/
Author: Емцев Б.Т.
Tags: движение жидкостей гидродинамика общетехнические дисциплины гидромашины гидромеханика гидроавтоматика
Year: 1978
Text
Б.Т.ЕМЦЕВ
ТЕХНИЧЕСКАЯ
ГИДРОМЕХАНИКА
Допущено Министерством высшего и среднего специального образования
СССР в качестве учебника для студентов высших учебных заведений,
обучающихся по специальности «Гидравлические машины и средства автоматики»
МОСКВА «МАШИНОСТРОЕНИЕ» 1978
ББК 30.123
Е60
УДК 532.5 + 533.6
Рецензенты!
кафедра гидроаэродинамики Ленинградского политехнического
института им. М. И. Калинина
и д-р техн, наук Н. А. Картвелишвили
Ияв. №--------4
Библжнема УНИ J
Емцев Б. Т.
Е60 Техническая гидромеханика: Учебник для вузов по
специальности «Гидравлические машины и средства автома-
тики». — М.: Машиностроение, 1978. — 463 с., ил.
|В учебнике наряду с изложением общих уравнений и теорем механики
жидкости рассмотрены основные методы решения прикладных гидродинамиче-
ских задач. Основной объем книги отведен теории несжимаемой жидкости,
но общие уравнения динамики даны применительно к сжимаемой среде. Кратко
изложены закономерности одномерных течений идеального газа.
Учебник составлен в соответствии с программой курса гидромеханики
для специальности «гидравлические машины я средства автоматики». Книга
может быть использована студентами других машиностроительных специаль-
ностей, а также инженерами, работающими в области гидродинамических
расчетов машин и аппаратов.
-20303-033 „ ББК 30.123
Е038(01)-78 ,3'78 605
© Издательство «Машиностроение», 1978 р.
ПРЕДИСЛОВИЕ
Основой для этой книги послужили лекции по курсу «Гидроме-
ханика», которые автор в течение многих лет читал в Московском
ордена Ленина Энергетическом Институте для студентов специ-
альности «Гидравлические машины и средства автоматики».
Этот курс является базовым в системе образования специали-
стов указанного профиля. Он должен служить основой для ряда
дисциплин теоретического и прикладного характера, таких как
«гидродинамическая теория решеток», «теория лопастных гидро-
машин», «устройства гидропневмоавтоматики» и др. Назначением
и местом курса в учебном плане определяется его основная задача:
сочетать изложение классических теорем и методов гидромеханики
с изложением современных инженерных методов гидродинами-
ческих расчетов. Из обширного материала современной приклад-
ной гидромеханики в книгу включены главным образом вопросы,
связанные с гидравлическими расчетами в области машинострое-
ния. Автор стремился излагать эти вопросы на основе общих тео-
рем и уравнений механики жидкости, усвоение и ясное понимание
которых необходимы для сознательного и творческого исполь-
зования расчетных методов.
При отборе и компоновке материала для каждого из разделов
автор исходил из следующих соображений.
Для лучшего понимания теоретических построений и расчет-
ных методов читатель должен в первую очередь получить предста-
вление об истинном, наблюдаемом в опытах, характере реальных
гидромеханических явлений. Тогда легче и правильнее усваива-
ется сущность теоретических моделей этих явлений, создается
более ясное и правильное представление о степени приближенности
исходных предпосылок и границ применимости теории. Напри-
мер, уже в гл. 2 «Кинематика» даются первые сведения о возмож-
ной кинематической структуре потоков реальных жидкостей,
включая описание кинематической картины ламинарного и тур-
1* з
булентного течений. Этим же соображением обусловлено изложе-
ние законов движения идеальной жидкости только после того,
как выведены уравнения вязкой жидкости. В пользу такого
расположения материала говорит возможность рассматривать
закономерности идеальной жидкости, как частные случаи соот-
ветствующих законов движения вязкой жидкости. Иными сло-
вами, при отборе и расположении материала автор стремился
реализовать принципы: от реального объекта к теоретической мо-
дели и от общего к частному.
Содержание книги является расширенным содержанием курса,
читаемого в МЭИ для указанной выше специальности. Но автор
отдает себе отчет в том, что не во всех вузах на аналогичный курс
отводится число часов, достаточное для изложения всех включен-
ных в книгу разделов. Для того чтобы сделать ее полезной и в этих
случаях, гл. 1—6 построены так, что они могут служить самосто-
ятельным и завершенным курсом технической гидромеханики.
Гл. 7—10 могут служить дополнением первых шести глав тем
материалом, который Для данного вуза окажется наиболее под-
ходящим. Книга почти не содержит справочного материала и
изложения экспериментальной гидромеханики. Эти разделы,
обширные и важные для инженерного образования, по мнению
автора, должны осваиваться учащимися в ходе выполнения рас-
четных и лабораторных работ и им должны быть посвящены спе-
циальные пособия.
Книга рассчитана на студентов, завершивших изучение кур-
сов высшей математики, физики и теоретической механики на
машиностроительных факультетах втузов со сроком обучения
пять с половиной лет. Такая ориентация книги позволила в дока-
зательствах и выводах использовать как общие формы законов
и теорем механики, так и векторный анализ, теорию функций комп-
лексного переменного и некоторые другие разделы математики,
включаемые в программы ряда технических вузов. Применение
в курсе технической гидромеханики этого теоретического аппа-
рата представляется целесообразным не только потому, что с его
помощью достигается компактность и строгость изложения,
но и потому, что овладение им применительно к задачам гидро-
механики открывает изучающему возможность свободно читать
современную научную литературу. Наряду с этим в книге не ис-
пользуется тензорное исчисление, поскольку этот раздел ма-
тематики часто не включается в программы технических вузов
или включается в недостаточном объеме.
Учитывая инженерный характер специальности, для которой
предназначена книга, автор счел возможным поступиться пол-
нотой и строгостью некоторых доказательств и ограничиться опи-
санием качественной стороны явлений. В книге использованы
некоторые методы и приемы курса гидравлики, имеющие целью
получение простых расчетных зависимостей.
ВВЕДЕНИЕ
Гидромеханикой называется наука, посвященная изучению за-
конов механического движения жидкостей и разработке методов
использования этих законов для решения прикладных задач.
Жидкости, занимая по молекулярному строению промежуточ-
ное положение между газами и твердыми телами, проявляют ка-
чества, присущие как газам, так и деформируемым твердым
телам. Это позволяет описать механическое движение всех упо-
мянутых сред едиными дифференциальными уравнениями, состав-
ляющими основу механики сплошной среды. Решение этих урав-
нений требует учета специфических свойств каждой из упомя-
нутых сред, благодаря чему механика сплошной среды распадается
на ряд самостоятельных дисциплин: гидромеханику, газовую
динамику, теорию упругости, теорию пластичности и др.
Жидкости и газы с точки зрения механики различаются только
степенью сжимаемости. В условиях, когда это свойство не прояв-
ляется или не является определяющим, решения уравнений дви-
жения сплошной среды оказываются одинаковыми как для жид-
костей, так и для газов. Этим объясняется существование дис-
циплины, называемой гидрогазодинамикой или механикой жид-
костей и газов. Если при изложении этой дисциплины преоб-
ладают вопросы движения жидкостей, то ее обычно называют
просто гидромеханикой.
В зависимости от теоретической или прикладной направлен-
ности употребляются наименования теоретическая и техническая
или прикладная гидромеханика. Исторически сложилась в само-
стоятельную дисциплину одна ветвь технической гидромеханики,
получившая название гидравлики. Ее спецификой издавна яв-
лялись состав рассматриваемых задач (главным образом одно-
мерных), а также широкое применение упрощенных и эмпири-
ческих методов их решения с целью получения результатов, удоб-
ных для использования в инженерной практике. Широкое исполь-
5
зование методов гидравлики во многих отраслях техники вплоть
до середины нашего столетия обусловлено в значительной степени
тем, что, несмотря на крупные достижения теоретической гидро-
механики, многие технические задачи не получали достаточно
строгих и точных решений, пригодных для использования в ин-
женерной практике. Выходом из положения являлись эмпири-
ческие формулы и сильно упрощенные расчетные схемы, главным
образом одномерные, которые и составляли основное содержание
гидравлики. Однако ограниченные возможности таких методов
и возникновение новых более сложных задач привели к необ-
ходимости максимально возможного использования достижений
теоретической гидромеханики, практическая результативность
которой возросла, особенно в связи с применением численных
методов и ЭВМ. В настоящее время различие между гидравликой
и технической или прикладной гидромеханикой исчезает, и те-
перь, по-видимому, можно констатировать, что современная
гидравлика представляет собой техническую механику жидкости,
прочно опирающуюся на теоретический фундамент классиче-
ской гидромеханики. В то же время гидравлика является при-
кладной наукой, одной из отличительных черт которой является
доведение решений до вида, удобного для инженерных расчетов.
В гидромеханике широко используются математические ме-
тоды, благодаря чему ряд полученных в ней результатов обла-
дает строгостью и точностью. Однако сложность механической
структуры движений реальных жидкостей и газов не позволяет
получить такие результаты для большинства случаев, важных
для практики, поэтому широко используют приближенные урав-
нения и приближенные методы их решений. Такие решения тре-
буют обязательной проверки, а иногда и корректировки экспери-
ментом. Кроме того, эксперимент в гидромеханике служит для
первичного изучения явлений, без чего нельзя построить досто-
верные расчетные модели. Поэтому роль эксперимента в гидро-
механике весьма значительна. Современные гидродинамические
лаборатории представляют собой крупные исследовательские
организации со сложным и высокоточным оборудованием.
Гидромеханика находит применение в большинстве отраслей
техники и для многих из них является теоретической базой.
К числу последних относятся авиация, кораблестроение, энерго-
машиностроение, атомная энергетика, гидротехническое стро-
ительство и гидроэнергетика, водоснабжение и канализация,
теплотехника, водный транспорт и др. Значительна роль этой
науки в химической технологии, легкой промышленности,
автоматике, физиологии, метеорологии. Для каждой из этих
отраслей характерен свой круг гидродинамических задач и со-
ответствующих методов их решения. Однако все они основываются
на общих законах движения и покоя жидкостей и газов, а также
на некоторых общих методах описания гидромеханических яв-
лений.
Глава 1
ОСНОВНЫЕ ФИЗИЧЕСКИЕ
СВОЙСТВА ЖИДКОСТЕЙ
И ГАЗОВ
§ 1
МОЛЕКУЛЯРНАЯ СТРУКТУРА И ОСОБЕННОСТИ ЖИДКОГО
И ГАЗООБРАЗНОГО СОСТОЯНИЙ
Материальные тела могут находиться в одном из трех агрегат-
ных состояний: твердом, жидком и газообразном. Каждое из
этих состояний характеризуется специфическими свойствами,
которые определяются особенностями их атомно-молекулярной
структуры, непосредственно связанной с силами взаимодействия
между частицами. Этими силами являются силы притяжения и
отталкивания, действующие одновременно и зависящие от рас-
стояния г между частицами. Характер сил межмолекулярного вза-
имодействия можно качественно выяснить на примере двух изоли-
рованных молекул. При некотором расстоянии г0 сила взаимодей-
ствия между ними равна нулю, т. е. силы притяжения и отталки-
вания уравновешиваются. При возрастании г результирующая
этих сил является силой притяжения, которая сначала возрастает
(по абсолютной величине), достигает максимальной величины при
некотором а затем уменьшается, приближаясь к нулю (рис. 1, а).
При межмолекулярных расстояниях г < г0 результирующая
сила является силой отталкивания и быстро растет с уменьше-
нием г. Молекула в поле этих сил обладает потенциальной энер-
гией е (г) (рис. 1,6), которая связана с величиной силы f (г) и
изменением межмолекулярного расстояния dr дифференциальным
соотношением: de = —f (г) dr. Отсюда следует, что в точке г =
= г0, где f (г0) = 0, потенциальная энергия е (г) достигает ми-
нимума, так как de/dr = 0. В твердых (кристаллических) телах
атомы или другие частицы (ионы, молекулы) располагаются на
расстояниях порядка г0, соответствующих минимуму потенци-
альной энергии, в правильном порядке и образуют кристалли-
ческую решетку. При этом упорядоченность простирается на ко-
нечный объем тела (дальний порядок). Молекулярные движения,
которыми обусловлена тепловая энергия тела, представляют
собой колебания частиц около устойчивых центров. Потенциаль-
ная энергия молекулярных связей по абсолютной величине
Рис. 1. Зависимость потенциальной
анергии молекул к силы взаимодей-
ствия между молекулами от расстоя-
ния между их центрами
превосходит среднюю кинетическую энергию теплового движе-
ния. Устойчивость порядка расположения центров колебаний
частиц в твердых телах обусловливает макроскопические свой-
ства этих тел; устойчивое сохранение объема и формы.
В газах при нормальных условиях межмолекулярные рас-
стояния >1Ого, что соответствует слабым силам притяжения
и незначительной по величине потенциальной энергии. Каждая
молекула газа при движении прак-
г тически не испытывает действия свя-
= . зей с другими молекулами, что
£ \ позволяет пренебрегать межмолеку-
; \ лярными силами. Модель газа, в
e \ которой полностью игнорируют силы
- ‘ притяжения между молекулами, на-
зывается совершенным газом. Пола-
гают, что молекулы совершенного
газа движутся равномерно и прямо-
линейно до столкновения. Под столк-
новением понимают резкое измене-
ние направления движения молекул
под действием сил отталкивания,
возникающих при сближении мо-
лекул.
Свободное беспорядочное движе-
ние молекул газа обусловливает его
расширение во все стороны, благода-
ря чему газ не имеет определенного
объема и собственной формы, а за-
нимает объем и принимает фор-
му сосуда, в который газ заклю-
чен.
Стенки сосудов, содержащих газ,
испытывают удары беспорядочно движущихся молекул. Вслед-
ствие этих ударов газ развивает силовое воздействие на
стенки.
Исходя из описанного выше представления о движении мо-
лекул газа, можно подсчитать, что для совершенного газа дав-
ление р, т. е. сила, приходящаяся на единицу площади стенки,
определяется соотношением
р = 2/3/1 (1-1)
где п — число молекул в единице объема газа; т — масса одной
молекулы; с-— среднее значение квадрата скорости движения
молекул газа.
Произведение пт представляет собой массу единицы объема
газа и называется его плотностью р.
8
zly
Рис 2. Молекулярный обмен количеством дви-
жения хаотически движущихся молекул обус-
ловливает вязкость газов
Абсолютная температура Т идеального газа определяется
формулой
kT = 2/3-^-, (1-2)
где k—постоянная Больцмана, равная 1,38' I0"-3 Дж/град.
Соотношения (1-1) и (1-2) называют основными уравнениями
кинетической теории газов. Давление р, плотность р и абсолют-
ная температура Т являются величинами, характеризующими
состояние молекулярного движения газа. Эти величины назы-
ваются термодинамическими параметрами состояния среды и вхо-
дят в систему уравнений макроскопического движения газа.
Если к граничной поверх-
ности некоторого объема га-
за приложена произвольная
сдвигающая сила, то движе-
ние молекул газа, оставаясь
хаотическим, приобретает
преимущественную направ-
ленность. Таким образом, возникает течение газа в направлении
действия силы и происходит деформация его объема. Деформа-
ция непрерывно возрастает в течение времени действия силы.
Любая малая сдвигающая сила при длительном действии может
вызвать значительную деформацию. Свойство среды неограниченно
деформироваться под действием постоянной силы называют те-
кучестью. Таким образом, газы обладают свойством текучести.
Это свойство не означает отсутствия сопротивления сдвигу
в среде. Несмотря на текучесть, газы сопротивляются сдвигающим
усилиям. Сопротивление проявляется в том, что данной силой
можно обусловить только определенную скорость деформации
и для ее увеличения нужно увеличить силу. Свойство среды со-
противляться сдвигающим усилиям называют вязкостью или внут-
ренним трением. В газах вязкость обусловлена хаотическим дви-
жением молекул. Так, при относительном смещении слоев газа
со скоростями и и и + Ди (рис. 2) благодаря тепловому движению
молекул происходит их перемещение из слоя в слой и соответству-
ющий перенос количества движения. Это приводит к выравни-
ванию скоростей слоев, обусловленному появлением силы Тц,
препятствующей их относительному сдвигу.
Для поддержания движения слоев с разностью скоростей Ди
необходимо приложить внешнюю силу, преодолевающую силу
сопротивления, которая называется силой вязкости или силой
внутреннего трения.
Сила вязкости, приходящаяся на единицу площади поверх-
ности раздела двух слоев, называется вязкостным (касательным)
напряжением тм и определяется соотношением
Тц----s'.
(1-3)
9
где 7ц — сила внутреннего трения, действующая на площади S
соприкосновения слоев.
Для совершенного газа величину касательного напряжения
Тц можно вычислить, применив теорему импульсов к массе мо-
лекул, пересекающих единичную площадь на плоскости раздела
слоев.
В результате получается зависимость
где т — масса молекулы; п — число молекул в единице объема;
с — среднее значение абсолютной скорости молекул; I — средняя
длина свободного пробега молекул; | — величина изменения
скорости на единице длины вдоль оси у (см. рис. 2).
Соотношение (1-4) можно представить в виде
' О’®
где
р — 4- tnncl = ~ P# (1 ’б)
называют динамическим коэффициентом вязкости газа.
Поскольку при повышении температуры скорость с возрастает,
динамический коэффициент вязкости газа должен также возра-
стать.
При постоянной температуре плотность р газов изменяется
прямо пропорционально давлению, а длина свободного про-
бега I молекул — обратно пропорционально. Среднее значение
|с| зависит только от температуры. Поэтому, как следует из
соотношения (1-6), коэффициент вязкости р для газов не должен
зависеть от давления. Этот вывод достаточно хорошо подтвержда-
ется опытом в широком диапазоне давлений. Но при весьма низ-
ких давлениях, характерных для разреженных газов, и при боль-
ших давлениях, когда газы близки к сжижению, проявляется
влияние давления на величину вязкости. С возрастанием дав-
ления в этих случаях вязкость растет.
Жидкости по молекулярному строению занимают промежу-
точное положение между кристаллическими твердыми телами и
газами. Сведения о молекулярном строении жидкостей менее
полны, чем о строении твердых тел и газов. Считают, что моле-
кулы жидкостей расположены так же плотно, как и молекулы
твердых тел. Об этом свидетельствует равенство плотностей твер-
дых тел и их расплавов. Поэтому нужно считать, что межмоле-
кулярные силы и потенциальная энергия молекул жидкости
имеют тот же порядок, что и для твердых тел. Жидкости, как и
(О
твердые тела, устойчиво сохраняют величину занимаемого ими
объема.
Характер теплового движения молекул в жидкостях сложнее,
чем в твердых телах. Согласно упрощенной, но, по-видимому,
качественно верной модели, тепловые движения молекул жид-
кости представляют нерегулярные колебания относительно не-
которых центров. Кинетическая энергия колебаний отдельных
молекул в какие-то моменты может оказаться достаточной для
преодоления межмолекулярных связей. Тогда эти молекулы по-
лучают возможность скачком перейти в окружение других моле-
кул, тем самым поменяв центр колебаний. Таким образом, каждая
молекула некоторое время /*, называемое временем «оседлой
жизни», находится в упорядоченном строю с несколькими бли-
жайшими «соседками». Совершив перескок, молекула жидкости
'оказывается среди новых молекул, выстроенных уже другим
образом. Поэтому в жидкости наблюдается только ближний по-
рядок в расположении молекул. Скачки молекул совершаются
хаотически, новое место никак не предопределено прежним.
Непрерывно и в большом количестве совершающиеся скачкооб-
разные переходы молекул с места на место обеспечивают диффу-
зию молекул и текучесть жидкостей. Если на границе жидкости
приложена сдвигающая сила, то, как и в газах, появляется пре-
имущественная направленность скачков и возникает течение жид-
кости в направлении силы.
Для большинства жидкостей величина силы при этом может
быть любой сколь угодно малой. Однако существуют жидкости
с настолько упорядоченной молекулярной структурой, что тре-
буется некоторое начальное усилие для осуществления сдвига.
Такие жидкости называют пластичными. Если время действия
сдвигающей силы мало по сравнению с?, то непрерывного пере-
мещения молекул вообще не возникает, и жидкости, как твердые
тела, оказывают упругое сопротивление сдвигу. Если время дей-
ствия сдвигающей силы больше t*, то возникает течение и прояв-
ляется вязкость, т. е. сопротивление сдвигу. Сила сопротивления
может оказаться так же, как в газах, пропорциональной скорости
деформации. В этом случае жидкости называют ньютоновскими.
Если связь между силой сопротивления и скоростью деформации
отлична от линейной или начальное сдвиговое усилие не равно
нулю, то жидкости называют неньютоновскими.
Механизм сопротивления жидкостей сдвигу отличается от
такового в газах. Поскольку движение жидкости является резуль-
татом направленного движения перескакивающих молекул, то
чем меньше перескоков, тем большее сопротивление оказывает
жидкость сдвигающим усилиям, т. е. тем больше вязкость жид-
кости. С повышением температуры растет кинетическая энергия
молекулярного движения и увеличивается число перескоков,
что воспринимается как уменьшение вязкости. Изменение дав-
ления мало влияет на вязкость жидкости.
и
Сложность молекулярного строения жидкостей затрудняет
получение теоретическим путем достаточно общих связей между
молекулярными характеристиками и статистическими величинами:
температурой, давлением, коэффициентом вязкости. Поэтому
в гидромеханике пользуются для жидкостей экспериментально
установленными зависимостями между этими величинами. Не-
которые из таких зависимостей будут приведены в § 4 настоящей
главы.
При всех различиях в молекулярной структуре твердых тел,
жидкостей и газов между ними не всегда можно провести четкую
границу. Многие тела, которые мы привыкли считать твердыми,
при определенных условиях ведут себя как жидкости, а некоторые
жидкости проявляют свойства твердых тел. Так, например, ас-
фальт при мгновенном резком приложении силы ведет себя как
твердое тело, а при длительном действии той же силы течет как
жидкость. Существуют материалы, [которые ведут себя как упру-
гие твердые тела, если они длительно находятся, в состоянии
покоя, и проявляют свойства жидкостей при интенсивном переме-
шивании. В концентрированных полимерных растворах могут
одновременно проявляться свойства твердых тел и жидкостей.
§2
ГИПОТЕЗА СПЛОШНОСТИ СРЕДЫ
В гидромеханике рассматриваются макроскопические движения
жидкостей и газов, а также силовое взаимодействие этих сред
с твердыми телами. При этом, как правило, (размеры рассматри-
ваемых объемов жидкостей, газов и твердых тел оказываются
несопоставимо большими по сравнению [с размерами молекул и
межмолекулярными расстояниями. Это естественно, поскольку
межмолекулярные расстояния в жидкостях составляют всего
10“?—10"8 см, а длина свободного пробега молекул газа при ат-
мосферном давлении ~10-5 см и изменяется обратно пропорцио-
нально давлению..По этой причине обычно жидкости и газы вос-
принимаются как сплошные среды, масса которых непрерывно
распределена по объему. Исключение составляют сильно разре-
женные газы.
