Author: Звелто О.
Tags: оптические приборы и аппаратура физико-математические науки лазеры
ISBN: 5-03-001053-Х
Year: 1990
Text
Principles of Lasers
Third Edition
Orazio Svelto
Polytechnic Institute of Milan
and National Research Council
Milan, Italy
Translated from Italian and edited by
DAVID С HANNA
Southampton University
Southampton, England
Plenum Press-New York and London
О. Звелто
Принципы
лазеров
Издание третье, переработанное
и дополненное
Перевод с английского
Е. В. Сорокина, И. Т. Сорокиной
и К. Ф. Шипилова
под редакцией
Т. А. Шмаонова
Москва «Мир» 1990
ББК 22.543
343
УДК 681.7.069.24
Звелто О.
343 Принципы лазеров: Пер. с англ.— 3-е перераб. и доп.
изд. — М.: Мир, 1990.— 560 с, ил.
ISBN 5-03-001053-Х
Написаииая известным итальянским физиком и педагогом книга
учебного характера представляет собой существенно дополненное и
переработанное издание книги «Принципы лазеров> («Мир>, 1984).
В ией рассматриваются физические основы действия различных совре-
современных лазеров (СО2-лазеров, рентгеновских, лазеров на свободных
электронах и т. д.). Каждая глава снабжеиа задачами.
Для студентов, аспирантов, преподавателей, инженеров и научных
работников, применяющих лазеры в своих исследованиях.
Редакция литературы по физике и астрономии
ISBN 5-03-001053-Х (русск.) © 1989 Plenum Press, New York
ISBN 0-306-42967-5 (англ.) © перевод на русский язык, Сорокина
И. Т, Сорокин Е. В., Шипилов К. Ф.>
1990
Предисловие редактора перевода
Книга проф. Орацио Звелто, известного итальянского уче-
ученого, одного из пионеров исследований в новой области фунда-
фундаментальной и прикладной физики — квантовой электронике, ро-
родившейся тридцать лет назад, дает последовательное изложе-
изложение основ физики лазеров. Большой опыт автора — ученого и
педагога — позволил ему отобрать наиболее существенное и
представить материал таким образом, что книга легко воспри-
воспринимается как студентом, усвоившим курсы общей физики и
квантовой механики, так и опытным научным работником и
инженером, для которых она может служить справочным по-
пособием.
В нашей стране это учебное пособие выдержало уже два
издания (О. Звелто, Физика лазеров.— М.: Мир, 1979; О. Звел-
Звелто, Принципы лазеров. — М.: Мир, 1984). Оба издания были рас-
раскуплены сразу же после выхода их в свет. Книга получила за-
заслуженное признание в университетах, технических вузах и
многочисленных научно-исследовательских учреждениях страны.
С момента появления первого издания прошло десять лет.
Для лазеров это был период закрепления позиций в приложе-
приложениях, что обусловило необходимость изучения лазеров специа-
специалистами самых разных областей знания. Лазеры стали необхо-
необходимым элементом в таких жизненно важных областях, как
световодная связь, технология обработки материалов, микро-
микроэлектроника, медицина, научные исследования, в частности кос-
космические исследования, и т. п. Без применения лазерных
приборов теперь невозможно представить себе ни современную
науку, ни передовую технологию.
Успех книги объясняется, по-видимому, и тем обстоятель-
обстоятельством, что автор работал над ней непрерывно в течение почти
двух последних десятилетий, и представляемое читателю 3-е из-
издание отражает как сам прогресс в физике и принципах кон-
конструирования лазеров, так и потребности читателей. Последнее
в большей степени связано с тем, что проф. Звелто — блестящий
педагог — читает курс лекций по лазерам в Миланском
политехническом институте (Италия) и одновременно ведет
Предисловие редактора перевода
большую научную работу, возглавляя Научный лазерный центр
этого института, который активно сотрудничает с промышлен-
промышленностью.
Следует заметить, что в первом и втором изданиях книги
была глава о применениях лазеров. В третьем издании автор от
нее отказался. Такое решение, по-видимому, было неизбежным,
поскольку дать представление на серьезном уровне об обшир-
обширных применениях лазеров в одной главе практически уже не-
невозможно. Это тема отдельного, не менее объемного курса.
В своем предисловии автор четко охарактеризовал основные
отличия содержания нового издания от предыдущего. Можно
добавить лишь, что в 3-м издании рассмотрение полуклассиче-
полуклассической теории лазерного излучения перенесено в Приложение к
книге. Это по крайней мере должно также способствовать об-
общей стройности изложения теоретических основ. Хотя структу-
структура книги во всех трех изданиях одна и та же, 3-е издание столь
существенно переработано, что его можно считать новой книгой.
Данное издание будет полезно очень широкому кругу лиц:
студентам, преподавателям, научным работникам, инженерам-
исследователям, а также разработчикам различных систем.
Хотелось бы поблагодарить автора книги и издательство
«Плинум Пресс» за внимание к подготовке 3-го издания книги
на русском языке, выразившееся, в частности, в присылке гра-
гранок до выхода в свет издания на английском языке.
Перевод выполнен научными сотрудниками Института общей
физики АН СССР Сорокиной И. Т. (гл. 5, 6, 8 и Приложение),
Сорокиным Е. В. (предисловие, гл. 2—4, ответы к задачам) и
Шипиловым К- Ф. (гл. 1 и 7).
Т. А. Шмаонов
...Laser... inter eximia natu-
naturae dona numeratum plurimis
compositionibus inseritur
...Лазер — один из чудес-
чудеснейших даров природы, имею-
имеющий множество применений.
Плиний Старший. «Естествен-
«Естественная история», XXII, 49
A в. н.э.)
Лазер во времена греко-римской цивилизации
(пояснение к цитате из Плиния Старшего)
В период греко-римской цивилизации (ориентировочно начиная с 6 в. до
н.э. и кончая 2 в. н.э.) лазер был широко известен и весьма прославлялся.
В отличие от современного лазера это было в действительности растение,
обладавшее, впрочем, не менее замечательными свойствами. Это растение
(относившееся, возможно, к зонтичным) в днком виде встречалось на боль-
большой территории около г. Кирены (в настоящее время принадлежит Ливии).
Иногда это растение именовали также Laserpitium и за почти чудодействен-
чудодейственные свойства считали божьим даром. Оно применялось для лечения множе-
множества болезней—от простуды до различных эпидемических заболеваний. Его
использовали как противоядие против укуса змей, скорпионов или при попа-
попадании в тело отравленной стрелы. Благодаря своим прекрасным вкусовым
качествам это растение употребляли в качестве изысканной приправы в са-
самой лучшей кухне. Оно представляло собой столь большую ценность, что
считалось основным источником процветания Кнрены; его вывозили как в
Грецию, так и в Рим. В период римского господства это была единственная
дань, которую жители Кирены платили римлянам, хранившим лазер в своих
сундуках вместе с золотыми слитками. Возможно, лучшим свидетельством
существования лазера (растения) является его изображение на известной
чаше Арцесилао (эта чаша хранится теперь в музее г. Кирены, Ливия), на
которой можно видеть, как носильщики грузят лазер на корабль под наблю-
наблюдением короля Арцесилао. И греки, и римляне пытались выращивать лазер
в различных частях Апулии и Ионии (на юге Италии), по это им не удалось
сделать. Впоследствии лазер встречался все реже и реже и, по-видимому,
около 2 в. н. э. исчез навсегда. С тех пор, несмотря на то что предпринима-
предпринимались большие усилия найти лазер в пустынях к югу от Кирены, он так и не
был обнаружен и, таким образом, останется утраченным сокровищем греко-
римской цивилизации.
Предисловие к третьему изданию
Данное третье издание является существенно обновленной
версией предыдущего и предпринято в связи с многочисленны-
многочисленными и значительными успехами, достигнутыми в области лазеров
со времени выхода в свет второго издания в 1982 г.') Тем не ме-
менее основная идея книги, состоящая в том, чтобы дать всеобъ-
всеобъемлющее и единое описание процессов в лазерах на простей-
простейшем уровне, который еще согласуется с правильной физической
картиной, осталась без изменения. Сохранена также и общая
организация книги, которая, таким образом, предназначена в
равной степени для аудиторных и самостоятельных занятий сту-
студентов инженерных, физических и химических специальностей,
заинтересованных в понимании принципов работы лазеров.
Основные дополнения, внесенные в данное издание, состоят
в следующем:
1. Добавлены новые разделы, в которых рассматриваются
различные типы лазеров, в частности рентгеновский лазер, но-
новые твердотельные лазеры, в том числе лазер на александрите,
и в значительной степени расширено описание полупроводнико-
полупроводниковых лазеров.
2. Более подробно изучается режим синхронизации мод,
включены новые разделы, касающиеся лазеров с «разгрузкой
резонатора» и методов сжатия оптического импульса.
3. Дается более глубокое и существенно менее сложное опи-
описание когерентных и статистических свойств лазерного излуче-
излучения в сравнении с обычным светом.
4. Приводится значительно более глубокое рассмотрение фи-
физики газового разряда.
Другие важные дополнения включают в себя некоторые раз-
разделы традиционной оптики (например, метод матрицы лучей,
интерферометр Фабри — Перо и многослойные диэлектрические
зеркала), описание распространения гауссова пучка (закон
ABCD) и теорию релаксации колебаний и активной синхрони-
синхронизации мод.
!) В переводе на русский язык эта книга вышла в свет в 1984 г.:
О. Звелто. Принципы лазеров. — М.: Мир, 1984. — Прим. ред.
Предисловие к третьему изданию
Несмотря на то что в результате всего этого объем книги за-
заметно увеличился, новое издание, как я надеюсь, будет лучше
выполнять роль общего введения в область лазеров.
Мне приятно выразить признательность друзьям и колле-
коллегам, предложения в помощи и поддержка которых, несомненно,
способствовали улучшению книги во многих отношениях. Это
Родольфо Бонифачио, Ян У. Бойд, Ричард К. Чен, Витторио
Деджорджо, Ричард X. Пантелл, Фриц П. Шефтер, Ян Дж.
Сполдинг и Борис Стойчефф. Я хочу также поблагодарить за
критическое редактирование Дэвида С. Ханну, который сделал
гораздо больше, чем просто перевел книгу. Большую помощь
оказал также П. Лапорта, внимательно прочитавший книгу и
внесший критические замечания. Наконец, я хочу поблагодарить
Данте Чиньи за любезно предоставленный мне материал от-
относительно истории «лазера» в период греко-римской цивили-
цивилизации.
Милан Орацио Звелто
1
Введение
1.1. Спонтанное и вынужденное излучение;
поглощение
Квантовую электронику можно определить как раздел электро-
электроники, в котором фундаментальную роль играют явления кванто-
квантового характера. Настоящая книга посвящена рассмотрению
частного аспекта квантовой электроники, а именно описанию
физических принципов действия лазеров и их характеристик.
Прежде чем заняться детальным обсуждением предмета, целе-
целесообразно уделить некоторое внимание элементарному рассмот-
рассмотрению идей, на которых основаны лазеры.
В лазере используются три фундаментальных явления, про-
происходящих при взаимодействии электромагнитных волн с ве-
веществом, а именно процессы спонтанного и вынужденного из-
излучения и процесс поглощения.
1.1.1. Спонтанное излучение (рис. 1.1, с)
Рассмотрим в некоторой среде два энергетических уровня
1 и 2 с энергиями Е\ и Е2 (Е, < Е2). В последующем рассмот-
рассмотрении это могут быть любые два уровня из неограниченного
набора уровней, свойственных данной среде. Однако удобно
принять уровень 1 за основной. Предположим, что атом (или
молекула) вещества находится первоначально в состоянии, со-
соответствующем уровню 2. Поскольку Е2> Е\, атом будет стре-
стремиться перейти на уровень 1. Следовательно, из атома должна
выделиться соответствующая разность энергий Е2 — Е\. Когда
эта энергия высвобождается в виде электромагнитной волны, про-
процесс называют спонтанным излучением. При этом частота v излу-
излученной волны определяется формулой (полученной Планком)
v = (E2-El)/h, A.1)
где h — постоянная Планка. Таким образом, спонтанное излу-
излучение характеризуется испусканием фотона с энергией h\ =
= Е2 — Е\ при переходе атома с уровня 2 на уровень 1
(рис. 1.1, а). Заметим, что спонтанное излучение только один из
двух возможных путей перехода атома из одного состояния в
другое. Переход может происходить также и безызлучательным
/./. Спонтанное и вынужденное излучение; поглощение
11
путем. В этом случае избыток энергии Е2 — Е\ выделяется в ка-
какой-либо иной форме (например, разность энергии может пе-
перейти в кинетическую энергию окружающих молекул).
Вероятность спонтанного излучения можно определить сле-
следующим образом. Предположим, что в момент времени t на
уровне 2 находятся N2 атомов (в единице объема). Скорость
перехода {dNildt) СПонт этих атомов вследствие спонтанного из-
излучения на нижний уровень, очевидно, пропорциональна N3.
Следовательно, можно написать
A.2)
Множитель А представляет собой вероятность спонтанного излу-
излучения и называется коэффициентом Эйнштейна А (выражение
hv
ЛЛЛ*
Е,
hv
ЛЛ/Ч
hv
ЛЛг*
hv
hv >
АЛЛ*
Рис. 1.1. Схематическое представление трех процессов, а — спонтанное из-
излучение; б — вынужденное излучение; в — поглощение.
для А впервые было получено Энштейном из термодинамиче-
термодинамических соображений). Величину тСПОнт = 1/А называют спонтан-
спонтанным временем жизни. Численное значение величины А (и тСПонт)
зависит от конкретного перехода, участвующего в излучении.
1.1.2. Вынужденное излучение (рис. 1.1,6)
Предположим снова, что атом первоначально находится на
верхнем уровне 2 и на вещество падает электромагнитная вол-
волна с частотой v, определяемой выражением A.1) (т. е. с часто-
частотой, равной частоте спонтанно испущенной волны). Поскольку
частоты падающей волны и излучения, связанного с атомным
переходом, равны друг другу, имеется конечная вероятность
того, что падающая волна вызовет переход B->-1) атома с
уровня 2 на уровень 1. При этом разность энергий Е2— Е} вы-
выделится в виде электромагнитной волны, которая добавится к
падающей. Это и есть явление вынужденного излучения. Меж-
Между процессами спонтанного и вынужденного излучения имеется
существенное отличие. В случае спонтанного излучения атом
12 /. Введение
испускает электромагнитную волну, фаза которой не имеет опре-
определенной связи с фазой волны, излученной другим атомом. Бо-
Более того, испущенная волна может иметь любое направление
распространения. В случае же вынужденного излучения, по-
поскольку процесс инициируется падающей волной, излучение лю-
любого атома добавляется к этой волне в той же фазе. Падающая
волна определяет также направление распространения испу-
испущенной волны.
Процесс вынужденного излучения можно описать с помощью
уравнения
(dN/d) = -W2lN2, A.3)
где (dN2/dt)BhLH— скорость перехода 2-»- 1 за счет вынужденно-
вынужденного излучения, a W2\ — вероятность вынужденного перехода. Как
и коэффициент А, определяемый выражением A.2), величина
W2, имеет также размерность (время)-1. Однако в отличие от
А вероятность W2, зависит не только от конкретного перехода,
но и от интенсивности падающей электромагнитной волны. Точ-
Точнее, для плоской волны, как будет показано ниже, можно на-
написать
W2<=o2lF; A.4)
здесь F — плотность потока фотонов в падающей волне, а
(Х2! — величина, имеющая размерность площади (она называет-
называется сечением вынужденного излучения) и зависящая от харак-
характеристик данного перехода.
1.1.3. Поглощение (рис. 1.1,в)
Предположим теперь, что атом первоначально находится на
уровне 1. Если это основной уровень, то атом будет оставаться
на нем до тех пор, пока на него не подействует какое-либо
внешнее возмущение. Пусть на вещество падает электромагнит-
электромагнитная волна с частотой v, определяемой выражением A.1). В та-
таком случае существует конечная вероятность того, что атом пе-
перейдет на верхний уровень 2. Разность энергий Е2 — Еи необ-
необходимая для того, чтобы атом совершил переход, берется из
энергии падающей электромагнитной волны. В этом заклю-
заключается процесс поглощения.
По аналогии с A.3) вероятность поглощения W\2 опреде-
определяется уравнением
dN,/dt = -W,2Nu A.5)
где N\ — число атомов в единице объема, которые в данный
момент времени находятся на уровне 1. Кроме того, так же,
1.2. Принцип работы лазера 13
как и в выражении A.4), можно написать
Wl2 = ol2F; A.6)
здесь ац — некоторая характерная площадь (сечение поглоще-
поглощения), которая зависит только от конкретного перехода.
В предыдущих разделах были даны основные понятия про-
процессов спонтанного и вынужденного излучений, а также погло-
поглощения. На языке фотонов эти процессы можно описать следую-
следующим образом (рис. 1.1): 1) в процессе спонтанного излучения
атом, испуская фотон, переходит с уровня 2 на уровень 1; 2) в
процессе вынужденного излучения падающий фотон вызывает
переход 2-»-1, в результате чего мы получаем два фотона (па-
(падающий плюс испущенный); 3) в процессе поглощения падаю-
падающий фотон поглощается, вызывая переход 1 -»- 2. Следует отме-
отметить, что а, 2 = ог |, как показал Эйнштейн еще в начале XX в.
Это означает, что вероятности вынужденного излучения и по-
поглощения равны друг другу. Поэтому в дальнейшем мы будем
писать а\ 2 = (Х21 = а, понимая под а сечение данного перехо-
перехода °. Число атомов в единице объема, находящихся на данном
энергетическом уровне, будем называть населенностью этого
уровня.
1.2. Принцип работы лазера
Рассмотрим в какой-либо среде два произвольных энергети-
энергетических уровня 1 и 2 с соответствующими населенностями N\ и
N2. Пусть в этой среде в направлении оси z распространяется
плоская волна с интенсивностью, соответствующей плотности
потока фотонов F. Тогда в соответствии с выражениями A.3) —
A.6) изменение плотности потока dF, обусловленное как про-
процессами вынужденного излучения, так и процессами поглоще-
поглощения, в слое dz (заштрихованная область на рис. 1.2) опреде-
определяется уравнением
Nl)dz. A.7)
Из уравнения A.7) следует, что в случае N2>Ni среда ведет
себя как усиливающая (т. е. dF/dz > 0), а в случае N2 < Ni —
как поглощающая. Известно, что при термодинамическом рав-
равновесии населенности энергетических уровней описываются ста-
статистикой Больцмана. Так, если N* и Nt — населенности двух
уровней при термодинамическом равновесии, то мы имеем
= exp[-(?2-?i)/W], A.8)
11 Настоящее рассмотрение применимо только к невырожденным уров-
уровням. По поводу вырожденных уровней читатель может обратиться к
разд. 2.8.
14
/. Введение
F*dF
ллл-
где k — постоянная Больцмана, а Г — абсолютная температура
среды. Таким образом, мы видим, что в случае термодинамиче-
термодинамического равновесия N2 < N\. В соответствии с A.7) среда погло-
поглощает излучение на частоте v, что обычно и происходит. Однако
если удастся достигнуть неравновесного состояния, для кото-
которого Ni >' N\, то среда будет действовать как усилитель. В этом
случае будем говорить, что в среде существует инверсия насе-
ленностей, имея в виду, что раз-
разность населенностей {N2 — Ni > 0)
противоположна по знаку той, ко-
которая существует в обычных усло-
условиях (Nl — N\ < О). Среду, в ко-
которой осуществлена инверсия насе-
населенностей, будем называть актив-
активной средой.
Если частота перехода v =
= (?2 — E\)/h попадает в СВЧ-диа-
пазон, то соответствующий усили-
усилитель называется мазером. Слово
мазер (англ. maser) образовано из
начальных букв слов следующей
фразы: microwave amplification by
stimulated emission of radiation — усиление микроволн вынуж-
вынужденным испусканием излучения. Если же частота перехода v
соответствует оптическому диапазону, то усилитель называется
лазером. Слово лазер (англ. laser) образовано аналогично,
только начальная буква «м», происходящая от первой буквы
в слове microwave, заменена буквой «л», происходящей от
слова light (свет).
Для того чтобы усилитель превратить в генератор, необхо-
необходимо ввести подходящую положительную обратную связь.
В СВЧ-диапазоне это достигается тем, что активную среду по-
помещают в объемный резонатор, имеющий резонанс при частоте
v. В лазере обратную связь обычно получают размещением
активной среды между двумя зеркалами с высоким коэффициен-
коэффициентом отражения1) (например, между плоскопараллельными зер-
зеркалами, как показано на рис. 1.3).В этом случае плоская элек-
электромагнитная волна, распространяющаяся в направлении, пер-
перпендикулярном зеркалам, будет поочередно отражаться от них,
усиливаясь при каждом прохождении через активную среду. Если
одно из двух зеркал сделано частично прозрачным, то на выхо-
выходе системы можно выделить пучок полезного излучения. Одна-
Рис. 1.2. Изменение плотности
потока фотонов dF при про-
прохождении плоской электромаг-
электромагнитной волны через слой ве-
вещества толщиной dz.
!) Такая система зеркал обычно именуется резонатором Фабри
оптическим резонатором или открытым резонатором. — Прим. перев.
Перо,
1.3. Схемы накачки 15
ко как в мазерах, так и в лазерах генерация возможна лищь
при выполнении некоторого порогового условия. Например, в
лазере генерация начинается тогда, когда усиление активной
среды компенсирует потери в нем (скажем, потери, обусловлен-
обусловленные частичным выходом излучения из резонатора через зерка-
зеркало). В соответствии с выражением A.7) усиление излучения за
один проход в активной среде (т. е. отношение выходной и вход-
входной плотностей потока фотонов) равно exp[a(/V2— N\)l], где
/— длина активной среды. Если потери в резонаторе опреде-
определяются только пропусканием зеркал, то порог генерации будет
Выходной пучок
Активная среда
Зерпа/ю 1 Ьермзло 2
Рис. 1.3. Схема устройства лазера.
достигнут при выполнении условия R\R2exp[2o(N2— /Vi)/]=1,
где R\ и R2 — коэффициенты отражения зеркал по интенсив-
интенсивности. Это условие показывает, что порог достигается тогда,
когда инверсия населенностей приближается к некоторому кри-
критическому значению (N2— Nf)KP, называемому критической
инверсией и определяемому соотношением
(N2 - tf,)Kp = - In (#,Я2)/2а/. A.9)
Как только достигнута критическая инверсия, генерация разо-
разовьется из спонтанного излучения. Действительно, фотоны, ко-
которые спонтанно испускаются вдоль оси резонатора, будут уси-
усиливаться. Этот механизм и лежит в основе лазерного генерато-
генератора, называемого обычно просто лазером. Однако теперь слово
лазер широко применяется к любому устройству, испускающему
вынужденное излучение — будь то в дальнем или ближнем ИК-,
УФ- и даже в рентгеновском диапазонах. В таких случаях мы
будем говорить соответственно об инфракрасных, ультрафио-
ультрафиолетовых и рентгеновских лазерах. Заметим также, что названия
твердотельный, жидкостный и газовый лазер определяются агре-
агрегатным состоянием активной среды.
1.3. Схемы накачки
Рассмотрим задачу о том, каким образом в данной среде
можно получить инверсию населенностей. На первый взгляд
может показаться, что инверсию можно было бы создать при
взаимодействии среды с достаточно сильной электромагнитной
16
/. Введение
волной частоты v, определяемой выражением A.1). Поскольку
при термодинамическом равновесии уровень 1 заселен больше,
чем уровень 2, поглощение преобладает над вынужденным из-
излучением, т. е. под действием падающей волны происходит
больше переходов 1 -»- 2, чем переходов 2-»-1, и можно на-
надеяться осуществить таким путем инверсию населенностей.
Однако нетрудно заметить, что такой механизм работать не
будет (по крайней мере в стационарных условиях). Когда на-
наступят условия, при которых населенности уровней окажутся
одинаковыми (Л^ = ЛМ, процессы вынужденного излучения и
поглощения начнут компенсировать друг друга и в соответ-
соответствии с A.7) среда станет прозрачной^. В такой ситуации
обычно говорят о двухуровневом насыщении.
быстрая релаксация
2
Лазерная
генерация
¦1
быстрая релаксация
2
'Лазерная генерация
/
быстрая релаксация
-О
а 6
Рис. 1.4. Трехуровневая (а) и четырехуровневая (б) схемы лазера.
Таким образом, используя только два уровня, невозможно
получить инверсию населенностей. Естественно, возникает во-
вопрос: можно ли это осуществить с использованием более чем
двух уровней из неограниченного набора состояний данной
атомной системы? Мы увидим, что в этом случае ответ будет
утвердительным и можно будет соответственно говорить о трех-
и четырехуровневых лазерах в зависимости от числа рабочих
уровней (рис. 1.4). В трехуровневом лазере (рис. 1.4, а) атомы
каким-либо способом переводятся с основного уровня 1 на уро-
уровень 3. Если выбрана среда, в которой атом, оказавшийся в
возбужденном состоянии на уровне 3, быстро переходит на уро-
уровень 2, то в такой среде можно получить инверсию населен-
населенностей между уровнями 2 и 1. В четырехуровневом лазере
(рис. 1.4,6) атомы также переводятся с основного уровня (для
удобства будем называть его нулевым) на уровень 3. Если
после этого атомы быстро переходят на уровень 2, то между
уровнями 2 и 1 может быть получена инверсия населенностей.
11 Для электромагнитной волны частоты v.—Прим. перев.
1.3. Схемы накачки 17
Когда в таком четырехуровневом лазере возникает генерация,
атомы в процессе вынужденного излучения переходят с уровня
2 на уровень 1. Поэтому для непрерывной работы четырехуров-
четырехуровневого лазера необходимо, чтобы частицы, оказавшиеся на уров-
уровне 1, очень быстро переходили на нулевой уровень.
Мы показали, каким образом можно использовать три или
четыре энергетических уровня какой-либо системы для полу-
получения инверсии населенностей. Будет ли система работать по
трех- или четырехуровневой схеме (и будет ли она работать
вообще!), зависит от того, насколько выполняются рассмотрен-
рассмотренные выше условия. Может возникнуть вопрос: зачем исполь-
использовать четырехуровневую схему, если уже трехуровневая ока-
оказывается весьма эффективной для получения инверсии насе-
населенностей? Однако дело в том, что в четырехуровневом лазере
инверсию получить гораздо легче. Чтобы убедиться в этом,
прежде всего заметим, что разности энергий между рабочими
уровнями лазера (рис. 1.4) обычно много больше, чем kT, и в
соответствии со статистикой Больцмана [см., например, форму-
формулу A.8)] почти все атомы при термодинамическом равновесии
находятся в основном состоянии. Если мы теперь обозначим
число атомов в единице объема среды как Nt, то в случае трех-
трехуровневой системы эти атомы первоначально будут находить-
находиться на уровне 1. Переведем теперь атомы с уровня 1 на уровень
3. Тогда с этого уровня атомы будут релаксировать с переходом
на более низкий уровень 2. Если такая релаксация происходит
достаточно быстро, то уровень 3 остается практически незасе-
незаселенным. В этом случае, для того чтобы населенности уровней
1 и 2 сделать одинаковыми, на уровень 2 нужно перевести поло-
половину атомов Nt, расположенных первоначально на основном
уровне. Инверсию населенностей будет создавать любой атом,
переведенный на верхний уровень сверх этой половины от об-
общего числа атомов. Однако в четырехуровневом лазере, по-
поскольку уровень 1 первоначально был также незаселенным,
любой атом, оказавшийся в возбужденном состоянии, будет да-
давать вклад в инверсию населенностей. Эти простые рассужде-
рассуждения показывают, что по возможности следует искать активные
среды, работающие по четырехуровневой схеме. Для получения
инверсии населенностей возможно, разумеется, использование
н большего числа энергетических уровней.
Процесс, под действием которого атомы переводятся с уров-
Чя 1 на уровень 3 (в трехуровневой схеме лазера) или с уровня
б на уровень 3 (в четырехуровневой схеме), называется на-
накачкой. Имеется несколько способов, с помощью которых мож-
можно реализовать этот процесс на практике, например при по-
Ми некоторых видов ламп, дающих достаточно интенсивную
18 /. Введение
световую волну, или посредством электрического разряда в
активной среде. Более подробное обсуждение процессов на-
накачки читатель найдет в гл. 3. Однако следует заметить, что
если верхний уровень накачки пуст, то скорость, с которой
верхний лазерный уровень 2 станет заселяться с помощью на-
накачки (dN2[dt)p, в общем случае можно записать в виде
(dN2/dt)p = WpNg. A.10)
Здесь Ng — населенность основного уровня (т. е. уровня 1 или
0 соответственно на рис. 1.4, а и б), a Wp — коэффициент, ко-
который будем называть скоростью накачки. Для того чтобы до-
достигнуть пороговых условий, скорость накачки должна превы-
превысить некоторое пороговое или критическое значение, которое мы
будем обозначать как WKP. Конкретные выражения для пара-
параметра WKp будут получены в гл. 5.
1.4. Свойства лазерных пучков
Лазерное излучение характеризуется чрезвычайно высокой
степенью монохроматичности, когерентности, направленности и
яркости. К этим свойствам можно добавить генерацию свето-
световых импульсов малой длительности. Это свойство, возможно,
менее фундаментально, но оно играет очень важную роль. Рас-
Рассмотрим теперь эти свойства подробнее.
1.4.1. Монохроматичность
Не слишком вдаваясь в детали, можно сказать, что это свой-
свойство определяется двумя следующими обстоятельствами:
1) усиливаться может электромагнитная волна только с часто-
частотой v, определяемой выражением A.1); 2) поскольку устрой-
устройство из двух зеркал образует резонатор, генерация может
возникать только на резонансных частотах этого резонатора.
Последнее обстоятельство приводит к тому, что ширина линии
лазерного излучения часто бывает много уже (приблизительно
на шесть порядков величины!), чем обычная ширина линии пе-
перехода 2->1, которая наблюдается при спонтанном излучении.
1.4.2. Когерентность
Для любой электромагнитной волны можно определить два
независимых понятия когерентности, а именно пространствен-
пространственную и временную когерентность.
Для того чтобы определить пространственную когерентность,
рассмотрим две точки Pi и Р2, выбранные с таким условием,
1.4. Свойства лазерных пучков
19
что в момент времени t = О через них проходит волновой фронт
некоторой электромагнитной волны, и пусть Ex(t) и ?2@ —
соответствующие электрические поля в этих точках. Согласно
нашему условию, в момент времени t = О разность фаз элек-
электрических полей в данных точках равна нулю. Если эта раз-
разность фаз остается равной нулю в любой момент времени
t > 0, то говорят, что между двумя точками имеется полная
когерентность. Если такое условие выполняется для любых
пар точек волнового фронта, то данная волна характеризуется
полной пространственной когерентностью. Практически для лю-
любой точки Р\, если мы имеем достаточную корреляцию фаз,
Рис. 1.5. Пример электромагнитной волны с временем когерентности по-
порядка То-
точка Рг должна располагаться внутри некоторой конечной
области, включающей точку Pi. В этом случае говорят, что
волна характеризуется частичной пространственной когерентно-
когерентностью, причем для любой точки Р можно соответственно опреде-
определить область когерентности 5С(Р).
Для того чтобы определить временную когерентность, рас-
рассмотрим электрическое поле волны в данной точке Р в момен-
моменты времени t и t + т. Если для данного интервала времени т
разность фаз колебаний поля остается одной и той же в лю-
любой момент времени t, то говорят, что существует временная
когерентность на интервале времени т. Если такое условие вы-
выполняется для любого значения т, то волна характеризуется
полной временной когерентностью. Если же это имеет место
лишь для определенного интервала времени т, такого, что
О < т < то, то волна характеризуется частичной временной ко-
когерентностью с временем когерентности то- На рис. 1.5
20 /. Введение
в качестве примера показана электромагнитная волна с време-
временем когерентности то, которая имеет вид синусоидального элек-
электрического поля со скачкообразным изменением фазы через ин-
интервалы времени то. Мы видим, что представление о временной
когерентности непосредственно связано с монохроматичностью.
В дальнейшем (в гл. 7) будет показано, хотя это очевидно из
рис. 1.5, что электромагнитная волна с временем когерентности,
равным то, имеет спектральную ширину Av ~ 1/т0. В той же
главе покажем, что в случае нестационарного пучка (например,
лазерного пучка, полученного в результате модуляции доброт-
добротности или синхронизации мод) время когерентности не связа-
связано обратно пропорциональной зависимостью с шириной полосы
генерации и фактически может быть много больше, чем вели-
величина 1/Av.
Следует заметить, что понятия временной и пространствен-
пространственной когерентности на самом деле не зависят друг от друга.
Действительно, можно привести примеры волны, имеющей пол-
полную пространственную когерентность, но лишь частичную вре-
временную когерентность, и наоборот. Если волна, показанная на
рис. 1.5, представляет электрические поля в точках Pi и Рг, рас-
рассмотренных выше, то пространственная когерентность в этих
точках будет полной, в то время как временная когерентность
лишь частичной.
В заключение этого раздела подчеркнем, что понятия про-
пространственной и временной когерентности дают описание ла-
лазерной когерентности только в первом порядке. Свойства коге-
когерентности высших порядков будут рассмотрены в гл. 7. Для
полного понимания различия между обычным источником света
и лазером подобное рассмотрение очень существенно. Будет
показано, что действительно вследствие различия между соот-
соответствующими свойствами когерентности высших порядков ла-
лазерный пучок коренным образом отличается от традиционных
источников света.
1.4.3. Направленность
Это свойство является простым следствием того, что актив-
активная среда помещена в резонатор, например плоскопараллель-
плоскопараллельный резонатор, показанный на рис. 1.3. В таком резонаторе
могут поддерживаться только такие электромагнитные волны,
которые распространяются вдоль оси резонатора или в очень
близком к оси направлении. Для более глубокого понимания
свойств направленности лазерных пучков (или в общем слу-
случае любой электромагнитной волны) удобно рассмотреть от-
отдельно случаи, когда пучок обладает полной пространственной
1.4. Свойства лазерных пучков
21
Электропагнитная
болна
Рис. 1.6. Расходимость плоской элек-
электромагнитной волны вследствие ди-
дифракции.
когерентностью и когда он имеет частичную пространственную
когерентность.
Рассмотрим вначале пучок с полной пространственной коге-
когерентностью. Даже в этом случае пучок с конечной апертурой
неизбежно расходится вследствие дифракции. Это нетрудно по-
понять с помощью рис. 1.6. На этом рисунке пучок с постоянной
интенсивностью и плоским волновым фронтом падает на экран
5, в котором имеется отвер-
отверстие диаметром D. Согласно
принципу Гюйгенса волновой _ Л
фронт в некоторой плоскости
Р за экраном может быть по-
получен путем суперпозиции эле-
элементарных волн, излученных
каждой точкой отверстия. Мы
видим, что из-за конечного
размера D отверстия пучок
имеет конечную расходимость
0d. Ее значение можно вычис-
вычислить с помощью теории дифракции. Для произвольного распре-
распределения амплитуды имеем
ed = pA,/?>; (l.ii)
здесь К — длина волны, a D — диаметр пучка. В соотношении
A.11) р — числовой коэффициент порядка единицы, значение
которого зависит от формы распределения амплитуд и способа,
каким определяются расходимость и диаметр пучка. Пучок,
расходимость которого описывается выражением A.11), назы-
называется дифракционно-ограниченным.
Если волна имеет частичную пространственную когерент-
когерентность, то ее расходимость будет больше, чем минимальное зна-
значение расходимости, обусловленное дифракцией. Действительно,
для любой точки Р' волнового фронта принцип Гюйгенса
(рис. 1.6) может быть применен только к точкам, расположен-
расположенным в пределах области когерентности Sc около Р'. Таким об-
образом, область когерентности действует как ограничивающая
апертура для когерентной суперпозиции элементарных волн.
Расходимость пучка теперь запишется в виде
il/2
A.12)
где, как и прежде, р — числовой коэффициент порядка единицы,
точное значение которого зависит от способа, каким определя-
определяются расходимость 0С и область когерентности Sc.
22 /. Введение
В заключение этого общего рассмотрения свойств направ-
направленности электромагнитных волн следует заметить, что при со-
соответствующих условиях работы выходной пучок лазера можно
сделать дифракционно-ограниченным.
1.4.4. Яркость
Определим яркость какого-либо источника электромагнит-
электромагнитных волн как мощность излучения, испускаемого с единицы по-
поверхности источника в единичный телесный угол. Точнее гово-
говоря, рассмотрим элемент площади dS поверхности источника в
точке О (рис. 1.7). Тогда мощность dP, излучаемая элементом
поверхности dS в телесный угол dQ
в направлении 00', может быть
записана следующим образом '>:
dP = BcosQdSd?l; A.13)
здесь 0 — угол между направлением
00' и нормалью к поверхности п.
Величина В зависит, как правило,
от полярных координат Э и <j>, т. е.
Рис. 1.7. Поверхностная яр- от направления 00' и от положе-
кость источника электромаг- ния точки О. Эта величина В на-
нитного излучения в точке О. зывается яркостью источника в
точке О в направлении 00'.
В выражении A.13) множитель cos 0 обусловлен тем, что физи-
физически важной величиной является проекция dS на плоскость,
перпендикулярную направлению 00'. Если В не зависит от 9
и <j>, то говорят, что источник является изотропным (источни-
(источником Ламберта). Яркость лазера даже небольшой мощности (на-
(например, несколько милливатт) на несколько порядков превосхо-
превосходит яркость обычных источников. Это свойство в основном яв-
является следствием высокой направленности лазерного пучка.
1.4.5. Импульсы малой длительности
Не вдаваясь на этом этапе в какие-либо детали, заметим
лишь, что при помощи специального метода, называемого син-
синхронизацией мод, можно получить импульсы света, длительность
которых приблизительно обратно пропорциональна ширине ли-
линии перехода 2->-1. Например, в газовых лазерах, ширина ли-
линии усиления которых относительно узкая, можно получать им-
импульсы излучения длительностью -—¦ 0,1 — 1 не. Такие импульсы
не рассматриваются как очень короткие, поскольку даже неко-
') Используются сферические координаты.— Прим. перев.
/.5. Структура книги 23
торые лампы-вспышки способны излучать световые импульсы
длительностью менее 1 не. Однако у твердотельных или жидко-
жидкостных лазеров ширины линий усиления могут быть в 103—
105 раз больше, чем у газовых лазеров, и поэтому генерируемые
ими импульсы оказываются значительно короче (от 1 пс до
~30 фс). Получение столь коротких импульсов света привело
к новым возможностям в лазерных исследованиях и их приме-
применениях.
Следует заметить, что свойство генерации коротких импуль-
импульсов, которое подразумевает концентрацию энергии во времени,
в некотором смысле аналогично свойству монохроматичности,
означающему концентрацию энергии в узком диапазоне длин
волн. Однако генерация коротких импульсов является, по-види-
по-видимому, менее фундаментальным свойством, чем монохроматич-
монохроматичность. В то время как любой лазер можно в принципе изгото-
изготовить таким, что он будет генерировать достаточно монохрома-
монохроматическое излучение, короткие импульсы можно получать лишь
от лазеров с широкой линией излучения, т. е. на практике толь-
только от твердотельных или жидкостных лазеров. Газовые же ла-
лазеры, обладающие более узкими линиями усиления, лучше все-
всего подходят для генерации высокомонохроматического излуче-
излучения.
1.5. Структура книги
Порядок изложения материала в данной книге соответствует
рассмотрению лазера (на что мы указывали выше в этой главе)
как устройства, состоящего из следующих трех основных эле-
элементов: 1) активной среды, 2) системы накачки и 3) подходя-
подходящего резонатора. Поэтому следующие три главы посвящены
соответственно взаимодействию излучения с веществом, процес-
процессам накачки и теории пассивных оптических резонаторов. Об-
Общие представления, данные в этих главах, используются затем
в гл. 5 при рассмотрении теории непрерывного и переходного
режимов работы лазеров. Теория развивается в рамках прибли-
приближения низшего порядка, т. е. на основе скоростных уравнений.
Такое рассмотрение действительно позволяет описать большин-
большинство характеристик лазера. Очевидно, лазеры, в которых приме-
применяются разные активные среды, существенно различаются по
своим характеристикам. Поэтому естественно, что следующая
глава (гл. 6) посвящена обсуждению характерных свойств от-
отдельных типов лазеров. К этому моменту читатель уже будет
достаточно подготовлен к тому, чтобы понять принцип действия
лазера и перейти к изучению характерных свойств выходного
лазерного пучка (когерентности, монохроматичности, направ-
направленности, яркости, шумовых характеристик). Эти свойства мы
24 /. Введение
рассмотрим в гл. 7. Наконец, в основе обсуждения, которому
посвящена гл. 8, лежит тот факт, что прежде чем использовать
лазерный пучок, его, как правило, подвергают некоторым пре-
преобразованиям. Они состоят из 1) пространственного преобразо-
преобразования пучка при его распространении в свободном пространстве
или через оптическую систему, 2) амплитудного преобразова-
преобразования, которое имеет место при прохождении пучка через усили-
усилитель, и 3) преобразования длины волны или частоты, которое
реализуется в ряде нелинейных явлений (генерация второй гар-
гармоники, параметрическая генерация).
Задачи
1.1. Область электромагнитного спектра, представляющая интерес для ла-
лазерной физики, простирается от субмиллиметровых длин волн до рентгенов-
рентгеновского диапазона. Сюда входят следующие спектральные области: 1) дальняя
инфракрасная; 2) ближняя инфракрасная; 3) видимый свет; 4) ультрафио-
ультрафиолетовая (УФ); 5) область вакуумного ультрафиолета (ВУФ); 6) мягкие
рентгеновские лучи; 7) рентгеновские лучи. Из любого физического справоч-
справочника найдите интервалы длин волн, соответствующие указанным спектраль-
спектральным областям. Запомните или запишите границы каждого интервала, по-
поскольку мы их будем часто использовать в этой книге.
1.2. Как особый случай задачи 1.1, запомните или запишите длины волн,
соответствующие синему, зеленому и красному участкам спектра.
1.3. Если уровни 1 и 2, показанные на рис. 1.1, разделены интервалом энер-
энергий Ег — Ei, таким, что частота излучения, соответствующая переходу с
уровня 2 на уровень 1, приходится на середину видимого участка спектра,
то каково отношение населенностей этих двух уровней при комнатной тем-
температуре в состоянии термодинамического равновесия?
1.4. Пусть отношение населенностей N2/Ni двух уровней, находящихся в
термодинамическом равновесии при температуре Т = 300 К, равно 1/е. Вы-
Вычислите частоту излучения v, соответствующую переходу между этими уров-
уровнями. В какую область электромагнитного спектра попадает излучение с та-
такой частотой?
1.5. Лазерный резонатор состоит из двух зеркал с коэффициентами отраже-
отражения Яг = 1 и Ri = 0,5. Длина активной среды I = 7,5 см, а сечение перехода
а = 3,5-10~19 см2. Вычислите пороговую инверсию населенностей.
1.6. Пучок рубинового лазера (X = 0,694 мкм) проходит через телескоп диа-
диаметром 1 м и посылается на Луну. Рассчитайте диаметр D пучка на Луне,
предполагая, что пучок обладает полной пространственной когерентностью
(расстояние от Земли до Луны приблизительно равно 384 000 км).
2
Взаимодействие излучения с веществом
2.1. Введение
Данная глава, как мы условились в разд. 1.5, посвящена взаи-
взаимодействию излучения с веществом. Это очень широкая область
науки, иногда называемая фотофизикой. Здесь мы ограничимся
обсуждением лишь явлений, имеющих непосредственное отно-
отношение к веществу, используемому как активная среда лазера.
Вводный раздел посвящен теории излучения черного тела, на
которую опирается вся современная физика излучения. Затем
мы рассмотрим элементарные процессы поглощения, вынужден-
вынужденного излучения, спонтанного излучения и безызлучательной ре-
релаксации. На первом этапе это изучение будет проводиться ра-
ради простоты для разреженных сред и малой интенсивности из-
излучения. Кроме того, будем вначале считать, что среда состоит
только из атомов. Затем будут рассмотрены случаи высокой
интенсивности излучения и плотных сред (когда возникают та-
такие явления, как насыщение, суперизлучение, суперлюминес-
суперлюминесценция и усиленное спонтанное излучение). В последнем раз-
разделе мы обобщим некоторые из полученных результатов на бо-
более сложный случай молекулярной системы. Некоторые весьма
важные, хотя и не столь общие вопросы, касающиеся фотофи-
фотофизики полупроводников, молекул красителей и центров окраски,
мы кратко обсудим в гл. 6 непосредственно перед рассмотре-
рассмотрением соответствующих лазеров.
2.2. Теория излучения черного тела [1]
Рассмотрим полость, заполненную однородной и изотропной
диэлектрической средой. Если стенки полости поддерживаются
при постоянной температуре Т, то они непрерывно испускают и
поглощают энергию в виде электромагнитного излучения. Когда
скорости поглощения и испускания энергии становятся одинако-
одинаковыми, как на стенках полости, так и во всем объеме диэлектри-
диэлектрика достигается равновесное состояние. Это состояние можно
описать с помощью величины, называемой плотностью энергии
р, которая представляет собой электромагнитную энергию, за-
заключенную в единице объема полости. Поскольку мы имеем
26 2. Взаимодействие излучения с веществам
дело с электромагнитным излучением, плотность энергии можно
выразить через напряженности электрического E(t) и магнит-
магнитного И (t) полей в соответствии с хорошо известной формулой:
где е и ц — соответственно диэлектрическая и магнитная прони-
проницаемости среды, заполняющей полость.
Спектральное распределение энергии излучения будем опи-
описывать функцией pv, которая зависит от частоты v. Эта функция
определяется следующим образом: pvdv представляет собой
плотность электромагнитного излучения с частотами в интер-
интервале от v до v + dv. Очевидно, что соотношение между р и pv
можно записать в виде
оо
p=\pvdv. B.1а)
Если теперь проделать отверстие в стенке полости, то часть
света со спектральной интенсивностью /v будет покидать по-
полость сквозь это отверстие. Как мы увидим в конце данного
раздела, /v связано с pv простым множителем пропорциональ-
пропорциональности.
Можно показать, что спектральные распределения энергии
pv, а следовательно, и /v являются универсальными функциями,
которые не зависят ни от материала стенок, ни от формы поло-
полости, а определяются лишь частотой v и температурой полости 7".
Это свойство величины pv можно доказать с помощью простого
термодинамического рассуждения. Предположим, что имеются
две полости произвольной формы, стенки которых поддержива-
поддерживаются при одной и той же температуре Т. Чтобы быть уверен-
уверенными в том, что температура сохраняется постоянной, можно
представить себе, что стенки обеих полостей находятся в тепло-
тепловом контакте с двумя термостатами при температуре Т. Пред-
Предположим, что для данной частоты v спектральная плотность
энергии р^, в первой полости больше, чем соответствующая ве-
величина р" во второй полости. Соединим теперь оптически обе
полости, сделав в каждой из них отверстие и спроецировав при
помощи подходящей оптической системы одно отверстие на дру-
другое. Кроме того, установим в оптической системе идеальный
фильтр, который пропускает излучение лишь в небольшом ча-
частотном интервале вблизи частоты v. Если р^, > р^, то I'v > /"
и возникает поток электромагнитной энергии из первой полости
во вторую. Однако этот поток энергии противоречит второму
закону термодинамики, поскольку обе полости находятся при
2.2. Теория излучения черного тела
27
л /
1 •
/
<.—— , >.
/
¦
/
одной и той же температуре. Следовательно, при всех частотах
должно выполняться равенство р^, = р".
В свое время задача о вычислении универсальной функции
p(v, 7") вызвала значительные затруднения у физиков. Однако
благодаря Планку, который для нахождения правильного ре-
решения ввел так называемую гипотезу о световых квантах, она
была полностью решена. Поэтому теория излучения черного
тела является одной из фундаментальных основ современной
физики.
Поскольку функция pv не зависит ни от формы полости, ни
от природы диэлектрической среды, рассмотрим для простоты
прямоугольную полость с идеально проводящими стенками,
равномерно заполненную диэлектриком (рис. 2.1). Расчет функ-
функции pv начнем с вычисления
распределения стоячих элек-
электромагнитных волн, которое
может существовать в этой
полости. Согласно уравнениям
Максвелла, напряженность
электрического поля Е(х, у, z, t)
волны должна удовлетворять
волновому уравнению
V2E - A/с2) (<Э2Е/Л*) = 0, B.2)
где V2—оператор Лапласа, а
с — скорость света в рассмат-
рассматриваемой среде. Кроме того,
напряженность электрического поля должна удовлетворять сле-
следующему граничному условию на каждой стенке:
где п — нормаль к поверхности рассматриваемой стенки. Это
условие выражает тот факт, что тангенциальная компонента
электрического поля должна обращаться в нуль на стенках
полости.
Нетрудно показать, что задача решается разделением пере-
переменных. Таким образом, записывая
Е = п(х, у, г) A(t) B.4)
и подставляя это выражение в уравнение B.2), получаем
B.5а)
B.56)
Рис. 2.1. Полость прямоугольной
формы с идеально проводящими
стенками, поддерживаемыми при
температуре Т.
d2A/dt2 = - (с*J А,
28 2. Взаимодействие излучения с веществом
где k — постоянная величина. Уравнение B.56) имеет общее
решение
А = Ао sin (со/ + Ф), B.6)
где Ао и ф — произвольные постоянные величины, а
® = ck. B.7)
Если функция A(t) дается выражением B.6), то решение B.4)
соответствует определенной конфигурации стоячей волны элек-
электромагнитного поля внутри полости. Действительно, амплитуда
этой волны в данной полости является постоянной во времени.
Решение такого типа называется электромагнитной модой по-
полости.
Перейдем теперь к решению уравнения B.5а), известного
как уравнение Гельмгольца, с учетом граничных условий B.3).
Нетрудно убедиться в том, что выражения
их = ех c°s kxx sin kyy sin kzz,
uy = ey sin kxxcoskyy sin kzz, B.8)
uz = ez sin kxx sin kyy cos kzz
удовлетворяют уравнению B.5а) для любых значений lx, ly, lz
при условии, что
k2x + k\ + k\ = k\ B.9)
Кроме того, решения B.8) уже удовлетворяют граничным усло-
условиям B.3) на трех плоскостях л: = 0, г/ = 0 и z = 0. Если мы
потребуем, чтобы эти граничные условия были справедливы
также на других стенках полости, то получим
kx = lnj2a, ky = mn/2a, kz = nn/L; B.10)
здесь /, m и п — произвольные положительные целые числа. Фи-
Физический смысл этих чисел можно понять сразу: они представ-
представляют собой количества узлов моды стоячей волны в направле-
направлениях соответственно х, у и z. Фиксированным значениям /, m и п
соответствуют определенные значения kx, ky и kz, и, согласно
B.7) и B.9), частота моды а будет также задана. Она опреде-
определяется выражением
в котором явно показана зависимость частоты моды от индек-
индексов /, m и п. Однако сама мода еще полностью не определена,
поскольку остаются произвольными ех, еу и ег. Тем не менее из
уравнений Максвелла следует еще одно условие, которому дол-
2.2. Теория излучения черного тела
29
жно удовлетворять электрическое поле, а именно V-u = 0. Из
этого условия с помощью выражений B.8) получаем
е-к = 0.
B.12)
Тем самым мы определили два вектора е и к, компоненты ко-
которых вдоль осей х, у и z равны соответственно ех, еу, ег и kx,
ky, kz. Из уравнения B.12) видно, что из трех величин ех, еу и
ег только две являются независимыми. Действительно, если за-
заданы /, т, п (т. е. сразу определен вектор к), то вектор е обя-
обязан лежать в плоскости, пер-
перпендикулярной к. В этой
плоскости для выбора на-
направления вектора е оста- yi-¦-'-'¦¦ - —, -^
ются лишь две степени сво-
свободы и, следовательно, воз-
возможны только две моды.
Любой другой вектор, ле- i ; - . - ,
жащий в этой плоскости, I ..\~" ' \ " \ j
можно представить в виде
линейной комбинации двух I [ / i я/2а\ ^
уже выбранных векторов. : /-,-__ У -У
Подсчитаем теперь чис-
число мод JVV полости, имею-
имеющих частоты от 0 до v. Это
число будет такое же, как
и число мод, волновой век-
Рис. 2.2. К иллюстрации плотности ге-
генерируемых мод в полости, показанной
на рис. 2.1. Каждая точка решетки со-
соответствует двум модам полости.
тор к которых имеет вели-
величину k в пределах 0 — 2nv/c.
Из выражений B.10) видно,
что в системе координат kx, ky, kz возможные значения для к
даются векторами, соединяющими начало координат с узло-
узловыми точками трехмерной решетки, показанной на рис. 2.2.
Совершенно очевидно полное соответствие между этими точ-
точками и возможными значениями вектора к. Однако, поскольку
величины kx, ky и kz являются положительными, мы должны
учитывать только точки, лежащие в положительном октанте.
Число таких точек, соответствующих величинам k в пределах
0 — 2nv/c, равно одной восьмой отношения объема сферы с цен-
центром в начале координат и радиусом 2nv/c к объему элемен-
элементарной ячейки размерами я/2а, я/2а и n/L. Поскольку, как уже
указывалось, для каждого значения k возможно существование
двух мод, мы имеем
30 2. Взаимодействие излучения с веществом
здесь V—объем полости. Если определить p(v) как число мод
в единице объема и в единичном частотном интервале, то
р (V) = A/У) (dN/dv) = A/с3) Snv2. B.14)
Получив выражение для p(v), мы можем теперь перейти
к вычислению плотности энергии pv, поскольку она является
произведением числа мод в единичном объеме и в единичном
интервале частот p(v) на среднюю энергию каждой моды
<?>, т. е.
pv=p(v)<?>. B.15а)
Для вычисления <?> положим, что стенки полости находятся
при температуре Т. В соответствии со статистикой Больцмана
вероятность dp того, что энергия данной моды в полости лежит
между Е и Е + dE, есть dp = Cexp[—(E/kT)]dE, где С— кон-
константа. Таким образом, средняя энергия моды <?> дается вы-
выражением
оо
J Е ехр [- (E/kT)] dE
_ = kT. B.15)
J ехр [- (E/kT)] dE
о
Тогда из B.14), B.15a) и B.15) получаем
\ B.16)
Это хорошо известный закон излучения Рэлея — Джинса. Од-
Однако он находится в полном противоречии с экспериментальны-
экспериментальными результатами. Действительно, совершенно очевидно, что вы-
выражение B.16) должно быть неправильным, так как из него
следует, что интегральная плотность энергии р бесконечно ве-
велика [см. формулу B.1а)]. Тем не менее выражение B.16)
представляет собой неизбежный результат всех предыдущих
рассуждений в соответствии с классической теорией.
Задача оставалась нерешенной до тех пор, пока в начале
XX в. Планк не ввел гипотезу о световых квантах. Согласно
этой фундаментальной гипотезе, энергия данной моды полости
не может принимать любые произвольные значения от 0 до оо,
как это в неявном виде предполагалось в выражении B.15), а
разрешенными значениями этой энергии должны быть целые
числа, умноженные на фундаментальную величину, пропорцио-
пропорциональную частоте моды. Иными словами Планк высказал пред-
2.2. Теория излучения черного тела 31
положение, что энергия может быть записана в виде Е = nhv,
где п — положительное целое число, a h—некоторая константа
(которая позже была названа постоянной Планка). Не вдаваясь
в детали этой гипотезы, мы здесь лишь заметим, что в соответ-
соответствии с ней обмен энергией между полем внутри полости и ее
стенками осуществляется дискретными порциями энергии h\.
Эта минимальная величина, которая может участвовать в об-
обмене энергией, и называется световым квантом или фотоном.
Согласно гипотезе Планка средняя энергия моды записывается
в виде
оо
2 nh\ exp I- (nhv/kT)]
(^)= ~ = exp {hv/kT) - 1 ' B#17)
У exp I- (nhv/kT)]
Эта формула существенно отличается от классического выраже-
выражения B.15). Очевидно, в предельном случае /iv->-0 она стано-
становится классическим выражением B.15). Из B.14) и B.17) по-
получаем формулу Планка
8itv* Av ,0 , я.
Pv = -?- exp (hv/kT) - 1 ' <2Л8>
которая находится в полном согласии с экспериментальными
результатами при условии, что постоянная h имеет значение
приблизительно 6,62 • 10~34 Дж-с. Выражение, аналогичное
B.18), можно также записать для функции рш, определяемой
таким образом, что величина рш d© представляет собой плот-
плотность энергии излучения с угловой частотой в пределах а -г
-т- о) + d(u. Полагая рас1(л = pv dv, из B.18) имеем
pv 4v* Аса ,
здесь, следуя общепринятой договоренности, мы использовали
обозначение h = h/2n. На рис. 2.3 показана зависимость pv от
частоты для двух различных значений температуры Т.
Следует заметить, что отношение
Av "" exp (Av/fef) - 1
равно среднему числу фотонов <^> в моде. Если частота v при-
принадлежит оптическому диапазону D-Ю14 Гц), то Ь« 1 эВ.
При температуре Т « 300 К имеем kT « A/40) эВ, и из выра-
выражения B.19) находим <<7> « ехр(—40). Таким образом, в излу-
излучении черного тела при комнатной температуре среднее число
32
2. Взаимодействие излучения с веществом
фотонов в каждой моде много меньше единицы. Забегая впе-
вперед, укажем, что эту величину следовало бы сравнить с числом
фотонов <7о> приходящимся в лазерном резонаторе на одну моду
(см., например, рис. 5.24).
Прежде чем закончить данный раздел, интересно вывести
соотношение между плотностью энергии в полости черного тела
и интенсивностью излучения /, испускаемого ее стенками. Ис-
т-ъооо к
v, 10п Гц
10
1,5
0,75 0,5
Л, мкм
0,37
Рис. 2.3. Функция pv (v, T) для двух значений температуры Т.
пользуя рис. 2.4, вычислим плотность энергии в малом объеме
V внутри полости, обусловленную излучением стенок полости.
Вершина конуса телесного угла dQ находится на элементе по-
поверхности dS, который находится на расстоянии г от объема V.
Можно считать, что при пересечении этого конуса с малым
объемом V образуется цилиндр с поперечным сечением ds и
длиной /. В соответствии с выражением A.13) энергия, испу-
испускаемая в единицу времени элементом поверхности dS в телес-
телесный угол dQ, равна В cos й dS dQ, где В — яркость поверхности
черного тела. Часть этой энергии, равная 1/с, приходится на
объем V. Поскольку dQ = ds/r2, энергия в объеме V будет
равна В cos 6 dS (I ds/r2c). Чтобы получить полный вклад энер-
энергии излучения от элемента поверхности dS в объем V, мы долж-
должны проинтегрировать это выражение по всем телесным углам,
2.2. Теория излучения черного тела
33
которые опираются на элемент dS, что дает \tds = V. Затем
нужно проинтегрировать энергию излучения по всей поверхно-
поверхности черного тела. Таким образом, для плотности энергии в объ-
объеме V получаем следующее выражение:
Заметим, что величина cos QdS/r2 равна телесному углу dQ,',
под которым поверхность dS видна из любой точки объема V
(который предполагается
малым). Следовательно,
р = (В/с)\ dQ' = 4nB/c.
Кроме того, интегральная
интенсивность /, излучае-
излучаемая элементом dS, дает-
дается выражением
п/2 2л
/= [ [ Bcos9dQ =
6 = 0 0*=О
= пВ. B.20)
С помощью этого выра-
выражения мы приходим к
окончательному резуль- рИс. 2.4. К расчету соотношения между
тату: интенсивностью излучения на поверхности
полости черного тела и плотностью его
р = D/с) / = Dп/с0) /, B.21) энергии.
где п — показатель преломления среды, заполняющей полость,
и с0 — скорость света в вакууме. Очевидно, такое же соотноше-
соотношение применимо и к спектральным плотностям соответствующих
величин, так что
rV V /0/ V• \?i.?i?i\
Следует заметить, что величина / (как и /v) —не только излу-
излучаемая, но и поглощаемая элементом поверхности dS интенсив-
интенсивность. Следовательно, эта же величина представляет собой ин-
интенсивность, выходящую из отверстия в стенке полости. Под-
Подставляя B.18) в B.22), находим выражение для спектральной
интенсивности света, излучаемого полостью, являющейся чер-
черным телом.
2 О. Звелто
34 2. Взаимодействие излучения с веществом
2.3. Поглощение и вынужденное излучение
В этом разделе мы изучим некоторые особенности процессов
поглощения и вынужденного излучения, происходящих в двух-
двухуровневой атомной системе под действием монохроматической
электромагнитной волны. В частности, в нашу задачу будут
входить: 1) вычисление вероятностей поглощения W\ 2 и вы-
вынужденного излучения W21, когда W\ 2 и W21 определяются вы-
выражениями A.5) и A.3) соответственно; 2) введение и расчет
сечений поглощения и излучения [см. формулы A.4) и A.6)];
3) определение двух новых параметров — коэффициента погло-
поглощения и коэффициента усиления, которые во многих случаях
могут быть непосредственно измерены с помощью простых экс-
экспериментов.
2.3.1. Вероятности поглощения и вынужденного излучения
Ради простоты мы не будем здесь подробно рассматривать
квантовомеханический расчет вероятности перехода, который
дается в Приложении А. Поэтому здесь мы ограничимся лишь
описанием главных моментов математических вычислений и об-
обсуждением основных физических явлений, которые имеют место.
Затем мы сформулируем конечный результат и обсудим его фи-
физический смысл.
При вычислениях мы будем использовать так называемый
полуклассический подход, при котором атомная система пред-
предполагается квантованной (и поэтому описывается с помощью
квантовой механики), а электромагнитное поле падающей вол-
волны описывается классически (т. е. с помощью уравнений Мак-
Максвелла). Таким образом, мы считаем, что атомная система име-
имеет два энергетических уровня Е\ и Е2 и что соответствующие
волновые функции записываются в виде
г|), (г, t) = щ (г) ехр [- / (?,/ft) /], B.23а)
г|J (г, t) = и2 (г) ехр [- / (EJti) t]. B.236)
При этом частота перехода ©о между уровнями дается выра-
выражением
щ = (Е2-Ed/ft, B.24)
где h = Л/2я. Полагая падающую электромагнитную волну мо-
монохроматической, электрическое поле Е в точке, где находится
атом, можно записать в виде
E = E0sin(o/. B.25)
2.3. Поглощение и вынужденное излучение 35
Кроме того, предположим, что частота электромагнитной вол-
волны а близка к резонансной частоте перехода ы0.
В результате взаимодействия с электромагнитной волной
атом приобретает дополнительную энергию Н'. В последующем
изложении мы будем считать, что энергия Н' обусловлена взаи-
взаимодействием электрического дипольного момента атома с элект-
электрическим полем Е электромагнитной волны (электродипольное
взаимодействие). Рассмотрим теперь электрон в атоме, ответст-
ответственный за данный переход l-v2, и1 пусть г есть радиус-вектор
этого электрона относительно атомного ядра. В классическом
случае электрический дипольный момент, соответствующий дан-
данному радиус-вектору г, равен просто ц = ег, где е — заряд
электрона (с соответствующим знаком). При этом энергия
взаимодействия Н' с внешним электрическим полем запишется
в виде
H'(t) = n-E = er-E0 sin erf. B.26)
В квантовомеханическом подходе эта синусоидальная во вре-
времени энергия взаимодействия рассматривается как синусои-
синусоидальный во времени гамильтониан взаимодействия Ж'A), кото-
который затем вводится в нестационарное уравнение Шрёдингера.
Поскольку а ж «о, этот гамильтониан взаимодействия приво-
приводит к переходу между двумя уровнями атома. Прежде чем
получить окончательный результат, сделаем еще три предполо-
предположения: 1) длина волны падающего излучения много больше
размеров атома (электродипольное приближение); 2) волна
взаимодействует с атомом в течение очень длительного времени;
3) вероятность перехода мала, так что можно пользоваться ме-
методами теории возмущений (нестационарной теорией возмуще-
возмущений). С учетом всех этих предположений окончательное выра-
выражение для вероятности поглощения запишется в виде
WU2 = (nW | ц2, р ?2 б (v - v0), B.27)
где v = (о/2я, уо = (!>о/2я, 6— дельта-функция Дирака, а Ц21 —
абсолютная величина комплексного вектора
ц21 = J u\exux dvy B.28)
где и\ и «2 — стационарные собственные функции обоих состоя-
состояний [см. B.23)], а интегрирование производится по всему объе-
объему атома. Вектор ц21 называют матричным элементом опера-
оператора электрического дипольного момента ег, или, проще, элек-
электрическим дипольным моментом атома.
Чтобы лучше представить себе физическую картину проис-
происходящего, рассмотрим атом, который в момент времени t = О
36 2. Взаимодействие излучения с веществом
находится в основном состоянии. При этом его волновая функ-
функция равна 1|э = i|5i (r, t) и описывается выражением B.23а). При
t > О, когда атом совершает переход 1 -v 2, его волновая функ-
функция может быть представлена в виде соответствующей комби-
комбинации волновых функций двух состояний, т. е.
* = a, @*i+ оа @+8, B.29)
где а\ и а2— комплексные числа, зависящие от времени. Сле-
Следует заметить, что, согласно квантовой механике, величины
|ai|2 и |а2|2 представляют собой вероятности того, что в мо-
момент времени t атом будет обнаружен в состояниях 1 и 2 соот-
соответственно. Эти величины удовлетворяют соотношению
|a,|2 + |a2|2=l. B.30)
Поскольку электрический дипольный момент атома дается вы-
выражением
^ B-31)
подстановка B.29) в B.31) с учетом B.23) дает
JW = \ ег | a, |2|u, fdV + \er | a, |2| и2 \*dV +
er [a{a2u{u exp (i(aot) + а\а2и[и2 ехр (— iaQt)\ dV; B.32)
здесь знак о обозначает комплексное сопряжение и (о0 =
= (Е2 — Е\)/Н. Из выражения B.32) следует, что в М входит
осциллирующий с частотой (о0 член M2i, который можно запи-
записать в виде
М21 = Re [(expia,/) 2a,a>2,], B.33)
где мы использовали соотношение B.28) и где Re обозначает
действительную часть. Мы видим, что во время перехода атом
можно рассматривать как электрический диполь, осциллирую-
осциллирующий с частотой ©о, амплитуда которого пропорциональна век-
вектору Ц2ь определяемому выражением B.28). Теперь становится
ясным, почему ц2\ называется электрическим дипольным момен-
моментом атома, поскольку переход обусловлен взаимодействием
именно этого дипольного момента с электрическим полем Е(^).
Действительно, момент M2i порождается электрическим полем
Е(^) и задача на данном этапе очень похожа на задачу о клас-
классическом дипольном моменте, осциллирующем под воздействием
внешнего поля. Поэтому не удивительно, что вероятность W2\
оказывается пропорциональной квадрату абсолютного значения
электрического дипольного момента, умноженному на квадрат
2.3, Поглощение и вынужденное излучение 37
амплитуды электрического поля. Однако наличие в выражении
B.27) дельта-функции Дирака б приводит к физически бес-
бессмысленному результату, что W2i=0 при v Ф vo и Wi2 = oo,
когда v = vo, т. е. когда частота электромагнитной волны в точ-
точности совпадает с частотой атомного перехода. Этот нефизиче-
нефизический результат можно объяснить, если вернуться обратно к до-
допущению о том, что взаимодействие электромагнитной волны с
атомом может оставаться в течение длительного времени невоз-
невозмущенным. Действительно, с классической точки зрения, если
электрическое поле с частотой v возбуждает (без потерь) ос-
осциллирующий с частотой vo дипольный момент, то взаимодей-
взаимодействие может иметь место только при vo = v. На самом деле
существует целый ряд физических явлений (таких, как столкно-
столкновения между атомами), которые препятствуют этому взаимо-
взаимодействию оставаться невозмущенным неограниченное время.
Это эквивалентно утверждению, что осциллирующий электриче-
электрический дипольный момент должен иметь потери. Хотя этим явле-
явлениям мы уделим некоторое внимание в следующем разделе, об-
общий результат, к которому они приводят, можно сформулиро-
сформулировать очень просто: уравнение B.27) справедливо при условии,
что дельта-функция Дирака б [центрированная в точке v =
= vo — бесконечно острая функция с единичной площадью, т. е.
такая, что \ 6(v — v0) dv= 1] заменена на другую функцию
gt(v — \'о), которая тоже центрирована в точке v = vo и имеет
единичную площадь [т. е. \ gt (v — v0) d\ = 1], но теперь уже
с конечной спектральной шириной. Форма функции gt и ее ши-
ширина будут определяться конкретным механизмом уширения,
который имеет место. Таким образом, для Wi2 можно написать
выражение
KI2ta(v-v0). B.34)
Его можно переписать в более удобном виде через плотность
энергии р падающей электромагнитной волны, которая дается
выражением
B.35)
где п — показатель преломления среды, в которой находится
атом, и ео — диэлектрическая постоянная. Таким образом, ис-
используя выражения B.34) и B.35), находим
^Av); B.36)
38 2. Взаимодействие излучения с веществом
здесь мы положили Av = v — vo. В случае плоской электромаг-
электромагнитной волны иногда бывает полезно выразить W\ 2 через ин-
интенсивность падающего излучения. Поскольку / = сор/п, где
Со — скорость света в вакууме, из выражения B.36) имеем
Выражения B.36) и B.37) для вероятности поглощения весьма
часто применяются на практике. Следует заметить также, что
выражение B.27), очевидно, можно записать через плотность
энергии волны в виде, который пригодится нам в дальнейшем:
Наконец, необходимо заметить, что в случае вынужденного из-
излучения вероятность перехода W2i получается из B.36) и B.37)
путем замены ц21 на Ц12, т. е. путем перестановки индексов 1
и 2 в B.28). Однако поскольку из B.28) видно, что ^12 = ^*,, мы
имеем |ц,|2| = |ц2|| и, следовательно,
W2l = Wl2. B.38)
Отсюда мы видим, что вероятности поглощения и вынужден-
вынужденного излучения равны друг другу. Поэтому в дальнейшем, если
нет необходимости в установлении различия между этими про-
процессами, будем полагать W = W2] = Wi2 и |ц| = Im^I = In2i|.
Выражения B.36) и B.37) принимают соответственно вид
Эти выражения и представляют собой окончательный результат
наших вычислений в данном разделе п.
11 Следует заметить, что псе приведенные до сих пор выражения полу-
получены в предположении, чго воздействующее па атом локальное (микроско-
(микроскопическое) иоле Елок (г, /) равно полному (среднему) полю Е(г, /). Посколь-
Поскольку это может иметь место только для разреженных сред, в случае плотных
сред необходимо ввести соответствующую поправку (лоренцев поправочный
коэффициент локального поля), Можно показать, что Елок = [(п2 + 2)/3]Е,
где п — показатель преломления среды, обусловленный всеми переходами, за
исключением изучаемого перехода. Если в B.39) вместо Е подставить ЕЛок,
то мы увидим, что все ранее полученные выражения, в которые входит ве-
вероятность перехода W, остаются справедливыми при условии, что мы заме-
заменим |n2i|2 на Г(Ра + 2)/3]2[д.2112 [18], Следовательно, во все последующие
выражения, относящиеся к вынужденным переходам [например, B.83) и
B.87)], необходимо внести некоторую поправку. Вполне возможно, что В
2.3. Поглощение и вынужденное излучение 39
2.3.2. Разрешенные и запрещенные переходы
Из выражения B.39) следует, что W = О, если |ц| = 0. Это
имеет место, например, когда обе собственные функции щ и щ
являются одновременно либо симметричными, либо антисиммет-
антисимметричными ". Действительно, в этом случае вклады от подынтег-
подынтегрального выражения в B.28) в точках соответственно г и —г
равны по величине, но имеют противоположные знаки. Следо-
Следовательно, нам интересно знать, при каких условиях волновые
функции ы(г) будут либо симметричными, либо антисимметрич-
антисимметричными. Это имеет место в случае, когда гамильтониан системы
Жо{г) не меняется при замене г на —г, т. е. когда2'
Ж0(г)=Зв0(-г). B.41)
Действительно, в этом случае для любой собственной функции
ы„(г) справедливо равенство
Жа(г)ия(г) = Еяия(г) B.42)
и замена г на —г с учетом B.41) дает
Жа(т)ия(-т) = Еяия(-г). B.43)
Равенства B.42) и B.43) показывают, что как ы„(г), так и
ип(—г) являются собственными функциями оператора Жй{г)
с одним и тем же собственным значением Еп. Хорошо известно
[3], что для невырожденных уровней энергии (не считая произ-
произвольного выбора знака) каждому собственному значению соот-
соответствует только одна собственная функция, т. е.
М-г) = ±Мг). B.44)
Следовательно, если гамильтониан Ж0{г) является симметрич-
симметричным, то его собственные функции должны быть либо симмет-
симметричными, либо антисимметричными. В этом случае обычно го-
говорят, что собственные функции имеют определенную четность.
аналогичной поправке нуждается и выражение для вероятности спонтанного
излучения [B.110)], но автору не известны какие-либо работы по спонтан-
спонтанному излучению, в которых этот вопрос был бы подробно рассмотрен. Ши-
Широко применяемые соотношения между сечением перехода а и временем
Тспонт [B.116) и B.117)] останутся (возможно) справедливыми, поскольку
они являются просто переформулировкой отношения А/В [см. B.107)], кото-
которое получено из соображений термодинамики.
•> Напомним, что функция /(г) является симметричной (или четной),
если /(—г) = /(г), и антисимметричной, если /(—г) = —/(г).
21 Если гамильтониан Жй является функцией более чем одной коорди-
координаты п, Г2, ..., то операцию инверсии следует произвести для всех этих
координат одновременно.
40 2. Взаимодействие излучения с веществом
Остается теперь выяснить, в каких случаях гамильтониан
удовлетворяет условию B.41), т. е. инвариантен относительно
операции инверсии. Очевидно, это имеет место для системы с
центром инверсии. Другим важным случаем является изолиро-
изолированный атом. В этом случае потенциальная энергия fe-ro элект-
электрона равна сумме потенциальной энергии взаимодействия с яд-
ядром (которая описывается симметричной функцией) и энергии
взаимодействия со всеми остальными электронами. Для i-ro
электрона эта энергия зависит от |п—г*|, т. е. от расстояния
между двумя электронами. Следовательно, соответствующие
члены будут также инвариантными относительно инверсии.
Важным случаем, когда B.41) не выполняется, является слу-
случай, когда атом находится во внешнем электрическом поле (на-
(например, в электрическом поле кристалла), не обладающем
центром инверсии. В этом случае волновые функции ип не
имеют определенной четности.
Подводя итог, можно сказать, что электродипольные перехо-
переходы происходят только между состояниями с противоположной
четностью и что состояния имеют определенную четность в том
случае, когда гамильтониан системы инвариантен относительно
инверсии.
Если U? = 0, то соответствующий переход называется запре-
запрещенным в электродипольном приближении. Однако это не оз-
означает, что атом не может совершить переход с уровня 1 на
уровень 2 под действием падающей электромагнитной волны.
В этом случае переход может произойти, например, в резуль-
результате взаимодействия между магнитным полем волны и магнит-
магнитным дипольным моментом атома. Ради простоты мы не будем
в дальнейшем подробно рассматривать этот случай (магнито-
дипольное взаимодействие), а ограничимся лишь тем наблюде-
наблюдением, что анализ в этом случае аналогичен проделанному при
выводе выражения B.37). Отметим также, что магнитодиполь-
ные переходы разрешены между состояниями с одинаковой
четностью (между двумя четными или двумя нечетными состоя-
состояниями). Следовательно, переход, который запрещен в приближе-
приближении электродипольного взаимодействия, разрешен в приближении
магнитодипольного, и наоборот. Полезно также вычислить
порядок величины отношения вероятности электродиполь-
электродипольного перехода We к вероятности магнитодипольного перехода
Wm. Ясно, что расчет относится к двум различным переходам,
один из которых разрешен при электродипольном, а другой —
при магнитодипольном взаимодействии. Предположим также,
что интенсивность электромагнитной волны одна и та же в обо-
обоих случаях. Для разрешенного дипольного перехода в соответ-
соответствии с B.34) можно написать, что We ~ (\ieEoJ ~ (еаЕ0J,
2.3. Поглощение и вынужденное излучение 41
где Ео — амплитуда электрического поля и электрический ди-
польный момент атома \ie приближенно выражается (для раз-
разрешенного перехода) произведением заряда электрона е на ра-
радиус атома а. Аналогичным образом можно показать, что
Wm ~ (\итВоJ ~ (р?0J, где ^° — амплитуда магнитного поля
волны и где магнитный дипольный момент атома \im прибли-
приближенно выражается (для разрешенного перехода) через магне-
магнетон Бора р (р = 9,27-10-24 А-м2). Таким образом,
Для получения этого численного результата мы использовали
тот факт, что для плоской волны Ео = Вос (где с — скорость
света), и предположили, что а«0,5 А. Мы видим, что вероят-
вероятность электродипольного перехода много больше вероятности
магнитодипольного. Это, по существу, обусловлено тем, что
энергия электродипольного взаимодействия (\ieE0) намного
превосходит энергию магнитодипольного взаимодействия
(\imB0).
2.3.3. Механизм уширения линии
В данном разделе мы кратко обсудим различные механизмы
уширения линии и связанные с этим свойства функции g(Av).
Сразу же введем играющее важную роль различие между одно-
однородным и неоднородным механизмами уширения. Будем назы-
называть механизм уширения линии однородным, когда линия каж-
каждого отдельного атома и, следовательно, всей системы уширя-
уширяется в одинаковой степени. Наоборот, механизм уширения линии
будем называть неоднородным, когда он действует таким обра-
образом, что резонансные частоты отдельных атомов распределя-
распределяются в некоторой полосе частот и, следовательно, линия всей
системы оказывается уширенной при отсутствии уширения ли-
линии отдельных атомов.
2.3.3.1. Однородное уширение
Первым механизмом однородного уширения линии мы рас-
рассмотрим тот, который обусловлен столкновениями. Он называ-
называется столкновительным уширением. В газах это уширение про-
проявляется при столкновениях атома с другими атомами, ионами,
свободными электронами или стенками резервуара. В твердых
телах оно возникает за счет взаимодействия атома с фононами
решетки. После того как произошло одно из таких столкнове-
столкновений, волновые функции атома Щ{г) и и2(г) в выражении B.23),
а следовательно, и его электрический дипольный момент (я2!
42
2. Взаимодействие излучения с веществом
[см. B.28)] уже не будут иметь ту же фазу относительно
фазы падающей электромагнитной волны. Это означает, что
столкновения нарушают процесс когерентного взаимодействия
атома с падающей электромагнитной волной. Поскольку в про-
процессе взаимодействия значение имеет только относительная
фаза, эквивалентным является предположение о том, что при
каждом столкновении скачок
испытывает фаза электриче-
электрического поля, а не фаза диполь-
ного момента \i2i- Следова-
Следовательно, электрическое поле
волны уже не описывается си-
синусоидой, а имеет вид, пока-
показанный на рис. 2.5, когда в мо-
момент столкновения происходит
скачок фазы. Отсюда ясно, что
с точки зрения атома волна
Рис. 2.5. Временная зависимость
электрического поля ?(/) электро-
электромагнитной волны в системе коорди- больше не является монохро-
монохроматической. В этом случае,
если для плотности энергии
волны в частном интервале от
v' до v' + dv' написать соотно-
соотношение dp = pv' dv', то эту эле-
элементарную плотность энергии
можно использовать в выражении для монохроматического из-
излучения B.36а), откуда находим
нат атома, испытывающего столкно-
столкновения. Заметим, что на рисунке чл-
стота столкновении дана в увеличен-
увеличенном масштабе, обычно же за время
столкновений т происходит около
10е циклов колебаний.
2 =
/ — vo)dv'.
B.46)
Полная вероятность перехода может быть получена путем ин-
интегрирования выражения B.46) по всему спектру излучения:
Wl2 =
2я2
11*21
К - v0) dv'.
B.47)
Теперь для р^ можно написать следующее выражение:
B.48)
где р — плотность энергии волны, определяемая выражением
B.35), а функция g(v'—v) описывает спектральное распреде-
распределение величины pv,. Поскольку очевидно, чтор= \ pv,dv', то, ин-
интегрируя обе части в B.48), мы видим, что функция g(v' — v)
2.3. Поглощение и вынужденное излучение 43
должна удовлетворять условию нормировки
g(v'-v)dv' = l. B.49)
Подставляя B.48) в B.47) и используя свойства дельта-функ-
дельта-функции, имеем
^l^.l2Pg(v-Vo). B.50)
Видно, что выражение для W\ 2 действительно получается путем
замены в B.36а) 6(v — v0) на g(v— vo), как мы и предполо-
предположили, забегая вперед, в предыдущем разделе. Заметим, что в
соответствии с B.49) мы также имеем
dv = l. B.51)
Теперь нам остается вычислить нормированную спектраль-
спектральную плотность падающего излучения g(v'— v). Эта функция
зависит от интервала времени между столкновениями т
(рис. 2.5), который, очевидно, меняется от столкновения к
столкновению. Будем считать, что распределение значений т
можно описать плотностью вероятности
рт = [ехр(-т/Г2)]/Г2. B.52)
Здесь рх dx представляет собой вероятность того, что интервал
времени между двумя последовательными столкновениями при-
принимает значение между т и х -\- dx. Следует заметить, что Т2
имеет физический смысл среднего времени хс между двумя
столкновениями. Действительно, нетрудно показать, что
x = T2. B.53)
Следует также заметить, что вероятность р(х) того, что сле-
следующее столкновение произойдет позже, чем через промежуток
времени т, равна
оо
Р (*) = \ Pt dx = ехр (- т/тс); B.54)
г
здесь мы использовали условие B.52). При вычислении
g(v' — v) удобно вначале вычислить распределение g(co' — со)
как функцию угловой частоты cu/[co/ = 2nv/]. Поскольку оче-
очевидно, что g(V — v)dv' = g(co' — со) do', мы имеем g(v' — v) =
44 2. Взаимодействие излучения с веществом
= 2я?(со' — со). С точностью до постоянного множителя функ-
функция g(co' — со) есть не что иное, как спектральная мощность
W(co') сигнала E(t), показанного на рис. 2.5. Чтобы сделать
этот постоянный множитель равным единице, мы потребуем,
чтобы в соответствии с B.51) W(to') удовлетворяла условию
\ W (со') dco' = 1. Следует заметить, что в соответствии с теоре-
теоремой Парсеваля
оо Т
\ W (со') Jco' = lim ~ [ Е2 @ dt = яН, B.55)
— оо — Т
где Ео — амплитуда волны (см. рис. 2.5). Условие [Wda/=l
приводит, таким образом, к требованию я?5= 1. Следователь-
Следовательно, функция g(co'—со) соответствует спектральной мощности
сигнала E(t), показанного на рис. 2.5 и имеющего амплитуду
Ео = (я)~1/2. В свою очередь эту спектральную мощность мож-
можно получить как фурье-образ автокорреляционной функции сиг-
сигнала (согласно теореме Винера — Хинчина). Если бы функция
на рис. 2.5 была идеальной синусоидой с частотой со, то ее кор-
корреляционная функция была бы равна {El/2) cos сот=A/2л;) cos cot.
Однако волна на рис. 2.5 испытывает разрывы с плотностью
вероятности рт, определяемой условием B.52). Если на рис. 2.5
выбрать две точки, разделенные интервалом времени т, то ве-
вероятность того, что они коррелированы (т. е. что они находятся
на одной и той же не испытавшей разрывов части синусоидаль-
синусоидальной волны), равна р(х) в соответствии со смыслом этой вероят-
вероятности, определямой соотношением B.54). Вероятность же того,
что эти точки не коррелированы вследствие имевших место
между ними разрывов, равна 1—р(т). Таким образом, искомая
корреляционная функция запишется в виде [р (т) cos сот] /2я.
Проведенный нами расчет справедлив лишь для т > 0. Чтобы
получить корреляционную функцию для т < 0, достаточно
вспомнить, что она является симметричной [G(—t)=G(t)].
В окончательном виде корреляционная функция запишется сле-
следующим образом:
G (т) = A/2я) ехр (— т/тс) cos сот. B.56)
Отсюда согласно теореме Винера — Хинчина находим
g (СО — СО ) = I — 2~Т I Т~, "г—2 I • \Z-OI)
В квадратных скобках первое слагаемое дает спектр с центром
в точке +со, а второе — с центром в точке —со. Если ограни-
2.3. Поглощение и вынужденное излучение
45
читься рассмотрением только положительных значений о/, то
можно опустить второе слагаемое, умножив при этом первое на
двойку. Таким образом, g(co' — со) можно записать в виде
Я [l + (C0'-C0JT2] '
а для g(o)o — (о) получаем
g (co0 — со) = —
я [l+(co0-coJT2] ¦
B.58)
B.59)
Поскольку g{v — vo)=2jtg(cu — coo), выражение B.59) можно
переписать следующим образом:
Это выражение и является нашим окончательным результатом.
Функция g(v — vo)^g(Av) построена на рис. 2.6 в зависи-
g(Av)
Рис. 2.6. Лоренцева линия.
мости от Av = v — v0. Она достигает максимума в точке
Av = 0( т. е. v = vo), значение которого равно 2тс. Полная ши-
ширина кривой между точками, соответствующими половине мак-
максимального значения, равна
Avo=l/nTc, B.596)
т. е. примерно соответствует обратному среднему времени меж-
между столкновениями хс. Кривая, описываемая функцией g(Av),
определяемой выражением B.59а), называется лоренцевой.
46
2. Взаимодействие излучения с веществом
Уместно заметить здесь, что картина на рис. 2.5 весьма
грубо описывает физическое явление, которое имеет место в
действительности. Мы предполагаем, что скачки фазы происхо-
происходят мгновенно, а это в свою очередь означает бесконечно ма-
малую длительность столкновения. В действительности же при
столкновении атом (или молекула) попадает в потенциальное
поле либо сил притяжения (рис. 2.23), либо сил отталкивания
(рис. 6.25). В этом потенциальном поле энергетические уровни
1 и 2 атома сдвигаются соответственно на AE{(R) и AE2(R),
где R — расстояние между двумя сталкивающимися атомами.
Соответствующее изменение частоты перехода дается выраже-
выражением
Avo(O =— г ! . B.60)
fl
где Avo(O—функция времени, поскольку расстояние R зависит
от времени. К решению данной задачи мы снова применим
другой, эквивалентный под-
подход, считая, что при столк-
столкновении изменяется не ча-
частота перехода, а частота
падающей волны на величи-
величину Ду@ = [Д?2 — A?i]//i.
При этом подходе волна с
точки зрения атома испы-
тывает частотный сдвиг в
течение времени столкнове-
столкновения в течение времени Дтс. НИЯ Дтс (рис. 2.7). Отсюда
ясно, что более строгая тео-
теория столкновительного уширения должна учитывать конеч-
конечную длительность столкновения Дтс и все явления, проис-
происходящие в течение этого времени. Однако можно показать, что
в случае Дтс <С хс функция g(a/— со) достаточно точно описы-
описывается лоренцевой кривой вплоть до частот, удовлетворяющих
условию |со' — со | < 1/Дтс- Порядок величины Дтк можно по-
получить из соотношения
Рис. 2.7. Поведение электромагнитной
Дтс
B.61)
где а — расстояние между атомами (или молекулами), на кото-
котором они начинают оказывать влияние друг на друга, а 0тепл —
средняя скорость их теплового движения. В действительности
величина а приблизительно равна размеру молекулы, т. е. со-
составляет около 1 А (см., например, рис. 6.24). Среднюю тепло-
тепловую скорость можно вычислить по формуле
M)u\ B.62)
2.3. Поглощение и вынужденное излучение 47
где М — масса молекулы. Например, для атома Ne при ком-
комнатной температуре из B.61) и B.62) получаем
Лтс ~ Ю-13 с. B.63)
Следует заметить, что на этом интервале времени уложится не-
несколько периодов световой волны (\> « 5-10'4 Гц). Кроме того,
интервал времени тс между двумя столкновениями по порядку
величины равен отношению средней длины свободного про-
пробега к средней скорости Утеил- Таким образом, мы имеем
т _
где р— давление газа, а а—радиус молекулы. Для атомов Ne
при давлении р ж 0,5 мм рт. ст. (типичное давление в
Не — Ne-лазере; см. гл. 6) и при комнатной температуре по-
получаем
тс « 0,5 ¦ 1(TG с. B.65)
Отсюда видно, что Дтс <С тс. Соответствующая ширина линии
(см. рис. 2.6) равна
Av0 = 1/ятс = 0,64 МГц. B.66)
Заметим, что величина хс обратно пропорциональна давлению
р, т. е. ширина линии Av0 пропорциональна давлению р. В ка-
качестве грубого приближения можно считать, что для любого
атома столкновения уширяют линию на величину Avo/p ~
ж 1 МГц/(мм рт. ст.), что сравнимо с оценкой, сделанной нами
для атомов Ne.
Второй механизм однородного уширения линии связан с яв-
явлением спонтанного излучения. Поскольку спонтанное излуче-
излучение неизбежно присутствует в случае любого перехода, данное
уширение называется естественным или собственным ушире-
нием. Мы предварим обсуждение этого механизма уширения
следующим замечанием. С помощью термодинамических сооб-
соображений можно показать (см. раздел 2.4.3), что форма линии
данного перехода будет одной и той же, независимо от того,
наблюдаем ли мы форму линии поглощения (т. е. Wu), вы-
вынужденного излучения (т. е. Wn) или спонтанного излучения.
В случае естественного уширения проще всего рассматривать
спектральную зависимость излучаемого света. К сожалению,
как это станет яснее в разд. 2.3, спонтанное излучение есть
чисто квантовое явление, т. е. оно может быть корректно опи-
описано только квантовой теорией электромагнитного излучения.
Поскольку эта теория выходит за рамки книги, мы ограни-
ограничимся тем, что выпишем окончательный результат и обос-
обоснуем его некоторыми простыми физическими соображениями.
48 2. Взаимодействие излучения с веществом
Квантовая теория излучения [12, 13] показывает, что спектр
g(v—v0) испускаемого излучения является лоренцевой функ-
функцией, выражение для которой можно получить из B.59а), за-
заменив Тс на 2тСПонт, где тСПонт = 1/Л — время затухания спон-
спонтанного излучения [см. A.2)]. В частности, полная ширина ли-
линии на половине высоты максимума дается выражением (см.
рис. 2.6)
!. B.67)
HT
Для подтверждения этого результата заметим, что, поскольку
энергия, излучаемая атомом, затухает по закону ехр(—fДепонт),
ее фурье-спектр занимает область частот ~ 1/тСпонт- Для дока-
доказательства того, что линия имеет лоренцеву форму, можно при-
применить эвристический подход, считая, что при спонтанном из-
излучении электрическое поле уменьшается во времени по закону
?@=ехр(—tf/2TCnonT)cos coo/. В этом случае интенсивность из-
излучения [которая пропорциональна <?2(/)>] будет иметь пра-
правильную зависимость от времени в виде ехр(—т/тСПонт). Не-
Нетрудно вычислить спектральную мощность такого поля E(t) и
убедиться, что форма линии является лоренцевой и что ее ши-
ширина дается выражением B.67). Чтобы оценить ДуеСт по поряд-
порядку величины, заметим, что, как будет показано в разд. 2.3, для
разрешенного электродипольного перехода в середине видимо-
видимого диапазона тСПонт по порядку величины равно 10 не. Тогда из
B.67) получаем AveCT = 16 МГц.
2.3.3.2. Неоднородное уширение
Предположим, что некий механизм уширения распределяет
резонансные частоты атомов в некоторой полосе частот с цент-
центром в v0 и что относительная плотность распределения этих
частот равна g*(v'o — v0). Согласно этому, g*(v'0~ vo)dv'Q есть
вероятность того, что резонансная частота атома попадает в
интервал между v'o и v'0-\- dv'o. Тогда из выражения B.36а) или,
в более общем случае, из B.47), если действует также какой-
либо другой механизм уширения (например, столкновительное
уширение), можно получить среднее значение коэффициентов
вынужденного излучения или поглощения. Таким образом,
Зп2е0Л3
2иа
B.68)
2.3. Поглощение и вынужденное излучение 49
здесь через gt{\— vo) обозначена функция
8t = \ gt(x)g[(v-v0)-x]dx, B.69)
— оо
причем х = Vq — v0. Отсюда следует, что формула B.39) остает-
остается справедливой и в том случае, когда присутствуют два меха-
механизма уширения: один однородный с формой линии g и другой
неоднородной с формой линии g*, причем функция gt представ-
представляет собой свертку этих двух функций. Если однородное уши-
рение, описываемое функцией g(y— Vg), много меньше неодно-
неоднородного уширения g*(y'u — v), то функцию g(v — v'o) можно
аппроксимировать б-функцией Дирака, и тогда
^=W-l^2P^(v-v0). B.70)
Этот случай иногда рассматривают как полностью неоднород-
неоднородное уширение.
В газах типичный механизм неоднородного уширения свя-
связан с движением атомов и называется доплеровским ушире-
нием. Чтобы проиллюстрировать этот тип уширения, рассмотрим
молекулу, которая движется в поле электромагнитного излуче-
излучения, имеющего частоту v (причем эта частота измеряется в
лаб. системе координат). Обозначим через v составляющую ско-
скорости молекулы (измеряемую в той же лаб. системе координат)
в направлении распространения электромагнитной волны. Тогда
частота волны v', измеряемая в системе координат движущего-
движущегося атома, равна v' = v[l ±(f/c)] (эффект Доплера), причем
знак минус или плюс выбирается в зависимости от того, совпа-
совпадают ли направления движения молекулы и распространения
электромагнитной волны, или они направлены в противополож-
противоположные стороны. Действительно, хорошо известно, что, если моле-
молекула движется навстречу волне, частота v', наблюдаемая в си-
системе координат атома, всегда больше частоты v, наблюдаемой
в лаб. системе координат. Разумеется, при этом поглощение бу-
будет происходить только тогда, когда частота v' электромагнит-
электромагнитной волны в системе координат атома равна частоте атомного
перехода vo, т. е. когда
V[l±(t»/c)] = v0. B.71)
Если переписать это выражение в виде
v = vo/(l± о/с), B.72)
то мы придем к иной интерпретации процесса. А именно при
рассмотрении взаимодействия электромагнитного излучения с
50 2. Взаимодействие излучения с веществом
атомом результат будет тем же самым, как если бы атом был
неподвижен, но имел резонансную частоту v'Ot определяемую
выражением
v/c), B.73)
где vo — истинная частота атомного перехода. В самом деле,
поглощение при такой интерпретации может происходить, когда
частота v электромагнитной волны равна v'o, что согласуется с
B.72), если для \'о использовать выражение B.73). С этой
точки зрения можно сказать, что данный механизм уширения
действительно является неоднородным в смысле определения,
данного в начале этого раздела. Чтобы вычислить соответствую-
соответствующую форму линии g* (v'o — v0), достаточно вспомнить, что в газе,
находящемся при температуре Т, вероятность pvdv того, что
атом массой М имеет составляющую скорости между v и
v + dv, дается распределением Максвелла
B.75)
Поскольку из B.73) следует, что
/ ' \ / ' \
/| I v VI Г \ Vn vn I
V = ¦
то из выражений B.74) и B.75) получается искомое распреде-
распределение, если мы договоримся, что g*(v'o — vo}dv'o = pvdv. Таким
образом, мы получаем соотношение
1 ° о) ' B.76)
4k7 v!0
так что в случае чисто неоднородного уширения в соответствии
с B.70) контур линии запишется в виде
На рис. 2.8 изображена функция g*(v — vo)=g*(Av) в зависи-
зависимости от Av. Как и в случае лоренцевои кривой, максимум до-
достигается в точке Av = 0, а ширина контура (доплеровская ши-
ширина линии) теперь равна
^". B.78)
2.3. Поглощение и вынуокдечное излучение
51
Такая кривая называется гауссовой. Заметим, что выраженное
чеоез шиоину линии Av! максимальное значение о*@\ чяпи-
через ширину линии
шется в виде
максимальное значение g*@) запи-
запи2 /]п2Д1/2 0,939
Av0
B.79)
в то время как для лоренцевой кривой максимальное значе-
значение равно
„/т_ 2 _ 0,637
п Avn
Av0
B.80)
Л
/0,8
I 0,6
1 с,г
1 S\ !
\
Следовательно, при данной ширине линии гауссова кривая за-
заострена сильнее лоренцевой.
Другим механизмом неоднородного уширения, приводящим
опять-таки к гауссовой форме линии, может быть любое явле-
явление, которое вызывает
случайное распределение
частот атомных перехо-
переходов. Например, если ло-
локальное электрическое
поле кристалла случай-
случайным образом изменяется
от точки к точке вследст-
вследствие, скажем, дефектов
кристаллической решет-
решетки, то благодаря эффекту
Штарка возникнут ло-
локальные сдвиги энергети-
энергетических уровней, а вместе
с ними и частот атомных
переходов. Аналогичное
явление имеет место так-
также и в резупорядоченных
средах (таких, как стекло или жидкость), поскольку атомы,
окружающие рассматриваемый атом, распределены случайным
образом. Что касается ширины линии, то она определеляется
теперь среднеквадратичным отклонением локального электри-
электрического поля.
По формуле B.78) можно вычислить доплеровскую шири-
ширину линии Avg = Acug/2n атома Ne при Т = 300 К на длине волны
X = 0,6328 мкм (одна из линий неона, на которой осуществля-
осуществляется лазерная генерация; см. гл. 6), которая оказывается рав-
равной
^ B.81)
-г -7
V-Уд
1
2
Рис. 2.8. Гауссова линия (нормированная
зависимость).
52
2. Взаимодействие излучения с веществом
Сравнение этой величины с соответствующими значениями, вы-
вычисленными для столкновительного [см. B.66)] и естественно-
естественного уширений, показывает, что в рассматриваемом примере доп-
леровское уширение значительно больше естественного, кото-
которое в свою очередь существенно больше столкновительного. Это
соотношение, впрочем, не всегда справедливо, поскольку при
достаточно высоких давлениях газа столкновительное ушире-
уширение преобладает над доплеровским (например, в СО2-лазере
при атмосферном давлении; см. гл. 6).
2.3.3.3. Выводы и примеры
В предыдущих двух разделах мы рассмотрели несколько
важных примеров как однородного, так и неоднородного меха-
механизмов уширения линии. Мы убедились, что по крайней мере
для рассмотренных случаев
форма однородно уширенной
линии всегда лоренцева, а фор-
форма неоднородно уширенной
линии всегда гауссова. В рас-
рассмотренном нами примере ато-
атома Ne неоднородное уширение
преобладает над однородным.
Обратимся теперь к другому
примеру, когда преобладает
однородное уширение. На рис.
2.9 показана зависимость от
температуры ширины лазер-
лазерной линии в кристаллах ру-
рубина и Nd3+: YAG. Рубин
представляет собой кристалл
А12О3 с примесью ионов Сг3+,
которые замещают в кристал-
кристаллической решетке часть ионов
А13+ (доля ионов А13+, заме-
100 Z00 300
Температура, К
Рис. 2.9. Зависимость ширины ла-
щенных ионами Сг3+, обычно
зериой линии от температуры в ру- порядка 0,05%). Кристалл
биие (согласно Шавлову Г151) и в .,j,*vlr ' /и' v д е-
Nd3+: YAG (согласно Сигмену [16]). Nd3+: YAG состоит ИЗ YAG
(аббревиатура английских
слов yttrium aluminum garnet — иттрий-алюминиевый гранат,
Y3AI5O12), активированного ионами Nd3+, которые замещают
в кристаллической решетке часть ионов Y3+ (доля ионов Nd3+
составляет около 1%). Лазерная генерация происходит на од-
одном из переходов иона Сг3+ в рубине (X = 694,3 нм) и одном
из переходов иона Nd3+ в Nd3+:YAG (X = l,06 мкм). В обоих
случаях уширение лазерной линии обусловлено в основном
2.3. Поглощение и вынужденное излучение
53
столкновениями ионов с фононами решетки. Этим объясняется
резкое сужение линии при уменьшении температуры. Следует
заметить, что форма линии опять-таки хорошо аппроксимирует-
аппроксимируется лоренцевым контуром. Остаточная ширина линии, наблюдае-
наблюдаемая при Т-э-0 (которую с трудом можно разглядеть на рис. 2.9),
является следствием неоднородного уширения, обусловленного
флуктуациями кристаллического поля в различных положениях
ионов Сг3+ и Nd3+.
В случае когда два или несколько механизмов уширения
дают сравнимые по величине вклады, результирующая форма
линии определяется сверткой этих процессов типа той, что при-
приведена в выражении B.69). Можно показать, что свертка ло-
ренцева контура шириной Av, с лоренцевым контуром шириной
А\'2 приведет снова к лоренцевой линии шириной Av = Av, +
+ Av2. Свертка гауссова контура шириной Avi с гауссовым кон-
контуром шириной Av2 является опять гауссовой линией шириной
Av = (Av2 + Av2I'2. Следовательно, задачу об уширении линии
всегда можно свести к нахождению свертки одной лоренцевой
линии с одной гауссовой, причем значения соответствующего
интеграла (известного под названием интеграла Фойгта [14])
табулированы. Однако в некоторых случаях (например, в рас-
рассмотренном выше случае газообразного неона) один из меха-
механизмов преобладает. В таких случаях можно говорить либо
о лоренцевой, либо о гауссовой линии.
В качестве заключения для всего раздела 2.3.3 приведем в
табл. 2.1 пределы, в которых заключены реальные ширины линий
Таблица 2.1. Возможные значения ширины линий для различных
механизмов уширеиия >)
Однородное
уширение
Неоднород-
Неоднородное уши-
уширеиие
" Заметим
(сн~'). Чтобы
Уширеиие
Естественное
Столкиовитель-
ное
Связанное сфо-
иоиами
Доплеровское
Связанное с ло-
локальным по-
полем
I, что в некоторых
получить частоту
числа на скорость света в вакууме i
Газ
1 кГц - 10 МГц
5-10
МГцДмм рт.ст.)
—
50 МГц—1 ГГц
—
Жидкость
Незначи-
Незначительное
уширеиие
~300 см-1
—
Незначи-
Незначительное
уширеиие
~ 500 см-1
Твердое тело
Незначительное
уширеиие
—
~10см-'
C00 К)
—
1-500 см-1
случаях частота выражена в обратных сантиметрах
в герцах, следует умножить приведенные в таблице
(~ 310" см/с).
54 2. Взаимодействие излучения с веществом
для всех рассмотренных механизмов уширения. Заметим, что, как
мы покажем в разд. 2.4, тспоит ~ v^3. Поэтому AveCT уменьшает-
уменьшается вместе с частотой и на частоте лазерного перехода, напри-
например в СО2 (А, = 10,6 мкм), становится пренебрежимо малой.
Кроме того, в соответствии с выражением B.78) Av* в случае доп-
леровского уширения также уменьшается с частотой, хотя и не
столь быстро (AvJ ~ v0). В заключение следует также заметить,
что в жидкостях, по-видимому, преобладает неоднородное уши-
рение, связанное с неоднородностями локальных полей. Однако
из-за очень высокой частоты столкновений в жидкости столкно-
вительное уширение здесь тоже весьма значительно. Поэтому
в этом случае иногда трудно установить различие между одно-
однородным и неоднородным механизмами уширения.
2.3.4. Сечение перехода, коэффициенты поглощения
и усиления
Вычислив вероятность перехода W, можно теперь перейти
к определению и расчету других параметров, которые часто
применяются для описания данного перехода.
Первым из таких параметров мы рассмотрим сечение пере-
перехода а, которое вскользь уже обсуждалось в главе 1 [см. соот-
соотношения A.4) и A.6)]. Мы нашли, что в случае однородной
плоской волны вероятность перехода пропорциональна интен-
интенсивности плоской волны, поэтому сечение перехода можно опре-
определить следующим образом:
а = W/F; B.82)
здесь F = I/hv — плотность потока фотонов падающей электро-
электромагнитной волны. Из B.40) мы затем получаем выражения
для а:
Из этого выражения видно, что а зависит только от парамет-
параметров среды (\ц\2 и gt) и частоты v падающей волны. Таким об-
образом, для описания процесса взаимодействия необходимо
знать лишь зависимость сечения а от частоты v. Поэтому сече-
сечение перехода а является очень важным и широко применяе-
применяемым параметром. Физическое объяснение популярности этого
параметра можно получить из уравнения A.7). Для простоты
предположим, что все атомы находятся на нижнем энергети-
энергетическом уровне, т. е. iV2 = 0 и iV, = Nt (Nt — суммарная насе-
населенность системы). При этом из A.7) получаем
dF= — oNtF dz. B.84)
2.3. Поглощение и вынужденное излучение 55
Предположим теперь, что каждому атому можно поставить в
соответствие эффективное сечение поглощения фотонов аа в том
смысле, что если фотон попадает в это сечение, то он будет
поглощен атомом (рис. 2.10). Если площадь поперечного сече-
сечения электромагнитной волны в среде обозначить через S, то
число освещенных волной атомов среды в слое толщиной dz
(см. также рис. 1.2) равно NtS dz и тогда полное сечение погло-
поглощения будет равно oaNtS dz. Следовательно, относительное из-
изменение числа фотонов (dF/F) в слое толщиной dz среды равно
dF/F = - oaNtS dz/S. B.85)
Из сравнения уравнений B.85) и B.84) видно, что о = аа; по-
поэтому в соответствии с данным выше определением величине
а можно придать смысл эффективного
сечения поглощения.
Взаимодействие излучения с вещест-
веществом можно описывать по-другому, опре-
определив коэффициент ос с помощью выра-
выражения
a = o(Nl-N2). B.86)
Если JV, > N2, то величина ос называет-
называется коэффициентом поглощения. Восполь-
Воспользовавшись выражением B.83), полу- Рис. 2.10. Эффективное
чаем сечение поглощения ст„
2 атомами в пучке с по-
a = -^jj(Nl—N2)\llftvgt({±v). B.87) перечным сечением 5.
Поскольку ос зависит от населенностей двух уровней, это не
самый подходящий параметр для описания взаимодействия в
тех случаях, когда населенности уровней изменяются, как, на-
например в лазере. Однако достоинством данного параметра яв-
является то, что он может быть непосредственно измерен. Дей-
Действительно, из выражений A.7) и B.86) следует, что
dF =—ocF dz. Поэтому, отношение плотности потока фотонов,
прошедшего в среду на глубину /, к плотности падающего пото-
потока фотонов равно F(l)/F@)= exp(—ос/). Экспериментальные
измерения этого отношения при использовании достаточно мо-
монохроматического излучения дают значение ее для этой кон-
конкретной длины волны падающего света. Соответствующее сече-
сечение перехода получается из выражения B.86), если известны
населенности Nt и N2. В случае, когда среда находится в тер-
термодинамическом равновесии, Nt и N? можно определить (если
известна полная населенность Af/=A\+Af2) с помощью выра-
выражения A.8). Прибор для измерения коэффициента поглощения
ос называется абсорбционным спектрофотометром (спектрофо-
56 2. Взаимодействие излучения с веществом
тометром поглощения). Заметим, однако, что нельзя произво-
производить измерение поглощения перехода, уровень 1 которого не за-
заселен. Такая ситуация возникает, например, когда уровень 1
не является основным и его энергия превышает энергию основ-
основного уровня на величину, много большую, чем kT. В качестве
последнего наблюдения заметим, что если N2'>'NI, то коэф-
коэффициент поглощения ос, определяемый с помощью выражения
B.86), становится отрицательным и волна в среде будет, разу-
разумеется, усиливаться, а не поглощаться. В этом случае обычно
вводят новую величину
ag=-a = a(N2-Nl), B.88)
которая является положительной и называется коэффициентом
усиления. Определим также величину
g = agl, B.88а)
где / — длина активной среды. Величина g называется (лога-
(логарифмическим) усилением среды.
Теперь подведем итоги нашего рассмотрения в данном раз-
разделе. Мы ввели следующие три характеризующие переход па-
параметра: W, а и ос. Они представляют три различных способа
описания явления поглощения и вынужденного излучения. От-
Относительные достоинства каждого из этих параметров состоят
в следующем: 1) вероятность перехода W имеет простой физи-
физический смысл [см. выражения A.3) и A.5)], и ее можно не-
непосредственно получить из квантовомеханического вычисления;
2) сечение перехода сг зависит исключительно от свойств дан-
данной среды; 3) коэффициент поглощения ос— это параметр, ко-
который во многих случаях можно непосредственно измерить в
эксперименте.
2.4. Спонтанное излучение
Целью настоящего раздела является вычисление вероят-
вероятности спонтанного излучения А, определяемой выражением
A.2). К сожалению, полуклассическое рассмотрение взаимо-
взаимодействия излучения с веществом не позволяет, как будет пока-
показано ниже, адекватно предсказать и понять явление спонтанно-
спонтанного излучения. Тем не менее для начала полезно рассмотреть
это явление с позиций полуклассического подхода. Полученные
результаты затем будут сопоставлены с результатами точного
квантовоэлектродинамического анализа, в котором квантуют-
квантуются как атом, так и излучение.
2.4. Спонтанное излучение 57
2.4.1. Полуклассический подход
Прежде всего рассмотрим с чисто классической точки зре-
зрения электрический диполь, колеблющийся с частотой шо. Если
считать положительный заряд неподвижным, то в системе коор-
координат положительного заряда мгновенное положение г отрица-
отрицательного заряда можно записать в виде
г = r0 cos (со0/ + ф) = Re [roexp (ко0/)], B.89)
где Re обозначает действительную часть, а Гд = гоехр (/</>).
Из уравнений Максвелла следует, что движущийся с ускорением
электрический заряд излучает электромагнитную волну, мощ-
мощность которой пропорциональна квадрату ускорения. Таким
образом, можно показать [4], что колеблющийся электрон из-
излучает в окружающее пространство мощность Р„ которая дает-
дается выражением
О Л
nilщ
!Аг, B.90)
где ц = ег0 = е:\ г'й | — амплитудное значение электрического ди-
польного момента, п — показатель преломления среды, а Со —
скорость света в вакууме. Среднее значение полной энергии ко-
колеблющегося электрона определяется суммой средних значений
кинетической и потенциальной энергий. Поскольку, как извест-
известно, эти значения равны друг другу, (?> = (Кинетическая энер-
энергия) + (Потенциальная энергия) = 2(Кинетическая энергия).
Следовательно,
(Е) = 2 (m/2) (v2) = A/2)т (*шо/еJ; B.91)
здесь m — масса электрона, а (у2) — средний квадрат скорости.
За время dt осциллятор будет терять энергию, равную
dE = —Pfdt. Таким образом, используя выражения B.90) и
B.91), можно написать
dE = -^-dt, B.92)
Ткл
где
(Е) _ бартер3
x-—f;—n-eW B-93)
Вследствие дипольного излучения амплитуда г0 колебаний, а
следовательно, и \х будут со временем уменьшаться. Однако, по-
поскольку величина ткл не зависит от ц, она будет оставаться по-
постоянной. В этом случае из уравнения B.92) следует, что
58 2. Взаимодействие излучения с веществом
энергия Е будет экспоненциально уменьшаться с постоянной
времени ткл- Поэтому с классической точки зрения эта величина
называется временем жизни колеблющегося диполя.
Вернемся теперь к рассматриваемой нами задаче двухуров-
двухуровневой атомной системы. При спонтанном излучении атом испы-
испытывает переход 2-*- 1, и для описания волновой функции атома
можно снова применить выражение B.29). Следовательно, при-
приобретаемый атомом дипольный момент М описывается все тем
же выражением B.32). В действительности для состояний опре-
определенной четности первые два члена в выражении B.32) равны
нулю, поскольку как |«i|2, так и | и212 — четные функции коор-
координаты г. В любом случае эти два члена не зависят от времени.
Если для простоты рассмотреть состояния с определенной чет-
четностью, то выражение B.32) упрощается, и мы приходим к
выражению B.33), т. е.
М = Re { [ехр (ко0/) 2а,сС2\ ц2| }. B.94)
По аналогии с рассмотренным выше случаем классического
осциллятора мы ожидаем, что именно этот осциллирующий с
частотой vo = coo/2n член ответствен за излучение энергии в
окружающее пространство и, следовательно, описывает процесс
спонтанного излучения. При этом с помощью простого условия
сохранения энергии можно вычислить скорость изменения ве-
величины \а2\2 в единицу времени, т. е.
hVoll?L = -Pn B.95)
где мощность излучения Р, можно найти из соотношения B.90),
если учесть, что в соответствии с B.94) ц = 2 | а,^^, (. Тогда
уравнение B.95) можно переписать в виде
Uii!! ^||2|P (l
|a,||a2P
Тспоит тспоит
B.96)
где мы использовали соотношение B.30) и определили харак-
характерное время Тспоит как
которое называется спонтанным (излучательным) временем
жизни уровня 2. Решение уравнения B.96) имеет вид
B-98)
2.4. Спонтанное излучение
59
где to определяется начальными условиями, т. е. значением
| а2 @) |2. Действительно, из B.98) видно, что
B.99)
откуда для данного значения |а2@)|2 (при условии, что оно
меньше единицы) однозначно вычисляется to. В качестве при-
примера на рис. 2.11 показана временная зависимость величины
|а2@|2 при начальном условии |а2@) |2 = 0,96. Заметьте, что
0,8
0,6
0,4
о,г
{ ^^^
А \
\
\
\
\
\
\
i i
lilt
\
\
\—-Оч
^"--. ,
1 1
t
-
0,4 0,8
2,t 2,8 32
Рис. 2.11. Временная зависимость вероятности населенности верхнего состоя-
состояния |а2|2 и иормироваииой мощности излучения (/((/ = ТспонтЛуА<в0) от
времени. Сплошные кривые — полуклассическая теория; штриховая кривая —
квантовая электродинамика.
выбор различных значений |а2@)|2 просто изменяет значение
to в выражении B.98), т. е. сдвигает начало временной оси. На
этом же рисунке приведено также изменение со временем нор-
нормированной мощности излучения Р,. Для дальнейшего рассмот-
рассмотрения существенно, что временное поведение |а2@|2 можно
аппроксимировать экспоненциальной зависимостью вида
102 @ I2 = I «2 @) I2 ехр [- (*/тспоит)] B.100)
только тогда, когда [аг @)
в B.96) можно положить
2 <С 1. В этом случае действительно
а\\2 « 1 и сразу получить выраже-
выражение B.100).
Наиболее важным является случай, когда |а2@)|2 = 1.
При этом из B.99) мы находим, что t0 = оо, т. е. в соответ-
соответствии с полуклассической теорией атом релаксировать не
60 2. Взаимодействие излучения с веществом
должен. Действительно, если |а2@) |2 = 1, то |а,@)|2 = 0 и
из B.96) следует, что d\a2\2/dt = 0. Можно взглянуть иа этот
случай с другой стороны, обратив внимание на то, что момент М
в выражении B.91) исчезает при а,@) = 0. Поскольку теперь
атом не имеет осциллирующего дипольного момента, он не мо-
может излучать и поэтому пребывает в состоянии равновесия. Вы-
Выясним, насколько устойчивым является это состояние равновесия.
Для этого представим себе, что атом возмущен, т. е. |ai| =?0
при t = 0. Физически это означает, что благодаря такому воз-
возмущению существует конечная вероятность |а,|2 обнаружить
атом на уровне 1. Теперь из уравнения B.94) видно, что возни-
возникает дипольный момент, осциллирующий на частоте шо. Этот
дипольный момент будет излучать энергию в окружающее про-
пространство, и атом начнет релаксировать на уровень 1. Это при-
приводит к уменьшению |а2|2, и атом отодвигается все дальше от
положения равновесия. Таким образом, рассматриваемое со-
состояние атома является неустойчивым.
Прежде чем продолжить рассмотрение, подытожим основ-
основные результаты, полученные в рамках полуклассического под-
подхода: 1) в общем случае временное поведение вероятности
|а2|2 можно описать через гиперболический тангенс [см.
B.98)], но эта зависимость в случае очень слабого возмущения,
т. е. когда |а2@)|2<С 1, может быть аппроксимирована экспо-
нентой [уравнение B.100)]; 2) если атом первоначально нахо-
находится на верхнем уровне [т. е. |а2@)|2=1], то имеет место
состояние неустойчивого равновесия и никакого излучения не
происходит.
2.4.2. Квантовоэлектродинамический подход
Хотя методы квантовой электродинамики выходят за рамки
данной книги, имеет смысл перечислить те результаты, к кото-
которым эти методы приводят, и сравнить их с результатами, полу-
полученными полуклассическим методом. Среди наиболее сущест-
существенных из них можно выделить следующие [5, 6]: 1) в отличие
от полуклассического случая временная зависимость | а212 для
любых начальных условий теперь достаточно хорошо описы-
описывается экспоненциальным законом (приближение Вигнера —
Вайскопфа); это означает, что соотношение B.100) теперь
справедливо в любом случае, независимо от значения |а2@)|2;
2) спонтанное время жизни также дается выражением B.97).
Согласно этим утверждениям атом на верхнем уровне не на-
находится в состоянии неустойчивого равновесия. Мы приходим к
выводу, что для явления спонтанного излучения полуклассиче-
полуклассический и квантовоэлектродинамический подходы предсказывают
2.4. Спонтанное излучение 61
совершенно различные результаты (рис. 2.11). Однако на базе
имеющихся экспериментальных результатов ¦> мы можем
утверждать, что квантовоэлектродинамическии подход дает пра-
правильное решение рассматриваемой задачи. Следовательно, этот
подход является правильным и полученными с его помощью
результатами можно всегда пользоваться. На самом деле такое
рассмотрение мы неявно применяли с самого начала в уравне-
уравнении A.2), поскольку N2 = Nt | a.2 |2, где Nt = Ni-\-N2. Строго
говоря, данный подход следовало бы применить и в предыду-
предыдущем разделе для корректного описания вынужденного излуче-
излучения и поглощения. К счастью, применительно к этим явлениям
результаты полуклассического и квантовоэлектродинамического
подходов совпадают, так что выводы, полученные в предыдущем
разделе, остаются справедливыми.
Физическая причина того, почему при переходе от классиче-
классического рассмотрения к квантовоэлектродинамическому состояние
неустойчивого равновесия больше не имеет места, требует до-
дополнительного обсуждения. В полуклассическом приближении
атом на верхнем уровне находится в состоянии неустойчивого
равновесия, и, следовательно, достаточно очень слабого возму-
возмущения, чтобы вызвать переход атома с этого уровня. На первый
взгляд может показаться, что в среде всегда присутствует рас-
рассеянное излучение, которого достаточно для того, чтобы нару-
нарушить равновесие. Для конкретности предположим, что среда
помещена в полость черного тела, стенки которого поддержи-
поддерживаются при температуре Т. Тогда можно было бы представить
себе, что рассеянное излучение является тем излучением чер-
черного тела, которое заключено в полости. Однако это утвержде-
утверждение неправильно, поскольку возникающее таким образом излу-
излучение на самом деле являлось бы вынужденным излучением,
т. е. стимулированным излучением черного тела. В этом случае
явление спонтанного излучения зависело бы от температуры
стенок и исчезало при Т = 0. Правильное описание возмуще-
возмущения, необходимого для появления спонтанного излучения, дает
квантовоэлектродинамическии подход, в котором поле в по-
полости рассматривается не как классическое (т. с. описывае-
описываемое уравнениями Максвелла), а как квантовое. Мы опять
11 Среди этих результатов хочется упомянуть очень точные измерения
так называемого лэмбовского сдвига [6] — еще одного явления, которое воз-
возникает при спонтанном излучении. Оно состоит в том, что частота центра
линии спонтанного излучения не совпадает с частотой Wo (с частотой пере-
перехода), а оказывается слегка сдвинутой. Измерения лэмбовского сдвига в'
водороде относятся к одним из наиболее точных экспериментов, выполненных
до сих пор в физике, и они всегда точно (в пределах ошибки измерения)
совпадают с предсказаниями квантовоэлектродннамической теории.
62 2. Взаимодействие излучения с веществом
ограничимся обсуждением принципиального результата, реко-
рекомендуя читателю за подробностями обратиться к литературе
[5, 6]. Рассмотрим моду полости с частотой v. Известно, что при
классическом рассмотрении амплитуды как электрического Е, так
и магнитного Н полей могут быть равными нулю. Однако если
полость рассматривать с позиций квантовой электродинамики,
то как Е2, так и Н2 принимают отличные от нуля средние зна-
значения даже при Т = 0. Эти предельные значения называются
нулевыми флуктуациями вакуума. Поэтому мы можем рассмат-
рассматривать эти флуктуации как возмущения, которые устраняют
неустойчивое равновесие, предсказанное полуклассической
теорией. Соответственно явление спонтанного излучения можно
считать следствием существования нулевых флуктуации.
2.4.3. Термодинамический подход Эйнштейна
В данном разделе мы проведем (по Эйнштейну) строгое вы-
вычисление величины А, которое не основывается на явном ис-
использовании квантовоэлектродинамических вычислений. В дей-
действительности этот расчет был предложен Эйнштейном задолго
до развития теории квантовой электродинамики. Расчет выпол-
выполняется с помощью изящного термодинамического доказатель-
доказательства. Предположим, что рассматриваемая среда помещена в
полость черного тела, стенки которой поддерживаются при тем-
температуре Т. Как только система достигнет термодинамического
равновесия, в ней установится определяемое выражением B.18)
спектральное распределение плотности электромагнитного из-
излучения pv, и, следовательно, среда будет находиться в поле
этого излучения. Помимо спонтанного излучения в среде будут
происходить процессы вынужденного излучения и поглощения.
Поскольку система пребывает в состоянии термодинамического
равновесия, число переходов с уровня 1 на уровень 2 должно
уравновешивать число переходов с уровня 2 на уровень 1. За-
Запишем следующие равенства:
W2l=B2iK, B.101)
Wi2 = Bl2K, B.102)
где B2i и Bi2 — постоянные коэффициенты (так называемые
коэффициенты Эйнштейна В). Если через N1 и Nl обозначить
равновесные населенности уровней соответственно 1 и 2, то
можно написать
B2xKN\ = BX2KNl B.103)
2.4. Спонтанное излучение 63
Кроме того, согласно статистике Больцмана,
N\lN\ = ехр (- fivJkT). B.104)
Тогда из выражений B.103) и B.104) следует, что
p (
pv» = Bi2txp(hvQ/kT)-B21 •
Сравнивая это выражение с B.18) при v = vo, приходим к сле-
следующим соотношениям:
Bi2 = B2i = B, B.106)
А/В = Snhv3on3/cl. B.107)
Соотношение B.106) показывает, что вероятности поглощения и
вынужденного излучения, связанные с излучением черного тела,
равны друг другу. Это соотношение аналогично тому, которое
было установлено совершенно иным путем для случая моно-
монохроматического излучения [см. B.38)].
Соотношение B.107) позволяет вычислить коэффициент А,
если известен коэффициент В вынужденного излучения в поле
излучения черного тела. Этот коэффициент нетрудно найти из
выражения B.39), которое справедливо для монохроматиче-
монохроматического излучения. Плотность энергии излучения черного тела с
частотой от v -f- v + dv можно записать как p?dv. Если пред-
предположить, что такое излучение заменяется монохроматической
волной той же мощности, то соответствующая вероятность пе-
перехода dW получается заменой в выражении B.39) р на pvdv.
Интегрируя это выражение в предположении, что по сравнению
с распределением плотности pv (см. рис. 2.3) функцию g(A)
можно аппроксимировать б-функцией Дирака, мы получаем
Сопоставляя это выражение с B.101) или B.102), имеем
р 2д21и12 B 109)
Отсюда и из выражения B.107) окончательно находим
^±^-. B.110)
Следует заметить, что это выражение для коэффициента А в
точности совпадает с выражением, полученным с помощью
квантовой электродинамики. На самом деле проведенный рас-
расчет основан на термодинамике и формуле Планка (которая кор-
корректна с точки зрения квантовой электродинамики). Заметим
64 2. Взаимодействие излучения с веществом
также, что при записи соотношения B.103) мы использовали
уравнение A.2), т. е. предположение о том, что спонтанное из-
излучение точно подчиняется экспоненциальному закону. По-
Поскольку это предположение немедленно приводит к выражению
B.105), т. е. к формуле Планка, можно утверждать, что термо-
термодинамический подход Эйнштейна косвенно подтверждает экспо-
экспоненциальный характер спонтанной релаксации.
Термодинамический подход Эйнштейна позволяет также ис-
исследовать другой важный аспект спонтанного излучения, а
именно спектральный состав испускаемого излучения. Можно
показать, что для любого перехода (т. е. при любом механизме
уширения линии) спектральный состав спонтанного излучения
будет тождествен спектру, наблюдаемому при поглощении.
С этой целью предположим, что между рассматриваемой нами
средой и стенками полости черного тела помещен идеальный
фильтр, который пропускает излучение лишь в частотном интер-
интервале v — v + dv. В этом случае, если среда, фильтр и полость
черного тела поддерживаются при одинаковой температуре Т,
то отношение населенностей двух уровней будет по-прежнему
даваться формулой B.104). Плотность электромагнитного из-
излучения в любой точке полости также будет соответствовать
B.18), и результирующий поток энергии между средой и по-
полостью с частотой в пределах полосы пропускания должен быть
равен нулю. Это означает, что энергия, испущенная средой в
полосе частот шириной dv вблизи частоты v вследствие спон-
спонтанного и вынужденного излучений, должна равняться погло-
поглощенной энергии. Чтобы выразить этот баланс энергий количе-
количественно, определим спектральный коэффициент Av таким обра-
образом, что число атомов, которые в единицу времени при релакса-
релаксации излучают фотон частотой в интервале v ~ v + dv, равно
N2Avdv. Очевидно,
^vdv. B.111)
Аналогично определим спектральный коэффициент Bv таким
образом, что величина NB^dv равна числу переходов (актов
поглощения или вынужденного излучения) в единицу времени,
индуцированных полем излучения черного тела с частотой в
интервале v -т- v + dv. Тогда условие равновесия между излу-
излучаемой и поглощаемой энергиями можно сразу записать в виде
AvNe2 dv + ВАГ2 dv = fivpX dv ¦ B-112)
Используя, как и в предыдущих вычислениях, соотношения
B.104) и B.18), получаем
B.113)
2.4. Спонтанное излучение 65
Коэффициент Bv нетрудно определить из выражения B.39),
если заметить, что Bv(y,dv можно рассматривать как коэффи-
коэффициент вынужденного излучения для монохроматической волны.
Тогда из формул B.39) и B.109) находим, что Bv может быть
записана как
Bv = Bgt(Av), B.114)
и из B.113) следует, что
Последняя формула показывает, что спектр спонтанно излучен-
излученной волны снова описывается функцией gt{t±.v)\ иными слова-
словами, это та же самая функция, что и в случае поглощения или
вынужденного излучения. При этом из B.115) мы получаем но-
новую интерпретацию функции g*(Av): gt(bv)dv есть вероятность
того, что частота спонтанна излученного фотона лежит в интер-
интервале v -т- v + dv lK
2.4.4. Связь между спонтанным временем жизни
и сечением перехода
Из выражений B.83) и B.110) видно, что как сечение пе-
перехода, так и коэффициент Эйнштейна А пропорциональны ве-
величине |ц|2. Поэтому для любого перехода можно вывести не-
независящее от дипольного момента |ц| простое соотношение
между сечением а и временем жизни тСПонт = 1/Л. Действитель-
Действительно, из B.83) и B.110) получаем
где Ko = co/nvo — длина (в среде) электромагнитной волны, час-
частота которой соответствует центру линии. Выражение B.116)
1( Приведенное в данном разделе утверждение о тождественности спек-
спектральных линий спонтанного излучения н, скажем, поглощения не вполне
точно (см. примечание автора на с. 61). Дело в том, что использованный
прием — мысленная установка узкополосного фильтра между средой н стен-
стенками полости — на самом деле ничего не меняет в системе. Действительно,
как показано в разд. 2.1, излучение в полости не зависит от свойств ее сте-
стенок. Следовательно, с точки зрения излучения фильтр физически неотличим
от самих стенок и дальнейшие рассуждения теряют под собой почву. Это
означает, что переход от соотношения равновесия B.103) для линии в целом
(термодинамический вывод которого является вполне строгим) к аналогич-
аналогичному соотношению детального равновесия B.112) для каждой сколь угодно
узкой полосы частот, вообще говоря, неверен. Впрочем, отклонение от соот-
соотношения B.113) невелико (лэмбовский сдвиг, например, находится в пре-
пределах AveCT) н для дальнейшего содержания книги не имеет принципиаль-
принципиального значения. — Прим. перев.
3 О. Звелто
66
2. Взаимодействие излучения с веществом
можно использовать либо для определения значения сечения а,
если известно время жизни тСпонт, либо для вычисления тСПонт,
если известно о.
Предположим, что величину о трудно измерить. Например,
это имеет место, когда уровень 1 не является основным и его
энергия превышает энергию основного состояния на величину,
которая много больше kT. Тогда при тепловом равновесии уро-
уровень 1 будет практически не заселен, и поглощение, соответ-
соответствующее переходу 1->2, будет слишком слабым для того, что-
чтобы его можно было измерить. Для определения сечения а из
выражения B.116) должны быть известны не только время
жизни Тспонт, измерение которого мы рассмотрим в разд. 2.5, но
и функция gt(Av). Эту функцию можно найти из эксперимен-
экспериментально измеренной формы линии излучения S(Av). В самом
деле, поскольку \g<(Av)dv = l, мы получаем gt (Av) =
= S(Av)/J S(Av)dv.
Рассмотрим теперь ситуацию, когда а можно измерить (как
в случае, когда уровень 1 является основным). Чтобы вычис-
вычислить Тспонг из выражения B.116), умножим обе его части на dv
и проинтегрируем их. Так как \ gt(A.v)dv— 1, мы получим
BЛ17)
Видно, что спонтанное излучательное ьремя жизни достаточно
просто связано с интегральным сечением перехода. Соотноше-
Соотношение B.117) особенно полезно, когда трудно измерить тСионт, что
имеет место для переходов с очень низким квантовым выходом
и, следовательно, с очень коротким временем жизни верхнего
уровня (см. разд. 2.5).
2.4.5. Заключительные замечания
В качестве заключительного комментария ко всему разд. 2.4
можно сказать, что, хотя объяснение явления спонтанного из-
излучения требует четкого понимания весьма тонких физических
явлений, само аналитическое описание характера релаксации
оказывается крайне простым и дается выражением B.100) или,
что одно и то же, уравнением A.2), где тСПонт и А =A/тСпонт)
определяются выражениями соответственно B.97) и B.110).
Следует заметить, что величина А увеличивается пропорцио-
пропорционально кубу частоты и, следовательно, роль спонтанного излу-
излучения быстро растет с частотой. Действительно, в инфракрас-
инфракрасной и далекой инфракрасной областях спектра, где, как пра-
2.5. Везызлучател1>на.ч релаксация 67
вило, преобладает безызлучательная релаксация, спонтанное
излучение во многих случаях пренебрежимо мало. Порядок ве-
величины А на частотах, соответствующих середине видимого ди-
диапазона, можно оценить, полагая в выражении B.110)
К = c/v = 5-10~5 см и |ji|=ea, где а — радиус атома
(а « 10~8 см). Таким образом, мы получаем А « 108 с-1 (т. е.
Тспонт ~ Ю не). Для магнитодипольных переходов величина А
приблизительно в 105 раз меньше, т. е. А « 103 с~1. Наконец
заметим, что если обратиться к рентгеновскому диапазону (ска-
(скажем Я < 5 нм), то Тспонт становится крайне малым (-~10—
100 фс). В этом случае спонтанное излучение определенно ста-
становится основным механизмом релаксации, а естественное
уширение — основным механизмом уширения.
2.5. Безызлучательная релаксация [11]
Помимо релаксации путем испускания излучения возбуж-
возбужденные частицы могут также испытывать безызлучательную
релаксацию. Эта релаксация может осуществляться большим
количеством различных способов, причем аналитическое описа-
описание соответствующих физических явлений зачастую весьма
сложно. Поэтому ограничимся в данном случае обсуждением
лишь на качественном уровне.
Для начала опишем связанный с нсупругими столкновения-
столкновениями процесс безызлучательной релаксации, иногда называемый
столкновительным опустошением. В газах и жидкостях энер-
энергия перехода передается окружающим частицам в форме энер-
энергии электронного и колебательного возбуждения или поступа-
поступательного движения 1\ Данная релаксация обусловливается пе-
переносом энергии, который особенно эффективно происходит в
том случае, когда энергии возбуждения релаксирующих частиц
(частицы В) и частиц, которые получают энергию вследствие
переноса (частицы А; см. рис. 2.12), практически совпадают,
т. е.
В' + Л->В + Л' + Д?. B.118)
Этот процесс во многих случаях играет важную роль как ме-
механизм накачки, и поэтому мы его подробно рассмотрим в
гл. 3. Здесь заметим лишь, что для эффектинного протекания
процесса разность энергий между двумя переходами АЕ, до-
доставляемая или уносимая в форме кинетической энергии стал-
сталкивающихся частиц, должна быть существенно меньше кТ.
В случае газового разряда могут происходить столкновения
'» А также вращательного возбуждения,—Прим, перев.
3*
68 2, Взаимодействие излучения с веществом
между электроном и возбужденной частицей, при которых час-
частица передает свою энергию электрону:
+ е. B.119)
Энергия возбуждения передается электрону в форме кинетиче-
кинетической энергии, и этот процесс иногда называют сверхупругим
столкновением или столкновением второго рода. Следует от-
отметить, что столкновение типа B.119) может происходить так-
также и с легким атомом (например, с атомом гелия) вместо
электрона. Однако вследствие более высокой массы атома про-
процесс будет действительно эффективным лишь тогда, когда час-
частица В представляет собой молекулу, а ее энергия возбуждения
ЛЕ
—• L. . .
В* А В А*
Рис. 2,12, Безызлучательная релаксация частиц В вследствие почти резо-
резонансной передачи энергии частицам А.
соответствует энергии низколежащих колебательных состояний.
Заметим, наконец, что столкновительное опустошение в газах
может также происходить и вследствие столкновений со стен-
стенками резервуара. В кристалле преобладающим столкновитель-
ным механизмом является столкновение активных ионов с фоно-
нами решетки.
Как явствует из нашего обсуждения, механизмы столкнови-
тельного опустошения могут иметь самые разнообразные фор-
формы. Однако несмотря на это скорость релаксации населенности
верхнего уровня можно в общем случае записать в виде
B ¦ 120)
где Тбезызл — характерная постоянная времени, называемая бе-
зызлучательным временем жизни. Его величина в значительной
степени зависит от вида релаксирующих частиц и природы окру-
окружающей среды. Необходимо заметить, что между временем без-
излучательной релаксации Тбезызл и описанным в разд. 2.3.3.1
столкновительным временем тс существует принципиальная
разница. Очевидно, что в жидкостях обе величины связаны со
столкновениями. Однако для безызлучательной релаксации не-
необходимы неупругие столкновения, так что релаксирующая ча-
частица передает свою энергию окружению. Уширение же может
2.5, Безызлунательная релаксация
69
быть обусловлено либо неупругими, либо упругими столкнове-
столкновениями. Действительно, оба этих типа столкновений вызывают
в общем случае скачки фазы падающей электромагнитной
волны по отношению к фазе электрического дипольного момента
атома.
Безызлучательная релаксация не всегда происходит по-
посредством столкновений. В изолированной молекуле релакса-
релаксация может также происходить (внутримолекулярные процес-
процессы). Например, в случае колебательного перехода энергия мо-
может передаваться другим колебательным модам молекулы
(рис. 2.13) или вызвать диссо-
диссоциацию молекулы (предиссо-
циацию). Энергия возбужде-
возбуждения атомов, если она доста-
достаточно велика, может привести
к их ионизации (предыониза-
ция). В случае внутримолеку-
внутримолекулярных процессов релакса-
релаксацию населенности верхнего
уровня можно также описать
с помощью выражения B.120). рис 2,3_ внутримолекулярная бе-
Возбужденная
полебигрельная
7-
Колебателъно-
врсацитпельные
колебательной моды в почти резо-
резонансную вращательно-колебательную
моду той же самой молекулы.
Соответствующее время релак- зызлучательная релаксация данном
сации Тбезызл может быть очень
малым (~ Ю-10 с).
Фёрстер [19] впервые опи-
описал другой тип безызлучатель-
ной релаксации, который, строго говоря,не связан со столкнове-
столкновениями. В этом случае механизмом, ответственным за релакса-
релаксацию, является взаимодействие между колеблющимся электри-
электрическим диполем [см. B.94)] релаксирующей частицы (донор
D) и соответствующим дипольным моментом соседних частиц
(акцептор А). Заметим, что радиус этого диполь-дипольного
взаимодействия намного больше, чем в случае столкновения.
Если расстояние между донором и акцептором равно R, то ве-
вероятность переноса энергии дается выражением
. B.121)
где Тспонт и g(v)—соответственно время излучательной релакса-
релаксации и контур линии донора, Ga(v)—сечение поглощения акцеп-
акцептора и п — показатель преломления окружающей среды. Как
видно из выражения B.121), вероятность зависит от частотно-
частотного перекрытия спектров излучения донора и поглощения
70 2. Взаимодействие излучения с веществом
акцептора. Заметим также, что вероятность ¦> WDA обратно про-
пропорциональна R6, что обусловлено классической зависимостью
вида R-3 для диполь-дипольного взаимодействия. Если мы
имеем ансамбль из N2 доноров и Na акцепторов со случайным рас-
распределением расстояний между ними, то оказывается, что в от-
отличие от B.120) релаксация во времени не имеет экспоненциаль-
экспоненциального характера; мы обсудим эту особенность в конце раздела.
Особые механизмы безызлучательной релаксации имеют
место в полупроводниках. Здесь переход электронов из зоны
проводимости и переход дырок из валентной зоны осуществля-
осуществляются за счет электронно-дырочной рекомбинации на глубоких
ловушках, т. е. рекомбинации свободных носителей одного типа
со связанными носителями противоположного типа, В этом слу-
случае энергия взаимодействия обусловлена дальнодействующим
электростатическим взаимодействием заряженных частиц и от-
отбор излишней энергии осуществляется одним из следующих
двух механизмов: 1) одним или более решеточным фононом;
2) посредством трехчастичного столкновения, при котором энер-
энергия передается свободному носителю (оже-рекомбинация). Сле-
Следует заметить, что при достаточно высоких концентрациях сво-
свободных носителей может также происходить и прямая рекомби-
рекомбинация свободных электронов и дырок. Для всех перечисленных
выше случаев, за исключением прямой рекомбинации, релакса-
релаксация носителей описывается экспоненциальным законом. В слу-
случае прямой рекомбинации следует ожидать, что вероятность
перехода будет пропорциональна концентрации свободных носи-
носителей, а это и приводит к неэкспоненциальной релаксации.
Наличие как излучательной, так и безызлучательной релак-
релаксации, последняя из которых определяется уравнением B.120),
приводит к тому, что населенность верхнего уровня М2 изме-
изменяется во времени в соответствии со следующим уравнением:
B.122)
dt
Отсюда видно, что общее время жизни т дается выражением
— = — 1 1-—, B.123)
Т депонт ^безьпл
где т обычно называют временем жизни верхнего уровня 2.
Эту величину нетрудно измерить, если проследить за тем, как
изменяется во времени интенсивность спонтанного излучения.
" Точнее, зависимость вида (Rfk)-', если вспомнить, что а ~ X2 [см,
B.116)]. Этот безразмерный коэффициент имеет более ясный физический
смысл, — Прим, перев.
2.5, Безызлучательная релаксация 71
В самом деле, пусть в момент времени t = 0 на верхнем уров-
уровне находится N2@) атомов и пусть V — объем, занимаемый
средой. В соответствии с B.122) Л^Дспонт представляет собой
число атомов, совершающих излучательную релаксацию в еди-
единичном объеме за единицу времени. Следовательно, мощность
спонтанного излучения будет равна
P(t) = N2(t)hv0V/rcnoHT. B.124)
Населенность Л'г@ в момент времени t получаем интегри-
интегрированием уравнения B.122), т. е.
N2 @ = N2 @) ехр (—t/x), B.125а)
P(t)= N2^h"°v exp(—f/т). B.125)
^спонт
Заметим, что временная зависимость излучения является экспо-
экспоненциальной с постоянной времени т, а не тСпонт, как могло бы
показаться с первого взгляда. Принято определять квантовый
выход люминесценции ф как отношение числа излученных фото-
фотонов к полному числу атомов, первоначально переведенных на
уровень 2. Следовательно, используя B.125), имеем
Р (O/Avo dt
= -±—. B.126)
Таким образом, измеряя квантовый выход ф и время жизни т,
МОЖНО НаЙТИ Как Тспонт, ТЭК И Тбезыз.т
Чтобы вычислить временную зависимость населенности верх-
верхнего уровня в случае, когда имеет место механизм фёрстеров-
ского типа, мы для начала перепишем B.121) в виде
B.127)
(v)rfv. B.128)
Заметим, что для получения этого выражения было использо-
использовано соотношение B.126). Величина Ro называется фёрстеров-
ским радиусом, и, согласно B.127), его физический смысл со-
состоит в том, что это есть расстояние R, для которого Wd\ =
= A/т). При хорошем перекрытии спектра излучения донора
со спектром поглощения акцептора в случае разрешенных элек-
тродипольных переходов величина Ro обычно заключена в пре-
пределах 20 — 40 А, подтверждая таким образом дальнодействую-
щий характер взаимодействия фёрстеровского типа. В случае
72 2. Взаимодействие излучения с веществом.
ансамбля из N2 доноров со случайными значениями расстояний
между донорами и акцепторами и при условии, что это расстоя-
расстояние либо фиксировано, либо изменяется медленно по сравнению
с временем релаксации атома (фёрстеровский режим), времен-
временная зависимость населенности N2 имеет вид
N2 @ = N2 @) ехр {- [(t/x) + С (t/xI'2] }, B.129)
где С — числовой параметр, равный
Rl]NA, B.130)
и Na — плотность акцепторов. Временная зависимость излуче-
излучения люминесценции получается путем подстановки выраже-
выражения B.129) для N2(t) в B.124). Следует заметить, что времен-
временная зависимость N2(t) [ср. B.129) с B.125а)], а, значит, и P(t)
не подчиняются экспоненциальному закону. Это можно объяс-
объяснить, если учесть, что для ансамбля, скажем, N донор-акцептор-
донор-акцепторных пар со случайным распределением расстояний R между до-
донорами и акцепторами, излучение будет состоять из суперпози-
суперпозиции N экспоненциальных кривых с различными временами ре-
релаксации, поскольку время релаксации tda = 1/Wda для взаи-
взаимодействия фёрстеровского типа сильно зависит от расстояния
R [см. B.127)].
2.6. Насыщение
Целью настоящего раздела является изучение поведения
двухуровневой системы (с частотой перехода vo) в среде в при-
присутствии сильной монохроматической электромагнитной волны
с интенсивностью / и частотой v ^ vo. В общем случае падаю-
падающая волна будет стремиться уравнять населенности N\ и N2
обоих уровней. Действительно, если первоначально населен-
населенность N\ больше населенности N2, то процесс поглощения
(WN{) будет преобладать над процессом вынужденного излуче-
излучения (WN2); иными словами, большее число атомов совершает
переход 1-»-2, а не 2->-1. Таким образом, при достаточно вы-
высокой интенсивности / населенности обоих уровней будут стре-
стремиться к выравниванию. Это явление называется насыщением.
2.6.1. Насыщение поглощения; однородно уширенная линия
Рассмотрим вначале поглощающий переход (Ni > N2) и
предположим, что линия при этом переходе является однородно
уширенной. Учитывая как спонтанное, так и вызванное падаю-
падающей волной вынужденное излучение (рис. 2.14), для населенно-
2.6. Насыщение 73
стей N\ и N2 двух уровней можно написать следующие два
уравнения:
Nl + N2 = Nt, B.131а)
= -W(N2-Nl)-N2/x. B.1316)
В уравнении B.131а) через Nt обозначена полная населенность
уровней в данной среде. Если
AN = NX-N2, B.132)
то оба уравнения B.131) можно привести к одному дифферен-
дифференциальному уравнению:
B.133)
В стационарном случае, когда &N = О, получаем
Ntl(l + 2Wx). B.134)
Следовательно, разность населенностей ДМ между двумя уров-
уровнями зависит от т и W, т. е. от времени релаксации верхнего
уровня (которое является
параметром среды) и от ин- 2 l I I
тенсивности / падающего I III
излучения. С увеличением / ЛЛЛ^. т т NL
вероятность вынужденных иии . * .'
переходов W также увели- I I 1
чивается, а это приводит к Щ 1 * * Е,
уменьшению разности насе- Рис 2.14. Двухуровневая система, вза-
ленностей &.N, и в случае имодействующая с электромагнитной
Wx !Э> 1 мы имеем AAf л^ 0, волной, имеющей интенсивность /.
т. е. Ni ж N2& Nt/2. Та-
Таким образом, населенности двух уровней стремятся стать оди-
одинаковыми.
Для того чтобы в среде поддерживать данную разность на-
населенностей AAf, в единичном объеме среды должна поглощать-
поглощаться определенная мощность (dP/dV) падающего излучения. Эта
мощность дается выражением
dP/dV = (hv) W lW = {hv$NtW/{l + 2Wx), B.135)
которое в случае насыщения (при Wt^>1) принимает вид
(dP/dV)s = (hv) Nt/2x. B.136)
Отсюда следует, что мощность (dP/dV)s, которая должна по-
поглощаться системой, чтобы последняя находилась в состоянии
насыщения, равна (как и ожидалось) мощности, теряемой сре-
средой вследствие релаксации верхнего уровня.
74
2. Взаимодействие излучения с веществом
Иногда полезно иметь выражения B.134) и B.135) перепи-
переписанными в более удобном виде. Для этого прежде всего заме-
заметим, что, согласно B.62), W можно выразить следующим об
разом:
W = ol/hv; B.137)
здесь о — сечение поглощения рассматриваемого перехода. По-
Полученное соотношение позволяет переписать выражения B.134)
и B.135) следующим образом:
1
1 + (///*)
'Us
где
Nt ~
dP/dV
(dP/dV)s — 1 + (I/Is) '
Is = Av/2ot
B.138)
B.139)
B.140)
Насыщающий,
пучок [НмЦ
Wr
Пробный
пучок [I'(v')]
представляет собой параметр, который зависит от свойств дан-
данной среды и частоты падающего излучения. Физический смысл
этого параметра очевиден из выражения
B.138). Действительно, при I = IS полу-
получаем ДМ = Nt/2. Когда v ^ vo, величина
Is зависит лишь от параметров перехода.
Эта величина называется интенсив-
интенсивностью насыщения.
Покажем теперь, как меняется фор-
Рис. 2.15. Измерение ко- ма линии поглощения с увеличением ин-
эффициентов поглоще- тенсивности / падающего монохромати-
иия и усиления иа ча- ческого излучения. С этой целью рас-
стоте v' [/(v) s» /' (v')l- смотрим идеализированный эксперимент,
схема которого изображена на рис. 2.15.
В таком эксперименте поглощение измеряется с помощью проб-
пробного сигнала переменной частоты v', интенсивность /' которого
достаточно мала, так что этот сигнал не вызывает в системе за-
заметного возмущения. В реальной ситуации необходимо быть
уверенным в том, чтобы пробный сигнал взаимодействовал
только с областью насыщения, а для этого он должен распро-
распространяться в виде более или менее коллинеарных пучков. При
выполнении этих условий коэффициент поглощения, измеряе-
измеряемый с помощью пробного пучка, дается формулой B.87), где
g-,(Av)=g(v' — vo), а разность населенностей N\—N2 = AN
определяется выражением B.138). Следовательно, можно напи-
написать следующее выражение:
2.6. Насыщение
75
где ао = ао(\/ — vo)—коэффициент поглощения в случае,
когда насыщающая волна на частоте v отсутствует (т. е. / = 0),
причем
2 ' ц |2 x'Ntg (v' — v0). B.142)
Из выражений B.141) и B.142) следует, что с увеличением ин-
интенсивности / насыщенного пучка коэффициент поглощения па-
падает. Однако форма линии остается прежней, поскольку она
в любом случае описывается функцией g(x' — vo). На рис. 2.16
представлены три кривые,
показывающие зависи-
зависимость коэффициента по-
поглощения а от частоты v'
для трех различных зна-
значений ///.,.
В заключение этого
раздела рассмотрим слу-
случай, когда насыщающая
электромагнитная волна
состоит не из непрерыв-
непрерывного пучка, а из импульса
света интенсивностью/ =
= I(t). Чтобы составить
себе физическое пред-
представление о том, что про-
происходит в этом случае, ограничимся сравнением двух предельных
ситуаций, когда длительность импульса либо очень велика, либо
очень мала по сравнению с временем жизни т верхнего уровня.
Если постоянная времени изменения интенсивности света
в импульсе очень мала по сравнению с т, то благодаря насыще-
насыщению разность населенностей AN будет также очень медленно
меняться со временем. Поэтому в B.133) можно предположить,
что
Рис. 2.16. Зависимость коэффициента по-
поглощения однородно уширенной линии от
частоты v' для возрастающих интеиенвно-
стей насыщающего пучка.
I ДАЛ
B.142а)
Соответственно AAf по-прежнему определяется стационарным
уравнением B.134) или, что эквивалентно, уравнением B.138),
где теперь I = I(t). Механизм насыщения в этом случае такой
же, как и для непрерывного пучка. Теперь нетрудно найти ус-
условие, при котором удовлетворяется неравенство B.142а). Если
предположить для простоты, что /<С/« (слабое насыщение), то
из уравнения B.138) получим M(t) ж Nt{l — [I(t)/Is]}. Под-
Подставляя это выражение в B.142а), имеем
\dlldt\<LlJx. B.1426)
76 2. Взаимодействие излучения с веществом
Если же длительность светового импульса очень мала по сравне-
сравнению с временем жизни т, то можно считать, что в B.133) член
2W&N, соответствующий вынужденному излучению, преобладает
над членом (Nt — AN)/x, соответствующим спонтанному излу-
излучению, т. е.
(Nt - ДЛО/т < 2 W &N. B.142в)
В этом случае B.133) принимает вид
ДМ @ = - 2W&N = - Bo/Av) / (О ДЛГ, B.142г)
где было использовано также равенство B.137). Интегрирова-
Интегрирование последнего выражения с начальным условием \N(—оо) =
= Nt дает
ДЛГ (t) = Nt е.хр Г - Bo/Av) J / (t) dt\. B.142д)
t\.
Это выражение можно преобразовать к более доступной фор-
форме, если определить плотность энергии облучения Г(/) как
t
Г(/)= J I{t)dt B.142e)
и плотность энергии насыщения среды Г* как
rs = /zv/2o. B.142ж)
Тогда из равенства B.142д) находим
ДЛ^ @ = Nt ехр - 1Г (О/Г,]. B.142з)
Мы видим, что в этом случае параметры насыщения определя-
определяются плотностью энергии облучения, а не его интенсивностью.
В соответствии с B.142з) разность населенностей, образующая-
образующаяся в среде после прохождения импульса, дается выражением
, B.142и)
где Vt — полная плотность энергии облучения светового им-
импульса. Таким образом, плотность энергии насыщения среды
может рассматриваться как плотность энергии, которой должен
обладать импульс, чтобы создать разность населенностей
дд^оо = Nt/e. Условие, при котором выполняется неравенство
B.142в), можно теперь представить в аналитическом виде. Под-
Подставляя B.142з) в B.142в), находим
< ^-ехр[- (Г/Г,)]; B.142к)
2.6. Насыщение
77
здесь мы также использовали выражение B.137). Если для про-
простоты вновь рассмотреть случай слабого насыщения, т. е. Г-С
< rs, то из B.142к) с помощью B.142ж) получаем
Г@=
B.142л)
что на самом деле доказывает справедливость B.142в) при ус-
условии, что длительность импульса много меньше т.
Вычислив разность населенностей, образующуюся благодаря
насыщению при облучении световым импульсом, с помощью вы-
выражения B.86) можно получить соответствующий коэффициент
поглощения среды для однородно уширенной линии. Для свето-
светового импульса, который является соответственно медленным
или быстрым по сравнению с т, значение а дается выраже-
выражением B.141) [причем / = /(/)] или
B.142м)
WN,
т
-2,/Ур
где cto — коэффициент ненасыщенного поглощения.
Заметим, что в импульсном режиме так же, как и в случае
непрерывного режима, форма линии поглощения при насыщении
не меняется.
2.6.2. Насыщение усиления; однородно уширенная линия
Рассмотрим случай, когда переход 2->-1 усиливает излуче-
излучение, а не поглощает его. Предположим, что среда ведет себя как
четырехуровневая система (рис. 2.17) и что инверсия населен-
ностей между уровнями 2 и 1 создается
благодаря некоторому промессу накачки.
В дальнейшем будем считать, что пере-
переходы 3 ->¦ 2 и 1 ->- g осуществляются со
столь большой скоростью, что можно по-
положить N3 ~ N\ » 0. При таких упро-
упрощающих предположениях можно запи-
записать следующее скоростное уравнение
для населенности уровня 2:
dNJdt = Wp (Nt - N2) - WN2 - NJx,
B.143)
где WP — скорость накачки, a Nt — суммарная населенность.
В равновесном состоянии (т. е. когда dN2/dt = 0) из уравне-
уравнения B.143) находим
B.144)
Рис. 2.17.
"Л
Насыщение
78 2. Взаимодействие излучения с веществом
При выводе этого выражения мы предположили, что Wpx < 1;
это условие, как правило, выполняется в лазерных материалах.
С помощью B.137) выражение B.144) можно переписать в виде
"«-TTW- B-145)
где N2o = WpNtx—населенность уровня 2 в отсутствие насы-
насыщающего пучка (т. е. при / = 0), а
. B.146)
Сравнивая B.146) и B.140), мы находим, что при тех же самых
значениях величии hv, опт интенсивность насыщения /4 в че-
четырехуровневой системе в два раза больше, чем в двухуровне-
двухуровневой системе, показанной на рис. 2.14.
В эксперименте, схематически изображенном на рис. 2.15,
пробный пучок на частоте v' позволяет теперь измерять усиле-
усиление, а не поглощение. В соответствии с выражениями B.88),
B.88а) и B.145) результирующий коэффициент усиления мож-
можно записать следующим образом:
BЛ47)
где go = оЛ'20 — коэффициент усиления, когда насыщающий пу-
пучок отсутствует (коэффициент ненасыщенного усиления). Вели-
Величину go можно найти с помощью выражения B.83):
^b-vo). B.148)
Из B.147) и B.148) следует, что, как и в случае поглощения,
рассмотренного в предыдущем разделе, коэффициент усиления
g уменьшается с увеличением интенсивности /, но форма линии
при этом остается неизменной.
В заключение этого раздела так же, как и в конце преды-
предыдущего, рассмотрим случай, когда насыщающая электромагнит-
электромагнитная волна представляет собой световой импульс интенсив-
интенсивностью I(t). Если постоянная времени изменения интенсивности
светового импульса достаточно мала по сравнению с временем
жизни т, то по-прежнему в B.143) можно пренебречь временной
производной величины N2 по сравнению с другими членами.
