/
Author: Томович Р. Вукобратович М.
Tags: самодействующие системы кибернетика теория автоматического управления теория чувствительности
Year: 1972
Text
Р. томович
М. ВУКОБРАТОВИЧ
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ
ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ
RAJKO TOMOVIC, MIOMIR VUKOBRATOVIC
OPSTA TEORIJA
OSETLJIVOSTI
INSTITUT «KIRILO SAVIC»
BEOGRAD —1969
БИБЛИОТЕКА
ТЕХНИЧЕСКОЙ
КИБЕРНЕТИКИ -------------------------
Р. ТОМОВИЧ,
М. ВУКОБРАТОВИЧ
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ
ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ
Перевод Логинова Н. В., Надеждина П. В.
Под редакцией профессора Цыпкина Я. 3.
ИЗДАТЕЛЬСТВО «СОВЕТСКОЕ РАДИО»
МОСКВА —1972
УДК 007.5
Р. Томович, М. В у к о б р а т о в и ч. Общая тео-
рия чувствительности. Пер. с сербск. и с англ., под ред.
Цыпкина Я. 3., М. Изд-во «Советское радио», 1972,
240 стр., т. 9 100 экз., ц. 1 р.
Настоящая книга является первым трудом, в котором системати-
чески изложены основные положения теории и приложений нового,
интенсивно развивающегося в последние годы направления теории
автоматического управления — теории чувствительности.
Изложены аналитические и структурные методы определения
функций чувствительности непрерывных и импульсных как линейных,
так и нелинейных систем управления.
Развитые в первых двул главах методы используются для ана-
лиза чувствительности колебательных и больших систем.
Большое внимание уделено исследованию таких структурных
свойств динамических систем, как чувствительность, инвариантность,
адаптируемость, наблюдаемость и управляемость.
Книга рассчитана на научных и инженерно-технических работни-
ков, специализирующихся в области технической кибернетики.
Табл 2, илл. 78, библ. назв. 53
Члены редакционного совета
Трапезников В. А. (председатель), Челюсткин А. Б. (зам- пред-
седателя), Бусленко Н. П., Виленкин С. Я., Воронов А. А., Гаазе-
Рапопорт М. Г., Дудников Е. Г., Ицкович Э. Л., Копелович А. П.,
Круг Г. К., Мамиконов О. Г., Осколков И. О., Пархоменко П. П.,
Пинскер М. С., Плискин Л. Г., Поспелов Г. С., Райбман Н. С., Са-
мойленко С. И., Таль А. А., Флейшман Б. С., Хургин Я. И., Цып-
кин Я. 3., Якобсон Б. М.
3-3-14
107-72
От редактора перевода
Проблеме чувствительности уделяется большое вни-
мание на страницах периодической технической литера-
туры.
Проблема чувствительности обсуждается на междуна-
родных симпозиумах. Но несмотря на все это, специально
вопросам чувствительности были посвящены лишь две мо-
нографии: М. Л. Быховский. Основы динамической точно-
сти электрических и механических цепей. Изд-во АН СССР,
1958 и R. Tomovic. Sensitivity Analysis of Dynamic
Systems. Me Graw-Hill, New York, 1963. Эти моногра-
фии сыграли в свое время важную роль в пропаганде
теории чувствительности как самостоятельного научного
направления.
Дальнейшее развитие теории чувствительности, обо-
гащение ее новыми результатами ставит на повестку
дня необходимость изложения современного состояния
теории чувствительности и ее возможностей для решения
практических задач современной теории и техники авто-
матического управления.
Эта цель в значительной мере достигнута в предла-
гаемой читателю книге видных югославских ученых
проф. Р. Томовича и доц. М. Вукобратовича.
Наряду с систематизацией материалов по теории
чувствительности, разбросанных по различным техничес-
ким, часто малодоступным журналам, в книге приводят-
ся оригинальные результаты, полученные авторами.
Авторы любезно предоставили нам исправления и
дополнения, сделанные ими при подготовке издания кни-
ги на английском языке.
Книга, безусловно, будет полезна всем специалистам
в области точности, оптимизации и адаптации автомати-
ческих систем.
Я. ЦЫПКИН
Предисловие
к русскому изданию
Методы анализа чувствительности применяются
в различных областях техники. Однако количество книг,
посвященных этой проблеме, невелико. Назначение дан-
ной работы состоит главным образом в том, чтобы дать
читателю возможность познакомиться с различными
аспектами теории чувствительности динамических си-
стем.
Сербско-хорватское издание этой книги появилось
в 1969 г. Русское издание дополнено новым и важным
материалом, посвященным синтезу оптимальных нечув-
ствительных систем и новому понятию управляемости.
Мы надеемся, что задачи теории чувствительности,
изложенные в этой книге, привлекут внимание читате-
лей. В заключение мы хотим подчеркнуть, что суще-
ственный вклад в развитие теории чувствительности был
сделан русскими авторами.
Мы выражаем нашу особую благодарность проф.
Я. 3. Цыпкину, чье участие и поддержка сделали воз-
можным относительно быстрое появление русского
издания.
Белград, май 1970.
АВТОРЫ
Введение
Первая книга по чувствительности появилась не-
сколько лет назад. В ней сделана попытка узаконить
анализ чувствительности в качестве отдельной техниче-
ской дисциплины. В то время анализ чувствительности
ограничивался в основном линейными непрерывными
системами и использовался для разработки градиентных
методов применительно к задачам оптимизации и адап-
тации.
С тех пор было выполнено много интересных работ
по чувствительности. Состоялись два международных
симпозиума *), посвященные специально анализу чув-
ствительности.
Данная книга содержит по сравнению с первой со-
вершенно новый материал. Ее цель состоит в том, чтобы
представить современное состояние теории чувствитель-
ности и изложить результаты, относящиеся как к самому
анализу чувствительности, так и к его применению в ши-
роком классе практических задач. Значительное внима-
ние уделено общему определению чувствительности и
вычислению функций чувствительности непрерывных,
дискретных и непрерывно-дискретных систем.
Исследованы свойства возмущаемости линейных и
нелинейных колебательных систем. Это важная в теоре-
тическом и практическом отношении область анализа
чувствительности, которой, за малым исключением, ра-
нее не 'было уделено должного внимания.
В гл. 4 рассматриваются структурные свойства си-
стем управления (чувствительность, управляемость, па-
раметрическая инвариантность, адаптируемость, пара-
метрическая оптимизация и идентификация). В послед-
ней главе сделана попытка трактовать чувствительность
Первый симпозиум ИФАК по методам чувствительности в тео-
рии автоматического управления, Дубровник (Югославия), 1964 г.
Второй симпозиум ИФАК по чувствительности и адаптивным си-
стемам, Дубровник, 1968,
7
больших систем косвенным путем с помощью свойств
возмущаемости, использование которых в частных слу-
чаях позволяет разложить систему на подсистемы.
Авторы надеются, что предлагаемая книга, написан-
ная преимущественно как монография, послужит в ка-
честве обзора общих задач анализа чувствительности
в динамических системах.
Мы пользуемся случаем выразить свою признатель-
ность М. Седлару и С. Губериничу за полезные обсуж-
дения некоторых глав этой книги.
Белград, 1968 г. АВТОРЫ
Глава 1
ФУНКЦИИ ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ
Анализ чувствительности связан с изучением влия-
ния изменения параметров на поведение динамических
систем. Поэтому полезно определить, какой смысл при-
дается термину «параметр» в этой книге.
Рассмотрим векторное уравнение нелинейной, неав-
тономной системы
x — f (x,p(t), t)\ x(Q = x0, (1.1)
где x— Af-мерный вектор, p(t)—Al-мерный вектор и f-
векторная функция.
Уравнение- (1.1) связывает вектор состояния и век-
тор параметров. Объясним различие между векторами
х и р с позиций теории автоматического управления.
Вектор р содержит априорную аналитическую или изме-
римую информацию относительно системы, которая учи-
тывается при выборе вектора управления. Вектор х ха-
рактеризует собой состояние. В уравнении (1.1) предпо-
лагается, что вектор р зависит от времени. Поэтому
входные сигналы, когда они являются известными функ-
циями, можно также считать параметрами.
Наиболее типичные параметры в системах автомати-
ческого управления таковы: начальные условия; коэф-
фициенты, не зависящие от времени; коэффициенты, за-
висящие от времени; параметры, изменяющие порядок
системы; собственные частоты; частота импульсов; ин-
тервал дискретности; моменты 1квантования; ширина
импульса; высота импульса; ошибки квантования; запаз-
дывание; ошибки округления.
Понятие функции чувствительности в этой книге оп-
ределено таким образом, что его можно распространить
на все существенные параметры непрерывных, дискрет-
ных или непрерывно-дискретных систем.
9
Функции чувствительности. В математике весьма ча-
сто используется понятие однозначного соответствия
между вектором параметров и вектором состояния р—^х.
Отображение р—>х может быть определено посредством
дифференциальных уравнений, уравнений состояния или
каким-либо иным путем.
В инженерной практике параметры могут быть опре-
делены только с некоторой точностью. Кроме того, пара-
метры изменяются в зависимости от внешних условий и
во времени. Другими словами, техника имеет дело с но-
минальными значениями параметров и с соответствую-
щими допусками. Поэтому вместо отображения р—
в технике более важно рассматривать отображение
Dp—*DXi где Dp — подпространство вариаций парамет-
ров относительно номинальных значений вектора р=ро
и Dx—соответствующее подпространство пространства
состояний. Dx единственным образом определяется урав-
нением (1.1), если известно Dp. Ясно, что соотношение
между Dx и Dp дает информацию относительно чувстви-
тельности системы к возмущениям. Однако по ряду при-
чин определять чувствительность таким путем неудобно.
Прежде всего, прямое решение уравнения (1. 1) для
всех элементов множества Dp требует бесконечного чис-
ла решений и зависит от определения множества Dp.
Поэтому нужно искать иной путь.
Удобно представлять множество Dx как произведе-
ние характеристической функции и(х, pQ, t) и данного
множества вариаций параметров Dp. Тогда, если вари-
ации вектора параметров pQ(t) малы и оператор
f(x, р, t) непрерывен в точке p0(t/)> можно записать Dx&
~и(х, р0, t)Dp.
Зная и(х, ро, *0, легко вычислить элементы множест-
ва Dx для выбранных вариаций Др.
При таком подходе изучение чувствительности сво-
дится к определению и вычислению функции и, называ-
емой функцией чувствительности системы. Сначала мы
рассмотрим, как функция чувствительности определяет-
ся для различных динамических систем, и затем, как она
вычисляется.
Функции чувствительности непрерывных систем. При
определении функций чувствительности непрерывных
систем надо различать два случая: зависят возмущения
параметра от времени или не зависят. Эти два случая
будем записывать как рт+ъ и Pm+zv(t). Если возмуще-
10
ние не зависит от времени, то функция чувствительности
системы x=f(x, р, t) определяется посредством обычной
производной
= + (1-2)
8->0 8 °Рт
Можно видеть, что условие существования функции
чувствительности в этом случае есть непрерывность ре-
шения уравнения состояния по отношению к параметру.
При этом параметр может быть или постоянным, или
переменным во времени.
Это определение в виде обычной производной оказы-
вается недостаточным, если возмущение параметра за-
висит от времени. В этом случае функцию чувствитель-
ности следует определить как функциональную произ-
водную следующим образом:
= + (1.3)
8->0 8
где v(t)—равномерно ограниченная, интегрируемая
функция и е — постоянная [1].
Чтобы определить функцию чувствительности для
возмущений, не зависящих от времени, нужно знать но-
минальное значение параметра. Для возмущений, зави-
сящих от времени, кроме того, нужно знать функцию
u(t). В этом случае чувствительность зависит от номи-
нального значения рт и v(t). Позже будет показано, как
можно вычислить и(рт) и и(Ртп, у), используя вспомога-
тельную систему дифференциальных уравнений.
Очевидно, что функция чувствительности и(рт) есть
частный случай функции и(рт, и). Можно пойти дальше
в этом направлении и найги еще более общее определе-
ние функции чувствительности. Наиболее общий подход
возможен с позиций функционального анализа (2].
Пусть дано множество параметров p(t)^P и мно-
жество входных сигналов Система может быть
абстрактно представлена либо явным соотношением
x=S(p, г), (1.4)
где S представляет собой отображение прямого произ-
ведения PXR на X, либо неявным соотношением
F(p,(Z), r(t), х)=0, (1.5)
11
где F— нелинейный оператор. Предположим, что опе-
ратор F непрерывен в точке ро, го, х#. Функция чувстви-
тельности оператора представляется производной
и?(Рт)~ 1 ^'рт (Рта'Х^' П’б)
где /7,ж(рто,х0) и F'.pm (рт , х0) — частные производные опе-
ратора F по х и р в точке (х , рт^.
С точки зрения функционального анализа выражение
(1.6) представляет собой слабую производную неявной
функции. Более общая мера чувствительности нелиней-
ного оператора F к зависящим от времени возмущениям
есть дифференциал Гато.
Обобщенная функция чувствительности и? имеет та-
кой же смысл в пространстве операторов, как функции
чувствительности и(р) и и(р, v) в пространстве состоя-
ний: окрестность Дхе£>х должна бьГть определена ото-
бражением элемента ApeDp. Поэтому, если использует-
ся соотношение x=S(p, г), нужно знать
bxm==S(pm + &p,r) — S(pm,r). (1.7)
Так как физическая система довольно часто описы-
вается посредством неявного соотношения F(p, г, х)=0,
то желаемая величина Дхт определяется с помощью
функции чувствительности uF, где
kx=uF(pm)Apm (1.8)
или
Дх = [Рх (рт^ Хо)] 1 Ррт (pmj А)(1 «9)
Общая формула для производной uF включает в се-
бя все предшествующие определения функции чувстви-
тельности непрерывной системы.
Уравнение (1.9) можно записать в виде «уравнения
чувствительности оператора»
Р'х &Х ~ F'vm (PmJ Х^ ^Рт' U • Ю)
которое представляет собой обобщенную форму обыч-
ных уравнений чувствительности.
Функции чувствительности непрерывно-дискретных
систем. Основные идеи чувствительности являются здесь
теми же, что и выше, но особенности непрерывно-ди-
12
скретных систем требуют введения нового типа функций
чувствительности. Пусть непрерывно-дискретная'система
описывается уравнением
x(tk+l) = f[x(tk), tk,M 6 = 0,1,...Л, (1.Н)
где x(th)—АЛмерный вектор состояния, f — М-мерная
векторная функция и yi(^) —скалярный входной сигнал
(возмущающая сила).
Уравнение (1.11) определяет значение выходного
сигнала системы в моменты квантования. С точки зре-
ния анализа чувствительности интересно рассмотреть,
что произойдет с координатами состояния x(tk), если
моменты квантования th будут подвержены возмущени-
ям. В этом случае мы рассматриваем так называемую
локальную функцию чувствительности [3]:
= lim ’ (1Л2)
V* Af-М)
где u(k)= (м„(6)} = — вектор1’ для данного k,
так что чувствительность системы в этом случае выража-
ется набором векторов.
Очевидно, что условие существования производной
{мп(6)} состоит в непрерывности х, р и f по отношению
к t.
Если интервал повторения есть постоянная величина,
то уравнение (1. 11) можно записать в виде
х (k + 1, Т) = f [х (k, Т), k, у. (k, Т), Г], (1.13)
где Т — интервал повторения и 6=0,1..., К.
В этом случае представляет интерес чувствительность
координат системы к вариациям интервала повторения
[4]. Определим функцию чувствительности
Ц(Г,*) = '“‘У1 - lira »(t..r + An-,(t,r) .
01 АТ->0
Функция u (Г, 6) дает меру чувствительности систе-
мы к вариациям интервала повторения.
Функции чувствительности для разрывных систем.
Если в уравнениях состояния имеются разрывы непре-
Считается, что и= (ии и2, ..., ип) = {мп}.
13
рывности, то возникает вопрос о существовании функ-
ции чувствительности, поскольку уравнения в вариациях
в этих точках не справедливы. Типичным примером яв-
ляется траектория оптимальной системы с разрывами
в точках переключения. Определение чувствительности
математической модели с разрывами непрерывности
включает некоторые дополнительные требования, извест-
ные как «условия скачка» (5].
Пусть система описывается уравнением
x=f(x, t) (1.15)
с .начальным условием x(t^) = (Х1(Л), ..., х7у(/1)), где
x(t)—вектор в ЛГ-мерном пространстве состояний X.
Предположим, что функции
fn(x) и ^ («,/=== 1....Л)
определены и непрерывны в X.
Пусть x*(t)—решение уравнения (1.15), начинаю-
щееся из точки х*(6), где
х*(6) = х(Л) +е6х(6) +о(е). (1.16)
Учитывая предположения, сделанные выше, уравне-
ние (1. 16) можно записать как
х*(/)=х(0+ебх(0+о(е), (1.17)
где bx(t) = (6Х1(/),.. ,,8xN(t))—есть вектор, который не
зависит от е и определяется уравнениями в вариациях
Т = «=1>2,...,У (1.18)
а=1
с начальным условием dx(/i).
В случае, когда решение x(t) зависит от некоторых
параметров системы дифференциальных уравнений,
коэффициенты чувствительности параметров можно рас-
сматривать как коэффициенты чувствительности началь-
ных условий, если ввести новый У+1-мерный вектор
у= (х, X1V+1), такой, что d-^±L = 0, xN+\ = р.
Чтобы обобщить построение возмущенного решения
х*(0 и распространить определение соответствующих
коэффициентов чувствительности на тот случай, когда
14
условия непрерывности не удовлетворяются, рассмотрим
следующую проблему.
Предположим, что пространство состояний разделе-
но на два подпространства Xt и Х2 гиперплоскостью
g(x) =0 так, что
xf=Xt для g(x)<0
х^Х2 для £(х)>0.
Тогда траектории системы определяются уравнени-
ями
-^ = Г)(Х) длях€У„ (1.19)
длях^, (1.20)
где Xi и Х2 — замыкания соответствующих подпро-
странств. Предположим, что /(1)(х) и_/2>(х) удовлетворя-
ют условиям непрерывности для x^Xt и х^Х2 соответ-
ственно.
Рассмотрим решение х (/), которое начинается в точ-
ке xi = x(Zi)eXi, пересекает гиперплоскость g(x)=0
в точке х(т), /1<т</г и 'проходитчерез точку x2=x(t2)^
Назовем х(т) точкой соединения и т—моментом
соединения. Предположим, кроме того, что точка соеди-
нения непрерывно зависит от начального условия
Пусть %*(/) будет решением уравнений (1.19) и
(1.20), которое начинается в точке x*i, определяемой
уравнением (1.16). Возмущенная траектория х*(/) про-
ходит через гиперплоскость g(x)=0 в момент времени т.
В соответствии с уравнениями (1.18) возмущенная
траектория %*(/) описывается уравнением
d$xn
dt
Л dfn} (*)
(1-21)
для интервала и уравнением
N
dixn ул
dt Li
а=1
<^2)(х)
<4
(1.22)
К(0.
Для интервала
15
Обозначим решения (1.21) и (1.22) через 6х_(/) и
и бх+(/) соответственно. В общем случае
бх+(т)^бх-(т). (1.23)
Чтобы закончить описание возмущенного решения
в смысле (1.17), нужно найти связь между 6х+(т) и
бх_(т), которая называется условием скачка. Для этого
рассмотрим сначала следующие соотношения:
1. Существует некоторая положительная величина
такая, что
т*=т+е6/; (1.24)
2. *)
X* = X* (т + еВт) = X* (т) 4~ sf™ [хх (т)] И + о (б) =
= X (г) + еВх” (г) + 8/(‘) [х* (1)18Z + о (s), (1.25)
так как
X* (г) = X (г) 4- еВх- (т) + О (г).
Все точки, фигурирующие в уравнении (1. 25), при-
надлежат подпространству Xt.
3. Введем уравнение
-^=~ГЧУ)- (1-26)
Решение уравнения (1.26), начинающееся из точки
г/(0), связано с решением уравнения (1.20) посредством
преобразования
v=42—t, (1.27)
y(v)=x(t2-v). (1.28)
Пусть у* (у)—возмущенное решение уравнения
(1.26), начинающееся в точке у*(0) =у(0) +ебу(0) +
+ о(е). Объединяя соотношения (для 1некоторого v*>0)
у* (v*) == у (v*) 4- sty (v*) 4- о (в)
и r/(v*4-s80 = y (v*) — sf(2) 4-o(e), получим выра-
жение, добоное (1.25):
у* (v*) = у (V* 4- е6/) 4-sBt/ (у*)4- sf <2> [t/ (v*)J 8f 4- о (в). (1.29)
4. Из уравнений (1.27) и (1.28) можно увидеть, что
решение x(t) для т</<^2 совпадает с решением у(у)
для v^y^O, если v=t2—т.
*> Um х* (х*) = х (т), limx* = x.
8—>0 8->0
16
В силу непрерывной зависимости решений от началь-
ных условий то же самое можно сказать о координатах
x*(t) и у* (v) ИЛИ Х+(/) и Sy(v) при условии, что т*==С
и v*^a^0, если v* = t2—x* = v—e8t и dz/(O) =
= 6х+(/2).
Поэтому уравнение (1.29) можно записать в виде
х* (V) = х (т) 4- в8х+ (<*) 4- sf<2> [х (т*)] 8/4-о (8). (1.30)
Это уравнение справедливо для подпространства Х2.
5. Объединяя уравнения (1.25) и (1.30), получаем
8х+ (т*) = 8х - (г) + (f(»> [х* (г)] - f <г> [х (г*)]) 8/ 4~ •
(1.31)
6. Используя соотношение lim х* (г*) = х (t) и то об-
е—>0
стоятельство, что х(т) и х*(т*) лежат на гиперплоскости
g(x)=0, имеющей единственную нормаль в точке х(т),
мы получим
g [х* (^*>1 — g (х Wl = (gfad g [x (г)] 4- <d, x* (x*) —
— x(t))=0 (1.32)‘>
при условии
lim <n == 0.
e->0
Объединяя уравнения (1.32), (1.25) и (1.30), мы получим
(grad g (х (х)] 4-<», 8х- (г) +f(») [X* (г)] 8*4- = 0 (1.33)
и
(grad g [х (г)] 4-ш, 8х+ (т*)44<2> [х(т*Я 8/4- = 0. (1.34)
7. Если т*—то lim8/ определен и его можно иск-
лючить из уравнений (1.33) и (1.31). Тогда условие скачка
получается в виде
8х+(т) = 8х * ft) 4~ {f(2) [х (т)] —
1 1 ( Ш (gradg [% (x)],f(4 [Х(т)]) • ч
ч Символом (,) обозначено скалярное произведение.
2—362 17
Более симметричное соотношение можно получить из
уравнений (1.33) и (1.34):
(8х+ (t), gradg (х (t)|) (Зх- (t), gradg [х (?)]) , ,„fi,
(О2) !•«('')]. gradg[x(x)J) ’(/(') [x(x)J, gradg [х (x)J) ’ V' >
Достаточные условия для того, чтобы предположения
lim х* (т'х) = х (т)
е->0
И
limt*=T (1.37)
е—>0
были справедливы, состоят в том, что
(f(,) [•«С*)]. grad g [х (т)]) 0 или 8х’ (т) = О,
(f(2) [•* СО], grad g [х (т)]) ф 0 или 8х+ (т) = 0. (1.38)
Очевидно, что этот результат справедлив также для тра-
ектории х(0, содержащей счетное множество различных
точек соединения.
Функция чувствительности для структурных измене-
ний. Пока мы рассматривали устойчивость систем, откло-
ненных от положения равновесия (устойчивость по
Ляпунову). Устойчивость системы при изменениях ее па-
раметров относится к иному типу и известна как струк-
турная устойчивость1). Термин «структурные изменения»
употреблялся пока в весьма общем смысле. Теперь мы
попытаемся определить его.
Рассмотрим пример линейной системы второго по-
рядка
^ + 28-^-+х = 0. (1.39)
Сначала предположим, что система не демпфирова-
на (6 = 0), так что решение есть гармоническая функция.
Незначительное изменение б приведет к изменению ма-
тематического описания и физического поведения систе-
мы. Например, если 6 становится положительным, но
малым, получаются экспоненциально затухающие гармо-
нические колебания. Если б станет отрицательным, ре-
0 Определение было введено в 1937 г. А. А. Андроновым
(см. [9]). Он назвал такие системы грубыми. Эта классификация
также обсуждается в книге [10].
18
щение будет неустойчивым. Поэтому говорят, что систе-
ма с 6=0 имеет неустойчивую структуру, поскольку не-
значительные изменения параметра изменяют характер
ее поведения. Это справедливо для всех консервативных
систем.
С другой стороны, существуют системы, которые
структурно устойчивы; их поведение качественно не из-
меняется при малых изменениях параметров.
Точное определение структурной устойчивости дано
в [9, 10]. Отметим, что различие, 'которое характеризует
структурно устойчивые и неустойчивые системы, являет-
ся существенно важным в нелинейной механике. Если
коэффициенты уравнений, которые определяют данную
физическую систему, известны не точно, то исследование
ее уравнений должно также включать в себя проверку
структурной устойчивости, чтобы гарантировать, что ре-
шение уравнений корректно описывает поведение си-
стемы.
Различие между ляпуновской и структурной устой-
чивостью можно выразить по Андронову следующим
образом: первая означает, что система будет возвра-
щаться в устойчивое состояние (или по крайней мере не
будет отклоняться намного от него) после снятия воз-
мущений; вторая означает, что поведение системы ка-
чественно не изменяется при малых -изменениях пара-
метров.
Обратимся к математическому описанию свойства
структурной устойчивости. Рассмотрим следующую ма-
тематическую модель
= %^ = FI(^,x,zI). (1.40)
В случае Z = 0 получаем систему
= 21 = <p(tx), (1.41)
где Zj — корень уравнения F^t, X, г,) = 0. Полагая Z = 0,
мы изменяем порядок дифференциального уравнения,
что соответствует изменению структуры системы. Поэто-
му используется термин «структурная устойчивость».
2* 19
В этом случае имеется два набора функций чувствитель-
ности:
Первая пара функций соответствует данной матема-
тической модели, вторая — модели пониженного поряд-
ка для случая Х=0. Для анализа чувствительности ва-
жен случай
«. дх дх
г™‘Л’ ~ дК ’
<1Л2>
Если эти условия удовлетворяются, то общие преде-
лы можно считать мерой чувствительности системы
к структурным изменениям. В следующей главе мы по-
кажем, при каких условиях эти пределы существуют.
Функции чувствительности для многомерных систем.
Для одномерной системы с обратной связью, т. е. для
системы с одним входом и одним выходом, можно опре-
делить одномерную функцию чувствительности
О dT (s > Рт) Рт _____d\ft.T (pms) / i до \
dpm T(s,pm) d in Pm ’ U
где T — передаточная функция, которая зависит от
комплексной частоты s и параметра рт. Для многомер-
ных систем с постоянными параметрами Т представляет
собой матрицу передаточных функций [6, 7]. Крус и Пер-
кинс [6] ввели общую матрицу чувствительности для
многомерных систем с обратной связью, в которых число
входов не равно числу выходов. Понятие матриц чувст-
вительности поясним с помощью блок-схем разомкну-
той и замкнутой систем. Известно, что влияние измене-
ний параметров уменьшается за счет отрицательной об-
ратной связи.
Рассмотрим линейный объект с постоянными пара-
метрами, имеющий т входов в качестве управления п
выходов и описываемый Л/’ХЛГ-матрицей передаточных
20
функций P(s). Пусть r(t)— P-мерный входной сигнал
системы.
Векторные сигналы в структуре без обратной связи
(рис 1. 1) обозначим через u0(t) и yo(t).
Соответствующие векторные сигналы в структуре
с обратной связью (рис. 1.2 и 1.3) обозначим через
МО и ус (0- Используя прописные буквы для обозначе-
ние. 1.1. Многомерная система автоматического управ-
ления разомкнутой структуры.
ния лапласова преобразования векторных функций вре-
мени, получим следующие соотношения:
r0(s) = P(s)t/0(s), (1.44
U9(s) = 6t(s) R(s), (1.45)
Ye(s) = P(s)Ue(s), (1.46)
Uc (s) = G (s) [R (s) - H (s)'Yc (s)], (1.47)
где P(s) —AfxM-матрица передаточных функций объек-
та, Gi(s), G(s) и H(s)—матрицы передаточных функ-
ций цепей регулятора, имеющие размеры МхР, МхР
и PXN соответственно.
Рис. 1.2. Многомерная автоматическая система с обрат
ной связью общего вида.
В результате изменений параметров объекта матри-
ца передаточных функций P(s) становится иной — P'(s).
Тогда имеем
P„(s) = P'(S)G0(s), (1.48)
Y'c(s) = P'(s)U'0(s), (1.49)
U'e (s) = Q (s) \R (s) - H (s) Y'c « (1.50)
21
Пусть матрицы Gi(s), G(s) и H(s) таковы, что в слу-
чае отсутствия возмущений УС($) = УО($). Будем оцени-
вать влияние изменений параметров объекта на процес-
сы в рассматриваемых системах с помощью разностей
£o(s) = yo(s)-y'o(s), (1.51)
Ec(s) = yc(s)—У'с(з). (1.52)
Для сравнения процессов в этих системах полезно
установить связь между E0(s) и Ec(s). К’рус и Перкинс
[6] показали, что эта связь линейна
Ec(s)=S(s) E0(s). (1.53)
Рис. 1.3. Многомерная автоматическая система, у кото-
рой все сигналы обратной связи получаются в результа-
те обработки выходного сигнала.
Матрица S(s) в уравнении (1.53) определена как
матрица чувствительности. Линейное соотношение (1.53)
получается с помощью выражений
Ус - У'с = Ес = (In + P'GH)~* \bPG(НТ-/р)] R (1.54)
и
Y9-Y'0 = E9 = bPG[HT-Ip]R, (1.55)
где обозначено
Т =.(1п-(-PGH)~l PG,
ЬР=Р' — Р. (1.56)
/р — P-мерная единичная матрица.
Из уравнений (1.54) и (1.55) получаем окончатель-
ное соотношение1)
Ec=(ln + P'GH)-'E0. (1.57)
В связи с сопоставлением процессов в разомкнутых и замкну-
тых системах интересен «парадокс» Пагурека и Витценхаузена, изло-
женный в приложении А.
22
Следовательно, матрица чувствительности имеет вид
S=(Jn + P'GH)-i. (1.58)
Отметим, что для систем с одним входом и одним
выходом и малых изменений параметров объекта (р'~
~р) выражение для S(s) совпадает с классическим
определением (1.43) функции чувствительности [8].
P'GH — матрица обобщенного возвратного отношения и
(Jn + P'GH)—матрица обобщенной возвратной разно-
сти.
Для существования матрицы S не требуется, чтобы
размерности Р, М, и N были одинаковы. Поэтому мат-
рицы Р, G, Gt и Н в общем случае не являются квадрат-
ными, но произведение P'GH должно быть квадратной
матрицей.
Матричное представление для определения чувстви-
тельности многомерной системы без разделения системы
на объект и регулятор было дано Вукобратовичем (7].
Для динамической системы, описываемой соотношением
Лх=Х, (1.59)
где А — операторная матрица исходных уравнений, т.е.
-f- “I" Ctj,
x и X — изображения выходных и входных сигналов,
функции чувствительности произвольного порядка дают-
ся следующим рекуррентным соотношением1);
«<’•) = _ Л А А-'А^х - (г Ул-1Л(Г-1) «<*) —
\о; мЛ
'гАл-1Л<г-2)й:(2) —...- (уУтй Д-1Л<1)й(’--‘). (1.60)
ЛИТЕРАТУРА
1. Гельфанд И. М.» Фомин С. В. Вариационное исчисление.
Физматгиз, 1961.
2. Rutman R., and Kokotovic Р. Towards a General Defini-
tion of Sensitivity, 10 th Conference of ETAN, Beograd, p. 166—
170, 1965.
3. В e k e у G. and To m оv i c R. Sensitivity of Discrete Systems
to Variation of Sampling Interval, IEEE Trans., vol. AC-11, № 2,
April 1966, p. 284—287.
О См. гл. 3 «Чувствительность колебательных систем».
23
4. Tomovic R. and В ekey G. Adaptive Sampling Based on
Amplitude Sensitivity, IEEE Trans., vol. AC-11, № 2, April 1966,
p. 282—284.
5. Де Бакер У. Условия скачков для функций чувствительности.
В сб. «Чувствительность автоматических систем». Изд-во «Нау-
ка», 1968.
6. Cruz J. В. and Perkins W. R. A New Approach to the
Sensitivity Problems in Multivariable Feedback System Design,
IEEE Trans, on Autom. Control, 1964, vol. AC-9, № 3.
7. Вукобратович M. Чувствительность и инвариантность мно-
госвязных динамических систем. Автоматика, Киев, 1968, № 4.
8. Г о р о в и ц А. М. Синтез систем с обратной связью. Изд-во
«Советское радио», 1970.
9. А н д р о н о в А. А. Собрание трудов, Изд. АН СССР, Москва,
1956.
10. Андронов А. А., Витт А. А., X а й к и н С. Э. Теория коле-
баний, Физматгиз, 1959, гл. VI.
Глава 2
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ
Для нахождения функций чувствительности необхо-
димо иметь соответствующую информацию о системе.
Эта информация обеспечивается либо с помощью моде-
лирования, либо путем непосредственных измерений на
физической системе.
Поскольку анализ чувствительности имеет особенно
большое значение на этапе синтеза систем, на практике
функции чувствительности наиболее часто определяются
по математической модели системы. Нахождение функ-
ций чувствительности путем моделирования или непо-
средственного измерения подробно изложено в литера-
туре [1}.
Для выяснения главного 'принципа, лежащего в ос-
нове методов вычисления функций чувствительности,
ограничимся пока случаем постоянных вариаций пара-
метров непрерывной системы. Пусть система описывает-
ся в векторной записи уравнением
x=f (х, р(/), /), х(/0) =хо. (2.1)
Задача заключается в нахождении матрицы чувст-
вительности
ы(/?) = [4М = Гn = т= 1,2,М
[ | L UP™ J
при постоянных вариациях параметров APm=const
Дифференцируя уравнения (2.1) по р и учитывая,
что в вектор р не входят начальные условия, получаем
матричное дифференциальное уравнение
о (Р) = G (Ф, р, 0 и (р) + Н (Ф, р, 0, (2.2)
U(p,tJ = О,
25
где U — вектор-функция чувствительности относительно
параметра, р — номинальное значение вектора парамет-
ров, Ф — невозмущенное решение системы (2.1)
'я=1’2....
"=!>} и=‘-2............"
Выражение (2.2) представляет собой линейное диф-
ференциальное уравнение первого порядка с перемен-
ными коэффициентами, (которые, как и свободный член,
определяются решением невозмущенной системы (2.1).
Таков основной принцип всех методов определения функ-
ций чувствительности по известной математической мо-
дели системы.
Итак, вычисление функций чувствительности сводит-
ся к решению заданной (2.1) и выведенной (2.2) си-
стемам уравнений для каждого параметра. С вычисли-
тельной точки зрения для ЦВМ это не представляет ка-
ких-либо осложнений. Иначе обстоит дело с использова-
нием аналоговых вычислительных машин (АВМ). Для
решения системы (2.2) уравнение (2.1) играет роль
генератора функций (коэффициентов и свободных чле-
нов системы (2.2)), поэтому в общем случае нахожде-
ние функций чувствительности требует практически
двойного объема АВМ. Одновременное определение
функций чувствительности относительно нескольких па-
раметров с помощью только одной модели чувствитель-
ности возможно лишь для одного достаточно узкого
класса линейных систем [1].
При использовании ЦВМ к основной программе ре-
шения системы (2.1) добавляются указания, относитель-
но каких параметров необходимо вычислить функции
чувствительности, и таким образохМ происходит одновре-
менное или последовательное решение уравнений систе-
мы и уравнений чувствительности. Подобный принцип
был изучен Н. Пареза.новичем [2].
На практике добавление к основной системе уравне-
ний чувствительности часто делает математическую
модель очень сложной. Пусть, например, система описы-
вается п дифференциальными уравнениями второго по-
рядка, зависящими от k параметров. В этом случае пол-
ная система уравнения будет включать еще k систем
дифференциальных уравнений, каждое из которых со-
26
стоит из п уравнений второго порядка. Для упрощения
решения такой громоздкой системы уравнений разрабо-
тан специальный алгоритм, позволяющий с помощью
ЦВМ одновременно находить все функции чувствитель-
ности.
Пусть система описывается уравнениями вида
.-,Уп, У,.Уп,Уч-,Уп)
(2.3)
с начальными условиями
Уг (1<>)==У1,о, Уг^о) ~ У1.о>
1= 1,2,...,«, (2.4)
где сц(] = 1,.... п) — константы, а рк— параметры.
Дифференцирование уравнений (2.3) по параметрам р
(/= 1,2,..../г) дает уравнения чувствительности
начальными условиями
u,(Q = 0; «,(/,) = 0, (2.6)
где введены следующие обозначения:
(2.7)
= (2-8)
= (2-9)
Получение уравнений чувствительности, как следует из
(2.5), сводится к нахождению частных прсизводных
dft dft dft df ^2
d'yj ’ dy, ' dVi ' дрт ' X • )
где i=l, 2,..., n; / = 1, 2,..., n; m=l, 2,..., k.
27
В уравнениях (2.3) производная j/, не входит в пра-
вую часть i-го уравнения, поэтому
-^- = 0, i=l,2, ...,я (2.11)
dyt
и эта частная производная не может появиться в правой
части /-го уравнения системы (2.5).
Некоторые аргументы могут быть фиктивными.
Для такого аргумента X:
-g^O; /01,2,.(2.12)
где
( {А> A. •••.A.i'i. ••/j't-i. yi+„-,yn,yt ••••
-Уп> yt>--,yn}-
Для получения частных производных (2.10) необхо-
димо исследовать каждую функцию fi, i= 1, 2, ..., п Зп +
+ Л—1 переменных. Поскольку каждый набор символов,
введенный в память машины, можно рассматривать как
последовательность, будем считать функции fi последо-
вательностью символов.
Эти символы представляют собой аргументы, ариф-
метические операторы и скобки. Знаки аргументов и
операторов рассматриваются как один символ, а аргу-
мент может быть либо константой, либо переменной
(или массивом).
Правые части уравнений (2.3) представляются в виде
квадруплетов [3]:
0; 01, 02, г, (2.13)
элементы которых расположены в следующем порядке:
1—операция (0)
2 — первый аргумент (01)
3 — второй аргумент (02)
4 — результат операции (г).
Каждый квадруплет вида (2.13) может рассматри-
ваться как инструкция для трехадресной ЦВМ. При ис-
пользовании одно- или двухадресных -машин нетрудно
построить взаимно однозначные соответствия между
квадруплетом (2.13) и последовательностью одноадрес-
ных инструкций. В дальнейшем изложение алгоритма
будет вестись на уровне квадруплетов (2.13). В этом
28
сйучае задача определения частных производных (2.10)
может быть решена с помощью дифференцирования
(2.13).
Введем множества Si и S2:
= {*. ci2,..., cim}, i= 1, 2,.... п, (2.14)
S2 = {a. А>-. Рк\- (2.15)
Пусть Si и s2— произвольные элементы множества со-
ответственно Si и S2. Тогда при p&S2
# = 0 (2.16)
(/02
= P*S* (2.17)
dsr p==s2 V
dyi _;; . _ . dyi _ „ /91 r\
—Игр’ dp — “ip* — (2-18)
Пусть аргументы /г связаны между собой операция-
ми сложения, вычитания, умножения и деления.
В табл. 2.1. представлены возможные формы квадруп-
летов и их -производных.
Таблица 2.1
Квадруплет
» ^2, Г
—, у Л2 Г
X» «1, а2у г
Л аХу а2, г
Производная
+ , а\у а'2у г'
—, а'2у гг
X» аг2у г1
X» а'2у гх
X» 2 >
+ , П, г2у г
X, &1» ^2> Г1
, (Z 2» ^*2
—> r2t г8
/, r3y а2у Гь
Л г4у а2у г'
Пусть набор операций включает в себя и элементар-
ные функции, тогда для функций одной переменной ар-
гумент будем помещать в позиции квадруплета, а сим-
вол >]< — в а2.
29
Таблица 2.2
Функция Квадруплет Произв 'дная
у = х , х, У —, .1, Г1 . х, Г„ Гг X, Гг, у'
у = е* Б. X, >|с, у Е, х, у’
У= Inx L> X, у /. 1.x, у'
у = sin х s, X, у С, х, у'
у — cos X с, х, >|<, у 0, г„ у'
y = tgx т, х, >(<, у С. х, >|<, п - /, 1, П, Г2 /. г2, г„ у'
y = tg~'x Л, X, %, у Л’, х, >(<, г, t, 1, Г„ гг /, 1, гг, у'
В табл. 2.2 представлены некоторые элементарные
функции, имеющиеся, как правило, в библиотеке под-
программ ЦВМ.
Для элементарных функций со сложным аргументом
дифференцирование осуществляется по правилу диффе-
ренцирования сложной функции. Если
y=f(u)-, и=Ф(х), (2.19)
то функция вычисляется с 'помощью квадруплетов
ф, х,%, и, f, и, %, у, (2.20)
где Ф и f — соответствующие операторы. Дифференци-
рование (2.20) дает
Ф', х, >|с, и', f', и, >|<, г, х, и', г, у'. (2.21)
Процесс вычисления функций чувствительности оста-
ется одним и тем же для всех определений функций чув-
ствительности предыдущей главы, т. е. путем решения
системы уравнений, полученных дифференцированием
исходной системы по параметру.
Для полноты изложения рассмотрим уравнения чув-
ствительности для всех случаев, рассмотренных в гл. 1.
30
Разлагая правую часть уравнения (2.1) при неста-
ционарной вариации еи(/) б ряд Тейлора, получаем [3]:
7 (X, Р + SV (П) = f (X, р, о + еН (X, p,t) + o (П- (2.22)
Пренебрегая членами второго и выше порядка мало-
сти, уравнение (2. 22) запишем в виде
t(x,p + w(t))=f(t)+Q(e,t). (2.23)
Предположим, что решение возмущенной системы
(2.22) может быть представлено в виде
Чф, е)=х(/)+8ы(/, е). (2.24)
Подставим (2.24) в левую часть уравнения (2.22)
и, разлагая в ряд Тейлора по степеням х и р, получаем
для первого приближения векторные уравнения
х-|- ей = f (х, р, t)-|- sG(х, p,'t)и-\-ъН (х, р, t)v, (2.25)
где G(x,p,t)— первый член разложения по и и, следова-
тельно,
u = G(x,p,t)u^-H(x,p,t)v (2.26)
и
“(А Q = 0.
Уравнение (2.26) является уравнением чувствитель-
ности первого приближения для случая нестационарных
параметров.
Для функциональной производной имеем
= ita Xt = Ui (t, s) |,=0 = Ui (t, 0),
где u<(/,0)—i-ая компонента решения (2.26) при
и (t,0)=0.
Компоненты vm, т=\, 2,..., М вектора v(t) могут
быть как равными, так и различными, существенно
лишь то, что они должны удовлетворять условиям су-
ществования функциональной производной: равномерной
ограниченности и интегрируемости.
Полагая и(/) = |, получаем уравнение (2.2). Про-
грамма для вычисления элементов матрицы U(p,v) оста-
ется по существу той же, разница лишь в том, что те-
31
перь нужно учитывать нестационарность параметров и
их вариаций.
Функции чувствительности
и={и(рт)}, т=\,2......М,
также зависят от выбора возмущающей функции.
Упорядочим множество U. Для этого введем норму
вектора чувствительности. Пусть, как и в [4],
N
II «(Ап, А ОII =2 max I un(pm,v,t) | . (2.27)
п=1
Полагая
II «(Ап, М) || <ст, t^t0,
получаем следующий ряд:
А» с2,..., сD,
который можно представить так, что
С1<Сг< • •. <cd, D^M. (2.28)
Если для двух или более параметров соответствую-
щие нормы имеют одну и ту же верхнюю границу, то
они представляются одним числом ряда (2.28). Отсюда
Ds^M.
В ряде (2.28) параметры расположены по степени
влияния их на состояние системы, описываемой уравне-
нием (2.1), когда все параметры p(t) возмущаются од-
ним сигналом v(t).