Указанные обстоятельства позволяют ввести гипотезу сплош-
ности изучаемой среды и заменить реальные дискретные объекты
упрощенными моделями, представляющими собой материальный
континуум, т. е. материальную среду, масса которой непрерывно
распределена по объему. Такая идеализация упрощает реальную
дискретную систему и позволяет использовать для ее описания
хорошо разработанный математический аппарат исчисления бес-
конечно малых и теорию непрерывных функций.
Параметры, характеризующие термодинамическое состояние,
покой или движение среды, считаются при этом непрерывно из-
12,
меняющимися по всему объему, занятому средой, кроме, быть
может, отдельных точек, линий или поверхностей, Где могут
существовать разрывы.
Критерием приемлемости всякой гипотезы является степень
совпадения результатов, полученных на ее основе, с резуль-
татами наблюдений и измерений. В настоящее время можно
констатировать, что опыт механики жидкости и газа полно-
стью подтверждает правомерность использования гипотезы
сплошной среды в широком диапазоне изменения параметров.
Теоретические результаты, полученные для гипотетической
сплошной среды, тем лучше совпадут с результатами наблюдений,
чем полнее и точнее учтены в ней свойства реальных жидкостей
и газов. К сожалению, идеализацию среды во многих случаях
не удается ограничить только допущением ее сплошности.
Сложность изучаемых явлений заставляет отказываться от учета
и некоторых других свойств реальных сред. В зависимости от
тех свойств, которые приписываются гипотетической сплошной
среде, получают различные ее модели. Всякая идеализация среды
имеет границы применимости, в которых получаются результаты,
удовлетворительные с точки зрения запросов практики. При ис-
пользовании результатов, полученных для идеализированной
среды, важно поэтому знать границы их применимости и
точность в этих границах. Установление границ применимо-
сти является непростым делом, требующим знания существа
явлений или хотя бы интуитивно правильного их понима-
ния.
В механике жидкостей и газов широко используется понятие
«жидкой частицы». Этим термином обозначают малый объем
сплошной среды, который при движении деформируется и масса
которого не смешивается с окружающей средой. Несколько уп-
рощенно жидкую частицу можно представить как каплю краски,
пущенную в жидкость тех же свойств, что и сама капля, и пере-
мещающуюся вместе с жидкостью. При изучении равновесия и
движения жидкостей и газов жидкая частица рассматривается
как материальный объект, к которому применимы все законы
механики. Изучаемая масса жидкости или газа рассматривается
при этом как совокупность непрерывно распределенных по объ-
ему жидких частиц.
Широко используется в гидромеханике и понятие «жидкого
объема», под которым понимают малый или конечный объем
жидкости, состоящий во время движения из одних и тех же ча-
стиц. Аналогичный смысл имеют термины «жидкая поверхность»
и «жидкая линия».
Для выбора эффективных моделей при решении различных
вопросов гидрогазодинамики необходимо знать истинные свойства
жидкостей и газов. От полноты учета этих свойств зависит полу-
чение физически реальных теоретических результатов и обос-
нованное определение границ их применимости.
13
§3
ПЛОТНОСТЬ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ.
ОБЪЕМНЫЕ СВОЙСТВА ЖИДКОСТЕЙ И ГАЗОВ
Согласно гипотезе сплошности масса среды распределена в объ-
еме непрерывно и в общем неравномерно. Основной динамиче-
ской характеристикой среды является плотность распределения
массы по объему или просто плотность среды.
Плотность среды р в произвольной точке А определяется со-
отношением
1. лм
р == lim-rfisr,
(1-7)
где AM — масса, заключенная в малом объеме AW, включаю-
щем точку А\ предел берется при стягивании объема Д1Г к этой
точке.
Плотность среды имеет размерность
1Р1 — La >
где М — единица массы; L — единица длины.
Единицами измерения плотности служат: в системе СИ—кг/м3,
в технической системе—кгс>с2/м4.
Наряду с плотностью в рассмотрение вводится понятие удель-
ного объема v, который представляет собой объем, содержащий
единицу массы:
Ч' (1-8)
Плотность среды может изменяться от точки к точке и в дан-
ной точке со временем, т. е.
р = р(х, у, г, t). (1-9)
Однако эта функциональная связь не является непосредствен-
ной, так как плотность жидкостей и газов определяется фактически
значениями термодинамических параметров состояния (р и Т),
которые при движении среды зависят от координат (х, у, z) и
времени (/).
Связь между плотностью, температурой и давлением устанав-
ливается уравнением состояния, которое для реальных жид-
костей и газов выводится в кинетической теории. Однако ввиду
сложности общего уравнения состояния и затруднительности
определения входящих в него констант, для качественного ана-
лиза свойств этих сред пользуются приближенными теоретиче-
скими или эмпирическими уравнениями. Получило широкое при-
менение, например, уравнение Ван-дер-Ваальса
14
где р — давление; а, Ь и R — константы для данной среды; V —
удельный объем; Т — абсолютная температура.
Это уравнение, выведенное в кинетической теории газов,
является приближенным, но качественно верно отражает наблю-
даемые в опытах закономерности.
На рис. 3 изображены изотермы Ван-дер-Ваальса, выражаю-
щие зависимости удельного объема от давления (и = / (р)) при
различных постоянных температурах. Жидкому состоянию на
этих кривых соответствует участок АВ, а газообразному — уча*
Г'п I/-.. ..____
сток СО. Как показывают кривые
АВ и CD, с увеличением давления
объем жидкостей и газов умень-
шается. Разные наклон и кривизна
этих участков свидетельствуют о
разной степени сжимаемости рас-
сматриваемых сред.
Количественно сжимаемость
оценивается изотермическим коэф-
фициентом сжимаемости х:
(Ml)
Для жидкостей (участок АВ
изотермы) производная т ма-
ло отличается от нуля, что сви-
детельствует о малой сжимаемо-
Рис. 3. Изотермы Ван-дер-Ваальса
сти жидкостей. Коэффициент сжимаемости большинства жид-
костей лежит в пределах х = 10-9-*-10-хо (Н/м2)"1. Для всех
жидкостей он уменьшается с возрастанием давления и возрастает
с повышением температуры.
Из уравнения Ван-дер-Ваальса может быть получено выраже-
ние для коэффициента сжимаемости, но ввиду приближенности
этого уравнения практическое применение получили выражения Xi
найденные опытным путем. .
Соотношение (1-11) можно представить в другом виде, заменив
п = — и обозначив 1/% =
dp _ dp
(М2)
Величина S называется модулем упругости жидкости. Для
воды при нормальных условиях <S = 2,25-109 Н/м2. В фор-
ме (1-12) уравнение сжимаемости выражает закон Гука для
жидкостей.
Для газов (участок СО изотермы на рис. 3) соотношение между
р и v приближенно описывается уравнением
pv = RT, (1-13)
15
откуда, учитывая, что Т = const, получаем
=_±.
v \ др Jt р
(Ы4)
Следовательно, изотермический коэффициент сжимаемости газов
определяется формулой
1
(Ы5)
при этом изотермический модуль упругости газов
# = (1-16)
Формулы (1-15) и (1-16) свидетельствуют о высокой сжимае-
мости газов.
Объем жидкостей и газов изменяется не только при изменении
давления, но и при изменении температуры. Как правило, жидкости
и газы расширяются с повышением температуры, а плотность их
при этом уменьшается. Исключение составляет вода, плотность
которой возрастает при повышении температуры от 0 до 4° С и
достигает максимума при 4° С. Такая аномалия объясняется
особенностями молекулярного строения воды.
Количественно изменение объема при изменении температуры
и постоянном давлении оценивается коэффициентом теплового
объемного расширения
1 / dv \
а — v \ дт)р’
(М7)
У жидкостей этот коэффициент зависит от температуры и дав-
ления, возрастая с повышением первой и уменьшаясь с увеличе-
нием второго.
Ниже приведены значения а, град-1 при нормальных условиях
для некоторых жидкостей:
Этиловый спирт ........... 1,1 • 10-1
Глицерин .............. 6,3-10*4
Ртуть . ............... 1,8’ 10-4
Вода ....................... 1,5* 10-4
Для газов из уравнения (1-13) при р — const получаем
1 / а» \ J.
V \ дТ )р = Т ’
т. е.
a-Y-.. (Н8)
Исходя из общего вида уравнения состояния
Р=7(и, Т)
16
У
и
Рис. 4. Схема к определению силы вязкости
при слоистом движении жидкости
пластинки с
можно показать, что между коэффициентами сжимаемости и объ-
емного теплового расширения существует связь вида
т—(М- <1491
др
где производная взята при постоянном объеме.
§4
ВЯЗКОСТЬ ЖИДКОСТЕЙ И ГАЗОВ
Как уже известно из § 1, молекулярные движения в жидкостях
и газах обусловливают сопротивление этих сред сдвигающим уси-
лиям. Наличие силы сопротивления при сдвиге можно обнаружить
опытом, схема которого приве-
дена на рис. 4. На неподвиж-
ной нижней пластинке — слой
жидкости толщиной у о, на сво-
бодной поверхности — легкая
пластинка площадью S. Если
к пластинке приложить силу У,
пластинка начнет перемещать-
ся. После некоторого «разгон-
ного» интервала времени уста-
новится равномерное движение
стью иа. Это означает, что за время разгона возникает приложен-
ная к пластинке сила сопротивления — —?Г. Эта сила может
быть только силой сопротивления жидкости (сопротивление воз-
духа мало и во внимание не принимается).
Механизм возникновения силы сопротивления можно пред-
ставить следующим образом. Слой жидкости, прилегающий к пла-
стинке, прилипает к ней и движется вместе с пластинкой со ско-
ростью «0. Вследствие молекулярных связей этот слой увлекает
за собой следующий и т. д. Поскольку нижний слой примыкает
к неподвижной пластинке, его скорость равна нулю. Таким об-
разом, в жидкости возникает слоистое движение с некоторым
распределением скоростей по высоте и = f (у).
В рассматриваемом случае распределение скоростей линейное.
Вследствие действия межмолекулярных связей между движу-
щимися слоями жидкости возникают силы вязкости или внутрен-
него трения. Ньютон 1 указал на те параметры, от которых зависит
величина этой силы^"ц. Для рассматриваемого слоистого движения
^=±pS-g-, (1-20)
1 Исаак Ньютон (1643—1727 гг.) — великий английский физик и матема-
тик. В области механики жидкости сформулировал закон с л з кости или внутрен-
него трения, открыл явление сжатия струи при истечении через отверстие, иссле-
довал относительное равновесие жидкости, приливно-отливные явления.
17
Нив. № —____________________
где р — динамический коэффициент вязкости; S — площадь со-
прикосновения слоев; ------; градиент скорости ,
являющийся
показателем интенсивности изменения величины скорости по
нормали к ее направлению.
Можно показать, что градиент скорости при слоистом движении
жидкости равен скорости сдвиговой деформации.
Таблица 1
Жидкость Значения ц, Н-с/м* при температурах
0“ с 20“ с
Вода Ртуть Глицерин Смазочное мас- ло Бензин стан- дартный 17,9-10-4 17,(МО'4 4,6-10-» 0,64-Юг-о 7,07-10"4 10,1-10*4 15,7-10'4 0,87-10-» 0,17-10-»
Знак «+» или «—» в форму-
ле (1-20) выбирают в зависи-
мости от знака градиента ско-
рости так, чтобы величина
была положительной.
Вязкостное или касатель-
ное напряжение определяется
формулой
которая полностью согласуется
с формулой (1-5) для напряже-
ния сил вязкости, выведенной
в кинетической теории совер-
шенных газов.
Динамический коэффициент вязкости р, являющийся' основной
количественной характеристикой вязкости жидкостей и газов,
имеет размерность
1р] = [
1 FT М
8 dujdy J £а LT ’
где F — единица силы; Т — единица времени. Единицами
измерения для р служат: в системе СИ — Н -с/м2; в системе СГС —
пуаз (Пз) или г/(см-с) и в технической системе — кгс-с/м2.
Наряду с динамическим коэффициентом вязкости в гидрогазо-
динамике широко используют кинематический коэффициент вяз-
кости v, определяемый соотношением
v = -£, (1-21)
г
где р — плотность жидкости. Легко убедиться, что
М = -jr;
единицами измерения кинематического коэффициента вязкости
служат м2/с и см2/с (стокс).
В соответствии с качественно описанным в § 1 механизмом
возникновения вязкости в жидкостях и газах динамический
коэффициент вязкости сильно зависит от температуры, причем
для жидкостей при повышении температуры он убывает, а для
18
Таблица 2
Значения ц, И «с/м* при температуре
Газ —50е С 0° с 20е С Е0" с
Воздух Водяной пар Углекислый газ СОа 1,708-IO"6 0,883-Г(Г6 1,367-ГО*6 1,840-IO"6 0,975-10-» 1,486-10-» 1,-954-КГ6 1,065-10-» 1,607-10“*- 2,180-ГО'» 1,250-10-» 1,827-10-»
газов — возрастает. Давление, как отмечалось, мало влияет на
величину ц.
Для воды Пуазейлем 1 получена формула
и = ро(Г+О,О337/ +
+0,00022 И2)"1.
где р, и р0 — динамический
коэффициент вязкости при
температурах t° С и 0° С
соответственно.
Для вязкости воздуха
можно воспользоваться фор-
мулой
р, = (1700 + 5,8/-
— 0,0117/®) 10^ Н-с/м2
машинного масла и
Р«с, 5. Зависимость кинематического коэффи-
циента вязкости воды,
воздуха от температуры
температурах.
В табл. 1 и 2 для оценки
порядка величин приведены
коэффициенты врзкости жид-
костей и газов при разных
На рис. 5 приведены кривые зависимости
кинематического коэффициента вязкости воды,
ла и воздуха.
от температуры
машинного мас-
§ 5
ЯВЛЕНИЯ НА ГРАНИЦАХ ЖИДКОСТЕЙ С ГАЗАМИ
И ТВЕРДЫМИ ТЕЛАМИ
Условия, в которых находятся молекулы покоящейся жидкости
на границах с газами, другими жидкостями или твердыми телами,
отличаются от условий, в которых находятся молекулы внутри
жидкого объема. Во втором случае частицы со всех сторон под-
вержены воздействию соседних частиц с теми же свойствами,
1 Жан Луи Мари Пуазейль (1799—1869 гг.)—французский врач, изучав-
ший законы движения крови. Установил эмпирическую формулу для зависимости
Коэффициента вязкости воды от температуры, а также опытным путем открыл
закон ламинарного (слоистого) течения в круглой трубе.
19
поэтому все силы, действующие на рассматриваемую частицу,
уравновешиваются. Если же молекулы расположены на границе,
то силы, действующие со стороны граничного тела, могут отли-
чаться от сил, действующих внутри объема жидкости. Система сил
оказывается неуравновешенной и появляется равнодействующая,
направленная или внутрь или наружу объема жидкости. Чтобы
жидкость находилась в покое, эта равнодействующая должна
уравновешиваться некоторой иной силой (например, силой дав-
ления).
Если указанная сила, испытываемая молекулами поверхност-
ного слоя, направлена внутрь жидкости, то для перемещения ча-
стицы изнутри объема на поверхность необходимо затратить не-
которую энергию, т. е. выполнить работу. Это значит, что молекулы
поверхностного слоя имеют избыточную по сравнению с внутрен-
ними молекулами потенциальную энергию. Энергия Us молекул
пропорциональна величине поверхности S, занимаемой этими
молекулами:
Us — gS. (1-22)
Коэффициент о называется коэффициентом поверхностного
натяжения.
Система, находящаяся в равновесии, занимает то из возможных
для нее положений, которое отвечает минимуму энергии. Следова-
тельно, жидкость в равновесии должна иметь минимальную по-
верхность. Отсюда следует, что должны существовать силы, стре-
мящиеся уменьшить поверхность жидкости. Они должны быть
направлены по касательной к этой поверхности. Эти силы обна-
руживаются простыми опытами и называются силами поверхност-
ного натяжения.
Если выбрать на свободной поверхности жидкости некоторую
линию I и приложить к поверхности распределенную по линии I
нормальную к ней, но касательную к поверхности внешнюю
силу Fi, то сила поверхностного натяжения Fa будет препят-
ствовать разрыву (разделу) поверхности вдоль этой линии. Пусть
в результате действия такой внешней силы поверхность по нормали
к I растянулась на величину dh. Тогда изменение поверхностной
энергии
dUs = odS = oldh
должно равняться работе приложенной силы
Fj dh = Fa dh,
т. e.
Fa = ul. (1-23)
Следовательно, коэффициент поверхностного натяжения а
есть сила, действующая по касательной к поверхности жидкости
и приходящаяся на единицу длины линии раздела I.
20
Единицами измерения для а служат в системе СИ — Н/м, в си-
стеме СГС —дин/см.
Благодаря действию сил поверхностного натяжения объем
жидкости, на который не действуют никакие другие силы, при-
нимает сферическую форму. Это было подтверждено во время
космических полетов и в земных условиях.
Со свойством поверхностного натяжения связана способность
жидкостей образовывать капли, из-за которой обычные жидкости
иногда называют капельными.
9 >*/l
8) г)
Рис. в. Возможные случаи смачивания твердой поверхности вязкой жидкостью
Рис. 7. Искривление свободной поверхности
и капиллярный подъем или понижение уров-
ня в узких трубках
На границе между жидкостью и твердым телом возникают
силы взаимодействия между молекулами этих двух сред. Соот-
ношение между этими силами и силами взаимодействия между
молекулами самой жидкости определяет характер граничных
явлений. Если на твердую го-
ризонтальную плоскость поме-
стить каплю жидкости, то воз-
можны случаи:
а) полногорастекания жидко-
сти по твердой поверхности тон-
ким слоем (полное смачивание),
когда краевой угол 0=0 (рис. 6,а);
б)
когда
(рис.
в)
частичного смачивания,
краевой угол 0 < -у
6.6);
частичного несмачивания,
когда -у- < 9 < л (рис. 6, в);
г) полного несмачивания, когда 0 = я (рис. 6, г).
Хотя существует несмачивание, но при движении жидкости
скорости частиц, соприкасающихся с твердой поверхностью,
в большинстве случаев равны скорости последней. Этот факт
для гидродинамики весьма важен, так как на нем основана фор-
мулировка граничных условий при математической постановке
гидродинамических задач.
Силы молекулярного взаимодействия между жидкостью и
твердыми стенками создают искривление свободной поверхности
вблизи этих стенок. В трубке малого диаметра (капилляре) по-
верхность может быть или вогнутой (смачивание) или выпуклой
(несмачивание) (рис. 7). Искривление свободной поверхности
сопровождается появлением дополнительного давления, которое
21
создает подъем или понижение уровня в таких трубках. Высота
капиллярного подъема жидкости определяется формулой
h __ 2а cos 0
~ ’ Pgr
(1-24)
где 0 — краевой угол; г — радиус трубки; g — ускорение свобод-
ного падения.
Как видно из формулы, при малых г подъем может быть зна-
чительным.
§6
ИСПАРЕНИЕ, КИПЕНИЕ ЖИДКОСТЕЙ И КАВИТАЦИЯ
Переход молекул жидкости в пар называется испарением, а об-
ратный переход — конденсацией. Жидкость может находиться
в равновесии со своим паром. Это равновесие наступает само
собой, если жидкость длительное время находится в закрытом
сосуде. Тогда с течением времени достигается такое состояние,
при котором число молекул, переходящих из жидкости в пар,
равно числу молекул, совершающих обратный переход. В этом
случае пар называют насыщенным и в нем устанавливается вполне
определенное при данной температуре давление, называемое уп-
ругостью насыщенного пара. Эта величина возрастает с увеличе-
нием температуры. Ниже приведены значения упругости (в Н/м2)
насыщенных паров воды и ртути при разных температурах:
20“ с 40“ с 60“ С
Вода . . . ............. 2,32-10’ 7,12-10’ 19,9-10’
Ртуть .................. 0,196 0,882 3,53
Образование насыщенных паров приводит к тому, что на сво-
бодной поверхности жидкости не может быть достигнуто дав-
ление ниже упругости насыщенного пара, соответствующей дан-
ной температуре.
Жидкость может испаряться не только со свободной поверх-
ности, но и внутрь пузырей, образующихся внутри нее при ки-
пении, т. е. испарении жидкости, сопровождающемся интенсив-
ным образованием пузырей, заполненных насыщенным паром. Ки-
пение может наступить в покоящейся или движущейся жидкости
вследствие повышения температуры выше, чем температура ки-
пения при данном давлении, или вследствие понижения давления
до значений, меньших упругости насыщенного пара при данной
температуре.
Как показывают физические исследования, кипение возникает
лишь в том случае, если в жидкости имеются пузырьки защем-
ленного у стенок газа, или если такие пузырьки образуются вслед-
ствие выделения газа, растворенного в жидкости. Тогда при по?
вышении температуры или понижении давления жидкость испа-
22
ряется внутрь пузырьков, они растут в объеме и прорываются
наружу через свободную поверхность. Возникает процесс кипе-
ния.
Если жидкость освобождена от растворенного и защемленного
газа, то процесс кипения не возникает даже при температуре,
значительно превосходящей температуру кипения. Жидкости
в таком состоянии называют перегретыми. Дегазированные жид-
кости не кипят и при понижении давления ниже упругости насы-
щенных паров. Доказано, что такие жидкости могут выдерживать
значительные растягивающие напряжения.
Однако в технике приходится, как правило, иметь дело с жид-
костями, в которых есть растворенный или защемленный в виде
пузырьков газ. Технические жидкости не только не выдерживают
растягивающих усилий, но вскипают при давлениях, равных
упругости насыщенных паров.
Кипение жидкостей приводит к нарушению сплошности среды,
поэтому значения параметров, при которых оно наступает, опре-
деляют границу применимости всех выводов, основанных на ги-
потезе сплошности.
Для гидродинамики особый интерес представляет частный
случай кипения, которое возникает в движущейся жидкости
вследствие местных понижений давления до давления насыщен-
ного пара. Такой вид кипения называют кавитацией. Это явление
играет особую и главным образом отрицательную роль в гидро-
динамике машин и аппаратов и других технических приложениях.
Кавитация может проявляться как в виде отдельных пузырьков,
возникающих в местах пониженного давления и уносимых
потоком (пузырьковая перемещающаяся кавитация), так и в
виде сплошных, заполненных парами жидкости, полостей,
присоединенных к поверхности обтекаемых тел (суперкавита-
ция). Могут существовать и другие внешние проявления кави-
тации.
Проблемами, возникающими в связи с кавитацией, являются:
изменение закономерностей течения в связи с нарушением сплош-
ности, а также кавитационные разрушения материала твердых
стенок при схлопывании пузырей вблизи границ течения. Неко-
торые гидродинамические устройства (например, некоторые
типы измерителей расхода жидкости) перестают выполнять
свое назначение при появлении кавитации. Кавитационные
разрушения лопастей гидравлических турбин, насосов, гребных
винтов представляют собой одну из важных технических про-
блем.