Таким образом мы получаем снова выражение B.145) для на-
населенности верхнего уровня и выражение B.147) для коэффи-
коэффициента усиления, причем интенсивность / теперь является функ-
функцией I(t), а интенсивность насыщения /s определяется выраже-
выражением B.146). Если длительность светового импульса много
меньше времени жизни т, то величиной Wn(Nt — .V2), опреде-
2.6. Насыщение 79
ляющей накачку, и величиной 7V2/t, определяющей спонтанную
релаксацию, можно пренебречь по сравнению с членом WN2,
связанным с вынужденным излучением. Таким образом, мы по-
получаем
dNJd = - (ol/hv) N2; B.148а)
здесь мы еще раз использовали B.137). Интегрирование по-
последнего уравнения даст следующее выражение:
N2(t) = ЛГ20ехр { - [Г (О/Г,]}, B.1486)
где N-i = WpNtT — населенность уровня 2 до начала воздействия
импульса, Г(/)—плотность энергии облучения [см. B.142е)],а
B.148в)
— плотность энергии насыщения усилителя. Сравнивая B.148в)
и B.142ж), мы видим, что плотность энергии насыщения усили-
усилителя, работающего по четырехуровневой схеме, вдвое больше
аналогичной величины для поглотителя. При этом насыщенный
коэффициент усиления дается выражением
), B.148г)
где go = o;V2o — ненасыщенный коэффициент усиления.
Заметим еще раз, что в случае импульсного режима так же,
как и в случае непрерывного режима, форма линии поглощения
при насыщении не меняется.
2.6.3. Неоднородно уширенная линия
В случае когда линия является неоднородно уширенной, про-
процесс насыщения оказывается более сложным. Поэтому мы здесь
ограничимся лишь качественным его описанием (более подроб-
подробное описание см. в задачах 2.22 и 2.23). Чтобы сохранить общ-
общность рассмотрения, будем считать, что уширенис линии обус-
обусловлено как однородным, так и неоднородным механизмами.
Следовательно, форму линии можно описать выражением B.69).
Результирующая форма линии gt{\ — vo) дается сверткой вкла-
вкладов g(Av) от однородно уширенных линий отдельных атомов.
Таким образом, в случае поглощения результирующий коэффи-
коэффициент поглощения можно изобразить кривой, как показано на
рис. 2.18. В этом случае при проведении эксперимента по схеме,
представленной на рис. 2.15, падающая волна с интенсивностью
1(х) будет взаимодействовать лишь с теми атомами, резонанс-
резонансные частоты которых располагаются вблизи частоты v. Соответ-
Соответственно только в этих атомах будет иметь место насыщение
уровней, когда величина I(х) станет достаточно большой. При
80
2. Взаимодействие излучения с веществом
ос
этом форма линии поглощения для различных значений /(v)
изменится так, как показано на рис. 2.19. Мы видим, что с уве-
увеличением /(v) в линии по-
поглощения образуется про-
провал на частоте v. Шири-
Ширина этого провала того же
порядка, что и ширина
отдельных линий погло-
поглощения, представленных
на рис. 2.18 в виде штри-
штриховых кривых, т. е. по-
порядка ширины однородно
—*¦ уширенной линии. Анало-
"° гичные соображения при-
Рис. 2.18. Коитур лииии^ перехода, обус- менимы И К рассмотрению
ловлеииыи совместным действием одиород- r r
иого и неоднородного механизмов ушире- не поглощающего, а ЧИ-
иия. Соответствующая функция gt(v — v0) сто усиливающего пере-
переполучается сверткой [см. выражение B.69)] хода. В этом случае дей-
фуикций формы линии g (v— vq) отдель- ствие насыщающего пуч-
иых атомов. ка будет выражаться в
образовании провалов, но
в контуре линии усиления, а не поглощения. Заметим также, что
подобные рассуждения могут быть применимы при исследова-
исследовании поглощения и насыщения усиления, вызванного световым
импульсом достаточно высокой интенсивности.
1=0
Рис. 2.19. Проявление насыщения в случае иеодиородио уширеииой линии.
В кривой зависимости коэффициента поглощения от частоты имеется про-
провал, глубина которого увеличивается с иитеисивиостью /(v).
2.7. Релаксация многоатомной системы 81
2.7. Релаксация многоатомной системы
В разд. 2.4 мы рассматривали излучение изолированного
атома. В реальной же ситуации любой атом находится в окру-
окружении множества других атомов, одна часть которых находится
в основном, а другая — в возбужденном состоянии. При этом
могут возникнуть новые явления и релаксация может быть обу-
обусловлена как спонтанным, так и вынужденным процессами. Эти
явления мы кратко обсудим в данном разделе.
2.7.1. Захват излучения
Если доля атомов, которые первоначально находились на
верхнем уровне, очень мала и если среда является оптически
плотной, то значительную роль может играть так называемый
захват излучения. Фотон, который спонтанно испускается ато-
атомом, вместо того, чтобы покинуть среду, может быть поглощен
другим атомом, который в свою очередь перейдет в возбужден-
возбужденное состояние. Поэтому такой процесс приводит к уменьшению
эффективной вероятности спонтанного излучения. Подробное
обсуждение данного вопроса можно найти в работе [7], а здесь
мы хотели бы лишь отметить, что обусловленное захватом из-
излучения увеличение времени жизни зависит от концентрации
атомов, от сечения участвующего в излучении перехода и от
геометрической конфигурации среды.
2.7.2. Сверхизлучение и суперлюминесценция
Если первоначально в верхнем состоянии находилось такое
число атомов, что возникла инверсия насел-енностей, то излуче-
излучение может принять форму кооперативного процесса, в котором
излучение одного атома влияет на излучение других атомов.
Данный процесс приводит к явлениям сверхизлучения [8] и су-
суперлюминесценции [9]. Вновь отсылая читателя для подроб-
подробного рассмотрения этих явлений к оригинальным работам [8,
9], укажем здесь лишь на несколько относящихся к делу осо-
особенностей этих явлений: 1) существует вполне определенный
порог возникновения кооперативного эффекта; 2) длина актив-
активной среды / должна быть меньше некоторой характеристической
длины /f, значение которой зависит от начального уровня ин-
инверсии; 3) интенсивность излучаемого света не изменяется те-
теперь во времени по экспоненциальному закону; вместо этого
она имеет вид колоколообразной кривой, характерная длитель-
длительность которой при большом уровне начальной инверсии может
быть много меньше, чем тСПонт; 4) в случае стержневой формы
82 2. Взаимодействие излучения с веществом
активной среды свет будет излучаться в телесный угол, соответ-
соответствующий углу дифракции %d = \/D, где D — диаметр стержня;
5) пиковая мощность испускаемого излучения изменяется те-
теперь пропорционально {NVJ (где N — критическая инверсия, а
V = nD4z/A — критический объем), а не NV, как должно было
бы быть в случае нормального процесса спонтанного излучения.
Пять перечисленных выше свойств характерны как для су-
суперлюминесценции, так и для сверхизлучения. Различие между
этими двумя явлениями трудноуловимо и зависит от способа,
каким была получена исходная инверсия населенностей. Если
в момент времени t = О фазы ос-
осциллирующих дипольных момен-
ТОВ ВеКТОр М21 [СМ. B.33)] КЭЖ-
дого атома совпадают и если все
эти моменты имеют одно и то
же направление, то излучение,
развивающееся по достижении
пороговых условий, называется
сверхизлучением. В этом случае
в начальный момент времени
Время N / = 0 уже присутствует макро-
п оо. г , скопический «гигантский» ди-
Рис. 2.20. Сравнение временных »
зависимостей сверхизлучеиия, су- польный момент и напряжен-
перлюминесценции и обычной лю- ность поля, создаваемого В на-
минесценции. правлении излучения, в NV раз
превышает напряженность поля
отдельного диполя. Соответствующая пиковая мощность излу-
излучения в (NVJ раз больше мощности отдельного диполя и, сле-
следовательно, в NV раз больше полной излучаемой мощности
обычной люминесценции (когда суммируются не напряженности
поля испускаемого излучения, а его интенсивности). Поскольку
полная энергия излучения должна быть, очевидно, одной и той
же в обоих случаях, длительность сверхизлучения будет в NV
раз меньше длительности обычной люминесценции (рис. 2.20).
В случае суперлюминесценции фазы осциллирующих дипольных
моментов в момент времени ^ = 0 распределены случайным об-
образом. Поэтому первоначально отсутствует какой бы то ни было
макроскопический дипольный момент, и атомы начинают излу-
излучать независимо, как при нормальном процессе люминесценции.
Таким образом, исходная интенсивность люминесценции про-
пропорциональна NV. Однако после достижения пороговых условий
система начинает стремиться к состоянию, при котором излуче-
излучение отдельных частиц коррелировано между собой, причем кор-
корреляция вызывается спонтанным излучением. При этом система
достигает состояния, когда излучаемая мощность вдоль направ-
2.7. Релаксация многоатомной системы 83
ления распространения излучения вновь пропорциональна
(NVJ. Тем самым длительность суперлюминесценции опять в
NV раз меньше длительности обычной люминесценции
(рис. 2.20).
В заключение этого раздела укажем на то, что описанные
явления сверхизлучения и суперлюминесценции редко наблю-
наблюдаются на практике, поскольку соответствующих пороговых ус-
условий достичь трудно.
2.7.3. Усиленное спонтанное излучение
Явление суперлюминесценции нельзя путать с усиленным
спонтанным излучением (УСИ), которое часто встречается при
работе многих лазеров с высоким коэффициентом усиления, та-
таких, как азотных, эксимерных или лазерных усилителей, скажем
на красителе или на неодимовом стекле. Нсли в этих лазерах
инверсия населенностей достигает критического значения, то
в пределах телесного угла Q вокруг оси
активной среды наблюдается интенсив- i-. . -у
ное излучение, даже при отсутствии зер- д oh— |_g[
кал в резонаторе (или, может быть, ис- 1- ' А
пользуется только одно зеркало). Дей- а
ствительно, в этом случае так же, как и tf"! |—-=_=-fI==»~z3
при суперлюминесценции, изменение ин- 6 л=;
тенсивности излучаемого света во време- _, „ „,
ни имеет вид колоколообразной кривой угол излучеНия в слуЧае
с характерной длительностью, которая усиленного спонтанного
много меньше тСпонт- Однако УСИ обу- испускания, а —актив-
словлено совсем другим явлением. Чтобы на.я сРеда ие имеет во-
Л rj обще торцевого зерка-
в этом разобраться, рассмотрим актив- ла; б_^ктивная сркеда
ную среду цилиндрической формы. Пусть с одним торцевым зер-
Q — телесный угол, под которым виден калом.
один торец цилиндра из центра О дру-
другого торца (рис. 2.21,а). Если усиление активной среды доста-
достаточно велико, то мощность люминесценции, излучаемая ато-
атомами вблизи точки О в телесный угол п, может быть значи-
значительно усилена активной средой, а именно в 103 или даже
большее число раз. При этих условиях активная среда будет
излучать энергию преимущественно в телесный угол Q и благо-
благодаря симметрии, разумеется, также вдоль противоположного на-
направления. Из рис. 2.21, а видно, что Q дается выражением
B.149)
где D — диаметр, а / — длина активной среды. Заметим, что
если на одном конце активной среды находится зеркало с отра-
84 2. Взаимодействие излучения с веществом
жательной способностью 100% (рис. 2.21,6) то, очевидно, излу-
излучение распространяется лишь вдоль одного направления и те-
телесный угол излучения становится равным
Q' = nD2/16;2. B.149а)
Чтобы найти порог развития УСИ, необходимо вычислить
полную мощность спонтанного излучения, например на правом
торце активной среды на рис. 2.21, а, создаваемого всеми ато-
атомами активной среды, которое затем подвергается дальнейшему
усилению при прохождении оставшейся части активной среды.
Поскольку это вычисление является несколько громоздким
[10], ограничимся тем, что приведем лишь конечный результат.
Мощность рассматриваемого излучения дается выражением
{
exp (or0JV20] '
где 0о — пиковое сечение перехода, A=nD2/4 — площадь по-
поперечного сечения активной среды, а Лг2 — инверсия населенно-
стей на этом переходе. Порог для УСИ определяется как усло-
условие, когда УСИ становится преобладающим механизмом исчез-
исчезновения имеющейся инверсии населенностей. Таким образом,
необходимо потребовать, чтобы величина Р/А была сравнима с
интенсивностью насыщения /s0 перехода на центральной часто-
частоте. Из соотношения B.146) получаем /s0 = /ivo/aOT и, таким об-
образом, можем записать
B.151)
Из выражений B.151) и B.150) с дальнейшим предположе-
предположением, что т « Хспонт (как в общем случае было бы применимо к
хорошему лазерному усилителю), видно, что для заметного эф-
эффекта УСИ критическая инверсия населенностей Nc должна
быть такой, чтобы выполнялось следующее равенство:
4 [<TOJVC/ exp (o0JVc011/2 __ ^ B 152)
[exp(or0JVcO-l]3'2
Если предположить, что критическое усиление за один проход
G [где G = exp (o0NJ) ] удовлетворяет условию G>1, то
B.152) принимает простой вид:
[lnG]1/2/G = Q/4. B.153)
Если на одном конце среды находится зеркало с отражательной
способностью 100% (рис. 2.21,6), то конечное пороговое усло-
условие снова дается формулой B.153), в которой усиление за один
2.8. Вырожденные уровни 85
проход G заменено на G2 (на усиление за два прохода), а угол
Q заменен на Q,'. Таким образом, получаем
[In G2]1/2/G2 = Q'/4. B.153a)
Из приведенного выше рассмотрения эффекта УСИ стано-
становится очевидным, что порог для УСИ, строго говоря, не суще-
существует. Однако поскольку мощность Р УСИ быстро увеличи-
увеличивается с инверсией населенностей {приблизительно как
[exp{aoN2l)\/(aoN2l)\ см. B.150)}, то, когда пороговые условия,
определяемые выражениями B.153) и B.153а), превзойдены,
УСИ становится преобладающим механизмом релаксации для
активной среды. Поэтому отсутствие истинного порога — это
особенность, которая отличает УСИ от суперлюминесценции.
Другой отличительной особенностью является то, что если для
суперлюминесценции длина активной среды должна быть мень-
меньше критической кооперативной длины 1С, то для УСИ такого
ограничения не существует. Еще одна характерная особенность
УСИ состоит в том, что телесный угол в этом случае устанав-
устанавливается из геометрических соображений и, как правило, он
много больше, чем для суперлюминесценции, для которой этот
угол определяется дифракцией. Наконец, заметим, что преиму-
преимуществом УСИ является то, что его можно использовать для по-
получения достаточно хорошо направленного излучения в некото-
некоторых лазерах (генераторах) с высоким усилением (например, в
азотных, или эксимерных лазерах), и в то же время УСИ мо-
может вызывать нежелательный эффект в лазерных усилителях
с высоким усилением (например, в эксимерных лазерах, лазе-
лазерах на красителях или на неодимовом стекле), поскольку оно
снимает имеющуюся инверсию населенностей.
2.8. Вырожденные уровни
До сих пор мы рассматривали лишь простейший случай,
когда оба уровня 1 и 2 являются невырожденными. Разберем
теперь кратко часто встречающуюся на практике ситуацию,
когда уровни вырождены. Такой случай схематически изобра-
изображен на рис. 2.22, причем предполагается, что уровень 1 имеет
кратность вырождения g\, а уровень 2 — кратность вырождения
g2. Обозначим через N\ полную населенность всех подуровней
вырожденного нижнего уровня, а через N2— то же, но относя-
относящееся к верхнему уровню. Будем использовать N21 и N\i для
обозначения населенности любого конкретного подуровня, отно-
относящегося соответственно к верхнему и нижнему уровню.
В качестве простейшего можно рассмотреть случай, когда
уровни находятся в термодинамическом равновесии. При этом
86
2. Взаимодействие излучения с веществом
населенность каждого подуровня обоих верхнего и нижнего
уровней должна подчиняться обычному распределению Больц-
мана. Таким образом,
Ne2i =
Ei)/kT].
B.154)
Однако, поскольку подуровни, например уровня 1, также нахо-
находятся в термодинамическом равновесии, все их населенности
должны быть одинаковы, т. е.
Аналогично имеем
Ne2j = Ne2/gr B.1556)
?д При этом из B.154) и B.155) получаем
Рис. 2.22. Двухуровис- N2 = n
вая система со степеня- ,п < ес\
ми вырождения каждо- \?.1ОО)
го уровня gl и g2. Сравнивая B.156) с A.8), мы видим, что
последнее выражение справедливо не
только для невырожденных уровней, но и для вырожденных
уровней с одним и тем же вырождением (т. е. g\ = g2).
Посмотрим теперь, как необходимо изменить выражения для
сечения перехода, усиления и коэффициента поглощения в слу-
случае вырожденных уровней. Для этой цели рассмотрим электро-
электромагнитную волну, проходящую сквозь среду с данными насе-
ленностями обоих уровней, и поставим вопрос о том, как нужно
изменить уравнения B.131а) и B.1316). Очевидно, что уравне-
уравнение B.131а) по-прежнему справедливо. Скорость изменения
полной населенности N2 верхнего уровня теперь должна учи-
учитывать все возможные переходы между уровнями i и /. Таким
образом, мы имеем
--ЕЕ (
^ Ь B.157)
Однако если между подуровнями существует быстрая релак-
релаксация, все верхние подуровни будут снова заселены одинаково
и то же самое справедливо для нижних подуровней. Следова-
Следовательно,
N2i = N2/g2, B.158а)
Nu = NJgu B.1586)
2.8. Вырожденные уровни 87
Подставляя эти выражения в B.157), получаем
N2 = - W (N2/g2 - Ых/gx) - ЛУт, B.159)
где
?t t ?>/,. B.160)
B.161)
Изменение плотности потока фотонов dF при прохождении
пучком в среде расстояния dz (см. рис. 1.2) с помощью урав-
уравнения B.159) можно записать в виде
dF = W (N2jg2 - Ni/gx) dz. B.162)
При этом можно определить сечение вынужденного излучения
(Тг 1 и сечение поглощения Ст] 2 следующим образом [ср. с
B.82)]:
/(), B.163а)
)- B.1636)
Отсюда с очевидностью следует
B.164)
В случае когда (Ni/gi)>(N2/g2), выражение B.162) с по-
помощью B.1636) можно записать в виде хорошо известного со-
соотношения dF = —aF dz, если определить коэффициент погло-
поглощения а как
a = al2(Nl-N2gl/g2). B.165)
Аналогично, в случае когда {N2/g2) > (N\/g\), с учетом
B.163а) выражение B.162) принимает хорошо известную фор-
форму: dF = gFdz, где коэффициент усиления g определяется сле-
следующим образом:
B.166)
Теперь становится понятным, почему сечения Стг1 и ам опреде-
определяются выражениями соответственно B.163а) и B.1636).
Когда N\ > N2 (что обычно имеет место при измерениях по-
поглощения на оптических переходах), выражение B.165) при-
принимает простой вид: а = о\ qN\. И наоборот, когда W2 ^> N\
(как в случае четырехуровневого лазера), простой вид прини-
принимает выражение B.166), а именно g = G2\Ni.
88 2. Взаимодействие излучения с веществом
Представляет интерес и другой случай, когда верхний B)
или нижний A) уровень состоит из подуровней (самовырожде-
(самовырождение), различающихся по энергии, но релаксация между этими
подуровнями происходит мгновенно. В данном случае между
каждым из подуровней 1 и 2 будет возникать термализация и
вместо соотношений B.158) можно написать
N2l=z2lN2, B.167 а)
B.1676)
здесь z2,(zu)—доля полной населенности уровня 2 (уровня 1),
которую в соответствии со статистикой Больцмана имеет под-
подуровень j(i) (функция распределения по уровням). Если теперь
предположить, что вынужденный переход происходит с данного
подуровня (скажем, /) уровня 2 на определенный подуровень
(скажем, гп) уровня 1, то с помощью соотношений B.167а) и
B.1676) уравнение B.157) можно переписать в виде
™-W2XN2 + Wx2Nx--^. B.168)
2-=-W2XN2 + Wx2Nx-^.
Входящие в это уравнение эффективные вероятности вынужден-
вынужденного излучения W2 i и вынужденного поглощения W\ 2, а также
скорость спонтанной релаксации 1/т даются соответственно
выражениями
W W B.169а)
B.1696)
Заметим, что в соответствии с B.169а) и B.1696) эффектив-
эффективное сечение вынужденного излучения cr2 i и эффективное сече-
сечение поглощения cri 2 можно определить следующим образом:
o2l = z2[a, B.170а)
<T12 = zlmor; B.1706)
здесь сг = aim = Wtm/F — действительное сечение данного пе-
перехода.
2.9. Молекулярные системы
В этом разделе мы применим некоторые результаты и идеи
предыдущих разделов к частному случаю молекулярных сред,
поскольку последние играют очень важную роль в области ла-
лазеров. Ограничимся вновь описанием лишь основных свойств
сложных явлений, которые при этом происходят. Однако наше
2.9. Молекулярные системы 89
рассмотрение в действительности является основой для более
глубокого понимания лазерной физики таких систем, как мо-
молекулярные газовые лазеры или лазеры на красителях. С целью
более глубокого изучения данного предмета читатель может
обратиться к специальной литературе 117].
2.9.1. Энергетические уровни молекул
В общем случае полная энергия молекулы представляет
собой сумму следующих четырех вкладов: 1) электронной
энергии Ее, обусловленной движением электронов вокруг ядер;
2) колебательной энергии Ev, связанной с движением (колеба-
(колебаниями) ядер; 3) вращательной энергии Е,, обусловленной вра-
вращением молекулы, и 4) энергии поступательного движения. По-
Последнюю мы исключим из нашего рассмотрения, поскольку она,
как правило, не квантуется. Остальные же вклады в энергию
квантуются. Прежде чем перейти к подробному обсуждению,
поучительно из простых соображений оценить по порядку вели-
величины разность энергий между электронным (А?е), колебатель-
колебательным (Д?») и вращательным (Д?г) уровнями. Порядок величи-
величины Д?е дается выражением
B.171)
где m — масса электрона, о — размер молекулы и h = h/2n.
Действительно, неопределенность положения внешнего электро-
электрона молекулы составляет величину порядка а, неопределенность
его импульса — h/a и, следовательно, минимальная кинетиче-
кинетическая энергия равна h2/ma2. В двухатомной молекуле разность
энергий между двумя колебательными уровнями Д?о прибли-
приближенно записывается в виде
Д?о = fico0 <fi (K<JMI'2, B.172)
где М — масса атома, а Ко— упругая постоянная для притя-
притяжения двух атомов. Мы считаем, что изменение расстояния
между атомами на величину, равную размеру молекулы а,
должно привести к изменению энергии, равному примерно
Д?е, поскольку такое изменение расстояния между атомами
вызвало бы значительное изменение электронных волновых
функций. Следовательно, можно положить Ко ^ &Ее/а2. При
этом из выражений B.171) и B.172) получаем
и2ЬЕе. B.173)
Вращательная энергия по порядку величины равна h2J(J +
+ 1)/2Ма2, где / — целое положительное число (вращательное
квантовое число). Таким образом, разность вращательных
90 2. Взаимодействие излучения с веществом
энергий АЕГ между уровнями / = 0 и / = 1 дается выражением
А?- B174)
где мы использовали формулы B.171) и B.173). Так как отно-
отношение пг/М ж 10~4, отсюда следует, что расстояние между вра-
вращательными уровнями составляет около одной сотой расстоя-
расстояния между колебательными уровнями. В свою очередь разность
энергий между колебательными уровнями составляет около
одной сотой величины Д?е. Действительные диапазоны частот
переходов, в согласии с вышеприведенными рассуждениями,
оказываются для электронных (AEe/h), колебательных (AEv/h)
и вращательных {AEr/h) переходов приблизительно равными
соответственно B5—50) -103 см-1, 500—3000 см-1 и 1—20 см-1.
После этих предварительных рассуждений перейдем теперь
к более детальному рассмотрению простейшего случая, а имен-
именно молекулы, состоящей из двух одинаковых атомов. Следуя
приближению Борна — Оппенгеймера, рассмотрим вначале два
атома, находящихся на расстоянии R друг от друга. Решая
уравнение Шрёдингера для этого случая, можно затем найти
зависимость энергетических уровней от расстояния между ато-
атомами в молекуле. Даже и не решая уравнение (которое обычно
является очень сложным), нетрудно понять, что зависимость
энергии от R должна иметь вид кривой, изображенной на
рис. 2.23, где в качестве примера показаны основной уровень 1
и первое возбужденное состояние 2. Очевидно, что если рас-
расстояние между атомами очень большое (/?-»¦ оо), то энергети-
энергетические уровни будут такими же, как и у изолированного атома.
Если расстояние R между атомами конечно, то вследствие их
взаимодействия энергетические уровни будут смещаться. По-
Поскольку производная от энергии по R представляет собой силу,
с которой атомы действуют друг на друга, можно показать, что
вначале на больших расстояниях эта сила является силой при-
притяжения, а затем на малых расстояниях она становится оттал-
отталкивающей. Сила равна нулю, когда расположение атомов соот-
соответствует минимуму (например, Ro) каждой кривой. Следова-
Следовательно, это и есть то расстояние между атомами, которое они
стремятся занять (при отсутствии колебаний). Заметим, что
кривая зависимости энергии от R для возбужденного состояния
сдвинута вправо относительно кривой, соответствующей основ-
основному состоянию. Это указывает на то, что среднее межатомное
расстояние в возбужденной молекуле больше, чем в молекуле,
находящейся в основном состоянии.
До сих пор мы рассматривали случай, когда атомы удержи-
удерживаются на определенном расстоянии R друг от друга. Предпо-
2.9. Молекулярные системы
91
ложим теперь, что атомам, располагавшимся на расстоянии
R(R^R0) друг от друга, предоставили свободу. Тогда они
начнут колебаться около равновесного положения Ro. При этом
полная энергия будет равна сумме рассмотренной выше энер-
энергии и колебательной энергии. Последнюю можно вычислить,
если заметить, что кривые на рис. 2.23 представляют также (с
точностью до произвольного постоянного слагаемого) измене-
изменение потенциальной энергии двухатомной системы в зависимости
Рис. 2.23. Энергетиче-
Энергетические уровни двухатом-
двухатомной молекулы.
от расстояния R. При малых амплитудах колебаний вблизи по-
положения Ro кривая 1 может быть аппроксимирована парабо-
параболой, которая означает, что возвращающая сила между двумя
атомами является упругой, т. е. она пропорциональна смеще-
смещению от положения равновесия. В этом случае задача имеет
хорошо известные решения (гармонический осциллятор).Таким
образом, получаем эквидистантно расположенные энергетиче-
энергетические уровни с расстоянием между ними /iv0, определяемым вы-
выражением B.172), в котором упругая постоянная Ко равна кри-
кривизне параболы. Следовательно, если учитываются колебания
атомов относительно их положений равновесия, то, как видно
из рис. 2.23, энергетические состояния (для каждого из двух
электронных состояний) определяются уровнями 0, 1, 2
Заметим, что уровень v = 0 не совпадает с минимумом кривой
92
2. Взаимодействие излучения с веществом
энергии, поскольку нулевая энергия гармонического осцилля-
осциллятора, что хорошо известно, равна конечной величине /jvo/2. Энер-
Энергия системы теперь уже не описывается кривыми 1 и 2, по-
поскольку положения атомов не являются фиксированными. По-
Поэтому вместо зависимостей, приведенных на рис. 2.23, иногда
используют более простое представление в виде, показанном на
рис. 2.24.
Однако энергетические кривые на рис. 2.23 в действительно-
действительности имеют более глубокий смысл, чем на рис. 2.24. Предположим,
например, что молекула на-
3 """" ходится на колебательном
ш_т^тшт_шшш^^ятяш—ш подуровне v" = 3 основного
2 mmmmmmmmmmm"^^ уровня 1. Из рис. 2.23 не-
^^^^^^^ трудно видеть, что расстоя-
"""l™llll—" ние R между ядрами ато-
яшшшттяттш^ мов молекулы колеблется
между значениями, соответ-
соответствующими точкам Р и Р',
ммм. показанным на рисунке. На-
Наконец, следует заметить, что
ш—>^—__ при больших амплитудах ко-
колебаний около положения
—¦—¦—«¦ равновесия Ro изменение
потенциальной энергии нель-
¦—¦"¦-«•¦•" зя аппроксимировать пара-
1
1
Рис. 2.24. Колебательные уровни, при-
принадлежащие двум различным электрон-
электронным состояниям. Заметим, что рисунок
неверно отражает масштаб, поскольку
расстояние между электронными уров-
уровнями обычно приблизительно в 102 раз
превышает расстояние между соседни-
ни колебательными уровнями.
болой. Следовательно, эти
более высокие колебатель-
колебательные уровни не являются эк-
эквидистантными. Заметим
также, что для многоатом-
многоатомных молекул все еще оста-
остается справедливым пред-
представление, приведенное на
рис. 2.23, при условии, что R можно рассматривать как
некоторую координату, которая может описывать данную коле-
колебательную моду. Рассмотрим, например, молекулу SF6) имею-
имеющую октаэдрическую конфигурацию (рис. 2.25), в которой
атом серы располагается в центре октаэдра, а шесть ато-
атомов фтора находятся в ее углах. Если теперь выбрать симмет-
симметричную колебательную моду, показанную на том же рисунке
(мода Aig), то увидим, что за координату R может быть приня-
принято расстояние между атомом серы и каждым из атомов фтора.
В действительности такая молекула, как SF6 (рис. 2.25), обла-
обладает шестью независимыми, невырожденными колебательными
модами. Потенциальная энергия U общего состояния молекулы
1и
2и
Рис. 2.25. Нормальные моды колебаний октаэдрнческои молекулы (например, SF6). Атом серы занимает центр окта-
октаэдра, а шесть атомов фтора расположены по его вершинам. (Согласно Г. Герцбергу [20].)
94
2. Взаимодействие излучения с веществом
зависит от всех шести колебательных координат молекулы и
поэтому должна быть представлена в семимерном простран-
пространстве. Соответственно представление на рис. 2.23 можно теперь
рассматривать как часть этой семимерной функции, когда из-
изменяется лишь одна колебательная координата.
Приведенное выше рассмотрение не дает полного описания
молекулярной системы, поскольку мы пренебрегли тем обстоя-
обстоятельством, что молекула может
также вращаться. Согласно кван-
квантовой механике, вращательная
энергия также квантуется и в
случае линейного жестко закреп-
закрепленного волчка (например, же-
жестко закрепленная двухатомная
или линейная трехатомная моле-
молекула) может быть представлена
в виде
?г = В/(/+1), B.175)
3
2
Р- ветвь R
3
г
1
±±
- ветвь
-I
ходы, соответствующие
/?-ветви.
где вращательная постоянная
В = h2/8n2l, причем / — момент
инерции молекулы относительно
оси, перпендикулярной линии, со-
_0 единяющей ядра, и проходящей
J ~u u через центр масс. Таким образом,
Рис. 2.26. Вращательные уровни, общая энергия системы пред-
принадлежащие двум соседним ставляет собой сумму ЭЛектрОН-
колебательным состояниям моле- ft колрЙятрлкной и ипятпя
кулы. Стрелками указаны пере- нОЙ' КОЛеОательнОИ И враща
р. и тельной энергии. Соответственно
энергетические подуровни, ска-
скажем, колебательных уровней
v" = 0 и v' = 1 основного состояния, будут выглядеть так, как
показано на рис. 2.26. Заметим, что в отличие от (приблизи-
(приблизительно) эквидистантно расположенных колебательных уровней
расстояние между последовательными вращательными уровня-
уровнями не постоянно, а увеличивается линейно с ростом враща-
вращательного квантового числа /, т. е. Er(J)—Er(J—1)=2В/.
2.9.2. Заселенность уровней при тепловом равновесии
При термодинамическом равновесии населенность данного
вращательно-колебательного уровня, принадлежащего данному
электронному состоянию, можно записать в виде
N (Ее, Ev, Er) ~ gegvgr exp {-
Ev + E,)/kT]}, B.176)
2.9. Молекулярные системы
95
где Ее, ЕУ, Ег—соответственно электронная, колебательная и
вращательная энергии уровня, a ge, gv, gr — соответствующие
кратности вырождения уровней [см. соотношение B.156)]. Со-
Согласно оценкам, сделанным в предыдущем разделе, Ev/hc fa
« 1000 см, в то время как отношение Ee/hc превосходит эту
величину более чем на порядок. Поскольку kT/hc « 209 см-1
(Т = 300 К), энергии Ее и Ev значительно больше, чем kT. Та-
Таким образом, можно утверждать, что в состоянии термодинами-
термодинамического равновесия молекула находится на самом нижнем ко-
10
20
J
30
40
Рис. 2.27. Распределение населенности среди вращательных уровней данного
колебательного состояния.
лебательном уровне[) основного электронного состояния. Ве-
Вероятность заселенности данного вращательного состояния этого
нижнего колебательного уровня в соответствии с выражениями
B.175) и B.176) можно записать следующим образом:
р (/) ~ B/ + 1) ехР;[- BJ (J + 1)/Щ. B.177)
11 Хотя этот вывод обычно справедлив для двухатомных молекул, он,
вообще говоря, неприменим к многоатомным молекулам. В последнем слу-
случае (например, молекула SFe) расстояние между колебательными уровнями
часто значительно меньше, чем 1000 см-1 (вплоть до —100 см), и многие
колебательные уровни основного электронного состояния могут быть доста-
достаточно хорошо заселены при комнатной температуре.
96 2. Взаимодействие излучения с веществом
Множитель B/+1) перед экспонентой возникает вследствие
вырождения уровня, поскольку вращательный уровень с кван-
квантовым числом / имеет B/+ 1)-кратное вырождение. Рассмат-
Рассматривая в качестве примера В = 0,5 см~' и полагая кТ — 209 см-1
(комнатная температура), можно показать, что распределение
населенности между различными вращательными подуровнями
данного колебательного уровня (скажем, основного состояния)
соответствует рис. 2.27. Заметим, что благодаря наличию в вы-
выражении B.177) множителя B/ + 1) более всего заселен не
основной уровень G = 0), а тот, вращательное квантовое число
/ которого, как нетрудно показать из выражения B.177), удов-
удовлетворяет условию 2/ + 1 =BkT/BL'.
Основной вывод, который можно сделать из этого раздела,
состоит в том, что для простых молекул при комнатной темпе-
температуре энергия распределена между многими вращательными
подуровнями основного колебательного уровня.
2.9.3. Излучательные и безызлучательные переходы
В соответствии с вышеизложенным переходы между энер-
энергетическими уровнями можно разделить на три типа: 1) Пере-
Переходы между двумя вращательно-колебательными уровнями
различных электронных состояний, которые называются виб-
ронными переходами от сокращения английских слов vibratio-
nal (колебательный) и electronic (электронный). В целом все
они попадают в ближний УФ диапазон спектра. 2) Переходы
между двумя вращательно-колебательными уровнями одного
и того же электронного состояния (вращательно-колебательные
переходы)—в большинстве своем они попадают в ближний и
средний ИК диапазоны спектра. 3) Переходы между двумя
вращательными уровнями одного колебательного состояния
[например, состояния с квантовым колебательным числом
v = 0, основного электронного состояния (чисто вращательные
переходы)], которые приходятся на дальнюю ИК-область
спектра. В дальнейшем мы рассмотрим колебательные и вра-
вращательно-колебательные переходы, поскольку в наиболее ши-
широко применяемых молекулярных газовых лазерах генерация
осуществляется именно на этих двух типах переходов. Суще-
Существуют также лазеры, работающие на чисто вращательных пе-
переходах и при этом генерирующие в дальнем ИК диапазоне
спектра, но область их использования относительно ограничена
(спектроскопическими приложениями).
Рассмотрим сначала вибронные переходы (рис. 2.23). Преж-
Прежде всего сделаем замечание о том, что, если энергия фотона
больше АЕи то молекула диссоциирует вследствие поглощения
2.9. Молекулярные системы 97
фотона (это явление называется фотолизом). Если энергия
падающего фотона АЕ2 меньше, чем АЕь и имеет соответствую-
соответствующее значение, то произойдет вибронный переход, причем моле-
молекула перейдет с самого нижнего колебательного уровня основ-
основного электронного состояния [). Если предположить, что элект-
электронный переход происходит за время, много меньшее периода
колебаний, то мы придем к так называемому принципу Фран-
Франка — Кондона. Согласно этому принципу, в течение процесса
поглощения расстояние между ядрами не изменяется, поэтому
переход на рис. 2.23 является вертикальным. Таким образом,
если молекула первоначально находилась на уровне с v" = О
основного электронного состояния, то переходы будут происхо-
происходить преимущественно в заштрихованной области рис. 2.23.
Поскольку минимум кривой потенциальной энергии возбужден-
возбужденного состояния, как правило, смещен в сторону больших значе-
значений межъядерного расстояния R, два атома молекулы, после
того как произойдет поглощение, будут испытывать отталкива-
отталкивание и молекула, таким образом, окажется в возбужденном ко-
колебательном состоянии. Это колебание во многих случаях ре-
лаксирует безызлучательным путем, обычно через столкновения
с окружающими молекулами. В результате молекула скатывает-
скатывается на нижний колебательный уровень верхнего электронного со-
состояния 2). С этого уровня за счет спонтанного излучения (лю-
(люминесценции) молекула обычно релаксирует на один из коле-
колебательных уровней основного состояния. Поскольку принцип
Франка — Кондона остается справедливым, межъядерное рас-
расстояние не изменится за время перехода и на рис. 2.23 переход
будет вертикальным (например, переход C-^-D). Снова видим,
что молекула остается на возбужденном колебательном уровне,
на этот раз принадлежащем уже основному электронному со-
состоянию. Наконец, благодаря столкновениям молекула с боль-
большой скоростью возвращается на уровень с v" = 0 основного
электронного состояния (точнее, опять устанавливается термо-
термодинамическое равновесие в основном электронном состоянии).
Из рис. 2.23 теперь ясно, почему длина волны люминесценции
больше длины волны поглощения (это явление называется
" Когда населено большое число колебательных уровней основного
электронного состояния, переходы могут начинаться с любого из этих уров-
уровней. Полосы поглощения, связанные с переходом из состояния с v" > О,
называются «горячими».
2) Действительно, эта быстрая релаксация приводит к «термализации»
молекулы в верхнем электронном состоянии. Следовательно, вероятность за-
заселенности данного колебательного уровня этого состояния определяется вы-
выражением B.176). Поэтому в простых молекулах заселяется преимуществен-
преимущественно низший колебательный уровень.
4 О. Звелто
98 2. Взаимодействие излучения с веществом
законом Стокса). Заметим окончательно, что молекула, будучи
на нижнем колебательном уровне верхнего электронного состоя-
состояния (уровень С на рис. 2.23), может также совершить безы-
злучательную релаксацию на почти изоэнергетический коле-
колебательный уровень основного электронного состояния (прерыви-
(прерывистая линия на рис. 2.23). Этот вид безызлучательного перехода
называется внутренней конверсией и может наблюдаться в
крупных молекулах, т. е. в молекулах с большим числом ко-
колебательных мод. Действительно, в этом случае число мод
основного электронного состояния, находящихся близко от ре-
резонанса с уровнем С на рис. 2.23, может быть достаточно боль-
большим и может легко осуществиться передача энергии по меха-
механизму, соответствующему рис. 2.13.
В случае перехода между двумя колебательными уровнями
одного и того же электронного состояния (например, основ-
основного) квантовомеханические правила отбора требуют, чтобы
Аи = ±1, где До — изменение колебательного квантового числа.
Таким образом, если исходным состоянием является основное
с v" = 0, то переход может произойти только в состояние с
v" = 1. В случае же когда исходным является уровень
v" = 1, переход может произойти на уровень v" = 2 (поглоще-
(поглощение) или и" = 0 (вынужденное излучение) (см. рис. 2.24). За-
Заметим, что правило Ди = ±1 не является абсолютно строгим
для молекулы и могут также быть переходы с Ар =±2,
±3, ..., , хотя и со значительно меньшей вероятностью (обер-
тонные переходы).
До сих пор в нашем рассмотрении мы пренебрегали тем, что
в действительности каждому колебательному уровню соответст-
соответствует целый набор близко расположенных вращательных уров-
уровней. Если учесть это обстоятельство, то станет ясно, что погло-
поглощение происходит с переходом с вращательного уровня нижне-
нижнего колебательного состояния на некоторый вращательный
уровень верхнего колебательного состояния. Правила отбора для
двухатомных или линейных трехатомных молекул обычно тре-
требуют, чтобы А/ = ± 1 (А/ = /" — /', где /" и /' — вращательные
квантовые числа нижнего и верхнего колебательных состояний).
Например, в случае вращательно-колебательного перехода дан-
данный колебательный переход (скажем, переход и" = 0^>-и'=1
на рис. 2.24), который в отсутствие вращения давал бы только
одну линию на частоте v0, на самом деле состоит из двух групп
линий (рис. 2.28). Первая группа, имеющая более низкие ча-
частоты, называется Я-ветвью и соответствует переходу с А/= 1.
Частоты переходов в этой ветви меньше v0, так как вращатель-
вращательная энергия на верхнем уровне ниже, чем на нижнем (см.
рис. 2.26). Вторая группа с более высокими частотами называ-
2.9. Молекулярные системы
99
ется R-ветвъю и соответствует Д/ = — 1. Заметим, что с по-
помощью выражения B.175) нетрудно показать, что на рис. 2.28
линии расположены равномерно с расстоянием между ними,
равным 2B/h. Заметим также, что амплитуды линий не соответ-
соответствуют тем, которые получились бы в результате учета различ-
различной населенности вращательных уровней основного состояния
я-гетйь
Рис. 2.28. Переходы между двумя колебательными уровнями с учетом вра-
вращательной структуры. В отсутствие вращательной энергии этот переход дол-
должен был бы давать одну линию с центром в точке v0. На самом деле ои
состоит из двух групп линий: одной, называемой Р-ветвью и соответствую-
соответствующей переходам с изменением вращательного квантового числа на Д/ = +1,
и другой, называемой /?-ветвью, соответствующей изменению вращательного
квантового числа на Д/ = —1.
(см. рис. 2.27). И наконец, отметим, что для более сложных
молекул выполняется также правило отбора Д/ = 0. Когда это
правило имеет место, переходы со всех вращательных уровней
данного колебательного состояния дают одну линию с централь-
центральной частотой \'о (Q-ветвь).
2.9.4. Квантовомеханический расчет вероятностей
излучательного перехода
Чтобы придать нашим рассуждениям более количественный
характер, рассмотрим здесь кратко квантовомеханический
расчет вероятности перехода W. Упрощенное рассмотрение ис-
используется просто для того, чтобы показать, каким образом по-
получаются правила отбора. Вероятность перехода можно предста-
представить выражением B.39), при условии что нам известно значе-
значение величины колеблющегося дипольного момента |ц|. Прежде
чем вывести выражение для |ц|2, вспомним, что для ансамбля
отрицательных зарядов (электроны молекулы) величиной е
(с учетом знака) и положительных зарядов величиной eh (ядра
молекулы) классический электрический дипольный момент ра-
вен ц = ?,ег, + X/eftR/- Здесь гг и R/ определяют положения
соответственно электронов и ядер относительно некоторой точ-
точки отсчета, а суммирование производится по всем электронам и
100 2. Взаимодействие излучения с веществом
ядрам молекулы. Если за точку отсчета принять центр положи-
положительных зарядов, то X/?/R/ = 0h ц принимает вид
И=?ег,. B.178)
i
Для простоты будем теперь рассматривать двухатомную моле-
молекулу. В этом случае координаты ядер можно описать величиной
R межъядерного расстояния R и угловыми координатами 6 nf
радиус-вектора R относительно данной системы отсчета. Тогда
в соответствии с квантовой механикой колеблющийся диполь-
ный момент молекулы дается выражением [см. также B.33)]
M2, = 2 Re J oj)' (rt, R, rr) И>, (г,, R, rr) dr{ dR drr B.179)
где i^2 и oj)| — волновые функции соответственно конечного и на-
начального состояний перехода. Заметим, что как ipi, так и ч|э2
являются функциями координат всех электронов, межъядер-
межъядерного расстояния R и вращательных координат 1\ (сокращенная
запись для 6 и Ф), причем интегрирование производится по всем
этим координатам. В соответствии с приближением Борна —
Оппенгеймера молекулярные волновые функции -ф можно запи-
записать в виде
г|> (г,, R, t>) = ие (г„ R) uv (R) ur (rr) exp [- j (?/A) /], B.180)
где ие, Uv и «г- — соответственно электронная, колебательная и
вращательная волновые функции, а Е = Ее -\-Е«-\- Ег — полная
энергия данного состояния. Из B.179) и B.180) нетрудно пока-
показать, что М21 колеблется с частотой v21 = (E2 — Ei)/h с комп-
комплексной амплитудой ц2|, определяемой выражением [ср. с
B.28)]
lvdR){\u'2ru]rdrr), B.181)
где
»е (Я) = [ <2 (г,. Я) \шл (г., /?) dr.; B.182)
здесь ц — дипольный момент, определяемый выражением
B.178). Поскольку электронные волновые функции являются
медленноменяющимися функциями расстояния R, \ie(R) можно
разложить в степенной ряд в окрестности равновесного межъ-
межъядерного расстояния Ro'-
-iSr(/?-/?a>+ ... • B-183)
2.9. Молекулярные системы 101
В случае чисто вращательных переходов u.2e = uiP и u2v =
= u\v. При этом из B.182) видно, что дипольный момент
(R) равен
$ B.184)
и является постоянным электрическим дипольным моментом
цер молекулы. Из B.181), если положить це ~ Це(Яо) и учесть,
что \ u*2ouivdR = \ |ul0|2 d/?= 1, мы получаем следующее выра-
выражение для |ц|2= 1 м-2112» которое можно использовать в B.39):
Первый множитель в правой части этого выражения указывает
на то, что чисто вращательные переходы возможны только в мо-
молекулах, обладающих постоянным дипольным моментом цер-
Это нетрудно объяснить, поскольку в случае, скажем, спонтан-
спонтанного испускания излучение можно считать обусловленным вра-
вращением рассматриваемого дипольного момента. Для молекул с
постоянным дипольным моментом величина |ц|2 пропорцио-
пропорциональна при этом второму множителю, стоящему в правой части
выражения B.185). Из свойств симметрии вращательных волно-
волновых функций следует, что этот множитель отличен от нуля толь-
только тогда, когда изменение вращательного квантового числа А/
между двумя состояниями подчиняется правилу отбора А/=
= ±1.
В случае вращательно-колебательных переходов мы снова
имеем и.2е = и.\е и, следовательно, в первом приближении опять
можем записать \ie{R) » цД/?о) =Цер. Если цер подставить
в B.181), тоц2| сводится к выражению Гцер \ u'2vuiv dVj X
X (\ ulruirdrJ. которое за счет ортогональности колебатель-
колебательных волновых функций, принадлежащих одному и тому же элек-
электронному состоянию, равно нулю. Поэтому в разложении B.183)
необходимо учесть второй член, который после подстановки
в B.181) дает следующее выражение для |^|2:
1мЧж11К(*-*окН1К"^г'Г- BЛ86)
Третий сомножитель в этом выражении вновь дает правило от-
отбора А/ = ±1 для изменения .вращательного квантового числа.
Что касается второго сомножителя, то если кривую потенциаль-
потенциальной энергии U(R) аппроксимировать параболой (упругая сила),
то волновые функции uv будут представлять собой хорошо
102 2. Взаимодействие излучения с веществом
известные функции гармонического осциллятора, т. е. произведе-
произведение полиномов Эрмита и гауссовой функции. Учет свойств сим-
симметрии этих функций, приводит к тому, что In2i|2 оказывается
отличным от нуля лишь при Ди = ±1. Обертоны появляются
тогда, когда предположение о параболичности кривой потен-
потенциальной энергии оказывается неверным (энгармонизм потен-
потенциальной энергии) или когда учитывается следующий член бо-
более высокого порядка в разложении B.183) (электронный эн-
энгармонизм). Наконец, зэметим, что при определенных условиях
симметрии нулю может быть рэвен первый множитель в B,186).
Нэпример, это имеет место, когдэ двз атома являются тожде-
тождественными (скажем, в молекуле N2 одного изотопного состава).
Действительно, в данном случае вследствие симметрии моле-
молекула не может иметь дипольного момента \ie(R). При этом
в выражении B.186) |ц[2 всегда равно нулю, и переход назы-
называется неактивным в ИК-области.
В завершение изучим случай вибронных переходов. Если
в разложении B.183) рассматривать лишь первый член, то в со-
соответствии с B.181) мы имеем следующее выражение:
BЛ87)
Третий сомножитель в правой части этого выражения снова
приводит к правилу отбора Д/ = ±1. Если первый сомножитель
в B.187) равен нулю благодаря свойствам симметрии элект-
электронных волновых функций, то такой вибронный переход назы-
называется электродипольно запрещенным. Для разрешенного пере-
перехода величина 1ц|2, а следовательно, и вероятность перехода W
в данное колебательное состояние оказываются пропорциональ-
пропорциональными второму сомножителю в выражении B.187), известному
как множитель Франка — Кондона. Заметим, что в рассматри-
рассматриваемом случае этот множитель отличен от нуля, поскольку u2v
и «it, принадлежат различным электронным состояниям. Таким
образом, вероятность перехода W определяется степенью пере-
перекрытия волновых функций ядер. Рассмотрим случай, представ-
представленный на рис. 2.29, где колебательные уровни основного и воз-
возбужденного электронных состояний обозначены соответственно
символами v" и v', и предположим, что молекула первоначаль-
первоначально находится на основном колебательном уровне v" = 0. При
этом видно, что наибольшей является вероятность перехода в
возбужденное состояние с v' = 4, для которого мы имеем мак-
максимальное перекрытие между волновыми функциями ядер
ы0» и ы„'. Таким образом, принцип Франка — Кондона, который
мы ввели выше для качественного рассмотрения, представлен
теперь в более точной и количественной форме.
Задачи
103
Основываясь на проведенном выше анализе, можно сделать
следующие выводы относительно правил отбора, которые при-
применимы к излучательным переходам: 1) для чисто вращатель-
вращательных переходов и для молекул, обладающих постоянным ди-
польным моментом, вероятность перехода определяется прави-
правилом отбора Д/ = ±1 для
изменения вращательного
состояния (для более слож-
сложных молекул возможно так-
также Д/ = 0). 2) В случае ак-
активных в ИК-области вра-
щательно-колебательных пе-
переходов вероятность пере-
перехода определяется прави-
правилом отбора А/=±1 для
изменения вращательного
состояния (или также Д/ =
= 0) и Аи = гЫ для изме-
изменения колебательного со-
состояния (возможны также
обертонные переходы с
Аи = ±2, ±3, НО ОНИ ЗНЭЧИ- Рис 2.29. Потенциальная энергия U(R)
тельно более слабые). 3) и волновые функции u(R) ядер двух-
Для дипольно-разрешенных атомной молекулы,
вибронных переходов веро-
вероятность перехода в данное вращательно-колебательное состоя-
состояние определяется величиной множителя Франка — Кондона для
изменения колебательного состояния и правилом отбора А/ = ±1
(или также Д/ = 0) для изменения вращательного состояния.
Задачи
2.1. Для полости объемом V = 1 см3 определите число мод, имеющих длины
волн в пределах полосы шириной АХ =100 А с центром в точке X =
= 600 им.
2.2. Длина волны ?..«, соответствующая максимуму распределения на рис. 2.3,
удовлетворяет соотношению ХМТ = 2,9-10~3 м-К. (закон смещения Вина).
Вычислите Хм при Т = 6000 К. Какой цвет соответствует этой длине
волны?
2.3. Линия лазерного перехода Ri рубина хорошо описывается лореицевой
кривой, причем ее ширина на уровне 0,5 от максимального значения равна
330 ГГц (см. рис. 2.9). Измеренное значение сечения перехода в максимуме
линии равно 0 = 2,5-1О-20 см2. Вычислите излучателыюе время жизни (по-
(показатель преломления п = 1,76). Чему равен квантовый выход люминесцен-
люминесценции, если при комнатной температуре наблюдаемое время жизни равно
3 мс?
104 2. Взаимодействие излучения с веществом
2.4. Во многих случаях типичной активной средой лазера является Nd : YAG,
представляющий собой кристалл УзАиО^иттрий-алюминиевый гранат,
YAG), в котором часть ионов Y3+ замещена ионами Nd3+. Обычно концентра-
концентрация ионов Nd3+ составляет 1 ат. %, т. е. 1 % ионов Y3+ замещен ионами
Nd3+. Плотность кристалла YAG равна 4,56 г/см3. Определите концентрацию
ионов Nd3+, находящихся на основном уровне D/9/г). В действительности
этот уровень состоит из пяти (дважды вырожденных) уровней, из которых
четыре верхних отстоят от нижнего на 134, 197, 311 и 848 см~' соответ-
соответственно. Вычислите концентрацию ионов Nd3+, находящихся на самом низ-
низком уровне состояния Чцг-
2.5. Лазерный переход в Nd : YAG хорошо описывается лореицевой кривой
с шириной порядка 195 ГГц (определяемой иа уровне 0,5 от максимального
значения) при комнатной температуре (см. рис. 2.9). Время жизии верхнего
лазерного уровня т = 230 мкс, квантовый выход люминесценции лазерного
перехода составляет около 0,42, а показатель преломления YAG равен 1,82.
Вычислите сечение перехода в максимуме линии.
2.6. В лазерном переходе иеона иа длине волны К = 1,15 мкм преобладает
доплеровское уширеиие с шириной Avo = 91O8 Гц. Время жизии верхнего
уровня ~ 10~7 с. Вычислите максимальное значение сечеиия перехода, если
время жизни лазерного перехода равно полному времени жизни верхнего
состояния,
2.7. Квантовый выход перехода Si->-So (см. рис. 6.29) в красителе родамин
6G равен 0,87, а соответствующее время жизни ~5 не. Вычислите спонтан-
спонтанное Тслонт и безызлучательное Тбезыэл времена жизни уровня Si.
2.8. Вычислите доплеровскую ширину линии перехода с К = 10,6 мкм (Т =
= 400 К) молекулы СОг. Поскольку в СОг-лазере столкиовительное ушире-
уширеиие этого лазерного перехода составляет около 5 МГц/(мм рт. ст.), найдите,
при каком давлении углекислого газа оба механизма дадут одинаковые
вклады в ширину линии.
2.9. Вычислите однородную ширину линии перехода с X — 0,633 мкм в нео-
неоне, если известно, что AvecT = 20 МГц, а ДгСТОлкн = 0,64 МГц [см. выраже-
выражение B.66)]. Какую форму имеет результирующая линия?
2.10. Верхний уровень лазера иа Nd:YAG в действительности состоит из
двух сильно связанных подуровней, отстоящих друг от друга иа Д? =
= 88 см~' (см. рис. 6.2). Генерация происходит на переходе с подуровня /?2
верхнего уровня иа подуровень нижнего ('/ц/г) лазерного уровня. Сечение
данного перехода равно а = 8,8' 10-'* см2. Найдите эффективное сечение
усиления лазерного излучения.
2.11. Цилиндрический стержень из Nd: YAG диаметром 6,3 мм и длиной
7,5 см накачивается мощной импульсной лампой. Значение сечения лазерного
перехода в максимуме линии с длиной волны 1,06 мкм равно а =
= 3,5'Ю-19 см2, а показатель преломления равен п= 1,82. Найдите крити-
критическую инверсию населенностей, соответствующую началу процесса усиления
спонтанного излучения (УСИ) (предполагается, что иа оба торца лазерного
стержня нанесены идеальные просветляющие покрытия, т. е. они не отра-
отражают свет). Кроме того, вычислите максимальное количество энергии, кото-
которая может быть запасена в этом стержне, если необходимо избежать воз-
возникновения процесса УСИ.
2.12. Для модуляции добротности и синхронизации мод (см. гл. 5) рубино-
рубинового лазера часто применяют раствор криптоцианина (иоднд 1,1'-диэтил-
4,4'-карбоцианина) в метиловом спирте. Сечение поглощения криптоциаиина
иа длине волны излучения рубинового лазера (X = 0,6943 мкм) равно
Задачи 105
8,1-К)-16 см2. Время жизни верхнего уровня т = 22-10-'2 с. Определите
интенсивность насыщения для этой длины волиы.
2.13. Лазер иа Nd:YAG (X==l,06 мкм) действует по четырехуровневой
схеме. Сечение перехода в максимуме линии составляет сгр = 3,5-10~19 см2,
а время жизни Т = 0,23 мс. Вычислите интенсивность насыщения уси-
усиления.
2.14. В молекуле СО2, находящейся в тепловом равновесии (Г = 400 К), мак-
максимум населенности на уровне @, 0, 1) (см. рис. 6.14) соответствует враща-
вращательному подуровню с квантовым числом /' = 21. Найдите для уровня
@, 0, 1) молекулы СО2 вращательную постоянную В.
2.15. Пользуясь результатами предыдущей задачи, определите разность ча-
частот между вращательными линиями (рис. 2.28) лазерного перехода моле-
молекулы СОг с длиной волны X = 10,6 мкм (считайте, что вращательная по-
постоянная одна и та же для верхнего и нижнего уровней и учтите, что
благодаря правилам отбора в молекуле СО2 вынужденное излучение испу-
испускается лишь с уровней с нечетными значениями квантового числа J).
2.16. При каком давлении должен находиться углекислый газ, чтобы все
вращательные линии слились в одну? Какова при этом давлении ширина
линии усиления?
2.17. Вместо величины pv можно также ввести спектральную плотность
энергии р\, определяемую таким образом, что р\ dX равна плотности энергии
электромагнитного излучения с длинами волн от X до X + dX. Найдите соот-
соотношение между рх, и pv.
2.18. Найдите максимум рх, в зависимости от X. Покажите, что длина вол-
волны Хм, соответствующая максимуму р\, удовлетворяет соотношению ХМТ =
= hcjky (закон смещения Вина), где у определяется из уравнения
5Г1—ехр(—у)] = у. Найдите приближенное значение и из этого уравнения
( 4965)
2.19. Найдите соотношение между интенсивностью / и соответствующей
плотностью энергии для плоской электромагнитной волны, сравните с выра-
выражением B.21) и объясните различия.
2.20. Вместо того чтобы наблюдать насыщение по схеме рис. 2.15, можно
проделать то же самое, пользуясь лишь одним пучком света /(v) и измеряя
коэффициент поглощения для этого пучка. Покажите, что в этом случае
для однородно уширенной линии коэффициент поглощения определяется
следующим образом:
здесь <хо @) — коэффициент поглощения слабого сигнала (/</so) на ча-
частоте v = vo, a /so — интенсивность насыщения, определяемая формулой
B.140), на частоте v = v0. Указание: вначале покажите, что
а= о0@) 1
1+4ji2(v-v0Jt
2t2 1+//
а0 @)
1 + 4я2 (V - vof тс2 1 + (///J {!/[!+ 4я2 (v - v0J т2]} '
2.21. Используя выражение, полученное в предыдущей задаче, найдите за-
зависимость коэффициента поглощения в максимуме линии и ширины линии
106 2. Взаимодействие излучения с веществом
поглощения от интенсивности /. Как можно измерить интенсивность насы-
насыщения /so?
2.22. Покажите, что для неоднородно уширенной линии, форма которой опи-
описывается функцией g, коэффициент поглощения при насыщении, измеряемый
по схеме рис. 2.15, можно записать в виде
v i ~»c> s* (v/; - Vo) dv"
где вклад от однородно уширенной линии описывается лоренцевым кон-
контуром. [Указание: начните с вычисления элементарного вклада в поглоще-
поглощение da, обусловленного той частью g*(y"—vd)dv" атомов, резонансные
частоты которых лежат между у" и v" + rfv".]
2.23. Считая, что однородная ширина линии много меньше неоднородной и
что / < /so, покажите, что выражение для а, полученное в предыдущей
задаче, можно приближенно записать в виде
X
/i-2t -L
Учитывая, что входящий в данное выражение интеграл представляет собой
свертку двух лоренцевых линий, определите ширину провала, показанного
на рис. 2.19.
2.24. На коротких длинах волн (ВУФ, мягкий рентген) преобладающим ме-
механизмом уширения является естественное уширение. Используя формулу
B.116), покажите, что сечение в максимуме линии равно сго = Ло/2я.
Литература
1. Reif R., Fundamentals of Statistical and Thermal Physics, McGraw-Hill,
New York, 1965, ch. 9,
2. Pantell R. H., Puthoff H. ?., Fundamentals of Quantum Electronics, Wiley,
New York, 1969, ch. 2., sees 2.1—2.3. [Имеется перевод: Пантел Р., Пут-
хоф Г. Основы квантовой электроники. — М.: Мир, 1972.]
3. Messiah А„ Quantum Mechanics, North-Holland, Amsterdam, 1961, v. I.,
pp. 112, 113. [Имеется перевод: Мессиа А. Квантовая механика. Том. 1.—
M.: Наука, 1978.]
4. Stratton J. A., Electromagnetic Theory, McGraw-Hill, New York, 1941,
pp. 431—438. [Имеется перевод: Стрэттон Дж. Теория электромагнетиз-
электромагнетизма. — М. — Л.: Гостехиздат, 1964.]
5. Pantell R. H., Puthoff H. ?., Fundamentals of Quantum Electronics, Wiley,
New York, 1969, ch. 6. [Имеется перевод: Пантел Р., Путхоф Г. Основы
квантовой электроники. — М.: Мир, 1972]
6. Loulsell W., Radiation and Noise ni Quantum Electronics, McGraw-Hill,
New York, 1964, ch. 4. [Имеется перевод: Люиселл У. Излучение и шумы
в квантовой электронике. — М.: Наука, 1972]
7. Holstein Т., Phys. Rev, 72, 1212 A947).
Литература 107
8. Dicke R. H., Phys. Rev., 93, 99 A954).
9. Bonifacio R-, Lugiato L, Phys. Rev., All, 1507 A975).
10. Linford G. J. et al., Appl. Opt., 13, 379 A974).
11. Radiationless Transitions (ed. F. J. Fong), Springer-Verlag, Berlin, 1976.
12. Louisell W., Radiation and Noise in Quantum Electronics, McGraw-Hill,
New York, 1964, ch. 5. [Имеется перевод: Люиселл У. Излучение и шумы
в квантовой электронике. — М.: Наука, 1972.]
13. Heitler W., The Quantum Theory of Radiation, 4th edn., Oxford University
Press, London, 1953, pp. 181—189. [Имеется перевод 3-го изд.: Гайтлер В.
Квантовая теория излучения. — М.: ИЛ, 1956.]
14. Kuhn Н. С, Atomic Spectra, 2nd edn., Longmans, Green, London, 1969,
ch. VII.
15. Shawlow A. L. — In: Advances in Quantum Electronics (ed. J. R. Singer),
Columbia University Press, New York, 1961, pp. 50—62.
16. Siegman A. E., An Introduction to Lasers and Masers, McGraw-Hill, New
York, 1971, p. 362.
17. Thome A. P., Spectrophysics, Chapman and Hall, London, 1974, sec. 2.14—
2.19.
18. Pantell R. H., Puthoff H. ?., Fundamentals of Quantum Electronics, Wiley,
New York, 1969, pp. 40—41, 60, 62, and Appendix 4. [Имеется перевод:
Пантел П., Путхоф Г. Основы квантовой электроники. — М.: Мир, 1972.]
19. Berks J. В., Photophysics of Aromatic Molecules, Wiley-Interscience, New
York, 1970, sec. 11.9.
20. Herzberg G., Molecular Spectra and Molecular Structure: Infrared and
Raman Spectra of Polyatomic Molecules, Van Nostrand Company, Prince-
Princeton, New Jersey, 1968, p. 122, Fig. 51.
3
Процессы накачки
3.1. Введение
В гл. 1 мы показали, что процесс, который переводит атомы с
уровня 1 на уровень 3 (для трехуровневого лазера; см.
рис. 1.4, а) или с уровня 0 на уровень 3 (для четырехуровне-
четырехуровневого лазера; см. рис. 1.4,6), называется накачкой. Накачка осу-
осуществляется, как правило, одним из следующих двух способов:
оптическим или электрическим. При оптической накачке излу-
излучение мощного источника света поглощается активной средой и
таким образом переводит атомы активной среды на верхний
уровень. Этот способ особенно хорошо подходит для твердо-
твердотельных (например, для рубинового или неодимового) или жид-
жидкостных (например, на красителе) лазеров. Механизмы ушире-
ния линий в твердых телах и жидкостях приводят к очень зна-
значительному уширению спектральных линий, так что обычно мы
имеем дело не с накачкой уровней, а с накачкой полос погло-
поглощения. Следовательно, эти полосы поглощают заметную долю
(обычно широкополосного) света, излучаемого лампой накачки.
Электрическая накачка осуществляется посредством достаточно
интенсивного электрического разряда, и ее особенно хорошо
применять для газовых и полупроводниковых лазеров. В част-
частности, в газовых лазерах из-за того, что у них спектральная
ширина линий поглощения невелика, а лампы для накачки дают
широкополосное излучение, осуществить оптическую накачку
довольно трудно. Замечательным исключением, которое следует
отметить, является цезиевый лазер с оптической накачкой, ког-
когда пары Cs возбуждаются лампой, содержащей Не при низком
давлении. В данном случае условия для оптической накачки
вполне благоприятны, поскольку интенсивная линия излучения
Не с 1« 390 нм (достаточно узкая благодаря низкому давле-
давлению) совпадает с линиями поглощения Cs. Фактически этот ла-
лазер представляет интерес лишь в историческом плане, как одна
из первых предложенных лазерных схем. Кроме того, его реа-
реализация на практике является весьма сложной, поскольку пары
Cs, которые для обеспечения достаточного давления газа необ-
необходимо поддерживать при температуре 175 °С, представляют
собой весьма агрессивную среду. Оптическую накачку весьма
эффективно можно было бы использовать для полупроводнико-
3.1. Введение 109
вых лазеров. Дело в том, что у полупроводников имеется поло-
полоса сильного поглощения. Однако применение в данном случае
электрической накачки оказывается более удобным, поскольку
через полупроводник (обычно в форме р — п- или р— i — п-
диода) очень легко проходит электрический ток.
Два упомянутых выше процесса накачки (оптической и
электрической) не исчерпывают всех возможных методов на-
накачки лазеров. Например, необходимая инверсия может быть
создана также с помощью соответствующей химической реак-
реакции {химическая накачка). Необходимо упомянуть здесь два
достойных внимания вида химической накачки: 1) ассоциатив-
ассоциативная реакция, А + В->АВ*, ведущая к образованию молекулы
АВ в возбужденном колебательном состоянии, и 2) диссоциа-
диссоциативная реакция, АВ + hv -*¦ А -\- В*, ведущая к образованию ча-
частицы В (атома или молекулы) в возбужденном состоянии.
Другим способом накачки газовой молекулы, который мо-
может быть достаточно эффективным, является сверхзвуковое рас-
расширение газовой смеси, содержащей данную молекулу {газоди-
{газодинамическая накачка). Поскольку эта схема накачки требует
довольно долгого и подробного обсуждения, мы отложим ее
рассмотрение до гл. 6.
Чтобы закончить эти вводные замечания, следует упомянуть
о специальном виде оптической накачки, когда лазерный луч
используется для накачки другого лазера {лазерная накачка).
Свойства направленности лазерного пучка делают его очень
удобным для накачки другого лазера, причем здесь не требует-
требуется специальных осветителей, как в случае (некогерентной) оп-
оптической накачки. Такая накачка является довольно простой, и
в дальнейшем мы ее не будем рассматривать. Хотелось бы лишь
здесь отметить, что благодаря монохроматичности излучения ла-
лазера накачки ее применение не ограничивается лишь твердо-
твердотельными и жидкостными лазерами (как в случае некогерент-
некогерентной оптической накачки), но ее можно также использовать для
накачки газовых лазеров. В данном случае линия, излучаемая
накачивающим лазером, должна, разумеется, совпадать с ли-
линией поглощения накачиваемого лазера. Это применяется, на-
например, для накачки большинства газовых лазеров дальнего
ИК-Диапазона (скажем, таких лазеров, в которых используются
метиловый спирт СН3ОН в виде паров) с помощью излучения
соответствующей длины волны СОг-лазера.
Выше мы уже отмечали, что в данной главе мы рассмотрим
лишь оптическую и электрическую накачки. В каждом конкрет-
конкретном случае обсудим физические механизмы, лежащие в основе
изучаемого процесса, а также опишем в общих чертах схему
расчета скорости накачки Wp, определяемой выражением A.10).
по
3. Процессы накачки
3.2. Оптическая накачка [1,2]
В случае оптической накачки свет от мощной некогерентной
лампы с помощью соответствующей оптической системы пере-
передается активной среде. На рис. 3.1 представлены три наиболее
употребительные схемы накачки. Во всех трех случаях актив-
активная среда имеет вид цилиндрического стержня, как это обычно
встречается на практике. Его диаметр может быть от несколь-
нескольких миллиметров до нескольких сантиметров, а длина — от не-
нескольких сантиметров до нескольких десятков сантиметров. Ла-
Лазер, очевидно, может работать в импульсном или в непрерыв-
непрерывном режиме, в зависимости от того, является ли лампа накачки
импульсной (лампа-вспышка) или непрерывной. Изображенная
Лампа Стержень
(О®)
.Стержень
а 6 6
Рис. 3.1, Наиболее широко используемые системы оптической накачки.
на рис. 3.1, а лампа имеет форму спирали; при этом свет попа-
попадает в активную среду либо непосредственно, либо после отра-
отражения от зеркальной цилиндрической поверхности (указанной
на рисунке цифрой 1). Такая конфигурация использовалась при
создании первого рубинового лазера и до сих пор иногда при-
применяется для импульсных лазеров. На рис. 3.2, б лампа имеет
форму цилиндра (линейная лампа), радиус и длина которого
приблизительно те же, что и у активного стержня. Лампа раз-
размещается вдоль одной из фокальных осей F{ зеркально отра-
отражающего эллиптического цилиндра (отмеченного на рис. 3.1,6
цифрой 1), а лазерный стержень располагаются вдоль другой
фокальной оси /-"г- Хорошо известное свойство эллипса состоит
в том, что луч F\P, выходящий из первого фокуса F\, проходит
после отражения от эллиптической поверхности через второй
фокус F2 (луч PF2). Это означает, что большая часть света, из-
излучаемого лампой, благодаря отражению от эллиптического
цилиндра попадает в лазерный стержень. На рис. 3.1, в изобра-
изображен пример так называемой конфигурации с плотной упаков-
упаковкой. Лазерный стержень и линейная лампа располагаются как
3.2. Оптическая накачка
111
можно ближе друг к другу и плотно окружаются цилиндриче-
цилиндрическим отражателем (указан на рис. цифрой 1). Эффективность
конфигурации с плотной упаковкой обычно ненамного ниже,
чем в случае эллиптического цилиндра. Заметим, что часто вме-
вместо зеркально отражающих рефлекторов в схемах на рис. 3.1, а
и в применяют цилиндры, изготовленные из диффузно отражаю-
отражающих материалов (таких, как спрессованные порошки MgO или
BaSO4 или белая керамика). Заметим также, что применяются
и сложные типы осветителей, в конструкции которых использо-
использованы более чем один эллиптический цилиндр или несколько
ламп в конфигурации с
плотной упаковкой. На
рис. 3.2 представлены два
возможных примера та-
такой конфигурации. Осве-
Осветители с несколькими
лампами дают более низ-
низкий КПД, чем соответ-
соответствующие конфигурации
Стержень
Стержень
(оЪд)
лампы
Лампы
а
6
Рис. 3.2. Схемы накачки с двумя лампами.
а — двухэллипсная конфигурация; б — кон-
конфигурация с плотной упаковкой.
с одной лампой, показан-
показанные на рис. 3.1,6 и в. Тем
не менее их нередко при-
применяют в системах высо-
высокой мощности (или высо-
высокой энергии). В импульс-
импульсных лазерах используют
ксеноновые или криптоновые импульсные лампы при давле-
давлениях Хе или Кг от среднего до высокого значений D50—
1500 мм рт. ст.). Световой импульс в этом случае создается
разрядом через лампу электрической энергии, запасенной
в батарее конденсаторов (заряженной соответствующим источ-
источником питания; рис. 3.3.). В электрическом контуре для умень-
уменьшения времени нарастания тока часто используется последо-
последовательно включенная катушка индуктивности. Разряд может
возбуждаться при ионизации газа, заполняющего лампу, путем
подачи высоковольтного импульса поджига на вспомогательный
электрод вокруг лампы (параллельный поджиг; см. рис. 3.3,а).
В другом способе предварительная ионизация может быть соз-
создана с помощью высоковольтного импульса, приложенного не-
непосредственно к двум основным электродам лампы (последова-
(последовательный поджиг; см. рис. 3.3,6). Как только газ в лампе иони-
ионизован, происходит интенсивная вспышка света, длительность кото-
которой определяется емкостью и индуктивностью контура, а также
импедансом лампы (обычно длительность вспышки варьируется
от нескольких микросекунд до нескольких миллисекунд).
112
3. Процессы накачки
В непрерывных лазерах наиболее часто применяют крип-
криптоновые лампы высокого давления A—8 атм) или воль-
вольфрам-йодные лампы. Питание постоянным током осуществ-
Источник
питания
Лампа.
Импульс
поджига
Источник
Импутс
поджига
Рис. 3.3. Электрическое возбуждение импульсной лампы с использованием
внешней системы поджига (а) и системы с последовательным включением
поджига (б).
ляется от источника через подходящее балластное сопротивление
(рис. 3.4). В этом случае для создания необходимой начальной
степени ионизации к схеме должен быть подведен электриче-
электрический импульс поджига, как
правило, от последователь-
последовательно включенного поджигаю-
поджигающего устройства.
Для того чтобы лучше
почувствовать условия, ко-
которые имеют место на прак-
практике, приведем на рис. 3.5, а
два спектра излучения ксе-
ноновой импульсной лампы
накачки, работающей при
типичных плотностях тока,
а на рис. 3.5, б представим
Ястачнин (\
питания \)
Лсинпа
Рис. 3.4. Электрическое возбуждение
непрерывной лампы.
спектры поглощения ионов
Nd3+ в кристалле Y3Al5Oi2(Nd : YAG) и ионов Сг3+ в кристалле
ВеА12О4 (александрите). В обоих случаях это примесь, присут-
присутствующая в кристаллической матрице как трехвалентный ион,
который поглощает падающий свет и который играт роль актив-
активного элемента. Для сравнения приведем на рис. 3.6 спектр излуче-
3.2. Оптическая накачка
113
ния непрерывной криптоновой лампы с плотностью тока / =
= 80 А/см2 (типичная рабочая плотность тока криптоновой
лампы несколько выше, а именно / та 150 А/см2). Заметим, что
400
1000
Рис. 3.5. а — спектр испускания ксеионовой импульсной лампы при давлении
500 мм рт. ст.; б—сечеиие поглощения иоиа Nd3+ в кристалле YAG (сплош-
(сплошные кривые) и иоиа Сг3+ в александрите (штриховые кривые). На
рис. 3.5, б левая шкала относится к кристаллу Nd : YAG и правая — к алек-
александриту. В случае александрита выбрано среднее из трех измеренных зна-
значений для поляризаций вдоль главных оптических осей а, Ь и с.
в непрерывной лампе, в которой плотность тока существенно
ниже, излучение сконцентрировано в линиях криптона, сильно
уширенных вследствие высокого давления газа. В импульсной
лампе плотность тока значительно выше, поэтому в ее спектр
114
3. Процессы накачки
входит еще и широкая непрерывная компонента, обусловленная
рекомбинационным излучением (рекомбинация ионов и электро-
электронов), а также тормозным излучением электронов, которые рас-
рассеиваются ионами при столкновениях. Таким образом, считает-
считается, что непрерывная составляющая пропорциональна произве-
произведению NeNi, в то время как интенсивность линий излучения
пропорциональна Ne, где Ne и Ni— плотности соответственно
500
900
Рис. 3.6. Спектр испускания непрерывной дуговой криптоновой лампы (вну-
(внутренний диаметр 6 мм, длина дуги 50 мм, давление газа 4 атм, входная
мощность 1,3 кВт). (ILC Bulletin 3533).
электронов и ионов в разряде. Поскольку в нейтральном раз-
разряде Ne ~ Nt ~ /, то в первом приближении непрерывная ком-
компонента спектра пропорциональна Л, в то время как линейча-
линейчатый спектр пропорционален /. Из сравнения рис. 3.5, б с
рис. 3.5, а и 3.6 следует, что относительно широкие спектры
ионов как Nd3+, так и Сг3+ позволяют достаточно полно исполь-
использовать свет, испускаемый импульсной лампой, а также, как в
случае кристалла Nd3+: YAG, и свет от непрерывной лампы.
Заметим, что спектр поглощения редкоземельного элемента
вроде Nd меняется незначительно от матрицы к матрице, по-
поскольку при таком поглощении происходят электронные пере-
переходы между внутренними оболочками атома. Поэтому спектр
кристалла Nd3+ : YAG можно рассматривать как типичный при-
пример спектров других материалов, легированных неодимом, на-
например широко используемое стекло с неодимом (ионы Nd3+
в стеклянной матрице). В случае когда используются примес-
примесные ионы переходных металлов, такие, как ионы Сг3+, где
спектр определяется переходами внешних электронов, материал
матрицы оказывает большее влияние на спектр. Однако спектр
александрита похож на спектр рубина (Сг3+ в кристалле
3.2. Оптическая накачка 115
АЬОз) — материала, который с самого начала развития лазеров
играет важную роль и до сих пор широко используется. Заме-
Заметим также, что спектр поглощения другого материала, а именно
Сг ; Nd : GSGG (когда оба иона Nd3+ и Сг3+ присутствуют в ка-
качестве примеси в кристалле Gd3Sc2Ga3Oi2, причем Nd3+ играет
роль активного иона), который становится все популярнее, бо-
более или менее соответствует суперпозиции спектров кристаллов
Nd : YAG и александрита (скорректированных с учетом относи-
относительных концентраций обоих ионов в кристалле),
3.2.1. КПД накачки
Определим КПД накачки т]р непрерывного лазера как отно-
отношение минимальной мощности накачки Рт, необходимой для
создания определенной скорости накачки, к электрической мощ-
мощности накачки Р, фактически подведенной к лампе. Заметим,
что в соответствии с выражением A.10) минимальная мощность
накачки может быть записана в виде Рт = (dN2/dt)pVhvp =
= WpNgVhvp, где V — объем активной среды, vp — разность ча-
частот между основным и верхним лазерным уровнями. Действи-
Действительно, как мы покажем более подробно в разд. 3.2.3, распреде-
распределение скорости накачки по активному стержню во многих слу-
случаях является неоднородным. Поэтому более правильно опреде-
определять среднюю минимальную мощность накачки (Рт) =
= (Wp}NgVh\'p, где усреднение производится по объему актив-
активной среды. Таким образом, можно написать
nP = (Wp)NeVhvp/P; C.1)
здесь т]р — средний КПД накачки. Для импульсного лазера по
аналогии имеем
r]p = NeVhvp\j(Wp)dt/E, C.1а)
где интеграл по времени берется в пределах от начала до конца
импульса накачки, а Е — электрическая энергия, подведенная
к лампе.
Следует заметить, что процесс накачки лазера можно рас-
рассматривать состоящим из четырех различных этапов: 1) испу-
испускания излучения от лампы, 2) переноса этого излучения к ак-
активному стержню, 3) поглощения его в стержне и 4) передачи
поглощенной энергии верхнему лазерному уровню. Следова-
Следовательно, КПД накачки г\р можно записать в виде произведения
четырех членов, а именно
р,7. C.2)
116 3. Процессы накачки
где т]г — излучатсльная эффективность лампы, т. е. эффектив-
эффективность преобразования электрической энергии на входе в оптиче-
оптическое излучение на выходе в диапазоне длин волн, соответствую-
соответствующем полосам накачки лазерной среды (см., например,
рис. 3.5,6); т]( — эффективность передачи, которую можно оп-
определить как отношение мощности (или энергии) накачки, дей-
действительно поступающей в лазерный стержень, к мощности
(или энергии), излучаемой лампой в полезном диапазоне длин
волн накачки; г\а — эффективность поглощения, т. е. доля света,
попадающего в стержень, которая действительно поглощается
средой; r\pq — квантовый выход мощности (или энергии) накач-
накачки, т. е. доля поглощенной мощности (или энергии), которая
приводит к созданию инверсии населенностей на верхнем уровне.
В следующих разделах приводятся конкретные выражения для
четырех членов, входящих в C.2).
3.2.2. Излучательная эффективность
и эффективность передачи '>
Согласно определению г\г, данному в предыдущем разделе,
для непрерывной лампы можно написать следующее выра-
выражение:
^\hdX, C.3)
где R — радиус, а / — длина лампы, /х—ее спектральная интен-
интенсивность, Xi и %2—пределы диапазона полезного излучения, а
Р — электрическая мощность, подводимая к лампе. Для им-
импульсной лампы выражение C.3), очевидно, следует заменить
на следующее:
^\%sd%; C.3а)
здесь Е\ — спектральная плотность энергии, испускаемой лам-
лампой в единичную площадь поверхности. Подробный расчет, ос-
основанный на характеристиках излучения лампы, показал, что
для типичных импульсных ламп, используемых для накачки им-
импульсных лазеров на кристаллах Nd : YAG (в диапазоне 0,35—
0,9 мкм) и александрита (в диапазоне 0,35—0,7 мкм), г\г « 0,43
и 0,36 соответственно. В случае Nd: YAG-лазера при накачке
непрерывной криптоновой лампой (т. е. для излучения в диапа-
" Этот раздел можно было бы опустить для первого чтения.
3.2. Оптическая накачка
117
зоне 0,7—0,9 мкм) значение цг несколько меньше, чем предыду-
предыдущее (г|г л* 0,27). Следовательно, в обоих случаях более 50%
электрической мощности теряется либо в виде излучения, не по-
попадающего в полосы накачки, либо в виде теплоты, рассеянной
на электродах. Следует заметить, что в соответствии с C.3) /^
можно записать в виде
^ ^^ C-4)
где g\ — нормированная спектральная плотность интенсивности
(т. е. такая, что \ g^dX=\\. Выражение C.4) позволяет
1,0
0,9
0,8
0.1
S
0,6
0,5
А1
Напыленные плетя
Полированные
o,Z
0,3
0,4
0,5 0,6 0,7
X , Л7КЛ1
0,8
0,9
10
Рис. 3.7. Зависимость коэффициента отражения от длины волны для ме-
металлов, наиболее широко используемых для отражающих покрытии в освети-
осветителях лазеров. (Согласно работе [3].)
прокалибровать интенсивность 1Ъ если известны некалиброван-
ный спектр испускания и излучательная эффективность лампы.
Прежде чем проводить вычисления эффективности передачи,
уместно сделать несколько замечаний по поводу поглощения
как стенками осветителя, так и плазмой лампы. На рис. 3.7
представлены кривые коэффициента отражения зеркальных по-
поверхностей, которые наиболее часто применяются на практике.
Из рисунка мы видим, что напыленное серебро обеспечивает
наибольший коэффициент отражения (~0,98) во всем интере-
интересующем нас спектральном диапазоне. Для полированного или
118 3. Процессы накачки
нанесенного гальваническим способом серебра кривая коэффи-
коэффициента отражения располагается несколько ниже, чем рассмот-
рассмотренная здесь (коэффициент отражения составляет около 0,94).
Однако незащищенное серебро страдает от окисления, что пред-
представляет собой серьезную проблему; следовательно, отража-
отражательная способность серебра со временем падает, поэтому сереб-
серебро иногда используют вместе с защитным прозрачным покрыти-
покрытием, и то только в тех случаях, когда необходимо достигнуть
наибольшего КПД. Золотое покрытие обеспечивает практиче-
практически ту же отражательную способность, что и серебро, но на
длинах волн, превышающих примерно 0,65 мкм. Поскольку это
покрытие намного более устойчиво к воздействию посторонних
химических веществ, чем серебро, его применение, по-видимому,
разумно для непрерывного Nd : YAG-лазера, когда наибольшая
часть излучения лампы приходится на длины волн, большие
чем 0,7 мкм. Алюминий и медь из-за своей невысокой отража-
отражательной способности редко используются для покрытия освети-
осветителя. Наконец, следует заметить, что хороший белый рассеива-
тель (такой, как порошок BaSO4 или белая керамика) обеспе-
обеспечивает диффузную отражательную способность, которая почти
равна зеркальной отражательной способности серебра. Чтобы
получить некоторое представление о степени прозрачности плаз-
плазмы импульсной лампы для ее собственного излучения, на
рис. 3.8 представлено пропускание слоя ксеноновой плазмы тол-
толщиной 1 см для разных длин волн в зависимости от плотности
тока лампы. Видно, например, что в основных полосах накачки
ионов Nd3+ (X > 0,6 мкм) при типичных для импульсной лампы
плотностях тока B000—3000 А/см2) плазма почти непрозрачна
для собственного излучения. В действительности ослабление
излучения несколько меньше, чем показано на рис. 3.8, по-
поскольку диаметр лампы обычно меньше, чем 1 см (как прави-
правило, 5—6 мм). Тем не менее в дальнейшем рассмотрении будем
считать в первом приближении, что плазма типичной импульс-
импульсной лампы непрозрачна для собственного излучения. В случае
же непрерывной лампы плотности тока (--— 150 А/см2), как
правило, много меньше приведенных выше значений и, следова-
следовательно, плазма лампы в значительной степени прозрачна для
собственного излучения.
Сделав эти предварительные замечания, перейдем теперь к
расчету эффективности передачи г|<. Вначале рассмотрим слу-
случай эллиптической полости осветителя (рис. 3.9). В этом случае
г|( можно найти с помощью относительно простых геометриче-
геометрических соображений [5]. Рассмотрим произвольную точку Р на
поверхности осветителя, расположенную на расстоянии lR от
центра стержня и на расстоянии h от центра лампы. Пусть
3.2. Оптическая накачка
119
Длина волны
0,5 лит
0,6лггш
0,7 мкм
0,8 .
О 1000 2000 3000 WOO
Плотность тока, А/см2
Рис. 3.8. Спектральное пропускание ксеноновой плазмы в зависимости от
плотности тока. (Согласно работе [4].)
Лампа
Рис. 3.9. К вычислению эффективности передачи эллиптического осветителя.
а — угол между главной осью эллипса и радиус-вектором, со-
соединяющим центр лампы с точкой Р (рис. 3.9), а 8 — соответ-
соответствующий угол между этой осью и радиус-вектором, выходя-
выходящим из центра стержня. Все лучи, приходящие от лампы к точ-
точке Р, заключены в конусе РАВ (рис. 3.9). Вследствие равенства
углов падения и отражения эти лучи отображаются в конус
РА'В' вокруг стержня, где А'В' = ABlR/lL. Поскольку расстоя-
120 3. Процессы накачки
ние А'В' зависит от отношения Ir/Il, нетрудно заметить, что
часть эллиптического отражателя, расположенная ближе к лам-
лампе, формирует в месте расположения лазерного стержня увели-
увеличенное изображение лампы, в то время как часть отражателя,
расположенная ближе к стержню, формирует уменьшенное изо-
изображение лампы. Поэтому существует такая точка Ро, для ко-
которой расстояние А'В' равно диаметру стержня 2RR. Если а0 и
8о — соответствующие угловые координаты точки Ль то видно,
что при а < ао все лучи от лампы попадают внутрь стержня,
в то время как при а > ао доля таких лучей составляет
(Rk/R'l) = (RrIl)/(RlIr), где 2RL~AB и 2R'L = А'В'. Таким об-
образом, эффективность передачи для части осветителя, соответ-
соответствующей а < ао, дается следующим простым выражением:
\=т\ <*"=¦%- C-5)
о
а для а > а0 мы имеем
Однако поскольку hda = —lRdQ, выражение C.6) нетрудно
проинтегрировать, и из C.5) и C.6) мы получаем следующее
выражение для эффективности передачи Л* = Г1/, + Л^
Дальнейшее развитие теории можно продолжить, если предпо-
предположить, что лампа является абсолютно непрозрачной для соб-
собственного излучения. При этом лампа будет поглощать любой
свет, который после испускания лампой отражается эллиптиче-
эллиптическим зеркалом обратно к лампе. Следовательно, в этом случае
любые лучи, составляющие угол 8 < 8[ (угол 8i также указан
на рис. 3.9), не попадут на стержень. Таким образом, мы имеем
C.8)
Углы а0, во и 8[ можно теперь выразить через диаметры
стержня и лампы, а также через большую а и малую Ь полу-
полуоси эллипса. Конечный результат представлен графически на
рис. 3.10, на котором верхняя группа кривых относится к слу-
случаю, описываемому выражением C.7), а нижняя группа дает
величину 61/я. Чтобы получить эффективность передачи в соот-
3.2. Оптическая накачка
121
ветствии с выражением C.8), последнюю величину следует
умножить на RrIRl и затем вычесть из соответствующей орди-
ординаты верхней кривой. Для получения численной оценки рас-
рассмотрим эллиптическую полость с большой осью 1а = 34 мм и
малой осью 26 = 31,2 мм и предположим, что 2/?я = 6,3 мм,
a 2RL = 4 мм. При этом из рис. 3.10 получаем г|< «0,9 или
r\t ~ 0,8 в зависимости от того, прозрачна или непрозрачна
лампа для собственного излучения, т. е. в зависимости от того,
используется ли для вычислений выражение C.7) или C.8).
0,9 1,0
Рис. ЗЛО. Эффективность передачи эллиптического осветителя. Набор верх-
верхних кривых соответствует случаю, когда лампа прозрачна для собственного
излучения. Для непрозрачной лампы поправки к эффективностям передачи
получают с помощью нижнего набора кривых. (Согласно работе [5].)
Прежде чем закончить рассмотрение эллиптической полости,
необходимо сделать два замечания. Первое состоит в том, что
при записи формулы C.5) мы косвенным образом предположи-
предположили, что лампа излучает одинаково в любом направлении а.
Второе замечание связано с тем, что мы пренебрегли учетом
того обстоятельства, что коэффициент отражения осветителя
меньше единицы. Однако для серебряного покрытия (или зо-
золотого, как в случае непрерывного Nd : YAG-лазера) обуслов-
обусловленное этим уменьшение КПД является незначительным.
Вычислим теперь эффективность передачи для случаев на-
накачки, изображенных на рис. 3.1, а и в. В отличие от эллипти-
эллиптического зеркала ни в одном из этих случаев осветитель не
работает как концентрирующее свет зеркало, и поэтому здесь не-
необходимо рассмотреть другой метод расчета. Простейшую оцен-
оценку в данных случаях можно получить, если предположить, что
122 3. Процессы накачки
интенсивность света / в полости является изотропной [6]. По-
Поскольку все поверхности будут освещены светом одинаковой
интенсивности, поглощающая способность каждой поверхности
будет пропорциональна просто произведению площади 5 этой
поверхности на ее относительную поглощающую способность
т). При этом мощность излучения, поглощаемая стержнем, дает-
дается выражением
P JS C.9)
где г\а — поглощающая способность стержня, a SR — площадь
его боковой поверхности. Поскольку весь излученный свет дол-
должен быть в конечном счете поглощен, мощность света, излучае-
излучаемого лампой Pl, должна быть равна
PL = (r\aSR + %cSpc + ПА) /; C.10)
здесь r\pC — относительная поглощающая способность, a Spc —
площадь поверхности осветителя, и г|ь SL —соответствующие
величины для лампы. Поскольку отношение Ра и Pl равно про-
произведению г\а на г|/, то из C.9) и C.10) получаем
+ 4A- (ЗЛ1)
Заметим, что в этом случае r\t зависит от г|а, и поэтому, строго
говоря, коэффициент передачи нельзя рассматривать как не-
независимую величину. С целью получения численной оценки
предположим, что x\l ~ 1 (полностью непрозрачная лампа),
ЦРс = 0,04 и х\а я* 0,2 (это имеет место для стержня из
Nd: YAG; см. табл. 3.1). Спиральную лампу, изображенную
на рис. 3.1, а, можно аппроксимировать кольцевой лампой с ра-
радиусом кольца, равным Rl. В этом случае имеем Sl = 4nRd,
Spc «* 2nRJ hSs = 2nRRl, где / — длина осветителя. Тогда из
выражения C.11) получаем
ть - Rr/@,2Rr + 2,04#L). C.12)
Поскольку отношение Rr/Rl равно, как правило, 0,3 Ч- 0,8, зна-
значения г|/ обычно располагаются в интервале 0,1-f-0,4. Для
плотноупакованной конфигурации, такой, как на рис. 3.1,6 в
предположении, что Rl = Rr = R, мы имеем SL=SR = 2nRl
и SpC « Bя + 4)Rl. При этом из выражения C.11) получаем
r\t « 0,62.
В заключение этого раздела можно сказать, что примене-
применение эллиптической полости позволит получить наибольшую эф-
эффективность передачи (около 80 %), использование же плот-
плотноупакованной конфигурации дает лишь ненамного меньшую
эффективность, в то время как эффективность конфигурации со
3.2. Оптическая накачка
123
спиральной лампой во многих случаях оказывается существен-
существенно меньшей. Последняя конфигурация по-прежнему представ-
представляет интерес для высокоэнергетических лазеров, поскольку спи-
спиральные лампы могут выдерживать значительно более высокие
входные энергии.
3.2.3. Распределение света накачки"
Для того чтобы вычислить долю падающего света накачки,
поглощаемую активным стержнем, необходимо знать распре-
распределение этого света в активной среде. В данном разделе такое
распределение будет рассмотрено для нескольких характерных
случаев. Мы увидим, что оно во
многих случаях является неодно-
неоднородным.
В качестве первого примера рас-
рассмотрим стержень с полированной
боковой поверхностью. Предполо-
Предположим также, что стержень накачи-
накачивается либо спиральной импульсной
лампой (рис. 3.1,а), либо линей-
линейной лампой в плотноупакованной
конфигурации (рис. 3.1, б) или в
эллиптическом отражателе с ма-
малым эксцентриситетом, причем диа-
диаметр лампы превышает диаметр
стержня. Во всех трех этих случаях
можно считать, что свет падает на
стержень, скажем, в точке Р (рис.
Рис. 3.11. Концентрация лучей
^^ у
JjeHHa5I преломлением. Предпо-
лагается, что стержень радиу-
R фф
равным единице.
р р
3.11) под любым углом в пределах сом R с коэффициентом пре-
я рад, как показано на рисунке.
Кроме того, поскольку коэффи-
циент преломления стержня обычно
больше, чем коэффициент преломления окружающей среды,
свет накачки, попав в стержень, стремится концентрироваться
ближе к оси стержня. Это нетрудно понять, рассматривая
два крайних луча 2 и 3, которые падают под углом я/2
к нормали относительно поверхности. Попадая внутрь стержня,
эти лучи преломляются и становятся лучами 2' и 3', причем
угол 8 является углом преломления. Если среда, окружающая
стержень, представляет собой воздух, то sin 8 = 1/«. Следова-
Следовательно, все лучи, приходящие от лампы, будут преломляться в
пределах угла 28 между лучами 2' и 3'. Применяя такое же
') Этот раздел можно пропустить при первом чтении.
124
3. Процессы накачки
самое рассуждение ко всем точкам Р поверхности 5, мы при-
приходим к выводу о том, что внутренняя часть стержня (радиусом
Rfn) накачивается более сильно, чем его внешняя часть. Вы-
Вычисление плотности энергии накачки р в стержне существенно
упрощается, если 1) рассматривать свет, падающий на стер-
стержень только в плоскости, перпендикулярной его оси, и 2) пре-
пренебрегать ослаблением интенсивности этого света по мере его
распространения в стержне.
Тогда плотность энергии рп
й
',0
0,8
0.6-
0.4
о,г-
П
aR=O
aR=O/i'
аИ
¦—
¦
N
?ь
i;/v
\
\
X
\
/3 =
\
ч
¦^
1*
ч
=====
О.Р.
0,8
0.4 0,6
г/К
Рис. 3.12. Радиальная зависимость
плотности энергии накачки р„ для не-
нескольких значений коэффициента погло-
поглощения накачки а (накачка монохрома-
монохроматическим излучением). (Данные заим-
заимствованы из работы [8].)
в точке, расположенной вну-
внутри стержня на расстоянии
г от его оси, равна [7]
рп = п2р @ < r <R/n), C.13)
рп = Bп2/л)р arcsin (R/nr)
(R/n<r<R); C.14)
здесь р — значение, которое
плотность энергии имела бы
в той же самой точке стерж-
стержня, если показатель прелом-
преломления был бы равен еди-
единице. Эта плотность связа-
связана с интенсивностью излу-
излучаемого лампой света выра-
выражением B.21). Если упро-
упрощающих допущений 1) и 2)
не делать, то выражение
для рп оказывается значи-
значительно более сложным [8]
На рис. 3.12 приведены полученные расчетом кривые безразмер-
безразмерной величины
f(aR,r/R) = pn/n2p C.15)
для нескольких значений величины aR, где а — коэффициент
поглощения на длине волны накачки (предполагается, что на-
накачка представляет собой монохроматический свет). На этом
же рисунке приведена также штриховая кривая, построенная
в соответствии с выражениями C.13) и C.14). Следует обра-
обратить внимание на различие между штриховой кривой и сплош-
сплошной кривой, соответствующей aR = 0. Хотя обе кривые отно-
относятся к случаю, когда поглощение в стержне отсутствует,
сплошная кривая в отличие от штриховой учитывает то, что
свет может входить в стержень под любым углом. Заметим так-
также, что если aR ф 0, то благодаря ослаблению интенсивности
3.2. Оптическая накачка 125
света накачки по мере его распространения внутрь от поверх-
поверхности стержня распределение плотности энергии р„ сглаживает-
сглаживается. Из рис. 3.12 следует, что в центре стержня (г = 0) величи-
величина f{aR, 0) может быть с хорошей точностью аппроксимиро-
аппроксимирована выражением / = ехр(—1,1а/?).
Тот факт, что для очень малых значений aR плотность энер-
энергии в центральной части стержня равна п2р, заслуживает не-
несколько более подробного рассмотрения. Предположим, что
лампа имеет такой же радиус, что и стержень, и расположена
вдоль фокальной оси F{ (см. рис. 3.1,6). Поскольку на рис. 3.11
лучи 2 и 3 касательны к поверхности 5, они должны соответ-
соответствовать двум лучам, касательным к поверхности лампы. После
преломления лучи 2 и 3 становится лучами 2' и 3', которые ка-
касаются окружности радиусом R/n. Следовательно, можно ска-
сказать, что стержень действует как цилиндрическая линза, фор-
формируя изображение лампы в своем центре, которое в п раз
меньше истинного размера лампы. Поскольку объем, занимае-
занимаемый этим изображением, в п2 раз меньше объема лампы,
можно понять, почему соответствующее значение плотности
энергии р„ увеличивается в п2 раз.
Мы уже показали, что при очень небольших значениях aR
плотность энергии накачки однородна лишь в центральной
части стержня г < R/n, и то время как вне этой области она
неоднородна. Очевидно, что неоднородное распределение плот-
плотности энергии в активной среде является нежелательным. По-
Получить однородное распределение можно [7], если активный
стержень поместить в цилиндрическую оболочку из прозрачно-
прозрачного материала с тем же показателем преломления, что и у
стержня (рис. 3.13). В этом случае, если радиусы лампы и обо-
оболочки сделать одинаковыми и равными nR, то можно повторить
рассуждения с помощью рис. 3.11, начиная с анализа хода лу-
лучей через точку Р, расположенную на поверхности оболочки.
В этом случае преломленные лучи 2' и 3' будут касаться по-
поверхности активной среды и внутри нее будет собираться весь
падающий свет. Если aR = 0 и свет проникает в среду только
в плоскости рис. 3.13, то плотность энергии в активной среде
становится однородной и определяется выражением C.13). Дру-
Другой способ, который позволяет получить более однородную на-
накачку, состоит в матировании боковой поверхности стержня.
В этом случае свет накачки, попадая на поверхность стержня,
будет рассеиваться, и, следовательно, он не будет концентри-
концентрироваться, как на рис. 3.11. На рис. 3.14 построены кривые за-
зависимости от rjR безразмерной величины
fl(aR,r/R) = Pn/np, C.16)
126
3. Процессы накачки
полученные для рассматриваемого случая путем расчета при
нескольких значениях aR [1]. Здесь, как и прежде, а— коэф-
коэффициент поглощения на длине волны накачки (для монохрома-
монохроматического света накачки). Заметим, что при cd? = 0 мы имеем
рп = пр. Множитель п возникает в этом случае вследствие того,
что скорость света в стержне в п раз меньше, чем скорость
света в вакууме [см. B.21)]. Таким образом, предполагается,
Рис. 3.13. Прозрачная цнлиндрнче- Рис. 3.14. Стержень с шероховатой
екая оболочка радиусом nR, обеспе- боковой поверхностью. Радиальная
чивающая однородное распределе- зависимость нормированной плотно-
ние плотности накачки в активном сти энергии (p>t/np) от нормирован-
стержне (заштрихованная область). ного радиуса (rjR) для нескольких
значений коэффициента поглощения
накачки а. (Согласно работе [1].)
что при данном излучении лампы плотность энергии рп в п раз
превышает значение величины р, которое эта величина имела бы,
если бы показатель преломления стержня равнялся единице.
Из рис. 3.14 следует, что в центре стержня величину fi(aR, 0)
можно с хорошей точностью аппроксимировать выражением
/i « ехр(—1,27 а/?). Сравнение выражений C.16) и C.15) при
г| = 0 показывает, что, за исключением небольшого различия
между функциями / и fu шероховатость боковой поверхности
стержня действительно приводит к уменьшению плотности энер-
энергии накачки в его центре в п раз. Однако теперь более или ме-
менее однородно освещается все сечение стержня, а не только его
ядро радиусом R/n. В самом деле, с помощью рис. 3.12 и 3.14
можно показать, что в обоих этих случаях интегральная плот-
плотность энергии накачки по сечению стержня приблизительно
одинакова.
Рассмотрим теперь случай, когда радиус Rl лампы меньше,
чем радиус /?« стержня. Пусть система накачки имеет ту же
3.2. Оптическая накачка
127
конфигурацию, что и на рис. 3.1,6. Если боковая поверхность
стержня полирована, то в стержне будет формироваться эллип-
эллиптическое изображение лампы. Это можно понять с помощью
рис .3.15, на котором изображена лампа с боковой поверхностью
Sl, расположенная вдоль фокальной оси Fi эллиптического ци-
цилиндра. Форму изображения лампы, создаваемого эллиптиче-
эллиптическим отражателем на второй фокальной оси F2, можно полу-
получить, рассматривая лучи, испукаемые касательно к поверх-
поверхности лампы. Отражаясь от поверхности эллиптического ци-
цилиндра, эти лучи преобразуются в пучок лучей вокруг второй
фокальной оси F2. Огибающая
этих лучей представляет собой
поверхность Sl и является изо-
изображением лампы, сформирован-
сформированным эллиптическим цилиндром.
На рис. 3.15 показаны те лучи,
которые ограничивают поверх-
поверхность S'L в горизонтальном и
вертикальном направлениях.
Очевидно, что изображение Si
вытянуто вдоль малой оси эл-
эллиптического отражателя. В дей-
действительности можно показать,
Рис. 3.15. Изображение SL лам-
что само изображение является пы SL> сформированное в фокусе
ЭЛЛИПСОМ. На рис. 3.15 С ПО- эллиптического цилиндра.
мощью простых геометрических
соображений можно найти большую RM и малую Rm оси
этого эллипса. Если предположить, что радиус Rl лампы много
меньше, чем малая ось эллиптического отражателя, то для Rm
и Rm можно получить следующие выражения:
Ям — Rl G=7) •
C.17а)
C.176)
где е — эксцентриситет эллиптического отражателя. В дей-
действительности из-за преломления на поверхности стержня, ко-
которая вновь действует как цилиндрическая линза, большая и ма-
малая оси этого изображения уменьшаются в п раз по сравнению
с приведенными выше значениями. Чтобы избежать неоднород-
неоднородного распределения накачки, которое возникает в процессе фор-
формирования изображения, боковую поверхность можно сделать
грубо шероховатой.
Представленное выше рассмотрение относится только к слу-
случаю, когда стержень окружен воздухом (п=1). Однако во
128 3. Процессы накачки
многих случаях стержень необходимо охлаждать, для чего его
помещают в какую-либо жидкость, которой является обычно
вода. В этом случае в проведенное выше рассмотрение необхо-
необходимо внести некоторые изменения. В частности, у стержня с
полированной боковой поверхностью радиус ядра, в котором
концентрируется максимум энергии накачки, равен не R/n, как
на рис. 3.11, a Rni/n, где щ — показатель преломления окружаю-
окружающей жидкости. Для стержня же с шероховатой боковой поверх-
поверхностью присутствие жидкости стремится свести на нет эффект
матирования боковой поверхности. Поэтому распределение
энергии накачки оказывается значительно менее однородным,
чем то, которое показано на рис. 3.14. Это особенно верно для
эллиптического цилиндра благодаря тому, что неоднородность
распределения здесь обусловлена особенностями формирования
изображения (см. рис. 3.15). В заключение можно сказать, что
плотноупакованная конфигурация системы накачки, изображен-
изображенная на рис. 3.1,6, в случае, когда поверхность стержня грубо
отшлифована, а осветитель дает либо зеркальное, либо диф-
диффузное отражение, обеспечивает наиболее однородное распре-
распределение энергии накачки внутри стержня. Однако по сравнению
с эллиптическим цилиндром эффективность передачи здесь не-
несколько ниже, в то время как в конфигурации со спиральной
лампой, когда имеет место однородное распределение энергии
накачки по всему стержню, она существенно выше. В качестве
последнего замечания в данном разделе укажем на то, что при-
приведенное выше рассмотрение справедливо для монохроматиче-
монохроматического излучения накачки. Для полихроматического же излучения
выражения C.14) —C.16), а также кривые на рис. 3.12 и 3.14
остаются справедливыми, однако рп и р заменяются на соответ-
соответствующие спектральные величины р„л и р*,.
3.2.4. Эффективность поглощения
и квантовый выход накачки п [9]
Согласно определению эффективности поглощения г|а, дан-
данному в разд. 3.2.1, можно написать следующее выражение:
C.18)
x v
где Р — полная мощность, поглощенная стержнем, a dPx/dV —
поглощенная мощность на единичный интервал длин волн и на
единичный объем, Ре — полная мощность излучения, падающего
1> Этот раздел можно опустить при первом чтении.
3.2. Оптическая накачка 129
на стержень, и 1е\ — соответствующая интенсивность на еди-
единичный интервал длин волн; Sr — площадь боковой поверхности
стержня. В выражении C.18) объемный интеграл вычисляется
по всему объему активной среды, а интеграл по длине волны —
по полезному диапазону излучения лампы. С помощью выраже-
выражений A.10) и B.137) при / = Сор/п величину dPJdV можно за-
записать в виде
dPJdV = WpX Nghv = (со/п) oNg рпЪ C.19)
где WpxdX — скорость накачки для излучения в диапазоне длин
волн между X и X + dX. Как особенно характерный пример, рас-
рассмотрим случай, когда боковая поверхность стержня шерохова-
шероховатая. Тогда с помощью C.16) и B.22) выражение C.19) можно
переписать следующим образом:
JeX. C.20)
Используя C.20), выражение C.18) можно переписать как
eXdX. C.21)
V X
Предположим, что эффективность передачи не зависит от дли-
длины волны, так что мы имеем /еХ ~ gx, где g\— нормированное
излучение лампы [см. C.4)]. Определим также среднее значе-
значение величины /i KaK(f,) = (l/F) \ f{ dV, где V — объем стержня.
Вспоминая затем, что \ gxdk = l, получаем особенно простое
выражение для г|а:
\ \X, C.22)
R A X
где RR — радиус стержня и а — коэффициент поглощения
активной среды на данной длине волны. Заметим, что в соот-
соответствии с выражением C.22) г|а — это просто среднее значе-
значение безразмерной величины 2a/?K<fi>, полученное усреднением
по спектральному распределению излучения лампы gx- Посколь-
Поскольку в хорошем приближении <fi>»exp[—(а/?к)] (см. зада-
задачу 3.3), мы имеем
i)a=-.BaRRexp[-(aRR)]); C.22а)
здесь усреднение производится по спектральному распределе-
распределению излучения лампы gx-
Прежде чем вычислить квантовый выход мощности накач-
накачки r\pq, заметим, что (dPv/dV)/hv представляет собой число
5 О. Звелто
130 3. Процессы накачки
атомов (в единичном объемеv на единичный интервал длин волн),
переведенных из основного состояния в полосу накачки с дли-
длиной волны около X (v— соответствующая частота). Определим
квантовый выход накачки r\q(X) (не путайте с r\pq) как отноше-
отношение числа атомов, которые релаксируют на верхний лазерный
уровень, к числу атомов, которые заброшены в полосу накач-
накачки вблизи данной длины волны X. При этом мощность, которую
можно снять (в единичном объеме и единичном интервале длин
волн) на верхнем лазерном уровне, будет равна \h-vp (^x/
/dV)/hv. Тогда квантовый выход мощности накачки можно за-
записать в виде
[ [ (dPJhv dV) r\qhvp dV dX
"" \\ (dP)JdV) dV dX
V X
Используя C.20) и вновь предполагая, что Iex ~ gx, выраже-
выражение C.23) можно свести к достаточно простому виду:
Отсюда видно, что r\pq выражается через безразмерную вели-
величину (X/ip)r\q, усредненную по функции ogy.(fi} «
« ofg^exp(—aRR), т. е.
К>. C-25)
3.2.5. Заключительные замечания
В предыдущем разделе мы определили четыре эффектив-
эффективности, r\r, r\t, r\a, r\Pq и общий КПД накачки г|р, а также при-
привели отдельные выражения для их вычисления. Чтобы привести
некоторые характерные примеры, в табл. 3.1 представлены вы-
вычисленные значения этих четырех эффективностей и общего
КПД накачки цР для нескольких наиболее интересных лазер-
лазерных материалов. Во всех случаях предполагается, что лазер ра-
работает в импульсном режиме, а диаметры стержня и внутренний
диаметр лампы равны соответственно 6,3 и 5 мм. В каждом
случае плотность тока лампы считалась соответствующей кон-
конкретной конфигурации лазера (обычно в пределах 2000—
3000 А/см2). Рассматривался эллиптический осветитель с по-
3.3. Электрическая накачка 131
Таблица 3.1. Сравнение вычисленных эффективиостей, дающих общий вклад
в КПД накачки, для различных лазерных материалов [9]
Материал V nt< ца< V»' P'
Рубин
Александрит
Nd:YAG
Стекло с неодимом (Q-88)
Nd:Cr : GSGG
27
36
43
43
43
78
65
82
82
82
31
52
17
28
54
46
66
59
59
48
3,0
8,0
3,5
5,8
9,1
серебренной поверхностью, причем с большой осью 2а = 34 мм
и малой осью 26 = 31,2 мм. Из табл. 3.1 мы видим, что 1) из-
лучательная эффективность во всех рассмотренных случаях
меньше 50 % и 2) эффективность поглощения для Сг : Nd : GSGG
примерно в три раза выше, чем для Nd : YAG. Столь большая
эффективность обусловлена наличием дополнительной примеси
в виде ионов Сг, что позволяет получить поглощение в спект-
спектральных областях, в которых ион Nd прозрачен, и затем пере-
передать это возбуждение (по механизму типа фёрстеровского, см.
разд. 2.5) неодиму. Весьма высокой оказывается также эффек-
эффективность поглощения и в александрите. Вот почему александрит
и Сг : Nd : GSGG обеспечивают наиболее высокий КПД накач-
накачки. Расчетные значения КПД накачки, приведенные в табл. 3.1,
на самом деле неплохо согласуются с экспериментальными
данными.
В заключение раздела следует заметить, что как только мы
вычислили или, возможно, получили лишь оценку общего КПД
накачки г)р, из выражения C.1) [или C.1а)] можно сразу най-
найти скорость накачки Wp:
C.26)
Это простое фундаментальное выражение, которое мы будем
часто использовать в последующих главах. Однако заметим,
что для вычисления W,t с помощью данного выражения необ-
необходимо знать г)р, т. е. кое-кому придется выполнить подробные
вычисления по формулам, приведенным в предыдущих раз-
разделах!
3.3. Электрическая накачка
Напомним, что электрическая накачка применяется в газо-
газовых и полупроводниковых лазерах. В данном разделе мы огра-
ограничимся рассмотрением лишь газовых лазеров, а обсуждение
более простого случая, т. е. накачки полупроводникового лазера,
отложим до разд. 6.6 (см. гл. 6).
5»
132
3. Процессы накачки
Электрическая накачка газового лазера осуществляется про-
пропусканием через газовую смесь постоянного, высокочастотного
(ВЧ) или импульсного тока. Вообще говоря, ток через газ мо-
может протекать либо вдоль оси лазера (продольный разряд,
рис. 3.16, а), либо поперек ее (поперечный разряд, рис. 3.16,6).
В лазерах с продольным разрядом электроды нередко имеют
кольцеобразную форму, причем, чтобы ослабить деградацию
Рис. 3.16. Наиболее часто используемая схема накачки на основе возбужде-
возбуждения газовым разрядом.
материала катода вследствие столкновений с ионами, площадь
поверхности катода делается, как правило, намного больше, чем
у анода. В лазерах же с поперечным разрядом электроды вы-
вытягиваются на всю длину лазерной среды. В зависимости от
типа лазера применяются самые различные конструкции элект-
электродов (некоторые из них мы обсудим в гл. 6). Схемы с про-
продольным разрядом используются обычно лишь для непрерыв-
непрерывных лазеров 1\ в то время как поперечный разряд применяется
как для накачки постоянным, так и импульсным и высокочас-
высокочастотным током. Поскольку поперечные размеры лазера обычно
существенно меньше продольных, в одной и той же газовой
*> С весьма важным исключением: лазеры на парах меди и золота ра-
работают в импульсном режиме и с продольным возбуждением; см.
разд. 6.3.1.2.— Я/ил. перев.
3.3. Электрическая накачка 133
смеси напряжение, которое необходимо приложить в случае
поперечной конфигурации, значительно ниже, чем напряжение
для продольной конфигурации. Однако продольный разряд,
когда он происходит в диэлектрической (например, стеклянной)
трубке, как на рис. 3.16, а, позволяет получить более однород-
однородное и стабильное распределение накачки. В дальнейшем мы в
основном ограничимся рассмотрением разрядов постоянного
тока.
В электрическом разряде образуются ионы и свободные
электроны, а поскольку они приобретают дополнительную энер-
энергию от приложенного электрического поля, они могут возбуж-
возбуждать при столкновениях нейтральные атомы. Положительные
ионы благодаря своей
большой массе ускоряют-
ускоряются значительно хуже, чем
электроны, и поэтому не Ед + Ея ^^ + _де
играют сколько-нибудь
существенной роли в про-
цессе возбуждения. По-
этому электрическая на- Рис. 3.17. Околорезонапсная передача
качка газа происходит с энергии.
помощью одного из сле-
следующих двух процессов (или обоих этих процессов): 1) в газе,
состоящем только из одного сорта частиц, возбуждение осуще-
осуществляется лишь электронным ударом, т. е. в соответствии с про-
процессом
е + Х-*Х' + е, C.27)
где X — атом в основном состоянии, X* — атом в возбужден-
возбужденном состоянии. Такой процесс называется столкновением пер-
первого рода; 2) в газе, состоящем из двух компонентов (скажем,
Аи В), возбуждение может осуществляться также и при
столкновениях частиц разного сорта благодаря процессу, на-
называемому резонансной передачей энергии (см. разд. 2.5 и
рис. 2.12). Обращаясь к рис. 3.17, предположим, что частица В
находится в основном состоянии, а частица А — в возбужден-
возбужденном благодаря электронному удару. Будем также считать, что
разность энергий Д? между этими двумя переходами меньше,
чем kT. Тогда существует заметная вероятность того, что после
столкновения частицы А окажутся в основном состоянии, а
частицы В — в возбужденном. Этот процесс можно записать
в виде
А* + В -> А + В* - Д?, C.28)
где разность энергий Д? в зависимости от своего знака будет
либо добавляться, либо отниматься от энергии поступательного
134 3. Процессы накачки
движения. Процесс C.28) особенно привлекателен для на-
накачки частиц В в том случае, когда верхнее состояние частиц А
является метастабильным (переход запрещен). В этом случае,
как только частица А будет возбуждена на свой верхний уро-
уровень, она будет оставаться там в течение длительного времени
и создавать тем самым резервуар энергии для возбуждения
частиц В. Процесс этого типа, представленный выражением
C.28), называется столкновением второго рода ".
3.3.1. Физические свойства газовых разрядов [10—12]
В предыдущем разделе мы уже отмечали, что именно элек-
электроны ответственны за явления, происходящие в газовом раз-
разряде. Они приобретают энергию от приложенного поля и те-
теряют или обмениваются ею посредством следующих трех про-
процессов:
1. Неупругие столкновения с атомами (или молекулами),
входящими в состав газовой смеси. Эти столкновения ведут
либо к переходу атома в одно из его возбужденных состоя-
состояний, либо к ионизации атома. Указанные явления возбуждения
или ионизации электронным ударом представляют собой, воз-
возможно, наиболее важные процессы с точки зрения лазерной
накачки, и мы их подробно рассмотрим в разд. 3.3.2.
2. Упругие столкновения с атомами. Если предположить,
что атом находится в покое перед столкновением (средняя ско-
скорость движения атомов на самом деле гораздо меньше сред-
средней скорости движения электронов), то электроны будут
терять энергию при столкновениях. При помощи прямого рас-
расчета можно показать, что если направление движения рассеян-
рассеянного электрона случайно, то электрон в среднем теряет
2(т/М)-ную часть своей начальной энергии (где т — масса
электрона, а М — масса атома). При этом теряемая доля энер-
энергии невелика, поскольку мало отношение т/М (например, для
атомов Аг т/М =1,3- К)-5).
3. Электрон-электронные столкновения. Поскольку в этом
случае обе сталкивающиеся частицы заряжены и действуют
*> Столкновения первого podd приводят к преобразованию кинетической
энергии частиц одного сорта в потенциальную энергию частиц другого сорта.
При столкновениях второго рода потенциальная энергия преобразуется в
некоторые другие виды энергии (кроме излучения), такие, как кинетическая
энергия, или передается в форме потенциальной энергии (в виде электрон-
электронной, колебательной или вращательной энергии) другим частицам того же
или другого сорта. Следовательно, столкновения второго рода включают
в себя не только процесс, обратный столкновениям первого рода (типа
е + Х*-»-е + Х), но и, например, преобразование энергии возбуждения в хи-
химическую энергию.
3.3. Электрическая накачка 135
друг на друга на значительных расстояниях, такие столкнове-
столкновения происходят с высокой частотой. Исключение здесь состав-
составляет лишь случай слабо ионизованного газа. В силу того, что
массы частиц здесь одинаковы, имеет место интенсивный обмен
энергиями между ними. Благодаря столкновениям электрон-
электронный «газ» в плазме приобретает некоторое распределение ско-
скоростей, а следовательно, и энергий. Это распределение мы будем
описывать функцией распределения по энергиям /(?), причем
f(E)dE есть вероятность того, что электрон обладает энергией
в интервале от Е до Е + dE. Если вследствие электрон-элект-
электрон-электронных столкновений перераспределение энергий происходит
достаточно быстро по сравнению с потерями энергии при упру-
упругих и неупругих столкновениях с атомами, то согласно стати-
статистической механике распределение скоростей (или энергий)
электронов описывается функцией Максвелла — Больцмана. Та-
Таким образом, мы имеем
здесь Те — электронная температура. Из предыдущего обсуж-
обсуждения можно сразу заключить, что Те значительно выше, чем
температура газа Т и ионная температура Г,-. Так как энергия
электрона Е равна mv9i2 (v — скорость электрона), из выра-
выражения C.29) можно получить среднее значение тепловой ско-
скорости vT электрона. Определяя vT как vT = Kfl2)]l/a, из C.29)
сразу находим
[3kT/my12. C.30)
В действительности же предположение о том, что распределе-
распределение энергии электронов описывается статистикой Максвелла —
Больцмана, можно рассматривать лишь как весьма грубое при-
приближение первого порядка. На самом деле в слабо ионизован-
ионизованном газе (такой газ имеет место в молекулярных лазерах) ско-
скорость перераспределения энергии за счет электрон-электронных
столкновений не равна скорости, с которой происходят, скажем,
неупругие столкновения с атомами. В этом случае следует ожи-
ожидать, что при значениях энергии, соответствующих характерным
для атомов или молекул полосам поглощения, функция распре-
распределения энергий f(E) будет иметь провалы.
Другая очевидная причина того, почему распределение не
является максвелловским, состоит в том, что это распределение
по скоростям должно быть в пространстве сферически симмет-
симметричным. Действительно, если бы это было так, то результирую-
результирующий поток электронов равнялся бы нулю и в разряде не мог бы
течь ток! Поэтому в присутствии внешнего электрического поля
136
3. Процессы накачки
мы должны предположить наличие у пространственного распре-
распределения скоростей выделенной оси в направлении поля. Следо-
Следовательно, мы можем определить скорость дрейфа удРейф как
среднее значение скорости электронов вдоль этой оси. Впрочем,
скорость дрейфа обычно оказывается очень малой по сравне-
сравнению с от A0~2 или меньше), так что мы можем представить
_ _| . себе движение электро-
а
юд Т
Анод
V(x)'
Рис. 3.18. Области газового разряда, а —
расположение областей газового разряда;
б — распределение потенциала вдоль оси х
A — катодное падение; 2 — катодный слой;
3—отрицательное свечение; 4 — фарадеево
темное пространство; 5—положительным
столб; 6 — анодное падение; 7—анодный
слой); в — распределение тока вдоль оси х.
нов в газе как медленно
дрейфующий рой случай-
случайно движущихся частиц, а
не как направленный их
поток. Это также озна-
означает, что пространствен-
пространственное распределение скоро-
скоростей электронов лишь
слегка вытянуто в на-
направлении поля.
Рассмотрим теперь не-
несколько физических ас-
аспектов пространственных
характеристик газового
разряда. Обращаясь к
рис. 3.18, мы видим, что
в тлеющем разряде мож-
можно выделить пять основ-
основных пространственных об-
областей. 1) Катодное тем-
темное пространство. Это
область, которая сравни-
сравнительно слабо излучает и
имеет длину, как правило,
много меньше 1 мм. В этой
области наблюдается зна-
(рис. 3.18,6). 2) Катодное
чительное падение напряжения
(отрицательное) свечение. Это ярко светящаяся область длиной
около двух сантиметров, электрическое поле в которой почти
равно нулю. 3) Фарадеево темное пространство, сравнительно
темный участок длиной около 1 см. 4) Положительный столб,
который занимает большую часть остальной длины трубки.
В типичных лазерах его длина может быть от нескольких де-
десятков до нескольких сотен сантиметров. 5) Анодная область,
протяженность которой составляет доли миллиметра. Таким
образом, мы имеем в разряде две светящиеся области — катод-
катодное свечение и положительный столб, причем в подавляющем
большинстве лазеров активной областью является именно поло-
3.3. Электрическая накачка 137
жительный столб (однако в некоторых лазерах, таких, как ла-
лазеры на разряде с полым катодом, полезная инверсия создается
в области катодного свечения). Следует заметить, что на
практике благодаря физическим свойствам электродов катод-
катодное темное пространство, катодное свечение и фарадеево
темное пространство не обязательно располагаются на оси
лазера.
Чтобы объяснить наличие катодного темного пространства,
заметим, что полный ток, связанный с ионами и электронами,
должен, очевидно, быть постоянным по всей длине разряда. Мы
считаем также, что в общем случае благодаря более высокой
подвижности электронов ток переносится главным образом эти-
этими частицами. Однако, если эмиссионная способность катода
ограничена, то значительную долю полного тока катода долж-
должны переносить ионы (рис. 3.18, в). Чтобы ионы могли переносить
ток, для ускорения их массы требуется высокая напряженность
поля и, таким образом, большое катодное падение напряжения
(— 100—400 В).Если же катод испускает достаточное количе-
количество электронов с помощью термоэлектронной эмиссии (горя-
(горячий катод), то ионы больше не обязаны переносить значитель-
значительную часть тока и катодное падение напряжения уменьшается
почти до потенциала ионизации газа.
Отрицательное свечение обусловлено электронами, которые
при прохождении области катодного падения приобретают ки-
кинетическую энергию, определяемую практически всем катодным
падением напряжения. Эти высокоэнергетические электроны за-
замедляются в области отрицательного свечения по мере их уча-
участия в возбуждающих и ионизирующих столкновениях. Поэтому
данную область можно рассматривать как плазму, порождае-
порождаемую внешним «электронным пучком».
Для положительного столба характерно почти линейное из-
изменение потенциала с расстоянием, т. е. постоянное электриче-
электрическое поле. Из уравнения Пуассона тогда следует, что в этой
области преобладает электронейтральная плазма. Таким обра-
образом, благодаря более высокой подвижности электронов основ-
основная часть тока (более 99%) переносится электронами.
Наконец, область анодного падения возникает потому, что,
поскольку анод не испускает ионы, весь ток с поверхности ано-
анода должен переноситься электронами. Так же, как и в области
катодного падения, в анодной области не соблюдается электро-
электронейтральность. Следовательно, в этой области тоже должно
быть сильное электрическое поле и большое падение напря-
напряжения.
Заслуживает некоторого внимания рассмотрение также вольт-
амперной характеристики газового разряда. Эта характеристика
138 3. Процессы накачки
схематически показана на рис. 3.19 сплошной линией. За-
Заметим, что в рабочей области разность потенциалов на кон-
концах разряда почти не изменяется (хотя и имеет тенденцию к не-
небольшому уменьшению) с увеличением тока. Физическое обос-
обоснование такого поведения мы обсудим в конце разд. 3.3.2.4.
Пиковое напряжение (напряжение поджига) Vp, которое на
порядок превосходит рабочее
Л напряжение, необходимо для
образования пробоя в газе,
чтобы поджечь разряд. Для
стабилизации разряда при не-
некотором данном значении тока
разрядная трубка питается от
с источника, в котором в цепи,
-Б дающей напряжение Уо> вклю-
включено последовательно балла-
балластное сопротивление RB. Из
рис. 3.19 мы видим, что ток бу-
Vn
r?-7z *г дет устанавливаться на значе-
°' в нии, соответствующем одному
Рис. 3.19. Вольтамперная характери- ИЗ пересечений ВОЛЬТ-ампер-
стнка газового разряда V(I). ных характеристик разряда
(сплошная линия) и источника
питания (штриховая линия), т. е. точкам Л и С. (Точка пересе-
пересечения В соответствует неустойчивому состоянию.) Если прикла-
прикладывать напряжение источника питания к лампе, которая перво-
первоначально не была подожжена, то рабочая точка лампы устано-
установится в точку С с очень небольшим током. Чтобы достичь
другого устойчивого состояния лампы А, которое и является на-
настоящей рабочей точкой, нам необходимо на короткое время
увеличить приложенное напряжение, с тем чтобы превзойти вы-
высоту барьера Vp. Это обычно производится путем прикладыва-
прикладывания высокого напряжения к тем же электродам (или к допол-
дополнительным) (см. рис. 3.3) на время, достаточное для создания
начальной ионизации.
3.3.2. Возбуждение электронным ударом
Выше мы уже упоминали о том, что электронные удары
включают в себя как упругие, так и неупругие столкновения.
При неупругом столкновении атом может либо возбуждаться на
более высокий уровень, либо стать ионизированным.
Для простоты рассмотрим вначале ударное возбуждение
коллимированным пучком моноэнергетических электронов. Если
Fe — поток электронов (число электронов в единицу времени
3.3. Электрическая накачка 139
через единицу площади), то полное сечение столкновения ае
можно определить по аналогии с определением, которое мы
давали в случае потока фотонов [см. выражение B.84)], а
именно с помощью выражения
dFe = -aeNgFedz, C.31)
где dFe — изменение потока, которое имеет место, когда пучок
электронов распространяется в среде на расстояние dz. Столк-
Столкновения, которые приводят к возбуждению электронным ударом,
определяют лишь некоторую часть этого полного сечения.
В действительности наибольшим является сечение упругих
столкновений aei. Сечение oei по порядку величины составляет
около К)-'6 см2. Если сечение электронного возбуждения ча-
частицы с основного на верхний лазерный уровень обозначить че-
через аег, то в соответствии с выражением C.31) скорость засе-
заселения верхнего состояния под действием накачки запишется
в виде
(dN2/dt)p = oe2NgFe = NgNevae2, C.32)
где v — скорость электронов, a Ne — их плотность. Чтобы вы-
вычислить скорость накачки, необходимо знать величину ае2, ко-
которая в свою очередь зависит от энергии Е налетающего элект-
электрона, т. е. Ое2 = Ое2(Е)- Однако в газовом разряде электроны
имеют некоторое распределение по энергии. В таком случае ско-
скорость заселения верхнего уровня можно найти из выражения
C.32) усреднением его по этому распределению. Таким образом,
мы получаем следующее выражение:
C.33)
где
(vo)=\vo(E)f(E)dE. C.34)
В соответствии с A.10) и C.33) скорость накачки дается вы-
выражением
Wp = Ne(va), C.35)
где <УG> вычисляется с помощью C.34). Таким образом, для
вычисления Wp необходимо знать две величины, а именно а и
/, зависимость которых от энергии мы рассмотрим теперь более
детально.
3.3.2.1. Сечение электронного удара [13]
На рис. 3.20 приведена качественная зависимость а от энер-
энергии электронов Е для трех следующих случаев перехода: 1) оп-
оптически разрешенный переход; 2) оптически запрещенный
140
3. Процессы накачки
переход без изменения мультиплетности; 3) оптически запрещен-
запрещенный переход с изменением мультиплетности. Во всех трех слу-
случаях максимальное значение а нормировалось на единицу.
Заметим, что в любом случае для сечения имеется четко выражен-
выраженный порог ?Пор. Как и следовало ожидать, значение ?Пор ока-
оказывается близким к энергии рассматриваемого перехода. После
порога сечение резко возрастает, достигает максимального зна-
значения и далее медлен-
медленно спадает. Макси-
Максимальное значение а и
ширина кривой зави-
зависят от типа участвую-
участвующего перехода. 1) Для
оптически разрешен-
разрешенного перехода макси-
максимальное значение а
обычно составляет 10~16
см2, а ширина кривой
может быть в 10 раз
больше, чем пороговая
энергия ?П0р (кривая
А на рис. 3.20). 2) Для
оптически запрещен-
запрещенных переходов без из-
изменения мультиплет-
мультиплетности максимальное се-
сечение резко падает
почти на три порядка
(до значения около
10~19 см2), а ширина
кривой может быть
всего в 3—4 раза боль-
0,8
S 0,6
1о//
О
0,2
1 ^-i 1 ¦
Vv
N. \^ Б
1 ' !
1 ;
-
"¦"--—______
i
0
2
Ю 12
Рис. 3.20. Качественная зависимость сечения
возбуждения электронным ударом от энергии
падающего электрона. Кривая А — оптически
разрешенный переход; кривая Б — оптически
запрещенный переход без изменения мультп-
плетпости; кривая В — оптически запрещен-
запрещенный переход с изменением мультпплетностп.
Кривые А—В построены с использованием
данных, приведенных в работе [13], для 2р- и
2s-переходов в водороде и для 23S-перехода
в гелии соответственно.
ше пороговой энергии
(кривая Б на рис. 3.20). 3) В случае когда происходит измене-
изменение мультиплетности, максимальное сечение может быть боль-
больше, чем для оптически запрещенного перехода, а ширина кри-
кривой теперь, как правило, равна или несколько меньше порого-
пороговой энергии ?Пор (кривая В на рис. 3.20). Следует заметить, что
во всех трех случаях ширина кривой сравнима с пороговой
энергией, т. е. с энергией перехода. Это поведение существенно
отличается от того, которое мы имели для сечения поглощения
фотонов. Как мы показали в разд. 2.3.3, энергетическая ширина
линии в зависимости от механизма уширения может составлять
Ю-6—10~4 часть энергии перехода, т. е. ширина переходов,
обусловленных взаимодействием с фотонами, оказывается зна-
3.3. Электрическая накачка 141
чительно более узкой, чем при соударениях с электронами. Это
объясняется тем, что возбуждение электронным ударом в прин-
принципе не является резонансным явлением, т. е. любой излишек
энергии уносится в виде энергии рассеянного электрона. Именно
это обстоятельство является основной причиной того, что воз-
возбуждение газообразной среды производится значительно более
эффективно «полихроматическим» источником электронов (та-
(таким, как газовый разряд), чем полихроматическим источником
света (таким, как лампа).
Чтобы иметь более глубокое представление о механизмах,
участвующих в возбуждении электронным ударом, опишем
квантовомеханический расчет сечения а. Для оптически разре-
разрешенных или оптически запрещенных переходов без изменения
мультиплетности наиболее простым (и во многих случаях даю-
дающим наибольшую точность) является расчет с использованием
борновского приближения. Пучок моноэнергетических электро-
электронов, падающий на атом, описывается функцией плоской волны
вида exp(iko-r). Здесь ко = 2л/К, а К — дебройлевская длина
волны электрона [К ^= A2,26/V) А, где V — энергия электрона
в электронвольтах]. Между падающим электроном и электро-
электронами атома действует сила электростатического отталкивания.
Это взаимодействие считается достаточно слабым, так что ве-
вероятность атома совершить переход при соударении очень мала,
а возможностью сразу двух таких переходов можно пренебречь.
В этом случае уравнение Шредингера для рассматриваемой за-
задачи может быть линеаризовано. При этом в сечение перехода
будет входить множитель вида \ ы'ехрП f(k0 — krt) • г]}«, dV ,
где Hi и «2 — волновые функции соответственно основного и
возбужденного состояний атома, a kn — волновой вектор рас-
рассеянного электрона. Если затем предположить, что длина вол-
волны электрона i = 2n/ko намного превышает размеры атома, то
отсюда с учетом выражения для длины волны де Бройля сле-
следует, что энергия электрона Е не больше нескольких электрон-
вольт. В этом случае множитель exp{i[k0 — kn)-r]} в вышепри-
вышеприведенном интеграле можно разложить в ряд по степеням ради-
радиус-вектора г, который определяет положение относительно
атома. Для оптически разрешенных переходов в разложении
экспоненты exp[i(k*r)] мы удерживаем лишь первый ненулевой
член (т. е. tk-r, где k = k0 — кп), а отсюда следует, что сечение
ае пропорционально 1и|2, где |ц|2 определяется выражением
B.28). Мы видим, что в случае оптически разрешенного пере-
перехода сечение возбуждения электронным ударом ое зависит от
того же матричного элемента |ц|, который входит в выраже-
выражение для сечения поглощения фотона. Таким образом, можно
142 3. Процессы накачки
ожидать, что для интенсивных оптических переходов сечение
возбуждения электронным ударом будет также велико. В слу-
случае оптически запрещенных переходов без изменения мульти-
плетности (AS = 0; например, переход 1'5-^2'S в атоме Не; см.
рис. 6.5) борновское выражение для сечения дает ненулевое
значение следующего по порядку члена в разложении
exp[?(k*r)]. Это означает, что ое теперь пропорционально вели-
г . „ ,|2
1 \ и2х2и{ dx\ , я не, как в предыдущем случае, величине
чине
е \ «**«, dx
которая теперь равна нулю, поскольку «i и
имеют одну и ту же четность. Следует заметить, что выражение
для а, полученное для данного случая, полностью отличается
от соответствующего выражения, справедливого в случае взаи-
взаимодействия с фотоном, т. е. магнитодипольного взаимодействия.
Поэтому не удивительно, что ! рассматриваемом случае отно-
отношение максимальных сечений о3апрещ/оразреш составляет около
10~3, в то время как то же отношение для поглощения фотона
имеет величину порядка 10~\ что было установлено выше [см.
выражение B.45) ]. Отсюда можно сделать вывод, что возбуж-
возбуждение оптических переходов электронным ударом осуществля-
осуществляется относительно легко по сравнению с «фотонным ударом», и
это имеет весьма важные последствия для большинства газовых
лазеров, поскольку накачка в них часто осуществляется через
оптически запрещенные переходы.
В случае перехода с изменением мультиплетности (напри-
(например, l'S-*-23S в Не; см. рис. 6.5) борновское приближение дает
нулевое сечение в любом порядке разложения экспоненты
ехр[?(к-г)]. Действительно, в таком переходе происходит изме-
изменение спина, в то время как в рамках борновского приближения
падающий электрон через электростатическое взаимодействие с
ним может оказывать влияние лишь на орбитальное движение
атома, а не на его спин''. Теория для этого случая разработана
Вигнером, а ее исходным постулатом служит тот факт, что при
столкновении должна сохраняться сумма полного спина атома
и спина падающего электрона, но не обязательно спина непос-
непосредственно атома. Следовательно, переходы могут осуществ-
осуществляться за счет столкновения с обменом электронами, когда на-
налетающий электрон замещает электрон атома, участвующего
в переходе, и этот электрон в свою очередь вылетает из атома
(однако в процессе столкновения оба электрона квантовомеха-
нически неразличимы). Для сохранения полного спина спин на-
*> Отсюда следует, что спин-орбитальное взаимодействие пренебрежимо
мало, а это справедливо для легких атомов (например, для Не, Ne) и не-
неверно для тяжелых атомов типа Hg.
3.3. Электрическая накачка 143
летающего электрона должен быть противоположен спину вы-
вылетающего электрона. Из нашего краткого обсуждения этого
случая можно заключить, что рассмотренный здесь обменный
механизм должен иметь более резонансный характер по срав-
сравнению с механизмом, полученным в борновском приближении.
Действительно, большая вероятность первого обмена будет
лишь в том случае, когда энергия налетающего электрона
близка к энергии перехода. Теперь становится ясным, почему
ширина резонансной кривой на рис. 3.20 (кривая В) является
наименьшей из трех представленных на этом рисунке. Однако
при резонансе величина ае должна иметь большое значение. По-
Поэтому не удивительно, что максимальное сечение может быть
даже больше, чем в случае оптически разрешенных переходов
без изменения спина.
3.3.2.2. Распределение энергии электронов
Подробно обсудив физические явления, связанные с опреде-
определением сечения возбуждения электронным ударом, рассмотрим
теперь распределение f(E) энергии электронов.
Если предположить, что распределение энергии является
максвелловским, то применимо соотношение C.29) и единствен-
единственная величина, которая должна быть известна, — это электрон-
электронная температура Те. Температуру Те можно связать с прикла-
прикладываемым электрическим полем &. Для этого сделаем упро-
упрощающее предположение, а именно будем считать, что при
каждом столкновении теряется некоторая доля б кинетической
энергии электрона. Если vT средняя тепловая скорость электрона,
то средняя кинетическая энергия равна mv\j2. Частота столкно-
столкновений равна vT/l, где I — средняя длина свободного пробега
электрона. Следовательно, при столкновении электрон теряет
мощность 6(^T/Z) (my2/2); эта мощность должна быть равна
мощности, подводимой электрическим полем &, которая в свою
очередь равна e&vw<&<b- Таким образом, можно написать урав-
уравнение
eSvApeft0 = б (vT/l) (mv\j2), C.36)
которое дает одно из необходимых соотношений между двумя
неизвестными величинами Удрейф и vj. Следовательно, нам нуж-
нужно еще одно уравнение. Его можно получить, рассматривая сво-
свободное движение электрона между двумя последовательными
столкновениями в точках 1 и 2 на рис. 3.21. Предположим, что
после каждого столкновения электрон рассеивается в случай-
случайных направлениях и, следовательно, теряет преимущественное
144 3. Процессы накачки
направление скорости дрейфа. Таким образом, предполагается,
что в точке 1 электрон имеет лишь тепловую скорость ут, на-
направление которой с приложенным электрическим полем состав-
составляет угол Э. За время свободного пролета между точками 1 и 2
электрон будет ускоряться электрическим полем. Импульс, со-
сообщаемый этим полем электрону, равен ee'l/v-v, где I — расстоя-
расстояние между точками 1 и 2 (среднее значение этой величины при-
примем равным средней длине свободного пробега электрона).
'•дрейф
/
/
/
/
/
Рис. 3.21. Вычисление скорости дрейфа, обусловленной ускорением электрона
внешним электрическим полем между двумя столкновениями.
Этот импульс можно приравнять изменению количества движе-
движения электрона, т. е. величине тудрейф. Таким образом мы полу-
получим следующее выражение:
еЩ = тутУдрейф, C.36а)
которое вместе с C.36) образует систему двух уравнений для
двух неизвестных Vr и удрейф. Из этих уравнений имеем:
v\ = {2/6L* (e&l/m), C.37)
= F/2)'/4 {eW/myi\ C.37а)
Поскольку электронная температура определяется выражением
kTe = mv\l?> [см. C.30)], из C.37) получаем искомое выраже-
выражение для Те:
C.38)
Поскольку средняя длина свободного пробега I обратно пропор-
пропорциональна давлению газа р, из C.38) следует, что для данного
3.3. Электрическая накачка 145
газа электронная температура Те определяется лишь отноше-
отношением Sip. Это отношение представляет собой фундаментальную
величину, которая определяет установление данной электронной
температуры в системе и которую используют нередко на прак-
практике в качестве полезного параметра при определении условий
разряда. Для конкретной смеси газов обычно существует неко-
некоторое значение отношения &/р, при котором получается макси-
максимальная скорость накачки. Слишком малое значение <%/р при-
приводит к очень низкой электронной температуре Те, и лазерные
уровни накачки не могут эффективно возбуждаться. Наоборот,
при слишком большом значении <?/р (а следовательно, и Те)
возбуждаются более высокие уровни (которые не могут сильно
взаимодействовать с лазерным переходом) и возникает избы-
избыточная ионизация (которая может вызывать неустойчивый раз-
разряд, т. е. тлеющий разряд может перейти в дуговой) газовой
смеси.
Представленный выше расчет является довольно грубым,
поскольку он основан на предположении о том, что электрон
теряет при столкновении часть своей энергии, равную б. Хотя
данное условие выполняется при упругих столкновениях с ато-
атомами (в этом случае 6 = 2т/М), для неупругих столкновений
это неочевидно [электрон-электронные столкновения не играют
никакой роли в уравнении энергетического баланса C.36), по-
поскольку они просто перераспределяют скорости электронов без
изменения их средней энергии]. Следует заметить, что упругие
столкновения в действительности происходят намного чаще, чем
неупругие (сечение упругих столкновений обычно много больше
сечения неупругих столкновений). Однако доля энергии, теряе-
теряемая при упругих столкновениях, очень мала. В самом деле, если
бы упругие столкновения были основным механизмом охлажде-
охлаждения электронов, то основная часть энергии разряда тратилась
бы на нагрев атомов, а не на их возбуждение, и разряд не был
бы столь эффективным для накачки лазера. Другая причина,
почему наши вычисления нельзя считать адекватными, состоит
в предположении о максвелловском характере распределения,
что не выполняется на практике [14]. Тем не менее в лазерах
на нейтральных атомах и в ионных газовых лазерах отклонение
от максвелловского распределения невелико, и в этих случаях
в расчетах нередко используют максвелловское распределение.
Однако в молекулярных лазерах, генерирующих на колебатель-
колебательных переходах, газ ионизован очень слабо и средняя энергия
электронов мала (Е ж 1 эВ, поскольку необходимо возбудить
только колебательные состояния) по сравнению с энергией
A0—30 эВ), необходимой для лазеров на нейтральных атомах
и ионных газовых лазеров. Соответственно следует ожидать,
146
3. Процессы накачки
что приближение максвелловского распределения не будет
адекватным для молекулярных лазеров. В этом случае, чтобы
получить распределение энергии электронов f(E), расчет необ-
необходимо провести ab initio (с самого начала). С этой целью для
электронов записывают кинетическое уравнение (уравнение
Больцмана), которое требует знания всех возможных процессов
столкновения электронов, приводящих к возбуждению (или
снятию возбуждения) колебательных или электронных уровней
во всех компонентах газовой смеси в разряде. Таким образом,
г 2,5
Е, зВ
Рис. 3.22. Сравнение распределения энергии электронов f(E) для газовой
смеси в отношении СО2: N2: Не = 1:1:8 (из работы [15]) с распределением
Максвелла при той же средней энергии. На этом же рисунке представлена
кривая для сечения возбуждения молекул азота электронным ударом вплоть
до колебательного уровня с v = 5 (из работы [22]). Приведенные кривые
отражают скорее физическую картину явлений, чем конкретные числовые
значения, полученные в упомянутых выше работах.
расчет становится совершенно запутанным, а в некоторых слу-
случаях и неосуществимым из-за отсутствия необходимых данных
о сечениях столкновений электронов. Подробные расчеты на
ЭВМ были сделаны только для играющих особо важную роль
газовых смесей, таких, как смесь ССЬ: N2: He, используемая
в СОг-лазерах высокой мощности [15, 16]. В качестве примера
на рис. 3.22 показано вычисленное распределение f(E) для
смеси газов СО2: N2: Не =1:1:8 при условии, что отношение
&"/р порядка 8 В-см-1-(мм рт. ст.)-1. На том же рисунке приве-
приведено и максвелловское распределение f'(E), соответствующее
той же средней энергии электронов. Заметим, что в этом случае
f(E) существенно отличается от максвелловского распределе-
распределения. Чтобы лучше понять этот результат, на том же рисунке по-
показано сечение возбуждения электронным ударом для молекулы
N2 вплоть до колебательного уровня с v = 5. В СОг-лазере элек-
электрическая накачка осуществляется главным образом возбужде-
3.3. Электрическая накачка
147
нием этих уровней с последующей передачей энергии молекуле
СО2. Из рисунка видно, что проседание кривой f(E) по сравне-
сравнению с максвелловой кривой при Е > 2 эВ обусловлено очень
большим значением а (~10~16 см2). Действительно, очень не-
немногие электроны, ускоряемые электрическим полем разряда,
переходят барьер Е =2 эВ, поскольку они немедленно примут
участие в возбуждении молекул N2. Поэтому электроны накап-
накапливаются в области энергии меньше 2 эВ.
5 Ю 15 20 25 30
Электронная энергия, эВ
Рис. 3.23. Распределение энергий электронов и сечений поглощения на пере-
переходах 2'S и 23S в гелии (кривые для сечений заимствованы из работы [13]).
Из сказанного ясно, что в этом случае понятие электронной
температуры теряет свой смысл. Однако можно все же опреде-
определить среднюю тепловую скорость, среднюю энергию электронов
и среднюю скорость дрейфа. Используя уравнения сохранения
энергии и импульса, можно и в этом случае показать, что энер-
энергия электронов и скорость дрейфа (для рассматриваемой газо-
газовой смеси) зависят лишь от отношения &"/р, что мы и получили
из предыдущих грубых рассуждений.
Для сравнения с результатами рис. 3.22 на рис. 3.23 пред-
представлены распределение энергии и сечения поглощения, которые
соответствуют разряду в гелии при условиях работы Не — Ne-
лазера. В этом случае предполагалось наличие максвелловского
распределения со средней энергией электронов 10 эВ. Пред-
Представленные на рисунке сечения соответствуют возбуждению
электронным ударом на уровни 2'S и 23S гелия (которые дей-
действуют как уровни накачки неона, опять-таки путем передачи
энергии). Заметим, что эти сечения примерно на два порядка
меньше сечений для молекулы N2. Такой результат объясняет,
почему максвелловское распределение является весьма хоро-
хорошим приближением в данном случае. Обратите внимание
148 3. Процессы накачки
также на аналогию, которую можно установить между рис. 3.5,
3.22 и 3.23. Действительно, спектр излучения лампы на рис. 3.5
можно считать эквивалентным распределению энергий электро-
электронов на рис. 3.22 и 3.23.
3.3.2.3. Пространственное распределение скорости накачки
Прежде чем приступить к расчету этого распределения, за-
заметим, что плотность электронов Ne в выражении для Wp [см.
C.35)] может быть представлена как функция плотности тока
У и скорости дрейфа удрейф следующим образом:
ЛГе = //еуДРейф. C.39)
В тлеющем разряде постоянное электрическое поле (см.
рис. 3.19), а следовательно, и скорость дрейфа [см. выраже-
выражение C.37а)] не зависят от плотности тока J. Отсюда следует,
что пространственная зависимость плотности электронов Ne
[см. C.39)], а значит, и скорости накачки Wp [см. C.35)] та-
такие же, как и для плотности тока J.
В случае когда газ заключен в цилиндрическую трубку и ток
разряда протекает вдоль этой трубки, радиальную зависимость
плотности тока J можно найти аналитически [17, 18]. Как для
лазеров на нейтральных атомах, так и для ионных газовых ла-
лазеров можно считать, что электрон-ионная рекомбинация проис-
происходит только на стенках. Безызлучательная ион-электронная
рекомбинация (A,- -f- e) действительно не может происходить
в объеме разряда, поскольку в таком процессе невозможно со-
сохранение как полного момента, так и энергии частиц. Напри-
Например, в лобовых столкновениях скорость v рекомбинировавшего
атома дается простым выражением (полученным из условия
сохранения импульса): v= (m{v{-\-m2v2)/(m{ + m2), где m; (t=l,
2) — массы, a Vi — скорости электрона и иона до столкнове-
столкновения. Для данных значений i>i и v2 скорость v определяется од-
однозначно. Следовательно, кинетическая энергия (mi + m2)u2/2
также определена и в общем случае не равна сумме исходной
кинетической энергии частиц и энергии рекомбинации. Однако
излучательная ион-электронная рекомбинация является мало-
маловероятным процессом, поскольку для осуществления этого про-
процесса избыточная энергия рекомбинации должна быть удалена
в течение короткого времени столкновения. Трехчастичный же
процесс e-vAi + M, в котором избыточная энергия передается
третьему партнеру М, также маловероятен при используемых
давлениях газа (несколько мм рт. ст.).
Ион-электронная рекомбинация на стенках может осущест-
осуществляться двумя различными механизмами в зависимости от дав-
3.3. Электрическая накачка
149
ления газа р и радиуса трубки R. Если средняя длина свободного
пробега иона много короче R, то рекомбинация осуществляется
посредством амбиполярной диффузии к стенкам сосуда. Это оз-
означает, что как электроны, так и ионы диффундируют к стен-
стенкам. Если бы одна из заряженных частиц, скажем, электрон,
благодаря своей более высокой подвижности диффундировала
с более высокой скоростью, то в радиальном направлении воз-
возникло бы сильное электрическое поле. При этом такое радиаль-
радиальное поле уменьшило бы ради-
радиальную диффузию электронов
и увеличило бы радиальную
диффузию ионов. Аналитиче-
Аналитическое описание амбиполярной
диффузии можно получить на
основе теории Шотки для по-
положительного столба (в этой
теории предполагается макс-
велловское распределение ско-
скоростей) [17, 18]. Согласно этой
теории, радиальное распреде-
распределение плотности электронов
в разряде изменяется по за-
закону /о B,4 r/R), где Уо—функ-
Уо—функция Бесселя нулевого по-
порядка. Эта функция построена Рис. 3.24. Радиальная зависимость
на рис 3 24 Заметим, что на плотности электронов в газе, заклю-
б ГГ* ° ГГТГГ JTZ
стенках трубки плотность элек- {продольный рад), кривая "Л-
тронов уменьшается ДО нуля. теория Шоттки (газ высокого давле-
Эксперименты показали, ЧТО ния); кривая 5 — теория Тонкса —
теория Шотки справедлива Ленгмюра (газ низкого давления),
для лазеров на инертных га-
газах, в том числе на нейтральных атомах, а также для ионных
лазеров на инертных газах высокого давления (которые рабо-
работают в импульсном режиме). Интересно также заметить, что
радиальная зависимость электронной плотности в виде функции
Бесселя была использована для точного вычисления радиаль-
радиального распределения инверсии населенностей в СОг-лазере [19],
где, как мы видели, предположение о максвелловском распре-
распределении выполняется плохо.
Когда средняя длина свободного пробега иона становится
сравнимой с радиусом трубки (что наблюдается в ионных газо-
газовых лазерах с относительно низким давлением), электроны и
ионы достигают стенок не вследствие диффузии, а благодаря
свободному пролету до них. В этом случае необходимо пользо-
пользоваться моделью «свободного падения» Тонкса — Ленгмюра для
150 3. Процессы накачки
плазменного разряда [20]. Соответствующее радиальное распре-
распределение плотности электронов в разряде показано в виде кривой
Б на рис. 3.24. Заметим, что эта кривая, хотя и не описывается
функцией Бесселя, все же имеет колоколообразную форму.
В случае когда газ возбуждается током, текущим поперек
оси резонатора (например, если оба электрода расположены
вдоль оси резонатора; см. рис. 3.16,6), надежное определение
пространственного распределения скорости накачки становится
затруднительным. Действительно, на распределение влияют
форма электродов, тип и геометрическое расположение иногда
используемых дополнительных источников ионизации, а также
характеристики потока газовой смеси в разрядной трубке. Экс-
Экспериментальные измерения результирующей инверсии населен-
ностей свидетельствуют о довольно неоднородном и асиммет-
асимметричном распределении накачки при таком виде разряда
(обычно наблюдается 50 %-ное изменение скорости накачки от
центра разрядного канала к периферии).
3.3.2.4. Уравнение ионизационного равновесия
Из уравнений Шотки и Тонкса — Ленгмюра можно получить
весьма интересный результат, если заметить, что должно выпол-
выполняться условие равновесия, согласно которому скорость образо-
образования электрон-ионных пар должна быть равна скорости реком-
рекомбинации этих пар на стенках трубки (уравнение ионизационного
равновесия). Нетрудно показать, что скорость образования
электрон-ионных пар №,¦ является функцией электронной темпе-
температуры, т. е. Wi = Wi(Te) (см. задачу 3.14). Действительно,
ионизация происходит при соударениях с наиболее высокоэнер-
высокоэнергетическими электронами в распределении, и число таких элек-
электронов резко увеличивается с ростом Те. Следует ожидать, что
скорость рекомбинации на стенках Wr зависит от отношения
радиуса трубки R и средней длины свободного пробега ионов,
т. е. от произведения R на давление газа р [Wr = Wr(pR)].
Если теперь записать
Wt(Te) = Wr(pR), C.40)
то становится ясным, что между Те и pR должна существовать
функциональная зависимость. Таким образом, для данного газа
Те является функцией только pR, т. е.
Te = f(pR). C.41)
Таким образом, уравнение ионизационного равновесия приво-
приводит к соотношению между Те и pR по существу тем же путем,
3.3. Электрическая накачка 151
что уравнение сохранения энергии приводит к связи между Те
и &/р [см. выражение C.38)].
Во-первых, используя зависимость C.41), заметим, что для
оптимизации скорости накачки в лазерном разряде температура
Те должна иметь оптимальное значение Тео. Полагая в C.41)
Те = ТеОу мы видим, что в лазере с продольным разрядом для
данной газовой смеси будет существовать оптимальное значе-
значение pR, которое соответствует максимальной скорости накачки
и, следовательно, максимальной выходной мощности.
Во-вторых, с помощью зависимости C.41) можно объяснить,
почему в устойчивом тлеющем разряде напряжение, приложен-
приложенное к разряду, практически не зависит от тока / (см. рис. 3.19)
[11]. Если рассмотреть некоторый разряд с данными значения-
значениями радиуса трубки и давления газа, то в соответствии с C.41)
мы будем иметь определенную электронную температуру. При
этом из выражения C.38) видно, что электрическое поле будет
также фиксировано и не будет зависеть от тока разряда. Пре-
Предыдущее рассуждение с небольшим изменением позволяет так-
также объяснить, почему напряжение на рис. 3.19, приложенное к
разряду, слегка уменьшается с ростом тока. Выражение C.40)
следовало бы модифицировать, чтобы включить в него еще и
скорость ионизации W'{ с верхних возбужденных состояний
данных атомных частиц. Таким образом,
Wi (Те) + W'l (Те> -0 = ^г (PR). C.40а)
Заметим, что W'{ зависит не только от Те, как в случае №,-, но
и от У, поскольку от У зависит населенность возбужденных со-
состояний. В действительности следует ожидать, что W't увеличи-
увеличивается с ростом У. Рассматривая W'( как небольшое возмуще-
возмущение скорости ионизации Wi, нетрудно прийти к заключению, что
величина Те в C.40а) должна слегка уменьшаться с ростом У.
