ \ е* Pdxdyff (y) + F (х). Обе эти задачи можно расширить. Решение возможно и тогда, когда f d4 \ . v в первом случае ( ) равняется произвольной функции трех коли- / dz \ / d*z \ честв х, у и ( — } , а во втором случае тогда, когда ' Сравняется V 037 J tZ37 dy J v г dz .. - произвольной функции трех количеств х, у и — ; действительно, в оооих случаях дело сводится к дифференциальному уравнению первого порядка. Но если как тут, так и там встречаются обе производные первого по- / dz \ / dz \ рядка —J и тогда данный метод не приводит к цели; то же относится к случаю, когда функции Р и Q содержат также количество z. ПРИМЕР 1 279. Ищется такая функция z двух переменных х и у, чтобы было / d2z \ п / dz \ т \Щх dy) у \dx х ' Пусть тогда / dv \ nv т \dy J у ‘ х ’ откуда при х постоянном 7 nv dv , тп dy dv ==---- Н--- . У х что после деления на уп и интегрирования дает v_ m f dy =_______т ,, , , Уп х J уп (п—1) ху'1~1 г/ V Ъ так что и=(£)= ~ +ynf Полагаем теперь у постоянным и интегрируем снова. Тогда получим 2= —^р^)У1х + УпНх)-\-р{у)-
Гл. И. О СЛЧУАЕ, КОГДА ЗАДАЧА ОДНА ПРОИЗВОДНАЯ 147 ПРИМЕР 2 280. Ищется такая функция z двух переменных х и у, чтобы было ( d*z Л = у (Vа \dx dy J х2 + у2 \dx ) x2 + у2 Положим = и РассматРИБаем х как постоянное. Тогда dv vy dy х2 + у2 a dy х2 + у2 ’ что после деления на ух*^-у* дает v = а С аУ , ___"У . + у ix\ У х2-\-у2 J (х'2 + у2У 2 ж2 ( ж2 + У2 Следовательно, и=(й)=3+х’1+ Пусть теперь постоянным будет у. Получим 2= -~ + $ f (х) dxV х2 -г у2 + F {у), где интеграл / (х) dx^-x'2 + у2 в связи с тем, что он содержит неопределенную функцию f(x^r и при постоянном у нельзя представить в общем случае так, чтобы он был явно выражен через у и функции х. ПОЯСНЕНИЕ 281. Когда в уравнение входит производная второго порядка ’ т0 Решепис не удается в таком большом числе случаев, как тогда, когда в уравнение входит либо , либо них двух случаях решение удается и тогда, когда в уравнение входит само количество z, а здесь дело обстоит иначе, так как наш метод не дает возможности В послед- решить уравнение когда буквы Р и к случаю, когда, Q содержат количество z; то же самое относится кроме одной производной первого порядка ( — Е входит еще вторая • Том пс яснее, имеются случаи, когда можно по- лучить частные решения, притом бесконечно много, так что, по-видимому, вместе взятые они эквивалентны общему решению. И хотя в большин- стве случаев они приносят мало пользы в практическом приложении, все же полезно знать виды таких решений. 10*1
148 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛАМ ВТОРОГО ПОРЯДКА ЗАДАЧА 46 282. Пусть z — такая функция двух переменных х и у, что (<d^dy>)=zaz- Найти вид функции z, по крайней мере, в частных случаях. РЕШЕНИЕ Поскольку количество z встречается везде в первой степени, оче- видно, что если положить z = evq, то показательное количество ер сократится. Итак, положим z ~ eaxY, причем У —функция, содержащая только у. Таким образом, V* У AclxdyJ \dy J откуда ау a dY 7 “ -уг- = a dy и У — еа . Итак’, мы уже имеем частное решение _ । ау ах+ ~ z=^Ae “ , которое, однако, является довольно широким, поскольку и Л, и а могут быть взяты произвольно. Если взять несколько частных решений z, то их сумма также будет решением, и мы приходим к гораздо более об- щему выражению а .. а а * а л ах+'у t о „ Yx+-y 8х+ -г у z = Ae а А~ Be + Се 7 ~Т De 5 -|~и т. Д-, где как А, В, С и т. д., так и а, р, у и т. д. могут принимать какие угодно значения. Поэтому такое решение надо считать в высшей степени универсальным, и в отношении общности оно, по- видимому, не уступает вышеприведенным решениям, содержащим две произвольные функции, ибо здесь имеются два ряда произвольных коэффициентов. Однако все же неясно, каким образом можно таким путем представить разрывные функции1). СЛЕДСТВИЕ 1 283. Итак, чтобы найти частное решение, мы должны взять два числа т и п такие, чтобы их произведение было тп = а\ тогда z = Aemx+Tly. А переставив эти же числа, получим еще [другое решение! z = СЛЕДСТВИЕ 2 284. При помощи такой пары чисел т ин, что mn = a, можно дать также решения, выраженные через синус и косинус, а именно: z-^-B sin (т х — пу), или z^B cos (т х ~ пу), или же путем перестановки z = В sin (пх — ту), или z = В cos (пх — ту). !) О пределение «разрывных функций» см. выше, § 37.
Гл. П. О СЛУЧАЕ, КОГДА ЗАДАНА ОДНА ПРОИЗВОДНАЯ 149 СЛЕДСТВИЕ 3 285. Поскольку можно найти бесконечно много таких решений, то, умножив каждое из них на любые постоянные и собрав их в одну сумму, получим общее решение задачи. ПОЯСНЕНИЕ 286. Все же нельзя рассматривать это решение, хотя оно и охва- тывает бесконечное число бесконечно многих частных решений, как эквивалентное тем решениям, которые содержат две произвольные функции, потому что неясно, каким образом надо выбрать отдельные буквы, чтобы в том или ином случае, например при г/ = 0, количество z или f или равнялись заданным функциям х, каковы бы ни были эти функции. Но общее решение всегда должно давать возмож- ность определить две такие функцииг). Однако, когда не удается получить такое решение, приходится удовлетворяться такими, какие мы только что нашли. Можно получить подобным же способом такие решения, если дано такое уравнение: если только Р, Q, R обозначают функции одного лишь х. Действительно, положим z = еау X, где X — функция одного х. Тогда, вследствие того, что будем иметь Z dz \ dX ( dz \ v- ( ) = е и ( ) = аеауХ, \dx у dx \dy J откуда находим, что dX _ dx (aQ+ 7?) ~X' —a + P так что при любом числе а можно найти подходящее значение X. Таким образом, взяв бесконечно много чисел а, получим следующее выражение, принимающее бесконечность бесконечностей значений* 2): 2 = Ае*и Х + Ве^Х'+ Се™Х" + и т. д. Но имеются и такие случаи подобных уравнений, которые допускают полное решение в подлинном смысле слова, и мы займемся их опреде- лением в следующей задаче. ЗАДАЧА 47 287. Подлежит решению уравнение (sSj)+ р Q С0+йг + 5=о- г) Semper autem solutio generalis duplicis huiusmodi determinationis capax esse debet. 2) Quare sumendis infinitis numeris a, hoc modo expressio infinities infinitas determinationes recipiens colligitur.
150 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛАМ ВТОРОГО ПОРЯДКА Установить, какими функциями от х и у должны быть количества Р, Q, R и S, чтобы это уравнение допускало действительно полное решение. РЕШЕНИЕ Пусть V--произвольная функция х и у, и положим z = evv, так что V — теперь неизвестное количество, значение которого требуется найти. Поскольку то после подстановки и разделения всего уравнения на ev, получается следующее уравнение: Теперь нужно добиться того, чтобы это уравнение допускало полное решение. Но, как мы видели раньше, такое уравнение, как может быть решено в общем виде, какие бы функции от х и у не пред- ставляли собою 5, Т и V. Поэтому предыдущее уравнение мы будем приводить к этому. Итак, необходимо принять и откуда получим и V —г k dx ) \ dy J \dx ) \dx dy ) ‘ Поскольку на основании § 275 имеем v = — е т dy dy е§ Т dy V S dy + $ T dy dx f (x) + F (y), то полный интеграл предложенного уравнения
Гл. II. О СЛУЧАЕ, КОГДА ЗАДАНА ПРОИЗВОДНАЯ 151 в случае, когда Р, Q, R имеют вышеуказанные значения, равен z — ~еу е Т dy dx Т dy V S dy + ev e T dy dxf (x) + ev F (y), так как f(x) и F (у) означают здесь какие угодно функции х и у. СЛЕДСТВИЕ 1 288. Итак, какие бы ни взять функции х и у в качестве Т и V, всегда при этом получаются подходящие значения для Р, Q, R, так что уравнение допускает полное решение, а функция S остается в нашем произволе. СЛЕДСТВИЕ 2 289. Можно в предложенном уравнении оставлять неопределенными функции Р и Q; тогда должно быть я также \dxdy J \dy У ’ при этом надо только определить количество R так, чтобы было R-pq-(^>}=0, v \dy J то есть R = PQ + Y v \dy J СЛЕДСТВИЕ 3 290. Так как здесь вместо Q dx можно писать также Qdx-\Y, где У —произвольная функция у, то, поскольку V = — ^Qdx — У, можно найти полный интеграл такого уравнения: (AD+/> -Этот интеграл есть — С Q dx — Y z — е J у, где г’ [решение дифференциального уравнения] X + Гр - *(?")-А; + ‘-v=<> \dxdyj L J \dy J dy Д \dx J Здесь ♦ J \dy У dy поэтому T dy — P dy — Q dx — У. и отсюда легко найти значение и.
152 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ПО ДИФФЕРЕНЦЙАЛАМ ВТОРОГО ПОРЯДКА ПОЯСНЕНИЕ 291. В этих выкладках, когда требуется образовать производные интегралов по переменному, отличному от того, по которому интегри- руем, нужно придерживаться того правила, что, если V = Qdx, должно быть Иб°’поскольку(£Э=?’будет CS)= =(f)- Обозначим Tene₽b(f )=5; тогда (S)=(f)’и откуда в свою очередь следует, так как 5 dy = У, что 5 dy = Q dx. Поскольку все это само собой понятно на основании вышеустановлен- ных принципов, нет нужды особо излагать правила для этого в неко- тором отношении нового алгоритма. Но мы покажем на нескольких примерах, какие уравнения могут быть полностью решены этим методом. ПРИМЕР 1 292. Предложено дифференциальное уравнение второго порядка (^>“(Ю+‘О+Яг+5=0- Найти, при каком виде функции R это уравнение допускает решение,, когда S —какая угодно функция х и у. Поскольку Р — а и Q—b, то 7? = ab и V — — Ьх; функцию У можно без ущерба опустить, так как при последующей интеграции будут введены две произвольные функции* так что Т^а. Поэтому, полагая z = e~bxv, получаем уравнение ( pp'l + a(pl + ehxs==Q \ dxdy J \dx у dv и по подстановке -^* = и получим постоянном х, получаем аи + еЬх$ = 0. Интегрируя при Л = - \ ea'J+bxS dy + f (х), откуда -е~ау eay+bxS dye~ayf (ж). Теперь, интегрируя уже при постоянном у, находим v = - е^у dx eay+bx5 dy + e‘ayf (х) + F (у), где dxf' (х) = f (х). Если, наконец, еще вместо e~bxf{x) писать f(x), то _е-<ч-ьх С dx < eay^bxSdy + e^yf{x) + e‘bxF(y).
Гл. II. О СЛУЧАЕ, КОГДА ЗАДАНА ОДНА ПРОИЗВОДНАЯ 153- ДРУГОЙ СПОСОБ Если бы мы взяли V= — Ъх — ау, мы получили бы Т = а~а— О; отсюда, полагая z = e~bx~ayv, мы получили бы для количества v урав- нение \'-^-'} + ebx+avS = O, \ dx dy J которое дает (£) = - ^avSdy + f'№> V = ~~ ebx+ayS dy / (х) + F (г/) ' и Z = e-bx-ay dx ebx^yS dyA-f^ + Fl.y}^. Эта форма [решения] проще предыдущей, но сводится к тому же и представляет полный интеграл уравнения (й)+abz+s=0’ ПРИМЕР 2 293. Предложено дифференциальное уравнение второго порядка (-^г'} + - (+ Rz + s = °- < dx dy J у \dx j X \dy J Определить, каков должен быть вид функции R, чтобы это уравнение допускало решение, причем $ —произвольная функция х и у. Поскольку Р = у и Q — ~ , имеем 7 = - - Ых ~ У, откуда R — t и интегрируемое уравнение будет вида / d^z \ а / dz \ b ( dz ab с < dx dy ) + у \dx ) х \dy J ху Z ~~ Поскольку Т = Р+(*Г) = ±-аг \dy J у dy 1 возьмем Y~aly, чтобы было Т = 0. Тогда, полагая z — e-blx-zlAjv _ x~by~aV, получим для количества v уравнение \ dx dy J ’ откуда (S0= ~хЬ 5 yas dy+f'(x>)
154 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛАМ ВТОРОГО ПОРЯДКА И v = — хь dx yaS dy + / (я) + F (у), так что — J хь dx yaS dy + f (х) + F (у) х^уа ПОЯСНЕНИЕ 1 294. Таким образом, ясно, что изложенным методом можно инте- грировать в общем виде уравнение где Р, Q и 5 могут быть любыми функциями х и у. Решение при этом - С Qdx-Y таково: положив z = е J v, определяем количество v из уравнения 5 4>s ^=°- При этом для У надо взять такую функцию от у, чтобы это уравне- ние становилось возможно проще. Оно оказывается особенно простым, когда удается свести выражение к нулю. В общем же случае получаем v = - Pdy+$ Qdx+Ydx Д PduSdy+ Pdy+^ Qdx+Ydx f(x) +F(у), что после умножения па е ^dx'~Y дает функцию z. Таким образом, функция У, зависящая от нашего произвола, полностью выпадает, и'мы получим z = ~e^Qdx ^e~$Pdy^Qdxdx^ J PdySdy + + e~^ Qdx И Qdxdxf(x) + e~^dxF(y). Это и есть полный интеграл уравнения (Ю+о Ч GD ] s=0- ПОЯСНЕНИЕ 2' 295. Путем перестановки переменных х и у можно полностью .интегрировать и следующее уравнение:
Гл. II. О СЛУЧАЕ, КОГДА ЗАДАНА ОДНА ПРОИЗВОДНАЯ 155 интеграл которого равен — С Pdy С — \ Q dx+ f Pdy 7 С f Q dx а 7 . z= ~ e ' \ e * J dyye* Sdx^ . Pdy C X Qdx-P\ Pdy -j ,, . H-e J V ’ dyf(y) + e > F (x). Здесь следует особо отметить случай, содержащийся в обеих формах, когда P = Y и Q==X, где X — функция одного х и У — функция одного г/; тогда получается уравнение f YX- 'у + г С 4 + х ( т- ?) + XY z + S = 0’ < dx dy J \jix J \ dy ) полный интеграл которого есть — i X dx— f V dy С I X dx . С \ I d у q -j . —fx dx f У dy . . , \ . тт» / \ z= — e J J \ dx\e-} Sdy + e [f (x) + F (?/)] и который можно выразить еще и так: J' Ydv z = f(r) + F(y)~ Л Xdxdx Ydy Sdy, или так: f X dx + f Y dy Г / X , rr / \ C f Y dy -J С л f x dx J J • z — f(x) 4 F(y) — \ dy \e^ S dx.
£ ГЛАВА III О СЛУЧАЕ, КОГДА ДВЕ ИЛИ ВСЕ ПРОИЗВОДНЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА ОПРЕДЕЛЯЮТСЯ ЧЕРЕЗ ДРУГИЕ КОЛИЧЕСТВА ЗАДАЧА 48 296. Пусть z должно быть такой функцией х и у, чтобы было f d2z 9 Z d2z \d^)=а 1^0 * Определить вид функции z, РЕШЕНИЕ Вводятся два новых переменных t и и так, что t = ax^$y и и = ух-\-Ъу. Тогда согласно § 233 все производные преобразуются следующим образом: Q)=<S)+C)’ (£)=К£>2Ч^>!(££ вследствие чего наше уравнение преобразуется в такое: № -.V) (J) + 2 № - «т«=) (I- - tV) (= 0. Поэтому положим Р2 — а2а2 и В2-— у2а2 или а = 1, у = 1; р = а и о=— а.
Гл. III. О СЛУЧАЕ, КОГДА ЗАДАНЫ ДВЕ ИЛИ ВСЕ ПРОИЗВОДНЫЕ 157 'Тогда первый и последний члены исчезают. Это было достигнуто при помо- щи подстановки t = x-ray и и = х~ау, что дает — 2 (а2 + а2) Г или <-^^=0, 1 7 \ at du J \jit du J откуда согласно § 270 получается полный интеграл z = /(/) + ^(u), и после подстановки значений t и и Z = / (х + ay) + F (х — ау), что, очевидно, удовлетворяет заданному уравнению, поскольку = /' (* +аУ) + F' (х - аУУ (J0 = at' ^XF ау)-ар' U-ay), F" (х-ауУ (^) = а2Г (х + аУ') + а2р" (х~аУУ СЛЕДСТВИЕ 1 297. Значение z равняется, следовательно, сумме двух произволь- ных функций, из которых одна функция от х-}- ау, а вторая — от х — ау. Обе эти функции могут быть взяты произвольно, в частности, онп могут быть также разрывными. СЛЕДСТВИЕ 2 298. Таким образом, для наших целей можно пользоваться двумя кривыми, произвольно проведенными от руки. Если для одной из кривых принять абсциссу равной х~\-ау, а для другой кривой абсцисса равна х~ау, то сумма ординат дает нам подходящее значение для 2. ПОЯСНЕНИЕ 1 299. Это было едва ли не первой задачей, которую потребовалось решить в этой новой отрасли анализа: решение общей проблемы о колеблющихся струнах привело как раз к тому уравнению, которое мы здесь рассмотрели. Знаменитый Даламбер, который первый успешно приступил к этой задаче, особого метода. Именно, положим dz~ pdx^qdy, уравнение требует, чтобы проинтегрировал это уравнение с помощью . fd2z\ ПОСКОЛЬКУ ДОЛЖНО быть ( — a ( fa?) ’ dp = rdx-'-sdy и dq — sdx-^tdy. Тогда это было t = а2г. Рассмотрим теперь уравнения dp ~ г dx 4* 5 dy, dq — s dx-\- a2 r dy.
158 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛАМ ВТОРОГО ПОРЯДКА Скомбинировав их, получаем a dp 4- dq = ar {dx Д- a dy) s{ady-\- dx), то есть a dp + dq = (агД- 5) (dx-\- ady). Отсюда ясно, что ar-\-s должно быть функцией х^-ау и, следовательно, ap-^q тоже является такой функцией. Но так как а можно взять как положительным, так и отрицательным, получаются следующие два уравнения: ар + q = 2af {х-^ау) и q — ар = 2аГ' {х — ау), откуда следует, что q af (х + ay) + ар' (х — ау) П p = f'(x + ay) — P' (х-ау). Но тогда уравнение dz = р dx 4- qdy немедленно интегрируется и полу- чается Z == / {х + ay) — F (х — ау). Таким образом, этот проницательнейший муж получил полный интеграл 1), по он не обратил внимания на то, что в качестве введенных им функ- ций можно брать не только любые непрерывные функции, но также функции, совершенно лишенные непрерывности2). ПОЯСНЕНИЕ 2 300. Поскольку весьма важно воспользоваться в этой новой отрасли анализа возможно большим количеством различных методов, то другие авторы пытались решить наше уравнение так, что. полагали = откуда’ в°-пеРвых’ а. во-вторых, = ТЭК ЧТ° Очевидн0’ в нашем *) Даламбер дал решение рассмотренного здесь уравнения для случая а=1 в статье «Исследование кривой, образуемой натянутой колеблющейся струной» (Recherches sur la courbe que forme une corde tendue mise en vibration), Mem. de 1’acad, d. Sc. de Berlin (1747), 1749, стр. 214. Затем Эйлер, рассматривая вид. этого решения, обратил внимание на то, что по характеру задачи о колебаниях струны требуется допустить в качестве произвольных функций, входящих в реше- ние, не только функции непрерывные, то есть определенные с помощью аналити- ческих операций (§ 301), но и функции разные, то есть такие, которые можно изобразить произвольно проведенной кривой (§ 37). См. его статью (№ 119' по списку Энестрема) «Исследование колебания струн» (De vibratione chordarum exereitatio), Nova acta erud., 1749, стр. 512, —во франпузском переводе Snr la vibration des cordes, Mem. de 1’acad. d. Sc. de Berlin (1748), 1750, стр. 69, также в Opera Omnia, Ser. II, vol. 8. Так как Даламбер не хотел с этим согласиться, а постоянно утверждал, что эти функции должны быть определены аналитическими выражениями, возник спор, на что Эйлер указывает в § 37 этого тома. Позже этот спор возобновился в связи с тем, что Даниил Бернулли дал совершенно новое решение, составленное из бесконечного числа частных решений в виде синусов и косинусов кратных углов. Подобного рода вопросы часто и подолгу рассматри- вались математиками XVIII века, но решение их было получено только в следую- щем столетии, а именно в общей теории тригонометрических рядов, идущей от Фурье. [Ф. Э. ] 2) Конечно, в смысле Эйлера —см. выше, § 37.
Гл. III. О СЛУЧАЕ, КОГДА ЗАДАНЫ ДВЕ ИЛИ ВСЕ ПРОИЗВОДНЫЕ 159‘ случае нужно положить &2 = а2, то есть к~±а. Пусть, например, . / dz Д / dz \ к~а, тогда в силу того, что j = и — j , будет 7 7 / dz \ , 7 / dz "\ S' dz \ dz = dx^)^dy^) = ^ ) {dx 4- a dy), откуда, очевидно, z ~ f {х-\- ау), а поскольку а мощет иметь оба знака и сумма двух решений также является решением, то получается най- денное выше решение. Можно действовать еще таким способом. Положим, ( d2z \ __ 2 / d2z \ / d2v \ \^dy2 ) \\jlx2 ) \ dx dy ) ’ тогда и а После нахождения производных первого порядка имеем,. поскольку dv = dx такие уравнения: и dv = dx Скомбинировав их, получаем, что dv + a dz = {dx + а и далее, v + az = / {х 4- ау) и = F(x-ay), так что для z получается прежнее выражение. Но метод, кото- рым я воспользовался для решения, представляется более приспособ- ленным к сущности дела, поскольку он и в других более сложных задачах приносит большую пользу. ПОЯСНЕНИЕ 3 301. Однако паше решение имеет то неудобство, что оно для уравнения приводит к мнимому выражению, а именно, z ~ j {х-\- ауУ — 1) + — ау |/ — 1). Но если эти функции / и F — непрерывные, какого бы вида они ни были, они всегда могут быть представлены в форме Р ± QI — 1, от-
160 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛАМ ВТОРОГО ПОРЯДКА куда легко получить следующее выражение, которое всегда дает дей- ствительное значение: z=--^-f(x+ayy~ 1)4-А/(х-ау/ - 1) + F (х ауУ - У - z z 2 у — 1 У~1). Чтобы привести это выражение к действительному, полезно заметить, что при подстановке х — s cos 9 и ау = s sin 9 будет (х ± ау У — 1 )п — sn (cos п ср ± У — 1 sin п<р). Следовательно, если заданные функции составлены с помощью анали- тических операций, т. е. непрерывны, можно выразить в действитель- ной форме через косинусы и синусы [кратных угла] ср. Но если эти функции разрывны, то такое приведение никак не имеет места, хотя можно быть уверенным в том, что и в этом случае полученная форма дает действительное значение. Как бы себе ни представить ординаты, взятые на кривой, описанной произвольным движением руки, и соот- ветствующие абсциссам x-\-ay]f — 1 и х—ау ]/ — 1, их сумму нужно будет считать действительной; но будет ли разность, деленная на —1, также действительной? Здесь мы видим, следовательно, суще- ственный пробел теории, который пока никаким способом не удается заполнить; и вследствие этого пробела общие решения указанного вида много теряют в своем значении1). ЗАДАЧА 49 302. Дано уравнение выяснить, какие функции \dy2 ) \ dx2 ) ’ переменных х и у можно взять в качестве Р для того, чтобы инте- грирование удалось путем приведения. РЕШЕНИЕ Приведение это я предполагаю выполненным так, что вместо пе- ременных х и у берутся два других переменных t и и, в результате чего согласно § 232 в общем случае получается следующее уравнение: XSXXXSOGXCXXSX х) atque ob hunc ipsum defectum hojusmodi solutiunes universales plurimum de sua vi perdunt.—По поводу этих замечаний Эйлера см. статью переводчика в конце тома.
Гл. III. О СЛУЧАЕ, КОГДА ЗАДАНЫ ДВЕ ИЛИ ВСЕ ПРОИЗВОДНЫЕ 161 Примем теперь соотношение между переменными t и и и прежними пе- ременными х, у таким, чтобы выпали обе производные и (^^70 ’ а это будет иметь место, если положить \dy J \dx J \dy У \dx J Тогда будем иметь = n< d2t \ (dPX(dt\ \dy2) \dxdy) \dy )\dx ) ' Но поскольку / d2t > __ _ р ( d^\ ( dj^\( dt^ \dx dy ) \ dx2 ) \dx )\dx ) T TO p*(d^ \ - p(dz\(d±\(dpy(diy \dy2 J \dx2 J * \dx J \dx J \dy J \dx) и, подобным же образом, с учетом изменения знака Р, ч dy* J ч dx2 J \dx J \dx J ' \dy J \dx / После этих подстановок наше уравнение принимает вид _47>2 < = \ах J \ ах J \dt du J Так как это уравнение содержит только одну производную второго < d2z \ . порядка ( dt j , оно допускает интегрирование, когда выпадает либо либо ^^0 . Положим поэтому р f^+^=o, \dx J dy и это уравнение определяет возможный вид искомой функции Р; а тогда уравнение, подлежащее интегрированию, после деления па 270^0 принимает вид (( d± \ ~2р ( — \( d2z — О \dx J\du J \dx J\dtdu J Интеграл этого уравнения, если положить ^^0=^, будет dt ( — Л 2lv^ • J р/ Л \ \du J Теперь требуется определить самоё функцию Р через х и у. Поскольку / dP\ п f dP'y — ) = Р -г- . имеем \dy J \dx J dp-dxC^+Pdy(S') • И Л. Эйлер, т.Ill
-162 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛАМ ВТОРОГО ПОРЯДКА Отсюда, полагая для краткости получаем dx^^ — Pdy % — —Py+^dP^y + ^j . Поэтому должно быть 2/ + “= f'(Р), откуда а также \dy ) f(P)-y’ откуда вытекает определение Р через хну. Для новых переменных t и и вследствие того, что имеем dt = (j^)^dx~Pdy^ а вследствие того, что х= -Py + f(P), получаем - >'-2 d,j vp- Поскольку же интеграл последнего выражения есть (Р) — 2у VP, t = F(^-^f’(P)-2y^Py Далее, вследствие того, что — Р , имеем du=(£) (dx+р - (£) w - уdp^ откуда du= ^)^^-У^Р' так что и должно быть функцией Р. Для этой цели можно, однако, взять любые функции, поскольку общность решения достигается впо- следствии путем интегрирования. Итак, положим t=y^f{P)-2yVP и ъ = Р,
Гл. Ш. О СЛУЧАЕ, КОГДА ЗАДАНЫ ДВЕ ИЛИ ВСЕ ПРОИЗВОДНЫЕ 163 где x + Py = f(P). Наконец, чтобы найти самый интеграл, напомним, что 2? / dz \ _ Г \ dx J Здесь при интегрировании и или Р считается постоянным, а согласно вышеуказанному Fir\-dPf’(P)^2Pdy-ydP = -ZPdy, (Л) так как здесь Р постоянное. Кроме того, Vdx ) /' у ’ откуда = 21V(/>) ~ + 2lF то есть и далее, z= \ dP(f (Р) — у) F (Р), где t надо считать постоянным. Но поскольку 1 С dP .t ,m t У 2/р’ то /' (Р)-у = /' (Р)-l— С ^Lf'(p\ + __* J \ s J 1 \ } 2]/Р J ]/> ' v 2]/Р откуда, наконец, г - 5 dP [ г (Р1 - 5 4= г (/>) ] р (Р-) + [4 г (Р) - <р> + ф [ 5 4f/,(P)-2s/Р] . Это выражение содержит две произвольные функции F и Ф СЛЕДСТВИЕ 1 303. Первый член этого выражения можно преобразовать так: ^[1/?Г(Р)-4^Г(Р)]Р(Р), НО VPf (Р) - 4 (Р) = dP yp.f" (Р), \ г 11*
164 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛАМ ВТОРОГО ПОРЯДКА поэтому первый член равен \^F(P)^dPyP.f{P). СЛЕДСТВИЕ 2 304. Поскольку этот первый член — неопределенная функция Р, обозначим ее через тс (/*), и тогда р (Р} = (Р) у Р ' 7 j dpyp.f(p) ' вследствие чего интеграл принимает вид г = тс(Р)+Ф [ (Р)-2уУР'] + + /-(/>)-г.,/?' dPn' (Р) 2 J dP^Py" (Р) СЛЕДСТВИЕ 3 305. Более частное решение получаем, полагая И(/>) — 0. Тогда z равняется произвольной функции количества 5^-/' (Р)-2уУР, которое на основании уравнения х 4- Ру *= / (-Р) может быть выражено через х ъ у. ПОЯСНЕНИЕ 306. Хотя я этим же методом воспользовался и в предыдущей задаче, однако, и это может казаться удивительным, тот случай пре- дыдущей задачи, когда Р — а. не содержится в этом решении. Причи- ной этого парадокса является то, что одним из решений уравнения —будет, очевидно, значение Р = а, хотя оно не содер- жится в выведенной из этого уравнения формуле х ф-Py = j(P). Здесь полезно вспомнить, что, как мы уже раньше заметили1), дифферен- циальные уравнения часто имеют решения, которые не содержатся в [общем] интеграле; так, например, уравнение dy]/a — x^dx удовле- творяется значением я = а, которое не содержится в интеграле у — С~ — 2 |/а- х. Поэтому и в нашем случае значение Р = а требует особого исследования выполненного в предыдущей задаче. Для [иллюстрации] остальных случаев мы дадим несколько примеров, в которых в каче- стве /(/>) ввиты некоторые определенные функции Р, *) См. Интегральное исчисление, т. I, § 546.
Гл. Ш. О СЛУЧАЕ, КОГДА ЗАДАНЫ ДВЕ ИЛИ ВСЕ ПРОИЗВОДНЫЕ 165 ПРИМЕР 1 307. Положив /(Р) = 0, так что Р — —, найти полный интеграл уравнения к dy2 ) ~~ у2 к dx2 ) ‘ С dP Так как /'(Р) = 0, то поскольку \ ^=г/'(Р) = С, найденное реше- ние принимает вид ; = -f + AL//(/>)+ Ф(С_2^). С dP Положив ~^= F (Р) = II (Р), получим 2= -П/7>П(Р) + Ф (г/)/А Подставляя для Р его значение — —-, имеем г/]/Р — ]/ — ху, и включая мнимость — 1 в знак функции, получим z = УхуП(^^ Н-Ф(/жг/), что легко преобразуется к виду z=a?rCv)+e^2/^ где --- j обозначает какую угодно однородную функцию первого измерения переменных х и у. С другой стороны, мы получаем решение, вводя вместо х и у новые переменные I и и согласно уравнениям Z — С — 2 — ху и и = — у или проще Z — 2 Уху откуда и и = /"dt k__ Pdty^ /г /т _ У У Ух \dx ) у % ’ \dy) у у ’ k<Z^2/ 2х У х ’ к dy2 J 2уУу т_-л, гйу-о. с^у-2-,. \dx J у’ \dy J у2' к dx2 J \dy2 J у3 Так как Р2 — , предложенное уравнение принимает вид q / dz\ 2r / dz \ 4г У~х / d2z к q к dt ) ' у3 к du ) у2 у^ \dt du J ~~ Но поскольку 1 1'2и --=--^х2 и х = -^1]/и, t а также у — —, имеем J 2^ и ИЛ, ('*')»,/51. t2 \du J t \dt du J \du J dt du Положим TaK 4T0 v==ziC^y)’ Тогда при и постоянном будет
166 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛАМ ВТОРОГО ПОРЯДКА у= — , откуда v = == If (и). Принимая теперь t постоянным, по- лучим z = tf (и) + F(t) = 2/ху f (-0 + F (/ху), как и раньше. СЛЕДСТВИЕ 308. Что найденное выражение z = яГ -|-0(лу) удовлетворяет дифференциальному уравнению, можно показать дифференцированием: (= -"H-rY+ \ dx J \У / У откуда, далее, и ПРИМЕР 2 р2 309. Положим / (^) = "2^ » так чт0 Р2 = 2аРу + 2ах и Р = ау + ]/"а2у2 + 2ах . Найти полный интеграл уравнения С$)=^2а2у2+2ах+2ау а2у2+2аж^ С£) р2 Поскольку / (Р) = j будем иметь так что вышенайденное общее решение преобразуется к виду z_ 5 + Ф (^Р /р_29/р). Положим J^F(P) = n(P), тогда dPF(P) = dPVPn: (Р) И С другой стороны,
Гл. III. О СЛУЧАЕ, КОГДА ЗАДАНЫ ДВЕ ИЛИ ВСЕ ПРОИЗВОДНЫЕ 167 но применение этих формул приводит к слишком сложным выраже- ниям. К цели же приводят следующие подстановки: 1 = ^РУУ -2уУТ и и = СЛЕДСТВИЕ 310. Если для получения более ограниченного решения положим __ 1 П(Р) = РП то 1Г(Р) = (п-4рп'Т> откуда получаем z = Pn+1 - Рпу + ф ( - У У? Y (п + 1)а * За / Пусть /г —1 и пусть функция Ф исчезает. Тогда Z == 7^- Р2 — Ру = X. 2а В случае же п = 2 имеем z=д рз—р2у=4 аху+4р (2х+а^2)’ или z — а2у3 4- 2аху + (ау2 4- 2х) уг а2у2 ф 2ах . О о ПОЯСНЕНИЕ 311. Форму найденного интеграла можно существенно упростить. Положим с этой целью ^Г(Р)=1УР), тогда F (Р) = /Р1Г(Р)’. Опуская второй член который не нуждается в упрощении, получим z=^dP[yPf'(P)-±^^f' (Р)]П'(Р) + + 4п(Р)^ ~f(P) - у]/РП(Р). Но 4п(Р) $ ^=г(Р)=\ [±dPW(P) $ ^/'(Р)+4^п(Р)/'(Р)], откуда z= Jn'(P)dPyP/'(P) + 4 5
168 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛАМ ВТОРОГО ПОРЯДКА Далее, J dPYL' (Р) yp f (Р) = П {Р) ]/Р • /' (Р) - - 5n(jP)[^f^+dpy^f (p)J - так что z=n(P) ypf'^P)- dputp^yp /"(Р)-уурц(Р). Положим, наконец, (Р) VPfff (Р) - 0 (Р), тогда п (Р) = Д' Ч.)_ \р Г (Р) И z=^[/'(^)-y]-m+® [ $ у^-ъуур']. Эта форма, несомненно, гораздо проще первоначально найденной. ЗАДАЧА 50 312. Задается уравнение (ХХХХХХХХЧйХ0- Установить, в случае каких значений Р, Q, R интегрирование удается при помощи примененных выше преобразований. РЕШЕНИЕ Введем два новых переменных t и и\ тогда имеем «xxxxxsoaxcmsx \dy J\dy )\dt du )Г\dy J \du2 J _p2 Л d2t \ydz\ d2u \ S' dz \ p2 / dt У d2z \ \ dx2 J \ dt ) dx2 J\du J ydx J \ dt2 ) _-)p2?—ЛСdiz ргС—Ус—Л-4- dx J dx ) dt du J \dx у du2 J +fl(s)(a) + ff(sXs> Положим, как выше, GX-Xe) »(Х)-~Хй)’ откуда \^dx dy J dx2 / dx J у dx J
Гл. III. О СЛУЧАЕ, КОГДА ЗАДАНЫ ДВЕ ИЛИ ВСЕ ПРОИЗВОДНЫЕ 169 (XXXX+XeXXXDGX а также Ч dy2 7 \dx ) \dx J \dy ) \dx) Подлежащее решению уравнение будет тогда МХХ Ш +РХ GG (X 4ХХХКХ+ XXXGXXGGGX Очевидно, интегрирование будет возможно тогда, когда либо либо — выпадают. Примем поэтому, что ХеХ^Х^'^0' или й=ХеХХеХ Тогда полученное уравнение после деления на принимает вид »ЧХЖХХХ£У Положим J = и. Тогда Х+йХХХХ Считая t постоянным, получим . [чэх " ХХ n fdP'y S'du У где необходимо выразить количества Р, Q, \dy ) и ) че₽ез ловь1е переменные t и и. Нужно поэтому сперва определить эти переменные. Поскольку GGXXX и СХХ-ХйХ имеем dt={ji)(dx + Pdy>> И du = (jO(dx~Pdyy Следовательно, ^-£0 и являются множителями, которые делают интегрируемыми выражения dx-^-Pdy и dx—Pdy\ при этом пет нужды определить значения t и и в самом общем виде. Пусть р и q суть такие множители, выраженные через х и у. Тогда t = \ р (dx Т Р dy) и и — \ q (dx — Р dy),
170 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛАМ ВТОРОГО ПОРЯДКА и вышеприведенное дифференциальное уравнение принимает вид v 2P2q Здесь при интегрировании нужно рассматривать количество t = = р (dx + Р dy) как постоянное. Но, поскольку du~q(dx~~Pdy), имеем dv [PQ + (^)] ^~Pd^ v 2Р2 * Далее, вследствие того, что <Й = 0, будет dx = — Pdy, так что В этом выражении t — постоянное, а оно дается в зависимости от х и у. Поэтому можно выразить х через у и Z, так что остается только переменное у, и после того, как найден интеграл получим »-k/w-(sQ. Теперь примем и за постоянное и получим 2=Д V dtf (t) + F (и). Условие, при котором это интегрирование возможно, требует, чтобы было л=^+Ш-рСй> СЛЕДСТВИЕ 1 313. Таким же образом может быть решено предложенное уравне- ние тогда, когда R--PQ-(^')-P(^'). Как выше, нужно ввести t =• p(dx-}- Р dy} и и= q(dx — Pdy). Т огда и, положив г ]=&, имеем при постоянном и == 2Р.С^ =
Гл. III. О СЛУЧАЕ, КОГДА ЗАДАНЫ ДВЕ ИЛИ ВСЕ ПРОИЗВОДНЫЕ 171 СЛЕДСТВИЕ 2 314. Если далее принять во внимание, что в выражении и = q(dx — Pdy) постоянное количество dx^Pdy, найдем с чмо г, J р ~ и получаем Положив t = р (dx-\- Р dy), получим z — V duf(u) + F(t). ПРИМЕР 1 315. Полагая Р = а и R — aQ, где Q — какая угодно функция хи у, про- интегрировать уравнение Поскольку здесь Р~а, то /?^1; д—1 и t~x + ay> и~х~ау, откуда, положив = получим, что dv _ aQ du _ Q du v 2a* ~~ 2a Но так как t 4- и t — и x = ~ И У = -2^-, то после подстановки этих значений Q превращается в функцию t и и, и, рассматривая t как постоянное, получим lv=zla \ Qdu + lf(l), ИЛИ и далее, рассматривая и как постоянное, получим z=^e2a Q dudtf (z) + F (и).
