А. Г. Мадера Д. А. Мадера
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ
СОФИЗМЫ
Правдоподобные рассуждения,
приводящие к ошибочным утверждениям
Книга для учащихся
7—11 классов
Москва
« Просвещение »
2003

Предисловие
Софизм (от греч. sophisma —
уловка, выдумка,
головоломка) — мнимое доказательство,
в котором обоснованность
заключения кажущаяся,
порождается чисто субъективным
впечатлением, вызванным
недостаточностью логического или
семантического анализа.
Энциклопедический словарь
Математический софизм —
удивительное утверждение,
в доказательстве которого
кроются незаметные, а подчас и
довольно тонкие ошибки.
Gardner M. Mathematical
Puzzles and Diversions
История математики полна неожиданных и интересных
софизмов и парадоксов. И зачастую именно их разрешение
служило толчком к новым открытиям, из которых, в свою
очередь, вырастали новые софизмы и парадоксы.
Необходимо различать между собой парадоксы и софизмы.
Парадоксы — это справедливые, хотя и неожиданные
утверждения, в то время как софизмы — ложные результаты,
полученные с помощью рассуждений, которые только
кажутся правильными, но обязательно содержат ту или иную
ошибку. И парадоксы, и софизмы очень поучительны и
интересны, но данная книга посвящена в основном софизмам.
Практика обучения математике показывает, что поиск
заключенных в софизме ошибок, ясное понимание их причин
ведут к осмысленному постижению математики.
Обнаружение и анализ ошибки, заключенной в софизме, зачастую
оказываются более поучительными, чем просто разбор
решений «безошибочных» задач. Можно сколько угодно
объяснять, что деление на нуль недопустимо или что корень
квадратный из квадрата числа равен абсолютной величине
этого числа, но учащийся продолжает совершать одни и те же
ошибки. В то же время эффектная демонстрация
«доказательства» явно неверного результата, в чем и состоит смысл
софизма, демонстрация того, к какой нелепице приводит
пренебрежение тем или иным математическим правилом,
и последующий поиск и разбор ошибки, приведшей к
нелепице, позволяют на эмоциональном уровне понять и «закре-
3

пить» то или иное математическое правило или
утверждение. Такой подход при обучении математике способствует
более глубокому ее пониманию и осмыслению и, кроме
того, показывает, что математика — это живая наука, а не
собрание закостенелых догм, выдуманных по чьей-то злой воле.
Огромное число софизмов строится на основе таких
известных еще со Средних веков парадоксов, как деление на нуль
или равенство двух дробей, числитель и знаменатель
которых имеют разные знаки. С одной стороны, нуль есть
«ничто», а с другой стороны, деление на это «ничто» приводит
к неверным результатам. Парадокс же с дробями
утверждает, что равенство ^г=— вообще невозможно, поскольку
отношение большего числа к меньшему (а в математике
положительное число больше отрицательного) не может
равняться отношению меньшего числа к большему. Позднее
появились софизмы и парадоксы, связанные с осмыслением
бесконечности, которые сыграли фундаментальную роль в
развитии теории множеств и вообще современной математики.
Таковыми являются, например, софизмы и парадоксы Зено-
на или Прокла или парадокс равенства части и целого,
примером чего может служить эквивалентность бесконечного
множества всех натуральных чисел и бесконечного
множества всех четных положительных чисел, которых на первый
взгляд явно «меньше», чем чисел натуральных. Софизмы
и парадоксы, связанные с бесконечными рядами и
предельным переходом, во многом способствовали построению
современного математического анализа.
Как справедливо замечает В. Литцман в предисловии к
своей книге «Где ошибка?», установить авторство того или
'иного софизма практически невозможно, за исключением
ничтожного их числа, авторство которых дошло до нашего
времени и достоверно известно, как, например, софизмы
и парадоксы Зенона или Прокла. Большинство софизмов
известно очень давно, рассыпано по различным сборникам,
журналам и составляет своего рода математический
фольклор, передаваемый устно из поколения в поколение. И при
этом редко удается установить, первое ли это
воспроизведение и не встречался ли этот софизм раньше. Тем не менее
необходимо отметить, что при составлении настоящего
сборника использовались софизмы, содержащиеся в следующих
источниках:
Обреимов В. И. Математические софизмы. 2-е изд.
СПб., 1889.
Горячев Д. Н., Воронец А. М. Задачи, вопросы и софизмы
для любителей математики.— М., 1903.
Лямин А. А. Математические парадоксы и интересные
задачи.— М., 1911.
4

Болъцано Б. Парадоксы бесконечного.— Одесса, 1911.
Аменицкий Н. Математические развлечения и любопытные
приемы мышления.— М., 1912.
Литцман В., Трир Ф. Где ошибка? — СПб., 1919.
Богомолов С. А. Актуальная бесконечность.— М.; Л., 1934.
Брадис В. М., Харчева А. К. Ошибки в математических
рассуждениях.— М., 1938.
Lietzmann W. Wo steckt der Fehler? Mathematische
Trugschlusse und Warnzeichen.— Leipzig, 1952.
Разбиение софизмов по темам понятно из содержания. В
основу их классификации авторы положили не разделы
программы по математике, а однородность содержания
доказываемых утверждений. На наш взгляд, такое расположение
материала будет восприниматься более живо и с большим
интересом и не будет вызывать у читателя ощущения, что
он имеет дело с учебником.
Все софизмы снабжены достаточно подробными
разъяснениями. Там, где ошибка уже разбиралась, дается ссылка на
соответствующее разъяснение. В то же время читателю
рекомендуется сначала самому попытаться разобраться с
софизмом и понять, в чем состоит ошибка, приведшая к
неверному результату, и только в случае неудачи обратиться
за разъяснениями к разделу «Разбор софизмов».
Тематика некоторых софизмов выходит за рамки
программы по математике, принятой в настоящее время в средней
школе. Однако мы сочли нужным включить этот материал
в книгу, с тем чтобы сделать ее интересной и для более
подготовленного читателя, и вообще для любителя математики.
Собранные в книге софизмы неоднородны по своему
уровню. Среди них есть и тривиальные, но немало и таких
софизмов, над разрешением которых придется поломать
голову и хорошо подготовленному читателю.
Авторы будут признательны за пожелания и замечания по
содержанию книги, которые следует направлять в адрес
издательства.
Книга будет интересна и полезна ученикам и учителям
школ, лицеев и гимназий, а также всем любителям
математики.

Софизмы
^ Глава
I
Равенство
неравных величин
1. Единица равна двум
Простым вычитанием легко убедиться в справедливости
равенства
1-3 = 4-6.
о
Добавив к обеим частям этого равенства число —, получим
новое равенство
1-3 + ^ = 4-6 + 1
4 4
в котором, как нетрудно заметить, правая и левая части
представляют собой полные квадраты, т. е.
Извлекая из правой и левой частей предыдущего равенства
квадратный корень, получаем равенство
1-|=2-|, (2)
откуда следует, что
1 = 2.
2. Любые два неравных числа равны
Возьмем два произвольных, не равных друг другу числа х
и 2 и обозначим их сумму числом а, т. е. x + z = a.
Умножив обе части этого равенства на x-z, получим
(x + z)(x-z) = a(x-z), раскроем в обеих частях равенства
*2 =
ax-az.
Перенесем ах из правой части равенства в левую, а г2 из
левой части в правую. В результате получим x2-ax = z2-az.
а2
Прибавляя к обеим частям последнего равенства число —,
будем иметь
о а2 о а2
х2-ах-\ = z2-az + —-,
4 4
6

или, замечая, что слева и справа стоят полные квадраты,
получим
*-f)!=H)*' (1)
а извлекая из обеих частей последнего равенства
квадратные корни, придем к выражению
Так как вторые члены слева и справа в этом равенстве
равны, то заключаем, что
x = z.
3. Все числа равны между собой
Возьмем два произвольных неравных между собой числа а
и Ъ и запишем для них очевидное тождество
a2-2ab + b2 = b2-2ab + a2.
Слева и справа стоят полные квадраты, т. е. можем записать
(a-b)2=(b-a)2. (1)
Извлекая из обеих частей последнего равенства квадратный
корень, получим
а-Ъ = Ъ-а (2)
или 2а = 2Ь, или окончательно
а = Ь.
4. Единица равна нулю
Возьмем уравнение
х-а = 0. (1)
Разделив обе его части на х-а, получим
х-а _ о
х-а х-а
откуда сразу же получаем требуемое равенство
1 = 0.
5. Все числа равны нулю
(2)
7
Возьмем произвольное действительное число а и составим
квадратное уравнение
х2-ах = - — а2. (1)

Умножив обе части этого уравнения на -За, получим -Зах2 +
+3а2х = а3, а затем к правой и левой частям полученного
уравнения прибавим х3-а3, так что получим выражение Xs-
-Зах2 + 3а2х- а3 = х3, в левой стороне которого легко
узнается формула куба разности двух чисел, следовательно,
(х-а)3 = х3. (2)
Извлекая из обеих частей последнего уравнения кубический
корень, получим х — а = х, откуда следует
а = 0, 7
что означает равенство всех чисел нулю.
6. Любое число равно —
Возьмем два произвольных положительных действительных
и равных друг другу числа х к z. Поскольку по условию x = z,
то Vx = \/z. Поэтому с полным основанием мы можем записать
следующие два тождества:
x-{x = z--{z, (1)
•{x-z = ^x-z. (2)
Сложив эти два равенства почленно, получим
x-z = \[x-\lz. (3)
Прибавив и отняв в левой части равенства (3) величину \[xz,
вместо равенства (3) получим x + {xz -{xz -z=ix-iz, или,
что, очевидно, то же самое,
x + \fx\[z-ix\[z-z = \[x-fii- (4)
В левой части последнего равенства первый и второй члены
представим в виде (\[х + \[z)\[x, а третий и четвертый — в
виде (rfx + \[z)\[z. В результате этих преобразований равенство
(4) примет вид
(ix + iz))[x-()[x + \[z)iz = ^x-\fz (5)
и окончательно может быть записано так:
(ix + {z)(\[x-\!z) = \[x-{z (6)
(если вынести за скобки общий множитель (sfx + tfz) в левой
части равенства).
Для того чтобы равенство (6) имело место, необходимо
выполнение условия
Vx + V2=l, (7)
8

а так как в силу исходного равенства x = z, заключаем, что
2V# = 1, или \[х = — , откуда
1 *}
4 •
т. е. произвольное число равно —.
7. Неравные числа равны
Возьмем два неравных между собой произвольных числа а
и Ъ. Пусть их разность равна с, т. е. а-Ъ = с.
Умножив обе части этого равенства на а -Ь, получим (а-Ь)2=
= с(а-Ь), а раскрыв скобки, придем к равенству a2-2ab + b2 =
= ca-cb, из которого следует равенство а2 - ab - ас = ab -b2 -be.
Вынося общий множитель а слева и общий множитель Ъ
справа за скобки, получим
a(a-b-c) = b(a-b-c). (1)
Разделив последнее равенство на (a-b-с), получаем, что
а — Ь, г
другими словами, два неравных между собой произвольных
числа а и Ъ равны.
8. Всякое число равно своему удвоенному значению
Запишем очевидное для любого числа а тождество
а2-а2 = а2-а2.
Вынесем а в левой части за скобку, а правую часть
разложим на множители по формуле разности квадратов, получив
а{а-а) = (а + а)(а-а). (1)
Разделив обе части на а-а, получим а = а + а, или
7
а = 2а. J
Итак, всякое число равно своему удвоенному значению.
9. Единица равна минус единице
Пусть число х равно 1. Тогда можно записать, что х2 — 1,
или л2-1 = 0. Раскладывая х2-\ по формуле разности
квадратов, получим
(х+1)(х-1) = 0. (1)
9

Разделив обе части этого равенства на х-1, имеем
х+1 = 0 и х = -1. (2)
Поскольку по условию х = 1, то отсюда приходим к равенству
1-1. "?
10. Если одно число больше другого,
то эти числа равны
Возьмем два произвольных числа тип, такие, что т>п, и
другие три произвольных числа а, Ъ и с, сумма которых
равна d, т. е. a + b + c = d.
Умножив обе части этого равенства на т, а затем на п,
получим
ma + mb + mc = md, na + nb + nc = nd.
Сложив почленно равенства
та + тЬ + тс = md,
nd = na + nb + nc,
получим ma + mb + mc + nd = na + nb + nc + md. Перенося здесь
nd вправо, a md влево, имеем
та + тЬ + тс - md= na + nb + nc — nd,
а вынося слева число т, а справа число п за скобки,
придем к соотношению
m{a + b + c-d) = n(a + b + c-d), (1)
откуда, разделив обе части последнего равенства на
(a + b + c-d), находим, что
т= п.
7
11. Восемь равно шести
Решим систему двух уравнений
х + 2у = 6, (1)
J/ = 4-f (2)
подстановкой у из второго уравнения в первое.
Получаем лс + 8-л: = 6, откуда
8=6. ?
10

12. Семь равно тринадцати
Рассмотрим уравнение
х + Ь с 4jc-40 (1\
Оно может быть решено следующим образом. Приведя
левую часть уравнения к общему знаменателю, будем иметь
* + 5-5(*-7) = 4*-40 0 _ 4*-40 4*-40
х-7 13-х ' откУДа х-7 13-* ' ИЛИ
4jc-40 4ж-40
4-х 13-* *
(2)
Поскольку числители дробей в левой и правой частях
уравнения равны, то, для того чтобы имело место равенство
обеих частей уравнения, необходимо, чтобы были равны и
знаменатели дробей. Таким образом, приходим к равенству
7=13. *?
•
13. Сумма любых двух чисел равна их полусумме
Возьмем два произвольных числа а и Ъ и возведем их
сумму а + b в степень п. Воспользуемся для этого формулой
бинома Ньютона1
(а + Ъ)п = ап + пап-1Ь+ п("~1} ап2Ъ2 +
+ ...+ "^."^а'Ь'-' + паЬ'^ + Ь",
справедливой для любого натурального числа п.
Положив в формуле бинома Ньютона п = 2т, получим
(а + Ь)2т = а2т+2та2т-1Ь+ ^ИЙГ^И а2т~2Ь2 +
+ ...+ 2т&т2-и а2Ь2т-2 + 2таЬ2т-1 + Ь2т. (1)
Приняв в последнем соотношении т=4и учитывая, что а°= 1
и Ь°=1, найдем, что
(a + b)1 = a + b + 0 + ... + 0 + a + b, (2)
откуда получаем равенство a + b — 2a + 2b, или
Итак, сумма двух произвольных чисел равна их полусумме.
1 Формулу бинома Ньютона см., например, в кн.: Гусев В. А., Морд-
кович А. Г. Справочник по математике.— 3-е изд.— М.: Просвещение,
1995.
11

14. Половина любого числа равна
половине ему противоположного
Возьмем произвольное число а и положим х = - %. Тогда
2х + а = 0 или после умножения на а получим 2ах + а2 = 0.
Прибавляя к обеим частям этого равенства х2, имеем
Так как х2 + 2ах+а2 = (х + а)2, то предыдущее равенство
можно записать в виде
(х + а)2 = х2, (1)
а после извлечения квадратного корня из обеих частей
последнего равенства получаем
х + а = х. (2)
Поскольку по условию х = - ^, то из равенства (2) имеем - -j +
+ а = - ^ » и поэтому получаем окончательно
° —_ 9l r
2 ~ 2 ' •
15. Любое положительное число равно
числу, ему противоположному
Возьмем произвольное положительное число г. По правилам
извлечения квадратных корней имеем
\/25=ViT2=(v'z)2 = 2. (1)
С другой стороны,
V^=V(^)MV^)2=-2. (2)
Отсюда получаем, что
г = — г.
?
16. Логарифм отрицательного числа существует
и равен логарифму положительного числа
Возьмем число 100 и запишем очевидные равенства
4
100 = 102= 10 2 =\/T0i=\'1002 = ± 100. (1)
Следовательно, можем записать, что 102 = + 100 и 102 = -100.
Логарифмируя эти равенства по основанию 10 и учитывая,
что lgl0 = l, получим 2 = lg(+100) и 2 = lg(-100), откуда
следует, что логарифм отрицательного числа равен логарифму
положительного числа, т. е.
lg(-100) = lg(+100).
12

17. Все числа равны нулю
Возьмем произвольное положительное число а и рассмотрим
сумму х бесконечного числа слагаемых, равных а, т. е.
х = а + а + а + а + ... . (1)
Очевидно, что мы можем представить эту сумму как
х = а + (а + а + а +...),
в которой сумма, стоящая в скобках, также равна х как
сумма бесконечного числа слагаемых, равных а. Так что
можем записать, что х = а + х, откуда заключаем, что
?
а = 0.
18. Сумма бесконечного числа нулей
равна единице
Возьмем две переменные величины х = — я у= —, я€ЛГ, и
рассмотрим третью переменную г, равную сумме переменных х
и у. Предположим, что п неограниченно возрастает. Тогда,
естественно, переменные х и у будут стремиться к одному
и тому же пределу, равному нулю, а переменная z = x + y
также будет стремиться к нулю, так как предел суммы
равен сумме пределов.
Теперь возьмем не две, а л переменных, равных —, и
найдем предел их суммы
~ + —+ — + ... + - (1)
п слагаемых
при неограниченном возрастании п.
С одной стороны, данная сумма равна п- — =1. С другой
стороны, предел каждого слагаемого равен нулю, следовательно,
1 = 0 + 0 + 0 + ... . г
Поскольку сумма, стоящая в правой части последнего
равенства, равна нулю, то получаем, что 1 = 0.
19. Числа, обратные не равным
между собой числам, равны
Предположим, что два произвольных действительных числа а
и Ъ больше единицы и не равны между собой. Рассмотрим
дроби
ШП=^и({)П=^, гдепбЛГ.
13

При стремлении п к бесконечности каждая из этих дробей
стремится к нулю, т. е. -^г^О и т^^-0 при п—>°°;
следовательно, приходим к равенству
а" Ь" у '
С другой стороны, любое число z в степени п можно записать
как произведение zn=z-z-z-...-z. Поэтому таким же образом
п раз
можем записать и дроби -j и xs-:
J_ = J_.A.l и J_ = i.i.i„ .
а" а а а'" Ъ" Ь Ь Ъ
Учитывая равенство (1), получаем
А. А. А = А.А.А
а а а "** Ь Ь 6 "" '
Поскольку число множителей в обоих произведениях
одинаково (оно равно бесконечности) и, кроме того, множители
слева равны, так же как равны и множители справа, то
равенство произведений влечет за собой и равенство
множителей. Таким образом, приходим к выводу, что
а Ь •
20. Натуральная степень любого числа
равна бесконечному произведению единиц
Известно, что \]атп=ат'п'т. С другой стороны, можно
записать следующие равенства:
\[а/™=а^ =an-m'^ =an( m + s>+•••+ s). (1)
Показатель степени в последнем равенстве представляет собой
сумму
mm '" m
содержащую т равных слагаемых. Устремим число т к
бесконечности, тогда дробь — станет равной нулю, и вместо
равенства (1) получим
7a™" = an(0+0+-) = a0n-a°'!-a0n...= l-l-l..., (2)
так как а°'" = 1.
Таким образом, \jamn = 1-1-1-1..., а так как iamn = an, то
получаем окончательно, что произвольное число а в степени п
равно бесконечному произведению единиц, т. е.
о" = 1'1-1-1.„. ?
14

21. Натуральный логарифм двух равен нулю
Представим натуральный логарифм двух In 2 в виде
сходящегося ряда1:
Ш2-1-|. + -1—J- + .J.-... . (1)
Сгруппируем отдельно положительные и отрицательные
члены этого ряда следующим образом:
ln2 = (l + i + l + ...)-(i + i + | + ...). (2)
После элементарных преобразований получим
ln2=(1+l+i+-)+(l+T+i+-)-
Сумма первых двух скобок равна 1 + -|- + Т + Т + Т + "" "
После умножения третьей скобки на 2 получим
1+ 2 + 3 + 4 + 5 +"- •
Поэтому выражение (3) примет вид
откуда следует, что
In 2 = 0. ?
22. Бесконечно большая величина равна нулю
Возьмем острый угол а и будем увеличивать его,
приближая к углу 90° как к пределу. Тогда, как известно, тангенс
такого угла будет неограниченно расти, оставаясь
положительным, и в пределе станет равным
lim tg oc = tg 90°= + oo. (1)
а -«90°
Теперь возьмем тупой угол Р и будем уменьшать его,
приближая к углу 90° как к пределу. Тогда тангенс такого уг-
1 О разложении в ряд различных функций и суммах многих интересных рядов
см., например: Прудников А. П., БрычковЮ. А., Маричев О. И.
Интегралы и ряды.— М.: Наука, 1981. Фихтенгольц Г. М. Курс
дифференциального и интегрального исчисления. Т. 1, 2.— М.: Наука, 1969.
Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике.—3-е изд.—
М.: Гос. изд-во техн. теоретич. лит-ры, 1953.
15

ла также будет неограниченно расти, оставаясь при этом
отрицательным, и в пределе станет равным
limtg S = tg 90°=-оо. (2)
Р -> 90°
Сравнивая равенства (1) и (2), равные оба tg 90°, получим
+ оо= — оо, или +оо + оо = 0,
откуда окончательно получаем, что
оо = 0. *?
23. Квадраты чисел 2 и 4 равны
Возведем обе части тригонометрического тождества
cos2^: = l-sin2x в степень ^:
(cos2x)f = (l-sin2x)*. (1)
Преобразовав левую часть полученного равенства и
прибавив к обеим его частям число 3, получим
cos3x + 3 = (l-sin2^)* + 3. (2)
Возведем обе части этого равенства в квадрат:
(cos3* + 3)2 = ((l-sin2je)*+3)2. (3)
Положив в последнем равенстве х = 90° и учитывая, что
cos 90° = 0, sin 90°= 1, получим верное равенство 32 = 32.
Положив в том же равенстве х = 180° и учитывая, что
значение cos 180° = - 1, a sin 180° = 0, получим
22=42. *?
24. Все натуральные числа, большие единицы,
равны между собой
Рассмотрим известные алгебраические формулы
х2-1 = (х-1)(х + 1), xs-l = (x-l)(x2 + x + l)
и вообще для любого натурального п имеем
хп -1 = (х - 1)(хп1 + х"-2 +... + х2 + х +1).
Разделив обе части этих формул на х -1, получим
х2-1 , *
1—Г = х+1,
^ = х2 + х + 1,
^Ei = xn~1 + xn-2 + ... + x2 + x + l.
16

При х = 1 левые части этих равенств принимают одно и то
же значение —, поэтому должны быть равны и их правые
части, откуда получаем, что
25. Любые два взаимно обратных числа равны
Возьмем произвольное число а, функцию у и рассмотрим
х + ау
следующий повторный предел:
,. ,. ах + у
lim lim —.
д^ООу^ОО х + ау
Найдем этот предел двумя способами.
,у_
П Y 4- 1J fit "Г
С одной стороны, lim ^^ = lim ^ = a,
,. ,. ах + у
и потому hmhm—r-— = a.
у-^оо х—оо х + ау
х
а —+1
,-, „ ,._ ах + у ,. У 1
С другой стороны, hm^j—hm-j—=т,
У
ОХ ~\~ У 1
и, следовательно, lim lim - , „ „ = —.
' " ' х-^сс j/—oo х + ау а
_ ,. .. ах + у ,. ,. ах + у
Так как lim lim „ ,„„ = hm lim „ , — , то получаем, что для лю-
*—оо у—"оо х-г ау у-*оо х-»оо х + ау * ' г^
бого числа а справедливо равенство
1
а
7
26. Нуль равен единице
Рассмотрим бесконечный ряд
1.+ 1 + 1 + 1 +...+_!_+ 1
1-2 2-3 3-4 ' 4-5 п(п + 1)
Его сумма равна 1, так как этот ряд можно представить в виде
HHl-iMi-iMi-i)+- •
заметив, что в любых двух соседних скобках второй член,
стоящий в предыдущей скобке, равен первому члену в
следующей за ней скобке, т. е. они взаимно сокращаются.
Таким образом,
x 1-2 ^ 2-3 ^ 3-4 ^ 4-5 T"* n(n + l)^--- " ^'
17