Действительно, при больших значениях У необходимо меньшее
число ионизирующих процессов, начинающихся с основного со-
состояния, поскольку увеличивается роль ионизации из возбуж-
возбужденных состояний. Так как Те слегка уменьшается с ростом У,
электрическое поле разряда в соответствии с C.38) должно
также слегка уменьшаться с ростом У.
3.3.2.5. Вычисление скорости накачки
Если известны сечение взаимодействия с электроном <уе,
распределение электронной энергии f(E) и плотность числа
электронов Ne, то нетрудно вычислить величину Wp. Из C.35)
152 3. Процессы накачки
и C.39) получаем следующее выражение:
. C-42)
где, как отмечалось выше, выражение в квадратных скобках
зависит лишь от отношения S'/p. Заметим, что, поскольку вели-
величина & (почти) постоянна для данного газового разряда, изме-
изменение скорости накачки может быть достигнуто лишь изме-
изменением плотности тока J. Вычислив Wp, общий результат рас-
расчета можно представить в наводящей на размышления форме,
если, как и в случае оптической накачки, определить КПД на-
накачки rip в виде отношения минимальной мощности накачки,
необходимой для достижения данной скорости накачки Wp, к
фактической электрической мощности Р, подведенной к разря-
разряду. Эта минимальная мощность может быть записана как
(WpyNghvp, где <№р> — усредненное по объему разряда V зна-
значение Wp и hvp — разность энергий между верхним и основным
лазерными уровнями. Таким образом, можно написать
r\p=(Wp)VNghvplP. C.43)
Заметим, что с хорошей точностью КПД электрической накач-
накачки т]р не зависит от плотности тока разряда, поскольку как Wp
[см. C.42)], так и Р пропорциональны плотности тока.
В качестве особенно наглядного примера вычисления г\р
рассмотрим опять случай СО2-лазера. На рис. 3.25 представле-
представлены результаты численного расчета для двух газовых смесей
СО2: N2: Не = 1 : 2: 3 и 1 : 0,25 : 3. На рисунке представлена
доля полной мощности накачки, идущей в различные каналы
возбуждения, как функция отношения &/р. Кривые / представ-
представляют мощность накачки, затрачиваемой на упругие столкнове-
столкновения, на возбуждение вращательных уровней основного состоя-
состояния молекул N2 и СО2, а также на возбуждение нижних коле-
колебательных уровней СО2. Кривые /// и IV определяют мощность,
идущую соответственно на электронное возбуждение и иониза-
ионизацию, а кривые // — мощность накачки соответственно верх-
верхнего @01) лазерного уровня молекулы СО2 и первых пяти коле-
колебательных уровней молекулы N2. Если передача энергии между
молекулами N2 и СО2 происходит с достаточной эффектив-
эффективностью, то всю эту мощность накачки можно рассматривать как
полезную. Таким образом, кривая // дает КПД накачки г\р.
Заметим, что, как упоминалось выше при рассмотрении элект-
электронной температуры (которая в данном случае не имеет смысла,
поскольку распределение электронов далеко не максвеллов-
ское), существует оптимальное значение &"/р. При слишком
малых &1р мощность накачки в большой степени теряется на
упругие столкновения и возбуждение нижних колебательных
3.3. Электрическая накачка
153
уровней молекулы ССЬ. При очень больших значениях
преобладающим каналом возбуждения становится электронное
возбуждение. Заметим также, что при оптимальной величине
&1р могут быть получены большие значения г\р (около 80 %
для смеси 1:2:3).
Если величина г\р известна, то из C.43) имеем
'<«%>=ътязкг <3-44>
Таким образом, мы получили очень простое выражение для Wp,
которым будем пользоваться в последующих главах. Безуслов-
too
80
60
40
го
о
-1—i—п г
т
-\
J
ё/р,
г
W
i I
В/{см • ли
Ю
—гп
СОг-Мг:
/А
\
л ,
-' \
п ртп. ст.)
I
Не - 7: 2
- 1 :0,Z5
V/
X/
д
1 -^ iJr
]
;3
:3
IV
\
100
1 п~~
т '
\
\ / ~
^^
Iff77 1(?!S Ш75
6/М, В-см2
Рис. 3.25. Относительная мощность Ротн (в процентах к полной мощности),
которая идет в различные каналы возбуждения СОг-лазера (N — общая на-
населенность частиц газа). Кривые / — упругие столкновения и т.п.; кривые //—
колебательное возбуждение СОг@01) + N2; кривые /// — электронный удар;
кривые IV — ионизация. (Согласно работе [15].)
но, как и в случае оптической накачки, пригодность этого вы-
выражения зависит от того обстоятельства, будет ли кем-нибудь
предварительно выполнено вычисление величины г\р.
3.3.3. Возбуждение посредством (около)резонансной
передачи энергии [13, 21]
В этом случае возбуждение можно также описать соот-
соответствующим сечением столкновения оав'
= J/VJVByaAB, C.45)
154 3. Процессы накачки
где (dN/dt)AB — число переходов в единице объема за единицу
времени, обусловленных процессом, определяемым выражением
C.28), NA— населенность верхнего состояния частиц А, а
Мъ — населенность нижнего состояния частиц В. Для данной
температуры Т газа величину уаАВ необходимо усреднить по
распределению скоростей рассматриваемых частиц.
Чтобы глубже понять механизмы, участвующие в возбуж-
возбуждении посредством передачи энергии, рассмотрим несколько
вопросов, связанных с квантовомеханическим вычислением
(Tab. В процессе переноса энергии, который в действительности
происходит следующим образом: когда частица А приближает-
приближается к частице В, между ними происходит взаимодействие, кото-
которое может быть описано потенциальной энергией взаимодей-
взаимодействия. Эта энергия может быть либо энергией притяжения (см.
рис. 2.23), либо энергией отталкивания (см., например,
рис. 6.25) в зависимости от того, стремятся ли две частицы
сблизиться или оттолкнуться друг от друга. Рассмотрим эту
двухчастичную систему как целое. Потенциал взаимодействия
обозначим как ?/(i*;, R;), где г,- и R; координаты соответственно
электронов и ядер двухчастичной системы. Заметим, что, когда
двумя сталкивающимися частицами являются атомы, един-
единственной интересующей нас ядерной координатой является
межъядерное расстояние R. Однако если частицы — это моле-
молекулы, то потенциал взаимодействия будет также зависеть от
взаимной ориентации двух молекул. Чтобы упростить обсужде-
обсуждение данного вопроса, ограничимся рассмотрением случая стал-
сталкивающихся атомов. Во время столкновения межъядерное рас-
расстояние R будет меняться во времени [т. е. R = R(t)], что
приведет к зависящему от времени потенциалу ?/(г,-, R{t)) =
= U(ti, t). Для атомов, которые отталкиваются друг от друга,
функция U(t), по-видимому, будет иметь общий вид, показан-
показанный на рис. 3.26, а порядок величины времени столкновения
Лтс можно найти из выражения B.61). Поскольку мы рассмат-
рассматриваем двухатомную систему как целое, будем считать, что
волновая функция ty\ начального состояния (т. е. до столкнове-
столкновения) соответствует ситуации, когда атом А находится в возбуж-
возбужденном состоянии, а атом В — в основном состоянии. Иными
словами, \|з, =^А.^В, где г|зА« и \|зв— волновые функции двух
изолированных атомов. Аналогичным образом можно записать
волновую функцию ур2 конечного состояния (после столкнове-
столкновения) в виде ^А^в.. Будем следовать обозначениям для общей
схемы переноса энергии на рис. 3.17. Тогда энергия начального
состояния ?, равна ЕА, а энергия конечного состояния ?2 равна
Ев, где ЕА и Еъ — энергии возбужденных состояний частиц А
3.3. Электрическая накачка
155
и В соответственно. Схема энергетических уровней двухатомной
системы показана на рис. 3.27. Во время столкновения под дей-
действием возмущения, вызванного зависящим от времени потен-
потенциалом ?/(r,-, t), система будет совершать переход из состояния
¦ф 1 в состояние ty2- На языке квантовой механики это означает,
что на систему будет действовать зависящий от времени га-
гамильтониан 36(ti, t), который можно получить из потенциала
U(r{, t) с помощью стандартных выкладок. Таким образом, мы
видим, что, как и в случае поглощения фотона (разд. 2.3.1),
Avc
1
л
1
Е
Рис. 3.26. Зависимость потенциа-
потенциала взаимодействия двух сталки-
сталкивающихся частиц от времени.
Рис. 3.27. Энергетические уровни
двухатомной молекулы.
мы рассматриваем здесь именно случай двухуровневой систе-
системы (с энергиями ?\ и Е2), на которую действует зависящий от
времени гамильтониан Ж (г,-,/). Однако в этом случае временная
зависимость гамильтониана Ж{г), будучи такой же, как и у по-
потенциала U(t), имеет форму импульса (см. рис. 3.26), в то
время как в случае поглощения фотона временная зависимость
имела форму синусоиды. Вычисление скорости перехода и тем
самым сечения адв производится таким же способом, как и для
поглощения фотона (нестационарная теория возмущений), за
исключением того, что теперь гамильтониан возмущения имеет
импульсную зависимость от времени. Окончательное выраже-
выражение для сечения перехода адв можно записать в виде
о
став ¦
где
H(t)cxp(i<*l2t)dt
@ = ? \^1 {г,) Ж (гг 0 *, {г,)
C.46)
C.47)
166 5. Процессы накачки
— матричный элемент перехода между начальным и конечным
состояниями системы. Сумма в выражении C.47) вычисляется
по всем координатам электронов двухатомной системы. Величи-
Величина «1 2 в C.46) дается выражением o)i2 = AE/h, где Д? — энер-
энергия перехода (см. рис. 3.27).
Выражение C.46) представляет собой искомый результат
и позволяет сделать несколько замечаний о физической сущ-
сущности рассматриваемых процессов. Вначале заметим, что вели-
величина став пропорциональна спектральной мощности матричного
элемента H(t) на частоте AE/h. Так как временная зависимость
Н (t) совпадает с U(t) (т. е. с кривой на рис. 3.26), то отсюда
следует, что стАв определяется фурье-образом ?/(«) потенциала
взаимодействия U(l) на частоте перехода аи 2. Это означает,
что переход вызывается спектральной компонентой U («) на
частоте « = «12, — результат, физическую сущность которого
нетрудно понять. Имея этот результат, можно также предска-
предсказать ожидаемую зависимость став от энергетического зазора АЕ.
Таким образом, замечая, что фурье-спектр импульса, показан-
показанного на рис. 3.26, имеет максимум на частоте v = а>/2я = О
с шириной полосы порядка 1/Атс, можно ожидать больших зна-
значений став лишь в том случае, когда
Д?<Л/Дтс = Д?рез; C.48)
здесь Д?рез — ширина резонанса, в пределах которого может
происходить обмен энергией. Заметим, что в соответствии с вы-
выражениями B.61) и B.62) можно написать следующее выра-
выражение:
Л? Ы C49)
откуда мы видим, что величина Д?рез пропорциональна квад-
квадратному корню из тепловой энергии kT. Это расходится с тем
результатом, который можно было бы получить с помощью
наивного рассмотрения процесса, когда с учетом того, что про-
процесс обусловливается атомами, движущимися с тепловыми
скоростями, следовало бы ожидать A?Pe3 ~ kT. В действитель-
действительности же, как показано в приведенном выше физическом опи-
описании, возбуждение перехода обусловлено фурье-образом по-
потенциала взаимодействия, а не тепловой энергией. В качестве
примера рассмотрим атомы неона, для которых мы имеем
Дтс « Ю-13 с [см. B.63)], и из выражения C.49) находим
Д?Рез ~ 0,006 эВ, что существенно меньше, чем kT (ж0,025эВ).
Заметим, наконец, что поскольку процесс передачи энергии
имеет резкий пик при Д? = 0, сечение став должно быть очень
большим в случае, когда энергетический зазор между двумя
Задачи 167
атомами существенно меньше, чем AEpei. Действительно, в этом
случае сечение может достигать значений вплоть до 10~14 см2,
что считается чем-то необычным. Поэтому можно заключить,
что околорезонансные столкновения обеспечивают очень удоб-
удобный путь селективного заселения данного уровня, особенно в
том случае, когда возбужденное состояние частиц А метаста-
бильно.
Задачи
3.1. Кристаллический стержень из Nd : YAG диаметром 6,3 мм накачивается
лампой с внутренним диаметром 4 мм в эллиптическом осветителе, большая
ось которого равна 40 мм, а эксцентриситет равен 0,3. Вычислите эффектив-
эффективность передачи накачки, предположив, что средняя отражательная способ-
способность покрытия осветителя равна 0,95 и что лампа непрозрачна для соб-
собственного излучения.
3.2. Стержень из Nd: YAG диаметром 6,3 мм накачивается спиральной им-
импульсной лампой диаметром Dl = 2 см. Вычислите эффективность передачи
накачки, предполагая, что т\а = 0,2, t]l = 0,5 и г\рс = 0,1.
3.3. С помощью рис. 3.14 вычислите <fi> для каждого значения aR и пока-
покажите, что в хорошем приближении (fi) « ехр[—(aR)].
3.4. Лампа с внутренним диаметром 4 мм расположена вдоль фокальной
линии эллиптического осветителя с большой осью длиной 34 мм и малой
осью 31,9 мм. Вычислите размеры изображения лампы на второй фокаль-
фокальной линии. Что произойдет, если вдоль этой фокальной линии поместить
стержень с полированной боковой поверхностью?
3.5. Если свет накачки, падая на лазерный стержень, распространяется вну-
внутри него в радиальном направлении, то покажите, что в этом случае эффек-
эффективность поглощения можно записать в виде
где R — радиус стержня, а — коэффициент поглощения, a h\ — спектраль-
спектральная интенсивность падающего на стержень света. Учитывая результат, полу-
полученный в задаче 3.3, покажите, что если 1—ехр[—Bа/?)] = {ехр(аД) —
— ехр[—(аД)]}ехр[—(aR)] ж 2aR exp [—(aR)], то предыдущее выражение
для тH сводится к C.22).
3.6. Используя выражение C.2), с помощью C.22) и C.24) покажите, что
3.7. Оптимальная напряженность электрического поля, необходимая для ра-
работы импульсного азотного лазера в УФ-диапазоне (Я = 337,1 нм), прибли-
приблизительно равна 10 кВ/см при типичном рабочем давлении р « 30 мм рт. ст.
(для сечения трубки 5X10 мм). Типичная длина азотного лазера порядка
1 м. Какую из двух схем накачки, представленных на рис. 3.16, вы исполь-
использовали бы в этом лазере?
3.8. Предполагая, что электроны подчиняются распределению Максвелла —
Больцмана, вычислите электронную температуру (в эВ) газа электронов со
средней кинетической энергией 10 эВ.
158 3. Процессы накачки
3.9. Предположим, что электрон массой т сталкивается упруго с атомом
массой М. Допустим также, что до столкновения атом находился в состоя-
состоянии покоя, а рассеяние электрона при столкновении является изотропным.
Покажите, что в результате столкновения электрон теряет часть своей энер-
энергии, равную 2т/М.
3.10. Предположим, что в C.36) доля теряемой энергии 6 определяется
только упругим рассеянием. Покажите, что при этом Чдрейф/чт = [т/М]1'2,
где т — масса электрона, а М — масса атома. Вычислите отношение
/ для атома неона.
3.11. Покажите, что упругие столкновения встречаются значительно более
часто, чем неупругие.
3.12. Теория амбиполярной диффузии дает следующее соотношение между
электронной температурой Тв и произведением pD:
xm •-
здесь С — постоянная для данного газа, а х = EJkTe, где Ei — энергия
ионизации газа. Вычислите требуемое значение величины pD для электрон-
электронной температуры Те = 80 000 К, используя значения констант, соответствую-
соответствующих гелию: С = 3,2-Ю-4 [(мм рт. ст.)-1] и Ei = 24,46 эВ.
3.13. Среднюю длину свободного пробега / электрона можно найти из соот-
соотношения 1= l/Na, где N — плотность числа атомов, а а — полное сечение
возбуждения атома электронным ударом. Предполагая, что а есть сечение
упругих столкновений аупр и что для атомов гелия ау„р = 5'10~18 см2, вы-
вычислите Чт и Удрейф при энергии электронов Е = 10 эВ, давлении Не р =
= 1,3 мм рт. ст., температуре Т = 400 К и напряженности приложенного
к разряду электрического поля Ж = 30 В/см.
3.14. Предположим, что сечение ионизации представляет собой ступенчатую
функцию начиная с энергии, равной энергии ионизации Е/, и принимает по-
постоянное значение at при больших энергиях. Считая, кроме того, что элек-
электроны подчиняются распределению Максвелла, покажите, что скорость иони-
ионизации дается выражением
Е, \ / Е.
3.15. Рассмотрим газоразрядную трубку радиусом 1 см, наполненную равно-
равномерно как ионами, так и электронами с плотностью числа частиц Ni=Ne*=
= 1013 см~3. Если бы все электроны вдруг исчезли и остались лишь поло-
положительно заряженные ионы, то чему был бы равен потенциал V стенок
относительно середины трубки? С помощью этого рассуждения объясните
явление амбиполярной диффузии.
3.16. Люминесцентная лампа состоит из трубки, содержащей газ Аг под
давлением порядка 3 мм рт. ст. и каплю Hg, что обеспечивает давление
пара порядка 3-103 мм рт. ст. при нормальной рабочей температуре
Т = 300 К. Однако для простоты предположим, что трубка наполнена
только газом Аг. Напряжение, которое нужно приложить к концам лампы
с длиной трубки 1 м, равно приблизительно 74 В. Предполагая, что доля
энергии, теряемая при столкновениях, равна 6=1,4-10-*, пренебрегая ка-
катодным и анодным падением напряжения и предполагая, что упругие столк-
столкновения преобладают над другими столкиовительнымн процессами и что
Супр = 2-10-" см2, вычислите электронную температуру в разряде.
Литература 159
Литература
1. Koechner W., Solid-State Laser Engineering (Springer Series in Optical
Sciences, v. 1), Springer-Verlag, New York, 1976, ch. 6.
2. Ross D. Lasers, Light Amplifiers, and Oscillators, Academic Press, New
York, 1969, ch. 14.
3. Koechner W., Solid State Laser Engineering, Springer-Verlag, New York,
1976, p. 327.
4. Emmett 1. L., Schawtow A. L., J. Appl. Phys., 36, 2601 A964).
5. Bowness C, Appl. Opt., 4, 103 A965).
6. Whittle J., Skinner D. R., Appl. Opt, 5, 1179 A966).
7. Devlin G. E., Mckenna /., May A. D., Schawlow A. L., Appl. Opt., 1, 11
A962).
8. Cooke С. Н„ McKenna /., Skinner 1. R., Appl. Opt., 3, 957 A964).
9. Laporta P., Magni V., Svelto 0., IEEE J. Quantum Electron., QE-21, 1211
A985).
10. Von Engel A., Ionized Gases, 2nd edn., Clarendon Press, London, 1965.
11. Verdeyen I. T., Laser Electronics, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, New
Jersey, 1968, ch. 11.
12. Waymouth 1. F., Electric Discharge Lamps, MIT Press, Cambridge, Massa-
Massachusetts, 1971.
13. Massey H. S., Burhop E. H. S., Electronic and Ionic Impact Phenomena,
Oxford University Press, London, 1969, v. I, II. (Имеется перевод 1-го из-
издания: Месси Г., Бархоп Е. Электронные и ионные столкновения. — М.:
ИЛ, 1958.)
14. Willett С. S., An Introduction to Gas Lasers: Population Inversion Mecha-
Mechanism, Pergamon Press, Oxford, 1974, pp. 84, 280, 327.
15. Lowke J. J., Phelps A. V., Irwin B. W., J. Appl. Phys., 44, 4664 A973).
16. Nighan W. L., Phys. Rev., A2, 1989 A970).
17. Webb С E. — ln: High-Power Gas Lasers (ed. E. R. Pike), The Institute
of Physics, Bristol, 1976, pp. 1—28.
18. Willett С S., An Introduction to Gas Lasers: Population Inversion Mecha-
Mechanism, Pergamon Press, Oxford, 1974, sect. 3.2.2.
19. Cheo P. K-, CO2 Lasers. —In: Lasers (eds. A. K. Levine, A. J. De Maria),
Marcel Dekker, New York, 1971, v. 3, ch. 2.
20. Davis С. С, King Т. А. — In: Advances in Quantum Electronics
(ed. D. W. Goodwin), Academic Press, New York, 1975, v. 3, pp. 170—437.
21. Rhodes С. К., Szoke Л. —In: Laser Handbook (eds. F. T. Arecchi,
E. O. Schultz-Dubois), North-Holland, Amstredam, 1972, v. 1, pp. 265—
324.
22. Shultz G. J., Phys. Rev., 135A, 988 A964).
4
Пассивные оптические резонаторы
4.1. Введение
Данная глава посвящена теории пассивных оптических резо-
резонаторов. Под пассивным оптическим резонатором мы понимаем
замкнутую полость, состоящую из отражающих поверхностей и
содержащую внутри себя однородную, изотропную и пассивную
диэлектрическую среду. Напомним, что мода резонатора была
определена в разд. 2.2 как стационарная конфигурация электро-
электромагнитного поля, которая удовлетворяет как уравнениям Мак-
Максвелла, так и граничным условиям. При этом электрическое
поле такой конфигурации можно записать в виде
E(iy/) = ?ou(r)exp(fo»O, D.1)
где ш/2я — частота моды.
В отличие от резонаторов, применяемых в устройствах СВЧ-
диапазона, лазерные резонаторы характеризуются следующими
двумя главными особенностями: 1) они, как правило, являются
открытыми, т. е. не имеют боковой поверхности, и 2) их раз-
размеры намного превышают длину волны лазерной генерации.
Поскольку длина волны лазера простирается от долей микромет-
микрометра до нескольких десятков микрометров, лазерный резонатор
с размерами, сравнимыми с этими длинами волн, имел бы
слишком низкий коэффициент усиления, чтобы могла возник-
возникнуть лазерная генерация. Упомянутые выше две особенности
оптического резонатора оказывают значительное влияние на его
характеристики. Например, то, что резонатор является откры-
открытым, приводит к неизбежным потерям для любой моды резона-
резонатора. Эти потери обусловлены дифракцией электромагнитного
поля, вследствие чего часть энергии покидает резонатор. По-
Поэтому такие потери называются дифракционными. Таким обра-
образом, строго говоря, определение моды в смысле D.1) нельзя
применить к открытому оптическому резонатору, и в таком
резонаторе не существует истинных мод (т. е. стационарных
конфигураций). Однако в дальнейшем мы увидим, что в от-
открытых резонаторах в действительности существуют конфигу-
конфигурации типа стоячих электромагнитных волн, имеющие очень
небольшие потери. Поэтому мы будем определять моду (иногда
4.1. Введение 161
ее называют квазимодой) как такую конфигурацию электро-
электромагнитного поля, для которой напряженность электрического
поля можно написать в виде
Е (г, t) = Еои (г) ехр [(- //2те) + Ш]. D.2)
Здесь тс — время жизни фотона в резонаторе (время релакса-
релаксации квадрата амплитуды электрического поля). Из указанного
выше второго свойства оптического резонатора следует, как мы
увидим в дальнейшем, что в оптическом резонаторе резонансные
частоты расположены очень близко друг к другу. Действитель-
Действительно, в соответствии с выражением B.14) число мод резонатора
N, расположенных в пределах полосы лазерной линии шири-
шириной Avo, равно N = 8nv2VAv0/c3 = 8n(V/V) (AX0/l), где Mo =
= №Avolc — ширина лазерной линии, выраженная в единицах
длины волны. Из приведенного выражения видно, что N про-
пропорционально отношению объема резонатора V к кубу длины
волны. Так, например, если v=5-10u Гц (частота, соответ-
соответствующая середине видимого диапазона), V= I см3 и
Avo = l,7-IO9 Гц [доплеровская ширина линии Ne на длине
волны 0,6328 мкм; см. выражение B.81)], то число мод
Af«4-108. Если бы резонатор был закрытым, то все моды
имели бы одинаковые потери и такой резонатор в случае его
применения в лазере приводил бы к генерации очень большого
числа мод. При этом лазер излучал бы в широком спектраль-
спектральном диапазоне и во всех направлениях, что является весьма не-
нежелательным. Эта проблема может быть решена с помощью
открытого резонатора. В таком резонаторе лишь очень немно-
немногие моды, соответствующие суперпозиции распространяющихся
почти параллельно оси резонатора волн, будут иметь достаточ-
достаточно низкие потери, чтобы стала возможной генерация. Все
остальные моды резонатора соответствуют волнам, которые
почти полностью затухают после одного прохождения через
резонатор. Это главная причина, почему в лазерах применяется
открытый резонатор '>. Хотя отсутствие боковых поверхностей
означает, что может возбуждаться лишь очень небольшое чис-
число мод, все же число генерируемых мод, как мы покажем ниже,
может быть значительно больше, чем одна.
Наиболее широко применяемые лазерные резонаторы имеют
либо плоские, либо сферические зеркала прямоугольной (чаще
круглой) формы, расположенные на некотором расстоянии L
друг от друга. Величина L обычно составляет от нескольких
11 Применение открытого резонатора диктуется также соображениями
удобства; например, в случае когда накачка лазера осуществляется излуче-
излучением импульсной лампы, боковая поверхность препятствовала бы накачке.
5 О. Звелто
162
4. Пассивные оптические резонаторы
сантиметров до нескольких десятков сантиметров, а размеры
зеркал лежат в пределах от долей сантиметра до нескольких
сантиметров. Из различных возможных типов резонаторов об-
обратим особое внимание на следующие:
а) Плоскопараллельный резонатор (или резонатор Фабри —
Перо) (рис. 4.1). Этот резонатор состоит из двух плоских зер-
зеркал, расположенных параллельно друг другу. В первом при-
приближении моды такого резонатора можно представить себе
как суперпозицию двух плоских электромагнитных волн, рас-
J.
^ . ^
Рис. 4.1. Плоскопараллельный резо-
резонатор.
Рис. 4.2. Концентрический (сфериче-
(сферический) резонатор.
пространяющихся в противоположных направлениях вдоль оси
резонатора, как схематически показано на рис. 4.1. В рамках
этого приближения нетрудно получить резонансные частоты,
если наложить условие, что длина резонатора L должна быть
равна целому числу полуволн, т. е. L = n(i/2), где п — поло-
положительное целое число. Такое условие является необходимым
для того, чтобы на обоих зеркалах электрическое поле электро-
электромагнитной стоячей волны было равно нулю. Отсюда следует, что
резонансные частоты определяются следующим образом:
v = ri(c/2L). D.3)
Интересно заметить, что такое же самое выражение можно по-
получить, если наложить условие, чтобы набег фазы плоской
волны после полного прохода (в прямом и обратном направ-
направлении) через резонатор был бы равен целому числу, умножен-
умноженному на 2я, т. е. 2kL = 2nn. Это условие нетрудно получить из
соображений самосогласованности. Если частота плоской вол-
волны равна частоте моды резонатора, то набег фазы волны при
полном проходе резонатора должен быть равен нулю (без уче-
учета целого, кратного 2п), поскольку только в этом случае бла-
благодаря последовательным отражениям амплитуды волн в любой
произвольной точке будут складываться в фазе и давать значи-
значительное суммарное поле.
б) Концентрический (или сферический) резонатор (рис. 4.2).
Этот резонатор состоит из двух сферических зеркал, имеющих
4.1. Введение 163
одинаковые радиусы R и расположенных на расстоянии L друг
от друга таким образом, что центры кривизны зеркал d и С2
совпадают (т. е. L = 2#). На рис. 4.2 показан также геометри-
геометрический ход лучей в данном резонаторе. В этом случае моды
резонатора представляют собой приближенно суперпозицию
двух сферических волн, исходящих из точки С и распростра-
распространяющихся в противоположных направлениях. Применяя упо-
упомянутое выше соображение самосогласованности, мы опять
приходим к выражению D.3) для резонансных частот.
в) Конфокальный резонатор (рис. 4.3). Он состоит из двух
сферических зеркал с одинаковыми радиусами кривизны R, ко-
которые расположены на расстоянии L друг от друга таким обра-
образом, что фокусы зеркал h\ и F2 совпадают. Отсюда следует, что
центр кривизны С одного зер-
зеркала лежит на поверхности
второго зеркала (т. е. L=R).
С помощью геометрической
оптики изменяя расстояние от
двух параллельных лучей до
оси резонатора С{С2, можно
нарисовать сколько угодно
замкнутых оптических траек-
траекторий типа ТОЙ, ЧТО показана Рис. 4.3. Конфокальный резонатор.
на рис. 4.3. Заметим также,
что лучи на рис. 4.3 можно обратить на противоположные. Од-
Однако такое геометрическое описание не дает и намека на то,
какую конфигурацию будет иметь мода, и мы на самом деле
увидим, что такая конфигурация не может быть описана ни
плоской, ни сферической волной. Поэтому и резонансные ча-
частоты тоже нельзя получить непосредственно из соображений
геометрической оптики.
г) Резонаторы, состоящие из плоского и сферического зеркал.
Примеры этих резонаторов показаны на рис. 4.4 (полуконфо-
(полуконфокальный резонатор) и на рис. 4.5 (полусферический резонатор).
На этих же рисунках показаны и замкнутые траектории лучей,
полученные в соответствии с геометрической оптикой. Заметим,
что на рис. 4.4 направление любого луча меняется на противо-
противоположное после каждых четырех проходов.
Часто также используются резонаторы, образованные дву-
двумя сферическими зеркалами с одинаковыми радиусами кривиз-
кривизны У? и с расстоянием L между ними таким, что R < L < 2R
(т. е. эти резонаторы занимают промежуточное положение меж-
между конфокальным и концентрическим резонаторами). Кроме
того, можно построить резонатор, у которого L < R. Для
этих случаев не всегда можно выполнить построение лучей,
6*
164
4. Пассивные оптические резонаторы
при котором лучи повторяют свой путь после одного или не-
нескольких проходов резонатора.
Все эти резонаторы можно рассматривать как частные при-
примеры более общего случая резонатора, образованного двумя
сферическими зеркалами, имеющими различные радиусы кри-
Рис. 4.4. Полукопфокальный резона-
резонатор.
1 2
Рис. 4.5. Полусферический резонатор.
визны (либо положительные, либо отрицательные) и располо-
расположенными на некотором произвольном расстоянии L друг от
друга. Эти резонаторы можно подразделить на две категории, а
именно на устойчивые и неустойчивые.
Резонатор называется неустойчивым,
когда произвольный луч, последова-
последовательно отражаясь от каждого из двух
зеркал, удаляется на неограниченно
большое расстояние от оси резона-
резонатора. Очевидный пример неустойчи-
неустойчивого резонатора приведен на рис. 4.6.
Рис. 4.6. Пример неустойчи- Наоборот, резонатор, в котором^ луч
вого резонатора. остается в пределах ограниченной об-
области, называется устойчивым.
В настоящей главе мы займемся главным образом вычисле-
вычислением модовых конфигураций и соответствующих резонансных
частот, а также дифракционных потерь для наиболее широко
применяемых резонаторов.
4.2. Некоторые разделы геометрической
и волновой оптики
Прежде чем приступить к подробному обсуждению оптиче-
оптических резонаторов, уместно рассмотреть в этом разделе некото-
некоторые вопросы геометрической и волновой оптики, которые обыч-
4.2. Некоторые разделы геометрической и волновой оптики 165
но не входят в элементарные учебники по оптике, но которые
составили бы весьма полезный фундамент для данной главы.
Таким образом, в разд. 4.2.1 мы дадим введение в матричную
формулировку геометрической оптики в рамках приближения
параксиальных лучей. В разд. 4.2.2 и 4.2.3 рассмотрим много-
многочисленные интерференционные явления, которые имеют место
соответственно в интерферометре Фабри — Перо и многослой-
многослойном диэлектрическом покрытии.
4.2.1. Матричная формулировка геометрической оптики [1]
Рассмотрим луч света, который либо проходит через обра-
обратимый и поляризационно-независимый оптический элемент (на-
(например, линзу или зеркало), либо отражается от него. Если
луч распространяется приблизительно вдоль оси г, то лучевой
вектор г, на данной входной плоскости z= zt оптического эле-
элемента (рис. 4.7) можно описать двумя параметрами:
Рис. 4.7. К матричному представлению распространения луча через произ-
произвольным оптический элемент.
его радиальным смещением п {zi) от оси z и угловым смещением
6i. Аналогичным образом лучевой вектор г2 на выходной плоско-
плоскости z = z2 можно определить его радиальным r2(z2) и угловым 62
смещениями. В приближении параксиальных лучей угловые
смещения 6 предполагаются достаточно малыми, так что мы
можем записать sin 6 ж tg 6 « 6. В этом случае выходные
(г2, 62) и входные (л, 6i) переменные связаны друг с другом
линейным преобразованием. Таким образом, если положить
Ql^(dri/dz) =r[ и %~(dr2/dz)z=r2, то мы имеем следую-
следующие соотношения:
r2 = Arl + Br[, D.4а)
r' = Cr, + Dr' D.46)
где А, В, С и О —постоянные, характеризующие данный
оптический элемент. Поэтому естественно записать D.4)
166
4. Пассивные оптические резонаторы
в матричном виде:
А В
С D
D.5)
где матрица ABCD полностью характеризует данный оптиче-
оптический элемент в приближении параксиальных лучей.
Л
•Y
Ч
г
г,
п
VJn
L
к
*?*2
Z
z=z2
а
в \R
Рис. 4.8. К вычислению ЛВСД-матрицы для случаев свободного распростра-
распространения луча (а), распространения через линзу (б) и отражения от сфериче-
сферического зеркала (я).
В качестве первого и простейшего примера рассмотрим сво-
свободное распространение луча на расстояние Az=L в данной
среде с показателем преломления п (рис. 4.8,а). Если входная
и выходная плоскости расположены в непосредственной бли-
близости от данной среды, но в среде с показателем преломления,
равным единице, то
[/ D.6а)
D.66)
4.2. Некоторые разделы геометрической и волновой оптики 167
и соответствующая ЛВСО-матрица запишется в виде
1 L/n
О 1
D.7)
В качестве следующего примера рассмотрим распространение
луча через линзу с фокусным расстоянием f (будем считать f
положительным для собирающей линзы). Для тонкой линзы,
очевидно, имеем (рис. 4.8, б)
г2 = Г1. D.8а)
Второе соотношение получается из хорошо известного закона
геометрической оптики, а именно \/р + 1/<7 = 1/f, с учетом того,
что p = rljr[ и q = —r2jr'r Используя соотношение D.8а),
находим
+ r;. D.86)
В соответствии с D.8а) и D.86) ЛВСО-матрица в этом случае
запишется в виде
1
-1/f
D.9)
Третий пример представляет собой отражение луча сфериче-
сферическим зеркалом с радиусом кривизны R (будем считать R по-
положительным для вогнутого зеркала). В этом случае плоскости
Z\ и z2 выбирают таким образом, что они совпадают одна с дру-
другой и располагаются непосредственно перед зеркалом. За по-
положительное направление оси z берется направление слева
направо для падающего вектора и справа налево для отражен-
отраженного. С учетом этих соглашений лучевая матрица вогнутого зер-
зеркала с радиусом кривизны R и, следовательно, фокусным рас-
расстоянием f = R/2 совпадает с матрицей для положительной
линзы с фокусным расстоянием /. Таким образом, лучевая мат-
матрица запишется в виде
1 О
1
D.10)
-2/R
В качестве общего замечания, которое справедливо во всех трех
рассмотренных случаях, укажем на то, что определитель
ЛВСО-матрицы всегда равен единице, т. е.
AD-BC=\. D.11)
В табл. 4.1 мы привели лучевые матрицы для рассмотренных
выше оптических элементов, а также для сферической границы
раздела двух диэлектриков (задача 4.1). Заметим, что опреде-
168
4. Пассивные оптические резонаторы
литель ЛВСО-матрицы равен единице только тогда, когда пока-
показатели преломления на входной и выходной плоскостях одина-
одинаковы.
Таблица 4,1. Лучевые'матрицы для некоторых широко распространенных
случаев
Распространение в свободном
пространстве
Тонкая линза
Сферическое зеркало
Сферическая граница раздела
диэлектриков
Г/ L/n\
10 1 J
-1/f
1 О
-ZjR
1 О
Пг- П, 7 П,
Т1% R П%
Если известны матрицы элементарных оптических компо-
компонентов, то полную матрицу сложной оптической системы не-
нетрудно получить путем разбиения ее на эти элементарные ком-
компоненты. Действительно, предположим, что внутри данного
оптического элемента можно рассмотреть промежуточную
плоскость с координатой z-t (рис. 4.9) таким образом, что две
ЛВСО-матрицы между плоскостями г = Z\ и z = z-t, а также
между плоскостями z = z-t и z = 22 известны. Если координаты
лучевого вектора на плоскости z = z; обозначать через г,- и г\,
то, очевидно, можно написать
D.12а)
D.126)
Л
г2
А, В,
С, D,
А2 В2
С2 D2
г[
4.2. Некоторые разделы геометрической и волновой оптики
169
Если в D.126) подставить выражение D.12а) для вектора rt,
то получим
Гп /lo On At Dl Г|
D.13)
г2
=
л2 в2
л, в,
С, 0,
Л
Таким образом, полную ЛВСО-матрицу можно получить пере-
перемножением ЛВСО-матриц элементарных оптических компонен-
компонентов. Заметим, что порядок, в котором матрицы располагаются
i
i
i
Z=Z?
z ~zz
г.-.z,
Рис. 4.9. Распространение луча через три различные плоскости в случае,
когда две матрицы между плоскостями zi = z2 и z = z,-, а также плоско-
плоскостями z = zi и z = z2 известны.
в произведении, является обратным по отношению к порядку,
в котором световой луч проходит соответствующие оптические
элементы. В качестве первого и, возможно, тривиального при-
примера рассмотрим в среде с показателем преломления п сво-
свободное распространение на расстояние Lb за которым следует
опять свободное распространение на расстояние L2. В соответ-
соответствии с D.7) общее матричное уравнение можно записать в
виде
г« 1 1,/п 1 I Jn г.
D.14)
Применяя хорошо известные правила перемножения матриц,
нетрудно показать, что произведение двух квадратных матриц
дает результирующую матрицу:
г2
г*
=
1 LJn
0 1
1 Un
0 1
Л
О
1
D.15)
Это вычисление подтверждает тот очевидный вывод, что ре-
результирующее распространение эквивалентно свободному рас-
распространению на расстояние L = L\ + L2. В качестве менее
170
4. Пассивные оптические резонаторы
тривиального и более полезного примера рассмотрим свобод-
свободное распространение на расстояние L (в среде с показателем
преломления п = 1) с последующим отражением от зеркала с
радиусом кривизны R. В соответствии с D.7), D.10) и D.13)
результирующая ЛВСО-матрица запишется в виде
1
-2/R
1
-2/R
L
1 - BL/R)
D.16)
Заметим, что определители обеих матриц D.15) и D.16) снова
равны единице, причем это выполняется для произвольной по-
последовательности оптических элементов, так как определитель
произведения матриц равен произведению определителей.
Оптический
¦элемент
Рис. 4.10. Распространение сферической волны, исходящей из точки Pi,
через произвольный оптический элемент, описываемый данной /lBCD-мат-
рицей.
Представленная выше матричная формулировка может быть
весьма полезной для описания оптического резонатора в при-
приближении геометрической оптики. Этот подход мы применим
в разд. 4.7.3 для исследования устойчивости оптического резо-
резонатора из двух сферических зеркал.
Матричная формулировка полезна не только для описания
поведения луча, проходящего через оптическую систему, но
также и для изучения распространения сферической волны.
Действительно, рассмотрим сферическую волну, исходящую из
точки Р, рис. 4.10 и распространяющуюся вдоль оси z в поло-
положительном направлении. После прохождения оптического эле-
элемента, описываемого данной ЛВСО-матрицей, эта волна пре-
преобразуется в новую сферическую волну с центром в точке Р2.
Рассмотрим два сопряженных луча Г[ и г2 двух сферических
волн. Радиусы кривизны R\ и R2 сферических волн на входной
z = Zi и на выходной z = z2 плоскостях оптического элемента
даются выражениями
R^rJt. D.17а)
R2 = rjr'r D.176)
4,2. Некоторые раздели геометрической и волновой оптики 171
Заметим, что в D.17) мы использовали соглашение, что R яв-
является положительной величиной, если центр кривизны находит-
находится слева от волнового фронта. Из выражений D.4) и D.17)
имеем
#2 = (ARi + B)/(CRl + D). D.18)
R
О
Выражение D.18) является весьма важным результатом,
поскольку оно устанавливает простое соотношение между ра-
радиусом кривизны #2 выходящей волны с радиусом кривизны
R\ входящей волны посред-
посредством элементов ABCD-мат-
рицы данного оптического
элемента. В качестве пер-
первого элементарного примера
рассмотрим свободное рас-
распространение сферической
волны между точками с ко-
координатами 2i и 22 на рис.
4.11, а. С помощью выраже-
выражения D.7), полагая в нем
П = 1 И L = 22 — 21 И ИС-
ПОЛЬЗуЯ D.18), получаем
R2 = Rl + (z2-zl), D.19)
что является очевидным ре-
результатом. Теперь обратим-
обратимся к сферической волне, про-
проходящей через тонкую лин-
линзу (рис. 4.11,6). Из выра-
жений D.9) и D.18) нахо-
ДИМ соотношение
l/R2=l/Rl-l/f; D.20)
Рис. 4.11. Распространение сферической
волны в свободном пространстве (а) и
через линзу (б).
это есть не что иное, как знакомое правило геометрической
оптики p~l + q~l = /-'.
Хотя два примера на рис. 4.11 представляют собой весьма
элементарные применения выражения D.18), полезность этого
выражения можно полностью оценить, если рассмотреть про-
прохождение сферической волны через более сложную оптическую
систему, состоящую, скажем, из последовательности линз и
промежутков между ними. В этом случае радиус кривизны вы-
выходящей волны опять определяется выражением D.18), а пол-
полная ЛВСО-матрица будет равна произведению элементарных
172
4. Пассивные оптические резонаторы
матриц каждого оптического элемента. В разд. 4.5 будет пока-
показано, что обобщение выражения D.18) является очень мощным
средством для описания распространения лазерного пучка.
4.2.2. Интерферометр Фабри—Перо [2]
Следующий предмет традиционной оптики, который мы рас-
рассмотрим, представляет собой многократная интерференция. Это
явление имеет место в интерферометре Фабри — Перо, который
является обычным спектроскопическим прибором и со времени
его изобретения в 1899 г. играет очень важную роль в лазерной
физике. Большая его популярность объясняется по крайней
мере тремя различными причинами: 1) физические процессы,
Рис. 4.12. Многолучевая интерференция в интерферометре Фабри — Перо.
происходящие в нем, на фундаментальном уровне аналогичны
тем, что имеют место в оптических резонаторах; 2) во многих
случаях его применяют для селекции частот внутри лазерного
резонатора; 3) его нередко используют для анализа спектра ла-
лазерного излучения. Поэтому в настоящем разделе мы рассмот-
рассмотрим свойства этого интерферометра, хотя и не очень подробно.
Интерферометр Фабри — Перо состоит из двух плоских и
параллельных друг другу зеркал с коэффициентами отражения
по мощности Ri и R2 l), разделенных промежутком длиной L,
заполненным средой с показателем преломления п,. Рассмот-
Рассмотрим плоскую волну с частотой v, падающую на интерферометр
в направлении, составляющем угол 6' с нормалью к обоим
зеркалам (рис. 4.12). Эта волна схематически изображена на
" Употребляемые автором термины «коэффициент отражения (пропу-
(пропускания) по полю» и «коэффициент отражения (пропускания) по мощности»
имеют следующий смысл. Если индексами i, r и / обозначать величины со-
соответственно для падающего, отраженного и прошедшего излучения, то
коэффициент отражения по полю равен г= |?ог|/|?о(|, а коэффициент от-
отражения по мощности R = lr/h A — интенсивность света); аналогично для
пропускания / = |?о/|/|?о;|, Т = h/h. Эти величины подчиняются очевид-
очевидным соотношениям: /? + Т = 1; t1 = Т, гг = R. — Прим. перев.
4.2. Некоторые разделы геометрической и волновой оптики 173
рис. 4.12 лучом О. Выходной пучок, покидающий интерферо-
интерферометр, представляет собой суперпозицию пучка, прошедшего
через оба зеркала (луч 1 на рис. 4.12), с пучками, возникаю-
возникающими благодаря многократным отражениям, — два из этих пуч-
пучков указаны лучами 2 и 3 на рис. 4.12. Таким образом, ампли-
амплитуда электрического поля выходного пучка bt получается
суммированием амплитуд ?/ всех этих пучков с учетом соответ-
соответствующих фазовых сдвигов. Для иллюстрации данного рассмот-
рассмотрения на рис. 4.12 приведены также выражения для электриче-
электрического поля первых трех пучков. Если учесть все многократные
отражения, то мы получим
Et = ? Ei = [E4te"'\ ? (rir2)m exp Bпйф). D.21)
1=1 m=0
В этом выражении, как и на рис. 4.12, Ео — амплитуда пучка,
падающего на интерферометр; t\ и h—коэффициенты пропу-
пропускания для электрического поля обоих зеркал, а гх и г2 — соот-
соответствующие коэффициенты отражения для электрического
поля; ф'— фазовый набег при однократном прохождении, вклю-
включающий в себя также и набеги фазы при прохождении обоих
зеркал; 2ф — сдвиг фазы между последовательными отраже-
отражениями, равный
^ D.22)
здесь Ls — сумма длин двух отрезков АВ и ВС на рис. 4.12, а
угол 6 связан с углом 6' законом Снеллиуса (/zrsin6 = sin 6').
Заметим, что D.22) можно переписать в более простом виде:
ф = 2nL'v/c0, D.23)
где
L' = nrL cos6. D.24)
Сумму геометрической последовательности, входящую в выра-
выражение D.21); нетрудно вычислить, и мы имеем
D-25)
Коэффициент пропускания Т интерферометра по мощности
равен просто \Et\2/\EQ\2, и из D.25) находим
Т = ^ гг. D.26)
1 — 2Г[Г2 cos 20 + r\r\
174
4. Пассивные оптические резонаторы
Поскольку Rl = r\, R2 = r\, а для зеркала без потерь i\ =
= 1 — г2 = 1 — Rl и t\ = 1 — г\ = 1 — R2, выражение D.26) пре-
преобразуется к виду
1 Г.
Это выражение и есть окончательный результат наших вычис-
вычислений.
Для иллюстрации свойств интерферометра Фабри — Перо на
рис. 4.13 построена зависимость пропускания Т интерферометра
1 мин
V
Рис. 4.13. Пропускание интерферометра Фабри — Перо в зависимости от час-
частоты падающей волны.
от частоты v падающей волны, причем пропускание Т вычисле-
вычислено по формуле D.27), в которой ф определяется выражением
D.23). Заметим, что кривая состоит из последовательности рав-
равностоящих максимумов. Эти максимумы наблюдаются, когда
в D.27) sin2 ф = О, т. е. когда
ф = пп; D.28)
здесь п — положительное целое число. В соответствии с выра-
выражением D.23) частоты v«, соответствующие этим максимумам,
равны
D.29)
Последнее выражение явно напоминает условие D.3). Физиче-
Физический смысл этого можно понять, если заметить, что в максиму-
максимуме пропускания, т. е. когда ф = пп, все волны, образующиеся
вследствие многократных отражений, находятся в фазе. По при-
причинам, которые станут ясными в конце этого раздела, разность
частот между двумя соседними максимумами Avtsr называется
4.2. Некоторые разделы геометрической и волновой оптики 175
свободной спектральной зоной 1) интерферометра. Из формулы
D.29) нетрудно получить
D.30)
Максимальное пропускание находим из выражения D.27):
[1 _ (/?l/?2)l/2]2 • l*-dl>
Заметим, что, если Ri = R2 = R, то ГмаКс = 1 независимо от ве-
величины коэффициента отражения зеркала R. Этот результат
справедлив лишь в тех случаях, когда, как в нашем рассмотре-
рассмотрении, можно пренебречь поглощением излучения в зеркалах
(см. задачу 4.3). Минимумы пропускания достигаются при
sin2</> = 1, т. е. они располагаются посередине между соседними
максимумами. Пропускание в точке минимума находим из вы-
выражения D.27):
A ) (!/;)
'"«" [1 +
Следует отметить, что при обычных условиях величина Г„„„
очень мала. Если, например, выбрать #i = #2 = 0,98, то Г„ин ~
ж Ю-4.
Чтобы вычислить ширину пика пропускания Avc, заметим,
что в соответствии с формулой D.27) пропускание упадет до
половины своего максимального значения при смещении Д^ от
угла ф = пп, которое определяется выражением
4 Ш&У'2 sin2 Д^> = [1 - Ш2У12]2. D.33)
Полагая Д^ <С л/2, можно считать, что sinA^ « A^. Тогда из
выражения D.33) получаем
А* = ± [1 - (/?i«2I/2]/2 Ш2)ш, D.34)
откуда следует, что две точки на половине интенсивности мак-
максимума, соответствующие А^+ и Аф-, расположены симметрично
по обеим сторонам максимума. Если положить Афс = Аф+ —
— &Ф-, то из последнего выражения имеем
D.35)
" Вместо термина «свободная спектральная зона» (буквальный перевод
англ. слов free spectral range, сокращенно fsr) в советской литературе чаще
употребляется термин «область дисперсии». Последний мы и будем исполь-
использовать в дальнейшем. — Прим. ред.
176
4. Пассивные оптические резонаторы
и с учетом D.23)
Av. = ¦
Определим теперь резкость F интерферометра как
F = Avfsr/Ave.
Из выражений D.30) и D.36) получаем
F = -
\1/2
D.36)
D.37)
D.38)
&i.c
Резкость — это число, обычно много большее единицы, указы-
указывающее, насколько узка линия пропускания по сравнению с
областью дисперсии. Рассмотрев
снова случай #i =#2 = 0,98, по-
получаем F та 150.
После этого общего описания
свойств интерферометра Фабри—
Перо рассмотрим теперь его при-
применение для анализа спектра.
Изучим простейший случай, ког-
когда интерферометр заполнен воз-
воздухом (пг та 1) и падающий свет
направлен перпендикулярно зер-
зеркалам интерферометра (т. е.
cos 6 = 1). Предположим, что
длину L можно менять в преде-
пределах нескольких длин волн, при-
прикрепив, например, одну из двух
пластин интерферометра к пьезо-
пьезоэлектрическому преобразователю
(сканирующий интерферометр
Фабри —Перо). Чтобы понять,
что происходит в этом случае,
рассмотрим вначале монохрома-
монохроматическую волну с частотой v и длиной волны К. Из предыду-
предыдущих рассуждений следует, что прошедший свет будет иметь
максимумы при ф = пп, т. е. когда длина интерферометра равна
(см. рис. 4.14, а)
к-
UL
б
Рис. 4.14. Пропускание по интен-
интенсивности сканирующего интерфе-
интерферометра Фабри — Перо в случаях,
когда падающая волиа монохро-
монохроматическая (а) и когда оиа со-
состоит из двух воли с близкими
частотами {б).
= nX/2;
D.39)
здесь п — положительное целое число. Изменение длины L, не-
необходимое для перехода с одного пика пропускания на сосед-
соседний, равно
D.40)
4.2. Некоторые разделы геометрической и волновой оптики 177
Ширина каждого пика пропускания ALC должна удовлетворять
условию
B/)Lc = A^c, D.41)
где Ьфс дается выражением D.35). Следовательно, по аналогии
с D.37) можно написать
F. D.42)
Рассмотрим теперь случай, когда на интерферометр падают две
волны с частотами v и v + Av. Волна с частотой v + Av приве-
приведет к образованию максимумов пропускания, смещенных на
расстояние S.L от всех тех, которые образуются волной с часто-
частотой v (рис. 4.14,6). В соответствии с условием D.28) смещение
AL должно удовлетворять соотношению
B/с0) (L + AL) (v + Av) = ля. D.43)
Поскольку 2nLv/c0 = nn,
AL = -(Av/v)L. D.44)
Две частоты v и v -j- Av будут разрешены спектрометром, если
D.45)
Минимальный частотный интервал Avm, который еще может
быть разрешен, получается, когда в D.45) имеет место равен-
равенство. Из выражений D.42), D.44) и D.45) при этом получаем
Avm=Av,sr/^. D.46)
Таким образом, резкость интерферометра определяет его разре-
разрешающую способность через область дисперсии.
Следует заметить, что когда |AL| = ALfSr, т. е. когда Av =
= Avtsr = Co/2L, максимумы пропускания на частотах v -j- Av и
v совпадают, хотя они и сдвигаются на один порядок по отно-
отношению друг к другу. Поэтому, когда Av > Avtsr, в измерении Av
появляется неоднозначность в размере целого числа областей
дисперсии Avtsr. Таким образом, в случае когда интерферометр
используется для измерений разности частот, мы получаем про-
простой и однозначный результат лишь при Av ¦< Avtsr, откуда и
следует название Avtsr как области дисперсии (свободной спект-
спектральной зоны) интерферометра. Представленный выше резуль-
результат нетрудно обобщить следующим образом: если Л\>Ген — спек-
спектральная ширина линии падающего света, то, чтобы избежать
неоднозначности в определении частоты, необходимо, чтобы
AvreH ^ Avtsr. Если в этом соотношении выполняется равенство,
то из D.46) получаем
/ D.47)
178
4. Пассивные оптические резонаторы
Таким образом, резкость также служит показателем того, на-
насколько резко мы можем разделять частоты в пределах полной
спектральной ширины AvreH. Например, если выбрать Дуген =
= 1,5 ГГц и F= 150, то Avm = 10 МГц. Если длина электро-
электромагнитной волны равна ^ = 0,5 мкм (зеленый свет), то Avm/
/v « 1,7-10~8. Это очень высокая разрешающая способность по
Интерферометр Линза Фокальная
Фаври-Перо плоскость
а
Рис. 4.15. Кольца Фабри — Перо, образующиеся в фокальной плоскости лин-
линзы при падении иа интерферометр Фабри — Перо рассеянного пучка, а —
схема эксперимента; б — наблюдаемый кольцевой рисунок в фокальной пло-
плоскости (рис. а) в случае, когда падающая волна является монохроматиче-
монохроматической; в — кольцевая картина в случае, когда падающий пучок состоит из
двух монохроматических воли.
сравнению, например, с тем наилучшим разрешением, которое
может быть достигнуто в спектрометре с дифракционными ре-
решетками (Av/v = 10~5—10~6).
Другой известный способ применения интерферометра Фаб-
Фабри— Перо показан на рис. 4.15. Рассеиватель, такой, как пла-
пластинка матового стекла или даже простая линза, помещается
на пути падающего пучка, чтобы обеспечить широкий набор
углов падения для света, попадающего в интерферометр Фаб-
Фабри— Перо. Таким образом, волну, падающую на вход интерфе-
4.2. Некоторые разделы геометрической и волновой оптики 179
рометра, можно рассматривать как суперпозицию плоских волн,
распространяющихся в различных направлениях. Свет, прошед-
прошедший через интерферометр с определенной длиной, собирается
при этом линзой в ее фокальной плоскости. Рассмотрим снача-
сначала пучок монохроматического света с частотой v и предполо-
предположим, что промежуток между двумя зеркалами интерферометра
заполнен воздухом (пГ = 1). Тогда в соответствии с условиями
D.28) и D.22) максимумы пропускания будут наблюдаться при
тех углах 6„, которые удовлетворяют соотношению
D.48)
Если рассматривать только те пучки, направления распростра-
распространения которых лежат в плоскости рис. 4.15, а, то для каждого
угла 6„ в фокальной плоскости будут наблюдаться две яркие
точки Р и Р'. Рассмотрим теперь весь набор падающих лучей,
а не только те, что в плоскости рисунка. Мы видим, что про-
прошедший свет, соответствующий углу 6„, образует в фокальной
плоскости яркую окружность радиусом
n, D.49)
где / — фокусное расстояние линзы. Если учесть все возможные
углы 6„, то пропущенный свет образует в фокальной плоскости
набор концентрических колец, радиусы которых нетрудно най-
найти из выражений D.48) и D.49) (рис. 4.15,6). Если теперь
рассмотреть второй пучок при частоте v + Av, то в фокальной
плоскости образуется второй набор концентрических колец,
слегка смещенных по радиусу относительно колец первого на-
набора (рис. 4.15,8). Как и для сканирующего интерферометра
Фабри — Перо, в данном случае нетрудно показать, что 1) для
устранения неоднозначности в определении частоты необходимо
иметь Av < AvfSr; 2) если Av < Avtsr, то два набора колец бу-
будут разрешены в том случае, когда Av > Avfsr/Л где F — рез-
резкость интерферометра.
4.2.3. Многослойные диэлектрические покрытия [3, 4]
Поверхности высокоотражающих лазерных зеркал или дели-
делителей пучка обычно изготавливают методом нанесения много-
многослойного диэлектрического покрытия на плоскую или сфериче-
сферическую оптическую поверхность материала подложки, например
стекла. Тот же прием может быть использован и для того, что-
чтобы сильно ослабить отражение от поверхности оптических эле-
элементов (просветляющее покрытие) или изготовить другие опти-
оптические элементы, такие, как интерференционные фильтры или
поляризаторы. Покрытие обычно наносится в вакуумной камере
180
4. Пассивные оптические резонаторы
путем испарения соответствующих диэлектрических материалов,
которые затем осаждаются в виде слоя на подложку. Широко
распространенное применение многослойных диэлектриков для
лазерных оптических компонентов связано с тем, что слои де-
делаются из прозрачных материалов и поэтому могут выдержи-
выдерживать высокую интенсивность лазерных пучков. Этим они сильно
отличаются от свойств тонких металлических пленок (напри-
(например, из серебра или золота), также изготавливаемых методами
напыления в вакууме и нередко используемых для традицион-
Отраженный
пучок гш
Падающий
пучок
Отра зкеииь ш
пучок
хкср(
Рис. 4.16. Первые два отражения иа двух границах раздела слоя с высо-
высоким коэффициентом преломления. Как и в случае интерферометра Фабри —
Перо, здесь также происходят многократные отражения, но иа рисунке мы
их не показали.
ных оптических компонентов. Вследствие высокого поглощения
эти пленки обычно не выдерживают высокую интенсивность ла-
лазерного излучения.
Рассмотрим оптическую подложку, например стекло, покры-
покрытую рядом слоев с попеременно высоким Пн и низким Kl пока-
показателями преломления по сравнению с показателем преломле-
преломления ns подложки. В качестве материалов с высоким и низким
показателями преломления можно рассмотреть соответственно
TiCb и SiO2. Если толщина слоев 1Н и h такова, что пн1н =
= ndt = ^о/4, где ко — длина падающей волны в вакууме, то
электрические поля от всех отражений на границах слоев будут
складываться в фазе. Рассмотрим, например, две границы раз-
раздела слоя с высоким показателем преломления (рис. 4.16). Ко-
Коэффициент отражения для электрического поля на границе раз-
раздела при переходе от среды с низким показателем преломления
к высокому записывается в виде
= (Ч - nH)/{nL + п„)
D.50)
4.2. Некоторые разделы геометрической и волновой оптики 181
и, следовательно, является отрицательной величиной. Это озна-
означает, что при отражении электрическое поле претерпевает ска-
скачок фазы на л. Наоборот, коэффициент отражения при перехо-
переходе от среды с высоким показателем преломления к среде с низ-
низким показателем преломления равен rHL=(nH — я*.)/(яя + Лд),
т. е. без сдвига фазы отраженной волны. Коэффициент пропу-
пропускания ttH при переходе от среды с низким к среде с высоким
показателем преломления тот же, что и коэффициент пропуска-
пропускания ttn для перехода от высокого к .низкому показателю пре-
преломления. При этом мы имеем
, _, 2 (У я)
t t
Если оптическая толщина слоя Пн1.ч равна Хо/4, то нетрудно
видеть, что оба отраженных пучка на рис. 4.16 сложатся в од-
одной и той же фазе. Этот результат будет справедлив также для
всех многократных отражений между двумя границами раздела
на рис. 4.16, как и в случае интерферометра Фабри — Перо.
Следовательно, если нанесено достаточное число четвертьволно-
четвертьволновых слоев с попеременно низким и высоким показателем пре-
преломления, то полная отражательная способность вследствие
всех многочисленных отражений может достигать весьма боль-
больших значений. Если многослойное покрытие начинается и за-
заканчивается слоями с высоким показателем преломления, так
что число слоев / нечетно, то результирующий коэффициент от-
отражения по мощности (при А, = А,о) запишется в виде
D-52)
H+l+n'L lns
Пусть, например, tis « 1,54 (стекло ВК.-7), Пц = 2,28 (ТЮ2 при
Я,о « 1 мкм), til = 1,45 (SiO2 при Ко « 1 мкм) и /= 15. В этом
случае мы получим #=99,8%. Заметим, что коэффициент от-
отражения по мощности на отдельной границе раздела в соответ-
соответствии с D.50) равен Ri.h = Rhl = [ou]2 =[(«// — nL)/(nH +
)]2 %
)]
Если длина падающей волны К отличается от А,о, то, разуме-
разумеется, коэффициент отражения будет иметь меньшее значение,
чем то, которое получится из вычисления по формуле D.52).
Для иллюстрации характерных примеров на рис. 4.17 представ-
представлены зависимости коэффициента отражения от длины волны
для 7 = 15 и / = 3. Заметим, что с ростом числа слоев макси-
максимальное значение коэффициента отражения явно увеличивается
и что при этом область высокой отражательной способности де-
делается шире, а ее границы становятся более крутыми.
182
4. Пассивные оптические резонаторы
Чтобы уменьшить отражение от оптической поверхности,
можно использовать одиночный слой с низким показателем пре-
преломления. Нетрудно показать, что минимальное значение коэф-
коэффициента отражения RMm, достигается тогда, когда Л/А = W4;
при этом
R
ns + nl'
D.53)
Заметим, что отражение было бы равно нулю, если бы tit =
= (nsI/2. Материал с наименьшим показателем преломления,
Qfi 0,6 0,8
Рис. 4.17. Кривые зависимости коэффициента отражения от длины волны
многослойной диэлектрической стопы (с толщиной каждого слоя К/4), изго-
изготовленной из TiO2 и SiC>2, с общим числом слоев, равным 3 (штриховая кри-
кривая) и 15 (сплошная кривая). Подложка изготовлена из стекла ВК-7.
который может быть получен в виде устойчивой пленки, пред-
представляет собой MgF2, у которого tit = 1,38. Выбирая tis = 1,54,
из D.53) получаем /?мин ~ 1,1 %. Это значение, хотя и не равно
нулю, все же намного меньше, чем у необработанной поверхно-
поверхности, для которой в соответствии с D.50) получаем R = [ (tis —
— l)/(ns + I)]2 = 4,5 %. Если MgF2 используется в качестве
просветляющего покрытия на торцевых поверхностях стержня
из Nd: YAG (n = l,82), то отражательная способность почти
равна нулю. На самом деле из D.53) следует, что /?МИн « 5¦ 10~4.
Минимальное значение коэффициента отражения, разумеется,
достигается при X = Ко, но ширина области со слабым
4.2. Некоторые разделы геометрической и волновой оптики 183
отражением очень велика (в первом из рассмотренных приме-
примеров, если Хо соответствует середине видимого диапазона, отра-
отражательная способность не превышает 2 % Для всего видимого
диапазона). Для некоторых лазерных приложений может потре-
потребоваться даже более слабая отражательная способность (воз-
(возможно, вплоть до 0,1 %) по сравнению с той, что указана выше для
стекла. Этого можно достичь использованием более чем одного
слоя в просветляющем покрытии. При этом для такого типа по-
покрытий область со слабым отражением занимает весьма огра-
ограниченное пространство, причем форма кривой зависимости ко-
коэффициента отражения от длины волны имеет вид буквы V с
острым минимумом. Такое покрытие обычно называют V-no-
крытием.
Чтобы завершить данный раздел, укажем на то, что если па-
падающий пучок линейно поляризован, то плоская поверхность
данного оптического элемента может быть наклонена под таким
углом, что отражение будет отсутствовать. То, что при этом
происходит, можно описать с помощью рис. 4.18, а. Мы предпо-
предполагаем, что плоскость поляризации электрического поля падаю-
падающего пучка лежит в плоскости рисунка. Пусть угол падения 0В
таков, что преломленный пучок перпендикулярен отраженному
пучку. Следовательно, электрическое поле Е в оптической среде,
а вместе с ним и его вектор поляризации будут параллельны на-
направлению, в котором происходит отражение. Поскольку отра-
отраженный пучок порождается излучением, испускаемым вектором
поляризации среды, в которой происходит преломление, этот
отраженный пучок будет в данном случае отсутствовать, так как
дипольный момент не излучает вдоль собственного направле-
направления. Значение угла падения 0В, который называется углом
Брюстера или поляризующим углом, можно вычислить непо-
непосредственно с помощью геометрической оптики. В соответствии
с предыдущими рассуждениями имеем
6^ + ев = л/2, D.54а)
где 6д — угол преломления. Кроме того, согласно закону Снел-
лиуса
ttssin6^ = sin6B. D.546)
Поскольку из D.54а) мы имеем sin6? = cos8B, последнее со-
соотношение дает следующее выражение для угла Брюстера:
= tts. D.55)
Заметим, что если поменять местами направления лучей
(рис. 4.18,6), то отраженного пучка снова не будет, так как
184
4. Пассивные оптические резонаторы
преломленный и отраженный пучки взаимно перпендикулярны.
Отсюда заключаем, что если на пути пучка, поляризованного
в плоскости рисунка, поместить под углом Брюстера плоскопа-
Отпраженныи. пучок
Оптическая
<еда
пучок
\
тъ)й 1 у,г
Отра
У~
\ /
\
зкенныи
гчок
б
f
— Падающий
пучок
Рис. 4.18. Отраженный и преломленный пучки при падении под углом Брю-
Брюстера. а — падение из менее плотной среды; б — падение из более плотной
среды.
раллельную пластинку из данного оптического материала, то
отражения от обеих поверхностей пластинки не будет.
4.3. Время жизни фотона
и добротность резонатора
В данном разделе первая наша цель — это вычислить ско-
скорость релаксации энергии в данной (резонансной) моде опти-
оптического резонатора. Рассмотрим для простоты плоскопараллель-
плоскопараллельный резонатор (рис. 4.1). В этом случае, исходя из приведенно-
приведенного выше рассмотрения, каждую моду резонатора можно
4.3. Время жизни фотона и добротность резонатора 185
представить себе как суперпозицию двух волн, распространяю-
распространяющихся в противоположных направлениях. Пусть /0 — начальная
интенсивность одной из этих волн. Если Ri и /?2 — коэффици-
коэффициенты отражения (по мощности) двух зеркал, а 7\ — относитель-
относительные внутренние потери за проход вследствие дифракции, то
интенсивность I(t\) в момент времени t = 2L/c, т. е. после од-
одного полного прохода резонатора, запишется в виде
I{tl) = R1Ra(l-TiJI0. D.56)
Интенсивность после m полных проходов, т. е. в момент времени
tm = 2mL!c, D.57)
равна
(OT7
Если q(t)—полное число фотонов в резонаторе!) в момент
времени t, то, разумеется, оно пропорционально интенсивности,
т. е. q(t) ~ I{t), и в соответствии с D.58) можно написать сле-
следующее выражение:
<7 (U = 1*1*2 О-ОТ1 <7о. D.59)
где Цй — число фотонов, изначально присутствовавших в резона-
резонаторе. Следовательно, число фотонов в момент времени tm равно
q(tm) = exp(~tjxc)qo. D.60)
Сравнение двух последних выражений с D.57) показывает, что
е)Г = [/?1/?2A - W. D.61)
откуда находим
х< = с In [«,«»A — Г,)»1 ¦ D2)
Если теперь предположить, что соотношение D.60) справедливо
не только в момент времени tm, но в любой момент ?(>0), то
можно написать
tlTc)q0; D.63)
здесь Хс — время жизни фотона, определяемое выражением
D.62). Например, если выбрать /?i =R2 = * =0,98 и Г,- « 0,
то из D.62) получаем тс = tT/[—lnR] = 49,5tT, где tT = L/c —
время одного прохода фотоном резонатора. Из этого примера
видно, что время жизни много больше времени прохода. Если
" Под фотонами в резонаторе подразумеваются, естественно, лишь те
из иих, которые принадлежат тон или иной рассматриваемо]"! моде, а вовсе
ие тепловые фотоны или фогоиы накачки. — Прим. перев.
186 4. Пассивные оптические резонаторы
положить L = 90 см и с х с0, где с0 — скорость света в ваку-
вакууме, то получим (т = 3 не и тс « 150 не.
При условии, что выражение D.63) справедливо, временную
зависимость электрического поля в произвольной точке внутри
или вне резонатора можно представить в виде [см. также вы-
выражение D.2)] Е(^)=Еоехр[(—t/2xc) + Ш]. С помощью
фурье-преобразования этого выражения нетрудно показать, что
спектр мощности излучения имеет лоренцеву форму линии с по-
полушириной (полная ширина на половине максимального зна-
значения)
Avc = 1/2ятс. D.64)
Следует заметить, что найденный таким образом спектр излуче-
излучения не совпадает с полученным в предыдущем разделе спект-
спектром пропускания, форма которого не является лоренцевой; см.
выражение D.27). В частности, полученное здесь выражение
для Avc [см. D.64)], если в нем вместо тс подставить выраже-
выражение D.62) при Ti х 0, не совпадает с соответствующим выра-
выражением в предыдущем разделе [см. D.36)]. Это расхождение
можно понять, если снова вернуться к приближению, которое
мы сделали при написании выражения D.63). Однако расхож-
расхождения между числовыми результатами, полученными из расче-
расчетов по этим формулам, совсем невелики, особенно при высоких
коэффициентах отражения. Например, если /?i=.&2 = 0,98 и
Г,=0, то из формулы D.64) с учетом D.62) мы получим
Avc = 6,4307-Ю-3 (c/2L), в то время как из D.36) Avc =
= 6,4308-10~3 (c/2L). Даже при низких коэффициентах отраже-
отражения /?!=./?2 = 0,5 расхождение незначительно. Действительно,
из D.64) получаем Avc = 0,221 (c/2L), а из D.36) имеем Avc =
= 0,225 (c/2L). Поэтому в дальнейшем мы будем считать, что
форма линии резонатора является лоренцевой с шириной, опре-
определяемой выражением D.64), и что она одна и та же, как для
излучения, так и для пропускания.
Рассмотрев время жизни фотона в резонаторе, определим
теперь понятие добротности разонатора и найдем связь этой
величины с временем жизни фотона. Для любой резонансной
системы, и в частности для резонирующей полости, добротность
определяют как Q = 2л- (Запасенная энергия)/(Энергия, те-
теряемая за один цикл колебания). Таким образом, высокая доб-
добротность резонатора означает, что резонансная система имеет
малые потери. Поскольку в нашем случае запасенная энергия
равна qhv, а энергия, теряемая в течение одного цикла колеба-
колебаний, равна hv(—dq/dt) A/v) =—hdq/dt, мы имеем
Q = - 2nvq/(dq/dt). D.65)
4.4. Плоскопараллельный резонатор 187
При этом из D.63) находим
Q = 2nvtc. D.66)
Это выражение с помощью D.64) можно преобразовать к более
удобному виду:
Q = v/Avc. D.67)
Таким образом, добротность резонатора равна отношению ре-
резонансной частоты v к ширине линии резонатора Avc. Для кон-
конкретных значений тс=150 не и v = 5-1014 Гц (Х = 0,6 мкм)
получаем Q=4,7-108. Следовательно, в течение одного цикла
колебания оптический резонатор теряет небольшую долю
энергии!
4.4. Плоскопараллельный резонатор
4.4.1. Приближенная теория
Первое упоминание об изучении плоскопараллельного резо-
резонатора появилось в классической работе Шавлова и Таунса
[5], в которой они предложили распространить принцип дейст-
действия мазера на диапазон оптических частот. Шавлов и Таунс
рассмотрели эту задачу, используя аналогию с закрытым прямо-
прямоугольным резонатором, моды которого хорошо известны (см.
разд. 2.2).
Прежде чем излагать теорию Шавлова и Таунса, напомним,
что в случае прямоугольного резонатора, показанного на
рис. 2.1, составляющие напряженности электрического поля Е
можно записать в виде
Ех = ех cos kxx sin kyy sin'?zzsinco/,
Ey = ey sin kxx cos kyy sin kzz sin at, D.68)
Ez = ez sin kxx sin kyy cos kzz sin at,
где kx = ln/2a, ky = mn/2a, kz = nn/L (I, m, n — положительные
целые числа), а резонансные частоты даются выражением
v = (с/2) [(n/LJ + (m/2af + (//2aJ]1/2. D.69)
Заметим, что выражения D.68) можно записать в комплексной
форме, если представить синусы и косинусы через экспоненци-
экспоненциальные функции. При этом можно показать, что каждая состав-
составляющая поля Е записывается как сумма восьми членов вида
exp[i(±kxx ± kyy ± kzz — ©0+ компл. сопр.], т. е. как сумма
восьми плоских волн, распространяющихся вдоль направлений,
определяемых восемью волновыми векторами с компонентами
188 4. Пассивные оптические резонаторы
±kx, ±ky и ±kz. Следовательно, направляющие косинусы этих
векторов равны ± A\/4а), ± (гпХ/4а) и ± (nX/2L), где К — длина
волны, соответствующая данной моде. Суперпозиция этих вось-
восьми плоских волн дает стоячую волну, определяемую выражения-
выражениями D.68).
Кроме того, Шавлов и Таунс высказали предположение о
том, что моды открытого резонатора на рис. 4.1 с хорошей точ-
точностью описываются теми модами прямоугольного резонатора
(см. рис. 2.1), для которых (/, m)<^n (резонатор на рис. 4.1
получается из резонатора, изображенного на рис. 2.1, путем
удаления боковой поверхности). Доказательством справедли-
справедливости этого предположения является то, что моды рассматри-
рассматриваемого нами резонатора можно представить в виде суперпози-
суперпозиции плоских волн, распространяющихся под очень малыми
углами к оси г. Следовательно, можно ожидать, что отсутствие
боковой поверхности существенно не изменит эти моды. Одна-
Однако на те моды, у которых значения !и m не малы по сравнению
с п, отсутствие боковой поверхности окажет сильное влияние.
После удаления боковых сторон резонатора дифракционные по-
потери для этих мод становятся столь большими, что их не имеет
смысла в дальнейшем рассматривать.
Если (/, пг) <S п, то резонансные частоты плоскопараллель-
плоскопараллельного резонатора можно найти из выражения D.69) путем раз-
разложения его в степенной ряд:
v ~ (с/2) (т + j —^— -^г) . D.70)
Это выражение можно сравнить с D.3), которое было получе-
получено из простых соображений для одномерного случая. Таким
образом, для каждого набора трех значений I, m и п существует
вполне определенная мода резонатора с вполне определенной
резонансной частотой.
Из выражения D.70) можно сразу получить разность частот
Avn между двумя модами, имеющими одни и те же значения /
и т, но различающиеся на единицу значения п. Таким образом,
Avn = c/2L. D.71)
Эти две моды отличаются друг от друга лишь распределением
поля вдоль оси г (т. е. в продольном направлении). Поэтому
Avn нередко называют разностью частот между двумя после-
последовательными продольными модами. Разность частот между
двумя модами, различающимися лишь значениями m на единицу
(т. е. разность частот между последовательными поперечными
4.4. Плоскопараллельный резонатор
189
модамиI\ записывается в виде
D.72)
Для типичных значений L величины Avn составляют порядка не-
нескольких сотен мегагерц, тогда как Avm (или Av;)—порядка не-
A'n.Ofl)
Рис. 4.19. Резонансные частоты плоскопараллелыюго резонатора.
скольких мегагерц. На рис. 4.19 показан спектр частот плоско-
плоскопараллельного резонатора. Следует заметить, что моды с оди-
одинаковыми п, но разными значениями / и т, удовлетворяющими
условию /2 + т2 = const, имеют одну и ту же частоту и поэтому
их называют частотно-вырожденными.
4.4.2. Теория Фокса и Ли
Более строгая теория плоскопараллельного резонатора при-
приведена Фоксом и Ли [6], которые решали эту задачу в так на-
называемом скалярном приближении, нередко используемом в
оптике. В этом приближении электромагнитное поле предпо-
предполагается почти поперечным и однородно поляризованным (на-
(например, линейно или по кругу). Поле волны можно записать
в виде скалярной величины U, представляющей, скажем,
11 Употребление в литературе по лазерам терминов продольная и попе-
поперечная мода иногда приводит к путанице и может создавать (ошибочное)
представление о том, что существуют два различных типа мод, а именно
продольные (иногда называемые аксиальными) и поперечные моды. В дей-
действительности же любая мода характеризуется тремя числами, например п,
т, I, в соответствии с выражением D.70). Электрические и магнитные поля
мод почти перпендикулярны оси резонатора. Изменение этих полей в попе-
поперечном направлении характеризуется числами I и т, в то время как изме-
изменение поля в продольном (аксиальном) направлении определяется величи-
величиной п. Когда говорят, причем, как правило, не корректно, о (данной) попе-
поперечной моде, то подразумевают определенные значения поперечных индексов
I и т, не обращая внимания на величину п. Следовательно, отдельная по-
поперечная мода —это мода с одним единственным значением поперечных ин-
индексов /, т. Аналогичным образом можно объяснить термин «продольная»
мода. Так, например, две соседние продольные моды — это моды с последо-
последовательными значениями продольного индекса п (т. е. п и п -\- 1 или п—1),
190
4. Пассивные оптические резонаторы
амплитуду электрического (или магнитного) поля. Предположим,
что ?/, является некоторым произвольным распределением поля
на зеркале 1 (рис. 4.20). Тогда благодаря дифракции это распре-
распределение вызовет соответствующее распределение поля на зерка-
зеркале 2, выражение для которого можно получить с помощью ди-
дифракционного интеграла Кирхгофа [7]. При этом в произволь-
произвольной точке Р2 зеркала 2 поле ?/2(Р2) дается выражением
. (р.) «р A*0 0 +«я.в» rfS
и2 {р2) = - ^
DJ3)
где г — расстояние между точками Р1 и Р2, 0— угол, который
отрезок Р[Р2 составляет с нормалью к поверхности зеркала в
Рис. 4.20. К расчету мод плоскопараллельиого резонатора с помощью ди-
дифракционного интеграла Кирхгофа.
точке Pi, dSi — элемент поверхности в точке Pi и kx = 2лД. В вы-
выражении D.73) интеграл вычисляется по всей поверхности зерка-
зеркала 1. Следует заметить, что выражение D.73) нетрудно понять
как математическую формулировку интуитивных представлений,
составляющих принцип Гюйгенса: каждый элемент dSx поверх-
поверхности 1 можно рассматривать как источник сферической волны
Ui(Pi)dSi X [exp(i?)]/r (так называемая «элементарная волна
Гюйгенса»), причем поле на поверхности 2 обусловлено супер-
суперпозицией этих сферических элементарных волн. Множитель
(l + cos0)/2 в D.73) — это «коэффициент наклона», который
имеет указанную форму в теории Кирхгофа, в то время как в
теории Френеля он принимает более простой вид cos 0. Множи-
Множитель —i/K перед интегралом Френеля — Кирхгофа — это норми-
нормирующий коэффициент, получаемый из строгого теоретического
рассмотрения. В частности, множитель —i имеет интересную фи-
физическую интерпретацию, согласно которой испускаемая элемен-
элементарная волна сдвинута по фазе на я/2 по сравнению с полем
Ui(Pi) на поверхности 1.
4.4. Плоскопараллельный резонатор 191
Вместо того чтобы изучать общее распределение U\, рас-
рассмотрим распределение U, соответствующее моде резонатора.
В этом случае распределение поля на зеркале 2, вычисленное по
формуле D.73), с точностью до некоторого постоянного множи-
множителя должно быть снова равно U. Таким образом, в соответ-
соответствии с D.73) получаем следующее выражение:
1
где а — постоянная величина. Выражение D.74) представляет
собой однородное интегральное уравнение Фредгольма второго
рода. Собственные решения этого уравнения U определяют
распределения поля на зеркалах резонатора, соответствующие
его модам 1). Поскольку в D.74) интегральный оператор неэрми-
неэрмитов, собственные значения а не являются вещественными и, сле-
следовательно, как амплитуда, так и фаза имеют непосредствен-
непосредственный физический смысл. Если положить а = |а|ехр(ф), то мож-
можно сразу показать, что величина \d = l—|<т[2 определяет
относительные потери мощности за проход, обусловленные ди-
дифракцией. Величина ф представляет собой запаздывание волны
по фазе при распространении ее от одного зеркала до другого;
это становится еще более очевидным, если вспомнить о том, что
множитель exp (iat) был опущен в обеих частях интегральных
уравнений D.73) и D.74). Таким образом, величина 2ф пред-
представляет собой запаздывание по фазе при полном проходе ре-
резонатора и зависит от волнового числа k, т. е. от длины волны.
Приравняв 2ф целым числам, умноженным на 2л, мы получим
резонансные частоты (как в простом случае, рассмотренном в
разд. 4.1). Таким образом, мы видим, что собственные решения
и соответствующие собственные значения уравнения D.74)
определяют все величины, представляющие интерес, а именно
распределение поля на зеркалах, резонансные частоты и ди-
дифракционные потери. Если известно распределение поля U на
зеркалах, то с помощью уравнения D.73) можно вычислить
" Ссылка на конечное распределение поля на поверхности зеркала ре-
резонатора может, на первый взгляд, показаться противоречащей обсуждению,
проведенному в разд. 4.1, где поле предполагалось равным нулю на зерка-
зеркалах (для металлических зеркал). В действительности же поперечная зависи-
зависимость распределения поля U(P) = U(x, у), введенная в этом разделе, не
дает полного описания поля моды резонатора, поскольку она не учитывает
продольного (т. е. вдоль оси г) изменения поля. Если учесть это обстоя-
обстоятельство, то в соответствии с D.68) можно записать, например, Ех в виде
Ех(х, у, z) = exU(x, y)sinkzsinwt. Теперь видно, что Ех действительно
равно нулю при z = 0, т. е. иа поверхности зеркала 1 (рис. 4.20). Кроме
того, Ех = 0 при z = L, т.е. иа поверхности зеркала 2 (рнс. 4.20), если
kzL = ил.
192 4. Пассивные оптические резонаторы
поле в любой точке внутри (стоячая волна) и вне (бегущая
волна) резонатора.
При L ^Р а, т. е. в том случае, когда длина резонатора су-
существенно больше его поперечных размеров, уравнение D.74)
можно значительно упростить. Действительно, в амплитудном
множителе под знаком интеграла можно положить cos 8« 1 и
г « L. Чтобы получить соответствующее выражение для фазо-
фазового множителя kr, запишем г в виде
г = [L* + (*, - xtf + (tf, - У2П'2 =
D.75)
где мы разложили в ряд выражение, стоящее под знаком квад-
квадратного корня. При выполнении условия fee <C 2л остаточным
членом ряда е можно пренебречь. Поскольку е представляет
собой сходящийся знакопеременный ряд, его величина не пре-
превышает первого члена. Отсюда следует, что для выполнения ус-
условия ke <8C 2л достаточно, чтобы выполнялось неравенство
ka*/L3 < 2я или N < L2la2, где N = a2/LX — число Френеля ».
Таким образом, при выполнении двух условий L ~> а и
N-^(L/aJ можно записать следующее приближенное выра-
выражение:
exp (ikz) - exp {(ikL) + i (niV/a2) [(дс, - x2f + (у{ - y2f]}. D.76)
Используя это выражение и безразмерные параметры
1 = (л/ы/а)х, л = (УЙ/аЬ, D.77а, б)
интегральное уравнение D.74) можно переписать в безразмер-
безразмерном виде:
= -'$?/ (Si. 4i) exp {in [(&, - У2 + (tii - TfeJ]} <& d^i. D-78)
1
где
a'= a exp (-ikL). D.79)
'> Число Френеля N — это безразмерная величина, которая часто приме-
применяется в геометрической оптике. Одна из физических интерпретаций этого
числа может быть следующей. Угол дифракционной расходимости плоской
электромагнитной волны с поперечным размером 2а равен 6<* ж Я/2а [см.
выражение A.11)]. С другой стороны, для зеркал, имеющих поперечные
размеры 1а и расположенных на расстоянии L друг от друга, половина
геометрического угла 6г, под которым одно зеркало видно из центра дру-
другого, составляет 6? = a\L. Отсюда следует, что N = 9?/29<j. Таким образом,
большие числа Френеля означают, что угол дифракционной расходимости
мал по сравнению с геометрическим углом.
4.4. Плоскопараллельный резонатор 193
Для зеркал квадратной или прямоугольной формы в уравнении
D.78) можно разделить переменные. Таким образом, запишем
?/(?,л) = ?М?)?Мл), Д4.80а)
ст* = а'^. D.806)
При этом из D.78) получим следующие два уравнения для
?/*(?) и (Л, (Л):
a;t/?(i2)=exp[-/(it/4)] j ^(бОехр^я^-у2]^,, D.81a)
in (л, - л2J] <4- D-816)
Можно показать, что функция f/6 представляет собой распреде-
распределение поля в резонаторе, образованном двумя плоскопарал-
плоскопараллельными зеркалами длиной 2а в направлении оси х и беско-
бесконечно протяженными в направлении оси у (ленточные зеркала).
Аналогичная интерпретация справедлива и в отношении функ-
функции Uv. Мы будем различать собственные функции и собствен-
собственные значения уравнений D.81) с помощью соответствующих
индексов m и I. Таким образом, согласно определениям D.80),
имеем
?/«iF. Л) = ?/|т(?)?Мл). D.82а)
<?? = <«,¦ D-82б)
Для круглых зеркал рассмотрение проводится почти ана-
аналогично. Однако в этом случае более удобно записать уравне-
уравнение D.74) в цилиндрических, а не в прямоугольных координа-
координатах, и в новой системе координат переменные опять можно раз-
разделить.
Хотя уравнения D.81) выглядят гораздо проще, чем исход-
исходное уравнение D.74), они не имеют аналитического решения.
Фокс и Ли решили эти уравнения с помощью компьютера для
нескольких значений числа Френеля N. Эти авторы использова-
использовали метод итераций, основываясь на следующем физическом со-
соображении. Рассмотрим волну, распространяющуюся в прямом
и обратном направлениях в резонаторе, и предположим, что в
некоторый момент времени распределение поля ?/i(|i) на зер-
зеркале 1 известно. Распределение поля f/2 (^2) на зеркале 2 мож-
можно при этом вычислить с помощью D.81а) по известному рас-
распределению поля U\. Действительно, если в правой части
7 О. Звелто
194
4. Пассивные оптические резонаторы
уравнения D.81а) функцию f/6(|i) заменить на ?Л и затем вы-
выполнить интегрирование, то мы получим функцию U2 = Ut(h),
соответствующую первому проходу резонатора. Поскольку
распределение U2 известно, можно затем вычислить новое рас-
распределение поля на зеркале 1, соответствующее второму про-
проходу, и т. д. Фокс и Ли показали, что после достаточно большо-
большого числа проходов, независимо от первоначального распреде-
распределения поля на зеркале 1, достигается такое распределение поля,
которое при последующих проходах остается без изменения.
Следовательно, полученное распре-
распределение будет собственным реше-
решением уравнения D.81а). Этот спо-
способ позволяет рассчитать также соб-
собственные значения и, следователь-
следовательно, как было показано выше, ди-
дифракционные потери и резонансную
частоту данной моды. Если первона-
первоначальное распределение поля пред-
представляет собой четную функцию ве-
величины |, то в конечном итоге мы
получим четную моду, в то время
как для нечетных мод первоначаль-
первоначальное распределение поля должно
* НеЧеТН0Й Ф
^зшег^порядкаТл^копГрГ ФУ
лельиого резонатора для трех ?• В качестве примера на рис. 4.21
й Ф (С приведены резульаы полученные
рр р
значений числа Френеля. (Со приведены результаты, полученные
гласно Фоксу и Ли [6].) для амплитуды поля U = U(x/a,N)
в случае, когда начальное распре-
распределение поля U\ выбрано однородным и симметричным (т. е.
U\ = const). При N = 6,25, чтобы достичь стационарного реше-
решения, необходимо приблизительно 200 проходов, как показано на
рис. 4.22. Аналогично антисимметричная мода низшего порядка
получается в том случае, когда первоначальное распределение
выбирается однородным и антисимметричным (т. е. И\ = 1 при
0<х<ои (/) = —1 при —а < х <; 0). На рис. 4.23 представ-
представлены распределения поля U(x/a,N), полученные таким мето-
методом для двух значений числа Френеля.
В соответствии с представлением D.82а) полное распределе-
распределение поля Umi{x, у) можно записать в виде произведения
Um(x)Ui(y). Мода, которая соответствует случаю, когда как
U(x), так и U (у) определяются решением низшего порядка
(т. е. яг=/ = 0) (рис. 4.21), называется модой TEAW Мода
TEMoi получается, когда U(x) представляет собой решение низ-
низшего порядка (пг = 0, рис. 4.21) и U{y)—решение следующего
более высокого порядка (т. е. / = 1, рис. 4.23); для моды
4.4. Плоскопараллельный резонатор
195
ТЕМю получаем обратное соответствие. Буквы ТЕМ означают
поперечное электрическое и магнитное поле (аббревиатура англ.
слов: transverse electric and magnetic). Для этих мод как элект-
120
160 200 240
Число проходов
280
Рис. 4.22. Амплитуда поля U в точке х/а = 0,5 в зависимости от числа
проходов. (Согласно Фоксу и Ли [6].)
рическое, так и магнитное поле электромагнитной волны орто-
ортогональны оси г резонатора.
0,5 -
-
-
-
1
/ -0,5
/
/
/
I
0
x/a
N
1
0,5
1
W
10"
Рис. 4.23. Амплитуда антисим-
антисимметричной моды низшего по-
порядка плоскопараллельного
резонатора для двух значений
числа Френеля. (Согласно
Фоксу и Ли [6].)
Рис. 4.24. Дифракционные по-
потери за один проход уа в за-
зависимости от числа Френеля
для плоскопараллельного ре-
резонатора. (Согласно Фоксу и
Ли [6].)
Из уравнений D.81) и D.826) нетрудно показать, что а* за-
зависит только от числа Френеля N и от модовых индексов m и
/. Соответственно дифракционные потери (yd = 1 — |<**|2) бу-
будут зависеть лишь от N, m и /. На рис. 4.24 показаны зависи-
7*
196 4. Пассивные оптические резонаторы
мости дифракционных потерь от числа N для симметричной
(ТЕМоо) и антисимметричной (TEMOi) мод низшего порядка.
Можно видеть, что с возрастанием N потери быстро убывают.
Такое поведение нетрудно объяснить, если вспомнить, что N
пропорционально отношению геометрического (8g) и дифрак-
дифракционного @d) углов. Кроме того, такой результат можно по-
понять, если заметить, что с возрастанием N поле на краях зерка-
зеркала (л: = ±а) уменьшается так, как показано на рис. 4.21 и
4.23. Действительно, именно это поле отвечает в основном за
дифракционные потери. Наконец, следует заметить, что для
данного числа Френеля потери для моды TEMoi всегда боль-
больше, чем для моды ТЕМоо.
Резонансные частоты можно получить, если приравнять фазу
величины а целому числу, умноженному на л. Таким образом,
используя выражение D.79), получаем
Ы + Ф'т,1=пп. D.83)
Здесь явно указывается на то, что фаза ф* собственного значе-
значения о* зависит от модовых индексов m и /. Заметим, что если
волновое число k зависит только от длины волны X (k = 2лД),
то фаза ф* зависит как от длины волны X (в силу того, что она
зависит от числа Френеля N), так и от модовых индексов т. и
/. Поэтому уравнение D.83) позволяет вычислить резонансные
длины волн X (а следовательно, резонансные частоты v) в
виде функций от модовых индексов п, I и т. Результаты чис-
численного расчета а*, выполненного Фоксом и Ли, подтверждают,
что для достаточно больших чисел Френеля значения резонанс-
резонансных частот, полученные этим методом, хорошо согласуются с
теми, которые предсказывает соотношение D.70). Например,
для N '"> 10 расхождение не превышает 10 %.
4.5. Конфокальный резонатор [8]
Теория конфокального резонатора была разработана в ска-
скалярном приближении Бойдом и Гордоном [9]. Чтобы изложить
эту теорию, рассмотрим резонатор длиной L, причем одну зер-
зеркальную поверхность будем описывать в системе координат
{хи у{), а другую — в системе координат (дг2, г/2), как показано
на рис. 4.25. Ради простоты будем считать, что оба зеркала
имеют в поперечном сечении квадрат со стороной 2а. В рамках
скалярного приближения собственные решения даются выра-
выражением D.74). В случае, когда L ^§> а, в амплитудном множи-
множителе можно снова положить cos 0 « 1 и r»L. Для того что-
чтобы найти соответствующее приближение для фазового множи-
4.5. Конфокальный резонатор
197
теля kr, мы должны вычислить сначала расстояние г между
точками Pi и Р2 как функцию координат этих двух точек, а
затем полученное выражение для г разложить в степенной ряд:
г ^ L-(l/L)(xlx2
D.84)
Этот ряд является достаточно хорошим приближением для k
при условии, что N <S
<к. L2/a2, как и в случае с
плоскими зеркалами. Вво-
Вводя затем безразмерные
переменные I = -y/N {х/а)
и r\ = ^N{y/a), выраже-
выражение D.74) можно запи-
записать в виде
+ Л1Л2)]^|,^Т1,, D.85) Г "Н
Рис. 4.25. К вычислению мод конфокаль-
где СТ*, как И Прежде, ОП- ного резонатора с помощью дифракцион-
ределяется выражением ного интеграла Кирхгофа.
D.79). Снова ищем ре-
решение методом разделения переменных в соответствии с D.80).
В результате получаем следующие уравнения:
f/5(i1)exp(-t2it|1i2)di1, D.86a)
Физический смысл этих интегральных уравнений тот же самый,
что и для плоскопараллельного резонатора. Они являются ре-
решениями задачи в случае одномерных зеркал (ленточных).
Уравнения D.86) имеют конечный набор собственных решений,
которые мы будем обозначать индексами ш и 1, т. е.
Um,t(l, л) = ?/5т(?)?Мл). D.87а)
о'-о-о- D.876)
198 4. Пассивные оптические резонаторы
В отличие от случая резонатора с плоскими зеркалами, послед-
последние интегральные уравнения можно решить аналитически. Дей-
Действительно, можно показать, что U\m(l) и ?/„/(т1) пропорцио-
пропорциональны угловым сфероидальным функциям Фламмера, в то
время как соответствующие собственные значения а^т и а*г
пропорциональны радиальным сфероидальным функциям Флам-
Фламмера. Эти функции табулированы в работе [10].
Что касается собственных функций, то их можно найти зна-
значительно более просто в случае, когда N ^§> 1. При этом в урав-
уравнениях D.86) интегрирование можно распространить и на всю
область от —оо до +оо. В этом случае правые части уравне-
уравнений D.86), за исключением коэффициентов пропорциональности,
представляют собой фурье-образы распределений соответственно
C/(|i) и U{r\\). Таким образом, согласно D.86), искомые соб-
собственные функции должны быть инвариантными относительно
фурье-преобразования. Известно, что этим свойством обладает
произведение гауссовой функции и полинома Эрмита. Возвра-
Возвращаясь к исходным координатам х и у, собственные функции
можно записать соответственно в виде
Uxm(x) = Hm[x (.gL)]exp[-(ji/La.)*2], D.88а)
Uyi (у) = Я, [у (тг)] ехр [- (ji/ZA) у2], D.886)
где Нт и Hi — полиномы Эрмита m-го и 1-го порядков. Таким
образом, полная собственная функция записывается в виде
Uml {х, у) = НтН1 ехр [- (п/Щ (х2 + у% D.89)
Рассмотрим теперь несколько примеров. Если т = 0, то
#0= 1 и из D.88а) имеем
C/^(A:) = exp[-'(jt/U)-A:2]. D.90)
На рис. 4.26 приведены зависимости функции U от х/а для
двух значений числа Френеля JV. На расстоянии ws от центра
зеркала амплитуда электрического поля на нем уменьшается в
е раз относительно своего максимального значения, причем ве-
величина ws дается выражением
ws = {XLlnyl\ D.91)
Если т= 1, то #i = {8n/L%) U2x. На рис. 4.27 приведены зави-
зависимости нормированной величины U от х/а для двух значений
числа Френеля. Поскольку полная модовая картина определяет-
определяется выражением D.87а), мы получаем следующие моды низшего
порядка:
4.5. Конфокальный резонатор
199
1) Мода TEMoo (m = / = 0). Собственное решение записы-
записывается в виде Uoo(x,y)= ехр[—л{х2 + у2)/ЬЦ. Эта мода имеет
гауссово распределение как в направлении х, так и в направле-
направлении у. В данном случае модовая картина представляет собой
круглое светящееся пятно на зеркале (рис. 4.28), причем его раз-
размер равен ws. Поэтому ws называют размером пятна на зер-
Рис. 4.26. Симметричная мода низшего порядка в конфокальном резонаторе.
кале'). Например, в случае X^0,6 мкм и 1 = 0,5 м получаем
ws « 0,3 мм.
2) Мода ТЕМо\ (яг = 0, /=1). Собственное решение запи-
записывается в виде UOi(x, у)= Нх(у)ехр [— л{х2 + у2)/Щ; зави-
зависимость поля в направлении оси х такая же, как и на рис. 4.26,
в то время как в направлении у амплитуда поля ведет себя так,
как показано на рис. 4.27. Световое пятно, которое образуется
на зеркале для этой моды, изображено на рис. 4.28.
') Обратим здесь внимание на возможность иной интерпретации числа
Френеля. С помощью выражения D.91) нетрудно показать, что
N = A/л) (а2/ю|). Отсюда мы видим, что с точностью до постоянного коэф-
коэффициента число iV равно отношению поперечного сечения зеркала (паг для
круглого зеркала) к поперечному сечению моды (яш| на зеркале).
200
4. Пассивные оптические резонаторы
3) Мода ТЕМи (tn = l=\). Собственная функция в этом
случае имеет вид U\\{x, у) = Н\ (x)Hi(y)zxp [—я(х2 + у2)/LX],
а соответствующая зависимость поля вдоль осей х и у приве-
приведена на рис. 4.27.
Аналогичным образом можно найти собственные функции и
распределения мод более высокого порядка, например ТЕМ2о и
TEM3i на рис. 4.28. Следует заметить, что в общем случае ин-
индексы m и / равны числу нулей
поля (за исключением нулей при
а' = ±оо и у = ±оо) соответствен-
соответственно вдоль осей х и у.
До сих пор мы рассматривали
только собственные функции урав-
уравнений D.86). Обращаясь теперь к
собственным значениям, снова в
приближении JV-»-oo получаем
-г
Рис. 4.27. Антисимметричная
мода низшего порядка в кон-
конфокальном резонаторе.
D.92)
). D.93)
Отсюда, используя условие D.83), находим следующее выра-
выражение для резонансных частот:
D.94)
Соответствующий спектр частот приведен на рис, 4.29, Следует
заметить, что моды, характеризующиеся одним и тем же значе-
значением суммы 2п -\- т -\-1, имеют одинаковые резонансные ча-
частоты, хотя их пространственные конфигурации различны. Эти
моды называются частотно-вырожденными. Заметим также, что
в отличие от случая плоских волн (рис. 4.19) разность частот
между двумя модами (межмодовое расстояние) теперь равна
c/4L. Однако разность частот между двумя модами с одними и
теми же значениями /, т (например, ТЕМоо) и с п, различаю-
различающимися на единицу (разность частот между двумя соседними
продольными модами), равна c/2L, т. е. точно такая же, как и
для резонатора с плоскими зеркалами.
Рассмотрим теперь дифракционные потери в резонаторе.
Прежде всего заметим, что, если воспользоваться выражением
D.92), то получим \а'т , | = 1, т. е. дифракционные потери отсут-
отсутствуют. Этот результат является следствием того, что в D.86)
мы положили N -*¦ оо (зеркала с очень большой апертурой).
4.5. Конфокальный резонатор
201
Следовательно, чтобы рассмотрение собственных значений
\а*т А имело смысл, в уравнениях D,86а) и D.866) необходимо
считать величину N конечной; иными словами, необходимо рас-
рассмотреть радиальные сфероидальные функции Фламмера. На
Рис. 4.28. Распределения интенсивности некоторых мод низшего порядка.
п-1,1,1
п, 0,0
• • • • •
п-1,1,2
п,0,1
п, 1, 1
n-t 1,0,0
C/4L
Рис. 4.29. Резонансные частоты конфокального резонатора.
рис. 4.30 показаны зависимости дифракционных потерь yd =
= 1—\а\2 от числа Френеля N, вычисленные по значениям
этих функций для мод низшего порядка. Действительно, как
следует из уравнений D.86) и D.876), a*m t и, следовательно,
Yd должны быть функциями только параметров N, т и /. Срав-
Сравнение рис, 4.30 и 4.24 показывает, что для данного числа
202
4. Пассивные оптические резонаторы
Френеля дифракционные потери в конфокальном резонаторе зна-
значительно меньше, чем в резонаторе с плоскими зеркалами. Это
нетрудно понять, если заметить, что благодаря фокусирующему
действию сферических зеркал поле в конфокальном резонаторе
сосредоточивается главным образом вдоль оси резонатора (ср.,
например, кривые на рис. 4.26 и 4.21 или на рис, 4.27 и 4.23 при
одних и тех же значениях числа Френеля).
10'
Рис. 4.30. Дифракционные потери в конфокальном резонаторе за один про-
проход yd в зависимости от числа Френеля. (Согласно Бойду и Гордону [9].)
Если известно распределение поля на зеркалах, то поле в
любой точке внутри резонатора можно получить, используя
опять интеграл Френеля — Кирхгофа. В предельном случае
Л/->- оо можно показать, что если направить ось z вдоль оси
резонатора и расположить начало координат в центре резона-
резонатора, то распределение поля запишется в виде
Хехр{-ф2-A
D.95)
где w B) = ш0 [ 1 + B2/LJ]1'2, D.96)
D.97)
2], D.98)
D.99)
На первый взгляд выражение D.95) кажется очень сложным,
однако ниже мы покажем, что отдельные части этого выраже-
выражения имеют простой смысл. Прежде всего заметим, что первая
4.5. Конфокальный резонатор
203
строчка D.95) представляет собой амплитуду поля U(x, у, z), и
мы будем называть ее амплитудным множителем. Вторая строч-
строчка в D.95) дает изменение фазы вдоль оси резонатора и может
быть названа продольным фазовым множителем. Третья строчка
выражает изменения фазы в плоскости, перпендикулярной оси
резонатора, и может быть названа поперечным фазовым мно-
множителем.
Чтобы изучить амплитудный множитель, рассмотрим сна-
сначала моду ТЕМоо- В этом случае Hm = Hi = const и амплитуд-
амплитудный множитель принимает вид
Выражение D.100) показывает, что, если не учитывать множи-
множитель wo/w(z), значение которого мы обсудим позже, то \U\
снова описывается гауссовой функцией, ширина w(z) которой
Зеркало
Зеркало
Рис. 4.31. Размер пятна и поверхности равной фазы для моды ТЕМоо в кон-
конфокальном резонаторе.
на уровне 1/е от максимального значения в соответствии с
D.96) является функцией продольной координаты z. Следова-
Следовательно, в произвольной точке внутри резонатора пучок сохра-
сохраняет гауссов профиль, но размер пятна изменяется в продоль-
продольном направлении. На рис. 4.31 сплошными линиями показано
изменение размера пятна, построенное в соответствии с выраже-
выражением D.96). Заметим, что минимальный размер пятна w = w0
соответствует точке z = 0. Поэтому величину wo, определяемую из
выражения D.97), обычно называют размером пятна в перетяжке
пучка. Заметим, что при z = ±L/2 (т. е. на зеркалах) из выра-
выражения D.96) имеем w = (?Д,/Я) >чтосогласуется с D.91).Таким
образом, размер пятна на зеркалах в ^2 раз больше, чем в цен-
центре резонатора. Это согласуется с тем фактом, что зеркала стре-
стремятся сфокусировать пучок в центре резонатора. Следует также
заметить, что в гауссовом пучке расстояние между двумя точ-
точками на оси пучка, в которых размер пятна в V раз больше,
204 4, Пассивные оптические резонаторы
чем размер пятна в перетяжке пучка, называется конфокаль-
конфокальным параметром гс. Таким образом, в рассматриваемом случае
zc равно L, т. е. в соответствии с D.97)
D.101)
Рассмотрим теперь моды более высокого порядка, т. е. в ам-
амплитудном множителе выражения D.95) т=т*=0 и 1^=0. При
этом мы видим, что распределение поля в произвольной точке
внутри резонатора дается снова произведением гауссовой функ-
функции на полиномы Эрмита. Поэтому распределение интенсивно-
интенсивности моды, скажем ТЕМю, сохраняется (см. рис. 4.28) в любой
точке внутри резонатора. Следует заметить, что переменные х и
у, входящие в выражении D.95) в полиномы Эрмита, нормиро-
нормированы на w(z), т. е. на размер пятна. Это означает, что с измене-
изменением w(z) размеры мод высшего порядка в радиальном напра-
направлении меняются таким же образом, как и у моды ТЕМОо- По-
Поэтому относительные размеры различных распределений попе-
поперечных мод сохраняются неизменными во всех точках вдоль
пучка.
Обратимся теперь к продольному фазовому множителю в вы-
выражении D.95). Вначале сделаем замечание относительно того,
что, как и в интеграл Френеля — Кирхгофа D.73), в выражение
D.95) не входит временная зависимость электромагнитного
поля. Интеграл Френеля — Кирхгофа можно рассматривать как
интегральное представление дифференциального уравнения
Гельмгольца [см. B.5а)]. Следовательно, как и в последнем
случае, зависящая от времени и пространственных координат
напряженность поля получается простым умножением части
выражения D.95), которая зависит от пространственных коор-
координат, на зависящий от времени множитель exp[±(i2nv?)], в
котором величина v дается выражением D.94). Выбор знака +
или — в экспоненте отвечает, как это следует из D.95), волне,
распространяющейся соответственно в положительном или отри-
отрицательном направлении оси z. Поэтому стоячую волну внутри
резонатора можно рассматривать как суперпозицию двух этих
волн. Таким образом очевидно, что входящая в D.95) функция
1|зB) = kz — A + m+ 1)ф(г) = kz — A + m + /)arctgB2/L)
описывает изменение фазы волнового фронта в зависимости от
координаты z. Следовательно, с помощью этой величины можно
найти, например, набег фазы, который приобретает волна при
ее распространении в положительном направлении оси z от ле-
левого до правого зеркала на рис. 4.31. Заметим, что этот набег
фазы не равен точно набегу фазы плоской волны, который ра-
равен kz. Данное обстоятельство приводит к двум взаимосвязан-
4.5. Конфокальный резонатор 205
ным следствиям: 1) фазовая скорость гауссова пучка v =
= <oz/r|) (z) = со/л [ 1 — (Я/2лг) arctg {2z/L) ] близка к скорости
света плоской волны, хотя слегка превышает ее; 2) резонанс-
резонансные частоты конфокального резонатора [см. D,94)] отличаются
от тех, которые получаются для случая плоской волны [см.
D.3)]. Действительно, из выражения D.95) находим, что
набег фазы за один проход равен [k(L/2)— (l + m +
+ /)arctg(l)] — [—k{L/2) — (i + m+ftarctg(— 1)], что соот-
соответствует соотношению D.93), если к фт { добавить набег фазы
плоской волны kL.
Рассматривая, как и выше, две распространяющиеся на-
навстречу друг другу волны, нетрудно понять физический смысл
того, почему в амплитудный множитель выражения D,95) вхо-
входит величина wo/w(z). Если из двух распространяющихся на-
навстречу волн выбрать любую из них, то, поскольку мы предпо-
предположили, что среда, в которой распространяются волны, не имеет
потерь, полная мощность, переносимая этой волной, должна
быть одной и той же в любой плоскости z. Отсюда следует, что
интеграл \\ | U\2dxdy не должен зависеть от z. Это условие вы-
выполняется именно благодаря наличию величины wo/w(z). Дей-
Действительно, можно написать следующее выражение:
+ ОО +ОО
где % = л/2 x/w и т] = л/2 yjw. Внимательно изучая это выра-
выражение, можно убедиться в том, что \\ | U f dx dy не зависит от z.
Наконец, рассмотрим в выражении D.95) множитель, опи-
описывающий изменение фазы в поперечном к оси резонатора на-
направлении. Наличие этого множителя указывает на то, что пло-
плоскости z = const не являются поверхностями постоянной фазы,
т. е. волновые фронты не являются плоскими. Поэтому необхо-
необходимо определить форму эквифазных поверхностей. В соответ-
соответствии с выражениями для поперечного и продольного фазовых
множителей в D.95) уравнение эквифазной поверхности, кото-
которая пересекает ось z в некоторой данной точке zo, запишется
в виде
[Hx\+yl)] kz = kz0, D.102)
где мы пренебрегли очень небольшим изменением фазы A +
+ т. -\-I)arctg{2z/L) в продольном направлении. Уравнение
D.102) показывает, что эквифазная поверхность представляет
206
4. Пассивные оптические резонаторы
собой параболоид вращения относительно оси г. Покажем те-
теперь, что радиус кривизны этого параболоида в точке z=zo в
точности равен R. Для этого рассмотрим сферическую поверх-
поверхность радиусом R, пересекающую ось z под прямым углом в
точке 2 = 20 (рис. 4.32). Нетрудно показать, что уравнение та-
такой сферической поверхности имеет вид [(R— 2o + 2J + jc2 +
-\-у2] =R2. При (г — z0) <С R это уравнение сводится к D,102).
Поэтому можно заключить, что эквифазные поверхности в хоро-
хорошем приближении описываются сферами с радиусом кривизны
R. Однако следует заметить,
что, согласно выражению
D.98), этот радиус кривиз-
кривизны зависит от координаты
z '). Наглядные примеры эк-
вифазных поверхностей по-
показаны на рис. 4.31 штрихо-
штриховыми линиями для несколь-
нескольких точек вдоль оси резо-
резонатора. Заметим, что при
z = 0 (центр резонатора)
R = оо и волновой фронт
является плоским, как и сле-
следовало ожидать из сообра-
соображений симметрии. Заметим также, что при z = ±L/2 (т. е. на
зеркалах) R = ±L. Отсюда следует, что вблизи зеркал экви-
эквифазные поверхности совпадают с поверхностью зеркал. Это
можно объяснить исходя из следующих двух соображений:
1) если рассматривать поле в виде распределения стоячих волн
и считать, что оба зеркала металлические, то на поверхности
обоих зеркал напряженность поля должна обращаться в нуль,
а отсюда следует, что на этих поверхностях поле должно иметь
одну и ту же фазу; 2) если поле представить в виде суперпози-
суперпозиции бегущих волн, то волна, распространяющаяся, скажем,
вправо на рис. 4.31, после отражения на зеркале 2 должна пре-
преобразоваться в волну, бегущую влево. С точки зрения геометри-
геометрической оптики лучи вблизи зеркала 2 должны быть перпендику-
перпендикулярны поверхности зеркала. Отсюда следует, что перпендику-
перпендикулярная этим лучам эквифазная поверхность должна совпадать
с поверхностью зеркала.
До сих пор мы рассматривали распределение поля только
внутри резонатора. Впрочем, вычисление поля вне резонатора
не вызывает теперь затруднений. Действительно, мы видели, что
Рис. 4.32. К выводу уравнения сфериче-
сферической поверхности равной фазы.
•> В выражении D.95) радиус /? считается положительным, когда центр
кривизны располагается слева от волнового фронта.
4.6. Распространение гауссова пучка и закон ABCD
207
распределение поля внутри резонатора можно рассматривать
как результат суперпозиции волн, одна из которых распростра-
распространяется на рис. 4.31 вправо, а другая — влево. Если оба зеркала
частично прозрачны, то зеркало 2 будет пропускать лишь волну,
распространяющуюся вправо, а зеркало 1 — волну, распростра-
распространяющуюся влево (см. рис. 4.31). Это означает, что как выраже-
выражение D.95), так и D.96) —D.99) справедливы в любой точке вне
резонатора. Например, электромагнитное поле, выходящее, ска-
скажем, из зеркала 2, получается умножением U(x, у, z) в D.95)
на exp[tBjivf)].
4.6. Распространение гауссова пучка
и закон ABCD [8]
Рассмотрим сначала свободное распространение однородной
сферической волны из точечного источника Р, расположенного
в точке z = 0 (рис. 4.33). Поле
U(Pi), создаваемое этой волной
в точке Pi с цилиндрическими
координатами г и z0, в случае
г <С R записывается в виде
ехр (— ife
D.103)
Рис. 4.33. К вычислению напря-
напряженности поля, создаваемого в
точке Pt сферической волной, ис-
исходящей из точки Р.
где R— радиус кривизны сфери-
сферической волны в точке Pi. От-
Отсюда мы видим, что поперечное изменение фазы пучка, а
именно
Ut = ехр [- / (kr*l2R)] = схр {- i [k(x* +
D.104)
должно описываться сферической волной радиусом R.
Рассмотрим свободное распространение гауссова пучка
(ТЕМоо). Как указывалось в предыдущем разделе, его распро-
распространение описывается выражениями D.95) — D.99) (при Нт =
= Hi = const). Следует, в частности, заметить, что с помощью
D.97) выражения D.96) и D.98) можно преобразовать следую-
следующим образом:
D.105)
1/2
«<•)-«[•+№)•]¦
D.106)
208 4. Пассивные оптические резонаторы
Для данной длины волны К как w, так и R (а следовательно, и
распределение поля) в данной точке z зависят исключительно от
w0. Это нетрудно понять, если заметить, что в плоскости z = 0
известно как распределение амплитуды поля (поскольку известна
величина w0 и мы договорились, что распределение поля яв-
является гауссовым), так и фазы (поскольку R = оо в перетяжке).
Тогда поле в любой другой точке пространства можно вычис-
вычислить, начиная с известного распределения поля в перетяжке
пучка с помощью, например, интеграла Френеля — Кирхгофа
D.73). Отсюда можно прийти к заключению, что если известно
положение перетяжки пучка и ее размер, то распространение
гауссова пучка всегда можно описать выражениями D.105) и
D.106), независимо от того, является ли перетяжка минималь-
минимальным размером пятна пучка внутри резонатора или же мини-
минимальным размером пятна в любой другой точке вдоль пучка
(например, благодаря фокусировке пучка положительной лин-
линзой). Расстояние от перетяжки пучка, на котором размер пятна
увеличивается в л/2 раз, называется рэлеевской длиной zR. Из
выражения D.105) получаем
D.107)
Сравнивая это выражение с D.101), находим, что zc = 2zR, т. е.
рэлеевская длина равна половине конфокального параметра.
Распространение гауссова пучка можно описать в более про-
простой и удобной форме, если определить комплексный параметр
q следующим образом:
1/<7=1//?-/Л/яда2. D.108)
Нетрудно показать, что использование параметра q позволяет
записать выражения D.105) и D.106) в значительно более про-
простом виде:
q(z) = qo + z, D.109)
где
1/а8 D1
Параметр q называется комплексным радиусом кривизны гаус-
гауссова пучка или, что более привычно, комплексным параметром
пучка. Действительно, в соответствии с выражением D.95) по-
поперечное изменение фазы пучка можно записать как
D.111)
4.6. Распространение гауссова пучка и закон ABCD 209
что совпадает с аналогичной записью в случае сферической
волны [см. D.104)], причем радиус кривизны сферической вол-
волны R заменяется параметром q.
Параметр q обеспечивает весьма удобный способ описания
распространения гауссова пучка, как видно, например, из очень
простого вида закона распространения пучка, записанного че-
через параметр q [см. D.109)]. Это удобство связано также и со
следующим общим результатом: если гауссов пучок на входе
некоторой оптической системы, описываемой данной ABCD-ua-
трицей, характеризуется комплексным параметром qlt то на вы-
выходе этой системы параметр пучка q2 запишется весьма просто:
Этот закон, который очень похож на соответствующий закон
для распространения сферической волны [см. выражение
D.18)], обычно называют ABCD-законом распространения га-
гауссова пучка. Доказательство справедливости выражения
D.112) для произвольной оптической системы весьма сложно
[11]. Поэтому ограничимся здесь лишь рассмотрением его спра-
справедливости для нескольких простых случаев.
Рассмотрим вначале свободное распространение гауссова
пучка от плоскости z = Z\ до z = z2. В соответствии с D.109)
можно написать следующее равенство:
fc = ?i + fe-*i), D. ИЗ)
где мы положили q2 = q(z2) и qx =q(Zi). Выражение D.113) в
точности совпадает с тем, которое было бы получено с помощью
закона D.112), если бы мы использовали матрицу D.7) для сво-
свободного распространения [при п = 1 и L = z2—Z]-, ср. с D.19)].
Изучим теперь прохождение гауссова пучка через линзу с
фокусным расстоянием f (рис. 4.34,а). Если линза тонкая, то ам-
амплитудные распределения пучка непосредственно перед и после
линзы совпадают, т. е. размеры пятна могут меняться лишь не-
непрерывным образом. Таким образом, размеры пятна до и после
линзы не изменяются, т. е.
w2 = wt. D.114)
Чтобы определить соответствующее изменение кривизны волно-
волнового фронта, рассмотрим вначале прохождение через ту же са-
самую линзу сферической волны (рис. 4.34,6). В данном случае
сферическая волна, исходящая из точечного источника Pi, фоку-
фокусируется линзой в точечное изображение Р2. В этом случае ра-
радиусы кривизны Ri и R2 непосредственно до и после линзы бу-
будут связаны соотношением D.20). Иными словами, сферическая
210
4. Пассивные оптические резонаторы
линза преобразует радиус кривизны падающей волны Ri в ра-
радиус кривизны выходящей волны R2 в соответствии с соотно-
соотношением D.20). Точно таким же образом радиус кривизны выхо-
выходящего гауссова пучка R2 на рис. 4.34, а будет определяться
соотношением D.20). Согласно этому соотношению и D.114), пре-
преобразование комплексного параметра q можно записать в виде
Это соотношение снова очень похоже на D.20). Нетрудно те-
теперь показать, что соотношение D.115) в точности совпадает
с тем, которое было бы получено при использовании матричных
элементов тонкой линзы [см. D.9)].
Рис. 4.34. Прохождение через линзу гауссова пучка (а) и сферической
волны (б).
Закон D.112), справедливый для произвольной оптической
системы, находит очень широкое применение для решения мно-
многочисленных задач, например для описания распространения га-
гауссова пучка через оптическую систему из сложной последова-
последовательности линз, разделенных произвольными промежутками.
В качестве элементарного примера проиллюстрируем примене-
применение закона ABCD для получения фокусировки гауссова пучка
линзой.
Рассмотрим гауссов пучок с размером пятна wO\ и плоским
волновым фронтом, входящий в линзу с фокусным расстоянием
f (т. е. перетяжка пучка совпадает с местоположением линзы).
Требуется определить положение перетяжки пучка после линзы
и размер пятна Wq2 в этой перетяжке. В соответствии с форму-
4.7. Обобщенный сферический резонатор 211
_
лами D.7) и D.9) матрица системы, состоящей из линзы с фо-
фокусным расстоянием f, вслед за которой расположен свободный
от оптических элементов промежуток длиной z, имеет вид
Чтобы решить нашу задачу с помощью этой Л5С?)-матрицы,
выражение D.112) нужно преобразовать к виду
1 С + Р(Мд{) ,. .._.
Qi A + о (\lq\) '
где \/qx в соответствии с D.110) дается выражением
— = — *'-V = —; D.118)
<7, nw0l zRl
здесь 2/?i — рэлеевская длина, соответствующая размеру пятна
в перетяжке wOi. Согласно D.108), положение перетяжки пучка
zM после линзы можно найти, если потребовать, чтобы величина
1/^2. как и \/q\, была чисто мнимой. Из D.117) и D.118), ис-
используя конкретные значения матричных элементов, нетрудно
показать, что
Zm= l + (flzRiy DЛ19)
Таким образом, мы с удивлением обнаруживаем, что минималь-
минимальный размер пятна достигается на расстоянии zM, которое всегда
меньше фокусного расстояния f. Впрочем, следует отметить, что
в обычных условиях Яд,» f, так что zM ~ f- Следовательно, если
положить zM « f, то размер пятна в фокальной плоскости wO2
получается из мнимой части формулы D.117) в виде
D.120)
4.7. Обобщенный сферический резонатор [8]
Рассмотрим теперь общий случай резонатора из двух сфери-
сферических зеркал, имеющих радиусы Ri и R2 и разделенных друг
от друга промежутком длиной L. Знак радиуса кривизны бе-
берется положительным для вогнутого и отрицательным для вы-
выпуклого зеркала. Наша задача состоит в том, чтобы вычислить
амплитуды мод, дифракционные потери и резонансные частоты.
Поскольку Ri и R2 могут принимать любые значения (либо по-
положительные, либо отрицательные), можно будет составить та-
такую комбинацию зеркал, которая приведет к неустойчивой кон-
конфигурации резонатора (см., например, рис. 4.6). В связи с этим
212 4. Пассивные оптические резонаторы
представляет интерес определение условия устойчивости обоб-
обобщенного сферического резонатора. Для последующего рассмо-
рассмотрения удобно ввести следующие две безразмерные величины
ё\ и g2:
8l=-l-L/Ru D.121a)
g2=l-L/R2. D.1216)
4.7.1. Амплитуды мод
Для того чтобы вычислить распределение поля, представим
себе, что на рис. 4.31 синфазные поверхности 1!' и 2' замещены
двумя зеркалами, причем радиусы кривизны зеркал и эквифаз-
ных поверхностей совпадают. Предположим также, что исход-
исходные зеркала 1 и 2 удалены. Теперь резонатор будет образован
зеркалами V и 2', и распределение поля внутри резонатора, оче-
очевидно, не изменится. Соответственно размер пятна и эквифаз-
эквифазные поверхности как внутри, так и вне резонатора останутся
теми же самыми, что и на рис. 4.31. Однако из формулы D.98)
можно заметить, что эквифазные поверхности 1' и 2' уже не яв-
являются конфокальными и резонатор, образованный зеркалами
У и 2', теперь представляет собой некий обобщенный (т. е. не
конфокальный) резонатор со сферическими зеркалами. В даль-
дальнейшем мы сформулируем ограничения на кривизны зеркал и
расстояния между ними в обобщенном резонаторе. Таким обра-
образом, если заданы радиусы кривизны Rt и R2 зеркал 1' и 2', а
также расстояние между ними L, то модовую картину можно
получить при условии, что эквифазные поверхности совпадают
с поверхностями зеркал в месте их расположения. Пусть Z\ и
za — расстояния от обоих зеркал до перетяжки, тогда с помощью
формул D.106) и D.107) получим1'
-R1=Zl + 2*Jzv D.122а)
R2 = z2 + zyzr D.1226)
Очевидно также, что
L = z2 — zl. D.122в)
Уравнения D.122)—это система трех уравнений для трех
неизвестных: zu z2 и zR. Если эти уравнения решить, то с по-
" Заметим, что знак минус перед Ri в D.122а) обусловлен тем, что
хотя знак кривизны вогнутого зеркала выбран положительным, согласно
правилу, примененному нами в D.106), R является положительным, если
центр кривизны расположен слева от волнового фронта.
4.7. Обобщенный сферический резонатор
213
мощью выражения D.95) с учетом соотношений D.96) — D.99),
в которых L заменено на 2zR, можно найти напряженность поля
в любой точке внутри и вне резонатора. В частности, размер
пятна на двух зеркалах в соответствии с D.96) определяется
выражением
[/2]" D-123)
Важным примером является случай, когда R2 = Ri = R
(симметричный резонатор). В этом случае перетяжка распола-
располагается посередине резонатора (т. е. гг =—z\=L/2) и из урав-
уравнений D.122) нетрудно найти,
что
D.124)
здесь в соответствии с D.121) мы
положили g = 1 — L/R. Размер
пятна на зеркале вычисляем с
помощью выражения D.123), в
котором используем D.124). Та-
Таким образом, имеем
D.125)
Рис. 4.35. Симметричный резона-
резонатор. Зависимость размера пятна
ws на зеркале (нормированного на
соответствующий размер пятна
ws в конфокальном резонаторе
такой же длины) от параметра
резонатора g[g = 1 — {L/R)], где
L—длина резонатора, a R — кри-
кривизна зеркала.
Таким образом, отношение этого размера пятна к размеру пятна
на зеркале конфокального резонатора ws [см. D.91)] равно
A—?2)-[/л. На рис. 4.35 построена зависимость отношения
w'Jws от величины g. Мы видим, что размер пятна 1) оказы-
оказывается минимальным при g = 0 (конфокальный резонатор),
2) становится бесконечно большим как при g = 1 (плоский ре-
резонатор), так и при g = — 1 (концентрический резонатор) и
3) за исключением случаев, когда g имеет значения, близкие к
1 или —1, не очень сильно отличается от своего значения для
конфокального резонатора.
В более общем случае сферического резонатора с зерка-
зеркалами различной кривизны вычисление с помощью уравнений
D.122) и выражения D.123) оказывается более сложным из-за
громоздких алгебраических выкладок. Однако выражения для
размеров пятен на двух зеркалах Wi и w2 оказываются довольно
214 4. Пассивные оптические резонаторы
простыми:
лиу/'г g, Г D126а)
|/2Г jt i
ЬА] D126б)
В случае симметричного резонатора (gi=g2=?) выражения
D.126), очевидно, сводятся к формуле D.125).
4.7.2. Резонансные частоты и дифракционные потери
Все, что мы делали до сих пор, относится к вычислению соб-
собственных функций распределения поля. Для расчета резонанс-
резонансных частот предположим снова, что Z\ и Zi являются z-коор-
динатами двух зеркал относительно начала координат, рас-
расположенного в перетяжке пучка. Из продольного фазового
множителя в D.95) получаем следующее выражение, из кото-
которого можно найти резонансные частоты:
kL - A + m + I) [arctgB2/2*) - arctg(z,/z*)] =nn. D.127)
Действительно, из этого выражения следует, что
v = .L {„ + A + m + 0 Iarct^ (^) ~ ^ СЫ1}. D.128)
После некоторых утомительных выкладок последнее выражение
можно переписать через параметры резонатора gt и g2:
D.129)
Заметим, что частотное вырождение, которое наблюдается для
конфокального резонатора (рис. 4.29), в обобщенном сфериче-
сферическом резонаторе снимается. В качестве примера, имеющего важ-
важное значение, рассмотрим почти плоский резонатор, образован-
образованный двумя одинаковыми, почти плоскими зеркалами, т. е. слу-
случай, когда L/R < 1. При этом arccos(gig2)l/2 = arccos [I —
— (L/R)] « BL/R)[/2 и выражение D.129) принимает вид
D,30)
Вычисленный по этой формуле спектр частот представлен на
рис. 4.36 (ср. с рис. 4.19).
4.7. Обобщенный сферический резонатор
215
Наконец, перейдем к определению дифракционных потерь,
Дело в том, что для этого в каждом конкретном случае необ-
необходимо решать интегральное урав-
уравнение Френеля — Кирхгофа. На
рис. 4.37 приведены как характер-
характерные и весьма полезные примеры
вычисленные зависимости дифрак-
дифракционных потерь от числа Френеля
для некоторых симметричных резо-
резонаторов (которые характеризуются
соответствующими значениями па-
параметра g). Заметим, что для дан-
данного числа Френеля наименьшие по-
потери имеет конфокальный резона-
резонатор (g = 0).
(п,0,0)
[ln,l,0)Jn.O,D]
(п> 1,0,0)
0,1 o,2o/iofii,o г h в ею го ьо во юо
Рис. 4.36. Частотный спектр мод симметрич-
симметричного резонатора со сферическими зеркала-
зеркалами в случае, когда радиус кривизны зер-
зеркал R много больше длины резонатора L.
0,10,2 OfWfiW ?. 4 6 вЮ 20 4060/00
*/
Рис. 4.37. Дифракционные по-
потери за один проход в зависи-
зависимости от числа Френеля для
некоторых симметричных ре-
резонаторов, а — мода ТЕМоо;
б — мода ТЕМю. (Согласно
Ли [12].) (Copyright 1965,
American Telephone and Tele-
Telegraph Company. Воспроизведе-
Воспроизведено с разрешения.)
4.7.3. Условие устойчивости
Получим сначала условие устойчивости с помощью геоме-
геометрической оптики. Обратимся к рис. 4.38 и рассмотрим луч, вы-
выходящий из точки />о. принадлежащей некоторой плоскости р
внутри резонатора. После отражения на зеркалах 2 и 1 этот луч
пересечет плоскость р в точке Pi. Если г0 и г, — координаты то-
точек Ро и Pi относительно оси резонатора, а г'о и г[ — углы, кото-
которые эти лучи образуют с осью резонатора, тогда в соответствии
216
4. Пассивные оптические резонаторы
с D.5) можно написать следующее соотношение:
D.131)
где ЛВСО-матрица— это матрица преобразования лучей, соот-
соответствующая полному проходу резонатора. Луч, выходящий из
точки Р1 (г,, г[) после двух отражений, пересечет плоскость р
в точке Р2(г2, г'2), координаты которой определяются выраже-
выражением
А В
С D
r\
=
А В
С D
2
Рис. 4.38. Применение матричного мето-
метода для нахождения условия устойчиво-
устойчивости произвольного сферического резо-
резонатора.
D.132)
Таким образом, после п
полных проходов луча че-
через резонатор координаты
точки Рп(гп, г'п} запишутся
в виде
D.133)
Резонатор будет устойчивым, если при любом выборе исходной
точки (г0, Гц) точка (гп, г'п) с увеличением п не будет удаляться
на бесконечно большое расстояние от оси. Это означает, что
матрица
В
D
не должна расходиться с увеличением п. Поскольку определи-
определитель AD — ВС матрицы равен единице, из матричного исчисле-
исчисления [13] получаем
X
А В
С D
A sin лв — sin (л— 1)8
CsinnB
1
X
sin 6
В sin лв
D sin nQ — sin (n — 1)9
D.134)
где
D.135)
Отсюда следует, что для того, чтобы матрица D.134) не расхо-
расходилась, должно выполняться неравенство
. D.136)
4.7. Обобщенный сферический резонатор 217
В самом деле, если это неравенство не выполняется, то угол 6
будет комплексным числом и sinлв должен неограниченно уве-
увеличиваться с п.
Чтобы найти условие устойчивости данного резонатора, мы
должны теперь определить соответствующую ему ABCD-мат-
рицу. Если плоскость р на рис. 4.38 расположить непосредст-
непосредственно перед зеркалом 1, то результирующая матрица будет рав-
равна произведению следующих четырех матриц. Первая из них
описывает свободное распространение от зеркала 1 до зеркала
2, вторая — отражение от зеркала 2, третья — свободное рас-
распространение от зеркала 2 до зеркала 1 и четвертая — отраже-
отражение от зеркала 1. Тогда из выражения D.16) получаем
А В 1 L || 1
С D = — 2/#, 1 — BL/#,) 11 -
Перемножение матриц дает соотношение
A + D , 2L 2L . 2L2
D.137)
2 —1 *, R2
которое можно преобразовать к виду
?) D-139>
Поскольку условие D.136) можно записать в эквивалентном
виде как
0< Л + Д + 2 <1, D.140)
отсюда с учетом соотношения D.139) окончательно получаем
очень простое неравенство, выражающее условие устойчивости
резонатора:
1. D.141)
Такое же условие устойчивости, как и D.141), можно полу-
получить, если вместо геометрооптических соображений использо-
использовать волновую оптику. Действительно, волновая оптика позво-
позволила нам определить размеры пятен на зеркалах, а именно по-
получить формулы D.126). Следовательно, если условие D.141)
не выполняется, то w\ и w2 будут иметь мнимые значения, т. е.
для данного резонатора невозможно получить устойчивое реше-
решение в виде гауссова пучка. Таким образом, условие D.141) од-
одновременно выражает как геометрооптическое условие устойчи-
устойчивости, так и условие, при котором в данном резонаторе можно
наблюдать устойчивую моду TEMOq. To, почему эти два условия
совпадают, можно понять с помощью закона ABCD, описываю-
218
4. Пассивные оптические резонаторы
щего распространение гауссова пучка. В самом деле, пусть ^о —
исходный комплексный параметр пучка в плоскости р на
рис. 4.38, тогда в соответствии с D.112) комплексный параметр
qn после п полных проходов резонатора запишется в виде
Вг, D.142)
где матрица с элементами Ап, Вп, Сп, Dn определяется следую-
следующим образом:
Dn
А В
С D
D.143)
Поэтому, если матричные элементы неограниченно увеличи-
увеличиваются при я-*-оо, т. е. условие D.141) не выполняется, то па-
Отрицательная
Ветбь '
Отрицательная
Ветвь
(«К
Рис. 4.39. Диаграмма устойчивости на плоскости gi, g2 для произвольного
сферического резонатора. Область устойчивости соответствует заштрихован-
заштрихованным частям на рисунке. Штриховые кривые соответствуют возможным кон-
конфигурациям конфокальных резонаторов.
раметр qn будет также неограниченно увеличиваться независимо
от того, какое значение имел исходный параметр q0. Следова-
Следовательно, в этом случае не может существовать самовоспроизво-
самовоспроизводящийся гауссов пучок.
Условие устойчивости D.141) удобно представить графиче-
графически в плоскости g\, g2, как показано на рис. 4.39. На этом ри-
4.7. Обобщенный сферический резонатор 219
сунке устойчивым резонаторам соответствуют заштрихованные
области. Особенно интересный класс сферических резонаторов
соответствует точкам прямой линии АС, образующей с осями
g\ и ?г угол 45°. Эта прямая отвечает резонаторам с зеркалами
одинаковой кривизны (симметричные резонаторы). В качестве
частных случаев этих симметричных резонаторов укажем, что
тот из них, который отвечает какой-либо из точек А, В и С на
этом рисунке, является соответственно концентрическим, конфо-
конфокальным и плоским резонатором. Как мы видим, все эти три ре-
резонатора лежат на границе, разделяющей области устойчивости
и неустойчивости. Концентрический резонатор имеет следующие
недостатки: 1) очень небольшой размер пятна в центре резона-
резонатора (рис. 4.2), что может приводить к нежелательным эффек-
эффектам в лазерах большой мощности, и 2) высокую чувствитель-
чувствительность к несоосности зеркал. Поэтому концентрические резона-
резонаторы применяются довольно редко. В конфокальном резонаторе
размер пятна [см. D.91)] также слишком мал, чтобы можно
было эффективно использовать все поперечное сечение лазер-
лазерной среды. Поэтому конфокальные резонаторы применяются
тоже редко. Высокую эффективность использования попереч-
поперечного сечения можно получить в плоскопараллельных резонато-
резонаторах (см. рис. 4.21). Однако эти резонаторы, как и концентриче-
концентрические, весьма чувствительны к несоосности зеркал. По различным
упомянутым выше причинам наиболее широко применяе-
применяемые лазерные резонаторы образованы либо двумя вогнутыми
зеркалами с большими радиусами кривизны (превышающими
длину резонатора, например, в 2—10 раз), либо плоским зерка-
зеркалом и вогнутым зеркалом с большим радиусом кривизны. Эти
резонаторы дают несколько больший размер пятна, чем конфо-
конфокальный резонатор (см. рис. 4.35), и обладают умеренной устой-
устойчивостью к несоосности зеркал. На диаграмме рис. 4.39 таким
резонаторам соответствует область устойчивости вблизи точки
С. Если же небольшой размер пятна на одном из зеркал не при-
приводит к осложнениям (например, маломощный Не—Ne-лазер),
то хорошие результаты дает почти полусферическая конфигура-
конфигурация (R2 = L +AL, где AL < L и R\ = оо; см. также рис. 4.5).
Эта конфигурация обладает наименьшей чувствительностью к
разъюстировке, чем любая из указанных выше. Однако, по-
поскольку занимаемый модой объем имеет по существу кониче-
коническую форму (см. рис. 4.5), такая мода неэффективно использует
всю имеющуюся инверсию населенностей. Это обстоятельство
еще раз указывает на то, что данная конфигурация больше под-
подходит для маломощных лазеров, когда в получении высокого
КПД нет необходимости.
220 4. Пассивные оптические резонаторы
4.8. Неустойчивые резонаторы [14, 15]
В предыдущем разделе мы обсудили условие устойчивости
для обобщенных сферических резонаторов [см. условие D.141)]
и показали, что неустойчивые области соответствуют незаштри-
хованным участкам в плоскости gu g2 на рис. 4.39. Неустойчи-
Неустойчивые резонаторы можно подразделить на два класса: 1) резона-
резонаторы положительной ветви, которые соответствуют условию
gig2 > 1. и 2) резонаторы отрицательной ветви, которые соот-
соответствуют условию gig2 < 0.
Прежде чем продолжить рассмотрение неустойчивых резо-
резонаторов, необходимо указать здесь причины, почему эти резо-
резонаторы представляют интерес для лазерной техники. В первую
очередь подчеркнем, что для устойчивого резонатора, соответ-
соответствующего на плоскости gu g2 точке, которая расположена не
очень близко к границе неустойчивости, размер пятна в любом
случае имеет тот же порядок величины, что и у конфокального
резонатора (см. рис. 4.35). Отсюда следует, что при длине резо-
резонатора порядка метра и для длин волн видимого диапазона раз-
размер пятна будет порядка или меньше 1 мм. При таком неболь-
небольшом сечении моды выходная мощность (или энергия) лазер-
лазерного излучения, которую можно получить в одной поперечной
моде, неизбежно оказывается ограниченной. Наоборот, в не-
неустойчивых резонаторах поле не стремится сосредоточиться
вблизи оси (см., например, рис. 4.6), и в режиме одной попе-
поперечной моды можно получить большой модовый объем. Однако
при работе с неустойчивыми резонаторами возникает другая
проблема, связанная с тем, что лучи стремятся покинуть резона-
резонатор. Поэтому соответствующие моды имеют значительно ббль-
шие (геометрические) потери, чем моды устойчивого резонатора
(в котором потери обусловлены только дифракцией). Тем не ме-
менее данное обстоятельство можно даже обратить в преимуще-
преимущества, если лучи, которые теряются на выходе из резонатора,
включить в полезное выходное излучение лазера.
4.8.1. Геометрическое описание
Для того чтобы найти моды неустойчивого резонатора, нач-
начнем вычисление с использования геометрооптического прибли-
приближения, как это впервые было сделано Сигменом [16]. Сначала
напомним два основных результата, которые были получены
для собственных решений устойчивого резонатора [см. D.95)]:
1) амплитуда записывается в виде произведения полинома Эр-
мита на гауссову функцию и 2) распределение фазы соответ-
соответствует сферическому волновому фронту. Наличие гауссовой
4.8. Неустойчивые резонаторы
221
функции ограничивает размер пятна, что в большой мере объ-
объясняется фокусирующими свойствами устойчивого сферического
резонатора. Кроме того, сферический волновой фронт обусловлен
граничными условиями, налагаемыми сферическими зеркалами.
В случае неустойчивых резонаторов решение в виде произведе-
произведения эрмитовой и гауссовой функций получить невозможно, как
было показано в предыдущем разделе для случая гауссо-
гауссовой моды низшего порядка. Поскольку пучок уже не фокуси-
фокусируется вблизи оси резонатора, в качестве первого приближения
а
Рис. 4.40. а — общий внд неустойчивого резонатора с выпуклыми зерка-
зеркалами; б — одноторцевой неустойчивый резонатор.
естественно предположить, что в этом случае решение имеет
постоянную по сечению пучка амплитуду, в то время как вол-
волновой фронт остается по-прежнему сферическим. Точнее говоря,
моду следует рассматривать как суперпозицию двух распро-
распространяющихся навстречу друг другу сферических волн постоян-
постоянной интенсивности.
После этого предварительного обсуждения рассмотрим об-
общий случай неустойчивого резонатора, показанный на
рис. 4.40, а. Как и прежде, будем предполагать, что мода об-
образована суперпозицией двух сферических волн постоянной ин-
интенсивности, исходящих из точек Pi и Р2. Эти точки не совпа-
совпадают с центрами кривизны зеркал 1 и 2, но их координаты
нетрудно вычислить, используя соображение самосогласованно-
самосогласованности: сферическая волна, исходящая из точки Pi, после отраже-
отражения от зеркала 2 должна давать сферическую волну, выходя-
выходящую из точки Р2, и наоборот. Таким образом, координаты точек
222 4. Пассивные оптические резонаторы
Р{ и Р2 можно получить из непосредственных вычислений, осно-
основанных на геометрической оптике. Результаты, найденные для
величин Г\ и г2, указанных на рис. 4.40, а, записываются следую-
следующим образом:
г\ = ft { ± [gift (gift - 1)]1/2 + й\йг - ft}~\ D.144a)
г г = g\ {± [ftft (ftft - 1)]1/2 + ftft - ft}~'. D.1446)
Можно показать, что из этих решений устойчивым " будет лишь
то, которое в случае g\g2 > 0 имеет знак «+», и то, которое
при g\g2 <С 0 имеет знак «—». Таким образом, устойчивое реше-
решение во всех случаях можно записать как
T'^ftll-foftTT+ft-l, D.145а)
г2~1 = Я2[1 - taT']1/2 + ft - 1. D.1456)
До сих пор мы исследовали лишь конфигурации моды. Что-
Чтобы вычислить соответствующие потери, рассмотрим однонапра-
однонаправленный резонатор, показанный на рис. 4.40, б. Здесь принято,
что диаметр зеркала 1, равный 2щ, больше, чем поперечный
размер [(? + r2L)/r2L]2a2 сферической волны, исходящей из
точки Р2. В этом случае из резонатора мимо зеркала 2 будет
выходить лишь сферическая волна, испускаемая из точки Р{.
Эта сферическая волна, которая начинает свой путь от зеркала
2 диаметром 2а2 (см. рис. 4.40,6), после одного полного прохода
резонатора вернется к этому зеркалу, увеличенная в М раз, где
М = [(? + r2L)/r2L] [(L + r{L)/r\L\. С помощью соотношений
D.145) выражение для М принимает вид
M = Bglg2- l) + 2glg2[l -(g.ft)-1]"'. D.146)
откуда видно, что коэффициент увеличения за полный проход
резонатора М зависит только от параметров g резонатора. За-
Заметим, что в случае gig2 < 0 увеличение М имеет отрицатель-
отрицательный знак, и мы должны рассматривать его абсолютную вели-
величину. Таким образом, поскольку мы приняли однородный харак-
характер освещенности, часть мощности пучка, которая выходит мимо
зеркала 2, после полного прохода резонатора равна
¦> Автор здесь употребляет термин «устойчивый», который в данном
случае имеет неоднозначный смысл. Видимо, речь идет о том, что отбрасы-
отбрасываемое решение не имеет физического смысла (проанализируйте, например,
простейший случай gi = l, g2=2).— IJpuM. перев.
4.8. Неустойчивые резонаторы 223
^— сечение пучка, выходящего из области 2, а
'2 = nM2al — сечение пучка после полного прохода резонатора.
Заметим, что потери у за полный проход при отборе мощности,
как и увеличение М, не зависят от диаметра зеркала 2а2.
До сих пор мы рассматривали лишь одну моду (которая на
самом деле представляет собой моду с наименьшими поте-
потерями). Чтобы найти моды более высокого порядка, все еще ос-
оставаясь в рамках геометрооптического приближения, рассмо-
рассмотрим опять однонаправленный резонатор на рис. 4.40, б. В этом
случае зеркала квадратного сечения распределение поля на зер-
зеркале 2 можно записать в виде функции поперечных координат
х и у [см. также выражение D.80а)] как
U2(x, y) = U2x(x)U2y(y). D.148)
Поле U'2x в точке с координатой Мх после одного полного про-
прохода определяется полем U2x в точке х до того, как излучение
совершит полный проход резонатора. Таким образом, можно на-
написать следующие уравнения для координат х и у соответст-
соответственно:
VW)V(x), D.149а)
D.1496)
Заметим, что стоящие в правых частях уравнений D.149) ампли-
амплитудные множители \/М1/2 учитывают тот факт, что после каж-
каждого полного прохода резонатора размеры пучка возрастают, и,
следовательно, поле U2(x, у) уменьшается в М раз. Чтобы функ-
функция U2x представляла собой моду резонатора, потребуем выпол-
выполнение равенств U'2 (Mx) = oxU2x{Mx) и U'2y(My)=ouU2y{My). Из
уравнений D.149) получаем
± D.150а)
D.1506)
Тогда общее собственное решение можно записать в виде
U(x,y)= U(x)U(y), а соответствующее собственное значение как
а = ох<Уу. Можно непосредственно убедиться в том, что система
уравнений D.150) имеет решение нулевого порядка ?/0 = constH
ах = оу =\/М1/2. Объединяя эти решения для координат хну,
получаем U(x, у) = const ио= \/М. Это именно та мода, кото-
которую мы только что рассмотрели и потери которой у= 1— |сг|2
224
4. Пассивные оптические резонаторы
даются выражением D.147). Однако нетрудно показать, что
решения уравнений D.150) более высокого порядка записы-
записываются в виде
Ul(x) = xl, D.151а)
Um(y) = ym, D.1516)
где /, пг > 0. Соответствующие собственные значения равны
ax/ = l/M' + 1/2, D.152а)
а,т=1/ЛГ+. D.1526)
Заметим, что случай l = tn=0 (решение нулевого порядка) со-
соответствует решению с минимальными потерями.
Рис. 4.41. Конфокальные неустойчивые резонаторы, а—отрицательная ветвь;
б — положительная ветвь.
В качестве особо важного класса неустойчивых резонаторов
рассмотрим конфокальный резонатор. Эти резонаторы предста-
представляются в плоскости g\, g2 в виде двух ветвей гиперболы, пока-
показанных на рис. 4.39 штриховыми линиями [уравнение гиперболы
записывается в виде B^— 1) Bg2— 1) = 1]. Из большого раз-
разнообразия таких резонаторов только (симметричный) конфо-
4.8. Неустойчивые резонаторы
225
кальный (gi=g2=0) и плоскопараллельный (gi=g2 = l)
резонаторы соответствуют границе между областями устойчиво-
устойчивости и неустойчивости. Все прочие конфокальные резонаторы не-
неустойчивы и могут принадлежать либо отрицательной ветви
(рис. 4.41, а), либо положительной ветви (рис. 4.41,6) области
неустойчивости. Как показано на рис. 4.41 и в чем можно убе-
убедиться с помощью формул D.145), мода состоит из суперпози-
суперпозиции плоской волны и сферической волны, исходящей из общего
фокуса F\ = F2. Коэффициент усиления за полный проход резо-
резонатора М равен М= \Ri\/\R2\, где Ri и #2 —радиусы зеркал,
причем \Ri\ > |#2|- Если диаметр 2а,\ зеркала 1 сделать доста-
достаточно большим Bа\ > 2Ма2), то из резонатора будет выходить
только плоский пучок. В этом случае потери за полный проход,
или относительная выходная мощность, определяются выраже-
выражением D.147).
4.8.2. Описание с помощью волновой оптики
До сих пор в нашем рассмотрении мы пользовались сообра-
соображениями геометрооптической оптики. Чтобы получить более
близкую к действительности
картину мод неустойчивого
резонатора, необходимо ис-
использовать волновое прибли-
приближение (например, можно
снова использовать дифрак-
дифракционный интеграл Кирхго-
Кирхгофа). Мы не будем здесь рас-
рассматривать Подробно ЭТОТ -1,0-0,8-0,8-0,4-0,2 0 0,2 0,ч 0,6 0,8 1,0
вопрос, а лишь приведем и д-,^,
обсудим некоторые важные рнс. 4.42. Типичный пример радиально-
результаты.
Что касается собствен-
собственных решений, то волновое
приближение дает следую-
следующие результаты: 1) фаза ре-
решения соответствует волно-
го распределения интенсивности моды в
неустойчивом резонаторе, полученного с
помощью интеграла Кирхгофа. Резуль-
Результаты получены для конфокального резо-
резонатора, соответствующего положитель-
положительной ветви, с М = 2,5 н JVSKS = 0,6.
Вертикальными линиями отмечены по-
положения краев выходных зеркал. (Со-
(Согласно Реншу и Честеру [17].)
вому фронту, форма которо-
которого близка к сферической,
причем радиус волнового фронта почти равен значению того ра-
радиуса (хотя всегда немного больше), которое получается из гео-
метрооптического приближения; 2) радиальная зависимость ам-
амплитуды решения существенно отличается от той, которая полу-
получается из геометрооптического рассмотрения [т. е. она не имеет
зависимости, описываемой выражением D.151)]. На рис. 4.42
8 О. 3 вел то
226
4. Пассивные оптические резонаторы
в качестве примера приведена одна из таких радиальных зави-
зависимостей. На внешней стороне радиального распределения ин-
интенсивности наблюдается более или менее монотонный спад при
движении к периферии зеркала 1. Кроме того, на все распреде-
распределение интенсивности накладывается характерная кольцевая
структура. Наличие монотонно спадающей части пучка связано
с тем фактом, что дифракция света за пределы резонатора про-
происходит в основном из периферийной области пучка. Кольце-
Кольцевая структура обусловле-
обусловлена тем, что во внутреннее
поле резонатора дает
вклад дифракция света на
резкой границе зеркала 2
(рис. 4.42). Следует так-
также заметить, что волно-
волновая теория тоже пред-
предсказывает существование
различных мод, т. е. раз-
личных самовоспроизво-
самовоспроизводящихся пространствен-
пространственных структур поля. Эти
моды отличаются друг от
друга положением и ин-
ин1
1,00
0,50
^^^^¦•^
r-
1 /
/
/
У
/¦
/
I -
/
г
у
1
A
i
i
i
i
'0
1
>
V
i
\,
л
/
/
t
1
-/
\
\
к »
\
\
\
1
» 2
\
\
\l
1
-\
Ma
Рис. 4.43. Амплитудные профили трех соб-
собственных мод низшего порядка открытого
неустойчивого резонатора с М = 2,5 и
ЛГэкв = 0,60. (Согласно Сигмену [14].)
тенсивностью колец, об-
обусловленных дифракцией.
На рис. 4.43 показаны
для примера три такие
моды. Четкого различия между модами низшего и более
высокого порядков установить теперь невозможно. Тем не
менее следует заметить, что амплитуда поля моды, обозна-
обозначенной на рисунке индексом / = О, больше концентрируется
вблизи оси у пучка, и поэтому следует ожидать, что данная
мода будет иметь наименьшие потери. Если изменять пара-
параметры резонатора (М и а2), то обнаружится новая характерная
особенность: для каждого полуцелого значения определенного
соответствующим образом эквивалентного числа Френеля
(Мэкв) модой «низшего порядка» (т. е. модой с минимальными
потерями) становится отличная от других и четко выделяемая
мода. Это обстоятельство иллюстрируется рис. 4.44, где пока-
показана зависимость собственного значения а от N3KB для трех мод
с последовательными индексами (соответствующие потери вы-
вычисляются по формуле 1 — |сг|2). Для однонаправленного кон-
конфокального резонатора положительной ветви мы имеем iV3KB =
= [(М— \)/2]N, где N — определяемое обычным образом чис-
число Френеля для зеркала 2, т. е. N = a22/Lk. Заметим, что при
4.8. Неустойчивые резонаторы
227
М я» 1 (т. е. в случае резонатора с малыми потерями) N3KB < N.
Для конфокального резонатора отрицательной N ветви вместо
предыдущего выражения получаем N3kb= [(M + 1)/2]N.
На рис. 4.44 хорошо видно, что для каждого полуцелого зна-
значения N3KB потери моды «низшего порядка» и других мод сильно
отличаются друг от друга. Отсюда следует, что в этих условиях
можно получить эффективную селекцию поперечных мод. Од-
Однако необходимо заметить, что в точке пересечения кривых,
описывающих потери двух мод (приблизительно при целых зна-
значениях iV3KB на рис. 4.44), распределения интенсивностсй двух
0,6
Геометрооптическое
значение
О
1
Рис. 4.44. Типичный пример колебательного поведения модуля собственного
значения а в зависимости от эквивалентного числа Френеля для трех по-
последовательных мод.
пересекающихся мод становятся одинаковыми. Если обратиться,
например, к рис. 4.43, то происходящее можно описать следую-
следующим образом. Когда N3kb изменяется от 0,6 до приблизительно
1, распределение интенсивности моды / = 0 расширяется в сто-
сторону больших значений х, в то время как распределение моды
/ = 1 стягивается вовнутрь, так что при Л^,кв « 1 оба распреде-
распределения становятся одинаковыми. Следовательно, в этой точке
значительная разница в потерях существует между модой 1 = 2
и модами /=0, / = 1 (с точки зрения дифракционных свойств
эти моды можно рассматривать по существу как одну и ту же
моду1'). В заключение можно сказать, что неустойчивые резо-
резонаторы в любом случае обеспечивают хорошую селекцию по-
поперечных мод, особенно при полуцелых значениях Л^,кв-
На рис. 4.44 указано также геометрооптическое значение ве-
величины | сг | для решения нулевого порядка [согласно выраже-
выражениям D.152), эта величина равна |<т| =ахау= 1/М независимо
'* Эти моды все же различаются с точки зрения фазового набега за
полный проход, т.е. изменение поля вдоль оси z у них может быть разным.
228
4. Пассивные оптические резонаторы
от размеров зеркал и, следовательно от ЛГ9Кв]-При каждом полу-
полуцелом значении ЫЭкв мода низшего порядка имеет существенно
меньшие потери у= 1—\а\2 по сравнению с предсказывае-
предсказываемыми геометрической оптикой. Это обусловлено тем, что, со-
согласно предсказаниям волновой оптики, распределение интен-
интенсивности стремится сконцентрироваться вблизи оси пучка (см.
рис. 4.42). Такой эффект хорошо виден на рис. 4.45, на котором
Рис. 4.45. Потери на вывод излучения в неустойчивом резонаторе в зависи-
зависимости от увеличения М. Штриховая кривая получена в приближении геомет-
геометрической оптики; сплошные кривые вычислены из волновой теории. (Соглас-
(Согласно Сигмену [14].)
потери у представлены в зависимости от коэффициента увеличе-
увеличения М. Сплошные кривые на рисунке (которые отвечают двум
последовательным полуцелым значениям iV3KB) получены с по-
помощью теории дифракции, а штриховая кривая соответствует
геометрооптическому результату.
4.8.3. Достоинства и недостатки неустойчивых резонаторов
с резкой границей зеркала
Рассмотрим здесь главные достоинства и недостатки неус-
неустойчивых резонаторов с резкими границами зеркал по сравне-
сравнению с устойчивыми резонаторами. К достоинствам неустойчи-
4.8. Неустойчивые резонаторы 229
вых резонаторов относятся 1) большой управляемый объем
моды; 2) хорошая селекция поперечных мод; 3) используемая
оптика является целиком отражательной (что особенно привле-
привлекательно в ИК-области, когда можно применять металлические
зеркала). Основными недостатками являются следующие: 1) По-
Поперечное сечение излучаемого пучка имеет форму кольца (т. е. в
центре пучка находится темное пятно). Например, в конфокаль-
конфокальном резонаторе (рис. 4.41) внутренний диаметр кольца равен
2а2, в то время как внешний диаметр — 2Ма2. Хотя в фокальной
плоскости линзы (в дальней волновой зоне) это темное пятно
исчезает, максимальная интенсивность пучка в фокальной пло-
плоскости линзы при этом уменьшается с уменьшением толщины
кольца. Действительно, при данной полной мощности макси-
максимальная интенсивность кольцеобразного пучка в М2/(М2—1)
раз меньше интенсивности пучка, имеющего однородное рас-
распределение интенсивности и диаметр, равный большому диа-
диаметру кольцеобразного пучка. 2) Распределение интенсивности
в пучке неоднородно и имеет вид нескольких дифракционных ко-
колец. 3) По сравнению с устойчивым неустойчивый резонатор бо-
более чувствителен к возмущениям, возникающим в резонаторе.