172 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛАМ ВТОРОГО ПОРЯДКА СЛЕДСТВИЕ 1 316. Если Q постоянное = 2аЬ, то интегралом уравнения (50 - (50+2oi (5)+2»‘‘ (О)=0 будет z = еЪи f (£) + F (и) = еъ (x~av) f (х-\~ау) + F (х — ау), или z = еъ (х-а^ [f(x-\- ay) + F (х — ay)]. СЛЕДСТВИЕ 2 317. Если Q = ~ , то интеграл уравнения / d2z \ f d2z \ a f dz \ a2 f dz \ п поскольку С 7 С du С 2fl du о ? /. 1 \ \ Qdu= \ = \ -r+v = 2al^ + u^ равен z = (Z + u) dtf (t) + F (u) = tdtj (t) + и dtj (t) + F (w). Если положить /(£) = П"(£), то dtf(t) = IV(t) Г] J td'tf (t) = $ t dW (t) = tW (t) - $ dtIV (Z) = Z11' (z) — II(Z). Следовательно, z=(Z + w)n/(Z)-ll(Z) + /1(w), то есть z — 2#П' {x + ay) — П {x + ay) + F (x — ay). ПРИМЕР 2 318. Пусть P = — и R= — — О + -Д-— —— Qt Положим Q = — , У у x у* у2 У V V a 1 так что R~ —— t Проинтегрировать уравнение Z d2z > x2 Z d2z 1 Z dz \ q k dy2 J y2 < dx2 } 1 X < dy J у < dx ) ~ Поскольку z = 5 P^dx+L?^) и u= ^qQix~L?') ’ 1 3- TT положим p = у и q = — , так что t = xy и и = — . Положив теперь
Гл.III. О СЛУЧАЕ, КОГДА ЗАДАНЫ ДВЕ ИЛИ ВСЕ ПРОИЗВОДНЫЕ 173 J —у и рассматривая и как постоянное, получим, согласно след- ствию 1 [§ 316], dv_ _ ___ V у' У2 )dt dt v ~ 2х* 2х2у У Но tu=x2, значит я = ]/7и и у , 2х2у = 2t]/\u, так что ( У tu— 1/^—dt dv ___ \ г и ) _ dt dt v 2t j/ in 2t 2tu Тогда при и постоянном получим lv==llt-l-lt, 2 2и ИЛИ Рассматривая теперь t как постоянное, получим 1 __ 1 z = Z2 у 2“ duf (и) + F (Z). Положим —^ = s’ так чт0 s= —> и будем иметь 1 z = t2 \ ts dsf (s) + F {t). В интеграле ts dsf (s) только 5 является переменным, а после взятия интеграла нужно подставить значения t = ху и 5 ~ Отсюда, между прочим, видно, что любая функция ху дает частное решение. ЗАДАЧА 51 319. Задается общее уравнение 1 И)^И+г-~^=°- Найти условия для количеств Р, Q, R, S. Т, чтобы уравнение инте- грировалось с помощью [указанного] приведения.
174 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛАМ ВТОРОГО ПОРЯДКА РЕШЕНИЕ После введения с помощью прежней подстановки двух новых пере- менных t и и наше уравнение принимает следующий вид: J\dt Р < dy* J\du J^\dy ) \dt* dt du < d*z \ / du \2 Z d*z \ k dy J k dy J dldu ) ' dy ) \du* J Определим теперь эти новые переменные t и и через х и у так, чтобы производные и выпали. Тогда должно быть С^)=<₽+®Сг) - откуда ясно,что эти переменные определяются следующим образом: t р\dx + (Р + 0 dy] и и — — Q)dy]. Количества р и q должны быть при этом выбраны так, чтобы эти выра- жения допускали интегрирование. Поскольку теперь <НЖ)' то отсюда вытекает, что член 2 имеет коэффициент — 2Q2, член имеет коэффициент
гл. III. О СЛУЧАЕ, КОГДА ЗАДАНЫ ДВЕ ИЛИ ВСЕ ПРОИЗВОДНЫЕ 175 а член j — коэффициент Далее, (Jj^ = P и = Положим ради краткости S 4-R(Р + Q) + (_(р_ Q} ( ) = м 5 + Л (Р - + и ( ^=/2-) - Л-. Тогда уравнение, подлежащее интегрированию, запишется в виде О = V + Tz + МР (£) + Nq (£-) - 4<Л,<, (^) или, ради сравнения с формами, исследованными в §§ 294 и 295, в виде / d2z \ _ М ( dz\_ N Г d±\_ Т _ V __ р \ dt du ) 4Q2q \ dt / 4Q2p \ du ) ^Q2pq “ AQ2pq Затем положим для краткости М „ ' N т 4Q2q . и 4Q2p ~L' Наше уравнение допускает интегрирование в двух случаях: либо когда Т izr (dLTX гр ; f dL\ MN -w^-^KL-{du) ’ тоесть либо когда T ^Q2pq КЬ-С~£У гр / /12 < Л MN тоесть Т = kQtpq Но так как К и L даны в зависимости от х и у, то производные / dK \ Г dL \ и ^~du ) можно выразить так: Г Q —р Л ,___1 С dK У \ dt J “ 2Qp < dx 2Qp \ dy ) и Л dL Л __ Р + Q / dL \ 1 / dL \ \ du ) 2Qq \ dx ) 2Qq \ dy J Каким образом можно в этих случаях найти интегралы, было уже объяснено выше; поэтому излишне повторять здесь эти скучные вы- кладки. В каждом отдельном случае решение может быть получено на основании изложенного. ПОЯСНЕНИЕ 1 320. Что касается преобразования производных, то оно может быть выполнено так: в общем случае dz=^(£)+dK^)’ а из формул dt — р dx + р (Р -|- Q) dy и du — q dx + q(P — Q) dy
176 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛАМ ВТОРОГО ПОРЯДКА следует, что q dt — р du~ 2pqQ dy, то есть q di — p du 2Qpq а также q (P — Q) dt — p (P + Q) du = — 2Qpq dx, то есть + du-q(P-Q)dt aX~ 2Qpq Подставив эти значения, получим , rf(P + Q)^ (P-Q)rfq (dz\ d _dt_________ L 2Qq 2Qp J < dx ) “Г < Щр 2Qq ) < dy J 1 так что dz выражается через дифференциалы dt и du. Полагая и постоян- ным и du = 0, получим S' dzX Q— Р f dz > 1 P dz \ dt J 2Qp dx )' 2Qp < dy ) 1 а полагая t постоянным и dt = 0, получим ( dz Л . P + Q / dz > 1 Z dz *\ < du. ) “ 2Qq \dx ) 2Qq \ dy ) ' ПОЯСНЕНИЕ 2 321. Итак, метод, изложенный в этой главе, состоит в том, что рассматриваемые уравнения с помощью введения двух новых перемен- ных t и и приводятся к виду (^)+/)(-я-)+<'С^)+Яг+5-0' а что касается таких уравнений, то мы видели в предыдущей главе, в каких случаях их можно интегрировать. Стало быть, в таких случаях все уравнения, которые могут быть приведены к этому виду, допускают интегрирование. Но есть еще один весьма специальный случай уравне- ния такого вида, когда интегрирование возможно, и из этого случая выводится бесчисленное множество других уравнений, которые могут быть сведены к нему и, значит, также допускают интегрирование. Потому мы тщательно разберем этот случай в следующей главе.
ГЛАВА IV ДРУГОЙ ЧАСТНЫЙ МЕТОД ИНТЕГРИРОВАНИЯ ТАКИХ УРАВНЕНИЙ ЗАДАЧА 52 322,. Пусть предложено уравнение такого вида1): <ж+) + т <ж+у> (ё)+т{х+У> (^)+nz=0 2)- Найти его полный интеграл. РЕШЕНИЕ Поскольку в это уравнение переменные х и у входят одинаково, положим прежде всего Z = А (х + уУ / (я) + в(х + уУ +1 У (х) + С <х + г/)х+2'Г (я) + 4- D (ж4- г/)х+3 У" (х) 4 и т. д. Для облегчения подстановки заметим, что при v = (я4~ уУ В (х) имеем + F(x) + (x + y)v-F' (ж), ( = и (Н — 1) (2: + УУ~2F (ж) + р. (х + Уу~1 F' (х). После подстановки получаем следующее уравнение: O = nA(x-1ry')^f^x') + nB'(x + y^+l f'(x') + nC:(x + y')[+^f"(x>)+ и т. д. + 2т\А + mA + тВ х) В более общем виде такого рода уравнения рассмотрел Лаплас в работе Recherches sur le Calcul integral aux differences partielles, Mem. de 1’acad. d. Sc., de Paris (1773), 1777, стр. 341, см. особенно стр. 376. Oeuvres de Laplace, т. IX, Paris, 1893, стр. 5 и 41. [Ф. Э.] 2) Это уравнение теперь часто называют уравнением Эйлера—Пуассона. По поводу задачи 52 и содержания этой главы в целом см. статью переводчика в конце тома. 12 Л. Эйлер, т. ш.
178 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛАМ ВТОРОГО ПОРЯДКА сываются более удобным образом: Р = — (ш + X) Л 2т 4- 2Х ’ р (m-|-X + 1) В G ~ ~ 2(2m+ 2Х + 1) 7А {т 4- X + 2) С ~ 3(2m +2Х + 2) г {т —|— X —|— 3) Д 4-Х(Х—1)Л +2m(X + 1)В + 2m (X 4-2) С 4-ХЛ 4-(Х4-1)В + (Х+ 1) ХВ +(Х + 2)(Х+1)С, так что весь вопрос сводится к определению коэффициентов A, jB, Ct D и т. д.; и легко было предвидеть, что в уравнении указанной формы степени выражения (#4-у) в соответствующих членах должны быть одни и те же. Итак, должно быть п 4- 2тХ 4- X2 — X = О, (п4- 2тХ4- 2т + X2 4- X) В 4- (^ + X) Л — О, (ti 4" 2тХ 4- 4т 4“ X2 4* ЗХ 4"2)В4"(т4"Х 4~ 1) В == О, (п + 2тХ4- 6т 4- X2 4- 5X4- 6) В 4- (^ + X 4- 2) С = О И Т. д. Эти уравнения, с учетом первого уравнения п 4- 2mX4- X2 — X == 0, запи- та ___{т Ч~ X -|- 4) В 5 (2т 4* 2Х 4* 4) 5 р (т 4* X 4* 5) 6 {2т 4- 2Х + 5) 5 it (тЧ~ X-|- 6) G 7 (2т 4- 2Х + 6) ’ и т. д., откуда закон образования коэффициентов очевиден. Для показателя X получаем следующие два значения: X ~ у — т 4з j/”— m — п 4- т2, которые оба могут быть приняты для X. Здесь нужно особенно отметить те случаи, когда предложенный ряд обрывается, т. е. когда т 4- X 4-£=0, где i — любое целое положительное число, не исключая нуля. Но это имеет место, когда -у 4- £ ± т — что возможно лишь тогда, когда ~ — пг — п4~^2 будет квадратом. Но когда найден этот ряд, либо конечный, либо бесконечный, мы полу- чаем подобный ряд с функциями у, и отсюда значение z получается в таком виде: Z = А (х + у)1 [f (х) + F (у)] + В (х + y)l+i [f (х) + F' (у)] + + С (х + у?+2 [f" (х) + F" (у)] + D (х + у)х+3 (Г (х) + F” (у)] + + Е (x + y)K+i [fiv (х) + F1V (у)] + F (х+ у/+& [fv (х) + Fy (у)] И Т. д. Поскольку сюда входят две произвольные функции, это, конечно, указывает, что наше выражение есть полный интеграл предложенного уравнения.
Гл. IV. ДРУГОЙ ЧАСТНЫЙ МЕТОД ИНТЕГРИРОВАНИЯ 179 СЛЕДСТВИЕ 1 323. Если X— —т, т. е. n —m2 + m = О или д=т2—ттг, тогда интеграл состоит из одного члена, так как В^О1), и интегралом будет z = A(x + yYm[t(x) + F (г/)]. СЛЕДСТВИЕ 2 324. Однако интеграл содержит два члена, если Х = — т — 1 или j n ~ m2 — m — 2 = (m + 1) (яг — 2); тогда В ——и интегралом будет z = (х + [/ (х) + F (у)] - А (х + у)~т If (х) + F' (г/)]. СЛЕДСТВИЕ 3 325. Интеграл состоит из трех членов, если Х=—т —2 или п = (яг + 2) (т — 3); тогда 5=-Ал; С=-А5=+1Д а интегралом будет 2=(х + 2/Гт-Ч/(^) + + Р Ш -|(*+уК'^ [f (*) + F' (у)]+А (х+у)-™ [Г (х) + р« (2/)]. СЛЕДСТВИЕ 4 326. Интеграл состоит из четырех членов, если \ = —т — 3, или п = (т + 3) (т — 4); тогда с=-Ар=+^л, 1)=-Ас=_А-ол и интегралом будет z = (х + yfm-3 [/ (х) + F (у)] - А (X + у)-т~2 [f (х) + F' (у)] + + (* + У)-т 1 [/" (х) + F* (у)] - А {х + у)-™ [Г (х} +- рт (г/) J, ПОЯСНЕНИЕ 327. ' Если мы в общем случае примем Х + яг== — i, то п = (т +1) (т — i — 1) и, далее, 1 (г-2)С _ (г-З)Л 2 ’ 2(2i-l) ’ 3(21 — 2) ’ 4 (2г —3) ’ х) Уравнение — (т + X) Д = 2 (т + X) В в данном случае оставляет коэффициент В неопределенным. Тем не менее интеграл z^=(xу)-т [f(x)В(у)] является пол- ным, поскольку он существенно содержит две произвольные функции одного пере- менного. Следовательно, если даже допустить ^^=0, то полученный бесконечный ряд может быть приведен к виду (х + у)~т [f(%) + F(y)]t Сравни пояснения Эйлера, § 329. [Ф. Э.] 12*
180 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛАМ ВТОРОГО ПОРЯДКА откуда все коэффициенты выражаются через первый: R — _ А л с — A D — л 2 ’ ° 2-2(2i —1)Л’ 2*2*2-3(2i —1) Л’ + (i_ 2)(t —3) л р_ _2-2*2*3*4(2i—l)(2i —3) ’ 2**3*4*5(2i—l)(2i—3) Д*’ и получаются такими: А В С D 1 Е F 1 . 1 = 1 1 2 0 0 0 0 г = 2 1 __1_ _£ 0 0 0 2 12 1 2 1 1 = 3 1 ~ 2“ 20 ' ~120 0 0 !_ 3^ 2 2-1 i = 4 1 ~~2 28 7-24 96*7-5 0 . к 4 _1_ 4 3 3*2 2*1 1=0 1 2 36 9*24 96-9-7 960*9*7 а 4 1 _5 4 4-3 3*2 3*2*1 i 1 = 0 1 2 44 11-24 96*11*9 960-11-9 5760*ll*9*7j Таким образом, полным интегралом уравнения ( d2>z Л I m (I m (I (т + р(”г —* —1) Q V dx dy ) х + у \ dx ) х + у V dy ) {х + у}'2- будет Z = 4- (ж + уУ71^ [/ (ж) + F (у)] - 4г (ж + У)~т~Ъ1 [/' (®) + F' (у)1 + ггЙАп {х + + F" &>] - swSSmfej <*+yr”"1” ir м+f Mi + 3)<* 41VW + F‘V «1 _______* U —2) (^ — 3) 4) (x I vy-m-i+5(x\ . рУ rV\1 2b2 (2i-1) 3 (2i-2) 4 (2i—3) 5 (2i-4) + У) W + И T. Д. Всякий раз, когда i —целое положительное число, это выражение состоит из конечного числа членов; в противном случае оно пред^ ставляет бесконечный ряд. Данный интеграл обладает той особенностью, что он содержит не только произвольные функции f(x) и F (ж), но также их производные. ПРИМЕР 328. Если дане уравнение d2z \ т fdz\ т / g?z’"\____________q V dxdy )'' x + y\dx J"* % +у \dy J / найти те случаи, когда его интеграл представляется в конечном виде.
Гл. IV. ДРУГОЙ ЧАСТНЫЙ МЕТОД ИНТЕГРИРОВАНИЯ 181 Поскольку здесь п = (тп 4- 0 (jn — i — 1) = 0, где i — целое положитель- ное число, то существуют два случая, когда интегрирование удается, а именно когда т = — i и когда т = i +1, так что в общем случае интеграл сводится к конечной сумме, когда т — целое число, которое либо положительно, либо отрицательно. Во-первых, когда = — г, имеем Z = 1 [/ (я) + ^ (?/)] - 4г (* + ?/) [/' (я) + F' (у)] - 4 z!!^lu2^2> (* + »)’ I/" W + *• (»М + i щгйяёЩйз) (I+l/IV w + F'r И т. Д. Когда m = i +1, имеем (x + yfi+1z = 1 [/ (x) + F (y)] — 4^ (x + y) If (x) + F' (y)] + sf(2‘~ntf22UV-3} <* + »>*l/IV + /"V «I \ 6L 1 ) I -О ) и T. Д. Таким образом в обоих случаях получается одно и то же выражение, которое я первом случае дает само количество 2, а во втором случае— количество (# + у)2г+12. Чтобы отчетливее представить отдельные случаи, положим Л = [/(а;) + /’(2/)], в = [/ (х) + |F (г/)] -1 (х + у) [f (ж) + F' (у)], С = [/ (х) + F (у)] - 4 (х + у) [f (х) + F' (г/)] + -± (ж + уу [f (х) + F" (у)], В = [/ (ж) + F (у)] - -J {х + у) [f (х) + F' (у)] + + Д {х + yf [/" + F" (у)] - {х + уу[Г + F- (?/)] И т. д. или, .если положить ради краткости 53 = (а: + г/)[/'(^) + ^' (?/)L e = (®+y)2[f(x) + F'(y)]) ® = (я+з/)чга+^ (?/)], ® = (x+y)‘[/IV(®) + FIV(t/)] И Т. д.,
182 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛАМ ВТОРОГО ПОРЯДКА будем иметь А = ЭД, C = «t-|s8+4®, — у Я* §7? ® —+ S-T-6-5®’ = ~ 10® 104 ® — 10-9-8® 10-9-8-7® - 10-9-8-7-6 G = ЭД — — $8 + 15 S______— © 4________-___(Е_______-_____St + л 12ч?г12-11 12-11-10 ^12-11-10-9v 12-11-10-9-8 | 1 ZM и т. д. Когда найдены эти значения, получаем для обоих случаев: если то если то 7?2 = 0, z = А; т = 1, ^A-y)z = A\ т = — 1, z = В; т = 2, (х+уУ z = B: т = — 2, 2=С- т = 3, (x + yyz = C; т = — 3, z= D-, т = 4, (а: 4 уУ z = D т = — 4, z= Е\ т = 5, (х + уУ z = E\ т = — 5, z = F\ т — 6, (х + у)11 z = F\ т = — 6, z = G т = 7, (z4?/)13z = G и т. Д- и т. Д- ПОЯСНЕНИЕ 329. Если i — отрицательное число, то полученное выражение пре- вращается в бесконечный ряд. В самом деле, пусть г= — к, тогда в первой формуле [§ 328, выражение для 2] будет т = к, так что г==ЭД_А%+ Mfe+l).g_l k{k+i){k + 2) А 2к о-Г 2Й(2Л41) 6 2к (2Й41) (2* 42) д до бесконечности. В том же случае т — к вторая формула, поскольку = к — 1, дает (х 4- = ЭД — -к~ 95 4- — (^ — 1) (^—2) g _ {^ + У) Z Д 2/c —2"° 2 (2/c —2) (2/c—3) 1 (k—1) (k —2) (*—3) _ , 6 (2k—2) (2k — 3) (2k — 4) A* ти две формы [решения] нельзя считать тождественными, и чтобы ни тем не менее давали один и тот же результат, функции /(х) и F (у) в них должны быть разного вида. В случае ж = у обе формулы
Гл. IV. ДРУГОЙ ЧАСТНЫЙ МЕТОД ИНТЕГРИРОВАНИЯ 183 совпадают. Положим, однако, к== О, тогда первая формула дает 2 = ^/(я) + ^(у), а вторая -^- = 21-4-23+4-®-^® +4п®~ и т. д. х + у 2 6 24 120 Чтобы выявить, что эти выражения согласуются друг с другом, поло- жим во второй формуле / (х) = ах3 и F (у) = by2. Тогда 21 = ах3 + by2, S3 = (х + у) (2ах2 + 2Ьу), К = (я + ?/)2 (бая + 2&), © = (я + у)36а. а остальные члены равны нулю. Следовательно, из второго решения получаем • z = (ж + у) (аж3 + by2) — у (ж + у)2 (Заж2 + 2Ьу) + | + 4 (ж + У? (?>ах + Ь) - у (ж + у^а, что после развертывания дает у.аж4 - у ау* + у Ьх3 + у by3 ъ, а это имеет вид, соответствующий первой формуле z = / (я) + F (у) Совпадение этих двух формул в общем случае весьма замечательно ЗАДАЧА 53 330. Установить, в каких случаях общее уравнение может быть приведено к предыдущему виду и, следовательно, про- интегрировано. РЕШЕНИЕ Ввведем новые переменные t\ и и так, чтобы получить преобразо- вание, рассмотренное в § 319, где Р = 0 и V =0, а именно, t = р (dx + Q dy) и и = q (dx — Q dy). Положим для сокращения »^S~QR~^+Q(Jiy, тогда получаем уравнение ' ( d*z С dz\ N f dz\ Т \ dt du ) 4Q2q \ dt J ^Q2P \. du J ^Q2pq Z ’
184 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛАМ ВТОРОГО ПОРЯДКА и его, стало быть, надо привести к виду ( Л т С Л । т f dz Л _ а \ df du J f + и \ df ) t + и du ) ‘ (t + и)2 2 — ’ интегрируемость которого мы выше установили для тех случаев, когда то = (те + г) (те — г — 1), где г —целое положительное число, не исключая нуля. Итак, для этого необходимо, чтобы было д, _ 4mQ2? N = 4mQ2p ? = _ 4nQ2pq f + u ’ *+u ’ (Z+u)2* А чтобы имели место условия для интегрируемости выражений t и и, z-» ф' (v) положим О = -4-7^ , а также х «' (х) р = атс' (ж) и q = bn' (ж), тогда t = атс (ж) + а<р (у) и и = бтс (ж) — 6tp (у). Отсюда получаем M + AT = 25+2<?(-g^)= 4т(а + &)0*л'(х), М - N = 2QR + 2 ( У = 4zzt(a~^ О2"' (а:) и, далее, d_ 2m (а — ft) Qn' (х) 1 / dQ к “ *+иГ .Q < dy ) ’ с _ 2m (a + ft) 'п С dQ > d “ t + u "\dx ) ’ ™ _ 4na6QVi(x) л' (х) _ 4naftcp' (у) ср' (у) ’ ~ Ц+ир (« + и)2 Имеем Q = ; следовательно, (У) < (х) ср' (у) \ dy ) и' (ж) ’ \ dx ) и' (ж) и' (ж) И t + и = (а + Ь) к (х) + (а — 6) у (у). Отсюда находим „ _ 2m (a —ft) ср' (у) _ ср" (у) S_2т (a+b)n' (х) ср' (у) Q2 t+u "" ктс\(сс) * С целью упростить уравнение рассмотрим главным образом два случая, а именно: Ь — а и Ъ = — а, В первом случае t-\-u = 2ал(х), и наше уравнение принимает вим < ср' (у) \2 / d*z \ ср" (у) Hdz \ , к dy’ 7 к л' (») ) к dx2 ) ср' (у) к dy / -Г , С ?' (У) к2 Г »г(») 2тл'(х)-| 2 к / ?ЧУ) V. а + <л'(х)> L (х) "(х) J к dx / "(х) У
Гл. IV. ДРУГОЙ ЧАСТНЫЙ МЕТОД ИНТЕГРИРОВАНИЯ 185 Во втором случае Ь — ~ а имеем tи = 2ау (у) и Z __ / ср' (у) V ( Л д_ Г 2тср' (у) __ cpff (у) 1 / [dz_ \ к dy2 / к к' (а?) ) < dx2 J ф L f (у) кср' (у) J < dy J + дау^/|чп^'у2=0. к п' (х) J ъ'Дх) < dx У < ср (у) J Оба уравнения допускают интегрирование вслучаях'п= (яг4-г)’(яг —г — 1). СЛЕДСТВИЕ 1 331. Последние два уравнения отличаются между собой только перестановкой переменных х и у; поэтому достаточно рассмотреть какое-либо из них. В первом случае нужно воспользоваться пре- образованием t = и(а:) + £(у) и « = <(«) — ?(?/), а во втором случае— преобразованием * = * (я) + ? (У) и и = ? (У) — <(ж). СЛЕДСТВИЕ 2 332. Эти уравнения могут быть представлены в более прозрачной форме, а именно, первое в виде 1 1 ср-;(у)/;^\ [<?\(у)]а \ dy2 J [л' (х)]2Х dx2J [ср\(у)]3 Vy Д . / л" (х) 2т \ / dz \ гГ ___________~ xj71' (я)]3 71 (я) (х) J \ dx J [л (х)]2 2 — ’ а второе в виде 1 < А__________1 / \ , Г 2m ср- (у) "I [ср' (я)]2 < dy2 J [л' (я)]2 < dx2 J L ср (у) ср' (у) [ср' (у)]3 JV^y/^ , л- (х) Y rfz \ п + [Л'(Я)]3<^ ) [ср (у)]2* и- 333. Положим 7с'(я) = а и <?'(у) = 6. Тогда л (ж) = ах и <р (у) = by, и значит, л"(я;)=0 и <pff(y)—0; тогда первое уравнение дает 1 / d2z \ 1 / d2z > __ 2т / dz \ п _ ~ &2 dy2 ) [а2 \ dx2 ) а2х \ dx J а2х2 Z — ’ что сводится к прежде решенному уравнению посредством преобра- зования t.= ax-\-by и и = ах — Ьу. Вто рое же уравнение дает 1 / d2z \__1 / d2z \ . 2т / dz \ । п __ ~ "б2" \ dy2 ) a2 \dx2 )' №у \ dy )~Т~ Ь2у2 Z — ’ что сводится к прежде решенному уравнению посредством преобра- зования t = ах + by и и=Ьу — ах.
186 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛАМ ВТОРОГО ПОРЯДНА Оба уравнения интегрируемы в случае п = (т + г) (т — г — 1). Путем введения переменных t и и в обоих случаях получаем уравнение / с?22 \ ( т / dz \ т / dz \ п ______________ \ du ) "т" t 4- и у, dt t-\~ и \ du / (t + w)2 2 СЛЕДСТВИЕ 1 334. Если взять п равным нулю, то оба уравнения: a2 Z d2z \ / c?2z \ 2т Z dz \ &2 \ dy2 ) \ dx2 ) х \ dx ) И / d2z \ Ъ2 / d2z \ 2т / dz \ \ dy2 J а2 \ dx2 j у \ dy ) “ ’ будут интегрируемы, когда т — целое число и, следовательно, число 2т?г —четное. СЛЕДСТВИЕ 2 335. Таким образом, налицо замечательные по своей простоте уравнения, состоящие только из трех членов, которые допускают инте- грирование в бесконечном числе случаев. Интеграл в этих случаях легко получается на основании § 328, если только вместо хну писать t и и. СЛУЧАИ 2 336. Пусть к (х) — аяУ и у'тогда а также к" (х) = рах^~1 и <р" (у) = 0. Тогда первое уравнение дает 1 / d2z \ 1 / d2z \ — 2m\i—2т/ dz \ п(р- + 1)2 q b2 \~dy2 / A^\dx2J^~ a2x2^ + i \ dx ) а2х2^+2 ~ ’ что сводится к решенному выше уравнению, если положить 1 1 t ==--л ая^+1.4- by и и = ——; ax^+i — by. |л4-1 р. 4-1 Второе же уравнение дает 1 / d2z \ 1 / d2z \ 2т / dz'X р. / dz \ п _ q Ь2 \ dy2 J д2х2н dx2 ) Ъ2^ \dy ) a2x2^+i \ dx ) Ь2у2^ “ ’ решение которого получаем, положив 1 - 1 Z =----ах^+1+Ъу w/a^by------—га^+1. р. +1 1 А 1 Оба эти уравнения допускают интегрирование, если п = (т + Z) (тп — i — 1).
Гл. IV. ДРУГОЙ ЧАСТНЫЙ МЕТОД ИНТЕГРИРОВАНИЯ 187 СЛЕДСТВИЕ 1 337. Для случай, когда первого из этих уравнений следует особо отметить тот 2\^~у2 и zz — 0. Тогда получим Это уравнение интегрируемо, если ‘ равно целому числу т, поло- жительному или отрицательному. СЛЕДСТВИЕ 2 338. Или же, поскольку р= — > уравнение то есть ь2 ~~2 Х а2 4m 2m—1 Г— < dx* ) интегрируемо, если т — целое число, положительное или отрицатель- ное. Приведение выполняется, если положить 1 t = — (2т — 1) ах 2тп~1 ч Бу, ______________________ и == — (2т — 1) ах — by. СЛУЧАЙ 3 339. Пусть тс' (х)--= ах^ и —тогда w(a:) = jrbaa:,l+1 и <p(3') = d“ifyv+1’ а также тс" (х) = [tax^~i и <р" (у)•= мбу7-1. Первое уравнение сводится к 1 / Л_________1 \ ( dz\ b2y2v \ dy2 ) а2х2^ Ч dx2 ) + l \dy )' |х —2тп|х — 2m< dz \ п(|х + 1)2 р. + а2х2р. + 1 <17 ) ~ a2x2p.+2 2 - U Приведение [к интегрируемому виду] выполняем, положив i = —Ч aa?i4-i —?_ jyv+i |х+1 1 м 4-1 и и = -Д-7 axv-^-----Д- jx + 1 \-J-l X
188 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛАМ ВТОРОГО ПОРЯДКА Второе же уравнение получается в виде 1 / \ 1 / d2z \ 2mv -|- 2m — v / dz \ 4 dy2 ) a2x2y. \^dx2 ) ”* ) + T a2a.2H+ 1 < dx ) + ^2^+2 Z U’ и приводится посредством подстановки 1 1 t = —— ax^+i +——; p, + 1 V + 1 * И u =------ax^+1 4- -i-j by^+1. P-+ 1 v-h 1 У Поскольку здесь встречается только отношение между а и bt то можно в первом случае положить / — — тр-+1 7/V+1 1~2Х ’2(v-|-l)a^ и и = ±^+1 м 2 х 2(v+l)a* , так что ^+u = 2lJ‘+1. Тогда выражение интеграла становится проще. СЛЕДСТВИЕ 1 340, Если в первом уравнении положить и. = — ^2-1 » в нем ПР°" падет один член и получается 1 / d2z > 1 .. 4m- a2,.2v ( dy2 J a2 x2m 1 2 J 2 Если принять а — b и v = — —4тп z d*z \ г' ~ 7o----”na 2 x 2m~i z = 0- (2m— I)2 a2 2m , получаем ^2’4 О 2ТП+1 I 2m -.2^1 dx2 J 2m— 1 M 2 -^—x^~lz = 0. (2m— I)2 СЛЕДСТВИЕ 2 341. Далее, если в первом уравнении принять № р. и^ = 2mu — 2m = р- т = —-г t получается — — р., то есть 1 _____1 Г > &2у2р. dy2 ) fl2x2p. dx2 ) &2у2р.+1 \dy ) _ Н ( dz_ A _ ”(^+1)2 л а2х21л+1 \ dx J a2x2p. + 2
Гл. IV. ДРУГОЙ ЧАСТНЫЙ МЕТОД ИНТЕГРИРОВАНИЯ 189 Это уравнение интегрируемо, если „ = _ [р + (р + 1) И [(р + 1) i +1] (р + 1)2 то есть ПОЯСНЕНИЕ 342. Таким образом, мы получили весьма большое количество довольно простых уравнений, которые можно проинтегрировать с помощью изложенного здесь метода. Но мы здесь рассмотрим глав- ным образом два случая, из которых первый, 2^7/ <Pz_\ < dy2 а2 * < dx2 J ’ был введен в связи с определением движения струн переменной толщины1), а второй, которому соответствует уравнение 4 2 / с?2. \ < с?22 \ 2лтг < f dz > д2_ \ dy2 ) dx2 ) х < dx ) ~ ’ замечателен тем, что мы приходим к такой форме уравнения при исследовании распространения звука2). Стало быть, эти два уравнения больше других заслуживают того, чтобы были даны их интегралы в тех случаях, когда это возможно. ЗАДАЧА 54 343. Пусть предложено дифференциальное уравнение га2 / 'd2z \ / d2z \ 2«г / dz \ Найти его полный интеграл в том случае^ когда т — целое положи- тельное или отрицательное число. *) См, например, работы Эйлера (Кз 287 и 442 по списку Энее трема): «О коле- бательном движении струн неодинаковой толщины» (De motu vibratorio cordarum inaequaliter crassarum, Novi comment, acad. Sc. Petrop. 9 (1762/3), 1764, стр. 246) и «О колебательном движении струн, толщина которых изменяется по произволь- ному закону» (De motu vibratorio cordarum crassitie utcunque variabili praeditarum), t Novi comment, acad. Sc. Petrop., 17 (1772),4773, стр. 432); также в Opera Omnia, Ser. II, vol. 8 и 9. [Ф. Э.] 2) См. работы Эйлера (№ 306, 307, 319 по списку Энестрема): «Дополнение к изысканиям о распространении звука» (Supplement aux recherches sur la pro- pagation du son), Mem. de 1’acad. d. Sc. de Berlin, 15 (1759), 1766, стр. 210; «Продолжение изысканий о распространении звука»- (Continuation des recherches sur la propagation du son) там же, стр. 241; «Изыскание об интегрировании урав- нения (Recherches sur 1’integration de 1’equation...), Miscellanea Taurin, 32 (1762/5), 1766 стр. 60; также в Opera Omnia, Ser. Ill, vol. 1 n Ser. I, vol. 23. 1Ф. Э.1
190 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛАМ ВТОРОГО ПОРЯДКА РЕШЕНИЕ тт , 1 , b 1 Ь После подстановки Z = -y-a; + — у ии=^-х—.-у наше уравнение принимает вид С d2z Л_1_ т т С dz Л л \dt du t и \ dt ) i 4- и \ du ) Здесь t + и = х. Положим В случаях, допускающих интегрирование, имеем при отрицательных т: если т = 0, z = S8; если т— -1, z = %- !» если т = -2, г = ЭД — если т — -3, г = ЭД- 6.L®; если т — — 4, z = ЭД — 4®_]_ 6 g_ 4 О О / о • / • О о • / b • о если т — -5, г = ЭД — .А$8 _|_ ®®+—4— (5—^ J „ F 10 1 10-9 10-9-8 1 10-9.8-7 10-9-8-7-6 и т. д. Для положительных значений т имеем: если т = 1, xz — ЭД; если т — 2, x3z = ЭД — 4®; если т = 3, xbz — ЭД — если т — 4, x?z = ЭД — 4®+в35« в.м®. если т — 5, x^z — ЭД — AS9-|-A|f- ‘ S + если т — 6, xnz — ЭД — 2_ 94 -L 10 £ „ 10 ф. ’ __5 (У _ 1 10^' 10-9^ 10.9.8^ ‘10.9.8.7й и т. д. 10-9-8-7-6 Итак, эти выражения в случае т — — i дают значение 2, а в случае //г = i-И 1 они дают значение x-^z.
Гл. IV. ДРУГОЙ ЧАСТНЫЙ МЕТОД ИНТЕГРИРОВАНИЯ 191 ПОЯСНЕНИЕ 344. Значение t и и здесь взяты так, чтобы было t-\-u = x; целе- сообразно, чтобы именно эти значения были использованы как аргу- y • « -г» 1 Г ах + by Л менты произвольных функции. В самом деле, хотя j ( —\ является также функцией аргумента ах^Ьу, но функции, получающиеся отсюда при дифференцировании, имеют отличие. А именно, если положить то дифференцирование дает ЖЖ Г ( ЖА 3 - («*+Му) f + ад, откуда /' (аж^6у') = 2а?' (ax+by). Таким образом, производные не равны, несмотря на то, что сами функ- ции были равны между собой. Подобным же образом получаем г =4а2?" {ах+Ьу^ Г^~^)=8а\’"(аг+Ьу') И т. д. ЗАДАЧА 55 345. Предложено дифференциальное уравнение 4тп Л d~z Л &2 2^1 < d z Л С. dy* ) ~ а* х \dx* ) • Найти его полный интеграл е тех случаях, когда т — целое положи- тельное или отрицательное число. РЕШЕНИЕ Введем новые переменные t и и так, что 4------— Ь 1------— Ь t = ~x 2т~х~жж----ту- у И и =х 2m~i + t>/t> —7ж-у- 2 2 (2m — 1) аж 2 2 (2/?г — 1) a J Тогда паше уравнение приводится к виду ( /У. Л + 'га.... ( Al Л 4, ж (Al Л = о, V dt du J £ + и \ dt J 1 t + и V du J где 1 l-^u^x 2m~1 v Положим _ 1
192 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛАМ ВТОРОГО ПОРЯДКА 2 3 ® = z 2т-1 [/"(;) +F"(и)], ® = z 2m—1 [/’(«) + Fm(и)], * 5 ® = X 2"-1 [/1V (Z) + F™ (В)],5 = ж“2т-1 [/V (Z) + рУ (В)] И Т. Д. Рассмотрим вкратце сперва случаи, когда т, начиная с нуля, умень- шав ся, принимая отрицательные значения. I. Ког а тп = 0, имеем уравнение < d2z \ _ Ь2 Л d2z \ . \ dy2 ) а2 \ dx2 ) ’ его интеграл z^(Ax+^y}+F(Ax-i^- II. Когда тп= — 1, с помощью подстановки £ 1 * = и u = -J—^y для уравнения Г d2z\ _ Ъ2 d2z \ < dy2 J - а2 < dx2 J получаем интеграл 1 " 2 = + [7'(*) + ^»Ь III. Когда тп= — 2, с помощью подстановки , 1 X , Ь 1 I ъ t = X* + 77Г У и М = Z5 — .-т- у 2 ‘ 10а * 2 10а * для уравнения \ dy2 J а2 \ dx\ J получаем интеграл 2 = 1 (!) + F («) - 4 Л/'(t) + F' («)] +^з [/" (Z) + IV. Когда т= — 3, с помощью подстановки , 1 i . Ь lib 2 1 14а 2 14а для уравнения < dy* ) - а2 х < dx* ) получаем интеграл z = / (i) + F (и) - 4 [/'(t) + F' («)] + [/" (Z) + F' («)] - t “б^4ж7 rrw+*”w
Гл. IV. другой частный метод интегрирования 193 V. Когда т= — 4, с помощью подстановки . 1 I , Ъ 1 I ь ^2Х+18-аУ И и = ^Х^18~аУ для уравнения Ч “2/2 Jo? 4 dx2 J получаем интеграл , 1 fi 2 z = / (t) + F (и) -1 [f (i) + F' (и)] + A ^9 [r (,) + F„ (M)] _ - 8^6 X* + +8^63 x* tfIV W + /,IV Ml- И так далее. Bo втором случае, когда т имеет положительные значения, инте- гралы выражаются следующим образом: I. Когда //г = 1, то есть когда < dy2 а* Х \dx* J’ с помощью подстановки , 1 -1 b 1 _1 , ь t = ^x ~^У и и = ^х +^У получаем интеграл x^z (и) или z = х [f (t) + F (и)]. II. Когда т = 2, то есть когда < dy* J а* < dx* ) ’ с помощью подстановки , 1 ц & 1 -4 , ъ t — —x А — -г~у И и = -ггХ 3+-д— у 2 6а а 2 6а а получаем интеграл 1 z = X [/ (t) + F (и)] - 4 я3 [/' (0 + ^ ' \«)]- III. Когда т = 3, то есть когда — х^С^-Л \ dy2 J а2 \ dx2 ) 5 с помощью подстановки , 1 -4 ь 1 4 , ь t =-^г X а — —- У И U —-7Г X у 2 10а 2 1 10а получаем интеграл 2 - 1- . z = X [/ (Z) + F (И)] - 4 х\ [Г (0 + F' (И)] + 4^5 [/" (0 + F" (И)]. 13 л. Эйлер, т. III
194 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛАМ ВТОРОГО ПОРЯДКА IV. Когда т = 4, то есть когда \ dy2 J a2 dx2 ) ’ с помощью подстановки , 1 . 1 , , 1 7 Ъ 1 7 . & t=-.-x 1 =-—у и и —х 7 + ту-у 2 14аJ 2 14а * получаем интеграл 3 - 3 - z = х [/ (t) + F (u)J - А х7 [f (I) + F' (u)J + A X7 [r (t) + p" (K)]_ j 4 V. Когда m —5, то есть когда Г-Й-У4 А-Й-У \ dy2 /a2 \ dx2 J с помощью подстановки . i -4 6 i -I, ь t~~~X * — И U=~~X -2 18a 2 ' 18a получаем интеграл , 8 г 7 z = x [f (0 + F (и)] -| x* [f (/) + Fr (h)] + x* [f (0 + F” (u)] - 6 5 “ 8^6 + РПГ + 8TO W + ^IV и т. дй Отсюда закон образования последующих выражений очевиден. ПОЯСНЕНИЕ 1 346. Эти случаи интегрируемости совпадают с теми, которые обна- руживаются у так называемого уравнения Риккати. В самом деле известно, что это уравнение 4m dy + У2 dx — ах 2т^1 dx может быть проинтегрировано, когда т — целое число, положительное или отрицательное1). Это уравнение довольно существенно связано с нашим уравнением [в частных производных], что можно показать следующим образом. Если задать уравнение общего вида < dy2 ) " У < dx2 ) и для нахождения частных интегралов положить s — eayv, где г;—функ- ция одного только х, то f dz \ п.. dv f d2z \ d2v \~d^)"6 ~d^ \dx2)~e ~drf ' x) См. интегральное исчисление, т. I, § 436 и т. II, § 943. [Ф. Э.]
