/
Author: Гурвиц А.
Tags: математика комплексные числа аналитическая геометрия математический анализ естественные науки
Year: 1933
Text
АДОЛЬФ ГУРВИЦ
ТЕОРИЯ АНАЛИТИЧЕСКИХ
И ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
г т т а
19 3 3
DIE GRUNDLEHREN DER MATHEMATISCHEN
W1SSENSCHAFTEN IN EINZELDARSTELLUNGEN
BAND 111
F.UNKTIONENTHEORIE
von
A. HURWITZ und R. COURANT
DRITTE AUFLAGE
BERLIN
VERLAG VON JULIUS SPRINGER
19 2 9
1
АДОЛЬФ ГУРВИЦ
ТЕОРИЯ АНАЛИТИЧЕСКИХ
И ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
ПЕРЕВОД С ТРЕТЬЕГО
НЕМЕЦКОГО ИЗДАНИЯ
Ю. В. ИКОРНИКОВА
ПОД РЕДАКЦИЕЙ
Н. Е. КОЧИНА
Допущено Наркомпросом в качестве
учебника для ВУЗов на 1933-1934
учебный год
ГОСУДАРСТВЕННОЕ
ТЕХНИКО-ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
ЛЕНИНГРАД 1933 МОСКВА
2-я тип. ОНТИ мм. Евг. Соколовой. Ленинград, пр. Кр. Команд., НО
Стр.
ОГЛАВЛЕНИЕ.
От редактора ........................... • • •
Из предисловия к первому немецкому изданию
Часть первая.
Общая теория функций комплексной переменной
9
10
11
Глава!. Комплексныечисла.................................... —
§ 1. Понятие о комплексном числе...................... —
§ 2. Геометрическое изображение комплексных чисел. Тео-
ремы о модуле........................................ 14
§ 3. Сходящиеся последовательности комплексных чисел.
Числовая сфера....................................... 19
§ 4. Предельные значения бесконечных числовых множеств . 23
§ 5. Сходимость рядов с комплексными членами......... 26
§ 6. Комплексная переменная и функция от нее ... . 30
§ 7. Равномерная сходимость.......................... 33
Глава II. Степенные ряды................................. 36
§ 1. Область сходимости степенного ряда............... —
§ 2. Определение радиуса сходимости.................. 38
3. Д ействия со степенными рядами................. 41
§ 4. Принцип сравнения коэффициентов............ • 45
§ 5. Обобщение доказанных предложений................ 46
§ 6. Преобразование степенного ряда.................. 48
§ 7. Производные степенного ряда.................... 51
§ 8. Непосредственное продолжение степенного ряда ... 53
§ 9. Ряд Лорана. Лемма о степенных рядах............. 57
Глава III. Понят и'е а н а’л и т и ч е с к о й ф у н к ц и и . . . . 61
§ 1. МоногеннаяЗсистема степенных рядов.............. —
§ 2. Определение аналитической функции.............. 62
§ 3. Однозначные ветви аналитической функции .... 64
§ 4. Примеры........................................ 67
§ 5. Элементарные ветви и их особенные точки........ 71
§ 6. Основная теорема алгебры . ‘................... 76
§ 7. Особенные точки аналитической функции.......... 77
§ 8. Особенные точки целой и рациональной функций • . 31
§ 9. Некоторые общие теоремы об аналитических функ-
циях ................................................ 81
§ 10. Теорема Вейерштрасса о суммировании рядов ... 88
Стр.
Глава IV. Исследование некоторых аналитиче-
ских (ру нкций........................................
§ 1. Показательная функция......................
§ 2. Тригонометрические функции.................
§ 3. Логарифм...................................
§ 4. Степенная функция..........................
93
96
100
106
Глава V. Интегрирование аналитических функ-
ций ................................................... 109
§ 1. Равномерная непрерывность и дифференцируемость
аналитических функций.............................. —
.§ 2. Интегрирование степенных рядов............... 112
§ 3. Интегрирование производной регулярной функции . . ИЗ
§ 4. Примеры.....................................
§ 5. Интегрирование регулярных функций............ 117
§ 6. Теорема Коши................................. 126
§ 7. Следствия нз теоремы Коши. Теорема Лорана .... 129
§ 8. Вычеты аналитических функций................. 137
§ 9. Определение нулей и полюсов функций.......... 141
Глава VI. Мероморфные функции.......................... 146
§ 1. Понятие мероморфной функции...........> . . —
§ 2. Мероморфные функции с конечным числом лолюсов . 147
§ 3. Мероморфныэ функции с бесконечным числом полю-
сов. Теорема Митгаг-Леффлера.......................
§ 4. Общий вид мероморфной функции с бесконечным
числом лолюсов ........ • . . ...................
§ ' 5. Случай простых полюсов ..........
§ 6. Примеры . .................................
§ 7. Способ Коши ‘разложения на простейшие дроби . . .
§ 8. Примеры....................................
§ 9. Целые функции с заданными нулями...........
§ 10. Представление мероморфных функций посредством,
целых функций....................................
. § 11. Представление функции Гамма в виде бесконечного,
произведения • ...................................
§ 12. Представление функции Г (z) в виде интеграла . . .
Глава УП.’чО.бращение аналитических функций .
§ 1. Обращение рядов «...........................
§ 2. Примеры..................................... 188
151
152
155
158
161
165
169
170
176
181
Часть вторая.
Эллиптические функции ................ . . ......... 195
Глава I. Двоякопериодические мероморфные
функции . ...................................... .—
§ 1. Предложения, относящиеся к геометрическому пред-
ставлению . • . ................... 196
§ 2. Теоремы, о. периодах мероморфной функции.. 197
§ 3. Параллелограмм периодов................... 202
6
Стр.
§ 4. Определение эллиптических функций. Поле К. . . . 204
$ 5. Общие теоремы о функциях /(и)................. 206
§ 6. Функция р (и)................................. 212
§ 7. Дифференциальное уравнение для р (и).......... 218
§ . 8. Теорема сложения для р (и)................. 223
§ 9. Выражение эллиптических функций через функцию Р 225
§ 10. Дальнейшие свойства функции /(и).............. 230
§ 11. Функция С (и).......«......................... 231
§ 12. Выражение эллиптических функций через С (и) . • • 233
§ 13. Функция <5 (и)................................ 236
§ 14. Выражение эллиптических функций через функ-
цию а (и).......................................... 240
§ 15. Функции р (и}, С (и), (и) как функции от и, ю2 . 249
Глава II. Тэта-функции.................................... —
§ 1. Представление целой функции с заданным периодом
в виде ряда.......................................... —
§ 2. Обозначения...................................... • . 250
§ 3. Функция (v) . • • • • • .................... 251
§ 4. Функции <?i (v), <j2(v)j <MV).................... 254
§ 5. Функции ^2(v), (v), ^o(v) • • ;................ 256
§ 6. Сводка формул . . ............................... 258
§ 7. Общее выражение для .^-функций. <1-функции, как
функции от v и т.................................. 260
§ 8. Формулы преобразования и нули четырех ^-функций . 263
§ 9. Выражение еА, е2, е3 и Д через нулевые значения
^-функций.......................................... 265
§ 10. Представление ft-функций бесконечными произведе-
ниями ............................................ 267
§ 11. Некоторые приложения полученных результатов
к теории чисел..................................... 271
§ 12. Разложение на простейшие дроби функций С (и) и р (и),
рассматриваемых как функции от z. Выражения для
^2» £з • • • •»•••• ..................................... 272
§ 13. Разложение J/^P.u) — ....................... 278
Глава III. Эллиптические функции Якоби........................ 280
§ 1. Определение функций sn (и\ cn(u), dn (u) . . . . . . 281
§ 2. Функции sn u, cn u, dn и как эллиптические функции . 283
§ 3. Дифференциальные уравнения для sn и, сп и,, dn и . . 284
§ 4. Теоремы сложения для sn u, cn u, dn и......... 285
§ 5. Тригонометрические функции как предельные случаи
F функций Якоби....................................... 287
Глава IV. Эллиптические модулярные функции . 288
§ 1. Эквивалентность величин и пар ...................... 289
§ 2. Элементарные модулярные формы....................... 292
§ 3. Абсолютный инвариант J(x)........................... 293
§ 4. Решение уравнений g2 (<°i> == о2, = аз • • 299
§ 5. Функция х2 (т)...................................... 300
Стр.
Глава V. Эллиптические образы......................... 301
§ 1. Образ Вейерш грасса........................... —
§ 2. Образ у2 = G3 (х)........................... 303
§ 3. Образ у2 == (х)............................. 304
§ 4. Образ Лежандра.............................. 305
§ 5. Главная форма римановой поверхности образа y2=G± (х) 306
§ 6. Двулистная форма римановой поверхности у2 = (х) . 308
Глава VI. Эллиптические интегралы........................ 312
§ 1. Определения..................................... —
§ 2. Неопределенные эллиптические интегралы........ 313
§ 3. Определенные эллиптические интегралы.......... 317
Глава VII. Преобразование эллиптических функ-
ций ................................................... 323
§ 1. Линейное преобразование функций Вейерштрасса . . —
§ 2. Линейное преобразование ^-функций............. 325
§ 3. Преобразование второго порядка........... . 329
§ 4. Связь между эллиптическими функциями Вейер-
штрасса и Якоби..................................... 332
§ 5. Преобразование^Ландена........................ 333
§ 6. Среднее арифметико геометрическое............. 336
Предметный указатель............................... . 341
ОТ РЕДАКТОРА.
Лекции по общей теории функций и по эллиптическим
функциям Адольфа Гурвица были впервые изданы Рихар-
дом Курантом в 1922 году вместе с написанной последним
геометрической теорией функций в качестве III тома серии
„Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Ein-
zeldarstellungen mit besonderer Beriicksichtigung der Anwen-
dungsgebiete“.
Обе части этого тома: предлагаемый перевод лекций
А. Гурвица и геометрическая теория функций Р. Куранта,
вводя в целом в круг важнейших идей теории функций
комплексной переменной, носят существенно отличный друг
от друга характер и представляют, каждая сама по себе,
нечто самостоятельное и целое. Поэтому Технико-теорети-
ческое издательство решило издать перевод книги Гурвица—
Куранта в виде двух отдельных книг.
Настоящий перевод выполнен с третьего издания 1929 г.
Н. Кочин.
ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ К ПЕРВОМУ НЕМЕЦКОМУ
ИЗДАНИЮ.
Едва ли нужно хоть одним словом оправдывать появле-
ние, на ряду с имеющимися учебниками по теории функций,
лекций Адольфа Гурвица по общей теории функций и по
эллиптическим функциям.
Первая часть содержит общую теорию аналитических
функций комплексной переменной. Построение этой теории
последовательно проводится на арифметической основе
в духе идей Вейерштрасса. Во второй части дается, также
с точки зрения Вейерштрасса, сжатое, но достаточно пол-
ное и ясное введение в теорию эллиптических функций.
Готтинген, июнь 1922.
Р. Курант.
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ.
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКС-
НОЙ ПЕРЕМЕННОЙ.
Глава I.
КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА.
§ 1. Понятие о комплексном числе.
Как известно, введение комплексных чисел обосновы-
вается тем обстоятельством, что квадратные уравнения
с вещественными коэффициентами рас-
падаются на две категории на такие,
которые имеют решения, и на такие,
у которых решений нет. Если в мате-
матических исследованиях приходят
к невозможности решить определенные
задачи, то эту невозможность пытаются
b
О
устранить, расширяя основные понятия. Черт. 1.
Так, невозможность решения некоторых
квадратных уравнений отпадает, если область веществен-
ных чисел расширить введением комплексных чисел.
Для определения комплексных чисел рассмотрим множе-
ство всех пар чисел (а, 6), представляя эти пары геометри-
чески точками на плоскости (черт. 1). Каждую такую пару
чисел обозначим знаком
а bi)
где букву i сперва будем считать просто символом. Уста-
новим теперь же, что вместо а 0Z следует писать просто
а, вместо 0-\-Ы просто Ы и вместо П просто i. Числа а,
которые теперь будем называть вещественными числами)
будут соответствовать таким точкам, у которых вторая
координата равна нулю. В частности, а -j- Ы тогда и только
тогда будет равно 0, если а = 6 = 0.
11
Символам а 4~ bi придадим характер чисел, установив
определенные правила действий с этими символами. Соот-
ветственно с этим будем впредь символы а-\-Ы называть
комплексными числами. Будем называть а вещественной
и Ь мнимой частью комплексного числа а 4* bi. Числа bi,
у которых вещественная часть равна нулю, будем называть
ч лсто мнимыми. Наконец, число 1/= i назовем мнимой
единицей.
Сложение комплексных чисел аЦ-6/ и a^-^-b^i определим
равенством
(а + Ы) («1 4~ bj) = (а 4" aj 4~ (6 Ц- 6J i. (1)
Очевидно, что сложение так же, как и в области вещест-
венных чисел, подчиняется сочетательному и перемести-
тельному законам.
Кроме того, сложение однозначным образом обратимо,
т. е. вычитание—действие, обратное сложению, всегда
выполнимо и дает однозначный результат.
Умножение чисел а 4~ bi и ах.-J- bki определим равенством
(а 4~ Ы) (at Ц- bxi) — (аа1 — bbx) 4~ (ab{ 4- bax) i. (2)
В частности, если а = 0^=0, 6 = 61 = 1, то
i . i = —1,
Если принять 6 = 0, то получим
а (аг + М = (а + 0 i) (аг 4- bj) = аа1 4~ abj.
В частности, для всякого комплексного числа имеем
1 • х = х.
Другим важным частным случаем равенства (2) является
следующий:
(а -р Ы)(а — Ы) = а2 4~ 62.
Этот случай представляет собой закон перемножения
двух сопряженных чисел. Так называются комплексные
числа, имеющие одинаковые вещественные части и отли-
чающиеся знаком у мнимой части.
Из равенства (2) видно, что произведение (a Ь^^ 4“ bj)
представляет собой то же число, что и произведение
(«i 4~ bj^a 4~ bi), т. е. что умножение комплексных чисел
подчинено закону перзл.естителъности.
12
Пусть далее
а = а 4~ bi, 04 — ах -р bj, а2 = а2 4“ b2i
будут три комплексных числа. Простое вычисление пока-
зывает, что оба числа (сс aj а2 и а (04 а2) тождественны,
т. е. что
(a aj а2 == а (04 а2).
Таким образом и сочетательный закон имеет место при
умножении комплексных чисел. Так как вещественная и
мнимая части произведения (a-p ^z)(ai “Р будут одно-
родными линейными функциями от 04 и bi9 то очевидно
имеет место равенство
a (04 a2) = ос 04 a
для всяких трех комплексных чисел а, 04, а2, т. е. имеет
место распределительный закон.
Из (2) видно, что произведение двух комплексных чисел
равно нулю, если один из множителей равен нулю. Обратно:
Если произведение равно нулю, то один из сомножи-
телей равен нулю.
Действительно, из равенства
(а + bi) (ai 4- bj) = О
имеем, что
(а — Ы) (04 — bj) (а 4- W) («1 4“ bj) = О
или, переставляя сомножители,
(а 4- bi) (а - bi) (aL + b.i) (а, - b.i) = («Г + М = 0.
Таким образом, должно быть
а2 4" Ь1 = 0
или
аЛ4*12^С-
В первом случае имеем а = b -- 0, т. е. множитель
а 4- bi' = 0, во втором случае ах — Ь{ = 0, т. е. множитель
04 4- bj = 0. Заметим, наконец, что дзление, за исключе-
нием деления на нуль, есть однозначно выполнимая опера-
ция в области комплексных чисел. Действительно, рас-
смотрим уравнение
(а Ы) х — ах 4- bxi. (3)
13
Из этого уравнения следует, что
(а2 4-62) х = (а — | b}i).
Откуда, если a -J- bi‘ф 0, т. е. а2-|- 62 ф 0, имеем
х = 1-х = а-2^_62 (а2 + 62)х = —(а — bi)(ai+ bj).
Это значение х, в самом деле, удовлетворяет уравне-
нию (3), которое имеет поэтому одно и только одно ре-
шение. Сравнивая равенства
(а — bi) 4- (aj — bii) = (а + aj — (b + i
(a — bi)(a1 — bj) = (aai — b — (abx Ц- Ьаг) i
соответственно с равенствами (1) и (2), видим, что сумма
и произведение двух комплексных чисел переходят в сопря-
женные значения, если слагаемые или сомножители заме-
няются числами сопряженными. Иначе говоря: если каж-
дому комплексному числу сопоставить в качестве его изо-
бражения сопряженное с ним число, то получится отобра-
жение системы всех комплексных чисел на себя, обладаю-
щее тем свойством, что уравнения вида
а+? = Ъ а — ₽ = Ъ «?==Т
остаются верными, если входящие в них числа будут
заменены их изображениями. Отсюда сейчас же следует,
что вообще всякое равенство между комплексными числами,
обе части которого составлены только при помощи действий
сложения, вычитания и умножения, остается верным, если
каждое из комплексных чисел заменить сопряженным с ним
числом.
§ 2. Геометрическое изображение комплексных чисел.
Теоремы о модуле.
По § 1 комплексные числа можно взаимно однозначно
сопоставить точкам плоскости, если комплексному числу
’ a = a-|-6z
привести в соответствие точку с прямоугольными, прямо1
л^йейными координатами а, 6. В дальнейшем, для простоты,
будем обозначать точку, соответствующую комплексному
числу а, тоже буквой а. Плоскость, точки которой изобра-
жают комплексные числа, будем называть комплексной число-
14
вой плоскостью. Начало координат, которому соответствует
число нуль, будем называть нулевой точкой плоскости.
Расстояние г точки а от нулевой точки плоскости равно
(черт. 2)
Г = У + F = У (а У bi) (a —bi).
Эта величина называется модулем (или абсолютной ве-
личиной) комплексного числа а и по Вейерштрассу обозна-
чается через |«|. Комплексные числа, имеющие один и
тот же модуль г, очевидно, будут изображаться точками окруж-
ности радиуса г, описанной из нулевой точки, как из центра.
Единственное комплексное число с модулем, равным нулю,
есть число 0. Далее легко доказать, что
модуль разности а — 04 равен рас-
стоянию между точками а и 04.
Действительно, пусть а = а -|- 6/,
а1 = а1+ &Л тогда
а — (6 — bji
и следовательно
|а—а, | = / (а —а,)24-(6 —6j)2 .
Другие важные предложения о модуле получаются следую-
щим образом. Обозначим через R а вещественную часть
комплексного числа а и через I а мнимую его часть *).
Очевидно имеем
и поэтому
Н = У(/^4а+(/«)*
/? а а |, | R а ] < | а |
I а | а | ' | / а | ) а |.
(1)
Справедливость этих неравенств сразу видна также
из геометрических соображений: в прямоугольном тре-
угольнике черт. 2 каждый катет не больше гипотенузы.
Если а, 3 обозначают два комплексных числа, а а, 3
сопряженные с ними числа, то
|a|= /а. а , |р| = /р. р , |ар| = /(<х0)(а 0) =
— У а « У 3 3
Эти обозначения будут применяться и дальше.
15
и следовательно
l«N = l«l 131.
- (2)
ot
Заменяя здесь а на-^ (3 ф 0), имеем
откуда
•IN,
(3)
Равенство (2) легко ооббщается на произведение произ-
вольного числа комплексных сомножителей а, р, у,..К.
Для такого произведения имеем
и в частности, если все сомножители равны между собой,
|а’1| = 1«Г (п = 1, 2, 3,...).
Теперь сравним модуль суммы |а~гР| с модулями | |,
|Р1 слагаемых. Пусть сперва а —Р 0. Так как
то
т. е. в силу (1) и (3)
„__л1___I 131
Ia 4~ 31 1 Ia 31
и следовательно
(4)
В случае —0 последняя зависимость очевидна.
Часто встречающееся неравенство (4) имеет простое геоме-
трическое значение. Действительно, рассмотрим три точки
0, a, a-f-p (черт. 3); тогда | a р | обозначает расстояние
точки «4"? от ‘очки 0, | a ] обозначает расстояние точки a
от точки 0 и ;р |—расстояние 'от точки а до точки a-j-?.
16
Неравенство (4) утверждает, Что Сумма дйух последний
расстояний не меньше первого расстояния. Заменяя в не-
равенстве (4) число а на число а —t3, имеем
|а|<|а-,31-Ы? ,
откуда
|а— ?| >|аНН31-
Заменив в этом неравенстве ?
на — получим
+ (5)
так как
I-3M3-
Из неравенств (4) и (5) видно, что число ; а Ч* 3 I лежит
в промежутке от I а|—| ? | до | а'| 4~ | .
Угол ? между осью положительных вещественных чисел
и направлением, проведенным из нулевой точки плоскости
к данному комплексному числу а, называется аргументом,
arcus’oM или амплитудой числа а и обозначается через
area. Очевидно, что (черт. 2)
а — г cos ?, b = г sin a = а 4" bi = г (cos ? 4"г s*n ?)•
С таким представлением числа а мы встретимся еще
позднее (стр. 100). Укажем еще на геометрические построе-
ния, соответствующие сложению и умножению комплексных
чисел.
Если а и ах две точки в плоскости комплексных чисел,
a+ai z- Г
то —_— будет середина соединяющего их отрезка. Если
поэтому
a Ч" ai — 3 Ч" 3d
/ то точки а, аь ?, ?х будут вершинами
параллелограмма (черт. 4). Таким образом,
для построения по точкам а, ? точки
31 = а 4“ ах ?,
а надо дополнить треугольник ?, a, at до
Черт. 4. параллелограмма pa^a^ Вершина ?п
противолежащая вершине ?, и будет
искомой точкой. Если примем ? = 0, то имеем построение
суммы a 4“ai; если же возьмем 04 = 6, то получим построе-
ние разности a — ?.
2 Л. Гурвиц
17
Рассмотрим теперь в плоскости комплексных чисел два
треугольника а и р р, % (черт. 5). Эти треуголь-
ники будут подобны, если
Черт. 5.
а1—«_ Pl —р
а2 — а р2 — р *
Действительно, отнимая от обеих частей
этого равенства по 1, имеем
«1 -«2 = ,31 — fe
а2 — а — р’
и переходя к абсолютным величинам, по-
лучаем
104— а| : |ао— а| : |at — =
т. е. стороны треугольника ос ах а2 пропорциональны сторонам
треугольника £ рх р2.
Более подробное исследование, котороё мы здесь опускаем,
показывает, что оба треугольника ос 04 а2 и р рх р2 одинаково
ориентированы. Это значит, что если точка а2 расположена
слева от направления аа„ то и точка р2 расположена слева
от направления, и если точка а2 расположена справа
от направления осаг, то и точка р2 тоже расположена справа
от направления ppt г).
Если дано пять из точек а, <хх, а2, р, рр р2, например,
первые -пять, то легко построить шестую точку
Для этого надо только построить на стороне ppi тре-
угольник РР1Р2, подобный треугольнику и одинаково
4 с ним ориентированный. В частности, если выберем
P=fO, р1 = 1, а == 0,
1) Если принять, что точка i расположена слева от положительного
направления 01 вещественной оси, то точка а2 будет расположена слева
или справа от направления смотря по тому, будет ли мнимая часть
а9 — а
отношения —----— положительной или отрицательной.
18
Я.) .
то получим построение для частного если же выберем
7i
? = 0, а —О, 04 = 1,
то получим построение для произведения ^а2.
§ 3* Сходящиеся последовательности комплексных чисел»
Числовая сфера.
Бесконечная последовательность комплексных чисел
04 = ах а2 — «2 • • • а» — ап 4~ • • • называется
сходящейся, если сходится каждая из последовательностей
вещественных чисел1)
Тогда lim аа — a, lim bn — Ь будут определенные конечные
л->оо ?z-»oo
числа. Число а = называется пределом (по-латыни
limes) последовательности а2, а3,..., , и обозна-
чается так: lim ап == а.
Каждая бесконечная последовательность чисел, которая
не сходится, называется расходящейся последовательностью.
Как известно, последовательности (1) сходятся тогда
и только тогда, если каждому произвольно малому, наперед
заданному, положительному числу г можно привести в соот-
ветствие такое значение индекса и, что
\ак~ а»1<г и |6Л.— 6Й| < г, (2)
если только k и h больше п.
Выведем отсюда основную теорему о сходимости
в области комплексных чисел.
Последовательность .04, ап,... тогда и только
тогда будет сходящейся, если для любого положительною
числа г можно выбрать такое значение индекса п, что
. . 1«* — «л1<г>
коль скоро h и k больше п.
]) Определения и основные предложения из теории бесконечных
последовательностей вещественных чисел и рядов с вещественными
членами мы предполагаем известными. Отсылаем к книге Кноппа, Бес-
конечные ряды.
2* • 19
Это условие очевидно необходимо, так как из неравенств
(2) следует, что
I ал ал1 — V(вк — я&)2 Ч~ (К bh)2 <У 2$
и }/ 2 s является таким же произвольным числом, как и само s.
Это условие также и достаточно, так как из неравенства
к — aJ= K(a7t — a„)2+(6* — М2<®
имеем, что [ал — aj<s и | Ьк— 6л|<г, т. е. выполняются
неравенства (2).
Заметим здесь, что условие основной теоремы о сходи-
мости будет выполнено, если для каждого положительного е
может быть выбран такой индекс п, что
lajfc —%|<8,
при условии £>п. Действительно, при выполнении этого
г
условия, для каждого -у можно определить такое п, что
Л»
г
Т
К — a»l<f и |ай
где h и к — два произвольных индекса >п. Но тогда
I «л- — «л I =Ж — “J + (а» — ал) I < 1— ал 1 + К — I
< _1_ 2L — 2
^2’2
т. е. условие основной теоремы о сходимости действительно
выполняется.
Присоединим к определению сходящейся последователь-
ности еще такое определение.
Если в данной последовательности
«1, %, ...
для каждого произвольно бол1 шого положительного числа G
можно определить индекс п так, что
коль скоро к > п, то будем говорить, что последователь-
ность имеет пределом бесконечность, и будем записывать
это равенством
lima4 = со.
п ->оо
20
Для того чтобы введенному здесь символу со придать
геометрическую интерпретацию, поступим следующим
образом. Рассмотрим сферу, центр которой расположен
на перпендикуляре к комплексной числовой плоскости,
восстановленном из нулевой точки плоскости. Эту плоскость
представим себе горизонтальной и касающейся сферы
в нулевой точке плоскости (черт. 6). Если самую высокую
точку N сферы соединим прямой линией с точкой а комп-
лексной числовой плоскости, то эта прямая пересечет поверх-
ность сферы, кроме точ-
ки 7V, еще в другой точке,
которую обозначим также
через а. Это построение,
сопоставляющее каждой
точке плоскости одну оп-
ределенную точку сферы,
называется стереографи-
ческой проекцией.
Таким образом каждому
комплексному числу а со-
ответствует определенная
точка а сферы. Обратно,
каждой точке сферы, за
исключением точки N,
соответствует определен-
ное комплексное число.
Условимся теперь точку N
рассматривать как представителя символа .оо и соответ-
ственно называть ее точкой со. Если рассмотреть та-
кую последовательность:
а2,. .
для которой lim ам = оо , то соответствующие точки сферы
П -> ОС'
«1, ••• будут приближаться с возрастанием
индекса п к точке 7V, а соответствующие точки чис-
ловой плоскости будут все далее удаляться от нулевой
точки*
Таким образом точка N соответствует бесконечно уда-
ленной части числовой плоскости. Поэтому мы будем часто
говорить о бесконечно удаленной точке* плоскости, но при
21
этом будем всегда представлять себе точку оо на числовой
сфере 9-
Для полноты выведем здесь вкратце формулы, связы-
вающие координаты х, у точки на числовой плоскости
с координатами 5, **), соответствующей точки числовой
сферы. Выберем нулевую точку плоскости за начало коор-
динат и направим положительную ось Z по направлению
ON. Пусть радиус сферы будет а. Уравнение, выражающее,
что точка ($, т], Q расположена на сфере, имеет вид:
?2-Н24-(£ —а)2==а2 или = —С2.
Так как точка 7V(0, 0, 2а), точка (5, т), С) сферы и точка
(х, i/,0) числовой плоскости расположены на одной прямой, то
х — 0___у — 0_0 — 2а
Г=0 ~ “ С—~2а’
откуда
_____ 2а; __ 2а . 2_4а2(£2 + ^2)_
Х 2а — г.’У 2а — С И х ~ (2а — С)8
_ 4а8 (2а С — :2) 4а2:
(2а — :)2 2а—:*
Таким образом х, у и х2 у2 выражаются следующими
формулами через ;, т,
2а; 2а ц 9 . о 8а3 . 9
Х 2а — (,>У~~2а — г-,'Х^гУ~2а — \ 4а '
Обратно, следует.*
h_________ 4а2х _______ 4а2у
! “ Xs+у2 + 4а2’ 71 ~ х2 + у2 4- 4а2’
, 8а8
' -г2-НУ2 + 4а2*
Рассмотрим точки числовой плоскости, удовлетворяющие
уравнению
л (х2 -РУЧ + Вх + Су + D = 0. (4)
J) Эго свойственное теории функций представление бесконечно уда-
ленной части плоскости в виде одной точки находится в характерном
противоречии с представлением проективной геометрии, где, как известно,
бесконечно удаленная часть плоскости рассматривается в виде прямой,
22
Такие точки расположены на окружности или, в случае
А = 0, на прямой. Для краткости каждую прямую, распо-
ложенную в числовой плоскости, будем также называть
окружностью (бесконечно большого радиуса). Тогда урав-
нение (4) будет всегда определять окружность, располо-
женную в числовой плоскости. Если координаты х, у удовле-
творяют уравнению (4), то в силу формул (3) координаты
£ удовлетворяют уравнению
'4(2^-4aa) + S2^h + C2^+O = °
ИЛИ 2Ва? + 2Сат|4-(4Ла2 — D)^-\-2Da = 0. (5)
Уравнение (5) изображает плоскость, если 5, т), С рас-
сматривать как текущие координаты. Так как плоскость
пересекает сферу по окружности, то всякой окружности
числовой плоскости соответствует окружность на число-
вой сфере.
Предложение, очевидно, можно обратить, так как коэффи-
циенты Л, В, С, D можно выбрать так, чтобы уравнение (5)
изображало произвольную данную плоскость.
Таким образом, каждой окружности, расположенной
на числовой сфере, соответствует окружность числовой
плоскости. Окружности сферы, проходящие через точку ср,
соответствуют на числовой плоскости прямым линиям.
Поэтому говорят, что прямая есть окружность, проходящая
через бесконечно удаленную точку числовой плоскости.
Отметим здесь вскользь легко доказываемое предложение,
что стереографическая проекция представляет собой кон-
формное отображение плоскости на сферу, т. е. что при
стереографической проекции угол между двумя кривыми,
расположенными на плоскости, будет равен углу между
соответствующими кривыми на сфере.
§ 4. Предельные значения бесконечных числовых
множеств.
Если е обозначает положительное число, то будем назы-
вать окрестностью е точки а, лежащей на конечном рас-
стоянии, совокупность всех точек z, которые удовлетво-
ряют условию | z — а | < е. Эти точки заполняют внутреннюю
область круга с центром в точке а и радиусом, равным е.
23
Мы принимаем е за меру величины окрестности. На числовой
сфере точки окрестности точки а образуют внутреннюю
область круга, охватывающего точку а. Такой круг, при
убывании е, все более стягивается к точке а, но, вообще
говоря, точка а не будет его центром. Под окрестностью s
бесконечно удаленной точки будем понимать множество
точек zt удовлетворяющих условию | z |>—. Эти точки за-
полняют область внешнюю для круга, с центром в нулевой
точке О плоскости и радиусом, равным За меру вели-
чины окрестности опять принимаем е. На числовой сфере
окрестность s бесконечно удаленной точки представляет
собой внутреннюю область круга, описанного около точки оо
сферы и тем меньшего, чем меньше s.
Рассмотрим теперь бесконечное множество 2 комплексных
чисел. Геометрически такое множество изобразится беско-
нечным множеством точек числовой плоскости или числовой
сферы. Это точечное множество обозначим также через 2.
Может случиться, что среди чисел множества 2 встретятся
равные между собой. В этом случае одну й ту же точку
точечного множества будем считать несколько раз.
Множество 2, расположенное на числовой сфере, образует
точечное множество в том трехмерном пространстве,
в котором расположена наша сфера. Предельными точками
или точками сгущения такого множества 2 будут некоторые
точки сферы.
Если а будет точка сгущения, расположенная на конечном
расстоянии или на бесконечности *), то в каждой сколь
угодно малой окрестности точки а будет расположено
бесконечно много точек множества 2. Поэтому из множе-
ства 2 можно выбрать такую последовательность:
чтобы
а2, «з,- • • , %,
lim —«.
ОО
9 Как известно, каждое бесконечное ограниченное точечное множе-
ство, расположенное на прямой, на плоскости или в пространстве, имеет
по крайней мере одну точку сгущения.
24
Число а называется поэтому также предельным значе-
нием числового множества S. Присоединим к этому еще
следующие предложения.
Если дана последовательность чисел а1эл2, ..
имеющая предел ъ, так что
lim а„ = а,
П->оо
то точечное множество на числовой сфере имеет только
одну точку сгущения а.
Обратно:
Если точечное множество, расположенное на числовой
сфере, имеет только одну точку ыущения а, то соот-
ветствующее множество чисел исчислимо, т. е. его можно
представить в виде последовательности
ах, а3,. ..,ам... ,
причем
lim
п-»оо
Докажем последнее предложение, предполагая, что един-
ственная точка сгущения а находится в точке оо. Легко
видеть, что заключения, которые мы сделаем в этом случае,
могут быть применены и для любого произвольного
значения а.
Пусть дано бесконечное точечное множество 2, имеющее
единственную точку сгущения оо. Рассмотрим какую-нибудь
окрестность е точки оо. Вне этой области может находиться
только конечное число точек множества 2. Действительно,
в противном случае существовала бы точка сгущения 2,
отличная от точки оо. В комплексной числовой плоскости
эта окрестность г представится областью, внешнею для
круга с центром в точке О и радиусом —. Внутри такого
круга следовательно расположено всегда только конечное
число точек множества 2. Опишем теперь из нулевой точки
плоскости ряд окружностей, радиусы которых бесконечно
возрастают по какому-нибудь закону. Таким образом мы
разобьем плоскость на части I, II, III,... , каждая из которых,
за исключением I, представляет собой круговое кольцо
(черт. 7). Соответственно с этим разобьем точки множе-
ства 2 на группы 1, II, III,... , соединяя в одну и ту же группу
те точки, которые расположены в одной и той же части
25
плоскости. Каждая
только конечное
из этих групп в отдельности содержит
число точек. Эти точки расположим
в каком-нибудь порядке, но притом
так, чтобы впереди стояли те точки,
которые лежат ближе к нулевой точке
плоскости.
Таким образом мы видим, что числа
множества S можно расположить в виде
последовательности
*2, «3» •>
и притом так, что
< | а3 I |а4 | < . . . И lim % = оо.
п ->
Но это и требовалось доказать.
§ 5. Сходимость рядов с комплексными членами.
Ряд
4- ws 4- ws 4-... 4- wn 4- ...(i)
общий член которого есть комплексное число
Ч = и„ 4- i vn,
называется сходящимся, если
lim [w14-w24-w3-j-... 4-wJ
П
будет конечное определенное число, т. е. если последо-
вательность сумм
Sj = Wj, s2 = Wj 4 ®2, s3 = Wl + w’2 4~ • • •
будет сходящейся последовательностью. Число s назы-
вается тогда суммою ряда (1). Ряд (1) сходится поэтому
тогда и только тогда, когда оба ряда
«1 + и2 + из + • • • + U>i + • • • I /пх
^i + ^+^з• • • -Н+ ♦ • • ) V
сходятся. Если и и v будут соответственно суммами этих
рядов, то 5 = и -|- iv.
Каждый не сходящийся ряд называется расходящимся.
26
Применяя основную теорему о сходимости к последова-
тельности зь з2,.. .,з„, .. . , получаем общий критерий схо-
димости рядов.
Бесконечный ряд
W1 + W2-|- ... -rW„+ •..
сходится тогда и только тогда, если для любого положи-
тельного числа е можно определить индекс п так, что
неравенство
|w„+14-w„+?H-... 4-™w+)f|<s
имеет место при всяком целом и положительном к
Ряд (1) будем называть безусловно сходящимся, если он
остается сходящимся при любом порядке его членов и если
при изменении порядка его членов его сумма не меняется.
Для безусловной сходимости необходимо и достаточно,
чтобы ряды (2) были безусловно сходящимися. Как известно,
это имеет место тогда и только тогда, когда ряды
I «1 I + I и2 I 4" * ‘ * 4~ ( ип 1+ * ‘ 1
I vi 1 +1 14" • • • 4-1 я» 14- • • •
сходятся.
Так как
I w« I = V“,.2 + «»2 = I+ ivn I < | и„ 1 +1 v„ I,
то ряд
IW1 1 + I «»21 + • • • + I 1+ • • •
сходится, если сходятся ряды (3).
Далее, так как
I I и IV,, I
не больше чем
(4)
I | = V u,,2 v,;2,
то вместе с рядом (4) сходится каждый из рядов (3).
Таким образом имеем:
Ряд wx 4- w2 4~ • • • 4“ wn 4" • • • безусловно сходится
тогда и только тогда, когда он сходится „абсолютно",
т. е. когда сходится ряд модулей
__ ___ I 14- I . + I wn I г • • •
1) В частности, следовательно, необходимо, чтобы ып стремилось
к нулю при возрастании п до бесконечности,
27
Пользуясь рядом (1), можно построить различными спо-
собами бесконечное число рядов
wT 4- «>., -j- w.. 4~ • • •
11 1 12 * (3
(5)
так, чтобы каждый член wtl ряда (1) входил в один и
только в один из новых рядов и притом только один
раз. Например, имеем такое разложение ряда (1) на беско-
нечное число рядов
W1 W> 4~ ~Г Wrl 4" W11 “Г • • •
W3 + + ^12 +-•••
^б+ ^9 + wi3“h • • •
w15 4- ...
Докажем теперь следующее предложение, которое назовем
теоремой о двойных рядах:
Если ряд (1) абсолютно сходится и имеет сумму st
то каждый из рядов (5) тоже сходится абсолютно. Если
суммы этих рядов обозначим соответственно через
$2, 53,. . . , то ряд
5i Т s2 Ч“5з~Т • • • .(6)
тоже сходится абсолютно и имеет своей суммой s.
Ряд
. I w«a! + i + • • •
сходится, так как все его частичные суммы не превосходят
конечного числа
•S= i I -М Wo| + I w3 14- ...
Первый из рядов (5) будет поэтому абсолютно сходя-
щимся. Также доказывается, что каждый из рядов (5) будет
тоже абсолютно-сходящимся:
S1 = + «’a. +«4,4----
= «»₽1 + . •
s, = wT) + w„(-+®Ti-! ...
28
Тогда
$—(*1~Нз-Нз4- ••• 4-sm):=a'x1 + «,zJ+ • *»
где xi> х2> -« обозначают те индексы, которые не вошли
з первые т рядов (5). Пусть п будет произвольно заданное
целое положительное число. При т достаточно большом,
все члены w2, войдут впервые т рядов (5), и
следовательно значки Xj, х^,... будут больше и.
Таким образом имеем:
Is — ($1 +$2 + • • • +5m)l Wn±l I + I ‘ ~ Гь>
где rn обозначает л-ый остаток ряда
I«л1 +1 «bl +1W3I-,L ...
Так как n можно выбрать настолько большим, чтобы гп
было меньше произвольно заданного положительного
числа, то
lim (st -Ь s2 + • • • + sm) = s-
?n-»oo
Следовательно ряд (6) сходится и имеет сумму, равную s.
Абсолютная сходимость этого ряда следует из неравенств
Ч i <1«»в1| + 1 Н-...
Ы <l«'J4-|a’fj4-...,
откуда вытекает
Ы+К14----+1^1<1«’1! + 1«’2Н ••• ==5.
Поэтому ряд
1511 + ! 521 +1 1 + • • •
сходится, так как все его частичные суммы не превосходят
постоянного числа S. Теорема о двойных рядах доказана
полностью.
Пользуясь теоремой о двойных рядах, легко доказать сле-
дующее важное предложение
Произведение ss сумм s и s' двух абсолютно сходя-
щихся рядов
S = -р «’2 “Ь w3 ’ •
S' = w/’+'W2, + w3'+ * * *
29
равно сумме ряда, также абсолютно сходящегося*
SS W'Wi' 4 («W 4 w/w2) h (WjWg' -}-- *W4"V'l')-| . . .
. . . 4“ (Wiw/ + W2w'n-1 4“ * • • + «W') 4“ • • •
В самом деле, ряд, составленный из членов
w^w'^. wYw2. w^w/. w2w2. w^w/.... (7)
сходится абсолютно. Действительно, рассмотрим какое-ни-
будь число членов в этом ряду. Сумма их модулей не
больше, чем произведение
( I wt H~i w2 I . 4- ] wn I ) (I Wi I 4- i w/ I 4- . .. -Л— ] Wn'\)f
где n — наибольший индекс, с каким входят рассматривае-
мые члены. Тем более эта сумма не превосходит произведе-
ния 1Г1Г, где
JJZ= I W[ I [ w21 -|- I | .
W" = I «»/ | + | w2' | | w8' I4-...
Сумма ряда, составленного из членов (7), с одной сто-
роны, равна
+ W2Wi) + (w^ + ^^24+^8^/)+ • • • >
а, с другой стороны, по теореме о двойном ряде, эта
сумма равна сумме бесконечного числа рядов
Sj = 4~ W1W2Z ! W1 = W1SZ,
S.) = W2w/ 4" 4“ W‘2W3 4" • • • “ W'2S'’
s3 — w3w/ 4- w3w2 + w3w3z -j- .. . — w3s'.
т. e. равна
wtsr 4- w2s' 4- w3s' 4- ... = s • s'.
§ 6. Комплексная переменная и функция от нее.
Рассмотрим множество S комплексных чисел и предполо-
жим, что комплексное число z = х 4“ iff можно отождествить
с каждым числом этого множества £. Тогда будем назы-
вать z комплексной переменной, a S ее областью х). Геоме-
*) В дальнейшем мы будем употреблять название «область» лишь
в более специальном значении (ср. глава III, § 3, стр. 65).
30
трйчески область ~ будет изображаться точечным множе-
ством, расположенным в комплексной числовой плоскости,
или на числовой сфере. Как и раньше, это точечное мно-
жество будем обозначать также через L и называть также
областью комплексной переменной z. Если для представле-
ния чисел множества S воспользоваться числовой сферой,
то нет надобности исключать тот случай, когда точка со
принадлежит точечному множеству т. е. тот случай, когда
среди чисел 2 находится и значение со. Если каждому зна-
чению, которое может принимать z, т. е. каждому числу
множества X, соответствует, по определенному закону, зна-
чение комплексного числа w — и -|- iv, то будем называть
w функцией от z. Если, как выше, z = iy, то и и v
будут тогда вещественными функциями вещественных пе-
ременных х, у. Таким образом, если w задано, как функция
от z, то это равносильно тому, что в вещественной области
заданы две функции и и v от двух вещественных перемен-
ных X и у.
Если рассматривать точечное множество в числовой ли
плоскости или на числовой сфере, которое будет областью
переменной z, то каждой точке этого множества S будет
соответствовать определенное значение комплексного чис-
ла w. Если эти значения опять изобразить точками в не-
которой числовой плоскости или на некоторой числовой
сфере, то получим, соответственно различным значениям,
которые принимает w, некоторое точечное множество
При этом точечное множество X' может содержать одну
и ту же точку несколько раз, если различным значениям z
соответствует одно и то же значение w.
С геометрической точки зрения зависимость между зна-
чениями w и значениями z будет очевидно такова:
Точечные множества - и £z находятся в такой зави-
симости друг от друга, что каждой точке множества
соответствует одна определенная точка множества S'.
Если точечные множества Е и будем рассматривать
на числовой сфере, то нет надобности исключать тот слу-
чай, когда точечному множеству £' принадлежит точка со,
т. е. тот случай, когда среди значений функции w нахо-
дится и значение ш = со.
Введем теперь понятие непрерывности. Пусть з0 будет
определенное значение переменной z\ геометрически пред-
ставленное точкой множества S, и пусть будет соот-
31
ветствующее значение функции, геометрически изображен-
ное точкой wq множества Пусть z0 будет точкой сгуще-
ния множества Будем говорить, что w непрерывна для
рассматриваемого значения г0, если w0 конечно и если
каждой произвольно малой окрестности г точки w0 можно
сопоставить такую окрестность точки z0, чтобы точкам
множества Е, расположенным в этой окрестности, соот-
ветствовали точки £'> расположенные в окрестности а точ-
ки w0.
Это условие можно заменить таким:
Если точки z'\ z\ . множества 2 стремятся к
пределу zQ, то соответствующие точки w't w", w'rr .
множества 2' должны стремиться к конечному пре-
делу w0.
Если Zq имеет конечное значение, то условие непрерыв-
ности можно очевидно высказать так:
Функция w, принимающая при z = z0 значение wQ, не-
прерывна при z = z0, если для каждого произвольно ма-
лого положительного числа г можно определить такую по-
ложительную величину 3, чтобы | W—w0 | < а, как только
| z — zQ I < 8.
Это определение остается в силе и в случае, когда z0=oo,
если только лишенному самому по себе смысла символу
1
z—со приписать значение —.
Пусть например,
w = zn (п > 0, целое).
За область переменной z можно принять всю числовую
сферу, за исключением точки z=oo. Пусть будет опре-
• деленное значение z и ш0 = zon, тогда имеем:
п п f х / п— 1 | п-2 I п~3 о I
w — w{)=z—Zq={z — zq)(z + Z + Z Zl
f I n— n
+ .,.-r-z0
и следовательно
I । । j , n 1 I n—2 i । n•1 I
| w — I = \z —z0 I \z \z zo~t- • •-i~zo I
I i / n—1 । n —2 I । n—1\
< I z — zv I (' + r r0 + ... + r0
где
1 z I = r, I z0 I = Го-
32
Рассмотрим окрестность & точки z0. Для всякой точки z
этой окрестности очевидно будет r = | z | < ОМ =
(черт. 8). Таким образом имеем, что
I w —w0| <]z —ZOI [(П)+8)”_1Ч-(Гэ + 8)И-2(го + &)-4- • • • ]
<nS(ro+8)n_1-
Из этого неравенства видно, что 8
можно выбрать настолько малым,
чтобы для всех z, расположенных
в окрестности 8 точки z0, раз-
ность | w — | была меньше
произвольно заданного положитель-
ного числа в. Таким образом w = zn
непрерывна при всяком конечном
значении z. Также доказывается, что
место для всякой целой рациональной
то же самое имеет
функции . ,
-п I П—1 I I
w — aQz -j- axz -j- ... -f- an
(n>0).
§ 7. Равномерная сходимость.
Рассмотрим ряд
5 = ah-|-w24- w3+ ... 4-wn+ (1)
члены которого суть функции комплексной переменной z*
Пусть область этой переменной будет £ и пусть в каждой
тояке z точечного множества Б ряд (1) сходится. Сумма s
ряда будет тогда тоже функцией переменной z.
Если задана определенная точка z = zj области S, то
члены ряда (1) будут определенными комплексными числами.
Если через гп обозначим n-й остаток ряда, так что
s — («ь4- ш2 + ^з+ • • •
или
= ^1 + ^2 + . . . +
то в силу предположения о сходимости ряда получим, что
Ы<®, (2)
как только индекс k сделается больше некоторого подхо-
дящим образом выбранного индекса и. При этом s, как
обыкновенно, обозначает произвольно малое, заданное, по*,
ложительное число.
3 А. Гурвиц
33
Рассматривая ряд (1) в какой-нибудь другой точке z =
— области 2, можно опять при каждом s задать такой
индекс п, чтобы при к > п имело место неравенство (2).
Здесь однако ничего не говорится о том, что заданному е
соответствует то же самое значение и, как и при z = Zp
Если же для произвольно заданного положительного s
можно выбрать такое значение индекса п, чтобы нера-
венство (2) было справедливо при любом k>n и при вся-
ком произвольном z из области 2, то ряд (1) называется
„равномерно" сходящимся в . области 2 1).
Важное значение этого понятия о равномерной сходимости
основано на следующем предложении:
Если члены ряда
S = Wi + w2 + Wq 4“ • • • + wn + • • •
будут непрерывными функциями z в области 2 и если
ряд сходится равномерно в области 2, то сумма s ряда
будет тоже непрерывной функцией z в области 2.
Действительно, пусть 'е будет произвольно малое наперед
заданное положительное число. Индекс п можно выбрать
так, чтобы в равенстве
5 = 5и4-Г„
. - - £
абсолютная величина гп была меньше, чем-^- в каждой
точке z области 2. Пусть z* будет определенная точка
области £. Подставляя в предыдущее равенство z = z*,
имеем, что
«* = «*» +Л»
И -
I s—S* I = I sH — s,*-t-rn—г* | < I S„—V I +|r„ I +|r„*|.
sw, как сумма конечного числа непрерывных функций,
сама непрерывна; поэтому можно выбрать такую окрест-
1) Для разъяснения понятия равномерной сходимости лучше всего рас-
оо
смотреть ряд, сходящийся неравномерно, например, ряд
который, как читатель легко убедится, сходится в промежутке — 1 < х <1 1
неравномерно.
М-
Йх(1+^л’
ность z*, чтобы для всех z, принадлежащих этой окрест-
ности, имело место неравенство
I s _s * I
.1 I 2 •
Для этой же области имеем, следовательно,
. * I е ( 8 । е
S S* --------1 X “ — S.
1 * 1 з 3 ~ 3
что и доказывает непрерывность s.
В равномерной сходимости ряда часто можно убедиться,
пользуясь следующим предложением:
Пусть даны два ряда
Wi + w2 + о>з+ • • •
Pl •+'рз + рз + • • •
и пусть члены первого ряда будут функциями от z, опре-
деленными в области 2, а члены второго ряда—постоян-
ные положительные числа. Если при всяком z в области S
имеют место неравенства
I Wn I <р„ (п-=1, 2, 3,...)
и если второй ряд сходится, то первый ряд сходится
в области £ абсолютно и равномерно.
Абсолютная сходимость первого ряда вытекает из нера-
венств
I w\ I + 1 W'l I 4" • • • +1 Wn 1 “hp2-T • • • +P1XP1+P2+
+ Рз+- • • •
Далее, так как при всяком z в области 2 остаток пер-
вого ряда удовлетворяет неравенствам
i я’и+1+«'?1+2+-• • К 1^+1 1 + |w„+2 ! + •••< .
<pJl+i"bpn+2+• • •»
т. е. по модулю не превосходит остатка второго ряда, то
и равномерная сходимость первого ряда тоже доказана. Это
предложение доцускает замечательное обобщение. Рассмо*
трим два ряда .
1^+^4-1173 4-... . (3)
< ч Ф1 + «"2 + а>з+• • • » . (4)
члены который будут функциями от z в области Е. .
3* . 33
Если при всяком z в этой области имеет место нера-
венство
I I > I ь
то ряд (3) называется мажорантой ряда (4), или его уси-
ливающим рядом в области Обратно, (4) называется ми-
норантой (3).
Имеем очевидное предложение:
Если в области S ряд(4} является минорантой ряда (3)
и если ряд, составленный из абсолютных величин членов
ряда (3), сходится равномерно в области S, то ряд, (4)
сходится абсолютно и равномерно в этой области.
В том случае, когда члены мажоранты (3) будут постоян-
ными положительными числами, имеем предыдущее предло-
жение.
Глава П.
СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ.
Теория аналитических функций в том виде, как мы ее
здесь излагаем по Вейерштрассу, опирается на рассмотре-
ние степенных рядов. В этой главе поэтому мы рассмот-
рим подробно свойства таких рядов.
§ 1. Область сходимости степенного ряда.
Ряд вида
P(Z) = CO-|-C1Z + C2224- .. . ,
коэффициентами которого Со, ср с2». .с,,,... будут какие-
нибудь комплексные числа, называется степенным рядом.
Те точки комплексной числовой плоскости, в которых ряд
сходится, образуют область сходимости степенного ряда.
Точка * = 0 всегда принадлежит области сходимости ряда.
Существуют степенные ряды, сходящиеся только при z = 0;
область их сходимости состоит, следовательно, только из
одной точки z = 0. Далее будет доказано, что, например,
ряд „ л
» 14* z-}-2lz2 4* • • • 4~ 4"~ • • •
будет таким рядом.
За исключением этого случая ряд P(z) будет сходиться
еще при некотором значении z0, отличном от нуля*
36
Если теперь ряд
Со + cizo + c2z02 + • • • +с»*оЛ ~b • • •
сходится, то наверно
lim с„2:оп = О.
п со
Точки со, CjZq, c2z02, ..., cMron,... имеют, следовательно, един-
ственную предельную точку нуль. Можно поэтому описать
такой круг с центром в нулевой точке, чтобы все эти
точки были расположены внутри этого круга. Если g бу-
дет радиус такого круга, то
I c,.Zo” I <g
при n = 0, 1, 2, 3,...
Опишем из нулевой точки положительным радиусом р
такой круг, чтобы точка z0 находилась вне этого круга.
Тогда будем иметь, что р< | zQ I . Если z будет произволь-
ная точка, расположенная внутри или на окружности этого
круга, то
I *0 I
Обозначая для краткости -г = к, имеем, что ряд
12о I
• • • +#£П''Ь • • •
будет мажорантным (усиливающим) рядом для степенного
ряда
с0 cxz -J- c2z2 -J- ... + c„z” + • • •
в рассматриваемом круге.
Первый ряд сходится как геометрическая прогрессия со
знаменателем Л< 1. Таким образом имеем предложение:
Если степенной ряд P(z) сходится при z = zQt то он
абсолютно и равномерно сходится в точках каждого
круга с центром в нулевой точке плоскости и радиуса
меньшего, чем | zQ | .
В частности, ряд сходится абсолютно при всяком значе-
нии z, модуль которого меньше | z0 | , т. е. он абсолютно
сходится во всех внутренних точках круга с центром
в точке О, окружность которого проходит через точку zq.
Рассмотрим множество кругов С, с центром в точке О
37
и обладающих тем свойством, что внутри каждого такого
круга степенной ряд P(z) будет сходящимся. Пусть г бу-
дет точная верхняя граница радиусов этих кругов (причем
бесконечно большое значение г не исключается) и К пусть
будет круг с центром в точке О и радиусом г. Если точка z*
лежит вне этого круга, то ряд Р(г) не может сходиться
в этой точке. Действительно, в противном случае суще-
ствовал бы такой круг (проходящий через точку z*), внутри
которого ряд P(z) сходился бы и радиус которого был бы > г.
Если же точка z расположена внутри круга АГ, то рядР(г)
будет сходящимся в этой точке. Действительно, среди кру-
гов С существуют такие, радиусы которых сколь угодно т
близки к г, т. е. такие, внутри которых расположена точка z.
Таким образом, имеем следующую теорему:
Если P(z) есть степенной ряд, то существует круг К
с центром, в точке О, обладающий тем свойством, что
ряд P(z) сходится в каждой точке z, расположенной внутри
круга К, и расходится в каждой точке z, расположенной
вне этою круга.
Вопрос о том, сходится ли или расходится ряд P(z)
в точках окружности круга К, остается нерешенным.
Круг К называется кругом сходимости ряда P(z), а его
радиус г называется радиусом сходимости этого ряда.
В исключительном случае, когда ряд P(z) сходится только
при z = 0, будем говорить, что радиус сходимости г равен
нулю и что круг сходимости К обращается в нулевую точку.
Если радиус сходимости г (т. е. точная верхняя граница
радиусов кругов С) будет бесконечно большим, то круг схо-
димости К покрывает всю плоскость комплексных чисел,
и ряд P(z) сходится тогда при всяком z. Такой степенной
ряд называется везде сходящимся рядом. Область сходи-
мости степенного ряда P(z) очевидно состоит из внутрен-
них точек круга сходимости и из тех точек его окруж-
ности, в которых P(z) сходится.
В силу выше доказанной равномерной сходимости сте-
пенного ряда, ряд P(z) представляет собой непрерывную
функцию внутри своего круга сходимости.
§ 2. Определение радиуса сходимости.
Радиус сходимости степенного ряда
P(z) = co + cxz + c2z2 -J- ... 4- cnzn + • • • (1)
3'8
можно определить при помощи его коэффициентов, как по-
казал Коши, следующим образом. - -
Составим последовательность чисел . ,
ы, (2)
Все члены этой последовательности будем считать веще-
ственными, не отрицательными числами.
Если I будет наибольшим из предельных значений этой
последовательности, т. е. Z=lim j/| сп |, то
П>ОО
1
r~ I
будет радиусом сходимости степенного ряда (1).
Для доказательства предположим, что z будет какое-ни-
будь произвольно заданное число. Тогда
lim р/ | сп | |z”|=7|z|.
п -> ОО
Если | z | > т. е. I | z | > 1, то для бесконечно боль-
шого числа значений индекса п будем иметь, что
"V I cnz" I > 1, т. e.|cBz“|> 1.
Таким образом ряд расходится, так как lim cnzn не мо-
1
жетСравняться нулю. Если же | z | < —у, т. е. l\ z | < 1, то,
начиная с некоторого значения п, будем иметь, что
где k — некоторое заданное число между I | z | и 1. Таким
образом, если С будет некоторая, подходящим образом вы
бранная, положительная постоянная, то ряд
c(i+*+**+...)
будет мажорантным рядом для ряда P(z), откуда следует
сходимость ряда P(z).
Случай Z==0 (т. е. г=оо) имеет место тогда и тслько
тогда, когда последовательность (2) обладает единственной
предельной точкой 0, т. е. если
Нт ^=0. . ..
39
Степенной ряд
Со 4“ С±2 4“ CgZ2~j~
+<^4—.
сходится везде в том и только в том случае, если
1. п/-\—. л
lim у | сп | = 0.
п -> со
Рассмотрим некоторые примеры на предыдущие теоремы.
Для ряда
1 + z 4~ 4“ z9-4~ z16 4“ • • •
у/ | с„ | равен 1 или 0, смотря по тому, будет ли п квад-
ратом или нет. Последовательность (2) имеет поэтому два
предельных значения 0 и 1. Имеем /=1 и г=~ —
Для ряда
имеем, что сп = -^р Для нахождения lim | Сп | , рассмот-
рим произведение х
(и!)*={1 • п} • {2 (и —1)} • {3(п —2)}.. .{и • 1}.
Каждый из п сомножителей правой части не меньше и,
так как
а (п — «4“!) — п = (а— 1)(п—а)>0
при
а = 1, 2, 3,..и;
следовательно
(п!Г>п", п!>(/V)” ,^~пГ>Уп
и поэтому ___ _________
i/ZT.
у nl у п
Значит,
и рассматриваемый ряд сходится поэтому во всей плоскости
комплексных чисел.
40
Для ряда
l + * + 2!z24--..+n!zn+...
имеем, что
lim |/ | сп | = lim |/ п! = со;
следовательно, I = оо и
= 0. Таким образом ряд
сходится только при z —0.
Упомянем еще следующую часто встречающуюся теорему
о круге сходимости.
Если коэффициенты рядов
Р& = Со+ C1Z-F • • • + • •
Л(*) == bQ+ь22? 4- •••4“ ^«*"4" • • • >
для всех значений индекса, начиная с некоторого, удовле-
творяют неравенствам
то круг сходимости ряда P(z) не меньше круга сходимости
ряда Рг(?).
Действительно, в каждой внутренней точке круга сходи-
мости ряда Px(z) этот ряд сходится абсолютно, а следова-
тельно в той же точке абсолютно сходится и ряд P(z).
§ 3. Действия со степенными рядами.
Рассмотрим несколько степенных рядов
Л(Д P2(z),...A(z).
Наименьший из их кругов сходимости будем называть
общим кругом сходимости этих рядов. В каждой внутренней
точке этого круга все рассматриваемые ряды сходятся и при-
' Л „том абсолютно. В каждой точке, расположенной вне этого
круга, расходится по крайней мере один из этих рядов.
I/ Складывая формально два степенных ряда:
I a w . +4°*"+...
p2(z)==4)-i-42)z*+42)z24-... 4-42)zn+..
41
получим новый степенной ряд:
Л W + Р2 Ю = (4'> + о?) + + 4> + •
. +(Сп, --- (О
Этот ряд сходится при всех тех значениях z, при кото-
рых сходятся оба ряда Pi(z) и P$(z). То же самое имеет
место и для разности
Р, (.) - Л (Z)=(«г- 4’)+(4” - 4!|) <+
(2).'
Перемножая ряды Pi(z) и P%(z), имеем ряд
Р, W р2 (Z)=4» 4!>+(<£> о<->+4V>)(3)
который, в силу главы I, § 5, абсолютно сходится при тех
значениях z, при которых абсолютно сходятся ряды P/z)
и Ра С?). Сумма этого нового ряда равна произведению сумм
рядов Pt(z) и P2(z).
Пользуясь повторно этими замечаниями, получаем сле-
дующую теорему:
Пусть G (F\ (z), Р2 (z),... ,РЛ (z)) будет целая рациональ-
ная функция от степенных рядов Pi(z), Pz(z)9.. ^P^z),
т. е. такое выражение, которое составлено из этих рядов
и постоянных только при помощи действий сложения,
вычитания и умножения. Пользуясь несколько раз форму-
лами (1), (2) и (3), можно эту целую рациональную функ-
цию представить опять в виде степенного ряда. Получен-
ный таким способом ряд P(z) будет сходящимся при
всяком z, расположенном внутри общего круга сходимости
рядов P\(z), P2(z),.. .,Pft(z). При всяком таком значении z
будет иметь место равенство
С(Л(4 =
где Pi (z),P2 (z),... ,Р7с (*) и P(z) обозначают суммы рядовг!^
при этом значении z.
Перейдем теперь к делению степенных рядов и рассмотрим
сперва отношение » .
1_________ :
1 “ eTz— c2z2 -— c3z3— . *.г
42
предполагая, что степенной ряд, стоящий в знаменателе,
имеет радиус сходимости, отличный от нуля. Наибольшее
предельное значение последовательности
|cj, /|с21, F'Tcgl.
будет тогда конечным, и все эти числа будут поэтому меньше
некоторого положительного числа. Если это число будет
g, то при всяком индексе п будет
|с„|<^. (4)
Составим теперь степенной ряд
Q(z) = l-^kxz-\-k^-{- ... 4~Arnzw+ ... (5)
так, чтобы формально *) имело место равенство
(1—crz—. )(1 + k^z 4- ktf? + ktf? + ...) = 1 (6)
Перемножая по формуле (3) эти ряды, получим
1 + (kx — cx)z4“ (&2 — kxcx — c2)z* 4“ (h — кьСх — к^с.) —
— c3)z3+ ... =1.
