Физико-
Математическая
Библиотека
Инженера
Н. И. АХИЕЗЕР
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ
ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ
ФУНКЦИЙ
Издание второе, переработанное
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1970

517.2
A 95
УДК 517.7
Элементы теории эллиптических функ-
функций. Н. И. А х и е з е р.
Книга представляет систематическое
изложение теории эллиптических функ-
функций и некоторых ее приложений.
Основное содержание предназначено
для инженеров, которым приходится при-
применять эллиптические функции. Чтение
книги не должно вызывать затруднений
у лиц, знающих элементы математиче-
математического анализа и теории функций в объеме
первых пяти семестров физико-математи-
физико-математических факультетов университетов и выс-
высших технических учебных заведений
с повышенной программой по математике.
Рисунков 24, таблиц 27, библиогра-
библиографических ссылок 17.
Наум Ильич Ахиезер
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
(Серия: «Физико-математическая библиотека инженера»)
М., 1970 г., 304 стр. с илл.
Редактор Л. Я. Цлаф
Техн. редактор С. Я. Шкляр Корректор Е. Я. FopoxoetKan
Сдано в набор 28/XI 1969 г. Подписано к печати 7/V 1970 г. Бумага
8 4x1081/32. Физ. печ. л. 9,5. Усл. печ. л. Г5.96. Уч.-изд. л. 14,80.
Тираж 13 000 экз. Т-07836. Цена книги 1р. 13 к. Заказ № 1282.
Издательство «Наука»
Главная редакция физико-математической литературы.
Москва, В-71, Ленинский проспект, 15
Московская типография № 16 Главполиграфпрома Комитета по печати
при Совете Министров СССР. Москва, Трехпрудный пер., 9
2-2-3
45-70
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ко второму изданию 6
Глава I. Общие теоремы об эллиптических функциях . 7
1. О периодах однозначных аналитических функций . 7
2. Доказательство теоремы Якоби 9
3. Тэта-функции 11
4. Теоремы Лиувилля 14
5. Функция Вейерштрасса g> (и) 18
6. Дифференциальное уравнение функции <§> (и) . . . . 22
Глава II. Модулярная функция 26
7. Инварианты 26
8. Модулярные формы -. 31
9. Фундаментальная область группы. 21 36
10. Модулярная функция J (т) 42
11. Обращение эллиптических интегралов первого рода 49
Глава III. Функции Вейерштрасеа 52
12. Функция Вейерштрасса ? (и) 52
13. Функция Вейерштрасса о (и) 54
14. Выражение произвольной эллиптической функции
посредством функции а (и) и посредством функции ? (и) 56
15. Теоремы сложения функций-Вейерштрасса 59
16. Представление всякой эллиптической функции через
функции $> (и) и Р'(и) 62
17. Эллиптические интегралы 65
Глава IV. Тэта-функции 71
18. Представление тэта-функций бесконечными произведе-
произведениями 71
19. Связь между сигма-функциями и тэта-функциями . . 75
20. Разложение функций ? (и) и р (и) в простые ряды . . 77
21. Выражение величин е4, е2, ег через нулевые значения
тэта-функций 79
22. Преобразование тэта-функций 81
23. Модулярная функция А. (т) 83
Глава V. Функции Якоби 91
24. Эллиптический интеграл первого рода в форме Якоби
и Римана 91

ОГЛАВЛЕНИЕ
25. Функции Якоби 94
26. Дифференцирование функций Якоби 98
27. Якобиева функция Z (w) 100
28. Теорема Эйлера 102
29. Нормальные эллиптические интегралы второго и
третьего рода в форме Якоби 105
30. Полные эллиптические интегралы первого рода . . 108
31. Полные эллиптические интегралы второго рода . . 112
32. Вырождение эллиптических функций 114
33. Простой маятник 117
Глава VI. Преобразование эллиптических функций . . . 122
34. Проблема преобразования эллиптических функций 122
35. Редукция общей проблемы 125
36. Первое главное преобразование первой степени . . 129
37. Второе главное преобразование первой степени . . . 132
38. Преобразование Ландена 133
39. Преобразование Гаусса 134
40. Главные преобразования w-й степени 136
Глава VII. Дополнительные сведения об эллиптических
интегралах 140
41. Эллиптические кривые общего вида 140
42. Функция jP (и) с вещественными инвариантами . . . 144
43. Приведение эллиптических интегралов к нормальному
виду Якоби в вещественном случае 147
44. Полные эллиптические интегралы как гипергеометри-
гипергеометрические функции 151
45. Вычисление h по заданному модулю к 158
46. Арифметико-геометрическое среднее 160
Глава VIII. Некоторые конформные отображения .... 163
47. Конформное отображение прямоугольника на полу-
полуплоскость 163
48. Конформное отображение на круговое кольцо двусвяз-
ной многоугольной области ' 173
49. Примеры конформных отображений 181
Глава IX. Экстремальные свойства дробей, к которым
приводит преобразование эллиптических
функций 193
50. Постановка задач 193
51. Решение задачи С 202
Глава X. Обобщение чебышевских полиномов .... 208
52. Многочлены, наименее уклоняющиеся от нуля . . . 208
53. Ортогональные многочлены на двух интервалах . . 215
Глава XI. Различные дополнения и приложения .... 223
54. Теорема Абеля 223
55. Функция Грина для. кругового кольца 232
ОГЛАВЛЕНИЕ
56. Проблема Дирихле для кругового кольца 235
57. Эллиптические координаты 241
58. Уравнение Лапласа в эллиптических координатах . . 248
59. Уравнение Лямэ 250
60. Теоремы Пикара о мероморфных функциях .... 255
61. Теорема Ландау • • • • 257
62. О мероморфных функциях, обладающих алгебраиче-
алгебраической теоремой сложения 260
63. О рядах Фурье аналитических функций 262
Таблицы важнейших формул 268
Таблицы значений эллиптических интегралов 288
Литература ^04

ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
Основное содержание этой книги, как и ее первого
издания, вышедшего в 1948 году, предназначено для
инженеров, которым приходится применять эллиптиче-
эллиптические функции.
При подготовке второго издания я в ряде мест улуч-
улучшил первоначальный текст.
Добавлены числовые таблицы *). Кроме того, добав-
добавлена небольшая глава (десятая), посвященная обобще-
обобщениям чебышевских полиномов. В ней эллиптические
функции применяются к решению некоторых задач кон-
конструктивной теории функций, и, следовательно, эта
глава является продолжением главы девятой, в которой
изложены известные исследования П. Л. Чебышева
и Е. И. Золотарева.
Хочу здесь с благодарностью вспомнить моего покой-
покойного друга Всеволода Константиновича Балтага, кото-
который прочел рукопись первого издания и сделал ряд
полезных замечаний.
Автор
*) Заимствованные из польского перевода книги Oberhettin-
ger — Magnus «Anwendung dor elliptischen-Funktionen in Physik
und Technik» (Warszawa, 1963).
ГЛАВА I
ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ОБ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЯХ
1. О периодах однозначных аналитических функций.
Во всем дальнейшем, если противное не будет оговорено,
мы будем под функцией понимать однозначную аналити-
аналитическую функцию, особенности которой не имеют предель-
предельных точек на конечном расстоянии. Если / — такая
функция и если в каждой ее регулярной точке и имеет
место равенство
/(u + Q)=/(u),
где Q — некоторая константа, то число Q называют
периодом функции /. Нуль является тривиальным перио-
периодом. Функция, имеющая нетривиальные периоды, назы-
называется периодической.
Если
— периоды функции /, то при любых целых mlt m2, ¦ ¦ •
. . ., тп число
m^i -f m2fi2 + ¦ • • + mnQni
очевидно, также является ее периодом.
Если функции / (и), g (и) имеют период Q, то тот же
период имеют и функции
), f(u)±g(u), f(u)g(u),
8 (")
, f (и).
Докажем для примера последнее утверждение. С этой
целью возьмем функцию
h

8 ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ОБ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЯХ [ГЛ. I
которая в силу предыдущих утверждений обладает перио-
периодом Q. Поэтому в каждой ее регулярной точке и имеет
место равенство
h
h
Теперь остается сделать предельный переход при h —>- 0.
Докажем, что для каждой отличной от константы
периодической функции / существует такое ц > О, что
любой нетривиальный период функции / удовлетворяет
неравенству г)
Допуская противное, примем, что / имеет нетривиаль-
нетривиальные периоды
И ЧТО
lim
0.
Так как для любой регулярной точки и функции /
/(u+ QJ-/(и) = О
и, значит,
то во всякой регулярной точке функции /
откуда следует, что / есть константа.
Простейшим примером функции с периодом Q являет-
является е2п*"/а. Каждый период этой функции имеет вид mQ,
где т — целое число. Таким образом, в рассматриваемом
случае существует один примитивный период, а именно Q.
Всякий иной период есть целое кратное периода Q.
г) Имея в виду этот факт, часто говорят: отличная от константы
функция не может иметь бесконечно малого периода.
2]
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ ЯКОБИ
9
Поэтому рассматриваемая функция может быть названа
однопериодической функцией.
Возникает вопрос: существуют ли функции с п > 1
примитивными периодами? При этом п периодов назы-
называют примитивными, если всякий период является линей-
линейной комбинацией этих периодов с целыми коэффициен-
коэффициентами и если не всякий период может быть представлен
как подобная комбинация меньшего числа фиксирован-
фиксированных периодов.
Ответ на этот вопрос гласит: 1) не существует отлич-
отличной от константы функции с п ^> 3 примитивными
периодами; 2) с двумя заданными примитивными перио-
периодами отличная от константы функция существует в том
и только том случае, когда отношение этих периодов
не вещественно. Первое утверждение (относительно
п ^ 3 периодов) и отрицательная часть второго утверж-
утверждения (относящегося к случаю двух периодов) состав-
составляют содержание одной теоремы Якоби.
2. Доказательство теоремы Якоби. Будем изображать
периоды данной функции / точками комплексной плоско-
плоскости. Тогда в любой конечной части плоскости этих точек-
периодов будет лишь конечное число, так как в против-
противном случае они имели бы конечную предельную точку,
следовательно, существовала бы последовательность перио-
периодов {Qk}f, имеющая конечный предел, а значит, / имела
бы бесконечно малый период Qm — Q& (то, к —*- сю), что
невозможно, поскольку функция предполагается отличной
от константы.
Возьмем какой-нибудь нетривиальный период й
и рассмотрим периоды mQ (т = ±1, ±2, . . .); они
лежат на некоторой прямой Z. A priori мыслимы два слу-
случая: 1) все периоды функции / лежат на прямой Z; 2) не
все периоды функции / лежат на прямой Z.
Разберем первый случай. Так как на отрезке прямой Z
от точки — О, до точки -{-Q лежит лишь конечное число
точек-периодов, то найдется нетривиальный период с наи-
наименьшим модулем, и мы можем, не нарушая общности,
принять, что этим периодом является как раз Q.. Посколь-
Поскольку все периоды лежат на прямой Z, то всякий период
представим в виде Ш, где t вещественно; при этом t удов-

10 ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ОБ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЯХ [ГЛ. 1
летворяет неравенству \t | ^> 1, так как Q есть нетриви-
нетривиальный период с наименьшим модулем. Докажем, что t
пробегает лишь целые значения. Отсюда будет вытекать,
что Q. — примитивный период, а / — функция одноперио-
дическая.
Пусть
t = т -{- г,
где га — целое число и 0^ г< 1. Так как, кроме Ш,
еще и гай есть период функции /, то периодом является
также
rQ =tQ ~ mQ,
что, как мы установили, невоз-
невозможно, если 0 <С г <С 1. Следо-
Следовательно, г = 0, т. е. t —число
целое.
Перейдем ко второму слу-
случаю. Пусть не все периоды
функции / лежат на прямой Z.
Обозначим один из нележащих
на Z периодов через й' и рассмотрим треугольник с вер-
вершинами О, й, й'. Внутри и на границе этого треуголь-
треугольника, по доказанному, может лежать лишь конечное
число точек-периодов. Беря вместо одной из отлич-
отличных от 0 вершин нашего треугольника какую-нибудь
точку-период, лежащую внутри (или на стороне), мы полу-
получим аналогичный треугольник с меньшим числом точек-
периодов в нем. Продолжая эту редукцию, мы придем
к треугольнику, внутри и на сторонах которого вообще
не будет точек-периодов, если на считать вершин. Не нару-
нарушая общности, мы можем принять, что этим «пустым»
треугольником является первоначальный треугольник
с вершинами 0, й, й'. Построим теперь параллелограмм
с вершинами 0, й, й + й', Й' (рис. 1). Рассмотренный
ранее пустой треугольник с вершинами 0, й, Q' пред-
представляет «левую» половину этого параллелограмма.
Мы утверждаем, что «правая» половина параллелограмма
также является пустым треугольником, т. е. не содержит
точек-периодов ни внутри, ни на сторонах (если не счи-
считать вершин). Действительно, если бы правой половине
з]
ТЭТА-ФУНКЦИИ
11
Рис. 1.
принадлежала точка-период й1? то левой половине
принадлежала бы точка-период й + й' — Q± = й2, a
левая половина цуста в силу ее ¦ построения. Итак,
построенный параллелограмм пуст. Возьмем теперь
какой-нибудь период й* нашей функции. Его можно,
и притом единственным образом, представить в виде
где t, t' — вещественные числа. Это представление рав-
равносильно разложению вектора й* по векторам й, й'.
Если мы докажем, что t, t' — числа целые, то будет
доказано, что при реализации второго случая нашей
альтернативы число примитивных периодов равно двум,
а их отношение не вещественно. Тем самым теорема
Якоби будет полностью доказана.
Итак, пусть
t = т -\- г, f = т -{- г',
где т, т' — числа целые и 0< г< 1, 0^г'<1.
Мы должны доказать, что г = г' = 0.
Так как гай, m'Q' — периоды функции /, то периодом
является также
QJ=Q* — mQ — m'Q' = rQ -f r'Q'.
Точка-период fi* лежит в построенном нами параллело-
параллелограмме с вершинами 0, Q, Q + Q', Q' и, следовательно,
должна совпадать с одной из вершин этого параллело-
параллелограмма, так как параллелограмм пуст. Таким образом,
каждое из чисел г, г' должно равняться нулю или единице.
В силу неравенств
0<г<1, 0<г'<1
будем иметь
г = 0, г'=0,
что и требовалось доказать.
3. Тэта-функции. Прекрасные примеры периодических
функций дают тригонометрические ряды. Мы рассмотрим
здесь тригонометрические ряды, которыми определяют-
определяются так называемые тэта-функции. В качестве основной

12 ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ОБ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЯХ [ГЛ. I
тэта-функции примем
#3 (v) =Ъ3 (v | т) =
A)
m=— °°
Здесь v — аргумент, ат — параметр, мнимая часть кото-
которого положительна: Зт > 0. При этом условии величина
h = enix по модулю меньше единицы, что влечет абсолют-
абсолютную сходимость рассматриваемого ряда для любого
конечного v.
Нетрудно привести Ф3 (v) к виду
#3 (и) = 1 + 2й cos 2nv + 21
Таким образом, ^ (v) — четная целая функция от v
с периодом 1.
На основании A)
л, / i _\ V J.m2x+2mv+2mr)ni
-ni(t+2v)
,[(m+iJr+2(m+l)v]ni
-ni(x+2v)
(n2x+2nv)ni
n=—°°
Мы видим, следовательно, что
Л»)- B)
Прологарифмируем обе части равенства B) и затем возь-
возьмем от обеих частей вторую производную по v. Мы полу-
получим тогда равенство
Так как, кроме того,
d2
то
3]
ТЭТА-ФУНКЦИИ
13
представляет пример функции с периодами 1, т, отноше-
отношение которых невещественно; это — функция двоякоперио-
дическая. Заметим, что ф (v) есть функция мероморфная
и все ее полюсы двукратны. Действительно, i3-3 (v) —
целая функция, так что единственными особенностями
ее логарифмической производной являются простые
полюсы, совпадающие с нулями функции ¦б'д (у)> а следо-
следовательно, единственными особенностями функции ф (v)
будут полюсы порядка 2.
Кроме ¦б'з (у)> вводятся еще три тэта-функции
bh(v)=QA(v\T) (Л = 0, 1, 2).
Их можно определить с помощью равенств
Опираясь на эти определения, нетрудно получить раз-
разложения всех тэта-функций в ряды Фурье, а также выве-
вывести формулы приведения для тэта-функций, напоминаю-
напоминающие известные формулы тригонометрии. Все это содер-
содержится в таблице VIII (приложение I).
Заканчивая настоящий параграф, заметим, что отно-
отношения
Ф1 К») = ;
Ф2 (У) = ;
Фз(у)=:
как это следует из приведенных в таблице VIII формул,
удовлетворяют следующим равенствам:
Фз(у + 1)=Фз(^). Фз(^ + т) = — Фз(у).
Поэтому функция ф! (у) имеет периоды 2, т, функция
фг (v) — периоды 2, 1 -{- т и, наконец, функция ф3 (у) —

14 ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ОБ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЯХ [ГЛ. I
периоды 1, 2т. Каждая из функций ерь (v) есть функция
мероморфная. Таким образом, мы имеем второе доказа-
доказательство существования мероморфных двоякопериодиче-
ских функций.
Мероморфные двоякопериодические функции носят
название функций эллиптических. Происхождение этого
термина будет объяснено ниже.
4. Теоремы Лиувилля. Будем рассматривать эллипти-
ские функции с примитивными периодами Q, Q' и усло-
условимся, если противное не оговорено, считать, что отно-
отношение т = Q'/Q имеет положительную мнимую часть.
Возьмем в комплексной плоскости некоторую точку с
и построим параллелограмм с вершинами г) с, с + Q,
с + Q -f- Q', с -\- Q'. Из четырех вершин к параллело-
параллелограмму отнесем только вершину с, а из четырех сторон
отнесем те, которые сходятся в точке с. Определенное
таким образом точечное множество назовем параллело-
параллелограммом периодов. Будем называть две точки и', и" срав-
сравнимыми по модулю периодов Q ,Q', или эквивалентными,
если
и" — и = mQ -f- m'Q',
где т, т' — числа целые, и будем писать
и" = и (mod (Q, Q')).
В силу нашего определения в параллелограмме периодов
нет ни одной пары эквивалентных точек. С другой сто-
стороны, какова бы ни была точка и, в параллелограмме
периодов найдется эквивалентная ей точка и притом,
разумеется, одна. В самом деле, можно найти веществен-
вещественные числа t, t' так, чтобы
и —
Полагая
где т, т'
t = т -\- г, f = т -\- г',
числа целые иО^ г < 1,0<С г'
и — (с + rQ + r'Q') = m?l + m'Q'.
1, найдем
x) Этот переход от вершины к вершине отвечает обходу гра-
границы параллелограмма в положительном направлении, так как
3 (Q7Q) > О.
4]
ТЕОРЕМЫ ЛИУВИЛЛЯ
15
Следовательно, точка и эквивалентна точке
c + rQ + r'Q',
принадлежащей параллелограмму периодов.
При изучении эллиптической функции можно огра-
ограничиться ее рассмотрением в каком-нибудь параллело-
параллелограмме периодов.
Начальная вершина с параллелограмма произвольна.
Благодаря этой произвольности мы сможем строить
параллелограмм периодов так, чтобы на его сторонах
функция не принимала каких-либо наперед указанных
значений, например, не обращалась в бесконечность.
Такой выбор параллелограмма периодов возможен, так
как эллиптическая функция, как всякая мероморфная
функция, принимает в конечной области каждое свое
значение конечное число раз.
Все точки, сравнимые между собой по модулю перио-
периодов, образуют, как принято говорить, правильную систему
или сетку точек на плоскости. Каждой такой системе
отвечает некоторая сетка параллелограммов, которые,
примыкая друг к другу, покрывают всю плоскость.
Пусть / (и) — эллиптическая функция с примитив-
примитивными периодами Q, Q ' и пусть параллелограмм периодов
выбран так, что / (и) на его сторонах регулярна.
Проинтегрируем / (и) по контуру параллелограмма.
По теореме Коши результат интегрирования представ-
представляет умноженную на 2л i сумму вычетов функции / (и)
относительно всех полюсов, лежащих внутри параллело-
параллелограмма. С другой стороны,
c+Q
.= У f{u)du +
c+Q
f{u)du-\-
c+Q'
c+Q + Q'
f(u)du
'
c+a'
f{u)du.
Делая в третьем интеграле правой части подстановку
и = v -\- Q ', получим
f(u)du=
c+Q
= 5 f(v)dv,
5
c+Q

16 ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ОБ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЯХ [ГЛ. I
4]
ТЕОРЕМЫ ЛИУВИЛЛЯ
17
так как
Следовательно, третий интеграл взаимно уничтожается
с первым. Подобным образом взаимно уничтожаются вто-
второй и четвертый интегралы. Итак,
/ (и) du = 0,
а значит, равна нулю сумма вычетов функции f (и) отно-
относительно всех полюсов, лежащих внутри рассматриваемого
параллелограмма. В силу нашего определения из двух
параллельных сторон параллелограмму периодов при-
принадлежит только одна. Поэтому полученный результат
справедлив и в том случае, когда функция имеет полюсы
на границе параллелограмма. Нужно лишь взять все
полюсы, лежащие в параллелограмме (а не только вну-
внутри его).
Из нашего результата вытекают важные следствия.
Переходя к ним, условимся называть а-точками функции
те точки, в которых функция принимает значение а.
1° Беря вместо эллиптической функции / (и) эллип-
эллиптическую функцию
где а — константа, найдем, что правильно подсчитанное
(т. е. подсчитанное с учетом кратности) число полюсов
отличной от константы эллиптической функции f (и)
в параллелограмме периодов равно правильно подсчитан-
подсчитанному числу а-точек, каково бы ни было а.
2° Не существует отличной от константы эллипти-
эллиптической функции, регулярной в параллелограмме периодов.
Действительно, для такой функции равнялось бы нулю
число полюсов, а значит, в силу предыдущего предложе-
предложения и число а-точек, каково бы ни было а, что абсурдно х).
3° Число полюсов эллиптической функции в параллело-
параллелограмме периодов, подсчитанное с учетом кратности
г) Предложение 2° вытекает также из того, что регулярная
в каком-нибудь параллелограмме периодов функция в силу перио-
периодичности регулярна и ограничена во всей открытой плоскости.
(его называют порядком эллиптической функции), не
может быть меньше, чем два.
Таким образом, a priori мыслимы два типа простейших
эллиптических функций: функция первого типа имеет
в параллелограмме периодов один полюс второго порядка
с вычетом, равным нулю; функция второго типа имеет два
различных полюса первого порядка с вычетами, которые
отличаются лишь знаком. В дальнейшем функции обоих
типов будут построены.
Все эти предложения носят название теорем
Лиувилля. Ему принадлежит еще одна теорема.
Переходя к ней, обозначим через
<х±, а2, . . ., ат
лежащие в параллелограмме периодов а-точки функции
/ (и), причем каждая точка пишется столько раз, сколько
единиц имеет ее кратность. Далее, через
обозначим полюсы функции, записанные по тому же
принципу. При этом, конечно, предполагается, что / (и)
отлична от константы.
В силу теоремы Коши
2л ?
причем здесь принято, что на контуре рассматриваемого
параллелограмма / (и) не принимает значения а и не имеет
полюсов. Вычисляя контурный интеграл, как и выше,
найдем
и
Г (и)
?
f(u) —а
с+Я
du =
f'(u)
c+Q + Я'
+а+я с+я с
$ + i + J -
c+Q c+ft+Q' c+Q'
= J± + J
H. И. Ахиезер
+

18 ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ОБ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЯХ [ГЛ. I
Делая в интеграле /3 подстановку и = v + Q', получим
Поэтому
с
1
(¦> +«О
dv.
а
C+Q
Г {у)
f{v)-a
dv =
= Q' {In [/(с) - a] - In [/ (с + Q) - a]};
а так как / (с) — а = f {с -\-Q) — а, то In f/ (с) — a]
отличается от In [/ (с -f- Q) — a] только на целое крат-
кратное 2m, поэтому
J\ + ./3 = ^' • 2/г'я ?.
Подобным образом доказывается, что
Следовательно,
«А —
т. е.
4° Сумма а-тпочек функции f (и) при любом а сравнима
по модулю периодов с суммой полюсов этой функции, если
рассматриваются все а-точки и полюсы, принадлежащие
одному параллелограмму периодов.
5. Функция Вейерштрасса <§> (и). Рассмотрим ряд 1)
1
2'
т, т
2mco -f-
\р
A)
где суммирование распространено на все целые то, т ,
кроме пары 2) т = т = 0, а числа со, со' удовлетворяют
сделанному выше предположению. Докажем, что напи-
написанный ряд сходится при р > 2 и расходится при р -^ 2.
J) Начиная с этого параграфа мы будем часто вводить в обозна-
обозначение периодов множитель 2 (полагая Q = 2со, й' = 2со')-
2) Это обстоятельство и отмечается штрихом у знака суммы.
5]
ФУНКЦИЯ ВЕЙЕРШТРАССА g) (и)
19
Мы имеем здесь некоторую правильную систему точек
-f- 2m'co',
из которой удалена точка 0. Возьмем прежде всего восемь
точек
± Bсо
2со', ± B© — 2со') B)
нашей правильной системы. Эти точки являются верши-
вершинами четырех параллелограммов, сходящихся в точке О
(рис. 2) и образуют первое окаймление точки 0. Пусть
минимальное расстояние вершины системы B) от точки 0
есть d, а максимальное —D.
Тогда сумма восьми членов /
ряда A), отвечающих верши- / р-
нам B), удовлетворяет нера- / /
венствам / /
8Q 7 *
^ it ^ О /
О*
т-, Рис. 2.
.Возьмем теперь те вершины
нашей правильной системы,
которые принадлежат второму окаймлению точки 0. Этих
вершин будет 16, минимальным и максимальным рас-
расстоянием от точки 0 до них будут соответственно числа
2d, 2D. Поэтому в ряде A) этим шестнадцати вершинам
отвечает сумма S2, удовлетворяющая неравенствам
16
BDI
16
Bd)
р'
п-е окаймление будет состоять из 8и вершин, и ему будет
соответствовать сумма Sn, удовлетворяющая неравенствам
8п
8п
Сходимость нашего ряда A) эквивалентна сходимости ряда
2*

20 ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ОБ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЯХ [ГЛ. I
и наше утверждение является непосредственным след-
следствием того, что
8
и
n
В силу доказанного ряд
m, т
\ (и — 2та> —
C)
сходится абсолютно и равномерно в каждой ограничен-
ограниченной области плоскости и, если из него удалить то конеч-
конечное число членов, которые в этой области обращаются
в бесконечность. Поэтому сумма ряда C) есть мероморф-
ная функция, единственными полюсами (и притом третье-
третьего порядка) которой являются точки 2та> + 2т'(о'.
Положим
Q(u)
и) = - 2 >,
Z.J (и — 2то<» — 2m a f
Покажем, что эта функция имеет периоды 2<в, 2со'. Дей-
Действительно,
~" 1
Q(u + 2ш) = —
тп, m
\ (и + 2<в — 2та> — 2т'а>'K
Полагая т — 1 = п, перепишем эту формулу в' виде
= — 2
>, -.
ZJ (и — 2п@ — 2т'<в'K
71 ТП'
А так как пара (п, т') пробегает ту же совокупность, что
и пара (т, т'), то правая часть полученной формулы
есть Q (и), и равенство
Q (и + 2<в) = Q (и)
доказано. Точно так же доказывается, что
Q(u + 2<в') = Q (и).
ФУНКЦИЯ ВЕЙЕРШТРАССА
(и)
21
Аналогичные рассуждения показывают, что Q (и)
есть нечетная функция. Действительно,
1
т, т
[ (и + 2та>
ZJ (и — гит — 2п' <в'K
71, П'
Здесь принято во внимание, что пары (т, т'), (п, п'),
где п = —т, п' = —т', пробегают одну и ту же сово-
совокупность.
Теперь с помощью интегрирования введем функцию
и
(u) = 4r+ f {Q(uy+-^
и J I и
При этом предполагается, что путь интегрирования
не проходит через вершины сетки периодов, отличные
от точки и = 0. Таким образом,
8>» = <?(и), D)
а с другой стороны, почленное интегрирование дает
_ 1 ,
2
1
1 \
2^'(o'Ji '
E)
7П, ТО
Так как Q (и) — функция нечетная, то $> (и) — функция
четная. Это обстоятельство можно без труда получить
также и с помощью представления E).
Далее, поскольку Q (и) имеет период 2<в, то в силу D)
и, значит,
>' (и + 2<в) = <§' (и)
= %> (и) + с,
F)
где с — константа.
Из разложения E) вытекает, что единственными
полюсами функции Ч? (и) являются точки 2тсо + 2т'со',

22 ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ОБ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЯХ [ГЛ. I
поэтому в точках со, ш' функция $> (и) конечна. А так
как подстановка и = —со в формулу F) дает
то в силу четности функции <g> (и) для константы с полу-
получается значение 0, т. е.
Аналогично проверяется, что
Мы видим, что JP (м) есть эллиптическая функция второго
порядка, так как в каждом параллелограмме периодов
она имеет всего один полюс порядка 2. Таким образом,
?Р (и) есть одна из простейших эллиптических функций
в том смысле, какой этому слову придан в § 4. Она являет-
является основной в теории Вейерштрасса.
6. Дифференциальное уравнение функции <(? (и). В окре-
окрестности точки и = 0 функция <§> (и) имеет вид х)
и
1
т, т
, {2т(й + 2т со')
'L
' '\6 i • • •
Приняты обозначения
т, то
¦2m'(oT ¦
<в'L
60
1
m, то
2m'a>T 140
г) Дальнейшие коэффициенты (с точностью до некоторых
числовых множителей) равны рядам
S' " П (* = 4, 5, 6, ...).
Bлм» + 2m'co'f'
Мы еще встретимся с ними в § 10.
6] ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ФУНКЦИИ р (и) 23
В этих обозначениях будем иметь
Отсюда
20
28
Поэтому
^"в+ ¦}¦
В силу этих разложений и A)
[Г (и)]2 - 4 [<§> (u)f + gz<g(u) = -gz-\
Левая часть есть эллиптическая функция с периодами
2<в, 2<в'. Ее полюсами могут быть только точки 2тпа> +
+ 2т'(?>'. А так как в точке и = 0, как показывает напи-
написанная формула, эта функция регулярна и равна —g3,
та она регулярна во всяком параллелограмме периодов,
для которого и = 0 есть внутренняя точка, и, следова-
следовательно, по теореме Лиувилля есть константа. Итак,
мы получили соотношение
[Г (и)]2 = 4[<§> (u)f -g2%> (и) - g3. B)
Иначе говоря, <jp (и) удовлетворяет дифференциальному
уравнению
3'2=4z3 — gzz — g3.
Уравнение B) позволяет выразить все производные
от $> (и) через f> (и) и $>' (и); например,

24 ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ОБ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЯХ [ГЛ. I
Положим
Тогда
4z3 — gzz — g3 = 4 (z — e±) (z — ,
1
= -7-^3-
— e3).
C)
D)
E)
Из (З) и D) следует, что
Замечая, что
в равенстве
' (и) — нечетная функция и полагая
%>' (и + 2со) = $>' (и)
и = —(о, найдем, что чр' (со) = 0 (следует иметь в виду,
что ЧР' (со) конечно). Подобным образом можно обнару-
обнаружить что
жить, что
>'(со
= 0.
Мы видим, что точки <в, а> + со', <в' являются нулями
функции ф' (м) и притом простыми нулями, так .как
IP' (и) — эллиптическая функция третьего порядка.
Заметим теперь, что величины
все различны между собой. Действительно, если бы,
например, имело место равенство $> (со) = <jp (to + со')'
то эллиптическая функция второго порядка <§> (и) — $ (со)
имела бы два нуля второго порядка: со, со + со', что
невозможно.
В силу B) величины <§> (со), <jp (со + со'), <§> (со') совпа-
совпадают с корнями многочлена 4z3 — g2z — g3. Поэтому числа
е^, е%, е% все различны между собой,
6] ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ФУНКЦИИ g> (и) 25
Часто удобнее пользоваться обозначениями
2а»! == 2со,
2со2 = — 2со — 2«о' f т -= —3 , Зт > 0 V
\ СО! /
2со3 = 2со',
так что <»! + <в2+ <в3 = 0. При этом полагают
<§>((ok)=ek (к = 1, 2, 3).
Не мешает заметить, что из формул C) — E) получается
следующее представление дискриминанта:
gg - 27g? = 16 (et - <%)* (e2 - ^3J (g3 - gir,.
а также равенство
3 . .2 . 2/2
2"fe = (gi — ^2) + \e2. — g3) + (ез — gi) •
Отсюда, между прочим, находим
2-27- (^ - ezf {ez - e3J (g3 -
Эта формула понадобится нам в дальнейшем.
F)

ГЛАВА II
МОДУЛЯРНАЯ ФУНКЦИЯ
7. Инварианты. В дальнейшем нам придется рассмат-
рассматривать рациональные функции от ж и У ()
ж), где
4а3х
A)
произвольно заданный многочлен четвертой степени без
кратных корней.
Коэффициент а0 может равняться нулю. Если это
имеет место, то один из корней многочлена A) «удалился»
на бесконечность. При а0 = О коэффициент at мы будем
считать отличным от нуля. Это можно было бы не огова-
оговаривать, так как обращение в нуль обоих коэффициентов
а0, а± означает наличие у многочлена A) кратного корня
на бесконечности.
Если подвергнуть х дробно-линейному преобразованию
X =
(
"-
"у
B)
то упомянутая рациональная функция превратится
в некоторую рациональную функцию'от у и корня квад-
квадратного из какого-то нового многочлена
ф (у) = Ьоук
Действительно,
R± (x,
6&2z/2 + 4b3y + &4.
7]
ИНВАРИАНТЫ
27
Коэффициентами преобразования B) естественно распо-
распорядиться так, чтобы новый многочлен имел особо удобную
форму для требуемых рассмотрений. Одной из таких
форм является каноническая форма
Ф (У) =:4У3 — ёгУ — g3, C)
которая встретилась у нас в § 6 и в теорию эллиптических
функций была введена Вейерштрассом.
Форма C) характеризуется в первую очередь отсут-
отсутствием членов с четвертой и второй степенью независимой
переменной. В существовании преобразования B), при-
приводящего к такой форме, можно убедиться без подробных
вычислений. Действительно, если взять какой-нибудь
корень многочлена ф (х), скажем, с, и положить
= с-\-
то мы получим
где ф' (с) =^= 0, так как ф (х) кратных корней не имеет.
Если далее положить
z=Ay + B,
то при надлежащем выборе числа В коэффициент при
у% будет равен нулю. Затем, выбирая надлежащим обра-
образом число А, добьемся того, что коэффициент при у3
будет равен 4, т. е. многочлен \\> (у) будет иметь вид C).
Чтобы получить окончательные выражения для новых
коэффициентов через старые, полезны так называемые
инварианты. Определение инвариантов мы дадим несколь-
несколько позже, после рассмотрений, которыми теперь займемся.
Для удобства перейдем от многочленов от одной
переменной к однородным функциям, т. е. формам, от двух
переменных:
х2
ССо

28
где
МОДУЛЯРНАЯ ФУНКЦИЯ
[ГЛ. II
х2) = аох\ + 4а±х\х2 +
В таком случае вместо преобразования B) нам придется
рассматривать преобразование одной пары переменных
в другую:
I О_- / f _. Q | \
D)
х2 = УУ1
При этом мы придем к равенству
Ф (хи х2) =
t = а|з (г/ь г/г)
и для получения многочлена о|з (г/) останется положить
г/2 Чг / Уа
При введенных обозначениях справедливы следующие
соотношения:
&i Ъ2
Ъ2 Ъ3
Ь3 Ък
= ?>4 (аоа4 —
а0 uj а2
«i <Н аз
«2 аЗ а4
E)
F)
Для доказательства заметим, что общее преобразова-
преобразование D) можно получить с помощью суперпозиции (не
более четырех) частных преобразований вида
(I)
(И)
х± = — у2,
хг = Уй
(III)
xi=yi + Ау2,
х2 = г/г-
Так как определитель общего преобразования равен
произведению определителей составляющих его простых
преобразований, то достаточно убедиться в справедли-
справедливости соотношений E), F) для каждого из этих более
простых преобразований. Для преобразований (I), (II)
наше утверждение почти тривиально. В случае преобра-
7]
ИНВАРИАНТЫ
29
зования (III) будем иметь равенства
&0 = а0, ' &! = а^А + аи &2 = «
&з = а0А3 + Зй^Л2
к 3 -f-
а2,
а3,
Ь4 = а0Ак -J-
с помощью которых соотношения E), F) (с Д = 1) про-
проверяются очень просто.
Функцию Ф (а0, а±, а2, й3, а4) от коэффициентов
формы ср (xi, x2) называют относительным инвариантом
веса т, если при всех преобразованиях вида D) имеет
место равенство
Ф(&0, Ъи Ь2, &з, Ьк)=ПтФ(а0, аъ а2, а3, а4).
Если вес равен нулю, то инвариант называется абсолют-
абсолютным.
В силу полученных нами соотношений E) и F) выра-
выражения g2, g3, определяемые формулами
g2 = а$ак — 4aia3 -f- Ъа\
и
G)
(8)
являются относительными инвариантами формы ф (хх, х2)
веса 4 и, соответственно, веса 6.
Величина
а0
а±
<н
а±
а2
а3
«2
а3
«4
является абсолютным инвариантом.
А теперь возвратимся от форм к многочленам.
Докажем следующее предложение: для всякого много-
многочлена A) можно найти дробно-линейное преобразование
х

30
с определителем
такое, что
МОДУЛЯРНАЯ ФУНКЦИЯ
[гл. и
а Р
Y б
= 1
— g2y — g3
(УУ + бL
g2, g3 определяются формулами G), (8).
Взяв какое-нибудь преобразование B), найдем
Ф (х)
Из"~ рассмотрений в начале параграфа следует, что пре-
преобразование B) можно выбрать так, чтобы Ьо = Ъ2 = 0,
&! = 1. Применяя соотношения E) и F), найдем
где D — определитель преобразования B). Таким обра-
образом,
Если D = 1, то наше предложение доказано. Если же
D =^= 1, то нужно перейти от у к новой переменной (назо-
(назовем ее г/i) по формуле
так что
где мы положили
Теперь
Pi
Yi
8]
МОДУЛЯРНЫЕ ФОРМЫ
31
а с другой стороны,
4-6jL
8. Модулярные формы. Два числа 2оо, 2<в', отношение
которых
имеет отличную от нуля мнимую часть, порождают, как
мы знаем, некоторую правильную систему точек на пло-
плоскости. Ту же правильную систему точек можно полу-
получить, отправляясь от некоторых других пар чисел.
Нетрудно видеть, что пары B<в, 2<в'), B<в, 2со') порож-
порождают одну и ту же правильную систему, если числа
2оо, 2<»' являются линейными комбинациями с целыми
коэффициентами чисел 2<в, 2<в', а числа 2со, 2со' являются
аналогичными комбинациями чисел 2<в, 2<в'. Чтобы
это имело место, необходимо и достаточно выполнение
равенств
где а, Р, Y' б — целые числа, связанные соотношением
ад — Py = ± 1. C)
Если мы потребуем, чтобы мнимая часть отношения <в'/(о
имела тот же знак, что и мнимая часть отношения со'/оо, то
в соотношении C) знак минус должен быть отброшен х).
В этом случае пары B<в, 2оо'), Bоо, 2со') будем называть
эквивалентными.
Действительно, из
следует

32
МОДУЛЯРНАЯ ФУНКЦИЯ
[ГЛ. II
Величины
т, т
-j-
= 140
m, m'
4- 2m <в
)
к которым мы пришли в § 6, отправляясь от пары прими-
примитивных периодов, являются относительными инвариан-
инвариантами (см. § 7) многочлена от $> (и), который представ-
представляет [<§>' (и)]2.
Теперь мы будем рассматривать эти величины как
функции от пары B<а, 2оо'). Они, как легко видеть,
не изменятся, если вместо пары Bсо, 2<в') взять другую
пару, порождающую ту же правильную систему точек.
В частности, g2, g3 не меняются при переходе от пары
B<в, 2<»') к эквивалентной паре B<в, 2<в'). С другой ето-
роны, непосредственно из определения величин g2, g3
вытекает, что
1
g2(t(o, to') = — &>(<», со'),
g3(t(O, t(u')=—g3((i>, <В').
V
Замена пары Bоо, 2оо') парой B?со, 2t(o') соответствует
переходу от первоначальной сетки к сетке подобной. Как
видим, относительно таких преобразований величины
gzi Sa не инвариантны. Величина же
очевидно, остается без изменения не только при переходе
от пары B<в, 2<в') к эквивалентной паре Bю, 2<в'), но
также и при переходе от пары B<в, 2<в') к паре B^<в, 2^оо'),
порождающей подобную сетку. Эта величина /, назван-
названная в § 7 абсолютным инвариантом, является, таким
образом, функцией от одной переменной, а именно от
8]
МОДУЛЯРНЫЕ ФОРМЫ
33
отношения т = со'/оо и обладает следующим свойством:
при любых целых а, |3, у, б, связанных соотношением
аб—Py = 1. D)
имеет место равенство
/(
Линейную подстановку
ух -f- б
где а, Р, у, б — целые числа, связанные соотношением
D) *¦), называют модулярной подстановкой.
Аналитическую же функцию, инвариантную относи-
относительно модулярных подстановок, называют модулярной
функцией. Ниже будет показано, что / (т) — аналитиче-
аналитическая функция. Поэтому / (т) есть модулярная функция.
Что же касается инвариантов g2, g3, которые не являются
функциями от т, то их естественно назвать модулярными
формами от <в, со'.
Будем обозначать модулярные подстановки буквами
S, Т, ... Например, если
X —~ -
то будем писать
ус + 6"
х =Sx
E)
-y -б
)
-в/
Таким образом, две матрицы
U р\ (-а
Vy er V-y
мы здесь не считаем различными 2).
х) Соотношение D) выражает, что детерминант рассматривае-
рассматриваемой подстановки равен 1.
2) Это допустимо, так как единственной операцией, которую
мы будем над матрицами производить, является перемножение.
3 Н. И. Ахиезер

34
МОДУЛЯРНАЯ ФУНКЦИЯ
[ГЛ. II
Тождественная подстановка т' = т также является
модулярной. Ее обозначают буквой /:
~\0 1/ Д 0 —1/'
Запись E) подчеркивает, что х' мы рассматриваем
как результат применения некоторой операции к х.
Если
ат
ут
то
x = ¦
— бт'
бт' — р
yr — a
Подстановку
/_6 p\ = / 6-p\
\ Y —a/ \—7 a/'
которая также является модулярной, называют обратной
по отношению к подстановке
= 5
и обозначают символом S~x.
Применяя к т модулярную подстановку Si, а затем
применяя к результату, т. е. к Six, модулярную подста-
подстановку S2, получим какое-то т'. Легко выразить х' через т.
Пусть
%*=Six, x'=S2x*.
Тогда
т, «2т* + р2 ^ ст
Y2-C* +
Y2
Pi) + б2 (Ylx + Si)
_ («2«i + P2Y1)т + («2P1 + P2S
(Y2«l + 627l) T + (Y2P1 + 626
8]
МОДУЛЯРНЫЕ ФОРМЫ
35
Мы видим, что х' мон^но получить применением к т неко-
некоторой подстановки S. Матрица этой подстановки
P2Y1 ОС2Р1
72P1
V
является произведением матриц подстановок S2 и Si.
Прэтому детерминант матрицы подстановки S равен 1,
т. е. S есть также подстановка модулярная. Эту подста-
подстановку S, которая является результатом композиции
подстановок #2, ^и принято называть произведением
подстановок S2, S±. При этом пишут
S=S2S± и
если х' = S2 (Six).
Перемножая подстановки в другом порядке, получим
\7l
Мы видим, что, вообще говоря, SiS2=?^ S2Si, т. е. опера-
операция умножения не коммутативна. Поэтому нужно разли-
различать умножение на подстановку справа от умножения
слева.
Относительно рассмотренной нами операции умноже-
умножения совокупность всех модулярных подстановок образует
группу, причем обратным элементом для S является S'1.
Действительно,
и
ap — pa"\ _(—i °\—т
PY —«6/~V 0 —1/
Функция / (т) инвариантна относительно этой группы
преобразований. Часто приходится рассматривать другие
группы дробно-линейных преобразований. Всякий раз
аналитическую функцию, инвариантную относительно
такой группы преобразований, называют автоморфной
функцией. Таким образом, абсолютный инвариант / (т)
представляет пример автоморфной функции. Более про-
простыми примерами автоморфных функций являются функ-
функции периодические.
3*

36
МОДУЛЯРНАЯ ФУНКЦИЯ
[ГЛ. II
9. Фундаментальная область группы 2. Двоякоперио-
дическую функцию достаточно изучить в каком-нибудь
параллелограмме периодов. Группа подстановок, отно-
относительно которых двоякопериодическая функция инва-
инвариантна, порождается двумя основными подстановками:
S:
S':
и = и -f- 2<в
, 1
A)
т. е. всякая подстановка этой группы является резуль-
результатом композиции (перемножения) этих подстановок.
Каждая из основных подстановок S, S' связывает пару
противоположных сторон параллелограмма периодов
(рис. 3). Применяя к этому параллелограмму все подста-
подстановки группы, мы получим бесчисленное множество кон-
конгруэнтных параллелограммов, которые один раз покроют
всю плоскость.
Для каждой точки плоскости и в параллелограмме
периодов найдется одна и только одна точка и', сравни-
сравнимая с и по модулю периодов, иначе говоря, эквивалентная
и относительно группы. Поэтому параллелограмм перио-
периодов является фундаментальной областью рассматривае-
рассматриваемой группы.
Обратимся теперь к модулярной функции / (т).
Группу модулярных подстановок (относительно нее
/ (т) инвариантна) мы обозначим через 2. Покажем, что
2 порождается двумя основными подстановками
о
т =
B)
9]
ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ ОБЛАСТЬ ГРУППЫ 2
37
Пусть
F =
есть произвольная подстановка группы 2.
Пользуясь правилом перемножения подстановок,
получаем
VT
~ U -у) '
а также
vs
и вообще при любом целом п
Y б —пу) '
Мы будем последовательно применять две операции,
а именно: умножение подстановки (справа) на некоторую
степень подстановки S и умножение на подстановку Т,
и покажем, что, отправляясь от (произвольной) подста-
подстановки V, можно таким образом прийти к подстановке
TV'O— П гр о—7YI гр гр о &
для которой р* = 0.
Если Р = 0, то исходная подстановка уже обладает
требуемым свойством. Допуская, что Р Ф 0, определим
целое число п таким образом, чтобы
|Р — па | <С | а \.
После того как п найдено, рассмотрим подстановку
б — пу
здесь | Pj | < | а± |. Если р4 = 0, это есть искомая под-
подстановка. Если же pt Ф 0, умножим подстановку V±
на TS~m, где тп — целое число, в результате чего получим

38 МОДУЛЯРНАЯ ФУНКЦИЯ [ГЛ. II
подстановку
причем т подберем так, чтобы | а4 + т$х I <C I Pi !•
Таким образом, для подстановки V2 будет
ip2|<:icc2|.
А так как | сс2 I = I Pi I» то
IfeKIM-
Продолжая описанные операции, получим подстановки
а3
и
где | р3 I > | Р4 |> - • - Поскольку рь р2, рз, . . . —
числа целые, то после конечного числа операций мы
и придем к подстановке нужного нам вида
VS~nTS~m . . . TS~k =
у* б*}'
Так как эта подстановка модулярная, то а* = б* = 1.
Следовательно,
где г — какое-то целое число. Но
= / jl О Л ^
поэтому
VS~nTS~mT . . . TS~h = TSlT,
откуда, умножая справа на ^Г . . . TSmTSn, и получим
У=Т81Т8кТ. . .SmTSn.
Таким образом, доказано, что 2 порождается подста-
подстановками B).
Чтобы получить фундаментальную область груп-
группы 2, построим в верхней полуплоскости треугольник
9]
ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ ОБЛАСТЬ ГРУППЫ 2
39
|т| =
со сторонами
91т = — 1/2,
Определим область D как совокупность всех точек, лежа-
лежащих внутри указанного треугольника, а также точек, лежа-
лежащих на левой стороне Щт = —1/2, и тех точек, лежащих
на окружности | т | = 1, для которых —1/2 <Щт<0.
Таким образом, область D можно рассматривать как
четырехугольник (рис. 4), к которому из четырех сторон
отнесены только две (жирные
линии на рисунке).
Основные подстановки B) свя-
связывают пары сторон четырехуголь-
четырехугольника; а именно, S связывает вер-
вертикальные стороны, а Т переводит
левую дугу окружности в правую,
как это изображено на рис. 4.
Докажем, что D есть фундамен-
фундаментальная область группы 2.
По определению это значит,
что для всякой точки т верхней
полуплоскости имеется одна и
только одна эквивалентная точка
%' в области D, причем две точки т, т/ называются экви-
эквивалентными, если в 2 содержится такая подстановка V,
что т' = Vx.
Пусть дана точка т (^х > О). Возьмем пару чисел A, т) и рас-
рассмотрим правильную систему точек на плоскости, порождаемую
этой парой. Перенумеруем все точки тх + п этой правильной
системы в порядке неубывания модулей | тх -\- п \. Мы получим
некоторую последовательность
)- A)
Рис. 4.
О, u>i, w2, Щ,
(W2= —
Возьмем в этой последовательности первую по порядку точку,
которая не лежит на прямой, соединяющей начало координат О
с точкой mjj. Пусть это будет точка Wk, так что
\wt
B)
Обе точки wh ± w4, входящие в последовательность A), имеют
в ней номера, большие числа к, так как эти точки не лежат
*) Можно вообще принять, что wzh — —">2ft-i

40
МОДУЛЯРНАЯ ФУНКЦИЯ
1ГЛ. II
на указанной прямой. Поэтому справедливы неравенства
Мы можем принять, что
ос '(wk\ ^п
так как Q; (w^/w^) Ф 0, и если бы было $ {wjwi) < 0, то мы могли
бы заменить wi на —wd (иначе говоря, поменять местами эле-
элементы wi, w2). Замкнутый параллелограмм с вершинами 0, wlt
wh + Wi, wh, как следует из его построения, не содержит точек пра-
правильной системы, отличных от его вершин. Поэтому всякая точка
правильной системы может быть представлена в виде mwt -\- m' wh
с целыми т, т'. Значит, пара (wit wh) эквивалентна паре A, т).
Пусть
= х,
где а, р, у, 8 — целые числа. Здесь
об—Pv=+1,
так как ^т > 0 и Q (wh/wi) > 0. Теперь положим
так что
=
где V в S.
На основании неравенств B), C):
J
Следовательно, точка т лежит в замкнутом «треугольнике» со сто-
сторонами
йт=—1/2, | -г | = 1, 5Ят=1/2 (Зт>0).
Если окажется, что
или
то найденная точка т лежит в D и поэтому является искомой:
х' = х. Если
искомой точкой будет х' = т — 1. Наконец, если
0 < Ят < 1/2, |т| = 1,
искомой точкой будет т' = —1/Т.
Таким образом, доказано, что для всякой точки т верхней полу-
полуплоскости имеется эквивалентная точка х' g D.
Теперь докажем, что в области D нет эквивалентных точек.
Допустим противное и примем, что две точки т, х' области D экви-
эквивалентны. Они не могут быть связаны ни преобразованием Sh,
9]
ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ ОБЛАСТЬ ГРУППЫ
41
ни преобразованием Т. Значит,
«т+Р
> 0.
Так как
т' = ¦
х' — — =— а6
то
откуда
У
У
x-f-
(ух + 6) '
Gт + 6) '
6
У
1
~ 72
D)
Обе точки, х и т', по предположению, лежат в области D,
а числа | т' — а/7 |, | х -\- 5/у | представляют расстояния этих точек
до некоторых точек вещественной оси. Следовательно, каждое из
этих чисел ^ ~1/з/2. Отсюда заключаем, что 7 — 1> и соотношение
D) принимает вид
= 1. E)
Расстояние точки области D от целочисленной точки вещественной
оси ^ 1. Поэтому из E) следует, что
\х' — «1 = 1, |т+6| = 1.
Отсюда а = 0 или —1, а б = 0 или 1. При а = —1
а при 6=1
F)
Следовательно, возможность а = — 1,6 = 1 исключена. Если же
а = 0, то б Ф 0, так как | а | + | б | Ф 0. Поэтому при а = 0
должно быть 6= 1 и р = —1 (поскольку 7 — 1), т. е.
х' = —
откуда в силу (Ь)
т'=—-
т+1 '
1
*.Д?
УЗ
Значит, эта возможность также исключена и аналогично устана-
устанавливается, что и равенства а = —1, 6=0 исключаются.
Итак, наше утверждение доказано.

