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Une remise à niveau progressive
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La solution pour
A
etre enfin bon
en maths!
FIRST
#)
Editions
Maths 4 e pour les Nuls
c< Pour les Nuls» est une marque déposée de Wiley Publishing, Inc.
c< For Dummies» est une marque déposée de Wiley Publishing, Inc.
@ Éditions First, 2009. Publié en accord avec Wiley Publishing, Inc.
Tous droits réservés. Toute reproduction, même partielle, du contenu, de la couverture ou des icônes.
par quelque procédé que ce soit (électronique. photocopie, bande magnétique ou autre) est interdite
sans autorisation par écrit des Éditions First.
Le Code de la propriété intellectuelle interdit les copies ou reproductions destinées à une utilisation
collective. Toute représentation ou reproduction intégrale ou partielle faite par quelque procédé que
ce soit, sans le consentement de l'Auteur ou de ses ayants cause est illicite et constitue une contrefaçon
sanctionnée par les articles L335-2 et suivants du Code de la propriété intellectuelle.
ISBN: 978-2-7540-1180-8
Dépôt légal: 1 er trimestre 2009
Mise en page: TyPAO
Couverture: Catherine Kédémos
M. Nul est habillé par: David Beuque
Édition: Gwenn Alvarez
1)0
FSC
Sour(es Mixtes
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Imprimé en Italie
par Rotolito Lombarda
Nous nous efforçons de publier des ouvrages qui correspondent à vos attentes et votre satisfaction
est pour nous une priorité. Alors, n'hésitez pas à nous faire part de vos commentaires:
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Fax: 01 45 49 60 OI
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En avant-première, nos prochaines parutions, des résumés de tous les ouvrages du catalogue.
Dialoguez en toute liberté avec nos auteurs et nos éditeurs. Tout cela et bien plus sur Internet à
www.editionsfirst.fr
Sommaire
Introduction .... _ _ .. . .. . . .. .. . . . . . . . .
À propos de ce livre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Comment ce livre est-il organisé? .
Les icônes utilisées dans ce livre.
Première partie: Nombres et calculs
1. Addition et soustraction de nombres relatifs . . . .
2. Multiplication de nombres relatifs. .
3. Fractions équivalentes, simplification. . . . . . . .. .........
4. Addition et soustraction de fractions....................
5. Multiplication de fractions. ............................
6. Division de fractions .....................
7. Trouver un arrondi ...........,....... ...
8. Carré et cube d'un nombre entier relatif. . . . . .
9. Puissances de 10............
10. Expression littérale................
11. Réduire une expression littérale.
12. Développement. ......... . . . . . . . . . . . . .
13. Comparaison de nombres. " . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14. Produit en croix. ....................
15. Comparaison: ordre et addition. . . . . . . . . . .
16. Comparaison: ordre et multiplication .....
17. Équation à une inconnue. . ...........................
18. Mise en équation d'un problème.. .........
Bilan 1... ........... .............
................. 5
5
5
7
8
10
.. .. ....... 12
... 14
..... 16
... 18
.............20
............ ... 22
.......................... 24
.. .... 26
................ ................28
..............30
.............. 32
.... 34
.............36
............. 38
............ .40
.42
.44
Deuxième partie: Ort}.anisation et t}.estion de données
19. Quatrième proportionnelle........
20. Calcul d'un pourcentage. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21. Échelle d'une carte..............
22. Proportionnalité et graphique _ _.....................
23. Calcul d'une moyenne d'une série statistique. .
Bilan 2... ..... ...... '" ......... ... ...... ..... ... .......
.46
.. .. 48
.....50
............... .52
.54
-_ 56
lJ
Maths 4 e pour les Nuls................
Troisième partie: Géométrie
24. Théorème des milieux. .
25. Petit théorème de Thalès.
26. Théorème de Pythagore. . . . . . . . . . . . . . . .
27. Réciproque du théorème de Pythagore. . . . .
28. Cosinus et triangle rectangle. . . . . . . . . . .
29. Déterminer la valeur d'un angle aigu.......
30. Triangle rectangle et cercle circonscrit ...
31. Tangente à un cercle...... ...............
32. Distance d'un point à une droite. . . . . . . . .
33. Bissectrice d'un angle. . . . . .
34. Pyramide ......... .. .. .. .. .
35. Cône de révolution. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .........
36.
randissement et réduction d'une figure..........
Bilan 3......
Quatrième partie: Grandeurs et mesures
37. Volumes de la pyramide et du cône de révolution
38. Vitesse moyenne. .. . . . .. .. .. . .. . .. .. . . .. .. . . . ..
39. Distance parcourue et temps de parcours. . . . . . . .
40. Conversion des unités de vitesse .
Bilan 4.
Cinquième partie: La partie des Dix. . . . . . .
Corrigés .......
Tableau de suivi de progression .....
..58
60
62
64
66
.. 68
.70
72
.74
.. 76
.78
.80
.....82
.84
.86
...........88
.. .. .. .. 90
.. .. .. .. .. 92
.94
96
100
128
Introduction
À propos de ce litlre
Ce livre s'adresse à tous ceux qui rencontrent des difficultés en maths et qui
ont décidé de s'accrocher.
Toutes les notions du socle commun de connaissances qu'un élève est censé
avoir acquises à la fin de la 4 e sont abordées.
Toutes les notions incontournables du programme de maths 4 e sont traitées.
La collection « Pour les Nuls» a mis tout en œuvre pour faciliter l'accès
aux connaissances mathématiques. Finis les mots compliqués, terminées
les heures passées à s'arracher les cheveux sur des problèmes de trains
qui se croisent!
Vous allez enfin pouvoir découvrir les maths sous un nouveau jour.
Comment ce litlre est...il ortjanisé }
Ce livre est découpé en grandes parties, qui correspondent à celles de votre
programme de maths en 4 e :
· Nombres et calculs ;
· Organisation et gestion de données;
· Céométrie;
· Grandeurs et mesures.
À l'intérieur de ces grandes parties, les notions sont traitées sur une double
page: c'est pratique!
Chaque double page vous propose une révision progressive en quatre étapes:
c'est efficace, vous allez voir!
· J'observe et je comprends: vous entrez en douceur dans la notion. Grâce
à cette observation, vous allez comprendre le cours de manière intuitive.
· J'apprends: c'est le cours! Il est présenté de façon claire et synthétique.
· J'applique: vous mettez en pratique ce que vous venez d'apprendre;
vous allez pouvoir vérifier que vous avez bien tout compris.
· Je m'entraîne: une série d'exercices vous est proposée pour vous entraîner.
Les exercices sont classés par niveau de difficulté C*, ** ou ***)
et évalués. Vous allez ainsi pouvoir vous noter.
6 Maths 4 e pour les Nuls ---...-...---._u....-m--.._m__....._.__.__._._...___...._....um
À la fin de chaque grande partie, un bilan, sous la forme d'un QCM, vous
permet de faire le point sur les connaissances acquises ou celles plus fragiles
pour lesquelles un petit retour à la leçon est nécessaire.
À la fin de l'ouvrage se trouvent tous les corrigés des exercices et des bilans.
Ces corrigés sont détaillés et enrichis de conseils aux parents.
Vous avez aussi droit à des bonus.
· La partie des Dix: vous y découvrirez qu'il existe dix règles de calcul
à connaître, dix notions de géométrie du triangle ou encore dix formules
d'aire et de volume.
· Un tableau de suivi de progression pour suivre votre ascension pendant
toute l'année. C'est simple à utiliser: vous devez indiquer sur le tableau votre
note finale à la fin de chaque série d'exercices.
Introduction
7
Les icônes utilisées dans ce litlre
Tout au long du livre, vous allez rencontrer les mêmes icônes.
Celles-ci jalonnent un parcours qui vous permettra de bien comprendre
où vous en êtes dans votre apprentissage; c'est un super repérage au cas
où vous êtes perdue e) !
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Vous entrez en douceur dans la notion traitée
en observant un exemple commenté.
Impossible d'y échapper! C'est ce que vous devez
absolument retenir, l'essentiel du cours.
À vous de jouer pour un premier essai! C'est
l'application directe de ce que vous venez de voir.
Après l'échauffement, c'est parti pour une série
d'exercices.
C'est le moment des bilans.
Ce sont les conseils aux parents: des trucs et des astuces
pour mieux expliquer les difficultés de l'exercice.
8 Nombres et calculs _.___m..__w_...._ m .._....._.. -..
..._....._..m_.....m_....._.... _.m___..._m__....
Addition et soustraction
de nombres relatifs
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dans cette fiche:
Vous allez apprendre à additionner et à soustraire des nombres positifs et négatifs.
Vous allez utiliser la notion d'opposé.
................................................
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VoV-5 .
", Vous savez déjà additionner deux nombres positifs: 10 + 21 = 31.
", Additionnons maintenant deux nombres négatifs (-10) et (- 21).
On commence par les additionner sans se préoccuper de leur signe:
(- 10) + (- 21) =? 31.
Puis on ajoute le signe commun: (- 10) + (- 21) = - 31.
1
i
1
", Venons-en aux nombres de signes contraires, comme 10 et (- 21).
Étape 1. Sans faire attention aux signes, on soustrait au plus grand
nombre le moins grand: 21 - 10 = 11.
Étape 2. Le résultat porte le signe de celui qui est le plus grand nombre
sans signe: 10 + (- 21) =... 11 car 21 > 10.
", Vous apprendrez bien vite que derrière toute soustraction se cache en
vérité une addition: 10 - 21 = 10 + (- 21) = - 11
10-(-21)=10+21=31
Remarque: (- 21) et 21 sont opposés.
", Les nombres de même signe s'additionnent en gardant leur signe.
", Pour additionner des nombres de signes opposés, on les soustrait (le plus grand
moins le plus petit) et on donne au résultat le signe de celui qui, sans signe, est le
plus grand.
Ex. : (- 4) + 5 = 5 - 4 = 1 puisque 5 est plus grand que 4.
", Effectuer la soustraction a - b revient à remplacer la soustraction par une
addition: a- b= a+ (- b).
Ex.: 5- 9= 5+(- 9) =-4; (- 5) - (-12) = (- 5) + 12= 12- 5= 7.
", On dit que - b est l'opposé de b et que b est l'opposé de - b.
Ex. : 5 et (- 5) sont opposés.
Complétez les calculs suiclants.
1. 9 + 22,5 = .........
2. (-2)+(-5)= ....
3. (- 7) + (+ 3) = ...........
4. 4 - 6 = 4 + (. .) =
5,5-(-12)=5+
6. (- 5) - (- 30) = ( - 5) + ... .. = ... ..
......ou_.._..OU__.......OU...._ou.ou..m _ 1. Addition et soustraction de nombres relatifs 9
t
.
...... 2
points
-.... 2
points
-... 4
points
;;:i
;;:i
;;:i
o * * Effectuez les opérations suivantes.
1.5+3=..
2, (- 8) + (- 2) =
3, (- 9) + (- 12) =
4. 5 + 16 =
8 * '* Même exercice.
1.1,6+2,3=
2, (- 7,2) + (- 6,8) =
3, (- 6,4) + (- 3,5) =
4, 5,3 + 6,1 =
€) * * Indiquez pour chaque nombre son opposé.
1. - 2,8 -+ .
3. -1,85 -+ ."
2,0,75 -.. ...
4, - 4,2 -+ ...
o * * Î' Remplacez les soustractions par des additions et effectuez les
opérations.
1. 7-3= .
2, (- 8) - 5 = .....
3. 6 - (- 4) =
4. (- 9) - (- 11) =
o ** Effectuez les opérations suivantes.
1. (+ 1,8) + (-7,2) = .p'
2. (-1,7) - (- 5,6) = .....
o *** Effectuez les calculs suivants en procédant par étape,
1. 5+23-25-30= ....
2. (- 35) + 23 + (- 12) + 2,5 = .
3, (- 3) - (- 5) + (- 6) - (- 2) = ...
4.1-(-26)+(-20)-12= ....
TOTAL:
20 points
... Corrigés p. 100
10
Nombres et calculs ________
2 Multiplication de nombres relatifs
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dans cette fiche:
... Vous allez apprendre à multiplier des nombres positifs et des nombres négatifs.
... Vous allez découvrir comment trouver le signe d'un résultat avant même d'avoir fait
le calcul.
................................................
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fil
.
.,.
.
NDS
.., ..
.
.
Vous vous souvenez peut-être que la multiplication est une addition qui
joue à cache-cache: 5 + 5 + 5 = 15 - 3 x 5 = 15.
Pour les nombres négatifs, c'est la même chose:
(- 5) + (- 5) + (- 5) = - 15 - 3 x (- 5) = - 15.
Deux nombres négatifs peuvent aussi se multiplier, comme (- 3) x (- 5).
Étape 1. On commence par faire la multiplication sans regarder le signe:
(-3)x(-5)=? 15.
Étape 2. Ensuite, pour trouver le signe, rien de plus simple,
il suffit de savoir que deux nombres négatifs qui se rencontrent
lors d'une multiplication se transforment en un nombre positif.
On conclut donc: (- 3) x (- 5) = + 15.
le produit d'un nombre positif par un nombre positif est un nombre positif.
+x+=+
Ex. : 5 x 2 = 10.
le produit d'un nombre positif par un nombre négatif est un nombre négatif.
+x-=- ou -x+=-
Ex.: (-21 x3=-6.
le produit d'un nombre négatif par un nombre négatif est un nombre positif.
-x-=+
Ex.: (-2) x (-3) =6.
Transformez chaque multiplication en addition et cochez
le sit}.ne du résultat obtenu.
1. (-I,8)x3=... ....
2. 7 x C- 0,5) = ....
3, 2 x 15 = ...
4. 3 x (- 6) =
+ -
DO
DO
DO
DO
_.. .........._..._._...._..__.................._ 2. Multiplication de nombres relatifs Il
.
It
- Il
/H'ints
- 2
/H'Înts
- 2
/H'Înts
- Il
/H'ints
- Il
/H'ints
-. Il
points
o *** Indiquez le signe de chaque produit.
1. 5x6- ..... 2. (-7)x(-2)-
3. (-9)x2- 4. (-2)x6-
5. (- 3) x 0,5 - 6. 5 x (- 2) -
7. (- 13) x (- 31) - 8. 102 x 31,2-
o *** Décomposez les multiplications suivantes en sommes et donnez
le résultat sans vous servir de votre calculatrice.
l. 8x3= ..
2.7x(-2)=
3. (- 10) x 3 =
4. 2 x 10 =
o *** Complétez les opérations.
1.7x =-7
3. 12 x .... = - 12
2. (-8) x .=8
4. (- 7) x. . .. = 7
o ** * Calculez les produits suivants.
1. 4 x 5 =
2. (-5)x6=
3. (-9)x(-4)=
4. (- 5) x (- 3) =
o ** * Trouvez le facteur manquant.
1. 7,9 x .' =-7,9
3. 8 x ... = - 16
2. .... x (- 6,5) = ... 6,5
4. (- 9) x. . = - 27
o *** Calculez les produits suivants.
1. 7,3x (-4,7) = .
2. (- 0,8) x (- 6,5) =
3. (- 8,2) x (-1,5) =
4. (-4,3) x 2,1 =. .......
rorAL :
Corri(jés p. 100
20 points
12
Nombres et calculs _.........._
. . . . .
Fractions ét{uillalentes l simplification
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dans cette fiche:
.... Vous allez apprendre à simplifier une fraction.
Vous allez réduire des fractions au même dénominateur.
................................................
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...
./' .
", Les fractions 15 et
sont-elles égales? Regardez bien!
20 12
", Étape 1. On divise par 5 le numérateur et le dénominateur de la première
f t . bt ' t 15: 5 3
rac IOn, on 0 Ien : 20 : 5 = 4 .
Étape 2. Puis on divise par 3 le numérateur et le dénominateur de
1 d f . bt ' t 9: 3 3
a secon e ractlon, on 0 Ien : 12 : 3 = 4 .
", Les deux fractions ont maintenant même numérateur et même
dénominateur, elles sont égales. Elles s'écrivent avec des nombres plus
simples, on dit qu'on a simplifié les fractions.
", En divisant le numérateur et le dénominateur d'une fraction par un même entier,
on simplifie la fraction.
E . 252 _ 252 : 2 _ 126: 3 _ 42 : 7 _
x.. 294 - 294:2 -147:3 - 49:7 - T
",
(avec b non nul) est une fraction qu'on ne peut pas réduire (on parle alors
de fraction irréductible), si on ne peut plus diviser son numérateur et son dénomi-
nateur par le même entier.
6
Ex.: ]'
", Réduire deux fractions au même dénominateur, c'est écrire chaque fraction avec
1
d " a c . 1 . a x d ex b (b d O)
e meme enommateur: b et d sont ega es a b x d et b x d et :t:- .
E 1 2 . 1 .lx3 3 2x4 8
x. : 4 et 3 sont ega es a 4 x 3 = 12 et 3 x 4 12'
Simplifiez les fractions suÏf/antes.
1. 27 =
=:..:....--.:..
39 39 :...
25 =
2. ...........................___.....
35
RAi
Q
- Il
l'oints
- Il
""ints
- Il
",,;nts
- Il
",,;nts
3. Fractions équivalentes. simplification
13
o * . * Reliez les fractions qui ont le même dénominateur par une flèche.
1.
7
2.
4
3. 13
28
4. 15
37
. 1
4
. 25
28
. 6
37
5
7
o *'. ' Trouvez le facteur manquant.
I.
=
=
5 5 x..... 15
3. 13 = 13 x ... = 26
11 11 x...... 22
2.
=
= 30
7 7 x .. 35
4 2 _ 2 x.. _ 14
. 9 - 9><:::: - 63
o * ** Trouvez le diviseur manquant.
I.
=
=
8 8: 4
9_9: _1
3.---_-
27 27:.. o. 3
2. 10 =
=
15 15 : n.. 3
436_36: _6
. 72 - 72 : no. - 12
o ** k Réduisez les fractions suivantes par divisions successives.
1. 42 = 42 : .... =
30 30: .....
3. 105 = 105 :
120 120 :
2 21 _ 21 : _
' 42 -
--
4.
= 45 : . .
105 105:
. - ..-
--
(;) *** Réduisez les fractions suivantes au même dénominateur.
1. ! et 1.- -
5 15
3 5
2.-et- -
7 14
9 6
3.-et- -
7 5
- Il
".;nts 4. 13 et 19 -
25 2
RPTAL :
Corri9és p. 101
20 points
IlJ Nombres et calculs mmm_
.
Addition et soustraction de fractions
Dans cette fiche:
.
. . . . . . . . . . .
/
. . . . . . . . .
. .
... Vous allez revoir comment mettre deux fractions au même dénominateur.
Vous allez apprendre à additionner deux fractions.
................................................
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cc . . CI
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... .
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Tarte 1
Tarte 2
1
1234 J 234
: fHfj fHfj :
Voilà deux tartes de 12 portions chacune.
", Si on mange la partie rose de la première tarte, on avale
de la tarte ou
4
1 9 portions sur 12 soit 1 9 2 e de la tarte. Donc
= 1 9 2 '
", Si on mange la partie verte de la seconde tarte, on mange! de la tarte
3
ou 4 portions sur 12 soit 1 4 2 e de la tarte. Donc! = ..!.
3 12
", Au total, en additionnant le nombre de portions de chaque tarte, on a
_ 9 4 13
mange: 12 + 12 = 12 '
", Finalement, vous venez de voir comment additionner
et ! car:
4 3
3 1 9 4 13
4 + :3 = 12 + 12 = 12 '
", Pour additionner (ou soustraire) des fractions, elles doivent avoir un
dénominateur commun, il faut donc multiplier les dénominateurs entre eux.
:t
= axd :t cxb = axd'!:cxb (betd:;t:O)
b d bxd dxb bxd
3 2 3 x 3 2 x 5 9 + 10 19
Ex.: 5 + 3 = 5x3 + 3x5 =
= 15'
Réduisez au même dénominateur puis calculez.
1.!+!=
+
= +,.
3 2 3 x... 2 x.....
2 4 5 4 x.. 5 x.....
,--- ---
5 7 5 x 7 x.....
_m.._.....m..mmmm..........._.......mm...____.._._.... 4. Addition et soustraction de fractions 15
3
- 2
points
- 2
/H1ints
- Il
/H1Înts
- Il
/H1Înts
- Il
/H1Ïnts
- Il
/H1ints
1 mAL:
o * ** Effectuez les opérations suivantes.
3 6
1.-+-=
5 5
2. 13 _ Z =
9 9
5 7
3. - + - =
6 6
5 3
4 ----
. 13 13-
o *** Même exercice.
1.
+
= 2 x.... + 3 x.... = .... +
5 8 5 x.... 8 x....
2. !! _ Z = 11 x..... 7 x...... =
6 4 6 x.... 4 x . ....
o *** Calculez.
1 2
1. :3 + 5 = d'
3 1
3'8-5="'"
2 2
2. 7+9= ....
5 2
4. - - - =
2 3 .
o *** Effectuez les opérations suivantes.
I.
-
=
4 5 "
2. (-
) +
= . d.'
1 9
3,---=
2 4 .
4. (-
) +
=
o *** Julien dépense
puis
de son argent.
Quelle est la fraction d'argent dépensée?
o *** Tom, spécialiste en cocktail, se prépare un mélange constitué de
de jus d'orange,
de jus de mangue,
de sirop de fraise, il complète
avec du lait. Quelle fraction de lait doit-il verser dans son cocktail?
Corri(jés p. 10 1
20 points
16 Nombres et calculs
..
5 Multiplication de fractions
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dans cette fiche:
Vous allez apprendre à calculer des produits de fractions.
................................................
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- 2 1 2 1
Que representent les :3 de 2 ou comment calculer :3 x 2 ?
1
2
1 234 5
6
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-
y
1 Grand rectangle 1
y-
I Grand rectangle 1
", La partie rose représente les
du grand rectangle.
", La partie hachurée représente les
de la partie rose du grand rectangle
3
donc elle représente les
du grand rectangle.
6
Il suffit de multiplier directement les numérateurs: 2 x 1
1 d - . t 3 2 d 2 x 1 2 0 It ' 1 " 2 1
et es en omm a eurs: x , onc 3 x 2 = 6' n a mu lp le :3 par 2'
", Pour multiplier des fractions, on multiplie directement les numérateurs entre eux
et les dénominateurs entre eux: i x
= ::
(b et d * 0).
E 7 3 7 x 3 21 A . l ' f ' 1 . 1 ( . f . h 3)
x.: 8 x 5 = 8 x 5 = 40' n peut encore slmp 11er e resu tat vOIr IC e .
", Multiplier a par
, c'est aussi diviser a par b.
1 5 1 5
Ex.: 5 x 7 = 1 x 7 = 7 = 5 : 7.
Calculez les produits suif/ants.
1 Zx
=
'9 4
5 26
2. -X-=.
13 10
r
'4
2
nts
2
nts
- Il
nts
- Il
,.;nts
- 2
;nts
- 2
;nts
- Il
ints
_
_._____
_
__......----________________
______
____
___r-- _.
5. Multiplication de fractions
17
o * *- Complétez les calculs suivants.
1,
x
_ x -
3 7 x
2 3 7 x
. gX4 x
3. ! x
x
3 9.... x .
4. 15 x! = x...... - -
7 2 x
8 * 'r Calculez les produits suivants.
7
1. 1x-= ...
8
5
3. 4 x 9 = ...
3
2. - x 5 =
4
13
4, - x 7 =
15
o ** '* Même exercice.
3 6
l. -x-= ....
7 7
3 1
3. - x - =
4 9
1 5
2,-x-=
9 6
4 8
4, - x - =
5 7
o ** Effectuez les produits suivants.
7 5 1 3 1 2
1 -x-x-= 2 -x-x-=
'6 4 7 .. '8 2 5
1 10 21 1 2 3 5
3, _ x _ x _ = 4. - x - x - x - =
572 3524
o *** Même exercice.
1. (-
) x
= ."
3. (-
) x
x (-
) = ....
2, (-
) x (-
) =
4, (-
) x (- (4 ) x (-
) =
9 *** Zoé mange les
d'un cake de 750 g.
Calculez la masse (en g) qu'elle a mangée.
o *** Titouan dispose de 63 €. Il en dépense les quatre septièmes.
Calculez ce qu'il lui reste.
TOTAL:
.. Corr;ijés p. 102
20 points
18 Nombres et calculs
6 Dirlision de fractions
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dans cette fiche:
Vous allez apprendre à effectuer des divisions de fractions.
Vous allez utiliser la notion d'inverse.
................................................
:œ
f.C04fJO
.:=;;
cc . . CI
LU v
CI)
..
q",
!(i
a.UE
R
'1
:., Po. \
110 11 ,$ .
", Effectuons avec la calculatrice la division 5 : 0,1. On trouve 50.
Recommençons l'expérience en calculant 3: 0,1. Le quotient est 30.
On peut en déduire que diviser par 0,1 revient à multiplier par 10.
", Comment procéder sans calculette?
L'écriture fractionnaire de 0,1 est 1- donc 5 : 0,1 peut s'écrire 5: 1- ou
10 10
encore
.
1
10
Faisons intervenir la multiplication: 5 x 10 = 50.
Or 10 peut s'écrire 10 . Et 10 est l'inverse de 1- donc
= 5 x 10 = 50.
1 1 10 1 1
10
", Pour trouver l'inverse d'une fraction, il faut inverser numérateur et dénominateur,
comme sur le schéma ci-dessous.
E 3 l " d l
x.: 1' est Inverse e 3'
ç
:>
ç
:>
", Diviser un nombre par une fraction, c'est multiplier ce nombre par l'inverse de la
a
. a c b a d
fraction. b : d = c = b Xc (b, c, d;t;O).
d
1 4
Ex.: 5: 4 = 5 x 1' = 5 x 4 = 20.
Effectuez les dil/isions suil/antes.
1 .
1. 12 par :3 .
4 3
2. 5 par .(
-
l'
.....
)
6. Division de fractions 19
2
o * * Écrivez l'inverse de chaque nombre.
1. 12 _
25
2. 9 -
5
3 - - -
. 3
4.-
-
5
'nts
e * Ir * Effectuez les opérations suivantes.
6
1. 4 : ! = 4 x - =
5
6.1_6 _
3.- ---x--
7' 3 7
3
2.9'-=9x-=
'7
7 . 21 _ 7 _
4. - . - - - x - -
5 10 5
nt$
2
€) * Ir * Même exercice.
3.5_ _
1. 4 . 2 - - x - -
3 . 14 _ _
2. -.---x--
7 21 ..
nts
Il
o ** Effectuez les divisions suivantes avec des nombres relatifs.
3
1.-6: 2 =
2. 5 : (_ 1
) =
3. (-
) : (-
) =
4.
. ( - ! ) =
2 . 3
nts
/
Il
'nts
o *** Arthur a dépensé 12 €. Cette somme représente les
de son
4
argent. Quelle somme avait-il avant d'engager ses dépenses?
0*** Le réservoir de ma voiture est au
vide. Il reste encore 9 litres
4
/ dans mon réservoir. Calculez sa capacité totale.
Il
inrs
AL: 1
20 points
Corr;9és p. 103
20 Nombres et calculs _"'_'_
7 Trour/er un arrondi
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dans cette fiche:
Vous allez apprendre à trouver un arrondi lorsqu'un résultat possède trop de chiffres
après la virgule.
Vous allez utiliser différents degrés d'arrondi: unité, dixième, centième...
................................................
œ :\
f.C04t..o
.:=;; '#-
cc " CI
.... , ."
'"
.
f.NDS
... .
v..
.
", Calculez le quotient 1 458 : 453.
Votre calculatrice indique 3,218543046 comme résultat.
Pour ce type de calcul, on demande souvent de donner un résultat
arrondi (heureusement! Imaginez sinon le nombre de cartouches
d'encre inutilement gaspillées pour écrire des nombres sans fin !).
", Observons le résultat de plus près:
3,218543046
III : roTondi au millième: 3.219
arrondi au centième: 3,22
arrondi au dixième: 3,2
arrondi à l'unité: 3
", Pour arrondir un nombre, on regarde le chiffre qui est juste après l'unité choisie:
- si ce chiffre est plus petit que 5 alors on garde le chiffre de l'unité choisie;
- si ce chiffre est égal ou supérieur à 5, alors on ajoute 1 au chiffre de l'unité
choisie.