Гл. IV, ДРУГОЙ ЧАСТНЫЙ МЕТОД ИНТЕГРИРОВАНИЯ 195 С другой стороны, J == откуда получается уравнение 2 Xd2v fpdx а если, далее, в этом уравнении положить v=e^ , то по- atdx лучается —j— = dp^-p2dx\ но если Х-Лг171’-1, как в нашем случае, то получается уравнение dp р2 dx = ах 2ml dx. Итак, надо полагать, что не случайно оба уравнения интегрируются в одних и тех же случаях. Следует, однако, отметить, что когда т?г=оо, а это для уравнения Риккати не представляет никаких затруднений, в нашем случае интегрирование не удастся. Дело в том, что полу- чается уравнение \ dy2 ) а2 \ dx2 J приведение которого методом, изложенным в § 330, не удается. В самом деле, так как Q = -- , R = 0, 5 = 0 и Г = 0, v а мы находим для новых переменных Ь2х откуда, поскольку М = == 7V, получаем уравнение ( ^2z Л 1 ( dz Л 1 Л dz Л — о \ dt du J kqx \ dt J ^px \ du / Полагая 1 1 P = ~ и так что t = lx + и u^lx —— , a a Преобразуем уравнение к виду / d2z \ 1 / i / dz \ __ g V dt du ) 4 V dt J ^\du) Как это уравнение интегрировать, не ясно. ПОЯСНЕНИЕ 2 о / Г7 тэ f d2Z \ 2 < d2Z \ .. £ 347. Все же для уравнения 777г J = х ) можпо наити беско- нечное количество частных интегралов, которые содержатся в выра- жении z — Ах^е^. Действительно, поскольку тогда имеем 113*
196 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛАМ ВТОРОГО ПОРЯДКА получим = X (X. — 1) Ах1 так что fl=/k(k-l), откуда для ] любого X получаются два значения р, и, следовательно, z = АхЧ* Vxa-1) -I- Bx4j-v а меняя значение X можно получить бесконечное количество таких решений. Однако эти решения могут быть еще обобщены. В самом деле, положим z=xxe^v и посмотрим, обязательно ли v должно быть постоянным. Отсюда следует, что ( S') = '^-^v + х^у , а тогда наше уравнение после деления на xxeLy дает Положим, как выше, j±2-=X(X —1) и пусть будет v = alx + $у. Тогда 2[3р. = 2аХ — а, или а _ 2р 2 1) — 2Х — 1 ~ 2Х — 1 откуда решение, соответствующее числу X, принимает вид а-аф Пм>(л+ 2 + + Если теперь каким-либо образом менять показатель X, а также коли- чества А, 91, В, 53, можно образовать таким образом бесконечное число членов, и надо считать, что все они вместе взятые дают полный интеграл. Так как для X можно взять и мнимые значения, положим 1 = а+Ь/=Л. Тогда ? = p + q /-1, где р2 — q2 = а2— а — Ь2 и Р2 + q2 = У(а2 + Ь2) (а2 — 2а + 1 + Ь2), так что хк = ж“ [cos (Ь1х) + У — 1 • sin (blx)], epv (cos qy + ]/ — 1 sin qy).
Гл. IV. ДРУГОЙ ЧАСТНЫЙ МЕТОД ИНТЕГРИРОВАНИЯ 197 Таким образом получаем действительное выражение A cos (to + qy) + В [2plx + (2а — l)y]cos (blx + qy)~ — В (2qlx + 2by) sin (blx + qy) z — хае^У , SI sin {blx + qy) + 53 [2plx + (2a — 1) y] sin (blx + qy)+ k + 58 (2qlx + 2b y) cos (blx + qy) ‘ где величины а и b могут быть взяты произвольно, а по ним вычи- сляются р и q. Если же здесь считать заданными параметры b и q> то остальные а и р вычисляются по ним следующим образом: 2а — 1 = q — 4 и р = у |/” g2_62 — 4 • Поэтому здесь необходимо, чтобы было q2 > b2 и (?2<b2-b-^-, или чтобы q2 лежало между пределами Ь2 и 62 + ~. Если положить q=c и —4—2/, так что =4 (1 + /2) или c2-b2 = -i{ll+f^, будем иметь также 2а — 1 — 2с/ и р = 6/, и тогда формою частных интегралов будет bfy /Л cos (btx + су) + 2Bf (blx + су) cos (blx 4- су) — 2B (clx + by) sin (qlx + cy)\ (SI sin (blx + cy) + 258/ (blx + cy) sin (blx + cy) + 258 (clx + by) cos (blx + cy)J Если ради краткости ввести угол Ых^су^Ф, получаем z = х 2ebfy [Л cos (Ф + а) + Bf(blx-\-cy) sin (Ф +Р)+В(clx-{-by) cos (Ф+₽)]> где величины Ь, с, Л, В, а, £ в нашем произволе. ПОЯСНЕНИЕ 3 О,о / d2z > 9/ d2z \ 348. Можно получить решение уравнения ( J = j таким образом: поло z = х1е^у {mlx-^nyY откуда ~ (mlx-[- пу) + тх1~}е^У и (mlx^ пу) + пх1е^у и дифференцируя еще раз, находим <=^-2eHv[pl(2X-l) + X(X-l)mZa: + X(X- IW
198 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛАМ ВТОРОГО ПОРЯДКА И ) = (^п + ^т1х + ?2пу)- Отсюда получим сперва у к (к—1) и далее 2п/к7к-1) = т (2к -1), откуда т __ 2 ]/к (к— 1) ~7Г" 2к—i ’ так что получается тот же интеграл, который мы указали раньше.
ГЛАВА V ОСОБОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЭТИХ УРАВНЕНИЙ ЗАДАЧА 56 349. Предложено уравнение где Р, Q, R —функции только х. Требуется при помощи подстановки где М и N — функции одного х, преобразовать наше уравнение в урав- нение такого же вида, а именно, где F, G, Н—функции одного х. РЕШЕНИЕ Так как величины М и N не содержат у, имеем Это выражение в силу уравнения, которое мы лишь предполагаем по- лучить, преобразуется к виду \dyz J \ах3 J ах \dx2 J dx \dx J ах + MG +МН +NH + NF +NG Затем для правой части предложенного уравнения наша подстановка + 2V
200 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛАМ ВТОРОГО ПОРЯДКА и, далее, М (d3V\ ( 2dM (^v\ / d2M' 2dN\ fdv\ ,d2N Но согласно условию и если теперь подставить сюда найденные только что значения и при* равнять нулю слагаемые, умноженные соответственно на Veto2/’ И V, каждое в отдельности, то получаются следующие четыре уравнения, а именно ИЗ получается уравнение (й) MF = MP, (£0 MdF dx -MG + Nf=^- i-N^P + MQ, (Э MdG , dx мя + л-с = (^ч 2dN \p /" dM dx )P + < dx V MdN dx -NH = ^-P + ~Q + NR. dx2 dxx Отсюда прежде всего очень удобно получаются Р, Q и R. В самом деле, первое уравнение дает немедленно P^F, а затем второе дает MdF + 2FdM , п п М dx — Исключая же из последних двух уравнений /?, получаем М (N dG — MdH) ( N2G = / Nd2M — Md2N 2N dNX dx \ dx2 dx J и, подставив сюда найденное значение Q, находим 0 M2dH MNdG (Nd2M — Md2N) р 2NF dN dx dx ' dx2 ' dx ' NdM—MdN G (NdM — MdN) .p N2dF dx _ FdMjUdM- М dN) 2N2F dM М dx2 М dx на > мы приведем его к интегрируемому N . NdM—MdN . N2F Умножив это уравнение виду и найдем интеграл С = Н — И п М2 dx ~М» ' Если теперь ради краткости положим N = Ms, то C = H-Gs-F^ +Fs2 dx
Гл. V. ОСОБОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЭТИХ УРАВНЕНИЙ 201 ИЛИ ds + ~ 5 dx — s2 dx + dX~ = 0- г г N Отсюда определяется либо количество 5 = -^., либо одна из функций F, G и Н, Тогда в предположенном уравнении коэффициенты Р, Q и R определяются так: I. P = F; И. о-'; v dx Mdx из последнего же уравнения выводим TtTr MdH F d2N dN / с dF 2F dM\ K — n^Ndx Ndx2 Ndx\'dx Mdx J 1 что, в силу уравнения N = Ms, преобразуется к виду 7? — 7/ 4- dH — Gds — GdM — Fd*s — Fd2M д- 2F dM2 — dF ds _ dF dM S dx s dx M dx s dx2 M dx2 ‘ M2 dx2 s dx* M dx2 r а поскольку найденное уравнение при дифференцировании дает 0 = dH - G ds - s dG - + 2Fs ds + s2dF, - dx dx получим TTT ТГ GdM dG Fd2M 2F ds ,2F dM2 s dF dF dM 111. K — n — M dx 4-^ Mdx2 &г + M2 dx2 ~~dx Mdx2 ’ Таким образом, если уравнение |><S)O допускает решение, то возможно решение также уравнения где °=О'’»и 1>+(О • СЛЕДСТВИЕ 1 350. Если положить М=1, так что z=w+(£)’то P=F, Q = G + ~ и /?=7/ + ^ + ^4F^-> v 1 dx dx dx что не является ограничением для указанного приведения, так как если вместо z писать Mz, то сразу получается также решение соответ- ствующего уравнения. СЛЕДСТВИЕ 2 351. Итак, если возможно решение уравнения
202 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛАМ ВТОРОГО ПОРЯДКА то возможно также решение следующего уравнения: если только 5 определяется из уравнения F ds -\-Gsdx — Fs2 dx-\-(C -—H)dx = 0, а именно тогда Коэффициенты F, G, H должны быть функциями одного х. ПОЯСНЕНИЕ 352. Нам представляется, что это преобразование дает весьма естественный метод для получения таких интегралов [дифференциаль- ных уравнений], которые содержат не только [произвольные] функ- ции, но также их производные. В самом деле, если интеграл уравне- ния для v есть v = (i), где t — функция х и у, тогда, поскольку dv — dty (t)9 будет (*), и мы получим интеграл выводи- мого отсюда для z уравнения в виде + (О- Затем, если имеем, более общим образом и = 119 (г), то z = SB?(z) + (g)?(/)4u(g) что указывает способ перехода к таким уравнениям, интегралы кото- рых, кроме функции <?(/), содержат еще ее производные <?'(£)> а также <р"(£), </"(£) и т. д. Поэтому есть смысл заняться этим преобразова- нием подробнее. ЗАДАЧА 57 353. Предполагая, что известно решение уравнения ( Л__________________( .т Z' dv\ п \dy2 ) \dx2 )~Т~ х \dx х2^ найти другое уравнение вида которому удовлетворяет z=ra+C£)- РЕШЕНИЕ При сравнении с предыдущей задачей имеем /г = 1 G = ™ и Я = 4, X х‘
Гл V, ОСОБОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЭТИХ УРАВНЕНИЙ 203 так что количество 5 требуется определить из уравнения ds _l ms_dx _ &х у _ 2L &х = о. „ „ dG т После нахождения этой величины, на основании равенства = , находим искомое уравнение в виде / d2z > _ / d2z '\]mfdz'\.f п — т ^ds \ х dy2 ) х dx2 ) х dх ) х2 dx ) 2 ’ или после подстановки значения ds (S)=(£)+va)+(2/-^i+2F-2”>’ причем I. Положим сперва, что постоянное количество / = 0, так что ds + ^_s2d;r_^=0. X X2 Это уравнение имеет частный интеграл 5 = “, если — а 4- та — а2 — — и = 0, то есть а2 — (т — 1) а 4- п = 0, откуда, поскольку , получается уравнение / d2z \ Z d2z \ х_т ( dz"\ 2а — тп-\-п \dy2) \dx2) х \dx } х2 Z’ где Или, если исключить п = а(т — 1—а), получаем, что если известно решение уравнения f d2v\ __ / d2v \ т f dv\^ а (т— 1 — а) \^dy2 ) х хг то решением уравнения ( d2z Л _ ( d2z \ 771 / c?z \ I (а — ЭС771 — а) х \dx) х2 Z будет II. Сохраним значение /—0, а для5 будем искать полный интеграл, положив 5= ~ + Тогда, поскольку п = (иг — 1) а — а2, имеем tdx 4- tZa? = 0 и это уравнение после умножения на х2а^т и интегрирования дает __ cxw~2g________X 2а — т4-1 2а — ттг 4- 1 ’
204 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛАМ ВТОРОГО ПОРЯДКА откуда х х(схт~2*^-1) и ds а (лтг —2а— 1) (т— 2а) (т— 2а — I)2 dx х* + а;2 (саг”1-2’-1 — 1) a:2 (car™—20-1 — I)2 ’ Особо отметим здесь случай с —0, когда т — а — 1 d s — т 4- а 4-1 5 ==----- И -- =------г~ ~ > х dx х2 так что данному уравнению / d2v \/ d*v \ т f t/y\ a(m—1 —а) \ dy2) < dx2x\jLx )' х2 соответствует уравнение / б?22 \_ / б?22 \ । w Г i (а + 1) (т— 2 — а) \б?г/2/ \dx2 J х \dx J х2 где ' т— а — 1 , / dv\ Z =-г- ) . х \dx J В общем случае пусть будет т — 2а — 1 = р, так что а р 5 =---------- х х (сх^ — 1) И __ « . Р(Р + 1) Р2 . dx х2 х2 {сх$— 1) х2 (car3 — I)2 Таким образом, если задано уравнение fd2v\/d2v\ 2a + g+l (dv\ , а(а + Р)7. \б?г/2/ \t/a:2y_‘ х \dx J х2 т то с его помощью решается уравнение 2g(g+l) 2g2 "I z сх^ — 1 (сх$ 1)2J х2 где 2 = fa-_3_^ + f JY ч са:3_1/ х \dx J III. Учтем теперь еще постоянную /, полагая / = так что при n=^a(m —1—а) имеем ; ms dx s2 а (т—1—a) dx , dx q 5 1 х S X H- a2 ~~ При помощи подстановки $ = A_|_J_ это уравнение преобразуется к виду di (m-2a)ida; dx = t^_ dx. x a2
, Гл. V. ОСОБОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЭТИХ УРАВНЕНИЙ 205 Пусть т — 2а — у, тогда заданное уравнение есть __ ( d2v \ 2« + 7 (dv \ а (а+7 — 1) \ dy2) ~ \dx2 J х \dx J' х2 ’ откуда после нахождения количества $ получается уравнение ( d2z Л _/ d2z Л | 2а + 7 ( dz \ , ( а2 — За+ <17—7 2ds Л vdy2) \ dx2х \dxjl \ х2 dx )Z,> то есть / . 2а+7 (dz\ , Г(а—1)(а + 7) , 2dt Д . \dy2J x^dx2) 1 х \dx J * L x2 r l2dx J ’ где Вся задача, таким образом, сведена к нахождению количества Z из уравнения dz _ Td:r = l- dx. • х 1 а2 тт , a2 du Для этого положим t = тогда получим уравнение d2u 7 du . 2du р_____Q dx2 х dx a dx' ах ’ которое имеет два решения. Одно получается, если положить и = А + Вх + Сх* + Dx3 + Ex* A- Fxb 4- и т. д., где Я_Ы, С = д, 7а 2(7 — 1) а 3(7 — 2)а 4(7—3)а второе же получается, если положить и — Ахг+* -±-Вх7+2 -Н Схг+3 4- + -&ет+5 + ит. д., где Дг-(Т + 2)Л (7 +4) В (7 + 6)6 (7 + 8)^ п т п (7+2)*’ 2(7 + 3)а’ П 3 (7 + 4) а ’ 4 (7 + 5) а И ,Д‘ Первый из этих двух рядов обрывается, когда у—целое четное поло- жительное число, а второй, когда у—целое четное отрицательное. Хотя эти два решения и являются частными, однако мы уже показали выше1), как по ним найти полный интеграл. 4 См. Интегральное исчисление, т. II, § 837, а также § 967 и § 1036. Действи-1 тельно, рассмотренное здесь уравнение получается из уравнения § 967, если по- ложить 2 у п = 1, а = 1, 6 = 0, с — — 7, -----, / — 0, £ = —. а а В § 1036 уравнение этого же вида интегрируется в квадратурах. [Ф. Э.]
206 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛАМ ВТОРОГО ПОРЯДКА СЛЕДСТВИЕ 1 354. Мы видели выше (§ 333), что уравнение / Л __ / с?2^ к , 2rn < t (m + i) (m—i —1) к dy2 ) к dx2 ) х < dx ) 1 х2 V интегрируется, если z — произвольное целое число. Отсюда мы заклю- чаем, что уравнение / ^2yk _ Л , т f dv*\ а (/и—1 — а) к dy2 ) к dx2) х \dx ) х2 & 1 1 допускает интегрирование, когда а = v т + z, а также когда а = — zzz — г — 1, т. e. когда m — 2a — четное целое положительное или четное целое от- рицательное число. Так как т — 2а = у, эти случаи совпадают со случаями интегрируемости при определении общего значения $. СЛЕДСТВИЕ 2 355. Если из данного уравнения удается определить функцию у, то могут быть решены также и следующие два сходные с данными уравнения: f &z\__ < d^k , ы f d*\ , (a—l)(m —a) kdy2 ) kdx2) x \dx ) x2 И /rf^k <rf2sk m/rfzk (а + 1)(УП —Д —2) kdy2 ) ~ k dx2 x \dx ) x2 ’ Поскольку для первого уравнения a * f dv \ Z == •“ V -p ( 5— J , x \dx J ' а для второго m— a — 1 Z rft/X Z —------V + ( J- ) - x \dx J СЛЕДСТВИЕ 3 356. Кроме уравнения указанного типа, этим способом можно ре- шить также уравнения другого вида, в которых последний член не имеет вида ~^z. Эти решения получаются, когда для количества s берут его общее значение, и учитывается постоянное /. ПРИМЕР 1 357. Пусть тно уравнение J — y^dx2) 1 котороео у==ти(ж + у) + ?(^ —у);
Гл. V. ОСОБОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЭТИХ УРАВНЕНИЙ 207 найти более сложные уравнения, которые могут быть с его помощью проинтегрированы. Поскольку здесь F=l, G —0 и Я = 0, нужно решить уравнение ds — s2dx + Gdx — 0 Тогда интегралом уравнения будет / d2z *\ __ / d2z \ 2ds К dy2 / \ dx2 J dx Z Сперва положим С = 0; тогда = dx куда dx = \c~x)2 ' И здесь можно с = 0. Следовательно, уравнение без и — = с - х, то есть 5 =----, от- 3 с — х 1 всякого ограничения принять, что \ dy2 J ~~ \ dx2 ) х2 Z имеет интеграл z= — -J-[it(ж4-у) + ч>(х — у)] + тс'(.г+?/) + <}>'(ж — у)". Пусть далее будем иметь С — а2, тогда вследствие того, что ds = dx (s2 — а2) 1 7 s —а 1 7 . х = — 1 — к- 1А. 2а s + а 2а 1 откуда s~a = Л е2ах „ .. _ Ml + /te2ax) s + a А S 1—Ле2ах ’ и, далее, ds 4Аа2е2ах dx (1—Ле2их)2 ’ Таким образом, уравнение /АЛ . 8Ла2е2ах \dy2) ~ \dx2 ) (1 — Ае2°^ Z имеет интеграл а(1 + Ле2ах) .(dv\ z 1_Ле2их V *" ' Напротив, если С=— а2, тогда вследствие того, что ds — c?a;(a2 + s2)r будем иметь ах + о = arctg — , откуда 5 = a tg (ах 4- Ь) и =-------. 6V 7 dx cos (ах + b)2 Следовательно, интеграл уравнения Л 2fl2 \dy2 J \dx2 J cos(ax + ^)2 Z
208 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛАМ ВТОРОГО ПОРЯДКА есть z = ±sin(^+5) COs(ax4-6) \dx) ПРИМЕР 2 358. Предположим, что интеграл уравнения fd*v\ /d2v\ 2 \dx2 ) известен; найти другие уравнения, которые с его помощью интегри- руются. Для этого случая мы имеем ds — № dx-\~ (с + dx — 0. После решения этого уравнения мы получим интеграл уравнения ч dy2 J V dx2 ) \ х2 dx ) Z в виде z=sv+(£)- I. Пусть сперва С = 0, тогда уравнение ds — s2 dx + = 0 X2 1 2 гг 1 । 1 имеет частные решения $ = — и $ = — — . Поэтому положим $ = — + —, тогда dt + ^+dx = O, откуда tx2 + ^-x3 = 4 а3- О о Следовательно, а3 — х3 __ а3 + 2х8 ~ Зх2 И 5 х (а9 — х3) 1 так что 1 _ Зх(2д3 + ^3) dx^ х2~~ (а3 — х3)2 Таким образом, уравнение / d2z \ / d2z \ 6х (2а3 + х3} \dy2 J ~~\dx2 ) (а3 — х3)2 Z имеет интеграл а3 + 2х3 . f dv\ Z = “Г?--У ) • х{а3 — х3) \dx J 1 11 II. Пусть С = , тогда, положив s— — + у, имеем , 2t dx . J t2dx dt + —— + dx = —• Л7 v
Гл. V. ОСОБОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЭТИХ УРАВНЕНИЙ 209 f 2 В частности, этому уравнению удовлетворяет Z = c+ ~ , так что с2 + сх + х2 ds ; 1 1 А сх (с х) М dx 1 х2 (с + а;)2 Итак, интеграл уравнения \dy2 )~~\dx2) (с + х)2 * есть с2-\-сх+х2 , d du \ z =---/—;—+ ( Т * сх (с + х) \dx J Для того же, чтобы найти полный интеграл для Z, положим так что 7 , dx , dx n an н-------—s- — 0 или dx = c2 du 1 2>cu * откуда x == b---c- I (1 Jr 2cu) и, следовательно, 2(Ь-х) Таким образом, , с2 2с Z - с Л х + 2(Ь~х) е с —1 и, наконец, 1 Г З(Ь-ж) л ds 1 _____ dt ~ 1 / , »2i £2\ __.1 с2 4е с dx'x2 I2 dx t2 V х с2) I2 х2 2(Ь-х) L л)2 -1 ПОЯСНЕНИЕ 359. Выше/мы убедились, что уравнение /d2v\ _р2с\ £(£ + 4) \ dy2 J \ dx2 J х2 допускает интегрирование, так как оно получается из общей формы (§ 354), если принять /?г = 0. Применяя к этому уравнению изложенный метод и найдя из уравнения ds — s2 dx + £ / 4 ^(41}1 ^=о г2 J 14 Л. Эйлер, т. Ш
210 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛАМ ВТОРОГО ПОРЯДКА количество 8, получим интеграл уравнения в виде z=sy+(£)’ I. Если при этом взять / = 0, получим, в частности, решения 8 — — и s = — , но тогда форма интегрируемого уравнения не меняется. Если, однако, положить 8 — у 4- у , то получаем [уравнение] 2iidz =0 1 г 1 ’ интегралом которого будет _j___1- 7'21 + 1 —__ Х 4 ^2i + l Х 2i +1 ’ так что 5 = + (t+ 1) s2i+1 х (g— a;2i + 1) а интегрируемое уравнение есть / d2z \ __ / d2z > [i(i — 1) g2 + 6i (i + 1) gx2i+l 4- (i 4- 1) (i 4- 2) a;4l+2] z \dy2 J" V dx2 J x2 (g_X 21 + 1)2 * II. Если не отбрасываем /, то положим 8= ~ 4-и, откуда — du 4- 4- и2 dx — / dx. Это уравнение можно преобразовать в дифференциальное уравнение второго порядка, легко интегрирующееся с помощью ряда. Для этого положим v х г dx и получим уравнение х) d2r 2dr f i (i-|- 1) г _q dx2 dx x2 Приняв ]// = a и полагая г = Axi+i 4- Bxi+2 4- Cxi+3 4- Dxi+^ и т. д., находим d 2 (^ + I) а 4 р_. 2(1 + 2) д р р __ 2(i ^3) д „ 2(i + 4) ~ В l(2i + 2)^’ ° 2(21 + 3)^’ 3(21 + 4)°’ Л 4(2i + 5)/> ит-«- Этот ряд обрывается, когда z —целое отрицательное число. Если же положить г = Ах~14- Вхх^{ 4- Сх2^ 4- Dx3~{ 4~ и т« Д-? 4 См. примечание к § 353, —и здесь имеем частный случай уравнения, рас- смотренного в § 967 тома II Интегрального исчисления. [Ф. Э.]
Гл. V. ОСОБОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЭТИХ УРАВНЕНИЙ 211 ТО В=^А, С = В = 2^~2)а.С, Д = 2(/~3)аД и т. д. 2i 2(2i— 1) 3 (2l — 2) 4 (2i — 3) Этот ряд обрывается, когда г —целое положительное число. ЗАДАЧА 58 360. Предложено уравнение / _ / с?2иЛ 2а2 \dy2 ) \dx2 ) cos (ах Ъ)2 интеграл которого есть v = a tg (ах + Ь) [тс (х + у) + ср (х — г/)] + тс' (х + у) + (х-у). Найти посредством изложенного здесь преобразования другие у равнения, которые интегрируются с его помощью. РЕШЕНИЕ Введем для краткости угол ахЪ--------(ь, так что d(n = adx, согласно 2а2 § 351, поскольку F = 1, G = 0, Н ~-----х, мы должны искать коли- С OS CD “ чество s из уравнения ds-s2dx-^( С-\—2^'}dx = 0. 1 \ 1 COS CD2 J Тогда интегралом уравнения Ч ^У2 ) К / У cos CD2 ‘ ~ будет то есть z = as tg<o [ic (ж 4- у) + ф (ж — г/)] + s [к' (ж + у) + ф' (ж — г/)] + а2 + (ж ]- у) + ф (ж — г/)] + a tg ш [«' (ж + у) + ф' (ж - г/)] + V V0 си + тс" (я+ */) + <?" (я — у)' Весь вопрос сводится, таким образом, к определению количества s, С этой целью положим . du s = a tg со---— , ь и dx 1 • откуда ds _ а.а d2u du2 dx cosco2 udx2~^~ и2 dx2 ’ и после подстановки получим аа a2 sin со2 2а2 d2u . 2а du п -------------_j_ -л-------tg а) ~ О. cos ш2 cos <d“ cos cd2 и dx2 udx ° Учтем, что a2 sin ш2 а2 , 9 --------о-= + а > COS cD2 COS CD2 1 14*
212 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛАМ ВТОРОГО ПОРЯДКА и выберем а так, чтобы было — а2 + аа 4- 2а2 = 0. Итак, берем а = — а, так что . du s = — а tg а)--у- , ° и dx 1 а для определения количества и будем иметь уравнение d2u . 2а du л п где С = — а2 — па2, то есть d2u , 2du , , M J rfw так как ах = — . а Решение этого уравнения кажется довольно трудным; среди раз- личных способов его исследования следующий представляется наиболее удобным. Положим и = A cos Хсо + Bcos (Х4- 2)(о + С cos (Х4-4) со 4- и т. д., откуда = —XЛ sin Хсо — (X 4-2) В sin (X 4-2) w — (X 4-4) С sin (X 4-4) со — и т. д., == . Х2Л cos Хо) — (X 4- 2)2 В cos (X -|- 2) о) — (X 4- 4)2 С cos (X 4- 4) со — и т. д. Тогда уравнение, представленное в виде 2d2u , \du . , о л -T^COS О) -1-г- Sin (1) -н- 2пи COS О) = 0, d(i)2 da) дает 0= — КМ cos (К—1) ш~(К+2)2В cos (К 41) о> — (Х4 4)2С jcos (X4 3) ш -и т. д. ХМ — (Х42)2В — 2КА — 2(Х + 2)В — 2(Х44)С + 2ХЛ 42(142)7^ —}— л/! —J-* пВ 4 пС 4 Ttj4 4 поэтому X надо брать так, чтобы было Х24-2Х=п, то есть X = -1 ± Уп+1. Получаются два значения X. Кроме того, второй член, поскольку п=Х24-2Х, дает В = т—^А, а третий член дает С = 0, и следовательно, К -j- 2 исчезают и все остальные коэффициенты. Положим п~т2~ 1, так что X - 1 х w и в = - m 4. 1 4: т Тогда полный интеграл получается в виде и = А £ cos (тп — 1) о) 4- 74~_р4 cos (m + 1)ш ] + 4- ЭД Г cos (т 4-1) со 4- cos (m — 1) со j ,
Гл. V. ОСОБОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЭТИХ УРАВНЕНИЙ 213 или же, после подстановки А = (М 1)В и ?1 = (тп-1)53, в виде а = (т + 1) (В + 53) cos (m — 1) со + (m — 1) (В + 53) cos (m + 1) co. Поскольку здесь обе постоянные сливаются в одну, этот интеграл является лишь частным, но из него можно получить полный. В самом деле, du (m2-—1) sin (m— 1) со — (m2—1) sin (m + 1) co и d<b (m 4 1) cos (m— 1) co 4 (m— 1) cos (tn 4 1) co И ,9 __ (m2—1) [sin (m—1) co 4- sin (m 4-1) co] a ° (in 4-1) cos (m— 1) co 4 (?n— 1) cos (m 4-1) <0 ’ что должно удовлетворять уравнению 2 ds ad<a ~— m2 4----= 0 a2 cosco2 так как С = — (n + 1) a2 = — m2a2. Найденный интеграл приводится к виду — = — tg- со 4- а * m 4-tg mo) tg <о ’ что полностью удовлетворяет дифференциальному уравнению. Будем писать вместо этого выражения 0 и положим — = 04~у для тогот чтобы найти полный интеграл. Тогда будем иметь dt 20____L —О t2d& t t2 или dt + 20Z cZw + cZco = 0. Мы получили, однако, раньше 0 — — = — tg со а & du и d<& ’ откуда 0 cZco = I cos со — In 0 d<o COS со2 U2 и 2 е Это выражение является множителем для дифференциального уравнения г так что t COS со2 ~ С d<to COS со2 и2 J и2 Но и — 2 т cos т со cos со 4- 2sin mco sin со, откуда t yl С (т cos mco 4- sin mco tg со)2 j (т cos mco 4- sin mco tg co)2 Интеграл в правой части равен — in tg mco 4 tg со m (m2— 1) (m + tg mco tg co) — m sin mco 4 tg co cos mco m (m2— 1) (m cos m co 4 sin mco tg co) r
214 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛАМ ВТОРОГО ПОРЯДКА так что t _A A- cos m w w — пг s*n m(i) (т cos тпо) + sin тп(о tg <о)2 т (т2— 1) (т cos тпю + sinzno) tg <о) ИЛИ 1 __ ___________________________т (Т722 — 1)________________________ Z [С (т cos тпо) + sin та) tg <о) 4-cos та) tg <о — Tnsinznco] (т cos та> 4-sin та) tg <о) ’ * к чему надо добавить гч , , (т2— 1) sin та) 0 = — tg со 0--------—------г . ° т cos та) + sin та) tg <о Таким образом, получим ~ в виде 5 __ . . (т2— 1) (С sin т <о + cos т<л>) а ° G (т cos та) + sin та) tg <о) + cos та) tg <о — т sin та) или 5 __ (т2— 1 — tg со2) (С sin та) + cos та)) — mtga) (С cos та)— sin та)) а С (т cos та) + sin та) tg <о) + cos та) tg <о — znsinzno) СЛЕДСТВИЕ 1 361. Особо отметить здесь нужно, что уравнение 0- —з—tgco 0- (т2 — 1) и = О da)2 1 da) s 1 v 7 имеет частный интеграл и = т cos io cos тми) 0- sin ma) sin ,a второй частный интеграл получается подобным образом: и — т sin т/га) coso) — cos тио) sin О), откуда находим полный интеграл и = А (т cos ttzoj cos ш 0- sin т со sin со) 0-В (ти sin т со cos со — cos mco sin со). СЛЕДСТВИЕ 2 362. Если здесь взять Д^Ссоэа и В^~ Csina, этот полный интеграл приводится к виду и = С [т cos (тш + a) cos со sin (тисо 0- а) sin со], что можно сразу получить из вышенайденного частного интеграла, так как там вместо угла тисо можно писать ттгсо0-а. СЛЕДСТВИЕ 3 363. Отсюда можно гораздо легче получить значение 5 t du — tg со---. а ° и da) Действительно, так как — С (т2 - 1) sin (тио) 0-а) cos со, da) х z 4
Гл. V. ОСОБОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЭТИХ УРАВНЕНИЙ 215 ТО $ , (т2— 1) sin (znco + a) COS О) — — — t ст ш J-------------—-------—-—-------——----- а ° т COS (znco + а) COS со -J- sin (znco + а) sin со и отсюда ds ds 1 (zn2— 1) [zn2 COS со2 —sin (zno) + а)2] a c£co a2 dx cosco2 \m cos (znco + a) cos co -J- sin (mco -j- a) sin co]2 Таким образом, уравнение, способ интегрирования которого мы нашли, будет / d2z Л __ / d2z Л 2 (т2—1) a2 [zn2 COS со2 — sin (znco + а)2] \ dy2 J < dx2 J [m COS (znco -J- a) COS co + sin (znco -J- a) sin co]3 ’ а его интеграл находится в виде та2 \т sin (znco + a) sin co + cos (znco + a) cos col r , , x , , , , , 2 == -------; г ; ; : г ; [4 ( X ~j- It ) -I— Ф (X — 2/ ) 1 —I— m COS (zn<D + a) COS (O + sm (znco + a) Sin co LV я fl I +_________(™2-l)asin (zmo + a) cosco_ , _ m COS (znco + a) COS co + sin (znco + a) sin cd ' \ У) \ T \ У/1 I + [тс"(гс + у)-г<р"(гс— y)l, где о — ax^\-b. ПОЯСНЕНИЕ 1 364. Вполне достойно упоминания интегрирование уравнения С^214 . ' 2с£п , 1/9 Л \ Л + 1)м = 0’ и я воспользуюсь этим поводом для исследования более общего урав- нения d2u 2f du n Замечу прежде всего, что если положить -^- = - (2/4-1) + , так что и — cos со2/-г 1 то оно приводится к виду d2v 2(t+i)dv . 9, л X п ------5^-tgW+(g-2/-l)y = 0. Следовательно, если оно интегрируемо в случае / — п, оно интегрируемо также в случае /— — n—-1. Для решения исходного уравнения положим u = Н sin Хю-рВ sin (Х +2) (о + С sin (X + 4) со+D.sin (Х+6) (о + и т. д., что после подстановки в уравнение 2d2u 4f du 9 n ;--9 cos a) 4—— sm со 4- cos co = 0 c£co3 1 da 1 °
216 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛАМ ВТОРОГО ПОРЯДКА дает О—-— ХМ sin (X— 1)<о — (4-2)2Bsiri(X+l)](o — (X+4)2Csin (X+3) w —(X+6)2Dsin(X+5) -2KAf — K2A — (\ + 2)2B -(K + 4)2C + Ag +2KAf + 2 (К+2) Bf + 2 (X + 4) Cf -2(1 + 2) Bf — 2 (k + 4) Cf -2(l + 6)Df + Aq + Bg + Cg + Bq + Cg + Dg — и т. д. Следовательно, должно быть g = X2 + 2Х/, после чего коэффициенты определяются так: ГХМ r (X+1)(/~1)B n (X + 2)(/-2)C B-T+7+T’ 2Г+/ + 2) ’ D =...3(Г+/^3) ит-д- Если полагать g=m2 — f2, так что X=m — /, то наши уравнения будут 5+Т^+(^-/2)«=° и d2v 2(f+l)dv . . г 2 ,, , лч21 л лтт------Г ---tg оо + [m2 — (/ - -1)2] V = 0, aw2 dm \/ i / j где и = V COS OJ2/ + 1 или V =-1 . COS <o2/ 1 Поскольку наш ряд обрывается, когда /—целое число, рассмотрим наиболее простые случаи. 1. Пусть / = 0, тогда \--=т и В = 0, С —0 и т. д., откуда л . A sin ?/— Л sin moo и "V =--------. COS <0 II. Пусть / = 1; получим X —^—1 и В = ~------, С = 0 и т. д., т+ 1 ’ так что y==(m + l)sin(m-l)u>+(m-l)sin(m + l)u> и v = , ИЛИ и = т sin moo cos оо — cos т оо sin оо. 2а III. Пусть /~2, откуда Х=т —2 и о = 2(ш- 2) Л с _ (m—1)# (w—1) (m —2) А = л m-r l ’ ° 2(^ + 2) (т +1) (т + 2) ’ Д* Тогда -^- = (m+l)(m + 2) sin (m — 2)ю 4- 2 (m — 2) (m -f- 2) sin moo + + (m — 1) (m — 2) sin (m 4- 2) oo>
Гл. V. ОСОБОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЭТИХ УРАВНЕНИЙ 217 а отсюда и V—--------------------------------- COS 0)° или =: (т2 + 2) sin mu> cos 2о> + (m2 — 4) sin mo> — 3m cos m o> sin 2a>. IV. Пусть / = 3? тогда k=m —3 и С„2^'в, Д_ , Д-Out. д. m -j- 1 ’ 2 (m + 2) 3 (m + 3) ’ следовательно, ~ = -|- (m + 1) (m + 2) (m-j- 3) sin (m — 3) o>+3 (m+2) (m2 — 9) sin (m — 1) o>-|— + (m — 1) (m — 2) (m — 3) sin (m-r3)o)-|-3(m — 2)(m2 — 9)sin (m + 1)co, л и V —-----7 . cos w7 V. Пусть /=4, тогда X=-m —4, и находим (m + 1) (m + 2) (m -4- 3) (mH- 4)sin (m — 4)o) + + 4 (m + 2) (m + 3) (m2 — 16) sin (m — 2)o> + + (m — 1) (m — 2) (m — 3) (m — 4) sin (mH-4)cdH- + 4 (m — 2) (m — 3) (m2 — 16) sin (m + 2) cd + 6 (m2 — 9) (m2 — 16) sin тю, причем и V =-----. cos Wy Отсюда ясен закон построения этих решений. Следует также заметить, что если бы мы положили и = A cos Ло> + В cos ()<+ 2) со С cos (X Н- 4) о> + и т. д., то мы получили бы те же коэффициенты, стало быть, соединяя эти два решения, получим полный интеграл; полный интеграл получается также из найденного решения, если вместо угла то> писать более общим образом то>-|-а. ПОЯСНЕНИЕ 2 36о. Можно исследовать уравнение d2u 2/ du . еще многими другими способами и выражать его интеграл посредством рядов, откуда получаются другие случаи интегрируемости. С этот! целью заметим прежде всего, что, положив /г = sin ай, получим du х , 4 = Л sin ай1 cos (о, d<o откуда (1и , . . > tg О) = X Sin (0Л dm &
218 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛАМ ВТОРОГО ПОРЯДКА d2u t/(D2 к (к — 1) sin 2 cos св2 — к sinct)^ = к (к — 1) sin оЛ~2 — к2 sin id*. Положим далее1) и = A sin о)К + В sinw^+2 + С sinа)?'+4 + D sinо)к+6 + и т. д., тогда после подстановки [в дифференциальное уравнение] получим О = к (к — 1) Л sin 2 4- (к4-2) (к+1) В sina)^+(k4- 4) (к+3) С sin(o^+2+ и т. д., -к2Л _(к + 2)25 + 2к/Д 4- 2 (к+2) fB + gA + gB Отсюда вытекает, что должно быть к = 0 или к= 1, и далее ^__2y-g _(?l + 2)2~2(;i + 2)/^g (Ч-1)(* + 2)Л* ° (А. + 3) (Л + 4) И Т. Д. Соответственно в обоих случаях получим X = 0 X=1 B = l-2f-g 2-3 A’ c c = 9-6f-g R • ... 4 5. D- 16-8/-g r 5-6 °’ D = 25-10/-g n 6-7 °’ E _ 36 —12/—g 7-8 27 E = 49-14/-g 8-9 27 и T. Д. и T. Д. Интегрирование, следовательно, удается, когда g — г2 — 2г/, где г —по- ложительное целое число. Если положить и = v cos cd2/+1, то преобразо- ванное уравнение будет d2v 2(f+l)cfo . . , n ~ ~ -V2—"tg cd + (g — 2/ — 1) iJ = 0. tZo)2 eZ(D о । / / Это уравнение и исходное интегрируются, когда g = (i+ l)2 + 2(i+ 1)/. Оба эти случая можно объединить в один, а именно интегрирование удается, когда g = г3 ± 2г/. г) См. примечание к § 353. Действительно, это дифференциальное уравнение, если положить sinto = x, запишется в виде (1 — x2)t/2u+(2/—1) х dx du + gu dx2 = 0, что опять-таки содержится в общей записи § 967 тома II. Впрочем, Эйлер и сам рассматривал уравнение такого вида в работе (№ 678 по списку Энестрема) «Новый метод определения всех случаев, когда можно решить дифференциальное уравнение rf2y(l — ах2)— Ъх dx dy — cydx2 = 0» (Methodus nova investigandi omnes, casus, quibus banc aequationem differentialem eZ2i/(l — ax2)— bxdxdy — cydx2 = 6 resolvere licet), Institutions calculi integralis 4, 1794, стр. 533 = Opera Omnia, ser. I, vol. 23. [Ф. Э.]