Перенося первое слагаемое из правой части равенства (1)
в левую, получим
_J_+_J_+_J_ +
2-3 т 3-4 т 4-5 т
.+-
п(п + 1)
Аналогично из равенства (2) получим
3
+ ... .
(2)
3-4 т 4-5 т
.+-
+ ...
(3)
п(п+1)
Продолжим этот процесс до бесконечности.
Теперь, сложив почленно левые и правые части равенств
(1) —(3) и замечая, что "27з"+_2тз"="з"' "зтТ+^4"+"зтТ=Т' '" '
получаем равенство
1+ 2 + 3 т 4 ^-" 2 ^ 3 ^ 4 ^••'
из которого и следует, что
1 = 0.
(4)
37. V2(p + q) равно Vp+Vg
Рассмотрим произвольный треугольник ABC, в котором р
и ^ — проекции сторон АВ и АС на сторону ВС
соответственно, h — высота треугольника, опущенная из вершины А
(рис. 1).
Проведем параллельно высоте h отрезок ЕВ, делящий
треугольник ABC на две равновеликие части, причем ED = h'.
Обозначим через х отрезок на стороне ВС от вершины В
до основания перпендикуляра Л', т. е. до точки D.
Условие равенства площадей двух равновеликих частей
треугольника ABC, лежащих слева и справа от прямой h',
приводит к соотношению
xh' (p + q)h Г1.
2 4* 1±'
Поскольку треугольники BED и BAF подобны по признаку
подобия прямоугольных треугольников, то справедливо
равенство
К.
h
--—, откуда
h'=
hx
Подставляя последнее
2x2h
в (1), получим —— =(p + q)h,
откуда
х = 1Щ*-.
равенство
(2)
Поскольку точки В и С
равноправны, то аналогично предыдущему
получим, что
18

У=1Щ^-, (3)
где у — отрезок стороны ВС от вершины С до основания h'.
Так как x + y=p + q, то, подставляя вместо х и у полученные
для них выражения и деля обе части этого равенства на \]p + q,
получим
откуда
y/2(p + q) = Vp+Vq. "?
28. Парадокс Зенона:
Ахиллес никогда не догонит черепаху
Древнегреческий философ Зенон1 доказывал, что Ахиллес,
один из самых сильных и храбрых героев, осаждавших
древнюю Трою, никогда не догонит черепаху, которая, как вы,
конечно, знаете, отличается крайне медленной скоростью
передвижения.
Вот примерная схема его рассуждений. Предположим, что
Ахиллес и черепаха начинают свое движение одновременно
и Ахиллес стремится догнать черепаху. Примем для
определенности, что Ахиллес движется в 10 раз быстрее черепахи
и что их отделяют друг от друга 100 шагов.
Когда Ахиллес пробежит расстояние в 100 шагов,
отделяющее его от того места, откуда начала свое движение
черепаха, то в этом месте Ахиллес ее уже не застанет, так как она
пройдет вперед расстояние в 10 шагов. Когда Ахиллес
минует и эти 10 шагов, то и там черепахи уже не будет,
поскольку она успеет перейти на 1 шаг в новое место. Достигнув
и этого нового места, Ахиллес опять не найдет там
черепахи, потому что она успеет пройти расстояние, равное -jg-
шага, и снова окажется несколько впереди его. Это
рассуждение можно продолжать до бесконечности, и придется
признать, что
быстроногий Ахиллес никогда не догонит *J)
медленно ползущую черепаху. •
1 Зенон (около 490—430 гг. до н. э.) — представитель элейской
философской школы, которого Аристотель считал основателем диалектики как
искусства познания истины с помощью спора или истолкования
противоположных мнений.
19

29. Отрезки параллельных прямых, заключенные
между сторонами угла, равны
Рассмотрим произвольный угол с вершиной в точке Е и
пересечем его стороны двумя параллельными прямыми,
отрезки которых АВ и CD заключены между сторонами этого
угла (рис. 2).
Как известно, параллельные прямые отсекают от сторон угла
пропорциональные отрезки, следовательно, ~7jW=~mF' откУДа
AE-DE = BE-CE. (1)
Умножив обе части последнего равенства на отличную от
нуля разность АВ-CD, запишем
AE-DE-AB-AE-DE-CD =
= BE-CE-AB-BE-CE-CD.
Перенося первый член правой части
влево, а второй член левой части
вправо, получим
АЕ • DE - АВ - BE • СЕ • АВ =
- АЕ • DE • CD - BE ■ СЕ ■ CD,
или
AB(AE-DE-BE-CE) =
= CD{AE-DE-BE-CE). (2)
Разделив обе части последнего равенства на. АЕ-DE-BE-СЕ,
получим равенство
AB = CD. У
30. Внешний угол треугольника равен
внутреннему, не смежному с ним
Из геометрии известно, что внешний угол треугольника
больше любого внутреннего угла, не смежного с ним.
Докажем, что внешний угол треугольника равен внутреннему, не
смежному с ним.
Рассмотрим четырехугольник ABCD (рис. 3), такой, в
котором
Z.ADC + Z. ABC =180°. (1)
Через точки A, D и С проведем окружность, которая
пересечет стороны АВ и ВС в некоторых точках Е и F. Соединив
точки С и Е, получим вписанный в эту окружность
четырехугольник ADCE. Но сумма противоположных углов всякого
вписанного четырехугольника, как известно, равна 180°,
потому
AADC + AAEC= 180°. (2)
20

с
Рис. 3 Рис. 4
Сравнив равенства (1) и (2), получим ZADC + ZABC =
= AADC + Z.AEC, откуда получаем равенство
£АВС = /-АЕС, *?
означающее, что угол АЕС, являющийся внешним углом
треугольника ВСЕ, равен одному из внутренних углов этого же
треугольника, а именно углу ABC, не смежному с этим
внешним. Получилось противоречие с известной теоремой о
свойстве внешнего угла треугольника.
31. В любой окружности хорда, не проходящая
через ее центр, равна ее диаметру
В произвольной окружности проводим диаметр АВ и
хорду АС (рис. 4). Через середину D этой хорды и точку В
проводим хорду BE. Соединив точки С и Е, получаем два
треугольника ABD и CDE. Углы ВАС и СЕВ равны как
вписанные в одну и ту же окружность, опирающиеся на
одну и ту же дугу; углы ADB и CDE равны как вертикальные;
стороны AD и CD равны по построению.
Отсюда заключаем, что треугольники ABD и CDE равны (по
стороне и двум углам). Но стороны равных треугольников,
лежащие против равных углов, сами равны, а потому
АВ = СЕ, ?
т. е. диаметр окружности оказывается равным некоторой
(не проходящей через центр окружности) хорде, что
противоречит утверждению о том, что диаметр больше всякой не
проходящей через центр окружности хорды.
32. Любой треугольник равнобедренный
Рассмотрим произвольный треугольник ABC, в котором
АС>ВС (рис. 5). Проведем биссектрису СС1 угла АСВ и
восстановим к середине (точка D) стороны АВ перпендикуляр
21

Рис
DDX. Эти две линии СС1 и DD1 не могут ни совпадать друг
с другом, ни быть параллельными, так как в обоих этих
случаях биссектриса служила бы одновременно и высотой, что
возможно лишь в равнобедренном треугольнике, т. е. при
АС = ВС. Следовательно, прямые ССг и DDt обязательно
пересекаются в некоторой точке Е. Точка Е может находиться
либо внутри треугольника ABC (рис. 5, а), либо вне его
(рис. 5, б), либо на стороне АВ (рис. 5, в).
На рисунке 5, а соединим точку Е с вершинами А и В
треугольника и, кроме того, из точки Е опустим
перпендикуляры EF и EG к сторонам АС и ВС соответственно.
Прямоугольные треугольники CEF и CEG равны по гипотенузе СЕ
и катетам EF = EG (точка Е, находясь на биссектрисе угла С,
одинаково удалена от его сторон), а потому CF = CG.
Прямоугольные треугольники ADE и BDE также равны по общему
катету DE и равным катетам AD = BD, а потому АЕ = ВЕ.
Наконец, прямоугольные треугольники AEF и BEG равны в
силу равенства гипотенуз АЕ и BE и катетов EF и EG,
следовательно, AF=BG. Почленное сложение равенств CF = CG
и AF=BG приводит к равенству
АС=ВС,
которое противоречит условию АС>ВС. Отсюда следует, что
всякий неравнобедренный треугольник есть в то же время
равнобедренный!
К тому же заключению мы придем, рассмотрев случай,
когда точка Е находится не внутри, а вне треугольника ABC
(рис, 5, б). Рассмотрение треугольников EFC и EGC, EAD
и EBD, EAF и EBG позволяет установить, что CF=CG,
AF=BG, а почленное вычитание последних равенств
приводит к выводу, что
АС = ВС,
т. е. снова к равнобедренному треугольнику.
22

Тот же результат будет и в случае, если точка Е окажется
на стороне АВ, т. е. совпадет с точкой D (рис. 5, в).
Равенство треугольников ADF и BDG, CDF и CDG влечет за собой
равенства AF = BG, FC = GC, откуда опять
АС = ВС. *?
33. Сумма оснований любой трапеции
равна нулю
В произвольной трапеции ABCD (рис. 6) продолжим нижнее
основание а вправо на отрезок, равный верхнему основанию Ь,
а верхнее основание Ъ продолжим в противоположную
сторону, т. е. влево на отрезок, равный нижнему основанию а.
Проведем диагонали трапеции АС и BD и соединим точки F
и Е. Диагональ АС делится другой диагональю BD и прямой
FE на три отрезка: СН = х, HG = y и GA = z.
Треугольники CDG и ABG подобны по двум углам: Z-BAG =
=/-DCG как внутренние накрест лежащие углы, /-AGB=/LDGC
как вертикальные углы), поэтому справедливо равенство
х + У _ a m
г b • li;
Треугольники AFH и СЕН также подобны по двум углам, и
для них справедливо равенство
У + z _ а ,о\
х ~ Ь • W
v -^_ у Tj _j_ 2
Из равенств (1) и (2) получим —г~~х '' Умножив
числитель и знаменатель в правой части этого отношения на -1,
придем к пропорции -гУ = у_ .
Применяя к этой пропорции
известное из алгебры свойство: если
несколько пропорций равны между
собой, то они равны также
отношению суммы всех членов, стоящих в
числителях этих пропорций, к
сумме всех членов, стоящих в
знаменателях этих пропорций1,— получим
х + у _ х + у-у-г _ х-г _ - .„>
г г-х г-х ' *■ '
1 Это свойство пропорций легко доказывается. Действительно, пусть имеются две
пропорции jHj, равные между собой, т.е. -g = -^. Равенство этих пропорций
равносильно равенству ad = bc, а прибавляя к обеим его частям ab,— равенству
ab + ad = ab + bc, или a(b + d) = b(a + c). Разделив обе части последнего на b{b + d),
получаем окончательно, что -g = ~^rj = ~j •
23

Учитывая соотношение (1), из последнего равенства
находим, что у = -1, откуда а = -Ь, и, следовательно,
а + Ъ = 0,
т. е. сумма оснований трапеции равна нулю.
34. Две окружности разного радиуса
имеют одну и ту же длину
Возьмем два колеса с радиусами йиг, где R>r, и
представим себе, что они насажены на общую ось. Будем катить
колесо радиуса R без скольжения по прямой DE (рис. 7).
Когда точка А на окружности этого колеса, находившаяся
в начальный момент на прямой DE, совершит полный
оборот и снова окажется на прямой DE, совпав с точкой At,
то путь CClf пройденный за это время центром окружности
С, будет равен отрезку ААи который равен, в свою очередь,
длине окружности колеса 2nR.
Если меньшее колесо насажено на общую ось с первым и
наглухо с ним закреплено, то оба колеса совершат один
полный оборот одновременно. Но можно считать, что, в то
время как первое колесо катится по прямой DE, второе колесо
катится по прямой FG.
Совершив один полный оборот, второе колесо пройдет путь
ВВ1, равный длине своей окружности, т. е. 2%г. Но ВВ^ССу,
а потому
2nr = 2nR,
т. е. длины двух окружностей разных радиусов оказываются
равными!
D А Ах Е
Рис. 7
24

35. Прямой угол равен тупому
Построим четырехугольник ABCD (рис. 8), у которого угол
DAB прямой, а стороны AD и ВС равны. Очевидно, что угол
ABC тупой.
Из середин сторон АВ и DC восстановим перпендикуляры,
которые пересекутся в некоторой точке S. Соединим эту
точку S со всеми вершинами четырехугольника ABCD.
Рассмотрим образовавшиеся треугольники ASD и BSC. У них
стороны AS и BS равны (как наклонные, соответствующие
равным проекциям). По той же причине равны и стороны DS
и CS. Стороны AD и ВС равны по построению.
Следовательно, треугольники ASD и BSC равны по трем сторонам.
Поскольку в равных треугольниках соответствующие углы
тоже равны, то угол SAD равен углу SBC, т. е.
ASAD = /LSBC. (1)
Но углы SAB и SBA равны как углы равнобедренного
треугольника ASB при его основании АВ, т. е.
ASAB = ASBA. (2)
Вычитая равенство (2) из равенства (1), получим, что
ASAD - Z.SAB = ASBC - ASBA.
Поскольку ASAD-ASAB = ADAB, a /LSBC-/SBA = Z.ABC,
получим, что
/J)AB = AABC, *?
т. е. прямой угол равен тупому.
36. Часть отрезка равна всему отрезку
Пусть в треугольнике ABC с неравными между собой
сторонами угол при вершине А наибольший (рис. 9). Проведем из
Рис. 8 Рис. 9
25

вершины А прямую AD так, чтобы угол BAD был равен
углу ВСА. Из вершины А опустим также перпендикуляр АЕ на
сторону ВС.
Треугольники ВАС и BAD подобны, потому что у них два
равных угла, а именно: угол при вершине В общий, а углы
BAD и ВСА равны по построению. Для подобных
треугольников справедливо известное равенство
&АВАС _ АС2
SbBAD AD*'
С другой стороны, из равенств
S^bac=\bC'AE, SABAD=~BD-AE следует, что
SA„„„_ BD '
(1)
(2)
Из равенств (1) и (2) следует, что ~atj2=^bd> откуда
АС2 =АВ2
ВС BD '
(3)
Из ААВС и AABD по теореме косинусов с учетом того, что
АВ cos Z-ABC=BE, можно записать равенства:
АС2 =АВ2 + ВС2 - 2ВС -BE, AD2 =AB2 + BD2 - 2BD -BE.
Подставив полученные выражения в равенство (3), получим
АВ2 + В С2 - 2ВС ■ BE _ АВ2 + BD2 - 2BD ■ BE
ВС BD
ИЛИ
а после переноса ВС вправо, a BD влево и приведения обеих
частей равенства к общему знаменателю придем к
следующему равенству:
АВ2 -ВС -BD = AB2-BC -BD ,.,
ВС BD ' W
Так как числители этого равенства равны, то должны быть
равны и знаменатели, т. е.
BC = BD, ?
что и доказывает равенство части отрезка (BD) всему отрезку
(ВС).
37. Все треугольники равносторонние
В произвольном треугольнике АВС с углами а, р, у (рис. 10)
продолжим стороны АВ = с и АС = Ъ на отрезки Ъ и с
соответственно. Угол а является внешним по отношению к
каждому из полученных равнобедренных треугольников ACD
26

и ABE, поэтому AACD + £ADC = a,
а ввиду равенства углов ACD
и ADC каждый из них равен -у.
По той же причине углы ABE
и АЕВ равны между собой и также
же составляют -$. Теперь рассмотрим
треугольник BCD. Его стороны
ВС = а и BD = b + c лежат против
углов: /LCDB=^ и ABCD=y+^,
а потому по теореме синусов имеем
/ . а\ Ь + с -а ,1\
sin(y+Yj=—smT. (1)
Подобным же образом из треугольника ВЕС получаем
Sin(P+f)=^sinf. (2)
Сопоставление равенств (1) и (2) дает равенство
sin(y+f)=sin(p+f), (3)
которое приводит к заключению, что
Y+i-P+f. (4)
или после уничтожения равных членов слева и справа к
равенству
P-Y- (5)
Повторяя предыдущие рассуждения и продолжив при этом
не стороны АВ и АС, а стороны ВА и ВС, приходим к
выводу, что
а = у. (6)
Равенства (5) и (6) доказывают, что у произвольного
треугольника все три угла равны, а следовательно,
произвольный треугольник является равносторонним и
а = Ь = с. т
38. Площадь прямоугольника равна нулю
Через точку М окружности радиуса г (рис. 11) проведем
ММ1±АА1, MQ±BBU MlQ1LBBl, где АА1 и BBt — взаимно
перпендикулярные диаметры тригонометрического круга.
В результате получим прямоугольник MQQ1M1. Положим
угол между ОМ и ААХ равным а. Вычислим площадь S
полученного прямоугольника.
Основание прямоугольника QxMl равно отрезку ОР, который,
очевидно, равен г cos а. Высота МХМ прямоугольника пред-
27

Рис. 11
Вг
Рис. 12
ставляет собой сумму двух отрезков РМ и PMt. Первый из
этих отрезков равен rsina, второй равен rsin(-a) = -rsina.
Поскольку
М\М = РМ + РМХ = г sin a + (-г sin a) = г (sin a -sin a) = 0, (1)
то площадь прямоугольника равна S = OP ■ M1M = rcosa-0 = 0,
т. е. ^
S = 0.
39. Все хорды одной и той же окружности равны
Возьмем две произвольные неравные хорды одной
произвольной окружности и проведем соответственно равные им и
параллельные между собой хорды АВ и CD (рис. 12). Пусть
S — точка пересечения продолжений отрезков АС и BD.
Поскольку треугольники SAB и SCD подобны (по двум углам),
АВ AS
то имеет место пропорция ~cl)"=~scr> откУДа
AB-SC = CD-AS.
(1)
Умножая почленно последнее равенство на отличную от
нуля величину CD-AB, получим
AB-SC-CD -АВ2 ■ SC =AS -CD2-AB -AS • CD,
или
AB-SC-CD-AS- CD2 =AB2 -SC-AB-AS-CD,
а после вынесения общего множителя в левой и правой
частях получим
CD (AB-SC-AS- CD) =AB(AB-SC-AS-CD). (2)
Сокращая последнее равенство на общий множитель,
получим окончательное равенство
CD=AB, (3)
т. е.
произвольные хорды одной окружности равны. •
28

► Глава
I
Все ли утверждения математики
верны
1. Четное число равно нечетному
Возьмем произвольное четное число 2га, где га — любое целое
число, и запишем тождество
(2п)2 - 2га (2 (2га) + 1) = (2га + I)2 - (2га + 1) (2 (2п) + 1),
в справедливости которого нетрудно убедиться, раскрыв скобки.
(2(2п)+1)\2
2—-\ ,
перепишем его в следующем виде:
(2га)2 - 2 (2га) • *®*±±- + pftl) )2=
= (2ra+l)2-2(2ra + l).^f^- + (-^f^)2,
или в таком:
(2п-^±^)2=(2п + 1-^Ц^)2, (1)
откуда следует, что
2n_^2|±L = 2n + 1_^(2|±lj (2)
ИЛИ
2п = 2п + 1,
что означает равенство четного числа нечетному.
2. Число не изменится, если в нем
переставить любые цифры
Очевидно, что всякое число, у которого сумма составляющих
его цифр равна нулю, само обязательно равно нулю, так как все
его цифры — нули.
Возьмем два произвольных четырехзначных числа с равной
суммой цифр: F = abcd и F1 = alb1cld1, где a, b,c,d и ait bu du
сх — цифры чисел F и Ft соответственно. Запишем числа F
и F, в виде
F= 1000a + 1006 + 10с + d,
Ft = lOOOaj + lOObj + 10ct + а\.
Первое число имеет сумму цифр S^a + b + c + d, второе —
сумму цифр S1 = al + b1 + c1 + d1.
29

Рассмотрим разность чисел F и F,:
F-F1 = 1000(a-al) +100(6-^)+10 (с-cj + id-dj. (1)
Сумма цифр числа F-F, равна (a-a1) + (b-b1) + (c-c1) +
+ (d-dl) = a-al + b-b1+c-cl+d-d1=(a+b+c+d)-(a1+bl+c1+dl)=
= S-Si. Отсюда следует, что если числа F и Ft имеют
одинаковые суммы цифр, т. е. если S = SU то сумма цифр числа
F-Fi равна нулю. Следовательно, при S==S1 имеем
F = F1. ?
Отметим, что числа F и Fy могут быть составлены из
одинаковых цифр и отличаться друг от друга только порядком
этих цифр. Следовательно, такие числа равны. В частности,
2001 = 1002.
Доказательство, проведенное для четырехзначных чисел,
очевидно, может быть распространено на любые
многозначные числа.
3. Сумма изменяется от перемены мест слагаемых
Возьмем два положительных числа л:>0 и j/>0. Согласно
свойству логарифмов, логарифм произведения равен сумме
логарифмов множителей, т. е.
loga xy = loga х + loga у, (1)
где a — основание логарифмов. По тому же свойству
логарифмов
loga-^ = loga^-^ = log0vfe+loga^. (2)
Сложив почленно равенства (1) и (2), получим
loga xy + loga -^=(loga х + loga ^=) + (log,У + loga -щ). (3)
Из последнего равенства следуют неравенства
logax + loga^=<logaxz/ + log0^-, (4)
Jxy
1
Jxy
logay + \ogalj=<\ogaxy + \oga^. (5)
Поскольку
loga xy +loga ■—=loga xy + loga (xy)'1 = loga Щ - loga xy = 0, (6)
то имеют место следующие неравенства, вытекающие из
неравенств (4) и (5):
loga* + loga^=<0 и logai/ + logfl^=<0, (7)
30

откуда, очевидно, следует, что
loga*<-loga -щ и logai/<-loga^=, (8)
или
logax<logaVxy и logai/<loga \Гху. (9)
Далее можем записать равенства
loga \fxy = loga (xy) ^ = y loga xy = \ loga x + \ loga y,
которые позволяют привести неравенства (9) к следующему
виду:
logax<-|-logax + -|-logai/ и \ogay<\ \ogax + \\ogay. (10)
Вычтем из обеих частей первого неравенства в (10) -g-logaX,
а из обеих частей второго неравенства в (10) ylogai/. В
результате имеем
ylogax<-|-log0y и \\ogay<\\ogax,
или, избавившись от множителя -у, получим logaje<logai/ и
^ogay<logax, откуда следуют неравенства
х<у и у<х, (11)
почленное сложение которых приводит к неравенству
х + у<у + х, ?
т. е. переместительный закон сложения не верен.
4. Произведение изменяет свою величину
при перемене мест множителей
Обратившись к предыдущему софизму, перемножим
почленно неравенства (11). В результате получим новое неравенство
ху<ух, V
т. е. переместительный закон умножения не имеет места.
5. Логарифм отрицательного числа
существует
Если логарифм отрицательного числа log0(-A) не существует,
то не существует и 21oga(-A).
Однако на основании свойства логарифмов, в силу которого
ralog0A=logaA", (1)
31

при п = 2 имеем
21oga(-A) = loga(-A)2, (2)
а так как
logo(-A)2=loga(+A)2,
где существование loga (+A)2 не вызывает сомнения, то мы
должны заключить, что и loga (-А)2, которому он равен,
также должен существовать.
Далее, в равенстве loga (-A)2 = 2 loga (-А) левая часть есть
выражение loga(-A)2, которое существует (см. выше),
следовательно, существует и правая часть, а именно логарифм loga (-A).
Таким образом,
логарифм отрицательного числа loga(—A) ^
существует •
точно так же, как и логарифм положительного числа.
6. Корень квадратный из отрицательного числа
существует
Пусть а — произвольное положительное число, и положим
х = -а. Тогда дс4 = (-а)4 = а4, а так как a4 = (-a)2(-a)2, то
x4 = (-a)2(-a)2.
Извлекая из обеих частей последнего равенства корень 4-й
степени, получаем
* = \/(-a)2(-a)2. (1)
Но корень из произведения двух множителей равен
произведению корней из этих множителей, т. е.
х = \/(-а)2%(-а)2,
что, в свою очередь, может быть представлено в виде
x = VV(-a)2-W(-a)2.
Последнее равенство можно записать так:
х = V VCa)2 • V(-a)t=Va^. (2)
Возвращаясь к исходному условию х — -а, получаем, что ~а =
=rVaV-a, а разделив обе части равенства на Va, получим
•
т. е. корень квадратный из отрицательного числа (-а)
существует и равен минус корню квадратному из числа а.
32