Это равенство будет формально удовлетворено, если
принять
&1=С1,&2 = &1 С1 4“ с2, ^3 — С1 4- ^1 С24“Сз- • •
Из неравенства (4) имеем последовательно
\ki\<gi\^\<\ki\\c1\ + \c2\<g^g^2g^
1^1<1^1кН1^11с2Н!с8|<2/4-^+^==4^
lt.J<2”-V. (7)
Действительно, предполагая это неравенство доказанным
для всех значений индекса до некоторого значения и вклю-
чительно, имеем, что
I кп i | = 1 С1 кп 4“ с2 ~ 14“ • • • 4~ сп 4-1'
< Ии I I С1 I + I К. - 1 II с2 I + ' ' * + I C«4-l I
и следовательно
!*„+>!< 2”'1 Л+2"Л"‘г! + +г" г+г”+* =
=^”+‘U + l+2 + 2i!+ ... +2“ ~1) = «"+12“.
Т. е. если будем действовать со степенными рядами по тем же
правилам, что й с многочленами.
?43
Таким образом неравенство (7) будет справедливо при вся-
ком п, так как оно справедливо при и = 1.
Из этого неравенства следует, что ряд
1 !_ О1 2 J J.O2 J J L •_L
будет мажорантным рядом для ряда (5).
Предыдущий ряд сходится абсолютно при
И <5-
Поэтому ряд (5) при этом же условии будет также абсо-
лютно сходящимся. Ряд 1 — q z — c2z2 — c3z3 — ... тоже
абсолютно сходится в круге [ z | < • Действительно, ра-
1 1
диус сходимости г = у этого ряда не меньше, чем —, так
как I g, и следовательно тем более больше у- • Таким обра-
зом формальное уравнение (6) получает смысл.
Так как правая часть этого уравнения раЗна 1, то мно-
житель в левой части
1 — ci z — c2z2 — ... ф О
и следовательно
1
1 ---Cj z — C2Z2 —
Это равенство справедливо при ] z [ < ~~ •
Пусть теперь дан ряд
у которого первый коэффициент а0 отличен от нуля и ко-
торый имеет отличный от нуля радиус сходимости. Тогда
можем
положить
P(z) = а0(1 — ctz — c2z2— c3z3— . ..),
В силу предыдущего предложения имеем равенство
_J__ = .1----------1----------= -L _|_ z _L_ ^3Z2_L
P(z) а01 — cxz — c2z2 — c3z3—... a0 a0 a0
справедливое для тех значений z, модуль которых меньше
* 1
некоторого надлежаще выбранного положительного числа •
За число g можно выбрать какое-нибудь положительное
число, большее всех чисел последовательности
Таким образом, если ряд P(z) имеет радиус сходимости,
отличный от нуля, и при z = 0 не обращается в нуль, то
существует другой степенной ряд Q(z), имеющий также
отличный от нуля радиус сходимости и такой, что оба ряда
P(z) и Q(z) сходятся в некотором надлежаще выбранном
круге с центром в нулевой точке, причем
Отсюда сейчас же выводим:
Дробная рациональная функция от степенных рядов
может быть представлена в некотором круге опять
в виде степенного ряда, если степенные, ряды
P%(z),* • •> Р1&) имеют отличные от нуля радиусы сходимо-
сти и если пои z — 0 знаменатель рациональной функции
отличен от нуля.
§ 4. Принцип сравнения коэффициентов.
Принцип сравнения коэффициентов основан на следующем
предложении:
Пусть P{z) будет степенной ряд, коэффициенты кото-
рого не все равны нулю. Пусть радиус сходимости этого
ряда не равен нулю. Тогда можно определить некоторую
окрестность 8 точки z = 0 так, чтобы внутри этой
окрестности функция P(z) нигде не обращалась в нуль
за исключением может быть только z — 0.
45
Действительно, пусть ск будет первый отличный от нуля
коэффициент степенного ряда P(z). Имеем, что
• Р(2) = ? (ск 4- Ck+lZ + сл+а22 +•..)==
где ряд Р&) имеет тот же круг сходимости, что и P(z).
Так как степенной ряд будет непрерывной функцией внутри
своего круга сходимости, то можно определить окрестность
3 нулевой точки так, чтобы внутри этой области Pi(z) от-
личалась от Pi(0) = ск на величину по модулю меньшую,
чем | cj. В такой области будем иметь
I Л(*) 1 = | (Р^) - А(0).) 4- ск | > I ск I -1 Л(2) - Л(0) ] > о.
Таким образом, в рассматриваемой области P(z) = zkP1{z)
может обращаться в нуль только при z — 0. Если к > 0, то
при z = 0 P(z) обращается в нуль; если же к = 0, то P(z) не
обращается в нуль и при z = 0.
Доказанное предложение можно высказать и в такой форме:
Значения z, при которых степенной ряд P(z) (у кото*
рого не все коэффициенты равны нулю) обращается в нуль,
т. е. так называемые „нули“ ряда P(z) не могут иметь
точки сгущения z = 0.
Отсюда далее видно, что два степенных ряда должны
равня гься между собой тождественно, если для бесконечного
множества значений z, имеющего точку сгущения z = 0, оба
степенных ряда сходятся и равны между собой. Действи-
тельно, разность таких двух рядов, в силу последнего пред-
ложения, должна тождественно равняться нулю, т. е. все
ее коэффициенты должны равняться нулю. Таким образом
получаем:
если обе части равенства
co + ciz + c2z2+ . .. ==604“61^ + ^2+ • • •
имеют отличные от нуля радиусы сходимости и если
это равенство имеет место для бесконечного множества
значений z, имеющего точку сгущения z = 0, то
Со == 60, С2 ^2, * • •
л-
§ 5. Обобщение доказанных предложений.
Полученные результаты непосредственно обобщаются на
степенные ряды вида
P(z/a) = с0 4- ci(z~«) + c2(z—a)2 4" • • • 4" c>.(z—о),1.4~ .... (1)
46
Полагая в этом степенном ряде z — а = Ц получим
P(z/a) = с0 + С1С + с2С2 с„Г +....,
т. е. имеем ряд, расположенный по возрастающим степеням С
Если г будет радиус сходимости этого ряда, то ряд (1)
будет сходящимся или расходящимся, смотря по тому,
будет ли
|^] = |z — а|<гили > г.
Точки z, для которых [z— а| < г, заполняют внутреннюю
область круга с центром в точке а и радиусом z. Таким
образом:
> всякому степенному ряду P(z]a) соответствует такой
круг с центром в точке а, что внутри этого круга ряд
сходится, а вне его он расходится.
Этот круг называется кругом сходимости, а его радиус
радиусом сходимости ряда P(z/a).
во всех точках круга с центром в точке а и радиусом,
меньшим радиуса сходимости, ряд P(zla) сходится абсо-
лютно и равномерно. Сумма степенного ряда P(z!a) внутри
его круга сходимости будет поэтому непрерывной функцией
от z.
Из § 3 имеем, что:
рациональная функция от нескольких степенных рядов
Px(z\d), P^zjd),. . .,Pk(zla) может быть представлена в
некотором (не обращающемся в точку) круге с центром
в точке а, опять в виде степенною ряда P(zja), если
только степенные ряды P)lzja),. . .,Pk(z/a) имеют не обра-
щающиеся в нуль радиусы сходимости и если знамена-
тель рациональной функции при z = a отличен от нуля.
То же еамое, что было сказано о степенных рядах P(zla),
имеет место и для рядов вида
Л*М=«о+^- + Э+-'-+?+--- (2>
1 I I 1
— или I Z I < —
J9th ряды сходятся или расходятся, смотря по тому,
\будет ли
£
Z
£
Z
г или
где г означает радиус сходимости рядасо+^С-]- с2С2 +
+ ... +с,Л"+ • .. '
47'
Таким, образом, ряд вида (2) сходится или расходится,
смотря по тому, будет ли точка z расположена вне или
внутри некоторого определенного круга, имеющего центр
в точке О.
Исключительная роль точки со исчезает, если комплексные
числа представить точками на сфере. Тогда будет иметь
место следующее предложение, причем безразлично, будет ли
а числом конечным или со:
Всякому степенно чу ряд] P(z/a) соответствует на
сфере окр]жность, разделяющая сферу на две области,
обладающих таким свойством*, внутри той области, где
расположена точка а, ряд P(zla) сходится, а внутри дру-
гой области этот ряд расходится.
Содержание предыдущего параграфа обобщается следую-
щим образом на ряды вида P^z{d), где а — конечное число
или со.
Если коэффициенты степенного ряда P(z!d) не все равны
нулю, то можно определить такую окрестность точки а,
в которой P(zja) нигде, за исключением, может быть, z — a,
не обращается в нуль.
Если равенство
Co4-Ci(z —a) + c2(z —а)2-4- ... =60-}-61(z—а) +
4" b-i(z—a)- -f- ...
имеет место для бесконечного множества различных то-
чек z, имеющих точку сгущения z = a, то
Cq == 6q, С| = Ь19 С*2 = ' * *
§ б. Преобразование степенного ряда.
Рассмотрим ряд
Р&а) = с0 4- c/z — а) 4- с2(г—а)2 4- • • • >
радиус сходимости которого г отличен от нуля. _ г
Пусть Ь будет какая-нибудь точка внутри круга сходимо- $
сти ряда P(zla). Представим z— а в виде
z — а = (Ь — a)±(z — *) = 8-Н,
где 8 .и С обозначают соответственно Ъ—а и z — Ь. '
48
Ряд- Р(г/а) принимает теперь вид
P(z}a) = cq4-сх(8 -j- 0 4" с2(8 Q2 4* сз(8 4~ О8 4" • • • ~
= с0 + (С18 4- С1Q 4- (с2 8'2 4- 2с28С 4- с&) 4- (с38з 4- Зс38Ч 4-
Зс38Ч24-с8С3)4- • • • (1)
Поставим вопрос, возможно ли здесь правую часть рас*
положить по степеням C = z—b.
Это возможно в том случае, если ряд модулей
Icol + I^SI 4-|с1С|4-|с28®|4-12с38С|4-|с2С®| + ... (2)
сходится. Ряд же, составленный только из неотрицательных
вещественных членов, будет сходящимся, если он сходится
при какой-нибудь произвольной группировке его членов*
Ряд (2) будет поэтому сходящимся, если сходится ряд
Ы + |е.1(!’1 + 1 Ч) + 1^|((8| + 1Ч)’+
+ Ы(1Ч + К1)’ + --. (3) < >.
Этот ряд представляет собой ряд мо- /
дулей членов ряда P(zla)9 если заменить I х I
в нем \ z— а | на | 8 | + | С ] . Ряд (3) к у
следовательно сходится, если \ /
I 8 I -к | С I < г, т. е. если -----
| z — b I <r— I Ь — а I . Че₽т-9-
Это условие выполняется для всякой внутренней точки
круга, имеющего центр в точке Ъ. и касающегося изнутри
круга сходимости ряда Pizja) (черт. 9). Таким образом,
если точка z расположена внутри этого круга, то правую
часть равенства (1) можно расположить по степеням С =
— z — Ь.
Введем теперь такую терминологию: если в степенном
ряде P(z)a) заменить везде z— а на (Ь — — 6), раз-
ложить потом каждый член ряда по степеням (z — Ь) и рас-
положить, наконец, весь ряд по степеням (z — b), то получен-
ный таким путем степенной ряд P^z/b) будем называть пре’
образованием ряда P^z/a) для точки Ь.
Таким образом доказано такое предложение:
Ряд Pv(z!b}, являющийся преобразованием ряда Pxz]a)9
наверно сходится внутри такого круга, с центром в точке
Ь, который касается изнутри круга сходимости ряда
4 Л. Гурвиц
49
P(z'[d). Внутри первого круга всюду имеет место'равен-
ство
P(zld) = P^zjb).
Такое же предложение имеет место и для степенного
ряда P(z/co). Пусть ряд
Л2/=о) = е0+-^+-а-+...+5;+...
сходится вне круга I z | — г и пусть b будет какая-нибудь
точка, расположенная вне этого круга.
Представим z в виде
z — b — (b — z^ — Ъ —
где С обозначает Ь—z. Тогда имеем:
PW«) = е0 + + Гь .
Если | £ | < | 6 ) , т. е. если точка z лежит внутри круга,
с центром Ъ и проходящего через нулевую точку плоскости, то
с-+
6зТ •••
и по теоремам §
1 1 г
6 —с ь
3 имеем:
1 1|2С b*6»
(6-Q2
1 1 , ЗС
(6-С)« 63 1
Таким образом имеем, что
P(zl оо) = с0 + с J + ^ + • • •
Г с2
(4)
Этот ряд можно расположить по степеням С, если ряд
]с0I cil ( j + р + • • •)+1с21( £5 4~
50
f. e. ряд
l<Jol+l<Jll|6|_|C| +>C8l(|6|-|C|)s+ ••
сходится. Это имеет место в случае, если | Ь | — | С | > г,
т, е. | Ь — z | < | b | —г, следовательно, если точка z лежит
внутри круга, с центром Ъ и касающегося извне круга | z | = г.
Внутри первого круга будет справедливо равенство
Р(г/со) = Л(г/6),
где P&lb) обозначает тот степенной ряд, который полу-
читсЯ| если правую часть равенства (4) расположить по сте-
пеням С = Ь — z. Этот ряд будем называть преобразованием
ряда Р(г/°°) для точки Ъ.
§ 7. Производные степенного ряда.
Рассмотрим коэффициент при С = z — b в преобразова-
нии P&lb) степенного ряда
P(z!a) - со + сх(6 - а -Н) + с2(Ь-а^ + .. . +
+ сп(Ь—а 4“ Q” 4" ... (1)
Этот коэффициент будет равен
ci + 2с2(6 — а) + Зс3(6 — а)2 4" * • • + псл — а)п ± + • • •
Мы знаем, что этот ряд будет сходиться в каждой точке 6,
расположенной внутри круга сходимости ряда P(z]a). Дру-
гими словами, ряд:
С14- 2c2(z — а) 4- 3c3(z — а)2 4- ... 4- nc„(z — а)"-1... (2)
имеет радиус сходимости не меньше, чем радиус сходи-
мости г ряда P(zla), т. е. т\ г.
Сравним теперь два ряда
Co + <a(* — a)-^c£z — а)24~ . ;. 4~cw(z—а)п4~ .. .
cx(z — а) 4- 2c2(z — п)2 4- ... 4- ncn(z — а)п 4~ ...
Первый из них имеет радиус сходимости г, а второй имеет
радиус сходимости rv Так как | cn | | пс„ | , (п = 1, 2,
3,...), то радиус сходимости первого ряда не меньше ра-
диуса сходимости второго, т. е. г > Таким образом имеем,
что = г. Ряд (2) будем обозначать P'(z/a) и называть его
производным рядом от ряда P(z/a).
4*
51
Таким образом имеем теорему:
Производный ряд
P\zla) — сх + 2c2(z — а) + 3c3(z — ар 4" • • • 4“
4- nch(z — a)n i 4“ • • •
имеет тот же круг сходимости, что и первоначальный ря4
P(z/a) = c04'C1(z —a)4-c2(z —а)24- . .. 4»cn(z — a)"4~ ..
Ряды
P(z/a), P'fz/a), РЖ
из которых каждый последующий будет производным*рядо1
от предыдущего, имеют следовательно тот же круг сходи
мости, что и ряд P(z/a). Ряд P'n\zla) будем называть пре
из водным рядом п-го порядка от P(zja), причем для тоге
чтобы это понятие сделать применимым и к случаю п — (
будем называть производным рядом нулевого порядка P#\zfa
первоначальный ряд Pizja). Если правую часть равенства (1
расположим по степеням C = z— b, то для преобразованног
ряда P^zlb) получим
P(zla) = P&lb) = P(b/a) ^P(bld}(z-b) + • • -
Как мы видели, это разложение имеет наверно мест
внутри круга с центром Ъ, касающегося изнутри круга схс
димости ряда P(z'a). 5
Если z = b 4" А, то из равенства (3) имеем для всех зна
чений А, не превосходящих по модулю некоторого положа
тельного числа:
= Р(Ыа)+... + ^пХЬ1а)^~ 4- ...
п п\
Так как ряд в правой части этого равенства будет яс
прерывной функцией от А, то
lim W + , j
Таким образом, степенной ряд P(z!a) внутри его круг
сходимости определяет такую непрерывную функцию, ко?
52
торая будет дифференцируема, причем сумма производного
ряда будет равна производной от суммы ряда P(za).
Н Понятие о производной функции /(я), рассматриваемой
в некоторой области S переменной z, определяется при
этом так:
Пусть z будет определенное значение переменной, изо-
бражаемое определенной точкой z в области 2. Рассмотрим
отношение
Лг1) —/(g)
Zj — Z
где zx обозначает отличную от z переменную точку области Е.
Если существует такая определенная конечная величина
что разность
/(gl)-/(g) f
будет, по модулю, меньше произвольно заданного положи-
тельного числа е, как только zx будет лежать в некоторой
достаточно малой окрестности точки z, то такое обстоятель-
ство будем изображать равенством
lim /(*).~/W = /-
Zj — Z J
и будем называть функцию / дифференцируемой для рас-
сматриваемого значения z области S, а /' будем называть
производной от / для этого значения z. Производная f за-
висит от z и будет поэтому опять функцией от z в обла-
сти S. Производная f" от этой функции, если она суще-
ствует, называется второй производной от f(z) и т. д.
р г df d2f
Вместо f , f ... пишут также и т. д.
Производная 7х (г/а) от P(zla)t будучи степенным рядом,
в свою очередь дифференцируема в круге сходимости ряда
P(zta) и имеет производную Pr (z/a) и т. д.
Таким образом степенной ряд P(zla) внутри его круга
сходимости определяет функцию от z, имеющую произ-
водные какого угодно порядка.
§ 8. Непосредственное продолжение степенного ряда.
Пусть круги сходимости двух степенных рядов P(z/a)
и отчасти налегают друг на друга. Пусть 5 будет
53
их общая часть и b пусть будет точка, расположенная
внутри S (черт. 10).
Если равенство
P(z/a) = P1(zla1)
имеет место для бесконечного числа точек, расположен-
ных внутри S и имеющих точку сгущения Ь, также лежа-
щую внутри S, то это равенство
имеет место в каждой точке с, рас-
положенной внутри S.
Из условия теоремы на основании
§ 4 можно утверждать, что преобра-
зования рядов P\z!a) и Pi(z/ai) в точке Ь
будут тождественны.
Действительно, оба эти преобра-
зования расположены по степеням
z — b и равны между собой для бес-
конечно большого числа значений z,
сколь угодно близких к Ь. В тех
точках прямолинейного отрезка Ьс, которые располо-
жены внутри круга сходимости общего ряда, преобразован-
ного из рядов P(z/a) и P^z/a^ эти степенные ряды равны
между собой. На отрезке Ьс, следовательно, существуют
точки р, обладающие тем свойством, что P(zla) = Px(z/a^
в каждой точке отрезка Ьр. Рассмотрим расстояния этих
точек р от точки 6. Пусть bq будет точной верхней грани-
цей этих расстояний (черт. 11). Мы утверждаем, что точка q
совпадает с точкой с. Действи-
тельно, к точке q можно приме-
нить то же рассуждение, какое
раньше было применено к точке 6;
в достаточно малом круге с цен-
тром q имеем, что P(z/a) — Px(zlax),
так как, по предположению, это
равенство имеет место во всех точках отрезка bq, отлич-
ных от точки q. Если бы точка q не совпадала с точкой с, то
равенство P(z/a) = P^z/a^ имело бы место и на некотором
продолжении отрезка bq за точку q, что противоречит опре-
делению расстояния bq, как точной верхней границы. Так
как точка q совпадает с точкой с, то равенство P(z a) =
= Рх(ziax) имеет место и при z = c, что и требовалось дока-
зать. Если два степенных ряда находятся друг с другом
54
Черт. И.
применяя к данному ряду
Черт.Ч2,
в толъко-что рассмотренном соотношении, т. е. если их
круги сходимости имеют общую часть и везде внутри этой
общей части, оба ряда имеют одно и то же значение, то
каждый из таких рядов называется непосредственным про-
должением другого. В частности, в силу § 6, каждый ряд,
полученный преобразованием из данного ряда, будет его
непосредственным продолжением. Теперь надо доказать
обратное предложение:
Каждое непосредственное продолжение данного степен-
ного ряда можно получить,
несколько раз процесс пре-
образования.
Пусть опять/^(2/04) будет
непосредственным продолже-
нием ряда P(zla) и пусть S
будет общая часть кругов
сходимости обоих степен-
ных рядов. Пусть а2 будет
какая-нибудь точка, распо-
ложенная внутри S. Преоб-
разование P(zla) в точке а2
тождественно равно ряду
P2(zla2)9 полученному пре-
образованием в той же точке
ряда PiCz/Oi). Если Pi(z/aj)
можно получить повторным
преобразованием из ряда
Ptfz/chh то P1(z/ai) можно получить повторным преобразо-
ванием и из ряда P(zla). Таким образом остается лишь до-
казать что из каждого преобразования Рг(г/аг) ряда P\(z!a^)
можно обратно получить, путем однократного или много-
кратного преобразования, ряд P\(zla^).
Пусть Кг будет круг сходимости ряда P^z/a^. Пусть К2
будет круг, описанный из точки а2 как из центра радиусом г2
и касающийся изнутри круга Кг (черт. 12). Если точка ах
расположена внутри круга К2, то преобразование ряда P2(z/a^
в точке ах тождественно с P^zia^, и предложение доказано.
Если же а± не расположена внутри круга К2, то отметим
точку а& расположенную на радиусе аР..а2 на расстоянии
~2 г2 от точки а2, и из точки а3 как из центра опишем круг Л?3,
касающийся круга Кх изнутри. Преобразование Pq(zIo3) ряда
55
P^z/a?) для точки а3 будет тогда тождественно с преобра-
зованием в этой точке ряда Px(z!a^ и будет, следовательно,
3
сходиться в круге К3 радиуса г8 = ~2Г2- Если точка
расположена внутри круга К& то преобразование ряда P3(zlaz)
в точке ах будет тождественно с рядом Р^/а^, т. е. предло-
жение доказано. Если же точка 04 не лежит внутри круга K3i
то отметим на отрезке ах... а8 точку а4, отстоящую от точки а3
1
на расстоянии, равном -75- г8, и опишем из точки оц, как из
Пентра, круг К4, касающийся изнутри круга Kv Ряд P±(zla^
полученный путем преобразования в точке а4 ряда P3(z/a3)’
будет тогда тождествен с преобразованием в точке а4 ряда
Л(г/а1)и будет поэтому сходиться в круге К& радиус ко-
3 / 3 V
торого равен r4 = r3 = I I 'а- Если точка лежит внутри
круга то ряд, полученный преобразованием в точке из
ряда Pjzla^, будет тождествен с рядом Px(zlav) и, следова-
тельно, предложение доказано. Если же точка ах не лежит
внутри круга К±, то продолжим далее описанный здесь
процесс. Этот процесс окончится после конечного числа
повторений. Действительно, радиусы кругов К&
„ 3
расположенных в имеют, значения r2, = г4 =
/ з \2
~ I ) г2> • * • Если п обозначает наименьшее целое число^>2,
\ & J
<J3\n~2
которое удовлетворяет неравенству 2 I -% I ra > г1> то
точка aj будет, очевидно, расположена в круге Кг, и
тогда описанный процесс окончится после п — 1 повто-
рений.
Таким образом, как было замечено выше, ряд P\(z]a^
получается из ряда P(zla) путем повторенного п раз пре-
образования.
На основании изложенного, если два степенных ряда,
расположенных по степеням z — а и z — 6, являются непо-
средственным продолжением друг друга, то будем для обоих
рядов употреблять один и тот же знак Р, т. е. оба обо-
значения P(z/a) и P(z}b) будем употреблять одно наравне
с другим.
56
§ 9. Ряд Лорана. Лемма о степенных рядах.
Пусть а0, av о_р п2, а_2, ...будут комплексные числа.
Под символом
оо
2 а» <1):
п== —- со
будем понимать сумму обоих рядов
aQ + а1 + а2 4“ а3 + • • •
И
^i + «_24’a-s+-• •
Если оба эти ряда сходятся, то символ (1) обозначает
определенное комплексное число, именно сумму обоих пре-
делов
lira (a0H-ai-b . - + a„). lim (a_j-|- a_2-b . - + a_TO).
n -> oo m oo
Сумму этих пределов можно также обозначить через
п
lim 2
m-»00 Л== — т
п-> оо
Рассмотрим теперь сумму вида:
4- ОО
Q(z)~ 2 с«2”-
п = — 00
При заданном значении z сумма Q(z) имеет определен-
ное конечное значение, если при этом значении z оба ряда
P(z) = £04-c]z4-c2z2 + - • •
одновременно сходятся. Ряд P(z) сходится внутри некото-
. рого круга I z | = rt ряд Рх [ — I сходится вне некоторого
\ z /
круга | z | = Очевидно, что области сходимости рядов P(z)
D / 1 \
И I — 1 имеют только тогда общую часть, если г >
у Z j
я
причем в этом случае эта общая часть будет круговым
кольцом. Будем называть его кольцом сходимости Q(z).
Так как оба ряда P(z) и Рх (— ) будут непрерывными функ-
\ Z /
циями внутри этого кругового кольца, то то же самое можно
сказать и об
Q(z) = P(z)+P1(^).
Сумму Q(z) называют рядом Лорана.
Очевидно, что обыкновенный степенной ряд можно рас-
сматривать, как ряд Лорана, в котором все коэффициенты
с_2,. • .равны нулю.
Пусть р будет радиус круга с центром в точке О, окруж-
ность которого расположена вся в кольце сходимости ряда
Q(z) (т. е. П < р <г) (черт. 13).
Вдоль окружности этого круга ряд Q(z),
/ \ а следовательно и его модуль |Q(z)| бу-
/ f( АУТ непрерывными функциями от z. По-
( (( / этому |Q(z)| на этой окружности имеет
\ / конечный maximum ЛГ, так что для каж-
\. / дой точки окружности будет справедли-
-----' вым неравенство
Черт. 11 |Q(z)]<M (2)
Существует столь же замечательная, сколь важная
теорема, состоящая в том, что при всяком индексе и=0
имеет место неравенство
к,|р’1<М (3)
если вдоль всей окружности | z | = Р выполняется неравен-
ство (2).
Докажем сперва эту теорему для индекса л = 0.
Так как ряды P(z) и равномерно сходятся на
окружности ] z | ===== р, то можно определить два числа т и п
так, чтобы в равенстве
п
Q(z) = 2 c*z*+5
k — in
58
величина 8 удовлетворяла бы неравенству
18 [ < е
при всяком значении z, модуль которого равен р. Здесь»
как обыкновенно, е обозначает произвольно малое положи-
тельное число*
Тогда имеем, что
п
f(z) = Cts+ % ckzk = Q(z)-t (4)
к =т
для всех этих значений z будет, по модулю, меньше, чем
т. е.
|/(z)|<M4-e. (5)
Штрих у знака суммы в равенстве (4) обозначает, что
при суммировании по к отбрасывается значение к = 0. Вы-
берем теперь некоторое число £ с модулем, равным 1, обла-
дающее тем свойством, что никакая целая положительная
или отрицательная степень $ не равна 1 (существование
таких чисел $ докажем после). Пусть теперь s будет целое
положительное число и пусть
•г0 = Р, = г2 = £2р,. . .,3e_1fc=$e“‘p.
Эти s точек расположены на окружности | z | ~ р. Легко
видеть, что
п
------------;-----------7 2с>0 ^г(6)
к ~ — т
Далее имеем:
и не зависит от s.
59
Пользуясь (5) и (6), мы выводим отсюда, что
| с01< -------------------------г "у < м~т • т- у •
Так как число s можнд выбрать сколь угодно большим, а г
сколь угодно малым, то получаем окончательно, что
|с0]<Л/. (7)
Рассмотрим теперь
z~”Q(z)x= У <?»/“*•
к = — 00
В этом ряду сп будет членом, свободным от z. Далее,
вдоль всей окружности | z | — р имеем, что
\z~n Q(z)\<rn м.
В силу неравенства (7) имеем, что
К1<р’пл/,
откуда непосредственно получается доказываемое неравен-
ство (3). Остается еще доказать существование чисел 5, у ко-
торых модуль равен 1 и которые обладают тем свойством,
что никакая степень $ с целым и положительным показате-
лем не равна 1.
m t 2 — i.
Таким числом будет, например, число ;= -^-^.(модуль
этого числа, очевидно, равен 1).
Действительно, если бы при целом и положительном п
было Г —1, то мы нашли бы
(2 — i)n = (2 + i)n = (2 — i + 2i)n = (2z)w+
+ n(2-i)(2Z)”~4- • ••
откуда
где А и В целые рациональные числа. Беря квадраты моду-
лей обеих частей этого равенства, получим равенство
4" = 5 (А2 в2),
содержащее противоречие.
60
. Глава III.
ПОНЯТИЕ АНАЛИТИЧЕСКОЙ функции.
§ 1. Моногенная система, степенных рядов.
Пусть Ptyd) будет степенным рядом
Со.+ с! <г —•а) + са(* — а)2+• • •>
имеющим отличный от нуля радиус сходимости. Этот ряд
имеет бесконечное множество непосредственных продолже-
ний. Эти продолжения в свою очередь имеют опять непо-
средственные продолжения и т. д.
Все, полученные таким способом степенные ряды будем
называть продолжениями степенного ряда P(zla)9 так что
ряд P{z/b) будет называться продолжением P(z]a)9 если
P(zlb) будет непосредственным продолжением ряда P(zla)
или будет последним членом конечной последовательности
P{z/a), Ptz/aj, P(zla2),.. .,P(z/a„), P(z/b),
в которой каждый последующий член будет Непосредствен-
ным продолжением предыдущего.
В силу теоремы, доказанной в главе II, § 8, понятие про-
должения можно определить так:
Каждый ряд, полученный путем одною или нескольких
преобразований из ряда P(zja)9 называется продолжением
этою ряда.
Далее непосредственно очевидно, что ряд P(z/a) будет
продолжением ряда P(zlb), если последний ряд будет про-
должением первого. Бесконечная система степенных рядов,
состоящая из ряда P(z!a) и всех: его продолжений, назы-
вается моногенной системой степенных рядов..
Мы утверждаем, что каждый из рядов такой системы
можно рассматривать как производящий ряд, т. е. что ряд
P(zja) не занимает никакого особенного положения в си-
стеме. Это утверждение можно, очевидно, формулировать
так: каждый ряд системы является продолжением каж-
дою другою ряда.
Действительно, пусть P(z!b) и P(z)c) будут два какие-
нибудь ряда системы, построенной при помощи ряда P(z/a).
Ряд P(z!c) будет продолжением ряда P(zla) и ряд P(zla)
будет продолжением ряда P(z!b)\ следовательно» P(z/c) будет
продолжением P(zfb)9 что и требовалось доказать.
61
i
Заметим, наконец, что к данной моногенной системе мы
причисляем также и каждый степенной ряд P(z/oo), какое-
нибудь продолжение которого принадлежит к системе. При
этом под продолжением ряда P(z/oo) подразумевается каждый
ряд, получающийся из ряда P(z/oo)* путем одного или не-
скольких преобразований.
Из предыдущего получается следующее очевидное пред-
ложение:
Система степенных рядов будет моногенной, если*.
1) каждый ряд системы будет продолжением каждого
другого ряда, и если 2) каждый ряд, полученный преобра-
зованием из какого-нибудь ряда системы, тоже принадле-
жит системе.
§ 2. Определение аналитической функции.
Каждая моногенная система степенных рядов определяет
функцию f(z) комплексной переменной z. Действительно,
пусть Zq будет какое-нибудь значение z. Рассмотрим те
ряды моногенной системы, в кругах сходимости которых
расположена точка z0. Значения, принимаемые этими рядами
при z = z0, сопоставим со значением z = z0. Таким образом
будет определена функция /(*) от независимой переменной z,
которая будет называться однозначной или многозначной
при z = z0, смотря по тому, имеют ли все эти ряды одно
и то же значение при z = z0 или нет. Очевидно, что значе-
ния этой функции, соответствующие определенному значе-
нию Zq, можно определить так:
Рассмотрим принадлежащие моногенной системе сте-
пенные ряды вида P(zjz^. Постоянные члены этих рядов
будут значениями функции f(z) при z = zq.
Такое же определение сохраним и в случае z0= оо. Если
системе степенных рядов принадлежит один или несколько
рядов вида P(z!<x\ то постоянные члены этих рядов
являются значениями функции /(z) при z=co.
Функция f(z) называется „аналитической функцией*,
если ее можно задать указанным образом моногенной си-
гте! ой степенных рядов. Каждый ряд системы назы-
вается „элементом" функции f (z).
Здесь надо заметить еще следующее. Если дана моно-
генная система степенных рядов, то может оказаться, что
данное значение z —z0 не находится в круге сходимости
62
ни одного из рядов системы. Тогда функция / (z) не будет
определена при z = z0.
Выясним, что аналитические функции, даже чисто внеш-
ним образом, представляют собой специальный тип функ-
ций. Как было сказано в главе I, § 6, функция в самом общем
смысле представляет собой соответствие определенных
значений w определенным значениям z. При этом все зна-
чения аргумента z предполагаются вполне независимыми
между собой, и функцию можно по произволу определить
в некоторых точках z и не определять в других точках.
Понятие аналитической функции тоже подразумевает такое
соответствие (смотря по обстоятельствам—однозначное или
многозначное), но предполагает еще, что функция во всех
тех точках, где она может быть определена при помощи
продолжения соответствующих степенных рядов, действи-
тельно определена этим способом и что, с другой стороны,
в каждой точке, в которую соответствующие ряды не могут
быть продолжены, функция остается не определенной. Если
функцию /(z) определим во всех точках, за исключением
точки z = 0, напр., как z2, а в точке 0 она остается не опре-
деленной, то такая функция, в силу сказанного выше, не
будет аналитической, хотя во всей области, в которой она
определена, эта функция представлена одним степенным ря-
дом. Действительно, этот ряд сходится также и в точке z = 0.
(Функция также не была бы аналитической, если бы за-
дали ее значение в нулевой точке плоскости отличным от
0- = 0.)
Совокупность тех значений z0, которые расположены
внутри кругов сходимости рядов, принадлежащих моноген-
ной системе, и которым следовательно соответствуют в этой
системе ряды вида P(z/z0), будем называть областью
регулярности функции /(z). При этом каждую точку z0 надо
столько раз причислить к области регулярности, сколько
существует в моногенной системе различных рядов вида
Здесь не исключается случай, когда два раз-
личных ряда P(zjzQ) имеют один и тот же свободный
член, так что им соответствует одно и то же значение f (z0).
Легко видеть, что это может встретиться только у много-
значных функций. Таким образом имеем следующее предло-
жение:
Если аналитическая функция везде однозначна, то
каждую точку zQ ее области регулярности надо считать
63
только один раз. Функция называется тогда просто
„однозначной функцией".
Действительно, пусть P(zIzq) и Px(zlz^ будут два раз-
личные элемента функции /(z). В каждой точке zx, отлич-
ной от z0 и расположенной внутри некоторой достаточно
малой окрестности точки zo, оба ряда, в силу главы П, § 4,
должны иметь различные значения и поэтому функция /(z)
в точке zi будет по крайней мере двузначной, что противо-
речит предположению.
§ 3. Однозначные ветви аналитической функции.
Рассмотрим какое-нибудь множество 2 точек, расположен-
ных в комплексной числовой плоскости или на числовой
сфере. Произвольно заданная точка а может быть относи-
тельно этого множества в трех положениях:
1) все точки достаточно малой окрестности точки а при-
надлежат множеству 2 или
2) никакая точка достаточно малой окрестности точки а
не принадлежит множеству 2, или наконец
3) в каждой сколь угодно малой окрестности точки а
существует хоть одна точка, принадлежащая множеству,
и хоть одна точка не принадлежащая множеству.
В первом случае будем говорить, что точка а располо-
жена внутри множества S или что точка а будет внутрен-
ней точкой 2.
Во втором случае , будем говорить, что точка а располо-
жена вне множества 2 или что точка а будет внешней точкой
этого множества. В третьем случае будем говорить, что
точка а расположена на границе 2 или что она является гра-
ничной точкой множества 2. Точка а называется изолиро-
ванной граничной точкой множества 2, если в достаточно
малой окрестности а точка а будет единственной точкой,
не принадлежащей множеству.
Непрерывная кривая есть множество точек, координаты
которых х и у являются непрерывными функциями
вещественной переменной t в промежутке Кри-
вая называется замкнутой, если ее концы совпадают) т. е.
если
= Ф(4») = Ф(4)»
64
J
кривая С
И простой, если эти уравнения не удовлетворяются ника-
кой другой-парою различных значений £
Пользуясь этими понятиями, установим такое определе-
ние:
Множество точек называется областью, если
1) каждая его точка будет внутренней и
2) всякие две его точки могут, быть соединены такой
непрерывной кривой, которая целиком принадлежит мно-
жеству.
Важное свойство простых, замкнутых непрерывных кри-
вых дает теорема Жордана. Она гласит:
Каждая простая, замкнутая, непр*
разлагает плоскость на две области, т.
не принадлежащие кривой, разделяются
на два множества, не имеющих общих
точек, и каждое из этих множеств обра-
зует область. Строгое доказательство
этой наглядно очевидной теоремы за-
вело бы нас слишком далеко, тем не
менее мы будем иногда ею пользо-
ваться *). К одной из двух областей,
определяемых кривой С, принадлежат
все достаточно удаленные от начала точки. Эту область
назовем внешней, а другую внутренней областью по от-
ношению к кривой С.
Множество внутренних для простой замкнутой кривой С
точек образует область и в том случае, если из этого
множества исключим отдельные точки р , р",... и куски
линий I (черт. 14). Граничными точками такой- области бу-
дут точки кривой С, точки исключенных кусков линий I
и исключенные точки р', р",.. . Последние точки, поскольку
они не расположены на одном из кусков линий I, будут
изолированными граничными точками области.
Пусть каждой точке z области D соответствует по
какому-нибудь закону определенное конечное значение w,
т. е. пусть w задано как функция от z в области D.
Если в достаточно малой окрестности каждой точки а
области D значения функции w могут быть предста-
влены в виде степенного ряда Р (z/a), то будем говорить,
что w „регулярна* в D.
9 Ср. главу V, § 5.
5 А. Гурвиц
65
Теперь можем доказать следующую основную теорему:
Существует такая аналитическая функция f (z), что
при всяком z в области D функция w (z) представляет
собой одно из значений f(z).
©Функцию w называют регулярной
„однозначной ветвью" функции f (z) в об-
ласти D.
Достаточно только доказать, что два ।
степенных ряда Р (z/a) и Р (z/b), предста-
вляющие значения w в окрестностях произ-
Черт. 15. вольных точек а и Ъ области D, будут про-
должениями друг друга.
Пусть будут а точка области D и г радиус наибольшего
круга с центром в точке а, внутри которого значения w
представлены рядом Р (z/a). Если для некоторой точки а
радиус г будет бесконечно большим, то точка Ь будет
расположена внутри круга радиуса г, описанного из точки а
как из центра и Р (z/b) — w (z) будет рядом, полученным i
путем преобразования ряда P(zla). Два каких-нибудь ряда
Р (z/bjn Р (zjb^) будут, следовательно, продолжениями друг
друга. Если же радиус г будет конечным для каждой
точки а, то докажем сперва, что г будет непрерывной
функцией от а в области D. Пусть а будет какая-нибудь
фиксированная точка области D. Далее, пусть а' будет
точка, расстояние которой от а, равное а, будет меньше у
(черт. 15). Так как ряд Р (zla/d)> полученный Л
путем преобразования в точке а' ряда P(z!a)l), /чь
представляет значения функции w, по мень- /
шей мере в круге, описанном из а' как из
центра радиусом г — d, то г^г—d или Х&г
г—г ^.d, где г обозначает то же самое для д&а
точки а', что г представляет для а. Так „
как точка а расположена внутри круга схо-
димости ряда Р (z/ala') (в силу того, что то по
симметрии г^> г — d или г' — r^d. Таким образом г —> г
расположено между —d и +</, т. е.
1) Р (z/a/a') получается из Р (г/а), если. заменить z — а на z~- а' —
— (а — а') и затем разложить функцию по степеням z — o'.
66
i г — r\^.d=\a — d |,
т е. г будет в самом деле непрерывной функцией от а.
Пусть теперь а и b будут какие-нибудь две точки области D.
Соединим их такой непрерывной кривой, все точки кото-
рой расположены внутри D. Так как г меняется вдоль
этой кривой непрерывно, то г имеет minimum р, который
будет значением г в некоторой точке кривой ab и будет
поэтому отличен от нуля.
Выберем теперь на кривой аЬ между точками а и Ь
последовательность точек а2, аз>“чап так, чтобы
в ряду
а аг а2 а3 ... апЬ
расстояние двух соседних точек было меньше р (черт. 16).
Степенные ряды
Р (zja), Plz'iaJ, Р (z/a2),...,P (zla„), P(zlb),
которыми представлены значения функции w в окрестности
этих точек, обладают тем свойством, что каждый из них
может быть получен путем преобразования предыдущего,
так как в круге сходимости каждого из этих рядов распо-
ложен центр круга сходимости последующего ряда. Таким
образом, как и требовалось доказать, ряд P(zlb) будет
продолжением ряда Р (z/a).
§ 4. Примеры.
Рассмотрим рациональную функцию
&(*)_ 60+• -»+&r
g(z) ао + а^-Ь... ±anzn
(an=A0).
При каждом конечном значении z, при котором знаме-
натель не равен нулю, эта функция имеет определенное
конечное значение w. Во всей плоскости комплексных
чисел, за исключением точек, которые будут корнями
уравнения
+ • • • +an z” = 0, (1)
рациональная функция будет однозначной.
Не пользуясь основной теоремой алгебры, можно дока-
зать, что уравнение (1) имеет не больше п корней. Действи-
тельно, если z = Zi будет корнем (1), то его левая часть
делится без остатка на z — z,. Если бы это уравнение
5
67
имело л | ’ 1 различных корней z — zx, z z2, .. ., z — Zn±i,
то целая рациональная функция g(z) делилась бы на целую
рациональную функцию (п 4" 1)-ой степени (z — zj (z — z2)...
. ..(z— что невозможно. Можно еще предположить,
что ни один корень уравнения (1) не будет в то же время
корнем уравнения A(z) = 0, так как в противном случае
h (z) и g(z) имели бы общего делителя, а можно предпо-
ложить, что g(z) и A(z) уже освобождены от их общего
наибольшего делителя.
Рассмотрим всю числовую плоскость или лучше число-
вую сферу, за- исключением точек, обращающих в нуль
знаменатель g(z), и бесконечно удаленной точки. Получаем
область /Л в которой w = представляет однозначную
ветвь некоторой аналитической функции. Действительно,
если а будет какая-нибудь точка области Z), то
_ А(а+Й—а ) __ P^z — a)
/ g(z) g (a -j- (z—а)) P2(z — a)’
где Pi(z — а) и P2(z— а) будут степенные ряды с конеч-
ным числом членов (т. е. целые рациональные функции
от z — а), причем второй из них не обращается в нуль
при z — a, По § 5, гл. II, имеем следовательно, что
w — P(z — а) (2)
в достаточно малой окрестности точки а, и следовательно
в силу § 3 функция w будет однозначной ветвью неко-
торой аналитической функции.
Эта функция будет однозначной аналитической функ-
цией от z. Действительно, степенные ряды (2), соответ-
ствующие различным значениям а, образуют моногенную
систему. То обстоятельство, что два степенных ряда (2)
будут продолжениями друг друга, видно из теоремы § 3,
в силу которой w будет однозначной ветвью некоторой
аналитической функции. То же обстоятельство, что всякое
продолжение какого-нибудь степенного ряда Р (z/a)t при-
надлежащего к системе рядов (2), принадлежит тоже
к этой системе, непосредственно видно из того, что всякий
ряд, полученный из ряда Р (z/a) путем преобразования
в какой-нибудь точке ах, представляет в окрестности
точки значение Пользуясь процессом преобразо-
68
вания, не выходим следовательно ив системы тех рядов,
Л (я) „
которые представляют функцию в. окрестности какой-
нибудь точки числовой сферы. Если п>-г, то в систему
этих степенных рядов входит также ряд Р (z/oo), соответ-
ствующий точке со. Действительно, тогда имеем:
Если же п < г и Ьг ф 0, то такого ряда Р ( —) не су-
\ z j
ществует. Таким образом можно сказать, что:
Рациональная функция является однозначной
аналитической функцией. К ее области регулярности
принадлежат все точки z, за исключением точек, обра-
щающих знаменатель g(z) в нуль, и если степень числи-
теля больше степени знаменателя, за исключением
точки z = со.
л h (z) * -
1ак как в исключительных точках функция обра-
щается в бесконечность, то не может существовать такого
элемента функции, в круге сходимости которого была бы
расположена одна из этих точек. Исключенные точки обра-
зуют следовательно границу области регулярности.
В качестве второго примера рассмотрим всюду сходя-
щийся степенной ряд
P(z) = с0 4-с1 z4-c2za+ ...
Этот ряд определяет однозначную аналитическую функ-
цию, область регулярности которой образована всеми точ-
ками z, за исключением, быть может, значения z = оо.
Действительно, ряд Р (zja), полученный преобразова-
нием из ряда Р (z), будет тоже всюду сходящимся, и все
эти полученные преобразованием ряды образуют моноген-
ную систему степенных рядов, происходящую из ряда P(z).
Так как P(z) сходится всюду, то ряды, полученные путем
преобразования, дают те же самые значения функции» что
» P(z). Докажем теперь, что за исключением случая»
6$
когда P(z) приводится к первому члену с0, точка со не
принадлежит к области регулярности функции, определяе-
мой рядом Р(^). Для этого докажем следующую теорему:
Если всюду сходящийся ряд Р (z) не приводится
к своему первому члену, то в каждой, сколь-угодно малой
окрестности точки оо и для всякого произвольно боль-
шого числа G существует хоть одно такое значение z,
при котором
\P(z)\>G
Рассмотрим окрестность точки z=oo, т. е. область,
внешнюю для некоторого круга, с центром в точке 0.
Пусть далее G будет произвольно заданное положительное
число, и предположим, что
для всякой точки z, расположенной в рассматриваемой
окрестности точки оо. Если г обозначает радиус такого
круга, с центром, в точке 0, окружность которого вся
расположена в этой окрестности, то, по лемме § 9 преды-
дущей главы
|cJr*<G (n = 0, 1, 2, 3,...),
откуда
(3)
Так как г можно выбрать произвольно большим, то
| сп | при И > 0 будет не больше положительной величины,
которую можно сделать сколь угодно малой, и следова-
тельно с„ = 0.
Ряд P(z) поэтому должен приводиться к своему пер-
вому члену с0. Таким образом, очевидно, наша теорема
доказана.
Если бы точка z = оо принадлежала к области регуляр-
ности функции, определяемой рядом P(z), то в некоторой
достаточно малой окрестности точки со имели бы
Z Z
Для больших значений z P(z) мало отличалось бы
от &0> и следовательно |P(z)| был бы меньше некоторого
конечного положительного числа. Таким образом, точка оо
70
только тогда принадлежит к области регулярности нашей
функции, если P(z) = r0, т. е. если функция приводится
к постоянной.
Аналитическая функция, определяемая всюду сходя-
щимся рядом P(z), называется, по Вейерштрассу, целой
функцией, Если ряд P(z) имеет конечное число членов,
то целая функция называется рациональной, в противном
случае трансцендентной.
. В качестве последнего примера рассмотрим отношение
двух всюду сходящихся рядов:
_А(г)
w P(.z)'
Докажем сперва такое важное предложение.
Нули всюду сходящегося ряда P(z\ который не равен
тождественно нулю, не могут иметь точки сгущения,
лежащей на конечном расстоянии. Действительно, рассмо-
трим какое-нибудь конечное значение z = а.
Имеем
P(z) = PAz-a\
где ряд P\(z — а) получен преобразованием ряда P(z)
в точке а. Нам- известно, что в некоторой достаточно
малой окрестности точки z — а ряд Рх (z — а) нигде не
обращается в нуль, за исключением, может быть, самой
точки а. Точка z = a не может поэтому быть точкой
сгущения нулей ряда P(z). Если из точек числовой сферы
исключим нули P(z), если такие существуют, и точку оо,
то получим область, в окрестности каждой точки которой,
по § 5, главы II, функцию w можно представить в виде
степенного ряда. Отсюда, аналогично доказанному выше
для рациональных функций, опять получим, что частное
двух везде сходящихся рядов представляет однозначную
аналитическую функцию, для которой областью регуляр-
ности будет числовая сфера за исключением некоторых
определенных точек. Эти точки, если их бесконечно много,
имеют единственную предельную точку z=oo.
§ 5. Элементарные ветви и их особенные точки.'
Если степенной ряд P(zld) принадлежит к моногенной
системе, определяющей аналитическую функцию f(z), то
мы назовем его элементом функции /(z). Этот ряд внутри
71
своего Kpvra сходимости определяет однозначную ветвь
функции f(z). Такую ветвь будем называть элементарной
ветвью, а каждую внутреннюю точку круга сходимости —
регулярной точкой элементарной ветви.
Рассмотрим какую-нибудь точку s на окружности круга
сходимости ряда Возможны два случая: или суще-
ствует ряд Р (z/s) с радиусом сходимости, не равным нулю,
представляющий собою непосредственное продолжение
ряда P(zla), или такого ряда нет. В первом случае точку s
будем называть регулярной, во втором случае—особенной
точкой элементарной ветви.
Докажем теперь в этом параграфе основное предло-
жение:
На окружности круга сходимости ряда Pty а) суще-
ствует всегда по крайней мере одна особенная точка.
При доказательстве предположим для простоты, чтоа=0.
Если а отлично от нуля, то нижеследующие рассуждения
надо только, немного изменить.
Пусть
Р(г) = С04'С12:+'С222 4- ...
будет степенной ряд, г—его радиус сходимости, а К — его
круг сходимости. Предположим, что не только внутри, но
и на окружности круга сходимости каждой точке а соот-
ветствует непосредственное продолжение P(zla) ряда P(z).
Радиус сходимости га этого продолжения будет непрерыв-
ной функцией от а. Это можно доказать рассуждениями,
подобными тем, какие были приведены в § 3. Действительно,
если точка а' расположена достаточно близко к а, то
|ту — ra\^d, где d обозначает расстояние \а'— а| между
точками а' и а. Так как точки а расположены внутри и на
окружности нашего круга, то они образуют замкнутое1)
множество. Радиус га принимает поэтому в этом множе-
стве некоторое минимальное значение р, отличное от нуля.
Отсюда, как сейчас докажем, будет следовать, что радиус
сходимости ряда P(z) должен быть не г, а больше г. Для
этого опишем из нулевой точки плоскости как из центра
круг К' радиусом г 4" а* где ° есть положительное число < р.
1) Точечное множество называется замкнутым, если ему принадле-
жат все его точки сгущения. Непрерывная в замкнутом множестве ве-
щественная функция достигает в нем своего наибольшего и наименьшего
значения.
72
Обозначим через С круговое кольцо между кругами К
и К'9 причем ограничивающие его окружности будем при-
числять к этому кольцу. Внутри и на окружности круга Кг
определим однозначную функцию от z следующим образом:
Если точка z расположена внутри круга сходимости К
ряда P(z), то примем
f(z) = P(z).
Если же z расположена на круговом кольце С, то вы-
берем внутри круга К такую точку а, расстояние которой
от z было бы меньше р (черт. 17). Точка z будет тогда
расположена внутри круга сходимости ряда Р (zla), полу-
ченного путем преобразования в точке а ряда P(z). При
таком z пусть f(z) = P (г/а).
Определенное здесь значение / (z) не
зависит от выбора точки а. Действительно,
если вместо точки а выберем другую
точку а так, чтобы точка z оказалась
также внутри круга сходимости ряда P(z!a),
то, как легко видеть геометрически, часть
области К будет принадлежать одновре-
менно обоим кругам сходимости рядов
Р (z/a) и Р (zla'). Оба эти ряда имеют там
значения f(z) и будут следовательно непосредственными
продолжениями друг друга. В рассматриваемой точке z по-
этому имеем, что
P(zla') = P(zla).
Определенная таким образом функция f(z) будет одно-
значной и непрерывной во всем круге Л' и на его окруж-
ности. Поэтому f(z) | достигает там конечного наиболь-
шего значения, которое обозначим через g.
Пусть теперь а будет опять точка, расположенная
внутри круга К. Опишем из точки а как из центра круг
радиусом а. Вдоль окружности этого круга
/(г) = Р«а) = Р(а)4-Р'(а)^+ ... +
будет по модулю С S*
Черт. 17.
одинаковые
7S
Следовательно в силу § 9, главы II, имеем:
(п = 0, 1, 2,...),
причем
Если а перемещается по кругу, описанному из точки О
как из центра радиусом а < г, то будет постоянно
р'"'ы
п!
и в силу § 9, главы II, при к — и, 1, . .. окажется
Так как а можно выбрать сколь угодно близко к г, то
будет также
Полагая п = 0, 1, 2,.. , & и складывая, получим
и следовательно
QW = i?(4+i)(7^7)>
будет мажорантным рядом для ряда P(z}.
Степенной ряд Q(z) сходится в тех же точках, что
и ряд
т. е. при | z | < г -{- о. Также далеко должен сходиться по-
этому и ряд Р (г). Это противоречит предположению^что К
будет кругом сходимости для P(z). Таким образом пред-
74
положение о том, что на окружности круга К нет особен-
ных точек, недопустимо. Наше предложение теперь доказано.
В качестве примера на приложение этой теоремы рас-
смотрим отношение двух всюду сходящихся степенных
рядов
Л (г) _ z-\-b2z*-\-..,
P(z) ^.+ aiz + a2z2+ ... ’
где а0 мы предположим отличным от нуля. Для простоты
предположим кроме того, что P(z) и Рг (z) не имеют об-
щих нулей. Нам известно, что в окрестности точки z = 0
имеет место равенство
^ = Co+.c1z4-ce^+-.=/’2W.
Решим вопрос о том, каков будет круг сходимости
ряда А(^)? На его окружности должна существовать
точка s, в которой Р (z) обращается в нуль. Действительно,
« ~ Р\ (z)
в противном случае, в окрестности каждой точки, дробь
r\z)
можно было бы представить в виде степенного ряда, ко-
торый очевидно был бы непосредственным продолжением
ряда Р2 (z). Так как, с другой стороны, внутри круга схо-
димости ряда P2(z) не могут находиться нули ряда Р (z)
(в такой точке Р2 (*) обращается в бесконечность, а внутри
своего круга сходимости P2(z) должен иметь всегда конеч-
ное значение), то кругом сходимости ряда P2(z) будет
тот круг с центра и в точке 0, окружность которо о
проходит через ближайший к точке z = 0 нуль ряда Р (z).
Например, разлагая
_____ z2
1---6z--Z2
по степеням z, имеем
Ь=бЪ?“г’ + б2, + 37г*+'"
Это разложение будет справедливо в том круге с цен-
тром в точке 0, который проходит через ближайший к этой
точке корень уравнения
z2 + 6z —1 = 0.
75
Эти корни будут
*i = — 3+/10, *2 = —з —}<10.
Радиус рассматриваемого круга сходимости будет следо-
вательно равен 10 — 3.
§ б. Основная теорема алгебры.
Приведем весьма простое доказательство основной тео-
ремы алгебры, основанное на результатах предыдущего
параграфа. Пусть
£(z) = a04-a1z-|-a2z24~ ... -±-anzn -
будет целая рациональная функция, где и>0, а„±0.
Если бы g(z) не обращалась в нуль ни при каком зна-
чении z, то правая часть равенства
I । о । I Со Ci Z | Со 3“ J—,... (1.)
в силу предыдущего параграфа имела бы бесконечно боль-
шой радиус сходимости, т. е. ряд был бы всюду сходя-
щимся. С другой стороны, левую часть равенства (1)
в некоторой окрестности точки z = 00 можно разложить
в степенной ряд по степеням —, так как ее можно пред-
z
ставить в виде
1 1
_1_ 1 I I 1 ’
ап + а»-1 ~ “Г • • • + а0 ~п
Z Z
По § 4 правая часть должна поэтому приводиться
к первому члену с0. Получающееся тогда из равенства (1)
уравнение
l = (a04-a1z + a2z2 + • • • + алгл)с0
представляет противоречие. Таким образом необходимо
должен существовать хотя бы один корень уравнения
Отсюда получается известным способом теорема о том, что
76
йсякая целая рациональная функция степени п может быть
представлена в виде произведения п линейных множителей.
§ 7« Особенные точки аналитической функций*
Область регулярности или область существования
однозначной аналитической функции f(z) представляет
собой точечное множество, которое, заметим мимоходом,
подходит под понятие области. Точки, расположенные на
границе области регулярности, будем называть особенными
точками функции f(z), а точки, расположенные внутри
этой области, назовем регулярными точками /(z). Осо-
бенные точки образуют за ткнутое множество, т. е. вся-
кая точка сгущения особенных точек будет тоже особен-
ной точкой. Это утверждение представляет частный слу-
чай более общей теоремы: если S обозначает какое-нибудь
точечное множество, то точки, расположенные на его
границе, образуют замкнутое множество.
По определению, данному в § 3, точка р лежит на гра-
нице множества 2, если в каждой окрестности точки р су-
ществует хотя бы одна точка, принадлежащая к Е и хотя
бы одна точка, не принадлежащая к множеству 2.
Если а будет точкой сгущения точек pi9 р2, р&. • ., рас-
положенных на границе множества Е, то в каждой окрест-
ности точки а будут находиться точки рк (и притом в бес-
конечном числе). Около такой точки можно ограничить
настолько малую окрестность (рл), чтобы она вся была
расположена внутри взятой окрестности точки а. В окрест-
ности точки а будет поэтому расположена хотя бы одча
точка, принадлежащая Е, и хотя бы одна точка не принад-
лежащая 2, так как такие точки расположены в окрест-
ности (р7с). Точка а будет поэтому тоже граничной точкой
множества Е, и наша теорема следовательно доказана.
Рассмотрим теперь какую-нибудь особенную точку функ-
ции /(z). Такая точка или будет точкой сгущения других
особенных точек или нет. В последнем случае назовем ее
изолированной особенной точкой. Изолированной особен-
ной точкой будет следовательно такая особенная точка,
около которой можно ограничить настолько малую окрест-
ность, чтобы в этой окрестности не было других особен-
ных точек функции.
Рассмотрим элементарную ветвь Р (г)а) однозначной ана-
литической функции /(z). Каждая особенная точка s этой
77
Элементарной ветви будет в то же время особенной
точкой функции f(z). Действительно, так как в точке s
йе существует продолжения Р (z/s) ряда Р (z/a), то сама
точка s не принадлежит области регулярности функции f(z),
а так как с другой стороны s будет точкой сгущения для
точек этой области, то точка s должна быть расположена на
границе области регулярности. Очевидно, что каждая
регулярная точка элементарной ветви Р (z/a) будет регу-
лярной точкой однозначной функции f(z). Поэтому, если
известны особенные точки однозначной функции, можно
определить круг сходимости элемента функции P(zla):
Круг, описанный из точки а как из центра и прохо-
дящий через ближайшую к а особенную точку, будет кру-
гом сходимости ряда Р (zla).
Надо еще различать среди особенных точек существенно
особенные точки и точки несущественно особенные.
Если для особенной точки $ существует такая окрестность,
ввутр„ которой (не с,™ саму точку а) функцнн ^
могут быть представлены в виде степенного ряда Р (z/s),
то точку $ будем называть несущественно особенной точ-
кой, илр полюсом функции /(z). В противном случае точку s
назовем существенно особенной точкой. Рассмотрим
ближе полюс s функции f(z). В окрестности точки $ (не
считая саму точку $), по определению полюса, имеем:
= (z-s)kP(z-s)> (1)
где ck предполагается отличным от нуля. Здесь в случае,
. 1
когда $=оо, всегда будем под z — s подразумевать—.
В силу равенства (1), в некоторой соответственным обра-
зом выбранной окрестности точки s, за исключением опять
самой точки s, имеем
= (z = s)*P(z—$) = (z—s/ Pl ~S)
ИЛИ
/(z)“('T~7pfao + ai(z — s)+ -•-1 (ао5Я,7’)‘ (2)
I z — sj ch
78
Отсюда видно, что к > 0, так как при к — 0 функций
была бы разложена в ряд, расположенный по поло-
жительным степеням z —s и точка s не была бы особен-
ной точкой.
Число к называем порядком полюса. Если точка z, на*
ходясь в области регулярности функции f (z), стремится к
точке з, то в силу равенства. (2) функция f(z) делается
бесконечно большой и притом так, что
llm{(z — s)A/(z)|=a,,
будет отличным от нуля, конечным числом.
Это обстоятельство выражаем, говоря, что функция /(z)
при z — s обращается в бесконечность порядка к. Пере-
писав равенство (2) в форме
1 I I ;-Г=т+“ +
' + U — 5) 4- afc+2 (z — s)2 + • •
мы видим, что разность
/✓ \ / I I 1 1 \__
f{Z> \ (z — s)k (z-s)11-1^ ”'^~(z — s)l~
^ak + a^z-s)-]- ...
разлагается в окрестности точки s в степенной ряд P(zls)
и следовательно будет конечной при z = s. Будем поэтому
говорить, что f(z) в точке z = s обращается в бесконеч-
ность таким же образом, как и
/ 1 \ _ Др ।______________________________। ।
*\z— s) (z — s)k ' (z— s)fe-1 ‘ ' z — s*
Эту целую рациональную функцию от — назовем ме-
роморфной или главной частью функции /(z) для по-
люса S.
Из равенства (2) получаем, наконец, еще одно важное
предложение: полюс всегда является изолированной осо-
бенной точкой.
Действительно, расмотрим какую-нибудь отличную от s
точку z0, расположенную в той окрестности $, для всех
79
точек которой, за исключением точки s, имеет место ра-
венство
/(г) = _s^ («о + <*1 (* — з)• • •)
В некоторой надлежаще выбранной окрестности точки z0
правая часть этого равенства может быть представлена
в виде степенного ряда, расположенного по степеням z—z0.
Точка z0 поэтому не будет особенной точкой функции f(z).
Для не изолированных особенных точек дело обстоит,
вообще говоря, гораздо сложнее. Особенно замечательно
и важно следующее обстоятельство. Может случиться, что
каждая точка некоторой линии будет особенной точкой
аналитической функции. Тогда будем говорить об особен-
ной линии. Пожалуй простейшим примером этого будет
функция, определяемая в круге | z | < 1 (как говорят, внутри
оо
единичного круга) сходящимся степенным рядом zn\
П=0
для которой каждая точка на окружности этого круга
будет особенной точкой *)• Эгу функцию поэтому нельзя
продолжить никоим образом за этот круг. Область суще-
ствования такой функции состоит только из внутренних
точек единичного круга | z | < 1. Поэтому говорят также,
что окружность | z | = 1 образует естественную грлнииу
нашей функции.