Ряд вещественных чисел, полученный делением чле-
нов ряда (2.28) на max cD, носит название параметри-
ческого ряда.
Выясним теперь условия инвариантности в «большом»
(т. е. справедливые при пориэвольных начальных усло-
виях и управляющих воздействиях) параметрических
рядов к виду возмущения v(t).
Рассмотрим линейную нестационарную систему
x = A(t)x(t)-[-B(t)r(t), (2.29)
где Л (0 — матрица NxN, B(t)—матрица NXS. Пред-
полагается, что элементы матриц — ограниченные непре-
рывные функции времени, г(() —S-мерный вектор. Вы-
ходом системы считаем вектор состояния.
32
Известно, что для линейных систем инвариантность
параметрического ряда (2.28) тесно связана с устойчи-
востью (0-устойчивость: «ограниченный вход— ограни-
ченный выход»).
Система, описываемая уравнением (2.29), является
О-устойчивой, если для любого t0, начального состояния
Хо и ограниченного воздействия r(t), вектор состояния
x(t) ограничен при /<=(/о,°°) {4].
Условиями 0 — устойчивости уравнения (2.29) явля-
ются следующие:
1. Л(/) и B(t) непрерывны и ограничены на интерва-
ле (t0,oo).
2. || Ф (t, t0) || < М, < оо , где Ф (/, t0) — переходная мат-
(n \
S Ф„. i(t) )•
/2=1 /
t
3. J ||Ф(/,/')В(Г)ЦЛ'<М2<оо.
б
4. ||г(/)1|<Af3<oo.
Уравнения чувствительности относительно элементов
a-ni матрицы Л(/) в соответствии с (2.26) имеют вид:
«(ani) = A(t)u (ani) 4- bkXiV,
8ft = 0 при k=^n\ 8ft=l при k — n (k= 1, 2,K),
л _ dx (ant + ev (t))
U(an,,Q = 0. (2.30)
Для вариаций параметров bnS имеем:
u (^ns) = Л (/) и (bnS) -|- 8ftr sv,
u(b dx(bn, + *v(t), t)
---------------Tv-------,=0’
u(bns, /o) = 0 /1 = 1,2, ...,M
s=l,2,...,S. (2.31)
Условие 0-устойчивости уравнения (2.29) можно пред-
ставить также в виде
II х (0 II <М, || х, || + Л4, | || Ф (/, V} В (/') || dt'. (2.32)
3-362 за
Для уравнений чувствительности (2.30) и (2.31)
условия 0-устойчи<вости следующее:
||«(ап/,011= ( II || dt',
II u(bns, t) || =j || Ф(/, t')hrs(t')v(t') (I dt'. (2.33)
A)
В силу свойств бл вектор б^х, имеет только одну от-
личную от нуля компоненту.
Обозначим через Ф(/Д) — вектор, компонентами ко-
торого являются элементы i-ro столбца матрицы <!>(», /) =
= (Фн(0,ф2<(0,-., Ф^(/)).
Тогда уравнения (2. 33) можно записать в виде
II ||</, II Ф(/,0 и e(Xi\
II«(W)II <4IIФ(/.Oil e(rt). (2.34
Здесь /о, e(xj), e(rs)—точные верхние грани соответст-
венно функций v(t), Xi(t) и rs(t), т. е.
|v(Ol^o;
jxi(O | ^e(Xf);
|rs(0l^e(rs).
Из уравнений (2.33) следует информация об инва-
риантности параметрического ряда. Если уравнение
(2.29) 0 — устойчиво, то и все функции чувствительно-
сти обязательно 0 — устойчивы.
Нахождение параметрического ряда для системы
(2.29) сводится, естественно, к определению функций
чувствительности, т. е. к одновременному решению си-
стем уравнений (2.29), (2.30) и (2.31).
Далее легко вычисляются норма
u(anf,0=S II Uk(ani,t) ||, п, k = l,2,N
*=i
и точная верхняя грань для конечного интервала наблюде-
ния [М,].
При синтезе систем управления часто бывает важно
знать связь между параметрическими рядами для ста-
ционарной вариации v(t)—to и параметрическим рядом,
соответствующим любым нестационарным вариациям,
34
удовлетворяющим условию у(/)^/0. Эта связь дает* я
уравнениями (2.33) и (2.34): параметрический ряд всех
стационарных вариаций параметров представляет собой
верхнюю границу параметрических рядов, соответствую-
щих нестационарным вариациям параметров, удовлетво-
ряющих условию v(t) ^'lo.
Отсюда следует интересный, с практической точки
зрения, факт. Предположим, что управляющий сигнал
/-(/) в уравнении (2.29) подвержен случайным воздей-
ствиям ограниченной амплитуды. Тогда из изложенного
следует, что влияние этих -возмущений на состояние си-
стемы эквивалентно (в смысле верхней границы) пара-
метрическому ряду, соответствующему некоторому ста-
ционарному возмущению параметров. Таким образом,
с -помощью достаточно простых измерений оказывается
возможным определить критические точки системы от-
носительно помех.
Изложенные результаты справедливы, очевидно, и
для стационарных линейных систем, причем для них вы-
воды становятся проще, поскольку 0-устойчивость авто-
матически следует из асимптотической устойчивости.
Для систем, описываемых разностными уравнениями
вида
x(th+l)=ftx(ik), th, yi(tk)], k=Q, 1, 2, ..., Д, (2.35)
чувствительность в малом u.(k) и чувствительность
в большом u(t,k) определяются соответственно с по-
мощью уравнений (1.11) и (1.13).
Для функций чувствительности в малом имеем раз-
ностное уравнение (5]
и (k +1) = A (tk) u(k)-\-a (tk) -^L + , (2.36)
полученное дифференцированием (2.35) no t, где
~df> (tk) dfi (tk) ~ dXN dh (tk) ' &У1
Л(м= dfN (tk) Wn (^») dxN ; a(tk) = 1 dfN (<») ( dy,
Начальные условия для вариации первого интервала
квантования равны нулю. Для последующих интервалов
3* 35
начальные условия получаются путем решения уравне-
ния (2.26) с предыдущими начальными условиями.
Уравнение чувствительности для u(T, k)-чувствитель-
ности в большом также получается из (2.35) путем
дифференцирования при 4+i—tk = T (fe = 0, 1, ..., К) и
имеет вид
и(T,k + 1) = A (T,k)и(Г, k) + а(Т, +-^г, (2.37)
где матрица А и вектор а те же самые, что и для чув-
ствительности в малом, с той только разницей, что вы-
числение теперь производится для равномерного кванто-
вания.
Вектор-функции u(k) или u(T, k) представляют со-
бой меру чувствительности дискретной системы к вари-
ациям интервала квантования. Может .возникнуть во-
прос, в чем же смысл этой меры, если выбор частоты
квантования в дискретных системах обычно диктуется
иными, нежели чувствительность, соображениями (пере-
ходный процесс, устойчивость и т. д.)? Поэтому пред-
ставляется интересным указать на одно (пока мало раз-
работанное) практическое применение функций чувстви-
тельности дискретных систем.
Рассмотрим пример из области передачи информации
по каналу связи.
Ясно, что с экономической точки зрения равномерное
квантование является не лучшим выбором, поскольку
при этом не учитываются вариации передаваемого коли-
чества информации. Изменяя же длительность интерва-
ла квантования в соответствии с передаваемым количе-
ством информации и сохраняя в то же время динамиче-
ские свойства системы, можно в значительной степени
уменьшить общее время передачи. Так приходим
к адаптивной системе ю -настраиваемым параметром —
частотой квантования (5, 6]. Само собой разумеется, что
введение адаптации требует дополнительных вычислений,
поэтому оно имеет смысл только тогда, когда предъяв-
ляются особые требования к стоимости передачи инфор-
мации.
Представим себе, что на аналоговой машине модели-
руется линейная система x(t) =A(t)x(t)+В (t)r(t) и ее
точная дискретная модель
— 1
36
полученная путем перехода к дискретному времени
в уравнении переходного режима исходной непрерывной
системы. Ошибкой квантования входного сигнала будем
пренебрегать. Тогда в моменты квантования переменные
состояния дискретной системы будут строго равны соот-
ветствующим переменным непрерывной системы. Ошиб-
ка в дискретной модели имеет место только внутри ин-
тервалов квантований и определяется длительностью ин-
тервала квантования и характером восстановления сиг-
нала.
Определение переменного интервала квантования
основывается на следующих предположениях [7]: во-пер-
вых, внутри интервала квантования непрерывный сигнал
представляется прямой линией и, во-вторых, значение
x(tk) может быть аппроксимировано двумя членами ря-
да Тейлора:
х(4) ~x(^_!)+u(fe) (4—6<_i), (2.38)
где u(k)—функция чувствительности в малом.
Выберем в качестве критерия максимально допусти-
мое значение ошибки. Интервал квантования должен
удовлетворять условиям вида
\xn(tk) — xn(tk_ 1)\<тп, n=\,...,N. (2.39)
Элементы вектора т выбираются такими, чтобы обес-
печить желаемую точность соответствующей координаты
системы.
Интервал, удовлетворяющий условию (2.39), опреде-
ляется из уравнения (2.38). Для n-ой координаты си-
стемы интервал квантования должен удовлетворять
условию
<2Л0>
Может использоваться и минимальное значение, так как
zz = 1,..., N. (2.41)
При этом вектор состояния системы будет ограничен
некоторой допустимой областью.
Если критерий качества системы выбран в виде ква-
дратичной формы и' (k)Qu(k), метод нахождения интер-
вала квантования будет несколько отличным.
37
Рассмотрим систему второго порядка. Пусть Q — диа-
гональная матрица с элементами :и 922, тогда
и' (k) Qu (k) = qt 1U; (k) + q2iu; (k). (2.42)
Используя выражения (2.38) и (2.42), можно показать,
что
7» __ Г?н [*1 (^fc) — х> Ок- 1 )]2 4" ?22 (хг (ifc) — х2 (t*- 1)]2 ] М2
[ u'(k)Qu(k) J •
(2.43)
Более общий подход к восстановлению сигнала в дис-
кретной системе состоит в использовании фиксаторов
нулевого и первого порядка. Выходное значение на ин-
тервале th—th-i в этом случае
Хп(th-, + V]) = + Хп(fft_ (2 44}
* h - 2
где th-i) и 0=CF=C 1.
При F=0 из (2.44) имеем уравнение для фиксации
нулевого порядка, при F=1 — первого порядка.
Для интервала квантования теперь имеем
Г(*-1 )Л ~ | «„(*)— 1) Г (2-45>
где п= 1, ..., N и O^F^l.
Рассмотрим теперь случай приближенной дискретной
модели:
Х(М = И6i-i)]-’c(^-i)-|-
+ Th-tB(th, th-^rtth-^,
где Th-i — th—th-i, I — единичная матрица. Ошибка
аппроксимации x(th) в этом случае на &-м интервале
(th) == Хп (th) Хп (th)-
Если потребовать, чтобы ошибка xn(th) удовлетворяла
условию
(2.46)
38
то для определения длительности интервала квантова-
ния можно воспользоваться аппроксимацией вида
^nWsxn(/».,)+r».AW (2-47)
и тогда
|xn(^.1) + 7'fc_lu(^)|</zin, « = !,... ,ЛГ. (2.48)
Если вместо выражения (2.46) потребовать ограни-
ченность разности между восстановленным сигналом и
точным, то для случая фиксации нулевого порядка по-
лучаем
(k) - Fun (k - 1) + МЭД 7\_, + х~ (tk_,) | < тп, (2.49)
где 1.
Для нахождения Tk-t необходимо знать функции чув-
ствительности u(k) и u(k), которые в свою очередь за-
висят от tk, а следовательно, и от Тк-1. Эту трудность
можно обойти, используя предсказанные значения и' (k)
и u'(k). Тогда порядок вычислений при моделировании
становится следующим:
1. Вычисление u(k) и u(k) по их значениям на пре-
дыдущем интервале.
2. Вычисление Tk-i.
3. Вычисление x(k) по формуле x(k) =f{x(k—1),
u(k— 1), tk_u tk}.
4. Повторить процедуру для следующего интервала.
Пример. Рассмотрим систему с переменными интервалами
квантования, описываемую разностным уравнением
х (k) = Ах (k — 1) + bh (k — 1),
где элементы матрицы А имеют вид:
Ди = е~зг sin (47), (2.50)
а12 = — 1,5е-зг sin(47), (2.51)
аг1 = — l.Se-37, sin(47), (2.52)
агг = е-31" [cos (47) — 0,75 sin (47)]. (2.53)
Вектор Ь имеет компоненты:
Ьг = 0,25 {4 — е~*т [3 sin (47) + 4 cos (47)]} (2.54)
Ьг = 1,5<?~зг sin (47). (2.55)
39
В этом случае уравнение относительно!интервалов имеет вид
u(k) = cx (k— [) + dh(k— 1),
где элементы матрицы С и вектора d имеют вид:
с,, = e~3r6,25sin(4T), (2.56)
с|2 = е~3r^-^-cos (47) — -у- sin (47) j, (2.57)
с21 = е-37 (4,5 sin (47) — 6 cos (47)], (2.58>
с22 = е~зт [6 cos (47) 4-1,75 sin (47)], (2.59)
d, = 6,25<?~3r<sin (47), (2.60)
d2 = е~зт [6cos (47) — 4,5sin (47)]. (2.61)
Влияние вариаций длительности интервала квантования ис-
следовалось для входного сигнала
при и 1,4^7^ 1,6 (2.62)
и h(t)=O в остальных случаях.
На рис. 2.1 показаны графики входного воздействия (пунк-
тирная линия) и сигналов Xi и х2 при начальных условиях
Xi(0)=0 и х2(0)=0. Функции чувствительности Ui и и2 показаны
на рис. 2.2.
Z7.S1
Рис. 2.1. Входное воздействие
и реакция системы.
Рис. 2.2. Функции чувствитель-
ности.
Длительность интервала квантования для каждой компоненты
вектора чувствительности определялась из уравнения (2.45). Как
видно из рис. 2.3, ошибка восстановления по каждой переменной
системы близка к желаемой mi = m2=0,02. На рис. 2.4 представ-
лена кривая изменения длительности интервалов. Скачки в мо-
менты 1; 1,4 и 1,6 сек обусловлены характером входного сигнала.
Наклон кривой изменяется также при передаче ошибки от одной
фазовой переменной к другой.
Существует широкий класс динамических систем,
в которых скорость переменной состояния зависит не
40
только от состояния в настоящий момент времени, но и
от состояний системы в фиксированное число предыду-
щих моментов. Такие системы описываются дифферен-
циально-разностными уравнениями вида
x(t — т,).. x(t — tJ, p, u(t), /], (2.63)
где x(t)—Л^-мерный вектор состояния; f — вектор-функ-
ция; p=(pi, • • •, Pk)—7?-мерный вектор параметров и
u(t) —вектор входа.
Рис. 2.4. Осциллограмма изме-
нения интервала квантования.
Рис. 2.3. Восстановление
ошибки.
Запаздывание в системе характеризуется набором
{Т1, Т2, ..Хм}-
Обычно представляет интерес исследование не про-
сто отдельных переменных состояния, а некоторой функ-
ции от них, также зависящей от р [8]:
у(0 = 1/(х(0, x(t — т,),..., X(t-ZM), р, u{t), t). (2.64)
Рассмотрим частный случай, когда уравнение (2.63)
представляет собой систему линейных неоднородных
дифференциально-разностных уравнений вида
м м
2 (Р) хг) + J] В< (р) x(t — ^) = Е (р) и (0,
i=0 i=0
(2.65)
где />тм, Ло=/, Аг и Вг — известные матрицы размер*
пости (AfXAf), зависящие от вектора параметров. В даль-
нейшем предполагается, что О<то<Т1< ... <Хм и что
начальные (граничные) условия заданы в виде функции
x(/)=/i(/)? определенной на интервале /0+тм].
41
Выход системы теперь можно записать так:
м
Z=0
м
+ J] Di (р) x(t-4) + F (р) и (0. (2.66)
z=o
Дифференцируя (2.65) по р, получаем уравнения чув-
ствительности относительно вариаций (параметра р:
м м
z=o z=o
Af
z=o
M
+SB’(p)^r[x(z-x’)1 = 0, (2,67)
Здесь предполагается, что вектор параметров не за-
висит от времени или, по крайней мере, медленно меня-
ется в течение переходного процесса, поэтому равенство
dxldt = dxjdt оправдано.
Меняя порядок дифференцирования в (2.67) и вводя
обозначение для функций чувствительности
дрк 1 дрк
получаем
м м
У) Т«- +S ~Xi)=
z=55 z=o
Af Af
=4 “«) - S < T S -V V - *) (2-68)
z=o z=o
и
Af Af
«о=у; ct «- x<)+ё > (< - +
i=0 z=o
42
м м
+j] Dte (t - +j] jikX (t - xt)+у), t>^
1=0 i=0
(2.69)
где Jik — соответствующие матрицы производных.
Уравнения (2.68) и (2.69) удобны для решения на
цифровой или комбинированной вычислительных маши-
нах.
По аналогии с параметрической чувствительностью
можно определить и чувствительность запаздывания,
представляющую собой меру влияния малых изменений
запаздываний на координаты системы. В дальнейшем
будем предполагать, что относительные изменения запа-
здываний малы.
Обозначим через Кк— k-ую независимую переменную
запаздывания t—хк. Функция чувствительности запазды-
вания тогда dx(t—Xkj/dtk^dxi'kky/dhk-
Из (2.65) имеем
ч=о z=o
или
м м
V Ai ^ (/ - х{) £ (t - Xi) = A^(t~ хк) +
Ы0
^-Bk^(t-xky, t>xM> xk, (2.70)
где =
Аналогично имеем для (2.66)
м м
е<« (0=уч (f - Xi) + у] DtC(h) (t - Xi) -
Z=0
l^k
-Ckd^(t-xk)-Dk^(t-xky t>xM. (2.71)
представляет собой вектор-функцию чувстви-
тельности относительно хк.
43
Блок-схема решения уравнений (2.65) и (2.66) пока-
зана на рис. 2.5. На рис. 2.6 представлена блок-схема
вычисления &-ой компоненты вектор-функции чувстви-
тельности T](ft)(/), определяемой уравнениями (2.68) и
(2.69). Выходными сигналами здесь служат векторы
x(t—т,) и их производные, получаемые с модели основ-
ной системы (рис. 2.7), а также управляющее воздейст-
вие u(t).
Рис. 2.5. Модель системы с запаздыванием.
Определение функций чувствительности разрывных
систем. Рассмотрим нелинейную, нестационарную, кусоч-
но-непрерывную динамическую систему с разрывом не-
прерывности, возникающей только при одном значении
независимой переменной / = [9]. Внутри интервала
/г), где /1Е(/о, /г), система может быть описана
с помощью уравнений
х = (F~ Iх’ *№’**)’ (2.72)
|F+[x,/]; *((*.,/г),
где х—Af-мерный вектор состояния. Индексы «—» и « + »
служат для обозначения соответствующих подынтерва-
лов t.
Пусть при
t = t0
x(t0)=x0={xn0}. (2.73)
В начале второго подынтервала t=tu координаты
вектора x+(/i) задаются линейной комбинацией коорди-
44
нат соответствующих состоянию системы в конце
первого йодынтервала:
(2.74)
где B=[&nm] — произвольная матрица размерности
NXN с постоянными элементами.
Учитывая уравнения (2.73) и (2.74), уравнение (2.72)
можно представить в следующем виде
{272а)
Н+[х (/),/], g[x(t),t]>0,
где gfx(Z), /] = 0— уравнение гиперповерхности, разде-
ляющей пространство состояний системы на два подпро-
странства.
Рис. 2.6. Блок-схема определения &-сй компоненты функции чувстви-
тельности.
Если
a) t = t0, x(tQ) =х0,
g[x(t0), /0]<0; (2.73а)
б) t = ti, где ti определяется уравнением
g[x~(M> М = 0,
x+(tl)=H[x~(tl)]. (2.74а)
Здесь Н — Af-мерный вектор, элементы которого яв-
ляются произвольными функциями N независимых пе-
ременных Хп(/1).
45
Решение уравнений (2.72), удовлетворяющее услови-
ям (2.73) и (2.74), можно записать в виде
а) для /е (/о, /1)
(/) = Xt + J {Г- [х(т), г]} dx, (2.75)
*0
б) на втором подынтервале, для ££(£„ t2)
(0 = х+ (t,) + J {F+ [х (т), т]} dx, (2.76)
где, как следует из (2.74) и (2.75),
{Л )
*о+ С {^•[Х(г), (2.77)
i J
Введем вектор u(t), координаты которого представ-
ляют собой частные производные координаты состояния
по tr.
u(f)=£x(t).
(2.78)
Для получения уравнения чувствительности, решени-
ем которого является u(t), продифференцируем уравне-
ние (2.76) по tt. В результате получаем
*>1 +
t N
+f Е <2-79)
It т=1
В силу (2.72) и (2.77) первый член правой части можно
записать в виде
|-[x+(O] = BF- [х(Л), t']=Bx-(tx) , (2.80)
а второй член
F+[x(^), /,] = *+(/,).
(2-81)
46
Следовательно, на интервале вектор u(t)
имеет вид
u(t) = Bx-(tl) — x+ (f,)4-
t я
(2-82>
ti т=1
Дифференцируя уравнение (2.82) по независимой пере-
менной t, получаем
N
= {F+ [Х+ V’ '1} (X) (2‘83)
m=l
ИЛИ
« (0 = grad„ F+ [x+ (0, П u (0. (2-84)
где gradAf77+ [...] = — N\N матрица,
из элементов
[x+(Q, Z]
составленная
(2.84a)
Полагая t — tt в уравнении (2.82), получаем начальные
условия для системы (2.84)
и(^) = Вх-(/,) — x+(tt). (2.85)
Таким образом, для динамических систем, описывае-
мых уравнением типа (2.72), получена система линейных
дифференциальных уравнений (2.84) с переменными ко-
эффициентами, решение которой дает функции чувстви-
тельности вектора x(t) относительно параметра Л. При
решении на аналоговых вычислительных машинах одно-
временно набираются системы (2.72) и (2.84) с началь-
ными условиями, определяемыми уравнением (2.85).
При этом для задания и (Л) требуются специальные
комбинированные элементы. Одна из возможных блок-
схем определения ы(^) представлена на рис. 2.7. Блок,
обозначенный ТМ, представляет собой элемент с так
называемой точечной памятью и описывается соотноше-
нием
v при fg(/„ /,),
•*вых \Ч-- \ ч /.
Ufn(/,) при tt).
(2.86)
47
Сплошные линии на рис. 2.7 соответствуют непрерыв-
ным сигналам, пунктирные —цифровым.
Следует отметить, что если задача состоит в нахож-
дении функций чувствительности относительно некото-
рых других параметров рт, входящих в уравнение си-
стемы x(t) =F[x(t), t, р], то связь между моделями
основной системы и чувствительности осуществляется
непрерывными сигналами. В рассматриваемом случае
модель системы служит только для задания начальных
условий для уравнений чувствительности.
Рис. 2.7. Блок-схема определения функций чув-
ствительности разрывной системы.
Рассмотрим случай, когда один или несколько эле-
ментов системы имеют релейные характеристики. Пусть
система описывается уравнением вида
x = F[x(t), р, r(t)],
(2.87)
где х—Af-мерный вектор состояния, р—Af-мерный вектор
параметров, г—S-мерный вектор входа, F—Af-мерный
вектор, координаты которого представляют собой про-
извольные функции Af + Af + S переменных.
Допустим, что в некоторые уравнения вместо коор-
динаты Xk(t) входит переменная
x'k — sign[xft(0] (2.88)
или
y(t) = sign [х(0Г=
при х>0,
х = 0,
х<0.
(2.89)
48
Для исследования чувствительности координаты
хп(/) относительно параметра рт нужно определить
функцию чувствительности
и'кт (0 = lsign Хк (01' (2'90)
Чтобы избежать трудности, связанные с дифферен-
цированием (2.88) по рт, функция Ukm(t) определяется
в результате предельного перехода от непрерывного слу-
чая к релейному *>.
Если релейная характеристика (2.88) описывается
функцией Хевисайда, то ее можно дифференцировать и,
следовательно, есть возможность определить функции
чувствительности более высокого порядка аналогично
случаю непрерывных систем [10]. При этом уравнение
(2.88) можно записать в виде
y(t)=—1 +2/i [%(/)],
(2.91)
где единичная функция Хевисайда определяется следую-
щим образом:
h(x) =
при х>0
х = 0
х<0
При этом определены и все ее высшие производные.
Теперь функцию чувствительности
,гду (t)
(2.92)
можно записать иначе:
wtt}=2d-i^d-^-.
v ' dx dpm
Но
т. е.
dh(x) _ dh(x) dt________dh (x)/dt
dt dx dx (t)/dt ’
dx
(2.93)
dh (x)h (x)
X (t)
См. гл. 1.
4—362 49
Поскольку х является функцией времени, h(x) можно
представить в виде
h (х) = 4 [Л (х, 0] = h (t - Q, (2.94)
где f, есть решение уравнения
л(0) = 0. (2.95)
Отсюда уравнение (2.92) принимает вид
w(0 = ^=^-)u(0. (2-96)
где u(t)—функция чувствительности x(t) относительно
pm, u(t) =dx(t)/dpm.
Используя определение первой производной единич-
ной /i-функции, имеем
= (2.97)
или, если x(t) более, чем один раз обращается в нуль,
00
w(0 = 2jJ^A(f-G). (2.98)
Рассмотрим для простоты случай, когда система со-
держит только один релейный элемент. Если выходной
сигнал этого элемента обозначен через xs+i(O. т0
(&+1)-е уравнение системы (2.87) имеет вид
Xft+,(O = ffc+.K(O>- > ^л-|(0> signxft(O,
xft+1(0>-. xN(t), |р, г (01. (2.99)
Математическую модель, определяющую функции
чувствительности, получаем дифференцированием (2.99)
по рт
N
/=0
+ dsign(xK) dpm (2.100)
50
Учитывая (2.96) и (2.97), второй член правой части
можно записать в следующем виде:
2 , ff**1 = — (2.101)
где c — не зависящая ст времени константа.
Из вида уравнений (2.100) и (2.101) следует, что
вследствие присутствия элемента с релейной характери-
стикой модель чувствительности включает 6-функцию
h(t—/i) или их сумму [см. (2.98)].
В нашем примере 6-функция входит только в одно
уравнение чувствительности. В общем случае систем
с несколькими релейными элементами и произвольными
связями между элементами 6-функции могут входить и
в несколько уравнений.
Для систем с разрывными характеристиками первого
рода уравнение чувствительности можно получить обыч-
ным путем безотносительно типа нелинейности и харак-
тера параметров (9, 10], т. е. путем формального диффе-
ренцирования разрывных функций [11]. При этом необ-
ходимо учитывать известное соотношение для 6-функ-
ций
» dt
которое сводит 8-функцию от зависимой переменной у к 8-
функции от независимой переменной; нули функции у обоз-
начены через tr
В общем случае для системы дифференциальных урав-
нений
^=ft(x„..., хп, у<, р) (2.103)
с функциями fi, имеющими разрывы первого рода при
yi = c?i(xl,..., хп, /?) = 0 (2.104)
и непрерывными по остальным переменным, система
уравнений чувствительности для щ = дх-[1др может быть
записана в виде следующих интегральных уравнений:
4*
51
<Ж , । dlt
dx} Uj dp
rf/ + Jl(f_QD/(/.)X
Sd?t 1t . dft
dxj j + dp
i
I- /
(2.105)
где ^i = d^i/dyi для уг=#0 и Df (Z.v) — скачки функции ft
в моменты t.r
Особенность моделирования этих уравнений заклю-
чается лишь в том, что в моменты разрывов к выходным
величинам интеграторов добавляются постоянные сла-
гаемые, величины которых определяются в моменты вре-
мени tiv — 0.
Такой способ оказывается удобным при исследовании
чувствительности релейных и оптимальных систем, а так-
же -систем с переменной структурой Ч
Структурная чувствительность. Структурная чувстви-
тельность была определена в гл. I {см. (1.44)]. При вы-
числении функций структурной чувствительности оказы-
вается удобным начать со следующей математической
модели
(t, ••• , , z\),
•••» *i)>
^n(Q = ^0; = // = 1, 2,...,^ (2.106)
При X=0 порядок системы понижается на единицу;
в этом случае система становится вырожденной:
XN,Zt),
х,,..., xN), (2.107)
где Zi — корень уравнения F(t, xi, ..., xn, Zi)=0. Черта
указывает на тот факт, что соответствующая перемен-
ная является переменной невырожденной системы.
Более общий подход к исследованию чувствительности разрыв-
ных систем содержится в книге Розенвассера и Юсупова [20].
(Прим. ред.).
52
Дифференцирование (2.106) поддает
N
d /<ЧЛ — У1 Г fah I i dfn dzlt
dt \d\ ) ZJ [ dxk dX J "T" dz d\ ’
kt=\
n
i q d fdzj\__«П Г dF i dF dzlt
dt ' dt I
£=1
0; dzAt.) =0 (2.108)
Введем обозначения
При Z = 0 уравнения чувствительности принимают вид
(2.109)
После подстановки выражения для v в первое урав-
нение системы (2.109) получаем в окончательном виде
уравнения структурной чувствительности
/?=;!
dfn dF/dxk ] -
dz dF/dz. j' k
dfndzjdt
' dzv dF/dz ’
(/Z = 1, 2,..., N).
(2.110)
Васильевой [13] было показано, что при выполнении
нижеследующих условий решение уравнений (2.108)
стремится при X—И) к решению (2.110):
1- fn(t, Xi, ..., xN, Zi) и F(t, xi, ..., xNl zt) имеют не-
прерывные частные производные первого порядка по
Xi, ..xn и z.
2. dFjdZi удовлетворяет условию Гельдера по всем
переменным xi, ..., x^ и zi.
53
3. Выполнено условие dFjdz<S), гарантирующее
устойчивость корня уравнения F(t, xi, ..., xn, Zi)=0.
4. Начальные условия для уравнения (2.110) имеют
вид
Ф (0» (/0)...xN (t0))
Г рп('о. .М'о). Р)~
Un Ио) — 1 {
О *
fn (0> *1 (^о) > ••• » ЯдДМ)! ?(^0» Я1» (/о), ... , Хц (/0))
F (Zo, Xj (/0), ... , Ядг(/о)» Р)
dxn.
Если эти условия выполняются, то для нахождения
функции чувствительности можно использовать решение
системы низшего порядка.
Как показано в [12], структурная чувствительность
оказывается весьма полезной для определения паразит-
ных эффектов в электрических цепях, а также в иден-
тификации систем с использованием математической мо-
дели более низкого порядка.
Пример. Обычно при расчете фильтров предполагается, чти
элементы идеальны, т. е. эффекты паразитных емкостей и индук-
тивностей считаются пренебрежимо малыми. Такой подход вызван
именно трудностью анализа чувствительности относительно пара-
метров фильтра, повышающих порядок системы.
Рассмотрим /?С-фильтр, входным сигналом которого является
g(t), а выходным — x(t). Уравнение данной системы имеет вид
RCx = g(t)-x(t).
(2.111)
Если сопротивление обладает паразитной индуктивностью X, то
уравнение системы теперь будет иметь порядок на единицу выше
_ i = z—(71,
ХСz = — RCs — Ж, + g (t) = F.
При Х=0 уравнение (2.112) сводится к (2.Ill):
F (/,«>, Z) = -RCz-x, + g(t) = Q,
£ = Ф (/, S,)=-^-(g (0— *0-
Проверим, выполняются ли условия Васильевой:
*• аг, “°* dz, ~ 1’ дг, dz, кс’
др
k7 = ~rc'
др
3-
(2.112)
(2.113)
(2.114)
54
Условия выполнены, поэтому из общей системы уравнений
dfln = V Г^Л. дР I дР I _
d/ L / dzt J “* "*
*=1
+ >#/< »-1........« (2.US)
0Zj dt I uz.
получаем для нашего примера уравнение чувствительности
du. 1 f ( dz. \
4t RC\a' + dt )'
где dz./dt получен дифференцированием (2.114) по /:
dz. __ 1 / dg (0 _ dxj \
dt RC\ dt dt )'
После подстановки (2.117) в (2.116) получаем:
du. __ 1 f 1 у dx^ / 1 у dg(t)
dt RC u' +\ RC) dt \RC) dt *
(2.116)
(2.117)
(2.118)
Это уравнение совместно с (2.111) и (2.112) было решено для
случая, когда g(t)=a— единичный скачок и Xi(0)=0. Результаты
решения показаны на рис. 2.8—2.13. На рис. 2.8 и 2.9 показаны
выходные сигналы систем соответственно первого и второго по-
рядка. Функция чувствительности Ui(t), являющаяся решением
Рис. 2.8. Выходной сигнал RC-
цепи с паразитной индуктив-
ностью.
уравнения (2.118), изображена на рис. 2.11. Для сравнения на
рис. 2.12 представлена функция чувствительности, получаемая из
уравнения (2.112), куда X входит как обычный параметр. Ясно
видно, что обе функции становятся практически идентичными пос-
ле некоторого малого интервала времени, различие внутри кото-
рого вызвано начальными условиями. На рис. 2.12 и 2.13 пред-
ставлены функции чувствительности уравнений (2.111) и (2.112)
относительно обычного параметра RC. Рассмотрение функций
чувствительности позволяет сделать важный вывод, а именно: си-
стема почти в четыре раза чувствительнее к изменениям паразит-
ной индуктивности, чем к вариациям сопротивления и емкости.
55
В заключение отметим, что в рассматриваемом случае изме-
нение порядка системы не влияет на чувствительность к вариациям
постоянной времени RC.
Полученные результаты справедливы, разумеется, и
для линейных систем. Причем в этом случае все значи-
тельно упрощается. При определении функций чувстви-
тельности линейных систем следует учитывать следую-
щие основные факты:
Рис. 2.10. ^-чувствительность
/?С-цепи с паразитной индук-
тивностью.
Рис. 2.11. %-чувствительность
7?С-цепи.
1. Левые части уравнений, описывающих основную
систему, и уравнений чувствительности (2.2) совпадают
для любых линейных систем, как стационарных, так и
нестационарных;
Рис. 2.12. Чувствительность
RC-цепи с паразитной индук-
тивностью относительно по-
стоянной времени RC.
RC-цепи относительно постоян-
ной времени RC.
2. Для специального класса линейных стационарных
систем возможно одновременное определение функций
чувствительности относительно нескольких параметров
с помощью лишь одной модели чувствительности и не-
которых дополнительных простых звеньев;
3. Факт устойчивости линейных стационарных систем
однозначным образом определяет устойчивость решения
уравнений чувствительности.
56
Эти вопросы подробно изложены в книге Томовича
[21], поэтому здесь мы не будем на них останавливаться.
Структурный метод одновременного определения
функций чувствительности для одного узкого класса ди-
намических систем был разработан Кокотовичем (см.
там же). Обобщение этого метода на случай произволь-
ных линейных систем было намечено в общих чертах
Седларом. Его -результат изложен в приложении В.
Здесь же рассмотрим подход, предпринятый в [1].
Пусть линейная стационарная система описывается
уравнением
х = Ах + Ьи. у = Сх, (2.119)
где х—n-мерный вектор состояния, и — скалярное управ-
ление, у—р-мерный вектор выхода, Л —постоянная ма-
трица nXn, b — постоянная матрица nXl, С — постоян-
ная матрица рХп.
Как и прежде, уравнения чувствительности относи-
тельно Uij = dXildpj можно получить путем дифференци-
рования уравнения (2.119) по параметрам. При этом,
однако, нам потребуется г n-мерных моделей системы
(по числу параметров). Рассматриваемый метод позво-
ляет значительно сократить это число. Для рассматри-
ваемой системы (2.119) существует неособенное преоб-
разование
х = 7>,
такое, что
(2.120)
z= Az-\-bu,
где
о “
о
о о ...01
Ь = Т-'Ь=
(2.121)
о
1
57
Элементы си, аг, ..., ап матрицы А являются коэф-
фициентами характеристического уравнения системы
Хп + апХп *+ ... +ia2^+‘ai=0.
В дальнейшем нам потребуются два следующих свой-
ства систем рассматриваемого вида.
Свойство 1.Симметрия.
Обозначим через вектор чувствительности
*' = £ (2.122)
а через [5] матрицу чувствительности
И = &, В,,..., *п] = [^(0]. (2.123)
Матрица [5] обладает тем свойством, что
= i, / = N. (2.124)
Таким образом, свойство полной симметрии обозна-
чает равенство элементов «антидиагонали» матрицы [£]:
поэтому имеем только п+п—1 = 2п—1 независимых функ-
ций чувствительности Аг</да3-.
Свойство 2. Полная одновременность.
Функции чувствительности dzi/da, i, /=1, ..., п систе-
мы, заданной в канонической форме (2.121), представля-
ют собой алгебраические комбинации координат единст-
венной модели чувствительности.
Доказательство обоих свойств изложено в приложе-
нии Б.
Элементы матрицы [|] составлены из 2п—1 сигналов
заданной системы и одной модели чувствительности,
с узлов 1, 2, ..., п+1 которой снимаются п+1 сигналов.
Остальные п—2 сигнала представляют собой, как следу-
ет из доказательств свойств 1 и 2, линейные комбинации
сигналов модели чувствительности и координат состоя-
ния Z1, ..., Zn-l-
58
Рассмотрим систему, описываемую уравнением
(2.119), матрицы А, b и С которого являются функциями
^-мерного вектора параметров р. Ясно, что теперь пре-
образование Т в (2.120) в общем случае будет зависеть
от р
Т=Т(р) (2.126)
Рис. 2.14. Блок-схема определения функций чувствительности.
так же, как и коэффициенты Ль ..., Лп характеристиче-
ского уравнения.
Введем вектор
а(р) =
а> (Р)~
<Ч(Р)
(2.127)
_ап(р)_
Величины а в преобразованной системе (2.121) явля-
ются единственными параметрами, влияющими на со-
стояние системы г. Эти параметры щ, ..., ап будем да-
лее называть существенными параметрами.
Теперь можно сформулировать следующее очевидное
правило: функции чувствительности состояний Хг систе-
мы (2.119) относительно г параметров (г^п) представ-
ляют собой линейные комбинации функций чувствитель-
ности dzildaj канонической системы и координат х
(рис. 2.14).
59
Это утверждение следует непосредственно из урав-
нений (2.120) и (2.126). Для любого параметра рс
дх дТ \ т f dz да
dpt dpt Z "г да dpt
= JLt-'x+T(p}^^.. (2.128)
Для практического использования полученного результа-
та необходимо знать конкретный вид преобразования Г,
а следовательно, и-^-, -^-(k = 1,..., п\ i=\,..., г), но
opt дрг '
поскольку как Г, так и ak зависят от параметров р, цен-
ность метода становится неочевидной.
Можно, однако, показать (см. Приложение Б), что
dTfdpi и ddkldpi могут быть получены с помощью рекур-
рентных соотношений, являющихся обобщением алгорит-
ма Леверьера.
Рис. 2.15. Система четвертого порядка.
Пример. Рассмотрим в качестве примера систему, изображен-
ную на рис. 2.15. Это система четвертого порядка, зависящая от
восьми параметров plf ..., р8. Для нахождения функций чувстви-
тельности ddildpi (/=1, ..., 4; j=l, .,,, 8) можно было бы вос-
пользоваться непосредственно структурным методом, но при этом
нам потребовалось бы восемь моделей чувствительности. Приме-
нение описанного метода требует лишь одну модель восьмого по-
рядка. Расчет на цифровой машине показал, что вычисление
функций чувствительности при номинальных значениях pi = ...=
=р8> равных единице, и длительности процесса в 25 сек. структур-
ным методом, потребовал 1 мин. 4 сек. против 28 сек. при исполь-
зовании метода существенных параметров.
В общей теории линейных систем значительное вни-
мание уделяется многомерным системам. Исследование
одного широкого класса таких систем, а именно, колеба-
60
тельных может быть основано на использовании урав-
нений Лагранжа вида
44^+“ +2JL (2.129)
dt дх^ d*i dx}
где L — функция Лагранжа, являющаяся разностью между
кинетической энергией и потенциальной
L = Ek — Ер.
1 т
Здесь Ек = х а(р)х — кинетическая энергия (энергия
1 7
магнитного поля), Ер = -у х с(р) х—потенциальная энергия
(энергия электрического поля), Ф = -у х Ь(р) х— энергия
потерь (диссипативная функция), W = (X, jc) — работа обоб-
щенных сил, р — произвольный параметр со значением из
некоторого множества р.
Для линейных динамических систем дифференциаль-
ные уравнения движения могут быть записаны иначе:
d dJL. (2.130)
Подставляя в (2.130) выражения для кинетической
энергии и потерь, получаем следующее уравнение дви-
жения:
а(р) x^b(p)x-[-c(p)x = X. (2.131)
После дифференцирования по параметру получаем
уравнение чувствительности общего вида
а(р)и +&(/?)«+ <?(/?)«= — Щ^-х—^^-х—^^-х,
(2.132)
где u(t) =dx(t)/dp — функция чувствительности первого
порядка. Таким образом, анализ чувствительности может
быть проведен на основе матричных уравнений (2.131) и
(2.132).
Исследование можно в значительной степени упро-
стить, применяя преобразование Лапласа. При нулевых
начальных условиях уравнение (2.131) можно предста-
вить в виде [14]:
Ах=Х, (2.133)
61
где А — матрица, общая форма элементов в которой име-
ет вид
Ац = ац (р) s2 + bt j (р) s+(р), (2.134)
х и X — изображения обобщенных координат и обобщен- ’
ных сил
«==£(%), Х=ЦХ).
Из уравнения (2.133) следует
х=А~1Х. (2.135)
Дифференцируя (2.135) по параметру, получаем сле-
дующее матричное уравнение чувствительности:
й = —Д-»Д(1)х. (2.136)
Через Д<б обозначена производная матрицы А по па-
раметру р с элементами вида
Д(') = -¥У-«а+^^ + ^- (2-137)
др 1 др 1 др 47
Матричное уравнение (2.136) представляет собой си-
стему уравнений относительно функций чувствительно-
сти первого порядка для самого общего случая линей-
ных динамических систем.
Рассмотрим подробнее связь между уравнением дви-
жения и уравнением чувствительности. Запишем (2.135)
в виде
x = WX, (2.138)
где W — матричная передаточная функция системы с эле-
ментами
w«=pT »-/ = 1.2,
Через Кц обозначено алгебраическое дополнение эле-
мента ац.
Аналогично выражение (2.136) можно записать в ви-
де
й = №01л, (2.139)
где
Ц701 =—ИМ*1) (2.140)
— матричная передаточная функция с элементами
‘•'=1'2....."• <2141>
Л=1
62
Заметим, что уравнения относительно функций чув-
ствительности выводились при условии бесконечной ма-
лости вариаций параметров. В случае же конечных ва-
риаций из разложения решения в ряд Тейлора в окрест-
ности номинальных значений параметров
-«(а+длО=-«(а. 0 +
+(>к.д"+^(^1=йд/',+- (2Л42)
следует необходимость учета функций чувствительности
высшего порядка д2х/др2, д3х/др3 и т. д.
Уравнения относительно функций чувствительности
высшего порядка можно получить путем многократного
дифференцирования уравнения движения (2.131) или
(2.133):
а (р) ii(r> + & (Р) “(г) + с (Р) “(г) =
_ /^о / д'а (р) " ] d'b (р) ^_L^rc (р) Д
др' др' др' л)
-с:
_______С'-| :;<г-п I <*W „(г-ч ! <Мр> „-.л
г др 'др 'др ]
(2.143)
Преобразуя по Лапласу уравнение (2.143) или непо-
средственно дифференцируя (2.135) по параметру, мож-
но получить рекуррентное соотношение относительно
функций чувствительности произвольного порядка:
wf) =— С° А^А^х— С' Л-‘Л<’-‘>й(‘) —
С2 д-1Л(г-2)й(»)_ ... _ С'-1Л-1Л<‘)й(г-»).
(2.144)
Индекс г обозначает здесь порядок функции чувстви-
тельности, а Л<г>— соответствующую производную матри-
цы Л по параметру.