7. Отношение длины окружности
к ее диаметру не равно числу тс
Построим на отрезке длиной 2г как на диаметре
полуокружность. Разобьем диаметр на п равных частей и на каждом
полученном отрезке построим как на диаметре новые
маленькие полуокружности, располагая их поочередно по одну и по
другую стороны диаметра, как показано на рисунке 13. В
результате получим зигзагообразную линию вокруг диаметра
исходной полуокружности.
При неограниченном увеличении
числа п эта зигзагообразная линия
будет все меньше и меньше
отличаться от отрезка и в пределе при
п-*оо совпадет с ним. Обозначив
длину кривой, составленной из п
равных полуокружностей, через
Ln, можно записать, что
Рис. 13
limL„=2r. (1)
П-*оо
С другой стороны, длина каждой маленькой полуокружности,
построенной на диаметре — и имеющей радиус —, равна
(2л'1г):2==1Г' а потомУ Ln= ^'п = кг-
Таким образом, полная длина кривой равна длине исходной
полуокружности, причем этой же длине равен и предел
длины кривой, т. е.
lim Ln= кг. (2)
Сопоставляя равенства (1) и (2), приходим к выводу, что
пг=2г, откуда л = 2.
Следовательно, мы получили, что длина произвольной
полуокружности равна длине своего диаметра, а число к,
выражающее
отношение длины всякой окружности ^
к своему диаметру, равно двум. •
8. Произвольное число в нулевой степени
не равно единице
Возьмем произвольное число а^О. Учитывая, что логарифм
числа 1 по любому основанию а равен нулю, т. е. logal = 0,
получим
logal = loga(-l)2 = 21oga(-l) = 0. (1)
Таким образом, loga(-l) = 0. Тогда по определению
логарифма как показателя степени, в которую нужно возвести осно-
33

вание логарифма, чтобы получить логарифмируемое число,
справедливо равенство
а° = -1, ?
а не а° = 1, как того требуют правила алгебры.
9. Всякое положительное число является
отрицательным
Пусть п — положительное число. Очевидно,
2п-1<2п. (1)
Возьмем другое произвольное положительное число а и
умножим обе части неравенства на (-а):
-2ап + а<-2ап. (2)
Вычитая из обеих частей этого неравенства величину (-2ап),
получим неравенство а<0, доказывающее, что
всякое положительное число
?
является отрицательным. •
10. Формула суммы членов
геометрической прогрессии не верна
Рассмотрим бесконечный ряд
1-1 + 1-1 + 1-1 + ... (1)
и попытаемся найти его сумму S.
Очевидно, что этот ряд можно рассматривать как
геометрическую прогрессию с первым членом аг=1 и знаменателем
прогрессии <jr = -l. То, что это так, легко убедиться
непосредственно, последовательно умножая первый член ах на
знаменатель q.
Сумма S бесконечного числа членов геометрической
прогрессии вычисляется по известной формуле
S-T^-. (2)
и при а1 = 1 и <7 = -1 эта сумма S=-jr.
В то же время мы можем найти значение суммы (1),
предварительно заключив в скобки каждую пару слагаемых,
состоящую из одного положительного и одного отрицательного
слагаемого, т. е.
S = (l-1)-(1-1)-(1-1) + ...,
что, естественно, приводит к значению суммы S, равному
S = 0-0-0-... = 0.
34

Итак, значения суммы, вычисленной по формуле
геометрической прогрессии (равное -у) и с помощью процедуры,
описанной выше (равное 0), приводят совершенно к разным
результатам. Следовательно,
формула суммы членов бесконечной *^
геометрической прогрессии не верна. •
11. Сумма слагаемых изменяется
от перегруппировки слагаемых
Рассмотрим сумму бесконечного числа слагаемых,
поочередно равных плюс единице и минус единице, т. е.
S = l-1 + 1-1 + 1-1 + ..., (1)
и попробуем найти значение этой суммы S.
Сначала поступим следующим образом. Будем объединять
слагаемые в пары, начиная со второго слагаемого, ставя
перед каждой парой знак «минус», т. е.
S = l-(l-l)-(l-l)-... = l-0-0-... = l.
Теперь переставим каждое положительное слагаемое той же
суммы (1) на место отрицательного и обратно, тогда
S = -l + l-l + l-l + l-...=
= -1 + (1-1) + (1-1)+...=
= -1 + 0 + 0 + ... = -1.
Итак, по-разному переставляя слагаемые суммы (1), мы
пришли к различным значениям этой суммы: 1 и -1. Значит,
сочетательное и переместительное свойства ^
алгебраической суммы не имеют места. •
12. Единица в бесконечно большой степени
равна произвольному числу
Как известно, единица, возведенная в любую степень, в том
числе и в нулевую, равна единице, т. е. 1° = 1, где а —
любое число. Посмотрим, однако, всегда ли это так.
Пусть х — произвольное число. Простым умножением легко
убедиться, что выражение
(х-1)(х2-5х + 6) = (х-2)(х2-4:Х + 3) (1)
является тождеством при любых х. Тогда справедливо и
тождество, которое следует из (1), а именно
х-1 *2-4* + 3
х-2 х2-5х + 6
(2)
35

Для произвольного положительного числа а существует Va.
Из равенства (2) вытекает равенство
(Va)*"2 = (Va)*2"5*+6,
или, что то же самое,
х-1
(Va) *~2 = ((\/аУ-4*+3) *!"5*+6. (3)
Полагая в тождестве (3) х = 3, получаем
(V^)2 = ((V^)°)°, (4)
а принимая во внимание, что (Va)° = l, -q=°°, получим, что
Итак, степень единицы, даже когда показатель степени
равен бесконечности, равен произвольному числу, но отнюдь не
единице, как того требуют правила алгебры.
13. Натуральный логарифм числа 2
не меняется от умножения его на 2
Натуральный логарифм двух (In 2) может быть представлен
в виде следующего сходящегося бесконечного ряда1:
ina-i-i+i-i+i-.... a)
Умножив обе части этого равенства на 2, получим
21n2 = 2-l+J--!+-f--!+-f--..., (2)
а произведя сложение и вычитание дробей с одинаковыми
знаменателями, придем к равенству
21n2 = l-f-+T-T+l-- • (»)
Правые части равенств (1) и (3) полностью почленно
совпадают, следовательно,
1п2 = 21п2. *?
1 Множество интересных числовых и функциональных рядов можно найти,
например: Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по
математике.— 3-е изд.— М.: Гос. изд-во техн. теоретич. лит-ры, 1953. Фихтен-
гольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 1, 2.—
М.: Наука, 1969.
36

14. Сумма любых двух одинаковых чисел
равна нулю
Возьмем произвольное не равное нулю число а и напишем
уравнение х = а. Умножая обе его части на (~4а), получим
-4ах = -4а2. Прибавляя к обеим частям последнего
равенства х2 и перенеся член -4а2 влево с противоположным
знаком, получим х2-4алг + 4а2 = х2, откуда, замечая, что слева
стоит полный квадрат, имеем
(х-2а)* = х2, (1)
или
х-2а = х. (2)
Заменяя в последнем равенстве х на равное ему число а,
получим а-2а = а, или -а = а, откуда
О = а + а, г
т. е. сумма двух произвольных одинаковых чисел а равна 0.
15. Все нечетные числа равны единице,
а все четные — нулю
Так как любое число, возведенное в четную степень,
положительно, то справедливо равенство (-1)2" = 1.
Логарифмируя это равенство, получаем 2nlg(-l) = lgl = 0.
Отсюда следует, что либо 2п = 0, либо lg(-l) = 0.
С другой стороны, справедливо равенство (-1)2л+1 = -1,
логарифмируя которое получаем (2n + l)lg(-l) = lg(-l), откуда
2п + 1 = 1 и 2п = 0.
Таким образом, все нечетные числа равны единице, а все
четные — нулю.
16. Число е равно бесконечности .
Если взять произвольное число о>1, то очевидно, что степени
этого числа возрастают, т. е. а2>а, as>az, а*>а3 и т. д.
Значит, последовательность а, а2, а3, ..., а", ... является
возрастающей и потому при я—>оо стремится к оо, т. е. lima" = oo.
Рассмотрим теперь известный замечательный предел
e = lim(l+-f)n
сь на предыду
эле равен не чн
Действительно, поскольку (1+—)>1, то, доказав, что
и покажем, основываясь на предыдущем рассуждении, что
этот предел на самом деле равен не числу е, а бесконечности.
37

Ч)">(1+ЛГ'. <ч
мы тем самым докажем, что последовательность, общий член
которой равен 11+—) , является возрастающей и поэтому
п ,
стремится к оо при л—»оо.
Воспользуемся известным неравенством1
(1 + х)">1 + пх.
Положив в нем х = -—г, а это можно сделать, так как на
переменную х не накладывается никаких ограничений,
запишем, что fl--^2"j >1——, или так как
(i-*Hi-i)(i+i))4-i)Vi)".
(1-ш»±г>1-ь
то и
а разделив обе части последнего неравенства на (1 - —) ,
получим
1-i
п
л-1
i)
(l+ir>^-(ifrp-fcbr,-(1^
Таким образом справедливость неравенства (1) доказана.
Отсюда вытекает, что последовательность с общим членом
fl+—) является возрастающей и, следовательно, стремится
к оо при га->оо, т. е.
число е равно бесконечности. У
17. sin (тх) = т sin x
simc
Воспользуемся известным пределом lim—— = 1 и найдем пре-
делы функций ™^ и -™^- при х->0.
1 Это неравенство легко доказывается, если разложить (1+х)" по формуле
бинома Ньютона:
(1+ *)"=!+ п*+ "У х2+ "("-Ж""2) х3 + ... + пх»-1+х\ (*)
Отбросив все члены в правой части, начиная с третьего, мы тем самым
уменьшим всю сумму. В результате левая часть (*) станет больше правой, и
мы приходим к нашему неравенству (1+х)">1 + пдс.
38

Имеем lira sin mx = m lim sm mx = m lim -^
x—0 X зс_о m* у-«0 У
i • sin x
— mixta. —m, откуда
*->0 x
sin mx = m sin x.
= m,
lim msmx
18. График функции синус совпадает с осью Ох
Функция sinx равна нулю при ;с = 0, а также во всех точках
х = 2пп, где п — целое число. Площадь фигуры,
ограниченной частью синусоиды и отрезком [0; 2пп] оси Ох,
определяется с помощью интеграла
2-кп
sinordo: = -cosxL =-1 + 1=0.
10
о
Итак, площадь фигуры, ограниченной синусоидой и осью Ох,
равна нулю. Но площадь фигуры между некоторой кривой и
осью х может равняться нулю только в том случае, если эта
кривая совпадает с осью Ох. Следовательно,
график функции синус совпадает с осью Оде.
19. sin2jc + cos2jc=0
Докажем, что известное тригонометрическое тождество
sin2 х + cos2 x = 1
неверно и что на самом деле sin2j: + cos2x = 0.
Действительно, дифференцируя функцию sin2x, получим
равенство
(sin2 х)' = 2 sin х cos x,
интегрируя которое, получим
J sin х cos xdx = y sin2 х • (1)
Дифференцируя теперь функцию cos2x, получим равенство
(cos2 x)' = 2 sin x cos x,
которое после интегрирования примет вид
J sin x cos x dx = - у cos2 x. (2)
Вычитая почленно (1) и (2), получаем требуемое тождество
sin2 х + cos2 x = 0. г
39

20. cos2 x = 1 при любом х
Найдем первую и вторую производные функции y = ctgx:
У
sm'jc
.,» 2sinxcosjc 2cosjc г» _а„ „ 1 о »
У = Bin** =^ir?F=2cte^lh^ = -2yf/-
Из последнего равенства получаем дифференциальное
уравнение у" = -2уу', или
J/" = -(j/2)', (1)
которое после интегрирования примет вид
У' = ~У2. (2)
Так как у'= —. 2 , a j/2 = ctg2x, то равенство (2) приводит к
равенству ^^7 = ctg2х, откуда с учетом того, что ctg*--^^,
получаем, что
С082Ж = 1. Г
21. В прямоугольном треугольнике
сумма катетов равна гипотенузе
Возьмем произвольный прямоугольный треугольник ABC
и разделим его гипотенузу ВС на га равных частей, где га —
некоторое натуральное число, а затем через каждую точку
деления проведем пару прямолинейных отрезков: один
параллельно катету АВ, другой параллельно катету АС.
Продолжив эти отрезки до их взаимного пересечения вне
треугольника, получим ступенчатую ломаную, изображенную на
рисунке 14. Сумма Sn всех звеньев этой ломаной от точки В
до точки С равна сумме катетов АВ+АС, так как сумма всех
проведенных отрезков, параллельных одному из катетов,
равна этому катету.
Будем теперь неограниченно увеличивать число га, придавая
ему последовательно значения 2, 4, 8, 16, ... и т. д. Число
звеньев (оно равно 2га) в ступенчатой линии ВС будет при
этом неограниченно возрастать, но длина каждого звена
будет стремиться к нулю, и ступенчатая линия будет все
меньше и меньше отличаться от прямой ВС. В пределе га—>оо
ступенчатая линия сольется с гипотенузой ВС, а потому
lim Sn = BC. (1)
П—*00
Но, как мы видели выше, для любого натурального числа п
справедливо равенство Sn=АВ+АС. Следовательно, и limS„
равен той же сумме:
UmSn=АВ+АС. (2)
40

Рис. 14 Рис. 15
Сопоставление равенств (1) и (2) приводит к заключению, что
•
Другими словами, сумма катетов произвольного
прямоугольного треугольника равна его гипотенузе, что противоречит
известной теореме, согласно которой любая из сторон
треугольника меньше суммы двух других его сторон.
22. Окружность имеет два центра
Построим произвольный угол ABC и, взяв на его сторонах
две произвольные точки D и Е, восстановим из них
перпендикуляры к сторонам угла (рис. 15). Перпендикуляры эти
должны пересечься (если бы они были параллельны,
параллельны были бы и стороны АВ и СВ). Обозначим их точку
пересечения буквой F.
Через три точки D, E, F проводим окружность, что всегда
возможно, так как эти три точки не лежат на одной прямой.
Соединив точки Н и G (точки пересечения сторон угла ABC
с окружностью) с точкой F, получим два вписанных в
окружность прямых угла GDF и HEF.
Итак, мы получили две хорды GF и HF, на которые
опираются вписанные в окружность прямые углы GDF и HEF.
Но в окружности вписанный прямой угол всегда опирается
на ее диаметр, следовательно, хорды GF и HF представляют
собой два диаметра, имеющие общую точку F, лежащую на
окружности.
Поскольку эти две хорды, являющиеся, как мы установили,
диаметрами, не совпадают, то, следовательно, точки О и Ои
делящие отрезки GF и HF пополам, представляют собой не
что иное, как
два центра одной окружности.
41

23. Из точки на прямую можно
опустить два перпендикуляра
Возьмем произвольный треугольник ABC и на его сторонах
АВ и ВС как на диаметрах опишем окружности I и II (рис. 16).
Точки D и Е пересечения этих окружностей со стороной АС
соединим с точкой В. Угол ВЕА, будучи вписанным в
окружность I и опирающийся на диаметр, есть прямой, а потому
ВЕА-АС. Угол BDC, как вписанный в окружность II и
опирающийся на ее диаметр, тоже прямой, и следовательно,
BDA.AC. Таким образом,
из точки В на прямую АС *?
опущены два перпендикуляра. •
24. Через любые две точки можно
провести две прямые
Возьмем произвольный треугольник ABC (рис. 17) и на
сторонах АВ и АС как на диаметрах построим по окружности.
Пересекаясь в точке А, эти две окружности пересекутся еще
в одной точке; обозначим ее буквой D. Угол ADB, как
вписанный в окружность и опирающийся на ее диаметр АВ, есть
прямой. По той же причине угол ADC, опирающийся на ди-
Рис. 17 Рис. 18

аметр АС, тоже прямой. Прямые углы ADB и ADC, имеющие
общую вершину D, общую сторону AD и составляющие
в сумме 180°, имеют и две другие стороны BD и DC,
которые, следовательно, лежат на одной прямой. Таким образом,
линия BDC не ломаная, как показано на рисунке, а прямая.
Итак,
через две точки В и С проходят две прямые. г
25. Касательная к окружности имеет с ней
две общие точки
Построим (рис. 18) равнобедренный прямоугольный
треугольник ABC и на его катетах АС и ВС как на диаметрах
построим две полуокружности, которые пересекут прямую
АВ в точках D и Е.
Поскольку углы ADC и ВЕС опираются на диаметры, то
каждый из них равен 90°. Следовательно, CD и СЕ
перпендикулярны к АВ и треугольники ADC и СЕВ прямоугольные.
С другой стороны, прямоугольные треугольники ADC и СЕВ
равны, так как равны их гипотенузы АС и СВ (по условию)
и прилегающие к ним углы CAD и СВЕ (по условию).
Отсюда следует, что CD = CE. Из точки С как из центра опишем
окружность радиусом CD = CE.
Прямая АВ проходит через конец радиуса CD и перпендику-
лярйа ему, т. е. D — точка касания АВ и окружности.
Аналогично можно сказать, что Е — точка касания АВ и той же
окружности. Таким образом, доказано, что
касательная к окружности "^
имеет с ней две общие точки. •
26. Из точки на прямой можно
восстановить к ней два перпендикуляра
Рассмотрим на рисунке 19 прямые
AG и HP, пересекающиеся в точке
D. Восстановим из точки D
перпендикуляр CD к прямой AG.
Опишем из точки О на прямой
HP полуокружность радиусом,
равным OD. Из второй точки
пересечения Е полуокружности
и прямой HP проведем прямую
EF (F — точка пересечения этой
прямой и окружности),
параллельную прямой CD, и соединим
точку F с точкой D. Тогда угол
EFD, как вписанный в окруж-
С
D
А /
Н
о/
Е
F
Р
/ В
G
Рис. 19
43

ность и опирающийся на ее диаметр, равен 90°, и потому EF
перпендикулярна DB.
В то же время по построению EF параллельна CD, поэтому
CD, в свою очередь, перпендикулярна DB. По условию же
CD перпендикулярна DG. Следовательно, CD одновременно
перпендикулярна и DB, и DG. Таким образом, мы имеем
два перпендикуляра DB и DG, ^
восстановленные к одной прямой CD. •
27. Через одну точку можно провести
две прямые, параллельные третьей
Проведем прямую EF и параллельную ей прямую CD (рис. 20).
Проведем к этим прямым секущую GH, на которой как на
диаметре построим полуокружность с центром в точке О.
Восстановим из точки Н перпендикуляр к прямой EF и
продолжим его до пересечения с окружностью в точке К.
Соединим точку К с точкой G. Очевидно, что угол GKH равен 90°
как угол, вписанный в окружность и опирающийся на ее
диаметр. Угол KHF также равен 90° (по построению),
следовательно, прямая EF параллельна прямой KG, т. е. прямой АВ.
Но по условию прямая CD также параллельна прямой EF.
Таким образом,
через точку G проходят две прямые АВ и CD, ^
параллельные прямой EF. •
28. Софизм Прокла: Две непараллельные
на плоскости прямые не пересекаются
Этот софизм принадлежит древнегреческому математику
и философу Проклу (около 410—485 гг.), жившему в Афинах.
Возьмем на плоскости две непараллельные прямые а и Ъ
и пересечем их третьей прямой с, образующей с прямыми а
и Ъ равные острые углы, расположенные по одну сторону от
прямой с (рис. 21). Прямая с пересекает прямые а и Ъ в
точках А и В соответственно.
Отложим на прямых а и Ъ соответственно отрезки АС и BD,
ли
равные ~2~. Точки С и D не могут совпадать, так как если
бы это было так, то в образовавшемся треугольнике сумма
двух его сторон (равная -.рН—2~) была бы равна третьей
стороне АВ, а мы знаем, что в любом треугольнике сумма двух
его сторон должна быть больше третьей его стороны. Точно
так же отрезки АС и BD не могут пересекаться в некоторой
общей точке S, так как в противном случае в
образовавшемся треугольнике SAB сумма двух его сторон была бы мень-
44

Рис. 21 Рис. 22
ше его третьей стороны. Соединив точки СиВ, получим
равнобочную трапецию.
Взяв теперь прямую CD за основу, повторим предыдущие
построения, т. е. отложим от точек СиВ равные отрезки -»-,
в результате получим точки Е и F. Рассуждая аналогично
предыдущему, получим равнобочную трапецию CDFE.
Причем опять точки Е и F не могут совпадать, а отрезки СЕ
и DF не могут пересекаться. Беря теперь за основу прямую
EF, повторим наши построения и рассуждения.
Повторяя наши рассуждения снова и снова, мы так и не
сможем получить точки пересечения прямых а и Ь. Следовательно,
прямые а и & не пересекаются.
29. Все треугольники прямоугольные
Рассмотрим произвольный треугольник ABC со сторонами
АС = Ь, ВС^а, АВ = с, высотой CD = h и проекциями сторон
АС и СВ на сторону АВ, равными р и q соответственно (рис. 22).
Углы при вершинах А, В и С обозначим соответственно а, (3 и у.
Согласно известной тригонометрической формуле, имеем
sin(a + P) = sinacosP+cosasin(3. (1)
45

Выражая в равенстве (1) тригонометрические функции углов
через отношения соответствующих сторон треугольника,
а также применяя теорему синусов, согласно которой
а _ ь _ с —от?
sin ot sinP sin у '
где R — радиус описанной около треугольника ABC
окружности, и учитывая, что p + q = c, получим
sin(a + p)-y-- + -r- = ^ = -2/j8inaginp. (2)
Кроме того, так как sina=y и b = 2Rsinfi, то ft = 2i?sinasinp.
Подставляя последнее равенство в (2), получим
sin(a + P) = siny, (3)
откуда
а + Р = у. (4)
Так как в любом треугольнике а + р + у=я, то получаем
окончательно, что У=~2 и а + Р = -2".
Таким образом, доказано, что
все треугольники прямоугольные. г
30. Все треугольники равносторонние
Построим произвольный треугольник ABC (см., например,
рис. 22). Площадь треугольника ABC, как известно, равна
S = -2-bcsina и S = -g-ac sin р.
Умножив обе части первого из этих равенств на 2Ra, а
второго на 2Kb, получим 4RaS = 2Rabc sin a и 4RbS = 2Rabc sin P,
где R — радиус окружности, описанной около треугольника
ABC. Отсюда получаем 4RaS -2Rabc sin a = 4RbS-2Rabc sin p.
Так как по теореме синусов 2i?sina = a, 2jRsinP = b, то
4RaS-a2bc=4RbS-ab2c,
или
a(4RS-abc) = b(4RS-abc). (1)
Так как в последнем равенстве скобки слева и справа равны,
то должно выполняться также равенство
а = 6. (2)
Аналогично доказывается, что а = с.
Таким образом, доказано, что в произвольном треугольнике
все его стороны равны, и потому
П
произвольный треугольник равносторонний. г
46

► Глава
Неравенстве одинаковых величин
1. Один нуль не равен другому нулю
Возьмем числа а, Ь, с, d, х, у, т и п, такие, что имеют
место равенства
а = Ъ, c = d, x = y (1)
и неравенство
т<п. (2)
Складывая почленно два первых равенства в (1), получаем
a + c = b + d, а вычитая из обеих частей последнего
равенства величину c+d, получим
a-b = d-c. (3)
Разделив теперь почленно третье равенство в (1) на
равенство (3), получим
х _ У
а-Ь d-c
(4)
и, прибавив почленно последнее равенство к неравенству
(2), получим
х +т<^— + п.
а-о а—с
Далее, умножив обе части этого неравенства на (a-b)(d-c),
получим неравенство
x(d - с) + т(а - b) (d - с) < у (а - Ь) + п (а - b) (d - с). (5)
В силу исходных равенств а = Ъ и c = d имеем а-Ь = 0 и
d-c = 0, тогда и левая, и правая части неравенства (5), как
это нетрудно заметить, обращаются в нуль, откуда следует,
что
0<0.
•
2. Две равные величины не равны между собой
Заметим прежде, что положительная величина больше
отрицательной.
Значение функции sin x для аргумента х,
удовлетворяющего неравенству 0<х<%, является положительной
величиной, в то время как значение функции sin (п + х)
отрицательно; точно так же значение cos х для 0 < д: < -§" является
положительным, а значение cos (к + х) — отрицательным.
47