42
МОДУЛЯРНАЯ ФУНКЦИЯ
[ГЛ. II
Если мы подвергнем область D всем подстановкам
группы 2, то получим бесчисленное множество областей,
эквивалентных области D. Они покроют всю верхнюю
полуплоскость, так как для любой точки верхней полу-
полуплоскости, по доказанному, имеется в D эквивалентная
точка. Кроме того, эти области не будут перекрываться,
так как в противном случае в верхней полуплоскости
существовали бы по крайней мере две точки хи х2, каждая
из которых двумя различными подстановками V, V"
группы 2 переносилась бы в область D. А так как оба
равенства V'x± = V"xu V'x2 = V"x2 невозможны, по-
поскольку корни квадратного уравнения V'x = V"x сопря-
сопряжены, то мы получили бы в D две эквивалентные различ-
различные точки (V'Xi, V'xi или V'x2, V"x2), что невозможно.
Из доказанного вытекает, что каждая область, в кото-
которую D преобразуется функцией из 2, также является
фундаментальной областью группы 2. Заметим, что часто
фундаментальную область группы 2 называют также
фундаментальной областью функции / (т).
10. Модулярная функция J (т). Покажем, что / (т)
регулярна в каждой точке верхней полуплоскости.
Так как
где мы можем в силу однородности принять, что 2со = 1,
2со' = т, а значит,
= 60
т, т
(т-\-т х)
= 140
' 1 =
(т -(- m'xf
т, тп'
и так как в верхней полуплоскости
gl-21g\^0,
то достаточно проверить регулярность в верхней полу-
полуплоскости функций g2 (т), g3 (т). С этой целью убедимся
10]
МОДУЛЯРНАЯ ФУНКЦИЯ J (т)
43
в том, что ряд
2'
m, m'
тх\
A)
где р > 2, сходится равномерно во всякой полупло-
полуплоскости
Зт>6>0. B)
Но это вытекает из рассмотрений начала § 5, в силу кото-
которых сумма Sn членов ряда A), отвечающих n-му «окай-
«окаймлению» точки т = 0, т' = 0, удовлетворяет неравенству
s <-?-!-
п<р~ыр'
где d = min A, б).
Заметим, что в теории чисел оказываются полезными
функции
I ; ~-7^ (Зт>0) C)
I (т 4- т х)
т,т
при любом целом I ;> 2. Их называют рядами Эйзен-
Эйзенштейна.
Рассмотрим теперь / (т) как функцию от h2 = e2nix.
Так как / (т + 1) = / (т), то / (т) — однозначная функ-
функция от h2 (| h | < 1).
Докажем, что при | h | <; 1 имеет место разложение
1 2 4
где с0 ф 0 х).
С этой целью возьмем известное разложение (см. таблицу I)
я ctg яи = —¦ -j- "V J —^ \
и xJ lu^-m т J
m
Положим ы;=е2пгг'. Тогда при |ю|<1
ctg пи = г
w—1
Мы получим пощ'тно, что co = l : 1728 = 1 : 123.

44
МОДУЛЯРНАЯ ФУНКЦИЯ
[ГЛ. II
и, значит,
fe= 1
Отсюда, дифференцируя ? >> 2 раз по и, получим соотношение
оо оо
<-1>в»1 s (»+.!L)g+i=-B^)g+
т=—оо
и положим в нем и = гат (га ]>0). Это дает
оо
m=—оо fe=
Суммируя по га от 1 до со, придем к равенству
оо оо оо
n=l m=—oo
Теперь примем, что число <? нечетное: g = 2Z — 1. В таком случае
мы сможем переписать полученное равенство в виде *)
оо оо
1 BягJ' XI
m, n
m=l
D)
Заметим, что из формул C), D) следует равенство
оо оо
BJ—1)! Г_1_? (т)_у 1 I = у п.1_| *"
Вместе с тем при любом целом q > 0 и | а; |.< 1 можно написать
разложение
п=1
п=1
Оказывается, что коэффициент aq (n) этого ряда равен сумме д-х
степеней положительных делителей натурального числа п. Таким
образом, правая часть формулы D') представляет так называемую
образующую функцию для aq (п) при q = 21 — 1. Благодаря соот-
соотношению D') некоторые факты теории модулярных функций нахо-
находят применение при исследовании теоретико-числовой функции
oq (га).
10]
МОДУЛЯРНАЯ ФУНКЦИЯ J (т)
45
Нам формула D) нужна лишь при 1 = 2 и Z = 3. Беря эти значе-
значения Z, найдем
т=1
оо
"тп=1
3!
5Г
•]
Jlhm.%
E)
Суммы
771=1
выражаются через так называемые числа Бернулли. Нам достаточно
знать, что
2_1 BлL ^, 1 _ Bя)«
«г* 60-4! ' 2j ms~ 84-6! "
Разлагая правые части формул E) в ряды по степеням А2, получим
Отсюда находим
и, значит,
__ 1+240Л2-|-
'~ 1728л2-|_..
Наше утверждение доказано.
Теорема. Каково бы ни было конечное с, уравнение
J(x) — c = 0 F)
имеет в области D один и только один корень.

46
МОДУЛЯРНАЯ ФУНКЦИЯ
[ГЛ. II
Доказательство основано на том, что число корней уравнения
/(*)_с=0
в области G, ограниченной контуром L, равно
2яг J
f(z)-c
dz,
если / (z) в области G регулярна, вплоть до границы L непрерывна
и на L не принимает значения с.
Пусть т = ?-|-гт]. Так как, по доказанному выше,
J <Т> = Шё e-2ltiX+Cl+c2e2ltit+ • • • •
то при г\ —>- оо функция / (т) стремится к бесконечности равномерно
относительно ?. Следовательно, при любом конечном с можно ука-
укаН | / () | | | > И
? д
зать такое Н, что | / (т)
//
А
М
р
| с | при г\ > И, и значит, уравнение
F) не имеет корней при r\ ~^- H.
Таким образом, достаточно рассмот-
реть урезанную область Da (ограни-
(ограниченную линией МАВА'М' (рис. 5)).
М,
Рис. 5.
Если уравнение F) не имеет корней на линии МАВА'М', то
доказательство теоремы очепь просто. Действительно,
~Ш I +S i +2Si 1 +2Я 1 +2S
1
А'М'
М
Функция
удовлетворяет соотношениям
Ф( —1/т) = <р(т
(а)
10] МОДУЛЯРНАЯ ФУНКЦИЯ J (т)
Полагая в интеграле J%
47
%=— l/t,
получим
Таким образом,
/2+/3 = 0.
Аналогично и, пожалуй, еще проще доказывается, что
Следовательно,
J (т) можно рассматривать как функцию от z = № = е2лгт.
М'М плоскости х отвечает в плоскости z окружность
1„.1_„-2яН
Отрезку
G)
На этой окружности и внутри ее (т. е. при г\ >- Н) функция ф (т)
от нуля отлична и, кроме того, регулярна, если исключить полюс
первого порядка в точке z = 0. Так как интегрирование по М'М
в плоскости т сводится к интегрированию по окружности G) в отри-
отрицательном направлении, то
К
где К—пробегаемая в положительном направлении окружность G) и,
значит, N равняется числу полюсов функции ф (т) = / (т) —с =
= ty (z) в круге | z | < е~2я н , т. е. TV = 1.
Тедерь займемся случаем, когда уравнение F) имеет корни
на линии МАВА'М'. Этих корней во всяком случае конечное
число, и вместе с каждым из них будет эквивалентный, а именно сим-
симметричный относительно мнимой оси. Вокруг каждого из указан-
указанных корней, а также вокруг каждой из точек А, В, А' опишем по
окружности одного и того же радиуса е, столь малого, чтобы эти
окружности не пересекались. С помощью построенных окружностей
изменим границу области DH, как это указано на рис. 6, после чего
из каждой пары эквивалентных корней внутри контура будет лежать
один, расположенный слева от мнимой оси, а точки А, В, А' ока-
окажутся вне контура.
Разбивая интеграл N по полученному контуру на части
и используя соотношения (а), без труда докажем, что
1С 1С 1С 1С
) — с}.

48
МОДУЛЯРНАЯ ФУНКЦИЯ
[ГЛ. II
Здесь ХА, Хв, ХА, представляют дуги с центрами в вершинах А,
В, А''. Если в этих точках уравнение F) не имеет корней, то
дуги Х^, УьВ, ХА, можно стянуть в точки, что дает
M'M
Этот интеграл, как показано выше, равен 1. Отсюда вытекает, что
в рассматриваемом случае теорема верна.
Остается исследовать случай, когда уравнение F) имеет корни
в вершинах. Для этого выясним, какие значения функция / (т)
принимает в вершинах.
В точке А
1 , .1/3
а так как р3 = 1, то
8г (Р) _
G другой стороны, в силу соотношения
равенство
1
(пгрЗ + т
= 0 имеет место
Поэтому
81 (р) _ 1
60 р
1 = 1 82 (Р)
(n+n'pL p 60
откуда следует, что gz(p) = Q- Таким образом,
•Пр)=о,
и, значит, /-(т) = 0 в точке Л'(т=р + 1=—1/р). Аналогично
доказывается, что gs(i)=O, а значит, J(x) = l в точке В. ¦
Мы должны, следовательно, рассмотреть два уравнения:
/(т) —1 = 0, (а)
/(т) = 0. - (Ь)
В случае первого уравнения мы можем стянуть в точки
дуги Я,А, %А, и, значит,
Если
дополняет Хв до полной окружности, то
— $dln{7(T) — 1}= I +] .
11] ОБРАЩЕНИЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ИНТЕГРАЛОВ 1-ГО РОДА 49
где интеграл слева берется в положительном^направлении. Делая
в интеграле J замену т^ — l/t, найдем J = J . Значит,
Первый член правой части равен 1. Пусть
так что N = 1 — ге/2. Число п есть кратность корня т = i уравне-
уравнения (а), а так как и/2 — целое положительное число, то п ^- 2.
С другой стороны, N ^> 0, откуда и <Г 2. Следовательно, га = 2,
ЛГ = 0.
Мы видим, что уравнение (а) имеет всего один корень: х = i.
Этот корень двукратный, но области D принадлежит только поло-
половина окрестности точки i, и значит, можно считать, что области D
принадлежит лишь один простой корень т = i, а другой корень
уравнения (а), находящийся в точке х = i, относится к области D',
имеющей с D общую дугу ABA'.
Аналогично трактуется уравнение (Ь) . Здесь корнями являются
точки т = р, —р2, и каждая есть тройной корень. Однако области D
принадлежит только первая из этих точек, т. е. А. В этой точке
сходятся шесть областей: D и пять областей, ей эквивалентных 1).
Каждой из этих шести областей принадлежит одна шестая часть
полной окрестности точки А. При этом в силу определения фунда-
фундаментальной области точка А принадлежит только трем из областей:
области D и еще двум областям. Остальным трем областям точка А
не принадлежит, подобно тому как точка А' не принадлежит обла-
области D. Следовательно, трехкратный корень в точке А принадлежит
на равных правах трем областям, а потому нужно считать, что
уравнение (Ь) в области D имеет один простой корень.
11. Обращение эллиптических интегралов первого рода.
§§5 и 6, отправляясь от примитивных периодов
В
2<в, 2<в' C(<в7(о)>О), A)
мы построили функцию Вейерштрасса Кр (и) ж показали,
что она удовлетворяет дифференциальному уравнению
B)
Из этого уравнения вытекает, что
dt
х) См. рис. 7 на стр. 86.
¦4 Н. И. Ахиезер

50
МОДУЛЯРНАЯ ФУНКЦИЯ
[ГЛ. II
Из курса интегрального исчисления читатель знает, что
интегралы вида
$Д(*, w)dtt
где R — рациональная функция своих аргументов, a w2
есть многочлен третьей или четвертой степени от t без
кратных корней, носят название эллиптических интегра-
интегралов. Написанный нами интеграл B) называют эллиптиче-
эллиптическим интегралом первого рода. Ниже мы будем подробно
говорить об эллиптических интегралах. Здесь же для
нас важно лишь то, что функция Вейерштрасса g> (и),
построенная для данных периодов A), является одним
из пределов некоторого эллиптического интеграла пер-
первого рода, рассматриваемым как функция от значения
этого интеграла. При этом числа g%, g3, входящие в под-
радикальное выражение, не задавались произвольно,
а определялись через периоды A), и мы видели, что
Естественно возникает следующий вопрос: если даны
числа а2, а3, причем а\ — 27яд Ф- 0> и рассматривается
интеграл
dt
C)
то является ли его нижний предел х эллиптической функ-
функцией от значения интеграла?
Этот вопрос решается положительно и притом следую-
следующим образом.
В первую очередь устанавливается существование
таких чисел 2со, 2со', для которых $ (а>7со) > 0 и
g-2(<B, со')=а2,
D)
Затем строится функция Чр (и) с периодами 2<в, 2<о'. Нако-
Наконец, в интеграле C) делается замена переменной
{V) — а3,
В силу уравнения
№' Ш2 = 4 [»» (у)]3 —
11] ОБРАЩЕНИЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ИНТЕГРАЛОВ 1-ГО РОДА 51
получим
и = ± I dv,
E)
где х = §> (w). Из E) следует, что w = ± и. Значит,
что и утверждалось.
Мы видим, что все упирается в решение следующего
вопроса: даны числа а2, а3, причем а\ — 27«д =И= 0; тре-
требуется найти такие 2<в, 2<о', для которых выполнено D).
Решение этого вопроса немедленно получается на осно-
основании § 10. Берем уравнение
Оно имеет решение т в фундаментальной области, значит,
в верхней полуплоскости. Найдя это решение, опреде-
определим <в из уравнения
V — «2,
Bш)
если а2 ф О» И из уравнения
если ав =» 0. Когда ю найдено, со' определяется из урав-
уравнения
со'
со

ГЛАВА III
ФУНКЦИИ ВЕЙЕРШТРАССА
12. Функция Вейерштрасса ? («*). Эта функция опре-
определяется следующей формулой:
A)
так что
(«)=!- [ U (и) ±
и J I и
?' («) = -«> (и).
B)
При этом путь интегрирования в A) не должен проходить
ни через одну вершину сетки периодов, отличную от точ-
точки и = 0.
Заменяя в A) $> (и) разложением этой функции на
простейшие дроби, получим для ? (и) представление
? (и) = — -f
и Z_J 1м — 2mco
771, 77l'
со
2тгасо -(- 2m'со' Bт?гсо
Л }
f- 2т со'J) '
C)
которое показывает, что единственными особенностями
функции ? (и) являются простые полюсы в точках
2т(о 4- 2т'©'. Из A) следует, что 2> (к) — нечетная
12]
ФУНКЦИЯ БЕЙЕРШТРАССА ? (и)
53
функция. Действительно,
= --+ f
и J
С другой стороны, в силу B):
U
D)
где т) и т)' — некоторые константы. Полагая в этих равен-
равенствах соответственно и = —со, и — —со' и используя
нечетность функции ? (и), получаем
Часто применяют обозначения т] = тц, tj' = т]3, так
что (см. стр. 25):
и вводят еще константу
Т]2 = ? («г) = — ? (СО + «О-
Нетрудно видеть, что
4i + Лг + т]3 = 0.
Действительно, в силу D)
? (и + 2ю + 2со') = ? (и + 2со') + 2ц = ? (u) + 2tj + 2т] .
Отсюда, полагая ц = —со — со', находим
т)+п' = ?(ю + «О. т-е- <П1+Пз=— Лг-
Докажем теперь весьма важное соотношение
ni
Т)СО —Т] СО =¦
E)

54
ФУНКЦИИ БЕЙЕРШТРАССА
[ГЛ. III
справедливое при выполнении условия 3 (со'/со) > 0.
Чтобы получить соотношение E), возьмем какой-нибудь
параллелограмм периодов, для которого точка и = 0 являет-
является внутренней точкой. Пусть вершинами параллелограмма
являются точки с, с -\- 2со, с -+- 2со + 2со', с + 2со'.
Интегрируя по контуру этого параллелограмма функцию
? (ы), получим
с+2<в с+2<в+2ш' с+2<в ' с
с с+2ш с+2<в+2<в' с+2<в
Делая во втором интеграле подстановку и = 2со -+- у,
а в третьем интеграле подстановку и = 2со' + ^> будем
иметь
с+2<в
2лг = J {С (и) — ? (и + 2@')} du +
с
С+2ш'
+ $ {? (и+ 2<а)-?(!*)}*,=
с
с+2со' с+2ш .
= J 2т] du— I 2т]' йи = 4(т]со'—"п'со).
с с
Таким образом, соотношение E) доказано. Ниже мы еще
будем иметь повод к нему вернуться. Его можно пере-
переписать в виде
Из этого соотношения круговой подстановкой можно
получить еще два соотношения:
ni Jti
2 2
13. Функция Вейерштрасса а {и). Определим функцию
а (и) с помощью равенства
A)
13]
ФУНКЦИЯ ВЕЙЕРШТРАССА 0 (и)
55
где путь интегрирования не проходит ни через одну
вершину сетки периодов, отличную от точки и = 0.
Из A) следует, что
а (и)
B)
Заменяя в A) функцию ? (и) ее разложением на простей-
простейшие дроби и почленно интегрируя, получаем
и
»
4-2т т'J
+
и
2 1
2тсо -(- 2т at' 2|
Отсюда вытекает следующее разложение функции а (и)
в бесконечное произведение:
о(в)=вЦ A \е* г*
= 2тсо -\- 2т'со'). C)
Мы видим, что а (и) есть целая трансцендентная функция,
имеющая лишь простые нули, лежащие в вершинах сетки
периодов. (
Из A) или C) немедленно вытекает, что а (и) — нечет-
нечетная функция.
Заменим в B) и на и -f- 2co. На основании формул D)
§ 12 получим
Отсюда
и, значит,
а (и -\- 2со) о (и)
In а (и + 2со) = In а (u) -f- 2т)м + С
Полагая здесь и — —со, будем иметь
а (со) = — а (со) С"е-2т1С0.

56
ФУНКЦИИ ВЕЙЕРШТРАССА
[ГЛ. III
А так как а (со) Ф О, то С = —е2т1ш. Значит,
Легко видеть, что вообще
¦(в) (а = 1, 2, 3). D)
14. Выражение произвольной эллиптической функции
посредством функции а (и) и посредством функции ? (и).
Всякая рациональная функция R (z) допускает следую-
следующие два представления:
R{z)=C
(z — a-i) (z —
R(z)=E{z)
. . . (z — am)
Lft°
(a)
Ф)
где С, Ъг, ан, А^ — константы, a E (z) — многочлен, так
называемая целая часть функции R (z). Каждое из этих
представлений дает определенную информацию относи-
относительно функции R (z): из первого представления видно,
каковы нули и каковы полюсы функции R (z), а второе
представление, которым всегда пользуются в интеграль-
интегральном исчислении, дает главную часть функции R (z) для
каждого ее полюса.
Теперь мы покажем, что аналогичные представления
допускает любая эллиптическая функция.
Пусть дана эллиптическая функция / (и) с периодами
2<в, 2<в'. Возьмем какой-нибудь параллелограмм периодов,
и пусть в этом параллелограмме / (и) имеет полюсы
аи #2> . . ., а„ и нули bu b2, . . ., &„.'При этом каждый
нуль и каждый полюс мы пишем столько раз, какова его
кратность. Как мы знаем (см. § 4),
ai + <h. + • • • + «n = 6i + Ьг + . . . + К (mod B<в, 2со')).
Положим
Ь± = 6* -4- 2тсо -\- 2т'а',
где целые числа т, т' выбраны так, что
*1 + Я2 + ... + ап = ЬГ + Ь2+...'+Ьп. A)
14] ВЫРАЖЕНИЕ ПРОИЗВОЛЬНОЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ 57
Ь* не лежит уже, вообще говоря, в рассматриваемом
параллелограмме периодов. Однако ничто не мешает
нам вместо системы нулей Ъ1% b2, • • •, Ьп взять эквива-
эквивалентную ей систему Ъ*, Ь2, • • -, Ьп. Теперь построим
функцию
.v _ о (и — Ъ*) о(и — Ь2)...о(и — Ьп)
а (и — at) а (и — а^). . . а (и — ап)
Эта функция имеет те же нули и те же полюсы (и притом
той же кратности), что и функция / (и). С другой стороны,
в силу свойств функции а (и) и соотношения A)
а2+. ..+ап-Ъ*-Ь2-. . .-Ьп)
g(u)g(u)
так что g (и) есть эллиптическая функция с теми же перио-
периодами, что и / (и). Отношение
f(u)
B)
не имеет полюсов, так как каждый полюс числителя
является полюсом той же кратности знаменателя, а каж-
каждый нуль знаменателя является нулем той же кратности
числителя. Но отношение B) есть функция эллиптиче-
эллиптическая. Следовательно, это отношение есть константа,
и мы получаем первое представление функции / (и):
, . а (и — Ъ*)о(и — Ъ2)...а{и — Ъп)
а (и — at)o(u — а2). . .а {и — ап)
где
К
а
Это представление является аналогом (а).
Переходим ко второму представлению эллиптической
функции. Пусть известны полюсы г) а±, а2, • • -, ап
функции / (и), лежащие в каком-нибудь фундаментальном
параллелограмме, и соответствующие главные части
функции^"/ (и). Пусть"^главная^часть,*^соответствующая
1) Здесь каждый полюс пишется один раз, а не столько раз,
какова его кратность.

58
ФУНКЦИИ ВЕЙЕРШТРАССА
[ГЛ. III
полюсу aft, имеет вид
— CLh
г==2
(и —
Эту же главную часть, как легко видеть, имеет функция
Aht, {и — ak) + 2 At~l) Ч?(г~2) (и — ah).
г=2
Составляя сумму этих выражений, распространенную
на все полюсы, получим функцию
fc=l
l (и - ak)
2
ft, г
32
Второе слагаемое этой суммы есть эллиптическая функ-
функция. Покажем, что то же справедливо и относительно
первого слагаемого. В самом деле, пусть
И= Е Ak Z(u — ah).
k
Тогда
Ф (и
ft=i
(и) = 2т]
Но Л ft есть вычет нашей эллиптической функции относи-
относительно полюса ak. А так как сумма вычетов относительно
всех полюсов, лежащих в параллелограмме периодов,
есть нуль, то
Ф (и + 2юа) = ф (и)
и, следовательно, ф (и) — функция эллиптическая.
Разность
ft=i
>2
не имеет особенных точек в рассматриваемом параллело-
параллелограмме периодов и, являясь функцией эллиптической,
есть поэтому константа. Итак, для / (и) получено второе
15]
ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ ФУНКЦИЙ ВЕЙЕРШТРАССА
59
представление:
ft=l
ft, r
- ak);
оно аналогично (р) и может быть названо разложением
/ (и) на «простейшие дроби».
15. Теоремы сложения функций Вейерштрасса. Рас-
Рассмотрим функцию
»> (и) - »> (у),
где у — постоянная величина (конечно, не сравнимая
с нулем по модулю периодов 2со, 2<в'). Эта функция
имеет полюс второго порядка в точке и = 0 и простые
нули в точках и = v, и = —у. Применяя теорему § 14,
мы можем, как легко видеть, положить
ai = п2 = О, Ь* = v, Ь2= — v.
Таким образом, мы получаем представление
[а (и)]2
где С — константа. Для определения этой константы
умножим обе части написанного соотношения на и2
и положим и = 0. Это дает 1= —С [о (у)]2. Следова-
Следовательно,
1
и значит,
<§>(и)-%> (v) = -
[о (u)f'
о (и — у) о (и -\- у)
[a(u)f[o(y)f
A)
Заменим в этом равенстве у на соа (а = 1, 2, 3) и при-
припомним (см. § 6), что §> (соа) = еа. Так как
а (и
<в
2<ва) =

60
ФУНКЦИИ ВЕЙЕРШТРАССА
[ГЛ. III
то мы получим следующее раьенство:
в» (и) -еа= W ИЦ7?!Г (« = 1,2, 3).
Lo-(u>a)o-(u)J
Введем, кроме а (и), еще три сигма-функции:
(а = 1,2,3)/
B)
(I («а)
Знак минус взят для того, чтобы имело место равенство
Таким образом,
ct(u)
(а = 1, 2, 3).
Мы видим, что корень квадратный из <§> (и) — еа есть
однозначная функция. Примем раз навсегда то опреде-
определение этого корня, которое в окрестности точки и = 0
ведет себя как + 1/и. Тогда
(a = l, 2, 3).
C)
Через сигма-функции просто выражается также $>' (и).
Чтобы получить это выражение, возьмем соотношение
8»'* = 4 (8» - *
В силу этого соотношения
е2) (р - ея).
(ц) оУ(ц)]2
, M«)]6
Извлекая корень квадратный и замечая, что
lim и3 f (и) = — 2,
найдем
*?(U) = ~2 [ct(u)]3 '
15] ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ ФУНКЦИЙ ВЕЙЕРШТРАССА 61
Обратимся снова к соотношению A). Беря от обеих
частей логарифмическую производную, получаем следую-
следующее равенство:
Г (и)
= Z,(u-v) + Z(u+y)-2Z{u). Et)
8» (и) - Я
Это — разложение левой части на простейшие дроби.
Его можно было бы получить и непосредственно, опираясь
на общую теорему § 14.
Поменяем в Et) и и v местами:
8» (и) — 8» (^)
Сложим теперь равенства E4) и E2) почленно. Это даст
Г (и) - Г (у)
{и)-<@ (v)
= 2 ? (и + v) - 2 ? (и) - 2 ? (у).
Отсюда
F)
Полученное равенство представляет дзета-функцию от
суммы двух аргументов через некоторые функции от каж-
каждого аргумента в отдельности. Говорят, что F) выражает
теорему сложения дзета-функции.
Чтобы получить теорему сложения функции ?Р, про-
продифференцируем равенство F) ию и, а также по v. Будем
иметь:
— 8» {и + v) = — 8» (и) +
1 Г (и) [у (и) - 8» Ш - Г (и) [Г (и) - Г (у)]
2 [8» (и) - ff (i;)]2
8> (и + у) = — 8» И -
1 ff" (г?) [8* (и) -
(и) -
[8» (и) - 8»

62
ФУНКЦИИ ВЕЙЕРШТРАССА
[ГЛ, III
Сложим эти равенства почленно:
- 2<@ (и + v) = - р (и) - 8» {v) +
+ 1 [Г (и) - Г (у)] [g (и) - g (*>)] - [Г (и) - Г (у)]2,
2 [g (и) - g (у)]2
Так как в силу дифференциального уравнепия функции
G)
то
g' (и) — g' (*>) = 6 [§>2 (и) — §>2 (у)]
и, пользуясь этим тождеством, нетрудно привести G)
к виду
4 L g (u) —
что и выражает теорему сложения функции $>.
Упражнение 1. Используя теорему сложения и диффе-
дифференциальное уравнение функции р, доказать следующее тождество:
[Р (u—v/2)—$> (u+i;/2)]2 =
= \Т LP(«—»/2)—P(») J ~3 Р (У)
Упражнение 2. Доказать тождество
gt (и) + ^2 (и) + <*з (и) ^ 1 9" (и/2) и
а (и) 2 $>' (и/2) . у '
(принадлежащее С. В. Ковалевской).
Достаточно проверить, что обе части A0) являются нечетными
эллиптическими функциями с периодами 4<в, 4<в', которые в парал-
параллелограмме периодов имеют простые полюсы 0, 2<в, 2<в\ 2<в+2са'
с одинаковыми соответствующими вычетами C, —1, —1, —1).
16. Представление всякой эллиптической функции через
функции §> (и) и <§' (гс). В § 14 было показано, что всякая
эллиптическая функция / (и) допускает разложение на
простейшие дроби:
f(u)=C+
(и - ak) +
«^ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЭЛЛИПТИЧ. ФУНКЦ. ЧЕРЕЗ g) (u) И jp» (и) 63
при этом
4=1
A)
Используем теперь теоремы сложения для функций
? и ЧР; кроме того, примем во внимание, что любая произ-
производная от т? выражается рационально через t? и f.
Прежде всего, в силу теоремы сложения для функ-
функции ?:
l (и)
, 8»') = Д4 (8>, g'), B)
где i?4, noflo6Hoj далее встречающимся i?2> ^з» • • <»
означает рациональную функцию от своих аргументов.
При установлении B) использовано A).
На основании теоремы сложения функции ^ получим
Гп
Затем
(u-aA) = i?2(^, Г).
-a*)=i23(g, Г)
И Т. Д.
В силу всех этих равенств
/(м)=Л(в>, Г)
Таким образом, всякая эллиптическая функция выра-
выражается рационально через функции t? и t?'.
Этому представлению можно придать вид
/(^^д^^ + лп^Г, C)
куда входят уже рациональные функции от одного лишь $.
В самом деле, в силу дифференциального уравнения
функции ЧР всякая натуральная степень производной <(?'
выражается в виде A -f- i?g', где А и В — многочлены
от т^. Поэтому рациональная функция от ^ и $>' может
быть представлена в виде

64
ФУНКЦИЙ ВЕЙЕРШТРАССА
[ГЛ. III
где Mf, Nx, M, N — многочлены от %>. Умножая знаме-
знаменатель и числитель на М — N<(?', получим
R (8», 8»') = ""
M2-N2<i?'* '
Теперь знаменатель есть многочлен от одного лишь <(?.
Значит, R ($>, 8*') = Ri (f) + i?2 (%>) f', что и требова-
требовалось доказать.
Заметим еще, что четная эллиптическая функция
может быть представлена в виде
а нечетная — в виде
Для доказательства возьмем представление
и заменим и на —и. Это даст
/ (-и) = Rx (g>) - R2 (8>) Г (и),
так как ^ (г*) — четная функция, а <(?' (и) — нечетная.
Теперь остается вторую формулу сложить с первой,
если / (г*) = / (—и), и вычесть, если / (и) = —/ (—г*).
Многие общие свойства эллиптических функций выте-
вытекают из представления C).
Одно из важнейших свойств гласит: всякие две эллипти-
эллиптические функции с одними и теми же периодами связаны
между собой алгебраическим соотношением.
Пусть / (и) и g (и) — две такие функции. Тогда
/(и) =
Д2 (8») 8»',
С другой стороны,
D0
Dа)
Из Dt), D2) и E) можно исключить %> и ?Р'. Это и приведет
к соотношению вида F (/, g) = 0, где F — многочлен
от своих двух аргументов.
17]
ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ
65
Отметим два частных случая этого общего предло-
предложения.
Для первого возьмем g = f. Мы получим тогда сле-
следующий факт: всякая эллиптическая функция удовлетво-
удовлетворяет дифференциальному уравнению первого порядка вида
F(ff Л-О,
где F означает многочлен от своих аргументов.
Для второго частного случая положим
g(u)=f(u+v).
Мы получим тогда соотношение
^oPkif(u)][f(u+v)f = O,
где Рь (z) — многочлены от z с коэффициентами, завися-
зависящими от v. Меняя местами и, v, а затем сравнивая полу-
полученное выражение с исходным: найдем, что Рк [/ (и)\
есть симметричный многочлен от / (и), f (v) с постоянными
коэффициентами.
Таким образом, всякая эллиптическая функция / (и
удовлетворяет уравнению
g(f(u), f(v), f(u+v))=0,
где g — многочлен с постоянными коэффициентами. Нали-
Наличие такого соотношения выражает, что функция / обладает
алгебраической теоремой сложения.
Пример такой алгебраической теоремы сложения дает
формула (8) § 15, так как входящие в правую часть про-
производные $' (и), ф' (v) являются алгебраическими функ-
функциями от ^ (и), соответственно ^ (v). Наоборот, формула
F) § 15 не представляет алгебраической теоремы сложе-
сложения, так как функция f и ее производная через функ^
цию ? алгебраически не выражаются.
17. Эллиптические интегралы. Выше, в § 11, мы уже
упомянули об эллиптических интегралах общего вида:
f Д(*. w)dz. A)
Здесь
w = aoz -f- 4atz -f~ 6a2z ~f~ 4a3z -f- a^ ^/ (z)
5 н. И. Ахиезер

66
ФУНКЦИИ ВЕЙЕРШТРАССА
[ГЛ. III
— многочлен четвертой или третьей степени без кратных
корней, a R (z, w) — рациональная функция своих аргу-
аргументов.
К интегралам вида A) приводят различные задачи
геометрии, анализа и механики. Одной из первых задач
этого рода была задача об отыскании длины дуги эллипса.
Именно эта задача привела к терминам — эллиптиче-
эллиптический интеграл, эллиптическая функция.
Возьмем эллипс
и пусть
х = a sin t, у = b cos t
с2 = а2 — Ь2, с/а = к.
Для дифференциала дуги будем иметь
ds2 = dx2 + dy% = (a2 cos2 * + Ъ2 sin2 t) dt2 =
= (a2 — c2 sin2 t) dt2 = a2 A — k2 sin2 t) dt2.
Поэтому
s = a I Vl — A;2 sin2
Если вместо t ввести ? по формуле
| = sin t,
то для дуги получится выражение
Г 1 /l — к2?
или
что действительно является частным случаем A).
В § 7 показано, что с помощью надлежащего дробно-
линейного преобразования можно привести входящий
в интеграл A) радикал к виду
б
. . _ . . — g& — g3- Пусть
это дробно-линейное преобразование имеет вид
Тогда
yz -f- б
К a0z4 -f- 4a4z3 -f- Ъа^ -f- 4a3z -f- a4 =
Т/4а:3 — я^ —
(yx + 8J
17]
ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ
67
и, следовательно,
(z, "l/a0z4 -f- 4a1z3 -f- 6a2z2 -j- 4a3z -\- a^dz =
yx -f- б
В частности,
-J
dx
-f- 4atz3 -f- 6a2z2 -f- 4a3z -f- a4 >> V 4tx" — g2x
Таким образом, вместо A) можно рассматривать'интеграл
J R (z, V4tz —g2z—gzjdz, (Z)
где R снова означает рациональную функцию от своих
двух аргументов.
Если мы введем функцию f (и), отвечающую инва-
инвариантам g2, gs, и. положим z = $> (и), то интеграл B)
примет вид
т. е. мы приходим к интегралу от эллиптической функции.
Подстановка z = ?P (и) означает, что
D)
— g2a: — g3
а переход от B) к C) можно толковать как намерение
рассматривать общий эллиптический интеграл B) как
функцию от соответствующего эллиптического интеграла
первого рода D).
Для отыскания интеграла C) удобнее всего разложить
эллиптическую функцию i?4 (?P, ?Р') на простейшие дроби:
i (8», Г) =С + 2 Ah I {и - ah) +
I (r—l) ся (г— 5
А, г
(>2)
(U-
5*

68 ФУНКЦИИ ВЕЙЕРШТРАССА [ГЛ. III
Интегрирование дает
5 i?i (f, f') du = Сi -f- Cu -f- 2 -4ft In a (u — aft) —
h,r
(
\u — ah).
Примем теперь во внимание теоремы сложения для функ-
функций ? и %>. В силу этих теорем
2 Д° ? (и - аА) = - Л S (и) + i?2 (8>, у'),
2 Дг~° $?(Г~3) (и - ак) = Д3 №," Г),
А, г
( 53
где Л — константа.
На основании написанных формул
I Ri (8>, W) du =
1 (и) + R* (8», 8»').
Так как
n
то вту формулу можно переписать в виде
g (U -пк) + Д* (8>, Г). E)
= Си + А I (и) + У Ак In
Последний член правой части есть эллиптическая функ-
функция. Первые три члена эллиптическими функциями не
являются.
Перейдем от переменной и к первоначальной перемен-
переменной z = ЧР (и). Тогда последний член правой части фор-
формулы E) запишется в виде R* (z, w), где юг =
17]
ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ
69
= 4z3 — gzz — g3. Это есть алгебраическая часть инте-
интеграла B).
Что касается трансцендентной части, то ее можно
построить с помощью следующих элементов:
и, ?(м), In—K— '- + и?(а).
а (и)
Первая из этих функций есть
dz
w
вторая равна
а третья функция есть
z dz
гг?
а (и — а) Г / а' (и — а) а' (и) 1 ,
In ' + и ? (а) = \ \ —j f- — —^f- -f- t (a) \ du =
a (u) J I ct (u — а) а (и) )
- f«(u - a) -1 w
J
1 w> *.=|
2
Вводя z = ЧР (u), w — f' (u), положим f (a) = z0,
^' (a) = w0. Тогда третья функция примет вид
dz
2 J z — z0
Интеграл
dz
w
ранее был назван эллиптическим интегралом первого
рода, теперь назовем интеграл
z dz
w

70
ФУНКЦИИ ВЕЙЕРШТРАССА
[ГЛ. III
нормальным интегралом второго рода, а интеграл
w0 dz
1 f "> +
2 J z —
z0
— нормальным интегралом третьего рода.
Таким образом, всякий эллиптический интеграл скла-
складывается из эллиптических интегралов трех родов и неко-
некоторой рациональной функции от z и w.
Этот результат, к которому мы пришли при помощи
построенной выше теории эллиптических функций, может
быть получен независимо от этой теории и является част-
частным случаем общих теорем относительно приведения
эллиптических и гиперэллиптических интегралов, т. е.
интегралов вида
¦5 R (z, Z) dz,
где Z2 есть многочлен степени п
нальную функцию.
3, а й означает рацио-
рациоГЛАВА IV
ТЭТ А-Ф У НКЦИИ
18. Представление тэта-функций бесконечными произ-
произведениями. В § 3 тэта-функции были определены как
бесконечные ряды. Теперь мы займемся разложением
тэта-функций в бесконечные произведения.
Для получения этих разложений рассмотрим функцию
= П A -
П A - h2h-
Л=1
A)
где h — константа, модуль которой меньше единицы,
as — комплексная переменная. Написанные бесконечные
произведения сходятся абсолютно при любом s Ф 0,
и функция / (s), определяемая формулой A), очевидно,
регулярна в каждой конечной точке s, отличной от нуля.
Далее, из вида правой части A) вытекает, что / (s) удо-
удовлетворяет следующему функциональному уравнению:
f(s) = ~hsf(h2s). B)
Функцию / (s) можно разложить в ряд Лорана. Пусть это
разложение имеет вид
C)
&=— °о
Принимая во внимание B), получим
ahsh = -
откуда следует, что
А-1

70
ФУНКЦИИ ВЕЙЕРШТРАССА
[ГЛ. III
нормальным интегралом второго рода, а интеграл
1 Р w -f- w0 dz
2 J z — z0 w
— нормальным интегралом третьего рода.
Таким образом, всякий эллиптический интеграл скла-
складывается из эллиптических интегралов трех родов и неко-
некоторой рациональной функции от z и w.
Этот результат, к которому мы пришли при помощи
построенной выше теории эллиптических функций, может
быть получен независимо от этой теории и является част-
частным случаем общих теорем относительно приведения
эллиптических и гиперэллиптических интегралов, т. е.
интегралов вида
¦$ R (z, Z) dz,
где Z2 есть многочлен степени п > 3, а й означает рацио-
рациональную функцию.
ГЛАВА IV
ТЭТ А-Ф УНКЦИИ
18. Представление тэта-функций бесконечными произ-
произведениями. В § 3 тэта-функции были определены как
бесконечные ряды. Теперь мы займемся разложением
тэта-функций в бесконечные произведения.
Для получения этих разложений рассмотрим функцию
Л=1
A)
где h — константа, модуль которой меньше единицы,
as — комплексная переменная. Написанные бесконечные
произведения сходятся абсолютно при любом s Ф 0,
и функция / (s), определяемая формулой A), очевидно,
регулярна в каждой конечной точке s, отличной от нуля.
Далее, из вида правой части A) вытекает, что / (s) удо-
удовлетворяет следующему функциональному уравнению:
f(s) = ~hsf(h2s). B)
Функцию / (б) можно разложить в ряд Лорана. Пусть это
разложение имеет вид
/(«)= S
Принимая во внимание B), получим
C)
aksk = —
откуда следует, что
= — ah-ih
,2ft-1

72
ТЭТА-ФУНКЦИИ
[ГЛ. IV
Это соотношение можно переписать в виде
( \\h n \rh<i ( i\k~l r, i,-№-iJ
(—ч a-h"> =(—1J «A-ift
Таким образом, величина (—i)hahh~h% от к не зависит
и, значит,
Наше разложение C) принимает вид
отсюда
2
k=— оо
2
4=1
Выражение в фигурных скобках есть не что иное, как
#0 (и), следовательно,
С другой стороны,
оо
/ (e2niv) = П A — A2
") A —
= П A -
4=1
Таким образом,
cos 2ли
cos
Мы получили разложение функции #„ (у) в бесконеч-
бесконечное произведение, но еще не определен числовой множи-
множитель 1/а0.
Займемся его отысканием. С этой целью положим
п
/n(s)= П A —fe2*-lS)(l —A2*-ls-l). D)
ft=l
Выполняя перемношеиие, получим
18]
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ТЭТА-ФУНКЦИЙ
73
При этом
(п) _ ^_ ^jn
E)
С другой стороны, в силу D)
(sh—A2") /n (A2S)
Поэтому
rn (»).
n
A=-n
или
Сравнение коэффициентов дает
Полагая здесь последовательно А^=0, 1, ..., (n — 1) и перемножая
полученные равенства, будем иметь
Отсюда в силу E)
ИЛИ
h= 1
п
[J A-
й1
Величина а0, которую мы ищем, равна
ao= lim a^,n).
n—»-oo
Действительно, в силу формул, которыми определяются коэффи-
коэффициенты ряда Лорана,

74
ТЭТА-ФУНКЦИИ
[ГЛ. IV
где интегралы берутся по единичной окружности, а на ней /n (s)
стремится к / (я) равномерно, когда гс->-оэ. Из полученного для а[,п)
выражения следует, что
Таким образом, окончательная формула имеет вид
оо
оо
где
А=1
Отсюда уже нетрудно получить аналогичные разложения
остальных тэта-функций. Все они содержатся в табли-
таблице IX. Для примера выведем разложение функции #! (v).
С этой целью воспользуемся равенством
В силу этого равенства
сю
- h2he27liv)
k=i
-h2he2*iv) A -
Имея разложения тэта-функций в бесконечные произве-
произведения, нетрудно написать совокупность всех нулей этих
функций, а также получить значения этих функций
19] СВЯЗЬ МЕЖДУ СИГМА-ФУНКЦИЯМИ И ТЭТА-ФУНКЦИЯМИ 75
в нуле *) и, в частности, доказать, что чЭ1^ @) =
@) -&2 @) ^а @) (все это содержится в таблице IX).
19. Связь между сигма-функциями и тэта-функциями.
Сравним функцию а (и) с функцией тЭ-j (-^— J . Нули каждой
из этих функций простые и имеют вид
u = 2ma> -j- 2m а>' (m, m'=0, ±1, ±2, . . .)-
Рассмотрим выражение
f{u) =
2а (и)
Это — функция, не имеющая ни одной особой точки на
конечном расстоянии, так как нули знаменателя являют-
являются нулями той же кратности числителя.
Найдем / (и + 2оо) и / {и + 2ш'):
/(и + 2») =
4ша(и+ со)
•¦И
V2co/
а(и+2<?>'J а (и ~Ь 2'
аи* Аа со'(«+ со') е
>г) а (и)
Mia. / и
2Ш -д4 —
Ч2(й
Их часто называют нулевыми значениями.

76
ТЭТА-ФУНКЦИИ
[ГЛ. IV
Принимая во внимание равенство rjoo' — т]'ю = jti/2,
получаем
') +
2 Bсо'а
со
= 2т Bша + т]).
Если мы поэтому положим а = —г]/B(о), то написанные
равенства примут вид
А так как / (и) есть функция целая, то при указанном
выборе а она превращается в константу. Следовательно,
V2@/
Для определения константы С продифференцируем напи-
написанное равенство и положим и = 0. Это дает
откуда
и, значит,
2ю
У± @)
Пи2
а (и) =
A)
Аналогичные соотношения (они приведены в таблице X)
имеют место для остальных сигма- и тэта-функций.
Соотношение A) позволяет использовать тэта-функ-
тэта-функцию вместо сигма-функции для представления произволь-
произвольной эллиптической функции по ее нулям и полюсам.
Пусть / (и) — эллиптическая функция и
ее полюсы, а
аи а2, . . ., ап
bt, b2, ¦ ¦ ., Ъп
20]
РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ ?(М) И g> (u)
77
ее нули, расположенные в фундаментальном параллело-
параллелограмме. Пусть, далее,
ап = К -j-
К-
B)
Мы видели, что
а (и — 6*) а (и — Ъ2).. . а (и — Ъп)
а (и — а4) а (и — а2) . . . а (и — ап)
где Сх — константа.
Теперь мы получаем представление
/ (и) =
2ю
2(о
2@
2а»
В выражении
(u-b\f + ...+{u-bnf-{u-aif-...~{u~anf
члены с и2 взаимно уничтожаются. Это же в силу B)
происходит с членами, которые содержат и в первой сте-
степени. Таким образом,
f(u)=C-
2(в
2о>
2й)
#i
2оо
20. Разложение функций
Обратимся к формуле
2(о / V 2ю
(w) и g? (ге) в простые ряды.
; @)
где у = и/Bш). Беря от обеих частей логарифмическую
производную по и, получим
и +
(О 2@ 'О1! (и)

78
ТЭТА-ФУНКЦИИ
[ГЛ. IV
Заменим теперь функцию /&1 (v) ее разложением в беско-
бесконечное произведение. Это дает следующее разложение
функции ? (и):
СО
+ —
sin 2nv
г 2ft
— 2^ cos 2я у+
A4*/"
A)
Здесь мы имеем простой бесконечный ряд, в отличие
от двойного ряда, входящего в определение функции
? (и). Полученный ряд можно представить в следующем,
для многих целей более удобном, виде:
со
тп \z-\-z i
2co \z — z
A=l
_2A_V_YI
i-aV/J'
B)
где
z'= e
лги
2ш
Чтобы получить аналогичное разложение функции
(и), продифференцируем B) по и. Это дает
со
со
(z — z )
I A - h**z-y
- л2J JI'
Используем полученные ряды, чтобы выразить через h
величины т), е1? е2, е3- Полагая в C) и = со, а значит,
z = г, будем иметь
«
21]
ВЫРАЖЕНИЕ ВЕЛИЧИН elt e2, е,
79
Подобным образом, полагая и = со', а значит, z =
получим
со
со
A=l
A —
Наконец, полагая и = — со — со', а значит, z = ~ik~1/2,
будем иметь
а оо
_____ * I I
со
со
A=l
Складывая полученные равенства почленно и учитывая
равенство е± -{- е2 -{- е3 = 0, найдем после простых пре-
преобразований
г] со = < 1 — 24 У . -г- \.
12 I ZJ(l—h2kJ)
А=1
21. Выражение величин et, ea, е3 через нулевые значе-
значения тэта-функций. Припомним формулу
о- (и)
Полагая здесь и = сор, получим
1/ел — е„
(а = 1, 2, 3).
сг((»р)
Выразим правую часть через тэта-функции. Взяв, напри-
например, Р = 1, а = 2, будем иметь
" 2(о 02 @)О3 @)
Здесь, как и всюду в дальнейшем, Oq, O^, O3, ^ представ-
представляют значения в точке v = 0 функций Oq (f), Ог (v),
03 (y)i О^ (у). А так как (см. § 18 и таблицу IX)
О'1:=я#0О2#3, A)

80
то
ТЭТА-ФУНКЦИИ
[ГЛ. IV
Ve<-
e± — e2:
Аналогично найдем
2со
и
~Vea — ei = — i ~Vet — ez =
Из написанных формул следует, что
2со
2а>
«1 —
2со
Щ,
*2 ~ <?3 = ( ^- ) #2,
\2со/
B)
Отсюда вытекает соотношение
¦ C)
В дальнейшем будет играть важную роль функция
Если воспользоваться формулами B) и C) и вспом-
вспомнить формулу F) § 6, то мы получим следующее пред-
представление через функцию Я (т) модулярной функции
/ (т):
27Я2A-ЯJ
22]
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ТЭТА-ФУНКЦИЙ
81
22. Преобразование тэта-функций. До сих пор, рас-
рассматривая тэта-функции, мы изучали их зависимость
от аргумента v и не обращали внимания на зависимость
от параметра т или от h = enix (^jx > 0). В частности,
мы исследовали, как меняется тэта-функция, когда
к аргументу v прибавляется один из периодов или полу-
полупериодов.
Теперь мы займемся изучением зависимости тзта-функ-
ций от параметра т. Здесь вместо группы сдвигов (на
периоды или полупериоды) появляется модулярная груп-
группа 2 всех подстановок
«, ах + р
где а, р, у, б — целые числа, для которых а.8 — $у = 1.
Группа 2, как выше установлено (см. § 9), порождается
двумя основными подстановками:
-(so- -us)-
Поэтому достаточно исследовать, как преобразуются
тэта-функции, когда т подвергается этим двум основным
преобразованиям.
Переход от ткг+1 отвечает замене h на —h и соот-
соответствующие формулы преобразования получаются очень
просто на основании разложений тэта-функций в ряды.
Эти формулы имеют вид
A)
Исследуем теперь переход от т к —1/т и введем для
удобства обозначение т' = —1/т. Возьмем функцию
Нетрудно проверить, что эта функция не имеет особен-
особенностей. Действительно, единственными нулями (и притом
6 н. И. Ахиезер

82
ТЭТА-ФУНКЦИИ
[ГЛ. IV
простыми) знаменателя являются точки
v = (m + i/2)x + {n + l!2), B)
где то, п —"целые числа. Вместе с тем эти точки являются
нулями числителя, так как числитель обращается в нуль
при
xv = (т + 1 /2) х + (п + 112),
где то', п' — целые числа, т. е. при
v = (m+ 1/2) — {п + 1/2) т.
Таким образом, / (v) — целая трансцендентная функция.
Но легко проверить, что / (v) имеет периоды 1, т. Следо-
Следовательно, / (и) есть константа, т. е.
%{xv\T)=Ae-nU'v*$3(v\T). C)
Заменяя здесь v на у -J- 1/2, v — т/2, v + A — т)/2
и используя соотношения § 3, получим следующие фор-
формулы:
C')
и все сводится к отысканию константы А. С этой целью
напишем приведенные формулы для v = 0, а последнюю
формулу предварительно продифференцируем по v. Это
дает
Примем теперь во внимание, что •&[
этого соотношения
силу
и, значит, АН' = i, откуда А2 == —it, и следовательно,
23]
МОДУЛЯРНАЯ ФУНКЦИЯ X (т)
83
где под радикалом условимся понимать то его значение,
которое имеет положительную вещественную часть.
Теперь остается определить знак в формуле C"),
т. е. в равенстве
Обе величины
;01 т') = dz У— ix #3 (О I т). D)
#3 @1 т'), У—it #3 @1 t) E)
являются регулярными функциями от т в верхней полу-
полуплоскости. Если т имеет чисто мнимое значение, то h —
= eF-ix и h' = eKix' положительны, и величины E) также
положительны, как это вытекает из определения функ-
функции ¦Og (v) с помощью тригонометрического ряда. Мы
видим, что в равенстве D) должен быть взят знак плюс.
Таким образом, формулы C),C') принимают вид
(т' у | т') = Л/—IX е
(т' v | т') = У
— лгт'и2.
ix e
.'„»
%(xv\x')=V—iXe-™V G2(l7|T), j
Oi (т> I т') = i У^т e~Kix'D* O? (i; | т). J
F)
23. Модулярная функция Х- (т). Эта функция была
введена в конце § 21. Напомним ее определение:
<
<>UO|t)
На основании формул A) § 22
А так как в силу формулы C) § 21
то
1 —
Я(т)
6*