Гл. V. ОСОБОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЭТИХ УРАВНЕНИЙ 219 ПОЯСНЕНИЕ 3 366. Все еще рассматривая то же самое уравнение и полагая u = coso)x, получаем (7tZ S ; 4 * = — kcos соЛ-1 sin со и далее ’ tff (О = — к COS (tA~2 + к COS 0)Х (7(0 6 и = к (к — 1) COS “2 — к2 COS 0)Ь. Я(02 v 7 Приняв теперь U = Л COS (0х+BCOS (0Х + 2+ С COS (Ох + 4+Z) COS(0X + 6 + и т. д., получим после подстановки.[в дифференциальное уравнение] О = к (к—1) A cos ай~2 + (к+2)(к+1) В cos + (к+4)(к+3)С cos сох+2+ и т. д. - 2к/Л - к2Л -2(к + 2)/В + 2к/Л +м -(к-Е2)2£ -2 (к + 4) fC + 2(к + 2)/В + gB Следовательно, должно быть или Х = 0, или Х = 2/4-1, и далее В = А с _(X+2)*-2(X + 2)/-gj? (Х+2) (Х+11- 2/) Л' ° (х-}-4) (Х4-3—2/) И Т’ Д‘ Соответственно в обоих случаях получим Х = 2/ + 1 В =——А, В=Л±У-*А 2(1 — 2/) ’ - 2 (2/-J-3) ’ С = ^т1в, с = 9 + 6/—g в, 4(3—2/) л’ 4(2/ + 5)П) D -- 16~ 8/—g Q 25-lQ/-g 6(5-2/) ь 6(2/ + 7) и т. д. и т. д. с В первом случае интегрирование удается, если g = 4Z2 —4г*/, а во втором — если g = (2г 4- 1)2+ 2 (2г + 1) /х). Оба эти случая вместе с теми, которые получаются из преобразо- ванного уравнения, сводятся к одному и тому же, как и найденные в предыдущем параграфе. Итак, все до сих пор найденные случаи инте- грируемости сводятся к тому, что, полагая g = ?n2—/2, должны иметь или / — ± г или г ± /, т. е. или / = ± г или / = ± г ± т. Впрочем, эти последние случаи вытекают также из первого решения (§ 364), где г) Следует заметить, что в этом месте мы не получаем с помощью преобразо- ванного уравнения новых случаев интегрируемости, а только такие, которые уже были найдены. В действительности § 366 дает не все случаи интегрируемости, которые были получены в § 365. [Ф. Э.]
220 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛАМ ВТОРОГО ПОРЯДКА ряд тоже обрывается, если X = - г, и следовательно, g = т2 — /2 = г2 — 2г/, откуда г —/=±т, и с помощью преобразования приходим к выраже- нию /=±г±тп. Напротив, случаи, найденные вначале, не содержатся в последних решениях. ЗАДАЧА 59 367. Положим, что известно интегрирование уравнения \dx2 / \jlx J ' Найти такое уравнение вида где / d2v \ . / dv \ а G, Н\ Р, Q, R и г, 5 суть функции только х. РЕШЕНИЕ Так как / d2z А / d^v \ ( / d3v \ / d2v \ V^?/2 ) \ dx2 dy2 ) 1 Г \ dx dy2) \ dy2) ’ то, поскольку будет Z d3v A dG (dv Л dH dx dy2 ) dx3) dx dx2 ) dx \dx ) ' dx -p G + H ( d*v Л — fd*v 2dF(d3vy । * d2H dx2 dy2 J dx^ dx \^dx3 J dx2 dx2 J dx2 \dx J ”” dx2 x n . 2dG , 2dH + G +"йГ Затем, в силу того, что После этих подстановок необходимо, чтобы все члены, умноженные
Гл. V. ОСОБОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЭТИХ УРАВНЕНИЙ 221 d^J’ id^J’ idF2)’ idFJ и’ каждыи в от«ель- ности, равнялись нулю, откуда вытекают следующие уравнения: у dx^ ) /' d2v \ у dx2 ) / <Pv-\ V dx2 ) r A > \ dx J I. F = P, ii. G + 2-FL+Fr=Pr+Q dx III. H + ^ + J^ + Gr +^ + ft=p('s +2±.'\ + Qr + Ri dx dx£ dx V dx J 1у.“"+« + Яг+^'+&=Р('^+Й') + еС.+Л + ';-' dx dx2 dx \ dx * dx2 J \ dx J d2H rdH „ ^d2s , ds r „ V X. 2 -|— 1- Hs — P + Q г • dx2 dx dxA dx 2dF Из первого уравнения имеем P — F, из второго + третье тт 2dG , d2F г dF + 2F dr уравнение дает Н = Н + —Ь ------------, а после подстановки этих CLX CLX CLX значений последние два уравнения дают dx dx2 rdG+Gdr dx rd2F 2dF dr dx2 dx2 2sdF—2Fds dx r2dF + 2Fr dr dx dx2 0 и d2H rdH dx2 dx s d2F -\-2dF ds + F d2s 2s dG + G ds f s (r dF2F dr) ~ dx2 dx 1 dx Из них первое сразу интегрируется и дает 2Н + - Gr - + _ 2Fs + Fr2 = А. dx dx Тогда вышеприведенные два уравнения можно представить еще так: _ d2Fr 2dFs dFr2 d2G dGr , 2dH _ Q dx2 dx ' dx ' dx2 dx dx ’ d2Fs s dFr2 2s dG -\-G ds r dH d2H q dx2 r dx dx dx dx2 ’ или же так: d4GZFr} -dlr(G-Fr)] + 2d (H - Fs) = 0, d2{HdxFS'> + 2Fs dr + rsdF-Gds-2s dG + rdH = 0. Последнее уравнение можно еще так записать: - 2sd (G - Fr'> ~ds(G- Fr) + rd (H - Fs) = 0. Умножим теперь первое уравнение на H — Fs, а второе на — (G~~Fr) и сложим их. Получим _ (G _ Fr) (Я _ Fs) dr + 4- 2 (Я - Fs) d (H - Fs) - г (H - Fs) d(G - Fr)+ + 2s (G - Fr) d(G- Fr) + (G - Fr)2 ds -r(G- Fr) d (H - Fs) = 0.
222 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛАМ ВТОРОГО ПОРЯДКА Интегралом этого уравнения, очевидно, будет (H-FS)d{G-Fr)-(G-Fr)d{H-FS) + _ Fs}2 + _ Fry g _ _(G-Fr) (H — Fs)r = B, а прежде найденный интеграл есть rf(Grf~Fr) - (G - Fr) r + 2 (H - Fs) = A. Умножим его на H — Fs и отнимем от предыдущего. Тогда получим (G-Fr)d\H-FS) (Н_ +(G-Fr)2s = B — А(Н — Fs). Мы имеем, таким образом, два дифференциальных уравнения первого порядка1), из которых надо определить количества г и 5, после чего находятся также функции Р, Q и Р. СЛЕДСТВИЕ 1 368. Если F = l, G = 0 и Я = 0, тогда найденные уравнения будут dr , Q п s dr—rds , 9 7 — — 4-т*2 — и ----з----г $ = я, dx 1 dr откуда после исключения dx находим г ds—s dr Ь — s2 г ds Ь + as + s2— r2s dr а + 2$ — г2 dr a^2s— г2 Вряд ли можно рассчитывать на решение этого уравнения в общем случае. Если, однако, принять, что а = 0 и 6 = 0, тогда уравнение г ds_ s2—r2s dr 2s — г2 после подстановки 5 = гЧ преобразуется к виду откуда dr _dt(l~2г) __ dt dt r “ г(3г— 1) “ г + 3г —1 и а #3г—Ч г ~ г Следовательно, а2 ^(Зг— I)2 х) duae aequationes simpliciter differentiates.
Гл. V. ОСОБОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЭТИХ УРАВНЕНИЙ 223 СЛЕДСТВИЕ 2 369. В этом же особом случае положим 3£—1 = и3, так что За и За2и2 Г = ---ч И 5 = -т-----д . 1 + и3 1 + и3 Но так как а = 0, имеем dr __ dr __ 3rfr ~~ г2 (1 —2t) " r2(l —2u3) и dr__ du 2u du_____du(l — 2и3) г2 Зии2 За Заи2 ’ так что _7 du dx = —т ии£ и, следовательно, 1 □ 1 — = В — О.Х И 14 = 5-------. и ‘ р— их Без потери общности можно принять 8 = 0 и и — ——, 1 их откуда Зх2 X3 + с3 ’ где 1 а =---- с Итак, мы получаем, наконец, 7>=1, <2 = 0 и 2dr __ 6х (2с3— х3) dx (с3 + х3)2 СЛЕДСТВИЕ 3 370. Если, следовательно, задано уравнение “ <rfx2 J ’ интеграл которого есть у=Г(х + у) + Д(а: — у), то отсюда можно найти интеграл следующего уравнения / d2z \ ____________________ / d2z \ 6х (2с3— х3) \dy2 J \dx2 J "г (с3 + х3)2 а именно, _____________________ / d2v \ Зх2 / dv \ Зх 2 \dx2/ с3 + х3\<(7х ) с3 + х3 ПОЯСНЕНИЕ 1 371. Все это для случая G = 0 и 77 = 0 можно вычислить гораздо легче и в более общем виде для любого
224 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛАМ ВТОРОГО ПОРЯДКА значения количества а, если й = В этом случае второе уравнение сразу дает 7 г ds — s dr dx =-----.г - и отсюда так что первое уравнение принимает вид dr dx Положим г = ~ , тогда dt + ~dx +а dx = °- В частности, этому уравнению удовлетворяет t — . Положим поэтому i -= 4 а ----------------------------1-, г X и тогда du 4- dx + 2и dx Уа = О, что после умножения на е2х а и интегрирования дает С2х У а и | L е2х У а — —. 2 у а 2 у а Отсюда 1 __ 2е2х^аУа _ 2Уа ах(п — е2хУа) п (х У а -р 1) + е2х (х У а — 1) и поэтому _ _д{п^е2х^) п (г |/ а -р 1) + е2х (х У а + 1) откуда, наконец, Р=^1, (9 = 0 и 7?=-^=-2г2-- + 2а х dx х ИЛИ ^2ап2-4Я«х2е2зс^-2пе2зсТ/° + е4х1/“ - 2а (п^-е2х + 8паУе2х [п (х }Аа + 1) + е2х (ж }/ а — 1)]2 : [п {х ]/”a-iM+e2* ^~а (ЖГа — 1)]2
Гл. V. ОСОБОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ УТИХ УРАВНЕНИЙ 225 Если принять, что а очень мало1) и что /г == 1у ас3 ]/а, то получа- ются ранее найденные формулы. Если а—отрицательное число, пусть Cl 1 -----------------------l-j-З гр • — т~ возьмем /г ——1огда находим а У — 1 — 3 _ т2х (3 cosтх + а sin тх) __ - т2х cos (тх 4- y ) 3 cos тх + а sinтх- тх (а cos тх — 3 sin тх) cos (тх-\-у) — тх sin (тх-У^) И t________________________ т2 cos (тх + y) cos (тх + y) — тх sin (тх 4- y) ’ откуда __ 2т2 [cos (тх + y)“ + т2х2\ [cos (тх + y) —тх sin (тх + y)12 * [В случае положительного] количество R преобразуется к виду R________8па2х2—2а (пе~х [п (1 + х С а) е~х Га — (1 — х Е а) ех Га]2 и это выражение при очень малом а дает Зпа2х2— 2а Г п — 1 — (п 4- 1) х |/ а 4- ах2 — ах3 У а + и т. д. I о__ L 2 6 J 1 fl 1 - 12 п— 1-— (п— 1) ах2+ — (п -h 1) ах3 | <Нит. д. L □ J Положим п = 1-у fia]/а, так что п — 1 = За У а и л 4-1 = 2 -п [За у а, тогда За У а — 2хУ а — $а2х + — 7 — ~ " ( За У а — — $а2х2 J а 4- у ах2 у а где числитель равен 8па2х2 4- 8^а3х2 У а —2а (р2а3 — 4$а2х — 2$2а3х уЪ) + ^ах2 -j- 4- а2х?. 8па2х2 — 2а f /? =------------- Поскольку здесь члены, умноженные на а2, уничтожаются и сохраняются только те, которые умножены на а3, и то же самое замечаем в зна- менателе, мы получаем 83a3z —8 a3z4 Зх 3—х3 а3 3 + у а;3 3 + -- х3 что легко приводится к виду г)___________________________________ (2с3— х3) (C3_j_x3)2 г) У Эйлера - evanescens, то есть исчезающее. 15 л. Эйлер, т. III
226 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛАМ ВТОРОГО ПОРЯДКА где 33 = 2с3, так что р = -|-с3. Таким образом, этот случай получается, если принять а очень малым и п = 1 4--|- с3а ]/а. ПОЯСНЕНИЕ 2 372. Поскольку получение найденного решения очень трудно и не видно другого пути, каким образом можно было бы определить оба неизвестных количества т и 5 из полученных двух уравнений, то для лучшего понимания дела полезно заметить *), что та же задача может быть решена также путем повторения преобразования из первой задачи этой главы и не бесполезно будет сравнить между собой оба эти реше- ния. Итак, пусть предложено уравнение и положим сперва / dv > . где р определяется из уравнения F dp 4- Gp dx — Fp2 dx + (C — li) dx = 0. Тогда получается уравнение г44=/4 v < G+474 +<+-4— ^'di>+pdF"\ u. pdy1 J \dx2 / \ dx J \ dx J \ ' dx dx J Для дальнейшего преобразования этого уравнения положим подобным же образом Р du \ так что z = J+ + + )v’ а количество q определяется из уравнения F dq -4 ( G + q dx — Fq2 dx^-( D — Н — 4- . 1 4 dx J \ dx ' dx J Тогда приходим к уравнению Р d2z \ n / d^z У , Р dz : G где количества Р, Q. R определяются так: P = F, Q = Gp-‘~, ' ’х 'dx on sciontiae incrementurn hand partem juvabit observasse.
Гл. V, ОСОБОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЭТИХ УРАВНЕНИИ 227 И „ jj 2dG 2F dp-\- р dF . d2F 2F dq — q dF ' dx dx , ' dx2 dx Поскольку с этим решением должно совпасть то, которое мы получили при рассмотрении последней задачи, где мы сразу положили то, как бы то ни было, имеем r = p + q и 5 = + pq, откуда немедленно вытекает, что значения Р, Q и R — те же самые. Но гораздо менее очевидно, что если г и 5 выразить через р и q, как указано выше, то уравнения - {Gd~/r) -- (G-Fr)r + 2 (И - Fs) = А И К$) + (Я “ Fs^ - (G - Fry s — А(Н — Fs) — В сводятся к тем, которые мы нашли раньше: PP + GP-Fp*-H + C = 0 И ^+f G + ^P^q-Fq^-H--^ + 2-^t±^+D^0, dx \ dx J 7 dx dx 1 ’ где постоянные С и D должны быть определенным образом связаны с постоянными А и В. Однако ясно, что последние два уравнения гораздо проще, поскольку первое содержит только два переменных р и я, так что р выражается через переменное х, заданными функциями которого являются F, G и 77, а после нахождения этого количества подобным же образом находим из второго уравнения количество q. Между тем в предыдущих двух уравнениях оба переменных г и 5 так между собой перемешаны, что нет никакого метода для их решения или хотя бы сведения к уравнению с двумя только переменными. Поскольку, однако, установлено, что первые, очень трудные уравнения могут быть сведены путем указанных подстановок ко вторым, гораздо более легким, то, несомненно, метод выполнения этого приведения должен оказать немаловажную помощь анализу. ПОЯСНЕНИЕ 3 373. Поскольку совпадение этих двух решений представляет собою весьма загаданное явление1), целесообразно тщательно разобрать част' ный случай. Итак, пусть F = l, G = 0 и 77-0, так что первые два уравнения между, г и 5 принимают вид I. _^ + г2_25 = Л J) Cum adeo consensus harum duarum sclutionum maxirne sit absonditus<
228 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛАМ ВТОРОГО ПОРЯДКА и II. ^fi- + s2-r2s-hAs = 8, dx ’ а последние два уравнения таковы: ш. 4£--^2+с=о dx г И IV. -T~~q2+^-+D = Q, dx 4 dx 1 ’ причем первые уравнения заведомо согласуются со вторыми так, что । dp । r = p + q и s = -£ + pq. Чтобы получить это совпадение, исходя из последних уравнений, по- ложим С= — т2, и тогда третье уравнение дает dx = .-d.P— mt + jP ' откуда 1 . р . х = — arctg- — - и р = т tg тх. т G т г Отсюда, поскольку -^- = wz2 + ^a, dx получим 5 = т2 р2 4- pq = яг2 + рг = т (т 4- г tg тх), что после подстановки в уравнение I дает — -|“4- “ %mr tg тх — 2т2 = А, то есть -^- = г2 — 2mr tg тх~2т2 — А, а уравнение II в. силу соотношения da т dr , т2г = — tg тх 4------ dx dx ° cos тх2 приводится к виду tg тх = mr3 tg тх — 2т2 г2 tg тх2 — т (Л 4- 2т2) г tg тх — т? — Ат2 4- В. После исключения dr из этих уравнений получим В — Ат2 4- яг4. Четвертое уравнение вследствие того, что q — r — ^ == г — яг tg тх, дает = г2 -т- 2mr tg тх — т2 — D,
Гл. V. ОСОБОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЭТИХ УРАВНЕНИЙ 229 так что D = т2 + А. Итак, совпадение наших уравнений заключается в таком соотношении между постоянными: при т2 = — С должно быть D = A-C и В = -С(А-С) = -CD. В общем случае также имеют место те же соотношения. В самом деле, если сложить уравнения ITI и IV, то, так как С D = А и р + q = г, получим + Gr + ~ - FP' - Fcl~ - 2Я - ~г- + + А = °- dx dx г dx'dx но поскольку dp ~=s~pq’ должно быть Fdr+rdF-dG + Gr_ Fr2_2H+2Fs + A = Q, dx 1 то есть ~d^Fr'" ~ (G — Fr) r2(H — Fs) = A, что совпадает с первым уравнением. Далее, уравнение III, так как = s — pq, дает Fs — Fpr - Gp — HA-C — 0 или С — И — Fs — p(G — Fr)r Тогда уравнение IV приводится к виду ^£- + Gq + ^^F^-H-^ + Fs-FPq^^ + D^ или +q (G _ Fr>)~11 + Fs+D = °’ откуда D = d{G^xFr} -q(G-Fr) + H - Fs. Из этих уравнений заключаем* что CD = (H-Fs)dJG-Fr) _q(Q_ FF) (Н _ + (Я - Fs)2 - _ P(G-Fr^ {G-Fr)+p(} {G_Fr}2_p{G_ Fr) {H _ Fsy С другой стороны, из второго уравнения имеем В = d (H — Fs) (H — Fs) d (G -Fr) _ dx dx - (H - Fs)2 + (G- Fr) (H -Fs)r-(G- Fr fs.
230 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛАМ ВТОРОГО ПОРЯДКА Соединяя эти два выражения, получим CD + B = d (H — Fs) _ pd (G — Fr) __ dp (G^Fr) _ d (H — Fs)—dp (G — Fr) = Q G — Fr dx dx dx dx f если только C = H- Fs-p(G-Fr). В силу этого и вообще имеем В = -CD и A^C + D, но все же отсюда не видно, каким образом можно из уравнений I и II получить остальные два уравнения III и IV. ПОЯСНЕНИЕ 4 374. Если это тщательно продумать, то становится ясным, что все можно получить при помощи довольно простой подстановки. Чтобы показать это проще, положим ради краткости G — Fr — R и H — Fs — S, так что получаются следующие два уравнения: Т л - dR GR R2 rr D RdS — SdR HR2 , GRS c2. IL. F> —--------------------о , dx A * 1 F из них нужно определить два количества R и 5, причем F.G, Н — про- извольные функции переменного х, а А и В—постоянные. Для этого применим подстановку S = С A~Rp, подобрав ее так, чтобы оба уравнения слились в одно, в которое, кроме х, входит лишь новое переменное р, каковое затем надлежит определить известными методами. Таким образом, поскольку dS = R dp 4- р dR, получим: I. л-^-^-г^л-гс + гя,,. п. я„^_“л-/25 + с-«5+“,'’--с=-2СЯ,-Я’,а откуда после исключения dR заключаем, что я+лс-^+^+С’-^-яу + ^ч. Если теперь определить постоянное С таким образом, чтобы было = В + тогда путем деления можно устранить количество R, и получается уравнение 1Х т. GR2p 1) В первом издании член отсутствовал, и в связи с этим в следующем ниже равенстве не было члена . Исправлено Ф. Энгелем.
Гл. V. ОСОБОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЭТИХ УРАВНЕНИЙ 231 решение которого выполняется при помощи хорошо известных методов. Поскольку, однако, вышеизложенный метод имеет очень большое значе- ние, то имеет смысл добавить здесь следующую задачу, хотя она отно- сится к первой части интегрального исчисления. ЗАДАЧА 60 375. Пусть даны такие два дифференццалъные уравнения*, I. O = ^-YF + Gy + HZ + Iy^ + Kyz-YLz\ П Q = yd^zdy+ P + Qy + R^ + Syi+Tyz + Vz\ где F, G, Н и т. д., Р, Q, R и т, д,— функции х. Дать метод реше- ния этих уравнений, когда это возможно. РЕШЕНИЕ Метод заключается в том, что при помощи подстановки z = а 4- yv из этих уравнений выводится одно, которое содержит только два пере- менных х и у. Итак, поскольку у dz — zdy = у2 dv — a dy, то из т П получается следующее уравнение: °=^r+/) + ^+jRz+^2 + ^z+1Zz2+ + aF + aGy + aHz + aly2 + aKyz + aLz2\ оно после подстановки вместо z его значения a-\-yv записывается, по степеням количества у, в виде ° = ^ + у°[/> + а^ + а(/? + «Я) + а2(^ + ^)] -j- у^ [ Q aG р v (R -j- аН) а (Т. -J- а К ) -|- 2av (Р -j- + у2[5 + а/ + (Т + aK) + v2(V +aL)], Теперь нужно, чтобы все уравнение разделилось на у2 и, следовательно, чтобы члены, умноженные на у0 и у1, исчезали. Итак, слагаемое с у0 должно дать P+a/7 + a(/? + aH) + a2(lz + aL) = 0? а слагаемое с у1, поскольку v есть новое переменное, введенное в расчет, дает следующие два условия: Q + aG + a(T + aK)=0, R + aH + 2a(V + aL)^0. Поэтому первое условие дает P±aF-a2(V + aL) = 0. Имеем следующие три условия, требуемые для такого приведения: I. P + aF-a2(V + aL) = 0,
232 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛАМ ВТОРОГО ПОРЯДКА II. Q + aG+a(T+aK) = 0, III. R + aH±2a(V + aL) = 0. Отсюда удобно определяются или Р, Q и R, или F, G и Н. После установления этих условий все дело сводится к решению уравнения O = ^ + S + aI + v(T + aK) + v^V + aL), которое содержит только два переменных х и v и из которого v нужно определить через х. Если теперь положить z = a+yv, то первое урав- нение получается в виде 0= ^- + F + aH + a2L + y(G + Hv + aK + 2aLv) + y2(I + Kv + Lv2), а второе — в виде dx dx + y{Q^Rv + aT+2aVv') + yi{S + Tv + Vvi). Если первое уравнение умножить на у2 и вычесть из второго, получим 0= -^^ + P + aR + a2V + y{Q + Rv + aT + 2aVv)-y2(Ia + aKv + aLv2\ что совпадает с первым уравнением, как того и требует сущность дела. СЛЕДСТВИЕ 1 376. Если, следовательно, даны такие два уравнения: 0 = i + F+СУ+Hz + W+Kyz+Zz2’ 0 = y dy-— aF — aGy - aHz + Sy2 ±Tyz + Vz2 + a?L - a2Ky — 2a2Lz -\-a2V — aTy — 2aVz, то, взяв z — a-\-yv, надо решить прежде всего уравнение Q = ^ + S-^aI + v(T + aK) + v2(V + aL), а когда отсюда v определено через х, требуется решить уравнение () = ^ + p + aH + a2L + y(G + aK) + y2(I + Kv + Lv2) + vy(H + 2aL), после чего получим и z = a + vy. СЛЕДСТВИЕ 2 377. Если F = А, К = 0, L = 0, Н = — 2b, V = Ь и Т — — G, то полу- чаем рассмотренные выше в § 374 уравнения 0 = -g- + ^ + Gy-26z + Zy2, 0 = y---~2zdy - аА + a2b + Sy2 - Gyz + bz2,
Гл. V. ОСОБОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЭТИХ УРАВНЕНИИ 233- где G, I и 5 — произвольные функции х, а решение выполняется так: после подстановки z = a + yv решаются последовательно следующие уравнения: 0 = ^ + S+aI-Gv+bv* И О = -g- + А - 2аЬ г у (G - 2bv) + Jy~. СЛЕДСТВИЕ 3 378. Очевидно, последнее уравнение не представляет никаких затруд- нений даже в общем случае, если только а первое решается немедленно, если или 5 или V т) См. Инт. исч., т. I, § 429.
ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ КНИГА ПОСЛЕДНЯЯ ЧАСТЬ ПЕРВАЯ ИЛИ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ ПО ДАННОМУ СООТНОШЕНИЮ МЕЖДУ ДИФФЕРЕНЦИАЛАМИ ЛЮБОГО ПОРЯДКА РАЗДЕЛ ТРЁТ ИЙ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ ПО ДАННОМУ СООТНОШЕНИЮ МЕЖДУ ДИФФЕРЕНЦИАЛАМИ ТРЕТЬЕГО ИЛИ БОЛЕЕ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА ГЛ АВ А I О РЕШЕНИИ ПРОСТЕЙШИХ УРАВНЕНИЙ, СОДЕРЖА- ЩИХ ТОЛЬКО ОДНУ ПРОИЗВОДНУЮ ЗАДАЧА 61 379. Найти вид функции двух переменных х и у, если какая-нибудь ее производная третьего порядка исчезает.
Гл. I. О РЕШЕНИИ ПРОСТЕЙШИХ УРАВНЕНИЙ 235 РЕШЕНИЕ Пусть z — искомая функция, и так как она имеет четыре производ- ные третьего порядка < d3z X / о?32 X / d3z X ' / d3z X V dx3 J ’ dx2 dy J ’ \ dx dy2 J И < dy3 / ’ то в соответствии с тем, какую из них берем равной нулю, мы должны исследовать четыре случая. I. Пусть сперва тогда, рассматривая у как постоянное, после первого интегрирования получаем (£-)-rw' Подобным образом второе интегрирование дает откуда, наконец, Z = 4 я2Г (у) + яД (у) + S (у), где Г (у), Д(у) и L(y) обозначают какие угодно функции у\ таким образом, благодаря трем интеграциям в расчет вошли три произвольные функции, как того требует сущность дела. Z ^2 X II. Пусть f d.x2dy тогда, дважды проинтегрировав, причем считаем переменным только х, получаем, как выше, (^>*r'W + A-W. Далее, считая переменным только у, находим z = rV (у) + А (у) + S (ж), причем встречающиеся здесь значки при обозначении функций имеют тот смысл, что [dyl'1 (г/) = Г(г/) и ( dyk’ (у) = А (у). III. Пусть dxdy2 ^ = Так как этот случай отличается от пре- дыдущего только перестановкой переменных х и у, искомый интеграл есть z = yr (я) + ДО)+ 2 (у). IV. Пусть ($>о. Тогда путем подобной перестановки получим из первого случая, что z = 4 У2^ (ж) + + s с*)- СЛЕДСТВИЕ 1 380. Три произвольные функции, введенные здесь посредством тройного интегрирования, зависят либо только от х, либо только от у; все три
236 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛАМ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА О, а только от зависят только от у в первом случае, когда в четвертом случае, когда две функции зависят только от у, / cPz \ л а одна от х во втором случае, когда J = напротив, две зави- / d*z \ п только от у в третьем случае, когда ( 2 )=0... сят только от х и одна СЛЕДСТВИЕ 2 381. Затем полезно заметить, что если встречаются две или больше произвольных функций одного переменного, положим х, то одна стоит сама по себе, вторая умножена на у, третья, если она имеется, умно- 1 2 2 жена на или, что то же, на у. СЛЕДСТВИЕ 3 382. Все же нужно постоянно иметь в виду, что требуется такой произвол в выборе этих функций, что не исключаются разрывные функции, т. е. такие, которые не удовлетворяют никакому непрерыв- ному закону, иначе говоря, если свободно от руки провести произволь- ную линию, то ордината, соответствующая абсциссе х, дает такую функцию Г (ж). ПОЯСНЕНИЕ 1 383. Считаю, что не стоит особенно останавливаться на преобразо- вании производных высшего порядка, когда вместо двух переменных х и у вводятся в расчет другие переменные, так как вообще получаются чрезвычайно сложные выражения, от которых вряд ли будет польза, кроме того, метод нахождения этих преобразований уже достаточно подробно изложен выше (§ 229). Но для простейшего случая, когда новые переменные t и и вводятся вместо х и у так, что t — ах + fry и и ~ ух + By, я привожу нижеследующие формулы преобразования высших производ- ных. Как мы уже видели, имеем: для производных первого порядка f dz \ / dz \ ( dz Л для производных второго порядка
Гл. I. О РЕШЕНИИ ПРОСТЕЙШИХ УРАВНЕНИИ 237 для производных третьего порядка получаем (АА’ЧХ + (А?) " <^)+С*+^)( ^л)+<ИЧ (АО ^(,0)' (As0 - «КО.)++2«₽*> (АА)ад &> (»“?,(А)+3?,<40 WU- А1 (1- ') л для производные (А) с четвертого п Г— \ dt3 du J юрядка~ \dP du2 J (XX 3 у dt du3 J л d*z \ du4 у (А)— + 4а3у + 6a272 + 4ay3 + l4 аз& + 3а23у 3a2yB + ЗаЗ^2 + 3cq2B + 3^3 + T36 < dx3 dy J ? ( Л — а232 2a28B + 2a327 a2B + 4 a. Ур + 32y2 2aqB2 + 2'3у2о + T28-- \ dr2 dy2 ) ? 4 —0_a33 dx dy3 ) > { 3a3o2 + 3^2yB ao3 + 33vB2 + -f83 (А) + 433B + GW + 43B3 + B4 Отсюда уже ясен закон для производных высших порядков, а именно . „ ( dm+nz \ . для вычисления общей производной ( п 1 требуются те \ d х J фициенты, которые возникают при развертывании выражения же коэф- (а + \и)гл (р + от)п, если только расположить слагаемые по степеням v. ПОЯСНЕНИЕ 2 384. Считаю не лишним более подробно показать это развертывание на основании ранее установленных положений1). Итак, пусть 5 = (a + y^)m(P + ^)n, и положим 5 — А + Bv + Cv2 + Dv3-^ Ev4 + Ev3 и т. д., где прежде всего, очевидно, Л = а™[Зп; для нахождения же остальных коэффициентов возьмем дифференциалы логарифмов и получим ds ггг[ , пВ sdv a -j- 'р 3 + Bt> ’ следовательно, ds — [a|J + (a& + Ру) v + you2] — s [m;3y + na; 4- (tn + n) уA = 0. !) Эйлер> Дифференциальное исчисление, ч, 2-я, §201 [Ф. Э.].
238 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛАМ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА Если теперь вместо $ подставить вышенаписанный ряд, то возникает уравнение О = adB + 2арСЪ З^ЗВу2 4- 4- 5офЕи4 4- и т. д. + аоВ 4- 2аоС 4- 2aeD + 4аЗ£ + +23уС + 3?уВ 4-4^# + ^в + 2ySC + 3yW т^А — т^В — т^С - m^D — m^E пае А - - паеВ - - паЬС — na&D — nabE — (т + п) уоА (/п 4- п) уоВ — (т + п) уоС — (т п) ydZ). Тогда каждый коэффициент получается из предыдущих 'таким образом: А = а™Зп, г> in^( Ч-яяб л дЗ Л’ с — (ш "И + —1)др " 1 2сф ’ Л— (т~2)37 + (п~2)аЭ г । (mH-п— 1)7о R Зар ° + За? 77 (т —3)37 + (я—3)ао n (т + гг —2)70 г Ь 4дЗ + 4аЗ ° И т. д. Итак, когда эти коэффициенты найдены для подстановки t = ax + $y и и = получается такое преобразование любой производной / dm + nz х __ х / dm+nz х z dn^nz х dyn А < dtfH+n \ dtm+fl~1 du \~dtm+n~2 du2 ) 1 И Т' Д ЗАДАЧА 62 385. Найти вид функции двух переменных х и у, если исчезает какая-нибудь ее производная любого порядка. РЕШЕНИЕ Из того, что мы показали в предыдущей задаче, когда приравни- вались нулю производные, достаточно ясно, что наша задача для произ- водных четвертого порядка решается так: I. Если \ dx^ J то будет Z = Ж3Г (г/) 4- (?/) + xZ (у) 4- 9 (у). II. Если ( /У--4 = О, \ rfz3 dy у то будет z = ж2Г (у) + xS (у) + 2 (у) 0 (х).
Гл. I. О РЕШЕНИИ ПРОСТЕЙШИХ УРАВНЕНИЙ 239 III. Если = \ dx2 dy2 J ’ то будет z = хГ (г/) + Д (г/) + г/S (х) + © (х). IV. Если (_^L?) = 0, \dxdyA J то будет z = Г (?/) + ?/2д (z) + О) + ©(»). у. Если то будет г = г/3Г (х) + г/2Д (ж) + уЕ(х) 4-0(х). Заодно отсюда выясняется, как переходить к более высоким порядкам. СЛЕДСТВИЕ 1 386. Поскольку здесь встречаются четыре произвольные функции, то есть столько же, сколько требовалось интегрирований, то в этом заключается критерий полного интегрирования. СЛЕДСТВИЕ 2 387. Очень легко, наоборот, показать, что найденные выражения удовлетворяют предложенному уравнению. Так, например, для третьего случая мы нашли г = хГ (у) + A(y) + yS(x) + 0(x), а дифференцируя, получим: во-первых, = Г (у)+уТ/ (х)-|-0' (х), затем ( S’ ) = У"" + ®"(ж)> в-третьих, = в-четвертых, (SS) = ° и мы приходим к тому же для любого порядка дифференцирований, при которых рассматриваем как переменное либо только х, либо только уг ПОЯСНЕНИЕ 1 388. До сих пор мы принимали одну производную равной нулю, по вычисление равным образом удается и тогда, когда эта производная приравнена любой функции х и у\ каким образом, это будет показано в следующих проблемах. Считаю нужным здесь вставить только то, что если V —произвольная функция двух переменных х и у, то V dx означает интеграл, который получается, если только х считается пере-
240 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛАМ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА менным, а в выражении \ V dy считается переменным только у\ точно то же надо иметь в виду при повторных интегрированиях, как, напри- мер, dx Vdx, где при обоих интегрированиях только количество х считается переменным, в то время как в выражении dy V dx, после того что интеграл V dx найден на основании переменности одного только х, второе интегрирование dy V dx выполняется так, что только у считается переменным. Поскольку равным образом можно начать с любого из этих интегрирований, можно устранить различие в порядке интегрирования также из обозначения и писать этот инте- грал в виде у \ V dxdy. Отсюда ясно, как надо понимать выражения то есть V dx~ dy, и f m + п \ V dxm dyr'. Здесь мы снабдили знак интегрирования индексом точно так же, как раньше знак дифференцирования d, с тем чтобы указать, сколько раз нужно повторить интегрирование. ПОЯСНЕНИЕ 2 389. Здесь мы принимаем, что каждое из этих интегрирований в отдельности выполняется без использования какого-либо соотношения между переменными х и у. Это надо иметь в виду тем более, что обыкновенно, когда требуются такие интегрирования, выкладки должны выполняться совершенно иначе. Если, например, нужно вычислить объем некоторого тела или площадь его поверхности, то это выполняется при ция как помощи двойного интеграла V dxdy, где V — определенная функ- х и у, и здесь сперва находим интеграл \ V dy, рассматривая х постоянное; однако после выполнения интегрирования нужно обра- тить внимание на предписанные пределы интегрирования, а именно, с одной стороны, требуется, чтобы этот интеграл у V dy исчезал при у = 0, и, с другой стороны, его надо распространить до тех пор, пока у не будет равняться некоторой заданной функции х. После же того, как таким образом определен интеграл V dy, нужно выполнить инте- грирование выражения dx V dy, в котором количество у уже не встре- чается, так как вместо него подставляется некоторая функция от х и, следовательно, это выражение содержит на деле только одно-единствен- ное переменное х. Таким образом после выполнения первого интегри- рования переменное у превращается в функцию х, и поэтому при втором интегрировании, где х — переменное, это количество [у] игрек уже не может рассматриваться как постоянное. Отсюда ясно, что указан- ный случай совершенно отличен от тех повторных интегрирований, которые мы здесь рассматриваем: и мы должны этот случай отбросить,
Гл. I. О. РЕШЕНИИ ПРОСТЕЙШИХ УРАВНЕНИЙ . 241 тем более, что он может иметь место только в выражении Vdxdy\ в остальных же случаях, когда дифференциал dx или dy несколько раз повторяется, он и не может встречаться. Поэтому мы здесь не должны допускать никакого соотношения, которое, после того как выполнено одно интегрирование, можно иной раз установить между переменными х и у. ЗАДАЧА 63 390. Найти вид функций z, если какая-нибудь ее производная третьего или высшего порядка равна некоторой функции х и у. РЕШЕНИЕ Пусть У— какая-либо функция двух переменных х и у, и пусть / d3z \ т, сперва ( ) = У; тогда, считая переменным только х, получим а затем — $ dx Vсга: + а:Г(У) + Л(У)== v dx2 + жГ (У) + д (У) и, наконец, z = 8 Vdx3 + у х2Г (у) + яД {у) + S (у). Подобным образом, если f Л = у \dx2dy J ТО Z = 3 v dx2 dy + xV (у) + Д (у) + Е (х), если же Г —- Л = v, \dx dy2 J ТО z = 3 У dx dy2 + Г (у) + уД (х) + S (х), а если, наконец, / = у ^dy3J то z = 3 У dy3 + у2Г (х) + уД (х) + S (х). Таким же образом можно перейти к производным высшего порядка, и мы получаем следующее: если 16 л. Эйлер, т. 3
242 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛАМ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА ТО z=^ V dxi + х,3Г (у) 4- ж2Д (у) + xL (у) 0 (г/); если ( diz = V \dx3dy ) ТО z = V dx3 dy 4- ж2Г (у) 4- жА (у) + S (у) 4- 0 (ж); если \ dx2 dy2 у * ТО 2 = 4 V dx2 dy2 + жГ (г/) 4- А (г/) у у£ (,г) Q если С *-Л = v \dx dy3 J ’ ТО z = V dx dy3 л- Г (у) 4- у2Д (х) + г/Е (я) 0 (и); если то Z = 4 V dy* + г/3Г (х) 4- г/2Д (ж) + г/Е (х) 4- 0 (ж). В дальнейшем изложении для более высоких порядков нет нужды, СЛЕДСТВИЕ 1 391. Точно так, как знак интегрирования, используемый в первой книге, заключает в себе уже постоянное, вводимое интегрированием, точно так же и здесь произвольные функции, появляющиеся в резуль- тате интегрирования, предполагаются включенными в знак интеграла, так что выделять их не требуется. СЛЕДСТВИЕ 2 / d3z 392. Достаточно, "следовательно, для уравнения ( J= T записать г з тройной интеграл в виде z= \ V dx3; это выражение само по себе уже содержит добавочные члены ж2Г(г/)4-жА(г/)4-Е(г/), и то же самое относится к остальным случаям.