Поэтому можно записать следующие неравенства:
sin *>sin (к + х) и cos x>cos (п + х). (1)
Очевидно, что произведение тем больше, чем больше его
множители, поэтому, перемножив почленно оба
неравенства, получим
sin х cos je>sin (n + x) cos (n + x), (2)
а умножив обе части последнего неравенства на 2, получим
2 sin х cos x>2 sin (n + x) cos (n + x). (3)
Заметим, что левая часть неравенства (3) равна sin 2x, а правая
равна sin 2 (п + х). Поэтому неравенство (3) запишется в виде
sin 2x>sin 2 (п + х), но так как sin 2 (я + х) = sin (2л + 2л:) =
= sin 2x, то из последнего неравенства заключаем, что
sin 2x > sin 2x. r
3. Число, равное другому числу,
одновременно и больше, и меньше его
Возьмем два произвольных положительных равных числа а
иди напишем для них следующие очевидные неравенства:
а>-Ъ и Ь>-Ь. (1)
Перемножив оба эти неравенства почленно, получим
неравенство аЪ>Ъ2, а после его деления на Ъ, что вполне
законно, так как по условию &>0, придем к выводу, что
а>Ъ. (2)
Записав же два других столь же бесспорных неравенства
Ь>-а и а>-а, (3)
аналогично предыдущему получим, что Ьа>а2, а разделив
на а>0, придем к неравенству
а<Ъ. (4)
Итак,
число а, равное числу Ь, одновременно и больше, •")
и меньше его. •
4. Целое равно своей части
Рассмотрим множество N всех натуральных чисел
1, 2, 3, 4, 5, ...
и множество К квадратов этих чисел, т. е.
12=1, 22=4, 32=9, 42=16, 52 = 25, ... .
48

Любое натуральное число является элементом множества N,
а квадрат любого натурального числа — элементом
множества К.
Множества N и К являются бесконечными множествами, но
в то же время понятно, что множество К является частью
(или, как говорят, подмножеством) множества N.
Действительно, квадраты натуральных чисел, равные
1, 4, 9, 16, 25, ...,
также являются натуральными числами, но среди них
отсутствуют натуральные числа, не являющиеся квадратами
какого-нибудь натурального числа, а именно числа 2, 3, 5,
6, 7, 8 и т. д.
С другой стороны, если п — натуральное число, то квадрат
натурального числа, очевидно, равен п2, и потому мы
можем каждый элемент п (п = 1, 2, 3, 4, 5, ...) множества N
поставить во взаимно однозначное соответствие с каждым
элементом п2 (I2, 22, З2, 42, 52, ...) множества К. Отсюда
следует, что количество чисел в множестве К равно
количеству чисел в множестве N. Следовательно,
часть (множество К) равна своему целому *%
(множеству N). •
5. Один рубль не равен ста копейкам
Известно, что любые два равенства можно перемножать
почленно, не нарушая при этом равенства, т. е.
если а = Ъ и c = d, то ac = bd.
Применим это положение к двум очевидным равенствам
1 р. = 100 к., (1)
10 р. = 10-100 к. (2)
Перемножая эти равенства почленно, получим
10 р. = 100 000 к. (3)
и, наконец, разделив последнее равенство на 10, получим,
что
1 р.= 10 000 к. ?
Таким образом, один рубль не равен ста копейкам.
6. Шестьдесят равно пятидесяти восьми
Возьмем бумагу в клетку и построим на ней равнобедренный
треугольник с основанием, равным 10 клеткам, и высотой,
49

-В)" д -51 jr
- tX tX
-/Л- -/ Л-
1 X /л
А ' \ I! ' >
7 С 7 -л X
t X BL * Л
4- Л- ч5 V
z - л 1 X
ч Av- ч ,- ■ V
^ X / X
L _ J Г Л
—,3- (J- -Cl~ —;э~
Рис. 23
равной 12 клеткам1. Понятно, что площадь такого
треугольника равна 10'212 = 60 (клеток).
Разрежем этот треугольник вдоль прямых, показанных на
рисунке 23, а.
Теперь составим из разрезанных частей тот же треугольник,
что показан на рисунке 23, а, но в другом порядке, а
именно так, как показано на рисунке 23, б. Легко видеть, что
площадь нового треугольника будет равна теперь 58
клеткам, так как незаполненными окажутся две клеточки.
Отсюда следует, что
60 = 58. ?
7. Единица не равна единице
Возьмем две равные дроби у = 4-, для которых справедливо
следующее правило:
А _ с _ а-с /л \
b-d
легко проверяемое приведением к общему знаменателю.
Возьмем теперь равенство
Зх-Ь _ Зо-4Ь
Зх-5Ь За-8Ь '
которое, очевидно, удовлетворяется при х = а-Ъ. Тогда при
менение соотношения (1) дает
За-46 _ Зх-За + ЗЬ
За-86 Зх-За + ЗЬ
(2)
В дроби, стоящей в правой части последнего равенства,
числитель и знаменатель равны, поэтому эта дробь равна еди-
1 Этот софизм, по утверждению М. Гарднера, придуман врачом Л. Восбур-
гом Лионсом (см.: Gardner M. Mathematical Puzzles and Diversions).
50

нице. В то же время дробь в левой части, конечно,
отлична от единицы. Следовательно,
1*1.
8. 64 см2=65 см2
Возьмем квадрат со стороной 8 см и разрежем его на
четыре части: две трапеции и два прямоугольных треугольника,
как показано на рисунке 24, а.
а)
б)
В
^
1-
А
Рис. 24
D
Е
Укладывая эти четыре части в другом порядке, а именно
так, как показано на рисунке 24, б, получим
прямоугольник с основанием 13 см и высотой 5 см. Площадь этого
прямоугольника равна 5 смх13 см = 65 см2, в то время как
площадь первоначально взятого квадрата (рис. 24, а) равнялась
8 смх8 см = 64 см2, т. е.
64 см2=65 см2. *?
9. Сумма углов треугольника меньше 180°
Возьмем произвольный треугольник ABC (рис. 25) и
проведем из его вершины С две прямые CF и CG так, чтобы угол
GCB был равен углу СВА, а угол FCA — углу CAB. Тогда
Рис. 25
51

сумма /-FCA + ZACB + Z.GCB равна сумме внутренних углов
треугольника АСВ.
Построим на сторонах СВ и АС треугольника ABC как на
диаметрах две полуокружности с центрами в точках О и О,
(рис. 25).
Из вершин А и В треугольника АСВ восстановим к
основанию АВ этого треугольника перпендикуляры и продолжим
их до пересечения с соответствующими окружностями в
некоторых точках К и L. Соединим полученные точки К и L
с вершиной С. Рассмотрим два получившихся угла АКС и
BLC: вершины К и L этих углов лежат на
полуокружностях, стороны их опираются на диаметры этих
полуокружностей, поэтому заключаем, что эти углы прямые.
Теперь из вершины С треугольника АСВ проведем прямую
СН, параллельную прямой LB. Прямая СН будет также
параллельна и прямой КА. Действительно, прямая КА
перпендикулярна (по построению) основанию АВ треугольника
АСВ, прямая LB перпендикулярна основанию АВ (также по
построению), а прямая СН параллельна прямой LB (по
построению), следовательно, прямая СН параллельна и
прямой КА. Итак, прямые КА и LB параллельны между собой.
Отсюда следует, что А.НСК = 90° и Z.HCL = 90°, и,
следовательно, AHCK + AHCL = 180°.
Между тем из рисунка 25 видно, что сумма углов AFCA +
+ ААСВ + Z.BCG меньше, чем сумма Z.KCH + /-HCL,
следовательно,
Z.FCA + ААСВ + ABCG < /LKCH+ AHCL = 180°,
I.FCA + /LACB + ABCG < 180°,
а так как AFCA + /LACB + ABCG есть сумма внутренних
углов треугольника АСВ, то, следовательно,
сумма углов треугольника меньше 180°.
10. Количество точек двух линий
одинаково, а их длины разные
Возьмем прямую g и точку О над ней (рис. 26).
Расположим ломаную ABC, имеющую равные звенья: АВ =
= ВС=4, так, как показано на рисунке 26. С помощью лучей,
выходящих из точки О, каждой точке ломаной ABC
ставится в соответствие в точности одна точка бесконечной
прямой. Тем самым осуществляется взаимно однозначное
соответствие точек бесконечной прямой и ломаной ABC.
Отсюда следует, что
количество точек ломаной единичной длины ^
равно количеству точек бесконечной прямой. •
52

11. Бесконечно протяженная фигура
имеет конечную площадь
Построим квадрат со стороной, равной единице (рис. 27).
Приставим к нему справа прямоугольник с основанием,
равным единице, и высотой ^. К прямоугольнику справа
приставим прямоугольник с единичным основанием и высотой
^-, потом прямоугольник с единичным основанием и
высотой | И I. Д.
Полученная ступенчатая фигура простирается вправо до
бесконечности и имеет площадь, равную
1+ 2 + 4 + 8 +'
•• + -£•+■
Рис. 27
Этот бесконечный ряд представляет собой сумму
бесконечно убывающей геометрической прогрессии с первым членом
alt равным единице, и знаменателем q=-j- Ее сумма, т. е.
площадь фигуры, равна
«1 1
S =
1-9
= 2.
1-7
Итак, получено, что бесконечно протяженная фигура имеет
на самом деле конечную площадь
S = 2.
53

12. Часть площади четырехугольника
равна всей его площади
Известная из аналитической геометрии формула площади
треугольника SA, выраженная через координаты его вершин
(*i» J/i)» (*2; Уг) и (*з; Уз), имеет следующий вид:
SA= т (^1(Уг-Уз)+-х2(Уг-У1) + ха(У1-у2))- С1)
На клетчатом листе бумаги (со
стороной клетки, равной
единице) зададим координатную
плоскость и построим на ней
четырехугольник (рис. 28) с вершинами
(0; 0), (1; 4), (4; 5) и (5; 3).
Вычислим площадь Sq этого
четырехугольника.
Для этого разделим
четырехугольник диагональю на два
треугольника, соединив вершины
(0; 0) и (4; 5). Искомая площадь
Sq будет равна сумме площадей
Рис. 28 двух получившихся
треугольников. По формуле (1) имеем
Sb —-J- (0-(4-5) + 1(5-0) + 4(0-4)) +
+ | (0-(3-5) + 5-(5-0) + 4-(0-3)) =
=| (5-16)+i (25-12) = l. (2)
SD = 1. 7
Таким образом, площадь четырехугольника равна площади
одной клетки.
13. Замкнутая кривая бесконечной длины
ограничивает конечную площадь
Впишем равносторонний треугольник в окружность, как это
показано на рисунке 29. Пусть каждая его сторона равна ^,
так что периметр треугольника равен 1. Поскольку
треугольник вписан в окружность, то его площадь,
естественно, меньше площади круга.
Поделив каждую сторону равностороннего треугольника на
три равные части, на каждом среднем отрезке также
построим равносторонний треугольник (см. рис. 29) со сторонами,
равными, очевидно, ^. Стороны образовавшихся
треугольников, лежащие на сторонах исходного равностороннего
(0
И
;0)
(1;
%
(4;
5)
Л
б;3
X
)
54

треугольника, учитывать не будем. Тогда периметр
образовавшейся шестиугольной звезды будет равен ^-12=-^.
При этом звезда ограничивает площадь, меньшую, чем
площадь круга, в который она вписана.
Продолжим построения, разделив теперь каждую сторону
шестиугольной звезды снова на три равные части и
построив на каждом среднем отрезке равносторонний треугольник.
При этом стороны этих треугольников, лежащие на
сторонах шестиугольной звезды, учитывать не будем. Мы
получили снежинку (рис. 29), каждая сторона которой равна,
очевидно, -gy, при этом периметр всей снежинки равен
-^-•48 = -ip = ( j) • Понятно, что и в этом случае снежинка
оказывается вписанной в окружность и потому
ограничивает площадь, меньшую площади круга.
Следующее построение проводится аналогично
предыдущему, т. е. снова каждая сторона полученной снежинки
делится на три равные части и на каждом среднем отрезке
строится равносторонний треугольник. Нетрудно понять,
что у получившейся новой, более сложной снежинки
периметр равен f-g-J (как и прежде, стороны этой снежинки,
лежащие на снежинке, не учитываются), а сама снежинка по-
прежнему вписана в круг и ее площадь меньше площади
круга.
На п-ш шаге построения мы получим снежинку, периметр
которой равен (-§)".
Продолжая процесс построения до бесконечности, т. е.
устремляя п—>оо, получим, что периметр снежинки будет
стремиться к оо, так как |>1и последовательность с общим
членом (-д-Г не ограничена сверху. При этом снежинка
остается вписанной в круг и, следовательно, ограничивает
площадь, меньшую площади круга.
Таким образом, мы пришли к следующему результату:
замкнутая кривая бесконечной длины ^
ограничивает конечную площадь. •
Рис. 29
55

^ Глава
Меньшее превышает боль i -^
1. Если А больше В, то А всегда
больше, чем 2В
Возьмем два произвольных положительных числа А и В,
такие, что
А>В.
Умножив это неравенство на В, получим новое неравенство
АВ>В2, а отняв от обеих его частей А2, получим
неравенство АВ-А2>В2-Аг, которое равносильно следующему:
А(В-А)>(В+А)(В-А). (1)
После деления обеих частей неравенства (1) на Б-Л
получим, что
А>В+А, (2)
а прибавив к этому неравенству почленно исходное
неравенство А>В, имеем 2А>2В+А, откуда
А>2В.
Итак, если А>В, то А>2В. Это означает, например, что
из неравенства 6>5 следует, что и 6>10.
2. 4 больше 12
Запишем очевидное неравенство 7>5 и не менее очевидное
равенство -8 = -8, которые, будучи сложены почленно, дают
7-8>5-8, или
-1>-3, (1)
что никак не противоречит алгебраическому правилу,
согласно которому меньшим считается то отрицательное число,
которое имеет большую абсолютную величину.
Умножая обе части неравенства (1) на (-4), получим
(-1)(-4)>(-3)(-4), (2)
откуда следует, что
4>12.
56

3. Число -g больше числа -^
Прологарифмируем по основанию 10 очевидное равенство
~ = -g-, получив в результате не менее очевидное равенство
lg|=lg|. (1)
которое превращается в неравенство, если его левую часть
увеличить вдвое, т. е.
21g|>lg±. (2)
Преобразовав в левой части последнего неравенства
логарифм по известному правилу, получаем, что lg(-i) >lg^»
или, переходя от логарифмов к числам, имеем
I i ) > ~ и окончательно
4. 2 больше 3
Рассмотрим очевидное неравенство -j- > ^, которое с учетом
того, что 4 = 22 и 8 = 23, запишется в виде I -^ j > ( i J .
Логарифмирование обеих частей этого неравенства дает
21gf>31gf. (1)
Разделив обе части последнего неравенства на отличную от
нуля величину lg А, получим
2>3. 7
5. Всякое отрицательное число больше
положительного, имеющего ту же абсолютную величину
Нижеследующее рассуждение основано на утверждении:
Если две дроби т- и -j равны и в первой дроби числитель
больше знаменателя, то и во второй числитель должен
быть больше знаменателя, т. е. если а>Ъ и £ = 4» то и c>d.
о й
Запишем теперь очевидные равенства (число А & 0)
±4=-i и ^4=-i.
-А +А
57

Из предыдущего видно, что оба отношения равны (-1), и
поэтому мы можем записать
-А +А к '
Но как известно, если две дроби равны, а в первой дроби
числитель больше знаменателя (так как +А >-А), то,
следовательно, и во второй дроби числитель должен быть больше
знаменателя, таким образом необходимо, чтобы выполнялось
неравенство
-А>+А.
Итак, мы пришли к выводу, что
отрицательное число больше положительного, г
6. Косинус любого острого угла больше единицы
Прологарифмируем по произвольному основанию а>1
очевидное тождество
cos a=cos a,
где а — произвольный острый угол; в результате получим
столь же очевидное тождество
loga cos a=l°go cos a • (1)
Очевидно, что, увеличив левую часть этого тождества вдвое,
получим неравенство
2 logacos a>logacos a, (2)
или, что то же самое,
loga cos2 а > l°ga cos a ■ (3)
Поскольку при основании логарифма, большем единицы,
большему числу соответствует и большее значение логарифма и
наоборот, из неравенства (3) получаем, что cos2 ос >cos a.
Разделив обе части последнего неравенства на
положительное число cos a, что не меняет смысла неравенства, получим
cos a >1, r
что противоречит определению косинуса острого угла как
отношения прилежащего катета к гипотенузе прямоугольного
треугольника, которое всегда меньше единицы.
7. Софизм Перрона:
единица есть наибольшее натуральное число
Нижеследующий софизм приписывается Перрону.
Мы знаем, что числа 1, 2, 3, 4, 5, ... называются натураль-
58

ными. Понятно, что натуральных чисел бесконечное
множество и наибольшего натурального числа нет. Тем не менее мы
докажем, что наибольшим натуральным числом является
единица.
Пусть число к>\ является наибольшим натуральным
числом. Тогда мы можем записать, что
k-k = k2>k-l = k.
Последнее равенство показывает, что принятое нами в
качестве наибольшего натурального числа число k не является
таковым, так как ясно, что число, равное к2, больше этого
числа к. Следовательно, никакое целое число fc>l не может
быть наибольшим целым. Остается принять, что
наибольшим натуральным числом является 1, «г
так как только в этом случае мы не приходим к
противоречию.
8. В любом прямоугольном треугольнике
катет больше гипотенузы
Рассмотрим произвольный прямоугольный треугольник ABC
и докажем, что его катет АС больше гипотенузы ВС (рис. 30).
Для этого запишем два очевидных равенства
ВС2 -АС2 = (ВС +АС)(ВС -АС),
ВС2 -АС2 = - (ВС +АС)(АС - ВС),
из которых вытекает, что
(ВС +АС)(ВС -АС) = - (ВС +АС)(АС - ВС).
Разделив последнее равенство на -(ВС+АС)(ВС-АС),
получим равенство
ВС+АС АС-ВС
(ВС+АС) ВС-АС '
(1)
в котором в левой дроби числитель ВС+АС больше
знаменателя -(ВС+АС), так как положительная величина всегда
больше отрицательной. Поэтому, для того чтобы имело
место равенство (1), необходимо, чтобы и в правой его части
выполнялось неравенство АС-ВС>ВС-АС, откуда
АС+АОВС + ВС, или 2А02ВС, или, наконец,
АО ВС, ?
т. е. в любом прямоугольном треугольнике катет больше
гипотенузы.
59

в
А
Рис. 30
Рис. 31
9. Объемлемая ломаная больше объемлющей
ломаной с тем же количеством звеньев
На рисунке 31 показаны две ломаные линии с общими
концами, причем ADC — объемлемая ломаная, а АВС —
объемлющая. Ясно, что длина ломаной АВС больше длины
ломаной ADC. Тем не менее мы докажем, что, напротив,
объемлемая ломаная больше объемлющей.
ПУСТЬ Ж = ! и # = ¥• То1*а очевидно, что ^ = # = |,
а умножив каждый член этого равенства на (-1), получим
-АВ
-ВС
, откуда -АВ = ± (-AD) и - ВС = ± {-DC).
~AD -DC 3' '" 3 v ' 3
Складывая почленно последние два равенства, будем иметь
(-AB) + (-BC)=f ((-AD)+(-DC)),
а разделив обе части этого равенства на ((-AD)+(-DC)),
получим (~^л!/~п^ = 4 • Так как 4>1, заключаем, что
или
(-АВ) + (-ВС) >г
(-AD) + (-DC) '
(- АВ) + (- ВС) > (-AD)+(-£Ю).
(1)
(2)
Перенося оба члена этого неравенства из левой его части в
правую и из правой — в левую, получим
AD + DOAB + BC, *?
что и доказывает, что длина ломаной АВС оказывается
меньше длины ломаной ADC.
10. Из двух наклонных больше та,
проекция которой меньше
Опустим из точки В перпендикуляр на прямую АС и
соединим точки А, С к В. Пусть наклонная АВ имеет проекцию
АЕ, большую, чем проекция ЕС наклонной ВС (рис. 32).
По известному следствию из теоремы Пифагора из двух
наклонных больше та, у которой проекция больше. Докажем,
60

что это не так, а наоборот, из
двух наклонных больше та, у
которой проекция меньше.
Продолжим сторону АС
треугольника ABC вправо и отложим на
ней расстояние ED, равное АЕ, и
соединим точку В с точкой D.
Тогда получим равнобедренный
треугольник ABD, в котором
выполняется известное из геометрии
соотношение1
AB2-BC2=AC-CD.
Левую часть этого равенства преобразуем по формуле
разности квадратов двух чисел, в результате получим равенство
(AB + BC)(AB-BC)=AC-CD, (1)
которое можно записать как в виде
АВ + ВС = CD («Л
АС АВ-ВС ' V '
так и в виде
-АВ-ВС CD
АС -АВ + ВС
(3)
поскольку произведение крайних и средних членов этой
пропорции приводит к равенству (1). Разделим равенство (2) на
равенство (3) почленно, в результате будем иметь
АВ + ВС _ -АВ + ВС /4ч
-АВ-ВС АВ-ВС ' У '
Поскольку в левой части последнего равенства
АВ + ВО-АВ-ВС, (5)
так как положительная величина всегда больше
отрицательной, то, для того чтобы равенство не было нарушено,
необходимо, чтобы выполнялось и неравенство
-АВ + ВОАВ-ВС, (6)
или, перенося АВ из левой части этого неравенства в правую,
а ВС из правой в левую, получим неравенство 2ВС>2АВ, или
ВОАВ, *?
т. е. та наклонная больше, чья проекция меньше.
1 Данное соотношение следует из теоремы косинусов
ВС2 =АВ2 +АС2 - 2АВ • АС • cos ABAC
и двух равенств АВ- cos ABAC =АЕ и 2 •АЕ=АС+ CD. Подставляя эти
равенства в равенство для ВС2, получаем BC2=AB2 + AC2-AC{AC + CD),
раскрывая которое и получается требуемое соотношение.
61

Разбор софизмов
В данной главе проведен разбор всех софизмов. Разъяснения
построены таким образом, что почти везде, где это
возможно, вначале дается краткое указание на место, где
совершена ошибка, или приводится подсказка причины ошибки.
Такой подход поможет читателю самому понять возможный
источник ошибки, которая привела к неправдоподобному
утверждению, «доказываемому» в софизме. Авторы
рекомендуют читателю попытаться найти ошибку в софизме
самостоятельно и только потом свериться с подробным его разбором.
Софизмы, выходящие за рамки программы по математике
для средней школы, обсуждаются достаточно подробно и с
обязательными ссылками на литературу, в которой читатель
может найти более полное изложение рассматриваемого
вопроса.
В нумерации формул сначала идет номер главы, содержащей
разбираемый софизм, а после точки — порядковый номер
формулы в настоящей главе. Например, формула (2.13)
означает формулу с порядковым номером 13 в разделе
настоящей главы, посвященном разъяснению софизмов из главы 2.
Ссылки на формулы и рисунки разбираемого софизма
даются без изменений.
^ Глава 1
Равенство неравных величин
1.1.
Все равенства, написанные до равенства (1) включительно,
совершенно правильны. Следующее же за ним равенство (2)
уже неверно. Значит, при переходе от равенства (1) к
равенству (2) совершена ошибка. Эта ошибка состоит в том, что
здесь неправильно произведено извлечение квадратного
корня из квадрата числа.
Напомним, что согласно определению квадратным
арифметическим корнем из неотрицательного числа а>0 называется
неотрицательное число Ь>0, такое, что Ъг = а. Число а
называется подкоренным числом, a b — арифметическим
квадратным корнем из неотрицательного числа а>0 и обозначается
62

