Московский государственный технический университет им. Н.Э.Баумана
В.А.Иванов. М.А.ТЬлованэв, П.Д.Крутыю
Т0ОВН АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
Ч. 1У. Статистическая динамика автоматических систем (семинары)
Утверждено редсоветом МГТУ в качестве учебного пособия
НТВ МГТУ ИМ Н Э Банана
Под редакцией В.А.Иванова
Издательство МГТУ им. Н.Э.Баумана
1995 Г--------
I И Г' s 1
ББК 32.965
ИЗО
Рецензенты- В.С.Кулешов, Б.И.Шахтарин, Ю.М.Астапов
120 Иванов В.А., ГЪлованов ХА., Крутько П.Д. Теория ав-тоштического управиения. Ч. 1У. Статистическая динамика автоматы ских систем / Под рад. В.А.Иванова: Учеб, пособие. - И.: Изд-во МГТУ, 1995. - 100 с., «л.
Faw основные теоретические положения и рассмотрены решения примеров и задач по исследованию и проектированию непрерывных и (скретяых автоматических систем при случайных воздействиях. Задачи приведена как для систем с одним входом ж выходом, так и джя шогомершх систем. Даны также примеры ж задачи по теории вероятностей ж случайных процессов.
J студентов изучающих теорию автоматического управления
Ил. 24. БмОляогр. 3 вазв.
ББК 32.965
^дакция заказной литературы
Виктор Александрович Иванов Михаил Алексеевич Голованов
Петр Дмитриевич Крутько
Теория автома-1 еск го управления
Я. 1У. Статистическая дж вам а автоматических систем
Эаведуюиая режл же! Я. Г.Ковалевская
Редактор 1.М Злъкянд Корректо Л. '.Малютина
С МНУ at. Д.Э. аумана 1995.
Подписано в печать 17.03.95. Юр ат 60xS4/l6. Буиага тип. В 2.
Печ.л. 6,25. Усл.печ.л. S.fcl. Уч.-иэд.л. 5,66.
Тираж 300 экз. /зд. * 15. Заказ 7 4	С С»
Издательство ЧТТУ, т погрег^ия МГТУ. 1СГ7005. Москва, ..-я ауманская, 5.
Семинар » I. ДИСКРЕТНЫЕ СЛУЧАЙШЕ ВЕДИЧИШ
Дискретной называют случайную величину, возможные значения которой есть отдельные, изолированные числа (т.е. между двумя соседними возможными значениями нет значений), которые эта величина принимает с определенными вероятностями. Другими словами, возможные значения дискретной случайной величины можно перенумеровать. Множество возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным и бесконечным (счетным).
Законом распределения (рядом распределения} дискретной случайной величины называют перечень ее возможных значений и соотве ствующих им вероятностей. Закон распр деления дискретной случайной величины С может быть задан в виде таблицы, первая отрока которой содержит возможные значения xt , а вторая -вероятности pt
С	хг  ХП
Р Pt Рг • - Рп ’ ГД0 = 1
Закон распределения дискретной случайной величины может быть также задан аналитически (в виде формулы)
Р(К -®1') = S’ или с помощью функции распределения Р(х), которая определяет для каждого значения х вероятность того, что случайная величина 7^ примет значение меньше0 х • т.е.
Р(х) -Р (<7 < х) .
Функция распределения Р(а?) обладает следующими свойствами: Свойство I. Значения функции распределения принадлежат отрезку [ О, I ]
О £ FO) & 1
Свойство 2. Функция распределения есть неубывающая функция, т.е.
F’ ( «2") > PC > . если
Следствие I. Вероятность того, что случайная величина Г} примет значение, заключенное в интервале ( а..Ь )• равна приращению функции распределения на этом интервале
Р (а грРрЩЪУРСа)
3
Следствие 2. Если все возможные значения случайной ввичивы С принадлежат интервалу ( а, Ь ). то
Г('я') » 0 при х<и , Г(лу*1 пр» ссч>6.
Загон распределения дискретной случайной величины можно изобразить графике хи к полученную фигуру называют многоугольником распределения)
Биномиальным называют загон распределения дискретной случайной величины С - числа появлений события в и независима испытаниях, в хайдом из которых вероятность появления события равна D . вероятность возможного значения ’Г = k ( fe - число появлений события) шчисляют по формуле Бернулли
Р fe>=C*pA аП'Ь . где у-1-р ц	пл
Если число исштаихй залито. а вероятность появления события р в каждом испытании очень мала, причем Игл п А , то имеет место равенство	п—оо
где 4> - число появлений события в п независима испытаниях; А- пр (среднее число появлений события в л испытаниях).
И то-m говорят. что случайная величина распределена по загону Пуассона.
лараххержстжнэй среднего значения случайной величины служит матеготичесгое ахдданне
Л^евете-эям 'хлдлнивм дискретной случайной величины »ты нит» сужу про из - дачий всех ее возможных значений на их вероя-нос-гх.
W гх)-лг, р, ^л]Рг *
Всех схучахиая велхчив <х-' zp. тжмать счетное множество зна-^•нжДи то мат^штхчесюш эжасю л таянварт сумму ряда с©
Л/[х] - 2L л pt t если ряд ст дггся. ?
Свойства матежическоп считянич*
DAffcl « с (c-const^.
2>	*Л/{=е„].
4
3)^1^ Tnl = MLxt] М[хг]- -
4)	М [сл]= сЛГ[х] (c = consf).
Характеристиками рассеяния возможных значений случайной величины вокруг математического ожвдания служат, в частности, дисперсия и среднее квадратическое отклонение.
Дисперсией случайной величины х называют математическое ожидание квадрата отклонения’
D Ех ] =М Ех~м [х] ]2.
Дисперсию удобно вычислять по формуле
D[x]	Гх2]- [ЛЯ*]]2
Свойства дисперсии:
I)	Dfc]=O (c=consf);
2)	ЯС1] =с2ОСх] (c=const),
3)	В f х,+ Х2 + хп ] = Dfx1l + Dfx2] + + D[xn]
Среднее квадратическое отклонение случайной величина
6 (X) =V-D [х]
Более общими числовыми характеристиками дискретных случайных величин являются начальные и центральные моменты различных порядков. Начальным моментом fe-ro порядка случайной величины аг называется математическое ожидание 6 -й степени этой случайной величины:
cCfe[x] = Л1[ xfe]
Центральным моментом k -го порядка случайной величины х тазывается математическое ожидание Иг -й степени центрированной случайной величины х :
[х ] =Лг [ (зс-М[х]/ J
Пример I. Устройство состоит из трех независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента в одном опыте равна 0.1. Составить закон распределения числа отказавших элементов в одном опыте.
Р е и е н и е. Дискретная величина х (число отказавших элементов в одном опыте) имеет следующие возмопнне значения.
.г|= о - ни один не отказал; и далее отказали: хг= I; х3 2 и
Отказы алиментов независим* друг от друга, вероятности отказа каждого элемента равны между собой, поэтому примени!® формула Бернулли:
по условию п » 3. р • 0,1 (следовательно, : - 1-0,1 - 0,9) (О') -у3" 0,93 - 0,729 ,
Рэ( 1) -	3 0,1 0.9*= 0.243;
^(2)- С*р2у-ЗОЛ3 0.9 -0.027;
(3) = р3 О, Р = 0,001.
Проверка 22 Р[я I: 0,729+0,243+0,027+0,001 - I.
Закон распределения;
^ ... О	I	2	3
р, ...	0,729	0,243	0,027	0,001
Пример 2. В партии из 10 деталей имеется 8 стандартных. Наудачу отобраны 2 детали. Составить закон распределения числа стандартных деталей среди отобранных.
Равенне. Случайная величина х - число стандартных деталей - имеет следующие значения:
xt -0 - ^2 = 1; ^с5=2.
Тогда
=*-) = с* • ст'ь /с™ .
4	' П N~n ' н
где /V - число деталей в партии; п - число стандартных деталей; гп - число отобранных деталей; 1г - число стандартных деталей среди отобранных.
to
са са	16	
Р(Л = 1) -	2		
10	45	
те имеем- Р(1"2)	% < >с\ "=28/45,
* + О» Ш*7С*М«
	• • •	0	I	2	
	• • •	1/45	К/45	28/45	2J pt- 1
6
Пример 3. Вероятность row, что стрелок попадет в даль при одном выстреле, равна 0,8. Стрелку выдаются ветров; до тех пор, пока он не промахнется. Требуется: а) построить рад распределений дискретной случайной величины а - числа патронов, виданных стрелку; б) найти наивероятнэйшее число даданных стрелку патронов ( kg) .
Решение: а) закон распределения имеет вид?
а,1	••• I 2 з ...	$
pt •••	0,2	0,8-0,2	0.82 0,2 ... 0.8к-1.0,2 ...
б) k0 I.
Пример 4 Два бомбардировщика поочередно сбрасывают бомбы до первого попадания. Вероятность попасть в даль у первого самолета равно 0,7, второго 0,8. Вначале бросает бомбу первый самолет. Составить первые четыре члена закона распределения дискретной случайной величины .т - числа сброшенных бомб обоими самолетами (ограничиться 3=1, 2, 3, 4).
Решение.
J.	...	I 2	3	4
р.	...	0.7	0.3-0.8	0.3-0,2’0,7	0,3-0,2.0,3-0,8
0.24	0.042	0,0144
Пример 5 Учебник издан тиражом 100000 экземпляров.
Вероятность того, что учебник с ротирован не вер ж равна 0 0001. Найти вероятность того, что тираж содержит 5 бракованных книг. Реление. Ito условию п = 100000. р 0,0001, fe = 5. События, состоящие в том, что книги сброшюрованы неправильно, независимы число п - велико, а вероятность р - мала, поэтому воспользуемся распределением Пуассона
Аь
Р„(Л)	~1°
ю\ 10
7
Пример 6. Завод отправил на базу 500 изделий. Вороят-нэсть повреждения их в пути равна 0.002. Найти вероятность того, что в пути будет повреждено изделий: 3; <3; > 3 и хотя бы I. Р е и в н ж е. Число п = 500 велико, вероятность р - 0.002 -мала и рассматриваемые события независим*. поэтоцу применит формула Пуассона
а)	найдем вероятность того, что Суде™ повреждено 3 изделия: £3е-1	0,36788.
&о	~  °-0613 •
б)	найдем вероятность того, что будет повреждено < 3 изделий: _i 1 е 1
^30 (О') *'500(0+	е +е ---------0.9197 ;
2
>) найдем вероятность того, что будет повреждено > 3 изделий:
Р" * -а - 1 - [ Р^О + £00(2) < ЗП -0.019 ;
г) зайдем вероятность того» что будет повреждено хотя бы I изделие :
? = <-Q* = 1-^(0') -	= 0.632
Пример 7. Производится два независима выстрела Р" Мишин. Вероятность попадания при каждом выстреле равна р . Рассматриваются случайные величины: зс - разность между числом □опаданий и числом промахов, у - сума числа попаданий и числа промахов. Построить для каждой яз случайных величин х и у ряж распределения. Найти их характеристики : гл , Z>x , ту, Реи иже. Рг" распределения величины ос имеет вид:
я\	-2	0	2
2	2
Ъ	9	2Р7	Р
гпх^-2уг^ Рг 2(р-ч) %
<<г[х]~4ерЛ+у2) ;
8
вру

сг2 -
Случайная ,«личина у фактически не случайна и имеет одно значение 2:
yte2 , Pt - 1 , ту Z , Dy «о.
Пример 8. Дан перечень возможных значений дискретной случайной величины х :
xt =-1 xz = О; х, - 4 , а также известны математические ожидания этой величины и ее квадрата:
М 03 =тх = 0,1 ,	М. [ос2] = оС, [а] =0,9
Найти вероятности pL , рг ,	- соответствующие возможным
значениям xljoc₽7oe3
Ре ш е н и е. Пользуясь тем, что сумма вероятностей всех возможных значений х равна I, а также, привитая во внимание, что
Л/Гэс] =0,1, М [ х ]= 0,9, составим систему трех линейных уравнений:
Р1 + Ра +	~	1
-ip* + 0-рг + 1-р3 =О,£ , (i'fpi + 0Х'Р2 + Рз = °-9 Решив ее, найдем
р1 =0,4 , р2 = 0,1, р3=0,5
Пример 9. Два стрелка стреляют каждый по своей мишени, делая по одному выстрелу. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка р± , для второго pz .
Рассматриваются три случайные величины oci - число попаданий первого стрелка; эс2 - число попаданий второго стрелка и их разность 7=эс1-эс2.
Построить ряд распределения случайной величины 1 и найти тлг,1)2.
О т в е т^:
iL 1 О 1
Л	9,9^ Pi Ра Pt 9г
mz Pt ~ Ра •
2>z Pth*Р2Ч2
1чесь и лее нр’.'тары, иешенля кгторых не приведены, л «гы дм са-лосго «тельной работы.
9
Пример Ю. При работе ЭВЫ возможны сбои. Среднее число сбоев за сутки равно 1,5. Найти вероятность следующих событий* А- за двое суток не будет ни одного сбоя; В-в течение суток произойдет хотя бы один сбой, С - за неделю работы машины произойдет не менее трех сбоев.
Ответ;
Р(А)»0.05; Р(К) = 0,Ч77 .	=
Семинар * 2. НЕПРгУЧВНЫВ СЛУЧАЙНА ВЕЛИЧИН)
Непрерывной случайной называется такая величина, которая может принимать любые числовые значения в заданном интервале и для которой при любом х из этого интервала существует предел Р(х < л	х)
=• j ini-------------------•
да-0	-3 х
имвнуешй плотностью вероятности.
Непрерывная случайная величина задается либо функцией распределения Р(хУ (интегральным законом распределения), либо плотностью вероятности р.х) (ди ференциальным законом распределения) - производной от фун-цци распределения d f- Сх) РО)-------------------------------
d x
Вероятность того, что на прерывная случайная величина С примет значение, цривадлежаяве интервалу (а,Ь ). определяется равенством: Ь
Р (а ч < < Ь') “ 5 p(x)dx а
Зная дифференциальную функцию, можно найти интегральную пункцию по формуле
Р (»)~j p(x)dx - со
Плотность вероятности обладает следующими основными свойствам:
1) Р(Х) >0 ;
10
CO
2) f p(x) da: = 1, oo
Величина Xp , определяемая равенством	называет-
ся квантилем; квантиль х0 д называют медианой Если плотность имеет максимум, то значение х с при котором /о (ж)» max, называется модой.
Математическое ожидание -М(х) и дисперсия Of ос) случайной величины X , имеющей плотность вероятности pcx)Q вычисляются по формулам:
оо
М(х) = S « p(x)dx \
-оо ср
2><я)=5 [ас-Л/roc)] р(х)&х
-оо
В первом случае предполагается, что интеграл сходится абсолютно.
Начальный момент k -го порядка cCfe и центральный момент k -го порядка вычисляются по формулам.
, Г k
J pcx^ax ;
-ОО
СО
(Ufe= f O-MGc’)]
-оо	а
Пример I. При каком значении а функция р(х) = ---------=
1 + X является плотностью вероятности случайной величины х ?
Найти а) функцию распределения случайной величины ж ;
б) вероятность попадания случайной величины в интервал (-1 +1).
Решение: I) величину а найдем из условия * p(x~)^x^i: -ОЭ
Т	а	I оо	1
У ------dx = a arctg ж = <х 5Г- 1 а "	•
ЕО 1 + д-2	1-00
1	<	1 х	1 1
2>	------ dx =— arete л-I	—aretgx;
-ОО £ + д.2	Я	1-00 2	51
Р( 1 ' х - 1) b'(i) У'С t)= — + — arctg 1 -
3)	2 Л
-- - —arel£J(	.
2 М	2	П
Пример 2. Установить связь между параметрами а и Ь в одностороннем экспоненциальном распределении:
-Ьх
р (х) — а е , ( х » и) , р(х) 0 при л < О.
-Ьх	1 -Ьх °° а
Решение, jae d х » 1 = а. — е — —t О	-Ъ о Ъ
т.е. имеем: а ~Ь.
Пример 3. Найти моду и медиану показательно-степенного распределения:
Л т -х р(.х~)=— X е , (лоо) при = т'
-X т.е. р(&) = е
Решение. Мода распределения отыскивается из соотношения
р'(^~)=о, — 4
отсада Х.^1 • ИР" этом Р(жт) =е =0.368 .
Для нахождения медианы распределения определим сначала ?•’ (ДО интегрированием Р (х") х	х
5 л e^da =- e^fx+t) =1 — е'зс(зс+-1')
о	о
или
р(хо^"°’5 ’	1~е	°’5 (xo.-,+ i'> ”о-5 ’
откуда х = 1,675. о.з
Пример 4. Доказать, что математическое ожидание непрерывной случайной величины заключено между наименьшим и наибольшим ее возможными значениями.
Решение. Пусть х - непрерывная случайная величина, заданная дифференциальнэй функцией р(х~) на отрезке вне этого отрезка р(х)=0~ Тогда
а £ лс ь .
12
учитывая» что р(ае)»О. получаем:
ар Соеу <. хр(х) <Ьр(х\
Проинтегрируем это двойное неравенство в пределах от а до Ь :
Ь	ь	ъ
p(x}dx £ \	* ь| plX)dx
а	а	а
Отсюда atM(x)tb.
Пример 5. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величиям X . равномерно распределенной в интервале (а,Ь >•
ОО	Ъ
Решение, j р(Жу d х - J ро dx - р( Ь-а) = 1 ; <Х>	CL
1	F	I ь ь+а
р0=----- М (х~)= \ xp(x}dx ~-------- С хАх--------,
b a	-«>	b-a. д	2
1	£ г,	1 л5 I b Ьг + a- b -*- аг .
of =---- \ x d x - — —	- ---------- ,
Ь-a a.	b-a 3 1 °.	3
r 2 fea+ab + a (b+a)	(b-a)
D(x) = rt2-[A7(oc')] =----------—~
Пример 6. функция распределения случайной величины х имеет вид
О
Р(х} =  a + barcsinrr
О
Определить постоянные а и Ь. найти /И(х) , Dex') Решение, а и Ь найдем по свойствам функции распределения;
.т t Fix') = 1 , а. + Ь — = 1 ’	2
. зг
ис =1;	F" (ос) — 0 , а ~ Ь — 0 ;
s ь s ь я ь	{	£
a =--- , — 4. ----- = 1 , я Ь = 1 . Ь = — , a —,
2	2	2	л	2
13
Т.9.
i 1
P(a) - — •♦ — arcsin a 2 X
dF(x) p(x)--------
da
1
.2
Тогда
1
-1
i
-1
xix
sVi-®2
2 , л da
< <
d(l-X2)	!	____,|
2s~i Jl-x i /
г
1-Г0-
— x VI*»4
3C
SCyji-x2 % -i j 1	i i _______.
+ — J Vi -x2 dx = — V1-x2 dx .
* 4
U •, d X = COS udu . х/г - f cos2 udu = -S/2
X ч 
Обозначим: гс = sin ; TOrSa £ S/2 ________,
D(x') — — ( i/cosau cosudu SC л -Я/2
I ^1Z .	4 S/2 COS 2 U
= - J J-du+M
S -S/2 2	A-S/2
1 2
d (2	=1- ( *
2К \ 2
2
< sin 2 г_ I X/2	.
Я 1	4	|.x/2	2