84
или
ТЭТА-ФУНКЦИИ
Я(т)
4 Я(т) —1
Подобным образом в силу формул F) § 22
[ГЛ. IV
A)
B')
Следовательно,
Я(— 1/т) = 1 — Я(т). B)
Формулы A) и B) показывают, что Я (т) не инвариант-
инвариантна относительно всех преобразований модулярной груп-
группы. Однако можно указать некоторую подгруппу полной
модулярной группы 2 (обозначим ее 22), относительно
которой функция Я (т) инвариантна. Поэтому Я (т) также
называют модулярной функцией.
Любая подстановка модулярной группы получается
композицией основных подстановок
и
Т: Тх= — 11х.
Это обстоятельство в связи с формулами A) и B) позво-
позволяет установить, как изменяется Я (т) при преобразова-
преобразованиях полной модулярной группы 2.
Действительно, непосредственно в силу A) и B)
Я(т)
Я(/т)=Я(т), X(Sx) =
Я(т) —
Я (Тх) = 1 - X (т);
далее,
X (STx) =
и, аналогично,
X (TSx) = -
Х(Тх) _Х(х) —
Х(Тх) — 1 Я(т)
1
X(STSx)=X(TSTx) =
Я(т)
23]
МОДУЛЯРНАЯ ФУНКЦИЯ к (т)
85
Докажем, что этим и исчерпывается совокупность всех
значений, которые принимает X(Ux), когда U пробегает
группу 2. С этой целью заметим в первую очередь, что
Я(т)
(т) —
= Я(т).
А так как всякая подстановка U группы 2 имеет вид
// фс1* тс^ т1 cm т1 on
IJ == 1 О 1 О . . . 1 JJ Id ,
то для получения различных значений функции X(Ut)
нужно рассмотреть только такие подстановки U, для
которых каждое из чисел i, к, . . ., тп, п есть нуль или
единица. Поскольку далее Т% — I, то речь может идти
лишь о подстановках следующего вида:
TSTS ... Г, TSTS . ..TS, STS ...T, STS .. .TS. C)
Но нетрудно проверить, что имеют место равенства
STSTST = TSTSTS = /.
Следовательно, подстановки STSTST, TSTSTS остав-
оставляют Я (т) инвариантной. Поэтому остаются только такие
подстановки, которые являются произведениями вида C)
самое большее из пяти множителей, т. е. остаются
S, Т )
ST, TS } (а.)
STS, TST
TSTS, STST,
TSTST, STSTS
Подстановки (а) выше были рассмотрены. Что же касает-
касается подстановок ф), то они ничего нового не дают; так,
например,
Я (TSTSx) = X {TSTSTSSTx) = X (STx).
Таким образом, утверждение доказано. Заметим, что
шестерка чисел
U
ф)
* 1 1 1 Я
Я 1-Я Я-1

86
ТЭТА-ФУНКЦИИ
[ГЛ. IV
получается из Я с помощью линейных подстановок так
называемой ангармонической группы.
Легко построить фундаментальную область группы
2 2. Эта область, назовем ее D2, будет состоять из шести
областей, эквивалентных
фундаментальной области
D полной модулярной груп-
группы 2. Чтобы построить
D2, возьмем вместо D экви-
эквивалентную ей область /
(рис. 7), ограниченную
прямыми
и окружностями
Затем подвергнем каждую
Рис- 7- точку этой области преоб-
преобразованию S. Коротко ска-
скажем, что преобразованию S подвергнута область I. Полу-
Полученную область назовем S. Подобным образом построим
области Т, TS, S-XT, STS (см. рис. 7). В результате
и получится фундаментальная область Z>2 группы 22- Она
ограничена прямыми
и окружностями
| + | , |т —1/2|' = /,
причем из каждой пары границ к области D2 отнесена
левая.
Подстановки, связывающие границы области Dz,
имеют вид
=т +2
т*=-
2т +1
f12V
Voi/
A0\
V2 г)
23]
МОДУЛЯРНАЯ ФУНКЦИЯ X (т)
87
Эти две подстановки и порождают группу 22 подобно
тому как подстановки S, Т порождают группу 2.
Отметим, что группа 2 2 вполне характеризуется сле-
следующим свойством своих подстановок
«р
Во-первых, а,
во-вторых,
а
у за
у, 6 — целые числа и аб —
1 (mod 2), p==0(mod2),
0 (mod 2), б =1 (mod 2);
1,
иначе говоря, а и б — числа нечетные, а |3 и у — числа
четные.
Доказательство этих фактов предоставляем читателю.
Область D 2 называют также фундаментальной областью
функции X (т).
Справедлива следующая теорема. Уравнение
Я (т) — а = О
D)
при любом конечном а, отличном от 0 и 1, имеет одно и
только одно решение в области Z?2-
Для доказательства воспользуемся формулой E) § 21:
/(т)= 27Л»A-а.)а • E)
Полагая в этой формуле А, —а, получим уравнение
7(т) = е. F)
Правая часть формулы E) инвариантна относительно подстановок
ангармонической группы. Поэтому то же значение с мы получим
для всей шестерки
1, ._..
а —1 '
G)
Если при заданном а все числа G) различны, то уравнение F),
по доказанному в § 10, имеет точно шесть простых корней внутри Z>2.
В этих точках области Dz, эквивалентных относительно полной
модулярной группы, функция Я, (т) согласно доказанному в настоя-
настоящем параграфе принимает шестерку значений G). В одной из этих
точек, следовательно, X (т) примет значение а.
Остается рассмотреть, что произойдет, если среди чисел G)
имеются равные. Это будет дищь тогда, когда а имеет одно

88
ТЭТА-ФУНКЦИИ
[ГЛ. IV
из следующих значений:
а--1 1 о !-М 1—г?1
г' 2 ' "' 2 ^ 2 ' 2 2
Соответствующими значениями с будут:
е = 1, 1, 1, 0, 0.
Вспомним теперь, что в силу "рассмотрений § 10 уравнение
/(т) = 1
имеет двойной корень в каждой точке т, эквивалентной точке
t=i относительно полной модулярной группы. Из всех этих точек
области Z>2 принадлежат
г=—1 + *, —1/2 + J/2, г. (8)
Функция А, (т) принимает в них различные значения. С другой
стороны, имеет место тождество
2BХ —1J (А, — 2J
Отсюда уже легко заметить, что каждое из уравнений
Х(%)=— 1, Л,(т)=1/2, Л,(т) = 2
имеет в области D% точно один (простой) корень и эти корни
совпадают с числами (8).
Аналогично устанавливается, что уравнения
Л v1) — о I '^5 ' Л V ) — о —* ~~п
имеют в Z>2 по одному (простому) корню:
т___1_ .Д/3 т_ 1 .УЗ
В заключение остановимся на соответствии границ
при отображении, производимом функцией Я = Я (т).
Прежде всего возьмем представление
подучаемое с помощью формул B'), B) и бесконечных
произведений для тэта-функций. Здесь h = enix. Если
поэтому т пробегает положительную половину СО мни-
мнимой оси, то h будет монотонно расти от 0 до 1, а следова-
следовательно, Я будет также монотонно расти от 0 до 1 (рис. 8).
Возьмем теперь прямую С В; на этой прямой т = 1 -J- щ,
23] МОДУЛЯРНАЯ ФУНКЦИЯ X (т) 89
где г\ меняется от оо до 0. Следовательно, на СВ
и поэтому, когда т пробегает СВ, величина Я меняется от
0 до —оо. Такое же изменение испытывает Я, когда т
пробегает прямую СА.
v—f
7=/
А
(\=О) ¦ _ (ХЧ)
Рис. 8.
Рассмотрим, наконец, полуокружность ОА. Если мы
положим т = —1/т', то точка т опишет дугу ОА в поло-
положительном направлении, когда точка т' опишет прямую
СВ от точки С к точке В. Примем теперь во внимание
(см. § 22), что
О3 @1 т) = (- ixyi/2 О3 @1 - 1 /т),
Поэтому
откуда
0 @1 т) = (- г
@ | -
и, значит,
'2ft-i\8

90
ТЭТА-ФУНКЦИИ
[ГЛ. IV
где h' = ёпгх'. Эта формула показывает, что Я пробегает
вещественную полуось от точки Я = 1 до точки Я = оо,
когда точка т пробегает в положительном направлении
дугу О А. Ту же полуось получим, когда т пробегает дугу
ОБ от точки О до точки В.
Из сказанного следует, что функция Я = Я (т) отобра-
отображает правую половину области Z?2 на верхнюю половину
плоскости Я, а левую половину области D2 на нижнюю
половину плоскости Я. Вся же область D2 отображается
на плоскость Я, разрезанную вдоль интервалов (—оо, 0),
A, оо). Присоединяя к В2 части границы так, как мы
условились выше, мы должны к области в плоскости Я
присоединить нижние берега разрезов.
ГЛАВА V
ФУНКЦИИ ЯКОБИ
24. Эллиптический интеграл первого рода в форме
Якоби и Римана. Вместо эллиптического интеграла
оо
Г ds
U = 1 ,
J W — gss — йя
A)
обращением которого является функция Вейерштрасса
у = Ч? (и), в теории Якоби выступает интеграл
w ¦¦
dt
B)
содержащий лишь один параметр к; этот параметр назы-
называют модулем рассматриваемого интеграла.
Если мы % 5 2
примет вид
рр р
положим х% =5, t2 = z, то интеграл B)
W
S
Г
= \
J
dz
2Vz(l — z)(l— kzz)
C)
Это — форма Римана.
То обстоятельство, что интеграл в форме Якоби или
Римана содержит всего один параметр, а не два, как
интеграл Вейерштрасса, представляется весьма удобным
при различных вычислениях. Что же касается теоретиче-
теоретических рассмотрений, то для них форма Вейерштрасса
почти всегда предпочтительнее.
После того как теория Вейерштрасса построена, неза-
независимая трактовка интеграла C) становится излишней.

90
ТЭТА-ФУНКЦИИ
[ГЛ. IV
где h' = е71™'. Эта формула показывает, что Я пробегает
вещественную полуось от точки Я = 1 до точки Я = оо,
когда точка т пробегает в положительном направлении
дугу О А. Ту же полуось получим, когда т пробегает дугу
О В от точки О до точки В.
Из сказанного следует, что функция Я = Я (т) отобра-
отображает правую половину области D2 на верхнюю половину
плоскости X, а левую половину области Dz на нижнюю
половину плоскости X. Вся же область Z>2 отображается
на плоскость Я, разрезанную вдоль интервалов (—оо, 0),
A, оо). Присоединяя к В2 части границы так, как мы
условились выше, мы должны к области в плоскости Я
присоединить нижние берега разрезов.
ГЛАВА V
ФУНКЦИИ ЯКОБИ
24. Эллиптический интеграл первого рода в форме
Якоби и Римана. Вместо эллиптического интеграла
оо
Г ds
U= \ ,
A)
обращением которого' является функция Вейерштрасса
у = <§> (и), в теории Якоби выступает интеграл
w
_f dt
-j V(i - *¦) (l -
B)
содержащий лишь один параметр к; этот параметр назы-
называют модулем рассматриваемого интеграла.
Если мы положим х2 = ?, t2 = z, то интеграл B)
примет вид
ш =
dz
J 2Vz(l — z)(l—
C)
Это — форма Римана.
То обстоятельство, что интеграл в форме Якоби или
Римана содержит всего один параметр, а не два, как
интеграл Вейерштрасса, представляется весьма удобным
при различных вычислениях. Что же касается теоретиче-
теоретических рассмотрений, то для них форма Вейерштрасса
почти всегда предпочтительнее.
После того как теория Вейерштрасса построена, неза-
независимая трактовка интеграла C) становится излишней.

92
ФУНКЦИИ ЯКОБИ
[ГЛ. V
Проще воспользоваться тем, что должно существовать
дробно-линейное преобразование переменной z в пере-
переменную s (а значит, переменной ? в переменную у), после
которого интеграл w с точностью до постоянного множи-
множителя превратится в интеграл и. Это преобразование долж-
должно иметь вид
И-
так как z должно равняться нулю при s = оо. Корням
s = еи ег, е3 многочлена 4s3 — g2s — g3 должны отвечать
значения z = 1, Ilk2, оо. Поэтому X должно равняться
одному из чисел еа. Положим Я = е3, \i = et — е3. Тогда
корень s = е± перейдет в z = 1. Итак,
е, —
s — е-.
D)
и, значит,
С помощью D) находим
в\ — е3
s — e3= , s — et
— ез) A —
s —
Ч — e3
— е3) dz
z2
Следовательно,
1 f
и= = 1
Уе± - е3 J
dz
з о 2
4 — e3
Чтобы отождествить эту формулу с C), остается положить
:^^ . E)
24]
ЭЛЛИПТИЧЕСКИЙ ИНТЕГРАЛ ПЕРВОГО РОДА
И
W
= Уе,-
и.
Наш результат можно сформулировать следующим обра-
образом: имея величину к2 (конечную и отличную как от нуля,
так и от единицы), возьмем какие-нибудь е±, е2, е3, сумма
которых равна нулю и для которых выполняется E);
затем построим соответствующую функцию §> (и) и тогда
е, — е.
- е3
Обращение же интеграла B) будет иметь вид
х-
Уе,-
е3
F)
Выразим эту функцию через тэта-функции. Необходимые
для этого формулы содержатся в таблицах VI и X. Наш
результат будет иметь вид
2со
.Ув1-
Еще Лежандр изучал интеграл B) как функцию от жи к2.
При этом особое внимание уделялось так называемому
нормальному случаю, когда к2 положительно и меньше
единицы, а х лежит в интервале [0, 1]. В этом случае

94
ФУНКЦИЙ ЯКОЁЙ
[Гл. v
естественно положить
Тогда интеграл B) примет вид
ф
w
BbIs)
Обращая этот интеграл, Якоби назвал ф амплитудой w:
ф = am w.
Тогда результат обращения интеграла B) будет
х = sin ф = sin am w.
Эту функцию Якоби назвал синус амплитуды (sinus ampli-
tudinis). Дальнейшей функцией является
Vl — х2 = cos ф = cos am w.
Кроме этого, Якоби ввел еще функцию
Vl — kzx2 = Аф = A am w,
G)
(8)
которая называлась дельта амплитуды. Обе функции
G) и (8) обращаются в единицу при w = 0. В настоящее
время обозначения Якоби не приняты. Их заменили
обозначения Гудермана
x = sn w, Vl — x2 = en w, Vl — k^x2 = dn w.
25. Функции Якоби. В § 24 мы ввели функцию
(
snw = -
2@ Vgj — e
— е-.
Это — мероморфная функция от w, зависящая еще
от одного лишь параметра h = enix, так как h —
25]
ФУНКЦИЙ ЯКОВЙ
единственная величина, от которой зависит 2со Vei — ez =
= яд|, а также коэффициенты тэта-функций. Однако
из рассмотрений § 24 вытекает, что в качестве параметра,
от которого зависят функции Якоби, вместо h = enix
или т можно взять модуль к. Действительно, из § 24
следует, что, имея к, можно определить число т из верх-
верхней полуплоскости так, чтобы построенная для этого
значения т, через посредство функции $> или тэта-функ-
тэта-функций, функция х = sn w была обращением интеграла
w
_[ _ dt
Таким образом, для функции sn w более полным обозна-
обозначением наряду с sn (w | т) является sn (w; к). Аналогич-
Аналогичное замечание относится и к функциям en w, dn w.
Примитивными периодами отношения ^ (г^/Фо (v)
являются числа 2, т.
Значит, примитивными периодами функции sn w
будут 4со V^i — ез> 2ft>' V^i — е3. Это — некоторые функ-
функции от h. Приняты следующие обозначения:
со V е, — е, =
Таким образом, примитивными периодами функции
sn w являются 4JT, 2iK'.
Постоянно писать w/BK) в качестве аргумента тэта-
функций неудобно.
Следуя Риману, введем обозначения:
а (w) =
—
2К
= 0, 1, 2, 3);
тогда
е_з
еяе,
2 е0

96 функции якобй
Теперь обратимся к функциям 1 — хг, 1
миная формулу F) § 24, будем иметь
[ГЛ. V
кгхг. Припо-
1 - х2 = 1 -
Ei — ез
 — ез
-е3 <§
 — ез
01
( W \
^СоУб!
и, значит,
откуда
в|1во(И7)
Г^ = сп „=
е2 е0 (и;)
Аналогично найдем
Примитивные периоды, этих функций дает таблица
сп ы;
dnw
4К\2К + 2iK'
2К | 4iiT
На рис. 9 представлены параллелограммы периодов
для всех трех функций.
i Мы видим, что все параллелограммы различны, но
площадь имеют одну и ту же.
Нетрудно указать нули и полюсы функций Якоби,
а также их значения в некоторых других точках. Эти
сведения содержат таблицы XIII и XV.
25]
ФУНКЦИИ ЯКОБИ
97
Подчеркнем, что полюсы функций Якоби простые.
Таким образом, мы имеем здесь функции второго типа
по классификации § 4.
4iti-
dnw
2iK'
snw
J2/i О1
2H+21K'
Рис. 9,
В виде упражнения предлагаем доказать тождество1)
(м;
A)
которое нам скоро понадобится.
Для доказательства достаточно проверить, что левая и правая
части имеют одинаковые примитивные периоды 2К, 2iK', имеют
одни и те же нули и полюсы, и наконец, принимают одно и то
же значение в точке и = 0.
В теории Вейерштрасса можно было задаваться про-
произвольными периодами 2со, 2со'. Требовалось лишь, чтобы
отношение т = <»'/со имело отличную от нуля, обычно
положительную, мнимую часть.
Теперь дело обстоит иначе. Периоды 2К, 2iK' про-
произвольно выбираться не могут. Лишь отношение т =
= iK'IK или, что то же, величина h = enix = e~nK'lK
1) Это тождество есть частный случай некоторых соотношений,
которые ниже будут разобраны с необходимой полнотой и которые
содержатся в таблице XIX.
7 Н. И. Ахиезер

98
ФУНКЦИИ ЯКОБИ
[Гл. v
может быть произвольно задана. После этого периоды
уже определяются, и для К мы имеем следующую формулу:
К = со Vet - е3 = ^ в| = ^
2ft + 2hk
С другой стороны, подобное выражение через h может
быть написано и для к2. Оно имеет вид
Заканчивая настоящий параграф, приведем еще перво-
первоначальные обозначения тэта-функций, принадлежащие
Якоби:
H(w)=Qi(W), в(И7)=60(И7),
Я1(и;)=в2(и7), Si(w)=Q3(w).
Эти обозначения употребляются и в настоящее время
наряду с приведенными выше.
26. Дифференцирование функций Якоби. Возьмем
интеграл
X
dt
W
обращением которого является функция
Из A) следует, что
dx
A)
B)
dw
поэтому в силу B)
dw
sn ty =
26]
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ЯКОБИ
99
Для получения производной от cnw, а также от
dn w нужно продифференцировать соотношения
sn
что дает
сй ш =
— cnw = — snwdnw,
dw
— Qnw = — A; snwcnw.
dw
Отметим, что примитивными периодами функции
sn2 w являются числа 2К, 2iK'. Это вытекает (без какого-
либо исследования функции sn w) из формулы F) § 24,
которая может быть записана в виде
sn w =-
еЗ
w
C)
Всякая эллиптическая функция с периодами 2i?, 2iK',
как это следует из доказанных выше общих теорем, допу-
допускает представление
^2 («») Г,
где
We, - ,
Теперь формула C) показывает, что всякая эллиптиче-
эллиптическая функция с периодами 2К, 2iK' допускает представ-
представление
R± (sn2 w) + snu?cn u;dn w R2 (sn2 w).
Отсюда уже следует, что четная эллиптическая функция
с периодами 2К, 2ъК' равна R (sn2 w), а нечетная —
равна sn w en w dn w R (sn2 w).
7*

100
ФУНКЦИИ ЯКОБИ
[ГЛ. V
27. Якобиева функция Z (га). Эта функция аналогична
функции Вейерштрасса ? (и) и определяется формулой
Это — нечетная функция, которая в параллелограмме
периодов имеет один полюс первого порядка: w = iK'.
Так как
то
Z(w-\-2K)=Z(w),
Z(w + 2iKr) = Z(w) — nil К.
Используя разложение функции в0 (w) в бесконечное
произведение, получим разложение Z (w) в бесконечный
ряд. Оно имеет вид
Z(w)=-
^sin™
К
71 = 1 1
К
Подобно функции ? (и) функция Z (w) может быть
использована для представления произвольной- эллип-
эллиптической функции.
В качестве примера возьмем функцию от и
. —k2 snu sn ysn (u -j- v).
Ее примитивными периодами являются 2К, 2iK'. В парал-
параллелограмме периодов она имеет полюсы
и = гК', —v+iK',
оба простые. При этом вычеты равны соответственно
—1, 1. Поэтому
—k2 sn и sn v sn (и -\- v) = Z (и + v) — Z (и) + С.
27]
ЯКОБИЕВА ФУНКЦИЯ Z (ю)
101
Чтобы определить константу С, положим и = 0. Это
дает
Итак,
Z(u+ v) —Z(u) — Z(y) = — A;2 snu sn у sn (и -f *.')• A)
Подобным образом нетрудно получить следующее раз-
разложение на «простые дроби»:
2Ai2sn2 ysnucnudnu
1 — к2 sn2 и sn2 у
= Z(u + v) + Z (и — v) — 2Z(u). B)
Впрочем, это разложение можно также получить из выра-
выражения функции 1 — к2 sn2 и sn2 v через тэта-функции
по нулям и полюсам. Указанное выражение имеет вид
1 - A:2 sn2 и sn2*, =Qf_^i±^ML==A f
2(J(
a B) получится отсюда, если от обеих частей взять лога-
логарифмическую производную. Поменяем в B) местами
величины и, v. Это даст
2А;2 sn2 u sn v en v dn v
1 — &2sn2usn2 v
= Z(u+v)—Z(u — v) — 2Z(v). Bbis)
Сложим теперь B), Bbl8) и представим результат в виде
Z(u-\-v) —Z(u) —Z(v) =
snu en fdn v -f- sn yenudnu ,„.
D)
2 2 2
1 — к sn u sn v
Сравнивая это с A), получаем
snu en i>dn y-f- snfcnudnu
sn (u -f- y) = ¦
1 — /c sn usn
Это соотношение выражает теорему сложения функ-
функции sn и.

102 ФУНКЦИИ ЯКОБИ
Упражнение. Доказать, что
а К 1
Sn 2 —4_
[гл. v
28. Теорема Эйлера. Из выведенной в § 27 теоремы
сложения D) для функции sn и можно получить теоремы
сложения для других функций. Например, чтобы полу-
получить теорему сложения для функции сп и, можно исхо-
исходить из того, что спи = ]/~1 — sn2 и. Не представляющие
ни труда, ни интереса выкладки мы приводить не ста-
станем, а отошлем читателя к таблице XIV, которая содер-
содержит наиболее важные формулы, выражающие теоремы
сложения.
Здесь же мы остановимся на другой стороне вопроса.
Дело в том, что формула D) § 27 может быть получена
на основании соображений, восходящих к Эйлеру и не
имеющих ничего общего с построенной нами теорией.
Эйлер рассмотрел дифференциальное уравнение
dx
dy
Vf(x) Vf(y)
= 0,
где / (z) = «оЗ4 + 4aiZ3 -j- 6a2z2 -f- 4a3z + a4, и показал,
что это уравнение имеет алгебраический интеграл. Срав-
Сравнение этого интеграла с трансцендентным интегралом
=с
и приводит к теореме сложения функций Якоби. В сущ-
сущности говоря, указанная теорема Эйлера и послужила
первым толчком для исследования эллиптических инте-
интегралов.
Особенно изящный способ доказательства теоремы
Эйлера принадлежит Дарбу.
Следуя Дарбу, рассмотрим уравнение
dx
dy
= 0. A)
281
ТЕОРЕМА ЭЙЛЕРА
103
Оно имеет трансцендентный интеграл
г/.
dy
j V(i _ ^ A _ к2х2) ' J V(i - у2) (l - W) ~
где Л — произвольная постоянная. Если мы положим
dx
_ x*) A _ к2х2)
C2)
то интеграл B) представится в виде
i л /Obis\
u-\-v = A. B. )
С другой стороны, уравнение A) можно заменить системой
-*L = VA — ^)A — А2^, ]
^г/
dt
Возвышая D) в квадрат, получим
D)
E)
I
Продифференцируем теперь эти уравнения:
dt2
Отсюда
ЗС у ?гС ЗС — J. /С J;
d2x d2u
= у Bк2у2 - 1 - к2).

104
или
ФУНКЦИИ ЯКОБИ
[ГЛ, V
dt
у — x-f-) =
dt dt /
О72 / 2 2ч
2кгху (х — у%
С другой стороны, из E) вытекает, что
Разделив F) на G), получим
d ( dx dy\
dt
(dx dy\ 2 ( dx . dy\
У x —— J Ik xy I y \- x —— I
dt dt J V dt dt)
dx dy
у x——
dt dt
k2x2y2 -
или
откуда
d
dt
dx
dt
dy
dt
d
dt
dt dt
Принимая во внимание D), получаем
xV(l - у2) A - k2y2) + yV(l- x2) A - ftV)
_ k
= C. '
F)
(8)
Это и есть алгебраическая форма интеграла уравнения A).
Каждое из соотношений B), (8) должно быть следст-
следствием другого. Отсюда и получается теорема сложения
функции sn w.
Действительно, из (З^, C2) следует, что
x = snu, y — snv.
Поэтому (8) можно представить в виде
snwcn v dn v + sn v cnudnu
1 —k2sn2usn2 v
= C.
(8Ms)
29]
НОРМАЛЬНЫЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ
105
Так как (8bls) есть следствие Bbls), то С есть функ-
функция от А:
Иначе говоря,
snucn ydn v-f- sn ycnudnu , .
1 = ю lu -+- v).
„99 9 T V I /
1 — k2 sn2 и sn2 v
Чтобы определить вид функции ф, положим v
дает
sn и = ср (и)
и, значит,
= 0. Это
1 — кг sn2 и sn2 v
v).
29. Нормальные эллиптические интегралы второго и
третьего рода в форме Якоби. Припомним содержание § 17,
где было показано, что всякий эллиптический интеграл
в форме Вейерштрасса может быть выражен через эллип-
эллиптическую функцию и следующие три интеграла:
Г dz
и= \ —,
J w
и) = — \
J
zdz
W
A)
B)
C)
где w* = 4z3 — g2z — ^з, z0 = 8> (uo). wo = ®' (uo)-
Теперь мы хотим рассмотреть эллиптические инте-
интегралы в форме Якоби и Римана. Для преобразования
основных интегралов A), B), C) к форме Римана нужно
заменить в этих интегралах w2 на Az A — z) A — kzz).
Делая затем подстановку z =;. t2, придем к следующим
1 о(и—и0) r I f w+ w0 dz
о (и) 2 J z — z0 w

106
функции якоби
[ГЛ. V
интегралам:
Г dt
J 1/A _ t2) A - k2t2)'
*2d*
1
^V(i — 0A — k2t2) + *0 V(i —
Интеграл (lbis), который мы перепишем в виде
" ~~ j V(l - *2) A -
Bbis)
bis
D)
есть интеграл первого рода в теории Якоби.
Вместо Bbis) в теории Якоби в качестве нормального
интеграла второго рода принят интеграл
Г A — k2i?) dt
J 1/A _ t2) A - A;2*2)'
E')
Это выражение отличается от Bbis) на интеграл первого
рода, если не считать еще некоторого постоянного, мно-
множителя.
Интеграл E') можно выразить как функцию от инте-
интеграла первого рода D). Соответствующее обозначение
Якоби таково:
X .
Е{и)=^ у Yiy dt Iх = sn ( W W
или
и
(y; k)dv.
29]
НОРМАЛЬНЫЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ
107
Наконец, вместо Cbis) Якоби принимает в качестве нор-
нормального интеграла третьего рода
Г к% 1/A - Ъ2) A - A:V)
J
dt
\-k2b2t2
/п/ ч
что отличается от Cbis) на элементарную функцию и инте-
интеграл первого рода, если не считать еще некоторого посто-
постоянного множителя.
Интеграл F') можно выразить как функцию от инте-
интеграла первого рода D). Якоби обозначает ее П (и; а),
если Ъ = sn (а; к). Таким образом,
lT(u; a) =
к2ъ¦ V(i - ъ2) A - к2ъ2)
к2 sn a en a dn a sn2 v
l-k2sn2a:
dv.
v
В § 27 было показано [формула Bbis)], что
A;2snacnadnasn2 v 1 „ . 1„/
-i—з i =— Z(y-a)-— Z(y
1 — A; sn a sn v 2 2
А так как
F)
то
(U g)_ 1 1п®(ц —«) uZ(a)
2 П в (и + a)
Эта функция в теории Якоби заменяет функцию
, о (и — а)
а (и)
теории Вейерштрасса.
Нетрудно выразить через ранее введенные функции
нормальный интеграл второго рода Е (и). С этой целью

108
ФУНКЦИИ ЯКОБИ
[ГЛ. V
снова возьмем формулу Bbis) § 27:
.2 2,
2k* sn
1 — к2 sn2 u sn2 v
Разделим обе части на 2 sn у и будем приближать v к нулю.
В пределе получим
откуда
^-Z(u)-Z'@) = -k2sn2u,
u = l—Z' @) -j- ~^
и, следовательно,
? (и) = [1 — Z' @)]u + Z(u).
На другом представлении первого члена правой части
мы здесь останавливаться не будем (см. таблицу XVI,
а также § 31).
30. Полные эллиптические интегралы первого рода.
В § 25 мы ввели -в рассмотрение величины К, К' как
функции от т или h = е711* (Э(т > 0), определяемые сле-
следующими формулами:
• • О2,
К.
=т. A)
Кроме^того, мы имели формулу
из которой следует, что к2 = X (х).
Займемся теперь рассмотрением величины К как
функции от к2 = Я. Припомним конформное отображение
области D2, производимое функцией А, (т). В двух точках,
лежащих в плоскости Я на противоположных берегах
разреза ВС (от Я = —оо до Я = 0), значения функции К,
определяемой формулой A), одинаковы, так как таким
точкам отвечают симметричные относительно мнимой
оси точки на прямолинейных! границах области Z?a>
30] ПОЛНЫЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ ПЕРВОГО РОДА Ю9
а в них h — e2nix имеет одно и то же значение. Поэтому
величина К, определяемая формулой A), является регу-
регулярной функцией от А;2 = Я в плоскости Я, разрезанной
вдоль одного лишь интервала A, оо). Докажем, что в так
разрезанной плоскости имеет место равенство
1
К
= Г dt
C)
где при t = 0 радикал равен 1, что мы все время и будем
предполагать.
Так как обе части равенства C) аналитичны в рас-
рассматриваемой области, то достаточно доказать, что равен-
равенство C) верно при 0 <С к2 <С 1.
Для доказательства последнего утверждения заметим,
что единственными точками и, в которых
D)
являются
snu = 1,
и = Dт + 1) К + 2m'iKr,
где т, т' — целые числа. Действительно, функция sn и
второго порядка, а корень и = К уравнения D) двойной,
так как при и = К обращается в нуль
T-snM=cnM dn и.
аи
Таким образом, при каких-то целых т, т'
dt
\ i * -
Пусть 0 <С кг < 1. Тогда т — чисто мнимое и значения
К, К' положительны. Поэтому т' — 0,
1
dt
J V(i -12) (I - ft
и, значит, m > —1. Однако m не может быть > 0, так
как тогда при некотором положительном ж< 1 мы имели

no
бы равенство
функции якови
[ГЛ. V
dt
1/A _ t2) (I - k2t2)
= К,
откуда следовало бы, что
Значит, т = 0 и наше утверждение доказано, т. е.
величина К, определяемая равенством A), представима
в виде C), если Ас2 не принадлежит интервалу [1, оо).
Делая в C) замену t — sin i|), получим
я/2
= К.
l/l-A;2sin2^
Лежандр, как мы уже упомянули ранее, рассматри-
рассматривал интеграл
= F (ф, Ас)
Vi_ к2 sin2
как функцию от угла ф и модуля Ас. Угол ф изменялся
в интервале [0, я/2]. Величина К получается при ф = я/2:
K = F(n/2, к).
Поэтому эту величину Лежандр назвал полным эллипти-
эллиптическим интегралом первого рода для модуля А;.
Вместе с модулем к часто приходится рассматривать
так называемый дополнительный модуль к', который опре-
определяется формулой А;2 + Ас'2 = 1. Докажем, что
Г dt =
\ /A — Л A — к'У)
Здесь придется предположить, что к' не лежит на веще-
вещественной полуоси от точки Я = 1 до точки Я = оо. Это
значит, что Ас2 не должно лежать на вещественной полу-
полуоси от точки Я = 0 до точки Я — —оо. Таким образом,
30] ПОЛНЫЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ ПЕРВОГО РОДА Щ
при одновременном рассмотрении обеих величин К, К'
приходится предположить, что плоскость переменной Я
разрезана вдоль двух полуосей: от Я = 1 до Я = оо
и от Я = 0 до А, = —оо.
Чтобы доказать E), примем во внимание соотношение
@1т) = (-
@1 - 1 /т),
откуда
А так как
то
л.
С другой стороны,
т. е4
V
Сравнение пары формул A') и B') с парой формул A)
и B) показывает, что К' так зависит от к' , как К от Ас2,
чем и доказано наше утверждение.
Заканчивая настоящий параграф, сделаем одно заме-
замечание относительно перехода от формы Вейерштрасса
к форме Якоби.
Мы видели, что величина Ас2 определенным образом
выражается через корни еа многочлена 4а;3 — g2x — g3,
а именно
Если мы хотим, чтобы к2 не принимало значений, лежа-
лежащих на вещественной полуоси от точки Я = 1 до точки

112
ФУНКЦИИ ЯКОБИ
[ГЛ. V
Я = оо и от точки Я = 0 до точки К = —оо, то нумерация
корней должна подчиняться следующему условию: если
точки et, e2, еа лежат на одной прямой, то е2 должна
лежать между е4 и еа.
Заметим также, что важнейшим для приложений
является тот случай, когда 0 < к2 < 1. Мы будем иметь
этот случай, если все корни еа вещественны. В этом слу-
случае обычно принимают, что е± > е2 > е3. Иногда этот
случай называют нормальным.
31. Полные эллиптические интегралы второго рода.
Эти интегралы для модуля к и дополнительного модуля к'
определяются формулами
1
- к"?
dt.
о о
Легко видеть, что Е = Е (К), где Е (и) означает инте-
интеграл второго рода, рассмотренный в § 29. Там-же было
показано, что
Е (и) = [1 — Z' @)] и + Z (и).
Так как Z (К) = 0, то Е = [1 — Z' @)] К и, следова-
следовательно,
E(u)=Z(u) + ^u. A)
К.
В § 12 было доказано, что tjco' — tj'co == Jti/2,
если 3^ > 0. Этому соотношению теории Вейерштрасса
должно отвечать некоторое соотношение в теории Якоби.
В нем должны участвовать величины К, К', Е, Е'
вместо величин со, со', г\, г\'.
Это принадлежащее Лежандру и носящее его имя
соотношение имеет вид
ЕК' + Е'К — КК' = п/2.
Чтобы доказать соотношение Лежандра, выведем некоторые
формулы преобразования функций Z (и) и Е (и), связанные с пере-
переходом от х к т'=—1/т. Поэтому вместо Z (и), Е (и) мы будем
писать Z (и; k), E (и; А), помня, что переходу от т к т' отвечает
переход от к к к'.
31] ПОЛНЫЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ ВТОРОГО РОДА ЦЗ
В § 22 было доказано, что
#0 (т'» 1 г') = V^rt d2 (v | т)
Заменяя здесь v на и/BК), получим
илп
ЛЦ2
в(ш; k') =
Величина Н± (и; к) равна
— ix Hi (и; к) е
-?-сп(м; А) в {и; А).
Поэтому
в (iu; к') = С сп (и; А) 0 (и; А) е iKK' .
Отсюда, беря логарифмическую производную по и, получаем
sn (и; к) dn (и;
СП(И; А)
B)
Заметим теперь, что
Поэтому из тождества A) § 25 следует, что
А так как
Е (и; к) = I dna (и; A) du,
о
и
? (ш; А') = г ? dn2 (iu; к') du,
0
то
(«! А)—Я (•«; A'),
sn (и; к) dn (и; А)
сп (и; к)
и, значит, равенство B) можно представить в виде
о н. И. Ахиезер

114
ФУНКЦИИ ЯКОБИ
[ГЛ. V
В силу формулы A) из соотношения C) следует
Е' Е (А , я
отсюда
— Е'К = ЕК'—КК'—л/2,
что и представляет формулу Лежандра, которая, таким образом,
доказана 1).
Заканчивая настоящий параграф, отметим соотно-
соотношения
Тр /у. I Oi J^r\ 7? tn\ I О/ (JC f?'\ I '
Здесь Е (и) = E (u; А;). Из этих соотношений следует,
что величины Е, i (К' — Е') играют в теории Якоби
ту же роль, что величины tj, г\' в теории Вейерштрасса.
Первое из соотношений D) следует из A) в силу того, что
Z{u + 2K)=Z(u).
Чтобы получить второе из соотношений D), нужно взять
равенства
Z{u + 2iK')=Z(u) + :
Из этих равенств следует, что
Е (и + 2tK') = Е (и) -
'), Z BiKr) = —
2i{EK' — я/2)
К
ni
и остается принять во внимание, что в силу соотношения
Лежандра
ЕК — я/2
К
= л. —
32. Вырождение эллиптических функций. Вырождение
в элементарные функции происходит, когда один или
оба периода становятся бесконечно большими. В первом
случае вырожденными функциями будут тригонометри-
тригонометрические функции, а во втором — функции рациональные.
*) Другое доказательство приведено в § 44.
32]
ВЫРОЖДЕНИЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
115
Допустим, что со остается конечным, тогда как со'
стремится к бесконечности. Из бесконечного произведе-
произведения, которым определяется сигма-функция, легко заме-
заметить,, что при этом вырождении функция о (и) превра-
превращается в
2со -?- (-ff-J . пи ,
я 2со
Подобным образом из рядов, определяющих Z, (и), <(р (и),
легко заметить, что ?, (и) вырождается в
1 ( л V , я +
— I — I и -{ ctg
3 V2co/ 2co
пи
2со
a g» (и) — в
3 \2со/ \2со/ . 2 ли
sm
2со
B)
C)
Дальнейшие формулы, относящиеся к этому случаю, содер-
содержит таблица VII.
Если стремится к бесконечности и второй период, то
вместо выражений A) — C) мы придем к
и,
1/и2,
A)
B')
C')
что можно получить как из выражений A) — C), так и непо-
непосредственно из определений функций о (и), S (u), f (и)
с помощью бесконечного произведения и бесконечных
рядов.
Перейдем теперь к величинам h, К, К', Е, Е' как
функциям от к2 и исследуем, как они себя ведут при к -*¦ О
Из равенства
1
К
_ Г dt
11/A — t2) (I —
k?t2)
8*

116
вытекает, что
Подобным образом,
ФУНКЦИИ ЯКОБИ
lim К = п/2.
[ГЛ. V
lim ? = я/2 и ПтЕ' — 1.
a->-q. k->~o
Обратимся теперь к формуле
2h
l/i
'4 _j_ \ 4
i 4 i /
г + . . . /
Из этой формулы следует, что
.. А 1
hm —- = — ,
а-*о к2 16
а, с другой стороны,
поэтому
' = — К= — — In А,
i л,
2КЛ 4 Я . 16А
In — = In—j-
к п к
п
При к —>• 0 правая часть стремится к нулю. Следова-
Следовательно,
hm I К In—1=0,
а^-о V я к /
откуда уже легко заключить, что
Hm \К— In -f)=0.
Поведение рассматриваемых- величин при к2 .—*- 1
в особом исследовании не нуждается, так как к2 ->- 1 при
ft'-*- 0.
Вырождение функций sn (и; к), сп (и; к), dn (и; 7с)
при к —>- 0 и к2 ->- 1 проще всего исследуется с помощью
33]
ПРОСТОЙ МАЯТНИК
117
интегрального соотношения
х
и= Г dt
U ~ J V(l - ^2) A -
связывающего функцию а; = sn (u; /с) с ее аргументом и.
Отсюда видно, что
Далее, если
limsn(u; к) = sin и.
?->0
= lim sn (и; к),
то
U :
е" — е " six и
Следовательно,
lim sn (и; к) =
33. Простой маятник. Наиболее тривиальным путем,
по которому идут приложения эллиптических функций
в механике и технике, является введе-
введение этих функций для интегрирования
дифференциального уравнения или вы-
вычисления интеграла. Следуя общеприня-
общепринятой традиции, мы рассмотрим задачу
о колебаниях простого маятника как ти-
типичный пример на подобного рода при-
приложения.
Примем за начало координат точку
подвеса маятника и направим ось Z вер-
вертикально вниз (рис. 10). Пусть длина
нити маятника равна I и пусть началь-
начальным положением маятника является самое низкое его поло-
положение (z = I). Скорость маятника назовем v, а в началь-
начальный момент v0 (> 0). Обозначая еще через g ускорение

118 функции якови [гл. v
силы тяжести, будем иметь интеграл живых сил
¦у - gz = ~ ga. A)
Так как v = v0 при z = I, то константа а равна
В качестве неизвестной функции введем вместо z угол <р
между осью Z и нитью маятника. Тогда
Z = I COS ф
и
dt
Следовательно, уравнение живых сил напишется в виде
Z2
или
откуда
ldq>
~V2g (I cos ф — a)
= dt,
d\p
V2g J VZcosiJj — a
B)
Будем различать три случая, в зависимости от того,
будет ли константа а больше, равна или меньше —I.
Первый ел у_ч а й: а > —I. Этот случай имеет
место, если v0 < 2 l/"gZ, т. е. если начальная скорость у0
не «очень» велика. Введем угол а @ < а < я) с помощью
соотношения
а = I cos а.
33]
ПРОСТОЙ МАЯТНИК
119
Тогда уравнение B) примет вид
-Yi\
& J Vcos 1J3 — cos a
или
Полагая
и
получаем
откуда
ib .а ф .а
sin-^-= a: sin-jj-, siny=!/siny,
= l/i-f ^
K g j V(i _ ^ (i _
Следовательно,
Ф . a
sin -^- = sin 7j- sn
Эта формула выражает закон движения маятника и позво-
позволяет легко усмотреть все особенности этого движения.
Во-первых, движение является периодическим и пе-
период равен 4 V~llg К. Во-вторых, занимая при t = 0 самое
низкое положение, маятник по прошествии четверти
периода будет занимать самое высокое положение (ф = а).
По прошествии еще одной четверти периода он снова будет
занимать самое низкое положение. Наконец, по прошест-
прошествии дальнейшей четверти периода маятник будет занимать

120
ФУНКЦИИ ЯКОБИ
[ГЛ. V
самое высокое положение с другой стороны от вер-
вертикальной оси (ф = —а). В-третьих, в самом высоком
положении скорость маятника равна нулю.
Второй случай: а = —I. Этот случай являет-
является предельным для предыдущего и наступает при v0 =
= 2 y^gl. Так как теперь а = п, то мы будем иметь
уравнения
• ф
sm—= и и
2
Интегрирование дает
/Тс
1 —
отсюда
Эта формула показывает, что при увеличении ? от 0 до оо
угол ф будет монотонно увеличиваться от 0 до л, т. е.
маятник будет двигаться все время в одном направлении
и предельным его положением, которого он никогда
не достигнет, будет самое верхнее положение.
Третий случай: а <С —I- В этом случае,
который произойдет при v0 > 2 V^gl, уравнение B) пере-
перепишем в виде
4-
C)
-к- 1 — CL
Положим
так что 0
*•= 2l
I — a
1, e
'Ч3 . Ф
-^¦-=х, sin — =u.-
33]
ПРОСТОЙ МАЯТНИК
121
Тогда C) примет вид
t =
I - a r g J УA _ я*) A _
Отсюда
2Z
и, следовательно,
sin- = sn I/ I/ — t; I/
2 \y 2Z ^Z V
— a
Эта формула показывает, что маятник достигнет самого
высокого положения z = —I при t, равном — — Ж.
У g(l-a)
Однако в этом положении его скорость будет отлична
от нуля. Вообще скорость никогда в нуль не обратится,
так как это могло бы произойти, как показывает урав-
уравнение A), лишь при z = а, но а< —I, a z все время
лежит в интервале [—I, I]. Таким образом, вместо коле-
колебательного движения теперь будет происходить движение
по окружности все время в одном направлении.

ГЛАВА VI
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
34. Проблема преобразования эллиптических функций.
В одном из своих вариантов эта проблема формулирует-
формулируется следующим образом: найти условия, при которых диф-
дифференциальное уравнение
У fix) Vg(y)'
где / (х), g (у) — многочлены четвертой или третьей сте-
степени, имеет алгебраический интеграл, т. е. интеграл вида
F(x, y)=0,
где F — многочлен от своих аргументов, и найти этот
интеграл, если указанные условия выполняются. Иначе
говоря, речь идет о преобразовании эллиптического
дифференциала
ЛХ B)
У fix)
в эллиптический дифференциал
dy
C)
посредством алгебраического соотношения F (х, у) =0.
С некоторыми частными случаями рассматриваемой
общей проблемы мы уже выше имели дело.
Во-первых, в § 17 было показано, что дифференциал B)
можно всегда привести к нормальному виду Вейерштрасса
V V — g2y — g3
B')
34] ПРОБЛЕМА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 123
посредством надлежащего линейного преобразования
D)
УУ + 6
Таким образом, дифференциальное уравнение
dx dy
VJ{X) ~Vby*-giy-.gb
являющееся частным случаем уравнения A), несомненно,
допускает линейный интеграл D), если gz, g3 — инва-
инварианты многочлена / (х).
Во-вторых, в § 28 была доказана теорема Эйлера,
в силу которой уравнение
dx
dy
Уf^
имеет алгебраический интеграл. Уравнение Эйлера есть
тот частный случай уравнения A), когда g (у) = / (у).
О важности общей проблемы преобразования можно
судить уже по этим двум частным случаям, из которых
второй выражает одно из основных свойств эллиптиче-
эллиптических функций — наличие алгебраической теоремы сложе-
сложения, а первый дает возможность ограничиться исследова-
исследованием некоторых стандартных форм эллиптических инте-
интегралов, что особенно полезно при вычислениях вообще
и с помощью таблиц в особенности.
Стремление привести заданный эллиптический диффе-
дифференциал B) к простому виду C), хотя бы с помощью слож-
сложной алгебраической зависимости между х и у, возможно,
и послужило стимулом для развития общей теории пре-
преобразования эллиптических функций, которая была
создана главным образом трудами Абеля и Якоби.
Для исследования общей проблемы преобразования
полезно вначале эту проблему редуцировать к некоторым
более простым проблемам.

124 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. VI
Первое упрощение, которое мы вправе сделать, состоит
в замене уравнения A) уравнением
dx
= Ju-
JuУ4х A — х) A — кгх) У4у A — у) A — Х2у)
E)
где М — константа.
Действительно, как было показано в § 24, линейное
преобразование
~ез
переводит дифференциал B') в дифференциал
1 dz
— е3
— г
k2z)
где
7.2
tb = ¦
е, — е-.
Если к подобному виду преобразовать обе части уравне-
уравнения A), то и получится уравнение E).
Второе упрощение состоит в том, что мы ограничимся
отысканием того интеграла уравнения E), который точке
х = О относит точку у = 0, иначе говоря, отысканием
алгебраической зависимости между х и у, которая выте-'
кает из соотношения
X
1
dt
kzt)
-м\
dt
J V4*(l — *)A — k2t)
F)
Действительно, общее соотношение между х и у имеет
вид
J Т/4* С1 t\ (i kzf\ J
dt
где а — константа. Если мы можем найти алгебраическую
зависимость между z и у, которая вытекает из частного
35]
РЕДУКЦИЯ ОБЩЕЙ ПРОБЛЕМЫ
125
соотношения
z
f
*
V4t(l~t)(l-k2t)
t) A — A2*)
то все сведется к отысканию алгеораической зависимости
между х и z, которая вытекает из соотношения
J
о
1/4* A — *) A
a
dt i
— *) A — k2t) J
dt
0 V4t A — *) A — k2t) J V4* A — *) A —A3*)
Этот последний вопрос решается с помощью теоремы
Эйлера (теоремы сложения эллиптических функций).
35. Редукция общей проблемы. В соответствии с рас-
рассмотрениями § 34 возьмем уравнение
Г л „Г
\ ========г =М \
J V4*(i _*)(!_/Л) J
dt
V4* A — *) A — X2t)
A)
Полагая
X
1
0 1/4* A — *)A — А20
заменим уравнение A) параметрическими уравнениями
•Л- —— oil \l^j п>) ===:у
B)
Теперь наша задача состоит в отыскании условий, при
которых две эллиптические функции ф (и), ty (и) связаны
между собой алгебраическим соотношением.
До перехода к параметрическим уравнениям B)
искомыми условиями могли быть некоторые зависимости

126 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. VI
между параметрами к, X, М. Теперь можно искать эти
условия либо в виде зависимостей между параметрами к,
А, М, либо в виде зависимостей между периодами 2со, 2со'
функции ф (и) и периодами 2со, 2<в' функции т|) (и).
Мы увидим, что, в отличие от сложных зависимостей
между параметрами к, X, М, зависимости между периода-
периодами имеют простую и легко обозримую форму, благодаря
чему и удается сначала расщепить проблему на некоторые
частные проблемы, а затем эти частные проблемы решить
общими методами теории эллиптических функций.
Итак, пусть между функциями х = ф (и), у = ty (и),
имеется алгебраическая зависимость F (ф (и), лр (и)) = 0.
Заменяя в этом тождестве и на и + 2/пш', где т = ±1,
±2, . . ., получим бесчисленное множество тождеств
F (ф (и), ijj (и + 2лш')) = 0.
Если F (х, у) = 0 есть уравнение ге-й степени относи-
относительно у, то при данном х для у получается не более п раз-
различных значений. Следовательно, среди значений функ-
функции т|) (и) в точках
v, у±2шг, у±4ш', ... C)
различных чисел будет не больше п. Это возможно лишь
в случае, когда среди чисел C) имеются сравнимые по
модулю периодов 2со, 2<в'. Допуская, что
v + 26со' = v + 2асо' + 2с«о' + 2р<»,
где а, 6, а, р — числа целые, получим соотношение
rco' =aco' -j- рш
й
и аналогично найдем
6е0-
Таким образом, мы пришли к следующему результату:
если между функциями B) существует алгебраическое
соотношение, то периоды этих функций связаны соотно-
соотношениями
гсо' =аш' + ра>, sea = ую' -j- б©,
где г, s, а, р, у, б — числа целые.
D)
35]
РЕДУКЦИЯ ОБЩЕЙ ПРОБЛЕМЫ
127
Справедливо также и обратное предложение: если меж-
между периодами функций B) существуют зависимости D)
с целыми коэффициентами, то функции B) связаны между
собой алгебраическим соотношением.
Для доказательства положим
f Q' =
Q' ==ra>',
так что
Q' =
Q= yco' -(- б©.
Построим функцию Ф (и) = ^> (и \ Q, Q'). Так как каж-
каждая из функций ф (и), ijj (и) четная и имеет периоды 2Q,
2Q', то каждая из этих функций выражается рационально
через функцию Ф (и):
Ф (и) = Л! (Ф (и)), Ч> (и) = #2 (Ф М) •
Исключая из этих соотношений функцию Ф (и), мы и полу-
получим алгебраическую зависимость между функциями
ф (и), -ф (и). Таким образом, наше утверждение доказано.
Попутно мы доказали важное свойство тех алгебраи-
алгебраических уравнений
F(x, y) = 0, E)
к которым приводит уравнение A), т. е. уравнений тео-
теории преобразования эллиптических функций: эти урав-
уравнения допускают параметрическое представление
= R2(z),
F)
где i?1? Rz — рациональные функции.
Алгебраические кривые E), координаты точек кото-
которых допускают представление F), носят название уни-
курсалъных кривых. Они обладают многими замечатель-
замечательными свойствами.
Из наших рассмотрений вытекает важное следствие:
можно ограничиться изучением одних только рациональ-
рациональных преобразований. Эти последние отвечают таким
преобразованиям периодов, которые выражаются фор-
формулами
а/ = асе'
р<», со =

128 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. VI
у, б — целые числа, причем определитель
= п мы всегда будем считать положительным.
где а,
а Р
7 о
Площадь параллелограмма периодов 2со, 2со' в п раз
больше площади параллелограмма периодов 2со, 2со'.
Мы будем рассматриваемое преобразование называть
преобразованием п-й степени. С преобразованием первой
степени (п = 1) мы имели дело в §§ 8 и 9 при изучении
модулярной группы и модулярной функции, а также
в § 22, где изучено преобразование тэта-функций. В § 9,
в частности, установлено, что любое преобразование
первой степени является результатом последовательного
применения двух основных (или главных) преобразований
первой степени:
со' = со' -j- со, со = со; (S)
со' = — со, go=co'. (Т)
Оказывается, что любое преобразование п-й степени
можно получить путем повторного применения преобра-
преобразований первой степени и следующих двух преобразований
{так называемых главных преобразований т-й степени):
со = со ,
„* или
со = т<о
и
со = тсо ,
со
или
со = со ,
л
СО = СО
т
со' = — со ,
т
со = со,
(I)
(И)
где т — натуральное число. Первое из этих преобразова-
преобразований состоит в делении на целое число т первого перио-
периода Bсо), второе — в делении второго периода Bсо').
Докажем это утверждение. Имея преобразование
со' = асо' + рсо, со = уа' -\- бсо,
обозначим через г общий наибольший делитель чисел
а, Р так, что а = га, р = rb, где а, Ъ —' взаимно простые
36]
ПЕРВОЕ ГЛАВНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ
129
числа.- Существуют такие целые числа с, d,
ad — be — 1. Положим
что
= асо'
бсо,
ceo' -f-
Тогда
co'=rcoj, со =#<»5 + s<»i- G)
Переход от пары (со, со') к паре (coj, co^) осуществляется
преобразованием первой степени. Поэтому нам надлежит
рассмотреть лишь преобразование G). Принимая для
определенности г > 0, положим
f С0'=ГС0з, f С02 = <»1,
\ со = со3, I co2=sco1.
Мы имеем здесь преобразования деления второго периода
пары Bсо, 2со') и первого периода пары Bсо2, 2а>2).
С помощью этих преобразований G) принимает вид
что является преобразованием первой степени.
Мы видим, что переход от периодов Bсо, 2со') к перио-
периодам Bсо, 2со') расщепляется на следующие преобразова-
преобразования: деление второго периода, затем преобразование пер-
первой степени, затем деление первого периода и, наконец,
снова преобразование первой степени.
Таким образом, наше утверждение доказано.
Нетрудно проследить, что п = г-s. Мы видим также,
что, рассматривая преобразования (I), (II), можно при-
принять, что т — число простое и, во всяком случае, можно
рассмотреть отдрльно случай нечетного т и случай т = 2.
Строго говоря, рассмотрение обоих преобразований (I)
и (II) не является необходимым, так как, например, пре-
преобразование (II) сводится к преобразованию (I) и преоб-
преобразованиям первой степени.
Мы проиллюстрируем это замечание в § 39. Однако
выгоднее преобразование (II) рассматривать непосред-
непосредственно, не сводя его к другим преобразованиям.
36. Первое главное преобразование первой степени.
Рассмотрим функции
x = sn2(u; k), у = sn2 (и/М; X).
9 Н. И. Ахиезер

130
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. VI
Периодами функции sn2 (и; к) являются 2К, 2iK'. Рав-
Равным образом периоды функции sn2 (v; X) обозначим 2L,
2iL'. Таким образом, у имеет периоды 2Mb, 2iML'.
Для первого преобразования первой степени
iMU = гЯ* + К, ML = К.
Рассмотрим отношение ylx. Это — четная эллипти-
эллиптическая функция с периодами 2К, 2iK'. Следовательно,
она выражается рационально через sn2 (и; к). В паралле-
параллелограмме периодов 2К, 2iK' функция ylx имеет двукрат-
двукратный полюс в точке и = iMU = iK' -f- К, так как в этой
точке имеет полюс второго порядка числитель у, а зна-
знаменатель отличен от нуля и конечен. Далее, функция
ylx имеет нуль второго порядка в точке и = iK', ибо
в этой точке числитель конечен и отличен от нуля, а зна-
знаменатель имеет полюс второго порядка. На основании
сказанного
У
х
sn2 (и; к) — sn2 (iK' + К; к)
или
У_
X
кгх
где А, как и С, константа. Чтобы определить эту кон-
константу, положим и = К. Это даст
л __
1—к
.2 '
Итак, А = к'2 и, значит,
sn2 (ulM; %)
к'2
sn
(и; к) ~ 1 — к2 sn2 (и; к)
A)
т. е.
sn
(и т \ к' sn (и;
М' ) dn(u;
Л
к)'
36]
ПЕРВОЕ ГЛАВНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ
131
Остается выразить через к величины М и X. Разделив
написанное равенство на и и приближая и к нулю, получим
Далее, полагая в формуле A): и = 2К -\- iK', получим
1 к'2
Следовательно,
ik
Итак,
(,, ik \ к' sn (и;
к и; I = ^
к' / dn (и;
к)
Аналогично (или с помощью A)) доказывается, что
, 7, „.. , сп (и; к)
dn(u; к)
-. (-,, ik \ 1
dnlku; I = —
V к' ) dn(M;
к)
Положим, что к изменяется в интервале от 0 до 1.
Это, как мы уже упоминали, есть наиболее важный для
приложений случай. Величина
к к
Vl-k2 к'
будет при этом монотонно изменяться от 0 до оо. Таким
образом, полученные нами в настоящем параграфе фор-
формулы переводят якобиевы функции с чисто мнимым
модулем в якобиевы функции с модулем из интерва-
интервала [0, 1].
Заметим, что формулы преобразования, найденные
нами в настоящем параграфе, можно было бы получить
из формул преобразования тэта-функций, выведенных
в § 22. Это же замечание относится к формулам, которые
получены в следующем параграфе.
9*

132 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. VI
37. Второе главное преобразование первой степени.
Это преобразование соответствует следующим соотно-
соотношениям:
, iML' = ~K.
При этом, как и выше, 2К, 2iK' — периоды функции
x = sn2(u; k),
a 2ML, 2iML' — периоды функции
y = sn2(u/M; Я).
Снова рассматриваем отношение ylx. Это — рацио-
рациональная функция от sn2 (и; к), которая в параллело-
параллелограмме периодов 2К, 2iK' имеет двукратный нуль в точке
и = iK' и двукратный полюс в точке и — К. Поэтому
У _ А
х sn2 (и; к) — 1
Приближая и к нулю, получим
г = — А.
Так как
У
A sn2 (и; к)
sn2 (и; к) — 1
то, полагая и = iK', находим 1 = А.
Заменяя еще и на —К -\- iK', получим
sn2 (L+ i
sn2 (К+ iK'; к)
или
'Ч -
1
I2
sn2(R
ilk2
ilk2-
- -i
1
YiK';
k)
— 1
Отсюда следует, что X = к', а так как М = ± i, то по-
полученный нами результат гласит:
sn (iu; к') = i
. sn (и; к)
en (и; к)
A)
38]
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАНДЕНА
133
Аналогично (или на основании A)) доказывается, что
сп (ш; к ) = , dn (ш; к) = г—-—- .
сп (и; к) сп (и; к)
Значение этих формул состоит в том, что они переводят
функции Якоби от чисто мнимого аргумента в функции
Якоби от вещественного аргумента.
38. Преобразование Ландена. Первое главное преобра-
преобразование второй степени было открыто еще в 1775 году
Ланденом г). Этому преобразованию отвечает следующая
схема:
x = snz(u; к); 2К, 2iK',
у = sn2 (и/М; X); 2Mb = К, 2iMU = 2iK',
из которой видно, что речь идет о делении на два первого
периода функции х.
Отношение ylx есть рациональная функция от
sn2 (и; к). В параллелограмме периодов 2К, 2iK' эта
функция имеет двукратный нуль в точке и = К и дву-
двукратный полюс в точке и = К -f- iK'. Поэтому
х
sn2 (К; k) — sn2 (и; к)
sn2 (К + iK'; к) — sn2 (и; к)
или
У
X
А A-х)
к2х
Полагая последовательно и = 0, iK', К/2, получим сле-
следующие равенства:
J
k2Mz _ A
; k)cxLZ{Kl2; к)
X2 "к2' ~ dn2(KI2; к)
Последнее из этих равенств можно привести к виду
А = A + к'J,
если воспользоваться (см. упражнение в конце § 27)
формулой
SI1
VI + к'
х) Ланден, разумеется, занимался не эллиптическими функ-
функциями," а эллиптическими интегралами.