как Отметим, что существует один и только один
арифметический квадратный корень из неотрицательного числа.
В то же время, очевидно, соотношение Ь2 = а
удовлетворяется как при положительном значении Ъ, так и при
отрицательном его значении. Так, например, при Ь = 3 имеем
равенство &2 = 32 = 9 и в то же время при Ь = -3 имеем Ь2=(-3)2 = 9.
Отсюда следует, что для неотрицательного числа а>0
существует ровно два корня квадратных из а: один
положительный, другой отрицательный. Положительный квадратный
корень, как мы знаем, называется арифметическим
квадратным корнем, другой же — отрицательный — равен
арифметическому квадратному корню, взятому со знаком «минус».
Рассмотрим теперь корень квадратный из квадрата числа, а
именно Vx2. По определению Vx2 представляет собой
некоторое неотрицательное число, которое, будучи возведено в
квадрат, даст х2. Ясно, что этому определению удовлетворяют
два числа, а именно х и -х. Итак, если число х не
отрицательно (х>0), то \х?=х; если же число х
отрицательно, т. е. число -х положительно, то V(-#)2 = - х. Отсюда
заключаем, что
если х>0,
1-х,
xie мод>.<х*.
ы-{ *»
1-х,
(1.1)
если х<0,
а вспомнив определение модуля действительного числа
если х>0, /1 2)
если х<0,
получаем, что
Vx*-|x|. (1.3)
Обратимся теперь снова к переходу от равенства (1) к равен-
ству (2). Число 1-~2 отрицательно, следовательно (см. (1.1)),
Л з\2 .з
квадратный корень из числа 1 - -g- равен не 1 - -^, как это
написано в равенстве (2) софизма, а -11-^). Число же 2-^
положительно, и потому корень квадратный из числа I 2- тг ]
равен 2--g-. Таким образом, из равенства (1) вместо (2)
следует равенство -11--2)=2-у, из которого получаем
3 3
просто равенство числа самому себе: -1 + -^ = 2- -^, или
Х_ 1
2 2-
63

1.2.
В этом софизме все соотношения вплоть до равенства (1)
написаны верно. Но, как и в предыдущем софизме, переход от
равенства (1) к равенству (2) был проведен неправильно:
ошибка заключается в неверном извлечении корня
квадратного из квадрата числа.
Действительно, согласно соотношениям (1.2) и (1.3) из
равенства (1) софизма 2 должно следовать не равенство (2), а
равенство
г-fl. (*)
Х~-2
2
Поскольку по условию числа х и г произвольные, т. е.
могут быть как положительными, так и отрицательными, как,
впрочем, и их сумма x + z = a, то здесь необходимо
рассмотреть различные случаи.
Представим исходное равенство в софизме 2, а именно
равенство x + z = a, в виде x-^ = ^~z и рассмотрим два случая.
I случай. х-^>0. Тогда z-^<0. В силу этих неравенств
и соотношений (1.2) вместо (*) получаем
а
Х 2 ~ I2 2
откуда приходим к исходному равенству
x + z = a.
II случай. х-^<0. Тогда z-Jr>0, и согласно
соотношениям (1.2) вместо (*) получаем
X п \ — Z о ,
откуда снова приходим к исходному равенству
х + z = а.
1.3.
Исходное тождество и равенство (1) вполне справедливы. Но
при переходе от равенства (1) к равенству (2) была
совершена ошибка того же рода, что и в софизмах 1 и 2. А именно:
извлечение квадратного корня из обеих частей равенства (1)
сделано неправильно. В действительности же вместо
равенства (2) из равенства (1) должно следовать равенство
\а-Ъ\-\Ъ-а\, (*)
64

которое вытекает из соотношений (1.2) и (1.3). Здесь
необходимо рассмотреть два случая.
I случай. а-Ь>0, тогда, очевидно, Ь-а<0. Согласно (1.2)
из равенства (*) следует а-Ь= -(Ь-а), или
а = а,
т. е. просто тождество числа а самому себе.
II случай. а-Ь<0, тогда Ь-а>0, откуда в соответствии с
(1.2) из равенства (*) следует -(a- b)—b-a, или
а = а.
1.4.
При переходе от исходного уравнения х-а = 0 к равенству (2)
была совершена ошибка, а именно было произведено деление
на нуль.
Действительно, по условию в исходном уравнении (1) левая
часть равна нулю. Потом мы делим стоящие в обеих
частях (1) нули на нулевую же величину х -а. Деление же
нуля на нуль дает не какое-то определенное число, а просто
не имеет смысла. Это можно пояснить следующими
соображениями.
Согласно определению1 частным чисел о и 6 (6^0)
называется такое число с, которое, будучи умноженным на Ъ, дает а,
т. е. такое число с, что с-Ъ = а. Предположим теперь, что
делить на нуль можно, т. е. существует какое-то число z,
которое равно частному чисел а и 0. Тогда согласно определению
частным чисел а и 0 будет такое число г, которое, будучи
умноженным на нуль, дает а, т. е. z-0 = a. Отсюда очевидно, что
не существует такого числа г, которое, будучи умноженным
на нуль, дает некоторое число а, отличное от нуля. Если же
а = 0, то равенство 2-0 = 0 выполняется вообще для любого z.
Поэтому необходимо помнить, что деление на нуль не имеет
смысла и потому недопустимо.
Замечание. Отметим, что деление на нуль является одним
из наиболее распространенных источников ошибок при
проведении преобразований различных выражений и при
решении уравнений.
«Сокращение» уравнений на общий множитель зачастую
приводит либо к потере корней уравнения, либо к
приобретению посторонних корней, либо вообще к бессмыслице,
ярким представителем которой является данный софизм (1 = 0).
1 См., например: Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и
интегрального исчисления. Т. 1.— М.: Наука, 1969.
65

Например, переходя от уравнения 9х3 = х к уравнению
9л:2 = 1, путем деления обеих частей уравнения на х
приходим к уравнению, имеющему два корня, а именно х—\ и
О
x = -jr. В то же время, как нетрудно убедиться, исходное
уравнение имеет еще один корень х =0. Таким образом,
деление обеих частей уравнения на нуль привело к потере
корня.
Деление уравнения на нуль может привести к приобретению
посторонних корней; например, при решении уравнения
V*-5-x-4V*-5,
«сокращая» его на общий множитель Vx-5, мы приобретаем
посторонний корень х = 4 (не являющийся решением
исходного уравнения, так как все его корни должны
удовлетворять неравенству х ~> 5) и в то же время теряем истинный
корень х = 5.
1.5.
Явной ошибки этот софизм не содержит. В то же время
результат софизма показывает, что ошибка где-то есть.
Разберемся, в чем здесь дело.
Прежде всего заметим, что уравнение (2) получено с
помощью равносильных преобразований исходного квадратного
уравнения (1), и потому корни уравнения (1) должны
совпадать с корнями уравнения (2) и наоборот.
Попробуем найти корни квадратного уравнения (1) и прежде
всего рассмотрим его дискриминант D = a2--^a2. Понятно,
О
что значение дискриминанта отрицательно, так как D =
= --|-а2<0. Это означает, что квадратное уравнение (1) не
О
имеет корней в области действительных чисел1. Другими
словами, число х, стоящее в равенстве (2), не является
действительным, а потому и само равенство (2) в области
действительных чисел не имеет смысла (если только а ^0).
Поскольку в курсе математики, изучаемом в настоящее время
в средней школе, все операции рассматриваются только в
области действительных чисел, то не имеет смысла и
извлечение кубического корня из обеих частей уравнения (2).
1 Это уравнение имеет два отличных друг от друга комплексных корня
а , . a\j} _ а_ , oVJ3
где i — так называемая мнимая единица, причем i2 = -l.
66

Если бы относительно х и а было известно, что оба они
принадлежат области действительных чисел, то операция
извлечения кубического корня из уравнения (2) была бы
абсолютно законной; кубический корень из действительного числа
существует и имеет только одно значение: положительное,
если подкоренное выражение положительно, и
отрицательное, если подкоренное выражение отрицательно. Получаемое
при этом равенство х-а = х означает только то, что оно
возможно лишь при а = 0.
В рассматриваемом же случае уравнение (1) и равносильное
ему уравнение (2) имеют корни только в области
комплексных чисел (при а^О). Поэтому извлечение кубического
корня из обеих частей уравнения (2), что равносильно
решению кубического уравнения (2), приводит к следующим
равенствам:
а = 0, x = f + i*&, x=f-i&&.
Первое из этих равенств, как уже отмечалось выше, есть
условие справедливости уравнений (1) и (2) в области
действительных чисел, а второе и третье относятся к значениям
кубического корня в области комплексных чисел.
Из рассмотренного софизма следует важный вывод: при
проведении преобразований над какими-либо математическими
объектами (алгебраическими выражениями, уравнениями,
функциями и т. п.) полезно выяснить, при каких условиях эти
математические объекты имеют смысл.
1.6.
В рассматриваемом софизме все выкладки вплоть до
равенства (6) проведены правильно. Ошибка содержится при
переходе от равенства (6) к равенству (7).
Действительно, каково бы ни было число а, произведение а
на нуль всегда дает нуль, т. е. а-0 = 0. Другими словами, в
равенстве а-0 = 0 число а может быть каким угодно.
По условию числа х и г равны между собой. Следовательно,
равны и их арифметические квадратные корни, т. е. Vx=vz,
а потому и ]fx-\fz=0. Таким образом, равенство (6) можно
записать в виде (Vx+V2)-0 = 0, откуда сразу же следует, что
число Vx+ может иметь вообще любое значение.
1.7.
Здесь ошибка совершена при переходе от равенства (1) к
равенству а = Ъ.
Действительно, согласно условию разность двух произволь-
67

ных чисел а и Ъ равна с, т. е. а-Ъ^с, откуда а-Ь-с = 0.
Можно записать равенство (1) в виде а-0 = Ь-0. Переход от
равенства (1) к равенству а = Ъ осуществляется путем деления
обеих частей (1) на равное нулю число а-Ь-с = 0.
Следовательно, здесь мы имеем деление нуля на нуль, которое не
имеет смысла, поскольку равенство а•() = &• 0 выполняется
при любых а и Ъ. Поэтому вывод, сделанный в софизме, что
числа а и Ъ равны, неверен (подробнее о недопустимости
деления на нуль см. объяснения в п. 1.4).
1.8.
Здесь ошибочен переход от равенства (1) к равенству
а = 2а.
В самом деле, число а-а, на которое делится равенство (1),
равно нулю. Поэтому равенство (1) можно записать в виде
а-0 = (а + а)-0, откуда, очевидно, следует, что число а слева
и число а + а справа могут принимать любые, отнюдь не
равные друг другу значения. Деление же обеих частей этого
равенства на равное нулю число а-а приводит к бессмыслице
(о недопустимости деления на нуль см. объяснения в п. 1.4).
1.9.
Ошибка совершена при переходе от равенства (1) к
равенству (2).
Действительно, этот переход совершен посредством деления
на величину х — 1, которая по исходному условию равна
нулю, а, как известно, деление на нуль запрещено. Равенство
(1), в силу того что х-1 = 0, можно записать в виде
равенства (л: + 1)-0 = 0, которое выполняется при любом значении
х + 1. Поэтому вывод о том, что х = -1, неправомерен
(подробнее см. объяснения в п. 1.4).
1.10.
Преобразования, посредством которых получено равенство
(1), абсолютно верны, тогда как переход от (1) к т = п уже
неверен. Легко заметить, что исходное условие a + b + c — d
равносильно равенству a + b + c-d = 0, откуда заключаем, что
при переходе от равенства (1) к т = п произведена
запрещенная операция, а именно деление на нуль. Равенство (1)
равносильно равенству т-0 = п-0, из которого следует, что т и
п могут быть любыми числами, отнюдь не равными друг
другу.
68

1.11.
Уравнение (2) в исходной системе можно записать как
х + 2у = 8, так что система уравнений (1) и (2) запишется в
виде
х + 2у = 6,
х + 2у = 8.
В этой системе двух линейных уравнений коэффициенты при
переменных х и у одинаковы, а правые части не равны
между собой. Поэтому такая система несовместна, т. е. не имеет
ни одного решения.
Графически это означает, что две прямые у = 3 - — и
у = 4-^ параллельны и не совпадают.
Перед тем как находить решение системы линейных
уравнений, полезно сначала или после ряда преобразований
проанализировать, имеет ли система уравнений единственное
решение, бесконечно много решений или не имеет решений
вообще.
1.12.
При решении уравнений вида f(x) = g(x) полезно установить
области определения функций f(x) и g(x), т. е. множества
всех тех значений переменной х, при которых эти функции,
а следовательно, и уравнение имеют смысл. Пересечение
этих областей называют областью допустимых значений
(ОДЗ) уравнения f(x) = g(x).
Понятно, что область допустимых значений исходного
уравнения (1) состоит из всех значений переменной х, за
исключением тех, при которых дроби в левой и правой
частях уравнения (1) не существуют. Таковыми являются
значения х = 7 и х = 13, обращающие знаменатели этих
дробей в нуль.
Равенство (2) выполняется не при всех значениях х, а
только при вполне определенных, которые и являются корнями
уравнения (2). (Легко проверить, что уравнению (1)
удовлетворяет значение х = 10, входящее в ОДЗ.) В софизме же в
рассуждении: «Поскольку числители дробей в левой и
правой частях уравнения равны, то, для того чтобы имело
равенство обеих частей уравнения, необходимо, чтобы были
равны и знаменатели...» — неявно подразумевается, что
равенство (2) является не уравнением, а тождеством,
справедливым при всех значениях переменной х, что неверно.
Поэтому утверждение софизма не имеет места.
69

1.13.
Известно, что в формуле бинома Ньютона для (а + Ь)п число
членов его разложения равно п +1. Недоразумение в
софизме возникло потому, что в формуле (1) выписаны в общем
виде три первых члена, три последних и промежуточные
члены, замененные многоточием. Такая запись, содержащая
более семи членов, справедлива для степени п>6. Для п = 5
число членов в биноме будет равно шести, для п = 4 — пяти
и т. д., и для п = 1 число членов будет равно двум. В
формуле же (2) формально оставлены все шесть членов разложения
(1), что и привело к неверному утверждению, что
(а + ЬУ = 2а + 2Ь.
Правильное разложение (а + b)1 по формуле бинома Ньютона
содержит, как уже отмечалось выше, два члена, а именно
первый и последний в общей формуле (1), поэтому
(а + b)1 = а + Ь.
1.14.
Все преобразования вплоть до равенства (1) проведены
верно. Ошибка же совершена при переходе от равенства (1) к
равенству (2) и состоит в неправильном извлечении
квадратного корня в (1) из квадрата числа.
На самом деле извлечение квадратного корня из обеих
частей равенства (1) приводит не к выражению (2), а согласно
(1.3) к равенству
|х + а| = |х|. (*)
Если число а неотрицательно, т. е. а>0, то х = --|-<0, и,
следовательно, равенство (*) запишется в виде х + а = — х,
откуда мы получаем исходное равенство 2х = -а.
Если принять, что число а отрицательно, т. е. а<0, то
х = --|->0 и равенство (*) запишется в виде -х-а = х, что
снова приводит лишь к исходному равенству
2х = -а.
1.15.
В равенствах (1) ошибок нет. Ошибочна последовательность
равенств (2).
П1—г /П j—\k ^- П1——
Напомним, что равенства Уа" = [Уа) и ап = \ат определены
только для а>0, где тип (я>1) — натуральные числа.
В частности, степени с отрицательным основанием и
дробным показателем считаются не имеющими смысла. Напри-
70

мер, выражение (-27)3не имеет смысла, в то время как
3/
выражение V-27 вполне определено и равно -3. Это связано
с определением корня нечетной степени из отрицательного
числа.
Обратимся теперь к равенствам (2). Поскольку по условию
число -г отрицательно (число z положительно), то V(-z)2 не
может быть представлено в виде (V^z)2, потому что корень
квадратный из отрицательного числа в области
действительных чисел не существует.
1.16.
Ошибка содержится уже в равенствах (1), потому что число
100 является положительным и VlOO2 равно +100, но не
±100 (см. определение (1.1)).
1.17.
Ошибочно уже исходное равенство (1), в котором
бесконечная сумма чисел а обозначена конечным числом х, в то
время как сумма а + а + ... попросту не существует и все
последующие вычисления бессмысленны. Отсюда следует важный
вывод: прежде чем проводить какие-либо вычисления с
суммой бесконечной последовательности чисел, необходимо
сначала убедиться в существовании этой суммы.
Существование суммы бесконечной последовательности чисел
Оц а2, ... ап, ... (называемой бесконечным рядом)
а1 + а2 + а3 + ... + ап + ... (1.4)
дается следующим утверждением:
Если существует конечный предел lim Sn = S последователь-
П —* ОО
ности частичных сумм S1 = a1, S1 = a1 + a2, ..., Sn = a1 + a2 + a3 +
+ ... + ап, ..., то сумма бесконечного ряда (1.4) существует
и равна S.
В соответствии с этим утверждением частичные суммы
рассматриваемого ряда (1) равны S1 = a, S2 = 2a, S3 = 3a, ...,
Sn = na, ..., и, очевидно, последовательность этих частичных
сумм конечного предела не имеет. Следовательно, суммы
ряда (1) не существует.
1.18.
Ошибка заключается в неправильно найденной сумме п пере-
1
менных —, когда п-*оо.
71

Для нахождения суммы бесконечной последовательности
переменной, n-й член которой задается формулой (1),
необходимо сначала установить ее существование. Для этого
рассмотрим последовательность частичных сумм (см. п. 1.17) этой
переменной
п слагаемых
С - 1 С _ 1+1 С _ 1 + 1 + 1 о _ 1 + 1 + 1+... + 1
*i-y> йг--^-, г>3 g , ..., г>„- п ,....
Очевидно, что для последовательности Su S2, ..., Sn, ...
существует конечный предел
п. слагаемых
lim S„ = lim 1 + 1 + 1+--- + 1 -Шп-» =i,
n TL n
Jl—* CO П—* CO П—* OO '*
равный единице. Значит, сумма бесконечной
последовательности переменной (1) существует и равна 1, а не нулю, как
утверждалось в софизме, и потому никакого противоречия не
возникает.
Необходимо отметить, что при нахождении предела
последовательности (1) при п—>оо нельзя устремлять каждый
отдельный член последовательности к бесконечности,
приравнивать его нулю и затем эти нули складывать. Это
объясняется тем,что переменная — при п-»оо является не
нулем, а бесконечно малой1, которая лишь в процессе
своего изменения при неограниченном возрастании п как угодно
близко приближается к нулю, не принимая, однако,
нулевого значения. При этом неограниченно возрастает и
количество членов в сумме (1). Так что здесь мы имеем дело с
бесконечной суммой бесконечно малых, и однозначно сказать,
чему будет равна эта сумма в общем случае, нельзя. Так,
например, переменная -1> является бесконечно малой при
Vn
п—*оо, а бесконечная сумма
1 + W+W+~ + &+'~
вообще не имеет предела, а значит, и суммы. Отсутствие
суммы вытекает из следующего неравенства для n-й частичной
суммы
которое показывает, что при n^oo S„ неограниченно
возрастает и, следовательно, суммы не существует.
1 Бесконечно малой последовательностью (функцией) называется
последовательность (функция), предел которой равен нулю.
72

1.19.
Софизм основывается на неверном утверждении: если
пределы двух переменных хп и уп равны, то равны и сами
переменные.
На самом деле справедливо следующее утверждение:
Если две переменные хп и уп при всех п равны, т. е. хп = уп,
и каждая из них имеет конечный предел lim xn = а,
limyn = b, то равны и эти пределы, т. е. а — Ь.
Обратное же утверждение неверно. Другими словами, из
равенства пределов двух переменных не следует равенство
самих переменных. Это легко понять из следующего
примера. Пусть х„ = —, a yn=-k^. Обе переменные стремятся к
нулю при п—юо, т. е. имеют равные пределы, в то же
время различие между этими переменными очевидно.
1.20.
Ошибка в данном софизме аналогична ошибке в софизме 18
и кроется в неправильно найденном пределе суммы т
переменных — при т-^-оо.
В п. 1.18 было показано, что предел последовательности
переменной с общим членом
т слагаемых
J. + i + 1 + ...+ i
т т т т
равен единице. Поэтому при т-*оо от равенства (1) вместо
(2) приходим к равенству
т>
Матп= а".
1.21.
Ошибка в этом софизме заключается в следующем.
Ряд (1), сумма которого равна 1п2, представлен в виде
разности (2) двух рядов, первый из которых представляет собой
бесконечную сумму нечетных членов, а второй — четных
членов ряда (1). Если раскрыть скобки в (2), то мы
действительно снова получим исходный ряд (1). Но дело в том, что
в отличие от конечных сумм с бесконечными рядами так
поступать нельзя. Это объясняется тем, что, как будет
показано ниже, каждый из рядов, стоящих в скобках в выражении
(2), является в отличие от ряда (1) расходящимся, т. е. не
имеющим конечной суммы. Поэтому все дальнейшие
преобразования с расходящимися рядами уже не имеют смысла.
73

Покажем, что два бесконечных ряда, стоящие в скобках в
выражении (2), не имеют конечной суммы, т. е. являются
расходящимися. Прежде всего докажем, что ряд
(называемый еще гармоническим)
является расходящимся, т. е. не имеет конечной суммы.
Возьмем п-ю частичную сумму этого ряда (о доказательстве
наличия суммы у бесконечного ряда методом частичных
сумм см. п. 1.17)
и следующие легко проверяемые соотношения:
2 22 23
1 1 1 о 92 9s 9kl
+ ... Н - Ь ... + — > 1+ — + — + — + — + . .+ — =
-Т----Г 2*-i + i т...-r 2* 2 22 23 24 т*"т 2*
2*-i
= 1+l + l + l + l + - + } = 1 + ft-|-
ft
Отсюда следует, что частичная сумма S„>l + 7r не
ограничена сверху при п —> оо (или, что то же самое, k -* оо) и
поэтому предела не имеет. Следовательно, ряд (1.5) расходится.
Теперь посмотрим на ряд, стоящий во вторых скобках
выражения (2). Очевидно, что он после вынесения
множителя -1- за скобки равен ряду
который, как только что доказано, является расходящимся.
Рассмотрим теперь ряд, стоящий в первых скобках
выражения (2). Очевидно, что каждый член этого ряда больше
соответствующего (т. е. с тем же номером) члена ряда, стоящего
во вторых скобках выражения (2) софизма. А как только что
было доказано, последний ряд является расходящимся,
следовательно, расходится и рассматриваемый ряд1.
Уже на этом примере видно, что не у каждого ряда, даже
если он является сходящимся, можно произвольным образом
переставлять члены ряда. Переместительным свойством об-
1 Здесь использована теорема, справедливая для положительных рядов
(члены ряда неотрицательны): «Если каждый член первого ряда больше
соответствующего члена второго ряда и этот второй ряд расходится, то расходится
и первый ряд».
74

ладает только абсолютно сходящийся ряд, т. е. ряд,
составленный из абсолютных величин его членов1. В этом случае
справедлива теорема:
Если ряд абсолютно сходится, то ряд, полученный из него
любой перестановкой членов, также сходится и имеет ту же
сумму, что и исходный ряд.
Если же ряд сходится неабсолютно, т. е. сам ряд сходится,
а ряд, составленный из абсолютных величин его членов
расходится, то такой ряд переместительным свойством не
обладает; в таком ряде определенной перестановкой членов
можно не только произвольным образом изменить его сумму, но
даже нарушить его сходимость.
Возвращаясь к нашему случаю, мы видим, что исходный ряд
(1) софизма действительно сходится и его сумма равна 1п2.
Однако ряд, составленный из абсолютных величин его
членов, как легко видеть, становится рядом гармоническим (см.
(1.5)), который, как доказано выше, расходится. Это и
является причиной того, что исходный ряд (1) софизма при
перегруппировке его членов (см. ряд (2) софизма) полностью
изменил свою сумму.
Отсюда следует, что, прежде чем проводить преобразования
с произвольными бесконечными рядами, члены которых
могут быть как положительными, так и отрицательными,
переставлять и перегруппировывать их члены, необходимо
выяснить, сходятся ли эти ряды абсолютно.
1.22.
Здесь ошибка заключается в неправомерном приравнивании
двух различных переменных, а именно переменной tg а и
переменной tg Р, где 0° < а < 90°, a 90° < Р < 180° .
Точная запись пределов переменных tg а и tg p будет
выглядеть так:
lim tgoc = + ooH lim tgp = -oo. (*)
a — 90°-0 p^90° + 0
Предел при a->90°-0 называется пределом слева и означает,
что а стремится к величине 90° , оставаясь при этом
несколько меньше этой величины. Предел при р-*90° + 0 называется
пределом справа и означает, что Р стремится к величине 90° ,
оставаясь при этом несколько больше этой величины.
Причем при a — 90° - 0 функция tg a равна tg (90° - 0),
1 Имеет место следующая теорема: «Пусть дан ряд 2_, а„ = а1 + а2 + ...+а„+... .
со П = 1
Если сходится ряд J \an |= la, |+ \a21 + ...+ \а„ |+... , составленный из абсо-
п-1
лютных величин его членов, то и данный ряд также сходится».
75