Определение особенной точки легко теперь перенести
!) Доказательство такое: при приближении z радиуса к какому-
^ip
нибудь корню из единицы е 9 (р, q — целые числа, не имеющие общего
делителя, функция делается бесконечно большой. Действительно,
если z == р е q , где р < 1,
то
00 оо
2 2. рй1
(заметим, что е =□ 1 при л q) и правая часть будет бесконечно
расти, кбгда р изменяется от 0 до 1. Корни из 1 будут поэтому во вся-
ком случае особенными точками. Так как эти корни на окружности
круга | z | = 1 расположены повсюду плотно, то каждая другая точка этой
окружности, будучи точкой сгущения особенных точек, сама будет осо-
бенной точкой.
80
на случай, когда функция /(г) не предполагается однознач-
ной, а рассматривается только одна ее однозначная ветвь.
Тем не менее, для многозначных функций мы не дадим
общего определения особенной точки, а ограничимся, для
простоты, только частным случаем, достаточным для при-
ложений.
Пусть в некоторой области Df (z) будет регулярная одно-
значная ветвь аналитической функции. Далее, пусть а
будет граничная точка области D й притом или изолиро-
ванная граничная точка, или такая, что в ее окрестности на-
ходятся, за исключением ее самой, только изолированные
граничные точки. Рассмотрим теперь множество элемен-
тарных ветвей, принадлежащих однозначной в D ветви f(z),
т. е. множество степенных рядов, которыми представлены
значения ветви /(z) в области D. Если точка а будет осо-
бенной точкой одной из этих элементарных ветвей, то бу-
дем ее называть также особенной точкой однозначной ветви
/(z). Если же точка а будет регулярной точкой для каж-
дой элементарной ветви, внутри или на окружности круга
сходимости которой точка а расположена, то будем ее на-
зывать регулярной точкой однозначной ветви /(z). Если а
1
особенная точка, то она называется полюсом, если —
J\z)
регулярна в точке а, в противном случае она называется
существенно особенной. Порядок и мероморфная часть по-
люса определяются, как и выше, и опять, очевидно,
имеет место предложение, что полюс будет изолированной
особенной точкой.
§ 8. Особенные точки целой и рациональной функций.
Функция, которую можно представить в виде всюду схо-
дящегося ряда, т. е. так называемая целая функция, не
имеет особенных точек на конечном расстоянии. Это пред-
ложение можно обратить: каждая однозначная функция х),
не имеющая особенны г точек в конечной части плоскости,
является целой функцией.
Действительно, круг сходимости каждого ее элемента,
по предыдущему параграфу, должен быть бесконечно боль-
1) Так как здесь и в дальнейшем говорится только об аналитических
функциях, то добавление аналитическая мы будем опускать.
6 А. Гурвиц 81
шим. Как нам известно, в окрестности точки оо, разло-
п/ 1 V
жение PI — I может иметь место только тогда, если везде
\ Z /
сходящийся ряд приводится к постоянной. Таким образом
имеем, что однозначная функция, не имеющая вообще
никаких особенных точек, приводится к постоянной.
Если целая функция f(z) — с0 4" ciz 4“ c2z2 4“ • • • ограни-
чена при всех конечных значениях z, т. е. если сущест-
вует такое постоянное число М, что при всяком конеч-
ном значении z
то, как мы видели во втором примере § 4, ряд для f(z) при-
водится к его первому члену Таким образом имеем, что
каждая ограниченная целая функция будет постоянной
(теорема Лиувилля).
Рассмотрим теперь целую функцию f(z), для которой
z = оо будет полюсом. Если во z 4“ aizk^ 4" • • • 4“ aic-iz
будет мероморфною частью функции f (z) в точке z=<x>,
то для разности
/(z)_(ao/ + ai2fc-14^ +
точка оо не будет уже особенной точкой. Так как эта раз-
ность не имеет также особенных точек на конечном рас-
стоянии, то она будет постоянной ал, т. е.
/(z) = a0/H-a1zk-14- ...
Однозначная функция, имеющая особенной точкой
только полюс z —со, является целой рациональной функ-
цией.
Отсюда получается предложение:
Однозначная функция, имеющая единственной особенной
точкой существенно особенную точку z-=^, будет целой
трансцендентной функцией, и обратно'- каждая целая
трансцендентная функция имеет единственную суще-
ственно особенную точку z=oo.
Рассмотрим теперь рациональную функцию
h(z) ^bQ + bxz+...+bTzr
82
где h (z) и g (z) не имеют общего делителя. Особенными
точками этой функции будут нули знаменателя и, в слу-
чае г>и, точка со.
Если z = z0 будет нулем знаменателя g(z) и если (z — z0)k
будет наивысшая степень z — zOf на которую делится g(z),
то
w — (~ 7771 — 77___~ ' i (z zo)>
zo/ 8i\z) \z zo)
где будет степенной ряд с отличным от нуля началь-
ным членом, так как h(z) и g(z) не имеют общего дели-
A(z)
теля и следовательно частное • не равно нулю при
Z = z0.
Точка z — Zq будет поэтому полюсом порядка к. Также
легко видеть,-что при г>п точка z— со будет полюсом
порядка г—п. Таким образом имеем, что рациональная
функция имеет особенными точками только полюсы.
Докажем обратное предложение:
Однозначная функция f(z), имеющая особенными точ-
ками только полюсы, является рациональной функцией.
Если все особенные точки / (z) будут полюсами, то число
их будет конечно. Действительно, в противном случае они
имели бы точку сгущения, Которая, по § 7, была бы су-
щественно особенной точкой. Пусть
Z1 9 Z2 9 * * * ZT
будут особенные точки функции f(z) и
I______кп
.. (^ — Z„)kn
при п —1,2,..., г, мероморфная часть /(z), соответству-
ющая полюсу zn, причем, как всегда, при zn = оо, надо z — zn
1
заменить на —. Функция
... / 1 \ / 1 \ ( 1 \
/(*) — gl —^2 I — • • • — gr I _-Z_—“ )
\Z----Zi / \z — Z% / \ Z Zr J
5*
83
будет однозначной аналитической функцией, не имеющей
никаких особенных точек, и будет поэтому равна постоян-
ной С. Отсюда имеем, что
Это равенство не только доказывает наше предложение,
но и показывает, что всякую рациональную функцию можно
разложить на простейшие дроби.
§ 9. Некоторые общие теоремы об аналитических
функциях.
Если функция f(z) или ветвь функции f(z) однозначна
в области D и если в окрестности каждой точки а обла-
сти D функция f(z) может быть представлена в виде сте-
пенного ряда P(zla)) то будем, как и в § 3, говорить, что
/(z) регулярна в области D. На основании правил дей-
ствий со степенными рядами непосредственно получаем
следующие теоремы:
1. Если функции fx(z) и f2(z) регулярны в области D
то функции Л(г)+/2(г), f^z}—^ (z), f/z) f.2(z) тоже ре-
гулярны в этой области.
2. Вообще — каждая целая рациональная функция от
fa(z)i • • • > fk(z) с постоянными коэффициентами ре-
гулярна в области D, если f^z), f2(z), . . ., fk(z) регуляр-
ны в этой области'
3. Пусть Ра будет точечное множество, состоящее из
бесконечно многих различных точек области D и име-
ющее точку а этой области точкой сгущения (напри-
мер, точки произвольно малой кривой, проходящей через
точку а и расположенной в D, образуют такое множество).
Если функция f (z), регулярная в области D, обращается
в нуль во всех точках множества Ра, то эта функция
равна нулю тождественно.
Действительно, степенной ряд P(z'a), представляющий
f(z) в окрестности точки а, должен равняться нулю тож-
дественно, а следовательно и все его продолжения должны
равняться нулю.
84
4. Если fi(z) и /2(z) регулярны в области D и если во
всех точках множества Ра имеет место равенство (z) =
то это равенство будет иметь место во всей
области D.
Действительно, разность j\(z)—f2(z) должна тогда быть
тождественно равна нулю.
5. Если функции f\(z)} fz(z)t ..fk(z) регулярны в об-
ласти D и если G • • •, /Д целая рациональная
функция от этих функций с постоянными коэффициен-
тами, обращается в нуль во всех точках множества Ра,
то
во всей области D.
Если функция f(z) регулярна в области D, то в надле-
жащей окрестности произвольно выбранной точки а этой
области имеем, что
f(z) = P(zla).
и поэтому в каждой точке z этой окрестности
lim _ />'(г/о)
Ti^o n az
Таким образом имеем теорему
6. Функция f(z), регулярная в области Р, имет про-
изводную f (z). Эта производная в окрестности точки
а области D представляется в виде ряда, полученного
почленным дифференцированием того ряда, который в
окрестности точки а представляет функцию f(z). Про-
изводная f (z) будет поэтому опять регулярной функ-
цией в области D.
Пользуясь этой теоремой несколько раз, получаем об-
щую теорему.
7. Функция f(z), регулярная в области D, имеет про-
изводные f (z), f" (z), f" (z) ... любого порядка, которые
будут тоже регулярными функциями в этой области.
Пусть в окрестности точки а
f(z) = P(z\a) = Со 4- Ci 4- С> 4- ... 4-
85
тогда
/п)(г)^р('>)(г/а)==с,,-|-с,1 + 1?-ур 4- ...
При z — а имеем, что /(п)(а) = сп. Таким образом имеем,
что ряд
f (z)~ P(z/a)—f(a)-\-f'(a)(z - a)+f (а) +
4- ... 4- fia) „ t z 4- ...
представляет собою функцию / (z) в окрестности точки а
(теорема Тэйлора). Комбинируя теоремы 5 и 7, имеем тео-
рему:
8. Если регулярные в области D функции fk
удовлетворяют алгебраическому дифференциальному урав-
нению с постоянными коэффициентами
G(f. fk,f',.... fk, A"............A" = 0
во всех точках множества Ра, то это дифференциальное
уравнение будет удовлетворено во всех точках области D.
Сделаем из этих теорем некоторые выводы. Пусть функ-
ция f(z) регулярна в области D и пусть а будет некото-
рая точка этой области. Как известно, в некоторой окрест-
ности точки а имеет место равенство
f(z) = P(zla),
где P(zja) будет рядом, расположенным по положитель-
ным степеням z— а. Рассмотрим все такие круги с цент-
ром в точке а, внутренние области которых расположены
целиком внутри области D. Среди таких кругов существует
наибольший. Окружность этого наибольшего круга будет
проходить хотя бы через одну пограничную точку области D.
Его радиус будет равен кратчайшему расстоянию точки
а от точек, расположенных на границе области D. Обо-
значим через D(a) внутреннюю область этого круга. Об-
ласть D(a) будет вся расположена в области D. Докажем
такую теорему:
Равенство
f(z) = P(zla)
будет справедливо во всей области D (а).
86
Для доказательства предположим, что К будет такой
круг, описайный из а как из центра, внутри которого ряд
P(zfa) сходится и внутренняя область которого принадле-
жить области D. Так как обе функции f(z)nP(z!a) внутри
круга К регулярны и равны друг другу в некоторой окрест-
ности точки а, то, по теореме 4,
f(z) = P(zla)
везде внутри круга К; нр ряд P(z!a) сходится во всей обла-
сти Z)(a), так как в противном случае окружность его круга
сходимости С была бы вся расположена внутри D(a), и
внутри круга сходимости С имело бы место равенство
/(z) = Р(г/а). Отсюда получилось бы, что в каждой точке
окружности круга сходимости ряда P(zja) существует не-
посредственное продолжение этого ряда, что противоречит
теореме, доказанной в § 5,
Таким образом ряд P(z!a) сходится везде в области
Р(а), и равенство
f(z) — P(z[a)
следовательно имеет место везде в D(a), что и требова-
лось доказать.
Пусть D и Dr будут две области, имеющие общую точку
а и следовательно некоторую общую окрестность точки а.
Если
' h(z),...
будет система конечного числа функций, регулярных в об-
ласти Z>, а
/1 (z) > gi (*), (Д • • • .
система конечного числа функций, регулярных в области
D19 то вторая система называется непосредственным про-
должением первой, если равенства
/(г)=/1(Д g(z) = gi(z), h{z) — h1(z), ...
имеют место в окрестности некоторой точки, общей обла-
стям D и
Пусть далее Z), Du ., Dr будут области, а 2, 2О
S2, .2г— системы функций, соответственно регулярных
в этих областях. Если каждая последующая система будет
непосредственным продолжением предыдущей, то будем
каждую из этих систем называть просто продолжением си-
стемы 2.
87
При этом определении, конечно, не исключен и тот слу-
чай, когда каждая из рассматриваемых систем состоит
только из одной функции. В этом случае определение, оче-
видно, совпадает с ранее данным определением.
Если система fr{z), sAzY ••• будет продолжением системы
f(z), g (z), ..., то то же самое можно, очевидно, сказать о
системах, расширенных путем присоединения производных
от входящих в системы функций. Таким образом например
система // (z), fr (z), gr (z), ... будет продолжением системы
7(Д /(*)»
Из теоремы 7 имеем теперь теорему о перманентности
* функционального уравнения*
Пусть дана система функций
/(Д я(Д h(z), ...
регулярных в области D. Предположим, что эти функции
удовлетворяют алгебраическому уравнению с постоянными
коэффициентами
G(j{z\g{z), h(z), ..../(Д /(Д Л'(Д ...,Г(Д.-.) = о.
Тогда это уравнение будет удовлетворяться и для вся-
кого продолжения данной системы функций.
§ 10. Теорема Вейерштрасса о суммировании рядов
Пусть дана бесконечная последовательность степенных
рядов
Л(Д Л(Д...,Рп(г),...
и пусть радиусы сходимости всех этих рядов больше не-
которого положительного числа р. Круг К, описанный из
нулевой точки плоскости как из центра радиусом р, будет
тогда весь расположен внутри круга сходимости каждого
из этих рядов. Пусть далее в точках окружности круга К ряд
Л(г)4-Р8(г)4-Р8(г)Н-... + Р„(г)Н-...
сходится равномерно. Тогда в каждой внутренней точке z
круга К имеет место равенство
где Р (z)—степенной ряд, полученный сложением в левой
части этого равенства членов с одинаковыми степе-
нями z.
88
Пусть
оо
(п=1, 2,...)
4 ьо
Теорема утверждает, что ряд
W4...W°4-...
будет сходящимся при k = 0, 1, 2, ... и что ряд
ОО
А:=0
сходится в каждой внутренней точке z круга К и равен
pi(z) + P2(z) + .,. + Pn(z)+...
Так как бесконечный ряд с общим членом Рп (z) равно*
мерно сходится на окружности круга К, то для всякого
положительного, произвольно малого, заданного наперед
числа s можно подобрать такое целое число N9 чтобы не-
равенство
I Л,+1 W-I-^,.+г W + • • + P,4,„w I <=
удовлетворялось в каждой точке z окружности круга К
и при всяком целом и положительном т, если только п > N.
Из этого неравенства, на основании леммы § 9 предыдущей
главы, имеем, что
+ (1)
р
Таким образом ряд
будет сходящимся, и если написать
О, = е,<,1 + «.й +...W4- г."’.
то в силу неравенства (1) при n > N будем иметь, что
(2)
Пусть z будет внутренняя точка круга К и р1 — мо-
дуль z.
89
Тогда ряд
2 (с*(1) 4- 4- • • • + сЛ z = Р, (г) + Р2 (г) + ... 4- Рп (z)
fc=0
будет сходящимся.
При и > N сходится также и ряд
»
2 rft(re)zfe = Q(z),
k=0
так как, в силу неравенства (2), ряд
Zj \ Р J < _Р1.
fc=0 1 р
будет мажорантным для этого ряда. Очевидно, что
IQWK—4"
1-^
р
Ряд
оо
P1(z)4-P2(z) + ...4-P„(2) + Q(z) = 2c*?==P(2)
k—о
будет поэтому тоже . сходящимся при рассматриваемом
значении z. При n > N имеем, что
а
| Р(г) - (Л (z) 4-P2(z) 4-.. • +Рп (*)) I = I Q(z)I < --,
1 —Pl
P
откуда, наконец, имеем, что
p(z)=p1(z)4-p2W+.--4-pwW4--..
Таким образом наша теорема доказана во всех частях.
Теорема, очевидно, справедлива и в том случае, когда все
рассматриваемые степенные ряды расположены по возра-
I ц
стающим степеням z — а ( соответственно по степеням — \ ,
только тогда круг К будет иметь центр не в точке 0, а
в точке а (соответственно К будет внешняя область круга
с центром в* точке 0).
90
Пусть теперь все функции
Ш, /2(2)......... /Д2), ...
регулярны в области D. Пусть ряд
AW+/.W+-•+/„(*)+•• (3)
сходится в каждой точке г этой области. Предположим,
что из каждой точки а области D как из центра можно
описать такой, расположенный целиком в D круг> чтобы
на его окружности ряд (3) равномерно сходился.
Тогда сумма ряда
будет функцией, регулярной в D. Ее производные будут
получаться почленным дифференцированием предыдущей
суммы, т. е. при всяком целом положительном k в обла-
сти D будет иметь место равенство
=f^(z) + -Ь .. ;
♦Для доказательства рассмотрим произвольную точку а
области D. Пусть Кбу дет круг с центром а, на окруж-
ности которого ряд (3) равномерно сходится.
Так как в силу § 9 (стр. 86), в окрестности D(a) точки а
(внутри которой расположен круг К) имеет место равенство
со
/„(«)=/>.(»/“)= 2 f, /“ («>(»-«)*.
л=о
то внутри круга К сумма ряда (3)
F(z)=/1(z)+/2(z) + ...+/n(z) + ...
будет представлена степенным рядом
2 —<0*» (4)
к-0
где
ск = /<*> (а) +/<*> (а) 4-.. • + № (а) + • • •.
и следовательно функция F (г) будет регулярна в обла-
сти D.
91
Сравнивая разложение функции F (z) в ряд Тэйлора
00 • 1 •
FW= S 7TF“’(»)(.-«)*
k- о
с разложением (4), имеем, что
£«(«) =f™ (а) + f^(a) +.. . +/„k) (а) + ...
Так как а может быть произвольной точкой внутри обла-
сти Р, то наша теорема доказана вполне.
Эту теорему в дальнейшем будем называть теоремой
Вейерштрасса о суммировании* В качестве примера на при-
ложение этой теоремы докажем следующее предложение.
Пусть
°°
/> (г) = 2| Ск2;к
будет степенным рядом и f(z)— функцией, регулярной
в области D. Пусть далее всякая точка f(a), соответ-
ствующая какой-либо точке а области D, лежит внутри
круга сходимости ряда P(z). При этих условиях функция
оо
лг)=£ **{/(*»*
fcxxO
будет тоже регулярной в области D и последнее равен-
ство можно сколько угодно раз дифференцировать по z.
Пусть а — точка области D. По условию точка f(a) лежит
внутри круга сходимости С ряда P(z). Опишем концентри-
ческий с С, но меньший С круг С\ так, чтобы точка f(a)
оказалась внутри С\. Из точки а в области D как из
центра опишем круг К радиусом, настолько малым, чтобы
для всякой точки z на окружности этого круга К соответ-
ствующая точка f(z) попадала внутрь круга С\. Это воз-
можно в силу непрерывности f(z).
Так как внутри круга С\ степенной ряд P(z) сходится
равномерно, то ряд
оо
F(z) = ^ck{fWk
92
будет равномерно сходиться на окружности круга Л*. По-
этому здесь можно приложить и теорему Вейерштрасса и,
основываясь на ней, доказать нашу теорему.
В частности имеем следующую теорему:
Если ряд
со
V к
L скz
сходится везде и если f(z)— функция, регулярная в обла-
сти D, то и ряд
со
2 I/WI*
к—о
будет тоже регулярной функцией в области D и может
быть сколько угодно раз почленно продифференцирован.
Глава IV.
ИССЛЕДОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ АНАЛИТИЧЕСКИХ
ФУНКЦИИ
§ 1. Показательная функция.
Отыщем такую аналитическую функцию/(z),- которая об-
ладает тем свойством, что она равна своей производной /'(г).
Пусть
Р(г/а)=
n—Q
будет элемент функции f(z). Тогда производный ряд
оо / \П—1 со / \П
/ л U—g) v „ \z—°)
С« (и —1)! ~ L C«+! п!
11 - 1 П — О
должен совпадать с P(zla). Для этого необходимо и доста-
точно, чтобы
сМ-1 “ сп ’
т. е.
:== Cq, С2 == Cj, С3 С2
93
и т. д., или чтобы все коэффициенты сп были равны между
собой.
Обозначив через с общую величину этих коэффициентов,
имеем
/’(M = cV (1)
п—0
Этот степенной ряд будет везде сходящимся (глава V,
§ 2) и поэтому будет определять целую трансцендентную
функцию. Таким образом существует такая целая транс-
цендентная функция, определенная с точностью до по-
стоянного множителя, которая тождественна со своею
производною. Элемент этой функции, соответствующий
точке а, имеет вид (1). * '
Постоянный множитель в этой функции выберем так,
чтобы ее элемент, соответствующий точке z = 0, имел вид
1+т+<т+<|+--
Обозначим через f(z) такую вполне определенную целую
трансцендентную функцию. Всякой точке а по формуле (1)
будет соответствовать определенное значение с, удовле-
творяющее равенству
оо z
п~ о
или
/(z + a) = c/(z).
Полагая здесь z — 0, имеем, что /(а) = с, так как /(0) = 1
и следовательно
f(z-\-a) = f(a)f(z). (2)
В этой формуле z и а обозначают два произвольных
конечных числа, т. е. можем написать
+ =
Применяя несколько раз это равенство, имеем
/(*! + *2 + *8 + • • • + *п) = /<«1) /(2г) /(*з) • • • <(гп).
94
Полагая здесь = z2 = £3 =*... zn = 1, имеем, что
/M= {/(1) Г» при п = 1, 2, 3,... (3)
Далее при а = —z, из равенства (2) имеем
1 =/(«)/( — *) ИЛИ/( —z) = {/(z)}-1,
т. е. равенство (3) имеет место и при целых отрицательных
значениях и. Определив число е равенством
е=/(1) = 1 + у|+^ + у| 4-...,
имеем при всяком целом z
/
Естественно нашу функцию при всяком z обозначить
символом е2. Функция /(z), поэтому, называется показатель-
ной функцией. Очевидные свойства этой функции ег будут
следующие:
1. Во всей числовой плоскости имеем, что
7П
es = 14-z+2i + 3|+.--+^- + -..
Функция е2 будет поэтому целой трансцендентной функ-
цией; она имеет единственную существенно особенную
точку z= оо.
2. Имеем, что
-Ж = ег.
dz
3. Для всяких двух значений zv и z2 имеем, что
еМ-^ = (Л.е^
Это свойство показательной функции называется ее тео-
ремой сложения.
4. В частности
Z —Z л ч 2 1
е • е = е° = 1 или е = ——.
, е
Функция е имеет, поэтому, везде значение, отличное от
нуля и, следовательно, не имеет нулей.
95
§ 2. Тригонометрические функции.
Рассмотрим равенство
* _ 1 । • । («)2 _ц («)’ ,
е _1+гг+— +—+ .,,,
где z имеет какое-нибудь конечное значение.
Правая часть этого равенства может быть написана в виде
cos z i sin z,
где для краткости обозначено
z^ z® z®
cosz = l——sin z == z — sjH- jy —... (1)
Так как эти степенные ряды сходятся везде, то функции
sin z и cosz будут целыми трансцендентными функ-
циями. Так как
iz I • •
е — cos z~\~i sin z,
то свойства функций cosz и sinz можно вывести
свойств показательной функции.
Сопоставим здесь их основные свойства:
1. Имеем, что
d (cos z)__
dz
d (sin z)
— sin Z, ------;----- — cos z
dz
из
(2)
и
sin 0 = 0, cos 0 = 1.
Функция sin z будет нечетной, а функция cos z будет
четной, т. e.
sin ( — z) = — sin z, cos ( — z) = cos z.
Все это вытекает из равенств (1), определяющих эти
функции.
2. Имеем, что
cos2 z -J- sin2 z = 1. (3)
Это получается перемножением равенств
гг । . . —iz
е — cosz-pi sin z и е =cosz — i sinz.
3. Для функций sinz и cosz имеют место теоремы сло-
жения
sin (zx 4" ^2) ~ sin zi cos z2 4“cos zi sin z2,
COS (zx 4“ 2%) — COS Zi COS Z2-sin Zj sin z2,
96
доказательство которых получается из равенства
i fa 4- г2) е ± . е± i z.2
т. е.
mate
Для
назы-
этого
cos (z, 4“ z2) ± i sin (24 -j- z2) =
= (cos zx ± i sin zj (cos zt i sin z2).
Покажем, что функции sinz и cosz при вещественных
значениях z тождественны с функциями, обозначенными
также в элементарной математике, т. е. с
ваемыми тригонометрическими функциями.
рассмотрим равенства
х — cos z, у = sin z, (4)
где z принимает все вещественные зна-
чения, а х, у считаются прямоугольными
координатами на плоскости.
Точки (х, у), определяемые равенством
(4), в силу формулы (3), будут располо-
жены на круге
Для малыл
sin z
,в силу
При z = 0 получаем точку S (х = 1, z/==0).
положительных значений z функции cosz и
Z
формул (1), будут близки к 1, так что точка Р (х, #) будет
иметь положительные координаты (черт. 18). Из ра-
венств (2) далее видно, что x — cqsz сперва убывает^ а
у = sinz сперва возрастает, когда z возрастает от нуля.
Функция sin z должна от возрастания перейти к убыванию,
d sinz
другими словами —— — cos z должна при возрастании z
от нуля перейти от положительных значений к отрицатель-
ным. Действительно,
ч Z2 ( ч Z2 \ Z® [ z^
cosz = 1"Hl ~ 6! \ I]'"
При z = 2 выражения в скобках, т. е.
Z&
3^4’ 1~7~8’"
7 А. Гурвиц
97
будут положительными и поэтому
9^1 4 Л 1
cos 2 < 1 — у 11 — у
£
3 ’
т. е. cos 2 отрицателен. Следовательно между z = 0 и z = 2
должно существовать наименьшее значение, при котором
cosz, обращаясь в нуль, переходит от положительных зна-
чений к отрицательным. До этого значения cos z не меняет
знака. Это значение z обозначим через у. Если z возра-
стает от 0 до у, то, в силу формул (2), функция sin z
постоянно возрастает и притом от 0 до 1, так как cos -у = О
и из равенства (3) видно, что sin = При этом cos z у бы-
Ч. £
вает от 1 до 0 тоже в силу формул (2 . Таким образом
точка x = cosz, # = sinz пробегает квадрант 55', когда z
л К г-г
изменяется от 0 до -у. По теоремам сложения имеем, что
sin
= sm Z COS у 4“ COS Z Sin у = COSZj
(5)
cos I z 4~ у j = cos z cos -----sin z sin -y — — sin z, (6)
Если в этих формулах изменять z от 0 до , то легко
К
видеть, что точка (4) при изменении z от у до к будет
пробегать квадрант 5'5".
Из равенств
cos ( — z) = cos z, sin (— z) = — sin z
имеем, что точка (4) пробегает полуокружность 5"5"'5 при
возрастании z от—~ до 0. Таким образом можно сказать,
что точка х ~ cos z> у — sin z пробегает один раз окруж-
ность круга х2 = 1> когда z возрастает от — п до -р те.
Обозначим через дугу 5Р, измеряющую центральный
98
угол POS, и подчиним ф условию — Тогда при
ср ф к имеем, что
=(“sinz)2 + (cos2)'>==1
/ j?\a
у dz J
и следовательно
еле-
так как при z = 0 и у = 0.
Таким образом z равняется длине дуги, отсчитанной
от точки S и взятой с надлежащим знаком.
Тождественность функций sinz и cosz, при вещественных
значениях z, с тригонометрическими функциями синус и
косинус таким образом доказана. В частности ~ будет чет-
вертою частью длины окружности или 2к будет длиною
всей окружности.
Из уравнений (5) и (6), заменяя в них z на z-r -у ,
дует что
sin (z 4“ = — sin z, cos (z -j~ = — cos z,
откуда, заменяя z на z4~K,
sin (z 4~ 2k) = sin z, cos (z -f- 2k) — cos z.
Равенства от (5) до (8) для показательной функции
репишутся следующим образом
+ i (г-Н) iz 1
е \ 2 / = ie ; е = — е ; е
и эти равенства, очевидно, приводятся к более
к л
9 г . ni ч 2пг
еJ — z, е = — 1, е =1,
(7)
(8)
пе-
/ (Н-2;:) ___ ^iz
простым
откуда вытекает, что показательная функция и .еет пе-
риод 2 к/, т. е.
е — е ,
а тригонометрические функции sinz и-cosz имеют пе-
риод 2к, т. е.
sin (z 2«) = sin z, cos (z -p 2k) = cos z.
При изменении ? от — к до к, точка ег‘* = cos ? + i sin ?
пробегает окружность единичного круга. Таким образом
7*
99
точка ре ?, где р вещественное положительное чйсЛо, про-
бегает круг радиуса р. описанный из точки 0 как из центра;
отсюда имеем, что всякое отличное от нуля комплексное
число z можно представить в виде
z — pev* (р >0, — ~ <
и притом только одним способом.
Множитель р будет модулем z> угол — аргументом z.
§ 3. Логарифм.
Под логарифмом данного числа z-символ lg z—будем
понимать те значения w, которые удовлетворяют уравнению
eW=z. (1)
Так как показательная функция принимает только ко-
нечные отличные от нуля значения, то значения z — 0 и
z = оо исключаются из рассмотрения. Пусть z будет за-
данное отличное от нуля значение, т. е.
z = реф* (р > 0, — т: < ? к).
Если w == u то уравнение (1) перепишется так:
и vi
е е = р е
и следовательно
е" = р, е(г,-ф)‘ = 1.
При изменении и от 0 до оо величина
изменяется от. 1 до со, а так как е и — ~> тоеп убывает
е
от 1 до 0, когда и пробегает все отрицательные значения,
изменяясь от 0. Уравнение еи = р имеет поэтому только
одно вещественное решение п, которое мы обозначим че-
рез Z(p).
Для разыскания всех решений уравнения
Ф - ф) i _ ।
положим на время, что = Тогда вопрос сведется к
100
отысканию самого общего решения уравнения = 1. Если t
пробегает значения из промежутка О С t 2 к, то точка е1
пробегает круг радиуса 1 с центром в 0. Таким образом,
/ = будет наименьшим положительным решением на-
шего уравнения. Произвольное его решение t можно пред-
ставить в виде
t = 2 п к г,
где 0 <^ г < 2 ~ и п целое число. Имеем
е =е = е (е ) = 1
и следовательно г~0. Самое общее решение уравне-
ния ег=1 будет поэтому
t = 2nr^
где it — произвольное целое число,av — ф 4“ 2 и ~ будет сле-
довательно самым общим решением уравнения г = 1.
Таким образом мы пришли к следующему результату:
Пусть z — р е** (р > 0, — *<?<>) будет данным чис-
лом, отличным от нуля. Самое общее решение урав-
нения
W
е =z
будет равно
w = I (р) 4- ф i’ 4~ 2 п z ь
При этом Z(p) обозначает единственное вещественное
рзшение и уравнения
и
е — о
и п обозначает произвольное целое числэ.
Так как целое число п произвольно, то 1g z будет бес-
конечно многозначной функцией от z. Значение w, соответ-
ствующее значению п = 0, назовем главным значением
функции lg z и обозначим через Z(z). (В частном случае,
когда z = р будет вещественным положительным числом,
это определение совпадает с данным выше определением
/(!>)).
Таким образом имеем, что
_____
где р обозначает модуль г и ?—аргумент удовлетво-
ри
ряющий условию — it < ? Все значения 1g г выражаются
следующей формулой через его главное значение Z(z):
lg z — I (z) -J- 2 n v i.
Рассмотрим теперь область D, образованную всеми точ-
ками плоскости комплексных чисел, за исключением точек
отрицательной вещественной оси х). Соответствующая
область на числовой сфере получится, если исключим по-
ловину того меридиана, который изображает вещественные
числа.
Как видно из самого определения, главное значение I (z)
логарифма будет однозначной. и непрерывной функцией в
области D. Покажем теперь, что эта функция будет даже
регулярной в области D. Пусть а будет точка области D
(черт. 19). Надо показать, что в некоторой окрестности
точки а имеет место равенство вида
I (z) =. Z (а) + сх (z — а) + с2 (z — а)2 . = I (а) Р.
Если такое равенство суще-
__________ ствует, то для достаточно малых
4 значений модуля (z— а) должно
Черт. 19._быть
г (а) 4- р р z
е = z или е — —
а
Но тогда должно быть также
4- - z
1 - 2! 3!
а так как, в силу § 10 предыдущей главы, это равенство
можно дифференцировать по z, то
dPl । р . ।
dz \ ' 2! ' ’ / dz а а ’
т. е.
~ = с,+2 с2 (z - а)+3 с8 (z-a) Н- • •=* = 74 (г- «Г
1 z — а , (z— а)2 ।
а а'1 ' а3 “ ’
1) При этом исключается-И-нулевая точка.
102
если (что не составляет ограничения общности) принять
а| < |а|.
Ряд Р должен поэтому иметь вид
Этот ряд сходится в том же круге, что и производный
dP.
ряд , т. е. в круге, определяемом условием
z — а
а
Этот круг, который мы обозначим через Ка, имеет центр
в точке а. Окружность его проходит через нулевую точку
плоскости.
В самом деле в каждой точке z, расположенной внутри
круга будет
el^P==z, (2)
если Р означает написанный выше ряд.
Действительно, по теореме Вейерштрасса о суммирова-
нии (§ 10, глава III) имеем, что
е110)+Р=а (14-Р + ^ + ^+...) = Л(г-а).
Дифференцируя это равенство, получаем, что
dP(. , D . Р* , P-! , \ p, , x
_r-+-3r-b..J=P1(Z-a)
или
Pi (z — a) = z P\ (z — a),
так как
dP^ X
dz z
Пусть
Pj (z — a) — a 4- bi (z — a) 4- b2 (z — a)2 4~ • • •,
тогда
a-]-bx(z — a)4-^2(z —a)34- • =
= { a + (z - а) П bx 4- 2 b2 (z - a) 4- 3 b8 (z - a)2 4- • •)-
103
Откуда, сравнивая коэффициенты, получаем
Z>x = 1, = О, Z>3 = 0,...
Таким образом имеем, что PY(z — a) = a-\-z— a~z, что и
доказывает равенство (2). Из этого равенства следует, что
для всякой точки z, расположенной внутри круга Ка, будет
l(a) + P==l(z) + 2nKi,
где п означает целое число.
Пусть D(a) опять обозначает наибольший круг с цен-
тром в точке а, внутренность которого расположена вся
в области D. Этот круг D(a) совпадает с кругом Ка, если
точка а имеет . не отрицательную абсциссу. В противном
случае круг D(a) будет меньше круга Ка; это будет тот
круг с центром в точке а, который касается отрицатель-
ной вещественной оси.
Легко видеть, что при всяком z внутри круга D(a) число
п равно нулю. Действительно, имеем, что
п= 1 {/(а)+р_/(г))
Z тг Z
внутри круга D(a) будет непрерывной функцией от z, а так
как при z — a число п равно нулю, то это целое число
должно постоянно равняться нулю.
Таким образом получаем следующий результат:
Главное значение l(z) логарифма является регулярной
функцией в области D, а именно9, в окрестности D(a)
произвольной точки а этой области D имеет место ра-
венство
а . £ \ а ) о \ а /
Из этого равенства, далее, видно, что l(z) удовлетво-
ряет дифференциальному уравнению
dl{z}^ 1
dz z ‘
Если точка z приближается к некоторой точке — р (р > 0)
отрицательной вещественной оси, то очевидно, что Z(z)
стремится к значению /(р)Ц-^г или к значению Z(p)— к/,
смотря по тому, подходит ли z к точке — р со стороны
положительных или со стороны отрицательных ординат.
104
общий отрезок отри-
Функция l(z) при всяком заданном целом п бу-
дет тоже регулярной в области D. Обозначим эту функцию
на время через/,,, так что /0 будет главным значением I (z).
Покажем теперь, что функции /0, /р /-!, /2, /_2>... бу-
дут однозначными ветвями одной и той же аналитиче-
ской функции. Очевидно достаточно доказать, что при вся-
ком целом п элемент P(z/a) функции fn имеет своим про-
должением элемент P(z!b) функции /14-1.
Выберем точки а и Ь симметрично относительно веще-
ственной оси и притом так, чтобы их общая абсцисса
была отрицательной (черт. 20). Круги сходимости рядов
Р (z/a) и Р (z/b) будут тогда иметь
цательной вещественной оси.
Пусть — р какая-нибудь точка это-
го общего отрезка. При z= — р
имеем, что
P(zja) = Z(p) 4" г + 2 п тг /,
P(z/6) = Z(p) — к 2 (и-Р1) Z;
следовательно P(zla)P(z b), и в
силу § 8 главы II ряд P(zjb) бу-
дет непосредственным продолжением
ряда P(zla).
Таким образом логарифм будет
ной функцией, составленной из однозначных в области
D ветвей Z (z) -р 2 и ~ /. Остальные свойства логарифма
вытекают из свойств показательной функции.
Например, из равенства
_ ei^x.eig^ = ZiX8 (3)
lg zx 4“ J? г2 есть °ДН0 из значений 1g (zxz2).
lg 2-!-Г lg Z._> = lg zx
f—5
J
Черт. 20;
бесконечно-mho означ-
следует, что
Равенство
надо поэтому понимать так: если 1g и lg z2 обозначают
два какие-нибудь определенные значения из бесконечного
множества всех значений, какие можно приписать этим сим-
волам, то lg zx 4lg z2 будет одно из бесконечного множе-
ства значений, принимаемых lg (zxz^.
Легко видеть, что для главных значений равенство (3)
имеет такой смысл: пусть
' ' z2 = p2e?2' ....
(Р1>0, ро>0, —
105
тогда
I (*i) 4-1 (г2) = I (zx z.J 4- 2 n * i,
где n = 0, rl или— 1» смотря по тому, какому из нера-
венств
—* < '-?id-?2<2-, — 2it + — к
удовлетворяет сумма аргументов и <р2 чисел zx и г2.
§ 4. Степенная функция.
Если т обозначает целое положительное число, то под
степенью z понимают произведение т множителей, равных z.
Для распространения понятия степени zm на какой угод-
но комплексный показатель т проще всего воспользо-
ваться логарифмом.
При гхО определим z™ так:
т т z । j |(7П 1g [ /4 \
z r^e =1 -|-7nlgz4-^—U)
В силу этою определения функция z'1 будет вообще
иметь бесконечно мною значений, а именно: значения
etn(l^^n.i}^emUz)etn.2n.i (п==а + 1>_1>+2>_2>
Так как ет1^ф09 то zm имеет конечное число различ-
ных значений только тогда, если среди чисел
е (и = 0т 4~ 1. 4- 2. Ч 3....) (2)
имеется конечное число различных между собой.
Если
ш • 2 п п i т • 2п. к ъ , .
е =е ,
то
(n-nj) 2 к г_ j
и следовательно т (п — nJ должно быть целым числом,
а т — числом рациональным. Обратно, если т = (г и s не
имеют общих делителей, 5 > 1) будет числом рациональ-
ным, то среди чисел (2) будет только $ различных мёжду
106
собой. Такими различными числами будут хотя бы числа
вида г
— 2 п к I
е 8 (п — 0, 1, 2,..., s — 1).
г
Функция zl = zs будет тогда s-значная функция.
Главным значением функции zm назовем то ее значение,
которое соответствует главному значению логарифма, кото-
рое следовательно определяется так:
т т I (z)
z =е
Это значение обозначим через (zM). В области D, кото-
рая получается, если из плоскости комплексных чисел уда-
лить все точки отрицательной вещественной оси, главное
значение (zw) будет регулярной функцией.
Действительно, в окрестности Т)(а) какой-нибудь точки
а области D имеет место равенство
Z(z) = 1(a) + z-^ - 4- 4- 4" (^^У +.. • = р
7 4/1 а 2 \ а / 3 \ а / 1
и поэтому
(z’'')=ew 1(г> = 1 4- т Р+ . = Plt
где
в । (z— а\ । /z — a\3i
Л = Со + сЦ—— j+c2^——j +... (3)
будет по теореме Вейерштрасса о суммирование рядом, распо-
ложенным по степеням z—а. Далее, дифференцирование дает
— е«‘ t (Z) _ Р' или m Pj = (а 4“ (z ~ а)) /У ==
= а (14-^=^)?;.
\ а /
Пользуясь равенством (3), имеем
197
и, сравнивая коэффициенты, получим
(п +1) Cn +1 = (т — п) с
откуда последовательно находим
т т(т— 1)
1 • 2
Cj — J Cq, c2
и вообще
т(т— 1)(/п— 2)
с0,.•.
1-2-3
/ т \
с"~1 П Г0’
(« = 0, 1, 2,...).
где
( т \__т(т — 1)... (т — л-р!)
\ n / 1 • 2... л
есть биномиальный коэффициент. Полагая в равенстве
Wt I (z) Г) ___
е 1 = r19 z — a^ имеем
ml (а) / *
с0 = е == (а ).
Таким образом в окрестности D(a) точки а имеет место
равенство
{/ \ / \ / \ о
< Г / I % & I । 11^ ® I I
т 11 Н" - Ь д—) +
~Цз ДТ") 'r”j
Остальные значения zm получаются из главного (г1)
умножением на постоянные множители (2).
*Г* х* «2
/ аким. образом можно сказать^ что значения z распа-
даются на однозначные ветви. Эти ветвц будут регу-
лярными функциями в области D и будут в силу (1)
принадлежать к одной и той же аналитической функции
(так как это было доказано для логарифма).
Из равенства (1) еще имеем
Z2 = ет}*S1+ т lg г’2 — ет lg '2) >
т. е.
vi m < ) m
Zi Z2 — [Z^Z^f •
Это равенство надо понимать так: произведение какого-
нибудь произвольно выбранного значения зд и произвольно
выбранного значения . z“ будет одно из значений {.zx z2}m.
108
То же самое можно сказать о равенстве
lg z™ — т 1g z ,
получающемся из равенства (1), а также о равенстве
у т । ту 1»! 1g z 7Д in 1g z
т. е.
( т pn, т in,
{*)* = * \
аГЛАВА V.
ИНТЕГРИРОВАНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ.
§ 1. Равномерная непрерывность и дифференцируемость
аналитических функции.
Область в числовой плоскости или на числовой сфере,
образованную всеми точками, расположенными внутри или
на некоторой простой, непрерывной, замкнутой кривой, бу-
дем называть элементарной областью х). К каждой эле-
ментарной области принадлежит следовательно ее граница.
Например, точки, расположенные внутри и на окружности
круга, образуют элементарную область.
Если элементарная область Е расположена вся целиком
внутри некоторой области /), в которой функция f(z) ре-
гулярна, то эту функцию будем называть также регулярной
в элементарной области Е,
Если а будет какой-нибудь точкой внутри или на гра-
нице элементарной области, то в силу § 7 главы III будем
иметь, что
/(*) =f(a) Н- (г - a) f а)*Ш- -L-... (1)
для всех то'чекг области Z2, принадлежащих окрестности Z) (а)
точки а. По определению эта окрестность D(a) будет вну-
тренней областью наибольшего круга с центром в точке а, все
внутренние точки которого принадлежат области /). Обо-
значим через га радиус этого круга. Радиус га будет непре-
рывной функцией от а. Так как элементарная область £, по
определению, представляет собой замкнутое точечное мнс-
9 сР. § з, гл. ш.
109
жество, то функция га достигает в этой области наимень-
шего значения, которое будет положительным. В дальней-
шем р будет обозначать некоторую положительную вели-
чину, которая меньше указанного минимума. Тогда для вся-
кой точки а элементарной области будем иметь, что
га > р.
Опишем из каждой точки элементарной области Е как
из центра круг радиусом р. Все внутренние точки этих кру-
гов и все точки, расположенные на их окружностях, обра-
зуют область покрывающую элементарную область Е.
Эта область Ег будет расположена вся внутри области D
и, как легко видеть, будет представлять собою замкнутое ♦
точечное множество. Так как функция f(z) непрерывна, то
|/(z) | имеет в области Ех максимум М Для каждой точки
z области Е{ имеет следовательно место неравенство
I/WI4M
В частности, это неравенство имеет место на окружности
круга радиуса р, с центром в произвольной точке а элемен-
тарной области Е. Отсюда на основании формулы (1) и § 9
главы II выводим, что
= (2)
Эти неравенства, где Мир будут постоянными положи-
тельными числами, будут справедливы в каждой точке* а
элементарной области Е. Отсюда можно получить важные
выводы. Пусть а и Ь будут две какие-нибудь точки эле- <
ментарной области £, расстояние между которыми меньше t
некоторого числа 3, которое само меньше р, т. е. I
| b — а | < 8 < р.
Из равенства (1) имеем *
/(6)-/(а) = (6-а)/'(а) + (3)
и в силу (2)
о
I/W-/(«)!<« у + З’ +
по
Пусть s — какое-нибудь положительное число. Положитель-
ное число 3 < р можно выбрать настолько малым, чтобы
было
М - -р~— < г.
1 — 2
Р
Таким образом имеем теорему:
Если функция f(z) регулярна в элементарной области
Е, то, задав произвольно малое положительное кисло а,
можно выбрать такое положительное число 8, чтобы
для всяких таких двух точек элементарной области Е,
расстояние между которыми | b — а 8.
Это свойство функции f(z) называется равномерной не-
прерывностью. Его можно было бы вывести из общих тео-
рем, а именно из теоремы о том, что всякая функция, не-
прерывная в замкнутом точечном множестве, равномерно
непрерывна в нем.
Написав равенство (3) в виде
м2)/,(о)=(4_о)ф+(4_„)!ф+.
и обозначив для краткости
имеем, что
о
. . s М , М . М р
р
откуда получаем теорему:
Если f(z) регулярна в элементарной области Е, то, за-
дав произвольно малое положительное число г, можно вы-
брать такое положительное число 5, чтобы величина у,
определяемая равенством
Ь — а
111
удовлетворяла неравенству | 7 | < е, если только \ b — а | < 8,
где а и Ь две какие-нибудь тонки элементарной области Е.
Так как производная f'(z) регулярна в элементарной
области Е и следовательно равномерно непрерывна в ней,
то предыдущую теорему можно обобщить так:
Если задано е > 0, то можно выбрать 8 > 0 так, чтобы
величина 7, определяемая равенством
удовлетворяла неравенству 71 < а, если только три ка-
кие-нибудь точки а, Ь, с элементарной области Ё под-
чинены условиям
| b — а [ < о, ; с — а ’ < 5.
Свойство функции f(z)t о котором шла речь в двух по-
следних теоремах, коротко выражают так: функция f(z)
равномерно дифференцируема в элементарной области £.
Едва ди нужно подчеркивать, что в обеих теоремах а и Ь
считаются различными точками.
§ 2. Интегрирование степенных рядов.
Степенной ряд
Р (z/a) = с0 -L q (z — а) 4- с2 (z — а)2 4~ • • •
представляет собою функцию f(z), регулярную внутри сво-
его круга сходимости С, и обратно всякая функция, регу-
лярная в круге С, может быть представлена в виде степен-
ного ряда, сходящегося вфэтом круге. Составим ряд
Л (г/а) = с 4- со (* — “) 4- -у- (* — “)2 4- "Y (* — а)3 + • • •»
2/ О
где с означает произвольную постоянную. Производный от
A(z/a) ряд совпадает с рядом P(zla). Ряд P^zja)
имеет поэтому тот же круг сходимости С, что и P(z/a),
и регулярная функция /1 (z), определяемая внутри этого
круга рядом Px(zla), будет удовлетворять уравнению
Функцию /i(z) назовем неопределенным интегралом от
/(*)
112
§ 3. Интегрирование производной от регулярной функций.
Докажем теперь одно общее предложение, относящееся
к двум регулярным в некоторой области D функциям /(z)
и /i(z), из которых одна будет производной другой, и кото-
рые поэтому связаны уравнением
=/<*)•
Пусть zQ и Z будут две точки, произвольно заданные
внутри D. Соединим эти точки какой-нибудь непрерывной,
спрямляемой кривой L, расположенной вну-
три D и имеющей положительную длину. S'" X
Между точками z0 и Z вставим на этой кри- /
вой п — 1 (и > 2) точек zb z2,..., zn __ t, от- [ х л*' j
личных друг от друга и от z0 и Z (черт. 21}, у J
и составим сумму S/(z) A z=/(С^ (z} —z0) \ у
+/(Q (^2—где ------------------
Ci, С2,..., обозначают точки на кривой L, Черт. 21.
произвольно выбранные на ее дугах z0 •••"*!>
zx... z2,..., zn _ ।.. Z. Докажем теперь, что имеет место
равенство
Йт2/(г)Л*~А(2)-ЛЫ, - (1)
в котором знак предела означает, что число точек z19 z2,.. •
zn _ t надо неограниченно увеличивать ив то же время
длины дуг, на которые кривая L разложена этими точками,
надо делать сколь угодно малыми. Допустим, что кривую
L можно заключить в некоторую элементарную область,
которая вся расположена внутри D, В этой элементарной
области функции A(z) и f\(z)=f(z) будут регулярны. За-
дав произвольно малое число ®>0, будем поэтому в силу
§ 1, иметь, что определяемые равенствами
--Zo
*2 — *1
величины Yu 7г, • • • будут, по модулю, меньше е, если только
все дуги z0... zn Zj... Zo,... кривой L достаточно малы»
8 А. Гурвиц
113
1
I
Из последних уравнений имеем j
/1 (Z) —ft (zo) = S/(z) Az-Hifo — z0) 4-72 (z, —z,) -4-...
• • • ~T~ 'in Z Zn — ।)
или
где
= Zo)-r-Y2(^ —Zi)4-...-f-7„(Z —zre_J|
<e{|zl — z0|4-|z2 — zJ4-...4-|Z—z,,.^} .
Так как |zt—z0|, \z2— — длины хорд Zq...zx,
... z2,... TO
где l означает длину кривой L.
Так как е можно выбрать произвольно малым, то отсюда
выводим, что
lim S/(z)Az=74(Z)—/x(z0).
Этот предел обозначим через
z
f f(z)dz или J f(z)dz
zc L
и назовем интегралом функции f(z), взятым по кривой L.
Кривая L называется путем интегрирования. Это опре-
деление интеграла не зависит от того, будет ли f(z)
производной другой функции А (г) или нет. Равенство (1)
можно переписать так
z
f , (2)
-------------V) I
9 Допустим теперь, что кривую L можно разбить на коечное число
к таких дуг ... 2^, Zx ... Z^ ..Zk_^ ... Z, каждая из которых |
может быть заключена в элементарную область, целиком расположенную 1
внутри D. Тогда по предыдущему будем иметь |
Zx
*> g
f' j
|
114 ' I
В том случае, который был исключен из рассмотрения,
а именно когда длина L равна нулю, т. е: когда Z = z0?
под символом будем понимать нуль. Равенство (2)
2о
будет справедливым и в этом случае.
Из равенства (2) видно, что значение интеграла не за-
висит от выбора кривой £, соединяющей точки и Z
и расположенной внутри D, если только регулярная в этой
области D функция f(z) будет производной от другой регу-
лярной в D функции /1(2:).
Из определения интеграла непосредственно следует, что
; z
; У*f(z)dz
Zo
<lim 2 !/(*)! |д*!>
при понятных обозначениях.
Правую часть этого неравенства можно выразить через
обыкновенный вещественный интеграл. Действительно,
и
zk-l
складывая эти формулы, получим в силу очевидного равенства
- Zi Z2 Z Z ..
f f(.z)dz + J ftz)dz +------J- J* f(z)dz — f f(z)dz
Z-fc_1 Zq
формулу (2) и для настоящего случая.
Покажем наконец, что кривую L действительно можно разбить на
дуги требуемым образом. Как в § 1, найдем для каждой точки а кри-
вой L величину га и обозначим через р положительную величину мень-
шую, чем наименьшее значение га на кривой L. Будем пробегать кри-
вую L в направлении от точки zQ к точке Z. Обозначим через Z± первую
точку этой кривой, отстоящую от точки zq на расстоянии р; обозначим
далее через Z2 первую точку дуги Z^Z, отстоящую от точки Zi на рас-
стоянии р и т. д. Очевидно, что потребуется не более — точек, чтобы
разбить нашу кривую L таким образом на дуги z0Zlt Z^Z^..Zk-^Z.
Каждая из этих дуг может быть уже заключена в элементарную область
Целиком лежащую внутри D, а именно за эти элементарные области оче-
видно можно взять круги радиуса р, центры которых лежат соответственно
в точках z0, Z2, ..Z^y Таким образом * равенство (2) доказано
полностью в общем случае. (Прим, ред.)
8* 115
пусть s будет длина дуги кривой Л, отсчитываемая от
точки 2г0. Функция |/(z)| будет непрерывной функцией от $
на этой кривой, и правая часть будет равна
i
о
что можно написать и так
z
J |/(г)|1<&1 или f\f(z)\
~t) Tj
Таким образом имеем, что
/ f(z)dz
So
|<te| < м,
где М—максимум ] f(z) [ на кривой L.
Если точка Z совпадает с точкой z0, то из равенства (2)
выводим такое предложение?
Если в области D функция f(z) будет производной
регулярной функции, то интеграл J f(z) dz, взятый по
замкн у той, спрямляемой и расположенной целиком внутри D
кривой L, будет равен нулю.
Так как по § 2 функция f(z), регулярная в круге, будет
производной некоторой функции /г (z) (неопределенного
интеграла), то мы приходим к выводу:
Внутри того круга, в котором fjz) регулярна, интеграл
z
f fto Л
S0
не зависит от пути интегрирования и интеграл J* f(z) dz,
взятый по замкнутой спрямляемой кривой, равен нулю.
В § 5 эта теорема будет существенно обобщена, а именно:
она будет доказана для произвольной элементарной об-
ласти.
116
§ 4. Примеры.
Важный в принципиальном отношении пример предста-
вляет интеграл
i dz х)
Пусть D будет область, образованная всеми точками
плоскости, за исключением точек вещественной отрица-
тельной оси. По § 3, главы IV, в этой области l(z) будет
регулярной функцией и
dl(z) ___ 1
dz z
Существует поэтому теорема:
ъ
С dz
Интеграл I —, взятый в области D от какой-нибудь
а
точки а до какой-нибудь точки 6, равен 1(b)—1(a).
При этом предполагается, что путь интегрирования,
т. е. кривая L, соединяющая точки а и 6, по которой взят
интеграл, лежит весь внутри D- Каково будет значение
интзграла, если кривая L не вся расположена внутри D?
Рассмотрим этот вопрос сперва для того простого слу-
чая, когда кривая L пере-
секает ось отрицательных ^***-^^^
вещественных чисел только
один раз — хотя бы в точ- а[ т?
ке — р. Предположим, что,
пробегая кривую L из точки ______
а в точку 6, перейдем через
ось отрицательных веще- Черт. 22,
ственных чисел со стороны
положительных ординат в сторону ординат отрицатель-
ных, т. е. так, как показано на черт. 22. Пусть аир
будут точки кривой L, расположенные по обе стороны
от точки пересечения —р этой кривой с осью отрицатель-
*) Мы пишем так для краткости вместо j dt. В дальнейшем мы
будем часто допускать подобные вольности.
117
ных вещественных чисел. Пусть точка а расположена с той
стороны от — р, где лежит точка а. Тогда инеем, что
а Ь
а ₽
Если точки аир приближаются к точке —р, то /(«) пе-
реходит в + и /(р) — в Z (р) — я/.
Поэтому получаем
ь
(* dz
™ = l(b)—l(a) + 2«i. (1)
I Z
Если бы. кривая L переходила со стороны отрицательных
ординат в сторону положительных, то в правой части этого
равенства надо было бы писать —2тч вместо -j-2^/. Рас-
смотрим теперь путь интегрирования L, соединяющий
точки а и b и пересе-
кающий ось отрицатель-
ных чисел в нескольких
точках s2, ..., sr.
Каждой точке со-
поставим число ел== -|- 1
или гк=— 1, смотря по
тому, переходит ли кри-
вая L через ось отри-
со стороны положитель-
цательных вещественных
чисел
ных ординат в сторону отрицательных ординат или на-
оборот. На черт. 23 точкам s2, s3, s4 соответствуют по
порядку числа ©х = -f-1, е2 =— 1, е3 =-f~ s4 = + !•
Для интеграла, взятого по этой кривой L, очевидно
имеет место равенство
а
Сумма + •• +®г называется числом кручения кри-
вой £. Если точки а и Ь совпадают, то из равенства (1)
получается такой результат:
118
Если интеграл
взят в „положительном направле-
нии вокруг нулевой точки плоскости, то
Употребленный термин обозначает, что интеграл взят по
простой замкнутой кривой L, окружающей точку 0 в таком
направлении, что при обходе этой кривой область, внутрен-
няя по отношению к этой кривой и содержащая точку О,
постоянно лежит слева (ср. гл. I, § 2, примечание). Это
направление обхода будем всегда называть положительным,
а противоположное отрицательным.
Рассмотрим теперь более общий интеграл
ъ
чч
J z
а
а
где г0 постоянная и путь
а и 6. Конечно, точки
L предполагаем от-
личными от z0.
Если z — = то
точка С будет описы-
вать некоторую кри-
вую Д', в то время
как точка z описы-
вает кривую L. Кри-
вая Е получается из
кривой L параллель-
ным переносом чи-
словой плоскости
(черт. 24). При этом
параллельном переносе прямая, проходящая через точку х0
параллельно оси отрицательных вещественных чисел, пе-
рейдет в эту ось. Очевидно, что интеграл / равен инте-
интегрирования соединяет точки
и Ъ и точки пути интегрирования
гралу
b-z^
J I ’
119
распространенному по кривой Z/. Отсюда получаем сле-
дующие предложения:
Пусть g будет полупрямая, проходящая через точку z0
параллельна отрицательной вещественной оси. Тогда
ъ
f9 dz
-^- = l(b-Zo)-l(a-Zo),
# / z zo
a
если путь интегрирования не пересекает прямой g и
ъ
Г dz
/ ---~ ---Zo)-Ка---Zq) + 2^Z (£i + . + er),
] Z--Zq
a
если путь интегрирования пересекает прямую g в г точхах.
Здесь s2, ed, обозначают соответствующие этим
точкам положительные или отрицательные единицы.
л С dz
Далее, интеграл I -----, взятый вокруг точки z = z0
J % Zq
в положительном направлении, равен 2*iz
С dz Эн.-
|-------- 2^1,
J Z — Zq
В качестве второго примера рассмотрим функцию
/.ю= „-Ь (г-2:,"+1'
где п — целое число, отличное от —1.
Имеем
&и=/(2)-.=(2-2о\".
az
При п положительном обе функции f(z) и fx (z) имеют
единственную особенную точку z = со; при п отрицатель-
ном единственную особенную точку z = z0. При п = 0 функ-
ция /i(z) имеет особенную точку только при z=oo, e.f(z)
будет постоянной. Таким образом обе функции /(z) и / (z)
будут во всяком случае регулярны в области образо-
120
ванной всеми точками плоскости, за исключением точек
z = z0 и z=oo. Имеем поэтому, что
ъ
{(6-го)П+1-(«-^о)Я+1}‘
а
для каждого пути интегрирования, не проходящего через
точку х0. В частности
У О — *>)” dz = О
для каждого замкнутого пути интегрирования, не прохо-
дящего через точку z0.
Взятый в положительном направлении вокруг точки
z = Zq интеграл
f (z — z0)ndz
равен поэтому всегда нулю, за игключением случая
п = —когда он равен 2~z.
§ 5. Интегрирование регулярных функций.
Пусть, каки в§1, функция f(z) будет регулярна в обла-
сти D'h пусть Е обозначает расположенную в D элемен-
тарную область. Пусть далее р имеет то же значение, как
в § 1, так что каждый круг радиуса р, центр которого
принадлежит элементарной области Е, будет весь находиться
в области D-
Соединим две внутренние точки а и Ь элементарной
области Е такой спрямляемой кривой L, которая вся будет
находиться внутри этой области Е.
Пусть т будет положительное число, меньшее кратчай-
шего расстояния точек кривой L от границы области Е.
Каждый круг радиуса т, центр которого находится в‘ка-
кой-нибудь точке кривой L> будет весь лежать внутри Е.
Разложим кривую L на дуги £2> •••> L* вставляя на
кривой, между точками ан 6, точки zu Пусть
эти дуги будут настолько малыми, чтобы расстояние между
какими-нибудь двумя точками одной и той же дуги было
меньше р и меньше т, Пусть zQ — a и za = b. Обозначим
121
определенный в § 3 интеграл, взятый по кривой L или
по Lk (£ —1, 2, 3, ...» п), т. е.
ь *к
f'f(z)dz или У*f(z)dz.
а «л-1
соответственно через (L) или (£л). Тогда будем иметь:
«1 «3 Ь
(£,)4-(4)-..Н (L ) = /+/+...4- f =
а «I гп — 1
Ь
~ ff(z)dz = (L).
а
Докажем, что значение этого интеграла, взятого по
кривой L, не зависит от выбора этм кривой, а зависит
только от крайни г точек au b, и что интеграл, рассма-
триваемый как функция своего верхнего предела Ь, будет
регулярной функцией внутри элементарной области Е.
Кривые Lk (k = l, 2, 3, ..., п) можно заменить прямо-
линейными отрезками Gh, соединяющими их концы, при-
zk
чем значение интеграла J f(2)dz от этого не изменится.
«Л-1
Это непосредственно видно из теоремы, изложенной
в конце § 3. Действительно, обе линии Lk и Gk, соеди-
няющие zk_! с zk, расположены внутри круга радиуса р
с центром в точке zk, а внутри такого круга функция f(z)
регулярна. Прямолинейнее отрезки Gk расположены при
этом внутри Е. Таким образом имеем, что
(b) = (G1)H-(G2)4-...4-(G«) = (G),
где G обозначает ломаную, образованную прямолинейными
отрезками Gu G2......Оя. Скобки здесь и в дальнейшем
опять означают соответствующие интегралы.
Для доказательства независимости значения интеграла
от -выбора кривой L достаточно доказать равенство двух
интегралов (G) и (Сг), где G и Gx два ломаных пути,
ведущих из точки а в точку Ь. Каждый из этих путей
образован конечным числом прямолинейных, расположен-
ных целиком внутри Е, отрезков.
Если ломаный путь Gx будем проходить в обратном
направлении, то этим изменим только знак у соответствую-
122
что интеграл //«А
щего интеграла (GJ. Доказательство равенства (G)~(GJ
приводится, следовательно, к доказательству такого пред-
ложения:
Если интеграл f f(z) dz взят по контуру многоуголь-
ника, все стороны которого расположены внутри Е, то
этот интеграл равен нулю.
Две стороны такого многоугольника, не сходящиеся
в одной вершине, могут пересекаться, так что контур этого
многоугольника может сам себя пересекать. В этом случае
разложим контур многоугольника на такие отдельные части,
каждая из которых образует простой замкнутый путь г).