Из рассмотрения общего соотношения (2.144) мож-
но сделать вывод, что для г>1 передаточные функции
каждого члена в правой части могут быть представлены
63
аналогично соотношению (2.139) для функций чувстви-
тельности первого порядка
Wij — — Cr ’
*=1
где Kik — алгебраические дополнения матрицы А, а т —
число, определяющее место данного члена в правой ча-
сти уравнения (2.144).
Уравнение (2.144) можно теперь записать в более
компактной форме:
Г—I
(2.145)
т=1
На рис. 2.16 проиллюстрирована связь между урав-
нением движения и уравнениями чувствительности по-
рядка г для произвольных линейных динамических си-
стем.
Частный случай.
До сих пор предполагалось выполнение следующих
двух условий:
1) уравнение чувствительности имеет вид (2.2), т. е.
получено дифференцированием уравнения (2.1) по пара-
метру;
2) номинальные значения параметров в уравнениях
(2.1) и (2.2) считались равными.
Посмотрим теперь, что случится, если эти предполо-
жения не выполнены; например, если номинальные зна-
чения параметров для уравнений (2.1) и (2.2) не равны.
Это может произойти, в частности, когда в процессе
идентификации параметры системы изменяются, но мо-
дель чувствительности >не отслеживает эти изменения,
либо когда структура модели чувствительности выбрана
упрощенной. В последнем случае имеем дело с так назы-
ваемой псевдочувствительностью [15]. Ясно, что в общем
случае такие функции не могут быть использованы вме-
сто точных функций чувствительности, например, для
ранжировки параметров по степени их влияния на про-
цесс. Тем не менее .в некоторых случаях, в частности,
в построении градиентных методов адаптации эти псев-
дофункции чувствительности с успехом могут быть ис-
пользованы [15]. Более того, их использование часто
улучшает сходимость градиентных методов [16]. Тем не
64
сл
Рис. 2.16. Блок-схема линейной динамической системы произвольного порядка.
менее вопрос о применимости псевдофункций чувстви-
тельности, разумеется, должен решаться особо в каждом
конкретном случае.
Рассмотрим теперь некоторые результаты, связанные
с получением псевдоградиента и его применением для
построения адаптивных систем управления [16].
На рис. 2.17 представлена структура системы, иссле-
дованная Кокотовичем [15]. С{— настраиваемые парамет-
ры регулятора; H2(s), ..., Hr(s), (#i(s) = l) и G0(s),
Рис. 2.17. Граф прохождения сигналов линейной системы.
G2(s), .... Gr(s), (Gi(s) = l)—соответственно переда-
точные функции звеньев регулятора и объекта управле-
ния. К. — константа. Через Г* обозначим точки чувстви-
тельности, соответствующие параметрам ct-.
Предположим, что возмущающие вариации парамет-
ров объекта проявляются только в изменении коэффици-
ентов усиления звеньев Go(s), G2(s), ..., Gr(s).
Объект управления и регулятор будем считать полно-
стью совместимыми, т. е. любые вариации параметров
объекта могут быть компенсированы соответствующими
изменениями параметров регулятора. Это предположение
позволяет считать данную систему системой с постоян-
ными параметрами объекта и изменяющимися парамет-
рами регулятора.
Общая схема получения псевдофункций чувствитель-
ности изображена на рис. 2.18. В отличие от точного ме-
тода, здесь для получения псевдофункций чувствительно-
сти сигнал из точки чувствительности пропускается че-
рез стационарный фильтр, т. е. модель чувствительности
с номинальными значениями параметров.
66
Метод псевдоградиента для полностью совместимых
линейных стационарных систем. Рассмотрим линейную
систему с полностью совместимым регулятором и с эта-
лонной моделью с пере-
даточной функцией №о($) •
Выходной сигнал фильт-
ра Уо в этом случае будет
желательным выходом
системы, соответствую-
щим номинальному значе-
нию вектора параметров.
Сущность метода псев-
доградиента [16] заклю-
чается в использовании
не точных значений функ-
ций чувствительности для
формирования вектора
градиента, а псевдофунк-
ций чувствительности.
Рассмотрим обобщение
метода на тот случай,
когда y(t) представляет
собой случайный процесс.
Рис. 2.18. Блок-схема определения
псевдофункций чувствительности.
Настройку параметров будем
осуществлять согласно рекуррентному соотношению
c(’+')=c(’)_/iQW( (2.146)
где v — номер итерации, h — некоторая постоянная,
a Q=(Qi, , Qr) —псевдоградиент, компоненты которо-
го имеют вид
^’=-0Г1МОМО1. (2.147)
Здесь 8у(/) — ошибка слежения, равная Y0(t)—Y(t), а
Ui(t) — псевдофункция чувствительности. Через 0*.',) обоз-
начим оператор временного усреднения
/у
От ’ 18у (0«/ (01 = 4- j (8У (0 “* (0) dt. (2.148)
tv-T
При достаточно большом Т
0<’> [8У (tfa (/)] « 0 [в; (0 Ui (ОЬ (2.149)
где by(t) и Ui(t) представляют собой соответственно ошиб-
ку и псевдофункцию чувствительности при с = с<’).
5* 67
Блок-схема параметрической оптимизации по методу
псевдоградиента показана на рис. 2.19.
Докажем теперь сходимость метода псевдоградиента
[15] для случая полностью совместимой линейной ста-
ционарной системы. Для этого нужно доказать сходи-
мость рекуррентного соотношения (2.146).
Рис. 2.19. Блок-схема адаптивной системы с параметри-
ческой оптимизацией.
Полагая с = сор‘ + бс, где сор‘— оптимальное (номи-
нальное) значение вектора параметров, уравнение
(2.146) можем представить в виде
8c<,,+1)=8</v) —ftQ(v), v = 0,1,... (2.150)
Сформулируем теперь достаточное условие сходимо-
сти: итерационный алгоритм параметрической оптимиза-
ции, использующий псевдоградиент, сходится, если суще-
ствует такое йс>0, что при любом h<hc имеет место
lim 8<?(v)= 0. (2.151)
У->00
Для доказательства этого утверждения воспользуем-
ся дискретной формой второго метода Ляпунова.
Передаточная функция системы, изображенной на
рис. 2.18, имеет вид
W (s) = kG0 (s) 1 + kGB (s)+feS 'allr (s) Gf (s)
(2.152)
68
Отсюда получаем
V (s) - Vo (s) = W(s,c) — W (s, c°) =
= - S teiW (s) G"1 (s) Gi (s) Hi (s) W„ (s). (2.153)
Z=1
Из определения псевдофункций чувствительности и
рис. 2.17 и 2.18 следует, что множители перед бСг в вы-
ражении (2.153) представляют собой передаточные
функции для получения соответствующих псевдофунк-
ций чувствительности, поэтому
8 У (/) = £ 8сг«1(0= (0 8с- (2-154)
i=i
Штрих обозначает транспонирование.
Подставляя (2.154) в (2.147), имеем
Ъс™ , (2.155)
где Uw — постоянная матрица R \R,
й{1) =0‘” [и(о«'(О).
Учитывая уравнение (2.155), запишем (2.150) в виде
8c(’+,)=(Z — (2.156)
Здесь / — единичная матрица.
Введем положительно определенную квадратичную фор-
му
Vм = 8си’”8с(’>. (2.157)
Для сходимости алгоритма (2.146) достаточно, чтобы
функция V(,) была функцией Ляпунова, т. е. =
Поскольку матрица G<v) симметрическая, то из уравне-
ний (2.156) и (2.157) получаем
ДУ<*>= — 2&8tfr(v) G(,) 8с(,) -]- t/(,) 8с(,). (2.158)
Легко проверить, что первый член в правой части всегда
отрицателен при 8с ={= 0, поскольку
8c'(’)G(’)8c(v)=0^)
= J<”>0. (2.159)
6?
Второй член положителен, так как матрица (7(,)
положительно определенная. Поэтому можем утверждать,
что ДУ(',) <0 при любом h, таком, что
h < Ас = min {2J(,) (2^ 8?” 8с(”)-*}, (2.160)
где 2(*’ > 0 — наибольшее собственное значение матрицы
[/(’’){/Л»Т
Автоматическая оптимизация осуществляется после-
довательным приближением. На каждом шаге v вектор
параметров р изменяется на приращение Apv:
[VpJf, (2.161)
где — градиент показателя качества:
f_l dJ dJ dJ |
\dPl ’ dp,.'' •’ dpm f
Элементы матрицы H={hjk} в общем случае зависят
от времени, номера шага и координат системы.
Непосредственное определение градиента Vp/ требу-
ет знания функций чувствительности, поскольку
VP J = W yxJ, (2.162)
где
T—JJL д/ 1
Vl -рх, ’ дхп (’
a U {и^} — матрица чувствительности с элементами
dxt
Ui5^ др}'
Выбор матрицы Н в алгоритме (2.161) в значитель-
ной степени влияет на скорость сходимости. Если эле-
менты hjk выбраны зависящими от координат системы,
то алгоритм будет осуществлять по существу экстра-
поляцию показателя качества на следующий шаг.
В простейшем случае матрица Н выбирается диа-
гональной. При этом алгоритм (2.161) становится гра-
диентным. В методах стохастической аппроксимации [2]
элементы Иц зависят от v. В дальнейшем мы рассмотрим
случай, когда в качестве hjk берутся функции чувстви-
тельности [17]. При этом, как будет показано, дости-
гается высокое качество оптимизации.
70
Для построения адаптивных систем управления наи-
более ценным является, очевидно, такой метод опреде-
ления функций чувствительности, который бы требовал
минимальную априорную информацию о системе. Этому
требованию в значительной степени удовлетворяет «ме-
тод трех точек».
ft t
JB и. (T)r(t-'i:)iib=f3xj(T)»Zj(t-4:)a'C
Рис. 2.20. Общая блок-схема определения функций чув-
ствительности методом «трех точек»:
1-я точка — вход системы А; 2-я — выход системы В. 3-я — со-
ответствующая точка чувствительности С.
Метод трех точек (17]. Этот метод основан на полу-
чении функций чувствительности на основе информации,
содержащейся в трех точках самой системы (рис. 2.20).
Эти сигналы г (О, zj(0 и логарифмическая функ-
ция чувствительности связаны соотношением
и удовлетворяют уравнению
r(t — — t)dt. (2.163)
Решение этого интегрального уравнения относитель-
но йДО и дает искомые функции. Ясно, что при таком
методе не требуется подробной априорной информации
об объекте кроме требования о линейности. Как прави-
ло, сигналы трех точек доступны для измерения.
По этому же правилу трех точек оказывается воз-
можным определение и функций чувствительности вто-
рого порядка
= (Pxj/z? In pjd In pn.
71
По аналогии с выражением (2.163) имеем
J4* (т) г (t — т) dx = J |zj (т) + (т)] (t — т) dx. (2.164)
о о
Символом Zjk обозначены сигналы точек чувстви-
тельности второго порядка.
В связи с методом трех точек получил развитие и
метод частичной экстраполяции показателя качества.
Поскольку выбор матрицы И в алгоритме (2.161) опре-
деляет степень приближения к экстремуму функциона-
ла J, минимальное значение которого на каждом шаге х
есть
НР)=УЧ^ (2.165)
то экстраполяция этого значения в окрестности р позво-
ляет значительно быстрее приблизиться к оптимуму.
Пусть нам известна 7=Ф{х} как функция от х. Бу-
дем экстраполировать значение вектора х:
x^=xv-{-Utp\ (2.166)
где U —.матрица чувствительности.
Тогда ожидаемое значение J будет равно
^(5p)=®{xv + t/M- (2.167)
Поскольку необходимое условие минимума функционала
имеет вид
\?(М=0, (2.168)
то, рассматривая его как уравнение относительно Ър, мо-
жем найти такие значения приращения вектора параметров
8р*, при которых достигается экстремум у* (8р) на каждом
шаге оптимизации. Действительное значение приращения
параметров на каждом шаге имеет вид
Др’ = ygp*, у > 0.
Метод, основанный на экстраполяции только аргу-
мента функционала / = Ф{х}, получил название метода
частичной экстраполяции. При этом выбор матрицы Н
сводится к нахождению функций чувствительности.
72
Интересно сравнить метод частичной экстраполяции
с полной в случае квадратичного показателя качества
J (р) = Ф{8}=
О
(2.169)
где в(0—разность между реальным и идеальным зна-
чением состояния системы. Матрица И для случая пол-
ной экстраполяции имеет вид
(2.170)
Из уравнения (2.170) можно получить приближен-
ное соотношение, не требующее вычисления функций
чувствительности второго порядка 0:
Г т 1-1
= Cuu'dx . (2.171)
[о J
Чувствительность оптимальных систем. Изучение чув-
ствительности оптимальных систем до недавнего време-
ни основывалось на предположении, что меняются толь-
ко параметры объекта. В работе (18] была рассмотрена
задача исследования чувствительности, в частности, по-
казателя качества относительно параметров, от которых
зависят ограничения.
Рассмотрим систему управления, описываемую век-
торным уравнением вида
x = f(x,r), х(О)=!хо, (2.172)
где х(/)—вектор состояния, а г — вектор управления,
принадлежащий области допустимых управлений R(p).
Вариации параметров р приводят к вариациям границ
области R(p). Если, например, оптимальное управление
находится по принципу максимума Понтрягина,то sup//,
где Н — гамильтониан, будет зависеть от р при любом
r^R(p). Ясно, что и управление, обеспечивающее sup//,
будет также функцией р.
Аналогично обстоит дело и при использовании ме-
тода динамического программирования.
Предположим, что при заданном р = ро задача опти-
мизации решена, т. е. найдена оптимальная траектория
%*(/), оптимальное управление г* (t) и значение пока-
зателя качества /(%*, г*). Тогда при изменении пара-
73
метров р вместо того, чтобы заново решать задачу опти-
мизации, воспользуемся результатами анализа чувстви-
тельности для оценки вариации показателя качества.
Это позволит значительно облегчить нахождение нового
оптимального управления.
Вариацию показателя качества J будем называть
функцией чувствительности критерия
S = S(p, Др). (2.173)
В тех случаях, когда функция S линейна и однородна
по Др, множитель при Др будем просто именовать функ-
цией чувствительности.
Пусть f(x, г) в уравнении (2.173) имеет вид
f(x, Г)=Ах + Вг, (2.174)
где А — матрица NAM, а В — TV-мерный вектор.
Тогда
х = Ах + Вг, х(0)=с. (2.175)
Рассмотрим задачу нахождения оптимального по
быстродействию управления, удовлетворяющего ограни-
чению
|r| 1. (2.176)
Допустим, что любым из известных методов найдено
управление r*(f) или г*(х), а следовательно, и наимень-
шее время. Пусть далее ограничения изменились:
|г|^. (2.177)
Возникает вопрос, каким теперь будет новое опти-
мальное управление r(t) или г(х) и новое наименьшее
время t. Чтобы ответить на этот вопрос, воспользуемся
фактом линейности системы.
Введем новое управление
[и = 4-г. (2.178)
Тогда уравнение (2.175) и ограничения (2.176) примут вид
x = Ax-\-'Bkv, (2.179)
|о|<1. (2.180)
74
Введем теперь новую переменную состояния
1
у=тх-
(2.181)
Подставляя уравнения (2.181) в (2.179), получаем
y=Ay + Bv, y(0)=Jtc (2.182)
при ограничении |о|^1.
Из сравнения уравнений (2.182) и (2.175) следует,
что задача вычисления S сводится к нахождению функ-
ции чувствительности критерия J относительно вариаций
начального состояния системы. Затем находится новое
управление r(t) на основе данных, полученных при
вычислении г* (/).
В общем случае, когда показатель качества J имеет
вид
tl
J(x,r)= ^f(x,r)dt, (2.183)
6
изложенный метод может быть применен, если функ-
ция f(x, г) является однородной по х и г. В этом слу-
чае опять получаем уравнения (2.182) и
it
J* (у,у) = J (ky,kv) = f (у,и) dt = khJ (у, и), (2.184)
где h — показатель однородности функции f.
Рассмотренная выше задача в наиболее общем виде
может быть решена методами функционального анализа
[18, 19].
Введем три банаховых пространства: пространство
входов Dr, пространство выходов Dx и пространство па-
раметров Dp. Соотношение между входом и выходом
выражается оператором, заданным на пространстве Dr,
x=S(r). (2.185)
Управляющий сигнал определяется функцией F,
определенной на пространстве DxXDp со значениями
в Dr\
r=F(x, р).
(2.186)
75
Ограничения на управление заданы в виде равенства
или неравенства типа
с(г, р)<^0, (2.187)
где с (г, р) определяет выпуклую область DrXDp.
Качество системы характеризуется показателем J —
вещественной функцией, определенной на DrxDx:
Z = J(x, г). (2.188)
При po^Dp управление (2.186) таково, что функция
J достигает стационарного значения по г и
ro=F(xQi ро).
Пусть далее S и F имеют непрерывные производные
Фреше ino rQ и х0, ро—S'r, F'x, F^p, J — слабо дифферен-
цируема в точке го, хо, a /zr, J'x— линейные функцио-
налы.
При этих предположениях можно определить чувст-
вительность показателя качества относительно вариа-
ций параметра р как
<2189>
где dr/dp и dx/dp могут быть выражены через линейные
операторы S'r, F'x и F'p в виде
dx = S7, dr, dr=F'xdx + F'pdp,
откуда следует
dx _____________________Q, dr
dp 1 dp ’
dr __f dx \ ।
dp x \ dp j' p
ИЛИ
^-^I-F'xS’r) 'F'p,
Теперь уравнение (2.189) можем записать в виде
= (J'r + J'xS'r) (/ - F',S'ry 'F'p. (2.193)
(2.190)
(2.191)
(2.192)
76
Учитывая, что функционал J в точке r^DT прини-
мает стационарное значение, и вводя обобщенную функ-
цию Лагранжа, имеем
J'r + J\S'r + Xc'r + ^'Р (-Зг)= О,
(2.194)
где с'г — слабая производная с, a k^Dy— линейный
функционал, определенный на пространстве Dy, сопря-
женном пространству Dx.
Используя теперь уравнение (2.194) и первое урав-
нение из системы (2.192), получаем окончательное вы-
ражение для производной функционала (2.193):
[с'г (/ - F'xS'r)-> F’p + ^р]. (2.195)
ЛИТЕРАТУРА
1. Wilkie D. and Perkins W. Essential Parameters in Sensi-
tivity Analysis. Proceedings of the Second IFAC Symp. on Sen-
sitivity and Adaptivity, Beograd, 1968, ETAN, POB 356, Beograd.
2. Paresanovic N. An Efficient Method for Computation of Sen-
sitivity Functions. ETAN, Rijeka, 1968, ETAN, POB 356, Beog-
rad.
3. P и с с а и e н И. Расчет самонастраивающихся систем управле-
ния с помощью метода функциональных производных. В сб. «Чув-
ствительность автоматических систем», изд-во «Наука», 1968.
4. Т о m о v i с R. Sensitivity of Dynamic Systems to Time—Varying
Perturbations, Proceedings of the 10-th Conference of ETAN, Beog-
rad, 1965, ETAN, POB 356, Beograd.
5. В e k e у G. A. and T о m о v i c R. Sensitivity of Discrete Systems
to Variation of Sampling Interval. Trans. IEEE, 1966, vol. AC-11,
№ 2, p. 284—287.
6. T о m о v i c R. and В ekey G. A. Adaptive Sampling Based
on Amplitude Sensitivity. Trans. IEEE, 4966, vol. AC-dl, № 2,
p. 282—284.
7. Bennett A. W. and Sage A. P. Discrete Systems Sensitivity
and Variable Increment Sampling, University of Pennsylvania,
JACC, 1937, p. 603—612.
8. К i n g R. E. Sensitivity Analysis of a Class of Differential —
Difference Systems. International Journal of Control, 1968, vol. 5,
№ 8. 6, p. 583—588.
9. В i n g u 1 a c S. Modelling Sensitivity Functions of Discontinuous
Systems When the Jump Point is a Variable Parameter. Proce-
edings of the 10-th Conference of ETAN, Beograd, 1965, ETAN,
POB 356, Beograd.
10. Bingulac S. Some Problems of Modelling Higher Order Sen-
sitivity of Systems Involving a Relay Characteristic. Matematicki
vesnik (in press), Beograd, 1968.
И. Цыпкин Я. 3., Рутман P. С Уравнения чувствительности
для разрывных систем. В сб. «Чувствительность автоматических
систем». Изд-во «Наука», 1968.
12. Т о m о v i c R., Р а г е z а п о v i с N. and Merritt М. J. Sensiti-
vity of Dynamic Systems to Parameters which Increase the Order
of Mathematical Models. Trans. IEEE, 1965, vol. EC-14, № 6,
p. 890—897.
13. В а с и л ь е в а А. О дифференцировании решений систем диф-
ференциальных уравнений, содержащих малый параметр. АН
СССР, 1948, т. II, № 4.
14. Vukobratovic М. and Juricic D. Application de 1’analyse
de sensibilite aux systemes dynamiques a variables multiplies de
la mecanique technique. Revue Roumanie des sciences techniques,
Mechanique appliquee, 1966, t. 11, № 6, Bucurest.
15. Koko to vic P. et al. Sensitivity Method in the Experimental
Design of Adaptive Control Systems. Proceedings of the Trird
IFAC Congress, London, 1966.
16. Vuskovic M. Convergence of the Pseudogradient Method for
the Case of Absolutely Compatible Systems. Proceedings of the
2-th Conference of ETAN, Nis, 1967. ETAN POB 356, Beograd.
17. Rutman R. S. Automatic Optimization based on «three points»
Method. Proceedings of the Second JFAC Symposium «System
Sensitivity and Adaptivity», Beograd, 1968, ETAN, POB 356, Beog-
rad.
18. P e t г о v i c iR. and S e d 1 a r M. On the Sensitivity of Optimum
Control Processes with Respect to Changes in Constraints. Proce-
edings of the Second IFAC Symposium «System Sensitivity and
Adaptivity», Beograd, 1968, ETAN, POB 356, Beograd.
19. Witsenhausen H. F. On the Sensitivity of Optimal Control
Systems. IEEE Trans, on Automatic Control, 1965, vol. AC-10,
№ 4.
20. P о з e н в а с с e p E. H., Ю с у п о в P. M. Чувствительность си-
стем автоматического управления. Изд-во «Энергия», 1969.
21. Тот о vic R. Sensitivity Analysis ob Dynamic Systems., 1964,
№ 4.
22. Цыпкин Я. 3. Адаптация и обучение в автоматических систе-
мах. Изд-во «Наука», 1968.
Глава 3
ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТЬ КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ
Методы для вычисления функций чувствительности,
используемые в градиентных, оптимальных и адаптив-
ных задачах [1, 2], нельзя применить к большому классу
реальных систем из-за того, что эти методы разрабо-
таны для систем с определенными структурами. Такие
же неудобства остаются, хотя и в меньшей степени,
в методах для вычисления функций чувствительности,
основанных на минимизации структуры полных динами-
ческих систем1) [3, 4]. Так как реальные системы, по
существу, являются многомерными, то в настоящей гла-
ве представлены результаты исследования специаль-
ного класса многомерных систем, которые находятся
в колебательном состоянии.
Чувствительность автоколебательных динамических
систем линейного типа. Незатухающие колебания в ме-
ханических системах обычно вызываются действием не-
которых периодических возмущений. Однако в ряде слу-
чаев колебания поддерживаются за счет энергии источ-
ника, который не обладает никакими колебательными
свойствами. Примером может служить флаттер упругих
структур (самолет, лопатка турбин) в воздушном пото-
ке. Хотя аэродинамические силы имеют периодический
характер, периодичность не навязывается извне, а воз-
никает от колебаний упругой структуры самой по себе,
в то время как воздушный поток, который поставляет
энергию, имеет постоянную скорость. Системы такого
типа называются автоколебательными (или самовозбуж-
дающимися). Они распространены в современной тех-
нике. К ним относятся многие системы с сухим трением2)
Полная динамическая система состоит из основной системы и
модели чувствительности.
2) Самовозбуждающиеся колебания встречаются и как биологи-
ческое явление, например фибрилляция сердца или периодические
численные флюктуации животных популяций при некоторых клима-
тических условиях.
79
(релаксационные колебания). Если положение равно-
весия самовозбуждающейся системы неустойчиво, то
в ней появляются колебания после любых начальных
возмущений; амплитуда колебаний будет непрерывно
возрастать до тех пор, пока система не достигнет неко-
торого установившегося колебательного состояния, ха-
рактеризуемого независимостью амплитуды от началь-
ных условий. Амплитуда является обычным параметром
установившихся колебаний, наиболее интересным. Одна-
ко иногда бывает нужно иметь полное описание дви-
жения, особенно на стадии начального «установления».
Из-за неизбежного рассеяния энергии линейная си-
стема может поддерживать колебания, только когда на
нее воздействуют некоторые периодические внешние си-
лы. Это означает, что в принципе все самовозбуждаю-
щиеся -системы — системы нелинейные.
В противоположность линейному резонансному про-
цессу автоколебательный процесс, несмотря на присут-
ствие сил сопротивления (пассивного сопротивления),
может иметь неограниченно увеличивающуюся ампли-
туду для ряда значений характеристического параметра
энергии источника (например, скорость воздушного по-
тока в случае флаттера).
Нужно подчеркнуть, что линейная трактовка само-
возбуждающихся систем лишь объясняет условия, при
которых происходит самовозбуждение. Такая трактовка
дает оценку только начальной тенденции к автоколеба-
ниям, но не способна предсказать дальнейшее развитие
процесса при больших амплитудах. Во многих случаях
(флаттер, релаксационные колебания в механических
станках) это не является недостатком, т. е. эксперимен-
ты показывают, что при критических скоростях разру-
шение конструкции в случае флаттера или в случае
скачкообразных движений в механических станках неиз-
бежно происходит вскоре после начала колебаний. По-
этому чувствительность самовозбуждающихся систем
будет оцениваться с помощью линейной теории, тогда
как чувствительность нелинейных систем будет изучать-
ся в отдельном разделе.
Рассмотрим общее матричное уравнение движения
(2.133):
а\р)'х + b (р) х -|- с (р) х = X. (3.1)
80
Для автономной системы Х = 0, общее решение дает-
ся суммой частных решений
2п
х = ^АгеПг (3.2)
г=1
с тем условием, что все корни образуют комплексное
сопряжение пары
Шг •—- — dr —171г —• — dr — t<&r*
Тогда уравнение (3.2) можно записать так:
х = S br е °г* cos (^it -|- 0r)« (3.3)
'=i
Выражение (3.3) показывает, что каждая обобщен-
ная координата составлена из R затухающих колебаний
различного периода.
В результате исследования собственных составляю-
щих колебаний в упругих конструкциях (самолет, лопат-
ки турбины) установлено, что амплитудные характери-
стики имеют очень резко выраженные резонансные пики
на резонансных частотах. При динамическом анализе
движущихся объектов, особенно самолетов, обычный
путь состоит в том, что используются частотные харак-
теристики, полученные в состоянии покоя. Присутствие
сил, (приводящих к самовозбуждению1) (например, аэро-
динамических), практически не влияет на частотные ха-
рактеристики объекта в движении. Из рассмотрения
амплитудных характеристик в окрестности резонансной
частоты установлено, что вблизи предела устойчивости
колебания имеют практически только одну доминантную
частоту и некоторую определенную форму.
Самовозбуждающиеся динамические системы удоб-
ны для проведения анализа на чувствительность, так
как изменением (параметра движения2) (например, ско-
1> В отличие от изменяющихся во времени возмущающих сил
силы, приводящие к самовозбуждению, зависят от координат движе-
ния и их первой и второй производных.
2> В линейной трактовке самовозбуждающихся колебательных
систем скорость может постепенно возрастать до так называемой
критической скорости, соответствующей математическому условию
возникновения автоколебаний [8].
6—362 81
рости воздушного потока в случае флаттера) можно
сколь угодно близко подойти к пределу устойчивости.
Это эквивалентно приведению системы к малому зна-
чению общего коэффициента затухания. Вследствие это-
го для широкого класса самовозбуждающихся систем
субкритическое состояние можно исследовать на чувст-
вительность с помощью эквивалентной модели с одной
степенью свободы
ах-\- Ьх-]-сх = 0. (3.4)
Запишем уравнение (3.4) в обычной форме
х —|— 2<опСх —|— <0^ х 0. (3.5)
При начальных условиях
х (0) = 0 и х (0)=
его решение таково:
х =------I...e~“nCZsin <ОП/1 — CV, (3.6)
где соп — собственная частота незатухающих колебаний,
£— относительный коэффициент затухания.
Решение (3.6} имеет следующие логарифмические
функции чувствительности для величин со™ и £:
--и-----т —- - - е —(-----------HMsm <»п1/1 — С7 4-
<Нпсоп — I \<*п 1 ) пу ~
4 (3.7)
д In ? — <моп/1 — I? 6 [ К(1 — ?2)’ °’" /
х Sin «>п t - cos »п t ]. (3.8)
Введем понятие огибающей чувствительности {6, 7].
Это модуль функции чувствительности. Для соп и £ оги-
бающие чувствительности есть
_ I —<о с/ 7~i Г2
£(t”’*’^=7TWe ” (/' >57+^+/г<1-?2) ’ (3-9)
t)=---------е-””" I / / ё л2 ,
а<опЬ 1 — ?2 у ( _^2)3 Т 1 _ ?г ’
(3.10)
82
Дифференцируя огибающую чувствительности по време-
ни, определим экстремальные точки для <оп:
<ь’=-^±е’
для С:
Щ = + (3.11)
Здесь величины С2 и 1/<в2 отброшены, так как они
пренебрежимо малы по сравнению с единицей1)
(On^50 padfceK, 0<g^0,l.
Из уравнения (3.11) следует, что для систем с ма-
лым затуханием моменты максимума огибающих чув-
Рис. 3.1. Огибающая чувствительности.
ствительности для различных характеристических пара-
метров практически совпадают. Это время приближенно
равно обратной величине затухания соответствующей
приведенной системы с одной степенью свободы
(рис. 3.1). Так как для этого класса систем моменты
времени, в которых функция имеет максимум, зависят
только от собственной частоты и коэффициента затуха-
ния, максимумы огибающей чувствительности при дан-
ных параметрах системы будут
^ах=-4-±е(Д»пХ) • (3.12)
’) Для большинства самовозбуждающихся систем (упругие кон-
струкции, подобные самолету, средства передвижения) собственные
частоты всегда выше, чем 50 рад!сек, а эквивалентный коэффициент
затухания всегда может быть уменьшен до любой желаемой величи-
ны, если систему привести достаточно близко к пределу устойчи-
вости.
G* 83
Это выражение является следствием того, что собствен-
ная частота и коэффициент затухания зависят от зна-
чений соответствующих параметров. Поэтому при ма-
лых изменениях параметров моменты максимумов оги-
бающей незначительно отклоняются от величины 1/соп£-
Покажем, что огибающие чувствительности различ-
ных параметров не пересекаются. Модуль разности
между функциями чувствительности по параметрам соп
и £, описывающими приведенную систему, равен
и (?) — и (<оп) =-£= е Г (=—р
+4-\in<onf ^^-(7===-+^
x COS ®П|/Т=СЧ. (3.13)
Приравнивая производную по времени от правой части
этого выражения нулю и полагая 1 — С2 & 1 и 1 /<о^ «з О,
мы получим
(3.14)
Эти значения совпадают со значениями максимумов
огибающих чувствительности по отдельным параметрам.
Поэтому наибольшее значение разности между двумя
отгибающими равно разности их максимумов.
Таким образом, огибающая чувствительности может
служить достоверным критерием подразделения пара-
метров по чувствительности для самовозбуждающихся
систем на субкритических режимах. Для этого нужно
только сравнить максимальные координаты огибающих
чувствительности. Другими словами, для этого класса
систем огибающая чувствительности первого порядка
дает необходимую информацию относительно реакций
на возмущения.
Для конечных изменений параметров подобным пу-
тем можно получить огибающую чувствительности вто-
рого порядка, если использовать функции чувствитель-
84
кости второго порядка *> по параметрам <оп и £
х |/+«ХХи=ТГ - 2«+«ч,)’-
(3.16)
Приравнивая нулю производные по времени и пре-
небрегая величинами £2 и 1/<А получим моменты вре-
мени, соответствующие максимумам огибающей чувст-
вительности второго порядка. Они равны удвоенным
значениям соответствующих величин в случае огибаю-
щей первого порядка
t 2
(3.17)
Следует заметить, что огибающие чувствительности
второго порядка не могут изменить подразделения пара-
метров по чувствительности, полученного на основе оги-
бающих первого порядка. Однако они могут дать ин-
формацию о скорости изменения возмущенного решения,
которая оказывается полезной при синтезе некоторых
систем.
Значение огибающих чувствительности для подраз-
деления характеристических параметров по чувстви-
тельности проиллюстрируем на двух примерах.
Пример 1. Типичным примером самовозбуждающейся системы
с более чем одной степенью свободы является крыло самолета,
подверженное флаттеру. После весьма короткого промежутка вре-
мени все колебательные составляющие затухнут, кроме одной, ко-
’) Разлагая возмущенное решение исходных уравнений движения
в ряд Тейлора х (р + Ар, t) к (р, /) + ЩЦДр + -у- н(2 Др2 + . . . ,
мы приходим к понятию функций чувствительности первого порядка:
z/C1) = obc/dp, второго порядка: и<2) — д2х/др2 и т. д.
85
торая соответствует комплексному корню характеристического
уравнения с наименьшей действительной частью. Эта составляю-
щая приводит систему к пределу устойчивости.
Математически флаттер представляется парой чисто мнимых
корней, соответствующих гармоническому колебанию конструкции.
Единственным параметром, влияющим на устойчивость упругой кон-
струкции в движении, является безразмерная скорость1) ka =
где <оа — собственная частота крутильных колебаний несущей
поверхности; b — параметр, характеризующий геометрическую фор-
му; U — скорость самолета.
В общем случае перемещение упругой поддерживающей по-
верхности можно представить в виде суперпозиции бесконечного
числа различных нормальных составляющих колебания
п
h(x, t) = S ht (x)
i=l
n
(3.18)
/=1
n
P(X,O = S ₽t(x) qt(t},
i = \
где h — поступательное перемещение базисной оси; а — угловое
перемещение базисной оси; 0 — угловое перемещение поверхности
элерона относительно шарнирной линии; hit сц, (Зг- — нормальные
составляющие колебания; qi—обобщенные координаты, опреде-
ляющие вклад каждой из нормальных составляющих в результи-
рующее колебание.
В инженерном анализе бесконечное число составляющих за-
меняется ограниченным числом (редко более четырех). В этом
примере для анализа чувствительности была использована матема-
тическая модель с двумя степенями свободы [8] (рис. 3.2);
Mh + Sj. + Chh= — L,
S f 4- 7 a + C a = Mu,
a -r a -r a у» (3 jgj
L = h (U, h, h, h, CL, a, a),
My = f2 (U, h, A, h, cl, a, aj,
где M — масса крыла на единицу размаха; Sa—статический момент
сечения крыла относительно базисной точки; /а — момент инерции
сечения крыла относительно базисной точки; Ch = Afco^ — эквивалент-
ная жесткость на изгиб; Са = 7а со^ — эквивалентная жесткость на
кручение; <оа — собственная частота крутильных колебаний модели;
При анализе на флаттер этот параметр обычно выбирают
исходя из запаса устойчивости.
86
(On — собственная частота изгибных колебаний модели; L — зави-
сящая от времени аэродинамическая сила; — зависящий от
времени аэродинамический момент.
Нестационарность аэродинамических сил зависит не только от
геометрических характеристик самолета, но также от его переме-
щений в пространстве и их производных [8J. Предполагая поток
Рис. 3.2. Механическая модель сечения крыла.
квазистационарным, C(£)=const Ч представим уравнения (3.19)
в обычном безразмерном виде
(Р-+ l)t+ p.xaa + 2Xt +
[1+2^4" — А£Л+2Ла = 0,
№аТ1 + + а2;+ — 2 (4^+ А]-+
+• — a'j — 2^-^- — й ’Г”)''4 j а = О’
(3.20)
C(k) — функция Тсодорсепа, которая появляется в уравне-
ниях, описывающих нестационарные аэродинамические системы.
87
где
«а = Ха — Й/Н. Г2а = /а /МЬ*,
$а М
ka= U ’ *« = Mb' лрб2 ’
Л = -j-, С (k) = А = const.
Исходя из этого, в качестве характеристических параметров для
анализа чувствительности колебательной системы возьмем
“«> d - *«,
at
Рис. 3.3. Записи координат движения основной системы.
88
Примем следующие численные значения этих параметров»
|х=16,7 а — — 0,30 соа — 100 сек,~х
7-2=0,53 ха=0,24 & = 0,95 л
((О %
=0.38 *2=0,90 U = 120 м/сек')
Решения (Л и а) и функции чувствительности первого поряд-
ка даны на рис. 3.3, 3.4,а — 3.4,е. Отметим, что функции чувстви-
тельности, данные на рис. 3.4, принадлежат к типу dxfdp, тогда
как .подразделение параметров по чувствительности основывается на
функциях логарифмической чувствительности dq/d\np. Подразделе-
ние параметров в соответствии с наибольшими значениями огибаю-
щих чувствительности dq/d In р оказалось таково:
*«> Х«- Iх- • (“»/<>«)*. а-
Пример 2. В частях механических станков, скользящих вдоль
направляющих с малой скоростью, могут возникать скачкообраз-
ные движения. Это вызывает вибрации и уменьшает точность
механической обработки. Поэтому интересно выяснить, какие пара-
метры при таких условиях оказывают преобладающее влияние [9].
На рис. 3.5 доказана система, которая состоит из массы, сколь-
зящей по стационарной горизонтальной плоскости и связанной
посредством рычага эквивалентной жесткости с с тягой, движу-
щейся с постоянной скоростью v. Между массой и плоскостью
существует трение скольжения. На скользящую массу действуют
следующие силы: сила упругости передачи, инерционная сила, си-
ла трения, демпфирующая сила.
Поэтому дифференциальное уравнение движения имеет вид
/их+ 6, (x — v) + c(x —Хь — vt) + FK = 0, (3.21)
где т — масса движущихся частей; с — жесткость приводного
механизма; Ь2— наклон кривой трения скольжения как функция
скорости; bi — коэффициент жидкого трения в передаче;
=F—b2x— сила трения скольжения; F—постоянная сила для
данной комбинации скользящей каретки и направляющей, когда
х—>0; Ь2х— компонента, уменьшающая силу трения скольжения
(в общем случае имеет нелинейную характеристику).
Выполнив некоторые преобразования и определив граничные
условия [10], мы получим следующее решение уравнение (3.21):
Для данной динамической модели (C(&)=const) критическая
скорость флаттера (состояние нейтральной устойчивости) есть
^крит = 140 м]сек
89
Рис. 3.4,а. Функции чувствительности первого порядка по параметру
Рис. 3.4,Л Функции чувствительности первого порядка по параметру х,
ю
Uf ________________________________________________
г
_________________________________________________ _____ ......
г
Рис. 3.4,в. Функции чувствительности первого порядка по параметру р..
Р-^1
Рис. 3.4,г. Функции чувствительности первого порядка по параметру г*.
Р
2
“2
Гггсек 1
[ 1см J
Рис. 3.4,д. Функции чувствительности первого порядка по параметру (юп/соа)«.
Рис. 3.4,е. Функции чувствительности первого порядка по параметру а.
где
л __ ^L_zJjL
~ 2т
(О
Ь2 \2
— F9 F8 = cxQ.
При анализе чувствительности будет удобно использовать вы-
ражение для скорости релаксационных колебаний
х/Г / Д£ vd
х=е М[-0СО8®/ + ( —-------------
(3.23)
Рис. 3.5. Эквивалентное механическое представление скользя-
щей массы, перемещаемой низко-скоростной передачей, под-
верженной релаксационным самовозбуждающимся колеба-
ниям.
Рассмотрим основные параметры т, с, Ь2- Функции логариф-
мической чувствительности для этих параметров таковы:
___дх _ ДГ ( с 52 X mvti ( с З2 \
dlnm е [ 0)2 \ 2m2 ' т J со2 V 2m2 т J
д'х —мГ f cvi » ev&
д In с ~ е [ \ 2пиа 2/исо3
ДГс \ f kFct cvM \ Л
—2m’»’”) s,n Ы ) cos : <3’25)
_b2v b2v^2
dinb2 = e L\2m2w2 2m 2m<t>* J 1 cos+
. / b2v . b2v$2 b2AF b2tikF \
'Д'ггёю + 2m»’ +2w2» 2m*»’ ) slnwZ
(3.26)
94
Выбранные параметры надо подразделить в соответствии
с критерием огибающей чувствительности. Рассмотрим следующий
числовой пример [11]:
т=10 кг • сек? • м-', с=103 кг-м~^ 6t = 5 кг-сек-м~1
Ьг— 103 кг • сек • ,и-1, 6=0,5 со=1О сек~\ д/со=0,05.
При этих значениях параметров критическая скорость равна
vKp= 10“2 м)сек.
Подставим эти значения в уравнения (3.24), (3.25) и (3.26):
д х п
m =е-°’5/ [0,052/ cos 10/ + (0,035/4-0,0046) sin 10Z]. (3.27)
= e-°.5< [(0,04/ _ 0,0048) sin 10/ + 0,048/ cos 10/], (3.28)
dlnb2 = е~°'5‘ [(0,005/ + 0,0037) sin 10/ —0,0375cos 10/]. (3.29)
Огибающие чувствительности равны
£(m) = Y (0,052/)2 + (0,035/ + 0.0046)2 (3.30)
£(e) =K(0,04/ — 0,0048)2 + (0,048/) 2e - «.»», (3.31)
E(W = |Z(0,0375/)2 + (0,005/ + 0., 0037)2 e -(3.32)
Приравнивая производные по времени этих выражений нулю,
получим моменты максимумов, которые практически совпадают
для всех трех параметров, т. е. tmax = 2 сек, и согласуются с об-
щим выражением /max —l/o)n£. п
Выражения (3.30), (3.31) и (3.32) показывают, что эквивалент-
ные масса и жесткость имеют на 60% большее влияние на скач-
кообразное движение, чем коэффициент трения скольжения.
Частный случай чувствительности в линейных коле-
бательных системах возникает тогда, когда частота сиг-
нала Х(р, t) зависит от параметра р [12]. В этом случае
сигнал дХ1др будет расходиться подобно t, например,
д/др (sin pt) = t cos pt. Однако в некоторых случаях мож-
но построить модель (цепь) чувствительности иного типа,
которая содержит два уровня и для каждого сигнала
х(р, t) исходной модели (цепи) вырабатывает два сиг-
нала х(р)(р, 0 и *((р))(Р, 0-
Вспомогательные сигналы обладают свойством
д
х (р, t) = х(р) (р, 0 + /х((»)) (р, t). (3.33)
Рассмотрим структуры моделей чувствительности
с двумя уровнями [12]. а) Пусть х — периодический сиг-
нал с подстраиваемой частотой x=ty(pt). Тогда
° При выводе уравнения релаксационных колебаний демпфи-
рующий коэффициент 2собыл обозначен через 6.
95
^ = W{p,t) (3.34)
и x<p), х«р» обладают желаемыми свойствами, когда
х<р)=0, х«р))=т|/.
б) Пусть линейная система с передаточной функци-
ей G(p, s) и импульсной характеристикой g(p, т) имеет
вход X и выход х. Тогда
= 0X(/M-'0^+ f
x(p,t)= ^g(p,t)X(p,t— t)dt (3.35)
и
00
£ X (Р, t) = ^g (р, г) X(p,t- t) dt 4-
, т) (Х<Р) (р, t — г) 4- (t - т) Х«Р» {р, t - t)]dt =
О
g (р, т) Х(р) (р, t— —
о о
— [чг (Р> *) Х((р)) (М — + ’ р (/>, т)Х«р» (/>,/—г) dt.
о о
(3.36)
Таким образом, х(р) и х(р> получаются с помощью линей-
ных систем, импульсные характеристики которых есть
g(A г), g(p, t),—tg(p, t). Им соответствуют переда-
точные функции
G(p, s) = |e-s,g(p, t)dt,
00
^-G(A s) = Je-e<^- g(A
0
-^G(p, s)= —Je-»4g(p, t)dt.
0
В действительности x<p) получается как комбинация
трех сигналов: X, прошедшего через dG/dp\ Х^\ про-
96
шедшего через G, и Х^\ прошедшего через dGjds. Сиг-
нал х«р)) получается прохождением через G
(рис. 3.6,а).