Пример
образом:
7. Плотность вероятности
р(л) задана следующим
A cos ж
Р(х)
2	2
О
14
Найти: а) коэффициент А и функцию распределения Гл); б) математическое ожидание тх и дисперсию .
Ответ:
а) А - - , 2	б) тпх =	0 ,	л 9:1 -г
= <	4 ( Sin X 0 1	1)	2	2 2
Пример 8. Функция распределения случайной величины имеет
вад

xtO
2
:г у Z
Требуется: а) построить график функции р(х~), б) найти мзду, медиану и т х . в) вычислить вероятность Р (0,5 <х й 1,5") Ответ:
0 < х £ 2
а)
б)
р(эс) =
0
мода л = 2 , х0 5
х « О . х >2
, тх - 4-/3 ,
в) Р (0.5 < х £ 1.5") =1/2
Семинар * 3. МНОГОМЕРНЕЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. УСЛОВНЫЕ ЗАКОШ
распределения
Совокупность двух случайных величин (Х.У) рассматриваемых соаюстно, называется двумерной случайной величиной. Геометрически она интерпретируется как случайная точка с координатами (ХУ) на плоскости ос 0 у или как случайный вектор, направленный из начала координат в точку (Х,У )• Соегавляххцив вектора представляют собой случайные величины X , У .
Трехмерная случайная величина (X , У. 7. ) изображается
15
случайной точкой или случайным вектором в трехмерном пространстве; соответственно система п случайных величин ( Х4» Хг....
Х„) - случайной точкой или случайным вектором в пространстве п измерений^ т.е. в п -мерном пространстве.
Для многомерных случайных величин вводят понятия многомерной функции распределения и плотности распределения. Функцией распределения F(a\y) двумерной случайной величины (Х,У ) называется вероятность совместного выполнения двух неравенств: X<rc. У<у . т-е.
Р(я.у') = Р (X < л , У<у ).
Следовательно, л, у) есть вероятность попадания случайной точки ( X, У ) в заштрихованную часть плоскости на рис. I.
Функция распределения Ff л, у) обладает следующими свойствами:
I)	F 00 >	~ °0) = F	. у) - f^( х, -оо)=о,
2)	F (-* оо t	ч сю) <- 1 •
Э)	Р(л ,+	оо') = /=}(«)	,	F( + ОО.У') “	(у) ,
где PJ(t') , Рг(у~) - функции распределения случайных величин X и У i
4)	Г,(Х'У") - неубывающая функция ж и у .
Рис. 2
Вероятность попадания случайной точки (X У ) в прямоугольник R оо сторонами, параллельными осям координат, включающий нижнюю и левую стороны, но не включающий верхнюю и правую (рио. 2), равна
<Х.У)	R) = /?C®2,y2')-PC^1>y2)-F(3ee>y1) + F(a:jiy(y
Плотность распределения р(аг₽у) двумерной случайной величины (X . У ) определяется формулой
Р(Х.У) -------------- Р (ay) .
дх Эу
Вероятность попадания случайной точки (X, У ) в произвольную область D выражается формулой
&((. Х,У) G- D') = If р(л, у) da dy .
(li)
Свойства плотвооти распределения:
I) р(а.у)»О.
2) ЭД p(xj)dx dy =1
-со
Справедливо соотношение
X У
р( •Г.У')“1 f p(a,y) da dy.
_ со -оо
Плотности распределения отдельных величин X и У , входящих в систему, равны
2^00 = 5 Pf.x.yyiy, P.Cy'i-S p(a,y)da. *°°	-oo
Условным заковэм распределения случайной величины, входящей в систему, называется закон распределения, установленный цри условии, что другая случайная величина приняла определенное значение. Приняты обозначе; л:
Р(х | у), (у | х') - условные функции распределения;
/э1(>|у), Pj(y I зс) - условные плотности распределения.
Справедливы соотношения:
Р(^.у) = р1(х)р2(у|х) и™ Рбзс,у)=рг(у)р1 (а|у).
Случайные величины X„У называются независимыми, если Р, I У) =Р%	• Р2(у|зС =Р2Су)
Начальным моментом порядка k + S систем; случайных величин ( Xt У ) называется величина
ys] =jy xkysp(x y)dady.
.. -I1’
иен.' ’1	• У  A •
Центральным моментом порядка fe ♦ S систем ( X , У ) называется величина
ОО
(Ufe --yW [ X У5] = £[	(у-тпу'?р(Х'У)Аха.у.
•	—ОО
Корреляционным моментом Кху двух случайных величин Х.У называется центральный момент второго порядка ^у=^«=^^У].
Если О . то случайные величины называются некоррелированными.
Валичюи
называется коеффицватом корреляции. Для любых двух случайных величии ) г^у | « 1
Вое указанные понятия к определения распространяются на систему П сдучайшх величин ( Хг Х2> ... , Xft). Например, функция распределения
,Хп<хп)
Цветность распределения
dTtp^xi. х2.- .хп>
Р'»4.*з,	—------------------
ОХ1 Эх 2	. Зхп
Степень зависимости между случайными величинами ( X,, Хг, ... ... . Хп ) характеризуется корреляционной штрицей
		^12	  ^in 	
л:-	хг<	км		.^Г^Г\У1=к21
	^П1	riZ	^пп	
Норшфоваювя корреляционная штраца [ г ] получается из матрицы А' путем деления элементов К на гтизведение б4 Ву Пример I. Система случайных величии ( х, У ) имеет плотность распределения:
осаг.у)- - Q^2*-y2X если Л2* у2 • Г2 . л- >0 ,
2	2	2
О если х + у > г
Найти пар-.-лэтр a . 18
ре ш 8 нив. Искомый парамэтр определяется из условия нэрми—
ровки И p(x,y)djcdy ~ 1 , где D - круг, ограниченный 2	2	2
окружностью X + ух = г‘
В полярных координатах имаем
25ГГ	Г4	2
аЭД (x2+y2)<3rrdy f р ApAQ=— 2Sa = d ; a = — .
(b)	0 0	4	кг4
Пример 2. Система случайных величин (X .у ) имэет плотность распределения
,	. I а (х+уУ в области Т> ,
р (уЛ = -х
r ' I 0 вне этой области.
Область D - квадрат, ограниченный линиями я? =0, х = 3;
у= 0, у = 3.
Требуется определять параметр а и вычислить вероятность попадания случайной точки (X , У ) в квадрат, ограниченный линиями X = I, х = 2, -у = I, у = 2.
Ответ: а = ^ •, Р =
Пример 3. Система случайных величин (Х.У) имеет плотность распределения
2	2	2	2	2	2	л
а х - у если х + у л а , а >0 ;
Р(“.У) =	_	2	2	2
О , если	> а .
2	2
Требуется найти параметр a,	> еу и )эичис_
лить коэффициент корреляции г>х^ .
Ответ:
4/О '	2	2
^,=^=0.	,,^-0
Пример 4. Каждая из двух независимых случайных величин X. У подчинена показательному закону:
Pt(^-
РгСуУ='
у^О
0
х >. О ;
jc < О
О
Требуется найти р(.г.у)и AYrc.y).
19
Ответ:
Р(г.У)
				
1 Л(и е	л s 0	И	У	>0,
[	0	гг < 0	или	У	<0
а-ё^уа-е^),	х > 0	и	У	*0;
0 >	х 0	или	У	*0
Пример 5. Случайная величина тельному закону с плотностью
. х^о ,
распределена по показа-
О , х 0.
Случайная величина У при заданном значении X О распределена также по показательному закону, Г -лгу I О» Л
но
о параметром х :
Р3(У I*)
<0.
р(зс,у) системы (Х,У) а
У Требуется найти плотность распределения и плотность распределения рг(у'> случайной величины У также условную плотность распределения р{ (гг | у) Решение. Имеем
PC^.y')=Pi,(x')p2(y\x')^ 
Zxe
О
я* > О кО
и у=>0;
или у «^0.