Ex.: arrondi de 25,57138 au centième - 25,571i(38 - 25,57 (car 1 < 51.
arrondi de 62,58946 au centième - 62,58.9.46 - 62,59 (car 9> 51.
arrondi de 1,5368 au millième - 1,536[R - 1,537 (car 8 > 51.
Remarque: le terme arrondi peut être remplacé par l'expression valeur
approchée.
On arrondit les résultats des quotients suil/ants au dixième.
Cochez la bonne solution.
1. 157: 8 <= a. 0 19,625 b.019,63 c. 019,6
2. 9 865 : 65 <= a. 0 151,8 b.O 151,7 c. 0 151,6
3.1:3<= a. 0 0,34 b. 0 0,334 c.00,3
.----........-..... - - .........-.-..........-.. ....--...--.---...-....--.-....-..---. --.........--.-... 7. Trouver un arrondi 21
f
-.... 3
points
points
points
-.... 5
points
o * * Indiquez si les propositions suivantes sont vraies (V) ou fausses (f)
en vous aidant de votre calculatrice.
1.
7 est la valeur exacte du quotient 85: 15.
2. 1,2 est la valeur exacte du quotient 65 : 53.
3. Arrondir au dixième, c'est arrondir à deux chiffres après la virgule.
4. Arrondir au millième, c'est arrondir à trois chiffres après la virgule.
V F
DO
DO
DO
DO
8 * ** Précisez l'arrondi utilisé pour chacun des calculs suivants
(à l'unité, au dixième, au centième ou au millième).
1. 6 : Il "" 0,5 -
2. 946: 45"" 21,022 -
3. 56 : (- 5) "" - Il -
o ** * Cochez les bonnes réponses.
1. 3,6 est l'arrondi au dixième de :
2. 5,82 est l'arrondi au centième de :
3. 65 est l'arrondi à l'unité de :
4. 1,234 est l'arrondi au millième de:
03,52
05,8156
o 65,52
o 1,23342
03,56
o 5,8279
o 65,46
o 1,23467
03,66
05,8149
o 66,12
o 1,23412
o ** Coloriez sur la droite graduée toutes les valeurs dont 5 peut être
l'arrondi à l'unité.
4
5
6
o *** A l'aide de votre calculatrice, répondez aux questions suivantes.
1. Calculez le quotient de la fraction 2i .
2. Ce quotient est-il une valeur exacte?
3. Donnez l'arrondi de ce quotient
a. à l'unité: . ..
b. au centième: . ....
c. au millième: .. __ . . .. . . . . . . . .. . .. . . . .. . .. .. .
1 TOTAL:
Corrigés p. 1O
20 points
22 Nombres et calculs
8 Carré et cube dJun nombre entier relatif
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dans cette fiche:
Vous allez apprendre à calculer le carré et le cube d'un nombre relatif.
Vous allez manipuler la calculatrice pour effectuer ces calculs.
................................................
œ )f..C04l"O
.:0;; ';110
cc .. CI
.... en
'?",
().UE
À-,
VoV.5 .
yi Carré d'un nombre
F représente un carré de côté a.
L'aire de ce carré vaut: a x a = a 2 .
Ex. : 5,8 x 5,8 = 5,82.
Remarque: 5,8 2
5,8 x 2 ; il ne faut pas
multiplier 5,8 par 2 mais par lui-même!
yi Cube d'un nombre
G représente un cube de côté a.
Le volume du cube est égal à : a x a x a = a 3 .
Ex. : 5,8 x 5,8 x 5,8 = 5,83.
Remarque: 5,8 3
5,8 x 3 ; il ne faut pas
multiplier 5,8 par 3 mais par lui-même, 3 fois!
F
a
la
,
,
.
,
,
,
,---------
V' le carré d'un nombre est un nombre qui est multiplié par lui-même, a x a= a 2 .
On dit aussi que
( a est à la puissance 2 » ou
( a est au carré »).
V' le carré d'un nombre négatif est toujours positif car - x - = +.
Ex.: (-3)2=(-3) x(-3)=9.
V' le cube d'un nombre est un nombre qui est multiplié par lui-même, 3 fois,
a x a x a = a 3 . On dit aussi que
( a est à la puissance 3 ») ou « a est au cube »).
V' le cube d'un nombre négatif est toujours négatif car, dans un produit, quand le
nombre de facteurs négatifs est impair, le produit est négatif.
Ex.: (-5)3=(-5)x(-5)x(-5) =-125.
Remarque: on peut effectuer tous ces calculs à la calculatrice en utilisant la
touche
pour le carré et la touche 0 (accent circonflexe) suivie de 3 pour le
cube. Il ne faut pas oublier les parenthèses pour affecter le signe - au nombre
(différent de la touche soustraction).
Effectuez les calculs suit/ants.
1. 6 2 = ...
2. (-7Y=
3. - 52 =
4.8 3 = ... ..... ....
8. Carré et cube d'un nombre entier relatif
23
4-1.RAJ,,
0 * * Remplacez l'écriture puissance par une multiplication,
· ''1!10!.!
- ¥'
'" 1. (- 2,3)2 = ......
4
a b a 2
2 -5
-
/H1ints -0,5 1,2
- 2
points
- 2
points
-
/H1ints
-
/H1ints
-
/H1ints
2. 4,3 3 =
3. - l,5 2 =
4. -6,5 3 =
8 * lit * Remplacez les multiplications par une écriture avec un carré ou
un cube,
1. (-7) x (-7) x (-7)= __.
2. - (2,5 x 2,5) = .....
4. (-0,3) x (-0,3) =
3. 1,8x 1,8x 1,8= .....
o ** lit Calculez les nombres au carré.
1. (-0,6)2 = .
3. 2,2 2 = ..
2. -3,8 2 =
4. - 7,5 2 =
o ** lit Calculez les nombres au cube.
1.1,4 3 =.
3, -4,7 3 =
2. (-O,9?=
4. - 12 3 =
o * * * Les propositions suivantes sont-elles vraies (V) ou fausses (f) ?
V F
1. - 25 peut-il être le carré de 5? . 0 0
2. 6 est-il le carré de 3? ......
DO
DO
DO
3. -1 peut-il être le cube de (-1) ?
4. 9 est-il le carré de (-3) ?
«) *** Complétez le tableau suivant.
b 2
a 3
b 3
TOTAL:
Corrigés p. 1O
20 points
2lJ
Nombres et calculs . _ ___
9 Puissances de 10
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dans cette fiche:
Vous allez vous familiariser avec les écritures comprenant des puissances de 10
Vous allez apprendre à effectuer des calculs avec des exposants.
................................................
œ "f.C04f'O
.:s; "1-
Q: " 0
... v ri!
III
,,.
.
f.NDS
.
v
E
À.
... \JOV
\
Observez la grille ci-contre, on compte
10 lignes et 10 colonnes. Le nombre total
de cases de cette grille est 10 x 10 = 100.
On a vu dans la fiche 8 que 10 x 10 = 10 2 .
Regardez bien! 10 2 = 100; 100 s'écrit avec
2 zéros comme le 2 en exposant de lQ2.
Si on prend une case de la grille par
rapport à l'ensemble des cases, elle
représente 1: 100, qui s'écrit aussi
1 1
100 = 10 2 = 0,01. Donc une case
représente un centième de la grille.
On a ...!.. = 10- 2 .
10 2
.
'"
CI)
c
o
-
10 colonnes
La forme a- n =
est l'écriture de l'inverse d'une puissance, cela revient à
a
diviser par an .
Quand on multiplie le nombre 10 par lui-même nfois (nest un entier positif!, on le
met sous la forme:
lO n = 10 x 10 x 10 x 10 x ... x 10
" J
nfois
m- n = 1
10 x 10 x 10 x ... x 10
V
nfois
ou
lO n se dit
( 10 à la puissance n Il ou
( 10 exposant n Il.
Remarque: 101 = 10.
Ex.: 5 x 10 3 = 5 000 ; on multiplie 5 par un multiple de 10 (ici 10 3 = 1 000).
5 x 10-3 = 0,005 ; on divise 5 par un multiple de 10 (ici on divise par 1 000).
Si met n sont des entiers positifs, on a :
lO m 1
lO m x lO n = lOm+n et - = lO m x - = lO m x 1O-n = lOm-n.
10 n lO n
Ex.: 10 4 x 10 3 = 10 4 + 3 = 10 7 ; 10: = 10 5 x 10-3 = 10 5 - 3 = 10 2 .
10
Écriflez le résultat sous la forme d'une puissance de 10.
100 x 1 000 = 10.... x 10.... = .....hn
'J
- 2
points
- 2
points
- 2
points
- 2
""ints
- Il
""ints
- Il
""ints
9. Puissances de 10
25
o * * Mettez les nombres sous forme décimale.
1.10 2 =.
2.10 4 = ....
3. 10 7 = .
4. 105 = ...
8 * * Écrivez les nombres sous la forme d'une puissance de dix.
1. 100 = 10'" 2. 1 000 = 10'" 3. 10 000 = 10'" 4. 10 = 10'"
€) ** Complétez l'exposant manquant.
1. 0,1 = 10'" 2.0,000 1 = 10'" 3.0,01 = 10'"
4.0,000000 1 = 10'"
o * * Écrivez sous la forme UV'.
1. 10 000 =
2.0,001 = ........
3. 10 000 000 000 = .
4. 0,000 000 000 1 =
o * * Effectuez les calculs suivants.
1. 10 6 x 10 4 =10'"+'''=10''' 2. 101 X 10 7 =10'''+'''=10' .
3,10 8 xlO-5=IO"'-"'=IO" 4.104xlO
=IO"'-'"=10'''
9 *** Effectuez les opérations et écrivez le résultat sous la forme 10".
1. 400 x 2 500 = ......... = ........
3. (585 - 5 x 17) : 5 = ......... = ............
2. 9 999 999 + 1 =.. ............ = ............
4. 13 850 - 2 x 1 925 =
0*** Convertissez en utilisant des puissances de 10.
1.1km= m
2. 1 cm 3 = . .. dm 3
- Il 3. 1 dm = .. hm
",,;nts 4. 1 m 3 = L (litre)
AL:
20,-nu 1
Corrigés p. 105
26 Nombres et calculs ..__.._.....___.______m_m_...._m._...
.._.....__.___.m_.m._
Expression littérale
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dans cette fiche:
... Vous allez apprendre à écrire un calcul sous forme littérale.
.. Vous allez remplacer des lettres par des nombres.
................................................
COI/fA
t rJj '\
u.I v
CI)
!TI
,,.
.
...
l
On veut écrire un programme
informatique pour calculer
le périmètre du rectangle
ci-contre.
Si on utilise les valeurs des lon-
gueurs, le programme ne fonc-
tionnera que pour ces nombres.
Il est donc plus judicieux d'uti-
liser des lettres qui pourront
prendre différentes valeurs
pour calculer le périmètre.
Choisissons les lettres x, y, a et b pour repérer les dimensions de la
figure.
La longueur du rectangle est L = x + a, sa largeur est l = Y + b.
Vous connaissez la formule du périmètre d'un rectangle P = 2 x (t + O.
Il suffit alors de remplacer L et 1 par leurs expressions ci-dessus, on
écrit :
P= 2x (x+a+ y+b).
La formule de P ainsi obtenue s'appelle, en mathématiques, une
expression littérale.
x a
y
b
Une expression littérale est une suite d'opérations et de lettres, autrement dit une
formule de calcul.
Pour appliquer cette formule, il faut remplacer les lettres par des nombres etfaire
très attention à l'ordre des calculs.
lorsque cette formule est écrite, on peut la calculer pour n'importe quel nombre.
Il suffit de donner une valeur à chaque nombre pour faire le calcul.
Ex.: pour x=7; a=3; y=5; b=2; P=2x (x+a+y+ b);
P = 2 x (7 + 3 + 5 + 2) = 2 x 17 = 34.
Proposez une formule permettant de calculer
le périmètre du triant}.le isocèle.
P= ..... .................... ........
L
b
.
''''''''''''''''''
___''''
'''''''''__''''___'_'''''''''''''''_'_________
_'
10. Expression littérale 2 7
a ..
;;:i
;;:i
;;:i
;;:i
;;:i
o * Soit un carré de côté a.
1. Exprimez le périmètre P du carré en fonction de a.
-Y'
2. Calculez ce périmètre P pour :
a = 2; P=
a=4,8; P=
aY
(
8 *** À partir du carré de l'exercice 1, répondez aux questions
suivantes.
1. Exprimez l'aire A du carré en fonction de a.
A = .__
2. Calculez cette aire A pour :
a=3;A=..
a = 1,5 ; A =
€) **1' Rédigez les formules de calcul.
1. Prenez un nombre a et multipliez-le par 3 -
2. Prenez un nombre b et ajoutez-lui 5 -
3. Prenez un nombre c et divisez-le par 4 -
4. Prenez un nombre d, ajoutez-lui 5 et soustrayez-lui 3 -
o ** /1{ Même exercice.
1. Prenez un nombre x, multipliez-le par 2 et ajoutez à ce résultat le nombre 2 :
2. Prenez un nombre y, ajoutez-lui 5 et divisez le résultat par le nombre 3 :
3. Prenez le nombre z et ajoutez-lui le nombre u ; prenez le nombre w
et ajoutez-lui le nombre t ; multipliez ces deux sommes:
o *** On prend un nombre x, on le multiplie par 5 et on soustrait 4
à ce produit.
1. Écrivez la formule correspondant à l'énoncé.
2. Calculez cette formule pour:
a.x=2,7 -
b.x=-3 -
c.x=-1,5 -
d.x=3,8 -
TOTAL:
Corrigés p. 105
20 points
28
Nombres et calculs wm.__......__.
Réduire une expression littérale
. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. .
. . . . .
Dans cette fiche:
vous allez raccourcir une expression en remplaçant les additions par des multiplications.
......
œ "f.CO
.P
.:;;;
CI: " CI
... v en
"
.
\)E
-
À-\
\)01).5 .
.........................................
Observez bien le polygone à 10 côtés.
On retrouve plusieurs fois la lettre a pour les côtés
b de longueur a et la lettre b pour ceux de longueur b.
Il n'y a qu'un segment de longueur c.
Pour calculer le périmètre, il faut additionner toutes
ces longueurs: P = a + b + a + b + a + b + a + b + a + c.
Cette expression est longue, cherchons à la réduire.
On compte 5 fois la longueur a, on écrit 5 x a ou 5a Con supprime le signe x).
On compte 4 fois la longueur b, on écrit 4 x b ou 4b. Il reste la longueur c.
a
a
L'expression du périmètre devient P = 5a + 4b + c.
On a ainsi réduit l'expression initiale. On ne peut pas la réduire davantage
puisque a, b et c sont trois longueurs différentes.
yi Réduire une expression littérale, c'est regrouper ensemble toutes les lettres
identiques et remplacer leur somme ou leur différence par une somme ou une
différence de produits (multiplication).
Ex.: Soit l'expression x 2 + x 2 + x 2 - x + x 2 - x - x.
On peut ajouter 1 devant chaque lettre :lx 2 + lx 2 + lx 2 -lx+ lx 2 -lx-lx.
On compte 4x 2 qui s'additionnent. donc 4 fois x 2 , et 3x qui se soustraient, donc
3 fois x.
On réduit et on écrit: lx 2 + lx 2 + lx 2 -lx+ lx 2 -lx-lx=4x 2 -3x.
yi On n'additionne ni ne soustrait jamais des lettres différentes.
Ex.: Soit l'expression 4x 2 -3x-6 -2x+ 5x 2 + 5.
On regroupe les mêmes termes ensemble: 4x 2 + 5x 2 -3x-2x-6 + 5.
On calcule 4x 2 + 5x 2 = 9x 2 , puis -3x-2x= -5xet enfin -6+ 5 = -1.
Donc: 4x 2 -3x -6 - 2x+ 5x 2 + 5 = 9x 2 -5x-1.
Réduisez les expressions suiflantes.
I.a+a+a+a= ....
2, S +s +s +s +s = .......
f
xi
d
xi
'.-. _.
...m
..m__.m.__.._.__ 11. Réduire une expression littérale
29
o * Réduisez les expressions suivantes.
1. 2x+3x= ..
2. 7 h - 5h = ....
3. Jé2 + y3 + Jé2 + y3 + y2 + XI + y2 + y + XI + y2 + x =
4. 7 Jé2 - 3x + 2Jé2 - 6x - 5 + 9 = ..
8 ** Réduisez les calculs suivants.
1. 3x-9+5x+8=.
2, 12 - 8x -15 + 3x =
3. Jé2 + Jé2 + Jé2 = ..
4. t 3 + f3 = . .
€) ** Regroupez les termes identiques pour réduire les expressions.
1. 12 - g2 + 5 + g2 = .
2. t 2 + 5 + t 2 + 1 + t 2 + 7 =
3. 15 - 7x 2 + 6x + 7 + 9x 2 - 9x = . .
4. 4s - 8 + 5s 2 - 7s + 11 + 6s 2 =
o *** Zoé veut acheter 2 stylos rouges, 3 cahiers, 1 gomme, 3 paquets de
feuilles. Elle décide de faire une étude comparative des prix dans plusieurs
magasins.
1. Aidez-la à écrire la formule de calcul qui lui permettra de savoir quel
magasin est le plus intéressant. Dans la formule, on nommera: les stylos
rouges R, les cahiers C, la gomme G et les feuilles F.
Formule de calcul: ..
2. Complétez le tableau suivant.
-- ----- - .'
Commerces R - Prix C - PriX G-Prix F - Prix Prix
à l'unité à )'uni&" à l'unité à l'unité total
Karetout O,25€ O,45€ O,75€ l€
Casseprix O,40€ O,28€ O,80€ O,95€
/ Foufouille O,34€ O,60€ O,55€ l,lU€
6
points Quel magasin doit-elle choisir?
TOTAL:
Corrigés p. 106
20 points
30 Nombres et calculs ..._......._ _ ..._.._._....
.____m.... .__........_......_.m..._ ..._--.
......._......__...
Défleloppement
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dans cette fiche:
lit- Vous allez apprendre à reconnaître une forme factorisée et une forme développée.
.. Vous allez vous entraîner au développement d'une expression.
................................................
œ
f..COI/f'O
.
.::0;;
CI: " CI
... en
cil
db
.,.
.
f..NDS
... .
v..
\)E
-
À.,
\)01).5 .
Le rectangle R ci-contre est constitué des
rectangles RI et R 2 .
On peut inventer deux formules
différentes pour calculer l'aire A de R.
Formule 1 : la longueur de R est a + b ; sa
largeur est k, donc A = k x (a + b).
Formule 2 : R est constitué de RI et R 2 .
En additionnant les aires de RI et de R2'
on obtient l'aire de R : A = k x a + k x b.
..
a b
..
RI Rz t-
y
R
Dans la formule 1, on remarque qu'en distribuant le nombre k dans la
parenthèse, on a :
A =kx (a+b) =k x a+ k x b.
"-1
On retrouve la formule 2. On dit qu'on a développé k, facteur commun à a
et b. On a obtenu une expression développée.
Développer une expression, c'est distribuer le facteur commun à tous les termes
de la parenthèse.
Si k, a et b sont des nombres quelconques, on a: k(a+ b) = kx a+ kx b.
k (a+ b) est la forme factorisée; kx a+ kx b est la forme développée.
Ex.: 3(x+ 1) =3x+3.
Un signe - placé devant une parenthèse change tous les signes de la
parenthèse.
Ex.: -5(x+3) = -5 xx-5 x3= -5x-15.
Si k, a, b, cet d sont des nombres quelconques, on a :
(a+ b)x(c+ d)= ax(c+ d) + bx (c+ d)= ax c+ax d+ bx c+ bx d.
(a -b)x (c+ d)=ax (c+ d) -bx(c+ d)= ax c+ ax d-bx c- bx d.
Après avoir développé une expression, on peut la réduire.
./
Défletoppez tes expressions.
1. k(2 + 5) =
2. 7(x-y) = ....
3. (x + 3)(x + 1) = x (x + 1) +. x (x + 1) = . x.. + . x . +
x.. + x
{
..
.
;d
-.... 3
points
_n. 2
points
- Il
points
-........--...-..-....-.......---...--...--m_..____..___..m.___....._'_"'m._ 12. Développement 3 1
o * 'r-* Pour chaque expression, indiquez par une flèche si elle est
factorisée ou développée.
1.4x+5 .
2. 2(y + 5) - 3g .
3. 5 x (3x - 5) .
4. (x + 1) x (x - 1) .
. Expression factorisée
. Expression développée
8 * ** Développez les expressions suivantes.
1. 3(f + 0,5) = 3 x . + 3 x . =.
2. 1,2(a + b + c) = 1,2 x + 1,2 x.. + 1,2 x . =..
3. 6,1(x + y + z) = 6,1 x .. + 6,1 x .. + 6,1 x
€) *** Même exercice.
1. 2(4 + 3t) = ...
2. (1 + 3k) x 5 = ....
3. 0,8(O,2x + 0,4) = .
4. 4,2(1,5 + 2x) = .
o ** r Développez les calculs suivants.
1. -2(2x+5y)=-2x . -2x.. = ...'
2. -3(-O,7r-O,2p)=-3x. .-3x. .=..
3. (2a + 1,5b + 3,2c) x (- 0,8) = '"
4. (- 4,3s + O,6r - O,If) x ( - 2,1) = '..
«:} *** Même exercice.
1. (x + 5)(x + 2) = ""
/ 2. (O,3z + 2,1)(1,2 + 5z) = ....
Il 3. (I,5t -I,2)(2t + 3) =
points 4. (-2z -1)( -4 -z) =.
- 5
roints
roTAL :
9 *** A = 2(5x + 3y - 2) et B = - 4 (2x + y - 1).
1. Développez les expressions.
A=......
B=....
2. Calculez A pour x = 0,5 et y = 1,3 _ A =
3. Calculez B pour x = 2,1 et y = 3,4 _ B =
Corrigés p. 106
20 points
32
Nombres et calculs ."_'"
Comparaison de nombres
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .
Dans cette fiche:
Vous allez apprendre comment comparer deux nombres entre eux et deux fractions
entre elles.
......... .................................... .
œ
f..CO
;O
.::0;;
a: . . CI
uJ vJ en
o .
,,.
'..
Prenons deux nombres 3 et 5. Comment les comparer?
Effectuons la différence 5 - 3 = 2 ; elle est positive. Et 5 :> 3.
Réessayons avec - 8 et 2 ; 2 - (- 8) = 10, la différence est encore positive
et - 8 < 2.
Appliquons cette méthode pour comparer les deux fractions a =
3
3
etb=-
4'
3 2 3x3 2x4 9-8 1 1 ..
Calculons b-a=-- - = - - - = - = - comme - est pOSItIf
4 3 4 x 3 3 x 4 12 12 12
3 2
al o r s -:> -
4 3'
On retrouve le même résultat qu'avec des nombres.
Remarque: Pour ce calcul, on a réduit les deux fractions au même
dénominateur (fiches 3 et 4), on remarque que
=
et
= 2.
3 12 4 12
et qu'à dénominateur égal, 8 < 9 donc on a bien
:>
.
4 3
Pour comparer deux nombres a et b, on forme la différence b - a.
- si b - a:> 0 (le signe de la différence est positif) alors a < b,
- si b- a< 0 (le signe de la différence est négatif) alors a:> b.
Pour comparer deux fractions, on les réduit au même dénominateur.
À dénominateur égal, celle qui a le plus grand numérateur est la plus grande.
7 8 7 7x9 63 8 8x8 64 8 7
Ex. : 8 et '9 ; 8 = 8 x 9 = n ; '9 = 9 x 8 = n ; 64 > 63 donc '9 > 8'
Comparez -1,25 et -1,3 en écriflant leur différence.
-1,3-(-1,25)= donc <
et
_.__...._..mm__.....mm_
m..._.....m_...._._____.13. Comparaison de nombres 33
1
-3
1. A d'abscisse a telle que 1 < a < 2.
2. B d'abscisse b telle que b - 3 < O.
- Il 3. C d'abscisse c telle que 3... c < O.
",ints 4. D d'abscisse d telle que d - 5 > O.
.!
1
... ,
. -,
xi
-.... Il
points
-.... 2
points
-.. 2
points
- 2
points
- Il
",ints
o * ** Comparez les décimaux suivants.
1.4,3. .. 4,35
2. 7,08...... 7,8
3. - 3,8 .... - 2,1
4. - 4,25 .. .. - 4,205
8 * k* Trouvez le nombre manquant pour que l'inégalité soit vraie.
1. 1,08 < 1,79 2. - 3,2 > 0,5
3. - 12 > 05 4. 0,05> 0,2
€) *** Rangez les nombres suivants dans l'ordre croissant (du plus petit
au plus grand).
1,5; l,52; 1,408; 1,509; 1,058; 1,478.
o *** Calculez la différence et écrivez l'inégalité.
1. 1,375 et 1,405
2. - 4,8 et -- 5,7 ..
o **.Jf. Comparez les fractions suivantes en les réduisant au même
dénominateur.
13 1
1. 15 et :3 - .....
4 3
2 --et---
. 5 4 .
9 *** Rangez les fractions dans l'ordre décroissant (du plus grand au
plus petit).
25.5.5.9.3.6
21 ' :3 ' -- 4 ' 7 ,- 2 ,- 5'
o *** Sur la droite graduée ci-dessous, placez les points suivants.
1
o
1
3
1 ·
AL:
Corrigés p. 107
20 po;nts 1
3lJ Nombres et calculs _ ___.
_.._.______.mm_..__..__...___..m__m___ _ _..____.
111 Produit en croix
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dans cette fiche:
.... Vous allez apprendre à écrire et calculer des produits en croix.
.... Vous allez utiliser les produits en croix pour vérifier l'égalité de deux fractions.
................................................
œ
f..COI/f'O
.::0;;
CI: . CI
..... , en
..
"
.
.
Prenons deux fractions Z et 2 2 1 . Si on multiplie le numérateur 7 de l'une
4 1
par le dénominateur 12 de l'autre, on a : 7 x 12 = 84 et le numérateur 21 par
le dénominateur 4, on a : 21 x 4 = 84. On trouve donc que 7 x 12 = 21 x 4-
Ce calcul s'appelle le produit en croix.
Effectuons maintenant le produit en croix des fractions
et
. On écrit
d'une part: 3 x 9 = 27 et d'autre part 5 x 4 = 20. Cette fois, les deux
produits ne sont pas égaux. Pourquoi?
Reprenons le premier exemple et simplifions la fraction î
en divisant
, d " 3 t 21 7
son nu me rate ur et son enommateur par ,on rouve - = _ 4 '
12
Or dans le second exemple,
*-
. On en conclut que, lorsque le pro dUt
en croix de deux fractions est égal, alors les deux fractions le sont aUSSI..
le produit en croix de deux fractions
(b *- 0) et
(d *- 0) s'écrit:
ax det bx c.
Ex.: pour Ü et
,on écrit 7 x 7 et 8 x 3.
Si les fractions sont égales
=
(b *- 0) et (d*- 0) alors le produit en croix de -
c . 1 .. d b
et d est ega et on eCrit ax = xc.
1 2
Ex. : 2 = 4 donc 2 x 2 = 4 x 1.
Si deux produits sont égaux a x d= b x c alors les fractions le sont aussi i =
6 18 6 18
Ex.: 7 et 21 ; 6 x 21 = 126 et18 x 7 = 126 donc 7 = 21'
A ' f "..I d '..l" ".f'"I: f I' ,",217
al«e un pro«ult en crOIX, vert, lez et}.allte 27 = 9"
......... x......... =......... et........ x......... = ................
.-----..-..--..-.--.-...--.-....---...-...-.--------....---..-----..-.---..----.... 14. Produit en croix 3S
o * ---* Effectuez les produits en croix.
!:!t, .,;_ 1
et 12 _ . x. et x.... = ..