в) Если функциональный генератор имеет вход X
и выход x=f(p, X), то
др dp ' dX dp ~ dp ' dX Л ~^t~dTX *
В соответствии с этим и х^ получаются с по-
мощью модели, показанной на рис. 3.6,6.
г) В частном случае переменного коэффициента уси-
ления х = рХ\
х(р)=Х+рХ(р), х«Р))=рХ«Р)) (3.38)
и х№ получается таким же образом, как и в модели
чувствительности одного уровня; х^ получается с по-
мощью усиления в р раз.
д) Если х представляет собой линейную комбинацию
двух сигналов x=Xi±X2, то легко видеть, что (рис.3,6,в)
Х(Р) = х\р} ± Х'р), х«р»=Х{(/,)) ±Х‘(р)) . (3.39)
е) Если х получается посредством перемножения
двух сигналов x=XiX2, то легко видеть, что (рис. 3.6,г)
х(р) = Х</”Х2 + Х1Х'/” ,
X((P)) = x<(p))Xs х.Х'0”’ . (3.40)
Чувствительность нелинейных систем. Проблема ди-
намической устойчивости по существу является пробле-
мой нелинейной теории. Соотношение между линейной
и нелинейной теорией устанавливается на основе тео-
рии устойчивости Ляпунова (13]. Анализ чувствитель-
ности линейных систем к малым изменениям параметров
(функции чувствительности первого порядка) показы-
вает, что решения уравнений чувствительности являют-
ся неустойчивыми, если основные уравнения движения
описывают установившиеся колеба-ния Ч Из этого следу-
ет, что функции чувствительности первого порядка вооб-
ще не дают информации относительно чувствительности
Момент максимума огибающей чувствительности стремится
к бесконечности, когда коэффициент чувствительности стремится
к нулю.
7—362 97
структурно неустойчивых систем (например, гармони-
ческий осциллятор). Кроме того, для конечных измене-
ний частоты (On (которая в этом случае является един-
ственным параметром) поведение выходной координаты
тоже является гармоническим. Чтобы получить чувст-
вительность гармонических решений, которая была бы
Рис. 3.6,а. Модель чувствительности с двумя уровнями для системы
с передаточной функцией G(p, s).
Рис. 3.6,6. Модель чувствительности с двумя уровнями для случая
нелинейного преобразования x=j(p, X).
Рис. 3.6,в. Модель чувствительности с двумя уровнями для случая
х=Х}±Х2. '
Рис. 3.6,г. Модель чувствительности с двумя уровнями для случая
98
полезна в технике, нужно удалить зависящие от вре-
мени члены из уравнений чувствительности.
В отличие от линейного случая, тот факт, что дви-
жение нелинейной системы имеет устойчивый предель-
ный цикл, не исключает устойчивости уравнений чувст-
вительности предельного цикла. До недавнего времени
с помощью анализа чувствительности не оказывалось
возможным дать какую-либо достоверную информацию
относительно чувствительности устойчивого предельного
цикла. Можно было только сказать, что устойчивый
предельный цикл не всегда гарантирует устойчивость
чувствительности предельного цикла [14].
Рассмотрим колебательную систему, описываемую
векторным дифференциальным уравнением второго по-
рядка:
fi(x, хГх, Л р) = 0, (3.41)
где р — векторный параметр. Уравнения чувствительно-
сти первого порядка по отношению к произвольному
параметру рг будут иметь вид
Ш <"’+ГН <“>+[-£-]<“>+Ш=0’(342)
где и--^-—функция чувствительности первого порядка,
Jdf [dx] — матрица обобщенных масс, Pf/dx] — матрица
демпфирования, [df/dx] — матрица жесткости, [df/dp,] —
матрица обобщенных сил.
Матричное уравнение (3.42) представляет систему ли-
нейных неоднородных дифференциальных уравнений с пере-
менными коэффициентами, так как матрицы [df/dx],
Pf/tfx] и Pf/dx] зависят от решения уравнений (3.41).
Отметим, что однородная часть уравнения (3.42) остает-
ся одной и той же в уравнениях для всех параметров
и только часть (df/dpi), связывающая уравнения движе-
ния и уравнения чувствительности, зависит от рассма-
триваемого параметра.
Соотношение между устойчивостью и чувствитель-
ностью нелинейных систем. Анализ чувствительности как
линейных, так и нелинейных систем включает в себя
рассмотрение полной системы уравнений, состоящей из
уравнений движения (3.41) и уравнений чувствитель-
ности (3.42). В качестве примера рассмотрим систему
7* 99
второго порядка. В соответствии со сказанным выше от-
носительно автоколебательных систем линейного типа
данная динамическая система определяет собой также
и доминантную составляющую колебания исходной ди-
намической системы. Наиболее удобная математическая
модель дается квазилинейным дифференциальным
уравнением второго порядка
f = X 4- <0* х 4- |хф (XX)=0, (3.43)
где р. — малый параметр; Ф (хх) — нелинейная функция.
Предполагая, что первая гармоника преобладает и
что приближенное установившееся решение имеет вид
x=xs=A cos at, (3.44)
перепишем уравнение (3.43):
f=>xs4- Xs4-}*®(xsxs) = 0. (3.45)
Для приближенного исследования асимптотической
устойчивости изменим xs на малую величину б
x=xs + d.
Соответствующее уравнение в вариациях приобрета-
ет вид
8 4- 0)2 8 4- р.Ф° (xs, 8, xs, 8) = 0. (3.46)
Из-за наличия нелинейности уравнение (3.46) имеет пе-
ременные коэффициенты. В связи с малостью 6 можно
ограничиться рассмотрением членов первого порядка.
Решение уравнения (3.46) дает информацию относи-
тельно устойчивости самовозбуждающихся колебаний.
Во многих случаях уравнение (3.46) может быть сведе-
но к хорошо исследованному в математической литера-
туре [15, 16] однородному дифференциальному уравне-
нию типа Матье — Хилла.
Рассмотрим чувствительность решения уравнения
(3.43) для малых вариаций параметров, которые не из-
меняют порядка дифференциального уравнения. В соот-
Малый параметр вводится только для того, чтобы улучшить
аналитическое представление решения путем введения первой гармо-
ники. Она рассчитывается методом гармонической линеаризации.
100
ветствии с выражением (3.42) уравнение чувствитель-
ности для уравнения (3.43) имеет вид
и 4- WQ и + |*ф° (xs, и, xs, ii) = Q (t), (3.47)
где Q(t) —возмущающая сила, которая воздействует на
модель чувствительности с частотой решения уравнений
основной системы; u=dxldpi — функция чувствительно-
сти по данному параметру, вариация которого не меня-
ет порядка дифференциального уравнения.
Сравнение показывает, что левые части уравнения
в вариациях для приближенного исследования устойчи-
вости (3.46) и уравнения чувствительности первого по-
рядка (3.47) имеют один <и тот же «вид1). Таким образом,
будем ли мы * рассматривать устойчивость уравнений
движения или чувствительность решений к малым ва-
риациям параметра, нам потребуется знать решение
однородного уравнения, соответствующего уравнениям
(3.46) или (3.47).
Решение уравнения чувствительности в вариациях.
Чтобы оценить роль решения указанного однородного
уравнения, рассмотрим следующее дифференциальное
уравнение второго порядка с переменными коэффици-
ентами:
u+/?8(0u = Q(0, (3.48)
где /?2(0—периодически изменяющийся коэффициент.
Общее решение уравнения (3.48) имеет вид
и= ( — f 5(<)Иг dt + сЛ и, +
+ М_ + <?\Иа> (3.49)
\J uxii2 — uxu2 /
где Ci и с2— произвольные постоянные, и2 — решения
соответствующего однородного уравнения.
Из выражения (3.49) следует, что решение однород-
ного уравнения, получаемого из (3.48), единственным
образом определяет характер решения уравнения чувст-
вительности при условии, что возмущающий член Q(t)
не может вызвать неустойчивости [17].
!) Связь между асимптотической устойчивостью и чувствитель-
ностью к изменениям начальных условий рассмотрена в работе [27].
101
Можно сформулировать следующую теорему.
Теорема 1. Если уравнения движения имеют устой'
чивый предельный цикл, то устойчивость возмущенного
предельного цикла определяется характером решения
однородного уравнения, соответствующего уравнению
чувствительности1). В общем 'случае диссипативной си-
стемы дифференциальное уравнение включает также
силу трения с переменным коэффициентом
u + 2/7(O« + £a(Ou = Q(O- (3.50)
Однако подстановка
Р (0 dt
y = ueJ
•переводит это уравнение в уравнение типа (3.48). Влия-
ние демпфирования на область динамйческой неустой-
чивости рассмотрено в литературе (18].
Доказательство. Рассмотрим приближенное решение
однородного уравнения
u-|-/?2(0« = 0 (3.51)
в бесселевых функциях. При обычных предположениях
|R|>|/?/2R—|-(W| (3-52)
уравнение (3.51) имеет решение
и = [/?(0Г1/2 [Л cos Ф (0 + В sin Ф (0], (3.53)
где А и В — произвольные постоянные и
Ф(О = у/?(О^- (3.54)
Разложим правую часть уравнения (3.53) в .ряд по
бесселевым функциям. Можно видеть, что решение
устойчиво, неустойчиво или нейтрально устойчиво2) в за’
В общем решении выражения (3.49) функция Q(/) определяет-
ся решением уравнений движения.
2) При анализе устойчивости <и чувств1ительности нелинейных си-
стем часто используется понятие орбитальной устойчивости, так как
в технических задачах оно более удобно, чем асимптотическая устой-
чивость.
102
висимости от характеристических параметров уравнения
или комбинации их:
cos (a sin b) = Jo (а) + 2Л, (a) cos b 2/4 (a) cos 46 +...
sin (a sin b) = 271 (a) sin b -f- 27, (a) sin 36 + • • • [(3- 55)
где a — основной параметр или комбинация основных
параметров системы.
Сходимость решений для конечных изменений пара-
метров системы. Чтобы выяснить характер решений
уравнений чувствительности при конечных изменениях
характеристических параметров, рассмотрим выраже-
ние
х(р + Др, /) = х(р, /)4-и<1>Др+-^-г/(2) Др24-...
где и(1) — функция чувствительности первого порядка;
«(2) — функция чувствительности второго порядка и т. д.
Функция чувствительности r-го порядка для системы
с одной степенью свободы описывается уравнением
дх дх
= Ф(и<г-1),и<2), и^, х, р, /). (3.56)
Оно получается последовательным дифференцирова-
нием уравнений движения (3.41) по произвольному па-
раметру системы.
Уже было отмечено, что для любых параметров, из-
менение которых не сказывается на порядке системы,
однородные уравнения, соответствующие уравнениям
чувствительности, имеют одинаковый вид. Поэтому ха-
рактер общего решения выражения (3.49) зависит ис-
ключительно от правой части уравнения математической
модели. Для чувствительности r-го порядка правая
часть зависит от всех (г—1) функций чувствительности
и от решения уравнений движения.
Справедлива следующая теорема.
Теорема 2. Существование устойчивого предельного
цикла уравнений чувствительности первого порядка
является необходимым и достаточным условием для
устойчивости предельного цикла возмущенного движе-
103
ййя и в случае конечных изменений параметров Системы.
Другими словами, существование предельного цикла
у уравнений чувствительности первого порядка гаранти-
рует, что возмущающий член Q(t) (правая часть урав-
нения (3.56)) будет иметь ограниченную амплитуду. Как
результат, в общем решении уравнения чувствительно-
сти (3.49) функция Q(t) влияет только на амплитуду
предельного цикла этого уравнения, но не изменяет ха-
рактера решения.
Отсюда следует, что если функции чувствительности
первого порядка имеют устойчивый предельный цикл, то
ряд Тейлора, в который разлагается решение уравнений
движения, всегда сходится.
Применение функций чувствительности к нелиней-
ным системам. Влияние параметров на колебательный ре-
жим системы оценивается исходя из амплитуд устойчивых
предельных циклов при условии, что они существуют.
Пусть —функции чувствительности первого
порядка для параметров pv..., рп. Первый результат ана-
лиза чувствительности состоит в подразделении параметров
в соответствии с амплитудами предельных циклов функций
чувствительности первого порядка •••
Полезная информация относительно свойств устано-
вившихся колебаний системы при отклоненных значе-
ниях параметров дается и—(/-диаграммой1), которая
изображает зависимость между координатой и соответ-
ствующей функцией чувствительности [19]. Основная
причина для введения и—(/-диаграммы состоит в том,
что решения уравнений движения и уравнений чувстви-
тельности различаются по фазе, так что довольно трудно
одновременно воспринимать поведение решений обеих
систем уравнений во временной области. Полезно также
иметь возможность наблюдать некоторую характеристи-
ческую величину уравнений движения в зависимости от
чувствительности к изменениям характеристических па-
раметров. Возможный вид диаграммы в плоскости и—q
показан на рис. 3.7.
Характеристическая точка графика определяется ма-
ксимальным значением обобщенной координаты qmax-
О В отличие от х буквой q обозначена некоторая обобщенная
координата, которая может быть представлена комбинацией коорди-
нат исходной системы.
104
Можно ввести понятие функции чувствительности вели-
чины Cfxnax'
u= (dqmax/dp).
В технических задачах часто требуется добиться
экстремума некоторой динамической характеристики.
Поэтому важно знать, как изменение параметров может
повлиять на это требование. Если предположить, что
изменение максимума координаты, вызванное измене-
нием параметров, не ухудшает
положения портрета по этой
координате, то рассмотрение
можно сосредоточить исключи-
тельно на подборе значения
Цтах*
Предположение об устой
чивости предельного цикли
и его применение справед-
ливо только для случая, когда
вариации параметров не из-
меняют частоту решения ос-
новной системы. Однако та-
Рис. 3.7. Устойчивый пре-
дельный цикл чувствитель-
ности.
кая инвариантность возмож-
на только в гипотетических случаях. Постоянство
частоты возмущенной системы может быть только по
отношению к совместному изменению ряда параметров.
Это происходит потому, что линейность уравнений чувст-
вительности нелинейной системы дает возможность до-
биться экстремума данной величины за счет совмест-
ного изменения ряда параметров. Полученные соотноше-
ния между коэффициентами могут быть такими, что обу-
словят новый предельный цикл с иным уровнем орби-
тальной устойчивости. Однако существование устойчи-
вого предельного цикла еще не гарантирует его единст-
венности.
Чтобы оценить влияниспараметра р на координату (/,
используя и—(/-диаграмму, нужно проанализировать
случай, когда при наличии устойчивого предельного
цикла уравнений движения функция чувствительности
первого порядка не имеет устойчивого предельного цик-
ла. В этом случае предельный цикл уравнений чувстви-
тельности практически не дает информации относитель-
но свойства возмущаемости нелинейных систем. Это же
относится и к случаю линейной системы, находящейся
105
на границе устойчивости, где огибающая чувствитель-
ности стремится к бесконечности.
Для практического применения и—(/-диаграммы
в этом случае необходимо «очистить» общее решение
уравнений чувствительности первого порядка от завися-
щих от времени членов, которые делают предельный
цикл неустойчивым [19, 20] (рис. 3.8,а).
Рис. 3.8. Чувствительность, «очищенная» чувствительность и приве-
денная «очищенная» чувствительность.
Рассмотрим зависимость функции %(/) в уравнении
(3.41) от параметра р, т. е. изучим dx(t, p)/dp. Введем
«циклическое» время x=f(t, T)=t/T, где Т — период
установившихся решений уравнений движения. Тогда
О Удаление зависящих от времени членов из общего решения
уравнений чувствительности первого порядка особенно оправдано
для колебательных систем с физическими ограничениями (например,
нелинейные уравнения движения железнодорожного вагона).
106
x(t> p) можно записать как х(г, р), а функцию чувст-
вительности представить в виде
fr. Р). dx(z, р) . dx(z, р) dz -
dp ~~ др “f' fa dp‘
Учитывая, что
dx (%, р)_ дх _dz дх dp _ дх 1
dt dz dt ‘ dp dt fa T
и
dz dz dT i dz dt _ t dT
dp ~ dT dp * dt др T2 dp ’
получим
dx (t, p) __ dx (t, p) _ dx (t, p) t dT
dp dp dt T dp'
Выражение дх(х, р)/др представляет собой функцию
чувствительности, которая соответствует циклическому
времени, т. е. оно не подвержено влиянию зависящих
от времени возмущений и поэтому является «очищен-
ной» чувствительностью. Обозначая ее через й, мы
имеем
• t dT
и = и-х—-^
или в случае нескольких параметров
, • t дт
Ui=Ui + x — ^
(3.59)
(3.60)
Физическая интерпретация «очищенной» чувствитель-
ности и зависящих от времени членов показана на
рис. 3.8,6 и 3.8,в.
Вводя «циклическое» время, можно для ординаты,
соответствующей данной точке, отделить чувствитель-
ность ординаты по отношению к периоду («очищенная»
чувствительность) от чувствительности, вызванной изме-
нением частоты (зависящий от времени член). Очищен-
ная чувствительность должна иметь тогда устойчивый
предельный цикл и может использоваться для изучения
свойств возмущаемости внутри периода. С привлечени-
107
ёМ уравнения (3.60) уравнение чувствительности (3.61)
принимает вид
=[-Ж<*+-И&+
+[4]+«^-(^)- <3-61>
Решение этого матричного уравнения дает функции
чувствительности первого порядка без членов, завися-
щих от времени. Так как принято, что предельный цикл
чувствительности неустойчив, то из теоремы 1 следует,
что решение однородного уравнения, соответствующего
выражению (3.61), также неустойчиво. Член dT/dpj за-
ранее не известен. Он получается из условий устойчи-
вости предельного цикла чувствительности. Если вели-
чина dTIdpi найдена, то решение уравнения (3.61) мож-
но получить с помощью решения уравнения (3.42), ис-
пользуя соотношение
(«) = («)+ (3.62)
Это непрямое определение очищенной функции чув-
ствительности особенно полезно на практике, поскольку
уравнение (3.62) проще и dTIdpj может быть опреде-
лено непосредственно (21].
Следующий шаг состоит в том, чтобы свести и—q-
диаграммы к некоторым характеристическим ординатам
движения, потому что «очищенная» функция чувстви-
тельности, например устойчивая чувствительность пре-
дельного цикла, может иметь несколько различных уров-
ней. Это отсутствие единственности также делает и—
—^-диаграммы практически бесполезными, даже когда
уже получены «очищенные» функции чувствительности
первого порядка.
Замена в первоначальном циклическом времени от-
носительного времени реальным приводит к изменению
функции чувствительности относительно характеристи-
ческих ординат. В этом случае
х __
/ т
108
и поэтому
dt dt dT । dt dt0
dp dT dp * dt0 dp
С учетом dx/dt0 = — \[T правая часть уравнения (3.62)
принимает вид
и+Wt-^+w^- <3-63>
Легко видеть, что выражение (3.63) удовлетворяет
уравнению (3.61) для всех dtQ/dpj.
Выбор произвольного значения dt^dpj представляет
собой сведение «очищенной» функции чувствительности
до некоторых характеристических амплитуд движения;
в действительности это означает выбор отсчетных точек
для определения циклического времени. Это соответст-
вует сдвигу возмущенного решения х+&х (рис. 3.9) по
оси времени. Например, если мы хотим, чтобы макси-
мумы исходного и возмущенного решений совпали,
нужно, чтобы dt^dpj удовлетворяло условью
=°- '3-м)
\ 1 * 1 J / max
и, следовательно,
dt„____________________/ . f дГ \
\ "г Т др) х
109
В силу этого чувствительность сводится к значени-
ям, соответствующим точкам максимума исходного дви-
жения; обозначим их через йт (рис. 3.8,г)
• [ t дТ
(3.65)
max
Подобным образом, если требуется, чтобы совпали
нули исходного и возмущенного движения, величина
dtoldpj получается из условия
<3-66>
и, следовательно,
дР* к Л=о’
Приведенная функция чувствительности такова
(рис. 3.8,в):
йог= щ — Xi f'j • (3.67)
\ ) Х=0
При практических применениях и—«/-диаграммы для
корректировки характеристик нужно ввести критерий
нормировки. Интересно рассмотреть нормировку, кото-
рая минимизирует некоторые координаты q, например
абсциссу пересечения диаграммы с осью q. Вообще го-
воря, это может привести к портретам двух типов, пока-
занным на рис. 3.10а, б.
В обоих случаях наименьшее значение максимума qm
есть наименьший отрезок, отсекаемый на оси q каса-
тельной к предельному циклу. Соответствующее изме-
нение параметра Дрт равно ctgO, где Ф — угол, обра-
зованный касательной с осью q (рис. 3.10,в). Измене-
ние величины «/max, вызванное изменением одного пара-
метра, можно представить произведением
Д«/ max — Др«,
(3.68)
где и — коэффициент чувствительности максимума q.
Соответствующие величины показаны на рис. 3.10,в.
Таким образом, диаграмма, имеющая наименьшее
значение абсциссы точки пересечения с осью q, дает ин-
формацию о том, какие изменения параметров нужно
110
произвести, чтобы получить наименьшее возможное
уменьшение данной динамической величины. Однако
предшествующее рассмотрение пригодно для численных
расчетов только при малых значениях &рт, т. е. когда
наклон касательной на рис. 3.10 близок к л72. Если это
условие не соблюдается, то указанные соотношения
дают только первый шаг при определении экстремума
данной динамической характеристики.
Более полный анализ влияния параметров на неко-
торые динамические характеристики можно провести,
если дополнительно учесть одновременность изменения
двух или более параметров.
Обозначим некоторую динамическую величину
с ограниченным диапазоном изменения -через Н. Для
упрощения предположим, что эта величина есть функ-
ция только двух параметров, которые в этом случае
играют роль переменных H~H(p\t р2). Если функция Н
разложена в ряд Тейлора по приращениям параметров,
1Н
то, ограничиваясь приближением второго порядка, за-
пишем
дН
дрх
л । дН . I
Да+^-ДМ
1 д2Н
2! др.др2
дада+
1
2!
дгН
dpi
ДХ-F
2! dpi Р2>
где Но — значение динамической величины при номи*
нальных значениях параметров.
Для получения экстремума величины Н можно ис-
пользовать любой из известных методов, например ме-
тод градиента
дН _ j 1 д2Н Л „ , д2Н л „
д(ДЛ) др. Т 2! др.др2 —
дН дН 1 д2Н к . д2Н л
д(Ьр2)~ др2^ 2! др.др2 др1
Отсюда можно вычислить требуемые приращения
Api и Др2л а также величину их взаимосвязи Api='f (Дрг).
При этом нужно еще удовлетворить дополнительному
требованию, чтобы условия экстремума представляли
собой также достаточные условия минимума функции Н.
Более интересно применение параметрической опти-
мизации в том случае, когда учитываются экономиче-
ские факторы, которые могут оказаться решающими при
рассмотрении вопроса о целесообразности реконструк-
ции анализируемых динамических систем.
Эта проблема в некоторой степени является допол-
нительной по отношению к предыдущей. Отличие состо-
ит в том, что наперед заданное уменьшение динамиче-
ской величины Н может быть, по крайней мере, зара-
нее определено из условия получения минимума этой
динамической величины.
Однако до сих пор метод анализа чувствительности
не привлекался для решения таких задач выбора пара-
метров, где существенную роль играют соображения
экономической выгоды. Такова задача определения «ве*
са» изменений отдельных параметров с учетом экономи-
ческих соображений и задача выбора «оптимальных»
изменений параметров (в смысле минимума стоимости
112
реконструкций) при определенном изменении динами-
ческой величины.
Таким образом, если данные о расходах на реконст-
рукцию по отдельным параметрам хг- = /(Дрг) известны,
то задача уменьшения динамической величины (напри-
мер, уменьшение боковых ударных сил, воздействующих
на железнодорожный вагон при его движении) может
быть сформулирована как классическая проблема опта-
Рис. 3.11. Упрощенная модель двухосного железно-
дорожного вагона.
мизации, причем можно применить метод динамического
п
программирования minj] сг-, где п означает число па-
1
раметров, участвующих в процессе оптимизации.
Пример. Применение метода чувствительности к нелинейным
динамическим системам будет иллюстрировано на примере упрощен-
ной модели двухосного железнодорожного вагона. Считается, что
шасси жестко прикреплено к осям и поддерживает нагрузку без
пружин или амортизатора. Боковая упругость рельсов заменена ли-
нейной пружиной, которая включается в работу вне мертвой зоны.
Модель представлена на рис. 3.11.
Уравнения движения имеют вид [19]
4F . 4F
Л4 Xj + у Xj Хг 4з fa — О,
р2 .. 4F / d2 \ . 4F d
~[2~ МХ2 + у f 1 + ~j2~ J *2 + ~~1 ~ Р*Х1 + ?з — fa = 0» (3.69)
где Х1 = £/ — боковое смещение шасси, Ч— угол вращения
коробки вагона; 21— расстояние между колесами; 2d— ширина ко-
леи; ц —угол наклона фланца колеса; г — радиус колеса; F — ко-
эффициент трения скольжения; М — масса вагона; V — скорость дви-
жения вагона; р—радиус инерции вагона*
«~362 113
Величины qz — Pi> q^Pz обозначают общие боковые силы, дей-
ствующие на переднюю и заднюю оси соответственно. Они возникают
от давления фланца колеса на рельс. Упругость рельсов заменена
пружиной с мертвой зоной А (рис. 3.12).
{— х (х, — х2 — Д)
О
— x(xt — х2 + Д)
при — Д < Xi — х2< А, •,
(3.70)
— х (Хх + х2 — Д)
0
х (Xj + х2 + Д)
+ х2 > д
при — Д < Xj 4- х2<Д
Xj 4" х2 — Д
Рис. 3.12. Нелинейные характеристики, моделирующие
упругое действие рельсов.
Уравнения логарифмической чувствительности для уравнений
(3.69) по отношению к ц таковы:
4F . 4F
хх, у хх, — и2 и, хх, — 0.
о2 4F
-jrMu2 + — (l+d!/H «2 +
+ —-------— |Л«1 + и3 - и, = — —— — (3-71)
причем надо учесть дополнительные уравнения1)
— х(хх,—хх2) при — Д X > Xj — х2 >0,
0 при — д < С Xj х2 < (3.72)
1 — X («I + Иг) при — Д > Xi Х2 х > д,
«4 = ] 1 0 при — Д < Z 4" *2 < ; д.
В уравнениях (3.71) не принято во внимание влияние разрыв-
ности первой производной,
114
Для параметров р и / левые части уравнений совпадают, тогда
как правые части имеют вид
/ 0 \
для р: I v
г 2(р2//2)Л4х2 J
4F
I *2
Л ... 8F d2 . 4F d
2 (?2/l2) М х2 + у р х2 + i г Р-Я1
Вспомогательные уравнения (3.72) остаются теми же самыми.
Уравнения (3.69) и соответствующие уравнения чувствительности
(3.71), (3 72) и (3.73) были решены для следующих численных
значений:
М = 4,28 кг сек2 см, F = 1,265ХЮ6 кг
р = 142,8 см, р. = 0,05,
21 = 250 см, х = 4-10* кг!см,
2d = 150 см, Д = 1 см,
2г = 100 см V = 90 км/час.
При вычислении постоянной трения скольжения было предпо-
ложено, что весь вес вагона 6=4* 104 кг остается на тележке. Ре-
шение уравнений движения показано на рис. 3.13.
Координаты q3 и q^ представляют собой силы бокового удара,
которые определяют собой плавность хода вагона.
На рис. 3.14—3.18 показаны и—диаграммы, построенные для
параметров ц, р, I в соответствии с методикой получения «очищен*
8* 115
ной» и нормированной функции чувствительности первого порядка.
Нормировка проведена для точек максимума координат.
Диаграмма для ц показывает, что уменьшение этого параметра
приводит к существенному уменьшению боковых сил (рис. 3.15).
Одновременно это приводит к уменьшению соответствующего угло-
вого смещения ф (рис. 3.14).
Рис. 3.14. Диаграмма очищенной и нормированной функции чув-
ствительности по параметру р*.
Фазовая диаграмма для р (рис. 3.16 и 3.17) позволяет сделать
подобные же заключения. При этом видно, что р оказывает несколь-
ко большее влияние, чем р.
300
-зоо
Рис. 3.15. Диаграмма очищенной и нормированной функции чув-
ствительности йт* по параметру р».
Однако, как показывает рис. 3.18, наиболее эффективный способ
уменьшения боковых сил состоит в увеличении параметра /.
На основе этого исследования, использующего и—^-диаграммы,
была изучена полная динамическая система уравнений двухосного
116
Рис. 3.16. Диаграмма очищенной и нормированной функции чув-
Рис. 3.17. Диаграмма очищенной и нормированной функ-
ции чувствительности йт^ по параметру р.
117
железнодорожного вагона. Анализ чувствительности был использован
для уменьшения боковых сил, вызываемых контактом колеса с рель-
сом. Основная модель с уравнениями чувствительности была нели-
нейной и имела шестидесятый порядок. С использованием фазовых
и—^-диаграмм были получены значения параметров, минимизирую-
щих боковые силы. На этой
основе выведены условия
для радикального улучше-
ния плавности хода на
определенных скоростях |22].
Рассмотрим подход
к анализу свойств воз-
му щаемости нелиней-
ных систем управле-
ния, основанный на
асимптотическом мето-
де Н. М. Крылова и
Н. Н. Боголюбова [23].
Для широкого класса
нелинейных систем са-
мовозбуждающиеся ко-
лебания определяются
с помощью нелиней-
ного дифференциально-
го уравнения следую-,
щего вида:
C(s)x + B(s) X
XF(x, sx)=0, (3.74)
где C(s) и B(s) — дей-
ствительные полиномы
по s, степеней т и п
соответственно, причем
п^.т.
Функция F(x, sx) представляет собой характеристи-
ку нелинейного элемента.
В соответствии с обобщенным подходом Крылова —
Боголюбова [24] предполагается, что решение x = x(f)
уравнения (3.74) близко к виду
x=4sin(D, (3.75)
где амплитуда A=A(t) и фаза Ф = Ф(/) —функция вре-
мени, определяемые уравнениями
800
-600
- чоо
-200
" От
-1000
-1000
-600 -400 -200
-200
-400
-600
-800
j__।___।_।
ЧОО 600 ц
Рис. 3.18. Диаграмма очищенной и
нормированной функции чувствитель-
ности йт по параметру /.
4г = - 4г=“n V1 - е • (3.76)
118
Применяя метод гармонической линеаризации к урав-
нению (3.74), можно определить решение (3.75) как
решение соответствующего линейного дифференциально-
го уравнения с переменными коэффициентами (25]. Диф-
ференцируя уравнение (3.75) по и используя выраже-
ние (3.76), найдем, что
sx = Д<оп 1 — С2 cos Ф — Д<опС sin Ф. (3.77)
Из уравнений (3.75) и (3.76) следует, что
8ШФ=-4-,
А
cos Ф=---(3.78)
Нелинейную функцию ^(х, sx) можно теперь линеа-
ризовать следующим образом:
F(a, ^ = (*'. + рт=г)^ + „д /_<3-79>
где
2ic
j F (Л вщф, А <ОП ^Г^РсовФ -
О
— Л(опС sin Ф) sin Фб/Ф (3.80)
и
2к
ЛГ,=ДУ F(4sin®, Аюп/1^С2созФ —
о
— Л<опС sin Ф) cos Фб/Ф
есть функции от А, £, соп. Когда £=0 и (оп’=<о, они при-
нимают вид
2к
J ^ИбшФ, Лео cos Ф) sin Фб/Ф,
о
2тс
N2 — J F(A8Й1Ф, Л<оcosФ)cosФб/Ф. (3.81)
о
119
Если нелинейная функция зависит только от х, то
уравнения (3.80) и (3.81) сводятся к виду
2«
AT,ss-^-j F (Л sin Ф) sin Ф^Ф,
о
J F(4sin<>)cos<l>6/<&.
о
(3.82)
В случаях, когда используется уравнение (3.80), ли-
неаризованное дифференциальное уравнение, соответст-
вующее (3.74), имеет следующее характеристическое
уравнение:
C(s) + B(s)(v, + 7a=-+.. )=0. (3.83)
Подставляя
s = —+ (3.84)
в (3.83), находим, что
с,(<»„, н/с,к. С)+[В,(<»„, С)+
+ /Ш, С)ПА\(Л, <»п, С) + /АГ,(Л, №„, С) = о, (3.85)
где
с,= £ (- l)ft^<Tft(0,
k=0
с2 = S (- 1 )* c^kn Uk (С),
/г=1
k=0
B2 = S (- 1 )* /Г=Т2 ик (С). (3.86)
k=0
Коэффициенты Ck (£=0, 1, .... tn) и bk (k=0, 1, ...,
..., n)—коэффициенты полиномов C(s) и B(s) соот-
ветственно. Функции Tk(t) и ^fe(S) — функции Чебыше-
ва первого и второго рода с аргументом 0^|£|^1.
120
Характеристическое уравнение (3.85) можно теперь
переписать в виде одного векторного уравнения, по-
скольку и действительная и мнимая части должны рав- -
няться нулю.
Поэтому
С + ВМ = 0, (3.87)
где
(3.88)
Это матричное уравнение представляет два скаляр-
ных уравнения с тремя неизвестными A, g, соп.
С помощью анализа чувствительности рассмотрим
дифференциальные изменения относительного коэффици-
ента затухания £, и собственной частоты <оп., вызванные
дифференциальными изменениями амплитуды А.
Чувствительность относительного затухания и собст-
венной частоты к вариациям амплитуды определим как
0,=^-, (3.89)
<3-90>
Тогда чувствительность частоты
ию=-Й- (3.91)
ю дА ' '
с учетом связи ш = <оп|Л1—С можно записать в виде
и = ,• (3.92)
“ У1 __ £2 * ' "п
Все выписанные выше функции чувствительности за-
висят от амплитуды, частоты и параметров. Поэтому
они значительно отличаются от функций чувствительно-
сти затухания и частоты, определенных Митровичем
[26] для линейных систем, которые зависят только от
параметров.
121
Чтобы исключить чувствительности «с и мт , нужно
продифференцировать (3.87) по амплитуде А:
®n V'“n 1 <4. * J 1
+“<(4л+в4г+4)+в^=°- <3-93>
Элементы матриц — производных от матриц С я В,
взятых по переменным соп и могут быть вычислены
из уравнений (3.80) и (3.86).
Функции Чебышева, содержащиеся в уравнениях
(3.86), можно получить из следующих рекуррентных
формул:
П+1(0-2^(04-^.,(0=0, |
t/ft+l(0-2C(/ft(0+t4-.(0 = 0, J
взяв в качестве исходных приближений Тс(0=1, Г,(0 =
= С, [7о(О = О, f7,(0=l.
С учетом соотношений
^)=Ш*(0,
£(ЛЗ£ИЧ)_= _ /3 95)
d? у 1 _ 52 ' • ’
можно получить выражения для следующих производных
т
k=\
т
g-= 2 (-i)h+* kck^-' И33!2 ик (0;
k=\
n
k=l
n
J (-i)ft+1 Ki^2 Un (0;
m
k=\
122
k=\
fe=l
^=7i=F S (~1)ft kbk<°nTk (C)‘ (3l96)
k=i
Если нелинейность описывается функцией F(x), то
производные от N по соп и £ равны нулю и выражение
(3.93) упрощается:
( дВ .. । дС \ । ( дВ . дС
u*n + ~д^)+ыс
4-в-^-=о.
1 дА
(3.97)
Если значения С и юп получены для данного значения
амплитуды Л, то функции чувствительности и (ош опре-
деляются из уравнения (3.93). Для этого вычисляются
элементы матриц и их производные, входящие в уравнение
(3.93) с использованием выражений (3.86) и выражений
(3.80), (3.81), (3.82) для Л\ и W2. В этом случае выраже-
ние (3.93) представляет собой скалярное уравнение с неиз-
вестными величинами и иш .
п
Величины м,. и иш могут быть использованы для иссле-
п
дования устойчивости установившихся колебаний. Если
для некоторого значения амплитуды А характеристиче-
ское уравнение (3.83) линеаризованной системы имеет
пару чисто мнимых корней и все другие корни имеют
отрицательные действительные части, то возможны
установившиеся колебательные движения.
Знак функции чувствительности показывает, будут ли та-
кие колебания устойчивыми (^>0) или неустойчивыми
(u:<0). Если С = 0 и ^>>0, то уменьшение амплитуды Л
вызывает соответствующее уменьшение £ до отрица-
тельных значений, что в свою очередь приводит к уве-
личению амплитуды колебаний до прежнего уровня.
С другой стороны, некоторое возрастание амплитуды А
123
приводит к увеличению £ до положительного значения и
амплитуда колебаний уменьшается до установившейся
величины.
Когда С=0 и такие же рассуждения позволяют
заключить, что колебания неустойчивы.
Подобным же образом рассмотрим теперь чувстви-
тельность установившихся колебаний к малым измене-
ниям параметров. Поскольку £=0 (ып=<о), то для уста-
новившихся колебаний уравнение (3.87) запишем в виде
C°+BW"=0,
(3.98)
где матрицы С°, В° и № даются выражениями (3.86) и
(3.88) при £=0.
В общем случае коэффициенты с/< и bh полиномов
C(s) и B(s) суть функции параметров системы рг (i=l,
2, ..., г), которые присутствуют в линейной части
системы:
Ck — Ch(pt, р2..... Рг) (6 = 0, 1,..., т),
(3.99)
^ = ^(7?,, р2,...» pr) (k — 0, 1,..., п).
Коэффициенты и W2 являются функциями
(^4» ®» Qi, ••• Ял)> 1 (3 100)
М2 = М2(А, Ш, qt, q2, ...qk), f
где qj(j=l, 2, ..., k)—параметры нелинейного элемен-
та. Для данного случая необходимо определить следую-
щие функции чувствительности:
Pt дА
А dpt
uq’=^
А dqi ’
Pt _ дю
“ ~ dpt ’
4j дю
(3.101)
и
“> dqj '
Чтобы ВЫЧИСЛИТЬ функции чувствительности Ид , Ыщ ,
нужно уравнения (3.98) продифференцировать по парамет-
ру Pi-
д№
иР< (В0 -|- иР 1 (д-^~ Na+B°
А дА) 1 ш да> 1
д&> . дС<> п
dpt "Г" dpt
4-^4-
г дш
(3.102)
124
Здесь dB°]dpi и dC°ldpi вычисляются с помощью выра-
жений (3.86) для значений амплитуды и частоты, соот-
ветствующих установившимся колебаниям £=0, причем
Ck и bk — функции вида (3.99). Производные д№/дА и
(Э№/дй) вычисляются из выражения (3.100).
Матричное уравнение (3.102) представимо двумя ска-
лярными уравнениями относительно иР* и и*‘. Дифферен-
цируя (3.98) по параметру qt нелинейной части, получим
следующее уравнение:
.,/» ц.+
А дА ) 1 «о у
(3.103)
1 да 1 J 1 dqj v ’
Функции чувствительности можно вычислить таким же
путем, что и и иР^ . Уравнения (3.102) и (3.103) от-
личаются только свободным членом, который в этом слу-
чае равен BQ(d№ldqj). Этот член можно вычислить с по-
мощью выражения эквивалентного гармонического коэф-
фициента передачи (3.100).
ЛИТЕРАТУРА
1. Kokotovic Р. Structural Method for the Analysis of Parame-
ter Influences in Linear Feedback Systems. Proceedings of the
8th Yugoslav Conference on Electronics and Automation, Zagreb,
1963, Proc. ETAN, POB 356, Beograd.
2. Bingulac S. and Kokotoyic P. Automatic Optimization
of Linear Control Systems on ah Analog Computer. Proc, of the
International Association for Analog Computation, 1965, vol. VII,
№ 1, Jan.
3. S e d 1 a r M. On the Theory of Signal Flow Graphs. Technical
Report, USCEE-300, University of Southern California, August
1968.
4. Wilkie D. and Perkins W. Essential Parameters in Sensitivity
Analysis. System Sensitivity and Adaptivity, Dubrovnik, 1968,
Proc. ETAiN POB 356, Beograd.
5. Vu k о b r a t о v i с M. and J u r i c i c D. Application de 1’analyse
de sensibilite aux systemes dynamiques a variables multiples de
la mecanique technique. Revue Roumaine des sciences techniques,
Mechnique Appliquee, 1966, t. II, № 6, Bucurest.
6. Vukobratovic M. Empfindlichkeit von schwach gedampften
selbsterregten schwingen. ZAMM 46, p. 143-145, 1966.
7. Вукобратович M. Чувствительность динамических систем
с одной преобладающей частотой. Изв. АН СССР, Машинове-
дение, 1968, № 1.
125
8. Scanlan R. H. and Rosenbaum R. Introduction to the Stu--
dy of Aircraft Vibration and Flutter. Macmillan Company, New
York, 1961.
9. Пуш В. E. Малые перемещения в станках. Машгиз, 1961.
10. Ju г i ci с D. On the Stick-Slip Oscillations with Arbitrarily Time-
Dependent Static Friction. Archivum Mechaniki Stosowfcnej, Pro-
ceedings of Vibration Problems, Warsaw, 1967.
11. Vukobratovic M. and G 1 i g о r i с B. Application of Sensi-
tivity Analysis to the Study of Relaxation Oscillations of the
Movable Parts of Machine — Tools. 1967, ZAMM 47-8, p. 545—547.
12. Робертс Дж. Специальные вопросы синтеза моделей чувстви-
тельности. В сб. «Чувствительность автоматических систем».
Изд-во «Наука», 1968.
13. Ляпунов А. М. Общая задача об устойчивости движения.
Гостехиздат, 1950.
14. Т ото vic R. Sensitivity Analysis of Dynamic Systems. McGraw-
Hill, New York, 1963.
15. C u n n i n gh a m W. J. Introduction to Nonlinear Analysis,
McGraw-Hill, New York, 1958.
16. Теория -и приложения функций Матье. Изд-во иностранной лите-
ратуры, 1953.
17. Vukobratovic М. Contribution to the Sensitivity Analysis of
the Nonlinear Dynamic Systems. AICA 1967, Proc. 1968.
18. Болотин В. В. Динамическая устойчивость упругих систем.
Гостехиздат, 1956.
19. Vukobratovic М. and Juricic D. Application of Nonli-
near Systems Sensitivity analysis to the Problem of Extremizing
Dynamic Performances. Automatika, 1968, ETAN POB 356, Beog-
rad.
20. Vukobratovic M. Note on Sensitivity of the Nonlinear Dy-
namic Systems. Trans. IEEE AC, 1968, Oct.
21. Juricic D., Vukobratovic M. and Parezanovic N.
Calculation of Sensitivity Functions of Periodic Systems. Automa-
tika, 1968, 'ETA'N POB 356, Beograd.
22. J u r i c i c D.; Vukobratovic M. and Parezanovic N.
Etude Theoretique des wagons a deux essieux en mouvement,
(Theoretical Study of the Two-Axle Railroad Cars in Motion),
Report of the Railroad Institute, Beograd, 1968.
23. S i 1 j a k D. Sensitivity Analysis of Self-Excited Nonlinear Oscilla-
tions, Trans. IEEE AC, 1965, Oct.
24. К p ы л о в H. M., Б о г о л ю б о в Н. Н. Введение в нелинейную
механику. Изд-во АН СССР, 1937.
25. Попов Е. П., П а л ь т о в И. П. Приближенные методы иссле-
дования нелинейных автоматических систем. Физматгиз, 1960.
26. М i t г о v i с D. Algebraic Methods in Automatic Control, Zavod
za izdavanje udzbenika NKS, Beograd, 1966.
27. Г у м о в с к и й И. Анализ чувствительности и устойчивость по
Ляпунову. В сб. «Чувствительность автоматических систем».
Изд-во «Наука», 1968.
Глава 4
СТРУКТУРНЫЕ СВОЙСТВА ДИНАМИЧЕСКИХ
СИСТЕМ
В исследовании динамических систем управления
можно выделить два различных подхода. Первый связан
с изучением поведения системы во временной области,
а .второй —с рассмотрением ее структуры и поведения
в параметрическом пространстве. В настоящей главе
рассматриваются только структурные свойства систем,
а именно: чувствительность, адаптивность, инвариант-
ность, параметрическая компенсация, управляемость и
наблюдаемость.