В соответствии с перечисленными достоинствами и недостат-
недостатками неустойчивые резонаторы находят применение в лазерах
с высоким коэффициентом усиления (так что коэффициент уве-
увеличения М может быть относительно большим), особенно в ИК-
области спектра и в случае, когда требуется получить дифрак-
дифракционно-ограниченные пучки высокой мощности (или высокой
энергии).
4.8.4. Неустойчивые резонаторы с переменным
коэффициентом отражения
Некоторые, если не все, недостатки неустойчивых резонато-
резонаторов с резкими границами зеркал можно преодолеть, если зер-
зеркала этих резонаторов изготовить с изменяющимся коэффициен-
коэффициентом отражения. В этом случае, в отличие от выходного зеркала
с резкой границей, у которого коэффициент отражения равен
единице при г < а2 и нулю при г> а2 (см. рис. 4.40,6), коэф-
коэффициент отражения симметрично спадает от максимального зна-
значения Ro до нуля на расстоянии от центра, сравнимом с радиу-
радиусом активной среды. Для конкретности предположим, что у од-
однонаправленного резонатора коэффициент отражения зеркала 2
по амплитуде дается выражением
р = Рое-г2^, D.153)
4. Пассивные оптические резонаторы
где мы предположили, что wa сравнимо с радиальным размером
активной среды. Таким образом, соответствующий коэффициент
отражения по интенсивности запишется в виде
2rhl! D.154)
где #0 = р§. Для простоты будем следовать подходу, основан-
основанному на геометрической оптике. Тогда можно утверждать, что
поле U2 (Mr) в точке с координатой Mr зеркала 2 после одного
полного прохода резонатора создается полем U<i{r), которое до
прохода резонатора имелось в точке с координатой г. Таким
образом, мы можем написать следующее уравнение, которое
можно сравнить с уравнениями D.149а) и D.1496):
U'2(Mr) = p(r)U2(r)/M. D.155)
Если U2 соответствует моде резонатора, то U2{r) = oU2{r). При
этом из предыдущего уравнения находим
aU2(Mr) = p(r)U2{r)/M. D.156)
Используя условие D.153), нетрудно показать, что решение
низшего порядка уравнения D.156) имеет вид
и2(г) = и2Пехр(-г2/т>), D.157)
где
w2 = (M2-l)w2a. D.158)
Соответствующее собственное значение о равно
а = Ро/М, D.159)
так что потерн на вывод излучения запишутся в виде
Y=l_|o|2 = l -R<JM2. D.160)
В соответствии с решением D.157) радиальное распределение
интенсивности внутри резонатора имеет вид
' внутр V) —
D.161)
При этом радиальное распределение интенсивности выходного
пучка запишется в виде
/вых @ = /ввутр (Г) [1 -#(/¦)] =
= ?/и> [ехр (- 2г2/ш2) - #о ехр (- 2Л*2г2/ш2)], D.162)
где мы использовали D.154), D.158) и D.161). Заметим, что
радиальный размер распределения /вых должен быть больше,
4.8. Неустойчивые резонаторы 231
чем у /внутр. Действительно, согласно выражению D.162), вы-
выходная интенсивность равна произведению спадающей в ра-
радиальном направлении интенсивности /ВНутр и коэффициента про-
пропускания 1 — R(r), который в этом направлении увеличивается.
Поэтому можно ожидать, что профиль интенсивности будет
иметь плоскую вершину при г = 0, а такая особенность предста-
представляет интерес для многих приложений. Таким образом, мы мо-
можем записать условие
В этом случае из выражения D.162) находим, что коэффи-
коэффициент отражения в центре Rq и увеличение резонатора М дол-
должны удовлетворять условию
= 1. D.163)
В таком резонаторе, согласно выражениям D.160) и D.163), по-
потери за полный проход даются выражением
Y = I — 1/vM4. D.164)
Предположим, например, что величина у =0,5 соответствует
оптимальной связи на выходе лазера (см. разд. 5.3.3). Из выраже-
выражения D.164) получаем М2 = л/2 = 1,41, из условия D.163) имеем
#0= 1/^2 = 0,71, а из выражения D.158) находим до2 =
= 0,41 до2. На рис. 4.46 приведены профиль коэффициента от-
отражения и соответствующие профили интенсивности внутри и
вне резонатора. Заметим, что радиальная ширина профиля вы-
выходной интенсивности на уровне \/е от максимума сравнима
с соответствующей шириной профиля коэффициента отражения,
которая равна voJj\J2. Следовательно, если выбрать величину
2wa сравнимой с диаметром D активной среды, то диаметр вы-
выходного пучка будет равен приблизительно D, а сам пучок бу-
будет иметь замечательные дифракционные свойства.
В заключение укажем на то, что если размер пятна доа до-
достаточно велик, то приведенные выше соотношения, полученные
из геометрооптических соображений, совпадают с полученными
из более строгого рассмотрения с помощью волновой оптики
[19]. В частности, для конфокального резонатора положитель-
положительной ветви имеем
1/2 /LA.y'2
В рассмотренном примере первый множитель в правой части
этого неравенства равен приблизительно 0,95. Поскольку вто-
второй множитель равен размеру пятна на зеркале симметричного
232
4. Пассивные оптические резонаторы
конфокального резонатора длиной L, из D.165) следует, что
наше предыдущее обсуждение, основанное на геометрической
оптике, остается справедливым, когда радиальные размеры зер-
зеркала с переменным коэффициентом отражения, а следовательно,
и размеры активной среды, намного превышают размер пятна
Рнс. 4.46. Радиальный профиль интенсивности внутри (/виутр) и снаружи
(/Вых) неустойчивого резонатора с гауссовым распределением коэффициента
отражения выходного зеркала R(r). (Случай, когда интенсивность выход-
выходного пучка имеет наиболее плоскую вершину профиля.)
конфокального резонатора той же длины. Это и есть то условие,
при котором применение неустойчивых резонаторов оказывается
весьма полезным!
Задачи
4.1. Докажите, что ЛВСО-матрица для луча, падающего из среды с показа-
показателем преломления nt иа сферическую поверхность диэлектрической среды с
показателем преломления пг, записывается в виде
1 О
rtj — П\ 1
пг
п2
где R— радиус кривизны сферической поверхности (R > 0, если центр на-
находится слева от поверхности).
4.2. Рассмотрим тонкую лиизу с показателем преломления л2, образованную
из двух близко расположенных сферических диэлектрических поверхностей
с радиусами /?, и Rl Пользуясь решением задачи 4.1, покажите, что фокус-
Задачи 233
ное расстояние этой линзы дается выражением
1 я,-я, / 1 . 14
f я, L Ri ^ R2J'
где rti — показатель преломления среды, окружающей линзу.
4.3. Интерферометр Фабри — Перо состоит из двух зеркал с одинаковым
коэффициентом отражения по мощности R и одинаковыми относительными
внутренними потерями по мощности у. Покажите, что максимальное пропу-
пропускание интерферометра дается выражением A—R — уJ/0—RJ- Вычис-
Вычислите максимальное пропускание в случае R = 0,9 и у = 0,01 н сравните
его с соответствующей величиной для зеркал без потерь.
4.4. Интерферометр Фабри — Перо, состоящий из двух идентичных зеркал,
разделенных воздушным промежутком длиной L, освещается монохромати-
монохроматическим непрерывным светом с перестраиваемой частотой. Из измерения
зависимости интенсивности выходного пучка от частоты падающей волны
было найдено, что область дисперсии интерферометра равна 3-Ю9 Гц, а его
разрешение составляет 60 МГц. Вычислите расстояние между зеркалами L
интерферометра, его резкость и коэффициент отражения зеркал. Вычислите
также добротность Q резонатора Фабри — Перо на длине волны 0,6 мкм
(оранжевый цвет) и время жизни фотона в резонаторе.
4.5. Интерферометр Фабри — Перо, состоящий из двух идентичных зеркал,
разделенных воздушным промежутком длиной L, освещается от внешнего
источника световым импульсом длительностью 1 пс при длине волны X «
« 0,6 мкм. Наблюдаемый па выходе пучок света оказывается состоящим из
регулярной последовательности импульсов длительностью 1 пс с интервалом
10 не между ними. Энергия импульсов экспоненциально уменьшается со
временем с постоянной времени 100 не. Определите длину и добротность ре-
резонатора, время жизни фотона в нем, а также коэффициент отражения
зеркала.
4.6. В Не — Ne-лазере, работающем на длине волны X = 0,6328 мкм, исполь-
используется конфокальный резонатор длиной L = 1 м. Вычислите размер пятна
в центре резонатора и на зеркалах.
4.7. Для резонатора из задачи 4.6 вычислите разность частот между двумя
соседними продольными модами.
4.8. Для резонатора из задачи 4.6 найдите, сколько различных по частоте
мод лежит в пределах ширины линии Ne (определяемой по уровню 0,5 от
максимального значения).
4.9. Вычислите размер пятна на обоих зеркалах полуконфокальиого резона-
резонатора длиной L = 2 м, используемого в ССЬ-лазере, работающем на длине
волны % = 10,6 мкм.
4.10. Найдите разность частот между двумя соседними модами ТЕМоо резо-
резонатора из задачи 4.9. Считая, что в СОг-лазере ширина линии излучения,
определяемая по уровню 0,5 от максимального значения, равна 50 МГц,
найдите число мод ТЕМоо, частоты которых находятся в пределах этой
линии.
4.11. В лазере, работающем иа длине волны X = 0,6 мкм и имеющем усиле-
усиление по мощности за проход 2-10-2, используется симметричный резонатор
длиной L = 1 м. Радиус кривизны обоих зеркал резонатора R = № м. Вы-
Выберите такой размер апертуры зеркал, чтобы подавить моду TEMoi и со-
сохранить при этом генерацию на моде ТЕМоо.
234 4. Пассивные оптические резонаторы
4.12. Рассмотрим резонатор, образованный двумя вогнутыми сферическими
зеркалами с радиусом кривизны 4 м и расстоянием между ними 1 м. Опре-
Определите размер пятна моды ТЕМОо в центре резонатора и на зеркалах, если
резонатор используется для генерации излучения на длине волны % =
= 514,5 им (одна из линий излучения Аг+-лазера).
4.13. Как изменятся размеры пятна на обоих зеркалах, если в предыдущей
задаче одно нз вогнутых зеркал заменить плоским?
4.14. В задаче 4.12 одно из зеркал резонатора заменено на вогнутое зеркало
с радиусом кривизны 1,5 м. Вычислите: а) положение перетяжки пучка;
б) размер пятна в перетяжке пучка и на обоих зеркалах.
4.15. Резонатор образован выпуклым сферическим зеркалом с радиусом кри-
кривизны R\ = —1 м и вогнутым сферическим зеркалом радиусом Ri = 1,5 м.
Каким должно быть максимальное расстояние между зеркалами, чтобы ре-
резонатор оставался устойчивым?
4.16. Резонатор состоит из двух плоских зеркал и положительной линзы,
помещенной между ними. Если фокусное расстояние линзы /, а ее расстоя-
расстояние до обоих зеркал соответственно L{ и Ц, то каковы будут размеры пятен
в месте расположения линзы и зеркал? Запишите также условия устойчиво-
устойчивости резонатора.
4.17. Кольцевой резонатор треугольной конфигурации состоит из трех пло-
плоских зеркал с положительной линзой, помещенной между двумя из них
Рис. 4.47. Кольцевой резонатор лазера, включающий в себя положительную
линзу с фокусным расстоянием /.
(рис. 4.47). Определите местоположение пятна с минимальным размером,
значение этого размера и размер пятна в месте расположения линзы. Най-
Найдите также условие устойчивости этого резонатора.
4.18. Какова радиальная зависимость плотности энергии в резонаторе (нлн
интенсивности пучка, выходящего из резонатора) для моды ТЕМоо? Чему
равен размер пятна распределения интенсивности w,}
4.19. Покажите, что полная мощность гауссова пучка определяется выра-
выражением Р =I0(nwjy где /о—максимальная интенсивность пучка (на
его оси).
Задачи 235
4.20. С помощью прямой подстановки покажите, что интегральное уравнение
D.86а) при N = оо имеет собственное решение ?/ = ехр(—я?2). Найдите
соответствующее собственное значение сг^.
4.21. Для произвольного резонатора можно ввести понятие чувствительности
к несоосности б, которую определяют, как нормированное на размер пятна
на зеркале поперечное смещение точки пересечения оптической оси с этим
зеркалом при повороте одного из зеркал на единицу угла. В частности, для
зеркала 1 можно определить два коэффициента чувствительности к несоос-
несоосности 6н и 612 как 6н = (llwi) (drjdQi) и 612 = (l/wi) (drildQz), где
dr\/d§i (i = 1,2)—поперечный сдвиг центра пучка на зеркале 1 при пово-
повороте одного из зеркал A или 2) на единицу угла. Покажите, что в случае
конфокального резонатора Fн)с = 0 и F12H = jiws/\.
4.22. С помощью определения, введенного в предыдущей задаче, покажите,
что для любого симметричного резонатора с очень большим радиусом кри-
кривизны зеркал (R » Ц чувствительность к песоосности такова, что бц =
= 612 = 621 =622 = (ui2)c 4aK/a)s' где (*12)с ~ чувствительность к иесоос-
ности конфокального резонатора, w — размер пятна на зеркале реального
резонатора, a ws — размер пятна иа зеркале конфокального резонатора той
же длины. С помощью вышеприведенного равенства установите, какой из
двух резонаторов менее чувствителен к повороту зеркала?
4.23. Рассмотрим почти полусферический резонатор (R = L + Д, где Д <С L),
в котором зеркало 1 плоское. Покажите, что в этом случае 612 =
= Fi2)c(o>2/tt>s) н 621 = Fi2)c(o>i/tt>2). Сравнивая этот резонатор с резона-
резонатором из предыдущей задачи при том же значении размера пятиа иа зер-
зеркале, т. е. при ш = о>2, какой вывод можно сделать относительно чувстви-
чувствительности к иесоосиости почти полусферического резонатора по сравнению
с почти плоским резонатором?
4.24. В СОг-лазере, работающем на длине волны X = 10,6 мкм, приходится
использовать конфокальный неустойчивый резонатор. Пусть этот резонатор
имеет длину L = 1 м. Какую ветвь нужно выбрать для этого резонатора,
чтобы объем моды был максимальным? Вычислите апертуры зеркал 2а4 и
2аг, чтобы можно было получить: 1) N3Ke = 7,5, 2) выход излучения с одио-
торцевого резонатора и 3) 20 %-ный выход излучения за полный проход
резонатора. Определите радиусы двух зеркал: Ri и /?2-
4.25. Используя приближение геометрической оптики (и предполагая, что
генерируется мода низшего порядка), вычислите потери за одни полный про-
проход в резонаторе, рассчитанном в предыдущей задаче. Каковы форма и
размеры выходного пучка?
4.26. Рассмотрим зеркало, обладающее «супер-гауссовым» радиальным про-
профилем коэффициента отражения /? = /?(,ехр[—2(r/wa)in], где п — целое чис-
число. Если такое зеркало играет роль выходного в неустойчивом резонаторе,
то, используя геометрическую оптику, покажите, что профиль иитеисивиости
мод внутри резонатора также является супер-гауссовым, т. е. может быть
представлен в виде /ВнуТр = h ехр[—2(r/w)tn]. Выведите соотношение между
wa (размером пятна профиля коэффициента отражения) и w (размером
пятиа профиля интенсивности). Вычислите также потери у за полный про-
проход резонатора. Учитывая то, что профиль интенсивности выходного пучка
имеет вид /„ых = ЛтутрН — R(r)], покажите, что при условии Ro = 1/М2л+2
этот профиль будет наиболее пологим [ср. с выражением D.163)]. Постройте
зависимости R(r), /ВнУТр('') и /Вых(г) для п = 3 и у = 0,5 при условии, что
профиль имеет наиболее пологую форму. Сравнивая полученные кривые
с представленными на рис. 4.46, какие выводы можно сделать о полезности
этих «супер-гауссовых» профилей?
236 4. Пассивные оптические резонаторы
Литература
1. Kogelnik Н. — In: Applied Optics and Optical Engineering (eds. R. Shan-
Shannon, J. C. Wynant), Academic Press, New York, 1979, vol. VII, pp. 156—
190.
2. Born M., Wolf E., Principles of Optics, 6th edn., Pergamon Press, Oxford,
1980, Sec. 7.6. [Имеется перевод 2-го издания: Борн М., Вольф Э. Осно-
Основы оптики.—М.: Наука, 1970.1
3. Ritter Е. — In: Laser Handbook (eds. F. Т. Arecchi, E. O. Schulz-Dubois),
North-Holland Publishing Co., Amsterdam, 1972, v. 1, pp. 897—921.
4. Baumeister P. — In: Applied Optics and Optical Engineering (ed. R. Kings-
lake), Academic Press, New York, 1965, v. I, pp. 285—323.
5. Schawlow A L, Townes С. Н., Phys. Rev., 112, 1940 A958).
6. Fox A. G., Li Т., Bell System Tech. J 40, 453 A961).
7. Born M., Wolf E., Principles of Optics, 6th end., Pergamon Press, London,
1980, pp. 370—382. [Имеется перевод 2-го издания: Борн М., Вольф Э.
Основы оптики. — М.: Наука, 1970.1
8. Kogelnik Я., П Т., Appl. Opt., 5, 1550 A966).
9. Boyd G. ?>., Gordon J. P., Bell System Tech. J., 40, 489 A961).
10. Slepian D., Pollack H. O., Bell System Tech. J., 40, 43 A961).
11. Siegman A. E., Lasers, Oxford University Press, Oxford, 1986, Sec. 20 2
12. Li Т., Bell System Tech. J., 44, 917 A965).
13. Born M., Wolf E., Principles of Optics, 4th edn., Pergamon Press, London,
1970, sec. 1.6.5. [Имеется перевод 2-го издания: Борн М., Вольф Э.
Основы оптики. — М.: Наука, 1970.]
14. Siegman A. E., Lasers, Oxford University Press, Oxford, 1986, chap. 22.
15. Steier W. H. — In: Laser Handbook (ed, M. L. Stitch), North-Holland
Publishing Co., Amsterdam, 1979, v. 3, pp. 3—39.
16. Siegman A. E., Proc. IEEE, 53, 277—287 A965).
17. Rensch D. В., Chester A. N., Appl. Opt., 12, 997 A973).
18. Siegman A. ?., Laser Focus, 7, 42 (May 1971).
19. Siegman A. E., Lasers, Oxford University Press, Oxford, 1986, sec. 23.3.
Непрерывный и нестационарный
режимы работы лазеров
5.1. Введение
В предыдущих главах мы рассмотрели некоторые свойства от-
отдельных элементов, которые составляют лазер. К ним относятся
лазерная среда (взаимодействие которой с электромагнитным
излучением мы рассматривали в гл. 2), система накачки (гл. 3)
и пассивный оптический резонатор (гл. 4). В данной главе мы
воспользуемся результатами, полученными в предыдущих гла-
главах, для построения теоретических основ, необходимых для опи-
описания как непрерывного, так и нестационарного режимов ра-
работы лазера. Развитая здесь теория основывается на так назы-
называемом приближении скоростных уравнений. В рамках этого
приближения соответствующие уравнения выводятся из условия
баланса между скоростями изменения полного числа частиц и
полного числа фотонов лазерного излучения. Достоинство дан-
данной теории состоит в том, что она дает простое и наглядное опи-
описание работы лазера. Кроме того, она позволяет получить доста-
достаточно точные результаты для большого числа практических при-
приложений. При более строгом рассмотрении следует применять
либо полуклассическое приближение (в этом приближении среда
рассматривается квантовомеханически, а электромагнитное поле
считается классическим, т. е. описывается уравнениями Макс-
Максвелла), либо полностью квантовый подход (когда среда и поля
являются квантованными). Читатель, желающий познакомиться
с этими более точными теоретическими рассмотрениями, может
обратиться к работе [1].
5.2. Скоростные уравнения [2, 3]
5.2.1. Четырехуровневый лазер
Прежде всего рассмотрим лазер, работающий по четырех-
четырехуровневой схеме и имеющий для простоты лишь одну полосу по-
поглощения накачки (полоса 3 на рис. 5.1). Впрочем, последую-
последующий анализ останется без изменения, даже если мы будем
иметь дело с более чем одной полосой (или уровнем) поглоще-
поглощения накачки, при условии, что релаксация из этих полос на
верхний лазерный уровень 2 происходит очень быстро. Обозначим
238 5. Непрерывный и нестационарный режимы работы лазеров
населенности четырех уровней 0, 1, 2 и 3 соответственно че-
через Ng, N\, N2 и N3. Будем считать, что лазер генерирует только
на одной моде резонатора. Пусть q — полное число фотонов в
резонаторе. Считая, что переходы между уровнями 3 и 2 и уров-
уровнями 1 и 0 являются быстрыми, можно положить N\ да N3 да 0.
Таким образом, мы имеем следующие скоростные уравнения:
Ng + N2 = Nt, E.1а)
N2 = WpNg-BqN2-N2/x, E.16)
q=VaBqN2-q/xc. E.1 в)
В уравнении E.1а) величина Щ представляет собой полное чис-
число активных атомов (или молекул). В уравнении E.16) слагае-
слагаемое WpNg учитывает накачку [см.
уравнение A.10)]. Явные выраже-
риштщя ния для СКорости накачки Wp как в
случае оптической, так и электриче-
электрической накачки уже были получены
в гл. 3. В том же уравнении член
щШя'рпттншя BqN2 соответствует вынужденному
°-N<> излучению. Скорость вынужденного
Рис. 5.1. Схема энергетических излучения W, как показано в гл. 2,
уровней четырехуровневого ла- действительно пропорциональна ква-
зера. драту электрического поля электро-
электромагнитной волны и, следовательно,
пропорциональна q. Поэтому коэффициент В можно рассматри-
рассматривать как скорость вынужденного излучения на один фотон в
моде. Величина т представляет собой время жизни верхнего ла-
лазерного уровня и в общем случае определяется выражением
B.123). В уравнении E.1 в) член VaBqN2 соответствует скорости
изменения числа фотонов вследствие вынужденного излучения.
Действительно, как мы уже видели, член —BqN2 в уравнении
E.16) представляет собой скорость уменьшения населенности за
счет вынужденного излучения. Поскольку каждый акт вынуж-
вынужденного излучения приводит к появлению фотона, скорость уве-
увеличения числа фотонов должна быть равна VaBqN2, где Va —
объем, занимаемый модой внутри активной среды (точное опре-
определение модового объема дано ниже). Наконец, член q/xc [где
тс — время жизни фотона (см. разд. 4.3)] учитывает уменьшение
числа фотонов из-за потерь в резонаторе.
Строгое определение объема моды Va требует подробного
рассмотрения, которое приводится в приложении Б. В резуль-
результате мы имеем следующее определение Va:
Va=\[E(x, у, z)/EofdV, E.2)
5.2. Скоростные уравнения 239
где Е(х, у, z) —распределение электрического поля внутри ре-
резонатора, Ео—максимальное значение этого поля, а интегриро-
интегрирование производится по объему, занимаемому активной средой.
Если рассматривается резонатор с двумя сферическими зерка-
зеркалами, то отношение Е(х, у, z)/E0 равно вещественной части вы-
выражения D.95). Уместно привести в качестве примера симме-
симметричный резонатор, состоящий из двух зеркал, радиусы кривиз-
кривизны которых много больше, чем длина резонатора. Тогда размер
пятна моды w будет приблизительно постоянным по всей длине
резонатора и равным значению w0 в центре резонатора. Анало-
Аналогичным образом радиус кривизны эквифазных поверхностей R
будет достаточно большим и волновые фронты можно считать
плоскими. Тогда из выражения D.95) для моды ТЕМОо полу-
получаем
Е (х, у, z)/E0 = ехр (- r2/w20) cos (fez - ф); E.3)
здесь мы положили г2 = х2 + г/2. Из выражений E.2) и E.3)
имеем
Ка = лш2//4, E.4)
где / — длина активной среды. При выводе этого выражения
мы учли тот факт, что Ф(г) является медленно меняющейся
функцией по сравнению с kz, так что можно положить
\ cos2 (kz — ф)с1г = A/2). Таким образом, появление четверки в
знаменателе выражения E.4) является результатом следующих
двух обстоятельств: 1) наличие множителя 1/2 обусловлено тем,
что мода имеет характер стоячей волны, так что в соответствии
с приведенными выше рассуждениями <cos2(fez — ^)> = 1/2;
2) еще один множитель 1/2 появляется из-за того, что wQ — это
размер пятна для амплитуды поля Е, в то время как разме?
пятна для интенсивности поля (т. е. для Е2), очевидно, в д/2
раз меньше.
Прежде чем продолжить наше рассмотрение, следует заме-
заметить, что в выражении E.1в) пренебрегается слагаемым, учиты-
учитывающим спонтанное излучение. В действительности же, как от-
отмечалось в гл. 1, генерация возникает за счет спонтанного излу-
излучения; поэтому следует ожидать, что уравнения E.1) не дают
правильного описания возникновения генерации. В самом деле,
если в уравнении E.1в) положить ^ = 0 в момент времени t =
= 0, то мы получим ^ = 0 и, следовательно, генерация не смо-
сможет возникнуть. Для учета спонтанного излучения можно было
бы снова попытаться, исходя из простого условия баланса, на-
начать рассмотрение с члена Л^/тспонт, который в уравнении
E.16) входит в слагаемое N2/x. При этом может показаться,
240 5. Непрерывный и нестационарный режимы работы лазеров
что в уравнении E.1в) слагаемое, учитывающее спонтанное из-
излучение, должно было бы иметь следующий вид: УоЛ^/тспонт.
Однако это неверно. На самом же деле, как показано в
разд. 2.4.3 [см., в частности, выражение B.115)], спонтанное из-
излучение распределено в некотором частотном интервале и
форма его линии описывается функцией g(Av). Однако в урав-
уравнении E.1в) член, учитывающий спонтанное излучение, должен
включать в себя лишь ту долю этого излучения, которая дает
вклад в рассматриваемую моду. Правильное выражение для
этого члена можно вывести только из квантовомеханического
рассмотрения электромагнитного поля моды резонатора. Полу-
Получаемый при этом результат является очень простым и поучи-
поучительным [4]. В случае когда учитывается спонтанное излучение,
уравнение E.1 в) преобразуется к виду
q = VaB(q+l)N2-q/xc. E.1г)
Все это выглядит так, как будто члену, отвечающему вынуж-
вынужденному излучению, мы добавили «дополнительный фотон». Од-
Однако ради простоты мы не будем в дальнейшем вводить такого
дополнительного члена, связанного со спонтанным излучением,
а вместо этого предположим, что в начальный момент времени
в резонаторе уже присутствует некоторое небольшое число фо-
фотонов qi. Как мы увидим, введение этого небольшого числа фо-
фотонов, которое необходимо лишь для возникновения генерации,
в действительности никоим образом не сказывается на после-
последующем рассмотрении.
Займемся теперь выводом явных выражений для величины
В, которая входит в уравнения E.16) и E.1 в). Строгое выра-
выражение для этой величины выводится снова в Приложении Б.
Для большинства практических целей подходит приближенное
выражение, которое можно получить, исходя из простых сооб-
соображений. Для этого рассмотрим резонатор длиной L, в котором
находится активная среда длиной / с показателем преломле-
преломления п. Можно считать, что мода резонатора образована супер-
суперпозицией двух волн, распространяющихся в противоположных
направлениях. Пусть / — интенсивность одной из этих волн.
В соответствии с выражением A.7) при прохождении волны че-
через слой dz активной среды ее интенсивность изменяется на ве-
величину dI = o(N2— N\)I dz, где а—сечение перехода на ча-
частоте рассматриваемой моды резонатора. Определим теперь сле-
следующие величины: 1) 7\ и Т2— коэффициенты пропускания двух
зеркал резонатора по мощности; 2) а\ и а2 — соответствующие
относительные коэффициенты потерь на зеркалах; 3) 7\ — отно-
относительный коэффициент внутренних потерь за проход. Тогда
изменение интенсивности А/ за полный проход резонатора запи-
5.2. Скоростные уравнения 241
шется в виде
X ехр [2а (N2-Nl)l]-\) I. E.5)
Предположим далее, что потери на зеркалах одинаковы (ai =
= а? = а) и столь малы, что можно написать 1 — а — 7| «
«A — а){\ — 7,) и 1 — а — 72 да A — а) A — 72). При этом
выражение E.5), очевидно, преобразуется к виду
Л/ = {A - аJ A - 7,) A - 72)"A - Ttf X
1}/. E.6)
Прежде чем проследовать дальше, удобно ввести новые вели-
величины у, которые можно представить как логарифмические по-
потери за проход, а именно
Yi =-In A-7,), E.7а)
Y2 = -ln(l-72), E.76)
(l-7,)]. E.7в)
Здесь Yi и Y2 — логарифмические потери за проход, обусловлен-
обусловленные пропусканием зеркал, а у,- — внутренние логарифмические
потери. Для краткости будем называть yi и Y2 потерями на про-
пропускание, а Yi — внутренними потерями. Как станет ясно в даль-
дальнейшем, благодаря экспоненциальному характеру лазерного уси-
усиления запись с помощью логарифмических потерь значительно
более удобна для представления потерь в лазерах. Однако сле-
следует заметить, что, хотя y = —In A — 7) да 7 для небольших зна-
значений пропускания, для больших значений пропускания это не-
неверно. Приведем пример: если положить 7 = 0,1, то получим
у = 0,104, т. е. y ~ T, в то время как для 7 = 0,5 имеем y —
= 0,695. Следует также заметить, что с помощью выражений
E.7) можно определить полные потери y за проход:
Y = Y< + (Y1 + Y2)/2. E.8)
Определив логарифмические потери y, подставим выражения
E.7) и E.8) в E.6). Вводя дополнительное условие
[a(Na-Nl)l-y]<\, E.9)
экспоненциальную функцию в E.6) можно разложить в степен-
степенной ряд, и мы получаем
M = 2[a{N2-Nl)l-y]I. E.10)
Разделим обе части этого выражения на интервал времени Л/,
за который световая волна совершает полный проход резонатора,
242 5. Непрерывный и нестационарный режимы работы лазеров
т. е. на величину Л/ = 2L'/c0, где U определяется выраже-
выражением
-l)l. E.11)
Используя приближение Л//Л/ да dl/dt, получаем
dl/dt = [(alco/L') (N2 - ЛГ.) - yco/L'] I. E.12)
Поскольку число фотонов q в резонаторе пропорционально ин-
интенсивности /, уравнение E.12) можно сравнить с E.1в). При
этом получаем следующие выражения:
В = elco/VaL' = aco/V, E.13а)
xc = L'/yc0, E.136)
где
a. E.14)
Величину V мы будем называть эффективным объемом моды
резонатора. Заметим, что формула E.136) обобщает полученное
в разд. 4.3 выражение для времени жизни фотона. Кроме того,
выражение E.14) для объема резонатора справедливо лишь
приблизительно. На самом деле в Приложении Б показано, что
в E.13а) следует использовать более строгое выражение для V,
а именно
V = п \ (E/EQJdV + ^ (ОД2 dV; E.15)
1 2
здесь первый интеграл берется по объему активной среды, а
второй — по оставшемуся объему резонатора. Заметим, впрочем,
что для симметричного резонатора с зеркалами большого ра-
радиуса кривизны оба выражения E.14) и E.15) дают
V = nwlL'/4. E.16)
До сих пор наше рассмотрение было направлено на обосно-
обоснование уравнения E.1в) и на вывод явных выражений для В и %с
через измеряемые параметры лазера. Однако следует заметить,
что мы указали также и на пределы применимости уравнения
E.1в). Действительно, при выводе уравнения E.12) нам при-
пришлось использовать приближение E.9), согласно которому раз-
разница между усилением и потерями невелика. Для непрерывного
лазера это условие всегда выполняется, поскольку в установив-
установившемся процессе a(N2 — JVi)/ = y (см. разд. 5.3.1). А вот для
импульсного лазера условие E.9) будет справедливо лишь то-
тогда, когда лазер работает при малом превышении над порогом.
Если условие E.9) не выполняется, то неприменимы и уравне-
5.2. Скоростные уравнения 243
ния E.1), и динамическое поведение лазера следует анализи-
анализировать с помощью выражения E.6), путем последовательного
рассмотрения процесса проход за проходом.
Если получены явные выражения для В и тс и можно счи-
считать, что рассмотренные выше приближения справедливы, то
уравнения E.1) описывают как установившиеся, так и динами-
динамическое поведение четырехуровневого лазера. Следует заметить,
что уравнения принято записывать не через населенность верх-
верхнего уровня N2, а через инверсию населенностей
N = N2-Nl. E.17)
В силу нашего предположения о том, что релаксация с уровня
1 является быстрой, имеем N да N2, и уравнения E.1) нетрудно
свести лишь к двум уравнениям в переменных N(t) и q(t):
N = Wp{Nt-N)-BqN-N/x, E.18a)
q = (VaBN-\/xc)q. E.186)
Для количественного описания работы лазера необходимо ре-
решить эти уравнения с учетом соответствующих начальных усло-
условий. Если, например, накачка включается в момент времени
/ = 0, то начальные условия запишутся в виде N@) =0 и
q(O)=qi, где qi-—очень небольшое число первоначально при-
присутствующих фотонов (например, q; = 1), симулирующее спон-
спонтанное испускание.
Если известно q(t), то совсем нетрудно определить выход-
выходную мощность через одно из двух зеркал резонатора. Действи-
Действительно, согласно выражениям E.136) и E.8), можно записать
E.19)
Если это выражение подставить в уравнение E.1в), то мы убе-
убеждаемся в том, что величина (y2Co/2L')q представляет собой
скорость ухода фотонов из резонатора через зеркало 2. Следо-
Следовательно, выходная мощность через зеркало 2 равна
P2 = (y2c(J2L')hvq. E.20)
Прежде чем закончить этот раздел, необходимо еще раз под-
подчеркнуть, что полученные здесь результаты применимы только
в случае одномодовой генерации лазера. Если же генерация ла-
лазера происходит более чем на одной моде, то расчет, вообще го-
говоря, значительно усложняется. Рассматривая, например, гене-
генерацию лазера на двух модах, скоростные уравнения нужно было
бы записать отдельно для чисел фотонов qx и q2 в этих двух мо-
модах. В действительности же более правильным является описа-
описание через электрические поля соответствующих мод, поскольку
244 5. Непрерывный и нестационарный режимы работы лазеров
такое описание позволяет учесть эффекты, обусловленные бие-
биениями между двумя модами (см. разд. 5.4.5, посвященный син-
синхронизации мод). Однако если мы имеем дело с многомодовой
генерацией, то описание можно сделать еще более простым за
счет того, что мы рассматриваем полное число фотонов q, про-
просуммированное по всем модам. В этом случае записанные выше
уравнения все еще применимы в приближенной форме, причем
объемы Va и V записываются теперь в виде
Va = Al, E.21)
V = AL', E.21a)
где А — площадь поперечного сечения той части активной среды,
которую занимают поля генерируемых мод.
В качестве заключительного комментария подчеркнем, что в
соответствии с выражениями E.4) и E.21) в любом случае мо-
можно записать, что
Va = Ael, E.22)
где Ае — эффективная площадь поперечного сечения лазерной
среды, которая равна либо nwl/4, либо А, в зависимости от того,
генерирует ли лазер на одной или на многих модах.
5.2.2. Трехуровневый лазер
Исследование трехуровневого лазера проводится так же, как
четырехуровневого. Обращаясь к рис. 5.2, предположим снова,
что имеется лишь одна полоса поглощения накачки, и если пе-
переход 3-*-2 достаточно быстрый, то можно опять положить
jV3 & 0. При этом скоростные уравнения можно записать почти
так же, как и в случае четырехуровневого лазера, а именно
Nl + N2 = Nt, E.23а)
N2 = WpNl-Bq(N2-Nl)-N,Jx, E.236)
q = VaBq(N2-Nl)-q/tc. E.23в)
Используя E.17), эти уравнения нетрудно свести лишь к двум
уравнениям в переменных N (t) и q (/):
N = WP (/V, -N)- 2BqN - (Nt + N)/x, E.24a)
q = (VaBN-l/te)q. E.246)
Эти уравнения совместно с явными выражениями для В и тс
[см. E.13)] описывают как установившееся, так и динамическое
поведение трехуровневого лазера. Заметим, что скоростные ура-
i релаксации
"г
5.3. Непрерывный режим работы лазера 245
внения для фотонов в случае четырехуровневых E.186) и трех-
трехуровневых E.246) лазеров одинаковы. Однако скоростные урав-
уравнения для инверсии населенностей несколько отличаются.
В частности, член, отвечающий вынужденному излучению, в
случае трехуровневого лазера запи-
записывается в виде —2BqN, тогда как |щ
для четырехуровневого мы имеем
—BqN. Различие, обусловленное на-
наличием в первом случае множите-
множителя 2, возникает из-за того, что при ____
излучении одного фотона в трех-
трехуровневом лазере инверсия населен- Рис 52 Схема э„СргетиЧеских
ностеи изменяется на 2 (N2 умень- уровней трехуровневого лазе-
шается на единицу, a N\ увеличи- ра.
вается на единицу), тогда как в че-
четырехуровневом лазере она изменяется на единицу. Действи-
Действительно, в последнем случае N2 уменьшается на единицу, в то
время как благодаря быстрой релаксации 1-»-0 населенность N]
остается практически неизменной (т. е. равной нулю).
5.3. Непрерывный режим работы лазера
В данном разделе мы изучим работу лазера при стационар-
стационарной накачке (т. е. когда скорость накачки Wp не зависит от вре-
времени). Поскольку, как мы увидим ниже, стационарная накачка
приводит к стационарному режиму генерации, этот случай мож-
можно рассматривать как непрерывный режим работы лазера.
5.3.1. Четырехуровневый лазер
Прежде чем приступить к подробному рассмотрению непре-
непрерывного режима работы лазера, следует вывести условие, вы-
выполнение которого необходимо для того, чтобы в четырехуров-
четырехуровневом лазере могла быть получена непрерывная генерация.
С этой целью заметим, что в отсутствие генерации стационарная
населенность уровня 1 должна определяться уравнением, кото-
которое выражает не что иное, как условие равновесия населен-
населенностей, приходящих на уровень 1 и уходящих с него: jVi/ti =
= N2/x2U гДе T2i — время жизни перехода 2->-1. Для осущест-
осуществления генерации необходимо, чтобы удовлетворялось неравен-
неравенство N2 > Ni. Согласно предыдущему выражению, это означает,
что
т,<г21. E.25)
246 5. Непрерывный и нестационарный режимы работы лазеров
Если данное неравенство не выполняется, то работа лазера воз-
возможна в импульсном режиме лишь при условии, что длитель-
длительность импульса накачки короче времени жизни верхнего уровня
или сравнима с ним1). Возникнув, лазерная генерация будет
продолжаться до тех пор, пока число атомов, накопившихся на
нижнем уровне, не станет достаточным для снятия инверсии на-
селенностей. Поэтому такие лазеры называются лазерами на са-
самоограниченных переходах.
Если Wp постоянна и достаточно велика и если условие
E.25) справедливо, то в конечном счете будет выполнено усло-
условие стационарной генерации. Проанализируем теперь это усло-
условие в предположении, что -ti <C Тгь т. е. мы можем считать спра-
справедливыми уравнения E.18).
Рассмотрим сначала пороговое условие генерации лазера.
Предположим, что в момент времени / = 0 в резонаторе
вследствие спонтанного испускания присутствует некоторое не-
небольшое число фотонов щ. При этом из уравнения E.186) сле-
следует, что для того, чтобы величина q была положительной, дол-
должно выполняться условие VaBN> 1/тс. Следовательно, генера-
генерация возникает в том случае, когда инверсия населенностей N
достигнет некоторого критического значения Nc, определяемого
выражением
Nl/VB ll E.26)
при выводе которого использовались выражения E.13). При
этом критическую скорость накачки Wp мы получаем из уравне-
уравнения E.18а), полагая в нем # = 0, N = NC и q = Q. Таким обра-
образом, мы видим, что критическая скорость накачки соответствует
ситуации, когда полная скорость накачки уровней Wcp(Nt —
— jVc) уравновешивает скорость Nc/x спонтанного перехода
с уровня 2, т. е.
- Nc) x ~ y/alNtx, E.27)
где предположили, что Nc <tC Nt, и использовали соотношение
E.26). Физический смысл условия E.26) можно также понять,
если переписать его в виде
A _ Г,) A _ т2) A - аJ A - Г,J exp {2aNc[) = 1. E.28)
11 Собственно говоря, для работы лазера необходимо, чтобы достаточно
коротким был фронт импульса накачки, при этом «лишняя» энергия иакачки
уйдет на нагрев активной среды. Это не всегда плохо: именно таким обра-
образом работают многие конструкции лазеров на парах металлов, где длитель-
длительный A—5 мкс) импульс электрической иакачки вызывает своим фронтом
короткий A0—50 ис) импульс генерации, а остальная энергия служит для
поддержания рабочей температуры A500—1650 °С) в трубке. — Прим. перев.
5.3. Непрерывный режим работы лазера
247
Это условие [а следовательно, и E.26)] означает, что Nc дол-
должно быть достаточно большим, чтобы усиление скомпенсиро-
скомпенсировало полные потери в лазере [см. также условие A.9), в кото-
котором для простоты не учитывались потери а и 7\].
Если Wp > WCp, то число фотонов q будет возрастать от ис-
исходного значения, определяемого спонтанным излучением, и
если Wp не зависит от времени, оно в конце концов достигнет
некоторого постоянного значения q0. Это стационарное значение
и соответствующее ему стационарное значение инверсии No по-
получаются из уравнений E.18), если в них положить N = q = 0.
Таким образом, мы имеем
N0=\/VaBxc = Nc,
= Varc[Wp(Nt-N0)-No/t].
E.29а)
E.296)
Эти уравнения описывают непрерывный режим работы четы-
четырехуровневого лазера. Рассмотрим их более подробно. Прежде
всего следует заметить, что уравнение
E.29а) показывает, что равенство
jVo = Nc выполняется даже при Wp >
> Wcp. В стационарных условиях ин-
инверсия населенностей No всегда равна
критической инверсии Nc. Чтобы луч-
лучше уяснить физический смысл дан-
данного утверждения, предположим, что
скорость накачки возрастает от крити-
критического значения WCp. При Wp = Wcp
мы имеем, очевидно, N = Nc и q0 = 0.
Если же Wp > Wcp, то как следует из
E.29), до линейно возрастает с ростом
Wp, в то время как инверсия населен-
населенностей No остается постоянной и рав-
равной критической. Иными словами, ко-
когда скорость накачки выше критической, в резонаторе лазера
увеличивается число фотонов (т. е. увеличивается электромаг-
электромагнитная энергия в резонаторе), а не инверсия населенностей
(т. е. энергия, запасенная в активной среде). Это поясняется
на рис. 5.3, на котором представлены зависимости величин N и q
от скорости накачки Wp. Заметим, что при накачке ниже поро-
пороговой q = 0, и из уравнения E.18а) получаем N = [Wpx/A +
+ Wpx)]Nt. Но поскольку обычно выполняется условие No =
= Nc < Ni, из формулы E.27) мы находим, что WcPx <C 1, т. е.
Wp% <С 1 и N увеличивается с Wp практически линейно. В каче-
качестве второго замечания укажем, что с учетом формул E.27)
и E.29а) выражение E.296) можно записать в эквивалентном
•ср
Рис. 5.3. Качественная кар-
картина поведения инверсии
населениостей N и полного
числа фотонов q в резона-
резонаторе как функция скорости
накачки Wp.
248 5. Непрерывный и нестационарный режимы работы лазеров
виде:
qo = (VaNo)(tcM(x-\), E.30)
где
E.31)
— относительное превышение скорости накачки над пороговой '>.
Заметим, что как для оптической, так и для электрической на-
накачки можно записать
* = ЯР/ЯПОР, E.31а)
где Рр — мощность электрической накачки (приложенная к лам-
лампе или к разряду), а ЯПор — ее пороговое значение. С помощью
выражений E.22), E.26) и E.31а) уравнение E.30) можно
переписать в несколько более удобном виде:
Яо = (Аеу/а)(хс/х)(Рр/РПор-1). E.32)
Прежде чем продолжить обсуждение, следует подчеркнуть,
что когда мощность накачки превышает пороговую даже на
весьма скромную величину, число фотонов q0 в резонаторе обыч-
обычно уже очень велико. В качестве примера рассмотрим числовые
значения, соответствующие одномодовому непрерывному Nd:
: YAG-лазеру (см. также разд. 5.3.6): Ае = 0,5 мм2, y = 0,12,
ог = 3,5-1О-19 см2 и т = 0,23 мс. Если положить V = 50 см, то
получим %с да 14 не и из E.32) имеем q0 та 10й [(Рр/РП0р) — 1].
Таким образом, даже если мы выберем PP/Aiop = l,l, то будем
иметь около 1010 фотонов в резонаторе. Это означает, что в ура-
уравнении E.1г) сразу за порогом член VаВ(q-\-\)N2, описываю-
описывающий как вынужденное, так и спонтанное излучение, вне всякого
сомнения можно аппроксимировать выражением VaBqN2, что
мы и делаем в настоящем рассмотрении. Это также означает,
что число фотонов в установившемся режиме q0 весьма нечув-
нечувствительно к выбранному нами конкретному значению числа
начальных фотонов в резонаторе q; в момент времени / = 0, ко-
которые необходимы для возникновения генерации. Как мы уви-
увидим в разд. 5.3.7, эта нечувствительность оказывает сильное
влияние на выходные свойства лазерного пучка.
Получим теперь выражение для выходной мощности. Из фор-
формул E.20) и E.32) имеем
Pnop-\); E.33)
здесь Is = hv/a%—интенсивность насыщения усиления для че-
четырехуровневой системы [см. B.146)]. Это выражение согла-
" В советской литературе величину х часто называют «числом поро-
порогов». — Прим. перев.
5.3. Непрерывный режим работы лазера 249
суется с тем, которое впервые получил Ригрод [5] для случая,
когда зеркало имеет стопроцентное отражение. Заметим также,
что зависимость Р2 от Рр имеет вид прямой линии, которая пере-
пересекает ось Рр в точке Рр = РПОр. Поэтому мы можем определить
дифференциальный КПД tis следующим образом:
E.34)
причем эта величина оказывается постоянной для данной лазер-
лазерной конфигурации. С помощью предыдущего выражения и урав-
уравнений, полученных в гл. 3, можно получить полезное и поучи-
поучительное выражение для r\s, которое применимо в случае как оп-
оптической, так и электрической накачки. Из выражения E.27)
с учетом формулы C.26) или C.43) и полагая Ne = Nt, а так-
также V = Al, где А — площадь поперечного сечения активной
среды, получаем
Р =
Из трех последних выражений видно, что % можно предста-
представить в наглядном виде, который позволяет разделить различ-
различные причины снижения КПД (ср. с выражением, приведенным
в книге [6]):
E.36)
здесь г\р — КПД накачки; т)с = \г/2\ можно назвать КПД свя-
связи на выходе резонатора (ее значение ^ 1, причем единица до-
достигается при v = Y< = 0) '> Лл = Ае/А — коэффициент заполне-
заполнения сечения активной среды; т), = h\/h\p—квантовая эффек-
эффективность лазера.
В качестве заключительного комментария к этому разделу
мы вновь подчеркнем, что полученные нами результаты спра-
справедливы лишь тогда, когда можно считать, что уровень 1 яв-
является пустым. Это выполняется в случае, когда ti <С т, где ti —
время жизни уровня 1. Если ti сравнимо с т, то предыдущие
уравнения необходимо видоизменить. Особенно простой случай
реализуется тогда, когда время жизни t2i (излучательное плюс
безызлучательное) перехода 2->1 равно полному времени жиз-
жизни уровня 2 (т. е. T2g-»-oo). В этом случае после несколько уто-
утомительных, но простых вычислений можно показать, что выра-
выражения E.26), E.29а), E.30) и E.33) остаются справедливыми,
в то время как соотношение E.27) в рамках приближения
Nc < Nt принимает вид
W — Hz E 37)
250 5. Непрерывный и нестационарный режимы работы лазеров
Можно также показать, что в правой части формулы E.36) по-
появляется пятый множитель, ограничивающий КПД, т\а = (т —
— ti)/t. Этот член можно назвать КПД релаксации нижнего
лазерного уровня.
5.3.2. Трехуровневый лазер
Расчет трехуровневого лазера проводится по аналогии с че-
четырехуровневым, но исходными теперь являются уравнения
E.24).
Полагая в уравнении E.246) д = 0, пороговую инверсию на-
селенностей можно записать в виде
Nc = l/BVaTc = y/ог/. E.38)
Это выражение совпадает с тем, что было получено в случае
четырехуровневого лазера. При этом критическая скорость на-
накачки, вычисляемая из уравнения E.24а) при подстановке в
него N = 0, <7 = 0hjV = Nc, запишется в виде
Wcp = (Nt + Nc)/(Nt - Nc) т. E.39)
Заметим, что на практике выполняется условие Nc <C Nt (как
для трехуровневого, так и для четырехуровневого лазера).
В этом случае выражение E.39) принимает вид
Wcp « l/i. E.40)
Сравнивая это выражение с E.27), мы видим, что при одном
и том же значении т в случае четырехуровневого лазера крити-
критическая скорость накачки в Nc/Nt раз меньше, чем в трехуров-
трехуровневом. Это является основным преимуществом четырехуровне-
четырехуровневой схемы.
В случае непрерывного режима работы, когда мощность на-
накачки превышает пороговую, инверсия населенностей No и число
фотонов q0 определяются из уравнений E.24), если в них поло-
положить ft = q = 0. Точно так же, как и в случае четырехуровне-
четырехуровневого лазера, мы снова видим, что jVo = ./Vc, тогда как для q0 из
E.40) и E.31) получаем следующее выражение:
% = ~
2т
Выходную мощность излучения через одно из зеркал можно вы-
вычислить теперь с помощью E.20), так что мы имеем
ft.'¦(*.;*¦>» (%)(«-1). F.42)
5.3. Непрерывный режим работы лазера 251
5.3.3. Оптимальная связь на выходе лазера [7]
При фиксированной скорости накачки существует некоторое
значение коэффициента пропускания Т выходного зеркала, при
котором достигается максимальная выходная мощность. Физи-
Физически существование такого оптимума связано с тем, что с уве-
увеличением Т имеют место два следующих эффекта: с одной сто-
стороны, выходная мощность должна возрастать из-за увеличения
пропускания выходного зеркала, а с другой — она должна
уменьшаться, поскольку с увеличением пропускания возрастают
внутрирсзонаторные потери, что приводит к уменьшению числа
фотонов в резонаторе.
Чтобы вычислить оптимальную величину коэффициента про-
пропускания, можно воспользоваться либо выражением E.32) (че-
(четырехуровневый лазер), либо выражением E.42) (трехуровне-
(трехуровневый лазер) и наложить условие dP2/dy2 = 0. Очевидно, при этом
необходимо учесть, что х, No и у также являются функциями
величины у2. В случае четырехуровневого лазера эта задача ре-
решается особенно просто; поэтому, а также потому, что этот слу-
случай наиболее интересен с точки зрения практики, мы ограни-
ограничимся рассмотрением только этого случая. Если предположить
для простоты, что Wcp = Nc/Nti, то выражение E.33) с учетом
E.31) и E.26) можно переписать следующим образом:
Р2 = [AJ. (Yi +
где
E.44)
2W alNtx
у,
E.45)
Величина ям„н представляет собой отношение фактической ско-
скорости накачки Wp к минимальному значению скорости накачки
(т. е. к скорости накачки, необходимой для достижения порога
при пренебрежимо малых потерях, обусловленных выходом из-
излучения из резонатора, т. е. при у2 =0). Поскольку единствен-
вым членом в E.43), который зависит от Y2, является величина
S, определяемая выражением E.44), оптимальное условие связи
на выходе можно получить, налагая условие dP2/dS =0. При
этом нетрудно получить оптимальное значение величины S:
50„т = (^„„I/2-1. E-46)
Соответствующее выражение для выходной мощности находим
из E.43):
Л,и = МЛ (Yi + Y,/2)l К*м„„I/2 - П2- E-47)
252 5. Непрерывный и нестационарный режимы работы лазеров
Уменьшение мощности, обусловленное неоптимальным на-
набором условий генерации, оказывается особенно важным вблизи
порога генерации (т. е. когда хмии да 1). Однако, когда генера-
генерация происходит в условиях с большим превышением над поро-
порогом, выходная мощность становится практически не чувстви-
чувствительной к изменению связи на выходе вблизи ее оптимального
значения. Действительно, из примеров, рассматриваемых в
разд. 5.3.6, мы увидим, что изменение связи на выходе вплоть
до 50 % приводит всего лишь к 10 %-ному уменьшению выход-
выходной мощности.
\ Активная
1 среда
I
Активная
среда
5.3.4. Перестройка частоты генерации лазера
Ширина линии усиления некоторых лазеров (например, ла-
лазеров на красителях или вибронных твердотельных лазеров) яв-
является очень большой и может возникнуть необходимость пере-
перестройки длины волны выходного излучения от центра линии в
пределах всей доступной ширины линии. В некоторых других
случаях лазеры обладают усилением
на более чем одном переходе (напри-
(например, СО2-лазер), из которых, как пра-
правило, генерирует самый сильный и мо-
может возникнуть потребность в пере-
перестройке длины волны лазера в сторо-
сторону от самой сильной линии. В обоих
этих случаях обычно применяют селек-
селективный по длинам волн элемент типа
дисперсионной призмы (рис. 5.4, а) или
дифракционной решетки (рис. 5.4,6)
по так называемой схеме Литтрова.
Для данного угла поворота призмы
или решетки существует только одна
длина волны (li на каждом рисунке),
которая отражается назад в резона-
резонатор. Поэтому перестройка осуществля-
осуществляется вращением решетки в конфигурации рис. 5.4,6 или враще-
вращением призмы либо зеркала 2 в конфигурации рис. 5.4, а.
Третий селективный по длинам волн элемент, пользующийся
все большей популярностью, использует двулучепреломляющий
фильтр, помещенный внутрь резонатора лазера. Фильтр пред-
представляет собой пластинку подходящего двулучепреломляющего
кристалла (например, кварца в видимой области), наклонен-
наклоненную по отношению к пучку под углом Брюстера 0в (рис. 5.5).
Оптическая ось кристалла А лежит в плоскости, параллельной
поверхности пластинки. Предположим вначале, что по обе сто-
Рис. 5.4. Использование
дисперсионных свойств приз-
призмы (а) и дифракционной
решетки (б) для перестрой-
перестройки длины волиы лазерной
генерации.
5.3. Непрерывный режим работы лазера 253
роны двулучепреломляющей пластинки на оптической оси рас-
расположены также два поляризатора. Будем считать, что оба по-
поляризатора ориентированы таким образом, чтобы пропускать
только пучок, вектор электрического поля которого лежит в пло-
плоскости падения пучка на пластинку. При этом пучок на входе
в пластинку не будет испытывать потерь на отражение, по-
поскольку она наклонена под углом Брюстера. Если оптическая
ось не перпендикулярна и не параллельна плоскости падения,
то падающий пучок будет содержать как обыкновенную, так и
необыкновенную компоненты (см. также разд. 8.4.1.1), которые
Поляризатор 1 Поляризатор Z
Входной
пучок
Дву.пучгпреломляющая
пластинка
Рис. 5.5. Двулучепреломляющий фильтр в качестве селективного (по длинам
волн) элемента.
претерпевают различный фазовый сдвиг, поскольку показатель
преломления обыкновенного луча по отличается от показателя
преломления необыкновенного луча пе. В частности, в кварце
первый из них меньше, чем второй. Проходя через пластинку,
обе компоненты складываются, образуя результирующее поле
с эллиптической поляризацией, если только разница в фазовых
сдвигах не равна в точности целому числу, умноженному на 2л.
Тогда наличие поляризатора 2 приведет к потерям для этого эл-
эллиптически поляризованного пучка. Предположим теперь, что
разница в фазовых сдвигах равна целому числу, умноженному
на 2л, т. е. что
B/X)()L 2l E.47а)
где х — длина волны пучка, Le — толщина пластинки в направ-
направлении пучка, а /—целое число. В этом случае поляризация пуч-
пучка останется после его прохода через пластинку неизменной,
гак что пучок не будет испытывать потерь в поляризаторе 2 и,
следовательно, не будет испытывать потерь при проходе всей си-
системы на рис. 5.5. Выбирая затем подходящее значение Le (для
данного /), можно сделать так, что для данной длины волны
лазера равенство E.47а) выполняется. Перестройку длины вол-
волны, соответствующей максимуму пропускания, можно теперь
осуществлять путем вращения пластинки вокруг нормали
254 5. Непрерывный и нестационарный режимы работы лазеров
к поверхности. Действительно, при этом изменяется значение пе,
которое зависит от угла между оптической осью и вектором
электрического поля, и, следовательно, изменяется длина волны,
при которой выполняется равенство E.47а). Толщина пластинки
(равная обычно 0,3—1,5 мм) определяет ширину перестроечной
кривой, т. е. разрешающую силу. Чем тоньше пластинка, тем
шире доступная область перестройки и ниже разрешающая сила.
Наконец, заметим, что в лазерах с малым усилением, таких, как
непрерывные газовые лазеры или лазеры на красителях, можно
обойтись без двух поляризаторов, если остальные поляризую-
поляризующие компоненты, такие, как окна Брюстера лазерной трубки,
обеспечивают достаточную дискриминацию по потерям между
двумя поляризациями.
5.3.5. Одномодовая и многомодовая генерация
Некоторые результаты, полученные в предыдущих разделах,
строго выполняются, только если лазер генерирует в одномодо-
вом режиме. Поэтому уместно сейчас рассмотреть те условия,
при которых имеет место одномодовая или многомодовая гене-
генерация.
5.3.5.1. Причины возникновения многомодовой генерации
Лазеры, как правило, имеют тенденцию генерировать в мно-
гомодовом режиме. Это обусловлено главным образом тем, что
межмодовое расстояние обычно меньше (а часто и много мень-
меньше) ширины контура усиления. Например, если выбрать L =
= 1 м, то разность частот между двумя последовательными
продольными модами будет равна Av = c/2L=150 МГц. Од-
Однако ширина линии лазера может находиться в пределах от
~ 1 ГГЦ для доплеровски уширенной линии газового лазера,
работающего в видимой или ближней ИК-области, до 300 ГГц
и выше для перехода ионов в твердом теле (см. табл. 2.1). Та-
Таким образом, число мод, лежащих в пределах ширины полосы
лазера, в рассматриваемых примерах может составлять прибли-
приблизительно от 6 до 2-Ю3. Разница в усилении между этими мо-
модами уже достаточно мала для 6 мод и становится совсем не-
незначительной для ~ 103 мод. Поэтому на первый взгляд сле-
следовало бы ожидать, что при достаточно высокой скорости
накачки будет возбуждаться значительная часть этих мод.
Однако приведенное выше на первый взгляд естественное за-
заключение следует изучить более тщательно. Действительно, на
раннем этапе развития лазеров считалось, что, если линия уси-
усиления лазера уширена однородно, то он в принципе должен те-
5.3. Непрерывный режим работы лазера
255
нернровать одну моду. Это соображение можно проиллюстри-
проиллюстрировать с помощью рис. 5.6, на котором мы предположили, что
одна из мод резонатора совпадает с максимумом контура уси-
усиления. Ради простоты будем рассматривать лишь моды низшего
порядка (ТЕМоо), так что частоты всех мод разделены проме-
промежутками c/2L (см. рис. 4.19, 4.29 и 4.36). Коэффициент усиле-
усиления лазера определяется выражением B.88), причем сечение
для каждой моды необходимо вычислять при соответствующем
значении частоты. Генерация начнется на центральной моде,
как только инверсия N = N2 — Nt достигнет крайнего критиче-
критического значения Nc, при котором усиление будет равно потерям
Контур линии усиления
О'
c/ZL
C/2L
Рис. 5.6. Частотная зависимость усиления лазера от скорости иакачки Wp
при условии насыщения (однородно уширенная линия).
в резонаторе. Это условие количественно записывается в виде
выражения E.26). Однако даже если скорость накачки Wp сде-
сделать выше порогового значения в стационарных условиях, ин-
инверсия N зафиксируется при критическом значении Nc. Поэтому
максимальное усиление, представленное на рис. 5.6 отрезком
ОР при Wp ^ WCp, имеет фиксированное значение ОРС. Если ли-
линия уширена однородно, то ее форма не может измениться и,
следовательно, контур линии усиления при Wp ^ Wcp, как по-
показано на рис. 5.6, останется постоянным. Усиление для других
мод, которое соответствует длинам отрезков О'Р', О"Р" и т. д.,
всегда меньше усиления центральной моды, соответствующего
отрезку ОРС. Если потери для всех мод одинаковы, то в стацио-
стационарном случае генерация происходит лишь на центральной
моде. В случае неоднородно уширенной линии картина оказы-
оказывается совсем иной (рис. 5.7). Действительно, в этом случае на
контуре линии усиления могут «выжигаться дырки» (см.
256 5. Непрерывный и нестационарный режимы работы лазеров
разд. 2.6.3 и, в частности, рис. 2.19). Таким образом, если Wp
больше Wtp, то усиление центральной моды равно критическому
значению, соответствующему длине отрезка ОРС, а коэффициен-
коэффициенты усилений для других мод, определяемые длинами отрезков
О'Р', О"Р" и т. д., будут продолжать увеличиваться до соответ-
Р'
о1
О"
Рис. 5.7. Частотная зависимость усиления лазера от скорости накачки Wp
при условии насыщения (иеодиородио уширенная линия); эффект частотного
выжигания дырки в контуре усиления.
ствующих пороговых значений. В этом случае при работе ла-
лазера с накачкой, несколько превышающей пороговое значение,
генерация возможна более чем на одной моде.
Вскоре после открытия лазера экспериментально наблюда-
наблюдалась именно многомодовая генерация в случае как неоднород-
Рис. 5.8. Простраиствеииое выжигание дырки в активной среде лазера.
ной (например, в газовом лазере), так и однородной (например,
в рубиновом лазере) линии усиления. Кажется, что последний
результат находится в противоречии с приведенным выше сооб-
соображением. Впоследствии это противоречие было устранено [8]
посредством учета того обстоятельства, что в активной среде
каждой моде соответствует определенная пространственная кар-
картина стоячих волн. Рассмотрим для простоты две моды, картины
стоячих волн которых в активной среде сдвинуты друг относи-
относительно друга на К/А (рис. 5.8). Пусть мода 1 на рис. 5.8 соот-
5,3. Непрерывный режим работы лазера 257
ветствует центральной моде на рис. 5.6, так что она первой до-
достигает порога. Однако при установлении генерации на моде 1
инверсия населенностей в точках, в которых электрическое поле
равно нулю (точки А, В и т. д.), не уменьшается и может нара-
нарастать выше критического значения Nc. Мода 2, первоначально
имеющая более низкое усиление, может теперь достичь усиле-
усиления, которое равно или даже больше, чем усиление моды 1, по-
поскольку в генерацию на этой моде дают вклад тс области
активной среды, в которых инверсия населенностей не использо-
использовалась при генерации моды 1. Поэтому генерация может проис-
происходить на моде 2 так же, как и на моде 1. Следовательно, то,
что лазер с однородным уширенисм линии усиления генерирует
много мод, объясняется выжиганием дырок не в контуре линии
усиления (частотным выжиганием дырок), а выжиганием ды-
дырок в пространственном распределении инверсии населенностей
внутри активной среды (пространственным выжиганием ды-
дырок).
Таким образом, можно сделать вывод, что лазер всегда
имеет тенденцию работать в многомодовом режиме. При одно-
однородном уширении линии усиления это является следствием про-
пространственного выжигания дырок, а в случае чисто неоднород-
неоднородной линии — следствием только спектрального выжигания ды-
дырок, поскольку моды взаимодействуют с различными наборами
атомов и механизм пространственного выжигания дырок не иг-
играет никакой роли. Следует, однако, заметить, что в случае од-
однородной линии при генерации нескольких мод с частотами
вблизи центра линии усиления явление пространственного вы-
выжигания дырок усредняется наличием указанных мод. В этих
условиях однородный характер линии не позволяет генериро-
генерировать модам, находящимся дальше от центра линии усиления.
Поэтому в случае однородной линии (по сравнению с неодно-
неоднородной) допустима генерация для меньшего числа мод, находя-
находящихся вблизи максимума контура усиления.
5.3.5.2. Одномодовый режим генерации
Для однородной и неоднородной линии существует несколько
способов заставить лазер генерировать на одной моде, которые
мы более или менее подробно обсудим в данном разделе.
Обычно нетрудно добиться генерации на какой-либо опреде-
определенной поперечной моде, т. е. с данными поперечными индек-
индексами m и / (см. гл. 4). Например, чтобы получить генерацию на
моде ТЕМоо, в некоторой точке на оси резонатора лазера обычно
помещают диафрагму соответствующих размеров. Если радиус а
этой диафрагмы достаточно мал, то число Френеля N = a2/L%
9 О. Звелто
258 5. Непрерывный и нестационарный режимы работы лазеров
резонатора определяется размером этой диафрагмы. С умень-
уменьшением а растет разница между потерями моды ТЕМоо и мод
более высокого порядка (см. рис. 4.30 и 4.37). Следовательно,
подбирая соответствующий размер диафрагмы, можно добиться
генерации лишь на одной моде ТЕМоо. Следует заметить, что
эта схема селекции мод неизбежно приводит к некоторым поте-
потерям самой моды ТЕМоо. Другим способом получения генерации
на одной поперечной моде является использование неустойчи-
неустойчивого резонатора, причем параметры резонатора необходимо
выбрать таким образом, чтобы эквивалентное число Френеля
было полуцелым. В разд. 4.8 мы показали (см., в частности,
рис. 4.44), что при полуцелых значениях N3KB возникает боль-
большая дискриминация между модами низшего и высшего поряд-
порядков. Однако в этом случае сечение выходного пучка имеет вид
кольца, что не всегда удобно. Наилучшим методом получения
генерации на моде низшего порядка было бы, как говорилось в
разд. 4.8.4, использование неустойчивого резонатора с выход-
выходным зеркалом, коэффициент отражения которого меняется в ра-
радиальном направлении (при условии, что найден практический
способ изготовления такого зеркала с переменным коэффициен-
коэффициентом отражения!).
Даже когда лазер работает в режиме одной поперечной мо-
моды (т. е. при фиксированных m и I), он может все же генери-
генерировать несколько продольных мод (т. е. мод, отличающихся зна-
значением продольного индекса п). Частотное расстояние между
этими модами равно Avn = c/2L. В некоторых случаях для вы-
выделения одной продольной моды можно использовать короткие
резонаторы, такие, что Avn > Avo, где Avo—ширина контура
усиления'). При этом если частота моды настроена на центр
линии усиления, то частоты соседних продольных мод оказы-
оказываются расположенными на достаточно большом расстоянии от
центра линии усиления, так что (при не очень большом превы-
превышении накачки над пороговым значением) лазер на этих модах
генерировать не может. Условие применимости данной схемы
селекции мод можно записать в виде
L<c/Av0. E.48)
Действительно, в этом случае, если одна мода резонатора сов-
совпадает с максимумом контура усиления, то двум прилежащим
*> Если в резонаторе используются селективные элементы для осуществ-
осуществления перестройки лазера типа тех, что изображены иа рис. 5.4 и 5.5, и
если соответствующая ширина линии, иа практике составляющая обычно
0,1—1 им, меньше ширины линии усиливающей среды, то рассматриваемая
в настоящем разделе ширина линии Avo относится к селективному элементу,
а не к усиливающей среде. Замечательно, что это имеет место в лазерах
иа красителях или в перестраиваемых твердотельных лазерах.
5.3. Непрерывный режим работы лазера 259
модам будет соответствовать коэффициент усиления, равный в
отсутствие насыщения (т. е. при Wp^ WCp на рис. 5.6 и 5.7) по-
половине максимального значения усиления как для гауссова, так
и лоренцева контуров. Обращаясь вновь к рис. 5.7, нетрудно
понять, что режим одномодовой генерации достигается в этом
случае при условии Wp ^ 2Wcp-
Рассмотренный только что метод можно с успехом приме-
применять в газовых лазерах, поскольку они имеют относительно уз-
узкие ширины линии переходов (порядка нескольких гигагерц или
меньше). Однако вследствие того что длина резонатора L дол-
должна быть малой, объем активной среды оказывается также не-
небольшим, а это приводит к
низкой выходной мощности.
В твердотельных и жидкост-
жидкостных лазерах ширина линий
лазерных переходов суще-
существенно больше A00 ГГц
или более) и описанный вы-
выше метод, как правило, не-
неприменим. В этом случае, а ' ,„ г
r J Рис. 5.9. Селекция продольных мод с
также в мощных газовых помощью работающего иа пропускание
лазерах селекция продоль- эталона Фабри — Перо,
ных мод обычно осуществля-
осуществляется путем размещения внутри резонатора одного или несколь-
нескольких интерферометров Фабри — Перо с соответствующим проме-
промежутком между отражающими поверхностями. С этой целью
обычно используют так называемый эталон Фабри — Перо, ко-
который состоит из плоскопараллельной пластинки прозрачного
материала (плавленый кварц или стекло для длины волны
видимого или ближнего ИК-Диапазона), обе поверхности кото-
которой покрыты таким образом, чтобы достичь необходимого
коэффициента отражения R. Рассмотрим случай, когда в резо-
резонаторе используется один эталон Фабри — Перо, и предполо-
предположим, что этот эталон наклонен под углом 9 к оси резонатора
(рис. 5.9). В соответствии с рассмотрением, проведенным в
разд. 4.2.2, максимум пропускания эталона будет при частотах
vn, определяемых выражением
Yn ~ 2nrl
где п — целое число, 9' — угол преломления пучка внутри эта-
эталона, пг — показатель преломления эталона и L\ — его длина.
Поскольку L\ много меньше длины резонатора L, очень неболь-
небольшого изменения угла 9 (а следовательно, и 9') от положения
в = 9' = 0 достаточно, чтобы настроить максимум пропускания
260 5. Непрерывный и нестационарный режимы работы лазеров
эталона на центральную частоту контура усиления лазера
(рис. 5.10). И если теперь межмодовое расстояние между двумя
соседними продольными модами Av = cq/2L больше половины
ширины Avc пика пропускания эталона или равно ей, то эталон
отселектирует моду в центре линии от ее соседей 1). В соответ-
Контур линии
1 усиления
Моды
рекнсипора
Hurtu пропускания
эталона. Фабра-Перо
Vg —*i—И—av=zoj^L
Рис. 5.10. Селекция продольных мод с помощью эталона Фабри — Перо, ра-
работающего на пропускание.
ствии с выражением D.37) для реализации данного условия не-
необходимо, чтобы
co/L > Avjsr/F; E.50)
здесь Avjsr — область дисперсии, a F — резкость эталона. По-
Поскольку из выражения E.49) можно написать (полагая
cos 9' « 1)
Avfsr = c0/2nrLp E.50a)
из двух последних выражений получаем условие
L^LftrirF. E.51)
Если условие E.51) выполняется, то эталон будет обеспечи-
обеспечивать дискриминацию между модой в центре линии и двумя со-
соседними модами резонатора (дискриминация между соседними
модами резонатора). Однако этого недостаточно для обеспече-
обеспечения работы в одномодовом режиме, так как если область дис-
дисперсии эталона Avtsr значительно меньше половины ширины ли-
11 Точнее говоря, в этом случае потери за проход двух соседних мод
будут одинаковы или превышать удвоенную величину потерь для централь-
центральной моды.
5.3. Непрерывный режим работы лазера 261
нии усиления Av0, то два соседних пика пропускания эталона
будут также приводить к возможности генерации соответствую-
соответствующих мод. Во избежание подобной ситуации потребуем, чтобы
выполнялось условие
Av'fsr>Avo/2( E.52)
т. е. условие дискриминации между соседними максимумами
пропускания эталона. Из этого условия и выражения E.50а)
получаем
Lx < co/nrAvo. E.53)
Прежде чем продолжить рассмотрение, приведем два при-
примера, которые могут прояснить смысл двух противоположных
условий— E.51) и E.53); одно из этих условий устанавливает
верхний, а другое—нижний предел для L\. Рассмотрим сперва
лазер с L = 0,9 м и Av0 = 3 ГГц (эти числа соответствуют Аг+-
лазеру) и положим пг=\,Ъ и F = 30 (существуют различные
экспериментальные факторы, такие, как плоскостность поверх-
поверхностей эталона и смещение пучка в нем, которые ограничивают
достижимые на практике значения резкости). Из выражения
E.51) получаем L\ ^ 1 см, а из E.53) находим L\ ^ 6 см.
Обоим этим условиям можно удовлетворить, выбирая, напри-
например, L\ = 3 см. Рассмотрим теперь другой лазер с L=0,9 м и
Avo = 190 ГГц (оба числовых значения соответствуют Nd : YAG-
лазеру) и снова положим /гг=1,5 и .F = 30. Из выражения
E.51) опять получаем L\ ^ 1 см, в то время как из E.53)
имеем L\ ^0,1 см. Таким образом, удовлетворить одновременно
обоим условиям нельзя. Ясно, что одновременное выполнение
обоих условий E.51) и E.53) возможно лишь при
E.54)
Если данное условие выполнить нельзя вследствие, скажем,
ограничений на практически достижимые значения резкости, то
применение только одного эталона Фабри — Перо не позволяет
осуществить одномодовую генерацию. Таким образом, необхо-
необходимо использовать еще один эталон или большее число этало-
эталонов. Для рассмотрения этого случая предположим, что первый
эталон имеет толщину L\ = L/2nrF и наклонен под углом 9i
таким образом, что пик пропускания совпадает с модой резона-
резонатора в центре линии. При этом удовлетворяется условие E.51)
и происходит дискриминация между соседними модами резона-
резонатора. Чтобы осуществить дискриминацию между соседними мо-
модами первого эталона (т. е. подавить пики пропускания 1 и Г
на рис. 5.10), в резонатор вставляется еще один эталон толщи-
толщиной Ц под углом 9з таким образом, что пик пропускания этого
262 5. Непрерывный и нестационарный режимы работы лазеров
второго эталона тоже совпадает с модой резонатора в центре
линии. Для того чтобы дискриминировать соседние максимумы
пропускания первого эталона, ширина пика пропускания вто-
второго эталона не должна превышать область дисперсии первого
эталона. Если показатели преломления обоих эталонов совпа-
совпадают, то это означает, что
E.55)
где F— резкость второго эталона, которая предполагается рав-
равной резкости первого эталона. Теперь перед нами встает задача
дискриминации соседних максимумов пропускания уже второго
эталона. Эта задача будет решена, если
Ksr>(Av0/2), E.56)
где Av^r — область дисперсии второго эталона. Заметим, что
если в соотношении E.55) имеет место равенство, то L2Cli,
т. е. Av"sr ^> Av[sr и условию E.56) легче удовлетворить, чем ус-
условию E.52).
Для пояснения данной ситуации обратимся к примеру. Рас-
Рассмотрим вновь случай, когда L = 90 см, Av0 = 190 ГГц, пг = 1,5
и .F = 30. Для выполнения условия дискриминации соседних
мод резонатора в соответствии с E.51) выберем L\ = 1 см. Со-
Согласно же условию E.55) положим L2 = Li/2/7 = 0,17 мм. Тогда
область дисперсии второго эталона равна Л^^Со^/г^^бООГГц,
так что условие E.56) выполняется и происходит селекция од-
одной продольной моды. В более общем виде условие генерации
в режиме одной продольной моды с двумя эталонами записы-
записывается следующим образом:
Avo<4F2(co/L); E.57)
здесь мы использовали выражения E.51), E.55) и E.56).
Таким образом, подытоживая результаты, полученные п
этом разделе, можно сказать, что для осуществления одномодо-
вого режима без эталона, с одним эталоном или с двумя этало-
эталонами соответствующие условия согласно выражениям E.48),
E.54) и E.57) имеют вид L < co/Avo, co/Avo < L < 2F(co/Avo),
или 2F(co/Avo) < L ^ 4F2(c0/Av0).
В заключение данного раздела следует упомянуть о том, что
одномодового режима можно значительно легче достигнуть или
(иногда) получить автоматически, если резонатор лазера имеет
кольцеобразную форму, причем генерация вынужденно осущест-
осуществляется в одном направлении. В качестве примера на рис. 5.11
приведена конструкция резонатора в виде сложенного кольца,
используемая в выпускаемом промышленностью непрерывном
5.3. Непрерывный режим работы лазера
263
лазере на красителе !). В данном случае накачка обеспечивается
ионным лазером, причем раствор красителя пропускают поперек
пучка в виде струи (см. также разд. 6.4.2). Селекция одной по-
поперечной моды осуществляется автоматически за счет связан-
связанного со сфокусированной накачкой распределения усиления в
поперечном направлении. Режим генерации одной продольной
моды и перестройка частоты осуществляются при помощи ком-
комбинации из двулучепреломляющего фильтра, который действует
Накачка пучком
ионного лазера
Накачка
Всломога тельная
перетяжка пучка
Выходной
пучок
Устройство Тонкий Деулучепреломля- Коллимирозанный
для выделения эталон ющая пластинка. пучок
однонаправленного
пучка
Рис. 5.11. Схематическое представление мощного лазера иа красителе в ре-
режиме одной продольной моды, в котором используется однонаправленный
кольцевой резонатор.
как полосовой фильтр, а также сканирующего эталона и тон-
тонкого эталона Фабри — Перо, что мы уже рассматривали выше.
Однако особенность данного резонатора состоит в том, что за
счет однонаправленного устройства лазерный пучок может рас-
распространяться только в одном направлении по кольцеобразному
резонатору (отмечено стрелками на рисунке). Поэтому в резо-
резонаторе и, в частности, в объеме красителя стоячая волна не об-
образуется. Следовательно, пространственного выжигания дырок
не происходит, а это приводит к следующим двум обстоятель-
обстоятельствам: 1) существенно легче осуществляется генерация в одной
продольной моде, что можно понять из обсуждения в связи
1( Разность частот между продольными модами в кольцеобразном резо-
резонаторе с периметром р получается из условия равенства набега фазы вол-
волны kp после одного полного прохода кольца числу 2я«, где п — целое. Сле-
Следовательно, соседние продольные моды разделены промежутком Av = cjp.
264 5, Непрерывный и нестационарный режимы работы лазеров
с рис. 5.8; 2) в этой моде достигается более высокая выходная
мощность, поскольку в генерации участвует весь объем актив-
активной среды, а не только области в непосредственной близости от
максимумов распределения стоячей волны; благодаря этому
были получены значения выходной мощности в одной моде, ко-
которые более чем на порядок превосходят мощность традицион-
традиционного одномодового лазера на красителе со стоячей волной.
Однонаправленное устройство на рис. 5.11 можно в прин-
принципе сделать так, как показано на рис. 5.12. Здесь распростра-
распространяющаяся в одном направлении волна (скажем, слева направо)
Магниты
Поляризатор 1
Двуяучепреломляющая
пластинка
срараЗеевскии
ротатор
Поляризатор Z
Рис. 5.12. Одиоиаправлеииое устройство с использованием фарадеевского
ротатора.
вначале пропускается через поляризатор (поляризатор 1), а за-
затем через стержень из подходящего прозрачного материала (на-
(например, стекла), к которому приложено постоянное продольное
магнитное поле (фарадеевский ротатор). Когда через подобный
элемент проходит линейно-поляризованный оптический пучок,
плоскость его поляризации поворачивается вокруг оптической
оси, причем направление поворота зависит от направления маг-
магнитного поля, но не зависит от направления распространения
пучка. Затем пучок пропускается через осуществляющий обрат-
обратное вращение второй элемент типа двулучепреломляющей пла-
пластинки таким образом, что вызванный им поворот плоскости
поляризации в точности компенсирует тот поворот, который
произведен фарадеевским ротатором. При этом пучок не претер-
претерпевает ослабления при проходе через второй поляризатор (поля-
(поляризатор 2), имеющий ту же ориентацию, что и первый поляри-
поляризатор. Однако если пучок распространяется в противополож-
противоположном направлении, то два поворота складываются, производя
некоторый суммарный поворот, и пучок испытывает потери при
проходе через устройство (эти потери могут достигать 100 °/о.
если полный поворот происходит на угол я/2). Следует заметить,
что на практике однонаправленное устройство на рис. 5.12 со-
5.3. Непрерывный режим работы лазера
265
стоит лишь из одного фарадеевского ротатора. Действительно,
обратное двулучепреломление обеспечивается двулучепрелом-
ляющим фильтром, в то время как поляризационные потери
происходят на наклоненных под углом Брюстера поверхностях
оптических элементов (заметим, что для устройств с низким
усилением, как на рис. 5.11, достаточные для обеспечения одно-
однонаправленной работы потери дает разница в углах поворота
двух противоположно направленных пучков, равная всего лишь
одному градусу).
Рис. 5.13. Nd : YAG-лазер в режиме одной продольной моды, в котором ис-
используется однонаправленный иеплоский кольцевой резонатор. (Согласно
Байеру и др. [29].)
Более новый и весьма интересный пример одномодовои гене-
генерации с использованием однонаправленного кольцеобразного ре-
резонатора приведен на рис, 5,13. Этот неплоский резонатор сде-
сделан в виде небольшой пластины C8X13X3 мм) из Nd : YAG,
грани В и D которой вырезаны под таким углом, что пучок про-
проходит неплоский путь, показанный на рисунке, испытывает пол-
полное внутреннее отражение на поверхностях В, С (верхняя по-
поверхность пластины) и D, а также отражается на поверхности А
многослойным электрическим покрытием, которое действует как
выходное зеркало, Пластина из Nd : YAG играет роль и актив-
активной среды, и фарадеевского ротатора и накачивается продоль-
продольным пучком полупроводникового диодного лазера (на рисунке
не показан). Вращение плоскости поляризации, свойственное
неплоскому кольцевому пути, затем компенсируется в одном на-
направлении (но не в другом) фарадеевским вращением, вызван-
вызванным постоянным магнитным полем. Поляризационно-чувстви-
тельным элементом является просто многослойное диэлектри-
диэлектрическое покрытие на поверхности А, коэффициент отражения
266 5. Непрерывный и нестационарный режимы работы лазеров
которого зависит от поляризации пучка, Поскольку однородная
уширенная линия Nd : YAG значительно уже линии лазера на
красителе и разность частот между продольными модами вслед-
вследствие небольших размеров резонатора на рис. 5,13 существенно
больше разности частот в резонаторе на рис, 5,11, нет необходи-
необходимости иметь дополнительные селектирующие по частоте элемен-
элементы (такие, как двулучепреломляющие фильтры или эталоны
Фабри — Перо). Режим работы на одной поперечной моде до-
достигается опять же автоматически благодаря распределению
усиления в поперечном направлении, обусловленному сфокуси-
сфокусированной накачкой. Таким образом получается компактное и мо-
монолитное одномодовое устройство.
5.3.6. Два числовых примера
Рассмотрим в качестве первого примера непрерывный
Nd : YAG-лазер. Активной средой здесь являются ионы Nd3+ в
кристалле Y3Al50i2 (этот кристалл носит название YAG, сокра-
сокращение англ. слов yttrium aluminum garnet [9, 10]). Ионы Nd3+
замещают в кристалле некоторые ионы Y3+. Более подробно
этот лазерный материал рассматривается в гл. 6, Здесь же до-
достаточно отметить, что такой лазер работает по четырехуровне-
четырехуровневой схеме и его длина волны излучения X = 1,06 мкм (ближ-
(ближняя ИК-область спектра). Предположим, что концентрация
ионов Nd3+ составляет 1 % (т. е. 1 % ионов Y3+ замещен ионами
Nd3+); это означает, что населенность основного состояния
(т, е, самого нижнего уровня состояния 4/9/г) равна Afg = 6-1019
ионов Ш3+/см3' При этом значении концентрации время жизни
верхнего лазерного уровня (зависимость времени жизни от кон-
концентрации обусловлена концентрационной зависимостью скоро-
скорости релаксации безызлучательного канала) составляет т =
= 0,23-10~3 с. По сравнению с этим временем время жизни ниж-
нижнего лазерного уровня намного меньше и условие E,25), несом-
несомненно, выполняется, Для того чтобы вычислить эффективное
сечение, заметим, что верхний лазерный уровень в действитель-
действительности состоит из двух сильно связанных уровней, разделенных
расстоянием Д? = 88 см-1 (см, рис. 6.2), Генерация происходит
между подуровнем R2 верхнего уровня и подуровнем нижнего
D^п/2) лазерного уровня. Сечение этого перехода о = 8,8Х
X 10~19 см2. Однако, поскольку между двумя подуровнями верх-
верхнего состояния имеется сильная связь, эффективное сечение в
соответствии с формулой B,170а) равно
ст2,=г2,а = 3,5- 10~19 см2, E.58)
5.3. Непрерывный режим работы лазера
267
где z2i = ехр {—^E/kT) / [ 1 + exp {—SE/kT) ] — 0,4 — функция
распределения населенности для подуровня R21}.
Рассмотрим теперь лазерную систему, показанную на
рис. 5,14, и предположим, что накачка стержня осуществляется
г
J
R- с
f
=Ё
^^z
R=5M
Рис. 5.14. Возможная схема резонатора непрерывного Nd: YAG-лазера.
криптоновой лампой высокого давления с эллиптической конфи-
конфигурацией осветителя, Типичная кривая зависимости выходной
мощности Р (при многомодовой генерации) от входной мощно-
мощности Рр, подводимой к криптоновой
лампе, должна иметь вид, представ-
представленный на рис. 5.15 [11]. Если ис-
исключить область входных мощно-
мощностей непосредственно вблизи порога,
то экспериментальные точки на
рис. 5.15 действительно показывают
линейную зависимость выходной
мощности от входной в соответствии
с формулой E.33). Наличие нели-
нелинейного участка вблизи порога ско-
скорее всего обусловлено фокусирую-
фокусирующим действием эллиптического осве-
осветителя (см. разд. 3.2.3 в гл. 3), так
как вследствие этого генерация вна-
вначале возникает только в центре ла-
лазерного стержня. Экстраполяция ли-
линейного участка кривой дает для
Рис. 5.15. Зависимость выход-
выходной мощности Р непрерывного
излучения от входной мощно-
мощности Рр лампы в мощном
Nd : YAG-лазере. (Согласно
Кёхиеру [9].)
пороговой мощности накачки значение РПор = 2,2 кВт. Этот уча-
участок может быть описан следующим выражением:
Я = 53(/у/>пор-1). E.59)
Теоретическую зависимость выходной мощности нетрудно полу-
получить из E,33), если учесть, что генерация происходит по всему
сечению стержня, т. е. мы можем положить Ае « А =0,31 см2.
Используя приведенные выше значения т и a2i, получаем
IJ Выражаю признательность д-ру Хаиие, указавшему автору на эту
интересную особенность.
268 5. Непрерывный и нестационарный режимы работы лазеров
Is = hv/a2lx = 2,33 кВт/см2, а поскольку ys = —In R2= 0,162, то
в соответствии с выражением E.33) находим Р = 58(Рр/РПор —
— 1), что хорошо согласуется с экспериментальной кривой.
Чтобы можно было сравнить значения пороговой мощности
(/3поР = 2,2 кВт) и дифференциального КПД (т^ = 2,4%), по-
полученные экстраполяцией экспериментальных данных, с соответ-
соответствующими теоретическими значениями, необходимо знать вели-
величину у. точнее yi. В данном случае, поскольку yi = 0, выраже-
выражение E.35) с помощью E.8) можно записать в виде
- Aп /у/2 + У1 = ЦР (liv/hvp) (PnopJAIs), E.60)
где R2 = \ — а2 — Т2 да 1 — Т2 — коэффициент отражения вы-
выходного зеркала. Поскольку хорошее многослойное зеркальное
покрытие имеет коэффициент поглощения
меньше 0,5%, мы пренебрегли здесь по-
поглощением зеркала а2. Если провести не-
несколько измерений пороговой мощности
накачки при различных коэффициентах
отражения зеркала R2, то должна полу-
получиться линейная зависимость РПор от
—In R2. Именно такая зависимость и на-
_ блюдается в эксперименте, как это вид-
/ г з * 5 но из рис. 5.16. Экстраполяция прямой
-4'Ь Роор*&т линии на рис. 5.16 до значения Япор = 0
Рис. 5.16. Пороговая определяет в соответствии с E.60) вели-
мощность накачки как чину внутренних потерь. Таким способом
функция коэффициента мы получаем v, — 0,038 и, следователь-
])
Поскольку внутренние потери известны, из выражения
E.36) можно найти КПД накачки цр. Определим дифферен-
дифференциальный КПД r\s = 2,4% из кривой на рис. 5.11 и, выбрав
г\а = 1, г\с = у2/2у =0,679 и т], = Хр/Х = 0,84 (где X = 1,06 мкм,
а Хр = 0,89 мкм — длина волны первой полосы накачки Nd:
: YAG; см. рис. 3.5, б), получаем цр = 4,2 %, что вполне соответ-
соответствует рассматриваемому типу системы накачки (см. также
табл. 3.1 в гл. 3). Если известны полные потери, то можно также
рассчитать пороговую инверсию населенностей. Из соотношения
E.26) находим
Nc = 4,5 • 1016Nd3+ ионов/см3. E.61)
Таким образом, Ыс/Мв = 7-\0-А, т. е. действительно инверсия
населенностей составляет лишь очень небольшую долю полной
населенности.
5.3. Непрерывный режим работы лазера 269
Вычислим теперь оптимальное пропускание выходного зер-
зеркала в случае, когда накачка в три раза превышает пороговую
(х = 3), т. е, когда входная мощность, подводимая к лампе, со-
составляет 6,6 кВт. Из выражения E.45) с учетом E.27) и E.31)
тогда следует, что xMlill = x(y/yt) =9,4. Таким образом, из
E.46) и E.44) получаем (^Ьпт = 0,157, что соответствует ве-
величине оптимального пропускания (Г^опт ~ 14,5%. Эта вели-
величина очень близка к значению пропускания зеркала, используе-
используемого в рассматриваемом примере.
В качестве последней задачи вычислим среднюю выходную
мощность лазера, работающего в режиме одной моды ТЕМОо
при входной мощности накачки лампы Рр = 10 кВт. Прежде
всего из D.106) находим, что размер пятна на плоском зеркале
резонатора, показанного на рис. 5.14, составляет Wo=[(R —
— L)X/n]l/2 = 0,73 мм, где R — радиус кривизны вогнутого зер-
зеркала, a L — длина резонатора. Предположим, что для осущест-
осуществления генерации на моде ТЕМОо в резонатор вблизи сфериче-
сферического зеркала помещена круглая диафрагма достаточно малого
диаметра 2а, чтобы предотвратить генерацию на моде ТЕМ10.
Следовательно, полные потери этой последней моды должны
достигать по крайней мере величины у' = у{РР/РПор) =0,54, а
дифракционные потери из-за введения диафрагмы должны со-
составлять -yd = v'— Y = 0>42. Поэтому дифракционные потери за
полный проход резонатора равны 2^ = 0,84, что в соответствии
с E.7в) при полном проходе резонатора дает потери Г, =57%.
Чтобы найти требуемый размер диафрагмы, заметим, что по-
потери после полного прохода резонатора, показанного на
рис. 5.14, оказываются такими же, как и при одном проходе в
симметричном резонаторе, образованном двумя одинаковыми
зеркалами с радиусами кривизны J(=5 м, расположенными
друг от друга на расстоянии Ls = 2L = 1 м, и с диафрагмой
внутри резонатора диаметром 2а. Из рис. 4.37, б видно, что, по-
поскольку g = 0,8 и потери должны составлять 57 %, необходимо,
чтобы N = a2/XLs = 0,5, откуда получаем размер диафрагмы
а = 0,73 мм. При этом из рис. 4.37, а мы видим, что при такой
диафрагме мода ТЕМ00 эквивалентного симметричного резона-
резонатора имеет потери, равные 28 %. Поэтому они также равны ди-
дифракционным потерям нашего резонатора за полный проход, а
это означает, что в соответствии с E.7в) потери за один проход
равны уа « 0,164. Таким образом, полные потери моды ТЕМоо
возрастают до у' = у + Уа = 0,283 и пороговая мощность на-
накачки должна быть равной Р'пор = 5,2 кВт. Из E.33) получаем
следующее среднее значение выходной мощности при
Рр=Ю кВт: Р = 58D/Л,)[(Р,/Р'пор)-1] = 1,45 Вт, где
270
5. Непрерывный и нестационарный режимы работы лазеров
А'е = ядо?/2 = 0,84 мм2, Однако следует заметить, что увеличе-
увеличение радиуса кривизны зеркала и длины резонатора позволяет
получить значительно большую площадь моды ТЕМоо, по-види-
по-видимому, вплоть до Л^ = 10—15 мм2. В этом случае можно до-
добиться значительно более высокой выходной мощности в ре-
режиме генерации ТЕМоо моды, а именно до 20—30 Вт.
L= 175 CM
Рис. 5.17. Возможная схема резонатора непрерывного СО2-лазера с попереч-
поперечным разрядом.
В качестве второго примера рассмотрим СОг-лазер высокой
мощности, работающий по схеме рис. 5.17 и имеющий неустой-
неустойчивый конфокальный резонатор положительной ветви. Длина
резонатора L = 175 см, а длина активной среды 1= 140 см. Как
показано на рисунке, возбуждение
в газе СОг осуществляется электри-
электрическим разрядом между двумя пло-
плоскими электродами (см. также
рис. 6.19). На рис. 5.18 представле-
представлена типичная зависимость выходной
мощности лазера Р от входной мощ-
мощности Рр, подводимой к электриче-
электрическому разряду [13]. Эксперимен-
Экспериментальные точки можно аппроксими-
аппроксимировать выражением
го 40 во во юо 120 па
Р hBm
Рис. 5.18. Зависимость непре-
непрерывной выходной мощности Р
мощного СОг-лазера с попе-
поперечным разрядом от мощности
Рр, подводимой к электриче-
электрическому разряду.
= 6,66(Ри/Рпор-1), E.62)
где Р дается в киловаттах, а ЯПор —
пороговая входная мощность, полу-
полученная экстраполяцией (Япор ~
« 44 кВт).
Поскольку СОг-лазер действует по четырехуровневой схеме,
можно сравнить выражения E.62) и E.33). Для этого должно
быть известно пропускание Т2 выходного зеркала. В прибли-
приближении геометрической оптики получаем [см. D.147)]
= 0,45.
E.63)
5.3. Непрерывный режим работы лазера 271
Здесь М = ^/#2= A,35) —увеличение за полный проход резо-
резонатора (Ri и R2— радиусы кривизны соответствующих зеркал).
Для моды низшего порядка волновая теория (см. рис. 4.45) дает
Т2 = 0,2. Выберем значение Т2, полученное в приближении гео-
геометрической оптики, так как в нашем случае оно ближе отве-
отвечает реальной ситуации благодаря следующим двум обстоятель-
обстоятельствам: 1) эквивалентное число Френеля достаточно велико
(Л/экв = 7,4) и, как ожидается, потери нескольких поперечных
мод сравнимы по величине (см. рис. 4.44); 2) накачка в лазере
осуществляется при значительном превышении над порогом (в
2,8 раза при выходной мощности лазера 12 кВт; см. рис. 5.18),
так что в генерации может действительно участвовать большин-
большинство из упомянутых выше мод. В действительности в последую-
последующем расчете мы покажем, что значение Т2, полученное в при-
приближении геометрической оптики, лучше согласуется с экспери-
экспериментом, чем то, которое было вычислено из волновой теории.
Сравнивая теперь выражения E.62) и E,33) с учетом значения
Г2 = 0,45, находим AJS =22,3 кВт, Диаметр пучка в резонаторе
лазера равен (см. также рис, 4.41,6) D = 2Ма2 = 7,6 см, от-
откуда Ае = л?>2/4 « 45 см2 и, следовательно, Is ~ 500 Вт/см2,
Это значение хорошо согласуется с теоретическими оценка-
оценками [14].
Используя данные, приведенные на рис. 5.18, вычислим те-
теперь (ненасыщенный) коэффициент усиления g0 активной среды
при входной мощности накачки Рр « 140 кВт. Действительно,
мы имеем
go = N2a = (/у/>пор) N20a = (Рр/РПор) (у/1); E.64)
здесь N2 — населенность уровня 2 при Рр = 140 кВт, a N2o — на-
населенность этого уровня при Рр = Япор. Чтобы найти у, предпо-
предположим, что потери на зеркале (за счет поглощения и рассеяния)
составляют 2 %, а внутренние потери отсутствуют. В этом слу-
случае из выражений E.7) и E.8) получаем 72=0,598, yi=0>
yt =0,02 и 7 = 0,319. Подставляя последнее значение в выраже-
выражение E.64), находим величину g0 = 6,3-10~3 см-1, которая очень
хорошо согласуется со значениями, измеренными для этого типа
лазеров [15].
Сравним теперь экспериментальное значение дифферен-
дифференциального КПД, полученного из рис. 5.18, с теоретически пред-
предсказываемым. Положим rip « 0,8 (см. разд. 3.3.4), ric = 72/27 =
= 0,94, Tia=l и Ti<, = 0,4 (см. рис. 6.10). Тогда из выражения
E.37) получаем tjs=0,3, что существенно больше эксперимен-
экспериментального значения, определенного из рис. 5.18 (tjs я* 0,21). Это
расхождение можно объяснить как минимум тремя различными
обстоятельствами: 1) данные на рис. 5.18 относятся к системе,
272 5. Непрерывный и нестационарный режимы работы лазеров
работающей частично по замкнутому циклу, и в этом случае
продукты разряда (большей частью СО и О2) имеют склонность
накапливаться в газовой смеси и уменьшать тем самым КПД
накачки; 2) коэффициент заполнения г\Л может быть заметно
меньше единицы; 3) сравнительно высокая температура газо-
газовой смеси может приводить к заметной населенности нижнего
лазерного уровня и, следовательно, к уменьшению КПД лазера.
По оказываемому воздействию последнее обстоятельство экви-
эквивалентно предположению о более медленной релаксации ниж-
нижнего лазерного уровня, т, е. необходимо учитывать также эф-
эффективность релаксации нижнего лазерного уровня. Из приве-
приведенных выше соображений следует, что теоретическое значение
дифференциального КПД r\s « 30 % представляется вполне ра-
разумным и действительно уже имеются сообщения о СО2-лазерах
высокой мощности с экспериментально полученным КПД, кото-
который имеет близкое к этому значение.
В заключение вычислим оптимальную связь на выходе ла-
лазера при Рвх = 140 кВт, т. е. когда мощность накачки лазера
в х = 2,8 раза превышает пороговое значение на рис, 5.18. По-
Поскольку хмин = *(тД;) =44,6, из E.46) получаем {у2) опт = 0,23,
что соответствует (Г2)Опт = 20%. Отсюда следует, что резона-
резонатор чрезмерно открыт. Это, возможно, сделано преднамеренно,
поскольку, хотя это и приводит к небольшому (~ 10 %) умень-
уменьшению выходной мощности лазерного пучка, зато улучшает его
фокусирующие свойства. Действительно, увеличение Т2 дости-
достигается за счет увеличения числа М и, следовательно, ширины
кольца выходного пучка [да (М—l)a2; см. рис. 4.41]. Это при-
приводит к улучшению свойств пучка при фокусировке.
5.3.7. Затягивание частоты и предел монохроматичности
Рассмотрим теперь два явления, которые нельзя описать в
рамках используемого до сих пор приближения скоростных
уравнений. Однако эти явления играют очень важную роль и
заслуживают того, чтобы быть здесь представленными. Обра-
Обратимся сначала к рис. 5.19, на котором приведены резонансные
кривые как линии лазерного перехода (с центром при v0 и ши-
шириной Avo), так и моды резонатора (с центром при vc и шириной
Avc). Предположим, что генерация происходит на этой моде и
что нам нужно найти частоту генерации vreH, а также ширину
линии AvreH выходного спектра.
Величину VreH можно вычислить в рамках полуклассического
приближения. В работах [1,16] показано, что vreH равна некото-
некоторому промежуточному значению между v0 и vc. Таким образом,
Vren не совпадает с vc, а «затягивается» по направлению к цен-
5.3. Непрерывный режим работы лазера 273
тральной частоте лазерного перехода v0. Для неоднородно уши-
уширенной линии частота генерации в первом порядке (и точно для
однородно уширенной линии) определяется средним взвешен-
взвешенным двух частот: vo и vc. При этом весовые множители оказы-
оказываются обратно пропорциональными соответствующим ширинам
линий. Таким образом, мы имеем
_ Vq/AVq + VC/AVC „fi-
VreH — 1/Avo + 1/Ave • @Kii)>
Величина Av0 может иметь значения в области от ~ 1 ГГц для
доплеровски уширенного перехода в видимой области спектра
до 300 ГГц в твердотельных лазерах (см. табл. 2.1). Однако
в случае резонатора длиной
1 м врлминиа Лм 1 /9тгт Линия лазерного
I м величина isvc— i/znTc— ^^ nepcxma
= yC<y/2nL [(CM. D,64) И / Т*\Г^ Спектр Выходного
E.136)] может принимать / ! Vf ™
значения от ~ 1 МГц до не- *'^^^к^
скольких десятков мегагерц
(в случае когда у изменяется
в пределах от ~ 10~2, что яв- v> v""v<
ляется ТИПИЧНЫМ ДЛЯ лазера С Рис. 5.19. Затягивание частоты и
низким коэффициентом усиле- спектр выходного излучения в одно-
ния, например для Не—Ne-ла- модовом лазере.
зера, до значения -^б-Ю^'для
активных сред с высоким усилением). Таким образом, поскольку
Avc <С Av0, затягивание частоты, как правило, невелико.
Обратимся теперь к расчету ширины AvreH выходного спектра
лазера, когда генерация в нем осуществляется лишь на указан-
указанной выше моде. Наименьшее значение ширины определяется шу-
шумами спонтанного излучения или, что одно и то же, нулевыми
флуктуациями поля лазерной моды. Поскольку эти флуктуации
можно учесть лишь с помощью полного квантовомеханического
рассмотрения (см. раздел 2.4.2), мы не можем определить эту
предельную ширину в рамках используемого нами приближения.
Можно показать, что хотя случайным флуктуациям подвержены
и амплитуда, и фаза поля нулевых колебаний, спектральное
уширение выходного излучения обусловлено главным образом
случайными флуктуациями фазы, в то время как очень неболь-
небольшие флуктуации величины выходной мощности вызываются
флуктуациями амплитуды поля нулевых колебаний. Это можно
объяснить, обращаясь к тому факту, который рассматривался
в начале данной главы, что количество фотонов в резонаторе
лазера, а следовательно, и выходная мощность весьма нечувст-
нечувствительны к тому числу фотонов qt, которые изначально имеются
в резонаторе, чтобы вызвать процесс спонтанного излучения,
274 5, Непрерывный и. нестационарный режимы работы лазеров
Можно также показать, что спектр испускаемого света имеет
лоренцев контур и его ширина (на половине максимального
значения) при пренебрежении внутренними потерями дается вы-
выражением [17]
, E.66)
где Р — выходная мощность. Выражение E,66) с дополнитель-
дополнительным множителем 2 в правой части обычно называется форму-
формулой Шавлова и Таунса, Впервые она была опубликована этими
авторами в их оригинальной работе, в которой был предложен
и сам лазер [18].
Даже при умеренных значениях выходной мощности (напри-
(например, при Р = 1 мВт, что соответствует маломощному Не—Ne-
лазеру) величина AvreH, определяемая выражением E.66), оказы-
оказывается столь малой, что в действительности фактическая ширина
линии AvreH определяется другими механизмами спектрального
уширения. С учетом N2 «(М2 — Ni) из формулы E.66) видно,
что AvreH/vreH = 2ttz/i(Avc)z/P; отсюда при Avc = 107 Гц полу-
получаем AvreH/vreH «* 1(Н5. Для того чтобы понять смысл столь
высокой спектральной чистоты, посмотрим, какие требования
следует предъявить к стабильности длины резонатора, чтобы
стабильность частоты резонатора vc поддерживалась с указан-
указанной выше точностью. Из соотношения D.3) при п = const нахо-
находим AL/L = — Avc/vc « 10~15. Следовательно, при L = 1 м =
= 1010 А мы имеем |AL| « 10~5 А. Это означает, что изменения
длины на величину, которая в ~ 105 раз меньше типичного раз-
размера атома, уже достаточно для того, чтобы вызвать сдвиг ре-
резонансной частоты vc и, следовательно, частоты генерации vreH,
которая сравнима с шириной линии генерации, определяемой
выражением E.66). Таким образом, на практике предельная мо-
монохроматичность излучения определяется, по всей видимости,
изменениями длины резонатора, обусловленными выбрациями
или тепловыми эффектами [19]. Если оба зеркала резонатора
закреплены на массивных стержнях, изготовленных из инвара,
то акустические колебания могут приводить к значениям AvreH
от нескольких единиц до нескольких десятков килогерц
(AvreH/vreH = Ю-10—КН1). Изменение температуры резонатора
АГ дает вклад AvreH/vreH = аДГ, где а — коэффициент расшире-
расширения материала стержней, на концах которых закреплены зер-
зеркала резонатора. Для инвара а « 10~7/К и, следовательно,
AvreH/vreH = 1()-7Д7\ Таким образом, даже такое изменение тем-
температуры на величину К)-3 К приводит к уходу частоты моды
(а значит, и к изменению частоты выходного излучения лазера),
которое больше уширения линии, обусловленного акустическими
5.3. Непрерывный режим работы лазера
275
колебаниями. Однако, используя методы активной стабилизации
частоты резонатора, можно значительно уменьшить влияние
акустических колебаний (кратковременная стабильность часто-
частоты) и температурных изменений (долговременная стабильность
частоты). Эти методы мы рассмотрим в следующем разделе.
5.3.8. Провал Лэмба и активная стабилизация
частоты лазера
Другое интересное явление, которое нельзя объяснить в рам-
рамках используемого здесь приближения скоростных уравнений,
представляет собой провал Лэмба, названный так в честь фи-
физика У. Э. Лэмба, который предсказал его теоретически [20].
Это явление имеет место в любых
газовых лазерах, работающих на
одной моде, если преобладает неод-
неоднородное уширение, обусловленное
эффектом Доплера. Провал Лэмба
иллюстрируется на рис. 5.20, где
приведена зависимость выходной
мощности от частоты генерации при
постоянной скорости накачки. Кри-
_[ L_ i
Зеркало 1
Зернало Z
Рис. 5.20. Провал Лэмба.
Рис. 5.21. Насыщение усиления в газовом
лазере с доплеровски уширенным перехо-
переходом.
вая такой формы может быть получена экспериментально в одно-
модовом лазере, частота выходного излучения которого пере-
перестраивается посредством плавного изменения длины резонатора
(на величину, равную половине длины волны). Как видно из
рис. 5.20, кривая выходной мощности имеет провал на централь-
центральной частоте перехода, что на первый взгляд кажется парадок-
парадоксальным.
Чтобы объяснить такую зависимость мощности от частоты,
рассмотрим экспериментальную ситуацию, показанную на
рис. 5.21, когда насыщение в активной среде, вызванное полем
лазерного излучения, регистрируется пробным пучком малой
интенсивности (т. е. ненасыщающим), который распространяет-
распространяется под небольшим углом к оси резонатора (ср. с рис. 2.15). Нач-
Начнем рассмотрение со случая, когда частота генерации лазера
276 5. Непрерывный и нестационарный режимы работы лазеров
v=?^vo (например, v<vo). Лазерное излучение будет взаимо-
взаимодействовать только с теми атомами, направление скорости v ко-
которых противоположно по отношению к направлению излуче-
излучения, а ее величина v такова, что v[l -\-(v/c)] = v0 (эффект
Доплера). Однако в резонаторе лазера волна распространяется
между зеркалами как в прямом, так и в обратном направлении.
Следовательно, волна, распространяющаяся вправо, будет вза-
взаимодействовать с атомами, движущимися влево, в то время как
волна, распространяющаяся влево, взаимодействует с атомами,
\ \ Контур
доплеровской
Рис. 5.22. Дырки, выжигаемые в контуре линии усиления газового лазера,
генерирующего на частоте v ф v0 (а) и v = vo (б). В обоих случаях
сплошная линия соответствует отсутствию насыщения, в то время как штри-
штриховая линия — наличию насыщения.
движущимися вправо. Таким образом, рассматриваемая мода
будет приводить к насыщению населенности двух групп атомов:
одних, движущихся со скоростью -\-v, и других, движущихся со
скоростью —v. При этом, как было показано в разд. 2.6.3 (см.
рис. 2.19), из-за насыщения, обусловленного интенсивным ла-
лазерным излучением, в линии усиления g(v), регистрируемой
пробным пучком, образуются две «дырки» при частотах, соот-
соответствующих скоростям движения атомов ±с. Следовательно,
одна из частот равна v, а другая располагается симметрично к
первой относительно v0 (рис. 5.22,а). Ширина каждой дырки
порядка однородной ширины линии. При каждой из этих двух
частот кривая насыщенного усиления g(v) дается выражением
B.147). В частности, на частоте v имеем
/[l+/(v)/U E-67)
Где g0 — коэффициент ненасыщенного усиления, а / — интенсив-
интенсивность каждой из двух противоположно направленных волн (для
простоты предполагается, что они имеют одинаковые интенсив-
интенсивности). Если рассмотреть теперь случай, когда v =v0, то лазер-
лазерное излучение будет взаимодействовать с теми атомами, кото-
5.3. Непрерывный режим работы лазера 277
рые имеют v = 0. При этом обе дырки на рис. 5.22, а сливаются
в одну, расположенную в центре линии усиления (рис. 5.22,6).
В этом случае насыщенное усиление (рис. 5.22,6) g{vo) запи-
запишется в виде
E.68)
Множитель 2, стоящий в квадратных скобках этого выражения,
учитывает то обстоятельство, что обе волны насыщают теперь
одну и ту же группу атомов. Следовательно, в данном случае
должна быть более глубокая «дырка» (ср. рис. 5.22, а и 5.22, б),
это и является фундаментальной причиной появления провала
в центре спектра выходной мощности. Действительно, в рассмо-
рассмотренных двух случаях выходную мощность можно получить из
условия, что насыщенное усиление на длине активной среды g
должно быть равно потерям резонатора у. Поскольку Р = 1АТ2
(см. рис. 5.21), из выражений E.67) и E.68) для обоих случаев
находим соответственно [ср. с E.33) ]
P(v) = AT2Is[go(v)/V-l], E.69)
P(vo) = (l/2) АШвоЫ/Ч- П. E-70)
где А — площадь поперечного сечения лазерного пучка, а Т2 —
коэффициент пропускания выходного зеркала. Множитель 1/2
в правой части выражения E.70) означает, что P(vo)<P(v),
и, следовательно, он ответствен за провал Лэмба. Заметим, что,
поскольку ширина «дырок» на рис. 5.22 примерно равна одно-
однородной ширине линии, то ширина провала Лэмба также срав-
сравнима с этой шириной линии.
Явлением провала Лэмба можно воспользоваться для очень
эффективной стабилизации частоты лазера [19]. Поскольку ши-
ширина провала Лэмба примерно равна однородной ширине ли-
линии, а в газовых лазерах она обычно много меньше неоднород-
неоднородной ширины линии (ср. значения AveCT и Av*0, приведенные для
неона в разд. 2.3.3.1 и 2.3.3.2), положение дна лэмбовского про-
провала фиксируется с очень высокой степенью точности. Предпо-
Предположим, что одно из зеркал резонатора укреплено на пьезоэлек-
пьезоэлектрическом преобразователе таким образом, что длина резонатора
может очень плавно меняться при приложении электрического
напряжения к преобразователю. Тогда с помощью соответствую-
соответствующего электронного устройства обратной связи частоту лазера
можно стабилизировать относительно минимума лэмбовского
провала. В Не—Ne-лазере применение такого метода позволило
получить стабильность и воспроизводимость частоты генерации
порядка Ю-9. Это значение стабильности ограничивается тем,
что центральная частота перехода сама по себе не является
278 5. Непрерывный и нестационарный режимы работы лазеров
идеально стабильной, поскольку она зависит (хотя и в ма-
малой степени) от давления газа и силы тока разряда. Еще луч-
лучшую стабилизацию обеспечивает метод, основанный на исполь-
использовании явления, аналогичного провалу Лэмба, который имеет
место, когда газ (который не накачивается) с линией поглоще-
поглощения на частоте va в пределах линии усиления лазера помещает-
помещается в отдельной кювете внутрь резонатора. В соответствии с
проведенным выше рассмотрением в этом газе в условиях насы-
насыщения (т. е. в процессе генера-
генерации лазера) коэффициент погло-
поглощения должен иметь провал, ко-
когда частота лазерного излучения v
совпадает с va. В этом случае сле-
следует ожидать, что выходная мощ-
мощность лазера будет иметь вместо
провала узкий пик (часто назы-
называемый обращенным провалом
Лэмба) при v=va (рис. 5.23).
Заметим, что ширина обращен-
обращенного провала Лэмба обычно
меньше ширины провала Лэмба,
поскольку через поглотитель не
проходит ток, а также потому,
что поглотитель можно поддер-
поддерживать при более низком давле-
давлении. Таким образом, стабилизи-
стабилизируя частоту лазера на частоте об-
обращенного провала Лэмба, мож-
можно достичь лучшей стабильности и воспроизводимости частоты
генерации (Avren/vreH = Ю~12—10~13). Для Не—Ne-лазера, ге-
генерирующего на частоте А, = 3,39 мкм, в качестве поглотителя
применяют газ метан, а при генерации на длине волны К =
= 0,633 мкм — 129Ь. Достижение столь высоких значений моно-
монохроматичности и стабильности частоты особенно важно для
метрологических применений лазеров (лазерный стандарт ча-
частоты) .
5.4. Нестационарный режим работы лазера
Для того чтобы изучить нестационарный режим работы че-
четырехуровневого и трехуровневого лазеров, необходимо решить
соответственно уравнения E.18) и E.24). При этом, если за-
заданы начальные условия, то для данной временной зависимо-
зависимости скорости накачки WP(t) мы находим временные зависимо-
зависимости q(t) и N(t). Ниже будет рассмотрено несколько интересных
Рис. 5.23. Выходная мощность Р
как функция частоты для газового
лазера с поглотителем, имеющим
внутрь резонатора (обращенный
провал Лэмба).
5.4. Нестационарный режим работы лазера 279
примеров нестационарного режима работы лазеров. Поскольку
уравнения, описывающие нестационарный режим, являются не-
нелинейными относительно переменных q(t) и M(t) (действитель-
(действительно, они входят в эти уравнения в виде произведения qN), общее
аналитическое решение получить невозможно, поэтому мы огра-
ограничимся лишь обсуждением некоторых важных результатов.
5.4.1. Релаксационные колебания в одномодовых лазерах
Прежде всего рассмотрим случай, когда скорость накачки
описывается ступенчатой функцией. Таким образом, предполо-
предположим, что WP=0 при t<0 и WP(t) =WP (где WP не зависит
от времени) при t > 0. Предположим сначала, что лазер генери-
генерирует на одной моде, поскольку лишь при этом условии, строго
говоря, справедливы уравнения E.18) и E.24).
В качестве характерного примера на рис. 5.24 приведены
зависимости N(t) и q(t), полученные путем численного расчета
для трехуровневого лазера, такого, как рубиновый лазер. При
расчетах использовались следующие начальные условия: N@) =
= —Nt и q@) = qu где qi — некоторое небольшое число фото-
фотонов, необходимое лишь для того, чтобы возникла генерация.
Следует заметить, что зависимость, аналогичную показанной на
этом рисунке, будет также проявлять и четырехуровневый ла-
лазер, такой, как Nd: YAG, за исключением того, что в данном
случае Л/@) =0. Таким образом, если на рис. 5.24 начало вре-
временной оси совместить с точкой t = 2 мке, то кривые на этом
рисунке будут также представлять и четырехуровневый лазер.
Укажем теперь на некоторые особенности кривых, представ-
представленных на рис. 5.24: 1) число фотонов q(t) в резонаторе опи-
описывается регулярной последовательностью уменьшающихся по
амплитуде пиков (пичков) с временным интервалом между
ними, равным нескольким микросекундам; выходное излучение
будет вести себя аналогичным образом; такую генерацию обыч-
обычно называют режимом регулярных пичков; 2) инверсия населен-
ностей N(t) осциллирует относительно стационарного значения
No; 3) в соответствии с выражениями E.29а) и E.296) для че-
четырехуровневого лазера или E.38) и E.41) для трехуровне-
трехуровневого лазера как M(t), так и q(t) и конечном счете достигают
своих стационарных значений. Осциллирующий характер кри-
кривых N(t) и q(t) объясняется тем, что, после того как измени-
изменилась инверсия населенностей, число фотонов изменяется не сра-
сразу, а с некоторой задержкой. Таким образом, когда M(t) про-
проходит впервые через значение No (на рисунке это соответствует
t « 4 мке), достигается пороговое условие и лазер может на-
начать генерировать. При этом в течение некоторого времени
280
5. Непрерывный и нестационарный режимы работы лазеров
число фотонов в резонаторе возрастает относительно своего на-
начального значения, определяемого спонтанным излучением, и
благодаря продолжающемуся процессу накачки инверсия насе-
ленностей N(t) в течение этого времени может непрерывно
нарастать выше значения Л/о. Однако, когда q(t) достигнет до-
достаточно большого значения (т. е. q « <7о)> N(t) начнет умень-
уменьшаться из-за высокой скорости вынужденного излучения. В мо-
8 -
6 -
5:
I
l\ 1 J
I 1 1 1
IIaa/va/
10
t, МКС
Рис. 5.24. Временные зависимости полной инверсии VaN(t) и числа фотонов
q(t) в трехуровневом лазере. (Согласно работе [3].)
мент времени, когда q(t) достигает максимума, N(t) спадает до
значения Мо. Это нетрудно показать с помощью уравнения
E.186) (четырехуровневый лазер) и E.246) (трехуровневый ла-
лазер), поскольку при dq/dt = O мы имеем N = \/VaBrc = Л/о-
Вследствие все еще большой скорости вынужденного излучения
населенность N{t) продолжает уменьшаться после значения Мо.
При этом лазер оказывается в условиях ниже порогового и чис-
число фотонов уменьшается до столь малого значения, что M(t)
опять начинает расти под действием накачки. В момент дости-
достижения пороговой населенности (t « 6 мкс) мы имеем dq/dt = O
и q достигает своего минимального значения. Начиная с этого
момента q нарастает вновь и повторяется описанный выше цикл.
Следует заметить, что, поскольку в конце концов достигаются
стационарные решения, определяемые выражениями E.29) или
E.38) и E.41), численный расчет подтверждает, что эти реше-
решения соответствуют устойчивому режиму работы.
5.4. Нестационарный режим работы лазера 281
Для небольших колебаний около стационарных значений
(т. е. приблизительно при t > 14 мкс на рис. 5.24) динамическое
поведение можно описать аналитически. Действительно, если за-
записать
N(t) = NQ + f>N, E.71а)
q(t) = qo+6q E.716)
и считать, что 6Л/ < Мо и 6q < q0, то в скоростных уравнениях
d произведении Nq можно пренебречь fiA/ bq, так что эти уравне-
уравнения становятся линейными относительно переменных 6N и &q.
Таким образом, ограничиваясь случаем четырехуровневого ла-
лазера, из E.18) получаем
6N = -6N [Wp + A/т)] - В (qo6N + N06q), E.72a)
6q = Bq0Va6N. E.726)
Заметим, что уравнение E.726) получено из E.186) с учетом
того факта, что VaBN0 — 1/тс = 0. Подстановка E.726) в E.72а)
дает следующее уравнение:
Ц + WP + A/т) + BqQ] bq + (B2N0q0Va) 6q = 0. E.73)
F-сли искать его решение в виде
t>q = 6qoexp{st), E.74)
то находим, что величина s удовлетворяет уравнению
s2+B/t0)s + <o2 = 0, E.75)
где мы положили
qo}/2 E.76а)
E.766)
Решением уравнения E.75), очевидно, является
s = -lAo±[(l/g2-(o2]. E.77)
Сперва рассмотрим случай, когда
A/д < *). E.78)
В этом случае квадратный корень в выражении E.77) прини-
принимает мнимое значение, и мы можем написать s = — A/М ± iw',
причем
^КО/д2]1'2. E.79)
В этом случае в соответствии с выражением E.74) величина б<?
будет представлять собой затухающее гармоническое колебание
282 5. Непрерывный и нестационарный режимы работы лазеров
(недодемпфированное колебание), т. е.
6q = Cexp(— t/t0) sin (a't+ф), E.80)
где С и ф определяются начальными условиями. Если подста-
подставить это выражение в уравнение E.726), то найдем, что 8N
представляет собой затухающее гармоническое колебание. По-
Полагая l/t0 <C со', получаем
6N ~ (<u'C/Bq0Va) exp (- t/t0) cos (со'/ + ф). E.81)
Заметим, что 8N(t) опережает 6q(t) на 90°, как нетрудно было
предвидеть из нашего предыдущего обсуждения, поскольку пре-
прежде чем можно будет наблюдать возрастание б<7@» сначала
должна увеличиться инверсия 8N(t).
Выражения E.76) можно переписать в более удобной для
вычислений форме, если использовать явные выражения для No
и q0 E.29а) и E.30). Предполагая, что Af0 < N/, в E.76а) мо-
можно пренебречь величиной WP, и мы получаем
to = 2x/x, E.82а)
ю = [(*-1)/тетР, E.826)
где x = W P/Wnop — число, показывающее, во сколько раз пре-
превышено пороговое значение накачки. Заметим, что хотя по-
постоянная времени затухания колебания t0 определяется време-
временем жизни верхнего состояния, период колебаний Т = 2я/со' х
« 2я/со определяется геометрическим средним т и временем
жизни фотона %с. В качестве первого примера выберем рассмо-
рассмотренный в разд. 5.3.6 Nd : YAG-лазер, накачиваемый на 50 %
выше порога (х= 1,5), и положим полные потери за проход
равными y = 0,12. Мы имеем %с = Ь'/соу « L/coy « 14 не и из
выражений E.82) ^о « 328 мке и Т = 2я/(й' « 2я/со « 16 мкс.
Заметим, что в данном случае мы имеем ^о ^ 1/w, т. е., безус-
безусловно, выполняется условие E.78) и тем самым подтверждается
справедливость приближения со' ж со. В качестве второго при-
примера рассмотрим типичный инжекционный GaAs-лазер с длиной
резонатора L = 300 мкм, в котором две грани сколоты и дейст-
действуют как зеркала резонатора. В соответствии с выражением
D.50) коэффициенты отражения обоих зеркал в этом случае
равны R = [{п— \)/{п+ 1)]2 «0,3, где п = 3,35 — показатель
преломления GaAs. Следовательно, согласно определениям
E.7а) и E.76), Yi = Y2 = — Intf = 1,2. Мы также будем счи-
считать, что коэффициент потерь а = 60 см-1 распределен вдоль
длины полупроводника, и мы можем записать Y; = ao? = 1.8.
Отсюда имеем у = y<+ [(yi + 7г)/2] = 3 и xc = L'lcuy =
= nL/coy= 1,1 пс. Время жизни т верхнего уровня можно при-
5.4. Нестационарный режим работы лазера 283
нять равным 3 не. Полагая вновь x=l,5, получаем to=4 не
и Т = 2я/со = 0,5 не. В этом случае мы также имеем to~> 1/со и
условие E.78), разумеется, выполнено.
Если условие E.78) не выполняется, то оба решения для s,
определяемые выражением E.77), вещественны и отрицательны.
В этом случае временная зависимость 6q(t) представляет собой
суперпозицию двух экспоненциально затухающих релаксаций
(задемпфированное колебание). Чтобы получить условие \/to >
> со в соответствии с выражением E.82), необходимо, чтобы
выполнилось неравенство
- \Iх\ E.83)
откуда следует, что тс должно быть сравнимо с т. Это условие
обычно выполняется в газовых лазерах, в которых поэтому не
проявляется пичковый режим. Если для примера выбрать Не—
—Ne-лазер, генерирующий на собственном красном переходе
(h = 0,6328 мкм), то мы имеем t « 100 не. Выбрав резонатор
длиной L = 50 см и связь на выходе у2 = 10~2, а также прене-
пренебрегая всеми остальными потерями, получаем у = \г/2 = 5-10~3,
Тс = L/cqx = 322 не и условие E.83) выполняется при любом
значении х.
Прежде чем завершить данный раздел, следует заметить,
что рассмотренное нестационарное поведение имеет место и в
несколько ином случае, а именно когда лазер, генерирующий
в стационарном режиме, испытывает внезапное возмущение (т. е.
bN = bNu и bq = bqo при ? = 0, где bNo и б<?о — две известные
величины). Согласно проведенному выше обсуждению, возник-
возникшее в момент времени ^ = 0 возмущение будет со временем за-
затухать, как в недодемпфированном, так и в задемпфированном
случаях. Поэтому стационарные решения jV0 и qu, которые мы
рассматривали в разд. 5.3, соответствуют устойчивому равно-
равновесию.
5.4.2. Пичковый режим многомодовых лазеров
Проведенное до сих пор рассмотрение применимо только в
случае одномодовой генерации, и здесь, как оказалось, экспе-
экспериментальные данные находятся в хорошем согласии с пред-
представленными выше результатами теории. В действительности же
одномодовый режим генерации не всегда просто реализовать,
в частности когда ширина линии лазерного перехода значитель-
значительно больше межмодового расстояния (что имеет место, напри-
например, в твердотельных и жидкостных лазерах). Теоретическое
рассмотрение многомодового режима генерации оказывается на-
намного сложнее. В этом случае недостаточно просто определить
284 5. Непрерывный и нестационарный режимы работы лазеров
полное число фотонов, просуммированное по всем генерируе-
генерируемым модам. Действительно, чтобы учесть временную и про-
пространственную интерференцию мод, необходимо записать столь-
столько уравнений для электрических полей электромагнитных волн
(как для амплитуд, так и для фаз), сколько генерируется
мод. В этом случае временная зависимость выходного излучения
не является столь простой, как
на рис. 5.24. В твердотельных
лазерах обычно наблюдается
временная зависимость, пока-
показанная на рис. 5.25. Можно ви-
видеть, что выходное излучение
представляет собой цуг нерегу-
нерегулярных во времени импульсов
со случайными амплитудами
(нерегулярные пички). Кроме
того, генерация не переходит
в нестационарный режим, как
1,1,1
до
к
ДО
AJ
1
X
Щ
in
Ю
d
Рис. 5.25. Типичная временная зави-
зависимость выходного излучения много-
модового твердотельного лазера.
В этом случае представлено выход-
выходное излучение рубинового лазера, а
одно деление на шкале времени со-
соответствует 10 мкс.
на рис. 5.24. Такое поведение объясняется тем, что при пере-
переходе от одного пичка к другому или от одного цуга пичков к дру-
другому происходит изменение генерируемых мод. Данное явление
называется «перескоком мод». В этом случае выходная мощ-
мощность лазерного излучения не является регулярной и воспроиз-
воспроизводимой во времени.
5.4.3. Модуляция добротности [21]
Метод модуляции добротности [22] позволяет получать ла-
лазерную генерацию в виде коротких импульсов (длительностью
от нескольких наносекунд до нескольких десятков наносекунд)
с высокой пиковой мощностью (от нескольких мегаватт до не-
нескольких десятков мегаватт). Основная идея метода состоит в
следующем. Предположим, что в резонатор лазера помещен
затвор. Если затвор закрыт, то генерация возникнуть не может
и инверсия населенностей может достичь значения, которое на-
намного превышает пороговое, имеющее место в отсутствие за-
затвора. Если теперь резко открыть затвор, то усиление в лазере
существенно превысит потери и накопленная энергия выделится
в виде короткого и интенсивного светового импульса. Поскольку
при этом происходит переключение добротности резонатора от
низкого к высокому значению, то данный метод называется мо-
модуляцией добротности.
Для большей строгости исследуем временную последователь-
последовательность событий с помощью рис. 5.26, на котором мы предпола-
предполагаем, что накачка происходит с постоянной скоростью в течение
5.4. Нестационарный режим работы лазера
285
J
yd)
1
Wp(i)
Wp,y
У
1
ь
интервала времени —tw ^ t ^ О (рис. 5.26, а) и что потери в
лазере y(t) переключаются в момент времени / = 0 от очень
большого значения, соответствующего закрытому затвору, до
значения у, отвечающего нормальной работе лазера при откры-
открытом затворе. Таким образом, при t < 0 генерация прекращается
и инверсия населенностей
возрастает до очень боль-
большой величины Nu Заметим,
что длительность импульса
накачки tw должна быть
меньше времени релаксации
верхнего состояния т или,
возможно, сравнима с ним
по величине. В противном
случае, если tw >> т, то боль-
большая часть энергии накачки
будет теряться вследствие
спонтанной релаксации, а не
накапливаться в виде энер-
энергии инверсии населенностей.
Когда затвор открывается
(при t>0), усиление лазе-
лазера значительно превосходит
потери резонатора и число
фотонов q(t) резко увеличи-
увеличивается от начального зна-
значения <7«. устанавливаемо-
устанавливаемого спонтанным излучением
(о,-« 1). В результате уве- „ , „„ „ ,
ч~ /Л Рис- 5.26. Последовательность событии
личения q{t) инверсия на- в лазере с модулированной доброт-
селенностей будет умень- ностью (быстрое включение), а —вре-
шаться ОТ ее начального ЗНа- менные зависимости скорости накачки
чения Ni. Когда N(t) упадет W" ". потеРь в Резонаторе у; б-вре-
v ' 3., менные зависимости инверсии населеп-
до величины пороговой ин- ностей N{t) и числа фотонов q{t)_
версии населенностей Np, то
в соответствии с уравнением E.186) мы будем иметь ? = 0 и
световой импульс будет иметь максимальную мощность. Это
произойдет в момент времени t = tp на рисунке. При t > tp в ла-
лазере вместо усиления мы будем иметь потери, и, как следствие,
мощность импульса уменьшится до нуля. В это же время инвер-
инверсия населенностей достигнет окончательной величины N[. Заме-
Заметим, что передний фронт импульса оказывается короче его
заднего фронта. Кроме того, отметим, что на рис. 5.26 вре-
временной масштаб при t > 0 сильно отличается от масштаба при
t < 0. Например, в Nd : YAG- лазере с модуляцией добротности,
286 5. Непрерывный и нестационарный режимы работы лазеров
поскольку т=230 мкс, tw обычно выбирается около 100—200 мкс,
в то время как tp оказывается равным приблизительно 20—50 не,
т. е. более чем в тысячу раз меньше.
Прежде чем завершить это общее рассмотрение модуляции
добротности, уместно сделать два заключительных коммента-
комментария. 1) Из вышеприведенного обсуждения ясно, что для осуще-
осуществления модуляции добротности необходимо иметь достаточно
большое время жизни верхнего лазерного состояния, чтобы ин-
инверсия населенностей могла достичь больших значений. Обыч-
Обычно время жизни должно
быть порядка долей мил-
миллисекунды, что реализует-
реализуется для переходов, запре-
запрещенных в электродиполь-
ном приближении. Это
имеет место для боль-
большинства кристаллических
твердотельных лазеров
(например, на кристаллах
Nd:YAG, рубина, алек-
александрита) и в некоторых
газовых (в СО2- и йодном
лазерах). Однако в лазе-
лазерах на красителе и в не-
некоторых газовых лазерах,
имеющих важное значе-
значение (например, в Не—Ne-
или аргоновом лазерах), лазерный переход является электроди-
польно разрешенным и время жизни изменяется от нескольких
наносекунд до десятков наносекунд. В этом случае метод моду-
модуляции добротности неэффективен, поскольку для накопления до-
достаточно большой инверсии не хватает времени. Кроме того,
если время жизни т сравнимо со временем tp, необходимым для
достижения световым импульсом пикового значения, то значи-
значительная доля накопленной к моменту времени ? = 0 инверсии
при t > 0 будет потеряна на спонтанное излучение, а не давать
вклад в вынужденное излучение. 2) Представленная на рис. 5.26
временная зависимость модуляции добротности предполагает,
что затвор открывается мгновенно, как показано на этом ри-
рисунке, или по крайней мере очень быстро по сравнению с вре-
временем развития импульса tp (быстрое переключение). В случае
медленного переключения могут возникать многократные им-
импульсы (рис. 5.27). Каждый импульс образуется в тот момент
времени, когда мгновенное значение усиления g(t) равно мгно-
мгновенному значению потерь y{t). После каждого импульса усиле-
Рис. 5.27. Последовательность многократ-
многократных импульсов в случае медленного вклю-
включения. На рисунке представлено усиление
лазера g(t)= cN(t)l, где / — длина актив-
активной среды.
5.4. Нестационарный режим работы лазера
287
¦Ячейка
Поляризатор Поккелка
Е
±
/I
-
Отраженный
пучок
а
Ось
поляризатора
ние сбрасывается до значения, которое по величине меньше по-
потерь, и дальнейшая генерация невозможна до тех пор, пока за-
затвор не откроется еще больше и потери не станут меньше уси-
усиления.
5.4.3.1. Методы модуляции добротности
Для модуляции добротности наиболее широко используются
следующие системы.
а) Электрооптические затворы. Эти затворы основаны на
электрооптическом эффекте, обычно на эффекте Поккельса.
Ячейка, основанная на
этом эффекте (ячейка
Поккельса), представляет
собой нелинейный кри-
кристалл типа KD*P или нио-
бата лития для видимого
и ближнего ИК-Диапазо-
на или теллурида кадмия
для средней ИК-области.
В таком кристалле прило-
приложенное постоянное элек-
электрическое поле приводит
к изменению показателей
преломления. Это наве-
наведенное двулучепреломле-
ние пропорционально при-
приложенному напряжению.
На рис. 5.28 показан ла-
лазер с модуляцией доброт-
добротности, использующий со-
соответствующую комбина-
комбинацию поляризатора и ячей-
ячейки Поккельса. Ячейка
Поккельса ориентирована
и к ней подведено напря-
напряжение смещения таким
образом, что оси х и у наведенного двулучепреломления распо-
располагаются в плоскости, перпендикулярной оси лазерного резона-
резонатора. Ось поляризатора образует с главными осями двулучепре-
ломляющей ячейки угол 45°. Рассмотрим теперь световую волну,
распространяющуюся из активной среды в направлении к си-
системе поляризатор — ячейка Поккельса. Поляризатор пропустит
к ячейке Поккельса лишь то лазерное излучение, которое поля-
поляризовано вдоль оси поляризатора. Поэтому электрическое поле
этой падающей волны окажется под углом в 45° к главным
L-JU
/Е*
О в
Рис. 5.28. а — возможное взаимное распо-
расположение поляризатора и ячейки Поккель-
Поккельса, используемых для модуляции доброт-
добротности; б — направления компонент элек-
электрического поля, оси поляризатора и глав-
главных осей ячейки Поккельса в плоскости,
перпендикулярной оси резонатора.
288 5. Непрерывный и нестационарный режимы работы лазеров
осям х и у ячейки Поккельса и может быть разложено на ком-
компоненты Ех и Еу вдоль этих осей (рис. 5.28,6), колеблющиеся
в фазе. Пройдя через ячейку Поккельса, обе компоненты испы-
испытывают различные фазовые набеги, что приведет к сдвигу
фазы
Д^> = k<ML', E.84)
где ko = 2n/Xo, Ап = пх — пу — величина наведенного двулуче-
преломления, a U — длина кристалла. Если приложенное к
ячейке Поккельса напряжение таково, что Д^ = я/2, то две
компоненты поля будут отличаться по фазе на я/2, так что ког-
когда компонента х достигает максимума, компонента у равна ну-
нулю и наоборот, т. е. волна становится поляризованной по кругу
(рис. 5.28, в). После отражения от зеркала волна еще раз про-
проходит через ячейку Поккельса и компоненты ее электрического
поля по осям хну приобретают дополнительный сдвиг фазы
Д0 = я/2. Теперь суммарный фазовый сдвиг равен я, так что,
когда компонента х максимальна (и положительна), компо-
компонента у достигнет своего максимального (отрицательного) зна-
значения, как показано на рис. 5.28, г. В результате полное поле Е
снова линейно поляризовано, но направление его поляризации
составляет теперь угол 90° с направлением поляризации падаю-
падающей волны на рис. 5.28, б. Следовательно, это излучение не про-
пропускается поляризатором, а отражается из резонатора наружу
(см. рис. 5.28, а). Данное состояние соответствует закрытому
затвору. Открывается затвор путем снятия напряжения смеще-
смещения. При этом исчезает наведенное двулучепреломление и вхо-
входящий свет проходит без изменения его поляризации. Заметим,
что напряжение, необходимое для работы этой схемы, назы-
называется Х/4-напряжением (четвертьволновым напряжением), по-
поскольку в соответствии с выражением E.84) величина AnL'
равна Х/4.
Модуляторы добротности на ячейке Поккельса являются
наиболее распространенным типом устройств для модуляции
добротности. В зависимости от используемого в ячейке Пок-
Поккельса нелинейного кристалла, конфигурации прикладываемого
поля, ориентации кристалла и значения рабочей длины волны
четвертьволновое напряжение может быть в пределах 1—5 кВ.
б) Механические устройства. Наиболее распространенный
механический способ модуляции добротности состоит во враще-
вращении одного из зеркал лазерного резонатора вокруг оси, перпен-
перпендикулярной оси резонатора. В этом случае условие высокой
добротности достигается в тот момент, когда вращающееся зер-
зеркало проходит положение, в котором оно параллельно второму
зеркалу резонатора. Для того чтобы ослабить требования к юс-
5.4. Нестационарный режим работы лазера
289
пизлю
тировке, вместо зеркала устанавливают 90°-ную пентапризму,
у которой ребро прямого угла перпендикулярно оси вращения
(рис. 5.29). Такая призма имеет следующее свойство: если свет
распространяется в плоскости, перпендикулярной ребру прямого
угла (рис. 5.29), то отраженный свет всегда параллелен падаю-
падающему, независимо от вращения призмы относительно ребра
прямого угла. Это гарантирует то, что соосность между призмой
и вторым зеркалом резонатора в плоскости, перпендикулярной
ребру прямого угла, достигается в любом случае. При этом эф-
эффект вращения призмы
заключается в том, чтобы
условие соосности выпол-
выполнялось в другом направ-
направлении.
Модуляторы добротно-
добротности с вращающейся приз-
призмой являются простыми и
недорогими устройствами
и могут быть изготовлены
для любой длины волны.
Однако они весьма за-
шумлены и, как правило, Двигатель
обеспечивают медленную Рис 529 Механическая система модуля.
модуляцию добротности ции добротности с использованием 90°-hoi"i
вследствие того, что ско- пентапризмы.
рость вращения зеркал
имеет ограничения. Например, в Nd : YAG-лазерах условие вы-
высокой добротности соответствует области углов поворота всего
лишь 1 мрад относительно положения точной юстировки. Следо-
Следовательно, даже если двигатель обеспечивает вращение с очень
большой скоростью 24 000 об/мин D00 Гц), продолжительность
состояния с высокой добротностью будет равна около 400 не.
Столь большое время переключения в некоторых случаях может
вызывать генерацию многократных импульсов.
в) Акустооптические модуляторы добротности [23]. Акусто-
оптический модулятор представляет собой участок оптически
прозрачной среды (например, плавленого кварца для видимой
области или германия для среднего и дальнего ИК-диапазона),
в котором с помощью прикрепленного с одной стороны пьезо-
пьезоэлектрического преобразователя, подключенного к ВЧ-генера-
тору, возбуждается ультразвуковая волна (рис. 5.30, а). Если
противоположная преобразователю сторона участка прозрачной
среды срезана под некоторым углом и на нее нанесен поглоти-
поглотитель для акустической волны, то отражения назад не будет и
в среде возникает бегущая акустическая волна. Механическое
Ю О. Звелто
290 5. Непрерывный и нестационарный режимы работы лазеров
напряжение, наведенное ультразвуковой волной, вызовет локаль-
локальные изменения показателя преломления среды (фотоупругий
эффект). Это периодическое изменение показателя преломления
можно рассматривать как фазовую дифракционную решетку, пе-
Зеркалр
Выходное
излучение 1(^1 я ¦>
\1 sS^cKmueH(zsi среда
Поглотитель
Преобразователь >*??Чг ¦''*-*- ^^-Дифрагированный
^^^" ^ '¦"** пучок
Оптический
блок Заднее зеркало
а
Дисрра трованныи
пучок
г —
—.
"~~ ¦—
Я.1
_-—- "
| Пьезоэлектрический
' преобразователь
1ВЧ
6
Рис. 5.30. а—схема устройства лазера, в котором модуляция добротности
осуществляется с помощью акустооптического модулятора; б — падающий,
прошедший и дифрагированный пучки в акустооптическом модуляторе
(брэгговскин режим).
риод которой равен длине акустической волны, а амплитуда
пропорциональна амплитуде звука, и которая передвигается в
среде со скоростью звука (фазовая решетка бегущей волны).
Если акустооптическую ячейку поместить в резонатор лазера, то
до тех пор, пока к преобразователю приложено электрическое
напряжение, в резонаторе существуют дополнительные потери.
Действительно, часть лазерного пучка выводится из резонатора
5.4. Нестационарный режим работы лазера 291
вследствие дифракции излучения на наведенной фазовой ре-
решетке. Если приложенное напряжение достаточно велико, то
дополнительные потери приведут к прекращению лазерной гене-
генерации. Возвращение лазера в состояние с высокой доброт-
добротностью происходит при выключении электрического напряже-
напряжения на преобразователе.
Чтобы получить более глубокое представление о работе аку-
стооптического модулятора, рассмотрим случай, когда длина
V оптической среды достаточно велика и поэтому решетка дей-
действует как толстая фазовая решетка. Для реализации этого слу-
случая необходимо, чтобы выполнялось следующее условие:
2nAL'Ma>l, E.84а)
где X— длина волны падающего света, п — показатель прелом-
преломления среды, а Ка — длина звуковой волны (Ха = v/va, где v —
скорость звука и va — частота звуковой волны). Рассматривая,
например, кварц (скорость сдвиговой волны в нем равна v =
= 3,76-105 см/с), который возбуждается на частоте v0 =
= 50 МГц, мы получаем Хо = 75 мкм и из условия E.84а) (учи-
(учитывая, что в кварце л =1,45) V 3> 1,3 мм. Если длина кри-
кристалла составляет, например, около 5 см, то дифракция проис-
происходит в режиме толстой фазовой решетки, который называется
режимом дифракции Брэгга. В этом режиме из резонатора под
углом в'=Х/Ха выходит только один дифрагированный пучок и
наибольшая эффективность дифракции достигается тогда, когда
направление падающего света удовлетворяет условию 9в =
= Х/2Ха (рис. 5.30,6), впервые полученному Брэггом для ди-
дифракции рентгеновских лучей на кристаллографических плоско-
плоскостях. В таком случае дифрагированный пучок можно рассмат-
рассматривать как результат зеркальных отражений падающего пучка
от фазовых плоскостей, образуемых звуковой волной. Если к
пьезоэлектрическому преобразователю подводится ВЧ-сигнал
достаточно высокой мощности, то из резонатора может дифра-
дифрагировать сравнительно большая доля х\ падающего пучка (на-
(например, для мощности порядка нескольких десятков ватт мы
имеем т) = 50%). В конкретном примере, рассмотренном выше,
пучок дифрагирует под углом 0' » 0,8° относительно направле-
направления падающего пучка ".
') Если 2n%LrJn3?a <С 1, то звуковая решетка является тонкой фазовой
решеткой (режим Рамана — Ната). Для достижения максимальной эффек-
эффективности дифракции направления лазерного пучка и звуковой волны долж-
должны теперь составлять угол 90°, и тогда, как и в случае обыкновенной ди-
дифракционной решетки, пучок разделяется на множество дифрагированных
пучков, составляющих с падающим углы 9d = ±пА,Д0, где я — целое число.
10*
292 5. Непрерывный и нестационарный режимы работы лазеров
Акустооптические модуляторы обладают следующими пре-
преимуществами: будучи помещенными в резонатор, они вносят
мало дополнительных потерь, а в импульсно-периодическом ре-
режиме могут работать в режиме с высокой частотой повторения
импульсов (килогерцы). Однако они имеют весьма ограничен-
ограниченную величину потерь, вносимых в случае низкой добротности и,
кроме того, небольшую скорость переключения добротности. По-
Поэтому такие модуляторы применяются в основном в импульсно-
периодических лазерах с малым усилением и непрерывной на-
накачкой (например, в непрерывных Nd : YAG-лазерах).
Рассмотренные до сих пор три устройства для модуляции доб-
добротности подпадают под категорию активных модуляторов доб-
добротности, поскольку ими необходимо управлять с помощью со-
соответствующего устройства (источник питания ячейки Поккель-
са, вращающий двигатель или ВЧ-генератор). Но модуляцию
добротности можно также осуществить автоматически, не ис-
используя каких-либо управляющих устройств. Модуляторы та-
такого типа называются пассивными модуляторами добротности.
г) Модулятор добротности на основе насыщающегося погло-
поглотителя. Самый распространенный на сегодня пассивный модуля-
модулятор добротности использует насыщающийся поглотитель, кото-
который поглощает излучение на длине волны лазера. Во многих
случаях он используется в виде кюветы, заполненной раствором
насыщающегося красителя в соответствующем растворителе
(например, в случае Nd: YAG это растворенный в 1,2-дихлор-
этане краситель, называемый BDN — 4-диметиламинодитиобен-
зилникель). Иногда также используют твердотельные (напри-
(например, BDN в ацетатцеллюлозной пленке) или газообразные (на-
(например, SF6 для СОг-лазера) насыщающиеся поглотители1).
В первом приближении насыщающийся поглотитель можно рас-
рассматривать как двухуровневую систему с очень большим сече-
сечением поглощения в максимуме линии (в случае насыщающегося
красителя эта величина составляет 10~16 см2). При этом из вы-
выражения B.140) следует, что соответствующая интенсивность
насыщения Is сравнительно мала и при относительно небольшой
интенсивности падающего света поглотитель становится почти
прозрачным (благодаря насыщению). Предположим теперь,что
кювету с красителем поместили в резонатор лазера, причем
длина волны, при которой поглощение раствора красителя мак-
максимально, совпадает с длиной волны генерации лазера. Для оп-
') В последнее время все большую популярность приобретают пассивные
модуляторы добротности на кристаллах галогенидов щелочных металлов
(типа LiF) с центрами окраски, особенно в ближнем ИК-Диапазоне. Свой-
Свойства активного центра—центра окраски — весьма похожи на свойства моле-
молекулы красителя. Подробнее об этом в разд. 6.7,— Прим. ред.
5.4. Нестационарный режим работы лазера
293
ределенности будем считать также, что начальное (т. е. ненасы-
ненасыщенное) поглощение в кювете с красителем равно 50%. В рас-
рассматриваемом лазере генерация может начаться только при ус-
условии, что усиление активной среды скомпенсирует потери в
кювете, а также потери резонатора при отсутствии насыщения.
Вследствие большого поглощения в кювете с красителем крити-
критическая инверсия населенностей оказывается очень высокой. С мо-
t, МКС
Рис. 5.31. Типичная временная зависимость интенсивности / лазерного пучка
в резонаторе длиной 60 см с пассивной модуляцией добротности, осуществ-
осуществляемой насыщающимся поглотителем. Величина /„ — это интенсивность шума
в данной моде, обусловленного спонтанным излучением. Приведена также
длительность импульса (~30 не), измеренная как ширина импульса на
полувысоте.
мента начала генерации интенсивность лазерного излучения бу-
будет нарастать от уровня спонтанных шумов (рис. 5.31). Когда
интенсивность становится сравнимой с /s (что имеет место при
t = ts, как показано на рис. 5.31), благодаря насыщению погло-
поглощения краситель начнет просветляться. Вследствие этого увели-
увеличивается скорость нарастания интенсивности лазерного излу-
излучения, что в свою очередь приводит к увеличению скорости
просветления красителя, и т. д. Поскольку величина /s относи-
относительно мала, в активной среде инверсия населенностей после
просветления по существу остается той же самой, что и до про-
просветления красителя (т. е. очень большой). Поэтому после про-
просветления красителя усиление лазера значительно превышает
потери и, как следствие этого, на выходе лазера появится
294 5. Непрерывный, и нестационарный режимы работы лазеров
гигантский импульс (рис. 5.31). Следует заметить, что на рис. 5.31
масштаб по вертикали является логарифмическим. В линейном
масштабе интенсивность излучения лазера в течение времени
нарастания импульса (т. е. при t < ts) была бы слишком сла-
слабой и на рисунке ее не было бы видно, а была бы заметна лишь
хвостовая часть импульса (длительность которой на рисунке мы
приняли равной 30 не). Заметим также, что в этом случае время
нарастания ^s очень велико (несколько микросекунд). На самом
деле при t <its (т. е. до просветления) лазер действует как
обыкновенный лазер в импульсном режиме (см. рис. 5.24). Это
означает, что свет до достижения им максимальной интенсивно-
интенсивности совершает весьма большое число проходов (в примере, рас-
рассмотренном на рис. 5.31, это число составляет около 2000). В ре-
результате этого происходит естественная селекция мод [24]. Дей-
Действительно, пусть две моды имеют ненасыщенные коэффициенты
усиления за проход g\ и g2 (g = oNl), а потери за проход рав-
равны yi и у2. Поскольку эти моды начинают усиливаться от одной
и той же интенсивности, соответствующей спонтанному излуче-
излучению, отношение интенсивностей обеих мод в момент времени
t = ts дается выражением
/I//2=[e(ei-Vl)/e(*-vJ]\ E.85)
где k — число проходов. Если теперь положить, что величина
б = (gi — yO — (?2 — 72) равна разности между результирую-
результирующими коэффициентами усиления обеих мод, то мы можем запи-
записать, что h/h = exp йб. Таким образом, мы видим, даже счи-
считая б имеющей очень небольшое значение 0,001, что при k =
= 2000 /1//2 = exp 2 = 8,4. Следовательно, даже очень неболь-
небольшая разница в усилении или потерях между двумя модами при-
приводит к большому различию в их интенсивностях в момент вре-
времени t = ts, а стало быть и в момент времени t = tp, т. е. в мак-
максимуме импульса. Поэтому, используя модулятор добротности на
насыщающемся поглотителе, нетрудно осуществить генерацию
в одномодовом режиме. Заметим, что при активной модуляции
добротности этот механизм селекции мод значительно менее эф-
эффективен, поскольку формирование импульса лазера из шума
происходит намного быстрее и полное число проходов может
быть всего около 10 или 20.
Пассивная модуляция добротности с помощью насыщающе-
насыщающегося поглотителя представляет собой самый простой метод мо-
модуляции добротности. Основным недостатком этого метода яв-
является фотохимическая деградация насыщающегося поглоти-
5.4. Нестационарный режим работы лазера
295
теля, и поэтому применение пассивной модуляции добротности
ограничено главным образом маломощными устройствами с
низкой частотой повторения (несколько герц) ".
5.4.3.2. Режимы генерации
Лазеры с модулированной добротностью могут работать в
одном из следующих двух режимов. 1) В импульсном режиме
(рис. 5.32). В этом случае скорость накачки Wp имеет форму
импульса определенной длительности.
Таким образом, до момента включения
добротности инверсия населенностей
N(t) нарастает до максимального зна-
значения, а затем спадает. Добротность
резонатора включается в момент вре-
времени, когда N{t) становится макси-
максимальной (^ = 0 на рисунке). С этого
момента времени (t > 0) начинает
увеличиваться число фотонов, что при-
приводит к возникновению импульса ге-
генерации, максимум которого имеет ме-
место в некоторый момент времени td
после включения добротности резона- _?] |^_ t
тора. Увеличение числа фотонов при- *¦«
ВОДИТ К уменьшению инверсии насе- Рис. 5.32. Развитие импуль-
ленностей N(t) от некоторого началь- са в лазере с модуляцией
ного значения N, (три * = 0) до конеч- ^уГно™' ^мГна
ного значения Nf, которое достигается р„сунке показаны времен-
fit)
Nit)
t
t
после того, как импульс генерации за-
закончится. Разумеется, лазеры с моду-
модуные зависимости скорости
накачки Wp, потерь резона-
резоналяцией добротности и импульсной на- ZIW'ы'Т^ГфГо-
качкой могут работать в режиме по- нов q
вторяющихся импульсов, причем час-
частота повторения обычно колеблется от единиц до нескольких
десятков герц. 2) Импульсно-периодический режим с модуля-
модуляцией добротности при непрерывной накачке (рис. 5.33). Этот
режим осуществляется при непрерывной накачке (со скоростью
WP) лазера и периодическом переключении потерь резонатора
до низкого уровня. При этом выходное излучение лазера
') Пассивным модуляторам добротности присущи и другие недостатки,
а именно неконтролируемый момент времени срабатывания и, как следствие
случайного момента срабатывания, нестабильная (колебания до 100 %) мощ-
мощность импульса, поскольку при импульсной накачке уровень накопленной
инверсии населенностей, естественно, меняется во времени. Для многих при-
применении такое поведение недопустимо. — Прим. ред.
296 5. Непрерывный, и нестационарный режимы работы лазеров
Jftl
Л А Л
представляет собой непрерывный цуг световых импульсов, а ин-
инверсия периодически изменяется от начального значения Ni (пе-
(перед включением добротности резонатора) до конечной величины
Nf (после излучения гигантского импульса). Затем в процессе
накачки восстанавливается то значение инверсии населенностей
Ni, которое она имела до включе-
включения добротности резонатора. По-
Поскольку время, необходимое для
восстановления инверсии, при-
примерно равно времени жизни верх-
верхнего уровня т, разделяющий им-
импульсы промежуток времени хр
должен быть порядка т. Поэтому
частоты повторения лазеров с
модуляцией добротности при не-
непрерывной накачке изменяются,
как правило, от единиц до не-
нескольких десятков килогерц.
Для осуществления импульс-
импульсного режима работы лазера
обычно используют электроопти-
электрооптические и механические затворы,
а также насыщающиеся поглоти-
поглотители. В случае импульсно-перио-
дического режима с модуляцией
добротности при непрерывной на-
накачке лазера (который имеет
меньшее усиление, чем при импульсной накачке) применяют
механические затворы или, что более общепринято, акустооптн-
ческие затворы.
5.4.3.3. Теория активной модуляции добротности
Для простоты ограничимся рассмотрением лишь активной
модуляции добротности и в дальнейшем будем считать, что пе-
переключение добротности происходит мгновенно (быстрое пере-
переключение). С целью описания происходящих в лазере процес-
процессов можно снова воспользоваться уравнениями E.18) и E.24)
соответственно для четырех- и трехуровневых лазеров.
Рассмотрим сначала импульсный четырехуровневый лазер
(рис. 5.32) и предположим, что при t < 0 потери столь велики,
что лазер находится в условиях ниже пороговых (т. е. q = О
при ^<0). Если модуляция добротности происходит в момент
времени, когда N{t) достигает максимального значения, то со-
соответствующую начальную инверсию можно получить из урав-
t
Рис. 5.33. Развитие импульсов в
лазере с модуляцией добротно-
добротности, работающем в импульсно-
периодическом режиме с непре-
непрерывной накачкой. На рисунке по-
показаны временные зависимости
скорости накачки Wp, потерь ре-
резонатора у, числа фотонов q и
инверсии населенностей N.
5.4. Нестационарный режим работы лазера 297
нения E.18а), полагая в его левой части # = 0. Тогда, предпо-
предполагая N <C Nt и учитывая, что q = 0, получаем
N, = xWp@)Nt, E.86)
где Wp@) —значение скорости накачки в момент времени ^ = 0.