134 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. VI
Теперь первые два уравнения A) дают:
м_ 1 х_ к2 __\.-к'
1 + к' ' A + k'f 1 + А' '
Полученный нами результат гласит:
1 — к' \ A + A') sn (и; к) сп (и; к)
sn\u(l -\- к');
L 1 + &'J dn(w; A)
Дальнейшие формулы имеют вид
1 +A'
dn(u; A)
A + );i
1 +A'J dn(u;
Проверку их предоставляем читателю;
39. Преобразование Гаусса. Это преобразование состоит
в делении второго периода на два. Поэтому его можно
получить, комбинируя с преобразованиями первой сте-
степени преобразование Ландена (состоящее в делении
первого периода на два).
Исходным модулем является, как и выше, к, а после
преобразования мы приходим к модулю X. Возьмем фор-
формулы тех преобразований первой степени, которые меняют
местами старые и новые периоды. Они имеют вид
sn (iu; к')
сп (iu; к')
dn (iu; к')
. sn (u; к)
сп (и;
СП
dn
1
(и;
(и;
к)
к) .
сп (и; к)
A)
39]
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ГАУССА
135
и
sn
СП
dn
V м
V м )
{-¦•
\ м
. sn(u/M; X)
сп (и/М; X)
1
сп (и/М; X)
dn (и/М; X)
сп (и/М; X) '
B)
Здесь X и М пока произвольны. Теперь мы должны
потребовать, чтобы левые части A) и B) были свя-
связаны преобразованием Ландена. Этим определятся X
и М.
Припоминая преобразование Ландена и принимая во
внимание, что теперь к' и X' играют роль прежних к и X,
сразу находим
А/ =
1 — к
' 1 +к
и
x=Vi-x'2 =
м = —1—
1 +к
2Л/к
1 +к
Таким образом, оба параметра X, М определены. Формулы
преобразования имеют вид
sn
сп
(iu .Л 1 sn (iu; k')cn(iu; к)
~М~' )~М 'dn (iu; к') '
( iu _ Л 1 — A -f- к) sn2 (iu; к')
V17' / dn (iu; к)
dn
—
I —A —к) sn2 (iu; к')

136 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. VI
Теперь остается использовать соотношения A) и B). Это
дает:
sn (и/М; к) 1 sn(u; к)
сп (и/М; к) Men (и; k)dn(u; к)'
1 сп2(ц; &) + (! + к) sn2 (и; к)
сп (и/М; к) сп (и; k)dn(u; к)
dn (и/М; к) __сп2(и; к) + A — к) sn2 (и; к)
сп (и/М; к) сп (и; к) dn (и; к)
и окончательные формулы имеют вид
,.,_,. 1 sn(u; к)
sn (и/М; к) =
Ml
сп
; к) =
en
dn (и/М; ^
ksv? (и; к)
1+ksn2(и; к)
Мы свели преобразование Гаусса к преобразование
Ландена умышленно, чтобы проиллюстрировать замеча-
замечание, сделанное в конце § 35. Непосредственная трактовка
привела бы к окончательным формулам быстрее.
40. Главные преобразования n-й степени. Эти преобра-
преобразования состоят в делении на число п одного из периодов.
Метод для получения отвечающих этому преобразованию
формул достаточно разъяснен в предшествующих парагра-
параграфах. Поэтому мы ограничимся здесь подробным разбором
всего лишь одного случая. Полную сводку формул, отно-
относящихся к преобразованиям п-ж степени, читатель найдет
в таблицах XXII и XXIII.
Рассмотрим деление на число п второго периода, при-
причем п может быть как четным, так и нечетным. Мы имеем
40]
ГЛАВНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ п-Й. СТЕПЕНИ
137
следующую схему:
Z
М
L' =
x = sn(u; к), у = sn(u/M; к).
Отношение ylx есть четная функция от и и, как легко
видеть, имеет периоды 2К, 2iK', так как
sn I -
м
m'iK'; к) = (—j
(и; к),
Следовательно, ylx есть рациональная функция от
sn2 (и; к). В фундаментальном параллелограмме периодов
2К, 2iK' рассматриваемая функция имеет простые нули
в точках
и простые полюсы в точках
Отсюда следует, что
А
sn2 (и; к)
sn
sn (и; к)
-Л п
п )
й
sn (и; к)
A)
=! iJT; к)
п /
Чтобы определить М, положим и = К. Это дает:
?? К. Л sn2 f2r-i .IC; Л
м=
г=1
sn
( 2ir _, Л 2/2г —1 .„, , V
К ; к) сп I ъК ; к]
\ п / \ п I

¦ж.
138 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. VI
Замечая, что
sn (iu; к)
en (iu; к)
— i sn (и; к'),
B)
можем полученное выражение переписать следующим
образом:
~2~J sn
I К ; к I
\ п /
п /
C)
Для определения А, положим в формуле A)
и = К + гЯ7л.
Так как
sn
1 -& + ; к ) = ,
\ тг / dn(Z"//i; ft')
1
sn (Z/+ tL'; A,) =—,
л
то, снова используя B), получим
СП |
п
\n /Itt \n / \n /
)
1 tt
1 +
n
n
40]
ГЛАВНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ п-Й СТЕПЕНИ
139
Заметим теперь, что
en2 a -f dn2 p sn2 a = 1 — к2 sn2 a sn2 p =
в2 @) 6 (а + р) 6 (а — р)
~~ 02 (а) в2 (Р)
В силу этого соотношения, а также формулы C)
A. = dn —; к'
n
гг
n
Примем теперь во внимание, что
dn
\ п /
п
п
Это позволяет придать модулю Я- следующий вид:
».=
П
п
как при четном, так и при нечетном п.

ГЛАВА VII
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
ОБ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ИНТЕГРАЛАХ
41. Эллиптические кривые общего вида. Рассмотрим
уравнение
u?=f(z), A)
где / (z) = аог* + Aatz3 + 6a2z2 + 4a3z + а4 есть произ-
произвольный многочлен четвертой степени без кратных кор-
корней. Множество всех пар (z, w), удовлетворяющих урав-
уравнению A), называют эллиптической кривой, а каждую
пару (z, w) — точкой этой кривой х).
С эллиптической кривой связаны эллиптические инте-
интегралы и в первую очередь интеграл первого рода
dx
У fix)
B)
вместо которого мы можем рассматривать дифференциаль-
дифференциальное уравнение
C)
В частном случае, когда A) имеет канонический вид Вейер-
штрасса, т. е.
/ (z) = 4z3 — g2z — g3,
нами были получены выше следующие результаты:
а) кривая A) допускает так называемую униформиза-
цию с помощью эллиптических функций, а именно, если
х) Эллиптическая кривая является частным случаем общей
алгебраической кривой (см. § 54).
41]
ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ КРИВЫЕ ОБЩЕГО ВИДА
141
положить
то пара (z, w) пробегает всю кривую, когда параметр и
пробегает параллелограмм периодов;
b) в частности, корни уравнения / (z) = 0 могут быть
представлены с помощью эллиптических функций,
а именно,
ек=ф(а>к) (А = 1, 2, 3);
c) задача обращения интеграла B) решается в эллипти-
эллиптических функциях; точнее говоря, верхний предел z в фор-
формуле B) равен Ч§> (и), если с = оо, и равен §> (и -f- co^),
если с = eh (к = 1, 2, 3), или, иначе: функции z = <§> (и),
z = Ч§> (и -+- (йй) (к = 1, 2, 3) представляют решения урав-
уравнения C) при начальном условии, соответственно, z @) =
= оо, z@) = ek (к = 1, 2, 3).
Так как с помощью надлежащего преобразования
YZi
w = (vzt -f бJ
(ссб — pv = 1)
кривую A) можно преобразовать в каноническую кривую
w\ = 4z? — g2Zi — g3,
то все три перечисленных факта в некоторой модифициро-
модифицированной формулировке имеют место для произвольной
эллиптической кривой A).
Однако нужное преобразование требует знания какого-
нибудь из корней многочлена / (z), и следовательно, не
может привести к полезным для исследования формулам,
если коэффициенты многочлена / (z) не имеют определен-
определенных числовых значений, а являются параметрами.
В настоящем параграфе мы покажем, что эти трудности
можно обойти.
Так как случай, когда а0 = 0, не представляет инте-
интереса, то примем, очевидно, не нарушая общности, что
а0 = 1. Далее, мы можем принять, что ах = 0, так как
это достигается с помощью преобразования z = zt — ai7
которое приведет к замене старых коэффициентов некото-
некоторыми целыми рациональными функциями от них.

142
Дополнительные сведения
[гл. vii
Итак, примем, что заданное уравнение имеет вид
w
= z4 — 6Az2 + 4Bz + С,
_ (I)
где А, В, С будем считать произвольными коэффициентами.
Напишем инварианты:
Из этих формул следует, что
B2 = 4A3-g2A-g3, D)
C = g2-3A2. E)
Соотношение D) показывает, что (А, В) является точ-
точкой эллиптической кривой в канонической форме Вейер-
штрасса. Следовательно, найдется такое v, что
A=<j?(v), B = r(v). (II)
Поэтому из E) следует, что
Мы примем в качестве параметров величины g2, g3, v
вместо первоначальных величин А, В, С. Уравнение (I)
при этом можно переписать в виде
wz = [Z2 _ 3<§> (v)f + 4Г (у) z + g2 - 12 [f (г;)]2. (Г)
Теперь вспомним тождество (9) § 15:
[,(„_»)_,(„
(р (и — к/2) — $> (v)
Сравнение с уравнением (I') показывает, что это уравнение
будет удовлетворено тождественно, если положить
_ 1 У (и — у/2) — <$>' (у)
Z ~~ 2 f [и — v/2) — & (у) '
w = &(u — v/2) — f(u + v/2). (V)
(IV)
41 J
ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ КРИВЫЕ ОБЩЕГО ЁЙДА
143
Нетрудно видеть, что требуемое построение уже закон-
закончено.
Сформулируем результат.
Имея эллиптическую кривую (I) с инвариантами g2, g3,
представим ее коэффициенты по формулам (II), (III).
В таком случае униформизация кривой (I) дается
формулами (IV), (V); это к пункту а).
Чтобы получить корни многочлена в правой части (I),
следует положить w = 0 в (V) и найти значения и. Под-
Подставляя их в (IV), получим следующие выражения для
корней:
2
T'
2 v(v/2)-V(v) T' \ (VI)
zft = <p(i7+2fi>u) (ft = l, 2, 3); J
Это к пункту Ь).
Наконец, задача обращения решается каждой из
формул
1 у' (и — v/2) — §>' (v)
z= — ^— ' = ер (ц, ),
2 §> (Ц _ у/2) — §> (у) J- (VII)"
г = ф(и, у + 2ал) (А = 1, 2, 3). J
Действительно, докажем, что z = ф (u, v) как функция
от и (обращающаяся в z0 при м = 0) удовлетворяет урав-
уравнению C). Но это следует из теоремы сложения для функ-
функции <@ (см. таблицу VI):
d 1 д <§' {u — v/2) — ff'(y)
— а>(и, v) = — i! —^-L =
du 2 ди Ч§> (и — v/2) — <§> (v)
= <§>(и — v/2) — <§>(и+ v/2) = w.
Подобным образом z = ф (и, v
нения C), обращающееся в
2(ak) есть решение урав-
уравпри и = 0.
У п р а ж и е н и е. Доказать, что формулу (IV) можно заменить
па
$>' (и — у/
2 & (м — v/2) — ?•> (u + v/2)
(IV)

144
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
[ГЛ. VII
1 Р" (v/2)
а формулы (VI) на
(к = 1, 2,3) (VI')
42. Функция <§> (и) с вещественными инвариантами.
Если инварианты g2, g3 вещественны, то либо все три кор-
корня е1у е2, е3 многочлена 4z3 — g2z — gz вещественны, либо
один корень вещественный (за него примем е2), а осталь-
остальные два — комплексные сопряженные.
В первом случае, который имеет место, если дискрими-
дискриминант положителен, g\ —_27g| > 0, мы перенумеруем корни
так, чтобы е± > е2 > е3. Следует иметь в виду, что все
корни предполагаются различными; между прочим, это
исключает обращение дискриминанта в нуль.
Второй случай будет иметь место, если дискриминант
отрицателен.
Эти факты являются непосредственным следствием
формулы
g\ - 27gl = 16 (et - e2f (e2 - e3f (e3 - e,J.
Функция g> (и) с вещественными инвариантами (при
любом знаке дискриминанта) имеет на вещественной оси
только вещественные значения. Действительно, в случае
вещественных инвариантов все коэффициенты разложения
~п? "го"
28
вещественны.
Равным образом вещественны значения, принимаемые
функцией <§> (и) на мнимой оси, при этом для вычисления
полезно соотношение
1?(iu; g2, ?з) = — 9 (и; g2, —g3)- A)
Займемся теперь выводом выражений для периодов
2ыи 2(в3 функции <{р (и) через инварианты.
1°. Начнем со случая, когда дискриминант положите-
положителен. Из формулы
и =
dx
42] ФУНКЦИЯ f (и) С ВЕЩЕСТВЕННЫМИ ИНВАРИАНТАМИ 145
где под корнем при х^> е^ подразумевается его арифмети-
арифметическое значение, вытекает, что при уменьшении <{р от оо
до е± величина и растет монотонно от 0 до а>±. Следова-
Следовательно,
оо
щ=[ dx =. B)
lV4x3-g2x-g3
Теперь возьмем функцию <@ (и; g2, —g3) и обозначим ее
периоды через 2со1? 2<в3. Корнями многочлена
4х3 — g2x -f g3,
расположенными в порядке убывания, будут
Ч = — ez> е2 — — е2, е3 = — et.
При этом соотношение A) показывает, что
со.
со, = -'.
i " i
По аналогии с формулой B) можем написать
dx
C)
Следовательно,
- g2x -f g3
dx
= • " D)
— g2Z + g3
Таким образом, периоды 2©!, 2а>3 выражены через инва-
инварианты g2, g3 в виде интегралов. Мы видим, что 2т1 —
число вещественное, а 2со3 — число чисто мнимое. Это
значит, что в рассмотренном случае положительного
дискриминанта параллелограммом периодов является
прямоугольник.
Используя связь между функциями Вейерштрасса
и функциями Якоби, можем написать
(В
— вг.
Vet-
К\
10 Н. И. Ахиезер

146
где
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
[ГЛ. VII
?! — e3 >0, к =-
2°. Перейдем теперь к случаю отрицательного дискри-
дискриминанта.
Здесь с помощью аналогичных соображений мы полу-
получим формулу
<в2
оо
dx
E)
Снова возьмем функцию g> (и; g2, —g3)- Сохраняя преж-
прежние обозначения, получим аналогичную формулу
<в2
OO
-I
dx
F)
Примем теперь во внимание равенства C), а также, что
<в2 =
Мы найдем
-f- (в3 = —
Таким образом, складывая и вычитая величины E), F),
получим периоды 2<въ 2<в3- Мы видим, что в случае отри-
отрицательного дискриминанта периоды 2a>i, 2<в3 — числа
сопряженные, откуда следует, что фундаментальным
параллелограммом является ромб.
Можно и в случае отрицательного дискриминанта
выразить периоды через нормальные эллиптические инте-
интегралы в лежандровой форме. С этой целью надлежит
положить
е2 — е3 = р (cos г|з + i sin г|з)',
43]
ПРИВЕДЕНИЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ИНТЕГРАЛОВ 147
где р > О, 0 < г|з < я. Можно показать х), что в этих
обозначениях
1 ~ 1
где
О, /с2 = sin2 (i|?/2).
43. Приведение эллиптических интегралов к нормаль-
нормальному виду Якоби в вещественном случае. Будем рассма-
рассматривать интеграл
SR(z, w)dz, A)
где R означает рациональную функцию своих аргумен-
аргументов и
w2 =
6a2z2 + 4a3z -f a4 ^/ (z).
Примем здесь, что коэффициенты а% — вещественные чис-
числа, а0 ^= 0, а также, что многочлен / (z) (не имеющий крат-
кратных корней) в некоторых интервалах числовой оси поло-
положителен, и будем предполагать, что z изменяется в этих
интервалах. Таким образом, w будет иметь только веще-
вещественные значения. Если поэтому коэффициенты функции
R (z, w) вещественны, то и интеграл A) будет веществен-
вещественным. В этом случае (который мы называем вещественным
!) Для этого сделаем в E) замену переменной
Мы получим
со
1 оо
Заменим во втором интеграле правой части t на 1/t. Это даст
Делая здесь замену переменной 2=tg(<p/2), мы и получим
1
1/1— /
10*

148
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
[ГЛ. VII
случаем) желательно привести интеграл к нормальному
виду с помощью вещественного преобразования. Подобное
преобразование возможно и составляет предмет настоя-
настоящего параграфа.
Прежде всего заметим, что разложением на линейные
множители с последующей их группировкой можно при-
привести многочлен / (z) к виду
/ (Z) = а0 (z2 + 2Az + ц) (z2 -f 2pz + 0),
где все коэффициенты а0, к, \i, р, о снова вещественны.
Если не все четыре корня многочлена / (z) вещественны,
то это разложение единственно, так как по крайней мере
один из квадратных трехчленов должен иметь сопряжен-
сопряженные корни. Если же все корни вещественны, то требуемое
разложение не единственно. Мы выберем тогда то, для
которого корни первого трехчлена больше корней второго.
Теперь могут представиться два случая в зависимости
от того, будет ли А = р или А =^ р.
Если Я = р, то мы положим
и / (z) примет вид
где аи Р
Если же
муле
вещественные числа.
^= р, введем вместо z переменную t по фор-
форz =
pt +
где р и q — пока неопределенные числа. Многочлен / (z)
примет вид
/ (Z) = 22-р {(pt + qf + 2А (pt -f q) (t +1) + Ц (t + IJ} X
X {(pt -f gJ + 2p(p* + q) (t -f 1) + 0 (t + IJ}.
Потребуем, чтобы квадратные трехчлены в фигурных скоб-
скобках не содержали переменной t в первой степени. Это при-
приводит к следующим двум уравнениям для определения
43]
ПРИВЕДЕНИЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ИНТЕГРАЛОВ
149
р и q:
pq + p (p + ?) +
а = 0.' }
B)
Докажем, что решая эти уравнения, мы получим для р и q
вещественные значения. Из уравнений B) следует, что
— 0
Аа —
А — р А — р
Поэтому р и q являются корнями квадратного уравнения
А — р А — р
Дискриминант этого уравнения равен
А — р / А — р
_ (ц — аJ + 4 (А — р) (Аа — цр)
(А-рJ
Обозначим корни многочлена z2 -f- 2Az + ц через а, Ъ,
а корни многочлена z2 + 2pz + 0 через с, д. Тогда
ц = аЪ, 2А = — а — Ъ,
о = сд, 2р = — с — д,
и следовательно,
(аЪ — сдJ + (с + д — а — Ъ) {(с + д) аЪ — (а + Ъ) сд} _
~ (А-рJ ~
(а — с) (а — д) (Ъ — с) (Ъ — д)
~~ (А. - РJ
Если все корни многочлена / (z) вещественны, то получен-
полученное выражение положительно, так как числа а, Ъ, по усло-
условию, больше, чем числа с, д. Величина D положительна
также и в том случае, когда не все корни многочлена
/ (z) вещественны. Так, если с, д вещественны, а а, Ь

150
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
[ГЛ. VII
не вещественны, то
{а — с) (Ь — с) — | а — с |2,
(а — д) F — д) = | а — д |2.
Если же все корни не вещественны, то
(а — с) (Ъ — д) = | а — с J2,
(а — 5) (Ь — с) = | а — д |2.
Таким образом, D всегда положительно. Значит, р, q
вещественны, и мы доказали, что с помощью веществен-
вещественного дробно-линейного преобразования наш интеграл A)
можно привести к виду
\ R
*, V± (f -f a)
р) )Л,
где i? означает какую-то новую рациональную функцию.
Мы сделали предположение, что функция / (z) на некото-
некоторых интервалах числовой оси положительна. Этим свой-
свойством будет, следовательно, обладать и выражение
± (t2 + a) (t2 + p). Поэтому, для радикала
возможны только следующие типы:
\ (I)
\ (Н)
% (Ш)
?), (IV)
Я (У)
Здесь а тв. Ъ означают положительные числа. Приведение
к нормальному виду в каждом из этих случаев никакого
труда не представляет. Соответствующие формулы содер-
содержатся в таблице XXV.
Здесь же мы для примера рассмотрим тип I. Итак,
пусть
44]
ПОЛНЫЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ
151
причем а2 > &2. Могут представиться два случая, в зави-
зависимости от того, будет ли ?2 < &2 или t% > а2. Неравенство
b2 <C t2 < а2 исключается, так как ему отвечают невеще-
невещественные значения у.
Если t2 < Ь2, то положим
Это дает
Если t2
t =
у = аЬУA -
а2, положим
а
-2. "
-к2х2).
Это дает
X
В обоих случаях х меняется в интервале [ — 1, 1]
и удобно положить
x = sn(u; к).
Тогда для и будем иметь интервал [—К, К].
44. Полные эллиптические интегралы как гипергео-
гипергеометрические функции. Возьмем полные эллиптические
интегралы в тригонометрической форме
К
Я/2
-I
О
я/2
Е= $ Vl — к2 sin2 ф dq>,
sin2 Ф
A)
B)
и примем, что | к2 | < 1. В этом предположении мы
можем подынтегральные функции разложить в ряды

152 ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
по возрастающим степеням переменной к2:
оо
1 _ ^ _Bг)!
г=0
[гл. vii
_ k2 sin2
(r!J
sin2r ф,
- 2)!
г=1
Интегрируя эти выражения и принимая во внимание, что
Я/2
2г ^ 1 Г (Г+ 1/2) Г A/2) я BгI
1) 2r+1 " '
Я/2
i
• 2т* 7
sin Ф am =
2
Г(г
(НГ
получим следующие разложения:
п SJ Br)l Br)I
Z 2* (г!L
^il/l _ V Br~2)!Br)! ,3Д
2 I Zj24r(r —l)!(r!K J "
г=1
Zj24r(r — 1)!(г!K
г=1
Припомним теперь гипергеометрический ряд
^(а, Ь, с; ж) = 1 -| 7~'г:~' / ГТ7~Г~о~
Нетрудно проверить, что этот ряд превращается в B/я) К,
если
и превращается в B/л) ?", если
а = —1/2, Ь =
Таким образом,
2"' 2 ' '
_1 1
2 ' 2 ' '
(I1
44]
ПОЛНЫЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ
153
Эти выражения пригодны при | k2 | < 1. Известные преобразо-
преобразования гипергеометрического ряда дадут выражения эллиптических
интегралов ЛГ, Е для других частей плоскости переменной к2. Не
останавливаясь на этих преобразованиях, мы обратимся к другой
стороне вопроса, а именно, на связи с конформными отображениями.
Пусть в плоскости комплексной переменной w дана конечная
область, граница которой образована дугами окружностей. Обозна-
Обозначим через с1? с2, . . ., сп вершины области (кругового многоуголь-
многоугольника) и через я81у яб2, . . •, л6п соответствующие внутренние
утлы. Пусть требуется этот многоугольник отобразить конформно
на верхнюю половину плоскости комплексного переменного z.
Положим, кроме того, что образом вершины сп должна быть беско-
бесконечно удаленная точка, и назовем те точки вещественной оси,
в которые отобразятся остальные вершины многоугольника, соот-
соответственно ait а2, . . ., ап_г.
В таком случае, как это доказывается в курсах геометрической
теории функций комплексного переменного х), функция w = w (z)
удовлетворяет дифференциальному уравнению
где
причем Ai, Ai, ...,
ношениями
п-1
{иг, z} =
п—1 . „„ п—1
1—«а ^, лг
C)
r=l
r=l
— некоторые константы, связанные соот-
D)
п-1
п-1
A_б2)= _A_б^), E)
Г=1 Г=1
а {ю, z} есть*[так называемая производная Шварца (или шварциан)
oi it no г:
Таким образом, для отыскания w мы имеем дифференциальное
уравнение третьего порядка. Однако решение вопроса можно свести
к интегрированию некоторого дифференциального уравнения вто-
второго порядка. Действительно, справедливо следующее предложе-
предложение: всякое решение уравнения
{w, z} = 2/B) F)
г) См., например, Л. Гурвиц, Р. Курант. Теория функ-
функций, «Наука», 1?68, стр. 483.

154
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
[ГЛ. VII
является отношением двух линейно независимых частных интегра-
интегралов дифференциального уравнения
-?+»--¦ ет
Для доказательства введем в уравнение F) вместо w новую
неизвестную v, полагая
w" _ 2v'
w' v
Новое уравнение будет
(8)
т. е. v есть одно из решений уравнения G), скажем, p = Q1. С дру-
другой стороны, из (8) следует, что
С*
w' = -^-, (8bis)
где С* — некоторая отличная от 0 константа. Возьмем второе реше-
решение уравнения G), назовем его Q%, т&к, чтобы
Тогда в силу (8bls)
С* d Q2
й2 dz
и, значит,
где С — некоторая новая постоянная.
Таким образом наше утверждение доказано.
Нетрудно видеть, что справедливо и обратное предложение.
Случай двуугольника является тривиальным. Действительно,
в этом случае из двух вершин только одна изображается точкой,
лежащей на конечном расстоянии, и за нее можно принять точку
z=0. Таким образом,
1 1 g2 л
Условие D) приводится к равенству А = 0, а условие E), как
легко видеть, выполняется автоматически. Наше уравнение F)
будет иметь вид
, 1 1 — 62
{ }
а уравнение G) запишется в виде
1 1—82
Т z2 !
44] ПОЛНЫЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ
Общий интеграл этого уравнения есть
155
Таким образом, функцией, реализующей искомое конформное ото-
отображение, будет
или w = •
Следующим и для нас наиболее интересным случаем будет
тот, когда многоугольник имеет три вершины. Образом одной
из них является бесконечно удаленная точка. Принимая в каче-
качестве образов двух других вершин точки z = 0, z=l, будем иметь
Kz> z ' 2 — 1 + 2 z2 + 2 (z —1J "
При этом условия D) и E) принимают вид
=-|-A-61)-1A-6!)--1A-61).
Таким образом,
1-61-1),
и мы получаем уравнение
1-8J , 1—
+ Q\ 4z2~^TB^lJ
Положим теперь
61 + 61-61-1
4z
5f=(l—cJ, ч
Ы= (с—а -6J, I
5|=(а-6J. J
61= (с—t
8g=(a-l
Кроме того, введем вместо Q функцию у по формуле
_с_ a+b—е+1
Q = Z2 B—1) 2 у.
Тогда для у получится уравнение
z(l— z) y"+[c — {a
Это — дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет гипер-
гипергеометрическая функция с параметрами а, 6, с.
Мы видели выше, что
_1_
"¦' 2 ' '

156 ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ [ГЛ. VII
где Я = &2. Подобным образом,
Поэтому К является частным интегралом уравнения
ЯA — Я) у" — BЯ — 1) у' ту = 0 A0)
и дру!'им частным интегралом является К'. Значит, функция
aiK'
(И)
отображает верхнюю половину Я-плоскости на некоторый треуголь-
треугольник ^-плоскости. Все углы этого треугольника равны нулю, что
легко усмотреть на основании (9). Формулу A1) можно представить
в виде
и беря сс = 1, 6=1, {5 = 0, y = 0, мы без труда найдем, что треуголь-
треугольник плоскости т имеет свои вершины в точках т = 0, т=1, Т —оо.
Мы приходим к правой половине области ZJ, рассмотренной в § 23.
Заканчивая настоящий параграф, заметим, что диффе-
дифференциальное уравнение, эквивалентное A0), было найде-
найдено еще Лежандром, а именно, Лежандр показал, что К, К'
удовлетворяют уравнению
а это уравнение эквивалентно A0).
Чтобы получить дифференциальное уравнение, кото-
которому удовлетворяют полные эллиптические интегралы,
предварительное разложение этих интегралов в степенные
ряды вовсе не обязательно. Проще воспользоваться диффе-
дифференцированием по параметру.
Действительно, из формулы B) следует
dE
dk
л/2
_ Г A; si
~~ J Vi —A
sin2*
Т/1 -к2
dt.._..
Е — К
sin2 г
44] ПОЛНЫЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ
Далее имеем:
я/2
лиг С frein2/
;dt.
157
dK
я/2
I /С S1X1 t
^ J A-A;2sin:
Положим здесь
Отсюда
sin I =¦
eta J A
о
к'2
7i—___ = l —k Sin ф.
1 — к sin ?
COS ф
cos t = -
к' sin
Vl-A;2sin29
>че
Г A;2 cos2 ф
dk J A;'2T/l — i2sin29
Vl - к2 sin2
sin <p
и после простых подсчетов получим
я/2
<jg Г к2 cos2 ф cftp Е
Из соотношений
d# ?" — К
dk к dk к'
исключим Е. Это и даст равенство
d / , dK\
— I kk I = kK.
dk\ dk J
В виде упражнения предлагаем аналогичным методом
проверить, что Е и Е' — К' представляют решения
уравнения
Найденные выражения для производных от полных инте-
интегралов по модулю позволяют доказать соотношение
Лежандр а
ЕК' + Е'К — КК' = я/2.
Действительно, с помощью дифференцирования мы убеж-
убеждаемся в том, что левая часть есть константа. Для опреде-
определения атой константы достаточно найти предел левой
части при к —*- 0.

158
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
[ГЛ. VII
45. Вычисление h по заданному модулю Те. Если вели-
величина h = enix известна, то могут быть построены тэта-
ряды, которые быстро сходятся и потому очень удобны для
вычислений. На практике, однако, часто бывает задана
не величина h, а модуль к, и тогда при вычислениях преж-
прежде всего возникает вопрос об отыскании величины h.
Мы видели в § 44, что полные эллиптические интегралы
первого рода относительно модуля к и дополнительного
модуля к' выражаются в виде гипергеометрических рядов.
Принципиально этими рядами можно пользоваться для
отыскания К, К', а значит, и т = iK'/K и h. Однако ряды
эти для вычислений мало пригодны. Вейерштрасс указал
весьма удобный путь для вычислений в предположении,
что
l—Vk'
A)
B)
l+Vk'
Под ~\/~k', от которого зависит величина
1_\-Ук-
1+УйГ
мы будем всегда понимать то его значение, вещественная
часть которого положительна. На практике важнейшим
случаем является тот, когда 0<<й;<;1. В этом случае
будет также 0 < к' < 1, и условие A) наверно будет
выполнено. За исходный пункт примем формулу
7
*!@|т)'
которая у нас встречалась неоднократно. На основании
этой формулы
и, значит,
1 =
#з(О|т)
-Л/к' д3@|т)-д0@|т)
45]
ВЫЧИСЛЕНИЕ h ПО ЗАДАННОМУ МОДУЛЮ к
159
Вспоминая, что
да @ |т) = 1 + 2А + 2hk + 2h9 + .
fl0 @ |т) = 1 — 2Д -}- 2Ък — 2ti> + .
получаем соотношение
г 2Д + 2Д9 + 2Д25 + . . .
Его можно переписать в виде
#з@|4т)
C)
Это уравнение лишь обозначениями отличается от урав-
уравнения
7_
#1@|т)"
А в § 30 мы видели, что в силу последнего уравнения
величина h — enix есть регулярная аналитическая функ-
функция от к2 в плоскости комплексного переменного X = к2,
разрезанной от точки X = 1 до точки К = оо вдоль веще-
вещественной оси.
Применяя этот результат к нашему уравнению C),
мы приходим к выводу, что величина /г.* = е'чИх еСть регу-
регулярная аналитическая функция от Z4 в круге \ I | < 1.
Поэтому имеет место разложение /г.4 = А^ + А21а +
+ А311% + . . . или
Нетрудно вычислить первые коэффициенты этого ряда.
Результат имеет вид
Этим рядом очень удобно пользоваться на практике, так
как обычно достаточно первых двух членов.

160
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
[ГЛ. VII
46. Арифметико-геометрическое среднее. Пусть даны
два положительных числа а и 6 и пусть а > Ъ. С помощью
этих чисел построим две последовательности
аи п2, а3, . . .; Ъи Ь2, Ь3, . . .,
полагая
где корень имеет всегда арифметическое значение. Легко
доказать, что величины ап, Ъп при п —*- оо стремятся к обще-
общему пределу. Этот предел называют арифметико-геометри-
ческим средним чисел а, Ъ и обозначают символом \а (а, Ъ).
Впервые его рассмотрел Гаусс.
Для доказательства заметим, что имеют место следую-
следующие неравенства:
ап>Ъп, A)
>&„¦ B)
Из B) и A) следует, что ап и Ъп имеют пределы:
а = lim
71—э-оо
= lim Ъп.
Из существования же пределов а,
а = hm an+i — km
вытекает, что
<х -4- 8
или а = р.
Теперь займемся отысканием величины ц, {а, Ъ). С этой
целью возьмем основное соотношение, выражающее пре-
преобразование Гаусса:
sn
A + k) sn
+А' /
Л sn2
I + Л /
АРИФМЕТИКО-ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ СРЕДНЕЕ
161
Полагая
2Ук
( 2
sniw; i 7 ] = sin ф, sn
так что
dt
A +
можем написать
2
; Sin
и Л ¦ ,
; к I = sin \p,
-+- к /
U С
+ к ~ J T/l
dt
1 +Л
= - D)
A + кJ
где ф и г|э связаны следующим вытекающим из C) соотно-
соотношением:
Э1Пф =
A -)- к) sin
2„,. '
A; sin2 г|э
Рассмотрим частный случай, когда if> = я/2 и, следова-
следовательно, ф = я/2. Равенство D) принимает вид
л/2
-М
1 -4-й; J
Положим
так что
л/2
J у\ й; sin t
E)
ап — К
11 Н. И. Ахиезер
А

162
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
[ГЛ. VII
и E) перепишется следующим образом:
Я/2 я/2
С dt С dt
о /a2 cos2 t -f- Ъп sin" t 0
Мы видим, что величина
я/2
cos2 * +
sin2 i
Va2 cos2 t -j- b\ sin21
от п не зависит и, значит, равна своему пределу при
п-*- оо. Следовательно,
Я/2 л/2
U
т. е.
/2
г # _^ 1 г
J T/Vcos2?-f&2sin2* "~ ^ (а, о) J
¦2cos2?+ 62 sin2
sin2
ГЛАВА VIII
НЕКОТОРЫЕ КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
47. Конформное отображение прямоугольника на полу-
полуплоскость. Пусть в плоскости и дан прямоугольник с вер-
вершинами в точках
и = а, а-\- Ы, — а -\- Ы, — а,
где а, Ъ — какие-то положительные числа. Требуется кон-
конформно отобразить этот прямоугольник на верхнюю
половину плоскости z. Как из-
известно из теории функций ком-
комплексного переменного, иско-
искомая отображающая функция,
пока речь идет о конечных точ-
точках, непрерывна вплоть до гра-
границы.
Если мы обозначим через ct
(i = 1, 2, 3, 4) точки вещест-
вещественной оси, являющиеся обра-
образами вершин прямоугольника,
то по известной формуле Шварца — Кристоффеля
(и=а)
Рис. 11.
Си + С
\
J V(x-
dx
(X — C2) (X — C3) (X — C4)
На основании общих теорем отображающая функция
вполне определится, если задать образы трех граничных
точек прямоугольника. Мы потребуем, чтобы точкам
и = — а, 0, а (рис. 11) отвечали точки z = —1, 0, 1.
Этими требованиями определяются три из констант,
11*

162
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
[ГЛ. VII
и E) перепишется следующим образом:
Л/2 л/2
Г dt = С dt
J У a2 cos2 t -f b\ sin21
Мы видим, что величина
Я/2
i
йд cos2 t+b2n sin2
от п не зависит и, значит, равна своему пределу при
п-^-оо. Следовательно,
я/2
\
1 Г
т. е.
(a, 6) =
Я/2
:3
dt
Уа2соз3;
62 sin
2
ГЛАВА VIII
НЕКОТОРЫЕ КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
47. Конформное отображение прямоугольника на полу-
полуплоскость. Пусть в плоскости и дан прямоугольник с вер-
вершинами в точках
и —а, а-\-Ы, —a-j-bi, —а,
где a, b — какие-то положительные числа. Требуется кон-
конформно отобразить этот прямоугольник на верхнюю
половину плоскости z. Как из-
известно из теории функций ком-
комплексного переменного, иско-
искомая отображающая функция,
пока речь идет о конечных точ-
точках, непрерывна вплоть до гра-
границы.
Если мы обозначим через ct
(i — 1, 2, 3, 4) точки вещест-
венной оси, являющиеся обра- с* "
зами вершин прямоугольника,
то по известной формуле Шварца — Кристоффеля
Си -f С =
dx
— с0 (х —
На основании общих теорем отображающая функция
вполне определится, если задать образы трех граничных
точек прямоугольника. Мы потребуем, чтобы точкам
и = — а, 0, а (рис. 11) отвечали точки z = —1, 0, 1.
Этими требованиями определяются три из констант,
11*

Щ4 НЕКОТОРЫЕ КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ [ГЛ. VIII
а именно, мы получаем
Таким образом,
С
—I
(«-Cl) (а:-
A)
По принципу симметрии Римана — Шварца функцию и
можно аналитически продолжить через отрезок [—1, 1]
вещественной оси плоскости z. Мы получим прямоуголь-
прямоугольник, симметричный данному относительно вещественной
оси (нижний прямоугольник), и формула A) дает отобра-
отображение на этот прямоугольник нижней полуплоскости.
Это же отображение мы получим, если в A) заменим и на
—и, a z на —z. Но если
—z
п, Г dx
— С и — \ —=============
J ~\/(х2 — 1) (х
{х
то
С'и= \
dx
B)
В силу единственности отображающей функции при
принятом соответствии трех граничных точек функция A)
должна быть тождественна с B), откуда вытекает, что
(х — с±) (х — с2) = (х + ct) (ж + с2)
и, значит, с2 = —с±. Таким образом,
(х — с4) (х — с2) = х2 — с\,
и заменяя ct на Ilk, где к можно считать положительным
и меньшим единицы, представим отображающую функцию
в виде
1 f
С J
C)
47] ОТОБРАЖЕНИЕ ПРЯМОУГОЛЬНИКА НА ПОЛУПЛОСКОСТЬ 165
У нас теперь всего два параметра: С, к. Для их определе-
определения мы имеем следующие уравнения:
а_ 1 Г
С ) УA _
D')
1/А
i • \~ -/ \- к х )
Разделив второе на первое, приходим к такому уравнению
для отыскания к:
i/k
dx
-1) (i -
a i
J Ум
D)
Если к определено, то С найдется из уравнения D') [или
D"I-
Займемся исследованием уравнения D). С этой целью
преобразуем интеграл
dx
J V(x2 — 1 Wl — k2xZy\
полагая
к V + &V = 1
и принимая, что 0 <j; у <J 1 при 1/А:
В силу E)
ж
1.
E)
У1 - ft'V У1 - ftV'
А так как, кроме того, к У>х2 — 1 — к' ]/ — у2, то
i/k
f
J
dy
J УA - /) A - ft'V

166
НЕКОТОРЫЕ КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ [ГЛ. VIII
Таким образом, уравнение D) принимает вид
dx
(i _ A'V)
' J
Dbis)
dx
— k2x2)
Справа мы имеем отношение полных эллиптических инте-
интегралов первого рода К', К для модулей к', к. Когда к
растет от 0 до 1, правая часть, как легко видеть, изменяет-
изменяется монотонно от оо до 0. Отсюда видно, что для любого
значения отношения Ыа существует такое к из интерва-
интервала @, 1), которое удовлетворяет уравнению D). Отобра-
Отображающая функция есть
a f
u = — \ —=
к J y(i _
dx
Cbis)
Этот же результат можно было бы получить, отправ-
отправляясь от функции
z = sn (Kulа; к)
и изучая ее вещественные значения. Покажем это. ,
Пусть точка и движется в положительном направлении
по границе нашего прямоугольника, отправляясь от поло-
положения и = 0. Этому положению отвечает z — 0. Когда
и растет от значения 0 до значения, а, величина z будет
расти от z = 0 до z = 1. Переходим к стороне АВ нашего
прямоугольника. На этой стороне и = а + iv, где v
меняется от 0 до Ъ. А так как
sn(K -f- iw; к) =
то на стороне АВ
cn(iw; к) 1
dn (iw; к) dn (w; к')'
1
"dn(ify/o; Л')'
47] ОТОБРАЖЕНИЕ ПРЯМОУГОЛЬНИКА НА ПОЛУПЛОСКОСТЬ 167
где v изменяется от 0 до & и, значит, z растет от 1 до
1 1
j—,„,. ,,. = -у-. Переходим к участку ВС, на котором
dn \^\. ] /с j к
и = ib + v и v меняется от а до 0. Так как
Kv Л
; «1 =
к sn (Kv/a; к)
то z будет изменяться от 1/& до оо.
Мы видим, что правой половине ОАВС границы прямо-
прямоугольника отвечает правая половина вещественной оси
плоскости z. То, что левой половине границы прямоуголь-
прямоугольника будет отвечать левая половина вещественной оси,
уже не нуждается в особом доказательстве.
Поскольку функция z = sn (Kula; к) регулярна вну-
внутри прямоугольника и поскольку границу этого прямо-
прямоугольника она отображает взаимно однозначно на веще-
вещественную ось, то рассматриваемая функция отображает
прямоугольник на полуплоскость.
Тот не зависящий от теории эллиптических функций
путь, которым мы пришли к отображающей функции Cbis),
представляет интерес потому, что он позволяет для нор-
нормального случая @ <С к < 1) ввести основную эллиптиче-
эллиптическую функцию Якоби и обнаружить ее главнейшие свой-
свойства.
Примем для простоты, что а = К и, следовательно,
Ъ = К'. Мы имеем функцию
F)
которая конформно отображает верхнюю половину пло-
плоскости z на прямоугольник R плоскости и (рис. 12 и 13).
Будем теперь аналитически продолжать функцию и по
принципу симметрии Римана — Шварца. Прежде всего
мы можем продолжить нашу функцию через отрезок
[—1, 1] на нижнюю половину плоскости z. В плоскости и
мы получим прямоугольник R'1. Дальнейшее продолже-
продолжение произведем через отрезок [—Ик, —11, которому отве-
отвечает сторона IV прямоугольника R~x. Мы получим снова

168
НЕКОТОРЫЕ КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ [ГЛ. VIII
верхнюю половину плоскости z, а в плоскости и получим
прямоугольник Rz\. Затем продолжаем снова через отре-
отрезок [—1, 1], что приведет нас к прямоугольнику R _ь
являющемуся отображением нижней полуплоскости. Про-
Продолжая этот процесс, мы будем получать все новые и новые
I
л
i
а
Ш
Ш
ш
Ш
IV
у/%,
IF
/Л
я
i
Ш
ж
л
ш
п
Ш
ш
ш
Ш
17
IV
Рис. 12.
А-,
Д
¦А*
I
к
-1 /
Рис. 13.
прямоугольники, которые в пределе покроют всю пло-
плоскость и. Каждый незаштрихованный прямоугольник
является отображением верхней половины, а каждый
заштрихованный прямоугольник есть отображение ниж-
нижней половины плоскости z.
Так как прямоугольники в плоскости и не перекры-
перекрываются, то каждому значению и отвечает вполне опреде-
определенное значение z, т. е. z есть однозначная функция от и.
Аналитичность этой функции нам известна заранее. Един-
Единственными полюсами функции z = g (и) являются точки
iK' + 2тК + 2гпК', где т, п — целые числа.
Что эти точки — простые полюсы, также легко усма-
усматривается на основании свойств отображающей функции.
Действительно, возьмем прямоугольник, составленный
из R и R1. Он отображается на всю плоскость z, разре-
47] ОТОБРАЖЕНИЕ ПРЯМОУГОЛЬНИКА НА ПОЛУПЛОСКОСТЬ 169
занную вдоль отрезка [—Ilk, Ilk]. Бесконечно далекая
точка есть внутренняя точка этой области z-плоскости.
Ей отвечает точка и — iK', лежащая на отрезке ///.
Если бы в этой точке функция z = g (и) имела полюс более
высокого порядка, то простому обходу вокруг точки
и = iK' отвечал бы в плоскости z кратный обход вокруг
точки z = оо, что невозможно в силу одно-однозначности
конформного отображения.
Итак, наше утверждение доказано.
Периодичность функции z = g (и) доказывается очень
просто. Действительно, взяв в прямоугольнике R (рис. 14)
Ш
V"
IV
V
Ж V
I
Рис. 14.
произвольную точку v, найдем точку v', симметричную v
относительно стороны //, а затем точку v", симметричную
v относительно стороны IV. В точках v', v" функция g (и)
имеет одинаковые значения: g (v") = g {v'). Вместе с тем
легко видеть, что v' — v" равняется удвоенной длине
отрезка /, т. е. равняется АК. Аналогично доказывается,
что вторым периодом является 2iK'.
Таким образом, основные свойства функции
z = sn(u; k),
т. е. верхнего предела, как функции от значения интегра-
интеграла, проверены.
Рассмотрим еще ту область, на которую функция
z = sn(it; к)
отображает не один прямоугольник, например R, и не пару смеж-
смежных прямоугольников, а всю плоскость комплексного переменного и.
Каждому прямоугольнику нашего семейства отвечает полу-
полуплоскость: незаштрихованному — верхняя, а заштрихованному —
нижняя (рис. 15). Так как прямоугольников бесчисленное множе-
множество, то заготовим бесчисленное множество полуплоскостей
(заштрихованных и незаштрихованных) и расположим их так,
чтобы незаштрихованные и заштрихованные примыкали друг к другу

170
НЕКОТОРЫЕ КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
[ГЛ. VIII
Ж
ш
вдоль вещественной оси и чтобы точки всех плоскостей, имеющие
одинаковые координаты, лежали одна под другой.
Желая получить полную и-плоскость, мы должны произвести
сшивание прямоугольников вдоль определенных сторон. Отрезки
границ полуплоскостей, соот-
соответствующих сшиваемым пря-
прямоугольникам, при этом так-
также придется сшить. В резуль-
результате мы получим над пло-
плоскостью z бесконечнолистную
flf риманову поверхность, кото-
которая и является образом на-
нашей плоскости и, получен-
л
I
I
ным при помощи функции
z = sn(u; к).
Для изучения эллипти-
эллиптических функций с периодами
4К, 2iK' достаточно опери-
ровать с четырьмя прямо-
прямоугольниками рассмотренного
семейства: R, Д-1, Д^1, Rt
(рис. 15 и 16). Паре прямо-
прямоугольников В, .Я отвечает
пара обозначенных теми же
буквами полуплоскостей.
Сшивая прямоугольники Д,
Д~г вдоль /, мы должны
сшить указанные полуплоскости вдоль отрезка [—1, 1]. Получим
плоскость с разрезами вдоль полуосей (—оо, —1), A, оо). Сшивая
i?i и Д^1 вдоль /, получим вторую плоскость с разрезами вдоль
тех же полуосей (— оо, —1), A, оо).
ш
ш
Рпс. 15.
Рис. 16.
Сошьем теперь двойные прямоугольники вдоль //, а также
вдоль IV. Апалогичному сшиванию мы подвергнем плоскости. При
этом для получения непрерывности соответствия верхний берег
разреза A, Ilk) верхнего листа подлежит сшиванию с нижним
берегом соответствующего разреза нижнего листа.
47] ОТОБРАЖЕНИЕ ПРЯМОУГОЛЬНИКА НА ПОЛУПЛОСКОСТЬ 171
То же будем иметь и для разреза (—1/к, —1). В результа-
результате получим двухлистную поверхность Римана с линиями пере-
перехода вдоль отрезков (—1/к, —1) и A, 1/к) и с разрезами вдоль
(—оо, —1/к) и A/к, оо).
После сшивания прямоугольников получается кусок цилин-
цилиндрической поверхности (рис. 17). В противоположных точках сто-
сторон /// двойных прямоугольников z-плоскости функция z = g (и)
Рис. 18.
Рис. 17.
Рис. 19.
принимает одинаковые значения. Эти стороны поэтому надлежит
сшить. Переходя к цилиндру, мы должны его деформировать
и сшить его границы. Мы получим тор (рис. 18).
Соответствующему сшиванию мы должны подвергнуть листы
римановой поверхности. Здесь придется сшивать полулисты одной
и той же плоскости.
В результате мы получим двухлистную риманову поверхность,
изображенную на рис. 19. Эта поверхность уже не имеет разрезов.
У нее четыре точки разветвления и две линии перехода.