Инвариантность. Рассмотрим динамическую систему,
поведение которой во временной области описывается
системой обыкновенных дифференциальных уравнений
вида
Xi =Ф/ (Л,, ...» Xn, t, 1 ,4 jv
Xi(0) = x“ n), j
где Xt, X2, ..xn — координаты системы, a fm(t) —внеш-
ние возмущения.
Инвариантность Xk(t) обозначает, что эта координата
не зависит от При этом следует различать абсо-
лютную инвариантность, когда Xk(t) не зависит от fm(t)
в любой момент времени, и инвариантность с точностью
до 8, так называемую е-инвариантность, когда имеет ме-
сто приближенная независимость.
Если функции Фг- линейны по х,, то в соответствии
с принципом суперпозиции %л(/) можно представить
в виде
Хй(0 =Xks(t) +xkp(t), (4.2)
где Xhs(t) и Xhp(t) —соответственно свободное и вынуж-
денное решение. В дальнейшем будем заниматься иссле-
127
дованием инвариантности вынужденного движения си-
стемы.
Инвариантность будем называть слабой, если
не зависит от fm(t) в некоторый заданный момент време-
ни t = T, в отличие от сильной инвариантности, когда не-
зависимость имеет место на всем интервале от 0 до Т.
Исследованию инвариантности посвящено большое
число работ [1, 2, 3]. Здесь мы рассмотрим подход, пред-
ложенный Розоноэром {4].
Пусть система управления описывается векторным
уравнением вида
x = f(x, u(0), (4.3)
где х— /V-мерный вектор координат, а(/)—Л4-мерный
вектор возмущений, a f — нелинейная вектор-функция
с непрерывной частной производной по х.
Наиболее общий подход заключается в исследовании
инвариантности по Xi некоторого функционала J (и)
A/(u)=0 (и#=0). (4.4)
Розоноэр ввел понятие полной инвариантности, означаю-
щее инвариантность системы во всем фазовом простран-
стве независимо от координат системы и времени
/ = Т (О^Т^оо). Из условия (4.4) он сформулировал
фундаментальную теорему теории инвариантности нели-
нейных систем.
Теорема. Для полной инвариантности функциона-
ла /(х) необходимо и достаточно, чтобы функции
Л(х, и), ..., и) не зависели от и при любом х.
Функции Ji определяются как
/о=Л J S=D (f) J s—l,
О В теории автоматического управления наиболее часто исполь-
зуются функционалы вида J (/) = хн (/), J (/) = I F [Xj (т), ...»хЛ(т)] dx,
(Г
J(/) = F[x1(0,..., Xn(0].
Все они являются частным случаем общего функционала типа
j (o = S (о.
1
128
a
i=N
(4-5)
i=0
В качестве простейшего примера найдем условия ин-
вариантности функционала /=Sc,Xi для системы (4]:
х = (А х, (4.6)
где х — вектор размерности N, u = u(t)—скаляр, а А,
В — матрицы NXM.
Из выражений (4.5) и (4.6) имеем
1. Л=(с, Ах) + (с, Вх)и (4.7)
не зависит от и при (с, Вх) =0. Следовательно, Л=(с,
Ах) = (Д', с, х).
Далее
2. Jz=(A'c, Ах) + (А'с, Вх)и. (4.8)
Из условий инвариантности следует, что (А'с, Вх)—0,
поэтому /г= (А2с, х) и т. д. Таким образом, необходимое
и достаточное условие инвариантности имеет вид
B'A'3c=0 (s=0, .... п—2). (4.9)
Рассмотрим связь условий инвариантности и условий
параметрической инвариантности [5] для линейных си-
стем.
Пусть система описывается уравнениями вида
х = Ах,
х(0) = хо,
У = с'х,
(4.Ю)
где х — Л^-мерный вектор, А — матрица размерности
NXN.
Наряду с исходной рассмотрим систему
х = (Л + Д°)х, (4.11)
где Д° — вариация матрицы А, и найдем условия, при
которых функция у неизменна на решениях (4.10) и
(4.11), т. е.
сге(л+л’> 'х0 = (4.12)
9—362 129
Разложим экспоненциалы в ряд по степеням t\
е р+И+4») <+(Л +2л<у <2 +•••]+*. =
= |>Е + ^+4^-+... ] х0. (4,13)
Поскольку хо — произвольный вектор, (4.13) выпол-
няется тогда и только тогда, когда
сфл 4- Л°) t — At+ (А + А<,)г ? —
Ь..]=°, <Ч14>
откуда следует
<?'Л° = 0, <?'ЛЛ° = 0. с'ЛтЛ° = 0. (4Л5)
Из равенств (4.15) только первые г являются незави-
симыми, где г—максимальное число линейно независи-
мых векторов из набора с', с'Л, ..., с'Ап. Таким образом,
имеем необходимые и достаточные условия параметри-
ческой инвариантности:
с'Л°=0, с'ЛЛ°=0, .., с'Л’-1Л«=0. (4.16)
Отметим, что эти условия как достаточные могут
быть получены из результатов Розоноэра (4].
Для иллюстрации рассмотрим систему второго по-
рядка.
Пусть
<?={;}• (4.17)
Условия (4.16) разрешаются в виде
dij = . (4.18)
где
^11 + ^21 = ^12 + ^22 = c°nst. (4.19)
Схема системы представляет собой мостиковую струк-
туру с двумя каналами формирования инвариантной ве-
личины у. Попытка построить одноканальную систему
приводит к тривиальной вырожденной схеме.
130
Параметрическая инвариантность и нулевая чувстви-
тельность [9]. Согласно определению чувствительности
дополнительное движение представляется в виде
Дх=(/(х, р)Др + ®(Др), (4.20)
где Др — вариация параметра, U(x, р)—линейный опе-
ратор чувствительности в точке (х, р); ® (Др) — величи-
на меньшего порядка малости, чем Др.
Условия параметрической инвариантности [5] Дх(/)=э
s0 для всех t накладывают на систему довольно жест-
кие ограничения, которым удовлетворяет лишь очень
небольшое число систем, представляющих практический
интерес.
Большую свободу действий в общем случае оставляет
требование нулевой чувствительности, которое опреде-
ляется как равенство нулю главной части дополнитель-
ного движения:
бх=(/(х, р)Др. (4.21)
Это требование при произвольной вариации Др сов-
падает с требованием равенства нулю оператора чувст-
вительности U(x, р).
Если движение в системе описывается вектором ко-
ординат x={xi, хг, ..., хп} и вектором параметров р =
={рь рг> ..., Pm), то оператор чувствительности представ-
ляет собой матрицу чувствительности U = > где
t = l, 2..п, /=1, 2, .... т.
Реализация условия равенства нулю оператора чув-
ствительности сводится к двум физическим принципам:
1) охват варьируемого элемента контуром с беско-
нечно большим усилением (6];
2) компенсация эффекта вариации элемента при по-
мощи параллельных путей прохождения сигнала (7).
Основная задача заключается в получении простых
правил, позволяющих при данной структуре системы
выбрать значения передаточных функций отдельных
звеньев, обеспечивающих выполнение условий нулевой
чувствительности по отношению к определенному эле-
менту системы.
Решение этой задачи дают структурные условия ну-
левой чувствительности {8, 9], основанные на использо-
вании теории графов прохождения сигналов. Исследуе-
9* 131
мая система интерпретируется линейным графом произ-
вольной структуры, а варьируемый параметр—ветвью с'.
Передача графа задается формулой Мэзона [10]
п
т=^р^' (4.22)
где А — определитель графа, Pi — прямые пути, Аг— со-
ответствующие им миноры, п — число прямых путей.
Величину Ti = Pi&i/& назовем i-й частной передачей
графа, а отношение Рг = Л’Дг/2ЛАг — весом i-ft частной
передачи. Заметим, что 2₽г=1.
Чувствительность графа Sr определяется как логариф-
мическая чувствительность его передачи.
Используя лемму, утверждающую, что чувствитель-
ность суммы равна взвешенной сумме чувствительностей
слагаемых1), чувствительность графа можем -представить
в виде
< = S ₽<<* (4.23)
i
Условие нулевой чувствительности принимает вид
" т
2 (4.24)
»=i
Знак тождественного равенства означает, что оно вы-
полняется при всех значениях комплексной частоты, функ-
циями которой ЯВЛЯЮТСЯ Рг И S?*.
Исследуем возможность обращения в нуль множителей
Г
5 1 для трех типичных позиций варьируемой ветви по от-
ношению к /-му прямому пути [11, 12].
Позиция I: варьируемая ветвь входит в i-й прямой
путь. Тогда
s^ = sdir = ^-. (4.25)
Г Справедливость этой леммы проверяется по определению чув-
ствительности линейного графа произвольной структуры (см. прило-
жение Г).
132
Величина S ‘ обращается в нуль лишь при Д—*оо,
т
т. е. при наличии в графе передачи с бесконечно боль-
шим значением. Из дальнейшего рассмотрения этот три-
виальный случай исключается.
Позиция II: варьируемая ветвь не входит в i-и
прямой путь и ни в один из контуров, не касающихся
/-го прямого пути.
В этом случае
S^ = SJn„ = 41-l. (4.26)
Условия нулевой чувствительности приводят здесь
к тем же выводам, что и для позиции I.
Позиция III: варьируемая ветвь входит хотя бы
в один контур, не касающийся /-го прямого пути.
Здесь
S^=Sdir-Saddti = ^—^- (4.27)
И Д=|Дг + /?г.
По определению позиции III Ri не зависит от т, по-
этому
Дт = Д^ + ^.
и
rt_W + Rt 0 ,4 28х
Srn — ht + Ri At — (At + RJ At <4-28)
Поскольку все частные чувствительности £Г< не могут
одновременно обратиться в нуль, в графе с одним пря-
мым путем нельзя добиться нулевой чувствительности.
Если далее варьируемая ветвь занимает одну и ту
же позицию по отношению ко всем прямым путям, то
(4.29)
В этом случае также невозможно выполнение нуле-
вой чувствительности. Полученные результаты можно
объединить в виде следующей теоремы.
133
Теорема. Необходимым условием нулевой чувстви-
тельности графа, который не содержит варьируемых
контуров, не касающихся ни одного из прямых путей,
является: а) наличие, по крайней мере, двух прямых пу-
тей; б) наличие, по крайней мере, двух несовпадающих
позиций варьируемой ветви.
Приведенные требования определяют структуру гра-
фа, обладающую нулевой чувствительностью, а также
позволяют сразу же исключить из рассмотрения такие
структуры, в которых никаким выбором параметров
нельзя удовлетворить условию 5^ = 0.
Для обобщения топологического подхода к задаче
нулевой чувствительности предположим, что для / пря-
мых путей варьируемая ветвь занимает позицию I, для
следующих прямых путей — с (/+1)-го до т-го — пози-
цию II и для оставшихся — с (т+1)-го до п-го— пози-
цию III. Обозначим через Sdir передачу прямого дипо-
ля передачу обратного диполя, помещенного в 'варьи-
руемую ветвь G —через Sinv, а передачу дополнитель-
ного субграфа чувствительности — через Sadd,i-
Тогда, учитывая, что Sdir—Sinv=lt имеем
/ т
= 2 PfSdfr “h S Pt (Sdir 1) “h
Z=1 /=/4-1
+ 2 $i(Sdir-Saddti), (4.30)
/=m+l
n
откуда, с учетом равенства E P* = 1 > получаем
/=i
m n
S P« + S P.Sadd,/ = (4.31)
I—/4-1 /=m4-l
Это уравнение составляет аналитическую формули-
ровку необходимого и достаточного условия нулевой
чувствительности. В системах нулевой чувствительности
сумма весов частных передач, по отношению к которым
варьируемая ветвь занимает позицию II, сложенная
с суммой взвешенных передач дополнительных субгра-
фов для позиции III, равна передаче прямого диполя,
вложенного в варьируемую ветвь (13].
О См. приложение Г.
134
В графах реальных систем позиция III часто не су-
ществует. В этих случаях вместо уравнения (4.31) имеем
простое правило
п
S pt = sdir. (4.32)
z=i+i
— сумма весов частных передач для прямых путей, в ко-
торые не входит варьируемая ветвь, равна передаче пря-
мого диполя чувствительности, вложенного в эту ветвь.
В наиболее простом случае
Pi=5dir. (4,33)
Это условие позволяет сконструировать простейшую
систему с нулевой чувствительностью S? на базе графа
с двумя прямыми путями между узлами 1 и 2 (рис. 4.1),
для которого
Sd ir = 1 /(1 — abc) и Pz = eb/(adb-j-ed).
В соответствии с уравнением (4.33) получаем изве-
стное соотношение «условной обратной связи»
eab =—d.
Из теоремы сразу же видно, что никаким .выбором
параметров в схеме нельзя обеспечить S[ == 0 или Sr = 0.
О с
Нельзя также получить 0 или S,=0.
В качестве более сложного примера рассмотрим
граф (рис. 4.2) и построим на его основе систему с ну-
левой чувствительностью по отношению к элементу е.
На рис. 4.2 изображены два прямых пути: abch и ag, но
ветвь е занимает одну и ту же позицию II по отношению
к обоим прямым путям. Поэтому введем дополнитель-
ную ветвь k (рис. 4.3),
тем самым образовав но- в
вый прямой путь aekch. /-------------*
по отношению к кото- // d ~ \ ~ ~
рому ветвь е занимает по- d ь х ?
зицию I [12]. Теперь уело- \ с I
вия теоремы о нулевой '-------*------'
чувствительности выпол- рис 4j Граф с двумя прямыми
няются. путями.
135
Передачу дополнительной ветви найдем из условия
(4.32), которое принимает вид
Р 3Д2 + Р 8^8 __,Л Q/i4
+ Р2Д2 + Р8Д8 — Д
или
abch + ag(\ — cd)_______________1 — cd—abchf________
aekch 4- abch + ag (1 — cd) 1 — ae — cd — abchf — aekchf+aecd'
(4.35)
откуда, положив c = a, e=^0, получаем .
< _a2d2g — a2bdh + abh — 2adg + g (Д. 2РЛ
R — a2dfg — abg + adh — h '
Последний пример иллюстрирует полную методику
синтеза систем с нулевой чувствительностью: а) граф
исходной системы анализируется с точки зрения удовле-
Рис. 4.2. Граф с двумя прямыми путями.
творения его структуры условиям нулевой чувствитель-
ности; б) в исходную систему добавляются корректи-
рующие цепи; в) выбираются параметры корректирую-
щей цепи, удовлетворяющие необходимым и достаточ-
ным условиям нулевой чувствительности.
Рис. 4.3. Дополнительный граф с двумя прямыми путями.
136
Другой подход к задаче синтеза систем с нулевой чув-
ствительностью. Рассмотрим линейную систему второго
порядка
Ах=Х, (4.37)
где х, X — преобразованные по Лапласу обобщенные ко-
ординаты и входы.
Элементы матрицы А представляются в виде
4,-j—aij«2+bijS
и в общем случае зависят от вектора параметров р.
Уравнение для матрицы чувствительности получается
дифференцированием (4.37) по pj и имеет вид
й-.--А-'А&х, (4.38)
где — производная матрицы А.
- Учитывая уравнение (4.38), получаем условия нуле-
вой чувствительности выхода (14]
(4.39)
или
п
jfe=l
где Kkj — алгебраическое дополнение и Д1($)—характе-
ристический полином системы.
Выясним теперь условия нулевой чувствительности
степени устойчивости (собственной частоты и коэффи-
циента затухания) (15].
Для характеристического уравнения
Д(5)=^а^=0
*=о
комплексную переменную s можно представить в виде
$ = — шпС -f- 1 — С,
где ®п— собственная частота, а £— коэффициент зату-
хания.
137
Используя метод Митровича [16], запишем уравнения
годографа точки в плоскости двух последних коэффи-
циентов характеристического многочлена в виде
6=ая(л. А.-.Л)Фа(С)®п + а,(л> Р........»А)ф»(0®* +
+ ...+ап1Фт(С)а>™-1,
*1 = -[ла(А. А,-.»А)Ф.(О®* +
4-л»(А, А......р,)Фа(С)ш2 + ...+атФт (<)<]. (4.41)
Здесь через Фл(£) обозначены выражения, получен-
ные Митровичем.
Уравнения (4.41) определяют значения собственной
частоты и затухания, соответствующие комплексным
корням характеристического уравнения, и их зависи-
мость от параметров pi.
Полные дифференциалы и dcon имеют вид
« = £‘'а+£-*А + ...+-^й. (4.42)
(4.43)
Частные производные в этих соотношениях определя-
ются из годографа Og-rj (4.41), описывающего кривую,
проходящую через точку Af(ai, Оо):
g=ai; т)=Оо. (4.44)
Дифференцируя (4.44) по параметру р, получаем
уравнения, из которых имеем
/da, dg \ dr) / даЛ dr; \ d$
дК_\дР др)дъп \,d/> др )дап
др dg <h) дц~д^ ’ <4,4£>>
дК d®„ д^ d<on
/ да» дг/ \ dt; / да, dt; \ дд
дшл \ др др ) дЧ \др~ др )
др~~ dg d«) d-rj—dT * (4‘46)
дК до„ дЧ dt»„
Выражения (4.45) и (4.46) носят название функций
чувствительности степени устойчивости.
138
Используя эти выражения, найдем условия нулевой
чувствительности к малым изменениям параметров:
^ = 0; _L(ai —5)^0;
др ’ др ’ др v 1
£«>.-,)-О (4.47)
ДЛЯ
4 ^о.
d? д«й di дап ~
Нулевая чувствительность выхода касается как ну-
лей, так и полюсов передаточной функции, в то время
как чувствительность степени устойчивости имеет дело
только с нулями. Условие нулевой чувствительности сте-
пени устойчивости является только необходимым усло-
вием чувствительности выхода.
Условия нулевой чувствительности выхода и -степени
устойчивости совпадают, если варьируемый параметр
не входит в соответствующее алгебраическое дополне-
ние (4.40).
Связь условий нулевой чувствительности и параметри-
ческой инвариантности. Выше нулевая чувствительность
связывалась с понятием параметрической инвариантно-
сти. Очевидно, что нулевая чувствительность является
необходимым свойством параметрически инвариантной
системы, а параметрическая инвариантность достаточна
для утверждения о нулевой чувствительности. Для рас-
смотренного выше класса систем связь между этими
понятиями имеет характер необходимости и достаточ-
ности.
Если в формуле Мэзона представить выражение для
передачи графа в виде
Г =----------,
Дт,4- «Гд
где Дт, Sm, г”, г” не зависит от т, то логарифмическим
дифференцированием по т можно получить
139
(формула Линча). Приравняв правую часть нулю, полу-
чаем условие нулевой чувствительности в виде
(4.50)
Преобразуем выражение (4.48) с учетом (4.50):
T = (4.51)
Дт тгт дп,-
1 + Дт
Из (4.51) следует, что передача системы с нулевой
чувствительностью не зависит от варьируемого пара-
метра. Таким образом, в линейных стационарных систе-
мах понятия нулевой чувствительности и параметриче-
ской инвариантности эквивалентны.
Этот факт становится также очевидным, если запи-
сать рекуррентное соотношение для функций чувстви-
тельности высшего порядка в следующем виде [17]:
йс-) = _с?Л-‘Д<г)г- С* Д-‘Д<’-,>й<‘)_
-С2Г Д-хД(г-8)й(,> —... — (4.52)
где г — порядок функции чувствительности (м(г> =
дгх \
дрТ)
, а индекс при А означает соответствующую произ-
водную. Понятия нулевой чувствительности и параме-
трической инвариантности будут совпадать, если варьи-
руемый параметр входит линейно в коэффициенты ха-
рактеристического уравнения.
Условия инвариантности в случае конечных вариаций
параметров получаются следующим образом. Дифферен-
цируя последовательно выражения (4.45) и (4.46), полу-
чаем функции чувствительности собственной частоты и
затухания
Р) д^/д<лп
г«\ F».t ($ <*>» Р) .
140
ft/K Flti (?, <ofl, p) 1
fo/dS F„,t ($, <on, p)\
(4.53)
Здесь C(l'> = д»<р/др*’, <0^ = д'<оп]др*, Fiti и £o t —выра-
жения, зависящие от производных годографа по пара-
метру р.
При « = 2 имеем
^1.2 (^. ®п. Р) — a"i(p) дрг % ди>пдр
__2 дг^ г>«____2 г, t ________гп_________
z dfdp 4 z dfdan n dl? (
- а/— —
> п
« <!(4.54)
Л>,г ((> ШП> p) — (p) Jj~2 2 C
__о (nr q d2,*| f/ / d2?) »t 2_ d2v) *2 /д rt\
2 дшпдр ю n 2 д^п C ю n d? dtt>2 ш„ • (4-55)
В этом случае условия инвариантности для малых и
конечных вариаций параметра совпадают, если коэффи-
циенты характеристического уравнения представляют
собой линейные комбинации параметров.
Для иллюстрации в [9] рассмотрен пример графа (см.
рис. 4.3). Пусть передача а = с соответствует оператору
интегрирования а остальные передачи графа — чи-
словые коэффициенты: e=aih f = ai2, b+ek = ct2i, d=
= ct22f g=cif h = C2. Тогда граф соответствует системе
уравнений
х = Лх’1 (4.56)
у = с'х. J
Условие параметрической инвариантности для у имеет
вид
сI + «2i = cic2«22 == const. (4.57)
Если принять k = —С1/С2, условие (4.57) выполняется
при любом е и принимает вид
с2
6 = 4-л.. + т-л.г (4.58)
<?2 2
Условие (4.58) обращает (4.57) в тождество.
141
Таким образом, при a = c—D~l, соответствующем
(4.58), выбор k=—Ci/сг обеспечивает не только нулевую
чувствительность системы относительно ветви е, но и
параметрическую инвариантность.
В качестве другого примера рассмотрим колебания
в вертикальной плоскости упрощенной механической мо-
дели трехосного вагона (рис. 4.4). Пусть Сь сг, Сз—
эквивалентные жесткости подвески. Математически та-
кая модель описывается следующими уравнениями:
Mqt + 2 (с, 4- с2 + с>) q, + 2 [(<?, + с2 + с,) а —
(^i 4” 01 ?2 = Qi>
Jq2 4- 2 [с,а - с2 (/, — а) - cs (1.4-12 — а)] <?, 4-
+ 2[с,а‘ 4- с2 (I, - а)2 4- с, (I,+12 - а)2] q2 = 0, (4.59)
где q\ — координата колебаний в вертикальном направ-
лении; <?2— координата колебаний вокруг центра тя-
жести.
Характеристическое уравнение такой системы
Д (s) = JMs* 4- 2Ms2 [с,аг 4- с2 - а)2 4-
4~csGi 44 — й)21 — 4(<?> 4" са4'с»)(с1а4_с»(^1 —а)4~
4~ cs (/, 4- /s — а)] — 4 [<?1а4~ с2 (lt — а)4~
4- (/, 44 — а)] [(с, 4- с2 4- с2) а — c2lt - с2 (12 4-12)] = 0.
(4.60)
Для малых вариаций сг условия нулевой чувствитель-
ности (4.40) принимают вид
i-=A. (4.61)
142
Таким образом, для этого примера условия нулевой
чувствительности и параметрической инвариантности
(относительно малых и конечных вариаций сг) сов-
падают.
Выражение (4.61) в то же самое время представляет
собой условие параметрической инвариантности коорди-
наты ^2 и нулевой чувствительности степени устойчиво-
сти. Отметим, что координата <71 не обладает свойством
нулевой чувствительности относительно выбранного па-
раметра.
Синтез параметрически инвариантных систем [34].
Чтобы избежать измерения возмущений, действующих
на систему, введем дополнительные линейные связи. Эту
методику продемонстрируем на примере рис. 4.5.
Рис. 4.5. Граф системы второго порядка.
Условия параметрической инвариантности для этой
системы имеют вид [5]
“I- @2 ®ai == ®13 ^Л^зз» (4.62)
где ац— варьированные значения коэффициентов.
Легко заметить, что из инвариантности взвешенной
суммы элементов столбца матрицы А в (4.56) следует
инвариантность выхода y(t). На рис. 4.6 изображен
граф с дополнительными связями, обеспечивающими
инвариантность выхода. Варьируемые элементы обозна-
чены жирной линией.
Метод синтеза системы второго порядка, инвариант-
ной к вариациям произвольного параметра ац (i, j=
= 1, 2), состоит из следующих этапов:
1) в варьируемую ветвь помещается элемент с еди-
ничной передачей;
2) узел варьируемой ветви становится истоком допол-
нительной ветви с узлом в точке х/±1;
143
Рис. 4.6. Граф системы с компенсирующим контуром для случая
одного варьируемого параметра.
Рис. 4.7. Граф системы с компенсирующим контуром для случая двух
варьируемых параметров.
144
3) передача дополнительной ветви d выбирается рав-
ной — с,]с1±х\
4) ветвь ai±i { заменяется ветвью f с передачей
f2
ci I ci
Введение двух дополнительных ветвей позволяет сде-
лать систему инвариантной одновременно к вариациям
двух параметров при условии, что они не принадле-
жат одному и тому же столбцу матрицы А. Граф такой
системы изображен на рис. 4.7.
Рис. 4.7,а соответствует случаю, когда варьируемый
коэффициент принадлежит главной диагонали матрицы,
рис. 4.7,6— другой диагонали. Рис. 4.7,в и 4.7,а соответ-
ствуют соответственно случаю первой и второй строки
матрицы А.
Рис. 4.8. Граф системы третьего порядка с компенсацией вариаций
коэффициента а22-
На рис. 4.8,а изображена система третьего порядка,
граф инвариантной структуры которой к вариациям 022
представлен на рис. 4.8,6. В этом случае
f =
а
С,Сз
Ci
а = (<?tan + c2a2i) = c2ct (ctalt+c,ass). (4.63)
Совершенно аналогично строятся инвариантные си-
стемы более высокого порядка.
10—362 145
Связь условий нулевой чувствительности и ненаблю-
даемое™ [9]. Из анализа соотношения (4.51) можно сде-
лать еще один вывод: реализация условий нулевой чув-
ствительности связана с частичной компенсацией нулей
и полюсов выражения для передачи графа системы. Это
свидетельствует о наличии в системе наблюдаемой
части.
Факт нулевой чувствительности и ненаблюдаемости
системы можно сделать очевидным, изменив ее структу-
ру путем преобразования базиса в пространстве состоя-
Рис. 4.9. Преобразованный граф с компенсирую-
щим контуром.
ний (18]; при таком преобразовании выходная величина
системы остается неизменной. Так, для системы (4.56)
при С1=сг=1 такое преобразование можно произвести
при помощи матрицы тогда система (4.56) пре-
образуется к виду
Га*„ 0 1
|х*, J 1^*21 J’
где у — х\.
О’ к ==^и
® 21 == 2 “Ь ®1»
® за == ~2~ (®ii ^ai ®ia “F^aa)-
(4.64)
(4.65)
Уравнениям (4.64) соответствует структура рис. 4.9.
В отличие от непреобразованной структуры (см. рис. 4.5)
координата х*2 не участвует в образовании выходной
координаты у ни непосредственно, ни через другую ко-
146
ординату x*i. Структуры такого типа будем называть
вырожденными. Согласно условиям параметрической
инвариантности (5] величина atl в (4.65) постоянна, по-
этому параметры, входящие в a*2t и «*22, не оказывают
влияния на выходную величину системы. Таким образом,
возможны два случая: а) реализация условий нулевой
чувствительности без преобразования базиса приводит
к вырожденным структурам; б) система с нулевой чув-
ствительностью имеет невырожденнную структуру, вы-
рождение проявляется в результате соответствующего
преобразования базиса.
Рис. 4.10. Граф невырожден-
ной системы с нулевой чувстви-
тельностью.
Рис. 4.11. Граф вырожденной
системы с нулевой чувстви-
тельностью.
Первый случай приводит к тривиальным решениям;
реализация второй возможности позволит выделить не-
тривиальные решения, которые можно использовать
при синтезе.
Необходимые условия нулевой чувствительности
устраняют из рассмотрения случаи, приводящие к вы-
рождению (например, L<=0 для позиции I). Что касает-
ся позиции III, то при ее наличии возможны как слу-
чай а, так и случай б. В качестве примеров рассмотрим
графы (рис. 4.10 и 4.11). Для графа рис. 4.10, где
l\ = abcd, h=cqe, lz=abcqf,
условие (4.31) имеет вид
(1-/,)/, = !(/. + /,),
(4.66)
откуда
10*
/.+М»=о
(4.67)
147
или
cde -f-l=O. (4.68)
При этом
г=г^Т-7Л=еа'1г4- (4-69>
Для графа рис. 4.11, где h = bdef, l2=eghi, la=hq,
условие нулевой чувствительности (4.31)
- (1 -/1-/2) h=- (1 -/2) h (1 -/,) (4.70)
дает либо /1/2=0, либо Л=0, т. е., по крайней мере, одно
из значений передач d, е, f, g, h должно обратиться
в нуль, что приводит к вырождению системы.
Инвариантность выхода по отношению к параметрам,
принадлежащим частным подсистемам [19]. Условия ин-
вариантности в большом [5, 8, 15], игнорирующей струк-
турное положение варьируемых параметров системы,
чаще всего накладывают на систему чрезвычайно жест-
кие условия, а кроме того, остается неиспользованной
значительная информация о структуре системы.
Другой подход к задаче инвариантности, учитываю-
щий структурное положение варьируемого параметра
в системе, основан на трактовании инвариантности как
свойства входных сигналов возбуждать собственные ча-
стоты инвариантной (неизменяемой) части системы.
Представление системы в виде двух подсистем (неизме-
няемой и подсистемы с варьируемыми параметрами)
дает достаточно простую интерпретацию условий инва-
риантности выходной координаты к вариациям парамет-
ров варьируемой подсистемы. Условия инвариантности
при этом выражаются через собственные частоты неиз-
меняемой части системы.
Рассмотрим линейную стационарную систему S с М
входами и одним 'выходом. Представим ее «в виде
двух подсистем: St— с фиксированными параметрами и
Л/-мерным вектором координат состояния Xi, S2 — подси-
стемы с варьируемыми параметрами и скалярным выхо-
дом хг, представляющим собой решение дифференци-
ального уравнения с постоянными коэффициентами
a(D)y = b(D)x2, где a(D) и b(D)—полиномы от опера-
148
тора дифференцирования D = d)dt. Полная система опи-
сывается уравнениями вида (рис. 4.12):
Xj = ДцХ, -|- А12ха -|- Ви,
У ^11-^1 Н- ^12-^2 ^1»-^2’
a(D)i/ = &(D)xa, (4.71)
где Аи, В и си — соответственно W-мерный вектор со-
стояния подсистемы Si, матрица размерности NX.M
(входная матрица системы S), lXAf-мерный вектор вхо-
да подсистемы Si. Матрица А12 размерности WX1 и ко-
эффициенты С12 и С1з характеризуют связи между Si
и S2.
Рис. 4.12. Блок-схема рассматриваемой системы.
Пусть входной сигнал имеет вид u=Re(Uest), где
U — матрица комплексной амплитуды, а
Y=T(s)U, (4.72)
где матричная передаточная функция T(s) имеет вид
Т(с) =
_________b(s)c„(sTn-An)-'B__________
6(s) — [С12 + sc13 + си (s/n —Л11)->Л12]а(«)
. (4.73)
Из соотношения (4.73) следует, что величина Y не
будет зависеть от передаточной функции S2 и a(s)/b(s),
тогда и только тогда, когда
+ sctt + cn (sln - Аиу ‘A,2 = 0. (4.74)
149
Решения уравнения (4.74) представляют собой значе-
ния собственных частот системы S, при которых выход-
ная координата системы обращается в нуль, т. е. когда
подсистема S2 выключена из схемы.
Для доказательства этого утверждения заметим, что
собственные частоты системы являются решениями
уравнений
b(s)=0 (4.75)
и
s/n -- Лц Л12
Cl! SC13 + С12
(4.76)
Первое из этих уравнений определяет .полюса переда-
точной функции S2 и отражает тот факт, что при часто-
тах, отвечающих этим полюсам, подсистема отключается
от выхода.
Уравнение (4.76) можно представить в ином виде:
|57„-Л1,|’{с„ + 5С1,Н-^№7п-Л,)-М14) ==0, (4.77)
откуда следует, что оно распадается на два уравнения:
уравнение (4.74) и
|5/п-Лц|=0. (4.78)
Ясно, что (4.78) определяет собственные частоты под-
системы Si независимо от оставшейся части системы S,
а следовательно, не может обеспечить желаемую инва-
риантность. Таким образом, только выполнение соотно-
шения (4.78) обусловливает независимость Т ($) от S2.
Из условия инвариантности (4.74) следует, что неза-
висимость координаты у от параметров произвольной
подсистемы, подключенной к выходу системы S, может
быть достигнута только при экспоненциальных входных
сигналах, возбуждающих собственные частоты неизме-
няемой части системы. Если уравнение (4.74) имеет одну
или несколько пар мнимых корней, то инвариантность
автоматически обеспечивается для периодических вход-
ных сигналов с частотами, равными этим корням. Если
же все корни этого уравнения мнимые, то уравнение
(4.74) определяет частоты гармонических входов и
параметры подсистемы Si, при которых система стано-
вится инвариантной.
Если требуется полная инвариантность, т. е. инвари-
антность для произвольного входного сигнала u(t), то
уравнение (4.74) должно быть тождеством. В этом слу-
150
чае условие инвариантности может быть получено из
разложения функции от матрицы в ряд Лорана
“ Ах
(s/.-Л,,)-^-^ (л;, = /,) (4.79)
А=0
и справедливо при 0<г<|$|, где г — радиус спектра
матрицы Ац.
Обозначим через М степень минимального многочле-
на Ац, тогда для любого k<M имеем
м
Акп = ^8гА1-', (4.80)
Х=1
где gi—постоянные, зависящие от коэффициентов мини-
мального многочлена. Из уравнения (4.80) следует, что
'ряд (4.74) имеет конечное число членов и
"-1 Ak
(sln —Alt)~1 = (4.81)
k=0
где hk — постоянные, зависящие от коэффициентов ми-
нимального многочлена.
Подставляя выражения (4.81) в (4.74), получаем
М-1
clt sM+' + ci2sM + J hkc„ АкпА^~к~'= 0, (4.82)
fc=0
откуда следуют условия полной инвариантности:
а) с1а = 0, с18 = 0; (4.83)
б) Л^пЛцЛ12 = 0 для k — Q. 1.
Из условий полной инвариантности следует, что ин-
вариантность системы S к произвольным вариациям па-
раметров подсистемы S2 может быть достигнута только
в том случае, если разрываются внутренние связи между
Si и S2 и сигнал х2, передающийся через блокируется.
Это эквивалентно тому, что система
•^i== ^и-^1 ~h ^12^2» I (4 84)
имеет передаточную функцию, тождественно равную нулю.
Пример. Выясним условия, при которых ток у в системе
(рис. 4.13) становится независимым от входного сопротивления 2,
приемника.
151
В этом случае имеем Дц=—(<?1 + <?2 + ^3)/С1, Д12=(^з—
—В=1/С1, Сц= (G2+G3), Ci2= <?з), С1з=0, а урав-
нение (4.74) принимает вид
s =—(Gi+2С2"1"2Сз) /ci.
Поскольку М=1, из условий полной инвариантности (4.83) по-
лучаем Ci2=0, СцД12=0, откуда следует, что k = G2IG$.
Управляемость. Рассмотрим случай, когда на управ-
ляющее воздействие не наложено никаких ограничений,
т. е. на объект управления, который предполагается из-
вестным и неизменным, могут действовать неограничен-
ные внешние воздействия. Задача управления теперь сво-
Рис. 4.13. Электрическая модель системы.
дится к структурному анализу. Введенное в таком смыс-
ле понятие управляемости исследуем на примере следую-
щей линейной стационарной системы:
y = C(t)x,
=-^0l
(4.85)
гдех(/)£Х— Л/-мерный вектор координат, u(t)^XU —
/^-мерный вектор управления, y(t)^XY — ^-мерный век-
тор выхода, k<N, A(t), B(t), C(t)—.непрерывные ма-
трицы размерности соответственно NxN; NxM и kxM.
Элементы матриц А, В и С представляют собой инте-
грируемые на отрезке Ro. 0J функции.
Решение системы (4.85), как известно, имеет вид
y(tf) = C(tf^(tit f#)x.+
if
+ |Я(/, tf)u(t)dt = y>(tf) + y<i(tf),
(4.86)
где
Я(*, г0)Ф-1Ф-^> (4.87)
152
Управляемость системы определяется только вторым
членом уравнения (4.86), т. е. управляющим сигналом
u(t). При отсутствии ограничений на систему множество
значений выхода yd(tf) совпадает со всем пространст-
вом Y.
Свойство управляемости системы может рассматри-
ваться как относительно 'внешних возмущений, так ;и от-
носительно вариаций параметров системы. В первом слу-
чае имеем дело с инвариантностью выходных координат
к внешним возмущениям, во втором случае — к малым
вариациям параметров матриц A(t) и B(t). Однако
смысл управляемости состоит в том, чтобы ответить на
вопрос, меняется ли в действительности выходная коор-
дината системы в пространстве Y. Таким образом, ста-
новится совершенно очевидной связь управляемости
с инвариантностью, или параметрической нечувствитель-
ностью.
Пусть матрицы Д(/) и B(t) зависят от некоторого
параметра р= (р4, ..., pN). Если р постоянен и ранен р0,
то уравнение (4.85) имеет единственное решение x(t),
или y(t) при любом и (/), определенное при [tQ, tf).
При малой вариации параметра ро, ро + Ар возникнет ма-
лая вариация вектора состояния x(t) и выходной Sp(Z)
координаты. Влияние малых вариаций можно исследо-
вать с помощью функций чувствительности
^• = Л(0^ + ^- (4.88)
где
f=A(0x + B(0«,
•а
U- = —
3 dpt'
При этом
8x(fy) = t7(O)8A (4.89)
M0) = C(W(0)8/>], (4.90)
где U — матрица чувствительности
ип> ... ,
и= (4.91)
UN\> • ’* » UNJ
153
Если одна или ©се компоненты вектора равны
нулю, система называется частично или соответственно
полностью параметрически нечувствительной {20]. Если
матрица чувствительности U квадратная (N=J), то
исследование управляемости системы сводится к выясне-
нию вырожденности матрицы U.
Отсюда следует утверждение следующей теоремы.
Теорема. Выход системы является полностью
управляемым, если строки матрицы чувствительности
линейно независимы.
Отметим, что проверка факта управляемости по ма-
трице U является более общим подходом, нежели
использование матрицы Н, определяемой соотношением
(4.87).
Значение такого введенного выше определения управ-
ляемости заключается в том, что оно оказывается свя-
занным не с самой математической моделью системы,
а только с ее дополнительным движением. Это дает воз^
можность устанавливать факт управляемости таких
сложных систем, которые практически невозможно опи-
сать с помощью уравнений состояний.
Структурный подход к проблеме управляемости по-
зволяет вскрыть некоторые особенности структур систем,
приводящих к неуправляемости.
Система x = A(t)x+B(t)u является полностью управ-
ляемой, если она не эквивалентна алгебраически системе
вида
х1 = Д11 (0 х1 + 412х2 + В1 (0 и,
x2 = A22(t)x2, (4.92)
(xn ... , x2 = (xyvl+1 ,..., xNN).
Система (4.92) имеет обе непересекающиеся группы
координат х1 и х2, поэтому управляющее воздействие не
влияет на координаты х2, Другими словами, полностью
управляемая система не может быть представлена в ви-
де двух подсистем, одной из которых нельзя управлять
(рис. 4.14). Действительно, координаты х\ ,..., х„ ни-
как не зависят от вариаций параметра p(t).
Таким образом, в качестве критерия управляемости
можно взять неэквивалентность исследуемой модели ди-
намической системы модели (4.92).
154
где
х' =
Используя физическую связь между управляемостью
и параметрической компенсацией, этому правилу можно
дать и другую формулировку: полностью управ-
ляемая система не может быть параметри-
чески компенсируемой.
В заключение следует сказать несколько слов о не-
давно сформулированном новом определении понятия
управляемости Этот подход
дает возможность конструктору
изменять чувствительность объ-
екта управления без нарушения
оптимальности путем соответст-
вующего выбора 'свободных '0-па-
раметров регулятора.
В приложении Г изложены
основные вопросы управляемости
и наблюдаемости систем автома-
тического управления, причем с
более общей точки зрения, чем
Рис. 4.14. Модель не-
управляемой системы.
вопросы вариаций параметров.
Адаптируемость многопараметрических систем. Один
из наиболее часто применяющихся алгоритмов настройки
параметров регулятора для синтеза адаптивных систем
с эталонной моделью [21, 22] описывается векторным со-
отношением вида
дc(i+i) = —fa gra dJ7 (с*) ],
(4.93)
где с={сп} (n= 1, ..N) —W-мерный вектор настраивае-
мых параметров регулятора, a h — некоторая положи-
тельная константа, влияющая на устойчивость системы.
Устойчивость такого рода систем обычно исследуется при
малых и медленных вариациях параметров объекта, при
этом определяется наибольшее допустимое значение ft’=
=hc.
В общем случае алгоритмы типа (4.93) не обеспечи-
вают достаточно быструю сходимость как при параме-
трической оптимизации, так и при идентификации. Не-
давние исследования <[23] показали, что более высокие
результаты для многопараметрической оптимизации да-
ет использование итерационных алгоритмов вида
Дс(г+1)=—ife/f gradc[/(Cf)],
(4.94)
О Формулировка принадлежит В. Чиричу и Дж. В. Лидсу.
155
отличающихся от предыдущих заменой постоянной h на
матрицу Н
(4'95)
Рассмотрим один из наиболее широко известных ме-
тодов минимизации функций многих переменных — ите-
рационный метод Ньютона — Рафсона. Этот метод осно-
ван на разложении минимизируемого' функционала J
в ряд Тейлора из трех членов в окрестности заданной
оценки вектора параметров с(’>:
J (<?) = ? J(с*1*) 4- q' (с - <?(’)) +
+4-(с — с^уН(с-с^). (4.96)
Здесь
Я = £ = 2е (0 = 2е (t) и (t), (4.97)
где u(i) — функция чувствительности первого порядка,
Н — .представляет собой матрицу с элементами
^пт — 2
де (0 (/) . <^(/)] _
дсп дст <ЧЛт]~
(4.98)
Значения q и Н определяются в точке c = c{i\
Минимизация правой части (4.96) дает следующее
уравнение для приращений параметра с:
= be™ - — kH~1q = — 2kH~1e (t) и (t). (4.99)
Использование соотношения (4.99) для идентифика-
ции связано со значительными практическими трудностя-
ми, поэтому чаще применяется другой вариант, извест-
ный под названием метода Гаусса — Ньютона:
Дг ю = - k [u(t)ur (01"1 e(t)u(t). (4.100)
Отличие его от (4.98) состоит в отсутствии матрицы
Н (матрицы функций чувствительности второго поряд-
ка). Оба метода совпадают, когда e(t) представляет со-
бой линейную функцию параметров.
156
Рассмотрим некоторые вопросы практического ис-
пользования алгоритмов (4.99) и (4.100).
Поскольку критерий / и выход системы y(t) зависят
от параметров р объекта и параметров с регулятора, то
un(t) = un(tf р, с), (4.101)
а следовательно, и
hnm~ h-nm(Р, С). (4.102)
Как -следует из выражения (4.98), элементы hnm
должны вычисляться -в каждой точке пространства па-
раметров р и с. Это, однако, связано с большими затруд-
нениями и ставит под сомнение целесообразность введе-
ния ’преобразования (4.94).
Представляется интересным использование для син-
теза адаптивных систем того же алгоритма (4.94), но
с постоянной матрицей Н. Это оказывается возможным
в случае так называемой полной совместимости регуля-
тора с объектом.
Регулятор считается совместимым с объектом, если
путем настройки его параметров можно скомпенсировать
любые вариации параметров объекта.
Прежде чем переходить к синтезу адаптивных си-
стем, установим условия совместимости адаптивного ре-
гулятора с заданным объектом.
Как правило, задача построения адаптивной системы
состоит в выборе структуры и параметров регулятора.