Гл. I. О РЕШЕНИИ ПРОСТЕЙШИХ УРАВНЕНИЙ 243 СЛЕДСТВИЕ 3 393. Итак, если в общем случае дано уравнение / dm+nz X _ \^dxmdyn ) ’ то его интеграл можно сразу записать таким образом: z = ^m+nVdzmdyn, что уже заключает в себе все т + п произвольные функции, появившиеся в результате такого же числа интегрирований. ПОЯСНЕНИЕ 394. Случаи, рассмотренные в этой главе, являются наиболее- простыми; для более сложных случаев вряд ли можно указать опреде- ленные способы, так как эта часть интегрального исчисления находится только в самом начало своего развития. Ясно, конечно, что если более сложное уравнение может быть путем преобразования приведено к этим простейшим, то его интегрирование будет немедленно дано; па этом вопросе мы здесь подробнее не остановимся. Я перехожу к случаям более глубоким, обладающим таким свойством, что решение удается при помощи уравнений менее высокого порядка, откуда можно получить замечательный метод достаточно широкого охвата, который можись будет часто не без успеха применять. Все же не представляется целесо- образным слишком подробно останавливаться на этом вопросе; доста- точно будет разъяснить те основные начала, которые известны в настоя- щее время. О Ш*
ГЛАВА II ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ УРАВНЕНИЙ ВЫСШЕГО ПОРЯДКА ПУТЕМ ПРИВЕДЕНИЯ К УРАВНЕНИЯМ НИЗШЕГО ПОРЯДКА ЗАДАЧА 64 395. Дано уравнение третьего функции z. , Г Л з порядка j~a6z. Найти вид РЕШЕНИЕ Предположим, что этому уравнению удовлетворяет решение следу- ющего более простого уравнения первого порядка: (£)=nz; из него путем дифференцирования получается с?.)-» са')-"’2 < dx2 J \dx J и, далее, Ясно, что заданное уравнение будет удовлетворяться, если п3 = а3, что возможно тремя способами: I. п = а; — 1 4* V — 3 II. п =---------а; III. п =---------а, ., . ( dz\ В любом случае ищем полный интеграл уравнения ( = и эти три интеграла вместе дадут полный интеграл заданного уравнения.
Гл. II. УРАВНЕНИЯ, ДОПУСКАЮЩИЕ ПОНИЖЕНИЕ ПОРЯДКА 245 Поскольку, однако, в уравнении j~nz количество у считается постоянным, то будет dz — nzdx, то есть ~—ndx, откуда lz = пх-\~ 1Г (у) или z — enxr(y). Придавая теперь числу и его три значения, получим для заданного уравнения =±±ЕЕз ах -1-Г=з ат z = eaxT(y) + e 2 Д(?/)4-е 2 £(?/)• Поскольку, однако, етУ~-1 __ cos т _|_ |/ _ j sjn то, изменяя вид произвольных функций, будем иметь ах-п /л. ах ах л / а , “5 ах • «Ж V 3 V / а z = е Г (у)+ е 2 cos —(у) 4’ е 2 sm —"(?/)• СЛЕДСТВИЕ 1 396. Этот интеграл можно представить еще так: Z = е'“Г (у) + е 2 ах д (у) cos _i_ у) , где У —функция у. СЛЕДСТВИЕ 2 397. Поскольку требуются три интегрирования и в каждом из них количество у рассматривается как постоянное, то решаем по правилам первой книгиг) уравнение d3z = a3z dx3, а вместо трех постоянных вводим какие-либо функции у; тогда получается то же решение. ЗАДАЧА 65 398. Задается следующее уравнение любого порядка ’ «--о. где буквы Р, Q, R, /?, Т и т. д. обозначают какие-угодно функции двух переменных х и у; найти вид функции z. РЕШЕНИЕ Поскольку при выполнении всех интегрирований количество у рас- сматривается как постоянное, это уравнение следует рассматривать как х) См. Интегральное исчисление, т. II, § 1136. [Ф. Э.]
246 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛАМ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА уравнение только с двумя переменными х и z. Следовательно, надо до правилам первой книги г) рассматривать уравнение n . Qdz , Rd4 , Sd*z , Td*z , n Pz + ---И + ~ГЛ~ + л 4 +и т’ Д’ = 0, dx dx1 dxA dx1 Если его решение удается, тогда нужно только вместо постоянных, вводимых при отдельных интегрированиях, подставлять произвольные функции у; тогда получим требуемый интеграл, к тому же полный, -если только полностью можно проинтегрировать последнее уравнение, СЛЕДСТВИЕ 1 399, Если, следовательно, буквы Р, Q, R, 5 и т. д. —постоянные или содержат только переменное у, то интегрирование всегда удается, так как в первой книге мы показали, как такие уравнения интегри- руются в общем виде. СЛЕДСТВИЕ 2 400, Далее, удается также решить следующее уравнение2): Лг+Ва:(й)+Сг2С5)+Ра;3(5)+и т-д- =0- будут ли буквы А, В, С и т. д, постоянными или функциями одного только у. СЛЕДСТВИЕ 3 401. Если эти выражения не равны нулю, а равны каким угодно функциям переменных х и г/, то интегрирование все равно удается на основании того, что изложено в последних главах первой книги. ПОЯСНЕНИЕ 402. Все это можно применить еще гораздо шире —ко всем уравне- ниям, в которых не встречаются другие производные, кроме производных / dz X / d2z X f d3z X и т-д” содержащих только х как [независимое] переменное. Как бы сложны ни были выражения, содержащие конечные количества х, у и z, урав- нение всегда надо считать относящимся к предмету первой книги, так как при всех интегрированиях количество у неизменно рассматривается как постоянное. После выполнения интегрирования разница заключается лишь в том, что вместо произвольных постоянных вводятся производ- ные функции у. Излишне здесь напомнить, что то, что сказано о пере- менном у, относится также к переменному х. Интегральное исчисление [том II], книга 1, часть II, раздел 1, гл. III — XI п раздел 2, гл. II. [Ф. Э.] 2) См. там же, раздел II, гл, V. [Ф. Э.]
Гл. II. УРАВНЕНИЯ, ДОПУСКАЮЩИЕ ПОНИЖЕНИЕ ПОРЯДКА 247 ЗАДАЧА 66 403. По предложенному уравнению (+ь (тгтг} -2a(^-ab(7T^ + a2z = ° \ dx2 J \jlx dy / V dx J \dy J найти вид функции z. РЕШЕНИЕ Легко видеть, что этому уравнению удовлетворяет решение более простого уравнения == откуда z = еах; положим поэтому z = еаху. Тогда а отсюда (еах Г а ( 1 < dx dy ) L Ч dV ) Ч dx аУ / J После подстановки этих значений и разделения уравнения на еах будем иметь \ dx2 J \ dx dy J Здесь везде встречается J • Поэтому положим Q — J — и и получим (е>чт;>о- Интеграл этого уравнения есть f(,y-bx) = u. Напишем поэтому М==(Ю = -Ы'^У-Ъх), откуда вытекает и = г(?/-М4-А(у)> так что искомый интеграл есть z = e“-Hr(y-te) + A(y)]. Это выражение содержит две произвольные функции и поэтому является полным интегралом. ЗАДАЧА 67 404. Предложено уравнение 0“(«+2Ь)’-(2«+зя(^)+<:(^)+4§;- Найти вид функции z.
248 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛАМ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА РЕШЕНИЕ Это уравнение составлено таким образом, что ему, очевидно, удо- влетворяет z = ех; положим поэтому Тогда (го - Ф М Д ь- [ Ш+С Д) ] • (£>'Ь3 (£>(£>(£)] ’ (г^-4а>сам£У] После подстановки этих значений получается следующее довольно про- стое уравнение: 0 = (<г + ЗЧ(^+4(-)+<зй_). Удобным здесь является то, что во всех членах содержится выраже- f d*v \ / d*v \ ние ( > поэтому, положив ( ) = м, получим такое уравнение первого порядка: о=(“+3»)“+Ч£)+<-£)- Отсюда вытекает, что если принять du = pdx-\-qdy, то будем иметь (а + 36) и + Ър + cq = 0. А это уравнение решается так. Если положить а + 3& = /, то с с 1 и тогда du = pdx^p^l^y t 1 с с Таким образом, необходимо, чтобы — было функцией от х-----откуда Р с lu + ^ = f(cr-by) Если рассматривать у как постоянное, то первое интегрирование дает (Ю-Лг" (*-?>«
Гл. П. УРАВНЕНИЯ, ДОПУСКАЮЩИЕ ПОНИЖЕНИЕ ПОРЯДКА 249' а второе — у = е“Г (х + + ^(jf) + W Таким образом, полагая а + 36 = /, получим полный интеграл заданного* уравнения Z = е~~ г X — у + ежжД (г/) + ех£ (г/). ЗАДАЧА 67 [а]1) 405. Предложено следующее дифференциальное уравнение третьего порядка*. 0 = Pz-3P^- + 3P^-P^-s + Q^~ 2Q-f^ + Q-^r, dx dx2 dxs x dy x dx dy dx2, dy где P и Q —какие-либо функции от x и у. Найти вид ^функции z. РЕШЕНИЕ Сделаем подстановку z = exv, поскольку по заданному уравнению легко видеть, что ему можно удовлетворять, подставляя ех вместо z. Приходим к следующему уравнению: -ЧО)+9(^=°- Положим далее = так что v== udx2. Тогда получим "(X Рр Положим du — р dx + q dy, имеем Qq=-Pp, стало быть, 4.= q и, следо- вательно, du = p(^dx + ^dy) , откуда ясно, что количество р должно быть таким, чтобы выражение dx+^dy после умножения на него становилось интегрируемым. Итак, ищем множитель М, который делает интегрируемым выражение Q dx-\ -Pdy, так что М (Q dx + Р dx) — 5, и я принимаю, что мы можем найти эту функцию 5 переменных х и у; а так как Qdx + Pdy = ^ , !) В первом издании: Задача 68; см. примечание к § 407.
250 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛАМ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА ТО 7 р ds dU = MQ’ откуда ясно, что -^означает функцию количества 5. Положим поэтому = тогда сразу получаем /г = Г (.$), и отсюда и = dx dxV ($), где в обоих интегрированиях количество у рассматривается как по- стоянное. Таким образом, получаем следующее решение проблемы. Ищем для дифференциального выражения Qdx-\-Pdy множитель М, который делает его интегрируемым, так что М (Qdx-{- Р dy) = ds, и, когда найдена эта функция $ переменных х и у, имеем z = ех dx dxV (s) + ехх^ (у) Ц- ех£ (y)t ПОЯСНЕНИЕ 406. В этих уравнениях мы воспользовались тем обстоятельством, что после подстановки z = exv они принимают форму, которую затем легко можно привести к простому типу, рассмотренному в первом раз- деле. Действительно, хотя производные третьего порядка не уничто- жаются, все же исчезают из уравнения такие члены, что можно вос- / d2v \ пользоваться новой подстановкой ( —и и с ее помощью перейти к дифференциальному уравнению первого порядка. Значит, этого можно достичь одной подстановкой, если сразу положить z = ех udx2. Если бы только мы имели правила, с помощью которых можно было бы легко находить такие подстановки! А пока что в качестве последней задачи гораздо более широкого охвата может быть решена с примене- нием § 209 следующая ЗАДАЧА 67 lb] Ч 407. Предложено дифференциальное уравнение третьего порядка J \dx dy J V dx2 dy J где P, Q и R— какие-либо заданные функции x и у. Найти сид функ- ции z, РЕШЕНИЕ Применим ту же подстановку z = exv, которой мы пользовались до сих пор, и предложенное уравнение перейдет в следующее: ______________ 0 В первом издании: Задача 67; в этом издании номера задач 67 и 68 по •«ошибке повторены два раза.
Гл. И. УРАВНЕНИЯ, ДОПУСКАЮЩИЕ ПОНИЖЕНИЕ ПОРЯДКА 251 и удобным оказывается здесь то, что, если положить = по~ лучаем дифференциальное уравнение первого порядка откуда надо найти, какова функция и переменных х ж у. Положим du = р dx + q dy\ тогда, согласно вышестоящему условию, Ри = Qp-\-Rq. Следуя приему, примененному в § 209, образуем теперь следующие три уравнения: L du = Lpdx-\- Lqdy, МРи dx = MQp dx 4- MRq dx, NPu dy = NQp dy NRq dy. Складывая их, получаем L du — Ри (M dx + iV dy) — p[(L -4- MQ) dx 4- NQ dy] 4- 4- q [(Z? + NR) dy 4- MR dx]. Здесь, поскольку три количества L, М и N зависят от нашего произ- вола, установим между ними прежде всего такое соотношение, чтобы оба слагаемых в правой части содержали общий множитель, а именно, (L4-W): NQ = MR:(L + NR), то есть L= -MQ-NR. Тогда имеем -du(MQ + NR)+Pu(Mdx + Ndy)^(Mq-Np) (7?dx-Qdy). Найдем множитель Т, который делает интегрируемым выражение (Rdx — Qdy), так что Т (Rdx — Q dy) = ds, и, таким образом, мы можем рассматривать как функцию Т, так и s как известные и имеем теперь -du(MQ + NR~) + Pu {Mdx 4- _Vdy) = {Mq-Np)^ ИЛИ du P(Mdx+Ndy)_ Np — Mg ds T MQ+NR = и (MQ + NRYT ’ Теперь надо заметить, что, поскольку Р, Q, 7? — заданные функции х и у, мы всегда можем установить такое соотношение между пока не ,. дг Р (М dx + TV dy\ пределенными величинами М и А , чтобы выражение —t/Q+AT? допускало интегрирование. Итак, пусть его интеграл = lw, так что , т . дг , MQ + NR dw Mdx + Ndy= --------— И du _ dw . TVp — Мд , ТГ — ТГ + Ти (MQ+NR) aS‘
252 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛАМ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА Поэтому необходимо, чтобы количества р и q были между собой свя- заны так, чтобы было NP-Mg = f, , ч Tu(MQ + NR) 7 k h откуда lu == lw + f (5). Вместо f(s) напишем /Г (5) и получим и = доГ (5), а тогда v = dx w dxF (5) 4- х& (у) (у) и, следовательно, z = ех dx w dxF (5) 4- ехх& (у) + ех£ (у). СЛЕДСТВИЕ 1 408. Итак, для того чтобы сразу построить по предложенному уравнению это решение, ищем сперва такую функцию от х и у, которую назовем 5, чтобы было ds = Т (Rdx~ Q dy), и это выполняется путем определения множителя Т, который делает интегрируемым дифференциальное выражение Rdx — Qdy. СЛЕДСТВИЕ 2 409. Правда, кроме того, надо найти также количество w. С этой целью нужно установить такое соотношение между количествами М и N, чтобы было С Р (М dxN dy) J MQ + NR ' и это всегда возможно. ПОЯСНЕНИЕ 410. Поскольку мы свели весь вопрос к тому, что надо определить функцию и из дифференциального уравнения то его решение может быть получено гораздо проще, без обходных путей, которыми я пользовался [первоначально]; это даст существенное дополнение к первому разделу [нашей книги]. Примем, что Тогда, прежде всего, P = L(MQ±NR), откуда г MQ + NR'
' Гл. IT. УРАВНЕНИЯ, ДОПУСКАЮЩИЕ ПОНИЖЕНИЕ ПОРЯДКА 253 Далее, так как получим — — / ( М dr I Лг chi\___________? dy) и - L(M dx+ Л dy) - MQ+-NR где М и N должны быть выбраны так, чтобы это выражение интегрирова- лось, а так как это можно сделать бесконечным числом способов, следует считать, что получено полное решение. Но, имея один частный интеграл, гораздо удобнее получить общее решение следующим путем. Положим dw__Р (М dx 4- /V dy) w MQ + NR ’ так что значение w может быть взято вместо и в качестве частного интеграла. Итак, Напишем теперь полный интеграл в виде u=--wV (s), так что после под- становки получим Arf (») - Q (g) Г (.,) +R (g) Г (S) + Qw < ) Г' (>) + Кш () Г' (»), что немедленно приводится к виду ЧЧ+ЧЧ-0’ откуда заключаем, что г7? и _Т(р \dx J \dy J x Следовательно, ds - T (jR dx - Q dy\ откуда ясно, что это количество 5 находится из выражения Rdx — Qdy таким путем: сперва определяем множитель Т, который делает это вы- ражение интегрируемым, а затем берем в качестве $ интеграл от этого выражения. Итак, мы получили то же решение, что и выше, по без обходных путей. ЗАДАЧА 68 411. Предложено дифференциальное уравнение четвертого порядка Свести нахождение функции z к решению более простого уравнения. РЕШЕНИЕ При более внимательном рассмотрении этого уравнения легко обна- ружим, что ему удовлетворяет решение более простого уравнения С РУ=С У У \dV J CdxJ
254 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛАМ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА В самом деле, дифференцируя по у, получаем — ъ ( d*z \dy3 J \jixdy)' а повторю* то же самое, находим Но если продифференцировать принятое нами уравнение по х, получим / d3z \ , / d2z \ dx dy2 ) \dx2 ) ’ и подстановка в предыдущее уравнение дает, что ( = (—Л \dy* ) \dx2 ) Это уравнение совпадает с предложенным, если Ъ'1 = а\ что можно по- лучить двояким способом: при Ъ = -\а и i — — а. После того как решим такие более простые уравнения: Г — а Г— 0) что пусть дает z = \dy2 J \dx J C5)+aC£)=0, чт°пустьдаетz=<?> имеем для предложенного уравнения * = + и так как и Р, и Q содержат по две произвольные функции, получен- ный таким образом интеграл содержит четыре произвольные функции и является, следовательно, полным. СЛЕДСТВИЕ 1 412. Можно легко получить бесконечное число частных решений, полагая z = Действительно, выполнив подстановку, видим, что должно быть = и,2а2 И J1 = + — . 1 1 — а Если v—Ха, то ^=-^Х-а, и интегралом будет СЛЕДСТВИЕ 2 413. Можно также полагать z = e^cos (vy + а), откуда ч4-.:=ц,-а-, как и выше, так что получается другая форма частных интегралов: z = е±Х2ах cos (Хау + а). Надо считать, что, беря совместно бесконечно много таких выражений,, мы как бы исчерпываем полный интеграл.
Гл. II. УРАВНЕНИЯ, ДОПУСКАЮЩИЕ ПОНИЖЕНИЕ ПОРЯДКА 255- СЛЕДСТВИЕ 3 414, Эти же решения получаются, если положить в более общем виде z—ХУ, что дает X d*Y _a2Yd2X dy* dx2 ’ чго можно представить в таком виде d*Y __ a2d2X Y dy* ~ X dx2 ’ и обе части этого уравнения должны быть равны одному и тому же постоянному количеству. ПОЯСНЕНИЕ 415, Однако уравнение, к которому мы свели всю задачу, а именно / d2z \_, / dz \ 1^7 принадлежит к тем, которые, по-видимому, никак не могут быть решены в общем случае, так что мы должны удовлетвориться частными реше- ниями. Но предложенное уравнение получено не путем чистого умозре- ния, а при определении в общем виде весьма малых колебаний упругих пластинок; то, что мы приходим к решению такого уравнения четвер- того порядка1), является причиной того, что этот вопрос не мог быть до сих пор решен в общем виде, в отличие от [задачи] о колебаниях струн. Подобным же образом легко усмотреть, что уравнение четвертого порядка f Й) = а Г + 2ab С^ + b2z \ dy* / \ dx2 у 1 \ dx J 1 сводится к таким двум уравнениям второго порядка: и нетрудно обнаружить a posteriori другие случаи, когда такое приведе- ние к уравнениям низшего порядка имеет место. *) См. работу Эйлера (№ 443 по списку Энестрема) «О колебательном движении упругих пластинок, причем исследуются многие новые виды колебаний, доселе не рассмотренные» (De motu vibratorio laminarum elasticarum, ubi plures novae vibra- tionim species hactenus non pertractatae evolvuntur), Novi comment, acad. Sc. Pet- rop. 17 (1772), 1773, § IX, стр. 456, а также в Opera Omnia, Ser. II, vol. 9. [Ф. ЭД a 0 Q
ГЛАВА III ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ОДНОРОДНЫХ УРАВНЕНИИ, В КОТОРЫХ ВСЕ ЧЛЕНЫ СОДЕРЖАТ ПРОИЗВОДНЫЕ ОДНОГО И ТОГО ЖЕ ПОРЯДКА ЗАДАЧА 69 416. Найти интеграл однородного уравнения второго порядка л + с f 44-Vo, < dx- J \dxdyj' < dy2 J то есть найти вид функции z; буквами А, В, С обозначены произволь- ные постоянные количества. РЕШЕНИЕ Я называю это уравнение однородным, так как оно состоит из производных второго порядка и, кроме них, не содержит никаких других переменных величин. Для его решения замечу, что ему удовлетворяют решения однородных уравнений первого порядка такого вида: C^)+a(^)=A==const- В самом деле, два раза дифференцируя это уравнение, по х и по?/, получаем ччхох 17 А В Если первое уравнение умножить на А, а второе на —- и сложить, получим предложенное уравнение при условии, что Аз + ~ = В, а то есть Аз2 — Вз + С = О',
Гл. III. ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ОДНОРОДНЫХ УРАВНЕНИЙ 257 отсюда получаем для а два значения, каждое из которых при подста- новке в уравнение дает слагаемое в искомой функции z. Действительно, поскольку и, следовательно, dz = A dx + (dy — a dx) Q , то ясно, что (должно быть функцией количества у —аж; если записать ее в виде Г' (у —ах), то z = fx + Г (у — ах), где / обозначает какую-либо постоянную. Таким образом, решение предложенного уравнения находится следующим путем. Образуем сперва алгебраическое уравнение Аи2 + Ви + С = О, простые множители которого суть w + a и и + р, так что Аи2 + Ви + С — А (и + а) (и + Р). Тогда искомый интеграл будет z = fx + Г (у — ах) + Д (у— рж), а поскольку первое слагаемое /ж можно считать содержащимся уже в двух неопределенных функциях, так как = aa?) —/ (у—Ре) ' р—a ’ можно записать этот интеграл короче: Z = Г (у — аж) + д (у — ₽ж). Его следует считать полным, благодаря наличию в нем двух произволь- ных функций, за исключением того случая, когда Р = а. В этом случае положим р = а + da*, тогда Д [у — (а + da) х] = Д (у — аж) — ж da Д' (у — аж), и так как первое слагаемое [первой части] уже содержится в первом члене [выражения для z], а вместо второго слагаемого можно написать х Д (у — аж), получаем для случая р = а, то есть В2 = 4АС, интеграл z = Г (у — аж) + жД (у — аж). СЛЕДСТВИЕ 1 417. В случае р = а интеграл можно, очевидно, выразить еще и так: z = V(y — a.x) + yb(y — ax), что не отличается от предыдущего выражения. 17 л. Эйлер, т. III
258 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛАМ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА СЛЕДСТВИЕ 2 418. Если С = 0, так что и, далее, Аи2А~Ви = Аи (ji + , то получим а — 0 и Р 1 А и интеграл 2 == г (?/) + А ( У “ = г (У) + А (АУ “Вх). Подобным образом интеграл уравнения в(/!г-} + с(^^0, \dxdy J \dy- J есть 2 = Г (х) + А (Сх — By). СЛЕДСТВИЕ 3 419. Для уравнения а2( -^} + 2аЬ(1Гт'} + Ь2( -Й'Й°> \ dx2 у \^dxdyj dy2 J ’ поскольку а2и2 + 2аЪи-фй2 — а2^и4-~^ , интеграл равен 2 = Г (ау — Ъх) + хк (ау — Ьх). ПОЯСНЕНИЕ 420. Запись этих интегралов не вызывает никаких затруднений, если только уравнение Аи2ВиС = 0 имеет два действительных корня, будут ли они равными или неравными; когда же эти два корня мнимые, так что a —p-pv]/—-1 и p = jx — v ]/— 1, то произвольные функции уже ничего не дают. Ибо если вид функций!1 и А представляется произвольно проведеттттыми кривыми, так что Г (у)'и А (у) означают ординаты, соответствующие абсциссе у, то никак не ясно, как надо строить значения г + И A(p_9y~r)f даже если мнимые части взаимно уничтожаются/В том-то и обнаружи- вается большое различие между функциями непрерывными и разрывными,
Гл. III. ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ОДНОРОДНЫХ УРАВНЕНИЙ 259 что в первых выражения + +г(р-дК^Т) И A + —А Ср—g —1) могут быть представлены в действительном виде т), что никак не удается, если Г и А -разрывные функции. В этих случаях, следовательно, найденное здесь общее решение, по-видимому, нужно ограничить случаем непрерывных функций, поскольку здесь разрывные функции не допускают применения и построения* 2). ЗАДАЧА 70 421. Предложено однородное уравнение третьего порядка Найти его общий интеграл. РЕШЕНИЕ И этому уравнению, как и в предыдущей задаче, удовлетворяет решение простого дифференциального уравнения первого порядка, как это легко видеть, и отсюда следует, что оно имеет частный интеграл вида z = г (у + пх)- Образуем все производные третьего порядка, а именно: С5’)=/гЗГ”,(г/+п'г)’ =7г2Г'"(2/+лга:)’ = ($) = г"'(у+^); тогда после подстановки и деления на Vft\y-\-nx) получается уравнение Лп3 + Яп2 + Cn + D=Q, три корня которого пусть будут и = а,. и = р, п = у. Ясно, что заданному уравнению удовлетворяет выражение z = г (у + <*®) + д (у + + S (г/ + ух), которое, несомненно, является полным интегралом, поскольку оно содер- жит три произвольные функции. Нужно только заметить, что если два корня равны между собой, например у = р, интеграл будет z = г (У + «®) + д (у + М + (У + $х), В realiter exhiberi queant. 2) His igitur casibus solutio generalis hie inventa ad solas functiones contunuas restringenda videtur, quandoquidem discontinuae applicationiet executioni adversantur. Эйлер подразумевает, что здесь можно пользоваться только аналитическими функциями. 17*
260 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛАМ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА если же все три корня равны между собой: у = р = а, искомый интеграл будет и — Г {у + ах) хЛ (у + ьх) + х2^ {у + ах). Если два корня — комплексные, тогда нужно иметь в виду то же самое, что мы выше заметили. СЛЕДСТВИЕ 1 422. Последний случай, когда три корня равны между собой, получается и на том основании, что если вместо переменных х и у ввести новые Z = х и и^у ~{ах, то предложенное уравнение упрощается и принимает форму ( — интеграл которого, очевидно, есть z = Г (и)’ + хА (и) + (и). СЛЕДСТВИЕ 2 423. Отсюда уже видно, каким образом надо будет строить интегралы однородных уравнений высшего порядка в том случае, когда соответ- ствующие алгебраические уравнения имеют несколько равных корней. Таким образом, построение интегралов как в случае равных, так и в случае неравных корней не представляет никаких затруднений. ПОЯСНЕНИЕ 424. Однако случай двух мнимых корней, когда произвольные функции, по~видимому, не дают никакой пользы, стоит подробнее рас- смотреть в отношении тех непрерывных функций, которые здесь дают решение. Выражения, входящие в интеграл, в таком случае всегда приводятся к виду Г (у (cos ср + У — 1 sincp)) + Д (у cos ср—]/ — 1 sincp)). Теперь, если эти функции суть степени, то получаются выражения вида Avn cos nep + Bvn sin nep или cos (nep + a), где постоянные A, n и а можно произвольно менять. Далее, если эти функции обозначают логарифмы, то получаются выражения вида Alv-{B^. Если эти функции показательные, то получаются такие выражения: cos ср [д cos (у sin В sin (t, sin ср)] = Aev cos ? cos (z? sin cp + a) или, более общим образом, Ае^‘ COS nep cos (rfi s*n Можно еще получить из учения о мнимых многие другие выражения такого рода, которые в комбинации с вышеуказанными дают слагаемые
Гл. III. ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ОДНОРОДНЫХ УРАВНЕНИЙ 261 интеграла, соответствующие парам комплексных корней. Таким образом, получается бесконечное множество функций, которые представляют собою нечто сходное с полным решением, но его, однако, нельзя считать в той же мере полным и использовать так же, как в тех случаях, когда все корни действительны1). Заметим здесь, однако, что до сих пор не встречалась ни одна механическая или физическая проблема, которая сводилась бы к этому случаю. ЗАДАЧА 71 425. Предложено однородное уравнение любого порядка + и Т. д.=0. К б/А / к dxK J \dx^ 2dy2 J Найти его интеграл. РЕШЕНИЕ По предложенному уравнению образуем алгебраическое уравнение степени X: Апк + Вп^-1 + Спх~2 + и т. д.=0. Его корни, числом X, суть п = а, п = р, п = о и т. д. Если они все не равны между собой, то полный интеграл заданного уравнения будет z = Г(^Н-а^) + Л(^Н-РгЧ + ^(^ + Тж) + ®(3/ + М+ и т- где число разных функций будет X. Если, однако, среди этих корней встречаются два или больше равных между собой, например, (3 = а, у = а, тогда функции, соответствующие этим корням, должны быть соответ- ственно умножены на члены такой геометрической прогрессии: 1, х, х1 и т. д. или 1, ?/, у2 и т. д., так что число произвольных функций не уменьшается. В отношении же комплексных корней нужно постоянно иметь в виду то, что мы выше заметили, если мы не хотим исключить произвольные функции мнимых выражений. СЛЕДСТВИЕ 1 426. В случае равных корней все равно, каким геометрическим рядом пользоваться, так как встречающиеся функции не являются функциями только от х или только от у. Но если это будут функции только от х или только от у, то нужно пользоваться геометрической прогрессией другого переменного. х) unde infinita functionum multitude nascitur, quae solutionem completam mentiri videtur, neque tamen pro completa perinde haberi potest, atque usu venit iis casibus, quibus omnes radices sunt reales.
262 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛАМ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА СЛЕДСТВИЕ 2 427. Если в алгебраическом уравнении первые коэффициенты Л, В, С ит. д. исчезают, так что кажется, что число корней меньше показателя X, тогда отсутствующие корни надо считать бесконечно большими; им соответствуют функции одного ж, которые надо ввести в интеграл. СЛЕДСТВИЕ 3 428. Итак, если Л = 0, 5 = 0 и € = 0, то нужно считать, что корни а, р, у становятся бесконечными, и из них возникает следующая часть интеграла: Г(я) + г/Д (х) + ?/22(х). ПОЯСНЕНИЕ 429. Так как эту часть интегрального исчисления едва лишь начали разрабатывать и поэтому исследования такого рода еще очень трудно доступны, то нет возможности много изложить в этом разделе. Поэтому я вынужден закончить этим первую часть второй книги, которая зани- мается определением функций двух переменных по заданному соотноше- нию между дифференциалами. Однако еще гораздо меньше можно сообщить во второй части этой книги, где интегральное исчисление применяется к функциям трех переменных, и поэтому не имеет смысла разбивать эту часть на разделы, и тем более — заняться следующими частями.
И НТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ КНИГА ПОСЛЕДНЯЯ ЧАСТЬ ВТОРАЯ ИЛИ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ ПО ДАННОМУ СООТНОШЕНИЮ МЕЖДУ ДИФФЕРЕНЦИАЛАМИ ГЛАВА I О ПРОИЗВОДНЫХ ФУНКЦИЙ ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ ЗАДАЧА 72 430. Пусть v —любая функция трех переменных х, у и z\ найти ее производные первого порядка. РЕШЕНИЕ Поскольку v — функция трех переменных х, у и z, то, если ее дифференцировать обычным образом, ее дифференциал вообще выра- зится в виде dv = р dx + q dy + г dz. Он состоит, таким образом, из трех слагаемых, причем мы найдем отдельно первое слагаемое р dx, если при дифференцировании только количество х будем рассматривать как переменное, а остальные два у и z —как постоянные. Подобным образом второе слагаемое qdy находится путем дифференцирования функции v таким образом, что только количество у отличается переменным, остальные же х и z считаются постоянными; то же самое относится к третьему слагаемому rd г, которое дает дифференциал у, когда принимается в расчет переменность одного только количества z. Отсюда ясно, каким образом надо нахо-
264 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ дить путем дифференцирования количества q и г каждое в отдель- ности, и эти выражения я буду называть производным первого по- рядка функции у, а чтобы не понадобилось вводить в вычисление новые буквы, буду их обозначать в соответствии с их сущностью, так: -а)- Таким обрдзом, любая функция v трех переменных х> у и z имеет три производные первого порядка, которые надо обозначать так: Z Л У dv \ / dv \ \dx ) ' \dy ) ’ < dz ) ' В каждом из этих выражений принимается в расчет какое-либо одно из переменных, в то время как остальные два считаются постоянными, а поскольку дифференциалы благодаря делению устраняются, эти дифференциальные выражения следует отнести к классу конечных количеств. СЛЕДСТВИЕ 1 431. По найденным трем производным функции v ее дифференциал, взятый обычным порядком, выражается так: dv=dx (£)+dy d)+dz (-S-) • Наоборот, интеграл этого дифференциального выражения есть сама функция у, к тому же с добавлением или вычитанием любого [посто- янного] количества. СЛЕДСТВИЕ 2 432. Если дана функция v трех переменных х, у и z, то ее про- изводные / dv \ / dv "X / dv \ являются опять функциями тех же переменных х, у и z и легко нахо- дятся путем дифференцирования. Однако может случиться и так, что одно из этих переменных или большее их число полностью исчезает из этих производных. ПОЯСНЕНИЕ 1 433. Ничто не мешает тому, чтобы рассматривать количество и как функцию трех переменных х> у и z, даже когда оно содержит ихг быть может, только два, а именно, когда эта функция построена так, что третье переменное выпадает как бы случайно; этому тем менео следует удивляться, что то же самое может случиться с функциями как одного, так и двух переменных. Действительно, так как функции одного переменного удобнее всего представлять как ординаты некоторой кривой, если только по свойствам кривой ее ординаты можно считать определенными функциями абсциссы х> то никак нельзя, исходя из той же общей идеи, исключить тот случай, когда кривая переходит в прямую, параллельную оси; хотя при этом ордината равна постоян-
Гл. I. О ПРОИЗВОДНЫХ ФУНКЦИЙ ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ 265 ному количеству; и не будет ничего несуразного, если кто-нибудь на вопрос о том, какова же функция у от ж, ответит, что эта функция у равняется постоянному количеству. Что же касается функций двух переменных х и у, которые всегда представляются при помощи рас- стояний точек некоторой поверхности от некоторой плоскости, причем переменные х и у задаются в этой плоскости, то, очевидно, эта поверх- ность может быть такой, что эта функция зависит либо только от х, либо только от у. Если же поверхность является плоскостью, парал- лельной вышеуказанной плоскости, то функция к тому же обращается в постоянное количество; но и здесь ничто не мешает рассматривать ее как функцию двух переменных. Поэтому, хотя в дальнейшем будет идти речь о функциях трех переменных, сюда относятся также такие функции, которые зависят только от двух или одного из трех переменных ж, у и 2, и даже такие, которые являются постоянными количествами. ПОЯСНЕНИЕ 2 434. В дифференциальном исчислении уже было показано, что дифференциалы функций многих переменных находятся так, что только какое-нибудь одно переменное рассматривается как переменное и все полученные таким образом дифференциалы соединяются в одну сумму1). Когда дифференцирование таким образом выполняется, отдельные эти операции после отбрасывания дифференциала дают производные, которые обозначаются / dv > Р dv Л / dv \ \dx ) ’ \dy ) И < dz ) Точно так же понятно, как надо находить производные функций четы- рех или больше переменных. Мы приведем здесь дополнительно несколько примеров, относящихся к функциям трех переменных х, у и z, и будем находить их производные. ПРИМЕР 1 435. Если функция трех переменных есть v = ах + Ру 4- yz, /по ее производные находятся так: Поскольку путем дифференцирования получается dv = a dx -р р dy -ф- у dz, то, очевидно, будет Р dv \ Р dv \ n Р dv \ и таким образом все три производные являются постоянными. ПРИМЕР 2 436. Если функция трех переменных есть v = x4Ez\ то ее производные находятся так. 1) См. Эйлер, Дифференциальное исчисление, ч. 1-я, § 214.
2^6 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ Выполняя дифференцирование обычным способом, получаем dv — dx -ф (ix^y’1^1z^ dy -ф чхху^-{ dz, откуда очевидно, что производные равны: (-£)=wzv-’. Каждое из этих выражений в отдельности является новой функцией трех переменных х, у, z, если только показатели X, р, у не равны нулю или единице. ПРИМЕР 3 437. Если функция v содержит только два переменных х и у, а третье z в нее не входит, то ее производные находятся так. Так как функция v содержит только переменные х и у, то ее дифференциал принимает вид dv = pdx^-qdy^-Q*dz, потому что третье слагаемое, происходящее от переменности z, конечно, исчезает, так что имеем “ (£)-<’ СЛЕДСТВИЕ 438. Наоборот, отсюда ясно, что если ^-^-^=0, т0 v является некоторой функцией двух переменных х и у, что мы в дальнейшем будем указывать так: V — Г(х, у), где Г (х, у) — произвольная функция двух переменных х и у. ПОЯСНЕНИЕ 439. Мы вскоре покажем, что когда предлагается определить функ- цию трех переменных из некоторого соотношения между производными, или некоторого условия для них, то при любом способе интегрирования вводится некоторая произвольная функция двух переменных, и именно это составляет признак, которым эта часть интегрального исчисления отличается от предыдущих. Действительно, как при исследовании при- роды функций одного переменного по данному дифференциальному урав- нению (этому вопросу была посвящена вся первая книга) любое инте- грирование вводит в расчет произвольное постоянное количество; мы это видели в предыдущей части второй книги при определении функций двух переменных из дифференциальных уравнений с самой сутью дела связано то, что при любом способе интегрирование вводится в расчет не постоянное количество, а вполне произвольная функция одного пе- ременного; правда, большей частью эти функции, как, например, Г (ах -I- $у), содержали два переменных х и у, однако здесь количество ах + Ру рассматривается целиком как единое количество и выражение Г (ах 4-Ру) обозначает некоторую его функцию. Теперь же, когда будем иметь дело с функциями трех переменных, следует заметить, что любое интегрирование вводит в расчет произвольную функцию уже двух
Гл. I. О ПРОИЗВОДНЫХ ФУНКЦИИ ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ 267 переменных, откуда заодно можно заключить, каков характер интегри- рований в тех случаях, когда рассматриваются функции многих пере- менных. ЗАДАЧА 73 440. Пусть v — произвольная функция трех переменных х, у и z\ найти ее производные второго и более высокого порядка. РЕШЕНИЕ Поскольку она имеет три производные первого порядка / dv \ / dv \ / dv \ У dx ) 1 < dy ) ’ < dz ) 1 то каждая из них, снова рассматриваемая как функция, дает в свою очередь три производные, которые, однако, в силу того, что / d2v \ __ Г d2v \ \ dx dy J \ dy dx ) 1 сводятся к следующим шести: Z d2v \ / d2v > Z d2v \ / d2v Л / d2v \ Z d2v > \ dx2 ) ’ dy2 ) ’ \ dz2 ) ’ V dx dy ) ' v dy dz ) ’ '4 dx dz J ' Из знаменателей каждого из этих выражений ясно, какое из трех количеств х, у, z рассматривается как единственное переменное при том или ином дифференцировании. Таким же образом ясно, что имеются следующие десять производных третьего порядка: / d3v > / d3v \ / d3v \ \ dx3 ) ’ \ dx2 dy ) 1 \ dx dy2 ) ’ Z d3v \ Z d3v \ Z d3v > Z d3u \ x. dy3 ) ’ у dy2 dz ) 1 \.dy dz2 ) ’ \ dx dy dz ) 1 Z d3v \ Z d3v \ Z d3v 'y V dz3 J 1 \ dz2 dx ) ’ \ dz dx2 J Число производных четвертого порядка есть 15, пятого —21 и т. д., в соответствии со значениями треугольных чисел. Из формы каждого из этих выражений видно, каким образом оно получается из данной функции v повторным дифференцированием, причем каждый раз прини- мается в расчет одно из переменных. СЛЕДСТВИЕ 1 441. Итак, вот все производные любого порядка, которые можно получить из любой функции трех переменных путем дифференцирова- ния и которые могут снова рассматриваться как функции трех пере- менных. СЛЕДСТВИЕ 2 442. Подобно тому как для заданной такой функции все ее произ- водные определяются при помощи дифференциального исчисления,
268 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ нужно найти, наоборот, самую эту функцию по данной производной или по соотношению между несколькими из них при помощи инте- грального исчисления. ПОЯСНЕНИЕ 1 443. В дифференциальном исчислении не играет большой роли„ требуется ли дифференцировать функцию одного или нескольких пере- менных, поскольку способы дифференцирования для любого числа пере- менных остаются одними и тем же; поэтому не требуется разделить предмет дифференциального исчисления на несколько частей в зави- симости от числа переменных. Совсем другое дело в интегральном исчислении, которое нужно делить на части в зависимости от числа переменных, так как эти части как по характерным признакам, так и по применяемым методам чрезвычайно сильно различаются между собою. Полагаю, что надо указать, в каком порядке следует изложить эту часть, относящуюся к функциям трех переменных. Прежде всего наиболее удобно рассмотреть те случаи, когда задается значение какой- либо одной производной, по которому надлежит определить вид иско- мой функции, так как в этом случае исследование не представляет никаких затруднений. Затем я перейду к тем вопросам, когда дано соотношение между двумя или больше производными; при этом играет очень большую роль, какого они порядка, так что для первого порядка во многих случаях решение удается, для высших же порядков пока очень немногое удается сделать; именно этот порядок я буду соблюдать при изложении материала. ПОЯСНЕНИЕ 2 444. Здесь могло бы показаться, что для определения функций трех переменных можно задавать два условия или соотношения между производными, и что при задании только одного вопрос является неоп- ределенным. В самом деле, если положить dv = р dx -f- q dy 4- г dz, где буквы р, q, г означают производные первого порядка, и, например, задать следующие два условия: q — р и г ~ р, так что dv = р (dx + dy + dz), то, очевидно, существует решение, а именно и = Г(ж4-г/4-г). На это возражение я отвечаю, что в этом примере случайно получилось так, что оба условия могут существовать совместно. В самом деле, если оставить неизменным условие q~p, а другое заменить через г = рх, так что dv = р (dx-\-dy Ц- х dz), то очевидно, что не может существовать такого значения р, чтобы дифференциальное выражение dx + dy + х dz,
Гл. I. О ПРОИЗВОДНЫХ ФУНКЦИЙ ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ 269 будучи на него умножено, становилось интегрируемым. Однако этого примера достаточно, чтобы доказать, что задание двух условий дает больше, чем требуется для определенности задачи1), и они поэтому не допускают никаких решений, за исключением некоторых случаев, когда одно условие как бы уже содержится в другом. Поэтому всегда одного только соотношения между производными совершенно доста- точно, чтобы сделать задачу определенной, поскольку то обстоятельство, что при интегрировании появляется неопределенная функция, так же мало делает задачу неопределенной, как появление произвольной по- стоянной при решении задачи обычного интегрального исчисления. г) duabus conditionibus praescribendis hujusmodi quaestioncs evadere plusquam «determinatas.