Предположим теперь, что временная зависимость Wp(t) имеет
всего один и тот же вид независимо от величины интегра-
интеграла \ Wp dt, т. е. от энергии накачки. Тогда можно положить
Wp@) ~ \ Wpdt, так что, например, если удваивается \ Wpdt,
то удваивается также и Wp@). Таким образом, если Ер— энер-
энергия накачки, соответствующая данной скорости накачки
\ЕР~ \ Wpdt} , то из соотношения E.86) и последующего об-
обсуждения вытекает, что Ni ~ Ер. Следовательно, обозначив на-
начальную инверсию при работе лазера на пороге генерации как
Nic, а соответствующую энергию накачки как ^ср, мы можем на-
написать
NiINic = {EpIEcp) = x, E.87)
где х = Ер/Еср. Поскольку Nic — это попросту критическая ин-
инверсия для данного лазера (в режиме модулированной доброт-
добротности), ее значение можно получить из уравнения E.186), по-
полагая G = 0. Таким образом мы находим, что N\c = y/ol [см.
также E.26)]. Если известна УУ|С, т. е. известны у, а и /, и если
также известно отношение х энергии накачки и пороговой энер-
энергии накачки, то выражение E.87) позволяет найти начальную
инверсию Ni.
После того как мы вычислили Nit эволюцию системы во вре-
времени после включения добротности (т. е. при t > 0) можно опи-
описать уравнением E.18) с начальными условиями N{0)=Ni и
G@)= qi. Здесь вновь qi — небольшое число фотонов, необхо-
необходимое для того, чтобы началась лазерная генерация. Впрочем,
уравнения можно существенно упростить, поскольку мы ожи-
ожидаем, что изменения во времени величин N(t) и q(t) происхо-
происходят за столь короткие промежутки времени, что в уравнении
E.18а) можно пренебречь членом WP(Nt — N), отвечающим за
накачку, и членом Л/'/т, отвечающим за релаксацию. Тогда урав-
уравнения E.18) сводятся к следующим:
E.88а)
q = (VaBN-l/xc)q. E.886)
Прежде чем продолжить наше рассмотрение, следует заме-
заметить, что в соответствии с E.886) населенность Np, отвечающая
298 5. Непрерывный и нестационарный режимы работы лазеров
максимуму светового импульса (см. рис. 5.26,6), т. е. когда
<7 = 0, дается выражением
Np=\/VaBxe = y/al, E.89)
которое в точности совпадает с выражением для критической
инверсии Nic. Этот результат с учетом выражения E.87) позво-
позволяет записать отношение Ni/Np в виде, полезном для дальней-
дальнейшего рассмотрения:
NljNp = x. E.90)
Сделав эти предварительные замечания, можно перейти к
вычислению пиковой мощности импульса, выходящего из лазера
через, скажем, зеркало 2. Согласно E.20), мы имеем
P2p=--(y2Co/2L')hvqp; E.91)
здесь qp — число фотонов в резонаторе в тот момент времени,
когда лазерный импульс достигает пикового значения. Для вы-
вычисления qp разделим уравнение E.886) на E.88а). Учитывая
также соотношение E.89), получаем уравнение
dqldN = -Va{\-NpIN), E.92)
которое нетрудно проинтегрировать, и мы имеем выражение
q = Va[Ni-N-Np\u(Ni/N)], E.93)
где для простоты мы пренебрегли небольшим числом qu Тогда
в максимуме импульса получаем
ЯР = VaNp [N,/Np - In (Nt/Np) - 1]. E.94)
Из этого выражения можно сразу получить qp, если известны
Np [из E.89)] и отношение Ni/Np [из E.90)]. Теперь из фор-
формул E.91) и E.94) можно вычислить пиковую выходную мощ-
мощность
Р2р = (Y2/2) (AJa) (Av/tc) [Ni/Np - In (N,/Np) - 1]. E.95)
Следует заметить, что в данном выражении мы использовали
формулу E.22) для объема Va-
Вычислим теперь выходную энергию Е. Для этого сначала
заметим, что
Е= J P2(t) dt= (ffi) hv \ qdt, E.96)
о о
где P2(t)—выходная мощность как функция времени и где мы
использовали формулу E.20). Интегрирование в выражении
E.96) нетрудно выполнить, если проинтегрировать обе части
5.4. Нестационарный режим работы лазера
299
уравнения E.886) и заметить, что q@)= q(°°)= 0. При этом
SOO р ОО р ОО
q dt = Vaxc \ BqN dt. Интеграл \ BqN dt можно
теперь вычислить, интегрируя обе части уравнения E.88а), от-
SOO
BqN dt = N\ — Nf, где Nf — конечная инверсия
населенностей (см. рис. 5.26,6). Таким образом, получаем
SOO
qdt — Vaxc(Ni — Nf), и выражение E.96) принимает вид
E=(y2/2y)(Ni-N,)(Vahv). E.97)
Смысл этого выражения нетрудно понять, если заметить, что
величина Ni — Nf—это имеющаяся в наличии инверсия, кото-
которая дает число фотонов
(Ni — Nf)Va. Из этого чи-
числа фотонов, испущенных
средой, лишь 7г/27 фото-
фотонов дает выходную энер-
энергию. Чтобы вычислить Е
с помощью E.97), необхо-
необходимо знать Nf. Эту вели-
величину можно получить из
выражения E.93), пола-
полагая в нем t=<x>. Посколь-
Поскольку <7(°°) = 0, получаем
(Ni-Nf)INi =
= (Np/Ni)\n(Ni/Nf).E.98)
Из этого соотношения на-
находим Nf/Ni как функцию
величины Np/Ni. Стоящая
слева в E.98) величина
(Ni — Nf)/Ni = x\E назы-
называется коэффициентом использования инверсии (или энергии).
Действительно, хотя начальная инверсия равна Ni, фактически
используется лишь разность Ni — Nf. Соотношение E.98) можно
переписать через х\Е следующим образом:
(Nt/Np)r]E = — \n(l —х\Е). E.99)
На рис. 5.34 построена кривая зависимости коэффициента ис-
использования энергии т]? от Ni/Np, полученная вычислением
E.99). Заметим, что при больших значениях N;/Np, т. е. когда
энергия накачки намного превосходит пороговую энергию на-
накачки, коэффициент использования энергии стремится к единице.
Рис. 5.34. Коэффициент использования энер-
энергии х\е в зависимости от отношения Ni/Np
начальной инверсии к пиковой.
300 5. Непрерывный и нестационарный режимы работы лазеров
Заметим также, что переписывая E.97) через х\е и учитывая
формулы E.22) и E.89), это выражение можно представить
в более простом и наглядном виде:
Е = (yj/2) (Nt/Np) цЕ (AJa) Av. E.100)
Если известны выходная энергия и пиковая мощность, то мо-
можно найти приближенное значение длительности импульсов Дт,„
определив его с помощью соотношения ДтР = Е/Р2р. Из выраже-
выражений E.100) и E.95) получаем
Заметим, что в зависимости от значения Ni/Np величина Дтр
примерно в 2—8 раз больше времени жизни фотона в резона-
резонаторе Тс. Например, выбрав Ni/Np = х = 2,5, из рис. 5.34 полу-
получаем т]? = 0,89, а из E.101) имеем Дтр ж 3,81 тс. Однако сле-
следует заметить, что выражение E.101) дает лишь приближенное
значение Дтр, поэтому необходимо также помнить, что импульс
является несимметричным, поскольку длительность его перед-
переднего фронта хг всегда меньше длительности заднего фронта т/.
Например, если определить хг и т/ как интервалы времени от
пиковой мощности импульса до моментов времени, соответст-
соответствующих половине пиковой мощности, то численный расчет для
рассмотренного выше примера дает значения тг = 1,45 тс и
xf = 2,06 тс. Мы видим, что в данном примере вычисленное при
помощи соотношения E.101) приближенное значение ДтР при-
примерно на 9% превышает расчетное значение тг-|-т/. Получен-
Полученное соотношение приближенно выполняется для любого Ni/Np.
Время задержки между максимумом импульса ° и моментом
включения добротности резонатора ха (см. рис. 5.32) можно счи-
считать приближенно равным времени, которое необходимо для
того, чтобы число фотонов достигло определенной величины от-
относительно максимального числа фотонов. Если выбрать, напри-
например, эту долю равной 1/10, то до этого момента времени не
произойдет сколько-нибудь заметного насыщения инверсии и в
уравнении E.886) можно воспользоваться приближением
M(t) = Ni. Тогда это уравнение с учетом соотношений E.89) и
E.90) принимает вид q = {х — 1)<7Лс и после интегрирования
мы имеем
<7 = <7<ехр[(х-1)г/тс]. E.102)
Подставляя сюда q = qP/l0, находим время задержки ха. Таким
образом, полагая qt= 1, получаем
та = [тс/(х — 1)] In (qp/l0); E.103)
') По всей вероятности, имеется в виду начало импульса. — Прим. ред.
5.4. Нестационарный режим работы лазера
301
здесь qp дается выражением E.94). Заметим, что, поскольку qP
очень большое число (~ 10'7 в примере, рассматриваемом в сле-
следующем разделе), величина та не изменилась бы существенно,
если бы в выражении E.103) под знаком логарифма вместо
<7р/Ю мы выбрали qP/20.
Рассмотрим теперь импульсно-периодическии лазер с моду-
модуляцией добротности при непрерывной накачке (рис. 5.33). Пре-
Прежде всего заметим, что
после включения доброт-
добротности и в течение времени
формирования импульса
модуляции добротности
по-прежнему применимы
уравнения E.88). Следо-
Следовательно, пиковая выход-
выходная мощность, выходная
энергия и длительность
импульса даются соот-
соответственно выражениями
E.95), E.100) и E.101).
Однако Ni/Np уже не
определяется выражением
E.90), поскольку ее сле-
следует вычислять исходя из
других соображений. Дей-
Действительно потребуем те-
теперь, чтобы за время тР
между двумя следующи-
Рнс. 5.35. Лазер с модуляцией добротно-
добротности, работающий в импульсно-периодиче-
ском режиме с непрерывной накачкой. За-
Зависимость Nt/Np от величины х, на кото-
которую скорость накачки превышает свое по-
пороговое значение для нескольких значений
нормированной частоты повторения им-
импульсов /*.
ми друг за другом импуль-
импульсами накачка восстанав-
восстанавливала начальную инвер-
инверсию, причем накачка про-
происходит от значения инверсии N;. Интегрируя уравнение E.18а)
[положив WP(Nt — N) « WpNt и q = 0], получаем
Nt = WpNtx - (WpNtx - Nf)exp(-xp/x). E.104)
Из соотношений E.26), E.27) и E.89) имеем WPNtx = xNc =
= xNp. При этом выражение E.104) приводит к следующему
уравнению:
х (N,JNt) [1 - ехр (-1/Ш = 1 - (Nf/Nt) exp (-1//*), E.105)
где х—число, показывающее во сколько раз скорость непре-
непрерывной накачки превосходит пороговое значение, a f* = xf (где
/ = 1/тр)—нормированная частота повторения импульсов ла-
лазера. Уравнения E.105) и E.98) (последнее по-прежнему
302 5. Непрерывный и нестационарный режимы работы лазеров
справедливо) составляют систему двух уравнений, которые позво-
позволяют вычислить Ni/Np и N;/Nlt если известны х и /*. На рис. 5.35
приведены полученные таким образом зависимости величины
М/Л^р от величины х, которая показывает, во сколько раз прев-
превзойден порог для нескольких значений нормированной частоты
/*. Для данных значений х и f* с помощью рис. 5.35 находят
соответствующее значение Ni/Np. Определив Ni/Np, из рис. 5.34
можно найти Nf/Ni или, что эквивалентно, коэффициент исполь-
использования энергии т]?. Если же из-
известны Ni/Np и г\е, то из выраже-
выражений E.95), E.100) и E.101) не-
нетрудно найти соответственно Pip-
Заметим, что в пределах рассмат-
рассматриваемых нами значений х и /*
зависимость между х и Ni/N0
близка к линейной.
Вычисления для трехуровне-
трехуровневого лазера производятся анало-
аналогичным образом, при этом исхо-
исходят из уравнения E.24). Вслед-
Вследствие ограничений на объем кни-
книги мы не приводим здесь этих
расчетов.
125 -
1100 -
4 75
г 50 -
\2S-
-Плоское
зеркало
nbK5L
100%'
:/
Плоское .
зеркало /
""И /
=• TJ /
30% /
""* /
1
1 1
5.4.3.4. Числовой пример
о s ю is
Входная энергия лимп1т,Д#с
На рис. 5.36 приведена типич-
типичная зависимость выходной энер-
Рис. 5.36. Зависимость выходной гии лазера Е от подводимой к
энергии Nd: YAG-лазера с моду- лампе энергии накачки Ер ДЛЯ
ляцией добротности от энергии, Nd . YAG-лазера с модуляцией
вкладываемой в импульсную лам- " ' * Т
пу накачки. (Согласно Кёхнеру добротности. Лазер работает В
[25].) импульсном режиме, и модуляция
добротности в нем осуществляет-
осуществляется с помощью кристалла KD»P (дейтерированный дигидрофос-
фат калия, KD2PO4) в ячейке Поккельса [25]. На рисунке
указаны также размеры стержня и резонатора. Из рисунка вид-
видно, что пороговая энергия лазера ЕсР « 3,4 Дж, а энергия вы-
выходного излучения Е « 0,12 Дж при Ер « 10 Дж (т. е. при х =
= ?р/?ср = 2,9). Найденная из измерений длительность импуль-
импульса лазера при этой накачке составляет около 6 не.
Теперь можно сравнить эти экспериментальные данные с ре-
результатами расчетов по формулам, приведенным в предыдущем
разделе. .Мы будем пренебрегать поглощением в зеркалах и, та-
таким образом, положим уг ~—1п/?2=1,2 и Vi ~"- Согласно
5.4. Нестационарный режим работы лазера 303
оценкам, в системе поляризатор — ячейка Поккельса внутрен-
внутренние потери Ti « 15 %, а внутренними потерями в стержне мож-
можно пренебречь. Таким образом, получаем у,- = —1пA — Т{) =
= 0,62 hy= [(\i + Y2)/2] + у* = 0,762. Энергию лазера можно
вычислить с помощью выражения E.100), если заметить, что
Ni/Np = х = 2,9, и если известна площадь Ае, которую будем
считать равной Ае = А = 0,19 см2, где А — площадь поперечного
сечения лазерного стержня. Для х = Ni/Np = 2,9 из рис. 5.34
находим т]в = 0,94. При этом расчетное значение энергии на вы-
выходе равно ? ж 160 мДж, что с удовлетворительной точностью
согласуется с экспериментальным значением (?=120 мДж).
Теперь с помощью выражения E.103) можно найти время за-
задержки id. Эффективная длина резонатора равна, как это сле-
следует из E.11), U = L + (n — 1)/ « 22 см, где л ж 1,83 для
Nd : YAG, так что те = L'/coy « 1 не. Затем, учитывая, что V'а ~
« А1 « 1 см3 и Np = y/al = 4,35-1017 см-3, по формуле E.94)
вычисляем qp. В итоге получаем qp « 3,5-1017 фотонов и в соот-
соответствии с E.103) id « 20 не. Длительность лазерного импульса
находим из выражения E.101): Дтр = тсч\ех/{х—\пх—1) «
ж 3,3 не. То, что между расчетным и экспериментальным
(~6 не) значениями существует некоторое различие, связано
со следующими двумя обстоятельствами. 1) Многомодовый ре-
режим генерации. Время задержки xd различно для разных мод,
а это должно приводить к заметному увеличению длительности
импульса. 2) Не выполняются условия быстрого включения доб-
добротности резонатора. Предполагается, что расчетное время за-
задержки (~ 20 не), полученное в предположении быстрого вклю-
включения добротности, оказывается фактически сравнимым с ти-
типичным временем переключения стандартной ячейки Поккельса,
и, по-видимому, медленное включение добротности резонатора
приводит к несколько увеличенной длительности импульса.
5.4.4. Модуляция усиления
Модуляция усиления, как и модуляция добротности, являет-
является методом, позволяющим генерировать лазерные импульсы ко-
короткой длительности (обычно от нескольких десятков до не-
нескольких сотен наносекунд) и высокой пиковой мощности. Од-
Однако в отличие от модуляции добротности, при которой потери
резко переключаются до низкого уровня, при модуляции усиле-
усиления резко переключается усиление до высокого уровня. Моду-
Модуляция усиления осуществляется с помощью столь короткого им-
импульса накачки, что инверсия населенностей, а следовательно, и
усиление начинают заметно превышать пороговые значения
304 5. Непрерывный и нестационарный режимы работы лазеров
раньше, чем число фотонов в резонаторе возрастает до доста-
достаточно высокого уровня, чтобы уменьшить инверсию.
Происходящие при этом физические явления можно относи-
относительно просто описать, обращаясь к случаю пичковой генера-
генерации, представленной на рис. 5.24. Если предположить, что ско-
скорость накачки WP = Wp(t) имеет форму прямоугольного им-
импульса, начинающегося при / = 0 и заканчивающегося при / =
= 5 мкс, то излучение будет состоять лишь из первого пичка в
изображенной на рисунке зависимости q(t), который возникает
в момент времени около / = 5 мкс. Действительно, после гене-
генерации этого пичка инверсия будет уменьшена световым импуль-
импульсом до уровня, который существенно ниже порогового и который
не будет затем возрастать, поскольку накачка уже отсутствует.
Таким образом, мы видим, что модуляция усиления по своему
характеру аналогична пичковой генерации в лазере, рассмотрен-
рассмотренной в разд. 5.4.1. Заметим, что на практике временная зависи-
зависимость накачки имеет вид колоколообразного импульса, а непря-
непрямоугольного. В этом случае мы будем считать, что максимум
светового пичка соответствует спаду импульса накачки. Дей-
Действительно, если бы максимум совпадал, например, с максиму-
максимумом импульса накачки, то после генерации пичка оставалось бы
достаточно энергии накачки, чтобы инверсия могла снова выра-
вырасти до значения выше порогового и, таким образом, в лазерной
генерации появился бы второй пичок, хотя и меньшей интенсив-
интенсивности. Напротив, если бы число фотонов достигало максимума
значительно позже на хвосте импульса накачки, то это означало
бы, что накачка не была достаточно продолжительной, чтобы
инверсия населенностей выросла до приемлемо высокого уровня.
Из вышесказанного можно заключить, что для данного значе-
значения максимальной скорости накачки существует некоторая
оптимальная длительность импульса. Если это максимальное
значение увеличивается, то число фотонов нарастает быстрее и
тогда необходимо уменьшить длительность импульса накачки.
Можно также показать, что при увеличении максимальной ско-
скорости накачки возрастает максимальная инверсия и генерируется
более короткий и интенсивный импульс. Для четырехуровневых
лазеров типичные значения времени нарастания интенсивности
лазерного излучения до своего пикового значения в зависимо-
зависимости от максимального значения скорости накачки могут состав-
составлять 5 тс — 20 Тс, где тс время жизни фотона в резонаторе1'.
" Следует заметить, что изображенное на рис. 5.24 время нарастания
заметно превышает указанные значения, поскольку рис. 5.24 относится к
случаю трехуровневого лазера и к ситуации, когда накачка лишь незначи-
незначительно превышает пороговую.
5.4. Нестационарный режим работы лазера 305
Поэтому длительность импульса накачки должна быть прибли-
приблизительно равна этому времени нарастания. В рассмотренных
нами условиях максимальное значение инверсии может в 4—
10 раз превосходить пороговое значение, поэтому возможна ге-
генерация лазерного импульса высокой пиковой мощности и ма-
малой длительности.
Наиболее распространенным примером лазера с модуляцией
усиления является TEA (лазер с поперечным возбуждением при
атмосферном давлении, см. разд. 6.3.3.1) СО2-лазер, накачивае-
накачиваемый электрическими импульсами. Выбирая обычную длину ре-
резонатора L = 1 м, коэффициент пропускания выходного зер-
зеркала 20 % и предполагая, что внутренние потери связаны только
с пропусканием зеркала, получаем у ж 0,1 и те = L/cy ж 30 нс.
Если считать, что время установления ядерной генерации в де-
десять раз больше те, то длительность лазерного импульса должна
быть порядка 300 не, что соответствует экспериментальным дан-
данным. Наконец, заметим, что в принципе любой лазер может ра-
работать в режиме модуляции усиления, если импульс накачки до-
достаточно короткий и интенсивный, как, например, при накачке
другим лазером. В качестве примеров упомянем лазеры на кра-
красителе с накачкой короткими (~0,5 не) импульсами азотного
лазера, работающего при атмосферном давлении, или полупро-
полупроводниковые диодные лазеры, накачиваемые очень коротким
(~ 0,5 не) импульсом тока.
5.4.5. Синхронизация мод [26, 27]
Метод синхронизации мод позволяет получить генерацию ла-
лазерных импульсов сверхкороткой длительности (от нескольких
десятков фемтосекунд до нескольких десятков пикосекунд). Син-
Синхронизация мод соответствует условию генерации, при котором
моды резонатора генерируют с примерно одинаковыми ампли-
амплитудами и синхронизованными фазами.
В качестве первого примера рассмотрим генерацию In -f- I
продольных мод с одинаковыми амплитудами Ео (рис. 5.37, а).
Предположим, что фазы <j>t мод в выходном пучке синхронизо-
синхронизованы таким образом, что между ними выполняется соотношение
ф,-ф,_1 = ф, E.106)
где ф—постоянная величина. При этом полное электрическое
поле E(t) электромагнитной волны в данной точке выходного
пучка без учета постоянной части полной фазы можно записать
в виде
?(/)= Z ?oexp{/[((o0-/A(o)/ + ty]}, E.107)
306 5. Непрерывный и нестационарный режимы работы лазеров
где (о0 — частота центральной моды, а До» — межмодовое рас-
расстояние. Для простоты рассмотрим поле в той точке простран-
пространства, в которой фаза центральной моды равна нулю. В соот-
соответствии с выражением E.107) полное электрическое поле вол-
волны E(t) можно записать следующим образом:
Е (t) = А (/) exp (ietf); E.108)
здесь
п
A(t)= % ЕоехрИ(Ш + ф). E.108а)
/ = -п
Выражение E.108) показывает, что функция E(t) может быть
представлена в виде синусоидальной волны с несущей часто-
частотой, равной частоте централь-
| | нои моды (о0, причем амплиту-
_J I I I I I I I U— u(Oim Да волны A(t) модулирована
1 I I M I I I I во времени. Если выбрать те-
0 перь новую временную пере-
а менную /', такую, что До»/' =
.-г-гТ> = Ди/ -|- ф, то выражение
J^FTt1 I I I I I 7Т*ГГ^"г№ E.108а) примет вид
5 п
Рис. 5.37. Частотное распределение A(t')= 2j Eoexp (it Д(о/').
амплитуд мод (представленных вер- 1=-п
тикальными линиями) лазера с сип- E.109)
хронизованиыми модами; а — одно- тт
родное распределение; б - гауссово Нетрудно заметить, что сумма
распределение в полосе шириной в правой части этого выраже-
Дсогек, измеряемой на полувысоте. ния представляет собой геомет-
геометрическую прогрессию со зна-
знаменателем, равным ехр(/Д(о/')- При этом можно без особого
труда вычислить А (С), и мы имеем
А (?\ — F si
Чтобы понять физический смысл этого выражения, на
рис. 5.38 мы построили величину А2(?), пропорциональную ин-
интенсивности пучка, от времени /' для 2/г + 1 = 7 генерирующих
мод. Видно, что благодаря выполнению условия синхронизации
фаз E.106) генерирующие моды интерферируют друг с другом
и образуют цуг равно отстоящих световых импульсов. Макси-
Максимумы импульсов приходятся на те моменты времени, когда зна-
знаменатель в выражении E.110) обращается в нуль. Таким обра-
образом, в новой системе отсчета времени /' максимум появляется
при /' = 0. Числитель в выражении E.110) также обращается
в нуль при /' = 0, и мы видим, что Л2@) = B/г+ 1J?о. Следую-
5.4. Нестационарный режим работы лазера
307
щий импульс появится, когда в выражении E.110) числитель
дроби вновь обратится в нуль. Это имеет место при таком зна-
значении /', при котором (Д(о?'/2) =я. Поэтому два последователь-
последовательных импульса разделены временем
хр = 2я/Д(о.
E.111)
При /'> 0 первый нуль функции A2{t') на рис. 5.38 появится
тогда, когда числитель дроби в выражении E.110) вновь об-
обратится в нуль. Это произойдет в такой момент времени /',
Рис. 5.38. Временная зависимость квадрата амплитуды электрического поля
в случае генерации семи мод, синхронизованных по фазе и имеющих одина-
одинаковые амплитуды.
при котором выполняется условие ГB/г+1)Д(о/'/21 =я. По-
Поскольку ширина ДтР, измеренная на полувысоте функции A2(t')
(т. е. каждого лазерного импульса), приближенно равна /' мы
имеем
Дтр«2я/B/г+ 1)Д(о=1/Дгген; E.112)
здесь AvreH = B/г + 1)Д(оген/2я — полная ширина линии генера-
генерации (см. рис. 5.37,а).
Временную картину синхронизации мод на рис. 5.38 нетруд-
нетрудно понять, если различные моды представить в виде векторов
на комплексной плоскости. При этом 1-я моде соответствует ком-
комплексный вектор с амплитудой Ео, вращающийся с угловой ско-
скоростью too +/Дсо. Если мы теперь перейдем к системе координат,
вращающейся с угловой скоростью ио, то центральная мода бу-
будет представлять собой вектор, неподвижный относительно этих
осей, а 1-я мода — вектор, вращающийся с угловой скоростью
/До». В момент времени /' = 0 в соответствии с E.109) все век-
векторы будут иметь нулевые фазы и, следовательно, одинаковое
направление, которое будем считать расположенным в горизон-
горизонтальной плоскости на рис. 5.39. В этом случае полное поле рав-
равно B/г+ \)Е0. При /' > 0 векторы мод с частотой со > и0 будут
308 5. Непрерывный и нестационарный режимы работы лазеров
вращаться в одном направлении (например, против часовой
стрелки), в то время как векторы мод с частотой со < и0 — в
противоположном (по часовой стрелке), вектор же центральной
моды остается неподвижным. Следовательно, в некоторый мо-
момент времени /' > 0 в случае, скажем, пяти мод картина будет
выглядеть как на рис. 5.39, а. Если теперь ко времени V мода 1
повернулась на угол 2я (это имеет место, когда Д(о/' = 2я), то
мода Г повернется (по часовой стрелке) на угол 2я, а моды 2
и 2' повернутся на 4я. Следовательно, все эти векторы снова
совпадут с вектором центральной моды на частоте too, и полное
электрическое поле опять станет равным Bл+ 1)?0- Таким об-
образом, временной интервал тр между двумя последовательными
Рис. 5.39. Представление мод резонатора на комплексной плоскости (пять
мод). Рисунок б представляет временную точку, когда сумма пяти мод
равна нулю.
импульсами должен быть таким, чтобы Д&>тР=2я, что и утвер-
утверждает выражение E.111). Заметим, что на рис. 5.38 момент
времени гр, при котором функция A(t) впервые обращается в
нуль, соответствует случаю, когда все векторы повернуты на
один и тот же угол относительно друг друга (рис. 5,39,6). Что-
Чтобы выполнялось это условие, мода 1 должна повернуться лишь
на угол 2я/5, или в более общем случае 2/г -f- 1 мод на угол
2я/Bл + 1). Таким образом, время t'p и тем самым длитель-
длительность импульса ДтР теперь определяются выражением E.112).
Прежде чем продолжить рассмотрение явления синхрониза-
синхронизации мод, имеет смысл подытожить и прокомментировать полу-
полученные к настоящему моменту основные результаты. Мы уста-
установили, что условие синхронизации мод E.106) определяет
выходной пучок, который представляет собой цуг синхронизован-
синхронизованных по фазе импульсов, причем длительность каждого импульса
5/1. Нестационарный режим работы лазера 309
Дтр примерно равна обратной ширине линии генерации AvreH.
Этот результат нетрудно понять, если вспомнить, что временное
поведение каждого импульса есть просто фурье-образ его ча-
частотного спектра. Отсюда видно, что, поскольку ширина линии
генерации AvreH может быть порядка ширины линии усиления
Av0, то можно надеяться, что синхронизация мод в твердотель-
твердотельных или полупроводниковых лазерах позволит генерировать
очень короткие импульсы (до нескольких пикосекунд). В лазе-
лазерах на красителе ширина линии усиления в сотни раз превы-
превышает эту величину в твердотельных лазерах, что дает возмож-
возможность получать в этих лазерах и уже действительно были полу-
получены значительно более короткие импульсы (до приблизительно
30 фс). В газовых же лазерах ширина линии усиления намного
уже (до нескольких гигагерц) и поэтому генерируются относи-
относительно длинные импульсы (до ~ 100 пс). А теперь вспомним, что
два последовательных импульса разделены временным проме-
промежутком тр, определяемым выражением E.111). Поскольку До» =
= 2jtAv = jtc/L, где L — длина резонатора, мы имеем тр = 2L/c,
что в точности равно времени полного прохода резонатора. Сле-
Следовательно, внутри лазерного резонатора генерация будет иметь
вид сверхкороткого импульса длительностью Дтр, определяемой
выражением E.112), который распространяется вперед и назад
по резонатору. В самом деле, в этом случае пучок на выходе из
какого-либо зеркала представляет собой цуг импульсов, причем
временной промежуток между двумя последовательными им-
импульсами равен времени полного прохода резонатора. Харак-
Характерные числовые значения подтверждают такое представление,
поскольку пространственная протяженность Дг импульса дли-
длительностью, скажем, Дтр = 1 пс равна Дг = с0Дт = 0,3 мм, т. е.
много меньше типичной длины резонатора лазера.
Прежде чем продолжить рассмотрение, необходимо указать
на то, что происходит в случае, когда фазы являются случай-
случайными. На рис. 5.40 показано временное поведение квадрата ам-
амплитуды поля \A(t) |2 для случая семи мод с межмодовым рас-
расстоянием Дсо, имеющих одинаковые амплитуды Ео и случайные
значения фаз. Мы видим, что выходной пучок, в отличие от рас-
рассмотренного выше случая с синхронизацией мод, представляет
собой теперь нерегулярную последовательность световых им-
импульсов. Однако, как следует из общих свойств рядов Фурье,
длительность каждого светового импульса по-прежнему равна
ДтР, или примерно l/AvreH (AvreH — полная ширина линии гене-
генерации), среднее время между импульсами в точности равно Дт,,,
а частота повторения импульсов тР = 2л;/Дй). Заметим, что, по-
поскольку время отклика обычного электронного приемника, как
правило, значительно превышает ДтР, на выходе многомодового
310 5. Непрерывный и нестационарный режимы работы лазеров
лазера без синхронизации мод не фиксируется столь сложное
временное поведение, а регистрируется усредненная картина.
Регистрируемая при этом величина мощности представляет со-
собой просто сумму мощностей каждой моды, и, следовательно,
она пропорциональна Bя+1)-?о. Поскольку в случае синхро-
синхронизации мод пиковая мощность пропорциональна Bя + 1 J ?о,
мы видим, что синхронизация мод полезна для создания импуль-
импульсов не только с очень короткой длительностью, но также и с вы-
ZO
Рис. 5.40. Временная зависимость квадрата амплитуды электрического поля
для случая семи генерируемых мод с равными амплитудами и случайно
выбранными фазами (Ф, = 2,4789, ф2 = 2,3316, ф3 = 5,5959, Фk = 4,3687,
05 = 0,6872, 06 = 0,7608, 07 = 1,5217, радиан).
сокой пиковой мощностью. Действительно, как это вытекает из
приведенного выше рассмотрения, отношение пиковой импульс-
импульсной мощности в случае синхронизации мод к средней мощности
без синхронизации мод равно числу 1п-\-\ генерируемых мод,
которое для твердотельных и жидкостных лазеров может быть
довольно большим A03—104).
До сих пор мы ограничивались рассмотрением нереального
случая спектра мод, имеющих одинаковые амплитуды
(рис. 5.37, а). В общем случае модовый спектр имеет, как пра-
правило, колоколообразную форму. Для объяснения того, что про-
происходит в этом случае, предположим, что модовый спектр имеет
гауссово распределение (рис. 5.37,6). Следовательно, ампли-
амплитуду Ei для 1-й моды можно записать в виде
E.113)
где Дшген — спектральная ширина линии, измеренная на поло-
половине высоты. Если мы снова предположим, что фазы синхрони-
синхронизированы в соответствии с выражением E.106) и фаза цен-
центральной моды равна нулю, то E(t) можно снова записать в
виде E.108), причем амплитуда A(t) в системе отсчета вре-
5.4. Нестационарный режим работы лазера 311
мени f дается выражением
оо
A(f)= Z Е,ехр1AЬюГ). E.114)
1
Если сумму аппроксимировать интегралом, т. е. записать
А(/) «* ^ Etexpi(/A(o/)d/, то оказывается, что амплитуда поля
A(t) пропорциональна фурье-образу величины спектральной
амплитуды Ей При этом получаем следующее выражение:
АЩ) ~ ехр [- B//ДтрJ1п 2], E.115)
где ширина импульса Дтр, определяемая на половине высоты,
дается выражением
ATp = 21n2/nAvreH = O>44l/Avrcu. E.116)
Рассмотренные два примера синхронизации мод позволяют
сделать вывод о том, что при выполнении условия синхрониза-
синхронизации мод E.106) амплитуда поля оказывается пропорциональ-
пропорциональной фурье-образу спектральной амплитуды. Длительность им-
импульса ДтР связана с шириной спектральной интенсивности
Avre!, соотношением Axp = fe/Avre,,, где k — числовой множитель
(порядка единицы), который зависит от конкретного вида рас-
распределения спектральной интенсивности. Такой импульс назы-
называют импульсом, длительность которого определяется обратной
шириной спектра '>.
При условиях синхронизации, не совпадающих с E.106),
длительность выходного импульса может существенно отличать-
отличаться от обратной ширины спектра. Если, например, представить
<l>i в виде
Ф1 = 1ф1 + Рф2 E-117)
[заметим, что условие E.106) можно записать как <?, = Щ и
предположить, что амплитудное распределение является гаус-
гауссовым [определяемым выражением E.113)], то фурье-образ
спектра можно снова получить аналитически,'а амплитуду E(t)
в этом случае можно записать следующим образом:
?(/)~ехр[-а/2]ехр[;((о,/+р/2)]- E.118)
" В оригинале такой импульс назван transform limited pulse. В совет-
советской литературе нет эквивалентного этому установившегося термина. Он от-
относится к импульсам, генерируемым в идеальном режиме, когда все моды
в полосе генерации синхронизованы, а фазовая или частотная модуляция
отсутствует. В этом случае огибающая импульса однозначно связана пре-
преобразованием Фурье с полным спектром генерации и предельная (минималь-
(минимальная) длительность импульса ограничивается только обратной шириной спек-
спектра.— Прим. перев.
312 5. Непрерывный и нестационарный режимы работы лазеров
Отсюда видно, что интенсивность пучка, пропорциональная
|?(/)|2, по-прежнему описывается гауссовой функцией с шири-
шириной Дтр, равной
Дтр = B1п2/а)'/2. E.118а)
Здесь используется параметр а, встречающийся в выражении
E.118). Однако заметим, что из-за наличия в E.117) квадра-
квадратичного по модовому индексу / фазового члена 1Ц>2 функция
E(t) имеет теперь квадратичный по времени фазовый член р/2.
Отсюда следует, что у несущей частоты волны и0 + 2р/ появи-
появилось линейное по времени смещение. Значение величины р и тем
самым величина этого смещения зависит от <f>2 в E.117), однако
точное выражение для 2р/ мы здесь не будем приводить, по-
поскольку в дальнейшем оно не понадобится. Однако следует под-
подчеркнуть, что импульс с линейно меняющейся во времени часто-
частотой, представленный в форме E.118), может на самом деле быть
получен при выполнении определенных условий синхронизации
мод, определяемых выражением E.117). Теперь нетрудно пока-
показать, что длительность импульса вида E.118) не определяется
обратной шириной спектра. Чтобы убедиться в этом, вычислим
спектральную ширину импульса, применяя преобразование
Фурье к выражению E.118). Оказывается, что в этом случае
ширина линии генерации равна
*2JТ/2
• EЛ19)
При выводе этого выражения использовано также соотношение
E.118а). Из E.119) видно, что для РДт2, >• 1, т. е. для доста-
достаточно больших частотных смещений произведение AxpAvreH зна-
значительно превосходит единицу. Физический смысл этого можно
понять, если заметить, что спектральное уширение обусловлено
теперь как амплитудной модуляцией поля E(t) [которой отве-
отвечает первый член в правой части выражения E.119)], так и ча-
частотным сдвигом 2р/ [которому отвечает второй член в правой
части выражения E.119)].
5.4.5.1. Методы синхронизации мод
Методы синхронизации мод можно разделить на две катего-
категории: 1) активную синхронизацию мод, при которой потери или
усиление лазера модулируются внешним управляющим сигна-
сигналом, и 2) пассивную синхронизацию мод, создаваемую соответ-
соответствующим насыщающимся поглотителем '>.
" Просветляющимся фильтром. -- Прим. ред.
5.4. Нестационарный режим работы лазера 313
В качестве первого примера активной синхронизации мод
рассмотрим случай, когда в резонатор помещен управляемый
внешним сигналом модулятор, который создает синусоидальные
во времени потери на частоте Дсо'. Ьсли Дсо' ф Дсо, то эти потери
приведут просто к амплитудной модуляции электрического поля
?(/) каждой моды резонатора:
?,(/) = ?<, О + 6 cos Дсо'/) cos (со,/+ <?,), E.120)
где б — глубина модуляции, а со/ и <?,— частота и фаза моды.
Заметим, что в E.120) входит член
Е0Ь cos Дсо'/ cos (со,/ + Фд =
= (Е0Ь/2) {cos [(со, + Дсо') / + ф,} + cos [(со, - Дсо') t + f,]},
и в результате поле ?,(/) на самом деле содержит две компо-
компоненты, колеблющиеся на частотах со, ± Дсо' (боковые полосы
модуляции). Если Дсо'= Дсо, то эти боковые полосы совпадут с
частотами соседних мод резонатора, которые равны со/ ± Дсо. Та-
Таким образом, члены, содержащие выражения для этих боковых
полос, войдут в два уравнения для нолей соседних мод резона-
резонатора на частотах со/ ± Дсо. Поэтому уравнения мод резонатора
образуют систему в том смысле, что уравнение для- поля одной
моды резонатора содержит два члена, возникающих при моду-
модуляции двух соседних мод. Можно показать, что при этом меха-
механизме синхронизации, если модулятор расположен очень близко
к одному из зеркал, фазы мод будут синхронизованы в соответ-
соответствии с выражением E.106). Этот способ синхронизации мод ча-
часто называют амплитудно-модуляционной (AM) синхронизацией
мод.
Принцип действия АМ-синхронизации мод, возможно, легче
понять, если рассматривать ее во временном, а не в частотном
представлении. На рис. 5.41, а показана временная зависимость
потерь у резонатора, которые модулируются на частоте Дсо'. Бу-
Будем считать, что модулятор расположен вблизи одного из зер-
зеркал резонатора. Если Дсо'= Дсо, то период модуляции Т равен
времени полного прохода резонатора 2L/c. В этом случае свето-
световые импульсы в резонаторе будут изменяться со временем так,
как показано на рис. 5.41, а. Действительно, импульс, который
проходит через модулятор в момент времени /т при минималь-
минимальных потерях, будет снова возвращаться в модулятор через ин-
интервал времени 2L/c, когда потери вновь станут минимальными.
Если же предположить, что импульс изначально проходит через
модулятор в момент времени, скажем, чуть раньше tm (показан
сплошной кривой на рис. 5.41,6), то благодаря переменным во
времени потерям модулятора ут передний фронт импульса
314 5. Непрерывный и нестационарный режимы работы лазеров
будет испытывать меньшие потери, чем задний фронт (см. им-
импульс, выделенный штриховой линией на рис. 5.41,6). Следова-
Следовательно, после прохождения импульса через модулятор момент
времени, в который наблюдается пик импульса, сдвигается та-
таким образом, что при следующем прохождении пик окажет-
/\i/\i/X
yd)
Рис. 5.41. Представление процесса АМ-сии-
хронизации мод во времени, а — условие
стационарной генерации; б — световой им-
имея ближе к tm- Это пока-
показывает, что случай на
рис. 5.41, а соответствует
устойчивой синхрониза-
синхронизации мод.
После этого предвари-
предварительного рассмотрения
АМ-синхронизации мод
можно исследовать физи-
физические явления, которые
определяют длительность
импульсов в режиме син-
синхронизации мод. В зави-
зависимости от того, однород-
однородно или неоднородно уши-
уширенной является лазерная
линия, эти явления оказы-
оказываются совершенно раз-
различными. В случае неод-
неоднородно уширенной линии
и при значительном пре-
превышении над порогом по-
полоса генерации AvreH стре-
стремится занять всю шири-
ширину лазерной линии Avo-
Предполагая, что ампли-
амплитуды мод имеют гауссово
распределение, из выра-
пульс, приходящий раньше момента време- жения E.116) получаем
Дт «0,44/Av;. E.121)
ни tm, соответствующего минимальным по-
потерям; в — укорочение импульса, когда он
приходит в момент времени tm-
В случае однородно уширенной линии спектр генерации, как по-
показано в разд. 5.3.5.1, стремится сосредоточиться в узкой обла-
области около центральной частоты v0. При этом ширина спектра ге-
генерации и, следовательно, длительность импульса лазера опре-
определяются другим физическим механизмом. Обращаясь к
рис. 5.41, предположим, что лазерный импульс конечной дли-
длительности проходит через модулятор в момент времени tm, со-
соответствующий минимуму потерь. Выходящий из модулятора
5.4. Нестационарный режим работы лазера 315
импульс (штриховая линия) имеет меньшую длительность, чем
входящий (сплошная линия), поскольку передний и задний
фронты импульса несколько ослабляются, в то время как пик
импульса проходит без ослабления. Однако этому сужению
противодействует уширение импульса, которое имеет место, ког-
когда импульс распространяется через активную среду. Как уже
отмечалось выше, однородно уширенная линия стремится умень-
уменьшить ширину линии генерации импульса и, следовательно, уве-
увеличить его длительность. Стационарная форма импульса, кото-
которая устанавливается этими двумя конкурирующими эффектами
сужения импульса (в модуляторе) и уширения (в усилителе),
может быть довольно просто и с хорошей точностью описана
аналитически (см. Приложение В). Действительно, при обыч-
обычных условиях профиль интенсивности может быть описан гаус-
гауссовой функцией, ширина которой на половине высоты макси-
максимума дается выражением
Дтр * 0,45/(vm AvoI/2, E.122)
где vm — частота модуляции (vm = c/2L). Если сравнить выра-
выражения для длительностей импульсов в случае неоднородно уши-
уширенной E.121) и однородно уширенной E.122) линий усиления
при одном и том же значении ширины лазерной линии (т. е. при
Avg = Av0), то получим
(Лтр)однор/(Дтр)неоднор - (Avo/vm). E.123)
Поскольку обычно справедливо неравенство Avo/vm =
= (Av0L/2c) >• 1, мы видим, что в случае однородного ушире-
уширения линии импульс имеет значительно большую длительность,
чем в случае неоднородного уширения. В качестве заключитель-
заключительного замечания по этому вопросу укажем на то, что механизм
сужения импульса, который изображен на рис. 5.41, в, не иг-
играет сколько-нибудь существенной роли в случае неоднородно
уширенной линии, хотя, очевидно, действует и в этом случае.
Действительно, длительность импульса в данном случае опреде-
определяется обратной шириной линии, а основная роль модулятора
состоит в осуществлении такого синхронизма между модами, на
которых происходит генерация, чтобы лазерные импульсы про-
проходили через модулятор в те моменты времени, в которые потери
минимальны (рис. 5.41,а).
В качестве второго примера активной синхронизации мод
предположим, что внутрь резонатора помещен управляемый
внешним сигналом модулятор, у которого показатель преломле-
преломления п изменяется с частотой До»'. Если модулятор расположен
316 5. Непрерывный и нестационарный режимы работы лазеров
около одного из зеркал резонатора и если До/ = До», то фазы
мод опять становятся синхронизованными, хотя соотношение ме-
между ними отличается от E.106). Тем не менее мы снова полу-
получаем короткие импульсы длительностью порядка обратной ши-
ширины спектра генерации. Поскольку оптическая длина модуля-
модулятора '> равна L'onT = n(t) Z/.где L' — его истинная длина, этот тип
модулятора производит модуляцию эффективной длины резона-
резонатора. Вследствие этого модулируются и его резонансные частоты,
отчего данный метод синхронизации часто называют частотно-
модулированной (ЧМ) синхрониза-
синхронизацией мод. Во временном представ-
представлении ЧМ-синхронизацию мод мож-
можно описать так, как показано на
рис. 5.42. Заметим, что в данном
случае имеются два устойчивых со-
состояния синхронизации мод, при ко-
которых световой импульс проходит
Рис. ЪА2. ЧМ-синхроиизация через модулятор либо при каждом
Газа^лТ^п'релоГГ^мо- минимуме функции „(/) (импульсы,
дулятора п и интенсивности / изображенные сплошными линия-
выходного излучения лазера. ми), либо при каждом максимуме
(импульсы, изображенные штрихо-
штриховыми линиями). В действительности же во многих случаях между
этими двумя состояниями происходят переключения. Более глу-
глубокое описание процессов, которые имеют место в этом случае,
представляет собой более трудную задачу, чем при АМ-синхро-
низации. Поскольку ЧМ-синхронизация значительно реже ис-
используется на практике, мы не будем ее в дальнейшем рассма-
рассматривать, а ограничимся лишь указанием на то, что действие
модулятора эквивалентно тому, как если бы в резонаторе без
модулятора заставили колебаться одно из зеркал с частотой До».
В соответствии с ситуацией, изображенной на рис. 5.42, импуль-
импульсы в режиме синхронизации мод стремятся попасть на зеркало
в тот момент времени, когда зеркало находится в одном из своих
крайних положений (т. е. когда оно находится в покое).
В качестве третьего примера активной синхронизации мод
рассмотрим случай, когда модулируется усиление лазера, а не
его потери. Если данный лазер накачивается излучением дру-
другого лазера, модуляция усиления осуществляется, как правило,
если лазер накачки работает в режиме синхронизации мод, при-
причем длина L резонатора накачиваемого лазера регулируется та-
" Оптическая длина LonT определяется здесь следующим образом: на-
набег фазы волиы при прохождении через модулятор записывается в виде
5.4. Нестационарный режим работы лазера 317
ким образом, чтобы период повторения импульсов 2L/c был ра-
равен периоду следования импульсов лазера накачки. Тогда им-
импульсы накачиваемого лазера будут синхронизованы с импуль-
импульсами лазера накачки, и поэтому данный метод называют син-
синхронизацией мод при синхронной накачке. Этот тип накачки
можно также осуществить в полупроводниковом лазере, пропу-
пропуская через диодный переход ток в виде импульсов с частотой
повторения c/2L, где L — длина резонатора полупроводникового
лазера. В обоих случаях зависимость усиления лазера от вре-
времени при такой импульсной накачке имеет вид, показанный
Wp{t);g(i)
Илтпу/тъсы накачки Wp(i)
.Усиление g(t)
Рис. 5.43. Временная зависимость скорости накачки Wp(t) и усиления ла-
лазера g(t) в лазере с синхронизацией мод и синхронной накачкой.
штриховой линией на рис. 5.43. Из рассмотрения АМ-синхрони-
зации мод нетрудно понять, что импульсы в режиме синхрониза-
синхронизации мод (не показаны на рис. 5.43) будут стремиться проходить
через активную среду в те моменты времени, когда имеет место
максимальное усиление. Заметим, что для того, чтобы эта схема
заработала, время релаксации инверсии синхронно накачивае-
накачиваемого лазера должно быть достаточно небольшим (а именно по-
порядка времени прохода резонатора), чтобы соответствующее
усиление было заметно промодулированным. Поэтому данный
метод часто применяется в лазерах на красителях, на центрах
окраски и в полупроводниковых лазерах, которые имеют корот-
короткие времена жизни верхнего состояния (несколько наносекунд).
В качестве последнего примера рассмотрим пассивную син-
синхронизацию мод при помощи насыщающегося поглотителя. Вы-
Выберем поглотитель, у которого частота перехода совпадает с ча-
частотой лазера, интенсивность насыщения невелика и время ре-
релаксации много меньше времени прохода резонатора (быстрый
насыщающийся поглотитель). Чтобы понять, каким образом
такой поглотитель может привести к синхронизации мод, рас-
рассмотрим его поведение во временном представлении. Предпо-
Предположим, что поглотитель представляет собой тонкую ячейку,
318 5. Непрерывный и нестационарный режимы работы лазеров
Насыщающимся
поглотитель
Насыщающийся
поглотитель
UUL
1
Зеркало резонатора
а
3чипа по резонатора
В
Рис. 5.44. Временное представление процес-
процесса пассивной синхронизации мод.
непосредственно прилегающую к одному из зеркал резонатора
(рис. 5.44, а). Если моды вначале не синхронизованы, то интен-
интенсивности каждой из двух распространяющихся в резонаторе
волн представляют собой случайные последовательности свето-
световых всплесков (на рис. 5.44, а указаны цифрами 1, 2 и 3; см.
также рис. 5.40). Вследствие насыщения поглотителя наиболее
интенсивный импульс, помеченный на рисунке цифрой 1, испы-
испытает наименьшее ослабле-
ослабление '> в поглотителе. Этот
импульс будет нарастать
быстрее других, а после
многих проходов резона-
резонатора в конечном счете
установится картина, изо-
изображенная на рис. 5.44, б,
когда останется один
мощный импульс. В дей-
действительности насыщаю-
насыщающийся поглотитель дей-
действует так, как мы описали выше, только если его время релак-
релаксации меньше промежутка времени между двумя последователь-
последовательными шумовыми импульсами на рис. 5.44, а или по крайней мере
сравнимо с ним (обычно около нескольких десятков пикосекунд).
В случае медленного поглотителя (т. е. когда т имеет порядок
нескольких наносекунд) насыщение поглотителя, вызванное, на-
например, импульсом 1 на рис. 5.44, а, не успеет заметно релакси-
ровать к моменту прихода импульса 3 и выделения наиболее ин-
интенсивного импульса не будет происходить.
Хотя во многих лазерах с пассивной синхронизацией мод
применяются быстрые насыщающиеся поглотители, в некоторых
условиях синхронизацию мод могут обеспечить также медлен-
медленные насыщающиеся поглотители. Это возможно, когда энергия
насыщения усиливающей среды сравнима с энергией насыщения
поглотителя, хотя и несколько превышает ее. К синхронизации
мод в этом случае приводят весьма тонкие физические явления
[28], которые мы опишем с помощью рис. 5.45. Для простоты
предположим, что как насыщающийся поглотитель, так и актив-
активная среда помещены вместе в одну и ту же кювету на одном из
концов лазерного резонатора. Будем считать, что до появления
импульса потери преобладают над усилением, поэтому участок
переднего фронта импульса испытывает ослабление. С некото-
некоторого момента времени в течение переднего фронта импульса,
когда накопленная плотность энергии импульса станет сравни-
11 Относительное ослабление. — Прим. перев.
5.4. Нестационарный режим работы лазера
319
мой с плотностью энергии насыщения поглотителя, поглотитель
начнет насыщаться. Потери в поглотителе могут таким образом
оказаться меньше, чем усиление, и, если энергия импульса до-
достаточно велика, это произойдет в некий момент времени на пе-
переднем фронте импульса (точки /, и (^ на рис. 5.45). Начиная
с этого времени импульс будет не ослабляться, а усиливаться.
Однако, если плотность энергии насыщения усиливающей среды
лишь ненамного выше, чем у насыщающегося поглотителя, то
Насыщающиеся потери у (t)
\
Насыщающееся усилениеg(t)
In -
\Импульсы синхронизации модl{t)
I,
t',
Рис. 5.45. Непрерывная синхронизация мод с помощью медленно насыщаю-
насыщающегося поглотителя. Заметим, что на рисунке пе соблюдается масштаб, по-
поскольку длительность синхронизованного импульса обычно меньше 1 пс,
тогда как интервал времени между двумя последовательными импульсами тр,
т.е. время обхода резонатора, равно обычно нескольким наносекундам.
насыщение усиления тоже произойдет несколько позже на вре-
временной шкале импульса. Следовательно, в некоторый момент
времени на заднем фронте импульса (точки /2 и t'% на рис. 5.45)
усиление может стать меньше потерь. При указанных выше ус-
условиях импульс будет испытывать усиление в своей центральной
части (т. е. при \\ < / <С /г) и ослабление на краях (т. е. при
t <ty и t > t2). Таким образом, при прохождении через кювету
импульс будет сужаться и усиливаться. Этот процесс сужения и
усиления прекратится тогда, когда длительность импульса ста-
станет сравнимой с обратной шириной полосы усиления Av0. Сле-
Следовательно, в этом случае длительность импульса Дтр должна
быть примерно равна 1/Avo. Заметим, наконец, что после прохо-
прохождения импульса в режиме синхронизации мод и до появления
следующего насыщающиеся потери восстанавливаются до сво-
своего исходного уровня посредством спонтанной (излучательной и
безызлучательной) релаксации. В течение того же самого ин-
интервала времени в процессе накачки восстанавливается началь-
начальное значение насыщающегося усиления. Чтобы это происходило,
320
5. Непрерывный и нестационарный режимы работы лазеров
необходимо, чтобы время восстановления усиливающей среды
(т. е. время жизни ее верхнего уровня) было сравнимо с вре-
временем полного прохода резонатора. Поэтому данный тип син-
синхронизации мод можно реализовать на короткоживущих (по-
(порядка нескольких наносекунд) усиливающих средах, таких, как
красители или полупроводники, но его нельзя осуществить на
долгоживущих (порядка 1 мс) усиливающих средах, вроде
Nd:YAG или СО2. Однако если выполнить весьма тонкие усло-
условия, необходимые для данного метода синхронизации мод, то
можно получать очень короткие световые импульсы длитель-
длительностью вплоть до обратной ширины линии лазера. Действитель-
Действительно, таким способом в лазере на красителе с непрерывной на-
накачкой и пассивной синхронизацией мод были получены самые
короткие импульсы (~25 фс в лазере на родамине 6G с синхро-
синхронизацией мод на насыщающемся поглотителе DODCI).
5.4.5.2. Лазерные системы с сихронизацией мод
Лазеры с синхронизацией мод могут работать как с импульс-
импульсной, так и с непрерывной накачкой (рис. 5.46). При импульсной
накачке активная синхронизация мод достигается, как правило,
с помощью электрооптического
модулятора на ячейке Поккельса
или акустооптического модулято-
модулятора. Возможная конфигурация мо-
модулятора на ячейке Поккельса
соответствует рис. 5.28, а, когда
прикладываемое к ячейке напря-
напряжение модулируется по синусои-
синусоидальному закону от нуля до доли
четвертьволнового напряжения.
Пассивная синхронизация мод в
импульсных лазерах обычно осу-
осуществляется применением быст-
быстрых насыщающихся поглотите-
поглотителей. В импульсном режиме об-
общая длительность Ах'р огибающей
цуга импульсов в режиме синхронизации мод в некоторых слу-
случаях определяется длительностью импульса накачки. Это спра-
справедливо, например, для усиливающих сред с быстрым временем
восстановления (например, лазеров на красителях), в которых
ДТр может составлять обычно несколько микросекунд. В случае
усиливающих сред с большим временем восстановления (напри-
(например, твердотельных лазерах), когда для синхронизации мод
применяется насыщающийся поглотитель, наличие такого погло-
Рис. 5.46. Синхронизация мод
лазера в импульсном (а) и непре-
непрерывном (б) режимах работы.
5.4. Нестационарный режим работы лазера 321
тителя приведет не только к синхронизации мод, но и к модуля-
модуляции добротности. При этом длительность Ах'р огибающей цуга
импульсов будет определяться длительностью импульса в ре-
режиме модуляции добротности Дтр, вычисленной в разд. 5.4.3.3
(несколько десятков наносекунд). Заметим, что если наряду
с медленно усиливающей средой ') используется медленно насы-
насыщающийся поглотитель (т около нескольких наносекунд), то,
как было показано в разд. 5.4.3.1, вместо синхронизации мод
будет наблюдаться пассивная модуляция добротности селекцией
(одной продольной) моды.
В случае синхронизации мод при непрерывной накачке вы-
выходной пучок состоит из непрерывного цуга импульсов, в кото-
котором интервал между двумя соседними импульсами равен вре-
времени полного прохода резонатора 2L/c (см. рис. 5.46,6). Актив-
Активная синхронизация осуществляется, как правило, либо модуля-
модулятором на ячейке Поккельса, либо акустическим модулятором,
что более общепринято, поскольку потери, вносимые этим моду-
модулятором в резонатор, меньше. Акустооптический модулятор, ис-
используемый для синхронизации мод, отличается от того, кото-
который применяется при модуляции добротности (см. рис. 5.30), по-
поскольку грань, к которой прикреплен преобразователь, и проти-
противоположная грань оптического блока вырезаны параллельно
друг другу. Звуковая волна, возбуждаемая преобразователем,
теперь отражается назад противоположной гранью блока. Если
длина оптического блока равна целому числу полуволн звуко-
звуковой волны, то возникают звуковые стоячие волны. В этих усло-
условиях, если частота звуковой волны равна (о, дифракционные по-
потери будут промодулированы с частотой 2со. Действительно, ди-
дифракционные потери достигают максимума в те моменты вре-
времени, когда имеет место максимум амплитуды стоячей волны.
" Следует заметить, что мы используем термины «быстрый» и «медлен-
«медленный» по отношению к времени восстановления в различных смыслах для по-
поглотителя и для усиливающей среды. Время восстановления насыщающегося
поглотителя считается медленным, если его величина (обычно несколько нано-
наносекунд) сравнима с типичным временем полного прохода резонатора. Такое
значение времени жизни характерно для поглотителен, у которых релакса-
релаксация определяется спонтанным излучением па электродиполыго разрешенном
переходе. Время восстановления считается коротким (несколько пикосекунд),
если оио сравнимо с характерной длительностью импульса в режиме синхро-
синхронизации мод. Столь короткие времена восстановления обычно имеют место
при быстрой безызлучательной релаксации в поглотителе. В противополож-
противоположность этому время жизни усиливающей среды считается коротким (а сре-
среда— быстрой), если оно сравнимо с временем полного прохода резоггатора.
Это имеет место в случае электродипольно разрешенных лазерных пере-
переходов. Время жизни усиливающей среды считается бльшим (а среда — мед-
медленной), если оно соответствует электродиполыго запрещенному переходу
(т порядка миллисекунд).
И О. Звелто
322 5. Непрерывный и нестационарный режимы работы лазеров
Рассмотрим теперь стоячую звуковую волну вида S =
= So (sin со/) (sin kz). Максимум амплитуды стоячей волны ра-
равен So и достигается дважды за период колебаний (а именно
при 1 = 0 и при / = л/со). Таким образом, потери модулируются
с частотой 2со и синхронизация мод происходит при выполнении
следующих двух условий: 1) если модулятор расположен как
можно ближе к одному из зеркал резонатора и 2) если частота
модуляции 2со равна 2n(c/2L) и преобразователь возбуждается
Таблица 5.1. Лазерные системы с синхронизацией мод
Активная среда
Газ:
He-Ne
He-Ne
He-Ne
Ar+
co2
(низкого да-
давления)
CO2 (TEA)
Твердое тело:
Nd:YAG
Nd:YAG
Стекло с
неодимом
Рубин
GaAs
Центры ок-
окраски
Жидкость:
Родамин 6G
Элемент, осуществляющий
синхронизацию мод ')
Кварцевый АОМ
НП (кювета с неоном)
НП (крезилвиолет в ме-
Кварцевый АОМ
Германиевый АОМ
НП (SFe)
Германиевый АОМ
НП (SFe)
Кварцевый АОМ
ЭОМ (LiNBO3)
НП (красители 9860 или
9840 фирмы «Кодак»)
НП (DDI)
НП
Синхронная накачка
НП (DODCI)
Режим работы
Непрерывный
»
Импульсный
»
Непрерывный
Импульсный
»
Непрерывный
»
Непрерывный с иа-
1 ис
350 пс
220 пс
150 пс
10-20 ис
10—20 ис
1 ис
1 ис
100 пс
40 пс
5 пс
10 пс
5 пс
5 пс
25 фс
Синхронная накачка
качкой Аг+-лазе-
ром
С накачкой им-
импульсной лампой
Непрерывный, сиа-
качкой Аг+-ла-
зером
1 пс
0,5 пс
') Здесь приняты следующие аббревиатуры: АОМ — акустооптический модулятор.
НП насыщающийся поглотитель, ЭОМ — электрооптический модулятор.
5.4. Нестационарный режим работы лазера 323
с частотой v, равной c/4L (например, v = 50 МГц при L =
= 1,5 м) ».
В заключение данного раздела, а также раздела, целиком
посвященного синхронизации мод, в табл. 5.1 мы суммировали
режимы работы некоторых наиболее распространенных лазеров
с синхронизацией мод. В следующей главе мы дадим подробное
описание каждого из этих лазеров. Здесь же мы лишь заметим,
что при использовании акустооптического модулятора для син-
синхронизации мод длительности Дтр импульсов Аг+- и Nd : YAG-
лазера с непрерывной накачкой окажутся сравнимыми, хотя ши-
ширина линии у Nd: YAG-лазера (Avo ~ 150 ГГц) существенно
больше, чем у Аг+-лазера (Avq = 3,5 ГГц). Это связано с тем,
что лазерная линия в Nd:YAG уширена однородно, в то время
как в аргоновом лазере она уширена неоднородно. Заметим
также, что самые короткие импульсы B5 фс) получены от не-
непрерывного лазера на красителе родамин 6G с синхронизацией
мод посредством насыщающегося поглотителя DODCI.
5.4.6. Разгрузка резонатора
Метод разгрузки резонатора позволяет вывести энергию, на-
накопленную в лазере, за время, равное времени полного прохода
резонатора. Идею этого метода можно понять при помощи
рис. 5.47. На этом рисунке изображен резонатор, составленный
из зеркал с коэффициентом отражения 100 %, а выходной пучок
выводится с помощью устройства специального типа. Коэффи-
Коэффициент отражения R = R(t) этого устройства до определенного
момента времени равен нулю, а затем резко возрастает до
100 %. Таким образом, это устройство за два прохода выведет
из резонатора (разгрузит резонатор) всю циркулирующую в ла-
лазере энергию. Впрочем, если коэффициент отражения R уст-
устройства переключается на величину, меньшую чем 100%, то
" Следует заметить, что требование расположения модулятора у зер-
зеркала резонатора не обязательно и используется автором для упрощения
изложения. В действительности (предполагая модулятор тонким) устойчивой
синхронизации мод можно добиться, располагая ячейку на расстоянии от
зеркала, кратной длине резонатора L. При этом частота следования импуль-
импульсов, если ячейка расположена иа расстоянии L/2, L/3, и т. д. от одного из
зеркал, будет равна соответственно c/L, 3c/2L и т. д. Это нетрудно понять,
используя временное представление и полагая, что в каждый момент вре-
времени, когда мы имеем минимум потерь, в модуляторе «встречаются» два
распространяющихся в разные стороны импульса. Разумеется, потребуется
изменение рабочей частоты активного модулятора, насыщающийся же погло-
поглотитель настраивается сам. Аналогичным образом рассчитывается и лазер с
синхронной накачкой или насыщающимся усилением (см. обсуждение в
связи с рис. 6.34). Наконец, заметим, что для лазера бегущей волны (см.,
например, рис. 5.11) положение поглотителя несущественно. — Прим. перев.
И*
324 5. Непрерывный и нестационарный режимы работы лазеров
устройство разгрузки резонатора все равно будет функциониро-
функционировать, выводя наружу долю R циркулирующей энергии, если ко-
коэффициент отражения переключается до его большого значения
за время полного прохода резонатора, а затем возвращается к
нулевому значению. Разгрузка резонатора является общим ме-
методом, который можно с успехом применять в лазере с синхро-
синхронизацией мод, непрерывном лазере и лазере с модулированной
добротностью. В дальнейшем мы ограничимся рассмотрением
разгрузки резонатора в лазере с синхронизацией мод, поскольку
Выходной на пРактике эт0 именно тот
лучок случай, когда наиболее час-
часто применяется разгрузка
резонатора.
Для импульсных лазеров
с синхронизацией мод резо-
б
' " ^^ • натор обычно разгружают
/?=/ Лазерный. R=R(t) R = 1 в тот МОмент времени, ко-
гда внутрирезонаторныи им-
РИС- 547- "РуГойПрРеазоГо;а3еРа С Р№ пульс достигает максимума
13 v (см. рис. 5.46, а). При этом
из резонатора лазера выходит единственный мощный ультра-
ультракороткий импульс. Заметим, что если в ьысокоотражающсм
состоянии выходного устройства коэффициент отражения равен
100 %, разгрузка резонатора достигается только переключением
устройства в состояние с этим коэффициентом отражения. Дан-
Данный способ разгрузки резонатора часто осуществляется электро-
электрооптическим модулятором на ячейке Поккельса, имеющим кон-
конфигурацию, аналогичную той, которая используется при модуля-
модуляции" добротности (рис" 5.28). В конфигурации, показанной на
рис. 5.28, а, в момент времени, когда необходима разгрузка, к
ячейке Поккельса прикладывают импульс четвертьволнового на-
напряжения и на выходе отбирается отраженный от поляризатора
пучок.
В случае непрерывного лазера с модуляцией добротности
метод разгрузки резонатора можно использовать периодически
для получения цуга ультракоротких импульсов, частота следо-
следования которых равна теперь частоте работы устройства раз-
разгрузки, а не частоте повторения c/2L, устанавливаемой време-
временем полного прохода резонатора. Если эта частота достаточно
низка A00 кГц—1 МГц), то соответствующий промежуток ме-
между двумя последовательными разгрузками резонатора A —
10 мкс) обеспечивает достаточное время для восстановления
синхронизации мод. Поэтому метод периодической разгрузки
резонатора позволяет получить последовательность ультрако-
ультракоротких лазерных импульсов при намного более низкой частоте
5.4. Нестационарный режим работы лазера
325
повторения и, следовательно, значительно более высокой пико-
пиковой мощности, чем те, которые получаются при обычной син-
синхронизации мод. Эти два свойства находят применение в неко-
некоторых приложениях ультракоротких импульсов. Заметим, что
если отражающая способность выходного устройства меньше
100 %, то оно должно включаться и выключаться таким обра-
образом, чтобы время включенного состояния было равно времени
полного прохода резонатора. Однако в этом случае в резонаторе
Выходящим
пучок
Ахг/стооптический.
модулятор
Пьезоэлектрический. ''-.Ц/
преобразователь
Рис. 5.48. Типичная схема разгрузки резонатора в лазере с непрерывной
(например, в Nd : YAG- или Аг3+-лазере) накачкой. Зеркала Mi — М3 обла-
обладают номинальным 100%-иым отражением на длине волны генерации. Штри-
Штриховыми линиями показаны пучки, дифрагированные модулятором. Для раз-
разгрузки резонатора лазера, работающего в режиме синхронизации мод, иа од-
одном из концов резонатора (например, вблизи зеркала Mi) помещается уст-
устройство для синхронизации мод.
останется импульс более низкой интенсивности,и, поскольку син-
синхронизация мод не должна теперь начинаться из шума, система
будет работать более надежно. В таких системах для разгруз-
разгрузки резонатора часто используют акустооптическую ячейку бла-
благодаря более низким потерям, которые она вносит. Это устрой-
устройство состоит из акустооптического модулятора, работающего
в режиме Брэгга с бегущей волной, причем выходным является
дифрагированный пучок. Конфигурация системы, показанная
на рис. 5.48, отличается от конфигурации, приведенной на
рис. 5.30, а, тремя главными особенностями. 1) ВЧ-генератор,
который возбуждает пьезоэлектрический преобразователь, рабо-
работает при значительно более высокой частоте (например, v =
= 380 МГц), чем в случае модуляции добротности. Выход ге-
генератора стробируется таким образом, что ВЧ-огибающая пред-
представляет собой импульс, длительность которого хр равна вре-
времени полного прохода резонатора (например, хр= 10 не). При
326 5. Непрерывный и нестационарный режимы работы лазеров
этом разгрузка резонатора происходит тогда, когда результи-
результирующий звуковой импульс взаимодействует с пучком в резона-
резонаторе. Следовательно, этот импульс должен быть синхронизован
с циркулирующим в режиме синхронизации мод импульсом та-
таким образом, чтобы оба импульса встречались в модуляторе.
Заметим, что высокая несущая частота служит двойной цели, а
именно позволяет осуществить амплитудную модуляцию корот-
короткими (хр = 10 не) импульсами и обеспечивает больший угол
дифракции 8d (8d = K/Ka линейно увеличивается с ростом несу-
несущей частоты). 2) Пучок фокусируется в очень небольшое пятно
в оптическом блоке модулятора. На самом деле продолжитель-
продолжительность вывода излучения из резонатора определяется не только
длительностью электрического импульса, но и временем прохо-
прохождения звукового импульса через лазерный пучок. Выбрав, на-
например, диаметр пятна d = 50 мкм и скорость звука v =
= 3,76-105 см/с (скорость сдвиговых волн в кварце), получаем
/ = d/y = 13,3 не. 3) Циркулирующий и дифрагированный им-
импульсы заставляют взаимодействовать дважды со звуковым им-
импульсом в модуляторе. Это обеспечивается зеркалом М3 лазера,
которое также фокусирует и рассеянный пучок обратно в моду-
модулятор. Такой способ позволяет достичь высокой эффективности
дифракции (~ 70 %).
5.5. Заключительные замечания
В этой главе мы рассматривали непрерывный и переходный
режимы работы лазера в первом приближении, а именно с по-
помощью (пространственно усредненных) скоростных уравнений.
Для повышения точности (и сложности) необходимо использо-
использовать следующие подходы: 1) Скоростные уравнения, в которых
учитываются пространственные изменения как инверсии, так и
плотности электромагнитной энергии. Этот метод обсуждается
в Приложении Б. 2) Последовательное полуклассическое рас-
рассмотрение, в котором среда квантуется, а электромагнитные
поля резонатора описываются классически, т. е. с помощью урав-
уравнений Максвелла. Можно показать [1], что в непрерывном ре-
режиме соответствующие уравнения сводятся к скоростным. Это
же справедливо и в переходном режиме, если продолжитель-
продолжительность любого переходного процесса много больше обратной ши-
ширины лазерного перехода. Следовательно, все нестационарные
случаи, рассмотренные в этой главе (за исключением синхро-
синхронизации мод), могут быть адекватно рассмотрены в рамках при-
приближения скоростных уравнений. 3) Полностью квантовый под-
подход, при котором квантуются как среда, так и излучение. Это,
вне сомнения, наиболее полное рассмотрение из всех. Оно необ-
Задачи 327
ходимо для правильного описания возникновения лазерной гене-
генерации и шума в лазере. Однако оказывается, что если число
фотонов в данной моде резонатора намного превышает единицу,
то (усредненные) результаты квантового подхода совпадают
с результатами полуклассической теории. Таким образом, за ис-
исключением таких проблем, как шум в лазерных системах, труд-
трудностей полностью квантового подхода можно избежать. Сле-
Следует, наконец, заметить, что скоростные уравнения в той про-
простейшей форме, в которой они приведены здесь, применимы к
сравнительно малому числу случаев. В большинстве ситуаций
число участвующих уровней больше, чем три или четыре, так
что рассмотрение в рамках скоростных уравнений будет более
сложным. На самом деле справедливо общее утверждение, со-
согласно которому каждый лазер характеризуется конкретной си-
системой скоростных уравнений, соответствующей только этому
лазеру. Рассмотренные же в данной главе уравнения дают мо-
модель, которую нетрудно обобщить на более сложные случаи.
Задачи
5.1. Какое выражение следует выбрать для расчета модового объема Va в
активной среде в случае, когда генерируется большое число продольных мод
с одинаковым поперечным распределением (ТЕМоо)?
5.2. Вычислите логарифмические потери у, соответствующие коэффициенту
пропускания зеркала Т = 80 %.
5.3. Докажите справедливость выражения E.37).
5.4. Усиление Не — Ne-лазера иа красной линии (X = 632,8 нм) составляет
2 % за проход. Резонатор образован двумя вогнутыми сферическими зер-
зеркалами с одинаковыми радиусами кривизны R = 5 м и расположенными
иа расстоянии L = 1 м друг от друга. Чтобы получить генерацию иа моде
ТЕМоо, внутри резонатора с обоих его торцов помещают две одинаковые
диафрагмы. Вычислите диаметр диафрагмы.
5.5. В СОг-лазере низкого давления ширина линии Avq = 50 МГц опреде-
определяется главным образом доплеровским уширеиием. Лазер работает при мощ-
мощности накачки, которая в два раза превышает пороговую. Вычислите ма-
максимальное расстояние между зеркалами, при котором еще возможна гене-
генерация в режиме одной продольной моды.
5.6. Найдите входную пороговую мощность и выходную мощность Nd : YAG-
лазера, схема которого показана иа риг. 5.14, при ЯВх=10 кВт, когда коэф-
коэффициент связи на выходе лазера уменьшен до 10 %. Рассчитайте также тан-
тангенциальную эффективность,
5.7. Для СОг-лазера, схема которого показана иа рис. 5.17, определите вход-
входную пороговую мощность и выходную мощность при ЯВх = 140 кВт и при
оптимальном значении коэффициента пропускания выходного зеркала ла-
лазера.
5.8. В Не — Ne-лазере, генерирующем на двух соседних продольных модах,
частота одной из которых совпадает с центром лазерного перехода соо,
328 5. Непрерывный и нестационарный режимы работы лазеров
длина резонатора равна 1 м, а коэффициент пропускания выходного зеркала
составляет 2 %. Вычислите межмодовое расстояние для этих мод, если из-
известно, что ширина линии генерации равна Avo=l,7 ГГц.
5.9. Данные, приведенные иа рис. 5.24, относятся к рубиновому лазеру с
диаметром стержня 6,3 мм, длиной 7,5 см, причем каждое из двух зеркал
напылено непосредственно па торцы стержня. Максимальное сечение лазер-
лазерного перехода а = 2,5'10-20 см2, показатель преломления стержня п= 1,76,
а концентрация активных ионов в стержне Ni = 1,6-1019 см~3. Исходя из
указанных иа рисунке стационарных значений Nt>Va и q<>, вычислите полные
потери у и величину х, показывающую, во сколько раз накачка превышает
пороговую.
5.10. Для Nd: YAQ-лазера в режиме модуляции добротности, схема кото-
которого представлена иа рис. 5.36, вычислите ожидаемый порог, выходную энер-
энергию и длительность импульса (при Евх = 10 Дж), если коэффициент пропу-
пропускания выходного зеркала будет уменьшен до 20 %•
5.11. Пусть ширина линии излучения Не — Ne-лазера в режиме синхрониза-
синхронизации мод равна 0,6 ГГц, а его спектр можно приближенно описать функцией
Гаусса. Вычислите соответствующую длительность выходного импульса в слу-
случае, когда выполняется условие синхронизации мод.
5.12. Если в выражении E.114) суммирование по всем модам приближенно
заменить интегралом, то это приведет к утрате важных особенностей дина-
динамической картины выходного излучения. В чем здесь дело?
5.13. В ячейке Поккельса с «продольной конфигурацией» величина двулуче-
преломлеиия Дп = пх—пу, создаваемая при приложении к ячейке постоян-
постоянного (продольного) напряжения V, равна Дп = пJ§JfJL , где п0—(обык-
п0—(обыкновенный) показатель преломления, U — длина кристалла в ячейке и гы —
соответствующая электрооптическая постоянная нелинейного кристалла. Вы-
Выведите выражение для напряжения, которое необходимо приложить к ячей-
ячейке Поккельса, чтобы система поляризатор — ячейка Поккельса, показанная
иа рис. 5.28, находилась в закрытом положении.
5.14. В случае ячейки Поккельса, изготовленной из кристалла KD2PO4 (дей-
терироваииый дигидрофосфат калия, называемый также KD*P), при X =
= 1,06 мкм имеем Гвз = 26,4-10~12 м/В и По = 1,51. Используя выражение,
полученное в задаче 5.13, вычислите напряжение, которое необходимо прило-
приложить к ячейке, чтобы система находилась в закрытом положении.
5.15. Nd: YAG-лазер, представленный иа рис. 5.14 и 5.15, имеет мощность
накачки РВ\ = 10 кВт, а добротность его резонатора модулируется с часто-
частотой повторения 10 кГц с помощью акустооптического модулятора (предпо-
(предполагается, что потери, связанные с наличием такого модулятора внутри резо-
резонатора, пренебрежимо малы). Вычислите выходную энергию, длительность
импульса и среднюю мощность у этого лазера.
5.16. Получите выражения для выходной энергии и длительности импульса
в трехуровневом лазере с модуляцией добротности.
5.17. У лазера на рубине (трехуровневый лазер, X = 694,3 нм) диаметр
стержня составляет 6,3 мм, а длина равна 7,5 см. Стержень находится в
резонаторе, образованном двумя плоскими зеркалами, расположенными друг
от друга на расстоянии L = 50 см и имеющими коэффициенты пропускания
соответственно 7 = 0 и Ti = 0,5. Пусть коэффициент внутренних потерь за
проход составляет Tt = 10 %. Используя для Nt, n и а значения, приведен-
Литература 329
ные в задаче 5.9, найдите выходную энергию лазера в режиме модулирован-
модулированной добротности, пиковую мощность и длительность импульса при двукрат-
двукратном превышении энергии накачки над пороговой.
5.18. Аргоновый лазер генерирует зеленую линию (Я, = 514,5 им) с неодно-
неоднородной шириной Avo = 3,5 ГГц. Вычислите предполагаемую длительность
импульса лазерного излучения в режиме синхронизации мод, обеспечивае-
обеспечиваемого акустооптическим модулятором.
5.19. У Nd : YAQ-лазера, работающего на длине волны X = 1,06 мкм, линия
излучения имеет однородную ширину Av0 « 195 ГГц. Вычислите ожидаемую
длительность импульса лазера, если длина его резонатора L = 1,5 м, а син-
синхронизация мод в нем осуществляется с помощью акустооптического моду-
модулятора. Какой была бы длительность импульса, если бы линия была неодно-
неоднородно уширена? Вычислите частоту напряжения, которое необходимо прило-
приложить к акустооптическому модулятору, когда ои помещен на одном из кон-
концов резонатора.
Литература
1. Sargent М., Scully М. О., Lamb W. Е., Laser Physics, Addison-Wesley
Publishing Co., London, 1974.
2. Statz H., de Mars G.— In: Quantum Electronics (ed. С. Н. Townes),
Columbia University Press, New York, 1960, pp. 530—537.
3. Dunsmuir R., J. Electron Control, 10, 453—458 A961).
4. Pantell R. H., Puthoff H. E., Fundamentals of Quantum Electronics, John
Wiley and Sons, New York, 1969, ch. 6, sec. 6.4.2. [Имеется перевод:
Пантел Р., Путхоф Г. Основы квантовой электроники.—Мир., 1972.]
5. Rlgrod W. W., J. Appl. Phys., 36, 2487—2490 A965).
6. Koechner W., Solid-State Laser Engineering, Springer Series in Optical
Sciences, Springer-Verlag, New York, 1976, v. 1, ch. 3, sec. 3.4.
7. Yariv A., Proc. IEEE, 51, 1723-1731 A963).
8. Tang С L., Statz H., de Mars G., J. Appl. Phys., 34, 2289—2295 A963).
9. Koechner W., Solid-State Laser Engineering, Springer Series in Optical
Sciences, Springer-Verlag, New York, 1976, v. 1, ch. 2, Sec. 2.3.
10. Findlay D., Goodwin D. W.— In: Advances in Quantum Electronics
(ed. D. W. Goodwin), Academic Press, New York, 1970, pp. 77—128.
11. Koechner W., Solid-State Laser Engineering, Springer Series in Optical
Sciences, Springer-Verlag, New York, 1976, v. 1, ch. 3, Fig. 3.17.
12. Koechner W., Solid-State Laser Engineering, Springer Series in Optical
Sciences, Springer-Verlag, New York, 1976, v. 1, ch. 3, Fig. 3.18.
13. Частное сообщение, Instituto di Ricerca per le Technologie Meccaniche, Vico
Canavese, Torino.
14. Fowler M. C, Appl. Phys. Lett., 18, 175 A971).
15. Hoag E. et a/., Appl. Opt., 13, 1959 A974).
16. Siegman A. E., Lasers, Oxford University Press, Oxford, 1986, ch. 12,
sec. 12.2.
17. Siegman A. E., Lasers, Oxford University Press, Oxford, 1986, ch. 11,
sec. 11.7.
18. Schawlow A. L., Townes С. Н., Phys. Rev., 112, 1940—1949 A958).
19. Chebotaiev V. P.— In: Laser Handbook (ed. M. Bass and M. L. Stitch),
North-Holland, Amsterdam, 1985, v. 5, pp. 289—404.
20. Lamb W. ?., Jr., Phys. Rev., 134, 1429 A964).
21. Koechner W., Solid-State Laser Engineering, Springer Series in Optical
Sciences, Springer-Verlag, New York, 1976, v. 1, ch. 8.
22. Hellwarth R. W.— In: Advances in Quantum Electronics (ed. J. R. Sin-
Singer), Columbia University Press, New York, 1961, pp. 334—341.
330 5. Непрерывный и нестационарный режимы работы лазеров
23. Yariv A., Optical Electronics, 3rd ed., Holt, Rinehart and Winston Inc.,
New York, 1985, ch. 12. [Имеется перевод 2-го издания: Ярив А. Введе-
Введение в оптическую электронику. — М.: Высшая школа, 1983.]
24. Sooy W. R., Appl. Phys. Lett., 7, 36-37 A965).
25. Koechner W., Solid-State Laser Engineering, Springer Series in Optical
Sciences, Springer-Verlag, New York, 1976, v. 1, ch. 11, adapted from
Fig. 11.23.
26. Ultrashort Light Pulses: Picosecond Techniques and Applications
(ed. S. L. Shapiro), Springer-Verlag, Berlin,_1977.
7. Sie
27. Siegman A. ?., Lasers, Oxford University Press, Oxford, 1986, ch. 27, 28.
28. New G. H. C, IEEE J. Quantum Electron., QE-10, 115—124 A974).
29. Kane T. J., Byer R. L., Opt. Lett., 10, 65 A985).
6
Типы лазеров
6.1. Введение
В настоящей главе несколько подробнее рассматриваются наи-
наиболее важные типы лазеров. Однако следует заметить, что по-
помимо описанных здесь в мире существует еще огромное множе-
множество других лазеров. Поэтому в данной главе мы изучим те типы
лазеров, которые наиболее широко используются и параметры
которых характерны для целого класса лазеров. Главное вни-
внимание мы уделим физическим принципам, на которых основана
работа лазеров, и их связи с общими физическими представле-
представлениями, рассмотренными в предыдущих главах. Однако в рассмо-
рассмотрение включены также и некоторые технические подробности
с единственной целью обеспечить лучшее понимание физической
сущности работы определенного лазера. Чтобы завершить об-
общую картину и дать некоторое представление о применениях
лазеров, мы приведем также некоторые лазерные характери-
характеристики (например, данные о выходной мощности или энергии, о
перестройке длины волны и т. д.).
Мы изучим следующие типы лазеров: 1) твердотельные ла-
лазеры (на кристаллах или стеклах), 2) газовые лазеры, 3) ла-
лазеры на красителях, 4) химические лазеры, 5) полупроводнико-
полупроводниковые лазеры, 6) лазеры на центрах окраски, 7) лазеры на сво-
свободных электронах и 8) рентгеновские лазеры.
6.2. Твердотельные лазеры
Твердотельными называются, как правило, лазеры, активной
средой которых является либо диэлектрический кристалл, либо
стекло. Полупроводниковые лазеры мы рассмотрим отдельно,
поскольку они имеют совсем другие механизмы накачки и гене-
генерации. В твердотельных лазерах активными центрами являются,
как правило, примесные ионы, введенные в кристалл. Обычно
такой ион принадлежит одной из групп переходных элементов
Периодической системы элементов Менделеева (например, ионы
переходных металлов, особенно Сг3+, или ионы редкоземельных
элементов, главным образом Nd3+ или Ег3+). Используемые для ге-
генерации переходы включают электронные уровни незаполненных
332 6. Типы лазеров
внутренних оболочек. Поэтому такие переходы слабо подвер-
подвержены влиянию кристаллического поля. Кроме того, эти переходы
запрещены в приближении электродипольного взаимодействия.
Поэтому время спонтанной релаксации попадает в миллисекунд-
ный, а не в наносекундный диапазон, как в случае электроди-
польно разрешенных переходов. Обе указанные выше особенно-
особенности приводят к следующим важным последствиям для лазерной
генерации. Во-первых, безызлучательные каналы релаксации
довольно слабы. Следовательно, время жизни верхнего уров-
уровня т примерно равно спонтанному времени жизни, т. с. оно
попадает в миллисекундный диапазон. Поскольку для трехуров-
трехуровневого лазера (такого, как рубин с ионами Сг3+ или ионы Ег34
на переходе Л = 1,54 мкм) критическая скорость накачки Wcp
равна 1/т [см. E.40)], величина WCp оказывается достаточно
малой, чтобы обеспечить лазерную генерацию. Во-вторых, ши-
ширина линии перехода Avo относительно невелика, поскольку ме-
механизмы уширения относительно неэффективны (см. рис. 2.9).
Для четырехуровневого лазера (такого, как на ионах Nd3+ или
Но3+) пороговая скорость накачки №ср пропорциональна 1/от»
~ 1/сгтспонт. Согласно B.116) и B.80), имеем 1/отСпонт ~ Av0, a
небольшая ширина лазерной линии опять же подразумевает
низкие значения пороговой скорости накачки.
6.2.1. Рубиновый лазер [1]
Этот лазер был первым, на котором была осуществлена гене-
генерация (Т. X. Майман, июнь 1960 г. [2, 3]) и который все еще
находит применение. Рубин, сотни лет известный как природный
драгоценный камень, представляет собой кристалл А12О3 (ко-
(корунд), в котором ряд ионов А13+ замещены ионами Сг3+. Кри-
Кристаллы рубина, применяемые в лазерах в качестве активной
среды, обычно получают путем выращивания из расплава смеси
А12Оз и небольшой части Сг2Оз (~ 0,05 вес. %). Без добавления
Сг2О3 формирующийся кристалл (сапфир) становится бесцвет-
бесцветным, и необходимо добавить совсем немного Сг2Оз, чтобы кри-
кристалл приобрел розовый оттенок (розовый рубин) вследствие
наличия у ионов Сг3+ зеленой и фиолетовой полос поглощения.
Заметим, что в природных драгоценных камнях концентрация
Сг3+ приблизительно на порядок больше, чем в искусственных,
что придает им насыщенную красную окраску (красный рубин).
Энергетические уровни рубина образуются за счет трех элек-
электронов во внутренней 3d оболочке иона Сг3+, находящихся под
действием октаэдрического поля решетки АЬОз. На рис. 6.1 при-
приведены основные уровни, представляющие интерес для лазер-
лазерной генерации. Используемые здесь обозначения для уровней
6.2. Твердотельные лазеры
333
получаются из теоретико-группового анализа состояний ионов
в кристаллах и в дальнейшем здесь обсуждаться не будут. Для
нашей цели достаточно заметить, что верхний индекс слева от
каждой буквы указывает на мультиплетность состояния. Так,
например, основное состояние 4А2 имеет мультиплетность 2S -+-
+ 1 = 4, т. е. S = 3/2, где S — суммарное спиновое квантовое
число трех З^-электронов. Отсюда следует, что в данном слу-
случае параллельны все спины S этих электронов. Рубин имеет две
основные полосы поглощения 4Fi и 4F2, причем наиболее интен-
интенсивное поглощение на эти полосы из основного состояния 4А2
происходит на длине волны соответственно 0,55 мкм (зеленая)
УУУУУ/У/\
i
i
i
I
'1
'2А
Рис. 6.1. Упрощенная схема энергетических уровней рубина.
и 0,42 мкм (фиолетовая) (см. также рис. 3.5,6). Эти полосы
связаны очень быстрой (за время порядка _пикосекунд) безызлу-
чательной релаксацией с состоянием как 2Л, так и Е. Поскольку
эти два последних состояния также связаны друг с другом очень
быстрой безызлучательной релаксацией (~ 10~9 с), то их насе-
населенности термализуются, что приводит к более высокой населен-
населенности уровня Ё. Однако время релаксации в основное состояние
как уровня 2Л, так и Е, довольно большое, поскольку, как уже
отмечалось, оба перехода запрещены как электродипольно, так
и по спину (на переходе между состояниями 2Е и М2 происхо-
происходит изменение суммарного спина).
Из проведенного выше рассуждения теперь ясно, что на уро-
уровне Ё накапливается большая доля энергии накачки, и, следова-
следовательно, этот уровень хорошо подходит на роль верхнего лазер-
лазерного уровня. Действительно, лазерная генерация в рубине имеет
место на переходе ?->М2 (линия RY) с длиной волны X, =
= 694,3 нм (красная). Однако следует заметить, что расстояние
между 2Л и Ё по частоте (~29 см-1) мало по сравнению с
kT/h (~208 см-1), и, следовательно, населенность уровня 2Л
334 6. Типы лазеров
сравнима с населенностью уровня Е или немного меньше ее.
Кроме того, мы видим, что можно также получить генерацию и
на переходе 2л-*-4Л2 (линия R2, ta = 692,8 нм). Усиление на ли-
линии R2 несколько меньше, чем на Ri. Поэтому лазерная генера-
генерация на линии R2 может быть получена с помощью, например,
дисперсионных резонаторов, показанных на рис. 5.4. Из преды-
предыдущего рассмотрения очевидно, что рубиновый лазер работает
по трехуровневой схеме и вместе с лазером на стекле с ионами
Ег3+ он составляет наиболее примечательный пример трехуров-
трехуровневого лазера. Заметим, что переход Ri, как уже упоминалось
в связи с рис. 2.9, преимущественно однородно уширен при ком-
комнатной температуре. При этом уширение обусловлено взаимо-
взаимодействием ионов Сг3+ с фононами решетки. Ширина перехода,
измеренная на полувысоте, составляет Avo = 11 см-1 при Т =
= 300 К. Это делает рубин привлекательным материалом для
получения генерации коротких импульсов при работе в режиме
синхронизации мод.
Рубиновые лазеры обычно работают в импульсном режиме.
При этом для накачки используется импульсная ксеноновая
лампа среднего давления (~500 мм рт. ст.) в конфигурации,
приведенной на рис. 3.1, б или (чаще) в конфигурации рис. 3.1, а.
Диаметр стержня обычно составляет 5—10 мм, а длина стер-
стержня 5—20 см. Рубиновый лазер имеет следующие выходные па-
параметры: 1) в режиме модуляции добротности его мощность в
одиночном гигантском импульсе длительностью 10—20 не со-
составляет 10—50 МВт; 2) в режиме синхронизации мод пиковая
мощность в импульсе длительностью ~ 10 пс равна нескольким
гигаваттам. При накачке ртутными лампами высокого давления
лазеры на рубине могут работать также и в непрерывном ре-
режиме.
Рубиновые лазеры, когда-то очень популярные, теперь при-
применяются менее широко, поскольку они были вытеснены такими
конкурентами, как лазеры на основе Nd:YAG или лазеры на
стекле с неодимом. Поскольку рубиновый лазер на самом деле
работает по трехуровневой схеме, необходимая пороговая энер-
энергия накачки приблизительно на порядок превышает соответст-
соответствующую величину для Nd : YAG лазера таких же размеров. Од-
Однако рубиновые лазеры все еще широко применяются в некото-
некоторых научных и технических приложениях, для которых более
короткая длина волны генерации рубина дает существенное пре-
преимущество перед Nd: YAG-лазером (например, в импульсной го-
голографии, где Nd:YAG нельзя использовать из-за малой чув-
чувствительности фотопленки в более длинноволновом диапазоне
генерации Nd : YAG-лазера). Стоит также отметить, что в про-
6.2. Твердотельные лазеры
335
шлом рубиновые лазеры активно использовались для военных
целей при измерении дальности, где этот лазер теперь полностью
заменен Nd : YAG-лазером и лазером на стекле с неодимом.
6.2.2. Неодимовые лазеры [4—6]
Неодимовые лазеры являются самыми популярными из твер-
твердотельных лазеров. В этих лазерах активной средой обычно
является кристалл Y3Al50i2 [сокращенно называемый YAG
(yttrium aluminum garnet, иттрий-алюминиевый гранат)], в ко-
котором часть ионов Y3+ замещена ионами Nd3-1'. Иногда также ис-
используется фосфатное или силикатное стекло, легированное ио-
ионами Nd3+. Типичные уровни легирования для кристалла Nd:
: YAG составляют порядка 1 ат. %. Более высокие уровни леги-
легирования ведут к тушению люминесценции, а также к внутрен-
внутренним напряжениям в кристаллах, поскольку радиус иона Nd3+
примерно на 14 % превышает радиус иона Y3+. Этот уровень
легирования придает прозрачному кристаллу YAG бледно-пур-
бледно-пурпуровую окраску, поскольку линии поглощения Nd3+ лежат в
красной области. Уровни легирования стекла с неодимом не-
немного выше этой же величины для Nd : YAG (~ 3 вес. % ШгОз).
6.2.2.1. Nd-.YAG-лазер
На рис. 6.2 представлена упрощенная схема энергетических
уровней Nd : YAG. Эти уровни обусловлены переходами трех 4/
электронов внутренней оболочки иона Nd3+. Поскольку эти элек-
hi/г-
11502см-1
г 5гбсм-'
г ooien -i
Рис. 6.2. Упрощенная схема энергетических уровней кристалла Nd : YAG.
троны экранируются восемью внешними электронами Es2 и
5р6), на упомянутые энергетические уровни кристаллическое
поле влияет лишь в незначительной степени, Поэтому спек-
спектральные линии, соответствующие рассматриваемым переходам,
относительно узки. Уровни энергии обозначаются в соответствии
336 6. Типы лазеров
с приближением связи Рассела— Сандерса '> атомной физики, а
символ, характеризующий каждый уровень, имеет вид 2s+lLj,
где S — суммарное спиновое квантовое число, / — суммарное
квантовое число углового момента, a L — орбитальное кванто-
квантовое число. Заметим, что разрешенные значения L, а именно L =
= О, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ., ., обозначаются прописными буквами со-
соответственно S, P, D, F, G, Н, I Таким образом, основное
состояние 4/д/2 иона Nd3+ соответствует состоянию, при котором
2S + 1 = 4 (т. е. S = 3/2), L = 6nJ = L — S = 9/2. Две основ-
основные полосы накачки расположены на длинах волн 0,73 и 0,8 мкм
соответственно, хотя другие более высоко лежащие полосы по-
поглощения также играют важную роль (см, рис. 3.5,6). Эти по-
полосы связаны быстрой (~ 10~7 с) безызлучательной релакса-
релаксацией с уровнем 4F3/2, откуда идет релаксация на нижние уровни
(а именно 4/9/2, 4/ц/2 и 4/13/г) *, этот последний уровень не показан
на рис. 6.2. Однако скорость релаксации намного меньше (т ж
« 0,23 мс), поскольку переход запрещен в приближении элек-
тродипольного взаимодействия (правило отбора для электроди-
иольно разрешенных переходов имеет вид А/=0 или ±1) и по-
поскольку безызлучательиая релаксация идет медленно вследствие
большого энергетического зазора между уровнем 4F3/2 и бли-
ближайшим к нему нижним уровнем. Это означает, что уровень
4F3/2 запасет большую долю энергии накачки и поэтому хорошо
подходит на роль верхнего лазерного уровня. Оказывается, что
из различных возможных переходов с уровня 4F3/2 на нижеле-
нижележащие уровни наиболее интенсивным является переход 4F3/2 -*-
-*-/ц/2- Кроме того, уровень 4/ц/2 связан быстрой (порядка на-
наносекунд) безызлучательной релаксацией в основное состояние
4/д/2, а разница между энергиями уровней 4/ц/2 и 4/9/2 почти на
порядок величины больше, чем kT. Отсюда следует, что тепло-
тепловое равновесие между этими двумя уровнями устанавливается
очень быстро и согласно статистике Больцмана уровень 4/ц/2 в
хорошем приближении можно считать практически пустым. Та-
Таким образом, этот уровень может быть прекрасным кандидатом
на роль нижнего лазерного уровня.
Из сказанного выше ясно, что в кристалле Nd : YAG переход
4Рз/2-"*-4^\\/2 хорошо подходит для получения лазерной генера-
генерации в четырехуровневой схеме. В действительности необходимо
принимать во внимание следующее: Уровень 4/\V2 расщеплен
электрическим полем внутри кристалла2' (эффект Штарка) на
'> В советской литературе более общепринято называть это Z.S-связью.—
Прим. перев.
2> Далее будем употреблять принятый в советской литературе термин
«кристаллическое поле». — Прим. перся.
6.2. Твердотельные лазеры 337
два сильно связанных подуровня (Ri и R2), разделенных энерге-
энергетическим зазором АЕ « 88 см-1. Уровень 4/ц/2 также расщеп-
расщеплен вследствие эффекта Штарка на шесть подуровней. Оказы-
Оказывается, что лазерная генерация обычно происходит с подуровня
Ri уровня 4F3/2 на определенный подуровень уровня 4/ц/2, по-
поскольку этот переход обладает наибольшим значением сечения
перехода (o = 8,8-109 см2). Этот переход имеет длину волны
Х= 1,064 мкм (ближний ИК диапазон). Однако необходимо на-
напомнить [см. выражение E.58) и B.170а)], что, поскольку под-
подуровни R[ и R2 сильно связаны, при всех вычислениях исполь-
используют эффективное сечение a2i = z2ie = 3,5- Ю-19 см2, где z2i =
= ехр(—AE/kT) I [ 1 -+- ехр (—AE/kT)] =0,4 — функция распре-
распределения для подуровня R2. Следует также заметить, что, исполь-
используя в резонаторе лазера подходящую дисперсионную систему,
такую, как на рис. 5.4, генерацию можно получить на многих
других длинах волн, соответствующих различным переходам:
4F3/2-+4hi/2 (Я, = 1,05—1,1 мкм), 4F3/2->4/.3/2 (Я, = 1,319 мкм—
наиболее интенсивная линия в этом случне) и переходу 4F3/2->-
->4/9/2 (К около 0,95 мкм). Кроме того, стоит вспомнить, что (см.
также рис. 2.9) лазерный переход с Х = 1,06 мкм при комнатной
температуре однородно уширен вследствие взаимодействия с фо-
нонами решетки. Соответствующая ширина Av = 6,5 см-1 =
= 195 ГГц при температуре Т = 300 К- Это делает Nd : YAG
очень подходящим для генерации в режиме синхронизации мод.
Большое время жизни верхнего лазерного уровня (т = 0,23 мс)
позволяет Nd : YAG быть весьма хорошим для работы в режиме
модулированной добротности.
Nd:YAG лазеры могут работать как в непрерывном, так и
в импульсном режиме. В обоих случаях обычно используются
линейные лампы в схемах с одноэллипсным осветителем
(рис. 3.1,6), с близким расположением лампы и кристалла
(рис. 3.1, в) или с многоэллипсным (рис. 3.2) осветителем. Для
работы в импульсном и непрерывном режимах применяются со-
соответственно ксеноновые лампы среднего давления E00—
1500 мм рт. ст.) и криптоновые лампы высокого давления D—
6 атм). Размеры стержней обычно такие же, как и у руби-
рубинового лазера. Выходные параметры Nd: YAG-лазера оказы-
оказываются следующими: 1) в непрерывном многомодовом режиме
выходная мощность до 200 Вт (см. рис. 5.15); 2) в импульсном
лазере с большой скоростью повторения импульсов E0 Гц)
средняя выходная мощность порядка 500 Вт; 3) в режиме мо-
модулированной добротности максимальная выходная мощность
до 50 МВт (см. рис. 5.36); 4) в режиме синхронизации мод
длительность импульса до 20 пс (см. табл. 5.1). Как в импульс-
импульсном, так и в непрерывном режиме дифференциальный КПД
338 6, Типы лазеров
составляет около 1—3%. Nd : YAG-лазеры широко применяются
в различных областях, среди которых 1) измерение расстояний
(в большинстве лазерных дальномеров для военных целей и при-
прицельных устройств используются Nd : YAG-лазеры); 2) приме-
применение в науке (лазеры с модулированной добротностью); 3) об-
обработка материалов (резка, сверление, сварка и т. д.); 4) при-
применение в медицине (фотокоагуляция).
6.2.2.2. Стекло с неодимом [7]
Как мы уже отмечали, основные переходы иона Nd3+— это
переходы, совершаемые тремя электронами, принадлежащими
оболочке 4/. Эти электроны экранируются восемью внешними 5s-
и 5р-электронами, Соответственно уровни энергии в стекле с не-
неодимом в основном располагаются так же, как и в кристалле
Nd : YAG. Поэтому и наиболее интенсивный лазерный переход
имеет длину волны К ж 1,06 мкм, Однако в стекле из-за неод-
неоднородного уширения, обусловленного локальными неоднородно-
стями кристаллического поля стеклянной матрицы, линии ла-
лазерных переходов намного шире. В частности, основной лазер-
лазерный переход с Х=1,06 мкм примерно в 30 раз шире, поэтому
максимальное сечение перехода приблизительно в 30 раз мень-
меньше, чем в кристалле Nd : YAG. Разумеется, более широкая ли-
линия благоприятна для работы в режиме синхронизации мод, в
то время как меньшее сечение необходимо для импульсных вы-
высокоэнергетических систем, поскольку «пороговая» инверсия для
паразитного процесса УСИ (усиление спонтанного излучения)
[см. B.153)] соответственно увеличивается. Таким образом, по
сравнению с Nd : YAG в стекле с неодимом до включения УСИ
может быть запасено в единичном объеме больше энергии. На-
Наконец, поскольку полосы поглощения в стекле с неодимом также
много шире, чем в кристалле Nd : YAG, а концентрации ионов
Nd3+ обычно вдвое больше, эффективность накачки стержня из
стекла с неодимом приблизительно в 1,6 раза больше, чем в
стержне из Nd : YAG тех же размеров (см. табл. 3.1). Однако
наравне с этими преимуществами стекла с неодимом по сравне-
сравнению с кристаллом Nd : YAG стекло обладает весьма серьезным
ограничением, связанным с его низкой теплопроводностью, ко-
которая приблизительно в десять раз меньше, чем в Nd : YAG. Это
существенно ограничивает применения лазеров на стекле с нео-
неодимом импульсными системами при небольшой частоте повто-
повторения импульсов (¦< 5 Гц), чтобы избежать проблем, связанных
с нагревом стержня.
С точки зрения конструктивных особенностей, т. е. имея в
виду схемы накачки и размеры стержня, наиболее часто исполь-
используемые лазеры на стекле с неодимом существенно не отличают-
6.2. Твердотельные лазеры 339
ся от лазеров на основе Nd : YAG. Однако, как мы увидим ниже,
для приложений, которые требуют высокой энергии, активный
элемент из стекла можно сделать много больших размеров, чем
из Nd : YAG. Благодаря значительно более низкой температуре
плавления и некристаллической структуре стекло можно выра-
вырастить намного легче, чем YAG. Лазеры на стекле имеют следую-
следующие характеристики: 1) выходная энергия и пиковая мощность
лазера в режиме модулированной добротности сравнимы с со-
соответствующими параметрами Nd : YAG-лазера при сравнитель-
сравнительно одинаковых размерах стержня; 2) в режиме синхронизации
мод можно получать очень короткие импульсы (вплоть до
~ 5 пс), поскольку ширина лазерного перехода в стекле зна-
значительно шире, чем у Nd : YAG. Лазер на стекле с неодимом ча-
часто применяют в тех приложениях, для которых импульсный ла-
лазер должен работать при низкой частоте повторения импульсов.
Это, например, необходимо для некоторых дальномеров, приме-
применяемых в военных целях, и неодимовых лазеров, предназначен-
предназначенных для научных исследований. Важным применением лазеров
на неодимовом стекле является использование их в качестве
усилителей в лазерных системах для получения очень высокой,
энергии в экспериментах по лазерному термоядерному синтезу.
В настоящее время уже создана лазерная система на основе
стекла с неодимом, дающая импульсы с пиковой мощностью бо-
более 100 ТВт и полной энергией ~ 100 кДж («Нова»-лазер).
Этот лазер, который в настоящее время дает наибольшую энер-
энергию в импульсе и максимальную мощность среди всех лазеров,
состоит из нескольких усилителей на основе стекла с неодимом,
самый большой из которых представляет собой стеклянный диск
толщиной около 4 см и диаметром порядка 75 см.
6.2.2.3. Другие кристаллические матрицы
В качестве матриц для иона Nd3+ использовались многие
другие кристаллические материалы, такие, как YALO[YA1O3],
YLF[YLiF4] и GSGG[Gd3Sc2Ga3O12]. Ради краткости изложения,
а также потому, что этот кристалл представляет особый инте-
интерес, мы ограничимся кратким рассмотрением кристалла граната
GSGG (гадолиний-скандий-галлиевый гранат) [41]. В этой ма-
матрице примесный ион Nd3+ замещает редкоземельный ион Gd3+,
который имеет аналогичный ионный радиус. Важным преиму-
преимуществом этого граната является то, что он допускает эффектив-
эффективную соактивацию ионом Сг3+, который замещает имеющие при-
примерно такие же размеры ионы Sc3+ или Ga3+. Таким образом,
благодаря иону Сг3+ с полосами поглощения 472 и *7'i (анало-
(аналогичные полосам *F2 и *F\ в рубине) происходит очень сильное
340
6. Типы лазеров
o3+
поглощение излучения накачки в синей и зеленой областях спек-
спектра, где эффективное поглощение ионов Nd3+ мало (см.
рис. 3.5,6). После этого возбужденный ион Сг3+ релаксирует в
электронно-колебательное состояние, соответствующее дну энер-
энергетической кривой 4Г2 (рис. 6.3). Широкая, лишенная тонкой
структуры, полоса излучения, связанная с электронно-колеба-
электронно-колебательным переходом 471п->4Л2, перекрывается с двумя основными
Mji+ полосами поглощения иона
Nd3+ с центрами соответ-
соответственно на Х=0,73 и 0,8 мкм.
Вследствие такого хорошего
перекрытия спектров может
эффективно происходить пе-
перенос энергии от ионов Сг3+
к ионам Nd3+ фёрстеровско-
го типа [см. B.121)]. При
этом время переноса оказы-
оказывается достаточно коротким
(~ 17 мкс), так что почти
вся энергия, поглощенная
ионами Сг3+, переходит к
ионам Nd3+. Это позволяет
эффективно использовать зе-
зеленую и синюю области из-
излучения лампы, что в свою
очередь ведет к увеличению
КПД накачки приблизи-
приблизительно в три раза (см.
табл. 3.1). Столь высокий КПД делает кристалл Nd : Cr : GSGG
особенно привлекательным в качестве материала для получения
лазерной генерации на длине волны излучения иона Nd3+. Прин-
Принципиальное ограничение использования этого материала связано
с проблемами распределения тепла (наведенные тепловые лин-
линзы и наведенное двулучепреломление в стержне), возникаю-
возникающими, по-видимому, вследствие увеличенного количества тепло-
теплоты, которое должно быть рассеяно за счет поглощения в синей
и фиолетовой областях спектра. Таким образом, Nd : Cr : GSGG
оказывается ценным альтернативным материалом по отношению
к Nd : YAG, по крайней мере при ограниченной средней выход-
выходной мощности (~20 Вт).
6.2.3. Лазер на александрите [8]
Александрит, представляющий собой активированный хро-
хромом хризоберилл, имеет кристаллическую структуру ВеА12О4,
в котором ионы Сг3+ замещают некоторые из ионов А13+ ре-
Рис. 6.3. Схема энергетических уровней
донор (Сг3+)-акцепторной (Nd3+) си-
системы в кристалле гадолиний-скандии-
галлневого граната. Люминесценция
Сг3+ при электронном переносе энергии
и лазерное излучение указаны стрелка-
стрелками.
6.2. Твердотельные лазеры
341
шетки @,04—0,12 ат. %). Этот лазер можно считать прототипом
современного большого класса твердотельных лазеров, длина
волны генерации которых может непрерывно перестраиваться
в пределах широкой спектральной полосы [ДА, ж 100 нм, А, =
= 0,76 мк-м в александрите]. В число этих перестраиваемых
твердотельных лазеров входят, помимо прочих, лазеры на ос-
основе Со : MgF2 (А, = 1,9 мкм, ДА, = 800 нм) и Ti : А12О3 (X =
= 0,82 мкм, ДА. = 326 нм).
Энергетические состояния иона Cr3f в ВеА12О4 качественно
не отличаются от состояния Сг3+ в упорядоченных октаэдриче-
ских кристаллических полях (например, рубин или Cr:GSGG).
Генерация
на злектпроиио-
колеёагпелъном
переходе
Колебательная координата
Рис. 6.4. Схема энергетических уровней для лазера на александрите.
Упрощенная схема этих состояний как функция конфигурацион-
конфигурационной координаты иона Сг3+ (т. е. смещения иона в кристалле)
показана на рис. 6.4. Так же, как и в других активированных
хромом матрицах, время релаксации между уровнями 4Г2 и 2Е
вследствие внутриконфигурационных переходов оказывается
очень коротким (менее 1 пс, возможно, также и благодаря пе-
перекрытию уровней 2Е и 4Т2). Таким образом, можно считать, что
эти два состояния всегда находятся в термодинамическом рав-
равновесии. Поскольку энергетический зазор АЕ между дном со-
состояния 4Т2 и дном состояния 2Е в александрите (АЕ ж
ж 800 см-1) составляет всего несколько kT, то в случае, когда
состояние 2Е заселено, колебательные подуровни состояния 4Т2
также оказываются заметно заселенными. Согласно принципу
Франка — Кондона, электронно-колебательные переходы из со-
состояния 4Т2 оканчиваются на незаполненных уровнях состояния
4Л2. Поскольку число участвующих в генерации колебатель-
колебательных уровней велико, излучение будет происходить в широком
342 6. Типы лазеров
непрерывном интервале частот (Л- ^ 700—800 нм), а лазер будет
работать по четырехуровневой схеме. Заметим, что так же, как
и в случае рубинового лазера, лазерная генерация может про-
происходить на переходе 2Е-*-4А2 (ср. рис. 6.1 и 6.4) при Х =
= 680,4 нм. Однако в этом случае лазер на александрите дей-
действует по трехуровневой схеме и порог генерации оказывается
значительно более высоким, поскольку нижним лазерным уров-
уровнем является самый низкий колебательный уровень основного
состояния 4Л2. Заметим также, что в рубиновом лазере, хотя
схема энергетических уровней рубина та же, что и на рис. 6.4,
не имеет места лазерная генерация на электронно-колебатель-
электронно-колебательном переходе. Это объясняется тем, что в рубине энергетиче-
энергетический зазор между состояниями 4F2 и 2Е значительно больше
B300 см~') и, следовательно, уровень 4F2 оказывается практи-
практически не заселенным.
Накачка александрита осуществляется главным образом с
помощью зеленой и синей полос поглощения в нем DЛ2-*-4Г2
и 4А2-+4Т\), весьма похожих на полосы рубина (см.
рис. 3.5,6). Эффективное время жизни т верхнего состояния 4Г2
можно грубо оценить, предположив, что верхний уровень со-
состоит из двух сильно связанных уровней (уровня 2Е и самого
низкого из колебательных состояний 4Г2), разделенных энерге-
энергетической щелью АЕ m 800 см-|. Учитывая функцию распределе-
распределения по уровням [см. B.169в)], получаем
/Ar)
1 + ехр (- ЬЕ/kT)
где т.? и хт — времена жизни состояний соответственно 2Е и 4Г2.
Поскольку те « 1,5 мс и тт « 6,6 мкс, из формулы F.1) полу-
получаем т ж 200 мкс при Т = 300 К, что соответствует аналогичной
величине в кристалле Nd : YAG. Таким образом, александрит яв-
является подходящим материалом для получения генерации в ре-
режиме модулированной добротности. Заметим, что хотя собствен-
собственное время жизни 4Г2 много короче F,6 мкс), эффективное время
жизни существенно увеличивается в присутствии долгоживу-
щего состояния 2Е, которое играет роль резервуара энергии для
состояния 4Г2. Поскольку ширина линии генерации очень боль-
большая, максимальное значение сечения излучения приблизительно
в 60 раз меньше, чем в кристалле Nd : YAG. Поэтому лазер на
александрите имеет малое усиление, и необходимо приложить
усилия, чтобы ограничить внутрирезонаторные потери. Заметим,
что эффективное сечение перехода увеличивается с ростом тем-
температуры, поскольку при этом увеличивается населенность со-
состояния 4Г2 по сравнению с состоянием 2Е (это эквивалентно
6.3. Газовые лазеры 343
высказыванию о том, что значение функции распределения со-
состояния 4Г2 растет с температурой). Отсюда следует, что гене-
генерацию с лучшими параметрами получают при повышенной тем-
температуре, и лазер нередко работает при температуре порядка
100 °С.
В отношении конструктивных особенностей лазеры на алек-
александрите похожи на Nd : YAG-лазеры. Хотя александрит может
также работать в непрерывном режиме, меньшее сечение делает
более практичным импульсную генерацию с высокой частотой
повторения импульсов в режиме либо свободной генерации
(длительность выходного импульса порядка 200 мкс), либо ге-
генерации с модуляцией добротности (длительность выходного им-
импульса порядка 50 не). Характеристики импульсного лазера на
александрите, а именно зависимость выходной энергии от вход-
входной и дифференциальный КПД практически аналогичны харак-
характеристикам Nd: YAG-лазера с теми же размерами активного
стержня. Были достигнуты средние мощности порядка 100 Вт
при частоте повторения импульсов порядка 250 Гц. Оказывает-
Оказывается, что лазеры на александрите успешно применяются в тех слу-
случаях, когда необходимо получить излучение с ^« 700 нм и вы-
высокой средней мощностью (например, при лазерном отжиге
кремниевых пластин) или когда необходимо перестраиваемое по
частоте излучение (например, при лазерном контроле загрязне-
загрязнения окружающей среды).
6.3. Газовые лазеры
Вообще говоря, энергетические уровни в газах уширены до-
довольно слабо (ширина порядка нескольких гигагерц и меньше),
поскольку действующие в газах механизмы уширения слабее,
чем в твердых телах. Действительно, в газах, находящихся при
обычных для лазеров давлениях (несколько мм рт. ст.), столк-
новительное уширение очень мало и ширина линий определяется
главным образом доплеровским уширением. В связи с этим в
газовых лазерах не используется, как в твердотельных лазерах,
оптическая накачка с помощью ламп. В самом деле, такая на-
накачка была бы крайне неэффективна, поскольку спектр излуче-
излучения этих ламп является более или менее непрерывным, в то вре-
время как в активной газовой среде нет широких полос поглоще-
поглощения. Как уже упоминалось в гл. 3, единственный случай, когда
генерация была получена в газе при оптической накачке такого
типа, — это цезий, возбуждаемый линейной лампой, заполненной
гелием. В данном случае условия для оптической накачки впол-
вполне благоприятны, поскольку некоторые линии излучения Не
совпадают с линиями поглощения Cs. Однако цезиевый лазер
344 6. Типы лазеров
представляет интерес скорее в историческом плане, так как
именно эта схема была предложена в первой работе Шавлова
и Таунса.
Газовые лазеры накачиваются, как правило, электрически,
т. е. накачка достигается при пропускании достаточно сильного
(постоянного, высокочастотного или импульсного) тока через
газовую среду. Основные механизмы накачки в газовых лазерах
уже обсуждались в разд. 3.3. В данной главе мы познакомимся
с другими механизмами накачки, которые характерны для от-
отдельных лазеров (например, с ионизацией Пеннинга). Кроме
того, следует заметить, что накачку некоторых лазеров можно
осуществить иным путем, отличным от электрического возбу-
возбуждения. В частности, мы упомянем о накачке посредством газо-
газодинамического расширения, химической накачке и оптической
накачке от другого лазера.
Из возбужденного состояния частица может перейти на бо-
более низкие энергетические уровни (в том числе и в основной)
благодаря следующим четырем различным процессам: 1) столк-
столкновениям возбужденной частицы с электроном, при которых ча-
частица передает свою энергию электрону (столкновения второго
рода); 2) столкновениям между атомами (в газовой смеси, со-
состоящей из более чем одной компоненты); 3) столкновениям ча-
частицы со стенками сосуда и 4) спонтанному излучению. В слу-
случае последнего процесса следует всегда учитывать возможность
захвата излучения (особенно для обычно очень сильных перехо-
переходов в УФ- и ВУФ-диапазоне). Этот процесс, который уже обсу-
обсуждался в разд. 2.7.1, уменьшает эффективную вероятность спон-
спонтанного излучения.
При данном значении тока электрического разряда все эти
процессы возбуждения и релаксации приводят в конечном счете
к установлению некоторого равновесного распределения населен-
населенности по энергетическим уровням. Таким образом, можно ви-
видеть, что в газовых лазерах из-за большого числа протекающих
в газах процессов механизм создания инверсии населенностей
является более сложным по сравнению с твердотельными лазе-
лазерами. Вообще говоря, инверсия населенностей между двумя дан-
данными уровнями возникает при выполнении одного (или обоих)
следующих условий: 1) скорость возбуждения верхнего лазер-
лазерного уровня больше, чем нижнего, и 2) скорость релаксации
верхнего лазерного уровня меньше, чем нижнего. Напомним, что
последнее условие необходимо для реализации непрерывной ге-
генерации [см. E.25) ]. Если это условие не выполняется, то гене-
генерацию тем не менее можно получить, но лишь в импульсном ре-
режиме и при выполнении первого условия (лазеры на самоогра-
самоограниченных переходах).
6.3. Газовые лазеры 345
6.3.1. Лазеры на нейтральных атомах
В этих лазерах используются нейтральные атомы в виде газа
или пара. Лазеры на нейтральных атомах составляют широ-
широкий класс, который включает в себя, в частности, лазеры, ис-
использующие почти все инертные газы (Не, Ne, Кг, Аг, Хе). Все
лазеры на нейтральных атомах инертных газов генерируют в
ИК-диапазоне A—10 мкм), за замечательным исключением
Не—Ne-лазера, излучающего в зеленой и красной областях.
Большой класс лазеров составляют также лазеры на парах ме-
металлов, таких, как РЬ, Си, Аи, Са, Sr и Мп. Эти лазеры, как
правило, работают в видимой области. Наибольшее значение
среди них приобрел лазер на парах меди, генерирующий на зе-
зеленом (X = 510,5 нм) и желтом (X = 578,2 нм) переходах. Все
лазеры на парах металлов являются самоограниченными и по-
поэтому работают в импульсном режиме.
6.3.1.1. Гелий-неоновые лазеры
Не—Ne-лазер [9, 10], вне сомнения, имеет наибольшее зна-
значение среди лазеров на инертных газах. Генерация осуществля-
осуществляется на переходах атома неона, а гелий добавляется в газовую
смесь для существенного повышения эффективности накачки.
Лазер генерирует на многих длинах волн, из которых наибо-
наиболее известна линия с X =0,633 мкм (красная). Среди других
линий — зеленая на длине волны X = 543 нм и две линии в ИК-
диапазоне с X = 1,15 и 3,39 мкм. Гелий-неоновый лазер, генери-
генерирующий на переходах с X = 1,15 мкм, был самым первым ра-
работающим газовым лазером, и на нем также была впервые про-
продемонстрирована непрерывная лазерная генерация (Джаван с
сотр., конец 1960 г. [11]).
На рис. 6.5 приведена упрощенная схема энергетических
уровней Не и Ne. Уровни Не обозначены в соответствии с при-
приближением связи Рассела — Сандерса, где первая цифра указы-
указывает также главное квантовое число данного уровня. Таким об-
образом, состояние 1'5 отвечает случаю, когда оба электрона Не
находятся в состоянии Is с противоположно направленными спи-
спинами. Состояния 235 и 2'5 отвечают ситуации, когда один из
двух электронов заброшен в состояние 2s и его спин соответст-
соответственно параллелен или антипараллелен спину другого электрона.
Атомное число неона равно 10, и в основном состоянии его де-
десять электронов образуют конфигурацию Is22s22p6. Показанные
на рисунке возбужденные состояния соответствуют ситуациям,
в которых один из 2р-электронов заброшен в возбужденное s-co-
стояние Cs, 4s и 5s) или возбужденное р-состояние (Зр и 4р).
346
6. Типы лазеров
Из рисунка очевидно, что в Не уровни 235 и 2'5 являются близ-
близкими к резонансу с 4s- и 55-состояниями Ne. Поскольку уровни
235 и 2'S метастабильны (переходы 5->5 запрещены в элек-
тродипольном приближении; более того, переход 235->l'S за-
запрещен еще и с точки зрения изменения мультиплетности), Не
в этих состояниях оказывается весьма эффективным средством
21
20
19
/7
16
О
Не
Ne
z's
Столкновение
Z3S
4s %\. Лазерные
\ переходы
Зр
1szZszZps
Основное состояние
Рис. 6.5. Уровни энергии Не и Ne, участвующих в работе гелип-неонового
лазера.
для накачки 4s и 55-уровней Ne посредством резонансной пере-
передачи энергии. Было установлено, что в Не—Ne-лазере этот
процесс является доминирующим для получения инверсии насе-
ленностей, хотя накачка осуществляется также и за счет столк-
столкновений электронов с атомами Ne. Поскольку уровни 4s и 5s
атома Ne могут быть значительно населены, они подходят на роль
верхнего уровня лазерных переходов. Учитывая правила отбора,
мы видим, что возможными переходами являются переходы в
р-состояния. Вдобавок и время релаксации s-состояний (т5 «
6.3. Газовые лазеры
347
« 100 не) на порядок больше времени релаксации р-состояний
(тр ж 10 не). Таким образом, выполняется условие непрерывной
генерации E.25). Наконец, следует заметить, что вероятность
возбуждения электронным ударом из основного состояния на
уровни Зр и Ар вследствие меньших сечений взаимодействия зна-
значительно меньше, чем соответствующие вероятности возбужде-
возбуждения на уровни 4s и 5s.
Из сказанного выше следует, что генерацию в неоне можно
ожидать между уровнями 5s и 4s, играющими роль верхних
Крестовина
для центрирования
капилляра
Катод
Плоское зеркало с большой
отражательной способностью
Брюстеровское окошко
(не обязательное)
Резервуар с газам
Боросилихатный капилляр
Выходное зеркало
Выходной пучок
Рис. 6.6. Внутреннее устройство современного отпаянного гелий-неонового
лазера (воспроизводится с любезного разрешения Мель Грио).
уровней, и Зр и Ар, являющимися нижними. На рис. 6.5 приве-
приведены некоторые наиболее важные лазерные переходы, образую-
образующиеся между этими уровнями. Конкретный переход, на котором
будет осуществляться генерация, определяется длиной волны,
при которой коэффициент отражения многослойного диэлектри-
диэлектрического зеркала достигает максимума. Лазерные переходы уши-
уширены преимущественно благодаря эффекту Доплера. Например,
на длине волны % = 632,8 нм в соответствии с выражением
B.78) доплеровское уширение приводит к ширине линии поряд-
порядка 1,4 ГГц. Из выражения B.67) для сравнения можно оценить
величину естественного уширения, что даст AveCT = 1 /2ят яз
1 1+ 1
19 МГц, причемт-1 = Т
у
-1 = Т71
-1
a xs и тр—времена жизни
соответственно s- и р-состояний. Столкновительное уширение
еще меньше естественного [например, для чистого неона Avc za
ж 0,6 МГц при давлении р « 0,5 мм рт. ст.; см. B.66)].
На рис. 6.6. показана основная конструкция Не—Ne-лазера.
Разряд происходит между кольцеобразным анодом и большим
катодом, имеющим форму трубки и поэтому выдерживающим
348 в. Типы лазеров
столкновения с положительными ионами. На большей части
длины трубки разряд заключен в капилляр. Большой объем
газа, окружающий капилляр, работает в качестве резервуара
для пополнения смеси Не—Ne в капилляре. Если требуется по-
поляризованное излучение, то внутрь трубки также вставляется
пластинка под углом Брюстера. Зеркала лазера непосредствен-
непосредственно впаяны в концы трубки. Чаще всего используется близкая
к полусферической конфигурация, поскольку она легко юсти-
юстируется, очень устойчива к несоосности и сразу дает генерацию
в моде ТЕМоо. Единственный недостаток этой конфигурации со-
состоит в том, что она не полностью использует объем плазмы
разряда, поскольку размер пятна моды на плоском зеркале зна*
чительно меньше, чем на вогнутом (см. разд. 4.7.3). Однако
если на рис. 6.6 плоское зеркало установить слева, то область
с меньшим размером пятна почти полусферической ТЕМоо-моды
окажется за пределами капилляра, т. е. в области низкой ин-
инверсии.
Одна из наиболее характерных черт Не—Ne-лазера состоит
в том, что выходная мощность не увеличивается монотонно с то-
током разряда, а достигает максимума и затем уменьшается. По-
Поэтому промышленные Не—Ne-лазеры снабжаются источником
питания, рассчитанным только на оптимальный ток. Наличие
оптимального тока плотностью / (по крайней мере для перехо-
переходов 0,633 и 3,39 мкм) связано с тем, что при высоких плот-
плотностях тока дезактивация метастабильных состояний B'5 и
23S) атома Не происходит не только посредством диффузии
к стенкам, но и при сверхупругих столкновениях типа
е->НеA15) + е. F.2)
Поскольку вероятность этого процесса пропорциональна плот-
плотности электронов Ne, а следовательно, и /, полную скорость дез-
дезактивации можно записать в виде k2 + k3J. В этом выражении
кг — постоянное число, характеризующее дезактивацию вслед-
вследствие столкновений со стенками, a k3j (где k3 — тоже постоян-
постоянное число) представляет собой вероятность процессов сверхуп-
сверхупругих столкновений F.2). Поскольку скорость возбуждения мо-
можно записать как k\J, где k\ — снова постоянная, населенность
N* уровня 2lS, установившаяся в результате равновесия между
возбуждением и дезактивацией, дается выражением
F.3)
где Nt — населенность основного состояния атомов Не. Из
этого соотношения следует, что населенность уровня 2!5 атомов
Не, а следовательно, и уровня 3s атомов Ne, будет выходить на
насыщение при высоких плотностях тока (рис. 6.7). Однако экс-
6.3. Газовые лазеры
349
Верхний
уровень
периментально было обнаружено, что населенность нижнего ла-
лазерного уровня (Зр или 4р) продолжает расти с увеличением /
(вследствие непосредственной накачки атомов Ne из основного
состояния и каскадных излучательных переходов с верхних ла-
лазерных уровней; см. рис. 6.7). Таким образом, по мере увели-
увеличения плотности тока разряда разность населенностей растет до
некоторого максимального значения, а затем уменьшается. Сле-
Следовательно, усиление лазера, а с ним и выходная мощность
будут иметь максималь-
максимальное значение при некото-
некоторой конкретной плотности
тока.
Кроме этого оптималь-
оптимального значения плотности
тока Не—Ne-лазер имеет
другие оптимальные рабо-
рабочие параметры. В частно-
частности, к ним относятся:
1) оптимальное значение
произведения полного
давления газа р на диа-
диаметр трубки D [pD =
= 3,6—4 (мм рт. ст.)-мм]
и 2) оптимальное отноше-
отношение давлений Не к Ne
(примерно 5 : 1 для X =
= 632,7 нм и 9: 1 для ?.=
= 1,15 мкм). То, что существует оптимальное значение pD,
указывает на наличие оптимальной электронной температуры.
Элементарная теория тлеющего разряда в положительном стол-
столбе дает фактически максвелловское распределение энергии элек-
электронов, температура которых зависит только от произведения pD
[см. C.41)]. Наконец, следует заметить, что согласно экспери-
экспериментальным наблюдениям усиление при постоянном pD изме-
изменяется как D~'. Это нетрудно понять, если осознать, что при по-
постоянном pD электронная температура остается неизменной.
Следовательно, число всех процессов возбуждения за счет
электронного удара просто сводится к числу атомов, которые
могут быть возбуждены. А поскольку как верхний, так и ниж-
нижний лазерный уровни в конечном итоге заселяются за счет элек-
электронного удара, разность населенностей, а значит, и усиление
лазера прямо пропорционально давлению или величине D-1 при
постоянном pD. Поэтому диаметр капилляра стремятся сделать
как можно меньше, но так, чтобы при этом не внести дополни-
дополнительных дифракционных потерь для ТЕМ0о-моды. Таким образом,
Плотность тока
Рис. 6.7. Схематические зависимости насе-
населенностей верхнего н нижнего лазерного
уровней от плотности тока в гелий-неоно-
гелий-неоновом лазере.
350 б. Типы лазеров
большинство Не—Ne-лазеров работает с капиллярами диамет-
диаметром около 2 мм и получающаяся в этих условиях выходная мощ-
мощность на переходе 0,633 мкм может быть в пределах 1 —10 мВт
при длине трубки от 20 до 50 см. Выходная мощность на зеле-
зеленой линии обычно в десять раз меньше. КПД Не—Ne-лазера на
любом из его лазерных переходов всегда очень мал (<10-3).
Главной причиной столь низкого КПД является малая величина
квантовой эффективности лазера: из рис. 6.5 видно, что каждый
элементарный процесс накачки требует затраты энергии около
20 эВ, в то время как энергия лазерного фотона не превышает
2эВ.
Как мы показали выше, ширина линии Av0 (для перехода
633 нм) составляет около 1400 МГц. Поэтому генерацию в од-
одной продольной моде можно осуществить, если применить до-
достаточно короткий резонатор, у которого разность частот про-
продольных мод (c/2L) сравнима с Avo. Фактически это условие
означает, что L < 15—20 см. В этом случае необходимо обеспе-
обеспечивать тонкую подстройку длины резонатора, чтобы получить
совпадение частоты моды с центром контура усиления. Лазеры
этого типа допускают высокую степень стабилизации частоты
(Av/v = 10-n—10~12) с помощью провала Лэмба и даже еще
лучшая степень стабилизации получается при использовании об-
обращенного провала Лэмба с применением поглощающей ячейки,
содержащей 12912.
Генерирующие на красном переходе Не—Ne-лазеры широко
используются для многих применений, где требуется маломощ-
маломощный пучок в видимом диапазоне (например, при юстировке, счи-
считывании изображений, в метрологии, голографии, при создании
памяти на видеодисках).
6.3.1.2. Лазеры на парах меди и золота [12]
На рис. 6.8 представлена общая схема участвующих в гене-
генерации энергетических уровней лазеров этого типа. Переход g-+
-> 2 является разрешенным, а переход g-+\ электродипольно
запрещен. Таким образом, пользуясь борновским приближением,
мы вправе ожидать, что сечение перехода g->2 за счет элек-
электронного удара значительно больше, чем сечение перехода
g-*-\. Чтобы создать достаточную населенность верхнего ла-
лазерного уровня, высокая, как правило, скорость излучательного
перехода 2-*-g должна быть уменьшена до значения, сравни-
сравнимого со скоростью излучательного перехода 2-> 1. Это означает,
что плотность атомов должна быть достаточно высокой, чтобы
стал возможным захват излучения на переходе 2-*-g. Заметим,
что поскольку переход \-+g является запрещенным, лазер мо-
6.3. Газовые лазеры
351
жет работать только в импульсном режиме с длительностью им-
импульса порядка или короче времени жизни уровня 2. Релакса-
Релаксация \-*-g обычно происходит при столкновениях со стенками и
вследствие межатомной дезактивации. Соответствующая ско-
скорость релаксации устанавливает верхний предел частоты повто-
повторения импульсов лазера.
Сделав эти предварительные замечания, мы покажем на
рис. 6.9 участвующие в процессе генерации уровни энергии двух
наиболее важных лазеров
указанной категории, т. е.
лазеров на парах меди и зо-
золота. С ТОЧКИ ЗреНИЯ ЭЛеК- Медь
тронной конфигурации уров-
уровни Си и Аи весьма схожи,
поэтому мы ограничимся
тем,что рассмотрим атом ме-
меди. Основное состояние 2S\/2
атома Си соответствует кон-
Золэто
EЮ ;ш
эВ
Золото
UV
{31Z им)
Рис. 6.8. Общая схема энер-
энергетических уровней лазера
на парах металла, рабо-
работающего в режиме само-
самоограничения.
Рис. 6.9. Уровни энергии атомов меди и
золота, участвующие в лазерной генерации.
Обозначение UV на рисунке соответствует
ультрафиолету.
фигурации 3d104s. Когда внешний 45-электрон забрасывается на
следующий, более высокий 4р-уровень, возникают возбужденные
уровни 2Р\/2 и 2Рз/2- Эти уровни сильно связаны с основным со-
состоянием электродипольно разрешенным переходом. Уровни
2D3/2 и 2D5/2 соответствуют конфигурации 3rf94s2, имеющей более
низкую энергию, а переходы 2D->2Si/2 электродипольно запре-
запрещены. Атомы меди из состояния 2Р быстро (время жизни по-
порядка 7 не) релаксируют посредством спонтанного излучения
в основное состояние 25i/2, в то время как время релаксации
уровней 2D намного больше (около 0,5 мкс), поскольку этот пе-
переход разрешен слабо. Однако при температурах, которые
352
6'. Типы лазеров
используются в медном (Г = 1500°С) и золотом (Г=1650°С,
так как золото является менее тегучим веществом) лазерах, дав-
давление паров достаточно высокое (~0,1 мм рт. ст.), так что
вследствие захвата излучения релаксации по каналу 2P-*-2S\/2
не происходит. Таким образом, единственный эффективный ка-
канал релаксации проходит через состояние 2D. Релаксация насе-
населенности уровня 2D осуществляется посредством дезактивации
на стенках, если внутренний диаметр трубки невелик (<2 см).
Поджиг
o
_ Изолятор
Кусочки меди iutii золота
керамическая трипу.а
пу.
Поток буферного
газа
Рис. 6.10. Схематическое представление конструкции лазера на парах меди
или золота (воспроизводится с любезного разрешения фирмы Oxford Lasers,
Ltd.).
Для трубок больших размеров было показано, что важную роль
играет сверхупругое столкновение е-\- CuBD)->e + CuB5i/2).
В обоих случаях соответствующее время релаксации очень боль-
большое (несколько десятков микросекунд).
Учитывая сказанное, из приведенной на рис. 6.8 общей схе-
схемы уровней следует, что генерация на парах Си может осущест-
осуществляться как на переходе 2Рз/2-+2В5/2 (зеленый), так и на 2Л/2-*-
-+2D3/2 (желтый). Генерация в парах золота происходит в основ-
основном на красном переходе, поскольку УФ-переход оканчивается
на состоянии 2Ds/2, который при рабочей температуре в значи-
значительной степени заселен. Конструкция лазера на парах метал-
металлов основана на общей схеме, приведенной на рис. 6.10, причем
пары металла заключены в трубку из окиси алюминия, ко-
которая теплоизолируется помещением ее в откачанный объем.
Необходимая высокая температура в трубке обычно поддержи-
6.3. Газовые лазеры 353
вается мощностью, рассеиваемой в трубке при прохождении по-
повторяющихся импульсов тока. Анод и катод имеют форму коль-
кольцеобразных электродов и помещаются на концах трубки из оки-
окиси алюминия. В газовую смесь добавляется буферный газ (неон
под давлением 25—50 мм рт. ст.) для обеспечения достаточной
плотности электронов после прохождения разрядного импульса
для того, чтобы обеспечить объемную дезактивацию нижнего
лазерного состояния 2D. Добавление неона также способствует
уменьшению длины диффузии паров Си и таким образом предо-
предохраняет (холодные) выходные окошки от высаживания меди.
Лазеры на парах меди работают со средней выходной мощ-
мощностью до 40 Вт в импульсно-периодическом режиме с длитель-
длительностью импульса порядка 50 не и с частотой повторения
импульсов до 20 кГц1». На сегодняшний день они являются наи-
наиболее эффективными (КПД ~ 1 %) лазерными источниками в
зеленой области спектра. Этот относительно большой КПД свя-
связан как с высокой квантовой эффективностью медного лазера
(~55%; см. рис. 6.9), так и с большим сечением перехода
2S\/2-+2P при электронном ударе. Крупная установка с пример-
примерно 50 параллельно работающими лазерами на парах меди ис-
используется на ведущем в США заводе по разделению изотопов
235U. Лазеры на парах меди также используются для многих
научных применений и в некоторых промышленных приложе-
приложениях (таких, как высокоскоростная фотография и подгонка инте-
интегральных резисторов). Лазеры на парах золота все больше при-
применяются для лечения опухолей.
6.3.2. Ионные лазеры
По сравнению с нейтральными атомами шкала энергетиче-
энергетических уровней ионизованного атома является более широкой.
Действительно, в этом случае каждый электрон атома испыты-
испытывает влияние поля положительного заряда ядра Ze (Z— атом-
атомный номер элемента, а е — заряд электрона), экранированного
отрицательным зарядом (Z — 2)е оставшихся электронов. Та-
Таким образом, результирующий эффективный заряд равен 2е, в
то время как в случае нейтрального атома он равен только е.
Это расширение энергетической шкалы приводит к тому, что
ионные лазеры обычно работают в видимой и ультрафиолетовой
областях спектра. Как и лазеры на нейтральных атомах, ион-
ионные лазеры можно разделить на две категории: 1) ионные га-
газовые лазеры, использующие большинство инертных газов,
'> В настоящее время уже имеются промышленные лазеры на парах
меди со значительно лучшими параметрами. — Прим. перев.
12 О. Звелто
354
6. Типы лазеров
среди которых наиболее замечательным примером является Аг+-
лазер; 2) лазеры на парах металлов, в которых применяются
различные металлы (Sn, Pb, Zn, Cd и Se); среди этих лазеров
выделяется Не—Cd-лазер.
6.3.2.1. Аргоновый лазер [13, 14]
Упрощенная схема участвующих в генерации уровней энер-
энергии в аргоновом лазере приведена на рис. 6.11. Основное со-
состояние иона Аг+ получает-
получается путем удаления одного из
шести Зр-электронов внеш-
35
30
Z5
го
4
15
10
Метастабильные /-
уровни
ЬР
ПО А
¦зр*
(основное
состояние)
„ ней оболочки аргона. Воз-
Лазерная , v .
генерация бужденные состояния 4s и
^ 4р возникают, когда один из
оставшихся Зр5-электронов
забрасывается на уровни со-
соответственно 4s и 4р. С уче-
учетом взаимодействия с осталь-
остальными Зр-электронами оба
уровня 4s и 4р, обозначен-
обозначенные на рис. 6.11 как простые
уровни, на самом деле со-
состоят из нескольких уровней
(соответственно 9 и 2). Воз-
Возбуждение верхнего лазерно-
лазерного 4р-уровня происходит по-
посредством двухступенчатого
процесса, включающего в
себя столкновения с двумя
различными электронами.
При первом столкновении
аргон ионизируется, т. е. пе-
переходит в основное состоя-
состояние иона Аг+. Находящийся
в основном состоянии ион
Аг+ испытывает второе
столкновение с электроном,
что может привести к сле-
следующим трем различным
процессам: 1) непосред-
непосредственное возбуждение иона Аг+ на 4р-уровень (процесс а на
рис. 6.11); 2) возбуждение в более высоко лежащие состояния
с последующими каскадными излучательными переходами на
уровень 4р (процесс Ь на рис. 6.11); 3) возбуждение на метаста-
Аг
Рис. 6.11. Уровни энергии иона Аг+
участвующие в лазерной генерации.
6.3. Газовые лазеры 355
бильные уровни с последующим третьим столкновением с элек-
электроном, приводящим к возбуждению на 4р-уровень (процесс с
на рис. 6.11). Поскольку процессы 1 и 2 включают в себя два
этапа, связанных со столкновениями с электронами, следует ожи-
ожидать, что скорость накачки в верхнее состояние будет пропор-
пропорциональна квадрату плотности тока разряда. Действительно,
скорость накачки верхнего состояния (dN2/dt)p должна иметь
вид
(dN2/dt)p ~ NeNt ~ N1 F.4)
где Ne и Nt — плотности электронов и ионов в плазме {Ne^Ni
в плазме положительного столба). Так как электрическое поле
в разряде не зависит от разрядного тока, плотность электро-
электронов Ne пропорциональна плотности разрядного тока [см.
C.39)] и из выражения F.4) следует, что (dN2/dt)p ~ Р. Мож-
Можно показать, что при высоких плотностях тока рассмотренный
выше процесс 3 также приводит к тому, что скорость накачки
пропорциональна Р. Таким образом, накачка резко возрастает
с увеличением плотности тока и для того, чтобы рассмотренный
выше малоэффективный двухступенчатый процесс позволил за-
закачать достаточно ионов в верхнее состояние, необходимы вы-
высокие плотности тока (~ 1 кА/см2). Этим можно объяснить, по-
почему первый запуск Аг+-лазера произошел спустя около 3-х лет
после запуска Не—Ne-лазера (Бриджес, 1964 [15]). Ион Аг+,
будучи заброшен на верхний лазерный уровень Ар, может ре-
лаксировать на уровень 4s посредством быстрой (~ 10~8 с) из-
лучательной релаксации. Однако следует заметить, что релакса-
релаксация из нижнего лазерного 45-уровня в основное состояние Аг+
происходит за время, которое примерно в 10 раз короче. Таким
образом, условие непрерывной генерации выполняется.
Из сказанного выше следует, что генерацию в аргоновом ла-
лазере следует ожидать на переходе Ар-*-As. Так как оба уровня
4s и Ар на самом деле состоят из многих подуровней, аргоно-
аргоновый лазер может генерировать на многих линиях, среди кото-
которых наиболее интенсивными являются зеленая (Л, ^ 514,5 нм) и
синяя (X = 488 нм). Из измерений спектра спонтанного излуче-
излучения было найдено, что доплеровская ширина линии Av*0, на-
например зеленого перехода, составляет около 3500 МГц. Это
означает, что температура ионов, определяемая в соответствии с
выражением B.78), равна Т да 3000 К. Иными словами, ионы
являются очень горячими благодаря их ускорению в электриче-
электрическом поле разряда. Относительно широкая доплеровская ши-
ширина линии также приводит к тому, что в режиме синхрониза-
синхронизации мод в аргоновом лазере наблюдаются сравнительно корот-
короткие импульсы (— 150 пс; см. табл. 5.1).
12*
356
6. Типы лазеров
На рис. 6.12 приведена схема устройства современного мощ-
мощного (^1 Вт) аргонового лазера. Заметим, что как плазменный
ток, так и лазерный пучок ограничиваются металлическими
(вольфрамовыми) дисками, помещенными в керамическую
(ВеО) трубку большего диаметра. Использование такой тепло-
теплопроводной и изолирующей металлокерамической комбинации
необходимо для того, чтобы обеспечить хорошую теплопровод-
теплопроводность трубки и в то же время ослабить проблемы, связанные
с эрозией вследствие высокой температуры ионов. Диаметр цен-
центральных отверстий в дисках делается небольшим (~ 2 мм),
Охлаждающая
жидкость
Верхссло
ремнаторя
Волыррсшавыв
диски
at Лазерный пучок
~ и ток разряоа
"~ Отверстия для
возвратного ПотоКЯ
<УоУоУоойЪУо*о"оУоУо"о^УоУ<ГоУоУоУоУо"о'Ь*о .1 газа
Керамические
трубки
Мощный, соленоид
Рис. 6.12. Схематическое изображение мощной аргоновой лазерной трубки с
водяным охлаждением.
чтобы сосредоточить генерацию в ТЕМ0о-моде (для резонатора
обычно применяются вогнутые зеркала с большим радиусом
кривизны) и чтобы уменьшить необходимое значение полного
тока. В аргоновых лазерах приходится решать проблему ката-
катафореза атомов аргона. В самом деле, вследствие высокой плот-
плотности тока наблюдается значительная миграция ионов Аг+ в
сторону катода. Вблизи катода ионы нейтрализуются электро-
электронами, эмиттированными с поверхности электрода, и нейтраль-
нейтральные атомы стремятся скапливаться в прикатодной области. Для
преодоления этой трудности в дисках делают дополнительные
смещенные от центра отверстия, чтобы обеспечить за счет диф-
диффузии путь для возвращения атомов от катода к аноду. Отвер-
Отверстия проделываются таким образом, чтобы через возвратные от-
отверстия не шел ток за счет того, что длина образующихся путей
больше, чем длина пути через центральные отверстия. Внутрен-
Внутренняя керамическая трубка охлаждается водой для отвода боль-
большого количества тепла, которое неизбежно выделяется в трубке
(несколько кВт/м). Заметим также, что в области разряда па-
параллельно оси к трубке прикладывается постоянное магнитное
поле. В такой конфигурации сила Лоренца уменьшает скорость
6.3. Газовые лазеры 357
диффузии электронов к стенкам. В результате этого число сво-
свободных электронов в центре трубки увеличивается и, следова-
следовательно, возрастает скорость накачки. Это позволяет объяснить
наблюдаемое увеличение выходной мощности в случае, когда
прикладывается внешнее магнитное поле. Удерживая разряд
вблизи оси трубки, магнитное поле также уменьшает разруше-
разрушение стенок. Заметим, что в мощных лазерах (^ 1 Вт) зеркала
монтируются снаружи трубки, чтобы ослабить деградацию зер-
зеркального покрытия под воздействием вакуумного УФ-излучения,
испускаемого плазмой. У маломощных лазеров (< 1 Вт) труб-
трубка обычно изготавливается из керамического (ВеО) блока, в ко-
котором для разряда просверливается центральное отверстие.
В этом случае магнитное поле отсутствует, трубка охлаждается
воздухом, а зеркала, как и в Не—Ne-лазере, впаиваются в кон-
концы трубки.
Промышленностью изготавливаются аргоновые лазеры с во-
водяным охлаждением мощностью 1—20 Вт, генерирующие на
синем и зеленом переходах одновременно или только на одной
линии при использовании конфигурации рис. 5.4, а. Также вы-
выпускаются маломощные (<1 Вт) аргоновые лазеры с воздуш-
воздушным охлаждением. В обоих случаях выходная мощность над по-
порогом резко увеличивается с ростом плотности тока (~ Р), так
как в аргоновом лазере, в противоположность тому, что проис-
происходит в Не—Ne-лазере, нет процессов, приводящих к насыще-
насыщению инверсии. Однако КПД лазера очень мал (< Ю-3), по-
поскольку мала квантовая эффективность (~ 7,5 %; см. рис. 6.11)
и возбуждение электронным ударом происходит на множестве
уровней, которые не связаны эффективным образом с верхним
лазерным уровнем. Аргоновые лазеры широко используются для
накачки непрерывных лазеров на красителях, для множества
научных применений (взаимодействие излучения с веществом),
в лазерных принтерах, в лазерной хирургии и в техническом ос-
оснащении развлекательных программ.
В заключение данного раздела упомянем Кт+-лазер, который
получил наиболее широкое распространение среди множества
остальных ионных лазеров. Он также генерирует на многих дли-
длинах волн, среди которых наиболее интенсивной является крас-
красная F47,1 нм) ".
]> Конструкция и принцип действия Кг+-лазера аналогичны Аг+-лазеру
Это позволяет создавать «белый> лазер, в котором рабочей средой является
смесь газов Аг и Кг. Если ие принимать мер для выделения линий, то одно-
одновременно могут генерировать 5—6 линий Аг в сине-зеленом диапазоне и
2—3 линии Кг в красном. Излучение такого лазера действительно выгляди г
белым. — Прим. перев.
358
6. Типы лазеров
6.3.2.2. He—Cd-лазер
На рис. 6.13 показаны уровни энергии в системе Не—Cd,
имеющие отношение к лазерной генерации. Накачка верхних
лазерных уровней BD3/2 и 2D5/2) в Cd+ осуществляется с по-
помощью гелия через ионизацию Пеннинга. В общем случае этот
процесс молено записать в виде
А' + В^-А+В+ + е, F.5)
где ион В+ в конечном состоянии может оказаться как возбу-
возбужденным, так и невозбужденным. Разумеется, данный процесс
10-
5 -
Не Cd
Рис. 6.13. Основные уровни энергии Не—Cd-лазера.
протекает лишь в том случае, когда энергия возбужденного
атома А* больше или равна энергии, необходимой для иониза-
ионизации атома В. Избыточная энергия переходит в кинетическую
энергию электрона. Процесс протекает наиболее эффективно,
если возбужденные частицы А* находятся в метастабильном со-
состоянии. Заметим, что в отличие от резонансной передачи энер-
энергии ионизация Пеннинга является нерезонансным процессом;
6.3. Газовые лазеры 359
необходимо лишь, чтобы энергия возбуждения атома А* была
больше, чем энергия ионизации или энергия возбуждения атома
В (если атом В должен остаться в возбужденном состоянии).
Действительно, любая избыточная энергия может быть нередана
в кинетическую энергию искусственного электрона. В реакции
F.5) в случае Не—Cd-лазера в качестве частицы А* выступает
гелий в метастабильных состояниях 2'5 и 235, и это возбужде-
возбуждение при столкновении передается возбужденному иону Cd+. Хотя
процесс и не резонансный, оказалось, что сечение возбуждения
состояний D примерно в три раза больше, чем сечение возбу-
возбуждения состояний Р. Однако более важно то, что время жизни
состояний D A0~7 с) много больше времени жизни состояний Р
A0~9 с). Поэтому можно без труда достичь инверсии населен-
ностей между состояниями D и Р. Лазерная генерация была по-
получена на линиях 2D3/2~*-2P\/2 (^ = 325 нм) и 2Dg/2-*• 2Рз/2 (^ =
= 416 нм). Затем вследствие излучательной релаксации ионы
Cd+ переходят в основное состояние 25i/2.
Типичная конструкция Не—Cd-лазера имеет вид трубки с
двумя выходными окошками под углом Брюстера, а оба зер-
зеркала смонтированы отдельно от трубки. В одной из возможных
конфигураций в трубке, заполненной гелием, рядом с анодом
имеется небольшой резервуар с металлом. Этот резервуар на-
нагревается до достаточно высокой температуры (~ 250 °С), что-
чтобы в трубке создалось необходимое давление паров. Когда пары
достигают области разряда, часть атомов ионизуется и дви-
движется по направлению к катоду. В самом разряде выделяется
достаточно много теплоты, чтобы предотвратить осаждение па-
паров на стеклах трубки. Однако пары конденсируются, когда до-
достигают катодной области, в которой нет разряда и темпера-
температура низка. В результате в трубке возникает непрерывный по-
поток паров металла от анода к катоду (катафорез). Поэтому,
чтобы обеспечить длительную работоспособность трубки, ее ну-
нужно снабдить достаточным запасом Cd A г на 1000 ч). Выход-
Выходные мощности Не—Cd-лазеров могут составлять 50—100 мВт,
что ставит их в промежуточное положение между красными
Не—Ne-лазерами (несколько милливатт) и Аг+-лазерами (не-
(несколько ватт). Не—Cd-лазеры представляют интерес для мно-
многих применений, когда необходимо иметь пучки синего или
ультрафиолетового света умеренной мощности (т. е. для высоко-
высокоскоростных лазерных принтеров, голографии).
6.3.3. Молекулярные газовые лазеры
Эти лазеры используют переходы между энергетическими
уровнями молекулы. В зависимости от типа участвующего в ге-
генерации перехода молекулярные лазеры можно разделить на
360 6. Типы лазеров
следующие три класса. Во-первых, это лазеры на колебательно-
вращательных переходах. В таких лазерах используются пере-
переходы между колебательными уровнями одного и того же элек-
электронного состояния (основного состояния). Разница энергий ме-
между уровнями перехода такого типа (см. разд. 2.9) означает,
что эти лазеры генерируют в среднем и далеком ИК-диапазонах
E—300 мкм). В настоящее время наиболее важное значение
из этого класса лазеров имеет СО2-лазер, генерирующий на
длине волны 10,6 или 9,5 мкм. Следует упомянуть и другие при-
примеры: СО-лазер (X « 5мкм) и химический HF-лазер (X « 2,7—
3,3 мкм). Во-вторых, лазеры на электронно-колебательных
(вибронных) переходах. В таких лазерах используются пере-
переходы между колебательными уровнями различных электронных
состояний. В этом случае длина волны генерации обычно попа-
попадает в УФ-область спектра. Наиболее интересный пример этой
категории лазеров — азотный (X = 337 нм). Отдельный класс
лазеров, который можно было бы отнести к вибронным лазе-
лазерам, составляют эксимерные лазеры. В этих лазерах исполь-
используются переходы между различными электронными состояниями
специальных молекул (эксимеров) с длиной волны излучения,
как правило, в УФ-диапазоне. Однако эксимерные лазеры ис-
используют не только переходы между связанными состояниями
(связанно-связанные переходы), но и (на самом деле даже
чаще) переходы между связанным верхним состоянием и основ-
основным состоянием, в котором атомы отталкиваются друг от друга
(связанно-свободные переходы). Поэтому целесообразно рас-
рассматривать эти лазеры как самостоятельную категорию.
В-третьих, лазеры на чисто вращательных переходах. В них ис-
используются переходы между различными вращательными уров-
уровнями одного и того же колебательного состояния (как правило,
возбужденного колебательного уровня основного электронного
состояния). Соответствующая длина волны генерации попадает
в дальний ИК-диапазон B5 мкм — 1 мм). Поскольку эти ла-
лазеры на чисто вращательных переходах играют менее важную
роль, чем остальные категории, в последующих разделах не бу-
будем их рассматривать. В этой связи мы ограничимся тем заме-
замечанием, что в лазерах данного типа труднее получить генера-
генерацию, так как релаксация между вращательными уровнями про-
происходит, как правило, с очень большой скоростью. Поэтому
такие лазеры обычно накачивают оптически, используя выходное
излучение другого лазера (как правило, СОг-лазера). Оптиче-
Оптическая накачка возбуждает данную молекулу (например, CH3F,
X = 496 мкм) на вращательный уровень, принадлежащий неко-
некоторому колебательному состоянию выше основного уровня. По-
6.3. Газовые лазеры
361
еле этого генерация осуществляется на переходах между вра-
вращательными уровнями данного верхнего колебательного состоя-
состояния.
6.3.3.1. СО2-яазер [16, 17]
В этом лазере используется специальная смесь газов СОг, N2
и Не. Генерация происходит на переходе между двумя колеба-
колебательными уровнями молекулы СОг, а азот и гелий, как мы пока-
покажем ниже, значительно повышают КПД лазера. СОг-лазер яв-
является одним из самых мощных лазеров (от газодинамического
СОг-лазера получены выходные мощности порядка 80 кВт) и
одним из наиболее эффективных (дифференциальный КПД 15—
20 %)• Лишь полупроводниковые и СО-лазеры имеют более вы-
высокие КПД.
3000
^2000
1000
Симметричная Деформационная Асимметричная
йалентнея мода иоде бвлентняя меда
V,
аю'1)
(ИГРУ
•V-1
C02 (OO'O)
Рис. 6.14. Нижние колебательные уровни основного электронного состояния
молекул N2 и СОг (для простоты здесь не показаны вращательные уровни).
На рис. 6.14 приведены схемы энергетических уровней основ-
основных электронных состояний молекул СО2 и N2. Поскольку N2 —
двухатомная молекула, она имеет лишь одну колебательную
моду; на рисунке показаны два нижних уровня (и = 0, v= 1).