. 6 5
2 15 t
_ .......x... et ... ..x
. 25 e 5
;;::£ 3. 12 et Z _ x et. .. . '" x
24 5
4. ;
et
- .. x. = et. ...x
;;::£
f) *. Calculez le produit en croix pour chaque égalité.
1. 1
= ;
- .....
2 12 =
_
. 20 5
€) ** Vérifiez si les fractions sont égales en calculant les produits
en croix.
Il
points
1. 18 et
_
81 9
2. 65 et 15 _
45 30
3. 27 et 63 _
15 35
4 16 139_
. 23 et 200 . .
-. Il
points
o *** Pour chercher le nombre x tel que
= !, on calcule le produit
en croix: xx4 = 5 x 3 => 4x= 15 =>x= 15: 4 =>x= 3,75.
Appliquez cette méthode aux égalités suivantes.
n 8
1.3=4'"
7 5
2. -=_
Y 13
o *** Zoé court le 1 000 m en 6 min. Si elle gardait le même rythme,
combien de temps lui faudrait-il pour parcourir 1 500 m ?
Utilisez la méthode de l'exercice précédent.
- Il
points
TOTAL:
20 points
Corrigés p. 107
36
Nombres et calculs _..............._........_....._..................._
Comparaison: ordre et addition
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dans cette fiche:
.... Vous allez découvrir comment ajouter et supprimer des termes dans une inégalité.
.... Vous allez apprendre à calculer les valeurs d'une inégalité.
................................................
œ "f.CO.,,'O
.:s; '#-
rc . . CI
.... v
ci>
.
.,. .
-
)
VI Observez l'inégalité CD : x > y.
VI Elle peut aussi s'écrire sous la forme @: x - y> O.
Mais comment faire pour passer de CD : x > y à @ : x - y > 0 ?
VI Si on ajoute - y des deux côtés, appelés aussi membres de CD, on obtient:
x-y>y-y.
En réduisant le membre de droite, on écrit encore: x - y> 0 car y - y = 0
et on retrouve l'inégalité @.
VI Dans une inégalité, on appelle membre chaque partie de part et d'autre du signe
de l'inégalité.
Ex.:
2+x
'------y-'
Membre de gauche
5+x
'------y-'
Membre de droite
'------y-'
Signe de l'inégalité
VI À chaque membre d'une inégalité, on peut ajouter ou soustraire le même nombre
sans changer son sens.
Ex.: 2 <3; en ajoutant 5 dans les 2 membres: 2+ 5= 7 et3+ 5= 8 donc 7 < 8 alors
2+5<3+5.
VI Pour supprimer un nombre dans un membre d'une inégalité, on ajoute son
opposé aux deux membres.
Ex.: x+ 3 < 8; x+ 3 - 8 < 8 - 8; on réduit x+ 3 - 8 < 0 et x- 5 < O.
VI La résolution d'une inégalité ne donne pas une seule valeur mais un ensemble de
valeurs.
Ex.: x;;;. 2, 1 .. (la partie rouge de l'axe).
2
Transformez les inét}.alités suiflantes.
1. a < b peut s'écrire.....
2. r> z peut s'écrire ..
_.......
.._...._...._....__.m.__.___...._....
c...__.. 15. Comparaison: ordre et addition 37
,
...
;;:£
;;:£
;;:£
;;:£
;:;£
o * * Complétez avec les symboles d'inégalité.
1.4+3..4+1
2.5-3...15-14
3. -3+7 ...10-9
4. 2,9 - 1,4
1,5 + 0,9
f) * k' Complétez les inégalités pour qu'elles soient vraies.
1. 4+3<5 ....
3.3,8 + 1,5 > 1,5
2.2
<0
4. - 4,7 + 2 > 1,3 ....
€) *** Ajoutez un nombre à l'inégalité pour que le membre de droite soit
égal à O.
1. a + 6 < 8 2. k - 5 > 12
3. n+8<-7
4. m-12>-5
o ** ' On sait que a > b, complétez par le signe d'inégalité qui convient.
15
l.a+l,7.. b+2-0,3 2.a-5.. b-3"
49
3. -+a . .' b+7
7
4. 4 + a - 2 " b - 2 + 4
o *** Trouvez les valeurs possibles pour chaque inégalité.
1. e+5<3 -
2.12>x+7 _
3. 4,5 + v < 7 + 5 - .....
4. - 8 < f - 10 -
Q *** Sur la droite graduée, complétez en rouge les points dont
l'abscisse x vérifie l'inégalité proposée.
I.x<5
2.x>-1
j 1 1
-3 0 3
1 1 1
-3 0 3
1 1 1
-3 0 3
1 ..
1 ..
1 ..
/ 3. x<-3
Il
points
TOTAL:
Corrigés p. 108
20 points
-
38
Nombres et calculs
Comparaison: ordre et multiplication
, ,...............................
Dans cette fiche:
......
Vous allez apprendre à multiplier une inégalité par un nombre.
.........................................
(\
i. C04tA
; rI) '\
... v en
,. .
_
NDS
... .
.
VI On va s'intéresser au rangement des nombres si on les multiplie par un
même nombre.
-2b
1
F
- 2a 0 a b
1-+-+\
E 0 AB
3a
1
c
3b
1
D
Sur la droite graduée ci-dessus, a = 3 et b = 4 sont les abscisses
respectives de A et de B. On remarque que A < B (3 < 4).
VI Pour placer les points C et D, on multiplie a par 3 et b par 3 ;
on remarque que C < D car 3 x 3 = 9 et 3 x 4 = 12. L'ordre est le même
(on dit qu'il est respecté) puisque a < b et 3a < 3b.
"" Pour placer les points E et F, on multiplie a et b par - 2 ; on remarque
que E > F car - 2 x 3 = - 6 et - 2 x 4 = - 8 et - 6 > - 8. L'ordre est inversé
puisque a < b mais - 2a > - 2b.
Si un nombre a est inférieur à un nombre b (a < b) alors:
"" multiplier a et b par un même nombre e positif (e > 0) ne change pas le sens de
l'inégalité.
Ex.: - 3 < - 1 ; on multiplie par 2 : - 3 x 2 = - 6 ; - 1 x 2 = - 2 et - 6 < - 2.
VI multiplier a et b par un même nombre e négatif (e < 0) change le sens de
l'inégalité.
Ex.: 5 <9 ; - 3 x 5 = - 15; - 3 x 9 = - 27 et - 15 > - 27.
On a placé deux points G et H sur une droite t}.raduée
tels que G < H.
Trouflez le sifJ.ne du facteur a pour que aG > aH.
G ...........H et aG ........... aH d'où a ............ O.
-.---.
-.---....--...n--__.__
.._
._____.16. Comparaison: ordre et multiplication 39
a
;d
--.... Il
0*** Complétez avec les signes d'inégalité qui conviennent.
1. 3 ... 8et5 . o d'où 3x5 .8x5
2.3,2 ....1,5 et 0,3.. 0 d'où 3,2 x 0,3 ...1,5 x 0,3
3.-2 ....-5etl,5 '" Od'où-2xl,5. . -5xl,5
4.-1,7... -1,6etO,3 .Od'où-I,7xO,3
- 1,6 x 0,3
f) * '. * Même exercice.
1.4. 7et-2... Od'où4x-2 ....7x-2
2. 1,9... 0,5 et - 5 . . 0 d'où 1,9 x - 5 ... 0,5 x - 5
3.-2 . -let-3 .. Od'où-2x-3... -lx-3
4. - 0,75 .. - 1,2 et - 0,4
o d'où - 0,75 x - 0,4 .... - 1,2 x - 0,4
€) ** On sait que a
b, complétez par le signe d'inégalité qui convient.
2. - 5a - 5b
1 1
3. 4 a .... 4b
4. - O,5a .. - 0,5b
points 1.9a. 9b
o ** * Comparez en complétant par le signe d'inégalité qui convient.
1. 45 x 104 .. 52 x 104
2. 23,6 X 10- 2 . .. 27,8 X 10- 2
4.-4xlO- 2 , -6xlO- 2
--... Il
points 3. - 12 X 10 3 ,. - 15 X 10 3
_o. Il
points
- fi
o *** Le triangle ABC est équilatéral de côté de longueur x.
On donne 1
x
5, écrivez un encadrement du périmètre du triangle ABC.
Q *** a < b et n est un entier naturel, comparez en complétant par
le signe d'inégalité qui convienL
points 1. a x IOn . b x IOn
2. a x lO- n . . b x 1O-n
TOTAL:
Corrigés p. 109
20 points
!JO
Nombres et calculs
Équation à une inconnue
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dans cette fiche:
Vous allez apprendre à reconnaître une équation à une inconnue.
Vous allez la résoudre.
................................................
œ "f.COJ/t"o
.:s;
cr: . . CI
u.I VI en
ci>
.
.,. '.
"" Voici des calculs devinettes avec des nombres inconnus.
CD Si on ajoute 5 à un inconnu, on trouve 12 ; Quel est cet inconnu?
C'est facile, c'est 7 ! Pour le trouver, on a soustrait 12 - 5 = 7.
@ Si on enlève 4 à un inconnu, on trouve 25, alors ???
Bien sûr, c'est 29!!! On a, cette fois-ci, additionné 25 + 4 = 29.
@ Si on multiplie un inconnu par 4, on trouve 12. Quel est cet inconnu?
3 évidemment, on a divisé 12 : 4 = 3.
@ Si on divise un inconnu par 13, on trouve 4 alors ????
C'est 52 bien sûr car 13 x 4 = 52.
r;' Reprenons ces calculs en appelant x l'inconnue.
On réécrit les formules de calcul (on dit aussi des équations) sous
la forme:
CD x + 5 = 12 donc x = 12 - 5 = 7; @x - 4 = 25 donc x = 25 + 4 = 29 ;
@ 4x = 12 donc x = 12 : 4 = 3 ; @ x : 13 = 4 donc x = 4 x 13 = 52.
"" Équation avec une addition (ou soustraction)
Si x+ a= b alors x= b- a.
Ex.: x+2,5=4 ;x=4- 2,5; x= 1,5.
Si x- a= b alors x= b+ a.
Ex.: x-l,8= 0,2;x= 0,2 + 1,8;x= 2.
r;' Équation avec une multiplication (ou division)
Si ax= b(a*O) alors x= b: a=
.
a
6
Ex.: 1,5x= 6; x= 6: 1,5 = 1,5 ; x= 4.
Si x: a=
= b(a*O) alorsx= bx a.
a
x
Ex.: 1,8 =3;x=3xl,8;x=5,4.
Remarque: on utilise le produit en croix (voir p. 34).
Résolflez l'équation en complétant les éfJalités suiflantes.
x+2,7=9;x=9.......... ;x=
_.._m__..._.-....-....-.._._...____...____.._.___.______..._17. Équation à une inconnue !J 1
e L
1
4-
l4i ." . ;
..., y
.
;4
;4
;4
;4
;;:£
o * ** Complétez les équations.
},x+5=9 x=9-
2.x-3=7
3, x- 2,6 = 0,4
4. x+ 0,75 = 3,25
f) *** Même exercice.
l, 12x = 27
2.
=9
13
3. 3,5x = 6,3
4. OX7 = 1,3
,
x=7+ ..
x = 0,4 + ..
x=3,25 -.
x=27:.
x=9x ..
x=6,3:.
x= 1,3x.
x=
x= ....
x=.
x=.
x=
x=..
x=..
x=.
€) ** Complétez en utilisant le produit en croix et trouvez la valeur de x.
1.
=
4 20
xx .. =3x
3x4
X=-
x=
2.! =
3 9
1 x..... =3x..
lx9
X=-
x=.....
o ** Résolvez les équations suivantes.
l, x + 2,8 = 3,9 2, 8,5x = 27,2
3. 2... = 0 8
3,7 '
4, x - 2,89 = 1,33
(:) *** Écrivez les équations en posant x comme inconnue et résolvez-les.
1. On ajoute 2,7 à l'inconnue; on trouve 17.
2. On multiplie l'inconnue par 3,2 ; on trouve 22,4.
TOTAL:
20 points
... Corrigés p. 109
!J2 Nombres et calculs
__._....._m..m......_.__....___.._m.._m..__....m_.....m__
18 Mise en ét(uation d'un problème
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .
Dans cette fiche:
... Vous allez apprendre à écrire les données d'un problème avec des équations.
................................................
(t; œ "f,.COJ/t"o
.
.:s;
CI: . . CI
uJ yJ en
,.
.
.
VI Voici un programme de calcul: « Choisissez un nombre, multipliez-le
par 2, ajoutez-lui 4, divisez le résultat par 2 ; combien trouvez-vous? »
Si vous trouvez 13, c'est Que vous avez choisi 11 !
Si vous trouvez 7, c'est que vous avez pensé à 5 !
"" On va maintenant écrire ce programme en utilisant des équations.
On choisit x pour inconnue.
On multiplie l'inconnue par 2 => 2x
On ajoute 4 au résultat => 2x + 4
On divise le résultat par 2 => C2x + 4) : 2
On développe et on réduit =>
C2x + 4) = x + 2
Si le nombre trouvé est égal à a alors il faut résoudre: x + 2 = a
etx=a - 2.
Il suffit d'enlever - 2 à a pour trouver l'inconnue x.
"" La mise en équation d'un problème s'effectue en 5 étapes:
<D choix de l'inconnue;
@ écriture mathématique de l'énoncé => écriture d'une égalité;
@ résolution de l'équation;
@ solution;
@ vérification des résultats.
Ex.: Jean a deux ans de plus que Paul; ensemble, ils ont 18 ans.
Étape <D, choix de l'inconnue: x= âge de Paul; x + 2 = âge de Jean
Étape @, écriture de l'égalité: x+x+2= 18
Étape <ID, résolution de l'équation:
x+x+2= 18=> 2x+ 2= 18=> 2x= 18-2=> 2x= 16 => x= 16: 2=> x=8
Étape @, solution: Paul a 8 ans; Jean a 10 ans
Étape @, vérification: âge de Paul + âge de Jean = 18 => 8 + 10 = 18
Complétez les éfJalités pour écrire le problème suÎflant
sous forme d'équation.
Zoé et Titouan ont ensemble 290 mois. Titouan est plus âgé de 2 mois que Zoé.
Quels sont leurs âges respectifs?
x = âge de Zoé => âge de Titouan = x + => égalité: x + x + .
=> âge deZoé,x= .....=> âge de Titouan =x+ .... = .....
_m
______.____mmm__mm...._.m___m__ 18. Mise en équation d'un problème !J3
G
1
...,'" .; .
... ,
xi
xi
0* Ic- Complétez les égalités.
1. Multipliez x par 2 - x x . .. . ..x
2. Ajoutez 5 ày- 5 +.
3. Multipliez x par 5 et enlevez 7 - 5 x .,. - .. = 5
4. Divisez y par 3 et ajoutez 6 - Y :
1
+6= -y+6
f) * . * Associez chaque équation à son énoncé par une flèche.
1. 2x + 5 Divisez un nombre par 4 et soustrayez 3 au résultat
x
2. :3
3. (x + 2) : 5
. Multipliez un nombre par 2 et ajoutez 5 au résultat
Divisez un nombre par 3
x
4. 4-3
. Ajoutez 2 à un nombre et divisez le résultat par 5
€) ** * Associez chaque équation à sa solution par une flèche.
I.x+3=4 . 6
8
. 1
48
2.2x-5=7 .
xi 3. 2(x - 4) = 8 .
4.
- 3 = 9 .
4
xi
--. fi
points
o ** * Le triple d'un nombre plus 7 est égal à 25.
1. Complétez les égalités pour mettre le problème sous forme d'équation.
x= .
..x+ , ..= ...
2. Résolvez l'équation trouvée en 1.
o *** Le double de la somme d'un nombre auquel on ajoute 3 est égal
à la différence du triple de ce nombre et du nombre 5.
1. Parmi les trois équations proposées, cochez la bonne:
o 2x+3=3x-5
o 2(x + 3) = 3(x - 5)
o 2(x+ 3) = 3x- 5
2. Résolvez cette équation.
TOTAL:
CorriiJés p. 11 0
20 points
lJlJ Nombr,-,s et calculs
Bilan 1) Nombres et calculs
t.\
-
!
-
Cochez la bonne case quand vous avez trouvé la réponse. Il n'existe qu'une
seule possibilité. Chaque bonne réponse vaut 2 points.
?i
o 3 + (- 5) = ?
a.0-8
b.08
c.0-2
?i
8-4-2 =?
a.0-6
b.0-2
c.06
o Par quel nombre faut-il remplacer le point d'interrogation pour que
1 " al ' t ' 7 49 . t ' t ?
eg 1 e 12 = ? SOI JUs e .
?i a.028
b.084
c. 015
O! +
=?
3 4 .
a.O 10
7
?i b.O 10
4
c. 0 37
12
()
-
=?
5 7 .
a. 0 41
35
5
?i b.O -
2
5
c. 0--
2
;i
;i
;i
;i
;i
Bilan 1. Nombres et calculs !J5
«':) Pierre a bu
de
L de lait. Quelle proportion de lait a-t-il avalée?
a 0 8 L
. 9
b 0 15 L
. 14
15
c'07'L
o Diviser une fraction par une autre revient à multiplier la première
fraction par l'inverse de la seconde. Ainsi
: .7. =
44
a. 0 63
b.0 28
99
c. Dl
o .0 3 X 105=?
a. 0 10 15
b.O 100000000
c. 0 10 000 000
o Comparez les fractions
et
.
5 3
a.O-<-
9 4
b. 0
=
9 4
cD
>
. 9 4
œ Le produit en croix de
=
est égal à :
a.D6xy=5x7
b.06+7=5+y
c.D6x7=5xy
TOTAL:
Corrigés p. 110
20 points
!J6 Organisation et gestion de données ......._._______..........._....___.
79 Quatrième proportionnelle
. . . . . .
.
. . . . . . . . . . . . . . . .
.
. . . .
Dans cette fiche:
Vous allez apprendre à compléter les valeurs manquantes d'un tableau
de proportionnalité.
................................................
l œ
)i
4t
.... en
fi! .
.
è:?p
a.UE
l' ' 1
. À. \
... \. VoV.5, .
Voici un tableau indiquant la consommation d'un véhicule roulant à la
vitesse constante de 90 km.h- l en fonction du kilométrage parcouru.
-
Kilométrage parcouru (km) 50 100 150 200
Consommation (1) 2,6 5,2 7,8 10,4
Quotient k (L/km) 0,052 0,052 0,052 0,052
On voit que le quotient k de la consommation par le kilométrage
parcouru est constant. La consommation du véhicule est donc
proportionnelle à la distance parcourue.
On peut utiliser le produit en croix pour calculer d'autres valeurs.
Par exemple, pour 75 km, -
2 6 75 Kilométrage (km) 50 75
V ,x 39' 39L
= 50 =, sOIt, .
On dit qu'on calcule une Consommation (1) 2,6 1"
quatrième proportionnelle.
J;' Dans un tableau de proportionnalité, les produits en croix sont égaux.
J;' Pour calculer une quatrième proportionnelle (une valeur manquante dans un
tableau de proportionnalité), on utilise cette propriété.
25 7
Ex.: 35 = x ou 25xx= 35x7.
= 35 x 7 = 245 = 9 8
x 25 25 ,.
Calculez la fia leur Ju kilométrat}.e manquant Jans le tableau,
---
Kilométrage (km)
Consommation (1)
- - --
50
2,6
9,36
x
50
ou 50 x
'.'H =xx
9,36
x=
...x. =_=
. km.
-._m_.m....._........_..__.._._...__m...._.............._..__. 19. Quatrième proportionnelle !J
{
;;::£
;;::£
;;::£
fi
points
fi
points
o * *,' Vérifiez s'il s'agit d'un tableau de proportionnalité en calculant !!..
a
a
b
b
a -
-
0,5
2
7,8
31,2
Conclusion: .
0,4
1,6
1 3,
_ 1_ ,14,4 l
8 * d Complétez le tableau de proportionnalité en multipliant a
park=2,7.
a
0,3
1,2
5,7
b
9 * Calculez les quatrièmes proportionnelles.
1.
x= 8xI5 =
3.
6,4 )
. x k = 2,7
2.
y= 7x4 =.
l2ID
4.
071
x
OY3l
z=
o ** r Même exercice.
1.
2.
a
12
32,4
18,9S 37,96
a= ..........
2,6
9,18
v= ......x
c
c=
o *** Le boulghour est un sous produit du blé dur, séché et concassé.
Sur l'emballage d'un paquet, on peut lire que pour 100 g ses valeurs nutri-
tionnelles sont 14,1 g de protéines, 72,8 g de glucides et 1,6 g de lipides.
Quelles quantités respectives de protéines, de glucides et de lipides assi-
mile-t-on en mangeant 75 g de boulghour ?
Quantité de protéines: .'
Quantité de glucides: ..,
Quantité de lipides: .,.......
TOTAL:
20 points
Corrigés p. 110
Il
!J8
Organisation et gestion de données .....------.....-...-
---.-_....__m_..m_._...._m_.
1
1
20
Calcul d'un pourcentage
. . . . . . .
Dans cette fiche:
.... Vous allez apprendre à appliquer un pourcentage.
Vous allez calculer un taux de pourcentage.
...............................
:\
iCO
f rl) . \
... en
.
è?,. ...
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dans une classe de 25 élèves, 4 ont pour loisir la natation, 5 préfèrent
taper dans le ballon et font du football, 3 sont en harmonie avec la
nature et pratiquent l'équitation, 7 font de la danse et les autres n'ont
pas d'activité particulière.
Quel est le pourcentage
d'élèves nageurs?
Commençons par
placer les données
fournies dans un
tableau en remplissant
la colonne du nombre
d'élèves.
Pour calculer les
valeurs de la dernière
colonne, on
utilise le produit en
croix (eh oui, il est
toujours utile !).
Par exemple pour la natation: 2
= 1
0 ' D'où T= 4
OO = 16 %.
...........
..
Loisir
--
Nombre Pourcentage
d'élèves ("-9.
natation 4
1 football 1 5
t
3
T
danse
7
aucun
6
total
25
100
/
Y' Pour calculer un taux de pourcentage, on cherche la quatrième proportionnelle
Ex. : 5 personnes sur 8 regardent la télé, T =
x 100 = 62,5 %.
Y' On peut aussi appliquer un pourcentage à une valeur.
Ex.: 20 % de 68: T = 68 x 1
00 =13,6.
Pourcentage appliqué à la valeur
@j
Calculez le taux Je pourcentat}.e Je personnes écoutant ta radio
J'après l'enquête sui flan te.
Enquête: Sur 75 personnes interrogées, 42 déclarent écouter la radio.
Calcul du taux de pourcentage: T =
..x 100
1
-- ..
v
?i
?i
;:i
?i
?i
__....__.m_.
.._ _m.___ _..._
mm.....m....m__ _ m _. 20. Calcul d'un pourcentage Il 9
o * .T.* Appliquez le pourcentage demandé.
1. 20 % de 5 - x 20 % = 5 x
=
100
2. 10 % de 68 - 68 xlO .... =68 x-= ...
100
3. 8 % de 60 - x. .. x-= "..'-
4.30 % de 40 - x. x":""':': = .. .
8 *,{ , Utilisez la 4 e proportionnelle pour calculer les taux de pourcentage.
1. 2.
T-
[00 1 :511: 1 T
3. 4.
1
b:
T- xl: 1 [: 1 T
x 100
15
x
9 ** Calculez les pourcentages.
1. 0,9 % de 7,5 -
2. 4,5 % de 500 -
o *** Au cinéma, dimanche, il y avait 350 personnes.
Lundi, la fréquentation a diminué de 20 % ; mercredi, le nombre
de spectateurs a augmenté de 10 % par rapport à dimanche.
1. Calculez le nombre de spectateurs du lundi.
2. Calculez le nombre de spectateurs du mercredi.
o *** Une usine emploie 1 400 personnes dont 55 % de femmes.
20 % de femmes et 40 % d'hommes travaillent de 6 h à 13 h.
1. Calculez le nombre de femmes travaillant à cet horaire.
2. Calculez le nombre d'hommes travaillant à cet horaire.
3. Calculez le pourcentage d'ouvriers travaillant de 6 h à 13 h.
TOTAL:
Corrigés p. 111
20 points
50 Organisation et gestion de données -.-_.m_u._._.._..__u.._..._...._...._mm__..u_....__
21 Échelle d'une carte
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dans cette fiche:
.... Vous allez apprendre ce que représente l'échelle d'une carte.
Vous allez calculer des longueurs en utilisant des échelles.
, ...............................................
:\
H°4tA
t œ .
... v en
cil
,,.
.
Observez cette carte: pour la dessiner,
on a utilisé une échelle.
Mesurons la France sur toute sa hauteur.
On trouve 4 cm.
En réalité 950 km séparent la pointe nord
de la France de son extrémité sud.
Comment a-t-on pu ainsi rétrécir les
longueurs?
Commençons par travailler avec les
mêmes unités:
950 km = 95 000 000 cm.
Si 4 cm représentent 95 000 000 cm, alors
combien représe nte 1 cm ?
: *
O
On ne vous présente plus le produit en croix!
95 000 000 14 = 23 750 000 cm.
On dit que la carte est représentée à l'échelle 1/23 750 000.
1
=
<:
:.0:
Q
"'
"
Y' Une échelle permet de passer d'une distance réelle à une distance réduite ou
inversement.
Y' Si D représente la distance réelle et d la distance réduite, on calcule l'échelle en
effectuant le quotient
.
Remarque: d et D doivent avoir la même unité.
Y' Si une carte est reproduite à l'échelle l/k, on calcule les distances
d= Ox l et 0= dx k
Que{{e est la lont}.ueur réelle Je la rue Je la Mairie?
d=
k=.... ......
D=dxk=
échelle 1/12 CXXJ
---
----------____u_______
_
___
_z____
_____
___
__________
___
_
21. Échelle d'une carte
51
(j o * ,* Que valent d et D dans chaque cas ?
... . . 1. 1 cm est égal à 500 m d= D= ....
., v -.
2. 1 cm est égal à 25 km -. d= '. D= ..
hL 3. 5 cm sont égaux à 1 500 km -. d= .... D= .'
4. 3 cm sont égaux à 50 dm -. d= ... D= ..
xi
hL
hL
xi
8 *
Convertissez les longueurs dans les unités demandées.
1. 150 km= cm 2.4 mm= ,. m
3. 18 hm = . dm 4. 0,560 km = .. m
5. 1,25 cm = .. . dam 6. 89 cm = . .. . km
9 ** Je: Donnez le coefficient k de l'échelle dans chaque cas.
I.d=lcm;D=3000cm -. k=
=.
2. d= 1 cm;D=300cm -. k=
=
3. d = 5 m ; D = 45 000 m -. k -
-
4. d= 7 dm ;D= 350 000 dm -. k-
- ..
o ** Donnez l'échelle E dans chaque cas.
D
1. d = 1 cm ; D = 75 000 cm ; k = Ci = ....
D
2. d=12cm;D=75km;k= Ci =.
D
3. d = 7 m . D = 49 hm . k = - =
, , d
D
4. d= 18 km ;D=81O 000 000 cm; k= _ = ...
d
E=
E=
1
E=
E=
o *** Sur une carte à l'échelle E = _ 25 1 , Zoé mesure un segment d
000
de 8,5 cm entre deux villes.
1. Calculez la distance réelle D entre ces deux villes.
"..'-"..'.-.- . .... >. ..... ............. . .. ..
2. Elle lit la distance de 5 km entre une ville A et un lac P.
Calculez la distance d entre A et P.
TOTAL:
Corrigés p. 112
20 points
52
Organisation et gestion de données _..._.
...,__............ ..._ ...
Proportionnalité et 9raphit{ue
. . . . . . . .
Dans cette fiche:
Vous allez apprendre à reconnaître une situation de proportionnalité.
Vous allez construire un graphique traduisant une situation de proportionnalité.
j..........................................r
oo
C04f
:.;
cr: " CI
v
en
.
,,.
.
.
. . . . . . . . . . . .
Y' Observez ce tableau: il s'agit d'un tableau de proportionnalité.
1
Nombre
1 de places
1 de cinéma
1
:l
0
25
cc....: n
- -- ---
.
.m-=:gCc. .
_.