Достаточно, очевидно, доказать, ’
равен нулю для каждой такой
части.
Пусть Р будет многоугольник,
контур которого не пересекает сам
себя и расположен внутри Е.
Контур многоугольника Р обозна
чим для краткости тоже через Р.
Тогда надо доказать, что (Р) = 0.
Если два многоугольника Рг и
Р2 имеют общую сторону (черт. 25)
и если Ру-\-Р% означает много*
угольник, образованный всеми сто-
ронами многоугольников Рг и Pi9
за исключением их общей стороны, то при условии брать
интегралы по контуру многоугольников всегда в положи-
тельном направлении будем иметь
(Р1)+(Р2) = (Л+/>2).
Действительно, части интегралов, взятые по общей сто-
роне многоугольников Рг и Р2, сократятся, так как эта
общая сторона в интеграле (PJ проходится в направлении,
противоположном тому, в каком она проходится в инте-
грале (/<)• Отсюда имеем: если многоугольник Р можно
разложить на такие многоугольники Рп .., Рг> что все
интегралы (PJ, (Р2), ..(PJ равны нулю, то и (Р) = 0.
г) Действительно, будем проходить многоугольник ив какой-нибудь
начальной точки; как только придем в такую точку Р19 которая уже
была пройдена, то путь от Рг до Pt, т. е. простой многоугольник, можно
отделить. Повторение этого приема приводит к цели.
123
Эго и в самом деле возможно .для всякого многоуголь-
ника Р, контур которого сам себя не пересекает и который
весь расположен внутри Е. Действительно, разобьем -пло-
скость равноотстоящими прямыми, параллельными осям веще-
ственных и мнимых чисел на такие квадраты, диагонали
которых меньше р (черт. 26). Эги прямые разобьют пло-
щадь многоугольника Р на части Р19 Ръ ...,
каждая из которых будет лежать внутри кру-
га радиуса р, с центром в некоторой точке
области Е. Каждый из интегралов (PJ,
(Р2)> • • •> в силу § 3, будет равен нулю,
а поэтому интеграл (Р) также будет равен
нулю. При этом предполагается, что площадь
многоугольника Р расположена вся внутри Е.
Но легко доказать, не обращаясь к нагляд-
ному представлению, что ни одна внутрен-
няя точка Р не может лежать на границе или
вне областиЕ. Действительно, если такая точ-
Черт. 126.
ка не расположена сама вне £, а находится на границе
этой области, то в смежности с ней будут существовать такие
внутренние точки многоугольника Р, которые расположены
вне Е. Пусть рг будет такая точка. Так как область Е
конечна, то существуют внешние для Р точки, расположен-
ные вне Е. Пусть р2 такая точка. Применяя теорему Жордана
к области Е, можем утверждать, что должна существовать
такая кривая, соединяющая точки рх ир2, которая вся будет
находиться вне £ и не будет поэтому пересекать контура
многоугольника Р. Это противоречит тому, что по теореме
Жордана всякая кривая, соединяющая внутреннюю точку рх
многоугольника Р с точкой p2f внешней для Р, должна
непременно пересекать контур многоугольника Р.
После того как доказано, что значение интеграла
ъ •
//(z) dz
не зависит от выбора кривой £, расположенной внутри Е
и соединяющей точки а и 6, покажем, что значение этою
интеграла будет рег]лярной функцией от b внутри Е.
Будем теперь верхний предел интеграла обозначать через
z вместо 6, нижний предел — через и положим
»0.
124
предполагая, что путь интегрирования расположен Весь
внутри Е.
Пусть а будет произвольная точка области Е. Если
точка z расположена в такой окрестности а, которая вся
находится внутри D, то
/(z^Co-f-Cj (z~a)4"C2(z — a)2-*-...
и в силу § 2 и § 3
J/(С)Л = Сь(г_а)+А(г_аН|(2_а)8 + ...
а
Кривую интегрирования, соединяющую точки z0 и z,
можно выбрать так, чтобы она проходила через точку а9
Тогда имеем
z а г
f(V<K = //(0<М-=
Jo zQ a
= c-j-Co(z — a)4-^(z — a)9 + - • •> C1)
£л
a
где c = J f(tycK не зависит от z.
«о
Равенство (1) и доказывает, что функция ft(z) регулярна
г» __ Z/ \
внутри Е и что
Всякая другая^ регулярная в Е функция f2(z\ тоже
df<> (z)______________________ у.
удовлетворяющая уравнению —f\zh отличается от
fi(z) только постоянным слагаемым. Действительно, если
в окрестности точки а области Е
/а(«) — /1(г) = ^ + ^1 (г — a)-\-k2(z~a)2 + . .
то в силу § 4 главы II должно быть кх — k2 = к$ — ... = О,
так как производная от /2(z)—/i(z) равна нулю. Таким
образом имеем, что в окрестности точки а
/2^)=/^)+^.
В силу § 9 главы III это равенство будет иметь место
везде внутри области Е.
125
6. Теорема Коши.
Пусть Е будет элементарная область, в которой функ-
ция /(z) регулярна. Пусть замкнутая спрямляемая кривая L
расположена вся внутри Е. Две произвольные точки а и b
этой кривой разбивают ее на две части и L2 (черт. 27).
По предыдущему параграфу при легко понятных обозначе-
ниях имеем, что
ъ ъ ь
j f(z)dz~^j* f (z) dz или У /(z)</z~r
Q Gf ь Cb
+ l’f(z)dz — Q.
ъ
интегралу J f(z) dz, взятому по замкнутой кривой L. Таким
образом имеем теорему
Если замкнутая, спрямляемая кривая L расположена
вся внутри элементарной области, в которой f(z) регу-
лярна, то
f f(z)dz = 0.
L
Эта теорема, открытая Коши, принадлежит благодаря
своим многочисленным приложениям к важнейшим предло-
жениям анализа.
Прежде чем перейти к таким приложениям, сделаем еще
несколько замечаний по поводу теоремы Коши.
Пусть £ будет элементарная область, все точки которой
принадлежат некоторой области D и которая ограничена
126
спрямляемой кривой L, Элементарную область Е Можно
поместить (ср. стр. 110) внутри некоторой замкнутой кри-
вой L'у которая ограничивает тоже элементарную область Е',
расположенную целиком в D (черт. 28). Если f(z) регулярна
в Z9, то, применяя теорему Коши к кривой ь, расположен-
ной в элементарной области Е', найдем, что
//(г)^ = 0.
1
Таким образом это равенство будет справедливо для
всякой простой замкнутой спрямляемой кривой, ограничи-
вающей такую элементарную область, внутри и на границе
которой f(z) регулярна.
Пусть часть G плоскости комплексных чисел ограничена
конечным числом простых, замкнутых, спрямляемых кри-
вых L, L%, ...» не пересекающихся £___
друг с другом, и пусть одна из этих кри- ~
вых, L, обнимает все остальные. Предпо- f А
ложим, что G вместе с ограничиваю* ( \l L
щами ее кривыми L, LX9 ... лежит / L? //
целиком в области D, в которой / (z) ре- I Г) >
гулярна (черт. 29). Для краткости будем V ц
тогда говорить, что f(z) регулярна в зам* х
кнутов области G. &
Для отдельных замкнутых кривых назо- ер1‘
вем положительным направлением обхода
то направление, которое противоположно направлению дви-
жения часовой стрелки, точнее, то направление обхода,
при котором область, внутренняя по отношению к кривой,
остается слева. Интеграл J*f(z)dz, взятый по замкнутой
кривой L в положительном или отрицательном направлении,
обозначим соответственно через
f f.(z)dz ИЛИ f
L~
Соответственно с этим |/(z)| |<Zz| обозначает интеграл
J l/(z)l \dz\ 9 взятый в положительном направлении по
кривой L, Будем говорить, что контур, ограничивающий
127
часть плоскости, проходится в положительном направлении,
если ограниченная им часть плоскости остается при этом
слева. Для нашей части G плоскости кривая L должна
поэтому обходиться в положительном направлении, а все
остальные кривые L19 L2, ... в отрицательном. Интеграл,
взятый в положительном направлении по всему контуру G,
т. е. У* f(z) dz, будет поэтому равен сумме *
J f(z) dz X f f(z) dz 4- ff(z) dz+...
ьГ ц"
Докажем теперь такую теорему:
Если интеграл J ' z взят в положительном напра-
влении по контур?, ограничивающему область G, и если
Черт. 30. . Черт. 31
/(z) регулярна в замкнутой области G, то этот инте-
грал будет равен нулю.
Для доказательства соединим кривую L с кривыми Lt
и L2, а также и L2 между собой (для простоты предпо-
ложим, что существуют три ограничивающие кривые L, Ь19
L,} спрямляемыми, расположенными внутри G кривыми, не
пересекающими друг друга. Замкнутая область G окажется
при этом разложенной на две элементарные области Ег и Е>
(черт. 30). Интегралы J* f(z) dz, взятые соответственно
по границам этих областей Ег и Е2, будут равны нулю,
а поэтому и их сумма будет равна нулю. При интегриро-
вании по контуру области вспомогательные линии будут
пройдены как раз в противоположном направлении, чем
при интегрировании вдоль контура области Е2. При сложе-
нии соответствующие части интегралов сократятся и сумма
таких двух интегралов будет поэтому тождественна
с интегралом / f(z)dz, взятым в положительном напра-
влении вдоль границы части G плоскости.
12»
Рассмотрим частный случай этой теоремы, когда G имеет
только две ограничивающие ее кривые L и Ьг (черт. 31).
Имеем:
f f(z)dz+ f f(z)dz~0,
V
откуда
Следовательно:
Если две кривые L и L{ ограничивают часть G плос*
кости и если f(z) регулярная функция в G и на ее границе,
то интеграл
f f(z) dz
не изменяется при замене кривой L другой кривой Lv
§ 7. Следствия из теоремы Коши. Теорема Лорана.
Пусть L будет простая, замкнутая, спрямляемая кривая,
ограничивающая элементарную область Е, в которой функ-
ция /(z) регулярна. Если z0 какая-нибудь внутренняя точка
области £*, то очевидно, что функция
Z Zq
заданная везде^ в области Е, за исключением точки z0,
будет в этой области регулярна. Если разложение /(z)
в некоторой окрестности точки Z& лежащей внутри £, имеет
вид
= (* —*о) + с2(г—г0)2 + ...,
то в этой окрестности везде, за исключением точки z^
будем иметь, *гго
Я (г) = (Z — ZQ) + с3 (z — z0)2 4-...
Если же определить g(zQ) так:
S (го) = ci = f (^o)>
то это равенство будет иметь место во всей окрестности
9 А. Гурвиц 129
ГОЧКН^о* Функция g(z) будет- поэтому регулярна во всей
элементарной области Е. Следовательно
,+ L+ - \+
dz
z— z0
Как мы видели в § 4, множитель при f(z^) равен 2ri.
Таким образом имеем, что . - -
.-'г /w-i
J Z — z0
Изменим несколько обозначения в этой формуле. Пере-
менную точку на кривой L обозначим через С вместо Z,
а произвольную точку, расположенную внутри . £, . обозна-
чим Через z вместо zQ, Тогда формула примет вид
(1)
Эта формула показывает, что можно вычислить зна-
чения функции f(z) внутри кривой L, если известны зна-
чения f (z) на этой кривой. Действительно, значение инте-
грала зависит только от значений /(£).
Формулу (1) легко обобщить. Пусть область G огра-
ничена . конечным числом кривых L, Lu ... Lr, из
которых первая L обнимает все остальные.
Пусть внутри и на границе области G
функция f(z) будет регулярна. Внутри обла-
сти G зададим какую-нибудь произвольную
точку Zq, окружим ее кривою К, которая
ограничит некоторую, целиком расположен-
ную в G, элементарную область, и удалим
эту элементарную область из G (черт. 32).
Таким путем получим область G', ограничен-
ную кривыми L, l>i, £2> • • Lr и кривой К.
V будет регулярна внутри и на контуре этой
Черт. 32.
Функция
130
области. Интеграл / jz взятый в положительном
J z — zQ
направлении по контуру области G', будет поэтому равен
нулю; отсюда выводим уравнение:
± Г /(*) = Л Г /(*)
2kzJ z— z0 2*zJ z— z,}
dz
По формуле (1) левая часть этого равенства будет
равна f{zQ). Заменяя опять Zq на z и написав в интегра-
лах \ вместо z, vmzwl следовательно
1 /7 (015 -
2k/J С —г*7'
(2)
Эта формула опять выражает значения f(z) внуГпри
области G через ее значения на контуре этой области.
Покажем интересное приложение
формулы (2). Пусть R будет круго- ..
вое кольцо, ограниченное двумя кру-
гами с центром в точке а. Точки
этого кольца, если к ним непричис-
лять точек ограничивающих его
окружностей, образуют область.
Пусть функция f(z) регулярна в этой
не замкнутой области. Зададим про-
извольную точку Z внутри кругового
кольца и построим такое другое
круговое кольцо с тем же центром а, •
которое все было бы расположено внутри первого кольца
и внутри которого находилась бы точка z. Пусть Lx и
будут круги* ограничивающие это второе кольцо (черт. 33).
Тогда по формуле (2) имеем:
/(0-А(*)-И(Д
где
1 /7(0^
2яг / С — г
- хЛ '
/,(*) =
^9
_1_
2л/J С — z
9*
131
Если точка С лежит на Lu то \z— а|< |С~а| и следо-
вательно
Число кг не зависит от положения точки С на L19 так
как |С — а | остается постоянным вдоль £х, а именно рав-
няется радиусу круга В интеграле, взятом по сде-
лаем подстановку
1 ___ 1 1 । z — а ।
г — z~ (С —а) —(z ——а ' G~а)2”*
। G —g)2 । [ G —а)П
^(г-а)з (;_a)nc_z)
и проинтегрируем почленно. Получим
/1(г) = с0 + с1(г — а) 4- c2(z — а)2 + ... +cn_/z — а)”'1 -f-. г„.
где положено
....-« <4>
Ь1+
r f / z-а V/(QrfC
п 2*1J \ С — а / С—z '
ь.+
При неограниченном возрастании п член гп стремится
к нулю.
Действительно, в силу § 3 имеем, что
и по формуле (3) lim кг п->оо А(*) = = co + ci(z —а)-г c2(z- w = 0. Следовательно = 1 f/(C)rfC 2itz‘J С — z -а)2+ ... + cB(z-a)”+... (5)
132
В интеграле, определяющем коэффициент сА, за путь
интегрирования вместо круга можно выбрать любой
круг с центром в точке а, расположенный целиком внутри
кольца /?. Действительно, подинтегральная функция
—------J44 регулярна в этом кольце.
(z —д) т
По предыдущему параграфу можно даже вместо L вы-
брать любой простой, замкнутый путь интегрирования,
окружающий точку а и расположенный целиком внутри
кольца R. Заметим мимоходом, что отсюда следует неза-
висимость ск от выбора точки z внутри этого кольца.
В силу формулы (5) /] (z) будет регулярной внутри
большего круга, ограничивающего кольцо R.
Рассмотрим теперь
Заметим сперва, что для всякой точки С, расположен-
ной на окружности имеет место неравенство
С — a f
-—Z =^2<
z — а
Подставим поэтому в интеграл
1 _ 1_____. С-а (С-а?
z — C z — a'(z — a)2 ' (z — a)8
Получим
G-а)"
(z — а)п (z-
1
z —g
1
где положено
-2 (z-a)*
'”(z-g)n ' ’
При бесконечном возрастании п остаток гл так же,?как
и гп, стремится к нулю. Таким образом имеем, что
2~i J z — 1', ~l z— a ' ~2(z— a)2
L3+
4- c ------------L ...
(z — a)
Здесь тоже можно в интеграле (6), определяющем с__к,
заменить окружность £2 любой другой окружностью с цент-
ром в точке а и лежащей целиком внутри кольца, а также
любой простой, замкнутой кривой, окружающей точку а и
расположенной целиком внутри кольца /?.
Формула (7) показывает, что функция f$(z) регулярна
в области, внешней по отношению к внутреннему кругу,
ограничивающему наше кольцо. Заметим еще, что подин-
тегральная функция в формуле (6) получается из подинте-
тральной функции в формуле (4) заменою к на — кл
Таким образом имеем следующее предложение:
Если функция f(z) регулярна внутри кругово е кольца
с центром в точке а, то эту функцию можно представить
.в виде ряда, расположенного по положительным и отри-
цательным степеням z— а:
4-СО
/(^) = 2 сп (z — а)п- (8)
—оо
Члены этого ряда с положительными показателями
образуют степенной ряд P(z — а), сходящийся внутри
большего круга, ограничивающего кольцо. Члены с отри-
цательными показателями образуют степенной ряд,
Рх I __— J , сходящийся в области, внешней по отношению
\ z — a J
к меньшему кругу, ограничивающему это кольцо. Далее,
если L будет окружность с центром в точке а, располо-
женная внутри кольца, то
с „_Lf ^>4, (9)
п 2r.i J (; —a)"+1
л+
134
В частности имеем, что
= (10)
L+
Это предложение известно под названием теоремы Лорана.
Основываясь на лемме, изложенной в § 9 гл. II. докажем,
что функция, регулярная внутри кругового кольца, с цент-
ром в точке а, может быть разложена в ряд по положи-
тельным и отрицательным степеням z — а только одним
способом. Действительно, пусть
4~оо 4"00
. /(*)=2 С„(2-аГ и/(г)= 2 dAz-af,
77 —СО • П ~ — СО
тогда
4~ ОО
0= 2 (сп — d„) (z — а)п.
, П -- —оо
Ряд в правой части этого равенства будет следовательно
функцией, регулярной внутри кругового кольца и имеющей
постоянное значение 0.
На любой окружности | z — а |’ == р, расположенной внутри
кольца, максимум модуля этой функции М будет следова-
тельно тоже равен нулю. Если в упомянутой выше лемме
положить М = 0, то получим, что \си— d„ | рп^ 0, а поэтому
| сп — d„ ] 0, и следовательно сп — dn. Таким образом, ряд
для функции f(z) будет непременно рядом Лорана, коэф-
фициенты которого определяются формулой (9).
Обратно, из формулы (9) легко получить ту лемму,
которой только что пользовались.
Действительно, из этой формулы имеем, что
Если вдоль окружности L постоянно имеем, что |/(г)
то - - -
135
п 9
Величина |С — а| равна радиусу р круга Поэтому
имеем (ср. § 3, стр. 116), что
Iе" !<2й pMi f^3 =
р ь+
где ds — элемент дуги окружности L.
Но в этом неравенстве и состоит содержание упомяну-
той леммы.
Пользуясь теоремой Лорана, докажем следующее важное
предложение:
Модуль функции однозначной и аналитической в окрест-
ности изолированной особенной точки* принимает там
сколь угодно большие значения. Иначе говоря: функция f(z),
однозначная и аналитическая в окрестности точки а и
ограниченная там по модулю, будет регулярной в точке а.
Для доказательства начертим круговое кольцо с центром
в точке а, расположенное внутри указанной окрестности,
и рассмотрим коэффициенты cn (п= — 1,—2,...) ряда
Лорана. Пусть М будет верхняя граница значений | f(z) I
в окрестности точки а. Так как внутренний круг, ограничи-
вающий круговое кольцо, может быть сделан сколь угодно
\ } . М *
малым, то в неравенстве | сп К — число р можно выбрать
Р
произвольно малым, откуда и видно, что с_1 = 0, с_2 =
= 0,4.., т. е. что функция f(z) регулярна в точке z = a.
Важным выводом из этого предложения будет теорема
Вейерштрассаг
Функция f(z\ однозначная в окрестности существенно
особенной точки, принимает в сколь угодно малой окрест-
ности этой точки значения, сколь угодно близкие к каж-
дому произвольно заданному числу.
Если бы для какого-нибудь числа а Это было не так,
то модуль функции ттлт— > однозначной и регулярной
J\z) а
в окрестности точки а, был бы там ограничен, т. е. эта функ-
ция, по предыдущей теореме, была бы регулярной в точке
z = a. Функция f(z) — а, а следовательно и функция f(z),
была бы в точке z = а или регулярной, или имела бы там
полюс, т. е. во всяком случае точка z = a не была бы
существенно особенной точкой.
136
§ 8. Вычеты аналитических функций.
Пусть функция /(z) регулярна в области D. Пусть,
далее, а будет изолированная пограничная точка области D,
так что в некотором достаточно малом круге, описанном
из точки а как центра, эта точка будет единственной точ-
кой, не принадлежащей к области D. Рассмотрим круговое
кольцо с центром в точке а, расположенное целиком в об-
ласти D. По теореме Лорана внутри этого кольца имеем:
4- ОО
/(*) = 2/» “)п = ^ (*-«) + л • (1)
п= — 00
Радиус круга, ограничивающего кольцо изнутри, можно
выбрать сколь-угодно малым. Ряд —— j будет по-
этому «ходиться везде, за исключением точки z = а.
Установим следующее определение:
Величина взятою в положительном направлении вокруг
изолированной пограничной точки а интеграла
называется „вычетом" функции f(z) относительно точки
z — a.
Для вычета Коши ввел такое обозначение:
г [/(«Я-
а
По формуле (10) предыдущего параграфа вычет равен
коэффициенту при------- в разложении (1) функции f(z)
z а
в окрестности точки а, в ряд по положительным и от-
рицательный степеням z — a.
До сих пор а предполагалось конечным. Распространим
понятие вычета на случай а=со. Пусть точка оо будет
изолированной пограничной точкой области £), в которой
f(z) регулярна. Опишем из точки О как центра два круга
достаточно большими радиусами. Внутри кольца, ограничен-
137
кого этими кругами, функция f(z) регулярна и следова-
тельно может быть представлена в виде
' . оо
f'z} = ^cnzn = P(z) + Plfy. <2)
П — — оо
Ряд P(z) будет здесь везде сходящимся рядом, так как
внешний круг, ограничивающий кольцо, может быть взят
сколь угодно большим.
Вычетом функции f (z) относительно точки оо назовем
величину интеграла
взятого в отрицательном направлении по такому кругу,
который расположен в области D, и внешняя область
которого, за исключением точки оо, тоже принадлежит D.
Для этого вычета введем обозначение
г [/(*)].
оо
По предыдущему параграфу такой вычет равен взятому
с обратным знаком коэффициенту при — в разложении (2)
функции f(z) в окрестности точки оо.
Докажем теперь формулу Коши о
X'Z \ вычетах.
/ * | Пусть функция У (г) регулярна везде
/' \^) I в области F, за исключением внутренних
/ * 2 I? / точек alt , аг. Пограничные кривые L,
I У L •• области F предположим спрям-
\*ляемыми (черт. 34). Из точек ар а2,...,аг,
•----- как центров, опишем маленькие круги К\,
Черт. 34. К2,»^ ,КТ, не пересекающие друг друга и
расположенные целиком внутри F. Уда-
лив внутренние части этих кругов из области F, получим
область Ft, ограниченную кривыми
Zq, L},.. *,К\, К %,• • • ,КГ.
В области Ft функция f(z) будет регулярна.
13&-
По теореме Коши интеграл ] f(z)dz, взятый по границе
области У, равен нулю. Отсюда имеем:
2^/+ * + . . +
К~
+ ^7р«*=°-
к-
т
Интегралы, взятые по кругам Ки К$, .. ,КГ, представ-
ляют собой взятые с обратными знаками вычеты функции/(z)
относительно точек an a2i-• 9аг. Следовательно
Jz-r[/(z)] + r[/(z)] + . ... + r[/(2)]. (3)
J ах at ar
p+
B качестве приложения этой „формулы вычетов" рас-
смотрим интеграл
4“ оо
I = $R(z)dz.
— СО
Здесь R(z) означает рациональную функцию, не обра-
щающуюся в бесконечность при вещественных значениях z
и при z=co имеющую нуль по крайней мере второй крат-
ности. Это значит, что 22 R (z) ____
при z — со имеет конечный пре- s""*
дел. /
Пусть р—* некоторая поло- / \
жительная величина, которую / I
потом будем неограниченно 7 и
увеличивать. На отрезке от — р Черт. 35.
до-j-p вещественной оси, как
на диаметре, построим полукруг К и предположим, что р
выбрано настолько большим, что все полюсы рациональной
функции /?(z), расположенные выше вещественной оси,
будут находиться внутри , этого полукруга (черт. 35). При-
менение равенства (3) к этому полукругу дает:
» 4-р •
f R(z)dz±fR(z)dz = 2ti V r[/?(2)], (4)
-р К ' ak-
139
где сумма распространена на все те полюсы ак функции R (z),
которые имеют положительную ординату.
Интеграл J* R (z) dz, взятый, по полукругу К, стремится
к нулю при беспредельном возрастании р.
Действительно, при достаточно больших значениях |z|,
т. е. в-окрестности точки оо,
+ ^>2,сф0), (5)
ZZ Z
где е стремится к нулю вместе с -. Таким образом, если z
z
расположено на полуокружности К, то
|/?(z)i=bL|i + s|<K(i4^i)<21£i,
р р р
при условии, что р выбрано настолько большим, что на
полуокружности К имеет место равенство (5) с |е]<1.
В силу § 3 из предыдущего неравенства следует, что
|/г (*)| f \dz\ =
Л х р к р
так как J" [ dz | равен длине полуокружности К. При не-
к 2|с|«
ограниченном возрастании р величина ——j-, а поэтому и
С р
J R (z)dz стремятся к нулю. Таким образом, равенство (4),
к
при р = оо, перейдет в такое:
4-00
f R (z) dz = 2 к i J] ra^ [/? (z)],
—OO
где сумма распространена на все полюсы ак функции R (z)t
имеющие положительную мнимую часть.
Например, имеем, что при целом положительном п
4-00
dz 2 . [ 1
(z2+l)n
140
Для вычисления вычета разложим функцию (z® 1)~”
по степеням z— i—h- При |А | < 2 имеем, что
1 = 1 = 1 ==
(в» + 1Г [0Ч-Л)2 + 1Г [А(2/ + А)Г
1 1 1|1 , hi , n(n + l)/W ,
~(2i)nhn\ 2| (2г)”А”1 Т 2Г 1-2 \2/
, п(п+1)(п + 2)/АгУ , V
1-2-3 \ 2J + ••
Коэффициент при -^-в этом разложении будет равен
1 n(n + l)...(2n-2) 1 (2n — 2)t
(2г)” > (п-1)! V/ . ' 2”-1(«-1)1(п-1)!'
Этот коэффициент и будет равен рассматриваемому
вычету. Таким образом находим
4-00
С dz__________« (2п —2)1___
J (z2 +1)” 22”-2 (п — 1)! (п — 1)! '
§ 9. Определение нулей и полюсов функции.
Пусть F будет замкнутая элементарная область или
область, ограниченная конечным числом простых замкнутых
кривых. Пограничные кривые предположим спрямляемыми.
Пусть f(z) будет функция, регулярная в замкнутой об-
ласти F везде, за исключением точек которые
пусть будут полюсами функции f(z)» Предположим еще, что
на границах области функция f (z) не обращается в нуль
и не имеет полюсов. Пусть bif b29...,b8 будут нули f(z),
расположенные внутри F, т. е. те точки, в которых функ-
ция обращается в нуль. Число этих точек конечно, так как
они не могут иметь точек сгущения. Действительно, в силу
§ 5 главы II, функция f(z) в такой точке сгущения не может
быть регулярной. Такая точка сгущения следовательно
должна быть полюсом ак. Но это противоречит определению
1
полюса, в силу которого функция удолжна быть регуляр-
ной в окрестности точки ак.
141
- f(?) - ___ w
Функция ц?) должна быть, очевидно, регулярной везде
в области F, за исключением точек ап а2,ar, bit b2,...
!>,
Если f(z) в окрестности точки а разлагается в ряд
вида
- /(z) = c.(z-a)’£-i-C1(z-a)fc+1-j . . . ’ (св#:0>, >)
где к — положительное или отрицательное целое число, то
f'(z) = kc0 (z — «)А1 + (k 4-1) Cj (z — a)* - j-...,
и следовательно
A1)__L_+P(2_a).
f(z) z — a 1
Точка а будет тогда полюсом и к — соответствующим
вычетом функции у^у. Если к — положительное число, то
точка а будет нулем функции f(z) и притом к-кратным,
или кратности к. Если же к — число отрицательное, то
точка а будет полюсом функции f(z) и h— — к будет по-
рядком этого полюса; иначе говоря, а будет . h-кратным
полюсом функции f(z) или полюсом кратности h. По
теореме о вычетах ........
... +^-(A1+A2-F--- +hr),
где ki9 k%, ..., k6 кратности нулей b.A, . . .,b8 и Alf h.2,
.. .,hr — кратности полюсов an a2, ..., ar. Если каждый нуль
и каждый полюс будем считать столько раз, какова его
кратность, то к{ к2 + ... ks будет числом нулей,
а -j- А2 + • • • числом полюсов функции /(z), рас-
положенных внутри F. Таким образом имеем теорему:
Если N—число нулей и Р число полюсов функции f(z)
внутри области F, то
-L-[f&dz = N-P. (1)
2*iJ f(z)
А) Очевидно, это означает, что f(z) гмеет в точке а или нуль или
полюс.
142
Отсюда,: между прочим,-получается новое доказательство
основной теоремы алгебры. Действительно, пусть
/(z) = ^4a1^"14-2^2+ ... +*„ ^>°)-
При достаточно больших значениях | z | имеем
f'(z)^ ... = п
f(z) zn^ г.. z 1 z2 z8 4
Пусть F— круг с центром в точке О, окружность которого
расположена внутри той области, где имеет место преды-
дущее равенство, и пусть эта окружность не проходит ни
через один корейь функции /(z) *)• По формуле (10) § 7
имеем, что
h
2Vf.
F
Так как f(z) не обращается в бесконечность, то Р = 0 и
следовательно
Л/=п,
т. е. f(z) обращается в нуль внутри F ровно п раз.
Интеграл
С (F
подстановкой У(г) = ч преобразуется в интеграл I От-
сюда получается новое значение формулы (1). Действи-
тельно, если точка z описывает одну из пограничных кри-
вых L области F, то точка £—/(z) будет описывать не-
которую замкнутую кривую L. Интеграл
2.J /Ы 2’<J С ’
Ь L
в силу § 4, представляет собой поэтому число кручения
кривой L. Равенство (1) можно поэтому сформулировать так:
В силу § 4 главы III функция f(z) имеет только конечное число
корней.
143
Пусть точка г описывает пограничные кривые L, Lx>
• • • области F и притом внешнюю пограничную кри-
вую L в положительном направлении, а внутренние по-
граничные кривые Lp £2. ., в отрицательном направлении.
Точка £=f(z) будет jipu этом описывать определенные
замкнутые кривые L, L19 Сумма чисел «кручения
последних кривых будет тогда равна разности между
числом нулей и числом полюсов функции f(z), расположен-
ных внутри F
Пусть две функции f(z) и c(z) будут регулярны в F
Пусть вдоль границы этой области везде имеет место не*
равенство ] ?(z) I < l/(-) I* Так как [ ?(z) | > 0, то функция
f(z) на границе области нигде не обращается в нуль. Также
/(z)-}“?(*) не обращается в нуль ни в какой точке границы,
так как |/(z) + ?(z) I > | f(z) | — | <?(z) | > 0.
Положим
^±^ = 1 + и=ф(2). (2)
По предположению, и = д™ вдоль границы области f бу*
дет по модулю меньше 1, а поэтому и максимальное значение р
величины | и | вдоль этой границы будет тоже меньше 1.
Таким образом точка ^(z) = 1 -f- и не выходит из круга
с центром в точке 1 и радиуса р. Нулевая точка плоскости
расположена вне этого круга.
Но из равенства (2) следует, что
£±£ „£+1 „ 1 ГШ* = ‘ ГLiz + >.
f Ф J f -j-? 2icij j 2m J ф
Последний интеграл равен нулю; в самом деле, когда
точка z описывает одну из пограничных кривых, точка <^(z)
описывает такую кривую, для которой число кручения равно
нулю, ибо нулевая точка плоскости лежит вне этой кривой.
Предыдущее равенство показывает, что функция f(z)-\-v(z)
имеет такое же число нулей в области F, сколько их имеет
функция /(z). Таким образом имеем теорему:
Если функции / и ? регулярны в замкнутой области
F и если вдоль границы этой области везде имеет место
144
неравенство 1 ? [ < | /1, то функция/4' ? имёет столько Жё
нулей внутри F, сколько их имеет функция /.
Эту теорему легко обобщить на тот случай, когда /и?
имеют в области F конечное число полюсов. В этом случае
надо в формулировке теоремы вместо числа нулей говорить
о разности между этим числом и числом полюсов.
В качестве приложения предыдущей теоремы докажем,
что функция /(z), регулярная в области F и нигде в этой
области не обращающаяся в нуль, обладает следующим
свойством.
Как максимум, так и минимум модуля f(z) находятся
на границе области F.
Предположим, что минимум |/(z)| не находится на гра-
нице области F. Вдоль границы тогда было бы
|/(z0)K|/(z)|,
где zQ обозначает одну из тех точек внутри F, для которых
|/(z)| имеет минимум. Функции f(z)nf(z) — f(zQ) имели бы
поэтому внутри F одинаковое число нулей. Это число равно
нулю для f(z) и не меньше 1 для f(z)—так как эта
разность обращается в нуль при z^z^ Таким образом
предположение, из которого мы исходили, приводит к про-
тиворечию. Если бы максимум |/(z) | не находился на
границе области F, то для некоторой подходящим образом
выбранной точки z0, расположенной внутри F, имело бы
место вдоль всего контура У7 неравенство \f(z) | < |/(z0) |.
Таким образом разность /(z0) —/(z) имела бы то же самое
число нулей внутри F, как и отличная от нуля постоянная
/(z0), что является противоречием.
Равенство (1) представляет собой частный случай сле-
дующего равенства
Гт
где X обозначает целое не отрицательное число и суммы
распространены на нули и соответственно полюсы функции
/(z), расположенные внутри F. При этом каждая точка счи-
тается столько раз, какова ее кратность.
Ю А. Гурвиц
145
Глава VI.
МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ.
§ 1. Понятие мероморфной функции.
Мероморфной функцией называется такая однозначная
функция, которая в конечной области не имеет суще-
ственно особенных точек. К этим функциям принадлежат
целые функции, не имеющие вообще особенных точек на
конечном расстоянии, и рациональные функции, имеющие
только полюсы и притом в конечном числе.
Определение мероморфной функции можно формулиро-
вать еще и так. Если а какая-нибудь конечная точка, то
в надлежащей ее окрестности или
/(z) = с0 -I- ct (z-a)-t- с2 (z — а)2 . (1)
если а — точка регулярная или же
/(*) = 7—(со + Ci (z — а) + с2 (z — а)2 4 • • •) - (2)
(z—а)
(с0 ф 0, г > 0)
если а—полюс порядка г. Если функция f(z) не равна
тождественно нулю, то в ряду коэффициентов с0, с2,...
равенства (1) существует первый, отличный от нуля. Оба
случая (1) и (2) можно поэтому соединить вместе.
Функция f(z), не равная тождественно нулю, тогда и
только тогда мероморфна, если в окрестности каждой ко-
нечной точки а имеет место разложение этой функции
в ряд вида
f(z) = (z — а)к ко 4- ci (г — а) 4* с>(г — а)2 4" • • •] (со4О),
где к — положительное, отрицательное или равное нулю
число. Число к можно назвать порядком точки а для
функции f(z).
Отсюда вытекают следующие предложения:
1) Каждая постоянная есть мероморфная функция.
2) Сумма й разность двух мероморфных функций —
функции мероморфные.
3) Произведение и частное двух мероморфных функ-
ций — функции мероморфные.
4) Рациональная функция от мероморфных функций
R (fbf2, ...А) с постоянными коэффициентами есть
опять функция мероморфная.
146
В частности, частное дйуХ целых функций будет сле-
довательно функцией мероморфной. Так как sinz, cosz суть
целые функции, то
, sinz . cosz
ttf Z =---, СОШ Z ;-----
cosz sinz
будут функциями мероморфными. Вообще большинство
встречающихся в анализе однозначных функций принадлежит
к числу мероморфных.
§ 2. Мероморфные функции с конечным числом полюсов.
Если мероморфная функция /(z) не имеет совсем полю-
сов на конечном расстоянии, то эта функция будет целой.
Пусть мероморфная функция /(z) имеет только конечцое
число полюсов на конечном расстоянии а2,. . .,аА ипусть
/ 1 \ ( 1. \ / 1 \
£1 I А л /’ S2 I “ ~ Ь • • •, т ~
\ z — / \ z — а2 / \ z — аь '
будут соответствующие мероморфные части (ср. гл. III, § 7).
Тогда
k
\z~aJ
n~l
где G(z)— целая функция.
§ 3. Мероморфные функции с бесконечным числом
полюсов. Теорема Миттаг-Леффлера.
Если мероморфная функция /(z) имеет бесконечно много
полюсов, то эти полюсы имеют только одну точку сгуще-
ния со. Действительно, в силу § 7 главы III, каждая
точка сгущения полюсов будет существенно особенной
точкой, а в определении мероморфной функции было указано,
что такая функция может иметь существенно особенную
точку только при z~ оо. Так как в каждом круге с центром
в нулевой точке плоскости может находиться поэтому
только конечное число полюсов, то все полюсы могут быть
расположены в ряд в порядке возрастания их модулей.
Таким образом полюсы образуют последовательность
ао> а2> аз • • • >
10*
147
обладающую тем свойством, Что
. . . и lim ал — оо.
Обозначим соответствующие мероморфные части /(з)
через
\Z--Clo / \Z--di J
Если точка z = 0 будет полюсом функции f(z), то а0 — 0.
Остальные точки а19 а29 а3,... будут, во всяком случае,
отличны от нуля. Пусть С\— круг с центром в нулевой
точке плоскости и радиусом меньшим, чем | аг |. Все точки
аь а2, а3,... будут тогда расположены вне этого круга.
Пусть С2— круг с тем же центром, но радиус которого
больше радиуса круга Сп но меньше чем | а21. Все точки
а2, а3, ... будут тогда расположены вне круга С2. Пусть
С3— опять круг с центром 0 и радиусом большим радиуса
круга С2, но меньшим, чем | а31. Поступая также далее, по-
лучим ряд кругов С\, С2, С3, ..., с общим центром 0, ра-
диусы которых постоянно возрастают. Эти круги обладают
тем свойством, что полюс ап функции
будет расположен вне круга Сп. Так как радиус круга Сн
можно выбрать сколь угодно близким к ]ап|, то’ можно
считать, что радиус этого круга Сп неограниченно растет
вместе с п.
Для того чтобы функцию f(z) представить в виде, ана-
логичном тому, в каком представлена в предыдущем пара-
графе мероморфная функция, имеющая конечное число по-
люсов, докажем следующее общее предложение.
Пусть дана бесконечная последовательность каких-нибудь
мероморфных функций
Пусть
^1, ^3» * ‘ • • •
будет бесконечной последовательностью концентрических
кругов, с центром 0, радиусы которых
. ., гя, ...
148
постоянно возрастают и притом до бесконечности. Предпо-
ложим еще, что при п = 1, 2, 3, ... особенные точки
функции Fn(z) расположены все вне круга С„.
Во внутренней области круга Сп и на его окружности
функция Fn(z) будет регулярной и следовательно при ‘ z |< гп
Fn(z) = с0 -j- cjz + с2 z2 4- • • •,
где ряд сходится равномерно для всех этих значений z.
Таким образом, если гп произвольно заданное положительное
число, то можно индекс N выбрать настолько большим,
чтобы целая рациональная функция
= со + cxz+ c2z2-|- . .. +слгг‘¥
удовлетворяла условию
|F„(z) — h„(z)\ <s„ (1)
при всех значениях z, для которых | z\ г„.
Пусть положительные числа ер е2, е3, .. . образуют бес-
конечный сходящийся ряд»
£1 + £з + • • •
Можно доказать, что бесконечный ряд
F(z) = F0(z) 4- { F,(z) - hx(z)} 4- { ВД - h2(z) 14-... 4-
+ |Fn(z)-A„(z)(2)
в каждой конечной области имеет равномерно сходящийся
остаток. .
Пусть G — какая-нибудь конечная область и СА.— первый
круг из последовательности С19 С2, С3, ... внутри которого
расположена вся область G. Рассмотрим ряд
ф(2) = { Ffi) - h,(z)) + (л + ,Ы - л, + | + .. .,
т. е. £-ый остаток ряда (2). Ряд ®(z) сходится в области G
равномерно, так как, в силу неравенства (1), ряд
-г- •' •
будет для него превосходящим (мажорантным) рядом. Та-
ким образом наше утверждение доказано.
Пусть К будет круг с центром в тбчке а, располо-
женный внутри области G (черт. 36). По теореме Вейер-
штрасса функция Ф(г) регулярна внутри К. Так как
149
Д2) = ВД4-{Л(^)-А1(г)]+. . • + {л;_1(2)-Ал_1(2))+Ф(2))
то очевидно, что функция F(z) будет тоже регулярной
в окрестности точки z — a, если эта-точка не будет полю-
сом ни одной из функций Л,(г), FJz), • • •> -i(2)- В про-
Черт. 36.
тивном случае, точка z — а может быть
только полюсом функции ^(г), и соответ-
ствующая мероморфная часть F(z) будет
тогда равна сумме мероморфных частей тех
функций /о(2), • • • (число кото-
рых конечное), для которых z = а будет
полюсом. Таким образом имеем, что:
Функция F(z), определяемая . рядом (2),
будет мероморфной функцией, и ее полю-
сами могут быть только полюсы функций
Отметим особо следующий частный слу-
чай доказанной теоремы. Пусть дана последовательность
различных чисел
а0> а\9 аи • • •>
расположенных в порядке возрастания модулей. Пусть эта
последовательность имеет одну только точку сгуще-
ния lim ап = со. Каждому из чисел ап (п — 0, 1, 2,...) сопо-
ставим целую рациональную, функцию от ——-
Z------------------------------------------
Тогда можно определить такие целые рациональные функ-
ции h^z), h2(z), . . ., чтобы бесконечный ряд
^(») = g»( _ 1 „ ) + 1 ) — Л1(г) |
\ z — aQ / | \ z — ах ] j
g п ) —л2(г)| +•. •+!.?Д- ) — л„(2)! 4- •• •
I \ 2 —- «2 ' ) I \ 2 — «п ' J
равномерно сходился в произвольно заданной конечной
области, после того как в нем отброшено некоторое
конечное число начальных членов. Функция F(z) будет
150
мероморфнои функцией с полюсами а0, ап . .. и соответ-
ствующими мероморфными частями
/ 1 \ / 1 \
\ z — а0 / ’ \ z — ах /’ ’ ''
Функция Л,(z) состоит при этом из выбранных подходя-
« ' I 1
щим образом первых членов разложения g„ I--------I по
\ z ап )
возрастающим степеням z. Это предложение называется
по имени открывшего его ученого теоремой Миттаг-Леффлера.
§ 4. Общий вид мероморфнои функции с бесконечным
числом полюсов.
Пусть f(z), как и в § 3, будет мероморфной функцией
с бесконечным числом полюсов а0, а2, .. ., ап, ..., ко-
торые предположим опять расположенными в порядке воз-
растания модулей. Соответствующие мероморфные части
функции f(z) пусть будут
По теореме Миттаг-Леффлера можем построить теперь
функцию “
/ 1 X <4 /. 1 V X
F(z) = а —— + И —2 — ,
' ' 6q\z-^ ай ) Z । I S|l\ z— a,J '
n~l
которая будет мероморфной и будет иметь те же меро-
морфные части, что и функция f(z). Разность f(z)— F(z) =
= G(z) будет следовательно функцией целой, и будет иметь
место равенство
/ W = ед+—1—) + 2 {г. (7) - A-(*>}
п = 1
Таким образом каждую мероморфную функцию f(z) можно
представить в виде суммы целой функции и ряда, соста-
вленного из таких рациональных функций, каждая из
которых имеет на конечном расстоянии полюсом только
один из полюсов функции f(z).
151
§ 5. Случай простых полюсов.
Рассмотрим здесь часто встречающийся случай, когда
мероморфные части, соответствующие точкам а0,
..., имеют вид
Ср ^2
z — aQ 1 z— ar9 z — а2’ z— ап* ’
т. е. когда полюсы будут простыми.
При ап ф 0 имеем:
-b_=_S_l-=_£1(l+i+4 +
Z~~an an±_.L °М
а»
Таким образом в рассматриваемом случае будет
и поэтому.
Г(г)=-^-
г—До
Равенство (1) можно написать еще так:
Л*)=
С-0
Z —а0
причем целые числа кп надо выбрать так, чтобы в каждой
конечной замкнутой области эта сумма сходилась равно-
мерно, после того как отброшено некоторое конечное число
(подходящим образом выбранное) ее первых членов.
Рассмотрим какую-нибудь заданную конечную область
плоскости z. При п достаточно большом, будет по мо-
дулю меньше произвольно малого положительного числа,
а поэтому 1----— будет сколь угодно близка к 1, где бы
я»
в этой области ни была расположена точка z. Поэтому,
если е обозначает произвольно малое положительное
152
число < 1, то можно выбрать такой индекс v, чтобы при
всяком имело место неравенство
1 —е
откуда следует тогда
Ряд F(z) будет поэтому абсолютно сходящимся во всякой
конечной области тогда и только тогда, если ряд
абсолютно сходится при всяком z. При выполнении этого
условия ряд F(z} будет в каждой конечной области схо-
диться даже равномерно после того, как отброшено конеч-
ное число его членов. Действительно, пусть дана какая-
нибудь конечная область и пусть р будет верхней границей
модуля z в этой области. Пусть далее при заданном положи*
тельном s<l определен, как и выше,индекс v. Тогда,
в рассматриваемой области, для ряда
(3)
ряд
будет превосходящим рядом.
Так как последний ряд сходится и состоит из постоянных
положительных членов, то ряд (3) будет равномерно схо-
диться в рассматриваемой области, а поэтому и ряд (2)
будет сходиться равномерно, после того как в нем отбро-
шено конечное число членов.
Существует поэтому теорема;
153
Если в равенстве (1) или (2) числа кп выбраны так,
что ряд
\^п/
я — I
абсолютно сходится при всяком z, т. е. будет везде
сходящимся рядом, то ряд в правой части равенства (1),
в каждой конечной области плоскости z будет равномерно
сходящимся, после того как в нем отброшено некоторое
конечное число (подходящим образом выбранное) ею первых
членов. Поставим теперь вопрос, когда можно все числа кп
считать равными одному и тому же числу т?
Это возможно, если ряд
VV Z \"сп __ ?н у Сп
. ZjUJ ав + 1
п — I п — 1
абсолютно сходится при всяком z. Qxcjow имеем, что:
В ра'венсгпве (1) или (2) все числа кп можно принять
равными одному и тому же числу tn, если ряд
<х>
,У |с»1 '
Х-l |ап|
п = 1
будет сходящимся.
Далее, когда можно принять ktl=n? Очевидно в том
случае, если ряд
будет везде сходящимся, т. е. если
В частности, это условие будет выполнено, если верхний
со
предел у I сп | будет конечным, т. е. если ряд £cnz
п — 1
имеет отличный от нуля радиус сходимости.
Таким образом, если модули числителей са мероморфных
154
частей не превосходят некоторою постоянною полоти;
тпелъною числа, то можно принять, что kn = п.
§ б. Примеры.
В качестве примеров рассмотрим функции
—----, -------, тс cotg ~z -
sin тс z
Равенства, непосредственно
ния (§ 2, глава IV)
7 г г — ir.z
е — в
sin r<z =----,
“COS ТС £ ТС Sin TCZ
—:-----, Тс tg TCZ =------.
SinTCZ COSTCZ
получающиеся из определе-
ir.z I —ir.z
е -f- е
COS ТСz = ---->
показывают,»что нулями sin ~z будут
О, 1, — 1, 2, —2, 3, —3, ...
И нулями COSTCZ будут
1 _ 1 3^ __ _3
2 ’ 2’2’ ' 2 ’ ’ ‘ ’
Рассмотрим сперва функцию
Ее полюсы будут z = n, где п — любое целое число. Для
определения мероморфйой части, соответствующей полюсу п,
положим
Z---n~ h ИЛИ 2- Z2 - /1.
Тогда имеем
sin тс (и 4“ A) sihtcA . .
— зГ+-” .
ИЛИ
/(«) = + Р (Л) = + Р (г - п),
П . £» II
где Р, как и всегда, означает обыкновенный степенной ряд;
155
Мероморфная часть будет поэтому равна Таким
образом полюсам
О, 1, —1, 2, — 2, 3, —3, ...
соответствуют по порядку мероморфные части
1 —1 1 1 —1 —1
z' z— 1’ zj-1’ z — 2’ z + 2’ х —3’ z-j-.З’
Ряд из § 5
ОО
у i с» I i , i , i , i ,
[ a i ' 2™+1 •
n — i n
будет сходящимся, если взять тп = 1. Повтор
оо
1 _|_ J— 1\_|_ * __ | =
v z /.| ' \z— n п / \^4-л n /]
п ~ 1
+ У (“1)Я(гЧ + 7г)
Z / . \z — п п /
П — — оо
будет такой мероморфной функцией, у которой меро?
морфные части совпадают с мероморфными частями
тс
функции sj^~ и следовательно
-j-oof
-L_ = G(z)4-l-b\(-1)"(-А_4-±У (1)
SinTCZ v u Z 1 ’ \z~n ' n/ 7
n~ — GO
Здесь штрих у показывает, что при суммировании надо
отбросить член, соответствующий п = 0. Функция G(z) будет
некоторой целой функцией, определением которой займемся
после (ср. стр. 163). Как легко видеть, для функции
156
2п —1
полюсу ±==-----
соответствует мербморфная часть
(-1)"
2n—1
z 2
и поэтому
тс
COSTCZ
1
2n —1
Z 2
1 \
2n —1L (2)
2 /
где Gl(z) обозначает опять некоторую целую
Полюсами функции /(z) = TCcotgTCz будут
Полюсу z = n соответствует разложение
// и тссозтс(п-4“А) тс cos тс А 1
/(п -р А) —---------— —
функцию,
нули sin тс z.
. , n г- - -г +
sinTC(n-j-A) sin тс Л h
и следовательно мероморфная часть . Таким образом
имеем, что
TC COtgttZ =
_1_+1
z — п п
?г —— оо
Полюсами функции /(z) = irtg*z будут нули cositz. По-
2п — 1
люсу z — —— соответствует разложение
n i \ тс sin I I n
JLr1''hVu-
cos I I n
tyr'+h
—£-+m
тс cos Атс_
sin Лтс
Поэтому имеем:
тг tg kz = G3(z) —
1 I 1
2n —1 ‘ 2n—1
2 2
157
Остается еще определить целые функции G(z), Gl(z)f
G%(z), G3(z), входящие в формулы (1) — (4). Их определение
представляет некоторые трудности, которые отпадают, если
итти путем, указанным Коши для разложения на простейшие
дроби. Этот способ Коши изложим в следующем параграфе.
§ 7. Способ Коши разложения на простейшие дроби.
Пусть f(z) будет мероморфной функцией с бесконечным
числом полюсов. Пусть отличные от нуля полюсы будут
др д2, • • • и пусть До = 0. Мероморфную часть функции /(z),
соответствующую полюсу дп, обозначим через gn I ——— I.
\ z ап /
Если а0 = 0 будет полюсом функции /(z), то соответствую-
щую мероморфную часть обозначим через gJ - ) =g I — ).
Если же до = 0 не будет полюсом, то будем считать
тождественно равной нулю.
Рассмотрим теперь такую простую замкнутую спрямляе-
мую кривую С, которая не проходит ни через один из по-
люсов функции /(z), и предположим, что конечное число
точек до = 0, дп д2, ..., аг лежит внутри области, ограничен-
ной этой кривой. При всяком целом положительном т, поль-
зуясь теоремой Коши о вычетах, легко вычислить интеграл
zw““4
-ym- Л
который можно написать также в виде
В этом интеграле z обозначает произвольно заданную
точку, расположенную внутри кривой С, но не совпадающую
ни с одной из точек д0, дп Д2, Точки z, до = О, дп
д2, .. аг будут теми точками, расположенными внутри
области, ограниченной кривой С, в которых подинтегральная
функция т™ обращается в бесконечность.
158
Точке = z соответствует вычет, равный /(z).
В окрестности точки Z = ак имеем следующее разложение:
• \ - ак /
1 = I | G-д*)2
Z ' : —а - (z— а,.) ' \z—a,,. "г (z—а7.)2 "Г (z— ал)з
1 1
Коэффициент при ?------в разложении /(С) „ поэтому
- бХд. - Z
будет равен
Обозначим через hk(z) коэффициент при — в разложении
по возрастающим степеням Z — ак. Этот коэффициент h^(z)
будет целой рациональной функцией от z степени не выше
т — 1. Вычет, соответствующий точке ак, подинтегральной
функции в интеграле / будет следовательно равен
\ \ Z И/. / /
По теореме о вычетах § 8, глава V, имеем тогда
Предположим, что при заданном z кривая С все более и
более расширяется, так что число охватываемых ею точек а0>
alt a2> • • • неограниченно растет. Если при атом интеърал
„ J_ Г f'W
2-i j —
с+
159
Имеет пределом нуль, то для этого значения Z будет
иметь место равенство
со
к —о Х ‘
(1)
Относительно целой рациональной функции hk(z) надо
заметить следующее. Имеем:
а I 1 \ АМ_ гт Г /(QJC
М 2^J Г(С —z)’
\л/.
где интеграл взят в положительном направлении вокруг
точки ак. Если k > 0, т. е. ак отлично от нуля, то в этом
равенстве точку z можно считать расположенной в произ-
вольно малой окрестности точки z = 0. Так как разложение
правой части по степеням z начинается с члена z*\ то в силу
§ 4 главы II ясно, что hk(z) будет равно сумме т первых
членов разложения
/ 1 \
aj
по степеням z.
Далее имеем, что
= - 4- /да (4-+^+ •+^4) л.
(О)
где интеграл 'взят в положительном направлении вокруг
нулевой точки плоскости. Так как в окрестности точки
то
Ло(г) = —- (с0 4~ ctz 4~ c2z2 -f- ... -j- с,й_1 г™ ’)•
Что касается значения интеграла 7?, то в силу § 3 главы V
160
Если кривая С расширяется, так что все её точки уда-
ляются
на бесконечность, то 1----все ближе прибли-
к 1. Таким образом будем иметь наконец, что ,
жается
+1 ’
где s — произвольное положительное число, меньшее 1.
Отсюда следует, что разложение (1) функции f(z) будет
справедливым и притом для всякого значения z, если
при неограниченном расширении кривой С интеграл
/GW)
^4-1
имеет пределом нуль.
§ 8. Примеры.
В качестве первого примера рассмотрим функцию
Sin KZ
Кривую С составим из^четырех
сторон квадрата
где К = г 4- у и г целое положи-
тельное число (черт. 37). Пусть С
будет какая-нибудь точка, распо-
ложенная на одной из вертикаль-
ных сторон этого квадрата. Имеем
С= ± /
и следовательно
/й=-^г=.
cos к iy е
।
2! 4!
?у
И А. Гурвиц
161
На этих вертикальных сторонах имеем поэтому везде
оценку
l/(QIO. О)
На горизонтальной стороне квадрата
и следовательно
/(0 =
е —е
__________________2 z к
i 7t X ГЛ
е е — е
е
е
— е
е е,
Модуль знаменателя не меньше ек —е
и следова-
тельно возрастает неограниченно при возрастании X. Нера-
венство (1) поэтому будет справедливо и на горизонталь-
ных сторонах квадрата, если только Х = — сделается
больше некоторого определенного числа. Таким образом
получаем, что
de.
1 ’
На сторонах квадрата | С [ r-j- ~. Поэтому имеем, что
£
так как равен периметру квадрата. Таким образом
интеграл
-J-1
162
8 те j
не превосходит числа ------—и при т=1 стремится
V 2/
поэтому к нулю, когда г неограниченно возрастает.
Йз равенства (1) предыдущего параграфа получаем те-
перь
к _ 1
sin nz z
1
z— п
(2)
Таким образом мы получили не только новое доказатель-
ство формулы (1), § 6, но и доказали, что входящая в эту
формулу целая функция G(z) равна тождественно нулю.
В качестве второго примера рассмотрим функцию
с/ ч _ те cos те z
Пусть, как и в предыдущем примере, кривая С образована
сторонами квадрата х — + X, у = ± 1, где л = г 4- -у. На
£
вертикальных сторонах квадрата имеем, что С = ± ( г У
-\-iy и следовательно
• . — тс у К у
___ _Ttsinnjy__ те е — е
J • • — к у 1 тс г/ *
cos п iy ' re • 4" е
Абсолютная величина этого выражения не меняется при
замене у на —-у. При положительном же у величина
Л'У \ У
будет положительной и меньше Г. Таким образом, на вер-
тикальных сторонах квадрата имеем:
I/O К’-
На горизонтальных сторонах квадрата Z = ± Д
а потому
f (Г\ === ъ iЛ_£_____L_£_____£.
J ir.x т гл —l~x
е е —е е
И*
163
следовательно, при достаточно больших значениях функ-
ция / (С) сколь угодно близка к ± те г.
Таким образом при достаточно больших значениях X на
всех сторонах квадрата
где а — произвольно малое положительное число. Отсюда
имеем далее, что интеграл
с
1 1
при т = 1 стремится к нулю, когда л = гф~- неограни-
ченно возрастает. Поэтому существует равенство
ncotgr.z— ~~
Аналогично получаем, что
оо
Эти равенства легко вывести, кроме того, из формул (2)
и (3), заменив там z на и выполнив некоторые про-
стые преобразования.
Соединяя вместе в равенствах (2) и (3) члены, отличаю-
щиеся знаком при л, перепишем эти формулы в виде
оо
77 ___ ___I ______1 )п ( 1 I
sin л z z ’ ' \ z — л ’ z л / ’
п = 1
1 -XV 1 I 1 \
г. COtg к Z ==-->-----------------:-- .
Z \ Z — П Z -|- П /
п — 1
(4)
164
По теореме Вейерштрасса формулу (4) можно продиф-
ференцировать почленно; в результате получим:
/_л_у= У' 1
\ sin я z I / । (z — п)2
П~ — оо
§ 9. Целые функции с заданными нулями.
Для многих исследований важно знать общее выражение
такой целой функции, которая обращается в нуль в задан-
ных точках и только в этих точках.
Найдем сперва общее выражение такой целой функции,
которая вообще' нигде не обращается в нуль.
Если G(z) такая функция, то
G'(z)_ I2I
* G(z) — C1Z ' c%z । •
тоже будет целой функцией, так как это отношение есть
однозначная функция, не имеющая особенных точек на ко-
нечном расстоянии. Отсюда следует, что
г
/ W =1г “,g G(o)=c°z+С1 +
о
или
lg G(z) = lgG(0) 4 coz + Ci ~ + • • • = H(z),
где H(z) опять функция целая. Из этого равенства полу-
чаем, что
ОД = еад- (1)
Так как, обратно, функция еН(г' будет функцией целой и
не имеющей нулей, если H(z) .обозначает произвольную
целую функцию, то равенство (1) дает общую форму це-
лых функций, нигде не обращающихся в нуль.
Рассмотрим теперь те целые функции, которые обраща-
ются в нуль только в конечном числе заданных точек, и
притом в каждой из этих точек в нуль произвольно задан-
ной кратности. Выпишем сперва все эти заданные точки,
165
причем каждую из них выпишем столько раз, какова ее
кратность. Таким образом получаем ряд
CZj, • • •, ar-
Пользуясь только что полученным результатом, видим,
что общее выражение искомой целой функции будет
G(z) = (z — aj (z — a2) . . . (z — ar) eH&>.
Рассмотрим наконец самый интересный случай целой
функции, имеющей бесконечно много нулей. Зададим про-
извольно последовательность комплексных чисел
«1, а2, а8... оо,
(2)
не имеющих точки сгущения на конечном расстоянии, и
построим такую целую функцию, для которой эти точки
будут нулями и притом каждая из них столько раз, сколько
она входит в последовательность (2). Предположим сперва,
что все числа ап отличны от нуля.
Если существует целая функция G/z), обладающая этим
свойством, то, как мы видели в § 9 главы V, ее логариф-
G 7
мическая производная будет мероморфной функцией,
имеющей полюсами эти точки ап и только эти точки. Бо-
лее того, эти полюсы будут простыми полюсами, вычетами
в которых будут целые числа, равные кратности соответ-
ствующего нуля функции Gj(z). По теореме Миттаг-Леф-
флера такую функцию можно представить в виде
/ j 1 2? Z&п 1 \
^-Х1/ 1 н* , * г ' ? \ (3)
XJ \ г — а„ а„ а
где, в силу § 5, целые числа кп нужно подобрать так, чтобы
ряд (3) равномерно сходился в любой конечной области, после
того как в нем отброшено некоторое число первых членов.
Интегрируя равенство (3) почленно (что возможно в силу
равномерной сходимости ряда (3)) от 0 до z вдоль такого
пути, который не проходит через точки получаем
166
где значения логарифмов определяются тем путем, по кото-
рому интегрировали ’)• Если выберем другой путь интегри-
рования, то логарифмы могут измениться на кратное 2 г/,
что, в силу сходимости ]ряда (4), может случиться только
у конечного числа членов. Функция
i) Возможность почленно интегрировать при равномерной сходимости
доказывается так же, как и в случае вещественной переменной. Ср. на-
пример Knopp, Unendliche Reihen, Кар. XI.
2) Бесконечное произведение с±* с2» С3.. .сп,.., все сомножители кото-
рого отличны от нуля, называется сходящимся, если предел
lim (cj. • с2 • С3 ... сп) == П (1)
п —>со
существует и отличен от нуля.
П называется величиной произведения
II = Cl-c2-c3...cra. П с„.
п
Из равенства (1) легко вывести, что
1g П = lim (lg Cl + 1g c2 + ... + 1g c„), (2)
n -> 00
где в правой части логарифмы определены подходящим образом. Из ра-
венства (2), обратно, вытекает равенство (1). Таким образом получаем
теорему. Необходимое и достаточное условие для сходимости произ-
ведения
оо
11=TU
п== 1
состоит в том, чтобы ряд
$ — lg Ct + 1g С2 4- ... 4- 1g сп + . • • (3)
был сходящимся, при подходящем выборе логарифмов. При этом усло-
вии имеем, что П == eS,
Если ряд (3) сходится, то входящие в него значения логарифмов, на-
чиная с некоторого места, будут главными значениями. Действительно,
в силу схо имости ряда, мнимая часть lg сп будет стремиться к нулю
при возрастании п и будет следовательно, в конце концов, находиться
между — к и + 7:-
Бесконечное произведение, в котором некоторые члены равны нулю,
называется сходящимся, если будет сходящимся произведение членов,
отличных от нуля. Величиной произведения считают тогда число 0, и ра-
венство (1) конечно сохраняется при Ц = 0. Таким образом имеем теорему:
Сходящееся бесконечное произведение тогда и только тогда равно
нулю, если один из его сомножителей равен нулю.