ГЛАВА II О НАХОЖДЕНИИ ФУНКЦИЙ ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ ПО ЗАДАННОМУ ЗНАЧЕНИЮ КАКОЙ-ЛИБО ПРОИЗВОДНОЙ ЗАДАЧА 74 445. Задается какая-либо производная первого порядка. Найти ту функцию трех переменных, из которой эта производная получается. РЕШЕНИЕ Пусть V— искомая функция трех переменных х, у, z и пусть 5—та заданная функция тех же переменных, которая должна быть равна производной Итак, поскольку — S, то, считая переменным только количество х, а остальные два у и z — постоян- ными, будем иметь dv = Sdx и, следовательно, v = S dx + const, где надо иметь в виду, что при интегрировании выражения A dx оба количества у и z должны считаться постоянными и что вместо const нужно написать произвольную функцию у и z, так что искомая функ- ция получается в виде v = Sdx + T(y, z). Здесь, разумеется, Т(у, z) обозначает какое угодно количество, любым образом составленное с помощью количеств у и z вместе с постоянными. Подобным образом, если положить т0 будет v = S dy + Т (х, z), а уравнение = 5 Дает после интегрирования v = \ Sdz+T (х, у).
Гл. II. О НАХОЖДЕНИИ ФУНКЦИИ ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ 271 СЛЕДСТВИЕ 1 446. Отсюда уже достаточно ясно, что интегрирование таких функ- ций вводит произвольную функцию двух переменных количеств, и что именно в этом состоит характерное отличие этих интегрирований. СЛЕДСТВИЕ 2 447. Таким образом, мы решили задачу определения такой функ- ции v трех переменных х, у, 2, чтобы при dv = р dx + q dy + г dz было или р — S, или q = Д’, или r = S, где S — какая-либо заданная функция тех же переменных, или двух, или одной из них. СЛЕДСТВИЕ 3 448. Если, следовательно, требуется, чтобы было т0 есть р = 0, тогда искомая функция будет у— Г (у, z); а если должно быть = О, то будет V — Г (я, 2); а если должно быть т0 необходимо, чтобы было и = Г(ж, у). ПОЯСНЕНИЕ 1 449. Точно так же, как в предыдущей части книги произвольные функции представлялись, как ординаты произвольных кривых, регу- лярных или иррегулярных, так и в этой части произвольные функции двух переменных представляются при помощи произвольно описанных поверхностей. Именно над плоскостью, в которой обычным способом наносятся координаты х и у, представим себе расположенной некоторую произвольную поверхность. Третья координата означает расстояние произвольной точки поверхности от этой плоскости, — она и будет представлять произвольную функцию двух переменных х и у. Таким образом, удобнее всего выясняется идея такого рода функций, по- скольку отсюда видна природа таких функций, как регулярных, так и иррегулярных. ПОЯСНЕНИЕ 2 450. Здесь целесообразно еще заметить, что есть бесконечно много различных способов записи такого рода функций двух переменных. В самом деле, если в указанной плоскости обе координаты х и у заме- нить другими двумя координатами t и и, так что Z = и и = ц- 8у, то, очевидно, функция двух переменных t и и, или Г (£, и), совпадает с функцией х и у, или Г (ж, у); дело в том, что если вместо t и и под- ставить их значения в зависимости от х и у, то получается функция, содержащая только переменные х и у. В гораздо более общем виде, если t равняется какой-либо заданной функции х я у, а и - другой такой функции, то Г (7, и) после подстановки превращается в функцию х и у, которую запишем в виде Д (ж, у); при этом нет необходимости, чтобы одно и то же обозначение функции посредством Г указывало на то, что будто само строение функции одно и то же, поскольку здесь
212 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ имеем дело с произвольными функциями. Поэтому, если в дальнейшем будут встречаться функции вида Г (ах + by; fx2jrgy2) или Г ^]/z2-р у2; и т. Д-, то вместо этого всегда можно писать просто Г(х, у). ПОЯСНЕНИЕ 3 451. Изучение решения, которое мы дали, приводит нас к следу- ющим соображениям. Положим сперва dv = р dx + q dy + г dz, тогда, если требуется, чтобы было р = = 0, будет dv — qdy г dz. Отсюда ясно, что v есть такое количество, дифференциал которого имеет форму qdy-\~rdz; это возможно, только если v является функ- цией только двух переменных у и z, так что третье переменное х из него полностью исключается; поскольку относительно количеств q и г не предписано никакого условия, то мы можем утверждать, что вместо количества v можно принять любую функцию двух переменных у и z или что v — Г (у, z); и такое же решение дает нам рассмотрение уравнения Если же в более общем виде требуется, чтобы было = p = St где 5 — количество, любым образом составленное из переменных х, у, z, то будем иметь dv — 5 dx +* q dy + r dz, и это уравнение решается следующим образом. Ищется сперва инте- грал выражения Sdx, где только количество х рассматривается как переменное, и пусть он равен V. Дифференцируя его по всем трем переменным, получаем dV = 5 dx + Q dy-^Rdz, откуда поскольку Sdx = dV-Qdy-Rdz, имеем dv = dV + {Q ~ Q) dy + (r —7?) dz или d (v — V) = (q — Q) dy + (r — R) dz, а отсюда, как и выше, вытекает, что количество v — V является функ- цией только двух переменных у и z. Поэтому и в силу того, что V = ^Sdx, получаем, как выше, v = 5 dx 4- Г {у, z). Способ рассуждения, к которому мы здесь пришли, следует запомнить, поскольку он и в первой части мог бы дать большую пользу. В самом
ГЛ. II. О НАХОЖДЕНИИ ФУНКЦИЙ ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ 273 деле, зададим уравнение к аУ J к dx 7 Тогда, поскольку И \dy J \dxdyj ' у У dy2 у ’ имеем ' ad Ц ) + d = ( S-') dX + a"d^ + ( ^Ty) (a dy + dX^ или Интеграл второй части уравнения, очевидно, равен F(x-]-ay), откуда СйО= -а(40+аГ'(ж+ау)- Таким образом, одно интегрирование выполнено. Поскольку dz = dx(Jf) + dy(Jf)’ будем иметь dz = ~~а Зу} а dy^f ^х + аУ}' Пусть (40=^ и х~ау=<- Т огда dz = pdt-\-a dyVr (t + 2ay) при двух [независимых] переменных t и у. откуда z = 4r (z + 2a3/)+ dt [р — 4 Г'(£+ 2ay)J =Г(ж -f-ay)-UA (% — ау), потому что A(Z) = A(z — ау) и Г (£ + 2ау) = Г (х + ау). ЗАДАЧА 75 452. Найти еид функции трех переменных х, г/, г, одна произ- водная второго порядка которой равняется заданной произвольной функции S- РЕШЕНИЕ Обозначим через v искомую функцию, а поскольку она имеет Р d2v > о шесть производных второго порядка, положим сперва J — о; тогда 18 л. Эйлер, т. III
274 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ однократное интегрирование дает (£)=5 sdx+r^’ а вторичное интегрирование — v — dx 5 dx + яГ (у, z) + Д (у, z), где в выражении dx S dx при двойном интегрировании только коли- чество х рассматривается как переменное — каким образом, мы уже объяснили выше. Совершенно таким же образом выполняется интегри- рование уравнений Что касается остальных производных второго порядка, достаточно / d2v А с решить уравнение J = о; интегрируя сперва по одному только переменному х, получаем (£)= 2)- Затем второе интегрирование только по переменному у дает v = dy 5 dx + dyf (у, z) + А (я, 2), где я прежде всего замечу, что первый член правой части, поскольку в нем порядок переменных х и у не играет роли, можно выразить еще так Sdxdy, Далее, поскольку из любой функции/(у, z) переменных у и z после умножения на dy и интегрировании при постоянном z, очевидно, снова возникает функция у и z, и поскольку она никоим образом [этим] не определяется, то она должна быть неопределенной и, следовательно, произвольной функцией; таким образом, мы можем написать v = S dx dy + Г (у, z) + Д (х, z). СЛЕДСТВИЕ 1 453. Замечу здесь, что интеграл ^dyf(y,z) уже сразу содержит член &(х, z); ибо, поскольку здесь только количество у рассматривается как переменное, то вместо постоянного количества, которое надо при- соединить после интегрирования, можно писать произвольную функцию переменных х и z. СЛЕДСТВИЕ 2 454. Если заданная функция 5 исчезает, то получаются следующие ин тегрир ования: если то п = хГ {у, z) + A(y, z);
Гл. II. О НАХОЖДЕНИИ ФУНКЦИЙ ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ 275 (5О = 0, и = ?/Г(я, z) + A(z, z); (4?О = 0’ У = хГ(я:, у)+Д(ж, у); С^)==0’ ” = ГМ + 4(У- z); (га) = 0- * = Г(м) + Д(М; (Й) = 0’ »=Ц*,У) + ^ СЛЕДСТВИЕ 3 455. Поскольку здесь требуется двукратное интегрирование, то появляются две произвольные функции, обе зависящие от двух перемен- ных; это является бесспорным признаком того1), что найденные здесь интегралы — полные. ПОЯСНЕНИЕ 456. Можно еще другим способом получить те же интегралы, а именно на основании положения, изложенного выше [§ 451], если имеем dv = S dx + q dy + r dz, то v = S dx + f(y, z). Т/Г ( A O Итак, согласно этому положению, если f J = то оудет d ( — S dx dy ( + dz f . \ dx J \dxdy J \dxdz J Если эту формулу сопоставить с предыдущей, вместо v имеем , а вместо q и г —выражения С Л') “ с л у \dx dy J \dx dz J поэтому интегралом будет Поскольку, далее, dv== (•£)dx+(Ю dy+(i) dz> то будет dv = dx 5 dx + dxj (y, z) + dy + dz ? *) hoc certissimum est criterium. 18*-
276 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ откуда, очевидно, следует, что v = dx 5 dx 4- хТ (у, z) + Д (у, z). Таким же образом выполняется действие для уравнения а именно, имеем Г-Й-W \dx dy J что дает интеграл sdx+f^2)- Второе интегрирование выполняется над выражением dv = dy S dx + dyf(y, z) + dx (-^0 + dz откуда, поскольку dyf(y, z) = V(y, z), получается, как выше, v = 5 dx dy + Г (у, z) + Д (x, z). ЗАДАЧА 76 457. Найти вид функции трех переменных х, у и z, одна какая- либо производная третьего порядка которой равна заданному коли- честву 5, составленному каким угодно образом из тех же переменных и из постоянных. РЕШЕНИЕ Пусть искомая . функция равна V, и рассмотрим теперь не все ее производные третьего порядка, а те, в построении которых есть различия* тл" < d*V > с Итак, пусть сперва ( ) = первое интегрирование немедленно дает второе интегрирование дает и, наконец, получаем v = тт < d3v \ с Пусть, во-вторых, тогда первые два интегрирования дают, как и выше
Гл. II. О НАХОЖДЕНИИ ФУНКЦИИ ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ 277 Так как теперь, как мы видели, можно вместо dyV (у, z) писать также Г (у, z), то после третьего интегрирования находим v = 5 dx^dy + яГ (у, z) + А (у, z) + 2 (х, z). В этих двух случаях, если переставлять между собою [независимые] переменные, содержатся все производные третьего порядка, за исклю- ( d2v \ чением только производной ( -у- , , которую поэтому нужно рас- да? ay az j смотреть отдельно. тт ( Л 0 Итак, пусть J = А, тогда первое интегрирование только по переменному х дает Теперь интегрируем второй раз, рассматривая только у как переменное, что дает = 5 S Sdxdy + r(y, z) + A(z, z). Наконец, третье интегрирование по z дает v = S dxdy dz + Г (у, z) -|- А (ж, z) + 2 (ж, у), так что задача полностью решена. СЛЕДСТВИЕ 1 458. Поскольку здесь требовалось трехкратное интегрирование, то найденные интегралы содержат три произвольные функции, причем каждая функция зависит от двух переменных, как того и требует природа полных интегралов. СЛЕДСТВИЕ 2 459. Если заданное количество 5 исчезает, то получаются следу- ющие интегралы: если \ dxz J то v = ж2Г (у, z) + (у, z) + S (у, z); если \ dx*dy J ’ то v = xT(y, z) + &(y, z) + S (x, z);
278 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ если <_^Л = о, \dx dy dz J ТО v = г (у, z) 4- д (я, z) 4- S (ж, у). ПОЯСНЕНИЕ 460. Те же интегралы можно получить также другим методом, выше изложенным, но было бы излишним приводить здесь соответству- ющие действия. Точно так же нет нужды проводить соответствующие исследования для производных высших порядков, поскольку закон появления произвольных функций, составляющих отдельные слагаемые интеграла, достаточно очевиден и сам по себе, и на основании выше- изложенного. Поэтому по предмету данной главы, т. е. по определению функции на основании какой-нибудь заданной ее производной, сказано все. Однако, прежде чем пойти дальше, прибавлю к этому два случая достаточно широкого охвата, решение которых легко сводится к пре- дыдущим, уже изложенным разделам интегрального исчисления; поэтому эти задачи мы здесь будем считать решенными, даже если связанные с ними трудности в настоящее время еще не преодолены. ЗАДАЧА 77 461. Пусть в предложенное уравнение, из которого требуется найти функцию трех переменных х, у и z, входят только производные по одному лишь переменному х, а именно s' dv \ s' d2v \ z" d3v \ и t- д. Найти искомую функцию. РЕШЕНИЕ Поскольку в предложенном уравнении не содержатся другие про- изводные, кроме указанных, то будем рассматривать в нем количества у и z как постоянные, и точно так же надо с ними обращаться при отдельных интегрированиях. Следовательно, нужно считать, что пред- ложенное уравнение содержит только переменные х и V, и поэтому, отбросив скобки при производных, получим дифференциальное уравнение, относящееся к [предмету] первой книги, и в этом уравнении, если оно более высокого порядка, надо считать элемент dx постоянным. Поэтому если это уравнение может быть проинтегрировано изложенными там способами, надо вместо постоянных, вводимых при каждом интегриро- вании, подставлять произвольные функции двух переменных у и z, например Г (У, z)> д (У, z) и т. д., и таким образом получается полное решение предложенной задачи. СЛЕДСТВИЕ 1 462. Итак, кроме многочисленных случаев интегрируемости, изло- женных в первой книге, допускают решение также следующие диффе-
Гл. II. о нахождении функций трех переменных 279 ренциальные уравнения, какого бы высокого порядка они ни были: 5.Л!>+в(^)+с(^) + р(^) + и т. д. И 5 = + + + (-§-)+ и т. д. СЛЕДСТВИЕ 2 463. Действительно, отбросив скобки [при производных], получаем такие дифференциальные уравнения, интегрирование которых показано в последних главах первой книги1). Нужно только вместо постоянных интегрирования писать такие функции, как Г (г/, z); д (у, z); Е(у, z) и т. д., чтобы получить, таким образом, полные интегралы. ПОЯСНЕНИЕ 464. Сюда еще могут быть отнесены те дифференциальные уравне- ния, в которых встречаются производные, содержащие два элемента dx и dy, таким образом, что dy имеет везде одно и то же число изме- рений, например < dv \ / d2v \ / d3v \ / d*v \ dy ) ’ \cfar dy ) ’ \ dx2dy ) ’ \ dx3dy ) и т- Д-т или / d2v / d2v \ Z d*v \ / d$v \ \ J ’ \dx dy- ) 1 \dx2dyz) ’ \dx3dy2) И Т* г1,‘ Само же количество v нигде не встречается. В самом деле, в первом случае положим тогда в0 втором же случае= и. Тогда уравнение сводится к такой задаче, когда встречаются только производные вида / du \ Д d2u \ Z d3u \ \_~dx ) ' \ rfAy’ QdA) и т- д- и, кроме того, быть может, еще сама функция и. Поэтому, если урав- нение проинтегрировано одним из вышеизложенных способов и функ- цию и таким образом можно определить, нужно вместо и снова под- / dv \ Z d2v \ d dv \ о Z d2v d ~ стаиить ) 11ЛИ ) - так что = 5 или IdF после чего с помощью способов данной главы находится и сама функция v. Тем же способом можно решить уравнение, содержащее только такие производные [ d^ + ^vX /tZ^ + v + 1e\ / c^ + v + 2u \ ------- » < ---------- и т. д.. \ dy^dz'* / dy^dz*) \ dx2dy^dz'i / J) Точнее форма этого интеграла описана в § 508. [Ф. Э.J
280 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ где встречаются все три элемента dx, dy, dz; в самом деле, если [ d^v \ положить —-—— 1 = и, то в уравнение войдут только производные \ dy^dz / и еще сама функция и; таким образом, вопрос сводится к предыдущей о / \ о задаче, решив которую получим u = S = ---- , где о — уже извест- \ dyV'dz'* ) пая функция, и нахождение самой функции v тогда уже не пред- ставляет никаких затруднений. Но, кроме того, приведем еще другой случай, который может быть сведен к предыдущей части второй книги, как будет показано в следующей задаче. ЗАДАЧА 78 465. Пусть в заданном уравнении, из которого требуется опреде- лить функцию v трех переменных х, у, z, встречаются только произ- водные по переменным х и у, а третий элемент dz полностью исклю- чен; найти функцию v. РЕШЕНИЕ Поскольку в подлежащее решению уравнение, которым выражается заданное условие, количество z не входит в качестве переменного, то при всех интегрированиях можно рассматривать количество z как по- стоянное. Следовательно, решение этого уравнения относится к преды- дущей части, поскольку требуется найти из заданного соотношения между производными функцию только двух переменных х и у; если это удается и интеграл будет найден, тогда туда войдет столько функ- ций одного переменного, определенным образом образованных из х и у, сколько потребуется интегрирований. Пусть Г (Z) — такая функция, где t предполагается заданным через х и у; чтобы теперь это решение приспособить к нашей задаче, в которой к числу переменных прибав- ляется количество z, нужно вместо каждой произвольной функции Г (Z) писать Г (Z, z), т, е. функцию двух переменных, и тогда получается полный интеграл. СЛЕДСТВИЕ 1 466. Итак, если предложено уравнение то, так как мы в предыдущей части нашли v = Г (ж + ау) + А (х — ау), в данном случае, когда и должна быть функцией трех переменных х, у и z, интеграл будет такой v " Г (ж + ay, z) + А (я - ay, z).
Гл. II. О НАХОЖДЕНИИ ФУНКЦИЙ ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ 281 СЛЕДСТВИЕ 2 467. Здесь нужно помнить, что выражение Г(я:4-аг/, z) означает произвольную функцию двух переменных, одно из которых есть я + ау, а второе есть z; таким образом, эту функцию можно пред- ставить в виде аппликаты, отнесенной к некоторой поверхности. ПОЯСНЕНИЕ 468. Можно свести к предыдущей части интегрального исчисления пе только те уравнения, которые описаны в предыдущей задаче, но и бесчисленные другие, которые могут быть сведены к этой форме ка- кой-нибудь подстановкой. Например, если в уравнении встречаются только такие производные, которые содержат элемент dz, лишь в первом измерении, то есть Z Z d^u > Z d2u \ Z dzv \ Z d3v > Z dzv > \dz) * \_dx dz J ’ v dy dz J ' \dx2 dz } 9 \dx dy dz J 9 \dy2 dz J И T' ’ то при помощи подстановки ( ~ j = и уравнение переходит в другое, из которого уже надо определить функцию и, причем вопрос сводится к случаю, указанному в предыдущей задаче, Если можно найти вид функции и, так что и = 5, то остается решить уравнение = 5, откуда, как мы видели выше, получается v= S dz Г (ж, у). Точно так же нужно поступать, если заданное уравнение может быть сведено к случаю предыдущей задачи посредством подстановки или и т-д- Точно так же надо, очевидно, поступить, если уравнение при помощи какого-либо преобразования сводится к случаю предыдущей задачи; выше я показал большое число таких преобразований, где или вместо функции v вводится другая функция и посредством подстановки v = Su, или переменные ж, у, z заменяются другими переменными р, q, г, ко- торые с ними определенным образом связаны; более подробно я изложил этот способ выше, для случая двух переменных. Очевидно, что подобное преобразование легко приспособить и к случаю трех переменных. В дальнейшем будут встречаться такого рода преобразования. Итак, перейду к другим случаям, когда встречаются всякого рода производ- ные, но здесь я смогу привести только самые элементарные результаты. а
ГЛАВА III О РЕШЕНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА ЗАДАЧА 79 469. Если для функции v трех переменных х, у, z, полагая dv — pdx qdy dz, имеем ^ + р^ + уг = О, найти вид функции v. РЕШЕНИЕ Поскольку '{dv = *(p dx + dy — (ар + Р7) dz, имеем у dv = р (y dx — a dz) + q (Y dy — p dz). Поэтому, полагая Y& — az — t и Y2/"“?2 = u> получим ydv = pdt~}-qdu, откуда ясно, что количество v равняется произвольной функции двух переменных t и и, так что v = Г (t, и) или после подстановки v = Г (y#—• &z, ^у — Pz), что таким образом, является решением проблемы. Итак, если для про- изводных задается условие
ГлЛИ. о РЕШЕНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 283 то интеграл этого уравнения есть u = rf 4--Y Ч а 7 р Т 7 СЛЕДСТВИЕ 1 470. Очевидно, что этот интеграл может быть записан также в виде поскольку вообще, как мы выше указали, r(z, y) = k(t, и), если t и и выражаются каким-либо образом через х и у. СЛЕДСТВИЕ 2 471. Можно также утверждать, что если образовать выражения х у у Z Z X а £ ’ 3 Т ’ 7 а ’ то количество v является произвольной функцией этих трех выражений; но поскольку любое из них выражается через два остальные, то в силу этого v равняется функции только двух из этих переменных. ЗАДАЧА 80 472. Пусть при dv = р dx-\- q dy -'7- rdz требуется, чтобы выполнялось условие рх-\- qy ^-rz — nvt то есть Найти вид функции v. РЕШЕНИЕ Из предписанного условия получаем для г значение г = т^-рх—^?у Z и, подставив его, будем иметь 7 nv dz Г-, х dz\ , f 7 у dz \ dv —~ = pptx~~y+qpty- z ) или 7 no dz 1 x x 7 V dv-----— — pZd qzd .
284 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ Здесь левая часть становится интегрируемой путем умножения на 1 —, так что получим zn zn zn z ' zn z Поскольку, однако, количества p и q не определены и в общем случае из уравнения dV = PdX+QdY следует Г = Г(Х, У), то для нашего случая заключаем, что Z =г( — zn \ z ’ z у ИЛИ п = 2"Г(-|- , . Итак, если произвольную функцию двух количеств ~ ~ умножить на 2П, или, что то же самое, на хп или уп, то получается подходящее значение функции v, удовлетворяющее предписанному условию. СЛЕДСТВИЕ 1 473. Очевидно, выражение Г у , представляет собою такую функцию, в которой все три переменные я, г/, z везде дают число изме- рений нуль и, наоборот, все функции такого рода даются таким вы- ражением. СЛЕДСТВИЕ 2 474. Умножив затем эту функцию на zn, мы образуем однородную функцию трех переменных z, у, z, число измерений которой есть п\ поэтому решение нашей проблемы может быть выражено так, что искомое количество v является однородной функцией трех переменных z, у и z с числом измерений, равным п. СЛЕДСТВИЕ 3 475. Итак, если заданное условие есть px + qy + rz = Q, то есть то количество v будет однородной функцией нулевого измерения трех переменных z, у и z.
Гл. ПТ. О РЕШЕНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 285 ПОЯСНЕНИЕ 476. Таким же образом получается решение, если предписанное условие требует, чтобы было арх + $qy 4- угг = пи или a4£)+^(S)+YZC£)=ny- В самом деле, тогда в силу того, что nv — а.рх— $qy “ 72 ’ будем иметь 7 nv dz f 7 axdz\ , f 7 ®>y dz\ dv-^r = pidx--^r)+^dy--T-) - а это уравнение может быть представлено в следующей форме: 7 dv п dz рх ( 7 dx a dz\ .qy ( 7 dy {3 dz \ v z v 'ч. x z J ' v \ у z J Отсюда заключаем, что интеграл левой части ^lv — nlz равняется про- извольной функции двух количеств у/я — alz и \1у — а после перехода от логарифмов к числам получим — = Г (— *п \z«’ ?/* Положим а = у, Р = — и у = ~-, тогда предписанное условие будет рх , qy , rz — = /W, A. 1 [л 1 v и решение принимает такую форму: V = z^n Д (— —. \zv z'J Если, далее, принять хх ~ X, у^ = Y и = Z, то будет “=^(14)- Таким образом, искомое количество и есть однородная функция, в ко- торой все три переменные X, Y и Z везде имеют одно и то же число измерений п. ЗАДАЧА 81 477. Полагая dv = pdx ~\-qdy -\-r dz,
286 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ згдаем условие рх + qy + rz = пи + S, еде S — произвольная заданная функция переменных х, г/, г. Исследовать природу искомой функции v. РЕШЕНИЕ Поскольку заданное условие дает _______________________dv 4-6* — рх — qy z 7 то будет или d^=Sdz _J^d± . _4_d У_ U Zn z^+1 z^1 z z^1 z * Пусть x = lz и y = uz, так что теперь 5 —функция трех переменных t хх S dz * и, г, и пусть дифференциальное выражение интегрируется при усло- вии, что количества I и и считаются постоянными; соответствующий интеграл обозначим через V. Тогда v=Vzn + znP^ , , где последний член правой части обозначает однородную функцию трех переменных х, у, z числа измерений п. СЛЕДСТВИЕ 1 478. Если 5—постоянное количество С, тогда у „ С С dz_ С J Zn+1 7ZZn Тогда первый член интеграла равен Wl = п Очевидно, то же значение получается при перестановке количеств х, г/, z между собой. СЛЕДСТВИЕ 2 479. Если 5 — однородная функция х, г/, z числа измерений т, то, полагая x~tz и y — uz, получим 5 — Mznt1 где М содержит только ко- личества I и и и, следовательно, может рассматриваться как постоян- ное. Тогда Т7 С 1Т7П-П-1 7 Mz™~n S Г = \ Mz п Ldz^--------= ----, j т— п (т— n)zn так что первый член интеграла есть 6* т — п
Гл. ш. О РЕШЕНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 287 СЛЕДСТВИЕ 3 480. Если в этом случае будет т = п, то V = Mlz + С = Mlaz и тогда первый член интеграла равен Mznlaz = Slaz. С таким же правом можно писать также Slby или Slax\ это достаточно очевидно, поскольку разность двух таких значений есть однородная функция п измерений, следовательно, она содержится во втором члене интеграла. ПОЯСНЕНИЕ 481. Основой для этого решения является следующая весьма общая лемма. Если dV = SdZ + PdX+QdY, где S обозначает заданную функцию, тогда как Р и Q — неопределенные функции, то V = ^SdZ+J?(X, Y), причем здесь недостаточно указать, что при интегрировании выраже- ния SdZ только количество Z является переменным, но нужно сверх того отметить, что А и У должны рассматриваться как постоянные. Если, следовательно, S задана как функция трех других переменных х, у, z, из которых определенным образом получаются количества X, Y, Z, о которых здесь идет речь, то вместо х, у, z нужно сперва ввести X, Y и Z, так что 5 окажется функцией A, Y и Z, и тогда берем интеграл 5 dZ, считая А и У постоянными и только Z пере- менным. Таким образом, в случае пашей задачи в интеграле ко- личества — и нужно рассматривать как постоянные, и только z — как переменное, следовательно, в функции 5 надо положить x = tz и y = uz, так что 5 будет функцией количеств z, £ = “ и н = “ , причем последние два нужно рассматривать как постоянные. Стало быть, тот, кто пожелал бы, рассматривая z как переменное, считать х и у по- стоянными, допустил бы серьезную ошибку, так как и х, и у следует считать менных содержащими переменное z. А то, что при перестановке пере- первый член интеграла должен остаться прежним, так что чъ С S dz С iV dx 2 \ 2n+i \ хп+1 г того, что если положить x = tz и dx = tdz, то при постоянном t ясно из получим S dx__ п п С St dz _____ п С S dz xn+1 ~ Z J tn+1 zn+1 “ Z \
288 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ в самом деле, при всех этих интегрированиях следует считать постоян- X V X X ними отношения переменных ~ поэтому количество t — — совершенно правильно рассматривается как постоянное при выполнении приведений. ЗАДАЧА 82 482. Положим dv = р dx + q dy + г dz и предпишем условие pL + qM^rN = 0, где L, М, N — заданные функции количеств х, у и z соответственно 9 а именно, L —функция только от х, М — только от у и N — только от z\ определить природу искомой функции v. РЕШЕНИЕ Поскольку __ pL~qM Л ’ то основное уравнение будет dv = р (dx- ) + q (dy - ) или Положим так что dv = pLdt-^ qM du\ тогда, очевидно, количество v должно равняться произвольной функции двух переменных t и и, которые можно описать и так, что при задан- С dx (* dy С dz ных трех интегралах \ , \ и \ в качестве t и и нужно брать разности между ними. ПОЯСНЕНИЕ 1 483. Решение удалось бы и тогда, когда — функция только х и z, а -^- — функция только у и z; тогда нужно было бы искать такие подходящие для интегрирования множители Р и Q, чтобы было р (dx~^r')==dt и Q(dv~^r)=du-
Гл. III. О РЕШЕНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 289 и вследствие — Р dt _L ? du dZj--T+—Q- будет v = Г (/, и). При перестановке же переменных х, у и z получаются другие случаи, допускающие решение. Однако если количества L, М, N будут состав- лены иначе, то не видно верного пути для получения решения, которое в этом случае заведомо представляется довольно затруднительным. В самом деле, в довольно простом случае (у + 2) р + (х + z) q + (х + у) г = О я только сложным путем пришел к такому решению: пусть I = {х-\-уz}(x — z)2 и u = (x+y+z)(y — z)2; тогда v = Г (/, и); и так как количества t и и, произвольная функция которых дает реше- ние v, в этом случае довольно сложные, то тем более трудно надеяться получить решение в общем случае. ПОЯСНЕНИЕ 2 484. Можно все же распространить решение на ряд других случаев. Если заданные функции L, М, N таковы, что можно найти другие функции Е, F, G, Н такие, чтобы было E^dx-^-^ + F^dy-^-^dt И G^dx — ^^ + H(^dy--^^-'^=du, то, полагая р - РЕ 4- QG и q = PF + QH. имеем dv = Р dt + Q du, где P и (2 — неопределенные функции, введенные вместо р и q. Тогда количество v будет равно произвольной функции двух переменных / и и, то есть v = Г (/, и). Итак, все дело сводится к тому, чтобы для заданных функций L, М, N найти функции Е, F, G, Я, и это, казалось бы, всегда можно сделать; однако этот вопрос чаще всего оказывается гораздо более трудным, чем предложенная задача. Достаточно, однако, найти две такие функции E1&F и отсюда определить количество /, потому что после этого путем перестановки переменных х, г/, z заодно с соответствующими функциями L, М, N сразу находим подходящее значение для и. Так, 19 Л. Эйлер, т, III
290 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ в вышеприведенном примере, где L = М = Аг = гг4-у, после того, как мы нашли t = (х + у + z) (х — z)2, перестановка дает сразу w = (^ + y+z)(y-z)2 или также tt = (x + y + z)(x~y)2, причем безразлично, каким из этих значений пользоваться. ЗАДАЧА 83 485. Полагая dv = р dx 4- qdy + г dz, предписываем условие pqr=l. Исследовать природу функции v. РЕШЕНИЕ 1 dz Так как г = — , то dv = р dx + q dy + —, откуда получаем, что v^px + qy + ^-^xdp+ydq-^--^). Этим преобразованием мы достигли того, что в интегральном выраже- нии встречаются только два дифференциала dp и dq. После введения соответствующих переменных вместо основных заключаем, что выше- стоящее интегральное выражение должно быть произвольной функцией переменных р и q. Пусть S — такая функция, тогда V = px + qy+-^-S, и теперь остается только сделать так, чтобы, сохраняя в расчетах р и q, исключить два других переменных, а мы достигнем этого, потребовав, чтобы было dS=(л" А)dp+'у ~ w)dq> откуда z f dS z f dS \ p2q \ dp J pq2 \ dq J Итак, решение получается таким образом: вводим три переменные р, q и z, а также произвольную функцию S двух переменных р и q и полагаем z f dS \ z . / dS \ Х ~~ P^Q \ dp ) И У ~~ pq2 + Q dq / ’
Гл. III. О РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 291 а тогда искомая функция v определяется так: З2 , / dS \ , < dS \ с Если же мы хотим выразить v через три переменные х, у, z, то iirt двух уравнений 2 f dS \ 2 , / dS \ x~l^q~ + \~dp) и T ) нужно найти значения р и q и после подстановки этих значений: в функцию 5 будет v = px + qy + --S, и вопрос будет решен. СЛЕДСТВИЕ 1 486. Если вместо функции 5 взять постоянное количество С, то,, поскольку p*q = Ч и pq- = , будет pq = 1Z> откуда = 1/-^- Jis U f Js U Г Jv 3/ X и qу ~г и, наконец, v = 3 у^ xyz — С , что дает частное решение задачи. СЛЕДСТВИЕ 2 487, Так как в предписанном условии - ЧХЧХяЧ1 встречаются только дифференциалы трех переменных х, у и г, к этим переменным можно прибавить постоянные количества, откуда полу- чается несколько более общее решение v = 3 у\х + а) (у -н 6) (г + с) — СТ ПОЯСНЕНИЕ 1 488. Можно привести еще другой случай, который легко решается? положим S^--2c'\/pq, откуда получаем, что р-ХРУЧ - ?--йуЧ=Ч, у х ~ у ху — с ] у г у ху — с и поэтому Г у ху — с 1Э*
292 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ Следовательно, v = 3 frz (]/ху — с)2, а путем перестановки переменных получаем подобным же образом, что v = 3 fry — Ь}2 и у = 3 frxtyyz — а)2, где затем вместо х, у, z можно писать х + /, y-\-g, z-\-h. Впрочем, ясно, что можно также получить общее решение и тогда, когда г должно быть равно какой-то функции р и д, или же когда между р, q, г задается какое-либо уравнение. ПОЯСНЕНИЕ 2 489. В самом деле, если, полагая dv = pdx + qdy}-rdz, задать f dv \ f dv > / dv \ между производными p = ^ — j, q = ^ — jf r = j произвольное уравнение, то, продифференцировав последнее, получаем Pdp^- Q dq-}-Rdr = 0. Теперь, положив 5 = (xdp + y dq + zdr), так что v = рх + qy rz — 5, берем произвольную функцию трех количеств р, q, г, которую обозначим через V, и дифференцируем ее; имеем dV — Ldp-\-Mdq-\-N dr, а в то же время 0 = Ри dp Qu dq -f- Ru dr и, следовательно, dV = (L + Pu) dp + (M + Qu) dq + (Ar + Ru) dr. Эта формула благодаря введенному новому переменному и широко при- менима. Примем теперь 5 = 7 и потребуем, чтобы было x = L-}-Pu; y-M-YQu] z=N ^-Ru. Таким образом, мы теперь наряду с переменными р, q, г, из которых одно выражается через остальные две, имеем еще новое переменное и и по ним мы определяем три переменные х, у, z таким образом, чтобы через них обратно определялись р, q, г и и; тогда будет v = рх + qy + rz — V. Итак, берем за V какую угодно функцию трех количеств р, q, г, для которых предписывается такое условие, чтобы было Р dp + Q dq-\-Rdr — 0, и тогда, положив -*•+(£). -*“+(£)•
Гл. III. О РЕШЕНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 293 получим Это решение следует предпочесть предыдущему, поскольку количества /?, 7, г входят в него на равных правах, ЗАДАЧА 84 490. Полагая dv = р dx + q dy + г dz, предписываем условие Определить природу функции v. РЕШЕНИЕ -л- Pv Qv Rv Положим р =----, q = , г =---; в силу предписанного условия х У 3 должно быть PQR=\\ но тогда dv Р dx Qdy Rdz V х у ' z Теперь примем, что lv=V, lx = X, ly = Y, lz = Z, и получим урав- нение dV = PdX + QdY + RdZ, где должно быть PQR — 1. Таким образом, вопрос не отличается от предыдущей задачи, и решение легко переносится на этот случай. ПОЯСНЕНИЕ 491. Другие случаи, которые можно было бы привести в этой главе я не буду излагать, поскольку пока не предвидится от этого пользы, а главным образом потому, что я задался целью дать только набросок первоначальных положений этой мало исследованной части интеграль- ного исчисления. Что же касается случая, когда в предписанное условие входят производные высших порядков, то едва ли можно что-либо предложить, кроме нескольких замечаний об однородных уравнениях, чем я и закончу этот раздел интегрального исчисления, а вместе с тем завершу и весь труд. Л
ГЛАВА IV О РЕШЕНИИ ОДНОРОДНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ЗАДАЧА 85 492. Если v равняется произвольной функции двух количеств t и и, которые определены через три переменные х, у и z так, что + и гг—+ то найти ее производные всех порядков. РЕШЕНИЕ Поскольку v есть функция количеств t~ax-\-$z и гг = уг/-|-о2, отметим ее производные по этим двум переменным, а именно: f dv \ Z dv \ f d2v \ / d2v \ f d2v \ \~dt)' \du ) ’ < dt du ) ’ \.~du? ) И T. Д., и отсюда получаем немедленно т. е. производные первого порядка. Для производных второго порядка получаем < eta2 ) < dt* > ’ < dy* J I < du* ) ’
ГЛ. IV. О РЕШЕНИИ ОДНОРОДНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 295 Подобным же образом доходим до производных третьего порядка: откуда легко видеть, как эти формулы надлежит распространить на производные более высокого порядка. ПОЯСНЕНИЕ 1 493. Казалось бы, что задачу нужно ставить более общим обра- зом, выражая количества t и и через три переменные х, у, z так, что t = ъх + $У + Yz и и = ъх + ^У + Zz, но поскольку наша гипотеза сделана только с той целью, чтобы v было функцией t и и, а тогда, очевидно, v можно рассматривать также как функцию двух количеств st— и at— аи, из которых первое свободно от у, а второе от х. Поэтому нашу гипотезу следует считать вполне общей; однако исключение здесь составляет тот случай, когда И и = Х — Z, потому что тогда значение у не входит. Но в этом случае количество V, рассматриваемое как функция t-{-u и t — u, будет функцией х и 2, и этот случай охватывается и нашей гипотезой, если считать р = Оиу = О. ПОЯСНЕНИЕ 2 494. Эту проблему я предпослал, потому что я намерен здесь зани- маться только такими дифференциальными уравнениями, для которых решение v равно произвольной функции двух новых переменных t и и, которые от основных переменных х, у, z зависят так, как я выше предположил: t = o.x-\-$z И и — Y?/ + OZ. Что уравнения, которым можно таким образом удовлетворить, должны быть однородными, легко заметить; таким образом, в уравнение, под- лежащее решению, входят только производные одного и того же порядка, умноженные на постоянные и сложенные друг с другом, а обозначением таких уравнений однородными я пользовался еще в предыдущей части. Итак, если предложено такое однородное дифференциальное уравнение,
296 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ то вместо производных, образованных при помощи элементов dx, dy, dzT подставляем указанные ранее их выражения, образованные посредством элементов dt и du, и при этом суммы всех членов, содержащих одну и ту же производную, образованную с помощью элементов dt и du, должны равняться нулю каждая в отдельности; отсюда определяются 3 ь отношения-^- и у; вопрос здесь, конечно, не в определении самих этих коэффициентов, но их отношений. Поскольку, следовательно, под- лежат определению только два количества, то, если требуется удовле- творить нескольким уравнениям, такие однородные уравнения могут быть решены указанным способом лишь тогда, когда они сводятся только к двум из них: ниже это будет изложено яснее. ЗАДАЧА 86 495. Предлагается однородное уравнение первого порядка л(£)+в(Ю+сСЮ-°- Найти природу функции v трех переменных х, у и z, РЕШЕНИЕ Положим v = r(Z, и), где t = ах + и и = уу + gz . Тогда после подстановки, на основании предыдущей задачи, левая часть, нашего уравнения разбивается на две части, (*)(Ла+од+(£)(В7+а)-°, из которых каждая в отдельности должна равняться нулю, и следо- вательно, з А в в а ~ С И у — — С" ’ откуда t^Cx — Az и и = Су — Bz. Следовательно, полный интеграл заданного уравнения есть v = Г (Сх — Az, Cy — Bz), что можно еще записать короче так: „ Г Г X 2 у 7 \ и=Г<Л-С’ В~с)’ СЛЕДСТВИЕ 1 496. Очевидно, что, если переставить переменные, этот интеграл можно выразить еще и так: ,, v С х У У 2 Л ’ В~с)
Гл. IV. О РЕШЕНИИ ОДНОРОДНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 297 ИЛИ v = гГ-- — < Л В ’ А С ) так как X у f X Z \ /' у Z \ А~1в ~\А~~с)~\В~С' J’ СЛЕДСТВИЕ 2 497. Таким образом, если образовать, исходя из предложенного уравнения три выражения X у X Z у Z А~В ’ Л ~С ’ В~С~ ’ то любая функция этих выражений дает подходящее значение для V. А так как любое из этих выражений есть разность двух остальных,, такую функцию следует рассматривать [как функцию только двух переменных. СЛЕДСТВИЕ 3 498. Безразлично, каким из этих трех выражений для интеграла пользоваться; но если новые переменные t и и равны друг другу, надо пользоваться еще другим переменным. Если, в частности, (7 = 0, то первоначальное выражение а = Г(г, я), как функция одного z, стано- вится бесполезным, а полным интегралом будет или v = Г {Вх — Ay, z). ЗАДАЧА 87 499. Предложено однородное уравнение второго порядка Исследовать те случаи, когда его интеграл может быть выражен в виде Г (Z, и), где t = arc 4- pz и и = уу 4 gz. РЕШЕНИЕ Сделаем подстановку по формулам, указанным в задаче 85, и пред- ложенное уравнение распадается на три члена, а именно: (^)(Ла2 + <Т + 27?аЗ) С (2C?& -J- 2Z)ay + 2Еа& 2F$b'() = 0, \ МЬ U li J j (2)(£y2+C32+w) J
298 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ причем каждый в отдельности должен равняться нулю. Первый член дает + — АС а С ’ .а последний 8 _ --Р + /F* — ВС 7 С • Если эти два значения подставить в средний член, который запишем в виде ^_|_Р+^+£§=0, т 1 а 1 тогда получается уравнение EF~CD = V(E*-AC)(F*-BC). Это уравнение представляет условие, [налагаемое] на коэффициенты А, В, С, D, Е, F для того, чтобы решение указанного вида могло иметь место. Это уравнение в развернутом виде дает С27)2 - 2CDEF + ВСЕ2 + ACF2 - АВС2 = О, откуда с 2DEF — BE* — AF* D*~~AB так как коэффициент С входит как [общий] множитель. Но каждый раз, когда имеет место условие AF* + BE* 4- CD* = ABC + 2DEF, тогда алгебраическое выражение, образованное в соответствии с пред- ложенным Ах2 Аг By* + Cz2 + 2Dxy 4 2Exz + 2Fyz, разлагается на два множителя, и только в этом случае имеет место решение указанного вида. Следовательно, чтобы должным образом ука- зать эти случаи, допускающие решение, положим, что разложение на множители приведенного выше выражения таково: (ах + by + cz) (fx + gy + 6z), что имеет место, когда Л = а/, B—bg, C = cb, 2D = ag + bf, 2E = ab+cf, 2F=b2^cg, откуда тоже будем иметь AF* + BE2 + CD2 = ABC + 2DEF. Но тогда мы получаем в качестве решения 3 а В / ИЛИ — = — — , ИЛИ — —-----г а С ап И Ъ Ъ Ъ g или — —-----, или — = — V- , 7 с 7 fl
Гл. IV. О РЕШЕНИИ ОДНОРОДНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 299 причем нужно заметить, что значения дробей — и —, написанные одно а у под другим, надо брать вместе, так что или t = сх — az и и — су — bz, или t =hx — fz и u = hy — gz. Таким образом, для этих случаев, допускающих решение, полный инте- грал будет а = Г(ся — az, су — bz)4~ Д (hx — fz, hy — gz) ц-гГ--- с ’ b с ) ' < / h ’ g h ) СЛЕДСТВИЕ 1 500. Таким способом, следовательно, могут быть решены только те однородные уравнения второго порядка, которые содержатся в сле- дующей записи: + + СЬ (АЛ + (“+«) (А ) = о. а их полный интеграл есть v = vC--- +д ( \ а с 1 b су' V/ h ’ g h у СЛЕДСТВИЕ 2 501. Для того чтобы легче было выяснить, можно ли привести к этому случаю некоторое уравнение вида -1 АЧ ЧА+У А+ЧАУ X W А-« \ dx2 у \Ау2 J \ dz2 У \dx dy У \ dx dz у \dy dzу или нельзя, образуем следующее алгебраическое выражение: Ах2 -}~ Бу2 Cz2 2Dxy 4- 2Exz 4- 2Fyz\ если его можно разбить на два рациональных множителя (ах +by + cz) (fx + gy + bz), то его полный интеграл можно сразу получить, как выше. СЛЕДСТВИЕ 3 502. Только один случай, а именно тот, когда оба эти множителя равны между собой, составляет исключение, так как в этом случае обе найденные функции сливаются в одну. Но уже из вышеприведен- ных соображений следует, что если это имеет место и, значит, j~a, b = g и Ъ~с, то полный интеграл выражается так: z = xr(^-±, i а 4 а с о с У \ а с о с У
300 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ ПОЯСНЕНИЕ 1 503. Итак, в тех случаях, в которых однородное уравнение второго порядка допускает решение указанного вида, оно заключает в себе два однородных уравнения первого порядка. 6)+‘©+<Э=« так что должно быть удовлетворено каждое из них, и полные инте- гралы этих уравнений в сумме составляют полный интеграл заданного уравнения. Таким образом, открывается другой путь построения инте- гралов однородных уравнений второго порядка указанного типа. Для этой цели исходим из уравнения из которого тремя дифференцированиями образуем три новых уравнения: xjlx2 J \dxdy/ \dx dz J \dx dy J \dy2 / \dy dz J f d2v > , ( d2v Л / d2v\ n Умножим первое на /, второе на g и третье на h и соберем их в одну сумму; тогда мы получим то общее уравнение, интеграл которого мы выше нашли. Оно может рассматриваться как бы как произведение двух однородных уравнений первого порядка, и, сложив их интегралы, получим полный интеграл. ПОЯСНЕНИЕ 2 504. Таким образом, исключаются бесчисленные уравнения второго порядка, которые не допускают интегрирования таким способом, или которые не могут быть сведены к уравнениям первого порядка. Эти случаи определяются на основании того критерия, что не имеет места условие AF2 + BE2 = CD2 = ABC + 2DEF. Таким уравнением является, например, / d2v \ __ / d2v \ \dx dy ) \ dz2 ) ’ которое, следовательно, не допускает такого рода решения, и даже не видно другого пути для нахождения его полного интеграла. Но можно легко найти бесчисленные частные интегралы, к тому же содержащие произвольные функции, но всегда только функции одного переменного количества, которые в данном вопросе надо считать только частными интегралами. В самом деле, если положить У = Г (a^ + ffy + yz),
Гл. IV. О РЕШЕНИИ ОДНОРОДНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 301 то после подстановки получим <ф = у2, или, если принять у = 1, то должно быть оф=1: таким образом, уравнению удовлетворяют беско- нечно много выражений и их сумм вида ^ = г(дя+-|г/ + з^+Л^я; + уг/+ z') + S (^х + у + z^+и т. д., где а, р, у, о и т. д. можно подставить какие угодно числа, но каким бы образом пи объединять в суммы подобные выражения в бесконечном числе, интеграл можно все же считать лишь частным. Отсюда стано- вится ясным, что полное интегрирование уравнения Z d2v Л __ Л Л \ с/х dy } v dz2 J имеет очень большое значение, и метод, который приведет к этому, очень существенно увеличит возможности анализа. Однородные же урав- нения третьего порядка надо ограничить еще в гораздо большей сте- пени, чтобы их можно было полностью проинтегрировать указанным способом, как это будет показано в следующей задаче. ЗАДАЧА 88 505. Определить те случаи, когда однородные уравнения третьего порядка допускают интегралы указанного вида, то есть когда они могут быть сведены к однородным уравнениям первого порядка. РЕШЕНИЕ Пусть в однородном уравнении третьего порядка содержится одно- родное уравнение первого порядка Чтобы из него следовало однородное уравнение третьего порядка ^£)+й(£)+сС£)+в(А,>£ (££)+ + F (етг) + G + +н + 7(да0 + \dx dy dz J необходимо, чтобы алгебраическое выражение Ах2 + By3 + Cz3 + Dx^y + Fx2z + Hy2z + Kxyz + Exy^1 + Gxz^1 + lyz* содержало множитель axA-byA-cz, но если второй множитель не рас- падается в свою очередь на два простых множителя, то дело сведется к уравнению второго порядка, которое не допускает решения. Поэтому чтобы удалось полное интегрирование, необходимо, чтобы это выраже- ние состояло из трех простых множителей, которые пусть будут (ах -\~Ьу + с%) (tx + gy + bz) (kx + ту + nz).