Поведение жидкости при понижении давления существенно
зависит от наличия в ней растворенного газа. Закономерность
растворения газов в жидкостях в первом приближении устанав-
ливается законом Генри, который гласит, что концентрация газа,
растворенного в жидкости, пропорциональна его давлению над
раствором.
23
§7
МОДЕЛИ ЖИДКОЙ СРЕДЫ И МЕТОДЫ ГИДРОМЕХАНИКИ
Математическое описание движения жидкой среды общими диф-
ференциальными уравнениями, учитывающими все физические
свойства, присущие этой среде, оказывается весьма сложной
задачей. Если даже ограничиться учетом только текучести, вяз-
кости и сжимаемости, то и тогда уравнения движения, выражаю-
щие основные законы механики, оказываются настолько слож-
ными, что пока не удалось разработать общих аналитических
методов их решения. Применение численных методов интегри-
рования таких уравнений на базе современных ЭВМ также свя-
зано со значительными трудностями. В гидромеханике поэтому
широко используют различные упрощенные модели среды и от-
дельных явлений.
Под моделью реальной среды понимают такую гипотетиче-
скую среду, в которой учтены только некоторые из физических
свойств, существенные для определенного круга явлений и тех-
нических задач. Другие малосущественные свойства среды в мо-
дели игнорируются.
Одной из основных в гидромеханике является модель несжи-
маемой идеальной (или невязкой) жидкости. Так называется
гипотетическая сплошная среда, обладающая текучестью, лишен-
ная вязкости и полностью несжимаемая. Эта модель является
объектом исследования в разделе гидромеханики «Теория идеаль-
ной несжимаемой жидкости». Игнорирование свойств вязкости
и сжимаемости сильно упрощает математическое описание дви-
жения жидкости и позволяет получить многие решения в конеч-
ном замкнутом виде. Несмотря на значительную степень идеа-
лизации среды, теория несжимаемой невязкой жидкости дает
ряд не только качественно, но и количественно подтверждаемых
опытом результатов, полезных для практических приложений.
Но не менее существенное значение этой теории состоит в том, что
она является базой для других моделей, более полно учитываю-
щих свойства реальных сред. Следует, однако, подчеркнуть, что
пренебрежение вязкостью является весьма сильной степенью
идеализации, поэтому теория идеальной несжимаемой жидкости
может приводить к результатам, резко расходящимся с опытом.
Более полно свойства реальной жидкости учитываются в мо-
дели вязкой несжимаемой жидкости, которая представляет со-
бой среду, обладающую текучестью и вязкостью, но абсолютно
несжимаемую. Теория вязкой несжимаемой жидкости лишь в огра-
ниченном числе случаев с простейшими граничными условиями
позволяет получить точные решения полных уравнений движения.
Наибольшее значение в этой теории имеют приближенные урав-
нения и их решения. Такие уравнения получают путем отбрасы-
вания в полных уравнениях движения тех членов, которые мало
влияют на соответствие теоретических решений опыту. Решения
24
приближенных уравнений могут быть как точными, так и при-
ближенными.
Как известно из § 3, капельные жидкости являются малосжи-
маемыми средами, поэтому для широкого круга теоретических
и прикладных задач пренебрежение сжимаемостью является вполне
допустимой идеализацией и мало влияет на вид получаемых
решений и степень совпадения теоретических результатов с дан-
ными измерений. Но все же существуют случаи движения жид-
костей, которые нельзя достаточно достоверно описать, если
не учесть сжимаемость. Примером может служить явление гидрав-
лического удара в трубах, рассматриваемое в гл. 6.
Несмотря на то, что газы являются средами, легко сжимаемыми,
это свойство не проявляется сколько-нибудь существенно, если
скорости движения сравнительно невелики (ориентировочно при
нормальных условиях менее 70 м/с). Для газов, текущих с малыми
скоростями, применимы поэтому обе описанные модели. Кроме
того, как правило, при описании движения газов допустимо пре-
небрегать влиянием силы тяжести. Поэтому можно говорить о мо-
делях идеальной невесомой несжимаемой жидкости (газа) или
вязкой невесомой несжимаемой жидкости (газа).
Существуют и другие модели несжимаемых жидкостей, исполь-
зуемые в специальных разделах гидродинамики и учитывающие
некоторые специфические свойства этих сред. Таковы, например,
электропроводящие вязкие несжимаемые среды, изучаемые в маг-
нитной гидродинамике, двухфазные несжимаемые среды, пред-
ставляющие собой смеси жидкостей и газов или смеси жидкостей
и твердых взвешенных частиц и т. п.
При скоростях, сопоставимых со скоростью звука в газе и,
тем более, превышающих ее, сжимаемость существенно влияет
на характер гидродинамических явлений, и ее учет часто бывает
более важен, чем даже учет вязкости. Движение газов с учетом
их сжимаемости составляет объект изучения в газовой динамике,
где основную роль играют две модели среды: идеальный (т. е.
невязкий) газ и вязкий газ. В последние десятилетия получили
широкое развитие разделы газовой динамики, в которых сущест-
венны электропроводность, диссоциация молекул, степень раз-
режения и другие специфические особенности среды. Разрабо-
таны соответствующие модели этих сред и эффективные методы
их исследования.
В настоящем курсе мы касаемся только моделей идеальной
и вязкой несжимаемых жидкостей и лишь в небольшой степени
идеального газа. Ниже остановимся на краткой характеристике
только тех методов, которые применяются для решения задач,
основанных на этих моделях.
Наиболее широкой является группа аналитических методов,
которые заключаются в составлении дифференциальных (иногда
интегральных или конечных) уравнений движения, учитывающих
специфику конкретного гидродинамического явления, и отыска-
25
нии точных или приближенных решений этих уравнений. Тот
или иной метод может быть построен на одной из указанных мо-
делей среды. Кроме того, на основе предварительного изучения
строится расчетная модель или расчетная схема данного явления,
в которой по возможности полно учитываются его существенные
черты и игнорируются остальные. Общие уравнения движения
упрощаются на основе учета характерных особенностей данного
явления или задачи, и выбирается подходящий математический
метод решения полученных таким путем уравнений. Важную
роль при этом играет выбор рациональной системы координат;
одна и та же задача, неразрешимая в произвольно выбранной си-
стеме, может быть решена, если выбрана подходящая специаль-
ная система координат. Граничные условия при математической"
формулировке задачи назначаются в соответствии с данными
предварительного качественного изучения явления или логиче-
ского анализа. Математический аппарат, применяемый в гидро-
механике, весьма разнообразен, но в качестве разделов матема-
тики, наиболее широко используемых, можно назвать обыкновен-
ные дифференциальные уравнения, уравнения математической
физики, функции комплексного переменного, интегральные урав-
нения, численные методы.
Выше отмечалась важная роль эксперимента в гидромеханике.
Можно добавить, что иногда эксперимент является единственной "
возможностью получения эффективного, т. е. пригодного для прак-
тического использования решения задачи.
Широкое применение находят так называемые полуэмпири-
ческие методы, которые состоят в том, что на основе некоторой
модели явления теоретически устанавливается структура (общий
вид) зависимости между искомыми параметрами, а входящие в нее
константы отыскиваются экспериментально.
Тесно связана с экспериментальным методом его теоретиче-
ская основа—теория подобия. В этом разделе гидромеханики
устанавливают те условия и правила, по которым результаты
экспериментов на макетах следует переносить на натурный "объ-
ект. Этим, однако, роль теории подобия не исчерпывается, так
как она служит эффективным средством обобщения и обработки
экспериментальных данных, а также дает методы качественного
анализа гидродинамических явлений. Последнюю роль выпол-
няет также теория размерностей, тесно связанная с теорией по-
добия.
Следует также упомянуть о методе аналогий, использующем
то обстоятельство, что некоторые явления разной физической
природы (например, электрические, магнитные тепловые, гидро-
динамические) могут описываться одинаковыми по форме диффе-
ренциальными уравнениями. Это позволяет, например, гидро-
динамические явления воспроизводить на электрических моделях;
для течения несжимаемой жидкости применять метод, разрабо-
танный применительно к газовым течениям, и т. п.
Глава 2
КИНЕМАТИКА ЖИДКОСТИ
§ 1
ДВА МЕТОДА ОПИСАНИЯ ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТИ
Кинематика жидкости является разделом гидромеханики, в котором
движение изучается вне зависимости от действующих сил; в ки-
нематике устанавливаются связи между геометрическими харак-
теристиками движения и временем.
Благодаря текучести жидкой среда отсутствуют жесткие связи
между ее отдельными частицами, и общий характер движения
оказывается более сложным, чем в случае твердого тела. Для
достоверного математического описания движения жидкости важно
иметь по возможности полную информацию об истинном характере
движения этой среды, полученную в результате наблюдений
и измерений.
Понятие скорости, одно из основных в кинематике, примени-
тельно к движению жидкости требует известной конкретизации.
Так как жидкие частицы движутся в общем случае с разными ско-
ростями, то употребляется термин «скорость жидкой частицы».
Однако последняя представляет собой сплошную совокупность
материальных точек, заполняющих некоторый малый объем, де-
формируемый во время движения. Приведенный термин оказыва-
ется поэтому недостаточно конкретным. Условимся под скоростью
частицы понимать скорость некоторой ее точки, условно выби-
раемой и называемой полюсом.
В опытах наблюдать движение жидких частиц и измерять их
скорости можно различными способами. Простейшим является
подкрашивание частиц краской той же плотности, что и изучае-
мая жидкость. Наблюдения за поведением таких подкрашенных
частиц показывают, что при определенных условиях, которые бу-
дут установлены в гл. VI, частицы могут двигаться упорядоченно,
образуя слоистое или ламинарное течение (от лат. lamina — пла-
стинка, полоска). При других условиях частицы, наряду с основ-
ным движением по некоторому преимущественному направлению,
перемещаются из слоя в слой, их мгновенные скорости резко
27
изменяются по величине и направлению. Иными словами, в этом
случае на упорядоченное движение частиц накладывается хао-
тическое или пульсационное движение, приводящее к разрушению
слоистой структуры и перемешиванию слоев. Такое движение
получило название турбулентного (от лат. turbulentus — бес-
порядочный).
Естественным способом описания движения жидких частиц
является отыскание зависимости от времени координат точки,
где в данный момент находится наблюдаемая частица. Такую
зависимость можно выразить в координатной форме:
х = х (/); у = у (/); z = г (t)
или в векторной
г = г (0,
где г — радиус-вектор точки с координатами х, у, z\ t — время.
Но, очевидно, знания такой зависимости для описания движе-
ния конечной массы жидкости недостаточно, так как в этой за-
висимости не содержатся параметры, выделяющие данную частицу
из бесконечного множества других. В 'качестве таких параметров
удобно выбрать значения декартовых прямоугольных координат
а, Ь, с той точки пространства, в которой частица находилась в на-
чальный момент времени t0. Тогда положение любой частицы
в произвольный момент времени будет определено зависимостями
х = х (t, а, Ь, с); у— y(t, а, Ь, с); 2 = z(t, а, Ь, с)
или векторной функцией
r = r(t,a,b,c}.
Имея эти зависимости, можно выразить мгновенную скорость
жидкой частицы векторной функцией
* дг (2-1)
u = Si
или проекциями вектора скорости
___ дх ______ ду _____ дг_
и* — ~дГ' ия—~дГ' Uz~~dt‘
Ускорение и его проекции определяются формулами
* ___ Заг .
а — »
_____ дгх , _ дгу . __ daz
а* ~~ а«~~ dts ’ <Zi~~ д1г
(2-1)'
(2-2)
(2-2)'
28
Если параметры а, Ь, с зафиксированы, то приведенными со-
отношениями устанавливаются кинематические характеристики
конкретной жидкой частицы, аналогично тому, как определяются
соответствующие характеристики материальной точки. Изменяя
величины а, Ь, с, мы осуществляем переход от одной жидкой ча-
стицы к другой и можем таким образом охарактеризовать движе-
ние всей конечной массы жидкости. Изложенный способ описа-
ния движения жидкой среды называется методом Лагранжа \
а параметры а, Ь, с — переменными Лагранжа.
Несмотря на естественность этого метода и весьма полную
информацию о движении массы жидкости, которую он дает,
метод Лагранжа не получил преимущественного применения
в гидромеханике и употребляется только в ряде специальных
задач. Это связано с тем, что уравнения движения, составленные
на основе метода Лагранжа, сложны и трудноразрешимы.
Преимущественное применение в гидромеханике находит метод
Эйлера 1 2, который заключается в описании поля скоростей в про-
странстве, занятом движущейся жидкостью. Этот метод основан
на понятии местной скорости или скорости в точке. Этим термином
обозначают скорость жидкой частицы, находящейся в выбранной
точке пространства в данный момент времени. Очевидно, что в об-
щем случае местные скорости различны в один и тот же момент
времени в разных точках и, наряду с этим, могут меняться во
времени в каждой точке. Таким образом, если и — вектор мест-
ной скорости, то в общем случае
и = и (г, t) (2-3)
или в форме проекций
их — их(х, у, z, /); иу = их (х, у, г, /); иг = иг (х, у, z, t), (2-3)'
где г — радиус-вектор точки с координатами х, у, г, называемыми
переменными Эйлера.
Этими функциями определяется поле скоростей движущейся
жидкости, т. е. совокупность значений вектора и, определенного
в каждой точке пространства или его части.
Если местная скорость и явно зависит от времени, т. е. ме-
няется с течением времени, то движение и соответствующее ему
1 Жозеф Луи Лагранж (1736—1813 гг.) — выдающийся французский
математик и механик, член Парижской академии наук. Автор фундаментальных
исследований по Многим разделам математики. Основоположник аналитической
механики.
, 2 Леонард Эйлер (1707—1783 гг.) один из крупнейших математиков мира.
Швейцарец по происхождению, он длительное время жил и работал в Петер-
бурге (1727—1741 гг.), ис 1766 г. до конца жизни являлся действительным членом
Петербургской академии наук. Помимо выдающихся математических работ,
Л. Эйлер опубликовал ряд основополагающих результатов по гидромеханике, в том
числе дифференциальные уравнения равновесия и дви жения невязкой жидкости.
29
поле скоростей называют неустановившимися или нестационар-
ными. Если же в каждой точке вектор и имеет постоянное во вре-
мени значение, то движение и поле скоростей будут установив-
шимися или стационарными. В этом случае
и = м(г); (2-4)
«ж=иЛ(х, у, г); ии = иу(х, у, г), иг = гг(х, у, г). (2-4)'
Ламинарные течения могут быть как установившимися, так
и неустановившимися, но турбулентные течения, строго говоря,
всегда являются неуста-
новившимися; хаотическое
движение частиц в тур-
булентном потоке создает
резкие изменения местных
скоростей во времени, на-
зываемые пульсациями
скорости.
На рис. 8 приведены
результаты измерений
местной мгновенной ско-
рости турбулентного по-
тока воздуха. Местная
скорость меняется во вре-
мени достаточно резко,
однако ее величина колеблется около некоторого среднего во вре-
мени значения. Поскольку пользование в расчетах мгновенными
значениями скоростей приводит к трудностям и некоторой не-
определенности, то вводится понятие местной усредненной ско-
рости, которая определяется соотношением
_ t+T/2 *
и —-jr | udt,
t-T/2
(2-5)
где и — мгновенная местная скорость; Т — период усреднения
(см. рис. 8).
Способ усреднения, выраженный соотношением (2-5), не яв-
ляется единственно возможным, но благодаря простоте его широко
применяют в гидромеханике. При этом способе усреднения пред-
полагается что. операция повторного усреднения не меняет ре-
зультата, т. е.
и = и.
30
Проекции вектора усредненной скорости выражаются форму-
лами
t+Tfl
их = -^г J uxdt\
i—T/2
; Н-Г/2
ии = -|- J uydt\ (2-5)'
/-Т/2
1 '+Г/2
иг = -у | u2dt.
t-Tft
Разность векторов и и и называют пульсационной скоростью
или просто пульсацией
и' ==и — w,
tlx == U>x — Uy == tly “• Иц1 Их == tig Ugi
Нетрудно убедиться, что усредненное значение пульсации
равно нулю:
t+T/2 i+т/ч _ _ =
-у j u' di = -у j (u — и) di = и — a = 0.
t—TH 1—772
В случае, показанном на рис. 8, усредненная скорость от вре-
мени не зависит. Турбулентное течение при этом условно называют
усредненно установившимся или просто установившимся. Однако
возможны случаи, когда усредненная местная скорость зако-
номерно изменяется во времени. Такое течение называют усред-
ненно неустановившимся. Операция усреднения для таких те-
чений требует некоторого уточнения.
Имея в виду действительный характер движения реальных
жидкостей, в дальнейшем будем считать местные скорости непре-
рывными дифференцируемыми функциями координат и времени,
независимо от того, какое реальное течение (ламинарное или
турбулентное) они описывают. Только в особых случаях нам
придется допустить существование разрывов скоростей и их
производных на некоторых поверхностях, линиях или в точках.
Если функции (2-3) или (2-4) определены, то можно не только
составить представление о характере движения массы жидкости,
но и найти другие кинематические характеристики, необходимые
для составления динамических уравнений движения.
Поскольку законы механики (второй закон Ньютона, закон
количества движения и т. п.) применимы лишь к материальным
телам, каковыми в механике жидкости и газа являются жидкие
частицы и их конечные совокупности, то необходимо уметь, поль-
31
зуясь методом Эйлера, выражать ускорения а жидких частиц.
В соответствии с его физическим смыслом это ускорение опреде-
ляется полной производной вектора скорости и по времени
которую называют также индивидуальной или субстанциональной
производной.
Для выражения этого ускорения в переменных Эйлера учтем,
что для движущейся частицы ее координаты являются функциями
времени х — х (/); У = У (0 и г = г (t). Тогда проекции скорости
их, иг будут сложными функциями времени:
= «х (0, У (0. г (0, /]; иу = иу [х (0, у (0, ? (4), /]:
иг — иг[х((), ^(0. г(0, 0-
Используя правило дифференцирования сложных функций
для проекций полного ускорения, получим
dux _ дих_ , dux dx дих dy . dux dz .
а* dt dt ' dx dt dy dt ' dz di '
dug __ duy dx , dy . ^ug dz ,
a« ~ ~dT ~ ~3T + ~dx~ Hi + ~dy~HT + HOT Ht ’
_ duz _ du^ , duz dx , duz dy . duz dz
a* dt dt * dx dt dy dt ‘ dz dt
n „ dx dy dz
Поскольку для движущейся частицы = их; = ии\ = uz,
то окончательно
dux дах . дих , дих . дих
Я, = —тг- — --г + Ux~--l- Uu~--{- U,-~
х dt dt 1 х dx 1 “ dy 1 г dz
duy day dtty dtiy
tl« = 1 .. = —37----1- ttx—~-----1— — “j— tlz ~S—
dt dt 1 x dx 1 “ dy 1 2 dz
(2-6)
du, du, i du, . du, . duz
a, = -jr- = -ar- + ux-^- Ч- uu~- Ч- «,-77-.
1 dt dt 1 x dx 1 y dy 1 г dz
Для представления ускорения
* du dux 7 . duy -t, duz *
a = -di- = -dFl+-dFl + -Hrk
в компактной форме введем в рассмотрение оператор Гамиль
тона V (набла), определяемый формулой
Рассматривая V формально как вектор с проекциями
д д
и вспоминая, что скалярное произведение двух векторов
есть сумма произведений их одноименных проекций, ускорение а
можно представить в следующей векторной записи:
* du ди . "*
а 3 ~dt ~ ~дё + w’ (2‘7)
где (u-V) — условно рассматривается как скалярное произведе-
ние векторов и и V.
Как следует из (2-7), ускорение слагается из двух частей.
ди
Первая-----называемая локальной производной и, выра-
жает изменение во времени вектора и в фиксированной точке
пространства. Эта величина определяет местное или локальное
ускорение.
Вторая часть — (uV) и называется конвективной производной
вектора и. Эта величина выражает изменение скорости в простран-
стве в данный момент времени.
В частном случае установившегося движения локальное уско-
рение равно нулю и, следовательно,
а = (uV) и.
§ 2
ЛИНИИ И ТРУБКИ ТОКА. РАСХОД ЖИДКОСТИ
Наглядное представление о поле скоростей движущейся жидкости
можно получить, если построить векторные линии этого поля,
называемые в гидромеханике линиями тока. По определению
линия тока есть кривая, в каждой точке которой вектор скорости
в данный момент времени направлен по касательной. Очевидно,
при установившемся движении линии тока во времени неизменны,
тогда как при неустановившемся они в разные моменты могут
иметь разную форму. Возможно, однако, и такое неустановившееся
течение, при котором форма линий тока сохраняется, но изменя-
ются величины местных скоростей.
Уравнение семейства линий тока можно получить исходя
из их определения, согласно которому вектор местной скорости
и (их, иу, иг) должен быть коллинеарен направленному отрезку
дуги линии тока ds (dx, dy, dz) (рис. 9, a).
Так как одноименные проекции коллинеарных векторов про-
порциональны, то
dx _ dy _ dz
Ux ~ Uy ~ U2 ‘ (2-8)
2 Б. Т. Емцев 33
Соотношение (2-8), состоящее из двух независимых дифферен-
циальных уравнений х, определяет форму линий тока. В случае
неустановившегося движения время t, от которого зависят их,
иу и и2, рассматривается как параметр.
Выясним взаимосвязь между линиями тока и траекториями
жидких частиц. Пусть в некоторой точке Мо в момент /0 скорость
имеет значение и0. Построим линию тока следующим образом.
Отложим на векторе и0 малый отрезок Asx (рис. 9, б) и в точке
Мг построим присущий ей вектор иг. Затем на этом векторе от-
ложим отрезок As2 и аналогично построим вектор и2 и т. д. Важно
подчеркнуть, что все построение выполняют для одного фиксиро-
ванного момента времени /0, а потому безразлично, является
течение установившимся или неустановившимся. Если отрезки
As, взять достаточно малыми, то приближенно получим кривую,
удовлетворяющую определению линии тока.
Попытаемся теперь подобным образом построить траекторию
той жидкой частицы, которая в момент /0 находилась в точке Мо.
Пусть за малое время Д^ она проходит путь ASi (рис. 9, в).
В линейном: приближении этот путь можно считать совпадающим
с направлением вектора и0. Тогда в конце интервала А/г частица
попадает в точку Мг. Если движение установившееся, то скорость
в этой точке будет иметь то же значение ult какое было в момент
t0. В этом случае частица далее переместится по направлению
вектора ult достигнет точки Мг и т. д. Очевидно, ее путь (траекто-
рия) совпадает с линией тока. Если же движение неустановив-
шееся, то за время А/г вектор иг изменится, и к моменту прибытия
частицы в точку ее скорость будет иметь значение и[. Следо-
вательно, из точки Mi частица направится вдоль вектора ui
и не попадет в точку М 2. Поэтому и траектория нашей частицы
не совпадет с линией тока.