172
НЕКОТОРЫЕ КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ [ГЛ. VIII
48]
ОТОБРАЖЕНИЕ НА КРУГОВОЕ КОЛЬЦО
173
Итак, мы имеем три образа: только что построенную двух-
листную риманову поверхность, прямоугольник, состоящий из
четырех прямоугольников Л, i?4, i?, Rj1, причем соответственные
точки противоположных сторон этого прямоугольника отождест-
отождествляются, и, наконец, тор.
Прямоугольник отображен на риманову поверхность конформ-
конформно, а тор топологически эквивалентен прямоугольнику. Следова-
Следовательно, все три образа топологически эквивалентны х).
Не мешает, однако, показать, что тор можно отобразить на пря-
прямоугольник не только взаимно однозначно и непрерывно, как мы
сделали выше с помощью изгибания
и сшивания противоположных сто-
сторон, но также и конформно.
Положим, что тор получился
вращением вокруг оси Z круга,
лежащего в плоскости OXZ и имею-
имеющего уравнение
(X—ЛJ+ Z3 = р3.
Для определения положения точ-
точки на торе можно воспользоваться
двумя угламн:
а, ф@<!а<2л;, 0<!ф<2л;),
смысл которых легко усмотреть из рис. 20, а также из приводимых
нами выражений для декартовых координат точки на торе через
эти углы:
X = (R — р cos a) cos ф,
Y = (R—р cos a) sin ф,
Z =р sin а.
Для элемента дуги мы получаем
[0, I] оси Ti, где
Рис. 20.
—p
Это выражение можно привести к виду
полагая
р da
с — р cos a
G)
Когда ф и а меняются от 0 до 2it, областью изменения точки
E, 11) в плоскости переменных |, г\ будет прямоугольник, двумя
сторонами которого являются: отрезок [0, 2it] оси | и отрезок
х) Риманову поверхность можно считать построенной с по-
помощью сфер Неймана вместо плоских листов.
р da
с — р cos a
Будем придерживаться указанного выше соглашения относи-
относительно отождествления противоположных сторон прямоугольника.
С помощью формул G) этот прямоугольник отображается на тор
не только взаимно однозначно и непрерывно, но и конформно, так
как в выражении дифференциала дуги коэффициенты при dg2, dr\2
одинаковы, а коэффициент при d| dr\ равен нулю.
Прямоугольник, у которого каждые две противоположные сто-
стороны отождествляются, есть не что иное, как прямоугольник
периодов. Ему принадлежит класс эллиптических функций. Каждая
функция этого класса может рассматриваться как однозначная
аналитическая функция на торе (с всего лишь конечным числом
полюсов в качестве единственпых особых точек). Этому классу
функций (в прямоугольнике и на торе) отвечает класс однозначных
аналитических функций на двухлистной римановой поверхности,
а именно, все рациональные функции от z и /A — z2)(l — /c2z2).
Все эти факты важны не только при рассмотрении эллип-
эллиптических функций и эллиптических интегралов, а также и при
рассмотрении алгебраической функции w (z), определяемой уравне-
уравнением
w2 = f(z), (8)
где / (z) — многочлен четвертой степени без кратных корней.
Если вместо (8) вэять уравнение с многочленом / (z) более высо-
высокой степени (но без кратных корней), то также можно ввести двух-
листную риманову поверхность, на которой всякая рациональная
функция Л (z, w) будет однозначной. Можно также изучать на этой
поверхности интегралы
I Л (z, w) dz,
являющиеся обобщением эллиптических интегралов. Однако даль-
дальнейшие построения оказываются, вообще говоря, не такими про-
простыми, как в рассмотренном нами «эллиптическом» случае. Тем
не менее униформизация удается, но с помощью функций не эллип-
эллиптических, а автоморфных. Этих вопросов, а также аналогичных
вопросов, возникающих при замене уравнения (8) общим алгебраи-
алгебраическим уравнением F (z, w) = 0, мы в этой книге касаться не
можем г).
48. Конформное отображение на круговое кольцо дву-
связной многоугольной области. Хорошо известно, что
любые односвязные области (границы которых имеют
по крайней мере по две точки) могут быть конформно
-1) За исключением относящейся сюда теоремы Абеля, которой
посвящен ниже § 54.

174
НЕКОТОРЫЕ КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ [ГЛ. VII2
отображены одна на другую. Иначе обстоит дело с областя-
областями двусвязными. Возьмем, например, два круговых
кольца
g- /i<|z|<ra (r2>ri>0),
G: R^lZl^Rz (Л2>Л1>0).
Конформное отображение одного из этих колец на другое
можно получить, полагая
Z = Az или Z=B/z,
где А и В — константы. В первом случае мы будем иметь
откуда
Во втором случае
i?2
\В\
и, значит, снова
Нетрудно убедиться в том, что других отображений, взаимно
однозначных и конформных, кольца g на кольцо G нет. В самом
деле, функция Z = Z (г), дающая требуемое отображение,
с помощью последовательного применения. принципа симметрии
Римана — Шварца может быть продолжена на всю плоскость z,
из которой удалены точки г=Оиг= оо,и это продолжение функ-
функции Z (z) отображает дважды проколотую плоскость z на такую же
область в плоскости Z. Одна из точек z = 0, z = оо будет устра-
устранимой особенностью и, следовательно, корнем для функции Z (z),
а другая — для функции 1/Z(z). Так как простому обходу вокруг
каждой из точек z = 0, оо в силу взаимной однозначности отобра-
отображения отвечает простой обход в плоскости Z вокруг образов этих
точек, то точки z = 0, оо являются: одна простым и единственным
корнем, а другая — простым и единственным полюсом функции
Z (z). Отсюда и вытекает наше утверждение об о.тсутствии отобра-
отображений, отличных от рассмотренных.
48]
ОТОБРАЖЕНИЕ НА КРУГОВОЕ КОЛЬЦО
175
Мы видим, что одно круговое кольцо отображается
взаимно однозначно я конформно на другое в том и только
том случае, когда для обоих колец одинаково отношение
радиусов окружностей, это кольцо ограничивающих.
Произвольная двусвязная область и подавно не может
быть требуемым способом отображена на произвольное
круговое кольцо. Однако доказано, что для каждой дву-
связной области существует круговое кольцо, на которое
ее можно взаимно однозначно и конформно отобразить.
Отношение радиусов окружностей, ограничивающих это
кольцо, является параметром, в том смысле характери-
характеризующим рассматриваемую двусвязную область, что лишь
те двусвязные области отображаются конформно друг
на друга, для которых этот параметр имеет одно и то же
значение.
Мы будем рассматривать двусвязные области, граница-
границами которых являются многоугольники, и найдем вид функ-
функций, взаимно однозначно и конформно отображающих
круговые кольца на такие области. Формулы, которые
мы выведем *), являются своеобразным обобщением фор-
формул Шварца — Кристоффеля, с помощью которых осуще-
осуществляется конформное отображение круга на односвязную
многоугольную область. С практической точки зрения
большим недостатком формул Шварца — Кристоффеля
является трудность определения входящих в эти формулы
констант. Этим недостатком страдают, конечно, и наши
обобщения формул Шварца — Кристоффеля, причем здесь
к числу неизвестных констант прибавляется еще параметр
области, т. е. отношение радиусов окружностей, ограничи-
ограничивающих кольцо.
Рассмотрим подробно тот случай, когда бесконечно
далекая точка является внутренней точкой нашей много-
многоугольной области S (в плоскости комплексного перемен-
переменного z). Иначе говоря, S есть область вне двух непересе-
непересекающихся многоугольников, которые мы обозначим Ао
и Ах.
Внутренние углы области при вершинах многоуголь-
многоугольников Ао и At обозначим через ла±, л;а2, . . ., лап.
*) Они были получены автором в 1928 году (см. Труды
Физико-математического отделения Академии наук УССР, том VII,
вып. 2, стр. 223—231).

176
Некоторые конформные отображения [гл. viii
За радиусы окружностей Со и С1} ограничивающих коль-
кольцо G (в плоскости w), примем числа 1 и h, где положитель-
положительный и меньший единицы параметр h наперед не известен
и подлежит отысканию.
Наконец, обозначим через аи а2, . . ., ап точки окруж-
окружностей Со и Си являющиеся прообразами вершин области.
Примем далее, что прообразом бесконечно далекой точ-
точки области S является точка w = с, лежащая на положи-
положительной половине вещественной оси, так что h < с < 1.
Легко видеть, что такое предположение допустимо и несу-
несущественно. Искомая функция z = z (w) имеет в точке
w = с полюс первого порядка, а в остальных точках
области G она регулярна и вплоть до границ непрерывна.
Поэтому можно применить принцип симметрии Римана —
Шварца и продолжить функцию z (w) за пределы кольца G.
В первую очередь мы можем сделать зеркальное отображе-
отображение в плоскости z относительно какой-нибудь стороны мно-
многоугольника А 0 и зеркальное отображение в плоскости w
относительно окружности Со. Таким образом, функция
z (w) будет продолжена на кольцо <r_i, ограниченное
окружностью Со и окружностью C_t:
В кольце G-i функция z — z (w) имеет простой полюс
w = 11с. При дальнейших зеркальных отображениях мы
получим кольца G±, 6r_2, G2, ¦ . . Четное число последова-
последовательных зеркальных отображений в плоскости z равно-
равносильно, как легко видеть, некоторой трансляции и- неко-
некоторому повороту z-плоскости. Соответствующее преобра-
преобразование в плоскости w дается формулой
w1=h2hw.
Так как трансляция и поворот плоскости z выражаются
формулой zt = az + b, где а и Ъ — константы, то искомая
функция z — z(w) должна удовлетворять следующему
соотношению:
Отсюда вытекает, что
~z{h2kw)
dw
d
¦¦ a — z(w),
dw
48]
ОТОБРАЖЕНИЕ НА КРУГОВОЕ КОЛЬЦО
177
и, далее,
2k.
dvf
;Z(hZkw)
dw
,z{w)
-z(w)
dw dw
Это равенство можно переписать в виде
h
2k z (h2 w)
z(h2hw) '
и мы видим, что функция
Ф (w) — w
(w)
z (w)
z" (w)
z (w)
удовлетворяет соотношению
<t>(h2kw)=O(w) (& = 0, ±1, ±2, ...).
Впрочем, достаточно записать его для к = 1:
ф (h2w) =Ф (w).
A)
Возьмем произвольное положительное число со и, опреде-
определив чисто мнимое число со' так, чтобы
положим
h = елш'/ш ,
ф (w) = ср ( -^- ln^l.
V яг /
Мы найдем тогда в силу A) что функция ф (и) удовлетво-
удовлетворяет соотношению ф (и + 2со') = ф (и).
Учтем теперь, что Ф (w) не меняется, когда точка w
совершает обход по замкнутому контуру, лежащему
в одном из колец Gk (Go = G) и охватывающему точку
w = 0. Так как при этом обходе аргумент w увеличивается
со .
на 2л; и, значит, величина и = —г In w изменяется на
л;1
2со, то должно иметь место равенство
Ф (и -(- 2со) = ф (и). B)
12 Н. И. Ахиозер

178
НЕКОТОРЫЕ КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ [ГЛ. VIII
Мы видим, что ф (и) есть двоякопериодическая функ-
функция с периодами 2со, 2со'. Чтобы ее построить, необходимо
исследовать особые точки этой функции в каком-нибудь
прямоугольнике периодов. Это сводится к рассмотрению
особых точек функции Ф (w) в некотором круговом коль-
кольце. В качестве такого кольца можно было бы взять то,
границами которого являются окружности C_i, С. Однако
лучше взять кольцо Q, ограниченное окружностями
| w j = eh'1, | w | = eh, где е меньше 1, но мало от нее
отличается. На границах этого кольца функция Ф (w)
регулярна, внутри же кольца единственными ее особыми
точками являются
= ak, с, 11с
= 1, 2, ..., п);
и, как легко видеть, для этих точек имеют место разло-
разложения
z == L" -f Z/ (w — a*)a* + (и? — ,
w — ak),
w — с
cw —
где ^5 — обычное обозначение степенного ряда, L", L' —
какие-то константы, в каждой формуле свои, L' Ф 0.
Соответствующие разложения функции Ф (w) имеют вид
Ф (И7) =
w — ak
2c
w — с
2
cw — 1
48]
ОТОБРАЖЕНИЕ НА КРУГОВОЕ КОЛЬЦО
179
С помощью этих формул мы находим, что для рассматри-
рассматриваемых точек
а« — 1
со
ni со .
и In ak
ni
со 2
яг со ,
и in с
Ф (») = —
со
яг
2
яг
и
со
In с
Таким образом, ф (и) имеет только полюсы и притом
простые. Сумма вычетов равна нулю, так как в силу
теоремы о сумме внешних углов многоугольника
Как видим, ф (и) есть функция эллиптическая, и на осно-
основании общей теоремы § 14
Ф(«)=— ^ («д - 1) С (и - — 1паЛ -
яг Z-J V . яг /
я=1
яг
яг
яг
где L — некоторая константа. Интегрируя и переходя
от логарифмов к числам, получим
' (ш) =
X *=1
#2 /l
Ч
2яг / Ч 2яг
где [А и Я, — снова некоторые константы.
C)
12*

180
НЕКОТОРЫЕ КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ [ГЛ. Vlll
Заставим теперь точку w совершить обход по замкну-
замкнутому контуру, охватывающему точку w = 0 и лежащему
в одном из колец Gu- Левая часть останется без изменения,
а справа появится множитель
А=1
Отсюда видно, что X должно быть целым числом.
Если мы подвергнем область S непрерывной деформа-
деформации, то будет изменяться непрерывным образом как вели-
величина h, так и функция z (w). Поэтому X также будет изме-
изменяться непрерывным образом. Являясь числом целым,
X должно оставаться неизменным. Чтобы найти X, рассмо-
рассмотрим такую деформацию области S, при которой много-
многоугольник А± без изменения углов стягивается в точку,
так что в пределе мы получим отображение на круг обла-
области вне многоугольника Ао; параметр h в пределе, как
легко видеть, будет равен нулю. Для функции, отображаю-
отображающей предельную область
k=l
— cJ(w —
2 '
C')
если принять, что вершинами многоугольника Ао являют-
являются первые т вершин области S. Вместе с тем функция C)
при этом предельном переходе превращается в
— i,.J=m+i
V
(w — cf{w — llcf
C")
где параметры [х, ад, с могут иметь другие значения, чем
в C). Однако можно принять, что параметр с в C') и C")
одинаков. Так как
j=m+l
49]
ПРИМЕРЫ КОНФОРМНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ
181
то из сравнения C') и C") заключаем, что X + 2 = 0,
и значит, формула C) должна иметь вид
z (w) =
iL
W 1пс
\ 2 flnW-j- lnc\
/ V 2яг /
Отсюда
+ C2 =
2 A
4
W
2 A
w2
Отметим еще, что между подлежащими определению
параметрами существует одно соотношение. Чтобы его
получить, запишем, что z не меняется, когда точка w
совершает обход вокруг точки w — с. Находя вычет подын-
подынтегральной функции относительно точки w = с и прирав-
приравнивая его нулю, мы и получим искомое соотношение
it
У, («а -
/
1)
Aпс~1паЛ
\ 2ni /
2л i
яг
= 2ni.
Совершенно аналогично трактуется случай, когда
область конечна. В этом случае, обозначая по-прежнему
внутренние углы области через лад, мы найдем для ото-
отображающей функции следующую формулу:
C2 =
dw
w
49. Примеры конформных отображений. В настоящем
параграфе мы рассмотрим примеры конформных отображе-
отображений многоугольных двусвязных областей. В первых двух

182
НЕКОТОРЫЕ КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ [ГЛ. VIII
примерах мы воспользуемся выведенными в § 48 формула-
формулами, хотя во втором примере отображающую функцию
можно получить и не прибегая к общей теории.
Пример 1. Отобразить на круговое кольцо область,
ограниченную двумя заданными концентрическими пра-
правильными re-угольниками, соответственные вершины кото-
которых расположены на од-
одном и том же луче, про-
проведенном из центра.
Пусть радиусы окруж-
окружностей, ограничивающих
кольцо, равняются 1 и h
@<л<1), и пусть образом
вершины A t внешнего мно-
многоугольника является точ-
точка 1 (рис.21).
Тогда из соображений симметрии следует, что верши-
вершинам А г и В г соответствуют в плоскости кольца точки
аг = е2<г-1)яг/п? Ьг = ?шг (г = 1, 2, . . ., га).
Введем теперь чисто мнимое т (т/г > 0) так, чтобы
h = е™х.
Так как внутренние углы многоугольной области рав-
равны соответственно
Рис. 21.
паг = A — 2/га) я при вершине Аг,
и
п$г = A + 2 In) я при вершине Вг,
то, применяя общую формулу, получим для отображающей
функции выражение
/ In и — In har\'
-1=сГ П
>¦=*
где
1 И = 0i (v | т). Но
2ni
2я? аг
= const
In
aT
49]
поэтому
ПРИМЕРЫ КОНФОРМНЫХ ОТОБРАЖЕНИИ
183
>•(
lnu — In har
2ni
„ /lna — lnar
Ч 2яг
.1/2
\ 2ni ar /
= const-
и
.1/2
яг ar /
sn
Пользуясь последним равенством, мы можем придать
отображающей функции A) вид х)
IV
du
1 " Г Л
И1/ 11
sn
Iln
ИЛИ
z —
* и \/ п1 / js: . 2г* л
г 11 sn 1 — inu ' ^ I
' ,=_п. V тег га /
Учитывая, что
/ , ч / ч snz v — snz a
sn (у + a) sn (v — a) = — — ,
1 — A; sn a sn у
можем написать
2гК
" / 2r^\ 2 тт
П snly ) = — sn v И -
V re / r=1 .
га
п
Константа С в каждой формуле имеет свое значение,

184 НЕКОТОРЫЕ КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ [ГЛ. VIII
А так как
2 2аК 22(п — а)К
sn = sir —i -— ,
re
re
то величина
2rK\
равна
n—i f 2 2
sn v — sn
— sn v
П
re
2/"Л.
при нечетном ?г и равна
sn
2 , 2
dn2*;
п
r=l
2rK
при четном re.
На основании таблицы XXII мы заключаем, что в обоих
случаях
Q=.
К
пМ'
L-=K'
м
где N — константа, а X и М определяются с помощью
указанных в таблице XXII формул.
Итак, отображающей функции можно придать вид
Z — 1
da
¦'a1
у V Mni /
49]
ПРИМЕРЫ КОНФОРМНЫХ "ОТОБРАЖЕНИЙ
185
где
r=i
[я/2]
2r — 1 r. Л
л, к i ,
re /
re /
r=l
sn
re
а С — некоторая постоянная.
Полезно сравнить полученный нами результат с функ-
функцией, которая отображает единичный круг плоскости w
на правильный re-угольник, вписанный в единичный круг
плоскости z. Если принять, что точки w = 0, w = 1
переходят соответственно в точки z = 0, z = 1, то для
отображающей функции мы будем иметь
Замечая, что
7 ¦
u"/2-;
du
B)
re lnu
2i
можем формулу B) переписать в виде
du
z — l=i
-m / . 2 га lnu
и I/ sin
Мы видим, что в нашем случае функция sn находится на
том месте, где в этой формуле обыкновенный синус.
Пример 2. Отобразить на круговое кольцо пло-
плоскость, разрезанную вдоль двух заданных параллельных
отрезков, симметричных относительно вещественной оси
(рис. 22),

186
НЕКОТОРЫЕ КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ [ГЛ. VIII
Пусть заданные отрезки AtA2, В±В2 имеют длину 2|3
и находятся на расстоянии а от оси ОХ; будем строить
функцию, отображающую кольцо
на плоскость, разрезанную вдоль АХА2 и BJB2. В силу
Y
о
Рис. 22.
симметрии, можно принять, что прообразами концов
Аг, А 2, Вх, В2 отрезков являются точки
_ t—i/2 -in \_
а± — п е , а2 — ,
i = hau
При этом прообразом бесконечно далекой точки плоскости
z будет точка и = 1.
Принимая эти данные и полагая в общей формуле § 48
г# = hi/2u, будем иметь х)
A'z + В' =
i
du
/-lnu + In I
г) Константы А', В' в различных формулах, имеют различные
значения.
49]
ПРИМЕРЫ КОНФОРМНЫХ ОТОБРАЖЕНИИ
187
где
или, в силу формул приведения тэта-функций,
A'z -\- В' =
2яг
г / ° V
2
2яг
° V
Если еще воспользоваться тождеством
(см. таблицу XXI), то получим
du
и
г'
-j- In
— Ina
V 2яг 2 /
Рассмотрим выражение
U| I (/ I * С- I L / ^/ I/ -I I t/ " С- \i I ?л)
—. C)
и.
Это — эллиптическая функция с периодами 1, т/2. Легко
видеть, что ее разложение на простейшие дроби можно
записать в виде
где L, М, N — некоторые константы. Так как второй
член правой части есть нечетная функция от v, а все
остальные члены равенства — четные, то М = 0. Разлагая

188
НЕКОТОРЫЕ КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ [ГЛ. VITI
обе части равенства по степеням v2, получим
"б1? (с) 1 'd'fic)^/ @) "{К (с)—чЭ1! (с)'0'7 (с)
IA_Z j LLJ.—i—\-^L _j L-LJ. 2 —^-^ -j
; @)
Отсюда
, н=Л-
Применяя рассмотренное разложение на простейшие дро-
дроби к интегралу C), получим следующее представление
отображающей функции:
,, , „, о V 2ni 2 / V 2яг 2 . ,
Л 2 + 5 =2Л1 ; ; j— ; f-
2я1
2/
^;2
2ni
2ju
lnu.
Так как отображающая функция внутри кольца одно-
однозначна, то второй член правой части должен равняться
нулю. Это дает
2т
-)
2)
причем
*i -;
2яг
± =0- D)
49]
ПРИМЕРЫ КОНФОРМНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ
189
Из соображений симметрии ясно, что точка z = 0 перехо-
переходит в точку и = —1. Поэтому
___ Q
С другой стороны, точке z = P -f- ia должна отвечать точ-
точка и ¦= а2 = к~1/2ег^. Следовательно,
Л (P + ia) == — ¦
2л
2я
т)
2 /
¦-)
2/
и аналогично найдем
Л (— P + ia) = ni —
\2я
2 /
Отсюда
и
a
А =я/а
*(?
2 /
f)
E)
Таким образом, отображающая функция имеет вид
„, / 1пи т
а \ 2яi
я I lnu
2/

190
НЕКОТОРЫЕ КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
ГЛ. VIII
и остается еще написать два уравнения, которые служат
для отыскания (х и т. Одним уравнением является E).
Второе уравнение получается из D) и может быть записано
в виде
П -i—= ¦
a
2я
l
2я I 2
F)
Уравнения E), F) можно представить в другой форме, которая
удобнее для вычислений. Приведем результат без доказательства.
Он состоит в следующем: пусть
mx
h = -h
K — E
К
тогда
и
^ J 1/A —г2) A —
— A2f2\ J
A
Таким образом, можно задаваться величиной q, т. е. радиусами
границ Кольца. По выбранному д мы найдем с помощью таблиц
как величину \х, так и отношение C к а. Это позволит построить
(например, графически) зависимость между д и р/а. Имея же эту
зависимость, можно в качестве исходного параметра брать 'отно-
'отношение р/а.
Пример 3. Отобразить на круговое кольцо пло-
плоскости w плоскость z, разрезанную вдоль двух заданных
отрезков вещественной оси.
Пусть отрезками вещественной оси плоскости z яв-
являются
[—1, а], [р, 1] (—1<а<р<1).
Положим
2 (Р — а)
G)
40 j
Примеры конформных отображений ^{
к < 1) за модуль эллиптических
и примем число к @
функций.
Далее определим число р из уравнения
1 — 2 sn2 р = а
при дополнительном условии 0 < р < К.
Из G) и (8) следует, что
(8)
dn
Теперь положим
sn2 и сп2 р -j- сп2 и sn2 р
sn2 и — sn2 р
что можно переписать также в виде
z — a =¦
2sn2u + a —
(9)
Возьмем теперь в плоскости и прямоугольник Д, опреде-
определяемый неравенствами
Вещественная ось разбивает этот прямоугольник на два
прямоугольника: верхний и нижний. Обойдем в положи-
положительном направлении границу верхнего прямоугольника,
начиная с точки и = —р. Легко видеть, что при таком
обходе точка z опишет вещественную ось от точки —оо
до точки оо. С помощью формулы (9) упомянутый верхний
прямоугольник отображается поэтому на верхнюю поло-
половину плоскости z. При этом нижнему основанию прямо-
прямоугольника отвечает та часть вещественной оси плоскости z,
которая получается удалением отрезка [—1, 1]. Далее,
той же формулой (9) нижний прямоугольник отображается
на нижнюю половину плоскости z.
Поэтому наша формула (9) отображает весь прямо-
прямоугольник Д на всю плоскость z, разрезанную вдоль отрез-
отрезка [ — 1, 1]. Теперь положим
и = — In w
л

192
НЕКОТОРЫЕ КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ [ГЛ. VIII
при дополнительном условии, что и = 0 для w = 1.
С помощью этой формулы прямоугольник А отображается
на кольцо плоскости и>, ограниченное окружностями
W
и разрезанное вдоль отрезка отрицательной половины
вещественной оси. Устранение этого разреза равносильно
Д В
©
д
D
Д
Рис. 23.
в плоскости и отождествлению верхней стороны прямо-
прямоугольника А с нижней, а в плоскости z — сшиванию
верхней полуплоскости с нижней вдоль отрезка [а, р]
вещественной оси (рис. 23).
Отсюда следует, что формула
1-г2
Z
• а
дает искомое отображение.
ГЛАВА IX
ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ДРОБЕЙ,
К КОТОРЫМ ПРИВОДИТ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ
ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
50. Постановка задач. В 1877 году в Записках Рос-
Российской Академии наук появилась большая статья
Е. И. Золотарева, озаглавленная «Приложение эллипти-
эллиптических функций к вопросам о функциях, наименее и наи-
наиболее отклоняющихся от нуля».
В начале своей статьи Золотарев пишет:
«Несмотря на уже имеющиеся, в высшей степени заме-
замечательные, приложения эллиптических функций к теории
чисел, геометрии и механике, я полагаю, что со стороны
приложений теория эллиптических функций оставляет
желать еще многого.
Поэтому я счел не лишним рассмотреть некоторые
вопросы о наименьших величинах, которые решаются при
помощи основных формул теории эллиптических функций.
Эти вопросы принадлежат к тому классу вопросов о наи-
наименьших величинах, приемы для решения которых были
даны в первый раз П. Л. Чебышевым».
Золотарев ставит и решает четыре задачи. В первых
двух задачах речь идет о полиномах, а в третьей и четвер-
четвертой задачах о рациональных дробях. Две последние
задачи, особенно интересные в математическом отноше-
отношении, имеют также большое значение для некоторых
современных электротехнических расчетов х). К этим
г) Мы имеем в виду работы В. Кауэра по теории и расчету
электрических фильтров. См. W. С a u e r, Theorie der linearen
Wechselstromschaltungen, изд. 2, Berlin, Akademie-Verlag, 1954.
См. также В. А. Т а ф т, Основы методики расчета линейных
электрических цепей по заданным их частотным характеристикам,
Изд-во АН СССР, 1954.
13 Н. И. Ахиезер

192
НЕКОТОРЫЕ КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ [ГЛ. VIII
при дополнительном условии, что и = 0 для w = 1.
С помощью этой формулы прямоугольник А отображается
на кольцо плоскости w, ограниченное окружностями
-ЛК/К'
W
и разрезанное вдоль отрезка отрицательной половины
вещественной оси. Устранение этого разреза равносильно
В
А В
D
Рис. 23.
в плоскости и отождествлению верхней стороны прямо-
прямоугольника А с нижней, а в плоскости z — сшиванию
верхней полуплоскости с нижней вдоль отрезка [а, р]
вещественной оси (рис. 23).
Отсюда следует, что формула
1-сс2
z =а -\
2 К' Inw
2, sn
4-а —
дает искомое отображение.
ГЛАВА IX
ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ДРОБЕЙ,
К КОТОРЫМ ПРИВОДИТ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ
ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
50. Постановка задач. В 1877 году в Записках Рос-
Российской Академии наук появилась большая статья
Е. И. Золотарева, озаглавленная «Приложение эллипти-
эллиптических функций к вопросам о функциях, наименее и наи-
наиболее отклоняющихся от нуля».
В начале своей статьи Золотарев пишет:
«Несмотря на уже имеющиеся, в высшей степени заме-
замечательные, приложения эллиптических функций к теории
чисел, геометрии и механике, я полагаю, что со стороны
приложений теория эллиптических функций оставляет
желать еще многого.
Поэтому я счел не лишним рассмотреть некоторые
вопросы о наименьших величинах, которые решаются при
помощи основных формул теории эллиптических функций.
Эти вопросы принадлежат к тому классу вопросов о наи-
наименьших величинах, приемы для решения которых были
даны в первый раз П. Л. Чебышевым».
Золотарев ставит и решает четыре задачи. В первых
двух задачах речь идет о полиномах, а в третьей и четвер-
четвертой задачах о рациональных дробях. Две последние
задачи, особенно интересные в математическом отноше-
отношении, имеют также большое значение для некоторых
современных электротехнических расчетов х). К этим
1) Мы имеем в виду работы В. Кауэра по теории и расчету
электрических фильтров. См. W. С a u e r, Theorie der linearen
Wechselstromschaltungen, изд. 2, Berlin, Akademie-Verlag, 1954.
См. также В. А. Т а ф т, Основы методики расчета линейных
электрических цепей по заданным их частотным характеристикам,
Изд-во АН СССР, 1954.
13 и. И. Ахиезер

194
ЭКСТРЕМАЛЬНЫЙ СВОЙСТВА ДРОБЕЙ
LfJl. IX
задачам примыкает ряд других задач и, в частности, одна
задача Чебышева, которую он решил через двенадцать
лет после Золотарева.
В настоящем параграфе мы приведем формулировки
задач, а также установим связи между ними г). Решению
мы посвятим следующий параграф.
Условимся называть уклонением непрерывной функ-
функции g (х) от непрерывной функции / (х) на конечном или
бесконечном замкнутом точечном множестве Ш числовой
оси величину
sup | / (х) — g (х) \.
%
Для наших целей удобно рассматривать как один
(несобственный) интервал совокупность двух интервалов
[—оо, a], IP, оо], где а < р. Мы условимся такой интер-
интервал обозначать [р, а]. Таким образом, [а, Ъ] есть обыч-
обычный интервал, если а << Ъ, и несобственный интервал,
если а > Ь.
Пусть на вещественной оси даны два замкнутых интер-
интервала 1и /2, не имеющие общих точек. Один из этих интер-
интервалов может содержать бесконечно далекую точку внутри
или на границе.
Задача А*. Среди всех вещественных функций
Ф {хI^ (х), где ф (х) и л\> (х) — многочлены степени п,
найти ту, которая на точечном множестве, состоящем
из интервалов /1? /2, наименее уклоняется от функции
Задача В*. Дан замкнутый конечный или беско-
бесконечный интервал Е числовой оси, не содержащий точки
нуль. Рассматривается совокупность всех рациональных
дробей степени п, которые в интервале /2 принимают зна-
значения из интервала Е. Среди этих дробей требуется найти
ту, которая наименее уклоняется от нуля в интервале 1Х.
Задача А* в существенном совпадает с четвертой
задачей Золотарева, а задачей В*— с третьей.
г) Я использую здесь свою статью «Об одной задаче Е. И. Золо-
Золотарева» (Изв. Акад. наук СССР, 1929), а также'две заметки в Сооб-
Сообщениях Харьковского математического общества за 1933 и 1935 гг.
50]
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ
195
Задача С*. Среди всех вещественных функций
Ф (x)/W (х), где Ф (х), Y (х) — многочлены степени г,
найти ту, для которой логарифм отношения
наименее уклоняется от нуля в заданном интервале
[1, i/k*], где .0<*<1.
Это — задача Чебышева.
В задачах А* и В* задаются произвольные интервалы.
Однако, подвергая х дробно-линейному преобразованию,
мы можем вместо этих интервалов ввести какие-нибудь
вполне определенные интервалы.
Поэтому вместо задачи А* можно взять следующую.
Задача А. Среди всех вещественных функций
У
где ф (х) и тр (х) — многочлены степени п, найти ту, кото-
которая на точечном множестве, составленном из двух интер-
интервалов:
[-ilk, -1], [1,1/Л] @<*<.1), A)
наименее уклоняется от функции
-1 (х<0)
1 (х>0).
sign
х = 1
В задаче В* дается некоторое неравенство, которому
должна удовлетворять функция в интервале /2. Подвергая
дробно-линейному преобразованию также и функцию,
можем задачу В* свести к следующей.
Задача В. Среди всех вещественных рациональных
дробей п-ж степени
которые в интервале [1/х, —1/х] @ < х < 1) удовлетво-
удовлетворяют неравенству | z \ ^> 1, найти ту, которая в интерва-
интервале [ — 1, 1] наименее уклоняется от нуля.
13*

196
ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ДРОБЕЙ
[ГЛ. IX
Покажем, что одна из задач А, В может быть сведена
к другой.
Пусть несократимая дробь
/о (*)
z =¦
.(*)
есть решение задачи В. Легко видеть, что многочлен
/о @ будет точно степени п. Действительно, если бы
степень /0 (t) была ниже п, то функция
Г_^ **/<>(*)¦
go(t)
также была бы рациональной дробью степени га и в интер-
интервале [1/х, —1/х] мы также имели бы неравенство \z~ \^> 1.
Вместе с тем в интервале [—1, 1]
max | z
х шах | z \
max | z
и, значит, z не могла бы быть решением задачи В.
Легко также видеть, что
Пусть
min
[1/к, -1/х]
max \z\ = m.
Число т наверно меньше 1, как показывает функция
z = xt, удовлетворяющая условиям задачи В. Положим
У —
1 — т z — У;
т
1 + т z -f- У от
1+Ух tVx — l
1 — Ух tVx + 1
Если — 1
если \ t |
t <; 1, то —ilk
1/х, то 1 -< х -
; х <[ — 1; подобным образом,
Ilk. Таким образом, на оси х
50]
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ
197
мы имеем два интервала:
[-1/А.-1], [1,1/ft].
В первом интервале по условию max | z
то в первом интервале
max I г
A + те) (г + Упг)
,,, 2Уот
A)
т. А так как
Во втором интервале, как мы знаем, min | z | = 1.
Поэтому во втором интервале
. , . 2Ут
max I г/ — 11 = .
1 -\- т
Мы видим, что уклонение функции у от функции sign x
в интервалах A) равно
21/те
jj, есть монотонно возрастающая функция от т в интерва-
интервале @, 1).
Отсюда мы и усматриваем, что у = у (х) есть решение
задачи А. Таким образом, имея решение задачи В, легко
получить решение задачи А. Но и наоборот, если известно
решение у = у (#) задачи А, то легко найти решение
z = z (t) задачи В.
Из сделанного выше заключения о том, что степень
многочлена /0 (t) в точности равна п, следует, что если
несократимая дробь у = ф (z)Aj) (x) есть решение задачи А,
то из функций ф (х), \р (х) по крайней мере одна будет
точно степени п.
Пусть несократимая дробь

198
ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ДРОБЕЙ
[ГЛ. IX
является решением задачи А. Обозначим через
х± < х2 < . . . < xq B)
последовательные точки, принадлежащие интервалам A),
в которых разность у — sign х принимает с чередующими-
чередующимися знаками свое максимальное численное значение в этих
интервалах jj,:
jj, = max | у — sign х \
(это число \х, очевидно, меньше 1).
Докажем, что число q не может быть меньше, чем
2тг + 2.
Пусть в ряду B) хр есть последняя точка интервала
[—1/к, —1], a xp+i — первая точка интервала [1, 1/к].
В таком случае величины у (хр) + 1, у (хр+г) — 1 имеют
противоположные знаки.
С помощью точек
5i<!2<. ••<!?-!
разобьем интервал [—1/к, —1] и с помощью точек
разобьем интервал [1, 1/к] на подынтервалы, в которых
последовательно имеет место одно из неравенств
— ц -< у — sign х < jo. — a,
— р, -f- а < У — sign х -< \i,
где а — какое-то положительное число. Затем построим
функцию
Q (х) = (х — и (х — |2). . . (х — gp-0 х х
X (х — lP+i) (х — 1Р+2)... (х — Zq-i),
степень которой q — 1 -^ 2п, если, вопреки тому, что
надлежит доказать, q < 2п + 2.
Так как ф (х) и я|) (ж) взаимно просты и по крайней мере
одна из этих функций точно степени п, то можно найти
такие многочлены ф! (х) ж % (х) степени не выше n-й, что
Q(x) = ф1
50]
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ
199
Введем теперь функцию
У Ф (*) — в <Pi
где G
у — sign х
вещественный параметр, и рассмотрим выражение
ф (X) — G ф! (X) ф (X)
6Q(i)
= {г/ — sign ж} —
По условию задачи функция ty (x) в интервалах A) в нуль
не обращается. Поэтому при достаточно малом | 6 |
у (х) [у (х) - е % (х)] > yfi].1
В силу характера функции Q (х) можно так распорядиться
знаком достаточно малой по модулю величины G, чтобы
в интервалах A) имело место неравенство
\~у — signx|<|j,,
что и доказывает наше утверждение.
Остановимся теперь на некоторых следствиях.
a) Если R (х) = ф (x)Aj} (x) есть решение задачи А,
то уравнение
{R(x)-signx}2 = li2 C)
имеет простые корни —1/к, —1,1, 1/к; все же корни этого
уравнения, лежащие внутри интервалов A) (полное число
этих корней есть 2п — 2), являются двойными.
b) Если R (х) = ф (х)/г|5 (х) — решение задачи А, та
в интервале (—1, 1) может иметь корни только одно из
уравнений
Ф(х) = 0, у(х)=0.
В самом деле, в противном случае функция \ R (х) |
принимала бы в интервале (—1, 1) значения 1 — \i,
1 -f- jj,, и тогда число корней уравнения C) в интервалах A)
было бы меньше, чем 2ге + 2.

200
ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ДРОБЕЙ
[ГЛ. IX
Отметим, что вместе с ф (x)/ty (х) решением задачи А
будет A — р,2) ар (х)/ф (х).
Отсюда в силу Ь) следует, что мы можем ограничиться
отысканием тех решений, которые в интервале (—1, 1)
не обращаются в бесконечность.
Такое конечное решение единственно. Действительно,
пусть имеются два решения:
Фа (а?)
D)
и пусть Xi < х2 < . . . < #2п+2 — «точки уклонения» для
первого решения. Возьмем разность
д / \ ф! уЕ) ф2 \Х)
1\ {X) — —
= {21М - sign Л - Ш - sign Л _ А, И -
W-
Пусть
А, (Ж1) = ец, A
е = ±1. С другой стороны,
где
= l, 2, ..., 2тг
Поэтому величина А (zft) либо равна нулю, либо имеет
тот же знак, что и Ai {Xh). На основании этого легко заме-
заметить, что А (х) имеет в интервале [ — 1/к, 1/к] по крайней
мере 2га + 1 корней. А так как
1П (Т"\ ill f 1"! ITl I " i ill I 7*1
A / \ Tl \ / t^2 \ 7 т^2 V л r 1 \ /
^1 (^) 1|'2 (Ж)
где числитель ф.х (х) гр2 (х) — ф2 (х) \р± (х) есть многочлен
степени 2п, то выражение А (х) тождественно равняется
нулю, т. е. решения D) не различны.
Теперь легко видеть, что решением задачи А может
быть только нечетная функция. Действительно, пусть
ft (т\ — Ф (Х> (х>\
50]
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ
201
— решение задачи А, остающееся конечным в интервале
(—1, 1). Но тогда функция
- Д (-
Ф(-
F)
также является подобным решением. Следовательно, функ-
функции E) и F) тождественны.
Установленные факты позволяют без труда показать
эквивалентность задач: А и С*.
С этой целью заметим следующее: если
то
и если
то
max
1 —
2Н
Y
Н2-1
max
max 11 — у | =(
У
In
1/1 -G2
ln.
2 1 — G
Поэтому задаче С* эквивалентна
Задача С. Среди всех вещественных функций
Ф(х)
где Ф (х), W (х) — многочлены степени г, найти ту, кото-
которая в интервале [1, 1/к2] наименее уклоняется от единицы.
Положим теперь х = X2. Тогда вместо интервала
[1, 1/к2] можно будет взять два интервала: [—1/к, —1],
[1, 1/к]. Наша функция превратится в
Y_XW(X2)
Ф(Х2) '
а величина
max
[1,1м2]
\ „
Ф(х)

202
ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ДРОБЕЙ
[ГЛ. IX
очевидно, равна
шах
[—i/k, —ii, [i,
sign X —
Ф(Х2)
Мы пришли к задаче А при условии, что п — 2г или
п = 2г + 1.
Обратный переход (от задачи А к задаче С) еще проще.
На основании рассмотрений настоящего параграфа все
сводится к решению задачи С.
51. Решение задачи С. Решение задачи С может быть
получено с ломощью одной общей теоремы Чебышева,
которая состоит в следующем.
Пусть дан конечный замкнутый интервал [а, Ъ] и в нем
две непрерывные функции / (х) и s (х), из которых вторая
не обращается в нуль. Рассматриваются выражения вида
где т и п заданы. Среди этих функций W (х) существует
наименее уклоняющаяся в [а, Ь] от функции / (х), и она
единственна, если не считать различными две дроби, кото-
которые после сокращения совпадают.
Если эта функция имеет вид
,та—и
А (х) а-оХ" " + ауС"
где 0 ^. \л <z^. m, О <С] v <J n, ао ^= 0 и дробь 2? (х)М (х)
несократима, то число последовательных точек интервала
[а, Ъ], в которых разность / (х) — Р {х) с чередованием
знаков принимает свое максимальное в [а, Ъ] численное
значение, не менее, чем т + п — d + 2, где d =
= mm {ji, v}. Это свойство вполне характеризует экстре-
экстремальную функцию Р (х).
Для дальнейшего существенна лишь та часть теоремы,
которая утверждает, что при выполнении указанного
характерного условия функция Р (х) наименее уклоняется
от / (х). Это можно легко доказать тем же методом, каким
в § 50 было доказано для частного случая задачи А, что
она имеет не более одного решения.
51]
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ С
203
Существование решения мы можем не доказывать,
так как для случая, который нас будет интересовать,
мы это решение фактически построим х).
В задаче С интервалом [а, Ъ] является [1, 1/к2], при-
причем / (х) = 1, s (х) = У~х~, т = п = г. Приведем решение
задачи в параметрической форме. Оно дается формулами
z = sn2(u; к), Y =
¦sn
где
К
М ' Bг + 1) М
Таким образом, У.есть та функция от х, которую мы
получаем делением на 2г + 1 второго периода.
Приступая к доказательству, прежде всего обратимся
к таблице XXIII, в силу которой
{ sn2 (и; к)
2Х sn(u; к) -Л- с2«
Y =¦
1+А. М
а=1
Ц_
sn (и; к)
sn
где са =
2г+1
К'; к')
СП
2г +
-Я'; *')
+1 /
. Поэтому
^г^П
X
откуда следует, что Y имеет требуемый вид.
Теперь надлежит рассмотреть разность 1 — Y, когда
х пробегает интервал [1, 1/к2].
г) Подробности относительно приведенной теоремы читатель
найдет в книге Н. И. А х и е з е р, Лекции по теории аппроксима-
аппроксимации, изд. 2-е, «Наука», Москва, 1965.

204
ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ДРОБЕЙ
[ГЛ. IX
Положим и = К + iv; тогда
en2 (it?; к)
х = sn (и; к) —
daz(iv; k) dn2(i>; A')'
Мы заставим v увеличиваться от 0 до К'. Тогда
dn2 (v; к') будет убывать от 1 до 1 — к'2 — к2, а значит,
х будет возрастать от 1 до 1/А2. Это и есть интервал, в кото-
котором изменяется х.
Возьмем разность А (х) = 1 — Y. Она равна
2Я
А (х) = 1 sn
W 1 + Я
2Я
- = 1 —
2Я
1
1 + Я dn (и/М; Я') ' 1 + X dn (u?; Я')
Пусть у растет от 0 до К'. Это значит, что и? растет от 0
до Bг + 1) L'. Функция dn (ы;; Я') будет постоянно заклю-
заключена между 1 и ]/ — Я'2=Я. При этом в точках w = 0,
?', 22/, . . ., 2rZ,', Br+l)Z,' она будет иметь значения
1, Я, 1, . . ., 1, Я. Соответствующие значения Д (х)
равны
1-Я 1—Я 1-Я
1 + я' 1+я' "¦' 1 + я*
Таким образом, разность 1 — Y принимает свое макси-
максимальное численное значение . , , в 2г+2 последователь-
1 + Я
ных точках
х0
,2г + Г / V2r + 1
интервала [1, 1/А2].
Доказательство закончено.
Отправляясь от полученного решения задачи С и поль-
пользуясь надлежащими дробно-линейными преобразования-
преобразованиями, можно получить решения ряда других задач.
Мы ограничимся здесь сводкой некоторых результатов.
Пусть рассматриваются вещественные рациональные
функции Rtj (x), числитель которых степени i, а знаме-
51]
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ С
205
натель — степени /. Среди всех этих функций требуется
найти ту, для которой величина s (x) RitJ (x) наименее
уклоняется от 1 в интервале [а, Ъ]. Речь идет, таким обра-
образом, о такой аппроксимации функции 1/s (x) посредством
функции Ruj (x), при которой максимум в интервале [а, Ъ]
относительной погрешности имеет минимальное значение.
При этом данные задачи содержатся в таблице 1.
№
1
2
3
4
5
6
7
8
S (X)
i/l _ k2x
,/ -
V x-i
t/x+1
V x-i
/ 1+kx
V 1—kx
Vx
a
0
0
1
k2
1
k2
1
к
1
1
ь
1
1
со
со
1
к
1
1
/«2
1
к*
Т а б л и i
г
лг
пг — 1
яг
лг —1
/те
т
т
пг — 1
з; а 1
j
лг
пг
т
пг
т
т
пг
пг
Искомое решение обозначим через у, кроме того, положим
G = max |1 — s (х) у |.
[а, Ы
Решения рассматриваемых задач содержатся в таблице 2.
При этом через Я (соответственно Xi) мы обозначаем модуль
эллиптических функций, к которым мы приходим при
делении на п первого (соответственно второго) периода.