О
Далее, по формуле
[_%_____
7?	Сх » v? . если у>0;
Л>2(У) = Г Pk^,y)dcc =
-оо	О t если у<0.
Условная шютностч распределения
р(х.У) pi(x]y') =-----
Рг(У)
х(А+уг) е , ясли №-0, О	, ес’и х<0.
20
Семинар М 4. СТАТИСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
ФУНКЦИЙ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
Пусть X - случайная величина с плотностью распредели— дая р(^}> а	Тогда математическое ожидание величи-
на у равно
7тгу = М [tf (X)] = PGO<fGOdae,
-оо
а джсгюрсжя
Z>y - _D[ чех)] “S [Ч>(а)-Л7у P(x)da =
-оо
= f [4(^)]ep(-'e'>dx -m’ - СО
Если ( X у ) - система случайных величин о плотностью а Z^cf(x.y> то
™ -л;[ч(Х,У)] -И 4(;r.y)Pf«.y)dJcay ’ х	_оо
®°	2
Z> -1ЯЧ>(х,У)] -55 1Ч<л.У'>-"’а з p(a-,y'>4ia>= *	-оо
<3°	£
= SS [<?(Л\У)] p(:e.y)d Jedy-m* . - оо
Справедливы следующие соотновеяия:
ЛЦ X л У] =Д/[Х1 -*-ЛТ[У]-тд. + ту ,
М[ £ X 1 = Е Af[X I -Е т t-1	‘ t*=i	1 i-i xt
Если линейная функция случайных величин Xj , . . , X п а
У Е а X + Ь	.Ь - неслучайже,
£-1 £ *
то ее математическое ожидание
V ГЕ а X ч-бЗ ~ Е л m -+Ь
J	.-i	1	‘	i=«	‘
21
Автоматическое ожидание произведения двух случайных вели
чин
М[ХУ] =М[Х]М[У] + кгу.
Отсюда
КХу “Л/ГХУ]- тхту	.
Есля X ,У- некоррелированные случайные величины, т.е. Кху^0 то
М [ХУ] »Л/[Х}Л/[Уt ’‘Гпхту.
Дисперсия суши двух случайшх величин выражается формулой
Р[Х-У] -1>[Х] +2>ГУ] + 2Кху.
Если Х,У - некоррелированные случайные величины, то 2)[Х *У]-2)[Х] + Z>ГУ] .
Отыеченяде соотяоаевжя непосредственно распространяются на систем/ болымго числа случайна величии.
Веля случайная величина X имеет плотность распределения р(зг), а случайная валичит у связана с X функциональной зависимостью У «-у(аг), где су - дафферекцирувшя и монотонная фумшжя то плотность распределения У определяется формулой
$ бу)-рбу><у))1 у'(у>1 ,	(4Л)
гда тр - функция. обратная ф таи я tf> .
Плотность ра пределеяжя ’усуши двух случайных величии 2 “X +У шражается любой из зорь л
-£ р(Х, 1 зе)3х 2)- j* pez-y.y^dy, (4.2) -ОО	-со
где pfx.y)- плотность рати ед еяжя систем/ (Х.У ).
Если случайные величая/ Х,У независим/, то
^(?)-£р1(-зе)р2('г	5^,(7 У) 2<y)dy,
поскольку в этом случае р(ж,у ) - pt <х) Pj(y') Лакон распределения сумм/ ( z) называется композицией законов распределв-«« Pt (^'>.PtCy'>
Если случайные величины подчинены нор'лтльному закону, то
цри любом линейном преобразовании этих величин получаются случайные величины, распределенные вэрмалыно. При композиции двух нормальных законов распределения получается нормальный закон. Пример !• Случайная величина X распределена в интервале (О; D по закону о плотностью распределения
2х цри х е(О* п, р(х)=г -
О при х<£ (О; С.
Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины У-Х*
Решение. По определению
1
т of ГУ] «J х' 2xdx'=i-
у	О
Р =аг	(xa)22xdx-(|Y -А-
У	р	И 12
Пример 2. Случайная величина X распределена по показательному закону
У.ёХх при х>0 ,
)	0 при т < 0 , “У- * О
Найти математическое схадание и дисперсию случайной величины У ~ е Х.
Решение.
г° х о -У-х j т = j е У-е d« = —— , у о	Л. + *
-М п
Пример 3. Случайная величина X распределена по закону
£ COS X , X £ (~ "2 	) 
р(х>> "	л ,	>
О , X ( 2’2'
Найти математическое ожидание и дисперсию случайной вэличинн
У = sinX
Ответ: л, 0 п 1 .
v	>	3	23
Пример 4. С-лучайдая точка ( \ > ) распределена равномерно внутри круга А радиусом У* = I. Найти математическое ожвда-нве и дисперсию случайно величины Z = X У.
Ответ:	—О ; Dz “ 1 24
Пример 5. ^ве случайные величии» X ж У связаны соотношением У-2-ЗХ- Известны тх-~1.	4 . Найти:
в) • Z1 • б) юррелчдеоняЛ момент и коэффициент
У У	“*У
корреляции riv .
у	i
Ответ: ^, = 5.Су = 36	Ажу--1, r^y = - —
Пример 6. Случайная величина У имеет математическое ожидание тх ж дисперсию Найти аетеиатическое ожидание ж дисперсию случайшх величин:
У--Х. Х=Х+2У-1; l/ = 3X-y+2Z-3
Ответ: п? --тх . Г>	. т_=-тп,-1 , 2) = У)
-у -с •	>	< -г ’	2 л »
^u-2m,-S
Пример 7. Система случайна величин ( X, у, z) имеет ха-ражтержстжкж:	_ 7пу _ т * ж корреляционную матрицу
г, кху
Найти ыате1вгнчесжое ожидание и дисперсию случайной величии» и~аХ-ЬУ ^cZ -d
Ответ: ти= а гпх - Ьт* + стг -d ,
Пример 8. Случайная величина X подчине да нормальному вагону с плотностью распределения г я
1	~ 2аг
рСж}--------е ‘га
aVsi"
Найтж мтгемотичесгое ожидание случайной величины у t Зж3*4т
24
решение.
[1-ЗХг+4Х3]=1-ЗЛГ[Х2]+4М [Xs]
Так как т-^О.то Л/[хг] =Dx -а\ М [Xs] =0. Поэтому тт7у = 1-За3
Пример 9. Случайная величина имеет плотность расщ>еделения р(х). Найти плотность распределения обратной ей случайной величины У = 1 /X
Решение. Обратная функция у>(у') = А однозначна, поэтому по формуле (4.1) находим
12
Пример 10. Случайная величию X распределена равномерно 5Г S
в интервале ( - — , — ). Еайти закон распределения случайной величины У= эin X
Решение. В соответствии с принятые в формуле (4.1) имеем
Р(я')~ 1 , хе(-^- гу'), у =q>{3cy = sinx обратная ей функция гр(у] =ar'csirty • причем |тр(у)|=	~
Vi-У
Следователь!», искомая плотность распределения
Интервал (-1; I) определяется областью значений функции у=ыпт Пример II. Составить композицию двух показательных зако-
Рг СЯЛ=
х2г^Хг >2>о.
О . Хг<О
Решение. Обозначим Х=Х(+ХГ Тогда по юрмул (4.2) найдем
ор	«	Лг. %гАг Г/,
g(x'> ^Pt(xi'>p2(XXi'>dxi~i^e	Нт1
- оо	О
=	1 С	----- при х >0 при£(а:)^0 и х<От
Л2-X,
так как р^х^^О при а^О в р^х-х^О щэи л^х . Можно
убедиться, что J g (х) di = 1.
Семинар » 5. ЗАКОН! БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ В ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Наиболее общим законом большее чисел является теорема Чебышеве, которая утверждает: при достаточно большом числе независимых испытаний среднее арифметическое наблюдаемых значений случайной величины сходится по вероятности к ее математическому опаданию. т.е.
(5.1)
п t=i
где £ - произвольное юлое положительное число, а значение 8 зависит от выбора бил.
Практически принжьеют О •< S сия случайной величины Вероятность того,
®[Х] - диспер-
(5.2)
что отклонение случайной величины X от ее «втеттического ожидания по абсолютной величине меньше положительного числа £ , оценивается вв Равенством Чебышева
₽(|Х-Л/[ХЦ <£>1 - 2И1 ег
Другим законом болт ди чисел является теорема Бернулли, которая устанавливает. что цри неограниченном увеличении числа испытаний частота т >п случайного события сходится по вероятности
к вероятности этого события, т.е.
(5.3)
При вычислениях по формуле (5.3) принимают fl < § < — п£г где у ~ i -р р _ заданная малая величина.
Пример I. Монета бросается 1000 раз. Оценить сверху вероятность отклонения частоты появления стороны монета о гербом от вероятности появления этой стороны меньше чем да 0,1. решение. В формуле (5.3) принимаем: п = ДООО, р^д- -£= 0,1. Следовательно,	2 ’
_51.
41000	2*	'	1000 0.01	40
Пример 2. Случайная величию X имеет математическое ожидание Л/[Х]=10 и дисперсию _D[X]=1 . В результате выполнения 100 независимых опытов найдены значения случайной величины X : Яр xz> ... • ^100 • Оценить сверху вероятность того, что абсолютная величина разности между средним арифметическим
100
значением ---- 2L X,
100	1
и математическим ожиданием Af[x ] будет
меньше 0,5.
Решение. В соответствии с формулой (5.1) воспользуемся
неравенством
р( I- £
k I п 1=1	*	' пЕ
Принимаем здесь п — 100 , М [Х] = 1О. D [х] = 1 , е = 0,5.
После вычислений получаем
z 1 1	100	।	.	п л
Р ( — Ё х -10 < 0,5 . ^1 - —Л—	= о.Эб .
k 1100 1=1	1	'	100 0,25 2 5
Пример 3. Случайная величина X имеет М [X) = 2 _О[х}=2. В результате 200 независимых опытов найдены значения случайной величины: oCj, хг......Я2оо * Оценить сввРхУ вероятность
200	I
Г 1=1	1
меньше 0,2.
Ответ: р = 3/4
Пример 4. Оценить вероятность того, что абсолютная величина разности | X Л/[Х ] | < 0,1 • 0сли дисперсия 2)[Х1 0,001 Ответ: р 9
того, что абсолютная величина разности ---
200
27
Пример b. Для случайной величины X известно:
Р(\ХМ [XII <ф0,9 , D[X]«=0.04
Используя неравенство (5.2), найти е .
Ответ: £ » 0,2.
Пример €. Шестигранная кость бросается 10 000 раз. Оценить вероятность отклонения частоты появления 6 очков от вероятности появления 6 очков меньше чем на 0,01.
Ответ:
Пример
Р( | -—
10000
-£|<0,01)
5s
31
36
7. В урне 100 белых и 100 черных шаров. Вынули
с возвращением 50 шаров. Оценить сверху вероятность того, что
число белых шаров удовлетворяет двойному неравенству 15<т<35. Решение. Двойное неравенство можно переписать в виде
-10 * т -25 < 10
1 т _ 1	1
5	50	2 41 5
Поэтому требуется Следовательно,
оценить вероятность неравенства I — - — I <—
50	2’5
± П Л 71 _ 1 I . 1 Vi _ °’5 °»5 » 7 . 2’ U 50	5>'	50 004 8
Семинар * 6. КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ТВЭРИЯ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ
Корреляционной функцией случайной функции x(f) называется неслучайная функция двух аргументов Кх ( t , t') , которая при каждой паре значений аргументов t,t' равна корреляционному моменту соответствующих сечений случайной функции:
где x(t) = x(t)- тх (t) - центрированная случайная величина.
При t=t' корреляционная функция превращается в дисперсию случайной функции
Kx(t,t') = Dx(t) = D [> (7)] = [бх(О32.
28
Отметим основные свойства корреляционной фуииции;
I)	Кх( t.,t ) ~ К я ( t , t) t т.е. функция К (t t') et меняется при замене t на С (стквтрнчность);
2)	| Kx(t,f') |< 6,(6) Sx(f) t
3)	функция	- положительно определенная, т.е.
И Kxd.t- 'icfCtitfd'ydt аг>о («(В)	•
где </ ( О - любая функция; (В) - любая область интегрирования. одинаковая для обоих аргументов.
Для нормальной случайной функции характеристики mx(t) и Кх (t. t ) являются исчерпывающими и определяют собой закон распределения любого числа сечений.
Нормированной корреляционной функцией случайной функции x(t) называется функция
r(t
^(Offjt') VDx(t) Dx(t')
т.е. коэффициент корреляции сечений ос (О и x(t'Y
Взаимной корреляционной функцией	двух случай-
ных функций х (t} и y(t) называется функция
КЯу(М') -Л/ [««) У(Г)1 .
Из определения взаимной корреляционной функции вытекает, что
Xxy(t,t')-Kyx(t'.t\
Спектральной плотностью стационарной случайной функции x(V) называется предал отношения дисперсии, приходящейся на данный интервал частот, к длине этого интервала, когда она стремится к нулю.
Случайный процесс x(t) называется стационарным, если его математическое ожидание есть величина постоянная, а корреляционная функция зависит от разности аргументов:
где t t’
Спектральная плотность Sx (. и корреляционная функция Kx(t') стационарного случайного процесса связаны преобразованиями Фурье:
29
Sx - $ Kx (t) e J AT . “CO
4	®°	jwT
Kxc^= —f Sx(^e Аиэ. _ да
функция Sx (a>) - действительная, неотрицательная, четная.
Пример I. Показать, что не существует никакой стационарной случайней функции х (t) . корреляционная функция которой
Kx(f) постоянна на каком-то интервале (-Т,,	) и равна
нули вне его.
Реше н и е. Предположим, что существует случайная функция xff), для которой корреляционная функция
“ IЬ ’	1<с * * г* ’
t О ,	ftrf >т, .
Найден спектральную плотность такого процесса:
1 00
(<л>) = — $ Кх (Т-) COS Wt d с =
5 о
-Lt1 Ь cosoTdt = А —п УЪ.
s О	*
Из этого выражения следует, что функция &х(ш) для некоторых значений со отрицательна, что противоречит свойству спектральной плотности; следовательно, корреляционная функция указанного мое вида существовать не может.
Пример 2. Определить спектралыгув плотность, если корреляционная функция задат соотношением
КХСП =*De~a,tl
Ревеня е. £ ^пользуемся известным соотношением
**(T)e’^Tdr-
•'СО	- ©о
- D Г S еЛТе Зг + Г £*	] - *
о
₽Z> [ — -> — А ] ,	\ •
OC*tU> <Х*тси 4
30	J	<Х * о)
Пример 3. Определить функцию спектральной плотности, если корреляционная функция задана соотношением
a>s/yt.
репе я и в.
Sx (О)) = Г (V e'^dt Л i> e'^'cos/^e• ^d-c= - ОО	-ОО
00 — гг!тЧ л	~j/^	чЯ-
f -Л1Т1 е +ел jolt = -° J е ---------------- е d/r =
-со	2
[СС-КШТУ)К О [сС-Дш+^ге а* + S е	dr
+ j e	dr
0
*?? C-a-j(oj+/b)]r
+ S e	dr] =
о
= 2cCD
2 о z
oC + w%/S
r 2	2	2,2	“ z 2
[ct +co +P> 3 - 4w P
Пример 4. Определить корреляционную функцию производной случайной функции arff). если
Kx(/ty = ae (1 + ос I тО
Реше н и в. Корреляционная функция производной определяется соотношением
к fn=_ ±2^1 х	атг
соотношения будем иметь:
С учетом этого
а)	для Т > О
Я
=—-— [af CCT(l+cC‘t')l = с & а (.1 -ат) dr2
б)	для т *-0
- ~ГаеаТ(1-^ ] = ел<глга (i-ат) атд
Объединив эти вшлчепия. получим
31
К*<'<г>-а€’а|г|оса(Ч ос I'M)
Пример б. Случайная функция О’(t) имеет характеристики:
^со-о ,
Л V.X ~ с )
Найти характеристики случайной функции у( о- / x(e)dt о
Определить,стационарны ли случайные функции x(t)E y(t).
Решение. В силу линейности преобразования J х (t)dt t	0
my(t) = S rnx<t') dt =0, О
i <'	i t‘ dt'
j dtj Kx(t,t)dt -J(j ----------------)dt-
0	0	0 0 l +
t
= J [arctg (t'-t) - arctg (-t) ] dt =
e tarctg t + t'arctg i' ~(t-t') arctg (t —t')-
1	<i + tz)G+t')2
“ T In ------------7~Z---
2	l+( t tу
Случайная функция x ft) стационарна [ Kx ( 111') - Л'х (t -1)]
случайная функция yCt)*=	нестационарна. Действи-
o
тельно, дисперсия случайной функции 2>у ( f) равна:
Dy(t) -Ху (t, t)-21 arctg t - in (l + t2).
т.е. зависит от t .
Пример 6. Корреляционная функция случайного процесса Я Ct) имеет вид Xx C't) = е Л т нут функцию К у (t) . если
. Определить корреляцион-
y<t)
djrfO d t
решение. Преобразование yft)- a-(t)	линейно,
следовательно:	dt
dzK._(T)
Кх(^- - -*.......- »
У	d-r2
е Л Т~ [ — (~2т ссге л *)]«еЛ т [1 + 2с£2(1-2<х’тгу]
Пример 7. Корреляционная функция стационарного случайного процесса имеет вид
,	<хгтг
Аа.<г'>- De
Определить функцию спектральной плотности 5^ ( со) . Решение:
5д.^)-5 Kx('t)e -J De
-СС^2 -juft е d*t
2
ui
dt - De
4с£а
-t*
at =
а
то ***?
De \ е
-со
Пример 8.
. .со2
=1)<5Г - е а.
Случайная функция x(t') задана выражением
£С Ct) = г> cos cot,
где и - случайная величина с характеристиками тп ь= 2 t <5j= 3 Найти характеристики случайной функции х(О- mx(t\ KxCt,t) D^Ct) • Определить, является ли случайная функция ас СО стационарной. Найти характеристики случайной Функции у (t") .
у(С= +<*	’
d t
где ot - неслучайная величина.
Стационарна ли случайная функция у( I) ’ Ответ:	т л (t} = 2 cos cot ,
9cos<at coscjt' . Dx(t) 9cos2<nt,
33
rri^Ct') = 2 (cos cot -aw Sin cot),
t) = 9 (cos wt - aw sin co t) (cos wt'-aw sin cot');
Z)y(0 = 9 (cos cot - a cd sin cjt'f.
Функция y(t) нестационарна.
Пример °. Стационарным процесс ac(t) имеет корреляцией-~cL *V -
дую фующюэ	= Т)е • Найти взаимную спектральную
плотность S^, (си) . если у(С) •= —— Найти также
dt
Ответ:
-z<2<J-Z
KXy<t)--2Dcc4 е ,
В	W*
5,у«*0 =-----—с 4а -=-5уа.(о>).
у 2а^
Пример функции X(t), если
10. Определить дисперсию производной случайной
а2
sxc^= -г- ---(w + а )
Ответ:
ЭГа2
2сс
Семинар * 7. АШИЗ лИРЕРЫВЖХ ЛИНЕЙНД СИСТЕМ ПРИ ОЛУЧАЙНД ВОЗДЕЙСТВИЯХ
Пусть имеем линейную систему с передаточной функцией V/(s\ Если на входе систем* действует сигнал у(<) , представляющий собой стаджонаршй случайный фоцесс с штематическим ожидани-в* Фу = const > то сипвл на выходе системы будет представлять собой также случайную функцию времени. Будем считать, что спектральная плоти!сть	(со) входного сигнала известна.
Тогда спектральная плотность выходного сигнала 5 (w) в уста-34
даВиниемся режиме определится соотношением =SgCco') Iv/Qaj-)!2.
для нахождения дисперсии выходной величины воспользуемся соотношением
Лг SX^ dw-* -оо
Отметим, что закон распределения для случайной величии может, вообщэ говоря, меняться щ>и прохождении ее через линейную систему» Однако в случая, если на входе линейной системы имеется нормальное распределение случайного сигнала <^(t) , то t® выходе для случайного процесса x(t) также будет иметь место нормальное распределение.
При вычислении дисперсии обычно приходится иметь дало с подынтегральным выражением вида । B(yu/> |2 уде	и
I A (jco>1 г
B(jOj') представляют собой некоторые полинои? от комплексной переменной (уьо)» Если наивысшую степень знаменателя обозначить через 2 л? , то наивысшая степень числителя дм реальной системы не может быть выше 2 л?-2- Дм удобства интегрирования написанное выше выражение обычно представляют в следующем виде: |В(уСи)|	6(усУ)
|A(j<v)| Al'yCj) A(-jCu>) где
А	ао (JCL>')n+ а1(у^’)п + .. +ап>
<3 (уСм) />о (jco') -’-b/yiv)	+	+ЬП1.
Полином G (jсо) содержит только четные степени (у^~) • Таким образом, вычисление дисперсии можно свести к нахождонип интеграла
j 1 J G(jcu)du> 1 G(jco}
00 А(уо>)А( ус.) |A(ja,)p
35
Интеграл Jn	определяется выражением	
		а, а3 а5	о о
		а0 а2 а4	0	0
М)		0 а, аь .0	0
у			 , где	0 ао аг	0 0
2 «о		...
		ооо	ап1 0
		0	0	0	а а. п-2 п
представляет собой определитель Гурвица, а
К? Интегралы тако	0 0 0 го вада	•0" с? с"	о о 8	*2 °4 ai  0 0 гслевы до	ЬП-2 0 0 ап-1 ап-г п-7	о’-1 0 0 и своде	ны в таблицы:
	ъ		Ь			
т —	О	г	0	а1		
1 2а а.			2а		»	
Л , а. а.
-а, Ь ♦ а. Ь.	—S—1—£
J » ----------------------- И Т.Д.
2Wj- aLaa)
Произведем расчет установивихся ошибок в автоматических
системах Замкнутая систеш авто мати даского регулирования может находиться под воздействием 'луччйного управляющего (полезного) сигнала git'* и случайного возмущения (помехи) f(t'), приложенного в произвольной точке (рис. 3). Считаем заданными корреляционные ф—акции ж спвкгральныэ плотности управляющего воздействия и помехи.
Рис. .
ЗБ
Конечной целью расчета является нахождение корреляционных функций и спектральных плотностей выходной величины oc(t') и ошибки €(О- Обычно ограничиваются более узкой задачей и определяют только дисперсию ошибки системы регулирования.
В простейшем случае, когда g(t') - случайный стационарный дроне ос оо спектральной плотностью S (ш) • а помеха отсутствует (О)» расчет можно свести к рассмотренной выше схе-Тогда спектральная плотность ошибки будет
Sgt1**) = ЬРе	(gjу
1
где % Cj™) ’-------------- = 1 - Ф
Тогда
|i+WQCu)|
Дисперсия ошибки
1 f г Т> ж — \ <Sg (c*j) d сЭ.
2й -оо
В другом простейшем случае, когда управляющее воздействие отсутствует (y(t)s О') ♦ а помеха представляет собой случайный стационарный процесс оо спектральной плотностью Sf (to) , аналогично находим спектральную плотность ошибки.
<Se(oj) = |Фу(дФ) |Z_
где	- частотная передаточная функция по возмущению.
Если возмущение приложено ко входу системы, то WCjCo')
2
Sf (оЛ.
WYjw) l+W(jCu)
Если полезный сигнал и помеха действуют
одновремя нно.
вы-
$е Со>) =
ражение для спектральной плотности ошибки имеет вид
37
SeC<o") - |фе (Jw) |2	+ |Фу (j^ ) Sy <W> +
+ ’PgCj^') Sfgf.Ul') ('JW) + Фе(-^£л?)-	Фу (jC<j')>
где Sf„(cS) и S^y(co') - взаимные спектральные плотности полезного сигнала и помехи.
При отсутствии корреляции между полезным сигналом и помехой последнее соотношение примет вид
Se('uo) =	+
В том случае, если помеха действует на входе системы, будем иметь
SgtU)')	|	I 2
se ----------------.7 + ----------- Sy
Пример I. Передаточная Jy ixnz t разомкнутой системы k
Wfs'*»---------. На входе дей тву т помеха (белый шум) со
S С TS * П
спектральной плотностью Sy (cS) = Л < Показать, что дисперсия флуктуационной оижЗки системы а за исит ст постоянной време-
bo-0; Ъ^Л.а^Т- at-i-a^k ,т.е. T)e = **L я да зависит ст Т.
Пример 2. Передаточная функция разомкнутой системы
W(S)= -	'• fe = 100 I/c; Т - постоянная времени кор-
ректирующего устройства. На входе действует полезный регулярный сигнал
2>t
= at + — ; ( а = 100 град/с, Ь = 10 град/с2)
и помеха (белый шум) S^(a>) = /J - 0,2 граД^-с. Определить значение Т  соответствующее минимуму средне квадратической ошибки, а также значение ошибки.
Решение. Ошибка от полезного сигнала сг
т.е.
Ы	с
еГ Со
где с • ct . с2 - коэффициенты ошибки. dl$e(S> I
Имеем с. =------------I ( i = 0, 1,2 ,,. ")
ds' |S=0
Передаточная функция по ошибке
=--------=
1 +W(s')
s2
S^ + kTs + k
тогда
Co=cl=° > d^Cs") c2-------
ds2 2 °4 - t ’ e9
s =0
Ь г -- e
Средний квадрат флуктуационной ошибки будет
ьг
Су «= — J |ф (jco')|2 Ada; = 29J -оо
39
ЬгЛ/ <=° £-T2(ja>)2* 4 )d<«o Afl + hT'2')
2Л -со	kTjaj + fe |	2T”
Суммарны! квадрат ошибки
2	2	2 bl A/U+kT*')
е ‘ e9^ef ’	+	77
Аля отыскания минимума последваго выражения приравниваем нулю первую производную по постоянно! времени 7*:
de* 2kTAl2T -2Л(1+ kT$) о
dT	4 Т2
Отсюда 1
7~ = -	• О 1 с
V*
Z, , Л С1*100 0,4я	’	. . ,
е “V----? *-------- 0.2 “ 1Л1 град
» 1002	2 0,1
Пример 3. В предыдущем примере считать, что можно изменять значение как Т, так и k • Ощ>еделить оптимальные значения Т и & я значение ошибки. Решение. Дифференцируя выражение
ег Ъг (i^kT^N k1 2Т
по т’ н v и приравнивая чаотные производные нулю, получаем два условия МИНЖМУМ1:
1 /Г
2
k3
z^=0.
2
Решив эти уравнения, получим
16.
Л
2UP±«2J А
0.2г с
1
Гпт=-=-0,218с ^олт
1 + 21 0,218г
2 0,218
•0.2-1,07°
40
Пример 4. На входа следящей систеш действует полезный ситная $(£)• спектральная плотность производной & ~ li-которого и»»ет вад	dt
,
SL(io)= - j ; Т-1с ; y/D^ = 2 граД/с.
Si	1 + gjT
fe
Передаточная функция система V/(s>“ ------
ww Ъ = 25 1/с , 7i=0,05c
Определить среднеквадратическую огзибцу.
Решение. Спектральная плотность для входного сигнала дС
ЪТТ>Л
~2 '	2 И
У w2(l + w2Tl)
Тогда спектральная плотность ошибки Йе(со')
|Фе S? ( где
i	( 1 + 7J joo)
Фе(^ =-------------=--------г------- ;
Д + WCjw')	+ jco + b
2Т^(1+иг Т*} Se(^ =	2„2Ч 1	. J~ ГТТ
(1+со Т } |	+jW+ft
Приведем ее к виду, удобному для интегрирования:
= 2 j “		|7"
к T(j	(Т+ TJX j W)2+(i+ feT) j	tl
Интегрирование по всем частотам дает средний квадрат ошибки:
е^2Т1)Л^,
1 у [-7J2G^')2+1)daj
3 2Я-ТО |7JT(j<of+(7V^Xj<o)Z+(l* ао* . а1-т+т1 , a2=L^kT , аэ=Ь, *.-0 , ь1= -Т/ , Ъ2=1
Т.в.
2
3
2
е2=
Окончательно ямэем
e	t.2 5. 0.0^ > =0.082 град
fl p ж мв p 5. На вход сжстеш с передаточной функцией W(s) •-=	/5 в момент времени t = 0 поступает случайный центриро-
ванный стационарный сигнал с корреляционной функцией К Ст") = -cel'll
= D е  Определить дисперсию выходной величины, если
fet= 0.1 с * . сС - 0.05 с 1 , Т> =1.
Ответ:
2>^)=2fe2	)=O.4t-8(l-e °'°5t)
* Z OL
fl р ж м е р 6. Реаггь привр * 2, если передаточная функция разомкнутой систем: имеет зад
& = 100 с1 W(&)= —---------- .
s (1 + и) -г = 0,05 с
Ответ:
+1/г *4 -0.16 с.
* е
ьг а* ьгг)л s ai
--*-----------— =1,81 град
k2 2(Т-Х)
42
Семинар J* 8. АНАЛИЗ ДИСКРЕТЩХ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ ПРИ СЛУЧАЙШХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ
Пуоть уравнение состояния дискретной линейной систем, имеет вид
х[п + 1]=А[п)а?[п]+ВГп) и Г и]
’	(8.1)
у Гп] = C'[n]a:[n]4-r)[n]w[n3
Здесь А Гн) “ матрица системы размером k*k i В [n] - матрица входа размером &xr, Cfn]- матрица выхода размером m*ki &[п], w[n]- векторные случайные процессы размером (гх!) и (лт х!) соответственно.
Полагаются заданными математические ожидания	[п]
и корреляционные матрицы ^u[n1>n2],A'w[n1 ^процессов у [и) и TX^[n Jo Начальное состояние ас f пр ) представляет собой случайную векторную величину с заданными статистическими характеристиками: математическим ожиданием ma.=Af{x[noi’y и матрицей дисперсий D = М { х [_п ] scv[n ].Случайные процессы 1>[п] и w[n]H начальное состояние Л [nJ полагаются некоррелированными, т.е. М[х Гпр] гт[п]}»0, И[х [п0) wT[n]j=O для	Л/(уГп! ] гюТГгу}=0 WM любого nf и п2 -
Задачей анализа является определение математических характеристик (математического ожидания и корреляционной матрицы или матрицы дисперсий) процесса х [п] или процесса на выходе у[п] В дальнейшем полагаем, что шум измерений го[п] представляет собой "белый" шум с нулевым математическим ожиданием и корреляционной матрицей [ni,n2]=ipw Г nJ S[n,.n2],
„	fl, если п, - n ,
гда	[о. если п>н4 - символ Кронекера.
Математическое ожидание [ п ] удовлетворяет разнэ'тнэцу уравнению
T^fnMl-ynnlnrJnl + Brn]	8-2)
и начальному усл. злю тх [ по ] = т х°
°	43
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
Тогда
rny fn] = C [ n] mx Си]
(6.3)
Если п ] представляет собой "белый" шум. т.е. rrivln ] =0 л Л'и(л4.п2]=НГп11^[п1,пг]«> матрица дисперсий Dx [пЗ удовлетворяет разностному уравнению
^.Гл^1)=ЛСп] Л1[пЗЛТГпЗ*В[п11риВТ[п1 (8.4)
и начальному условию 1>л Гпо3 - JDX
Корреляционная матрица	поможет быть найдена по
формуле
\г1Ч.пг] =
ф [п1.пг] Дс [лг] , Лх [njl ФТ[л2,п13.
(8.5)
Здесь ф [ntin 3 “ Фундаментальная «грииа решений линейвэй одиородвэй систем!
л" [п - 1 3 =А [ п ) х [пЗ .
Матрица дисперсий _Z)yfn] процесса у [и] будет
Z>yfnl-C4n) Лг[п]СтГпЗ+1)ГпЗ wu,[nlDT[n] (е*6)
Еслж джсхретная лниейная система представляет собой стационарную систецу» т.е. уравнения состояния имеют вид
Ж Гп*1]-Д агГп]+Bvlrz],	(8
уГл] «СжСпЗ + Dwt пЗ
ж u[n]HW[n]- стационарные случайные процессы, т.е.
Гп] “Cc.ibt . Kv[nlf Пг3-Ку Cn1-n2]-X'u[n],
.лг) = Ln3
Тогда в установинземся режима х f пЗ представл”ет собой стационарный случайный процесс, и его матрица спектральных плотностей
IV'Qlo) В sl(<2yRrW-r(-jCa') .	<6-8>
Матрица
s; fed) = С s’
(8.9)
Здесь
W*(jto')=S){<f,[’i3yl	_- частотная характеристика
дискретной систеш. Ее гожю определить по формуле
V^^e^E-A)4
(8.10)
Злая матрицы спектральных плотностей 5* (со) и S" (^) , можно вычислить матрицы дисперсий и корреляционные матрицы, например.