1 Третье уравнение является их следствием.
34
Таким образом, линии тока и траектории совпадают только
при установившемся движении жидкости.
Обратим внимание на то, что линии тока не могут пересекаться
ни в одной точке, где скорость не равна нулю или бесконечности 1.
Действительно, допустим обратное: две линии тока пересеклись
в точке С (рис. 10). Тогда векторы и, и и2 следует рассматривать
как составляющие результирующего вектора и, ибо в данный
момент в данной точке у жидкой частицы не может быть двух
различных скоростей. Но вектор и не касателен ни к одной из
линий MC,n NC, а значит,
тока, что противоречит ис-
ходному условию.
ни одна из них не является линией
Рис. 11. Элементарная трубка тока (а) и схема
к определению объемного расхода (б)
4*
Рис. 10. Линии тока не могут пере-
секаться в точках, где скорость жид-
кости конечна
Доказательство теряет силу, если и = 0 или и = оо. Точки,
где и — 0 или и — оо, называют критическими или особыми.
Кроме линий тока и траекторий иногда используют понятие
о линиях отмеченных частиц. Так называют линию, на которой
в данный момент расположены частицы, прошедшие в разное
время через одну и ту же точку пространства. При установив-
шемся движении линии отмеченных частиц совпадают с траекто-
риями и линиями тока.
Введем еще одно важное понятие. Выберем в жидкости замкну-
тый контур I (рис. И, а) и проведем через каждую его точку линию
тока. Получим трубчатую поверхность, которую назовем трубкой
тока. Если контур I мал, то трубку тока будем называть элемен-
тарной. В пределах поперечного сечения элементарной трубки
тока распределение скоростей жидких частиц принимают равно-
мерным. Для конечных трубок этого в общем случае допустить
нельзя. Очевидно, трубки тока имеют то свойство, что через их
боковую поверхность жидкость не протекает.
Совокупность частиц, ограниченных поверхностью элемен-
тарной трубки тока, обычно называют элементарной струйкой,
а поток конечных размеров рассматривают как совокупность
элементарных струек. Таким образом мы приходим к струйной
модели потока жидкости 2.
1 Теоретически допускается сколь угодно большое значение скорости в от-
дельных точках.
2 Существуют исключительные случаи, когда струйная модель потока
не может быть построена.
2* 35
Обозначим через dS вектор площадки 1 любого поперечного
сечения элементарной трубки тока (рис. 11, б). Составим ска-
лярное произведение векторов и и dS:
udS = undS — ип dS,
->
где п — нормаль к площадке; ип — проекция скорости на нор-
маль п.
Величина undS будет положительной, если векторы и и п
образуют острый угол, и отрицательной, если этот угол тупой.
Нетрудно видеть, что абсолютная величина undS представ-
ляет собой объем dQ жидкости, протекшей через площадку dS
за единицу времени. Действительно, вектор скорости можно
разложить на составляющие: нормальную ип и касательную иа
к площадке (см. рис. 11,6). Очевидно, только нормальная состав-
ляющая ип обусловливает протекание жидкости через площадку.
За единицу времени протекает объем | ип dS | = dQ.
В дальнейшем величину dQ будем называть объемным расходом
элементарной струйки.
Рассматривая произвольное конечное сечение S реального по-
тока жидкости, определим величину
Q = | udS =
3
j undS
s
(2-9)
как объемный расход жидкости через поверхность S.
Соответственно абсолютные значения величин
dM = pundS и AJ = |pundS (2-10)
s
называют массовым расходом элементарной струйки и массовым
расходом через поверхность S. Величину М называют потоком массы
через поверхность S.
§ з
УРАВНЕНИЕ НЕРАЗРЫВНОСТИ (СПЛОШНОСТИ)
Если при движении жидкость целиком без образования пустот
заполняет пространство и ни в одной его точке не происходит
поглощения или притока массы .извне, то ее плотность р и мест-
ная скорость и связаны уравнением, которое называется урав-
нением неразрывности и выражает закон сохранения массы 2.
1 Напомним, что в векторном анализе элементарные площадки рассматри-
ваются как векторные величины, направление которых определяется их норма-
лями, а модули равны величинам их площадей.
2 При поглощении и притоке массы извне уравнение неразрывности также
может быть установлено. В данном параграфе этот случай не рассматривается.
36
Для вывода этого уравнения проведем в жидкости фиксирован-
ную в пространстве замкнутую поверхность S (рис. 12), ограни-
чивающую объем W, и выделим на ней элементарную площадку
dS. Через п обозначим единичный вектор внешней к S нормали.
Тогда произведение pundS будет представлять собой секундную
массу, вытекшую из объема W или втекшую в него, в зависимости
от направления скорости на площадке dS. Интеграл
jpu„dS (2-11)
s
будет представлять собой разность массы, вытекшей из объема W
за единицу времени и втекшей в него за то же время или, иными
словами, секундное изменение массы жидкос-
ти в объеме W. Это изменение массы можно
подсчитать и иным способом. Для этого выде-
лим элементарный объем dW. Масса жидкости
в этом объеме может изменяться из-за неоди-
наковости притока и оттока. Секундное изме-
нение массы pdW будет равно
4 «“Wf =<"•
Рис. 12. Схема к вы-
воду уравнения не-
разрывности
а секундное изменение массы в объеме W выразится интегралом
(2-12)
w
Выражения (2-11) и (2-12) можно приравнять, так как они дают
одну и ту же величину. При этом следует, однако, учесть что
(2-11) положительно, если через поверхность S вытекает жидкости
больше, чем втекает, а (2-12) при этом же условии — отрица-.
тельно, так как ввиду сплошности течения в рассматриваемом
dp . п
случае плотность уменьшается во времени < 0.
Следовательно,
Jp«„dS = — j^-dW. (2-13)
S U7
По теореме Гаусса—Остроградского
fpu dS= f (^+^. + ^)dW.
J r n J \ dx 1 dy ' dz )
s ir
В векторном анализе сумма частных производных от проекций
вектора по одноименным координатам называется дивергенцией
или расхождением вектора. В данном случае
divp„’^+^
, dp»z
f dz '
37
Поэтому равенство (2-13) перепишется в виде
J (|г + diypu) dW7 = °,
w
В силу произвольности объема W подынтегральная функция
равна нулю, т. е.
+ div р и == 0. (2-14)
Это уравнение является уравнением неразрывности в диффе-
ренциальной форме для произвольного движения сжимаемой
жидкости.
Соотношение (2-13) можно рассматривать как интегральную
форму уравнения неразрывности.
Если рассматривать условие сохранения массы движущегося
жидкого объема, то придем также к уравнению (2-14), которому
в этом случае можно придать иной вид.
Поскольку р = р (х, у, 2, /) и при движении жидкого объема
X — X (/), у — у (I) и 2 = 2 (/), ТО
,. -* д , 4,3. ч,3, . ( дих , диу . диг \ ,
div ри = (риД + (риу) + (ри2) = p^— + -^. + —J +
' х дх 1 1 ду 1 2 dz г 1 дх dt ' ду at 1 dz at
т. е. (2-14) запишется в виде
Зр Зр 3* _3р dy_ Зр dz_ и = 0
dt ' дх dt г ду dt dz dt И Pulv“
или
±^ + divp=0, (2-15)
dp
где ------индивидуальная производная плотности.
Для установившегося движения сжимаемой жидкости = 0
и, следовательно, по (2-14)
divpu = 0. (2-16)
Для любого движения несжимаемой жидкости р = const и, сле-
довательно
div и = 4- ф- = 0. (2-17)
дх 1 ду 1 dz ' '
В технических расчетах существенное значение имеет гидрав-
лическая форма уравнения неразрывности (уравнение расхода).
Рассмотрим установившийся поток сжимаемой жидкости
в трубе произвольной формы (рис. 13). Поверхностью S = Si +
38
+ S2 + Sa ограничим некоторый отсек жидкости в трубе. По (2-13)
при установившемся движении
J рип dS = J pun dS 4- j рип dS + J рип dS = 0.
§ s, s, S6
Так как боковая поверхность S6 непроницаема, то на ней
ип = 0 и, следовательно, | рип dS = 0, а
5б
J рип dS = — j рип dS.
Si s,
Принимая во внимание, что на поверхности Sx нормали на-
правлены наружу от выделенного отсека и ип = —где —
проекция скорости на внутреннюю
нормаль, запишем
j pu_ndS = J pundS.
s, s,
Если поверхности и S2
нормальны в каждой точке линиям
тока, то их называют живыми
сечениями.
Обозначив площади живых се-
чений потока в трубе со1 и <о2 и
учитывая, что в сечении <oL ско-
рость и_п = и, а в сечении а>2
скорость ип = и, представим по-
следнее уравнение в форме
j ри da = j ри da,
(01 COj
Рис. 13. Гидравлическая форма урав*
нения неразрывности выражает равен*
ство массовых расходов через произ*
вольные сечения потока в трубе
(2-18)
выражающей равенство массовых расходов через живые сечения
(Oj И (l)s.
Если эти сечения плоские и распределение скоростей в каж-
дом из них равномерное, то из (2-18) получаем
Piwi“i = р2ш2иа- (2-19)
Для несжимаемой жидкости р = const и, следовательно,
MjWj = u2<o2. (2-19)'
Отсюда видно, что объемный расход Q = иа несжимаемой
жидкости остается постоянным вдоль трубы.
§ 4’
УРАВНЕНИЕ НЕРАЗРЫВНОСТИ В КРИВОЛИНЕЙНЫХ
ОРТОГОНАЛЬНЫХ СИСТЕМАХ КООРДИНАТ
Решения некоторых технических задач основываются на исполь-
зовании ортогональных криволинейных координат. Будем счи-
тать, что декартовы прямоугольные координаты х, у, г являются
39
непрерывными функциями трех переменных qlt q2, q3, которые
примем за криволинейные координаты, т. е. х = х (qlt q2, <?3);
у = у (qlt q2, qa); г = z (qlt q2, qa)- Для вывода уравнения не-
разрывности выделим с помощью криволинейных координатных
поверхностей элементарный фиксированный в пространстве объем
dW с ребрами dslt ds2, dsa, взятыми вдоль координатных линий
(рис. 14).
Из математики известно, что если qlt q2, qa образуют криво-
линейную ортогональную систему, то длины дуг dslt ds2 и ds3
независимых переменных dqt, dq2,
dq3 соотношениями
ds^ — //j d(yp ds2 — 7/ 2 ^^2*
ds3 = H3dq3, (2-20)
где H{ (i = 1, 2, 3) — коэффициенты
Ляме, определяемые формулами
связаны с приращениями
Рис. 14. Схема к выводу уравнения
неразрывности в ортогональной
криволинейной системе координат
(2-21)
Пусть далее и2, и2, и3 — проек-
ции вектора местной скорости и на
координатные направления qlt q2, q3
в точке 0 (см. рис. 14). Тогда в еди-
ницу времени через грань 1—2 протечет масса жидкости
pu1ds2 ds3 — piijHiHg dq2 dqa, через противоположную грань <3—4
масса pu1H2H3dq2dq3-\- (pu^^^d q2dqa)dq1.
Следовательно, секундное изменение массы в выделенном
объеме гга счет компоненты скорости и± будет
(pufliHs) dq! dq2 dq3.
Аналогично выразятся изменения массы за счет двух других
компонент скорости
(pu2#i-tf3) dq-t dq2 dq3, (pUgH^) dqL dq2 dqa.
С другой стороны, если в некоторый момент масса жидкости
в объеме dW составляла pds± ds2 ds3 = р НгН2H3-dqv dq2 dq3,
то ее секундное изменение составит
dq^ dq2 dq^ = Н1Н2Н3 dqx dq2 dq3.
Приравнивая выражения для изменения массы в объеме dW, под-
считанные двумя указанными способами, получим
(Pui^2^a) + (Ри2^х^з) + (Риз^1^а) —
40
или
>+тдаг [<- ,№"Л|++-к ,р“”вд] “°-
(2-22)
Для несжимаемой жидкости это уравнение принимает вид
-ч— (Uj^T/g) -ч— (UsHiHz) — 0. (2-23)
Рассмотрим теперь важный для практических приложений
частный случай цилиндрической системы координат (рис. 15),
полагая ;
<71 = П <72 = б; <7з = г-
В этом случае х = г cos 0; у ~
= г sin 0; 2 = г. Для коэффициен-
тов Ляме получаем выражения
771=1; Н2 = г, На=1.
Уравнение неразрывности (2-22)
принимает вид
др . 1 Г д t \ । 9 , . .
-f+tL17<P“^+дё(Р“е) +
+ ^-(Р«/)1 =°-
(2-24)
Рис. 15. Системы координат: цилин-
дрическая (г, 0, z) и сферическая (/?,i
В. е)
Для несжимаемой жидкости отсюда можно легко получить
ди, , 1 дио , ди, , иг
-дг + т-д!- + -дг + — =
(2-25)
Уравнения неразрывности в формах (2-24) и (2-25) находят
применение в задачах теории турбомашин и ряде других техни-
ческих проблем.
§ 5
ОБЩИЙ ХАРАКТЕР ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОЙ ЧАСТИЦЫ.
ТЕОРЕМА КОШИ-ГЕЛЬМГОЛЬЦА
Здесь мы сосредоточим внимание на выяснении вопроса о том,
как происходит движение жидкой частицы и чем оно отличается
от движения твердого тела.
Напомним, что окружная скорость и (uxUy) точки А4 [г (х, у) ]
твердого тела (рис. 16, а), вращающегося, например, вокруг оси z
с угловой скоростью (о (0, 0, сог), определяется формулами
их = — а2у; иу = соре.
Вычисляя dux/dy и dujdx, находим
1 / ди» дих \
-'2\'йГ ~ду/‘
В общем случае вращательного движения твердого тела угло-
«>
вая скорость <о имеет еще две проекции
m _ 1 / дих _ диг \ . _ 1 /ди^ диу \
у ~ 2 к дг дх )' 2 \ ду ~дГ)'
Рис. 16. Схемы к выводу связи между скоростями двух точек жидкой
частицы
Связь между скоростями и и и0 двух произвольных точек
твердого тела выражается соотношением
и = и0 + со х Дг, (2-26)
где Дг (Дх, Az/, Дх) — радиус-вектор одной точки относительно
другой.
Очевидно, связь между скоростями точек движущейся жидкой
частицы должна быть более сложной, так как в процессе движения
жидкая частица деформируется и расстояния между ее точками
изменяются. Выберем в жидкой частице (рис. 16,6) точки М и
Мй достаточно близкими и разложим в ряд Тейлора мгновенные
значения проекций скорости их, иу, иг в точке М, ограничиваясь
линейными членами ряда. Для компоненты их имеем
“--««.+ (^-)^+(^),^+(^)Л.
где Дх, Дг/, Д г — проекции вектора Дг, а индексом 0 отмечены
значения производных в точке /Ио.
Используя тождества
дих _ 1 ( дих j диу \ । 1 ( дих диу \ .
ду ~ 2 \ ду + ~дх ) + 2 дх ) ’
дих _ 1 / дих . диг \ . 1 / дих _ диг \
дг 2 \ дг ' дх ) 2 \ дг дх / ’
42
преобразуем выражение для их к виду
+ 'М4’4 (> + ^).+ Т (> + ». (2-27)
Не повторяя рассуждений, по аналогии выпишем формулы,
которые можно получить для двух других компонент скорости:
1 Дх+ + Az; (2-28)
1 2 \ дх 1 ду /о \ ду /о э 2 \ дг ду /о ' 1
диу\ л.. ' 1 /ди*
дг Jo J 2 \ дг
+ Т О + ». + Т О + тг)о А« + (».Аг- (2'29)
Вспоминая правило составления формул для проекций век-
торного произведения, нетрудно убедиться, что вторые и третьи
члены каждой из строк (2-27)—(2-29) образуют проекции вектор-
ного произведения некоторого вектора а на радиус-вектор Дг,
причем проекциями вектора <о служат выражения
1 / ди, duv \ 1 (дих ди,\
<ох = -тг (-=г----=г- ) 5 = -н- (-5-----;
* 2 \ ду дг) у 2 \ дг дх)
„ — ± _ ди*\
1 2 \ дх ду )’
Сравнивая эти формулы с приведенными выше выражениями
проекций вектора угловой скорости твердого тела, можно заклю-
чить, что жидкая частица, так же как и твердое тело, испытывает
вращение с угловой скоростью со (<ах, <ог) относительно неко-
торой мгновенной оси.
В гидромеханике, наряду с вектором (о, вращательное движе-
ние частиц характеризуют вектором Q = 2<о = rot, который
называется вихрем или ротором вектора и.
Как видно из (2-27)—(2-29), для жидкой частицы формулой
(2-26) определяется лишь некоторая часть вектора скорости и,
которую можно назвать скоростью икт квазитвердого движения.
Полная же скорость определяется формулами (2-27)—(2-29),
которые можно представить в векторной форме
И ~ ыкт ^деф> (2'31)
43
где tzKT = и0 + со X Аг; ыдеф — скорость, обусловленная дефор-
мацией жидкой частицы.
Чтобы выяснить смысл вектора идеф, рассмотрим некоторые
частные случаи.
Пусть малый жидкий отрезок Дх движется вдоль оси х
(рис. 17, а). Если их—скорость его левого конца, то скорость
правого конца будет их + -4^- Ах. Вследствие разницы в этих
скоростях за время А/ длина отрезка изменится на величину
X
в)
Рис. 17. Деформация жидких отрезков и углов
будет Ах.
(2-27)—(2-29) члены вида Ах,
&.х At. Скорость
Следовательно, в формулах
&у, -^- Az представляют собой скорости удлинений соот-
этого
изменения длины
ветствующих элементарных отрезков, или, иначе, скорости ли-
нейных деформаций. Очевидно, производные
дих , ди» ди2
дх хх ду т дг 11
являются скоростями удельных линейных деформаций или ско-
ростями удлинений отрезков единичной длины.
Теперь рассмотрим движение жидкого отрезка Ах вдоль оси у
(рис. 17, б). Если скорость его левого конца иу, то скорость
правого — ии + Ах. Вследствие неодинаковости скоростей
за время А/ отрезок Ах переместится и повернется на угол
tg (AaJ
-^-Д^-Ах М = Д^АЛ
Дх дх дх
Угловая скорость его вращения будет ~~ = Рассуждая
аналогично, можно убедиться, что угловая скорость вращения
отрезка Ар (рис. 17, в) будет
Вследствие вращений отрезков Дх и Др, образовавших вначале
прямой угол, произойдет угловая деформация частицы в пло-
44
скости ху. Скорость угловой деформации определится суммой
ди и I dtiy т-» u
- дх —"ду~* “ гидродинамике за меру скорости угловой де-
формации принимают половину этой величины. Таким образом,
приходим к выводу, что величины
₽ — р _ I ( дих диу\
— Ъух— 2 V ду дх )'
4 (Sl+t): <М2)
₽ — ₽ _ 1 / , дих \
«— “ 2 \ дх * дг )
характеризуют собой скорости угловых деформаций (или дефор-
маций сдвига). Теперь формулы (2-27)—(2-29) можно переписать
в виде
их = их, + <яу Дг — (£>г \у 4- ихх Дх + ъху by + е„ Дг;
Иу — Иуа + (02 Дх — (0х Дг 4- Дх 4- гуу Ьу 4- ew Дг; (2-33)
их = «г0 4- ®х &У — ®у 4* егх &х 4- егу Ьу 4- е„ Дг.
Эти формулы выражают теорему Коши—Гельмгольца х: в об-
щем случае движение жидкой частицы можно разложить на
переносное движение вместе с некоторым полюсом, вращательное
движение с угловой скоростью со вокруг мгновенной оси, про-
ходящей через этот полюс, а также деформационное движение,
которое заключается в линейных деформациях со скоростями
ехх> Ryy< ez2 и угловых деформациях со скоростями ъху = е^,
Следует заметить, что эта теорема указывает лишь один из
возможных сйособов разложения сложного движения , жидкой
частицы на простейшие составляющие. Однако этот способ раз-
ложения является физически наиболее обоснованным, так как
вскрывает главные характерные особенности движения жидкой
среды.
В частных случаях некоторые из составляющих движения
могут отсутствовать. Особый интерес представляет движение
без вращения частиц или безвихревое движение (со = 0), имею-
щее ряд замечательных свойств. Прежде чем переходить к его
изучению, выясним основные закономерности более общего вих-
ревого движения, когда со =£ 0.
1 Огюстен Луи де Коши (1789—1857 гг.)— один из крупнейших математи-
ков XIX столетия. Инженер по образованию, он был автором многих фунда-
ментальных исследований по разным разделам метематики и механики (теория
пределов, функции комплексного переменного, движение жидкостей и др.).
Герман Людвиг Фердинанд Гельмгольц (1821—1894 гг.)—выдающийся
немецкий ученый. Имея медицинское образование, он выполнил ряд выдающихся
исследований по физике, механике и физиологии. Создал основы теории струй-
ных и вихревых движений.
45
§6
ВИХРЕВЫЕ ЛИНИИ И ТРУБКИ.
ТЕОРЕМА ГЕЛЬМГОЛЬЦА. ОБРАЗОВАНИЕ ВИХРЕЙ
Рассмотрим случай, когда в каждой точке,пространства, заня-
того движущейся жидкостью, вектор со отличен от нуля, т. е.
•*>
все частицы имеют вращение. Тогда мы имеем поле вектора ы,
для которого можно построить векторные линии. Назовем вих-
Рис, If. Вихревая линия
ревой линией кривую, в каждой точке которой вектор © направ-
лен по касательной. Тогда элементарные отрезки ds такой линии
(рис. 18) будут служить мгновенными осями вращения тех жид-
ких частиц, которые на них расположены. Очевидно, указанное
движение возможно лишь благодаря деформациям вращающихся
жидких частиц, поскольку вихревая линия, вообще говоря, кри-
волинейна, и в целом не может рассматриваться как ось вращения
конечного объема жидкости.
Дифференциальное уравнение вихревых линий легко получить
из условия коллинеарности вектора угловой скорости со (сох,
Оу, <о2) и элементарного направленного отрезка дуги вихревой
линии ds (dx, dy, dz). Условие пропорциональности одноимен-
ных проекций этих векторов запишется в виде
(2-34)
Зная функции сож (х, у, z), tay (х, у, г), со2 (х, у, г), из системы
двух уравнений (2-34) можно найти вид вихревых линий.
Проведем через точки малого замкнутого контура dl (рис. 19)
вихревые линии. Полученную трубчатую поверхность будем
называть элементарной вихревой трубкой, а совокупность огра-
ниченных ею частиц — вихревым шнуром. Если поперечное сече-
ние вихревого шнура do достаточно мало, то можно принять, что
в его пределах вектор со имеет постоянное значение. Скалярное
46
произведение dJ векторов со и do называется интенсивностью
или напряженностью вихревой трубки и служит мерой вихревого
движения
(2-36)
а или
о ко-
если
через
вихре-
а такой конечной
d J = со da = соп da. (2-35)
Возьмем теперь произвольную поверхность а и, разбив ее
на элементарные площадки da, построим на каждой из них
вой шнур. Суммарная интенсив-
ность этих шнуров представляет
собой поток вектора со через по-
верхность а: -
J = J <в da — | соп da.