_____ ___ __ _n
_
10 .. '.
nn.. . .. . . ... nm=o .' =:=O"'n__: . .
--- - ----" -
5 . .. ..' .nu .. '0. çu.
nuO__u. uu,.
on..
o 1 2 3
Nombre de places de cinéma
Prix
2 j 3 , 4
':'7 1 14 21.:28
Y' Comment pouvez-vous représenter cette situation de proportionnalité?
Il suffit de placer les points correspondant à chaque colonne dans un
repère.
Le nombre de places de cinéma est représenté par l'axe des abscisses
O'axe horizontal) et le prix par l'axe des ordonnées (l'axe vertical).
Y' Que remarquez-vous?
En reliant tous les points, on voit qu'ils sont alignés et forment une
droite qui passe par le point (0 ; 0).
Y' Une situation de proportionnalité se traduit graphiquement par une droite qui
passe par l'origine du repère, le point 0 de coordonnées (0 ; 0).
Y' Si une droite passe par l'origine du repère alors elle traduit une situation de
proportionnalité.
Y' Les coordonnées d'un point P s'écrivent P(x p ;yp) avec x p abscisse de P
(coordonnée horizontale) et yp ordonnée de P (coordonnée verticale).
Laqueffe Je ces représentations iffustre une situation
Je proportionnalité 1
1. 2. 3.
30 ,
: 1
15 :
lOJ
1
5 j
00
16 y---
14 j ,
12 j
1
1
6 1
4
2 ,
°O
2-3-4
16
,
14 '
12 :
JO'
8 j
6
4 j
2 ,
0-
o 1
i
1
___J
2 3 4 5 6
Le graphique qui illustre une situation de proportionnalité est le n°
_
_"'_''''''___mn_ ........___._____....m._.... _
22. Proportionnalité et graphique 53
f
o * Indiquez, pour chaque point, sa coordonnée en abscisse et sa
coordonnée en ordonnée.
1. A (1 ; 3) -. abscisse de A :
2. B (0 ; 3,7) -. abscisse de B :
3. C (- 4,6; - 3,8) -. abscisse de C :
4.D(-12;2,7) -. abscisse de D :
8 ** Complétez le texte suivant.
ordonnée de A : .'
ordonnée de B :
ordonnée de C :
ordonnée de D : ...
Dans un tableau de proportionnalité, les produits en croix sont
La représentation graphique d'un tableau de proportionnalité est
passant parle point (. ...),.... du repère.
fi Si les points d'une représentation graphique sont avec l'origine du
po;nts repère, alors cette représentation illustre
9 *** Tracez le graphique
représentant x en fonction de y
à partir des valeurs du tableau
de proportionnalité.
4 -
x
[: y
;:£
o
o
--,
6 !
---1
2
1
4
2
f-
'1
i i J
: x l
o *** Répondez aux questions suivantes.
1. Construisez le graphique représentant x en fonction de y à partir des
valeurs du tableau de proportionnalité.
x
o
o
y
2
0,4
1,4 1
1
1,2 T .
1 t
0,8 t i
y 0,6 :
: 1
0,4 -
0,2 T
O-t-
o
3
0,6
5
1
7
1,4
x
2. Que pouvez-vous en conclure?
TOTAL:
20 po;nts
1
4
1 i
Corrigés p. 112
5!J Organisation et gestion de données __..................._...____.._.._ _...._..
_........_
Calcul d'une mOIJenne
d'une série statistique
. ..............................
Dans cette fiche:
Vous allez apprendre ce que représentent une moyenne et une moyenne pondérée.
.. Vous allez calculer une moyenne, une moyenne pondérée.
.
:\
C°4tA
; [1) '\
a.u v
en
fil
.
,,.
.
........ ....................... .
......
Y' Une élève de 4 e a eu comme notes de maths pour le premier trimestre:
12, 15,8, 13, 17.
_ , 12+ 15+8+ 13+ 17
Calculons la moyenne de cette eleve : m = 5 = 13.
Y' Voici un tableau dans lequel sont regroupées les notes obtenues par
une classe de 20 élèves Ge nombre total d'élèves constitue l'effectif
total) à un devoir de maths.
-
1 Notes
.,.
Effectif
5
8
17
12
15
13
7
5
4
2
3
2
3
1
nombre d'élèves ayant obtenu chaque note
Pour calculer la moyenne de la classe, on effectue alors
M = 5 x 2 + 7 x 3 + 8 x 4 + 12 x 2 + 13 x 3 + 15 x 5 + 17 x 1 = 10 9
20 ' .
On vient de calculer une moyenne pondérée.
Y' La moyenne m d'une série de valeurs est égale à la somme de ces valeurs divisée
par l'effectif total.
8 + 9 + 10 + 13
Ex.: La moyenne de 8, 9, 10, 13 vaut m= 4 = 10.
Y' Pour calculer la moyenne pondérée M d'une série de valeurs:
- on effectue le produit de chaque valeur par son effectif;
- on additionne les produits obtenus;
- on divise par l'effectif total.
Calculez t'ât}.e mOlJen Jans une classe Je 25 étèfles.
=
Âge
Effectif
8
14
7
3
9
7
10
1
M= '''..' x... . + .... x...... + ...... x...... + ...... x.....
+ .... + .. +..
M= ......+....+... .+...
_..._....__...__..._.._...._._..__.23. Calcul d'une moyenne d'une série statistique 55
{
o * r* Par combien devez-vous diviser la somme des données pour
calculer la moyenne?
1. 48+ 15+3 -
2. 6 + 2 + 8 + 4 + 3 + 9 -
3. 1,5 + 2,8 + 6,4 + 3,9 -
e **. Complétez les expressions et calculez la moyenne m.
1. 35 ; 46 ; 19 ; 25 - effectif total:
m = ..... + ..... +. .... + ......
2. 1,9; 3,5 ; 0,3 - effectif total:
m= .....+......+ .....
3. 4; 12 ; 15; 7 ; 6 - effectif total:
m= ..+.+...+..+....
4. 3,6; 13,9; 7,4 - effectif total:
m= ......+......+.....
€) **.
Calculez mentalement les moyennes suivantes.
1. llet9-........
3.3;2;let6-
2. 15; 3 et 6 - .
4. 7 ; 2 ; 3 et 8 - .
o **
Le tableau ci-dessous représente le relevé des températures
de l'année. Calculez la température mensuelle moyenne, arrondie
au dixième.
Mois F M A M J J A S 0 N D
1
hL Températures -8 5 15 23 28 27 22 10 7 -6
o *** Voici les notes qu'un élève a obtenues et leur coefficient:
_ contrôle en classe (coefficient 5) : 12 ; 15 ; 18.
_ mini-contrôle (coefficient 2) : 18,5; 10; 9 ; 13.
_ devoir maison (coefficient 1) : 14 ; 9 ; 16.
1. Complétez le tableau suivant.
r Notes i 9
Coefficient
13 1 14
15
16
18 18,5
12
1
2. Calculez la moyenne M pondérée arrondie au dixième.
TOTAL:
CorrifJés p. 113
20 points
56 Organisation et gestion de données
1 Bilan 2) Organisation et gestion de données
t.\
, .
-
.
.
xi
Cochez la bonne case quand vous avez trouvé la réponse. Il n'existe qu'une
seule possibilité. Chaque bonne réponse vaut 2 points.
o Les valeurs a et b sont-elles proportionnelles?
a. 0 oui
j
1 :
b. 0 peut-être
c. 0 non
e Qnel est le coefficient dn tableau de proportionnalité ci-dessous ?
xi a.03,8 l 0,5 1,2 8
a
b. 0 12
b 6 . 14:4, 96
c.06
xi
xi
xi
9 Quelle est la valeur du nombre x ?
a. 010
b.020
c.030
Œl8l
liI
J
e Que représente 30 % de 45 ?
a. 058,5
b. 0 75
c. 0 13,5
o 5 personnes sur 20 font du cyclisme, le pourcentage de cyclistes est:
a.02%
b. 0 25 %
c. 0 200 %
_ Bilan 2. Organisation et gestion ri den ' "!s r 7
e Un objet mesure 5 cm en réalité; en photo, il mesure 20 cm.
Quelle est l'échelle de la photo?
1
a.0 4
..... 2 b.04
points c. 0 0,8
xi
o Sur une carte à l'échelle
O ' que représente, en réalité, une distance
de 4,8 cm ?
a.04800m
b. 024m
c. 0 12 m
«) Quel graphique représente une situation de proportionnalité?
25 70 30
20 50
15 20
10 30 10
;::L 5 10
0
0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5
a.O b.O c.O
f) Sur le graphique ci-dessous, le point d'abscisse 2 a pour ordonnée:
25,
20 1
a.025 1
15
b.05 1
10
/ c.OIO 1
5
2 1
0
points 0 3 4 5
;::L
œ Vous avez eu comme notes: 10 ; 13; 6,5 ; 18. Quelle est votre moyenne?
a. 0 11,9
b. 0 9,5
c. 013
TOTAL:
CorrifJés p. 114
20 points
58
Géométrie ...._...._...__..__.
_......____
24 Théorème des milieux
.. . .. .
.. Il fi . . Il
" 1
.. . . ,.
Dans cette fiche:
Vous allez apprendre à appliquer le théorème des milieux dans un triangle.
:\ )f. CO "'A
(1)'
@J
,.. .
'..,J..........
............
yi Tracez un triangle ABD.
Placez le point 0, milieu de [BD]
et le point 1, milieu de [AD].
yi On observe que la droite (aI) qui
1 joint les milieux de deux côtés est
l parallèle au 3 e côté (ici AB).
yi Mesurez [01] et [AB]. 1
1 01 = 1,2 cm et AB = 2,4 cm. On remarque de plus que 01 = 2 AB.
! Cette propriété s'appelle le théorème des milieux.
B
A//( D
yi Théorème des milieux
Dans un triangle, la droite qui passe par
le milieu de deux côtés est parallèle au
3 e côté.
La longueur du segment qui joint les milieux
de deux côtés est égale à la moitié de la
longueur du segment du 3 e côté.
Ex. : Dans le triangle ABC, E est le milieu
de [AB] ; F est le milieu de [AC] donc (EF)
est parallèle à (BC) et EF =
BC.
1 5
EF = 2 x 5 = 2 == 2,5 cm.
yi Réciproque
Dans un triangle, une droite, parallèle à un côté et qui passe par le milieu d'un
autre côté, passe par le milieu du 3 e côté.
Ex. : Dans le triangle ABC ci-dessus, E est le milieu de [AB] ; (EF) est parallèle
à (BC) donc F est le milieu de [AC].
A
B
F
AB = 6 cm
AC = 4 cm
BC = 5 cm
Complétez la démonstration suÎfJante.
Dans le triangle. . . . . . . .. ci-contre,
A estle .' .. . de .....
et B estle . de.
alors
u
----
______u________________.__________-_____"_
__.____ ___________________
______.
#o.\1
4t<l'
-. "'-': ..
.., ,
o * Complétez les phrases suivantes.
1. Dans le triangle .. , F est ...
de. ". . . . et est le milieu de
2. On utilise le théorème
/4 On peut donc dire que les droites et
points sont. . .
o ** Complétez les égalités suivantes.
/ 1. Dans la figure ci-dessus, on peut écrire TU = .
/4
2. On en déduit q ue FG= .. 2 .... .
points
24. Théorème des milieux
59
T
..xFG.
o * * Calculez les longueurs demandées, (AB) est parallèle à (CD).
1. Dans le triangle
de .. ..
et (AB)jj(CD).
.., ......... . est le milieu
est le milieu de ..
AB=
..... ... =
2. Dans le triangle.
/4
points et (AB)jj(CD). CD = '"
o *** Le losange ABCD est tel que (en cm) :
AC = 3 ; BD = 4 et AB = BC = CD = AD = 2,5.
1. Construisez le losange, placez le point 0,
intersection des diagonales et placez l, milieu
de [AB].
2. Que dire des droites (aI) et (BC) ?
8 3. Calculez la longueur 01.
points
- T,iL:
E
D C
CD = 30 cm
E
BAA
IA B=7c m
D C
CorrifJés p. 114
60
Géométrie .... ..__........._....
------ -
r_______u________________u_______
______
___rr____
__________ru__
25
.
Petit théorème de Thalès
Dans cette fiche:
Vous allez apprendre à appliquer le théorème de Thalès dans un triangle.
Vous allez calculer des longueurs à l'aide du théorème de Thalès.
:\
CO"'A
f W .
... en
'
/' .
..
tiJ
" Observez le triangle ABC : AB = 9 cm, AC = 15 cm, BC = 12 cm, AL = 3 cm,
AK= 5 cm et LK= 4 cm et [LK] Il [BC].
"" Calculons les quotients suivants :
AL_3_1
AB - 9 - 3'
AK 5 1
AC 15 3'
LK 4 1
BC 12 3'
On observe qu'ils sont tous égaux.
O t d -. AL AK LK
n peu onc eCrIre que - = - = -
AB AC BC'
A
C
B
" Cette égalité signifie que les longueurs des côtés des triangles ALK et
ABC sont proportionnelles.
" Théorème de Thalès
Dans le triangle ABC, M et N appartiennent
aux côtés [AB] et [AC] respectivement, et si
(MN) est parallèle à (BC). alors:
AM _ AN _ MN
AB - AC - BC '
Remarque: en utilisant les produits en croix
de deux quotients, on peut calculer une longueur.
A
M
N
B /
C
Complétez et calculez AI.
Dans le triangle ABC, 1 appartient à
1 appartient à . . .. . ..... et (IJ)
est ... . ... à (BC), donc:
J\I Il
AB - AC - -
I = '4" d'où Al = 6\..... =....
A
B
AB = 6 cm, AC = 4 cm
BC =5 cm,AJ =3 cm
C
{
/
/4
points
/
/
/"1;
points
/
.. /6
pomts
/
'''/
____
___________r_
___r
___
__
__________
__r
25. Petit théorème de Thalès
61
o * Complétez la démonstration.
Dans le triangle
appartient à .
et (PX)
Q
WZ
appartient à
..... à .
donc: '-'---'-'- = == = =.
y (PX)//(QZ)
o ** Écrivez les égalités de quotients dans chaque triangle.
1.
')
...
A
J<3 0
H
l1:]K
(MO)jj(lH)
M
(CD)jj(KM)
- -
-----
- -
-----
€) ** Appliquez le théorème de Thalès pour calculer IJ.
Ml=4
Dans le triangle MO = 10
MJ=3
ON = 7 cm
(IJ)jj(ON)
M
- -
-----
N
.Ml = !:!, d'où lJ = ."..
MO 7
a
(\ *** Dans le rectangle ABCD, on souhaite placer le point M tel que
(MN) soit parallèle à (RD).
1. À quelle distance de A faut-il placer le point M? A
B
M
2. Calculez MN.
D C
AB = 4 cm, AD = 3 cm
BD = 5 cm, AN = 2 cm
points
JI-- CorrifJés p. 115
TOTAL: __1
2Q points 1
62 Géométrie ..c.c.u-_...__u._.u_............___._...._......._.....____w___...m_....._._.____'uu____
26
Théorème de PlJthaiJore
. . .. . . . .. .. . .
Dans cette fiche:
Vous allez apprendre à appliquer le théorème de Pythagore dans un triangle rectangle..
Vous allez calculer des longueurs à l'aide de ce théorème.
;O
.."'.... .. '....iI"
C04lA
œ .
...
.
/,c
-
-,
1/ Regardez la figure ci-contre.
Au centre, se trouve un triangle rectangle
rouge de côté a, b et c.
On observe que:
-l'aire du carré vert de côté a est égale àa 2 ,
-l'aire du carré rose de côté b est égale à fj2,
- lorsque l'on additionne a 2 et fj2, on
trouve exactement l'aire du carré bleu c 2 .
1/ On vient d'appliquer le théorème de
Pythagore. Ainsi connaissant deux côtés
d'un triangle rectangle, on peut déterminer le troisième.
Y' Théorème de Pythagore
Dans un triangle rectangle, la somme des carrés
des longueurs formant l'angle droit est égale au
carré de la longueur de l'hypoténuse (plus grand
côté du triangle) : a2 + Jjl = CZ.
Ex.: Pour a=4; b=3; c= 5, a 2 + Jjl=4 2 + 3 2 =
16 + 9 = 25 et CZ= 5 2 = 25 donc a 2 + Jjl = CZ.
1/ On utilise ensuite la touche [i] (qui se dit Il racine
carrée Il) sur la calculatrice pour calculer la valeur de c.
Ex.: Pour CZ= 5 2 =25, c= J25 = 5.
Remarque: Ce résultat n'est pas toujours une valeur exacte.
1/ Pour déterminer le côté a de l'angle droit, on calcule a 2 = CZ- Jjl puis on prend la
racine carrée.
Pour déterminer, le côté b de l'angle droit, on calcule Jjl = CZ- a 2 puis on prend la
racine carrée.
Ex.: Dans l'exemple ci-dessus, a 2 = CZ- Jjl = 25 - 9 = 16 d'où a = Ji6 = 4;
lJ2= c2- a 2 = 25-16= 9 d'où b= J9 =3.
e
Dans le triant}.{e ABC ci-contre l calculez
la lont}.ueur c sachant que a = 5 et b = 12.
BC2 =AR ..+AC....=a ...+ b .=5....+ 12 ..
BC2 = ..... +
BC =
=
.. ..
.
b 2 ",
al
b 2
A
b
B
a
C
B
a
A b
c
_......__......_____..._....__._.____....... __....._m..._.......__.... 26. Théorème de Pythagore 63
//2
/
. IJoints
/
/
/fJ
IJoints 1.
o * Désignez, pour chaque triangle, l'hypoténuse (le plus grand côté).
T M
L L
/
U
1. Hypoténuse: .'
0*t
z
C
C
o
2. Hypoténuse:
N
u
2.
() ** Écrivez le théorème de Pythagore dans chaque cas.
Nommez, pour chaque triangle, les côtés formant l'angle droit.
y
Z Q
/
/
T
1; U
points 1. TC2 = UT.... + UC...
/
/
/1;
points
/
/
. /6
points
C
C
2. CZ2=.
Z
U
o ** Calculez la longueur du côté manquant.
T
L
U C
1. TU = 1,5 ; UC = 2 ;
TC=
Z
c U
2. CZ = 2; ZU = 1,2;
UC= ..
M
o N
3. OM=4,8; MN=6;
ON= ....
o *** EFGH est un rectangle, On a (en cm) : EH = 5 ; HI = 2 ; IF = 6.
1. Calculez au dixième près la longueur El.
2. Calculez au dixième près la longueur IG.
5
3 Déduisez-en une valeur approchée au dixième près
de la longueur HG.
1
1
TOTAL: i
2Q points 1
H 2 1
G
JI-- Corrigés p. 115
6!J Géométrie _ __......._....__...._.......__.___._.__.......__._.________..._..._____......__....._
27
Réciproque du théorème de PlJtha90re
.
Dans cette fiche:
Vous allez apprendre comment prouver qu'un triangle est rectangle.
(\ )
C°4tA
œ .\
... v rn
.
(:) .-
,,. .
tiJ
.
.. .
..
..
.. !!O'.....
...
lA .
f/ Observez le triangle ABC ci-contre.
La longueur e du côté BC est égale à 17.
La longueur a du côté AB est égale à 8,
celle du côté AC vaut b = 15.
On remarque que:
e 2 = 17 2 = 289,
a 2 + b 2 = 8 2 + 15 2 = 64 + 225 = 289.
B
a
A
b
c
f/ On a donc a 2 + b 2 = e 2 . On en conclut
que le triangle ABC est rectangle en A.
Cette propriété s'appelle la réciproque du théorème de Pythagore.
1 f/ Réciproque du théorème de Pythagore
Si la somme des carrés des longueurs des plus petits côtés d'un triangle est
égale au carré de la longueur du plus grand côté alors le triangle est rectangle.
Si 02+ 11= r,? alors le triangle est rectangle.
Ex. On calcule séparémem AB2+ AC2 B
et BC2.
AB2 + AC2 = 2.5 2 + 6 2 = 6,25 + 36 = 42.256.5
et BC2 = 6.5 2 = 42,25. 2.5
Donc AB2+ AC2= BC2. D'après la
réciproque du théorème de Pythagore,
le triangle ABC est rectangle en A. A 6 C 1
Remarque: si la réciproque du théorème de Pythagore ne se vérifie pas alors le
triangle n'est pas rectangle.
Complétez ta démonstration suÏt/ante.
o
3,5
Dans le triangle ORF, on calcule
séparément:
OR +RF "=3,5 . +5' ..
..+ .
et OF" = 6
donc OR .. + RF ... ..... OF .
R
5
F
En conclusion, le triangle ORF ....
rectangle.
21. Réciproque du théorème de Pythagore
65
.
1
y .
. .
9 * Nommez, dans chaque triangle, les côtés les plus petits et le côté
le plus grand.
A
B6
8 C
M
zJ
o 21 N
1 Plus petits côtés:
2 Plus petits côtés :
/
/4 Plus grand côté:
points
Plus grand côté:
A * Dans les triangles précédents, calculez séparément la somme
des carrés des longueurs des plus petits côtés et le carré de la longueur
du plus grand côté.
'4 1.
points 2.
o ** Avec les résultats de l'exercice 2, indiquez si le triangle
est rectangle ou non en complétant par : il y a ou il n y a pas égalité,
le triangle est / n'est pas rectangle.
/
/4
points
1 Dans le triangle ABC: ....,.
. . , rectangle.
2. Dans le triangle MNO :
rectangle.
;il
égalité, le triangle
;il
égalité, le triangle
o ** Le triangle FGH est tel que FG = 1,8 m ; GH = 2,4 m ; FH = 3 m.
1. On calcule séparément: FG2 + GH2 = ..... .... ."" .... qui est
la . . ..' des .. .. . des côtés et FH2 = . .
/ qui estIe . ,.. .... de la . du plus grand côté.
/4 2 2 2
2. Donc FG + GH ....., ru . D'après .. , le triangle
points FGH est .' en ..
(;) *** Zoé a accroché une étagère sur
un mur en pensant qu'elle est horizontale.
Titouan affinne le contraire.
Lequel des deux a raison?
1,2m
/
/4
, points
!
2 0 points !
----.J
Corrigés p. 116
TOTAL:
1
66
Géométrie ..._.
28
Cosinus et triantj.fe rectantj.le
.
..
..
Dans cette fiche:
Vous allez apprendre comment calculer le cosinus d'un angle.
Vous allez utiliser le cosinus d'un angle pour calculer des longueurs.
:\ )f. C04tp
t œ .
... . CI.>
fi) .
u'
,,. .
(t
o.UE
( . À- \
., \ vov
' u
u
. .
...w
'v. "
1/ Observez le triangle ABC rectangle en A B
ci-contre. Voici une leçon de vocabulaire!
- [BC] est appelé hypoténuse du triangle.
----
- [AC] est le côté qui forme l'angle ACB avec
l'hypoténuse, il est aussi appelé côté adjacent A
----
àACB.
----
- [AB] est le côté opposé à l'angle ACB,
----
il est en face de ACB.
1/ À partir des longueurs de ces segments, on peut trouver la mesure a
de l'angle AêB en calculant son cosinus. Ici cos a =
.
Lorsque l'on connaît la mesure d'un angle, à partir de son cosinus,
on peut calculer la longueur d'un des côtés du triangle.
1/ Dans le triangle ABC rectangle en A,
----
le cosinus de l'angle ACB de mesure a est
----
cos AêB = côté adjacent.à l'angle ACB AC.
hypotenuse B C
---- 4 1
Ex. : Si AC = 4 et BC = 8 alors cos AC B = fi = 2 = 0,5. A 5-
côté adjacent à l'angle ACB
B
1/ Le cosinus est un nombre sans unité compris
entre 0 et 1.
1/ Pour calculer la longueur du côté AC, on applique le produit en croix dans la
formule du cosinus.
Ex. : Si BC = 8 et AêB = 60° alors on écrit cos 60 = :
= A 8 C
d'où AC=8 x cos 60=8 x 0,5=4.
On utilise la touche 1 cos 1 de la calculatrice en mode degré.
Calculez la lont}.ueur de f 1 hIJpoténuse BC dans le triant}.fe
.....--
ci
dessus sachant de AC = 1.; et ACB = 60°.
4
= - = BC '
En appliquant le produit en croix, BC = ....:..:.= = ....:..:.= =.
----
AC = 4 et ACB = 60° donc cos
_....__._...._...._....
__....
_..._._. 28. Cosinus et triangle rectangle
67
it
0 * Nommez les côtés adjacents à l'angle désigné et l'hypoténuse.
..tr) y P
po, tltS
/
/4
points
/4
peints
/4
points
/
/6
po; nts
Z
Q
R
2
1. Côtés adjacents à
ZYQ:
YQZ:
Hypoténuse:
2. Côtés adjacents à
RPQ: .
PRQ: .'
Hypoténuse:
o * Écrivez, pour chaque angle des triangles précédents, le cosinus.
1. cos ZYQ = ---'-'
2. cos YQZ = ---'
3. cos RPQ = '---'-
4. cos PRQ =
() ** Dans les triangles de l'exercice 1, calculez la longueur demandée.
1. Dans le triangle YZQ, ZY = 4; ZYQ = 50° ; cos ZYQ = ---'-'-'-' ; YQ = .
2. Dans le triangle PQR, RQ = 5,8 ; QRP = 30° ; cos QRP = :.:.:- ; RP =
0** Avec la calculatrice, complétez le tableau suivant.
AngIe a
1
cos a
5°
27°
45°
53°
75°
89°
o *** Dans les triangles de l'exercice 1, calculez la longueur demandée.
1. Dans le triangle YZQ, YQ = 9 ; YQZ = 35° ; YZ = .
2. Dans le triangle PQR, RP = 21 ; RPQ = 37° ; RQ = ...
TOTAL: 1
20 points !
Corrigés p. 117
68
Géométrie c..___"_"
____________
___________
___________
____uu________
____
____
__
r
_________
29
Déterminer la fla/eur d'un anlJ/e ailJu
..
il
. .
Dans cette fiche:
Vous allez apprendre à utiliser la calculatrice pour déterminer la mesure d'un angle
aigu.
:\
f:. C04tA
t rJj '\
...
.
o .
.,. .'
,. ......
. Il''
t... _...
V Dans la fiche précédente, on a vu que la calculatrice permettait de
calculer, dans un triangle rectangle, le cosinus d'un angle aigu à l'aide
de la touche 1 cos 1 .
v Inversement, peut-on déterminer la valeur d'un angle aigu lorsque l'on
connaît son cosinus?
La calculatrice sait parfaitement effectuer cette opération. Il suffit de
taper sur la fonction donnant l'inverse de la touche 1 cos 1 .
v Avec une calculatrice, on détermine la mesure d'un angle aigu d'un triangle
rectangle en utilisant la fonction Icos-II ou larccosJ qui se trouve au-dessus de
la touche 1 cos 1 .
On obtient cette fonction en appuyant sur la touche 12 nde l ou Ishiftl .
Ex. : Dans le triangle vza rectangle en Z,
----
le cosinus de l'angle avz vaut:
---- VZ 18
cos avz = va = 30 = 0,6.
----
Donc avz = cos- I (0,61.
Avec la calculatrice, on tape 12 nde l (ou 1 shiftjl Icos-II
(ou larccosJI O,6=53,13... Z
----
On donne l'arrondi à l'entier: avz = 53°.
v
18
Q
Remarque: dans un triangle rectangle, la somme des angles non droits vaut 90°.
Sur la fit}.ure ci-contre, déterminez il la calculatrice la mesure
de l'anfJle a.
cosa= == .
Donc a = D c=:J
a= ...
100
_ _.._._...._...mm......._....m_ .......
_._ .._.........__ 29. Déterminer la valeur d'un angle aigu 69
1"!J),,
Ji
o * Calculez la mesure de l'angle demandé.
y
/
C
T
/5
points
U
Z Q
2. ZYQ = 17"; ZQY = .
1 UTC = 57° ; TCU = "
8 ** Complétez le tableau suivant en utilisant la calculatrice.