302 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ Следовательно, коэффициенты общего уравнения получаются такими: A=ajk, B=bgm, C = cbn, D = afm + agk + bfk, G = ahn 4 cfn + chk, E = agm + bfm + bgk, H = bgn + bhm + cgm, F = afn + ahk + cfk, I = bhn + cgn + chm, К = agn + ahm + bfn + bhk + cfm + cgk, а полный интеграл будет X+Чт-^ f-i)+s(x так как каждый простой множитель дает одну произвольную функцию двух переменных. СЛЕДСТВИЕ 1 506. В каждой из этих функций допускается перестановка пере- менных х, у, z; поэтому каждую из них можно считать также как бы функцией трех переменных, например первую функцией от у — , у Z Z X т ______ и _— —, и аналогично для остальных функции. СЛЕДСТВИЕ 2 507. Если два множителя равны между собой, f = a, g=b, h — c, то в этом случае первые две функции сливаются в одну и вместо них надо писать \ а c b с / 1 V а с ’ b с а если все три функции равны, то сверх того к = а, т = 5, п — с, и полный интеграл будет < a с 1 b с 7 ' Vя с ’ b с ) а с ’ Ъ с ) СЛЕДСТВИЕ 3 508. Точно так же, как мы здесь первые два члена множили на х2 и х, мы могли бы множить их также на г/2 и у или же на z2 и z, так как безразлично, каким переменным здесь пользоваться, лишь бы это не было то, которое как раз одно встречается под знаком функции, т. е. если а = 0 и приходится брать функции количеств хи ~ — , тогда множители х2 и х исключаются. ПОЯСНЕНИЕ 1 509. По аналогии ясно, что однородное уравнение четвертого порядка можно решить этим методом лишь тогда, когда оно распа- дается на четыре уравнения первого порядка и его можно считать как бы их произведением. Но и в том случае, когда невозможно раз- ложить его на множители, приведенные примеры все же ясно показы-
Гл. IV. О РЕШЕНИИ ОДНОРОДНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 303- вают, как нужно по однородному дифференциальному уравнению любого порядка строить алгебраическое выражение того же порядка с тремя переменными я, у, z\ если же это выражение можно разложить на про- стые множители вида ах -\~by cz, то заодно легко находится полный интеграл дифференциального уравнения, причем каждый множитель дает функцию двух переменных, которая является слагаемым интеграла, и каждое такое слагаемое в отдельности удовлетворяет дифференци- альному уравнению и его можно считать частным интегралом. Но если указанное алгебраическое выражение таково, что хотя имеет несколько* простых множителей, но не столько, какова его степень, то мы полу- чим несколько частных интегралов, которые, однако, и в сумме не дают полного интеграла. Например, если задать дифференциальное уравне- ние третьего порядка - (V 4 у 4 4^4 -»(- о. \dx2dy J ' \dxdy2 J \dxdz2 J \dy dz2 J то алгебраическое выражение ax2y + bxy2 — axz2 — byz2 имеет простой множитель ax^-by, и следовательно, дифференциальному уравнению удовлетворяет у а b ’ / Однако для получения полного интеграла еще недостает двух произ- вольных функций, которые составляют полный интеграл уравнения \ dx dy J \dz2 ) ’ дающего второй множитель xy — z2 указанного выражения. Итак, каж- дый раз, когда эти алгебраические выражения, полученные из одно- родных дифференциальных уравнений высшего порядка, допускают разложение на множители, хотя бы и не простые, мы немедленно узнаем, каким образом их интегрирование может быть сведено к инте- грированию уравнений низшего порядка, что в этих трудных исследо- ваниях, несомненно, имеет очень большое значение. ПОЯСНЕНИЕ 2 510. Это все, что я могу предложить относительно определения функций трех переменных из данного соотношения между дифферен- циалами, и здесь содержатся лишь первые элементы этой науки, даль- нейшее развитие которой следует всячески рекомендовать проницатель- ности геометров. Отнюдь не следует считать эти рассуждения бесплод- ными, так как почти все не решенные задачи теории движения жидко- стей относятся к этим более высоким разделам анализа1), полезность которых, следовательно, ничуть не меньше полезности первой части интегрального исчисления. Эти последние разделы тем более нужно разрабатывать, что теория жидкостей имеет дело с функциями четырех Э См. работы Эйлера (№ 227 и № 396 по списк\т Энестрема): ((Продолжение изысканий по теории движения жидкостей» (Continuation des recherches sur la theorie du mouvement des fluides), Mem. de 1’acad. d. Sc. de Berlin [11] (1755), 1757, стр. 316 и «второй раздел основ [теории] движения жидкостей» (Sectio secunda de principiis motus fluidorum), Novi comment, acad. Sc. Petrop. 14 (1769), 1770, стр. 270; также в Opera Omnia, Ser. II, vol. 10 и И. [Ф. Э.]
-304 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ переменных, природа которых должна быть исследована на основании дифференциальных уравнений второго порядка, но к этому разделу я из-за недостатка материала не решился даже приступить/ В этой теории величайшее значение имеет решение уравнения ( d2v\ ( d?v \ J\dx2 J^\dy2 J'~\dz2 / где буквы х, у, z обозначают три координаты, а истекшее время, и мы ищем функцию этих четырех переменных, которая, будучи под- ставлена вместо у, удовлетворяет вышеуказанному уравнениюг). Из выше- приведенных соображений легко заключить, что полный интеграл этого уравнения должен содержать две произвольные функции трех перемен- ных; любые менее общие решения должны рассматриваться как непол- ные. Легко, однако, найти бесчисленные частные решения, ибо если положить f = Г (а.х + Ру + yz + 6;), то находим о2 = а2 + р2 + у2, а поскольку этого можно достичь бесконечным числом способов, есть бесконечно много функций указанного вида, сумма которых дает под- ходящее значение для V. Далее, уравнению удовлетворяют также значения „ = Г(г=Е/х2 + ? + ^2) 7J = Г(х±/г2-у2-^2) ]/ X2 + у2 + 22 ’ у/t2^~y2 — Z2 ’ v^{y±Vt2^x2~~z2) ^^(Z±yt2-x2~-y2) У I2— х2 — z2 ’ ]/ t2—x2—у2 ’ получить которые уже труднее2). Поскольку, однако, это функции только одного переменного каждая, эти интегралы следует считать весьма частными, и даже если бы мы имели в качестве v функции двух переменных, они были бы лишь частными интегралами, а нет даже 'догадки, как найти такие решения. Так как, однако, полный интеграл должен содержать две произвольные функции трех переменных, то легко понять, как далеки мы еще сейчас от цели. !) См. работы Эйлера (№ 268 и № 306 по списку Энестрема): Письмо г-на Эйлера к г-ну де Лагранжу... Изыскания о распространении сотрясений в упругой среде (Lettre de М. Euler а М. de la Grange... Recheches sur la propaga- tion des ebranlements dans um milieu elastique), Miscellanea Taurin. 2(1760/1), 1762, стр. 1 (Oeuvres de Lagrange, т. XIV, Paris 1892, стр. 178) и Дополнение к изысканиям о распространении звука (Supplement aux recherches sur la propa- gation du son), Mem. de 1’acad. d. Sc. de Berlin [15] (1759), 1766, стр. 210, особ. §43, стр. 236, также в Opera Omnia, Ser. II, vol. 8 и Ser. Ill, vol. 1. [Ф. Э.] 2) См. работу Эйлера (№ 307 по списку Энестрема): «Продолжение изысканий о распространении звука» (Continuation des recherches sur la propagation du son), Mem. de 1’acad. d. Sc. de Berlin [15] (1759), 1766, стр. 241, особ. § 33, стр. 261; также в Opera Omnia, Ser. Ill, vol. 1. [Ф. Э.] о о 0
ПРИЛОЖЕНИЕ О ВАРИАЦИОННОМ ИСЧИСЛЕНИИ ГЛАВА I О ВАРИАЦИОННОМ ИСЧИСЛЕНИИ ВООБЩЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Мы говорим, что соотношение между двумя переменными варь- ируется, если значение одного из переменных, определяемое через другое, увеличивается на бесконечно малое приращение', зто при- ращение называется вариацией того количества, к которому оно при- бавляется. ОБЪЯСНЕНИЕ 2. Итак, сначала рассматривается любое соотношение между двумя переменными х и у, которое выражается некоторым уравнением между ними, в силу которого по отдельным значениям, приписываемым х, определяются соответствующие значения у, а затем уже значения у рассматриваются как получающие какие угодно бесконечно малые при- ращения, так что эти варьированные значения отличаются бесконечно мало от истинных, вытекающих из предложенного соотношения; тогда мы говорим, что таким образом варьируется соотношение между х и у, и вместе с тем те бесконечно малые частицы, которые мы прибавляем к истинным значениям у, называем вариациями. Прежде всего надо обра- тить внимание на то, что эти вариации, на которые меняются отдель- ные значения у, не следует ни рассматривать как равные между собой, ни считать их' каким-либо образом зависящими друг от друга, а их следует считать настолько произвольными, что разрешается даже счи- тать равными нулю все их значения, кроме тех, которые соответствуют одному или нескольким значениям у. Следовательно, их нужно рас- сматривать как не подчиненные никакому закону, и надо считать, что данное соотношение между х и у не накладывает никаких ограничений на эти вариации, на которые, таким образом, надо смотреть как на це- ликом произвольные. СЛЕДСТВИЕ 1 3. Отсюда ясно, что вариации совершенно отличаются от дифферен- циалов, хотя как вариации, так и дифференциалы суть бесконечно малые и поэтому совсем исчезают: действительно, вариация относится 20 л. Эйлер, т, III
3,06 ПРИЛОЖЕНИЕ О ВАРИАЦИОННОМ ИСЧИСЛЕНИИ к значению у, соответствующему данному значению х, в то время как дифференциал dy учитывает вместе с тем переход к следующему зна- чению x-^dx1). СЛЕДСТВИЕ 2 4. Итак, если из предложенного соотношения между х и у [значе- нию] х соответствует у, a x-\-dx соответствует значение у, равное у', то dy—y' — y; но вариация у никоим образом не зависит от следующего значения у’, так что и у, и у’ можно придать в отдельности их вари- ации, какие нам угодно. ПОЯСНЕНИЕ 5. Это представление о вариациях, которое само по себе может казаться как очень неопределенным, так и бесплодным, становится немного яснее, если подробнее изложить, откуда оно берет начало и как к нему пришли. К этому прежде всего приводит вопрос о нахождении кривых, обладающих некоторым свойством максимума или минимума, или, чтобы избежать неясности, связанной с рассмотрением вопроса в общем виде, рассмотрим проблему нахождения кривой, по которой тяжелое тело, падающее из данной точки, наиболее быстро попадает в другую данную точку. Тогда из самой природы максимумов и мини- мумов ясно, что эта кривая должна быть такова, что если ее заменить другой кривой, бесконечно мало отличающейся от нее, то время паде- ния при этом должно быть почти тем же. Решение, следовательно, должно быть такое, что если искомую кривую рассматривать как заданную, а затем выполнить соответствующее вычисление для беско- нечно мало отличающейся от нее кривой и найти разность времен падения, то, положив эту разность равной нулю, мы выявим природу искомой кривой. А кривые, бесконечно мало отличающиеся от искомой, удобнее всего рассматривать как получающиеся при увеличении или уменьшении ординат отдельных точек искомой кривой на бесконечно малые значения, то есть при вариации ординат. Обыкновенно доста- точно осуществить такую вариацию для одной единственной ординаты, но ничто не мешает приписать такие вариации нескольким или всем ординатам, поскольку всегда должны прийти к одному и тому же решению. Но при этом не только в большей мере выявляется сила метода, но получаются также более полные решения вопросов такого рода, а отсюда можно извлечь вопросы, связанные с другими условиями. Поэтому представляется совершенно необходимым изложить предмет вариационного исчисления в наиболее общем виде, какой для него воз- можен. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2 6. При заданном соотношении между двумя переменными количе- ствами мы говорим, что оба переменных варьируются, если к каждому из них прибавляется бесконечно малое приращение; отсюда ясно, как надо понимать то, что каждому из переменных приписывается своя вариация. х) variatio enim afficit eundem valorem ipsius y, eidem valori ipsius x conveni- entem, dum eius differentiate dy simul sequentem.
Гл. I. О ВАРИАЦИОННОМ ИСЧИСЛЕНИИ ВООБЩЕ 307 ОБЪЯСНЕНИЕ 7. Если, таким образом, задано какое-либо уравнение между пере- менными х и у, которое выражает их взаимную связь, то это соотно- шение согласно определению может варьироваться двояким способом, а именно, можно при неизменных значениях х менять одни только зна- чения у или же при неизменных значениях у менять одни только зна- чения х. Но ничто не мешает представить себе, что оба переменных получают свои вариации одновременно; это надо понимать так, что между этими вариациями пет никакой связи, и эта двойная вариация рассматривается точно так же, как одна вариация в первом определе- нии. Итак, мы рассматриваем здесь вопрос вообще таким образом, что ни одна из вариаций не подчинена никакому закону и что вариации у никоим образом не зависят от вариаций х. СЛЕДСТВИЕ 1 8. Стало быть, из случая, когда рассматривается двойная вариация, предыдущий случай получается как частный, а именно, когда вариации второй переменной полностью отбрасываются; отсюда ясно, что второе определение содержит в себе первое. СЛЕДСТВИЕ 2 9. Отсюда становится яснее, каким образом данное соотношение между двумя переменными может варьироваться бесконечным числом способов, а также становится ясным, что, поскольку мы не считали эти вариации подчиненными какому-либо закону, мы получаем таким образом все возможные вариации данного соотношения. ПОЯСНЕНИЕ 1 10. Вариации каждого переменного в отдельности дают уже все возможные вариации для данного соотношения между двумя перемен- ными; поэтому может казаться, что излишне приспособить наш метод к двойной вариации. Но если природу вопроса и назначения метода рассматри- д % х у р ва ть вни мательнее, то мы пойм ем, что V Г“7-------------1—----7 рассмотрение двойной вариации вовсе не 1 [ / является излишним. Яснее всего это мож- 1 1 / но проиллюстрировать геометрически еле- 1 / дующим путем. Поскольку лучше всего —____}_/ изобразить соотношение между двумя пе- ременными при помощи кривой, описанной _ на плоскости, то пусть будет AYM (рис. 1) —-- эта кривая, определяемая уравнением Рис. 1. между координатами АХ ==х и ХУ = у, которая, следовательно, представляет заданное соотношение, и пусть некоторая другая кривая Аут, отличающаяся от этой кривой бесконечно мало, представляет варьированное соотношение. Каково бы ни было это соотношение, всегда можно рассматривать вопрос так, что данной абсциссе ИХ — х соответствует варьированная ордината Ху, так что вариация представляет собой небольшую частицу Уу. Такой способ 20*
308 ПРИЛОЖЕНИЕ О ВАРИАЦИОННОМ ИСЧИСЛЕНИИ рассмотрения достаточен для большинства допросов о максимумах или минимумах, где кривая AM должна варьироваться только в нескольких элементах. Но если вопрос поставлен таким образом, что среди всех кривых, которые проводятся из точки А к некоторой произвольно заданной кривой CD, требуется найти ту кривую AYM, которая обла- дает некоторым свойством максимума или минимума, тогда приходится исследовать это свойство также у какой-либо соседней кривой Аут, которая кончается в другой точке т линии CD, так что для конечной точки М искомой кривой надо считать, что получают вариацию как абсцисса АР, так и ордината РМ и притом так, как это соответствует природе кривой CD. Но чтобы приспособить наш способ к такой вари- ации, требуемой последним элементом, необходимо, чтобы для всех про- межуточных точек Y кривой AM самым общим образом варьировались как абсциссы АХ~х, так и ординаты XY = y, и чтобы рассматрива- лись вариации обеих координат Хх и ху—XY. Отсюда вполне уясняются характер и польза этих двойных вариаций. ПОЯСНЕНИЕ 2 11. Подобно тому как [рассмотрение последней точки исследуемой кривой было для нас весьма поучительным, так же часто нам прихо- дится иметь дело с вариацией первой точки. Например, если среди всех линий, которые можно провести от одной данной кривой АВ (рис. 2) до другой данной кривой CD, надо найти ту, которая обладает некоторым свойством максимума или минимума, то тем более необходимо ввести такие вариации как абсцисс АХ, так и ор- динат XY, которые не ограничены ни- каким законом, для того, чтобы можно было придать как начальной точке ис- комой кривой G, так и ее конечной точке М требуемые вариации. Хотя эта иллюстрация и взята из геометрии, тем не менее ясно, что понятие вариации, требуемое здесь, имеет гораздо более широкое значение и приносит большую пользу в общем матема- тическом анализе. Знаменитый Лагранж, остроумнейший туринский геометр, которому мы должны приписать первые рассмотрения вариаци- онного исчисления1), перенес этот метод талантливейшим образом на разрывные линии, например, полигонального типа, где эти двойные вариации приносят очень большую пользу2). *) Cui primas speculations de calculo variationum acceptas referre debemus. 2) Лагранж опубликовал свой метод определения максимальных и минималь- ных значений интегралов в работе «Опыт новой теории определения максимумов и минимумов неопределенных интегральных выражений» (Essai d’une nouvelle methode pour determiner les maxima et les minima des foimules integrates inde- finies), Mi'scellaneae Taurin. H3 (1760/1), 1762, стр. 173-Oeuvres de Lagrange, т. 1, стр. 335. Но он изложил его уже 12 августа 1755 г. в письме к Эйлеру (Oeuvres de Lagrange, т. XIV, стр. 138), в котором писал, что Эйлер и сам уже раньше выразил желание иметь такого рода метод, «свободный от геометрических сооб- ражений и построений» (a resolution geometrica et lineari liberam) в «Methodus inveniendi lineas curvas maximi minimive proprietate gaudentes». Эйлер был чрез- вычайно образован этой работой, всячески выражал свое восхищение поразитель-
ГЛ. I. О ВАРИАЦИОННОМ ИСЧИСЛЕНИИ ВООБЩЕ 309 ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3 12. Мы говорим, что соотношение между тремя переменными, определенное двумя уравнениями, варьируется, если либо одно, либо два, либо все три переменные увеличиваются на бесконечно малые прираще- ния, которые называются их вариациями. ОБЪЯСНЕНИЕ 13. Поскольку задаются три переменных количества х, у и z, между которыми предполагаются заданными два уравнения, то можно по одному из них определить остальные два, так что, например, можно рассматри- вать у и z как функции х. Таким образом, определяется кривая, не лежащая в одной плоскости, если ее точкам обычным способом сопоставить координаты х, у и z. Если такая кривая сопровождается какой-либо близкой к ней, так что различие между ними бесконечно мало, то эта новая кривая является варьированной для предложенной и варьированное соотношение между переменными х, у, z надо рассмат- ривать как выражающее природу этой кривой. Если, таким образом, сравнивать две близкие точки, из которых одна лежит на заданной кривой, а вторая на варьированной, то может случиться, что для варьи- рованной, все три координаты будут иными, или только две, или же только одна, разности же координат между соответствующими точками основной кривой и варьированной представляют собою вариации; при этом нужно вопрос рассматривать в самом общем виде, так чтобы получить решительно все соседние кривые, как те, которые на всем участке отличаются от предложенной кривой, так и те, которые отли- чаются от нее только в некоторых частях, так что не исключаются здесь и разрывные кривые, лишь бы они были близки к исходной. Действительно, не следует ограничить варьированные кривые каким-либо законом непрерывности, с тем, чтобы в их состав входили все возмож- ные кривые, бесконечно мало отличающиеся от основной. СЛЕДСТВИЕ 1 14. Таким образом, с произвольной точкой предложенной или основ- ной кривой сравнивается любая точка варьированной кривой, бесконечно мало относительно нее смещенная, и отсюда определяются вариации координат. СЛЕДСТВИЕ 2 15. Поскольку по одному переменному х полностью определяются остальные два — у и z — и тем самым точка заданной кривой, то и вариа- ции координат можно рассматривать как функции х, которые, однако, должны быть бесконечно малыми количествами. ным остроумием Лагранжа (см. его письма от 6 сентября 1755 г. в L. Euleri Opera postuma 1, Petropoli 1862, стр. 555, а также в Oeuvres de Lagrange, т. XIV, стр. 144) и посвятил две работы (№ 296 и 297 по списку Энестрема) разъяснению и популяризации нового метода, которому он дал название «исчисления вариаций»: «Основы исчисления вариаций» (Elementa calculi variationum) и «Аналитическое изложение метода максимумов и минимумов» (Analytica explicatio methodi maxi- morum et minimorum), Novi comment, acad. sc. Petrop. 10 (1764), 1766, стр. 51 и 94; также-в Opera Omnia, ser. I, vol. 25. [Ф. Э.]
310 ПРИЛОЖЕНИЕ О ВАРИАЦИОННОМ ИСЧИСЛЕНИИ СЛЕДСТВИЕ 3 16. Таким образом, можно брать три какие угодно функции ж, как-либо отличающиеся друг от друга, и после умножения на подхо- дящие бесконечно малые множители они становятся пригодными для представления трех вариаций координат. Это же применимо к любым трем переменным, и тогда, когда они не относятся к геометрии. СЛЕДСТВИЕ 4 17. Подобным образом, если дано соотношение только между двумя переменными, их вариации могут рассматриваться как функции одного из переменных, лишь бы они были бесконечно малы, или, что сводится к тому же, если они умножены на бесконечно малое количество. ПОЯСНЕНИЕ 1 18. Геометрические рассмотрения особенно удобны для пояснения таких рассуждений, которые в общем виде могут казаться слишком абстрактными и неопределенными. И случай трех переменных, соотно- шение между которыми дается двумя уравнениями, превосходно объяс- няется при помощи кривой, не расположенной в одной плоскости, причем указанные переменные рассматриваются как координаты. Если теперь рассматривается вопрос об определении среди этих кривых той, которая обладает некоторым свойством максимума или минимума, тогда необходимо, чтобы это самое свойство для всех кривых, бесконечно мало отстоящих от заданной, имело одно и то же значение, о чем необходимо судить по вариациям, должным образом вводимым в расчет. Какую же пользу нам даст максимальная общность в способе варьи- рования, можно усмотреть из того примера, когда вместо двух кри- вых АВ и CD заданы две какие-либо поверхности, между которыми надо провести кривую, обладающую некоторым свойством максимума или минимума. Тогда уже приходится рассматривать вариации трех координат настолько общие, чтобы при перемещении начальной точки искомой кривой по поверхности АВ вариации могли соответствовать этой поверхности и чтобы то же самое можно было бы сделать с конеч- ной точкой на поверхности CD. Отсюда ясно, что в общем случае нужно ввести в расчет три вариации, с тем, чтобы можно было как начальную, так и конечную точку исследуемой кривой перемещать на граничных поверхностях, чем определяются соотношения между вариациями как на одном, так и на другом конце. ПОЯСНЕНИЕ 2 19. Подобно тому, как мы здесь рассматривали три переменные, соотношение между которыми определяется двумя уравнениями, можно распространить вариационное исчисление также на случай четырех или большего числа переменных, если при этом соотношение между ними выражается столькими уравнениями, что по одному переменному опре- деляются все остальные. Правда, в этом случае уже невозможно поль- зоваться для иллюстрации геометрией, ограниченной тремя измерениями, если только не пожелаем для этой цели привлечь время и рассматри- вать непрерывный поток, текущий от поверхности АВ до поверхности CD
гл. I. О ВАРИАЦИОННОМ ИСЧИСЛЕНИИ ВООБЩЕ 311 и постепенно изменяющийся с течением времени, так что надо указать и момент времени, когда та или иная струя в потоке, идущая от поверх- ности АВ до поверхности CD, обладает некоторым свойством максимума или минимума. Если, кроме этих переменных, ввести еще и переменную скорость, то это дает возможность проиллюстрировать случай большего числа вариаций. Но прежде всего мы видим отсюда, что даже в том случае, когда все переменные считаются зависимыми от одного из них, метод исследования существенно отличается от того, когда рассматри- ваются только два переменных, потому что и в этом случае нужно считать, что вариации этих переменных совершенно не зависят друг от друга; действительно, из того, что между самими переменными устанавливается некоторое соотношение, не следует заключать, что их вариации ограничиваются каким-либо соотношением. Это видно, в частно- сти, из вышерассмотренного случая, когда между двумя поверхно- стями АВ и CD должна быть проведена кривая, обладающая некоторым свойством максимума или минимума: хотя она и определена таким обра- зом, что по одной координате точки получаются остальные две, тем не менее варьированные кривые могут отклоняться от нее во все сто- роны, и координаты отдельных точек получают вариации, никоим образом друг от друга не зависящие. Исключение составляют только начальная и конечная точки, которые могут двигаться на заданных поверхностях. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4 20. Мы говорим, что соотношение между тремя переменными, определенное одним уравнением, так что одно из этих переменных равняется функции остальных двух, варьируется, если одно или все три переменные получают бесконечно малые приращения, которые называ- ются их вариациями. ОБЪЯСНЕНИЕ 21. Так как в этом случае соотношение между тремя переменными определяется одним уравнением, два из них могут быть взяты произ- вольно, а третье определяется по ним, так что оно может рассматри- ваться как функция двух переменных. Этим соотношением, следова- тельно, определяется не кривая, если мы хотим прибегнуть к геометри- ческим фигурам, а какая-то целая поверхность, природа которой выражается уравнением между тремя координатами; отсюда ясно, что это соотношение, будучи проварьировано, представляет другую поверх- ность, бесконечно мало отличающуюся от заданной. Вариация эта должна быть настолько общей, чтобы ее можно было ограничить любой частью поверхности, либо же распространить на всю поверхность. Поскольку с любой точкой данной поверхности сравнивается другая точка варьированной поверхности, очень близкая к первой точке, то может случиться, что варьируется не только одна из трех координат, но две или даже все три, следовательно, чтобы исследование вести в самом общем виде, целесообразно приписывать каждой отдельной координате свою вариацию; эти вариации должны рассматриваться как функции двух переменных, поскольку любая точка поверхности опре- деляется двумя данными.
312 ПРИЛОЖЕНИЕ О ВАРИАЦИОННОМ ИСЧИСЛЕНИИ СЛЕДСТВИЕ 1 22. Если, таким образом, эти три переменные или координаты суть х, у и z, то какие бы ни придавать значения двум из них, х и у, получается определенное значение z. Точно так же вариацию z надо считать зависящей и от х\ и от у, так что, если изменяется или одно из этих количеств или оба, то должны получать разные вариации z. СЛЕДСТВИЕ 2 23. Те замечания, которые здесь сделаны относительно вариации z, относятся в равной мере и к остальным двум переменным, так что вариации каждого из них также следует рассматривать как функции двух переменных. Действительно, поскольку задано уравнение между х, у и z, то безразлично, какие из них считать независимыми переменными: ведь функция от у и z в силу этого уравнения может рассматриваться также как функция от х и у, если, конечно вместо z подставить его выражение через х и у. ПОЯСНЕНИЕ 1 24. Таким определением вариаций нужно будет пользоваться, когда ищется поверхность, обладающая некоторым свойством максимума или минимума: вычисление нужно вести таким образом, чтобы рас- сматриваемое свойство имело одинаковое значение для искомой поверх- ности и для близких, варьированных поверхностей. Как в случае кри- вых, обладающих свойствами максимума или минимума, должны быть заданы условия для обоих концов, а именно, чтобы они лежали или в заданных точках, или на заданных поверхностях — точно так же в данном случае нужно задать условие, чтобы или была задана граница поверхности, или же чтобы была задана некоторая другая поверхность, на которой эта граница лежит. Чтобы иметь возможность учитывать это последнее условие, необходимо придавать вариации всем трем коор- динатам самого общего вида, никоим образом не зависящие друг от друга, с тем, чтобы иметь возможность приспособиться к той поверхности, на которой лежит граница искомой поверхности. Здесь нужно при- знаться, что к настоящему времени метод максимумов и минимумов едва ли достаточно разработан для таких исследований и что здесь появляются такие трудности, для преодоления которых требуется, по-видимому, значительно большее развитие математического анализа. Именно поэтому нужно тем более стремиться к тому, чтобы основы этого метода, которые входят в состав вариационного исчисления, были твердо установлены и вместе с тем ясно и отчетливо изложены ПОЯСНЕНИЕ 2 25. Считаю, что вряд ли нужно подчеркнуть, что вариационное исчисление может быть применено в случае числа переменных большего трех, хотя в этом случае уже невозможно геометрическое объяснение; вообще надо считать, что анализ не ограничивается, в отличие от гео- метрии, определенным числом измерений. Когда же рассматриваются несколько переменных, то прежде всего нужно выяснить, выражается ли соотношение между ними одним уравнением, или несколькими. Их может быть максимум столько, сколько составляет число этих пере-
Гл. I. О ВАРИАЦИОННОМ ИСЧИСЛЕНИИ ВООБЩЕ 313 менных минус единица; в последнем случае все эти переменные можно рассматривать как функции одного из них. Если же соотношение опре- деляется меньшим числом уравнений, то каждое переменное будет функ- цией двух или больше переменных, и вариации этих переменных в любом случае должны рассматриваться как функции такого же числа переменных. В соответствии с этим мы хотим изложить это исчисление в самом общем виде. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5 26. Вариационное исчисление есть метод нахождения вариации, которую принимает выражение, любым способом составленное из несколь- ких переменных, когда варьируются все или некоторые из этих переменных. ОБЪЯСНЕНИЕ 27. В этом определении вовсе не идет речь о соотношении, которое мы до сих пор предполагали между переменными. Дело в том, что это исчисление как раз для того и служит, чтобы установить это соотно- шение, при котором будет выполнено требуемое свойство максимума или минимума, и поскольку сначала это соотношение неизвестно, оно и не входит в расчет, так что вопрос приходится трактовать так, как если бы между переменными не существовало никакого соотношения. Следовательно, исчисление должно быть построено таким образом, чтобы оно давало нам правила, как найти вариации любых выражений, состав- ленных из входящих в расчет переменных, по вариациям этих; перемен- ных. Лишь тогда, когда такие вариации найдены, появляется возмож- ность установить, какое соотношение должно существовать между переменными, чтобы эта найденная вариация была либо равна нулю, как это требуется при определении максимумов или минимумов, либо была составлена некоторым определенным образом, как этого требует характер вопроса. Таким образом, если даны правила этого исчисления, то ничто уже не мешает трактовать такие вопросы, в которых заранее задано некоторое соотношение между переменными и требуется найти вариацию выражения, составленного из этих переменных, получаемую при их варьировании. Отсюда ясно, что данное исчисление может быть применено в вопросах самого различного рода. СЛЕДСТВИЕ 1 28. Итак, вопросы, которые подлежат исследованию в этом исчис- лении, сводятся к тому, что, если задано какое угодно выражение, каким-либо образом составленное из любого числа переменных, тре- буется найти его приращение, при условии, что отдельные переменные получают вариации. СЛЕДСТВИЕ 2 29. Таким образом, вариационное исчисление очень похоже на диф- ференциальное исчисление, так как в обоих случаях к переменным прибавляются бесконечно малые приращения. Поскольку мы, однако, уже заметили, что вариации отличаются от дифференциалов, и поскольку они могут встречаться одновременно с ними, то нужно иметь в виду большое различие между этими исчислениями.