Пусть объект управления содержит варьируемые па-
раметры
P = {pm}e=Dp (m=l,2, (4.103)
где Dp — область вариаций параметров. Если выбранный
регулятор включает /V* настраиваемых параметров
с* = {с*п} (п=1, 2, ..., N*), (4.104)
то сразу возникает вопрос, как и в какой степени адап-
тивная система должна изменять параметры
с = {сп}; п= 1,2,..N; N<N*> (4.105)
чтобы минимизировать выбранный критерий оптималь-
ности
Jfp, c)=e(t, р, с)2, (4.106)
где e(t, Р, с) — ошибка, зависящая от выходной коорди-
наты y(t) и параметров объекта и регулятора.
157
Поскольку с увеличением числа Л/ настраиваемых па-
раметров резко возрастает сложность системы, имеет
большое значение вопрос о выборе такого наименьшего
числа N, при котором достигается приемлемое качество
адаптации. Рассмотренные в [24, 25] методы часто ста-
новятся неприменимыми на практике, так как .приводят
к структурам, в которых число N почти всегда равно
числу варьируемых параметров объекта.
Условия совместимости регулятора рассмотрим на
примере хорошо известных методов самонастраивающих-
ся беспоисковых систем [26, 27, 28]. Вследствие нелиней-
ности соотношений между качеством системы и пара-
метрами исследование совместимости в большом пред-
ставляет собой весьма сложную задачу, поэтому
в качестве первого шага рассмотрим понятия совмести-
мости в малом [29] и индекса совместимости, являющего-
ся мерой совместимости регулятора в некоторой окрест-
ности параметров объекта и регулятора.
Рассмотрим адаптивную систему, параметры регуля-
тора которой выбираются так, чтобы выполнялось соот-
ношение
c—F(p). (4.107)
При этом предполагается, что существует оптимальное
значение с=с°, при котором критерий (4.106) достигает
минимума, когда параметры объекта имеют номинальные
значения
р=р° (4.108)
и
Anin=mincJ(c, р°). (4.109)
Регулятор будем называть совместимым в большом,
если равенство (4.107) удовлетворяет условию
I[p°, с°]=/[р, Ffr)]. (4.110)
Вместо условия (4.110) можно рассматривать следую-
щее:
e4t)=e[tiP,F(p)]. (4.411)
Исследование совместимости начнем с рассмотрения
совместимости в малом в окрестности значений р° и с°.
Заметим, что совместимость регулятора в малом
можно рассматривать как необходимое условие работо-
способности адаптивной системы в области Dp.
158
Для малых вариаций параметров объекта и регуля-
Т0Ра H4p||<dlp°ll И ||Ас||<1|с°||
выражение для ошибки можно записать в виде
e(t)=e°(t)+be(t), (4.112)
откуда
ke(t)=eP(t)+ec(t),
где
а)
м
(4Л13)
т=1
И
б)
Дополнительные движения ep(t) и ec(t) вызваны ва-
риациями соответственно параметров рис.
'Обозначив через Um(t) и vn(t) функции чувствитель-
ности dy(t)ldpm и dy(t)idcn, выражение для ошибки e(t)
запишем в виде
&e(t) = U(tykp + V(t)'&c, (4.114)
где штрих обозначает операцию транспонирования.
Учитывая соотношения (4.110) и (4.111), получаем
условие полной совместимости в малом:
Ae(t)=<U(t)^p+V(t)'Ac=O, (4.115)
которое должно выполняться при всех t.
Соотношение (4.107) для малых вариаций параме-
тров принимает вид
Дс=ЛДр, (4.116)
где А — матрица размерности NxM с элементами апт—
= dfn/dpm-
После подстановки уравнения (4.116) в (4.115) полу-
чаем другую формулировку условия полной совместимо-
сти в малом
U(t)'=-V(t)'A,
(4.117)
159
откуда получаем
А = - [ЖЖ]- IV(t)U (01. (4.118)
Заметим, что матрица А оказывается неособенной
только для усредненных значений функций чувствитель-
ности U(t) и V(t).
Из изложенного можно сделать вывод, что о совме-
стимости регулятора с заданным объектом можно судить
по функциям чувствительности U(t) и V(i) невозмущен-
ной системы.
Для оценки степени совместимости рассмотрим слу-
чай, когда условие (4.117) не выполняется. Введем век-
тор E(t), такой что
E(t)' = U(t)'+V(t)'A, (4.119)
где матрица А определяется соотношением (4.118). Тог-
да индекс совместимости можно определить как отноше-
ние
= (4.120)
U (tyu (0 ’
Чем меньше величина индекса k, тем большая сов-
местимость регулятора с объектом. Таким образом, по
величине k можно судить о том, в какой степени настрой-
кой параметра с можно скомпенсировать ошибки систе-
мы в окрестности значений параметров и с°. При этом,
очевидно, предполагается, что критерий качества при
варьированных значениях параметров не может иметь
меньшего значения, чем при номинальных.
Используя индекс совместимости, можно сформули-
ровать правило выбора оптимальной структуры регуля-
тора и наименьшего числа настраиваемых параметров:
из всех возможных структур регулятора и значений
сп(п=1, ...» N, где #<№*) выбираются те, для которых
индекс совместимости оказывается минимальным.
Условие полной совместимости (4.110) вместе с функ-
циональным соотношением (4.107) дают возможность
синтезировать на их основе адаптивные системы [30].
Рассмотрим линейную многоконтурную систему
(рис. 4.15), варьируемыми параметрами которой явля-
ются коэффициенты усиления отдельных блоков. Можно
показать, что в случае полной совместимости регулятора
160
функции чувствительности vn(t) вдоль траекторий адап-
тации имеют вид
fn(0 = -r»*n(0, (4.121)
сп
где v*n(t)—логарифмическая функция чувствительно-
сти, не зависящая от точки р, F(p):
u*„R, Р°, c°]=»*n(A Р, F(p)]. (4.1'22)
Из выражения (4.121) следует
V*(t) = diagcV(t)GV(t), (4.123)
где G = diagc=(dnmCn] — диагональная матрица размер-
ности NXn с элементами сп; Ьпт— символ Кронекера.
Регулятор Объект
I_______________________________________________________________________________________J
Рис. 4.15. Пример линейной системы.
Учитывая уравнения (4.97), (4.98) и (4.123) и пре-
небрегая функциями чувствительности второго порядка,
получаем
Н = G [V* (О V*' (01 'G=GH*G, (4.124)
gradc/=<?"1е(0У*(0.
Обозначим с*=1пс, тогда из (4.124) получаем окон-
чательное выражение для непрерывного алгоритма адап-
тации
с* = - k [¥*(/) V*' (0) -1e(0V*(0» (4.125)
где с = Gc*.
11—362 161
Поскольку в случае полной совместимости логариф-
мические функции чувствительности не зависят от р и с,
т. е. от траектории (4.107), матрица
Н* = [V*(0V*(0'l -1 (4.126)
может быть вычислена заранее через значения логариф-
мических функций чувствительности в точке р°, .
Блок-схема адаптивной системы, построенной на ал-
горитме (4.125), приведена на рис. 4.16. Пунктирной ли-
нией обозначены блоки, вычисления в которых проведе-
Рис. 4.16. Блок-схема адаптивной системы.
ны заранее. Через S, R и SM обозначены соответственно
исходная система, эталонная модель и модель чувстви-
тельности. Для систем со структурой типа рис. 4.15 мо-
дель чувствительности идентична модели системы с опти-
мальными значениями параметров рис. Это, однако,
достаточно узкий класс систем.
Алгоритм адаптации (4.125), строго говоря, приме-
ним только для случая медленных вариаций параметров
объекта, поэтому возможность использования его должна
специально исследоваться в каждом отдельном случае.
Пример. Рассмотрим применение алгоритма (4.125) для построе-
иия адаптивной системы четвертого порядка с тремя настраиваемы-
ми параметрами регулятора (рис. 4.15). Предполагается, что регу-
лятор полностью совместим с объектом.
Пусть номинальные (оптимальные) значения параметров объек-
та и регулятора
р,=Р2=Рз=с1=с2=с3=1. (4.127)
Алгоритм настройки параметров с имеет вид
d-diag cH*e(t) (4.128)
162
где матрица Н*
0,5782 — 0,0272 — 0.0973
я* = — 0,0272 0,1050 0,0156
— 0,0973 0,0156 0,0561
(4.129)
На рис. 4.17 показаны осциллограммы процесса адаптации на
аналоговой машине, соответствующие 800%-м вариациям параметра
Рз (рис. 4.17,а). Такие вариации без введения настройки параметров
регулятора делают систему неустойчивой.
Р3Ы
Рис. 4.17. Осциллограммы процесса адаптации.
Рис. 4.17,6 соответствует использованию модифицированного
алгоритма (4.125). Преимущество его по сравнению с алгоритмом
(4.93) видно хотя бы из того факта, что применение последнего,
который в данном случае принимает вид
. dJ (р, с)
с« ----Л» дсп (П = 1. 2. 3). (4.130)
где hn=h, приводит к неустойчивому или очень медленному процес-
су адаптации. Единственный путь достигнуть устойчивости состоит
в значительном уменьшении величины h:
h3=h2=\bhi. (4.131)
Это, очевидно, будет соответствовать не трех-, а двухпарамет-
рической настройке. Осциллограммы, соответствующие этому алго-
ритму, показаны на рис. 4.17,в.
Из сравнения рис. 4.17,6 и 4.17,в ясно видно, что выигрыш от
использования модификационного алгоритма (4.125) тем больше,
чем значительнее вариации параметров объекта.
На рис. 4.18,6 (показаны осциллограммы процесса настройки
параметров регулятора Ci, с2 и с3 в соответствии с алгоритмом
(4.125), когда параметр рз изменяется, как показано на рис. 4.18,а.
Аналогичные результаты имеют место и для вариаций pi и р2.
11* 163
Моделирование адаптивных систем показывает, что на
практике алгоритмы адаптации часто не сходятся. Схо-
димость алгоритмов обычно улучшается путем уменьше-
ния шага итерации с, как в случае модифицированного
метода Гаусса — Ньютона (4.99) или (4.100). Достаточно
Рис. 4.18. Осциллограммы процесса адаптации.
широкий класс итерационных процессов в общей форме
имеет вид
Дс( О = — Be (0 и (0 = —Bq, (4.132)
где каждому методу соответствует свой выбор матрицы В:
Ньютон—Рафсон:
в^гя-1,
Гаусс—Ньютон:
В=[ы(0и' (0]-\ (4.133)
Гаусс—Ньютон (модифицированный):
B = k[u(t)u'(tn
164
Устойчивость таких алгоритмов в окрестности опти-
мальной точки с° можно исследовать в предположении
квадратичное™ функционала в окрестности оптимума.
В этом случае сходимость в такой идеализированной си-
туации будет означать локальную устойчивость метода
при условии, что начальная точка выбрана достаточно
близкой к оптимальной [23].
Итак, предположим, что
J (С) = Jmin + 4- (с - с»)' Н (с - с°), (4.134)
где Н — постоянная матрица, равная значению матрицы
функций чувствительности второго порядка в точке с = с°.
Предположим далее, что Н положительно определена,
поэтому Jmin будет истинным минимумом функционала.
Обозначая через бс(<) разность между оценкой и опти-
мальным значением
6c(i)=c(i)_coj (4.135)
общий итерационный алгоритм запишем в виде
8Cd+i) _ &?(») — дс(») —------L Bq, (4.136)
где В и q в общем случае зависят от с.
Из уравнения (4.134) имеем
q = Н6с^
поэтому выражение (4.136) принимает вид
8C(f+i) = <7— 8с(»),
(4.137)
(4.138)
Отсюда следует, что алгоритм Ньютона — Рафсона,
например, для рассматриваемого идеализированного кри-
терия сходится к точке оптимума с° за один шаг, посколь-
ку в соответствии с (4.133) 1/2В = Н-1.
В других частных случаях алгоритма (4.133) матрица
i/2B=>kA формируется из различных функций от вход-
ных и выходных сигналов.
Выясним условия, которым должна удовлетворять
матрица А, чтобы алгоритм
6C(i+D = (1—kAH) dc^ (4.139)
сходился к нулю при достаточно малом положительном k.
165
Выберем в качестве функции Ляпунова квадратич-
ную форму
V'(bc)=8c'Hbc, (4.140)
которая равна 2(J(c)—Jmin) и является в силу предпо-
ложения положительно определенной.
Вычислим приращение функции на одном шаге ите-
рации
ДУ(«) = V (8 <?(»+*)) _ у ^(1))= [(/ _ kHA') Н (I —
— kAH) — = — k^cW' [Н (4 4- 4')] +
+W«'[/Z4'//4/7] 8с<«. (4.141)
Поскольку НА'НАН= (Hi/ZAH)' (Н^АН), ма-
трица Н'АНАН является положительно определенной.
Пусть собственные значения этой матрицы ограничены
при любом с, т. е.
р. = sup 1} {НА’НАН) < оо. (4.142)
с. i
Тогда
№ [НА’НАН] 8с«> < |*8<?(«'8с(*). (4.143)
Если матрица 4+4' положительно определена, то по-
ложительно определена и матрица Н(А+А')Н. Пусть
собственные значения матрицы Н(А+А')Н строго боль-
ше нуля при любом с
а = inf Я, [tf(4 + А') Н] > 0. (4.144)
С. /
Тогда
8с<»)' [Н (4 4-4') Н ]8с(») а8с<«'8<?(0 (4.145)
и
ДУ<0' < (— ь 4- Z>2[*)8с(»)'8с<*). (4.146)
Если теперь постоянная k удовлетворяет условию
0<Л<о/р, (4.147)
то ДУ<’) будет отрицательно определенной и, следователь-
но, итерационный .процесс будет сходиться.
В модифицированном методе Гаусса — Ньютона ма-
трица 4 всегда симметрическая и положительно опреде-
ленная, так что условия сходимости будут выполненны-
ми, если собственные значения матрицы НАН положи-
тельны, а матрицы НАН АН — ограничены.
166
Параметрическая оптимизация и идентификация. Зада-
чи параметрической идентификации и параметрической
оптимизации могут быть сведены к задаче минимизации
начального состояния.
Рассмотрим систему, описываемую уравнениями вида
^-=Л(х,р,0; х(0) = <?, (4.148)
где вектор параметров р может рассматриваться как
решение дифференциального уравнения
^. = 0; у(0) = р. (4.149)
Введем вектор переменных z' = {x,y}, тогда
^ = f(z,O; z(0)=a, (4.150)
где f'=(h, 0}; а={с, р}.
Заменяя z на х, а а на с, представим (4.150) в виде
^- = F(x, 0; х(0) = а, (4.151)
где х — вектор состояния; с — вектор начального состоя-
ния, который может быть неизвестным.
Поскольку вектор состояния является непрерывной
функцией начального состояния, то
х=х(с, t). (4.152)
Для малых вариаций начального состояния новое зна-
чение вектора состояния можно оценить по линейному
приближению
х(с, t)+Ubcf (4.153)
где Ас — вариация начального состояния; U—матрица
чувствительности относительно начальных значений,
являющаяся решением линейного дифференциального
уравнения
^- = J;(f)f/; 1/(0) = /, (4.154)
где Jx(f) — якобиан с элементами dfn!dxm.
Под задачей параметрической идентификацией будем
понимать нахождение такой модели, которая наилучшим
167
образом аппроксимирует заданную систему, например,
обеспечивает минимум квадратичного отклонения
t,
J = ^(z — x)'Q(z — x)dt, (4.155)
где Q — единичная матрица.
После подстановки выражения (4.153) в (4.155)
имеем
т
J=:^(z — x — и Ac)' Q(z — x — и Ac) dt. (4.156)
б
Минимизация полученного критерия сводится теперь
к соответствующему выбору вариаций начального со-
стояния Ас
Условие минимума в этом случае имеет вид [31]
АЬс = В, (4.157)
где А = £ UfQU dt— симметрическая матрица, а В= U' X
X Q — х) dt — вектор.
Предположим, что начальный вектор состояний вы-
бран равным с*. Тогда интегрирование уравнений
(4.151) и (4.152) дает х* и матрицу U*.
Используя решение уравнения (4.157), получаем ите-
рационный процесс
сг+1 = сг Д(4.158)
Из большого числа алгоритмов, применяемых в опти-
мизации и идентификации и имеющих, вообще говоря,
одну и ту же форму, особого внимания заслуживает ите-
ративный метод с циклической настройкой параметров
[32], при котором на каждом шаге изменяется значение
только одного параметра. Математически этот метод
можно описать, как и ранее, в терминах непрерывного
градиентного метода [33]
?=±£7сЖ (4.159)
где Vc = -Д G + 4 + • • • + in, представляет собой
оператор Гамильтона, а i...im — единичные вектора в
пространстве параметров. Из (4.159) следует закон измене-
ния параметров
Ас= ± Л\7Л-
(4.160)
168
Для одного параметра
cJft+1,= ^)+^,(/ = 1, 2,.... т) (4.161)
или
^+,)=^ ±k-^p~(i= 1,2,..., т). (4.162)
Представляя минимизируемый функционал в скалярной
форме
7 {с}="Ч S8i (/) lei (or dt’ (4‘163)
алгоритм (4.162) можно записать в виде
Г п ~ (£)
± k (2^(0 (4.164)
0 i=I
При этом коэффициент k выбирается из условия мини-
мума 7(c) в направлении данного параметра
^== — [Vj(c(*))l2 ‘ (4.165)
После подстановки (4.165) в (4.164) получаем
c<*+i>=c(»±5isL--------------------. (4.166)
j 2 st (0 И*’ (012 dt
0 i=l
Аналогичное выражение для приращения одного пара-
метра можно получить и для модифицированного алгорит-
ма Ньютона — Рафсона.
Алгоритм настройки получается в результате подста-
новки (4.167) в (4.161). Настройка параметров прекра-
щается, когда для всех /=1, ..., т достигается равенство
i 1
На рис. 4.19 показано графическое представление ите-
раций настройки в плоскости параметров С1Сг для случая
т=2.
Общая блок-схема адаптивной системы представлена
на рис. 4.20.
169
Пример. Пусть в качестве подстраиваемой модели выбрана
линейная система второго порядка
Х = 2?соях+с0д х = 0, х(0) = хо* (4.167)
Задача состоит в выборе таких значений частоты соп, затухания
£ и начального условия х(0)=хо, при которых модель наилучшим
образом аппроксимирует реальную систему произвольного порядка
и структуры.
Представим уравнение (4.167) в виде системы уравнений пер-
вого порядка, полагая x=xt:
= х2, х2 = ~ 2?<оях2 — (4.168)
В соответствии с уравнением (4.161) итерационный алгоритм
при gi(0=g2(O = U л=2; принимает вид
Рис. 4.19. Процесс итеративной
адаптации на плоскости парамет-
ров.
ср+1) = с(*)_
( S (О
О *=1
О /=;!
(4.169)
Где С\ = <оя, с2 = Сз = х20.
Функция чувствительности от-
носительно этих параметров
dxt det
Uti=~d^==~d^> /=1’2; /=1.2,3, (4.170)
где
^(0 = *1(0 —(4.171)
Здесь x*t (/) — выход идентифицируемой системы.
Уравнения чувствительности для системы (4.168) имеют вид
U11 =
иц = — 2?®яи„ — ®2 В1 _
с начальными условиями
2 [Осг + ®„Х1], /=1,
2wnx2, /=2, (4.172)
0. / = 3.
и1#(0) = 0, /=1,2,3,
'ГЛ2-
(4.173)
170
Блок-схема системы идентификации приведена на рис. 4.21.
На рис. 4.22 показана зависимость процесса идентификации от пара-
метра соп.
Решение задач адаптации с многими параметрами на
аналоговой машине часто становится чрезвычайно слож-
ным, поэтому представляется перспективным использо-
вание для этих целей комбинированных вычислительных
Рис. 4.20. Блок-схема итеративной адаптации.
систем. При этом модель системы и уравнения чувстви-
тельности набираются на аналоговой части, в то время
как логические операции, запоминание промежуточных
результатов и управление циклами вычислений осуще-
ствляются цифровой частью.
Другая причина использования именно комбиниро-
ванных вычислительных систем заключается в том, что,
хотя сходимость градиентных методов и не зависит от
начального приближения, она становится очень малой
в окрестности экстремума критерия качества. Величина
приращения параметра с согласно уравнений (4.160) и
(4.165) определяется соотношением вида
1 Ас'м 1 = I v./Z) I ' <4Л74>
так что \7</(c(ft))—‘О при I —* Jmin и следовательно,
“ЙА41>)1 = 1™-|4т?Йг~“-
(4.175)
171
Ясно, что с помощью такого метода нельзя определить
значение вектора с, соответствующее с достаточно высо-
кой степенью точности минимуму критерия качества. Ра-
зумнее поэтому сначала воспользоваться градиентным
методом, чтобы быстро прийти в окрестность оптимума,
а затем применить какой-нибудь численный метод.
Рис. 4.21. Блок-схема процесса идентификации.
Рис. 4.22. Зависимость итерационного процесса от соп
Среди алгоритмов с достаточно высокой скоростью
сходимости относительно простым является так называе-
мый метод двоичной итерации. В этом методе шаг ите-
рации, если | <ть где т] — заранее выбранная вели-
чина, уменьшается по следующему закону:
c(A+i, »)=CW (/=1,2.....т), (4.176)
172
где Дс<*'0) — некоторый «нулевой» шаг метода, то тех пор,
пока при некотором v=N
(4.177)
Новое значение параметра теперь выбирается равным
с(Л,+ 1)=с(Ю + ^-Дс<'*-0). (4.178)
Расчеты по методу двоичной итерации выполняются
на цифровой части комбинированной системы.
часть ная часть часть
Рис. 4.23. Общая блок-схема комбинированного вычисления.
Использование комбинированных вычислительных си-
стем дает возможность осуществить не только параме-
трическую оптимизацию, но и структурную. Процесс
структурной оптимизации заключается в следующем: на
первом этапе осуществляется параметрическая оптимиза-
ция модели наиболее низкого порядка. Если полученное
при этом минимальное значение критерия качества не
достигает некоторого заданного уровня, порядок модели
с помощью цифровой части повышается на единицу и
процесс параметрической оптимизации повторяется.
Решение задачи идентификации на комбинированных
вычислительных системах основано на запоминании вы-
ходных переменных х*<(7) в аналоговой или цифровой
форме на магнитной ленте. Полная блок-схема комбини-
рованной вычислительной системы показана на рис. 4.23.
173
Там же представлено распределение вычислительных
операций между внешним оборудованием, аналоговой и
цифровой частями.
ЛИТЕРАТУРА
1. Лузин Н. Н., Кузнецов Р. И. Об абсолютной инвариант-
ности и е-инвариантности в теории автоматического управления.
Докл. АН СССР, 1946, т. 51, № 4; Докл. АН СССР, 1951,
т. 80, № 3.
2. Кулебакин В. С. Применимость принципа абсолютной ин-
вариантности в реальных физических системах. Д. АН СССР,
1948, т. 60, № 2.
3. Петров Б Н. О применении условий инвариантности. Труды II
Всесоюзного совещания по теории автоматического регулирова-
ния. Изд-во АН СССР, 1955.
4. Розоноэр Л. И. Вариационый подход к задаче инвариантно-
сти систем автоматического управления. Автоматика и телеме-
ханика, 1963, т. 24, № 6.
5. Рутман Р. С., Эпельман М. С. Параметрическая инва-
риантность линейных динамических систем. Д. АН СССР, 1964,
т. 159, № 4.
6. Мееров М. В. Синтез структур систем автоматического регу-
лирования высокой точности. 1959.
7. L а и g G. and Н а m J. iM., Conditional Feedback Systems — A
Nem Approach to Feedback Control, AIEE Trans, 1955, № 2.
8. Vukobratovic M. and Rutman R. S. Sensitivity and In-
variance of the Complex Dynamic Systems. Automatika, Theoreti-
cal Supplement, 1967, № 1—2.
9. P у т м а н P. С. Условия нулевой чувствительности линейных
систем управления. Техническая кибернетика, 1969, № 2.
10. Мэзон С., Циммерман Г. Электронные цепи, сигналы и
системы. Изд-во иностранной лит-ры, 1963.
11. Кокотович П., Рутман Р. С. Матрица чувствительности
и ее моделирование. Автоматика и телемеханика, 1966, т. 27,
№ 6.
12. Сед л ар М. Диполь чувствительности и метод точек чувстви-
тельности. В сб. «Чувствительность автоматических систем».
Изд-во «Наука», 1968.
13. Vukobratovic М. and Rutman R. S. Structural Properties
of Dynamic Systems, IV IFAC Congress, Proceedings, )1969, War-
sawa.
14. Vukobratovic M. Invariance and Sensitivity of Dynamic Sys-
tems, Avtomatika, 1968, № 4, Kiev.
15. Vukobratovic M. A Note on Parameter Invariance with Res-
pect to the Index of Stadility, Trans. IEEE, 4968, February.
16. Mitrovic D. Graphical Analysis and Synthesis of Feedback
Control Systems. I, Theory and Analysis, AIEE Trans, and Indu-
stry, 1959, vol. 77, January.
17. Vukobratovic M. and Juricic D. Application de 1’analyse
de sensibilite aux systemes dynamique a variables multiples de la
mecanique technique. Revue Roumaine des sciences techniques, Me-
canique Appliquee, 11966, t. II, № 6, Bucarest.
18. К a 1 m a n R. E. Mathematical Description of Linear Dynamical
Systems. Jour. SIAM Control Series A, 1963, vol. I, Ke 2.
174
19. M i 1 i с М. Ап Interpretation of the Invariance Principle. Trans.
IEEE AC.
20. T о mo v i c R. A. Note on Controllability. Proceedings of the IEEE,
1968, vol. 56, № 1, p. 86—87, Jan.
21. Eykhoff P. Some Fundamental Aspects of Process Parameter
Estimation. IEEE Trans., 1963, vol. AC-8, p. 347—357, Oct.
22. M a r g о 1 i s M. and L e о n d e s C. On the Theory of Adaptive
Control Systems, the Learning Model Approach. 1st IFAC Con-
gress, 1960, Moscow.
23. M с В r i d e L. E. and S t e i g 1 i t z K. Iterative Methods for Sys-
tems Identification. Princeton University, Communication Lab.
Technical Recort, 1966, № 15, June, Princeton, N. Y.
24. Puri N. N. and Weygandt C. N. Multivariable Adaptive Con-
trol Systems. Proceedings of the Joint Automatic Control Conf.,
New York, 1962.
25. Whitaker H. P. Design capabilities of Model Reference Adapti-
ve Systems”, Proceedings NEC, Chicago, 1962.
26. В ungula c S. and К о ко to vic P. Automatic Optimization
of Linear Control Systems on Analog Computers. Proc, of the
International Association on Analog Computation, 1965, vol. VII,
№ 1, Jan., Bruxelles.
27. M e i s s i n g e r H. F. Parameter Optimization by an Automatic
Open — Loop Computing Method. 4th AICA Congress, Brighton,
Mass. 1964.
28. В i n g u 1 a s S. Minimum Sensitivity Adaptive Systems. Procee-
dings of an International IFAC Symposium on Sensitivity Met-
hods, Pergamon Press, 1966, London.
29. В i n g u 1 a c S. On the Compatibility of Adaptive Controller. 4th
Allerton Conference, University of Illinois, Urbana, Illinois, 1966,
p. 8—^16.
30. Bingulac S. A Transformation Improving Stability of Adaptive
Systems. 4th Allerton Conference, University of Illinois, Urbana,
1966, p. 28—35.
31. G a v r i 1 о v i с M. and Petr о vic R. Parameter Identification
via System Linearization and Optimal Improvement of Parameter
Values. 5th Congress of the AICA, Lausanne, 1967.
32. P 1 a n d e r I. Automatic Iteration Method of Process Identification
with Cyclic Adjustment of Parameters Using Analog and Hybrid
Computers. IFAC Congress on «Problems of Identification in Auto-
matic Control Systems», Prague, <1967.
33. Eykhoff P. Process Parameter and State Estimation. IFAC,
Symposium 1967 on «Problems of Identification in Automatic Con-
trol Systems», Prague, 1967.
34. Rut man R. S. Synthesis of Parametric Invariant Systems. Auto-
matika, Zagreb.
Глава 5
ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТЬ БОЛЬШИХ СИСТЕМ
Функции чувствительности первоначально были опре-
делены для дифференциальных уравнений с постоянными
параметрами. Позднее понятие чувствительности было
обобщено на тот случай, когда вместо дифференциаль-
ных уравнений используется пространство состояний.
Таким образом, анализ чувствительности теперь охваты-
вает непрерывные, дискретные и кусочно-непрерывные
системы.
Если система имеет большое число параметров, то
определение влияния отдельных параметров усложняет-
ся. Обычный анализ чувствительности не дает достаточ-
ной информации о возмущаемости таких систем, особен-
но если система имеет иерархическую структуру управ-
ления.
Одна и та же система может быть представлена
различными структурными диаграммами. Это обстоя-
тельство приводит к понятию структурной чувствительно-
сти. Различные структурные модели, удовлетворяющие
одному и тому же критерию качества, по-разному реаги-
руют на возмущения. Структурную чувствительность осо-
бенно важно учитывать при синтезе больших систем. По-
ка еще нет адекватного определения функций чувстви-
тельности больших систем. Возможный подход состоит
в разбиении системы на ряд уровней, каждый из которых
содержит ограниченное число параметров [1]. На общем
уровне рассматривается влияние возмущений выходных
сигналов отдельных блоков на характеристики всей си-
стемы.
Коэффициент влияния блока. Система управления мо-
жет быть представлена блок-схемой. Каждый блок (при
условии его линейности) описывается передаточной функ-
цией T(s). Предполагается, что разбиение на блоки про-
176
изведено таким образом, что связь последующего блока
не изменяет передаточной функции предыдущего; поэто-
му общая передаточная функция системы может быть
получена комбинацией произведений и сумм передаточ-
ных функций блоков. Обозначим вход и выход системы
через XBX(s) и Лвых($), а вход и выход i-ro блока, имею-
щего передаточную функцию 7\($), через x,(s) и x<+i(s)
(рис. 5.1).
Удобно представлять коэффициент чувствительности
по параметру pi, содержащемуся в блоке Ti(s), в виде
[2J
= (5.1)
' ' opt oTt opt ' '
Первый множитель в этом выражении назовем коэф-
фициентом влияния блока
Рис. 5.1. i-ый блок си- Рис. 5.2. Система с вы-
стемы с передаточной деленным блоком Ti.
функцией Т{.
Он дает непосредственную оценку изменения выход-
ного сигнала системы, когда передаточная функция бло-
ка изменена на ДЛ,
ДХвых(5) = (7г<(5)Д7'Н«). (5.3)
Множитель dTifdpi в выражении (5.1) характеризует
влияние параметра pi на выходной сигнал соответствую-
щего блока.
Мы не будем более детально обсуждать понятие коэф-
фициента влияния блока. Во многих случаях его можно
получить дифференцированием передаточной функции си-
стемы по Ti в соответствии с уравнением (5.2). Ниже
показано, что этот коэффициент можно получить методом
преобразованных систем.
12—362 177
Возьмем систему Т (рис. 5.2), которая может быть
разомкнутой или замкнутой, одноконтурной или много-
контурной, и выделим из нее блок 7\.
Пусть отклонение, возникшее в исходной передаточной
функции таково, что
Л-^Т^ + ДЛ-. (5.4)
Соответствующие отклонения возникнут в координатах си-
стемы:
ХВЫх(«)=Хонх(з)4-ДХВЫ1(5),
xt(s) = x°(s)4-Дхг(5),
*i+i (S) = X°t+1 (s) + Дхг+1 (s).
Тогда
Длг+1 =^Дх1+ДТ^+ДТгДл:,-,
(5-5)
(5.6)
или, пренебрегая членами второго порядка,
Дх,+1 = ^Дхг-|-ДТ,х“. (5.7)
Первый член правой части этого уравнения представля-
ет собой дополнительный сигнал, пропущенный через исход-
ный блок (с номинальной передаточной функцией Г°), тог-
да как второй член является дополнительным сигналом,
который определяется приращением передаточной функ-
ции блока. Соответствующая схема представлена на
рис. 5.3.
Рис. 5.3 отличается от рис. 5.2 только наличием ново-
го сигнала 8х = х°ДТ/. Поскольку дополнительное движе-
ние мало, мы можем применить принцип суперпозиции
Рис. 5.3. Эквивалентная си- Рис. 5.4. Преобразованная си-
стема. стема.
178
к рис. 5.3 и получить схему рис. 5.4. Систему, показанную
на рис. 5.4, назовем преобразованной. Ее передаточную
ФУНКЦИЮ ОТ НОВОГО ВХОДа 6% К НОВОМУ ВЫХОДУ ДхВых
обозначим через Тир. Тогда
Д-^ВЫХ (5).= Д^«'» (5«8)
или, подставляя сюда значение ДХвых(л:) из (5.3),
ит^)=Тарх°. (5.9)
Такова преобразованная система, получаемая из исход-
ной системы для определения коэффициента влияния
блока. Обозначим передаточную функцию исходной си-
стемы через Ti(RblX)(s). Тогда
^1 (5) = Т'лвых) (5)Хвх (^). (5.10)
Подставляем это в уравнение (5.9)
UTi (s)=XBX (s) Т1ВЫХ (s) Гар (s). (5.11)
Из этого уравнения видно, каким образом желаемый
коэффициент влияния можно получить на аналоговой мо-
дели, используя две системы: исходную (основную) и
преобразованную.
Рис. 5.5. Определение коэффициента чувствительности.
Чтобы найти коэффициент влияния по параметру pi,
содержащемуся в блоке Т\, мы поместим в схему преоб-
разованную цепь, которая реализует производную
dTildpi. На схеме рис. 5.5 соответствующие квадратики
указаны пунктиром.
Многоконтурная система изображена на рис. 5.6,а.
Соответствующая преобразованная система для опреде-
ления влияния коэффициентов блока Л показана на
рис. 5.6,6. Чтобы получить интересующий нас коэффи-
12* 179
циент влияния, нужно установить связь, показанную на
схеме пунктирной линией. Чувствительность больших си-
стем можно исследовать на основе таких структурных
свойств, как инвариантность, адаптируемость, управляе-
мость, наблюдаемость и др. Отметим, что нулевая чувст-
вительность, основанная на алгебраических соотношени-
ях между параметрами (3—5], означает вырождение си-
стемы. Это справедливо как для нулевой чувствительно-
сти (параметрической инвариантности) выходной коорди-
наты, так и для степени устойчивости.
Рис. 5.6. Многоконтурная система (а) и определение коэффи-
циента чувствительности блока (б).
В предыдущей главе была показана связь между ну-
левой чувствительностью и ненаблюдаемостью. Исполь-
зуя соотношение (4.51), можно заключить, что нулевая
чувствительность означает частичное сокращение нулей
и полюсов передаточной функции графа. Из этого следу-
ет, что в системе имеется ненаблюдаемая часть. Возмож-
ны два случая: а) реализация условий нулевой чувстви-
тельности приводит к вырождению структуры без преоб-
разования базиса; б) вырождение структуры при выпол-
нении условий нулевой чувствительности вызвано преоб-
разованием базиса. Первый случай приводит к тривиаль-
ным решениям; реализация второй возможности позволя-
ет отделить нетривиальные решения, которые можно ис-
пользовать при синтезе.
Применительно к вырождению структуры косвенный
анализ свойств возмущаемости системы связан с ее раз-
ложением на подсистемы, которые могут анализировать-
ся порознь. Однако надо иметь в виду, что вырожден-
ная структура, являющаяся следствием параметрической
инвариантности, часто означает неработоспособность
исходной системы автоматического управления. Это тот
180
Случай, когда система является неуправляемой. Между
тем в реальных динамических системах, как это показа-
но в предыдущей главе, параметрическая инвариант-
ность дает только необходимые условия разбиения си-
стемы, а это не означает ухудшения исходных динамиче-
ских свойств.
Все структурные свойства взаимосвязаны. В пред-
шествующей главе была показана связь между общей
нулевой чувствительностью выхода и инвариантностью
индекса устойчивости. Было также показано, что управ-
ляемая система не может быть параметрически компен-
сированной. Связь между инвариантностью, управляе-
мостью и наблюдаемостью по отношению к вариациям
параметров подсистемы [6] рассмотрим на примере си-
стемы, описываемой уравнением (4.84), содержащей
подсистему £г, не связанную с системой S:
=г Д1аха, {/==£ц-^1* (5.12)
Эта система представляет приведенную форму основ-
ной системы (4.71), получаемую в результате удовлет-
ворения условию (4.83).
Из условия (4.83) следует, что передаточная функ-
ция подсистемы (5.12) тождественно равна нулю. Это
означает, что подсистема (5. 12) является полностью
неуправляемой и ненаблюдаемой. То, что это справедли-
во, видно из следующего. Существуют две конечные
реализации [6] передаточной функции
K(s) +...+ с,
Ха (s) —5*4- + ...+<// '
В ОДНОЙ ИЗ НИХ =(<?1, с2, ..., сп) и в другой Д1а =
—с'и [7]. Поэтому очевидно, что в одной реализации
(Л1а,д,да,...,л;г4»)=о, (5.14)
а в другой
181
Если Ci = C2= ... =Сп='О, то это означает, что одна
компонента вектора'состояния не является ни управляе-
мой (5.14), ни наблюдаемой (5.15), соответственно. Не-
управляемость или нулевая чувствительность (парамет-
рическая инвариантность) любого типа дает основание
для разбиения системы. Структурные свойства, рассмот-
ренные в гл. 4, указывают «шов» разбиения (8], по кото-
рому система может быть разложена на подсистемы.
В системе без управления разбиение сводится к разде-
лению обобщенных координат системы1).
Для оистем высокого порядка условия разбиения
(разделения) не совпадают с условиями параметричес-
кой инвариантности 2Х
Можно поэтому сказать, что инвариантность — это
только необходимое условие для 'разбиения больших си-
стем.
Наряду с этим можно также определить разбиение
с точностью до е, производимое с использованием воз-
мущенных реакций. В этом случае выходные координа-
ты системы слабо чувствительны к малым изменениям
параметров подсистемы. Этот метод особенно удобен
для упрощения анализа чувствительности в системах из-
вестной структуры посредством рассмотрения отдельных
подсистем порознь. Такой анализ относится только
к разбиению в области чувствительности и практически
не связан со свойствами разбиения основной системы.
Рассмотрим большую систему, составленную из под-
систем
S = {Sn}, м=1, 2, ..., N. (5.16)
Обозначим совокупность выходных сигналов подси-
стемы Sn вектором ynh, где п = 1, 2,..., N и k= 1, 2,..., k.
Пусть реакция, вызванная возмущением, будет IAi/nfe.
Местоположение и вид возмущенного сигнала несущест-
венны для применения этого метода [8].
Возмущенная реакция сложной системы описывается
матрицей функций
• (5.17)
•••» /
’) См. соотношение (4.61).
2) На практике мы обычно довольствуемся частичной инвариант-
ностью, т. е. инвариантностью некоторых выходных координат по
отношению к изменениям параметра.
182
Введя некоторую норму для функций Дупл, можно
все элементы этой матрицы точно распределить по вели-
чине. Условие того, что влиянием реакций, имеющих
норму
|A^nfc|^i8, (5.18)
можно пренебречь, определяет те выходные координаты
и те подсистемы, которые можно рассматривать порознь
при анализе чувствительности.
Теория многоуровневого управления и схема разбие-
ния даны в работе [9], где выполнен прямой анализ чув-
ствительности.
Рассмотрим систему
у=Ау-\-т-[-х (5.19)
и функционал
Т
J = ^[(у — г)'B(y — r)-[- т'ст] dt, (5.20)
оптимизируемый по отношению к т:
т
J' = min-|- [[(у— г)' В (у—г}-[-т'ст] dt. (5.21)
т z J
О
Оптимальное управление определяется дифференциаль-
ными уравнениями
у = Лу4~/п + х (5.22)
и
ст = В(у— г) — А'ст. (5.23)
Уравнения (5.22) и (5.23) расщепляются с помощью
метода, данного в (6]. Пусть
я ( Ли | Ац \ D f в„| Вц\
Л=------;---1, В=1-------1--1
\ A2j j Ац/ \Bsi | В22/
Векторы чувствительности выходных координат объекта
есть и, и ы2:
183
Можно ввести также функции чувствительности /nf и
тр2 векторов управления т1 и т2
р dnti р дт2
В соответствии с уравнениями (5.22) и (5.23) система
уравнений чувствительности есть
и, — A,tu, — Al2u2 — mp = Q,,
^12^2 II ^11^1 21^22^2 == ^3’
4«i-«> + 4“.+'»2 = Qi, (5.24)
^21^1 | ^22^3 12^11^1 ^32^2 22^32^2 == Q*'
Обобщенные силы Qi,..., Q4 есть функции координат
основной системы (5.22) и (5.23) и зависят от место-
положения варьируемых параметров. Для параметров
объекта, например блочных матриц Ли, Л12, Л21, Л22, об-
общенные силы таковы:
Q3=0, q4=o.
Q.=^4, Qa = 0, ,Q»=0, Q1=^c„mi,
P,=0, Q2 = d-^cg2m2, [Qi==-^-yi> Q4=o,
Q, = 0, Qa = 0, Qs = -^y2, Qt—^^-c22m2.(5.25)
Преобразовав по Лапласу уравнения чувствительности,
получим матричное уравнение
184
Совместно решение уравнений (5.22), (5.23) и
(5.26) получается с помощью итеративного метода опре-
деления функций чувствительности расщепленной мно-
гоуровневой системы. Не входя в детали задачи получе-
ния функций чувствительности в соответствии с такой
схемой разбиения, мы обратимся к формулировке зада-
чи параметрической инвариантности определенной вы-
ше системы.
Как и в случае параметрической инвариантности си-
стемы без многоуровневого управления, условия пара-
метрической инвариантности .могут быть получены и для
случая вариаций параметров в отдельных подсистемах
больших систем.
Из матричного уравнения (5.26) условия полной па-
раметрической инвариантности получаются в виде
t/ = X-‘Q=O, (5.27а)
щ- £ для A(s)^0(i = 1, 2, 3, 4), (5.276)
где элементы обратной матрицы Khi даются следующими
выражениями:
В12 (C11S + Л'цСц) — >4f21^22
Л22 5 0 1
#22 ^12^11 (C22S 4" АГ22С22)
в„ 1 — (CllS 4* Л'цСц) ^21^22
К12= : л421 1 0 1
В21 ^12С11 (C22S + АГ22С22)
Вц В12 л4Г21С22
1 <Д21 i422“““S 1
В21 В22 — (c22s 4* Ar22c22)
Вц Вго ,(^ц5 + Я'цСц)
к. 14 = •^21 у422~”$ 0
В21 В22 — ЛГ12£ц
-Л12 —1 0
= — А I22—$ 0 1
В22 ^f12Cll (^22S 4* АГ22С22)
S- -Ап 0
к2 2 = 1 l2i 0 1
В21 ^12С11 (^22$ + А'22С22)
185
к24=
tf,2 =
--Л]2
#12
#22
5—Ли
Ви
В21
$—Л„ Л12
Л21 Л 22“"—$
B2i • В22
s—Лп —Л12
Л21 Л22 $
B2i В22
—1
(C11S 4" Л'ц^п)
— >4'12Сц
—1
(cii5 4; >4fnci)
-- >4'12^11
о
1
-- (С22§ 4“ Л'22^22)
—1
о
>4Г12^11
о
--- ЛА21С22
-- (C22S 4" >4'22^22)
О
--- -^f21C22
--- (C22S 4" ^22С22)
s—Лц Л12 0
/<и= Ви В12 — Л'21^22
B2i В22 (C22S 4" Л'2 2^22)
s—Л и —Л12 —1
Ви В12 — (^п5 4" ЛгцСц)
B2i В22 —: ЛА! 2^11
• Л12 1 0
^41 B12 — (ci\S 4- Л'цСц) — Л'г^гг
s—Лп —Л12
Вц В12
Л21 Я22-s
— 1
(cns 4" Лгпс11)
О
Из требования параметрической инвариантности вы-
ходных координат (5. 27, б) получаются следующие ус-
ловия нд структуру управления;
186
1. Если параметр находится в подсистемах Ац и Л12,
то должны удовлетворяться условия Сц=0, Вц=0, Аг1—
= 0, В 12 = 0.