... r
Côté adjacent a a= 18 a=3 a=6,9 a=56
/ Hypoténuse h 1 h=32 h=5 h = 13,8 h=79
'/5
peints AngIe (cos- 1 [alhD
{) * * Le triangle ERA est rectangle en R.
1. Nommez l'angle de sommet E :
2. Nommez le côté adjacent à cet
angle:[.. .].
3. Nommez l'hypoténuse de ERA :
[ . .].
:
R A
4. Donnez la formule du cosinus de cet angle: cos
/ 5. Utilisez la calculatrice pour déterminer la mesure de cet angle
/5 et arrondissez le résultat à l'entier:
points
2 nde
cos
COS-le.
.)=
o *** On veut savoir si le triangle EIF est rectangle. Complétez
la démonstration.
-------
1. Déterminez la mesure de l'angle HEl.
6cm
-----
2. Déduisez-en la valeur de l'angle lEF.
-------
3. Déterminez la mesure de l'angle IFG.
----
4. Déduisez-en la valeur de l'angle IFE.
H
G
/
/ 5 ---- ----
/ 5. Additionnez lEF et IFE, concluez.
peil1ts
TOTAL: 1
20,.nntS 1
.... Corrigés p. 118
70
Géométrie m..______.__. .
-30
Triant}le rectan91e et cercle circonscrit
.
Dans cette fiche:
Vous allez apprendre ce qu'est un cercle circonscrit à un triangle.
Vous allez construire le cercle circonscrit d'un triangle.
t œ
)
4t\
... v CI.>
fi) ..
.
,. .
!
J
yi Observez la figure ci-contre.
On a tracé un cercle de centre 0
et de diamètre AC = 10.
Puis à partir du diamètre [AC],
on a construit un triangle ABC
tel que AB = 6 et BC = 8.
yi Calculons séparément d'une part
AB2 + BC2 = 6 2 + 8 2 = 36 + 64 = 100
puis d'autre part AC2= 10 2 = 100.
On trouve que AB2 + BC2 = AC2.
D'après la réciproque du théorème
de Pythagore, on conclut que
le triangle ABC est rectangle en B.
yi Le cercle qui passe par les trois sommets d'un triangle s'appelle cercle
circonscrit au triangle.
yi Si un triangle est inscrit dans un cercle et si l'un des côtés est un diamètre
du cercle alors ce triangle est rectangle. Le milieu de l'hypoténuse du triangle
est le centre du cercle circonscrit
yi RéciDroquement, si un triangle est rectangle alors son hypoténuse est un
diamètre de son cercle circonscrit
Complétez tes étapes de ta constructÎon d'un triant}.le ABC
rectant}.le en C.
1. Construisez un ....
2. Placez un point A sur le cercle.
3. Tracez le . . ............. .de ce cercle passant par A.
4. Placez le point B diamétralement opposé au point. . .
5. Sur le cercle, placez un point C.
6. Tracez les segments [ ..... Jet [. .J. On obtient un triangle rectangle en C.
de centre O.
_
__...__ __....._......._._......__.___ 30. Triangle rectangle et cercle circonscrit 71
<i 0* Le cercle est circonscrit au triangle. Répondez par vrai ou faux.
D
L
E
/. F
::J V F V F V F
points 1. DO 2. DO 3. DO
6 ** Complétez les phrases en choisissant parmi les mots: cercle
circonscrit, diamètre, hypoténuse, centre, rectangle.
1. Le cercle qui passe par les trois sommets d'un triangle est appelé
le
2. Dans un triangle rectangle,. . est un .
du cercle ....
3. Le milieu de d'un triangle rectangle est le
du .
/
points
4. Dans un cercle
alors ce triangle est
. ,si l'un des côtés est un .....
€) ** Tracez la figure suivante sur une feuille blanche annexe.
1 Placez un point 0 et tracez le cercle de centre 0 et de 5 cm de rayon.
2. Placez un point F sur le cercle et tracez le diamètre passant par O.
3. Placez le point G diamétralement opposé au point F.
4. Placez un point K sur le cercle tel que FK = 6 cm.
/5 5. Que pouvez-vous dire du triangle FGK?
points
/
"
() *** Construisez ci-contre la figure suivante.
l. Placez un point 0, tracez le cercle de centre 0
et de rayon 2 cm.
2. Sur ce cercle, placez un point A et un point B
diamétralement opposés.
3. Sur ce cercle, placez un point C et un point D
du même côté de l'arc ÂÈ.
Que pouvez-vous dire des triangles ABC et ADB ?
/
/6
points
TOTAL:
1
2o;;;;;t; 1
.. Corrigés p. 118
72 Géométrie .-.--..- .....-----.-....-.....-....---....--..-......----....--.....-.--......---..--...._......
-....-.-
31
Tangente if un cercle
. 9
.. ..
. . .. .. .. . . . .. .. .
.
Dans cette fiche:
Vous allez apprendre à reconnaître une tangente à un cercle.
Vous allez construire une tangente à un cercle.
. .. .. 4
:\ )f. C04tp
f W .
..... y f en
on
.
,p --
@)
III
........
......
.i
Observez la figure ci-contre.
yi Le cercle noir est inscrit à l'intérieur
du carré rouge.
yi Il touche le carré en quatre points
opposés deux à deux. Deux points
opposés déterminent un diamètre
du cercle (en bleu sur la figure).
yi Chaque diamètre est perpendiculaire
à un côté du carré.
yi L'intersection d'un diamètre et d'un
côté du carré forme donc un angle
droit. En ce point, on dit que le carré
est tangent au cercle.
yi la tangente (d) en T au cercle de centre 0 est la
droite perpendiculaire au rayon [TO] et passant
par le point T.
Y' le point T est l'unique point de contact entre la
droite (d) et le cercle.
........ .
Tracez la tangente en un point A if. un cercle de centre O.
A
+
Tracez un cercle de centre 0
et de rayon [OA]. À l'aide de l'équerre,
tracez la droite perpendiculaire à [OA]
et passant par A.
0+
__.
..._._.._m..._...._....._......_......__._..._....._.--........_
._.m._-_no 31. Tangente if un cercle 73
,4>1RAj"l/
.. '...
3
tJoi tlts
/
/
/6
/
points
/
/6
/"
points
/
..
points
o * Complétez la phrase en choisissant parmi les mots: tangente,
droite, rayon, point, cercle.
La ... ... .
perpendiculaire au
du
àun
. . ... est une
en un .....
o * Nommez les tangentes au cercle sur la figure ci-dessous.
€) ** À partir de la figure ci-dessus, complétez les phrases en choisissant
parmi les mots: perpendiculaire, rayon, cercle, tangente, point.
1. La droite (dl) est
donc (d ..) est
2. La droite (di) n'est.
donc (d .) n'est pas
3. La droite (d s ) est
donc (d ) est...
4. La droite (dJ n'est
donc (d . ) n'est pas.
au
.... au
.. au
.. au ..
au
au
au
au ..
o *** Tracez ci-contre la figure suivante.
1. Construisez un cercle «6 de centre G
et de rayon 1,5 cm.
2. Tracez un segment [GK] de 6 cm.
3. Placez le point L, milieu de [GK].
4. Construisez le cercle «6' de centre L
et de rayon [GL].ll coupe «6 en 1 et J.
Tracez les droites (KI) et (KJ).
5. Que pouvez-vous dire
de ces deux droites?
TOTAL:
1
,
1
,
20 points J
_ [0 ...] du
....' au .
..... [0 ...] du
. au .....
.. [0 ] du
..' au .....
[0 ] du
au ..
.... Corrigés p. 119
711 Géométrie .. .-.......-.....-..........--.----.......---......-........--..-.......-.-.........-... -
32
Distance dJun poilJt il une droite
.
Dans cette fiche:
Vous allez apprendre à construire la distance la plus courte d'un point à une droite.
. ..w
. .
f. C04tp
i W .
-
,p .
tiJ
.
Observez la figure ci-contre. C
yi En partant du point C, quel est le chemin le plus
court pour rejoindre la route, [CA] ou [CB] ?
yi On remarque que le chemin [CA] forme un angle
droit avec la route [AB], donc le triangle ABC est
rectangle en A.
yi Or, dans un triangle rectangle, le côté opposé à
l'angle droit O'hypoténuse, ici [BC]) est le plus long.
Donc le plus court chemin pour rejoindre la route
en partant du point C est le trajet [CA].
yi La plus courte distance entre un point et une droite
est celle qui permet de joindre perpendiculairement
le point et la droite.
yi Cette distance est appelée distance d'un point à
une droite.
Ex. ; Sur la figure ci-contre, DA est la plus courte
distance entre D et la droite (D) car (DA) est
perpendiculaire à (D) en A.
Complétez la phrase suÏf/ante et ta construction.
Cd)
Pour qu'un point B appartenant à la droite Cd) soit le plus proche du point A,
il faut tracer la droite à Cd) passant par le point ...
La distance entre Cd) et A est alors.
_...OU___......__.._............___..................
......_m... 32. Distance d'un point à une droite 75
1
Îi
.
/3
points
o * Complétez les phrases en choisissant panni les mots: distance,
courte, point, droite, perpendiculairement.
La , la plus entre un
et une est celle qui permet de joindre
le point à la droite.
Cette distance est appelée
6 * Observez la figure ci-dessous et répondez
par vrai ou faux.
V F
1. AR est la distance du point A à la droite (d). 0 0
2. AQ est la distance du point A à la droite (d). 0 0
/ 3. AS est la distance du point A à la droite (d). 0 0
/4
pOÎnts 4. AP est la distance du point A à la droite (d). 0 0
/
/
/
/5
points
/
/8
points
€) ** Construisez les distances de chaque poiut à la droite (d).
XA
XT
(d)
X K
XL
--
o *** ABCD est uu carré tel que AB = 5 cm. L'angle CBE mesure 30°.
1. Quelle est la mesure
--
de l'angle BEC? .,
2. Calculez la distance CE
du point E à la droite (CB).
y
V, ?
?
A
'\
3. Déduisez-en la mesure
--
de l'angle ABF. ..
/
Scm
4. Calculez la distance BF
du point B à la droite (AF).
'\
30° , 5,8 cm
\
?
TOTAL: 1
20 points i
---'
.... Corrigés p. 120
76 Géométrie .___._m_______..._._._...._..__m.___...._____.__m..__..m._....._...m_..._ .._.......--..-.
33
Bissectrice dJun anfJle
.. 011I . .,
;5 '"
'" '"
'"
. " .
Dans cette fiche:
Vous allez apprendre à reconnaître et à construire la bissectrice d'un angle.
w
f:.C04t
cc " CI
... .
fA .
-'
,,. .
.
NOS
,
".
.
t
.
".
..
141
.
'"' @
Comment partager un angle en deux parties égales?
/#" Sur une feuille de calque: CD tracez un angle aigu; @ pliez un des côtés
sur l'autre de manière à ce que les côtés de l'angle se superposent, marquez
bien le pli ; @ puis dépliez la feuille et tracez une droite sur la pliure.
/#" Cette droite rouge représente la droite qui partage l'angle en deux
angles égaux.
,-------------------,
t<
-E
<
CD
@
@
/#" La bissectrice d'un angle est une droite qui partage cet angle en deux angles
égaux. C'est un axe de symétrie pour l'angle.
/#" Si un point est situé sur la bissectrice d'un angle alors il est équidistant des côtés
de cet angle.
/#" Méthode de construction de la bissectrice de l'angle
xO y avec un compas
- On trace un cercle de centre 0, de rayon quelc,onque.
- On trace deux autres cercles de centres u et t
(intersections du cercle précédent avec les demi-droites 0'
[Ox] et [Oy]) et de même rayon. À l'intersection des deux
cercles, on place le pointp.
- Enfin, on trace la demi-droite [Op). bissectrice de
l'angle xoy.
'X
__J.__
,y
"
Tracez la bissectrice de IJant)le XôV et complétez les étapes
de construction.
On trace un .. .. . de. .. . . et de rayon quelconque
(pas trop petit). À l'intersection de ce cercle et de l'angle, on
place les points A et B.
x
0«
y
On trace.. . . ... de centre
le cercle précédent). À l'
F.
et. .. (même rayon que
des deux cercles, on place
On trace
... [OF),
...----....
. .... . de l'angle xOy.
........_..__._.....
......_..w_
...___...__m......m
..___...._w...._..:'_ 33. Bissectrice d'un angle 77
a
..h
/
/ points
..
pOints 1.
points
/
/
'/8
points
0*
Construisez les bissectrices de chaque angle.
1
2.
o ** Les droites sont bissectrices des angles. Répondez par vrai
ou faux.
V F
00
2.
e *** Complétez la construction et concluez.
l. Tracez les bissectrices du triangle ABC.
2. Placez le point F, intersection
des bissectrices.
3. Que pouvez-vous dire des bissectrices
au point F ?
V F
00
A
B
C
o *** Effectuez la construction suivante sur une feuille annexe.
1. Construisez un triangle lJK tel que (en cm) lJ = 4,5 ; IK = 2,7 ; JK = 6,3.
2. Construisez le point G, intersection des bissectrices.
3. Tracez la droite perpendiculaire à [JK] passant par G. Elle coupe [JK] en P.
4. Tracez le cercle de centre G et de rayon [GP]. Ce cercle est le cercle inscrit
au triangle lJK.
iOTAL :
1
1
1
2Q points 1
.. CorriiJés p. 121
rs Géométrie
.___ _.__ ___.__._._...._m_....- - ._....__m_._..._ - .-..-'"
3fl
PlJ.ramide
....""..
.
. . _ . . . .. .
Dans cette fiche:
Vous allez apprendre à reconnaître et construire une pyramide.
...... .-....... .......
C04tA
' 00 ,\
u.I v
en
ci> .
.
'?" .....
tiJ.
@)
,,- La pyramide de Kheops en Égypte
est un solide constitué d'une base
carrée de 230 m de côté et de quatre
triangles isocèles.
,,- Ceux-ci s'appuient les uns contre
les autres, formant les faces latérales
reposant sur le carré.
.....'
a:
=
è
z
g
_.. Ù-;<''''"-.
,,- Une pyramide est un solide composé:
- d'une face polygonale appelée base;
_ de faces triangulaires, appelées faces latérales, ayant un sommet commun.
S
Sommet
Hauteur (droite issue du sommet S
et perpendiculaire à la base)
Face latérale triangulaire
S
Base
S
Patron de la pyramide SABCD
Les arêtes [SA], [SBI. [SC] et [SD] S
ont la même longueur.
,,- Lorsque la pyramide est dépliée, on obtient son patron.
,,- Une pyramide est régulière lorsque sa base est un polygone régulier (côtés
et angles de même mesure). Ses faces latérales sont des triangles isocèles
superposables et sa hauteur passe par le centre de la base.
Complétez.
SABCD est
une pyramide
à base .
S
Le point S est le .
Le segment [SH] est sa
Le triangle SBC est une
C
Le triangle ABC est sa
B
____
.._
_..
.-..
..---
..--....--.-
...
..-...
...-m.--
..--
-- ___ 34. Pyramide 79
UAI
0 *
.-
Nommez le polygone fonnant la base de chaque patron.
/
/
'3
points 1.
2.
3.
o ** Le patron dessiné représente une pyramide. Répondez par vrai
ou faux.
points 1.
LJ
V F
00
2.
V F
00
3
V F
00
o ** ConstnIisez le patron de la pyramide SABCD de centre 0 et de base
carré AB = 4 cm, les faces latérales sont des triangles isocèles avec AS = 5 cm.
5
points A
C
o *** Répondez aux questions suivantes.
1. Calculez la hauteur [SOl de la pyramide SABCD de centre 0 de l'exercice
précédent.
2. Calculez la hauteur [SH] d'une face latérale.
du
1 TOTAL.
1
!
,
i
20 points 1
Corrigés p. 122
80 Géométrie ..........._........._...__.........._......._.......-...._.............._..._._-.....__........_____n
35
Cône de réflolution
.. .
Dans cette fiche:
. A . .
. . . . . . . . . . <JI
Vous allez apprendre à reconnaître et construire un cône de révolution.
. _-'..1.... ...1.. >....... I!I. >...
(\ )\:. C04lA
f œ .
..... en
,,, _c ...
.
Y' Observez l'illustration ci-contre. Ce sont des cônes
de chantier que l'on utilise pour baliser des zones
de travaux.
Y' Un cône est un solide dont la base est circulaire
et le haut se termine en pointe.
t:
.E
Q
Y' Un cône de révolution est un solide composé:
- d'un disque appelé base,
- d'une portion de disque, appelée surtace latérale dont le centre est le sommet
du cône. La hauteur du cône est perpendiculaire au disque de base.
s
__ Sommet
Génératrice
Hauteur
Génératrice
Rayon
Disque de base
Patron du cône
L'arc Ai{ et le disque de base
de centre 0 ont la même longueur.
Y' Lorsque le cône est déplié, on obtient son patron.
Complétez le schéma ci.dessous.
s
A
A'
._---
----...............
---
--..------------
------
-
--
----
-
-------------
<i
/
/
./5
/.
pOints
{
points
/
/ :J
points
.m 35. Cône de révolution
81
o * Complétez les phrases suivantes en choisissant parmi les mots :
cône, révolution, solide, disque, base, surface latérale, sommet,
hauteur, perpendiculaire.
de. . ... .
. " , appelé la
, appelée la
..... du .
est un ... . composé:
.,.. . du cône; d'une portion
dont le centre est le ..
.. est . ... .... ...... au
Un ..
d'un ..
de.......
du cône. La
de..
f) * * Complétez le dessin en perspective
cavalière pour que le cône de révolution
ci-contre ait une hauteur de 3 cm.
: , ; 1
. 1 .
; i
: : 1
.
."
" , .
.. .
1 . .
. .
. .
. , 1
; 1 i 1
.,,;
., .
l ': :
, :
. ,
I l cm : 1 !
1 i 1 -------1
L !,-------
-------\
!
,Ii,
€) ** Complétez le calcul de la génératrice SA d'un cône
de rayon 1,5 cm et de hauteur 2 cm.
1. La longueur du rayon du disque de base
est
2. La longueur de la hauteur du cône
est
3. La
du cône est SA.
4. Le triangle .. . est rectangle en O.
En utilisant le théorème de Pythagore, on écrit:
SA2= ..
o *** Effectuez les calculs demandés.
S
A
/
/
/6
points 1. SA = . ,
TOTAL:
"1
20 pd
S
A
S
A
2. SO = ....
.. CorrilJés p. 123
82 Géométrie .....--.... -..-.....--.-...-......-....--...-----.-.-...-....-.-.....-.....-......-..--
36
..
Agrandissement
et réduction dJune figure
Dans cette fiche:
. .
.
.
. .. . .. ..
.. . . .. . ..
.
..
Vous allez apprendre à représenter un agrandissement ou une réduction.
Vous allez calculer un coefficient d'agrandissement ou de réduction.
œ
tC04t"'
.s
cr: . . CI
.... en
fi! .
/
,,. ,
@2
...
A......
......
.
. ... ...
'" Observez la figure ci-contre.
Le rectangle bleu est la même figure que
le rectangle rose mais en plus petit.
'" On dit que le rectangle bleu est une
réduction du rectangle rose. Pour
passer de l'un à l'autre, on remarque
qu'il faut multiplier les longueurs
de l'un par un coefficient pour obtenir
les longueurs de l'autre. Il y a propor-
tionnalité entre les longueurs.
-- ---
'" Une figure F est l'agrandissement ou la réduction d'une figure F,lorsque les
longueurs de F sont obtenues en multipliant les longueurs de F par un nombre k.
- Si k> 1, alors F est l'agrandissemer& de F.
- Si 0 < k <1, alors F est la réduction de F.
'" Un agrandissement ou une réduction conserve les mesures des angles.
Complétez les calculs sachant i{ue AB = 2 J 5 cm et FG = 5 cm.
1. Le coefficient d'agrandissement est:
k=== ....
F
G
2. Le coefficient de réduction est:
k'===..
A
B
D
c
E
H
._ __
__...._..
_......_...
.._...._._.__...._36. Agrandissement et réduction d'une figure 83
' . -: .
r
...... 11
points
/
"'/2
/
// l'oints
/
/
"'/3
/.
/ pomts
/
. /5
/.
/ pomts
/
/
?:oi:ts
o * Dans chaque cas, indiquez le coefficient d'agrandissement.
1. On multiplie les côtés d'un triangle par 3 ; k = .
2. On multiplie les côtés d'un parallélogramme par 1,5; k =
3. On multiplie les côtés d'un carré par 1,8 ; k =
4. On multiplie un segment par 2,4 ; k = ..
1
o * Dans chaque cas, indiquez le coefficient de réduction.
1 On multiplie les côtés d'un triangle par 0,7 ; k =
2. On multiplie les côtés d'un rectangle par
; k =
€) * Calculez les nouvelles dimensions de la figure après avoir
appliqué le coefficient k.
1. Un carré de 2.7 cm de côté et k = 1,5 : .
2. Un segment de 15 cm et k = 0,78 :
3. Un cercle de 3,8 m de rayon et k = 1,5: ....
o ** Complétez le tableau ci-dessous.
Longueurs des côtés
-
Figures
k
N
2cm
G
B 5 cm C B' C'
A
P\
N8cm
cm
B' C' B 21 cm C
k = 4 A'B' = ... B'C' =. ., A'C' = ...
k=! A'B'=... B'C'= ,. A'C'= .
3
o ** * Observez la figure ci-contre et répondez aux questions.
1. Le triangle UOP de la figure est-il une réduction du triangle UFG ?
U
2. Calculez le coefficient k avec (en cm):
UO = 5 et UF = 8.
F
Corrigés p. 124
1 TOTAL:
1
20 points i
811 Géométrie ..___.._...__._...__.__...._.._.._..._._...........___...
_.._.._....._.._____._...
Bilan 3) Géométrie
:.\
!
;;:£
;;:£
/
......
oints
;;:£
;;:£
Cochez la bonne case quand vous avez trouvé la réponse. Il n'existe qu'une
seule possibilité. Chaque bonne réponse vaut 2 points.
o Sur quelle figure la droite (MN) est-elle parallèle à la droite (Bq ?
A
M
N
1
B C
a.O
A
M
N
l ,
B C
b.O
B
c.O
e Complétez la fin de la phrase.
cc Si une droite passe par les milieux de deux côtés d'un triangle alors cette
droite est , .,.. .. Il.
a. 0 parallèle au 3 e côté
b. 0 perpendiculaire à l'un des côtés
c. 0 médiatrice du JE' côté
{) Quelle est l'égalité correcte?
AM AN MN
a, 0 AB = AC = BC
b. 0 AM = MN = AB
BC AB AC
AB BC MN
c. 0 AC = AC = BC
A
M
N
1
B (MN)jjCBC) C
o Sur la figure précédente, AM = 3, AB = 5, AN = 6, en utilisant l'égalité de
Thalès, la longueur AC est égale à :
a.08
b. 0 15
c. 010
(3 Dans le triangle ABC rectangle en A, quelle égalité pouvez-vous écrire ?
a.OBC2=AB2 x AC2 A B
b. 0 BC2=AB2+AC2
c. 0 BC=AB+AC
-
-
----
---
-----
_' Bilan 3. Géométrie
85
hi
;::£
;::£
9 Dans le triangle ABC précédent, AB = 3 et BC = 5, La longueur AC
est égale à :
a.04
b.08
c.03,5
{) Complétez la propriété.
cc Un triangle rectangle est inscrit dans un cercle dont .... .. ..
a. 0 l'un des côtés est un rayon
b. 0 l'un des côtés est une corde
c. 0 l'un des côtés est un diamètre
o Dans le triangle rectangle ABC précédent, on peut écrire :
---- AC
a. 0 cos ACB = BC
---- BC
b. 0 cos ACB = AC
---- AB
c. 0 cos ACB = AC
o Parmi les trois figures ci-dessous, quelle est celle dont la droite Cd)
représente une bissectrice?
0 0
..
&
points a.0 b.O c.O
@ Les faces latérales d'une pyramide sont toujours des :
/ a. 0 triangles
2 b. 0 trapèzes
points c. 0 carrés
TOTAL:
l
20 points t
1
.. CorrifJés p. 1211
86 Grandeurs et mesures_.__....__.. __ _ _____m_m___.__..moom ..._.__'
Volumes de la plJramide
et du cône de rétlolution
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dans cette fiche:
. Vous allez apprendre à calculer les volumes de ces deux solides.
...............................................
œ 'J;f.CO.,,'O
.:0;;
cc " CI
..... v
CI)
fi! .
u
./'
.
@)
Observez la figure ci-contre. Elle représente
deux verres de forme différente: l'un est
conique, l'autre est pyramidal.
Le volume de ces verres correspond
à l'espace qu'ils contiennent.
Pour mieux visualiser ce volume,
on remplit d'eau complètement les deux
verres. La quantité d'eau contenue dans
un verre représente alors son volume.
Le volume d'une pyramide se calcule grâce à la formule:
1 aire de la base x hauteur
voume= 3 .
Le volume d'un cône de révolution se calcule grâce à
la formule:
volu e = aire du dis q ue de base x hauteur
m 3 .
Remarque: L:aire du disque de base de rayon rest1tr 2 .
'{
s
Complétez le calcul du flolume du cône de réflolution ci-dessous.
s
v = ! x OA x 1t x os = .
3
v"" . .. . .cm 3
__m.__.
_m_'____"__'____"__ 31. Volumes de la pyramide et du cône de révolution 87
.
1
... ..
,
7i
7i
7i
7i
7i
o * /(* Calculez le volume de chaque pyramide.
1. SABCD est une pyramide de base carrée de côté 9,6 cm et de hauteur
10 cm.
V= ... ..'
2. SABCD est une pyramide de base rectangulaire de longueur 7,6 cm
et de largeur 4,3 cm ; sa hauteur est 18 cm.
V= .....
8 *** Calculez le volume de chaque cône de révolution.
1. Le rayon de la base est de 8,4 cm et la hauteur de 9,3 cm.
V",.
2. Le rayon de la base est de 15,9 cm et la hauteur de 14 cm.
V",
o ** J'\ La pyramide SABCD est inscrite dans un cône (disque de base
en rouge).
1. Calculez le volume V p de la pyramide. S
V p =
2. Calculez le volume V c du cône.
V c =
3. Calculez la différence Ventre
les volumes V p et V c .
V=
A
9,2 cm
o *** Une pyramide SEFGH a une base carrée dont la diagonale mesure
6 cm. La hauteur de SEFGH mesure 4 cm. Calculez le volume V de cette
pyramide.
o *** Un cône de révolution a un volume de 540 cm 3 et une hauteur de
10 cm. Calculez le rayon R du disque de sa base.
CorrÎfJés p. 125
TOTAL:
20 points
88
Grandeurs et mesures .....
Vitesse mOlJenne
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dans cette fiche:
Vous allez apprendre ce qu'est une vitesse moyenne.
... Vous allez calculer une vitesse moyenne.
..............................................
:\
E. CO"'A
i
œ .
ou ."
ci!
..
,,. -"
.
Lorsque l'on effectue un trajet en voiture, on ne roule pas à vitesse
constante.
Le parcours est jalonné de stop, feux rouges, carrefour...
La voiture ralentit et accélère.
C'est pourquoi on définit plutôt une vitesse moyenne pour la voiture..
Cette vitesse moyenne est calculée pour l'ensemble du parcours et
est fonction du temps mis pour le parcourir.
On calcule une vitesse moyenne V m grâce à la formule suivante:
v. = distance parcourue =
m temps de parcours T'
Attention: il faut penser à convertir les heures et minutes en heures décimales.
La vitesse moyenne s'exprime en m. S-l ou en km. h- 1 .
Ex.: Un TGV parcourt 487,5 km en 1 h 30 min.
On convertit la durée: 1 h 30 min = 1,5 h.
Donc la vitesse moyenne est :
V m =
= 4
55 = 325 km. h- 1 .
Complétez le calcul suiflant.
Un automobiliste a parcouru 30 km en 30 minutes, quelle sa vitesse moyenne
d=.. km,
t = .... .. min = " . h,
doncV m ===. km.h- 1 .
<________"_r
_u_u__
____r
___r_
__
_-
_r_________-_________
___nr__
____..._ 38. Vitesse moyenne
89
t
;4
;4
;4
;4
;4
o * ** Traduisez les informations suivantes par une vitesse moyenne.