206
^ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ДРОБЕЙ LTЛ. IX
Таблица 2
№
1
2
3
4
у
т ! к2 sn2 р»—1 #. Л х
1 + Х'а=1 l_A2sn2(^^; *),
m-l
ТТ l_A:2SI12 ( — К; к\х
91' , V Л '
2А a=l
1 + Х' п»
Д 1 /C2sn2 f2"^; A) x
a=l
2V " ю'(^-';*)-Л!
i + K'H «* {**-* К; k) *
m-l
TT sn2 (*Lk; k)-x
91' . ^ П '
IK a=l
n»-(—^)-
a=l
n
2m + 1
2та
2m+ 1
2m
G
1-Я'
1 + A/
1-Я'
1 + X'
1-Х'
1 + A,'
1-Х'
1+A.'
1>ё1пёнйе задачи 6 207
Продолжение табл. 2
5
6 .
7i)
81)
У
x-j-sniK К; к\
(Х= 1 X SI1 1 Л /? ¦ ft I
V. п )
а—1 1 — kxsn (к —К; к\
2А! 1 п 4+ С2а
1 + Ai Afj 11 д;
а=1 !+-
с2а-1
m-l
ТТ ¦) i х
2At 1 а=1 С2а
ТТ 1- *
a_i C2a-1
п
2т+ 1
2т+ 1
2т+1
G
А,
А
/| \_ \ '
X —|— '«I
СЛЗ( » ;4') — "! ( 2п *-¦ "¦)

ГЛАВА X
ОБОБЩЕНИЕ ЧЕБЫШЕВСКИХ ПОЛИНОМОВ
52. Многочлены, наименее уклоняющиеся от нуля.
Чебышевские полиномы Тп (х) (п = 0, 1, 2, . . .) опреде-
определяются следующими формулами:
Тп (х) = cosncp, x^coscp («==0, 1, 2, . . .).
Таким образом,
То (х) = 1, Ti (x) =x, Tn+i (х) + Тп-1 (х) = 2х Тп (х)
(л = 1, 2, 3, ...),
откуда видно, что
Тп (х) = 2п-'хп + . . . (п = 1, 2, 3, . . .)¦
Положим
_ f 1 (И = О),
"~l 21-" (/г = 1, 2, 3, ...)•
Экстремальное свойство, вполне характеризующее
чебышевские полиномы, гласит: Ln Tn (х) наименее укло-
уклоняется от нуля в интервале [—1, 1] среди всех многочленов
степени п с равным 1 старшим коэффициентом (наимень-
(наименьшее уклонение, следовательно, равно Ln).
Этот факт, вытекающий из общей теоремы Чебышева
(см. § 51), легко доказывается непосредственно. Действи-
Действительно, пусть многочлен Рп (х) = хп + . . . имеет в интер-
интервале [ — 1, 1] уклонение от нуля ~^.Ln. Тогда разность
Ln Тп (х) — Рп (х) = Q (х), представляющая многочлен
степени <; п — 1, будет в точках
xh = cos
(n — к) я,
n
= 0, 1, 2; ..., П)
52] МНОГОЧЛЕНЫ, НАИМЕНЕЕ УКЛОНЯЮЩИЕСЯ ОТ НУЛЯ 209
принимать значения
Q Ы = (-
n - Рп (xh) = {-
где выражение в квадратных скобках ^>0. Отсюда легко
заметить, что Q (х) обращается в нуль по крайней мере
п раз в интервале [—1,1], и значит, Q (х) = 0.
Полиномы Тп (х) находят разнообразные применения
в технических расчетах х).
В сравнительно недавних радиотехнических исследо-
исследованиях получили применение многочлены, наименее укло-
уклоняющиеся от нуля на точечном множестве, образованном
двумя равными интервалами числовой оси. В некоторых
американских работах эти многочлены обозначены 2) Ап.
Точное определение их таково:
Полином Ап (х; а) = хп -f- . . . среди всех многочле-
многочленов со старшим членом хп наименее уклоняется от нуля
на интервалах
[-1, -ее], [ее, 1], A)
где а @<а<1) — заданное число; уклонение от нуля
полинома Ап (х; а) обозначим Ln (ot).
! Из простых соображений, подобных тем, которыми
мы уже пользовались в § 51, вытекает единственность
полинома Ап (х; а). Поэтому он будет четным при чет-
четном п и нечетным при п нечетном.
Отсюда легко получить, что полином А2тп, {х; ее) просто
выражается через полином Чебышева Tm (t). Действи-
Действительно, если положим х2 = у, то Агт (х; се) = ут + . . . =
— Рт. {у) будет наименее уклоняться от нуля в интерва-
интервале [ое2, 1] среди всех многочленов от у со старшим чле-
членом ут. Сделаем замену
A — се2
Qm(t),
х) Американское Национальное Бюро стандартов выпустило
в 1952 году специальные таблицы полиномов Чебышева. Эти таб-
таблицы перепечатаны с переводом текста на русский язык в серии
«Библиотека математических таблиц» (Вычисл. центр АН СССР,
Москва, 1963).
2) Они были впервые построены автором в 1928 году. См. книгу,
цитированную на стр. 203.
14 Н. И. Ахиезер

210
ОБОБЩЕНИЕ ЧЕБЫШЕВСКИХ ПОЛИНОМОВ
[ГЛ. X
так что Qm (t) = fn + . . . Когда у пробегает интервал
[а2, 1], новая переменная t пробегает интервал [—1, 1].
Следовательно, Qm (t) наименее уклоняется от нуля
в интервале [ — 1, 1] среди всех многочленов со старшим
членом tm, и значит, Qm (t) = 2l~m Tm (t).
На основании всего сказанного
.(«)=¦
Если п — нечетное, то дело обстоит сложнее, за исклю-
исключением, разумеется, случая п = 1, когда полином три-
тривиален:
А^х; а)=х, Lt(a) = l.
При каждом п = Ъп — 1 > 1 для всех достаточно
малых а полином A 2m_i (х; а) просто равен 22m~2T2m_i (x).
Действительно, точки уклонения полинома Т2m-i (x)
даются формулой
кл
xk = — cos (k = 0, 1, 2, . . ., 2m— 1).
2m — 1
Число их равно 2m: точки х0, Xi, . . ., xm_i принадлежат
интервалу [—1, 0), а точки xm, xm+i, . . ., x2m-i —
интервалу @, 1]. Если' а -<! хт, то хт_х -<[ —а, и все
точки xk (к = 0, 1, . . ., 2т — 1) принадлежат интерва-
интервалам A). Поэтому полином 22т~2Г27П_1 (х) при а <! хт
является экстремальным на системе интервалов A), т. е.
совпадает с A2Tn-i (х, а)-
Если же
а
• xm = — cos
тпп
2тп — 1
= sin
2 Bm — 1) '
B)
то экстремальный многочлен будет иной. Действительно,
число точек уклонения на множестве A) должно равнять-
равняться 2т (в силу общей теоремы Чебышева), т. е. должно
остаться прежним, но на интервале [—ее, а] уклонение
уже будет большим, чем на интервалах A).
52] МНОГОЧЛЕНЫ, НАИМЕНЕЕ УКЛОНЯЮЩИЕСЯ ОТ НУЛЯ 211
Поэтому полином будет иметь максимум в некоторой точке х)
¦у интервала (— а, а), и значит, минимум в точке —у. Следова-
Следовательно, в интервале (— а, а) полином А2т-\ {х; а) примет значе-
значение L2m-\ («) в некоторой точке {5 и значение —-^2m-i (а) в точ-
точке — р. Если мы введем точки уклонения, лежащие в интер-
интервале 2) Га, 1]:
¦По = а < ill < T12 < • • • < Лт-i = 1.
и для простоты будем писать А (х) вместо A2m-i ix\ ос) и L
вместо Ь2та-1 («), то без труда придем к соотношениям
[А(Х)]2 — Z,2 = (a;2_p2)(a;2_a2)(a;2_l)(a:2_T12J _ (а.Я — r\m- i)»,
Из них вытекает, что
А' (х)
Отсюда
arcsin
А (х)
X
= Bт —1) f
C)
Делая подстановку х2 = t, мы получим справа эллиптический
интеграл. В формулу C) входят параметры {5, у, L. Мы можем
рассчитывать определить их из условия, что А2т-\ (x'i &) — много-
многочлен со старшим членом х2т~1. При этом мы ожидаем, что после
введения эллиптических функций из формулы C) получится пара-
параметрическое представление искомых полиномов.
Все это действительно верно. Однако к окончательному резуль-
результату можно прийти и без длинных вычислений, если воспользо-
воспользоваться некоторыми соображениями геометрической теории функций.
Впрочем, мы и на этом не остановимся, а сформулируем
и затем докажем готовый результат.
Этот результат гласит: пусть п = 2т — 1 (т > 1),
sin 7j— ; определим к (О <С А << 1) из уравнения
sn
п
D)
х) Эта точка единственна, так как иначе полное число точек
уклонения в открытом интервале (а, 1) было бы не больше, чем
т — 3, а значит, полное число точек уклонения на множестве A)
было бы не больше, чем 2 (т — 3) + 4 = 2т — 2.
а) Теперь а обязательно будет точкой уклонения.
14*

212
ОБОБЩЕНИЕ ЧЕБЫШЕВСКИХ ПОЛИНОМОВ [ГЛ. X
и положим
X =
а спи.
Va2-sn2u
E)
где радикал выбран так, что х = 1 при и = 0; в таком
случае
с = Kin, и
е(О)
G)
Таким образом, формулы E), F) дают параметрической
представление полинома, а формула G) — величину
уклонения.
Прежде всего нужно показать, что уравнение D) при
фиксированном п > 1 однозначно разрешимо относитель-
относительно к для любого а из интервала
(Sin Tn ' *) *
С этой целью перепишем уравнение D) в виде
1 tx
1 С dt = Г dt
~ 3 1/A — *2Н1— ?2*2) J Т/A_*2)A_
-q
Отсюда, дифференцируя по к, получим
i
" J 1
УA —*2) A —fe2f2) 1—
а
da. Г dt
_k2a2)~dk J 1/A—^ A —
или, в силу уравнения D),
к/п
• i^ = ±cn^-dn^f -^-cn^-dn.^M
' <й « « и J dn2 м w /г J
dv
52] МНОГОЧЛЕНЫ, НАИМЕНЕЕ УКЛОНЯЮЩИЕСЯ ОТ НУЛЯ 213
а значит,
К
, da • 1 л:1а:(>г1 ii,
А -77- = — en— dn — \ I т—s I dit.
d/s n ?г n J dn2 и и \
о I dn2 — I
и L п л
Так как и>1, 0-<А<;1, то правая часть >• 0. Поэтому с увели-
увеличением к от 0 до 1 переменная а монотонно растет: от a=sin-g-
до а = 1. Следовательно, при любом а из интервала (sin ^- , 1)
уравнение D) однозначно разрешимо относительно к.
Переходя к доказательству представления F), G),
введем функцию
спц II17 (с — ut
которую можно привести к виду
Ф(и)=;
^
(8)
где В — константа.
Из (8) видно непосредственно, что ф (—и) = ф (и),
а с помощью формул приведения тэта-функций легко
показать, что
Ф (и + 2К) = ф {и + 2iX') = ф (и).
Таким образом, ф (и) есть четная мероморфная функ-
функция от и с периодами 2К, 2iK'. Поэтому ф (и) — рацио-
рациональная функция от sn2 и, а значит,— рациональная
функция от
2 а2 A — sn2 и)
Х ~ 2 2 *
а — sn и
В параллелограмме периодов
— К < Ши < if, 0 < 3"
22Г
ZTj (и) обращается в нуль лишь при и = К. Однако в этой
точке обращается в нуль также числитель правой части
(8). Поэтому единственными особыми точками функции

214
ОБОБЩЕНИЕ ЧЕБЫШЕВСКИХ ПОЛИНОМОВ [ГЛ X.
ф (и) являются полюсы и = ±с, каждый из них — крат-
кратности т — 1. Так как х% также имеет полюс, и притом
простой, в точках и — ±с, то ф (и) — многочлен от х2,
и притом степени т — 1. Значит, правая часть формулы F)
есть нечетный многочлен степени 2т — 1 от ж.
Не представляющая труда проверка, которую мы впра-
вправе опустить, показывает, что при выборе коэффициента
Ln (а) согласно G) старшим членом правой части F)
будет х2т~х.
Заметим теперь, что с помощью формулы E) отрезок
мнимой оси u-плоскости от точки iK' до точки 0 переходит
в интервал [а2, 1] вещественной оси плоскости х. Поэтому
при а -^ х <; 1
= 1,
и значит,
\Ап(х; а) |< Ln(a).
В тех точках интервала а ^ х <^ 1, где
— arg —-—!—-
2 Н(с — и)
= т
иг — число целое, будет иметь место равенство
Ап(х; а) = ± Ln(a).
Нам остается проследить за изменением величины
Н(с-\-и)
arg
Н{с—и)
(9)
когда и пробегает отрезок мнимой оси от точки и = О
до точки и = 1К'. Мы примем, что величина (9) равна нулю
при и = 0. В силу формул приведения тэта-функций
Я —
Н (с -\- iK') \ п
H{c — i
Н — — И
— е
53] ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ НА ДВУХ ИНТЕРВАЛАХ^ 215
Поэтому величина (9) в точке и = iK' будет численно
;> я A — 1/тг) = 2 (т — 1) л/ге. Следовательно, много-
многочлен F) принимает в интервале [а, 1] свой максимум
с чередующимися знаками не менее х) т раз, а потому
и является экстремальным многочленом.
Наше утверждение, таким образом, доказано.
53. Ортогональные многочлены на двух интервалах.
Полиномы Чебышева образуют ортогональную систему
на интервале [—1, 1] относительно веса — A — t2)~1/2:
л
=0
— \ Tm(t)Tn(t)
я .>
{тФщ т, п = 0, 1, 2, . . .),
что непосредственно вытекает из определения полиномов
Чебышева, данного в § 52. Часто вместо полиномов Тп (х)
рассматривают полиномы
f Tn{x) (и
Тп (х) = < .-
= 0),
которые не только ортогональны, но и нормированы:
dt
I + \ "/ I Т\
тп
п
Tn{t)
— 1
Vi-t2
В этом параграфе мы займемся построением ортого-
ортогональных многочленов для случая, когда областью ортого-
ортогональности является пара конечных интервалов, а вес
представляет некоторое обобщение чебышевского веса.
Предварительно докажем одно вспомогательное пред-
предложение. Пусть весом является произвольная интегри-
интегрируемая функция р (i) ^- 0 в конечном интервале [а, Ъ].
Обозначим ортогональные полиномы Рп (х) (п^- 0), так
*) Многочлеп F) более пг точек уклонения в интервале [а, 1]
иметь не может. Поэтому 2 (пг — 1) л./п есть точное значение вели-
величины (9) в точке и = iK'.

216
ОБОБЩЕНИЕ ЧЕБЫШЕВСКИХ ПОЛИНОМОВ [ГЛ. X
53] ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ НА ДВУХ ИНТЕРВАЛАХ 217
что Рп (х) есть многочлен точно степени п, который при
п > 0 удовлетворяет равенствам
ь
Pn(x)zhp(x)dx = O (А = 0, 1, ..., я —1), A)
определяющим его с точностью до постоянного множителя.
Введем при каждом re ^ 1 многочлен Qn (x) степени
п — 1 по формуле
ъ
р (tj dti B)
Qn (x) называют полиномом второго рода.
Например, чебышевские полиномы _ второго рода
имеют вид
Un (х) =
sin ф п
Введем еще функцию
{х = cos
w(x)=\ P{t\ dt,
C)
аналитическую вне интервала [а, Ъ] вещественной оси
комплексной ^-плоскости. В силу определений B), C)
&
Qn (x)=Pn (x)w(x) -
X — t
p (t) dt.
Отсюда находим, что при j x \ —>¦ оо
Рп (х) w(x) - Qn (x) = О
D)
Действительно, благодаря равенствам A),
\ (О
X — t
¦p{t)dt = '
и поэтому
ь
Pn(i)
X — t
хп J х — t
а
Покажем теперь, что соотношение D) между Рп (х)
и Qn (x) является характеристическим для ортогонального
полинома и соответствующего полинома второго рода.
И в этом состоит упомянутое нами выше вспомогательное
предложение. Итак, пусть многочлен п-ж степени Рп (х),
многочлен (п — 1)-й степени Qn (x) и функция w (x),
определяемая равенством C), удовлетворяют соотноше-
соотношению D). Из этого соотношения следует, что
&
(*)
п (*)
X — t
р (t) dt - Qn (x)
ь
J x — t
p (t) dt =
Так как выражение в квадратных скобках — многочлен
(степени <^ п — 1), а остальные члены равенства стремят-
стремятся к нулю при |ж|-*-оо, то выражение в квадратных
скобках есть тождественный нуль, а значит, Qn (x) и Рп (х)
связаны соотношением vB) и, сверх того,
откуда следует, что
ь
Рг
Г tn Г хп — tn
\ Рп (о р (t) dt -i- \ pn (t)
J X — t J X — t
X
Второе слагаемое левой части — многочлен степени
— 1, а остальные члены равенства стремятся к нулю

218
ОБОБЩЕНИЕ ЧЕБЫШЕВСКИХ ПОЛИНОМОВ [ГЛ. X
при \х\ —> оо. Поэтому второе слагаемое левой части —
тождественный нуль, иначе говоря,
ft=O
= о,
но это означает, что выполнены соотношения A), и наше
предложение доказано, т. е. если многочлены Рп (х), Qn (x)
удовлетворяют соотношению D), a w (x) определяется
формулой C), то Рп (х) есть ортогональный многочлен
относительно веса р (х), a Qn (x) — соответствующий
многочлен второго рода.
Переходя к нашему конкретному случаю, примем, что
двумя заданными конечными интервалами числовой оси
являются [—1, а], [р, 1] (—1 < а < Р < 1). Точечное
множество в комплексной ^-плоскости, образованное эти-
этими интервалами, обозначим Щ. В качестве веса возьмем
функцию
р (!) =
t — а
n (* - P)
(а
(в предельном случае а = Р она переходит в чебышевский
вес). Теперь функция w (x) будет аналитической в плоско-
плоскости х, разрезанной вдоль Щ, а не только вне интервала
[—1, 1] вещественной оси.
Заметим, что в ^-плоскости, разрезанной вдоль Щ,
x — t
-1
(i _ e-) (t - p) я - *
= V
х — а
E)
если радикал в правой части положителен в какой-нибудь
выбранной вещественной точке х > 1, а затем продолжен
53] ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ НА ДВУХ ИНТЕРВАЛАХ 219
по непрерывности х). Таким образом,
/ \ 1 / х — а,
w (х) = 1/
у (^-1)^-6)'
Соотношение D) в рассматриваемом случае принимает вид
а так как при принятом соглашении относительно радикала
Рп (X)
(х2 -1){х- р)
то
или
(я - а) Pi (х) + A+х)(х- р) A - я) (?2П (ж) = О (х).
Здесь левая часть есть многочлен, следовательно, правая
часть равна Ах +"В, где А, В — какие-то постоянные
(зависящие, разумеется, от п). Поэтому мы пришли к соот-
соотношению
— а
а
х) Для доказательства равенства E) нужно к функции
)p)
применить интегральную формулу Коши, беря трехсвязную область,
ограниченную окружностью бесконечного радиуса и двумя оваль-
овальными кривыми, охватывающими отрезки [ — 1, а], [р, 1], а затем
овалы стянуть в указанные отрезки.
Из E), между прочим, следует, что
ТС J V (I_
t2)(t_p)

220
ОБОБЩЕНИЕ ЧЕБЫШЕВСКИХ ПОЛИНОМОВ [ГЛ. X
Оно является неопределенным уравнением, решая кото-
которое в многочленах, мы должны получить ортогональные
полиномы Рп (х) и полиномы второго рода Qn (х). Мы пока-
покажем, как это сделать с помощью эллиптических функций.
С этой целью прежде всего построим двухлистную рима-
нову поверхность % с точками ветвления —1, ее, |3, 1
и линиями перехода [—1, а], [|3, 1]. Функция w (x)
однозначна на этой поверхности $. На верхнем листе
(gf+) она совпадает с ранее определенной функцией в раз-
разрезанной плоскости. На нижнем листе (%~) она (в соответ-
соответствующих точках) отличается лишь знаком. Введем теперь
на gf функцию
Ш(х)=Рп(х)
п(х)
w(x)
Ax-j-B
(X-
w (x)
G)
В силу F) функция Ш {х) имеет корень кратности п
в бесконечно далекой точке листа %+ и поэтому (в силу
второго представления) полюс кратности п в бесконечно
далекой точке листа %~; кроме того, функция % (х) имеет
простой полюс в точке х = а, что видно из ее первого
представления, и еще один простой корень в некоторой
пока неизвестной нам точке. (Это видно из второго пред-
представления.)
В § 49 (пример 3) рассмотрено конформное отображение
прямоугольника u-плоскости на плоскость, разрезанную
вдоль Ш (теперь этой плоскостью будет лист %~).
Указанный прямоугольник Д~ задается неравенствами
причем модуль к @ < к <С 1) равен
-V:
к
A_а)A+Р)
(8)
53] ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЪ! НА ДВУХ ИНТЕРВАЛАХ 221
а отображение дается формулой
sn2 и en2 p -f- en2 и sn2 р
sn2u — sn2p
(9)
где параметр р @ < р < .ЙГ) определяется иэ уравнения
1—2sn2p = a. A0)
Таким образом, и = —р есть образ бесконечно далекой
точки листа %~. 4Те же формулы отображают симметрич-
симметричный относительно мнимой оси прямоугольник Д+ на лист
%*'. Следовательно, образом бесконечно далекой точки
листа gf+ будет и = р.
Вся риманова поверхность §г отображается на прямо-
прямоугольник
противоположные стороны которого должны быть отож-
отождествлены.
Из (8) — A0) нетрудно вывести следующие формулы:
х — а = -
1-а2
2(sn2M - sn p)
w
, . т/(х2 — 1) (х — ft) 2snpcn p snu.cnudnu
x — a
sn и
sn р
Мы видим, что w (х), как и следовало ожидать, является
функцией с периодами 2К, 2iK', а также, что переходу
от точки одного листа поверхности §г в соответствующую
точку другого листа отвечает изменение знака и.
Ш (х) является эллиптической функцией с периодами
2К, 2iK'. Из выделенных курсивом свойств ее на
поверхности g следует, что Ш (х) в прямоугольнике
периодов имеет: ?г-кратный корень в точке и = р, ге-крат-
ный полюс в точке и = —р, простой полюс в точке
и = iK' (так как при и =iK' обращается в нуль х — а)
и еще один простой корень в некоторой точке и0. Так как
по теореме Лиувилля
— np
snp
[mod BK, 2iK')],

222
ОБО БЩЕНИЕ ЧЕБЫШЕВСКИХ ПОЛИНОМОВ [ГЛ. X
ТО
(.
с \Н{и
1Н(и
- р)У Н(и + 2пр - iK')
\
Н (и — iK')
или, с другой константой С,
&(и)
Учитывая определение G) функции Щ (х), находим
в (и — 2пр)
w{x)
@(и)
Поэтому
*{)" 2
2гер)
в (и)
1Н(и — р)\ в (и) 1 '
Эта формула вместе с (9), (8), A0) дает параметрическое
представление ортогональных полиномов на паре интер-
интервалов при рассмотренном весе х). Условие нормировки
приводит к значению
Vie(p)
I/O (Bл — 1) р) 6 (Bп + 1) р) -
х) По поводу построений настоящего параграфа см.. две статьи
автора в сообщениях Харьковского математического общества
за 1934 и 1938 гг. Обобщение на случай п интервалов см. в статьях:
Н. И. А х я е з е р, Об ортогональных многочленах на нескольких
интервалах (ДАН СССР 134, № 1, 1960); Н. И. Ахиезер
иЮ Я. Томчук, К теории ортогональных многочленов на не-
нескольких интервалах (ДАН СССР 138, № 4, 1961); Ю. Я. Т о м-
ч у к, Ортогональные многочлены на системе интервалов чи-
числовой оси (Записки Харьковского математического общества,
т. XXIX, 1963).
ГЛАВА XI
РАЗЛИЧНЫЕ ДОПОЛНЕНИЯ И ПРИЛОЖЕНИЯ
54. Теорема Абеля. Пусть дано неприводимое алгебраи-
алгебраическое уравнение, т. е. уравнение вида
F(z, w) = 0, ' A)
где F (z, w) — многочлен от z и w, не представимый в виде
произведения двух аналогичных многочленов, каждый из
которых отличен от константы. Множество всех пар (z, w),
удовлетворяющих уравнению A), называют алгебраиче-
алгебраической кривой, а каждую пару (z, w) — точкой этой кривой.
Алгебраическая функция w = w (z), определяемая урав-
уравнением A), неоднозначна, за исключением случая, когда
уравнение A) линейно относительно w. Однако w можно
сделать однозначной функцией точки, если вместо комп-
комплексной плоскости взять некоторую многолистную по-
поверхность — риманову поверхность, принадлежащую
уравнению A). Одновременно с w na. этой поверхности
будут однозначны все рациональные функции В (z, w)
от z и w.
Если мы не прибегаем к упомянутой римановой поверх-
поверхности, а остаемся в комплексной плоскости, то для изу-
изучения функции w (z), а также функций В (z, w), в пло-
плоскости z делают определенные разрезы и рассматривают
каждую ветвь функции w (z) или функции R (z, w)
в отдельности.
Особенно просто картина выглядит в том случае, когда
уравнение .A) имеет вид
или
w2 = A (z — 04) (z — а2). . . (z — а2р+2)
wz = A (z — at) (z — a2,...(z — а2р+2),
B)
Bbis)

224 РАЗЛИЧНЫЕ ^ДОПОЛНЕНИЯ И ПРИЛОЖЕНИЯ [ГЛ. XI
где Bcectj (критические точки) различны между собой. Если
р = 1, мы получаем эллиптическую кривую х), при
р > 1 — гиперэллиптическую.
Здесь риманова поверхность состоит из двух листов.
Точками разветвления являются точки at, к которым в слу-
случае Bbis) присоединяется еще точка z = оо. Линии пере-
перехода могут быть выбраны по-разному, они не должны
лишь пересекаться. Например, в Случае уравнения B)
можно в качестве линий перехода принять дуги a2ft-i«2ft
(к = 1, 2, . . ., р -Ь !)• Плоскость с разрезами вдоль
этих дуг может быть использована, если мы изучаем
в отдельности каждую из двух ветвей функции w.
В случае, когда функция w определяется уравнением A)
общего вида, ее конечные критические точки являются
корнями уравнения 2)
D(z)=O,
которое получается исключением w из уравнения A)
и уравнения
6F(z, w)_^Q
dw
Интегралы вида
§i?(z, w)dz, C)
если в основу положено уравнение B) или Bbls) при/» = 1,
как мы знаем, называются эллиптическими интегралами.
При р > 1 они носят название гиперэллиптических
интегралов.
Эллиптические и гиперэллиптические интегралы, а так-
также элементарные интегралы
J R (z, Vaz2 -f- 6* -Ь c)dz,
являются частными случаями абелевых интегралов, под
которыми вообще понимаются интегралы вида C), где
w и z связаны неприводимым алгебраическим уравне-
уравнением A).
х) Она уже была определена и рассмотрена-в § 41.
2) Многочлен D (г) есть дискриминант уравнения A).
541
ТЕОРЕМА АБЕЛЯ
225
Значение абелева интеграла, взятого вдоль некоторой
линии, зависит не только от начала и конца, но и от соеди-
соединяющего их пути интегрирования. Если верхний предел
интеграла сделать переменным, то, следовательно, инте-
интеграл будет многозначной функцией от верхнего предела.
Например, мы видели, что различные значения
интеграла
dz
\
— g3
имеют вид ± и -f- 2mco + 2т'со', где и — одно из этих
значений, т, т' — произвольные целые числа, а со, со' —
полупериоды.
Абелевы интегралы C), принадлежащие общему урав-
уравнению A), разбивают на три группы. Это разбиение ана-
аналогично тому, которое было выше проделано с эллиптиче-
эллиптическими интегралами.
В основе классификации абелевых интегралов лежит
следующий принцип: интеграл называют интегралом пер-
первого рода, если он всюду конечен, элементарный интеграл
второго рода обращается в бесконечность в одной точке,
причем особенность имеет алгебраическую, наконец, эле-
элементарный интеграл третьего рода обращается в бесконеч-
бесконечность логарифмически в двух точках.
Припоминая §§ 17, 29, читатель легко проверит, что
эллиптические интегралы различных родов действительно
характеризуются только что указанными свойствами.
Мы не можем здесь касаться различных вопросов
обширной теории абелевых интегралов. Однако есть одна
теорема, весьма важная по приложениям и вместе с тем
достаточно простая в своем классическом варианте, кото-
которая должна быть изложена даже в элементарном курсе
эллиптических функций. Мы имеем в виду теорему Абеля.
Переходя к этой теореме, возьмем неприводимое урав-
уравнение A), определяющее алгебраическую функцию w (z).
Пусть, кроме того, дано второе алгебраическое уравнение
вида A), левая часть которого рационально зависит от
некоторого числа параметров а.\, а2, ¦ ¦ ., «ц. Чтобы избе-
избежать дополнительных чисто алгебраических рассмотре-
рассмотрений, ограничимся случаем, когда это второе уравнение
15 Н. И. Ахиезер

226
РАЗЛИЧНЫЕ ДОПОЛНЕНИЯ И ПРИЛОЖЕНИЯ [ГЛ. XI
имеет вид
w = g(z, at, a2, . . ., Дц), D)
где правая часть есть рациональная функция от своих
аргументов.
Исключая w из уравнений A) и D), получим уравнение
ф(г) = О, E)
где левая часть есть многочлен, коэффициенты которого
рационально зависят от параметров at.
.^Если оставить в стороне значения параметров at, свя-
связанные некоторыми алгебраическими соотношениями, то
уравнение E) будет иметь лишь простые корни. Обозна-
Обозначим их z1? z2, . . ., zN. С помощью уравнения D) найдем
соответствующие значения w: wt, w2, . . ., wN. Затем
образуем все пары (zt, wt) (i = 1, 2, . . ., N); тем самым
мы нашли все точки пересечения алгебраических кривых
A) и D).
Заметим, что какова бы ни была рациональная функ-
функция своих аргументов S (z, w), зависящая еще рациональ-
рационально от параметров at, сумма
S (zi7 wt) + S (z2, w2) -f- . . . -f- S (zN, wN)
в силу известной теоремы высшей алгебры является рацио-
рациональной функцией от параметров аг.
Теперь возьмем какую-нибудь точку (z0, w0) алгебраи-
алгебраической кривой A) и рассмотрим абелев интеграл
(zft, Ulft)
? R(z, w)dz, F)
(z0, w0)
взятый в плоскости z от точки z0 до-точки Zft по какому-
нибудь пути, который непрерывно переводит w из началь-
начального значения w0 в конечное значение wh. Сумму всех
интегралов F) обозначим V:
2
ft=l (z
R(z, w)dz.
)
Эта сумма, очевидно, зависит от значений параметров аг.
Если их изменять непрерывным образом и, сверх того,
так, чтобы изменяющиеся при этом точки z4, z2, . . ., zN
54]
ТЕОРЕМА АВЕЛЯ
227
не проходили ни через критические точки функции w,
ни через точки, где R (z, w) обращается в бесконечность,
то величина V также будет изменяться непрерывным
образом.
Теорема Абеля утверждает, что величина V равна рацио-
рациональной функции от параметров ах, а2, . . ., а^, сложен-
сложенной с суммой логарифмов подобных функций, умноженных
на постоянные числа.
Для доказательства этой теоремы заставим параметры
ах, а2, . . ., ай изменяться и найдем дифференциал функ-
функции V. Он равен
dV =
я=1
UZfi 7 "Zft 7
dfZj -| аа2 -{-... -f-
dzk
да,.
da») .
С другой стороны, дифференцируя по ах тождество
ф (zft) = 0, получаем
dzk
откуда
^Ф_Ы = 0
dzk дак дах
dzh
дах
dzh
где рх (zft) есть рациональная функция от zh и параметров
а±, а2, . . ., а^.
Теперь мы можем представить dV в виде
И ( N
dV — 2 da% I 2 R (zft, wk) px i
x=i U=i
Величина
N
2 R(zk, wh)px{zh)
есть симметрическая рациональная функция от пар
(Zft, wk), коэффициенты которой являются рациональными
функциями от параметров at, a2, . . ., ай. Следовательно,
15*

228 РАЗЛИЧНЫЕ ДОПОЛНЕНИЯ И ПРИЛОЖЕНИЯ [ГЛ. XI
эта величина есть рациональная функция от параметров
R(zk, wk)
= Rx (аи
Чтобы получить V, нужно проинтегрировать полный диф-
дифференциал
2
x=i
Это интегрирование приведет к рациональной функции от
параметров, сложенной с логарифмами таких функций,
умноженными на некоторые константы. Таким образом,
теорема Абеля доказана.
В особо интересном и важном случае, когда F) есть
интеграл первого рода, рационально-логарифмическая
функция от параметров at должна обратиться в констан-
константу и, следовательно, величина V равна постоянной.
Действительно, в противном случае можно было бы
указать значения параметров at, при которых величина V
обратилась бы в бесконечность, что невозможно, так как
интегралы первого рода всегда конечны.
Теоремой Абеля и этим замечанием можно воспользо-
воспользоваться для получения теоремы сложения функции '§>.
Здесь роль A) играет уравнение
wz — 4z3 — gzz — g3.
В качестве D) возьмем уравнение
w = a^z — а2- D)
Наконец, пусть интегралом является I — . Уравнение E)
примет вид
Ф (z) =4z3 — g2z — g3 — (atz + a2f = 0. E')
Пусть z1? z2, z3 — корни этого уравнения, которые мы
предположим простыми, a wt, w2, w3 — соответствующие
значения w. В таком случае, в силу теоремы Абеля
54]
ТЕОРЕМА АББЛЯ
229
и сделанного замечания
(zt, wt) ¦ (z2,
, w3)
idz , Г dz , Г йг л
Ь i Н \ — = С = const.
OO OO OO
Если мы прямую D') удалим на бесконечность, то в каж-
каждом из интегралов левой части верхний предел обратится
в оо. Это значит, что все три интеграла превратятся в инте-
интегралы, по замкнутым контурам, т. е. каждый из них будет
равен некоторому периоду. Поэтому
С = 2mco -f- 2m'со'.
Итак,
(z4, ш4) (z2, iu2) (Z3i "^
Г dz Г dz Г dz , ,
\ V \ Ь \ — = 2пгсо -f- 2m со .
OO OO OO
Пусть г)
Тогда наш результат можно сформулировать следующим
образом: если
щ -f- и2 + и3 =0 (modBco, 2co')),
то существуют такие at, a2, что
G)
§>' (u2) = a± <{р (щ) -f- a2)
<§>' (its) = a4 ^ (U3) + a2,
иначе говоря, из G) следует, что
8» ("О 8»' Ы
f (%) §*' () = 0.
f (u3) §»' (u.3)
Это есть одна из форм теоремы сложения функции
х) Предполагается, что ни одно из
модулю периодов.
не сравнимо с нулем пд

230
РАЗЛИЧНЫЕ ДОПОЛНЕНИЯ И ПРИЛОЖЕНИЯ [ГЛ. XI
Можно показать, что и другие теоремы сложения (на-
(например, теорема сложения функции L) включаются в тео-
теорему Абеля как частные случаи.
Конечно, особое значение эта теорема приобретает при
переходе к более сложным абелевым интегралам и в пер-
первую очередь к гиперэллиптическим интегралам.
Ограничимся здесь одним результатом, получаемым
с помощью теоремы Абеля.
Пусть рассматривается гиперэллиптическая кривая.
Всякая рациональная функция на ней, очевидно, имеет
вид
где А, В, С, D — многочлены. Чтобы получить точки
гиперэллиптической кривой, в которых функция G (z, w)
принимает некоторое значение а, нужно к уравнению B)
присоединить уравнение
G(z, w) = a. (8)
Но это последнее уравнение можно переписать в виде г)
w = g(z, a), D")
где правая часть есть рациональная функция от z и а.
Возьмем два значения параметра а: а' и а". Пусть
'k = {zh, wh)
= l, 2, ..., N)
— точки пересечения кривых B) и D") при а = а' и,
подобным образом,
(fc = l, 2, ..,, N)
— точки пересечения кривых B) и D") при а = а".
Мы предполагаем здесь, что
A (z) Б (г)
С (г) D (г)
На случае, когда это условие не выполнено, мы останавливаться
не будем.
54]
ТЕОРЕМА АБЕЛЯ
231
Возьмем какой-нибудь интеграл 1-го рода
. (z, w)
$ R(z, w)dz=O(P),
(z0, w0)
где P = (z, w), и рассмотрим суммы
2)
Каждая из этих сумм равна некоторой константе. Поэтому
Чтобы вычислить зту константу С, будем в интегралах
(zk, wk)
Ф(Р'и)= 5 R(z,w)dz (k = l, 2, ..., N)
(z0, LU0)
изменять верхние пределы с помощью непрерывного
изменения параметра а от значения а' до значения а".
В результате этой процедуры каждая разность
Ф {Р'и) — Ф (P'i) превратится в некоторый интеграл
по замкнутому контуру
. § R (z, w)dz= § йФ.
Tft " Г*
Поэтому
С = § с1Ф = §
N Г
есть также интеграл от <2Ф по некоторому «кратному»
замкнутому контуру, и этот контур от выбора интеграла
первого рода Ф не зависит, а величина § с1Ф представляет
г
некоторый период Ф.
Наш результат можно сформулировать следующим
образом х): пусть G — рациональная функция на гипер-
гиперэллиптической кривой и пусть Ф — произвольный инте-
интеграл первого рода; в таком случае сравнимы по модулю
х) Результат верен для любых алгебраических кривых, а не
только гиперэллиптических.

232
РАЗЛИЧНЫЕ ДОПОЛНЕНИЯ И ПРИЛОЖЕНИЯ [ГЛ. XI
периодов интеграла Ф сумма значений Ф в точках кривой,
где G = а', с суммой значений Ф в точках, где G = а".
Легко видеть, что этот результат является обобщением
одной из теорем Лиувилля об эллиптических функциях,
доказанных в § 4.
55. Функция Грина для кругового кольца. Пусть в пло-
плоскости комплексного переменного w дано круговое кольцо
G, ограниченное окружностями
w\ =
w\=h,
где заданное положительное число h меньше 1, и пусть
внутри кольца G дана некоторая точка с, которую, не нару-
нарушая общности, можно считать лежащей на положительной
половине вещественной оси, так что h <Z с <Z 1.
Поставим задачу найти аналитическую функцию / (w),
удовлетворяющую следующим условиям:
a) / (w) регулярна внутри и на границах области G,
b) | / (и>) | есть функция однозначная внутри G,
c) | / (w) | на границах кольца G равняется 1,
d) / (w) имеет простой нуль в точке ю = с, а в других
точках области G в нуль не обращается.
Легко видеть, что
ЭПп/(и;)=1п|/(ц;)|
есть не что иное, как функция Грина для кольцевой обла-
области G. Поэтому существование функции / (w) не подлежит
сомнению. Мало того, функция / (w) определяется одно-
однозначно, если не считать произвольного постоянного мно-
множителя, по модулю равного единице.
Функцию / (w) иногда называют комплексной функци-
Грина для рассматриваемого кольца.
ей
Положим
o = l /w, wx==h /w.
Точка wQ есть зеркальное отображение точки w относитель-
относительно внешней границы кольца G, а точка ю^ — относительно
внутренней.
Так как на каждой из границ кольца G функция / (w)
по модулю равна 1, то ее значения в точках iv0, wx связаны
55]
ФУНКЦИЯ ГРИНА ДЛЯ КРУГОВОГО КОЛЬЦА 233
со значением в точке w соотношениями
f(w)f(wo) = l, f(w)f(wi) = l. A)
Этими соотношениями функция / (w) аналитически про-
продолжается за пределы кольца G в два кольца, примыкаю-
примыкающих к G, затем в два дальнейших кольца и так далее,
а в пределе на всю ы;-плоскость, проколотую в точках
w = 0 и w = оо.
Так как / (iv) имеет простой нуль в точке с кольца G,
то в силу соотношений A) / (w) имеет простые полюсы
«7 = 1/с, w=h2fc.
Следовательно, снова в силу формул A) / (w) имеет про-
простые нули
w = c/h2, w = h2c.
Эти соображения показывают, что / (w) имеет простые
нули
w = h2kc (к = 0, ±1, ±2, . . .)
и простые полюсы
— О, ±1, ±2, ...),
а также, что других нулей и полюсов / (ю) не имеет.
На основании сказанного естественно ввести в рассмот-
рассмотрение функцию
_ см;)
\l-h2h — )
которая имеет те же нули и те же полюсы, что и / (w).
Заменяя w на w0 и на w±, получим
с2 F (w)
F(w)
B)

234
РАЗЛИЧНЫЕ ДОПОЛНЕНИЯ И ПРИЛОЖЕНИЯ [ГЛ. X
Поэтому функция F (w) соотношению A) не удовлетворя-
удовлетворяет, а значит, и не удовлетворяет требованию с).
Покажем, однако, что можно так определить веще-
вещественные константы X, [i, чтобы функция
\iwx F (w) = Fx (w)
удовлетворила также и требованию с). Действительно,
записывая условия A) для функции Fx (w), получим
F (w) pwfc F (w0) = 1,
F (w) iiw$ F (wj = 1.
На основании B) эти равенства принимают вид
откуда
р.
X — —
In с
Ink
Поэтому функция
In с
ln h F (w)
удовлетворяет всем требованиям задачи. Нетрудно выра-
выразить ее через тэта-функции. Необходимые для этого дант
ные содержит таблица IX.
Окончательное выражение для / (w) имеет вид
lnh
\nw — ln i
- ?-? \ 2ni
ln w + In с
2л i
C)
1
где т = —In h. После того как решение получено, можно
вместо множителя ±1 ввести ei8, где б — произвольное
вещественное число.
Иногда полезно другое выражение функции / (w),
а именно то, которое получается при переходе от т к — 1/т.
56]
ПРОБЛЕМА ДИРИХЛЕ ДЛЯ КРУГОВОГО КОЛЬЦА
235
На основании формул таблицы XVII без труда найдем
'in w — In с
In w -\-\nc
D)
56. Проблема Дирихле для кругового кольца. Пусть
в плоскости комплексного переменного w дано круговое
кольцо G, ограниченное окружностями
где заданное положительное число h меньше 1. Требуется
найти регулярную и однозначную внутри области G
функцию F (ю), если известны значения ее вещественной
части на границах кольца.
Для случая круга аналогичная задача решается фор-
формулой Шварца
2л
2я J 1 — we s
ds
A)
Здесь предполагается, что радиус круга равен 1, а поло-
положение точки на окружности определяется аргументом s
этой точки, так что Ф (s) представляет значение вещест-
вещественной части искомой функции в точке eis. Что касается
С, то это — произвольная вещественная константа.
Формула Шварца выводится и исследуется х) в курсах
теории аналитических функций при достаточно общих
предположениях относительно функции Ф (s).
х) Исходным пунктом этого исследования является формула
Пуассона
2л
U (r, s0) ^ KF
о
Ф (.) А, A
вытекающая из формулы Шварца A). Так как
2я
О
— 2r cos(s— j

236 РАЗЛИЧНЫЕ ДОПОЛНЕНИЯ И ПРИЛОЖЕНИЯ [ГЛ. XI
Нашей задачей является переход от круга к кольцу
и построение формулы, аналогичной формуле A).
Обозначим через Ф (s) и ф (s) значения вещественной
части искомой функции F (w) в точках с аргументом s
на внешней, соответственно внутренней, границе кольца
G. Нам нет надобности делать очень общие предположения
относительно функций Ф (s), ф (s), так как основной
нашей целью является выяснение того, как скажется
на формуле переход от односвязной области к двусвязной.
Достаточно предположить, что функции Ф (s) и ф (s)
ку со чно-непрерывны.
Величина
2я
-Ч
2л J
F (reis) ds =
2л i
F(w)
w
dw,
где интеграл справа берется по окружности радиуса г
(h<Zr<Z 1) с центром в точке w = О, очевидно, не зависит
от г. Тем же свойством обладает и вещественная часть
написанного интеграла. Отсюда, приближая вначале г
то
2я
U (г, *„) —ф Ы = ^
1 —
1 — 2r cos (s —
[Ф (*)
Если абсолютно интегрируемая функция Ф (s) непрерывна
в точке s0, то отсюда легко вывести, что
lim {/(г, 50) = ФЫ-
Действительно, с одной стороны величина 1\ будет по модулю
<С s для всех г@^г<|1), если б достаточно мало (в силу непре-
непрерывности Ф(«)), а с другой стороны, при фиксированном 6>0
величина /2 будет стремиться к 0 при г ->¦ 1 (в силу абсолютной
интегрируемости ф (s)),
56] ПРОБЛЕМА ДИРИХЛЕ ДЛЯ КРУГОВОГО КОЛЬЦА 237
к 1, а затем к А, и замечая, что в интеграле
2я
2я J
можно сделать требуемые предельные переходы, получим
2я 2я
J O(s)efe= J 9(s)ds. B)
о о
Это условие, таким образом, необходимо для разрешимо-
разрешимости поставленной нами проблемы, и мы должны пред-
предположить, что оно выполняется.
Допустим, что искомая функция F (w) существует.
В таком случае она может быть разложена в ряд Лорана:
оо
F(w)= S ahwh (А<|м;|<1). C)
ft=-oo
Коэффициенты этого ряда определяются формулами
(±A = 0, 1, 2, ...),
w
где интеграл можно взять по окружности w = re's
(h<C r<Z 1). Поэтому
2Я
ahrh=— \ F(reis)e~iksds (±ft = 0, 1, 2, . . .)•
2я J
Отсюда следует, что
Складывая, находим
2rt
Js\ —ihs
:— f F(reis)e~l/lsds.
о
r h
= i_ f e~th"St F (reia) ds.
" J
о

238
РАЗЛИЧНЫЕ ДОПОЛНЕНИЯ И ПРИЛОЖЕНИЯ [ГЛ. XI
В этом равенстве можно сделать предельный переход при
г ->• 1 и г —>- h. Мы получим следующие формулы:
2л
ah + о-ft =
я
<X>(s)e~l*eds,
о
2л
-f- a_
-И'
— iks
(s) e~ms ds.
Отсюда получаются коэффициенты а^, каждый в виде сум-
суммы двух интегралов. Теперь остается подставить их в
правую часть формулы C) и выполнить суммирование.
В результатете получается следующая формула, принад-
принадлежащая Билля:
F (w) = —^- \ Ф (s) ? ( In w s J ds —
я J \ яг я /
2jt
Я
Я!
Я
7, D)
где С — произвольная вещественная^ксшстанта, со —
произвольное положительное число, а чисто мнимое число
со' находится с помощью равенства
grtz" <d7<d __ д
и, наконец х), g (ы) = g (u | со,со').
Докажем теперь, что определяемая формулой D)
функция F (w) удовлетворяет всем требованиям задачи.
От этого доказательства мы не были бы избавлены и в
том случае, если бы мы выполнили упомянутое только что
суммирование и тем самым дали вывод формулы D), так
как весь этот вывод был основан на предположении, что
Заметим также (см. таблицу V), что
„/со, со Л , / *• / ш 1 ш
I —- Inw s — ш I +T1 =?з —г law-
56J
ПРОБЛЕМА ДИРИХЛЕ ДЛЯ КРУГОВОГО КОЛЬЦА
239
решение существует. Именно поэтому мы сочли возмож-
возможным упомянутый вывод опустить.
Регулярность внутри кольца G функции F (ю), опре-
определяемой формулой D), вытекает из того, что внутри этого
кольца регулярны обе функции
7- ( Ш 1 Ш \ f( Ю Л Ю Л
Q\ In ы; si, Q\ In ы; s—со 1.
\ я? я / \ яг я /
Однозначность есть следствие соотношения B). Дей-
Действительно, чтобы убедиться в однозначности функции D),
нужно показать, что эта функция не меняется, когда точ-
точка w описывает окружность: \w\ = r (h <Z r <Z 1). После
такого обхода правая часть D) примет вид
2л
я
ni
я
яг
я
Но в силу соотношения ? {и + 2со) =
величина равна
(и) + 2г\ эта
2я
2л
о о
На основании B) интегралы взаимно уничтожаются, так
что полученное выражение есть F (w), и однозначность
доказана.
Остается проверить, что вещественная часть функции
D) на границах кольца ? обращается в заданные функции.
Возьмем точку w0 = eis» на внешней границе кольца G
и точку w = reis<> (h <; г <z 1) с тем же аргументом внутри
кольца. Мы должны доказать, что
F(reis°)=O(s0),

240
РАЗЛИЧНЫЕ ДОПОЛНЕНИЯ И ПРИЛОЖЕНИЯ [ГЛ. XI
если только в точке s0 функция Ф (s) непрерывна. С этой
целью перепишем D) в виде
2л
i Г eis 4- reis°
F (rels°) = — \ Ф (s) . ^ . ds + iC +
K ' 2я J Kels- rels° ^ ^
о
2л
^ =- \ <D(s)<gl In г s + so\ —
n J I \ ni я я/
о
я; reis° + eis\ ,
: ! г- f ds
2co relSa — els)
[„/со, со ,co Л , ,1 ,
ф(»)|Е In г — s-\ sQ — со I H-T] i ds =
TW! \ ni я я / J
Выражение в фигурных скобках в интеграле /2 и дзета-
функция в интеграле J3 — равномерно непрерывные функ-
функции от г (Л1/2 -^ г ^ 1) при 0 <^ s <^ 2я. Поэтому к этим
двум интегралам применима элементарная теорема о пре-
предельном переходе (при г—>-1):
2л
r-*-i яЛ 1\я я/2со 2J
о
2л
т г ico Г . . _. / со со \ :
lim /3 =—г \ Ф (s) Сз I — s s0 I ds.
r-*i Я J \ Я Я /
о
Так как со и со'/? вещественны, то подынтегральные выра-
выражения в обоих интегралах вещественны, а потому lim Jz
и lim J3 имеют чисто мнимые значения. Следовательно,
r-s-1
остается рассмотреть поведение при г—>-1 вещественной
части суммы Jx -\- iC, но эта сумма совпадает с правой
частью формулы Шварца A).
57]
ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ
241
Аналогично доказывается, что SRF{w) стремится к
ф(з0), если точка w = reis<> приближается к heis°, a s0 —
точка непрерывности функции q>(s).
Таким образом, формула Билля D) полностью прове-
проверена.
57. Эллиптические координаты. Пусть даны положи-
положительные числа а, Ъ, с, удовлетворяющие неравенству
а > Ъ > с. Обозначим через X, Y, Z текущие координаты
точки, а через s — вещественный параметр. Тогда
Т--2 Х^2 rjZ
az-s
г-s
является уравнением семейства поверхностей второго
порядка, софокусных с эллипсоидом
У2
а2
A)
При этом, конечно, предполагается, что параметр s отли-
отличен от &2, с2 и удовлетворяет неравенству s < a2.
Положим теперь, что в пространстве взята некоторая
точка (х, у, z). Можно ли провести через нее поверхность
нашего семейства? Этот вопрос сводится к вопросу о суще-
существовании вещественных корней у следующего уравнения:
х
а2 — s
Ъ2-з
= 0.
С S
B)
Рассмотрим интервалы
( —оо, с2-е), (с2 + 8, &2-е), (б2+е, а2-е).
При достаточно малом положительном е функция / (s)
в этих интервалах непрерывна, а на концах каждого из них
имеет противоположные знаки. Следовательно, уравнение
B) обладает корнем в каждом из рассматриваемых интер-
интервалов, т. е. все три его корня вещественны. Назовем их
X, (г, v и пусть X <С \i <C v.
Мы видим, что через каждую точку (х, у, z) проходят
(рис. 24) три поверхности нашего семейства: корню X
16 н. И. Ахиезер

242 РАЗЛИЧНЫЕ ДОПОЛНЕНИЯ И ПРИЛОЖЕНИЯ [ГЛ. XI
отвечает эллипсоид, корню pi — однополостный гипербо-
гиперболоид и, наконец, корню v — двухполостный гиперболоид.
Величины X, pi, v можно рассматривать как координа-
координаты точки. Эти координаты называют эллиптическими
координатами относительно эллипсоида A). Следует иметь
в виду, что соответствие между декартовыми координатами
Рис. 24.
х, у, z ж эллиптическими Я, (г, v не является взаимно одно-
однозначным. Действительно, величины X, pi, v являются
функциями не от х, у., z, а от х2, у2, г2 и, следовательно,
те же эллиптические координаты X, pi, v, что и точка
(х, у, z), имеют точки (±#, dby, ±z). Однако если мы рас-
рассматриваем не все пространство, а лишь один октант, то
в нем эллиптические координаты вполне определяют точку.
На рис. 24 представлены координатные поверхности,
проходящие через данную точку.
57]
ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ
243
Теперь мы займемся выводом различных соотношений
и формул, которые полезны при применении эллиптических
координат.
В силу определения величин X, pi, v
1 —
х
if
а2 — s
-S
c2-s
х
_ (s-X)(s-lx)(s-v)
(a2 - s) (b2 - s) (c2 - s)'
Отсюда, умножая обе части на а2 — s и полагая s = а2,
будем иметь
. _ (а2 — X) (а2 — pi) (а2 —у)
(а2 _ б2) (а2 - с2) ' {dl)
Аналогично получаются формулы
2 _ (Ь2 — Я,) (Ь2 — pi) (Ь2 — у) ^|
{Ъ2 - с2) (Ъ2 - а2) ' I
„a_(c2-X)(c2-pi)(c2-v) \
(с2 - а2) (с2 - Ъ2) ¦
C2)
Пусть (х, у, z) — некоторая точка пространства
и пусть X, в/М, jff — координатные поверхности, прохо-
проходящие через нее. Направляющие косинусы нормалей
к этим поверхностям в рассматриваемой точке пропор-
пропорциональны следующим величинам:
х
У
х
а2—
У
х
У
а2 —v ' b2 — v ' с2 — v '
16*

244 РАЗЛИЧНЫЕ ДОПОЛНЕНИЯ И ПРИЛОЖЕНИЯ [ГЛ. XI
Заметим теперь, что
х2
z2
(а2 — X) {а2 — р) {Ъ2—Х){Ъ2-р) (с2 — X) (с2 — р.)
—х—„ L2 _
У
— Я.
а2 —
Ь2 — р. с2 — р.
Следовательно, поверхности X, о/Ж, Ж попарно ортого-
ортогональны.
Таким образом, эллиптические координаты представ-
представляют пример ортогональных криволинейных координат
в пространстве.
Найдем выражение дифференциала дуги в эллипти-
эллиптических координатах. Логарифмируя выражения Ct), C2)
и беря дифференциалы, получим
. dx
dX
d\L
dv
2"" "** I т" r
. о ' 2 I 2 :
x X — a p. — a v — a
dp.
dv
X~b2 + li-b2 ' v~b2'
&2 '
D)
dX dp, dv
1 n I
2 #
I \2 H 2
z A — с }x — с v — с
Эти формулы позволяют выразить
ds2 = da:2 + d/ + Jz2
через дифференциалы эллиптических координат. Окон-
Окончательная формула будет иметь вид
ds2 == L2 dX2 + M2 dfx2 + N2 dv2,
так как члены с произведениями различных дифферен-
дифференциалов исчезнут в силу ортогональности координатных
поверхностей.
Что касается коэффициентов L, М, N, то их отыскание
труда не представляет. Например, для L2 с помощью D)
57]
ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ
245
мы получим, следующее выражение:
4L2=- *2 ¦ у2 ¦
(az-XJ (Ь2-ХJ ' (с2-Х)
2'
Отсюда в силу C0, C2) получим
(а2 — р.) (а2 — v)
~~ (а2 - X) (а2 - Ъ2) (а2 - с2) +
{Ъ2-р){Ъ2-у) ,
(с2 - р.) (с2 - v)
(Ь2 - X) (Ъ2 - с2) (Ъ2 - а2) ^ (с2 - X) (с2 - а2) (с2 - Ъ2)'
а это после упрощений принимает вид
Аналогично найдем
(а2 — Х){Ъ2 — Х)(с2 — X) '
(p, — v)(li-X) ¦
(а*-р.)(Ъ2-11)(с2-р,) '
(v — X) (v — p.)
(a2 —v)(&3 —v)(c2 —v) "
E2)
Можно устранить неоднозначность соответствия между
эллиптическими и декартовыми координатами. С этой
целью выразим координаты X, p., v через эллиптические
функции.
Положим
A F)
и определим инварианты g2, g3 функции <§> из условия,
чтобы
4(a*-s)(b2-s)(c*-~s)=4%>3(U)-g2<(P(U)-g3. G)
Заменяя в F) s на a2, b2, с2 и соответственным образом
1? (U) на е3, е2, еи получим
— а2=е3 + А,

246
РАЗЛИЧНЫЕ ДОПОЛНЕНИЯ И ПРИЛОЖЕНИЯ [ГЛ. XI
откуда
Следовательно,
А= __
4-с2) — а2 =
b*-
c2-
a2-
-f-ca
3
fa2
3
i-b2
— 2a2
— 2b2
— 2c2
Мы имеем здесь вещественный случай, так как величины
eii ezi ез вещественны. Поэтому <в — число положитель-
положительное, а со' —чисто мнимое. Введем вместо эллиптических
координат h7 \x, v параметры и, и, w, заменяя в F) s на X,
[I, v, а U соответственно на и, и, w. Будем иметь
8» (у),
Теперь подставим эти выражения в формулы C^, C2) для
х2, у2, z2. Это дает
j^ - - - _
а2-\
а2-
3
- Ъ2 -}- с2
3
\-Ъ2 + с2
2 __
у) - е2] [<§> (w) - е2]
(е2 — ej) (e3 — ^j)
Как мы знаем (см. § 15), правые части являются квад-
квадратами некоторых мероморфных функций.
Поэтому, извлекая квадратные корни, мы получим
х, у, z как некоторые однозначные функции от параметров
57]
ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ
247
и, v, w. Беря при извлечении корня всюду знак +, при-
приходим к следующим формулам:
°"з {и) ст3 (v) 03 ("О
vv""" 0 (и) 0 (v) 0 (w) '
U/1 СТ2 (V ) СУ о (^^)
0 (и) 0 (v) a (w) '
а (и) 0 (v) о (w)
Заменим в этих формулах и на и + 2<»i, не меняя вели-
величин и, w. Так как
о"з(и +
0(U +
о(и +
0! (М-Ь
0 (U +
2000
-2щ)
2щ)
о
0
1 1
1 0
(м) '
(и)
(и) '
(м)
(м) '
то при указанной замене z не меняется, а х, у меняют лишь
знак. При прибавке других периодов к параметру и вели-
величины х, у, z подвергаются аналогичным изменениям,
как это показывает таблица
и
X
у ¦
z
и -f- 2@i
X
—у
z
и + 2@2
у
— z
и + 2<х>з
X
—у
Z
С другой стороны, при изменении знака перед и меняют
свой знак все три координаты х, у, z.
Таким образом, взятое представление декартовых
координат через параметры и, v, w пригодно при любых
комбинациях знаков этих декартовых координат.