314 ПРИЛОЖЕНИЕ О ВАРИАЦИОННОМ ИСЧИСЛЕНИИ ПОЯСНЕНИЕ 30. Из замечаний, сделанных выше, это различие становится вполне ясным, ибо когда идет речь о кривой, которая сравнивается с очень близкой к ней, то при помощи дифференциалов мы переходим от одной точки кривой к другим точкам той же кривой, в то время как, если перейти от этой кривой к другой, ей очень близкой, и если этот пере- ход является бесконечно малым, то он осуществляется при помощи вариаций. То же самое имеет место, если рассматривать две очень близкие поверхности: дифференциалы относятся тогда к одной и той же поверхности, а при помощи вариаций переходят от одной поверхности к другой. То же самое относится к случаю, когда вопрос рассматри- вается аналитически без всякого отношения к геометрическим фигурам: всегда нужно явным образом различать вариации переменных количеств от их дифференциалов. Поэтому целесообразно обозначать вариации другим знаком. УСЛОВНОЕ ОБОЗНАЧЕНИЕ 31. Будем обозначать е дальнейшем вариацию любого переменного количества буквой 8, предпосланной этому количеству, так что qx, by, bz обозначают вариации величин х, у, z, а если V — выражение, каким-либо образом составленное из этих количеств, то его вариация будет обозна- чаться через 8И. СЛЕДСТВИЕ 1 32. Итак Ьх обозначает то бесконечно малое приращение, которое получает количество х, чтобы получилось его варьированное значение; отсюда явствует, что варьированным значением х будет я-|-оя. СЛЕДСТВИЕ 2 33. В соответствии с этим, если в выражении V, составленном из переменных х, у и z, вместо них написать их варьированные значения z + у + ^У и z + $z, а затем из полученного таким образом значения V вычесть первоначаль- ное значение V, то остаток будет вариация 8F. СЛЕДСТВИЕ 3 34. До сих пор все происходит точно так, как и в дифференциаль- ном исчислении, и если V — какая угодно функция переменных х, у и z, то если взять обычным способом ее дифференциал, а затем только вместо d написать 8, получится ее вариация ВИ. ПОЯСНЕНИЕ 1 35, Каждый раз, когда V — какая угодно функция перемен- ных х, у, zt ее вариация получается по тем же правилам, как и диф- ференциал, и поэтому может показаться, что вариационное исчисление полностью совпадает с дифференциальным исчислением, поскольку одно только изменение обозначения не меняет сущности дела. Однако надо
Гл. I. О ВАРИАЦИОННОМ ИСЧИСЛЕНИИ ВООБЩЕ 315 учесть, что не все величины, вариации которых требуется [вычис- лять], могут рассматриваться как функции; именно поэтому я восполь- зовался в определении словом выражение, которому я придаю гораздо более широкий смысл. Дело в том, что мы не можем обращаться к соотношению между переменными, поскольку оно неизвестно, и поэтому приходится иметь дело с выражениями или формулами, содержащими производные и интегралы от переменных. Они, следовательно, не могут рассматриваться как обычные функции переменных, а варьирование выражений, содержащих производные и интегралы, требует особых правил. Следовательно, весь вопрос сводится к тому, чтобы найти вариации выражений такого рода, в связи с чем наше изложение делится на две части. ПОЯСНЕНИЕ 2 36. В нижеследующем изложении очень большую роль играет число переменных: когда их больше двух, то почти не видно, как решить задачу. В самом деле, если ввести несколько переменных, то даже дифференциалы приходится рассматривать существенно иначе, а именно большей частью сравнивают между собою только два дифференциала, как будто остальные переменные сохраняются постоянными. Точно так же надо поступать в случае вариаций, но при этом возникают такие затруднения, что едва видно, как их можно преодолеть. Конечно, прежде всего нужно самым тщательным образом изложить основы этого исчисления, так чтобы из внутренней сущности вопроса получились правила исчисления1), причем и здесь большей частью встречаются значительные трудности. Первоначально же исчисление это разрабаты- валось применительно только к двум переменным и поэтому обычно его так и излагали. Я постараюсь объяснить, как [в этом случае] находятся вариации выражений, содержащих как производные, так и интегралы, а уж после этого, если эти рассмотрения прольют свет [на наш предмет]2), перейду к трем или большему числу переменных. ut ex intima rei natura calculi praccepta repetantur. 2) turn vero si quid lucis ex ipsa hac tractatione affulserit. 0
ГЛАВА II О ВАРИАЦИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ, СОДЕРЖАЩИХ ДВА ПЕРЕМЕННЫХ ТЕОРЕМА 1 37. Вариация дифференциала всегда равняется дифференциалу ва- риации, т. е. hdV — d^V, каково бы ни было количество V, которое, увеличиваясь на дифференциалы, получает также вариации. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО Переменное количество V может рассматриваться как ордината некоторой кривой, которая [ордината] благодаря дифференциалам про- двигается по той же кривой, благодаря же вариациям переходит на другую кривую, очень близкую к первой. Когда мы переходим по той же кривой к близкой точке, то получается значение V-j-dV, и пусть оно равно У', так что йУ = У' — У, откуда вариация величины dV рав- на 8с?У, т. е. 6У'—ВУ. С другой стороны, 6У' есть близкое значение, в которое переходит 6У благодаря прибавлению к нему дифференциала, так что 6У' = 6У4-СЙУ или 6У' — ВУ = сйУ, откуда очевидно, что бс?У = = сйУ, то есть вариация дифференциала равна дифференциалу вариа- ции, как утверждает теорема. СЛЕДСТВИЕ 1 38. На этом основании вариация второго дифференциала опреде- ляется так: бс?2У = сЙс?У; поскольку далее бс?У=(йУ, то получается равенство между следующими выражениями: бй2У-йбйУ = й2бУ. СЛЕДСТВИЕ 2 39. Таким же образом получается для дифференциалов третьего порядка о d3V = ей d'2V = d26 dV = й3бУ,
Гл. II. О ВАРИАЦИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ 317 а для дифференциалов четвертого порядка вариация получается так: о d*V = dS d3V = d2od2V = d3t dV dW, и подобным образом —для более высоких порядков. СЛЕДСТВИЕ 3 40. Итак, если требуется вариация дифференциала любого порядка, то можно знак вариации о вставлять где угодно среди знаков диф- ференцирования d; если же поставить его в самый конец, то это зна- чит, что вариация дифференциала любого порядка равняется дифферен- циалу того же порядка от вариации. СЛЕДСТВИЕ 4 41. Поскольку, таким образом, odnV = dn6V, то дело сводится к тому, чтобы определить дифференциал произвольного порядка от вариации величины V, т. е. от SV; и такое приведение в значитель- ной мере обусловливает эффективность этого нового исчисления1). ПОЯСНЕНИЕ 1 42. Доказательство основывается главным образом на том, что BE переходит в оЕ', если количество V увеличивается на свой дифферен- циал, что само собою вытекает из природы дифференциалов; но полез- но иллюстрировать это также геометрически. Если имеем на некоторой кривой EF (рис. 3) координаты АХ = х и XY — у, и если продви- нуться на бесконечно малый промежуток YY', то имеем в дифференциалах AX'— x-dx и X'Y' =у A~dy, откуда dx = AX' -АХ и dy = X'Y' - XY. Теперь перейдем к другой кривой ef, близкой Рис. 3. к предыдущей, так что точки у и у' новой кривой сравниваются с точками Y и Y' старой кривой, из которых они получаются путем вариации; беря соответствующим образом коорди- наты, имеем Ах — х + и ху — у + оу, поэтому так что Ъх — Ах — АХ и Ъу — ху — XY, Ax' = xA-dx + b(x -Т dx) И х’у’ = у + dy + о (у 4- dy), поскольку мы из точки Y' путем вариации перешли к точке у'. Но к той же точке у' мы переходим также из точки у путем дифференциро- *) atque in hac reductione praecipua vis hujus novi calculi est constituenda.
318 ПРИЛОЖЕНИЕ О ВАРИАЦИОННОМ ИСЧИСЛЕНИИ вания, так что Ах’ — z-h + d (ж + 8я) и х'у' == У + fy + d (у + fy). Сравнивая эти значения с предыдущими, имеем х + dx + qz + 3 dx = х + + dx + dbx У + dy +ty + ady = у + ty -i- dy+dty, и отсюда, очевидно, следует, что adx = d$x и §dy — day. Если внимательнее рассмотреть принцип, на котором доказательство основывается, то все сводится к тому, что, если переменное количество изменить вначале дифференцированием, а затем вариацией, то это то же самое, как если, наоборот, произвести вначале вариацию, а затем уже дифференцирование. Например, на фигуре мы из точки У перехо- дим вначале путем дифференцирования к точке Y', а отсюда путем вариации к у’; в обратном порядке, можно вначале перейти из точки У путем вариации к точке у, а отсюда уже путем дифференцирования к точке у', —к той же, что и раньше. ПОЯСНЕНИЕ 2 43. Данная теорема имеет очень большую общность -1) и не ограни- чивается случаем двух переменных. Действительно, она сохраняет силу независимо от того, сколько переменных входят в расчет, поскольку в / / / / доказательстве рассматривалось только то перемен- ное, для которого образуется дифференциал и вари- ация, а остальные переменные не принимались во внимание. Чтобы не оставалось здесь места для каких-либо сомнений, рассмотрим произвольную по- верхность, какая угодно точка которой z (рис. 4) определяется тремя координатами АХ = х, XY = y и yZ-2. X X' х У Рис. 4. Если от этой точки перейти к близкой точке Z' в той же поверхности, то ее координаты увеличивают- ся на дифференциалы. Если же рассматривать какую-либо другую, близкую поверхность и сравни- вать ее точки z и z’ с точками Z и Z' первоначаль- ной поверхности, то переход осуществляется путем вариации. После этого очевидно, что можно перейти к точке z двояким способом, а именно путем вариации, исходя из точки Z', или же путем дифференцирования, исходя из точки 2, так что Ах’ = АХ’ + оАГ = Ах + d (Аг), х’у’ = X’Y’ + ZX’Y’ ^zy + d (ху), y’z’ = Y’Z’ + 87'Z' = yz + d (yz), *) latissime patet.
Гл. II. О ВАРИАЦИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ 319 что относится также ко всем другим переменным, связанным с этими точками. Отсюда совершенно ясно, что odx — dox, ody — doy, odz~doz, ПОЯСНЕНИЕ 3 44. Важно вспомнить, что в случае дифференцирования более вы- сокого порядка можно вставить знак вариации о где угодно среди зна- ков дифференцирования d. Отсюда также понятно, что эта перемести- тельность имеет место и тогда, если знак вариации 5, равно как знак дифференцирования d, встречается несколько раз; это замечание, быть может, окажется полезным при других рассмотрениях. Но в настоящей работе повторение вариации о нигде не рассматривается, так как от данной линии или поверхности мы переходим только к одной, ей очень близкой. Действительно, хотя это понимается в самом общем виде, так что при этом подразумеваются все бесконечно близкие линии или по- верхности, но рассматривается только одна, а после того, что мы от главной кривой перешли к соседней, не будет рассматриваться никакой новый переход. Таким образом, такие рассуждения, для которых тре- буются вариации вариаций, полностью исключаются. Но, наоборот, не- обходимо допускать дифференциалы любого порядка от вариаций, а так как в производных, имеющих вместе с тем конечные значения, рас- сматриваются только отношение дифференциалов, то, если имеется два переменных х и у и мы положим, как обычно, для приведения к ко- нечному виду dy~pdx\ dp — qdx, dq~rdx и т. д., необходимо полностью определить вариации количеств р, у, г и т. д. ЗАДАЧА 1 45. Если даны вариации Ъх и оу переменных х и у, найти вариа- цию производной Р~~рх- РЕШЕНИЕ Поскольку 5 dy = doy и о dx — dox, искомая вариация ор находится при помощи известных правил диф- ференцирования, причем только вместо знака дифференцирования d пи- шется знак вариации о, так что получаем * dxbdy—dyZ dx dx2 1 или, посредством перестановки, [допустимость] которой была доказана раньше, р dxZdy—dy dvx dx2 1 где и оу —вариации величин х и у, так что ox^-dox и oy + ddy — вариации величин x-^dx и y^dy. Как мы уже выше заметили, dox = 3 (x + dx) — ох и dby = В (у -|- dy) — оу.
320 ПРИЛОЖЕНИЕ О ВАРИАЦИОННОМ ИСЧИСЛЕНИИ То же получается из основных наших положений, потому что варьиро- ванное значение р + ар возникает, если вместо х и у подставить их варьированные значения z + Я + так что п । * d (у + 5у) = dy+dly г ' г d (х + Йх) dx + dbx ’ dy а отсюда, так как р = ~ , получаем , _ ,ч dy _ dy~\-dby &y_dxdby-—dy dbx & ° dx dx 4- d^x dx dx2 ’ поскольку в знаменателе величина dxdax исчезает по сравнению с dx2. СЛЕДСТВИЕ 1 46. Если продвигаться посредством дифференциалов и обозначить непрерывно увеличиваемые х и у через х', Xя, х"' и т. д., у1, у", у'" и т. д., то x=x+dx, у' = у + dy . и d§x = 8я' — 8ж, d&y = &y'—ау, откуда л __ dy __ dx (Ъут—оу)— с?у(ЙхЛ“Йх) ор — О СЛЕДСТВИЕ 2 47. Так как вариации обоих переменных х и у друг от друга со- вершенно не зависят, а полностью предоставлены нашему произволу, то если не приписывать количеству х никакой вариации, так что ах = 0 и §xf — О, то * бйу 5у'—оу 1 dx dx * СЛЕДСТВИЕ 3 48. Если, кроме • того, приписать только одному значению пере- менного у вариацию Ъу, так что Ъу'= 0, то ар = — . Такое предполо- жение вовсе не противоречит сущности дела, так как допустимо, чтобы близкая кривая отличалась от основной только в одной точке. ПОЯСНЕНИЕ 49. Обыкновенно при решении изопериметрических и других по- добных проблем варьированная кривая должна быть выбрана таким об- разом, чтобы она отклонялась от исходной кривой только в каком- нибудь одном элементе1). Итак, если ищется кривая EF (рис. 5), обла- х) См. примечание к § 55 (стр. 324).
Гл. II. О ВАРИАЦИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИИ 321 дающая некоторым свойством максимума или минимума, то обычно пе- реносят только одну точку Y в близкое положение у, так что варьиро- ванная кривая EMyYfF только в очень малом интервале MY' отличает- ся от искомой. Тогда, полагая АХ = х и XY = y, имеем для варьированной кривой Ах = х + и ху = у + оу или Ъх — Ах — АХ и оу = ху — XY, Для остальных же точек, к которым мы приходим при помощи диф- ференциалов, имеем везде 8а/ = 0, Ву'=О, 8гг" = О, оу" = 0 и т. д. и то же самое имеет место для предшествующих. Поскольку для удоб- ства расчета следует полагать вариацию Хх — ьх равной нулю, так что вся вариация сводится к одному элементу оу, то и в этом случае будем иметь 8р= — , и эта единственная вариация достаточна для того, чтобы решить те задачи этого рода, ко- торые до сих пор рассматривались. Но если, как мы уже говорили, дальше обобщить эти задачи, а именно, когда требуется определить начало и конец кривой, тогда необходимо вы- числение вариаций произвести наиболее общим способом, и приписать всем точкам кривой произвольные вариаций их координат. Это особенно необходимо, если мы хотим применить исследования к не непрерывным кривым. эти ЗАДАЧА 2 50. Если даны два переменных х и у и их вариации ьх и ьу и если положено dy — р dx и dp — qdx, найти вариацию величины у, то есть значения оу. РЕШЕНИЕ Поскольку у = , имеем для варьированного значения /7 X ЙГ7 — + = dp + dlp “ d (x + Sx) dx^-dZx ’ dp откуда после вычитания количества у = получим _dx dZp-—idp dZx * dx2 Эта вариация получается также путем дифференцирования формулы у = |^|, если обычным способом выполнить дифференцирование, но на- писать вместо знака дифференциала d знак вариации о; при этом надо помнить, что bdx^dox и bdp^dop. 21 л. Эйлер, т. ш
322 ПРИЛОЖЕНИЕ О ВАРИАЦИОННОМ ИСЧИСЛЕНИИ Выше мы, однако, нашли, что при Р~~^, имеем о dxdoy — dydbx ~~ dx2 ’ откуда обычным дифференцированием получаем значение d'bp, то есть дифференциал СЛЕДСТВИЕ 1 51. Поскольку п имеем сперва „ dZy р dZx dx dx и соответственно л dop q dox * dx dx Для будущего применения предпочтительно оставить здесь выражение dop и не вводить его из предыдущей формулы. СЛЕДСТВИЕ 2 52. Так как первое из вышестоящих уравнений при дифференци- ровании дает ,g __d2Zy d2x dZy p d2ox . pd2x dox P dx dx2 dx q , то получаем после подстановки d2Zy d2x dZy p d2ox 2q dox p d2x dZx dx2 dx3 dx2 dx dx3 СЛЕДСТВИЕ 3 53. Если одному только переменному у придаются вариации, так что величины Вя и все отсюда выведенные величины исчезают, имеем о doy л dop d2Zy d2x dZy Qp = и oq = -Hr = -----п--, r dx dx2 dx2 dx3 а если также рассматривать дифференциал dx как постоянный, получим, „ d2Zy что ск? = ? , j- dx* ПОЯСНЕНИЕ 1 54. Чтобы все это лучше понять, рассмотрим на кривой EF (рис. 5, стр. 321), в согласии с соотношением между переменными АХ — х и XY = у, несколько точек У, Y', У" и т. д., все время продвигаясь, прибавляя дифференциалы, так что АХ^х; AXf = x-]-dx; АХ" = xJr2dxJr d2x; AXf" = х + 3 dx -f- 3 d2x + d^x, XY = y, X'Y'^y + dy, X"Y”=y + 2dy + d^y, X”Ym =y + 3dy + 3d2y + d3y,
Гл. II. О ВАРИАЦИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ 323 и эти обозначения для дифференциалов любого порядка сокращенно представим так: АХ = х; АХ' — х'; АХ" = х"; АХ^х* и т. д. XY = у; X’Y’ = yf; X"Y” = y”; XwYw^ym и т. д. Эти величины получают вариации, никоим образом друг от друга не зави- сящие, так что 8я, Ьх , bx", Ъх* и т. д. Ь'у, ty', ty", W и т. д. должны считаться зависящими от нашего произвола, но известными. После этого дифференциалы любого порядка от вариаций представляются в следующем виде: dbx—bx'— Ъх, d2bx = bx"— 2bx'-|-8r; d3bx = bx'”—ЗЬх" -1- 83я'—Зя, dby = byr — by; d2by = Зу" — 2by' -|- Зу; d3by = by'" — ЗЬу" 4- ЗЗу' — by. Если мы, однако, хотим варьировать только одну точку кривой, а именно У, то будет dbx = — Зя; сГЗя = 8я; с?36я — — Зя и т, д. * dby = — Зу; d2by = by; d3by = — by и т. д. и отсюда и л Ъу d2xuy рЪх 2qbx р d2xZx dx2 dx3 dx2 dx dx3 ’ откуда после отбрасывания членов, исчезающе малых по сравнению с остальными, получаем Наконец, если придать вариацию только одной ординате XY = у, то имеем s^=-4-ay и ПОЯСНЕНИЕ 2 55. Отсюда ясно, *что если кривую варьировать только в одной точке, то получаются значительные отклонения от правил дифференцирования, поскольку тогда высшие дифференциалы вариации не исчезают по сравне- нию с низшими, а могут иметь одно и то же значение; кроме того, вариации количеств р и q возрастают до бесконечности, если бесконечно малые Ьх и Ьу считать того же порядка, что и дифференциалы dxwdy. Отсюда следует, что в этом исчислении -надо быть настороже, чтобы не допустить ошибок, так как правила исчисления опираются на закон непрерывности, согласно которому кривые линии описываются непре- рывным движением точки так, чтобы нигде не получался скачок кривизны. Если, однако, менять положение только одной точки, пере- ходя от У (рис. 5, стр. 321) к у, так что все элемены, кроме Му и yY, остаются неварьированными, то этим, очевидно, вводится весьма большая 21*
324 ПРИЛОЖЕНИЕ О ВАРИАЦИОННОМ ИСЧИСЛЕНИИ нерегулярность кривизны, вследствие чего обычные правила исчисления уже не могут быть применены. Для того чтобы избежать этого неудоб- ства, лучшим средством является придавать отдельным точкам кривой только вариации, удовлетворяющие некоторому закону непрерывности, и не допускать нерегулярностей в выкладках прежде, чем не будут выполнены все дифференцирования и интегрирования; тем самым мы в нашем исчислении по крайней мере сохраняем вид непрерывности. Хотя, следовательно, дифференциалы вариаций doy, d2oy, d3oy и т. д., а также dox, d2bx, d3bx и т. д. при сделанном допущении2) сводятся к простым вариациям, то все же следует эти выражения сохранить в выкладках и приспособить к ним последующие интегрирования; то же самое относится к операциям, кото- рые в свое время мне нужно было ввести при рассмотрении вопроса о на- хождении кривых, обладающих свойствами максимума или минимума2). ЗАДАЧА 3 56. Если для двух переменных х и у даны вариации ох и оу, найти вариации отношений дифференциалов любого порядка. РЕШЕНИЕ Вопрос сводится к тому, чтобы, если положить подряд dy = pdx, dp = qdx, dq = rdx, dr~sdx и т. д., найти вариации количеств р, q, г, s и т. д., так как к этим количе- ствам сводятся все отношения дифференциалов любого порядка, имеющие конечные значения. Что касается первых двух из них, р и q, мы уже видели, что их вариации равны dUy р dZx dZp q dZx dx dx 1 dx dx Поскольку, далее, имеем мы получаем их вариации подобным же образом при помощи правил дифференцирования: где при желании можно подставить вместо dop, dbq, dbr и т. д. значе- ния вариаций op, oq, or и т. д., найденные выше. Но это не приводит к более простым формулам и, кроме того, как видно будет в дальней- шем, это и не нужно, поскольку указанный вид этих выражений удобнее всего для всех преобразований, какие понадобятся. х) Эйлер имеет здесь в виду предположение, что кривая варьируется только в одной точке. 2) Cm. «Methodus inveniendi lineas curvas...», гл. II, §§ 1, 21, 56; см. прим, к § 11. [Ф. Э.]
Гл. II. О ВАРИАЦИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ 325 СЛЕДСТВИЕ 1 57. Если вариации придаются только переменному у, так что при неизменных абсциссах х только ординаты у возрастают на свои вариа- ции, то получим: dx ’ 07 dx ’ or dot/ dx ’ OS = dx СЛЕДСТВИЕ 2 58. Если, кроме того, считать равными между собой все прираще- ния dx количества х, то есть положить элемент dx постоянным, то, подставляя дифференциалы из предыдущей формулы в последующую, получим 07 d2§y ~~d^ ’ dx3 5 d48y Ss==^- и т-д- с?8у t dx ’ СЛЕДСТВИЕ 3 59. Если вариации придаются только абсциссам х, так что вариа- ция вместе со всеми производными исчезает, и если вместе с тем элемент dx принимается постоянным, то рассматриваемые вариации будут равны: л р dbx t * р d2$x 2q d$x _ p d3bx 3q d2bx 3r d$x ~ dx ’ dx2 dx ’ W dx3 dx2 dx ’ л p d^bx bq d3Zx 6r d2bx 4s dbx 05 = d^ dx3 dx- dx~ И T- Д’ СЛЕДСТВИЕ 4 60. Итак, даже если в этом случае элемент dx принимается постоян- ным, все же будут существовать дифференциалы любого порядка вариа- ции ьх по причине того, что вариации х при последовательном переходе к xf, х" и т. д. никоим образом не зависят от дифференциалов. ПОЯСНЕНИЕ 61. Если нам угодно будет придавать вариации только переменному а;, то лучше всего поменять местами переменные х и у и в соответствии с этим писать dx=pdy, dp = qdy, dq~rdy и т. д., чем устраняются дифференциалы. Это приводит к упрощению, так как, считая элемент dy постоянным, мы получим столь же простые формулы для вариаций величин р, q, г и т. д., что и в следствии 2. Впрочем, поскольку требуется приспособить исчисление ко всем случаям, всегда полезно придавать вариации обоим переменным, хотя тогда действи- тельно получаются гораздо более сложные выражения, особенно при их развертывании. Но зато при дальнейшем углублении в наше исчисление выявляются такие преимущества, что в конечном счете выкладки едва ли становятся более трудоемкими и пространными. Итак, перейдем к более общим проблемам, относящимся к данной главе.
326 ПРИЛОЖЕНИЕ О ВАРИАЦИОННОМ ИСЧИСЛЕНИИ ЗАДАЧА 4 62. Если даны вариации двух переменных х и у, то есть 1х и 1у, найти вариацию любого конечного выражения F, образованного как из этих переменных, так и из их дифференциалов любого порядка. РЕШЕНИЕ Поскольку V является конечным количеством, то, полагая dy — pdx, dp^qdx, dq—rdx, dr — s dx и т. д., мы исключим дифференциалы из этого выражения, и V окажется функ- цией, образованной конечными количествами х, у, р, q, г, 5 и т. д. Какова-бы ни была форма этого выражения, его дифференциал всегда имеет вид dV = М dx N dy + Р dp 4- Q dq R dr + 5 ds 4- и т. д. Число членов этого выражения становится тем больше, чем выше порядок дифференциалов, входящих в V. Если требуется найти вариацию выраже- ния V, то есть оР, то она получается, если вместо переменных х, у, р, q, г и т. д. подставить те же количества, увеличенные на свои вариа- ции, и из полученного выражения вычесть количество V. Отсюда ясно, что мы находим вариацию обычным способом дифференцирования, заме- няя лишь знак дифференциала d знаком вариации 8. Поэтому, поскольку выше мы уже записали дифференциал, немедленно находим искомую вариацию: 8Р = М 8ж+ N 8у + Р 8р 4- Q 0*7-J- R 8г + 5 8s + и т. д. А как найти вариации 8р, 8у, 8r, 8s и т. д. через вариации 8ж и ау, уже выше [§ 58] показано. СЛЕДСТВИЕ 1 63. Если мы сюда подставим ранее найденные значения, то получим искомую вариацию в следующей форме: 8Р = М 8^ + N 8у + -^- (Р dZy 4-Q dip 4- R dlq + S dlr 4 и т. д.) — ^-(Pp + Qq + Rr+Ss + n т. д.) СЛЕДСТВИЕ 2 64. Если переменному х не придается никакая вариация, и сверх того элемент dx рассматривается как постоянный, то вариация пред- ложенного выражения V получается в виде лтг . Р dby О (РЪу R сРЪу S сРЪу = ит-д- ПОЯСНЕНИЕ 65. В этих формулах усматривается однородность в дифференциалах, если только относить 1х и 8 у к числу дифференциалов; но иначе полу- чится, если мц захотим в случае, когда варьируется только одна точка
гл. II. О ВАРИАЦИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ 327 кривой, подставить значения дифференциалов вариаций, найденные выше (§ 54), ибо при этом исключается переход к интегрированию, которое затем потребуется в этих формулах. Впрочем, ясно, каким образом нахождение вариаций приводится к обычному дифференцированию, по- скольку вся разница заключается только в том, что вместо вариаций &/?, 67, or и т. д. подставляются вышеуказанные значения, которые в свою очередь находятся при помощи обычного дифференцирования. Целесо- образно иллюстрировать эту операцию несколькими примерами, чтобы суть дела стала яснее. ПРИМЕР 1 66. Найти вариацию выражения для подкасательной . Так как dy — pdx, это выражение принимает вид так что его у S р * равна ——; после подстановки вместо о/? его значения вариация получим 51/ у dby у dbx dx л р р2 dx ' р dx dy ^dby + ^-dZz. dy2 & 1 dy Последнее выражение получается также непосредственно дифференциро- ванием предложенного выражения. ПРИМЕР 2 67. Найти вариацию выражения для длины касательной у dx2 + dy2 dy Положив dy^p dx, приводим это выражение к конечному виду ]/1 + р2, откуда получается искомая вариация ---------------------------------- р г р2/1+р2 что преобразуется к следующему виду: Ydx + dy -------Vdx daz). dy а dy^Ydx2 + dy* № № ПРИМЕР 3 68. Найти вариацию выражения для радиуса кривизны (dx2dy2')3'г dx d2y Полагая dy^pdx и dp—qdx, приводим это выражение к виду (1+р2)3/2 -—— , откуда получается вариация ^уТ+7-^-(1+р2)3^. На подстановке в это выражение ранее найденных значений, я не останавливаюсь.
328 ПРИЛОЖЕНИЕ О ВАРИАЦИОННОМ ИСЧИСЛЕНИИ ЗАДАЧА 5 69. Если заданы вариации двух переменных количеств х и у, т. е. ах и ау, найти вариацию любого выражения, составленного как из этих переменных, так и из их дифференциалов любого порядка, сколь угодно большого или бесконечно малого. РЕШЕНИЕ Полагая, как и до сих пор, dy^=pdx, dp^=qdx, dq=rdx и т. д., мы всегда приведем наше выражение к виду V dxn, где V — конечная функция количеств х, у, р, q, г и т. д., а показатель п положителен или отрицателен, и в первом случае это выражение бесконечно мало, во втором — бесконечно велико. Положим, что обычное дифференцирова- ние дает dV = M dx-\-N dy-\-Pdp-\-Qdq + Rdr-[- и т. д. откуда получаем одновременно и вариацию V. Поскольку же вариация рассматриваемого выражения равняется nV dx^dhx + dx^V, то мы получаем следующее выражение искомой вариации: nV dx^1 dax dxn (М ах ± Nap-\-Pbp-\-Qbq-\-Rtr-\- и т. д.). Сюда можно подставить вышенайденные значения ? __dZy — р dbx . л _с1Ър — q dbx e Р dx ’ dx 9 dbq — г d$x dbr — s dbx ar == ——:--; os =--j—— dx dx и T. Д. Эти выражения ясны и не требуют дальнейшего объяснения; вместе с этим данная глава полностью закончена.
ГЛАВА III О ВАРИАЦИИ ПРОСТЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ, СОДЕРЖАЩИХ ДВА ПЕРЕМЕННЫХ ОПРЕДЕЛЕНИЕ 6 70. Я называю здесь интегральное выражение простым, если она не содержит других интегралов, а операция интегрирования применяется всего один раз к дифференциальному выражению, содержащему, кроме двух переменных, какие-либо их дифференциалы. СЛЕДСТВИЕ 1 71. Итак, если х и у — два переменных, то интегральное выражение W будет простым, если выражение W, кроме этих переменных, содержит только их дифференциалы какого-либо порядка, но не включает в себя других интегральных выражений. СЛЕДСТВИЕ 2 72. Если, следовательно, положим dy~pdx, dp — qdx, dq — rdx и т. д., так что дифференциалы исключаются, то так как интеграция всегда применяется к дифференциальному выражению, то W всегда сведется к виду V dx, где V — функция количеств х, у, р, q и т. д. СЛЕДСТВИЕ 3 73. Поскольку простое интегральное выражение будет вида V dx, где V — функция количеств х, у, р, q, r и т. д., то свойства этого выражения удобнее всего представить с помощью дифференциала под- интегральной функции, указав, что dV — М dx + N dy + Р dp + Q dq + Rdr + и т. д.
330 ПРИЛОЖЕНИЕ О ВАРИАЦИОННОМ ИСЧИСЛЕНИИ ПОЯСНЕНИЕ 74. Я отличаю здесь простые интегральные выражения от сложных, в которых предполагается интегрирование таких дифференциальных выражений, которые в свою очередь содержат одно или несколько интегральных. Например, если буква s обозначает интеграл dx2 + dy2 == dx j/1 -р р2 и если количество V, кроме переменных и их дифференциалов, содержит еще количество $, то интегральное выражение V dx по праву считается сложным; его вариация потребует особых правил, которые будут изло- жены в дальнейшем. В данной главе я решил прежде всего изложить метод нахождения вариаций простых интегральных выражений. ТЕОРЕМА 2 75. Вариация интегрального выражения W всегда равна интегралу вариации дифференциального выражения, интеграл которого предложен, то есть 8 W = 8Ж ДОКАЗАТЕЛЬСТВО Поскольку вариация представляет собой излишек, на который варьированное значение какого-либо количества превышает естественное, заменим заданное выражение W его варьированным значением, кото- рое получается, если увеличить количества х и у их вариациями 8г и 8г/. А так как тогда количество W превращается в W + 6W, то варьированное значение рассматриваемого выражения будет (W + 8РУ)-= W+ 8Ж, откуда вследствие того, что 8 $ W = (W + 8W)- $ W, имеем 8 W = 8Ж Отсюда ясно, что вариация интеграла равняется интегралу вариации. Это можно показать еще другим способом. Положим W = w, так что искомая вариация будет 8до. После дифференцирования имеем dw~W и, взяв теперь вариацию, получим - ldw = оП7 = dbw вследствие того, что &dw = dbw. Теперь снова интегрируем уравнение откуда ату = а ж
ГЛ. III. О ВАРИАЦИИ ПРОСТЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ 331 СЛЕДСТВИЕ 1 76. Итак, если задать интегральное выражение V dx, то его вариация 8 Vdx будет $ 8(7 ds) = $ (78ds + ds87), откуда, поскольку 8 ds = dos, следует, что 8 V dx = V dex + dx 87. СЛЕДСТВИЕ 2 77. Полагая 8s = ю, так что d8s = dw, мы можем, поскольку $ 7d<o = 7<o- $ wd7, уничтожить вариацию дифференциала dx в первом слагаемом, и полу- чается , 8 J Vdx = Vte-$ <ZV8s+ J dxW, где первое слагаемое [справа] не содержит интегрирования. ПОЯСНЕНИЕ 78. Выше мы показали [§ 37], что знак дифференцирования d можно переместить со знаком вариации 8, теперь же мы видим, что знак интегрирования можно переместить со знаком вариации 8, поскольку 8^17=^817. Это относится и к случаю повторных интегрирований, так что, если задано выражение W, то его вариация может быть представлена следующими способами: 5 5 5^= $8 $ ту= $ $8Ж- Таким образом, вариация интегральных выражений сводится к вариации выражений, уже не содержащих никакого интегрирования, а для таких выражений соответствующие правила изложены нами выше. ЗАДАЧА 6 79. Если заданы вариации двух переменных х и у, то есть 8s и 8у, и если положить dy = pdx\ dp = qdx, dq = rdx и т. д., требуется найти для какой угодно функции V переменных s, у, р, q, г и т. д. вариацию интеграла \ 7 ds.
332 ПРИЛОЖЕНИЕ О ВАРИАЦИОННОМ ИСЧИСЛЕНИИ РЕШЕНИЕ Мы видели (§ 77), что вариация этого интеграла может б лть выра- жена так: 3 V dx — V ох — dV ах + dx 8V. Чтобы исключить вариацию ЗЕ заметим, что V есть функция количеств х, У> Р> г и т* Дм так что ее дифференциал равен dV — Mdx + N dy + P dp + Qdq-\~R dr + и т. д. Подобным же образом ее вариация выражается так: oV = М ох+ Nay + РЪр + Qaq + 7?8г + и т. д. После подстановки получим искомую вариацию о V dx = V ах + dx (М ах 4- N dy + Р Ър + Q §q + R or + и т. д.) — — 8х(М dx-\~Ndy + P dp-\-Q dq +Rdr+ и т. д.). Члены, зависящие от М, взаимно уничтожаются, так что после собира- ния членов, содержащих соответственно N, Р, Q, R и т. д., получим 3 С V dx = V ( N (dx ay — dybx)+^P (dx ар ~ dp hx) + 4- Q (dx aq — dq ах) 4- R (dx 8r — dr 8x) 4- и т. д.„ где, как мы уже нашли выше, Zdx р = day — р dax\ dx^q = dZp — q dax\ dxbr = daq — r dax и т. д. После подстановки этих значений получаем, поскольку dy — pdx, сле- дующее выражение: о V dx — V 8r + N (ty — Р Pd (ау — р^х) + + Qd(ap ~qaz) 4- Rd(aq — rax) + и т, д. Для дальнейшего приведения этого выражения заметим, что * * d Ъу—pdZx—dp Ьх d (Ъу — рЪх) " Ч dx dx „ dpZ — q d^x — dqbx d (Ър — qox) aq r ax , £ dZq — r dbx — drZx d (Zq — гЪх) dx dx и T. Д. что означает, что каждое из этих выражений приводится к предыду-
Гл. III. О ВАРИАЦИИ ПРОСТЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ 333 щему; если краткости ради положить оу — рох = то получим: оу — р ОХ ~ О), С?(1) о р — 7 ох — -г— , 1 1 dx 1 7 С?(О 07 — Г ОХ = —г- d 7 J dx dx ъ > 1 7 1 , or — ,s‘ ox = -у— a ~r~ a —— dx dx dx И T. Д. Таким образом, исключив знаки производных р, 7, г и т. д , мы по- лучим искомую вариацию в виде о • f V dx -= Vox^- N dxw Р dco + Qd ~г~ “Ь -^d дт- d + j J *) v j a Ju ctx + Sd-^r- d -^—d 4^-+^ Td-^-d-^—d-^-d^-4- и т. д. J dx dx dx J dx dx dx dx Закон построения последовательных членов здесь очевиден, каков бы ни был порядок дифференциалов, входящих ’ выражение V. СЛЕДСТВИЕ 1 80. Первый член этой вариации gV х пе содержит знака интегри- рования и только одну вариацию oz; остальные члены содержат вариа- ции обоих переменных в сочетании со — оу — р ох. СЛЕДСТВИЕ 2 81. Второй член N dxo) = А/Тоо dx не может быть выражен удобнее, но третий член ^Pdco может быть выражен удобнее, поскольку Р dw — Рю — со dP, так что под знаком интеграла остается только величина со. СЛЕДСТВИЕ 3 82. Четвертый член приводится подобным же образом к виду XI dw С 7X4 d(O Здесь второй член, который может быть записан также в виде f —dw J dx ’ -В свою очередь преобразуется в dQ dQ dx j dx
334 ПРИЛОЖЕНИЕ О ВАРИАЦИОННОМ ИСЧИСЛЕНИИ так что четвертый член окончательно представляется в виде х dx dx 1 J dx СЛЕДСТВИЕ 4 83. Пятый член j dx dx преобразуется сперва в dx dx J dx dx ' Но поскольку второе слагаемое в этом выражении равно dR d<o Г 1 , dR , -3—3---\ ~r~d —у— dw, dx dx , J dx dx а здесь последнее слагаемое приводится к 1 , dR ’ f , 1 , dR •у— а -у— со — \ cod -т— а -у~ , dx dx j dxdx то пятый член получает, окончательно, следующее выражение: D 1 , d<o dR 1 , dR С , 1 , dR K-p-d-j-----“ "3~ СО — \ (Od -у— d -т— . dx dx dx dx 1 dx dx J dx dx 84. Подобным же образом для шестого члена Sd A d ± d J dx dx dx находим такое выражение: о 1 л 1 л d$ 1 dco ( 1 j dS dm ~dx ~dx ~dx