1. Un train parcourt 200 km en 1 heure donc V rn = .,.
2. Un coureur à pied parcourt 300 m en 1 min donc V rn =
3. Un automobiliste parcourt 60 km en 1 heure donc V rn = ..
4. Un escargot parcourt 24 m en une heure donc V rn = '"
f) * .r * Calculez la vitesse moyenne dans l'unité choisie et sans
calculatrice.
1. D = 100 m ; T= 10 min; V rn = == =.
. m.min- l .
2. D = 50 cm ; T = 20 s ; V rn = '-'---' = "
cm.s- l .
3. D= 1 m; T= lOs; V rn = "--=
... m.s-l.
4. D= 2 000 km; T= 10 h; V rn = == = ." ..... km.h- l .
o ** Ir Calculez la vitesse moyenne de chaque mobile.
1. Un train parcourt 250 km en 2 h: V rn = ,".'
2. Un marcheur parcourt 30 km en 2 h : V rn = .
3. Un avion parcourt 9300 km en 12 h: V rn = .
4. Un escargot parcourt 10 m en 25 min: V rn = . .
o ** 'f Convertissez les heures et minutes en heures décimales.
1. 1 h 15 min = . . h
3. 1 h 12 min = .' h
2.0h45min=.
4. 1 h 06 min = ..
h
h
o *** Calculez la vitesse moyenne de chaque mobile.
1. Un train parcourt 250 km en 2 h 24 min, T = .'
V rn = .....
2. Un avion parcourt 1 250 km en 3 h 30 min, T = .
V rn = .
3. Un coureur parcourt 42 km en 2 h 06 min, T = .....
V rn = .
4. Un oiseau parcourt 300 km en 3 h 24 min, T =
V rn = ..
TOTAL:
Corrigés p. 125
20 points
90 Grandeurs et mesures '
.m_m
_.._
_..._....... __m'''__
''
''''''____
......m_..._
Distance parcourue
et temps de parcours
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dans cette fiche:
. . .
Vous allez apprendre comment calculer, à partir d'une vitesse moyenne:
- une distance,
- un temps de parcours.
..............................................
œ
"'ë.Co..,p
.:s;
a::: . . CI
.... . en
'"
.
,,. . .
!
\\.UE
Y' Pour aller passer la journée au bord de la mer, en roulant à une vitesse
moyenne de 60 km.h- l , une voiture met 2 h 30 min.
À quelle distance de la mer se trouve-t-elle ?
Y' Reprenons les données du problème et plaçons-les dans un tableau
La vitesse moyenne de la voiture est 60 km. h- l . Ce qui signifie qu'en une
heure, la voiture parcourt 60 km.
La durée du trajet est de 2 h 30, soit 2,5 h (en convertissant les heures et
les minutes en heures décimales).
À l'aide du produit en croix, on peut calculer
1 h 60 km la distance à parcourir, soit 2,5 x 60 = 150 km..
2,5h ?
Y' On calcule une distance parcourue comme: 0= V rn X r
Ex.: Pour T =45 min et V m = 110 km.h- 1 , D= 0,75 x 110 = 82,5 km
(car 45 min = 0,75 hl.
o
Y' On calcule un temps de parcours comme: T = V'
rn
40
Ex.: Pour D=40 km et V m = 100 km. h- 1 , T = 100 = 0,4 h.
En multipliant 0,4 par 60, on obtient un temps en minutes: 0,4 x 60 = 24 min.
Complétez le calcul sui fiant.
Il faut 15 min à la vitesse moyenne de
50 km. h- l pour aller chez le dentiste.
1 T=15
h= ... . h 1
La distance à parcourir est donc:
D=......x......=
...... km
D=?
_...._._..__..___..__...____...____.._.39. Distance parcourue et temps de parcours 91
f
..
xi
xi
xi
xi
xi
o *,,* Convertissez les heures et minutes en heures décimales.
1. 1 h 15 min = .
2. 45 min =
3. 2 h 12 min =
4. 2 h 27 min = . ..
e * Ir: Convertissez les longueurs dans l'unité choisie.
1.20 dm= ... m
2. 15dam=
4.75m=..
km
hm
3.4cm=. mm
o ** ...t Convertissez les heures décimales en heures et minutes.
1. 2,5 h =
3. 0,25 h =
2. 3,1 h = ..'
4.0,65h=
o ** k Calculez la distance parcourue.
1. T=I,8h; V rn =45km.h- 1 ;D=..
2. T=7,Sh; V rn =5S0km.h- 1 ;D= .....
3. T= 0,35 h; V rn =S m.h- 1 ; D= .
4. T= 2,85 h; V rn = 10 dam.h-l; D=
o *** Calculez le temps de parcours.
I.D=8m; V rn =24m.h- 1 ; T= ....
2. D= 25 km; V rn = 130 km.h- 1 ; T= ...
3. D = 1 575 km ; V rn = 850 km. h- 1 ; T=.
4.D=3000m; V rn =20km.h- 1 ; T= ..
o *** Un coureur à pied parcourt 100 m à la vitesse de 30 km. h- 1 .
1. Calculez le temps de parcours.
...... { 2. Calculez la distance parcourue pendant 15 s.
/,o;:ts
TOTAL:
Corriflés p. 126
20 points
92
Grandeurs et mesures mm
-nu-----
_____r__
_
___n______r-__
r_
____
_
u__
Conflersion des unités de flitesse
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dans cette fiche:
... Vous allez apprendre à passer d'une unité de vitesse à une autre.
. ..............................................
œ '
f.CD4tP
::>:
cc . . 0
.... ,
o .
.p
s
. . . . . . . . . . . . . .
", Dans les deux fiches précédentes, on a découvert ce qu'était une vitesse
et comment elle se calculait.
On a vu qu'elle pouvait s'exprimer en km. h- I ou en m. S-I.
Comment passer d'une unité à l'autre?
", À combien de km. h- I correspond une vitesse de 5 m. S-I ?
Il faut utiliser les conversions des km en m et des h en s.
Ainsi 1 km = 1 000 m ou 1 m = 0,001 km
1
et 1 h = 3 600 s ou 1 s = 3 600 h.
Puis on place les données dans un tableau.
À l'aide du produit en croix, on
calcule la vitesse en km. h- I :
0,005 x 3600= 18 km.h- I .
Ainsi une vitesse de 5 m. S-I corres-
pond à une vitesse de 18 km. h- I .
1 s
?
3600s
", Pour transformer les unités de vitesse, il faut convertir les longueurs et les temps
dans l'unité choisie et calculer la 4 e proportionnelle.
- Pour passer de km. h- 1 en m. S-l, on multiplie par 1 000 et on divise par 3 600.
- Pour passer de m. S-l en km. h- 1 , on divise par 1 000 et on multiple par 3 600.
Ex. : Pour convertir 2 m. S-l en km. h- 1 , on convertit 2 m = 0,002 km ; on calcule
la 4 e proportionnelle:
0,002 1 s V m = 0,002 x 3 600 = 7,2 km. h-1.
1/. =? 3600 s 1
m .
Complétez le calcul suÏf/ant.
La vitesse d'un escargot V rn est égale à 0,00275 m.s- I . On veut calculer cette
vitesse en km.h- I . On écrit:
0,00275 m= ..
km
........ km
1 s
v = ... ...... ." x......
rn
km.h- I .
V =7
rn .
.s
£
1
4<
... ." . .
,
, .
:;:i
:;:i
:;:i
:;:i
:;:i
_m.__m_ 40. Conversion des unités de vitesse
93
o * (".. Complétez les phrases suivantes en choisissant parmi les mots :
diviser, multiplier.
1. Pour convertir des m.s-l en hm. min-l, il faut la longueur
par 100 et le temps par 60.
2. Pour convertir des km. g-l en dam. h- l , il faut la longueur
par 100 et le temps par 3 600.
3. Pour convertir des cm. g-l en m. h- l , il faut .. la longueur
par 100 et . .' . le temps par 3 600.
4. Pour convertir des km. g-l en m. h- l , il faut la longueur
par 1 000 et .. le temps par 3 600.
0* ** Convertissez les longueurs dans l'unité demandée.
1. 0,005 m =
3.8mm=.
2. 75 dam =
4. 3 cm = ..
...km
dam
mm
km
e ** .
Convertissez les vitesses dans l'unité demandée.
1. 40 m-s- l
1
2.31250 km.h- l
u
1 Is 1 1 km= .... m l .....s
s V =? Is
rn .
.m=.
V =?
rn .
V =
m
km.h- l .
V rn = = m.s- l .
o *** Un avion supersonique vole pendant 2 h 30 min et parcourt
3 060 km.
1. Calculez sa vitesse en km. h- l .
V m =
2. Convertissez cette vitesse en m . g-l .
V rn = .
o *** En août 2008, aux Jeux olympiques de Pékin, Usain BoIt
a pulvérisé le record du monde du 100 m en 9,69 s,
1. En arrondissant son temps à 9,7 s, calculez sa vitesse Vu en m. g-l.
V u =
2. Un guépard court pendant 275 m à la vitesse V g de 110 km. h- l .
Si Usain Boit part avec 200 m d'avance, se fera-t-il rattraper par le guépard?
1 TOTAL:
Corrigés p. 127
20 points
9lJ. Grandeurs et mesures
Bilan 4) Grandeurs et mesures
!
..
;:{
;:{
;:{
;:{
;:{
Cochez la bonne case quand vous avez trouvé la réponse. Il n'existe qu'une
seule possibilité. Chaque bonne réponse vaut 2 points
o La fonuule du volume V d'une pyramide est:
1
a.DV:::o-xbxh
2
b. 0 V= !(B+b)xh
2
c. 0 V = ! X Ab X h
3
e Pour calculer le volume V d'un cône de révolution, on doit :
a. 0 multiplier l'aire du disque de base par la hauteur du cône et diviser le
résultat par 3.
b. 0 multiplier le rayon du disque par la hauteur.
c. 0 diviser l'aire de la base du disque par 3.
Q Le volume d'une pyramide à base carrée de 15 cm de côté et de 12 cm
de hauteur est égal à :
a. 02 160 cm 3
b. 0 2 700 cm 3
c. 0 900 cm 3
o Le volume d'un cône de 3 cm de rayon et de 7 cm de hauteur est égal à:
a. 0 7 cm 3
b. 0 63 cm 3
c. 0 65,94 cm 3
o Une pyramide à base carrée de 10 cm de côté et de 30 cm de hauteur
peut-elle contenir
a. 0 exactement un litre?
b. 0 plus d'un litre?
c. 0 moins d'un litre?
;d
;d
;d
;d
;d
Bilan 4. Grandeurs et m.esures 95
9 Complétez la phrase.
« On calcule la vitesse moyenne d'un moblle en »
a. 0 en multipliant la distance parcourue par le temps de parcours.
b. 0 en divisant le temps de parcours par la distance parcourue.
c. 0 en divisant la distance parcourue par le temps de parcours.
f) Si un moblle franchit 10 mètres en 5 min alors sa vitesse moyenne V m
est de :
a.D V rn = 10 m.min- 1
b,D V rn =2m.min- 1
c. 0 V rn = 15 m.min- 1
9 Un mobile a une vitesse moyenne V m de 90 km. h- 1 , quelle distance D
parcourra-t-il en 2 h 45 min?
a. 0 D= 247,5 km
b. 0 D = 103,78 km
c.DD=250km
o Un mobile a une vitesse moyenne V m de 130 km. h- 1 . Combien de temps
T mettra-t-il pour parcourir 390 km ?
a. 0 T=2h55min
b. 0 T = 3 h 30 min
c. 0 T=3h
Un mobile a une vitesse moyenne V m de 1 500 m. S-I. Quelle est sa
vitesse moyenne V m en km.h- 1 ?
a. 05400 km.h- 1
b.D54000km.h- 1
c. 0540 km.h- 1
TOTAL:
.. CorrilJés p. 127
20 points
16
La partie des Dix
Dix rèt)les de calcul il connaÎtre
"" a-b=a+(-b).
""
+
= adb
be (b, dnon nuls).
a e ae
"" b x d = bd (b, d non nuls).
a e a d ad
"" - . - = - x - = - ( b e d non nuls )
b'd b e be " .
"" Produit en croix: Si
=
alors a x d = b x e (b et d non nuls).
b d
"" IOn X IO m = IO n + m (n et m entiers).
IOn
"" - = IOn X 1O-m = IOn-m (n et m entiers).
IOm
"" Réduction d'une expression: a + a = 2 x a = 2a.
"" Développement: k( a :t b) = k x a :t k x b = ka :t kb.
"" Factorisation: k x a:t k x b = ka:t kb = k(a:t b).
Dix notions de t)éométrie du triant)le
Théorème des milieux
Si M et N sont les milieux des côtés [AB] et [AC] alors
(MN) Il (BC).
A
M
B I
c
Théorème des milieux
1
MN = ïBC.
Théorème de Thalès
. AM AN MN
SI (MN) Il (BC) alors: AB = AC = BC .
__ La partie des Dix
97
Théorème de PlJthat}.ore
BC2 = AB2 + AC2 = a 2 + fil. = c2 (a, b, c sont les longueurs
des côtés du triangle ABC).
Cosinus a
AC b
cos a. = BC = ë'
Cercle circonscrit à un triant}.le
Le centre du cercle est le point d'intersection
des médiatrices.
Cerekc"œn
màuntrM
k
ct
t}.k
[Be] est un diamètre du cercle, le triangle ABC
est rectangle en A .
Tant}.ente à un cercle
Le segment [OD] est perpendiculaire à (d), la droite
(d) est tangente au cercle en D.
Bissectrice d'un ant}.le
--
(d) est la bissectrice de l'angle xOy.
B
a
c
A
B
x
98 Maths 4 e pour les Nuls .m.
Cercle inscrit dans un triant}.le
A
Son centre est à l'intersection
des bissectrices.
c
Dix formules d'aire et tlolume
Tableau des unités d'aire
--
- - -
ha
a
ca
km 2
hm 2
dam 2
m 2
dm 2 cm 2
mm 2
a = are (mesure agraire)
1 ha= 10 000 m 2 .
Tableau des unités de flolume
> -,
___ __ !'iIIR!!II __ __...... -; =-..---:;
-_
hL daL..,.....,L dL eL ml" _
J
m 3 dm 3 cm 3 mm 3
km 3
hm 3 dam 3
1 L = 1 litre (mesure de capacité) ; 1 m 3 = 1 000 L.
Aire d'un carré'
sIJ.=axa=a 2
a
D
Aire d'un rectant}.le
L
1-1
sIJ.=Lxl
1
Aire d'un trapèze
b
1
sIJ.= ï(b+B)xh.
Ll h
\
B
_ __"___"_ la partie des Dix 99
:
..t ----- ...---- - ---------- - -- ---- ---- - ----- --.
,1,,1
..// 1
L
Aire d'un disque
1
== 1t R2
Volume d'un cube
'V==axaxa==œ.
Volume d'un paraffélépipède
rectant}.le
'V == Lxi x h.
/"
Volume d'uneplJramitle
'V==!xœxh
3
où œ désigne l'aire de la base.
- Volume d'un cône de réflolution
1
'V == :3 x 1t X R2 X h.
..R
..
a
,,
---------- .-.-----
../'
,/
a
,
h
100
Corrigés
,fi)
1:1.)
.11::.\\.
t:
a
Nombres et calculs
1. Addition et soustraction de nombres relatifs _
J'applique
1. 9+22,5=31,5.2. (-2)+(-5)=-7.3. (-7) +(+3)=-4. 4. 4-6=4+(-6)=-2-
5.5- (- 12) = 5 + 12 = 17. 6. (- 5) - (- 30) = (- 5) + 30 = 25.
Je m'entraÎne
01. 5+3 =8. 2. (-8) + (-2) =-10.3. (-9) + (-12) =- 21. 4. 5 + 16=21.
o 1. 1,6 + 2,3 = 3,9.2, (- 7,2) + (- 6,8) = -14.3. (- 6,4) + (- 3,5) = - 9,9.
4.5,3 + 6,1 = 11,4.
€) 1. + 2,8. 2. - 0,75. 3. + 1,85. 4. + 4,2.
o 1. 7 - 3 = 7 + (- 3) = 4. 2. (- 8) + (- 5) = - 13. 3. 6 + 4 = 10. 4. (- 9) + 11 = 2.
o 1. (+ 1,8) + (- 7,2) = - 5,4.2. (-1,7) - (- 5,6) = 3,9.
01. 5 +23-25 -30=5 +23 -(25+30)= 28- 55 =- 27.
fi( Conseil aux parents: Additionnez ensemble les nombres de même
. signe puis appliquez la règle d'addition de nombres de signes opposés,
2. (- 35) + 23 + (-12) + 2,5 = 23 + 2,5 - (35 + 12) =25,5 - 47 = -21,5.
3. (- 3) - (- 5) + (- 6) - (- 2) = (- 3) + 5 - 6 + 2 = 5 + 2 - (3 + 6) = 7 - 9 = - 2.
'¥ Conseil aux parents: On prend l'opposé de tous les nombres qui ont
un signe moins devant.
4. 1 - (- 26) + (- 20) - 12 = 1 + 26 - (20 + 12) = 27 - 32 = - 5.
2. Multiplication de nombres relatifs ..
J'applique
1. (-1,8) x 3 = (-1,8) + (-1,8) + (- 1,8) = - 5,4 - signe-.
2. 7 x (- 0,5) = (- 0,5) + (- 0,5) + (- 0,5) + (- 0,5) + (- 0,5) + (- 0,5) + (- 0,5)
= - 3,5 - signe -.
3. 2 x 15 = 15 + 15 = 30 - signe +.
4. 3 x (- 6) = (- 6) + (- 6) + (- 6) = -18 - signe-.
Je m'entraÎne
o 1. 5 x 6 = 30 > O. 2. (- 7) x (- 2) = 14 > O. 3. (- 9) x 2 = - 18 < O.
4. (- 2) x 6 = - 12 < O. 5. (- 3) x 0,5 = - 1,5 < O. 6. 5 x (- 2) = - 10 < O.
7. (- 13) x (- 3,1) = 403 > O. 8.102 x 31,2 = 3 182,4> O.
'¥ Conseil aux parents: Le produit de deux signes - donne un signe +.
01.8x3=8+8+8=24. 2.7x(-2)=-(7+7)=-14.
3. (-IO)x3=(-IO)+(-IO)+(-IO)=-30. 4.2 x 10= 10+ 10=20.
, 'i
€) 1. 7 x (- 1) = - 7. 2. (- 8) x (- 1) = 8. 3. 12 x (- 1) = - 12. 4. (- 7) x (- 1) = 7.
r;; Conseil aux parents: Multiplier par - 1 donne l'opposé.
o 1. 4 x 5 = 20.2. (- 5) x 6 = - 30. 3. (- 9) x (- 4) = 36.4. (- 5) x (- 3) = 15.
01. 7.9 x-l =-7,9. 2.1 x (- 6,5)=-6,5. 3.8 x (-2) =-16.4. (-9)x 3=-27.
Q 1. 7,3 x (- 4,7) =- 34,31. 2. (- 0,8) x (- 6,5) = 5,2.3. (- 8,2) x (-1,5) = 12,3.
4. (- 4,3) x 2,1 = - 9,03.
CI)
,-
';r.
"::-0
...
..
(j
3. Fractions équiflalentes J simplification Ba
tapplique
1 27 _ 27: 3 _ 2- 2 25 = 25 : 5 =
. 39 - 39: 3 - 13' . 35 35 : 5 t
? Conseil aux parents: Toujours diviser le numérateur (nombre
- du haut) et dénominateur (nombre du bas) par le même nombre.
Je mJentraÎne
01. 3 .
7
2. 3 ..
4
3. 13 .
28
4. 15 .
37
.
1
4
25
28
6
37
5
7
.
.
t;) Conseil aux parents: Le dénominateur est toujours le nombre du bas
ir dans une fraction.
o 1
= 3 x 3 = 2- 2
= 6 x 5 = 30 3 13 = 13 x 2 = 26 4
= 2 x 7 = 14
'5 5x3 15' '7 7x5 35"11 llx2 22' .9 9x7 63'
€) 1.
= :
=
.2.
=
=
.3. i7 = i7==99 =
.4.
=
= 162 '
o 1. 42 = 42: 2 = 21 : 3 = Z. 2. 21 = 21 : 21 = !
30 30 : 2 15 : 3 5 42 42 : 21 2'
3. 105 = 105: 5 = 21: 3 = Z. 4. 45 = 45: 5 = 9: 3 =
.
120120:524:38 105105:521:37
fi) Conseil aux parents: Multipliez toujours le numérateur et le dénomi-
- nateur par un même nombre.
o 1.
et 1 3 5 - 1 3 5 ' 2.
et 1 5 4 - 1
' 3.
et
-
et
; . 4.
et Ii - ;
et
7; .
4. Addition et soustraction de fractions .-
tapplique
I! ! = 1 x 2 1 x 3 = 2 + 3 =
2
_
= 4 x 7 _ 5 x 5 = 28 - 25 = 1.
. 3 + 2 3 x 2 + 2 x 3 6 6" 5 7 5 x 7 7 x 5 35 35'
;li2
--
---------------
---------------
-
-----------------------
------
--
--------------- -----------------------
----
,
Je m'entraÎne
o 1
+
=
2. 13 -
=
=
3
+
= 12 = 2 4
-
=
. 5 5 5' 9 9 9 3"' 6 6 6 .' 13 13 13'
ê 1.
+
= 2 x 8 3 x 5 = 16 + 15 = 31
u 5 8 5x8+8x5 40 40'
2 11 7 _ 11 x 4 7 x 6 _ 44 - 42 _ 2 _ 1
. {; - 4 - 6 x 4 - 4 x 6 - 24 - 12 - 6"
e 1. !+
=!!. 2
+
= 32 3.
_! = 1-.4
-
=!!
3 5 15 . 7 9 63' 8 5 40 . 2 3 6 .
O 1
-
= -
2 ( -
) +
= 1.. 3 ! -
= -
4 ( _
) +! = _ 33
. 4 5 20" 5 2 10" 2 4 4" 7 5 35'
? Conseil aux parents: Le dénominateur commun de deux fractions
- est le produit des dénominateurs.
o La fraction d'argent dépensée est: _ 3 1 +
=
.
8 6
9 La fraction de lait versée dans le cocktail est:
1- (
+
+
) = 1 - 1
=
- 1 7 0 = 1 3 0 '
fi) _ i Conseil aux parents: Dans le calcul, 1 représente le volume total
du cocktail.
'-
..
(,J
5. Multiplication de fractions _
J'applique
1.
x
= 7 x;6 _ 1-.
9 4 ;f'x3x4 12
fi) Conseil aux parents: On simplifie par 3 au numérateur
- et au dénominateur.
2
x 26 = t x 1'3 xi = ! = 1
. 13 10 }-3 x.B' xZ 1 "
fi) Conseil aux parents: On simplifie tout, ça fait 1.
- Les nombres barrés signifient qu'on divise par ce nombre
au numérateur et au dénominateur.
Je m'entraÎne
o 1.
x
= 2 x 5 = 10 . 2.
x
= 3 x 7 = 21 . 3 . ! x
= 1 x 8 =
3 7 3 x 7 21 8 4 8 x 4 32 3 9 3 x 9 27'
4 15 x! = 15 x 1 = 15
. 7 2 7 x 2 14'
ê 1. 1 x
=
2.
x 5 = 15 3 4
= 20 4 13 x 7 = 91
u 8 8' 4 4' . x 9 9" 15 15'
e 1.
x
= 18 . 2 ! x
=
3
x! = 1.. 4
x
= 32
7 7 49 . 9 6 54" 4 9 12" 5 7 35'
9 Conseil aux parents: Insistez bien sur le fait de simplifier avant
de calculer.
o 1.
x
x! =
2
x ! x
=
3 ! x 10 x 21 = 3 4 ! x
x
x
= !
6 4 7 24" 8 2 5 40" 5 7 2 ., 3 5 2 4 4'
o 1 ( -
) x! = - i. 2. ( _
) x ( _
) = 15 .
. 5 3 15' 7 2 14
3.(-
)X
X(-
) = 412 .4.(-
)X(- 134 )X(-
) = -
.
t;) Conseil aux parents: Reprenez et insistez sur la règle des signes
'if de la multiplication.
" La masse (en g) mangée par Zoé est : 750 x
= 300 donc 300 g.
o La fraction d'argent restant est: Z -
=
donc la somme restante est:
7 7 7
63 x
= 27 donc 27 €.
7
'fi Conseil aux parents: Pour calculer le reste, n'oubliez pas qu'il a déjà
d , , 4 d 7
epense"7 e 7'
6. Dit/ision de fractions ..
l'applit{ue
1 434728
1. 12 : 3 = 12 x 3 = 36. 2. 5 : "7 = 5 x 3 = 15 '
Je m'entraîne
O 1 12 - 25 2 9 _! 3 -
--
4 -
_ -
. 25 12" 9" 3 5" 5 6'
e 1. 4 :
= 4 x
= 20 . 2. 9 :
= 9 x
= 21.
3.
. ! =
x
= 18 . 4 . Z : 21 =? x 10 = :1x$x2 =
.
7' 3 7 1 7 5 10 5 21 $x:1x 3 3
r;; Conseil aux parents: Insistez sur la simplification.
AI
'
=
x
= 3x2 =
. 14 =
x 21 =1.
V . 4 . 2 4 5 2 x 2 x 5 10. 2 . 7' 21 7 14 14'
01.- 6:
= - 6 x
= - 4.2.5: (-
O ) = 5 x (-
) = - 3.
3. ( -
) . ( - 15 ) = ( _
) x ( _ 16 ) =
4
. ( - ! ) =
x (- 3) = _
4' 16 4 15 3" 2 . 3 2 2'
o La somme d'argent dont dispose Arthur avant son achat est:
12 :
= 12 x
= 16 soit 16 €.
t;) Conseil aux parents: On peut faire raisonner en posant
'if une 4 e proportionnelle: 3 parts - 12 €
4 parts - ?
" La capacité totale du réservoir vaut: 9 : ! = 9 x 4 = 36 soit 36 L.
4
Conseil aux parents: Même raisonnement que l'exercice précédent.
--OJ
,V)
'-
t:
a
10
f4
.
.
-
7. Trour/er un arrondi lE)
J'applique
1. c. 2. a. 3. c.
Je m'entraîne
o 1. V. 2. F. 3. F. 4. V.
f) 1. Dixième. 2. Millième. 3. À l'unité.
o 1. 3,56.2.5,8156.3.65,46.4.1,23412.
o 111111111111111111111111111
456
':1 _ : Conseil aux parents: Arrêtez le segment avant 5,5 sinon il faudrait
prendre 6 comme arrondi à l'entier.
01.3,142857143...2. Ce quotient est une valeur approchée. 3. a. 3. b. 3,14.
c.3,143.
8, Carré et cube d'un nombre entier relatif ID
J'applique
1. 6 2 = 6 x 6 = 36. 2. (- 7i = (- 7) x (- 7) = 49.
3. - 52 = - (5 x 5) = - 25.4. 8 3 = 8 x 8 x 8 = 512.
Je m'entraîne
01. (-2,3Y= (- 2,3) x (- 2,3). 2. 4,3 3 =4,3 x4,3 x 4,3. 3. -1,52 =- (l,5x 1,5).
4. - 6,5 3 = - (6,5 x 6,5 x 6,5).
f) 1. (-7) x (-7) x (-7) = (-7)3=-7 3 .2. - (2,5 x 2,5) =- 2,52.
3.1,8 x 1,8 x 1,8= 1,83. 4. (- 0,3) x (- 0,3) = (- O,3Y.
o 1. (- O,6Y = 0,36. 2. - 3,8 2 = - 14,44. 3. 2,2 2 = 4,84. 4. - 7,5 2 = - 56,25.
01.1,43=2,744.2.(-0,9)3=-0,729. 3.-4,7 3 =-103,823. 4.-12 3 =-1728.
o 1. Faux.
o Conseil aux parents: Faites revoir la règle des signes de la multiplication,
if un carré est toujours positif.