167
будет поэтому однозначной. В силу равномерной сходи-
мости ряда (4), по теореме Вейерштрасса, получаем, что
бесконечное произведение, в окрестности каждой произ-
вольной точки может быть представлено в виде обыкно-
венного степенного ряда, т. е. будет целой функцией от z;
далее, что произведение обращается в нуль как раз в тех
точках, где один из сомножителей равняется нулю. Следо-
вательно точки ап и только эти точки будут нулями про-
изведения (5).
Таким образом произведение
ОО Z
и
Лп
представляет собой целую функцию, имеющую заданные
нули а*... Если G(z) будет какая-нибудь целая функ-
G *
ция, с теми же нулями ап, то отношение -ц- будет це~
лой функцией, нигде не обращающейся в нуль. Общий вид
целой функции, имеющей те же нули, будет поэтому
следующий
где H(z)—произвольная целая функция.
Наконец, если точка z — 0 должна быть ^-кратным нулем
целой функции, то к произведению П надо очевидно при-
соединить множитель z\
В качестве примера рассмотрим такие целые функции,
которые имеют простые нули
О, +1, -1, +2, -2,...
Одна из этих функций будет представлена произведением
где п принимает
Общий вид этих
все целые значения, за исключением нуля,
функций поэтому будет
CO Z / \ Z |
ЛТ 1--.
\ п / I
м гл V \ ’*•/ j
168
В частности, при подходящем выборе целой функции H(z),
получаем
Для определения H(z) составим логарифмические произ-
водные от обеих частей этого равенства, т. е.
п = — оо
Сравнение с формулой (3) § 8 показывает, это H'(z)
должна равняться нулю, a H(z) и следовательно будут
постоянными» Постоянная должна равняться к, так как
sin ic z
—-—, при z, стремящемся к нулю, стремится к я. 1 аким
образом имеем, что
Соединяя в этом произведении вместе члены, соответ-
ствующие равным по абсолютной величине значениям п, но
имеющим противоположные знаки, получаем
sin к z — к z
(6)
п~\
Эта формула представляет разложение sinitz в беско-
нечное произведение.
§ 10. Представление мероморфных функций посредЬтвом
целых функций.
Пусть f(z) будет какая-нибудь мероморфная функция. Ее
нули не могут иметь точек сгущения на конечном расстоя-
нии и поэтому могут быть расположены в ряд в порядке
неубывания модулей. Пусть эти нули будут
а , а2>- •
(1)
169
причем каждый из них входит в ряд (1) столько раз, ка-
кова его кратность. Пусть аналогично
^1» * * • , (^)
будет ряд полюсов функции f(z).
Составим две целые функции Gx(z) и G(z), из которых
первая имеет нулями нули (1) функции /(z), а вторая имеет
нулями полюсы (2) функции f(z). Тогда функция
fc)G(z)
ад
не имеет совсем ни нулей, ни полюсов и по предыдущему
параграфу будет следовательно целой функцией вида
где g(z) обозначает тоже целую функцию. Из равенства
/(z) - G(z)
G&) ~e .
следует
/(z)s=
!(z) G(z)
Функция e^Gj(z) = H(z) будет такой целой функцией,
которая, как и G,(z), имеет нулями нули f(z).
Поэтому существует теорема:
Всякая мероморфная функция f(z) может быть пред-
ставлена как отношение двух целых функций
1{Z) G(z) ’
причем числитель H(z) имеет нулями только нули f(z),
а знаменатель G(z) имеет нулями только полюсы функ-
ции f(z).
§ 11. Представление функции Гамма в виде бесконечного
произведения.
Поставим такой вопрос: нельзя ли составить такую ана-
литическую функцию #(z), которая при значениях z = l, 2,
3, 4,... принимала бы значения 0! — 1, 1!™1, 2! = 2,
3! = 6,... ’). С помощью такой функции можно будет при-
i) За исходный пункт рассуждения беретсяg(n 1) = и!, а не g(n) ~
= п! просто в силу исторически сложившихся обозначений.
170
' J
дать смысл символу и! и для всякого комплексного зна-
чения.
Из условия = следует, что #(1) = 1 и что
g(n -р 1) == ng(n), при п = 1, 2, 3,. . . Предположим поэтому,
что во всей области регулярности искомая функция g(z)
удовлетворяет такому функциональному уравнению
Я(г-Ь1) = г^(г). (1)
Отсюда получаем:
(Plggtz-j-l) =_____1_ I <Pigg(z)
dz2 z2 ‘ dz2
и далее при и = 0, 1, 2,...
^lgg(z) V 1 , ^lg^ + n + 1)
rfz2 dz2 •
Zr —0
Из равенства (2) получим обратно равенство (1), если
определим подходящим образом постоянные интегрирования.
Пусть теперь
/с=0
По теореме Вейерштрасса функция f(z) будет регулярна
при всех конечных значениях z, за исключением точек
z = 0, —1, —2,..., где эта функция, очевидно, имеет по-
люсы второго порядка.
Далее эта функция f(z) удовлетворяет очевидно функцио-
нальному уравнению
п
"+1)-
/со
Определим теперь функцию Г(г) при помощи такого ра-
венства
<Z4gr(z) _ . __ ЧЬ 1
Легко видеть, что для такой функции ^(г) = Г(г) урав-
нение (2) будет удовлетворено. Выберем теперь постоянные
интегрирования так, чтобы функция g(z) — Г (z) удовлетво-
ряла уравнению (1) и чтобы Г(1) = 1. Интегрируя ра-
венство (3) вдоль некоторой кривой от 1 до z, получим
rflgr<?) P(z)
~r(z)
1
dz
= Г'(1)-
П=1
оо
С/1
___ п z-\-n]
п~1
и следовательно, пользуясь равенством (1), найдем
1 (z-|-' • z I \ П z-\-
Интегрируя второй раз от 0 до z, получим
(4)
П—\
Так как Г (2) = 1 • Г(1) = 1, то при z — 1 имеем
п /
п=1
= lim (1 + у+ 1g") =<?.
П—>со \ П /
Этот предел С называется постоянной Эйлера. Из
нений (4) и (5) имеем окончательно
Z
п
е
(5)
урав-
(6)
гм = 4-1
п
п
Функция Гамма Г (z), по определению, будет решением
функционального уравнения (1). Это легко проверить, исходя
172
из выражения (6). Так как Г (1) = 1, то вообще Г (п 4" 1) ~ п!
(и = 0, 1, 2,...). Таким образом функция Гамма удовле-
творяет требованиям, поставленным в начале этого пара-
графа.
. Из формулы (6) имеем далее, что функция Гамма Г(г)
будет мероморфной функцией. Ее особенными точками
на конечном расстоянии являются полюсы первою по-
рядка в точках z = 0, —1, —2,...Эта функция совсем
не имеет нулей. Обратная ей величина будет поэтому
целой функцией, имеющей такое разложение в бесконечное
произведение*.
Из равенства (6) следует, что
оо
г«г(^)=-4п
П==Л
и поэтому в силу формулы (6) § 9
Г(х)Г(-г)
z sinT: z
или
Г(г)Г(1 —z) = ———
(8)
В частности, отсюда имеем,
f / 1 \ I2
а так как в силу формулы (6) функция Г(г) положительна
при z > 0, то Г ( — ) == Из формулы (8) имеем
.я
(z +.п) Г (z) = / Г . -Т7Г^
Sin^(z~rn) IQ—z)
при п = 0, 1, 2,...
Так как правая часть этого равенства в точке z= — п
(-1Г ( — 1)” .
равна р । fj = "—п| > то для вычетов функции 1 (z),
173
относительно ее полюсов первого порядка z = 0, — 1,
— 2, ... получаем такое предложение:
Вычеты функции Гамма Г (z) относительно ее полюсов
(____________________________1)”
z =— п (п — 0, 1,2,...) равны ~-.
Если в равенстве (3) заменим z на z, z-j z-[ ...,
। k -1 b
Zi[ k.—> где *— целое положительное число, и сложим
полученные таким образом к равенств, то получим формулу
к~ Л1_
k /I
2
dz2
fc-i
Л—О п — О
-2
n — Q
<MgV(kz)
dz2
Обозначим для краткости
Г(Ь)
Из формулы (9) тогда имеем
с? (z) = ab\
(9)
(Ю)
(11)
где а и Ь — отличные от нуля постоянные, которые надо
еще определить. В силу формулы (1)
( . 1 \/ , 2 \ / , к —1\
z г+т z+t ••• г+ г
'• ~ (kz -\-к—l)(kz+Л^2)ТТ7(М ? =
= к~к ?(z),
а так как с другой стороны, в силу равенства (11), ? (z-p 1)=
== b ср (z), то
Ь = к~\ (12)
174
Умножим в правой части (10) числителя и знаменателя
на kz\ подставив затем значение z~0, в силу zF(z)==
= Г (z -1- 1), получим
?(0) = £Г 4 Г 2 >
\ к / \ к / \ к )
а на основании (11) ?(0) = а. Сравнивая эти выражения,
найдем, принимая во внимание (8):
Здесь мы воспользовались тождеством
fcj- 1 / 2hni\ л
П(*~е к ) = vEl=Fxfc_1 + x7£“2+-- +*+1.
Так как при z>0 будет F(z)>0, то из равенства (13)
имеем
к— 1 ъ*
а= -Ь(2к) 2 /I;
следовательно, пользуясь равенствами (10), (11) и (12), по-
лучаем
rwr(z+i)...r(z ; 'Цр) =
= р->‘(2г)~Г(Лг). (14)
Формулы (1), (8) и (14) выражают основные свойства
функции Гамма. В частности при к = % из формулы (14)
следует, что
Г (z) Г ( Z 4- = 2 Ут. 4-г Г (2 Д
175
Г (z1) Г ( z + у j = гГ(z) Г 4- у j =
= У* 4~г 2 z Г (2 z) = У* 4“ * Г (2 z +1).
Из последней формулы при z = 0 получаем опять, что
г(4)=^-
§ 12. Представление функции Г (г) в виде интеграла.
Функция Г(Д определенная в предыдущем параграфе
бесконечным произведением (6), как увидим далее, может
быть представлена в форме определенного интеграла.
Пусть вещественная часть х комплексной величины z~
= x-\-iy будет положительной.
Для несобственного интеграла
G(z) — J dt = J (у \g f)e f dt ]-
о 0
4- iJsin.f# lg/)e~f dt (1)
* 0
интеграл
1 oo
ff-'e'* dt
0 . 1
будет превосходящим. Оба последних интеграла будут схо-
дящимися, так как при t > 0 имеют место неравенства
О < Г*-"1 e~t<С а при /^1 будут справедливы нера-
0^- ±Х~1 — t 2 ‘
< t е < схе , где сх некоторое, надлежаще
выбранное постоянное число, и оба интеграла
У*tx~1dt = — и I*схе 2 dt~2cye 2
6 х i
имеют конечное определенное значение. Таким образом
интеграл G(z) будет тоже сходящимся.
176
Разложив интервал от 0 до оо 'на две части — от 0 до 1
и от 1 до оо —и введя во втором интервале новую перемен-
1
ную интегрирования — вместо получаем
1 _2-
G(z) = + f)dt. (2)
о - ’
Пусть теперь х будет > 1, т. е. z пусть будет заданная
точка в полуплоскости х> 1. Пусть далее a-b^ic будет
некоторая точка той же полуплоскости. Предположим, что
точка z находится внутри круга, с центром а и радиусом
b — 1. Тогда имеем, что х > 1, Ь > 1, \z — а| < Ь— 1. По-
кажем теперь, что бесконечный ряд
00 \ 1
1 / \w /1 п 1 I ( / ч \n ,а — 1 — t \ ,— а — 1 t
a) fig — I (— 1) t e -\-t e
n -Q
_ £
,3 — 1 — t I , — 3—1 t
— i e ' -H e (3)
равномерно сходится в промежутке При этом
общий член ряда при / = 0 будем считать равным его пре-
делу при /, стремящемся к нулю, т. е. равным нулю.
Имеем, что t 2be # j когда 0, следо-
вательно эта величина ограничена в промежутке
а поэтому
1 \ / i 4^ —’ 1 I 4— ® _ ( 1 11 lj.fr —‘1
Jg у |( — 1) t е -Н е j ^C2\lg Y )t
при где ,c2 — некоторая постоянная. Таким об-
разом достаточно доказать равномерную сходимость ряда
оо
п= 1
в промежутке 0
12 А. Гурвиц 177
При £ > 1 имеем:
, , / < , 1 \ , [ 1 1,1 1
2k*1 3k3 4k' ' •
(fe + D^e-1
1,
е,
х 1 k ] \к
(*+4
Написав такие неравенства для к=~ 1, 2, 3,... (п — 1) и
перемножая их, получаем
п —п
Л е
~пГ < 1
(n = l, 2,...). (4)
Далее имеем, что при 0 < t < 1 функция
t
будетО, смотря по тому, будет ли 1g-у и по-
этому
-n,
n V -«
6-1/ e
В силу неравенства (4), при получаем следо-
вательно
н » — П
п е
z — а
(и - 1, 2, 3,. . . ).
Геометрический ряд
не
зависящий от /, схо-
дится, так как \z — а\<С.Ь — 1 по предположению. Таким
образом равномерная сходимость ряда (3) доказана.
178
Подставив ряд (3) в равенство (2), проинтегрируем его
почленно, что возможно в силу равномерной сходимости
этого ряда. Тогда получим разложение G(z)b ряд по сте-
пеням z — а. наверное сходящийся внутри круга, с центром а
и радиусом b — 1. Следовательно, в окрестности точки z
функция G(z) будет регулярной. Так как z = xriy может
быть произвольной точкой полуплоскости ДГ>1, то G(z)
регулярна везде в этой полуплоскости.
Из равенства (1) при х > 0 получим
G(*+ D= /
6
tze — tze 4~ * / *dt = zG (z).
° о7
Из этого равенства видно, что функция G (z) может
быть продолжена на всю плЪскость и будет регулярна
везде, за исключением, может быть, точек z = 0, — 1, — 2,. ..,
где эта функция имеет полюсы первого порядка. Пусть
По предыдущему параграфу
/(z + l) = /(z), (5)
а так как при х > 1 /(z) регулярна, то это будет функция
целая. Докажем, что эта целая функция тождественно
равна 1. Положим z = ^W. 9 х. е. w = e2*IZ, тогда по тео-
реме Вейерштрасса /(z) будет регулярной функцией от w
для всех конечных, отличных от нуля значений w и при-
том будет однозначной функцией от w, так как много-
значность lg w как раз компенсируется свойством (5) пе-
риодичности этой функции. По теореме Лорана функцию /(z)
можно разложить в ряд по положительным и отрицательным
степеням wt
00
/(г) = ^ cnwn,
п —— ОО
сходящийся при всяком конечном ыфО,
Пусть М (х) обозначает при всяком вещественном v)
максимум модуля /(z) — f(x iy) на отрезке 1 < х < 2,
12*
179
у~ — ть Т. е. на Круге |w| = e2n''. По лемме § 9 главы 11
имеем тогда, что
(6)
при п = 0, ± 1, ± 2, ...
Дадим оценку правой части этого неравенства другим
способом. Задав в формуле (7), § 11, z — x и z = x^-iy,
разделив друг на друга получившиеся равенства и взяв
модули, получим
Г(х)
г(* + *у)
Если X 1, у Ф 0, то из формулы (6) § 9 (представле-
пие синуса бесконечным произведением) найдем
г(*) 2 < тт/ । । У* \ _ sin к/у _ е"7^
Г(л -р iy) \ / к iy 2~ у
И 2/1
а2е ,
Если 1<;х<;2, |^|>ai >0, где — некоторая по-
стоянная, т. е. не зависящая от х и от у величина, то
1
Г(х+^)
где а2 — некоторая постоянная.
Далее из формулы (1) при 1<^х<;2 и произвольном
7 получаем
| G (х + iy) | iX ~ < а3,
о
т. е. при1<;хС2, имеем
!/(*+ iy)\< а2аз^12/| = а4е’'12'1
и в частности (при | у | > ах)
Л1(у)<М1г/|, (7)
где а3 и не зависят от х и у.
Из неравенств (6) и (7) теперь следует
1 1 (п — 2nln|)l?/l
при \У I > ai> т. е. сп = 0 при п = rt 1, ± 2, ... и f(z) = с0.
180
Так как
G(l) = r(l)==l, то со==1 и G(z) = T(z).
Таким образом функцию Tfz) можно представить
в виде интеграла
1’(*) = / (8)
о
Это равенство будет справедливым для всех тех зна-
чений z~ x-f- iy, для которых интеграл (8) сходится,
т, е. по всей полуплоскости х > О.
Глава VII.
ОБРАЩЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИИ
§ 1. Обращение рядов.
Пусть
w == CjZ 4-с2?2 + • • . =P(z). (1)
Каждому значению z, расположенному внутри круга схо-
димости степенного ряда P(z), соответствует определенное
конечное значение w, Значения z будем представлять
точками в одной плоскости, а значения w точками в другой
.плоскости. В силу равенства (1) каждой точке z плос-
кости z, расположенной внутри круга сходимости рядаР(г),
будет соответствовать определенная точка w плоскости ш.
В частности, точке z = 0 будет соответствовать точка w = 0.
Предположим сперва, что коэффициент. не равен нулю.
Тогда можно доказать такое предложение:
Пусть С будет такой круг, с центром в нулевой точке
плоскости Z, что во всех его внутренних точках и в
точках его окружности ряд P{z) сходится и, кроме того,
во всех этих точках, за исключением точки z = 0, Р (z)
имеет значения, отличные от нуля. Тогда из нулевой
точки плоскости w как центра можно описать круг К
так, чтобы каждой его внутренней точке w соот-
ветствовала внутри С одна и только одна точка z,
для которой P(z) = w, Такие значения z образуют
внутри круга К однозначную функцию от ’ W. Эта
функция будет, аналитической функцией от w, т. е. ее
181
значения z можно представить внутри круга К в виде
обыкновенною ряда, расположенною по степеням w.
Когда точка z описывает окружность С, то |P(z)l до-
стигает некоторого минимума М, который по предположе-
нию отличен от нуля. Пусть К будет круг, с центром
в нулевой точке плоскости w и радиусом М.
Пусть w будет какая-нибудь точка, расположенная внутри
круга К. Тогда для всякой точки С на окружности круга С
будет иметь место неравенство
I «>|<|Р(С)|.
По теореме, изложенной в § 9 главы V (стр. 144), функ-
ция P(z) —• w будет следовательно иметь внутри С
столько же нулей, как и функция P(z), т. е. ровно один нуль.
Таким образом первая часть нашей теоремы доказана.
Для доказательства второй части рассмотрим интеграл
/= Г/(-) гма
с+
где/(г) — функции, регулярная *в замкнутом круге С, и w—
точка, расположенная внутри К. По теореме о вычетах
§ 8 главы V имеем:
/=/(4
где z — единственное решение уравнения P(z) = w, нахо-
дящееся внутри С.
Так как вдоль окружности круга С
РЮ
то
P'G) I ^^G)^ , w \
р (Q ~~ W Р£)\1 т PG) PG)2• J •
PG) J
Бесконечный ряд в правой части этого равенства, в силу 1
его равномерной сходимости, можно интегрировать по- <,
членно вдоль круга С. Таким образом для каждой точки w,
расположенной внутри К,
1= £0 4“ ^iw ~г
182
где
k -- -i- Гf(tA ? dr
n 2viJ 'pfr)^1
c+
(2)
Так как P(z) внутри С обращается в нуль только при
z = 0, то по теореме о вычетах получаем, что
*.='/(*)
р'(*) 1
p(2)n + l
или
. P(z)n+l .
p
z
где символ в правой части обозначает коэффициент при —
в разложении функции, стоящей в скобках, по возрастающим
степеням z. Коэффициент кп можно написать еще иначе.
Так как функция P(z) при z = 0 имеет нуль первого
порядка, то функцию
f(z)zn+lP’(z)
P(z)n + l
можно разложить в обыкновенный степенной ряд по воз-
растающим степеням z. В этом ряду коэффициент при zn,
очевидно, равен кп, Таким образом имеем, что
If / z \П+Ч
}„» . <з>
(1п
где Dnz обозначает Если п > 0, то кп можно пред-
ставить еще в более простом виде. Из равенства (2),
интегрируя по частям, получаем 1)
к —______1__ ( f(r\d —- = —- I -- dr (4)
п 2KinJ/(4 Р£)п 2* in J Р(?)” а " w
с+ с+
г) Формальные правила интегрального исчисления в комплексной
области имеют место очевидно так же, как и в вещественной.
183
Следовательно
k __ЦШ]
' п LwJ±
Z
=~xa-'\f^U
2=0
(*- 1, 2,3,..)
Из равенства (3) видно, что коэффициент kQ равен /(0).
Таким образом получаем такое предложение.
Пусть функция f(z) регулярна внутри и на окруж-
ности круга С и пусть М будет минимум |P(z) | на
окружности этого круга- Если w обозначает какую-
нибудь точку, расположенную внутри круга К, радиуса М
с центром в нулевой точке плоскости w, a z обозначает
соответствующую, в силу равенства w — P(z), точку
внутри круга С, то имеет место разложение
= /(0) + k.w + + ... + knwn 4- • • •, (5)
где
Равенство (5) дает разложение функции f(z) в ряд по
степеням P(z). Этот ряд наверное сходится во всех точках ш,
расположенных внутри круга К, т. е. при | w [ < М. Ряд (5),
коэффициенты которого определены формулами (6), назы-
вается рядом Бурмана —Лагранжа. В частности, если f(z)=%,
то из равенства (5) видно, что z можно представить в виде
ряда/ расположенного по степеням w, т. е- что z будет
аналитической функцией от w внутри круга К. Этим до*
казана вторая часть высказанной выше теоремы- Таким
образом получаем, что
Z = krw -|- k2wq >
где
(n = li 2(7)
Эту формулу можно написать еще иначе. Предположим,
что w регулярна внутри круга | z — а | < г и имеет там только
184
один нуль первого порядка при z - а- Тогда при ] z — а I < t
можно написать, что
w = cx(z — a)4-c2(z — а)2+ • • • ==
- (z - а) {q Н- с, (z - а) 4- .. .) = ,
где
/ \ z~ а
'? (z) =-------------------------
W
регулярна в том же круге.
Если /(z) тоже регулярна при z = а, то, заменив в ра-
венствах (5) и (6) z на z — а и z = 0 на z = a, получаем
/(^)=/(a) + ^iw4-
где
& -1 [/' (z) ? (z)"]3 (( (п = 1, 2,...). (8)
Предположим теперь, что в ряде (1) коэффициент равен
нулю, и обобщим наши результаты на этот случай.
Пусть ск будет первым отличным от нуля; коэффи-
циентом степенного ряда P(z)» Равенство (1) принимает
тогда вид
w = P(z) = c/[14P1(z)], (9)
где Рх (z) обозначает степенной ряд, обращающийся в нуль
npnz — O. Если z будет точкой, расположенной внутри
такого круга, в котором |Pi(z)| <1, то из равенства (9)
получаем, что
w* =]/cA.z(l-]-P1(z))* =l/c*z (1 + -£- Л(г)+ • • • )
или по теореме Вейерштрасса
1
= wk— z (с/ C2ZZ 4~ . ..), (10)
где с± = у ск отлично от нуля. Обратно, если одно из
к значений wx = wk удовлетворяет уравнению (10), то имеет
место и уравнение (9). Для рассматриваемых значений z
уравнение (9) можно следовательно заменить уравне-
нием (10).
185
Прилагая доказанную выше теорему к равенству (10),
получаем такое предложение^
Около нулевых точек плоскости z и плоскости можно
описать соответственно круги С и Кх так, чтобы каждой
точке w19 расположенной внутри круга соответствовала
одна и только одна точка z внутри круга С, удовлетво-
ряющая уравнению (10). Если точка w1 занимает все по-
ложения внутри круга АГр то точка
к
w=
занимает все положения внутри круга К, описанного в пло-
скости w около нулевой точки этой плоскости как центра,
и притом каждому положению точки w внутри круга К со-
ответствуют к положений точки внутри круга Кг
2- _£
w1 = wk, e k wk,
2— J.
wt—e k wk9,^.iwi = e k wk.
Таким образом имеем теорему:
Из нулевых точек плоскости z и плоскости w как из
центров можно описать соответственно круги С и К
так, чтобы точке w = 0 соответствовала точка z = 0
и всякой точке wx 0, расположенной внутри круга К,
соответствовало бы ровно к различных точек z внутри
круга С, удовлетворяющих уравнению (9).
Из наших рассуждений видно, что радиус круга С можно
выбрать меньше произвольно заданного числа. Очевидно,
что радиус круга К, зависящего от С, можно тоже выбрать
сколь угодно малым.
Значения z (число которых к), соответствующие, по
предыдущей теореме, одному значению w, могут быть
аналитически представлены в виде ряда, расположенного
по возрастающим степеням wk, т. е.
1 2
z — bxwk 4~ b2wk -)-•••, (И)
где по формуле (7)
186
1
Если здесь зададим величине wk последовательно ее
к значений, отличающихся друг от друга множителями,
равными корням степени к из единицы, то получим, по
формуле (11) к значений z, соответствующих заданному
значению w.
Доказанные теоремы легко обобщаются дальше следу-
ющим образом. Пусть функция ? (z) регулярна в точке z — а
и пусть © (а) = Ь, так что разложение (z) в окрестности
точки z = a имеет вид
(z) = b -|- Ci (z — а) 4“ с2 (z — а)2 4“ • • •
В силу равенства
w— b= cY(z—а)4~ c2(z — а)24~ ••• =
= /(a)(z-a)-4-2^ (г_ар4- ...» (12)
каждому значению z, расположенному в некоторой доста-
точно малой окрестности точки а, будет тогда соответ-
ствовать определенное значение ш. Если напишем для
краткости W вместо w—b и Z вместо z — а, то это ра-
венство (12) примет вид
r=C1Z4-c2Z2+
и к нему можно будет приложить доказанные выше тео-
ремы. Таким путем получим следующую теорему:
Если функция у (z) регулярна в точке а и <?(a) = b, то
в силу уравнения
w = v(z), (13)
каждой точке z, расположенной в некоторой окрестности
точки а плоскости z, будет соответствовать опреде-
ленная точка w плоскости ы. Из точки а плоскости z
как из центра можно описать круг С (расположенный
весь внутри этой окрестности), а из точки b плоскости w
можно описать круг К так, чтобы каждой точке
находящейся внутри К, соответствовало, в силу урав-
нения (13), ровно к точек внутри круга С. Число к = 1,
если (а) не равно нулю. Вообще же к будет индексом
первой из не обращающихся в нуль производных ср' (а),
<?" (а), ... Значения z (число которых k), соответствую-
щие некоторой точке w, расположенной внутри К, могут
187
быть аналитически представлены в виде равенства
формы
z — a — P^(w— b) к\
где правая часть представляет собой обыкновенный ряд,
расположенный по степеням (w—b)k с начальным членом
c(w — b)k, причем с — некоторая постоянная, отличная
от нуля.
Круги С и К, в частности, могут быть выбраны так,
чтобы их радиусы были меньше произвольно заданного
положительного числа.
§ 2. Примеры.
В качестве первого примера рассмотрим функцию
W~~2e
п—О
zn+l = P(z),
где афО— произвольная постоянная. Эта функция будет,
очевидно, целой трансцендентной функцией, отличной от
нуля для всех значений z Пусть при произвольном 6^0
Л^) = еЬг.
Тогда при п = 1, 2, ... будем иметь, что
/' (z) = be*
\ п
-fa) =ьгп+ъ*
D” (г) = Ь(ап + Ь)п~ 1е<ап+ь*
и следовательно из формул (5) и (6) предыдущего пара-
графа получаем
е
bz
(ап + Ь)п-1
п!
(1)
188
Из равенства
|imp/|an+^r.21 =
П->оо г
[а|е,
которое легко доказать, видно, что ряд (1) сходится
при IwI < ।т* е* ПРИ Тоже самое полу-
чается следующим путем: если С круг радиуса г, с центром
в нулевой точке плоскости z, то —минимум |P(z)|
на окружности круга С. По изложенному в предыдущем
параграфе, ряд (1) сходится при | w| < re~,a^r. При г = ~
\а I
1
правая часть этого неравенства будет равна :—г-иследо-
I а I е
вательно ряд (1) сходится при | w| <—г-.
|а| е
При а — b — 1 равенство (1) принимает вид
Этот ряд сходится при | w | < -у- и представляет собой
решение уравнения
—Z
w = ze .
В частности, при z -> 1 получаем формулу
п -1
189
В качестве второго примера рассмотрим функцию
w = (е — 1) е~ az = z -|- c2z2 4" • • • (2)
Эта функция w будет целой трансцендентной функцией
и отлична от нуля при 0 < | z | < 2?:. Пусть f(z) — z. По
формулам (4) и (5) предыдущего параграфа по учаем
со
z=2
п~\
где
и С^может обозначать хотя бы круг | Z | = к. Интегрируя
по частям, имеем
Ъ — -ЯП____ I g ________ —
" n(n-l)2^J (e’-lf-1 '
__(an — 1) (an — 2) 1 Г e^n~2^ _
~ n(n — l)(n —2) 2r.i J — iyl~2
c+
__(an—l)...(an — nj-l) 1 Г ^(an-n-yi)^.
~ n! 2KzJ“C~r
c+
причем (при n = 1 пустое произведение (an— 1)...
(an — n 1) обозначает 1 и следовательно при а 4 О
1 /ап \
ап\ п /
п~1
190
При а = 1, очевидно, имеем
11Z-1 п — I
что получается также непосредственно из равенства (2).
it--------------------------------------
Исследуя последовательность чисел у | k„видим, что ра-
диус сходимости ряда (3), при а /=0 и а ^1, имеет зна-
------------<г— > где степени (а— 1) па имеют
а
чение
главное значение.
Третьим примером пусть будет
w — 2
z — а ____z — a
z~ — 1 о (z)
(4)
Тогда по формуле (8) предыдущего параграфа получаем
Из равенства (4), рассматривая z как функцию от w и а,
имеем *)
dz__Л dz_____ 1
da )9 da 1 — wz 9
2z ~ w — 2 (
da \
а с другой стороны
(wz)*— w2 = 2wz— 2aw, (1—Wz)2 = l — 2aw
и следовательно
dz —~
^=(l-2aw4-w2) 2.
Но из равенства (5) имеем
oo
11—0
J) Само собой понятно, что употребляемы! в дальнейшем знак д
имеет обычное в вещественном анализе значение „частного диффе-
ренцирования*.
191
и поэтому
<а
-гт- '.... (Z>’\ G2 —1)"},=а (7)
' У 1 — Haw -f- 1
71=0
Таким образом коэффициент при wn в разложении
_ 1
(1 — 2aw -j- w2) 2
по степеням w равен
Этот коэффициент, очевидно, будет целой рациональной
функцией от а степени п с рациональными численными ко-
эффициентами. Эти функции называются шаровыми функ-
циями Лежандра степени п. Как легко видеть, хотя бы
на основании теоремы Вейерштрасса, левая часть равен-
ства (7) будет функцией, регулярной в каждом круге, в ко-
тором нет корней квадратного уравнения 1 — 2aw-(-w2 = 0.
Ряд (7) будет поэтому сходящимся внутри такого круга,
с центром в нулевой точке плоскости w, на окружности
которого расположен наименьший по модулю корень этого
уравнения. Возможность перехода от равенства (5) к ра-
венству (6), т. е, возможность почленного дифференциро-
вания равенства (5) по а, вытекает без труда из теоремы
Вейерштрасса.
В’ качестве последнего примера рассмотрим уравнение
Кеплера, встречающееся в теоретической астрономии.
Это уравнение имеет вид
z— а
w = ,
sinz
(8)
где а и w обозначают заданные числа, причем а^О,
±тг,±2^,..., a z— неизвестное число. По формуле (8) § 1
имеем
со
п~ 1
192
Для астрономических приложений важны только веще-
ственные значения а. Пусть, например, а = ~- и пусть С
£
будет кругом с центром в точке а радиуса /•<—-. Функ-
ция w будет тогда регулярна в замкнутом круге и для,
всех точек z = + ге 9 (0 ф < 2~) на окружности этого
круга будет справедливо неравенство .
| | — z — а ________2г_______. . 2г
W — sinz
* *2л*'
Ряд (9) будет поэтому сходящимся при |w|<—-----------
е -|~е
Функция —-----—. имеет максимум* при
е
е2Г = гЦ. r = l,195...<-J, (10)
* е < е г 1
и этот максимум имеет значение у г2 — 1 — 0,6627....
При ряд (9) поэтому сходится при ] w ] < 0,6627...
В том, что при а = ~~ это число 0,6627,... дает точный
радиус сходимости, можно убедиться следующим образом.
Из уравнения (8) получаем
dw sin z — (z — д) cos z
dz sin2 z
dw dz <
1ак как равенство справедливо внутри круга
сходимости К ряда (9), то там ^-=#0. Каждое решение
dw л
уравнения ~ 0, т. е. *
tgz = z — сь (И)
дает поэтому точку w, не расположенную внутри К,
13 А. Гурвиц 193
еЧ е '
(12)
Это будет уравнение (10), где г заменено на С. В силу
равенств (11) и (12) поэтому имеем
cos z sin i
—= — |w| = 0,6627...
e —e '
Таким образом эта точка не находится внутри К и следо-
вательно, по доказанному раньше, должна быть располо-
жена на окружности круга К.
Этот способ определения радиуса сходимости для сте-
пенного ряда, в который разлагается обратная функция,
приводит к цели и в более общих случаях. -
ЧАСТЬ ВТОРАЯ
ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Глава I
ДВОЯКОПЕРИОДИЧЕСКИЕ МЕР О МОРФНЫЕ ФУНКЦИИ.
Однозначная функция f(u) комплексной переменной й
называется, согласно главе VI части I, мероморфнои, если
она не имеет на конечном расстоянии ни одной суще-
ственно особенной точки, так что всякая точка а, лежащая
на конечном расстоянии, будет или регулярной точкой
функции, или ее полюсом. Такие функции /(и) могут быть
характеризованы следовательно тем, что в окрестности
каждой данной точки а, где а означает конечное число,
имеет место разложение вида
/(u) = (u —а)*"[с04-С1(и —а)+ • • •] = («——а),
при этом т есть целое число, положительное, отрицатель-
ное или нуль. В основание теории эллиптических функций
мы положим изучение тех мероморфных функции, которые
являются периодическими. Такие функции встречаются
уже среди элементарных функций. Так, в силу равенства
ем+2^ = еи, показательная функция еи имеет период 2те/?
функции sin и и cos и . имеют период 2 те и tgu имеет пе-
риод те. При помощи этих функций легко построить такие
мероморфные функции, которые имеют периодом произ-
вольно заданное, отличное от нуля число со, например
f(u) = e- .•
будет такой функцией. Вообще каждая рациональная функ-
—w : ;
ция от е с. постоянными, т. е. независящими от iz-коэф-
фициентами, имеет период со. ;
13* 195
Прежде чем обратиться к нашей теории, соберем вместе
некоторые, часто употребляющиеся предложения, которые
опираются на геометрическое представление комплексных
чисел точками плоскости.
.§ 1. Предложения, относящиеся к геометрическому
представлению комплексных чисел.
Точкой а — а' 4" fa* (а' и а" вещественны) мы назовем,
как и в первой части, ту точку комплексной числовой пло-
скости, которая изображает комплексное число а и имеет
следовательно абсциссу а' и ординату а". Прежде всего
имеем:
Теорема I. Если t пробегает все вещественные зна-
чения, то точка а 4“ bt (ЬфО) описывает прямую, соеди-
вещественные значения между 0 u 1, получаются точки
отрезка прямой от а до
Если а = а' 4" Ь ~ Ь’ 4- b"i, то координаты точки а 4~ bt
будут
х = а' 4" b't, у — а1/ 4“ b"t.
Отсюда, по известной теореме аналитической геометрии,
и получается наше предложение. *
Если а равно 0, то имеем:
Теорема П. Если t пробегает все вещественные зна-
чения, то точка c—bt (6=£0) описывает прямую, соеди-
няющую начало координат с точкой Ь.
Из этой теоремы непосредственно получается
Теорема III. Для того чтобы точки Ъ (ЬфО) и с
были расположены на одной прямой, проходящей через
196
I
начало координат, необходимо и достаточно, чтобы отно*
шение -у было вещественным.
Если к отрезку а...Ь провести из начала координат
равный, параллельный и одинаково направленный отре-
зок 0 ... с/, то точка d, очевидно, изображает разность Ь—а
(черт. 38). Рассмотрим поэтому параллелограмм, где а и ах
и соответственно b и bi будут противоположные вершины.
Тогда Ь—а = ах — Ьх или (черт. 39).
Теорема IV. Если а, а^ Ъ, Ь{ представляют вершины
параллелограмма и а, а{ и соответственно b, bY будут его
противоположными вершинами, то = 6-[-,
Как видно из теоремы I, равные между собой числа
-^-(а-рЯх) и ^(b-^bj) представляются точкой пересечения
диагоналей параллелограмма.
§ 2. Теоремы о периодах мероморфной функции.
Если со обозначает постоянную величину, f(u) — меро-
морфную функцию и если для всех значений переменной и
/(«+»)=/(«),
то (о называется периодом функции /(и). Таким образом
(о = 0 будет периодом всякой функции /(я). Период <о = 0
назовем тривиальным или несобственным периодом, а пе-
риод <о, отличный от нуля, будем называть собственным.
Если будем говорить о периодической функции, то конечно
будем при этом подразумевать такую функцию, которая
имеет период, отличный от нуля.
Обозначим через 2 систему всех периодов функции f(u)
и докажем некоторые свойства системы 2. Точки, изобра-
жающие периоды, назовем точками периодов, а систему
всех этих точек назовем точечной системой 2.
Теорема I. Система 2 всех периодов образует модуль.
Модулем называется такая система чисел, в которой
действия сложения и вычитания всегда выполнимы, т. е.
если (Ох и <о2 принадлежат системе, то и Шх—j—<n2 и <°х— <о2
тоже принадлежат этой системе.
Таким образом теорема I утверждает, что если функ-
ция /(и) имеет периоды о>х .и <о2, то она имеет также пе-
197
риоды Wj-J-Wj и ®1— ®2* Это доказывается легко. Так как
/(« + »,)=/(«) и /(«4-w2) = /(«), то /[(и4-ш1)4-®2] =
=/(u-}-®i) =/(“) и далее, так как /(u + ®1)=/’(u-|-®2),
то, заменяя и на а— cn2, — ®J“/(e).
Если числа
®1, ®2- • (1)
принадлежат некоторому модулю, то число
«
W = mlw1 -|- т.292 -|- т3®8 Ц- ... + тл®л (2)
где 7ПП т^»..тк какие-нибудь целые числа, принад-
лежит тому же модулю. Действительно, пользуясь дейст-
виями сложения и вычитания, можно из чисел (1) построить
число (». Отсюда вытекает
Теорема II. Если функция f(u) имеет периоды (1),
то она имеет и периоды (2).
Период со называется периодом, составленным из перио-
дов <0-2,..., <ол. Крайними случаями, которые могут
иметь место для модуля будут те случаи, когда модуль
. состоит из одного только числа 0 или же из совокупности
Всех чисел. Первый случай для модуля 2 всех периодов
функции f(u) имеет место тогда, если /(п) имеет только три-
виальный период, равный нулю, т. е. не будет периодической
в собственном смысле слова. Второй случай имеет оче-
видно место, если /(и) будет постоянная, так как постоян-
ная совсем не зависит от аргумента и и следовательно
имеет периодом любое число. Модуль, образованный только
одним числом 0, будем называть модулем нуль, а модуль,
образованный всеми числами, обозначим как модуль оо.
Все модули разделим теперь на два рода.
Модуль 2 будем называть модулем первою рода, если
точечная система 2 не имеет точки сгущения на конеч-
ном расстоянии, и модулем второго рода, если такая
точка сгущенця существует.
Модуль нуль будет, например, первого рода, а модуль оо—
второго рода.
Мы будем говорить о системе чисел, что она содержит
бесконечно малые числа, если среди чисел системы сущест-
вуют такие, отличные от нуля числа, модуль которых
меньше произвольно малого, заданного заранее положи-
тельного числа. Тогда имеет место
198
Теорема III. Модуль Q будет второго или первого
рода, смотря по тому, содержит ли он? бесконечно малые
числа или нет.
^Действительно, если 2 содержит бесконечно малые числа,
то очевидно можно выбрать отличные от нуля числа модуля
е3>’ • •>
так, чтобы они имели пределом нуль. Модуль 3 поэтому
будет модулем второго рода. Вместе с тем видно, что
тогда всякое число <о, принадлежащее модулю, будет точкой
сгущения для точечной системы 2. Действительно, числа
<»-Ь32, • •>
имеющие точку сгущения <о, принадлежат модулю. Обратно,
если точечная система 2 имеет точку сгущения а на конеч-
ном расстоянии, то из этой системы можно выбрать такую
последовательность различных значений
®1, <°з,-
для которой а будет точкой сгущения- Тогда принадле-
жащие к Й и отличные от нуля числа
ш2 — (о1 = гъ <о3 —(o2 = s2, <о4 — <o8==s3,, .
будут иметь пределом нуль. Таким образом, Й содержит
бесконечно малые числа.
Докажем теперь основную для теории мероморфных
периодических функций теорему.
Теорема IV. Периоды мероморфной функции f(u),
которая не сводится к постоянной^ образуют модуль 2
первого рода.
В силу теоремы III достаточно показать, что /(и) не обла-
дает бесконечно малыми периодами. Для этого рассмотрим
регулярную точку а функции Для всех достаточно
малых значений | <*> | имеем разложение вида
/(а ®) = /(а) + ®Г(с + Ci® 4- .-. •),
где г—целое число, а с отлично от нуля. Выберем теперь
настолько малое положительное число s, чтобы при | <о | < в
значение ряда с 4" сх® 4" • • • было отлично от нуля.
Это возможно, так как Тогда имеем, что
199
если только |о>|0 и <о отлично от нуля. Функция f(u)
не может поэтому иметь собственный период <о, модуль
(абсолютная величина) которого меньше s, что и доказывает
нашу теорему. *
Изучим теперь подробнее строение модуля первою рода
и будем при этом различать два случая, оставляя в стороне
случай модуля нуль.
Случай 1. Модуль 2 обладает тем свойством, что
все точки системы - расположены на одной прямой.
Так как к этим точкам принадлежит
также и точка 0, то такая прямая дол-
жна проходить через начало координат.
На одной из полупрямых, на которые
нулевая точка разлагает нашу прямую,
. будет лежать ближайшая к нулевой
точке точка системы 2, отличная
от нуля (черт. 40). Такая точка су-
ществует, так как в противном случае,
нулевая точка была бы точкой сгущения 2. Если w произ-
вольная точка системы 2, то
^ = 0)^
(теорема П, § 1). Так как вещественное число t можно
представить в виде t = m~\-r, где т целое число и
то w = шх (ти *") или w — т(»1= rwx. Так как точка л»х,
принадлежащая к 2, расположена на отрезке 0...фх
ближе к нулевой точке, чем <ох, то г»1 = 0 и поэтому
ы = т<&г.
рассматриваемом здесь случае числа,
модулю 2, будут кратными числа <ov
Таким образом в
принадлежащие к
Случай 2. Не все точки модуля
первого рода 2 расположены на одной
прямой.
В этом случае соединим прежде всего
нулевую точку с какой-нибудь другой
точкой cd-l модуля 2 и выберем третью
точку со2 модуля 2, которая не распо-
ложена на прямой 0. • .<ох (черт. 41),
Внутри и на контуре треугольника
может находиться только конечное
число точек
системы 2, так как в противном случае существовала бы
200
точка сгущения системы 2, лежащая на конечном расстоя*
нии. Если <»3 еще одна точка системы 2, принадлежащая
нашему треугольнику и не расположенная на прямой 0 . .. Юр
то в треугольнике О^^з будет лежать меньшее число точек
системы 2, чем в первоначальном треугольнике, так как
точка со2 принадлежала послед-
нему. Отсюда видно, что можно 7 *
построить Такой треугольник (с /
положительной площадью), чтобы / \/
ему не принадлежала, за исклю- /________
чением его вершин, ни одна точка (г-----~~
системы 2. Предположим, что уже церт# 42.
треугольник обладает этим
свойством. Построим теперь параллелограмм с вершинами О,
(черт. 42). Легко видеть, что ни внутри, ни на
контуре этого параллелограмма, за исключением его вершин,
не будет точек 2. Для половины этого параллелограмма,
образованной треугольником 0 <о2, ясно, что на ней нет
других точек 2/ Если бы в другой половине существовала
такая точка о>, то по теореме IV, § 1, точка
== (1>1 0)2-
которая тоже принадлежит 2, была бы расположена
в треугольнике Таким образом параллелограмму,
за исключением его вершин, действительно не принадлежит
ни одна точка системы 2.
& Пусть w будет какой-нибудь точ-
кой 2. Проведя через w прямые,
параллельные и 0«ь, построим
параллелограмм с вершинами 0, а,
w, b (черт. 43). В силу теорем § 1
имеем, что
„ . „ а» = а + 6 = /1ш1 + 4<о2,
Черт. 43. где и ^—вещественные числа, ко-
торые можно представить в виде
/1 = 7П1Ч- = г2, 0Oi < 1, 0<г2<1, •
где m1, т2— целые числа.
Точка w - т1(о1—m2«)2=r1w1+r2(o2 принадлежит, с одной
стороны, системе 2, а с другой стороны, параллелограмму О,
»х, "И потому что гг расположена на отрезке О...Фг,
201
а —на отрезке O..so>2. Отсюда следует, что точка
r1o)i -р г2л2 совпадает с вер шиной 0 параллелограмма, и по-
этому
w = т^ + ти2(о2. (3)
Таким образом в рассматриваемом здесь случае 2 все
числа модуля 2 могут быть составлены, в силу равен-
ства (3), из двух чисел и <о2 этого модуля.
Заметим еще, что оба случая можно охарактеризовать
тем, что в первом случае два каких-нибудь числа модуля 2
имеют вещественное отношение (теорема III, § 1), а во вто-
ром случае среди чисел модуля 2 существуют два таких
числа (как, например, и w.2)» отношение которых не вещест-
венное Из предыдущих исследований следует, что для меро-
морфной периодической функции имеет место
Теорема V. Все периоды мероморфной периодической
функции f(u), которая не приводится к постоянной,
могут быть составлены или из одного периода или
из таких двух периодов и ш2, отношение которых
не вещественно.
В первом случае функция f(u) называется просто период
дической. В качестве примера можно привести функцию ем>
периодами которой будут все числа, кратные 2iti. Во вто-
ром случае функция /(и) называется двоякопериодической.
Пару периодов и о>2, из которых можно составить все
остальные периоды, назовем парой примитивных или основ-
ных периодов функции f(u). Существование двояко перио-
дических мероморфных функций, представляющих главный
предмет наших исследований, будет обнаружено в даль-
нейшем.
§ 3. Параллелограмм периодов.
Пусть <о1 и — пара чисел, отношение которых не ве-
щественно. Если между двумя комплексными числами и
и v существует соотношение
‘У “ W Ц-77?1 тп2 ^2 или v—и = тх 4“ ГП2 0>2,
где тг и т2— целые числа, то будем говорить, что v
сравнимо с и по системе модулей о>2 и символически
будем записывать это так:
= и (<ох> о>2).
202
Если и а>2 будут раз навсегда одни и те же, как в этом
параграфе, то, отбрасывая модули о)р <о2, будем писать короче:
v~u.
Имеем следующие предложения, доказательства которых
настолько просты, что мы их опускаем.
1) .При всяком и и = и.
2) Если v—u, то u=v.
3) Если U~V и VT^W, то u=w.
4) Если U = V и ТО =
5) Вообще, если u = v и = то nu4-n1u1 = /w4'ni<yi>
где п и любые целые числа.
Для краткости будем говорить, что две точки и и v кон*
груентны, если числа и и v сравнимы.
Выберем произвольную точку и0 и построим параллело-
грамм с вершинами и0, ио4~ш14"ш2> ио4”ш2 (черт. 44).
Этот параллелограмм назовем параллелограммом перио-
дов (un), построенным на периодах и о)2’ К параллело-
грамму периодов (ио) причислим каждую точку и, располо-
женную внутри или на одной из его сторон, пересекающихся
в и0, за исключением концов Uo4*’coi и этих сторон.
Так как точки параллелограмма, расположенные на сто-
ронах щ... Uq 4~ Ш1 и щ... -р ш2 можно представить
в виде а = Ио+п*0! и соответственно Ь — (0<>i<l
0О2< 1)> то имеет место
Теорема I. Точками' параллелограмма периодов (и0),
будут точки и = и0 Ц- Г2Ш2 (0 < 1, 0<r2 < 1).
Пусть теперь и— произвольная точка числовой плоскости
и u0vlvv2 параллелограмм, вершины которого и v2 рас-
положены соответственно на сторонах u0...u04“0)i и
~uQ.. •п0-|~0}2 параллелограмма (н0) (черт. 45). Тогда имеем
V = Vi 4- v2 — U0 = («о + *1ш1) + («О + №2) — Но '
.203
или, представив вещественные числа t19в виде 4“ rv
— где ти т2—целые числаи ()<>!< 1, 0<>2<1,
V = Щ + /Hi©! 4“ ГП2<Л2 4- Г10)1 4- Г2Ш2.
Отсюда следует
Теорема II. Произвольная точка v кон'руентна
одной и очевидно только одной точке u = u04~r1©14'
4“Го©2> принадлежащей параллелограмму (tr0).
Рассмотрим теперь систему равноотстоящих точек
Ц), Из4"а)п Щ — °>i> Wo+2©!, щ — 2
расположенных на прямой gu и другую такую же систему
точек,
Wo> Uo4“% «О—Ю2> иоН“2©2, и0 —2©2,...,
расположенных на прямой g2. Если через точки первой
системы проведем прямые, параллельные прямой g2, а через
точки второй системы —
прямые, параллельные пря-
мой g19 то получим систе-
му параллелограммов (но4~
+ т1 <°1 + Ш2)> т\ = °, — 1,
±2,..., тп2 = 0, =tl, zt2,
.. . , покрывающих один
раз и без дыр плоскость и
(черт. 46).
Обозначим через [н] систе-
му всех тех значений п4*
4- 4" ^2Ю2 или систему
всех точек, представляющих
эти значения, которые срав-
нимы с определенным числом и. Тогда можно сказать, что
каждому параллелограмму нашей сети параллелограммов
принадлежит одна и только одна точка системы [и].
§ 4. Определение эллиптических функций. Поле К.
Обратимся к определению эллиптических функций:
Аналитическая функция f(u) называется эллиптичен
скощ если она, во первых, мероморфна и, во-вторых,
имеет периоды ©х и ©2> отношение которых — не вещест-
о>1
венно.
Черт. 46.
204.
Предположим сперва, что числа и <о2 заданы, и рас-
смотрим систему К всех эллиптических функций, для кото-
рых оба эти числа будут периодами. Под символом /(а)
будем понимать всегда функцию, принадлежащую системе К.
Система К обладает некоторыми простыми и важными свой-
ствами, которые здесь и укажем.
1) Каждая постоянная, если ее рассматривать как функ-
цию- от а, принадлежит системе. Действительно, каждая
постоянная имеет периодом любое произвольное число,
а следовательно и числа и <»2.
2) Если /1(п) и/2(п) принадлежат системе К,тои/i (и)4-/2(«),
/1 («)—/1(и)72(“Х (если /2(и) не равна по-
стоянно нулю) тоже принадлежат системе К.
Это коротко высказывают так: функции системы К обра-
зуют поле функций. Из 1) и 2) следует далее:
3) Каждая рациональная, с постоянными коэффициентами,
функция от (и), /2(и),.. .Д(и) будет тоже функцией /(а).
4) Производная f (ц) тоже принадлежит полю К. Дей-
ствительно, так как функция /(а) мероморфна, то и/'(а)
тоже мероморфна и так как /(а-р %)=/(и) (и = 1, 2),
то, дифференцируя, получим, что /'=/'(а).
5) Пусть а'=а (сор <о2), т. е. а — а + где w=7n1<o14-m2(o2.
Если а полюс функции f (u) —соответствую-
щая мероморфная часть, то а' тоже будет полюсом /(а) и
g будет соответствующей мероморфной частью.
Действительно, по предположению, в окрестности точки а
имеем разложение
/(«) = g ( ) + Р (ы — а)».
где Р(а— а) степенной ряд, расположенный по положи-
тельным степеням и—а. Если точка а расположена в окрест-
ности точки а, то точка = расположена в окрест-
ности точки а' = a -j- wt причем а';—а' = а — а, а поэтому
/(и') =/(и 4- w) =/(и)=^ ) + Р(и’ — а'),
что и доказывает кгше утверждение.
205
. 6) В каждом параллелограмме периодов (и0) функция f(u)
имеет только конечное число полюсов.
Действительно, если бы полюсов в этом параллелограмме
существовало бесконечно много, то они имели бы точку
сгущения, которая была бы существенно особенной точкой
для /(и); это противоречит предположению, что /(и) меро-
морфна.
Перечислим полюсы функции /(и), расположенные в парал-
лелограмме (и0), считая каждый полюс столько раз, какова
его кратность. Число г этих полюсов при-
чем каждый сосчитан столько раз, какова его кратность,
называется порядком функции /(и). Системы [aj, [а2],..., [aj
заключают тогда совокупность всех полюсов функции /(и)
и притом каждый полюс входит в эту совокупность столько
раз, какова его кратность. Если из каждой системы выбе-
рем одно число, то получим г чисел
а/, а2',... а/,
про которые будем говорить, что они образуют полную
систему полюсов функции
Понятия „порядок" и „полная система полюсов" согласно
их определению зависят от выбора периодов и <о2* Тоже
самое относится к тем понятиям, которые будут введены
в следующем параграфе.
§ 5. Общие теоремы О ’функциях/(я).
Докажем ряд общих теорем, которые лежат в основании
теории эллиптических функций.
Теорема I. Функция f(и) порядка г = 0 будет по-
стоянной или, другими славами, эллиптическая функция,
не имеющая полюсов, будет постоянной.
£сли /(и) не имеет полюсов, то |/(и)| имеетконечный
максимум g, когда и принимает все значения в параллело-
грамме периодов. Так как /(и) при произвольных и при-
нимает только такие... значения, которые соответствуют
точкам и, расположенным в параллелограмме периодов,
то для- всякого конечного _значения аргумента и имеет место
неравенство - „
|/(«)|<я. ...
206
По теореме Лиувилля 9 целая функция /(и) приводится
тогда к постоянной.
Прежде чем перейти к дальнейшим теоремам, которые
все выводятся из теоремы Коши, заметим следующее. Мы
можем считать, что параллелограмм (и0) обходится в поло-
жительном направлении, когда
его стороны проходятся в та-
ком порядке 2,1', 2', 1 (черт. 47).
В самом деле, в противном
случае, мы могли бы достиг-
нуть этого, переставив и ф2>
т. е. просто изменив обозначе-
ния.
Пусть ?(и) будет функция,
регулярная на контуре парал-
лелограмма (и0). Тогда интеграл ?(ы), взятый в положи-
тельном направлении по этому контуру, равен сумме инте-
гралов, взятых по сторонам 2, Iх, 2', 1. Если точка и про-
бегает сторону 1, то точка пробегает сторону 1'
и если и пробегает сторону 2, то пробегает сто-
рону 2'. При легко понятных обозначениях упомянутый
интеграл по контуру выразится формулой
(Мо)
1
(1)
2
где интеграл по стороне 1 взят в направлении от и0 до
по стороне 2—в направлении от и0 до
Пусть теперь с? (и) есть одна из функций/(и). Выберем
при этом «о так, чтобы на контуре параллелограмма (и0)
не было полюсов функции f(u). Интегралы в правой
части формулы (1) равны теперь нулю, так как функция
f(u) имеет периоды <о1 и Интеграл же в левой части
равен сумме вычетов всех различных полюсов /(и), распо-
ложенных внутри параллелограмма (и0), умноженной на
2ni. Таким образом доказана
Теорема II. Сумма вычетов относительно й&ех раз-
личных полюсов функции /(а), расположенных внутри
какого-нибудь параллелограмма периодов, равна нулю.
9 Ср. главу III части I, § 8. .....
207
Отсюда сразу следует
Теорема III. Не существует функции f (и) первого
порядка (г — 1). Действительно, если в параллелограмме (uj
функция f(u) имела бы только один полюс а первого по-
рядка, то соответствующая мероморфная часть имела бы
вид —- —, где вычет С ф 0. По теореме IIС должно равняться
нулю, что представляет противоречие.
Следующее предложение требует некоторого предвари-
тельного замечания. Если щ будет решением уравнения
/(«) = *, (2)'
где /(и)—отличная от постоянной, регулярная в окрест-
ности точки иг функция, то в этой окрестности имеем
такое разложение в степенной ряд:
f(u) — с = А(и — их)‘+ (Л:£0) (3)
где к— положительное целое число. k
Точку их будем тогда называть ^-кратным решением
уравнения f(u) = C или иначе корнем кратности к этого
уравнения. В частном случае с = 0это определение совпа-
дает с данным раньше определением кратности нуля (часть I,
глава V, § 9).
В этом смысле имеет место
Теорема IV. Пусть f(u) функция порядка не ниже
второго (г>2) и пусть с заданное конечное число» В ка-
ждой параллелограмме (и0) существуют ровно г точек,
где f(u) принимает значение с.
Функция f(uf в силу этой теоремы принимает следо-
вательно в параллелограмме периодов столько же раз за-
данное конечное значение с, сколько раз эта функция обра-
щается там в оо. Теорема IV представляет собой собственно
частный случай теоремы II о вычетах и получается из нее,
если теорему II применить к функции
du 5 1 v 7 1 f(u) — c
Выберем теперь точку и0 так, чтобы мероморфная функ-
ция f(u) — с не обращалась в нуль на контуре парал-
лелограмма (и0) и не имела там полюсов. Этого всегда
можно достичь в случае надобности параллельным пере-
носом параллелограмма. По формуле (1) интеграл
208
J_ Г /(»)
2kzJ f(u) —
du будет тогда pafeert нулю. С другой стй*
(«J
роны, этот интеграл представляет разность между числом
нулей и числом г полюсов функции f(u)— с, расположенных
в параллелограмме (и0) 1)-
Теорема IV утверждает таким образом, что уравнение (2)
где f(u) обозначает теперь нашу эллиптическую функ-
цию, имеет в отдельных параллелограммах периодов ровно
г решений
Up и2,...,иг, (4)
если в ряд (4) каждое решение входит столько раз, какова
его кратность.
Вообще точки (4) будут между собой различны, так что
каждое решение щ будет простым. В самом деле, для тех
значений г, для которых в уравнении (3) показатель k > 1,
должно выполняться необходимое и достаточное условие,
чтобы не только /(н1) = с, но и f(u^ = 0. Мы получим
таким образом искомые значения с, если найдем различные
корни эллиптической функции f (и), расположенные в парал-
лелограмме (п0). Пусть эти корни будут vp . ,,vx, причем
число их не больше порядка функции Искомые зна-
чения с будут тогда равны
f (vi) = Ср /(у2) = с2, .. .,/(*) = (\.
Число значений с, для которых в соответствующем
ряду (4) одно и то же значение входит больше, чем один
раз, следовательно, не больше порядка функции f (и).
В частном случае с = 0 теорема IV утверждает, что функ-
ция f(u) порядка г имеет в каждом параллелограмме и0
ровно г нулей, причем каждый нуль считается столько раз,
какова его кратность.
Пусть теперь опять /(и) будет любой функцией порядка
г >2. Тогда имеет место важная
Теорема V. Если blt b2f»» fbt нули и а2, л8,
полюсы функции f(u), расположенные в параллелограмме
периодов (п0), то имеет место сравнение
-г 6а+ • • • ~г br = а, -г в2-г • • • 4- «г (“>1, “а)- (5)
г) Ср. часть I, глава V, § 9.
14 a. ryi в щ 209
При доказательстве можно опять предположить, ЧТО па
контуре параллелограмма (и0) нет ни нулей, ни полюсов
функции f(u).
Если положить
то эта функция имеет в параллелограмме (и0) полюсы только
в точках 6/ и а{. По теореме о вычетах имеем следова-
тельно
9^7 f ?(«)rf« = 2 г 1?(и)] + 2 г [<?(«)],
Z IJ ~ап
(6)
где суммы распространены на все различные между собой
точки Ьп и ап.
Если b какой-нибудь из нулей Ьп функции /(и) и к
показатель его кратности, то в окрестности точки b
9(«) = H+(« - «) = и~Ь + Р(“ - 4)’
(и — Ь) с-[- . . . и °
так что kb есть соответствующий вычет. Вычет функции
&(и) в какой-нибудь точке ап, хотя бы в а, будет точно
также равен — £'а, где k' кратность полюса а функции
f(u). Правая часть равенства (6) будет поэтому равна
yikb~^\k'a = b1-[-b^ ... + 6Г-
--(а1 Н” а2 + • • • + аг)- (7)
С другой стороны, так как
/^та-““7д-==
то интеграл (6) равен
«о4-С02 4)4-0)!
1 Г /'00 J I г fM J /оч
7м 7ы<'"' ( )
и0 и0
где интегралы взяты по прямолинейным отрезкам.
210
Эти интегралы будут целЫмй кратными 2r. i. ДеЙстйй*
тельно, например, интеграл
I лй A'“J t/18/w
- 111
равен приращению lg/(n), когда точка и перемещается
прямолинейно из и0 в и0Н~а>2* Так как j (и0 4~ ^г) = /(и),
то точка f(u) описывает при этом замкнутый путь, вдоль
которого lgf(u) увеличивается или уменьшается на крат-
ное 2к i. Выражение (8) имеет поэтому вид
4-Л12О>2. (9)
где т2—целые числа. Сравнивая (6), (7) и (9), получаем
сравнение (5).
Придадим теореме V еще другую форму, одновременно
несколько обобщив ее.
Сперва мы установим следующее определение:
Если alt a2i • • •, аг будут полюсы ф, нкции f (и), располо-
женные в параллелограмме (н0), или же если эти числа
образуют полною систему полюсов этой функции^ то
всякое число $, удовлетворяющее сравнению
s = ai4-a24- ... -f-(<»!,а>2),
будем называть суммой полюсов функции f(u).
Сумма полюсов функции /(и) определена поэтому
только с точностью до слагаемого периода.
Пусть далее uv и2, . . .,иг будут нули функции /(и) — с,
расположенные в параллелограмме периодов (и0), а с пусть
означает какое-нибудь заданное конечное число. Системы
значений
[«1L [«г], • • - , [и,]
заключают тогда все значения и, которые удовлетворяют
уравнению
/(и) = с- (10)
Выбрав из этих систем по одному значению, получим
г значений
и/, и2, .. .,и/, (11)
которые назовем полной системой решений уравнения (10).