а при р^90°+0 равна tg(90°+0). Значения функций
tg (90° - 0) и tg (90° + 0) отнюдь не равны между собой и
значению tg 90°. При а = р = 90° функции tg а и tg P не
существуют.
1.23.
Ошибка заключается в неправильном переходе от равенства
(1) к равенству (2).
Согласно формуле (1.3) корень квадратный из квадрата
некоторой функции равен не самой функции, а ее модулю, т. е.
а . .
(cos2x)2 = |cosx|3, а не cos3x, как это написано в софизме. С
учетом сказанного вместо неверного равенства (2) надо
записать равенство
|cos х|3 + 3 = (1 - sin2 х) 2 + 3.
Тогда вместо также неверного равенства (3) будем иметь
(|cos х|3 + 3)2 = ((1 -sin2 *)5 + 3)2.
В этом случае, конечно, никакого софизма не возникает.
Так, при х = 180°, с учетом того, что |cos 180°| = |-l| = l
и sin 180° = 0, получим верное равенство
42 = 42.
1.24.
Равенство х" -1 = (х-1)(х"_1+хп~2 + ... + х2 + х + 1) справедливо
для любого х, в то время как равенство
xl^l = xn-1+xn-2 + ... + x2 + x + l
х-1
при х=1 не имеет смысла (деление на нуль). Поэтому не
имеют смысла и дальнейшие выводы софизма.
1.25.
Ошибка заключается в том, что повторные пределы при
перестановке предельных переходов необязательно равны.
Так, например, для функции f(x,y) = y sin — существует
повторный предел lim lim f(x, w) = 0, в то время как нет ПО-
я—О у — 0
вторного предела lim lim f(x, у) (здесь нет даже простого
1^ —0 * — 0
предела lim/(x, у)).
х — 0
Дозволительность перестановки предельных переходов при
нахождении повторного предела должна обосновываться
особо в каждом конкретном случае.
76

1.26.
Ошибка заключается в преобразованиях над расходящимися
рядами, что недопустимо.
По сути дела, исходный сходящийся ряд (1) в результате
ряда преобразований оказался «расщепленным» на два
расходящихся ряда (4), т. е. не имеющих конечных сумм. О
расходимости рядов, стоящих в левой и правой частях
равенства (4), называемых еще гармоническими, подробнее
см. п. 1.21.
1.27.
Ход рассуждений от начала софизма и до формулы (2)
включительно верный. Сомнение вызывают рассуждения,
следующие далее, начиная со слов: «Поскольку точки В и С
равноправны, то ...».
На самом деле точки Б и С не равноправны. Если поменять
местами эти точки, поменяется и система обозначений,
которая используется для получения формул (1) и (2).
Действительно, в софизме через х обозначен отрезок на стороне ВС
от вершины В до основания прямой К, т. е. до точки D,
причем расстояние BD, равное х, является катетом
прямоугольного треугольника BED. Поменяв же местами на рисунке 1
обозначения вершин В и С (не изменяя самого рисунка),
получим, что х теперь не будет катетом треугольника BED.
Вместо него катетом будет служить отрезок СВ,
обозначенный как у. Эти действия приводят к переобозначению х на
у и подмене истинной формулы для величины у на неверную
формулу (3).
Правильное выражение для величины у, равной отрезку
между точками С и D, в рамках принятой в начале
рассуждений системы обозначений следует из двух очевидных
соотношений.
Во-первых, 2~ = W + q)" (условие равновеликости
площадей треугольника BED и четырехугольника DEAC) и, во-
вторых, — = Р + Ч~-У (соотношение для подобных
треугольников BED и BAF). Эти соотношения и приводят к верному
равенству
„_п , „ I р(р + я)
не имеющему ничего общего с неверным равенством.
77

1.28.
Понятно, что Ахиллес догонит черепаху. Смысл софизма
(иногда его называют парадоксом1) Зенона состоит не только
в том, что Зенон вскрывал противоречивость движения.
Парадоксы и софизмы Зенона, из которых до нас дошло
только девять, имеют значительно более глубокий смысл и
направлены на вскрытие понятия бесконечности, на
разрешение «проклятия бесконечности» и до сих пор
привлекают внимание математиков и философов, которые
продолжают давать им самые различные объяснения.
Рассматриваемый здесь софизм Зенона даже на сегодняшний
день далек от своего окончательного разрешения, поэтому
здесь мы только обозначим некоторые его аспекты.
Сначала все же определим время t, за которое Ахиллес
догонит черепаху. Оно легко находится из уравнения a + vt — wt,
где а — расстояние между Ахиллесом и черепахой до
начала движения, v и w — скорости черепахи и Ахиллеса
соответственно. Это время при принятых в софизме условиях
(у = 1 шаг/с и ш=10 шагов/с) равно
j._ а _ 100 шагов —11111 п
L — - Л , - , 11.111... t.
w - v 10 шагов/с -1 шаг/с
Другими словами, примерно через 11,1 с Ахиллес догонит
черепаху.
Подойдем теперь к утверждениям софизма с точки зрения
математики и попытаемся проследить логику Зенона.
Пусть расстояние между Ахиллесом и черепахой до начала
движения равно а и пусть Ахиллес бежит со скоростью,
которую мы примем равной единице и которая в k раз
превышает скорость черепахи. Когда Ахиллес пробежит
расстояние а, черепаха преодолеет расстояние ^; когда
Ахиллес пробежит расстояние ^, черепаха за это время
покроет расстояние -^ и т. д. Так что каждому отрезку пути,
который пробежит Ахиллес, соответствует отрезок пути,
преодоленный черепахой, а именно
отрезки пути черепахи: |, -^, -^, -^, ...;
отрезки пути Ахиллеса: a, J-, -~, -^, ....
1 Мы все же будем говорить о софизме, а не о парадоксе, поскольку, назвав
эту апорию («апория» в переводе с греческого означает «трудность»)
парадоксом, тем самым признаем доказательство Зенона верным.
78

Тогда черепаха проходит путь, равный
« _ а . а . а . а ,
Ьч k + ft2 + k3 "•" fe4 "1"""
а Ахиллес проходит путь, равный
s^ = « + f+f + f + ••••
Предположим теперь, что Ахиллес все-таки догонит
черепаху. Тогда, очевидно, что Ахиллес должен пройти столько же
отрезков, сколько их пройдет черепаха. Если черепаха до
момента встречи с Ахиллесом пройдет т отрезков, то Ахиллес
должен пройти те же т отрезков плюс еще один отрезок,
который разделял их до начала движения. Следовательно, мы
приходим к равенству т = т + 1, что невозможно. Отсюда
следует, что Ахиллес никогда не догонит черепаху!
Другой аспект софизма состоит в следующем. Когда Ахиллес
гонится за черепахой, всегда остается сколь угодно малый
отрезок, который отделяет Ахиллеса от черепахи, т. е. путь
Ахиллеса (как и путь черепахи) можно разложить на
бесконечное число частей, которые никогда не могут
завершиться. Поэтому путь, проделанный Ахиллесом, выражается
суммой бесконечного числа слагаемых. Значит, движущееся
тело (в нашем случае Ахиллес или черепаха) не может
пробегать путь, состоящий из бесконечного числа частей, за
конечное время, а может пробегать его только за бесконечное
время. Следовательно, снова мы приходим к тому же
выводу: Ахиллес никогда не догонит черепаху!
Софизм Зенона тесно связан также со следующим вопросом:
достигает ли переменная своего предела или нет?
Действительно, в сумме, выражающей путь Ахиллеса, легко увидеть
бесконечную геометрическую прогрессию, первый член
которой равен а, а знаменатель q=^-<\. Как известно, сумма
бесконечной геометрической прогрессии при | q \ < 1 равна
S_ a
А — Г «
А 1-1
к
Итак, путь, пройденный Ахиллесом, с одной стороны,
состоит из бесконечной последовательности отрезков, которые
принимают бесконечный ряд значений, а с другой стороны,
эта бесконечная последовательность, очевидно, не имеющая
конца, все же завершилась, и завершилась она своим
пределом, равным сумме геометрической прогрессии.
Трудности, которые возникают при оперировании понятиями
непрерывного и бесконечного и столь мастерски
вскрываются софизмами и парадоксами Зенона, до сих пор не
преодолены, а разрешение противоречий, содержащихся в них,
послужило более глубокому осмыслению основ математики.
79

1.29.
Здесь ошибка кроется в том, что верное равенство (2)
делится на величину AE-DE-BE-CE, которая согласно равенству
(1) равна нулю, что, как мы знаем, недопустимо. Подробнее
о том, что происходит при делении на нуль, см., например,
в пп. 1.4—1.10.
1.30.
Точно к такому же результату мы придем, если
предположим, что окружность, проведенная через точки A, D и С,
пройдет так, что вершина В окажется внутри окружности.
Тогда проведенная окружность пересечет продолжения
сторон АВ и СВ соответственно в точках Е и F. Предоставляем
читателю самостоятельно рассмотреть этот случай.
Ошибка кроется в том, что на самом деле окружность,
проведенная через точки A, D и С данного
четырехугольника ABCD, обязательно пройдет и через точку В. Другими
словами, все точки четырехугольника ABCD должны лежать на
одной окружности.
Действительно, в условии сказано, что
четырехугольник ABCD построен так, что углы при вершинах В и D в
сумме составляют 180°. Но это условие является условием
того, что вокруг этого четырехугольника можно описать
окружность, поскольку согласно известному из геометрии
утверждению вокруг четырехугольника можно описать
окружность тогда и только тогда, когда сумма двух его
противоположных углов равна 180°. Понятно, что в этом
случае выводы, сделанные в софизме, не имеют места и
известное утверждение: внешний угол треугольника больше
любого внутреннего угла, не смежного с ним,— конечно,
остается в силе.
1.31.
В софизме доказывается, что два треугольника ABD и CDE
(рис. 4) равны, ссылаясь при этом на признак равенства
треугольников по стороне и двум углам. Однако такого
признака нет. Правильно сформулированный признак равенства
треугольников гласит:
Если сторона и прилежащие к ней углы одного
треугольника равны соответственно стороне и прилежащим к ней
углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
80

1.32.
Причина ошибочного утверждения кроется в
правдоподобных, но в действительности неверных рисунках (рис. 5),
которые и привели к ошибочному утверждению.
Чтобы показать, каким должен быть правильный
рисунок, опишем около нашего треугольника ABC окружность
(рис. 33). Перпендикуляр, проведенный через середину
стороны АВ (точка D), являющейся одновременно хордой,
пересекает окружность в точке Е и делит дугу АЕВ пополам.
Биссектриса угла АСВ также должна пройти через точку Е,
поскольку равные вписанные углы опираются на равные
дуги. Итак, точка Е, являющаяся точкой пересечения
перпендикуляра, проведенного через середину АВ, и биссектрисы
угла АСВ, лежит вне треугольника ABC.
Четырехугольник АЕВС оказывается вписанным в
окружность, что допустимо только в том случае, если сумма
противоположных его углов равна 180°. При этом возможны два
варианта: 1) углы САЕ и СВЕ оба прямые и 2) один из
углов САЕ и СВЕ тупой, другой — острый.
В первом случае перпендикуляры, опущенные из точки Е на
стороны АС и ВС, совпадают соответственно со сторонами АЕ
и ЕВ. Тогда прямоугольные треугольники АСЕ и ВСЕ
оказываются равными, так как имеют общую гипотенузу и
равные катеты (АЕ = ЕВ). Поэтому будут равны и катеты АС и
ВС, что противоречит исходному условию АС>ВС.
Следовательно, данный случай отпадает, и потому обратимся ко
второму случаю.
Во втором случае один из углов САЕ или СВЕ тупой, другой —
острый. Отсюда сразу же следует, что основания
перпендикуляров (точки F и G), опущенных из точки Е на стороны
АС и ВС, не могут лежать
одновременно вне треугольника АСВ
(как это показано на рисунке 5,6
софизма), что возможно только в
случае, если оба угла САЕ и СВЕ
тупые, а это противоречит свойству
вписанного в окружность
четырехугольника АСВЕ. Таким
образом, правильным будет
расположение (рис. 33), при котором одна
из точек F и G находится внутри
треугольника АСВ, а другая —
вне его. Тогда, поскольку AF=BG
и CF = CG, получаем АС = ВС +
+ AF + BOBC, т. е.
АОВС,
81

что соответствует исходному условию, и потому никакого
противоречия не возникает.
1.33.
На первый взгляд никакой ошибки в рассуждениях софизма
нет. Единственное место, где может содержаться ошибка,—
это равенство (3), которое в случае, если отрезки х и z
равны, не имеет смысла. Действительно, если х = г, то в
равенстве (3) дробь ^~ равна ~, что не имеет никакого
смысла. Докажем, что действительно отрезки х и z равны.
Из соотношений (1) и (2) следуют два уравнения
bx-az = -by,
ax-bz = by,
складывая которые получим, что (a + b)x = (a + b)z, откуда и
следует равенство отрезков х и г.
1.34.
Мы предположили, что большее колесо катится по
прямой DE без скольжения, другими словами, при каждом
полном обороте колеса его центр проходит путь, равный длине
окружности колеса ССг. Меньшее колесо, наглухо
закрепленное с большим колесом и катящееся по прямой FG,
совершает полный оборот, равный длине его окружности, который,
конечно, меньше пути CCY. Значит, меньшее колесо, катясь
по прямой FG, проскальзывает на ней, т. е. катится со
скольжением.
1.35.
Доказательство для чертежа, изображенного в софизме (рис. 8),
проведено верно. Помимо варианта чертежа, принятого в
софизме, можно предположить, что возможен и такой случай,
как показан на рисунке 34.
И для этого варианта доказательство, проведенное
аналогично предыдущему (рис. 8), приводит к тому же итоговому
выводу, а именно что прямой угол
равен тупому.
Однако ошибки в доказательствах
нет. Ошибка же в том, что оба
варианта чертежа (рис. 8 и 34)
неверны. Правильный чертеж
изображен на рисунке 35. Отличие
С правильного чертежа от неправиль-
Рис. 34 ных состоит в том, что вершина В
82

s
Рис. 35 Рис. 36
должна лежать ниже прямой SC, а не выше, как на
рисунках 8 и 34. В этом случае неверный вывод софизма,
конечно, не возникает. Здесь из равенства треугольников ASD и
BSC (по трем сторонам) отнюдь не следует равенство
прямого DAB и тупого ABC углов.
Докажем теперь, что верен именно рисунок 35. Построим
снова наш исходный четырехугольник ABCD и продолжим
его стороны AD и ВС до пересечения (точка Н). Опишем
вокруг получившегося треугольника DHC окружность (рис.
36). Из середины сторон DC и АВ четырехугольника ABCD
восстановим перпендикуляры, которые пересекутся в
некоторой точке S. Покажем, что точка S пересечения этих
перпендикуляров принадлежит окружности, описанной около
треугольника DHC.
Действительно, рассмотрим четырехугольник SGFE (рис. 36),
построение которого понятно из чертежа.
Отметим, что угол а образован перпендикулярами,
восстановленными из середин сторон АВ и DC и
пересекающимися в точке S. Кроме того, угол у=а + Р, так как треугольник
ASB равнобедренный (по построению), в котором высота,
опущенная из вершины S, и биссектриса угла ASB
совпадают. Углы EOF и FOG — центральные углы и потому равны
удвоенным соответствующим вписанным в окружность углам
ESF и FSG. Далее, угол FGO как угол при основании
равнобедренного треугольника OGF равен 90с-(а + Р), тогда
Z.FGS = AFGO + AOGS = 90° - (а + р) + р - 90° - а.
Угол FEO как угол при основании равнобедренного
треугольника OEF равен 90°-(а + Р), тогда £_FES = £.FEO +
+ZO£S=90o-(a + P) + a + y=90° + a, так как у=а + р. Отсюда
следует, что сумма противоположных углов FES и FGS
четырехугольника SGFE равна 90°-а + 90° + сс = 180°, и,
следовательно, вокруг четырехугольника SGFE действительно мо-
83

жет быть описана окружность и все вершины
четырехугольника принадлежат этой окружности. Таким образом,
доказано, что точка -S пересечения перпендикуляров,
восстановленных из середин сторон АВ и DC, лежит на окружности,
описанной вокруг треугольника HCD.
Итак, точка S лежит на окружности и на конце диаметра
SP, а точка Н — на окружности слева от диаметра SP.
Поэтому ASCD>AHCD. Значит, Z.SCD>ABCD, поэтому
вершина В лежит ниже прямой SC. Следовательно, верен
вариант, изображенный на рисунке 35. В этом случае,
конечно, никакого софизма не возникает.
1.36.
Самое интересное, что ошибки в этом софизме нет. В то же
время проведенные в нем преобразования представляют
собой типичный образец так называемой тавтологии.
Чтобы все-таки понять, почему из доказательства получился
нелепый вывод, заметим, что отношение площадей (1)
ЯГ2
можно записать и как отношение -f^k, приравняв которое
к (2) получим т§?= до' откуда АВ2 = ВС-BD. Таким образом,
числитель в равенстве (4) равен нулю, или, что то же самое,
0-BD = 0*BC, откуда становится понятно, что как BD, так и
ВС могут быть равны чему угодно.
1.37.
Проведенное в софизме доказательство верно вплоть до
равенства (3) включительно. Ошибка совершена при переходе
от равенства (3) к равенству (4). Действительно, равным
углам соответствуют равные синусы этих углов. Но обратное
утверждение неверно, т. е. равным синусам необязательно
соответствуют равные углы.
В самом деле, равенство синусов двух углов (3) приводит
не только к равенству этих углов, но и к следующим
равенствам
Y+f -P+f + 2л, y+f = n-b+f ).
Первая формула отпадает, так как углы У+-тг и Р+|г>
будучи углами соответствующего треугольника, не превосходят
каждый 180°. Поэтому остается вторая формула, которая
приводит к очевидному равенству, имеющему место в
треугольнике, а + Р + у=тс, и никакого противоречия не возникает.
Аналогично предыдущему показывается, что равенство (6)
ошибочно.
84

1.38.
Ошибка в этом софизме содержится в неправильном
вычислении отрезков, которые на самом деле представляют собой
длины векторов.
В выражение (1) для длины отрезка МХМ входит отрезок
MtP, который на самом деле равен не г sin (-а) (см.
софизм), a
| М^Р | = | г sin (-а)| = г sin а,
как длина вектора МХР. Поэтому длина вектора МгМ равна
|МХМ| = г sin a + rsin cc= 2 г sin a
и площадь прямоугольника
S = OP- | MXM | = г cos a • 2 r sin a = r2 sin 2 a,
как и должно быть.
1.39.
Ошибка произошла при переходе от равенства (2) к
равенству (3). Действительно, величина AB-SC-AS-CD, на которую
делятся обе части равенства (2), согласно второму равенству
(1) равна нулю. Поскольку деление на нуль недопустимо
(подробнее см. в п. 1.4), то мы и пришли к нелепице,
наблюдаемой в софизме.

т- Глава
Все ли утверждении математики
верны
2.1.
Ошибочен переход от равенства (1) к равенству (2), потому
что квадратный корень из квадрата величины равен не
самой величине, а ее модулю.
Действительно, извлечение квадратного корня из равенства
(1) согласно определению (1.3) приводит вместо равенства (2)
к следующему равенству:
|2/j_2IM±i| = |2n + 1_2(2^±]L|>
Выражение, стоящее под знаком модуля слева, как легко
убедиться, меньше нуля, а выражение, стоящее справа,
больше нуля. Согласно правилу раскрытия модуля (1.2)
получим
откуда получаем тождество 2(2п) + 1 = 4п +1.
2.2.
Ошибка в софизме заключается в следующем.
Заметим, что если числа а, Ъ, с и d неотрицательны, то их
сумма a + b + c + d может быть равна нулю только в том
случае, если каждое из этих чисел равно нулю. Так, цифры,
составляющие любое число, естественно, неотрицательны,
поэтому из равенства нулю суммы цифр числа следует, что эти
цифры должны быть равны нулю, а потому и само число
равно нулю.
В сумме цифр (a-a1) + (b-b1) + (c-c1) + (d-d1) числа F-Fx из
формулы (1) могут быть и отрицательные слагаемые,
поскольку отдельные цифры числа F1 могут быть больше
соответствующих цифр числа F. Поэтому из равенства нулю этой
суммы совсем не следует равенство нулю всех ее слагаемых,
а значит, и равенство нулю самого числа F-Fx.
2.3.
В софизме совершен неправильный переход от равенства (3)
к неравенствам (4) и (5).
Неравенства (4) и (5) получены на том основании, что если
86

a = b + c, то a>b и а>с, так как сумма слагаемых больше,
чем каждое слагаемое. Это действительно так, если а, Ъ и с
положительны. В равенстве же (3) другая ситуация.
Прежде всего заметим, что левая часть равенства (3)
согласно равенству (6) всегда равна нулю. Это означает, что
сумма, стоящая в правой части равенства (3), равна нулю, что
может быть только в трех случаях:
1) обе скобки в правой части равенства (3) равны нулю;
2) первая скобка положительна, вторая отрицательна;
3) вторая скобка положительна, первая отрицательна.
Разберем случаи 1 и 2, случай 3 аналогичен случаю 2.
I случай. Вместо неравенств (4), (5) и (7) получим равенства
lo&x + log, y= = 0 и log,y + log, -= = 0.
Повторяя все рассуждения софизма, начиная с (8), только с
заменой везде знака неравенства на знак равенства, мы
просто придем к равенству х = у, показывающему условие
выполнения первого случая.
II случай. Пусть
lo&x + log, ^=>0, а lo&y + log, у=<0. (*)
Тогда, следуя ходу доказательства в софизме, получим
log,*>-log, ^= и log,y<-log, J=,
или
log, x > log, \fxy~ и log, у < log, \[xy, (**)
а так как
log, \[x~y = log, (xyfi = \ log, (xy) = \ log, x + \ log, y,
то вместо (**) получаем
\ogax> \\ogax+ \\ogay и log,i/<-|-log,*+-|-log,i/,
или
\\ogax> \\ogay и -|-log,i/<ilog,x,
или, что то же самое, log, x> log, у и log, г/< log, х, откуда
следует просто два одинаковых неравенства х>у и у<х, если
основание логарифма о>1, или х<у и {/>*, если основание
логарифма 0<а<1, которые показывают, каким условиям
должны удовлетворять переменные х и у, чтобы имели
место исходные неравенства (*).
Так что заключение софизма, конечно, неверно и от
перемены мест слагаемых значение суммы не изменяется, т. е. пе-
реместительный закон сложения верен.
87

2.4.
Софизм опирается на неравенство (11) предыдущего софизма,
ошибочность которого доказана выше (см. п. 2.3).
2.5.
Ошибка заключается в следующем.
Формула (1), приведенная в софизме, имеет место только при
А>0. Если же п — четное число, то для любого А^О
справедлива другая формула:
п1о&|А| = 1о&А". (2.1)
Поэтому при п = 2 необходимо пользоваться формулой (2.1),
так что вместо неправильного соотношения (2) в софизме мы
должны записать 21о&|-А| = 1о£,(-А)2.
2.6.
Ошибки заключены в соотношениях (1) и (2).
Действительно, корень четвертой степени из х4 не равен величине х, как
это ошибочно записано в левой части (1). Согласно
определению корня четной степени из числа, возведенного в ту же
четную степень,
"VS2*=|e|, (2.2)
где \а\ определяется формулой (1.2). Поэтому вместо
ошибочного соотношения (1) надо написать, что
|х|=4у(-а)2(-а)2. (*)
Что касается соотношения (2) софизма, то здесь дело в том,
что формула
сА = ^!а™ (2.3)
определена только для а>0 (тип — натуральные числа).
Так как по условию софизма число а положительно, то -а
2
отрицательно, поэтому выражение (-а)2 не определено.
Правильно равенство (2) с учетом равенства (*) запишется так:
|x| = V|a|'VM=e.
Так как по условию софизма х=-а, то приходим к верному
равенству |-а| = а.
.#.
Пределом длины волнообразной линии Ln, состоящей из п
равных полуокружностей, построенных на диаметре большой
88