248
РАЗЛИЧНЫЕ ДОПОЛНЕНИЯ И ПРИЛОЖЕНИЯ [ГЛ. XI
58. Уравнение Лапласа в эллиптических координатах.
Если в уравнение Лапласа
дх2
ду2
dz2
вместо декартовых координат х, у, z ввести какие-либо
ортогональные криволинейные координаты X, [i, v, то
преобразованное уравнение будет иметь вид
д ( MN Э<р \ , д ( NL ду\ д ( LM
дХ V L дХ ) ' Эц V М d\i )+ dv \ N
dv
где Lr M, N — функции, входящие в выражение диффе-
дифференциала дуги в этих координатах:
ds2 = L2 dX2 + M2 d\x2 -f- N2 dv2.
Этот принадлежащий еще Лямэ A834) факт обычно дока-
доказывается в курсах векторного анализа, и мы можем счи-
считать его известным.
Примем за X, p., v эллиптические координаты и восполь-
воспользуемся найденными в § 55 выражениями для L, М, N.
Мы получим тогда следующее уравнение:
где
R (р) = У (а2 - р) (Ъ2 - р) (с2 - р).
Введем теперь вместо координат X, pi, v величины и,
v, w. Формулы перехода приведены в § 57. В силу этих
формул наше уравнение перейдет в
A)
58] УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА В ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ КООРДИНАТАХ 249
Будем искать частное решение этого уравнения в виде
q, = U(u)V(v)W (w). B)
Подставляя это выражение в A), получим
U"VW {<§> (v) — <§> (w)} -Ь V"WU{%> (w) — g> (и)} +
откуда
U"
U
W"
V
W
Правая часть есть целая линейная функция от <§> (и).
Следовательно, должно иметь место равенство
1?- = А + В1?(и), C")
где А и В — константы. Кроме того, сравнение правых
частей равенств C'), C") дает
V" ф(ш) W" &(v)
А =
V
W"
— <§> (v)
1
W
V"
Умножая второе из этих уравнений на <§> (v) и складывая
с первым, получим
и аналогично найдем
W"
W "
Мы пришли, таким образом, к следующему результа-
результату: функция B) будет частным интегралом уравнения A),
если функции U, V, W удовлетворяют уравнению
А + В%>(х))у D)
соответственно при х — и, v, w, причем А, В — какие-то
константы.

250
РАЗЛИЧНЫЕ ДОПОЛНЕНИЯ И ПРИЛОЖЕНИЯ 1.ГЛ. XI
Полученное нами уравнение было впервые изучено
Лямэ. Он показал, что при В = п (п + 1), где п — це-
целое положительное число, и надлежащим образом подоб-
подобранных А написанное уравнение интегрируется в эллип-
эллиптических функциях. Для каждого натурального п он на-
нашел частное решение уравнения Лапласа и с помощью
этих частных решений образовал общее решение.
Дальнейшие исследования уравнения D) принадлежат
Эрмиту. Некоторые результаты Эрмита будут приведены
в § 59.
59. Уравнение Лямэ. Уравнение это есть частный
случай однородного линейного дифференциального урав-
уравнения, коэффициентами которого являются эллиптические
функции с одними и теми же периодами. Относительно
таких уравнений имеется одна общая теорема, принадле-
принадлежащая Пикару. Эта теорема утверждает, что если общий
интеграл такого уравнения есть функция мероморфная,
то это уравнение интегрируется при помощи двоякоперио-
дических функций второго рода с теми оке периодами.
При этом, следуя Эрмиту, функцию (мероморфную) / (и)
называют двоякопериодической функцией второго рода
с периодами 2со, 2со', если
где \х, \х' — константы (так называемые множители нашей
функции).
Так как нас интересует уравнение Лямэ, то докажем тео-рему
Пикара для случая уравнения второго порядка. Читатель легко,
усмотрит, как перенести доказательство на общий случай.
Итак, пусть дано уравнение
y"+f(x)y'+g(*)y = O,' A)
где / (х), g (х)— эллиптические функции с периодами 2<в, 2со'. Пусть
общий интеграл этого уравнения есть мероморфная функция от х.
Возьмем какой-нибудь частный интеграл
Функции ф(ж-|-2ш), ф(ж-|-4ш) будут также частными интегралами
нашего уравнения. А так как линейно независимых частных инте-
интегралов уравнение имеет всего два, то
ф(ж + 4ш) = а ф(*) + Р ф(ж + 2ш), B)
где а, Р—некоторые (определенные) константы.
59j УРАВНЕНИЕ ЛЯМЭ 251
Рассмотрим теперь функцию
которая является частным интегралом уравнения A) при любых
постоянных Х^, Х2- В силу B)
[а
= Я1 q> (х
Потребуем, чтобы г|з (я + 2ш) = ц г|) (з), где ц—константа. Это тре-
требование приводит к следующим соотношениям:
Отсюда получается уравнение для определения \а:
V2 — Н-Р — а = 0.
Когда \а найдено, система C) позволит найти отношение
Итак, найден частный интеграл г|) (х), для которого
¦\\>(х-\-2(о) = 1х г|)(ж). D)
Отправляясь от зтого частного интеграла и поступая с ним так же,
как раньше с ф (ж), но беря 2ш' вместо 2ю, найдем такую комби-
комбинацию:
(
для которой F (x-\-2e>') = ii' F (х), где fx' снова некоторая кон-
константа. Так как в силу D)
| = }х F(x),
то F (х\—двоякопериодическая функция второго рода. Но это есть
частный интеграл нашего уравнения.
Понизим с помощью этого интеграла порядок уравнения. Для
этого положим
y = F(x) {zdx.
Наше уравнение превратится в
F(x)z'-{-2 F' (x) z-\-f (x) F (x) z = 0
или
z' -
Коэффициентами этого уравнения являются эллиптические функ-
функции с прежними периодами.
Если бы мы рассматривали уравнение порядка п, а не второго
порядка, мы пришли бы к уравнению порядка п — 1 и должны
были бы для него повторить те рассуждения, которые были
применены к исходному уравнению. Мы получили бы, что новое

252
РАЗЛИЧНЫЕ ДОПОЛНЕНИЯ И ПРИЛОЖЕНИЯ [ГЛ. XI
уравнение имеет по крайней мере один частный интеграл, являю-
являющийся двоякопериодической функцией второго рода.
В настоящем же случае z находится непосредственно:
1 - J / <*) dx
и легко видеть, что это есть двоякопериодическая функция вто-
второго рода.
Таким образом, для рассматриваемого частного случая тео-
теорема Пикара доказана.
Теперь обратимся к уравнению Лямэ
E)
Предположим, что п — натуральное число, а на константу I мы
никаких ограничений накладывать не будем.
Общий интеграл этого уравнения есть мероморфная функция.
Для доказательства заметим, что особыми точками этого инте-
интеграла на конечном расстоянии могут быть лишь полюсы функ-
функции Р (и).
Возьмем, например, полюс ы = 0 и будем искать, следуя общим
приемам теории дифференциальных уравнений, частные интегралы
нашего уравнения в виде рядов, расположенных по степеням и.
Мы построим ряды, формально удовлетворяющие нашему уравне-
уравнению. Эти ряды будут содержать лишь целые степени и и притом
лишь конечное число членов с отрицательными степенями.
Так как сходимость этих рядов в некоторой окрестности
точки ы = 0 (за возможным исключением самой точки ы=0) может
быть доказана, то точка и = 0 будет либо регулярной точкой, либо
полюсом для интеграла. Применяя то же рассуждение и к дру-
другим полюсам функции Р (и), мы докажем мероморфность общего
интеграла нашего уравнения.
Итак, займемся отысканием рядов, формально удовлетворяю-
удовлетворяющих уравнению Лямэ.
Для удобства положим
.2Г-2
r=i'
и пусть
У=и" 2
ft=0
Подставляя эти ряды в уравнение, получим
,4=0
59]
УРАВНЕНИЕ ЛЯМЭ
253
Сравнение коэффициентов дает
Со со(а)=0,
С1со(а+1) = 0,
С2
С3
С 2то
С2ТО_1 со (ос
где а>(х)=х(х — 1) — п (га+1). Так как Со Ф 0, то а должно быть
корнем со (я), откуда либо а=п-\~1, либо а= -—п.
При каждом из этих предположений мы можем принять
/~| , /1 п л
о 1 — 03 — V 5 — •• • — "•
Для определения же коэффициентов CZh мы будем иметь урав-
уравнение
которое позволяет найти все t72ft, если со (а + 2/с) никогда не обра-
обращается в нуль. Но уравнение со (х) = 0 имеет, как мы указали, кор-
корни х = п -\- 1, х = —п, разность которых — число нечетное.
А так как со(а) = 0, то со (а + 2/с) при любом натуральном к будет
отлично от нуля. Мы видим, что ряды содержат лишь целые сте-
степени переменной, и число членов с отрицательными степенями
конечно. Тем самым утверждение можно считать доказанным.
Применим теорему Пикара.
Пусть ф (и) есть частный интеграл уравнения E),
являющийся двоякопериодической функцией второго
рода с множителями ц, \i'. Введем функцию
Ф(и)в-^_^М_=ф(и)|
о (и — а)
где X ж а — неопределенные константы. Прибавляя к и
периоды 2со, 2со', получим
па О (и)
^ц Ф (и)
а (и — а)
и
¦ф (и + 2со') = цге^'ае
Определим теперь а и Я так, чтобы
2со, 2со'. Для этого нужно, чтобы
\р (и),
(и) имела периоды
-2(ап-Яш)
-2(атГ-*.<¦>')

254 РАЗЛИЧНЫЕ ДОПОЛНЕНИЯ И ПРИЛОЖЕНИЯ [ГЛ. XI
60]
ТЕОРЕМЫ ПИКАРА О МЕРОМОРФНЫХ ФУНКЦИЯХ
255
или
1 1
соА- — т]а = -^-1пц, (о'Х — ц'а — -^-1п ц'.
Определитель этой системы т]'со — tjco' отличен от нуля..
Значит, требуемые величины а ж X существуют.
Поскольку -ф (и) — эллиптическая функция, то ее
можно выразить через сигма-функцию по полюсам и
нулям.
Мы примем, что функция ф (и) имела тг-кратный полюс
в точке и = 0. Поэтому \р (и) имеет в этой точке полюс
порядка п — 1. Кроме того, 1|) (и) имеет простой полюс в
точке и = а. Пусть а±, а2, . . ., ап — полная система ну-
нулей функции ф (и), причем
ап = а;
тогда
= С
° (и —
Следовательно,
ф (и) = Сё
яы о (и — ах) о (и — а2) . ¦ ¦ о (и — ап)
[а(и)]п
Полученная формула содержит константы X, %, а2, . . .
. . ., ап, которые должны быть определены так, чтобы
рассматриваемая функция удовлетворяла уравнению E).
Это определение констант особенно просто при п = 1.
Остановимся на этом случае подробнее.
Уравнение Лямэ будет
I + I] У- ¦ F)
Здесь частный интеграл имеет вид
о (и)
Желая подставить эту функцию в уравнение Лямэ F),
найдем логарифмическую производную от yt:
Ух
а) - ? (и);.
далее находим
— = <§ (и) - W (и + а) + [- X + Z (и + а) - I (и)]2.
У*-
Из F) следует, что должно иметь место тождество
2 <§ (и) + I = <§ (и) - <§> (и + а) + [- X + ? (и + а) - I (и)]2.
Его можно представить в виде
¦ f (и) + %о (и + а) + I = [- X + ? (и + а) - ? (u)f
ИЛИ
(и) - <§ (a)
(CL) Л —г~ "'
Это тождество будет иметь место тогда и только тогда, если
ЧР (а) = I, ? (а) = X. Таким образом, при п = 1 уравне-
уравнение Лямэ имеет частный интеграл
У i —
О)
о (и)
{а) = I).
Заменяя а на —а, найдем другой частный интеграл:
(u — a)
У 2 е
а (и)
Они будут линейно независимы, если а не есть полупе-
полупериод, т. е. если I =/= ek (к = 1, 2, 3).
60. Теоремы Пикара о мероморфных функциях.
В 1879 году Э. Пикар доказал две теоремы, которые ока-
оказали существенное влияние на дальнейшее развитие тео-
теории функций комплексного переменного.
Первая теорема Пикара гласит:
Если функция f (z), мероморфная в открытой плоскости,
выпускает (т. е. не принимает) более двух значений, то она
константа.
Заметим, что примеры мероморфных функций, выпу-
выпускающих два значения, строятся очень легко с помощью

256
РАЗЛИЧНЫЕ ДОПОЛНЕНИЯ И ПРИЛОЖЕНИЯ _ [ГЛ.
функции ez, выпускающей значения 0 и оо Так, функция
а — Ъе2
г («^6)
1 — е
не принимает обоих значений а, Ъ.
Приведем доказательство теоремы Пикара, принадлежащее
ее автору.
Пусть мероморфная функция / (г) выпускает три значения а, Ъ, с
(из них одно может быть бесконечным). В таком случае
gK >~с— a f{z) — b
выпускает значения 0, 1, оо и поэтому является целой функцией,
выпускающей значения 0, 1.
Вспомним модулярную функцию Я, = Я, (т), рассмотренную
в § 23. Эта функция отображает область Dz (см. рис. 8) на плос-
плоскость, разрезанную вдоль полуосей A, оо), (—оо, 0).
Обратная функция т = т (Я,), рассматриваемая в неразрезанной
Я,-плоскости, бесконечнозначна, причем ее единственными кри-
критическими точками являются Я, = 0, 1, оо. При обходе каждой
иэ этих точек величина т подвергается некоторому преобразова-
преобразованию группы Бг-
Рассмотрим теперь
X [^ (*)] = 6B), A)
как функцию от z. Пусть точка z описывает непрерывную кривую,
отправляясь от начального положения z0. Если мы выберем в точ-
точке zo одно из возможных значений функции G (z), а далее будем ее
определять с соблюдением непрерывности, то мы получим прежде
всего функцию, аналитическую в окрестности точки z0. Этот про-
процесс продолжения можно осуществить вдоль любого пути из точки z0
в любую точку zit так как функция g (z) нигде не примет ни одного
из критических значений 0,1, оо и, следовательно, во всех точках
кривой, которую при этом опишет точка к = g (z), функция т (Я.)
будет аналитической. Так как вся плоскость есть односвязная
область, то в силу теоремы монодромии функция G (z) однозначна
и, следовательно, сама является целой функцией1).
*) Нетрудно непосредственно доказать однозначность G (z).
Действительно, если бы на двух различных путях иэ zo в z± мы
получили различные значения для G (г±), так что при перемеще-
перемещении 2 по образованному этими путями замкнутому контуру G (z)
не вернулись бы к исходному значению, то это означало бы, что
точка Я, = g (z) описала в своей плоскости замкнутый контур,
внутри которого находится по крайней мере одна из двух критиче-
критических точек Я, = 0, Я, = 1. Однако в этом случае путь из z0 в z± можно
было бы так деформировать (здесь использована односвязность
плоскости), чтобы он прошел хотя бы через одну из этих критиче-
критических точек, но это исключено в силу того, что -g (z) не принимает
значений 0 и 1.
61]
ТЕОРЕМА ЛАНДАУ
257
Так как З'т > Cf, то функция A) всюду в плоскости z удовлетво-
удовлетворяет неравенству ^"fi (z) > 0. Поэтому функция
(z)
B)
удовлетворяет во всей плоскости переменного z неравенству
JG (z)
< 1.
По теореме Лиувилля функция B) должна быть константой, сле-
следовательно, является константой функция g (z), а значит, и исход-
исходная функция / (г).
Вторая теорема, получившая в дальнейшем название
большой теоремы Пикара, формулируется следующим
образом:
Если z0 — существенная особая точка однозначной
функции f (z), изолированная от других существенных осо-
особых точек этой функции, то в любой окрестности точки z0
функция f (z) выпускает самое большее два значения.
Данное Пикаром доказательство второй теоремы тех-
технически сложнее, но в идейном отношении аналогично
доказательству первой теоремы, и мы можем его не изла-
излагать.
Читателю, возможно, бросилось в глаза несоответст-
несоответствие между элементарностью формулировки теоремы Пика-
Пикара и ее доказательством, использующим весьма специаль-
специальную функцию. Это обстоятельство, конечно, было сразу
замечено и явилось стимулом для развития новых методов.
Первое «элементарное» доказательство теоремы Пика-
Пикара было дано Борелем в 1896 году.
В настоящее время круг вопросов, связанных с теоре-
теоремами Пикара, представляет одну из самых интересных
и красивых частей теории функций, богатую глубокими
результатами и замечательными общими методами.
Следует заметить, что в некоторых предложениях,
относящихся к рассматриваемому кругу Идей, устанав-
устанавливается наличие тех или иных оценок. При этом оказы-
оказывается, что для получения точных оценок введение моду-
модулярной функции неизбежно. В ближайшем параграфе мы
приведем одну из замечательнейших теорем этого рода.
61. Теорема Ландау. Эта теорема формулируется сле-
следующим образом: если степенной ряд
f (*) = «о + anzn
17 Ы. и. Ахжезер
an+iz
+ . . .
(ап Ф 0, п > 1)

258
РАЗЛИЧНЫЕ ДОПОЛНЕНИЯ И ПРИЛОЖЕНИЯ [ГЛ. XI
в круге радиуса R с центром в точке z = О сходится и не
принимает значений О, 1, то радиус этого круга R не
превосходит некоторой величины, зависящей лишь от а0,
ап
п:
a
п).
Как видим, в рассматриваемой теореме устанавливает-
устанавливается некоторая оценка, даваемая функцией ф (а0, ап, п).
В процессе доказательства теоремы Ландау мы найдем
точное выражение этой функции х).
Связь теоремы Ландау с теоремой Пикара, рассмотрен-
рассмотренной в § 60, очевидна.
Действительно, если не принимающая значений 0, 1
целая функция g (z) отлична от константы, то в ряду коэф-
коэффициентов а0, аи . . ., начиная со второго, найдется пер-
первый отличный от нуля, скажем, ап. По теореме Ландау
можно указать круг конечного радиуса, на окружности
которого g (z) имеет по крайней мере одну особую точку,
что противоречит условию.
Таким образом, теорема Пикара есть следствие теоремы
Ландау.
Переходим к доказательству теоремы Ландау. Возьмем функ-
функцию а)
2(:)-Т[/(г)]~Т(ао)
т [/(*)] —т(а0)- '
Здесь х (а0) есть одно из возможных значений функции т [/ (г)]
в точке z = 0. Значения т [/ (z)] в других точках круга \z\ <С R
выбраны так, чтобы соблюдалась непрерывность, й (z) есть регу-
регулярная функция в области \z\ < R, что доказывается так же,
как и соответствующее положение в теореме Пикара. Далее, как
легко видеть, | й (z) | < 1 при | z | < R и Q @) = 0. Так как
то для Q (z) получается разложение
г) Ландау доказал свою теорему в 1904 году. Излагаемое нами
доказательство, приводящее к точному выражению для функции
<р (а0, ап, п), принадлежит Каратеодори A905 год).
а) Функция т (А,) введена нами в § 60.
61 ^ ТЕОРЕМА ЛАНДАУ
В силу неравенств Коши
259
' Ы
2 3 т
и, значит,
остается доказать, что полученная нами оценка точная, т. е. что
Ф (ась ani п) =
ДЛЯ некотоРой Функции f (z) имело
|(о)|
то необходимо, чтобы для соответствующей функции
Q(z) =
удовлетворяющей неравенству
имело место равенство
~-
Но это значит, что модуль регулярной в круге функции
"~?п~ (ос)
должен достигнуть своего максимума в точке z = 0. Следовательно
рассматриваемое отношение (ос) должно быть константой:
Из равенства
найдем сначала
а затем и
_ , /т(а0) Д" —т (а0) ez"
¦)•
17*

260
РАЗЛИЧНЫЕ ДОПОЛНЕНИЯ И ПРИЛОЖЕНИЯ [ГЛ. XI
Возможность равенства
ап \-\ х' (ао)| '
таким образом доказана, т. е. оценка точна.
62. О мероморфных функциях, обладающих алгебраи-
алгебраической теоремой сложения. Мероморфная функция ф (z)
обладает алгебраической теоремой сложения, если имеет
место тождество
F (ф (zt + z2),
(z2)) = 0,
A)
где F —¦ целая рациональная функция своих аргументов.
Выше мы видели, что алгебраической теоремой сложе-
сложения обладает всякая эллиптическая функция. Алгебраи-
Алгебраическую теорему сложения имеют также (что без труда про-
проверяется непосредственно) вырождения эллиптических
функций, каковыми являются рациональные функции от z
и рациональные функции от eniz/@.
Вейерштрасс доказал, что других функций, имеющих
алгебраическую теорему сложения, не существует.
Мы приведем доказательство этой теоремы Вейерштрас-
са, принадлежащее Осгуду.
Итак, пусть мероморфная функция ф (z) обладает
алгебраической теоремой сложения A), где многочлен F
имеет степень т относительно первого аргумента. Пусть,
кроме того, дано, что ф (z) не является функцией рацио-
рациональной и, значит, z=oo есть ее существенная особая
точка.
Возьмем какое-нибудь число С, отличное от тех значе-
значений, которые ф (z) в окрестности точки z = сю выпуска-
выпускает. В таком случае (здесь используется большая теорема
Пикара) можно указать т -j- 1 различных точек ад так,
чтобы
С (/с = 0, 1, ..., т).
Затем выберем регулярную точку ? функции ф (z), вместе
с которой точки
ak-\-t, (fc = 0, 1, .. ., m)
также регулярны для ф (z).
62]
О МЕРОМОРФНЫХ ФУНКЦИЯХ
261
Очевидно, это же будет иметь место для всех z, доста-
достаточно близких к ?. Беря в качестве z какое-либо из ука-
указанных значений, рассмотрим уравнение
F(x, Ф(г), С) = 0. ¦ B)
Это уравнение имеет т + 1 корней х — ф (z + а-ь)¦ В силу
нашего условия все эти корни не могут быть различ-
различными. Значит, при каждом z из некоторой окрестности
точки ? имеет место равенство
Ф (* +я»-) = ф (*+'«.)¦
Пара (ar, as) может меняться при переходе от одного зна-
значения z к другому. Но так как этих значений z бесконечное
множество, а пар (аг, as) конечное число, то по крайней
мере для одной пары (ар, аа) равенство
Ф (z + лр) = ф (z + аа) C)
будет выполнено для бесчисленного множества точек z,
а эти точки z имеют предельную точку ?, в которой ф (z)
регулярна. Отсюда в силу теоремы единственности анали-
аналитических функций следует, что равенство C) является
тождеством. Но это означает, что ф (z) имеет период
аа — «р^
Таким образом, периодичность функции ф (z) доказана.
Если ф(г) — двояк опери одична, то утверждение теоремы
доказано. Поэтому остается рассмотреть второй возможный
случай, когда ф (z) однопериодична. Принимая для про-
простоты, что ее примитивным периодом является 2я, мы
должны доказать, что в этом случае ф (z) есть рациональ-
рациональная функция от w = etz. Отображение w = eiz переводит
полосу
0 < $z < 2я
в ^-плоскость, разрезанную вдоль полуоси @, сю), и нетруд-
нетрудно видеть, что ф (z) = ty (w) мероморфна в ^-плоскости,
проколотой в точках w = 0, сю. Если допустить, что хотя
бы одна из этих точек является для я)з (w) существенной
особенностью, то к \р (w) снова можно будет применить
теорему Пикара и указать, как и выше, т-\-1 различных
точек bk, в которых г]э (w) = С. Прообразы этих точек лежат
в полосе

262
РАЗЛИЧНЫЕ ДОПОЛНЕНИЯ И ПРИЛОЖЕНИЯ
[ГЛ. XI
Поэтому приведенное выше рассмотрение уравнения B)
покажет, что ф (z) имеет период, вещественная часть кото-
которого < 2и, что невозможно.
Тем самым теорема Вейерштрасса полностью доказана.
63. О рядах Фурье аналитических функций. В настоя-
настоящем параграфе мы будем рассматривать функции с перио-
периодом 2л, аналитические на вещественной оси.
Каждой такой функции / (z) принадлежит некоторая
полоса регулярности, т. е. наибольшая полоса, ограничен-
ограниченная двумя прямыми:
у =—а, у = Р (а>0, р>0),
внутри которой функция регулярна. На каждой из этих
прямых рассматриваемая функция / (z) имеет по крайней
мере одну особую точку.
Теорема 1. Пусть f (z) — аналитическая функ-
функция с периодом 2л, регулярная в замкнутой полосе
Пусть, далее,
(а>0, 6>0).
2
ikx
— ряд Фурье функции f (x).
В таком случае имеют место неравенства
2,
ck
\Ме
Me
,-hb 1
A)
где M — некоторая константа (от к не зависит).
Доказательство. Рассмотрим прямоугольник
с вершинами @, 0), Bл, 0), Bл, Ъ), (О, Ь). Внутри и на гра-
границе этого прямоугольника функция / (z) exhz регулярна.
Поэтому, применяя к этой функции теорему Коши, полу-
получим равенство
f / (х) eikx dx + if / Bл + iy) e'hv dy +
ikx—kb
63]
О РЯДАХ ФУРЬЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
263
В силу периодичности функции / (z) второй и четвер-
четвертый интегралы взаимно уничтожаются. Поэтому
e~hb
2nc-h = J / (х) eikx dx = e~hb $ f (x + ib) eikx dx.
о о
Отсюда и получаются неравенства
\c-h\^Me-hb (ft = O, 1, 2, ...),
где. М — максимум модуля функции / (z) в рассматривае-
рассматриваемой полосе,
Доказательство неравенств для сь. аналогично.
Теорема 2. Если имеют место неравенства
ь 1
то ряд
ikz
сходится равномерно и абсолютно в любой полосе, лежащей
целиком внутри полосы
— а<.у<.Ь, B)
и представляет регулярную аналитическую функцию с пе-
периодом 2л внутри полосы B).
Доказательство этой теоремы настолько просто, что
мы можем его опустить.
Следствие. Величины а, Р, определяющие полосу
регулярности функции f (z), равны
Л
а = lim In
ft—»-оо
= lim In
C2)
у I
Доказательство. Пусть числа а, Р опреде-
определяются формулами C^, C2). В таком случае при любом
е > 0 для всех достаточно больших к имеют место

264
РАЗЛИЧНЫЕ ДОПОЛНЕНИЯ И ПРИЛОЖЕНИЯ [ГЛ. ХГ
неравенства
-А(р-г)
Отсюда на основании теоремы 2 вытекает, что / (z) регу-
регулярна в полосе — (а. — е) < у <С р — е, а так как
е — число произвольное, то / (z) регулярна в полосе
— а < у < р.
Остается показать, что это есть наибольшая полоса,
где / (z) регулярна. Допуская противное, мы получили
бы в силу теоремы 1, что в неравенствах
можно взять Ъ
(к = 0 12
или в неравенствах
*а (к = 0 1 2
можно взять а > а.
В первом случае
lira In
p\
lim In
¦>cs.
а во втором
Но то и другое противоречит условию.
Заметим теперь, что если / (z) — функция целая, то
оба параметра ос, р бесконечно велики, и неравенства A).
имеют место при любых а > 0, Ъ > 0. Однако нужно
помнить, что Л/ есть функция от а, Ъ, которая неограни-
неограниченно растет при а—*- оо, Ъ ->- оо, если, конечно, / (z)
не является константой.
Прекрасный пример целых функций с вещественным
периодом (такой период можно всегда свести к 2л) пред-
представляют тэта-функции, которые мы ввели в самом начале
книги (§ 3).
Теперь мы рассмотрим некоторые мероморфные функ-
функции с вещественным периодом.
Возьмем функцию
2Kv BKv
sn = sn
к)
63] О РЯДАХ ФУРЬЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 265
где К — полный эллиптический интеграл первого рода
для модуля к. Эта функция имеет периоды 2л, niK'IK
и допускает разложение
оо
2Kv X1
sn = у cns\nnv.
л Z-J
71=1
Заменяя у на л — v, получим
оо
л Z-J
71=1
следовательно, с2п = 0 (п — 1, 2, . . .) и
2Kv
sn-
л
c2n-i
Bra — 1) v.
71=1
Для определения коэффициентов Фурье c2n-i имеем
формулу
2 Г 2^у . .«, ,. ,
-! =— \ sn sin Bn — l)vdv =
л J л
2 Г 2#у
= 1 sn
ni J л
„B71— 1) i v
dv.
Возьмем прямоугольник с вершинами в точках
л л л ,
л niK'
2 ~К~ '
Интегрируя функцию
Л
D)

266
РАЗЛИЧНЫЕ ДОПОЛНЕНИЯ И ПРИЛОЖЕНИЯ [ГЛ. XI
по границе этого прямоугольника и учитывая, что функ-
функция D) имеет период л, в силу чего интегралы по боковым
сторонам уничтожаются, находим
6
Л
я
я , niK'
2 ^ К
,
Jli
Г
J
i
Л
J
я niK'
ТГН к
= 4 Re's
Я
ИЛИ
так как
kK
Res
я
Bп—
= —— e ZK
к
Таким образом,
C2n—i =
2я
Наше разложение имеет, следовательно, вид
оо
\Kv 2я ^ hn~1/2 . .„ ,.
= у. —rsinBn — 1) v.
я kK ZJi-hZn'1
sn
п=1
63]
О РЯДАХ ФУРЬЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 267
Полосой сходимости здесь является
,(V , ^ rv- JtlK т
В той же полосе справедливы разложения
сп = ¦
kK
п=1
, 2Kv я , 2я
dn =
я 2К К
оо
2я N/1 hn cos 2rey
~FZJ \+hZn '
n=i
Все три функции имеют полюсы на границах этой полосы.

ТАБЛИЦЫ ВАЖНЕЙШИХ ФОРМУЛ
I. Основные тригонометрические функции
О (и) = и
?(«)--
Р(«)—;
gz= 6
ст (_ и) =
II.
П'(
Функции Вейерштрасса
?' (
tl [ и
2*
и
1
рз =
—
• 3
g
22
2
Ц [ ц2
4- 1 + " )~ d In a («)
s ' s * s2 J du ч у
1 1 1 _ w (ff)
-вJ S4
=140Е ^в-
«)=-?(»); Р(—и) = Р(«)
5 23.3-5-7
•3-5 23-5-7
2-5 ' 22.7 '
ТАБЛИЦЫ ВАЖНЕЙШИХ ФОРМУЛ
III. Соотношения однородности
260.
5 («) = ? (м 1 <»»
р (м) = Р (и| со
а (Яы | Ясо,
? (Ям | Ясо,
Р (Ям | Яш,
82 (X»,
ft»-.
Ясо';
Яш')
Яш')
Яш')
\а>')
а>') = о (и;
«>') = ? (и;
, ©') = ?('
; gz^gz(a
= Ха (и | со
=4е<»1
1
_ 1
_ 1 ,
, со')
ш, со')
со, со')
со')
со')
IV. Дифференциальное уравнение функции
е1е2 + «
1
16
= 4{Р(
2^3 + еЗе
(g2—27g
©! = ©,
И)-
О ^=
о
з)-
СОо
-Я2
0
1
-(*
Р(»
}{f
1
^3
-ш
(
^^ -1"' б^ 1
— СО * СО-
а = 1, 2,
1
= СО
3)

270 ТАБЛИЦЫ ВАЖНЕЙШИХ ФОРМУЛ
V. Прибавление периодов
ТАБЛИЦЫ ВАЖНЕЙШИХ ФОРМУЛ
271
р (и + 2ш) = Р (и + 2ш') = Р (и)
Т]<й'—Т)'й> =
"П2= —"Л—"Л
=1, 2, 3)
аа(и)=—в
а(Ша)
с) „
(а-1, 2, d)
а)аа(«) (а=1, 2, 3)
и) (р ф а; а, р=1, 2, 3)
(и)= -^-1паа(м) (а = 1, 2, 3)
Лв (о = 1, 2, 3)
VI. Теоремы
9
1 Р(м)
1 р (и)
1 Р (w)
V*»
-)=
р'
(и;
Р'О
сложения
-Р
("М
(и)
(«>
(и»)
v)
¦'«¦
= 0
2О1
функций
a (w+y) <
<J2 (И) <
1 Р'
¦'/ 1 Г) /V")
ffM-
1/Гг"
4 I P(
P'(w)i
— e )
ea
/\
(U)O2(U)C
[а(и)]в
Вейерттрасса
J(M_
та(!7)
и) г
, = 0
(а, Р,
= 1, 2,
.«
!
l'— J-» -^> ">
3)

272
ТАБЛИЦЫ ВАЖНЕЙШИХ ФОРМУЛ
VII. Вырождение функций Вейерштрасса
со' = оо, со конечно
1 / KUN 2
, ч 2@ 3! (~2о>У . ЯИ
*(«) = -?-' sm-2S-
9- I ч 1 / Я \2 я . ЯМ
^(") 3 12@ ) M+2a> ctg2ffl
*<"> 3 2») + UJ . 2я„
п- 27^ = 0
?2 2?2
/ Я \2 9^з „ 
( 2со ) ? ' 2^ 6
С0 = оо, Сй' = оо
ст (и) = и
^2=^3 = 0
ei = e2 = e3 = 0
ТАБЛИЦЫ ВАЖНЕЙШИХ ФОРМУЛ
273
VIII. Тэта-функции. Формулы приведения
1 Л2Т
1 9 25
¦fl-j (ь>) = 2й4 sin яь> — 2А4 sin Зяг; + 2h 4 sin 5яг;— ...
1 9 25
. $2 (*>) —2« cos яг; + 2А cos Зяг;-|-2А cos 5яг; + ...
¦fl-з (f) = 1 —(— 2/г cos 2яг;-)-2А4 cos 4яг; + 2А9 cos 6яг;+ • • •
2 \ — ¦*¦/ 2\/
:;|;:i|::r
1
Все тэта-функции удовлетворяют дифференциальному уравнению
dv^ дх
18 Н. И. Ахиезер

274 ТАБЛИЦЫ ВАЖНЕЙШИХ ФОРМУЛ
IX. Разложение тэта-функций в бесконечные произведения
= П d-
[]
со
Я3 = Ц A — Л»*-»)
HtH2H 3 =
JJ A
ft— 1
[]
¦б-о(г;) = #о Д A—
m + nr
#2 И
1 ,
от—2" +
пт
Нули
от-
тэта-функции
4+ (-*) *
от +
#0
("
(лг, я = 0, ±1, ±2, ...
Нулевые
1
&i @) = 2яА4Я
Хч v-M =^ •*-* 0*-* 2
= Я#2#з#0
значения
S
1
тэта-функции
¦&0 = $0 @) = ^
l
ТАБЛИЦЫ ВАЖНЕЙШИХ ФОРМУЛ
275
X. Различные разложения в простые ряды
со'
со
¦ = т
со
=«_ Л_ fiL^ 2f 1
CO I CO ) 1(Z — Z-l
h= 1
(
6 1 — 3,
со
ft=J
(l
oo
f-
ft— 1
CO
e3= H Z ТГ
CO
со; ^A_,
JL
— «3=— i ^
18"

276
ТАБЛИЦЫ ВАЖНЕЙШИХ ФОРМУЛ
XI. Другие обозначения тэта-функций
я
т
я л .
= — w| = -т- trl @ т)
= 0' *' 2'
Нули
2от^ + 2«1й:'
B/71 + 1) К +
+ 2niK'
в (ш)
2тХ +
+ Bп + 1)^'
6i(w)
B^ + 1)^: +
+ Bi» + l)iA-'
= o, ±1, ±2,
Ы
в
) =ь а Я (и)
0 (u
Н (и+21К')=—1хН (и)
в (u + 2sA'') = — ^в(и)
"') = ^Я1 (и)
ТАБЛИЦЫ ВАЖНЕЙШИХ ФОРМУЛ
277
XII. Функции Якоби
K я
Я4@)
^ /r et @)
VF ®
sn(i* + 2A)= — sn
en A4 + 2^)= —en
sn и
4K, 2iK'
' dnu
' dn и
-1
2/
14-
@)
@)
и; к
и; к
и
и
4К
и
и
1 К
1 К
\Ji-
к
¦\-2h-\-2h*-
1 9
-2h + 2h* +
l—2h-\
1 + 2/i-f
)- 1 ^
) j/Fi
) V в
(
Периоды
сп и
,2K + 2iK'
en
+ iK') 1
+ lK > k
(-2И +
-2Л4-)-.
r(«)
ft (и)
(и
(и)
)
;n(u + S
in(u+;
¦'
1 nix
/i —d ;
¦¦
ЛК')= —спи
HK')=— dnu
dn it
2K, UK'
(и + гА'
(Ы + l
dn и
en u
i*'
& cnu
sn u
спи
1
> ksau
. dnu
' k sn и ¦
, . en и
sn и

278 ТАБЛИЦЫ ВАЖНЕЙШИХ ФОРМУЛ
XIII. Некоторые значения функций Якоби
u-ZiK
u=iK'
»=0
a=0
П=\
'
У2=-00
Tz^k7 7z=-\
2=oo /2=0
/z= 00
/г-к' А=\
u=2H
;=dn (и.
ТАБЛИЦЫ ВАЖНЕЙШИХ ФОРМУЛ
279
XIV. Дифференцирование функций Якоби. Теоремы сложения
Z= СП U Z'2 = A —Z2) A _ fc2 4- fc2Z2)
—;—snu=cnit dn u
du
du
cnu=—sn it dn и
-:—dnu=—k^snu спи
du
sn
СП (u-f 1?) =
sn и en у dn у + sn v спи dn it
1—fc2 sn2 и sn2 у
en it en у — sn it dn и sny dn у
1 — fc2 sn2 и sn2 у
dn и dny—к2 sn it en и sny en 1
1 — fc2 sn2 it sn2 у
. . . .
Sn (it + У) Sn (U — У) = ;
u— sn2 v
. . en2 у — dn2 у sn2 u
СП (it+У) СП (It y)=—; 7-5 5 5
v ' ' v ' 1 — к a sn2 it sn2 у
dn (it + у) an (it — у) =
dn2 у — fc2 en2 у sn2 u

280 ТАБЛИЦЫ ВАЖНЕЙШИХ ФОРМУЛ
XV. Некоторые значения функций Якоби (продолжение)
sn-
en
К
sn—г- =
2 УГ+F
к
-
iK'
iK'
В нормальном случае @ <[ fc <; 1) все корни
арифметические
ТАБЛИЦЫ ВАЖНЕЙШИХ ФОРМУЛ 281
XVI. Эллиптические интегралы 1-го и 2-го рода
Если точки el5 e2, е3 лежат на одной прямой, то е2 означает
среднюю из^этих точек
г — ез
Г dt
3 УA_*2)A_
dt
Интеграл берется по прямолинейному пути с положитель-
положительным обходом по малой полуокружности точки t = l/\k\, если
1 <[ А;2 <^ оо (соответственно точки t = 1/ \ к' |, если 1 < к'2 <[ оо).
В нормальном случае (О < к <[ 1) все интегралы положительны..
, 1
К
о (и)
^u; *)
¦(»)=Jdn«*
*<»>=*<»>-¦!¦ »=w
J СП2И—fc'2A ^^ fe'2 Я4 (И)
_м_ JE__J 1 01 (и)

282 ТАБЛИЦЫ ВАЖНЕЙШИХ ФОРМУЛ
XVII. Преобразование тэта-функций (первой степени)
ТАБЛИЦЫ ВАЖНЕЙШИХ ФОРМУЛ
#1
«2
#3
#0
>
(v
(v
(v
(у
' X ' '
1
#1(»|т) = 1 4t(v\x-i
1
¦fl-g (j;| т^Фо (г?| т+1)
|т)=— i У—ix'e1 '""ЧЭ
| т) = у^ — ix' e Фд (т
|т)=У — гг'е1 "'"'¦б-з(т
|т) = У— JT'exmiJ"fl-2(T/
>о.
-1)
>i (x'v
'v | %')
v\x)
1
. 2_
TO
яг
XVIII. Первое главное
X =
a»
ik
К
M
f u
{ M '
' и
{ж-
преобразование первой степени
—-г
.т, iK'+K
lL ' М
. \ 1 sn (и; fc)
) М dn (u; fc)
.Л en (u; fc)
/ dn (и; fc)
/ dii (и; fc)
XIX. Второе главное преобразование первой степени
A. = fc'
гх:'
X/ —
М
sn
*¦¦*¦)-
м=—
i
,f K
1 sn (и; fc
Ж en (и; fc
1
en I -Yj-; X = ? =—
V М I сп (и; fc)
dn
ц у\ _ dn(tt; fc)
М ' ) СП (и; fc)
283
XX.
X
L.
1 и
sn \м
\ м
п[ м
Преобразование
1 — fc'
L' -
\ 1 sn(u
' ^J dn
Ландена
1
К'
; fc) en (и; fc)
in (и; fc)
')sn2(it; fc)
{и; fc)
(«; *)
XXI.
Преобразование
Гаусса
* ^VJ M «i*
1 + fc 1 + fc
T — K f'K'
~ М 2М
( и
sn[W'
\ M
\ M
'&2 I ^
'б'з ( y
, Л 1 sn (и; fc)
J M 1+fc sn2 (м; fc)
, \ en (it; k) dn (u; k)
) l + fcsn2(u; fc)
V l + ftsn»(«;A)
x \ 2*1 (» | т) *0 (» 1 т)
2^ *2(o
il»
-*!C|t)
ИIX,

284 ТАБЛИЦЫ ВАЖНЕЙШИХ ФОРМУЛ
XXII. Первое главное преобразование w-й степени
А. п—нечетное число
(it; k)
г=1
п-1
JL;
М '
. sn2 (и; к)
(u; к)ТТ -л =- С-2?=1 -
v ; 11 1—A2c2rsn2(u; к)
n-1
2
dn
r=l
— fc2c2rsn2 (it; к)
В. п—четное число
-г-
^; fc)
sn
СП
r=l
n
"
sn2 (и;
lf1" ' J M en (и; fc) II I — &2c2r_i sna (и;
fc)
u; A)
I —
(и;
r=l
*; к)
ТАБЛИЦЫ ВАЖНЕЙШИХ ФОРМУЛ 285
XXIII. Второе главное преобразование п-й степени
г
n Q2 | f['
в* ( 2/>~1 й
"г , / гК'
\ п
1 и . \
1м • ;
А. п—нечетное число
/ и .\
т\м ' /
В. п — четное число
СП 1
и 1 \ i
М'к) сп("'
п
\ 'J
г=1
/С Я'
м ' «м
м \\
1 зп(м- fc) П
г=1 1
п-1
2
cn(irk) U1-
п—1
2
, . 7Ч тт 1 — в
dn (u; «) 1 I
Л1! и
—— 1
П
т
— 62r-i sn2 (и; к)
л | sn2 (и; fc)
с2г-1
, sn2 (w; &)
sn2 (и; fc)
C2r-1
б2г sn2(u; fc)
sn2 (u; fc)
2r_i sn2 (f/; fc)
C2r-1
1—jS2r sn2 (u; fc)
sn2(u; fc)
C2r-1

286
ТАБЛИЦЫ ВАЖНЕЙШИХ ФОРМУЛ
XXIV. Некоторые интегралы
\ sn и du = — ln(dn u-\-k en и)
\ сп и du = — In (dn и — ik sn и)
\ dn и du = i In (en и— isnu)
I
С
J
du
sn и
du
en и
= ln
dnu — en и
sn и
1 , dnit+fc sn и
= -гу- 1П
к сп и
1 , cnu-\-ik' snu

an и
-гтт-
ik
dn и
sn
en и
en и
dn и
dn и
sn и
sn и
dn и
en и
sn и
dn и
en и
¦ du =-
dn it + fc'
en и
, 1 , 1 —к sn и
du= г- In =
к dn и
, 1 —en iu
sn и
ik' — к сп и
du =.-
In
du = \n
du=ln
~kk' *"~ dn и
1 — dn и
snu
1 + sn и
en u
I
en2 и
sn и
du =-
dn и
i
en и
sn2 и
en и
dn"u
dn и
sn2 и
dnu
en2 и
* СП И
1 СП U
ft'2 dn И
dn и
du= —
du =
sn и
sn и
dnu
en и
sn и
sn и
en
ТАБЛИЦЫ ВАЖНЕЙШИХ ФОРМУЛ
XXV. Вычисление эллиптических интегралов
в вещественном случае
287
I
II
III
IV
V
...
f 6 sn u
«2 — f>2
«2
a2— Ж2) (&2 4-. Ж2)
a2
a2 + 62
a2 + 62
a2 fe2
a2 X
(X% < 62)
-a dn и
Ж2<«2
->-
en и
сп и
sn и

ТАБЛИЦЫ ЗНАЧЕНИЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ИНТЕГРАЛОВ
I. Полные эллиптические интегралы
К=
dt
_jJ)(i_№>), E=
L —J2
dt
a"
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
*2 = sin2a
0,00000
0,00030
0,00122
0,00274
0,00487
0,00760
0,01093
0,01485
0,01937
0,02447
0,03015
0,03641
0,04323
0,05060
0,05853
0,06699
0,07598
0,08548
0,09549
0, 10599
0, 11698
0,12843
0, 14033
0, 15267
0, 16543
0, 17861
0, 19217
0,20611
К
1,57080
1,57092
1,57127
1,57187
1,57271
1,57379
1,57511
1,57668
1,57849
1,58054
1,58284
1,58539
1,58820
1,59125
1,59457
1,59814
1,60198
1,60608
1,61045
1,61510
1,62003
1,62523
1,63073
1,63652
1,64260
1,64900
1,65570
1,66272
E || a°
1,57080
1,57068
1,57032
1,56972
1,56888
1,56781
1,56650
1,56495
1,56316
1,56114
1,55889
1,55640
1,55368
1,55073
1,54755
1,54415
1,54052
1,53667
1,53260
1,52831
1,52380
1,51908
1,51415
1,50901
1,50366
1,49811
1,49237
1,48643
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
' 46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
(j2 — Sin*^ Ct
0,22040
0,23504
0,25000
0,26526
0,28081
0,29663
0,31270
0,32899
0,34549
0,36218
0,37904
0,39604
0,41318
0,43041
0,44774
0,46512
0 ,.48255
0,50000
0,51745
0,53488
0,55226
0,56959
0,58682
0,60396
0,62096
0,63782
0,65451
0,6710.1
К
1,67006
[,67773
[,68575
[,69411
[,70284
[,71192
[,72139
[,73125
1,74150
1,75217
1,76326
1,77479
1,78677
1,79922
1,81216
1,82560
1,83957
1,85407
1,86915
1,88481
1,90108
1,91800
1,93558
1,95386
1,97288
1,99267
2,01327
2,03472
E
1,48029
1,47397
1,46746
1,46077
1,45391
1,44687
1,43966
1,43229
1,42476
1,41707
1,40924
1,40126
1,39314
'1,38489
1,37650
1,36800
1,35938
1,35064
1,34181
1,33287
1,32384
1,31473
1,30554
1,2.9628
1,28695
1,27757
1,26815
1,25868
ТАБЛИЦЫ ЗНАЧЕНИЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ИНТЕГРАЛОВ 289
Продолжение
а"
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70,
70,
71,
71,
72,
72,
73,
73,
74,
74,
75,
75,
76,
76,
77
77
78
78
79
79
80
80
80
80
80
81
81
81
81
81
82
82
0
5
0
5
0
5
0
5
0
5
0
5
0
5
0
5
0
5
0
5
0
2
4
6
.8
,0
,2
,4
,6
.8
,0
,2
№ = sin2 а]
0,68730
0,70337
0,71919
0,73474
0,75000
0,76496
0,77960
0,79389
0,80783
0,82139
0,83457
0,84733
0,85967
0,87157
0,88302
0,88857
0,89401
0,89932
0,90451
0,90958
0,91452
0,91934
0,92402
0,92858
0,93301
0,93731
0,94147
0,94550
0,94940
0,95315
0,95677
0,96025
0,96359
0,96679
0,96985
0,97103
0,97219
0,97332
0,97444
0,97553
0,97660
0,97764
0,97866
0,97966
0,98063
0,98158
2 ,
2 ,
2,
2 ,
2,
2,
2,
2,
2,
2,
2,
2,
2,
2,
2,
2,
2,
2,
2,
2,
2,
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
К
05706
08036
10466
13002
15652
18421
21319
24355
27538
30879
34390
38087
41984
46100
50455
52729
55073
57490
59982
62555
65214
67962
70807
73752
76806
79975
83267
86691
90256
93974
97857
01918
06173
10640
15339
,17288
,19280
,21317
,23400
,25530
,27711
,29945
,32234
,34580
,36987
,39457
1,
1,
1,
1,
1,
1,
1,
1,
1,
1,
1,
1,
1,
1,
1,
1,
1,
1,
1,
1,
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Е |
24918
23966
23013
22059
21106
20154
19205
18259
17318
16383
15455
14535
13624
12725
11838
11399
10964
10533
10106
09683
09265
08851
08443
08039
07641
07248
06861
06480
06106
05738
05378
05024
04679
,04341
04011
,03882
,03754
,03628
,03503
,03379
,03257
,03136
,03017
,02900
,02784
,02670
а°
82,
82,
82,
83,
83,
83,
83,
83,
84,
84,
84,
84,
84,
85,
85,
85,
85
85
86
86
86
86
86
87
87
87
87
87
88
88
88
88
88
89
89
89
89
89
89
89
89
89
89
90
4
6
8
0
2
4
6
8
0
2
4
6
8
0
2
4
6
8
0
2
4
6
8
0
2
4
6
8
0
2
4
6
,8
,0
, 1
.2
,3
,4
,5
,6
,7
,8
,9
,0
fc2 =
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
'0
0
0
1
1
= sin2 а
98251
98341
98429
98515
98598
98680
98757
98834
98907
98979
99048
99114
99178
99240
99300
99357
99411
99464
99513
99561
99606
99648
99688
99728
99761
99794
99825
99854
99878
99901
99922
99940
99956
99970
99975
,99981
,99985
,99989
,99992
,99995
,99997
,99999
,00000
,00000
3,
3,
3,
3,
3,
3,
3,
3,
3,
3,
3,
3,
3,
3,
3,
3,
3,
4,
4,
4,
4,
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
5
5
5
5
5
5
5
6
6
6
7
7
К
41994
44601
47282
50042
52884
55814
58837
61959
65186
68525
71984
75572
79298
83174
87211
91423
95827
00437
05276
10368
15736
21416
27444
33865
40733
48115
56090
64765
74272
84785
96542
09876
25274
43491
,54020
,65792
,79140
,94550
, 12778
,35088
,63854
,04398
,73711
СО
Е
1,02558
1,02447
1,02338
1,02231
1,02126
1,02023
1,01921
1,01821
1,01724
1,01628
1,01534
1,01443
1,01354
1,01266
1,01181
1,01099
1,01018
1,00940
1,00865
1,00792
1,00721
1,00653
1,00588
1,00526
1,00466
1,00410
1,00356
1,00306
1,00258
1,00215
1,00174
1,00137
1,00104
1,00075
1,00082
1,00050
1,00039
1,00030
1,00021
1,00014
1,00008
1,00004
1,00001
1,00000
19 н. И. Ахиезер