2. Если параметр находится в подсистемах Л22 и Л21,
ТО ДОЛЖНЫ удовлетворяться условия С22 = 0, #22=0, В12 =
= 0, 412=0. Когда параметр находится в регуляторе,
возникают следующие дополнителньые требования:
а) если параметр находится в подсистеме Ви, то для
инвариантности выходных координат и у2 требуется,
чтобы
Сг2=0, Вг2=0, 412=0; (5.28)
б) если параметр находится в подсистеме В22, то
должны быть выполнены условия
сц=0, 42i=0, Bi2 = 0. (5.29)
Можно видеть, что инвариантность к возмущению
параметров регулятора приводит к вырождению динами-
ки и уровней управления.
Для параметра, содержащегося в Вн:
У =41^+^! + ^.
с, Д = В„ (у, — г,) — 4'11с„/п, 4-В1а (уа — га), (5.30)
У г 4aat/a | Ш2 -^2 | ^21У1 >
^21 (У1 G) А 12^-11^1 == 0.
Для параметра, содержащегося в Ваа:
У1 — Alty, -{- zWj x, —|- 4I21/2,
Вц (У1 G) А 21^22^2 = 0»
Уг — 4д2Уг I ^2 I Ха, (5.31)
== ^гг(Уг G) А 22^*22^2 “Н ^ai (У1 ““ Г>)•
Нужно подчеркнуть, однако, что параметрическая
инвариантность выходной координаты не может быть до-
стигнута, когда варьируются параметры элементов мат-
рицы С регулятора без изменения порядка и общей
структуры исходной системы.
Можно заключить, что и в больших системах анализ
чувствительности сводится к использованию обычных
методов, с помощью которых свойства возмущаемости
подсистем исследуются косвенным путем. Такой косвен-
187
ный анализ чувствительности дает возможность прежде
всего разрабатывать системы, обладающие такими свой-
ствами, как параметрическая инвариантность выходных
координат или степени устойчивости. Применение такого
подхода, очевидно, оправдано лишь при ограниченной
сложности выполнения матричных вычислений.
В больших системах точные значения всех парамет-
ров не всегда известны. Чтобы получить более точные
значения тех или иных параметров, приходится подчас
затрачивать большие усилия. Поэтому какие-либо дан-
ные о чувствительности таких систем представляют
собой весьма полезную информацию. Ниже мы вкратце
изложим некоторые методы нахождения собственных
значений системы и их функций чувствительности.
Сначала разберем, как вычислять собственные зна-
чения и функции чувствительности систем, описываемых
линейным векторным уравнением первого порядка [10, 11]
У = Ау, (5.32)
где у — вектор с п компонентами, описывающий состо-
яние системы, А — матрица коэффициентов размера
пХп.
Предположим, что решение системы (5.32) имеет
вид
у = сх^, (5.33)
где х — n-мерный вектор, с — произвольная скалярная
величина. Подстановкой (5.33) в (5.32) сведем вычис-
лительную задачу к нахождению собственного значения
комплексной матрицы системы
Лх=Хх. (5.34)
Для нахождения собственных значений существует
ряд вычислительных методов, приспособленных для циф-
ровой вычислительной машины. Тем не менее эти мето-
ды оказываются не эффективными, когда требуется ис-
следовать влияние параметров (в определенной области
их изменения) на большое число собственных значений.
В этом случае более предпочтителен метод вычисления
чувствительности собственных значений к вариациям
различных параметров системы.
188
Если матричное уравнение (5.34) продифференци-
ровать по произвольному параметру р, то получим сле-
дующее уравнение в вариациях
= (5'35)
Если вещественную матрицу А транспонировать, ее
собственные значения не изменятся. В этом случае обра-
зуется новый набор собственных векторов. Обозначим
собственные векторы транспонированной матрицы через
Vj. Если обе части уравнения (5.35) скалярно умножить
на Vj, то получим
=*/ (зр <5-36)
Если индексы j и i взять равными, а в первом члене
правой части произведение заменить на A'Vi, то ва-
риационное уравнение (5.36) примет вид
(^>“0+(лО£)'
= л'"')+^(х,,1")' (5,37)
Так как второй член левой части вариационного
уравнения (5.37) равен первому члену правой части, то
частную производную можно выразить в виде
((dA/dp)XjVi)
др (x€,Oi)
(5.38)
Выражение (5.38) представляет собой функцию чув-
ствительности собственных значений линейной системы
(5. 32). Эта формула оказывается весьма удобной при
вычислении чувствительности собственных значений си-
стемы. Для данного собственного значения вычисляются
собственные векторы Xi и Подчеркнем, что в общем
случае матрица дА1др содержит немало нулевых эле-
ментов, что значительно упрощает выражения для чув-
ствительности собственных значений. При синтезе линей-
ных стационарных больших систем многомерного типа
189
удобно оперировать матрицей передаточных функций.
При этом еще до начала синтеза особый интерес пред-
ставляет определение чувствительности полюсов и нулей
передаточной функции к изменениям параметров систе-
мы. Для систем высокого порядка определение матрицы
передаточных функций по системе дифференциальных
уравнений связано с громоздкими алгебраическими вы-
кладками, которые практически не оправданы, если ко-
эффициенты передаточных функций надо выразить через
параметры системы.
Метод определения матрицы передаточных функций
системы основан на использовании алгоритма Леверрье
£12], а также процедуры Д. К. Фаддеева [11], которая
фактически является способом совместного вычисления
коэффициентов характеристического многочлена матри-
цы и элементов присоединенной матрицы. Хотя алгоритм
Леверрье хорошо известен, до недавнего времени он не
использовался в должной мере.
Напомним читателю, что алгоритм Леверрье в не-
сколько более широкой форме изложен в Приложении В
к этой книге в связи с вычислением в гл. 2 функций чув-
ствительности линейной динамической системы с одним
входом.
Рассмотрим многомерную систему вида
x = Ax-j-Bu, (5.39)
у = Сх, (5.40)
где х — n-мерный вектор состояния, и — /n-мерный век-
тор управления, у — «/-мерный выходной вектор, А —
матрица размера «Хп, В — матрица размера nXm, С —
матрица размера «/Хп.
Используя преобразование Лапласа при нулевых на-
чальных условиях, составим матрицу передаточных
функций систем (5.39), (5.40):
P(s)=C(/s—Л)-‘ В. (5.41)
Определение этой матрицы сопряжено с довольно
сложными вычислениями. Трудности можно уменьшить,
если использовать процедуру определения характеристи-
ческого многочлена матрицы и присоединенной матрицы,
заимствованную из теории матриц [12].
Чтобы иметь возможность вычислять вариацию мат-
рицы P(s), вызванную вариациями параметров, нужно
190
сначала определить саму матрицу передаточных функ-
ций. В соответствии с известными соотношениями мат-
ричной алгебры выражение (Is—Л)-1 можно предста-
вить в виде
(Is- Л)' » = Д-‘ ($)[/? (s)I, (5.42)
/?(s) = /s’»-14-7?,s»‘-2+... + /?„_I, (5.43)
Д ($) = $” — — h2sn~2— ... — hn, (5.44)
где R(s)—присоединенная матрица, Д($)—характе-
ристический многочлен системы, т. е.
A(s) = det (Is—Л). (5.45)
Основываясь на алгоритме Леверрье, Фаддеев дал
процедуру совместного определения коэффициентов hi,
h2,..., hn характеристического многочлена и матриц Ri,
R2,..., Rn-i. Коэффициенты hi и матрицы Ri можно вы-
числить 'по следующим формулам алгоритма Леверрье:
Л, = Л, A1 = trX1, /?,=Л.— hj (5.46)
Л2 = ЛТ?, /г2 =tr Л2, R2 = A2 — h2I (5.47)
Ап~ i — ARn_2, hn -, j tr An _ i, Rn-i An_t hn_,I
(5.48)
ЛП = Л/?П_1, Лп = 1г Лп, /?П = ЛП hnl = 0 (5.49)
п
tr Л = 2 ац.
i=i
Последнее равенство из (5. 49) можно использовать
для проверки вычислений. Из соотношений (5.46) —
(5. 49) можно получить следующие формулы для вычис-
ления Л л и Rk (А=1, 2,...,«):
Ль = Л* — Л, Л* ’1 — • • • — , Л,
Rk = А* — ht Ак~ ' — ...—hk_xA — hkI. (5.50)
Подставляя (5.42) — (5.44) в (5.41), получим выра-
жение для матрицы передаточных функций системы
п—\
P(s) = A-*(s)S MiS^-i, (5.51)
i=-0
191
где
Mi — CRtB, R0 = I. (5.52)
После того как вычислены матрицы Ri, ..Rn-t и
коэффициенты hi, ..hn, определяются матрицы Mi и
многочлен A(s), которые входят в выражение матрицы
передаточных функций P(s). После определения матрицы
P(s) можно дать соотношения, расширяющие возможно-
сти вычисления чувствительности матрицы к вариациям
параметров системы.
Рассмотрим различные функции чувствительности ма-
трицы P(s).
Чувствительность характеристических корней. Когда
элементы матрицы А изменяются на Л+бЛ, то изменя-
ются как коэффициенты характеристического многочле-
на, так и корни характеристического уравнения. Другими
словами, изменяется положение полюсов матрицы пере-
даточных функций. Возьмем случай, когда изменение
претерпел произвольный элемент матрицы А. Предполо-
жим, что все корни «ь $г, ..., sn характеристического
многочлена различны. В соответствии с соотношениями,
данными Якоби [13] и Д. К. Фаддеевым [11], изменение
собственного значения Si, вызванное изменением матрицы
А на Л+бЛ, равно
dSi = tidApi, (5.53)
где pi — характеристические (собственные) векторы,
ti — характеристические (собственные) строки, которые
удовлетворяют следующим соотношениям:
SiPi=Api, (5.54)
s{ti=tiA, tipi = l. (5.55)
Матрица Р характеристических векторов и матрица Т
характеристических строк связаны между собой:
Р~1=Т. (5.56)
Член (5.53) можно записать в виде
dSi=piti^dA, (5.57)
где означает внутреннее произведение двух матриц,
равные следу (tr) обычного произведения матриц.
Чтобы дать удобную процедуру для вычисления ва-
риаций корней (5.57), нужно привести член piti к «легко
вычислимому» виду {14].
192
Можно показать, что
lim (s — (Is — A) ‘1 = lim (s — st) X
И
lim (s — Si) 1 (s) R(s) = |Д' (s,)]'1R (s^,
(5.58)
(5.59)
где A'(Si)—производная A(s) no s, вычисленная при
S = S{.
В выражении (5.58) матрица А должна быть замене-
на на PST, где Р — матрица собственных векторов, S —
диагональная матрица собственных значений, Т — матри-
ца собственных строк.
Используя (5.42) — (5.50), можно получить следующее
соотношение:
Д' (st) =trR(Si). (5.60)
Левые стороны выражений (5.58) и (5.59) равны, по-
этому
Pj/4=[trJ? (Si) ]-!/? (Si) (5.61)
и соотношение (5.57) можно записать в виде
dsi =(tr ₽(Si)]-‘#(si) *dA. (5.62)
Это и представляет собой искомую зависимость dsi от А,
dA, Si. Как мы уже видели, матрицу R(st) удобно вычис-
лять с яомощью алгоритма Леверрье.
Интересно сравнить выражение (5.62) с соотношением
Розенброка £15]
(5.63)
которое зависит от A, dA и всех st-. Сравнивая выражения
(5.62) и (5.63) и учитывая обозначение для внутреннего
произведения матриц, можно записать
tr{7?(Si)dA]=/?(si)-Х-е/А. (5.64)
13—362 193
Тогда получаем соотношения
S (Л — srI) = R(si), (5.65)
r.r^i
S (st —Sr) = 1r я (Sl) = Д'($Д (5.66)
r.r=£i
Розенброк получил уравнение (5.65) иным путем.
Следует отметить, что результат (5.61) интересен
в практическом отношении. Так как tr R(st) есть скаляр,
отличный от нуля, то столбцы матрицы R(Si) пропорцио-
нальны характеристическому вектору pi, а строки про-
порциональны характеристической строке ti. Это замеча-
ние вместе с соотношением tipi=l расширяет возможно-
сти определения характеристической строки исходя из
значения присоединенной матрицы R(si). Первый отлич-
ный от нуля столбец матрицы R(Si) принимается в каче-
стве характеристического вектора, а соответствующая
ненулевая строка берется в качестве характеристической
строки, причем должно выполняться условие /гр<=1.
Матрица R(Si) может быть вычислена с помощью либо
алгоритма Леверрье либо соотношения (5.65).
Чувствительность коэффициентов характеристического
многочлена. Дифференциальные изменения dhn коэффи-
циентов характеристического многочлена Д($), вызван-
ные дифференциальными изменениями параметров ма-
трицы А, определяются формулами
dhx = I*dA, (5.67)
dht = Rt*dA, (5.68)
dhn — Rn_*dA. (5.69)
Эти формулы получены из выражений, определяющих
зависимость dSi от коэффициентов характеристического
многочлена Д (s), причем используется формула Ньюто-
на для аппроксимации корней многочлена. В этом случае
имеем
dSi = [Д' (s,)] (dhiSn-'+ dhiSn~2 +... + dhn), (5.70)
где Д'(s) — производная от Д(«) по s, вычисленная при
s=Si, и dhi — дифференциальное изменение коэффициен-
194
та hi. Теперь, используя уравнения (5.60), (5.62), (5.70),
можно записать, что
dsi&' (s) = R (s2j * dA = dhis" 1-|-...-|-d/in. (5.71)
После некоторых операций с использованием (5.71) для
1=1, ..., п получим
(/ \ /dht \
Ri | [ dh2 \
*(M=vI • ’ (5.72)
Я„-1/ \dhn/
причем detV — определитель Вандермонда. Так как ма-
трица V является неособой_в случае различных корней,
формула для dhn получается из (5.72) умножением обе-
их сторон на V-1.
Чувствительность коэффициентов числителей переда-
точных функций. Важно также иметь формулы, указы-
вающие влияние изменений матриц А, В, С на коэффици-
енты многочлена — числителя некоторых передаточных
функций, составляющих матрицу передаточных функций.
Когда эти изменения известны, тогда изменения в поло-
жении корней числителя, т. е. нулей передаточной функ-
ции, можно определить с помощью формулы (5.70).
В соответствии с выражением (5.52) коэффициент при
s’1-1-’ есть Следовательно, дифференциальное измене-
ние величины Mi можно записать в виде
dMi=(dC)RiB-irC(dRi)B-irCRi(dB)(i = Q,\t ...» п— 1).
(5.73)
Из формул (5.46), (5.47) и (5.48) следует
dRi = dAi — dhiI (i = 1, 2, ...» п,— 1), (5.74)
где Ro=I, dR0=Q.
Учитывая выражения для dhi [(5.67) — (5.69)], полу-
чаем
dAi = (dA)Ri-l+A(dRi_l). (5.75)
В качестве примера определения dRi возьмем t=2, так
что
dR2=dA2—dh2I. (5.76)
Из уравнений (5.75) и (5.47) имеем
dA2= (dA)Ri+A (dRi), (5.77)
13* 195
однако
dR^dAi—dhil=dA— dhil. (5.78)
Используя выражения (5.68) и (5.69) для dhi и dh2
и (5.76), (5.77), (5.78), получаем
dRt = (dA) Rt A (dA — (I * dA)I) — (Rt * dA)I. (5.79)
Последовательно применяя формулы (5.74) и . (5.75),
мы можем определить каждое dRt и, следовательно, каж-
дое dMi.
ЛИТЕРАТУРА
1. Т ото vic R. Modern Sensitivity Analysis. International Conven-
tion Record, IEEE, 1965, p. 6.
2. Б ы x о в с к и й M. Л. Чувствительность и динамическая точность
систем управления. Изв. АН СССР, Техническая кибернетика,
1964, № 6.
.3. В у к о б р а т о в и ч М. Инвариантность и чувствительность дина-
мических систем. Автоматика, 1968, № 4, Киев (укр.).
4. В у к о б р а т о в и ч М., Рутман Р. С. Структурные свойства
динамических систем. Труды IV Конгресса ИФАК, состоявшегося
,в Варшаве в 1969 г.
5. Vukobratovic М. A Note on Parameter Invariance with Res-
pect to the Index of Stability. Trans. 'IEEE, 1968, vol. AC-13, '№ 1.
(6. Mi lie M. An Interpretation of Invariance Principle. Trans. IEEE.
,7. К a 1 m a n R. E. Mathematical Description of Linear Dynamical
.'Systems, Jour. SIAM Control, ser. A, 4963, vol. -1, '№ 2, p. ,152—1192.
58. Tojji о v i c iR. and Vukobratovic M. Sensitivity of Large
.Systems. Proc, of an International II IFAC Symposium on System
Sensitivity and Adaptivity, .1968, ETAN, POB 356, Beograd.
9. Ya Takahara. -Multi — Level Approach to Dynamic Optimiza-
tion. Systems Research Center Case 'Institute of Technology, SRC
59—A—64—21, ‘1964, Cleveland, Ohio.
10. N e s s J. E. and Boyle J. M. Sensitivities of Large, Multiple —
Loop Control Systems. IEEE Trans. 1965, AC, July.
11. Фаддеев Д. K-, Фаддеева В. H*. Вычислительные методы
линейной алгебры. Физматгиз, 1963.
12. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц, Гостехиздат, 1953.
13. Jacobi G. G. J., Reine Angew. math., 1846, 30, pp. 51—95.
14. Morgan B. S. Computational Procedure for the «Sensitivity of
an Eigenvalue». Electronics Letters, June 4966, vol. 2, № 6.
15. R о s e n b г о c k H. H. Sensitivity of an eigenvalue to changes in
the matrix. Electronics Lett., 1965, vol. 4, p. 278, December.
16. Morgan S. B., Bernard S. Sensitivity Analysis and Synthe-
sis of Multivariable Systems. IEEE Trans., 4966, AC-11, № 3.
ПРИЛОЖЕНИЕ А
«ПАРАДОКС» ПАГУРЕКА — ВИТЦЕНХАУЗЕНА
В ТЕОРИИ ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ
Результат Пагурека, обобщенный Витценхаузеном, можно выра-
зить следующим утверждением: рассмотрим разомкнутый и замк-
нутый варианты структуры системы
х = f (%, н, /, р), (А.1)
в которых при номинальных значениях р* параметра р управление
и оптимально. Первые вариации функционала качества для этих
структур
У = J V (х, и, t) dt, (А.2)
4
вызванные вариацией 6р=р—р* параметра р одинаковы {1]. Этот
результат может казаться или очевидным, или парадоксальным.
Если начальные и конечные целевые множества Mi и М2 имеют
более общую природу, чем рассматривавшиеся Пагуреком и Витцен-
хаузеном, а именно если
Xi(ti)^Mi, x2(t2)^M2f (А.З)
это утверждение требует дальнейших пояснений.
Пусть Н будет гамильтонианом
Я=_у+(%, f), (А.4)
где %=Х(/) удовлетворяет уравнению
Х = — VXH (А.5)
и условиям трансверсальности
ММ ±ЛМ X(M_LM2. (А.в)
Для функционала (А.2) с учетом (А.1) первая вариация имеет
вид
г
б/ = - f [(Vutf, ди) + ($/>)] dt + (X, дх) . (А.7)
ti h
Это выражение применимо как к разомкнутой, так и замкнутой
структурам, потому что оно справедливо безотносительно к тому,
зависит дм от дх и др или не зависит. Так как номинальная система
(А.1) оптимальна, т. е. выполняется условие
\7иЯ = 0 для р =’/?♦, (А.8)
197
то выражение (А.7) сводится к
/а t2
6J = — J (Vp/Д dt + (X, бх)
/1 ti
(А.9)
Индексами о, с обозначим величины, относящиеся к разомкну-
той и замкнутой структурам соответственно. Используя выражения
(А. 9), мы можем записать
8J0-8/c = (Mx0-8xc)|£.
(А. 10)
Поскольку вариации траектории 6х0 и &сс, вызванные одной и
той же вариацией параметра р, могут быть различны, то из выра-
жения (АЛО) ясно, что в общем случае б/о и д/с не равны. Частные
случаи, когда вариации функционала будут равны, можно получить
из развернутой записи выражения (АЛО)
а/о — = (X(/2), бх0 (М-бхс (/2))-(X(м, бх0 (/,)- бхс (/,)).
Один из этих случаев имеет место, когда начальное множество
Mi вырождается -в точку, которая может быть функцией р; x0(ti) =
=хс(/1) =cpi(p), а конечное множество М2 совпадает со всем про-
странством переменной х. Для такой задачи со свободным правым
концом
бх0 (Л) — 8хс (/j) = др — ~др~ = 0
и поэтому
б/о = б/с. (А. 11)
ЛИТЕРАТУРА
1. W i t s е n h a u s e n H. F. On the Sensitivity of Optimal Control
Systems. IEEE Trans, on A. C., ’1965, vol. AC-110, № 4.
ПРИЛОЖЕНИЕ Б
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО СВОЙСТВ I И II
Рассмотрим сначала в качестве иллюстрации пример системы
третьего порядка (рис. Б.1).
Согласно методу точек чувствительности сигналы
дгПдаъ и dzi/даз снимаются с узлов 1—3 модели чувствительности
рассматриваемой системы.
Рис. Б.1. Система третьего порядка.
Поскольку система описывается уравнениями
Z1 = ^2»
z2 = z3, (Б.1)
z3 = — — а2^2 — аз^а>
то
д /• ч d f dZi \ .- dz2
dat ~ dz{ dat J 5,1 — dat
199
и
J_r9\_______d (dz* V г dz' zrov
(fc, <2») - dt da, ) = da, • (Б,3)
Из блок-схемы модели чувствительности следует, что 5И и $21
представляют собой сигналы узлов 2 и 3. Аналогично можно пока-
зать, что
622 = 512» 512 = 5гг» 5га = 5ц» 5ц = 5гз»
причем эти функции являются сигналами узлов 3 и 4 модели чув-
ствительности.
Таким образом, для системы 3-го порядка оба свойства до-
казаны.
Рис. Б.2. Система n-го порядка с моделью чувствительности.
Для системы n-го порядка (рис. Б.2) аналогичный анализ дает
следующие
1:
соотношения между узлами и сигналами:
dzx
дах ’
dzx
da2
dzx ____
da8 ~~ da2
dzx
П 1:
dz,
П'<К ”•••
i dz* -
У3^ Л+1:Л7-'
узел
узел
узел
узел
узел
2:
3:
dz2
daj •
dz2 dzi
dz2
<K-2 ’
dax ’
da2
^п-1
Учитывая структуру матрицы чувствительности (2.125), можно
сделать вывод, что сигналы узлов с 1-го до n-го составляет вместе
с элементами главной антидиагонали составляют верхнюю треуголь-
ную подматрицу матрицы (£]. Симметричность, учитываемая свой-
ством 1, для этой матрицы очевидна.
Дальнейшее изучение уравнений, описывающих систему, позво-
ляет сделать вывод, что элементы нижней треугольной матрицы
можно получить последовательным дифференцированием сигнала
200
(п+1)-го узла модели чувствительности. Обозначая через (n+l)z
сигнал, полученный /-кратным дифференцированием по времени сиг-
нала узла (п+1), получаем
dz2
(«+!)*:
(«+!)*:
dz^
da.t
dzn
da2
dz, _
дап ~
(n+!)"-*:
dzn_,
dan
dzn
<K-i ’
(n+!)«-’
dzn
Заметим теперь, что сигналы (n+l)°,..., (n+l)n~2 представ-
ляют собой линейные комбинации сигналов z4,..zn-i, первых п
узлов. Действительно, рассмотрим, например, дгп1да^. Согласно
свойству симметрии имеем
дгп _ дгя-, _ dzn
da4 da4 da3
Но, учитывая, что
dzn _ dzn
da2 ~ z* “» d<x2 “»
получаем
dzn dzn
^a4
_dzn . (Б.4)
0a3 da2
dzx dzi (Б.5)
’ ^an «i-T2-’ 1 da2
dz, dzi (Б.6)
ai da2 ’
dzi , . dZi
‘«-1 dan +•••+“»“! fa2
или, что то же самое,
. .2 &Zn ।
dzn _ dz,
da2 •••+<X1 dz,
(Б.7)
Обобщение алгоритма Леверрье. Как следует из [2, 3], матрица
Т может быть представлена в виде
Т={Л,..., /п},
где
/я = д,
/п- 1 = Atn + anfn,
^n-2 Atп-1 + an- i^n
— At2 + a2/n.
(Б.8)
?0|
Коэффициенты характеристического уравнения, необходимые для
вычисления элементов матрицы Т, находятся с помощью алгоритма
Леверрье [4]
<6-9>
4=1
где
п
L (s) = det (s/ — А) = У] a<+1s*,
4=0
a S<+1 и а<+1 определяются соотношениями
ап+1 = 1 > ^п+1 = Л
ап-J+1 = (^п-$+г)’
5n-^+i =an-J+iz+(Б.10)
Таким образом, с помощью соотношений (Б.8) и (Б. 10) можно
легко найти преобразование линейной стационарной системы с од-
ним входом в канонической форме.
Можно, однако, вывести другой алгоритм определения дТ/др и
dak/dpi, п\ i=l,..., г, не требующий знания функциональ-
ной зависимости Т и си от р.
Дифференцируя (Б.8), получаем
dT dtn )
dpt\dpt"'’' dptf'
dtn _ db
dpt dpt'
dtn_, дА , ,dtn d*n , db
dpi dpir" "i~ л dpt "г dpi n dpt
dti__dA_ . I , db_
dpt dpit2 + Adpi+dptb + a2dpi (БЛ1)
Из (Б.11) следует, что для нахождения dT/dpi при условии,
что известна зависимость А и b от р, необходимо иметь значения
частных производных dtikldpi в точке р°ер. Эти значения можно
найти с помощью обобщения алгоритма Леверрье (Б. 10).
202
Дифференцируя (Б. 10) по pi, получаем
<Ч.+1
др.
=о;
opt
д$п-1+1 __ / , дЛ dSn-j+2
---------д£Г~1 + д^г S>-i+r + А др. ’ (Б-12)
^n-i+i____1 \ (ЗА о । л д$п-1+2 \ .
др. ~ др< )
Итак, частные производные dT/dpj и dcLk/dpi £= 1,...» л; i— 1,..
г в любой точке р^р, а следовательно, и Т (р) находятся с помощью
уравнений (Б.8), (Б.10), (Б.11) и (Б.12). Это значительно облегчает
проведение анализа чувствительности с помощью моделирования.
Обобщение на системы со многими входами. Пусть система со
многими входами описывается уравнениями вида
х = А (р) х + В (р) и,
у= С (р) х,
(Б. 13)
где х — n-мерный вектор координат; и — m-мерный вектор управле-
ния; у—р-мерный вектор выхода; А — матрица п X п\ В — матрица
п X ш\ С — матрица р X п\ р — r-мерный вектор параметров.
Пусть далее: 1) начальные условия равны нулю; 2) система,
полностью управляемая по любому входу. Это означает, что все
пары (Д, bi) полностью управляемы.
Первое из этих предположений не является сильно ограничи-
вающим, так как учет ненулевых начальных условий для многомер-
ных систем сводится к введению дополнительного входа. При этом
координаты вектора b будут теперь зависеть от начальных усло-
вий.
По принципу суперпозиции для линейных систем с нулевыми
начальными условиями имеем
х=х1+х2+ ... +хт, (Б. 14)
где х1 вызывается воздействием только Ui, х2—иг и т. д.
Что касается второго предположения, то из него следует су-
ществование преобразований Ti,..., Тт, позволяющих свести си-
стему к ряду систем с одним входом (ui,..., um), к так называемой
сопровождающей форме.
Теперь получаем
дх дх1 . . дхт . /г, 1Гч
....г- (Б15>
Отсюда следует, что для нахождения функций чувствительности
нужно знать частые производные dx^dpi,..., dxmldpi, но согласно
изложенному, вычисление dxh/dpi требует одну каноническую мо-
дель чувствительности для каждого хк. Поэтому для определения
функций чувствительности необходимо т сопровождающих моделей
при условии, что г1,..., zm известны. Это эквивалентно нахождению
X1,..хт, поскольку
Z* = т-’х'; ... ; г"» = Т~'х™. (Б. 16)
203
Единственный же путь одновременного определения х1,...» хт
состоит в использовании т—1 моделей системы со скалярными вхо-
дами ui, ..ит. Поскольку единственными параметрами моделей
системы являются коэффициенты характеристического уравнения
исходной системы <Xi,..ап, то ясно, что все сопровождающие мо-
Рис. Б.З. Блок-схема вычисления функций чувствительности системы
с т входами.
дели идентичны. На рис. Б.З изображена блок-схема вычисления
функций чувствительности dxi/dpj, из которой следует:
1) все модели системы и модели чувствительности развязаны,
имеют очень простую структуру и идентичны. Это в значительной
степени упрощает моделирование всей сложной системы;
2) поскольку параметры си,...» ап одни и те же для всех
моделей, они вычисляются, как и в случае систем с одним входом,
только один раз. Это справедливо и для случая определения da/dpi,
i— 1,..., г;
3) использование сопровождающих моделей системы дает воз-
можность одновременно вычислять z2,..., zm, поэтому не требуется
обращение матриц Т2,..., Тт. Число обращений матриц при этом
то же самое, что и в случае систем с одним входом;
4) в многомерном случае вводятся дополнительные алгебраи-
ческие вычисления Т2, ...» Тт и dT2/dpi,..., дТт/дрг,
5) число требуемых моделей 2т—1 не зависит как от числа
параметров, так и от структуры моделей.
Если предположить, что число настраиваемых параметров п-мер-
ной системы равно пив общем случае 2т—1<п, становится ясно,
что рассмотренный подход дает выигрыш во времени моделирования.
Это особенно заметно для случая систем высокого порядка с многи-
ми входами.
ЛИТЕРАТУРА
1. Кокотович П. Метод точек чувствительности в исследовании
и оптимизации линейных систем управления. Автоматика и теле-
механика, 1964, № 12.
?04
2. J о h n s о n D. C. and W о n h a m N. W. Another Note on the
Transformation to Canonical (Phase — Variable) Form. IEEE
Trans. 1966, on AC, vol. AC-41, № 3, July.
3. Заде А., Д e з о e p К. Теория линейных систем. Изд-во «Мир»,
1970.
4. Фаддеева В. Н., Фаддеев Д. К. Вычислительные методы
линейной алгебры, Физматгиз, М., 1963.
5. Dennis F. Wilkie and William R. Perkins. Generation
of Sensitivity Functions for Linear Systems Using Low—Order
Models, IEEE Trans, on AC, 1969, vol. AC-14, № 2.
ПРИЛОЖЕНИЕ В
ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ
Рассмотрим линейную систему общей структуры и ее граф про-
хождения сигналов G. Пусть передачи а; Ь,..., п каждой ветви
графа G являются функциями комплексной переменной s и соот-
ветствующего параметра ра, рь,..рп.
a = a(s, ра), b = b(s,Pb), , n = n(s,pn). (B.l)
Если y(t, ра,...., рп) означает выход системы, то функцию
чувствительности можно записать как
«т (О = дУ (<’ Рда1п р ’ Рп} » т = а, b..п. (В.2)
и 111 Рт
Используя преобразование Лапласа и логарифмическую функцию
чувствительности Боде [1], уравнение (В.2) можно записать в виде
ат (0 = £-’ {KSJ, S”m}, m=a,b............п,
где T(s)—передаточная функция системы, Y(s)—изображение по
Лапласу сигнала y(t, рп), Sm и S — логарифмические функ-
ции чувствительности Боде, определенные как
«т d In Т
= д In т (В,3>
И
= <в-4>
Сформулируем следующую задачу: найти граф Gm и узлы М
и N, такие, чтобы передаточная функция Tm(s) между этими узла-
ми была равна логарифмической функции чувствительности графа G.
Логарифмические функции чувствительности. Топологическая
формула Мэсона для передаточной функции чувствительности имеет
вид [2]
п
<В5>
i=l
206
где Pi — передача любого элементарного Пути, идущего из узла t
в узел с А — определитель графа, равный
Д= 1— SLiLj—1Ь{Ь;Ьк+ ... (В.6)
Здесь SLt- — сумма передач всех контуров, входящих в граф;
'LLiLj — сумма произведений передач двух некасающихся контуров
и т. д.; Дг- — определитель пути i, получаемый из А исключением всех
членов, которые содержат передачи контуров, касающихся пути L
Подставляя выражение (В.5) для Т в (В.З), получаем выраже-
ние функции чувствительности
Г д In SPtAt a In Д
dlnm. dlnm
Рассмотрим каждый член в уравнении (В.7). Определитель гра-
фа есть линейная функция от пг [3]. Поэтому
дД
m dm (В.8)
где Дда есть Д, в котором оставлены только члены, содержащие т.
Поэтому
дД
Д-т^-=Д"» (В.9)
есть определитель графа, в котором исключена ветвь т. Поскольку
д Inn т дк
d In /и Д дт' ( • )
то имеем
Подобным же образом для первого члена из правой части урав-
нения (В.7) можно показать, что
(В. 12)
где ^2р<Д< | —сумма S PtAt, вычисленная для графа, у которого
\ 1 J 1
устранена ветвь т.
Без потери общности мы предположим, что среди всех узлов
графа прохождения сигналов есть и входной и выходной. Назовем
их соответственно г и с.
207
Подставляя формулы (В.11) и (В.12) в уравнение (В.7), по-
лучим выражение для функции чувствительности в виде
/Spa." Д™ V i L . s"- * Spa <BJ3>
Очевидно, что первый член правой части уравнения (В 13) —
функция только контуров и их топологических связей и не зависит
от ветвей, которые не содержатся в контурах. Второй член есть
функция прямого пути, контуров и их топологических связей.
Граф с одним прямым путем. Рассмотрим случай, когда /=1.
Уравнение (В.6) сводится к
d In Д1 d In Д Д ^dln/n dlnm ’ (B.14)
Используя это, представим выражение (В.4) в следующем виде:
Г dlnP, dinA, dinA ^“dinm *dlnm dlnrn*
Последний член правой части (В. 15) дан выражением (В.11)
Подобным образом
д In А, ДГ
dlnZ'-A (В.16)
и <?lnPi_r.P. П ДляпгбР,, dlnm —|о дляи£Л.
С помощью в виде этих выражений уравнение (В. 15) представляется т Д’” п ДГ Sm = _r + Sm—"Г-' (В. 18) т Д т Д. \ • /
Сомножитель iA± является определителем графа Git который
Получен из графа G исключением прямого пути Pi. Граф Gi может
содержать несколько отдельных субграфов Си, G12,.. ., Gm, один
из которых, например Ga, содержит ветвь т. В этом случае опреде-
литель графа Gi равен произведению определителей Ди, Д12,...,
Ain субграфов Gh, G12......Gm, причем, как можно показать, спра-
ведливо следующее соотношение:
Д7_ Ь*
Д1 дп
(В. 19)
Диполи чувствительности. Поскольку выражение для функции
чувствительности Sm выведено, то приступим к построению графа
208
От, содержащего два узла М и N, такие что передаточная функция
от М к N графа Gm дается выражением
fm (s) = Srm • (В.20)
Граф Gm называется «графом чувствительности» основного гра-
фа G по отношению к ветви т. Так как Sm можно разложить на
Pi^ &'i и Д' несколькими способами, то существует набор графов
{Gm}, соответствующий одной функции Sm. В качестве решения
задачи выберем граф Gm в виде, наиболее сходном с видом основ-
Рис. В.1. Основной граф G. Рис. В.2. Вложение диполя
чувствительности.
ного графа G. Принимая во внимание соотношение (В.15), определим
сначала граф G с узлами М и W так, чтобы передаточная функция
между этими узлами была равна
дт
Т’,(«)=-д- (В.21)
В силу (В.20) граф G' следует строить в соответствии с выраже-
Дт
-ДГ-=Т- (В.22)
п
Простейшее решение этого уравнения есть
г = 1, (В. 23)
Д'($) = Д (s), (В.24)
P\(s) = l, (В. 25)
Д'< (s) = Am(s). (В.26)
Соотношение (В.24) говорит о тождественности графа G' и
основного графа G в смысле расположения контуров и их харак-
теристик. Из соотношений (В.23) и (В.25) следует, что между узла-
ми М и W графа G' имеется только один прямой путь и что его
передача равна единице. Соотношение (В.26) устанавливает, что
путь с единичной передачей должен иметь такое расположение,
при котором он касается всех контуров, не содержащих ветви т.
В зависимости от структуры может оказаться несколько ветвей,
которые удовлетворяют этому условию. Ветвь т является таковой
по определению.
14—362 209
В соответствии с рассмотренным можно заключить, что требуе-
мый граф G' получается вложением пути MN с единичной переда-
чей в ветвь т основного графа. Такая единичная передача назы-
вается «диполем чувствительности». На рис. В.1 и рис. В.2 показаны
основной граф G и граф G', полученный вложением диполя чув-
ствительности в соответствующую ветвь графа G. Если в граф G'
Рис. В.З. Введение нового узла
в граф G.
Рис. В.4. Вложение обратного
диполя чувствительности.
введен новый узел N' (рис. В.З), то можно показать, что передаточ-
ная функция между узлами М и N равна
Дш
(В.27)
Путь с единичной передачей N'M между входным узлом М
и выходным N' (рис. В.4) называется обратным диполем чувстви-
тельности.
Функции чувствительности. Диполь чувствительности использует-
ся для структурной интерпретации логарифмических функций чув-
ствительности в каждом из трех возможных положений (позиций)
ветви основного графа.
Позиция 1. Ветвь т находится в прямом пути. В этом случае
5£ = -д- = 1 и уравнение (В. 15) принимает вид
т Дт
STm = T- (В.28)
Граф чувствительности Gm получается вложением диполя чув-
ствительности в ветвь т основного графа G (рис. В. 15).
Позиция 2, Ветвь т не принадлежит ни прямому пути,
ни контурам, которые не касаются прямого пути. В ;этом случае
» Дда
5£ = 0и -д-=1.
Следовательно,
STm= — -\ (В.29)
И граф чувствительности Gm получается вложением обратного ди-
поля чувствительности в ветвь т графа G (рис. В-6).
210
Позиция 3. Ветвь tn принадлежит хотя бы одному контуру, ко-
торый не касается прямого пути. В этом случае = О
Д Д.
(В.ЗО)
и граф чувствительности состоит из двух частей. Одна получается
вложением диполя чувствительности в ветвь т графа G и другая —
вложением диполя чувствительности в ветвь т соответствующего
Рис. В.5. Вложение диполя
чувствительности в варьируе-
мую ветвь графа.
Рис. В.6. Вложение обратного
диполя чувствительности в
варьируемую ветвь графа.
субграфа Gi (или Он), Взаимосвязь между этими двумя путями
показана на рис. В.7.
Каноническая структура. Правую часть выражения (В.5) можно
представить в виде
Рис. В.7. Взаимосвязь двух путей графа чувстви-
тельности.
14*
211
где ап,...у ai и Ьп,. bt— суть действительные числа и хотя бы
один из di отличен от нуля. Для реализации этого выражения в вы-
числительном устройстве имеется несколько хорошо известных ре-
шений. Из опыта работы с диполем чувствительности выяснилось,
что модель, показанная на рис. В.8, является более предпочтитель-
ной для одновременного получения функций чувствительности.
Выходной сигнал K(s) системы рис. В.8 есть линейная комби-
нация
y(s)=Syt(S), (В.32)
i
где
Yt (s)=aiZt(s), i= 1, 2, ... , /г. (В.ЗЗ)
Поэтому для некоторого параметра рг
dY(s) _yi dYt
д In pr 4-J д In рп
(В.34)
Рассмотрим частичный граф Gj графа G, показанный на
рис. В.9. Применение диполя чувствительности немедленно приводит
к следующим условиям:
а) для ветви с передачей aj в прямом пути
Ф=1, (В.35)
где Тj — передаточная функция частичного графа Gj\
б) для ветвей с передачами 6i(i=l, 2,..., п), расположенных
•в обратном пути, функции логарифмической чувствительности реали-
зуются вложением обратного диполя в соответствующие ветви.
Рис. В.9. Частичный граф Gj.
212
Так как сказанное выше справедливо для любого /=1, 2,..., tit
мы имеем а) для любых ветвей, принадлежащих прямым путям,
„VI dyi dY1 _,z eT1_v ZR '^
d In cij d In aj d\naj J’ aj ’
i
б) для ветвей, принадлежащих обратным путям
i i
В силу того, что
= (В38)
для любого i получаем, что
Рис. В. 10. Моделирование системы и ее модели чувствительности.
Эти результаты иллюстрируются рис. В. 10, где показаны мо-
делируемая система, ее модель чувствительности .и взаимосвязь меж-
ду ними, причем обозначено
дУ
= <в-40>
<в-4‘)
На основе такого рассмотрения получен следующий интерес-
ный факт: модель чувствительности оказывается проще, чем модель
основной системы (4]. С другой стороны, если передаточная функция
системы записана в виде выражения (В.31), то каждый параметр
системы Pi может включать в себя более, чем один из коэффициен-
тов cii и bi. Таким образом, функция чувствительности дУ/д\прь. бу-
дет получена как линейная комбинация
ur = S ( vts“ i + b I 'I, (В. 42)
i \ Pr pr)
213
где
Pr dlnpr’
_dln bj
Pr dlnpr'
(B.43J
(B.44)
По сравнению с методом варьируемых передач ветвей, требую-
щим ряда моделей чувствительности, эта процедура дает возмож-
ность получить одновременно все функции чувствительности в одной
модели чувствительности, которая проще модели исходной системы.
Недостаток же этого метода заключается в том, что для реализации
величин (В.43) и (В.44) требуется большое число дополнительных
фильтров, так же как и дополнительных сумматоров, производящих
суммирование (В.42).
Функции чувствительности второго порядка. Во многих случа-
ях оптимизации систем обычный критерий качества J, содержащий
ошибку системы, может быть заменен на комбинированный критерий,
содержащий прямо или косвенно также функции чувствительности
системы. Например, в качестве критерия, который прямо содержит
функции чувствительности [5], можно взять сумму
J=Ji+pA> (В.45)
где
т т
Л = J Л [У (t, Р,....PN)] dt; h = $Ft [um (/)] dt;
О о
р. — весовой множитель; y(t, pit ... , pN) — выходная переменная;
Pm = 1» 2, ... , N) — параметр системы;
ду«,Р>......PN)
d\npm
— логарифмическая функция чувствительности первого порядка.
В качестве комбинированного критерия, пригодного для опти-
мизации колебательных переходных процессов, в частности, про-
цессов в экстремальных системах [6], можно взять
т т
Как в первом, так и во втором случае приходится вычислять
Процедура оптимизации приводит к следующему выражению,
в котором присутствуют функции чувствительности второго по-
рядка:
'о о '
214
функции чувствительности второго порядка
д2у (/, Pi.рм)
Л.01.Л, »=''2......."• <в-47>
Поэтому требование одновременного получения функций чув-
ствительности первого,порядка расширяется до требования получать
одновременно также и функции чувствительности второго порядка.
Дифференцируя выражение для функции чувствительности первого
порядка
um(t)^L->{YS^ST}, m = a,b,...,n
по относительному изменению параметра рг в ветви г (s, рг), получим
и-' - =SZS>r rS'- (S' + (В'48)
где
Частный случай функций чувствительности второго порядка свя-
зан со структурой, изображенной на рис. В. 11. Для этого случая
показано, что функции чувствительности второго порядка можно
получить с помощью основной системы и двух дополнительных
моделей чувствительности. Для случая, когда в качестве параметров
Рис. В.11. Частный случай линейной системы автоматиче-
ского управления.
Рис. В. 12. Одновременное получение функций чувствительности пер-
вого порядка.
216
взяты коэффициенты усиления в соответствующих ветвях, про-
цедура подробно описана »в (7]. В этом случае
S^=l (В.50)
и выражение (В. 48) принимает более простую форму. Полученные
результаты показаны на рис. В. 12 и В. 13. Эти результаты не имеют
общего характера, так как они относятся к сравнительно узкому
классу линейных систем автоматического управления.
Чтобы обобщить описанный способ получения функций чув-
ствительности второго порядка, предположим, что структура си-
Рис. В. 13. Одновременное получение функций чувствительности вто-
рого порядка (п=1, 2, ..., 6).
Рис. В.14. Схематическое представление совместного получения
функций чувствительности первого порядка.
216
стемы позволяет с помощью только одной модели чувствительности
получать одновременно все функции чувствительности (рис. В. 14).