с а
Величина 2J=2jco„do = j Q„ do
СТ ст
представляет собой поток вектора
вихря Q через поверхность
просто поток вихрей.
Можно ввести понятие
нечной вихревой трубке,
провести вихревые линии
точки произвольного замкнутого
контура L. В пределах поперечного сечения
трубки вектор со будет, вообще говоря, переменным (рис. 20).
Докажем теорему Гельмгольца: поток вихрей через попереч-
ное сечение вихревой трубки в данный момент времени постоянен
по ее длине.
Для доказательства выделим объем W, ограниченный боко-
вой поверхностью вихревой трубки аб и двумя ее поперечными
сечениями аг и а2 (см. рис. 20). Поток вихрей через поверх-
ность 2 = ах + а2 + аб может быть представлен в виде
f ahda = J atnda 4- J «„dcr-f- j an da.
£ a, O6 a,
На поверхности аб будет con = 0,
лен по касательной к поверхности
тельно, второй интеграл в правой
равен нулю. Кроме того, по теореме Гаусса—Остроградского
J (&nda = J div со dW.
Поскольку со = -i- rot и и, как легко убедиться непосред-
поскольку вектор со направ-
вихревой трубки. Следова-
части последнего равенства
ственным вычислением, div rot и = 0, то
| co„dcr = 4f- j div rot udW = 0.
47
Таким образом, приходим к результату
| mnda 4- J (d„ da — 0.
о, ot
Учитывая, что иа поверхности нормаль nt направлена
наружу объема W, заменим ее на внутреннюю — Тогда по-
следнее соотношение можно переписать в виде
| ю_„ da = J сои da,
а, а,
(2-37)
что и доказывает теорему Гельмгольца. Если вихревая трубка
является элементарной, то в пределах каждого из сечений будет
— const и, следовательно,
Рис. 21. Типы вихревых трубок: Рис. 22. Схема формировании вихре-
л . вого кольца при истечении жидко*
в " вихревое кольцо; о —* вихревой шнур стн через затопленное отверстие
с концами на границах жидкости
Следует подчеркнуть, что в уравнениях (2-37) и (2-38) w_nl
и ип представляют собой проекции векторов угловой скорости со
на направления нормалей к сечениям и <т2, образующих острые
углы с векторами и (рис. 20).
Из уравнений (2-37) и (2-38) следует, что поскольку не может
существовать бесконечно больших угловых скоростей, то ни
в одной точке внутри жидкости площадь сечения вихревой трубки
не может обратиться в нуль. Вихревая трубка не может также
начаться или закончиться внутри жидкости конечным сечением.
В самом деле, это означало бы, что при переходе через такое
сечение внутрь жидкости вектор ю скачком должен измениться
от конечного значения до нуля, что противоречит предположению
о непрерывности поля скоростей. Вихревые трубки должны быть
поэтому либо замкнутыми, имеющими вид вихревых колец
(рис. 21, а), либо иметь концы, лежащие на границах области,
занятой жидкостью (рис. 21, б). Вихревые трубки в виде колец
можно наблюдать, например, при начальной стадии истечения
жидкости через отверстие в среду той же плотности (рис. 22).
48
Структура вихревых движений реальных жидкостей весьма
многообразна. В некоторых случаях возникают крупные вихри,
которые можно наблюдать визуально, если в жидкость ввести
краску или специальные вещества. На рис. 23 приведен фото-
Рис. 23. Вихрь, образующийся при обтекании острого угла
снимок такого вихря, образующегося при обтекании острого
ребра.
Но вихревое движение не всегда сопровождается образова-
нием визуально наблюдаемых вихревых шнуров. Например, при
прямолинейном движении жидкости
между неподвижными плоскими па-
раллельными стенками (рис. 24)
проекции скорости в системе коор-
динат, показанной на рисунке, имеют
значения их = f (у), иу = иг = О,
где f (у) — непрерывная функция.
Проекции вектора угловой скорости
со согласно (2-30) при этом равны
п. 1 дих 1 df
Ы=С0=0 СО,=-------7Г-.j^-=---я---г-.
х * г 2 ду 2 ду
Рис. 24. Вихревое движение жидкое*
ти между параллельными пластин**
ками
Отсюда следует, что данное течение — вихревое, причем век-
тор со во всех точках параллелен оси г (нормален плоскости чер-
тежа), а следовательно, вихревые линии представляют собой
прямые, нормальные линиям тока. Однако вихревая структура
течения в данном случае визуально не наблюдается. Движение
данного типа может быть безвихревым, т. е. происходить без
49
вращения частиц, только в случае f (у) = const. Последнее озна-
чает равномерность распределения скоростей по толщине потока,
что в реальных условиях невозможно в силу прилипания вязких
жидкостей к твердым стенкам.
Течения реальных жидкостей между твердыми стенками, как
правило, являются вихревыми и в других случаях. Наряду
с упорядоченными элементарными вихрями, непрерывно распре-
деленными в области течения, в таких потоках могут образовы-
ваться зоны, заполненные крупными визуально наблюдаемыми
вихрями, подобными показанным на рис. 23.
§7
ЦИРКУЛЯЦИЯ СКОРОСТИ И ТЕОРЕМА СТОКСА
Понятие интенсивности вихрей является прямой характеристи-
кой вихревого движения, но оно имеет недостаток: величина ин-
тенсивности не может быть непосредственно измерена. Кроме
того, и в некоторых расчетах
удобнее оперировать такой ме-
рой вихревого движения, кото-
рая выражалась бы не через
угловую, а через поступатель-
ную скорость. Этой цели отве-
чает понятие циркуляции ско-
рости.
Циркуляцией Г вектора ско-
рости и по некоторому конту-
ру L называется контурный
Рис. 25. Схема к определению циркуляции
скорости по замкнутому контуру
интеграл от скалярного произведения и на элементарный век-
тор ds дуги контура L (рис. 25).
Г = $ и ds.
(2-39)
Вспоминая различные выражения для скалярного произве-
дения двух векторов, циркуляцию можно представить в формах
Г — ср и ds cos (su) ds = (p ua ds — ux dx + uy dy -f- u2 dz, (2-40)
где dx, dy, dz — проекции вектора ds.
Отметим свойства циркуляции, вытекающие из ее определения
как контурного интеграла.
Циркуляция скорости по целому контуру равна сумме цирку-
ляций по отдельным участкам этого контура.
Изменение направления обхода контура на обратное влечет
изменение знака циркуляции.
Условимся считать положительной циркуляцию, которая полу-
чается, если контур обходить так, чтобы ограниченная им область
оставалась слева.
50
Связь между циркуляцией Г и интенсивностью вихрей уста-
навливается теоремой Стокса *, которую мы сформулируем и
докажем для а) односвязной и б) многосвязной областей.
а. Циркуляция скорости по замкнутому контуру, ограничи-
вающему односвязную область, равна потоку вихрей через эту
область.
Для доказательства на произвольной незамкнутой поверх-
ности расположим замкнутый не пересекающий себя контур L
(рис. 26, а), ограничивающий площадь о.
Рис. 26. К доказательству теоремы Стокса
Как известно из теории криволинейных интегралов, если на
поверхности 2 заданы три непрерывные и дифференцируемые
функции Р, Q и R, то для них справедлива формула Стокса
а
+ ----^-)cos(nz)|da=^Pdx + Qdr/4-J?dz.
Выбирая в качестве функций Р, Q и R проекции скорости их,
ид и иг соответственно и применяя формулу Стокса, получим
И (> - ^)см ТГ - т) ™+
и
+ ("IT “ C0S ] da = $ dx + uu ЛУ + U* dz- <2'4l)
Разности производных, стоящие в круглых скобках под знаком
интеграла, представляют собой, очевидно, удвоенные компоненты
1 Джордж Габриель Стокс (1819—1903 гг.)—выдающийся английский
физик и математик, профессор Кембриджского университета, автор ряда иссле-
дований по математике и гидродинамике. Дал вывод уравнения движения вяз-
кой жидкости (см. гл. 5), исследовал закон медленного движения шара в жид-
кости и волны на поверхности жидкости. Получил ряд важных математических
результатов, в числе которых излагаемая теорема.
51
вектора угловой скорости со, а правая часть является циркуля-
цией скорости по выбранному контуру. Учтем, кроме того, геоме-
трические соотношения: do cos (пх) = dox-, do cos (ny) = do'
do cos (nz) = do2, где dox, do&, do2 — проекции площадки do
на плоскости, нормальные осям х, у, г. Эти величины могут рас-
сматриваться как проекции вектора do. Тогда (2-41) можно пере-
писать в виде
2 J сох dox + <o,yd Оу <аг doz — Г.
а
Подынтегральное выражение в последнем равенстве пред-
ставляет собой скалярное произведение векторов <о и do. Сле-
довательно,
Г = 2 | со do == 2 J <on do = 2 j <on do. (2-42)
О о о
Правая часть (2-42) есть поток вихрей через поверхность о,
т. е. удвоенная интенсивность вихрей, пронизывающих область о.
Равенством (2-42) доказывается теорема Стокса для односвязной
области.
б. Поток вихрей через многосвязную область равен разности
между циркуляцией по внешнему контуру L и суммой циркуля-
ций по всем внутренним контурам lt.
Докажем теорему вначале для двухсвязной области. Для
этого соединим внешний контур L и внутренний I «перемычкой»,
как показано на рис. 26, б. Точки А и А', В и В' возьмем доста-
точно близкими одна к другой. Сложный контур ALA'B'IBA
ограничивает односвязную область и к нему применима теорема
Стокса, доказанная в п. а. Следовательно,
TaLA'B'IBA = 2J,
где J — суммарная интенсивность вихрей, пронизывающих об-
ласть о.
Разбивая контурный интеграл, которым выражается цирку-
ляция, на интегралы по отдельным участкам, получим
Гллл' + Гл'В' + Рв'/в + Гвл = 2J.
Устремим теперь точку А' к точке А и В' к В. Тогда в пре-
деле получим Глв = —Гв'Л'. поскольку эти величины пред-
ставляют собой контурные интегралы, взятые по одному и тому же
отрезку АВ, проходимому дважды в противоположных направ-
лениях. Следовательно,
Гл1.А' + Гв'/в — 2J.
62
Учтем, наконец, что ГДдл< = Г^ и — Гвчв — Г/ представ-
ляют собой циркуляции соответственно по внешнему и внутрен-
нему контурам, взятые в одном направлении. Таким образом,
П - Г, = 2J = 2 J си„ da, (2-43)
а
что и доказывает теорему Стокса для двухсвязной области. Обоб-
щение доказательства на многосвязную область не составляет
труда, и мы предоставляем читателю убедиться, что
п
Гт - S = 2J, (2-44)
с=1
где Гг, — циркуляции по внутренним контурам n-связной об-
ласти.
Таким образом, мы убеждаемся, что циркуляция скорости Г
по замкнутому контуру может служить, наряду с интенсивно-
стью J, мерой вихревого движения. В теоретических вычисле-
ниях и практических расчетах понятие циркуляции оказывается
очень удобным и эффективным.
§ 8
ЁЕЗВИХРЕВОЕ ИЛИ ПОТЕНЦИАЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ
Рассмотрим частный случай, когда установившееся движение
жидкости происходит без вращения частиц, т. е. предположим,
что во всем объеме, занятом жидкостью, со = 0.
Это условие может быть переписано в виде:
«х= • w ±
х 2 \ ду дг ) у 2 \ дг дх J
1 / ди» да* \ ~
СО, = -5- ----- )=0,
* 2 \ дх ду ) ’
что равносильно системе
. доу_ _ дих_
ду dz ' dz дх ’ дх ду '
Из теории криволинейных интегралов известно, что соотно-
шения (2-45) являются необходимыми и достаточными условиями
для того, чтобы трехчлен вида их dx + иу dy 4- иг dz представ-
лял собой полный дифференциал некоторой функции трех пере-
менных, которую обозначим ср (х, у, г). Таким образом,
их dx 4- Uydy-]- иг dz = d ср.
Учитывая, что полный дифференциал выражается формулой
dcp — dx 4- 4®. dy 4- dz,
дх 1 ду 3 1 дг ’
53
можно записать
«X dx + Uy dy +u2dz = -^dx+-^-dy + ^- dz.
Поскольку это равенство выполняется при любых dx, dy,
dz, коэффициенты при дифференциалах независимых переменных
в левой и правой частях должны быть равны, т. е.
и и = U = -V-.
х дх ’ ду ’ г дг
(2-46)
Следовательно, при безвихревом движении компоненты век-
тора скорости и являются частными производными некоторой
функции <р, называемой потенциалом скоростих.
Вектор скорости при этом может быть представлен в виде
и = ^-1 + -^-7 + ^-k (2-47)
или
и = grad <р. (2-48)
Приведенные рассуждения и соотношения справедливы также
для неустановившегося движения. В этом случае их можно при-
менить к любому фиксированному моменту времени, которое
будет играть роль параметра, и, следовательно,
ф = ф (X, у, 2, i).
Используя понятие производной по направлению, легко
показать, что для любого направления
Действительно, обозначим через s° единичный вектор выбран-
ного направления з. Тогда согласно (2-48) и (2-47)
us = grads ф = grad <ps° = cos (sx) -f- cos (sy) +
дг ' J dx ds ' dy ds дг ds ds.' ' '
Следовательно, проекция вектора скорости на любое направ-
ление равна производной потенциала скорости по этому направ-
лению:
us = и cos (su) = . (2-50)
а ' OS
1 Поскольку равенства (2-46) остаются справедливыми, если <р заменить
на <р + С, где: С = const, то следует считать, что потенциал скорости опреде-
ляется с точностью до постоянного слагаемого.
64
Рассмотрим два частных направления $°.
a. s® 11 и. Для этого случая cos (s, и) = 1, и производная
по этому направлению принимает наибольшее значение, равное
модулю вектора скорости: - = и. Иными словами, вектор
скорости и указывает направление быстрейшего изменения функ-
ции <р. Поскольку векторы и касательны к линиям тока, то вдоль
них функция <р изменяется быстрее, чем по любому другому
направлению.
б. s° I и. В этом случае
cos (s, в) = 0 и = 0. Следо-
вательно, вдоль данного направле-
ния функция <р остается постоянной.
Но в пространстве бесконечно много
направлений, ортогональных к век-
тору скорости и. В каждой точке
линии тока они образуют некоторую
поверхность, называемую эквипотен-
циальной, уравнение которой имеет
вид
Ф (х, у, г) = const.
(2-51)
Рис. 27. Линии тока пересекают эк-
випотенциальные поверхности по
нормалям
Таким образом, в потенциальном или безвихревом потоке
жидкости можно построить семейство эквипотенциальных по-
верхностей и совокупность линий тока, каждая из которых лю-
бую эквипотенциальную поверхность пересекает ортогонально
(рис. 27).
Рассмотрим произвольную (необязательно эквипотенциальную)
поверхность £ и замкнутый контур £, расположенный на ней
(см. рис. 26, а).
Если поток во всех точках является безвихревым, то согласно
теореме Стокса TL = 0. Учитывая общее выражение циркуляции
(2-40), получим
+ + = <£-&dx + -^-dy + -&-dz =
dtp == фл- — фл = 0,
где фл- и фЛ — соответственно значения потенциала скорости
в точке А после обхода контура и его исходное значение в этой
точке. Мы видим, что фЛ' = Фл, т. е. после обхода контура зна-
чения потенциала скорости не изменились. Иными словами, если
поток внутри некоторой замкнутой области потенциален, то его
потенциал является однозначной функцией.
55
В случае, когда хотя бы в одной точке внутри контура поток
является вихревым, согласно теореме Стокса циркуляция не
будет равна нулю1, и рассуждения, подобные приведенным
выше, дают
Фа- = Фа + Гд.
Следовательно, если внутри области потенциальность нару-
шается, то потенциал является функцией многозначной, изме-
няющейся на величину циркуляции после каждого обхода кон-
тура.
§ 9
ПЛОСКИЕ ПОТОКИ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ.
ФУНКЦИЯ ТОКА И ГИДРОДИНАМИЧЕСКАЯ СЕТКА
Свойства течений, изложенные в предыдущих параграфах, спра-
ведливы для любых пространственных (трехмерных) течений
несжимаемой или сжимаемой жидкости. Здесь же мы рассмотрим
Рис. 28. Примеры плоских течений:
а — обтекание длинного цилиндрического крыла; б течение в ши-
роком канале
частный, но практически важный случай плоского течения несжи-
маемой жидкости, т. е. такого, в котором конфигурация линий
тока во всех плоскостях, нормальных некоторой прямой, оди-
накова.
Выбрав указанную прямую за одну из осей координат (на-
пример, за ось г), мы заключаем, что для всего поля течения соот-
ветствующая проекция скорости равна нулю (t^ = 0).
Хотя, строго говоря, в природе плоских течений не встре-
чается, однако существует весьма много случаев, когда поток
с достаточной для целей практики точностью может считаться
плоским. Примерами могут служить: а) поток воздуха, обтекаю-
щий длинное цилиндрическое крыло (рис. 28, а), если из рас-
1 Исключением является случай, когда вихри имеют разные знаки и таковы,
что их суммарная интенсивность равна нулю.
£6
смотрения исключить области вблизи концов крыла; б) поток
воды в широком прямоугольном канале (рис. 28, б), если из
рассмотрения исключить области, примыкающие к боковым
стенкам. Подобных примеров существует множество.
Изучение плоских течений существенно облегчается, во-пер-
вых, потому, что уравнения, их описывающие, значительно
проще, чем в общем случае, а во-вторых, потому, что достаточно
исследовать течение всего лишь в од-
ной плоскости, чтобы составить пред-
ставление о потоке в целом.
Пусть и2 = 0. Тогда уравнение не-
разрывности для несжимаемой жидкости
примет вид
диу р дих_________ диу 1Г) т
а уравнение линий тока — вид
~ или ихdy — uudx = 0. (2-53)
Соотношение (2-52) является усло-
вием необходимым и достаточным, что-
Рис. 20. Разность значений фун-
кции тока на двух линиях тока
равна расходу жидкости между
ними ~ = ?)
бы левая часть (2-53) была полным дифференциалом некоторой
функции двух переменных. Обозначим эту функцию через ф
и назовем функцией тока. Тогда
их dy — u^dx — dty — -Ц- dx-[--^- dy.
Сравнивая коэффициенты при dx и dy, получим
Вдоль любой линии тока выполняется (2-53) и значит вдоль
нее будет йф = 0 или ф (х, у) = const. Следовательно, функция
тока имеет свойство сохранять вдоль любой линии тока постоян-
ное значение, которое, однако, различно для разных линий тока.
Чтобы выяснить физическое содержание функции тока, про-
ведем две произвольные линии тока PQ и MN (рис. 29) и вы-
числим расход q жидкости между ними, считая размер потока
в направлении нормали к плоскости чертежа равным единице.
Используя общее выражение расхода (2-9), получим
q = j ип dl = j ип dl,
i i
где I — произвольная кривая, соединяющая линии тока.
Иначе,
q = Г [их cos (пх) + Uy cos (пу) ] dl.
57
Как видно из рис. 29, dl cos (пх) = dy; dl cos (ny) = —dx.
Тогда
7= J uzdy-ugdx= ^^-dy-\-~^-dx== =
i i i
t. e. разность значений функции тока на двух линиях тока равна
расходу жидкости между ними. Если фл = 0, то q = фа, и
поэтому можно сказать, что ф является расходной функцией.
Подчеркнем, что существование функции тока не зависит от
наличия или отсутствия в жидкости вихрей. Однако оно выте-
кает из уравнения неразрывности для плоских течений (2-53)
и потому функция тока приведенного вида существует только
для плоских течений Ч
Допустим теперь, что поток не только плоский, но и потенци-
альный. Тогда в нем можно провести эквипотенциальные поверх-
ности, которые в данном случае являются цилиндрическими
и в пересечении с плоскостью течения дают плоские эквипотенци-
альные линии. Таким образом, плоский потенциальный поток
несжимаемой жидкости характеризуется двумя ортогональными
семействами кривых: ф = const (линии тока) и <р = const (эквипо-
тенциали). Эти два семейства образуют гидродинамическую сетку,
имеющую следующие свойства.
а. Сетка ортогональна; доказательство вытекает из содер-
жания § 7 гл. 2.
б. Одноименные линии сетки не пересекаются нигде, кроме
точек с нулевой и бесконечной скоростью (критические или особые
точки).
Для линий тока это уже доказано (§ 2 гл. 2). Для эквипо-
тенциалей это справедливо в силу ортогональности их линиям тока.
в. Гидродинамическая сетка в малом квадратична.
Пусть мы имеем малую ячейку abed (рис. 30), образованную
парой отрезков линий тока (ab и de) и парой эквипотенциален
1 Если течение не плоское, но двумерное, т. е. одна из компонент скорости
в какой-либо системе координат равна нулю, то функция тока также существует,
однако, связана с компонентами скорости соотношениями, отличными от (2-54)
(см, § 17 гл. 7).
58
(ad и be). Пусть An — отрезок средней эквипотенциали, a As —
отрезок средней линии тока. Расход через ячейку можно выра-
зить в виде
Д<7 = и Л.п = А-ф,
где Аф — приращение функции тока на отрезке Ап между ли-
ниями тока ab и de. Но
.. — дф _ Аф
ds ~ bs '
где Д<р — приращение потенциала на отрезке As между экви-
потенциалями ad и be. Следовательно,
Д<7 = Дф = Лп
или
Аф As = Аф Ап.
Отсюда следует, что если сетка состоит из малых криволи-
нейных квадратов (As es Ап), то Аф s Аф, и наоборот. В этом
смысле употреблен термин «квадратичность».
Перечисленные свойства гидродинамической сетки позволяют
использовать ее для определения параметров (в первую очередь,
скоростей) плоских потенциальных потоков.
На рис. 31 показана гидродинамическая сетка, построенная
для случая истечения жидкости под давлением из сосуда с пло-
скими стенками.
Глава 3
НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ
жидкости
§ 1
СИЛЫ. ДЕЙСТВУЮЩИЕ В ЖИДКОСТЯХ
Жидкости и газы всегда подвержены действию некоторых сил.
Эти силы являются в основном распределенными, т. е. действую-
щими во всех точках поверхности или объема. Однако в исклю-
чительных случаях в жидкостях могут действовать и сосредо-
точенные силы.
По характеру действия распределенные силы можно разделить
на поверхностные и массовые (объемные). К числу первых отно-
сятся силы вязкости и давления. Примерами массовых сил могут
служить силы тяжести, инерции, магнитные.