14* 211
Применяя теорему V к функции / (и) — с, легко получим
следующую теорему:
Теорема VI. Если f(u) функция порядка г и числа
(11) образуют полную систему решений уравнения (10),
то имеет место сравнение
+ • • • + иг s *6%
где s — сумма полюсов функции f(u).
§ 6. Функция ^(п).
Выберем, параллелограмм периодов (и0) так, чтобы ну-
левая точка плоскости была расположена внутри него.
Среди функций /(п), не приводящихся к постоянным, будем
рассматривать в качестве простейших функции по возмож-
ности низкого порядка, т. е. порядка г = 2.
Попытаемся построить такую функцию, которая
в параллелограмме (и0) имеет только один двойной полюс
1с
й = 0 с соответствующей мероморфной частью
По теореме II предыдущего параграфа должно быть с = 0,
так что искомая функция в окрестности точки и = 0 должна
иметь разложение вида
„ ч 1 , п/ X
Отсюда легко видеть, что функция /(и), если она вообще
существует, определяется с точностью до постоянного
слагаемаго. Действительно, если f^u) будет такая же функ-
ция, что и /(п), то их разность Х(и)—/(“) не имеет уже
полюса в нулевой точке плоскости и следовательно вообще
не имеет полюсов в параллелограмме (ы0). Поэтому по тео-
реме I предыдущего параграфа должно быть
А (и) =/(«)+с.
Постоянную С можно определить и притом единствен-
ным образом так, чтобы в ряде, которым изображается
функция /1(п) в окрестности точки и = 0, отсутствовал
свободный член. Таким образом, если вообще искомая
функция (и) существует, то она вполне определяется
следующими свойствами: это есть эллиптическая функция
212
второго порядка, которая в окрестности точки и = 0 имеет
разложение вида
где Р (и) — некоторый степенной ряд.
Совокупность полюсов функции р(и) образована си-
стемою [0] всех точек периодов
w = (1)
и каждому полюсу ы> по § 4, будет соответствовать меро-
морфндя часть так как конгруэнтной с w точке О
1
соответствует мероморфная часть —.
* и •
Эго замечание приводит нас к попытке построить функ-
цию $(и) при помощи теоремы Миттаг-Леффлера. Пред-
варительно надодоказать следующую теорему:
с V' 1
Сумма г>— р—з сходится.
Здесь сумма распространена на все периоды, за исключе-
нием периода нуль, что и указано штрихом, поставленным
вверху знака суммирования. Рассмотрим те точки w, для
которых
п < J w I < n +1, (2)
где п — целое положительное число, и пусть
5в==2г^ •(3)
будет суммой, распространенной на эти точки. Дадим
оценку для числа этих точек. Пусть 2г будет положитель-
ное число, меньшее расстояния от нулевой точки плоскости
до любой другой точки периода w. Тогда имеем также, что
2з < |
т. е. 2г меньше, чем расстояние между двумя различными
точками периодов w1 и w9. Если поэтому из каждой точки
периода w как из центра опишем круг радиусом г, то все
такие круги будут расположены один вне другого. Точки w,
удовлетворяющие условиям (2), число которых обозначим
213
через Ап, лежат в ко\ьце,ограниченном окружностями двух
кругов, описанных радиусами п и п 4*1 из нулевой точки
плоскости. Пусть Alt >0, т. е. предположим, что существует
хоть одна точка w, удовлетворяющая условиям (2). Для
каждой такой точки имеем:
так что п— г число положительное. Круги, описанные ра-
диусом s из каждой из Ап точек ш, будут поэтому распо-
ложены целиком в кольце, с центром в нулевой точке
плоскости и с радиусами п — а и п 4~ 1 4"Эти круги
покрывают следовательно площадь, меньшую площади
этого кругового кольца. Имеем следовательно:
г2 к < (п г 1 4" ®)2 ~ — (п — ®)'? 77
ИЛИ
. 1 4-2з/о , .. l + 2eQ .
(2п 4 1)< —— Зп = кп,
1 4“ 2е
где для сокращения постоянное число —g— обозначено
через к. Это неравенство Ан < кп, очевидно, существует
и при Ап — 0.
Тепэрь имеем для суммы (3) оценку
*5 н А кп • о — о
и сумма
4~ ^2 4" 4~. • • • 4” 4- • • •
будет следовательно сходящейся. Сумма S будет тоже
сходящейся, так как все члены S, за исключением конеч-
ного числа из них, у которых ] w\ < 1, входят в суммы 5„.
В силу только что доказанного предложения, по теореме
Миттаг-Леффлера, бесконечный ряд
214
представляет собой мероморфную функцию, у которой ме-
роморфные части равны —-— (ср. часть I, главу VI,
§ 3 и 5).
Теперь легко видеть, что функция
jJ(u)==-C(u)=l_pX/[-L- X\ (5)
М Zх 1 \(и W2 /
удовлетворяет всем условиям, которым должна удовлетво-
рять искомая функция.
Прежде всего, для $ (и) точки w будут полюсами, имею-
щими заданные мероморфные части. Других особенных
точек у нее нет. Далее, ^(и)— имеет предел, равный
нулю, когда и стремится к нулю, так как сумма в (5)
обращается в нуль при и = 0. Остается показать, что (и)
имеет периоды <ot и <о0. Для этого составим
где сумма распространена на все периоды
w — тп1 т2 (в2 (ml9 тгг^О, ±1, tz 2, ...),
Что почленное дифференцирование правой части (5) дает
производную от ^(п), следует из теоремы Вейерштрасса.
Теперь имеем:
р (u -I- ш,) == — 2 V7-~-----rrj = - 2 "Vr-—-VJ’
Z_, {**— (w—WJ)3 z 1(ц —
так как
W--Ш1 = (17П 7n2<*>2
дает также совокупность всех периодов.
Таким образом получаем
Отсюда, интегрируя, найдем, что
Р (и + «О = Р (п) + > (6)
где с: — постоянная. Далее, функция (и) будет четная.
215
Действительно, из равенства (5) следует, что
так как — w принимает те же значения, что и 4“ w.
_ /Z-\ Ш1
Для определения ct подставим в равенство (о) и — — .
Тогда получим
= 9)+С1 = ^(^)+С^
\ <& / \ £ / \ * /
и значит сх = 0. Таким образом имеем:
Р (и 4- “О = Р («).
и так же получим, что
Р (и 4- 0)2) = (и)-
Функцию Р (и), удовлетворяющую всем поставленным
условиям, будем называть функцией ^(н) Вейерштрасса,
так как на ней Вейерштрасс основал теорию эллиптиче-
ских функций. Из предыдущего параграфа получается ряд
теорем относительно функции (и), которые здесь и ука-
жем.
Теорема 1. За сумму полюсов для $ (и) можно при-
нять 5 = 0.
Действительно, оба расположенные в нашем параллело-
грамме периодов (н0) полюса аг и п2 функции (и) равны
нулю.
Теорема II. Решения уравнения $ (и) = с, где с за-
данное число, образуют две системы [и ] и [н"], причем
и 4~ и" = 0 (<»!, <»2).
Это видно из теоремы VI, § 5. Если известна одна из
двух Систем, хотя бы [и'], то другая система будет [—и'|>
так как и" = — и (a>j, о>2).
Теорема III. Уравнение
P(u)-P(v) (7)
имеет место тогда и только тогда, если
u~^v(a\, о>2) или ц — — v(®i, <гг). (8)
Действительно, если в равенстве (7) аргумент v задан,
л и будет искомый аргумент, то по теореме (2) и должно
принадлежать одной из двух систем сравнимых между
собою значений. Одна из этих систем будет, очевидно,
система [v], а следовательно другая должна быть [—v],
т. е. и должно удовлетворять одному из сравнений (8).
Исследуем теперь, для каких значений v обе системы
[г/] и [—г»] решений уравнения (7) совпадают. Для этого
необходимо и достаточно, чтобы было
v =— v или 2<у^0(ф1, о)2).
Таким образом должно быть:
о - т\
- т2 ^2 или v —--------
т. е. v должно равняться половине периода. Так как гщ
и т2 можно представить в виде
, т2 = 2т2 -р s2,
где т2 целые числа и , а2 равны одному из зна-
чений 0, 1, то
л । / I *1 "Т~ *2 ^2
v — mj oh J- m2 o>2 ,
т. e. искомые значения v сравнимы с одним и з чисел
П “1 <°1 4~ <°2 w2
’ ~2 ’ 2 ’ 2 '
Значению = О соответствует значение оо функции jp (v),
а трем остальным числам (9) соответствуют три конечных
значения функции, которые мы обозначим через
+ т2
Если с — конечное число, то корни уравнения
? (ц) — с — О
будут двойными, когда с совпадает с одним из чисел et,
е2, Отсюда видно, что уравнение
(и) - О
(О.-кфо 0)2
имеет решения и = ,----о---, ту • Если точку и0 вы-
217
брать достаточно близко к нулевой точке плоскости, т
эти точки будут расположены в нашем параллелограмме (мо)
и вместе с нулевой точкой плоскости образуют вершины дру-
гого параллелограмма (черт. 48).
Из теоремы Ш следует еще, что
значения е2, е8 различны ме-
жду собой. Это можно доказать
еще так: Если бы, например,
Черт. 48.; = то функция
Р (и) — е, — $ (и) — е3,
имеющая один двойной полюс, имела бы в параллело-
грамме периодов четыре корня, а именно: по два двойных
(О. (Do
корня у и ~
а это представляло бы противоречие.
§ 7. Дифференциальное уравнение для №(и).
Функция К(и), в окрестности точки и—0 имеет разло-
жение вида
9
т. е. в точке и — 0«она имеет троекратный полюс; в осталь-
ном же параллелограмме периодов (и0) она является везде
регулярной. Функция ^'(и) будет поэтому функцией третьего
порядка г-3 и должна следовательно в параллелограмме
периодов ровно три раза обращаться в нуль. По преды-
дущему параграфу нулями функции будут точки
(D1 05 2
“ = 2 ’
значит, эти точки должны быть простыми пулями.
Эти точки будут двукратными нулями соответственно
для функций
— ^(и) —е2, ^(и) — е3.
Сравним теперь полюсы и нули функции ф'(и), а именно:
полюсы: 0, 0, 0;
нули: у ’
2 ’
2
218
с такими же точками функции
/(и) = В3 (u) — ej № (и) — e.J If (и) — е3],
а именно
полюсы: О, О, О, О, О, О
Ч~ Ш2 Ш2
нули; у, у ’ 2 ’ 2 ’ Т ’ 2 *
Легко видеть, что отношение
п У'2 (и)
Ни)
в параллелограмме периодов (ио) нигде не обращается
в бесконечность, так как числитель имеет те же полюсы
и нули и притом той же кратности, как и знаменатель.
Это отношение будет поэтому функцией нулевого порядка
г—О и следовательно будет постоянным. В окрестности
точки и = 0 имеют место разложения
4 1
Подставляя их в отношение Q и переходя к пределу,
когда и стремится к нулю, получаем, что Q = 4, а так как Q
есть постоянная величина, то
Г2(«)^4/(п),
т. е. получается
Теорема I. Функция (и) удовлетворяет диффе-
ренциальному уравнению
?'9(«)-4(P(«)-e1) (fr> („) — е.) (к’(и)-ез). (1)
Выведем это важное дифференциальное уравнение еще
в другой форме. Рассмотрим сперва несколько ближе раз-
ложение функции (и) в окрестности точки и = 0.
Из равенства
и / | \и — W W Ыг)
1 / и2 I И8 I \
и \w8'^w'1 /
219
получаем разложение £(u) в виде
С (и) = — G3 и2 — G±u? — ... — Gn ип~1 — ... ,
если обозначим
Сумма Gn не меняется, если написать в ней — w вместо w.
При нечетном п имеем:
и поэтому Gw = 0. Таким образом разложение С (и) можно
написать в виде
1 И"* 1
^-'4-••-'-fct—- <2>
где коэффициенты сп равны
с„ = (2п -1)^/ (п = 2, 3, 4, . . .(3)
Разложение (и) в окрестности нулевой точки плоскости
будет поэтому иметь вид
(и) — — "(и)^^-\-с.2и2-\-сйи*-\ +
4~ ... + с„ и211-2 + . • •, (4)
где коэффициенты сн выражаются через периоды о\2
по формулам (3). Из равенства (4) следует
э
= + 4с3иЗ+...
Напишем следующие разложения вплоть до членов, не зави-
сящих от и
Н(и)-^-^-1бСз4
*>,w = ^ + S + 3c* +
220
V 2 (и) - 4рз (и) = - - 28с3 4-...
и, следовательно,
^•2(u)_4^(u) p20c2^(u)— —28с8 J ... (5)
Эллиптическая функция, написанная в левой части ра-
венства, может иметь в параллелограмме периодов (и0)
самое большее полюс и = 0. На самом же деле, как видно
из формулы (5), точка и = 0 не будет полюсом. В силу
теоремы 1, § 5, наша функция будет следовательно равна
постоянной, значение которой, как видно из формулы (5),
будет равно — 28с3. Таким образом для всех значений
и имеем
Г 2 (u) - 4Р (и) 4- 20с2 Р (и) = - 28с3.
Введя обозначения Вейерштрасса
г, = 20са = 60^4 л=28е3 =140 24> <6>
получаем следующую теорему:
Теорема II. Функция $ (и) удовлетворяет диффе-
ренциальному уравнению
V'* = W*~g^-gs. (7)
При этом, ради краткости написано Р вместо ^(ы) и
вместо Постоянные g% и g% называются инвариан-
тами функции ^(и). Правые части в равенствах (1) и (7)
для всех значений и равны одной и той же величине
(а именно ^'2(w)). Отсюда следует, что равенство
4х3 — g^x — gz = 4 (х — ej (х — во) (х — е3)
имеет место тождественно при всяком х.
Таким образом ех, е.2, е3 будут корнями уравнения
третьей степени
4х3 — & =
Величину
Д = 16(ег — е2)2 (ej — е3)2 (е2 — е3)2
назовем дискриминантом. Из предыдущего видно, чго он
221
бТЛиЧен от нуля. В силу известных алгебраических теорем
имеем следующие зависимости
ei + е2 + ез = 0» ei е2 4“ в2 е3 е3е1 --4* #2»
<*1 е2 е3 -= ~ g3, Л —16 (eL — е2)2 (е^ — е3)2 (е., — е3)2 =
= ^~27Яз2.
Из дифференциального уравнения (7) следующим обра-
зом получим рекуррентную формулу для коэффициентов сп
в разложении функции $(и). Дифференцируя (7), находим
^ = 6Г-4^ = 6^-10с2.
Вставляя сюда разложение (4) для р, получим
~ + 2 • 1с2 4" 4 • Зс3 и2 4- ... 4“
4- (2п — 2) (2п — 3) с„ и2’^ 4- ... = — 10с2 4- 6F =-
= — 10с2 -}- 6 —2 4г
*• * z 1
Г=2 8=2
Отсюда, сравнивая коэффициенты при и2п 4, находим
!(2п —2) (2п —3)—12}сн-=6 схся (п = 4, 5, 6,...).
r-i'S—n
г^2
8>2
Простым вычислением получаем отсюда, что
(п — 3) (2п 4" 1) Сп = 3 (с2 Cv-2 4~ с3 Сп—Ъ “Ь • • • ~Т Сп -2 с 2)
< п 4, 5, 6,...).
222
Из этой рекуррентной формулы МоЖеМ ПослёдоватеЛЬЙб
выразить все коэффициенты через с2 и с& или в силу
обозначений (6) через g2, g°,
1 3 1 /О I
с4 = у с2СП = YY с2 СЯ, С(5 = J3 (2С2 С4 Ся2) =
~13\3С2
Теорема III. Коэффициенты сп в разложении $ (и)
будут целыми рациональными функциями инвариан-
тов g2 и g3t коэффициенты которых суть положительные
рациональные числа.
В силу (3) эта теорема выражает замечательное обстоя-
тельство, что суммы
б*” “2 «’гп“2 (mi“i + «л)2” ^-2,3,...)
Wj, 7А/2
выражаются целыми рациональными функциями от G± и G$
с положительными рациональными коэффициентами.
§ 8. Теорема сложения для $(и).
Говорят, что функция (и) обладает алгебраической тео-
ремой сложения, если ^(ui + ug), ср (uj, cp(u2) удовлетво-
ряют алгебраическому уравнению с постоянными, т. е. не-
зависящими от. их и и2 коэффициентами, или, что равно-
сильно, если с? 4“ и>) выражается алгебраически через
?(п]) и ср(и2). Наличие таких теорем сложения является
одним из основных свойств показательной и элементар-
ных тригонометрических функций. Покажем теперь, что
этим свойством обладает и функция (и).
'Для этого рассмотрим функцию
/(«) = Р'(и) — а Р («) — Ь,
где постоянные а и Ь выбраны так, что f(u) обращается
в нуль в двух произвольно заданных точках иг и щ. Если
обозначим
= P'(«i) = M = P'(u2) = p2',
223
то числа а и Ь определяются из уравнений
+ = M ap2-{-b = p./. (1)
Функция f(u) третьего порядка г—3 имеет в параллело-
грамме периодов (w0) трехкратный полюс в точке и = О
и следовательно сумму полюсов s — О. В силу теоремы VI
§ 5, числа
«1, u2, — (ux4-u.2)
образуют поэтому полную систему нулей функции / (и).
Обозначив Р (ux -f- u2) = р3, р' (щ -{- u2) = р3' и замечая,
что $'(и) нечетная функция, имеем уравнение:
которое выражает то обстоятельство, что функция f(u)
обращается в нуль при и = — (lzL {— u2). Если в дифферен-
циальном уравнении функции
заменим аргумент и последовательно значениями и19 и2)
uiH~u‘2> то увидим, что уравнение
4x3— g2x — ^3 —(ах-f-6)2 = 0 (2)
имеет корни
х = рп х = р2, х = р3. (3)
Выберем в параллелограмме периодов (ио) точки щ, и.,
так, чтобы • '
= Р2 = ^(“2)> Рз = Н«1 + “2)
были между собой различны. Задав произвольно
мы исключаем этим из параллелограмма периодов только
конечное число точек и2. Действительно, функция от и2 »
(jJ (и.,) — (и,) ) (F (Uj 4“ Uo) — ? (uj ) ($> (U! I- U2) — (u2) ),
будучи эллиптической с периодами и ш2, обращается
в нуль только в конечном числе точек параллелограмма
периодов. Теперь можно быть уверенным, что числа р19
Р29 Рз представляют все корни уравнения (2). Следова-
тельно существуют такие равенства:
224
Pi 4- Pi 4"Pa — »
Pi Pi + Pi Pa +-P2 Ря — у —
fe2 . g3
Pi PaPa — •y + 4 •
(4)
Из равенств (1) имеем далее для а и b значения
а = Р/ —Р* у - - Р1Р2—Р2Р1'
Р1 — Р2 ’ Pi—Pa
и из первого из уравнений (4) получается
Теорема!. Функция $(и), при произвольных значе-
ниях ulf u2 аргумента и удовлетворяет уравнению
1 \ । 1 / (и1)—F(w2)\2
H«l + «2) $ («1) $ (u2)+ 4 ( р(Ц])_р(„8) ) •
Мы опустили при формулировке теоремы ограничения, нало-
женные при доказательстве на значения un u2, так как
от этих ограничений очевидно можно избавиться. Так
как (uj и (2н) в силу дифференциальною уравнения
для функции $ выражаются алгебраически через (щ)
и соответственно $ (и2), то теорема I и будет теоре-
мой сложения для (и). Исключив из уравнений (4) числа а
и bt получаем теорему:
Теорема II. Величины
^(»1)=Р1> P(U2)=P‘> ^(«1 + «2) = Pb
удовлетворяют алгебраическому уравнению
(Р1+р2 ГРз)(4Р1Р2Рз —^з)"=(р1Р24-Р1Р84-Р2Рз + у) ,
которое представляет собой другую форму теоремы сло-
жения для функции
§ 9. Выражение эллиптических функций через
функцию р.
Пусть /(и) будет мероморфная функция с периодами
и <о2, т* е- функция, принадлежащая полю К. На основа-
15 Л. Гурвиц
225
йии § 5 можно бесконечным числом способов выбрать
постоянную с так, чтобы уравнение f(u) — c не имело
кратных решений. Рассматривая функцию /(«), различим
три случая.
Первый случай: Функция f(u) четная, т. е. /(—и) —
==/(и). Пусть [щ] будет одной из г систем решений уравнения
/(и) = с. Тогда система [— nJ будет отлична от этой системы.
Действительно, если бы было, что иг=— (а^, <»2), то и при
всяком произвольном Л мы имели бы, что щ + h = — ux-\-ht
а поэтому
/(И1+А)-/(~н1 + Л)=/(н1^Л) и /'(u. + Л) = —/Чи, —Л);
откуда
Ж)=о.
Таким образом, было бы кратным решением, что проти-
воречит предположению. В частности их ф 0. Из этого
замечания видно, что системы решений уравнения /(и) = с
можно следующим образом распределить попарно
[и 1]> [— И1]. [иг], [“ и-,], • • , [и*], [— UZ.];
откуда между прочим видно, что у четной функции f(u)
порядок г будет четным числом 2k. Для другого значения с
которое обозначим через с/, уравнение будет иметь
системы решений
К]. [— V1], HI, [— V2], .... [г»л], [—
Функция
имеет тогда те же полюсы и нули, что и функция
о(и) = [Р(ц)—Р(ц1)] [Р(ц) — ^(«г)]• • • [Р (и)—Р(»*)]
4 w [Р (и) -z Р («,)] [р (и) - р Ю]... [р (и) - р Ь)]- •
Отношение этих функций будет поэтому равно постоян-
ной С (теорема I, § 5). Решая уравнение
относительно /(и), видим, что справедлива
Теорема 1. Всякая четная эллиптическая функция
с периодами и в)2 может быть представлена как
226
рациональная функция от функции V (и), построенной
на тех же периодах.
Второй случай: Функция f(u) нечетная^ т. е. /(— и) —
—f(u). Так как Р' (и) такж§ функция нечетная, то отно-
шение будет функцией четной. Применяя к этому отно-
шению теорему I, получаем теорему:
Теорема II. Нечетную эллиптическую функцию с пе-
риодами и <*>.2 можно представить как произведение (и)
на рациональную функцию от ^(и).
Третий случай: Пусть / (и) будет произвольная меро-
морфная функция с периодами и <*>2. Напишем f(u)
в виде
/(«) - у {/(«) +/(- и) } !- 4 {/(и) —/(—«)},
т. е. в виде суммы двух мероморфных функций, имеющих
периоды и о>25 из которых первая функция четная,
а вторая нечетная. Применяя к ним предыдущие теоремы,
докажем теорему:
Теорема III. Каждую эллиптическую функцию f(u)
с периодами <иг и <*>2 можно представить как рациональ-
ную функцию от $>(и) и $'(и) и притом в виде
f(u) — R(y(u))- (1)
где К (х) и /?! (х)-~ рациональные функции от х.
Обратно, каждая рациональная функция /?2 (^(и), Р'(и))
от р (и) и от (и) будет эллиптической функцией с перио-
дами и о>2. Получающееся отсюда попутно свойство,
состоящее в том, что всякая такая рациональная функция
может быть представлена в виде (1), легко доказывается
непосредственно, на основании дифференциального ура-
внения для ^(и), так как это уравнение дает возмож-
ность выразить более высокие степени (и) через (и)
и люрез первую степень №'(и).
Производные от Т(и) представляют собой простейшие
примеры для доказанных здесь теорем. Так Как каждая
производная четного порядка ^2п(и) функция четная, то,
по теореме I, она будет рациональной-функцией от
Производная же нечетного порядка, по теореме II, будет
равна произведению Р'(и) на рациональную функцию
от (р (и). Написав в соответствии с этим
• №”^Rn(?) (2)
15* , 227
и, следовательно,
= /?/(£>)£>', (2')
причем для удобства письма мы не пишем аргумента,
имеем = в согласии с уравнением
*
£
полученным раньше дифференцированием дифференциаль-
ного уравнения для jp(u).
Дифференцируя уравнение (2'), получим
р(2п+2) = (jJ) (F) Г 3 = /?я+1 <Р)
и следовательно
Rn^ (Р) = Rn' (Р) ( 6 Р2 - j g2) + R„" (?) (4P8 - gi P - g3).
При помощи этой рекуррентной формулы можно, исходя
из Ru определить последовательно рациональные функ-
ции /?2, /?3, ... Так, легко получаем, что
Г2п) (ц) = Rn = (2п +1)1 Г+1 + • • •
будет целой рациональной функцией от р(и) степени п4“1-
То обстоятельство, что получающиеся здесь рациональ-
ные функции будут целыми, основано на следующем пред-
ложении.
Теорема IV. Функцию f(u)> имеющую в параллелограмме
периодов только один полюс и = 0, можно представить
в виде
/(u) = /?(P(u))4 Р'(и)/?1(Р(«)),
где R и Rt целые рациональные функции.
Действительно, если бы R (Р) обращалась в беско-
нечность при каком-нибудь конечном значении Р, то
4- f (— и) = 2R (р (и)) обращалась бы тоже в бесконечность
при некотором значении и, которое не сравнимо с 0. Та-
ким образом R будет целой рациональной функцией. Вели-
чина Р' (и) Rx (р (и)) также не будет обращаться в беско-
нечность ни для какого значения и, которое не сравнимо
с 0. Если бы теперь Rr обратилась в бесконечность
228
при конечном значении то одновременно должно было бы
быть jp'(u)~O. Так как
/1 V
л/
л?
/IV
то I yr ) , как функция от и, имела хотя бы простой нуль,
1 1 ,
' поэтому н" имела бы нуль кратности не ниже второй, а $>' (и)
имеет только простой нуль и, следовательно, $>' (н)/?1 (^(п))
все-таки обращалась бы в бесконечность. Функция
I
будет поэтому тоже целой рациональной функцией.
В качестве второго примера теоремы I рассмотрим
функцию ^(nu), где п целое положительное число. Эта
функция будет четной и имеет периоды и Таким
образом имеем теорему умножения для функции Р (и):
Теорема V. Функция ^(пи) может быть представлена
как рациональная функция от ^(и).
Формулы, соответствующие различным значениям и, легко
получаются при помощи теоремы сложения. Например, из
формулы
и,)=-?(«)- еы+± )’, (3)
когда Uj приближается к и, получается равенство
?(2«) = -2f(u) + ±(p(“})!
ИЛИ
i (б^-у^У
р (2и) == - 2# + т -^3_g^_g3 =
ft +
4?9-grf-ge ~ ’
где в правой части стоит вместо ^(н).
Заменяя в (3) Uj на 2п, легко получаем i°(3u) и-т. д.
Главная теорема этого параграфа, теорема III, пред-
ставляет большой принципиальный интерес. Она дает
ясное представление о множестве функций f(u), образую-
229
щих систему К, Эти функции совпадают с теми функ-
циями, которые выражаются рационально через $(и)
и (и).
§ 10. Дальнейшие свойства функций f(u).
Рассмотрим две какие-нибудь эллиптические функции f(u)
и /х(и)> с периодами о>2- По теореме III предыдущего
параграфа имеем
/(п)==/?(!Р,П Л(ц) = /?1(Р,П,
где /? и /?i рациональные функции. Присоединяя сюда
уравнение
^'2 = 4^3 —Яз
и исключая р и ф', получаем алгебраическое уравнение
G(/(«),A(u))=o,
коэффициенты которого не зависят от и. Следовательно
имеет место
Теорема I. Между всякими двумя эллиптическими
функциями f(u), имеющими одинаковые периоды шх,
ш2> с/ществует алгебраическое уравнение с постоянными
коэффициентами.
Прилагая эту теорему к случаю (и) = /'(н), получаем
теорему
Теорема II. Каждая эллиптическая функция f(u)
удовлетворяет алгебраическому дифференциальному урав-
нению
G (/(и),/(и)) ==0,
левзя часть которого будет целой рациональной функцией
с постоянными коэффициентами.
Аналогичным образом доказывается
Теорема III. Каждая эллиптическая функция f (и)
обладает алгебраической теоремой сложения.
Действительно, имеем
. /(и, г и2) — R (? (ui г “г), (“1 + «•?))• 0)
Полагая для краткости
= P'(«1) = F1'> P(«s>) = Ръ №'(ич) — Ръ>
230
имеем на основании теоремы сложения для функции что
Р («1 4" «г) = Ri (Pi» Pt', Pi, Pi), (2)
где — рациональная функция-, коэффициенты которой
не зависят от Uj и н2.
Дифференцируя (2) по uv находим
^'(«i 4- u-j) = р/ 4- Р" (и>) = ^2<pi, Pt, Pi, Pi), (3)
причем мы воспользовались равенством
^"(и,) = 6р12 —
Вставляя выражения (2) и (3) в {1), получаем
У(и14-И2) = ^з(Р1» Pl, Pi, Pi)' (4)
Примем во внимание еще следующие равенства:
f(Ui) = R(p}, Р1'), f(u2) = R(p2, р-2')
Pt2 = 4pt3 — giPi — ga, Pi2 = 4p23—giPi—gs.
Из пяти уравнений (4) и (5) исключим четыре вели-
чины р[у р^, р^ р{, Тогда получим уравнение вида
G(/(U14-u2),/(«iX/(«J)=o»
что и доказывает теорему III.
В связи с этой теоремой заметим следующее. В своих
лекциях об эллиптических функциях Вейерштрасс исходил
обыкновенно из вопроса о тех аналитических функциях,
которые обладают алгебраической теоремой сложения,
и доказывал, что те из этих функций, которые одно-
значны и трансцендентны, будут или рациональными
2nju
функциями от показательной функции е ю , или эллип-
тическими функциями. Мы не можем рассматривать здесь
доказательство этого предложения.
§ 11. Функция Цн).
Рассмотрим теперь ближе ту функцию £ (и), производная
которой с обратным знаком давала функцию F (и). Мы
имели (§ 6, (4), и § 7, (2))
231
1 u3 u5
Co "q Cy . •
U □ J
(1)
Из разложения функции \ (и) в окрестности нулевой
точки плоскости видно, что
ц_и) = _г(и)>
т. е. что С (и) нечетная функция.
Решим вопрос о том, что произойдет с функцией С (и)
при изменении и на один из периодов?
Так как
то £(u4~u>i) — ъ(и) величина постоянная и аналогично
будет постоянной величина — £(«).
Пусть
Ци~г<»1)= Ци)-Н1, Ци-г<й2) = Чи)-гг12» (2)
где и постоянные, которые легко выражаются че-
рез и <о2.
Действительно, подставив в равенства (2) вместо и зна-
71
С»>1 Г / \
чение—у и соответственно—-у и заметив, что \ (и) нечет1
£t £
ная функция, находим
((Di \ / (D.4 \
L 1 у 2_ I
2 Ь г<2 — g / ’
(3)
где правые части, в силу уравнения (1), зависят каждая от
и <о2, и только от них. Пользуясь последовательно несколько
раз уравнением (2), получаем:
где mY и т2—целые числа.
При увеличении аргумента и на период ы = т% <о2>
функция С (и) изменяется на постоянную т] = гщ -J- тл2т12,
которая тем же способом составляется из rlu т12, каким
_ период zu составляется из <Dn <d2,
232 .
Между величинами т12 и <о2 существует важная
зависимость, которую можно получить следующим образом,
функция С (и) в параллелограмме периодов (и0) имеет
только один полюс с вычетом, равным 1. Поэтому
Uo+^2
Jr,(u)du= f KCu-r-oh) — C(u)} du —
(Wd) Wo
Wo+Wl
~ f 4(u4®2)~ ^(u)}du = 2r.i,
Wo
где интегралы в правой части взяты по прямолинейным
путям; откуда, в силу равенств (2), получаем
•*11 ®2 — г^ = 2к{.
Эта зависимость называется в литературе обычно соотно-
шением Лежандра.
§ 12. Выражение эллиптических функций через С(я).
Мероморфная функция «(и — а) в точке и — а и во всех
конгруэнтных с ней точках, т. е. во всех точках системы [а],
имеет простой полюс. По формуле (1) предыдущего пара-
графа в окрестности точки и = а имеет место разложение
C(u-a)=-^-+P(u-a). (1)
U и
Пусть теперь f(u) будет эллиптической функцией с пе-
риодами и в)2. Пусть в некотором параллелограмме
периодов (и0) эта функция имеет только простые полюсы а1}
а2, .. .>аг с соответствующими вычетами А19 А>, .. Аг.
Так как сумма этих вычетов равна нулю, то функция
(и) = A1'Q(u — А \ (и — aS) к .. . + At. С (и — аг)
имеет те же периоды и Действительно, если и изме-
ним, например, на («р то в силу формулы (2) предыдущего
параграфа будем иметь:
? (м 4 °»i) = ? (и) + Тц -41 4- Л 4- • • • -Г "'ll Аг =-= ? (и).
Кроме того, в силу (1), мероморфная функция <р(п) имеет
в параллелограмме периодов (и0) те же полюсы и с теми же
233
вычетами, что и функция /(и). Разность будет
постоянной, так как она не имеет совсем полюсов,
В полученном, таким образом, равенстве
f(u) = А + А С(м -г АЛ (и - а2) 4- ... +
* — а,),
где А— постоянная, можно заменить каким-нибудь сравни-
мым с ним числом. Действительно? в силу равенства (4),
§ 11, такая замена изменяет только постоянную А. Суще-
ствует поэтому
Теорема I. Если функция f(u) имеет только простые
полюсы и если числа ах, а2, .. ., аг образуют полную систему
этих полюсов с соответствующими мероморфными ча-
стями
А, А2 Аг
f > • • * » >
и — аг и — а2 и — аг
то
f(u) = A А-(«-«1)-Г «2) F...+АЦи-аД
где А—подходящим образом выбранная постоянная.
Так как
:(и-а) = —-Ч- УЧ-------------+ - + (2)
и—а / \ \а—а — w w /
то предыдущее равенство очевидно представляет собой
разложение на простейшие дроби функции /(и).
Рассмотрим, например, функцию
-ж12
где v обозначает какое-нибудь заданное значение аргу-
мента, которое предположим сначала несравнимым с — о,
т. е. несравнимым ни с периодом, ни с полупериодом.'
Точки vf — v, 0 образуют полную систему полюсов функ-
ции f(u) с соответствующими мероморфными частями
1 1 . —2
и — Vf U 4~и
Действительно, в точках u = v, — и разность ^(u) — fp (v)
обращается в нуль первого порядка, а в точке и~0 эта
разность обращается в бесконечность второго порядка. По
теореме I поэтому имеем
234
=А++-> - ад-
Заменив здесь и на — и, получим
- = А - 'С " ”) - - "> + 2-<
(3)
(4)
так как $(и) четная, a t(u) и $'(и) нечетные функции.
Складывая (3) и (4), видим, что А = 0.
Перестсвдв в (3) и и v между собой и сложив полу-
ченное равенство с равенством (3), получаем
1 ^'(u)--^(v)
2
Z(u — г) — -Ли) -— '^ v).
Это равенство назовем теоремой сложения для функ-
ции С(и). Дифференцируя это равенство по и или по vt
получаем новую форму теоремы сложения для ^(и):
Н г ' ” ' 2 Л \ F(u)-K«) /
-yW 1 * / Р'-)- Р-М \
И ’ 2 w1 ?(u)-?W Г
Рассмотрим теперь случай, когда f(u) имеет полюсы
произвольной кратности. Пусть а какой-нибудь полюс
функции /(и). Соответствующую мероморфную часть f(u)
напишем в следующем виде:
A А'
и — а (и — a)2 j
21 А!’ , , п4_> (£—1)! •
~(7=^й • (5)
В силу (2) функция
ДС(и—а)-\-А'С(и—а) +
Ь A'V(u — а) 4-... + Л'*-’’ --а)
имеет ту же мероморфную часть в точке а, что и /(и). Отсюда
совершенно аналогично теореме I получается
235
Т е о р е м а П. Произвольная эллиптическая функция f(u)
может быть представлена в виде
f(u) = С -F 2 { - а) + AV(u - а) 4-
4- А"С"(и - а) 4-... + ’fc-,)(u - а)}, (6)
где сумма распространена на все различные полюсы, рас-
положенные в параллелограмме периодов функции f(u).
Постоянные А, А'..соответствующие отдельным полю-
сам, получаются из мероморфной части f(u)t заданной
в форме (5). С обозначает постоянную.
Производные от Z могут быть выражены через функцию
и ее производные, в силу чего (6) принимает вид
/(u) = C+2R«-a)-
— А'#(и — а)~ А"$>'(и ~а) —... — — а)}.
§ 13. Функция з(г/).
Интегрируя функцию
вдоль пути, соединяющего нулевую точку плоскости с какой-
нибудь точкой и, получим
й
о
где логарифм имеет вполне определенное значение
и
\ W I J V —w
о
Путь интегрирования должен при этом удовлетворять
только тому условию, что он не проходит через отличные
от нуля точки периодов w.
В силу общих теорем теории функций *) бесконечное про-
изведение
I) Ср. часть 1, гл. VI, § 9.
236
o(u) = uTT
представляет собой такую целую функцию от и, для кото-
рой точки периодов будут простыми нулями. Формулу (1)
можно переписать так:
и
(2)
о
Логарифмическая производная от s(u) дает опять функ-
1Ю С(и):
= (3)
' 7 du <з(и) 4 7
Таким образом С(и), а вместе с тем и
ад(4)
выражаются через целую трансцендентную функцию <з(и).
Равенства (3) и (4) изображают мероморфные функ-
ции Ци) и ^(и), как отношения целых функций*
Исследуем подробнее функцию о(п). Что касается разло-
жения этой функции в окрестности точки и = 0, которое,
как мы знаем наперед, должно сходиться при всяком ко-
нечном и, то прежде всего из равенства (2), в силу фор-
мулы
получаем:
II4 U8
_С- 12 С’ 80 ’
s(u) = ие —
{i& и 1
(5)
где'
Р — Jk _L j---£2--„2Я-4 1
12 1 30 2п(2п — 1)“
237
Так как в силу теоремы III, § 7, величины с2» с3,..., cnt...
являются целыми рациональными функциями от g2 и g% е ра-
циональными коэффициентами» то из (5) получаем
Теорема!. Разложение <з(и) в окрестности точки
у *5= 0 имеет вид
3 (u) = U 4- ^2Иб 4~ ^3«7 4- . (6)
где коэффициенты будут целыми рациональными функ-
циями от g%, gs с рациональными численными коэффи-
циентами. Первые дна коэффициента будут равны
i _____с2______ §2 J. __С3 ____
12 ~~ 240 ’ 30 840 ’
Из разложения (6) видно, что ъ(и) будет нечетной функ-
цией.
Теорема II. Имеем, что
а ( — и) = — о(н).
Решим вопрос о том, как изменяется <з(п) при изменении и
на период
w = т^?
Как мы видели,
С (и 4~ ы) = Z(u) 4~
или
__ ох(ц) ) у
o(u + w) <з(и) *’ .
где
= лм14~т27Ь>-
Интегрируя, получим
1g 3 (и 4- w) ~ 1g ?(ц)
или
о (и + w) =
Это равенство перепишем в таком виде:
и 4" “77“ )
э (и 4“ w) == С е 4 “ з (и),
где С — постоянная, которую надо определить.
238
Для вычисления С дадим и значение, равное—
В случае з I) Ф 0 получим:
у & /
/ W \
с=[ 3(ц I — \ 2 /
I ° (u) I w I w \ ‘
' ; « — — -Г- о I---|
8 2 \ 2 /
Поэтому если -х- не будет периодом, т. е. если ni1 и т2
не будут оба четными числами, то С — —
1. Если же ~
будет периодом, т. е. если т и т2 будут оба четными, то
л / w \
последняя формула неприложима, так как тогда а I I
\ £» /
обращается в нуль. В этом случае
f ( х _ t I W \
так как з (и) функция четная и о | —-1 не равна нулю.
Поэтому существует
Теорема III. Если тщ и т2 целые числа и
w = т^ 4~ ™ 7» ™iYii + ЛМ2,
то имеет место равенство
(н 4*~ £ е '
где е= J-1 или г — — 1, смотря по тому, будет ли
периодом или нет.
Так как mY 4~/w2'r тхт2 только тогда четное, если
и т2 четные, то е можно представить в виде
Ш1 + W-2 + W1 WJ
239
Из теоремы III в частности следует, что
о(и4-Ш1)=ж — е V /о (и),
/ , 'Х \ W
v W и+~-
а (и -j- w2) = — е А (и).
Повторным применением этих равенств можно опять по-
лучить общее равенство (7).
Рассмотрим еще отношение
где а н b — две каких-нибудь постоянных. При изменении и
на период из (7) получим очевидно, что
(и 4~ w) = er^a~b} у(и). (9)
Таким образом, отношение <р(и) при этом умножается
на
§ 14. Выражение эллиптических функций через
функцию а (и).
Пусть /(и) будет эллиптическая функция порядка г. Пусть
., Ьг образуют полную систему нулей этой функции,
а ан а2, ...,аг полную систему ее полюсов. По теореме V,
§ 5, имеем
К 4“ Ь2 -г ... -г Ьт = «1 4- а2 4~ • • • 4~ аг 4 4- т2<о.2.
Можно теперь заменить аг на аг 4~ 4“ так как
точки а19 а2,..>, ar-i, аг4~тл4”образуют также пол-
ную систему полюсов функции /(и), как и точки а19 о2,..., аг.
Таким образом, нули функции и ее полюсы можно выбрать
так, чтобы
К 4“ ^2 + • ' • + = «1 + «2 h • • • Г ar- (1)
Если это сделано, то мероморфная функция
г/,л _ °(ы —&1) °(u — b2)...a(u — br)
' а (и — аг) в(и-~ас>) ... я (и — а,)
будет иметь периоды и <о2. Действительно, в силу фор-
240
мулы (9) предыдущего параграфа и в силу равенства (1)
имеем
F(u + w) =
Далее, функция /(и) имеет те же самые нули и полюсы,
что и функция F(u). Отношение этих функций не будет
поэтому совсем иметь полюсов и будет постоянным. А потому
существует
Теорема!. Всякую эллиптическую функцию f(u) можно
представить в виде
/и -,
О (и — aj а (и — а2). ..a(u — at)9
где С постоянная, Ьи 62,... ,ЬГ полная система нулей,
а яр я2, • • •> аг полная система лолюсов функции f(u), ко-
торые при этом выбраны так, что
^1 + ^4" ... -j- ЪТ = «14“ а2 + • • • 4" ат*
Рассмотрим например функцию
/(и) = — $(v),
где v произвольно заданное значение аргумента, отличное
от всех точек периодов. Выбрав
Ьх = v, b.2 — —v, аг — О, я2 — О,
получим
РМ-РМ=с^Ш.
Для определения постоянной С умножим обе части равен-
ства на я2 и перейдем к пределу, устремив и к нулю. Тогда
получим
1 Со ( — v) о (и).
Таким образом имеет место
Теорема П. Для любых двух значений^ и и v аргу-
мента справедливо равенство.
= (2>
Из этой теоремы получается легко
Теорема III. Для функции Р(я), построенной при по-
мощи периодов и эпги числа дают пару основных
16 а. Гурвиц 241
периодов, т. е. не имеет других периодов) кроме
w = + ти2<о2.
Действительно, пусть w какой-нибудь период функции Ни)>
тогда
t <«+»)-wU) - - - - 0
и притом для всех значений и. Отсюда видно, что о (w) = 0,
и следовательно w будет одним из нулей функции о (и), т. е.
w = -J- т2<о2,
функции
касается
что и требовалось доказать.
Прологарифмировав равенство (2) и продифференциро-
вав его затем по н, получаем доказанную раньше в § 12
формулу
из которой была получена теорема сложения для
С (и).
Другой интересный вывод из формулы (2)
функции $'(и). Пусть в равенстве
F (ц)—__ _ g (ц 4~ ° (ц —
и — v о2 (и) <з- (v) и — v
v стремится к и. Тогда получим
r(u)„2J24
5 w o*(u)
Если здесь $(и) выразим по формуле (4), § 13, через а (и),
то после простых преобразований получим следующую за-
мечательную функциональную теорему для функции а (и):
а(2«) = а(и){2о'8(«) —За(«) о'(и) *"(«) + *2(и) *'"(«)).
В качестве дальнейшего примера на теорему I рассмо-
трим функцию f(u) =
Здесь можно за нули
А —
(3)
и полюсы этой функции взять
. — м1 + ю2 L _ ®2
©2— g ’ °3— Т’
fli = 0, а2 = 0, а3 — 0.
242
Тогда получим
У («) = с
°8(«)
Постоянная С определится, если, умножив равенство
на и3, перейдем к пределу, устремив и к нулю; в резуль-
тате получим:
§ 15. Функции (#)> £ (я), (и), как функции от «, <0^ <о2.
Функции С (и), о (и) определены только после того,
как выбраны периоды <4 и о>2 под условием, чтобы ~
было невещественным. Таким образом, эти функции
будут функциями от трех аргументов и, <о2 и могут
быть обозначены так:
^(u/o>i, ®2), С (и/®!, о>2), 3(и/«>1, “г)-’
Из равенства
₽ (и)=Л 4- V7 > 1 ч2 —Ц, (1)
U \ \U -------- W/ W!
которое определяет функцию <*>2) видно, что эта
функция будет однородной относительно трех ее аргумен-
тов. Действительно, для произвольного, отличного от нуля
множителя X имеем, очевидно, равенство
Р(Хц/Х®х, Х®2) (2)
Л
Из равенств, определяющих функции С и о, аналогично
найдем
:(хи/х®1, х®2)=~ Ш2)
Ха>2) = Хо (ц/фр со2).
Таким образом существует
16* 243
Теорема!. Функции ft, С, о являются однородными функ-
циями. от трех аргументов и9 о>2 с показателями одно-
родности, соответственно равными —2, —1, 4~1-
Эти функции могут быть поэтому легко сведены к функ-
циям от двух аргументов. Действительно, дадим в равен-
ствах (2) и (3) X значение, равное —, тогда получим
1 /17 Шл \
Р <%) = —7 РI — 1» —) .
С (и/®!, ®2)= — с(— 1А) ,
(и L \
— /1,— I.
Ш1 / Ш1 /
Отсюда и видно, что эти функции сводятся к функциям
и <02
двух аргументов — , — .
Рассмотрим здесь еще вопрос о том, при каких условиях
имеет место равенство
®2) = р (и/®/, ®2') (4)
тождественно при всяком и, или, что то же самое, вопрос
о том, когда функция (и), построенная при помощи пе-
риодов тождественна с такой же функцией, построен-
ной при помощи периодов со/, о>2'.
Если равенство (4). имеет место, то по теореме Ш, § 14,
как периоды a>lt <о2, так и периоды будут основными
периодами функции $(и) и множество периодов, составлен-
ных из и <о2:
w = -J- тп2а)2 (5)
будет совпадать со множеством периодов, составленных
из со/ и <о2':
w' — т /ш/ 4- т/ш2'. (6)
Это условие, необходимое для существования равен-
ства (4), является и достаточным. Действительно, если мно-
жество значений w совпадает со множеством значений о/,
to по формуле (1) функции $?(и), построенные при помощи
периодов и <о2 и при помощи периодов и будут
тоже тождественны. Введем следующее определение:
244
Две пары чисел <»2) и называются эквива-
лентными, если множество чисел w, составленных при
помощи первой пары, полностью совпадает со множе-
ством чисед w', составленных при помощи второй пары.
Тогда имеет место следующая
Теорема И. Необходимое и достаточное условие для
того, чтобы функция $(и), построенная при помощи пе-
риодов и ш2, получалась та же самая, что и при
помощи периодов а>/ и а/, состоит в том, чтобы пары
чисел ю2) и (со/, О были эквивалентны.
Рассмотрим теперь условие, при котором совокупность
значений (5) совпадает с совокупностью значений (6), при-
(0.)
чем предположим только, что отношение не равно ра-
циональному числу.
Если значения w и w совпадают, то во всяком случае
должны иметь место равенства следующего вида:
ш/ = amj 4- р<02; • 4- 8а>2; (7)
«1 = а'®/ 4- р'<о2'; = (8)
где а, Р,.., 8' целые числа. Подставляя значения <яг' и ®2' из
равенств (7) в равенства (8), получаем
“1 = («'« + Р'т) “1 + (а'3 + ?'8) °>2
<°2 = (/“ + 8'?) “1 + (l? + 8'8) Ш2-
Так как не есть число рациональное, то эти равенства
должны быть тождествами относительно «4 и <о2, т« должно
быть
а'а4-₽'7 = 1, а'Р + ₽^ —0> /а -|- 8'7 = 0, /? + 8'8=1
По теореме умножения определителей имеем следова-
тельно
(«8 —₽7) (а'8'_ру) = :и*
и поэтому
«8 — £7 = z±z1.
Обратно: если уравнения (7) имеют место, причем,
а, Ъ 8 целые числа, определитель из которых а8—
равен ± 1, то, решая эти уравнения, получим
®1 — ~(8а>/ — ро>2'), <02 = zt ( — 7®/ 4- “V)
245
и ясно, что каждое число w = 4“ ^i2<o2 можно предста-
вить в виде т/м/ -^-т2®2 (притом-только одним способом)
и обратно. Таким образом, пары (шн <о2) и (<»/, <о2') будут
эквивалентны.
Теорема III. Если отношение не есть рациональное
число, то необходимое и достаточное условие эквивалент-
ности двух пар чисел (а^, <о2) и состоит в том,
чтобы существовали два уравнения вида
<о/ = aajj -J- о>2' — ~4
где а, £, 7, 8 целые числа с определителем а8—0?= ± 1.
Теорема II остается очевидно справедливой, если в ней
заменить функцию $(и) функцией С (и) или функцией <з(н).
Действительно, так как $(и) = — С(и) и С (и) = , то ра-
венство (4) будет иметь место, если при помощи пары (<ои <о2)
получается та же самая функция С (к) или ° (и), что и при
помощи пары (<*>/, <о2'). С другой стороны, если пары чисел
и эквивалентны, то тождественность функ-
ций С (и) и соответственно v(u) вытекает из определяющих
их равенств.
Так как коэффициенты в разложениях функций ^(и),
-.(и), <з(и) в окрестности точки и = 0 будут целыми
рациональными функциями от g2 и g3i то эти три функции
можно рассматривать как функции от и, g2t g3> При этом
область аргументов g2 и g3 должна быть ограничена только
такими значениями, для которых уравнения
8-=60 2 140 2 ^w=z
удовлетворяются» парою чисел (а^, <*2) с невещественным
отношением —. Так как значениями g2 и g3 вполне опре-
(Oj
деляется разложение функции $(и) в окрестности точки
и = 0, а следовательно и самая функция (и), то при задан-
ных g2 и g3 два различных решения (<ор <о2) и (<»/, а>2')
уравнений ^9), по теореме II, должны быть эквивалентны.
Теорию уравнений (9) мы подробно рассмотрим дальше
в главе IV.
246
Таблицы формул главы I.
(ы == -р тпг0^)-
(1)
°(«) = и + + *8«7+ • • • + £иц2та+1 + • • • >
P(«) = -^--|-C2U2 + csU44- • • • +Сп«2” 2 + ---
Коэффициенты сп суть целые рациональные функции
°т gn S3 с положительными рациональными коэффициен-
тами, коэффициенты кп - целые рациональные функции от
£о, Яз с рациональными коэффициентами:
С2~2(Г2’Сз —28Яз,"‘’ *2----240 й’ *3---- 840й’”'
&=б0Х^’ "’==моУ^;
Д = ^3-27^;
* , / О) . \ / <*>1 ~т 0)., \ / <0о \
61 е2 = Ц ез = ^Ц"2/:
(3)
^<#2-------T]2a)i =2717.
247
Г2(«) = 4Г(и)-^Ш-^== ] I
= 4p(u) — е1)(Н“) — еа) (?(“) — ез); I до '
Г(и) = бК«)—2-^2 ;
р(«+«4 — P(u); i
C(u 4- «О = C(u) -f- Z!
< i \ z . (5) j
а(ц -f- vi) = ее ' 7 a (u). |
zz?=m1<»1-|-m2<o2, >l=m1vj1-J-zn2'»]s s=-|-l или e = —1,
смотря по тому, будут ли zzij, тп2 оба четные или нет. !
Ю(ц) - #(V) = - О(ц-р);
SW 5W a2(u) о2(о)
ц«+.ш^.)-вд=у^
<6) .
Ни+„) = _к„)_и„)+^(&тр i
Выражение мероморфных функций f(u) с периодами <»! i
и <о2 через а (и), Ци), #*(и):
/ал — г °(« — 6г)
' а (и — aj а (и — а>) ... а (и — аг)
(Ьх + Ь2 + ... 4- Ьг = аг -|- а24- • • • 4“ аг)>
/(и) = С + 2 ИС (и - а) 4-Л'С'(н - а) 4-
/(а) = R (^(п), Г(«)) = /?i (Р (и)) 4- Р'(и) /?2 (Р (и)).
248
-
Глава IL
ТЭТА-ФУНКЦИИ.
Рассмотренные в главе I функции выразим теперь через
очень быстро сходящиеся ряды, так называемые тэтпа-
ряды. Это представление основывается на одном общем
предложении, которое и изложим в § 1.
§ 1. Представление целом функции с заданным периодом
в виде ряда.
Пусть <?(и) будет целой функцией от и, имеющей отлич-
ный от нуля период <о. Обозначив
е~==с, (1)
исследуем ? (и) как функцию от С. Значения и можно при
этом изображать точками в первой плоскости, в плоскости и,
а значения С точками во второй плоскости, в плоскости С.
Если в последней плоскости задать какую-нибудь, отлич-
ную от нуля, лежащую на конечном расстоянии точку
С — а, то в плоскости и ей будут соответствовать точки
U = 2^. (1g а + т 2^i) = ^/Ig т<о,
где 1g а обозначает главное значение логарифма, а т при-
нимает все целые значения. Так как ?(и) имеет период <о,
то заданному значению С = а соответствует одно только
значение:
<р(и) = с
и следовательно функция <?(и), рассматриваемая как функция
от С, будет однозначной в области, образованной всей
плоскостью С, за исключением точек С = 0 и С = со. Легко
видеть, что эта функция будет регулярной в указанной
области. Действительно, пусть а и b будут две соответ-
ствующие точки плоскости С и плоскости и, так что
(2)
249
Znib
Если и расположено в окрестности точки 6, то С
лежать в окрестности точки а. Из равенств (1)
имеем
2гл (и-Ь)
будет
и (2)
Из разложения функции <р(и) в окрестности точки и = b
?(и) = е0.4-С1 (и —6)4~с2 (и —б)2-}-
на основании теоремы Вейерштрасса, получаем:
?(«) = с0 +- С1Р (С - а) 4- с2 (PG-a)>+... = А(С - а),
т. е. ? (и) в окрестности точки С = а, действительно, изо-
бражается обыкновенным степенным рядом.
Опишем теперь около нулевой точки плоскости С круг
произвольно малого радиуса и другой круг произвольно
большого радиуса. Для всех точек кольца, ограниченного
этими кругами, в силу теоремы Лорана, имеем следующее
представление ф(п):
2кги
(3)
Существует таким образом
Теорема. Каждую целую функцию ? (и), имеющую пе-
риод ш, можно по формуле (3) разложить в ряд, располо-
женный по положительным и отрицательным целым сте-
2ni и
пеням е ш и сходящийся при всяком и.
§ 2. Обозначения.
Как и в главе I, будем рассматривать функции от пере-
менной и и от величин <4, ф2; при этом введем некоторые
новые обозначения, которых всегда и будем придержи-
250
ваться. Пусть <о1 = 2<*>, <о2 = 2«/, так что <о и о/ обозначают
1 1 ГТ
соответственно полупериоды -q и к а>2. Пусть далее
л &
<о„ »' in-t U
г==ш’ = ш’А==е ’^ = 271’ ^=2ть ^=2^’
гпи
i-.v 2u>
z=e =е .
из главы I, § 11, в новых
*i. (1)
Равенство — Tl2<°i = 2~z,
обозначениях принимает вид
7]о/- 7]'(0 :
Величины <ох и <о2 должны удо-
влетворять условию, чтобы ПО~
ложительное направление об-
хода параллелограмма перио-
дов (0) определялось такой
последовательностью вершин:
0, ш1> ~Ь ш2> ш2- Отсюда сле-
дует, что точка <о2 будет рас-
положена с той же стороны
от прямой (0... «J, как и точ-
ка 1<0р
Поэтому будет (черт. 49)
ш2 = а 4“ & —
где г и s — вещественные числа
Имеем поэтому
Черт. 49.
'1 +««>1,
и s > 0.
Г . л I 7 <
т = -~ = r4-fS s>0h А =
(01 1 1
(г 4-is) __ e~ns
Заметим еще, что при всяком произвольном значении
показателя р, под Ар и zp мы понимаем соответственно
гптр и е rcvp.
§ 3. Функция frifa)-
Значение функции с(и), соответствующее значениям
аргумента и -р <ох или иЦ-о>2 (глава I, § 13, (8)), в новых
обозначениях изображается так:
3 (u4-2<o) = - е2<м+ш) а (а), а (и + 2ш') = - е8”' (“+<и9 с (ц).
251
Определим теперь постоянные а и Ь под .условием, чтобы
функция
/ \ ___ аиР-^-Ьи / \
ф(н) в е а (и)
имела период 2<о.
Так как
2<о) ___ ____ 2(2au>4-^)(tt-|“<o)4-b 2d),
<r(u) ~~ е
? (и 4~~ 2а/) ___ ___ 2(2шв'4-7/) (и4-ф')4-ь 2ш'
? (и) ~ е
71 L Ы ' z ч
то При а = — 2^, Ь = 2^ функция <?(и)
действительно бу-
дет иметь период 2о>.
Легкое вычисление показывает, если принять еще во вни-
мание формулу (1) § 2, что при таких значениях а и b
будет
<г(и-4-2<» ) — —~ — _2
——1_—' = — е = — е = — г .
?(«)
Отсюда получается:
Теорема I. Функция
TjU2 niu _
✓ ч 2о> 2ш / ч 2о> / х
?(ц)“ е <з(и) = е г<з(и)
(1)
удовлетворяет уравнениям
? (и + 2Ш) == ? (и), ?(и 4- 2<о') = — z “2<р (и). (2)
Так как ?(и) целая функция, то в силу § 1 мы
имеем
ф
2к{и
—п
Апе 2<и
2п
idu
2со
z= е
— оо
£
I
Внося это во второе уравнение (2), получим
2п 12п
2п—2
п4-1
2п
Z
f
252
откуда, сравнивая коэффициенты, имеем при всяком и це-
лом п равенство:
или
1ч« + 1А-(И+тЛ , n„
( — 1) Л Ап+1 =( — 1) Л Ап.
Левая часть этого равенства получается из правой заме-
ной п на п 4- 1. Отсюда заключаем!, что величина
при всяком п сохраняет одно и то же значение. Обозна-
чая это значение через С/, имеем:
+00 / 1 ?
(-1)” А 2 гЛ
П~— ОО
где С постоянное.
Введя обозначение
п — —-оо
и пользуясь формулой (1), имеем'
Tjll’ Till?
а(и) = е^г~1?(и) = е2,и СШ.
Для определения постоянной С разделим равенство на
u — 2<nv и будем приближать и, а значит и v к пределу 0.
Так как =&1'(0)> то
\ v /V—0
1 = С
У(0)
2<о ’
и следовательно
о(“)=е2ш W)Mv)
(we£); (4)
253
Ряд, определяющий функцию можно написать
в несколько другом виде. Условимся раз навсегда в сле-
дующих обозначениях:
При суммировании по букве п будем придавать п все
целые значения (0, ±2,. ..), при суммировании по g
будем придавать g все четные целые и положительные
значения (2, 4, 6,..при суммировании по v будем при-
давать v все нечетные, целые и положительные значе-
ния (1, 3, 5,...У. Те же значения будем придавать бук-
вам п, g, v и тода, когда они служат значками в бес-
конечном произведении.
При этих обозначениях из формулы (3) имеем:
так как все числа v и —v вместе образуют множество
всех чисел 2п—1.
Так как
V-f-l —v-f-l —V-f-1
(-1)“=(-1)\-1)~= -(-1)~
и
z —z — е —е = 2z sin (vw),
то
• 1
&1(г/) = 2^(—1) 2 Л4 sin =
( £ 9 25 1
— 2 |Л4 sin w — h* sin 3 ~v h4 sin 5to---(5)
Функцию (v) назовем первой тэта-функцией, а определяю-
щий ее ряд (3) или (5) первым тэта-рядом. Эта функция
будет целой и нечетной функцией от о. Кроме о, она за-
висит еще и от отношения периодов т. Это обстоятельство,
в случае надобности, будет выражаться тем, что вместо \(v)
будем писать &1(г//т).
§ 4. Функции <х2(а), <*3(а).
Кроме функции ^(v) введем еще три других тэта-
функции, которые лучше всего связать с функциями, обо-
значенными Вейерщтрассом через ^(u), s.2(u), <з8(и).
254
Если в равенстве
___о (и 4~ и') а(и —и )
с2 («) • с2 (и')
заменим и покупериодом & — т& 4“ т'®', где тп и тп це-
лые числа, которые не будут оба четными, то получим
Так как
о(н 4~ 2<Ь) = — е2^м+ш)а (и) (vj __ mTj ти'т/),
то, заменяя и на и — <Ь, имеем:
а(и 4~ &) = — в2^м а (и — со) = е2^м а (ш — и)
и следовательно
Кн) — Нй) =
(е^и о (<Ь — и)
| о (и) о(ф)
(1)
Зададим здесь последовательно тп = 1, m = 0; m = 1,
тп — 1; m = 0, тп — 1 и следовательно соответственно
~ I / °>14~ ш2 ~ / <°2
О) = О) = “-J со = СО (О — - —со = со =
При обозначениях
= , о!(и) = е1'+«“
О (о/---и)
о(<о)
о8(и) = е
а(со 4~а/ — и)
(2)
равенство (1) дает формулы
Р(п) —е! =
62 =
(3)
из которых видно, что каждая из трех функций ^(и) — ек
имеет только двукратные нули и двукратные полюсы.
255
Функции (и), <з2 (u), з3 (u), определенные равенствами (2),
будут целыми функциями от и и притом четными, как это
видно из формулы
0 (ц _|_ ф) _ еЪи а — иу
Кроме того, из равенств (2) следует, что
М0) = *2(0) = о3(0) = 1.
Принимая эти равенства во внимание, перемножая равен-
ства (3) и пользуясь дифференциальным уравнением для
^(п), легко получим:
<£)'(,Л — — 9 3»(Ц) 32<Ц) °з(Ц)
* W~ £ аЦи)
§ 5. Функции Э-2 (v), (v), &0(®).
Из формулы (4), § 3, а именно:
»(a) = Ce!"»,(i),
где С обозначает постоянную, т. е. независящую от и ве-
личину, легко получаются аналогичные выражения для
функций ^(и), а2(и), а8(и).