Структура энергетических уровней молекулы СО2 более слож-
сложная, поскольку эта молекула является трехатомной. Здесь мы
имеем три невырожденные колебательные моды (рис. 6.15), а
именно: 1) симметричную валентную моду, 2) деформационную
моду и 3) асимметричную валентную моду. Поэтому колеба-
колебания молекулы описываются тремя квантовыми числами п\, л2
и л3, которые определяют число квантов в каждой колеба-
колебательной моде. Таким образом, соответствующий уровень обо-
обозначается этими тремя квантовыми числами, записываемыми
362 6. Типы лазеров
в последовательности п.], «2, пз- Например, уровень 01'0 соответ-
соответствует ') колебанию, деформационная мода (мода 2) которого
имеет один колебательный квант. Поскольку из трех типов ко-
колебаний моде 2 соответствует наименьшая постоянная упругости
(колебания являются поперечными), рассматриваемый уровень
имеет наименьшую энергию. Генерация происходит на переходе
• О С 0 О 1С О
Рис. 6.15. Три фундаментальные моды колебаний молекулы СОг: Vi — сим-
симметричная валентная мода, \>г— деформационная мода, \»з — асимметричная
валентная мода.
между уровнями 00°1 и 10°0 (К « 10,6 мкм), хотя можно полу-
получить генерацию также и на переходе между уровнями 00° 1 и
02°0 (Я,« 9,6 мкм).
Накачка на верхний лазерный уровень 00° 1 происходит очень
эффективно благодаря следующим двум процессам.
а) Непосредственные столкновения с электронами. Оче-
Очевидно, основной тип непосредственного столкновения, который
следует рассмотреть, имеет вид е + СОг@00) -*-е-\- СОг@01).
Сечение столкновения с электроном для данного процесса очень
велико и намного превышает соответствующее сечение возбу-
возбуждения уровней 100 и 020. Возможно, это связано с тем, что
переход 000->-001 оптически разрешен, в то время как переход,
например 000-*-100, не является таковым. Заметим, кроме того,
что прямой электронный удар может приводить также к возбуж-
возбуждению верхних @,0, п) колебательных уровней молекулы СОг.
Однако молекула СО2 быстро релаксирует с этих верхних со-
состояний в состояние @01) посредством околорезонансных столк-
столкновений типа2)
СО2 @, 0, п) + СО2 @, 0, 0) -> СО2 @, 0, п - 1) + СО2 @, 0, 1). F.6)
1( Верхний индекс, стоящий справа при квантовом числе, соответствую-
соответствующем деформационной моде (будем обозначать этот индекс через /), возни-
возникает из-за того, что в рассматриваемом случае деформационная мода яв-
является дважды вырожденной; колебание может происходить как в плоско-
плоскости рис. 6.15, так и в плоскости, перпендикулярной ей. Следовательно, де-
деформационное колебание представляет собой определенную комбинацию этих
двух колебаний, которая описывается верхним индексом I; точнее говоря,
Ш и представляет собой угловой момент этого колебания относительно оси
молекулы СОг. Например, в состоянии 02°0 (I = 0) два вырожденных коле-
колебания комбинируются таким образом, что угловой момент Ш = 0.
2) Процесс релаксации, в котором колебательная энергия отдается в
виде колебательной энергии другой молекуле того же или иного сорта,
обычно называется «УУ-релаксациен».
6.3. Газовые лазеры 363
Данный процесс приводит к релаксации всех возбужденных мо-
молекул в состояние @, 0, 1). Действительно, благодаря этому про-
процессу сразу достигается термализация колебательной энергии
между состоянием @, 0, 1) и верхними колебательными состоя-
состояниями, и колебательную систему можно характеризовать коле-
колебательной температурой Т\. Заметим, что наиболее вероятным
является столкновение возбужденной и невозбужденной моле-
молекулы, поскольку большинство молекул СОг в газовой смеси все
же находятся в основном состоянии.
б) Резонансная передача энергии от молекулы N2. Этот про-
процесс имеет также большую эффективность благодаря тому, что
разница энергий между возбужденными уровнями двух молекул
невелика (Д? = 18 см~'). Кроме того, очень эффективным яв-
является процесс возбуждения молекулы N2 из основного состоя-
состояния на уровень v = 1 при столкновениях с электронами, причем
уровень v = 1 является метастабильным. В самом деле, переход
1->0 запрещен для электродипольного излучения, поскольку п
силу симметрии молекула N—N не может обладать полным ди-
польным моментом. Наконец, более высокие колебательные
уровни молекулы N2 находятся почти в резонансе (АЕ < kT)
с соответствующими уровнями молекулы СОг (вплоть до уровня
00°4), а переходы между возбужденными уровнями ООя и 001
молекулы СОг происходят с очень большой скоростью за счет
процесса F.6).
Рассмотрим теперь следующий вопрос, а именно релаксацию
верхнего и нижнего лазерных уровней. С этой целью заметим,
что, хотя переходы 00°1->-1000, 00°1->-0200, 10°0^01°0 и
02°0—»-01°0 оптически разрешены, соответствующие времена ре-
релаксации Тспонт для спонтанного излучения очень велики (на-
(напомним, что Тспонт ~ 1/v3). Поэтому релаксация различных ука-
указанных уровней в большей мере определяется столкновениями.
В соответствии с этим время релаксации верхнего лазерного
уровня xs можно определить по формуле типа
1/т,= Еа/Р1, F-7)
где pi — парциальные давления, а а,- — постоянные, характери-
характеризующие каждую компоненту газовой смеси в разряде. Рассма-
Рассматривая, например, случай, когда полное давление смеси равно
15 мм рт. ст. (при парциальных давлениях СОг .'N2: Не в отно-
отношении 1:1:8), мы находим, что время жизни верхнего лазер-
лазерного уровня xs « 0,4 мс. Что касается скорости релаксации ниж-
нижнего уровня, то прежде всего заметим, что вероятность перехода
100-> 020 очень велика и этот переход происходит даже в изо-
изолированной молекуле. Действительно, разность энергий этих
364 6. Типы лазеров
двух уровней много меньше kT. Кроме того, эти состояния вза-
взаимодействуют друг с другом (резонанс Ферми), поскольку де-
деформационное колебание стремится изменить расстояние между
атомами кислорода (т. е. вызывает симметричное растяжение).
При этом за счет околорезонансных процессов столкновения с
молекулами СО2 в основном состоянии уровни 10°0 и 02°0 эф-
эффективно взаимодействуют с уровнем 01'0 (VV-релаксация):
СО2 A0°0) + СО2 @0°0) -> СО2 @1'0) + СО2 @1'О) + Д?, F.8а)
СО2 @2°0) + СО2 @0°0) -> СО2 @1 '0) + СО2 @1'0) + АЕ'. F.86)
Вероятность этих двух процессов очень большая, поскольку АЕ
и АЕ' много меньше kT. Следовательно, населенности трех уров-
уровней 10°0, 02°0 и 01'0 достигают теплового равновесия за очень
короткое время. Это равносильно утверждению, что населенно-
населенности этих уровней можно описать колебательной температурой
Г2. В общем случае температура Т2 отличается от Т\. Поэтому
нам остается найти скорость релаксации с уровня 01'0 на ос-
основное состояние 00°0. Если бы она была небольшой, то это вы-
вызвало бы накопление молекул на уровне 01'0 во время генера-
генерации лазера, а затем накопление населенности на уровнях 10°0 и
02°0, поскольку уровень 01'0 находится с последними в тепло-
тепловом равновесии. Таким образом, произошло бы замедление про-
процесса релаксации всех трех уровней, т. е. в общем процессе ре-
релаксации переход 01'0-»-0000 представлял бы собой «узкое ме-
место». В связи с этим важно изучить вопрос о времени жизни
уровня 01'0. Заметим, что, поскольку переход 01'0->-0000 обла-
обладает наименьшей энергией среди всех молекул, присутствующих
в разряде, релаксация с уровня 01'0 может происходить только
путем передачи этой энергии в энергию поступательного движе-
движения сталкивающихся частиц (VT-релаксация). Из теории столк-
столкновений нам известно, что энергия с большей вероятностью пе-
передается более легким атомам, т. е. в нашем случае гелию. Это
означает, что время жизни уровня снова определяется выраже-
выражением типа F.7), причем коэффициент си для Не много больше,
чем для остальных частиц. При тех же парциальных давлениях,
что и в рассмотренном выше примере, время жизни составляет
около 20 мкс. Из только что проведенного обсуждения следует,
что это же значение времени жизни имеет и нижний лазерный
уровень. За счет того, что время жизни верхнего лазерного со-
состояния намного больше, населенность будет накапливаться на
верхнем лазерном уровне и условие непрерывной генерации так-
также выполняется. Заметим, что наличие гелия приводит и к дру-
другому важному эффекту: за счет своей высокой теплопроводно-
теплопроводности гелий способствует поддержанию низкой температуры СО2
6.3. Газовые лазеры 365
за счет отвода теплоты к стенкам газоразрядной трубки. Низ-
Низкая температура поступательного движения СОг необходима для
того, чтобы избежать заселения нижнего лазерного уровня за
счет теплового возбуждения, поскольку разность энергий между
уровнями в действительности сравнима с kT. Таким образом,
благоприятное воздействие, которое оказывают на лазер N2 и
Не, объясняется тем, что N2 способствует заселению верхнего
лазерного уровня, а Не — обеднению нижнего.
Из представленного выше рассмотрения ясно, что генерация
в СОг-лазере может осуществляться на переходе либо @0° 1) -»¦
-*-A0°0) (А, = 10,6 мкм), либо @0°1)^@2°0) (К = 9,6 мкм).
Поскольку сечение первого перехода больше, а верхний уровень
один и тот же, генерация, как правило, происходит на переходе
00°1 -*¦ 10°0. Для получения генерации на линии 9,6 мкм в резо-
резонатор для подавления генерации на линии с наибольшим усиле-
усилением помещается соответствующее частотно-селективное устрой-
устройство (часто применяется система, изображенная на рис. 5.4,6).
До сих пор в нашем обсуждении мы пренебрегали тем фактом,
что как верхний, так и нижний лазерный уровни на самом деле
состоят из многих близко расположенных вращательных уров-
уровней. Соответственно и лазерный переход может состоять из не-
нескольких равноотстоящих колебательно-вращательных перехо-
переходов, принадлежащих Р- или /?-ветвям (см. рис. 2.28), причем
Р-ветвь дает наибольшее лазерное усиление. Для полноты кар-
картины следует также учесть тот факт, что благодаря больцманов-
скому распределению населенности между вращательными уров-
уровнями наибольшую населенность имеет вращательный уровень
/' = 21 верхнего 00°1 состояния (рис. 6.16) '>. На самом деле
генерация фактически будет происходить на колебательно-вра-
колебательно-вращательном переходе с наибольшим усилением, т. е. начинаю-
начинающемся с самого населенного уровня. Это происходит потому, что
скорость термализации вращательных уровней в СОг-лазере
[~ 107 г''(мм рт. ст.)~'] больше, чем скорость уменьшения
населенности (за счет спонтанного и вынужденного излучения)
того вращательного уровня, с которого происходит лазерная ге-
генерация. Поэтому в генерации лазера на вращательном пере-
переходе с максимальным усилением будет принимать участие полная
населенность всех вращательных уровней. Следовательно, поды-
подытоживая наше обсуждение, можно сказать, что генерация в СОг-
лазере при нормальных условиях возникает на линии Р B2)
[т. е. (/' = 21)->-(/" = 22)] перехода @0°1)^A0°0). Другиели-
нии того же самого перехода, а также линии, принадлежащие
1( Заметим, что в силу симметрии заселяются лишь уровни с нечетными
значениями /.
366
6. Типы лазеров
переходу @0°1)->-@200), можно выделить с помощью схемы,
приведенной, например, на рис. 5.4,6 (расстояние между генери-
генерирующими вращательными линиями в СО2-лазере составляет
около 2 см~').
Основной вклад в ширину линии СОг-лазера дает эффект
Доплера. Однако по сравнению с лазером, скажем, видимого
диапазона из-за низкой частоты vo лазерного перехода допле-
ровская ширина линии довольно мала (около 50 МГц) [см.
B.78)]. Однако теперь уже нельзя пренебречь столкновитель-
¦/-4/
J'=21
\
•/=//
r
Генерация
[ линия РB2)
Населенность
Рис. 6.16. Относительная населенность вращательных подуровней верхнего
лазерного уровня молекулы ССЬ-
ным уширением, особенно при высоком полном давлении газо-
газовой смеси (р > 100 мм рт. ст.). Действительно, его величина со-
составляет _Avc = 7,58 (фС02 + 0,73i|>N2 + 0,6фНе) p C00/7)I/2 МГц,
где т|) — относительные парциальные давления в газовой смеси,
Т — температура, а р — полное давление (в мм рт. ст.). Выби-
Выбирая в качестве примера рассмотренный выше случай низкого
давления (р = 15 мм рт. ст. для смеси СО2: N2: Не в отношении
1:1:8) при Г = 400 К, получаем Avc « 43 МГц. Таким обра-
образом, при низких давлениях полная ширина линии, определяемая
совместным действием доплеровского и столкновительного уши-
рений, довольно мала (< 100 МГц). В этом случае лазерная
генерация будет сосредоточена в одной продольной моде, если
длина резонатора меньше 1 м. При этом нам, возможно, при-
пришлось бы произвести точную настройку длины резонатора, что-
6.3. Газовые лазеры
367
бы обеспечить точное попадание частоты моды в центр контура
усиления. Частоту лазеров данного типа можно стабилизировать
с высокой степенью точности (Av/v <Г 10~") при помощи про-
провала Лэмба или (что еще лучше) обращенного провала Лэмба
(с использованием метановой ячейки). Лазеры с большей дли-
длиной и(или) с более высоким давлением смеси генерируют не-
несколько продольных мод, и необходимость в точной подстройке
длины лазерного резонатора отпадает.
С точки зрения конструкции СО2-лазеры можно подразде-
подразделить на семь типов: 1) лазеры с медленной продольной про-
Впуск
газа
Зертло\
Ох,
гюгцсся
:лажда,
жидкость
h Изолятор
Зеркало
Охлаждающая
жидкость
Выпуск
газа
Рис. 6.17. Схематическое представление волноводпого СОг-лазера с продоль-
продольной прокачкой газа.
качкой, 2) лазеры с быстрой продольной прокачкой, 3) отпаян-
отпаянные лазеры; 4) волноводные лазеры, 5) лазеры с поперечной
прокачкой, 6) лазеры с поперечным возбуждением при атмо-
атмосферном давлении (ТЕА-лазеры) и 7) газодинамические ла-
лазеры. Прежде чем рассматривать эти лазеры, следует указать
на то, что, хотя они и отличаются друг от друга по многим
своим рабочим параметрам (например, выходной мощности),
все они имеют общую важную особенность, а именно высокий
дифференциальный КПД A5—25%). Столь высокий КПД яв-
является следствием большого квантового выхода (~40%; см.
рис. 6.14) и очень высокоэффективного процесса накачки, кото-
который имеет место в СО2-лазере при оптимальной электронной
температуре разряда (см. рис. 3.25).
а) Лазеры с медленной продольной прокачкой. Впервые ге-
генерация в СО2-лазере была получена в лазере именно такого
типа (Ч. Пател, 1964 г. [18]). Газовая смесь медленно прока-
прокачивается вдоль лазерной трубки (см. рис. 6,17) просто для того,
368 в. Типы лазеров
чтобы удалить продукты диссоциации, в частности СО, которые
в противном случае загрязняют лазерную среду. Отвод тепла
обеспечивается теплопередачей в радиальном направлении к
стенкам трубки (обычно стеклянным), которые охлаждаются
извне подходящим теплоносителем (как правило, водой). Часто
применяется конструкция с внутренним зеркалом, и, по крайней
мере в конфигурации рис. 6.17, один из металлических держа-
держателей, который включает в себя зеркало резонатора, должен на-
находиться при высоком напряжении. Одно из главных ограниче-
ограничений этого лазера состоит в том, что независимо от диаметра
трубки в нем имеется верхний предел выходной мощности с еди-
единицы длины разряда E0—60 Вт/м). Это можно объяснить сле-
следующим образом. При данной плотности тока / число молекул,
накачиваемых на верхний лазерный уровень в единицу времени,
можно записать в виде [см. C.32) и C,39)]
(dN2/dt)p « (JoeNg/e) (Отепл/Одрейф), F.9)
где ае — соответствующее сечение возбуждения электронным
ударом, в которое входит как прямое возбуждение, так и воз-
возбуждение посредством передачи энергии, Ng — полная населен-
населенность основного состояния СО2, а е — заряд электрона. Для ско-
скоростей накачки, намного превышающих пороговое значение, вы-
выходная мощность Р пропорциональна величине (dN2/dt)p. По-
Поэтому можно записать, что
Р ~JNgVa~JpD4\ F.10)
здесь Va — объем активной среды, D — ее диаметр, / — ее длина,
а р — давление газа. При оптимальных рабочих условиях мы
имеем теперь следующее: 1) для поддержания оптимальной
электронной температуры разряда должно быть постоянным
произведение pD [~22,5 (мм рт. ст.) -см; например, 15 ммрт. ст.
при D = l,5 см]; 2) из-за ограничений на тепловыделение,
связанных с необходимостью отвода тепла к стенкам трубки,
существует оптимальное значение плотности тока, причем оно
обратно пропорционально диаметру трубки D. То, что оптималь-
оптимальное значение / должно существовать, можно понять, если заме-
заметить, что избыточная плотность тока приводит к избыточному
нагреву смеси (даже если КПД = 20%, около 80% электриче-
электрической мощности рассеивается в разряде в виде тепла), вследст-
вследствие чего мы имеем тепловое заселение нижних лазерных уров-
уровней. Обратно пропорциональную же зависимость оптимального
значения J от D можно объяснить, если принять во внимание
то, что чем больше диаметр трубки, тем более затруднена пере-
6.3. Газовые лазеры 369
дача выделяющегося тепла к стенкам {). Из этих рассуждений
мы заключаем, что при оптимальных условиях / и р обратно
пропорциональны величине D и, следовательно, в соответствии
с выражением F.10) оптимальное значение Р определяется
лишь длиной трубки /. СО2-лазеры с медленной продольной про-
прокачкой относительно низкой мощности E0—100 Вт) широко
используются в лазерной хирургии, для подгонки резисторов,
для резки керамических пластин в электронной промышленно-
промышленности и сварки тонких металлических листов (толщиной меньше
1 мм).
б) Лазеры с быстрой продольной прокачкой. Одним из воз-
возможных и практически очень интересных решений, позволяю-
позволяющим преодолеть ограничения на выходную мощность лазеров
рассмотренного выше типа, является прокачка газовой смеси
вдоль трубки с очень высокой сверхзвуковой скоростью (около
50 м/с). В этом случае теплота уносится просто путем удаления
разогретой смеси, которая, прежде чем вернуться в трубку, ох-
охлаждается вне ее пределов в соответствующем теплообменнике.
При этом плотность тока не имеет оптимального значения, мощ-
мощность фактически возрастает линейно с увеличением /, и можно
достичь значительно более высокой выходной мощности на еди-
единицу длины разряда (~1 кВт/м и даже больше). Помимо
охлаждения смесь за пределами трубки пропускается через ка-
катализатор, чтобы газ СО прореагировал с О2 (некоторое количе-
количество О2 уже имеется в смеси благодаря диссоциации СО2 в об-
области разряда). Это обеспечивает необходимую регенерацию
молекул СО2. В этом режиме необходимая подпитка смеси край-
крайне мала и можно добиться работы в полностью запаянном ре-
режиме. В настоящее время СО2-лазеры с быстрой продольной
прокачкой высокой мощности A—3 кВт) нашли широкое при-
применение во многих операциях по обработке материалов и, в
частности, для лазерной резки металлов (с толщиной до не-
нескольких миллиметров).
в) Отпаянные лазеры. Если в устройстве, показанном на
рис. 6.17, остановить прокачку газовой смеси, то через несколько
минут генерация прекратится, поскольку продукты химической
реакции (в частности, молекулы СО), образующиеся в разряде,
уже не удаляются, а поглощаются стенками трубки или начи-
начинают взаимодействовать с электродами, нарушая таким обра-
образом равновесие в смеси СО2—СО—О2. В конечном счете это
привело бы к диссоциации молекул СО2. Чтобы обеспечить
1( Иными словами, количество теплоты пропорционально JD2, а площадь
стенок пропорциональна D, Поэтому в первом приближении можно считать,
что температура пропорциональна JD. Отсюда /0Пт ~ I/O.— Прим. перев.
370 6. Типы лазеров
регенерацию молекул СО2 из СО, в газоразрядной трубке отпа-
отпаянного лазера должен находиться определенный катализатор.
Для этого в газовую смесь можно просто добавить небольшое
количество паров воды (около 1 %). В данном случае регенера-
регенерация молекул СО2 осуществляется, по-видимому, благодаря сле-
следующей реакции:
СО'-f ОН^СО^+Н, F.11)
в которой участвуют колебательно-возбужденные молекулы СО
и СО2. Требуемое сравнительно небольшое количество паров
воды можно получить, добавляя в разряд газообразный водо-
водород и кислород. В действительности оказывается, что в смесь
необходимо добавлять только водород, поскольку кислород об-
образуется в процессе диссоциации молекул СО2. Другая возмож-
возможность инициирования реакции релаксации основана на использо-
использовании горячего C00°С) никелевого катода, который выполняет
роль катализатора. Применение этих методов привело к созда-
созданию отпаянных трубок с долговечностью более 10 000 ч.
Выходная мощность отпаянных лазеров с единицы длины со-
составляет около 60 Вт/м, т. е. значение которое дают и лазеры
с продольной прокачкой газа. Маломощные (порядка 1 Вт) от-
отпаянные лазеры с коротким резонатором и поэтому работающие
в одномодовом режиме нередко применяются в качестве гете-
гетеродинов в экспериментах по оптическому гетеродинированию.
Отпаянные СО2-лазеры несколько более высокой мощности (по-
(порядка 10 Вт) привлекают внимание с точки зрения их исполь-
использования в лазерной микрохирургии и для механической обра-
обработки микрорезанием.
г) Волноводные лазеры. Если диаметр лазерной трубки на
рис. 6.17 уменьшить до нескольких миллиметров B—4 мм), то
лазерное излучение в трубке распространяется как в волноводе.
Такие волноводные СО2-лазеры имеют низкие дифракционные
потери. Было показано, что наилучшие характеристики полу-
получаются с трубками, изготовленными из ВеО или SiO2. Главным
преимуществом волноводного СО2-лазера является то, что бла-
благодаря небольшому диаметру отверстия давление смеси должно
быть высоким A00—200 мм рт. ст.). Возрастание давления при-
приводит к увеличению усиления на единицу длины. Это означает,
что можно изготавливать короткие СО2-лазеры (L <Г 50 см), не
сталкиваясь с трудной задачей уменьшения потерь в резонаторе.
Однако мощность, которую можно снять с единицы длины раз-
разряда, подвержена тому же ограничению, что и мощность рас-
рассмотренного выше лазера с медленной продольной прокачкой
f — 50 Вт/м). Поэтому волноводные СО2-лазеры играют осо-
особенно важную роль, когда имеется необходимость в коротких
6.3. Газовые лазеры
371
компактных СО2-лазерах низкой мощности (Р <Г 30 Вт) (напри-
(например, для лазерной микрохирургии). Чтобы полностью реализо-
реализовать возможности, связанные с компактностью этих лазеров, они
работают, как правило, в отпаянном режиме. Конструкция ла-
лазера может быть такой, как на рис. 6.17, когда ток разряда про-
протекает вдоль лазерной трубки, либо такой, как на рис. 6.18, ког-
когда электрический ток (обычно от высокочастотного источника)
течет поперек трубки. При фиксированном значении электри-
электрического поля & (из-за того, что величина S'/p должна быть по-
постоянной) конструкция с поперечной накачкой имеет значитель-
значительное преимущество перед продольной накачкой, поскольку она
/
ВЧ~ питание
Мерами, ческие
стенки
/^
Капиллярный
волновое
i
i
ев
1
i
зрячий
тектрод
L
L.
L
^ Г
J
"^^ Заземленный,
электрод
Ш Металл
? ВеО или А120,
Рис. 6.18. Схематическое представление волноводного СО2-лазера с накач-
накачкой ВЧ-полем.
допускает намного более низкие (на один — два порядка вели-
величины) напряжения на электродах. Высокочастотное (v «
« 30 МГц) возбуждение обладает многими преимуществами,
среди которых наиболее существенными, возможно, являются
следующие: 1) в этой схеме отсутствуют постоянные анод и ка-
катод, и поэтому исчезают трудности, связанные с химическими
процессами в газе вблизи катода; 2) благодаря включению по-
последовательно с разрядом простых элементов, не рассеивающих
энергии (например, диэлектрической пластины), обеспечивается
устойчивый разряд. В силу этих различных преимуществ высо-
высокочастотные разряды все больше применяются не только в вол-
новодных лазерах, но и в лазерах как с быстрой продольной
прокачкой, так и с поперечной прокачкой, к рассмотрению кото-
которых мы и перейдем непосредственно. В качестве последнего за-
замечания укажем, что трубку волноводного СОг-лазера либо во-
вообще не охлаждают, либо, если необходимо отбирать макси-
максимальную мощность, охлаждают воздушной струей.
372
6. Типы лазеров
Теплообменник
Рис. 6.19. Схема устройства СО2-лазера
с поперечной прокачкой.
д) Лазеры с продольной прокачкой. Другую возможность
снять ограничения на мощность в лазере с медленной продоль-
продольной прокачкой предоставляет прокачка газовой смеси перпенди-
перпендикулярно разряду (рис. 6.19). Если смесь прокачивать доста-
достаточно быстро, то, как и в случае лазера с быстрой продольной
прокачкой, теплота уносится механически, а не путем переноса
к стенкам. Поэтому насыщения выходной мощности при увели-
увеличении тока разряда не происходит, и можно достичь высоких
выходных мощностей с единицы длины разряда (несколько
кВт/м; см. также рис. 5.17),
как и в лазерах с быстрой
продольной накачкой. Сле-
дует заметить, что в этом
случае оптимальное общее
давление смеси (порядка
100 мм рт. ст.) теперь при-
примерно на порядок выше, чем
давление в системах с про-
продольной прокачкой и боль-
большим диаметром трубки. Уве-
Увеличение общего давления р
требует соответствующего
увеличения электрического
поля & разряда. Действительно, для реализации оптимальных
условий работы необходимо, чтобы во всех случаях отношение
<81р оставалось примерно одинаковым, поскольку это отноше-
отношение определяет среднюю энергию электронов в разряде [см.
C.38)]. Однако при этом устройство с продольным разрядом
типа показанного на рис. 6.17 оказалось бы непрактичным, по-
поскольку оно потребовало бы очень высокого приложенного на-
напряжения A00—500 кВ на длине разряда 1 м). Поэтому делают
так, чтобы разряд протекал в направлении, перпендикулярном
оси резонатора (эти лазеры называются ТЕ-лазеры, аббревиа-
аббревиатура англ. transverse electric field). Одна из наиболее простых
реализаций ТЕ-схемы рис. 6.19 показана на рис. 6.20. В данной
конструкции катод имеет форму металлического стержня, а
анод, чтобы достичь однородности разряда, выполнен в виде
многих отдельных электродов (сегментный анод).
ТЕ СО2-лазеры с быстрой поперечной прокачкой высокой вы-
выходной мощности A—20 кВт) широко применяются во многих
приложениях, связанных с обработкой металла (резание, свар-
сварка, поверхностная закалка, поверхностное легирование метал-
металлов). По-сравнению с лазерами с быстрой продольной прокачкой
эти лазеры имеют более простую конструкцию, поскольку для
поперечной прокачки не нужна большая скорость прокачки, как
6.3. Газовые лазеры 373
в случае продольной. Однако лазеры с быстрой продольной про-
прокачкой имеют значительно лучшее качество пучка, поскольку у
них ток разряда имеет цилиндрическую симметрию, что делает
эти лазеры особенно привлекательными для механической обра-
обработки резанием.
е) СО2-лазеры атмосферного давления с поперечным возбуж-
возбуждением [18]. В непрерывных ТЕ СОг-лазерах нелегко поднять
давление выше ~ 100 мм рт. ст. В тлеющем разряде выше этого
Глухое зеркало Катод
Формирующее
зеркало
Сегментный
анод
_. . s- \/ г^ойХа \ \ У Выходное
Теплообменник уЧ^ \^§&\ \Х зеркало
Поток гяза ^_^ Вентилятор
Рис. 6.20. Схематическое представление особенно простого ССЬ-лазера с по-
поперечной прокачкой.
давления и при обычно используемых плотностях тока возни-
возникают неустойчивости, которые приводят к образованию дуги в
объеме разряда. Для преодоления этого осложнения к электро-
электродам, между которыми происходит поперечный разряд, прикла-
прикладывают импульсное напряжение. Если длительность импульса
достаточно мала (доля микросекунды), то неустойчивости в раз-
разряде не успеют развиться и, следовательно, рабочее давление
газа можно повысить вплоть до атмосферного и выше. Эти ла-
лазеры называются ТЕА-лазерами (аббревиатура англ. слов trans-
transversely excited at atmospheric pressure). Таким образом, ТЕА-
лазеры работают в импульсном режиме и позволяют получать
большой энергосъем с единицы объема разряда A0—50 Дж/л).
374
6. Типы лазеров
Для предотвращения дугового разряда используется также тот
или иной тип ионизации, которая предшествует возбуждающему
импульсу напряжения (предионизация). На рис. 6.21 приве-
приведена схема, которая часто применяется на практике и в которой
ионизация обеспечивается сильным УФ-излучением нескольких
искр, которые пробегают параллельно оси трубки. Излучение
этих искр в дальней УФ-области приводит к необходимой иони-
ионизации посредством как фотоионизации составляющих смеси,
так и благодаря индуцированной УФ-излучением эмиссии элек-
электронов из электродов (УФ-предыонизация). К другим методам
Газовая смесь
Заднее зеркало
Искровой
источник
питания
Искровой
источник УФ
Быстрое
\ включение
Разрядные
электроды
Рис. 6.21. Схематическое представление (вид вдоль лазерной оси) лазера,
накачиваемого поперечным разрядом с использованием УФ-излучения от
искрового источника для предыонизации газа.
предыонизации относятся использование импульсных источни-
источников электронного пучка (предыонизация электронным пучком)
и ионизация благодаря коронному эффекту (коронная предыо-
предыонизация). Как только произошла ионизация во всем объеме ла-
лазерного разряда, закорачивается быстродействующий вентиль
(водородный тиратрон или разрядный промежуток) и через
электроды разряда проскакивает главный разрядный импульс.
Поскольку поперечные размеры лазерного разряда обычно ве-
велики (несколько сантиметров), то зеркала резонатора часто вы-
выбирают таким образом, чтобы они образовывали неустойчивый
резонатор (неустойчивый конфокальный резонатор положитель-
положительной ветви; см. рис. 4.41). При низкой частоте повторения
импульсов (порядка 1 Гц) нет необходимости в прокачке газо-
газовой смеси. При более высоких частотах повторения импульсов
(вплоть до нескольких килогерц) газовая смесь прокачивается
6.3. Газовые лазеры 375
в перпендикулярном оси резонатора направлении и охлаждает-
охлаждается в соответствующем теплообменнике. Другой интересной ха-
характеристикой этих лазеров являются их относительно широкие
полосы генерации (~4 ГГц при р=1 атм благодаря столкно-
вительному уширению). Таким образом в ТЕА-лазерах в ре-
режиме синхронизации мод были получены оптические импульсы
длительностью менее 1 не. Помимо широкого использования TEA
СОг-лазеров в научных приложениях они находят многочислен-
многочисленные применения в промышленности для обработки материалов
в тех случаях, когда импульсный характер пучка дает некоторое
преимущество (например, импульсная лазерная маркировка).
ж) Газодинамический СО2-лазер [19]. Газодинамический
СО2-лазер заслуживает особого внимания, поскольку инверсия
населенностей в нем создается не электрическим разрядом, а за
счет быстрого расширения газовой смеси (содержащей СО2),
предварительно нагретой до высокой температуры. Инверсия на-
населенностей возникает в потоке в области расширения. В лите-
литературе имеются сообщения о том, что от газодинамических СОг-
лазеров были получены наиболее высокие мощности.
Принцип действия газодинамического лазера можно кратко
описать следующим образом (рис. 6.22). Предположим, что вна-
вначале газовая смесь находится при высокой температуре (напри-
(например, Г =1400 К) и высоком давлении (например, р = 17 атм)
в соответствующем резервуаре. Поскольку газ первоначально
находится в термодинамическом равновесии, у молекулы СОг
будет большой населенность уровня 00° 1 (порядка 10% насе-
населенности основного состояния; см. рис. 6.22,6). Разумеется, по
сравнению с этой населенность нижнего уровня является более
высокой (~25%), и, следовательно, инверсия населенностей
отсутствует. Предположим теперь, что газовая смесь истекает
через какие-то сопла (рис. 6.22, в). Поскольку расширение яв-
является адиабатическим, температура поступательного движения
смеси становится очень низкой. За счет VT-релаксации населен-
населенности как верхнего, так и нижнего лазерных уровней будут
стремиться к новым равновесным значениям. Однако, поскольку
время жизни верхнего уровня больше времени жизни нижнего,
релаксация нижнего уровня произойдет на более ранней стадии
процесса расширения (рис. 6.22,6). Таким образом, ниже по
потоку от зоны расширения будет существовать достаточно ши-
широкая область с инверсией населенностей. Протяженность этой
области L приближенно определяется временем, необходимым
для передачи возбуждения от молекулы N2 молекуле СО2. При
этом оба лазерных зеркала выбирают прямоугольной формы и
их располагают так, как показано на рис. 6.22, в. Такой способ
создания инверсии населенностей будет эффективным лишь в
376
6. Типы лазеров
Область
дозвуковых
скоростей
¦*¦ Активная область (L=20cu)
Высота сопла = 0,8 мм
Нижний уровень
/Верхний уровень
-10
10 20 30
Расстояние, см
6
Диффузоры
\
50
Зершо
•Зеркало
Рнс. 6.22. Схема, иллюстрирующая работу газодинамического СОг-лазера.
а—принцип действия устройства; б — пространственное распределение на-
населенности N* верхнего н нижнего лазерных уровней (нормированной па на-
населенность основного уровня Wood); в—геометрия резонатора. (Рисунки а
и б воспроизведены с разрешения редакции журнала IEE Spectrum, v. 7,
№ 11, 51—58 A970); Copyright 1970 by the Institute of Electrical and Elec-
Electronics Engineers. Inc.)
6.3. Газовые лазеры 377
том случае, когда в процессе расширения температура и давле-
давление смеси понижаются за время, которое 1) мало по сравнению
с временем жизни верхнего лазерного уровня и 2) велико по
сравнению с временем жизни нижнего лазерного уровня. Чтобы
удовлетворить этим условиям, расширение должно проходить со
сверхзвуковыми скоростями (число Маха ~4). В заключение
следует заметить, что начальную высокую температуру газовой
смеси получают за счет сгорания специально подобранного топ-
топлива (например, сгорания СО и О2 или бензола С6Н6 с закисью
азота (N2O), при этом автоматически образуется смесь СО2/Н2О
в отношении 2:1).
Согласно опубликованным данным, от газодинамических
СОг-лазеров можно получить выходную мощность до 80 кВт,
причем химический КПД" составляет 1 %. Непрерывный режим
работы такого лазера был получен лишь в течение короткого
времени (несколько секунд), что связано с сильным нагре-
нагревом отдельных элементов (например, зеркал) лазерным пучком.
Вследствие трудностей, возникающих при работе со сверхзвуко-
сверхзвуковым истечением, промышленные применения для газодинамиче-
газодинамических лазеров пока не найдены. Наше короткое рассмотрение
здесь имело целью подчеркнуть интерес к самой идее создания
инверсии населенностей путем газодинамического расширения.
6.3.3.2. СО-лазер
Другим примером газового лазера на колебательно-враща-
колебательно-вращательных переходах, который мы кратко рассмотрим, является
СО-лазер. Этот лазер привлек значительный интерес в связи с
тем, что он генерирует на более короткой, чем СОг-лазер, длине
волны (к « 5 мкм), а также имеет высокий КПД и высокую вы-
выходную мощность. Экспериментально достигнутые [20] выход-
выходные мощности таких лазеров превышают 100 кВт, а КПД —
60 %. Однако, чтобы осуществить лазер с такими параметрами,
газовую смесь приходится охлаждать до низких температур
G7—100 К). В генерацию лазера при А, « 5 мкм дают вклад
несколько вращательно-колебательных переходов [например,
при температуре Г = 77 К, начиная с переходов о'(И) ->-оA0)
и кончая переходами v'G) -»-uF)] сильно возбужденной моле-
молекулы СО.
Накачка колебательных уровней молекулы СО осуществляет-
осуществляется возбуждением электронным ударом. По аналогии с изоэлек-
тронной молекулой N2 молекула СО обладает необычно большим
'> Химический КПД определяется как отношение выходной энергии ла-
лазера к полной химической энергии, которая может быть получена при сго-
сгорании топлива.
378
6. Типы лазеров
сечением возбуждения колебательного уровня электронным уда-
ударом. При этом почти 90 % энергии электронов в разряде может
быть преобразовано в колебательную энергию молекул СО. Дру-
Другая важная особенность молекул СО состоит в том, что скорость
VV-релаксации у них существенно больше, чем скорость VT-pe-
лаксации (которая необычно мала). Вследствие этого населен-
населенность высоколежащих колебательных уровней не будет подчи-
подчиняться больцмановскому распределению, поскольку в данном
случае очень большую роль играет процесс, известный как ан-
ангармоническая накачка11. Хотя данное
явление не позволяет получить полную
инверсию населенностей колебательных
уровней молекулы СО, здесь возможна
так называемая частичная инверсия. Это
иллюстрируется на рис. 6.23, на котором
показаны населенности вращательных
уровней двух соседних колебательных со-
состояний. Хотя полные населенности двух
колебательных состояний одинаковы, мы
видим, что инверсия существует для двух
переходов Р-ветви [(/' = 5)->-(/ = 6),
(/' = 4)->-(/ = 5)] и двух переходов
?-ветви, указанных на рисунке. Таким
образом, при частичной инверсии может
возникать генерация; в этом случае важ-
ную роль играет новое явление, называе-
называемое каскадной генерацией. Действитель-
Действительно, генерация вызывает уменьшение населенности вращатель-
вращательного уровня верхнего состояния и увеличение населенности
вращательного уровня нижнего колебательного состояния. По-
Последний из упомянутых уровней в процессе генерации может
накопить достаточную населенность, чтобы образовалась инвер-
инверсия по отношению к вращательному уровню более низкого коле-
колебательного состояния. В то же время населенность вращатель-
о
flac&iettHocm
Рис. 6.23. Частичная ни-
версия между двумя ко-
колебательными перехода-
переходами (и н и'), имеющими
одинаковые полные на-
населенности.
'> Ангармоническая накачка обусловлена процессом столкновения типа
СО(у = п) +СО(у = т)-»-СО(у = л + 1) + СО(у = т — 1), где п > т.
Вследствие энгармонизма (явление, характерное для всех молекулярных
осцилляторов) расстояние между колебательными уровнями уменьшается
по мере продвижения вверх по колебательным уровням (см. также рис. 2.23).
Это означает, что при столкновении указанного выше типа при п > m сум-
суммарная колебательная энергия двух молекул СО после столкновения мень-
меньше, чем до него. Поэтому процесс столкновения в указанном направлении
происходит с большей вероятностью, чем в обратном. Отсюда следует, что
наиболее горячие молекулы COfCO(v = п)] могут подниматься вверх по
колебательным уровням, что приводит к небольцмановскому распределению
населенностей среди колебательных уровней.
6.3. Газовые лазеры 379
ного уровня верхнего состояния может значительно уменьшиться,
вследствие чего возникает инверсия населенностей между этим
уровнем и вращательным уровнем более высокого колебатель-
колебательного состояния. Процесс каскадного взаимодействия с очень
низкой скоростью VT-релакеации приводит к тому, что большая
часть колебательной энергии переходит в энергию выходного
излучения лазера. Данное обстоятельство, а также очень высо-
высокая эффективность возбуждения обусловливают высокий КПД
СО-лазера. Для того чтобы ангармоническая накачка была вы-
высокоэффективной, температура рабочей смеси должна быть низ-
низкой. Действительно, отклонение распределения населенностей
от больцмановского, а следовательно, и степень частичной ин-
инверсии быстро увеличиваются с понижением температуры посту-
поступательного движения.
Как и в случае СОг-лазера, СО-лазер работает с продольной
прокачкой газовой смеси, в импульсном поперечном электриче-
электрическом разряде с предыонизацией электронным пучком, а также
при газодинамическом возбуждении. Промышленное производ-
производство СО-лазеров пока сдерживается необходимостью его работы
при низких температурах. Однако недавно были построены СО-
лазеры, работающие при температуре, близкой к комнатной, и
сохраняющие высокий дифференциальный КПД B0—30%), и
теперь СО-лазеры всерьез рассматриваются в качестве реаль-
реального источника для приложений в медицине и обработке мате-
материалов.
6.3.3.3. Азотный лазер [21]
В качестве наиболее интересного примера лазеров на элек-
электронно-колебательных переходах рассмотрим Ыг-лазер. Этот ла-
лазер имеет наиболее важную линию генерации на длине волны
Я, = 337 нм (УФ) и относится к типу лазеров на самоограни-
самоограниченных переходах. Импульсный азотный лазер широко исполь-
используется для накачки лазеров на красителях.
На рис. 6.24 показана схема соответствующих энергетиче-
энергетических уровней молекулы N2. Генерация происходит на так назы-
называемой второй положительной системе полос, т. е. на переходе
из состояния С3П« (будем далее называть его С-состоянием) в
состояние В3Пг (В-состояние) ". Предполагается, что возбужде-
возбуждение С-состояния обусловлено столкновениями молекул N2, на-
находящихся в основном состоянии, с электронами. Поскольку как
С-, так и В-состояния являются триплетными, переходы в них из
11 При других условиях генерация может осуществляться также в ближ-
ближней ИК-области спектра @,741—1,23 мкм), на первой положительной систе-
системе полос на переходе В Ug —*¦ А 2*.
380
6. Типы лазеров
основного состояния запрещены по спину. Однако согласно прин-
принципу Франка — Кондона можно ожидать, что сечение возбужде-
возбуждения уровня v = 0 С-состояния будет больше, чем сечение воз-
возбуждения уровня о = 0 В-состояния. Действительно, положение
минимума потенциальной кривой В-состояния сдвинуто в об-
область, соответствующую большему межъядерному расстоянию,
чем в случае С-состояния. Время жизни (излучательное) С-со-
1,1 1,6 Z 2fi 2,8 . 3,1
Меж ъядерное расстояние, А
Рис. 6.24. Энергетические уровни молекулы N2. Ради простоты для каждого
электронного состояния показан лишь самый нижний колебательный уровень
(» = 0).
стояния равно 40 не, тогда как время жизни В-состояния —
10 мкс. Поскольку условие E.25) не выполняется, лазер, оче-
очевидно, не может работать в непрерывном режиме. Однако воз-
возможна генерация в импульсном режиме при условии, что дли-
длительность возбуждающих электрических импульсов значительно
меньше 40 не. Генерация происходит преимущественно на не-
нескольких вращательных линиях перехода о"@) -*-v'@), соответ-
соответствующего X = 337,1 нм. Помимо того что данный переход нахо-
находится, как уже упоминалось, в благоприятных условиях по от-
отношению к процессу накачки, он имеет наибольший фактор
Франка — Кондона. Генерация имеет место, хотя и с меньшей
интенсивностью, также на переходах о"A)—v'@) (К =
= 357,7 нм) ио"@)^[/'A) (к= 315,9 нм).
Наиболее часто используемая конструкция Ы2-лазера очень
близка к той, что изображена на рис. 6.21. Поскольку в этом
6.3. Газовые лазеры 381
случае внешнее электрическое поле имеет высокую напряжен-
напряженность (> 10 кВт/см для типичной смеси N2 при давлении
~ 40 мбар и Не при 960 мбар), обычно применяется ТЕ-схема.
Чтобы обеспечить требуемый короткий разрядный импульс E—
10 не), индуктивность разрядного контура должна быть как мо-
можно меньше. Чтобы добиться этого, разрядный конденсатор на
рис. 6.21 фактически делают в виде ряда безындукционных кон-
конденсаторов, смонтированных вдоль разрядной трубки как можно
ближе к электродам разряда. Вследствие высокого усиления са-
самоограниченного перехода генерация представляет собой уси-
усиленное спонтанное излучение и лазер может работать вообще
без зеркал. Однако с целью уменьшения пороговой электриче-
электрической мощности [ср. B.153) и B.153а)], а также получения од-
однонаправленного излучения в этом лазере с одного из концов
устанавливают зеркало. При этом уменьшается также расходи-
расходимость выходного пучка, которая становится равной отношению
поперечного размера разряда к удвоенной длине резонатора.
Такие лазеры позволяют получать пиковые мощности вплоть до
~ 1 МВт в импульсах длительностью ~ 10 не при частоте по-
повторения до 100 Гц. Частота повторения ограничивается тепло-
тепловыми эффектами. Не так давно были разработаны ^-лазеры,
работающие при атмосферном давлении1». Проблему возникно-
возникновения дугового разряда предотвращают дальнейшим уменьше-
уменьшением длительности импульса напряжения (до ~ 1 не). Благо-
Благодаря возросшему усилению на единицу длины и малому вре-
времени разряда лазеры этого типа обычно работают без зеркал.
Длину устройства можно сделать очень короткой A0—50 см) и,
как следствие, получить выходные импульсы меньшей длитель-
длительности (~ 100 пс при пиковой мощности 100 кВт). Азотные ла-
лазеры как с большой (—10 не), так и с малой (—100 пс) дли-
длительностью импульсов широко применяются для накачки лазе-
лазеров на красителях во множестве научных приложений, главным
образом в спектроскопии.
6.3.3.4. Эксимерные лазеры [22]
Эксимерные лазеры представляют собой интересный и важ-
важный класс молекулярных лазеров на переходах между различ-
различными электронными состояниями. Рассмотрим двухатомную
') Азотный лазер может работать даже на воздухе, что позволяет соз-
создавать поразительную по своей простоте конструкцию. Она представляет
собой два бруска дюралюминия (выполняющих роль электрода), укреплен-
укрепленных иа листе фольгированного с двух сторон текстолита (конденсатор), на
котором также закреплен (воздушный же) разрядник в виде автомобильной
свечи, — и все! Это сооружение, питаемое от простейшего телевизорного
выпрямителя, действительно генерирует монохроматическое УФ-излучение. —
Прим. перев.
382
6. Типы лазеров
молекулу Аз, кривые потенциальной энергии для основного и
возбужденного состояний которой приведены на рис. 6.25. По-
Поскольку основное состояние соответствует взаимному отталкива-
отталкиванию атомов, в этом состоянии молекула не существует (т. е. в ос-
основном состоянии частицы существуют лишь в мономерной фор-
форме А). Однако, поскольку кривая потенциальной энергии возбу-
возбужденного состояния имеет минимум, молекула А2 может суще-
существовать в возбужденном со-
состоянии (т. е. в возбужденном
состоянии частицы существуют
в димерной форме А2). Такая
молекула А* называется экси-
мером (аббревиатура англ.
слов excited ditner — возбуж-
возбужденный димер). Предположим
теперь, что в некотором объ-
объеме каким-либо образом созда-
создано большое число эксимеров.
Тогда генерация может быть
получена на переходе между
верхним (связанным) и нижним
(свободным) состояниями (свя-
(связанно-свободный переход). Со-
Соответствующий лазер называ-
называется эксимерным. Эти лазеры
характеризуются двумя не-
необычными, но важными свой-
свойствами благодаря тому, что ос-
основное состояние соответствует взаимному отталкиванию ато-
атомов. 1) Как только в результате генерации молекула перейдет в
основное состояние, она немедленно диссоциирует. Это означает,
что нижний лазерный уровень будет всегда пустым. 2) Не суще-
существует четко выраженных вращательно-колебательных переходов,
и переход является относительно широкополосным B0—100 см-1).
Однако следует заметить, что в некоторых эксимерных лазерах
кривая потенциальной энергии основного состояния не соответ-
соответствует чистому взаимному отталкиванию, а обладает неглубоким
минимумом. В этом случае переход происходит между верхним
связанным состоянием и нижним (слабо) связанным состоянием
(связанно-связанный переход). Однако, поскольку основное со-
состояние является лишь слабосвязанным, молекула в этом со-
состоянии претерпевает быструю диссоциацию либо сама (предис-
социация), либо вследствие первого же столкновения с другой
молекулой газовой смеси.
Метъяверное расстояние
Рис. 6.25. Энергетические уровни эк-
симерного лазера.
6.3. Газовые лазеры 383
Рассмотрим теперь наиболее интересный класс эксимерных
лазеров, в которых атом инертного газа (например, Аг, Кг, Хе)
в возбужденном состоянии соединяется с атомом галогена (на-
(например, F, C1), что приводит к образованию эксимера " галоге-
нидов инертных газов. В качестве конкретных примеров укажем
ArF (A, = 193 нм), KrF (A, = 248 нм), ХеС1 (К = 309 нм) и
XeF (X = 351 нм), которые генерируют все в УФ-диапазоне. То,
почему галогениды инертных газов легко образуются в возбуж-
возбужденном состоянии, становится ясным, если учесть, что в воз-
возбужденном состоянии атомы инертных газов становятся химиче-
химически сходными с атомами щелочных металлов, которые, как из-
известно, легко вступают в реакцию с галогенами. Эта аналогия
указывает также на то, что в возбужденном состоянии связь
имеет ионный характер; в процессе образования связи возбу-
возбужденный электрон переходит от атома инертного газа к атому
галогена, Поэтому подобное связанное состояние также назы-
называют состоянием с переносом заряда, Рассмотрим теперь по-
подробнее KrF-лазер, так как он представляет собой один из
наиболее важных лазеров данной категории. На рис, 6.26 приве-
приведена диаграмма потенциальной энергии молекулы KrF, Верх-
Верхний лазерный уровень является состоянием с переносом заряда
и ионной связью, которое при R = оо отвечает состоянию 2Р по-
положительного иона Кг и состоянию lS отрицательного иона F.
Поэтому энергия при R = оо равна потенциалу ионизации атома
криптона минус сродство атома фтора к электрону, При боль-
больших межъядерных расстояниях кривая энергии подчиняется за-
закону Кулона. Таким образом, потенциал взаимодействия между
двумя ионами простирается на гораздо большее расстояние E—
10А), чем в случае, когда преобладает ковалентное взаимо-
взаимодействие (ср., например, с рис, 6.24), Нижнее состояние имеет
ковалентную связь и при R = оо отвечает состоянию lS атома
криптона и состоянию 2Р атома фтора, Таким образом, в основ-
основном состоянии атомные состояния инертного газа и галогена ме-
меняются местами. В результате взаимодействия соответствующих
орбиталеи верхнее и нижнее состояния при малых межъядерных
расстояниях расщепляются на состояния 22 и 2П. Генерация
происходит на переходе 22->-22, поскольку он имеет наибольшее
сечение, Заметим, что при переходе излучающий электрон пере-
передается от иона F~ иону Кт+.
•> Строго говоря, они не должны называться эксимерами, поскольку
состоят из различных атомов, В этом случае более подходящим был бы,
по-видимому, термин «гетероэксимер» или эксиплекс (аббревиатура англ,
слов «cc/ted state complex). Однако в настоящее время слово «эксимер» ис-
используется именно в этом смысле, и мы будем пользоваться именно им,
384
6, Типы лазеров
Обращаясь к механизмам возбуждения, заметим, что элек-
электрическое возбуждение приводит в основном к образованию
возбужденных атомов Кг и ионов Кг. Обе частицы сразу же
приводят к образованию возбужденных молекул KrF, В самом
деле, возбужденный атом Кг может реагировать с молекулой F2
в соответствии со следующей реакцией:
Kr'+F2-(KrF)'+F.
F.12)
Используя рассмотренную выше аналогию между возбужден-
возбужденными атомами инертного газа и атомами щелочных металлов,
можно сразу же предположить, что скорость реакции F.12) бу-
$ -
-2
Рис. 6,26. Кривые потенциальной энергии, отражающие молекулярную струк-
структуру KrF.
дет сравнима со скоростью реакции между Rb (атом щелочного
металла, соответствующий Кг) и молекулой F2. Ион Кг+, на-
напротив, реагирует с ионами F~, которые образуются в реакции
присоединения электрона с диссоциацией:
e+F2^F~+F. F.13)
Заметим, что для одновременного выполнения законов сохра-
сохранения энергии и импульса рекомбинация двух ионов должна
протекать посредством трехчастичного столкновения:
+M, F,14)
6.3. Газовые лазеры
385
где М — атом буферного газа (в данном случае это, как пра-
правило, гелий). Из-за большого расстояния взаимодействия двух
ионов данная реакция также идет с очень большой скоростью,
если давление буферного газа достаточно велико (газовая смесь
обычно состоит из Кг при давлении около 120 мбар, F2 при дав-
давлении 6 мбар и Не при давлении 2400 мбар).
Эксимерные лазеры на галогенидах инертных газов обычно
накачиваются электрическим разрядом в соответствии с общей
схемой, представленной на рис. 6,21, Предыонизация обычно до-
1000-
*
5
100 -
I
10
С0г
ArF
KrF
Ч
1
0,15
KrCl
Xr.C
XeF
0,7K
70,6
0,25 ' 0,35 0,45
А, мкм
Рис, 6.27, Энергия в импульсе, излучаемая ТЕА-лазером с УФ-предыоннза-
цией электрического разряда. В каждом из указанных лазеров использова-
использовалась та же лазерная трубка, что и на рис. 6.21, но заполненная соотпет-
ствующим газом.
стигается, как и на рис. 6,21, излучающими в УФ-диапазоне иск-
искровыми разрядами. Поскольку глубина проникновения УФ-из-
лучения в газовую смесь ограничена, для больших установок
(поперечные размеры разряда больше 2—3 см) иногда приме-
применяют предыонизацию рентгеновским излучением. Для лабора-
лабораторных устройств и самых крупных установок иногда исполь-
используют также накачку внешним электронным пучком, Во всех слу-
случаях усиление оказывается очень большим, так что в лазерном
резонаторе обычно на одном из концов в качестве зеркала уста-
устанавливают непросветленный эталон, а на другом конце исполь-
используют зеркало со 100 %-ным отражателем (например, заднее зер-
зеркало на рис. 6.21), Поскольку время жизни верхнего уровня
сравнительно невелико, а также чтобы избежать образования
дуги, необходимо обеспечить быструю накачку (длительность
импульса накачки 10—20 не). В случае, представленном на
рис, 6.21, это достигается, как и в азотном лазере, тем, что
уменьшают по возможности индуктивность контура и используют
13 О, 3 вел то
386 6, Типы лазеров
безындукционные конденсаторы, присоединенные к разрядным
электродам короткими проводниками. В действительности один
и тот же лазер типа изображенного на рис. 6,21 можно ис-
использовать как TEA СОг-лазер, азотный лазер или эксимерный
лазер просто заменой газовой смеси, На рис. 6.27 показаны по-
полученные таким способом выходные энергии одиночного им-
импульса для различных лазеров. Имеются эксимерные лазеры с
частотой повторения примерно до 500 Гц и средней выходной
мощностью вплоть до 100 Вт, В настоящее время создаются так-
также более крупные установки со средней мощностью более 1 кВт,
Благодаря большому квантовому выходу (см. рис, 6,26) и высо-
высокой эффективности процессов накачки КПД этих лазеров обыч-
обычно довольно высок B—4 %),
Эксимерные лазеры используются для очень точного травле-
травления различных материалов в приложениях, связанных с элек-
электронными печатными схемами, а также для выжигания тканей
в биологии и медицине (например, радиальная кератомия ра-
радужной оболочки глаза). Эксимерные лазеры также широко ис-
используются в научных исследованиях и, по-видимому, найдут
многочисленные применения там, где требуется источник мощ-
мощного УФ-излучения с высоким КПД (например, в фотохимии).
6.4. Жидкостные лазеры (лазеры
на красителях) [23]
В данном разделе мы рассмотрим жидкостные лазеры, в ко-
которых активная среда представляет собой растворы определен-
определенных соединений органических красителей в жидком раствори-
растворителе, таком, как этиловый спирт, метиловый спирт или вода ",
Органические красители составляют большой класс многоатом-
многоатомных молекул с сопряженными двойными связями. Лазерные кра-
красители обычно принадлежат к одному из следующих классов:
1) полиметиновые красители, обеспечивающие генерацию в крас-
красной или ближней ИК-области @,7—1,5 мкм); в качестве при-
примера на рис. 6.28, а приведена химическая структура красителя
3,3'-диэтилтиатрикарбоцианиниодида, который генерирует в ИК-
диапазоне (X = 810 нм); 2) ксантеновые красители, генерирую-
генерирующие в видимой области E00—700 нм). В качестве примера на
рис. 6,28,6 показана химическая структура широко используе-
используемого красителя родамина 6G (X = 590 нм); 3) кумариновыекра-
кумариновыекрасители, генерирующие в сине-зеленой области D00—500 нм);
'> Очень часто используют этиленгликоль (особенно для струйных лазе-
лазеров) , — Прим, перев.
6.4. Жидкостные лазеры (лазеры на красителях)
387
на рис, 6.28, в для примера приведена химическая структура ку-
кумарина 2, который генерирует в синей области (К = 450 нм);
4) сцинтилляторные красители, генерирующие в УФ-диапазоне
(X < 400 нм).
6.4.1. Фотофизические свойства органических красителей
Органические красители, как правило, имеют сильные по-
полосы поглощения в УФ- или видимой области спектра и при воз-
возбуждении светом соответ-
соответствующей длины волны
дают интенсивные широ-
широкополосные спектры лю-
люминесценции, как показа-
показано на рис, 6.29 для раство-
раствора родамина 6G в этано-
этаноле, Чтобы понять особен-
особенности, представленные на
рис, 6,29, необходимо
прежде всего рассмотреть
энергетические уровни мо-
молекулы красителя. Струк-
Структуру энергетических уров-
уровней молекул красителя не-
нетрудно понять, если вос-
воспользоваться так назы-
называемой моделью свобод-
свободных электронов, Проде-
Продемонстрируем это на при-
примере красителя цианина,
структурная формула ко-
которого приведена на
рис, 6,30. я-электроны
атомов углерода образу-
образуют два плоских облака,
одно из которых располо-
расположено выше, а другое ни-
ниже плоскости молекулы
(рис. 6.30,6). Этим рас-
распределением я-электронов
и определяются электронные состояния молекул. В модели сво-
свободных электронов предполагается, что я-электроны движутся
свободно в пределах их плоских распределений и их движение
ограничено только отталкивательным потенциалом группы на
каждом конце красителя. Поэтому энергетические уровни
он.
8
Рис. 6.28. Химическая структурная форму-
формула 3,3-диэтилтиатрикарбоциашша ноднда
(а), родамина 6G (б) и кумарина 2 (в).
В каждом случае жирными линиями обо-
обозначен хромофорный участок молекулы
красителя.
13»
388
6. Типы лазеров
Длина Волны, нм
700 650 600 550 500
1 i 1 ;
Люминесценция
Поглощение
20 22 ' 24
Bo/iHoSoe число, Ю3 см'1
Рис. 6.29. Сечешгс поглощения а,„ сечение вынужденного излучения ас (сни-
глет-сишлстного перехода) и сечение поглощения Or (триплет-трнилетиого
перехода) для раствора родамина 6G в этиловом спирте.
ь
О /.
г х "
Рис. 6.30, Иллюстрация модели свободных электронов, объясняющей струк-
структуру электронных энергетических уровней молекулы красителя. (Согласно
Фёрстерлнпгу н Куну [43],)
6.4. Жидкостные лазеры (лазеры на красителях)
389
электронов представляют собой уровни свободного электрона,
находящегося в потенциальной яме, форма которой показана на
рис. 6.30, в. Если эту яму приближенно представить в виде пря-
прямоугольной (рис, 6,30, г), то энергетические уровни электрона
в такой яме хорошо известны и определяются выражением Еп=
= h2n2/8tnL2, где п — целое число, m — масса электрона, a L —
ширина потенциальной ямы. Следует заметить, что в я-элек-
тронном облаке молекулы красителя находится четное число
Синглетные
состояния
Триплетные
состояния
Рис. 6.31. Типичная схема энергетических уровней красителя в растворе.
Синглетные и триплетные уровни приведены отдельно слева и справа.
электронов {). Если положить это число равным 2N, то основное
состояние молекулы будет соответствовать ситуации, при кото-
которой все электроны находятся на нижних электронных энергети-
энергетических уровнях. На самом деле каждый уровень может быть за-
занят двумя электронами с противоположными спинами. Таким
образом, это молекулярное состояние имеет нулевой результи-
результирующий спин (синглетное состояние): на рис. 6.31 оно обозна-
обозначается как So. На этом же рисунке самый верхний занятый
'> Молекулярные системы с неспаренными электропамп называются ра-
радикалами. Такие системы легко вступают в реакцию друг с другом, образуя
при этом систему со спаренными электронами.
390 6. Типы лазеров
уровень и следующий над ним (пустой) уровень указаны двумя
квадратами, расположенными друг над другом. Первое возбу-
возбужденное синглетное состояние (обозначенное на рисунке через
S,) получается при переходе одного из двух высоколежащих
электронов на следующий (более высокий уровень) без перево-
переворота спина. Если спин при этом переворачивается, то образуется
триплетное состояние (на рисунке 7\; полный спин S= 1). Воз-
Возбужденное синглетное (S2) и триплетное (Т2) состояния полу-
получаются, когда электрон поднимается на следующий уровень,
и т. д. Заметим, что на рис. 6.31 каждое электронное состояние
в действительности состоит из ряда колебательных (толстые го-
горизонтальные линии на рисунке) и вращательных (тонкие ли-
линии) уровней. Обычно расстояние между колебательными уров-
уровнями составляет 1400—1700 см~', а между вращательными
уровнями в 100 раз меньше. Поскольку в жидкостях механизмы,
вызывающие уширение линий, оказываются значительно более
сильными, чем в твердых телах, вращательные уровни в жид-
жидкостях не разрешаются, что приводит к сплошному спектру
между колебательными уровнями.
Посмотрим теперь, что происходит, когда на молекулу дей-
действует электромагнитное излучение. Прежде всего напомним,
что правила отбора требуют, чтобы А5 = 0. Следовательно, син-
глет-синглетные переходы являются разрешенными, а синглет-
триплетные—запрещенными. Поэтому благодаря взаимодейст-
взаимодействию с электромагнитным излучением молекула может перейти
из основного состояния 50 на один из колебательных уровней
состояния Si. Поскольку вращательные и колебательные уровни
являются неразрешенными, спектр поглощения будет представ-
представлять собой широкий бесструктурный переход, что и видим на
рис. 6.29 для родамина 6G. Важная особенность красителей со-
состоит в том, что они имеют чрезвычайно большую величину ди-
польного матричного элемента ц. Это объясняется тем, что
я-электроны свободно движутся на расстояниях, сравнимых с
размером молекулы а, а поскольку а — достаточно большая ве-
величина, ц также велико (ц « еа). Отсюда следует, что сечение
поглощения а, которое пропорционально ц2, также велико
(~ 10~16 см2). Молекула в возбужденном состоянии релакси-
рует за очень короткое время (безызлучательная релаксация,
Тбезызл да 10~13 с) на самый нижний колебательный уровень1' со-
состояния S\. С этого уровня она совершает излучательный пере-
переход на некоторый колебательный уровень состояния So (флуо-
(флуоресценция). Вероятность перехода определяется соответствую-
1( Точнее говоря, колебательно-вращательные уровни состояния Si тер-
мализуются.
6.4. Жидкостные лазеры (лазеры на красителях) 391
щим фактором Франка — Кондона. Поэтому из того, что было
сказано выше, ясно (см. также рис. 2.23), что переход в общем
случае оканчивается не на основном уровне, а на тех возбу-
возбужденных колебательных уровнях, которые обладают наиболь-
наибольшим фактором Франка — Кондона. При этом спектр флуорес-
флуоресценции будет иметь вид широкой бесструктурной полосы, сдвину-
сдвинутой в длинноволновую сторону относительно полосы поглощения
(см. рис. 6.29). Это свойство обычно называется законом
Стокса. Перейдя на возбужденный колебательно-вращательный
уровень основного состояния So, молекула возвращается на са-
самый низкий колебательный уровень за счет другой очень бы-
быстрой (порядка пикосекунд) безызлучательной релаксации. За-
Заметим, что из самого нижнего уровня состояния Si молекула
может также перейти в состояние Т\. Этот процесс обусловлен
столкновениями и называется синглет-триплетной конверсией.
Аналогичным образом преимущественно за счет столкновений
осуществляется переход ^-vSo. Этот переход частично проис-
происходит также и за счет излучательных процессов (излучательный
переход ^-^-So, как отмечалось выше, является запрещенным).
Излучение, возникающее в результате таких переходов, назы-
называется фосфоресценцией. Будем характеризовать эти процессы
релаксации следующими тремя постоянными: 1) временем
жизни Тспонт состояния Si, определяемым спонтанным излуче-
излучением; 2) скоростью (с~') синглет-триплетной конверсии ?st и
3) временем жизни хт состояния Т\. Если время жизни состоя-
состояния Si обозначить через т, то можно записать следующее соот-
соотношение [см. B.123)]:
1/т = A/тСПОН1) + ?зт. FЛ5)
Излучательное время жизни тСПонт очень невелико (всего не-
несколько наносекунд), что обусловлено большой величиной мат-
матричного элемента дипольного момента \i. Поскольку feiV1. как
правило, значительно больше (~ 100 не), наибольшее число мо-
молекул из состояния Si будет релаксировать за счет флуоресцен-
флуоресценции. Поэтому квантовый выход флуоресценции (число испущен-
испущенных за счет флуоресценции фотонов, деленное на число атомов,
переведенных в состояние Si) близок к единице. Действительно,
для квантового выхода [см. B.126)] имеем
F-16)
Время жизни триплетного состояния %т зависит от эксперимен-
экспериментальных условии и, в частности, от содержания кислорода в рас-
растворе. Оно может колебаться от 10~7 с в растворах, насыщенных
кислородом, до 10~3 с и более в бескислородных растворах.
392 6. Типы лазеров
6.4.2. Параметры лазеров на красителях
Из приведенного выше рассмотрения вполне разумно ожи-
ожидать, что лазеры, в которых используются красители, могут ге-
генерировать на длинах волн в области спектра флуоресценции.
Действительно, быстрая безызлучательная релаксация внутри
возбужденного синглетного состояния S, приводит к очень эф-
эффективному заселению верхнего лазерного уровня, а быстрая
релаксация внутри основного состояния — к эффективному обед-
обеднению нижнего лазерного уровня. Следует также заметить, что
в области длин волн флуоресценции раствор красителя доста-
достаточно прозрачен (т. е. соответствующее сечение поглощения аа
невелико; см., например, рис. 6.29). Фактически же первый ла-
лазер на красителях был запущен поздно (в 1966 г.) [24, 25] от-
относительно времени, с которого началось общее развитие лазер-
лазерных устройств. Рассмотрим некоторые причины этого. Во-пер-
Во-первых, это очень короткое время жизни т состояния Si, поскольку
мощность накачки обратно пропорциональна т. Хотя такой не-
недостаток частично компенсируется большой величиной сечения
перехода, произведение ох [напомним, что пороговая мощность
накачки пропорциональна (ах)~и, см. E.35)] все же остается
примерно на три порядка величины меньше, чем для твердо-
твердотельных лазеров, таких, как Nd : YAG. Вторая трудность обус-
обусловлена синглет-триплетной конверсией. Действительно, если
tr ^ ksT< то молекулы будут накапливаться в триплетном со-
состоянии, что приведет к поглощению за счет перехода Т\ -*- Г2
(который является оптически разрешенным). К сожалению, это
поглощение происходит, как правило, на длине волны флуорес-
флуоресценции (см., например, опять-таки рис. 6.29), что приводит к
серьезному препятствию для возникновения генерации. Можно
показать, что именно поэтому непрерывную генерацию можно
получить лишь в случае, когда %т меньше некоторого значения,
определяемого свойствами активной среды из красителя. Чтобы
получить этот результат, заметим прежде всего, что кривую
пропускания флуоресценции красителя (рис. 6.29) можно опи-
описать с помощью сечения вынужденного излучения ое. Таким об-
образом, если N2 — полная населенность состояния Si, то соответ-
соответствующее усиление (без насыщения) на определенной длине вол-
волны, при которой рассматривается ае, равно exp(Af2tfe/), где
/ — длина активной среды. Предположим теперь, что NT населен-
населенность триплетного состояния Т\. Тогда генерация будет проис-
происходить при условии, что усиление за счет вынужденного излу-
излучения больше потерь, обусловленных триплет-триплетным по-
поглощением, т. е.
oeN2>oTNT. F.17)
6.4. Жидкостные лазеры (лазеры на красителях) 393
В стационарных условиях скорость релаксации населенности с
триплетного состояния Nt/xt должна быть равна скорости ее
нарастания за счет синглет-триплетной конверсии ?stN2, т. е.
NT=kSTxTNr F.18)
Объединяя F.17) и F.18), получаем условие
JT<ae/aTks,., F.19)
которое является необходимым для непрерывной генерации
[т. е. мы получили условие, в некотором смысле эквивалентное
соотношению E.25) ]. Если это условие не выполняется, то ла-
лазер может генерировать только в импульсном режиме, причем
длительность импульса накачки должна быть достаточно корот-
короткой, чтобы обеспечить значительную населенность, прежде чем
она накопится в триплетном состоянии. Наконец, третьим ме-
мешающим фактором являются тепловые неоднородности, возни-
возникающие в жидкости под действием накачки. Они приводят к
градиентам показателя преломления, препятствующим возник-
возникновению генерации.
Лазеры на красителе работают либо в импульсном, либо,
если выполняется условие F.19), в непрерывном режиме. Лазер-
Лазерная генерация в импульсном режиме получена на большом чис-
числе различных красителей, причем для накачки применялись как
импульсная лампа с коротким импульсом (при длительности пе-
переднего фронта <С 1 мке), так и лазер, генерирующий короткие
световые импульсы. В обоих случаях короткие импульсы необ-
необходимы для того, чтобы обеспечить генерацию до того, как в
триплетном состоянии накопится существенная населенность, и
до появления градиентов показателя преломления в жидкости.
При накачке импульсной лампой можно применять эллиптиче-
эллиптический осветитель или осветитель с плотной упаковкой (см.
рис. 3.1,6 и в). Чтобы обеспечить лучшую однородность накач-
накачки, а отсюда и более симметричные градиенты показателя пре-
преломления, применяют также и спиральные лампы в конфигура-
конфигурации, аналогичной рис. 3.1, а. Для лазерной накачки часто приме-
применяют азотный лазер, УФ-излучение которого подходит для
накачки многих красителей, генерирующих в видимой области
спектра. Для получения больших энергий и средних выходных
мощностей для накачки УФ-излучением все чаще применяют бо-
более эффективные эксимерные лазеры (в частности, KrF и XeF),
в то время как для красителей с длиной волны излучения более
чем 550—600 нм предпочитают использовать вторую гармонику
Nd : YAG-лазера в режиме модуляции добротности (Х = 532нм),
а также зеленое или желтое излучение лазера на парах меди,
394
6. Типы лазеров
В этих лазерах с накачкой в видимом диапазоне КПД преоб-
преобразования энергии лазера накачки в выходную энергию лазера
на красителе C0—40 %) намного превышает КПД преобразо-
преобразования, получаемые при лазерной УФ-накачке (~ 10%). Кроме
того, под воздействием излучения накачки существенно умень-
уменьшается деградация красителя. Во всех рассмотренных выше слу-
случаях, когда применяют импульсную лазерную накачку, исполь-
используют, как правило, схему с поперечной накачкой (т. е. направ-
направление распространения пучка накачки перпендикулярно оси
резонатора); см. рис. 6.32. В этом случае пучок лазера накачки
Дифракционная
решетка
Зеркало
Кювета
с красителем
Зеркало
Пучок накачки
Рис. 6.32. Устройство лазера на красителе с поперечной накачкой. В каче-
качестве накачки может служить пучок азотного лазера, экснмерного лазера или
лазера на парах меди, а также пучок второй гармоники Nd : YAG-лазера с
модулированной добротностью.
фокусируется линзой L, представляющей собой обычно комби-
комбинацию сферической и цилиндрической линз, в тонкую линию
вдоль оси резонатора лазера. Длина линии равна длине ячейки
с красителем (несколько миллиметров), в то время как попереч-
поперечный размер, как правило, меньше 1 мм. Для перестройки длины
волны выходного излучения в пределах широкой полосы излуче-
излучения красителя (~30—50 нм) обычно применяется дифракцион-
дифракционная решетка, помещаемая в резонатор под углом скользящего
падения. Лазер перестраивается поворотом зеркала М2. Сколь-
Скользящее падение используется для увеличения разрешающей силы
решетки и, следовательно, для существенного уменьшения ши-
ширины линии излучения ( — 0,01 —0,02 нм). Еще более узкие по-
полосы генерации, вплоть до одномодовой, можно получить при
установке одного или более эталонов Фабри — Перо, как уже
обсуждалось в разд. 5.3.5.2. Для непрерывной лазерной накачки
часто применяются Аг+-лазеры (иногда также и Кг+-лазеры).
Чтобы обеспечить существенно более низкий порог генерации,
6.4. Жидкостные лазеры (лазеры на красителях)
395
что необходимо при непрерывной накачке, теперь используется
продольная схема накачки, приведенная на рис. 6.33. Жидкая
активная среда с красителем имеет вид свободно текущей тон-
тонкой струи (диаметром около 200 мкм) в плоскости, перпендику-
перпендикулярной плоскости рисунка и наклоненной под углом Брюстера
к оси пучка лазера на красителе. Соответственно и лазерный
пучок является линейно поляризованным, причем вектор его
электрического поля располагается в плоскости рисунка. Оба
пучка — накачки и лазерный — фокусируются в очень маленькое
Зеркало с высокой, отражающей
способностью и радиусом 75л!м
м,
Выходное
зеркало
М3
§—N. Jlepecmpausu -
-VeMoe выходное
Пучок накачки
аргонового ценного
лазера
' выходное
излучение
Двулучепрелолтяющая
пластинка
Брюстера
Зеркало накачки
Зеркало с высокой отражающей
¦посоёностью и радиусом 50'лш
Рис. 6.33. Устройство непрерывного лазера на красителе с накачкой аргоно-
аргоновым лазером.
пятно (диаметром примерно 10 мкм) внутри струи. Для пере-
перестройки лазера в резонатор можно внести призму или двулуче-
преломляющий фильтр. Чтобы генерация происходила в одной
продольной моде, в резонатор помещают также эталоны Фаб-
Фабри—Перо и часто используют однонаправленную кольцеобраз-
кольцеобразную конфигурацию (см. рис. 5.11). Особый интерес представляет
схема с так называемым резонатором с синхронизацией мод на
сталкивающихся импульсах, изображенная на рис. 6.34, в кото-
которой лазер на красителе (обычно используется родамин 6G) ра-
работает в режиме пассивной синхронизации мод под действием
медленно насыщающегося поглотителя (DODCI). Кольцеобраз-
Кольцеобразная конфигурация резонатора приводит к генерации распро-
распространяющихся навстречу друг другу ультракоротких лазерных
импульсов, которые каждый раз встречаются (т. е. сталкивают-
сталкиваются) в точке, в которой находится струя красителя насыщаю-
насыщающегося поглотителя. Встречи двух импульсов происходят через
промежутки времени, равные 2L/c, где 1L — длина периметра
кольца. Струя красителя родамина 6G располагается на рас-
расстоянии L/2 от насыщающегося поглотителя. Как нетрудно по-
показать, такое расположение гарантирует то, что одиночные
396
6. Типы лазеров
импульсы, проходящие через родамин 6G, разделены равными
промежутками времени, а это создает наилучшие условия для
синхронизации мод. Устройство, показанное на рис. 6.34, позво-
позволило получить ультракороткие лазерные импульсы длительностью
вплоть до 25 фс (самые короткие импульсы, полученные до сих
пор из лазерного резонатора).
Благодаря возможности перестройки длины волны, широкому
спектральному диапазону работы и возможности генерации
очень коротких импульсов лазеры на органических красителях
Призменное устройство для сжатия
оптических импульсов
Выходное
зеркало
Насыщающийся
поглотитель
Рис. 6.34. Устройство кольцевого лазера на красителе со сталкивающимися
импульсами и синхронизацией мод. Призменный компрессор состоит из че-
четырех призм, вносящих регулируемую дисперсию в кольцевой резонатор
так, чтобы получить как можно более короткие импульсы.
играют важную роль в различных областях. В частности, эти
лазеры широко используются в научных приложениях либо как
непрерывные узкополосные (вплоть до одномодовых) пере-
перестраиваемые источники излучения для спектроскопии с высоким
разрешением по частоте, либо в качестве лазеров с короткими
(вплоть до ~ 100 фс) выходными импульсами для спектроско-
спектроскопии с высоким разрешением во времени. Среди других прило-
приложений— биология и медицина (например, лечение сетчатки или
фотодинамическая терапия), а также лазерная фотохимия (на-
(например, лазерное разделение изотопов 235U).
6.5. Химические лазеры [26, 27]
Химический лазер обычно определяют как лазер, в котором
инверсия населенностей достигается «непосредственно» за счет
химической реакции. В соответствии с этим определением газо-
газодинамический СОг-лазер нельзя считать химическим, хотя в нем
заселение верхнего уровня происходит исключительно за счет
6.5. Химические лазеры 397
реакции сгорания (например, сгорания СО в Ог). В химических
лазерах обычно используются реакции между газообразными
веществами и, как правило, это экзотермические реакции ассо-
ассоциативного или диссоциативного типа. Реакция ассоциативного
типа описывается уравнением вида
А+В = АВ. F.20)
В экзотермической реакции часть теплоты реакции перейдет в
энергию колебательно-вращательного или электронного возбу-
возбуждения молекулы АВ. Таким образом, если достичь инверсии
населенностей, то на основе реакции ассоциативного типа мож-
можно в принципе создать лазеры на колебательно-вращательных
или вибронных переходах. Однако несмотря на то, что были
приложены большие усилия, до сих пор удалось создать лишь
химические лазеры на колебательно-вращательных переходах.
Генерация в этих лазерах была получена в диапазоне длин волн
3—10 мкм, причем наиболее примечательными примерами яв-
являются лазеры на HF и DF, которые мы рассмотрим в следую-
следующем разделе. Реакция диссоциативного типа в общем виде запи-
записывается следующим образом:
АВС^А+ВС. F.21)
Если реакция экзотермическая, то часть теплоты реакции может
выделиться в виде электронной энергии атомов А или в виде
внутренней энергии молекул ВС. Наиболее замечательным при-
примером данного типа лазеров следует считать лазер на атомар-
атомарном иоде, в котором атомарный иод в возбужденном состоянии
образуется в результате диссоциации соединения СН31 (или
CF3I, или C3F7I) под воздействием УФ-излучения (I ~ 300 нм)
мощной импульсной лампы. Этот лазер, таким образом, принад-
принадлежит категории лазеров с фотохимической диссоциацией (или
фотодиссоциацией). Генерация с Х= 1,315 мкм происходит на
переходе атомарного иода из возбужденного состояния 2Pi/2 на
ОСНОВНОЙ уровень 2Рз/2-
Химические лазеры представляют интерес по двум основным
причинам: 1) они являются интересным примером прямого пре-
преобразования химической энергии в электромагнитную; 2) от
этих лазеров в принципе можно получать высокую выходную
мощность (в непрерывном режиме) или высокую выходную
энергию (в импульсном режиме), что обусловлено весьма боль-
большим выделением энергии в экзотермической реакции, которую
можно использовать в работе лазера '».
¦> Например, смесь Н2, F2 и других веществ A6 % Н2 и F2 в газовой
смеси при атмосферном давлении) обладает тепловым эффектом реакции
2000 Дж/л. из которой 1000 Дж остается в виде колебательной энергии.
398
6. Типы лазеров
6.5.1. Лазер на HF
Механизм накачки, используемый в лазере на HF, связан
с так называемой холодной реакцией:
+H. F.22)
Поскольку выделяемая в реакции теплота составляет
31,6 ккал/моль, молекула HF может оказаться в возбужденном
состоянии вплоть до колебательного уровня у —3 (рис. 6.35).
1
«V»
1
F+Hz ^
*H+HF C)
v4 a)
La
¦ f
•10
- 2
ml -
j
(9)
(8)
G)
F)
E)
AH: 98 кка/i
W
(i)
B)
A)
@)
Холодная реакция
Горячая реакция
¦w
•F)
•(9)
-A6)
•30
•33
•20
¦16
•9
•6
¦6
Рис. 6.35. Возбуждение колебательных уровнен молекулы HF за счет двух
реакций F+H2-*-H + HF* и Н + F2-*- F + HF*. Показаны также создавае-
создаваемые таким образом относительные населенности n(v).
Вследствие того что скорости релаксации с различных колеба-
колебательных уровней отличаются, уровень v = 2 обладает самой
большой населенностью и на переходе (у' = 2)->-(у= 1) обра-
образуется большая инверсия населенностеи. Из рис. 6.35 видно, что
на колебательные степени свободы приходится более 60 % энер-
энергии реакции. То, что вследствие химической реакции молекула
HF оказывается в возбужденном состоянии, понять нетрудно.
Рассмотрим реакцию, записываемую в виде F.22). В силу боль-
большого сродства к электрону атома F взаимодействие F—Н2 на
больших расстояниях характеризуется сильным притяжением,
что приводит к значительной поляризации распределения за-
заряда в молекуле Н2. Из-за малой инерционности электрона связь
6.5. Химические лазеры 399
HF может сформироваться до того, как протон участвующего
в реакции атома водорода окажется на том межъядерном рас-
расстоянии, которое соответствует основному электронному!» со-
состоянию молекулы HF. Таким образом, существует большая ве-
вероятность того, что после реакции протон будет находиться на
большем расстоянии от атома F, чем равновесная длина связи
HF. Следовательно, это приведет к классическому колебатель-
колебательному движению. Заметим, что для протекания реакции, запи-
записанной уравнением F.22), необходим атомарный фтор. Его по-
получают путем диссоциации тех или иных молекул, играющих
роль донора для фтора, таких как SF6 или молекулярный F2.
Диссоциацию можно получить различными способами, напри-
например, при столкновениях с электронами в электрическом разряде
(SF + SF F )
Если используется молекулярный фтор, то инверсия населен-
ностей может также возникать при реакции недиссоциировав-
шей молекулы F2 с атомарным водородом, образующимся в ре-
реакции F.22), т. е.
H + F2^HF*+F. F.23)
Поскольку химическая энергия этой «горячей» реакции
(98 ккал/моль) существенно превосходит энергию реакции
F.22), реакция F.23) может приводить к возбуждению моле-
молекулы HF вплоть до колебательного уровня v = 10 (рис. 6.35).
Реакция F.23) позволяет достаточно эффективно создавать ин-
инверсию населенностей между многочисленными колебательными
уровнями молекулы HF. Приведенные выше замечания могут
привести к предположению, что по сравнению с SF6 молекуляр-
молекулярный фтор лучше подходит для HF-лазера. Однако в работе со
смесью Н2 + F2 намного труднее обращаться, чем со смесью
H2 + SF6. Действительно, атомарный фтор, образующийся в ре-
реакции F.23), может снова принять участие в реакции F.22), в
которой в свою очередь образуется атомарный водород, который
затем участвует в реакции F.23), и т. д. Таким образом, урав-
уравнения F.22) и F.23) составляют классическую цепную реак-
реакцию, которая при определенных значениях параметров может
приобрести взрывной характер.
Генерация происходит на нескольких колебательных перехо-
переходах, от 1->-0 до 6->-5 (X = 2,7—3,3 мкм) и на нескольких вра-
вращательных линиях в пределах каждого колебательного перс-
хода. Как уже говорилось в связи с СО-лазером, генерация
на столь большом количестве линий обусловлена двумя об-
обстоятельствами. Во-первых, это явление каскадной генерации.
*> По-видимому, подразумевается низшее колебательное состояние, при-
принадлежащее основному электронному состоянию. — Прим. перев.
400 6. Типы лазеров
Действительно, если генерирует переход 2-»-1 (обычно самый
сильный), то населенность уровня 2 будет уменьшаться, а насе-
населенность уровня 1 будет накапливаться. Следовательно, может
возникнуть генерация на переходах 3->-2 и 1 ->-0. Во-вторых, это
явление частичной инверсии (см. рис. 6.23), при котором может
наблюдаться инверсия населенностей между отдельными вра-
вращательными линиями даже тогда, когда между полными насе-
ленностями соответствующих колебательных уровней инверсии
нет. Кроме лазера на HF следует упомянуть лазеры на DF, HC1
и НВг, которые работают по схемам, аналогичным лазеру на
HF, и генерируют в диапазоне 3,5—5 мкм.
Лазеры на HF могут работать как в импульсном, так и в не-
непрерывном режиме. В импульсных лазерах атомарный фтор
создается за счет столкновений между донорами фтора и элек-
электронами, образующимися либо за счет электрического разряда,
либо с помощью дополнительного генератора электронного
пучка. В промышленных приборах в качестве донора фтора при-
применяется молекула SF6 и используется электрический разряд.
Схема накачки аналогична схеме TEA ССЬ-лазера (рис. 6.21);
при этом для создания более однородного разряда используется
также УФ-предыонизация. Однако выходная энергия такого уст-
устройства значительно ниже, чем поступающая в лазер энергия
электрической накачки. Отсюда следует, что в данном лазере
лишь часть выходной энергии берется из энергии химической
реакции. Однако заметим, что при использовании молекуляр-
молекулярного фтора вместо SF6 возникает цепная реакция и выходная
энергия лазера может существенно превосходить энергию элек-
электрического разряда. В этом случае лазер с большим основа-
основанием можно считать химическим. В непрерывных лазерах и при
высоких мощностях (как, например, в системах, применяемых в
военных целях) используется молекулярный фтор. Фтор подвер-
подвергается тепловой диссоциации в плазмотронном нагревателе и
затем истекает через сверхзвуковые сопла (до чисел Маха
около 4). Затем в поток подмешивается молекулярный водород,
чтобы вступить в цепную реакцию, описываемую уравнениями
F.22) и F.23) (рис. 6.36). Лазерный резонатор помещается
ниже по течению в области расширения таким образом, что его
ось перпендикулярна направлению потока. В данном устрой-
устройстве, а также в рассмотренном выше импульсном лазере, если
необходимо получать высокие мощности (или большие энергии),
нередко применяют неустойчивые резонаторы.
Химические лазеры описанных выше типов способны давать
высокую выходную мощность (большую энергию) с высоким
химическим КПД. Непрерывный лазер для военных целей под
названием MIRACL (аббревиатура англ. слов mid-infrared ad-
6.6. Полупроводниковые лазеры
401
1,27 Ш
Рис. 6.36. Сверхзвуковой химический
HF-лазер. (Согласно Честеру [42].) / —
диссоциированный фтор; 2 — охлаждае-
охлаждаемый каиал; 3—иижекция Н2 через пер-
перфорированные трубки.
vanced chemical laser) представляет собой усовершенствован-
усовершенствованный химический лазер в среднем ИК-Диапазоне, работающий на
молекуле DF; он позволяет получить самую высокую непрерыв-
непрерывную мощность среди всех
лазеров B,2 МВт). Примене-
Применение молекулы DF вместо HF
связано с тем, что длина вол-
волны излучения DF попадает в
область прозрачности атмо-
атмосферы. Следует заметить,
что хотя импульсные лазеры
с электрическим разрядом
производятся промышленно-
промышленностью, проблемы безопасно-
безопасности (F2, видимо, наиболее
агрессивный и реакционно-
способный из известных час-
частиц) сильно ограничивают
применимость химических
лазеров данного типа. Поэтому главной областью использова-
использования этих лазеров будут, по-видимому, военные применения, в ко-
которых требуются высокие мощности излучения.
6.6. Полупроводниковые лазеры [28]
До сих пор нами обсуждались лишь атомарные и молекуляр-
молекулярные системы, энергетические уровни которых связаны с лока-
локализованными волновыми функциями, т. е. относящимися к от-
отдельным атомам или молекулам. Рассмотрим теперь полу-
полупроводник», для которых уже нельзя использовать волновую
функцию отдельного атома; вместо этого необходимо иметь дело
с волновой функцией, определяемой кристаллом в целом. Ана-
Аналогично нельзя более говорить об энергетических уровнях от-
отдельных атомов.
Принцип действия полупроводникового лазера можно рассмо-
рассмотреть с помощью рис. 6.37, на котором показаны валентная зона
полупроводника V, зона проводимости С и ширина запрещенной
зоны Eg. Если предположить для простоты, что полупроводник
находится при температуре Т = О К, то валентная зона будет
полностью заполнена электронами, в то время как зона прово-
проводимости будет пуста (см. рис. 6.37, а, где заштрихованная об-
область является областью заполненных состояний). Предполо-
Предположим теперь, что электроны каким-либо образом переведены из
валентной зоны в зону проводимости. Внутри этой зоны элек-
электроны за очень короткое время (~10~13 с) перейдут на ее
402 6. Типы лазеров
самый нижний уровень, а все электроны вблизи максимума ва-
валентной зоны также перейдут на самые нижние из незанятых
уровней, так что верхушка валентной зоны будет заполнена
«дырками». Отсюда следует, что между валентной зоной и зоной
проводимости возникает инверсия населснностей (рис. 6.37,6).
Электроны из зоны проводимости сваливаются назад в валент-
валентную зону (т. е. они рекомбинируют с дырками), испуская при
этом фотон (рекомбинационное излучение). Если между зоной
//
<; S
i
-m T-r
__
v
a 6
Рис. 6.37. Принцип действия полупроводникового лазера.
проводимости и валентной зоной существует инверсия населен-
ностей, как показано на рис. 6.37, б, то процесс вынужденного
рекомбинационного излучения приведет к генерации при нали-
наличии подходящего резонатора и выполнении соответствующих по-
пороговых условий.
Лазерную генерацию на основе вынужденного рекомбина-
рекомбинационного излучения в полупроводниковых р — л-переходах на-
наблюдали почти одновременно четыре группы исследователей в
1962 г. [29—32], причем три из них использовали GaAs.
6.6.1. Фотофизические свойства полупроводниковых лазеров
В данном разделе мы напомним некоторые наиболее элемен-
элементарные результаты теории полупроводников, имеющие непосред-
непосредственное отношение к нашему обсуждению. За более подробным
рассмотрением читатель может обратиться к общепринятым
учебникам по квантовой механике твердых тел [33].
6.6.1.1. Энергетические состояния в полупроводниках
Волновую функцию электрона в данной зоне, например ва-
валентной, можно записать в виде волновой функции Блоха:
¦фи (г) = Uvk (r) e/k-r, F.24)
6.6. Полупроводниковые лазеры 403
где Uvk(r) обладает теми же свойствами периодичности, что и
кристаллическая решетка, а постоянная распространения к свя-
связана с импульсом электрона р известным соотношением
р = йк. F.25)
Для полупроводникового кристалла, имеющего форму прямо-
прямоугольного параллелепипеда с размерами Lx, Ly и Lz, вектор к
квантуется аналогично выражению B.10), а именно
F.26)
где i = х, у, z, а / — целое число.
Если блоховскую волновую функцию F.24) подставить в
волновое уравнение Шрёдингсра, описывающее движение элек-
электрона в полупроводнике, то окажется, что разрешенные значе-
значения энергии электронов E = E(k) попадают в зоны, среди кото-
которых низшая заполненная зона называется валентной, а следую-
следующая, более высокая — зоной проводимости. Появление зонной
структуры связано с дифракцией Брэгга блоховской волновой
функции на периодическом кристаллическом потенциале. Од-
Однако существование валентной зоны и зоны проводимости мож-
можно объяснить с помощью несложных физических соображений.
Рассмотрим для простоты случай натрия, в котором каждый
атом имеет 11 электронов. Десять из них тесно связаны с ядром
и образуют положительный ион с зарядом е. Одиннадцатый
электрон движется по орбите вокруг этого иона. Обозначим
энергии этого последнего электрона в основном и первом возбу-
возбужденном состоянии через Е{ и Е2, а соответствующие волновые
функции ^ и *|э2. Рассмотрим теперь два атома натрия, располо-
расположенные на некотором расстоянии d. Если d много больше раз-
размеров атома, то два атома не будут взаимодействовать друг с
другом и энергии обоих состояний не изменятся. По другому это
можно выразить следующим образом. Если рассматривать, на-
например, два атома в их энергетических состояниях Еи то одно-
электронный уровень энергии двухатомной системы по-прежне-
по-прежнему равен Ей и этот уровень дважды вырожден. Действительно,
полную волновую функцию можно выразить через комбинацию
двух волновых функций *|э1л и ^ib, причем эти две функции
складываются либо в фазе, либо в противофазе (рис. 6.38).
В отсутствие потенциала взаимодействия эти два состояния
имеют одну и ту же энергию Е\. Однако когда расстояние ме-
между атомами d достаточно мало, энергии этих двух состояний
будут слегка различаться: благодаря взаимодействию дважды
вырожденный уровень расщепляется на два. Аналогично для
системы из N атомов, в которой атомы располагаются доста-
достаточно близко друг к другу и взаимодействуют между собой,
404
6. Типы лазеров
Af-кратно вырожденное состояние с энергией Е\ расщепляется
на N близко расположенных уровней. Следовательно, состояние
с энергией Е\ приводит к валентной зоне, в то время как со-
состояние с энергией Е2 приводит таким же образом к зоне прово-
проводимости (рис. 6.39). Из предыдущих рассуждений следует, что
каждая зона на самом деле состоит из N близко расположен-
расположенных уровней, где N— полное число атомов в кристалле полу-
полупроводника. Поскольку N,
как правило, очень велико,
отдельные уровни энергии
полупроводника внутри каж-
каждой зоны в общем случае не
могут быть разрешены.
Е к
X
Зона проводимости
Т Валентная зона
Рис. 6.38. Симметричная (а) и
антисимметричная (б) линейные
комбинации атомных волновых
функций фм и tyiB двух одинако-
одинаковых атомов, находящихся па рас-
расстоянии друг от друга.
d
Рис. 6.39. iV-кратное расщепление
атомных энергетических уровней
как функция межатомного рас-
расстояния d для системы из N ато-
атомов.
В пределах каждой зоны разрешенные значения энергии
можно связать с соответствующими значениями k выражением,
которое в приближении параболической зоны записывается так
же, как и в случае свободной частицы. Таким образом, для зоны
проводимости имеем
E() 2k2Jc, F.27)
где trie — эффективная масса электрона в зоне проводимости.
Аналогично для валентной зоны имеем
Ev (k) = h2k2/2mv;
F.28)
здесь /п„(-<0)—эффективная масса электрона в валентной
зоне. Заметим, что энергия Е отсчитывается от дна зоны прово-
проводимости в случае Ес и от верхушки валентной зоны в случае Ev.
6.6. Полупроводниковые лазеры
405
Зона
проводимости.
На рис. 6.40 построены кривые разрешенных значений Е в за-
зависимости от k, вычисленных по формулам F.26) — F.28). На
рисунке эти значения обозначены темными точками в валент-
валентной зоне и светлыми кружками в зоне проводимости. Заметим,
что, согласно выражению F.26), разрешенные состояния разде-
разделены по оси k равными проме-
промежутками 2n/L. Заметим также,
что ситуация, изображенная на
рис. 6.40, соответствует прямозон-
ному полупроводнику, в котором
минимум доны проводимости и
максимум валентной зоны прихо-
приходятся на одну и ту же точку в
пространстве волновых векто-
векторов к.
6.6.1.2. Заполнение уровней
при тепловом равновесии
Поскольку в соответствии с
выражением F.24) волновая
функция электрона распростра-
распространяется на весь кристалл, можно
применить принцип Паули, со-
согласно которому каждый уровень
энергии может быть занят не бо-
более чем двумя электронами. Со-
Соответственно вероятность запол-
заполнения f(E) данного состояния
с энергией Е (в валентной зоне
или зоне проводимости) дается статистикой Ферми — Дирака,
а не статистикой Максвелла — Больцмана. Таким образом,
Валентная
зона
Рис. G.40. Зависимости энергии Е
от импульса k для прямозонного
полупроводника в рамках при-
приближения параболической зоны.
/(?) = {!+exp [(?-?,)/«-]}'
F.29)
где Е[ — энергия так называемого уровня Ферми1'. Этот уро-
уровень имеет следующий физический смысл: когда Т-+-0, имеем
=1 при E<Eh
= 0 при Е> Ef.
F.30)
Таким образом, этот уровень представляет собой границу ме-
между полностью заполненными и пустыми уровнями при 7 = 0 К.
'' Здесь для простоты ие рассматривается упомянутое выше двукратное
вырождение каждого уровня по спииу электрона. — Прим. перев.
406 6. Типы лазеров
В невырожденных полупроводниках уровень Ферми распола-
располагается внутри запрещенной зоны (рис. 6.40). Таким образом,
при 7 = 0 К валентная зона будет заполнена полностью, а зона
проводимости будет пустой. Можно показать, что в этих усло-
условиях кристалл не проводит, т. е. является изолятором. Заметим
также, что уровень Ферми имеет также и другое свойство — при
любой температуре f(Ef) = 1/2.
6.6.1.3. Излучательные и безызлучательные переходы
Рассмотрим монохроматическую электромагнитную волну на
частоте v, взаимодействующую с полупроводником. Если hv >
> Eg, то эта волна будет поглощаться полупроводником. Ради
простоты мы нс будем вдаваться в квантовомеханический рас-
расчет процесса поглощения. В действительности результаты по-
подобных расчетов редко используются на практике. Мы лишь от-
отметим, что в случае прямого перехода должен сохраняться пол-
полный импульс:
к„ + копт = кс, F.31)
где к„ и к6 — волновые векторы электрона соответственно в ва-
валентной зоне и зоне проводимости, а кОПт — волновой вектор па-
падающей электромагнитной волны. Однако в оптическом диапа-
диапазоне &„пт = 2я/Х ~ 105 см~', в то время как kv и kc имеют поря-
порядок 108 см-1. Поэтому можно принять приближение konr «0 и
записать F.31) в виде
к0 = кс, F.32)
так что переходы должны происходить между начальным и ко-
конечным состояниями с одним и тем же вектором к. Это озна-
означает, что на диаграмме рис. 6.40 переход должен соответство-
соответствовать вертикальной линии. Условие F.32) называют условием
сохранения импульса кристалла. Заметим, что у непрямозонного
полупроводника минимум зоны проводимости имеет место при k,
отличном от того, которое соответствует максимуму валентной
зоны. В этом случае переход между указанными двумя состоя-
состояниями может произойти, если в нем будет участвовать фонон
решетки, чтобы скомпенсировать нссохраненис импульса кри-
кристалла. Однако непрямые переходы гораздо слабее, и это явля-
является основной причиной того, что лазерную генерацию никогда
нс удавалось наблюдать в непрямозонных полупроводниках, та-
таких, как кремний.
Будучи заброшенным в зону проводимости, электрон релак-
сирует путем безызлучательных переходов (взаимодействуя с
фононами решетки) на дно этой зоны. Не так давно было по-
6.6. Полупроводниковые лазеры 407
казано, что этот внутризонный переход происходит в течение
очень короткого времени (<100 фс). В то же время дырка, ос-
оставшаяся в валентной зоне (рис. 6.40), релаксирует за очень
короткое время к верхушке валентной зоны. В этой точке элек-
электрон может рекомбинировать с дыркой либо излучательным,
либо безызлучательным путем. Время жизни для межзонных
переходов составляет около 1 не, т. е. много больше времени
жизни внутризонных переходов. Как уже рассматривалось в
гл. 2 (см. разд. 2.5), безызлучательные межзонные переходы
обычно происходят на глубоких ловушках, причем соответст-
соответствующая энергия передается фонону решетки или свободным но-
носителям. В полупроводниках, используемых в качестве активных
сред лазеров, излучательная релаксация преобладает над безыз-
лучательной и квантовый выход люминесценции может дости-
достигать 80 % или даже больших значений.
6.6.1.4. Квазиуровни Ферми
Рассмотрим теперь случай, когда из валентной зоны в зону
проводимости заброшено много электронов. Поскольку внутри-
зонные переходы имеют значительно большую скорость, чем меж-
межзонные, внутри каждой зоны сразу установится тепловое равно-
равновесие, хотя полупроводник как целое и не находится в тепловом
равновесии. Поэтому можно по отдельности говорить о вероятно-
вероятностях заполнения для валентной зоны Д, и для зоны проводимо-
проводимости /с, которые даются выражениями, имеющими тот же вид,
что и выражение F.29), а именно
U = {1 + ехр \(Е - Efv)/kT] }-', F.33а)
h = {1 + ехр \{Е - EQ/kT] }-', F.336)
где Е; и Ef — энергии так называемых квазиуровней Ферми
соответственно валентной зоны и зоны проводимости. Из этих
выражений, а также наших предварительных замечаний (см.
рис. 6.37,6) видно, что, например, при 7 = 0 К эти уровни обо-
обозначают границы между полностью заполненными и абсолютно
пустыми областями энергий внутри каждой зоны. Значения Efv
и Efc, очевидно, зависят от количества электронов, заброшенных
при накачке в зону проводимости. Действительно, чем больше
этих электронов, тем выше Е\с и ниже Efv.
Рассмотрение полупроводникового лазера сильно упрощает-
упрощается при использовании понятия квазиуровней Ферми, поскольку
для каждой зоны необходима лишь одна величина, описываю-
описывающая вероятность заполнения большого (как правило) числа
408 6. Типы лазеров
участвующих в генерации уровней. В качестве примера полез-
полезности этого понятия мы можем сразу получить необходимое
условие для лазерной генерации, налагая требование, чтобы чи-
число актов вынужденного излучения было больше числа актов по-
поглощения (избыток необходим для компенсации потерь в резона-
резонаторе). Оба указанных процесса пропорциональны произведению
числа фотонов в резонаторе и коэффициенту В данного пере-
перехода. Однако вероятность вынужденного излучения будет также
пропорциональна произведению вероятности заполнения верх-
верхнего уровня и вероятности того, что нижний уровень будет сво-
свободным, в то время как вероятность поглощения будет про-
пропорциональна произведению вероятности заполнения нижнего
уровня и вероятности того, что верхний уровень окажется сво-
свободным. Таким образом, чтобы получить вынужденное излучение
на переходе между уровнем с энергией Е2 в зоне проводимости и
уровнем с энергией Е\ в валентной зоне, мы должны потребо-
потребовать выполнения неравенства
Bq {fc[(E2) [ 1 - /„ (?,)] - /„ (?,) [ 1 - U (?2)]} > 0, F.34)
т. е. чтобы
fe(Ea)>fv(Ei). F.35)
Из этого неравенства с учетом выражений F.33) получаем
Efc — Efv > E2 — Ei= Av; F.36)
здесь v—частота испускаемого фотона. Заметим, что при Т =
= 0 К условие F.36) нетрудно получить из рис. 6.37,6 путем
непосредственного геометрического рассмотрения. Однако пред-
предшествующий вывод убеждает в том, что данное соотношение
справедливо при любой температуре (до тех пор, пока остается
применимым понятие квазиуровней Ферми). Напомним, что усло-
условие F.36) является результатом требования, чтобы процессы
вынужденного излучения преобладали над процессами поглоще-
поглощения. В этом отношении неравенство оказывается эквивалент-
эквивалентным общему условию E.25), выведенному для четырехуровне-
четырехуровневого лазера. Наконец, заметим, что энергия излучаемого фотона
должна, очевидно, быть больше ширины запрещенной зоны Eg.
Таким образом, мы приходим к следующему условию:
Eg<hv< Efe - Efv, F.37)
которое приблизительно устанавливает ширину контура усиле-
усиления полупроводника. Обычно эта ширина оказывается довольно
большой (Av « 400 см-1), хотя она и не столь велика, как в слу-
случае лазера на красителе (Av « 2000 см~'; см. рис. 6.29), с кото-
6.6. Полупроводниковые лазеры 409
рым полупроводниковый лазер оказывается в некоторых аспек-
аспектах очень схож (ср., например, схемы накачки на рис. 6.40 и
рис. 6.31). Заметим, что, поскольку разность Е;с — Efv увеличи-
увеличивается с ростом числа заброшенных в зону проводимости элек-
электронов, некоторое критическое число электронов должно быть
заброшено в зону проводимости, чтобы обеспечить выполнение
условия Е\с — Efv > Eg. До тех пор пока не будет достигнут
этот минимальный уровень инжекции, усиление в полупровод-
полупроводнике не наблюдается.
6.6.2. Накачка полупроводниковых лазеров
Накачку полупроводниковых лазеров можно осуществить
различными путями, что действительно было проделано. Напри-
Например, можно использовать внешний электронный пучок или пу-
пучок от другого лазера для поперечного возбуждения в объеме
полупроводника. Однако до сих пор наиболее удобным методом
возбуждения является использование полупроводника в виде
диода, в котором возбуждение происходит за счет тока, проте-
протекающего в прямом направлении. В этом случае инверсия насе-
ленностей достигается в узкой (<1 мкм) полоске между р- и
«-областями перехода. Можно выделить два основных типа по-
полупроводниковых лазерных диодов, а именно лазер на гомопе-
реходе и лазер на двойном гетеропереходе (ДГ). Лазер на го-
мопереходе представляет интерес главным образом благодаря
той роли, которую он сыграл в историческом развитии лазеров
(так были устроены первые диодные лазеры), однако здесь по-
полезно кратко рассмотреть этот лазер, поскольку это поможет
подчеркнуть те большие преимущества, которыми обладают ДГ-
лазеры. Действительно, только после изобретения лазера на ге-
гетеропереходе A969 г.) [34—36] стала возможной работа полу-
полупроводниковых лазеров в непрерывном режиме при комнатной
температуре, в результате чего открылся широкий спектр при-
применений, в которых эти лазеры теперь используются.
6.6.2.1. Лазер на гомопереходе
В лазерах на гомопереходе накачка осуществляется в р — п-
переходе, в котором как р-, так и л-области выполнены из од-
одного и того же полупроводникового материала (например,
GaAs). Как р-, так и л-область являются вырожденными полу-
полупроводниками, т. е. концентрации акцепторов и доноров в них
столь велики (~ 1018 атомов/см3), что уровни Ферми Efp для
р-области попадают в валентную зону, а уровни Ферми Efn для
«-области — в зону проводимости. Когда переход сформирован,
410
6. Типы лазеров
а напряжение не прикладывается, оба уровня Ферми имеют
одинаковые энергии, т. е. лежат на одной горизонтальной линии
на рис. 6.41, а, на котором представлена зонная структура
р — «-диода. Когда прикладывается напряжение V, два уровня
Ферми становятся разделенными промежутком
AE--=eV. F.38)
Таким образом, если диод смещен в прямом направлении, зон-
зонная структура примет вид рис. 6.41, б. Из рисунка видно, что в
Активная область
Fp //////, //11//////////11//1111/11 //,
У/Л
Рис. 6.41. Принцип действия полупроводникового лазера на основе р— л-пе-
рехода и отсутствие смещения (а) и при смещении в прямом направлении F).
области перехода возникает инверсия населенностей. По суще-
существу, при смещении в прямом направлении происходит инжек-
ция в активный слой электронов из зоны проводимости мате-
материала л-типа и дырок из валентной зоны материала р-типа. Как
только электрон достигает материала р-типа, он становится не-
неосновным носителем и диффундирует до тех пор, пока не ре-
комбинирует с дыркой в валентной зоне. Поэтому толщина ак-
активной области d приблизительно равна среднему расстоянию,
проходимому электроном до рекомбинации с дыркой. Согласно
теории диффузии, толщина d дается выражением d= д/fDx, где
D — коэффициент диффузии, а т — среднее время существова-
существования неосновного носителя до рекомбинации. В GaAs мы имеем
D = 10 см2/с, а т « 1 не, так что d « 1 мкм. Наконец, заметим,
что, поскольку Д? « Eg, где Eg — ширина запрещенной зоны, из
соотношения F.38) следует, что V « Eg/e. В случае GaAs мы
имеем V ж 1,5 В.
На рис. 6.42 приведена типичная конструкция лазера на
р — л-переходе. Заштрихованная область представляет собой ак-
6.6. Полупроводниковые лазеры
411
тивный слой. Видно, что диод имеет небольшие размеры. Чтобы
обеспечить необходимую для генерации обратную связь, две вы-
выходные плоскости делают параллельными друг другу, обычно по-
посредством скалывания вдоль кристаллографических плоскостей.
Во многих случаях на эти поверхности не наносятся отражаю-
отражающие покрытия. Действительно, так как показатель преломления
у полупроводника очень большой (например, л = 3,6 в GaAs),
то на поверхности раздела полупроводник — воздух при френе-
Зпектрический Сколотая
контакт грань
Область
, р-типа
Активная
-- область
..^ Область
n-rnumz
Сколотая
грань ^ у\ | UgS2^ ^Л обработанная
поверхность
Лазерный
пучок
Рис. 6.12. Типичны!! GaAs-лазер с широким р — п-гомопереходом.
ленском отражении мы уже получаем достаточно высокий коэф-
коэффициент отражения (около 35% для GaAs). Заметим, что, как
отмечалось выше, толщина активной области в перпендикуляр-
перпендикулярном к р— «-переходу направлении составляет около 1 мкм. Од-
Однако вследствие дифракции поперечный размер лазерного пучка
в этом направлении значительно больше толщины активной об-
области (~ 5 мкм). Следовательно, лазерный пучок довольно да-
далеко проникает в р- и «-области, где испытывает сильное по-
поглощение. Это является главной причиной, почему пороговая
плотность тока при комнатной температуре в лазере на гомопс-
реходе оказывается высокой (~ 105 А/см2 для GaAs). Вслед-
Вследствие этого лазер не может работать в непрерывном режиме при
комнатной температуре (или выйдет из строя через очень ко-
короткое время!), Однако пороговая плотность тока в диодном
лазере быстро уменьшается с понижением рабочей температуры.
Это обусловлено тем, что с понижением температуры величина
fc(\ — fv) увеличивается, a fv(l—fc) уменьшается. Поэтому уси-
усиление [которое зависит от разности /сA—fv)—Ml—fc)', см.
уравнение F.34)] быстро возрастает. Вследствие этого лазеры
412
6. Типы лазеров
на гомопереходе могут работать в непрерывном режиме только
при низких температурах. Это является серьезным недостатком
данного типа лазеров и наложило ограничения на возможности
их практического применения.
6.6.2.2. Лазер на двойном гетеропереходе
Ограничения, отмеченные в предыдущем разделе, сдержи-
сдерживали широкое использование полупроводниковых лазеров до тех
пор, пока не были предложены вначале одинарные гетеропере-
гетеропереходы, а вскоре после этого — двойные гетеропереходы. Мы огра-
ограничимся тем, что рассмотрим последний тип перехода, поскольку
только он обычно и применяется. Чтобы проиллюстрировать его
свойства, на рис. 6.43 при-
приведен пример лазерной
структуры с двойным ге-
гетеропереходом в GaAs,
В этом диоде реализова-
реализованы два перехода между
различными материалами
[Alo,3Gao,7As(p)—GaAs и
GaAs — Alo,3Gao.7As(n)].
Активная область пред-
представляет собой тонкий
слой GaAs @,1—0,3 мкм).
~7MKM
0,1 0,-Змкм
~7мкм
ЛоЗложна из GaAs
Al^jGajTAsln)
\\\\\\\\\\\\U-
GaAs(p)
Медный теплоотл&од
Металлизированная
' поверхность
.. Активная
область GaAs{n)
- Окисел
: Металлизираванти
J СТОК
Припои,
" И ИКМ
Рис. 6.43, Схематическое представление по-
полупроводникового лазера с двойным гете-
гетеропереходом. Активная область представ-
представляет собой слой из GaAs(n) (заштрихо-
(заштрихованная область).
В такой структуре диода
пороговую плотность тока
при комнатной темпера-
температуре можно уменьшить
примерно на два порядка (т. е. до ~ 103 А/см2) по сравнению
с устройством на гомопереходе. Таким образом, становится
возможной работа в непрерывном режиме при комнатной
температуре. Уменьшение пороговой плотности тока происхо-
происходит благодаря совместному действию трех следующих фак-
факторов: 1) Показатель преломления GaAs (п\ « 3,6) значительно
больше показателя преломления Alo,3Gao,7As (n2 « 3,4), что при-
приводит к образованию оптической полноводной структуры
(рис. 6.44, а). Отсюда следует, что лазерный пучок будет теперь
сосредоточен главным образом в слое GaAs, т. е. в области, в
которой имеется усиление, 2) Ширина запрещенной зоны ?г1 в
GaAs (~ 1,5 эВ) значительно меньше, чем ширина запрещен-
запрещенной зоны Eg2 в Alo^GaojAs (~ 1,8 эВ). Поэтому на обоих пере-
переходах образуются энергетические барьеры, которые эффективно
удерживают инжектированные электроны и дырки в активном
слое (рис. 6.44, в). Таким образом, для данной плотности тока
6.6, Полупроводниковые лазеры
413
концентрация электронов и дырок в активном слое возрастает,
а значит, увеличивается и усиление. 3) Поскольку Egj значи-
значительно больше, чем Ее„ лазерный пучок с частотой v « EgJh
почти не поглощается в Alo.aGao.zAs. Поэтому крылья попереч-
поперечного профиля пучка, заходящие как в р-, так и в «-области
(рис. 6.44, б), не испытывают
там сильного поглощения.
До сих пор мы рассмат-
рассматривали лазер с двойным ге-
гетеропереходом на GaAs.
Длина волны его излучения
(А. = 0,85 мкм) попадает в
диапазон, в котором мы
имеем минимум потерь в оп-
оптическом волокне из плав-
плавленого кварца (первое окно
пропускания). В настоящее
время усиленно разрабаты-
разрабатываются лазеры с двойной ге-
тероструктурой, работающие
на длине волны либо К «
« 1,3 мкм, либо Я,» 1,6 мкм,
на которых наблюдаются
два других минимума по-
потерь оптического волокна
(второе и третье окна про-
пропускания), поскольку потери
в этих минимумах суще-
существенно меньше. Здесь наи-
наибольший интерес в качестве
р-а&лР-сть 1
Активная
ооллагпь
п-обласгль
в
Рис. 6.44. а — профиль показателя пре-
преломления; б — поперечное сечение пуч-
пучка; в — зонная структура полупровод-
полупроводника с двойным гетеропереходом, ис-
используемого в диодном лазере.
активной среды представ-
представляет четырехкомпонентныи
сплав In^^Ga^ASyP^^.rflep-
и «-области переходов вы-
выполняются из бинарного соединения 1пР. В этом случае добав-
добавляется новое условие, которому необходимо удовлетворить: по-
постоянная решетка четверного сплава должна совпадать с посто-
постоянной решетки InP (с точностью порядка 0,1 %). Если это усло-
условие не выполняется, то слой четверного сплава, эпитаксиально
выращенный на подложке из InP, приведет к достаточно силь-
сильным напряжениям, которые рано или поздно разрушат переход'».
" Следует заметить, что эта проблема не возникает в GaAs, поскольку
постоянные решетки GaAs E,64 А) и AlAs E,66 А) имеют очень близкие
значения.
414
6. Типы лазеров
Если выбрать значения параметров х и у четверного сплава
таким образом, чтобы у « 2,2х, то решетка четверного сплава
согласуется с решеткой 1пР. Выбирая соответствующим обра-
образом х, можно получать длину волны излучения в диапазоне
0,92—1,5 мкм.
6.6.3. Полупроводниковые лазеры и их характеристики
В данном разделе обсуждение лазеров и их характеристик
будет касаться главным образом полупроводникового ДГ-ла-
зсра на GaAs, поскольку в настоящее время это наиболее ши-
широко применяемый диодный лазер, однако мы приведем также
некоторые данные по другим полупроводниковым материалам
для лазеров (например, InGaAsP), а также по устройствам на
гомопереходе.
Металлический контакт
Изолирующий,
слои
р~GaAs
Палоскозый
контакт
слои)
Подложка, из n-Ga.As
Металлический
контакт
Лазерный © I
пучок
Сколотая поверхность
Рис. 6.45. Фрагмент полупроводникового лазера с полосковой геометрией и
двойным гетеропереходом.
На рис. 6.45 схематически показана одна из возможных кон-
конструкций диодного ДГ-лазера. Заметим, что благодаря нали-
наличию соответствующего изолирующего слоя ток от положитель-
положительного электрода течет в виде узкой полоски (шириной s = 5—
10 мкм). Это имеет результатом следующие два положитель-
положительных эффекта: 1) Поскольку площадь полоски мала (A = Ls),
пороговый ток /пор = JnopA также мал (например, при /пор =
= 2-103 А/см2 и s = 10 мкм имеем /пор = 50 мА). 2) Поскольку
6.6. Полупроводниковые лазеры
415
О
Нелегировинный
С примесью Si
о 20 мкм
• 40 мкм
J L_
0
0,1
0,Z
0,3
0,5
ширина области усиления в плоскости перехода примерно также
равна s (см. рис. 6.45), это сужение области усиления позволяет
удерживать пучок в основной поперечной моде, если s ^ 10 мкм.
Заметим, что кроме приведенной на рис. 6.45 структуры, в кото-
которой сжатие пучка в плоскости перехода осуществляется с по-
помощью распределения усиления (лазер с ограничением, созда-
создаваемым усилением), были г
разработаны также струк-
структуры, в которых удержа-
удержание пучка достигается со- г,
ответствующим профилем
показателя преломления
в плоскости перехода (ла-
(лазер с рефрактивным огра-
ограничением). В этих обоих
случаях получается диф-
дифракционно -ограниченный
пучок эллиптического се-
сечения (<~1 мкмХ5 мкм).
Отсюда следует, что рас-
расходимость 0ц в параллель-
параллельной переходу плоскости
примерно в 5 раз меньше
расходимости 6± (~45°)в
перпендикулярной перс-
ходу плоскости. Разрабо-
Разработаны оптические системы,
компенсирующие это ас-
астигматическое поведение
пучка.
На рис. 6.46 приведе-
приведены экспериментальные и
теоретические значения
пороговых плотностей тока /пор в зависимости от толщины ак-
активного слоя d для полоскового ДГ-лазера на AlGaAs. Заме-
Заметим, что с уменьшением d пороговая плотность тока /пор вначале
уменьшается, достигает минимума, а затем увеличивается. На-
Наличие спадающей части у зависимости /пор нетрудно понять,
потому что с уменьшением d активный объем уменьшается про-
пропорционально d, а значит, скорость накачки при данной плот-
плотности тока растет пропорционально \/d [см. также выражение
F.40) ]. Однако, если толщина d становится очень малой, поле
уже не удерживается внутри активного слоя (см. рис. 6.44, б) и
крылья пучка испытывают существенные потери в р- и «-обла-
«-областях перехода. Теперь становится понятным, почему при очень
Рис. 6.46. Расчетные и экспериментальные
значения пороговой плотности тока /пор
как функции толщины активного слоя d
для ДГ-лазера на AlGaAs длиной 300 мкм
с полосковой геометрией. Темные и свет-
светлые кружки представляют данные для ши-
ширины полосок соответственно 40 и 20 мкм.
Расчетные кривые /раСч относятся к слу-
случаям собственного и слабо легированного
кремнием активных слоев. (Согласно Ки-
иоие и др. [45].)
416
6. Типы лазеров
малых значениях d наблюдается возрастание /пор, когда d умень-
уменьшается. Из рис. 6.46 видно, что минимальное значение /пор
достигается при d «0,1 мкм и что это значение /пор приблизи-
приблизительно равно 1 кА/см2.
На рис. 6.47 приведены типичные зависимости выходной
мощности от выходного тока при двух различных температурах,
полученные от полосковых (любого типа) полупроводниковых
ДГ-лазеров. Заметим, что бла-
благодаря использованию поло-
сковой геометрии пороговый
ток /„op при комнатной темпе-
температуре не превышает 100 мА.
Заметим также, что /пор резко
увеличивается с температурой.
Для большинства диодных ла-
лазеров эмпирически было най-
найдено, что этот рост подчиняет-
подчиняется закону /„op ~ ехрGуГо), где
Го — характеристическая тем-
температура, зависящая от кон-
конкретного диода. Значение этой
температуры служит показате-
показателем качества диодного лазера.
Действительно, отношение двух
значений порогового тока при
двух значениях температуры,
отличающихся между собой
на величину ДГ, определяется
из выражения /пор,//пор, =
Рис. 6.47. Зависимости выходной
мощности от тока на входе в ДГ-ла-
зере при комнатной и повышенной
температурах.
= ехр (АТ/Т0). Следовательно,
чем больше То, тем менее чув-
чувствителен пороговый ток /пор к изменению температуры. В слу-
случае рис. 6.47 можно сразу определить, что 70 « 91 К (обычно
То лежит в диапазоне от 70 К для худших лазеров до 135 К для
лучших). Заметим, что на рис. 6.47 выходная мощность ограни-
ограничена значением порядка 10 мВт. Большие выходные мощности
(обычно выше 30—50 мВт) могут привести к столь высоким ин-
тенсивностям пучка, что могут разрушиться грани полупровод-
полупроводника. Заметим, что дифференциальный КПД лазера дается вы-
выражением x\s = dP/Vdl, где V—напряжение источника пита-
питания. Выбрав V « 1,8 В, получаем r\s = 40 %. В действительности
имеются сообщения даже о более высоких дифференциальных
КПД (вплоть до 60%)- На самом деле внутренняя квантовая
эффективность (доля инжектированных носителей, которые ре-
комбинируют излучательно) еще больше (около 70%). Это
6.6. Полупроводниковые лазеры
417
означает, что в настоящее время полупроводниковый лазер
имеет наибольший КПД.
Типичный спектр излучения диодного лазера приведен на
рис. 6.48. Равномерно расположенные пики соответствуют раз-
различным продольным модам резонатора Фабри — Перо. Вспоми-
Вспоминая, что длина резонатора должна удовлетворять соотношению
[см. D.3) ] L = Vkn/In, где / — целое число, ал — показатель
преломления полупроводника, мы видим, что два соседних пика
1,434 1,436 1,438 1,440 1.
Энергия hv, эВ
Рис. 6.48. Типичный спектр излучения полупроводникового лазера.
разделены по длине волны промежутком ЛА, = Xo/2nL. Выбирая
в качестве примера снова GaAs (X =0,85 мкм) и принимая L=
= 250 мкм, получаем ДХр = 3,9 А. Таким образом, спектр излу-
излучения обычно захватывает довольно широкую область длин волн
E—10 нм), что может представлять проблему для волоконно-
оптических линий связи из-за хроматической дисперсии оптиче-
оптического волокна. В настоящее время наилучшим способом получе-
получения существенно меньших ширин линий является использова-
использование лазера с распределенной обратной связью (РОС)-лазера
(рис. 6.49). В этой схеме лазерный диод изготавливается таким
образом, чтобы получить периодическое изменение эффектив-
эффективного показателя преломления активного канала вдоль направ-
направления распространения волны, что приводит к отражению вол-
волны, т, е. к распределенной обратной связи. В принципе этого
можно было бы достичь созданием периодической гофрирован-
гофрированной структуры на одной из поверхностей активного слоя
(рис, 6.49, а). В результате возникает периодическое изменение
показателя преломления, так как показатель преломления актив-
активного слоя выше, чем у окружающего материала, Поскольку ме-
методы, применяемые для изготовления гофрированной структуры,
14 О. Звелто
418
6. Типы лазеров
всегда создают большую плотность центров безызлучательной
рекомбинации на гофрированной поверхности, конфигурация
типа той, что изображена на рис, 6.49, а, обладает низкой
квантовой эффективностью и, следовательно, высоким порогом.
Чтобы преодолеть эту трудность, гофрированная поверхность из-
изготавливается в пограничной плоскости, которая располагается
на небольшом расстоянии от плоскости перехода (рис. 6,49,6).
GttAs (p) „
(активный
слой)
AlOi3Gao,7As(n)
а
(p)
Go As (p)
Рис. 6.49. Схемы полупроводниковых РОС-лазеров. а — гофрированная струк-
структура создается на одной из поверхностей активного слоя; б — гофрирован-
гофрированная структура создается на дополнительной поверхности вблизи активного
слоя.
Однако эффект от гофрированной поверхности будет большим
только в том случае, когда она располагается столь близко от
перехода, что попадет в область, в которой поле лазерного из-
излучения за счет поперечного распределения достаточно велико.
Распределенное отражение возникает при брэгговском рассеянии
лазерного пучка на изменении показателя преломления, созда-
создаваемом этой гофрированной поверхностью, которая действует,
таким образом, как распределенная фазовая решетка. Чтобы по-
получить максимум обратной связи на длине волны Хо, простран-
пространственный период AL гофрированной структуры должен удовле-
удовлетворять условию
Д /2 F.39)
6.6. Полупроводниковые лазеры
419
где лЭфф — эффективный показатель преломления лазерного ка-
канала. Соотношение F.39) возникает из условия, согласно кото-
которому волны, отраженные от следующих друг за другом областей
с высоким показателем преломления (эти области разделены
друг от друга расстоянием AL), должны складываться в фазе
(условие Брэгга), Отсюда следует, что сдвиг фазы ф между
двумя отраженными волнами должен быть равен 2л. Поскольку
ф = 2&ЭффЛ?, где &ЭФФ — эффективное волновое число
(&эфф = 2лпЭфф/Х0), мы сразу получаем условие F.39). Заме-
Заметим, что, согласно этому условию, существенная обратная связь
имеет место лишь в очень узкой
полосе вблизи Ко = 2яЭффЛ?. Сле-
Следовательно, спектр излучения ди-
диодного РОС-лазера обычно со-
состоит из одной продольной моды
(с шириной линии в несколько
мегагерц) резонатора Фабри —
Перо, сформированного двумя
торцевыми гранями. Технология
изготовления РОС-лазеров явля-
является весьма сложной, так как
подразумевает создание очень
мелкой гофрированной структуры
(например, с AL = 0,12 мкм при
К — 0,850 мкм).
В заключение рассмотрим модуляционную способность полу-
полупроводниковых лазеров. Это рассмотрение имеет определенное
значение, поскольку, например, модуляционная способность
устанавливает предел частоты повторения импульсов лазера в
импульсно-кодовой схеме модуляции. Если диод возбуждается
идеальным прямоугольным импульсом, то импульс излучения
будет иметь конечную задержку хы, а также конечные значения
длительности переднего тг и заднего Xf фронтов (рис. 6,50). За-
Задержка Td связана с тем, что для создания необходимой инвер-
инверсии населенностей необходимо определенное время, Конечные
значения длительностей переднего и заднего фронтов опреде-
определяются следующими двумя причинами: 1) конечным значением
емкости перехода, которая ограничивает нарастание скорости
накачки в активном слое; 2) конечным временем формирования
и окончания процесса вынужденного излучения (как правило,
хг < xf, см. также рис. 5.26). В настоящее время величина т =
= хг + Xf имеет значение порядка 1 не, что ограничивает ча-
частоту повторения битовых посылок приблизительно до 1 Гбит/с.
Для достижения более высоких скоростей передачи можно вос-
воспользоваться следующими двумя приемами: 1) устанавливать
Рис. 6.50. Временная форма им-
импульса, излучаемого полупровод-
полупроводниковым лазером при возбужде-
возбуждении прямоугольным импульсом
тока.
14*
420 6. Типы лазеров
рабочий режим диода с постоянным током смещения чуть ниже
или чуть выше порогового тока и 2) применять более короткие
резонаторы (L та 100 мкм). Действительно, оба этих способа
позволяют уменьшить время формирования лазерного излуче-
излучения, а применение короткого резонатора уменьшает также и ем-
емкость перехода. Использование этих приемов позволило добить-
добиться намного более высоких скоростей передачи (примерно до
10 Гбит/с).
6.6.4. Применения полупроводниковых лазеров
Полупроводниковые лазеры находят сегодня целый ряд важ-
важных применений в различных областях. Впервые эти лазеры в
больших масштабах использовались в качестве оптической
считывающей головки в компакт-дисковых системах. Теперь
эта область применения расширилась и включает в себя опти-
оптические диски, используемые как постоянные или одноразовые
запоминающие устройства. Для этих применений используются
GaAs-лазеры, однако предпринимаются большие усилия для раз-
разработки полупроводниковых лазеров видимого диапазона, по-
поскольку более короткая длина волны позволяет считывать диски
с более высокой поверхностной плотностью записи. В лазерах
видимого диапазона в качестве активной среды применяется
тройной сплав GalnP (или четверной сплав AlGalnP), а для
р- и л-областей — GaAs. Выбором подходящего параметра со-
состава можно согласовать решетки обоих сплавов с GaAs, и к на-
настоящему времени достигнута надежная работа при комнатной
температуре в красной области спектра (X = 680 нм) на основе
GalnP. Кроме того, эти лазеры широко применяются в волокон-
нооптической связи, причем опять же с GaAs, в то время как в
будущем, наверное, для этой цели лучше подойдет лазер на чет-
четверном сплаве InGaAsP. Для применений в связи срок службы
любого компонента должен составлять как минимум около
105 ч (т. е. больше 10 лет). В настоящее время срок службы
промышленных устройств составляет 104 ч, а эксперименталь-
экспериментальных около 5-105 ч '). В настоящее время полупроводниковые ла-
лазеры на GaAs широко применяются для накачки Nd : YAG-лазе-
ров в конфигурации с продольной накачкой. Для получения
более высоких мощностей стержень из Nd:YAG можно также
° Следует заметить, что поскольку 1 год равен примерно 9000 ч, для
оценки столь длительного срока службы необходимо применять так назы-
называемые тесты ускоренного старения. При этом ожидаемый срок службы при
комнатной температуре экстраполируется из результатов ресурсных испыта-
испытаний при повышенной температуре (при которой срок службы заметно ко-
короче).
6.6, Полупроводниковые лазеры 421
накачивать в поперечной конфигурации линейкой диодных лазе-
лазеров. Как уже отмечалось, выходная мощность полоскового диод-
диодного лазера ограничена оптическим разрушением грани до ти-
типичного значения около 50 мВт. С целью повышения мощности
были разработаны линейки диодов с отдельными лазерными ка-
каналами, достаточно близко расположенными друг к другу, так
что излучение всех этих каналов становится связанным, а фа-
фазы— синхронизованными. Таким путем была получена мощ-
мощность около 2 Вт от линейки из 40 лазерных каналов. В заклю-
заключение можно сказать, что для приложений полупроводниковые
лазеры в настоящее время, по-видимому, играют наиважней-
наиважнейшую роль. Учитывая продолжающееся быстрое развитие этих
лазеров, можно ожидать, что их роль в будущем значительно
возрастет.
6.6.5. Упрощенная теория полупроводникового лазера
Рассмотрим полосковый полупроводниковый ДГ-лазер. Пусть
А—площадь полоски, a d — толщина активной среды в направ-
направлении, перпендикулярном плоскости перехода. Обозначим ско-
скорость, с которой электроны (и дырки) инжектируются в единич-
единичный объем активного слоя, через RP. Для вычисления этой
скорости инжекции заметим вначале, что та часть инжектиро-
инжектированных носителей, которые не рекомбинируют излучательно, ис-
испытывает безызлучательную электрон-дырочную рекомбинацию
в основном на границах перехода. Следовательно, эту часть но-
носителей можно рассматривать как если бы они вовсе не были ин-
инжектированы в активную область. Таким образом, нетрудно по-
показать, что при данном токе / через переход Rp дается выра-
выражением
Rp = r]lI/eAd, F.40)
где r\i — внутренняя квантовая эффективность, а е — заряд элек-
электрона. Прежде чем продолжить рассмотрение, необходимо под-
подчеркнуть, что обсуждаемый здесь случай отличается от всего
того, что имеет место во всех лазерах, которые мы до сих пор
изучали, по крайней мерс в трех следующих отношениях: 1) Ве-
Величинами, которыми необходимо теперь пользоваться, являются
плотность носителей N, а не обычная инверсия населенностей,
и скорость инжекции Rp вместо произведения Wp(Nt—N),
определяющего накачку. 2) В полупроводнике максимальный
коэффициент усиления ag можно приближенно записать в виде
[44]
ag = o(N-N'), F.41)
422 6. Типы лазеров
где а—сечение вынужденного излучения, a N'—постоянная (для
GaAs при Г = 300 К имеем а~ 1,5- 1016 см2 и N'-1,5-1018 но-
носителей/см3). Заметим, что, как следует из F.41), при N<N'
усиление в полупроводнике отсутствует. Согласно разд. 6.6.1.4,
физическое объяснение этого состоит в том, что если инжекти-
инжектировано недостаточное количество носителей, то квазиуровни
Ферми не удовлетворяют условию Е;с—E;v>Eg и, следова-
следовательно, в полупроводнике усиления нет. 3) Поперечная ширина
поля в резонаторе d' существенно больше, чем толщина актив-
активной области d (например, в GaAs мы имеем d' та 0,8 мкм при
d«0,l мкм). В этом случае, полагая, что торцевые грани по-
полупроводника служат зеркалами резонатора, мы получаем сле-
следующие скоростные уравнения для плотности носителей N и
полного числа фотонов в данной моде q [см. Приложение Б и
ср. с E.18)]:
N = Rp- {calV) q{N - N') - N/xn F.42a)
q = [{ccVJV) (N - N') - 1/tc] q, F.426)
где с = co/n, a
^2dV\ F.43a)
здесь U — поле в резонаторе (нормированное на свое макси-
максимальное значение) и интегрирование производится по всему рас-
распределению поля; %г — время жизни при излучательной реком-
рекомбинации (при сделанных выше предположениях все носители
в активном объеме рекомбинируют излучательно);
Va=[u2 dV F.436)
(здесь интеграл берется по объему активной среды).
Условие порога генерации теперь нетрудно получить, пола-
полагая ti = 0 и <7 = 0 в левых частях уравнений F.42) и ^ = 0 в
правой части F.42а). Тогда из уравнения F.426) с помощью
E.136) [заметим, что, согласно E.11), в нашем случае U = nl]
получаем критическую инверсию
Nc = N'+(ylol){V'IVa), F.44)
где / — длина полупроводника. Сравнивая это выражение с
E.26), мы получаем следующее: 1) в выражение F.44) входит
дополнительный член N', введенный в F.41); 2) член y/al выра-
выражения E.26) теперь входит с множителем V'/Va благодаря
тому, что ширина поперечного распределения поля больше тол-
толщины активного слоя. На самом деле, используя выражения
6.6. Полупроводниковые лазеры 423
F.43а) и F.436), можно записать V'/Va ~ d'/d, а выражение
F.44) принимает простой вид:
. F.44а)
Это выражение показывает, что для описания вынужденного из-
излучения фотонов в данной моде можно определить эффективное
сечение стэфф = o{d/d'). Так как d<^d', мы имеем аЭфф <С а.
Критическую скорость накачки находим из выражения F.42а):
RcP = Ncl%r. F.45)
Отсюда, используя выражения F.44а) и F.40), получаем сле-
следующие выражения для пороговой плотности тока /пор = 1Пор/А:
/пор = [W) (d'ld) + N'] ИДтьт,)]. F.46)
Заметим, что если в этом выражении присутствовал бы только
множитель во вторых квадратных скобках, то величина /пор
уменьшалась бы с уменьшением толщины k активного слоя. Од-
Однако когда d становится слишком малой, величина yd'/old в вы-
выражении F.46) становится больше N' и в случае d /d ^> 1 из
этого выражения следует, что /ПОр не зависит от d. На самом
деле, как уже говорилось в разд. 6.6.3, когда толщина актив-
активного слоя становится очень малой, поле резонатора настолько
далеко заходит в р- и n-области диода, что испытывает суще-
существенные потери в этих областях. При этом следует ожидать, что
при малых d плотность тока /пор должна увеличиваться с умень-
уменьшением d. Таким образом, существует минимальная величина
/пор, причем соответствующее ей значение d оказывается рав-
равным 0,1 мкм (см. рис. 6.46).
Из уравнений F.42) можно также получить значения jV0 и
<7о выше порога в непрерывном режиме, полагая (] = 0 и q = 0.
Таким образом, мы имеем
NO = NC, F.47а)
<70 = (V'/co)[l/(N0- N')](Rp - Rcp). F.476)
Выражение F.47а) показывает, что и в этом случае инверсия
в непрерывном режиме остается фиксированной на пороговом
уровне [ср. с. E.29а)]. Из выражения F.476) с учетом F.44)
и F.40), а также того факта, что Va~Ad, получаем
qo = (Vcy)r\,[(I-lmp)/e]. F.48)
Отсюда с помощью E.20) находим окончательное выражение
для выходной мощности через одно зеркало:
Р2 = 1,,/iv (Y2/2y) К/ - Imp)/e], F.49)
424 в. Типы лазеров
которое имеет простое объяснение. Действительно, член г),-(/ —
—/Пор)/е представляет собой число носителей, инжектирован-
инжектированных в активный объем за вычетом порогового значения. При
этом выделяющаяся мощность равна просто этой величине, ум-
умноженной на энергию фотона hv. Наконец, выходная мощность
равна выделяющейся мощности, умноженной на эффективность
связи т]с = Y2/2y- Из выражения F.49) теперь находим диффе-
дифференциальный КПД:
Л* = dPJV dl = т], (hv/eV) (y2/2y), F.50)
где V — напряжение источника питания. Заметим, что из-за не-
небольшого падения напряжения на внутреннем сопротивлении
диода величина hv/eV несколько меньше единицы. Будем назы-
называть это электрическим КПД. Таким образом, дифференциаль-
дифференциальный КПД оказывается равным произведению внутренней кван-
квантовой эффективности на электрический КПД и на эффектив-
эффективность связи. Если оба торца имеют одинаковые коэффициенты
отражения R, а а — коэффициент поглощения в полупроводнике
благодаря внутренним потерям, то
Yi=y2 = — In # F.51 а)
и
y = a.i-\nR. F.516)
Сумма выходных мощностей из обоих торцов Р и соответствую-
соответствующий дифференциальный КПД в этом случае можно получить
из выражений F.49) и F.50), заменяя Y2 на Yi + Yi = ~21n#
и подставляя у из выражения F.516). При этом получаем сле-
следующие выражения:
%-»(?) (га)-
Для наших численных оценок мы используем следующие зна-
значения, характерные для ДГ-лазера на GaAs: d = 0,\ мкм, d' =
= 0,8 мкм, ада 1,5-Ю-16 см2, #'=1,5-1018 см-3, r\t да 1; хг да
да 4 не, / = 250 мкм, а = 10 см-1. Кроме того, предположим, что
(hv/eV) да 0,8 и коэффициенты отражения обоих торцов равны
коэффициенту отражения свободных поверхностей (#да35%).
Тогда из выражения F.516) находим y = 1,25, так что порого-
пороговая плотность тока в соответствии с F.46) имеет значение
/пор « 1,6-103 А/см2, которое хорошо согласуется с эксперимен-
экспериментальными результатами. Из выражения F.53) находим, что диф-
дифференциальный КПД r\s да 67 %; это значение опять же хорошо
соответствует лучшим из полученных результатов.
6.7. Лазеры на центрах окраски 425
6.7. Лазеры на центрах окраски [37]
В настоящее время большое число различных типов центров
окраски в кристаллах галогенидов щелочных металлов исполь-
используется для создания эффективных оптически накачиваемых ла-
лазеров, перестраиваемых в широкой полосе в ближнем ИК-диа-
пазоне. Лазеры на центрах окраски позволяют получать гене-
генерацию в диапазоне длин волн 0,8—3,3 мкм и, следовательно,
представляют интерес с точки зрения расширения диапазона в
область увеличения длин волн,
в которой лазеры на растворах
органических красителей не ра-
работают.
На рис. 6.51 показана струк-
структура некоторых центров окрас-
окраски, представляющих интерес
для нашего рассмотрения. Из
приведенных на рисунке цен-
центров окраски генерация полу- '" ,
чена лишь на FA и Ft- Обыч- „ ,,г,
„ „ А J Рис. 6.51. о —нормальная структура
ныи F-цснтр можно рассматри- F и р+. ас
вать как прототип других раз- б ротированного /V
НОВИДНОСтеи F-ПОДобных цен- центра Электрон (не показан на ри-
тров; ОН представляет собой суике) находится в двух пустых об-
электрон, локализованный в ластях решетки.
анионной вакансии кристалла.
Если же один из шести ближайших к вакансии ионов металла
посторонний (изображен на рисунке кружком меньшего диа-
диаметра; например, Li+ в галогениде калия), то такой дефект
называется /^-центром. Два соседних /^-центра, расположенные
вдоль направления (ПО), образуют F2-центр, а /^-центр пред-
представляет собой однократно ионизованный /^-центр. Общая схе-
схема энергетических уровней /^-центра приведена на рис. 6.52. По-
После того как /-"-центр будет переведен в возбужденное состояние
3, он быстро (за время порядка пикосекунд) релаксирует в со-
состояние 2. На рис. 6.51 показана также структура релаксиро-
релаксированного состояния /VncHTpa. Релаксация F, F2 и/^-центров со-
состоит лишь в пространственном расширении вакансии (или уд-
удвоении вакансии). Затем F-центр рекомбинирует (излучательно)
в релаксированное основное состояние (состояние 1 на
рис. 6.52) и после этого состояния быстро переходит в нерелак-
сированнос основное состояние g. Поскольку как полоса возбу-
возбуждения (переход g—>-3), так и полоса излучения (переход 2—>-
-*¦ 1) достаточно широкие (~400 А), соответствующие спектры
426
б. Типы лазеров
напоминают спектры лазеров на красителях (см. рис. 6.29), а
спектр излучения имеет стоксов сдвиг по отношению к спектру
поглощения. Таким образом, мы видим, что /-"-центры достаточно
хорошо соответствуют четырехуровневой схеме лазера. Однако
не все /-"-центры хорошо подходят на роль активной среды, так
как некоторые из них (например,
обычный F-центр) имеют очень низ-
низкий квантовый выход люминесценции.
Из лазеров на /\1-центрах упомянем
лазеры на КС1 : Li (>. = 2,5—2,9 мкм)
и RbCl: Li (K=2,7—3,3 мкм). Среди ла-
лазеров на/-^-центрах отметим лазеры на
NaF (Я=0,88—1 мкм), KF (Х,= 1,25—
— 1,45 мкм) и LiF (^ = 0,84—1,04 мкм).
Следует заметить, что приготовление
лазерных кристаллов с FA- и /^-цент-
/^-центрами окраски требует особой тщатель-
тщательности и большого мастерства.
Рис. 6.53 иллюстрирует одну из работающих схем лазера
на центрах окраски. Лазер на центрах окраски возбуждается
другим лазером (обычно Кг+ -лазером, генерирующим на крас-
Норпатная
конфигурация
3 Быстрая
релшкация
г
Генерация
'(Щ)
1
'Быстрая
репаксацця
Релаксированная
конфигурация
Рис. 6.52. Цикл накачки ла-
лазера на F-центрах.
Зеркало с высоко:?
отражающей, споб
и. г» Юлия
/ Пучок лазера накачки
, Ох.чо
-I ззркало
/ 3еРкало Сапяяроаые лгс-стинки
для пергстройлч vac/rr^rr/s/
^ нристамл Входное аисхтоотраз^а
паящикои 1,72мм зеркало при X*ZJjn'
Т~ SO % rpu X ^ o,6?7i
м, r*ZS.*M
Рис. 6.53. Типичная конструкция непрерывного лазера на центрах окраски.
Параметры установки, приведенные на рисунке, относятся к КС1 : Li-лазеру
с продольной накачкой Кг+-лазером. (Согласно Молленеру [37].)
ной линии 647 нм, или Nd : YAG-лазером) по схеме, аналогич-
аналогичной непрерывным лазерам на красителях (ср. с рис. 6.33).
В данном случае пучок накачки проходит через входное зер-
зеркало, которое имеет высокий коэффициент отражения на длине
волны лазера на центрах окраски и высокий коэффициент про-
6.7. Лазеры на центрах окраски 427
пускания на длине волны лазера накачки. Грубая перестройка
лазера обычно осуществляется с помощью дисперсионной опти-
оптической системы, например призмы, решетки или двулучепрелом-
ляющего фильтра (эти элементы не показаны на рис. 6.53; см.
рис. 5.4 и 5.5). Тонкая подстройка частоты и выделение одной
моды осуществляются с помощью одного или более внутрирезо-
паторных эталонов Фабри — Перо. Особенностью лазеров на
центрах окраски, которая создает определенные трудности, яв-
является то, что лазерный кристалл необходимо поддерживать при
низких температурах (обычно Т^77 К). Это обусловлено сле-
следующими двумя причинами. 1) Время жизни т верхнего лазер-
лазерного уровня /^-центра уменьшается с температурой приблизи-
приблизительно как \/Т. Таким образом, предполагается, что порог гене-
генерации [~ 1/стт; см. также выражение F.60)] увеличивается
линейно с температурой Т. 2) Если температура кристалла под-
поднимается выше 200 К, то как FA-, так и /^-центры окраски на-
начинают распадаться (в течение примерно 1 сут). В связи с этим
возникает проблема, связанная со сроком хранения лазеров на
центрах окраски1'. Наконец, следует заметить, что резонатор
лазера, как правило, находится в вакууме (на рис. 6.53 соответ-
соответствующий объем отмечен штриховой линией). Это связано
с двумя обстоятельствами, а именно с необходимостью поддер-
поддерживать лазерный кристалл при низкой температуре и во избе-
избежание потерь, обусловленных поглощением в атмосфере
(обычно парами Н2О) и препятствующих генерации.
Лазеры на центрах окраски имеют следующие параметры.
Типичная пороговая мощность накачки составляет порядка не-
нескольких десятков милливатт (при фокусировке излучения на-
накачки в кристалле в пятно диаметром 20 мкм). Получена непре-
непрерывная генерация мощностью 1 Вт при дифференциальном КПД
до 7 % Для Ра -центров и до 60 % Для /^-центров окраски. То, что
дифференциальные КПД этих двух типов лазеров различаются
почти на порядок, нуждается в пояснении. Такое различие
" Однако недавно было показано, что некоторые новые классы лазеров
на центрах окраски (например, кристаллы галогенидов щелочных металлов,
активированные ионами Т1+) являются стабильными как по отношению
к оптическому излучению, так и к температуре. (Небольшие концентрации
^2 -центров в кристалле LiF удается застабилизировать путем введения
специальных примесей в кристалл. Стабильными получаются также
(/^д-центры, например, в кристалле NaF. (Fj)^ — это ^2"центР- Распо-
Расположенный вблизи дефекта. Особо следует отметить F^ — центры в кристал-
кристалле LiF, которые обеспечивают эффективную генерацию при комнатной тем-
температуре и являются стабильными как по отношению к оптическому излу-
излучению, так и к температуре.—Прим. перев.)
428 6. Типы лазеров
обусловлено тем, что для /^/-центров квантовая эффективность
накачки (hvo/hvp; см. рис. 6.52) составляет 80 %, в то время как
для ^-центров это всего лишь 10 %. Если положить цр = 1 (все
фотоны накачки поглощаются активной средой), то в этом слу-
случае дифференциальный КПД определяется по существу кванто-
квантовой эффективностью накачки, поскольку она представляет со-
собой произведение квантовой эффективности накачки на эффек-
эффективность связи [см. выражение E.36)] на выходе резонатора.
В заключение заметим, что в некоторых лазерах на центрах
окраски (LiF и KF, /^-центры) осуществлен режим синхрони-
синхронизации мод с использованием того же метода синхронной накач-
накачки, что и в лазерах на красителях. При этом получены корот-
короткие импульсы длительностью до 5 пс с перестройкой в диапа-
диапазоне генерации соответствующего лазера.
Благодаря широкому диапазону перестройки, очень узкой
линии лазерного излучения и возможности генерировать им-
импульсы пикосекундной длительности лазеры на центрах окра-
окраски представляются чрезвычайно заманчивыми для применений
в таких областях, как молекулярная спектроскопия и устрой-
устройства, предназначенные для контроля волоконных световодов.
Лазеры на центрах окраски с синхронизацией мод, излучающие
на частоте Я = 1,5 мкм [КС 1: Т1° A) ], применялись для генера-
генерации очень коротких импульсов в одномодовых волокнах (дли-
(длительностью около 200 фс). Здесь использовались такие свойства
волокон, как фазовая самомодуляция и сжатие импульса (соли-
тонный лазер) [см. также разд. 8.5].
6,8. Лазер на свободных электронах [38]
В предыдущих разделах принципы работы лазеров обсужда-
обсуждались в следующей последовательности: вначале рассматрива-
рассматривались системы, в которых электроны находятся в связанном со-
состоянии в отдельном атоме или молекуле, затем случаи, когда
электрон свободно движется вдоль цепочки атомов в молекуле
с сопряженной двойной связью (лазеры на красителях), и нако-
наконец, случай, когда электрон свободно движется во всем объеме
кристалла (полупроводниковые лазеры). В данном разделе мы
рассмотрим один из самых новых и интересных типов лазеров,
в активной среде которых электроны являются еще более сво-
свободными, чем в рассмотренных выше случаях, а именно лазер
на свободных электронах (ЛСЭ). В этом лазере электронный
пучок, движущийся со скоростью, близкой к скорости света,
пропускается через магнитное поле, создаваемое периодиче-
периодической структурой (называемой вигглером или ондулятором)
6.8. Лазер на свободных электронах
429
(рис. 6.54). Процесс вынужденного излучения происходит за
счет взаимодействия электромагнитного поля лазерного пучка
с релятивистскими электронами, движущимися в периодической
магнитной структуре".
Чтобы понять, как возникает данное взаимодействие, рассмо-
рассмотрим вначале случай спонтанного излучения, т. е. случай, когда
зеркала отсутствуют. Будучи инжектированными вдоль перио-
периодической структуры, электроны движутся в плоскости, перпен-
перпендикулярной магнитному полю, по траекториям, имеющим вол-
волнистый вид с завитушками (виггли) (рис. 6.54). Возникающее
Еход.чои
злехтронныя
Выходной
пучок
Плоскость
поляризации
Зеркало
Выходное зеркало
Рис. 6.54. Принципиальная конструкция лазера на свободных электронах
(с любезного разрешения Льюиса Элиаса, Калифорнийский университет,
Квантовый институт в Санта-Барбаре).
при этом ускорение электронов приводит к излучению типа син-
хротронного в продольном направлении. Частоту излучения мо-
можно найти эвристически, замечая, что электрон колеблется в по-
поперечном направлении с угловой частотой со? = Bn/Kq)vz ~
»BяД<,)с, где kq — период магнита, а иг — (средняя) про-
продольная скорость электрона (которая практически равна скоро-
скорости света в вакууме с). Рассмотрим теперь систему координат,
которая движется в продольном направлении со скоростью vz.
В этой системе координат электрон совершает колебательное
движение по существу в поперечном направлении и поэтому вы-
выглядит как колеблющийся электрический диполь. Вследствие ло-
ренцева сокращения времени частота колебания в рассматри-
рассматриваемой системе координат дается выражением
о/=Ш(/[1-(аг/сJ]|/2 F.54)
'» Следует заметить, что, строго говоря, название «свободные электро-
электроны» неприменимо даже и в этом случае, поскольку электроны не являются
абсолютно свободными, пока их движение находится под влиянием поля
магнита ондулятора. Поэтому слово «свободный» применяется в том смысле,
что электрон не связан с каким-либо атомом пли группой атомов.
430 6. Типы лазеров
и равна также частоте испускаемого излучения. Если теперь
возвратиться в лаб. систему отсчета, то пучок должен испыты-
испытывать (релятивистский) доплеровский сдвиг, так что наблюдае-
наблюдаемая частота к»о равна
»~T^W. F.55)
а соответствующая длина полны дается выражением
lo = (lj2)[\-(vjcn F.56)
Заметим, что Ко может быть намного короче периода магнита,
поскольку vz ~ с. Чтобы вычислить в F.56) величину в квад-
квадратных скобках, заметим вначале, что для абсолютно свобод-
свободного электрона мы имели бы следующее равенство: [1 —
— (vz/cJ] = (т0с2/ЕJ, где /щ — масса покоя электрона, а Е—
его энергия. Однако при дайной энергии траектория в виде виг-
глей приводит к уменьшению значения иг, т. е. множитель [1 —
— (vz/cJ] увеличивается. Действительно, подробное вычисле-
вычисление показывает, что эта величина дается выражением
1 - (vjcJ = (\+K2) (т0с2/ЕJ, F.57)
где числовая постоянная К обычно меньше 1 и называется па-
параметром ондулятора; она равна К = е(В2У12Хя/2птоС2 (здесь
В — магнитное поле ондулятора, а усреднение производится по
продольному направлению). Из формул F.56) и F.57) полу-
получаем окончательный результат:
^о = (V2) (т0с21ЕJ(\ + К2). F.58)
Отсюда следует, что длину волны излучения можно перестраи-
перестраивать, изменяя период магнита Kq или, при данном магните, ме-
меняя энергию Е электронного пучка. Выбирая, например, iq =
= 10 см и К= 1, находим, что при изменении энергии электро-
электронов от 102 до 103 МэВ излучаемый свет попадает в диапазон от
инфракрасного до ультрафиолетового. Заметим, что, согласно
нашему обсуждению, излучение должно быть поляризовано в
плоскости, ортогональной направлению магнитного поля (см.
также рис. 6.54). Чтобы найти форму спектральной линии и ши-
ширину полосы излучения, заметим, что в рассмотренной выше си-
системе отсчета электрон излучает в течение времени At'=
= (//с) [1—(vz/cJ]]/2, где / — полная длина магнита ондуля-
ондулятора. Из выражения F.54) следует, что излучение, испускаемое
каждым электроном, имеет вид прямоугольного импульса, со-
содержащего число циклов Мцикл = (a'At'/2n = l/kq, т. е. равное
числу периодов Nw = l/Kq ондулятора. Тогда из теории преобра-
преобразования Фурье следует, что спектр мощности такого импульса
6.8. Лазер на свободных электронах
431
имеет вид [sin (jc/2)/(л:/2)]2, где x = 2nNw(v — vo)/vo. При этом
полная ширина Avo (на половине максимального значения) при-
приближенно описывается соотношением
A^o/vo = l/2Nw. F.59)
На рис. 6.55, а приведен этот спектр как функция безразмерной
величины х. Поскольку для всех электронов, если их инжекти-
инжектировать с одинаковой скоростью и в
одном и том же направлении, будет
наблюдаться одна и та же форма
линии, то полученная функция соот-
соответствует однородному контуру ла-
лазера на свободных электронах. Не-
Неоднородные эффекты связаны с та-
такими факторами, как разброс энер-
энергии электронов, угловая расходи-
расходимость электронного пучка и неодно-
неоднородное распределение магнитного
поля по сечению пучка. Заметим,
что, поскольку число периодов он-
ондулятора Nw составляет величину
порядка 102, из выражения F.59)
получаем Avo/vo « 5-10~3. Заметим
также, что существует и другой ме-
метод рассмотрения свойств испускае-
испускаемого излучения. В движущейся вме-
вместе с электроном системе отсчета,
которую мы рассматривали выше,
магнитное поле ондулятора будет
двигаться со скоростью, близкой
„J.J
-Ю ->•<« -4 -Z
0,5
-1,0
^ 1,0
С.5
- г 4 el в »-~
У'
Рис. 6.55. Спектр спонтанного
излучения (а) и сечения вы-
вы(б)
к скорости света. Можно показать, нужденного излучения (б) в
у ()
лазере на свободных электро-
электронах как функция нормирован-
нормированной величины x=2nNw{y —
— Vo)/vo.
что в этом случае статическое маг-
магнитное поле будет выглядеть для
электрона как набегающая электро-
электромагнитная волна. Поэтому можно
считать, что синхротронное излучение обусловлено комптонов-
ским рассеянием назад этой «виртуальной» электромагнитной
волны на электронном пучке. По этой причине соответствующий
тип ЛСЭ иногда называют работающим в комптоновском ре-
режиме (комптоновский ЛСЭ).