Поверхностные силы являются результатом непосредственного
воздействия на частицы жидкости соседних с ними частиц или
других тел. Для качественного и количественного описания по-
верхностных сил служит понятие о напряжениях. В покоящемся
или движущемся объеме жидкости W проведем произвольную
поверхность S (рис. 32, а) и мысленно отбросим часть жидкости,
расположенную справа от этой поверхности; чтобы оставшаяся
жидкость при этой воображаемой операции сохранила свое со-
стояние покоя или движения, приложим к ней по поверхности S
распределенную систему сил, эквивалентную тому воздействию,
которое оказывала отброшенная часть 1Г2 жидкости на остав-
шуюся часть Пусть на долю элементарной площадки AS,
характеризуемой единичным вектором нормали п, приходится
сила АР.
Тогда
.. ДР -*
11т
Д5-*0
(3-1)
назовем напряжением поверхностных сил в той точке, к которой
стягивается площадка AS. Заметим, что индекс и здесь обозна-
чает не проекцию (ибо рп — вектор), а ориентацию площадки AS
60
в пространстве, т. е. указывает, что р — напряжение на площадке
с нормалью п.
По отношению к площадке вектор рп в общем случае может
быть направлен как угодно и потому он имеет нормальную и
касательную составляющие. Из рис. 32, б видно, что
Рп = W° + А.Л (3-2)
где рпп — проекция вектора рп на направление нормали; pns —
проекция вектора рп на направление касательной к площадке ДХ.
В частном случае может быть pns = 0 и рп = рппп-
Рис. 32. Напряжения поверхностных сил:
а — на площадку AS сечения S со стороны объема 1Г2 действует
сила ДР; б напряжение рп можно разложить на нормаль*
ную Р^п и касательную Рп^° составляющие
В гидромеханике напряжение рп принято считать положи-
тельным, если оно направлено в сторону нормали, внешней к рас-
сматриваемому объему, т. е. является растягивающим напря-
жением. Поскольку в каждой точке поверхности S, проведенной
внутри жидкости, можно указать две нормали: п и —п (рис. 32, б),
то им будут соответствовать два напряжения: рп и р_п. Тогда
силы рп &S и р_п &S будут выражать взаимное действие через
площадку ДХ объемов жидкости, расположенных по обе стороны
от нее. Согласно третьему закону Ньютона рп &S = —р_п &S
или рп = —р_п.
Для характеристики массовых сил введем понятие о плот-
ности их распределения. Если на элементарный объем жидко-
сти Д W действует сила Д/, то
lim -т^-
д^->0 Д11/Р
(3-3)
61
назовем плотностью массовых сил в той точке, куда стягивается
объем AU7. Очевидно, вектор F является массовой силой, при-
ходящейся на единицу массы жидкости, и имеет размерность
ускорения. В дальнейшем его проекции на оси декартовых пря-
моугольных координат обозначаются через Fx, Fy, Fz.
Величины рп и F являются основными характеристиками
сил, действующих в жидкости. Эти векторы могут играть роль
как внешних, так и внутренних сил. Напомним, что в механике
внутренними силами системы материальных тел называют силы
взаимодействия между телами, принадлежащими системе, а внеш-
ними — силы воздействия на тела системы других тел, к данной
системе не принадлежащих. В механике жидкой среды материаль-
ными объектами, образующими систему, являются жидкие ча-
стицы или жидкие объемы. Соответственно напряжения рп и р_п
будут внутренними, если они действуют в точках поверхности
раздела между частицами или объемами, образующими выбран-
ную систему. Если же поверхность является граничной для
рассматриваемой совокупности жидких частиц системы, то на-
пряжение р_п является внешним. Аналогично, величина pFIV”
может играть роль внутренней силы, если она создается телом,
включенным в рассматриваемую систему. Так, например, сила
тяжести будет внутренней для системы океан—Земля и внешней
для любого выделенного объема воды в океане.
§2
СВОЙСТВА НАПРЯЖЕНИЙ ПОВЕРХНОСТНЫХ СИЛ
Выделим в движущейся жидкости элементарный объем А^в виде
тетраэдра, три грани которого ASX, ASy и Д32 лежат в коор-
динатных плоскостях, а четвертая AS„ нормальна направлению п
(рис. 33). Обратим внимание на то, что грани ASX, ASy, АЗг
являются отрицательными площадками, поскольку они имеют
внешними нормалями орты координатных осей.
Пусть рх, ру, р2, рп — напряжения, действующие на соот-
ветствующих гранях тетраэдра; а — вектор ускорения его центра
масс. Тогда векторное уравнение движения жидкого тетраэдра,
выражающее второй закон Ньютона, будет иметь вид
Fp AW + рп ASn — рх ASX — ру ASy — p2 АЗг = ap AW.
Учтем, что ASx/ASn = cos (x, n) = axn и т. д. Тогда, разделив
л о ,. АЙ7
все члены последнего уравнения на ASn и замечая, что lim =
дз„-»о
= 0, в пределе получим
= + (3-4)
62
Следовательно, напряжение на любой площадке может
быть выражено через напряжения на трех взаимно ортогональ-
ных площадках, которые можно выбрать за координатные. Соот-
ношение (3-4) в проекциях на оси координат будет иметь вид
Рпх = Рхх^хп Ч- Рух^уп Ч~ Pzx^znt
Рпу — Рху&хп Ч- РууУ-уп Ч~ Pzy&zn\
(3-5)
Рпг Рхг&хп 4“ Pyz&yn Ч~ Ргг^гп-
Здесь, как можно видеть, для каждой из проекций рг/ употреб-
ляются два индекса, первый из которых указывает ориентацию
площадки (ее нормаль), а вто-
рой — ось, на которую проекти-
руется векторная величина. Так,
например, величина рхх есть проек-
ция на ось х (второй индекс) на-
пряжения рх, действующего на
площадке, нормальной к оси х
(первый индекс). Поэтому рУХ, руу,
ргг представляют собой величины
нормальных к соответствующим
Площадкам напряжений. Разнои-
менные индексы определяют каса-
тельные напряжения. Например,
ру2 есть проекция на ось г напря-
жения ру, приложенного к пло-
щадке, нормальной к оси у.
Рис. 33. Напряжение на произвольной
площадке можно выразить через
напряжения на координатных площад-
ках bSy,
В дальнейшем для краткости проекции р{/ напряжений будем
называть просто напряжениями.
Используя уравнение моментов, можно показать, что между
касательными напряжениями существует связь вида
Рху Рух\ Руг Ргу' Ргх — Рхг- (3'6)
Следовательно, напряженное состояние жидкости в точке
определяется шестью независимыми скалярными величинами,
три из которых Являются нормальными напряжениями, а три
другие — касательными. Совокупность девяти величин типа pijt
связанных соотношениями (3-5), образует тензор напряжений,
для которого величины рц являются скалярными компонентами,
а Рх> Ру> Рг — векторными. Из изложенного следует, что напря-
жение в точке движущейся жидкости является тензорной вели-
чиной.
В реальных жидкостях нормальные напряжения могут созда-
ваться как давлением одних частиц на другие, так и действием
сил вязкости. Касательные напряжения являются результатом
действия сил вязкости и зависят от давления лишь постольку,
63
поскольку от „его зависит коэффициент вязкости. Для модели
идеальной жидкости (см. § 7 гл. 1), в которой все касательные
напряжения равны нулю, действующие напряжения направлены
по нормалям к соответствующим площадкам и согласно (3 5)
выражаются формулами
Рпх ~ Pxx^nxt Рпу = Pyy^ny't Рпг ~ Pxz&nz'i
при этом напряжения должны быть Сжимающими, т. е. направ-
ленными по внутренним нормалям, так как растягивающих
усилий идеальная жидкость, как и технические жидкости, не
выдерживает (см. § 6 гл. 1). Величины рпх, рпу, и рпг поэтому
могут быть вычислены из соотношений
Рпх = Pni = Рп cos (пх) = Рпапх\ рПу = рпа.пу, рпг = рпапг.
Сопоставляя два последних ряда равенств, получаем
Рп — Рхх ~ Ру у = Ргг-
Эти равенства показывают, что в случае отсутствия касатель-
ных напряжений нормальные напряжения не зависят от ориен-
тации площадок. Величина
Р= Рп = Ркх~ Р уу~ Р 2Z1 (3-7)
называемая гидродинамическим давлением в идеальной жидкости,
существенно положительна.
Заметим, что касательные напряжения равны нулю также
в любой вязкой жидкости, находящейся в покое, так как вяз-
кость проявляется только при наличии относительных переме-
щений слоев жидкости. Следовательно, полученный выше вывод
о независимости нормальных напряжений от ориентаций пло-
щадок справедлив для любой покоящейся жидкости. Давление р
в этом случае называется гидростатическим.
§3
УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТИ В НАПРЯЖЕНИЯХ
Для вывода уравнений движения жидкости выделим произволь-
ный, жидкий объем U7, ограниченный поверхностью S, и запишем
для него уравнение, выражающее закон количества движения-
производная по времени количества движения систем в равна
сумме действующих на нее внешних сил.
Поскольку на каждую единицу массы действует сила F, то
главный вектор массовых сил выразится интегралом
j pF dW.
64
Главный вектор поверхностных сил получим, суммируя эле-
ментарные поверхностные силы рп dS, распределенные по по-
верхности S:
J Рп dS.
Количество движения К массы жидкости в объеме W и его
производная выразятся интегралами
K = jpnd(F;
где и — скорость движения центра масс объема dW. Уравнение
количества движения запишется в форме
4- | ри dW = J pFdW-\- J рп dS.
w w s
Левую часть этого уравнения можно представить в виде
4" \pudW = j*LpdW+ J «4- (pdW).
w w w
Предполагая массу жидкого объема постоянной, заключаем,
что
4-(PdW)=o.
Следовательно, уравнение количества движения примет вид
С p^LdW^ + (3-8)
w w s
Это уравнение представляет собой интегральную форму урав-
нения движения жидкости. Чтобы получить его дифференциаль-
ную форму, преобразуем поверхностный интеграл, входящий
в (3-8), в объемный. Для этого учтем, что согласно (3-4)
(рп dS = j [pxcos (пх) 4- Ру cos (пу) + pz cos (nz)] dS.
8 5
Используя известные из векторного анализа формулы, спра-
ведливые для любого вектора О,
Г 3 cos (пх) dS » f dWi J G cos (ny) dS — J dW,
i w s w
\ G cos (nz) dS =* J 4“ dW,
s w
3 Б. T. Емцев 65
«
получим
f pndS = f Ж
J ™ J \ дх dy ' дг J
s w
Внося это выражение в (3-8) и записав все члены уравнения
по одну сторону от знака равенства, находим
f (р^ +-7Г- +— P-TiT-'l dW = 0.
J \r ' дх 1 ду 1 дг r dt )
w
Поскольку это равенство должно выполняться для любого
объема W, то из равенства нулю интеграла вытекает равенство
нулю подынтегральной функции.
Таким образом,
= (3-9)
г дх 1 ду 1 дг * dt '
Это уравнение представляет собой векторную форму искомого
уравнения движения жидкости в напряжениях, которое экви-
валентно трем уравнениям в проекциях, имеющим вид
р I 1 7 дрхх । друх . др2Х \ _ dux .
Х'р\дх'ду~'гдг1' dt *
1 (дрхг , дрУг др22 \ _ du2
р \ дх' * ду "i" дг ) dt ’
В систему уравнений (3-10), называемых уравнениями дви-
жения в напряжениях, входят в качестве неизвестных функций
три проекции скорости их, иу, и2 и шесть независимых компо-
нент тензора напряжений: рхх, руу, р22, рху = рух, руг = ргу,
Ри = Рхг- Проекции массовых сил Fx, Fy, F2i как правило, яв-
ляются заранее известными величинами. Поэтому для несжимае-
мой жидкости система (3-10) включает девять неизвестных функ-
ций и, следовательно, является незамкнутой. Для сжимаемой
жидкости (газа) в число неизвестных должна быть включена также
плотность р; поэтому, хотя система (3-10) может быть дополнена
уравнением неразрывности, содержащим плотность и проекции
скорости, этого оказывается недостаточно для того, чтобы замк-
нуть систему, и необходимо ввести в рассмотрение еще какие-
нибудь связи между указанными функциями. Такие связи можно
установить только путем принятия некоторых гипотез, основан-
ных на данных наблюдений и выражающих физические свойства
жидкостей. Наиболее просто система (3-10) замыкается для случая
покоящейся жидкости.
Обратим внимание на физическое содержание уравнений (3-8)
и (3-9). Эти уравнения выведены из закона количества движения
66
системы, которая для случая сплошной среды образуется непре-
рывной совокупностью жидких частиц, составляющих объем W'.
Поэтому указанные уравнения могут рассматриваться как спе-
цифичные для жидкой среды формы уравнения количества дви-
жения. Но при сделанном предположении о постоянстве массы
жидкого объема эти же уравнения могут быть выведены непо-
средственно из второго закона Ньютона или принципа Далам-
бера. Поэтому уравнения (3-8) и (3-9) могут также трактоваться
как соответственно интегральная и дифференциальная формы
второго закона Ньютона для жидкого объема. При этом левая
часть (3-8) представляет собой суммарную инерционную силу,
а правая — сумму действующих на массу plF внешних сил. В урав-
нении (3-9) правая часть выражает произведение массы на уско-
рение (силу инерции) для единичного объема, а левая — сумму
действующих на него массовых и поверхностных сил.
3*
Глава 4
ГИДРОСТАТИКА
§ 1.
УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА ДЛЯ ПОКОЯЩЕЙСЯ ЖИДКОСТИ '
И ИХ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
Рассмотрим жидкость, покоящуюся относительно системы коор-
динат, жестко связанной с Землей, или, в более общем случае,
движущейся с ускорением относительно последней. Первый
случай называется абсолютным покоем, второй — относитель-
ным. В обоих случаях жидкость неподвижна относительно стенок
резервуара, в который она заключена, и скорости взаимного
перемещения ее частиц равны нулю.
В покоящейся жидкости, как известно из § 2 гл. 3, касатель-
ные напряжения в каждой точке равны нулю, а нормальные
сводятся к гидростатическому давлению р, т. е.
Рху = Рух *= Рхг “ Ргх = Руг ~ Ргу*^®
И
Р ~ Рхх = ~~Руу = Ргг-
Полагая в уравнениях движения (3-10) проекции скорости
равными нулю; их ~ иу — иг — 0, получим дифференциальные
уравнения равновесия жидкости
= R- —4^ = 0; (4-1)
х р дх * у р ду ' '
Уравнения (4-1), называемые уравнениями Эйлера, являются
общими дифференциальными уравнениями гидростатики, при-
годными как для несжимаемой, так и для сжимаемой жидкости.
Проследив еще раз вывод уравнений (3-10) движения жидкости,
можно убедиться, что уравнения (4-1) выражают условия равен-
ства нулю проекций на оси координат массовых и поверхностных
сил, действующих на единицу массы жидкости,
6S
Три уравнения (4-1) эквивалентны одному векторному урав-
нению
или
F----^-gradp = 0. (4-2)
Уравнение (4-2) может быть проинтегрировано в общем виде.
Действительно, массовые силы, с которыми мы встречаемся в при-
роде и технике, в большинстве имеют потенциал, т. е. вектор F
является градиентом некоторой функции Ф (х, у, г), называемой
силовой или потенциальной функцией. Это выражается урав-
нением
?=—gradO* (4-3)
или в проекциях
Fx = Fz = -^-. (4-3)'
х дх 1 и ду ' 1 дг ' '
Подставляя уравнение (4-3) в (4-2), получим
grad Ф + grad р = 0.
Для несжимаемой жидкости р = const. Используя это, имеем
grad (ф + -^-) =0.
Равенство нулю градиента означает равенство нулю всех его
проекций, т. е.
+ 4(® + f) = 0;
поэтому
ф — const. (4-4)
р
Уравнение (4-4) является общим интегралом дифференциаль-
ного уравнения Эйлера (4-2).
Из этого интеграла вытекает, что поверхности уровня Ф —
« const в покоящейся жидкости совпадают с поверхностями рав-
ного давления (изобарическими поверхностями).
Для случая сжимаемой жидкости ввиду переменности плот-
ности р ее нельзя ввести под знак grad. Чтобы получить инте-
грал уравнения (4-2) для этого случая, введем в рассмотрение
* Знак минус выбран из соображений получения удобного для исполь-
зования результата.
69
новую функцию (х, у, г), называемую функцией давления и
определяемую дифференциальным равенством
d& = -^-. (4-5)
Состояние жидкости (газа) называется баротропным, если
плотность зависит только от давления т. е., р- = р (р). Приме-
рами баротропности могут служить несжимаемая жидкость р =
= const, изотермический процесс р = const р, адиабатный про-
цесс р = const р1/к, где k — показатель адиабаты. При баро-
тропности жидкости величина dtp является полным дифферен-
циалом и равенство (4-5) эквивалентно трем следующим:
35° _ 1 др . дР __ 1 др . д& _ 1 др „
дх ~ р дх ’ ду р ду ’ дг р дг ' 1 '
Умножим каждое из них соответственно на орты i, j, k и, сло-
жив, получим
grad 5® = grad р. (4-7)
С учетом (4-7) и (4-3) уравнение (4-2) можно записать в виде
grac’ (Ф -|- ^) = О,
откуда
ф = const. (4-8)
Для получения конкретного вида функции давления в слу-
чае сжимаемой жидкости нужно использовать функциональную
связь р = f (р), которая, как известно, задается уравнениями
термодинамических процессов.
Укажем еще одну форму дифференциального уравнения равно-
весия жидкости, удобную для решения некоторых прикладных
задач. Эта форма получается при умножении уравнений (4-1)
на dx, dy и dz соответственно и сложении их:
Л dx + Fu dy + Fz dz = -у dx + -g- dy + -g- dz)
или
dp —Fxdx-[-Fydy-\-F2dz. ' (4-9)
Подчеркнем, что все приведенные в этом параграфе уравнения
и выводы справедливы для жидкостей, покоящихся относительно
стенок резервуаров, в которые они заключены, независимо от
того, покоится или движется относительно Земли сам резервуар.
70
§ 2
‘ОСНОВНАЯ ФОРМУЛА ГИДРОСТАТИКИ.
ЗАКОН ПАСКАЛЯ. ПОНЯТИЕ О НАПОРЕ
Рассмотрим абсолютный покой несжимаемой жидкости в поле
силы тяжести. Выберем оси координат, как показано на рис. 34,
и найдем вид силовой функции Ф. Поскольку из массовых сил
действует только сила тяжести, то при выбранной системе коор-
динат Fx = Fy = 0; Fz = —g или
дФ _ дФ _ дФ
дх ~ ду ~и’ dz
Таким образом, искомая функция Ф зависит только от од-
ной переменной z; интегрирование последнего равенства дает
Рис. 34. К выводу формулы
гидростатики. Давление в
точке М равно сумме внеш-
него р» и весового Qgh да»-
лений
ф = ёг2 + С, (4-10)
где С — произвольная постоянная.
Следовательно, силовая функция для
силы тяжести является линейной функ-
цией вертикальной координаты. Подставив
найденное для Ф выражение в инте-
грал (4-4) и разделив на g, получим
z +-^-= const. (4-11)
Эта формула выражает гидростатический
закон распределения давления, состоящий
в том, что в тяжелой (подверженной дей-
ствию силы тяжести) несжимаемой жидкос-
ти давление линейно зависит от верти-
кальной координаты.
Чтобы найти постоянную в уравнении (4-11), надо исполь-
зовать какое-нибудь граничное условие. Пусть, например, жид-
кость покоится в резервуаре (см. рис. 34), причем на ее свободной
поверхности давление равно р0. Будем это давление называть
внешним. Для точек свободной поверхности можем записать
z0 + = const.
pg
Вычитая это соотношение из уравнения (4-11), находим
P = Po + pg(zo — z)
или, обозначив через й = (г0 — z) заглубление точки М под
свободную поверхность, получим основную формулу гидроста-
тики
Р = Ро + р^.
(4-12)
где величина pgh называется весовым давлением.
71
Из этой формулы ясно, что всякое изменение внешнего дав-
ления р0 вызывает изменение давления во всех точках покоя-
щейся жидкости на ту же величину. Этот результат известен как
закон Паскаля г.
Если жидкость находится в ненапряженном состоянии, т. е.
в ней отсутствуют напряжения сжатия, то р ₽= 0. Значения р,
отсчитанные от этого нуля, называют иногда абсолютным дав-
лением.
В технике весьма часто представляет интерес избыток дав-
ления р над атмосферным рвт, который называется избыточным
или манометрическим давлением ри. По определению
РИ = Р —Ра.. 0-13)
Для произвольной точки М, заглубленной на величину h
под свободную поверхность, избыточное давление равно
Рми в Ро “Ь Рё^ Рат»
отсюда видно, что избыточное давление совпадает с весовым, если
давление на свободной поверхности равно атмосферному (р0 =>
Рат).
Если все члены формулы (4-12) разделить на величину pg,
то они приобретут линейную размерность:
Отсюда следует, что каждому давлению р можно поставить
в соответствие линейную величину p/pg, которая представляет
собой величину столба жидкости, создающего в своем основании
данное давление. Это наглядно иллюстрируется схемой, пока-
занной на рис. 35. Если на свободной поверхности в резервуаре
давление р0, а из запаянной сверху трубки А удален воздух, то
под действием давления рм = р0 + pgh жидкость в трубке
поднимется над точкой М на некоторую высоту hnp, называемую
приведенной высотой. Принимая приближенно, что на свобод-
ной поверхности в трубке давление равно нулю а, согласно (4-12)
можно записать рм = Pghnp. Следовательно, приведенная вы-
сота есть высота столба жидкости, на свободной поверхности
которого давление равно нулю, а в основании — данному дав-
лению жидкости.
Для трубки П, открытой в атмосферу и называемой пьезо-
метром, получим
Р1Л “ Pat —Pg^B,
1 Блез Паскаль (1623—1662 гг.)—выдающийся французский математик,
физик и философ. Кроме ряда математических работ, установил сформулирован-
ный выше закон, нашел свойства гидростатического давления, решил вопрос
о природе вакуума.
2 В действительности это давление равно упругости насыщенных паров
жидкости при данной температуре; оно сравнительно невелико.
72
откуда
h _ РМ Рдт _____ Рми .
п — ре ~ ре ’
(4-14)
величину hn называют пьезометрической высотой.
Если давление в точках какого-либо объема жидкости меньше
атмосферного (р < рат), то такое
состояние называется ваку-
умом. Для его характеристи-
ки вводится понятие ваку-
умметр ического давления (рв),
под которым подразумевается
недостаток данного давления
до атмосферного
Рис. 36. Абсолютное давление в точке М может быть выражено через приведенную вы-
соту или через пьезометрическую высоту == рат 4- pgfcn. Абсолютное
давление в точке Л,, где имеет место вакуум, выражается через вакуумметрическую вы*
соту; pN = рат - РЙЛВ
Рис. 36. Вакуумметрическая высота характеризует недостаток давления до атмосферного
hB = -
Соответствующая высота называется вакуумметрической:
Рат —Р _ Рв (4-16)
pg ре ' ' '
На рис. 35 и 36 показаны вакуумметрические высоты для
случаев вакуума в капельной жидкости и газе. Давление изме-
ряется в единицах силы, отнесенных к единице площади. В си-
стеме СИ единицей давления служит Н/м2 «= Па (паскаль), а в тех-
нической системе — кгс/см4 « ат (техническая атмосфера). На-
ряду с этим, как следует из (4-14) и (4-16), давление можно изме-
рять в единицах длины столба данной жидкости.