Обозначив, как и в предыдущем параграфе,
<Ь = та> -|- т'<о', т] = тц -f- m'rf,
сперва получаем
(ш—w)s
° ~ а /—
е а(<ь) с(ш)е \ t
откуда после простых преобразований имеем *
— u)_~ 2^ (’><0~u”>)- — ц\ _
е Се е Ц 2® /
С2и) —а IП2 । т \ /<4
е z Mj+yх —И- W '
При этом выводе мы воспользовались равенством :
--65т] = (/nt] -h oi't]') U> (тп<0 4“ zn'd»') t] = m yr I
и обозначили через С постоянную..
256
Из равенства (1) получаются три равействз
т,и2
а2(и) = С2е^г_1
<з3 (u) = Cs ё2и> г* Му-Л
\ £t /
(2)
Воспользуемся теперь формулами (3) и (5) § 3
ai (4—И = — Mu~-4) =
\ £ f \ £ /
/2л —1\2 /2п—1\2
- -i2(-1)” А 3 (- «Г-1 = 2 Л 2 =
п п
ч’
= 2 2л4 COS (vkv).
Заменив здесь г> на о — sj и заменив поэтому z на
£
_ л
zh 2, имеем далее
г2п—1\2 . 2?i—1
&i 4+4-4=2A А 2 z2’i-j=
= Л"Ъ2 A(n-1),z2n-2=A-^SAna zin,
п п
а заменив здесь v , 1 на ^-(-туи следовательно z на iz, по-
лучаем
41- 2(— l)nA”z2”. / п
17 А. Гурвиц
257
Определим тейерь три остальные Тэта-функЦий равен-
ствами
(v) = (^Л) = h ’ z~n 1 ~2h~4 cos~7? ~
n
9 25
2Л4 cos 3vv 2Л * cos 5~v -J- • • •,
'•3(t>)= (vl~) — 2 zn — 1 Ч~ 2Л cos 2<tt> -|- 2Л* cos 4k v
n
-j- 2ЛВ 9 cos 6*v + . ..,
%(v) = &0 (ч ~) = S (— l)n htl zn = 1—2Л cos 2w-j-
n
2/z4cos4-z>— 2A9cos6Kt>-]--...
Равенства (2) преобразуются теперь так:
7)U2 7tU2 ftU2
3j (u) = C. em >% (v); <з2 (и) = C2 e2uJ !>3 (v); a8 (u) = Cs e2“ !>0(v),
где C2, Cg новые постоянные. Определив эти постоянные,
а также С\ путем перехода к пределу, когда и, а следо-
вательно и v стремятся к нулю, окончательно получим
/X % (^) / \ ~2w t>3 (v) ( х 2ш (v)
моу’*<">=' w’s<“,=e W
§ б. Сводка формул.
Напишем здесь еще раз формулы, определяющие .четыре
^-функции, и выпишем также зависимости, связывающие
функции & с функциями з и (?. Относительно обозначений
заметим следующее: производные 0-функций по пере-
менной <и будем обозначать штрихами, так например, 0o"(v)
будет обозначать вторую производную по v от функ-
ции 0о(г>)« Если эти функции или их производные напи-
саны без обозначения аргумента v, то будем подразуме-
вать тогда те их значения, которые соответствуют значе-
нию г> = 0, так называемые нулевые значения соответ-
ствующей функции. Функцию 0о (v) будем обозначать также
через что даст возможность соединить несколько
формул в одну1).
В литературе функции» (v), %(v) обозначаются еще
и так: 0n (v), »00 (v), »01
258
Имеем Следующие равенства:
/2п—1\2 1
&,(«)=/2(—1)" л 2
п
2. А 26
= 2Л4 sin r.v — 2Л4 sin Зто2Л4 sin--------
/2п—1\2 1
’4 (v) ~ Л 2 Z2"-1 = 2А4 cos w -|-
п
9 25
4- 2А4 cos 3w 4" 2А4 cois 5^v 4~ • • • >
(v) — 2 hni zn = 1 + 2h cos 2kv 4" 2Л4 cos 4~v 4~
n
4~ 2Л9 cos 6tw 4“ . •.,
’% (^) ~ "S (— 1)П hn z^n = 1 — 2A cos 2w 4"
n
2A4 cos 4nv — 2Л9 cos 6^0 -)-..., j
° («) = jp- e2a> (®); °* (u) = — e2w (v), (k = 1, 2, 3)
U1 >4-1
л/^7~\----- °*(“) 1 V
(2)
(3)
u
°~2^ ’
Равенства (3) определяют корни V$(u) — ек, как одно-
знлчныг функции от и. Что касается входящих в формулы
нулевых значений, то они представляются по (1) быстро
сходящимися рядами
!'/ = 2к U4— ЗЛТН-5ЛГ — 7АТН--|
1 9 25 49 I
»2 =2Л4 +2Л4 +2А4+2Л4 4- ..
В3 = 14-2А + 2А44-2А9-|-.. .,
»0 = 1 —2Л + 2Л4 —2Л9+ ...
(4)
17*
2S9
§ 7. Общее выражение ft-функций. ^«функции как функ-
ции от я и г
Четыре 9-функции представляют собой частные случаи
функции, введенной Эрмитом,
+°°
^(®) = у, е V Ч V 2/ , (1)
М = —ОО
где v, р, v обозначают любые комплексные переменные 9,
а изменение переменной т = г-|-£$ ограничено верхней
полуплоскостью, т. е. тою областью плоскости т, которая
определяется условием $ > 0. Далее мы докажем, что 0^ v
будет целой функцией относительно каждой из перемен-
ных v, р-, v и регулярной функцией от т в верхней полу-
плоскости. Напишем сперва ряд (1) в виде
Сравнивая эту функцию с 9-функциями (1) предыду-
щего параграфа, видим, что
&1 (v) = — /0,д (W); Я2 (V) = 0, 0 (и) |
Ы<>)= %(*); = { )
При этом надо заметить, что в равенствах, определяю-
щих функции 9j (v) и 92 (0, буква п заменяется на n-J- 1,
что возможно, так как п принимает все целые значения
от — со до -j- оо.
Исследуем теперь непосредственно сходимость ряда (1),
рассматривая его как сумму двух рядов
4.Лг,)=2|е >
П—1
VI v)(—«4-
n=0
г) Таким образом в этом параграфе v уже ае означает значка сум-
мирования.
26.0
Переменные v> jx, v пусть будут расположены в произ-
вольной ограниченной области, а переменная т пусть будет
расположена в такой ограниченной области G', которая вся,
вместе со своим контуром, расположена внутри верхней
полуплоскости т.
Тогда для всех рассматриваемых значений v, у-, у, т
оба ряда и Sp.^(v) сходятся равномерно и абсо-
лютно.
Так как ряд для v (v) получается из ряда для f_ (—и)
4-ircx
прибавлением только одного члена е v ' , то доста-
точно доказать это предложение для ряда
Отбросив независящий от п множитель, имеем, что общий
член ряда для будет
ггст n24- in Ап
где для краткости положено
Л — 2v -J- т|х 4- v.
Пусть т = Т14-/"2, Л = Л14-М2. Нижняя граница значе-
ний, принимаемых т2 в области G' будет некоторое опре-
деленное положительное число т2', а нижняя граница зна-
чений, которые принимает Л2 при всех рассматриваемых
значениях v, |х, у, т, будет некоторое определенное число Л2'.
Тогда имеем:
Wt п* 4- in An I —гст2'п2— тс АЛП —гст2/п’—гсД/л
Далее при п достаточно большом, хотя бы при
*т2' и2 4- тсЛ2' п > и,
так как т2' > 0.
со
Для всех рассматриваемых значений у, у, т, ряд е~~и
n=N
будет следовательно превосходящим рядом для .
оо
irctn9 Ч- ixAn
n=N
откуда и вытекает наше предложение*.
261
Ряд 0^ (v) будет поэтому регулярной функцией отно-
сительно каждой переменной v, р, v, т, если т имеет поло-
жительную мнимую часть. На основании теоремы Вейер-
штрасса производные по этим переменным могут быть по-
лучены почленным дифференцированием ряда.
Легко теперь убедиться, что 0^ V(v) удовлетворяет диф-
ференциальному уравнению в частных производных
(?20 дв
В силу равенств (2), каждая из четырех ft-функций тоже
удовлетворяет этому дифференциальному уравнению.
Ряд (1) не меняется, если v заменим на v-|-2. Он приобретает
множитель е_/те\ если у- увеличить на 2 и затем п заменить
на п— 1.
Функция удовлетворяет поэтому функциональный
уравнениям
%, ,+ 2 И = %,. Ю, в,+2,, («) = , (")• (3)
Следующим способом можно получить еще одно функ-
циональное уравнение:
Пусть р' и '/ так же, как и р и v, произвольные комплекс-
ные числа. Показатель уев общем члене ряда
0 , , , ,(v),
а именно:
2 i ~v I п 4
Я » о I
может быть представлен в виде
2 i я hy
1 и
“2J
у-'2
4 v in 2 .
Поэтому функция ч (v) удовлетворяет уравнению
Ku/fl-Hr— т — in --— t / i / \
^+(lS , + ,.(v)=e . 20 (4)
262
или при других обозначениях уравнению-.
Ч-, , (<>+ ' ' )~е 2 * h * г~!Л'^ + (д, .( + v,(v) (5)
Равенство (4) дает возможность привести функцию
0 v (v) к любой другой такой же функции с заданными на-
перед значениями ji и v, например к функции ^0(^), т. е.
к функции (v).
§ 8. Формулы преобразования и нули четырех ^-функций.
В равенстве (5) предыдущего параграфа значкам у-, v и
будем теперь давать целые значения 0, 1, 2 и вое?-
пользуемся равенствами (2) и (3) того же параграфа. Та-
ким образом, мы получим систему равенств, которую рас-
положим в следующей дальше таблице.
Для краткости обозначим
- Г — (Ц- + i
m = h 4^ = е 4 9 к = Ь~^2 = е-(^ + 2^.
Таблица преобразований ^-функций.
, 1 v + y О „ + + кэ| н v 1 v 4~ 1 + т
«1 im m&3 -Л»!
т&з — im $0’ — ^2 -k^2
»8 »0 т im »3 м3 k^3
im т $2 «0 -Мо -ла0
надо понимать так. Если желаем определить
эту
Таблицу
/ । v [ г* 1
I v 4~ “д ~г "о I 9 то надо взять ту горизонтальную строку
2 г’2 .
таблицы, в которой находится т» е. первую, вторую,
третью или четвертую, смотря по тому, равняется ли
а — 1, 2, 3 или 0. В этой горизонтальной строке искомое
263
значение расположено в том вертикальном столбце, над
которым помещено число Например, •
/ 1 г\ -C-F+M
&1(®+|-Ь-7) = /п&8 = е М®),
&2 (у 4- т) = k &2 = e~(i r-T + 2<!И9 »2 (о).
К этой таблице присоединим еще другую, содержащую
нули й-функций и соответствующие им значения
о 2 {кФ
z* = e
По формуле (2), § 6, функция (v) имеет те же самые
нули, что и функция a(y) = a(2<ov), т. е. &i (у) обращается
в нуль при 2 = п • 2 о> -J- п • 2 <о' или при v = п -f- п' т, где
пип' могут принимать все целые значения от — оо до 4“ °°*
Нули остальных ^-функций находятся из предыдущей
таблицы. Например имеем:
&2 ==—М®);
следовательно, нули функции %(v) получаются прибавле-
нием "2“ к нулям функции (у). Таким образом, получается
следующая таблица.
Таблица нулей ^-функций.
*2
*0
п + и'т
I ' I * 1
п + п т + у
П + п'т 4-у 4- у
П 4- п'т 4- у
Л2”'
-А2”’
_ д2п'+1
+ А2~'+1
Этой таблицей мы будем пользоваться в дальнейшем,
264
§ 9. Выражение eit е2, е3 и А через нулевые значения
fr-фудкцийТ
В формуле (3), § 6) положим и = о>, т. е. v = = а
потом положим и = (о -f- а/, т. е. v —= Тогда
получим, при Л=1, 2, 3
причем надо помнить, что ^(v) обозначает то же самое
что и %(*>)•
Первым из этих равенств воспользуемся при к = 2, 3, а
вторым при к = 3. При помощи таблицы преобразований
предыдущего параграфа входящие сюда значения ^-функ-
ций можно привести к значениям их при г/ = 0; например
!>8 2 ) = И ПОЭТОМУ &8 ( у) “ М°) —
Таким образом находим, что
Vв! — е9 — ^~
1 - 2<о
& 1—1
V Л 2 ) = 1 v &о
% ft 1 \ 2<о {>8 V
1/-------1 V
(1)
265
Эти равенства определяют один из двух квадратных
корней У et— ек, как однозначную функцию от отношения
периодов т в верхней полуплоскости т. Это легко видеть,
если воспользоваться равенствами (4) § 6.
Для того чтобы прямо вычислить е;., представим равен-
ство (3), § 6, в виде
1+ 2*±1 £2...
1 * 2
==_!_fi !
2®zil з 2 г
Так как разложение в окрестности точки v —О
не содержит свободного члена, то — ек будет свободным
членом в разложении квадрата правой части этого равен-
ства по степеням v. Таким образом имеем:
1 /1
(*=1’2’3)- <2>
Так как сумма ех-}-'е2"4“ез равна нулю, то
Из дифференциальных уравнений
d2&(z/) <2&(v) <?8&(v)
dv2 d~ ’ dv* 14 dv 0- ’
которым удовлетворяют четыре ^-функции, получаем при
v = О
\ = 4 i к —, Н'" = 4 i * , (4)
к dz 1 dz х 7
так что равенство (3) можно написать в следующем виде:
1 1 11 I 1 1%
d~ Н2 dz ’ Н3 dz ' &Q д-
. 266
Интегрируя, находим, что
9/ — С
где С обозначает величину, независящую от т. Эту вели-
чину мы определим, если внесем сюда разложение (4) из § 6:
2«(А‘Т-.. .) = C(2AT-j~-. .)(1+-)(1- +• ••)
и сравним первые члены в обеих частях равенства. Это
дает С = к, и вместе с тем получается важная зависимость
^1 = (5)
Пользуясь этой зависимостью, преобразуем равенства (1)
следующим образом:
/е1— е2 = ^»20, Kej — е8 = ~
________________ г (6)
Уе*-ез==2^2*
На основании же равенств (4) для значений (2) чисел ек
получаем:
_in / 1 rflgV t/lg 92\
61 ~ vT d~ )’
' _ir. I 1 rflgft/ rflgM .
e‘2 тг)’ (7)
e £5 / A rfigV __ ^igM
3 o>4 3 d- dx )’
Перемножая равенства (6), находим следующее выраже-
ние для дискриминанта Д (см. стр. 221):
{/д = 2 ( У VW = А (8)
§10. Представление d-функций бесконечными произве-
дениями.
Функция 93(v), рассматриваемая как функция от
z^ = e , будет регуля рна при всяком конечном, отличном
от нуля значении z2. В силу § 8, ее нули образуют две
последовательности:
z2 = — h \ -h~\ ~h. • • • > (1)
?2 = — Л, ~ha, -h\.. • • » (2)
267
из которых первая имеет точку сгущения z2=oo, а вто-
рая точку сгущения z2 = 0. Точки z2=oo и z2 = 0 будут
следовательно существенно особенными точками этой функ-
ции. По известной теореме общей теории функций !) про-
изведение
(1 —- W1—-W1—-)...
\ а1/ \ ' \
представляет собой целую функцию от х9 имеющую нули
а2> «в, • • •> если ряд
а.2 а3
абсолютно сходится. Так как | h | < 1, то
А = (1 + Az2) (1 + AM) (1 + AM)...
будет целой функцией от z2, имеющей нулями как раз
точки последовательности (1). Также
Л = (1 + Az"2) (1 + AV2) (1 + А V2)...
будет целой функцией от z~2, которая (как функция от z~2)
имеет нулями точки —А”1, —А-3, —А”5. . . Функция/2>
рассматриваемая как функция от z9, будет поэтому
регулярна во всей плоскости, за исключением точки 0, и
будет иметь нулями как раз точки последовательности (2).
Функция
/(v) =/Л = П (1 + Л2” '1*2) (1 + hin -1 z~2) =
п ~ 1
= П(1 + Л^)(1 + А\г"2),
рассматриваемая, как функция от о, будет поэтому целой
функцией с теми же самыми нулями, что и &g(v). Решим во-
прос о том, как изменяется f(y) при изменении v на 1 или
на т? Так как z2~e21^ при изменении v на т приобретает
множитель А2, то очевидно, что
/(v + l)=/(v)
*) Ср. часть I, главу VI, § 9.
268
Й
= 14тй“ П
Из первой таблицы § 8 видно, что таким же свойством
обладает и функция &3 (г/). Функция будет поэтому
такой функцией от г/, которая не имеет полюсов и обла-
дает периодами 1 и : и следовательно будет постоянной.
Таким образом получаем
•%М=сЦ(1 + л’'^)(1+лчг-2),
где С постоянная, т. е. независяиря от v величина.
Пользуясь первой таблицей § 8, имеем далее:
г%(<у) -1 j = С jj (J —AV)(1 —К Z \
% (О = = Ch* z П (1 4- А’+ г2) (1 + А’"*г~\
% («) = —% = —гСА*гЦ(1—A’+1z2)(l—h'~lz~z),
или, переписав в другом порядке и сделав простые преоб-
разования,
£ — 1
М*0 = СА* И (1 — Asz2)(l — h9z~\
1 д
&2 (v) = Ch * (z 4- z~‘) П (1 + h9z*) (1 + h9z~ \
g
= С п (1 + A’Z2) (1 + A’z-2),
*0 (?) =* С П (1 - h\ z^) (1 - 2-2), .
(3)
269
Где, Согласно принятым раньше обозначениям, g Пробегает
все четные значения 2, 4, 6,..., a v нечетные значения
* -—I
1, 3, 5,... Так как z~er'v, то множители --------;--- и
i
можно заменить соответственно на 2 sin ~ «и ина
2 COS тс v.
Для определения постоянной С положим в формулах (3)
v — 0, разделив предварительно первую из этих формул
на v. Таким образом, прежде всего, получим
(4)
% =сП(1-лХ
V
Внеся эти выражения в формулу (5) § 9
а ' —и
И1 — u 24 4»
найдем
П (1 -А#)2 = С2 П (1 + h°f П (1 - Л2'')2-
в д '>
Далее, имеем
ГТ (1—W2 = П (1—л2®)2 П (1—h2y,
д д
так как множество четных чисел g совпадает с совокуп-
ностью чисел 2 g и 2v. Таким образом получаем
с2 П (1 + Л9)2 = Л (I - h29f = П (14- л")2 (1 - hB?
д д д
и следовательно,
С = П(1-^).
д
Здесь при выборе
в силу формулы (4)
знака надо принять во внимание, что
§ 6 нулевое значение %, при А = О,
270
должно равняться -j-1, а значит и С, в силу формулы (4)
настоящего параграфа, при h = 0, тоже должно равняться 4~ 1.
Для Н/ из формулы (4) имеем представление
1
П (1-А9)3; (5)
g
следовательно для А, по формуле (8) предыдущего пара-
графа, имеем представление
А=(^) А2Ц(1 — Лв)24. (6)
\ / д.
Из этой формулы видно, что А при всяком допустимом
выборе периодов 2<о и 2<»' отлична от нуля.
§11. Некоторые приложения полученных результатов
к теории чисел.
Так как значение функции &3 (а) при v — 0 выражается
рядом
л= 2 *“,
П — — ОО
ТО
V = S Л”1> + ”’а + я’а + п?= У e(m)hm, (1)
т —о
где Ь(т) указывает, сколько решений в целых числах пг
и3, имеет уравнение
т = И!2 4- и22 + п32 4- и42.
С другой стороны, в силу формул (6) и (7) § 9, имеем
или, так как
, г-? d d dh d L.
h~e ’ d^~dh d-~dh‘hl*’
TO
(2)
271
Подставляя сюда вместо и бесконечные произведем
ния (4) предыдущего параграфа, имеем
£ = 2Л4 =?=-- = 2Л4 ——2 —-------
’° П а - П (1 -п* Цо—лэ;
v д v
л По-av
— 2Л4 ------,
П(1-А92
Г
где г принимаем все целые и положительные значения. Ра-
венство (2) принимает теперь вид
а-‘="1+8,'/л
Вычисляя дальше, находим
’•‘=*+«2^-85t^=1+8ss^“
г д г г'
-8 2 22^’-
д г'
где / так же, как и г, принимает все целые и положитель-
ные значения, и окончательно получаем
оо оо
Вв4 = 1 + 8 2 ®(m)hm-8 Ф'(о1)Ато . (3)
т — 1 т ~ 1
Здесь Ф(т) обозначает сумму всех чисел г, которые
входят во всевозможные представления числа т в виде
т = г/, а Ф' (иг) обозначает сумму всех чисел 2 g, которые
входят во всевозможные представления числа т в виде
т = 2#/. Число Ф(/п) обозначает поэтому сумму всех
положительных делителей числа т, а число Ф' (ш) обозна-
чает сумму всех положительных, делящихся на четыре,
делителей числа т.
272
Сравнивая разложения (1) и (3), имеем, что
0 (т) — 8{Ф(тп) —Ф'(/п)}, (ти = 1, 2, 3. . . . ),
т. е. число представлений целою и положительного числа
т в виде суммы четырех квадратов целых чисел равно
восьмикратной сумме тех положительных делителей
числа т, которые не делятся на 4.
Например, для т = 3, сумма положительных делителей,
не делящихся на 4, равна 1-|-'3 = 4 и*в самом деле имеем
следующие 32 представления числа 3 в виде суммы 4 квад-
ратов:
3 = 0Ч-( ± 1)Ч(± 1 )2+(± 1 )М± 1)2+02+(± 1)2+ (± I)2 =
= (± 1)2+(± 1)Ч02+(± О2 = (± i)2+(± i)2+(± 1)2+о*,
и никаких других.
Эту теорему можно высказать еще в другой форме. Пусть
т = 2*т1, где тх нечетное число, и пусть 8lt 32,..., 8Г бу-
дут положительными делителями т19 т. е. будут нечетными
положительными делителями т. Если а — 0, т. е. т нечет-
ное, то 8*, 82,... у 8г суть все положительные делители т,
не делящиеся на 4. Если же а>0, т. е. т четное, то име-
ются еще положительные делители т
23р 282,...,28г,
не делящиеся на 4. Таким образом, имеем:
Число представлений целого положительного числа т в
виде суммы четырех квадратов целых чисел равно восьми-
кратной или 24 кратной сумме его положительных не-
четных делител й, смотря по тому, будет ли т нечет-
ное или четное число.
Это глубокое предложение теории чисел доказано было
впервые Якоби при помощи теории эллиптических функ-
ций* Знаменитая теорема Лагранжа о том, что каждое
целое положительное число может быть представлено как
сумма четырех квадратов, содержится, очевидно, в этой
теореме Якоби.
Другой интересный вывод получается из равенства
%(«) = П(1 — А</)П(1+А',2) (1 + АV2) = 2 А~УП, (4)
g v п .
которое имеет место для переменных значений Лиг, еле-
13 Л. Гурвиц
273
довательно представляет собой чистое тождество. Как та-
ковое, его можно получить и независимо от теории эллип-
тических функций. Пусть в равенстве (4) z9 = — х2, А==л2,
где х обозначает переменную. Если обозначить g=2rt
v = 2r — 1, то произведение принимает вид
П(1-Л (1-л (1-л г'1 =
Г-1
= JJ(1 — Л3г ) (1 - X3’-1) (1 — х3*--2),
г—1
а сумма переходит в такую сумму
со Зп~ / 1 \ п
V Т ~2~ I ’
Л х х '
7i=—ОО
Так как все числа Зг, Зг—1, Зг— 2 образуют опять мно-
жество всех целых и положительных чисел г, то
оо оо Зп24-п
11(1—ЛГ)= ^1 ( — 1)”х =1—X — X- 4~ X5 -j- X7 — ...
—оо
Это замечательное равенство восходит к Эйлеру, кото-
рый нашел его сперва эмпирическим путем и которому
удалось доказать его только после многолетних усилий.
Сравнивая формулы (4), § 6 и (5), § 10 для и обо-
значая А2 через х, получаем далее равенство
СО ОО Г2-—Г
П(1 - X? = £( - 1)Г-1(2г -1 )~=
= 1— Зх4-5л3 — 7х«+.„.
Мы познакомимся в § 13 еще с одним приложением к
теории чисел.
§ 12. Разложение на простейшие дроби функций и
(и), рассматриваемых как функции от г2. Выражения
Для ч, g2, ff3. <
Из равенства (2), § б
2(о ~~ ( и А
е 2^(v)
274
логарифмируя и дифференцируя, получаем следующее вы-
ражение для С(и):
C(u) = 2£-H-L /igoj».
4 ' о) J 2(о av
Внесем сюда выражение (3) § 10 для в виде беско-
нечного произведения. Таким образом, после простых пре-
образований получаем
Это равенство представляет собой разложение на про-
стейшие дроби функции
' 7 ш
рассматриваемой, как функция от
ir.u
2 2 ini) ш
z =е =е •
Так как
то равенство (1) можно переписать в виде
Входящие сюда суммы
e V h9z2 с __V h9z~2
1 Ли—h9z и 2 hgz~2
д д
сходятся абсолютно и равномерно в каждой ограниченной
области плоскости z2, если внутри и на контуре такой об-
ласти не расположена нулевая точка плоскости и если
275
18*
кроме того в этой области не обращается в нуль знамена-
тель ни у одного члена, рассмотренной суммы. Действи-
тельно, пусть, например, для суммы область В будет
такой областью, и пусть М будет максимум для | z21 в этой
области. Тогда имеем
h9z2 .
l-h9z2
M\h\9
если только g достаточно большое число и М' заданное по-
ложительное число, большее М на произвольно малую вели-
чину. Таким образом, начиная с некоторого достаточно
большого G ряд
M'\h\G-[-M'\h\G+1 +...
будет превосходящим для ряда
XI h9z*
2^1~h9z2
в области В. Отсюда и следует абсолютная и равномерная
сходимость *Sj в области В. Также доказывается предло-
жение и для 52.
Если z2 расположено в круговом кольце
| Л2| < |z2| < | А-2|, (3)
, д —2
то при всяком целом положительном четном g, как Л z ,
так и h9 z будут по модулю меньше 1. Члены суммы в
равенстве (2) можно тогда разложить по степеням z и потом
собрать вместе члены с одинаковыми степенями z2. Таким
образом получаем
С (2 Ю V) = 2 V.4- ctg -V 4- J 22 (hrflz~-r — hraz2r) =
д г
г
ИЛИ
С (2<w) = 4~
h2r
l-h2r
sin (2rw).
(4)
276
Точкам в круговом кольце (3) соответствуют в плоскости
и точки, удовлетворяющие условию
|е |<|е |<|е [•
Если т = Tj w = то это условие равносильно
такому
--?2 < ~ *>2 < 4" Т2>
или, что то же самое,
— ^2<^<+Т2«
Следовательно, разложение (4) справедливо в плоскости
и для полосы, ограниченной прямыми, параллельными ве-
щественной оси и проходящими через точки ? = ?i 4“
И т = ?! — п2.
Разложим теперь обе части равенства (4) вряд в окрест-
ности точки v — 0 и сравним оба эти разложения друг
с другом.
Как видно из таблицы, помещенной в конце главы I,
разложение С (2 ад) имеет вид
t (2ад) = ~--v)3 ~ (2ад)5—• ••
2ад- 60 140
Для разложения правой части равенства (4) заметим, что
. / ч 1 *v
(ко)3
45
2(к®)5
45 • 21
Сравнивая коэффициенты при о, о3 и о6, имеем следую-
щие выражения для aq, g2 и gs‘.
r~l
rhZr \
& — <o ) у216 3 Zji _ A2r /
r-1
277
Сравнивая более высокие степени v, получаем подобные
же выражения для сумм
сп = (2п —~2п = (2п—(2то> + 2т'<»')2п ’
Дифференцируя равенства (1) и (4), получаем аналогич-
ные разложения для Р (и) и Р (2 <ov) с той же областью
сходимости.
§ 13. Разложение — ек.
Разложение (1) предыдущего параграфа для функции
^(и) позволяет разложить в подобный же ряд функции
VPOO — ек* Рассмотрим в частности функцию (ср. (3) § 6)
?(и) — е3. = 2^ (г’=2^)
для того, чтобы в дополнение к § 11 получить интересное
приложение к теории чисел того разложения, которое по-
лучится. Как показывает таблица преобразований &-функ-
ций из § 8, функция ?(и) удовлетворяет уравнениям
? (и -Р 2 <*>) ——?(н), ? (и2 а/) = <? (и).
Действительно, изменению и на 2 со или на 2 со' соответ-
ствуют изменения v на 1 или, соответственно, на т. Функ-
ция ?(и) поэтому имеет периоды 4<о и 2о>'. Так как
в параллелограмме периодов
(О, 4<о, 4 <*> -4-2®', 2®')
эта функция имеет только два полюса, в точках и — 0 и
и = 2®, с вычетами, соответственно равными1 и —1, то
на основании § 12 главы I имеем:
?(и) = V ^(н)—е3 = С (и, 4^,2^') — £ (и-4~2®/4®, 2 o/J-j-C1, (1)
где С постоянная. Так как, в силу § 9, функция <р (и)-~
обращается в нуль при и = 0, то С ='С(2 <о/4а>, 2®'), т. е.
С равно тому значению ц, которое соответствует периодам
4® и 2(ср. (3), § 11, главы I). Эго значение обозначим
для краткости через т|.
278
Заменив в разложении (1) предыдущего параграфа на
9 и 2 i
2 о) и следовательно г2 = е“?' ^ на z, а Л2 —е на А, по-
лучаем __
г/ л П Т|М I z4-l .
С (и, 4 со, 2 ю ) == п—р s--4
v 9 ' 2<о 4ш z — 1 1
а отсюда следует, что _
£ (и 4" 2 <в/4 о), 2 <»') = — + т, — ~ —377^
24<а z4 1
/к hrz~^____hrz \
~l + A'z"1 “T+#z )’
r~l
так как, при замене и на и ]-2ш, z переходит в — z.
Внося эти разложения в равенство (1), после легких пре-
образований получаем искомое разложение
/j?(u)-e8 =
1 УМ*,)
2 ш % М®)
у-/ hrz~l hrz \1
+ Л\1-А%“2 1-А2’//Г
г—1
. и гк
гГТй 2‘
Подставляя здесь и = ю, т. е. z = е = е =1, находим:
или __
Г 1 г
Левая часть этого равенства есть
V-(3a’7 = Sa’j+”'’, (2)
п
27?
а правая часть равна
где /, как и г, принимает все целые положительные значе-
ния 1, 2, 3,... Сравнив в правых частях равенств (2) и (3)
коэффициенты при Л™, получаем следующую теорему:
Число представлений целою и положительного числа
т в виде суммы двух квадратов целых чисел равно четы-
рехкратному избытку числа положительных делителей
т, имеющих вид 4А4“1 няд числом положительных дели’
щелей т, имеющих вид 4Л~ГЗ.
Теорема Ферма о том, что каждое простое число вида
4k-1- 1 может быть представлено и притом единственным
образом*) в виде суммы двух квадратов целых положитель-
ных чисел представляет собой частный случай этой теоремы.
Глава III.
ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ЯКОБИ.
Для некоторых приложений эллиптических функций целе-
сообразно вместо функции $(и) Вейерштрасса употре-
блять функции Якоби, обозначенные им так:
sinam (u), cosam (и), А ат (и) (1)
(sinus amplitudinis, cosinus amplitudinis, delta amplitudinis).
Так как, кроме того, знакомство с этими функциями необ-
ходимо для понимания литературы об эллиптических функ-
циях, то в этой главе мы их рассмотрим ближе. Вместо
обозначений (1) Якоби Гудерманн ввел более короткие
обозначения
sn и, сп и, dn и.
*) Если отвлечься от возможности поменять в сумме оба квадрата
местами.
280
§ 1. Определение функций snzz, спя, dull.
Пусть т — r~\~is — произвольно заданное комплексное
число, у которого s > 0.
За число выберем некоторое, зависящее от т число,
которое потом определим точнее, а за число ю' выберем
произведение
. = (1)
Эллиптические функции Якоби определим следующими
равенствами: sn и _ 0(«) — °з(«) 2<о— 2 V По(®) 1
сп и = 2l(u) = % ад _ и \ (2)
=з(и) 02 ”о(») J
dn и °й(Ц) — °з(и) % »8 }>зМ ад
В силу § 6 главы II имеем тогда
(3)
Исключая отсюда (и), видим, что функции сп и и dn и
выражаются алгебраически, простым образом, через функ-
цию sn и:
сп2 и-\- (et —- е3) sn2 и = 1, dn2 и (е2 — с3) sn2 и = 1. (4)
В главе II § 9 (6) было доказано, что
/ к \2 q / к \2 q .
&0’ ез=\2о>/ °8’
I « V».
'*-"«= Ы (5)
причем нулевые значения ^-функций %, можно
здесь выразить в зависимости от т, хотя бы при помощи
формул (4) § 6 главы IL Число <*> выберем так, чтобы
281
множитель et — е3, входящий в первое из уравнений (4),
был равен 1, т. е. выберем со так:
<O--Va32 = 4(1+2A + 2A4+2A9 + ---)2 (h = e^). (6)
Из равенств (5) теперь имеем:
е1 е2 4> е1 е3 е2 е3 (J 4* (7)
3 3
Уравнения (4) принимают тогда вид
сп2 и -j- sn2 и = 1, dn2 и х2 sn2 и — 1, (8)
где для краткости обозначено
О 2
* = Л (9)
из
После задания т величины со и будут вполне определены
равенствами (6)и(1). Функции sn и, сп и, dn и будут следо-
вательно, кроме н, зависеть еще только от л Эго обстоя-
тельство, в случае надобности, выразим тем, что функции
будем обозначать через sn(u/x), сп(и/т), dn(n/T).
Относительно обозначений заметим еще следующее. Ве-
личина х, заданная как функция от т формулой (9), назы-
вается модулем функций sn н, сп u, dn и; величина же
называется дополнением модуля. Из формул (7) видно, что
между величинами х и х' существует зависимость
х24-х'2 = 1.
Величины «> и со' Якоби обозначал соответственно через
К и iK'f т. е.
К = J %2, /Г = о/ = m т. (И)
Мы, тем не менее, сохраним обозначения <*> и в/ *), но бу-
дем помнить, что в этой главе величины <» и о/ рассма-
триваются как функции т.
Только в§4—6 главы VII мы будем пользоваться обозначениями
К и iK't чтобы отличить их от полупериодов w и w', меняющихся неза-
висимо друг от друга.
282
Наконец, под символами }
разумевать значения у ъ = гр
V3
,j/ ~ будем под-
^0 1 / х l}0
v у ОАНО’
значно зависящие от т.
Входящая в формулы (3) функция р(н) имеет завися-
щие от т основные периоды 2 <*> и 2 «Л Величины еп е2, е3
будут тоже функциями от т. Пользуясь формулами (7) и
формулой ех -р е2 е3 = 0, легко вычислить эти величины.
Формулы (2)$ определяющие функции sn и> сп и, dn и,
можно переписать в следующем виде:
1 Ые)
/х ио(^)’
sn и
СП и
(12)
если воспользоваться равенствами
Пользуясь известными свойствами функций с и можно,
на основании формул (2), доказать следующее.
Функция sn и нечетная. Ее разложение по возрастаю-
щим степеням и начинается с члена и. Функции сп и и
dn и четные и сп 0 — dn 0 = 1.
§ 2. Функции sn и, сп и, dn и как эллиптические функции.
Пользуясь формулами (12) предыдущего параграфа, можно
приложить таблицы для &-функций из § 8 главы II
к функциям sn и, сп u, dn и.
Таким образом получаем:
Таблица I. Формулы преобразований функций sn и, сп и, dn и.
к + °> I U + О)' | и + w 4" | и 4- 2 ю | и 4“ 2 о/ | и 4~2 tt>4“2 <oz
sn СП dn sn и dn и . snu dn и , 1 * dn к 1 1 х sn и u 7. 9П U СП и — / sn и 1 dn и X СП и X СП к . , sn и iv/ СП и — sn и — спи dn и sn и — спи — dn и •— sn и СП и •— dn и
283
Три последних вертикальных столбца показывают, что
функция sn и имеет периоды 4 (о и 2 <*>', функция сп и имеет
периоды 4<ои2(оЦ-2(о,и функция dn и имеет периоды2(ои4(о'.
Таблица II. Нули, полюсы шпериоды функций sn и, cnuf dn и.
Нули Полюсы Периоды
sn и спи dn и 2п«> Ц- 2п'ш' (2п4-1)«> + 2п'<о' (2п+1)ш-Н2п'+1)<0' 2по> 4“ (2п' 4“ 1)ю' 2пш (2п' — 1)^' 2пи> -j- (2пг 4~ 1)ш/ 4 ю, 2 о/ • 4(о, 2 <D 4~ 2 о/ 2(о, 4 (o'
На черт. 50, 51, 52 для каждой из функций начерчен
параллелограмм (0), соответствующий указанным периодам
функции, а также указаны лежащие в этом параллелограмме
Черт. 52.
нули и полюсы функции, первые—малень-
кими кружочками, а вторые — крестиками.
Отсюда вытекает, что
Функции sn н, сп и, dn и суть эллип-
тические функции второго порядка, име-
ющие соответственно периоды 4 2 о/;
4со, 2 2 <*>л; 2(о, 4(о', и суммы полюсов
соответственно 2о>, 0, 0.
Указанные пары периодов, будучи пе-
риодами функций второго порядка,
являются парами основных периодов; это
следует из теоремы § 14 главы I и факта отсутствия
функций первого порядка.
§ 3. Дифференциальные уравнения для sn#, сп#, dn#.
В силу формул (3) § 1 имеем
^'(и)= — 2]/ (и) —ех V (и) — е2 V (и) — е3 =
____2сп и dn и
sn3 и 9
281
если знак у корней установлен, как в § 6 главы II. С дру-
гой стороны, дифференцируя равенство: ^(и)—
получаем:
<~г, ч 2 rfsnu
Р (и) =--------— .
sna и а и
Из этих двух выражений для $'(и) получается формула
dsntz ,
~^~ = спи dn и (1/
Дифференцируя уравнения
cn2u = l— sn2u, dn2u=l— x2sn2u (2)
и пользуясь формулой (1), получаем второе и третье ура-
внения системы
dsn и , dспи - ddnu 2
—-— = cnudnu; —j— = — snudnu; —— =—vssnucnu.(3)
du du du
Возвышая в квадрат эти уравнения и пользуясь уравне-
ниями (2), получаем систему дифференциальных уравнений
для sn u, cn u, dn и:
(-Ц—О =(1 — sn-u) (1—x2sn2u)
\ du /
=(1—сп2и)(х 2 ф х2 cn2u)
\ du /
Ju = ~(l~^n2u)(//2 — dn2u)
(4)
§ 4. Теоремы сложения для sn а, сп и, dn и.
Пусть v будет произвольно заданное число, не сравни-
мое с числами ± о)± ((о — (o'), ±(о', т. е.
г/ф + (2 а/ 2
-иф + о)' (2 <о, 2 <»').]
Как видно из таблицы I § 2, функции
9i(u) “ sn u sn(u ф v), <?2(и) = сп и cn(u ф с/),
7з(и) = dn и dn(u ф v)
(1)
285
обладают периодами 2о> и 2«>' и в параллелограмме (0),
образованном на этих периодах, имеют полюем
и=—v со' (2 о), 2 со'),
т. е. эти функции будут эллиптическими функциями второго
порядка с периодами 2 ю, 2 о/, притом с двумя одинаковыми
полюсами. Если постоянные Ди В выбраны так, что функ-
ции ср2(и) 4~Л ?i(u) и ?3(п) 4“ В ?1(н) не имеют уже полюса
в точке о/, то эти функции ?2(u)4~ A ?i(w), ?ь(н) + Въ^и)
будут постоянными.
Таким образом будем иметь два уравнения вида
сп и сп (и -Д v) 4" A sn и sn (и 4~ v) = Av | .
dn и dn (и 4- v) 4~ В sn и sn (и 4~ = Blf J '
где Л, Лр В, Вх обозначают постоянные, т. е. независя-
щие от и величины. При и = 0 получаем
Л1 = сп v, Вх ~ dn v;
Дифференцируя теперь равенства (2) по и, подставляя
затем и = 0 и принимая во внимание формулы (3) преды-
дущего параграфа, получаем
- - 4~ Л sn v — 0 или Л = dn v;
dv
d dn v । _г* n______ о
---j--H D sn V = О, ИЛИ D = x-СП V.
dv
Уравнения (2) принимают поэтому вид
сп и сп (и 4~ 4“ dn v sn и sn (и 4- v) = сп vf]
dn и dn (и 4~ v) 4~ z2 сп v sn и sn (и 4- = dn v. J
В силу непрерывности, эти уравнения будут справедливы
и для исключенных предварительно значений v.
Заменяя и на — и и v на u-\-v9 получаем
сп и сп v — dn (и + v) sn и sn v — сп (и 4~ v)-
dn и dn v — к* сп (и + v) sn и sn v = dn (и 4" v).
Пользуясь этими уравнениями, можно вычислить сп (и 4- v)
и dn(u4~*0 и, подставив найденное значение сп (и 4~ *0
в первое из уравнений (3), найти sn(« 4~^)- Сделав такие
286
вычисления, получаем теоремы сложения для функций
snu, спи, dnu, в следующем виде:
, ч sn и сп v dn z^4sn у сп и dn и
sn (и + г>) =---99’
v 1 7 1 — х2 sn2 и sn2 У
t . ч cnucnz/—snudnusn^dna ,,ч
сп (и 4 у) =----------—з----з------ (4;
х 1 ' 1 — х2 sn2 и sn2 v
. , . х dn u dn v—х2 sn и сп и sn у сп и
dn(u 4 *0 =-----:----з—5-----3------
1—x2sn2u sn2y
§ 5. Тригонометрические функции как предельные слу-
чаи функции sn и, сп u, dn а.
Если формулы (2) § 1 написать в развернутом виде, то
легко видеть зависимость функций sn и, сп и, dn и от и и
% fc) 14~ 2А 4 • • • 2(A4 sin ~v—И»..)
&2^о(<0 — — 1—2Лcos2rct>4-... ’
2 (Л4 +Л4 + ...)
£
2 (Л4 cos о4 - • )
1 — 2hcos2^v 4- • • •
(h = eiKZ),
__ 1 — 2А -]----... 1 4 2Л cos 2~ v 4- ...
14 2Л 42А4 + ... 1 — 2А cos 2тг у 4* • • • 9
где
v — “Vs ’ — 1 4“ 2Л 4“ 2Л4 4 2Л9 4 • * •
Если т = г-(-г5 удаляется в бесконечность так, что г
остается постоянным, а $ стремится к4со> то
Ai-? inr -~~.s
= е = е е
287
будет стремиться к нулю. При этом 2<о перейдет в к, так
как % = 1 + 2Л + 2Л4 + • • • стремится к 1 и 2<*/ будет неогра-
ниченно возрастать; так как 2а/ = 2огс.
Из предыдущих формул для sn и, сп и, dn и видно,
что при таком предельном переходе sn (и/т) перейдет
в sin и, сп(и/т) перейдет в cos и и dn(u/T) перейдет в 1.
Так как
1 9
[2(А44-А4 + ...)|2
Z '%2 { 1 + 2А4-... }
стремится при этом к нулю, то из теорем сложения (4)
предыдущего параграфа получаются элементарные формулы:
sin (и 4“ *0 = sin и cos v 4" cos и sin v,
cos (и Ц- v) = cos и cos v — sin и sin v,
как и следовало ожидать. Из дифференциальных уравнений
§ 3 получаются известные дифференциальные уравнения
для sin и и cos и.
Г Л А В А IV.
ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ МОДУЛЯРНЫЕ ФУНКЦИИ.
Встречающиеся в теории эллиптических функций такие
величины, как инварианты g%, g^ Д, модуль х эллиптиче-
ских функций Якоби, нулевые значения ^-функций при
аргументе, равном нулю и т. д., зависящие только от пе-
риодов или от отношения периодов, дали начало обширной
теории эллиптических модулярных функций. Мы здесь
изложим только первые элементы этой теории с целью
решить один непосредственно представляющийся важный
вопрос. Этот вопрос состоит в следующем: Возможно ли
выбрать периоды и о>2 так, чтобы построенные при
помощи этих периодов инварианты g*ng% [формулы § 7
главы I] совпадали с заданными заранее значениями?
Этот вопрос, очевидно, приводится к вопросу о разреши-
мости уравнений
gb = 60 т-------—-----г; и а3 = 140 7-----1-----гд,
5 Z I + / \ (т1 Ш1 “Г’ т2 Ш2)6
288
в которых g2 и g% заданные, а и <о2 искомые числа, под-
чинённые, кроме того, условию, чтобы их отношение
не было вещественным.
§ 1. Эквивалентность величин и пар.
В § 15 главы I было сказано, что две пары чисел (ш2,
и (о)/, ш/7 называются эквивалентными, если множество
всех чисел mi образованных из чисел первой пары,
совпадает со множеством всех чисел тп/ со/ -|- т2'<й2, обра-
зованных при помощи другой пары. Там было также дока-
зано, что для этого необходимо и достаточно (при условии, что
одно из отношений ~ и не рационально) существова-
ние четырех целых чисел а, 0, у, 3, удовлетворяющих си-
стеме уравнений
О)/ = рШр со/ = *(С02 4~ ~ ± 1. (1)
Докажем следующую теорему:
Теорема I. Каждой паре чисел (<*>/, <°/), отношение
0)2'
которых-^—не вещественное, соответствует эквивалент-
ная пара (о>2, чисел, удовлетворяющих условиям
|<*>2| >|«h I, (?)
При этом числа о>р о>2 можно выбрать так, чтобы опре-
делитель системы (1) «3 — равнялся- 1.
Для доказательства расположим точки периодов тп/со/-/
/тп2г<о/ в ряд в порядке неубывания их расстояний от
нулевой точки плоскости
О, wp w2, wS9 . .. (3)
и обозначим через wk первую следующую за точку, ко-
торая не находится на прямой, соединяющей точку с ну-
левой точкой плоскости. Если примем
wl = <0р wk == <02, (4)
то <ох и <о2 и будут удовлетворять условиям (2). Действи-
тельно, точки wl-{-wk и wk — будут расположены, в по-
следовательности (3), сзади точки wk, так как они не нахо-
дятся на прямой, соединяющей нулевую точку плоскости
19 а. Гурвиц 289
6 точкой Wj. Далее по самому способу определения то-
чек (4) в треугольнике с вершинами 0, ш2, не может на-
ходиться ни одна точка последовательности (3), отличная
от этих вершин. Таким образом, для функций с периодами
<»/ и <o2z можно пользоваться как параллелограммом с вер-
шинами 0, «о/, <*>/ 4 <*>2', так и параллелограммом с вер-
шинами 0, <*>!, (§ 2, глава I). Но это и значит,
что пара (о>2'> ш/) эквивалентна паре (<о2, toj. Пару (<о2, юД
о которой идет речь в теореме I, можно выбрать так, чтобы
определитель «8 — системы (1) равнялся-^-!* В про-
тивном случае, можно было бы вместо пары (о>2, toj взять
пару (“2> —“i)-
Введем еще понятие об эквивалентности двух величин.
Величина т' называется эквивалентной величине т, если
существуют четыре целые числа а, р, 7, 8, удовлетворяющие
уравнению:
где е равно1 или—1.
Если е = 4"1, то т' будем называть собственно эквива-
лентным числу т; если же е = — 1, то будем говорить, что
т' несобственно эквивалентно числу т. Например, числа т и
будут собственно эквивалентны друг другу. То же относится
и к числам т и
, _ 1 От — 1
т т 1-т + О-
Докажем две теоремы об эквивалентных величинах.
Теорема II. Если т не вещественная величина и х'
эквивалентная ей величина, то х' будет тоже не веще-
ственной величиной и точки тит' будут расположены
с одной стороны вещественной оси или с разных ее сто-
рон, смотря по тому, будет ли эквивалентность соб-
ственной или несобственной.
Действительно, пусть
Т = г+й т' = / 4- is' = аг + £. = + +
r-t-zs, r-t-zs ^ + 8 (гЧ_8)+.ув,
290
тогда ёудем иметь
г __ . «8 — Й .
5 (? г-Н)2 + "Г2
откуда видно, что s' отлично от нуля и притом имеет та-
кой же знак, как $ или противоположный знак, смотря по
тому, будет ли число а8 — положительным или отрица-
тельным. Для простоты будем говорить о двух точках
х и т' комплексной числовой плоскости, что они эквива-
лентны, если эквивалентны изображаемые ими числа т и т'.
Теорема III. Каждой точке V в верхней полуплоскости
соответствует такая собственно эквивалентная точка т
в той же полу плоскости, для которой
н>1, |т + 1|>|т|, h-11 >|т]. (5)
Действительно, по теореме I, паре (?', *1) соответствует
пара ш1) такая, что
у = 4- 1 = 7<*>2 4~ а®!, а& — = 4-1 (6)
и что выполнены условия (2).
Положим °*2 =т. Из
усло-
вий (2) видно, что т удовлетворяет условиям (5). В силу
условий (6) имеем, что
f аю2 4" p<*>i___________________ат 4" Р
•у(о2 4“ v 4~ &9
а тогда по теореме II точка т лежит тоже в верхней полу-
плоскости. Условия (5) легко интерпретировать геометри-
чески. Неравенство |х| > 1 выражает, что точка т лежит
или вне круга радиуса 1, центр которого в начале координат,
или на его окружности. Неравенство .1 т — 11 > | т | выражает,
что точка т отстоит от точки 1 не ближе, чем от нулевой
точки плоскости, т. е. что точка т лежит слева от прямой,
проведенной перпендикулярно к вещественной оси через
точку-—- или на этой прямой. Аналогично неравенство
означает, что точка t расположена справа от
прямой, перпендикулярной к вещественной оси и проходя-
щей через точку —или на этой прямой. Указанный круг
19*
291
й ode эти прямые ограничивают область G в верхней полу-
плоскости (черт. 53). Две лежащие друг против друга точки
т и расположенные на ограничивающих область G
прямых АС и А'С', эквивалентны; также эквивалентны
лежащие друг против друга точки “и--—, расположенные
на ограничивающих область G дугах АВ и ВА', Поэтому,
если условимся точки, лежащие на
АС и АВ, включая и точку В, при-
числять к области G, а точки, ле-
жащие на А'С' и ВА', не при-
числять к ней, то теорему III можно
формулировать так:
Каждой точке расположенной
в верхней полуплоскости, соответ-
ствует эквивалентная г очка т,
принадлежащая области G.
Точки А, В, А' и бесконечно уда-
ленная точка, в которой сходятся
прямые АС и А'С', будем называть вершинами обла-
сти G. Таким образом, область G мы рассматриваем как
четыреугольник. Вершина В соответствует точке т = i,
2гк
вершина А точке т = е3 = р, вершина А' соответствует
in
точке т — р 1 = — р2 = е 3. Угол, под которым пересе-
“ТТ
каются стороны АВ и АС в точке А, очевидно равен -х-.
о
§ 2. Элементарные модулярные формы.
Переменные «>!, <»., подчиним условию, чтобы отношение
имело положительную мнимую часть з, т. е. чтобы точка '
лежала в верхней полуплоскости. Величины
= g> (<»i, “>2) = 60 -------4----rj-
2r 1 (1)
7------i----vT
(mi 4- ®.2)e
292
J
1(0)1, ®2)=&,3 — 27^й2
будут однозначными, однородными, везде конечными функ-
циями от обеих переменных о)2* Величины g2i g^ А на-
зовем элементарными модулярными формами. В силу
главы II § 10, (6) и § 12, (5) имеем
_/2-у /1 । X1 Л__
8-~ \o>J \12 1 2-J1 —А2”/
п — 1
==(^)4(й4'20а2н’---4’20’3(п)а2”4 •• •)’
\®1/ „Л
= (2j!)"'(Ai_ 2»+...). (/, = „'’)
Здесь С3(п) и С5(и) обозначают суммы третьих и со-
ответственно пятых степеней положительных делителей це-
лого и положительного числа и. Формулы (2) имеют место
для всех рассматриваемых значений a>t и ю-г* Из формул (2)
так же, как и из формул (1), видно, что g2, g& Д будут одно-
родными функциями, у которых показатели однородности
соответственно рав^ы — 4, — 6,— 12. Из формул (2) видно
еще, что А, как бесконечное произведение, всегда отличнр
от нуля.
§ 3. Абсолютный инвариант У(т).
При помощи g2 и А построим функцию, зависящую только
о г отношения периодов т:
293
Л9 ( 123 Cl^ "' ’) ’
Эту функцию можно также определить при помощи <
уравнения
/м-!-?7*-’. (1)
Функцию /(х) назовем абсолютным инвариантом. Она
является простейшей и важнейшей модулярной функцией,
и ее надо будет подробнее изучить как функцию от т.
На основании § 2 имеем
/1 \3
(^ + 20А’+ ... )
оо
А9П(1—Л2”)24
п = 1
где ряд, расположенный по степеням А2 — е сходится, пока
\№ | < 1, так как Д постоянно отлично от нуля.
Таким образом имеем
Теорема !./(“) есть функция, регулярная в верхней
полуплоскости т. Так как g>, g%, А не меняются при замене
(со2, ojJ эквивалентной парой (<*>/, <»/) или, что то же самое, при
замене т на эквивалентную величину т'5 то получается далее
Теорема П. Если т и т' две эквивалентные точки
в верхней полуплоскости, то
7(O=7G).
Важнейшее для нас свойство функции /(т), к доказатель-
ству которого и обратимся, состоит в следующем.
Теорема III. Если а заданное конечное число, то урав-
нение
= 0 (3)
имеет одно и только одно решение в области G.
Отделим от области G область G' — С АВ А'С, проведя
прямую СО' параллельно вещественной оси (черт. 54), при-
чем причислим к области G' все пограничные точки, за
исключением точек отрезка СС'. Все решения уравнения (3),
лежащее внутри или на контуре области G, будут принад-
лежать области G', если только расстояние с прямой СС
от- вещественной оси будет выбрано достаточно большим.
Действительно, если т==г-|~& и то
I 1 « I । 2гп г — 2к 8 \ — 2 г с
I № I = I е I < е
и следовательно . при с достаточно большом | Л21 будет
294
сколь угодно малым, а в силу равенства (2) модуль функции
J будет сколь угодно большим, например \J (т)| > |а|.
Таким образом, решение уравнения (3), расположенное
внутри или на контуре области G, наверное не может нахо-
диться вне области G'.
Предположим сперва, что нигде на контуре области G'
не обращается в нуль.
Как было доказано в § 9, главы V части I, число реше-
ний уравнения (3) равняется тогда значению интеграла
N = h f /о'..'г -а)'
Gr G'
взятому по контуру области G' в положительном направле-
нии. Этот интеграл разложим на сумму интегралов по схеме -
в в С' с с
. /-./'+/-/+/
А А' А' А О'
где оба’ первые интеграла взяты по дугам АЗ и соответ-
ственно А 'В, а все остальные интегралы взяты по прямым.
Если в’ первом интеграле заменить переменную т на
1
---, то он преобразуется во второй интеграл, а если
т
в третьем интеграле переменную т заменить на то
этот интеграл преобразуется в четвертый. Действительно,
по теореме II имеем, что
/( -=/0Ь /t+D=/(4 (4)
Итак, указанные интегралы сокращаются, и мы получаем:
1 г
<5>
&
Если точка x = r-]-is описывает отрезок прямой С'С, то
точка
f й 2я if — 2тс 8 2я ir —2пС
№ = е е —е е
описывает в отрицательном направлении круг с центром
в нулевой .точке плоскости и радиусом, равным е~2кс. Уве-
295
Личивая с, можем сделать этот круг сколь угодно малым.
Рассматривая /(т) — а как функцию от h2, имеем поэтому,
что интеграл (5) равен порядку бесконечности этой функ-
ции в нулевой точке плоскости А2. Формула (2) дает те-
перь, что N—1, т. е., что J(t) — а обращается в нуль
в области G только один раз, что и требовалось доказать.
Доказательство нашей теоремы будет несколько слож-
нее, если не делать предположения о том, что разность
J —а не обращается в нуль нигде на контуре области G'.
Теперь будем рассуждать так. Отметим на контуре области
G' конечное число точек
А, В, А', р, р, plt pi,..(6)
отличных, как друг от д’руга, так и от точек отрезка СС'.
Между этими точками должны находиться и все те
которых J (т) — а обращается в нуль
р и р, а также точки рх и рх и т. д.
должны быть расположены симметрично
относительно мнимой оси. Из области G'
ИСКЛЮЧИМ ТОЧКИ р\ Pl . .. при помощи
частей круга, каждая из которых огра-
ничена куском отрезка А'С' или частью
дуги В А' и дугою круга с центром
соответственно в точке р', р/,..-
Каждую же точку р, окружим
маленькой частью круга, ограниченной
куском отрезка АС или частью дуги
АВ и дугою круга с центром соот-
J р, pi, ... и расположенною целиком
(кроме границ) вне области G'. Радиусы ограничивающих
кругов предположим равными соответственно радиусам кру-
гов, описанных около точек р', р/, . .. Все радиусы выберем
настолько малыми, чтобы площади круговых частей около
точек р, рх принадлежали целиком области G', а пло-
щади круговых частей около точек р, рх, ... целиком при-
надлежали верхней полуплоскости.
Исключим далее точки А, В, А' при помощи частей
круга, каждая из которых ограничена связной частью кон-
тура области G' и дугою круга с центром в точке А, В, А1
соответственно и целиком принадлежит области G'. Все
рассматриваемые части круга нужно выбрать кроме того
настолько малыми, чтобы каждые две из них не имели
точки контура, в
(черт. 54). Точки
С
Л
Л'
Л
Черт. 54.
в
796
общих точек и чтобы в этих частях функция J (т)— а
не обращалась нигде, за исключением, может быть, йх
центров, в нуль. Таким способом из области G' получается
область G". Дуги, описанные около точек (6), обозначим
соответственно через -
(4), (В), (А'), (р), (/), (Р1),
Тогда, опуская сокращающиеся части интеграла, имеем
(»")
= J + J / + J +' J + J + J + /+•••’ ,7)
С' (А) (В) (.4') (р) (р‘) (р3) (Pir) .
где /Vобозначает теперь число нулей функции/(т)—а в обла-
сти G". В силу формул (4) интегралы, взятые по (р) и по (//),
так же, как и интегралы, взятые по (р{) и по (р/) и т. д., со-
кращаются. Если функция /(“) — а не обращается в нуль
в вершинах Л, В, А', то можно опустить интегралы, взятые
по (Л), по (В) й по (Л'). Равенство (7) переходит тогда
в равенство
С'
т. е. в формулу (5), откуда,* как и выше, можно вывести, что
W=l. Но число N очевидно равно в то же время числу
нулей функции /(т)— а в области G.
Остается таким образом исследовать еще случай, когда
функция У (т)— а обращается в нуль в вершинах области.
При т = i имеем
V1'_____Д_____ _ „ X1________L_____=
140 Z । (znx г- m2if Z । ( — ти1г Д- тп2)6
= —V--------------ё-=0 ’), (8)
так как множество всех пар чисел /т?2,— тг совпадает
9 При первом преобразовании суммы пользуемся в формуле (8)
тем, что
(тх ~ mJ2 + == ( ~ rn^i т-тУ /6 — - ( — mJ 4 тп2),;,
297
с множеством пар т19 тп2. Следовательно
£з = 0, =
При т = р имеем
__1 __= Л ХЛ 1 =
60 + zn2 гЛ Р / । (m1p2 + m2)4
=-IV—______-_____V________=0
р ^Z|( —7И1Р —/П1 + т2)4 Р z 1 (/Hi -4-m2 р> 9
(9)
так как множество пар — совпадает со мно-
жеством пар т19 т2. Таким образом получаем
^2 = 0, 7(р) = 0.
При а = 1, функция/(т)— а обращается, следовательно,
в нуль в точке В, но не обращается в нуль в точках А и А'.
При а — 1 имеем поэтому
с
2*iN^ f + f (10)
cf (В)
Если дуга (В') дополняет дугу (5) до целой окружности
К, то в силу J у-~ j =/(х)
f f rfig {/(- 4) -1}=
(В) (В')
=4рм/(*)-1). dn
да
где интеграл по окружности К взят в отрицательном на-
правлении.
В силу формулы (1) точка т = i будет нулем четною
порядка 2v(v>l) функции J(t) — 1. Из формул (10) и (11)
имеем, что
_________________ N=l—v,
а в формуле (9)
(mt + т2 р)4 = (mip3 + т_р)4 = (т р2 + тяУ ?4 = (mi Р2 + тз)4 Р>
ибо р3 ~ 1. (Прим, ред.)-
298
и так как по самому своему значению 7V 0, то
7V = 0 и V — 1.
Таким образом в области G" функция J (~) — 1 не обра-
щается в нуль. Эта функция имеет поэтому в области G
только один (двукратный) нуль т = i.
Таким же способом можно доказать, что уравнение/(т)==0
имеет в области G только‘один (тройной) корень т = р.
Таким образом теорема III доказана-
§ 4. Решение уравнений &(«>!, — £з(®1> ®2) = аз-
Пусть теперь а2, аз будут такие данные числа, для ко-
торых
а2я — 27а32 — а
отлично от нуля.
Поставим задачу решить уравнения-
л(®1» “г) —а2> й(®1> ®г) = вз (!)
относительно о»! и
2п i
1. Пусть а2 = 0. Положим е3 ==р. Если ®2 = то " = р.
В силу формулы (9), § 3, имеет место при всяком ф О
уравнение
&(®1. <»1р) = а2 = 0. ’
Определив а»! из равенства
e_14°V' 1
0)1 ~ “3 r-^Р)6’
и взяв ®2 = ®iP> имеем решение уравнений (1).
2. Пусть а3 = 0. Если ^ — ^i, то т = г. В силу фор-
мулы (8) § 3 при всяком «j ф 0 таким образом справедливо
уравнение
&(®1» ®1г) = 0 = а3.
Решение уравнений (1) будет теперь дано формулами
4 во V' 1
®14 = — 7 ®2 = ®1Ь
а« Xj ' т‘2 l'
299
3. Пусть a.2 0> азФО. Уравнения (1) тогда и только
тогда возможны, если
g<2 (<»i, °>?) = а> g/ (ц>1 = ,2.
£s (wi> даэ) а3 ’ g* (wr X) — 27^з2 (wj ох,) а'
Рассматривая и^ = т, как искомые величины, пере-
пишем уравнения (2) в виде
1
(тфт^ j(\~a^
1 ’ а
о а»
со.2 = —
«3
(m, 4- m.> t)1
По теореме III § 3 последнее из этих уравнений имеет не
вещественное решение х. Значение wj получается тогда из
первого уравнения при помощи извлечения корня и нако-
нец 0)2 из <02 = <01 т.