Предположим, что граф Gm составлен таким образом, что узлы
Ni, ^2,..., Nm идут последовательно, а из всех других узлов рас-
сматривается только последний, который обозначен через /.
Пусть В — соответствующая матрица передачи. Тогда матема-
тическую модель графа Gm можно представить >в виде '[4]
B-V=Z, (В.51)
где
Первые т компонент вектора V есть функции чувствительности
первого порядка Vj = Ui, 1=1, 2,..., т. Дифференцируя обе части
уравнения (В.51) по относительному изменению параметра pj, по-
лучим
дВ „ dV dZ
гг-,--у 4- в —-----= ------» (В.52)
д In * д In р^ д In р^ f
откуда
EdV _ dZ dB ,R„.
^dlnp, dlnp, dlnp/-
Первые m компонент dV/dlnpj — требуемые функции чувстви-
тельности второго порядка
-= /У* = ,----=[/„•. /=1.2......т. (В.54)
д In pj d In pi d In pt din pi 13 J v '
Поэтому модель чувствительности, чей граф G* тождествен
графу Gm, будет одновременно давать функции чувствительности
Uц, /=1, 2,..., т в узлах Wi,..., Nm> если входной сигнал модели
дается правой частью выражения (В.53). Первый член правой ча-
сти этого выражения
(° \
I (В.55)
Г
0 /
dY/д In pi /
Этот сигнал доступен в узле графа Gm и представляет вход-
ной сигнал, воздействующий на узел 1 графа G8. Рассмотрим вто-
рой член правой части выражения (В.53). Самое большее, два эле-
мента матрицы В зависят от параметра pj. Один из них представ-
ляет собой передачу j(s, pj) ветви, в которой находится параметр
. pj и, возможно, передачу Sp ветви, связывающей узлы Sj и Nj.
217
Член — дВ/д In Pj в этом случае определит один или два дополни-
тельных входа. Графическое представление выражения (5.53) для
dST
^-^•О (В.56)
д In pj * ' '
дано на рис. В.15 при условии, что
dST
din pt=0
(В.57)
В этой схеме опущена ветвь, связывающая узел Sj в графе
Gm с узлом в графе G,. Прежде чем продолжить обобщение
Рис. В.15. Схематичное представление выражения (В.53).
этого результата, иллюстрируем его на примере системы, которая
представлена на рис. В.11 и рассмотрена в [7]. В этом частном слу-
чае
^,= 1 (В.58)
И
dS\
dhFTT0- <B-S9>
В соответствии со структурой системы сигнал Q графа
умножается на передачу ветви dj/d In pi, являющейся входной
к узлу Р графа Gt (рис. В.15).
Применение развитого в этом разделе метода можно иллюстри-
ровать рис. В.16 и В.17. Переменные Vit У2,..Йе в узлах Nit
Мг, • •Ne есть функции чувствительности первого порядка. Осталь-
ные переменные системы получаются в узлах /, А,..Е.
218
Предположим теперь, что для одновременного получения функ-
ций чувствительности первого порядка необходима более чем одна
модель. Пусть функции чувствительности представлены соответствую-
щими направленными графами чувствительности Gmi, Gmi,..Gmn*
Рассмотрим граф GM> образованный как
GM=UGn*' <В-6°)
I
Его матрица передачи будет иметь вид
где п)—передача субпрафа Gmi. Повторение процеду-
ры, определяемой уравнениями (В.51) —(В.53), приведет к следую-
щим результатам:
а) чтобы получить функции чувствительности второго порядка
п), необходима дополнительная модель чувствитель-
Рис. В. 16. Одновременное получение функций чувствительности пер-
вого порядка.
Рис. В. 17. Совместное получение функций чувствительности второго
порядка.
219
ности. Граф прохождения сигналов Ga для этой модели тождествен
графу Gm и составлен из субграфов Gsi, каждый из которых тожде-
ствен соответствующему субграфу Оте,
в) каждый из субграфов Gai будет иметь самое большее три
входных сигнала, из которых один — Um — является общим для
всех субграфов. Два дополнительных получаются с помощью струк-
турного правила, представленного на рис. В. 15, согласно которому
каждый субграф Gsi графа Ga и ему соответствующий субграф
Gmi графа Gm включаются отдельно. Вычислению подлежат только
значения dj/d In pi и dS^/d\npj для / = 1, ..., п.
ЛИТЕРАТУРА
1. Боде Г. Теория цепей и проектирование усилителей с обратной
связью. Изд-во иностранной литературы, 1948.
2. Мэсон С., Циммерман Г. Электронные цепи, сигналы и
системы. Изд-во иностранной литературы, 1964.
3. Lynch W. A. A Formulation of the Sensitivity of the Function
Correspondence, PGCT, 1957, vol. CT-4, № 3.
4. S e d 1 a r M. On the Theory of Signal Flow Graphs. Technical Re-
port, Dept, of «Electrical Engineering, University of So. Calif.,
USCEE-300, 1968, August.
5. Horowitz I. M. and S i p r e s s J. M. Design of Feedback Sys-
tems for Simultaneous Control of Transmission and Sensitivity.
Polytechnic Institute of Brooklyn, MR I, Network Grouyp Memoran-
dum 9, 1958, April.
6. By к о б p а т о в и ч M. Инвариантность и чувствительность дина-
мических систем. Автоматика, 1968, № 4, Киев (укр.).
7. В i n g u I а с S. Р. Simultaneous Generation of the Second — order
Sensitivity Functions. IEEE Trans, on Automatic Control, 1966,
vol. AC-'ll, № 3, July.
ПРИЛОЖЕНИЕ Г
МИНИМАКСНЫЙ СИНТЕЗ НЕЧУВСТВИТЕЛЬНЫХ
ОПТИМАЛЬНЫХ СИСТЕМ1)
Введение. Оптимальное управление динамическими системами
предполагает совершенное знание уравнений системы. Кроме того,
если закон управления реализуется посредством обратной связи, то
все переменные состояния должны измеряться без ошибок. Ни одно
из этих требований не удовлетворяется в реальных системах, вслед-
ствие чего их действие будет отклоняться от оптимального. Поэтому
было бы весьма полезно развить общий подход к проектированию
систем, который давал бы оптимальную и в то же время нечув-
ствительную к изменениям параметров систему. По существу, задача
состоит в определении управляющего воздействия, которое миними-
зирует данный критерий качества и вместе с тем делает этот кри-
терий нечувствительным к вариациям параметров объекта. Расмот-
рим возможный путь решения этой задачи.
Со времени первоначальных определений чувствительности, вве-
денных Боде, был опубликован ряд работ (1—7], посвященных чув-
ствительности оптимальных систем. Хотя было предпринято много
попыток решения важных задач, существенных результатов полу-
чено мало. Мало сделано и в области практического синтеза мало-
чувствительных систем. Даже для объектов низкого порядка реше-
ние задачи синтеза оптимальной и нечувствительной систем свя-
зано с проведением машинных расчетов. Интересы большинства ис-
следователей сосредоточены на сравнении разомкнутых и замкнутых
систем и выборе критерия чувствительности. Статьи, посвященные
синтезу, встречаются довольно редко, что объясняется сложностью
задачи. Придется, по-видимому, преодолеть немало трудностей,
прежде чем методы проектирова1ния оптимальных нечувствительных
систем примут некоторый установившийся вид.
Цель данного раздела состоит в том, чтобы дать общую осно-
ву синтеза оптимальных систем, нечувствительных к малым ва-
риациям параметров объекта, и сообщить последние результаты
в этой области. Такие исследования были начаты в работах [1, 2].
Итак, рассматривается задача синтеза линейного регулятора, на
коэффициенты которого накладываются дополнительные условия,
позволяющие уменьшить чувствительность системы. Для синтеза
малочувствительной системы привлекается понятие управляемости.
п Это приложение написано Видойко Чиричем (Институт
им. М. Пупина, Белград) и Дж. Лидсом (Университет им. Райса,
Хонстон, Техас) и основано на их исследованиях.
221
Алгоритм расширен и видоизменен применительно к решению дан-
ной задачи. Этот алгоритм применим в случае «произвольных поряд-
ков объекта и регулятора.
Рассмотрим полностью управляемый и полностью наблюдаемый
линейный объект n-го порядка со скалярным входом и:
х=Ах+Ьи, у = Сх, (Г.1)
где А — матрица размера п X п, которая при номинальных значениях
параметров объекта равна Ао; С — постоянная (tn X п)-матрица
(/n<n); b — постоянный n-мерный вектор, х—n-мерный вектор со-
стояния.
Пирсон [8] показал, как определить коэффициенты матрицы пе-
редаточных функций регулятора:
Gc М = [6^ (s), G2(s),..., Gm (s)]> (Г.2)
где
Gj (s) = •
SP + S aisi
i=0
Здесь p — индекс наблюдаемости [9], т. e. наименьшее целое,
для которого ранг матрицы С', А'о, С',..., (А'0)рС' равен и.
Предполагается, что регулятор включен последовательно с объ-
ектом. Разомкнутая система при этом имеет (п+р) полюсов, кото-
рые определяются в результате минимизации на движениях объек-
та (Г.1) интегрального квадратичного критерия качества, содержа-
щего .взвешенные производные управления и (входного сигнала
объекта).
Определим
и =
и = н2*
Wp=wp+1—(Г.З)
р I
x'Qx+S г* [«(‘>]2рЛ (Г.4)
z=o J
где Q = Q'^0, для i = 0, ... , р— 1; yp = y>0.
Обозначим через й=(щ,..., ир)', г=(х, й)', 6'=(0,...» О, 1)
соответственно вектор управления, расширенный вектор состояния
и вектор приложения входного воздействия. Тогда уравнение (Г.1),
(Г.З) и (Г.4) с учетом связи
и = K'z = kiXi + ... + knXn + + • •» +
22$
можно записать в виде
z = Ло/ + 5(7= (Ло — ЪЩ z = A* (z), (Г.5)
00
/ = j {z'Qz + у(72) dt, (Г.6)
где Ао и Q —- расширенные матрицы [8, 10] размера (п+р)Х(п+р).
Оптимальные коэффициенты обратных связей 6= (61, ..kn+p) [11]
в уравнении (5) получаются в предположении, что расширенный век-
тор состояния измерим. Коэффициенты и си передаточных функ-
ций регулятора (Г.2) определяются из уравнений
(С', А9С', ...» (Л'0)рС')Г=^ (Г.7)
где
....М»
Г = (Й............₽?......£) (Г.8)
и
р т
<ч-1 = — S S Й c’i^o~tb i = {........Р-
r=ij=l
Вектор c'j есть /-я строка матрицы С.
Влияние pj на чувствительность системы. Решение уравнения
(Г.7) не всегда приводит к единственным значениям (Р<. Появляются
некоторые свободные параметры, причем система является опти-
мальной безотносительно к значениям этих параметров (при номи-
нальном объекте). Однако система может оказаться весьма чув-
ствительной к вариациям параметров объекта, если свободные коэф-
фициенты РЛ- не выбраны надлежащим образом [12, 13]. (Если си-
стема (Г.7) не имеет свободных параметров, их можно получить,
увеличивая порядок регулятора р.)
Надлежащий выбор свободных коэффициентов можно произ-
вести посредством минимизации некоторой меры чувствительности си-
стемы к вариациям параметров объекта.
Введем ^-мерный вектор р, компонентами которого являются сво-
бодные коэффициенты Предположим, что I параметров объекта,
представляемых вектором а, могут варьироваться относительно их
номинальных значений а0. Вектор а0 связан с матрицей До номи-
нального объекта. Когда a=aOt уравнение (Г.5) принимает вид
2 = [Д (а) — Ik (а, ₽)] г = 1 (а, ₽) г. (Г.9)
Отметим, что k зависит от р и 6 (а, ₽) jflo = Е(ав).
Уравнение чувствительности получено из уравнения (Г.9) при но-
минальных значениях (z, Ut aQ) и имеет вид
У1 » + Bz (а0, о; Vi (0) = О» (Г. Ю)
223
где w = -^7</==1...
I; i — 1, ... , n + p) — /-и вектор чувстви-
тельности и Bi=\dJdaj)A есть та часть J-й возмущающей матрицы
размера (п+р)Х(п+р), которая зависит от р. (Принцип суперпози-
ции применим, поскольку уравнения чувствительности линейны.)
Наличие такого возмущающего члена позволяет выбрать вектор па-
раметров р таким образом, чтобы он влиял на характеристики чув-
ствительности системы, что дает возможность выбрать меру чувстви-
тельности. Именно любая мера чувствительности должна содержать
те функции чувствительности i/j, на которые оказывает влияние
изменение параметров р посредством изменения возмущаю-
щей матрицы Bj. Матрицу Bj можно представить в виде [10]
= = .......Ц.....ft/+p), (г. ii)
где Ti—постоянная матрица размера fcX(n+p), которая опреде-
ляется только номинальными значениями параметров объекта [10].
Отметим, что возмущающая “матрица зависит линейно от р.
Понятие ₽-управляемости Ч Определим теперь понятие управляе-
мости таким образом, чтобы оно говорило проектировщику, может
ли он влиять на чувствительность объекта, не изменяя условий
оптимальности номинального объекта, и, следовательно, можно ли
уменьшить чувствительность объекта посредством надлежащего вы-
бора вектора свободных параметров Кроме того, располагая этим
понятием, проектировщик может установить, как следует перестроить
систему, если требуется выбором свободных параметров уменьшить
чувствительность объекта.
Определение. Система z=A(a, р)г, z(O)=zo является Р-упряв-
ляемой по параметрам объекта аД/=1, ..., Z), если матрицы Ло и
ВДР)-векторного уравнения чувствительности (Г.10) образуют
управляемую пару :(Ло, Bi) для некоторого р и некоторого /.
Следующая теорема относится к замкнутой системе (Г.9), с ре-
гулятором вида (Г.2).
Теорема 1. Необходимое и достаточное условие управляе-
мости есть для некоторого /.
Доказательство. Рассмотрим ранг матрицы
(Bi. TtBi...^+р~'в>).
В силу линейной зависимости векторов h^t определенных соотно-
шением (Г. 11), ранг этой матрицы равен рангу матрицы
(hi. ....... JS+P~'hi),
где hi означает любой ненулевой вектор, соответствующий матрице
Но hi = Cj(fi)b, где СДР) — некоторая скалярная функция
Это понятие является общим и не ограничивается выбором
меры чувствительности и структуры регулятора. Однако необходимое
и достаточное условие управляемости зависит от структуры регуля-
тора.
224
0. Поэтому при некотором Р рассматриваемый ранг равен рангу
матрицы
(5,^0 5......
Заметим теперь, что_если пара (Ло, Ь) управляема, то управ-
ляемы и пары (До* Ъ) и (АоЬ). Поэтому написанный выше ранг равен
п+р, а это необходимое и достаточное условие ^-управляемости.
Применение к линейным системам с интегральным квадратичным
показателем качества. Рассмотрим сумму квадратов J компонент
вектора чувствительности квадратичного критерия качества / как ме-
ру чувствительности системы к вариациям параметров объекта а и
Для линейной системы (Г.5) и квадратичного показателя качества
(Г.6) производная дЦда зависит от начальных условий z0 системы
и дается выражением [12]
-^(₽, г.)| =Dp + d, (Г. 13)
где D — матрица размера /Х&, d—/-мерный вектор. Как D, так и
d имеют явную зависимость от начальных условий и характеристик
номинального объекта. Окончательные выражения для D и d содер-
жат только алгебраические операций и не содержат операций инте-
грирования; это дает существенное преимущество при вычислениях.
Поэтому J можно записать в виде
/=p'D'Dp+2d'Dp+d'd. (Г. 14)
Функция J квадратичным образом зависит от 0, является однород-
ной функцией четвертого порядка относительно z0 и непрерывна по
обоим векторным аргументам.
При данных начальных условиях z0 значение 0*, которое ми-
нимизирует J, дается выражением
(р*=—(/)'/))-iD'd. (Г. 15)
Если k=l и det£>=/=0, то р* =—D*d. Тогда наименьшее значение J
равно нулю для всех z0.
Если z0 неизвестно, то отыскание минимума / по 10 надо про-
изводить для наихудших начальных условий. Таким образом, возни-
кает минимаксная задача и требуется найти значение вектора Р = Р*
такое, что
/ (р\ z0) = min max J (₽, ze). (Г.16)
₽ *o
Без ограничения общности можно считать, что z0 принадлежит еди-
ничной гиперсфере S, a ip принадлежит многомерному паралле-
лепипеду.
Мера чувствительности J может содержать некоторую взвеши-
вающую матрицу, предписывающую каждой компоненте вектора
dJ/da свой коэффициент.
15—362 225
Прежде, чем рассматривать алгоритм решения минимаксной за-
дачи, обсудим свойства функционала J как функции от р и z0.
Свойство 1. Скалярная функция J(p, z0) выпукла по аргументу
так как матрица D'D является неотрицательно определенной
для любого z0£S. Поэтому множество минимаксных решений вы-
пукло и любое минимаксное решение есть в то же время глобальное
минимаксное решение. Существование минимаксного решения Р* и
ограниченность минимаксного значения J обеспечивается непрерывно-
стью функции /(Р, z0) и компактностью областей В к и S.
Свойство 2. Точка z*0, в которой функция J имеет максимум,
находится на границе единичной гиперсферы S.
Доказательство. Пусть й»— некоторая внутренняя точка
области' S, в которой функция J имеет максимум по z. Тогда суще-
ствует некоторое такое, что zo=yzo принадлежит границе об-
ласти S. Поскольку J есть однородная функция четвертого порядка
по z, то
/(zo)=yV(zo)>/(zo). (Г.17)
Поэтому z0 может быть точкой максимума, только если она
принадлежит границе области S.
Свойство 3. Функция J есть четная функция, т. е. J(ze)=/(—Zo).
Это следует из доказательства свойства 2, если взять у=—1-
Следующая теорема показывает, что если система не является
P-управляемой, то / есть не зависящая от Р функция, обозначаемая
Ji=d'd, и все минимаксные решения <р* или одинаково нечувстви-
тельны, или одинаково чувствительны. Конечно, в этом случае опре-
делять вектор Р исходя из уменьшения величины J бессмысленно.
Если же / действительно зависит от р, становится возможным умень-
шить чувствительность объекта.
Теорема 2. Функция /(Р, z0) не зависит от р почти для всех
Zo тогда и только тогда, когда система является В-управляемой.
Это утверждение эквивалентно условию D'D^O почти для
всех z0.
Очертим контур доказательства. Полное доказательство- можно
найти в [10]. Рассмотрим матрицу £>' в предположении, что всегда
существует точка z0 такая, что D'D^O. (Условие D'D равносильно
условию D'^0.)
2У = (Т’<7...T>q......Т'<£)
Здесь (и+р)-мерный вектор q зависит от номинального объекта
и начальных условий.
Повторим, что z£S, где S — единичный шар и в общем случае
S образовано из двух подпространств А и В таких, что /А \JB, причем
1) если z£At D^O, то функция J зависит от 0;
2) если z£B* BaS, то J=Ji=d'd.
•p-управляемость гарантирует, что А не пусто. На языке е, б-рас-
суждений в [10] показано, что все подпространства, которые состав-
ляют область В, не содержат никакой окрестности, где бы D = Q.
Следующая теорема показывает, что если £)=0, то минимаксное
значение функции J не превосходит минимаксного значения J в об-
ласти, где В^О.
226
Теорема 3. Минимаксное значение / в области В не выше,
чем минимаксное значение J в области А.
Доказательство. Другими словами, эта теорема говорит,
что
= maxd'd = J (zj min max / (р, z)=/(P*, ?) = «2. (Г. 18)
Покажем справедливость выражения (Г. 18), предположив про-
тивное, а именно, что ai>a2. В соответствии с теоремой 2 существу-
ет точка z2€a, для которой и которая произвольно близка
к точке Zi.
Тогда для минимаксного решения р* справедливо соотношение
J (7*. г2)=а3<а2.
Это означает, что функция J (г) терпит разрыв при переходе от зна-
чения J (zx) = 04 к значению J (р, z2) = a3 -Но это противоречит
тому факту, что функция J непрерывна по z и не имеет скачков.
Алгоритм решения минимаксной задачи. Ниже в расширенном
виде рассматривается алгоритм Меданича [15], который основан на
методах исключения нелинейного программирования, применяемых
для решения минимаксных задач. Предполагается, что функция
/(0, Zo) определена и непрерывно дифференцируема на конечномер-
ной выпуклой, замкнутой и ограниченной области Bh X S и выпукла
в области Bh при любом zq£S.
При построении гиперплоскости, делящей допустимую область
на две подобласти, используется идея контурного градиента. Одна
из этих областей может быть исключена, потому что минимаксное
решение должно находиться в другой области. Роль минимизирую-
щего параметра состоит в том, чтобы характеризовать гиперплос-
кость посредством минимизирующей точки. Алгоритм предназначен
для решения системы линейных уравнений и максимизации функции
J(0, z0) no S для данного р£ВЛ.
Рассмотрим основные шаги в Z-м исключении. Выберем р< £
где Blk есть либо Вк (когда i = 1), либо часть Bht в которой, в связи
с предыдущими исключениями, еще может находиться минимаксная
точка р*.
Находим максимум по г0:
J(₽«, 4) = maxJ((l«, г,). (Г.19)
Если J (р*, Zq) не есть минимакс, расширяем / (0, zlQ) относительно р<.
Поскольку J (р, Zq) выпукла на Bkt име ем
/«. 4) 4)+/<(₽-?<).
(Г.20)
227
15е
где
|г.=г‘о' <Г-2')
Используя (Г.20), можно показать [15], что точка минимакса
может находиться только на пересечении полупространства
(Г.22)
с допустимой областью Blk.
Следующее значение f дается соотношением [15]
= (Г.23)
где
Xt = min-----. (Г. 24)
Индекс j означает /-ю гиперплоскость в допустимой области Blk.
Критерии остановки. Итеративная процедура для нахождения
минимакса заканчивается, когда удовлетворены оба следующих тре-
бования:
1) Если размер шага между ifp’ и Pi+1 стал ниже предписанной
величины е0, процедура исключения прерывается, чтобы выбрать
следующую номинальную точку [15].
2) Перед тем, как поиск полностью останавливается, привлекает-
ся улучшенный критерий остановки (квадратичный), который ха-
рактеризует меру точности, с которой определяется минимакс. Значе-
ние применяемого квадратичного критерия связывается с объемом
Bih в том смысле, что значение критерия стремится к пулю тогда
и только тогда, когда объем стремится к пулю. Квадратичный
критерий с таким свойством составляется, как описано ниже. Когда
в В-прострапстве добавляется повое сечение, то привлекается сим-
плексный метод линейного программирования, чтобы откинуть те
гиперплоскости, которые не образуют границу области Вг\. (Этот
шаг является новым по сравнению с работой [15]). Чтобы решить,
какие ограничения надо сохранить, а какие отбросить, воспользуемся
критерием
W=sjt (Г.25)
где Sj представляет собой слабую переменную, которая обращает
/-е неравенство (Г.22) в равенство. Пусть, например, система нера-
венств Gfi^h, где G'=(gi, g2, ..., gv); h'=(g'ifi\ g'2p2, • •
g'vP”) определяет пространство Blk. когда добавлено i-e сечение.
Симплексный алгоритм применяется при следующих ограниче-
ниях: __
(g:-g:z)x = /z, г (Г.26)
где х' = (0+ •• р- • $), 0+^0, р-^0, $:^0.
Тогда, если при ограничениях (Г.26) min№=minsj,
равен нулю, то /-е ограничение сохраняется. В противном случае /-е
ограничение отбрасывается.
228
Предположим теперь, что описанная выше процедура завершена
и граница пространства Bl 2 * *k определена равенством G$=h.
Рассмотрим следующий квадратичный критерий, который не-
сколько отличен от критерия работы [15]:
(ЭД-А)'(60-Л), (Г.27)
где
6^ _
^ = WiT’ Л:, = |ГёЛГ’ / = 1..........s-
Геометрически выражение (Г.27) представляет собой сумму
квадратов эвклидовых расстояний точки £ от гиперплоскостей Gfi = h.
Если V(P*)^Vo, где Vo—предписанная величина, поиск закан-
чивается.
Если V>V0, то определяем величины
0i+i = (^', (Г.28)1)
и
Vmin = h'[r-G(G'G)-'G']h. (Г.29)
Поиск минимаксного значения”^* завершается, если 0i + 1 £ Blk и Vmin<
Vo. Если Vmtrt>V0, то продолжают дальше процедуру исключе-
ния, причем 0i+1 соответствует новой номинальной точке. Если
0i+1^B^ 2) и 6^2, процедуру исключения продолжают исходя из
значения 0\ не выбирая новой номинальной точки. (В [10] показано,
как выбрать новую номинальную точку, когда 6 = 2 и 0<+,^В^.)
Если 6=1, то минимаксный алгоритм исключения почти сводится
к методу располовинивания для минимизации функции. Единственное
отличие состоит в том, что минимаксный алгоритм определяет, ка-
кую половину отрезка, попавшего в область параметров р, нужно
исключить.
Отыскание максимума. Вообще говоря, отыскание максимума
функции на векторе, который принадлежит данной области, представ-
ляет собой сложную задачу. Однако в пашем случае все три свой-
ства функции J существенно облегчают отыскание максимума.
В силу того, что J выпукла, в области р (свойство 1) не -всегда
необходимо проводить полную минимизацию [15].
Функция J обладает полезным свойством пе только по р, но и
по векторному аргументу z0 (свойства 1 и 2). Как будет показано,
это существенно упрощает отыскание максимума посредством ме-
тода нормализации, который переводит задачу оптимизации с огра-
ничениями в задачу без ограничений.
1) Отметим, что (6'6)-1 всегда существует. Действительно, нера-
венство Gp^/i определяет замкнутое и ограниченное множество
в ^-мерном пространстве В. Это означает, что ранг равен 6. Следова-
тельно, выполнено необходимое и достаточное условие того, что
матрица (6'ЭД имеет обратную.
2) Расчетный пример доказал, что это может произойти, если
имеется более трех гиперплоскостей. В случае же трех гиперплоско-
стей всегда 0< + 1 $ Blk [10].
229
Нормализация функции / выполняется в каждой точке
zi + l = || zi + ' || zi + l
(Г.30)
таким образом (рис. Г.1), что значение нормализованной функции
/* в этой точке совпадает со значением исходной функции J в точ-
ке zi+i, т. е.
J (zi+1)
J (z<+1) = J* (?«+>) = -рт+гуг- (Г-31)
Чтобы найти глобальный максимум J, достаточно рассмотреть
точки г, расположенные на полусфере, поскольку каждой точке га,
находящейся на одной полусфере, соответствует точка zb на другой
полусфере, такая, что гь=—za и J(za)=J(—zb) (свойство 3).
Рис. Г.1. Нормализация приве-
дением к единичной сфере.
описываемый уравнениями (Г.1)
° \ / 0 \
° I ь о I
1 )’ 6 \ ° Г
—0,5/ \ 1 7
Пример. Рассмотрим объект,
со следующими значениями матриц
(—2 1 О
О -1 1
О 0—1,5
ООО
/ I 0 0 0 \
С =| 0100
\ 0 0 1 о J
Объект полностью управляем и наблюдаем с индексом наблю-
даемости р=1. Регулятор имеет два свободных параметра. Пока-
затель качества системы возьмем в виде
00
/ = J (Х2 + + Х2 + ц! ^ydt (Г.32)
О
Свободные параметры 0 можно выбрать многими способами. Из
них были проверены три и выбран, наконец, тот, который дает наи-
меньшее значение минимакса для функции J.
Например, если в качестве свободных параметров выбрать ком-
поненты вектора 0 = (₽}, р|) = (Ь» М'» то из уравнения (Г.7) имеем
pj = &i + 2p1; Pq = &2 — Pi 4- Pg = — Рг + Урав-
нение (Г.8) дает af = 5fc.
230
Структурная схема регулятора показана на рис. 1.2, где =
== 01 ~~ 0i> £2 = Pi = 02» £з = Pi — ^4» Х1 “00 01ао — 4* 201 01^б>
Т2 = 00 01аО = &3 - 02 4" 1 »5&4 - k^ki-
Ha рис. Г.З показано, как минимаксный алгоритм исключения
сходится к минимаксному решению р* для данного начального вы-
бора вектора параметров р°.
На рис. Г.4 показаны результаты, которые получаются для трех
выборов начального вектора. Это дает Р*=(—1,51; 0,45). Критерий
чувствительности имеет в этой точке значение /==0,2.
На рис. Г.5 показаны переходные процессы в системе с номи-
нальным объектом. Для этого случая интегральный квадратичный
критерий имеет значение /=0,3. На рис. Г.6 показаны переходные
процессы для случая, когда коэффициент 4ц уменьшен на 20%, ко-
Рис. Г.З. Исключение ограничивающих плоскостей:
Начальный выбор: Р°«[—5; 3]; вектор параметров объекта:
а=[Л|ь Л22]; число взятых операций (сечений): 10; уменьшение
площади: 13 (в 100 раз или 0,0075% начальной площади); мини-
максное решение: ft—*1,7470; 0,5162].
231
1
Пределы . Минимальное
изменения: Л решение:
J3*~ [-1,51 ;(№]
0^fiz±0,5 3=0,2
z^=[0,65;0,32',0,1% 0,21 ;0,63)
Рис. Г.4. Интерполяция результатов.
Рис. Г.5. Переходные процессы .в номинальной
системе.
0,5 8№л
<t=[-i,6;-i,$]j3=j3*; z-z*; г-о,г7В
Рис. Г.6. Переходные процессы в системе, синте-
зированной по минимаксу.
232
эффициент А22 увеличен на 50%, а значения параметров взяты
в точке минимакса (J* при наихудших начальных условиях. При этом
значение интегрального квадратичного критерия равно / = 0,276.
(Уменьшение значения интегрального критерия / объясняется тем,
что изменение параметров произведено в сторону уменьшения ве-
личины /.) Рис. Г.7 иллюстрирует возможность появления неустой-
чивости при плохом выборе свободных параметров регулятора.
О 3 6 9 12 1S t,ce*
[f,8; - ю]; z--[o,ss-o,33;o,t5;o,2i;o,63];
/ ос
Рис. Г.7. Неустойчивый процесс в системе при не-
котором выборе параметров (3.
Отметим, что рассмотренная система является (3-управляемой по
параметрам Ац и А22. Однако она не является ^-управляемой по
параметру Азз- В этом случае минимаксная задача становится вы-
рожденной в том смысле, что все решения или одинаково чувстви-
тельны, или одинаково нечувствительны, поскольку D=Q и J не за-
висит от 0.
Заключение. В работе введено понятие управляемости примени-
тельно к синтезу малочувствительных систем. Это понятие приводит
к условиям (теоремы 1 и 2), которые позволяют синтезировать
нечувствительную систему для всех начальных условий. Свойство
системы являться P-управляемой не зависит от «выбора той или иной
меры чувствительности, а определяется только самой системой при
номинальных значениях параметров (теорема 1). В работе рассмо-
трена довольно общая мера чувствительности и показано, что она
является квадратичной и выпуклой функцией по выбираемым пара-
метрам регулятора. Даны выражения для меры чувствительности
интегрального квадратичного критерия в виде явной зависимости от
параметров системы. Свойства меры чувствительности использованы,
чтобы видоизменить и расширить существующий алгоритм решения
минимаксных задач. Программа вычислений, реализующая этот
алгоритм для системы произвольного порядка, позволяет за 10 мин
получить оптимальное и нечувствительное решение для системы
пятого порядка. (На машине Burroughs В-5500).
Авторы выражают благодарность профессору Д. Пирсону за
неоценимые советы и предложения, исходившие от него на всем
протяжении этой работы. Авторы признательны В. Идсу за помощь
в составлении некоторых программ.
233
ЛИТЕРАТУРА
1. Dora to P. On Sensitivity in Optimal Control Systems. IEEE
Trans, on Automatic Control, 4963, vol. AC-8, July.
2. Пагурек Б. Чувствительность оптимальных систем регулиро-
вания к изменениям параметров объекта. В сб. «Чувствитель-
ность автоматических систем». Изд-во «Наука», 1968, стр. 209—
216.
3. R о h г е г R. A., S о b г а г М. Sensitivity Considerations in Optimal
System Design. IEEE Trans., -1965, vol. AC-10, Jan.
4. Perkins W. R., Cruz Jr., Gonzales R. L. Design of Mini-
mum Sensitivity Systems. IEEE Trans, on Automatic Control, 1968,
vol. AC-13, № 2, April.
5. S a 1 m о n D. M. Minimax Controller Design. IEEE Trans, on Auto-
matic Control, 1968, vol. AC-43, Aug.
6. Koko to vic P., Cruz J. B. Jr., Heller J. E. and S a n n u-
t i P. Synthesis of Optimally Sensitive Systems. Proc. IEEE, 1968,
vol. 56, № 8.
7. Sobral M. Sensitivity in Optimal Systems. Proc. 'IEEE, 1968,
vol. 56, № 10, Oct.
8. Pearson J. B. Compensator Design for Dynamic Optimization.
International Journal of Control, 1%9, vol. 9, № 4.
9. Luenberger D. G. Observer for Multivariable Systems. IEEE
Trans, on Automatic Control, 1966, vol. AC-1)1, Apr.
10. C i r i с V. Design of Minimum Sensitivity Control Systems. Ph. D.
Thesis, Rice University, Houston, Texas, .1969.
11. Калм ан P. Когда линейная система управления является опти-
мальной. Труды американского общества инженеров-механиков.
Сер. Д. «Теоретические основы инженерных расчетов», изд-во
«Мир», 1964, № 1.
12. С i г i с V., L е е d s J. V. Sensitivity Consideration of Multiple Input
Compensator Design for Dynamic Optimization. Proc, of 6-th Aller-
ton Conf, on Circuits and Systems Theory. University of Illinois,
Urbana, Illinois, 1968.
13. Ciric V., Leeds J. V. Design of Minimum Sensitivity Control
Systems. Joint Automatic Control Conference, Boulder. Colorado,
19618.
14. Wonham W. M. On Pole Assignment in Multi—Input Con-
trollable Linear Systems. IEEE Trans., vol. AC-12, № 6, Dec.
15. Medanic J. An Elimination Algorithm for Computation of the
Minimax. Proc, of 6-th Allerton Conf, on Circuits and Systems
Theory, University of Illinois, Urbana, Illinois 1968.
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Автоколебательные системы
(самовозбуждающиеся) 76
Автоматические системы 5
----- многомерные с обратной
связью 21
Адаптивные системы управле-
ния 71
Адаптируемость многопараме-
трических систем 155
Алгоритм Леверье 60, 190, 193
-----, обобщение 201—204
— решения минимаксных за-
дач 227
Анализ чувствительности 7
Андронов А. А. 18, 19
Блок-схема адаптивной систе-
мы 162
----- итеративной адаптации
171
-----комбинированных вычи-
слений 173
-----определения псевдофунк-
ций чувствительности 67
-----процесса идентификации
172
Боголюбов Н. Н. 118
Боде 206, 221
Быковский М. Л. 5
Васильева А. 53
Видойко Чирич 221
Восстановление ошибки 41
Вукобратович М. 5, 23
Гато дифференциал 12
Граф с одним прямым путем
208
— системы с компенсирующим
контуром 144
----- с нулевой чувствитель-
ностью 147
— чувствительности 211
Губеринич С. 8
Диаграммы очищенной и нор-
мированной функции чув-
ствительности 116
Динамическая система управ-
ления 127
Диполи чувствительности 208
Задачи идентификации 173
Инвариантность 127, 182
— в большом 148
— параметрическая 185
— системы к произвольным ва-
риациям параметров подси-
стем 151
Индекс совместимости 160
Итеративная Адаптация 170
Кокотович 57, 66
Комбинированные вычислитель-
ные системы 171
Коэффициент влияния блока
176, 177
— чувствительности блока 179
Критическая скорость флатте-
ра 89
Крис 20, 22
Крылов Н. М. 118
Критерии остановки 229
Леверрье 190
Лидс Дж. В. 155, 221
Линча формула 140
^-чувствительность 56
Метод гармонической линеари-
зации 100
— Гаусса — Ньютона 156, 164
— двоичной итерации 172
— итерационный Ньютона —
Рафсона 156, 164, 169
— псевдоградиента 164
— трех точек 71
— частичной экстраполяции
показателя качества 72
235
Минимаксный синтез нечув-
ст ви тел ьн ых оп ти малым ы х
систем 221
Митрович 16
Многомерная автоматическая
система 21
Моделирование системы и ее
модели чувствительности
213
Модель двухосного железнодо-
рожного вагона 113
— неуправляемой системы 155
— системы с запаздыванием 44
----- электрическая 153
— трехосного железнодорожно-
го вагона 143
— -чувствительности 213
— чувствительности с двумя
уровнями 98
Мэзона формула 139, 206
Нелинейные системы
-----, соотношение между
устойчивостью и чувстви-
тельностью 99
Огибающая чувствительности
82
Однородные дифференциаль-
ные уравнения типа
Матье — Хилла 100
Осциллограмма изменения ин-
тервала квантования 41
— процесса адаптации 163
Парадокс Пагурека и Витцен-
гаузена 22, 197
Паразанович Н. 26
Параметр 9, 59
Параметрическая инвариант-
ность 131
— оптимизация и идентифика-
ция 167
Перкинс 20, 22
Переходные процессы в номи-
нальных системах 232
-----в системе синтезирован-
ной по минимаксу 232
Пирсон Д. 235
Полная динамическая система
76
— одновременность линейных
стационарных систем 58
— совместимость регулятора с
объектом 157
Понтрягин 73
236
Понятие р управляемости 224
Релаксационные колебания 80
Розенброк 193, 194
Розенвассер 52
Розоноэр 128
Самовозбуждающиеся динами-
ческие системы 81
Связь «между асимптотической
устойчивостью и чувстви-
тельностью к изменению на-
чальных условий 101
Седлар М. 8, 57
Симметрия линейных стацио-
нарных систем 58
Синтез оптимальных нечув-
ствительных систем 6, 221
— параметрически инвариант-
х ных систем 143
— систем с нулевой чувстви-
тельностью 137
Система автоматического уп-
равления разомкнутой струк-
туры 21
— n-го порядка с моделью чув-
ствительности 200
— полностью управляемая 155
— преобразованная и эквива-
лентная 178
Системы грубые 18
— динамические *127
— колебательные 60
— линейные динамические 61
-------, блок-схема 65
-----с интегральным квадра-
тическим показателем каче-
ства 225
-----стационарные 35
-----нестационарные 32
-----, примеры 161
— с переменными интервала-
ми квантования 39
— структурно устойчивые 19
Совместимость в малом 158
Соотношение для б-функции 51
Структура вырожденная 147
—> каноническая 24
Структурная схема регулятора
231
— устойчивость 19
Структурные свойства динами-
ческой системы 127
Существенные параметры 59
Теория многоуровневого управ-
ления in схема разбиения
183
— 'устойчивости Ляпунова 97
— чувствительности 5
Томович Р. 5, 57
Управляемость 6, 153, 235
Условия скачка 14
Устойчивость ляпуновская и
структурная 19
Устойчивый предельный цикл
чувствительности 105
Фадеев Д. К. 190, 192
Функция Теодорсена 87
— чувствительности 9, 40, 59,
189, 210
-----1-го порядка 90—93, 97,
216, 219
-----2-го порядка 214
-----, блок-схема определения
k-n компоненты 45
-----дискретных систем 36
-----логарифмическая 206
----- локальная 13
-----матрицы P(s) 192
-----для многомерных систем
20
-----непрерывно-дискретных
систем 12
-----непрерывных систем 10
-----, нахождение путем моде-
лирования 25
-----, определение 25
-----, — методом «трех точек»
71
-----, применение к нелиней-
ным системам 104
48
-----разрывных систем 13, 44,
48
-----системы с m входами
201
----- степени устойчивости 138
Чирич В. 155
Чувствительность автоколеба-
тельных динамических си-
стем линейного пипа 76
— больших систем 76
—, задачи выбора параметров
по критерию экономичности
112
— колебательных систем 176
— коэффициентов характери-
стического уравнения 194
-----числителей передаточных
функций 195
— нелинейных систем 97, 113
— нулевая 13, 131, 181
-----и ненаблюдаемость 146
-----, связь с парамётрической
инвариантностью 139
— оптимальных систем 73, 221
— «очищенная» 106
— разрывных систем 52
— /?С-цепи относительно посто-
янной времени 56
— системы к вариация^ интер-
вала повторения 14, 101
— структурная 52
— устойчивого предельного
цикла 99
Цыпкин Я. 3. 5, 6
Юсупов 52
Якоби 192
ОГЛАВЛЕНИЕ
От редактора перевода ........................................ 5
Предисловие к русскому изданию................................. 6
Ввведснис .................................................... 7
Глава 1. Функции чувствительности............................. 9
Функции чувствительности.................................10
Функции чувствительности непрерывных систем ... 10
Функции чувствительности непрерывно-дискретных си-
стем ...................................................13
Функции чувствительности для разрывных систем . 14
Функция чувствительности для структурных изменений 18
Функции чувствительности для многомерных систем . 20
Глава 2. Определение функций чувствительности ... 25
Определение функции чувствительности разрывных си-
стем ...................................................44
Структурная чувствительность............................52
Метод псевдоградиента для полностью совместимых ли-
нейных стационарных систем..............................67
Метод трех точек........................................71
Чувствительность оптимальных систем.................. 73
Глава 3. Чувствительность колебательных систем ... 79
Чувствительность автоколебательных динамических си-
стем линейного типа.....................................79
Структуры моделей чувствительности с двумя уровнями 95
Чувствительность нелинейных систем....................97
Соотношение между устойчивостью и чувствительностью
нелинейных систем.......................................99
Решение уравнения чувствительности в вариациях . . 101
Сходимость решений для конечных изменений параме-
тров системы...........................................103
Применение функций чувствительности к нелинейным
системам...............................................104
Глава 4. Структурные свойства динамических систем 127
Инвариантность..........................................127
Параметрическая инвариантность и нулевая чувстви-
тельность .............................................131
Другой подход к задаче синтеза систем с нулевой чув-
ствительностью ........................................137
Связь условий нулевой чувствительности и параметри-
ческой инвариантности..................................139
238
Синтез параметрически инвариантных систем ... 143
Связь условий нулевой чувствительности и нснаблюдас-
мости..............................................146
Инвариантность выхода по отношению к параметрам,
принадлежащим частным подсистемам..................148
Управляемость......................................152
Адаптируемость многопараметрических систем . . . 155
Параметрическая оптимизация и идентификация . . 167
Глава 5. Чувствительность больших систем................176
Коэффициент влияния блока..........................176
Чувствительность характеристических корней . . . . 192
Чувствительность коэффициентов характеристического
многочлена............................................194
Чувствительность коэффициентов числителей передаточ-
ных функций...........................................195
Приложение А. «Парадокс» Пагурека — Витценхаузена
в теории чувствительности.............................197
Приложение Б. Доказательство свойств I и II 199
Обобщение алгоритма Леверрье......................201
Обобщение на системы со многими входами .... 203
Приложение В. Логарифмические функции чувствительно-
сти .................................................206
Логарифмические функции чувствительности .... 206
Диполи чувствительности..........................208
Функции чувствительности.........................210
Каноническая структура ............................. 211
Функции чувствительности второго порядка . . . . 214
Приложение Г. Минимаксный синтез нечувствительных
оптимальных систем....................................221
Введение.............................................221
Влияние на чувствительность системы .... 223
Понятие {3 управляемости.............................224
Алгоритм решения минимаксной задачи..................227
Заключение.................................................233
Алфавитный указатель.......................................235
Р. Томович, М. Вукобратович
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ
Редактор Н. Я. Гутчина
Художественный редактор 3. Е. В е и д р о в а
Технический редактор 3. И. Яковлева
Корректоры М. Ф. Белякова,
Л. А. Максимова
Сдано в набор 22/IX 1971 г.
Подписано в печать 23/XII 1971 г.
Формат 84хЮ81/за Бумага типографская № 2
Объем 12,6 усл. п. л. 12,816 уч. изд. л.
Тираж 9 100 экз. Зак. 362
Издательство .Советское радио", Москва,
Главпочтамт, п/я 693. Цена 1 руб.
Московская типография № 10 Главполиграфпрома
Комитета по печати при Совете Министров СССР
Москва, Шлюзовая наб. д. 10