(8.II)
И
. ЯГ
г_ = 2_ С S* (<L)dw .	(8.12)
Если на дискретную линейную систему, структурная схема которой указана на рис. 4, поступает полезный сигнал д [п] и помеха у>[п] , представляющие собой стационарные случайные процессы, то спектральная плотность ошибки е[п] = a[n]-3![n] будет
S*(co) = |Ф* (jco)|2 Sj(co)+^^(jw)|2 S* (йЗ) ,	(8.13)
а дисперсия ошибки
Рис. 4
45
Wh^
Пример I. На вход дискретной систеш. структурная схема , которой представлена ев рис. 5, поступает дисЕфвтный "белый" иум, причем
"7w = 0-, К\,Сп)=6Гп]
I
-£-|ии> [—[w,(s)|—|
I
Рис. 5
Определить штештжческое Ожидание и корреляционную функцию процесса на аноде систеш. если
|	W7s) = ----— - W(S) = 1
T^S-H
Р е  е в и е. Передаточная функция дискретной систеш
, гае k=-,p~ — -ef	\	\
Тогда разностное уравнение, списывающее динамику систеш- будет
X [п*Ц = d xtn} +*t v[n + 1] ,	(8.15)
где d - е .
Пусть начальные условия имеют вид ^г~ГО]=п7, , Z' £0]=D, x	-te ' х	хо
Уравнение для математического ожидания (8.2)
гп х f п ♦ 1} = d гпх [п).
вго реиенив тпх [п] - тж dn
Систеш полагается устойчивой, т.е. d < 1 . Тогда тх [п]н>-0 при л -»• <».
Уравнение для дисперсии (8.4) будет
।
Dx [и + 4] =d2Z)x [л1 +t£
.г
^условию РЛ[п]<1)Ж(- _-±-)d2"
Общее решение этого уравнения [П1 = с	,
ь,г l~d* произвольная постоянная с =
Тогда искомое решение, удовлетворяющее заданному начально-
+- —1  .
L~dz ti1 Ддя установившегося режима Dx [и] = -d~ 1 ~d Определим корреляционную функцию Кх [ п ].
Фундаментальная матрица решений дм уравшния (8.15)
Ф ГП! по ]= dn п‘
Тогда, согласно (8.5), получим
dn^[(DXB-b~)dZn\ .2 i.
будет
i-d2
— ] 1-d2
, fef . ,П1+П2
° 1-d2	i-d2
В установившемся режиме, когда nt -*• оо _ разность | пх - п2 | остается конечной величиной, ,2 iz г т k* Jni'nJ ** [nlfn2]* ------------------ d
l~dZ
так. что
nz оо , №
L п 1,
где п °п1- пг
Для установившегося режима найдем решение другим способом. Спектральная плотность входного сигнала
~ 1.
Тогда, согласно выражению (8.8), спектральная плотность сигналя на выходе
47
,	I * i2	46 e
Зл(й>) = |w O<5)| . --------------------
2 {ch /5 - cos c3)
Корреляционная функция
^[^1]=— j s (Ш)е d“*“ j
* 2S X	2x jt
i‘ejSndH
_	M.	□<*>
Для вычисления этого интеграла выполним замену переменной z=e .
Тогда
^<!п-‘а2	^z2nd2
Кх [п] - — £	------------= — £ --------------
4>2 dn
1 -d2
£ -с?г
ПъО
п<0
fe^d'"'
£-d2
Пример 2. На вход дискретной системы, изображенной на рис. 6, поступает стационарный случайный процесс г> [л], причем
7no=0,	[nl Заданы статистические характери-
стики начального состояния систеш: математическое ожидания
тх[0]	 дисперсия -Т>х . Определить математи-
ческое ожидание и корреляционную функцию выходного сипвла л?[п] и ошибки е [ п ] , если
v/(s->^------
7?s^i
j *7s
, ,	1 -e
h^cs-)---------
s
Рис. 6
48
р е ш в нив. Передаточная функция дискретной разомкнутой’системы будет
W eg) = —z--------- , где d - е k .
е? - d	1 7J
Тогда передаточная фунютя замкнутой системы
Ф Су) =-------— = —-----------,
1 + W (д') е? + h передаточная функция по ошибке
. #	_	3 e^-d
е(9	1+W*fg) ~ e^+h
ЮТ h =\(1-d)-d.
Замкнутая система полагается устойчивой, т.е. [ЛИ!.
Рассмотрим вначале определение статистических характеристик выходного сигнала ос [ п] .
Уравнение состояния имеет вад
а?[п+1] = -A:z[n] + t1(4-d')u[’n]>
У[nl = а?[пЗ .
Тодда уравнение для математического ожидания будет
тх [n + i] = -ft тх [п],
его решение
Tnxln-}=mXo(.-h')n.
Уравнение дисперсии выходного сигнала
tn + 11 =/гг Лх[п] +i?i (1-df -Dy
Его решение, удовлетворяющее начальному условию будет
Г ,	d)2	feX(1’d)2
* TV