Общей формулой перевода единиц давления в линейные еди-
ницы является
h =
Р
pg ’
73
При выражении давления высотой столба жидкости чаще всего
применяют метры водяного столба, миллиметры ртутного столба
и миллиметры спиртового столба.
Гидростатический закон распределения давления, выраженный
формулой (4-11), справедлив, очевидно, для любого положения
координатной плоскости хоу. Эту плоскость называют плоскостью
сравнения, а величину //ст = z + ----гидростатическим на-
пором. Величину Нп = z + где ря — избыточное давле-
ние, называют пьезометрическим напором. Из формулы (4-11)
следует, что напоры Ист и Нп постоянны для всех точек данной
массы покоящейся жидкости.
§ 3
ОТНОСИТЕЛЬНЫЙ ПОКОЙ жидкости
Случаи, когда жидкость покоится относительно стенок резер-
вуаров, движущихся с ускорением относительно Земли, назы-
вают обычно относительным покоем. Выбирая систему коорди-
нат, жестко связанную со стенками резервуара, мы приходим
к статической задаче, основой для решения которой служат
уравнения Эйлера (4-1). В соответствии с известным принципом
механики при пользовании уравнениями равновесия в системе
координат, которая движется с ускорением, мы должны в число
действующих массовых сил включить также силы инерции. Имея
это в виду, рассмотрим два случая относительного равновесия.
1. Равновесие жидкости в цилиндрическом сосуде, равномерно
вращающемся вокруг центральной вертикальной оси.
Рассмотрим состояние жидкости в сосуде (рис. 37) по исте-
чении достаточного времени после начала вращения, когда до-
стигнут относительный покой.
Выберем оси координат, как показано на рис. 37, и применим
к жидкости дифференциальное уравнение гидростатики в форме
(4-9). В число массовых сил наряду с силой тяжести Ft = g
мы должны включить центробежную силу инерции
где v — окружная скорость жидких частиц; г — радиус вращения
частиц; г” — единичный вектор радиального направления; со —
угловая скорость вращения сосуда.
Для проекций на оси координат результирующей массовых
сил получим выражения
Fx = у- cos (г, х) = а>гг cos (г, х) = со2х;
Fy = -у- sin (г, х) = a2r sin (г, х) == со2//; Ft = g.
74
Внося эти выражения в уравнения (4-9), получим
= со2 {х dx + у dy) — gdz
или
-у-= <в2 J (х2 ф- у2)-^- — gdz: dp = d[p-^-(x2 + ^) —pgz].
Интегрируя, находим
Р = р-у-(*а + !/2) —Р£г + С- (4-17)
Полагая р = const, получим из выра-
жения (4-17) уравнение изобарических
поверхностей
pl^+i/Vp^ + C^O. (4-18)
Как видно из уравнения (4-18), эти по-
верхности представляют собой конгруэнт-
ные параболоиды вращения с осью г.
Одним из таких параболоидов является
свободная поверхность жидкости.
Обозначим через zQ координату вер-
шины параболоида свободной поверхности
(см. рис. 37). Так как в вершине х=у=О,
то CL = pgz0 и уравнение свободной поверх-
ности запишется в виде
Zen - zo = 4 (*’ + £2) = -V- = (4-19)
Если внешнее давление р0, то, задавая
в уравнении (4-17) р = р0, х = у = О,
г = г0, находим постоянную С = р0 +
+ Pgzo- Тогда закон распределения дав-
ления можно выразить формулой
Р = Ро + Pg (®3 ~2sy2" + zo — z) • (4-20)
/
Рис. 37. Относительное рав-
новесие жидкости в сосуде,
вращающемся вокруг верти-
кальной оси:
Zq — координата наннизшей
точки свободной поверхнос-
ти; zn — координата произ-
вольной точки свободной по-
верхности; 2 — координата
точки М, лежащей на глу-
бине h под свободной по-
верхностью
Нетрудно видеть, что для произвольной точки М с коорди-
натами х, у, z выражение в скобке представляет собой заглуб-
ление h точки М под свободную поверхность. Таким образом,
₽ = Ро + Р^,
т. е. справедлив линейный (гидростатический) закон распреде-
ления давления по глубине, которая в данном случае отсчиты-
вается от криволинейной свободной поверхности.
2. Равновесие жидкости в сосуде, движущемся прямолинейно
с постоянным ускорением.
Рассмотрим равновесие жидкости в сосуде, движущемся с ус-
корением а вдоль прямой MN, наклоненной к горизонту под
75
углом а (рис. 38). В число массовых сил, наряду с силой тяжести
в данном случае войдет сила инерции Ft — —а = j, направлен-
ная противоположно ускорению сосуда. В системе координат,
показанной на рис. 38, для проекций массовых сил получим
Fz = j — g sin a; Fy = 0; Ft = —geos a.
Внося эти выражения в уравнение равновесия (4-9), получим
Рис. 38. Относительное равновесие
жидкости в сосуде, движущемся прямо-*
линейно с постоянным ускорением
-- dp=[(j — gsina)dx — geos adz].
После интегрирования найдем
р = р (/ — g sin a) х — pg cos az C.
(4-21)
Полагая в уравнении (4-21)
p = const, получим уравнение изо-
барических поверхностей
р(/ — gsina)x — pgcosaz -|- = 0.
(4-22)
Уравнение (4-22) дает семейство плоскостей, параллельных
оси у. Одной из этих плоскостей является свободная поверх-
ность. Обозначим через z0 координату точки пересечения свобод-
ной поверхности с осью z (см. рис. 38). Подстановка в уравнение
(4-22) х = 0 и z = z0 определяет С\ = pgz0 cos а для свободной
поверхности. Уравнение этой поверхности запишется в виде
г —z0
где
/ — g sin а х
g cos a ’
(4-23)
7-gsin a _ g
g cos a b *
Если движение сосуда происходит без трения только под дей-
ствием силы тяжести, то j = g sin а и 9 = 0, т. е. свободная по-
верхность параллельна плоскости MN.
Полагая в формуле (4-21) х = 0, z = z0 и р — р0, найдем
произвольную постоянную С:
С = Ро + Р£2о cos а.
Закон распределения давления выражается формулой
Р = Ро + Р (/ — g sin a) х + pg cos a (z0 — z). (4-24)
§ 4
СИЛЫ ДАВЛЕНИЯ ЖИДКОСТИ
НА ТВЕРДЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
В общем случае воздействие жидкости на твердую поверхность S
сводится к сумме элементарных сил dPt действующих на малых
площадках dS, составляющих эту поверхность (рио. 39).
76
Если п — единичный'вектор'нормали к поверхности S, внешней
к объему жидкости, ар — давление на площадке dS, то сила
dP = рп dS.
Суммируя систему сил dP, получаем выражение для главного
вектора
Рис. 39. Схема к определению силы
давления покоящейся жидкости на
твердую поверхность
быть сведена только к силе
P=jpndS, (4-25)
называемого силой давления жидкости на поверхность S, и вы-
ражение для главного момента
L = J г х рп dS, (4-26)
где г — радиус-вектор площадки dS
относительно центра приведения си-
стемы сил.
Рассмотрим несколько частных
случаев.
1. Равномерное давление на плос-
кую стенку (р = const, п = const).
В этом случае суммируемые век-
торы dP составляют систему парал-
лельных и одинаково направленных
сил. Такая система всегда может
давления Р. При р = const и п = const из выражения (4-25)
получаем
P = pnS. (4-27)
Линия действия силы Р проходит через центр тяжести пло-
щади S.
Равномерное давление может создаваться покоящимся газом,
так как благодаря малой его плотности можно пренебречь дей-
ствием массовых сил и считать давление одинаковым во всех точ-
ках'газа.
Равномерное давление может создаваться и капельной жид-
костью, например при ее воздействии на горизонтальные площадки
в случае абсолютного покоя или движения сосуда с ускорением
вверх или вниз.
Величина силы Р при равномерном распределении давления
не зависит от ориентации плоской стенки S в пространстве и
вычисляется по формуле
P = pS.
Например, для схемы на рис. 40 давление на дне р = р0 +
+ pg/i0, а сила Р — (Ро + pgH0) So. Заметим, что сила давления
на дно не зависит от формы сосуда (гидростатический парадокс),
77
2. Сила равномерного давления на криволинейную стенку
(р = const, п const).
В этом случае элементарные силы dP имеют разные направ-
ления. Главный вектор Р системы вычисляется через свои проек-
ции. Чтобы найти его проекцию Рх на ось х, проектируем на эту
ось векторы dP = dPn (рис. 41)
dPx=pdSx°n=pcos (га, x)dS=pdSx,
Рис. 41. Схема к определению силы
равномерного давления на криволи-
нейную поверхность
Рис. 40. Гидростатический парадокс
где х° — единичный вектор оси х; dSx — проекция площадки dS
на плоскость, нормальную оси х. Искомая величина Рх при
р = const
Рх — j р cos (rax) dS = р j dSx = pSx.
S sx
(4-28)
Линия действия силы Px проходит через центр тяжести пло-
щади проекции Sx. Таким образом, величина проекции на на-
правление оси х силы равномерного давления р на криволиней-
ную поверхность S равна произведению давления и площади
проекции Sx этой криволинейной поверхности на плоскость,
нормальную оси х. Если такие проекции на три взаимно ортого-
->
нальные оси пересекаются в одной точке, то система сил dP может
быть сведена только к силе давления, величина которой
P-VPx + Pl + tf, (4-29)
а направление определяется направляющими косинусами
cos(P.x)--^-; cos (Р, t/) = -^-; cos (Р, ?) = -£-. (4-30)
Если составляющие не пересекаются в одной точке, система
сводится к силе и моменту.
3. Сила неравномерного давления на плоскую стенку (р =р
->
=/= const, га == const).
78
Систему элементарных сил dP, одинаковых по направлению,
но различных по величине, можно свести в данном случае к одной
силе давления
Р = п f р dS,
(4-31)
(4-32)
Рис.42. Схема к определению силы неравномерного
гидростатического давления на плоскую стенку
где S — площадь стенки.
Величина этой силы
P = \pdS
s
зависит от закона распределения давления Р по площади S.
При воздействии на S капельной жидкости эти законы могут
быть различными. Их кон-
кретный вид зависит от
ориентации площадки и
действующих на жидкость
массовых сил при абсо-
лютном и относительном
покое.
Вычислим силу Р для
плоской стенки, наклонен-
ной к горизонту под углом а
и подверженной воздейст-
вию тяжелой жидкости,
находящейся в состоя-
нии абсолютного покоя
(рис. 42).
Определим результирующую сил избыточных давлений ри,
которые создаются внешним избыточным раа > 0 и весовым pgh
давлениями. Заменим внешнее давление рОи воздействием экви-
валентного слоя жидкости, толщина которого Лп определяется
высотой поднятия жидкости в пьезометре hn = Таким об-
разом, внешнее давление из рассмотрения исключается, и сво-
бодная поверхность СП заменяется пьезометрической плоскостью
ПП. Продолжим плоскость стенки до пересечения с пьезометри-
ческой плоскостью. Вдоль линии их пересечения направим ось х,
а ось у расположим в плоскости стенки. Затем для наглядности
повернем плоскость стенки на 90° вокруг оси у и совместим стенку
с плоскостью чертежа.
Величину силы вычислим по формуле (4-32):
Р= jpBdS,
5
В рассматриваемом случае (см. рис. 42) давление
РН = РЙ = pg# sin а,
(4-33)
79
что при подстановке в формулу (4-32) дает
P = pgslna J ydS.
s
Интеграл | ydS представляет собой статический момент пло-
щади S относительно оси Ох, равный, как известно, произведе-
нию S на координату уд ее центра тяжести.
Поэтому
P=pg sin ayGS = pglaS = pg (йа 4- S. (4-34)
Формула (4-34) может быть записана в двух видах
P = pGaS, (4-35)
где Рав — pg (he + J^_) “ избыточное давление в центре
тяжести площади S, или
р = PobS + PghaS. (4-36)
Согласно (4-35) величина силы избыточного давления покоя-
щейся жидкости на плоскую стенку равна произведению пло-
щади стенки на избыточное давление в ее центре тяжести.
Вектор силы Р направлен по нормали к стенке S:
Р = пР,
а линия действия этой силы пересекает стенку в некоторой
точке D, называемой центром давления. Для отыскания коор-
динат этой точки (хо, yD) используем теорему о равенстве момента
равнодействующей и суммы моментов составляющих, которая
в данном случае выражается уравнением
rD х Р = j г х при dS, (4-37)
где ~rD и г — радиус-векторы соответственно центра давления D
и произвольной точки (ху) площади S.
По правилам составления проекций векторного произведения
находим
yDP = | УРЯ dS-, xDP = j хри dS,
80
Учитывая выражения (4-33) и (4-34), получим
j ху dS
Xq = —-—ё— »
yas
= (4-38)
Более удобные выражения для xD и yD получим, если вос-
пользуемся теоремой о соотношении между моментами второй
степени, взятыми относительно параллельных осей
ху dS = хсУс$ “Ь Jx'y't У dS = ус^ -f- х'>
где х'у' — оси координат, проходящие через центр тяжести С
площадки S параллельно осям х и у, хс и уа—координаты центра
тяжести С в системе ху, J— центробежный момент площади S
относительно осей х' и у'\ JX' — момент инерции площади S
относительно оси х' (см. рис. 42). Окончательно,
xd = ха + ~-~y ! Уо = Уа + ц $ • (4-39)
Усл Усл
Вторая из формул (4-39) показывает, что центр давления рас-
положен ниже центра тяжести на величину Jx-lycS *.
Возвращаясь к формуле (4-36), заметим, что силу давления
в рассматриваемом случае можно получить, складывая незави-
симо вычисленные две силы: Ро = рОи и Рв = pghcS, где Ро —
сила внешнего избыточного давления, Рв — сила весового дав-
ления. При таком способе определения силы Р следует помнить,
что линии действия сил Ро и Рв не совпадают, и центр давления D
определяется линией действия суммарной силы Р — Ро + Ра-
4. Неравномерное давление на криволинейную твердую по-
верхность (р =£ const, п 4= const) может быть создано тяжелой
жидкостью при абсолютном или относительном покое. Элемен-
тарные силы dP составляют в этом случае самую общую систему,
которая должна сводиться к силе давления Р (4-25) и моменту L
(4-26). Однако существуют частные случаи, когда система сво-
дится к одной силе давления Р, например, если линии действия
элементарных сил dP пересекаются в одной точке (сферическая
стенка).
* Это справедливо при роя^ 0. При рои<ЗО центр давления может ока-
заться выше центра тяжести. Кроме того, при рвя <5 0 воздействие жидкости
на плоскую стенку может свестись к паре.
81
Рассмотрим криволинейную поверхность S, находящуюся
под воздействием внешнего избыточного давления р0„ 0 и
весового давления pgz (рис. 43). Как было показано в предыду-
щем пункте, задачу отыскания силы давления можно расчленить,
определяя раздельно силы весового и внешнего давлений. Эту же
задачу можно свести к задаче об определении только весового
давления, заменив внешнее давление действием эквивалентного
Рис. 43. Схема к определению силы неравномерного
гидростатического давления на криволинейную
поверхность
СЛОЯ ЖИДКОСТИ.
Силу весового давления
Р определим по ее проек-
циям. Горизонтальная про-
екция
Рх = j dPx =
= J р cos (мх) dS —
s
= pg j z cos (nx) dS =
= pg J 2 dSx,
s
где dSx — dS cos (nx) — проекция площадки dS на вертикаль-
ную плоскость, нормальную к оси х. Последний интеграл пред-
ставляет собой статический момент площади Sx относительно
оси у. Следовательно,
Рх = Pg2CxSx, (4-40)
где zCx — координата центра тяжести площади Sx.
Аналогично получим
Ру = Pg^cySy, (4-41)
где Sy — площадь проекции криволинейной поверхности на
плоскость, нормальную оси у. у
Таким образом, чтобы вычислить горизонтальную проек-
цию Pt (i = х, у) силы весового давления на криволинейную
поверхность, следует площадь проекции St этой поверхности на
плоскость, нормальную к рассматриваемой горизонтальной оси,
умножить на давление в центре тяжести площади St.
Проекция силы весового давления на вертикальную ось опре-
делится соотношением
Рг = pg j г cos (nz) dS = pg J г dSx, (4-42)
где Sx — проекция на плоскость хОу поверхности S.
Последний интеграл представляет собой объем тела
ограниченного поверхностью S, цилиндрической боковой поверх-
82
ноСтью S6b с вертикальными образующими и проекцией S2
криволинейной поверхности S на свободную поверхность жид-
кости. Это тело называется телом давления, а величина pg J z2dS2
s
есть вес жидкости в его объеме.
Таким образом, вертикальная проекция силы весового дав-
ления на криволинейную поверхность равна весу жидкости
в объеме тела давления.
Рис. 45. Архимедова сила А равна весу
жидкости в объеме погруженного тела
Рис. 44. Два вида тел давления
Величина Р силы Р определится формулой
Р = КР‘ + Р* + Р*’ (4'43)
а направление линии ее действия — направляющими косинусами
cos (пх)——, cos (пх) = -у-, cos (П2) •= -у-. (4-44)
Если Рх, Рд и Рг пересекаются в одной точке, то система
сводится к силе давления, проходящей через эту точку.
Возможны два случая расположения криволинейной поверх-
ности (рис. 44, а и б) под уровнем жидкости. В первом случае
жидкость расположена над твердой поверхностью; тело давления
заполнено жидкостью и считается положительным, а вертикаль-
ная составляющая силы направлена вниз. Во втором случае
тело давления не заполнено жидкостью и считается отрицатель-
ным; вертикальная сила давления направлена вверх.
Если криволинейная поверхность S замкнута и полностью
погружена под уровень абсолютно покоящейся жидкости (рис. 45),
то воздействие жидкости сводится к одной вертикальной силе.
Действительно, для любой горизонтальной оси существуют две
противоположно направленные и равные по величине силы, дей-
ствующие на тело; поэтому результирующая горизонтальных сил
равна нулю. Чтобы найти вертикальную силу, проектируем S
на свободную поверхность жидкости. Проектирующие вертикали
отметят на поверхности тела замкнутую линию I, которая делит
поверхность на две части SB и SB. Для верхней части SB тело
83
давления положительно и соответствующая ему сила направ-
лена вертикально вниз, а для нижней S„ — тело давления отри-
цательно и сила направлена вверх. Обозначив объемы этих тел
давления соответственно через IV7 в и W„, найдем величину ре-
зультирующей вертикальной силы А:
A = Pg (WB - WB) = pg№T, (4-45)
где UZ, — объем тела.
Таким образом, сила давления покоящейся жидкости на
погруженное в нее тело направлена вертикально вверх и равна
весу жидкости в объеме тела. Этот результат составляет содер-
жание закона Архимеда *; сила А называется архимедовой или
гидростатической подъемной силой. Если G — вес тела, то его
плавучесть определяется соотношением сил А и G. При G > А
тело тонет, при G < А — всплывает, при G = А — плавает
в состоянии безразличного равновесия. Следует иметь в виду,
что линии действия сил G и А могут не совпадать, так как линия
действия веса G проходит через центр тяжести тела, а линия
действия архимедовой силы А — через центр его объема. При
неравномерном распределении плотности тела может появиться
момент, способствующий опрокидыванию тела.
В заключение заметим, что сила давления жидкости по кри-
волинейной поверхности в случаях относительного покоя может
быть определена общим способом суммирования элементарных
сил давления, применительно к заданной форме поверхности и
условиям относительного покоя.
1 Архимед (287—212 до н. э.)— великий математик и механик древности.
Оставил после себя многочисленные труды по вопросам математики, механики,
гидростатики. Наиболее известны законы рычага, способы вычисления длин
кривых, законы гидростатики.
Глава 5
ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ И УРАВНЕНИЯ
ДИНАМИКИ жидкости
§ 1
ОБОБЩЕННАЯ ГИПОТЕЗА НЬЮТОНА О СВЯЗИ
МЕЖДУ НАПРЯЖЕНИЯМИ И СКОРОСТЯМИ ДЕФОРМАЦИЙ
Уравнения движения жидкости в напряжениях (3-10) образуют
незамкнутую систему. Недостающие уравнения устанавливаются
на основе физических гипотез, выражающих экспериментально
обнаруженные свойства сплошных сред.
Для жидкостей и газов такой фундаментальной гипотезой
служит обобщение на случай произвольного движения этих
сред закона вязкого трения, выраженного формулой (1-20).
Чтобы подойти к обоснованию этого обобщения, напомним,
что, как было выяснено в гл. 3, напряжения в жидкости сводятся
к напряжениям сжатия, не зависящим от ориентации площадок,
если только отсутствуют касательные напряжения. Поскольку
последние порождаются вязкостью, то напряжения в вязкой
жидкости при уменьшении вязкости до нуля (ц = 0) должны
превращаться в давления, не зависящие от ориентации площа-
док. Кроме того, есть основания считать, что вязкость не только
порождает касательные напряжения, но и влияет на величину
нормальных.
Учитывая эти соображения, полное напряжение на произвольно
ориентированной площадке в вязкой жидкости представляем
суммой
pn = Nn-{-kn, (5-1)
где N —> некоторая скалярная величина; п — единичный вектор
нормали к площадке; kn — вязкостная часть полного напряже-
ния, не зависящая от давления (рис. 46).
Запишем (5-1) применительно к трем взаимно ортогональным
(координатным) площадкам (см. § 1 гл, 3)
Рж = —M + Рд = — + p2 = — ^-[-kz
85
и выпишем проекции на координатные оси полных напряжений
Рхх ~ N 4“ ^хх\ Рху ~ kxgt Рхг ~ ^хг>
Рух ~ kyxt Руу — N 4" kyy* Руг ~ ^уг‘> (5'2)
Ргх = kzx, Ргу = ^гу, Ргг = ~~^ + kzz-
Согласно закону Ньютона вязкостные напряжения при прямо-
линейном движении жидкости пропорциональны скоростям уг-
ловых деформаций.
Обобщением этого факта на случай произвольного движения
что касательные напряжения, а также
зависящие от ориентаций площадок
части нормальных напряжений про-
порциональны соответствующим ско-
ростям деформаций. Иными сло-
вами, предполагается во всех слу-
чаях движения жидкости линейная
связь между вязкостными напряже-
ниями и скоростями деформаций.
При этом коэффициентом пропорцио-
нальности в формулах, выражающих
эту связь, должен быть динамиче-
является гипотеза о том,
Рис. 48. Схема к выводу связи между
напряжениями и скоростями дефор-
мации в вязкой жидкости
ский коэффициент вязкости ц, так
как при р = О все kt/ должны обращаться в нули.