Таким образом поставленный в начале этой главы во-
прос получает утвердительный ответ:
Всегда возможно выбрать периоды и а>2 чтобы
инварианты g2 и gs имели заданные значения а> и а8,
если только числа а2 и а3 удовлетворяют условию
«о3 — 27аф фа.
• § 5. Функция х2 (т).
В главе III § 3 мы видели, что эллиптическая функция
sn и удовлетворяет дифференциальному уравнению
“(1 — sn2 u) (1—x2sn2u). (1)
При этом х2 была определена как функция от г, при по-
мощи равенства
Величина х2 отлична от 0 и от 1, так как числа е2, е3
различны между собой. Каждому значению ”, имеющему
положительную мнимую часть, соответствует одно, отлич-
ное от 0 и 1 значение х2 и функция sn ч. Поставим обрат-
зад
1
ный вопрос: можно ли при всяком заданном, отличном of
О и 1 значении х2 удовлетворить дифференциальному урав-
нению (1) при помощи некоторой эллиптической функции
sn и. Таким образом надо решить вопрос, возможно ли
при есяком а, отличном от 0 и 1, удовлетворить урав-
нению
^) = а
таким значением т, которое имеет положительную мни-
мую часть. Положим
е3 = — ei = ез 1> е2 = е3Ц-а (4)
и следовательно
I е1 "Г е2 4“ е8 “ 0.
На основании формул (8) § 7 главы I имеем
gt = — 4 (еге2 4- е2е3 esej, g3 = 4е]е2е3. (5)
Числа е19 е2, е3 будут далее различны между собой и по-
этому
Я23- 27^4=0.
! Из § 4 мы знаем, что уравнениям (5), а значит и (4)
। можно удовлетворить двумя периодами и о>2. Положим
~ = т и внесем значения (4) в равенства (2). Легко видеть,
что это значение т удовлетворяет уравнению (3).
: Таким образом каждому; стличному от 0 и 1 значе-
нию а соответствует эллиптическая функция sn и,
удовлетворяющая дифференциальному уравнению
=(1 — sn2 и) (1 — a sn2 и).
\аи/
Глава V.
ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ОБРАЗЫ.
§ 1. Образ Вейерштрасса.
Если х и у две комплексных переменных, связанных ’
между собой алгебраическим уравнением с постоянными
коэффициентами
G (х, у) = 0, (1)
301
^о совокупность пар значений, удовлетворяющих уравнё^
нию (1), называется алгебраическим образом. Каждая пара
значений (х, у) называется местом или точкой образа.
Если коэффициенты уравнения G (х, у) вещественны и если
существуют вещественные пары значений (х, у)9 которые
принадлежат образу, то эти вещественные пары значений
представляются точками алгебраической кривой G (х, у) — О,
если х и у рассматривать как прямоугольные координаты
точки на плоскости.
Мы займемся теперь алгебраическим образом
^2 = воХ4 _|_ О1 лз а2Х2 = Gt (2)
причем наложим на постоянные а0, . ..,а4 одно только
ограничение, чтобы G4 (х) = 0 имело бы только различные
корни. Этим исключается случай ао = О, а1 = 0; в против-
ном случае уравнение имело бы двойной корень со. Правая
часть уравнения (2) есть следовательно многочлен третьей
или четвертой степени. Представленный уравнением (2)
алгебраический образ мы назовем эллиптическим основ-
ным образом. В этом параграфе мы рассмотрим частный
случай, так называемый образ Вейерштрасса:
— . (3)
Здесь и ga обозначают любые числа, подчиненные
только ограничению,
g/-27g3^0.
В предыдущем параграфе было доказано, что величины
Wj и могут быть определены так, чтобы было
60 "7----г----= £2» 140 ~z----------г----
7 \ * 7 \ О1ш1 + т2^.
причем отношение — не вещественно.
Если мы составим с помощью этих величин со2 функ-
цию с? (и), то
№ (и) = 4$ (и) — g3<$ (u)—ga,
и следовательно
х = &(и), у = $'(и) (4)
будет точкой образа (3). В силу (4) каждой точке парал-
302
Лелограмма периодов функции $(и) соответствует точка
образа, если точку х = оо, у = оо также причислить к образу.
Далее, уравнение х = $(и) имеет в параллелограмме пери-
одов ровно два решения: щ и и2; для этих решений имеем
cf (щ) =—сГ(и2). Следовательно, если ut соответствует
точке (х, у), то соответствует (хх—у); при уфО точке
(лг, у) соответствует одна единственная точка паралле-
лограмма периодов. Но при у = 0 = u2, так что и
в этом случае точке (х, у) образа соответствует одна
единственная точка параллелограмма.
Таким образом уравнения (4) устанавливают взаимно
однозначное соответствие между точками образа Вей-
ерштрасса и точками параллелограмма периодов функции
cj(u). Результат этого параграфа мы легко можем распро-
странить на общий случай (2). Это мы сделаем в двух сле-
дующих параграфах.
§ 2. Образ = <?3 (х).
Пусть
у^ = а{хй-\-а2х^-\-а^х-\-a^ = Gb (х), . (л^О), (1)
где полином Gs(x) имеет три различных корня. Положим
Х а 'У а'
тогда (1) переходит в
9? = + (з 64-<ч)хх’+ • • • (2)
Подберем а и b так, чтобы приобрел коэффициент
4 и х^ коэффициент 0, т. е. примем
л а1 L_____ а2
в = Т ь------
Тогда (2) получит вид
^12 = 4х18 — ЯЛ~
нде коэффициенты Яг и Яз легко выражаются черва
гь ..., а4. Дискриминант Я23 — 2?Яз2 при этом отличен от
ауля, потому что уравнение G3(t) = 0, а следовательно
и уравнение 4^® — Ягг1 — Sz — 0 имеет только простые
ЗОЭ
корни. Поэтому в силу § 1 образ (1) может быть пред-
ставлен уравнениями
4 / с / \ @2 \ _ / \ 4 / / \ /q\
X = — еИм) — == fr W> У ~? (“)> (3)
«] \ 1Z / clj
причем с5(и) обозначает ^-функцию» имеющую инвари-
антами g>, Яа* Таким образом ?(и) есть эллиптическая
фуцкция второю порядка с двойным полюсом и = 0.
Уравнения (3) дают всякую точку образа (1) один и
только один раз, когда и принимает все значения в па-
раллелограмме периодов.
§ 3. Образ у2 = О4(х).
. Наконец, пусть будет задан образ
y^-a^x* -У а^а^-Y а^ха^ G4(x), (1)
где G4(x) = 0 имеет четыре различных корня.
Полагаем
и находим
у;2 = а0 (1 -г ^i)4 4“ ал (1+М3 + а2Г!2 (1 + /хД2 4-
+ a3vis (14- Ixj) + а4х/ = .
= Ьл3 4- Vi2 4" V14- (2)
если / обозначает решение уравнения G4(x) = 0. Так как
G4 (х) имеет исключительно простые корни, то то же самое
имеет место и для многочлена (2); на том же основании
bt = G/ (Z) Ф 0. В силу результатов предшествующего пара-
графа образ
у? == ^л8 4- Ала 4-
может быть представлен формулами
4 / . , , Ъг\ 4<S' (и)
12?
Образ (1) представится поэтому формулами
х .........Ь----- q- / = ? (и),
304
№'(и)
4(Ku)_ n)
<p' (u).
Этот вывод мы сформулируем еще раз:
Теорема. Точки эллиптического основного образа
у* = а0л4 4" агх3 + а2х* + а3х сц (3)
могут быть представлены в виде
x = f?(u) =
<#(u) + b
<#(«) + </ ’
(ad— ЬсфО).
Функция <р(и) является следовательно эллиптической
функцией второго порядка, у которой сумма полюсов
равна нулю. Если правая часть (3) многочлен третьей
степени, т. е. Oq — O, то <р(и) целая линейная функция
от Р(и).
С помощью подстановки
ах\ + Ь (ad — be)
+ У~ (СХ' + Ф
образ (3) переходит й образ Вейерштрасса
У18 = 4г18 — g^ — gs.
§ 4. Образ Лежандра.
Образ
= (1-Л2) (1-ПЛ2), (1)
где а отлично от 0 и 1, будем называть образом Лежандра»
потому что он лежит в основе той формы эллиптических
интегралов, которую употреблял в своих классических ис-
следованиях Лежандр. Разумеется, он является частным
случаем образов, рассмотренных в предыдущем параграфе.
Но можно показать и непосредственно, что этот образ
может быть выражен через эллиптические функции.
По § 5 предыдущей главы уравнение
х2 (т) == а (а 0 и =# 1)
имеет корень т с вещественной положительной частью.
20 А. Гурвии 305
Принадлежащая к этому т функция sn и удовлетворяет тогда
дифференциальному уравнению
=(1—sn2u) (1—a sn2u)
Поэтому образ (1) может быть представлен формулами
x = snu, у = (sn и)'.
§ 5. Главная форма Римановой поверхности образа
J2=G4(x).
В последующем мы ближе изучим внутреннюю связь
точек, из которых составляется эллиптический основной
образ. Для этой цели служит введенное Риманом пред-
ставление многозначных функций при помощи поверх-
ностей, названных его именем; здесь мы рассмотрим их
только для одного интересующего нас частного случая.
Поверхность F называется Римановой поверхностью
эллиптического образа
у2 = Ао г* + Atx8+А*2 + А3х -i-A4 = Gt (*), (1)
если точки поверхности однозначно и взаимно соответ-
ствуют точкам образа, притом так, что при непре-
рывном изменении положения точки на поверхности F
непрерывно изменяется и соответствующая, пара зна-
чений (х, у), если только х и у остаются конечными.
Из этого определения вытекает, как впрочем будет пока-
зано ниже, что Риманова поверхность не определяется
однозначно, но может быть представлена самыми разнооб-
разными способами.
Прежде всего мы можем непосредственно получить осо-
бенно простой вид Римановой поверхности образа (1),
если мы возьмем представление этого образа в виде
X = <р(и), У = ?'(«)• (2)
При этом <р(и) обозначает согласно § 3 эллиптическую
функцию второго порядка с суммой полюсов, равной нулю.
На основании уравнений (2) точки (х, у) образа соответ-
ствуют взаимно и однозначно точкам параллелограмма пери-
одов abed. Из точек периметра параллелограмма считаются
принадлежащими параллелограмму только точки на сторонах
306
ab, ad9 за исключением точек Ь и d. Если же мы при-
числим к параллелограмму и точки его периметра, то лю-
бые две противоположные точки, как р и р/ или v и v', пред-
ставляют одну и ту же точку эллиптического образа, в част-
ности все четыре вершины а, 6, с, d соответствуют одной
d v' с
Черт. 55. Черт. 56.
и той же точке образа (черт. 55). Но таким образом нарушается
однозначность соответствия, потому что некоторые точки
образа соответствуют двум различным точкам площади
параллелограмма и одна точка образа даже четырем точ-
кам* параллелограмма.
Многозначность можно однако опять устранить 'сле-
дующим образом. Вообразим себе, что параллелограмм
Черт. 58.
сделан из совершенно гибкою и растяжимого вещества.
Соответственным образом растягивая параллелограмм, мы
приведем его к виду прямоугольника (черт. 56). После
этого согнем прямоугольник в цилиндр так, чтобы сторона
Ъс совпала со стороной ad, вследствие чего любые две
20*
307
точки у- и у/ соединятся в одну точку (черт. 57). Наконец
согнем цилиндр в кольцо или тор, причем любые две
соответствующие точки v и vz, а также четыре точки а, Ь,
с, d совпадут между собой (черт. 58). .
Точки эллиптического образа соответствуют теперь вза-
имно однозначно и непрерывно точкам этого кольца.
Нужно еще заметить, что мы имеем две точки в парал-
лелограмме периодов, а следовательно и в кольце, для
которых лг=со, ^ = оо, если а0 не нуль, в противном слу-
чае мы имеем одну только такую точку.
В первом случае для установления всюду взаимно одно-
значного соответствия между точками эллиптического об-
раза и точками кольца мы должны дважды считать пару
значений лг=оо, ^=оо, как точку эллиптического образа.
Будем считать кольцо основной формой Римановой по-
верхности эллиптического основного образа (1).
Отметим еще, что параллелям к одной паре сторон аЬ,
cd параллелограмма периодов соответствуют на кольце
круги меридианов, а параллелям к другой паре сторон ad,
Ьс соответствуют круги широты (параллели).
§ б.Двулистная форма Римановой поверхности J2 = GJx).
Теперь перейдем к той форме Римановой поверхности
нашего образа, которая была впервые дана Риманом
и почти исключительно применялась в старой литературе.
Будет целесообразно предпослать следующие замечания.
Функция .
y — Vx — a
имеет для каждого значения х, отличного от а, два значе-
ния, отличающиеся только знаком, поэтому она есть дву-
значная функция от х. Если xQ есть какое-нибудь зна-
чение, отличное от а, то мы сможем разложить
1
^ = У(х0 —а)-Ь(х —х0) = /хо —а(1
\ ---------------------------------------а/
в ряд по возрастающим степеням х — х0; полученный сте*
пенной ряд дает одно из двух значений ]^х — а, смотря
по тому, какое мы возьмем значение для множителя
xq — а. Отсюда мы видим: В окрестности точки xQ9
308'
отличной от а, значения у = У xQ — а распадаются на
две системы, каждая из которых может быть предста-
влена обыкновенным степенным рядом от х — х$. Если х
описывает непрерывную кривую хи...,х2, которая не
проходит, чрез точку а, то мы можем привести в соответ-
ветствие каждой точке х на кривой одно из двух значений
у — Vx — а. Но если мы потребуем, чтобы у изменялся
непрерывно, то очевидно у будет вполне определен в лю-
бой точке кривой *!,.. .,г2, если только
для начальной точки мы установили,
какие из двух значений — а дол- /
жен иметь у. Положим /
х — а = ре?; хг ---------**
тогда угол <? будет однозначно опре- церТе 59,
делен вдоль кривой хг ... х%, если мы
» произвольно выберем его для начальной
точки *1 и будем затем непрерывно изменять его вдоль
кривой (черт. 59)
Приняв во внимание, что
V х—a — Y Fe 2’
мы сразу получим, заставив совпасть х2 с xf.
При обходе замкнутой кривой, оставляющей точку
а вне себя, у = ]/х — а принимает снова свое перво-
начальное значение*, при обходе простой замкнутой кри-
вой, заключающей точку а внутри себя, y = ]fx — a при-
нимает прямо противоположное значение — х— а.
Эти предложения сразу перенося1ся на квадратный ко-
рень из любой целой рациональной функции от х.
В частности, если
а = V А)*4 4- А-*3 4~ А2х2 4- А3х 4- А=
= ]/ А V* — а^х — (г.,1х — а3Ух — а4,
где Ао и четыре числа aif а2, л3, отличны друг от
друга, то имеем:
1. /? окрестности точки отличной от а2, а3, а±,
значения у распадаются на две системы, каждая из
309
которых может быть представлена обыкновенным сте-
пенным рядом от х —
у = Р(х — х0), у = —Р(х — хь).
2. При обходе простой замкнутой кривой у возвра-
щается к своему первоначальному значению или пере-
ходит в прямо противоположное значение — у9 смотря
по тому, заключает ли кривая внутри себя четное или
нечетное число точек аУ9 а2, а3, а4.
Точки аи а2, аь называются точками разветвления
функции у. Мы предположили здесь, что Ф 0. Если же
Aq = 0, А\Ф 0 и три корня а2> аз полинома Длг3 Л2х2 -{-г
отличны друг от друга, то предыдущие пред-
ложения остаются в силе, причем надо принять а4 = оо.
Представим себе теперь, что проведен разрез в комплекс-
ной числовой плоскости или на числовой сфере от точки аг
к точке а2. Всякая точка X, через которую проходит раз-*
рез, должна считаться после выполнения разреза один раз
на левом краю разреза, второй раз на пра-
вом. Чтобы различить эти две точки, пред-
ставляющие одно и то же значение X пере-
1 менной х9 мы обозначим их соответственно
Черт. 60. чеРез >+’ (чеРт- 6°)-
Таким же образом проведем разрез от
точки а3 к точке притом так, чтобы раз-
рез этот не пересекал разреза а1...а2. Точки обоих краев
разреза, представляющие одно и то же значение '-ь для х9
обозначим опять через
Плоскость или сферу, имеющие разрезы а{а2, а3а±9 обо-
значим через Е. Точки на краях разрезов образуют гра-
ницу Е.
Зафиксируем теперь какую-нибудь точку xq внутри пло-
скости Е и приведем в соответствие этой точке одно из
двух отвечающих выбранному х0 значений у. Это значение
у обозначим через yQ. Если итти от лг0 непрерывно к х по
пути С, лежащему внутри Е, то у0 будет непрерывно пере-
ходить в одно из двух значений у9 соответствующих
значению х. Это значение у не зависит теперь от выбран-
ного пути. В самом деле, если С другой путь, то он обра-
зует с С замкнутую линию, которая по необходимости
заключает внутри себя четное число точек а19 а2, а3,
(черт. 61). Поэтому- если мы пойдем от х0 вдоль С к х\
-го Уо непрерывно перейдет например в у\ если мы пойдем
дальше от х вдоль Сх к х0, то у, меняясь непрерывно,
возвратится к значению уо» Если поэтому итти по С\ в про?
тивоположном направлении от к х9 то z/0
Если теперь сопоста-
вить каждой точке х
плоскости Е такое
значение у, которое
получается упомяну-
тым способом, то
перейдет в у.
этим определяется
следовательно одно- Черт. 61.
значная функция в _
плоскости Е. Очевидно, что граничным точкам Г и *•
(или и соответствуют противоположные по знаку
значения у.
Возьмем теперь второй экземпляр Е' плоскости (или
сферы) Е и наложим его на плоскость £\ параллельно ей,
так что две точки, изображающие одно и то же значение х>
лягут одна над другой. Если у есть значение, соответ-
ствующее точке х на плоскости Е> то точке х плоскости
Е' сопоставим значение—у. Что касается точек на краях
разрезов, то очевидно следующее: точке на плоскости
Е соответствует то же самое значение у, что точке X на
плоскости Е', и обратно точке V плоскости 2? соответствует
то .же самое значение у, что
точке на плоскости Е'. То
же самое относится к гранич-
ным точкам и
Если мы склеим левый край
каждого разреза плоскости Е
с правым краем соответствен-
ного разреза плоскости Е' и
наоборот, притом так, чтобы
Черт. 62.
совпали соответственные точки краев, то получается по-
верхность F, составленная из двух плоскостей Е и Е'; ее
точкам однозначно и взаимно соответствуют точки (г, у)
эллиптического основного образа. Мы называем Е и Ef
листами поверхности, а линии а-По и а3а4, при пересечении
S11
которых мы переходим из одного листа в другой, — линиями
разветвления или перехода.
Эта поверхность обычно. и понимается под Римано-
вой поверхностью эллиптического основного образа» Как
легко видеть из приведенных чертежей, можно посредством
непрерывной деформации перейти от нее к главной форме.
Черт. 63.
Черт. 64.
А именно представим себе Е и Е' сферами, на которых
линии разветвления расширены до кругов (черт. 62); потом
растянем эти сферы в цилиндры (черт. 63); наконец, со-
гнем оба цилиндра в одно кольцо, склеив при этом соот-
ветственные части границ Е' и Е (черт. 64). Края раз-
резов аха% и а3а4 перейдут на кольце в круги меридианов.
Глава VI.
ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ.
§ 1. Определения.
Пусть
У2 = аоГ4.4-в1^3 + а2^2+аз-«+а4. (1)
причем многочлен правой части не имеет кратных корней.
Функция у есть следовательно квадратный корень из
многочлена 3-й или 4-й степени относительно х.
Во всякой точке Римановой поверхности F образа (1)
как х, так и у имеют вполне определенное значение; гово-
рят: на Римановой поверхности F,x и у суть однозначные
функции точки. Если R(x, у) какая-нибудь рациональная
функция от х и у, то она будет иметь во всякой точке
поверхности F вполне определенное значение, следова-
тельно будет однозначной функцией точки на F. >
312 ~~
Рассмотрим две точки plf р2 поверхности F и соединим
их какой-нибудь линией L. Так как вдоль этой линии
во всякой ее точке х и у имеют вполне определенное
значение, то интеграл, взятый вдоль линии L
р2
J = fR (*, a) dx R (х, у) dx, (2)
L Pi
имеет вполне определенное значение в том случае, если х
и R (х, у) остаются конечными на пути интегрирования. Но
даже если хи R(x, у) обращаются в бесконечность на
кривой р{ ... р%, интеграл может иметь конечное значение
и будет тогда несобственным интегралом *). Мы назовем
интеграл (2) определенным эллиптическим интегралом*
Если в интеграле (2) конец р2 линии рг .. . р2 станет
переменным и если прибавим еще произвольную постоян-
ную, то получим функцию от х = х2, т. е. от коорди-
наты X ТОЧКИ /?2:
J= jR(x, y)dx,
которая удовлетворяет дифференциальному уравнению
%rR
Эту функцию мы называем неопределенным эллиптиче-
ским интегралом.
§ 2. Неопределенные эллиптические интегралы.
В этом параграфе мы займемся приведением любых
неопределенных эллиптических интегралов к некоторым
частным эллиптическим интегралам.
г) Как известно, несобственный интеграл определяется как предел соб-
ственного интеграла, например
1 h
j d* С ~
J J
о о
причем h стремится слева к 1.
313
По § 3 главы V подстановка
н и (1)
преобразует уравнение
У2 — а^х1 + atxz 4- -|- а3 х + а4
к виду
V = 4S3 — g3l —g3. (2)
Очевидно, что £ и v] тоже выражаются рационально
через х и у.
Так как
dx__________________ 1
(сЁ+</)2’
то подстановка (1) приводит эллиптический интеграл
Z = JR(x, у) dx,
к интегралу
2==ур(^т)^, (3)
где Р есть также рациональная функция, и $ и 'q связаны
уравнением (2). Полагаем
> = ^ = Г(и);
тогда (3) переходит в
z~ f Р(Н«)> F (и)) $'(u)du= fF(u)du^
где F(u) означает эллиптическую функцию.
По § 12 главы I любая эллиптическая функция F (и)
может быть представлена в виде
г(в)=с+2иИ“-«)+ДР(»-«)+
+АР' (и —а) 4- ... + AF(r-1) (u-a)l,
причем вычеты А связаны уравнением
£л=о.
314
Таким образом
z = [* F (u) du = Си 4~ A J С(и—a) du-\-
4-Л^(г-а)(и-а))+С1
или так как
с(„ .а) =
' . du du
4-£{Л2НИ-а) -ь . . • 4- Arf~\u-a)]. (4)
Последняя сумма, будучи эллиптической функций, рацио-
нально выражается через $(и) и (и), т. е. через х и у.
Приведем правую часть (4) еще к другому виду, чтобы
выразить интеграл z через наименьшее число трансцен-
дентных членов. Прежде всего заметим, что
С (и — а) —Ци)
имеет периоды и <о2, следовательно, есть эллиптическая
функция. Поэтому заменяем
24^(11 —а) через С (и) У} Аг {C(u—а) —C(u)|.
Далее заменим
^41go(u —а) = ^4 lg o(u —а) —lga(u)^4
через
5’л(1г4“в4+4°М- '
Z I а(и)°(«) ° (а) )
Разность обеих сумм, очевидно, есть целая линейная
функция от и. Заметим еще, что в случае а — 0 надлежит
в этой сумме пропустить соответственный член. Уравне- ,
ние (4) может быть теперь переписано так:
г = с + с.и +с2С(И) + 2 Л{1^у7$ + -0((^ “}+ ' Q
4-/МР(«),Н«)),
где /?! означает рациональную функцию.
315
Таким образом самый обилий эллиптический интеграл
составляет линейную сумму членов вида
°' (а)
а (а)
и рациональной функции от х = у — (и). Эти
отдельные члены суть сами эллиптические интегралы.
Прежде всего
J J Р (и) J У
С dx
этот интеграл j — называется эллиптическим нормаль-
ным интегралам первого рода.
Далее
;(U) = _ p(u)rfu= -
этот интеграл
/х dx
У
называется эллиптическим нормальным интегралом вто-
рого рода.
Чтобы представить
1„ «(а —к)
, <з(а — и) . г/ .
и — 1g Г7-г + <• («) «
5 а(и)о(а) 1 ' ’
как эллиптический интеграл, воспользуемся уравнением
1 ф' (“) -- F (V) г . , V „ ( V « , Ч
которое мы вывели в § 12 главы I. Положим в нем v =— а
и проинтегрируем по и; таким путем приходим к
+ J*C(a)cfa = lga(a— и) — 1g з(и)4- С(а)и—lgs(a),
подходящем подборе постоянной интегрирования. Если
положим
(и) = х, (и) = у, (а) х0, f (а) = у^
при
еще
316
то найдем
о(а —и) а'(а) Г 1 у-\-у» dx
д(и)д(а) ’ а(а) J 2 х— х0 у’
этот интеграл называется эллиптическим нормальным
интегралом третьего рода. Он зависит от произвольной
точки х0 = ^ (а), = (а) образа Вейерштрасса.
Главнейший результат нашего исследования выразим
в виде следующей теоремы:
Если у определяется уравнением
то самый общий интеграл вида
z = f R(x,y)dx
может быть выражен линейной функцией от интегралов
вида
/dx Г xdx Г 1 ff + Уо dx
У ’ J У ’ J 2 х — х0 у ’
сложенной с рациональной функцией от х и у.
Поэтому
где в сумме правой части постоянные х0, у$ меняются
в каждом члене и R% есть рациональная функция.
§ 3. Определенные эллиптические интегралы.
В этом параграфе мы займемся вопросом, в какой
мере зависит значение эллиптического интеграла
Ра
J R(x,y)dx
Pi
от пути интегрирования, соединяющего точки р{ и р%.
317
По § 2 мы можем при этом ограничиться рассмотрением
интегралов
р2 р2 ~ Рз
, _ Г dx Г _ f xdx J _ Г 1 у+#о dx
Ji~ J У' J* J У ’ 73 J "2 x-xQ у ’
Pi Pi Pi
G-2 = 4x3 — g2x — g3).
Черт. 65.
Представим себе, что главная форма Римановой поверх-
ности получена путем сгибания параллелограмма периодов.
Обозначим чрез А*, А, В+, В~ стороны параллелограмма;
рассматривая их на поверхности Римана, видим что А*
склеена с по линии А и
В+сВ“ по линии В (черт. 65).
Назовем совокупность точек
Римановой поверхности, не
лежащих на Я и В, буквой Т.
Сторону линии А, проис-
шедшую из А*, назовем поло-
жительной, происшедшую
же из А~—отрицательной.
Точку р на А назовем р+
рассматриваем ли мы ее как пре-
или p , смотря по тому, рассматриваем ли мы ее как пре-
дельное положение точки Т, стремящейся к положительной
или к отрицательной стороне А. Те же определения имеют
место для В.
Всякой точке р из- Т соответствует определенная точка
и —и (р) параллелограмма периодов. Вдоль А
и вдоль В
и(р ) — u(p+)==<°i
U (р~) — и(/>+) = в>2.
Если кривая рг.. .р2 целиком лежит в У, то ей соответ-
ствует лежащая внутри параллелограмма периодов кривая
. .и2, и тогда
Рз Щ
J ^ = J da===U(P2)~~U(Pl)-
Pl «1
318
Если кривая рх.. .р2 пересекает линию А притом с отри-
цательной стороны на положительную,, то (черт. 66)
jp” р*
f + J =u(p~) — u(p1)-j-li(ps) — u(p+) =
Pi Pi ____Д
= «(P2) —«(pi) + ®v
Если же Pi...р-2 пересекает линию А ' у>
с положительной стороны на отрицатель-
ную, ТО* Черт. 66.
Jl = u(P2) — u(Pl)—a>V
Точно также, разумеется, если путь pt...p2 пересекает
один раз линию Bt то
71 = И(Р2) —«(Pl)±“2>
где стоит положительный или отрицательный знак, смотря
потому, пересекается ли В с отрицательной стороны на
положительную или с положительной стороны на отрица-
тельную.
Если интегрирование происходит по любому пути от рх
до р2) то МЬ1 разложим путь интегрирования промежуточ-
ными точками р(1), р(2),..., рк\ не принадлежащими ни одной
из линий А, В на пути рх.. .р(1), р(1Л . .р(2)..p(fe).. .р21 так
что каждый из этих путей имеет самое большое одну только
общую точку с одной линией А и В. Тогда
Pi Р^ Р^ Ра
л=/*=/+/+•••+/=»w-»w+
Pl Pi j/1) pW
+ ml(Ol + m2a)2>
причем т1 указывает, насколько раз больше путь инте-
грирования пересекает линию А с отрицательной сто-
роны на положительную, чем в обратном направлении,
и т% имеет то же самое значение для В.
В частности отсюда следует
dx
---------------= -f- т2
319
если С есть замкнутая кривая, не совпадающая ни с одной
из линий А и В.
Значение зллиптического интеграла первого рода, взя-
того по замкнутой кривой, равно периоду.
Если такая замкнутая кривая может быть непрерывно
стянута в точку, то по теореме Коши имеем очевидно
с
Собственные периоды появляются следовательно по*
тому, что на кольце существуют замкнутые кривые, ко-
торые не могут быть непрерывно стянуты в точку.
Рассмотрим теперь определенный нормальный интеграл
второго рода
j
j _ I х ах
Pl
Если кривая интегрирования лежит целиком в Г, то
w(Pa)
/а=У ^(u)du — — C(u(p2))-H(u(pi)).
«6Р1)
Вдоль А имеем и (р~) — и (р+) = следовательно
С (и (р~) ) — С ( и (р+) ) = гн
и соответственно вдоль В
(р~) ) — £ (и (р+) ) = Т12.
Отсюда следует для произвольной кривой рх..
Р1
где тг и т2 имеют то же значение, что выше. Величины
% и т]2 называются еще периодами интеграла второго
^>ода, потому что они играют ту же самую роль, что
и <о2 У интеграла первого рода.
320
Наконец исследуе м нормальный интеграл третьего рода
Г 1 + dr
J 2 х — -*о У
Пусть Л-О = р(а). Не ограничивая общности, мы можем
допустить, что точки и = 0 и и = афЪ лежат внутри
параллелограмма периодов. Соединим их кривой. Этой
кривой соответствует на кольце линия С,
на которой мы опять различим поло-
жительную и отрицательную стороны /
(черт. 67). Пусть р г и р2 отличны от и = 0
и и — а. Если путь р±... р2 минует все
три кривые Л, В, С, то \
и(р2)
/з = Г{г(и_а)_ци) + с(а)} du =
u(Pi)
Черт. 67.
и(р2)
и(Рх)
и здесь разность в правой части имеет вполне опреде-
ленное значение, потому что в параллелограмме периодов,
в котором проведен разрез от и = 0 дои==а, логарифм,
стоящий в правой части, однозначен.
Пусть теперь путь р!...р2 пересекает один раз кривую С
и не пересекает линии А и В. Пусть прежде всего р± = р+9
Ръ~Р~ одна и та же точка С, лежащая соответственно
на положительной и отрицательной стороне С. Путь
р+...р“ окружает один из двух полюсов 0 и а подинте-
гральной функции
Ци-а)-С(и)-Н(а).
Эти полюсы по § 11 главы I суть первого порядка и имеют
вычеты — 1 и —|г 1. Следовательно, в этом случае при под-
ходящем выборе положительной стороны С
Разумеется, то же самое имеет место для всякого зам-
кнутого пути интегрирования, ровно один раз пересекаю-
щего С.
21 А. Гурвиц
321
То же самое рассуждение проведем по отношению к ли-
ниям А и В.
Если мы интегрируем от точки на Л до соответствен-
ной точки на А, не встречая при этом ни Л, ни В9
ни С, то
Л ==
далее и (р~) — и (р+) = и по § 13 главы I
° (« + <oi)=~~e V о (и),
~~Т|1 (и—
а (и—<»i)=—е з(и);
поэтому
s О (и — Wj) • а(а) 1 v ’ v 17
’ll (а —м + -i- wj)
— е 2 о(а —и)
-Т11(И- ‘ ш.)
=м
I —е '
С (а) и — С (a)«h= 1g ; Лг 4~ а + Цо) u (а) «f,
отсюда, принимая во внимание многозначность логарифма,
имеем
Jg = —a 7]j-Н (а) о>!-1-П! 2* г =
есть при этом целое число, которое мы не будем опре-
делять ближе.
Если мы интегрируем от точки на В до точки
р“, не встречая при этом ни Л, ни В, ни С, то точно также
получим
7з = — ат|2 + С(а)(о24-п22кг = 22. '
Постоянные Sx и играют ту же самую роль для опре-
деленного нормального интеграла третьего рода, что зна-
чения ojj, о)2 и соответственно тц, т]2 для интегралов пер-
вого и соответственно второго рода; поэтому они тоже
называются периодами.
322
Пусть наконец задан любой путь интегрирования от pj
до р2, не проходящий через точки и = 0, и = а, и не при-
надлежащий целиком А или В. Соединим рх и р2 вспомо-
гательной линией, не пересекающей A, В9 С9 и назовем
значение интеграла по этой линии через J3.
Это значение мы определили в самом начале.
Тогда
к- /4-:5±^L V==^ + m2ltZ+m‘e‘+m’9«’
J £. X Х0 Ц
Р1
где т9 т19 т2 целые числа. При этом 1щ и тп2 имеют
прежнее значение; число же т показывает, насколько чаще
пересекает путь интегрирования Pi --p2 линию С с отри-
цательной .стороны на положительную, чем в обратном
направлении; значения т9 mi9 т% поэтому совершенно ана-
логичны; Доказательство получается, как раньше, разло-
жением пути интегрирования на такие части, которые пере-
секают самое большее один только раз одну из кривых А,
В9 С.
Глава VII.
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ.
§ 1. Линейное преобразование функций Вейерштрасса.
Если положим
— 01 (02 -[- 8(0п (1)
где а, р, у, 8 целые числа определителя aS — £т=1, то
говорят, что <°1) получается из (<*>2, а^) посредством
линейного преобразования. Здесь мы займемся прежде
всего вопросом, что происходит с функциями Вейерштрасса
при линейном преобразовании периодов. Мы имеем равен-
ство
Если мы заменим w2 через то совокупность
2Р 323
периодов совсем не изменится, причем период 0 перей»
дет в самого себя. Поэтому
o(kz«>u <о2) = a (u/»!, w2X
Точно также докажем справедливость равенств
^(u/S> a>2) = C(u/a>1, о>2), (пМи «2) = ? (w/<on W9).
Функции ^(и), С (и), р(и) при линейном преобразовании
периодов не меняются 1).
На том же основании остаются инвариантными и
•&>» Яз» д = ^28 — 27^3а.
Как ведут себя величины
2
Если мы обозначим через т12 значения, в которые пере-
ходят 'Пр v]2 при замене <оп о>2 на (оп о>2> то
\ £
V
®1> “>2
®р ®2 Ь »12=2Ц-^
7(1 = 2С
»!, о>9 ) = 2С
Gi = 2C
2
- - \ ог/ 7<»2 4~ s<°
<°2 ] — 2и —----------2—
(JO
шь а>2
Из равенства
С (и 4- ао>2 4- / шх, <о2) = С (и / а>и ш2) -}- о^2+Зтп
а<1>2-4“ РШ1 ” I а
при и =---------2~~" следует равенство ^ = а^П” Р11> и
соответственно т)х — 8тц. Следовательно ^х, т)2 испы-
тывают то же
Величины
(О),
самое преобразование, как ®2.
“>!. ®2
<“1, а>2
2
е3 = Р (-^
\ £л
®1» «2
при линейном преобразовании периодов очевидно могут
испытывать только перестановку.
1) Ср. § 15, глава I).
324
§ 2. Линейное преобразование ^-функций.
Из главы II, § 6, (2), и § 9, (8), следует
Если мы составим то же самое .уравнение не для периодов
<о2, а для периодов «о ®2, связанных с периодами ®х,
<о2 уравнениями (1) предыдущего параграфа, то найдем
(и v \
V — z=r- = V =--------ГТ”> \
о>1 _ г + 8 ..
- а>9 ат 4- 3 I * '
Т =•= ~ == ---L-L- /
а>1 -fT —|— 8 '
Если разделим (2) на (1\ то вследствие того, что Д = А,
получим
где з обозначает корень восьмой степени из единицы.
Теперь
2ц____ 51 f?®2 4-§а>1) ~ + _ 7(^t®2~ ^i) =
<»! OOj COjOJj 0).^
7 2 it/
~ ®i' ®i ’
и = (01 V,
так что мы получаем следующую формулу для линейного
преобразования
»1 ( —х я Ч (v/t). (3)
\ Yx । ® ут о j ‘ 1 \/
Много работ относится к определению корня восьмой сте-
пени из единицы е. Исчерпывающее исследование этого
325
вопроса дал Дедекинд в своем комментарии к одной из
посмертных работ Римана.
Если разделить (3) на ^(v/t) и положить затем v — 0, то
получается
9
Но мы имели (§ 10, (5), глава II)
1 оо
V (0/т) = 2 К h* П (1 — А2")8 ( Л = .
п~ 1
отсюда вытекает
Lg
а'‘П(1-л'27
___П — 1_____
1 ОО
А4 П (1-Л2”)3
п ~ 1
Остановимся еще на частных случаях преобразований
ар \ /11\ —
isy ^oi;’ о/;
из них, как легко, можно доказать, можно вывести путем
многократного применения самое общее линейное преобра-
зование. Этим частным преобразованиям соответствуют
уравнения
(5)
= в2]/гет М»Л)-
(6)
326
1 in 1
В случае (5) имеем h' 4 — е 4 h 4, потому что h' — е п(т+1) =
= eiK h; отсюда согласно (4)
г к
Т
В случае (6) мы имеем согласно (4), если разуметь под
е2' корень восьмой степени из единицы,
Для т = i имеем h = h'. Если мы поэтому выберем для
в верхней т-полуплоскости такое значение квадрат-
ного корня, которое обращается в -f- 1 при т = f, то получим
, 1
So =—•
I
Поэтому окончательно получаем
i я
»l(v/T +1) = е 4 (и/т), — 1
1
I
V*
(7)
От функции мы можем перейти к трем другим й-функ-
циям с помощью уравнений (§ 8, глава II)
, л . —г пт .
/ 1 \ / Т \ —inv
) = а2 Ц» 4- 2 /т ) == ie %(о/т),
, . . . < кт
/ 1 Т \ -л--
&Ц®+-уН--2-Л^ = е М^М).
327
Так, мы находим из (7)
82(»/Т+1) = в4&2(®/Т)>
% / V . 1 \ , Г Т °* . , .
^ —/—г/=И Iе М«М)>
М®/т + 1)= &о(®/г)>
а / V . 1 \ /“V V
&8(“7/ ?)~|/ 7е (г'/т)’
% (v/t-J-1) = &3(о/т),
fto(—/ -j=l/r-jeT
Для 0 = 0 имеем в частности по (8)
(8)
Эта формула находит много применений.
Если
Т = г -j- is,
то
____1___ — 1 ____ —г-{- is
т r-\-is г2 + $2 9
а следовательно
|А| = |е^| =е-м, |Л'|
i п I 6
<7 I П Г2 4- 8’
Поэтому | h' | < | h |, если г1 -f- s- < 1, т. е. | т | < 1.
В этом случае ряды ^а^~/-------сходятся лучше, чем
ряды &e (v / т), и наши формулы преобразования целе-
сообразно применять к численным вычислениям. Вообще
формула (3) позволяет заменить значение т эквивалент-
328
ним значением
---у г < -у и r2 + s2^l. Тогда наименьшее значение s,
— r4-/s, где (ср. главу IV, § 1),
т. е. наиболее неблагоприятное для сходимости значение $,
равно -у / 3 и потому
&
_ г 3
| А' | ’ 2 =0,06583...
Составленные с помощью этого А' ряды д сходятся необы-
чайно хорошо.
§ 3. Преобразование второго порядка.
Если
о)2 = а + Ь = с <о.2 -j d о>р
где а, 6, с, d целые числа определителя ad — be — n > 0,
то мы говорим, что (<о2, о^) получилось из («>2, о)А) посред-
ством преобразования п-ого порядка.
Преобразование первого порядка равнозначно с линей-
ным преобразованием.
Разберем простейший случай п = 2. Докажем сперва: _
Существуют пара (Q2, 9Д эквивалентная с (<о2, а>Д
и пара (S2, 2J, эквивалентная с (а>2, юД такие, что
Q2 = Q2 -|-21 = 2 QA.
Для доказательства мы будем различать два случая. Так
как ad—be = 2, то с и d могут иметь только 1 или 2
в качестве общих делителей. Если, во-первых, 2 есть дели-
тель с и d, то
а)2 = а о>2 Ъ <*>! = 22,
— /с d \
= 2 “i) = 2
329
Если, во-вторых, 1 общий наибольший делитель с и rf,
то пусть целые числа а и р удовлетворяют уравнению1):
ad— р с = 1 ;
отсюда следует
(a — 2a)d— (b — 2р)с = 0,
а — 2а с
6 —2р ~V’ *
а — 2 a -J- tc, Ь = 2 Р 4" id,
где t — целое число, ибо дробь -j- нельзя больше сократить.
Тогда имеем
, <о2 “ (2 а 4" fc) 4" (2 Р 4“ id) (Ср = с <о2 4“ d
следовательно
<02 — ^ш1=^2(а<»2 + рШ]), (Oj ==с<024" d®v
Если положить
22 ~ ш 1, = — 0>2 4“
Q2 = с 0)2 + d <0р 2г = — (а<о2 4- p<i)j),
то следует __
Q2^Q2, 21==2Sp
т. е. наша теорема. доказана
Теперь поставим себе вопрос, в каком соотношении нахо-
дятся ___ __
Р (и I <% <о2) и (и / о>р о>2).
Для этого учтем, что
№ (и I Шр ш2) = $(и I 2р Q,) и р (и ! (»р <о2) = / ^1, &2)«
Если теперь обозначить Qp 22 через 2<*>, 2<*>z, то
Q1 — а), 22 = 2 о)',
9 Если с и d два взаимно простых целых числа, то в силу простей-
ших теорем теории чисел диофантово уравнение
a d — Р с = 1
всегда разрешается в целых числах а и р.
330
й теперь нам остается только установить, в каком соотно-
шении находятся функции
/ 2 о), 2 о)') и Р = Р (и / <*>, 2 <*>').
Параллелограмм периодов для составляется из двух
параллелограммов периодов^ для Р ? ?, 9 •
(черт. 68). Мы можем считать эллип- 7
тической функцией четвертого поряд- / / /
ка с периодами 2 ш, 2 о/, которая имеет / 1 / П /
полюсы второго порядка в точках / / /
и = 0 к м = (о. Если обозначим от- L_______7--J
„ а и ®7(JU
носящиеся к у* величины буквами
со штрихом над ними, то Черт. 68.
> ~ (е3 = F (<«>' / <», 2 о)')
имеет те же полюсы, что и имеет двукратные нули при
и = а/, ц=а/ (0-
Те же самые нули и полюсы, что и F— е3, имеет функция
(и) — е3) (и + со) — е8).
Поэтому
F(m) — е3 = М($>(и) — е3) (^(и-Н®) — е3).
Здесь Л/—постоянная, которая получается из разложения
в точке и = 0 и равна---------., так что
ei — ез
(и / ®, 2 ®х) — («о' / ®, 2 «') =
= ---j-.- (F (и 12 ®, 2 <»') — К / 2 ®, 2 <»') )
X (и + ш / 2 <«> 2 а/) — (а)' / 2 О), 2 а/))-
Функция ^(и -j-w) — ег имеет полюс второго порядка
в точке и = со, и нуль второго порядка в точке и = 0 и то
1
же самое имеет место для функции __ е • Поэтому
эти две функции отличаются только постоянным множи-
телем, для определения которого подставим значение и — <о',
в результате мы получим(и -|-ш) — gi = ' тт?1 Y*"—’
(1)
331 •
так что в силу (1) функция $ выражается рационально
через Из уравнения (1), которое мы перепишем короче
следующим образом:
Р (и) — «в = е 21 е3~ О’ (“) “ ез) О’ (и + “) ~ еа)
получается путем перестановки <п и «>'
F (и) — «1 = g3 2. et~ О’ (и) ~ е0 О’ <и + — ei)>
где
(и / 2 0), ш'), е, = Р ((О / 2 Ш, (I)').
§ 4. Связь между эллиптическими функциями Вейер'
штрасса и Якоби.
Для последующего изложения необходимо опять вер-
нуться к связи между функциями Вейерштрасса и Якоби.
Обозначив через = 2 о>, &•> = 2 <о' основные периоды
функции р (и), и через sn и, сп и, dn и эллиптические функции
<0о (J)
Якоби, для которых " = -^=- = —, выразим последние чрез
f’(u) следующим образом. Мы имеем [глава II, § 9, (6),
и глава III, § 1, (11)]
2£ = к&32 = 2«>
(1)
х'2= в* в<
61 — е3
Отсюда следует по главе III, § 2, что sn2 (u — е3),
сп2 (и У ег — е3), dn2 (и У е{ — е3) имеют те же самые пе-
риоды 2 <», 2 <»', что (и). Функция sn2 (и Уе} — е3) имеет
далее двойной полюс и = а/, двойной нуль и = 0и зна-
чение 1 при и = со. Отсюда
Р (и + w') — е3 = Csn2(u Уег — е3) = (е2 — е3) sn2 (и Vet — е3).
532
Подобные же рассуждения имеют место для сг? и сЬД
так что получаются следующие равенства:
Р (и + <»') — = (е3 — ej dn2 (и Vех — в3)>
Р (иН-ш') — е2 = (е3 — е2) сп2 (и Уе, — е3\
Р (и + о)') — е3 = (е2 — е3) sn2 (иУех — е3).
Увеличив и на со, <оу, ш -|~ и воспользовавшись таблицей I
в главе Ш, § 2, получим дальнейшую систему уравнений.
Мы выпишем . эти уравнения вместе с только что полу-
ченными уравнениями в виде следующей таблицы!
и U + О) u -|- w + U>f U +
IP “ С] («1 — е3) СП2 sn2 sn2 (ex~e>)-^2 (e3 — e^dn2
р -е2 (е1 — е3) dn2 , , 1 Cl ~ е2)(ез~e2^sn- (e3 — e2) cn2
sn2 ci — ®з dn2
р — *3 («1 — 1 / ,dn2 ,в1 ~ вз . cn2 Гез-ез)^ (e2 — e3) sn2
Общий аргумент входящих сюда функций sn, сп, dn есть
и К ег — е3.
§ 5. Преобразование Ландена.
Если мы воспользуемся табличкой предыдущего пара-
графа и включим ради ясности отношение периодов т
в обозначение функций sn, сп, dn, то получим из (2) в § 3
Г Л 1
(*i — е3)--—г=====------- =
sn2(u V е1 — е3 /2т)
= ___ 2____-__(е — е) dna(u^ei~e8 / ~)
— е3 / т) 1 8 cn2(u J/^— е31~)
и отсюда _____
—« sn(а/’)СП(«/’’) 1/е1 — ез\ /П
т(ти/2^)~т —---------------- у/п= |/ -/ (1)
333
По формуле (1) предшествующего параграфа мы имеем,
если К9 К' обозначают значения К, К', относящиеся
к sn (и / 2 т),
2К = ю V е± — е3 = Кт, 2iKf = 2 w' К er— е3 = 2iK'm,
следовательно
К' — тК'.
Значения т и
через х, модуль
К
и~~2
х, модуля sn (и / 2 т), могут быть выражены
sn (и / т). Для этой цели положим в (1)
, следовательно ти = К В остальной части этого
параграфа будем опускать у якобиевых функций обозна-
чение отношения периодов, если это отношение имеет зна-
чение т. Тогда будем иметь
Из уравнений sn («-}- К)~ Нп(н-|-К)==х,^~--гл.Ш, §2,
К
следует при и =-----, что
/ К \ Cn 1 2
sn ( 2 / ~ , (К
— X
и далее в силу (2)
1 — т sn2I -у j — т
\ £ /
1 —X'
~т х2
Поэтому
334
Подставив и 4- iK* вместо и в (1), получаем по главе III,
§ 2
1 1 _ 1 dn и
х sn (mu/2т) т х2 snucnu™
/ у П \ *2 sn и СП и
sn (mu / 2 т) = —--з---.
т х dn и
Поэтому согласно (1)
х2 — х2 1 — х'2 1 — х'
—— = т. х = — —------------= —•—-.
т х m2 (14“х')2 1 4’х
Итак, окончательно имеем, обозначив функции с мо-
дулем х через sn (и, х), сп (и, х), dn (и, х),
sn f(l 4~ х ) Ч—i——
\ 1фх' /
= (х.+,<! = 1). (3)
Это — так называемое преобразование Ландена. Оно
большей частью дается в другом* виде, который мы теперь
и рассмотрим.
Если положить
sn (и, х) = л, sn ((1 4- х') и, х) = у,
то, согласно (3) и на основании главы III, § 1, (8), получим
/< । хУ1—х2 /А.
? = (4)
а по главе III, § 3, (4)
..................= du,
г (1— х2) (1 — х2х2).И (1—г/2) (1—х2^2)
Поэтому подстановка (4) должна приводить к равенству:
Г =(1 4 /4 Г. ...dx ___________
J И(1— z/2) (1 —*V) J /(1—х2)(1—х2х2)
Модуль х называется модулем эллиптического интеграла
С dx_______
J /(I —х2) (1—х2х2) ‘
335
Если х и х? вещественные Чиела, лежащие между 0 u 1, то
- 1—х' 1—х'2 х2
х — -3-:-7~ = --7Г7 = г—--777, < X2 < X.
и значит уравнение (5) приводит вычисление эллиптического
интеграла с модулем х к вычислению эллиптического инте-
грала с меньшим модулем х. Повторно применяя преобразо-
вание Ландена, можно все более и более уменьшать модуль.
Если модуль станет столь малым, что им можно будет
пренебречь, то [ ....... можно будет заме-
нить через
- = arc sin у, .
—у2
так что повторное применение преобразования Ландена
может служить для вычисления эллиптических интегралов.
§ б. Среднее арифметико-геометрическое.
Преобразование Ландена особенно упрощает вычисление
интеграла, взятого между постоянными пределами 0 и 1,
1
dx
(1)
J /(1 —^)(1 —Х*х2) ’
о
причем * заданное вещественное число между 0 и 1.
' Положив sn (и, х) = х и приняв во внимание, что по гла-
ве III, § 2, имеют .место соотношения
_____ сп 0 __л_______л
sn со = -=—— = 1, sn U = О,
dn О
• получим
о
1
ах_______
— х2) (1—X2 х2)~
<»=к.
336
Далее, уравнение ЛГ =у К = * Ф* А из § 5 дает
ля А
_______dx_______
/(1 —х«)(1 —х«х«)
Подстановкой r = sin® преобразуем интеграл (1) к
C dv Г _ d<?
J — x*sin*? J У" cos2 ? 4~ sin2 ?— x2sin2?
• о
так что уравнение (2) перепишется следующим «бравом:
Я
т
„ Г d<f
К =» | -"У" ' —~Г=?«
J у cos2? +х * sin2?
2
2 Г d<?_ (S)
1Ц- xz J yf cos2 ? 4- xz® s*n2 <?
* 22 л. Гурвиц
Пусть к' == — , где а произвольно выбранное положитель*
ное число; тогда Ъ — ах' положительно и < а. Далее
, 2Wb Ь.
а\-Ь а{ 9
где
«,=㱑, 4,= /^.'
Из (3) следует
К
Y
= Г d<? .
а J Уas cos2 <? -j- A2 sin2 ©
n
(4)
Составим теперь две последовательности чисел
а, ар а2, а8,. . .
6> 62, 68, . .
по следующему правилу
а„+1=£нф^, ^4-1= /«А (п-1,2,...). (5)
Легко показать, что lim. ап = lim. Ьн — М(а, Ь) есть опреде-
п->оо
ленное конечное число. В самом деле
О1 =- = а, Ь1 уГаЬ > V~bb = Ь,
338
J-(/«-/»)’>.О, <-.>*!
£
и вообще из а,} > bnf где п — фиксированное целое поло-
жительное число, следуют неравенства
ап+г = ^^<ап, ЬП+1=У-^ГП>ЬП,
1 _ а» Ч~ Ьп 1 у _ V .
ап + 1 °п + 1 2
= 4 > о, „п+1 > Ьп + 1>
так что последовательности ап и Ьп ограничены и моно-
тонны, а потому сходятся. Из (5) вытекает тогда, что они
имеют один и тот же предел.
Уравнение (4) дает, при переходе к пределу п->со,
к .. f
---= 11Ш I —.-. ,, ; - -- .7--.-' -
а п ~>оо ’ у a,? cos2 ® -4- 6n2 sin2 ф
2L °
2
= Г d'f К
J M(a,b) Y cos2 ? 4~ sin2 ? 2Л/(а, 6)
О
и следовательно
7Г
кС = л а = л.________________1 • (6)
J у l„x2sin2? 2 М(а, ак') 2 Л/(1,х')‘ '
о <о' f
Если заменить о) через -. , <° через но, то т переходит
в — -i- , Кв К' и / по главе III, § 1, (9) и (10), и главе VII,
§ 2, (8) в
Поэтому получаем
Г________d®___________ а _ 1
J 2 М(а, ак) ~ 2 2И(1, х) ’
о
(7)
339
Среднее арифметико-геометрическое М(а, Ь) может быть
легко вычислено с большой точностью; поэтому при
заданном * могут быть определены по формулам (6) и (7)
величины К и К' и затем 9 h — eiKX, а после того
можно вычислить $-ряды, равно как sn iz, cn u, dn и.
Таким образом найден путь к практическому численному
решению разобранной в главе IV, § 5, проблемы.
ПРЕДМЁТНЫЙ:УКАЗАТЕЛЬ.
Абсолютный инвариант /(%), 293,
Аргумент (Амплитуда, Arcus), 17.
бесконечное произведение, 167,
— — сходящееся, 167.
Бесконечно удаленная точка, 21.
Бесконечные ряды, 19.
Биномиальный коэффициент, 108.
Бурмана-Лагранжа ряд, 184.
Вейерштрасса образ, 301.
— теорема о существенно осо-
бенных точках, 136.
— теорема суммирования, 83—93.
— — о сходимости, 91.
— функции: j? (и), 212; а (и), 236;
С (и), 231-233.
— функции: р (и) дифференци-
альное уравнение, 218—223.
— функции: нулевые точки, 218.
—- — разложение в ряд, 220.
Выражение эллиптических функций
через j? (и); 225—230; с (и),
240-243; С (и), 233.
Вычет функции, 137/138.
Вычисление интеграла
-4-00
J (^ + 1К М0
— оо
Гамма «функция, 170—181.
Гаммы-функции вычеты, 174.
— — особенные точки, 173.
— — представление в виде
бесконечного произведения, 170;
интеграла, 176—181.
Граничные точки множества, 64
Гудермана обозначения функций
Якоби, 280.
Дискриминант, 221.
Дифференциальное уравнение ддЯ
F (и), см. Вейерштрасе.
Дифференциальные уравнения для
функций Якоби, см. Якоби.
Дифференцирование аналитических
функций, 109.
Естественная граница функций, 80.
Жордана теорема, 65.
Интеграл неопределенный, 112.
— несобственный, 31*3.
— по кривой, 114.
Интегрирование регулярных функ-
ций, 121.
— степенных рядов, см. Степен-
ные ряды.
Исчислимое множество, 25.
Кеплера уравнение, 192.
Кольцо сходимости ряда, 58.
Комплексная числовая плоскость, 15.
Комплексное число, 11, 12.
Комплексного числа вещественная
часть, 12; геометрическое изо-
бражение, 14—19. мнимая
часть, 12.
Конгруэнтные точки, 203.
Конформное отображение, 23.
Коши интегральная формула^ 130.
— способ разложения функции
на простейшие дроби, 158.
341
Коши теорема, 126—129.
— формула вычетов, 138, 139.
Кривая замкнутая, 64.
— непрерывная, 64.
Круг сходимости ряда, 38,41, 47,78.
Ландена преобразование, 333—335.
Лежандра образ, 305.
— соотношение, 233.
Линейное преобразование функций
Вейерштрасса, 323, 324;
— — 0-функций, 325.
Линии разветвления, 312.
Листы Римановой поверхности, 311.
Лиувиля теорема, 82.
Логарифм, 100—106.
Логарифма главное значение, 101.
Лорана ряд, 57—60.
— теорема, 134, 135.
Мажоранта ряда (превосходящий
или усиливающий ряд), 36.
Мера величины окрестности, 24.
Миноранта ряда, 36.
Миттаг-Леффлера теорема, 147—
Мнимая единица, 12.
Модуль, 197.
— нуль, 198.
— второго рода, 198.
— первого рода, 198.
—- функций Якоби, 282.
—эллиптического интеграла,
335.
Модуля дополнение, 282.
Моногенная система степенных ря-
дов, 61, 62.
Направления обхода области, 119.
Несущественно особенная точка, 78.
Нулевая точка плоскости, 15.
Область, 30, 65.
— внешняя, 65.
— внутренняя, 65.
— регулярности функции,63, 77.
— сходимости степенного по-
ряда, 36.
— элементарная, 109.
Образ алгебраический, 302.
— Лежандра, см. Лежандр.
Образ у2 = G3 (х), 303.
- ^=С4(х), 304.
Обращение рядов, 181.
Окрестностй точки, 23.
— — бесконечно удаленной,
24.
Основная теорема алгебры, 76,143.
Особенная линия, 80. 77—81.
Особенные точки функции, 72,
— — изолированные, 77.
— — неизолированные, 80.
Параллелограмм периодов, 202.
Пары чисел эквивалентные, 245.
Период показательной функции, 99.
— функции, 197.
— — несобственный, 197.
— — собственный, 197.
Поле функций, 205.
Полюс функции, 78, 79.
Порядок полюса, 79.
— функции, 206.
Последовательности комплексных
чисел, 19.
Предел последовательности, 19.
Предельные точки, 24.
Представление произвольной эллип-
тической функции, 236.
Представление ^-функций в виде
бесконечного произведения,
267-271.
Принцип сравнения коэффициен-
тов, 45, 46.
Продолжение степенного ряда, см.
Степенные ряды.
Проективная геометрия, 22.
Производная функции комплекс-
ного переменного, 53.
Производный ряд, 51, 52.
Равномерная непрерывность ана-
литических функций, 109—112.
Равномерная сходимость, 33.
Равномерно дифференцируемая фун-
кция, 112.
Радиус сходимости ряда, 38, 39,47.
Разложение в бесконечное произве-
дение smz, 169.
Разложение в ряд а (и), 238.
- - VИ«) - % 278.
— С (и) на простейшие дроби,
278.
342
Разрез, 310.
Регулярные точки функции, 72, 77.
Риманова поверхность эллиптиче-
ского образа, 306.
Ряды с комплексными членами, 26.
— — абсолютно и равномерно
сходящиеся, 34,^35.
— — безусловно сходящие-
ся, 27.
— — сходящиеся неравномер-
но, 34.
Сводка формул для 8-функций, 259.
Среднее арифметико-геометриче-
ское, 336—339.
Степенная функция, 106.
Степенной функции главное значе-
ние, 107.
Степенные ряды, 36.
— — абсолютно и равномерно
сходящиеся, 37; везде сходя-
щиеся, 38, 40.
Степенных рядов деление, 42.
— — интегрирование, 112.
— — непосредственное про-
должение, 53—56, 61.
Степенных рядов преобразование,
48-51.
— — производные, 51—53.
— — сложение, 41.
— — умножение, 42.
Стереографическая проекция, 21.
Существенно особенные точки, 78.
Тейлора теорема, 86.
Теорема о двойных рядах, 28.
— о модуле, 14—19.
— о перманентности функцио-
нального уравнения, 88.
Теорема о сходимости последова-
тельности, 19.
Теорема сложения для (р (и),
225 -225.
- - С (и), 235.
— — тригонометрия. функ-
ций» 96.
Точечное множество, 24, 25.
— — замкнутое, 72, 77.
Точки множества внешние, 64.
— — внутренние, 64.
— образа, 302.
— разветвления функции, 310.
Точки сгущения, 24.
— эллиптического основного
образа, 305.
Тэта-ряды, 249.
Тэта-функции, 249.
Функция аналитическая, 62.
— бесконечно многозначная,
101, 105.
— вещественная, 31.
—- Гамма, см. Гамма.
— двоякопериодическая, 195.
— dn и, см. Якоби.
— (т), 300, 301. 31,32.
— комплексного переменного,
— сп и, см. Якоби.
— мероформная, 146, 147, 195.
— многозначная, 62.
— однозначная, 62, 64.
— показательная, 93—95.
— рациональная, 67, 71, 83. 84.
— регулярная в области, 65,
— о (и), см. Вейерштрасс.
— sn и, см. Якоби.
— трансцендентная, 71.
— целая, см. Целая функция. -
— эллиптическая, см. Эллипти-
ческие функции.
Функции тригонометрия., 96—100.
- М^251; М*),
256-258.
Целая функция, 71, 81.
— — нигде не обращающаяся
в нуль, 165.
Целая функция рациональная, 82.
— — с заданными нулями,
166—169.
Целая функция трансцендент-
ная, 82.
Числовая сфера, 19—23.
Число кручения кривой, 118.
Шаровые функции, 192.
Эйлера постоянная, 172.
Эквивалентность двух величин, 290.
Эквивалентные точки, 291.
Элементарная ветвь функции, 72.
Элемент функции, 62, 71.
Эллиптические функции, 204.
343
Эллиптический интеграл неопреде-
ленный, 313—317.
Эллиптический интеграл спреде*
ленный, 313, 317—323.
Эллиптический нормальный интег-
рал второго рода, 316.
Эллиптический нормальный интег*
рал первого рода, 316.
Эллиптический нормальный интег-
рал третьего рода, 317.
Эллиптический основной образ, 308.
Эллиптических функций Вейер*
штрасса сводка формул, 248,—249.
Эрмита функция, 260—263.
Элементарные модулярные формы,
292, 293.
Эллиптические модулярные функ-
ции, 288.
Якоби теорема, ф273.
— эллиптические функции, sn н,
cn u, dn u, 281.
— — диференциальные урав-
нения, 234.
— — — теоремы сложения,
285-287.
Ответственный редактор Е. В, Пулъкина. Технический редактор В, £• Финиши
Сдана в набор 6/VIII 1933 г. Подписана к печати 1/XII 1933 г
Формат 82 ПО. ГТТИ № 266. Тип. эн. в 1 п. л. 39.424
Ленгорлит № 30093. Тираж 5.003 - 2141 л. Заказ № 1371
2-я тип. ОНТИ им. Евг. Соколовой. Ленинград, пр. Красн. Командиров, ЭД.