49
Корреляционная функция негодного сигнала
X, 'hMV ~ ~hp2	}(-^Па-
* ’ 2 (_А)
v -
i-h*
В устаиовииаемся режиме, когда гц оо и пг -»оо. но так, чтобы разность | и t - пг Iбила конечное величиной:
К г и „ 1 -	А^'~П*'1> - ^(1~d)2(-Mlnlr
лт[пъп2] 1	( A) Dv ^_лг (.A)
где п=л1-п2. Соответственно
kfa-df
—---- в
‘«-О	!_А2 v
Для установивоюгоая рехиж корреляционная функция к* [О и дисперсия Dx могут быть найдены другим способом. Спектральная плотность входного сигнала
tc
П^-оо	u
Тогда соектральная ыотность сигнала на выходе
w	»	2
5э(о))- Sd(uj) | Ф Cju) | =--------------—
(eJ^h)(e~^h)
Корреляционная функция

5C
-я
Vvk\<S-d'?
1 Dcif(l-d)22n l et(i -ctf
---- Ф-----------------dZ- D —------------- f-A'i1’11 ?Х>1И1Н (г+Л)(1/г + А)-v <~hZ ( Л)
50
дисперсия Da = Кх (<т) =
Определим теперь статистические характеристики сшибки e[nJ = v ЕпЭ-ас [nl .
Разностное уравнение для ошибки
eCn + l] + fteCn] = u[n+il-dt>[nj уравнение состояния можно записать в виде
Гп + 13 ^-ЛгсДпЗ ♦ Cd-b/OuLn] e[n3 = -а4 [и] + г>£пг
Напишем уравнение для математических ожиданий:
ттг Х1 [п + 1] = -Л 77711 [пЗ, гпе [ И ] = -7ПХ1 [пЗ .
Найдем решение, удовлетворяющее начальному условию:
те [0] =-mXj [03 =тпЖо те [n] = - тХо (-h')n Установившееся значение ттг£ [со]=0.
Уравнение для дисперсий
DXi [п +13 = Лг2)Х1 [n ] + Dv (d +
Найдем его решение, удовлетворяющее начальному условию
г 2
(d<A)aZ>v 2п (d+rf
г> •
Для установившегося режима
дисперсия ошибки
fd + h/	d2+2dh + i
—г	К —г.........
1 “ п,	in
Вычислим дисперсию сшибки Z)e в установившемся режиме другим способом. Имеем
7 GJ	— jCU
г	~d^e
5е <сс)= 3 (иг') | Фе(^) |	— •
(tJ *h)(eJ i-fi)
51
Тогда
У	х
Ге=— $ S\io)d<5 = — f
Д)цСе -d)(e -d)dco (e^hUf^h)
= ±ф ^(z-dXl-dz)^_RMu ^-dXl-d^l +
^Izi^l *(*^)(£+^)	|z„0
+BbIV 2)v(z-dxi-d^ .	=	^2dh+i_
г (z +Л) (1+zh) lx,-*	1‘ hz
Пример 3. Определить дисперсию оиибкж De для установившегося режим! в димфетной системе, структурная схема которой
» Р.С 4. .СО 4-(fV J . Ч.w . ^tL-. полезный сигнал gr[^J представляет собой стационарны! случай-
- _ r2shoC
ный процесс, причем S (ы)=------— » помеха -у [и] -
° choc-COSCO
"белый" шум со спектральной плотностью S* [cj)-a!
Решение. Передаточные функции дискретной систеш
.	1	e*-d
Фе(9у=----------— = --------— ,
£	(q^(q) (ki + £)e9-d
fee9 фг,<^ =--7----Z---= -----H------
1+V'	<fe1+l)e -d
Тогда дисперсия оиибкж
Pf "7? J С5;^Чф«0^)Г+ st(^ {фУо^)|л)ал = ьг л2
-i- ( f -------________________+
2S L [(V^-rflKVO^-d] + ______j/shafe^-dx^-rf)___________,
-ha ocscoH (b	d][(kt^f)e'jai-dJJ
2
1 ф
=2Я^- '
i £. ZT>*
+2я->|гм C1+V
Je(i-e~2<*) r И1*^ + i+d2 ’ [Тл(1 +fe0-dj[l+ ^-de^] [a*feiy-d2fd+ e*-^
Пример 4. На вход дискретной системы, структурная схема которой указана на рис. 6, поступает дискретный "белый" шум у[ и] с нулевым математическим ожиданием и корреляционной функцией Kv[n] =DO6 [nl • Определить математическое ожидание, корреляционную функцию и дисперсию процесса на выходе ас[п], если ^ф(Б)=1, й/н(з-) = -Д—. -
Задано М {х[0]} = Шд, и М. { i 2 [01} = DXo
Ответ: Математическое ожидание тп^, Гп1 hn •л.	*	~*'О
Дисперсия в установившемся режиме
k2	е~^	k1	k
Dx= --- D , где h = ------------ ", fe =---- fe =------
* i-A2	1 + *2	1*^
Пример 5. В условиях примера 4 положить:
{-е~бГ	k
, %(s>=— • s	s
О т в e т: В установившемся режиме k2 k^kr, h^L-k, i-h2
Пример 6. Определить дисперсию ошибки для установившегося режиха в дискретной системе, структурная схема которой пред-
»	4	*
ставлена на рис. 4, если ((f) “	^Ч~)~ 1 ’
ey-i
полезный сигнал <7[п] представляет собой стационарный случай-
ныв процесс, причем S*(cu)=-------—; помеха и[п] -
3 1.25-cosco
"белый" шум оо спектральной плотностью SD(co)»l.
2k.+l&
Ответ:	D = ----1--------
(*,«•1X2-10
Семинар * 9. ПОСТРОЕНО! ФОНМРУПИХ ФИЛЬТРОВ
Формирующим фильтром называется линейное звено о передаточной функпи й W(s). которое щ>и подаче на вход стационарного белого иуш v (t) оо спектральной плотностью будет иметь на выходе в установившемоя режиме случайный процесс с заданной спектральной плотностью (со).
Пусть спектрах* тая плотность стационарного непрерывного случайного проце са x(f)
S^(co)=^l.	(9.1)
Q(co'> причем Р(ь>) и О.(.ш) - многочлеш с веществе ни ш коэффициентами четных степеней соответственно 2 т * 2п , причем
п » т
Найдем выражение для передаточной функции V/(s) • Полагая. что полином Р(со') и <2 (со) ив имеют вещественных нулей, запишем P(o))=^>(cu)^(cJ) и Q(oJ) = Qi(aj')	где много-
члены ^(со) и fijfco)
имеют дули в верхней полуплоскости, a Pt (со) и Qt (со) - в нижней. Расположение нулей многочленов £>(со)  ^(со) при т с 2 указано на рис. 7, Отметим, что о>„ =• - си и Рг Pi со = - ш „ Обозначим Pi	Г 2
 
Тогда
Сделав аналогичные преобразования длч знаменателя, получим
~~Р, . - IWof, где V/fjto)'b,(jLo)/^ja')Tor-«a передаточная функция формирую-чего фильтра
WCs)=-^ir> .
F(s)
Пример I. Определить передаточную функцию формирующего фильтра, если
25) се
Г--7  со + cl
Решение. Имеем Q (со) = оо2+ ос2
Тогда Q.Cco) =u> - jcC , A’Qio') =jco +сс.	_______,
1/25)Л
Передаточная функция формирующего фильтра w( s> --
s + Л
Пример 2. Определить передаточную функцию формирующего фильтра, если
сиг+2
—j—г~ •
Реше-иге. Имеем Р = сог+2 • Нули полинома со4 = ±jv^. Тогда ^с^ = со-ул/Г;+ VT Следовательно, имеем Q (to')=GJ4-co2+1 . Найдем нули знаменателя: w12 i 4 ° = 1	+ j | . Тогда Q4 (aj> (oD	1) .
Соответственно	+ -
= (jw+ 1/2)’+3/4 • Передаточная функция формирующего фильтра s+VT
W(S) = S"^1T7
55
Пример 3. Определить передаточную функцию формирующего фильтра, если
сог+4
------------- '
6J + Ц) + i
Ответ:	S+2
Wcs)=-g----=-----
S *- Vis 4-1
Пример 4. Определить передаточную функцию формирующего фильтра, если
Ответ:
Пример 5. фильтра, если
5^(03-)= --------------- .
С«ЛсСгХ аЛ/З2)
О'
W(s-)=------------ -
"оедалить передаточную функцию формирующего
а2
sx<ou>= Г^~Т7 ‘
Ответ:
а Wr = --------
„	с	CS+oO2
Пример ' . Определить передаточную функцию формирующего фильтра, если
2 ff’ct (аг+ра>)
S^(^= ——-——--------------—- . хда а. > О , уз >0
(со + сС2+/Ь2) - 4/Ьг со2
Решение. Нули полиюма	знаменателя будут:
’ То1да ОЛор')
Следователь». p(j(a) =	+ aXjco+J/3 + ос) .
Передаточная функция форшрующего фильтра
V (s) = 6	6--v/2 tf(oc^a)
is-cc-^Cs + cc-bjp) fi2*20cs + d24./52 fe
л Tls2^2^Ts^i ’ r_______________,
S'/cf
d2 + p2	Vtf2+/з2 ’ b
7'
п р я “ 6 Р 7* Оп₽вдалн’Ь передаточную функцию формирующего фильтра» если
„	6"гсо2
5я(со) =
z 2	2	0.2 э о”»	* О г Р -* 0 -
(<л> + оСг+ /З2) - 4/ъга)2
Ответ:	fes
Wfs) = —-------------- ,
Т S ->-2^Ts + i
1	_	сС	а
ГДв <Т’Х= —~	\ £» » ______
Усс2+/з2 /сс2+/з2	о(г+/з2
Пусть спектральная плотность дискретного случайного про-
цесса

Р’сЛ
Q*7co)
(9.2)
Определим передаточную функцию V/*Cz} линейного дискретного звева, при подаче на вход которого дискретного белого шума г?[пЗ со спектральной плотностью S* (й> ) = !., на выходе в установившемся режиме получим дискретный случайный процесс со спектральной плотностью (9.2). Полагаем, что при замене ejUl = z спектральная плотность (9.2) примет вид
С* Л X с* .	^(2) 2Й’’П
Sxz = Sx^ а	,	(9.3)
e =г
™ ^(23 -b0 bi 2гтп\.л Ъггп- Qtc^ao^ причем а1^агь-1 (L=°A^ .fe-O, £	(9.4)
ЬГ’=Ъ2гп-г' (^ = 0,i...т-О
В силу равенств (9.4) полиномы Р^?) и Q1C>t') обладаю* оле-луюшим свойством: если 'Zp('Zg,') - нуль полинома Р± (z)(Q1(2'))j то и 1. с А будет нулем политюка F> (?) ( Q.t (£')') , причем той же кратности. Полагаем, что политики (2) и не имеют нулей на единичной окру.пюсти. Тогда

57
£„00 = ------------------------------------ ’
а’оСх-г^) №-г^Х2-1/2?р...(г-1/7^
причем | цр | < 1 и | z^, | <i (i =1,2,..., rn j- 1.2, ... ft").
Отсюда следует, что 5^ (г) можно представить в виде
g* 2 =	УУН(1/г)
«f2)= Г(г) Fa/z')
где
Л’гг) = П Cz-гр) i Г(г)”!Т (z-z* ) , £=1 ъ	,=1
Передаточная функция формфующего фильтра w\2)=	(9.5)
F(2) имеет все нуди и полвсн внутри единичного крута. Пример в. Определить передаточную функцию дискретного формирующего йиьтрв. если 5*(<Ь)= -----------—----------——-
х 1-2е а_собЛ + е'гоС Решение. Вшюлнжв замену переменной eicu = г , получим
S* (71₽ -----------1----------- -----------*------------
1 ea(z.i v + e2* -е-аг2+М + егй)2-£Л Для рассматриваемого случая т=0 b =1	^(г)=1
Нули знаменателя 1^г(г)^-е *z2+fl + е“2Л)г-е"а "удут < ". i
. г <яая ф ,«щя {хгьтре
1 1
Tt-eCL г~ёл
. • ,	/(-De
h 2)=у--------
<х
Пример 9. Спреде m передаточную функцию дискретного рмируюовго фильтра, если
(1 -2 е ^cos w + е2^ Х1_2 ~ «os - + - га '
# *1
Ответ: V/ С г) = ------------------.
Пример Ю. Определить передаточную функцию дискретного формирующего фильтра, если
Sx(co}~---------------
2 (ch/b-COSCo>
ж feJi-ёЛ
Ответ:	W* (г)= —--------- •
2 -
Пример II. Определить передаточную функцию фильтра, ecu
1,2 5 - cos сё
--------Г
2,6 +• cos со
„	„	_	1,25- ~(е'“+ e~j^
Реше н и е. Имеем S’, (со Л =----£____=____»_ . Тогда
2.6+f(e^e-^>
2	<
» -Я+2,5 2-1
s («О = —---------, нули числителя: = 0,5 , z = 1/2^2;
Я + 5,22 + 1
нули зщивнателя: Я1=-0,2 •, Я2 = 1/а =-5.
Передаточная функция формирующего фильтра
,	Vi? И-0,5
К (2^=------------— •
г 5 г+ 0.2
Структурная схе&е фильтра представлена на рис. 8.
Рис. 8
59
Пример 12. Определить передаточную функцию формирующего фильтра, если
Sx (а>)	—	—
2 (cos 2го - 4 cos S' choC cos со *2 coe2S + ch 2,ot)
Ответ:
»	fe.sinSe л
2 о -*	/
Z -2г e cose + e
Семинар M 10. СИНТЕЗ С ДИМЕРНЫХ ПГИМШЖХ шнрашна иста»
Рассматривается задача определения частотной характеристики непрерывной си< эш, для которой дисперсия ошибки бадет «-иимальвой. Цусть на вход систеш управления поступают полезный сигнал гс (t) • ДОвдставляижй собой стационарный случайный продасо с математическим ожиданием тх и корреляционной функцией Хд. (Т") > и помеха г>(<). которая также является стационарным случайным “ооцесоом о математическим ожи .раннем щ и корреляционной функцией Kv(t) (рис. 9).