2. Faux, 3 x 3 = 9 et non 3 x 2 = 6.
3. Vrai, (-1? =-1. 4. Vrai, (- 3Y = 9.
r;) Conseil aux parents: Même remarque concernant la règle des signes
de la multiplication, un nombre négatif au cube sera toujours négatif.
o
b - - - a 2
- -
b2
-,-- a 3 b 3
a
2 -5 4 25 64 -125
-0,5 1,2 0,25 1,44 - 0,125 1,728
lCE
9. Puissances de 10 __
J'applique
100 xl 000 = 10 2 X 10 3 = 10 2 + 3 = 10 5 = 100000.
Je m'entraÎne
o 1. 10 2 = 100. 2. 10 4 = 10 000. 3. 10 7 = 10 000 000. 4. 10 5 = 100 000.
r.) Conseil aux parents: Faites remarquer que le 2 de l'exposant lü2
signifie aussi 2 zéros après le 1 : 10£ = 100 .
o 1. 100 = 10 2 . 2. 1 000 = 10 3 . 3.10 000 = 10 4 .4. 10 = 101.
01. 0,1 = 10- 1 . 2. 0,000 1 = 10- 4 . 3.0,01 = 10- 2 .4.0,0000001 = 10- 7 .
'.Y Conseil aux parents: Une puissance de dix négative ne signifie pas
':" un nombre négatif mais la division par un multiple de 10.
01. 10 000= 10 4 . 2.0,001 = 10- 3 . 3.10 000 000 000= 10 10 . 4. 0,000 000 000 1 = 10- 10 .
o 1. 10 6 X 10 4 = 10 6 + 4 = 10 10 . 2. 101 X 10 7 = 101 +7 = lOS.
3. 10 8 x 10- 5 = 10 8 - 5 = 10 3 . 4. 10 4 X 10- 6 = 10 4 - 6 = 10- 2 .
o l. 400 x 2 500 = 4 X 10 2 X 25 X 10 2 = 100 X 10 4 = 10 2 + 4 = 10 6 . 2.9999999 + 1
=10000000= 10 7 . 3. (585-5x 17) :5= 100= lü2.4.13850-2x 1925= 10000= 10 4 .
o 1. 1 km = 10 3 m.
'.Y Conseil aux parents: Le préfixe k signifie 1 000 fois plus que...
"'"
'
.
-
5:
2. 1 cm 3 = 10- 3 dm 3 .
fi) Conseil aux parents: Dans le tableau des volumes. il y a 3 colonnes
- par unités. on se le rappelle avec l'exposant 3.
3. 1 dm = 10- 3 hm. 4. 1 m 3 = 10 3 L (llitre = 1 dm
.
'!) Conseil aux parents: Faites bien remarquer qu'un litre n'est pas égal
- à 1 m 3 .
10. Expression littérale __
J'applique
Formule du périmètre P = a + a + b = 2 a + b.
Je m'entraÎne
01. P= 4 a. 2. P=4 x 2 =8.P= 4 x4,8 = 19,2.
9 Conseil aux parents: Remplacez le a de la formule par sa valeur
"'" et effectuez le calcul.
o 1. A = a 2 . 2. A = 3 2 = 3 x 3 = 9. A = 1,52 = 2,25.
o 1. 3a. 2. b + 5. 3. c : 4. 4. d + 5 - 3.
o 1. 2x + 2. 2. (y + 5) : 3. 3. (z + u) x (w + t).
01. 5x- 4.2. a. Pour x= 2,7 - 9,5. b. Pour x=- 3 - -19.
c. Pour x=-I,5 --11,5. d. Pour x=3,8 -15.
'.Y Conseil aux parents: 5x veut dire 5 x x, on remplace x par sa valeur
"'" dans chaque expression pour effectuer les calculs.
196
(I,j
'
)
,
'-
k:
a
". Réduire une expression littérale __
J'applique
1. a+a+a+a=4a. 2. s+s+s+s+s=5s.
Je m'entraîne
01. 2x+ 3x= 5x. 2. 7h - 5h = 2h.
3. r + y3 +r + y3 + y2 +.0 + y2 + y+.0 + y2 +x = 2.0+ 2y3+ 2r+ 3y2+x+)
4. 7r- 3x+ 2r- 6x- 5 + 9 = 7r+ 2r- 3x- 6x- 5+ 9 = 9r- 9x+4.
r:; Conseil aux parents: Additionnez ou soustrayez tous les r ensemble,.
etc.
f) 1. 3x - 9 + 5x + 8 = 8x - 1. 2. 12 - 8x - 15 + 3x = - 5x - 3.
3. r + r + r = 3r. 4. f3 + f3 = 2f3.
9 1. 12 - g2 + 5 + g2 = 17. 2. t 2 + 5 + t 2 + 1 +t 2 + 7 = 3t 2 + 13. 3. 15 - 7 r + 6x + ,.
+ 9r- 9x = 2r- 9x + 22. 4. 4s - 8 + 5s 2 - 7 s + 11 + 6s 2 = 11 S2 - 3s + 3.
o 1. 2R + 3C + G + 3F.
2.
C
Prix à
l'unité
G-
Prix à
l'unité
COl1Ùllerces
R
Prix à
l'unité
F
Prix à
l'unité
Prix
total
_ n_= _ ____ ____
_ _ --
=--
--
Karetout O,25€ 0,45€ O,75€ 1€
Casseprix O,40€ O,28€ O,80€ O,95€
- - - -
Foufouille O,34€ O,60€ O,55€ 1,1O€
-
-
5,60€
5,29€
6,33€
Le magasin qu'elle doit choisir est Casseprix.
7t Conseil aux parents: L'intérêt d'une formule globale permet de réunir
les résultats dans un même tableau pour comparer les différentes
formules choisies.
12. Développement ..
J'applique
1. k(2 + 5) = 2k + 5k. 2, 7(x- y) = 7x- 7y. 3. (x+ 3)(x+ 1) =x(x+ 1) + 3(x+ 1)
=r+x+ 3x+ 3 =r+ 4x+ 3.
Je m'entraîne
o 1. 4x + 5 - expression développée. 2. 2(y + 5) - 3g - expression factorisée.
3.5 x (3x- 5) - expression factorisée. 4. (x+ 1)(x-l) - expression factorisée.
f) 1. 3(f+ 0,5) = 3f+ 1,5. 2. 1,2(a + b + c) = 1,2a + 1,2b + 1,2c.
3. 6,1(x + y+z) = 6,lx+ 6,ly+ 6,lz.
91. 2(4+3t) =8+ 6t. 2. CI +3k) x 5=5+ 15k. 3. O,8(O,2x+O,4) =O,16x+0,32.
4.4,2(1,5 + 2x) = 6,3 + 8,4x.
01. - 2(2x + 5y)=- 2 x 2x- 2 x5y=-4x-lOy. 2. -3(- 0,7r- O,2p)
= 2,lr+ O,6p. 3. (2a + 1,5b + 3,2c) x (- 0,8) = - 1,6a - 1,2b - 2,56c.
4. (- 4,3s + 0,6r- O,lt) x (- 2,1) = 9,03s - 1,26r+ O,21t.
(:) 1. (x+ 5)(x+ 2) =x(x+ 2) + 5(x+ 2) =r+ 2x+ 5x+ 10 =r+ 7x+lO.
-
---
----
-
-
-----------------
-
---
-- --
--
---
---
--------------
""'..,
Il. Il
9 Conseil aux parents: Pensez à réduire et ordonnez les termes en:X2,
",. ceux en x et les constantes.
2. (O,3z+ 2,1)(1,2 + 5z) = O,3z(1,2 + 5z) + 2,1(1,2 + 5z) = O,36z + 1,5z2+ 2,52
+ 1O,5z = 1,5z 2 + 1O,86z+2,52. 3. (1,5t-l,2)(2t+3)= 1,5t(2t+3)-I,2(2t+3)
= 3r2+ 4,5t- 2,4t- 3,6 = 3t 2 + 2,1t- 3,6.
4. (- 2z-1)( - 4-z) =- 2z(- 4-z) -1(- 4-z) = 8z+ 2Z2+ 4+z=2z 2 +9z+4.
Conseil aux parents: Le signe - devant la parenthèse change tous
les signes de la parenthèse.
Q 1. A = IOx + 6y - 4. B = - 8x - 4y + 4.
2. A = 10 x 0,5 + 6 x 1,3 - 4 = 5 + 7,8 - 4 = 8,8.
3. B = - 8 x 2,1- 4 x 3,4 + 4 = - 16,8 -13,6 + 4 = - 26,4.
13. Comparaison de nombres Ba
(J)
.
'1i""-a"'"
(....)
J'applique
-1,3 - (-1,25) = - 1,3 + 1,25 = - 0,05 < 0 donc - 1,3 < -1,25.
Je m'entraÎne
o 1.4,3 < 4,35.2. 7,08 < 7,8. 3. - 3,8 < - 2,1. 4. - 4,25 < - 4,205.
?
Conseil aux parents: Si les parties entières des décimaux à comparer
sont égales alors on peut donner la même longueur aux décimaux en
ajoutant des zéros. Ensuite, on compare cette partie comme une partie
entière. Par exemple 4,3 et 4,35 : 4,3 = 4,30 et 30 < 35 donc 4,3 < 4,35.
Dans la partie négative, celui qui a la plus petite valeur est toujours
le plus grand.
e 1. 7. 2. - 3. 3. - 1. 4. 2.
o 1,058 < 1,408 < 1,478 < 1,5 < 1,509 < 1,52.
o 1.1,405-1,375=0,03donc 1,405> 1,375.2,-4,8-(-5,7)=-4,8+5,7= 1.9
donc - 4,8 >- 5,7.
01.! = 1- donc 13 > 1- 2 _
=- 16 et-
=- 15 donc-
<-
3 15 15 15' . 5 20 4 20 5 4'
Q
>
> 25 > _
> _
> _
3 7 21 5 4 2'
9
'"
Conseil aux parents: Réduisez les fractions positives avec le
dénominateur 21 et les fractions négatives avec le dénominateur 20
puis comparez les numérateurs.
B
A
C
D
14. Produit en croix ..
J'applique
21 x 9 = 189 et 27 x 7 = 189 d'où ;
=
.
i08
,Col)
'-
t:
a
Je mlentraÎne
o 1. 9 x 5 = 45 et 6 x 12 = 72. 2. 15 x 5 = 75 et 25 x 4 = 100.
3. 12 x 5 = 60 et 24 x 7 = 168. 4. 63 x 2 = 126 et 36 x 1 = 36.
f.) Conseil aux parents: Remarquez qu'il faut multiplier le dénominateur
de la 1 re fraction par le numérateur de la 2 e et vice versa.
f) 1. 12 x 21 et 7 x 36 = 252. 2. 12 x 5 et 20 x 3 = 60.
€) 1. 81 x 2 = 162. 18 x 9 = 162 donc 8 18 =
. 2.65 x 30 = 1 950. 45 x 15 = 675
1 9
65 15 27 63
donc 45 *- 30 . 3 . 27 x 35 = 945. 15 x 63 = 945 donc 15 = 35 '
4.16 x 200 = 3200.23 x 139 = 3197 donc
*-
.
o 1. n = 3
8 = 6. 2. Y = 7
13 = 18,2.
0t= 1500x6 = 9 so't9m'n
1000 ,1 l.
t;) Conseil aux parents: Pour chaque exercice, écrivez
'if la 4 e proportionnelle.
15. Comparaison: ordre et addition ..
rapplique
1. 0 < b peut s'écrire 0 - b < O. 2. r> z peut s'écrire r- z > O.
t;) Conseil aux parents: Remarquez que la pointe du symbole est toujours
'if orientée vers le nombre le plus petit.
Je mlentraÎne
o 1. 4 + 3> 4 + 1 .2.5 - 3> 15 -14.3. - 3 + 7> 10 - 9.4.2,9 - 1,4 < 1,5 + 0,9.
f) 1. 4 + 3 < 5 + 4. 2. 2 - 5 < O. 3. 3,8 + 1,5 > 1,5 - 1,2. 4. - 4,7 + 2 > 1,3 - 5.
'¥ Conseil aux parents: Il peut y avoir plusieurs solutions.
€) 1.0+ 6<8- 2. 2. k-5> 12-17. 3. n+8<-7+ 15. 4. m-12 >-5-7.
O 15 49
. 1.0+ 1,7>b+2-0,3. 2. 0-5>b- 3' 3. 7' +o>b+ 7. 4. 4+0-2> b-2+4.
01. e<-2. 2. 5>x. 3. v< 7,5. 4.2 <f.
91.x<5
-1 1 1
-3 0
2.x>-1
-1 1 1
-3 0
3.x<-3
1 1
-3 0
1
3
f--
f-
1
3
f--
----_._
----------------_._-------------
----
-----------
--------
----------
---------------
----
10
Q Conseil aux parents: L'inégalité étant au sens strict les valeurs: 5 ; -1 ;
if -3 ne sont pas comprises dans la partie coloriée.
16. Comparaison: ordre et multiplication ..
J'applique
G < H et aG> aH d'où a < O.
'iQ,}
.
-
i:
a
Je m'entraÎne
01.3 <8et5> o d'où 3x5 <8x5. 2. 3,2 > 1,5 et 0,3>0 d'où3,2xO,3> 1,5 x 0,3.
3. - 2 > - 5 et 1,5> 0 d'où - 2 x 1,5> - 5 x 1,5.4. -1,7 < -1,6 et 0,3 > 0
d'où -1,7 x 0,3 < - 1,6 x 0,3.
f) 1.4< 7 et-2 < 0 d'où 4x-2> 7x-2. 2.1,9> 0,5 et-5 <0 d'où 1,9x-5
< 0,5 x - 5.3. - 2 < - 1 et - 3 < 0 d'où - 2 x - 3 > - 1 x - 3. 4. - 0,75> - 1,2
et- 0,4 < 0 d'où - 0,75 x- 0,4 < -1,2 x- 0,4.
';) Conseil aux parents: La multiplication par un nombre négatif des deux
membres d'une inégalité change son sens.
1 1
V 1. 9a
9b. 2. - 5a
- 5b. 3. -a
-b. 4. - O,5a
- O,5b.
4 4
o 1. 45 x 1()4 < 52 x 1()4. 2. 23,6 x 10- 2 < 27,8 X 10- 2 .
3. -12 x 10 3 >-15 x 10 3 . 4. -4 x 10- 2 >- 6x 10- 2 .
o Encadrement du périmètre du triangle ABC : 3
3x
15.
'¥ Conseil aux parents: Multipliez chaque élément de l'inégalité par 3.
9 1. a x IOn < b x IOn. 2. a x IO- n < b x IO- n .
t:) Conseil aux parents: Rappelez que IOn et IO- n représentent
W les mêmes multiples ou sous-multiples de 10.
17. Él(uation il une inconnue __
J'applique
x + 2,7 = 9 ; x = 9 - 2,7 ; x = 6,3.
Je m'entraÎne
o I.x+ 5=9 -x=9-5-x=4. 2. x-3= 7 -x=7 + 3 -x= 10.
3. x - 2,6 = 0,4 - x = 0,4 + 2,6 - x = 3. 4. x + 0,75 = 3,25 - x = 3,25 - 0,75 - x = 2,5.
f) 1. 12x= 27 -x= 27: 12 -x=2,25. 2.
= 9 -x= 9 x 13 -x= 117.
13
3. 3,5x= 6,3 -x= 6,3: 3,5 -x= 1,8. 4.
= 1,3 -x= 1,3 x 0,7 -x= 0,91.
0,7
O x 3 3x4
1. -=--xx20=3x4-x = --x=06
4 20 20' .
1 x 9xl
2. :3 = 9 - 1 x 9 = 3 x x - x = 3 - x = 3.
fi) Conseil aux parents: Pour résoudre ces équations, faites utiliser
le produit en croix.
110
.
.
-
k:
_
____
_____
__
__
_r
___
____________
__
_
_______------
------ -------------
- ----
-------
o I.x+2,8=3,9
x= 3,9- 2,8
x= 1,1
3. 3 x 7 = 0, 8
,
x=O,8 x 3,7
x = 2,96
4. x - 2,89 = 1,33
x = 1,33 + 2,89
x = 4,22
2. 8,5x = 27,2
x = 27,2 : 8,5
x=3,2
o Conseil aux parents: Différenciez bien les équations de type additiOll
if comme 1. et 4. et celles de type multiplication comme 2. et 3.
o 1. 2,7 +x= 17; x= 17 - 2,7; x= 14,3. 2. 3,2x= 22,4; x= 22,4: 3,2; x= i.
18. Mise en équation d'un problème ..
J'applique
Âge de Titouan = x + 2 ; x + x + 2 = 290 ; 2x + 2 = 290 ; 2x = 290 - 2 = 288 ;
âge de Zoé, x = 144 mois; âge de Titouan, x + 2 = 144 + 2 = 146 mois.
Je m'entraÎne
01. xx2 = 2x. 2. 5+y. 3. 5 xx-7=5x-7. 4.y: 3+ 6 =
y+ 6.
e 1. 2x + 5 - multipliez un nombre par 2 et ajoutez 5 au résultat.
2.
_ divisez un nombre par 3. 3. (x + 2) : 5 - ajoutez 2 à un nombre et divisez
le résultat par 5. 4.
- 3 - divisez un nombre par 4 et soustrayez 3 au résultai-
r;} Conseil aux parents: Attention à bien traduire les opérations pour
. écrire l'équation.
€) 1. x + 3 = 4 - 1. 2. 2x - 5 = 7 - 6. 3, 2(x - 4) = 8 - 8. 4.
- 3 = 9 - 48.
4
o I.x=l'inconnue. 3x+ 7=25.2. 3x+ 7=25; 3x=25-7; 3x= 18 ;X= 1: ;x=6.
'¥ Conseil aux parents: En premier lieu, il est important que votre enfanl
. choisisse une lettre, x par exemple, pour remplacer le nombre inconnu.
o 1. 2(x+ 3) = 3x- 5.2. 2x+ 6= 3x- 5.3x- 2x= 6 + 5.x= 11.
Bilan 1. Nombres et calculs .-
1. c. 2. a. 3. b. 4. c. 5. a. 6. b. 7. a. 8. b. 9. a. 10. c.
Orf/.anisation et f/.estion de données
19. Quatrième proportionnette .-
J'applique
50 x
2,6 = 9,36 ou 50 x 9,36 = 2,6 xx.
x = 9,36x50 = 180km.
2,6
r_
___
____________
_____
_
______
____
__.__
______
-
--
---
-
---
-
--
--
---
-----
--
111
Je m'entraîne
0 -----
"i 7,8 0,4 3,6 fi)
b 31,2 1,6 14,4 '
.
b 4 4 4
.. a a
Il s'agit bien d'un tableau de proportionnalité.
0 a 0,3 5,7 1,2 6,4
- x k = 2,7
b 8,1 15,39 3,24 17,28 --
9 Conseil aux parents: Rappelez bien que, pour trouver le facteur k,
- il faut calculer le quotient de b par a.
o 1.
_ 8x15 _ 12 2. ŒI}] _ 7x4 - 14
x-lO- ŒlDx-T-
3'19
z = 9 x 2 = 6 4. j9 -m v = 9 x 5 = 15
3
3
o 1. _0 _ !
I 0 = 9,18 x 12 = 34 2,
2,6 J ci e = 2,6 x 37,96 = 52
9,18 32,4 1 32,4 , ,18,98: 37,96, 18,98 '
9 Conseil aux parents: Faites une fois de plus utiliser le produit en croix.
o
Boulghour Protéines
(eu ID _
_ ".,_. __Jen ID _ _
.
100 14,1
75 1 75x 14,1 = 10575
100 '
Glucides
(en ID
---- --
72,8
75 x 72,8 = 54 6
100 '
lipides -,
(en ID
1,6
75 x 1,6 = 12
100 '
Quantité de protéines: 10,575 g. Quantité de glucides: 54,6 g.
Quantité de lipides: 1,2 g.
9- Conseil aux parents: Pensez à faire un tableau de proportionnalité.
20. Calcul d'un pourcentalje __
J'applique
T= 42
5100 = 56 %.
Je m'entraîne
o 1.20%de5-5x20%= 5x 1 2 g0 = 1. 2.1O%de68-68x 1O%=68x I1g 0 =6,8.
3.8 %de60-60x8 %=60x 1
0 =4,8.4.30 %de40-40x30 %=40x 1 3 g0 = 12.
112
'
.
;:
=.;.
'¥ Conseil aux parents: Appliquer un pourcentage à un nombre, c'est
- multiplier ce nombre par ce pourcentage.
01. T= 2 x 100 : 8 = 25 %. 2. T= 3 x 100: 15 = 20 %. 3. T= 14 x 100 : 28 = 50 %.
4, T=33x 100:88=37,5%.
o 1. 7,5 x 0,9: 100 = 0,067 5.2.500 x 4,5: 100 = 22,5.
o 1. 350 - 350 x 0,2 = 280. 2. 350 + 350 x 0,1 = 385.
o 1. 1 400 x 0,55 x 0,20 = 154. 2.1 400 x 0,45 x 0,40 = 252.
3, (252 + 154) : 1 400 x 100 = 29 %.
':;> Conseil aux parents: Attention pour les questions 1. et 2. il faut calculer:
... pour les femmes les 20 % de 55 % et refaire ce calcul pour les hommes.
Pour la question 3., il ne faut pas additionner les pourcentages précédents
mais calculer le nouveau pourcentage à partir des questions 1. et 2.
21. Échelle J1une carte __
lappUque
d= 1,5 cm ;k= 12000; D=dxk= 18000 cm= 180m.
Je mlentraÎne
o 1. d = 1 ; D = 500. 2. d = 1 ; D = 25. 3. d = 5 ; D = 1 500. 4. d = 3 ; D = 50.
o 1. 150 km = 15 000 000 cm. 2. 4 mm = 0,004 m. 3. 18 hm = 18 000 dm.
4. 0,560 km = 560 000 m. 5. 1,25 cm = 0,001 25 dam. 6. 89 cm = 0,000 89 km.
fi) Conseil aux parents: Faites revoir le tableau d'unités de longueur
et insistez sur les préfixes comme da (déca) 10 fois plus que ... ;
h (hecto) 100 fois plus ...; k (kilo) 1 000 fois plus... ; d (déci) 10 fois
plus petit que; c (centi) 100 fois ... et m (milli) 1000 fois...
l.d= 1 cm' D=3000cm. k=!2 =3000 2 .d= 1 cm' D= 300 cm . k=!2 = 300
V , , d' , , d .
D
3. d = 5 m ; D = 45 000 m ; k = d = 9 000. 4. d = 7 dm ; D = 350 000 dm ;
D
k = d = 50 000.
o 1. k = !2 = 75 000 . E = -L. 2. k = !2 = 7 500 000 = 625 000 . E = 1
dl' 75000 d 12 '625000'
D 4900 1 D 810 000 000 1
3, k = d =
= 700 ; E = 700 .4. k = d = 1 800 000 = 450 ; E = 450 .
01. D = 8,5 x 25 000 = 212500 cm = 2,125 km. 2. d = 500000: 25 000 = 20 cm.
':V Conseil aux parents: Rappelez encore l'utilisation
"" de la 4 e proportionnelle.
22. Proportionnalité et (jraphique 1&
lapplique
Le graphique qui illustre une situation de proportionnalité est le n° 2.
.____
_z___
_z______
___ --
-- --
-
----
-----------
-
---
-
-
----
---
.--
----_._----------
----
---
1;3
Je m'entraÎne
o 1. A CI ; 3) -+ abscisse de A: 1; ordonnée de A : 3. 2. B (0 ; 3,7) -+ abscisse
de B : 0 ; ordonnée de B : 3,7. 3. C (- 4,6 ; - 3,8) -+ abscisse de C : - 4,6 ; ordonnée
de C: - 3,8.4. D (-12; 2,7) -+ abscisse de D: -12; ordonnée de D: 2,7.
o Dans un tableau de proportionnalité, les produits en croix sont égaux.
La représentation graphique d'un tableau de proportionnalité est une droite
passant par le point 0 (0 ; 0), origine du repère. Si les points d'une représen-
tation graphique sont alignés avec l'origine du repère, alors cette représentation
illustre une situation de proportionnalité.
o
fi')
'
.
-
t:
(1
i X ,
.[
'¥ Conseil aux parents: Rappelez que la ligne des valeurs dex représente
les abscisses (horizontales) et celles des y les ordonnées (verticales).
o 1. 1,4 1
1
1.2 -:-
y
7
x
2. Le graphique obtenu est une droite qui passe par l'origine du repère.
Ce graphique représente une situation de proportionnalité.
23. Calcul d'une mOIJenne d'une série statistit{ue __
J'applique
L'âge moyen de la classe est M = 7 x 3 + 8 x 14 + 9 x 7 + 10 xl .
3 + 14 + 7 + 1
M = 21 + 112 + 63 + 10 = 8 2 4
25 ' ans.
Je m'entraÎne
01. 48+ 15 +3 -+ 3.2.6+ 2 + 8+4+ 3 +9 -+ 6. 3.1,5 + 2,8+ 6,4+ 3,9 -+ 4.
o 1. effectif total: 4; m = 35 + 46
19 + 25 = 31,25.
2. effectif total: 3; m = 1,9 + 3,5 + 0,3 = 1,9.
3
3. effectif total: 5; m = 4 + 12 +
5 + 7 + 6 = 8,8.
1111
U__
__
_______r_r____
__________________
___________
_
--------_________
___
______r_____n______________
_
(#)
'
.
;.:
,
4. effectif total: 3; m = 3,6 + 1
9 + 7,4 = 8,3.
o 1. 11 et 9 - 10. 2. 15 ; 3 et 6 - 8. 3, 3 ; 2 ; 1 et 6 - 3. 4. 7 ; 2 ; 3 et 8 - 5.
O T. = - 20 - 15 - 8 + 5 + 15 + 23 + 28 + 27 + 22 + 10 + 7 - 6 = 7 3.
m 12 '
9 Conseil aux parents: Attention en additionnant les nombres négatifs.
o 1. Notes 9 9 10 12 13 14 15b6 18 18,5
Coefficient 1 2 2 5 2 1 5 1 5 2
--
2. La moyenne pondérée des notes est de :
M = 9 xl + 9 x 2 + 10 x 2 + 12 x 5 + 13 x 2 + 14 xl + 15 x 5 + 16 xl + 18 x 5 + 18,5 x 2 '" 14
3x5+4x2+3xl
Conseil aux parents: Un coefficient 2 compte comme s'il y avait
2 notes, etc.
Bilan 2. OriJanisation et iJestion de données _
1. a. 2. b. 3. b. 4. c. 5. b. 6. a. 7. b. 8. a. 9. c. 10. a.
Géométrie
24. Théorème des mi(ieuK .-
J 1 applique
Dans le triangle UFO ci-contre, A est le milieu de [FO] et B est le milieu de [FU]
alors (AB) est parallèle à (OU).
Je m l entraÎne
o 1. Dans le triangle ZUT, F est le milieu de [ZT] et G est le milieu de [ZU].
2. On utilise le théorème des milieux. On peut donc dire que les droites (FG)
et (TU) sont parallèles.
o 1. Dans la figure ci-dessus, TU = 2 x FG. 2. On en déduit que FG =
x TU.
o 1. Dans le triangle EDC, A est le milieu de [EC] et B est le milieu de [ID] et
(AB) Il (DC).
1 1
AB = 2 x CD = 2 x 30 = 15 cm.
2. Dans le triangle EDC, A est le milieu de [EC] et B est le milieu de [ED] et
(AB) Il (DC). .
CD = 2 x AB = 2 x 7 = 14 cm.
? Conseil aux parents: Il est important de bien rédiger les conditions
= de la propriété qu'il faut utiliser.
115
o 1.
Conseil aux parents :
Avant de tracer une construction
définitive, faites exécuter un schéma
à main levée qui donne une bonne idée
de la construction à réaliser.
2, (Of)II(J3C) (théorème des milieux
appliqué au triangle ABC).
1 1
3.01= 2 BC = 2 x 2,5= 1,25 cm.