290 ТАБЛИЦЫ ЗНАЧЕНИЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ИНТЕГРАЛОВ
hi
0,00
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
0,08
0,09
0,10
0, 11
0,12
0,13
0, 14
0, 15
0, 16
0,17
0, 18
0,19
0,20
0,21
0,22
0,23
0,24
0,25
0,26
0,27
0,28
0,29
0,30
0,31
0,32
0,33
0,34
0,35
0,36
0,37
0,38
0,3 9
0,4 0
0,41
0,42
0,43
0,44
0,4 5
0,46
0,47
0,48
0,49
0,50
fc'2
К
1,57080
1,57475
1,57874
1,58278
1,58687
1,59100
1,59519
1,59942
1,60371
1,60805
1,61244
1,61689
1,62139
1,62595
1,63058
1,63526
1,64000
1,64481
1,64968
1,65462
1,65962
1,66470
1,66985
1,67507
1,68037
1,68575
1,69121
1,69675
1,70237
1,70809
1,71389
1,71978
1,72577
1,73186
1,73805
1,74435
1,75075
1,75727
1,76390
1,77065
1,77752
1,78452
1,79165
1,79892
1,80633
1,81388
1,82159
1,82946
1,83749
1,84569
1,85407
К'
К'
оо
3,69564
3,35414
3,15587
3,01611
2,90834
2,82075
2,74707
2,68355
2,627 77
2,57809
2,53333
2,49264
2,45534
2,42093
2,38902
2,35926
2,33141
2,30523
2,28055
2,25721
2,23507
2,21402
2,19397
2,17483
2,15652
2, 13897
2, 12213
2, 10595
2,09037
2,07536
2,06088
2,04689
2,03336
2,02028
2,00760
1,99530
1,98337
1,97178
1,96052
1,94957
1,93891
1,92853
1,91841
1,90855
1,89892
1,88953
1,88036
1,87140
1,86264
1,85407
К
К' /К
оо
2,34682
2, 12457
1,99388
1,90067
1,82799
1,76828
1,71754
1,67334
1,63414
1,59887
1,56680
1,53734
1,51009
1,48471
1,46094
1,43858
1,41744
1,39738
1,37829
1,36007
1,34262
1,32588
1,30978
1,29425
1,27926
1,26476
1,25070
1,23707
1,22381
1,21091
1, 19834
1, 18607
1,17409
1,16238
1, 15091
1,13986
1,12867
1, 11786
1,10723
1,09679
1,08652
1,07640
1,06642
1,05659
1,04688
1;03730
1,02782
1,01845
1,00918
1,00000
К/К'
К /К'
0,00000
0,42611
0,47068
0,50153
0,52613
0,54705
0,56552
0,58223
0,59761
0,61194
0,62544
0,63825
0,65047
0,66221
0,67353
0,68449
0,69513
0,70550
0,71562
0,72553
0,73526
0,74481
0,75422
0,76349
0,77265
0,78171
0,79066
0,79955
0,80836
0,81712-
0,82583
0,83449
0,84312
0,85172
0,86030
0,86887
0,87744
0,88600
0,89457
0,90315
0,91175
0,92037
0,92903
0,93771
0,94644
0,95522
0,96404
0,97293
0,98188
0,99090
1,00000
К'/К
In h
—оо
0,79806-4
0,10129-3
0,27960-3
0,40677-3
0,50393-3
0,58738-3
0,65663-3
0,71693-3
0,77042-3
0,81853-3
0,86230-3
0,90249-3
0,93967-3
0,97430-3
0,00672-2
0,03724-2
0,06608-2
0,09344-2
0,11949-2
0,14435-2
0,16816-2
0,19099-2
0,21297-2
0,23415-2
0,25461-2
0,27439-2
0,29356-2
0,31218-2
0,33026-2
0,34787-2
0,36502-2
0,38175-2
0,39810-2
0,41408-2
0,42972-2
0,44504-2
0,46007-2
0,47482-2
0,48932-2
0^50356-2
0,51758-2
0,53139-2
0,54500-2
0,55841-2
0,57166-2
0,58474-2
0,59766-2
0,61045-2
0,62310-2
0,63562-2
In h'
In h'
0,00000
0,'i 1863-1
0,35781-1
0,31572-1
0,28216-1
0,25362-1
0,22842-1
0,20562-1
0,18464-1
0,16508-1
0.1466G-1
0,12919-1
0,11251-1
0,09649-1
0,08105-1
0,06610-1
0,05158-1
0,03743-1
0,02362-1
0,01010-1
0,99683-2
0,98380-2
0,97097-2
0,95831-2
0,94582-2
0,93347-2
0,92124-2
0,90911-2
0,89709-2
0,88514-2
0,87,326-2
0,86144-2
0,84967-2
0,83793-2
0,82622-2
0,81453-2
0,80284-2
0,79116-2
0,77947-2
0,76776-2
0,75603-2
0,74426-2
0,73246-2
0,72061-2
0,70870-2
0,69673-2
0,68468-2
0,67256-2
0,66035-2
0,64804-2
0,63562-2
In h
к'*
1,00
0,99
0,98
0,97
0,96
0,95
0,94
0,93
0,92
0,91
0,90
0,89
0,88
0,87
0,86
0,85
0,84
0,83
0,82
0,81
0,80
0,79
0,78
0,77
0,76
0,75
0,74
0,73
0,72
0,71
0,70
0,69
0,68
0,67
0,66
0,65
0,64
0,63
0,62
0,61
0,60
0,59
0,58
0,57
0,56
0,55
0,54
0,53
0,52
0,51
0,50
ТАБЛИЦЫ ЗНАЧЕНИЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ИНТЕГРАЛОВ 291
Малые значения модуля
К
К'
К'/К
К/К'
0,000001
0,000002
0,000003
0,000004
0,000005
0,000006
0,000007
0,000008
0,000009
0,000010
0,000100
0,000200
0,000300
0,000400
0,000500
0,000600
0,000700
0,000800
0,000900
0,001000
0,001100
0,001200
0,001300
0,001400
0,001500
0,001600
0,001700
0,001800
0,001900
0,002000
0,002100
0,002200
0,002300
0,002400
0,002500
0,002600
0,002700
0,002800
0,002900
0,003000
fc'2
,57080
57080
1,57080
1,57080
1,57080
1,57080
1,57080
1,57080
1,57080
1,57080
1,57083
1,57087
1,57091
1,57095
1,57099
1,57103
1,57107
1,57111
1,57115
1,57119
1,57123
1,57127
1,57131
1,57135
1,57139
1,57142
1,57146
1,57150
1,57154
1,57158
1,57162
1, 57166
1,57171
1,57174
1,57178
1,57182
1,57186
1,57190
1,57194
1,57198
8,29405
7,94748
7,74475
7,60091
7,48934
7,39818
7,32111
7,25434
7,19545
7, 14277
5,99159
5,64512
5,44249
5,29875
5,18727
5,09620
5,01921
4,95253
4,89373
4,84113
4,79356
4,75014
4,71020
4,67322
4,63880
4,60661
4,57638
4,54788
4,52092
4,49535
4,47103
4,44784
4,42569
4,40448
4,38414
4,36461
4,34581
4,32769
4,31022
4,29334
К
5,28016
5,05952
4,93046
4,83888
4,76786
4,70982
4,66075
4,61825
4,58076
4,54722
3,81427
3,59362
3,46454
3,37295
3,30191
24385
19477
15225
11474
3,08119
3,05084
3,02312
2,99763
2,97402
2,95205
2,93149
2,91217
2,89396
2,87674
2,86040
2,84485
2,83002
2,81586
2,80231
2,78929
2,77679
2,76476
2,75317
2,74198
2,73117
К/К'
0, 18939
0, 19765
0,20282
0,20666
0,20974
0,21232
0,21456
0,21653
0,21830
0,21991
0,26217
0,27827
0,28864
0,29648
0,30286
0,30828
0,31301
0,3 1723
0,32105
0,32455
0,32778
0,33078
0,33360
0,33624
0,33875
0,Я 4112
0,34339
0,34555
0,34762
0,34960
0,35151
0,35335
0,35513
0,35685
0,35851
0
0,36013
0,36170
0,36322
0,36470
0,36614
К'/К
0,999999
0,999998
0,999997
0,999996
0,999995
0,999994
0,999993
0,999992
0,999991
0,999990
0,999900
0,999800
0,999700
0,999600
0,999500
0,999400
0,999300
0,999200
0,999100
0,999000
0,998900
0,998800
0,998700
0,998600
0,998500
0,998400
0,998300
0,998200
0,998100
0,998000
0,997900
0,997800
0,997700
0,997600
0,997500
0,997400
0,997300
0,997200
0,997100
0,997000
19*

292 ТАБЛИЦЫ ЗНАЧЕНИЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ИНТЕГРАЛОВ
II. Эллиптический интеграл первого рода
ТАБЛИЦЫ ЗНАЧЕНИЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ИНТЕГРАЛОВ 293
F (ф, к), & = sma
k=sina
ф°
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
<х = 5°
0,01745
0,03491
0,05236
0,06981
0,08727
0,1047
0,1222
0,1396
0,1571
0,1745
0,1920
0,2095
0,2269
0,2444
0,2618
0,2793
0,2967
0,3142
0,3317
0,3491
0,3666
0,3840
0,4015
0,4190
. 0,4364
0,4539
0,4714
0,4888
0,5063
0,5238
0,5412
0,5587
0,5762
0,5937
0,6111
0,6286
0,6461
0,6636
0,6810
0,6985
0,7160
0,7335
0,7510
0,7685
0,7859
a = 10°
0,01745
0,03491
0,05236
0,06981
0,08727
0,1047
0,1222
0,1396
0,1571
0,1746
0,1920
0,2095
0,2270
0,2444
0,2619
0,2794
0,2968
0,3143
0,3318
0,3493
0,3668
0,3843
0,4017
0,4192
0,4367
0,4542
0,4717
0,4893
0,5068
0,5243
0,5418
0,5593
0,5769
0,5944
0,6119
0,6295
0,6470
0,6646
0,6821
0,6997
0,7173
0,7348
0,7524
0,7700
0,7876
a = 15°
0,01745
0,03491
0,05236
0,06982
0,08728
0,1047
0,1222
0,1397
0,1571
0,1746
0,1921
0,2095
0,2270
0,2445
0,2620
0,2795
0,2970
0,3145
0,3320
0,3495
0,3671
0,3846
0,4021
0,4197
0,4372
0,4548
0,4724
0,4899
0,5075
0,5251
0,5427
0,5604
0,5780
0,5956
0,6133
0,6309
0,6486
0,6662
0,6839
0,7016
0,7193
0,7370
0,7548
0,7725
0,7903
a = 20°
0,01745
0,03491
0,05236
0,06982
0,08728
0, 1047
0,1222
0, 1397
0,1572
0,1746
0,1921
0,2096
0,2271
0,2446
0,2622
0,2797
0,2972
0,3148
0,3323
0,3499
0,3675
0,3851
0,4027
0,4203
0,4379
0,4556
0,4732
0,4909
0,5086
0,5263
0,5440
0,5618
0,5795
0,5973
0,6151
0,6329
0,6507
0,6685
0,6864
0,7043
0,7222
0,7401
0,7581
0,7760
0,7940
a = 25°
0,01745
0,03491
0,05236
0,06982
0,08729
0,1048
0,1222
0,1397
0,1572
0,1747
0,1922
0,2097
0,2272
0,2448
0,2623
0,2799
0,2975
0,3151
0,3327
0,3503
0,3680
0,3856
0,4033
0,4210
0,4388
0,4565
0,4743
0,4921
0,5099
0,5277
0,5456
0,5635
0,5814
0,5994
0,6173
0,6355
0,6534
0,6714
0,6895
0,7077
0,7258
0,7440
0,7622
0,7804
0,7987
a = 30°
0,01745
0,03491
0,05237
0,06983
0,08729
0,1048
0,1223
0,1397
0,1572
0,1748
0,1923
0,2098
0,2274
0,2450
0,2625
0,2802
0,2978
0,3154
0,3331
0,3508
0,3686
0,3863
0,4041
0,4219
0,4397
0,4576
0,4755,
0,4935
6,5114
0,5294
0,5475
0,5656
0,5837
0,6018
0,6200
0,6383
0,6566
0,6749
0,6932
0,7117
0,7301
0,7486
0,7671
0,7857
0,8044
Ф°
46
47
48
49
50
51
52'
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
a= 5°
0,8034
0,8209
0,8384
0,8559
0,8734
0,8909
0,9084
0,9259
0,9434
0,9609
0,9784
0,9959
1,0134
1,0309
1,0484
1,0659
1,0834
1,1009
1,1184
1,1359
1,1534
1,1709
1,1884
1,2059
1,2235
1,2410
1,2585
1,2760
1,2935
1,3110
1,3285
1,3461
1,3636
1,3811
1,3986
1,4161
1.4336
114512
1,4687
1,4862
1,5037
1,5212
1,5388
1,5563
1,5738
a= 10°
0,8052
0,8228
0,8404
0,8580
0,8756
0,8932
0,9108
0,9284
0,9460
0,9637
0,9813
0,9989
1,0166
1,0342
1,0519
1,0695
1,0872
1, 1049
1,1225
1, 1402
1,1579
1, 1756
1, 1932
1,2109
1,2286
1,2463
1,2640
1,2817
1,2994
1,3171
1,3348
1,3525
1,3702
1,3879
1,4057
1,423 4
1,4411
1,4588
1,4765
1,4942
1,5120
1,5297
1,5474
1,5651
1,5828
a= 15°
0,8080
0,8258
0,8436
0,8614
0,8792
0,8970
0,9148
0,9326
0,9505
0,9683
0,9862
1,0041
1,0219
1,0398
1,0577
1,0757
1,0936
1,1115
1,1295
1,1474
1,1654
1,1833
1,2013
1,2193
1,2373
1,2553
1,2733
1,2913
1,3093
1,3273
1,3454
1,3634
1,3814
1,3995
1,4175
1,4356
1,4536
1,4717
1,4897
1,5078
1,5259
1,5439
1,5620
1,5801
1,5981
a = 20°
0,8120
0,8300
0,8480
0,8661
0,8842
0,9023
0,9204
0,9385
0,9567
0,9748
0,9930
1,0112
1,0295
1,0477
1,0660
1,0843
1,1026
1,1209
1,1392
1,1576
1,1759
1,1943
1,2127
1,2311
1,2495
1,2680
1,2864
1,3049
1,3234
1,3418
1,3 603
1,3788
1,3974
1,4159
1,4344
1,4530
1,4715
1,4901
1,5086
1,5272
1,5457
1,5643
1,5829
1,6015
1,6200
a= 25°
0,8170
0,8354
0,8537
0,8721
0,8905
0,9090
0,9275
0,9460
0,9646
0,9832
1,0018
1,0204
1,0391
1,0578
1,0766
1,0953
1,1141
1, 1330
1, 1518
1,1707
1,1896
1,2085
1,2275
1,2465
1,2655
1,2845
1,3036
1,3226
1,3417
1,3608
1,3800
1,3991
1,4183
1,4374
1,4566
1,4758
1,4950
1,5143
1,5335
1,5527
1,5720
1,5912
1,6105
1,6297
1,6490
a = 30°
0,8231
0,8418
0,8606
0,8794
0,8983
0,9172
0,9361
0,9551
0,9742
0,9933
1,0125
1,0317
1,0509
1,0702
1,0896
1,1089
1,1284
1,1478
1,1674
1,1869
1,2065
1,2262
1,2458
1,2656
1,2853
1,3051
1,3249
1,3448
1,3647
1,3846
1,4045
1,4245
1,4445
1,4645
1,4846
1,5046
1,5247
1,5448
1,5649
1,5850
1,6052
1 ,6253
1,6455
1,6656
1,6858

294 ТАБЛИЦЫ ЗНАЧЕНИЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ИНТЕГРАЛОВ
F (ф, к), &=sin a
ф°
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
<х = 35°
0,01745
0,03491
0,05237
0,06983
0,08730
0,1048
0,1223
0,1398
0,1573
0,1748
0,1924
0,2099
0,2275
0,2451
0,2628
0,2804
0,2981
0,3159
0,3336
0,3514
0,3692
0,3871
0,4049
0,4229
0,4408
0,4589
0,4769
0,4950
0,5132
0,5313
0,5496
0,5679
0,5862
0,6046
0,6231
0,6416
0,6602
0,6788
0,6975
0,7162
0,7350
0,7539
0,7728
0,7918
0,8109
а = 40°
0,01745
0,03491
0,05237
0,06984
0,08731
0,1048
0,1223
0, 1398
0,1574
0,1749
0,1925
0,2101
0,2277
0,2454
0,2630
0,2808
0,2985
0,3163
0,3341
0,3520
0,3699
0,3879
0,4059
0,4239
0,4420
0,4602
0,4784
0,4967
0,5150
0,5334
0,5519
0,5704
0,5890
0,6077
0,6264
0,6452
0,6641
0,6831
0,7021
0,7213
0,7405
0,7598
0,7791
0,7986
0,8182
а = 45°
0,01745
0,03491
0,05237
0,06984
0,08732
0, 1048
0,1223
0,1399
0,1574
0,1750
0,1926
0,2102
0,2279
0,2456
0,2633
0,2811
0,2989
0,3168
0,3347
0,3526
0,3706
0,3887
0,4068
0,4250
0,4433
0,4616
0,4800
0,4985
0,5170
0,5356
0,5543
0,5731
0,5920
0,6109
0,6300
0,6491
0,6684
0,6877
0,7071
0,7267
0,7463
0,7661
0,7859
0,8059
0,8260
а = 50°
0,01745
0,03491
0,05237
0,06985
0,08733
0,1048
0,1224
0,1399
0,1575
0,1751
0,1927
0,2103
0,2280
0,2458
0,2636
0,2814
0,2993
0,3172
0,3352
0,3533
0,3714
0,3896
0,4078
0,4261
0,4446
0,4630
0,4816
0,5003
0,5190
0,5379
0,5568
0,5759
0,5950
0,614-8
0,6336
0,6531
0,6727
0,6925
0,7123
0,7323
0,7524
0,7727
0,7931
0,8136
0,8343
а= 55°
0,01745
0,03491
0,05238
0,06985
0,08734
0, 1049
0, 1224
0,1399
0, 1575
0,1751
0,1928
0,2105
0,2282
0,2460
0,2638
0,2817
0,2997
0,3177
0,3357
0,3539
0,3721
0,3904
0,4088
0,4272
0,4458
0,4645
0,4832
0,5021
0,5210
0,5401
0,5593
0,5786
0,5980
0,6176
0,6373
0,6572
0,6771
0,6973
0,7176
0,7380
0,7586
0,7794
0,8004
0,8215
0,8428
а= 60°
0,01745
0,03491
0,05238
0,06986
0,08735
0,1049
0,1224
0,1400
0,1576
0,1752
0,1929
0,2106
0,2284
0,2462
0,2641
0,2820
0,3000
0,3181
0,3362
0,3545
0,3728
0,3912
0,4097
0,4283
0,4470
0,4658
0,4847
0,5038
0,5229
0,5422
0,5617
0,5812
0,6010
0,6208
0,6409
0,6610
0,6814
0,7020
0,7227
0,7436
0,7647
0,7860
0,8075
0,8293
0,8512
ТАБЛИЦЫ ЗНАЧЕНИЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ИНТЕГРАЛОВ 295
F (ф, к), & = sin а
ф°
46
47
48
49
50
51
52'
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
7 3
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
а = 35°
0,8300
0,8492
0,8685
0,8878
0,9072
0,9267
0,9462
0,9658
0,9855
1,0052
1,0250
1,0449
1,0648
1,0848
1,1049
1,1250
1,1453
1,1655
1,1859
1,2063
1,2267
1,2472
1,2678
1,2885
1,3092
1,3299
1,3507
1,3716
1,3924
1,4134
1,4344
1,4554
1,4765
1,4976
1, 5187
1,5399
1,5611
1,5823
1,6035
1,6248
1,6461
1,6673
1,6886
1,7099
1,7313
а= 40°
0,8378
0,8575
0,8773
0,8973
0,9173
0,9374
0,9576
0,9778
0,9982
1,0187
1,0393
1,0600 ¦
1,0807
1, 1016 '
1,1226
1,1436
1,1648
1,1860
1,2074
1,2288
1,2503
1,2719
1,2936
1,3154
1,3372
1,3592
1,3812
1,4033
1,4254
1,4477
1,4700
1,4923
1,5147
1,5372
1,5597
1,5823
1,6049
1,6276
1,6502
1,6730
1,6957
1,7184
1,7412
1,7 640
1,7868
а — 4 5°
0,8462
0,8666
0,8870
0,9076
0,9283
0,9491
0,9701
0,9912
1,0124
1,0.337
1,0552
1,0768
1,0985
1,1204
1,14 24
1,1646
1,1869
1,2093
1,2318
1,2545
1,2773
1,3002
1,3233
1,3464
1,3697
1,3931
1,4167
1,4403
1,4640
1,4879
1,5118
1,5359
1,5600
1,5842
1,6085
1,6328
1,6573
1,6817
1,7063
1,7308
1,755V
1,7801
1,8047
1,8294
1,8541
а = 50°
0;8552
0,87 61
0,8973
0,9186
0,9401
0,9617
0,9835
1,0055
1,0277
1,0500
1,0725
1,0952
1,1180
1, 14 11
1,1643
1,1877
1,2113
1,2351
1,2591
1,2833
1,3076
1,3321
1,3568
1,3817
1,4068
l,'i3 20
1,4 574
1,4830
1,5087
1,5346
1,5606
1,5867
1,6130
1,6394
1,6660
1,6926
1,7194
1,7462
1,7731
1,8001
1,8271
1,8542
1,8813
1,9084
1,9356
а = 55°
0,8643
0,8860
0,9079
0,9300
0,9523
0,9748
0,9976
1,0206
1,0437
1,0672
1,0908
1,1147
1,1389
1,1633
1,1879
1,2128
1,2379
1,2633
1,2890
1,3149
1,3411
1,3675
1,3942
1,4212
1,4484
1,4759
1,5036
1,5316
1,5597
1,5882
1,6168
1,6457
1,6748
1,7040
1,7335
1,7631
1,7929
1,8228
1,8528
1,8830
1,9132
1,9435
1,9739
2,0043
2,0347
а = 60°
0,8734
0,8959
0,9185
0,9415
0,9 647
0,9881
1,0119
1,0359
1,0602
1,0848
1,1097
1, 1349
1,1605
1,1864
1,2126
1,2392
1,2661
1,2933
1,3209
1,3489
1,3773
1,4060
1,43 51
1,4646
1,4944
1,5246
1,5552
1,5862
1,6175
1,6492
1,6812
1,7136
1,7463
1,7792
1,8Г25--
1,8461
1,8799
1,9140
1,9482
1,9826
2,0172
2,0519
2,0867
2,1216
2,1565

296 ТАБЛИЦЫ ЗНАЧЕНИЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ИНТЕГРАЛОВ
F (ф, к), & = sin а
9°
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
<х= 65°
0,01745
0,03491
0,05238
0,06986
0,08736
0,1049
0,1224
0,1400
0,1576
0,1753
0,1930
0,2107
0,2285
0,2464
0,2643
0,2823
0,3003
0,3185
0,3367
0,3550
0,3734
0,3919
0,4105
0,4293
0,4481
0,4670
• 0,4861
0,5053
0,5247
0,5442
0,5639
0,5837
0,6037
0,6238
0,6442
0,6647
0,6854
0,7063
0,7275
0,7488
0,7704
0,7922
0,8143
0,8367
0,8593
а = 70°
0,01745
0,03491
0,05238
0,06986
0,08736
0, 1049
0,1224
0,1400
0,1577
0,1753
0,1930
0,2108
0,2286
0,2465
0,2645
0,2825
0,3006
0,3188
0,3371
0,3555
0,3740
0,3926
0,4113
0,4301
0,4490
0,4681
0,4874
0,5067
0,5262
0,5459
0,5658
0,5858
0,6060
0,6265
0,6471
0,6679
0,6890
0,7102
0,7318
0,7535
0,7756
0,7979
0,8205
0,8433
0,8665
а = 75°
0,01745
0,03491
0,05238
0,06987
0,08737
0, 1049
0,1225
0,1401
0,1577
0,1754
0,1931
0,2109
0,2287
0,2466
0,2646
0,2827
0,3009
0,3191
0,3374
0,3559
0,3744
0,3931
0,4119
0,4308
0,4498
0,4690
0,4884
0,5079
0,5275
0,5474
0,5674
0,5876
0,6080
0,6287
0,6495
0,6706
0,6919
0,7135
0,7353
0,7575
0,7799
0,8026
0,8256
0,8490
0,8727
а= 80°
0,01745
0,03491
0,05238
0,06987
0,08737
0, 1049
0,1225
0,1401
0,1577
0,1754
0,1931
0,2109
0,2288
0,2467
0,2648
0,2828
0,3010
0,3193
0,3377
0,3562
0,3747
0,3935
0,4123
0,4313
0,4504
0,4697
0,4891
0,5087
0,5285
0,5484
0,5686
0,5889
0,6095
0,6303
0,6513
0,6726
0,6941
0,7159
0,7380
0,7604
0,7831
0,8062
0,8295
0,8533
0,8774
а = 85°
0,01745
0,03491
0,05238
0,06987
0,08738
0, 1049
0,1225
0,1401
0,1577
0,1754
0,1932
0,2110
0,2289
0,2468
0,2648
0,2829
0,3011
0,3194
0,3378
0,3563
0,3749
0,3937
0,4126
0,4316
0,4508
0,4701
0,4896
0,5092
0,5291
0,5491
0,5693
0,5898
0,6104
0,6313
0,6525
0,6739
0,6955
0,7175
0,7397
0,7623
0,7852
0,8084
0,8320
0,8560
0,8804
а = 90°
0,01745
0,03491
0,05238
0,06987
0,08738
0,1049
0,1225
0,1401
0,1577
0,1754
0,1932
0,2110
0,2289
0,2468
0,2648
0,2830
0,3012
0,3195
0,3379
0,3564
0,3750
0,3938
0,4127
0,4317
0,4509
0,4702
0,4897
0,5094
0,5293 ¦
0,5493
0,5696
0,5900
0,6107
0,6317
0,6528
0,6743
0,6960
0,7180
0,7403
0,7629
0,7859
0,8092
0,8328
0,8569
0,8814
ТАБЛИЦЫ ЗНАЧЕНИЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ИНТЕГРАЛОВ 297
ф°
46
47
48
49
50
51
5-2
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
а = 65°
0,8821
0,9053
0,9288
0,9525
0,9766
1,0010
1,0258
1,0509
1,0764
1,1022
1,1285
1,1551
1,1822
1,2097
1,2376
1,2660
1,2949
1,3243
1,3541
1,3844
1,4153
1,4467
1,4786
1,5111
1,5441
1,5777
1,6118
1,6465
1, 6818
1,7176
1,7540
1,7909
1,8284
1,8664
1,9048
1,9438
1,9831
2,0229
2,0630
2,1035
2, 1442
2,1852
2,2263
2,2675
2,3088
F (ср, к), к —
а = 70°
0,8901
0,9139
0,9381
0,9627
0,9876
1,0130
1,0387
1,0649
1,0916
1.Н87
1,1462
1,1743
1,2030
1,2321
1,2619
1,2922
1,3231
1,3547
1,3870
1,4199
1,4536
1,4880
1,5232
1,5591
1,5959
1,6335
1,6720
1,7113
1,7516
1,7927
1,8347
1,8777
1,9215
1,9663
2,0119
2,0584
2,1057
2,1537
2,2024
2,2518
2,3017
2,3520
2,4027
2,4535
2,5046
а = 75°
0,8968
0,9212
0,9461
0,9714
0,9971
1,0233
1,0500
1,0771
1,1048
1, 1331
1,1619
1,1914
1,2215
1,2522
1,2837
1,3159
1,3490
1,3828
1,4175
1,4532
1,4898
1,5274
1,5661
1,6059
1,6468
1,6891
1,7326
1,7774
1,8237
1,8715
1,9207
1,9716
2,0240
2,0781
2,1339
2,1913
2,2504
2,3110
2,3731
2,4366
2,5013
2,5670
2,6336
2,7007
2,7681
sin а
а = 80°
0,9019
0,9269
0,9523
0,9781
1,0044
1,0313
1,0587
1,0867
1,1152
1,1444
1,1743
1,2049
1,2362
1,2684
1,3014
1,3352
1,3701
1,4059
1,4429
1,4810
1,5203
1,5610
1,6030
1,6466
1,6918
1,7388
1,7876
1,8384
1,8915
1,9468
2,0047
2,0653
2,1288
2,1954
2,2653
2,3387
2,4157
2,4965
2,5811
2,6694
2,7612
2,8561
2,9537
3,0530
3,1534
а= 85°
0,9052
0,9304
0,9561
0,9824
1,0091
1,0364
1,0643
1,0927
1,1219
1,1517
1,1823
1,2136
1,2458
1,2789
1,3129
1,3480
1,3841
1,4214
1,4599
1,4998
1,5411
1,5840
1,6287
1,6752
1,7237
1,7745
1,8277
1,8837
1,9427
2,0050
2,0711
2,1414
2,2164
2,2969
2,3837
2,4775
2,5795
2,6911
2,8136
2,9487
3,0978
3,2620
3,4412
3,6328
3,8317
а= 90°
0,9063
0,9316
0,9575
0,9838
1,0107
1,0381
1,0662
1,0948
1,1242
1,1542
1,1851
1,2167
1,2492
1,2826
1,3170
1,3524
1,3890
1,4268
1,4659
1,5065
1,5485
1,5923
1,6379
1,6856
1,7354
1,7877
1,8427
1,9008
1,9623
2,0276
2,0973
2,1721
2,2528
2,3404
2,4362
2,5421
2,6603
2,7942
2,9487
3,1313
3,3547
3,6425
4,0481
4,7413
ОО

298 ТАБЛИЦЫ ЗНАЧЕНИЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ИНТЕГРАЛОВ
III. Эллиптический интеграл второго рода
, *)=
-&2 sin2 t dt, k = sin a
l
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
4 3
44
45
ct= 5°
a = 10°
a= 15°
0,0175
0,0349
0,0524
0,0698
0,0873
0,1047
0,1222
0,1396
0,1571
0,1745
0,1920
0,2094
0,2269
0,2443
0,2618
0,2792
0,2967
0,3141
0,3316
0,3490
0,3665
0,3839
0,4014
0,4188
0,4362
0,4537
0,4711
0,4886
0,5060
0,5234
0,5409
0,5583
..5757
0,5932
0,6106
0
0,6280
0, 6455
0,6629
0,6803
0,69.77
0,7152
0,7326
0,7500
0,7674
0,7849
0,0175
0,0349
0,0524
0,0698
0,0873
0,1047
0,1222
0,1396
0, 1571
0,1745
0,1920
0,2094
0,2268
0,2443
0,2617
0,2791
0,2966
0,3140
0,3314
0,3489
0,3663
0,3837
0,4011
0,4185
0,4359
0,4533
0,4707
0,4881
0,5055
0,5229
0,5403
0,5577
5751
5924
0,6098
0,6272
0,6445
0,6619
0,6792
0,6966
0,7139
0,73 13
0,7486
0,7659
0,7832
0,0175
0,0349
0,0524
0,0698
0,0873
0,1047
0,1222
0,1396
0,1570
0,1745
0,1919
0,2093
0,2268
0,2442
0,2616
0,2790
0,2964
0,3138
0,3312
0,3486
0,3660
0,3834
0,4007
0,4181
0,4354
0,4528
0,4701
0,4875
0,5048
0,5221
0,5394
0,5567
0,5740
0,5912
0,6085
0,6258
0,6430
0,6602
0,6775
0,6947
0,7119
0,7291
0,7463
0,7634
0,7806
a= 20°
a = 25°
0,0175
0,0349
0,0524
0,0698
0,0873
0,1047
0,1221
0,1396
0,1570
0,1744
0, 1919
0,2093
0,2267
0,2441
0,2615
0,2788
0,2962
0,3136
0,3309
0,3483
0,3656
0,3829
0,4002
0,4175
0,4348
0,4520
0,4693
0,4885
0,5037
0,5209
0,5381
0,5553
0,5725
0,5896
0,6067
0,6238
0,6409
0,6580
0,6750
0,6921
0,7091
0,7261
0,7431
0,7600
0,7770
0,0175
0,0349
0,0524
0,0698
0,0873
0,1047
0,1221
0,1396
0,1570
0,1744
0, 1918
0,2092
0,2266
0,2439.
0,2613
0,2786
0,2959
0,3133
0,3305
0,3478
0,3651
0,3823
0,3996
0,4168
0,4339
0,4511
0,4682
0,4854
0,5025
0,5195
0,5366
0,5 536
0,5706
0,5876
0,6045
0,6214
0,6383
0,6552
0,6720
0,6888
0,7056
0,7224
0,7391
0,7558
0,7725
30°
0,0175
0,0349
0,0524
0,0698
0,0872
0,1047
0,1221
0,1395
0,1569
0,1743
0,1917
0,2091
0,2264
0,2437
0,2611
0,2784
0,2956
0,3129
0,3301
0,3473
0,3645
0,3817
0,3988
0,4159
0,4330
0,4 500
0,4670 .
0,4840
0,5010
0,5179
0,5348
0,5516
0,5684
0,5852
0,6019
0,6186
0,6353
0,6519
0,6685
0,6851
0,7016
0,7180
0,7345
0,7509
0,7672
ТАБЛИЦЫ ЗНАЧЕНИЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ИНТЕГРАЛОВ 299
Е (ф, к), к = sin a
a = 5°
a = 10°
a= 15°
a = 20°
a = 25°
a= 30°
46
47
48
49
50
51
5-2
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
0,8023
0,8197
0,8371
0,8545
0,8719
0,8894
0,9068
0,9242
0,9416
0,9590
0,9764
,9938
,0112
,0286
1,0460
1,0634
1,0808
1,0982
1,1156
1,1330
1,1504
1,1678
1,1852
1,2026
1,2200
1,2374
1,2548
1,2722
1,2896
1,3070
1,3244
1,34 18
1,3592
1,3765
1,3939
1,4113
1,4287
1,4461
1,4635
1,4809
1,4983
1,5157
1,5330
1,5504
1,5678
0,8006
0,8179
0,8352
0,8525
0,8698
0,8871
0,9044
0,9217
0,9390
0,9562
0,9735
0,9908
1,0080
1,0253
1,0426
1,0598
1,0771
0943
1115
1288
1460
1632
1805
1977
1,2149
1,2321
1,2494
1,2666
1,2838
1,3010
3182
3354
,3526
,3698
,3870
1,4042
1,4214
1,4386
1,4558
1,4729
4901
5073
5245
5417
1,5589
0,7978
0,8149
0,8320
0,8491
0,8663
0,8834
0,9005
0,9175
0,9346
0,9517
0,9687
0,9858
0028
0198
1,0368
1,0538
1,0708
1,0878
1,1048
1, 1218
1387
1557
1726
1896
1,2065
1,2234
1,2403
1,2573
1,2742
1,2911
1,3080
1,3249
1,3417
1,3586
1,3755
1,3924
1,4093
1,4261
1,4430
1,4599
1,4767
1,4936
1,5104
1,5273
1,5442
0,7939
0,8108
0,8277
0,8446
0,8614
0,8783
0,8951
0,9119
0,9287
0,9454
0,9622
0,9789
0,9956
1,0123
1,0290
1,0456
1,0623
1,0789
1,0955
1,1121
1, 1287
1,1453
1,1619
1,1784
1,1949
1,2115
1,2280
1,2445
1,2609
1,2774
1,2939
1,3104
1,3268
1,3433
1,3597
1,3761
1,3925
1,4090
1,4254
1,4418
1,4582
1,4746
1,4910
1,5074
1,5238
0,7891
0,8057
0,8223
0,8389
0,8554
0,8719
0,8884
0,9048
0,9212
0,9376
0,9540
0,9703
0,9866
1,0029
1,0192
1,0354
1,0516
1,0678
1,0839
1,1001
1,1162
1,1323
1,1483
1,1644
1,1804
1,1964
1,2124
1,2284
1,2443
1,2603
1,2762
1,2921
1,3080
1,3239
1,3398
1,3556
1,3715
1,3873
1,4032
1,4190
4348
4 507
4665
4823
4981
0,7835
0,7998
0,8160
0,8322
0,8483
0,8644
0,8805
0,8965
0,9125
0,9284
0,9443
0,9602
0,9760
0,9918
1,0076
1,0233
1,0390
1,0546
,0702
1,0858
1, 1013
1,1168
1,1323
1,1478
1,1632
1,1786
1,1939
1,2093
1,2246
1,2399
1,2552
1,2704
1,2857
1,3009
1,3161
1,3312
1,3464
1,3616
1,3767
1,3919
1,4070
1,4221
1,4372
1,4524
1,4675

300 ТАБЛИЦЫ ЗНАЧЕНИЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ИНТЕГРАЛОВ
Е (ф, к), 4 = з
ф°
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
а = 35°
0,0175
0,0349
0,0524
0,0698
0,0872
0,1047
0,1221
0,1395
0,1569
0,1743
0, 1916
0,2089
0,2263
0,2436
0,2608
0,2781
0,2953
0,3125
0,3297
0,3468
0,3639
0,3809
0,3980
0,4150
0,4319
0,4488
0,4657
0,4825
0,4993
0,5161
0,5328
0,5494
0,5660
0,5826
0,5991
0,6155
0,6319
0,6483
0,6646
0,6808
0,6970
0,7132
0,7293
0,7453
0,7613
а = 40°
0,0175
0,0349
0,0524
0,0698
0,0872
0, 1046
0,1221
0,1394
0,1568
0,1742
0,1915
0,2088
0,2261
0,2434
0,2606
0,2778
0,2949
0,3121
0,3291
0,3462
0,3632
0,3802
0,3971
0,4139
0,4308
0,4475
0,4643
0,4809
0,4975
0,5141
0,5306
0,5470
0,5634
0,5797
0,5960
0,6122
0,6283
0,6444
0,6604
0,6763
0,6921
0,7079
0,7237
0,7393
0,7549
а — 45°
0,0175
0,0349
0,0524
0,0698
0,0872
0,1046
0,1220
0,1394
0,1568
0,1741
0,1914
0,2087
0,2259
0,2431
0,2603
0,2775
0,2946
0,3116
0,3286
0,3456
0,3625
0,3793
0,3961
0,4129
0,4296
0,4462
0,4628
0,4793
0,4957
0,5121
0,5283
0,5446
0,5607
0,5768
0,5928
0,6087
0,6245
0,6403
0,6559
0,6715
0,6870
0,7025
0,7178
0,7330
0,7482
а = 50°
0,0175
0,0349
0,0524
0,0698
0,0872
0, 1046
0,1220
0, 1394
0,1567
0,1740
0, 1913
0,2086
0,2258
0,2429
0,2601
0,2771
0,2942
0,3112
0,3281
0,3450
0,3618
0,3785
0,3952
0,4118
0,4284
0,4449
0,4613
0,4776
0,4938
0,5100
0,5261
0,5421
0,5580
0,5738
0,5895'
0,6052
0,6207
0,6361
0,6515
0,6667
0,6819
0,6969
0,7118
0,7267
0,7414
а = 55°
0,0175
0,0349
0,0523
0,0698
0,0872
0, 1046
0,1220
0,1393
0,1567
0,1739
0,1912
0,2084
0,2256
0,2427
0,2598
0,2768
0,2938
0,3107
0,3276
0,3444
0,3611
0,3777
0,3943
0,4108
0,4272
0,4436
0,4598
0,4760
0,4920
0,5080
0,5239
0,5396
0,5553
0,5709
0,5863
0,6017
0,6169
0,6321
0,6471
0,6620
0,6768
0,6914
0,7059
0,7204
0,7347
а = 60°
0,0175
0,0349
0,0523
0,0698
0,0872
0,1046
0,1220
0,1393
0,1566
0,1739
0, 1911
0,2083
0,2254
0,2425
0,2596
0,2766
0,2935
0,3103
0,3271
0,3438
0,3604
0,3770
0,3935
0,4098
0,4261
0,4423
0,4584
0,4744
0,4903 .
0,5061
0,5218
0,5373
0,5528
0,5681
0,5833
0,5984
0,6134
0,6282
0,6429
0,6575
0,6719
0,6862
0,7003
0,7144
0,7282
ТАБЛИЦЫ ЗНАЧЕНИЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ИНТЕГРАЛОВ 301
Е (ф, к), A = sin а
ф°
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
67
88
89
90
а =
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
о,
1,
1,
1,
1,
1,
1
1,
1,
1,
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
= 35°
7772
7931
8089
8247
8404
8560
8716
8872
9026
9181
9335
9488
9641
9793
9945
0096
0247
0397
0547
0696
0845
0993
1141
1289
1436
1583
1729
1875
2021
2167
2312
2457
2601
2746
2890
3034
,3177
,3321
,3464
,3608
, 3751
,3894
,4037
,4180
,4323
а
0,
0,
0»
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
= 40°
7704
7858
8012
8165
8317
8469
8620
8770
8919
9068
9216
9363
9510
9656
9801
9946
0090
0233
0376
0518
0660
0801
0941
1081
1221
1359
1498
1636
1773
1910
2047
2183
,2319
,2454
,2590
,2725
,2859
,2994
,3128
,3262
,3396
,3530
,3664
,3798
,3931
а
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
= 45°
7633
7782
7931
8079
8227
8373
8518
8663
8806
8949
9091
9232
9372
9511
9650
9787
9924
0060
0195
0329
0463
0596
0728
0859
0990
1120
1250
1379
1507
1635
1762
,1889
,2015
,2141
,2266
,2391
,2516
,2640
,2765
,2889
,3012
,3136
,3260
,3383
,3506
а
0,
0.
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
о,
1,
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
= 50°
7560
7705
7849
7992
8134
8275
8414
8553
8690
8827
8962
9097
9230
9362
9493
9623
9752
9880
0007
0133
0259
0383
0506
0628
0750
0871
0991
1110
1228
1346
1463
1580
,1695
,1811
, 1926
,2040
,2154
,2267
,2381
,2493
,2606
,2719
,2831
,2943
,3055
а =
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0
0,
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
= 55°
7488
7629
7768
7905
8042
8177
8311
8444
8575
8705
8834
8961
9088
9213
9336
9459
9580
9700
9818
9936
0052
0167
0282
0395
0506
0617
0727
0836
0944
1051
1158
1263
, 1368
,1472
, 1576
, 1678
, 1781
, 1883
, 1984
,2085
,2186
,2286
,2387
,2487
,2587
а =
0,
0,
0,
0,
0,
0.
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
= 60°
7420
7555
7690
7823
7954
8064
8212
8339
8464
8588
8710
8831
8950
9068
9184
9299
9412
9 524
9634
9743
9850
9956
0061
0164
0266
0367
0467
0565
0662
0759
0854
0948
1041
1133
, 1225
,1316
,1406
, 1495
, 1584
, 1673
, 1761
, 1848
,1936
,2023
,2111

302 ТАБЛИЦЫ ЗНАЧЕНИЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ИНТЕГРАЛОВ
Е (ф, к), k = sin a
ф°
1
2
3
4
5
6
7
8
9
-10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
а = 65°
0,0175
0,0349
0,0523
0,0698
0,0872
0, 1046
0, 1219
0,1393
0, 1566
0,1738
0, 1910
0,2082
0,2253
0,2424
0,2594
0,2763
0,2932
0,3 100
0,3267
0,3433
0,3599
0,3763
0,3927
0,4090
0,4251
' 0,4412
0,4572
0,4730
0,4888
0,5044
0,5199
0, 5352
0, 5505
0,5656
0,5806
0,5954
0,6101
0,6247
0,6391
0,6533
0, 6675
0,6814
0,6952
0,7088
0,7223
а = 70°
0,0175
0,0349
0,0523
0,0698
0,0872
0,1046
0,1219
0, 1392
0,1565
0,1738
0,1910
0,2081
0,2252
0,2422
0,2592
0,2761
0,2929
0,3096
0.3263
0,3429
0,3593
0,3757
0,3920
0,4082
0,4243
0,4402
0,4561
0,4718
0,4874
0,5029
0,5182
0,5334
0,5485
0,5634
0,5782
0,5928
0,6073
0,6216
0,6357
0,6497
0,6636
0,6772
0,6907
0,7040
0,7172
а = 75°
0,0175
0,0349
0,0523
0,0698
0,0872
0,1045
0,1219
0,1392
0, 1565
0,1737
0,1909
0,2080
0,2251
0,2421
0,2590
0,2759
0,2927
0,3094
0,3260
0,3425
0,3589
0,3753
.0,3915
0,4076
0,4236
0,4394
0,4552
0,4708
0,4863
0,5017
0,5169
0,5319
0,5468
0,5616
0,5762
0,5907
0,6050
0,6191
0,6330
0,6468
0,6604
0,6738
0,6870
0,7001
0,7129
а = 80°
0,0175
0,0349
0,0523
0,0698
0,0872
0,1045
0,1219
0,1392
0,1565
0,1737
0, 1908
0,2080
0,2250
0,2420
0,2589
0,2758
0,2925
0,3092
0,3258
0,3422
0,3586
0,3749
0,3911
0,4071
0,4230
0,4389
0,4545
0,4701
0,4855
0,5007
0,5159
0,5308
0,545?
0,5603
0,5748
0,5891
0,6032
0,6172
0,6310
0,6446
0,6580
0,6712
0,6843
0,6971
0,7097
а= 85°
0,0175
0,0349
0,0523
0,0698
0,0872
0,1045
0,1219
0,1392
0,1564
0, 1737
0,1908
0,2079
0,2250
0,2419
0,2588
0,2757
0,2924
0,3091
0,3256
0,3421
0,3584
0,3747
0,3908
0,4068
0,4227
0,4385
0,4541
0,4696
0,4850
0,5002
0,5153
0,5302
0,5449
0,5595
0,5739
0,5881
0,6022
0,6161
0,6297
0,6432
0,6566
0,6697
0,6826
0,6953
¦ 0,7078
а = 90°
0,0175
0,0349
0,0523
0,0698
0,0872
0,1045
0,1219
0,1392
0,1564
0,1737
0,1908
0,2079
0,2250
0,2419
0,2588
0,2756
0,2924
0,3090
0,3256
0,3420
0,3584
0,3746
0,3907
0,4067
0,4226
0,4384
0,4540
0,4695,
0,4848
0-, 5000
0,5150
0 ,5299
0,5446
0,5592
0,5736
0,5878
0,6018
0,6157
0,6293
0,6428
0,6561
0,6691
0,6820
0,6947
0,7071
ТАБЛИЦЫ ЗНАЧЕНИЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ИНТЕГРАЛОВ 303
ф°
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
а =
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
1,
1,
1,
1,
1
1,
1,
1,
1,
1,
1,
1,
1,
1,
1,
1,
1
1
1
1
1
= 65°
7356
7488
7618
7746
7872
7997
8120
8242
8361
8479
8595
8709
8822
8933
9042
9149
9254
93 58
9460
9561
9659
9756
9852
9946
0038
0129
0218
0306
0392
0477
0561
0643
0725
0805
0884
0962
1040
1116
1192
1267
1342
1417
1491
1565
1638
а =
0,
0,
0,
0,
о,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
о,
о,
0,
0,
о,
о,
0,
0,
0,
0,
о,
0 ,
0,
1,
1,
1,
1,
1,
1,
1,
1,
1,
1,
1,
1,
1,
1
1
1
1
1
= 70°
7301
7429
7555
7679
7801
7921
8039
8155
8270
8382
8493
8601
8707
8812
8914
9015
9113
9210
9304
9397
9487
9576
9662
9747
9830
9911
9990
0067
0143
0217
0290
0361
0430
0498
0565
0630
0695
0758
0821
0883
0944
1004
1064
1124
1184
а = 75°
0,7255
0,7380
0,7503
0,7623
0,7741
0,7858
0,7972
0,8084
0,8194
0,8302
0,8408
0,8511
0,8612
0,8711
0,8808
0,8903
0,8995
0,9085
0,9173
0,9258
0,9341
0,9422
0,9501
0,9578
0,9652
0,9724
0,9794
0,9862
0,9928
0,9992
1,0053
1,0113
1,0171
1,0228
1,0282
1,0335
1'0387
1,0437
1,0486
1,0534
1,0581
1,0628
1,0674
1,0719
1,0764
»1П
а
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
= 80°
,7222
,7344
,7464
,7582
,7697
,7811
,7922
,8031
,8137
,8242
,8344
,8443
,8540
,8635
,8728
,8818
,8905
,8990
,9072
,9152
,9230
,9305
,9377
,9447
,9514
,9579
,9642
,9702
,9759
,9814
,9867
,9917
,9965
,0011
,0054
,0096
,0135
,0173
,0209
,0244
,0277
,0309
,0340
,0371
,0401
а =
0,
0,
0,
0,
о,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
о,
0,
0,
0,
о,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
1,
1,
1,
1,
1,
1
1
= 85°
7201
7321
7440
7556
7670
7781
7891
7998
8102
8204
8304
8401
8496
8588
8677
8764
8849
8930
9009
9086
9160
9231
9299
9364
9427
9487
9544
9599
9650
9699
9745
9789
9829
9867
9902
9935
9965
9992
0017
0039
0060
0078
0095
0111
0127
а = 90°
0,7193
0,7314
0,7431
0,7547
0,7660
0,7772
0,7880
0,7986
0,8090
0,8192
0,8290
0,8387
0,8481
0,8572
0,8660
0,8746
0,8830
0,8910
0,8988
0,9063
0,9136
0,9205
0,9272
0,9336
0,9397
0,9455
0,9511
0,9563
0,9613
0,9659
0,9 703
0,9744
0,9782
0,9816
0,9848
0,9877
0,9903
0,9926
0,9945
0,9962
0,9976
0,9986
0,9994
0,9999
1,0000

ЛИТЕРАТУРА
(пособия, справочники, таблицы)
1. Гурвиц А., Курант Р., Теория функций, перевод
с нем. М. А. Евграфова, «Наука», 1968.
2. Лаврентьев М. А. и Шабат Б. В., Методы теории
функций комплексного переменного, изд. 3, «Наука», 1965.
3. Стоилов С, Теория функций комплексного переменного,
перевод с румынского И. Берштейна, два тома, ИЛ, 1962.
4. Волковыский Л. И., Лунц Г. Л., Арамано-
вич И. Г., Сборник задач по теории функций комплексного
переменного, Физматгиз, 1960.
5. А р р е 1 1 P., L а с our E., Principes de la theorie des fonctions
elliptiques et applications, deuxieme edition, Paris, 1922.
6. Tannery J. et Molt J., Elements de la theorie des fonc-
fonctions elliptiques, т. 1—1893, т. 2—1896, т. 3—1898, т. 4—1902,
Paris.
7. Коппенфельс В. и Штальман Ф., Практика
конформных отображений, перевод К. М. Фишмана под редак-
редакцией Л. И. Волковыского, ИЛ, 1963.
8. Янке Е.,Эмде Ф., Лёш Ф., Специальные функции (фор-
(формулы, графики, таблицы), перев. с 6-го нем. издания под редак-
редакцией Л. И. Седова, «Наука», 1968.
9. Журавский А. М., Справочник по эллиптическим функ-
функциям, Изд. АН СССР, 1941.
10. Milne-Thomson L. M., Die elliptischen Funktionen von
Jacobi, Springer Verlag, 1931 (имеется перевод на русский язык,
Харьков, 1933).
11. С е г а л Б. И. и СеиендяевК. А., Пятизначные матема-
математические таблицы, изд. 3, Физматгиз, 1962.
12. Беляков В. М., Кравцова Р. И., Раппопорт М. Г.,
Таблицы эллиптических интегралов, Изд. АН СССР, т. 1 —
1962, т. 2—1963.
13. Ломкаци Ц. Д., Таблицы эллиптических функций Вейер-
штрассаг «Наука», 1967.
14. Oberhettinger F. und Magnus W., Anwendung der
elliptischen Funktionen in Physik und Technik, Springer Ver-
Verlag, 1949.
15. Седов Л. И., Плоские задачи гидродинамики и аэродинамики,
изд. 2, «Наука», 1966.