Рио. 9
В оптимальной системе негодной жгдал у(£) доставляет минимум дисперсии ошибки Z>£ , где под ошибкой e(t) понимается разность «аду полезным входным игналом x(t)u выходным у ( t) , т.е. f(t> — y<t) . Частотная характеристика ф (j го) oir:"rei;.noa и -rei*i определяется афакением
------ — \£ dt j -----------------------е di СЮ.I) 'P(jro) 2ft 0
в формуле (IO.I) обозначено;	- вза^дад спактральвая
^отность сигналов х (О и g(t) ^x(t^v(ty;	=
s tp(joj~)	“ спектралыия плотность сигнала zft) =
3 sc«)
ЕСЛИ спектральные плотности S^Cu) и	преДстамяот
собой дробно-рациональные функции, то интеграл в формуле (ЮЛ) „ожет быть вычислен, и частотная характеристика оптювльвой сж-сте« будет:
.	(Ю.2)
r V(ja>> Lvejw) _
Г 1
Выражение JL*-------- I означает, что в разложении отно-
с z,	1 +
шения----------та простые дроби сохраняются только те сла-
4>(-Jcj-)
гаеыые, которые соответствуют полюсам, расположенным в верхней полуплоскости. Дисперсия ошибки в оптимальвой системе
Z’e = Г I Ч ,	(Ю-3)
где 4(joj^ =
5х;г(<х>)
переда-плотнэсть
плотность
Пример I. Определить частотную характеристику и точную функцию оптимальной систем:, если спектральная
полезного сигнала S' (о>)= ---------— • спектральная
сог + Л
помехи S (и>)~ -----------« • причем сС >/% . Сигналы oe(t) и
ъ сог + dz
'U(t')- некоррелированы. Определить дисперсию ошибки в оптимальной системе.
Реше нив. Спектральная плотность сигнала Z(t)= ac(t)+-v(t) будет равна
= Sx (со) + 51)(си’> =
( о2+ сСг)( <о2 + /12)
61
Тогда

k-f JCC + Л')
______,	<joo+oCX;oO+A^
гда	 h*(Vdtf+etf)/k
Взаимная спектральная плотность
б1
(joo+pV-jeo+M Тогда
6 (-jbi + ci'yc-jb)+fl>)	Cu>+jc£)
’P(-jui') (ju>*AX_jt^*A’) *( jw+h) £(co-jA)(a)+jh)
c г A £> i . <**A -a+h =— I ------- +	----- I , гда A ----- • £>«=------•
fe t*>~JA c*>t-jh 1	?<Л*А) j(ft+A)
В результате преобразована! шеек
pJg«4>] бЛсС+Д) i fe(A+A') и частотная ларактеристика оптювльной систеш
Ф о., 1 f5.rzfa>) | = ег<<**./У)(jcoi-co
V(A>) lV(-jo>)J+
Передаточная фунтам оптжмальвой систем/
Ф5 "	, где kt -=
Ди’ iepouH оягбкж в оптвельнэй системе
в3 CL+/V)
п 4f
«О
1 “ e2[k\ft^h-j~6\^}
2	~~ Т~	'—du)=
- оо ЬСА*лАсогтЛа)
63 rd3(f5^h^&2(h1-a2^2/i(h-a)y)1
k3(fb^h')2
ПримеР 2. Опр делить передаточную функцщ, оптидальной си стемы. если спектральная плотность полезного сигнала S (со) » j__________» спектральная плотность помехи (со) (
Полезный сигнал и помеха некоррелированы Определить дисперсии ошибки в оптимальной системе.
решение. Спектральная плотность сигнала x(t) = a(()+v(f) буда’
со СО +5
Уг (аз) = Sx (со) + 5ъ(со) --------— .
СО4- а>2+ 1
Представим 5’г(а>) = Ф(усо)Ч’(-7аз). Для пределения
найдем нули числителя Р(со) -= со4-со2 + 5 .
“ЧгдГ *4,1**7 0,9346 .
я знаменателя Q (со) = а>4 -аэя+ 1 • + + - 1 ^,2,5,4~	2	3 2
Тогда
(jco+0,9346+jl,17)(jaJ + 0,g346-jl,i,7)
Ф = ~~7-	1 t/S'v *
+ -р ~j -у )(jw+
Взаимная спектральная плотность
Х г- 1	1	1 -VTv- ,
Тогда отношение	1 V?
= ___________4(-jco+ | ~J~T )(~jCO4~ 2 ~z __________м
jw) (-4jco+0,9346*jl,17)(-jc«>*0.9d46-jl,17)(Ju) + t +j ’f)
4-4 <) (4а,-1+J f)(jo,- 1 -j
=----------------------------4___________________________—
<-J<‘, + 0,9346+jl,17X-jco+0.9d46-jH7)Cju,*y+jJ )GW*2 ~J
О О
Получим

«2
Ч>(-^
ai
jGO *
г J 2
Здесь
Тогда
<* *, =0,413 +j 0,4 64. aI= 0,413-j 0,461
0,82 6 (juf) +1,21 |	"j’f)
Определим частотную характеристику оптимальной систеш:
1	[5хг<ы>	0a,+ |-j^)Gw+i+j^)
Ф(;а>)=----- ------ “ --------X
Vfjw)	+ Gu'>+0.9a46^1,17)(ju3+0.9S46-j<,17)
( 0,84 6Qu>)+1,2 Г)	0.846(>J) + 1,21
) (у~+0,9Мб/ + 1,172
Пер»даточная функция .ш-имальвой систеш
fe(4s+D Ф(5') = ——---------- ,
71 S -2F7S + 1
гда Г-0,668 с . £ =0.624 , т=0,682 с , b = 0,54
Дисперсия омибки в оптишдьной системе
•о	, <и -0,682сог+2,53Б
4'4”“ J |у jW)l*da>=— ; --------------------,dco= 0,837
Л2Л-«,' '	1	«i, |o?+Ga»>lj2
Пример 3. Определить передаточную функцию оптимальной систеш, если спектральная плотность иолезнэго сигнала S (<и^ = а.г	х
г . сае/тральная плотность помехи	- Полез-
I глгнпл и помеха некоррелировали Вычислить дисперсию ошибки в ально • оис-эш.
*
' т= Ф<е>=-------------------.
T's + 1
’*	т-1 ,
*	с
De = ----------г-------Г
Пример 4. Определить частотную характеристику и передаточную функцию оптимальной систему если спектральная плотность полезного сигнала Sa.(o>) = —--- г спектральная
2 (ш + сСа)
плотность помехи	— о • Полезный сигнал и помеха ввкор-
релированн. Вычислить дисперсию ошибки в оптимальной системе, если & <* Ю; сС= 0,5 1/с; с = 2.
Ответ: частотная характеристика
£ Фб>а>) =------ ,
________ J^+d
Vc®o6s+ аг	а2
где d- ------------s5.025 ; k= -----------=4 525
с	сг (сП-d')
Дисперсия ошибки Х>е = 18,1.
Семинар Ji II. СИНТЕЗ ОДНОМЕРШХ ОПТИМАЛЬНЫ! ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ
Для дискретных систем задача синтеза формулируется аналогично задаче синтеза для непрерывных систем. Пусть на вход дискретной системы поступают полезный сигнал я-[л], представляющий собой стационарный случайный процесс с математическим ожиданием и спектральной плотностью S*,. (ш ) , и помеха и[п'}. которая также является стационарным случайным процессом со спектральной плотностью 51* (й>) • Необходимо оцРеделить частотную характеристику Ф*<уй>) дискретной оптимальной системы, чтобы дисперсия ошибки De была минимальной, Под ошибкой с[п1 покидается разность между полезным входным сигналом ю[п] и выходным сигналом yfn] системы, т.е.
б [и 1 = ж [п ]-у L п")
Тогда частотная характеристика Ф*с^б>') в оптимальной (по минимуму среднеквадратич го отклонения) ошибке систем! определяется следующим выражением:
« -	~	-j<3n J ?
<J>(j<o)= --------
V (jcu)
eJn^dO, I11’1’
п=о
где Sj(co") =4,’’Cjco)	, г [nl =oe[nl+ulM
Дисперсия ошибки De в установившемся режиме
4 '4е " I II’d<3,	(II‘2)
"-5Г
где
u‘<e-^n к f	ejnia^. (II-3)
n-o a _s vc-jX)
Если спектральные плотности	и	при заме-
не е-ш= z представляют собой дробно-рациональные функции г , то интегралы в вираж тиа (II.I) и (II.3) могут быть вычислены с помощью теории шчетов. Окончательно получим
fM 1 r aie	(П.4)
V"e4t где it - коэффициенты в разложении	на про-
стые др.'Ои, п г жирование ведется по тем индексам i , для ко-т ~к 7t Пример -. выполнить синтез оптимальной дискретной системы, е ли i г-	-------------,	1
, л	-гл
I -	cos<o ♦ е
	। • люррел«ропаны.
0^	и в - ттихальной оистеге.
- • -г - - гь S'rcZ.') сигнала z[,i]
„ _	2-2 e Kcos со + е 8оС
S^=----------------~
1~2е~лCosco ч-е 2ct
Представим	*
S'* (aS) -^*Qc3) Ч>*(
тогда
*’<»=—А
vert z4
е^-г*
Л	i !~ 2л -2л'
где z { =е + е - - у 4 е -» е - корень уравнения
-е %г+<2 + е а)2 -е“а = 0, причем jzj*!.
Имеем
^аёя<а,> Се '^-в “)/г1гл	Vz^*
(е^-еа)(е^ ел\е^-х^ е^Хе'^-гр
Интеграл
1 Г SXaQ^> < Т е^пл/^
— J ----------- е dco = — J —z~~~	Z dui=
2* X v*(-jO	Uju>- e'“Xe"JU5- zt)
J	Z"d2
=--- § ---—-------=
2XJ|Z| = 1<2 e“)(l-2^
Vz1 еЛ
tX 1-e 2t
dn e
Вычислим
£ e
1 an _____
1-c az4 eJ -еЛ
67
Окончательно получим
	1 Г- J"'» 1 Г
--------22 е — J п"0 2х -5
««<*)
eP"dO =

Дисперсия оиибкж В ОПТЮаИЬЕБв
eazt е,Л
-сС ~л 7см е-е 1-е г, е - zt
системе
1
—---Z~-----------~Ай> =
,, л _г га 2
(1-е *f)-e zt 1
г, _<£ ч2	.	-2Л
(1-е г,}	1-е
Пример 2. Определить частотную характеристику оптишльво-
-м	5.3	•
го дискретного рильтре. если S /со)»------------ ; S (С5) = 1.
1.8- сев <Ь
Полезны* сигнал Jt[n] ж помеха и[пЗ - нвкоррелироват.
Определить дисперсию опибки в оптимально* системе.
Р е  е н и е. Спектральная плотность Sv (ей) сигнала Z[nl= = Х(п] ♦ го[п]
,	3,3	5,1-cos со
(ей) S* (о» •- 5^, («o') = -------- +1 -------------
1Д-со5со 1.8 - сое со
Определим ча :тотиую характеристику VV* (jeo-) формирующего фильтра, «меем
-г2*10,2г-1 (£ 0,09 87) (г-10,12.5)
( z.') 5^ (juj) |	-- = —-------------— =
leJ“i г2*3,6а-1 (г-0,3)(г-3.33')
10.135 z - 0.0987)	-0,0987)
3.33	( Z - 0.3 )( - -0.3)
тогда
i,?4 (eja’-0,0 9 8?')
* -------------------------
е -0,3
и	1 е^-О.З
W* (joj') =--------------——-------
1,74 (eJ“- 0,0987)
Onpefl9JIllM
Siz<Z^> s*z(^	
Y*(l/Z)	J03 eJ = z
дя этого представим S*2 (z) в виде
3,3	6,6 и	2
Тогда
s.;z^
±(*Ц) -2%3,6и-1 (2-0,3X1-0,5)
1,15
1.8-
2(|-0,3)
У*(|)	(*‘0,3)(^-03)174(^-0,098?) (г-0,Ъ\~-0,03ЪТ)
= а1 ,
Ф’(4') г~0’3	2-10,135
где а± = 0,336. Тогда частотная характеристика оптимального фильтра усо-7.
1 ai е =--------- 22 —------— =
-х i* -J65
0,682eJ“
1.74(e>£= o,O9S7')(e>“- 0,3) eJ“-0,09&7 Дисперсия ошибки в оптимальной системе
<« „ 1	‘fjL -Т
(е^-О.З) 0,356 eJd5- g-3
69
Имеем
t Xr 2	I.IBT*
Х>г =— С Г--------------—--------- -—---------—----Id со “
2S-x 4ejUJ-0.5Xe'J“-0.i) (e,“Q3')(e‘J“-0.iP
1 t	0,59
-— Ф ----------г?--------; dz -0,65.
глЛм1=1 (*-0Л>(1-0,гО
Пример 3. Определить передаточную функцию оптимального фильтра и вычислить дисперсию овибки, если
1 25-cos<^
5,	; Я * (<Ь ) - 1
2,6 * Cosco
Процессы jc[n] и u[nl векоррелированы.
Р  е н и е. НаЛдем спектральную плотность
5*('со') , где г [n] =x[nl + -utnl .
. » 3-85
5г Cod') =	+ S‘(dy)---------—
2,6+со со Тогда
7.7г	1.54
Sj	---------= ----------1-------
с =г z’+5,2zM Сй+О.гу^+0,2')
Й>елс-гажм 5* (’со') в вида п«	,	1,24
?> -S ,«£.)V где 4? (.<!>')= —-------------
е^+0.2
iac: тная характерас-ика формирующего элвьзнта
1 fjC- 0,2 'P’fycb) 1.24
. ’"«тральжя
ПХТТЯЭ'ТЬ
1,25- fz + -)
Sx(z . , __________ 2 г I
2,6 4(2 + -ч г? 1	°-4(? '0-S>(i <52 г
•?2+1	2 Н’.гу +0.2>
Т°Г|*2(О 0,4(z-0,5?(|-0,^ <^+0,8) 0,32(2-05X4-0,5) ^1)	(2+0,2X^+0,2)	1,24	2 + 0,2
Вычислим интеграл
-J —--------* d? = — Ф _^Ц_2"-1аг =
2SV-5 Ф’с-jO)	2^izi=!
2^|?1=1	2+0,2
.	0,32(z-0,5X1-0,5z>	„
1_ ф------------------Zn-2d£=
2*W1
2 +0,2
Частотная характеристика м .	-	°° -JWn i J
V(jO>} = H е — г жг 0 J п-0
-0,16 при п = 0, 0,432 при п=1, -0,2464 (-0.2 )"'*
при п 2.
jn0 е di =
^(-?)
_-д	е	0,4-0,16e-’^0,16eJa>
=-0,16+0,432 е J -0,2464 —------ = ------------------
eJtu+o,2 Л 0,2
Частотная характеристика оптимального фильтра
W*Cko) 0,4-0 16eJQ3- 016 eja3 ^“+0,2
ф*0(Ь)=__2------- = ----. -J-----------------------
4,’'G‘S)	eJU)+0.2	1,24
= -0,129 ejU,+0,32 - 0,129e'J£x)
ередаточная функция замкнутой системы
„	0,129 гг-0,32 г + 0.429	0,129 ( z8-2.5z +0
Ф 6Г>= - ----------------------- ----------------------
Ж	z
71
Передаточная функция разомкнутое систеш
-z’*2,5z-l
z8+5.25?+1
Дисперсия сшибки в оптимальной системе , я
\ [S*(«3)-|v*(j<3)| J<3.co =
-X
. I 1,25-coscu	Q4-(^i6ei4'-O,16e“J". г
- — J f--------------I-----------------------1 ]dco=
25-I 2,6+Cosco I €JU*+0,2	1
0 4	г-Ц0642-0,1йЛо,7в6г-0,18г-0,Об4 з
1 г	*	|	*
"	I	~ J
0,4 6-0064г*-0.18 z’+ 0,766 г2-0,18и-0,064)
- _L ф d2-гя>|и|=1	(Z+0,2X1 + 0,22") Хг
=0,3554
Сешвар J» 12. СППМАЛЬНАЯ ФИЛЬТРАЦИИ В йШРЕШВШХ СИСТЕМАХ
Пусть объект управления описывается системой линейных дифференциальна ураввеиий
= Ах + В w(t) ot	’
Z - Car + vft").
(12.1)
где Л - 1втрида сястеш размером (л *п ); В - матрица входа размером ( И « л ); С - матрица выхода размером ( л? * П );
3:	- вектор состояния; w(l') - Vfn на входе; г>(О - шум измерения.
Структурная схема систем;, описываемой уравнениями (12,1), г  < hi да рис. 10.
' -У* itJ(t) и зум измерений v(полагается иекор-m . ~*ц.я и дредставллпт собой стационаря/е случайные про-гя ^тематичиоктм ожиданиями и иорроляциоиюая л'и.<т>	^(4),	где -
импульсная функция Дирака. Требуется отв™»».
оценки вектора состояния гг(Ч)^
няй Z(i>> чтобы функционал	Р зультатам иэиэре-
«TYa^’Sp^
где т>% -матрица дисперсий ошибки £ = х~£	(E’2)
а оценка £ ft) была несмещенной.	' имвд вдницум.
Уравнение фильтра Налмана имеет ввд
я-есту>	1 '3>
гав Н - коэффициент усиления фильтра; R _ м	(12,4)
ки, удовлетворяющая матричному уравнению атриЦа Дисперсий сшиб-
AR +/глт-^с'т^*	+BVWBT = O.	(12.5)
Структурная схема фильтра указана на рио. II.
Рис. 10
Рис. II
Пример I. Определить уравнения для оценки вектора состояния систеш, описываемой уравнениями
doc4
d t 2
dx2
----- ” Х+ТЛ>(1\ 2 = ОС. +V<tY dt 2	1
Заданы ii> ™ < • ф ? p	л	'
r e ш e н и e. Для рассматриваемого случая имэем
A-|S’ll-»[<]• c’" 01
Тмда
Матрицу дисперсий сшибки определим в вида
R =	I, где R »й,.
Е>	D I	12	21
I *21	К22 1
Ура вида (12.4) для рассматриваемой сиотем! будет
[О *1[«н ««1 К [° °1_
1° I *г1 ^гг> Rai R?zJ '**
-1рн C«]R 0]TC«* МЛ° = Г ° °1 21яг1 »пш	r2iJ Io 11 IO ol
[% +RH -22-^1 _± <	₽«CH = p O1
П * K3i “®гг 2	R1ZRZ1. 1° -1 1
Из этого уравнения получим
Ри = »г|«0,5025; 2.^-0.3625.
КовфЖиент усиления фильтра Каллена
//-RCT’P_‘ = — V г
Уравиэнкя фильтра имеет вил
1.1	0,3025 11 1 ] _ [ 0,55
0,3025 0,3625 J о] [0.15125
* ха ♦ 0.55 (г .
- -S, + 0.15125(2-5/, d t
Структурная схема система с фильтром приведена на рис. 12.
Пример 2. Определять уравнение для оценки координаты x(t), если уравнения динамил систем! имеет вид
-у. Z-хм/П	(12.6)
a t
 сь у (О - стациодарный случайный процесс с корреляционной л Ky(t) 2 с г,т* , v( О - стационарный белый шум, ... , 4
----------------1
75
Решение. Вначале найдем уравнение формируя® го фильтра, который формирует процесс у (О из белого шума с единичной интенсивностью. Имеем
-оо	-со	-со	СО Л
Тогда передаточная функция формирующего фильтра и его уравнение