Чтобы вычислить сечение вынужденного излучения, необхо-
необходимо провести подробный анализ взаимодействия распростра-
распространяющейся в продольном направлении электромагнитной волны
с электроном в знакопеременном магнитном поле. Мы не будем
рассматривать здесь этот анализ, но укажем лишь на то, что в
432 6. Типы лазеров
отличие от всех рассмотренных до сих пор лазеров спектраль-
спектральное распределение этого сечения не совпадает со спектром спон-
спонтанного излучения, а пропорционально его производной по ча-
частоте. Форма спектра вынужденного излучения приведена на
рис. 6.55, б. Таким образом, мы видим, что со стороны низких
частот перехода имеет место усиление, а со стороны высоких —
ослабление. Такое необычное поведение является результатом
того, что взаимодействие основано на процессе рассеяния света,
а не поглощения или излучения из связанных состояний.
К настоящему времени работа ЛСЭ была продемонстриро-
продемонстрирована во всем мире на нескольких устройствах (более 10), при-
причем длины волн генерации лежали в диапазоне от миллиметро-
миллиметровых волн вплоть до зеленой области спектра. На различных
этапах разработки сейчас находится значительно большее число
таких лазеров. Все они требуют крупных установок, поскольку
для их работы необходимо использовать достаточно большие
ускорители электронных пучков. Исторически самый первый
ЛСЭ был запущен на длине волны к =3,4 мкм с помощью ли-
линейного сверхпроводящего ускорителя Станфордского универси-
университета в США [39]. Поскольку входной электронный пучок имел
вид импульсов длительностью 3,2 пс, разделенных промежут-
промежутками т = 84,7 не, длина резонатора L была выбрана таким об-
образом, чтобы величина т была равна времени полного прохода
резонатора (т. е. L = ct/2 = 12,7 м), так что лазер работал в
режиме синхронизации мод с синхронной накачкой. Один из наи-
наиболее важных вопросов для ЛСЭ связан с его эффективностью.
Поскольку частота генерируемого им излучения зависит от энер-
энергии электронов [см. выражение F.58)], максимальная энергия,
которую можно отобрать от электрона, равна такому изменению
энергии электрона, при котором соответствующая рабочая ча-
частота смещается за пределы контура усиления. Следовательно,
максимальный КПД т)макс, определяемый как отношение макси-
максимальной энергии, отдаваемой лазерному пучку, к начальной
энергии электронов, примерно равен именно отношению Avo/vo,
т. е. т1„аКс = l/2Nw. Отсюда следует, что КПД такого устрой-
устройства весьма мал A0~2 — 10~3). В настоящее время активно ве-
ведутся работы с целью повышения КПД по двум направлениям.
1) С целью сохранения постоянным отношения %q/E2 постепенно
уменьшают период магнита вдоль электронного пучка (спадаю-
(спадающий вигглер). 2) Энергия, оставшаяся в электронном пучке после
того, как он вышел из ондулятора, возвращается обратно за счет
замедления электронов. Предполагается, что, используя эти ме-
методы, можно добиться значительно более высоких КПД, что и
было до некоторой степени достигнуто. В качестве заключитель-
заключительного комментария укажем на то, что рассмотренные до сих пор
6.9. Рентгеновские лазеры 433
ЛСЭ используют ускорители электронных пучков высокой энер-
энергии (?> 10 МэВ), но небольших токов (/ ~ 1—102 А). При
этих условиях, как уже упоминалось выше, излучение света мо-
можно рассматривать как комптоновское рассеяние виртуальных
квантов магнитного поля на отдельных электронах (комптонов-
ский режим ЛСЭ). Были запущены также ЛСЭ, использующие
электронные пучки низкой энергии (?=1—2 МэВ) со значи-
значительно большими токами (/ ~ 10—20 кА). В этом случае элек-
электрон-электронное взаимодействие становится столь сильным, что
в электронном пучке во время взаимодействия с электромагнит-
электромагнитной волной в ондуляторе возбуждаются коллективные колеба-
колебательные движения (плазменные волны). Излучение теперь воз-
возникает вследствие рассеяния виртуальных квантов магнитного
поля на этих коллективных движениях, а не на отдельных элек-
электронах. При этом частота излучения уже не дается выражением
F.58), а в действительности сдвигается в низкочастотную об-
область на величину, определяемую этим коллективным движе-
движением. Это явление аналогично комбинационному (рамановско-
му) рассеянию света на молекулярных колебаниях; поэтому
соответствующий лазер называется ЛСЭ в рамановском ре-
режиме. Вследствие более низкой энергии электронов, участвую-
участвующих в работе лазера, все эти лазеры генерируют в миллиметро-
миллиметровом диапазоне.
В заключение данного раздела укажем наиболее привлека-
привлекательные свойства ЛСЭ: 1) возможность широкой перестройки
частот излучения; 2) прекрасное качество пучка, близкое к ди-
дифракционному пределу, а в перспективе и 3) очень высокий
КПД, а следовательно, и очень высокая мощность лазерной ге-
генерации (средняя мощность электронного пучка Станфордского
линейного ускорителя равна примерно 200 кВт). Однако ЛСЭ
принципиально являются громоздкими и дорогими установками,
и, по-видимому, наибольший интерес с точки зрения приложе-
приложений они представляют в той области частот, для которой не
имеется более традиционных лазеров — например в дальней
ИК-области A00—400 мкм) или в области вакуумного ультра-
ультрафиолета (X < 100 нм). Потенциальная способность ЛСЭ гене-
генерировать излучение высокой мощности привела к тому, что на
их разработку для применений в военных целях тратятся зна-
значительные средства.
6.9. Рентгеновские лазеры
Достижение когерентной генерации в рентгеновском диапа-
диапазоне долгое время было желанной мечтой, которая медленно, но
верно воплощается в жизнь. Действительно, потенциальные
434 б. Типы лазеров
приложения рентгеновских лазеров крайне важны — они вклю-
включают такие возможности, как рентгеновская голография клеток
или их частей, с помощью которой можно получать трехмерные
изображения с разрешением в несколько ангстрем, и рентгенов-
рентгеновская литография полупроводниковых приборов, которая позво-
позволила бы получать изображения с предельно высоким разре-
разрешением.
Прежде чем обсуждать то, что было достигнуто в этом диа-
диапазоне длин волн, укажем на те трудности, которые необходимо
преодолеть для получения генерации в рентгеновском лазере.
Обращаясь к основным принципам, заметим, что в соответствии
с формулами E.35) и B.146) пороговая мощность накачки че-
четырехуровневого лазера в единичном объеме дается выражением
dpnop pnop fop V
dV Al rip о/т '
F.60)
В то же время из выражения B.116) находим, что (при Av = 0)
1/стт ~ v20gt @) ~ VqAv0. На частотах УФ- и ВУФ-диапазонов при
умеренных давлениях можно считать, что ширина линии Avo оп-
определяется доплеровским уширением. Следовательно [см.
B.78)], Av0 ~ v0, поэтому dPnop/dV увеличивается как vjj (если
положить vp л; vo). При более высоких частотах, соответствую-
соответствующих рентгеновскому диапазону, ширина линии определяется ес-
естественным уширением, так как излучательное время жизни ста-
становится очень коротким (порядка фемтосекунд). В этом случае
Av0 ~v30 и dP ldV увеличивается как v§. Таким образом,
если мы, к примеру, перейдем из зеленой области (К = 500 нм)
всего лишь в мягкий рентген (X ж 10 нм), то длина волны
уменьшится в 50 раз, a dPnop/dV увеличится на несколько по-
порядков! С практической точки зрения заметим, что многослой-
многослойные диэлектрические зеркала в рентгеновской области обладают
большими потерями и трудны в изготовлении. Основная проб-
проблема состоит в том, что в этом диапазоне разница в показателях
преломления различных материалов оказывается очень малой.
Поэтому для получения приемлемых коэффициентов отражения
необходимо использовать большое число (сотни) диэлектриче-
диэлектрических слоев, а рассеяние света на столь большом числе поверх-
поверхностей раздела приводит к очень большим потерям. Поэтому до
сих пор рентгеновские лазеры работают без зеркал в режиме
УСИ (усиленное спонтанное излучение).
К настоящему моменту наилучшие результаты получены при
использовании мощного пучка второй гармоники (Х=0,53 мкм)
от лазера Novette, одной из составляющих лазерной установки
Nova в Ливерморской лаборатории им. Лоуренса в США [40].
6.9. Рентгеновские лазеры
435
Пучок фокусируется в узкую линию (d да 200 мкм, /=1,2 см)
на тонкую G5 нм) полоску селена, нанесенную путем испаре-
испарения на фольгу из формвара толщиной 150 нм (рис. 6.56). Фоль-
Фольгу можно облучать с одной или с обеих сторон. Благодаря высо-
высокой интенсивности этого накачивающего пучка (~5-1013 Вт/см2)
фольга взрывается и возникает плазма высокоионизованного Se,
имеющая форму почти цилиндра диаметром d да 200 мкм. Осо-
Особенностью этой плазмы является наличие в ней 24-кратно иони-
ионизованного Se, обладающего, как и нейтральный Ne, основной
электронной конфигурацией Is22s22p6 (неоноподобный селен),
Взрывающаяся
' фолыа
Лазерный
накачки
Рис. 6.56. Геометрия мягкого рентгеновского лазера с поперечным освеще-
освещением, использующего метод взрывающейся фольги.
которая является особенно устойчивой. Вынужденное излучение
наблюдается на двух линиях (К\ = 20,63 и Х2 = 20,96 нм) пере-
перехода 2р5 Зр->-2р5 3s (см. рис. 6.5). Благодаря значительно боль-
большему заряду ядра Se по сравнению с Ne эти линии попадают
в область от дальнего УФ диапазона до мягкого рентгена. Воз-
Возбуждение из основного состояния в состояние 2р5Зр происходит
вследствие неупругих столкновений с электронами плазмы. Ин-
Инверсия населенностей достигается благодаря тому, что время
жизни перехода 2р5 3s в основное состояние (этот переход элек-
тродипольно разрешен) намного меньше времени жизни Зр-со-
стояния. При конфигурации накачки, показанной на рис. 6.56,
вследствие УСИ наблюдалось сильное продольное излучение в
мягком рентгеновском диапазоне. Из зависимости излучаемой
энергии от длины активной среды было определено усиление за
проход G = exp (<7iV/), которое оказалось равным приблизи-
приблизительно 700. Заметим, что это усиление еще далеко от «порога»
УСИ, определяемого с помощью общепринятого выражения
436
6. Типы лазеров
B.151). Действительно, в описанной экспериментальной ситуа-
ситуации мы имеем п да 10~4 ср и из формулы B.153) находим, что
Gnop да 1,7-105. Отсюда следует, что излучаемая благодаря УСИ
интенсивность все еще много меньше интенсивности насыщения
усилителя. Действительно, выходная энергия рентгеновского из-
излучения составляла крайне незначительную долю (~ 10~10)
энергии накачки.
Помимо сообщений о том, что было получено вынужденное
излучение в мягком рентгеновском диапазоне, имеются также
данные о получении вынужденного излучения на длине волны
Х=14А в области между мягким и собственно рентгеновским
диапазонами. Лазер накачивался мощным рентгеновским излу-
излучением, получаемым от небольшого ядерного взрыва (экспери-
(экспериментальное условие, которое не так-то легко воспроизвести в ка-
какой-либо лаборатории!), причем подробные сведения об этом
лазере (возможно, генерирующем самую короткую длину волны)
засекречены.
Таблица 6.1. Параметры некоторых лазеров, рассматриваемых
в данной главе
Тип лазера
Рубин
Nd :YAG
Nd:YAG
Nd:YAG
He-Ne
Cu
Ar+
He-Cd
CO2
CO2 (TEA)
N2
KrF
Родамин 6G
Родамин 6G
HF
HF
GaAs
ЛСЭ
Режим
рабо-
работы ')
Имп.
Непр.
Имп.
Имп.
Непр.
Имп.
Непр.
»
Имп.
Непр.
»
Имп.
Непр.
к
694, 3 нм
1064 нм
1064 нм
1064 нм
632,8 нм
510,5 нм
514,5 нм
325 нм
441,6 нм
10,6 мкм
10,6 мкм
337,1 нм
248 нм
590 нм
590 нм
2,6—3,3 мкм
2,6—3,3 мкм
850 нм
мм — синяя
область
Средняя
мощность, Вт
1
200
1000
10
10-3-ю-2
40
10-150
0,1
A-50)-103
103
0,1
500
100
5
104-106
1
до 100 Вт
') Имп, — импульсный или нмпульсно-пернодический; непр
Пиковая
мощ-
мощность.
кВт
10-10*
10
2-Ю1
100
10"
103
5-Ю3
100
103
Длитель-
Длительность
импульса
1 мс —
10 не
1—5 мс
10—20нс
20—40 не
0,1-
—0,5 мке
10 не
10 не
10 мке
. —непрерывный.
Диф-
фереп-
цналь-
ный
КПД, %
<0,1
1-3
1-3
1-3
<0,1
1-2
<0,1
10-20
10
<0,1
1
0,5
40
1-10
6.10. Сводка параметров 437
6.10. Сводка параметров
В табл. 6.1 представлена краткая сводка выборочных пара-
параметров лазеров, рассмотренных в предыдущих разделах. Хотя
перечень лазеров, перечисленных в табл. 6.1, является уже до-
достаточно большим, следует иметь в виду, что он представляет
Потенциальные ЛСЗ
L-
Лазеры на вращательных переходах
Лазерь!¦_на_коле(кх.гпельхо-враш?стельных переходах
Лазеры на электронных переходах
Y777///////////// А
Полупроводниковые лазеры
\///////Л
лазеры
Лазеры на центрах окраски
Лазеры на красителях
Газоразрядные лазеры
у/////л
Лазеры на основе кристаллов
77Т/
лсэ
УФ Видимый Ш
, свет ,
0,1 1 10 Юг 103 Ю*
А, мкм
Рис. 6.57. Диапазоны длин воли генерации, перекрываемые действующими
лазерами семи типов, рассмотренных в тексте. Показаны также (штриховыми
линиями) потенциальные области, в которых в принципе можно осуществить
генерацию с использованием трех типов переходов в газовых лазерах,
лишь незначительную часть действующих в настоящее время
лазеров. Для иллюстрации этого на рис. 6.57 приведены диа-
диапазоны длин волн, перекрываемые существующими лазерами.
На этом же рисунке показаны области спектра, генерацию в ко-
которых потенциально можно будет получить на следующих трех
типах лазерных переходов в газах: 1) на переходах между
электронными состояниями, 2) на колебательно-вращательных
переходах и 3) на вращательных переходах. Однако следует
438 6. Типы лазеров
заметить, что существующие лазеры не могут, вообще говоря,
непрерывно перекрыть указанные области спектра. Тем не менее
здесь имеются исключения, а именно лазеры на красителях и
центрах окраски, для которых указанные области спектра пере-
перекрываются непрерывно.
Важно подчеркнуть, что диапазон длин волн, который мо-
могут теперь перекрыть лазеры, весьма широк (приблизительно
0,1—103 мкм, т. е. четыре порядка между границами спектраль-
спектрального диапазона). Помимо длины волны имеются и другие па-
параметры лазеров, которые могут изменяться в широких пре-
пределах. Действительно, мы показали, что выходная мощность
лазеров может изменяться от милливаттного уровня в маломощ-
маломощных непрерывных лазерах до нескольких мегаватт в мощных не-
непрерывных лазерах и до 100 ТВт в импульсных лазерах. Ана-
Аналогично можно получать длительности лазерных импульсов от
миллисекунд (в импульсных твердотельных лазерах) до фемто-
секунд (в лазерах с синхронизацией мод). Габариты различных
типов лазеров изменяются также в необычно широких пределах:
от нескольких микрон до нескольких десятков метров (один из
самых длинных лазеров, который использовался в геодезии,
имел длину 6,5 км!). Огромное разнообразие типов лазеров и
их выходных параметров представляет собой, возможно, одну
из наиболее удивительных особенностей лазерной отрасли и
приводит к большому разнообразию их современных примене-
применений.
Задачи
6.1. Нарисуйте шкалу длин волн, перекрывающую видимый диапазон элек-
электромагнитных волн. В какую область этого спектра попадают рубиновый,
Не — Ne-, Аг+-лазеры и лазер на родамине 6G? Какому цвету соответствует
излучение этих лазеров?
6.2. Назовите хотя бы четыре лазера, длины волн которых попадают в
ИК-область спектра.
6.3. Назовите хотя бы три лазера, длины волн которых попадают в УФ- или
ВУФ-область спектра. Какие проблемы нужно решить, чтобы осуществить ла-
лазерную генерацию в УФ- и рентгеновской областях спектра?
6.4. Вычислите ширину лэмбовского провала для Не — Ne-лазера, излучаю-
излучающего красную линию. Сравните эту ширину с доплеровской.
6.5. Рассчитайте ширину лэмбовского провала для Аг+-лазера и сравните
ее с доплеровской шириной.
6.6. Вычислите ширину лэмбовского провала для СОг-лазера с продольной
прокачкой и сравните ее с доплеровской шириной.
6.7. Для хирургических и терапевтических применений требуется непрерыв-
непрерывный лазер с выходной мощностью более 20 Вт. Какие лазеры удовлетворяют
этому требованию?
Литература 439
6.8. Для обработки металлов требуется непрерывный лазер с выходной мощ-
мощностью > 1 кВт. Какой лазер удовлетворяет этому требованию?
6.9. Предположим, что связь между двумя атомами азота молекулы N2
можно представить как пружину с соответствующей упругой постоянной.
Рассчитайте упругую постоянную, если известны частота колебаний
(рис. 6.14) и атомная масса. Сравните значение этой постоянной со значе-
значением, получаемым из приведенной на рис. 6.24 кривой для потенциальной
энергии основного состояния.
6.10. Покажите, что если упругие постоянные связей N —N и изоэлектрон-
ной молекулы СО считать одинаковыми, то длина волны перехода (»' =
= !)->(i» = 0) молекулы N2 окажется примерно равной длине волны со-
соответствующего перехода молекулы СО.
6.11. Предположим, что в молекуле СОг каждую из двух связей кислород —
углерод можно заменить пружиной с упругой постоянной К. Вычислите К
при условии, что известна частота v( (пусть v( = 1337 см). Предполагая,
что взаимодействие между атомами кислорода отсутствует, найдите часто-
частоту v3 асимметричной валентной моды и сравните полученное вами значение
с экспериментальным.
6.12. Покажите, что в молекуле СОг при расчетах гармонического колебания,
соответствующего деформационной моде на частоте V2, связи нельзя моде-
моделировать упругими пружинами, соединяющими три атома.
6.13. Вычислите вращательную постоянную В, если известно, что максималь-
максимальная населенность верхнего лазерного уровня молекулы СОг соответствует
состоянию с вращательным квантовым числом /' = 21 (см. рис, 6.16).
Считайте, что температура Т = 400 К соответствует частоте kT/h ~
« 28 см-'.
6.14. Используя результаты предыдущей задачи, вычислите частотное рас-
расстояние (в см) между вращательными линиями лазерного перехода моле-
молекулы СОг (считайте, что вращательная постоянная нижнего лазерного уров-
уровня равна вращательной постоянной верхнего лазерного уровня, и не забы-
забывайте, что заселяются только уровни с нечетными /).
6.15. Вследствие столкновений уширение лазерного перехода в СОг-лазере
равно Svc = 7,58 (tCo2 + °.73*N2 + °.6tHe) P C00/ГI/2 МГц, где if —пар-
—парциальные давления газовой смеси, а р — полное давление (мм рт. ст.).
Найдите, при каком полном давлении все вращательные линии сольются
в одну, если отношение парциальных давлений молекул СОг, N2 и Не равно
1:1:8. Какой при этом будет ширина контура усиления?
6.16. Если в СОг-лазере при достаточно высоком давлении, таком, что все
его вращательные линии сливаются в одну, можно было бы осуществить
синхронизацию моды, то какого порядка величины была бы длительность
импульса такого лазера?
Литература
1. Evthuhov V., Neeland J. К. — In: Lasers (ed. A. K. Levine), Marcel Dekker,
New York, 1966, v. 1, ch. 1.
2. Maiman Т. Н., Nature, 187, 493 A960).
3. Maiman Т. Н., Brit. Commun. Electron., 7, 674 A960).
4. Findlay D., Goodwin D. W. — ln: Advances in Quantum Electronics
(ed. D. \V. Goodwin), Academic Press, New York, 1970, v. 1, pp. 77—128.
5. Danielmeyer H. G. — In: Lasers (eds. A. K. Levine, A. J. De Maria) Mar-
Marcel Dekker, New York, 1976, v. 4, eh. 1.
440 6. Типы лазеров
6, Koechner W., Solid State Laser Engineering, Springer-Verlag, New York,
1976, sec. 2.3.
7. Snitzer E., Young С G. — In; Lasers (ed. A, K. Levine), Marcel Dekker,
New York, 1968, v. 2, ch. 2.
8 Walling J. C, Peterson O. G., Jenssen H. P., Morris R. C, O'Detl E. W.,
IEEE J. Quantum Electronics, QE-I6, 1302—1315 A980).
9. Arrathoon R.— In: Lasers (eds. A. K. Levine, A. J. De Maria), Marcel
Dekker, New York, 1976, v. 4, ch. 3.
10. Bridges B. W. — ln: Methods of Experimental Physics, (ed. C. L. Tang),
Academic Press, New York, 1979, v. 15, pp. 33—151.
11. Javan A., Bennett W. R., Herriott D. R., Phys. Rev. Lett., 6, 106 A961).
12. Webb С E. — In: Gas Flow and Chemical Lasers, No. 15, Springer Pro-
Proceedings in Physics (ed. S. Rosenwark), Springer-Verlag, Berlin, 1987,
pp. 481—494.
13. Davis C. C, King T. A. — In: Advances in Quantum Electronics
¦(ed. D. W. Goodwin), Academic Press, New York, 1975, v. 3, pp. 170—437.
14. Dunn D. H., Ross J. N.— In: Progress in Quantum Electronics, (eds.
J. H. Sanders, S. Stenholm), Pergamon Press, London, 1977, v. 4,
pp. 233—270.
15. Bridges B. W., Appl. Phys. Lett., 4, 128 A964).
16. Cheo P. K. — ln: Lasers (eds. A. K. Levine, A. J. De Maria), Marcel
Dekker, New York, 1971, v. 3, ch. 2.
17. De Maria A. J. — In: Principles of Laser Plasmas (ed. G. Bekefi), Wiley-
Interscience, New York, 1976, ch. 8.
18. Patel С. К., Faust W. L, McFarlane R. A., Bull. Am. Phys. Soc, 9, 500
A964).
19. Losev S. A., Gasdynamic Lasers, Springer-Verlag, Berlin, 1981.
20. Center R. E. — ln: Laser Handbook (ed. M. L. Stitch), North-Holland,
Amsterdam, 1979, v. 3, pp. 89—133.
21. Willet S. C, An Introduction to Gas Lasers: Population Inversion Mecha-
Mechanisms, Pergamon Press, Oxford, 1974, sees. 6.2.1, 6.2.3.
22. Ewing J. Л — In: Laser Handbook (ed. M. L. Stitch), No-th-Holland, Am-
Amsterdam, 1979, v. 3, pp. 135—197.
23. Dye Lasers, 2nd edn. (ed. F. P. Schafer), Springer-Verlag, Berlin, 1977.
24. Sorokin P. P., Lankard J. R., IBM J. Res. Dev., 10, 162 A966).
25. Schafer F. P., Schmidth F. P. W., Volze J., Appl. Phys. Lett., 9, 306
A966).
26. Chester A. W. — In: High-Power Gas Lasers (ed. E. R. Pike), The Insti-
Institute of Physics, Bristol and London, 1975, pp. 162—221.
27. Ultee С Л — In: Laser Handbook (ed. M. L. Stitch), North-Holland, Am-
Amsterdam, 1979, v. 3, pp. 199—287.
28. Thompson G. H. В., Physics of Semiconductor Laser Devices, Wiley, New
York, 1980.
29. Hall R. N., Fenner G. E., Kingsley G. D., Soltys T. J. Carlson R O.
Phys. Rev. Lett., 9, 366 A962).
30. Nathan M. I., Dumke W. P., Burns G., Dills F. #., Lasher G., Appl Phys
Lett., 1, 62 A962).
31. Holonyak N., Jr., Bevacqua S. F., Appl. Phys. Lett., I, 82 A962).
32. Quist T. M., Keyes R. J., Krag W. E., Lax В., McWhorter A. L., Re-
diker R. H., Zeiger H. J., Appl. Phys. Lett., I, 91 A962).
33. Kittel C, Introduction to Solid State Physics, 3rd edn., Wiley, New York,
1967.
34. Алферов Ж. И., Андреев В. М., Корольков В. И., Портной Е. Л„ Третья-
Третьяков Д. Н. Физика полупроводников, 1969, т. 2, с. 1289.
35. Hayashi /., Panish M. В., Foy P. W., ШЕЕ .1. Quantum Electron QE-5,
211 A969).
Литература 441
36. Kressel //., Nelson //., RCA Rev., 30, 106 A969).
37. Mollenauer L. F.— In: Laser Handbook (eds. M. L. Stitch, M. Bass),
North-Holland, Amsterdam, 1985, v. 4, pp. 143—228.
38. Dattoli G., Renlerl Л, —In: Laser Handbook (eds. M. L. Stitch, M. Bass),
North-Holland, Amsterdam, 1985, v. 4, pp. 1 — 142.
39 Deacon D. A. G., Ellas L. R., Madey J. M. J., Ramian G. J., Schwett-
man H. A., Smith T. /., Phys. Rev. Lett, 38, 892 A977).
40. Matthews D. L. et al., Phys. Rev. Lett., 54, 110 A985).
41. Pruss D., Huber G., Beimowskl A., Appl. Phys., B28, 335 A982).
42. Chester A. N. — ln: High-Power Gas Lasers (ed. E. R. Pike), The Institute
of Physics, Bristol and London, 1975, pp. 162—221.
43. Forsterting H. D., Kuhn H., Physikalische Chemie in Experimented Ein
Praktikum, Verlag Chemie, Weinheim, 1971.
44. Yarlv A., Optical Electronics, 3rd edn., Holt, Rinehart and Winston, New
York, 1985, p. 479. [Имеется перевод 2-го издания: Ярив А. Введение
в оптическую электронику.—М.: Высшая школа, 1983.]
45. Chinone N., Nakashima И., Ikushima /., Но R., Appl. Opt., 17, 311 A978).
7
Свойства лазерных пучков
7.1. Введение
В гл. 1 мы установили, что основными свойствами лазерных
пучков являются: а) монохроматичность, б) когерентность
(пространственная и временная), в) направленность и г) яр-
яркость. Материал, изложенный в предыдущих главах, позволит
нам изучить теперь эти свойства более подробно и сравнить их
со свойствами обычных источников света (тепловых источни-
источников).
7.2. Монохроматичность
Если лазер работает в одномодовом режиме и его выходное
излучение не изменяется во времени, то теоретический предел
монохроматичности обусловлен нулевыми флуктуациями энер-
энергии и дается выражением E.66). Однако этому пределу соот-
соответствует очень небольшая ширина линии AvreH излучения (в
раЗД. 5.3.7 бЫЛО ПОКазаНО, ЧТО AVreH/vreH ~ Ю~15 ДЛЯ МОЩНОСТИ
лазерного излучения 1 мВт), которая на практике ни разу не
была достигнута. В действительности вибрация и тепловое рас-
расширение резонатора приводят к тому, что предельное значение
AvreH оказывается значительно больше. Если лазерный резо-
резонатор представляет собой достаточно массивную конструкцию,
изготовленную из материала с низким коэффициентом теплового
расширения (например, из инвара), то AvreH можно уменьшить
до значения порядка 1—10 кГц. В самом деле, для газового ла-
лазера (например, для Не—Ne-лазера), генерация в котором со-
соответствует центру линии поглощения используемого газа, мож-
можно получить [1] AvreH = 50—500 Гц (т. е. AvreH/vren = 10~12—
—10~13). В импульсном режиме работы лазера минимальная
ширина линии, очевидно, ограничивается величиной, обратной
длительности импульса тр. Например, если длительность гигант-
гигантского импульса излучения в одномодовом лазере тр « 10~8 с, то
мы имеем AvreH ~ 100 МГц.
В случае когда лазер работает в многомодовом режиме, мо-
монохроматичность связана, очевидно, с числом генерируемых мод.
Для твердотельного лазера (рубинового, неодимового и полу-
полупроводникового), в котором трудно получить одномодовый ре-
7.3. Комплексное представление полихроматических полей 443
жим генерации (поскольку ширина линии Av0 велика), ширина
линии излучения оказывается часто порядка гигагерц. Разу-
Разумеется, не всегда нужна очень узкая ширина линии излучения.
Вспомним, например, что для получения очень коротких свето-
световых импульсов (синхронизация мод) желательно иметь гене-
генерацию в пределах как можно более широкой полосы частот.
7.3. Комплексное представление полихроматических
полей
Прежде чем перейти к рассмотрению свойств лазерных пуч-
пучков, полезно сначала дать краткое описание очень удобного
комплексного представления полихроматических полей (разви-
(развитое Габором [2]). Для простоты рассмотрим линейно-поляризо-
линейно-поляризованную электромагнитную волну. Такую волну можно описать
одной вещественной скалярной величиной К(г)(г, t) (например,
величинами |Е| и |Н| или модулем векторного потенциала
А|). Эту величину, которая представляет собой функцию про-
пространственной координаты г и времени t, можно записать в виде
интеграла Фурье следующим образом:
-|-оо
V{r)(r, 0 = 4- \ V{r, co)exp(-icoOdco. G.1)
Данному выражению соответствует хорошо известное обратное
преобразование:
оо
V(r,a)= \jV<r>(r,t)exp(iat)dt. G.2)
— оо
Поскольку V(r) вещественная величина, из G.2) имеем
V (г, - со) = V (г, со). G.2а)
Следовательно, спектр отрицательных частот не содержит до-
дополнительной информации о поле, которая уже имеется в спек-
спектре положительных частот. Таким образом, вместо величины
V{r) можно рассматривать комплексную величину V(r, t), опре-
определяемую выражением
оо
V(r,t)=^\v(г, со)ехр(-Ш)dco. G.3)
о
Функция V(r, t) называется комплексным аналитическим сиг-
сигналом для волны К(г). Очевидно, что эти две функции связаны
444 7. Свойства лазерных пучков
между собой однозначным образом. Действительно, для данного
значения V из G.1), G.2а) и G.3) находим, что
lW = 2Re(K). G.4)
И наоборот, нетрудно показать, что если задана величина V{r\
то V определена однозначно. Действительно, задавая К(г), из
G.2) можно получить функцию V(r, со). При этом с помощью
выражения G.3) находим V(r, t).
Оказалось, что аналитический сигнал V более удобен для
описания электромагнитного поля, чем реальный сигнал. Напри-
Например, если реальный сигнал монохроматичен, то его можно запи-
записать в виде К(г) = Е cos со/. Следовательно, из выражений G.2)
и G.3) имеем К = ?ехр(—iwt)/2. В этом случае аналитический
сигнал описывается хорошо известным экспоненциальным пред-
представлением для синусоидальных функций, преимущества кото-
которого хорошо известны. Нередко в практических случаях спектр
аналитического сигнала имеет существенное значение лишь в
некотором интервале частот Асо, который очень мал по сравне-
сравнению со средней частотой спектра <со> (квазимонохроматическая
волна). Нетрудно показать, что при этом сигнал можно запи-
записать в виде
V @ = Е (t) exp {i [ф @ - (со) t]}, G.5)
где E(t) и <j>(t) —медленноменяющиеся функции, т. е.
Другие величины, характеризующие электромагнитное поле ква-
квазимонохроматической волны, можно представить как функции
аналитического сигнала. Например, интенсивность пучка /(г, t)
можно определить с помощью следующего соотношения:
/(r,0 = K(r,/)V'(r,0. G.7)
Действительно, нетрудно показать, что величина /(г, t) равна
среднему значению [V(rJ/2], усредненному по нескольким пе-
периодам оптического сигнала.
7.4. Статистические свойства лазерного излучения
и излучения тепловых источников
Прежде чем приступить к рассмотрению когерентных свойств
световых пучков, следует сравнить статистические свойства ла-
лазерного излучения и излучения обычных источников света.
Рассмотрим лазер, генерирующий в непрерывном режиме из-
излучение на одной поперечной и продольной моде. Как уже отме-
7.4. Статистические свойства лазерного излучения
445
р(Е)
' р(Е)
чалось в разд. 5.3.1, при данной скорости накачки интенсивность
выходного излучения такого лазера определяется из условия, со-
согласно которому переходы на нижние уровни вниз, обусловлен-
обусловленные вынужденным излучением, должны быть в точности ском-
скомпенсированы переходами на верхние уровни, вызванными на-
накачкой. Мы также указали на то, что интенсивность выходного
излучения подвержена в очень
небольшой степени флуктуа-
циям, связанным со спонтан-
спонтанным излучением. Таким обра-
образом, можно считать, что шири-
ширина полосы генерации одномо-
дового лазера преимуществен-
преимущественно обусловлена флуктуациями
фазы <f>(t), а не флуктуациями
амплитуды лазерного поля.
Эти флуктуации вызваны либо
флуктациями фазы за счет
спонтанного излучения, либо,
что встречается чаще, измене-
изменениями длины резонатора вслед-
вследствие теплового расширения
или вибраций со звуковой ча-
частотой. Это означает, что если
мы запишем аналитический
сигнал V(t) в данной точке
пространства в виде
V(t) = E(t)exp{i[<j>(t)-at]},
G.8)
то относительные амплитудные
флуктуации величины E(t), зависимости "от вещественной'''Ё<") и
равные \dE/Edt\, будут много мнимой ?<'> частей сигнала, а —ко.
меньше, чем изменения фазы герентный сигнал, излучаемый одно-
\<j>\. Теперь можно воспользо-
воспользоваться очень полезным трех-
трехмерным представлением, в ко-
котором вероятность измерения данного значения величины V вы-
выражается через вещественную и мнимую части, соответственно
?V) и ?<'> фазора ?(f) = ?(f)exp[#(OL Поскольку флуктуации
амплитуды очень малы, данное представление будет иметь вид,
показанный на рис. 7.1, а. Заметим, что величина р(Е) на этом
рисунке означает, что произведение p(?)c/?<r)d?('> дает элемен-
элементарную вероятность того, что измеренная величина E^i будет
модовым лазером; б — излучение теп-
теплового источника, например тради-
традиционного источника света.
446 7. Свойства лазерных пучков
находиться между значениями ?<г> и ?<г> -f- dEc\ измеренная ве-
величина ?(') — между ?<;> и EW-\-dE<ll Иными словами, величина
р (?) (Е dE d<f>) есть вероятность того, что измеренные значения
величины ? находятся в интервале от Е до Е -j- dE, а измерен-
измеренные значения величины ф—от ф до ф-{-dф. Заметим, что флук-
флуктуации амплитуды \E\ = E(t) представлены на рисунке в сильно
увеличенном масштабе. На самом деле для лазера, работающего
несколько выше порога генерации, распределение вероятности
р(Е) можно написать в виде
р(?)~6(?-?0), G.9)
где б — функция Дирака, а Ео связано с интенсивностью пучка
/ в соответствии с G.7) и G.8) выражением Е% = 1. Таким обра-
образом, точка, которая описывает E(t) в плоскости фазора, будет
по существу перемещаться во времени по окружности радиусом
\Е\ = Ео. Благодаря статистической природе флуктуации фазы
это движение будет иметь вид случайного блуждания, угловая
скорость которого, выраженная через фазовый угол </>@, опре-
определяет ширину полосы лазерной генерации.
Свет же от обычной лампы можно рассматривать как су-
суперпозицию некоррелированных световых волн, испущенных
спонтанно атомами вещества. Заметим, что поскольку такое из-
излучение происходит по существу в условиях теплового равнове-
равновесия, его называют тепловым. В этом случае, поскольку число
таких некоррелированных излучателей очень велико, согласно
центральной предельной теореме статистики распределение ам-
амплитуды вещественной и мнимой частей величины Е должно
подчиняться закону Гаусса. Таким образом, мы имеем р(Е) ~
~ ехр—[Е2/С], где С—постоянная, которая, как нетрудно за-
заметить, равна средней интенсивности пучка </>. Согласно опре-
определению интенсивности /, данному в выражении G.7), можно
показать, что @=\\ &Р(Е)(ЕdEdf)/\\р(Е) (EdEdf) =
= [E2p(E)dE2l\p(E)dE2 = C. Таким образом, р(Е) можно
записать в виде
р(?)~ехр(-?2/</>). G.10)
Эта функция построена на рис. 7.1,6 в зависимости от вещест-
вещественной и мнимой частей поля E(t). Заметим, что теперь средние
значения как ?(г), так и ?(;) равны нулю, в то время как сред-
среднее значение величины Е2 точно равно интенсивности пучка.
В плоскости ?(г), E(i) движение точки, которая описывает вели-
величину Е(г), можно рассматривать как случайное блуждание от-
относительно начала координат. Скорость этого движения, выра-
7.5. Когерентность первого порядка 447
женная через изменения амплитуды и фазы (dE/E dt и d<f>/dt
соответственно), определяет ширину полосы излучения тепло-
теплового источника света.
Сравнение рис. 7.1, а и 7.1, б делает наглядным глубокое раз-
различие между лазерным и тепловым излучением.
7.5. Когерентность первого порядка [3]
В гл. 1 понятие когерентности электромагнитной волны мы
дали, исходя из интуитивных соображений, причем были выде-
выделены два типа когерентности — пространственная и временная.
В данном разделе мы намереваемся более подробно рассмотреть
эти типы когерентности. В действительности, как мы увидим в
конце данной главы, пространственная и временная когерентно-
когерентности описывают когерентные свойства электромагнитной волны
лишь в первом порядке.
7.5.1. Степень пространственной
и временной когерентности
Для того чтобы описать свойства пучка, определим для ана-
аналитического сигнала полный класс корреляционных функций.
Однако ограничимся пока рассмотрением функций первого по-
порядка.
Предположим, что измерения аналитического сигнала прово-
проводят в некоторой точке гх на временном интервале 0 — Т. При
этом можно получить произведение V{v\, t\)V*{r\, t2), где t\ и
t2 — данные моменты времени в пределах временного интервала
О — Т. Если теперь эти измерения повторить большое число раз,
то можно рассчитать среднее значение упомянутого произведе-
произведения по всем измерениям. Это среднее значение называется сред-
средним по ансамблю и записывается в виде
Г<»(г„ г„ f,, t2) = {V(ru и)]Г(гиЫ). G.11)
В этом, а также в следующих двух разделах мы будем рассма-
рассматривать ситуацию со стационарным пучком 1\ которая, напри-
например, имеет место либо в лазере, генерирующем в непрерывном
режиме одномодовое или многомодовое излучение, которое не
синхронизовано по фазе, либо в тепловом источнике света, рабо-
работающем в непрерывном режиме. В этих случаях по определе-
определению среднее по ансамблю будет зависеть только от интервала
•> Процесс называется стационарным, если среднее по ансамблю лю-
любой переменной, которая описывает этот процесс (например, аналитический
сигнал или интенсивность пучка, как в нашем случае), не зависит от вре-
времени.
448 7. Свойства лазерных пучков
между моментами времени x=t\ — t2, а не от конкретных мо-
моментов времени t\ и \2. При этом мы имеем
Г<» (г„ г„ f,, t2) = ГО (г„ г„ т) =(V (г„ t + т) V (г„ 0); G.12)
здесь мы предположили, что t = t2 и величина ГA) зависит лишь
от т. Если аналитический сигнал является не только стационар-
стационарным, но и эргодическим (условие, которое также обычно выпол-
выполняется в приведенных выше случаях), то по определению сред-
среднее по ансамблю будет также и средним по времени. При этом
можно написать следующее выражение:
г
, r1)t)=lim ±\v{rltt + i)V(rltt)dt. G.13)
Г+оо )
Заметим, что легче иметь дело, возможно, с определением вели-
величины Г(|) через среднее по времени, чем через среднее по ансам-
ансамблю. Однако определение Г(|) через среднее по ансамблю яв-
является более общим и, как мы увидим в разд. 7.5.4, с помощью
выражения G.11) его можно применить к нестационарным пуч-
пучкам.
Определив корреляционную функцию первого порядка ГA)
в данной точке гь можно определить нормированную функцию
7(|)(гь гь т) следующим образом:
<Г(/ + т)У(г„0) G14)
(V(t +)У(/ + т)>|/2
Y
Х (V(r],t)V(T], t))x'2(V(Tut +т)У(г„/ + т)>|/2
Заметим, что в случае стационарного пучка в знаменателе вы-
выражения G.14) два средних по ансамблю равны друг другу и
в соответствии с G.7) каждое из них равно средней интенсив-
интенсивности пучка </(гь /)>. Функция у<]\ определенная выражением
G.14), называется комплексной степенью временной когерент-
когерентности, в то время как ее модуль |y(I)| —степенью временной ко-
когерентности. Действительно, уA) представляет собой степень кор-
корреляции между аналитическими сигналами в некоторой точке Г]
пространства для двух моментов времени, разделенных интерва-
интервалом т. Функция 7A) имеет следующие главные свойства:
1) в соответствии с выражением G.14) -у(|)=1 при т = 0;
2) y(i) (гь гь —т) =7(|)*(гь гь т). чт0 нетрудно показать из
G.14) с учетом соотношения G.5); 3) |v(l)(ri. «"ь т) | ^ 1, что
следует из применения неравенства Буняковского — Шварца к
выражению G.14).
Теперь мы можем сказать, что если |y(I)I = 1 при любых
значениях т, то пучок имеет полную временную когерентность.
Для пучка непрерывного излучения это по существу означает,
что флуктуации как амплитуды, так и фазы равны нулю и сиг-
7.5. Когерентность первого порядка
449
нал имеет вид синусоидальной волны, т. е. V = E(r{)exp(—iat).
Действительно, подстановка этого выражения в G.14) показы-
показывает, что в этом случае |v(l)| = 1- Противоположный случай
полного отсутствия временной когерентности наблюдается, ког-
когда (V(ru t-{-r)V(ru t)) и, следовательно, функция у(|) обра-
обращаются в нуль при т >• 0. Такая ситуация должна иметь место
для теплового источника света с очень большой шириной по-
полосы излучения (например, для черного тела; см. рис. 2.3). В бо-
более реалистичных ситуа-
ситуациях функция |уAI обыч-
но уменьшается с ростом
интервала т, как показа-
показано на рис. 7.2 (заметим,
что, согласно упомянуто-
упомянутому выше второму свой-
свойству, |vA)| является сим-
симметричной функцией па-
параметра т). Таким обра-
образом, можно определить
характерное время тКОгер
(называемое временем ко-
когерентности) как время,
|(ll
Рис. 7.2. Возможная зависимость степени
пространственном когерентности |уA) (т) |.
Время когерентности можно определить
как полуширину кривой на полувысоте.
за которое величина \у( >\
уменьшается вдвое, т. е.
|-у(|)| = 1/2. Очевидно, для
полностью когерентной волны тКОГер = °°, в то время как для
полностью некогерентной волны тКОгер = 0. Заметим, что можно
также определить длину временной когерентности Lc, как Lc =
^= СТкогер-
Аналогичным образом можно определить корреляционную
функцию первого порядка между двумя различными точками п
и г2 в один и тот же момент времени:
г
Г«»(г„ г2> 0) =
г„ t)V(r2, t))= lim -i-
(rltt)V{r2tt)dt.
G.15)
Можно также определить соответствующую нормированную
функцию v(l)(ri. r2- 0):
(V (г,, 0 V (г,, 0)
Y'1' ^= ¦
\'/2
G.16)
Величина 7(|)(гь г2, 0) называется комплексной степенью про-
пространственной когерентности, а ее модуль — степенью простран-
пространственной когерентности. Действительно, в этом случае 7(|)
15 О. Звелто
450 7. Свойства лазерных пучков
представляет собой меру корреляции между аналитическими
сигналами в двух точках пространства Г| и г2 в один и тот же
момент времени. Заметим, что из неравенства Буняковского —
Шварца следует |v(I)|^= 1- Волна обладает полной пространст-
пространственной когерентностью, если |v(l)| = 1 Для любых двух точек
Г[ и г2 (при условии что они лежат на том же самом волновом
фронте или на волновых фронтах, расстояние между которыми
много меньше, чем длина когерентности Lc). Однако чаще имеет
место ситуация, характеризуемая частичной пространственной
когерентностью. Это означает, что если координата п фиксиро-
фиксирована, то с увеличением разности |г2— i"i| величина |у(|)| как
функция координаты г2 уменьшается от 1 (значения, которого
она достигает при r2 = ri) до 0. Таким образом, значение |-у(|)|
может быть больше какого-то данного значения (например, 1/2)
в пределах некоторой характерной области на волновом фронте
вблизи точки Р\, заданной вектором п. Назовем эту область об-
областью когерентности волны в точке Pi волнового фронта.
Понятия пространственной и временной когерентностей мож-
можно объединить посредством взаимной функции когерентности,
определяемой следующим образом:
Г<')(г„ r2, r) = (V(rl, t + r)V(r2, t)), G.16a)
которую можно также записать в нормированном виде:
Эта функция, называемая комплексной степенью когерентности,
является мерой когерентности между двумя различными точ-
точками волны в разные моменты времени. Для квазимонохрома-
квазимонохроматической волны из выражений G.5) и G.14) следует, что
Y(D (Т) = | V(D | ехр {/ [ф (т) - (со) т]}, G.18)
где |v(l)| и ф(г)— медленноменяющиеся функции, т. е.
?<со). G.19)
7.5.2. Измерение пространственной
и временной когерентностей
Весьма простым способом измерения степени пространствен-
пространственной когерентности между двумя точками световой волны яв-
является метод, в котором используется интерферометр Юнга
(рис. 7.3). Этот интерферометр состоит из экрана 1, в котором
имеются отверстия соответственно в точках Pi и Р2, и экрана 2,
p,
7.5. Когерентность первого порядка 451
в котором свет, прошедший через оба этих отверстия, создает
интерференционную картину. Точнее говоря, интерференция в
точке Р в момент времени t возникнет в результате суперпози-
суперпозиции волн, испущенных из точек Р\ и Р2 соответственно в мо-
моменты времени [t— (Li/c)] и [t— (L2/c)]. Следовательно, ин-
интерференционные полосы, наблюдаемые на экране 2 в окрестно-
окрестности точки Р, будут тем отчетливее, чем лучше корреляция между
двумя аналитическими сигналами световой волны V[r\,t —
— (Li/c)] и V(r2, t—(L2/c)], где г, и г2 — координаты точек
Р\ и Р2. Заметим, что время интегрирова-
интегрирования Т в выражении для корреляционной
функции [см. G.13)] теперь равно вре-
мени регистрации полос (например, вре- р'\
мени экспозиции фотопластинки). Если ciemosanволна
теперь точку Р на экране выбрать та-
ким образом, чтобы Li=Z,2, то видность
полос в окрестности точки Р будет ме-
мерой степени пространственной когерент- _. _ „ „
v n n if¦ * Рис. 7.3. Применение ии-
ности между точками Я, и Р2. Чтобы терфеРометра Юнга для
быть более точными, определим вид- измерения степени про-
ность V(P) полос в точке Р следующим странствешюй когерент-
обпазом' поста электромагнитной
" ' . , волны между точками
V(P)= "акс-/ш,н , G<20) Pi и р2
'макс т 'мин
здесь /макс—максимальная интенсивность светлой полосы, а
/мин — минимальная интенсивность темной полосы в окрестности
точки Р. Если оба отверстия 1 и 2 дают одну и ту же освещен-
освещенность в точке Р и если волна обладает полной пространственной
когерентностью, то /Мнн = 0 и, следовательно, видность полос
V{P) = \. В случае когда сигналы в точках Р\ и Р2 полностью
некоррелированы (т. е. некогерентны), полосы исчезают (т. е.
имеем /Макс = /мин) и, таким образом, видность полос V(P) = 0.
В соответствии со сказанным в разд. 7.5.1 становится очевид-
очевидным, что величина К<р) должна быть связана с модулем функ-
функции v(l)(ri. Г2. 0). В более общем случае для любой точки Р на
экране мы ожидаем, что величина Vp связана с модулем функ-
функции v(l)(ri. r2, т), где т = (L2 — Li)/с. В конце этого раздела мы
действительно убедимся в том, что если два отверстия дают
одну и ту же освещенность в точке Р, то
K(P)(T) = |Y(l)(ri, г2)т)|. G.21)
Таким образом, измерение видности интерференционных полос
V(P) в точке Р, такой, что L\ = L2, позволяет получить степень
пространственной когерентности между точками Р\ и Р2.
15*
452
7. Свойства лазерных пучков
Интерферометр Майкельсона (рис. 7.4) дает очень простой
метод измерения временной когерентности. Пусть в некоторой
точке Р требуется измерить временную когерентность волны.
Оптическая система, состоящая из экрана с небольшим отвер-
отверстием в точке Р и линзы, главный фокус которой совпадает
с точкой Р, позволяет преобразовать падающую волну в пло-
плоскую (см. также рис. 7.9). Эта волна затем падает на частично
Световая
волна
а
< f M
к
/ /
"- - Ч
s, s
._Zj
l(L3-L2)
Рис. 7.4. а — интерферометр Майкельсона для измерения степени временной
когерентности электромагнитной волны в точке Р; б — зависимость интен-
интенсивности света, выходящего в направлении распространения волны С, от
разности Li — L2 между длинами плеч интерферометра.
отражающее зеркало 5i (с коэффициентом отражения R =
=50 %), которое расщепляет ее на две волны А и В. Эти волны
отражаются назад зеркалами 52 и S3 (R = 1) и затем склады-
складываются, образуя волну С. Поскольку волны А и В интерфери-
интерферируют, освещенность в направлении распространения волны С
будет либо больше, либо меньше в зависимости от того, четному
или нечетному числу полуволн равна величина 2(L3 — L2). Оче-
Очевидно, такая интерференция будет наблюдаться только до тех
пор, пока разность L3 — L2 не станет настолько большой, что два
пучка А и В окажутся некоррелированными по фазе. Таким об-
образом, для частично когерентной волны зависимость интенсив-
интенсивности /с волны С от величины 2A3 — L2) имеет вид, показан-
7.5. Когерентность первого порядка 453
ный на рис. 7.4, б. В этом случае мы можем снова определить
видность интерференционных полос V<p)(T) с помощью выраже-
выражения G.20) для некоторого данного значения разности L3 — L2
между длинами плеч интерферометра, т. е. для данного значе-
значения задержки т = 2A3— L2)/c между двумя отраженными вол-
волнами, причем значения /маКс и /МИн определяются в соответствии
с рис. 7.4, б. Точно так же, как и в случае интерферометра
Юнга, можно показать, что
|Y(l)(r, г, т)| = К(р,(т), G.22)
где г — координата точки Р. Следовательно, теперь измерение
видности интерференционных полос позволяет получить степень
временной когерентности волны в точке Р. Если функция |y(I)|
известна, то можно найти время когерентности тКоГер и, следова-
следовательно, длину когерентности Lc = СотКОГер. Заметим, что вели-
величина Lc равна удвоенной разности L3— L2 между длинами плеч
интерферометра, при которой значение видности спадает до зна-
значения V(P) = 1/2.
Мы закончим этот раздел доказательством соотношения
G.21), что также может послужить в качестве упражнения на
применение аналитического сигнала. Аналогичные соображения
можно применить и для доказательства соотношения G.22).
Обозначим через V(t') аналитический сигнал в точке Р, пока-
показанной на рис. 7.3, в момент времени t'. Поскольку он обуслов-
обусловлен суперпозицией сигналов, пришедших из каждого отверстия
(см. рис. 7.3), его можно записать в виде
V = KlV(rut/- /,) + K2V (r2, f -12), G.23)
где t\ =L\/c, t2 = L2/c. Множители K\ и К2 обратно пропорцио-
пропорциональны расстояниям L\ и L2 и, кроме того, зависят от размеров
отверстий и угла между падающей волной и волной, дифраги-
дифрагированной на отверстиях Р\ и Р2. Поскольку дифрагированные
вторичные волны отстают по фазе на четверть периода относи-
относительно падающей волны [3, с. 370—375] (см. также обсуждение
волн Гюйгенса в разд. 4.4.2), отсюда следует, что
/С,=|/С,|ехр(-*я/2), G.24а)
ш/2). G-246)
Если теперь определить величины t = t' —12 и т = t2 — t\, то
выражение G.23) можно записать в виде
V = KXV (г„ t + т) + K2V (г2, 0- G-25)
454 7. Свойства лазерных пучков
Таким образом, интенсивность в точке Р дается выражением
I = VV = /, (t + т) + /2 @ + 2 Re [K&V (г,, f + т) К* (г2, /)],
G.26)
где 1\ и /2 — интенсивности в точке Р, первая из которых обус-
обусловлена излучением только из точки Р\, а вторая — излучением
только из точки Р2. Эти интенсивности записываются следую-
следующим образом:
/, = | /С, |*| V:(rut + т) Р = | /С, Р / (г,, / + т), G.27а)
h = \K2 Р[| Г(г2, OF — I К2 Р / (г2, 0; G.276)
здесь 1{г\, t-\-x) и /(г2, 0 —интенсивности соответственно в точ-
точках Р\ и Р2. Усредняя обе части выражения G.26) по времени
и используя G.16а), находим
(/) = (/.)+ (/2) + 2|/С, II/С2|Re [Г")(г„ г2> т)]. G.28)
Здесь мы использовали также выражения G.24). Выражение
G.28) можно записать через комплексную степень когерентно-
когерентности уA\ если заметить, что из соотношения G.17) следует
П» = ¦/»)[(/(г,, / + т))(/(г2, 0>Г- G-29)
Подставляя это выражение в предыдущие и используя G.27),
получаем
(/) = (/.) + (/2)+2((/l)(/2))l/2Re[YA4r1, r2, *)] =
= (/.) + (/2> + 2 ((/,) (/2»1/21 Y(I) i cos [</- (т) - (о>>т], G.30)
где мы использовали также соотношение G.18). Поскольку как
|v(l)|> так и ^(т) являются медленноменяющимися функциями,
изменение интенсивности </> в зависимости от положения точ-
точки Р определяется быстрым изменением члена, содержащего ко-
косинус с аргументом <ю>т. Таким образом, в окрестности точки Р
мы имеем
/макс =(Л> + (/2) + 2 ((/,)(/2»l/2| Y(l) I, G.31а)
/-ни = (/.) + (/2) - 2 ((/1>(/2»1/21 Y(l) I, G.316)
и, следовательно, из выражения G.17) получаем
(Р)~ </|> + <М " ^ '' 2' ' \'-бг)
В случае когда </i> = </2>, выражение G.32) сводится к G.21).
7.5. Когерентность первого порядка 455
7.5.3. Соотношение между временной когерентностью
и монохроматичностью
Из рассмотрения, проведенного в предыдущих разделах, сле-
следует с очевидностью, что понятие временной когерентности тес-
тесно связано с монохроматичностью. Например, чем более моно-
монохроматической является волна, тем больше ее временная коге-
когерентность. Таким образом, время когерентности должно быть
обратно пропорционально ширине полосы генерируемого излу-
излучения. В данном разделе мы обсудим это соотношение более
подробно.
Вначале заметим, что спектр электромагнитной волны, изме-
измеренный с помощью спектрометра, пропорционален спектральной
функции (спектру мощности) ^(г, со) сигнала V(r, /). Поскольку
спектральная функция W равна фурье-образу автокорреляцион-
автокорреляционной функции Г(|), любая из этих величин может быть найдена,
если известна другая. Для того чтобы получить точное соотно-
соотношение, связывающее величины тКОгер и AvreH, необходимо пере-
переопределить обе эти величины соответствующим образом. Таким
образом, мы определяем тКОгер как среднеквадратичную ширину
функции | Г<» (т) |2, так что (ткогерJ = Г°° (т - <т»21 Г (т) |2 dxl
J —оо
+ ОО
\Y (t)\2 dr.B сокращенной записи это выражение можно за-
писать следующим образом:
= ((Г-(Г)П G.33)
где среднее значение <т> определяется соотношением <т> =
= 5 т| Г (r)\2dxj^\T(r)\2dr. Поскольку |Г(—т) | = |Г(т) |, из
последнего соотношения имеем <т> = 0и выражение G.33) при-
принимает вид
= <T2>. G.34)
Такое определение времени когерентности умозрительно являет-
является более простым (хотя иногда и более трудным для вычисле-
вычислений), чем то, которое мы дали выше [т. е. как полуширину на
полувысоте кривой |Г(т)|; см. рис. 7.2]. Если бы кривая на
рис. 7.2 имела осциллирующий характер, то тКОгер, соответствую-
соответствующее первоначальному его определению, нельзя было бы вычис-
вычислить однозначно. Аналогично определим ширину полосы генера-
генерации AvreH как среднеквадратичную ширину функции W2(v). Та-
Таким образом,
(AvreHJ = ((v-(v»2>; G.35)
456 7. Свойства лазерных пучков
здесь <v> — средняя частота спектра, определяемая выражением
(v)= \ vW2dv l\ W2dv. Поскольку функции IF и Г связаны
преобразованием Фурье, можно показать, что AvreH и тКогер в со-
соответствии с определением, которое мы только что дали, удов-
удовлетворяют условию
TKorepAvreH>l/4n. G.36)
Это условие аналогично соотношению неопределенностей Гей-
зенберга, и его можно доказать, используя тот же метод, что и
при выводе соотношения неопределенностей [5]. Знак равенства
в G.36) имеет место в том случае, когда функции | ГA) (т) | и, сле-
следовательно, W((u) являются гауссовыми. Таким образом, рас-
рассматриваемый случай, очевидно, представляет собой аналог вол-
волнового пакета с минимальной неопределенностью [5].
7.5.4. Нестационарные пучки "
Рассмотрим здесь кратко нестационарные пучки. В этом слу-
случае функция Г(|) в выражении G.11) зависит по определению от
моментов времени t\ и t2, а не только от интервала между ними
т = t\ —t2. Примерами могут служить лазер с амплитудной мо-
модуляцией, тепловой источник света с амплитудной модуляцией,
лазер с модулированной добротностью и лазер с синхрониза-
синхронизацией мод. Корреляционную функцию для нестационарного пучка
можно получить как среднее по ансамблю многих измерений
аналитического сигнала на временном интервале 0 — Т, причем
начало временного интервала синхронизовано с управляющим
сигналом (например, синхронизовано с амплитудным модулято-
модулятором лазера с синхронизацией мод или ячейкой Поккельса в ла-
лазере с модуляцией добротности). Степень временной когерент-
когерентности в заданной точке г можно определить следующим обра-
образом:
где t\ и t2— два данных момента времени на интервале 0 — Т
и все сигналы измерены в точке г. Мы можем теперь утвер-
утверждать, что пучок обладает полной временной когерентностью,
если |v(l)(*b /2)! =1 Для любых моментов времени t\ и t2. Из
этого определения следует, что нестационарный пучок без флук-
флуктуации амплитуды и фазы обладает полной временной когерент-
1) Автор хочет выразить признательность проф. В. Деджорджно за по-
полезные обсуждения этого вопроса.
7.5. Когерентность первого порядка 457
ностьюх\ Действительно, в отсутствие флуктуации произведения
V(tx)V(t2), V(/i)V*(/i) и V(t2)V(t2) в выражении G.37) не из-
изменяются при всех измерениях ансамбля. Таким образом, эти
произведения равны соответствующим средним по ансамблю и
выражение для 7(|)(^ь ^2) принимает вид
Из этого выражения следует, что |v(l)|= 1. Согласно этому оп-
определению временной когерентности, время когерентности неста-
нестационарного пучка, например в случае лазера с синхронизацией
мод, становится бесконечно большим, если нет флуктуации ам-
амплитуды и фазы пучка. Поэтому время когерентности нестацио-
нестационарного пучка не связано обратно пропорциональной зависи-
зависимостью с шириной полосы генерации. Однако если на практике
мы коррелируем, например, в лазере с синхронизацией мод один
импульс импульсной последовательности с некоторым другим,
т. е. если мы выбираем интервал времени /2 — U больше, чем пе-
период повторения импульсов, то из-за флуктуации будет происхо-
происходить уменьшение корреляции. Это означает, что величина |vA)|
будет уменьшаться с увеличением интервала t2 — /1 за преде-
пределами периода повторения импульсов. Таким образом, мы ожи-
ожидаем, что время когерентности должно быть конечным, хотя и не
связанным обратнопропорциональной зависимостью с шириной
полосы генерации, но в тоже время обратно пропорционально
ширине полосы флуктуации.
7.5.5. Пространственная и временная когерентность
одномодовых и многомодовых лазеров
Рассмотрим сначала непрерывный лазер, генерирующий на
одной поперечной и продольной моде. Чуть выше порога генера-
генерации флуктуациями амплитуды можно пренебречь. Тогда анали-
аналитические сигналы волны в двух точках п и г2 можно записать
следующим образом:
К(г„ t) = E(rl)exp{i[i>(t)-wt]}, G.39а)
V (г2, t) = E (г2) ехр {/ [ф @ - со/]}; G.396)
здесь Е(г)— амплитуда моды и со — угловая частота в центре
полосы генерации. Подставив выражения G.39) в G.16), полу-
получим y<1> = E(rl)E*(r2)/\E(ri) | ^(гг) ], откуда следует, что
|>)|—1, Таким образом, одномодовая лазерная генерация
" Это понятие фактически тождественно тому, которым пользуются ра-
радиоинженеры, когда говорят о когерентном сигнале в диапазоне радиоволн.
458 7. Свойства лазерных пучков
обладает полной пространственной когерентностью. Временная
же когерентность определяется шириной полосы генерации AvreH.
Например, лазер с хорошей стабильностью частоты в видимом
диапазоне излучения имеет ширину полосы генерации AvreH ~
ж 1 кГц и, следовательно, время когерентности тКОГер «
ж 1/AvreH ~ 1 мс. Заметим, что в этом случае длина когерент-
когерентности очень велика (Lc = стКогер ~ 300 км!).
Рассмотрим лазер, генерирующий на одной поперечной моде
и на многих продольных. Аналитические сигналы в двух точках
Г! и Гг, принадлежащих одному и тому же волновому фронту,
в общем случае можно представить через поля мод резонатора
следующим образом:
V (г„ t) = ? akUk (r,)exp{i [фк (/) - щ1]}, G.40а)
V (г2, t) = ? akUk (г2) ехр {/ [фк (t) - cofcf]}, G.406)
k
где аи — постоянные множители, Uk, фк и а)* — соответственно
амплитуда, фаза и частота k-й моды и суммирование проводит-
проводится по всем генерируемым модам. Заметим здесь, что, поскольку
поперечное распределение поля у всех мод одинаковое (напри-
(например, распределение моды ТЕМОо), амплитуда моды Uk не зави-
зависит от модового индекса k. Таким образом,
?/*(г,) = ?/(!-,), G.41а)
Uk(r2) = U(r2). G.416)
Подставляя эти выражения в G.40), получаем
V(r2,t) = [U(r2)/U(ri)]V(rut). G.42)
Отсюда следует, что всякий раз, когда временное изменение
У(Г|, t) наблюдается в точке г,, с точностью до коэффициента
пропорциональности такое временное изменение будет наблю-
наблюдаться в точке г2. Подстановка соотношения G.42) в выражение
G.16) дает |<уA)| = 1. Таким образом, пучок по-прежнему об-
обладает полной пространственной когерентностью. Если фазы
всех мод случайны, то временная когерентность снова равна
обратному значению ширины полосы генерации. При отсутствии
в резонаторе частотно-селектирующих элементов ширина по-
полосы генерации может быть теперь сравнима с шириной по-
полосы лазерной среды и, следовательно, время когерентности мо-
может быть много меньше, чем в предыдущем примере (от нано-
наносекунд до пикосекунд). Однако в случае синхронизации мод
временная когерентность может стать очень большой, так что
лазер с синхронизацией мод может в принципе обладать полной
пространственной и временной когерентностью.
7.6. Направленность
459
В качестве последнего случая мы должны были бы рассмо-
рассмотреть лазерную генерацию на многих поперечных модах. Можно
показать (см. задачу 7.16), что такой лазер обладает только ча-
частичной пространственной когерентностью. Это происходит по-
потому, что моды здесь различаются как своими поперечными рас-
распределениями, так и собственными частотами.
7.6. Направленность
Свойство направленности лазерного пучка тесно связано с
его пространственной когерентностью. Поэтому сначала мы об-
обсудим электромагнитную волну с полной пространственной ко-
когерентностью, а затем с частичной.
7.6.1. Пучки с полной пространственной когерентностью
Рассмотрим сначала волну с полной пространственной коге-
когерентностью, образованную пучком с плоским волновым фронтом
кругового поперечного сечения, имеющим постоянную интенсив-
интенсивность по сечению (рис. 7.5, а). Вследствие дифракции такой пу-
пучок характеризуется углом расходимости 9d. Дифракционную
Рис. 7.5. а — расходимость (обусловленная дифракцией) пучка электромаг-
электромагнитного излучения с плоским волновым фронтом, круговым поперечным се-
сечением и равномерным распределением интенсивности в поперечном сечеиии;
б — метод измерения расходимости плоской волны, показанной иа рис. а.
расходимость пучка можно понять из рис. 7.5, а, на котором
изображен волновой фронт А'В', полученный из волнового фрон-
фронта АВ с помощью принципа Гюйгенса — Френеля. Можно пока-
показать, что расходимость 8w дается выражением
Qd=l,22X/D, G.43)
где D — диаметр пучка. Чтобы понять, откуда берется расходи-
расходимость, давайте выясним, что произойдет, когда рассматривае-
рассматриваемый нами пучок фокусируется с помощью линзы (рис. 7.5,6).
Поскольку, как мы уже видели, пучок имеет некоторую ширину,
можно показать, что его можно представить в виде набора
460
7, Свойства лазерных пучков
плоских волн, распространяющихся в несколько различных на-
направлениях. Одна из них, распространяющаяся под углом 8
к оси, показана на рис. 7.5,6 штриховыми линиями. Как мы ви-
видим, эта волна будет фокусироваться в фокальной плоскости
линзы в точке Р, которая отстоит (при малых значениях угла 8)
от оси пучка на расстояние
г = /8. G.44)
Таким образом, зная распределение интенсивности 1(г) в фо-
фокальной плоскости, можно найти угловое распределение исход-
исходного пучка. Из теории дифракции из-
известно [3, с. 395—398], что функция
/(г) дается формулой Эйри:
¦ 2/, (krDI2f)
krD\2]
где k = 2nfk, J\ — функция Бесселя
первого порядка, а /0 (интенсивность
в центре фокального пятна) равна
G.46)
Здесь Pi — мощность пучка, падающе-
падающего на линзу.
На рис. 7.6 приведена зависимость
интенсивности / от величины
-]2 /о, G.45)
&
Рис. 7.6. Распределение ин-
интенсивности света в фо-
фокальной плоскости, пока-
чяннпй м я пнр 7 ^ ^ \{^\с
функция относительного
радиалыюго расстояния г
нормированного, т.е. х =
= krD/2f).
х = krD/2f.
G.47)
Следовательно, дифракционная карти-
на, создаваемая в фокальной плоско-
сти линзы, состоит из круглой цент-
ральной зоны (диск Эйри), окружен-
окруженной рядом колец с быстро убывающей
интенсивностью. Расходимость Qd исходного пучка обычно опре-
определяется как угловой радиус первого минимума, показанного на
рис. 7.6. Таким образом, из рис. 7.6 и выражений G.47) и
G.44) получаем соотношение G.43). При этом можно показать,
что выражение G.43) для Ва имеет некоторую неопределенность.
В качестве второго примера распространения пространствен-
пространственно-когерентного пучка рассмотрим гауссов пучок (ТЕМоо), кото-
который можно получить с помощью устойчивого лазерного резона-
резонатора со сферическими зеркалами. Если wo — размер пятна в
перетяжке пучка, то размер пучка w и радиус кривизны R вол-
волновой поверхности на расстоянии z от положения перетяжки
можно найти, воспользовавшись соотношениями D.105) и D.106).
7.6. Направленность
461
Чтобы вычислить расходимость гауссова пучка, рассмотрим вы-
выражения D.105) и D.106) на большом расстоянии от перетяжки
(т. е. при условии Xz/nwl > 1). Мы видим, что на больших рас-
расстояниях w = %z/nw0 и R = z. Поскольку на больших расстоя-
расстояниях оба параметра w и R линейно растут с расстоянием, мы
практически имеем сферическую волну, испущенную из центра
Рис. 7.7. Относительная доля полной мощности данной моды ТЕМ;, т, кото-
которая заключена в пределах круглой апертуры радиусом г. Здесь w — размер
пятна моды ТЕМоо и числа возле каждой кривой соответствуют модовым
индексам /, т.
перетяжки. Ее расходимость может быть найдена из выражения
% = w/z = \/яи>0. G.48)
Сравним теперь выражения G.48) и G.43). Если при этом поло-
положить D = 2w0, то при одинаковых диаметрах расходимость гаус-
гауссова пучка оказывается в два раза меньше расходимости пло-
плоского пучка.
Рассмотрим гауссову моду высшего порядка ТЕМ;, т- Чтобы
вычислить ее расходимость, необходимо определить эффектив-
эффективный размер пятна wi, m этой моды. Это можно осуществить
462 7, Свойства лазерных пучков
с помощью рис. 7.7, на котором представлены расчетные значе-
значения относительной доли полной мощности для каждой поперечной
моды, заключенной в пределах круглой апертуры радиусом г.
Радиус г нормирован на w — размер пятна моды ТЕМоо в пло-
плоскости апертуры. Теперь мы можем определить эффективный
размер пятна ш/>т как радиус пятна, в пределах которого за-
заключено, например, 90 % мощности пучка. Этот размер пятна
можно записать в виде
wt.m = Ct,mwf G.49)
где С/, щ — численный коэффициент, который всегда больше 1 и
зависит от модовых индексов I и m и значение которого нетруд-
нетрудно найти из рис. 7.7. Заметим, что в соответствии с данным оп-
определением коэффициент Со, о ~ 1,16 и эффективный размер
пятна моды ТЕМоо равен приблизительно 1,16ш. Кроме того,
эффективный размер пятна возрастает с увеличением модовых
индексов I и т. Определим расходимость пучка как
в,, т = lim wtt Jz = Cit m lim w/z; G.50)
здесь использовано соотношение G.49). Поскольку на больших
расстояниях от положения перетяжки w л; Xz/nw0, то выраже-
выражение G.50) принимает вид
Qt,m = Ct,m^/nw0, G.51)
откуда следует, что расходимость гауссовой моды высшего по-
порядка всегда больше, чем у моды ТЕМоо. Заметим, что согла-
согласно выбранному определению эффективного размера пятна рас-
расходимость моды ТЕМоо будет примерно в 1,16 раза больше, чем
это следует из выражения G.48). Кроме того, если мы опреде-
определим эффективный размер цятна доо.о моды ТЕМоо в плоскости
перетяжки пучка как доо.о = 1.16 а>о, то расходимость пучка этой
моды можно представить как 8о,о = 1,16Х/яшо = (\,\GJlk/nwo,o.
Подводя итог полученным результатам, можно сказать, что
расходимость 8и пространственно-когерентной волны можно за-
записать в виде
G.52)
где D — соответствующим образом определенный диаметр пучка
и р — числовой коэффициент порядка единицы, точное значение
которого зависит от распределения амплитуды поля, а также от
способа, которым определены значения 0d и D. Такой пучок
обычно называется дифракционно-ограниченным.
7.6. Направленность
463
Рис. 7.8. Примеры, иллюстрн-
РУющие различные свойства
7.6.2. Пучки с частичной пространственной когерентностью
Расходимость электромагнитной волны с частичной прост-
пространственной когерентностью больше, чем у пространственно-ко-
пространственно-когерентной волны, имеющей такое же распределение интенсивно-
интенсивности. Это можно понять, например, из рис. 7.5, а: если волна не
является пространственно-когерентной, то вторичные волны, из-
излученные с поперечного сечения АВ, не должны больше нахо-
находиться в фазе и волновой фронт, образованный вследствие диф-
дифракции, должен иметь большую рас-
расходимость по сравнению с той, ко-
которая получается из выражения
G.43). Строгое рассмотрение этой
задачи (т. е. задачи о распростране-
распространении частично-когерентных волн) вы-
выходит за рамки настоящей книги, и
читателю мы рекомендуем обратить-
ся к более специализированным
книгам [3, с. 508—518]. Мы же
ограничимся изучением относитель-
но простого случая пучка диамет-
ром D (рис. 7.8, а), который состоит
ИЗ множества пучков (показанных а —пучок диаметром D пред-
на рисунке в виде заштрихованных бй
Кружков) меньшего диаметра d. Бу-
дем предполагать, что каждый из
этих пучков меньшего диаметра яв-
ляется дифракционно-ограниченным
(т. е. пространственно-когерент-
пространственно-когерентным). Тогда, если составляющие пучки взаимно некоррелиро-
ваны, расходимость всего пучка в целом будет равна 8d =
= fiX/d. Если бы такие пучки были коррелированными, то рас-
расходимость была бы равна би = fih/D. Этот последний случай
фактически эквивалентен множеству антенн (маленьких пуч-
пучков), которые все излучают синхронно друг с другом. После
этого простого примера можно рассмотреть общий случай, когда
пространственно-когерентный пучок имеет данное распределе-
распределение интенсивности по его диаметру D и данную область коге-
когерентности Ас в каждой точке Р (рис. 7.8,6). По аналогии с пре-
предыдущим примером нетрудно понять, что в этом случае Qa =
= РХ/[ЛС]1/2, где р — числовой коэффициент порядка единицы,
значение которого зависит как от конкретного распределения
интенсивности, так и от способа, каким определялась область
Ас. Таким образом, понятие направленности тесно связано с по-
понятием пространственной когерентности.
у р р
ставляет собой суперпозицию
множества меньших по разме-
рОм D и область когерентно-
сти Ас в точке Р.
464 7, Свойства лазерных пучков
После общих замечаний о пучке с частичной пространствен-
пространственной когерентностью мы можем перейти к рассмотрению особен-
особенно важного случая лазерной генерации на многих поперечных
модах. Таким образом, мы рассмотрим устойчивый лазерный ре-
резонатор, в котором поперечный размер 2а активной лазерной
среды значительно больше размера пятна моды ТЕМ00, распро-
распространяющейся внутри этой среды. Соответствующими примера-
примерами могут быть непрерывный или импульсный твердотельные ла-
лазеры, поэтому мы можем обратиться к случаю, показанному на
рис. 5.14. Однако последующее рассмотрение применимо вообще
к любому многомодовому лазеру с устойчивым резонатором.
Для простоты предположим, что размер пятна w в среде при-
приблизительно равен размеру пятна Доо в перетяжке пучка. По-
Поскольку радиус а существенно больше, чем w0, следует ожидать,
что будет возбуждено много поперечных мод, которые заполнят
поперечное сечение лазерной среды. Предполагается, что возбу-
возбуждаемая мода высшего порядка ограничена до размера, кото-
который незначительно обрезается апертурой среды. Поперечные
индексы этой моды можно найти из рис. 7.7, если известны мак-
максимально допустимые потери возбуждаемой моды. Предполо-
Предположим, например, что эти потери равны 10 %, тогда 90 % мощно-
мощности этой моды высшего порядка должно проходить через лазер-
лазерную апертуру. В этом случае эффективный размер пятна ш/, m
в соответствии с определением, данным в предыдущем разделе,
должен быть равен радиусу а среды, т. е. wi, m = а. С помощью
выражения G.49) получаем
а = С/, mw = С,, mw0. G.53)
При данных значениях а и w0 выражение G.53) позволяет вы-
вычислить коэффициент С/, т, который затем можно использовать
в выражении G.51), чтобы найти расходимость моды. Посколь-
Поскольку эта мода имеет самую большую расходимость, ее можно гру-
грубо оценить по полной расходимости пучка 9d, предполагая, что
она равна расходимости этой моды 8/, т. Из выражений G.51)
и G.53) получаем
Qd « al/nw>. G.54)
Выражение G.54) полезно в ряде случаев. Если известен раз-
размер wo, то его можно использовать для оценки ожидаемой рас-
расходимости многомодового лазера. Если размер w0 не известен,
а расходимость 8d измерена, то из G.54) можно получить оцен-
оценку Wo. Заметим, что в соответствии с выражением G.54) расхо-
расходимость пучка многомодового лазера увеличивается с увеличе-
увеличением апертуры а резонатора и уменьшением размера пятна до0
моды ТЕМоо.
7.6. Направленность
465
От данной некогерентной лампы S можно получить простран-
пространственно-когерентную волну, а именно существенно снизить ее
расходимость, если использовать устройство, изображенное на
рис. 7.9. Свет от лампы S фокусируется на небольшой диафраг-
диафрагме диаметром d, расположенной в фокальной плоскости линзы
V. Свет, прошедший через эту диафрагму, будет заполнять боль-
большой конус углов (сплошные линии на рис. 7.9), соответствую-
соответствующий фокусирующему конусу линзы L. Однако пучок, образую-
образующийся в результате дифракции на этой диафрагме, имеет зна-
значительно меньшую расходимость 8 = \,22l/d и будет таким
образом занимать область, которая на рис. 7.9 заштрихована.
Выходной
пучок
Рис, 7,9. Метод получения когерентного пучка от некогерентного источника
(лампы).
Если теперь апертура D собирающей линзы V удовлетворяет
условию D = 28/= 2,44X//d, где / — фокусное расстояние линзы,
то линза будет собирать только свет, дифрагированный на диа-
диафрагме и формировать при этом когерентный пучок на выходе.
Однако это доказательство является довольно упрощенным, по-
поскольку оно использует соотношение G.43), которое справед-
справедливо лишь в случае, когда диафрагма освещается светом, кото-
который уже является когерентным. Более строгое решение этой за-
задачи требует изучения распространения частично-когерентных
электромагнитных волн [3, с. 508—518]. Предположим для про-
простоты (а также потому, что это нередко встречающийся на прак-
практике случай), что падающая на диафрагму волна не имеет про-
пространственной когерентности. В этом случае из хорошо извест-
известной теоремы ван Циттерта — Цернике [3, с. 508—518] следует,
что если пучок, выходящий из линзы U (см. рис. 7.9), должен
иметь некоторое вполне определенное значение пространствен-
пространственной когерентности, то диаметр D линзы должен быть равен
D = fi%f/d, где р — числовой коэффициент, который зависит от
заданной нами степени когерентности. Например, если мы по-
потребуем, чтобы степень пространственной когерентности между
двумя крайними точками Pi и Л> на краях линзы имела значение
466 7. Свойства лазерных пучков
\у (Pi, Л>, 0) | = 0,88, то мы получим р = 0,32. Это приводит
к выражению
D = 0,32Xf/d, G.55)
которое имеет такой же вид, как и выражение, полученное из
первоначального упрощенного рассмотрения, но с другим (и
фактически со значительно меньшим) числовым коэффици-
коэффициентом.
7.7. Лазерная спекл-картина [6, 7]
После того как мы рассмотрели в предыдущих разделах ко-
когерентность первого порядка, упомянем теперь об удивитель-
удивительном явлении, характерном для лазерного излучения и называе-
называемом спекл-картиной. Спекл-картину можно увидеть, если на-
наблюдать лазерный свет, рассеянный от стены или рассеиваю-
рассеивающего транспаранта. Наблюдаемый рассеянный свет состоит из
хаотического скопления ярких и темных пятен (или спеклов)
(рис. 7.10, а). Несмотря на хаотическое распределение пятен
можно различить пятно (или зерно) средних размеров. Из пер-
первых же работ стало ясно, что это явление обусловлено интерфе-
интерференцией вторичных волн с усилением и ослаблением, распро-
распространяющихся от небольших рассеивающих центров, располо-
расположенных на поверхности стены или рассеивающего транспаранта.
Поскольку рассматриваемое явление наблюдается только тогда,
когда излучение имеет высокую степень когерентности первого
порядка, оно представляет собой неотъемлемое свойство лазер-
лазерного излучения.
Физическую природу наблюдаемой зернистости нетрудно по-
понять как при распространении света в свободном пространстве
(рис. 7.10,6), так и при распространении его через систему фор-
формирования изображения (рис. 7.10, в), если рассмотреть случай,
когда рабочие поверхности рассеивателей имеют очень большую
шероховатость в масштабе оптических длин волн. При распро-
распространении в свободном пространстве результирующая оптиче-
оптическая волна в любой точке, находящейся на не слишком большом
расстоянии от рассеивающей поверхности, состоит из многих ко-
когерентных компонент или элементарных волн, каждая из кото-
которых испускается со своего микроскопического элемента поверх-
поверхности. Обратившись к рис. 7.10,6, заметим, что расстояния,
пройденные этими различными волнами, могут отличаться на
много длин волн. Интерференция сдвинутых по фазе, но коге-
когерентных элементарных волн приводит к «зернистому» распреде-
распределению интенсивности (или спекл-картине, как ее называют).
Если оптическое устройство представляет собой систему форми-
формирования изображения (рис. 7.10,в), то при объяснении наблю-
7.7. Лазерная спекл-картина
467
¦Йй
Точна
наблюдения
даемой картины необходимо учитывать как дифракцию, так и
интерференцию. Даже в случае идеально скорректированной си-
системы формирования изображения интенсивность света в дан-
данной точке изображения может быть результатом когерентного
сложения вкладов световых
волн, испущенных из многих
независимых участков по-
поверхности. Необходимо толь-
только для гарантии суммирова-
суммирования в каждой точке изобра-
изображений многочисленных сдви-
сдвинутых по фазе когерентных
вкладов, чтобы функция раз-
разрешения системы формиро-
формирования изображения была
широкой по сравнению с
микроскопическими дефек-
дефектами поверхности.
Нетрудно получить оцен-
оценку по порядку величины раз-
размера зерна dg (т. е. средний
размер пятен в спекл-карти-
не) для двух рассмотренных
выше схем. В первом случае
(рис. 7.11, а) рассеянный
свет регистрируется на фо-
фотопленке, расположенной на
расстоянии L от рассеивате-
ля, причем между фотоплен-
фотопленкой и рассеивателем ника-
никаких линз нет. Предположим,
что в плоскости регистрации
В некоторой точке Р суще- Рис. 7.10. Спекл-картина (а) и ее фи-
ствует светлый спекл Это зическая интерпретация при распростра-
пчнячярт что prpt лиАпяги- нении света в св°б°ДП0М пространстве
означает, что свет, дифраги ^ и через систему? формирующую
рованныи на рассеивателе изображение (в),
(например, в точках Pi, Рг
и 0), будет интерферировать в точке Р преимущественно с
усилением, давая в результате ненулевое значение амплитуды
поля. Подходя эвристически, при этом можно утверждать, что
вклады от дифракции в точке Р от волн, рассеянных в точках
Р,, Р\, Р'[ и т. д., складываются (в среднем) в фазе с волнами,
рассеянными в точках Р2, Р'2, Р2 и т. д. Теперь можно спросить,
сколь далеко необходимо переместить точку Р вдоль оси х в
Функции
/рассеяния
468
7. Свойства лазерных пучков
Плоскость
регистрации
плоскости регистрации, чтобы расстроить наблюдаемую интер-
интерференцию с усилением. Это произойдет, когда вклады от волн,
дифрагированных, например, от точек Pi и Р2 в новую точку Р',
интерферируют с ослаблением, а не с усилением. В этом случае
можем показать, что вклады от точек Р\, Р2 будут также интер-
интерферировать с ослаблением, как и в случае точек Р2, Р" и т. д.,
и полная интенсивность света будет иметь минимальное значе-
значение. Например, выберем точки Pi и
Р2 и потребуем, чтобы изменение Ьх
координаты х точки Р было та-
таким, что соответствующее изменение
S(P2P — Р\Р) разности длин Р2Р —
— Р\Р было равно Х/2. Поскольку
расстояние Р2Р = {х2 -\- L2I/2 и рас-
расстояние Р,Р={[ф/2) — х]2+Ь2}*'2,
то (для D <С L) получаем 6(Р2Р—
— P,P)«(D/2L)Sjc. Если потребо-
потребовать, чтобы S(P2P — Р{Р) = к/2, то
находим
6x = XL/D. G.56)
Аналогичным образом нетрудно по-
показать, что точно такой же резуль-
результат получается, если рассмотреть
точки Р\ и Р2 (или точки р" и Р'2'
и т. д.), а не точки Р{ и Р2. Снова
все соответствующие вклады от
волн (в среднем) будут складывать-
складываться с ослаблением, а не с усилением. Таким образом, для раз-
размера зерна dg можно написать следующее приближенное выра-
выражение:
Рис. 7.11. К расчету размера
зерна при распространении
света в свободном простран-
пространстве (а) и через систему, фор-
формирующую изображение (б).
*,=
= 2KL/D.
G.57)
Следует заметить, что аналогичный подход можно использовать
при расчете диаметра пятна пучка в фокальной плоскости линз.
Рассмотрим случай, когда рассеиватель на рис. 7.11, а помещен
перед линзой с фокусным расстоянием f = L. Тогда максимум
интенсивности будет в точке с координатой х = 0 (т. е. в центре
плоскости регистрации), поскольку линза даст сферический вол-
волновой фронт и вклады от волн, дифрагированных в точках Pi,
Р\, Р" и т. д., складываются в фазе с волнами, исходящими
из точек Р2, Р'2, Р2 и т. д. Размер пятна в фокальной плоско-
плоскости снова приближенно дается выражением G.57), и для рас-
рассматриваемого случая мы имеем dg = 2Xf/D. Этот результат
7.7. Лазерная спекл-картина 469
сравним с точным значением d = 2,44Xf/D, полученным с по-
помощью рис. 7.6. Следовательно, можно теперь понять следую-
следующее общее свойство дифрагированной волны: если вся апертура
диаметром D дает когерентный вклад при формировании одного
или многих пятен дифрагированным светом в плоскости реги-
регистрации на расстоянии L, то в любом случае минимальный раз-
размер пятна в этой плоскости приближенно равен 2XL/D '>. Заме-
Заметим, что в случае рассеивателя этот когерентный вклад от всей
апертуры D имеет место при условии, что 1) диаметр ds отдель-
отдельного рассеивающего центра гораздо меньше диаметра отверстия
D и 2) в плоскости регистрации имеется существенное перекры-
перекрытие между дифрагированными пучками от различных рассеиваю-
рассеивающих центров. Это означает, что сечение любого из этих пучков
в плоскости регистрации (~ %L/ds) больше, чем среднее рас-
расстояние между ними (~Ь). Следовательно, длина L должна
быть такой, чтобы выполнялось неравенство L > dsD/X. Напри-
Например, если ds = 10 мкм и X = 0,5 мкм, то L > 20 D.
Второй случай, который мы рассмотрим, характеризуется
тем, что рассеянный свет регистрируется на фотопленке после
того, как он прошел через линзу, которая отображает рассеива-
тель на фотопленку. Перед линзой помещена диафрагма диа-
диаметром D' (рис. 7.11,6). Если расстояние L снова является та-
таким, что выполняется неравенство L > dsD/X, то диаметр зерна
dg на линзе будет определяться выражением G.57). Как и в пре-
предыдущем случае, будем считать, что 1) диаметр зерна de много
меньше диаметра отверстия D' и 2) в плоскости регистрации
имеется существенное перекрытие пучков, дифрагированных от
различных зерен. Это означает, что сечение любого из данных
пучков в плоскости регистрации (KL'/dg) больше, чем среднее
расстояние между ними (D'). В соответствии с G.57) это, оче-
очевидно, означает, что D' < D(L'/L). Если оба этих предположе-
предположения выполняются, то диаметр зерна dg в плоскости регистрации
дается выражением
d'g = 2XL'/D'. G.58)
В этом случае мы имеем целый пучок диаметром ?)', который
действует когерентно при формировании каждого отдельного
пятна дифрагированным светом. Заметим, что устройство на
рис. 7.11,6 также соответствует случаю, когда глаз смотрит
непосредственно на рассеивающую поверхность. В этом случае
11 Поскольку L ^ D, то распределение поля в плоскости регистрации
определяется пространственным фурье-преобразованием распределения во
входной плоскости [8]. Это свойство следует из общего характера фурье-пре-
образовання.
470 7. Свойства лазерных пучков
линзой служит хрусталик, а плоскостью регистрации — сетчатка
глаза. Соответственно величина d'g, определяемая выражением
G.58), представляет собой диаметр зерна на сетчатке глаза.
Заметим, что видимый диаметр зерна на рассеивающей поверх-
поверхности dag = d'g(L/L') = 2XL/D'. Он возрастает с увеличением
расстояния L, т. е. с увеличением расстояния между наблюдате-
наблюдателем и рассеивающей поверхностью. В то же время он умень-
уменьшается с увеличением диаметра диафрагмы (например, когда
глаз адаптирован в темноте). Оба этих результата действитель-
действительно подтверждаются в экспериментах.
Спекл-шум часто является нежелательным свойством коге-
когерентного света. Пространственное разрешение объектов, осве-
освещенных лазерным светом, во многих случаях ограничивается
спекл-шумом. Спекл-шум возникает также в реконструирован-
реконструированном изображении голограммы и ограничивает пространственное
разрешение этого изображения. Поэтому были разработаны ме-
методы, которые уменьшают влияние спекл-картины при когерент-
когерентном освещении объектов [7]. Однако спекл-шум не всегда яв-
является вредным эффектом. Действительно, разработаны методы,
в которых используются свойства спекл-картины (спекл-интер-
ферометрия), чтобы определять довольно простым способом де-
деформации крупных объектов, вызываемые, например, напряже-
напряжениями или вибрациями [7].
7.8. Яркость
В гл. 1 [см. рис. 1.7 и выражение A.13)] мы уже определяли
яркость В в данной точке источника света для данного направ-
направления излучения. Следует заметить, что наиболее существенным
параметром лазерного пучка (и, вообще говоря, любого источ-
источника света) является не мощность и не интенсивность, а яр-
яркость. Действительно, сравним, например, два лазера 1 и 2,
имеющие одинаковые диаметры выходных пучков и мощности
излучения, но в одном угол расходимости выходного пучка ра-
равен 8i, а в другом — 02, причем 82 > 8ь В соответствии с утвер-
утверждением, сделанным по поводу рис. 7.5, б, можно видеть, что
пучок лазера 1 дает более высокую интенсивность в фокусе лин-
линзы. Поскольку телесный угол излучения Q пропорционален ква-
квадрату угла расходимости, пучок лазера 1 имеет большую яр-
яркость, чем пучок лазера 2. Следовательно, интенсивность, кото-
которую можно получить в фокусе линзы, пропорциональна яркости
пучка. Поскольку в большинстве практических применений ин-
интерес представляет интенсивность пучка, которую можно полу-
7.8. Яркость
471
чить при фокусировании с помощью линзы, яркость является
важным параметром. Это подтверждается тем фактом, что, хотя
интенсивность пучка можно увеличить, его яркость при этом ос-
остается без изменения. На рис. 7.12 приведена простая схема
с конфокальными линзами, которая позволяет уменьшить диа-
диаметр пучка, если f2 < f\. При этом интенсивность выходного
пучка будет больше интенсивности входного. Однако расходи-
расходимость выходного пучка (~ X/D2) будет также больше, чем рас-
расходимость входного пучка (~ X/D\), и, следовательно, яркость
останется неизменной. Это свойство, продемонстрированное
здесь на конкретном приме- 1)/b-fft
ре, справедливо и в общем ____ Л г ' г '
случае (даже для некоге-
некогерентных источников излуче- Bi??^ ^"S^T I А ВшоЛюй
ния). А именно для данного mjm /%J3_5w
источника света и оптиче-
ской системы, формирующей
изображение, изображение
не может быть ярче исход- Рис- 712. Метод увеличения интенсив-
интенсивного источника излучения ности плоской волны.
[3, с. 189, 190] (это справед-
справедливо при условии, что источник и изображение находятся в среде
с одним и тем же показателем преломления).
Яркость лазерного излучения на несколько порядков вели-
величины больше, чем яркость наиболее мощных некогерентных ис-
источников. Это обусловлено чрезвычайно высокой направлен-
направленностью лазерного пучка. Сравним, например, одномодовый
Не—Ne-лазер, длина волны излучения которого Х=0,63 мкм,
а выходная мощность равна 1 мВт, с наиболее ярким источни-
источником света. Таким источником может быть ртутная лампа с вы-
высоким давлением паров ртути (лампа фирмы РЕК Labs типа
107/109), имеющая выходную мощность —^ 100 Вт и яркость
В ~ 95 Вт/(см2-ср) для наиболее интенсивной излучаемой ею
зеленой линии (X = 546 нм, АХ = 10 нм). Чтобы получить ди-
дифракционно-ограниченный пучок света, можно воспользоваться
схемой, показанной на рис. 7.9. Телесный угол света, излучае-
излучаемого точечным отверстием и собираемого линзой Z/, равен Q =
= nD2/4f2, а площадь излучающей поверхности А = псР/4. По-
Поскольку яркость изображения лампы в плоскости диафрагмы не
может быть больше яркости самой лампы, выходная мощность
пучка равна по крайней мере
р = BQA ~ (я,/4J В « 1,7 • 10~8 Вт; G.59)
при вычислениях здесь мы использовали выражение G.55). Вы-
Выходная мощность лампы оказывается приблизительно на пять
472 7. Свойства лааерных пучков
порядков величины меньше мощности излучения Не—Ne-лазера.
Из G.59) можно также видеть, что мощность дифракционно-ог-
дифракционно-ограниченного пучка, излучаемого лампой, зависит лишь от ее яр-
яркости. Это служит еще одним доказательством того, насколько
важным является понятие яркости.
7.9. Сравнение лазерного и теплового излучений
Используя устройство, показанное на рис. 7.9, можно до-
добиться того, чтобы два пучка (от лазера и от ртутной лампы)
имели одну и ту же степень пространственной когерентности.
Чтобы получить ту же самую степень временной когерентности,
в устройство на рис. 7.9 необходимо ввести фильтр, который
пропускал бы только в очень узкой полосе частот, совпадающей
с полосой частот генерации AvreH He—Ne-лазера. Будем считать,
что ширина полосы генерации лазера AvreH » 1 кГц. Поскольку
ширина линии излучения рассматриваемой ртутной лампы Av=
= 1013 Гц, благодаря фильтрации выходная мощность умень-
уменьшается еще более чем на десять порядков величины (теперь
Р« 1(Н8 Вт). Напомним, что первоначальная мощность лампы
равнялась 100 Вт! Это также показывает, насколько более
сложно получить явление интерференции света (для осущест-
осуществления которой требуются источники света высокой когерент-
когерентности), применяя некогерентные источники света.
Этот выходной пучок от ртутной лампы теперь имеет такую
же пространственную и временную когерентность, что и Не—Ne-
лазер. Поэтому естественно спросить, обладает ли этот свет
точно такими же характеристиками когерентности, как и лазер-
лазерный пучок. Ответ на такой вопрос является отрицательным. Не-
Несмотря на предпринятые меры, которые столь отрицательно ска-
сказались на выходной мощности, лазерное излучение все же более
когерентное, чем «отфильтрованный» свет лампы. Это различие
обусловлено, как показано в разд. 7.4, разными статистическими
свойствами двух источников света. В разд. 7.4 мы действительно
показали, что флуктуации пучка непрерывного лазера по суще-
существу состоят из случайных колебаний его фазы в пределах угла
2я (рис. 7.1,а), в то время как флуктуации теплового излучения
обусловлены случайными движениями в окрестности начала ко-
координат точки, представляющей величину E{t) в плоскости ?(г),
EW. Если теперь два пучка приготовлены таким образом, что
они имеют одинаковую временную когерентность, то скорость
движения этой характерной точки для обоих случаев на
рис. 7.1, а, б будет той же самой. Если затем сделать так, что
оба пучка будут иметь одинаковую пространственную коге-
когерентность, то указанная скорость движения будет той же самой
7.10. Когерентность более высокого порядка 473
в любой точке волнового фронта. Предположим, что интенсивно-
интенсивности обоих пучков одинаковы. Это можно в принципе осущест-
осуществить либо ослаблением лазерного пучка линейным аттенюато-
аттенюатором, либо усилением пучка теплового излучения с помощью ли-
линейного усилителя (с коэффициентом усиления 1015 в примере,
рассмотренном в предыдущем разделе!). Это означало бы про-
просто, что в выражении G.9) величина Ео такова, что ?о равно
средней интенсивности </> излучения теплового источника. Не-
Несмотря на это статистические свойства лазерного излучения и
излучения теплового источника остаются различными, поскольку
линейное ослабление или усиление пучка не меняет статистиче-
статистических свойств источников.
7.10. Когерентность более высокого порядка [4]°
Дополнительный способ описания различия между излуче-
излучениями лазера и теплового источника состоит в том, что для со-
соответствующих полей вводятся должным образом определенные
функции когерентности высшего порядка. Действительно, в
разд. 7.5 когерентные свойства волны были определены с по-
помощью корреляционной функции ГA). Поскольку эта функция
включает в себя произведение сигналов, полученных в два раз-
разных момента времени или в двух различных точках простран-
пространства, она называется корреляционной функцией первого поряд-
порядка. Соответственно степень когерентности, определяемая с по-
помощью этих функций, описывает статистические свойства волны
только первого порядка. В действительности, чтобы получить
полное описание поля, необходимо ввести целый класс корре-
корреляционных функций высшего порядка. Для краткости обозна-
обозначим пространственные и временные координаты точки через
х-, = (г*, tt). При этом корреляционную функцию л-го порядка
можно определить следующим образом:
П«)(х„ х2 x2n)=(V(Xl) ¦¦¦V(xn)V(xn + l)---V(x2n)). G.60)
Это выражение содержит произведение 2л членов, каждый из
которых представляет собой функцию V, вычисленную в одной
из 2л пространственно-временных точек Xi, Х2, ¦ ¦ ¦, х2п- Соответ-
Соответствующая нормированная величина дается выражением
*,) V
11 Автор выражает благодарность проф. В. Леджорджно за полезное
обсуждение материала этого раздела.
474 7. Свойства лазерных пучков
где П обозначает произведение. Очевидно, при п = 1 эти выра-
выражения сводятся к выражениям G.16а) и G.17). Заметим, что
в эксперименте, описанном в предыдущем разделе, пучки излу-
излучения от Не—Ne-лазера и ртутной лампы были приготовлены
таким образом, что они имели одну и ту же степень пространст-
пространственной и временной когерентности, т. е. ту же самую корреля-
корреляционную функцию ГA) первого порядка. Однако, поскольку ста-
статистические свойства обоих сигналов полностью различны, мо-
можно предположить, что корреляционные функции Г(п) высшего
порядка будут отличаться в каждом из двух случаев и мож-
можно будет сделать различие между когерентной и некогерентной
волнами. Сначала с помощью корреляционных функций выс-
высшего порядка необходимо уяснить, что мы подразумеваем под
полностью когерентным светом. Начнем с замечания о том, что
если волна является полностью когерентной в первом порядке
[т. е. если |yA)(*i, х2) | = 1], то
*{х2), G.62)
т. е. величину ГA) можно записать в виде произведения анали-
аналитического сигнала в точке х\ на аналитический сигнал в точке
х2. Действительно, если полностью отсутствуют флуктуации по-
поля, то средние по ансамблю, например в выражениях G.11) или
G.16а), будут представлять собой просто произведения соот-
соответствующих сигналов. По аналогии полностью когерентную
электромагнитную волну определяют как волну, для которой
величина Г(п) факторизуется при любом п. Таким образом,
П")(дс1? х2 x2n) = f[V(xr) ft V(xk). G.63)
г-l ft-n+1
В самом деле, когда полностью отсутствуют флуктуации поля,
среднее по ансамблю выражения G.60) будет представлять со-
собой произведение аналитических сигналов. В этом случае из
G.61) найдем, что
IV(n)(*i, x2, ..., *2„)|=1 G.64)
для любого порядка п. В частном случае, когда Х\ = х2 =...
... = х<ш =х, из выражения G.63) следует, что
Г<"> (х, х, ..., х) = | V (х) |2" = Г (х) = [ГО (х, х)]п, G.65)
поскольку в этом случае f(x) = \V(x)\2 = Til)(x, x).
С хорошим приближением можно считать, что сигнал от не-
непрерывного лазера, генерирующего на одной моде, имеет лишь
флуктуации фазы. Однако для частотно-стабилизированного ла-
лазера скорость изменения фазы мала. Например, в лазере, гене-
7.10. Когерентность более высокого порядка 475
рирующем излучение с шириной полосы AvreH = 1 кГц, измене-
изменение фазы будет появляться приблизительно за время тКОгер =
= l/AvreH=l мс (так что \d<f>/<f> dt\ ж AvreH). Следовательно,
на временном интервале, много меньшем чем тКОгер, или на
расстояниях между эквифазными поверхностями 2л пространст-
пространственно-временных точек, которые много меньше, чем стКОгер =
= 300 км, флуктуациями фазы можно пренебречь. В этом слу-
случае пучок не имеет флуктуации и может рассматриваться как
когерентный во всех порядках. Заметим, что в соответствии
с материалом, изложенным в разд. 7.5.4, поле нестационарного
лазерного пучка (например, лазера с синхронизацией мод или
одномодового лазера с модулированной добротностью) можно
также сделать когерентным во всех порядках, если устранить
флуктуации. Следовательно, в обоих случаях, когда Х\ =
= х2 = ... = х, применимо выражение G.65).
Тепловой же источник света обладает совершенно другими
статистическими свойствами, и можно показать, что корреля-
корреляционные функции высших порядков, описывающие его поведе-
поведение, должны отличаться от функций, соответствующих когерент-
когерентному источнику света. Рассмотрим, в частности, случай, когда
Х\ = х2 = . . . = х2п = х. При этом функцию Tin){x, х, ..., х) мо-
можно найти из следующего выражения:
Г("> = J Е2пр (?) dE2/ J p (E) dE\ G.66)
где Е = Е(х)—амплитуда поля в точке с координатой х [см.
выражение G.8)] и р(Е)—плотность вероятности, определен-
определенная в разд. 7.4. Если теперь выражение G.10) для р(Е) исполь-
использовать в выражении G.66), то получим
r»»)(jc, х, ..., x) = n\(I)n = n\[YM(x, x))n, G.67)
поскольку в этом случае </>=<V(;t), V(x))=Y(x, х). Сравне-
Сравнение выражений G.67) и G.65) показывает, что при том же са-
самом значении функции Г(|)(л:, х), т. е. при том же значении
(средней) интенсивности функция корреляции л-го порядка для
теплового источника света в л! раз больше, чем для когерент-
когерентного источника. Подставляя выражение G.67) в G.61), имеем
7<"> = л! G.68)
Сравнение выражений G.68) и G.64) показывает, что тепло-
тепловой источник света может удовлетворить условию когерентности
лишь при л= 1, т. е. только в первом порядке. Отсюда следует,
что тепловой источник может обеспечить в лучшем случае пол-
полную (первого порядка) пространственную и временную коге-
когерентности, так, как показано в предыдущем разделе.
476 7. Свойства лазерных пучков
Задачи
7.1. Покажите, что в случае квазимонохроматической электромагнитной вол-
волны соотношение G.7) между интенсивностью /(г, /) и величиной У(Л) запи-
записывается в виде 2/ = <V(rJ>, где усреднение проводится по нескольким
оптическим периодам. [Указание: воспользуйтесь соотношением G.5)].
7.2. Вычислите ГA)(Г), п, т) для синусоидальной волны.
7.3. Вычислите Г'^О1!» П. т) для синусоидальной волны, которая испытывает
скачки фазы, как показано на рис. 2.5, с вероятностью рх, определяемой
выражением B.52). Постройте соответствующую зависимость степени коге-
когерентности YA)(fi> fi> т) от т и сравните полученную кривую с приведенной
на рис. 7.2.
7.4. Получите выражение G.18).
7.5. Выведите выражение G.22).
7.6. Для интерферометра Майкельсона найдите аналитическое соотношение
между интенсивностью 1С и величиной 2(Lz — Z-з) для электромагнитной
волны, рассмотренной в задаче 7.3. Вычислите соответствующую видность
полос У„(т).
7.7. Лазер, работающий на длине волны 10,6 мкм, дает излучение с гауссо-
гауссовой формой линии шириной 10 кГц [Д\>ген определяется с помощью соотно-
соотношения G.35)]. Воспользовавшись рис. 7.4,6, вычислите расстояние AZ. между
двумя последовательными максимумами па кривой интенсивности и длину
когерентности Lc.
7.8. Линзой фокусируется пучок с плоским волновым фронтом электромаг-
электромагнитного излучения, круговым поперечным сечением и однородным распреде-
распределением интенсивности. Во сколько раз увеличится интенсивность в фокусе
линзы по сравнению с интенсивностью падающей волны?
7.9. Пучок, излучаемый Nd : YAG-лазером, имеет диаметр D « 6 мм, равно-
равномерное распределение интенсивности в поперечном сечении и угол расходи-
расходимости Qd я* 3 мрад. Покажите, что этот пучок не является дифракционно-
ограниченным, и оцените размер пятна Шо для моды ТЕМоо резона-
резонатора.
7.10. Насколько необходимо уменьшить апертуру активного элемента в пре-
предыдущей задаче, чтобы снизить вдвое расходимость пучка?
7.11. Каким образом можно измерить расходимость лазерного пучка, описан-
описанного в задаче 7.9?
7.12. Предположим, что лазерный пучок, описанный в задаче 7.9, проходит
через аттенюатор, коэффициент пропускания (по мощности) Т которого из-
изменяется с радиусом г по закону Т = ехр[—(г/Ш)J1. причем Wi = 0,5 мм.
Таким образом, пучок, прошедший через аттенюатор, имеет приблизительно
гауссовым профиль интенсивности. Означает лн это, что теперь пучок яв-
является гауссовым с размером пятна (по интенсивности) Wi?
7.13. Лазерный пучок, описанный в задаче 7.9, проходит через телескоп,
как показано на рис. 7.12. Вычислите диаметр точечной диафрагмы, которую
необходимо поместить в общий фокус телескопа Fi = Fz, чтобы получить
дифракционно-ограниченный выходной пучок. Заметим, что, поскольку пучок
уже обладает достаточно хорошей пространственной когерентностью, следует
воспользоваться выражением для когерентного, а не для некогерентного
пучка [т.е. выражением G.55)].
Литература 477
7.14. Покажите, что выражение G.62) справедливо для идеально синусои-
синусоидальной волны.
7.15. Покажите, что выражение G.63) справедливо для идеально синусои-
синусоидальных волн.
7.16. Рассмотрим лазерный пучок, который генерируется лазером в режиме
/ поперечных мод. Напишите соответствующие аналитические сигналы в
двух точках Г) и Тг, как в G.40). Предполагая, что частоты генерируемых
мод различны, покажите, что
(V(r,, /). V(r2. 0>-Ze/e^/(')^(').
/-1
где суммирование осуществляется по всем / генерируемым модам. Пока-
Покажите, затем, что
[%
1/2 Г / -11/2 *
Если определить два /-мерных вектора Ri и R2 с компонентами соответ-
соответственно [ajt/^ri), ..., aiUi{Ti)] и ]aiUi(Tz), ..., а,?/,(г2)], то покажите, что
величину yA) можно записать в виде yA) = Ri-RilRiRi, где Ri и R2 — мо-
модули векторов Ri и R2. Покажите, что в соответствии с этим выражением,
поскольку R2 Ф Rj, всегда справедливо неравенство |vA)| < 1> т.е. пучок
обладает лишь частичной пространственной когерентностью.
Литература
1. Chebotalev V. P. —In: Laser Handbook (eds. Bass M., Stitch M. L.),
North-Holland, Amsterdam, 1985, v. 5, pp. 289—404.
2. Gabor D., J., Inst. Elec. Eng., 93, 429 A946).
3. Born M., Wolf ?., Principle of Optics, 6th edn., Pergamon, Oxford, 1980,
pp. 491—544. [Имеется перевод: Борн М., Вольф Э. Основы оптики.—
М.: Наука, 1970.]
4. Glauber R. J. — In: Quantum Optics and Electronics (eds. C. De Wiit,
A. Blandin, C. Cohen-Tannoudji), Gordon and Breach, New York, 1965,
pp. 71, 94—98, 103, 151—155.
5. Louisell W. //., Radiation and Noise in Quantum Electronics, McGraw-Hill
Book Co., New York, 1964, pp. 47—53.
6. Laser Speckle and Related Phenomena (ed. J. С Dainty), Springer-Verlag
Berlin, 1975.
7. Frarvion M., Laser Speckle and Applications in Optics, Academic Press,
New York, 1979.
8. Goodman J. M., Introduction to Fourier Optics, McGraw-Hill Book Co.,
New York, 1968, ch. 5. [Имеется перевод: Гудмен Дж. Введение в фурье-
оптику.—М.: Мир, 1970, гл. 5.],
8
Преобразование лазерного пучка:
распространение, усиление,
преобразование частоты,
сжатие импульса
8.1. Введение
Прежде чем использовать лазерный пучок для каких-либо це-
целей, его, как правило, подвергают некоторому преобразованию.
Наиболее общепринятым является такое преобразование пучка,
когда его заставляют распространяться в свободном простран-
пространстве или пропускают через соответствующую оптическую систе-
систему. Поскольку при этом происходит изменение пространствен-
пространственного распределения пучка (например, пучок может быть сфоку-
сфокусирован или расширен), в дальнейшем будем называть такое
преобразование пространственным. Второй способ преобразова-
преобразования, с которым также довольно часто приходится сталкиваться,
имеет место, когда пучок пропускают через усилитель или через
цепочку усилителей. При этом изменяется главным образом ам-
амплитуда пучка и поэтому такое преобразование будем называть
амплитудным. Существует еще третий, менее тривиальный спо-
способ, когда изменяется длина волны пучка вследствие прохожде-
прохождения его через соответствующую нелинейную оптическую среду
{преобразование длины волны или частоты). Наконец, с по-
помощью подходящего оптического элемента можно изменять вре-
временные характеристики лазерного пучка. Например, с помощью
электрооптического или акустооптического модулятора можно
модулировать во времени амплитуду непрерывного лазерного
пучка или с помощью систем сжатия, использующих нелиней-
нелинейные оптические элементы, можно значительно сократить дли-
длительность лазерного импульса. Этот четвертый и последний слу-
случай назовем временным преобразованием. Следует заметить, что
во многих случаях все эти четыре типа преобразования оказы-
оказываются взаимосвязанными. Например, амплитудное преобразо-
преобразование и преобразование длины волны нередко приводят к од-
одновременным пространственным и временным преобразованиям.
В настоящей главе мы кратко рассмотрим четыре указанных
выше преобразования лазерного пучка. В случае частотного пре-
преобразования из различных нелинейных оптических явлений, ко-
которые можно использовать [1] для достижения такого преобра-
преобразования, мы рассмотрим здесь лишь параметрические эффекты.
Фактически именно они лежат в основе некоторых наиболее эф-
8.2. Преобразование в пространстве 479
фективных методов, используемых при разработке новых источ-
источников когерентного света. Временное преобразование мы рас-
рассмотрим лишь в связи со сжатием оптического импульса, а с
амплитудной модуляцией читатель может познакомиться в соот-
соответствующей литературе [2]. Мы также исключаем из рассмо-
рассмотрения некоторые амплитудные и временные преобразования,
являющиеся следствием нелинейных эффектов самофокусировки
и фазовой самомодуляции [3], хотя, как следует заметить, они
могут играть важную роль в ограничении, например, характери-
характеристик лазерных усилителей.
8.2. Преобразование в пространстве;
распространение гауссова пучка
В этом разделе мы ограничимся рассмотрением распростра-
распространения гауссова пучка низшего порядка (мода ТЕМоо). Такие
важные вопросы, как задача о распространении когерентного
пучка с негауссовым поперечным
распределением [для которого мож-
можно по-прежнему использовать инте-
интеграл Кирхгофа или уравнение
(8.10)] и частично когерентного пуч-
пучка [4], в данном разделе не затра-
затрагиваются.
Выше уже мы обсуждали (разд.
4.6) случай распространения гаус- йидаУ
сова пучка моды ТЕМоо в свободном _ о , „
гг * Рис- 8.1. Распространение га-
пространстве. Для удобства запи- уссова пучка,
шем снова выражения для размера
лазерного пятна w и радиуса кривизны R поверхностей равных
фаз:
ш2 = ш-Ц1 + (>г/яш2J], (8.1а)
(8.16)
где w0— размер пятна в перетяжке пучка, a z — координата,
измеряемая вдоль направления распространения пучка от пере-
перетяжки 1>. На рис. 8.1 показано, каким образом изменяются раз-
размер лазерного пятна и поверхности равных фаз с расстоянием
z. Подчеркнем еще раз, что характер распространения такого
пучка зависит только от длины волны и размера пятна шо в пе-
перетяжке пучка. Вспомним также, что это можно объяснить тем,
" Напомним, что радиус кривизны R(z) принято считать положитель-
положительным, если центр кривизны находится слева от волнового фронта.
480
8. Преобразование лазерного пучка
что, если известно значение w0, то в перетяжке известны как ам-
амплитуда, так и фаза волны (волновой фронт в перетяжке пло-
плоский). Поскольку при этом распределение поля на всей плоско-
плоскости z = 0 оказывается известным, мы можем применить теорию
дифракции [например, интеграл Кирхгофа D.73)] и вычислить
амплитуду поля в любой данной точке пространства. Здесь мы
не будем проводить такого рода вычисления и ограничимся
лишь замечанием по поводу вы-
выражения (8.1а), которое выра-
выражает тот факт, что квадрат раз-
размера пятна пучка на расстоянии z
от перетяжки равен сумме квад-
квадратов размера пятна ш§ в пере-
перетяжке и величины [(X/nwo)z]2,
которая определяется дифрак-
дифракцией. В конце данного раздела
в качестве упражнения мы полу-
получим выражения (8.1) непосред-
непосредственно из уравнений Максвел-
Максвелла без использования интеграла
Кирхгофа.
Рассмотрим теперь особенно-
особенности распространения гауссова
пучка ТЕМоо-моды через систему
линз. На рис. 8.2 показано пове-
поведение пучка после его прохожде-
прохождения через линзу с фокусным расстоянием f. Сперва заметим, что
непосредственно перед линзой размер пятна w\ и радиус кри-
кривизны R\ волнового фронта пучка в соответствии с (8.1) можно
записать в виде
(8.2а)
]. (8.26)
Следует также заметить, что амплитудное распределение пучка
при его прохождении через тонкую линзу должно оставаться
неизменным, т. е. не должно быть скачкообразного изменения
размера пятна. Таким образом, можно написать следующее ра-
равенство:
w2 = wu (8.3а)
где ад2 — размер пятна пучка после линзы. Для вычисления кри-
кривизны волнового фронта рассмотрим случай, когда через ту же
линзу распространяется сферическая волна (рис. 8.2,6). Сфери-
Сферическая волна, испускаемая точечным источником Р\, фокуси-
Рис. 8.2. а — распространение га-
гауссова пучка через линзу; б —
распространение сферической вол-
волны через линзу.
8.2. Преобразование в пространстве 481
руется линзой в точку изображения Р2. Из геометрической оп-
оптики следует хорошо известное соотношение 1/р+1/<7 = 1Д-
Поскольку радиусы Ri и R2 двух сферических волновых фрон-
фронтов непосредственно перед линзой и после нее равны р и —q со-
соответственно '>, можно также записать
i/Ri-i/R2=l/f. (8.36)
Таким образом, в соответствии с этой формулой сферическая
линза преобразует радиус кривизны R\ падающей волны в ра-
радиус кривизны R2 выходящей волны. Аналогичным образом ра-
радиус кривизны выходящего гауссова пучка, показанного на
рис. 8.2, а, будет также определяться формулой (8.36). Следо-
Следовательно, мы имеем теперь как амплитудное [с помощью фор-
формулы (8.3а)), так и фазовое [с помощью формулы (8.36)] рас-
распределения поля волны на выходе линзы. Эта волна имеет гаус-
гауссово распределение по амплитуде и сферический волновой
фронт, т. е. гауссов пучок остается гауссовым и после того, как
он пройдет через систему (тонких) линз. Этот результат остает-
остается верным и в случае прохождения пучка через систему толстых
линз, в чем можно убедиться, рассматривая толстую линзу как
совокупность тонких. Зная размер пятна и радиус кривизны
волнового фронта непосредственно после линзы, можно вычис-
вычислить соответствующие величины в любой точке пространства.
Например, размер пятна w02 в новой перетяжке пучка и рас-
расстояние L2 от линзы до этой перетяжки можно найти, выполняя
расчеты по формулам (8.1) в обратном порядке. При некоторых
прямых преобразованиях мы приходим к следующим двум вы-
выражениям:
Ll = f±(w0l/wo2)(f2-f20)U2, (8.4а)
U = f ± iwjwoi) {f -flI'2, (8.46)
откуда получаем w02 и L2. Входящая в (8.4) величина /0 дается
выражением
/0 = aw0lwO2/h, (8.5)
при этом в выражениях (8.4) можно выбрать либо оба знака
плюс, либо оба минус. Выражения (8.4) и (8.5) весьма полезны
при решении различных задач, связанных с распространением
гауссова пучка (см. задачи 8.2 и 8.3). Здесь мы ограничимся
лишь следующим замечанием: если первая перетяжка совпадает
с первой фокальной плоскостью (Li=f), то вторая перетяжка
'] Обратите внимание на упомянутое выше соглашение относительно
знаков.
16 О. Звелто
482 8. Преобразование лазерного пучка
совпадает со второй фокальной плоскостью линзы (Z.2 = f). За-
Заметим также, что в общем случае плоскости обеих перетяжек
не связаны соотношением геометрической оптики (т. е. 1/Li +
+ \/ЬчФ 1/f). Следует заметить, что данную проблему можно
также решить с помощью закона ABCD для распространения
гауссова пучка (см. разд. 4.6). Предположим, что
А В
С D
— лучевая матрица, соответствующая оптической системе между
двумя плоскостями перетяжек пучка на рис. 8.2, а. Значения
элементов матрицы зависят от Lu L2 и f, и их нетрудно вы-
вычислить, следуя процедуре, описанной в разд. 4.2.1. При этом
комплексные параметры пучка qi и q\ в плоскостях перетяжек
связаны соотношением D.112). В рассматриваемом случае как
<7ь так и q2 являются чисто мнимыми и записываются следую-
следующим образом:
qx = inw2m/X, (8.5a)
q2 = inw^/l. (8.56)
Подстановка этих выражений в соотношение D.112) даст два
уравнения, одно из которых следует из приравнивания вещест-
вещественных частей, а другое — из приравнивания мнимых. Решение
этих двух уравнений приводит к (8.4).
Прежде чем закончить данный раздел, покажем в качестве
упражнения, как можно вывести выражения (8.1) из уравнений
Максвелла без применения интеграла Кирхгофа. В скалярном
случае уравнения Максвелла приводят к следующему волно-
волновому уравнению '>:
У2?-4г^ = 0. (8.6)
Монохроматическую волну можно записать в виде Е(х, у, г,
t) =E(x, у, z) exp (Ш). Подстановка этого выражения в уравне-
уравнение (8.6), дает уравнение Гельмгольца
V2E(x, у, z) + k2E(x, у, z) = 0, (8.7)
где k = а/с. В случае радиально-симметричного пучка уравне-
уравнение (8.7) можно записать в цилиндрических координатах:
+ ?)E+0E O. (8.8)
11 В работе [5] указывается, что к строгому выводу этого уравнения
необходимо подходить с некоторой осторожностью.
8.2. Преобразование в пространстве 483
Ищем теперь решение в виде
E(r, z) = U(r, z)exp(-lkz), (8.9)
где мы предполагаем, что U(r, z) как функция координаты z
слабо меняется с длиной волны (X = 2n/k). Подставляя (8.9)
в уравнение (8.8) и используя приближение медленноменяю-
щейся амплитуды (т. с. считая, что d2U/dz2 <C kdU/dz), полу-
получаем
(&+I*-)"-«*?-»• <81°>
Это и есть искомое фундаментальное уравнение (называемое
уравнением квазиоптики), которое широко применяется в тео-
теории дифракции. Его следует решать при соответствующих гра-
граничных условиях.
Чтобы решить уравнение (8.10) в нашем случае, наложим
следующее граничное условие (см. рис. 8.1):
U (г, 0) = ехр(-г/ш0J. (8.11)
Соответственно для z > 0 будем искать решение в общем виде
гауссовой функции
U(r, г)=ехр(а-рг2), (8.12)
где как а, так и р являются комплексными функциями коорди-
координаты г. Прежде чем продолжить наши вычисления, покажем,
какой физический смысл имеют величины аир. Вещественная
часть величины а описывает изменение амплитуды на оси пучка
(где г = 0) по мере его распространения, а мнимая часть вели-
величины а определяет фазовый сдвиг, который добавляется к фа-
фазовому сдвигу kz плоской волны, уже учтенному в решении
(8.9). Вещественная часть величины р (обозначим ее через рг)
связана, очевидно, с радиусом пятна пучка w соотношением
рг=1/да2. (8.13)
Чтобы понять смысл мнимой части C,- величины р, заметим, что
в соответствии с выражениями (8.9) и (8.12) фаза волны имеет
вид kz + р,т2. Таким образом, поверхности равной фазы, кото-
которые пересекают ось z в точке z = z0, должны удовлетворять ус-
условию
Ь + р,г2 = ?z0. (8.14)
Это есть не что иное, как уравнение параболоида вращения, уже
рассматривавшееся в разд. 4.5 [ср. выражение (8.14) и D.102)].
Как показано в том же разделе, для точек, находящихся не
16*
484 8. Преобразование лазерного пучка
очень далеко от оси, параболоид можно аппроксимировать сфе-
сферической поверхностью с радиусом кривизны
(8.15)
Таким образом, в соответствии с этим выражением р, опреде-
определяет радиус кривизны эквифазной поверхности внутри пучка
в точке с координатами (г, z).
Теперь мы готовы к тому, чтобы подставить решение (8.12)
в волновое уравнение (8.10) и использовать граничное условие
(8.11). Подстановка дает
Поскольку это выражение должно быть равно нулю при любом
г, каждый из двух членов в скобках должен быть равен нулю,
т. е.
^ig-+ 2Р2=°> (8.17а)
/fcig.-|_2p = 0. (8.176)
С учетом граничного условия (8.11) решение уравнения (8.17а)
можно записать в виде
Р = -7 ''* 2/ ч • (8-18)
Подставляя эту величину в (8.18) и снова используя граничное
условие (8.11), из уравнения (8.176) получаем
а = - 1п A — izl/nwl). (8.19)
Вычисляя с помощью (8.18) вещественную и мнимую части ве-
величины р и используя выражения (8.13) и (8.15), мы приходим
к формулам соответственно (8.1а) и (8.16). С помощью (8.1а)
выражение (8.19) можно записать в виде
ехр а = (wjw) exp (if), (8.20)
где величина
(8.21)
представляет собой дополнительный фазовый сдвиг, добавляе-
добавляемый к обычному фазовому сдвигу плоской волны. Из (8.9),
(8.12), (8.13), (8.15) и (8.20) окончательно получаем общее вы-
выражение для амплитуды поля [ср. с D.95)]:
Е (г, г) = ^ ехр [-/ (kz - ф) - г2 (^ + ?)]. (8.22)
8.3. Преобразование амплитуды
485
8.3. Преобразование амплитуды:
лазерное усиление [6—8]
В этом разделе мы рассмотрим работу лазерного усилителя
с помощью скоростных уравнений. Допустим, что плоская
волна постоянной интенсивности / падает (в точке z = 0) на
лазерный усилитель длиной / вдоль оси z. Ограничимся рассмо-
рассмотрением случая, когда падающее излучение имеет вид импульса
длительностью хр, причем xt < хр < (т, Wpl), где %\ — время
жизни нижнего, а х — время жизни верхнего уровня активной
среды и Wp — скорость накачки усилителя. Это, по-видимому,
наиболее подходящий набор условий, необходимых для лазер-
лазерного усиления. Он применяется, например, когда нужно усилить
импульс излучения Nd: YAG-лазера в режиме модуляции доб-
добротности. Поэтому мы не бу-
будем здесь рассматривать
случай непрерывного режи-
режима усиления (стационарного I(t,z)
усиления), а читателю сове-
советуем обратиться к соответ-
соответствующей литературе [7,8].
Сделав эти допущения,
населенность нижнего уров-
Рис. 8.3. К вычислению скорости изме-
изменения энергии фотонов в элементарном
объеме dz (с единичной площадью се-
сечения) лазерного усилителя.
ня в усилителе можно поло-
положить равной нулю, а накач-
накачкой и релаксацией населен-
населенности верхнего уровня во время действия импульса можно пре-
пренебречь. Тогда, используя выражение B.82) (в котором мы по-
полагаем F = I/hv), скорость изменения инверсии населенностей
N(t,z) в точке z внутри усилителя можно записать в виде
dN/dt =—WN = — NI/TS,
где
(8.23)
(8.24)
— плотность энергии насыщения усилителя [см. B.148в)]. Сле-
Следует заметить, что в (8.23) мы имеем дело с частной производ-
производной, поскольку N должна быть функцией двух аргументов: г и
t, т. е. N = N(t, г), вследствие того что / = /(/, z). Получим
теперь дифференциальное уравнение, описывающее временное и
пространственное изменение интенсивности /. Для этого сначала
вычислим скорость изменения плотности энергии р световой
волны (где р = //с, откуда dl/c dt = dp/dt). Рассматривая пол-
полную скорость изменения энергии фотонов в малом объеме актив-
активной среды усилителя (рис. 8.3), можно написать следующее
486 8. Преобразование лазерного пучка
соотношение:
где член (dp/dt)\ соответствует вынужденным излучению и по-
поглощению в усилителе, (dp/dt)i—потерям в усилителе (напри-
(например, потерям вследствие рассеяния) и (dp/dtK — полному по-
потоку фотонов через объем. С помощью выражения B.82) (пола-
(полагая в нем F = I/hv) получаем
(ф/aOi = WNhv = oNI. (8.26)
Кроме того, из B.82) и B.86) следует, что
= - WaNahv = - а/; (8.27)
здесь Na — плотность соответствующих центров потерь, Wa —
вероятность поглощения и а — коэффициент поглощения в этих
центрах. Для вычисления (др/д1K обратимся к рис. 8.3. Эле-
Элементарный объем активного вещества усилителя длиной dz
с единичным поперечным сечением представлен заштрихованной
областью. Величина (др/dt) 3dz — это скорость изменения энер-
энергии фотонов в элементарном объеме, обусловленная разностью
между интенсивностями излучения на входе и выходе лазера,
т. с.
D9зdz = I(t,z)-I(/, z + dz) = --§dz_ (8.28)
При этом из выражений (8.25) — (8.28) получаем следующее
уравнение:
Tir + ii—^'-"'' <8-29>
которое вместе с (8.23) полностью описывает усиление лазера.
Следует заметить, что это уравнение имеет обычный вид неста-
нестационарного уравнения переноса. Заметим также, что в непре-
непрерывном режиме при а = 0 оно сводится к уравнению A.7).
Уравнения (8.23) и (8.29) должны теперь быть решены с со-
соответствующими граничными и начальными условиями. За на-
начальное условие мы берем jV(O, z) = No = const, где jVo опреде-
определяется накачкой усилителя до появления лазерного импульса.
Очевидно, что граничное условие задается интенсивностью
/о (t) светового импульса, который поступает в усилитель, т. е.
/(/, О) = /о(О- При незначительных потерях в усилителе (т. е.
в случае пренебрежения членом —а/) решение уравнений (8.23)
H.:i. Преобразование амплитуды
487
и (8.29) можно записать в виде
/ (z, т) = /0(т)| 1 — [1 — ехр (- agz)] ехр Г- $ /0 (т') Л'
(8.30)
где т = / — z/c, a ag = ctjV0 — коэффициент ненасыщенного уси-
усиления усилителя. Из уравнения (8.29) нетрудно получить также
выражение для полной плотности энер-
энергии лазерного излучения:
Г (z)=
, t)dt.
(8.31)
Интегрируя обе части уравнения (8.29)
по времени от t = —оо до t = +А и ис-
используя соотношение (8.23), получаем
= agTs[\ -ехр(-Г/Г,)]-аГ. (8.32)
°'5 rj/rs
Отсюда, снова пренебрегая потерями в
усилителе, находим
Г (/) = Г, 1п {1 + [ехр (Гвх/Г,) - 1 ] Go};
Рис. 8.4. Зависимость
плотности энергии Г на
выходе от плотности
энергии Гвх на входе ла-
(8 33)* взерного усилителя при
коэффициенте усиления
малого сигнала Go = 3.
Плотность энергии нор-
нормирована на плотность
энергии насыщения ла-
лазера rs = hv/o.
здесь Go = exp (ag/) — ненасыщенное уси-
усиление усилителя, а Гвх — плотность энер-
энергии входного пучка. В качестве характер-
характерного примера на рис. 8.4 построена кри-
кривая зависимости отношения Г/Г8 от
Гвх/Г„ при G0 = 3. Заметим, что в случае ГВХ<СГ8 выражение
(8.33) можно записать приближенно в виде
r(/) = GorBX, (8.34)
т. е. выходная плотность энергии растет линейно с входной плот-
плотностью (режим линейного усиления). На рис. 8.4 построена
также зависимость, описываемая выражением (8.34), в виде
штриховой прямой, выходящей из начала координат. Однако
из рисунка мы видим, что при больших входных плотностях ве-
величина Г увеличивается с ростом Гвх с более низкой скоростью,
чем предсказывает выражение (8.34), т. е. происходит насыще-
насыщение усилителя. При Гвх >> Гл (режим насыщения) получаем
(I) = L вх Т А /М- (О.ОО)
488 8. Преобразование лазерного пучка
На рис. 8.4 построена также прямая, вычисленная по формуле
(8.35) и представленная второй штриховой линией. Заметим, что
при больших входных плотностях энергии выходная плотность
энергии линейно зависит от длины / усилителя. Поскольку
Fsctg/ = Nolhv, каждый возбужденный атом испускает вынужден-
вынужденное излучение и, таким образом, вносит свой вклад в энергию
пучка. Такое условие, очевидно, соответствует наиболее эффек-
эффективному преобразованию запасенной энергии в энергию пучка;
поэтому во всех тех случаях, в которых это практически осуще-
осуществимо, используются конструкции усилителя, работающего в ре-
режиме насыщения.
Если усилитель имеет потери, то рассмотренная выше кар-
картина несколько изменяется. В частности, плотность выходной
энергии Г(/) теперь не увеличивается непрерывно с ростом
входной (как на рис. 8.4), а достигает максимума и затем умень-
уменьшается. Это можно понять, если заметить, что выходная плот-
плотность как функция длины усилителя имеет тенденцию увеличи-
увеличиваться линейно за счет усиления [по крайней мере при больших
входных плотностях энергии; см. (8.35)] и убывать экспонен-
экспоненциально за счет потерь [из-за члена —аГ в (8.32)]. Конкурен-
Конкуренция этих двух величин дает максимальное значение выходной
плотности энергии Г, которая в случае а <С ай записывается
в виде
Г « agrja. (8.36)
Однако, поскольку усилитель, как правило, имеет небольшие
потери, максимальное значение плотности энергии, которое мо-
можно получить от усилителя, ограничивается другими явлениями.
В действительности плотность энергии ограничивается значе-
значением Fd, при котором усилитель разрушается (в некоторых прак-
практических случаях rd ~ 10 Дж/см2). Таким образом, из (8.35)
получаем
Г « I>g/ < Td. (8.37)
Однако ненасыщенный коэффициент усиления Go = exp(ag/)
нельзя делать слишком большим, поскольку иначе в усилителе
могут возникнуть два таких нежелательных эффекта, как пара-
паразитная генерация и усиленное спонтанное излучение (УСИ). Па-
Паразитная генерация возникает, когда усилитель начинает генери-
генерировать вследствие обратной связи, которая до некоторой степени
всегда существует (например, благодаря наличию отражения
на торцах усилителя). Явление УСИ уже рассматривалось нами
в разд. 2.7.3. Оба этих явления имеют тенденцию снимать
имеющуюся инверсию и вследствие этого уменьшать усиление
лазера. Чтобы свести к минимуму паразитную генерацию, не
8,3. Преобразование амплитуды 489
следует использовать усилители большой длины. В идеальном
случае усилитель должен иметь приблизительно одинаковые раз-
размеры во всех направлениях. Однако даже в этом случае пара-
паразитная генерация устанавливает верхний предел (ай/)Макс для
произведения коэффициента усиления ag на длину усилителя /,
т. е.
V < КОмакс- (8-38)
В практически реализуемых случаях величина (ай/)Макс имеет
значения 3—5. В разд. 2.7.3 [выражение B.153)] мы уже опре-
определили порог для УСИ. Если усилитель имеет форму куба (т. е.
при Q да 1), то G да 5,1 (или agl да 1,6), т. е. величину того же
порядка, чтс и величина, определяемая паразитной генерацией.
При меньших значениях телесного угла Q (что обычно имеет
место) величина G, определяющая начало действия УСИ, увели-
увеличивается [выражение B.153)]. Следовательно, достижение мак-
максимально возможного коэффициента усиления определяется, как
правило, паразитной генерацией, а не УСИ. Учитывая ограниче-
ограничения, связанные как с разрушением усилителя [(8.37)], так и
с паразитной генерацией [(8.38)], нетрудно получить выраже-
выражение для максимальной энергии Ет, которую можно выделить из
усилителя:
?m = r/m = rd(ag/)ya', (8.39)
где 1т — максимальный размер усилителя (в форме куба), опре-
определяемый формулой (8.38). Из выражения (8.39) следует, что
Ет увеличивается с уменьшением коэффициента усиления ag.
Уменьшение величины ag в конечном счете ограничивается по-
потерями усилителя а. Выбирая, например, (ag0LKc ~ ^> аг ~
~10-2см-' и Та = 10 Дж/см2, из (8.39) получаем Ет да 1 МДж
Однако при этом размер усилителя должен быть порядка lm ~
да(ай/)тайда3 м, что практически довольно трудно реали-
реализовать.
В данном разделе до сих пор нас интересовало главным об-
образом изменение энергии лазерного импульса при его прохожде-
прохождении через усилитель. Однако в режиме насыщения существен-
существенные изменения претерпевают также временное и пространствен-
пространственное распределения входного пучка. Пространственные искажения
нетрудно объяснить с помощью рис. 8.4. В случае когда про-
профиль интенсивности входного пучка в поперечном сечении имеет
колоколообразную форму (например, гауссов пучок), централь-
центральная область пучка вследствие насыщения будет усиливаться
меньше, чем периферическая. Таким образом, по мере того как
пучок проходит через усилитель, ширина его пространственного
490 8. Преобразование лазерного пучка
распределения в поперечном сечении увеличивается. Совсем не-
нетрудно показать, почему пучок испытывает и временные иска-
искажения. Вынужденное излучение, вызванное передним фронтом
импульса, приводит к тому, что к моменту появления заднего
фронта импульса из усилителя была уже извлечена некоторая
часть запасенной энергии. Таким образом, когда задний фронт
импульса проходит через усилитель, инверсия населенностей в
усилителе оказывается пониженной и, следовательно, пучок ис-
испытывает меньшее усиление. Вследствие этого в задний фронт
импульса вкладывается меньше энергии, чем в передний, что
ведет к довольно заметному изменению формы импульса. Форму
выходного импульса можно вычислить из выражения (8.30), от-
откуда можно показать, что в зависимости от формы входного
импульса выходной импульс может либо расшириться, либо су-
сузиться (или даже остаться неизменным) [6].
В заключение этого раздела мы кратко ознакомимся с двумя
другими примерами лазерного усиления в условиях, отличаю-
отличающихся от рассмотренных выше. В первом случае предполагают,
что длительность хР импульса, который необходимо усилить,
много меньше времени жизни атомов на нижнем энергетическом
уровне лазера °. Это имеет место, например, в случае лазер-
лазерного усилителя на рубине, в котором нижний уровень совпадает
с основным состоянием. Аналогичная ситуация возникает также
в усилителе на ионах Nd3+, когда хР < 1 не. В обоих случаях
усилитель работает по трехуровневой схеме. Нетрудно показать,
что приведенные выше формулы остаются справедливыми, но
при условии, что Fs дается теперь выражением
Ts = hv/2a. (8.39a)
Ко второму случаю (мы его кратко обсудим) относится усили-
усилитель, в котором как верхний, так и нижний уровни состоят из
множества сильно связанных между собой подуровней. Это
имеет место, например, в усилителях на СО2 или HF, в которых
верхние и нижние (колебательные) уровни состоят из многих
вращательных подуровней (см., например, рис. 6.16). Если дли-
длительность импульса много больше, чем время релаксации между
вращательными подуровнями, то между ними будет поддержи-
поддерживаться равновесное тепловое распределение населенностей. При
этом населенность Nj вращательного подуровня, принадлежа-
принадлежащего данному колебательному уровню, может быть представ-
представлена как доля z суммарной населенности N колебательного уро-
11 Однако мы будем считать, что т„ > Тг, где Тг = 1/яДг0, поскольку
это условие необходимо для того, чтобы было справедливым приближение
скоростных уравнений (см. разд. 5.5).
8.4. Преобразование частоты 491
вня (см. разд. 2.8), причем величину z (статистическая сумма)
можно вычислить, используя статистику Больцмана. Кроме того,
предположим, что длительность импульса тр значительно мень-
меньше времени релаксации нижнего уровня лазера (т. е. система
фактически ведет себя как трехуровневая) и что длина волны
входящего светового импульса соответствует только одной вра-
щательно-колебательной линии. В этом случае будут справед-
справедливы все полученные выше выражения, но при условии, что [8]
Ts = hv/2az, (8.396)
где сг — сечение вынужденного излучения того вращательно-ко-
лебательного перехода, на котором происходит процесс усиле-
усиления.. Сравнивая выражения (8.396) и (8.39а), мы видим, что
эффективное сечение можно определить как za [см. также выра-
выражения B.170а) и B.1706)]. В случае когда длительность им-
импульса оказывается сравнимой с временем вращательной релак-
релаксации, картина становится намного более запутанной и вычис-
вычисления с помощью соответствующих уравнений требуют, вообще
говоря, применения ЭВМ [8].
8.4. Преобразование частоты;
генерация второй гармоники
и параметрическая генерация [9—11]
В классической линейной оптике предполагается, что инду-
индуцированная электрическая поляризация среды линейно зависит
от приложенного электрического поля, т. е.
Р=еоХЕ, (8.40)
где х — диэлектрическая восприимчивость. При сильных элек-
электрических полях, характерных для лазерных пучков, соотноше-
соотношение (8.40) уже не является хорошим приближением и следует
учитывать последующие члены разложения, в которых век-
векторы Р должны рассматриваться как функции более высоких
степеней величины Е. Этот нелинейный отклик может привести
к обмену энергией между электромагнитными волнами на раз-
разных частотах.
В данном разделе мы рассмотрим некоторые эффекты, об-
обусловленные нелинейным членом поляризации, который про-
пропорционален квадрату электрического поля. Обсудим здесь два
эффекта, а именно генерацию второй гармоники (ГВГ) и опти-
оптическую параметрическую генерацию (ОПГ). ГВГ имеет место,
когда в нелинейном материале лазерный пучок с частотой © ча-
частично преобразуется в когерентный пучок с частотой 2© (этот
492 8. Преобразование лазерного пучка
эффект впервые продемонстрировали Франкен и др. [12].
ОПГ — это такое явление, когда лазерный пучок с частотой ©э
вызывает в нелинейном материале спонтанное излучение двух
когерентных пучков с частотами ©i и ©2. причем coi + со2 ^= ©з
(на данное явление впервые указали Джордмейн и Миллер
[13]). При сильных электрических полях, имеющих место в ла-
лазерных пучках, эффективность преобразования в обоих этих про-
процессах может быть весьма высокой (приближаясь к 100 % в слу-
случае ГВГ). Поэтому в настоящее время эти методы используются
для генерации новых когерентных волн с различными часто-
частотами, отличающимися от частоты падающей волны.
8.4.1. Физическая картина
Введем сначала некоторые понятия, используя упрощающее
допущение, что индуцированная нелинейная поляризация Р«ели"
связана с электрическим полем Е электромагнитной волны сле-
следующим скалярным соотношением:
P™ = 2e0dE2, (8.41)
где d — коэффициент, размерность которого обратна размерно-
размерности электрического поля 1К Физический смысл соотношения
(8.41) состоит в том, что оно отражает нелинейное смещение
внешних, слабо связанных электронов атома или атомной си-
системы, когда на них действуют сильные электрические поля. Это
аналогично нарушению закона Гука в случае сильно растянутой
пружины, когда возвращающая сила уже не имеет линейную
зависимость от смещения при колебаниях пружины. Сравнение
соотношений (8.41) и (8.40) показывает, что при электрическом
поле Е -х. %/d нелинейный член поляризации становится сравни-
сравнимым с линейным членом. Поскольку х ~ 1> мы видим, что вели-
величина \/d представляет собой напряженность поля, при которой
линейный и нелинейный члены становятся сравнимыми, т. е. ор-
орбиты внешних электронов испытывают заметные нелинейные де-
деформации. Таким образом, предполагается, что величина \/d
имеет тот же порядок, что и электрическое поле, создаваемое
электроном на расстоянии, соответствующем обычному атом-
атомному размеру а, т. е. \/d x е/4леоа2 (так, \/d <~- 10" В/м, если
а ж 1 А). Заметим, что для центросимметричных сред (таких,
как центросимметричный кристалл, жидкость или газ) из сооб-
соображений симметрии величина d должна быть равна нулю. Дей-
'> Здесь мы используем величину 2eodEz, а не dE2 (как это принято во
многих других учебниках), чтобы согласовать величину d с используемыми
на практике значениями.
8.4. Преобразование частоты 493
ствительно, в силу симметрии, если мы изменим знак напря-
напряженности поля Е на противоположный, знак полной поляриза-
поляризации Рт = Р + Р"ел>1н должен также измениться. Однако, по-
поскольку Рнелнн ~ Е2, это может произойти только если d = 0.
Поэтому в дальнейшем мы будем ограничиваться рассмотре-
рассмотрением нецентросимметричных сред. Покажем, что в этом случае
простое соотношение (8.41) может описывать явления как ГВГ,
так и ОПГ.
8.4.1.1. Генерация второй гармоники
Рассмотрим монохроматическую плоскую волну с частотой
со, распространяющуюся в направлении z через нелинейный кри-
кристалл. Для электрического поля Ea(z, t) плоской электромаг-
электромагнитной волны постоянной интенсивности можно написать сле-
следующее выражение:
Е* (z, О = у {? (г, ©) exp [i (firf - kaz)] + к. с.}. (8.42)
В этом выражении к. с. обозначает комплексную величину, со-
сопряженную первому члену суммы, а
&ш = ю/сш = лш©/с0, (8.43)
где с,о — скорость света в кристалле, пы — показатель прелом-
преломления на частоте © и с0 — скорость света в вакууме. Подставляя
(8.42) в (8.41), можно показать, что Рнел»н содержит член'>, со-
соответствующий генерации на частоте 2ю, а именно
Y" № (*¦ w) ехР I' Bс^ ~ 2k^ + к- с-1 • (8-44)
Это выражение описывает поляризацию, осциллирующую на ча-
частоте 2со и распространяющуюся в пространстве в виде волны.
Данная волна поляризации излучает на частоте 2ю. Таким об-
образом, мы получили генерацию электромагнитной волны на ча-
частоте второй гармоники 2© [аналитическое рассмотрение, при-
приводимое ниже, включает подстановку данного значения поляри-
поляризации в волновое уравнение (8.65)]. Электрическое поле этой
электромагнитной волны запишется в виде
?2Ш (г, t) = \{E (z, 2©) exp [i B©/ - k2az)] + к. с.}, (8.45)
где
= 2to/c2a) = 2я2шсо/с0 (8.46)
" Величина Рнелин также содержит член с частотой w = 0, что приводит
к появлению постоянного напряжения на гранях кристалла (оптическое вы-
выпрямление).
494 8. Преобразование лазерного пучка
— волновое число на частоте 2ш. Таким образом, обращаясь
снова к нелинейному соотношению (8.41), физический смысл
ГВГ можно понять как результат биений электромагнитной
волны на основной частоте © с самой собой, которые приводят
к поляризации, осциллирующей с частотой 2©. Сравнивая выра-
выражения (8.44) и (8.45), мы получаем очень важное условие, ко-
которое должно выполняться, чтобы процесс ГВГ протекал эффек-
эффективно. Другими словами, фазовая скорость волны поляризации
(vp = 2co/2&w) должна быть равна фазовой скорости генерируе-
генерируемой электромагнитной волны Ve = 2©/&2w Таким образом, это
условие можно записать в виде
?2ш = 2А;ш. (8.47)
Действительно, если это условие не удовлетворяется, то на не-
некотором расстоянии / внутри кристалла фаза волны поляриза-
поляризации (т. е. фаза 2kJ) будет отличаться от фазы генерируемой
волны (ее фаза равна k2al). Эта увеличивающаяся с расстоя-
расстоянием / разность фаз означает, что генерируемая волна не будет
кумулятивно расти с расстоянием /, так как она не поддержи-
поддерживается поляризацией с соответствующей фазой. Поэтому условие
(8.47) называется условием фазового синхронизма. Заметим, что
в соответствии с (8.43) и (8.46) это условие можно записать
в виде
п2а = па. (8.48)
Если бы направления векторов Еа и Рнел"н (а следовательно, и
Е2а) действительно совпадали [что подразумевается в (8.41)],
то условию (8.48) невозможно было бы удовлетворить из-за дис-
дисперсии (Ап = п2а— па) кристалла. Это накладывает жесткое
ограничение на длину кристалла /с, на протяжении которой
/энелин может дать кумулятивно складывающиеся вклады и тем
самым создать волну второй гармоники. Длина 1С (длина коге-
когерентности) должна соответствовать расстоянию, на котором
фазы волн Р и E2lS) отличаются друг от друга на я, т. е. k2alc —
— 2kJc = n. Используя выражения (8.43) и (8.46), это условие
можно записать в виде
1С = 1/4Ап, (8.49)
где X = 2ясо/и> — длина основной волны в вакууме. Выбрав, на-
например, X ж 1 мкм и An = lCh2, получим /с = 25 мкм. Следует
заметить, что на таком расстоянии в кристалле волна Р отли-
отличается по фазе от волны Е2а на 180°, и, таким образом, волна
Е2а, вместо того чтобы продолжать нарастать, начинает зату-
затухать. В этом случае, когда величина 1С столь мала, лишь очень
8.4. Преобразование частоты 495
небольшая часть падающего излучения может быть преобразо-
преобразована в волну второй гармоники.
На этой стадии имеет смысл указать на другой полезный
способ представления процесса ГВГ, а именно через фотоны, а
не через поля. Для начала запишем соотношение между часто-
частотой основной волны (©) и волны второй гармоники (ювг):
ювг = 2ю. (8.50)
Если умножить обе части соотношений (8.47) и (8.50) на Н, то
получим
2/ (8.51а)
(8.516)
Для того, чтобы в процессе ГВГ энергия сохранялась, должно
выполняться равенство dI2m/dz = —dlio/dz, где 12ю и /w — ин-
интенсивности соответствующих волн. С помощью (8.51а) полу-
получаем dF2(lt/dz =— (\/2)dFli)/dz, где F2(d и Fm—потоки фотонов
двух волн. Из этого последнего равенства можно заключить, что
в процессе ГВГ, когда исчезают два фотона с частотой ©, вме-
вместо них появляется один фотон с частотой 2со. Таким образом, со-
соотношение (8.51а) можно рассматривать как закон сохранения
энергии фотонов. Нсли вспомнить, что импульс фотона равен hk,
то соотношение (8.516) есть не что иное, как условие того, что
в процессе ГВГ должен сохраниться также и импульс фотонов.
Рассмотрим теперь снова условие фазового синхронизма
(8.48) и покажем, каким образом ему можно удовлетворить в со-
соответствующем оптически анизотропном кристалле [14, 15]. Для
этого необходимо сначала сделать небольшое отступление, что-
чтобы объяснить особенности распространения волн в анизотроп-
анизотропном кристалле, а также показать, каким образом простое нели-
нелинейное соотношение (8.41) можно обобщить на случай анизо-
анизотропной среды.
Можно показать, что в анизотропном кристалле в данном
направлении могут распространяться две различные линейно-
поляризованные плоские волны. Этим двум различным поляри-
поляризациям соответствуют два разных показателя преломления. Та-
Такое различие в значениях показателей преломления называется
двулучепреломлением. Для описания этого явления обычно ис-
используют так называемый эллипсоид показателей преломления,
который в случае одноосного кристалла представляет собой эл-
эллипсоид вращения вокруг оптической оси (ось z на рис. 8.5).
Два разрешенных направления поляризации и соответствующие
им показатели преломления определяются следующим обра-
образом. Через центр эллипсоида проводим прямую в направлении
496
8. Преобразование лазерного пучка
распространения пучка (прямая ОР на рис. 8.5) и плоскость, пер-
перпендикулярную этой прямой. Пересечение этой плоскости с эл-
эллипсоидом образует эллипс. Две оси эллипса параллельны двум
направлениям поляризации, а длина каждой из полуосей равна
значению показателя преломления для данного направления по-
поляризации. Одно из этих направлений обязательно перпенди-
перпендикулярно оптической оси, и волна, имеющая такое направление
поляризации, называется обыкновенной. Из рисунка видно, что
ее показатель преломления по не зависит от направления рас-
распространения. Волна с другим направлением поляризации назы-
называется необыкновенной волной, и значение соответствующего
Рис. 8,5. Эллипсоид пока-
показателей преломления в по-
положительном одноосном
кристалле.
Рис. 8,6. Поверхность нор-
нормалей (показателей пре-
преломления) для обыкновен-
обыкновенной и необыкновенной волн
(в положительном одноос-
одноосном кристалле).
показателя преломления пе(Щ изменяется от значения показа-
показателя преломления обыкновенной волны по (когда ОР парал-
параллельна z) до значения пе, называемого показателем преломле-
преломления необыкновенной волны (когда ОР перпендикулярна z). По-
Положительный одноосный кристалл соответствует случаю пе > по,
а отрицательный одноосный кристалл — случаю пе < по. Суще-
Существует другой эквивалентный метод описания распространения
волн, который называется методом поверхностей нормалей (по-
(показателей преломления) для обыкновенной и необыкновенной
волн (рис. 8.6). В этом случае показатель преломления волны
в данном направлении распространения ОР определяется как
для обыкновенной, так и для необыкновенной волны длиной от-
отрезка до точки пересечения луча ОР с соответствующими по-
поверхностями. Поверхность нормалей для обыкновенной волны
является сферой, в то время как поверхность нормалей для не-
8.4. Преобразование частоты 497
обыкновенной волны представляет собой эллипсоид вращения
вокруг оси z. На рис. 8.6 показаны сечения этих двух нормаль-
нормальных поверхностей в плоскости yz для случая положительного
одноосного кристалла.
После того как мы кратко рассмотрели распространение
волн в анизотропных кристаллах, вернемся теперь к проблеме
индуцированной нелинейной поляризации. Вообще говоря, для
анизотропной среды скалярное соотношение (8.41) не справед-
справедливо. В этом случае следует использовать тензорное соотноше-
соотношение. Запишем сначала в данной точке г вектор электрического
поля Ем(г, /) электромагнитной волны на частоте © и вектор
нелинейной поляризации Рнелин (г, /) на частоте 2© в виде
Еш(г, /)=-^-[Е<й(г, ©)ехр(Ш) + к. с], (8.52а)
Рнелкн (г, /) = у [P2w(г, 2©) ехр BЫ) + к. с.]; (8.526)
при этом можно получить тензорное соотношение между Р2(й(г,
2©) и Ew(r, ю). Например, в направлении i кристалла компо-
компоненту поляризации второй гармоники можно записать следую-
следующим образом:
/f= Z eodfikEfEZ. (8.53)
/, *-l. 2, 3
Заметим, что это выражение записывается часто в сокращенных
обозначениях:
? ?А (8.54)
где т пробегает значения от 1 до 6. В краткой форме поля за-
записываются следующим образом: (EE)i s=E^s=eI,
^2ЕхЕг и (EENz=2ElE2^2ExEy,rji,e индексы как 1, 2, 3, так и
х, у, z обозначают оси. Заметим, что записанная в матричной
форме величина dim является матрицей размерностью 3X6, ко-
которая действует на вектор-столбец (ЕЕ)т. В зависимости от
симметрии кристалла некоторые элементы матрицы dim могут
быть одинаковыми, а некоторые — равными нулю. В случае то-
точечной группы симметрии 42т, к которой относятся важные не-
нелинейные кристаллы типа KDP и халькопиритовые полупро-
полупроводники, отличными от нуля являются лишь элементы du, d25 и
d3e, причем все они равны друг другу. Таким образом, доста-
достаточно определить только один матричный элемент, например d3e,
498
8. Преобразование лазерного пучка
и мы можем написать следующие соотношения:
Рх = 2eod36EyEz, (8.55а)
Py = 2e0d36EzEx, (8.556)
Pz = 2&Qd3&ExEy, (8.55в)
где направление оси z выбирается вдоль оптической оси одно-
одноосного кристалла. В табл. 8.1 мы привели нелинейные оптиче-
оптические коэффициенты, классы симметрии, а также области про-
прозрачности некоторых избранных материалов. За исключением
арсенида германия-кадмия и прустита, которые используются в
области длин волн около 10 мкм, все остальные кристаллы при-
применяются от ближнего УФ до ближнего ИК диапазонов. В таб-
таблицу включены недавно разработанный кристалл КТР (титанил-
фосфат калия), который сейчас обычно применяется для гене-
генерации второй гармоники на длине волны, например Nd : YAG,
и ВВО (бетаборат бария), который представляется наиболее
интересным кристаллом для генерации второй гармоники в уль-
ультрафиолете (вплоть до ~ 205 нм). Нелинейные ^-коэффициенты
Таблица 8.1. Нелинейные оптнческне коэффнцненты некоторых материалов
Материал
Днгндрофосфат
калня (KDP)
Дндентернйфосфат
калня (KD*P)
Днгндрофосфат
аммония (ADP)
Днгндроарсеннд
цезня (CDA)
Иодат лнтня
Арсенид кадмня-
Германия
Ннобат лнтня
Прустит
Калнй тнтаннл-
фосфат (КТР)
Бетаборат барня
(ВВО)
Химическая
формула
КН2РО4
KD2PO4
NH4H2PO4
CsH2AsOl
Li Юз
CdGeAs2
LiNbO3
Ag3AsS3
KTiOPO4
P-BaB2O4
Нелинейный
коэффициент d
(по отношению
к KDP)
rf36 = rf.4=l
d3e = du = 0,92
rf36 = rfu=l,2
fi A C\ QQ
t*3Q U14 и,*7Л
dzi = rf32= d2i
d$R ^= dn ^= 538
rf3. = 12,5
rf22 = 6,35
rf3i=25,5
J 41 Г>А
t*22 HI ,0^
rf3i = 13
rf32=10
rf3a = 27,4
rf24=15,2
rfl5=12,2
Класс
сим-
симметрии
42m
42m
42m
42m
6
42m
3m
3m
mmi
3m
Область
прозрач-
прозрачности,
мкм
0,22-1,5
0,22-1,5
0,2-1,2
0,26-1,4
0,3-5,5
2,4-20
0,4-5
0,6-13
0,35-4,5
0,19-3
Порог
разру-
разрушения,
ГВт/смг
0,2
0,2
0,5
0,5
0,5
0,04
0,05
0,05
1
5
8.4. Преобразование частоты 499
нормированы на коэффициент для KDP, численная величина ко-
которого равна с1зв ~ 0,5- 1СН2 м/В.