A
D
tI)
'
.-
1:
a
B
C
25. Petit théorème de Thalès .-
J'appUt{ue
Dans le triangle ABC,I appartient à [AB] et J appartient à [AC] et (U) est
11 ' 1 'fP. C) d AI AJ IJ Al 3 d , ' Al 6 x 3 4 5
para e e a \...... onc AB = AC = BC . "6 = 4 ou = 4 = , .
Je m'entraîne
o Dans le triangle YQZ, P appartient à [YQ] et X appartient à [YZ] et (PX)
11 ' 1 '(', Qz) d YP YX PX
est para e e a \. onc YQ = YZ = QZ '
e 1 AM = AO = MO 2 LC = LD = CD
. AJ AH JH. . LK LM MK"
€) Dans le triangle MON, 1 appartient à [MO] et J appartient à [MN]
et (U) Il (ON).
MI _ MJ _ IJ
MO - MN - ON '
Ml =!:! d , , IJ = 7 x 4 = 2 8 m
MO 7 ou 10 ' c .
fi) Conseil aux parents: Avant d'effectuer les calculs numériques,
.". faites rédiger les expressions littérales, ainsi en cas d'erreur de calcul,
vous pourrez voir si votre enfant a bien posé sa proportion ou non.
o 1. Les triangles AMN et ABD sont des figures clés de Thalès, on a :
AN = AM = MN d' , AM = AN x AD = 2 x 3 = 1 5 . AM = 1 5 m
AB AD BD ou AB 4 " , c .
2. On a MN = AN
BD = 2
5 = 2,5 ; MN = 2,5 cm.
Conseil aux parents: Faites bien réfléchir votre enfant sur les figures
. clés (triangles emboîtés) et écrire les rapports en commençant par le
sommet opposé aux droites parallèles.
26. héorème de PlJthatJore . 62
J'appti t{ue
BC2=AB2+AC2=a 2 +tJ2=5 2 + 12 2 =25+ 144= 169.
BC = ,J169 = 13.
116
f:) Conseil aux parents: Votre enfant calcule une valeur au carré, il faut
.. donc chercher sa racine pour obtenir la longueur voulue.
tI)
't\i
.
-
Je m'entraÎne
o 1. Hypoténuse: [TC]. 2. Hypoténuse: [MN].
o 1. [CU] et [UZ]. 2. [ZY] et [ZQ].
€) 1. TC2 = UT2 + UC2. 2. CZ2 = CU2 + UZ2.
o 1. TC2 = TU2 + CU2 = l,5 2 + 2 2 = 2,25 + 4 = 6,25 ; TC = --/6,25 = 2,5.
2. UC2 = CZ2 - ZU2 = 2 2 - 1,2 2 = 4 - 1,44 = 2,56; UC = --/2,56 = 1,6.
3. N02 = MNl - OM2 = 6 2 - 4,8 2 = 36 - 23,04 = 12,96 ; NO = --/12,96 = 3,6.
f;) Conseil aux parents: Pour le calcul des côtés adjacents à l'angle droit,
it' faites remarquer à votre enfant qu'il faut effectuer une soustraction: hypo-
ténuse 2 - côté connu de l'angle droit 2 CZ : ces longueurs sont au carré).
o 1. El2 = EI-f! + Hf! = 52 + 2 2 = 25 + 4 = 29 ; El = J29 "" 5,4 cm.
2. IG2 = IF2 - FG2 = 6 2 - 52 = 36 - 25 = Il ; lG = JTI "" 3,3 cm.
3. HG "" HI + IG "" 2 + 3,3 "" 5,3 cm.
r:; Conseil aux parents: Le calcul des racines carrées donne souvent un
. résultat approché, revoyez bien la méthode d'arrondi à l'unité demandée.
.27. Réciprot{ue du théorème de PlJthatJure .-
tappfit{ue
Dans le triangle ORF, on calcule séparément:
OR2 + Rf2 = 3,5 2 + 52 = 12,25 + 25 = 37,25 et OF2 = 6 2 = 36.
Donc OR2 + Rf2::1; OF2 ; 37,25::1; 36. En conclusion, le triangle ORF n'est pas
rectangle.
Je m'entraÎne
o 1. Plus petits côtés: [AB] et [BC]; plus grand côté: [AC].
2. Plus petits côtés: [ON] et [MN] ; plus grand côté: [OM].
o 1. AB2 + BC2 = 36 + 64 = 100 ; AC2 = 225.
2. ON2 + MN2 = 441 + 784 = 1 225 ; OM2 = 1 225.
f;) Conseil aux parents: Avant de pouvoir écrire l'égalité, il faut la vérifier
donc faites calculer chaque expression séparément.
€) 1. Dans le triangle ABC : AB2 + BC2 ::1; AC2, il n'y a pas égalité, le triangle
n'est pas rectangle.
11 Conseil aux parents: Il ne faut pas faire mention de la réciproque
. du théorème, on conclut en disant que le triangle n'est pas rectangle.
2. Dans le triangle MNO : ON2 + MNl = OM2, il y a égalité, le triangle est
rectangle.
o 1. On calcule séparément: FG2 + GH2 = 1,8 2 + 2,42 = 9 qui est la somme
des carrés des plus petits côtés et FH2 = 3 2 = 9 qui est le carré de la longueur
du plus grand côté.
_
_______
___________
__
____
________________
_____....---____,__
________n___________________
_______
________--
--
---.
117
2. Donc FG2 + GH2 = FH 2 . D'après la réciproque du théorème de Pythagore,
le triangle FGH est rectangle en G.
o Pour que l'étagère soit horizontale, elle doit former un angle droit avec
le mur. Il faut vérifier si le triangle est rectangle, en calculant séparément:
0,9 2 + 1,2 2 = 2,25 et l,5 2 = 2,25.
Donc 0,9 2 + 1,2 2 = l,5 2 et le triangle est rectangle, l'étagère est horizontale.
C'est Zoé qui a raison.
tI)
'
.
-
t:
a
28. . Cosinus et triant}.te rectantjle .-
rapplique
---- ° ---- AC 4
AC = 4 et ACB = 60 donc cos ACB = BC = BC '
En appliquant le produit en croix, BC = A.s- = 0 4 5 = 4 x 2 = 8.
cos ABC '
Je m'entraÎne
----
o 1. Côté adjacent à l'angle ZYQ : [ZY].
----
Côté adjacent à l'angle YQZ : [ZQ].
Hypoténuse: [YQ].
----
2. Côté adjacent à l'angle RPQ : [PQ].
----
Côté adjacent à l'angle PRQ : [RQ].
Hypoténuse: [RP].
.c. ---- YZ ---- ZQ
u 1. cos ZYQ = YQ ' 2. cos YQZ = YQ "
---- P Q ---- R Q
3 cos RPQ = - 4 cos PRQ = -
, RP' . RP'
---- YZ 4
V 1. Dans le triangle YZQ : cos ZYQ = YQ ; YQ = cos 50 <= 6,2.
2. Dans le triangle PQR : cos QRP = RQ ; RP = .2L <= 6,7.
RP cos 30
t;) Conseil aux parents: Insistez bien sur le fait que le cosinus
., est un nombre sans unité.
o ;- Angle a ,.- 5° -r 27° T- 45°
.- 53;' T 75°1 89° -
cos a J O ,996 .t- 0,891 T 0,707 T 0,602 10,259 ! 0,017
.___ ....L
'if Conseil aux parents: Lors de l'utilisation de la calculatrice, vérifiez
. bien qu'elle est en mode degré.
A ---- ---- YZ
1, Dans le triangle YZQ : QYZ = 90 -- 35 = 55° ; cos QYZ = YQ ;
YZ = 9 x cos 55 <= 5,2.
2. Dans le triangle PQR : QRP = 90 - 37 = 53° ; cos PRQ = RQ ;
RP
RQ = 21 x cos 53 <= 12,6.
118
t;) Conseil aux parents: Dans un triangle rectangle, la somme des angles
non droits est égale à 90° (on dit qu'ils sont complémentaires).
'
.
E
'. Détermin
rla
aleul' d'un angle àigu
tapplique
100
cos ex = 122 = 0,81.
Donc ex = 12 nde Il cos-II 0,81 = 34,948° = 35°.
Je m'entraÎne
---- ----
01. TCU =90-57=33°. 2. ZQY = 90 -17 = 73°.
@ 1. cos-I(l8: 32) = 56°.2. cos-I(3: 5) = 53°.
3, cos-I(6,9 : 13,8) = 60°. 4. cos-I(56 : 79) = 45°.
---- . ---- ER
v 1. AER. 2. [ER]. 3. [AE]. 4. cos AER = AE ' 5, 2 nde - cos - cos-I(8 : 24) = 71"_
---- ---- ----
o 1. HEl = cos-I(3: 5) = 53°.2. lEF = 90 - 53 = 37".3. IFG = cos-I(6: 8) = 41 .
---- ---- ----
4. IFE = 90 - 41 = 49°.5. lEF + IFE = 37 + 49 = 86°, le triangle EIF n'est pas
rectangle.
Conseil aux parents: Faites bien penser à votre enfant d'utiliser la touche
12 nde 1 ou 1 shift 1 de la calculatrice avant de saisir la touche 1 cos-II .
30. Triangle rectant}.'e et cercle circqnscrit ..
J'applique
1. Construisez un cercle de centre O.
2. Placez un point A sur le cercle.
3, Tracez le diamètre de ce cercle passant par A.
4. Placez le point B diamétralement opposé au point A.
5. Sur le cercle, placez un point C.
6. Tracez les segments [AC] et [BC]. On obtient un triangle rectangle en C.
Je m'entraÎne
o 1. Vrai. 2. Faux. 3. Vrai.
9 Conseil aux parents: Insistez sur le mot circonscrit qui signifie « autour
du triangle », on parle aussi du triangle qui est inscrit dans le cercle.
eLLe cercle qui passe par les trois sommets d'un triangle est appelé
le cercle circonscrit.
2. Dans un triangle rectangle, l'hypoténuse est un diamètre du cercle
circonscrit.
3. Le milieu de l'hypoténuse d'un triangle rectangle est le centre du cercle
circonscrit.
4. Dans un cercle circonscrit, si l'un des côtés est un diamètre alors
ce triangle est rectangle.
._-
-
------_.
---------------------------------
------
-------
---
------
-_._-
---
._-
119
Conseil aux parents: Une définition doit être apprise par cœur.
() 1. 2, 3. 4.
'
.
E
FI
(5cm o ).
\ .G
5. FGK est rectangle en K.
o l. 2, 3. Les triangles
ABC et ADB
sont rectangles.
C
Conseil aux parents: Faites bien remarquer que [AB] est le diamètre
des deux triangles ABC et ADB.
31. Ttnit}.ente àun cercle ..
rapplique
( 0 )
Je m1entraÎne
o La tangente à un cercle est une droite perpendiculaire au rayon en
un point du cercle.
Conseil aux parents: Une définition doit être apprise par cœur.
o (dl); (d:J; (dS); (d6).
() 1. La droite (dl) est perpendiculaire au rayon [OB] du cercle donc (dl)
est tangente au point B au cercle.
120
'Q.)
.
-
t;
a
_____
____n
___
_____
__
___
___rr__
_____
____ - __
_
____
__
_________r_____
_________n
_
_______u_
__r
2. La droite (di) n'est pas perpendiculaire au rayon [OA] du cercle donc (di)
n'est pas tangente au point A au cercle.
3. La droite (d s ) est perpendiculaire au rayon [OF] du cercle donc (d s ) est
tangente au point F au cercle.
4. La droite (d 4 ) n'est pas perpendiculaire au rayon [OE] du cercle donc (d 4 )
n'est pas tangente au point E au cercle.
Conseil aux parents: Une fois la définition bien apprise, illustrez-la par
des schémas pour voir si votre enfant l'a bien comprise.
ce,' 0 1. 2. 3. 4, 5. Les triangles GlK et GJK
sont rectangles respectivement en 1
et J puisque qu'ils sont inscrits dans
un cercle dont [GK] est un diamètre
(fiche 30). (IK) est tangente à ce, en l.
K (KJ) est tangente à ce, en J.
32. Distance d'un point à une droite .-
J'apptit[ue
Pour qu'un point B appartenant à la droite (d) soit le plus proche du point A,
il faut tracer la droite perpendiculaire à (d) passant par le point A.
La distance entre (d) et A est alors la distance AB.
Je m'entraÎne
o La distance la plus courte entre un point et une droite est celle qui
permet de joindre perpendiculairement le point à la droite. Cette distance
est appelée distance d'un point à une droite.
o 1. Faux. 2. Faux. 3. Vrai. 4. Faux.
o
A
T
,.
d L
K
L
. Conseil aux parents: Il faut insister pour que votre enfant utilise
"" son équerre pour tracer les droites perpendiculaires. Il existe aussi
une méthode avec le compas.
----
o 1. BEC = 90 - 30 = 60°.
f) Conseil aux parents: Les angles non droits d'un triangle rectangle sont
complémentaires.
U
___
_
______
_______
____
___
__
__________
_
___
_-
---------
------------_.
----------
121
2. BÊê est un triangle rectangle en C: cos BÊê =
;
---- ----
CE = BE x cos BEC = 5,8 x cos 60 = 2,9 cm. 3. ABF = 180 - (30 + 90) = 60.
---- FB ----
4. cos ABF = AB donc FB = AB x cos ABF = 5 x cos 60 = 2,5 cm.
9 Conseil aux parents: Dans un exercice avec un triangle rectangle
'!!!I et des mesures d'angle, faites penser à votre enfant d'utiliser le cosinus.
33. Bissectrice d'un antJle ..
J'applique
On trace un cercle de centre 0 et de rayon
quelconque (pas trop petit). À l'intersection de
ce cercle et de l'angle, on place les points A et B.
On trace les cercles de centre A et B (même rayon
que le cercle précédent). À l'intersection des deux
cercles, on place le point F.
On trace la demi-droite [OF), bissectrice de l'angle
----
xOy.
Je m'entraÎne
o 1.
2.
a 1. Vrai. 2. Faux.
'
.
-
t
a
Conseil aux parents: Pour vérifier, votre enfant peut utiliser une feuille
de papier calque, plus pratique qu'un rapporteur.
01.2,
A
B
C
3. F est le point d'intersection des bissectrices, les bissectrices sont donc
concourantes en F.
122
01.2.3.4.
'Q,)
.
-
t:
a
J
'f
Conseil aux parents: Pour tracer ce cercle et obtenir son rayon, il faut
tracer la distance à la droite du point G sur l'un des côtés du triangle
(la perpendiculaire à l'un des côtés passant par G).
34. PlJramide _
rapplique
SABCD est une pyramide à base triangulaire.
Le point S est le sommet; le segment [SH] est sa hauteur; le triangle SBC
est une face latérale; le triangle ABC est sa base.
Je m 1 entraîne
o 1. Base rectangulaire. 2. Base triangulaire. 3. Base octogonale.
e 1. Faux. 2, Vrai. 3. Vrai.
t';'} Conseil aux parents: Faites bien remarquer que les faces latérales
d'une pyramide sont toujours triangulaires.
€)
S
S
S
S
o 1. On calcule A O en a ppliqu ant le théorème de Pythagore:
AO =
JAB 2 + BC 2 =
J 16 + 16 =
J32 '" 2,8.
En appliquant le théorème de Pythagore une fois de plus au triangle AOS, on
écrit: S02 = AS2 - A()2 = 52 - 2,8 2 = 25 - 7,84 = 17,16 cm.
/:) Conseil aux parents: Faites remarquer que le triangle SAO
" est rectangle en 0, puis remettez en jeu le théorème de Pythagore.
2. SH2=AS2_AH2= 25-4=21; SH= J2ï '" 4,6 cm.
__________
_
r_ __ ________
_________________
__
_
__
_
___
_______________
__ z_
___
__
123
35. Cône de réflulut;Qn
rapplique
p.80
Sommet du cône
CI)
'
.
t:
a
Hauteur: [SO]
Rayon du cercle: [OA]
Disque de base
Je m'entraîne
o Un cône de révolution est un solide composé: d'un disque, appelé la base du
cône; d'une portion de disque, appelée la surface latérale dont le centre est
le sommet du cône. La hauteur du cône est perpendiculaire au disque de base.
o
t;) Conseil aux parents: En perspective cavalière, faites remarquer
à votre enfant que le disque de base est une ellipse. L'intersection de
la hauteur avec le disque de base du cône est située à l'intersection
du quadrillage au centre de l'ellipse.
€) 1, La longueur du rayon du disque de base est OA = 1,5 cm.
2, La longueur de la hauteur du cône est OS = 2 cm.
3. La génératrice du cône est SA.
4, Le triangle AOS est rectangle en O. En utilisant le théorème de Pythagore,
on écrit:
sN =oN+ OS2= 1,5 2 + 2 2 =2,25 +4=6,25; SA= .16,25 = 2,5 cm.
01, SA2 =S02+0N=8 2 +5,42=93,16; SA= .193,16 ",9,7 cm.
2, S02 =SA2-0A2= 18 2 -11 2 =203; SO = JW3 '" 14,2 cm.
1211
f.fj
'cu
.
a
._,------
----
----
------
------
--
-
---
---
';;
Conseil aux parents: Une fois de plus, il faut utiliser le théorème
de Pythagore. La 1 retois pour calculer l'hypoténuse, la 2 e fois pour
calculer un côté de l'angle droit par soustraction.
36. A9randissement et réduction d'une fit}.ure ..
]'applif{ue
1. Le coefficient d'agrandissement est k = 2
5 = 2.
2. Le coefficient de réduction est k' = 2t = 0,5.
Je m'entraîne
o 1. k = 3. 2. k = 1,5. 3. k = 1,8. 4. k = 2,4.
e 1. k = 0,7. 2. k = !.
4
€) 1. Carré de côté: 2,7 x 1,5 = 4,05 cm. 2. Segment de longueur:
15 x 0,78 = Il,7 cm. 3. Cercle de rayon: 3,8 x 1,5 = 5,7 m.
o
o.c
FIgUres
r
i A'
1 2c mK-::-
1 B 5 cm C B ' C'
r
1
1
1
1
i
A
p.:
18 cm
cm
B' C' B 21 cm C
k ,. Longueurs des côtés
"r ,,",
H
_='.' " " " ; '
.'c." < -'I
' '. .'.'
1 1 1
1 k=4 A'B' 1 B'C' 1 A'C'
1 = 8 cm 1 = 20 cm (28 cm
1 1 l '
, _ 1! A'B' 1 B'C' 1 A'C' 1
1 k - :3 1 = 5 cm 1 = 7 cm = 6 cm i
Iii
l , 1
o 1. Oui car les droites (OP) et (FG) sont parallèles.
f;) Conseil aux parents: Faites remarquer que, dans une bande de droites
ir ---- ----
. (droites (OP) et (FG)), si les angles correspondants (UOP et UPG) sont
égaux alors les droites sont parallèles.
UO 5
2. k = UF = 8 = 0,625.
':Y Conseil aux parents : Votre enfant doit remettre en jeu le théorème
.... de Thalès.
Bilan 3. Géométrie __
1. b. 2. a. 3. a. 4. c. 5. b. 6. a. 7. c. 8. a. 9. b. 10. a.
...""' 5
/1 "':"
-
--
-----
----
----
-
r
_
___ _ __
_
___
_"C
Grandeurs et mesures
37. Volumes de la pyramide et du cône de réflolution __
J'applique
v= ! x OA2 X1t X os = ! x8 2 x 1tX 11,5"" 770,7 cm 3 .
3 3
Je m'entraîne
01. V= ! X 9,6 2 x 10 "" 307,20 cm 3 . 2. V=! x 7,6 x 4,3 x 18"" 196,08 cm 3 .
3 3
01. v=! X 8,42 X 1t x 9,3 "" 687,2 cm 3 . 2. V= ! X 15,9 2 X 1t x 14"" 3 706.4 cm 3 .
3 3
t;) Conseil aux parents: Rappelez à votre enfant qu'il faut, pour calculer
le volume d'une pyramide ou d'un cône, diviser par 3 ou multiplier
1
par 3 dans tous les cas.
€) 1. V p =
X 9,2 2 x 8,6 "" 242,6 cm 3 .
2. On calcule la longueur du rayon du disque de base en appliquant
le théorème de Pythagore, on trouve r = 6,5 cm.
Doù V c = ! X 6,5 2 X 1t x8,6= 380,5 cm 3 . 3. V= 137,9 cm 3 .
3
(» Longueur du côté de la base (en appliquant Pythagore au triangle EFH) :
FH 2 36 J[8 .
FH2 = 2 x Ef2 donc Ef2 = - = - = 18 (E F = 18 "" 4 2 cm )
2 2 "
V =
x 18 x 4 = 24 cm 3 .
O R 2 - 3 x V d , , R - p x 540 - 7 18
_ _ ou - --, cm.
1th 101t
'i) Conseil aux parents: Dans la formule du volume du cône, le rayon est élevé
au carré puisqu'il faut calculer l'aire du disque. Donc faites penser à votre
enfant qu'il doit utiliser la racine carrée pour obtenir la valeur du rayon.
..
..
'-
-
...
t...:
38. Vitesse moyenne .-
J'applique
d= 30 km, t= 30 min = 0,5 h donc V rn = 30 5 = 60 km.h- l .
0,
Je m'entraîne
01. V rn = 200 km.h- l . 2, V rn = 300 m.min- l . 3. V rn = 60 km.h- I .4. V rn = 24 m.h- l .
01. V rn = 10 0 0 = 10 m.min- l . 2. V rn = 50 = 2,5 cm.g- l . 3. V rn = 1- = 0,1 m.s-l.
1 20 10
4 V = 2000 = 2 00 km.h-l
. rn 10 .
126
_
_______
_________
_______ _
__
_____rr_
_
r_
____
_____________r
___
____r
_______
'
'-
:a..
:a..
a
€) 1. V rn = 2
0 = 125 km.h- l . 2. V rn = 3 2 0 = 15 km.h- l .
3. V rn = 9
O = 775 km.h- l . 4. V rn =
= 0,4 m.min- l .
o 1. 1 h 15 min = 1,25 h. 2. 0 h 45 min = 0,75 h. 3. 1 h 12 min = 1,2 h.
4. 1 h 06 min = 1,1 h.
o 1. T= 2,4 h, V rn = 25 4 0 ", 104,2 km.h- l . 2. T= 3,5 h, V rn = 12 5 50 ", 357,1 km.h- l .
2, 3,
3. T= 2,1 h, V rn = 42 '" 20 km.h- l . 4. T= 3,4 h, V rn = 300 ", 88,2 km.h- l .
2,1 3,4
t';) Conseil aux parents: Avant d'effectuer un calcul de vitesse, rappelez à
{( votre enfant qu'il doit convertir les heures minutes secondes en décimales
d'heure en posant une 4 e proportionnelle pour mener à bien son calcul.
39. Distance parcourue et temps de parcours ..
J'applique
50 km lh
-
D=? T= 15 min = 0,25 h
Il faut 15 min à la vitesse moyenne
de 50 km.h- l pour aller chez le dentiste.
La distance à parcourir est donc
D = 50 x 0,25 = 12,5 km.
Je m'entraÎne
o 1. 1 h 15 min = 1,25 h. 2. 45 min = 0,75 h. 3. 2 h 12 min = 2,2 h.
4. 2 h 27 min = 2,45 h.
t;) Conseil aux parents: Faites poser à votre enfant la proportion 60 min
if -1 h alors 15 min - ? h dans un tableau de 4 e proportionnelle.
f) 1. 20 dm = 2 m. 2. 15 dam = 0,15 km. 3. 4 cm = 40 mm. 4. 75 m = 0,75 hm.
r;; Conseil aux parents: Utilisez un tableau d'unités.
€) l. 2,5 h = 2 h 30 min. 2. 3,1 h = 3 h 6 min. 3. 0,25 h = 0 h 15 min.
4. 0,65 h = 0 h 39 min.
o l. T= 1,8 h; V rn = 45 km.h- l ; D= 1,8 x 45=81 km.
2. T= 7,5 h; V rn =550 km.h- l ; D= 7,5 x 550 =4125 km.
3. T= 0,35 h; V rn = 5 m.h- l ; D= 0,35 x 5 = 1,75 m.
4. T= 2,85 h; V rn = 10 dam.h- l ; D= 2,85 x 10= 28,5 dam.
01.D=8m; V rn =24m.h- l ; T=8:24=20min.
2. D= 25 km; V rn = 130 km.h- l ; T= 25: 130'" 11 min.
3. D= 1575 km; V rn =850 km.h- l ; T= 1575: 850'" 1 h 51 min.
4.D=3 000 m; V rn =20 km.h- l ; T=3: 20=9 min.
9 1. T= 0,1 : 30 = 12 s.
15
2. D = 3 600 x 30 = 125 m.
Conseil aux parents: Revoyez les formules de calcul de la distance
parcourue et du temps de parcours.
127
40. Com/ersion des unités de flitesse ..
J'applique
0,002 75 m = 0,000 02 7 5 km.
tOOO027
ls
V m= ? 3 600 s
Je m'entraÎne
o 1. Pour convertir des mg- I en hm. min-l, il faut diviser la longueur par 100
et multiplier le temps par 60.
2. Pour convertir des km.s-I en dam.h- I , il faut multiplier la longueur par 100
et multiplier le temps par 3 600.
3. Pour convertir des cmg- I en il faut m.h- I , il faut diviser la longueur
par 100 et multiplier le temps par 3 600.
4. Pour convertir des km.g-I en m.h-l, il faut multiplier la longueur par 1000
et multiplier le temps par 3 600.
t;) Conseil aux parents: N'hésitez pas à utiliser un tableau de conversion
if des unités de longueur.
V m = 0,000 027 5 x 3 600 = 0,099 km. h -1.
1
v..
'QI
.
E
a
f) 1. 0,005 m = 5 mm. 2. 75 dam = 0,75 km. 3. 8 mm = 0,000 008 km.
4. 3 cm = 0,003 dam.
el.
V =1
m .
3600s
V =1
m .
40 m = 0,04 km 1 s
V m = 3600 x 0,04= 144 km.h- I .
v = 31250000 = 8 680 m.g-I.
m 3600
0 1 V = 3060 =1224km.h- 1 2 V = 1224000 =340m.s- I
. m 2.5 . . m 3 600 .
A 1 V - 100 - 10 3 -1 2 V - HO 000 - 30 6 -1.
. u - 9.7 - ,m.s . . g - 3600 - ,m.s ,
on pose: x = distance de rencontre.
1O,3(x + 200) = 30,6x ; x", 101 m ; 200 + 101 = 301 ru donc non, le coureur
ne sera pas rattrapé par le guépard.
t;) Conseil aux parents: Posez l'équation en prenant x comme inconnue
pour la distance de rencontre des deux mobiles en mouvement.
Bifan 4, Grandeurs et mesures _
1. c. 2. a. 3. c. 4. c. 5. a. 6. c. 7. b. 8. a. 9. c. 10. a.
1
c
o
--
en
en
Q)
...
en
o
...
c.
Q)
-=
--
>
--
=
en
Q)
-=
=
ca
Q)
-
-=
ca
1-
en
c::
o
U<>
en d
Q) 0
"OU<>
en
2 Q)
'Q) ='
S 0'
=' ctS
c::-5
en Q)
"O
..... c::
aiu:::
.... <tI .
=' -
b/) ,CtS :>
u=
;::::
.
..... ='
Q) ctS 'Q) "0
'Q)
-
c:: c:: 0. en
c:: 0 S
ctS N 0 .-
:-1::t)
Q) 0 N Q)
"O..c::Q)
b/)Q):>Q)
c:: c:: Q) en
oS
=' ctS =' en
ctS - 0 ='
.....:;:>.8
g en
'Q)
..... . - 0' c::
C::
Q)1
° -....
.- ,CtS ctS Q)
OC::.....
Q)Q)U:::N
6b "0
?;
o en 0 ctS
.... Q) c:: en
o...... ctS ='
Q)O-o
t: c:: N :>
oenQ)"O
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t:c::
Q) en 0 ctS
....Q)O'='
.
'
O'
=' ctS - en
en _ =' .....
Q) 0. ctS .S
"o.....Q)O
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Jean-Charles Alvado, auteur aux éditions Bordas, enseigne les mathéma-
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