= 2у 4 2VT w(ty d f
(12.7)
Обозначив зс1 = .тг . лг=у . получим из уравнений (12.6) и (12.7) следующую систему уравнений:
d jCj
dT = Хг ’
d -тг	_ х
-2®г + гУГ w(t\
г = xt + vft) , примем -1 , 4'w = 1 Для этого случая .поам
. 1°	1 1	„ f 0 ]	Г	,
Д	. В =	, С= Г1 о|
|о	2J l.2v'2j	1	J
Тогда
У(.1- ,->• для «е*. ты дисперсий ошибки R будет
iu	«пс..	С«]Д₽«	с*2] [°	°L
lo	[s?h	яиГ »21	₽2J I,	_2J
Рн	₽»	1 0	ен Я12 1	[0 01	ГО 01
Ьг. J U о] ег1 /г32]1' [о 8 = [0 0 ’ I’ •
'г’ + '12. ?г"2еп К’.. еие.2 0
Г	| р1(»г1 Р12е21 о а]
того уравнения, соответствующее положительно определен-К. будет ^=0,82; ^=^ = 0,6724; Р22 = 19 усиления фильтра Каллена
Л12
&21
Решение нэй  ювффицие«т
/7 = рсг < =
1 _	0,82
0
[0,6724
у^нияФ^ра имеют вад
= Я2 + 0,82(2-at
d^2 = -2пс3 + 0.6724 (г л^ at
ная схема системы приведена на рис. 13.
прим P 3- Определить уравнения для оценки x(f), если уравнение наблюдения имеет вад 2 =л? + v(t'), где гг(О - ста-
юнарный случайный процесс со спектральной плотностью 5Л <«*>) = 4
__; v(t) - белый шум с единичной интенсивностью
'	<	2 о. 4
6J - СО + 1
ф = 1. и
Ре ш в н и е. Формирующий фильтр, который формирует из белого
шуж с единичной интенсивностью сигнал с заданной спектральной плотностью, имеет частотную характеристику
2
(7си)2 + ( усо) + 1
Динамика формирующего фильтра описывается системой дифференци-
альных уравнений

<3гг
—1 = *2.
dT	(12-8)
-—? = -ж.	+ 2 w(t) ,
dt
означено: а?1 = х , гсг= » a w(t") - стационарный белый шум с единичной интенсивностью.
гания (12.8) вместе с уравнением наблюдения у
тавлвдт собой уравнения (I) динамики объекта. Для них
О 1	гл
А Ь -11’ в= [г]’ С= °]
г/
Тотда
ВФ Вт= [° °]	С'ТФ'*С=[| °1,
w [04] ъ 10 ор
и уравнение дня натрии К джслерси» ошибки будет
° Ч[®«	*«][° 1]_
1 -1] I Сг| Ч22 L Кгг -111 -11
_ %	₽« 1Р	°]	₽н с.а]+ [°	°]-	[°	°1
«г1	Х?„ Jlo	oJ bJ to	4 J	lo	0]
B12 + B2«	~₽И~ ®М*₽м| _ ЙЦ ®HP12 1 Г° °1
Полагая ₽12 -= ₽„ подучаем следующее уровне ши для о’~юдале-™" ₽м -В<г и ₽гг:
<1-2₽12'°. -ви'₽12+в2,-’г11».г=о>
'2гИ-2В>а-рп+4’0-
Реданде »тжх уравяенжв, соответствующее положительно определенно» «атршда ?	2(-084, Rt 2=Я21» 0,373 ; £„-<56
вт усвлеши {альтра Калмана
l.pf’y'a	Bi2	1	I 0,84
ви Язг о	I о,37?,
/равненжя тиллт™»:
~—*	тг *0.84 <г а,} ,
41
4 л- ~	,
-	ю2*о.373(г-£1').
a t
>тру?ттурнм *х^»е и - ‘/I ур- 1на на рис. 14.
Рис. 14
Передаточная функция, связывающая переменные z(t) ид1=х , 0,645 + 1,213 feCTS+l")
W(S) = ------------------- -------------- .
S2 +1,84 s+2,213	7'?S2 + 2^Ts+1
где
fe-0,548, t = 0,6925 ; ^-0,67, ? ' 0,62 ,
что с достаточной точностью совпадает с результатами примера 2 семинара № II.
Пример 4. Определить уравнения для опенки вектора я , если уравнения объекта имеют вид
d ае
------ = *2, at
da, dT =
2	+ v ( t'y ,
где n>(t) и v(t') - белые шумы с интенсивностью соответственно = l , 4^0,5.
Ответ: Уравнения оценки
да А 4
=*г+У8 (г-а/).
79
Пример 5. Найти уравнения фильтра Калмана, если уравнения объекта drc. аГ 'Лг-d JC®
?(t) = JCi + v(f) .
Иитеисжвюсти белых иумэв w(t)  v(t) соответственно равны
V • В . Ф - 1 W > V
От т: Ураваения фильтре Кахмва имеет вад da. а da. , —' — »te 0.7S(i-х,'). J V
Пример 6. Офадалить уравнение дм on нм a (f) процесса Л(О. если уравнев» пюрення z=a+v«). где ж (t) и V О- стапаомрше случайте процессы со спектральным плотно—
-»	a1	а
стюв ьх	: 5и(ш>“ с • Процессы -г(()и v({)
иожгашсс виоррелироваавааг.
Ответ: Jps—eirw дм оовим
=-%я a с
Г» *-*(vi*a2/X»62-0
смв»чр • д. - .-Михля :/.'.ьтга^н в дискретна систам
Цг~гь объект /пре . идя - г.гсывается скотеюй линейных раз-иг -гных уравнений с эт - , ж>эфя;шеита1я вда
я*fп ♦ f ] = Л т[п] * 8w[n] г[п ] С'ае [п ] ♦ и [п | г
(13.I)
г:,1 р-
к
/	-азотом ( а к ft ); а - матрица гаода
Ф > (* «л- ; е - •игьиди виг за рг у> ( т xft )
 сипел w(л J и шум измерений и[п] - стационарные с нулевыми математическими ожиданиями и ко реляциями N тринами
к rnt n2]=^{w[nj -^T[n23}^w8rn4-n2lf
X t	[n4] «T£n21^-^vSfni-J121,
где 5[n ] - символ Кроне кера.
Входной сигнал w[n] и шум измэрений V[n3 полагаются коррелированными. л
нение для оценки л? [п 1 вектора состояния ле Гл}
я [п] = А х [п-4] + Н(2[п}-С'Аж[п-1}’), (13.2) где // - коэффициент усиления фильтра Калкана
(из)
Здесь К - матрица дисперсий ошибки оценивания, оцределяеьея из уравнения
₽-{( ARAT+B'PwBTy1+CT3P^ СУ\
мл	(13.4)
К [ £ ♦ С ’ф;1 С ( A R А1 + В %уВт) 1 - АЛА т+ B4>w В7.
Матрица дисперсий ошибки R - положительно определенная матрица. Структурная схема фильтра Калмана указана на рис. 15.
Рис. 15
и “ е р I. Определить уравнение фильтра Калмана для оценки х [п3 дискретного процесса . если уравнение измерения •в Л шщ зе [и 1 xt.Ttfn-j u>[n], где -TfnlH г> [n 1-стацио-иарные некоррелированные случайные процессы, имеющие спектраль-81
ныв плотности
1
*£С<3>-----------
1-2е “cosu)*e
Ре о н  е. Передаточная функция формирующего фильтра, который формгрует из белого врв о единичной интенсивностью дискретный прогюсс оо спектральной плотность» 5* (со)- ---------
,	1-2е~“сов<Ь*ё“
будет:	= 
2-е~а Тогда уравнения объекта могут быть записав в виде
х [n»lj-с “a [nJ + w[n)t	(13.5)
Z[n ] = X [nJ 4 1>[п], где w [ п ] - сталюввршй белы! нум с единичной интенсивностью. Для уравнений (13.5) имеем А=е~а В = 1,С-=1 Ф »1,Ч’=1 Уравнен» для дисперсии омибки К
Р(1^егЛР +
Его ромеев
К - j (-4e4rf*i' - 2 е 3а- О - О
•. < : • ..•ент усшвя ж:1~ра .Калмана
// -tcr»i;-l(v4e4<x*l' -2е2а+0
Уравнение дли опвнии де [nJ
J[nJ ах +	[п]-е аж [п-П)
Стр/итурвая оле»в иль-ре <а.тмаиа указана на рис. Е.
/ . Ь
Ьс
Рис. 17
.on 2. Определить уравнение для оценки координаты а? [л] П D И N и г	„
сдаетной системы, структурная схема которой приведена на
1 - е Ts , , k рис. 17. где Xpfsd- -7— .
1Лагается, что шум на входе w [ п } и шум измерений г> [ п 3 -стационарные белые шумы, причем ^w= 2 ;	1 , u[n] -
вляиций сигнал. Параметры системы, удовлетворяют условию feT = l.
решение. Для рассматриваемой задачи передаточная функция дискретной системы --------------------------------= — • г-i г-1
Уравнения, описывающие объект управления:
ат [п +1] = х [п ] + и [пЭ + w[n] , г [пЗ= ос[п1 + г>ГпЗ.
(13.6)
Тогда Л = I» В = I; С = I. Р = I, и уравнение для дисперсия ошибки R примет вид
или
(1 + 2 + 2')# = #+-2 ,
Рг + 2#-2 = О
Его решение R=V^-1.
Коэффициент усиления Н фильтра Калмана
Н	= Vb- 1 .
/равнение фильтра
х [пЗ =Х [п-З-] +(Уз-Г)(2[ril-ce[rt-13-n[n-l]^+u[n l3 ИЛИ
х [nl-(2 y^3 х [n-П ЦТЗ--П2[пЗ+(2-У?)и[71-11
хь,"а тздьтра лшгдана указана на рис. 18.
83
U[n-<]
Рже. 18
Ржо. 19
Пример 3. Опр. «влить уравнение для огиякж ж[п] вектора состояния джскретвзй систем, структурная схема которой приведена ев рже. 19. Здесь V>^fs-)=1;	,w[nl ж u[n]-
стапмоввр»» белые ауми. причем ч’г£)*г2 < 'Р “2 Принять
4Tr J	w
Р е а е  ж е. Передаточная функция дискретной систем
, . feT'1 г
Vv ж> ---------------------.
(г-Г)г О Г)г
Залаивм /равнения состояния в жив
Х,[п*(1 = Xj [п] ♦ х2[п1, x?f п-ИЗ *= x2t nl ♦ w[nl, иСпЭ = х([пЗ*«2ГпЗ-^г>(пЗ
Для уравнений (13.7) идем
(13.7)
л_и <’] в-|°Ь г'|‘,J
Обозначим матрацу джеяережй звг)щ р, f еи ₽21
>4втрипа ¥ - . -.^.еавал. т.е. С 2»	12
84
Тогда
am
^12 + ^22
®42 * ^2
кгг
. ВЧ<,ВТ=
О О
О 2
<’%‘Г= (1 J »— да »*?“'-Т*-
для матрицы дисперсий ошибки Е
дат< с (а кя8^ВТ)] КА, '
для нашей задачи будет имэть ввд
Cji • ^21
[ е12 + й22
Его решение: Егг = 0,8284, Ria=^21=-0,24664 , »п= 0,4853.
Коэффициент усиления фильтра Калмана
0,24264 1
0,5 8 576 ] '
Уравнения дая оценки вектора состояния
+ ^12 + 2 ^22 + 1 R1£+ S₽J2 + 2R2j ^12 * С2г K22
V2P„+2
R12 + 2P22+3
Л' = ЕГТЧ,':
-4 ] + 0.24 2 64 ( г [п.]-[п-П-2
х2 W =	[л-1] + 0'58576(г [ПЭ -Xt [n-43-2 ха [п-43') .
Схема фильтра указана на рис. 20.
Рис. 20
85
П р  м о р 4. Определить уравнения для оценки вектора состояния дпскретной систем!. передаточная функция которой	
ka-d'ti .	*
“------------ha вход систем! поступает стационарный белый
интенсявг стьв V’w = 2 ; уравнение измерения
ИУМ u>[n] С
мает жд
г (nJ = ж [и ] » и (nJ, ЮТ v [ n J - ст циовврвый белый щум интенсивность» Ч’г,*1 Принять , d =0,5
Р е  е и и е. Уравнение дискретной систем! запишем в вида Л, [ПЧ] - *2[п}_
-»2fn*lJ--0.5-r1[n]*1.5«2[nJ *w[njt г [nJ = JCjtnJ ♦ u[nj
Дм систем! уралиа.^Й (13.8) имеем
А] >-[?)• -(>.<!
Матрицу дисперсий оииЗкж 1? запаяем в вида
(Е3.8)
ose.2Mj
0,5 К*а< ♦ 1.5
О.гзр^ -О 75Х?1а -0?5С21*2.25Рг2
В’= 1° 0 сгф 1 С = [° 0 w .02	v lot]
Урав®.>" дм матрицы а. лтодй ообш
^<!	^1? I Г 1	О
I	0.251?п i.5Uu*2.25J?n^
К.