В соответствии с нашим описанием свойств анизотропной
среды покажем, как может быть осуществлен фазовый синхро-
синхронизм для конкретного кристалла точечной группы симметрии
42т. Из выражений (8.55) следует, что, если Ег = 0, лишь поля-
поляризация Рг не обращается в нуль и, таким образом, имеет тен-
тенденцию генерировать волну второй гармоники с ненулевой
г-компонентой. Напомним (см. рис. 8.5), что волна с Ег = 0 яв-
является обыкновенной, в то время как волна с Ег ф 0 — необык-
необыкновенной. Следовательно, в этом слу-
случае обыкновенная волна на основной 2
частоте ш стремится генерировать не- пЕ(гы,в)
обыкновенную волну с частотой 2со.
Чтобы удовлетворить условию фазо-
фазового синхронизма, основную волну мо-
можно пустить под углом Qm к оптиче-
оптической оси так, чтобы
лвBсо, Qm) = no(c>). (8.56)
Это МОЖНО ПОНЯТЬ с ПОМОЩЬЮ Рис. 8.7. Угол фазового
рис. 8.7, на котором показаны Пересе- синхронизма вт в случае
чения поверхностей нормалей Мсо) „ ^TnTl Го7~°„ом
пе{2(и, 6) плоскостью, содержащей ось одноосном кристалле.
z и направление распространения. За-
Заметим, что вследствие дисперсии (нормальной) мы имеем
по(а>) < яоBю) = ЯеBа>, 0). Отсюда следует, что «обыкновен-
«обыкновенная» окружность (для частоты ©) пересекает «необыкновенный»
эллипс (для частоты 2со) под некоторым углом 8т'>. Для света,
распространяющегося под углом Qm к оптической оси (т. е. для
всех направлений лучей, лежащих на поверхности конуса вра-
вращения вокруг оси z с углом конуса 0т), условие (8.56) удовле-
удовлетворяется и, следовательно, выполняется условие фазового син-
синхронизма. Однако следует заметить, что, если 6т ф 90°, то будет
иметь место двулучепреломление, т. е. поток энергии необыкно-
необыкновенной волны (вторая гармоника) будет распространяться под
углом, несколько отличным от 6т. Таким образом, пучок основной
волны и пучок волны второй гармоники будут распространяться
i) Следует заметить, что это пересечение возможно, вообще говоря,
только если пе B©, 90°) < по (со). В противном случае эллипс л„Bы) (см.
рис. 8.7) будет лежать полностью вне окружности по(со). Таким образом,
леBы, 90°) = леBы) < по{ы) <лоBы), откуда следует, что двулучепрелом-
двулучепреломление кристалла лоBы)—яеBю) должно быть больше, чем дисперсия
лоBм)—по(ы) кристалла.
500 8. Преобразование лазерного пучка
в несколько различных направлениях (хотя и удовлетворяющих
условиям фазового синхронизма). Это накладывает верхний
предел на длину взаимодействия основного пучка конечного
поперечного сечения в кристалле. Данное ограничение можно
преодолеть, если возможно использовать угол 0т = 90°, т. е.
реализовать случай яеBш, 90°) = по(а). Такой тип фазового
синхронизма называется 90°-ным фазовым синхронизмом, и в
некоторых случаях его можно получить, изменяя температуру
кристалла, поскольку в общем случае пе и по по-разному
зависят от температуры. Подводя итоги проведенному выше
рассмотрению, можно утверждать, что в отрицательном одно-
одноосном кристалле (с достаточной величиной двулучепреломле-
ния) фазовый синхронизм достижим, когда обыкновенный луч
на частоте © [луч Ех в (8.55в)] соединяется с обыкновенным лу-
лучом, имеющим также частоту © [луч Еу в (8.55в)], в результате
чего образуется необыкновенный луч с частотой 2ш, или в соот-
соответствующих обозначениях ow +Осй-*-^- Этот процесс назы-
называется генерацией второй гармоники типа I. В отрицательном
одноосном кристалле при наличии фазового синхронизма воз-
возможно также существование другого вида ГВГ, называемого
процессом типа II. В этом случае обыкновенная волна на ча-
частоте со может соединиться с необыкновенной волной, имеющей
также частоту ©, вследствие чего возникнет необыкновенная
волна с частотой 2ю, или в соответствующих обозначениях ощ +
В настоящее время ГВГ применяется для создания когерент-
когерентных источников на новых длинах волн. Нелинейный кристалл
может быть помещен либо вне, либо внутри резонатора лазера,
генерирующего основное излучение. В последнем случае с целью
увеличения эффективности преобразования используют то пре-
преимущество, что внутри резонатора электромагнитное поле имеет
более высокую напряженность. В обоих случаях получена очень
высокая эффективность преобразования (приближающаяся к
100 %)¦ Наиболее часто применяется ГВГ с целью удвоения ча-
частоты выходного излучения Nd : YAG-лазера [таким образом, из
ИК-излучения (А = 1,06 мкм) получают зеленый свет (А =
= 532 нм)], а также для получения генерации перестраиваемого
УФ-излучения (вплоть до К « 205 нм) путем удвоения частоты
перестраиваемого лазера на красителях. В обоих этих случаях
в качестве источника используется либо непрерывный, либо им-
!) Вообще говоря, взаимодействием типа I называется такое взаимодей-
взаимодействие, при котором поляризации двух основных волн одинаковы (например,
также еа+еа —> о2(й), а взаимодействием типа II — взаимодействие, при
котором поляризации основных волн ортогональны.
8.4. Преобразование частоты 501
пульсный лазер. Нелинейные кристаллы, наиболее часто при-
применяемые для ГВГ, принадлежат точечной группе симметрии
42т; в частности, к ним относятся кристаллы KDP, KD*P и
CDA. Недавно стали широко применяться новые материалы
КТР и р-ВаВ2О4 в качество удвоителей частоты для Nd : YAG-
лазеров, а также (в случае E-ВаВ2О4) в качестве удвоителей ча-
частоты для лазеров на красителе; при этом генерируется ультра-
ультрафиолетовое излучение вплоть до ~ 200 нм. Другим интересным
примером является эффективное преобразование частоты ИК-
излучения СО2 или СО-лазеров на халькопиритовых полупро-
полупроводниках (например, на CdGeAs2).
8.4.1.2. Параметрическая генерация
Перейдем теперь к обсуждению процесса параметрической
генерации. Начнем с замечания, что идеи, высказывавшиеся ра-
ранее в связи с ГВГ, нетрудно распространить на случай двух па-
падающих волн с частотами ©i и ©2, суммирующихся в волну с ча-
частотой ©з = ©1+а>2 (генерация суммарной частоты). Генерацию
гармоник можно в действительности представить как предель-
предельный случай генерации суммарной частоты с ©i = ©2 = © и ©3 =
= 2©. Физическая картина опять очень похожа на случай ГВГ:
благодаря наличию нелинейного соотношения (8.41) между
рнелин и полным полем Е [E=Eu>1(z, /) + Em(z, /)] между вол-
волной с ©1 и волной с ©2 возникнут биения, что приведет к обра-
образованию компоненты поляризации с частотой ©3 = ©i + ©2- Это
затем приведет к излучению электромагнитной волны с частотой
©з- Таким образом, в случае генерации суммарной частоты мож-
можно написать следующее равенство:
Ащ + Й©2 = /г©,, (8.57а)
которое в представлении фотонов, а не полей означает, что ис-
исчезают один фотон с частотой ©i и один фотон с частотой ©2, в
то время как образуется фотон с частотой ©3. Поэтому мы пред-
предполагаем, что в этом процессе импульс фотонов также сохра-
сохраняется, т. е.
Ak, + hk2 = hk3. (8.576)
Это соотношение записано в своей общей форме, причем k яв-
является вектором. Соотношение (8.576), которое выражает усло-
условие фазового синхронизма в случае генерации суммарной ча-
частоты, можно рассматривать как прямое обобщение этого усло-
условия для ГВГ [ср. с соотношением (8.516)].
Оптическая параметрическая генерация представляет собой
в действительности процесс, обратный генерации на суммарной
502
8. Преобразование лазерного пучка
частоте. В этом случае волна с частотой &>3 (частота накачки)
генерирует две волны (называемые паразитной и сигнальной
волнами) с частотами ац и &>2 таким образом, что полные энер-
энергия и импульс фотона сохраняются, т. е.
/коз = Нщ + /ico2, hk3 = hkl +hk2. (8.58а, б)
Физический процесс, имеющий место в этом случае, можно пред-
представить себе следующим образом. Вообразим сначала, что в не-
нелинейном кристалле присутствуют одновременно сильная волна
с частотой (о3 и слабая волна с частотой шь В результате нели-
нелинейного взаимодействия (8.41) волна с частотой &>3 образует
биения с волной, имеющей частоту wi, что приводит к возник-
возникновению компоненты поляризации с частотой &>3 — &>i = &>2. Если
удовлетворяется условие фазового синхронизма (8.586), то вол-
волна с частотой (о2 будет
нарастать по мере своего
прохождения через крис-
кристалл. При этом полное по-
поле Е будет в действитель-
действительности суммой трех полей
[? = ?W1B, 0+ ?<*(*, 0 +
+ ?и3 (г, /) ], а между
1 Оптическая 2
Рис. 8.8. Схематическое представление оп-
оптического параметрического генератора.
волнами с частотой &>2 и
(о3 возникают биения, что
приводит к появлению
компоненты поляризации с частотой &>3 — (о2 = юь Эта поляри-
поляризация также вызовет нарастание волны ац. Следовательно, от
волны с частотой &>3 энергия будет передаваться волнам с час-
частотами (Di и (о2, и исходная слабая волна с частотой &>i будет
усилена. Из этой картины видно, в чем состоит коренное отли-
отличие параметрической генерации от ГВГ. Если в последнем слу-
случае для осуществления процесса ГВГ необходимо иметь лишь
один сильный пучок на основной частоте, то в первом случае не-
необходимо иметь также и слабый пучок волн с частотой wi, при-
причем система ведет себя как усилитель для волны с частотой &>i
(и (о2). Однако на практике нет необходимости вводить слабый
пучок от внешнего источника (например, от другого лазера),
поскольку он генерируется внутри кристалла в виде шума (на-
(называемого параметрическим шумом). Из этого шума можно за-
затем генерировать когерентные пучки способом, аналогичным
тому, который применяется в лазерном генераторе. С этой целью
в оптический резонатор помещается нелинейный кристалл, ко-
который накачивается соответствующим сфокусированным пучком
накачки (рис. 8.8). В таком параметрическом генераторе оба
зеркала A и 2) имеют высокий коэффициент отражения (на-
8.4. Преобразование частоты 503
пример, /?i = 1 и /?2 « 1) либо только на частоте &>i (однорезо-
наторный генератор), либо на двух частотах o>i и &>2 (двухре-
зонаторный генератор). Для пучка накачки зеркала являются
достаточно прозрачными. Генерация возникает, когда усиление,
обусловленное параметрическим эффектом, начнет превышать
потери в оптическом резонаторе. Следовательно, для начала ге-
генерации нужна некоторая пороговая энергия входного пучка на-
накачки. Когда этот порог достигнут, генерация наступает как на
частоте ац, так и на ©2, а конкретное сочетание величин &>i и &>2
определяется соотношениями (8.58). Например, при условии
фазового синхронизма типа I, в котором участвуют необыкно-
необыкновенная волна с частотой щ и обыкновенные волны с частотами
&>! и (о2 (т. е. еш,->Ош1 + ош), из соотношения (8.586) получаем
(л3пе((л3, 9) = (о1л0((о1) + (о2л0((о2). (8.59)
При данном значении угла & (т. е. при известном наклоне нели-
нелинейного кристалла по отношению к оси резонатора) соотноше-
соотношение (8.59) определяет связь между ац и (о2, а вместе с соотно-
соотношением (8.58а) оно позволяет вычислить обе частоты &>i и &>2.
Можно реализовать условия фазового синхронизма как типа I,
так и типа II (например,ew,—>ow, + em в отрицательном одно-
одноосном кристалле), а перестройку можно осуществлять измене-
изменением либо наклона кристалла (угловая перестройка), либо тем-
температуры (температурная перестройка). В заключение заметим,
что если усиление, обусловленное параметрическим эффектом,
достаточно велико, то можно обойтись и вовсе без зеркал, а ин-
интенсивное излучение на частотах &>! и &>2, происходящее от па-
параметрического шума, можно получить за один проход через
кристалл. Это внешне очень похоже на явления суперлюминес-
суперлюминесценции и усиленного спонтанного излучения, которые рассмат-
рассматривались в разд. 2.7, и иногда (довольно необоснованно) назы-
называется суперлюминесцентным параметрическим излучением.
На практике применяются как однорезонаторные, так идвух-
резонаторные оптические параметрические генераторы. Двухре-
зонаторную параметрическую генерацию можно получить при
накачке от непрерывных и импульсных лазеров. При этом ока-
оказалось, что в случае непрерывной накачки пороговые мощности
составляют всего несколько милливатт. Но наличие резонанса
сразу на двух частотах вызывает некоторую нестабильность из-
излучения на выходе как по амплитуде, так и по частоте. Одно-
резонаторная параметрическая генерация была осуществлена
лишь при накачке от импульсных лазеров, поскольку в случае
резонанса на одной частоте пороговая мощность накачки ока-
оказывается значительно более высокой (на два порядка величины),
504 8. Преобразование лазерного пучка
чем в случае двухчастотного резонанса. Однако в однорезона-
торных генераторах стабильность сигнала на выходе намного
лучше, а требования к зеркальным покрытиям не столь строги.
Вследствие этого наиболее распространенной является одноре-
зонаторная схема. В настоящее время достаточно хорошо
разработаны оптические параметрические генераторы, дающие
когерентное излучение, в диапазоне длин волн от видимого до
инфракрасного @,5—3,5 мкм). Наиболее успешной конструк-
конструкцией является та, в которой используется кристалл ниобата ли-
лития (LiNbO3), с накачкой от Nd : YAG-лазера. Однако эти гене-
генераторы имеют конкурентов со стороны лазеров на центрах ок-
окраски, которые работают в том же ИК-Диапазоне. Оптические
параметрические генераторы могут также генерировать коге-
когерентное излучение и на более длинных волнах ИК-диапазона
(примерно до 14 мкм), если использовать в них такие кристал-
кристаллы, как прустит (Ag3AsS3) и селенид кадмия (CdSe). Эффек-
Эффективность этих генераторов может быть также очень высокой
(приближаясь к теоретической 100%-ной фотонной эффектив-
эффективности).
8.4.2. Аналитическое рассмотрение
Чтобы подойти вплотную к аналитическому описанию как
ГВГ, так и параметрических процессов, необходимо показать,
каким образом можно ввести в волновое уравнение нелинейный
член поляризации [например, в виде (8.41)], вызывающий ге-
генерацию волн. Поля в среде удовлетворяют уравнениям Макс-
Максвелла:
VXE = -4?-, VXH = J + f, (8.60a, б)
VD = p,. V-B = 0, (8.60b, г)
где р — плотность свободного заряда. Для среды, представляю-
представляющей интерес в нашем случае, можно считать, что намагничен-
намагниченность М равна нулю. Таким образом, мы имеем
(8.61)
Потери в среде (например, вследствие рассеяния) могут быть
учтены введением воображаемой проводимости as таким обра-
образом, чтобы выполнялось соотношение
J = (TSE. (8.62)
Окончательно можно записать следующее выражение:
D = еоЕ + Рлик + Риелин = еЕ + Ркелин, (8.63)
8.4. Преобразование частоты 505
где Рли" — линейная поляризация среды, которую обычно учи-
учитывают введением диэлектрической проницаемости е. Покажем
теперь, что если в уравнение Максвелла подставить величину D,
определяемую соотношением (8.63), то в волновом уравнении
появляется нелинейный член поляризации риеЛни. Применим к
обеим частям уравнения (8.60а) оператор V и заменим в пра-
правой части этого уравнения порядок следования операторов V и
d/dt. Используя при этом выражения (8.606) и (8.61) — (8.63),
сначала получаем
/ rIF Я2Р а2риелни \
V X V X Е = -|io(tr.-f- + е-Ц- + jLV-J- (8-64)
Учитывая здесь тождество VX^XE = V(V-E)—V2E и предпо-
предполагая, что V-E«0, уравнение (8.64) можно переписать в виде
п ЯР 1 rJF 1 Д2г>нелин
Y72F __ -2i- --ZL L ° ь _1_ ° v (Я №\
V Е ее2 dt с2 dt2 ~ ее2 dt2 ' К ¦ >
где с = (ец0)~i/2 — фазовая скорость электромагнитной волны
в среде. Уравнение (8.65) представляет собой волновое уравне-
уравнение, в котором имеется нелинейный член поляризации. Заме-
Заметим, что член, учитывающий линейную поляризацию среды, вхо-
входит в левую часть этого уравнения и включен в диэлектриче-
диэлектрическую проницаемость е. Нелинейный же член Р"елии расположен
в правой части уравнения. Покажем, что этот член играет роль
источника волн, генерируемых на новых частотах, а также ис-
источника потерь падающей волны. В простом скалярном случае
плоских волн, распространяющихся вдоль оси z, уравнение
(8.65) принимает вид
д2Е as дЕ 1 д2Е __ 1 д2Рнелин 1
Амплитуда поля на частоте (О/ запишется следующим образом:
?"/B, i) = ±{El(z)exp[i(<uit-k,z)] + к. с.}, (8.66а)
где в общем случае ?; является комплексной величиной. Анало-
Аналогично для амплитуды нелинейной поляризации на частоте (О/
имеем
Р*Г" = \ {Р?лк" (z) exp [I (<*,t - kiZ)] + к. с.}. (8.666)
Поскольку уравнению (8.65а) должна удовлетворять по отдель-
отдельности каждая из распространяющихся в кристалле волн соот-
соответствующей частоты, в левую часть этого уравнения можно
подставить выражение (8.66а), а в правую его часть — выра-
выражение (8.666). В рамках приближения медленноменяющейся
506 8. Преобразование лазерного пучка
амплитуды можно пренебречь второй производной величины
Ej{z) (т. е. предположить, что d2Et/dz2 «С k/dEj/dz). При этом
уравнение (8.65а) принимает вид
dEi
'--^^ТТI3™' (8-67)
где были использованы соотношения k/ = я/(О//с0 и е. = л^е0
(со — скорость спета в вакууме, а я/ — показатель преломления
на частоте &>/).
Уравнение (8.67) мы будем использовать в последующих
разделах как основное. Заметим, что оно было получено в пред-
предположении существования скалярного соотношения между век-
векторами рнелнн и Е [см. (8.41)], что не является правильным.
В действительности же следует использовать тензорное соотно-
соотношение [см. (8.54)]. Однако можно показать, что, если Е/ теперь
рассматривать как компоненту поля вдоль некоторой оси, а в
выражении (8.41) коэффициент d заменить его эффективным
значением ^эфф, то предположение о скалярном соотношении ме-
между Р и Е оказывается справедливым. Вообще говоря, величина
^эфф представляет собой комбинацию одного или нескольких ко-
коэффициентов dim, входящих в (8.54), и углов 9 и ф, определяю-
определяющих направление распространения волны в кристалле [16] (Q—
угол, который волновой вектор составляет с осью г, а ф — угол,
который проекция волнового вектора на плоскость ху составляет
с осью х кристалла). Например, в случае кристалла точечной
группы симметрии 42т и фазового синхронизма типа I полу-
получаем ^Эфф = d3e sin 2ф sin 6. Однако для простоты записи в соот-
соотношении (8.41) сохраним символ d, помня при этом, что на са-
самом деле это й?Эфф, т. е. эффективное значение коэффициента d.
8.4.2.1. Параметрическая генерация
Рассмотрим теперь три волны с частотами а>\, (о2 и (о3 (при-
(причем (О3 = а>1 +(о2), взаимодействующие в кристалле. Общее поле
E(z, t) этих волн можно записать в виде следующей суммы:
Е (z, 0 = ?"" B, 0 + Е°* (z, t) + Е«> (z, 0, (8.68)
где каждое из полей определяется выражением (8.66а). Под-
Подставляя (8.68) в соотношение (8.41) и используя (8.66а), полу-
получаем выражение для компонент Р"елин (г) [аналогичное выраже-
выражению (8.666)] нелинейной поляризации на различных частотах (о,-.
Выполнив утомительные, но несложные алгебраические преоб-
8.4. Преобразование частоты 507
ТТД Tf TJ JJ
разования, находим, что, например, компонента Pi на ча-
частоте (Oi дается выражением
рнелнн = 2ео^^ B) ?. ф ej(p r. (/;i + k2_ ?з) 2]_ (8_69)
Компоненты нелинейной поляризации на частотах &>2 и &>3 вы-
вычисляются аналогичным образом. Подставляя в уравнение
(8.67) компоненты величины рнелнн? соответствующие трем ча-
частотам, получаем следующие три уравнения:
(8.70a)
(8.706)
dE3 ( CT3 Л г, ¦/* \..п г - г _/(? _|_? _?)z].
(8.70в)
Это основные уравнения, описывающие нелинейное параметри-
параметрическое взаимодействие. Заметим, что они связаны между собой
посредством нелинейного коэффициента d.
На данном этапе удобно определить новую полевую перемен-
переменную Aj\
Aj^^hf'E,. (8.71)
Поскольку интенсивность волны равна //= яуеоСо|?/|2/2. соот-
соответствующий поток фотонов F/ можно записать в виде F/ =
= Ij/hbH/ = (воСо/2Й) \А/\2. Таким образом, величина \А/\2 про-
пропорциональна потоку фотонов на частоте (о/, причем коэффи-
коэффициент пропорциональности не зависит от щ и &>;. В этих новых
полевых переменных уравнения (8.70) принимают вид
4 ^ ехр [~'(Mz)]' (8-72а)
. ехр {_ . {ш)] ^
где мы положили a.j^ajlnfioco, Ak = k3 — k2 — &i и
. (8.73)
Со V
508 8. Преобразование лазерного пучка
Преимущество использования А/ вместо Е,- очевидно, поскольку
в противоположность уравнениям, (8.70) в уравнения (8.72) вхо-
входит единственный параметр связи X.
Пренебрегая потерями (т. е. полагая а/ = 0), умножая обе
части уравнения (8.72а) на А\, а обе части уравнения (8.726)
на Л* и сравнивая полученные выражения, приходим к следую-
следующему соотношению: d\A1\2/dz = d\A2\2/dz. Выполняя анало-
аналогичные преобразования уравнений (8.726) и (8.72в), получаем
d\A2\2/dz = —d\A3\2/dz. Следовательно, можно написать сле-
следующие равенства:
ALAJ* _ d I АЛТ _ d\_A%\* ф74^
dz dz dz '
которые называются соотношениями Мэнли — Роу. Поскольку
величина \А\2 пропорциональна соответствующему потоку фо-
фотонов, из этих соотношений следует, что всякий раз, когда уни-
уничтожается фотон с частотой &>з, образуются фотоны с частотами
&>1 и &>2. Это согласуется с фотонной моделью параметрического
процесса, обсуждавшейся в разд. 8.4.1.2. Следует заметить, что
из соотношений (8.74) вытекает, например, следующее равен-
равенство: dPi/dz = —((Oi/(o3) (dP3/dz), где Pi и Р3 — мощности со-
соответствующих волн. Таким образом, в излучение с частотой &>i
может быть преобразована лишь часть (Oi/(o3 мощности излуче-
излучения с частотой (о3.
Строго говоря, уравнения (8.72) справедливы в случае «бе-
«бегущей» волны, когда в кристалле произвольной длины распро-
распространяются три волны с частотами (оь иг, соз- Покажем теперь,
каким образом эти уравнения можно применить к случаю опти-
оптического параметрического генератора, схематически показанного
на рис. 8.8. Рассмотрим сначала этот генератор, работающий
по схеме двойного резонатора. В этой схеме внутри резонатора
в прямом и обратном направлениях распространяются две вол-
волны с частотами &>i и (о2. Параметрический процесс имеет место
здесь только тогда, когда направления распространения этих
волн и волны накачки совпадают (поскольку лишь при данных
обстоятельствах удовлетворяется условие фазового синхрониз-
синхронизма). Если «развернуть» оптический путь волны в резонаторе
так, как показано на рис. 8.9, а, то из рисунка очевидно, что
волны испытывают потери на любом участке пути, в то время
как параметрическое усиление имеет место лишь на одном из
двух отрезков пути. Эту ситуацию можно эквивалентно предста-
представить в виде схемы, приведенной на рис. 8.9, б, если соответст-
соответствующим образом определить коэффициент эффективных потерь
а, (/=1, 2). Потери, определяемые на рис. 8.9,6 длиной кри-
8.4. Преобразование частоты
509
сталла /, на самом деле должны быть равны потерям при двой-
двойном проходе резонатора, как показано на рис. 8.9, а. Послед-
Последние представляют реальные потери в кристалле, а также потери,
обусловленные дифракцией и отражением на зеркалах. Следова-
Следовательно, входящие в уравнения (8.72) коэффициенты ai и а2 дол-
должны быть определены таким образом, чтобы они учитывали эти
различные потери. Из (8.72), пренебрегая параметрическим вза-
взаимодействием (т. е. полагая
д, = 0), мы видим, что после
прохождения пути /, равного
длине кристалла, мощность
излучения на частоте (о/ (/=
= 1,2) уменьшается до доли
ехр (—а//) мощности излуче-
излучения на входе в кристалл.
При этом мы должны учи-
учитывать потери, которые ис-
испытывает излучение при
двойном проходе резонато-
Потери
зеркала!
Потери'
усиление
Пите/ш
зерна лав
I
Потери
зеркала I
ра. Таким образом, мы
имеем следующее выра-
выражение:
I Эффективные
' потери > усиление
Рис. 8.9. а — «развертка» оптического
пути в резонаторе оптического пара-
7^2 метрического генератора; Ъ — приведе-
' ) > ние оптического пути при двойном про-
(8.74а) ходе в резонаторе, показанного на
рис. а, к одному проходу, причем поте-
где R[j и R2/ — коэффициен- ри на зеркалах включены в распределе-
ты отражения соответствую- ние потерь в кристалле.
щих зеркал, а Т — потери
в кристалле (с учетом дифракционных потерь) за один проход
излучения с частотой (О/ через резонатор. Определим теперь
следующие величины [ср. с E.7)]: Yi/ = —Intfi/. Y2; = —In #2/,
Yy = — In A — T) и Y/ = \{yu + Y2/)/2] + \'r При этом выражение
(8.74a) принимает вид
<V = 2у/, (8.75)
где Y/ — общие потери в резонаторе за один проход. Заметим,
что это равносильно замене потерь, обусловленных отражением
от зеркал, потерями, распределенными по кристаллу, и после-
последующему включению их в эффективный коэффициент поглоще-
поглощения а/ (/=1, 2) кристалла. Величина же аз учитывает лишь
потери внутри кристалла, которыми, вообще говоря, можно пре-
пренебречь. Таким образом, на этом этапе мы можем утверждать,
что в случае двухрезонаторной параметрической генерации
уравнения (8.72) все еще справедливы при условии, что а\ и а2
510 8. Преобразование лазерного пучка
определяются выражением (8.75). Чтобы получить пороговое
условие параметрической генерации в двухрезонаторной схеме,
приведем уравнения (8.72) к более простому виду. Для этого
предположим, что можно пренебречь «истощением» волны на-
накачки за счет параметрического процесса. Используя это предпо-
предположение, а также предположение о том, что а3 = 0, мы можем
положить A3(z) «Л3@), где Л3@)— амплитуда падающей волны
накачки, которая считается вещественной. Если предположить
затем, что Д?=0 (идеальный фазовый синхронизм), то уравне-
уравнения (8.72) принимают существенно более простой вид:
dAx _ М| . g .. dA2 _ а2Аг . g .. (f. _fi fi.
dz ~~ 2 ' 2 2> dz ~ 2 2 Л1' У°-'оа> °>
где
g = 2XA3@) = 2d-Z^-(^Y2. (8.77)
Теперь нетрудно получить пороговое условие параметрической
генерации при двойном резонансе. Для этого в уравнениях
(8.76) положим dAi/dz = dA2/dz = 0. В результате получим
следующую систему однородных уравнений:
-а2Л; = 0, (8.78a, б)
где в последнем уравнении левая часть является комплексно-
сопряженной относительно правой части уравнения (8.766). При
решении этой однородной системы уравнений ненулевые значе-
значения А\ и А2 имеют место лишь при условии, что
(8.79)
Последнее выражение мы записали с помощью соотношения
(8.75). Из (8.77) мы видим, что g2 пропорциональна величине
?з@), т. е. интенсивности волны накачки. Таким образом, ус-
условие (8.79) означает, что для возбуждения параметрической ге-
генерации необходима определенная пороговая интенсивность вол-
волны накачки. Эта интенсивность пропорциональна произведению
потерь (по мощности) yi и Y2 двух волн с частотами &>i и ©2 за
один проход в резонаторе и обратно пропорциональна величи-
величинам d2 и /2.
Случай однорезонаторной параметрической генерации яв-
является несколько более сложным. Если лазерный резонатор на-
настроен лишь на частоту соь то <*i можно опять представить в
виде (8.75). Поскольку волна на частоте со2 не отражается об-
обратно в резонатор, аг будет включать в себя только потери в
кристалле, и, следовательно, эту величину можно не учитывать.
Пренебрегая «истощением» волны накачки и предполагая, что
8.4. Преобразование частоты 511
фазовый синхронизм является идеальным, уравнения (8.76) мо-
можно применить по-прежнему, но при условии, что а2 = 0. В слу-
случае когда параметрическое преобразование невелико, в правой
части уравнения (8.766) можно положить Л* (z) » A* @). Таким
образом, имеем следующее выражение:
A2(z) = -igA]@)z/2, (8.80)
при получении которого мы предположили, что Л2@)=0 (т. е. из
резонатора в кристалл волна на частоте &>2 обратно не посту-
поступает). Если в (8.76а) подставить выражение (8.80) и в правой
части уравнения (8.76а) положить A{(z) «Л^О), то мы полу-
получим
Интегрирование этого уравнения дает следующее выражение
для амплитуды волны на частоте (оь после того как она пройдет
длину / кристалла:
Л, (/) = Л, @) A - а,//2 + дЧЩ. (8.82)
Пороговое условие достигается тогда, когда А^A) ^Л^О), т. е.
когда
(8.83)
Поскольку величина g2 пропорциональна интенсивности / вол-
волны накачки, сравнение выражений (8.83) и (8.79) дает отноше-
отношение пороговых значений интенсивности накачки:
/орг//дрг = 2М (8.84)
(здесь индексы ОРГ — однорезонансная генерация, ДРГ — двух-
резонансная генерация). Если выбрать потери за проход рав-
равными, скажем, Y2=2%, то из (8.84) находим, что пороговая
мощность для однорезонансной генерации должна быть в 100 раз
больше, чем для двухрезонансной.
8.4.2.2. Генерация второй гармоники
В случае ГВГ мы имеем:
E(z, 0 = (l/2){?a>exp[/((o/-^2)] + j?2a>exp[/B(o/-^2a>2)] + K. с.},
(8.85)
exp [i B(о/ - 62<oZ)] + к. с.}. (8.86)
512 8. Преобразование лазерного пучка
Подстановка (8.85) и (8.86) в (8.41) дает
Р2ншлин = е0 dEl exp [- i Bft« - k2(t)) г], (8.87a)
„ели„ ^ ^_ . ^ _ 2ft^ ^ (8.876)
Затем, подставляя выражение (8.87) в (8.67) и пренебрегая по-
потерями в кристалле (т. е. полагая (Т/ = 0), получаем
г=
dE<" • ш J~ ~ --' ••'- (8.886)
здесь &k = k2a — 2&0). Уравнения (8.88) являются основными для
описания генерации второй гармоники. Чтобы их решить, удоб-
удобно определить новые полевые переменные Е'^ и Е2(Л следующим
образом:
(8.89а, б)
Отсюда мы видим, что, поскольку интенсивность /w волны с ча-
частотой (о пропорциональна произведению п^Е^2, интенсивность
|?^|2 также пропорциональна величине /w, но теперь коэффи-
коэффициент пропорциональности не зависит от показателя преломле-
преломления. Подстановка выражений (8.89) в (8.88) приводит к сле-
следующим уравнениям:
dE' i е
2ш
2ш
'2
dz /вг
ехр [*№)], (8.90а)
"еХр [~ '(М2)]' (8"90б)
где ?^@)— значение ?^ в точке 2 = 0, а /вг—характерная
длина взаимодействия второй гармоники, определяемая выра-
выражением
/вг= 2nd?e@) ' (8'91)
где Я.о — длина волны, а Еа@)—амплитуда поля основной вол-
волны на частоте (о. Заметим снова, что преимущество использо-
использования новых полевых переменных Е'а и Е'2а с очевидностью
следует из выражений (8.90), так как они содержат один един-
единственный параметр связи /Вг. Кроме того, подчеркнем, что вели-
величины ?о,@), а следовательно, и Е'ы@) являются веществен-
8.4. Преобразование частоты
513
ными. Из (8.90) получаем соотношение Мэнли — Роу
d | Е'ы \2/dz = -d\E'u> \2/dz. (8.92)
Отсюда следует, что в рассматриваемом случае возможно 100%-
ное преобразование мощности основной волны в мощность излу-
излучения на второй гармонике.
В качестве первого примера рассмотрим решение системы
уравнений (8.90) в случае, когда фазовое рассогласование столь
велико (т. е. /вг Аи 3> 1), что во вторую гармонику преобразует-
преобразуется лишь очень небольшая доля мощ-
мощности основной волны. Поэтому в
правой части уравнения (8.90а) сле-
следует положить Е'ш(г) = Е'ш @). Полу-
Получающееся при этом уравнение не-
нетрудно проинтегрировать [с гранич-
граничным условием Е'2(л{О) = оу Таким
образом, решение уравнения (8.90а)
запишется в виде
?20,0 = -
Е'о @) |- ехр (- i Ш) -
I
вг
\k
¦]•
откуда получаем
sin2 (ДА//2)
(8.93)
(8.94)
0,2-
Рис. 8.10. Нормированные кри-
кривые зависимости интенсивно-
интенсивности второй гармоники /га> и
интенсивности излучения на
основной частоте /ш от длины
кристалла / при идеальном
Поскольку величина \Е'2а\2 пропор- фазовом синхРонизме (сплош"
ные кривые) и некотором фа-
фазовом рассогласовании (штри-
(штриховые кривые).
циональна интенсивности /2Ш вто-
второй гармоники, из последнего выра-
выражения нетрудно получить зависи-
зависимость этой интенсивности от длины кристалла /. В соответствии
с (8.92) интенсивность /w должна быть такой, чтобы выполня-
выполнялось равенство /w + /2о> = /о>@). На рис. 8.10 в виде штрихо-
штриховых кривых приведены зависимости относительных величин
Д)//м@) и /2ю//(й@) от ///Вг при /вгАб = Ю. Заметим, что
вследствие большого фазового рассогласования во вторую гар-
гармонику из основных сигналов передается лишь очень небольшая
доля мощности. С помощью (8.94) нетрудно показать, что пер-
первый максимум величины [/2о>//а>@)] достигается при /^/с, где
1с (длина когерентности) определяется выражением (8.49).
В качестве второго примера рассмотрим решение уравнений
(8.90) в случае, когда имеет место идеальный фазовый синхро-
синхронизм (Д? = 0). В этом случае может происходить довольно
17 О. Звелто
514 8. Преобразование лазерного пучка
заметное преобразование во вторую гармонику и, следовательно,
необходимо учитывать истощение пучка на основной частоте.
Таким образом, при решении уравнений (8.90) мы не можем те-
теперь полагать E'a(z) = Е'ш@). Однако если Д/г =0, то из уравне-
уравнений (8.90) можно показать, что величина Е'2(Л является мнимой,
а Е'а — вещественной. Иными словами, мы имеем
К = \Е'Л EL=-l\EL\- (8.95а, б)
При этом уравнения (8.90) принимают вид
44| = —L 14.Ц41 (8>96а)
dz /вг ?ш@)
fi?y = _Ll?it. (8.966)
dz /вг ?^@) '
Решения уравнений (8.96) с граничными условиями ?^(/ = 0) =
= Е'а @) и Е'2(Л @) = 0 записываются в виде
13J = К @) th B//вг), | Е'а | = Е'а @) sch (z//Br). (8.97а, б)
Поскольку интенсивность волны пропорциональна | Е' |2, можно
написать следующие соотношения: /2(I)//M @) = | Е'ш \2/E'J @) и
/ш//м@) ^ |?^|-'/?'о2@). Вычисленные с помощью выраже-
выражений (8.97) зависимости величин /ги/ЛЛО) и /^//^(O) от длины
кристалла представлены на рис. 8.10 в виде сплошных кривых.
Заметим, что когда / = /вг,, во вторую гармонику преобразуется
значительная доля (~59%) падающей волны. Это наглядно
показывает роль /вг как характерной длины взаимодействия
второй гармоники. Ее величина обратно пропорциональна квад-
квадратному корню из интенсивности пучка на основной частоте
[см. (8.91)]. Следует также заметить, что, когда / 3> /вг, излу-
излучение накачки в соответствии с соотношением Мэнли — Роу
(8.92) может быть полностью преобразовано в излучение второй
гармоники.
8.5. Временное преобразование; сжатие импульса
В этом разделе мы рассмотрим кратко явление сжатия им-
импульса. Это явление — один из примеров многих типов времен-
временного преобразования, которому может быть подвергнут лазер-
лазерный пучок до его применения на практике. Однако, прежде чем
приступить к такому преобразованию, имеет смысл сделать ко-
короткое отступление, чтобы напомнить такие понятия, как фазо-
фазовая скорость, групповая скорость и дисперсия групповой скоро-
сии светового импульса.
8.5. Временное преобразование; сжатие импульса
515
Рассмотрим среду, характеризующуюся конкретным диспер-
дисперсионным уравнением, т. е. данным соотношением между волно-
волновым числом k и частотой w (рис. 8.11). Это означает, что элек-
электрическое поле плоской линейно-поляризованной и монохрома-
монохроматической электромагнитной вол-
волны с частотой (о будет распро-
распространяться вдоль оси z в соот-
соответствии с выражением Е ~
~exp[i((o/ — kz)], где k = k((o)
определяется дисперсионным
уравнением среды. Поскольку фа-
фаза волны равна
— Ш — kz,
(8.98)
скорость данного фазового фрон-
фронта будет такова, что элементар-
элементарные изменения dt и dz временной
и пространственной координат
должны удовлетворять условию
af$ = co dt—k dz=0. Отсюда сле-
следует, что фазовый фронт движет-
движется со скоростью
оф = </г/Л = со/й, (8.99)
которая называется фазовой ско-
скоростью волны. Рассмотрим теперь
световой импульс, распростра-
распространяющийся в среде, и пусть со0 и
Дсо0 — центральная частота и ши-
ширина соответствующего спектра
(рис. 8.11, а). Предположим, что
дисперсионное уравнение в пре-
пределах ширины линии Дсо0 может
быть линеаризовано. Другими
словами, запишем его следующим
образом: k = k0 + (dk/d(o)(t)_(ijt> X
Х(со—coo), где ko — волновое чис-
число, соответствующее частоте wo- В этом случае, выполняя преоб-
преобразование Фурье электрического поля волны:
Рис. 8.11. а — фазовая скорость и
групповая скорость в среде; б —
дисперсия времени задержки двух
импульсов с несущими частотами
coi и сог; в — дисперсия группо-
групповой скорости для импульса с ши-
широким спектром.
E(t,z) =
(8.100)
oij —Д(Оо/2
17'
516 8. Преобразование лазерного пучка
и подставляя приведенное выше линейное соотношение для k
в зависимости от w — ©0, получаем
Лаю/2
(8.101)
где Дсо = (о — (до- Заметим, что после интегрирования получается
функция переменной t—(dk/da>)z. Таким образом, выражение
(8.101) можно представить в виде
E(t,z) = A[i- (z/vg)] exp [i (<u0t - koz)], (8.102)
где A — амплитуда волны или волнового пакета, exp[i((o0t —
— koz)] —несущая волна, a vg дается выражением
k. (8.103)
Тот факт, что амплитуда волны является функцией переменной
/ — z/vg, означает, что волновой пакет распространяется со ско-
скоростью vg без изменения формы. Эта скорость называется груп-
групповой скоростью импульса, а ее величина в соответствии с
(8.103) определяется наклоном кривой зависимости соF) в точке
(о = со0. Обратившись к выражению (8.102), заметим, что несу-
несущая волна импульса распространяется со скоростью v=<s>o/ko,
т. е. с фазовой скоростью непрерывной волны на частоте со=со0.
Заметим также, что в общем случае дисперсионного уравнения,
представленного на рис. 8.11, а, фазовая скорость несущей вол-
волны отличается, вообще говоря, от групповой скорости. Посмо-
Посмотрим теперь, что происходит, когда в среде распространяются
два импульса, имеющих ширины спектральных линий соответ-
соответственно Д&>1 и Д(о2 с центрами при coi и &>2 (рис. 8.11,6). Если
наклоны дисперсионной кривой на этих двух частотах имеют
разные значения, то оба волновых пакета распространяются
с различными групповыми скоростями ug, и vg2. Таким образом,
если максимумы обоих импульсов входят в среду одновременно,
то после прохождения ими в среде расстояния L они стано-
становятся разделенными во времени на величину задержки
Если допустить, что дисперсионное уравнение в диапазоне ча-
частот coi — со2 можно аппроксимировать параболой, то справедли-
справедливым будет выражение (dk/du>J = (dk/du>)i + (d2k/d(a2)i((ji2 —
— a>i) и, таким образом, величину Дт<* можно записать в виде
Axd = L (d2k/dti>\ (щ - (DO. (8.105)
8.5. Временное преобразование; сжатие импульса 517
Рассмотрим теперь случай, когда световой импульс имеет столь
большую ширину линии Дсоо, что линейный закон не будет более
хорошо аппроксимировать дисперсионное уравнение (рис. 8.11, в).
В этом случае различные спектральные области импульса рас-
распространяются с различными групповыми скоростями и, следо-
следовательно, форма импульса меняется во время распространения.
Выбрав две соседние элементарные спектральные области им-
импульса вблизи частоты &>, разделенные элементарным частотным
интервалом da, определим изменение временной задержки d
Дифракционная
Рис. 8.12. Экспериментальная установка для сжатия импульсов,
В соответствии с (8.105) эта величина дается выражением
dxd = L (d2k/d(a2) da. (8.106)
Представив величину did в форме (8.106), обычно определяют
дисперсию групповой скорости (ДГС) в виде
RTC = d2kld(o2. (8.107)
Заметим, что поскольку vg = da/dk, можно также написать
ЛГС= ( g) =--r^g-. (8.108)
rfco vg da
Из соотношений (8.106) — (8.108) следует, что дисперсию вре-
временной задержки dra/da можно представить в виде
drd= d'k d(L/vg)
~Ж d^= rfco • (8Л09)
Сделав эти предварительные замечания, можно продолжить
рассмотрение метода сжатия сверхкоротких лазерных импуль-
импульсов. Соответствующее устройство схематически представлено на
рис. 8.12. Импульс лазера, работающего в режиме синхрониза-
синхронизации мод, с относительно небольшой максимальной мощностью
(например, Рр = 2 кВт) и большой длительностью импульса (на-
(например, хР = 6 пс) пропускается через одномодовое кварцевое
518 8. Преобразование лазерного пучка
оптическое волокно подходящей длины (например, 1=3 м).
Длина волны импульса (например, Л, ^ 590 нм) попадает в об-
область положительной дисперсии групповой скорости волокна
(обычно А,<1,3 мкм). Заметим, что, согласно (8.108), поло-
положительная дисперсия групповой скорости означает, что груп-
групповая скорость уменьшается с увеличением несущей частоты.
После выхода из волокна импульс коллимируется и про-
проходит через систему двух одинаковых дифракционных решеток,
расположенных параллельно друг другу. Наклон этих решеток
и расстояние между ними необходимо подобрать вполне опреде-
определенным образом, описанным ниже. При выполнении этих опре-
определенных условий выходной пучок состоит из светового им-
импульса, длительность которого значительно меньше, чем у вход-
входного импульса (например, тР = 200 фс), и, следовательно, пико-
пиковая мощность намного больше (например, Рр = 20 кВт). Таким
образом, устройство, изображенное на рис. 8.12, позволяет полу-
получить очень большой коэффициент сжатия (например, в нашем
случае около 30). Перейдем теперь к рассмотрению достаточно
непростых явлений, происходящих во время сжатия импульса
[17].
Рассмотрим сначала процессы, которые имеют место при
распространении импульса в оптическом волокне. Прежде всего
заметим, что при данном диаметре небольшого ядра одномодо-
вого волокна (~ 4 мкм) импульс создает внутри ядра очень вы-
высокую интенсивность излучения. В этих условиях поле световой
волны вызывает значительные изменения показателя преломле-
преломления 6п материала волокна. В действительности это изменение 6п
пропорционально квадрату амплитуды поля импульса, так что
мы можем записать 6п = п.2еЛ2, где для кварца Пче ~
« 10~22 м2/В2. Это явление обычно называют оптическим эф-
эффектом Керра. Поскольку интенсивность / пропорциональна А2,
величину 8п можно записать в более общепринятом виде:
(8.110)
где для плавленого кварца я2; ~ Ю~16 см2/Вт. Заметим, что, по-
поскольку здесь речь идет о световом импульсе, мы явно указали
в (8.110) на то, что интенсивность / является функцией времени.
Это означает, что показатель преломления среды п = по + Ьп
(где По — показатель преломления в отсутствие поля) является
также функцией времени. Если потери в волокне малы, то им-
импульс может сохранить высокую интенсивность на протяжении
всего волокна, а это вызовет очень большую фазовую модуля-
модуляцию несущей. Предположим, что в действительности импульс на
входе в волокно имеет колоколообразную форму, как показано
сплошной линией на рис. 8.13, а, и пусть этот импульс распро-
8.5. Временное преобразование; сжатие импульси
519
страняется по бездисперсионному волокну на расстояние г. В от-
отсутствие дисперсии групповой скорости форма импульса не бу-
будет изменяться, и импульс, пройдя расстояние г по волокну, ис-
испытает сдвиг фазы ф, определяемый выражением
ф =(uQt — kz = (i>Qt
с0
Со
(8.111)
где coo — частота несущей входного импульса, а с0 — скорость
света в вакууме. Тогда мгновенное значение частоты светового
импульса в точке с координа-
той z можно записать в виде
, _ д (apt — kz) _
= (о0-^г«2/|[. (8.112)
Расстояние
Время, пс
Таким образом, мгновенное
значение частоты несущей со'=
= &>'(/) линейно зависит от
производной мгновенной интен-
интенсивности света по времени,
взятой с обратным знаком.
Следовательно, у импульса, по-
показанного на рис. 8.13, а, несу-
несущая частота будет изменяться
со временем так, как показано
сплошной линией на рис. 8.13, б.
Заметим, что вблизи пика им-
импульса, т. е. в той области, где
временную зависимость можно
описать параболой, мгновенное
значение частоты несущей ли-
линейно растет со временем (т.е.
говорят, что импульс обладает
положительным смещением1'; см. разд. 5.4.5). Заметим также,
что смещение частоты отрицательно на крыльях импульса, т. е.
при t <. (а или t > tB на рис. 8.13, б. Явление, которое мы только
что описали, носит название фазовой самомодуляции светового
импульса.
Рассмотренная до сих пор физическая ситуация не дает
полного представления о том, что происходит на самом деле
Рнс. 8.13. Завнснмостн от времени
интенсивности импульса (а) н часто-
частоты (б) при распространении в одно-
модовом волокне соответствующей
длины. Сплошная кривая соответ-
соответствует случаю отсутствия днсперснн
групповой скорости, а штриховая ¦—
наличию положительной днсперснн
групповой скорости в волокне.
1( Иногда говорят также «положительный чнрп» (калька с английского
positive chirp). Мы не пользуемся этим термином так же, как и «свнпирова-
ннем частоты» (frequency sweep), заменяя нх словом «смещение», имеющим
ясный физический смысл. — Прим. ред.
520 8. Преобразование лазерного пучка
в волокне, поскольку мы пренебрегли положительной дисперсией
групповой скорости. Этот эффект эвристически можно описать
следующим образом. Рассмотрим сначала форму невозмущен-
невозмущенного светового импульса в данный момент времени как функ-
функцию координаты z. Поскольку интенсивность импульса зависит
от z — vgt, где vg — групповая скорость, зависимость интенсив-
интенсивности импульса от переменной z та же, что и на рис. 8.13 при
условии, что мы изменим положительное направление оси на
противоположное и умножим масштаб времени на vg. Это озна-
означает, что точка, скажем А на рис. 8.13, а, в действительности
находится на переднем фронте, в то время как точка, скажем
В,— на заднем фронте. Заметим теперь, что в соответствии с
рис. 8.13,6 несущая частота импульса &)' вблизи точки А будет
ниже, чем в точке С, где частота примерно равна &>0. В то же
время несущая частота импульса вблизи точки В будет выше,
чем в С. Поскольку мы считаем, что волокно обладает положи-
положительной дисперсией групповой скорости, часть импульса вблизи
точки А будет двигаться быстрее, чем часть импульса вблизи
точки С, а последняя в свою очередь будет двигаться быстрее
области вблизи точки В. Отсюда следует, что при распростра-
распространении по волокну центральная часть импульса будет растяги-
растягиваться. При помощи тех же соображений можно показать, что
фронты импульса будут не растягиваться, а обостряться, так как
в этих областях смещение частоты отрицательно. Поэтому ис-
истинная форма импульса как функция времени в данной точке z
будет такой, как показано на рис. 8.13, а штриховой кривой. Со-
Соответствующая зависимость смещения частоты показана штри-
штриховой кривой на рис. 8.13,6. Из рис. 8.13, а мы видим, что из-за
уширения, обусловленного дисперсией групповой скорости, пико-
пиковая интенсивность импульса, указанного штриховой кривой,
меньше, чем для сплошной кривой. Заметим также, что по-
поскольку параболическая часть импульса распространяется те-
теперь на более широкую область вблизи пика, положительное
линейное смещение частоты распространяется на большую
часть импульса. Установив эти общие особенности взаимодей-
взаимодействия процессов фазовой самомодуляции и дисперсии групповой
скорости, мы можем показать, что если длина волокна доста-
достаточно большая, то на выходе волокна, показанного на рис. 8.12,
форма импульса и смещение частоты будут изменяться во вре-
времени так, как изображено на рис. 8.14. а и б. Заметим, в част-
частности, что положительное смещение частоты теперь линейно во
времени на протяжении большей части импульса. Соответствую-
Соответствующий спектр мощности этого импульса приведен на рис. 8.14, в.
Заметим, что благодаря фазовой самомодуляции ширина спек-
спектра (~ 50 см~') заметно превышает первоначальную ширину
8.5. Временное преобразование; сжатие импульса
521
спектра импульса на входе в волокно (которая определялась об-
обратной длительностью импульса, т. е. Av » 0,5/тР яг 2,8 см^1 для
рассмотренного случая тР » 6 пс) '>. Отсюда следует, что ши-
ширина полосы на выходе в основном определяется фазовой моду-
модуляцией, а не длительностью его огибающей.
Предположим теперь, что импульс на рис. 8.14, а (и 8.14,6)
пропускается через среду с отрицательной дисперсией группо-
групповой скорости. Используя те же рассуждения, что и в связи с
-го
-5 0 5 10
Время, пс
Рис, 8.14. Расчетные значения самоуширенпя (а) и фазовой самомодуляшш
@) исходного импульса длительностью б пс после распространения в одпо-
модопом волокне с положительном дисперсией групповой скорости па рас-
расстояние 30 м: спектр выходного импульса (в); сжатый импульс после про-
прохождения оптическом системы с отрицательной линейном дисперсией группо-
групповой скорости {г). (Согласно Гришовски м Баланту [17].)
рис. 8.13, можно показать, что область импульса вблизи точки
А будет двигаться медленнее, чем вблизи точки С, а эта в свою
очередь будет двигаться медленнее области вблизи точки В. От-
Отсюда следует, что импульс будет сжиматься. Предположим те-
теперь, что дисперсия групповой скорости среды помимо того, что
она отрицательна, не зависит также от частоты. Следовательно,
дисперсия нременной задержки dxd/da> будет также отрицатель-
отрицательной и не будет зависеть от частоты, т. е. ха линейно уменьшает-
уменьшается с частотой. Поскольку смещение частоты импульса увеличи-
увеличивается линейно со временем (см. рис. 8.14,6), все точки им-
импульса на рис. 8.14, я в случае, когда среда имеет соответствую-
соответствующую длину, сожмутся вместе в одно и то же время. Эту длину
можно определить с помощью соотношения [см. (8.103)]
)ld<u\Sto = T'p, (8.113)
11 Подчеркнем, что уширенпе спектра (т.е. появление в нем новых ча-
частот) обязано своим происхождением нелинейному эффекту зависимости по-
показателя преломления от интенсивности. Никакой линейный процесс не мо-
может привести к генерации новых частот.—Прим. ред.
522 8. Преобразование лазерного пучка
где Лео — полное смещение частоты импульса (~ 50 см-| в при-
примере, приведенном на рис. 8.14, б), ах'р — длительность импульса
(~ 23 пс в примере на рис. 8.14, а). Заметим, что сжатие вме-
вместе всех точек импульса означает переход частотной модуо'шции
импульса (показана на рис. 8.14) в амплитудную модуляцию.
Поскольку в процессе этой операции спектр импульса сохра-
сохраняется (т. е. он по-прежнему такой же, как на рис. 8.14, в), дли-
длительность сжатого импульса х" должна быть приблизительно
равна обратной ширине полосы спектра, т. е. х" =» 2л/Лсо ~
» 0,75 пс. Так как первоначальная длительность импульса была
равна Xd ~ 6 пс (рис. 8.12, а), данный результат означает, что
было достигнуто существенное сжатие импульса '>.
Следует заметить, что приведенное выше эвристическое рас-
рассмотрение основывалось на допущении, что импульс с частот-
частотным смещением может быть разделен на отдельные временные
отрезки с различными частотами несущей. Хотя данная идея в
принципе верна и позволяет дать простое описание явлений, бо-
более подробное рассмотрение этого подхода привело бы к некото-
некоторым концептуальным трудностям. Однако корректное аналити-
аналитическое рассмотрение в данном случае оказывается достаточно
прямолинейным, хотя при этом физика процесса становится бо-
более сложной и далекой от интуитивного представления. Для по-
получения сжатого импульса достаточно вычислить фурье-образы
?(со) импульсов, изображенных на рис. 8.14, а и б, и умножить
их в частотной области на пропускание /(со) среды с отрица-
отрицательной дисперсией групповой скорости. При этом результирую-
результирующий импульс получают вычислением обратного фурье-преобра-
зования произведения ?(со)/(со). Заметим, что в среде без по-
потерь пропускание /(со) представляет собой чисто фазовый член,
определяемый выражением
/ (со) = ехр (—/*?), (8.114)
где L — длина среды, а величина k = k(m) определяется диспер-
дисперсионным уравнением среды. Если среда имеет постоянную дис-
дисперсию групповой скорости, то &(со) можно разложить в ряд
Тейлора относительно центральной частоты несущей со0 с точ-
точностью до квадратичного члена:
k (со) = k («во) + k' (со„) (со - со0) + k" (co0) (со - со0J/2, (8.115)
" Аналогичные методы получения укороченных импульсов путем созда-
создания вначале линейного частотного смещения (чирпа) с последующим сжатием
импульса активно использовались в области радиолокации после Второй ми-
мировой войны (радары с частотной модуляцией).
8.5. Временное преобразование; сжатие импульса
523
где в соответствии с (8.103) и (8.107) мы имеем &'(cu0) = l/vg
и k" (щ) = ДГС. Подставляя данное разложение в выражение
(8.107) и производя обратное фурье-преобразование произведе-
произведения ?(ю)/(сй), находим, что если вторая производная й"(too)
отрицательна и удовлетворяет условию Lk"A® *» т/ [ср.
с (8.113)], то мы имеем оптимальное сжатие импульса. Опти-
Оптимально сжатый импульс, вычисленный таким образом, показан
на рис. 8.14, в. Длительность этого импульса имеет порядок
р = 0,б пс, что указывает на сжатие исходного импульса дли-
длительностью хР = 6 пс примерно в 10 раз.
Дифракционная
решетка Z
ифракционнсся
решетка 7
Рис. 8.15. Пара дифракционных решеток для сжатия импульса.
Все, что нам осталось, — это найти подходящую оптическую
систему, которая может обеспечить необходимую отрицательную
дисперсию групповой скорости, т. е. отрицательную дисперсию
групповой задержки dxd/du>. Одна из таких систем представляет
собой пару параллельных одинаковых дифракционных решеток,
изображенных на рис. 8.12 [18]. Чтобы это понять, обратимся
к рис. 8.15. На нем показана плоская волна, описываемая лучом
АВ, падающим на решетку 1. Волна распространяется под уг-
углом в к нормали решетки. Предположим, что падающая волна
состоит из двух синхронных импульсов с частотами wi и со2, при-
причем cu2>coi. Вследствие дисперсии решетки импульсы проде-
проделают пути соответственно ABCD и ABCD'. При этом мы видим,
что задержка, которую испытывает импульс на частоте сог, а
524 8. Преобразование лазерного пучка
именно Td2 = ABCD/vg, меньше задержки ха\ = ABC'D'/vg на
частоте соь Поскольку аJ>(оьэто означает, что дисперсия груп-
групповой задержки отрицательна. С помощью подробных расчетов
можно показать, что дисперсионное уравнение запишется в
виде [18]
drd _ (l/co')(XMg)BnLg/Xg)
da [1 — (sin 9 — Л/ЛйJ]3/2 '
где со — частота волны, К— ее длина, lg— период решетки, а
Lg — расстояние между решетками. Обратите внимание на знак
«минус» в правой части выражения (8.116), показывающий, что
дисперсия временной задержки действительно отрицательна. За-
Заметим также, что величину дисперсии можно менять, изменяя
Lg и(или) угол падения 6.
Система, показанная на рис. 8.12, применялась для осущест-
осуществления сжатия импульсов при самых различных условиях. На-
Например, импульсы длительностью около 50 фс на длине волны
Я zz 620 нм от лазера на красителе с синхронизацией мод на
сталкивающихся импульсах (усиленные лазерным усилителем
на красителе, накачиваемого лазером на парах меди) были
сжаты с применением волокна длиной около 10 мм до длитель-
длительности около 6 фс. Эти импульсы состоят примерно из трех опти-
оптических периодов и в настоящее время являются наиболее корот-
короткими. Импульсы длительностью около 6 пс (и пиковой мощ-
мощностью около 2 кВт) от лазера на красителе с синхронной на-
накачкой и с синхронизацией мод были сжаты с помощью си-
системы, показанной на рис. 8.12, с использованием трехметрового
волокна до длительности около 200 фс (Р„ = 20 кВт). Эти им-
импульсы были снова сжаты второй такой же системой, показан-
показанной на рис. 8.12, с волокном длиной 55 см до длительности
90 фс.
Задачи
8.1. Размер пятна в перетяжке гауссова пучка, излучаемого Не — Ne-лазе-
ром видимого диапазона, равен ш0 = 0,5 мм, Вычислите размер пятна пучка
и радиус кривизны поверхности равных фаз на расстоянии 10 м от пере-
тяжки пучка.
8.2. Гауссов пучок из предыдущем задачи нужно сфокусировать таким об-
образом, чтобы перетяжка пучка с размером пятна 50 мкм образовалась на
расстоянии 1 м от перетяжки исходного пучка. Какое фокусное расстояние
должна иметь линза н где она должна быть расположена?
8.3. Лазер имеет полуконфокальньш резонатор длиной 50 см. Для уменьше-
уменьшения расходимости выходного пучка за сферическим (выходным) зеркалом
резонатора помещается линза. Какое фокусное расстояние должна иметь
эта линза, чтобы размер пятна в образованной за линзой перетяжке пучка
составлял 0,95 размера пятна на сферическом зеркале?
Задачи 525
8.4. Получите формулы (8.4).
8.5. Выведите уравнение (8.10).
8.6. Выходное излучение Nd : YAG-лазера с модуляцией добротности (Е =
= 100 мДж, хр = 20 не) необходимо усилить с помощью усилителя па том
же кристалле диаметром 6,3 мм с усилением малого сигнала Go = 100.
Считая, что максимальное значение сечения лазерного перехода о* ~ 3,5Х
ХЮ~19 см2, вычислите энергию пучка за усилителем н, следовательно, уси-
усиление энергии. Вычислите также долю запасенной в усилителе энергии, кото-
которая извлекается падающим импульсом.
8.7. В большом лазерном усилителе на стекле с неодимом для эксперимен-
экспериментов по лазерному термоядерному синтезу активная среда имеет вид стержня
диаметром 9 см и длиной 15 см. Усиление малого сигнала в таком усилителе
Go = 4. Считая, что максимальное сечение лазерного перехода неодима в
стекле равно а = 3-10~20 см2, найдите энергию, которую должен иметь
входной импульс (длительностью 1 не), чтобы на выходе усилителя полу-
получить энергию 450 Дж. Какова полная энергия, запасенная в усилителе?
8.8. Большой TEA СО2-уснлитель (с газовой смесью СО2 : N2: Не = 3 : 1,4 : 1)
имеет размеры 10ХЮХЮ0 см. Для перехода РB0) коэффициент усиле-
усиления малого сигнала ag = 4-10^2 см~'. Длительность входного светового
импульса равна 200 не, что значительно превышает время термализацин
вращательных уровней и много меньше, чем время жизни нижнего лазер-
лазерного уровня. При этих условиях максимальное сечение перехода РB0)
можно выбрать равным о = 1,54-10~18 см2 и статистическую сумму равной
z = 0,07 (Т — 300 К). Вычислите энергию сигнала па выходе усилителя и
коэффициент усиления, которые можно получить от этого усилителя при
энергии на входе 17 Дж. Вычислите также энергию, запасенную в единице
объема усилителя.
8.9. Докажите справедливость выражения (8.39а) для трехуровневом си-
системы.
8.10. Выведите уравнение (8.32).
8.11. Покажите, что из соотношения (8.56) можно получить следующее выра-
выражение: sin29m= [(n°/n°J — l]/[(«2/«2J ~ ']' гДе п2 и ¦ ni; — показатели
преломления соответственно обыкновенного и необыкновенного лучей на
частоте 2о), а п° — показатель преломления обыкновенного луча на частоте со.
8.12. Требуется удвоить частоту излучения Nd: YAG-лазера (Я = 1,06 мкм)
в кристалле KDP. Известно, что KDP имеет по(Я=1,06 мкм) = п° =
= 1,507, по (Я = 0,532 мкм) = п? = 1,5283 и ng (Я = 0,532 мкм) = я| =
= 1,48222. Вычислите угол фазового синхронизма 9т.
8.13. Выведите выражение (8.69).
8.14. Используя соотношения (8.77) и (8.79), покажите, что пороговая ин-
интенсивность волны накачки в случае двухрезонаторной параметрической ге-
генерации дается выражением
2ZP) [ЯЯ/B/J] Y.Y2,
где 2= 1/еоСо = 377 Ом — волновое сопротивление свободного простран-
пространства, а >,i и Яг — длины соответственно сигнальной и паразитной волн.
8.15. Используя выражение, полученное в предыдущей задаче, вычислите
пороговую интенсивность накачки в случае параметрической генерации при
526 8. Преобразование лазерного пучка
X, ~ Я2 = I мкм в кристалле ннобата лития длиной 5 см, накачиваемом на
длине "волны ~/.3 « 0,5 мкм (п, = п2 = 2,16, п3 = 2,24, d « 6- Ю-'2 м/В,
у, = у2 = 2-10~2). Если в кристалле пучок фокусируется в пятно диамет-
диаметром около 100 мкм, то чему будет равна пороговая мощность на-
накачки?
8.16. Вычислите эффективность преобразования второй гармоники типа I
в случае идеального фазового синхронизма, когда это преобразование осу-
осуществляется в кристалле KDP длиной 2,5 см, причем падающий пучок имеет
длину волны >. = 1,06 мкм и интенсивность 100 МВт/см2 (для KDP я«
«1,5, й(эфф = die sin 9m = 0,28-102 м/В, где 8т = 50° — угол фазового
синхронизма).
Литература
1. a) Bloembergen N., Nonlinear Optics, Benjamin, New York, 1965. [Имеет-
[Имеется перевод: Бломберген Н. Нелинейная оптика. — М.: Мир, 1966.]
Ь) Ахманов С. А., Хохлов Р. В. Проблемы нелинейной оптики.—М.:
Наука, 1964.
2. Yariv A., Optical Electronics, 3rd edn., Holt, Rinehart and Winston, New
York, 1985, ch. 9, 12. [Имеется перевод 2-го издания: Ярив А. Введение
в оптическую электропику. — М.: Высшая школа, 1983.]
3. Svelto О. — In: Progress in Optics (ed. E. Wolf), North-Holland, Amster-
Amsterdam, 1974, v. XII, pp. 3—50.
4. Born M., Wolf E., Principles of Optics, 6th edn., Pergamon Press, Oxford,
1980, ch. X. [Имеется перевод 4-го издания: Борн М., Вольф Э. Основы
оптики. — М.: Наука, 1970.1
5. Lax М., Louisell W. H., McKnight W. В., Phys. Rev., All, 1365 A975).
6. Krlukov P. G., Letokhov V. S. — In: Laser Handbook (eds. F. T. Arecchi,
E. O. Schultz-Dubois), North-Holland, Amsterdam, 1972, v. 1, pp. 561—595.
7. Koechner W., Solid State Laser Engineering, Springer-Verlag, New York,
1976, ch. 4 (Springer-Series in Optical Sciences, vol. 1),
8. Sudd O. — In: High-Power Gas Lasers (ed. E. R. Pike), The Institute of
Physics, Bristol and London, 1976, p. 45—57.
9. Yariv A., Optical Electronics, 3rd edn., Holt, Rinehart and Winston, New
York, 1985, ch. 8. [Имеется перевод 2-го издания: Ярив А. Введение в
оптическую электропику.—М.: Высшая школа, 1983.]
10. Akhmanov S. A., Kovrigtn A. /., Sukhorukov A. P. — In: Quantum Electro-
Electronics (eds. H. Rabin, С. L. Tang), Academic Press, New York. 1975 v, 1,
part B, pp. 476—583.
11. Byer R. L. — In: Quantum Electronics (eds. H. Rabin, С L. Tang), Acade-
Academic Press, New York, 1975, v. 1, part B, pp. 588—694.
12. Franken P. A., Hill A. E., Peters С W., Weinreich G. Phys. Rev. Lett. 7,
118 A961).
13. Giordmaine J. A., Miller R. C, Phys. Rev. Lett., 14, 973 A965).
14. Giordmaine J. A., Phys. Rev. Lett., 8, 19 A962).
15. Maker P. D. et al., Phys. Rev. Lett., 8, 21 A962).
16. Zernike F., Midwinter J. E., Applied Nonlinear Optics, Wiley, New York,
1973, sec. 3.7. [Имеется перевод: Цернике Ф., Мидвинтер Дж. Приклад-
Прикладная нелинейная оптика. — М.: Мир, 1976.1
17. Grischkowsky ?>., Balant А. С, Appl. Phys. Lett., 41, 1 A982).
18. Treacy E. В., IEEE J. Quantum Electron., QE-5, 454 A969).
Приложения
ПРИЛОЖЕНИЕ А
Полуклассическая теория взаимодействия
излучения с веществом
В последующих расчетах для описания взаимодействия излучения с веще-
веществом мы будем использовать полуклассическую теорию. В этой теории
атомная система предполагается квантованной (и, следовательно, описывае-
описываемой законами квантовой механики), а электромагнитное поле падающей вол-
волны рассматривается классически (т. е. с помощью уравнений Максвелла).
Сначала займемся изучением явления поглощения. С этой целью рассмо-
рассмотрим обычную двухуровневую схему и предположим, что в момент времени
t = 0 атом находится в основном состоянии 1 и что с ним взаимодействует
монохроматическая электромагнитная волна на частоте ш. С классической
точки зрения атом в результате взаимодействия с электромагнитном волной
приобретает дополнительную энергию //'. Например, это может произойти
при взаимодействии электрического дипольного момента атома fie с электри-
электрическим полем Е электромагнитной волны (#' = цв-Е). В данном случае бу-
будем говорить об электрическом диполыюм взаимодействии. Однако это не
единственный вид взаимодейстиня, благодаря которому может произойти
переход. Например, переход может осуществиться вследствие взаимодей-
взаимодействия магнитного дипольного момента атома цт с магнитным полем В элек-
электромагнитной волны (цт*В, магнитное дипольное взаимодействие). Чтобы
описать эволюцию этой двухуровневой системы во времени, необходимо об-
обратиться к квантовой механике. Иными словами, если классическое рассмо-
рассмотрение приводит к энергии взаимодействия Н\ то квантовомеханический
подход вводит гамильтониан взаимодействия Ж'. Вид этого гамильтониа-
гамильтониана можно найти из классического выражения для энергии Н' с помощью
хорошо известных правил квантовой механики. Однако в данном случае
точный вид выражения для гамильтониана Ж' нас не интересует. Следует
лишь заметить, что гамильтониан Ж' является синусоидальной функцией
времени, частота м которой равна частоте падающей волны. Таким образом,
имеем
5Г = Ж'° sin at. (A.I)
Тогда полный гамильтониан Ж можно записать в виде
где Жц — гамильтониан атома в отсутствие электромагнитной волны. Если
для моментов времени t > 0 полный гамильтониан Ж известен, то зависи-
зависимость волновой функции i|> атома от времени можно найти из нестационар-
нестационарного уравнения Шредингера
= lh dtydt. (A.3)
Для того чтобы решить это уравнение относительно функции ty(t), вве-
введем в рассмотрение, согласно B.23), невозмущенные собственные функции
уровней 1 и 2 соответственно, а именно функции \р\ = Uiexpf— (iE^t/h)] и
528 Приложения
ур2 = ц2ехр [—(iE2t/fi)]. Таким образом, функции щ и и2 удовлетворяют ста-
стационарному уравнению Шредингера
3*ои, = Е.и. ((=1,2). (А.4)
С учетом влияния электромагнитной волны волновую функцию атима можно
записать в виде
* = 0,@*1+02 @*2, (А.5)
где 02 и at — зависящие от времени комплексные числа, которые подчи-
подчиняются следующему соотношению:
|fli|!1 + |es|*=l. (A.6)
Поэтому для вычисления вероятности перехода 1У12 мы должны вычислить
величину |аг@12 (или |oi@l2)- В общем случае вместо (Л.5) следует
писать
* = Z ал = Z ak4 ехр [-' (Ekh ']• (AJ)
ft=i ft=i
где k обозначает состояние атома, а т — число состоянии. Подставляя это
выражение в уравнение Шредингера (Л.З), получаем
= Z VMkuk exP [- ' (Eklh)'] + а*и*Я* ехР [- ' (Eklh) П )¦ (А-8>
Это уравнение с помощью (А.4) приводится к виду
Z ««*«* ехр [-«' (Vй) '] = Z а^'«* ехр [-'" (Eklh) ')¦ (д-9)
Умножая обе части последнего уравнения на произвольную собственную
функцию ип и интегрируя по объему, получаем
ехр [- t (/) ) J
= X Q* eXp [~ '' (Ek/h) f] \ и*«Жик dV ¦ (AJ°)
Поскольку волновые функции ик ортогональны f т. е. \ un^k $У = §и.п)¦> с
б
помощью обозначения
уравнение (АЛО) можно привести к виду
d" = 7F Z Я^а*ехр L~ ' й J- (АЛ2)
Приложение А. Полу классическая теория 529
Таким образом, мы имеем m дифференциальных уравнений для m перемен-
переменных uk(t), и эти уравнения можно решить, если только известны начальные
условия. Для двухуровневой системы (ш = 2) уравнение (А. 12) приводит
к двум уравнениям:
а, = A/«А) «.а, + И'12а2 ехр [- i (Е2 - ?,) Щ },
t I / s (A.lo)
а2 = A/iA) {Я21а, exp [- i (?, - Е2) t/h] + //22а2 },
которые должны решаться с начальными условиями а(@) = 1 и aj@) = 0.
До сих пор мы не делали никаких приближений. Чтобы упростить про-
процедуру решения уравнений (А.13), будем использовать метод возмущений.
Предположим, что в правой части уравнений (А.13) можно приближенно
записать щA) « 1 и а2(<) « 0. Решая уравнения (А.13) с учетом такого
предположения, находим решения для a^t) и a2(t) в приближении первого
порядка. По этой причине развиваемая далее теория называется теорией
возмущений первого порядка. Решения a.\(t) и аг@, полученные таким об-
образом, можно теперь подставить в правую часть уравнений, чтобы найти
решение в приближении второго порядка, и т.д. Соответственно это назы-
называется теорией возмущений второго порядка и т. д. Следовательно, в первом
порядке уравнения (А.13) дают
'п, (А.14а)
Ч = A/«Л) н'г\ ехР ("V)' (А.146)
где соо = ?2 — E\)fh — частота атомного перехода. Чтобы вычислить ве-
вероятность перехода, достаточно решить лишь уравнение (А.146). С этой
целью воспользуемся выражениями (АЛ) и (А.11) и запишем
Н'гх = Я2У sin at = Я2У [ежр (Ш) - ехр (- Ш)]/21, (АЛЬ)
где //2J дается выражением
и является, вообще говоря, комплексной постоянной. Подставляя (А. 15) в
(А.146) и интегрируя с учетом начального условия aj@) = 0, получаем
Н'Ч р[.(шо-ш)<]-1 ехр [( + ]!
Полагая со я» О)о, мы видим, что первый член в квадратных скобках много
больше второго. В этом случае можно написать
Н'2\ ехр (— i ДЫ) — 1
2/ А Д<» '
где Дсо = со — О)о- Таким образом,
J'° |2 r sin (Дш^/2) 12
(АЛ8)
(А-»)
Функция I/ = [8ш(До)</2)/До)]г построена на рис. АЛ в зависимости от Дсо.
Видно, что при увеличении времени соответствующая кривая становится бо-
18 О. Звелто
530
Приложения
лее узком и более высокой. Кроме того, поскольку, как можно показать,
= ¦?-. (А.20)
для достаточно больших значении t можно положить
[sin (Дш^/2)/Д<»]* « (nf/2) 6 (Дю),
где через б обозначена б-фуикцмя Дирака. Отсюда получаем
| а2 @ |2 = ( | Яг№2) (*/2)'6 (Дш).
(А.21)
(А.22)
Это выражение доказывает, что для достаточно больших интервалов вре-
времени вероятность |а2@|г обнаружить атом п момент времени I па уровне 2
t
Zn
t
'*•* ?*<rt -» LjJb
t
Рис. A.I. Функция у = [sin(Ao)</2)/Ao))]2 в зависимости от До>.
пропорциональна самому времени. Следовательно, вероятность перехода
дается выражением
*12 = I Н «) 17' = W2) ( I Н2Х |7А2)
<А-23>
Чтобы вычислить Wi2 в явном виде, необходимо иайти величину | Н2у |2. До
сих пор мы предполагали, что за переход ответственно взаимодействие
между электрическим полем электромагнитной волны и электрическим ди-
польным моментом атома (электродипольиое взаимодействие). Если г —
радиус-вектор совершающего переход электрона по отношению к ядру, а
е — заряд электрона (взятый со знаком), то классический дипольный момент
атома будет равен це = ет. Тогда классическая энергия взаимодействия Н'
дается выражением Н' = це-Е = eE(r, t) -г, где Е — электрическое поле па-
падающей электромагнитной волиы в точке, где находится электрон. Теперь,
пользуясь известными правилами квантовой механики, нетрудно записать
гамильтониан взаимодействия:
V = еЕ (г, t) • г.
(А.24)
Приложение А. Полуклассическая теория 531
Подставляя это выражение в (А.II) при п = 2 и k=\, получаем
H'2l=e[u*2E-ruldV. (A.25)
Предположим далее, что длина электромагнитной волны много больше раз-
размеров атома. Это условие очень хорошо выполняется для излучения в види-
видимом диапазоне (для зеленого света X = 500 А, в то время как размеры
атома порядка IA). С учетом такого предположения в выражении (А.25)
величину Е можно вынести из-под интеграла и использовать ее значение в
точке г = 0, т.е. в центре ядра (электродипольное приближение). Таким
образом, определим величину
Е @, t) = Ео sin at. (A.26)
Тогда из выражений (А. 15), (А.25) и (А.26) получаем
Я^ = Е0-ц21> (А.27)
где
VL2l=e[u'2ruldV. (A.28)
Эта величина называется матричным элементом электрического диполыюго
момента. Если через 0 обозначить угол между векторами Ц21 и Ео, то
K|2 = *o|n2i|2«»2e; (A.29)
здесь |n2i|—модуль комплексного вектора Цгь Предположим, что электро-
электромагнитная волна взаимодействует с несколькими атомами, векторы ц21 ко-
которых ориентированы произвольным образом относительно вектора Ео; тогда
среднее значение величины | Н'2й{ |2 получается усреднением выражения
(А.29) по всем возможным значениям углов 0 и <д (в двух измерениях).
Если все углы 8 одинаково вероятны, то плотность вероятности р(9) не
зависит от 9. В данном случае /?(9) определяется таким образом, что
р(9) dQ есть элементарная вероятность для вектора Ц21 оказаться внутри
телесного угла dQ, составляющего с направлением вектора Ео угол 9. Из-
Известно, что если любой из углов 9 равновероятен, то <cos29) = 1/3. Сле-
Следовательно,
<К°|2) 2|ц21|2. (А.ЗО)
Теперь подстановка этого выражения в (А.23) дает
Wl2 = (л/6) BяJ ?2 | ц21 |2 6 (со - соо)/А2. (А.31)
Если вместо функции б(со — о>о) в этом выражении использовать 6(v — vo),
то оно преобразуется к B.27).
Получив выражение для вероятности поглощения, перейдем теперь к
расчету вероятности вынужденного излучения. Мы снова обратимся к урав-
уравнениям (А.13), используя теперь другие начальные условия: Qi@) =0 и
Дг@) = 1. Однако сразу можно заметить, что в данном случае необходимые
соотношения получаются из соответствующих формул (А13) — (А.31), выве-
выведенных для случая поглощения, простой перестановкой индексов 1 и 2. По-
Поскольку нз определения (А.28) видно, что |ni2| = IH21I, из выражения
(А.31) следует, что 1У12 = W2i, а это означает равенство вероятностей по-
поглощения и вынужденного излучения.
18*
ПРИЛОЖЕНИЕ Б
Пространственно-зависимые
скоростные уравнения
Здесь мы зададимся целью развить теорию скоростных уравнений с учетом
того, что как скорость накачки, так и поле в резонаторе зависят от про-
пространственной переменной. Благодаря наличию этих пространственных зави-
зависимостей следует ожидать, что инверсия населенностей будет также зависеть
от пространственных координат. Таким образом, для четырехуровневого ла-
лазера можно написать следующие уравнения:
Wp (Nt - Л/2) - WNa -
dq/dt = [ WN2 dV — qfrc, (Б.16)
где интегрирование во втором уравнении производится по всему объему ак-
активной среды, а смысл каждого обозначения приведен в гл. 5. Уравнение
(Б.1а) выражает локальный баланс между процессами накачки вынужден-
вынужденного и спонтанного излучения. Заметим, что в левой части этого уравнения
частная производная стоит вследствие того, что, как предполагается, вели-
величина Л/г зависит от пространственных координат. Интеграл в правой части
уравнения (Б.16) берется по объему активной среды и учитывает вклад
вынужденных процессов в полное число q фотонов в резонаторе. Этот ин-
интеграл был записан исходя из простого рассмотрения баланса с учетом того
факта, что каждый отдельный вынужденный процесс приводит к появлению
фотона. Из выражения B.82), поскольку F = 1/Av и / = ер, можно полу-
получить вероятность W вынужденного излучения как функцию сечения перехода
а и плотности энергии р поля в резонаторе. Таким образом, можно записать
следующее соотношение:
W = (ca/Av) p, (Б.2)
где с = с„/п — скорость света в активной среде. Следует заметить, что р
зависит как от радиус-вектора г, так и от времени t, т.е. р =р(г, t), при-
причем пространственное изменение этой величины определяется пространствен-
пространственным распределением моды резонатора. Если теперь положить Л/г « Л/, где
Л/ — инверсия населенностей, и считать, что Л/2 < Л/<, то уравнения (Б.1)
с учетом соотношения (Б.2) примут вид
dN/dt = WpNt - (со) (p/Av) Л/ - Л//т, (Б.За)
dq/dt = (со) [ (p/Av) Л/ dV - q/tc. (Б.Зб)
Таким образом, мы записали скоростные уравнения для четырехуровневого
лазера, которые применяются в том случае, когда необходимо учесть зави-
зависимость от пространственных координат. Заметим, что, поскольку Wp и р
зависят от координат, величина Л/ также должна зависеть от этих коорди-
Приложение Б. Пространственно-зависимые скоростные уравнения 533
нат и, следовательно, в уравнении (Б.36) ее нельзя вынести за знак ин-
интеграла. Следует также заметить, что N зависела бы от координат даже
в том случае, если скорость накачки Wp была бы постоянной. Зависимость
величины N от координат, как уже обсуждалось нами в связи с рис. 5.8,
объясняется тем, что в активном материале поле стоячей волны приводит
к пространственному выжиганию дырок.
Займемся теперь решением уравнений (Б.З) в случае, когда лазер ге-
генерирует иа одной моде. Пространственное распределение поля этой моди
описывается амплитудой поля О = U(r), которую мы будем считать нор-
нормированной на ее максимальное значение. Рассмотрим резонатор длиной /..
в котором находится активная среда, имеющая длину I и показатель пре-
преломления п. Плотности энергии мод р снаружи н внутри активной среди
можно записать соответственно в виде
Po=Pmt/2, pn = npmU', (Б.4а, б)
где коэффициент pm = Pm(t) учитывает (в нестационарном случае) времен-
временную зависимость плотности энергии. Таким образом, можно написать следую-
следующее выражение:
\k( \ [\ <Б-5>
где интеграл в первом выражении правой части берется по всему объему
резонатора, а два интеграла в скобках вычисляются — первый по всему
объему активной среды, а второй по остальному объему резонатора. Вид вы-
выражения в скобках в (Б.5) наводит на мысль, что мы можем определить
эффективным объем моды резонатора следующим образом:
V = п [ V* dV + iu*dV. (Б.6)
с, с,
С помощью выражений (Б.46), (Б.5) и (Б.6) уравнения (Б,3) можно пере-
переписать в более удобном виде:
dN/dt = WpNt - (coo/V) qU*N - N/т, (Б.7а)
dq/dt = (coa/V) [fflPdV- qfce. (Б.76)
Один из способов решения уравнений (Б.7) состоит в том, чтобы опреде-
определить набор <Л/*> средних значений величины Л/ следующим образом:
j(A/,> = С NU* dV Д U2 dV, (Б.8а)
1а
а
\{N2}= [ NWdV /[ U*dV, (Ъ.Щ
a fa
(Б.8в)
534 Приложении
где интегрирование производится по объему активной среды. Мы можем
теперь определить эффективный объем моды в активном среде Va как
= [ U*dV. (Б.9)
¦ a
a
Из выражений (Б.76), (Б.8а) и (Б.9) находим
4 = \(CoOVa/V){N])-l/Tc]q. (Б.10)
Умножая обе части уравнения (Б.7а) на U2, ?/4, ... и интегрируя по объему
активной среды, с учетом выражений (Б.8) и (Б.9) получаем
= С
(Nl)lT, (Б.Иа)
- (c0olV) q (Ы3) - <Л/2>/т, (Б. 116)
где мы ввели следующие обозначения:
\dvl\ U2dV, (Б.12а)
a la
(Wp2)= ^ WpUUvl ^ U'dV. (Б. 126)
а 'а
Рассматривая уравнения (Б.И), можно заметить, что уравнение для <Л/,>
содержит <Л/г>, уравнение для <Л/2> содержит <Л/3> и т. д. Следовательно,
мы имеем бесконечную цепочку уравнений относительно переменных <Л/(,>.
Для решения этой системы уравнений необходимо каким-либо образом обо-
оборвать эту цепочку, что и будет продемонстрировано на следующих при-
примерах.
В качестве первого примера рассмотрим симметричный резонатор, со-
состоящий из двух сферических зеркал с радиусом кривизны, много большим
длины резонатора L. В этом случае размер пятна w моды является прибли-
приблизительно постоянным вдоль резонатора и его можно принять равным раз-
размеру пятна Wo в центре резонатора. Следовательно, для моды ТЕМоо имеем
[(см. также E.3)]
U = [ехр — (r/woO] sin (kz + if), (Б.13)
где k = w/c, а ¦ф — постоянная фаза, причем она выбирается таким образом,
чтобы Y было равно нулю на зеркалах (например, —(kL/2) + \р = 0). Сле-
Следует заметить, что поле в резонаторе, описываемое выражением (Б.13), из-
изменяется в пространстве как в продольном направлении (г-координата),
так и в поперечном направлении (г-координата). В нашем случае объемы V
и Vo в соответствии с (Б.6) и (Б.9) даются следующими выражениями:
V = (\/4)nwlL', Va = (\/4)nwll, (Б.14а, б)
где V = L -f- (п—1)/ — эффективная длина резонатора fCM- выражение
E.11)]. Для моды, определяемой выражением (Б.13), цепочку уравнений
можно оборвать на т-м члене, заметив, что
\(NU2m)U2dV \{NU2m)dV
= —г « —г =
\ ?/* dV \ U*dV
Приложение Б. II ространственно-зависимыс скоростные уравнения 535
Приближение (Б.15) вытекает иЗ того факты, что при больших m функцию
U2m = ехр(—2tnr2/w2)[siu(kz + -ф)]2"' можно приближенно представить в
виде ряда ненормированных б-функций Дирака, сосредоточенных в точках
(г = 0, z = 2,), где г,- — точки, в которых функции sin2m(fe + т|>) имеют
максимумы. В действительности в этих точках ?/2@, zi) = 1, и поэтому
указанную величину можно вынести из-под знака интеграла. Таким образом,
в уравнении (Б.11а) можно в первом приближении положить <Л/г) « <ЛЛ>,
и из (Б.10) и (Б.IIа) имеем:
> Л/, - (ca/V) ? (N,) - <Л/,)/т. (Б.16а)
V) (N}) - 1/тс] q. (Б.166)
Сравнивая эти уравнения с уравнениями E.18), мы видим, что они совпа-
совпадают, если заменить <A't> па Л/, объем V моды резонатора записать в виде
(Б.6), объем моды Va внутри активной среды записать в виде (Б.9), а ве-
величину <№;м> заменить па W,,. Таким образом, полученное здесь приближе-
приближение позволяет более точно определить величины, входящие в уравнения
E,18).
В качестве второго примера рассмотрим случай полупроводникового ла-
лазера па двойном гетеропереходе (рис. 6.45), в котором протяженность поля
моды и поперечном направлении существенно больше поперечного размера
самой активной области (рис. 6.44), В соответствии с нашим обсуждением
в разд. 6.6.5 скоростные уравнения для данного случая можно получить из
(Б.7), если 1) /V рассматривается как концентрация электронов и дырок;
2) член WpNt, отвечающий за накачку, заменяется скоростью Rp, с которой
эти носители заряда инжектируются в единичный объем активной среды;
3) член aN заменяется на a(N — Л/'), где ЛГ — минимальная концентрация
носителей, которую необходимо инжектировать в полупроводник для полу-
получения усиления; 4) время жизни х заменяется на х,—излучательное время
жизни при электрон-дырочной рекомбинации. Будем считать, что торцы полу-
полупроводника являются зеркалами резонатора. В этом случае эффективный
объем данной моды более уместно определить следующим образом:
V = [ U*dV; (Б.17)
здесь интегрирование производится по всему распределению поля в резона-
резонаторе лазера. Сравнение (Б.6) с (Б.17) показывает, что объем V в уравне-
уравнениях (Б.7) необходимо теперь заменить на nV. При этом уравнения (Б.7)
принимают вид
dN/dt = RP — (ca/V) qU2 (Л/ - N') - Л//тг, (Б.18а)
dq/dt = Г(«т/У')\ NU2dV- 1/тс1 q, (Б.186)
где с = с„/п. Теперь мы определим средние значения концентраций носи-
носителей <Л/,>, <Л/2> и т.д. так же, как и в (Б.8), а эффективный объем моды
в активной среде Va~ как в (Б.9). Из уравнения (Б.186) получаем
q = UcaVa/V) (Nt) - 1/тс] q. (Б.19)
Заметим, что \'„ меньше \" [ср. (Б,9) с (Б.17)], поскольку протяженность
поля резонатора в поперечном направлении больше, чем поперечный размер
536 Приложения
активного слоя. Из уравнения (Б.18а) получаем
(ca/V) q (<JV2) - (N'2)) - (JV,>/Tr, (Б.20а)
~ ica/V) q (<*,) - <*'3>) - <JV2)/Tr, (Б.20в)
где </?pi>, <Яр2> и т.д. определяются аналогично <WPi>, (№р2) и т. д. в
(Б. 12), в то время как (ы'Л, (Л^з) и т-д- определяются аналогично <Л/2>,
<Л/3> и т.д. в (Б.8). Цепочку уравнений (Б.20) можно снова оборвать на
т-и уравнении с помощью (Б.15). Соответственно в первом приближении
в уравнении (Б.20а) мы запишем <Л/2> « <A/t> и аналогично (^2)«(Л^ =
=» \ N'u2dV\\ U2dV. Если теперь предположить, что Rp и N' постоян-
ны
в активном слое, то (Rp])= Rp< a \^i/ = ^- Из уравнений (Б.19) и
(Б.20а) получаем окончательный результат:
Ы = хр + (ca/V) я (Л/ — Л/') — Ы/хп (Б.216)
Я = UcoVa/V) Л/ - 1/тс] я, (Б.21 б)
где в качестве сокращенной записи мы положили N = <A/t>.
Наконец, последний пример — это случай, когда лазер генерирует много
мод. В данном случае мы все еще можем пользоваться уравнениями (Б.З)
при условии, что р является постоянной величиной, & q равно полному числу
фотонов в резонаторе. Это равносильно тому, как если бы мы предположили,
что величина U2 является постоянной. Если положить в нашем случае
U2 = 1, то из выражения (Б.86) получаем <iV2> = <A/t> и уравнения (Б.16)
снова оказываются справедливыми при условии, что
Ve = AU, Va^Al, (Б.22, 23)
, dV/Va; (Б.24)
здесь А — площадь поперечного сечения области, занимаемой лазерным пуч-
пучком в активной среде.
ПРИЛОЖЕНИЕ В
Теория активной синхронизации мод
для однородно уширенной линии
В разд. 5.4.5 мы видели, что в режиме синхронизации мод генерируется
единственный ультракороткий световой импульс, который распространяется
вперед и назад по резонатору лазера. Согласно тому, что уже говорилось в
разд. 5.4.5.1, теорию синхронизации мод в непрерывном режиме можно
построить во времеиибм представлении, если потребовать, чтобы импульс
воспроизводил сам себя после каждого полного прохода резонатора. Мы
ограничимся здесь тем, что обсудим случай однородно уширенной линии,
поскольку при этом Задача допускает простое и элегантное решение [1].
Активная
среда.
1
Потери
резонатора
\
п
Модулятор
Зеркало 1
Зеркало':
Рис. В.1. Экспериментальное устройство, рассматриваемое при теоретическом
анализе активной синхронизации мод.
Рассмотрим лазер в конфигурации, представленной на рис. В.1, и будем счи-
считать, что электрическое поле светового импульса Е{(t) перед входом в усилитель
можно описать обобщенной гауссовой функцией, т.е. [см. также E.118)]
Е{ «) = ?„ ехр [- at' + i[((Oot + $t*)l (В-1)
где о)о—несущая частота, а а и J3 описывают временную зависимость соот-
соответственно амплитуды в фазы поля. Точнее говоря, ширина (на половине
максимума) иитеисивиости импульса равна
т„ = [B1п 2)/а]|/2, (В.2)
в то время как частота имиульса (линейио возрастающая со временем) рав-
равна о)о + $t. Предположим также, что ширина импульса тр много меньше 21/с,
где I — длина активной среды, так что при распространении через активную
среду импульс ие перекрывается со своим собственным отражением от зер-
зеркала 1. Заметим, что выражение (В.1) можно записать в более удобном
виде:
?, @ = Еа ехр (— Tt2) ехр toot, (B.3)
где мы ввели величину
(В.4)
538 Приложения
называемую комплексным параметром гауссова импульса. В дальнейшем
анализе мы будем считать, что при распространении через активную среду
и модулятор импульс сохраняет обобщенную гауссову форму (В.З). По-
Поэтому нам придется делать некоторые упрощающие предположения, гаранти-
гарантирующие выполнение этого условия.
Сделав предварительные замечания, перейдем теперь к рассмотрению
ЛМ-синхронизации мод. Пусть #(о))—усиление по амплитуде (т.е. по элек-
электрическому полю) за один проход в активной среде в условиях насыщения.
Предполагая, что время релаксации верхнего уровня много больше времени
полного прохода резонатора, можно показать [2], что
g (со) = [ехр - I (©//<?)] ехр {(?„/2>/[1 + 2/ (со - 0)„)/ЛоH] }, (В.5)
где I — длина активной среды, go— насыщенное усиление по мощности за
одни проход иа центральной частоте перехода Шо, а Дсоо — ширина (на поло-
половине максимума) лазерной линии. Заметим, что, согласно выражению (В.5),
усиление по мощности G(co) равно
G(o>) = |*(«>)lf=expte), (B.6)
где усиление g определяется выражением
S = ?о/{1 + [2 (со - оH)/ЛоHИ, (В.7)
т.е. имеет лоренцену форму, как и ожидалось для однородно уширенной
линии. Поскольку временная зависимость электрического поля импульса
Ei(t) является гауссовой функцией, ее фурье-образ является также гауссо-
гауссовой функцией и имеет вид
?, (со) = (Е0/2) A/яГI/2 ехр [- (со - 0)„J/4Г]. (В.8)
После прохождения через активную среду фурье-образ станет равным
?i(co)jcr(o)). Чтобы эта функция оставалась гауссовой, мы потребуем, чтобы
jff(co) имела гауссову форму. Для этого разложим выражение, стоящее в
качестве аргумента втором экспоненты в (В.5), в ряд по степеням
(со — оH) "• Это дает
g (со) = ехр (- / {((ol/c) + [g0 (со - о)„)/Ло)„]}) X
X ехр (go/2) {1 - [2 (о) - ОH)/ДоH]*}. (В.9)
Мнимые члены в первой экспоненте соответствуют фазовому члену Ф =
= <Д(со), который определяет временную задержку, испытываемую импуль-
импульсом после прохождения через активную среду (благодаря конечной группо-
групповой скорости импульса; см. разд. 8.5), в следующем виде:
Заметим, что эта задержка не равна l/с, так как линия усиления вносит
дополнительный вклад в показатель преломления среды. Этот вклад необхо-
необходимо учитывать при выполнении условия, чтобы время полного прохода
импульса было равно периоду модуляции потерь. Для простоты мы в даль-
дальнейшем не будем рассматривать эффект этой задержки. Поэтому пренебре-
пренебрежем фазовым членом в выражении (В.9) и запишем
g (со) = ехр (Яо/2) {1 - [2 (со - а>„)/Да>„]*}. (В.11)
Мы также не будем учитывать тот факт, что отражающая способность зер-
зеркала 1 имеет конечное значение, так как это обстоятельство будет учтено
11 Точное, по степеням (о> и>о)/W,. Прим. перса.
Приложение В. Теория активной синхронизации мод 539
в общих потерях резонатора. Пройдя второй раз через активную среду,
импульс еще раз усилится в _§¦ (со) раз, причем g(a>) определяется выраже-
выражением (В.И). Тогда электрическое поле Е2((л) после полного прохода ла-
лазерной среды запишется в виде
Е2 (со) = Е, (со) [g (со)]2 = [(?„/2) A/лГI/2ехр (g0)] exp [- (со - со„J/4Г],
(В.12)
где, согласно (В.8) и (В.II), Г' таково, что
1/Г = 1/Г + 1б?0/Дсо02. (В.13)
Соответствующее электрическое поле во временном представлении E2(t)
можно найти путем преобразования Фурье выражения (В.12). Отсюда полу-
получаем выражение
Е, @ = Яо (Г'/ГI/2 exp (gol) exp (- T't* + ia>ot), (B.14)
которое вновь является raycconoii функцией.
Необходимо заметить, что приближенные выражения (В.9) и (B.U)
справедливы в том случае, если спектральная ширина светового импульса
много мегьше ширины Am0 линия усиления. Следовательно, последующий
анализ справедлив лишь при выполнении неравенства
ТрЛсо0>1. (В.15)
В этом же приближении изменение ширины импульса после его прохождения
через активную среду очень мало. Поэтому Г' « Г и выражение (В.13)
можно приближенно записать в виде
Г « Г - 16 (fo/Acog) Г2. (В.16)
В том же самом приближении выражение (В.14) можно записать следую-
следующим образом:
Е2 @ = Ео exp (g0) exp (- T't* + ioHt). (B.17)
Заметим, что из (В.16) следует Re(F') < Re(F), где Re обозначает веще-
вещественную часть. Теперь из выражений (В.2) и (В.4) видно, что после про-
прохождения через усилитель импульс уширяется.
Рассмотрим теперь прохождение импульса через модулятор. Будем счи-
считать, что модулятор располагается на минимально возможном расстоянии
от зеркала 2 и что его длина много меньше длины импульса схр. Пренебре-
Пренебрегая конечной отражающей способностью зеркала 2, рассмотрим эффект, ко-
который производит двойное прохождение импульса через модулятор. Обозна-
Обозначая потери за двойной проход через модулятор как \m(t), мы можем за-
записать
Ym = 6 A - cos (omt) = 26 sin2 (fiW/2), (B.18)
где 26 — максимальные потери в модуляторе, а <оп— частота модуляции,
которая предполагается такой, чтобы период модуляции равнялся времени
полного прохода световым импульсом лазерного резонатора. При небольших
потерях пропускание модулятора Тт можно записать в виде
Тт = 1 - Ym « exp (- Ym) = exp [-26 sin2 (oW/2)]. (B.19)
В разд. 5.4.5,1 было показано, что импульс проходит через модулятор тогда,
когда потери равны нулю (т.е. при ^ = 0). Поскольку мы считаем,
что ширина импульса много меньше также и времени полного прохода
540 Приложения
резонатора (т.е. хра>п <. 1), то (В.19) ыожио приближеиио записать в виде
7-m«exp(-6«4*72), (B.20)
т. е. в виде гауссовой функции. После прохождения через модулятор им-
импульс Et(t) дается выражением
Ь» @ = Е, «) Тт (<). (В.21)
Тогда из выражений (В.21), (В.20) и (В. 17) находим
Еа @ = ?„ exp (ft) ехр [- Г"/* + l*J]i (В.22)
здесь
Г" =. Г'+ 6@^2. (В.23)
Заметим, что, поскольку Re(F") > Re(T'), импульс при проходе через мо-
модулятор сужается.
Чтобы учесть постоянные потери в резонаторе, связанные с конечными
отражающими способностями зеркал и с внутренними потерями, запишем
импульс ?4@ после одного полного прохода в виде
?¦(/) = [ехр (-Y)l?9@- t(B.24)
где у — логарифмические потери мощности за одни проход, определяемые
выражением E.8). Теперь наложим условие самосогласованностн ?4@ =
= Et(t). Из выражений (В.24), (В.22) и (В.З) сразу получаем
?o = Y. Г" = Г. (В.25а, б)
Из второго условия с помощью (В.23) н (В.16) находим
(B.26)
Отсюда мы видим, что уширение импульса в усилителе должно уравновеши-
уравновешиваться сужением импульса в модуляторе. Выражение (В.26) показывает
также, что Г в этом случае является вещественной величиной, так что в
соответствии с (В.4) имеем
Р = - Im (Г) = 0, (В.27а)
а = Re (Г) = (б/2?оI/2 (<вт Л<во/4). {(В.276)
Выражении (В.25а) и (В.27) вместе дают полное решение рассматриваемой
задачи. Заметим, что соотношение (В.25а) означает, в приближении Г' « Г,
равенство порога генерации в режиме синхронизации мод насыщенному уси-
усилению в непрерывном режиме ?о, которое равно потерям в резонаторе. За-
Заметим также, что в соответствии с (В.27а) импульс не имеет частотного
сдвига. Выражение (В.276) вместе с (В.2) определяет длительность импуль-
импульса. Полагая vm = сот/2я и Avo = До)о/2я, иаходнм:
^ 1/2
(В.28)
Мы видим, что первый множитель в правой части этого выражения приблизи-
приблизительно равен 0,45. Второй множитель вследствие показателя степени 1/4
приблизительно равен едииице. Тогда из (В.28) мы получаем
Tp«0,45/(vmAv0)l/2, (B.29)
т.е. соотношение E.122).
Приложение В. Теория активной синхронизации мод
641
Случай ЧМ-синхронизации мод рассматривается аналогично. Предполо-
Предположим снова, что электрическое поле импульса и усиление по амплитуде опре-
определяются соответственно выражениями (В.З) и (В.11). Модулятор же вно-
вносит теперь переменный фазовый сдвиг Д<д. В случае синусоидальной моду-
модуляции можно написать, что
Д0 = 6 COS
(В.ЗО)
В этом случае самосогласованное решение получается, только если импульс
проходит через модулятор в тот момент времени, когда фазовый сдвиг Д</>
достигает либо максимума, либо минимума (т.е. когда ои стационарен)-
Поэтому будем считать, что импульс проходит через модулятор в момент
времени t = 0. Тогда пропускание модулятора можно записать в следующем
виде:
Тт = ехр (i &ф) да С ехр [- 16 (<umt)*/2], (B.31)
где С = ехр id. Поскольку Тт имеет вид гауссовой функции, импульс после
прохождения через модулятор будет опять определяться выражением (В.22).
в котором теперь
T" = T' + ib<o2m/2. (B.32)
Используя (В.24) с тем же условием Ek{t) =
находим
, для данного случая
(В.ЗЗа)
?o=Y- (B.336)
Сравнение (В.ЗЗа) с (В.276) показывает, что при одинаковых значениях
6/2jcr0, т.е. при одних и тех же значениях б и [согласно (В.ЗЗб)] одинако-
одинаковых потерях в резонаторе у, величина а, а следовательно, и ширина им-
импульса хр являются одними и теми же для случаев AM- и ЧМ-синхроииза-
ции мод. Однако в последнем случае, поскольку величина р ие равна нулю,
частота импульса имеет линейный сдвиг.
Литература
1. Kuizenga D. /., Siegman A. E., IEEE J. Quantum Electron., QE-6, 694
A970).
2. Siegman A. E., Lasers, University Science Books, Hill Valley, California,
1978, sec. 7.4.
ПРИЛОЖЕНИЕ Г
Физические постоянные
Постоянная Планка h
П = h/2n
Заряд электрона е
Масса покоя электрона т
Скорость света в вакууме Сц
Постоянная Больцмана k
Магнетон Бора р
Электрическая постоянная во
Магнитная постоянная \ia
Энергия, соответствующая 1 эВ
Частота излучения, имеющего энергию kT
(Т = 300 К)
Энергия фотона, имеющего длину волны Х =
= 0,5 мкм
Отношение массы протона к массе электрона
Число Авогадро (число молекул в грамм-мо-
грамм-молекуле)
Радиус первой воровской орбиты а=
= 4яА28о/тс2
Постояная Стефана — Больцмаиа crSB
6.6256-Ю-34 Дж-с
1,054- Ю-34 Дж-с
1,60210-Ю-19 Кл
9,1091-Ю-31 кг
2,99792458-108 м/с
1,38054- Ю-23 Дж/К
9,2732- 10-и д.м2
8,854-Ю-12 Ф/м
4я-10-7Гн/м
1,60210- 10-1в Дж
208,5 см-1
3,973-10-13 Дж
1836,13
6,0248-1023 моль-1
0,529175- Ю-8 см
5,679-Ю-12 Bt-cm-2-K~4
Ответы к некоторым задачам
Глава 1
1.3. Будем считать, что середине видимого участка спектра соответствует
длина волны % = 0,55 мкм. Отвечающая этой длине волны частота (в об-
обратных сантиметрах) со = \/Х= 18181 см~'. Поскольку kT = 208 см-' (см.
Приложение Г), то (Е2- Efi/kT =87,4 и Ne2JN\ = 1,1 • Ю8.
1.4. Ег— Е, = kT = 208 см-' (А. = 48 мкм —средний ИК-Диапазон спектра).
1.5. (ЛГ2-ЛГ1) = 1,3-10" см-3.
1.6. D « 500 м.
Глава 2
2.1. NAv=8nVt±%/%* = 1,9 • 1012 мод!
2.2. л.и = 0,48 мкм (зеленый участок видимого света).
2.3. Тспонт = 4,78 мс, Ф = 0,63.
2.4. Поскольку молекулярная масса YAG равна 594, на основном уровне
4/9/2 находится около 1,38-1020 ионов Nd3+/cM3. Из этого числа ионов лишь
около 46 % находится на нижнем штарковском уровне мультиплета 4/9/2.
2.5. а„ « 8-Ю-18 см*.
2.7. Тспонт = 5,75 не, т6е5ызл = т/A —ф) = 38,3 не.
2.10. Согласно выражению B.170а), эффективное сечение вынужденного из-
излучения равно о21 = z2ja = 3,5 -10~19 см2, где 22; = ехр(—Д?//гГ)/[1+
+ ехр(—Д?/А7")] =0,4 — функция распределения для подуровня Яг-
2.11. В процессе усиления спонтанного излучения коэффициент усиления за
один проход равен G = 547. Предполагая, что эффективное сечение кри-
кристалла Nd : YAG а = 3,5-10-'9 см2 (см. предыдущую задачу), получаем
Nc « 6,03-10" ионов Nd3+/cM3 и запасенная энергия Е да 2,51 Дж.
2.14. В = 0,3 см-» = 9 ГГц.
2.15. Av = 4S = 36 ГГц.
2.19. р = 1/с.
2.23. ДуДЫр„а « 2/яТс = 2/Avn.
Глава 3
3.2. Если спиральную лампу накачки представить приближенно в виде коль-
кольцеобразной импульсной лампы с диаметром DL и предположить, что ци-
цилиндрический отражатель вокруг лампы в первом приближении имеет такой
же, как и лампа, диаметр, то можно применить выражение C.11), положив
в нем SR = nDfi/, S =nDLl и SL = 2nDLl (объясните появление множи-
множителя 2 в последнем выражении), где DR—диаметр стержня, а I — его длина,
равная примерно длине лампы. Тогда из выражения C.11) получаем
r\t « 27%.
3.3. Эксцентриситет эллипса равен е « 0,3. Из выражения C.17) получаем
Rm = 3,71 мм, R,n = 1,67 мм. Эти числа надо разделить на значение пока-
показателя преломления среды для стержня с полированной боковой поверх-
поверхностью.
544
Ответы к некоторым задачам
3.8. kTe = B/3) (тУ?епл/2); поскольку т^епл/2=10 эВ, то We = 6,67 зВ.
3.10. Имеем S = imjM. Тогда из C.37) и C.37а) получаем искомый ответ.
3.11. Сечение упругого столкновения можно принять примерно равным се-
чеиию атома (газокииетическое сечение сг равно примерно нескольким едини-
единицам, умноженным на 10-" cms). Сечение возбуждения атома обычно много
меньше этой величины; см., например, рис. 3.23.
3.12. pD = 4 (мм рт. ст.) -мм.
3.13. Грамм-молекула занимает объем V = 9,6-10е см'. Тогда плотность ато-
атомов N = NJV = 6,27-10" атомов Не/см', где Na — число Авогадро. При
этом средняя длина свободного пробега I = 319 мкм. Тепловая скорость
равна vтепл = BE/m)i/2 = 1,87- 10е см/с. Из выражения C.36а) видно, что
скорость дрейфа такова, что Идрепф/^тепл = е1Ш\2Е. Отсюда получаем
Идрейф/Итспл « 4,8- Ю-2.
3.15. Из уравнения Пуассона находим, что V = 4,52 MB! Очевидно, это
означает, что существует пренебрежимо малая вероятность того, что элек-
электроны отделятся от ионов, обладая отличной от них скоростью.
3.16. Плотность атомов Аг равна N = 1,07-10" см~', а средняя длина сво-
свободного пробега I = 1/Мтулр = 467 мкм. Из C.38) видно, что электронная
температура в электрон-вольтах равна kTeje = B/6)"s&7/3. Поскольку Ш =
= 74 В/м, получаем kTe/e « 1,38 эВ.
Глава 4
4,4. L = 5 см; F = AvtSr/Avm = 50; #i = #2 = R = 94 %; Q = 8,3• 10е;
Тс = —L/C 1п # = 2,87 не.
4.6. Шо = 0,317 мм, ws = 0,449 мм.
4.8. AT=Avo/(c/4t)«2O.
4.10. Из D.129) получаем Av = ф1 = 75 МГц.
4.11. В нашем случае #i = g2 = 0,9. Тогда из рис. 4.37,6 видим, что N =
= 2,48, т. е. 2а = 2(NXL)t'i = 2,44 мм.
4.12. Wo = 0,466 мм, ws = 0,498 мм.
4.14. Перетяжка находится внутри резонатора иа расстоянии около 14,3 см
от зеркала с R = 4 м. Размер пятна в перетяжке равен Доо = 0,349 мм;
до, = 0,355 мкм на зеркале с R = 4 м и Дог = 0,533 мм иа зеркале с
R = 1,5 м.
4.15. L =1,5 м.
4.17. Кольцевой резонатор эквивалентен симметричному резонатору, состоя-
состоящему из двух зеркал с радиусом кривизны R = 2f, разделенных промежут-
промежутком длиной L. Тогда перетяжка пучка в кольцевом резонаторе распола-
располагается вдоль периметра на расстоянии 1/2 от линзы, а размеры пятна не-
нетрудно вычислить из выражений D.123) — D.125), где gt = g? = g =
= 1 — (L/2f). Условие устойчивости: L < 2f и L/2f > 0 (т.е. f > 0).'
4.19. P = P /0 exp [-2 (r/wJ] Bnr dr) = Го (nw2/2) = /„яда?.
Jo
4.23. Полусферический резонатор в Aw2jw2s раз менее чувствителен к ие-
соосиости зеркал, чем почти плоскопараллельиыи резонатор.
4.24. Положительная ветвь конфокального неустойчивого резонатора. Из
рис. 4.45 получаем М = 1,35; 2а2 = 2[2L\N*KS/(M — l)]"s = 4,26 см;
2at > 2Ma2 = 5,75 см.
4.25. Для М=1,35 получаем у = (Мг—1)/М2 = 45%, что намного пре-
превышает значение, предсказываемое дифракционной теорией B0%).
Ответы к некоторым задачам 545
Глава 5
5.1. Va = nw20l/2.
5.2. Y= 1.61.
5.4. Из рис. 4.37, б для g = 0,8 и дифракционных потерь 2 % получаем
N = 1,9, т.е. 1а = 2,2 мм.
5.6. Р„оР = 1,67 кВт, Р2 = 190 Вт, t)s = 2,3 %.
5.7. (уОопт = 0,245, (Рпор)опт = 19,6 кВт.
5.9. Va = 2,34 см3, Nc = No = 2,85-1015 иоиов/см3, у = 5,3- Ю-4, х =
= [2xqo!Vatc(Nt + No)] + 1 = 1,1, поскольку т « 3 мс для рубина и тс =
= nlfoco = 0,83 мкс.
5.10. ?ср = 1,23 Дж, ?ВЫх = 90 мДж, х = 8,1, Дтр = 4,3 ис.
5.11. Дтр = 2 1п 2/я AvreH = 0,735 ис.
5.12. При замене суммы интегралом получается ие периодическая последова-
последовательность импульсов, а одиночный импульс.
5.13. V =
5.14. V = 2915 В.
5.15. Из рис. 5.35 для f* = fx = 2,3 и х = 10 кВт/2,2 кВт = 4,55 получаем
NiJNp « 1,89. При этом из E.30) следует, что г\Е = 0,76. Поскольку \г =
= 0,162 (см. разд. 5.3.5), из E.99) получаем ?=19 мДж, что дает сред-
среднюю мощность <Р> = Ef = 190 Вт, т. е. очень близкую к значению в непре-
непрерывном режиме B02 Вт; см. рис. 5.15). Поскольку у = 0,119 (см. разд. 5.3.6),
a U = L + (п—1)/ = 56 см, где я=1,8 — показатель преломления YAG,
то получаем тс = L'/coy = 15,6 ис, а из E.101) — Атр « 90 ис.
5.16. Е = [(уг/2) (N(/2Np)r)E](Ae/a)hv. Заметим, что при тех же значениях
параметров лазера выходная энергия трехуровневого лазера вдвое меньше
четырехуровневого. Это является следствием того, что в трехуровневом ла-
лазере используется лишь 1/2 часть первоначальной инверсии населеииостей
(^i), поскольку как только Ni/2 возбуждений релаксировало на нижний ла-
лазерный уровень, населенности верхнего и нижнего лазерных уровнен вырав-
выравниваются и усиление обращается в нуль. Выражение для длительности им-
импульса совпадает с аналогичным выражением для четырехуровневого лазера
[см. E.101I.
5.17. Е = 1,15 Дж, Дт„ = 18,7 ис.
5.18. Atp = 0,44/Avo=126 пс.
5.19. Дтр =0,5/(vmAv0I/2= 113 пс, поскольку vm = c/2Z. = 0,1 ГГц. Заме-
Заметим, что поскольку теперь линия уширена однородно, значение Дтр прибли-
приблизительно такое же, как и в предыдущем случае, хотя ширина линии теперь
примерно в 60 раз больше.
Глава 6
6.2. СО2 fА, = 10,6 мкм), HF (А, = 2,6—3,3 мкм), СО (X = 5 мкм), центры
окраски fX = 0,88—1,4 мкм], GaAs (X = 0,85 мкм), Nd : YAG (A. = 1,06 мкм).
6.4. Полное время жизни т электронных уровней, участвующих в лазерном
переходе, равно т= 1/(т~' + т~") =9 ис, где т* = 100 не и тр = 10 ис —
времена жизни s- и р-состояиий (см. разд. 6.4.1.1). Тогда Avo.m « AvecT =
= 1/2ят = 17,7 МГц. Доплеровская ширина Avo= 1,5 ГГц.
6.6. Ширина лэмбовского провала порядка ширины линии, обусловленной
столкиовительиым уширеиием, выражение для которого даио в разд. 6.3.3.1.
Предполагая, что в газовой смеси СОг : N2: Не парциальные давления рав-
равны 1,5 мм рт. ст., 1,5 мм рт. ст. и 12 мм рт. ст., получаем Aw « 64,3 МГц.
Доплеровское уширеиие составляет Д\'о « 60 МГц.
546 Ответы к некоторым задачам
6.7. С02, Nd : YAG, СО, Аг+, лазер на парах меди.
6.8. Только СОг-лазеры (и менее доступные HF- и СО-лазеры) могут удо-
удовлетворить этому требованию. В недалеком будущем будут доступны экси-
мериый иа KrF и Nd : YAG-лазеры со средней мощностью, превышающей
1 кВт.
6.9. Коэффициент упругости К = ш2ц = 2180 Н-м-1, где ц = mN/2 =
= 1,16/10~2в кг—приведенная масса (mN — масса азота), а ш — частота
колебаний (~2300 см; см. рис. 1.14). Из рис. 6.24 видно, что энергия
основного состояния увеличивается на Д? « 2 эВ при отклонении межъ-
ядериого расстояния от равновесного значения па Д#«0,19А. Тогда по-
получаем К = 2Д?У(Д#J « 1773 Н-м-1 в разумном согласии с предыдущим
значением.
6.10. Частота колебаний двухатомной молекулы, состоящей из двух атомов
с массами т, и т2, записывается в виде о> = (K/\i)Ui, где К — коэффициент
упругости, а (г = т^тг/(т\ + т2)—приведенная масса. Приведенная масса
для молекулы N2 равна (iN2 = mN/2 = 7 а. е. м., где mN — масса атома азота.
Приведенная масса молекулы СО равна цсо« 6,86 а. е. м. Если принять,
что коэффициент упругости одинаков для обеих молекул, то можно ожи-
ожидать, что vN2/vco « (Исо/^2I/2 = °>989-
6.11. В случае симметричного растяжения н в предположении, что две мо-
молекулы кислорода друг с другом не взаимодействуют, частота колебаний Vi
равна частоте колебании атома кислорода, связанного упругими силами
(с коэффициентом упругости К) с фиксированной точкой (т. е. с положением
атома С). Таким образом, Vi = \K/mn] 1/2/2я, где mn — масса кислорода.
Тогда для Vi = 1337 см~' получаем Л'= 1,688 Н-м-'. В случае асимметрич-
асимметричного растяжения атом углерода также принимает участие в колебании. Из
соображений симметрии можно предположить, что половина его массы (т/2)
принимает участие в колебании с одним атомом кислорода, а другая поло-
половина — с другим атомом кислорода. Тем самым задача сводится к двухатом-
двухатомной системе частиц с массами mn и тс/2, связанных коэффициентом упру-
упругости К. Затем мы находим, что резонансная частота \'з этой моды, очевид-
очевидно, равна V3 = (Kl\i) 1/2/2я, где Р = то(тс/2)/[тп + (тс/2I —приведенная
масса. Пользуясь ранее рассчитанным значением К. получаем va = 2532 см~',
что находится в разумном согласии с экспериментальным значением (v-з ~
« 2322 см~'; см. рис. 6.14), имея в виду сделанное приближение, которое
состоит в том, что мы пренебрегли О—О-взанмодепствнем.
6.13. В = 2kT/BJ' + IJ = 0,3 см-'.
6.14. Поскольку в рабочем переходе СО5-лазера участвуют только уровни
с нечетными значениями У, разность частот между соседними вращатель-
вращательными уровнями составляет 46=1,2 см. Оказывается, что в действитель-
действительности экспериментально найденный зазор между уровнями равен приблизи-
приблизительно 2 см~*.
6.15. Все линии, связанные с вращательно-колебательными переходами,
сольются в одну, если ширина линии, обусловленная столкиовительиым уста-
устарением, примерно равна экспериментально найденному зазору между уров-
уровнями, составляющими ~2 см (см. предыдущую задачу). Тогда из выра-
выражения для столкиовителыюго уширения, приведенного в разд. 6.3.3.1 для
газовой смеси СО2 : N2 : Не, получаем р « 18,4 атм.
Глава 7
7.1. (V^2(t))=^;r[t + T VW(t')dt' =?г[' + Т E2(Ocos2[<p@-((u)t']dt'&
«2ES @ = 2/(/), где были использованы формулы G.4) и G.5) и где
время интегрирования 2Г включает в себя несколько оптических циклов.
Ответы к некоторым задачам 547
7.3. В точке с пространственно» координатой г аналитический сигнал, пред-
представляющий собой волну иа рис. 2.5, имеет вид V = ?о ехр [<(Ф— со/)], где
Ф— случайная переменная, претерпевающая скачки с плотностью вероятно-
вероятности, определяемой выражением B.52). Тогда мы можем записать Г<'>(т) —
= ([V (/ + т) V* (/)]корр + [V(t+ т) V (/)]неКорр>, где [V (/ + т) V* (/)]корр =
= ?^ехр (—j'co/) — доля измерений по ансамблю частиц, при которых два
сигнала в момент времени t и / + т оказываются коррелированными,
в то время как [V (t + т) V* (t)]aeKOpp = Е^ехр [ — ((сот — А^)] — часть изме-
измерений, при которых два сигнала оказываются некоррелированными вследствие
фазового скачка АФ между двумя временными точками. Поскольку Д$ —
случайный фазовый угол, величина (е\ ехр [—i (сот — ДФШ равна нулю и
Г<» сводится к ГA) = ^2ехр(—(сот))= [?5ехр(—icot)Jp(t), где р(т) — ве-
вероятность того, что фазовый скачок не произошел после временной задерж-
задержки т. Тогда из B.54) получаем выражение Г(|) = ?оехр [— (<сот — т/тс)],
которое справедливо при т > 0. Из G.14) находим уA) = ехр [— (/сот + т/Тс)],
опять же справедливое при т > 0. Если мы теперь захотим распространить
предыдущее выражение на область т < 0, то достаточно просто вспомнить,
что |уA)(—т) I = lvA)(f)l- Тогда для любого т мы можем записать
у(О(х) = ехр [—(('сот+ т/тс)]. Время когерентности равно тког = Aп2)тс.
7.6. 1С =(//2)[1 + ехр(— |t|/tc)coscot], где т = 2(U — U)lca и / — интен-
интенсивность падающем на интерферометр волны. Заметим, что при т = 0 имеем
1с = /, и, таким образом, пет отраженного интерферометром света, идущего
в направлении падающего пучка. Тогда из выражения G.22) с помощью
решения задачи G.3) нетрудно получить видность паюс в виде VP =
= ехр(-|т|/тс).
7.7. AZ. = А. = 10,6 мкм. Из G.36), применив знак равенства, получаем
Lc = соТког = Co/4rtAvreH = 2390 м.
7.9. Если бы пучок был дифракционно-ограниченным, то его расходимость
была бы равна 9d = 1.22X/D = 0,216 мрад. Из G.54) получаем w0 =
= [DX/2nQd] = 0,58 мм.
7.10. Только в 2 раза.
7.11. Можно измерить радиус пучка г в фокальной плоскости линзы (напри-
(например, как радиус, при котором интенсивность уменьшается вдвое по сравне-
сравнению с максимальным значением) и тогда с помощью G.44) можно получить
0 =rjf, где I — фокусное расстояние линзы.
7.13. Радиус г точечного отверстия должен удовлетворять соотношению г «
« l,22Xfi!Di.
7.14. Для синусоидальной волны имеем V = ?exp[(@ — со/)], где как Е,
так и Ф не зависят от времени. Тогда Г*"(<|, /2)=(? ехр[—/со(/, — t2)]) =
= Е2 ехр [-/со (t, - tt)] = V (М V (/,).
Глава 8
8.2. Лииза должна иметь фокусное расстояние f = 14,3 см и должна быть
помещена па расстоянии Lt « 85 см от перетяжки пучка размером 0,5 мм.
8.3. f = 0,752 м.
8.6. Поскольку Г5 = 0,534 Дж/см2, а Гвх = 0,321 Дж/см2, выходной поток,
согласно (8.33), равен Г = 2,33 Дж/см2. Выходная энергия ?вь,х = 736 мДж,
насыщенное усиление G = 7,36, а извлекаемая доля запасенной энергии рав-
равна примерно 83 %.
8.7. Предположим, что время жизни нижнего лазерного уровня ('/и/г) уси-
усилителя иа стекле с неодимом равно 50—100 не. В случае входного импульса
548 Ответы к некоторым задачам
длительностью 1 ис усилитель ведет себя, таким образом, как трехуровневая
система. Поскольку Ts = hv/2o = 3,12 Дж/см2, из (8.33) получаем Г„х =
= 3,59 Дж/см2 (т.е. ?вх = 228 Дж). Полная энергия, которую можно спять
в усилителе, работающем по трехуровневой системе, равна Eav =
= (N/2)Alhv = АГ3 In Go = 275 Дж, где N — инверсия населепностей, А—
площадь сечения усилителя, / — его длина.
8.8. Усилитель работает по трехуровневой схеме. Тогда Г., = hv/2az =
= 87 мДж/см2, ?ВЫх = 50,5 Дж, G = 2,97, ?av/V = (N/2)hv = N,hv/2z =
= aKhvl2az = 3,48 Дж/л.
8.11. Указание. Сначала покажите, что показатель преломления для необык-
необыкновенной волны пеBш, 0) на частоте 2т можно записать в виде леBсо, 0) =
= n^n^/Un^J sin2 6 + (rtj) cos б] . Далее подставим это выражение в
(8.56).
8.12. 0„, = 42,2°.
8.15. Пользуясь выражением для пороговой интенсивности /, вычисленной
в задаче 8.14, получаем /= 156 Вт/см2. Пороговая мощность накачки тогда
равна Рлор = 12,25 мВт.
8.16. Из (8.91) получаем /вг = %0nl2ndBIZI'2 = 2,75 см, где Z = 1/б0с0 =
= 337 Ом — импеданс свободного пространства, а / — интенсивность падаю-
падающей волны. Следовательно, т) = [th (///вг)]2 = 51,9 %, где / = 2,5 см—
длина кристалла.
Предметный указатель
Азот, молекулярный лазер 379
— роль в СОг-лазере 361, 365
Активная синхронизация мод, см. Син-
Синхронизация мод
— среда 14, 15
Акустооптнческий модулятор 289
Брэгга режим 291
модуляция добротности 289
Романа — Ната режим 291
синхронизация мод 321
Аналитический сигнал 443
Аргоновая лазерная трубка 356
Аргоновый лазер 354
Безызлучательная релаксация 67
— — внутримолекулярная 69
в полупроводниках 70
— — фёрстеровского типа 69
Безызлучательное время жнзнн 68
Везызлучательные переходы 96—99
Больцмана распределение 13, 135
для вырожденных уровней 86, 94,
95
Борна — Оппенгеймера приближение 90,
100
Нрюстера угол 183
Газовый разряд 136
— — анодное падение 136
— — катодное темное прострат-тво 157
отрицательное свечение 137
положительный столб 136
Газодинамические лазеры 375
Галогеннды инертных газов, лазер 383
Гауссова форма лнннн 51
Гауссов пучок, ABCD закон распростране-
распространения 209, 218, 482
аналитическое выражение 202
и ЛВСО-матрнцы 209
конфокальный параметр 201
параметр q 208, 209
раднус кривизны 207
размер пятна 207
распространение 207, 479, 480
— — расходимость 461
рэлеевская длина 208
фокусировка 210, 211
Гелнй-кадмневын лазер 358
Гелий-неоновый лазер 346—350
Гельмгольца уравнение 27, 28
Генерация на второй гармонике 493, 494,
500, 51!
Горячие полосы 97
Групповая скорость 516
дисперсия 517
Гюйгенса принцип 21, 190
Ван Циттерта — Цсрнике теорема 465
Внбронпые переходы 96
Вигнера — Вайскопфа приближение 60
Вндность полос 451
Винера — Хинчина теорема 44
Возмущений теория нестационарная 529
Волноводные лазеры 370
Вращательные уровни 94
заселенность 94, 95
правила отбора 103
Временная когерентность 19, 20
— — измерение 452
многомодовых лазеров 458, 459
нестационарные пучкн 456
степень 448
Время жизни классического днпольного
момента 57, 58
фотона в резонаторе 184, 185, 242
— когерентности 19, 20
Выжигание дырок 276
пространственное 257
частотное 257
Вынужденное излучение 11, 12, 34, 38
вероятность 34, 38
сечение 12, 54
Вырожденные уровни 85—88
функция распределения 88, 267
эффективное время релаксации 88,
о42
— сеченне 88, 266
Газовые лазеры 343, 344
молекулярные 359, 360
Двулучепреломляющнй фильтр 253, 263
Двухатомные молекулы
внбронные переходы 96
— — вращательные переходы 96
колебательно-вращательные переходы
95, 96
— — структура вращательных уровней 95
— — типичные энергетические уровни 91,
380 382
Диполь, классическое время жнзнн 57
Дннольный момент 35, 99, 100
Дисперсия задержки импульса 517, 522
Дифракционно-ограниченные пучкн 462
Дифракционные потерн 2, 160, 191, 195,
202, 215
Дифференциальный КПД 249
лазер полупроводниковый
СО2 271
Nd : YAG 268
Доплеровское ушнренне
Аг^-лазер 355
СОг-лазер 366
Не—Ne-лазер 347
Естественное ушнренне 48
Зеркала лазерные 179
— с изменяющимся коэффициентом отра-
отражения 229
Затягивание частоты 272—274
Захват излучения 81, 344, 350
550
Предметный указатель
Излучательное время жнлш
перехода 59, 66
лтомиого
перехода Ь9, ЬЬ
¦ — классического осциллятора 57, 58
Излучательные переходы 96—99
квантовомеханнческнй расчет 99—103
Излучение черного тела 26
Планка теория 30, 31
• — Рэлея — Джинса закон 30
Импульс
- длительность, модуляция добротности
285, 300
синхронизация мод 307, 315, 325, 540
— обратная ширина спектра 311
— сжатие 514
Импульсная лампа ПО
Инверсия населенностей 14
критическая (пороговая) 15
частичная 378, 400
И птерферометры
— МаЛкельсона 452
— область дисперсии (свободная спект-
спектральная зона) 174, 175
— резкость 176
— сканирующие 176, 177
— Фабра — Перо 172
— Юнга 451
Ионизационное равновесие 150
Ионные лазеры 353
Катодное темное пространство 136
Квазимонохроматнчсская волна 444
Квазнуровни Ферма 407, 408
Квантовая теория, дополнительный фотон
240
лазерная ширина лнннн 274
спонтанного излучения 60, 61
— эффективность лазеров 249
Керра оптический эффект 518
Когерентность 18, 19
— временная 18. 19, 448
— время 19, 449
— высокого порядка 473
— длина 449, 453
— измерение 451
— первого порядка 473
— пространственная 18, 19, 449, 463
Колебательно-вращательные переходы 95.
Кольцевой лазер 262, 263
одномодовый режим 262, 263
однонаправленное действие 262. 263
Комплексный параметр пучка q 208, 209
Конфокальный параметр 204
— резонатор 163, 196—207
дифракционные потерн 202
моды 199, 200
неустойчивый 224, 225
резонансные частоты 200
Коэффициент использования энергии 299
— поглощения при насыщении 106
— усиления лазера насыщенный 79
ненасыщенный 78. 79
КПД лазеров 249
заполнение сечемня активной среды
249
накачка 249
— — релаксация нижнего уровня 250
связь на выходе резонатора 249
Красители 386
Критическая пороговая инверсия 15. 246,
250
— скорость накачки 246. 250
Ксеноновая плазма 118. 119
Л.иер
— аргоновый 354
па александрите 310—343
— -¦ атомном ноде .497
— — галогенидах инертных газов 383
гомопереходе 409, 411
— — двойном гетеропереходе 109, 411
— - - красителях 380
— - — параметры 392
поглощение и вынужденное излу-
излучение 388
- родамин GG 388, 390
— схема энергетических уровней 38!)
— фотофнзнческне свойства 387
неодимовом стекле 338, 339
— - парах медн и золота 350—353
— — самоограннченных переходах 216,
351, 379
свободных электронах (ЛСЭ) 428—
433
центрах окраски 425—428
— полупроводниковый 401
— рубиновый 332—335
— с синхронизацией мпд и синхронной
накачкой 317
— химический 396, 397
— эксимерный 381—386
— AlxGa,_xAs 412
— СО 377-379
СО2 361
— Cr : Nd : GSGG 340
— DF 400
-- GaAs 409, 411
— Не — Cd 358, 35:1
— Не — Ne 345—350. 358. 359
— HF 398
сверхзвуковой 101
— lnGaAsP 413
— KrF 383, 384
— N2 379—381
— Nd : YAG 335-338
Лазерная генерация
возникновение 279, 300
когерентные свойства 456, 457
пороговая инверсия 246. 230
мощность накачки 246, 250
стацнонарппя, условие 216
— — частота 273
Лазерная накачка
газодинамическая 109, 375
другим лазером 109, 360. 420, 121
оптическая 109
пороговое значение 246, 250
трехуровневая система 250
химическая 109. 396. 397
четырехуровневая система 247
электронным ударом 133
Лазерное н тепловое излучения 472
Лазерные скоростные уравнения
модуляция добротности 287
— — — полупроводниковые лазеры 241
— — — трехуровневые лазеры 244
__ четырехуровневые лазеры 243
Лазеры дальнего ИК-Диапазона 360
Ламберта источник 22
Лампа, эффектиьность пзлучательная 116
передачи ПО, 119
Лоренца поправка на локальное поле 38
Лоренцева форма липни 45, 53
Лучевые матрицы 166. 169
¦ гауссов пучок 209
— — и сферические волны 170. 171
оптическая система 168
— — оптические элементы 168
Предметный указатель
551
Л.шОа пропал 275, 277
— для стабилизации частоты 277, 278
обращенный 278
— сдвнг 6!
Люминесценция, квантовый выход 71
Магннтоднпольные переходы 40
Мазер 14
Максвелла распределение 50
Максвелла — Больцмана распределение
135
Матрицы ABCD, см. Лучевые матрицы
Матричный элемент электрического ди-
польиого момента 35, 101
Многослойные диэлектрические покрытия
179—184
Мола 28
— средняя энергия 31
Модуляция добротности 284. 287
акустооптнческая 289
— — быстрое и медленное переключения
286
-- — импульсно-перноднческнй режим 296
механическая 288, 289
— — пассивная (насыщающийся поглоти-
поглотитель) 292
режимы генерации 295
селекция мод 294
теория 296
электрооптическая 287
усиления 303— 305
Моды, гауссово распределение н реэопа-
торс 188. 203
— пыешего порядка 109—202
- поперечные 188
— прочольные 188
-- Эрмита — Гаусса 10S
Монохроматичность 18, 442
Мэнли — Роу соотношения 508, 513
Иаклчка 17, 108
— ангармоническая 378
- газодинамическая 109. 375, 376
— квантовый выход 128, 130
-- КПД 115, 131, 152
-- лазерная 109, 360, 421
— оптическая НО
— скорость 18, 115
вычисление 151 — 153
— — пространственное распределение 148
— химическая 109, 396. 397
— элгктрнческая 108, 131
распределение энергии электронов
электронный удар 138, 139
Направленность 20, 21
— пучков 459
пространственная когерентность пол-
полная 21, 459
частичная 21. 463
Населенность 1,3
Насыщающиеся поглотители 292, 293 321
модуляция добротности 292
— — синхронизация мод 317, 318
Насыщение 72
— интенсивность 74, 78
— поглощения 72, 73
— усиления 77
-- - линия, уширенная неоднородно 79,
80
однородно 77
Игпщрпная поляризация 402
Неоднмовые лазеры 335
Неоднородное ушнренне 41, 48
влияние на работу лазера 356. 275
н синхронизация мод 314
причины 49, 51
Нерегулярные пнчкн 284
Неупругне столкновения 67. 134, 138
Нулевые флуктуации вакуума 62
и ширина линии лазера 273
Обертонные переходы 98
Область когерентности 463
Одномодовый режим генерации 257
Однонаправленный кольцевой резонатор
263
— для одномодового лазера на красителе
263
Nd : YAG 265
Однородное ушнренне 41
н синхронизация мод 315, 537
причины 41, 48
Оптимальная связь на выходе лазера 251,
269
Оптимальное произведение pD (нлн pR)
151
СОг-лазер 368
Не — Ne-лазер 349
Оптическая накачка ПО
— — излучательная эффективность 116,
1.3!
квантовый выход 116, 130, 131
КПД 115, 131
распределение света 123
схемы НО, 111
эффективность передачи 116, 120,
122. 131
поглощения
Оптические резонаторы 160
гауссовы моды 187, 198
дифракционные потерн 160, 191, 195.
202, 215
добротность 186, 187
— — кольцеобразного типа 263
конфокальные 163, 196
концентрические (сферические) 16?,
163
моды 187, 194, 198, 203
неустойчивые 164, 219, 220
— — — ветвь отрицательная 220
положительная 220
— •- обобщенные сферические 211
— - общие свойства 161
— — плоскопараллельные 187
— — полусферические 164, 219, 348
резонансные частоты 162. 188. 20П.
214
условие устойчивости 215
устойчивые 164, 219
ширина лнннн 186
Осциллирующий диполь 58
Параметрическая генерация 501, 506
Параметрический генератор 502
двухрезонаторный 502
однорезонаторный 502
Параметры g резонатора 212
Пассивная синхронизация мод 312
— — — насыщающиеся поглотители бы-
быстрые 317, 321
медленные 318, 321
- - сталкивающиеся импульсы 396
552
Предметный указатель
Перестройка частоты лазера 252
двулучепреломляющнм фильт-
фильтром 253
дифракционной решеткой 252
призмой 252
Перетяжка пучка 203
Переход запрещенный 39, 40
— разрешенный 39
— сеченне 54
— Р-, Q- н R-ветвн 98, 99
Пнчковый режим, многомодовыс лазеры
283
Плотность энергии излучения 31
Поглощение 12, 13
— коэффициент 55
— сеченне 12, 13
Поккельса ячейка 287
модуляция добротности 287
разгрузка резонатора 324
Полупроводники
— заполнение уровней при тепловом рав-
равновесии 405
— нзлучательные н безызлучательные
переходы 406
— энергетические состояния 402, 403
Полупроводниковые лазеры 401, 402
выходная мощность 416
дифференциальный КПД 424
нзлучательные н безызлучательные
переходы 406, 407
на гомопереходе 409—412
— — — двойном гетеропереходе 412
накачка 409
— — применение 420
спектр излучения 417
с полосковой геометрией 414
распределенной обратной связью
РОС 417—419
— — упрощенная теория 42!
фотофнзнческне свойства 402
характеристики 414
Полусферический резонатор 164, 219. 348
Пороговая инверсия нассленностсй 246.
250
Потерн дифракционные 160, 191. 195, 202.
215
— логарифмические 241
— на зеркале 240
— неустойчивые резонаторы 222, 228
Правила отбора, переходы атомные 336
— внбронные 103
вращательно-колсбательные 102
вращательные 101, 103
Предыоннзацня 374
Просветляющее покрытие 182
Пространственная когерентность 19
измерение 451
многомодового лазера 457, 458
степень 449, 450
Пучок дифракционно ограниченный 21
Размер пятна 203
в перетяжке пучка 203
Расходимость
— и степень пространственной когерент-
когерентности 459, 460
— пучка 21, 464
Резонансная передача энергии 133, 153,
154
Резонаторы, см. также Оптические резо-
резонаторы
— время жнзнн излучения 184, 185
— добротность 186, 187
— разгрузка 323—326
— стабилизация частоты 275
Релаксационные колебания в лазерах 27!)
РОС-лазер 417—419
Рубиновый лазер 332—335
Рэлеевская длина 208
Самофокусировка 479
Сверхнзлученне 81
Сверхупругне столкновения (столкнове-
(столкновения второго рода) 68, 348
Сжатие импульса 517
Сннглет-трнплетная конверсия 391
Синхронизация мод 312
активная 312, 316
ктивная 312, 316
амплитудно-модуляционная
313, 314
(AM)
, 314
медленно насыщающийся поглоти-
поглотитель 319
пассивная 317, 318
частотно-модулнрованная ЧМ 316,
Скоростные уравнения 238, 243, 422
стационарное решение 247, 250
Сохранение импульса 406. 501, 502
Спекл-картнна 466
— размер зерна 467
Спонтанное время жизни 65, 66
— излучение 10, 11, 56
квантовоэлектродниамнческнй под-
подход 60, 61
полукласенческнй подход 57
усиленное 83
Эйнштейна термодинамический под-
подход 62, 63
Средняя энергия моды 30
Стабилизация частоты 275
Стекло с неодимом, лазер 338
Столкновнтельное угаиренис 41. 48
Супергауссов пучок 235
Суперлюмннесценцня 81, 82
Твердотельные лазеры 331—3-13
перестраиваемые 341
Температура нонная 135
— электронная 135, 144
Тепловая скорость атомов 50
электронов 13л
Тепловое равновесие, см. Термодинамнчр-
ское равновесие
— распределение, вырожденные уровни 80
Тепловые источники света 446
когерентность более высокого по-
порядка 475
• первого порядка 447
статистические свойства 446
Термодинамическое равновесие
вырожденных уровней 85, 86
— — для полупроводника 405
— — н излучение черного тела 30
молекулы 94, 95
Трехуровневый лазер 16. 250, 334
Трнплетные уровни в красителе 389
Увеличение за полный проход резонатора
222
Усиление лазера 485
ненасыщенное 487. 488
— — изменение в поперечном направле-
направлении 489
Усиленное спонтанное излучение 8.3
Предметный указатель
553
Условие устойчивости резонатора 217
Уширенис липни, механизмы
доплеровское 53, 49
— — естественное 48
неоднородное 48
однородное 4!
— — столкновительное 41, 48
Фабри — Перо интерферометр 172
область дисперсии (свободная
спектральная зона) 174, 175
— резкость 176
эталон 259
Фазовая самомодуляция 479, 519
Фазового синхронизма угол 499
условие 494
Фарадеевскнй ротатор 264
Фермн-уровень 405, 406
Фёрстеровский радиус 71
Флуктуации фазы 445
— — одномерные лазеры 446
Фойгта интеграл 53
Фокса и Ли теория 189, 193
Форма линии
гауссова 51
лоренцева 45, 53
уширенная неоднородно 49, 50
однородно 45
Фосфоресценция 391
Франка — Кондона множитель 102
принцип 97
Френеля число 192, 199
эквивалентное 227
Функция распределения, электроны 135
в СО2 лазерных смесях 146
Не— Ne-лазерах 147
Химический лазер 396, 397
Частичная инверсия населеиностей 378,
400
ЧМ-синхроннзацня мод 316
Шавлова — Таунса формула 274
Ширина линии
— — доплеровская 50, 54
• естественная 48, 53
лазерной генерации 186, 274
— — определение 45
столкновительная 53
Шрёдингера уравнение 527
Эйнштейна коэффициенты 11, 62, 63
Эксимерный лазер 360, 382
Электронный газ 134
скорость дрейфа 136, 144
средняя тепловая скорость 135, 144
— — функция распределения 135
Электрооптические затворы 287
Эллипсоид показателей преломления 496
Эллиптический осветитель 119
Энергетические уровни
азот 361, 380
александрит 34!
гелий-кадмий 358
гелий-неон 346
ион аргона 354
лазер на красителях 388
молекулы 89
пары медн и золота 352
рубин 333
эксимерный лазер 382
СО2 36!
(KrF)« 384
Nd : YAG 335
Энергия вращательная 89, 94
— колебательная 89
— лазерного излучния 487
— электронная 89
Юнга интерферометр 45!
Яркость 22, 470
ABCD матрицы, см. Лучевые матрицы
СО-лазер 377—379
СОг-лазер 361
— атмосферного давления с поперечным
возбуждением (TEA) 373
— волноводный 370, 371
— газодинамический 375—377
— отпаянный 369
— с прокачкой поперечной 372
продольной быстрой 369, 370
— • — медленной 367, 368
Не—Ne-лазер 345—350, 358, 359
Nd : YAQ-лазер 265, 335—338
— модуляция добротности 302
— накачка ИЗ
КПД 131
— непрерывный режим работы 267
— релаксационные колебания 283
— сеченне перехода 266
— ширина линии 52
— энергетические уровни 335
TEA СОг-лазеры 373
Оглавление
Предисловие редактора перевода . 5
Предисловие к третьему изданию 8
1. Введение • Ю
1.1. Спонтанное и вынужденное излучение; поглощение ..... 10
1.1.1. Спонтанное излучение (рис. 1.1, а) Ю
1.1.2. Вынужденное излучение (рис. 1.1,6) И
1.1.3. Поглощение (рис. 1.1, в) 12
1.2. Принцип работы лазера 13
1.3. Схемы накачки 15
1.4. Свойства лазерных пучков 18
1.4.1. Монохроматичность 18
1.4.2. Когерентность 18
1.4.3. Направленность 20
1.4.4. Яркость 22
1.4.5. Импульсы малой длительности 22
1.5. Структура книги , . 23
Задачи 24
2. Взаимодействие излучения с веществом 25
2.1. Введение 25
2.2. Теория излучения черного тела [1] .25
2.3. Поглощение и вынужденное излучение . . , 34
2.3.1. Вероятности поглощения и вынужденного излучения ... 34
2.3.2. Разрешенные и запрещенные переходы 39
2.3.3. Механизм уширеиия линии 41
2.3.3.1. Однородное уширение 41
2.3.3.2. Неоднородное уширеиие 48
2.3.3.3. Выводы и примеры 52
2.3.4. Сечение перехода, коэффициенты поглощения и усиления 54
2.4. Спонтанное излучение 56
2.4.1. Полуклассический подход 57
2.4.2. Кваитовоэлектродииамический подход 60
2.4.3. Термодинамический подход Эйнштейна . , 62
2.4.4. Связь между спонтанным временем жизни и сечением пе-
перехода 65
2.4.5. Заключительные замечания 66
2.5. Безызлучательиая релаксация fill 67
2.6. Насыщение 72
2.6.1, Насыщение поглощения; однородно уширенная линия . . 72
2.6.2, Насыщение усиления; однородно уширенная линия ... 77
2.6.3, Неоднородно уширенная линия .79
Оглавление 555
2.7. Релаксация многоатомной системы 81
2.7.1. Захват излучения 81
2.7.2. Сверхизлучение и суперлюмииесцеиция 81
2.7.3. Усиленное спонтанное излучение 83
2.8. Вырожденные уровни 85
2.9. Молекулярные системы 88
2.9.1. Энергетические уровни молекул 89
2.9.2. Заселенность уровней при тепловом равновесии 94
2.9.3. Излучательные и безызлучательиые переходы 96
2.9.4. Квантовомехапический расчет вероятностей излучательного
перехода 99
Задачи ЮЗ
Литература Ю6
3. Процессы накачки 108
3.1. Введение 108
3.2. Оптическая накачка [1, 21 ПО
3.2.1. КПД накачки 115
3.2.2. Излучательная эффективность и эффективность передачи 116
3.2.3. Распределение света накачки 123
3.2.4. Эффективность поглощения и квантовым выход накачки [9] 128
3.2.5. Заключительные замечания 130
3.3. Электрическая накачка 131
3.3.1. Физические свойства газовых разрядов [10, 12] 134
3.3.2. Возбуждение электронным ударом 138
3.3.2.1. Сечение электронного удара [13] 139
3.3.2.2. Распределение энергии электронов 143
3.3.2.3. Пространственное распределение скорости накачки 148
3.3.2.4. Уравнение ионизационного равновесия 150
3.3.2.5. Вычисление скорости накачки 151
3.3.3. Возбуждение посредством (около)резоиаисиой передачи
энергии [13, 21] 153
Задачи 157
Литература 159
4. Пассивные оптические резонаторы 160
4.1. Введение 160
4.2. Некоторые разделы геометрической и волновой оптики .... 164
4.2.1. Матричная формулировка геометрической оптики [1] ... 165
4.2.2. Интерферометр Фабри — Перо [2] 172
4.2.3. Многослойные диэлектрические покрытия [3, 4] 179
4.3. Время жизни фотона и добротность резонатора 184
4.4. Плоскопараллельиып резонатор . 187
4.4.1. Приближенная теория 187
4.4.2. Теория Фокса и Ли 189
4.5. Конфокальный резонатор [8] 196
4.6. Распространение гауссова пучка и закон ABCD [8] 207
4.7. Обобщенный сферический резонатор [8] 211
4.7.1. Амплитуды мод 212
4.7.2. Резонансные частоты и дифракционные потери 214
4.7.3. Условие устоГмгавости 215
4.8. Неустойчивые резонаторы [14, 15] 220
4.8.1. Геометрооптнчсское описание 220
4.8.2. Описание с помощью волновой оптики 225
556 Оглавление
4.8.3. Достоинства и недостатки неустойчивых резонаторов с рез-
резкой границей зеркала 228
4.8.4. Неустойчивые резонаторы с переменным коэффициентом
отражения . 229
Задачи 232
Литература iao
5. Непрерывный и нестационарный режимы работы лазеров 237
5.1. Введение 237
5.2. Скоростные уравнения [2, 3] 237
5.2.1. Четырехуровневый лазер 237
5.2.2. Трехуровневый лазер 244
5.3. Непрерывный режим работы лазера 245
5.3.1. Четырехуровневый лазер 245
5.3.2. Трехуровневый лазер 250
5.3.3. Оптимальная связь на выходе лазера [7] 251
5.3.4. Перестройка частоты генерации лазера 252
5.3.5. Одномодовая и миогомодовая генерация 254
5.3.5.1. Причины возникновения многомодовой генерации 254
5.3.5.2. Одиомодовый режим генерации 257
5.3.6. Два числовых примера 266
5.3.7. Затягивание частоты и предел монохроматичности .... 272
5.3.8. Провал Лэмба и активная стабилизация частоты лазера 275
5.4. Нестационарный режим работы лазера 278
5.4.1. Релаксационные колебания в одиомодовых лазерах . . 279
5.4.2. Пичковый режим миогомодовых лазеров 283
5.4.3. Модуляция добротности [21] 284
5.4.3.1. Методы модуляции добротности 287
5.4.3.2. Режимы генерации 295
5.4.3.3. Теория активной модуляции добротности .... 296
5.4.3.4. Числовой пример 302
5.4.4. Модуляция усиления 303
5.4.5. Синхронизация мод [26, 27] 305
5.4.5.1. Методы синхронизации мод 312
5.4.5.2. Лазерные системы с синхронизацией мод .... 320
5.4.6. Разгрузка резонатора 323
5.5. Заключительные замечания 326
Задачи 327
Литература 329
6. Типы лазеров 331
6.1. Введение 331
6.2. Твердотельные лазеры 331
6.2.1. Рубиновый лазер [1] 332
6.2.2. Неодимовые лазеры [4—6] - . 335
6.2.2.1. Nd.-YAG-лазер 335
6.2.2.2. Стекло с неодимом [7] 338
6.2.2.3. Другие кристаллические матрицы 339
6.2.3. Лазер иа александрите [8] 340
6.3. Газовые лазеры 343
6.3.1. Лазеры иа нейтральных атомах 345
6.3.1.1. Гелий-иеоиовые лазеры 345
6.3.1.2. Лазеры иа парах меди и золота [12] . . . 350
Оглавление
6.3.2. Ионные лазеры 353
6.3.2.1. Аргоновый лазер [13, 14] %54
6.3.2.2. Не —Cd-лазер ™S
6.3.3. Молекулярные газовые лазеры *,
6.3.3.1. СО2-лазер [16, 17] 361
6.3.3.2. СО-лазер 377
6.3.3.3. Азотный лазер [21] 379
6.3.3.4. Эксимерные лазеры [22] . . 381
6.4. Жидкостные лазеры (лазеры иа красителях) [23] 386
6.4.1. Фотофизические свойства органических красителей . . . 387
6.4.2. Параметры лазеров иа красителях 392
6.5. Химические лазеры [26. 27] ¦ ¦ 396
6.5.1. Лазеры па HF 398
6.6. Полупроводниковые лазеры [28] 401
6.6.1. Фотофизические свойства полупроводниковых лазеров . . 402
6.6.1.1. Энергетические состояния в полупроводниках . . 402
6.6.1.2. Заполнение уровней при тепловом равновесии . . 405
6.6.1.3. Излучательные и безызлучательпые переходы . . 406
6.6.1.4. Квазиуровпи Ферми 407
6.6.2. Накачка полупроводниковых лазеров 409
6.6.2.1. Лазер на гомопереходе 409
6.6.2.2. Лазер на двойном гетеропереходе 412
6.6.3. Полупроводниковые лазеры н их характеристики .... 414
6.6.4. Применения полупроводниковых лазеров 420
6.6.5. Упрощенная теория пщупроводппкового лазера .... 421
6.7. Лазеры па центрах окраски [37] 425
6.8. Лазер на свободных электронах [38] 428
6.9. Рентгеновские лазеры 433
6.10. Сводка параметров 437
Задачи 438
Литература 439
7. Свойства лазерных пучков 442
7.1. Введение 442
7.2. Монохроматичность 442
7.3. Комплексное представление полихроматических полей .... 443
7.4. Статистические свойства лазерного излучения и излучения теп-
тепловых источников 444
7.5. Когерентность первого порядка [3] 447
7.5.1. Степень простраиствеииой и временной когерентности . . 447
7.5.2. Измерение пространственной и временной когерентности 450
7.5.3. Соотношение между временной когерентностью и монохро-
монохроматичностью 455
7.5.4. Нестационарные пучки . . 456
7.5.5. Пространственная и временная когерентность одпомодовых
и многомодовых лазеров 457
7.6. Направленность 459
7.6.1. Пучки с полной пространственной когерентностью . . . 459
7.6.2. Пучки с частичной пространственной когерентностью . 463
7.7. Лазерная спекл-картииа [6, 7] 466
7.8. Яркость 470
7.9. Сравнение лазерного и теплового излучений ....... 472
7.10. Когерентность более высокого порядка [4] . 473
Задачи ...... 476
Литература ! .' 477
558 Оглавление
8. Преобразование лазерного пучка: распространение, усиление, преобра-
преобразование частоты, сжатие импульса 478
8.1. Введение 478
8.2. Преобразование в пространстве; распространение гауссова пучка 479
8.3. Преобразование амплитуды: лазерное усиление [6—8] 485
8.4. Преобразование частоты; генерация второй гармоники и пара-
параметрическая генерация [9—11] . 491
8.4.1. Физическая картина ..,,,..., 492
8.4.1.1, Генерация второй гармоники ..,.,.,.. 493
8.4.1.2. Параметрическая генерация , 501
8.4.2. Аналитическое рассмотрение . , 504
8.4.2.1, Параметрическая генерация . ,...,,... 506
8.4.2.2, Генерация второй гармоники , , ,511
8.5. Временное преобразование; сжатие импульса 514
Задачи ,.,...,.,..,.. 524
Литература 526
Приложения ,..,...,....,...,, 527
Приложение Л. Полуклассическая теория взаимодействия излучения
с веществом . . 527
Приложение Б, Простраиствеиио-зависимые скоростные уравнения 532
Приложение В. Теория активной синхронизации мод для однородно
уширенной линии ,.,.., 537
Приложение Г. Физические постоянные , . . . , 542
Ответы к некоторым задачам , , . 543
Предметный указатель , . , . . , 549
УВАЖАЕМЫЙ ЧИТАТЕЛЬ!
Ваши замечания о содержании книги, ее оформлении,
качестве перевода и др, просим присылать по адресу:
129820, Москва, И-110, ГСП, 1-й Рижский пер., д. 2,
издательство «Мир».
Учебное издание
Орацно Звелто
ПРИНЦИПЫ ЛАЗЕРОВ
Издание третье, переработанное н дополнсчшое
Заведующий редакцией А. Н. Матвеев
Зам. зав. редакцией С. М. Жебровский
Ст. научный редактор А. Н. Куксенко
Младшие редакторы И. А. Зиновьева. В. И. Аксенопа
Художник С. Н. Болоболов
Художественный редактор К. В, Радченко
Технический редактор Т, А. Максимова
Корректор А. Ф. Рыбальченко
ано в набор 22.11.89, Подписано к печати 09.08.90. Формат 60х90'/ц. Бумага типограф-
типографская № 1. Печать высокая. Гарнитура литературная. Объем 17,5 бум. л. Усл. печ. л. 35,0.
350 У 3237 И № 2/7038 Т 8300 З № 1437/365 Ц 4 б
ИБ № 7339
Сдан
ская № 1. Печать ысокя. Гарнитура лтертурня. Объе 17, у . ,.
Усл. кр.-отт. 35,0. Уч.-нзд. л, 32.37. Изд. № 2/7038. Тираж 8300 экз, Зак, № 1437/365. Цеиа 4 руб.
Издательство «Мнр» В/О «Совэкспорткннга» Государственного комитета СССР по пе-
печати. 129820. ГСП. Москва. И-110. 1-й Рижский пер., 2.
Набрано в Ленинградской типографии № 2 головного предприятия ордена Трудового
Красного Знамени Ленинградского объединения «Техническая книга» им. Евгении Со-
Соколовой Государственного комитета СССР по печати. 198052. г. Ленинград, Л-52. Измай-
Измайловский проспект. 29. Отпечатано в Ленинградской типографии № 4 ордена Трудового
Красного Знамени Ленинградского объединения «Техническая книга» им. Евгении Со
коловой Государственного комитета СССР по печати. 191126, Ленинград, Социалиста^
ческая ул., 14.