полуокружности радиусом г, является, конечно, пг.
Равенство же (1) неверно, так как рисунок создает лишь иллюзию
неограниченного приближения длины Ln к диаметру 2г
большой полуокружности при неограниченном возрастании
п. Хотя при гс-*оо радиусы полуокружностей и стремятся к
нулю, но в то же время складывается бесконечное число
длин этих полуокружностей, сумма которых всегда остается
постоянной и равной пг.
Покажем, что пределом длины Ln не может являться длина
диаметра 2г. Согласно определению предела величина 2г
будет пределом последовательности хп = кг, если для каждого
положительного числа е>0, сколь бы мало оно ни было,
существует такой номер N, что все значения хп, у которых
номер n>N, удовлетворяют неравенству
\хп-2г\<е. (*)
Так как переменная хп равна пг, то левая часть
неравенства (*) примет вид \nr-2r\ = r(n-2)>r, откуда следует, что не
существует такого п, при котором бы для любого, сколь
угодно малого числа е справедливо неравенство г(л-2)<е.
Этот софизм наглядно иллюстрирует, почему в математике
аргумент типа «это следует из чертежа» не может
приниматься всерьез и служить доказательством чего бы то ни
было.
2.8.
В этом софизме содержатся следующие ошибки.
Во-первых, основанием логарифма может быть не любое
число а^О, как это сказано в начале софизма, а только
число, удовлетворяющее условиям а>0 и а^1.
Во-вторых, неверна формула (1). Согласно определению (2.1)
имеем вместо (1) равенство
1о&1 = 1о&(-1)2 = 21о&|-1| = 0,
откуда получается верное равенство о°=1.
2.9.
В софизме нарушено следующее правило:
При умножении обеих частей неравенства на одно и то же
отрицательное число знак неравенства меняется на
противоположный.
Так, при умножении неравенства (1) софизма на
отрицательное число —а, вместо (2) получим
~2ап + а>-2ап,
откуда следует исходное условие софизма а>0.
89

2.10.
Первая ошибка в софизме состоит в следующем: знаменатель
прогрессии (1) равен -1, и вычисления по формуле (2)
проводить нельзя, так как формула (2) для суммы бесконечно
убывающей прогрессии справедлива только для знаменателя
о<Ы<1.
Замечание. Перед тем как проводить какие-либо действия
с любым бесконечным рядом, необходимо сначала
установить, что данный ряд имеет конечную сумму (другими
словами, установить, сходится ли данный ряд). Если у ряда
суммы не существует, то любые действия с ним не имеют
никакого смысла.
Вопрос существования суммы бесконечного ряда решается с
помощью определения предела последовательности
частичных сумм, о чем подробно написано в п. 1.17. Для
рассматриваемого ряда 1-1 + 1-1 + 1-1 + ... частичные суммы
равны St=l, S2=l-1 = 0, S3=l —1 + 1 = 1, ..., т.е. попеременно
равны то 1, то 0, и рассматриваемый ряд предела не имеет.
Таким образом, суммы ряда (1) не существует, и потому
любые действия с ним, в том числе и действия по нахождению
его суммы, бессмысленны.
В частности, в бесконечных, даже сходящихся, т. е.
имеющих конечную сумму, рядах перемещение и
перегруппировка членов могут изменять свойства рядов и их сумму.
Примером этому служит ряд
1 2 + 3 4 + 5
сумма которого существует и равна In 2. В то же время
перегруппировав его члены и представив в виде
(i+i+i+-MW+*+~)-
получим два ряда, каждый из которых суммы не имеет.
Подробнее см. п. 1.21.
2.11.
Объяснение данного софизма фактически дано при разборе
предыдущего (п. 2.10).
2.12.
Ошибка заключается в следующем. Равенство (1)
действительно справедливо при всех значениях х и потому
является тождеством. Полученное из него равенство (2)
справедливо уже не для всех значений х. Так, х не может быть равен 2,
так как знаменатели в левой и правой частях (2)
обращаются при этом в нуль, и х не может быть равен 3, так как зна-
90

менатель в правой части (2) также обращается в нуль. При
х = 3 равенство (1) принимает вид 2=~, который не имеет
смысла (подробнее см. в п. 1.4). Соотношение же (4)
получено из (3) именно при х = 3, что и привело к нелепому
результату.
2.13.
Ошибка заключается в том, что в формуле (1) проведены
незаконные преобразования.
Ряд, стоящий справа в выражении (2), действительно имеет
своей суммой 2 In 2. Это следует из теоремы, доказываемой
в теории рядов1:
Если члены сходящегося ряда умножить на один и тот же
множитель с, то его сходимость не нарушится, а сумма
умножится на с.
Дальнейшие же манипуляции с рядом (2), заключающиеся в
перегруппировке его членов и сложении членов с
одинаковыми знаменателями, незаконны, потому что сходящийся
ряд (2) не является в то же время абсолютно сходящимся.
Другими словами, ряд, составленный из абсолютных
величин членов ряда (2), расходится (подробнее см. п. 1.21).
Поэтому любые перестановки членов ряда (2) и другие
действия над ними приводят к изменению суммы ряда, что мы и
наблюдаем в настоящем софизме.
По сути дела, ряд (2) представляется в виде разности двух
рядов с положительными членами, т. е.
=(2+f+f+f+...)-(i+±+i+i+-)>
а затем скобки раскрываются, приводятся подобные члены и
«получается» ряд (3). Легко видеть, что оба ряда, стоящие в
скобках, представляют собой гармонические ряды, которые
являются расходящимися, т. е. не имеют конечной суммы (о
гармонических рядах см. в п. 1.21), а любые действия с
расходящимися рядами бессмысленны. Поэтому сумма ряда (3),
полученного в результате описанных действий над рядом (2),
конечно, не будет равна 2 In 2, как это записано в левой
части (3), поскольку сумма ряда (2) после этих преобразований,
естественно, изменилась. А так как ряд (3) действительно
совпадает с рядом (1), то его сумма равна In 2, так что
никакого софизма не возникает.
1 См., например: Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и
интегрального исчисления. Т. 1.— М.: Наука, 1969.
91

2.14.
Переход от равенства (1) к равенству (2) ошибочен. Согласно
определению (1.3) извлечение квадратного корня из
равенства (1) приведет вместо неверного равенства (2) к равенству
|*-2а| = |х|. (*)
Пусть с>0. Так как по условию х = а, то л:>0 и л:-2а<0.
Тогда в соответствии с определением модуля (1.2) равенство
(*) примет вид -х + 2а = х, откуда просто получаем исходное
равенство х = а.
Если а<0, то х<0, х-2а>0 и равенство (*) примет вид
х-2а = -х, откуда снова получаем исходное равенство х = а.
2.15.
Поскольку логарифм отрицательного числа не существует, то
любые дальнейшие преобразования не имеют смысла.
(См. также объяснение в п. 2.5.)
2.16.
Ошибка заключается в неверном утверждении, что для
возрастающей последовательности предела не существует.
Действительно, например, последовательность
0,3, 0,33, 0,333, ..., 0,33...3, ...
П цифр
является возрастающей, но для нее, очевидно, существует
предел и он равен ~.
Другим примером является последовательность
хх = \[с, j^=Vc+Vc, x3=\/c+ ^с + \1с, ...
с общим n-членом (с > 0) хп = \jc+ \Jc+...+ у/с.
п радикалов
Эта переменная хп монотонно возрастает, и в то же время мож-
u V4c+1+1
но показать, что она имеет предел, равный -*—2 .
Общим в приведенных примерах является ограниченность
этих последовательностей сверху. Так, первая
последовательность ограничена, например, числом 1, а вторая, например1,
1 Действительно, X! = Vc<Vc+l. Предположим, что и хп< vc + 1. Тогда для
п +1-го члена последовательности имеем
х„+1 = \lc+xn< Vc+Vc+1< Vc+2Vc+l= V(Vc+l)2=Vc +1,
что и завершает наше доказательство методом математической индукции.
92

величиной Vc+1. С другой стороны, последовательность а, а2,
а3, ... для а>1 является возрастающей, но неограниченной
сверху, и, как нетрудно понять, предела не имеет.
Приведенные примеры иллюстрируют следующую теорему:
Пусть дана монотонно возрастающая последовательность хп,
п=1, 2, 3, ... . Если эта последовательность ограничена
сверху, т. е. хп<М, то она имеет конечный предел. В противном
же случае она стремится к +оо.
Аналогичная теорема имеет место и для монотонно
убывающей последовательности, при этом для существования у нее
конечного предела она должна быть ограничена снизу.
Обратимся теперь к рассмотренной в софизме
последовательности с общим членом (l+тН • В софизме доказано, что она
является монотонно возрастающей, но утверждение, что у
нее нет конечного предела, неверно, потому что эта
последовательность является ограниченной сверху. Действительно,
разложим общий член последовательности с помощью
формулы бинома Ньютона, а именно:
1,П"_-,,„ 1 | n(n-l) 1 в(в-1)(в-2) 1
в(в-1)...(в-в + 1) ,_L<i , 1 , Х + Х+ + ±-<
+ в! в" ltl+ 2! + 3! +-"+ в!
<l + l + | + i + ... + -|r = l + Sn, (*)
где Sn — сумма убывающей геометрической прогрессии с
первым членом ах = 1 и знаменателем q = 4, равная
g^l-g") 1'(M?)) ^-о
2
Следовательно, вместо (*) получим окончательное
неравенство (1 + -Д-] <1 + 2 = 3, доказывающее ограниченность сверху
(числом 3) рассматриваемой нами последовательности.
Таким образом, согласно приведенной выше теореме
последовательность с общим членом (1 + -J-J , и = 1, 2, 3, ..., имеет
конечный предел и этот предел равен замечательному числу е.
2.17.
В теории пределов справедливо следующее утверждение:
Если две переменные равны и каждая из них имеет
конечный предел, то эти пределы равны.
Однако обратное утверждение неверно, т. е. из равенства
пределов двух переменных не следует, что сами эти переменные
равны, что и иллюстрируется данным софизмом.
93

2.18.
Здесь допущена ошибка при интегрировании синуса. При
вычислении с помощью интегрирования площади фигуры,
заключенной между осью Ох и некоторой кривой, необходимо
учитывать, что площадь при этом получается со знаком
«плюс» или «минус». Это означает, что если кривая
расположена над осью Ох, то площадь имеет знак «плюс», а если
под осью Ох — знак «минус».
Синус на отрезке [0; л] положителен, а на отрезке [л; 2л]
отрицателен. Поэтому площадь фигуры, заключенной между
синусоидой и осью Ох, на отрезке [0; л] равна
к
8[о, п] = Мп xdx = - cos x £ = 1 + 1 = 2, а на отрезке [л, 2л] пло-
2л
щадь равна S^, 2я]=J sin xdx = — cos x\* = — 1 — 1 = - 2.
Тогда площадь Sj0> 2л] на отрезке [0, 2л] будет равна <^02г[) =
= S\o, 71]+!%, 2л]1=4, а на отрезке [0, 2лп] составит S[0i 2та]=4га.
2.19.
В соотношениях (1) и (2) неправильно записаны выражения
для неопределенных интегралов.
Правильная запись неопределенного интеграла от некоторой
функции f(x), имеющей первообразную F(x), такова:
j f(x)dx = F(x) + C, где С — произвольная постоянная,
которая, однако, зависит от вида первообразной F(x).
Поэтому к правым частям соотношений (1) и (2) добавим
постоянные С, которые, вообще говоря, не равны между собой.
Тогда вместо (1) получим jsinxcosxdx=^sin2x + C1,
а вместо (2) получим jsinxcosxdx = -^ cos2x + C2.
При вычитании последнего равенства из предыдущего
вместо полученного в софизме следует
0 = sin2 х + cos2 х + 2СХ - 2С2.
Постоянные Сх и С2 находятся из дополнительных условий.
В нашем случае таким условием является как раз верное
тригонометрическое тождество sin2 зс + cos2 л: = 1, которое и
приводит к соотношению между постоянными, т. е. к
равенству 2Cj—2Сх=1. Таким образом, пренебрежение постоянной
интегрирования в выражении для неопределенного
интеграла приводит к ошибочным результатам.
94

2.20.
Ошибка заключается в том, что при интегрировании
дифференциального уравнения (1) опущена постоянная
интегрирования. Поэтому равенство (2) ошибочно.
Правильно проинтегрированное равенство (1) будет иметь
следующий вид:
у' = -у2 + С. (*)
Учитывая, что у'=—г^—, j/2 = ctg2x, из равенства (*) получим
-^V=-ctg2x + C. (**)
sin2 ж v '
Найдем постоянную интегрирования С. Подставив в (**)
выражение ctg х = с?^ , после несложных преобразований
получим
С =
так что равенство (**) представляет собой просто известное
тригонометрическое тождество -т~ ctg2 х = 1.
Следовательно, пренебрежение постоянной интегрирования в
неопределенном интеграле приводит к неправильным результатам.
2.21.
Этот софизм подобен софизму 7 главы 2. Предел суммы Sn
всех звеньев ломаной равен при любом п, в том числе и при
п-*оо, конечно, равен АВ+АС. Рисунок же создает лишь
иллюзию приближения суммы Sn к гипотенузе прямоугольного
треугольника ABC.
Длина гипотенузы ВС равна пределу другой
последовательности. Так как у одной ступеньки ее высота равна 4r> a дли-
на равна **=-, то гипотенуза этой ступеньки, лежащая на ги-
НАС\2 I АВ\2
потенузе ВС, равна (по теореме Пифагора) /I — 1 +1—1 .
Сумма Ln гипотенуз всех п ступенек равна, очевидно,
•п^4^--№+Ш.
не зависит от п, и ее предел будет равен длине гипотенузы
BC = \jAC2+AB2-
Этот софизм, как и софизм 7, показывает, что значение
предела любой последовательности необходимо устанавливать
только строгими математическими методами. Подмена
строгого доказательства простой ссылкой на рисунок всегда
приводит к ошибкам, подобным этой.
95

2.22.
Ошибка здесь кроется в неправильно построенном чертеже.
На самом деле окружность, проведенная через точки Е, F и D
(рис. 15), обязательно пройдет через вершину В угла ABC,
т. е. точки В, Е, F и D обязательно должны лежать на
одной окружности. Тогда, конечно, никакого софизма не
возникает.
Действительно, восстановив перпендикуляры в точках Е и D
к прямым ВС и ВА соответственно и продолжив их до
взаимного пересечения в точке F, получаем четырехугольник
BEFD (рис. 15). У этого четырехугольника сумма двух его
противоположных углов BEF и BDF равна 180°. Но
согласно известному в геометрии утверждению
вокруг четырехугольника можно описать окружность тогда
и только тогда, когда сумма двух его противоположных
углов равна 180°.
Отсюда следует, что все вершины четырехугольника BEFD
должны принадлежать одной окружности. Поэтому точки G
и Н совпадут с точкой Б и у окружности окажется, как и
должно быть, один центр.
2.23.
Здесь ошибка в неправильно построенном чертеже (рис. 16).
На самом деле точка пересечения двух полуокружностей I и
II, построенных на сторонах АВ и ВС треугольника ABC как
на диаметрах, всегда будет лежать на третьей стороне АС
треугольника (см. рис. 37). Тогда заключение софизма о том,
что из одной точки можно опустить два перпендикуляра на
прямую, конечно, становится неверным.
Докажем, что это действительно так, т. е. что в
произвольном треугольнике точка пересечения двух полуокружностей
(I и II), построенных на сторонах треугольника как на диаме-
Рис. 37
96
Б(0;0)

трах, всегда лежит на третьей стороне этого треугольника.
Схема доказательства такова: находим сначала координаты
х* и у* точки D, в которой должны пересечься
полуокружности I и II, и подставляем найденные значения в уравнение
прямой АС. Если точка (х*; у*), будучи подставлена в
уравнение прямой АС, обратит это уравнение в тождество, то тем
самым и будет доказано наше утверждение.
Проведем оси координат Ох и Оу так, как показано на
рисунке 37, и обозначим через а угол между стороной АВ и осью
Оу. Точка пересечения двух полуокружностей I и II
определяется как решение системы уравнений, каждое из которых
представляет собой уравнение соответствующей
полуокружности:
1[х-Щ\у*=^,
\{х+^i~sin аТ+{у - ^тcos аГ= ^т~ •
Решением этой системы уравнений будет точка (0; 0) —
начало координат, и точка D с координатами
где д= BC+ABsina ^
АВ cos a
Составим уравнение прямой АС. Оно имеет вид
y = -k-(x-BC), (**)
где k — тангенс угла наклона прямой АС к оси Ох, равный
и_ АВ cos a _ J^
_ JSC+ABsincc _ а '
Подставив теперь найденные значения х* и у* из (*) в
уравнение прямой (**), получим в левой части этого уравнения
а-ВС
У
в правой части
1+а
2 >
.k-(x,-BC)=-i-(^~-BC
1 ( вс вп\ „ _вс_
1+а2
Мы видим, что левая и правая части уравнения
y*=-k-(x*-BC) при подстановке в него точки пересечения
(х*; у*) полуокружностей I и II равны между собой, что и
доказывает наше утверждение: точка пересечения D двух
полуокружностей I и II, построенных на сторонах АВ и ВС
треугольника ABC как на диаметрах, лежит на третьей
стороне АС треугольника (см. рис. 37).
97

2.24.
Причиной ошибочного вывода в софизме является
неправильно построенный рисунок 17.
В предыдущем п. 2.23 было доказано, что точка пересечения
двух окружностей, построенных на сторонах произвольного
треугольника как на диаметрах, обязательно лежит на
третьей стороне треугольника. Поэтому точка пересечения D двух
полуокружностей, построенных на сторонах АВ и АС, лежит
на стороне ВС, т. е. точка D должна совпасть с точкой Е
(рис. 17), т. е. ошибочный вывод софизма отпадает.
2.25.
Данный софизм аналогичен софизмам 23 и 24 главы 2. Как
и в этих софизмах, точка пересечения двух
полуокружностей, построенных на сторонах АС и ВС, обязательно должна
лежать на третьей стороне АВ треугольника ABC
(доказательство см. в п. 2.23). Другими словами, точки D и Е,
лежащие на гипотенузе АВ, обязательно должны совпадать
(рис. 18), поэтому и перпендикуляр, опущенный из
вершины С на сторону АВ, будет единственным, и окружность,
описанная из точки С радиусом CD, коснется гипотенузы АВ,
конечно, в одной точке D. Таким образом, при правильно
построенном и обоснованном чертеже вывод софизма отпадает
сам собой.
2.26.
Ошибочное заключение софизма получено из-за неверно
построенной на рисунке 19 точки F.
Действительно, в условии сказано, что прямая EF
проводится параллельно прямой CD, которая перпендикулярна
прямой AG (тоже по построению). Тогда прямая EF также
должна быть перпендикулярна прямой
AG. Если бы прямая EF,
перпендикулярная прямой AG, пересекала
ее в точке S (рис. 38), то угол ERD
был бы тупым, что невозможно,
так как угол ERD является углом,
вписанным в окружность и
опирающимся на диаметр, а
следовательно, прямым. Поэтому точка F
должна совпадать с точкой R
окружности. Тогда, конечно, прямая
DB совпадает с прямой DG и
ошибочный вывод софизма не будет
иметь места.
98

Рис. 39
2.27.
Данный софизм подобен предыдущему и содержит ошибку
того же рода, а именно: положение точки К на рисунке 20
определено неправильно.
Действительно, перпендикуляр к прямой EF,
восстановленный из точки Н, будет одновременно и перпендикуляром к
прямой CD, которая параллельна прямой EF (по условию).
Так как точки Ни(?на сторонах прямого угла,
образованного прямой CD и перпендикуляром к EF, лежат на
диаметре окружности, то и вершина Р этого прямого угла должна
лежать на окружности (рис. 39). Следовательно, точка К
«перпендикуляра» НК должна совпасть с точкой Р, а НК
слиться с истинным перпендикуляром HP. Тогда
ошибочного заключения софизма не возникает.
2.28.
Разгадка софизма связана с предельным переходом при
неограниченном числе построений равнобочных трапеций.
Заметим, что софизм благополучно разрешается, если на
каком-то шаге построения трапеций длина отрезка, лежащего
на секущей с, становится равной нулю, что возможно лишь
в точке пересечения непараллельных прямых а и Ъ. В этом
случае боковые стороны трапеции, построенной на этом
шаге, также будут нулевыми и кажущееся противоречие в
софизме пропадет. Покажем, что неограниченный процесс
построения трапеций в софизме действительно приводит к
этому случаю.
Введем следующие обозначения: а — острый угол,
образованный прямой с и любой из прямых а и Ъ (по построению
прямая с образует с прямыми а и Ъ равные острые углы),
^о — длина начального отрезка АВ.
99

Тогда длина следующего отрезка CD равна lx=CD = J0(l-cosa),
длина отрезка EF равна
12 = EF = 1Х (1 - cosa) = 10 (1 - cosa)2
и вообще длина п-го отрезка 1„ равна lrl=l0(l-cosa)". Так
как 0<l-cosa<l, то последовательность переменной
ln=l0(l-cosa)n является убывающей, а ее предел
limL = 0.
п -*оо
Это означает, что при бесконечном процессе построения
длина отрезка 1п и боковые стороны трапеции 4%, построенные на
прямых а и Ъ, стремятся к нулю и при п —■ оо стягиваются в
точку, которой может быть только точка пересечения двух
непараллельных прямых а и Ъ.
2.29.
Рассуждения софизма верны вплоть до равенства (3)
включительно. Переход же от равенства (3) к равенству (4)
ошибочен.
Действительно, равенство (3) приводит не только к
равенству углов (4), но и к равенствам
а + Р = у+2п и а + Р = л-у.
Первая формула не подходит, так как углы ос + р* и у»
будучи углами треугольника, не превосходят каждый 180° или п.
Поэтому остается вторая формула, применение которой
приводит просто к известному равенству для суммы углов в
произвольном треугольнике, а именно
a + P + y=7t,
и, конечно, ошибочное заключение софизма отпадает.
2.30.
Здесь ошибочен переход от равенства (1) к равенству (2). В
самом деле, в геометрии известна формула, связывающая
площадь S произвольного треугольника со сторонами а, Ъ и с
и радиусом R окружности, описанной около этого
треугольника. Эта формула имеет вид S=^-£, поэтому ARS-abc = Q.
Следовательно, равенство (1) равносильно равенству а-0 =
= Ь-0, которое справедливо для любых чисел а и Ъ, отнюдь
не равных между собой.
100

4Я&
► Глава ч9
Неравенство одинаковых величин
3.1.
В этом софизме при переходе от равенства (3) к равенству (4)
совершена стандартная ошибка, а именно произведена
незаконная операция деления на нуль, так как согласно
равенствам (1) а-Ь = 0 и d-c = 0 (подробнее о делении на нуль см.
объяснения в п. 1.4).
3.2.
Неравенства (1) верны, но неравенство (2) уже неверно.
Это объясняется тем, что переход от неравенств (1) к
неравенству (2) не равносилен, так как sin (я + х)<0 и
cos (л + х)<0, а по правилам действия с неравенствами
перемножать можно неравенства с положительными членами.
Проведем правильные преобразования неравенств (1).
Запишем их в виде
sinx-sin (я + х)>0, cos x-cos (я + х)>0.
Так как слева в этих неравенствах стоят положительные
величины, то первое из неравенств можно умножить на второе,
не изменяя знака неравенства, в результате придем к
равносильному неравенству
(sin x-sin (n + x))(cos x-cos (л + х))>0,
или, раскрывая скобки, к неравенству
sinx cos x>sin (7t+x)cos x+sinxcos (n+x)-sin (rc+x)cos (n+x).
Так как sin (7i + x)cos x + sinxcos (7t+x)=sin (n + 2x), то
последнее неравенство примет вид
sinx cos x>sin (7C+2x)-sin (7t + x)cos (n+x),
или, воспользовавшись формулами приведения, получим
sin 2x>2 sin (n+2x)-sin (2я + 2х)=-2 sin 2x-sin 2x =
= - 3sin2x.
В результате получено просто верное неравенство.
3.3.
Здесь допущена та же ошибка, что и в предыдущем
софизме, а именно совершен неравносильный переход от одного
101