-О.5Р>2*1.5₽22
”?5C!. ‘.5Ci2^?.S5R22*2
„эе уравнение соответствует следующей системе уравне-это ’eip
ний:
*11
к + Р.А-О,5 »1а + 1-5	-0.5R12 1,5 йаа ;
12	22
С1г(0,25 Ки-1.5 й„*2,25 Ргг*^--0,5»21_*1.5Тг„ ;
^(0.25*0- ‘.5*1г+ 2.25^-3)^025^4 5I2iZ2,25R„+2
Решение этой системы: Pit = 0.74464; ₽1г » О21 - 0.24743;
₽ = I.13544.
КмЖииент усиления фильтра Калмава
т -4 Г 0,24743 1 - '1>12>544j
Уравнения для оценки вектора состояния имеют вил
[п] =Х Сп-41+ 0,24743 ( г СпЗ +
+- 0,5 зс4 Сп -Г) -1,5т, 1п-1У) ,
Хя[п ] =-0,5rc1fn-ll+ 1,5ла [л- 1 3
*1,13544 (z (nl+O.S^ [п-13- 1,5х2 £п-13') .
Схема фильтра Калмана приведена на рис. 21.
Рис. 21
П р и м в р 5. Определить уравнение для оценки х Ini дискретного процесса Jr[nl , если уравнение измерения имеет вид
г[п1=хСп] + v[n\
гда Jtfnl iu(n]- стационарные некоррелированные случайные проиэосы, имеюцие спектральные плотности
3,3
S*(a/)=---------- . 5*(со') = 1
1.8-собес
Ответ: уравнение ^альтра Калине
X fn J-О.Згс [п-11*0.675(г[п-)-0.3 х fn-ll’).
Пример 6. Определить уравнение для опенки процесса х [ п} на выходе дискретно систем;, структурная схема которой указана ва рис. 17, если U^,cs>=l; WH(s)=
—— ,w[nl и гДп] -
некоррелжрова. ие б мэ иуш, причем
*1 . Ч’ = 2 Принять
Ответ: уравнение фыьтра Калмаиа
Xfnj = JJr Гп-11 +H(z [nl -di [nl\
тт; ^вг~Ъ * V,(2di^nr-8 где iJ- f /7= ----------------------- ; T - период
4d’
квантованы.
Сеааяар * 14. М2ГОД СТАТЖПИЧЕСКЗЯ ЛИНЕАРИЗАЦИИ
Статистическая линеаризация основана на замене исходной нелинейной функции У <р(х") статистически равноценной линейной функцией Z = feem^+jtf5? . На практике применяют два способа вычисления коэффициентов ko. bt • которые соответствуют двум различным ловлям ста-«?тжчвсиой равноценности.
Первый сао^<; расчет ko, bt вшюлняется при условии, что случайные величины У и Z имели одинаковые «тематические оли-данпя и дисперсии, т.е. .ту • 1>г -^>у
: .ак жак rri-l'1>!BrriI 	,то находим
86
(О	d.tfCX'i
slgn < = sign	-
- плотность распределения случайной величины
Пусть Р^ Тогда
*	-сх>
Г = S (x-m^pCx^dx
-С -со
X .
(14.2)
Форму-®1 U4"1)’ (14-2) определяют коэффициенты статистической -иэаризации fco , kt в случае однозначной характеристики <fO) • Еа1Я tfCx~> неоднозначна, то для вычисления ллу.Эу, и тх иеобходш® знать двумерный закон распределения рСх.:*). В таком случае
ТО
тп = У У xp(xtx')dxdi , оэ
(x-m^pix^ydxdx г
«	.	.	П4-3)
my~}S (^(х'УрС.х^х'уАх Ах
-оо
= 5Г <4(.x')p(X'X')dxdy -тпв
У -ОС	х
Второй способ: расчет	выполняется при условии,
что ьатеьетическое ожидание квадрата разности случайных величин У и Z было мщпвдально, т.е. М [(У-Z)’]-minC учетом выражения для Z . получим следующее равенство:
^[(у-гУ) *=<тХ+^^ + М[уг]-
-2^0/пж/пу -2£мл* СХУ1 -ътгЧ-п
поя^ВИИВаЯ Н^Л° частные производные левой части по и Ь , получаем уравнения	0	1
<%-Л*ГХУ]-О.
Отсада находи
$ (x-m^ifCxypCx^ax. (14.4)
° тх	л —
В том случав, когда cj(o^) неоднозначна, для вычисления j , k используются формулы, аналогичные (14.3).
П р* и м е р I. Найти коэффициенты статистической линеаризации
характеристики дасшрния о
у=д>(Х) =
. k X ,
i»b, IхI *Ъ, х * -ь
Закон распределения случайной величины X нормальный: -р(х) =----------------------— е 2е*
Ранение. В соответствии с формулами (14.1) для определения to , fe необходимо вычислить математическое ожидание тпу и дисперсию Т>у. Для заданной характеристики <р(я) согласно формуле (14.2) имеем
да	~Ь	Ъ
~ j Ч(х)р(х)--С j p(x)dx + fe j xp(x~)dx^ -CD	-b
p x'dx =-cI +fe I, ♦cl.	(14.5)
b	1
Первый интеграл
-Ь	1 -Ь - (х~т^г
•^=5	=------- С е &х
6^V2F_te
Введем новую переменную
тогда получим 90
«X
_ Ь х
л2
2di=-L_ via
О	п я*
S е 2dX--i_ С 0 е’гах=
co Л-
^.r X2
* e’2dl о
Воспользуемся табулированной функцией
Ф(aO = S e 2 d , ф (<») « — 0	2
Тогда выражение для II примет вид г =Ф(со^-ф (kL^r)=l _ф ‘	0^	2 V 6,
(14.6)
Аналогичным образом находим интеграл
1з= Jp(^dx	(14.7)
Ь	*	°х
Чтобы вычислить интеграл
Ь
Л?= Г. ХРС^Ах , - ь
представим его в видя сумьи двух интегралов
г
ь	(ГСгИд.)
1г- —----- С (х -тп^ е 2е=с dx +
2 ь _ (х т^) тх Г е 2<г* ах. 6х^-Ь
или для новой переменной
= 6х1а< + Г’^1гг
91
Аналогично предыдущим вычислениям находим
b-rnr
2г-^=л *
V*?X Ь + гпж
Ь~т
Интеграл
ге
V2X _ Ъ+тг
А2
’ 2а%

е
- е
-СЬ-^хУ 2tTx
у'гх
Следовательно,
6- Г	АЬ т^1
-~ е г<Г» _ е 2(5i угх 1	с
(14.8)
Таким образом, матежтическое ожвдание щ определяется сражениями (14.1 ...(14.8).	у ип₽вдалявтся
Вычислим дисперсии ствии с формулой (14.2) имеем
Ру случайной величшп' у . в соответ-ляя рассматриваемой характеристики w
у, г	-Ь
-пт2 , г f	,
ь
"*4x2p(X-)dx+<?2b(x.dx га2
°	ь	*
(14.9)
92
Справедливо равенство
+	>jpWax~A_C
Ь	V5x t b.mx
e-x
= 1 -(Ф(Ь^рр) + ф( Lpe)] .
Поэтому вместо выражения (14.9) можно записать
К = с2-сг [Ф( Ф( I +
* <ГХ ' J ъ
J	(14.10)
~Ь
Интеграл, входящий в выражение (14.10), представляем в следующем ваде:
Ь	Ь	ь
J X p(x)d х = 5 (a?~rriI') p(x)dx +2 znj. \ xp(x)dx-b	-b	-b
b
-m* 5 p(x^ dx	(14.II)
-b
Интегралы второго ж третьего слагав»» в выражении (14.II) вычисляются аналогично I ж 1^ .
Интеграл
S (x-mjpcx-i&x-sl [Ф(.Ц^)+Ф( Ь --- ) ] ~ ~Ь	хх
2	2
(Ь-ТП }	(Ь + гп \
Г Ь-^х ~2«I Ь+Тп^ гв* 1 (14,12) - -2— --------s £ ж ------------ е J •
V2T бд.
Следовательно, с учетом выражений (14.10)...(14.12) окончательное выражение для дисперсии будет
9И
T>
1гй6гт

_(Ь*т / .»,,	\ -l- п'^
~2ег	fe(b«mp
e 2 x	—7	^'r (I4-i3)
/2*
Зная I) « D . величину b< l мэияо вычислить по <(юрмуле «у	*
(14.1).
Изложим теперь рекомендации для определения статистического коэффициента оо второму методу. Согласно формуле (14.4), коеффициент вычисляется по тем же формулам, что и fe(,\
(2Ч	°
Тля определения t4 необходимо вычислить интеграл
Г- f " • х-mJ Ц (х)р(х)азс.
С учетом выражения для ср(х) можно записать оо	Ь
z- cS (X 171я)р(х)Лх^к^х(х тЛр(1М1 +
°°	Ь
СО
*с £ (-T--m.r') p(;r) dx .	(14.14)
СО
Интегралы жражеяля (14.14) вычисляются с помощью тех же приемов, которые применялись при начислении k - Выполняя интегрирование в формуле (14.14) с учетом формулы (14.4), получаем
«7>=- >= * ° [ф	] (14.15)
гт	X	Ь
U р  к е р 2. Найти выражения для коэффициентов статистической линеаризация характеристики у=-сх*. с^О при нормальном распре-делчкии случаАнэй величины X.
Ответ:
Vе < 13 + (^)3 ]
л».
94

п р и м и р 3. Нейти ковффициеити статистической ляжариаапм» функции у - с | Л I • с > О при нормальном распределении случай/*-,! величины X.
Ответ: В данном случае нелинейная характеристика четки я-поэтоцу аппроксимирующую функцию следует принимать в вида
Z Cf+k(,^^ д - 1 2 При этом
J О 1	*	*
Л<«-2сф(^) 1 v <х_ vx
Рассмотрим методику анализа точности нелинейной стационарной систем/, структурная схема которой изображена на рис. 22. Нелинейный элемент задан характеристикой u = q>(e') • Линейная часть имеет передаточную функцию W ( s) .На вход систем/ поступает стационарная случайная функция X (t) с матештическим лжипяниам тх и дисперсией . Требуется шйти математическое ожидание ту и дисперсию Dy шходной перемвнвэй У(Е) или математическое ожидание и дисперсию ошибки Eft) в установившемся режиме.
Рис. 22
Применив метод статистической линеаризации, заменим «линейную зависимость между входной и выходной переменными нелинейного элемента приближенной линейной зависимостью U~kjn^*
£ Коэффициенты статистической линеаризации tOibf зависят от математического ожидания mtE и среднеквадратического значения £Г случайной функции E(t) , т.е.
95
П4-К)
В результате статистической линеаризации определение точности нелинейной систем* сводится к исследованию двух линейных систем: для ьвтештичесяоп) охщ. .зия (рис. 23а) и центрированной случайной функция (ряс. 236).
Ряс. 23
Передаточн» функции замкнутых систем
.«n	*.w«>
Ф (з)=----------
i*fe0W(s)
ф“’($>=----------
(14.17)
1* tV<s>
Зо условию X(t") - стационарная случайная фуни_^и, т.е. п,-const . D 'тому в соответствии с формулами (14.17) кете-втическзе ожддаяве в устаяовивтемся релиме
$ew((n ---------------- (14.18)
сперсия выходной ре»енной в усталовииоемся роки;® определяется формулой

2
(си) dсо р
(14.19)
О И* fcjWftu)')
°)	сяе-..рольная плотность случайной функции Д'(<).
96
Для вычисления коэффициентов J по формулам (14.16) необходимо знать математическое ожидание т £ и дисперсию 1>Е функции £»Х-У на входе нелинейного элемента. По передаточ-ной функции для рассогласования
=	0 = 0,1	(14.20)
находим
пг£ = Ф£°\ О") *пх t
„о	(14.21)
1>£ = 5 j^’g'c*10') | О
Таким образом, исколые значения тпу  Т>у могут быть ш-численн по соотношениям (14.18)...(14.21). В прикладных задачах эти вычисления можно восполнить с помощью ЭВМ.
Пример 3. Найти математическое ожидание и дисперсию ошибки следящей системы, структурная схема которой изображена на рис. 24. В прямую цепь систем; включен нелинейный элемент -идеальное реле с характеристикой u = sign 6 • Передаточная функция линейной части
. , Ъ
W(S) =------------ -
Рис. 24
На вход системы поступает стационарная случайная функция
X(t)-rn + спектральная плотность которой
-	(14.22)
1	X «г.<о2
Выполним статистическую линеаризацию нелинейной систем!.
97
дет идеальной релейной характеристики ююем
(М.23)
При ИГОМ функция	t
. Т - Y Ф х) =---- ( е d х
о
В соответствии о формулами (14.17) передаточные функции по er-teme^KOMy гчинют ту и случайной составляющей для рас--матрмвееыой систем» таковы:
-------------- (М.24) Tsa*s*4 ь
* о-воваяи выражений (14.18)  (М.22) заключаем. что в уста-нс вивмемся режиме
(°°') =	тх “ ""л	(М.26)
-t-.ee» теперь дисперсию негодной переменной систем», пользуясь формулой 14.19). С учетом выражения (М.20) для спектральной джотю'тп $ (о>) будем иметь
э - ^D’211a f а<и___________________________
ЭГ о (rfW)l ^b-tcu-Tcu’ |
После шчи лаяжя интеграла найдем
Т>у - bt Ь I 1 + оС 7'') I rf ((4 с(7”) 4-^ ь (14.27)
□опаово выражениям (14.В), коэффициент статистической лилеари-зади заве и» от юте1етичеои»го ожидания те и средиеквад-ратического звачевия 6Г сигнала не входе нелинейного элемента. Но в ему закхючеви (М.26) - тематическое ожидание величинп f-Y-У равно нулю. Поэтому коэф-адепт в формуле (14.27) заж-ит тзхыс >т юндарли велплни Е
vn; se
(14.28)
с учетом выражения (14.28) формула (14.27) принимает вид -Ьс1)х /Л (Ь+	(14.29)
где С = at (1 ♦ rfT).
Для определения Ру по формула (14.29) нужно знать дисперсию 1>Е . Teg как передаточная функция для переменной £ равна
Ф£П(6')= 1 - 4><ftCS)“S ( Ts + i)/Tsa+s* kt Ъ, то для вычисления D получаем формулу
f । ф^с^) |гз_Сапасо= £ гр	е	Л
га.Рх У
Я о
(Л г+ СО2') | Ь +ICO-TU)«|
^l^r.fe<bT
ofdl + oCT^ + ijb
Подставляя сюда выражение (14.28) для £ , излучаем
(14.30)
(14.31)
Итак, дисперсия Т>у определяется по соотношениям (14.31). Второе из них представляет собой уравнение относительно Dt . Решив это уравнение  подставив найденное значение Z>£ в формулу (14.29). получим искомое значение дисперсии Т>у выходной переменной исследуемой систем
ЛИТЕРАТУРА
I.	Математические основы теории автоматического регулирования /В.А.Иванов, В.С.Медведев, Б.К.Чемоданов, А.С.Ющенко;
Под ред. Б. К. Чейз дано ва. - 2-е изд., пэрераб. и доп., т- 2. -М.: Высшая школа, 1977. - 455 с.
2.	Астапов Ю.М., Медведев В.С. Статистическая теория систем автолитического регулирования я управления. - U.: Наука. 1982. -304 с.
3.	Иванов В.А., ТЬлованов И.А. Конспект лекций по курсу "Теория цифровых систем автомат.,юского управления". Ч. 3. - М.: Изд-во МГТУ, 1992. - 48с.
99
ОШВЛЕНИЕ
Семинар * I.	Дискретные случайные величины.................. 3
Семинар * 2.	Непрер«вю случайные величины.................. 10
семинар » 3. Многомерные случайные величины. Условные законы распределения....................................... 15
Семинар М 4.	Статистические характеристики функций	случайных величин	 21
Семинар	* 5.	Законы больших чисел в теории вероятностей	26
Семинар Мб.	Корреляционная теория случайных	функций	28
Семинар	Н 7.	Анализ непрерывных линейных систем при случайных воздействиях ....................................... 34
Семинар	М 8.	Анализ дискретных линейных систем при случайных воздействиях ....................................... 43
Семинар	М 9.	Построение формирующих фильтров............... 54
Семинар	М 10.	Синтез одномерных птимальных непрерывных
систем........................................ 60
Семинар М II. Синтез одномерных оптимальных дискретных систем..................................................... 65
Семинар » 12. Оптюельная фильтрация в непрерывных оисте-...............................................................	72
Семинар М 13. Оптимальная фильтрация в дискретных системах ........................................................ 80
Семинар № 14. Метод статистической линеаризации ........	88
Литература .................................................. 99