неравенства к другому при недопустимом перемножении
неравенств.
Проделаем правильные преобразования неравенств.
Запишем неравенства (1) в виде
a + b>0, b + b>0.
Левые части этих неравенств положительны,
следовательно, умножая почленно оба эти неравенства, получим
неравенство
(a + b)(b + b)>0, или а>-Ъ,
что представляет собой просто верное неравенство.
Аналогично предыдущему, записывая неравенства (3) в виде
Ь + а>0, а + а>0,
получим просто верное неравенство Ъ>-а.
3.4.
На самом деле никакого противоречия здесь нет, потому что
при сравнении двух бесконечных множеств, т. е. множеств,
имеющих бесконечное число элементов, устанавливается не
равенство элементов множеств и не равенство количества
элементов множеств, а устанавливается только
эквивалентность множеств, или, другими словами, взаимно
однозначное соответствие между элементами множеств. И если
можно установить взаимно однозначное соответствие между
элементами одного множества и элементами другого
множества, то это будет означать, что эти два бесконечных
множества эквивалентны, или, как говорят в теории множеств,
имеют одинаковую мощность. Взаимно однозначное
соответствие между множеством всех натуральных чисел N и
множеством квадратов этих чисел К устанавливается по
следующей схеме:
п: 1 2 3 4 5...
п2: I2 22 З2 42 52...
То есть каждому элементу n£N соответствует только один
элемент п2£К. Значит, оба множества эквивалентны
(мощность обоих множеств одинакова), хотя их элементы и
отличаются друг от друга по величине. В теории множеств
множество, элементы которого можно поставить во взаимно
однозначное соответствие с множеством всех натуральных
чисел, называется счетным (т. е. элементы можно сосчитать,
присваивая им последовательно номера 1, 2, 3 и т. д.).
Точно так же множество степеней двойки, т. е. множество с
элементами 2", n€N, является счетным. Отметим, что даже
множество всех рациональных чисел является счетным. А вот
102

если элементы какого-нибудь бесконечного множества
нельзя поставить во взаимно однозначное соответствие с
множеством натуральных чисел, то такое множество называется
несчетным. Например, множество всех точек на единичном
отрезке [0; 1] прямой несчетно. Несчетно также множество
действительных чисел.
Итак, важно понять, что между конечными и бесконечными
множествами существует принципиальное отличие. Если
конечные множества можно сравнивать между собой по числу
элементов в них, то в бесконечных множествах можно
устанавливать только взаимно однозначные соответствия между
элементами множеств, т. е. их эквивалентность. Так, у
конечного множества всякое его подмножество содержит
меньшее число элементов, и потому часть, конечно, не равна
целому. Для бесконечных же множеств именно в силу
бесконечного количества элементов в них понятие
одинакового или разного количества элементов отсутствует. В
бесконечном множестве можно выделить его часть,
подмножество, которое будет эквивалентно самому множеству, как
в рассматриваемом софизме. Натуральных чисел тоже
оказывается «столько же», сколько и всех четных положительных
чисел, хотя их явно «меньше» (взаимно однозначное
соответствие устанавливается схемой n<-»2n, n€N).
В этом смысле у бесконечных множеств часть может быть
эквивалентна (но не равна!) целому1.
3.5.
Ошибка, допущенная в этом софизме, состоит в нарушении
правила действий с именованными величинами:
I все действия, совершаемые над величинами, необходимо со-
I вершать также и над их размерностями.
Действительно, перемножая равенства (1) и (2), мы получим
не (3), а следующее равенство
10 р.2 = 100000 к.2,
которое после деления на 10 дает
1 р.2 = 10 000 к.2, (*)
а не равенство 1 р. = 10000 к., как это записано в софизме.
Извлекая квадратный корень из равенства (*), получаем
верное равенство
1 р.= 100 к.
Подробное изложение теории множеств содержится, например, в кн.:
Колмогорова. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и
функционального анализа; Александров П. С. Введение в общую теорию множеств и
Функций.
103

3.6.
Ошибка в этом софизме состоит в иллюзии, что разрезанные
фигуры в действительности составляют исходный
треугольник.
Дело в том, что длины отрезков АВ и CD (рис. 23, а) не
равны четырем клеточкам, как это может показаться из
рисунка.
Действительно, тангенс угла наклона боковой стороны
треугольника к его основанию равен отношению 12 кл" ,
поэтому длина отрезка АВ (или отрезка CD) равна
2-5-^ = 4,166 (кл.),
а не четырем клеточкам, как это кажется исходя из
рисунка 23. «Набегающая» разница в две клеточки между
площадями, «покрываемыми» составляющими треугольник
фигурами, как раз и есть «цена иллюзии».
3.7.
Ошибка заключена в равенстве (2).
Нетрудно заметить, что правая часть в равенстве (2) равна
единице при х^а-Ь, а при х = а - Ъ не имеет смысла, так как
в этом случае производится деление на нуль, что
недопустимо (подробнее о делении на нуль см. в п. 1.4).
3.8.
В софизме допущена неточность при укладывании частей,
составляющих квадрат, показанный на рисунке 24, а, в новом
порядке, показанном на рисунке 24, б.
Дело в том, что BE только на глаз является прямой. На
самом деле BE является ломаной, т. е. точки В, С и £ не
лежат на одной прямой. Чтобы убедиться в этом, достаточно
вычислить тангенсы углов наклона прямых ВС и СЕ.
Понятно, что, для того чтобы эти прямые совпадали, необходимо,
чтобы тангенсы их углов наклона были равны между собой.
Итак, тангенс угла наклона прямой ВС равен \ = 0,4, а пря-
мой СЕ равен 4=0,375. Эти тангенсы не равны между собой,
о
и потому ВСЕ не прямая, а ломаная, поэтому
прямоугольник на рисунке 24, б не равновелик квадрату на
рисунке 24, а. Легко догадаться, что между верхней и нижней
частями прямоугольника (рис. 24, б), отделенными друг от
друга прямыми ВС и СЕ, имеется маленький зазор, площадь
104

которого как раз равна 1 см2, что и делает площадь
прямоугольника большей на 1 см2 площади квадрата (рис. 24, а).
Столь малое различие в тангенсах углов наклона прямых ВС
и СЕ и объясняет незаметное для глаза их отклонение друг
от друга.
3.9.
В софизме неправильно построены точки К и L, что и
привело к неверному выводу.
Действительно, прямые CF и CG параллельны стороне АВ
треугольника ABC, так как равны соответствующие
внутренние накрест лежащие углы (Z.FCA = /.CAB, AGCB = /LCBA no
построению). Поэтому перпендикуляры к АВ,
восстановленные из вершин А и В, должны быть также
перпендикулярами и к прямым CF и CG (рис. 25). Поскольку углы,
образованные этими перпендикулярами и прямыми CF и CG,
опираются на диаметры соответствующих окружностей, то
вершины этих углов, будучи прямыми углами, должны
лежать на соответствующих окружностях. Значит, прямая DC
должна слиться с прямой CF, а прямая СЕ должна слиться
с прямой CG. Соответственно точка К будет лежать на
прямой CF и на окружности точно так же, как и точка L будет
лежать на своей окружности и на прямой CG. Вследствие
этого вывод софизма не будет иметь места.
3.10.
Софизм связан с тем, что у бесконечных множеств понятие
количества элементов отсутствует (подробнее см. в п. 3.4). И
кроме того, длина отрезка, площадь и объем фигуры не
определяются суммой точек отрезка или фигуры, количество
которых бесконечно.
В софизме осуществлено взаимно однозначное соответствие
между двумя бесконечными множествами: множеством всех
точек ломаной ABC и множеством всех точек прямой g.
Такое взаимно однозначное соответствие означает только, что
эти два бесконечных множества эквивалентны. Но говорить,
что у этих двух множеств количество точек одинаково,
нельзя именно в силу бесконечности множеств. Об одинаковом
или различном количестве элементов у двух множеств
можно говорить только тогда, когда множества конечны. Для
бесконечных же множеств понятие количества элементов
отсутствует, так как бессмысленно говорить, какая
бесконечность больше. Например, множество N всех натуральных
чисел п = 1, 2, 3, 4, 5, ... эквалентно множеству всех
положительных нечетных чисел k = 2n-l, потому что между
этими двумя множествами имеется взаимно однозначное со-
105

ответствие п<->2/г-1, n€iV, хотя, казалось бы, нечетных
чисел 1, 3, 5, 7, ... явно «меньше», чем натуральных чисел
1, 2, 3, 4, 5, ....
3.11.
Ошибки здесь нет, поэтому столь неожиданный результат
лучше назвать парадоксом, чем софизмом.
Наглядно представить результат софизма можно следующим
образом. Хотя количество прямоугольников бесконечно, но
каждый последующий прямоугольник меньше предыдущего,
поэтому вся бесконечно протяженная ступенчатая фигура
состоит из прямоугольников с убывающей площадью. Поставив
умозрительно все прямоугольники, начиная со второго, друг
на друга, мы увидим, что их суммарная высота не превысит
высоты первого квадрата. Другими словами, бесконечная
сумма площадей всех прямоугольников является
ограниченной и, следовательно, конечной.
3.12.
Ошибка в софизме заключается в том, что в формуле (1)
(нахождения площади треугольника через координаты его
вершин) необходимо учитывать знак «плюс» или «минус»,
который, в свою очередь, зависит от направления обхода
вершин треугольника. Формула (1) дает площадь
треугольника со знаком «плюс», если вершины треугольника
пронумерованы в направлении против часовой стрелки, и со
знаком «минус», если они пронумерованы по часовой стрелке.
Неучет в софизме знака площади и привел к нелепому
выводу.
Поясним наличие знака у площади треугольника,
вычисляемой по формуле (1). Треугольник построен на двух векторах
а и Ъ с проекциями на оси Ох и Оу (или, что то же самое,
с координатами векторов по осям Ох и Оу), равными ах, Ъх
и ау, Ьу соответственно (рис. 40). Площадь Sh этого
треугольника равна разности площади описанного прямоугольника
(показан пунктиром) со сторонами ах, Ъу и суммой площадей
трех треугольников, образованных сторонами
рассматриваемого треугольника и описанного прямоугольника, т. е.
5Л= ахЬу - \ ЬХЬУ - -| (ах - Ъх) (Ьу - ау) - -| ахау = j ахЪу - -| Ьхау.
Выражая координаты ах, Ьх и ау, Ъу через разности
соответствующих координат вершин треугольника, т. е. ах = хг-хх,
аУ = У2-Уи Ьх = х3-х1, Ъу^уг-ух(пл.я левого рисунка) и
106

.4
у
0
(*ii
\х2
ъ/
£~-—-"""а'
Ух)
ьх
ах
1/2)
\
1^31
»-
Уз)
X
«„3
' у<
У'
0
(ягх3
(*з
ь/
А.—"^а
Уд
, ^ .
а*
;у3)
\
\
""Т*^;
^
у2)
X
Рис. 40
ах = хз~xi' ау~Уз~Уп Ьх = х2 — хг, Ьу = у2 — у\
(для правого рисунка), и подставляя их в формулу S&,
получим:
1) при нумерации вершин против часовой стрелки (левый
рис. 40)
Sa= | (*i (У2 - Уз) + Х2 (Уз ~yi) + X3 (i/i - уг));
2) при нумерации вершин по часовой стрелке (правый
рис. 40)
5Д= - \ (Xi (у 2 - уз) + x2(ys-y1) + x3(yl-y2)).
Теперь рассмотрим формулу (2). Первая строчка в (2) есть
площадь верхнего треугольника, вторая — площадь нижнего
треугольника (см. рис. 28). Очередность записи координат
вершин в верхнем треугольнике соответствует его обходу по
часовой стрелке, и поэтому его площадь отрицательна и
равна i(5-16)=-^- (см. первый член в третьей
строчке (2)). В нижнем же треугольнике запись его вершин
соответствует обходу треугольника против часовой стрелки,
поэтому его площадь положительна и равна -|- (25 —12)= -g-
(см. второй член в третьей строчке (2)). Разное
направление обхода вершин верхнего и нижнего треугольников
привело к тому, что их площади вычитаются, поэтому
величина площади четырехугольника и получилась меньше, чем
Должна быть на самом деле.
Для того чтобы формула (1) давала правильный результат,
необходимо, чтобы обход вершин обоих треугольников
проводился против часовой стрелки. Тогда площадь каждого
107

треугольника будет положительной. Применительно к
нашему случаю это правило вместо выражения (2) дает
SD=|(0-(5-4) + 4-(4-0) + l-(0-5))+|(0-(3-5)+5-(5-0) +
+ 4-(0-3)) =
|(16~5)+{(25
12)=12,
что и должно быть.
Можно поступить проще, без учета направления обхода
вершин треугольников. Для этого достаточно посчитать
площадь каждого треугольника по формуле (1), не заботясь о
направлении обхода вершин, а потом сложить абсолютные
величины полученных площадей. Так, в нашем случае
SD= {(5-16)1 +|(25-12)=12.
3.13.
Ошибки здесь нет, хотя и получен неожиданный,
противоречащий здравому смыслу результат, который точнее будет
назвать парадоксом, а не софизмом.
Приведем еще один пример, когда кривая, имеющая
бесконечную длину, ограничивает конечную площадь.
Рассмотрим единичный квадрат и впишем в него
равнобедренный треугольник (рис. 41). Сумма его боковых сторон
равна 1г = V22 +1. Теперь впишем в квадрат два
равнобедренных треугольника, сумма их боковых сторон равна
£2 = \/24+ 1. Вписывая в квадрат четыре равнобедренных
треугольника, получим, что сумма их боковых сторон будет
равна 23 = V2e+ 1. И вообще сумма боковых сторон п
вписанных в единичный квадрат равнобедренных треугольников
равна 1п=^22"+ 1. Очевидно, что последовательность 1п не
ограничена сверху и потому при п —>■ оо конечного предела не
имеет. Итак, длина ломаной, образованной боковыми
сторонами вписанных в квадрат равнобедренных треугольников,
стремится к бесконечности при п-+оо. В то же время, как
легко видеть, площадь фигуры под любой ломаной 1п не
зависит от количества вписанных треугольников, т. е. от п,
всегда постоянна и равна -|.
Рис. 41
108

^ Глава "V
Меньшее превышает большее
4.1.
Здесь совершен неравносильный переход от неравенства (1)
к неравенству (2).
Действительно, согласно условию А >В, поэтому В-А<0. Это
означает, что обе части неравенства (1) делятся на
отрицательное число. Но согласно правилу преобразования
неравенств при делении или умножении неравенства на одно и то
же отрицательное число знак неравенства необходимо
изменить на противоположный. С учетом сказанного из
неравенства (1) вместо неравенства (2) получим неравенство А <В+А,
прибавив к которому почленно исходное неравенство В<А,
получим просто исходное неравенство
А + В<В + 2А, или А>0.
4.2.
Здесь допущена та же ошибка, что и в предыдущем
софизме, а именно совершен неравносильный переход от
неравенства (1) к неравенству (2).
В самом деле, умножая неравенство (1) на отрицательное
число - 4, необходимо изменить знак неравенства на
противоположный. Так что вместо неравенства (2) придем к
неравенству (-1)(_4)<(-3)(-4), откуда следует просто правильное
неравенство 4<12.
4.3.
В софизме переход от равенства (1) к неравенству (2)
ошибочен. Следует помнить, что при основании'логарифма а>1
логарифмическая функция y = logax возрастает от -оо до +оо,
причем при 0<х< 1 неположительна.
Итак, вместо неравенства (2) правильно будет записать
lg -r > 2 lg ~. Отсюда получим верные неравенства, не имею-
1 /1 \2 1 1
Щие отношения к софизму: lg ф >lg I ^ I и ^ > —.
4.4.
Ошибочен переход от неравенства в (1) к неравенству 2>3.
Напомним, что логарифмическая функция y = \ogax при
0<х<1иа>1 (см. п. 4.3) неположительна. Кроме того, при
109

делении или умножении обеих частей неравенства на
отрицательное число знак неравенства необходимо заменять на
противоположный.
С учетом сказанного понятно, что неравенство (1) делится на
отрицательное число lg ~ , поэтому вместо неверного
неравенства (2) правильное неравенство запишется так: 2<3.
4.5.
Этот парадокс возник, по-видимому, еще в Средние века и
вызывал жаркие споры. Так, утверждалось, что равенство
~- = ^—т вообще невозможно, так как отношение меньшего
(г А) числа к большему (+А) не может равняться отношению
большего числа к меньшему1.
Для положительных чисел, данное утверждение правильное.
Так, если все числа а, Ъ, с и d положительны и
имеет место равенство дробей ~ = ~, то из того, что а > Ъ,
действительно следует, что c>d. Для чисел неположительных
это утверждение может быть и неверным, что и получилось
в данном софизме.
На самом деле по определению две дроби j- и ~ считаются
равными, если a-d=b-c. Поэтому равенство (1) равносильно
просто равенству (+А)-(+А) = (-А)-(-А), из которого вывод
софизма никак не следует.
При установлении равенства дробей мы должны опираться
на соответствующее определение, а не сравнивать отдельно
только числители и только знаменатели. Так, например,
дроби i и —г, как легко убедиться, равны между собой,
хотя и числители и знаменатели этих дробей различны.
4.6.
Здесь допущена та же ошибка, что и в софизме 3.
Для острого угла 0 < а < —, 0 < cos а < 1 справедливо
неравенство logaeos а<0. Так как — о-d при 0<c<d, то понятно,
что из равенства (1) будет следовать не неравенство (2), а
неравенство log0cos cc>2 logacos a. Отсюда получаем cos a>
>cos2 a, или l>cos a, т. е. верное неравенство.
1 Этот парадокс упомянут также в кн.: Секей Г. Парадоксы в теории
вероятностей и математической статистике.— М.: Мир, 1990.
110

4.7.
Доказательство в софизме не закончено, и его необходимо
продолжить.
Итак, в софизме показано, что никакое целое число k>l не
может являться наибольшим натуральным числом. Далее, в
софизме делается такое заключение: «Остается принять, что
наибольшим натуральным является число 1». Здесь
«доказательство» необходимо продолжить так: но поскольку 1,
очевидно, не может быть наибольшим натуральным числом, то
отсюда следует, что наибольшего натурального числа не
существует.
4.8.
Этот софизм подобен софизму 5, и ошибка состоит в том, что
сравнение двух дробей необходимо проводить согласно
определению равенства дробей (см. объяснения в п. 4.5), а не
сравнивать отдельно числители и отдельно знаменатели этих
дробей.
Обратимся к равенству (1). В дроби, стоящей в его левой
части, числитель и знаменатель равны по абсолютной
величине и противоположны по знаку, поэтому эта дробь равна -1.
Это же относится и к дроби в правой части равенства (1): она
равна -1. Поэтому равенство (1) приводит к равенству
4.9.
Здесь произведен неравносильный переход от неравенства (1)
к неравенству (2). Так как (-AD) + (-DC)<0, то при
умножении обеих частей неравенства (1) на (-AD) + (-DC)
необходимо заменить знак неравенства на противоположный. В
результате вместо неравенства (2) получим верное неравенство
(- АВ) + (- ВС) < (-AD) + (- DC),
или
AB + BOAD + DC.
4.10.
Здесь допущена та же ошибка, что и в софизме 5.
Из равенства (4) неравенства (5) и (6) не следуют. Из
равенства (4) видно, что в левой и правой его частях стоят дроби,
У которых числитель равен знаменателю с обратным знаком,
так что каждая из дробей равна -1. Поэтому из равенства
(4) следует только, что —1= —1, но никак не выводы
софизма (см. объяснения в п. 4.5).
111

Содержание
Предисловие ,
Софизмы
Глава 1. Равенство неравных величин . . . ,
Глава 2. Все ли утверждения математики верны
Глава 3. Неравенство одинаковых величин
Глава 4. Меньшее превышает большее . . . .
Разбор софизмов
Глава 1. Равенство неравных величин ...
Глава 2. Все ли утверждения математики верны
Глава 3. Неравенство одинаковых величин
Глава 4. Меньшее превышает большее ...
Учебное издание
Мадера Александр Георгиевич
Мадера Дмитрий Александрович
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ СОФИЗМЫ
Правдоподобные рассуждения,
приводящие к ошибочным утверждениям
Книга для учащихся 7—11 классов
Зав. редакцией Т. А. Бурмистрова, редактор Л. Н. Беленовская,
младший редактор Н. В. Сидельковская, художники А. С. Побезинский,
Е. В. Соганова, художественный редактор А. В. Крикунов, технические
редакторы Г. В. Субочева, Т. Е. Хотюн, корректор Р. П. Евдокимова.
Налоговая льгота — Общероссийский классификатор продукции ОК 005-93—
953000. Изд. лиц. Серия ИД № 05824 от 12.09.01. Сдано в набор 25.10.01.
Подписано к печати 16.08.02. Формат 60X90'/i6- Бумага офсетная № 1.
Гарнитура School Book С. Печать офсетная. Усл. печ. л. 7. Усл. кр.-отт. 14,37.
Уч.-изд. л. 5,35. Тираж 10000 экз. Заказ № 1067.
Федеральное государственное унитарное предприятие ордена Трудового
Красного Знамени «Издательство «Просвещение» Министерства Российской
Федерации по делам печати, телерадиовещания и средств массовых коммуникаций.
127521, Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41.
Государственное унитарное предприятие ордена Трудового Красного Знамени
полиграфический комбинат Министерства Российской Федерации по делам
печати, телерадиовещания и средств массовых коммуникаций. 410004,
Саратов, ул. Чернышевского, 59.
3
6
29
47
56
62
86
101
109

УДК 373.167.1:51
ББК 22.1я72
М13
Рецензент:
учитель математики лицея «Физико-техническая школа»
С.-Петербурга В. И. Рыжик
Мадера А. Г.
М13 Математические софизмы : Правдоподобные
рассуждения, приводящие к ошибочным утверждениям : Кн.
для учащихся 7—11 кл. / А. Г. Мадера, Д. А.
Мадера.— М. : Просвещение, 2003.— 112 с. : ил.— ISBN
5-09-010795-5.
В первой части книги собраны софизмы — правдоподобные
математические рассуждения, приводящие к ошибочным утверждениям.
Вторая часть посвящена разбору этих софизмов.
Тематика софизмов охватывает все разделы школьной программы
по математике и частично выходит за ее рамки. Книга адресована
школьникам, а также будет интересна и полезна учителям и всем
любителям математики.
УДК 373.167.1:51
ББК 22.1я72
ISBN 5-09-010795-5 © Издательство «Просвещение», 2003
© Художественное оформление.
Издательство «Просвещение», 2003
Все права защищены

■в^^^^^врннно
Издательство
"ПРОСВЕЩЕНИЕ"
Мы предлагаем:
Учебники Г7 Гибкую систему скидок
Методическую литературу * Крупный и мелкий опт со склада
1аучно-популярную литературу __ издательства
Справочную литературу V Контейнерную отгрузку во все
Развивающие игры регионы России и страны СНГ
Наглядные пособия и карты W Внимательное отношение к
чебные мультимедийные курсы каждому !
Возможность получения литературы с помощью службы
" Книга — почтой ":
1ЭТ 521, Москва, 3-й проезд Марьиной ротди, 4\,
издательство "Просвещение", "Книга-Почтой",
Тел.:(095)289-5026
Вся информация о работе издательства, новинках, мероприятиях,
планах выпуска, а также прямая связь с издательством
в Интернете
по адресу:
e-mail Гр] rj -Щ sj^r] ЩрЦ] О] ¥]£] 7] ruj
Наш адрес:
127521, Москва,
3-й проезд Марьиной рощи, 41,
тел.: (095) 289-6233, 289-6333,
289-1383, 289-4484, 289-1431,
факс: (095) 289-6235, 289-6026,
289-5226
Проезд:
ст. метро "Белорусская", далее трол. 18 до
ост. "Гостиница "Северная",
авт. 12 до ост. " 1-й Стрелецкий пер.";
ст. метро "Рижская", далее трол. 18, 42,
авт. 84 до ост. "Гостиница "Северная"
„аа З'Й пр. Марьиной рощи
авт. 12 ост. Изд-во д. 41 |Я
«1-й Стрелецкий «ПРОСВЕЩЕНИЕ" I =?
переулок» I Ё
Is
о
Ост. . £
«Гостиница 1щ
«Северная» | F
авт. 84,
авт. 04, „ _ ;
трол. 18,42 улиц*> Сущевский вал |
OcmD-
лГостиницэ
«Северная»
авт. 84,
трол.18,42
от м. Рижская

Увлекательные
и поучительные правдоподобные
математические рассуждения,
приводящие
к ошибочным утверждениям,
собраны в этой книге.
Всем, кто хочет научиться
строгим математическим
доказательствам,
умению находить ошибки
в рассуждениях других
и избегать собственных,
помогут
математические
софизмы.
ISBN 5-09-010795-5