Таким образом, высказанное гипотетическое утверждение
можно выразить формулами
Л« = 2р-^-; ^ = 2р^; йгг = 2р^-;
— кух — ц( ду 4- -gf-);
h —h — 11 ( dU» I ди^ \.
Куг Rzy \ дг + ду )’
(5-3)
k —k — и. ( ди* 1 dUx \
^гх — Кхг—Ц\дх+ д2 )•
Чтобы определить введенную выше скалярную величину N,
найдем среднее арифметическое из нормальных напряжений на
трех координатных площадках. Согласно (5-2) имеем
-3- (рхх + Руу + Ргг) = —’ N + ^х + kyy + ^гг)>
откуда с учетом (5-3)
N=------§-(Рхх + Руу + Ргг} + -^&У“- М
Можно показать (на этом мы не останавливаемся), что в дан-
ной точке жидкости сумма рхх + руу + pZi имеет одно и то же
86
значение для любых трех взаимно ортогональных площадок,
проходящих через точку, т. е. не зависит от ориентации этих
площадок. Иными словами, эта сумма обладает свойством дав-
ления, а потому уместно принять гипотетическое утверждение
о том, что среднее арифметическое из нормальных напряжений
на трех взаимно ортогональных площадках, проходящих через
одну точку, есть взятое с обратным знаком гидродинамическое
давление в этой точке, т. е.
4-(P« + pw + p«z) = — Р. (5-5)
и, следовательно,
N = р + —pdivu.
Утверждение (5-5) не может быть строго доказано и представ-
ляет собой гипотезу, которую можно считать косвенно подтвер-
жденной всей практикой современной гидромеханики, поскольку
пока нет фактов, опровергающих эту гипотезу. Теперь оконча-
тельные выражения для нормальных и касательных напряжений
в вязкой жидкости можно записать в виде
2 * . о дих
= —р-—pdiv«4-2p,
= —p--|-pdivu4-2p
Р« = — р —^div« + 2р (5-6)
(дих , дии \
ду + ~дх~ ) ’
/ диа , ди, \ ,
Puz -Pza^V- + ду ) •
( ди, . дих \
Рхх — Pxz — R ( дх + дг ) *
В случае несжимаемой жидкости div и = 0, и выражения для
нормальных напряжений упрощаются:
Рхх = — р + 2р-^; Руу = — р + 2р (5-7)
Р«=»-Р+2р-§-.
Таким образом, соотношениями (5-6) устанавливаются связи
между напряжениями в вязкой жидкости и скоростями деформа-
ций. Эти связи позволяют исключить из уравнений движения
(3-10) все компоненты тензора напряжений, заменив их давле-
нием р и скоростями деформаций.
87
§2
УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
(УРАВНЕНИЯ НАВЬЕ—СТОКСА J)
Внося в уравнения движения в напряжениях (3-10) выражения
(5-6), получим
эти уравнения называются уравнениями Навье—Стокса; они
пригодны для описания движений вязких сжимаемых жидкостей
и газов.
Уравнения для описания движения невязких жидкостей и
газов легко получить из уравнений Навье—Стокса как частный
случай при р = 0; для несжимаемых жидкостей следует принять
р = const.
Система уравнений Навье—Стокса незамкнута, так как со-
держит шесть неизвестных: их, ии, иг, р, р и р. Еще одним уравне-
нием, связывающим эти неизвестные, является уравнение не-
разрывности
-L-J- + divu = 0.
В качестве уравнений, замыкающих систему, используют
уравнение состояния среды и уравнение зависимости вязкости
от параметров состояния. Во многих случаях приходится исполь-
зовать также другие термодинамические соотношения.
Для несжимаемой жидкости (р = const) в большинстве слу-
чаев вязкость можно считать постоянной, что позволяет значи-
1 Луи Мари Навье (1785—1836 гг.)—видный французский инженер и
механик, профессор Политехнической школы в Париже, член Парижской ака-
демии наук. Первым вывел (в 1824 г.) уравнения движения вязкой жидкости.
Стокс — см. сноску в § 7 гл. 2.
88
тельно упростить уравнения (5-8). После простых преобразова-
ний, учитывая, что div и = 0, для этого случая получаем
г____!_ др । ( д*их . д*их д*их \ _ dux .
х р дх "гv \ дх* ' dz* ) ~ dt ’
р____L | 1 । . /Rq\
r« p dy V \ dx* + dy* + dz* ) ~ dt
p____1 dp ., / d*uz , д*иг d*u2 \ _ du2
Г» p дг * \ dx* dy* dz* ) dt *
Уравнения (5-9) могут быть истолкованы как специфическая
для вязкой несжимаемой жидкости форма второго закона Нью-
тона. Действительно, правые части этих уравнений представляют
собой отнесенные к единице массы произведения массы на уско-
рения, а левые сумму отнесенных к единице массы сил,
в числе которых массовая сила F (Fx, Fy, F2), сила давления
1 л / 1 др 1 др 1 др \
у grad р . уу~. уи сила внутреннего трения
vV2u (vV2«x, vV2uff, W2u2).
r, dux duB du.
Если раскрыть полные ускорения ~^р-, выделив в них
локальную и конвективную части, то получим развернутую
форму уравнений Навье—Стокса для несжимаемой жидкости:
р____1 др , / д*их , д*их д*их \
х р дх ’ \ дх* "Г” ду* дг* )
дих . дих . дих j дих .
*= ~дГ + “х ~дГ + U« ~дГ + ИГ *
р____1 дР I f &иУ | &“У 1 81“у \ -
1у р ду \ дх* ду* ~ дг* )
е=_^_+Ыл_^.+ ы^ + Мг^_; (5-9)*
di 1 х дх 1 у ду 1 г dz 9
р____LJp_a.v ( д*“* I д2и* -
г р дг \ дх* ду* т дг* ) ~
ди, . ди, . ди, , ди,
е= —~ 4- ц,—~ 4- и„—р-4- и,—Н-.
dt 1 х дх 1 у ду 1 г дг
Вместе с уравнением неразрывности div и = 0 уравнения (5-9)
образуют замкнутую систему для определения функций их, иу,
иг и р.
Представим уравнения Навье—Стокса в векторной форме.
Для этого умножим первое из них на I, второе — на /, третье —
на k и сложим.
89
Получим
F — -у gradp4-vV2u = (5-10)
где введено обозначение
vC = V2uJ 4- V2u J + V2u2k.
Выделяя конвективную часть ускорения (см. § 1 гл. 2), урав-
нение (5-10) можно представить в виде
F — Y gradp + vV2u = -^- + (ziV)u. (5-11)
Для получения еще одной широко употребительной формы
уравнения (5-10) используем формулу векторного анализа
grad (ab) — (а V) b + (b V) а 4- а х rot b 4- b х rot а,
где а и b — произвольные векторы. Правильность этой формулы
можно проверить непосредственным вычислением.
Пусть а = b = «; тогда
grad (ии) = grad и2 = 2 (uV) и 4- 2и х Q,
где Й = rot и.
Разрешая это соотношение относительно конвективного уско-
рения (uV) и и исключая его из уравнения (5-11), получаем
уравнение движения вязкой жидкости в форме И. С. Громеки—
Г, Дамба Ч
F--~gradр — grad-у-4-vV2u = — и х й.
(5-12)
Считая, что массовые силы обладают потенциалом, т. е. что
F = —grad Ф, и учитывая, что при р = const ~±- grad р =>
= grad
уравнение (5-12) можно записать в виде
— grad (ф 4- 4- 4- vV2w = ---и х Й.
у и X / и*
(5-13)
1 Громека Ипполит Степанович (1851—1889 гг.)—профессор Казанского
университета, автор многих исследований по гидромеханике (теория винтовых
потоков; неустановившееся движение вязкой жидкости в трубах, распростране-
ние ударных волн в жидкостях и др.).
Г. Ламб (1849—1934 гг.) — английский механик, автор ряда работ по гидро-
механике и теории упругости (теория приливов, звуковые волны, движение тел
с полостями, заполненными жидкостью и др.),
90
Обозначив для краткости Ф + у + -у- — Е и проектируя
(5-13) на оси декартовой прямоугольной системы координат,
получаем систему уравнений
- < + VV4 = -^г - :
= (и&х - UjlQJ :
(5-13)'
- -g- + W4 = -^— («А - “№
Уравнения Навье—Стокса в форме (5-13) и (5-13)4 оказываются
весьма удобными для решения ряда вопросов динамики вязкой
жидкости.
Во многих задачах течение вязкой жидкости обладает осевой
симметрией и его удобно описывать, пользуясь цилиндрической
системой координат. Уравнения Навье—Стокса в этой системе
имеют следующий вид:
Fr — — -%- — Л” 4-ТйИ =
r р or * \ г г1 г2 dti J
ди, ди, иЙ ди, ди, иЙ
dt 1 г дг 1 г ЙО 1 1 дг г ’ , ..
(’-14)
С I I /г?2., I 2 ди, \
рг д& +V V Uq г2 + г2 ЙО ) “
5“е । „ див , “е ди^ , йи0 uru0 .
~~ ~дГ +и' ~ + ~ "йГ + ~дГ + ~Г~ ’
р _____L .др 4. v (V2u ) = dUz 4- и ди* 4- “° dUz I и - dUz
р дг + 'V *' dt dr + г Й0 + дг ’
где
V2 = 4- —___— 4- -J_- I —
v dr2 “ r dr г2 Й02 dz2 •
Вместе с уравнением неразрывности (2-25) уравнения (5-14)
образуют замкнутую систему уравнений движения несжимаемой
жидкости в цилиндрических координатах.
Общая задача гидродинамики состоит в отыскании функций
мЛ, иу, иг, р, р и р. с помощью системы уравнений Навье—Стокса
(5-8) или (5-9), уравнения неразрывности (2-14) или (2-17) и до-
полнительных соотношений, замыкающих систему.
Таким образом, гидродинамическая задача сводится к матема-
тической задаче получения решений системы нелинейных диф-
91
ференциальных уравнений в частных производных второго по-
рядка. Математическая теория таких систем разработана пока
недостаточно и для них нет общей формулировки и доказательства
теорем существования и единственности. Однако для частных
видов систем, описывающих определенные классы течений, та-
кие теоремы сформулированы и доказаны.
Поскольку общие решения дифференциальных уравнений
в частных производных содержат произвольные функции, для
получения конкретных решений нужно определить эти функции.
Для этого должны быть заданы начальные и граничные условия,
которым удовлетворяют найденные решения.
Под начальными условиями понимают заданные значения иско-
мых функций в начальный момент времени во всей области те-
чения.
Под граничными условиями понимают заданные значения,
которые должны принимать искомые функции в точках граничных
поверхностей во все моменты времени.
Рассмотрим начальные и граничные условия для неустановив-
шегося движения несжимаемой жидкости (р = const, р, = const).
В качестве начальных условий задается распределение скоро-
стей их, ии, иг в области течения в начальный момент времени /0:
их = К(х, у, zjo); иу = f2(х, у, z, t0)-, u2 = f3(x, у, z, to). (5-15)
Задавать давление нет необходимости, так как для момента ta
оно может быть определено из исходных уравнений по заданным
f2 и f3. Граничные условия зависят от характера границ. На не-
подвижной непроницаемой стенке граничные условия заключа-
ются в равенстве нулю на ней скоростей жидкости (иа = 0),
что обусловлено прилипанием к стенке частиц вязкой жидкости.
Это условие запишется в виде
их(хс, уй, z0, t)== 0, иу{ха, уа, 20, t) = 0, иг (х01 уй, zc, t) = 0,
где хс, yQ, z0 — координаты точек твердой стенки.
На подвижной непроницаемой границе скорость жидкости
совпадает со скоростью движения самой границы.
Границей области течения может служить свободная поверх-
ность, Ее форма, а также значения скоростей на ней неизвестны
и сформулированные выше кинематические условия для такой
границы не могут быть заданы. Однако на свободной поверхности
давление во всех точках постоянно и равно внешнему давле-
нию р0. Это обстоятельство может быть истолковано как одно
из граничных условий
Рс.п = Ро== const. (5-16)
Решение общей задачи гидродинамики наталкивается на мате-
матические трудности. Большое значение поэтому приобретает
получение из уравнений движения некоторых частных соотноше-
ний, устанавливающих связи между параметрами движения,
92
справедливые при некоторых ограничениях или для отдельных
классов течений. Таким соотношением является уравнение Бер-
нулли, которое выводится в следующем параграфе.
§3
УРАВНЕНИЕ БЕРНУЛЛИ1 ДЛЯ СТРУЙКИ
ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ
Рассмотрим неустановившееся движение вязкой несжимаемой
жидкости, для которого уравнение движения (5-13) можно за-
писать
— grad Е -|- vVau = ---и X О.
(5-17)
Выберем на произвольной ли-
нии тока в момент I направлен-
ный отрезок дуги ds (dx, dy, dz)
(рис. 47) и умножим на него ска-
лярно все члены этого уравнения:
— grad Е ds -|- vV’u ds =
= ds — [их й] ds.
Рис. 47. Схема к выводу уравнения Бер-
нулли для струйки вязкой жидкости
Вектор А — и X Й в силу свойств векторного произведения
направлен нормально плоскости, содержащей векторы и и й.
Так как векторы ds и и коллинеарны, то A I ds, и, следовательно,
скалярйое произведение этих векторов равно нулю
[uX«]ds.= 0. (5-18)
Заметим, кроме того, что для зафиксированного момента вре-
мени
grad Е ds = dx 4- 4^- dy -Ц- dz = dsE
представляет собой дифференциал функции Е по направлению s.
Таким образом,
— d,E + vV’uds = ~ ds. (5-19)
1 Даниил Бернулли (1700—1782 гг.)— выдающийся математик и физик,
один из членов известного семейства Бернулли, в числе которых видные мате-
матики и физики. Д.^Бернулли — по происхождению швейцарец, член Петер-
бургской академии наук, жил в Петербурге с 1725 по 1733 г., где написал
свой знаменитый труд «Гидродинамика»; занимался многими вопросами механики
жидкостей и газов. В частности получил излагаемое уравнение для случая
установившегося движения.
93
Интегрируя этЬ уравнение вдоль линии тока от sx до s2 для
данного момента времени, получим
S] $2
£1 — ^2 + * J V2« ds = J ds, (5-20)
S1 Si
где индексами 1 и 2 отмечены значения величин в сечениях Sj
и s2.
Если из числа массовых сил действует только сила тяжести,
то Ф = gz, и обозначив
/ie =----— v f V2u ds =
g J
S,
— — f (V2ux d* + V2uv th/+ V2az dz); (5-21)
Si
Si
= (5-22)
St
перепишем (5-20) в виде
p, и? p„ u? ., ,
zi 4- —t = z2 —2- 4- -2- + hc + h{. (5-23)
* ' Pg 1 2g 1 Pg 1 2g |c 1 г ' ’
Учитывая, что в поперечных сечениях элементарных трубок
тока параметры течения неизменны, можно утверждать, что
уравнение (5-23) справедливо вдоль трубки, имеющей своей осью
выбранную линию тока (см. рис. 47).
В случае установившегося движения локальное ускорение
->
всюду равно нулю: = 0; так как при этом h'i = 0, то уравне-
ние (5-23) приобретает вид
2 2
0. U1 Рч «О
zt 4- —L 4. ‘ = г2 4- —- 4- 4- ha. (5-24)
Pg 2g ‘ Pg 2g ‘ ° ’
Это уравнение, называемое уравнением Д. Бернулли, является
одним из фундаментальных уравнений гидромеханики. Рассмо-
трим его более детально.
Все члены уравнения (5-24) имеют линейную размерность,
однако им можно придать энергетический смысл. Действительно,
если масса жидкости т поднята на высоту г над некоторой плос-
костью сравнения, то в поле силы тяжести она обладает потен-
циальной энергией положения, равной tngz. Отнеся эту энергию
к весу жидкости, мы найдем, что величина z представляет собой
94
Рис. 48. Схема к энергетической
трактовке уравнения Бернулли
потенциальную энергию положения единицы веса. Нетрудно
убедиться, что величина u2/2g является кинетической энергией
единицы веса жидкости, движущейся со скоростью и.
Чтобы истолковать величину plpg, рассмотрим живое сече-
ние dS элементарной трубки тока (струйки), где скорость частиц
жидкости и, а давление р (рис. 48). Если за время dt частицы,
расположенные в этом сечении, переместились на расстояние udt,
то работа силы давления pdS на этом пути будет равна pdSudt.
Отнеся эту работу к весу жидкости в объеме dSudt, т. е. разделив
ее на величину pgdSudt, найдем, что величина p/pg представляет
собой работу сил давления, отнесенную к единице веса жидкости.
Физический смысл величины h'a
в уравнении (5-24) вытекает из фор-
мулы (5-21). Поскольку, как ука-
зано выше, величины vV2«x, vV2ua,
vV2uz являются проекциями на оси
х, у, 2 сил вязкости, отнесенных к
единице массы жидкости, то инте-
грал в формуле (5-22) выражает сум-
марную работу этих сил на пути от
Sx до s2, отнесенную к единице веса.
Часть энергии жидкости, равная этой
работе, необратимым образом пере-
ходит из механической формы в теп-
ловую, т. е. представляет собой по-
терю механической энергии. Поэтому величину h'o называют по-
терей энергии. Указанный процесс необратимого преобразования
механической энергии в тепловую называется диссипацией.
Перепишем теперь уравнение Бернулли (5-24) в форме
“1
2g
Pi
Pg
Pl
Pg
(-Л'.
(5-24)'
Учитывая выясненный выше энергетический смысл каждого из
членов этого уравнения, можно убедиться, что (5-24)' представ-
ляет собой частную форму закона сохранения энергии, приме-
ненного к выделенной в массе жидкости частице: изменение пол-
ной удельной (т. е. отнесенной к единице веса) энергии жидкости
(^2 \ /
z + равно работе приложенных к ней внешних сил (^дав-
р, — р, ,, \
ления ------— и вязкости пс).
Pg )
Для общего случая неустановившегося движения мы получили
уравнение (5-23), в правой части которого фигурирует член h\,
называемый инерционным напором. Как видно из (5-22), он за-
висит от локального ускорения и является положительной вели-
чиной для ускоряющихся потоков (-gy- > 0^ и отрицательной —
€5
для замедляющихся \ < 0). Величина h’t выражает обратимые
преобразования энергии, связанные с нестационарностью те-
чения. Дополнительно об этом будет сказано в гл. о,
§4
УРАВНЕНИЯ РЕЙНОЛЬДСА ДЛЯ РАЗВИТОГО
ТУРБУЛЕНТНОГО ДВИЖЕНИЯ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ
При выводе уравнений Навье—Стокса не делалось каких-либо
предположений о режиме движения. Поскольку свойство вяз-
кости присуще реальным жидкостям независимо от режима их
движения и при переходе от ламинарного течения к турбулент-
ному другие физические свойства не изменяются, можно пред-
полагать, что обобщенная гипотеза Ньютона, а значит и опираю-
щиеся на нее уравнения Навье—Стокса, справедливы как при
ламинарном, так и при турбулентном движении жидкости. Од-
нако в последнем случае использовать уравнения Навье—Стокса
для получения каких-либо прикладных решений практически
невозможно. Входящие в них мгновенные скорости и давление
при турбулентных режимах являются пульсирующими величи-
нами. Даже если бы эти параметры удалось найти путем решения
уравнений Навье—Стокса, что представляет крайне трудную за-
дачу, то использовать эти мгновенные значения величин в практи-
ческих целях было бы весьма затруднительно. Поэтому для турбу-
лентного режима ставится задача отыскания усредненных во
времени скоростей и давлений. Эти усредненные величины сами
могут оказаться зависящими или независящими от времени. В пер-
вом случае турбулентнсе течение считается неустановившимся,
а во втором — установившимся. -
Для получения уравнений турбулентного течения, которые
могли бы служить указанной задаче, используются уравнения
Навье—Стокса, все члены которых подвергаются операции усред-
нения по времени.
Как известно из кинематики, истинная мгновенная скорость
связана с усредненной соотношением и =• и + и',_где и' — пуль-
сация. Для давления также можно написать р = р + р', причем
р=-т I pdt-
, т
‘~2
Дополнительно к сказанному в § 1 гл. 2 необходимо заметить,
что применяемые здесь операции усреднений основаны на пред-
положении о существовании для любого турбулентного потока
такого интервала усреднения Т, что выполненное по нему усред-
96
нение дает величину, не изменяющуюся при повторном усредне-
нии, Это значит, что
и = и; р = р.
Интервал Т должен быть, очевидно, достаточно большим по
сравнению с максимальным периодом пульсаций, но в случае
усредненно неустановившегося движения малым по сравнению
с характерным для усредненного движения интервалом времени
(например, периодом колебательного движения, временем опорож-
нения резервуара и т. п.).
Если движение усредненно установившееся, т. е. усреднен-
ные величины не зависят от времени, то, выполняя операцию
усреднения, можно убедиться, что для двух пульсирующих ве-
личин <р и гр справедливо равенство
Фф — фф.
При неустановившихся движениях это равенство принимается
в качестве постулата, выражающего одно из качеств операции
усреднения. Легко убедиться, что усредненное значение произ-
водной любого порядка по координатам равно производной того же
порядка от усредненного значения величины. Например,
т т
Эф 1 С Эф ,, д 1 С д<р
, г , т
Этому же правилу подчиняется и производная по времени,
Пользуясь правилом дифференцирования интеграла с перемен-
ными пределами, получим
Производя усреднение по изложенным правилам, приходим
к выводу, что уравнение неразрывности не изменяет своего вида:
+ +4r- = 0; divu = 0.
дх 1 ду 1 дг
4 Б. Т. Емцев 97
Обратимся теперь к уравнениям Навье—Стокса для несжимае-
мой жидкости и произведем усреднение каждого из их членов.
Для этого предварительно выполним тождественное преобразо-
вание конвективных членов. Учитывая уравнение неразрывности
div и = 0, убеждаемся, что, например, для первого уравнения
дих .. ди, , дих - д , . , д .
Uj дх + иУ~ду~ 4" Ы* ~дг дх~ ^и*их) + ~ду~ (ихи«) 4"
Поэтому первое уравнение Навье—Стокса можно записать
в виде
г 1 дР _1_ ( ^“х । д*их , &иг \ _ ди* ,
* р дх ’* V \ дх2 ** ду2 г $г2 J dt
+ (“А) 4- (и^) + -- (ихиг).
Аналогично записываются два других уравнения. Результат
усреднения каждого из членов левой части и локального ускоре-
ния в правой части полученной системы может быть записан
сразу на основе приведенных выше свойств принятой операции
усреднения. Остановимся на усреднении конвективных членов.
Например, учитывая, что ихих = ихихи и'х = 0, находим
= у' J (“^х 4- %ихих 4- ихих) dt =
L -4 _
= (ихЧх)
и аналогичные выражения для остальных конвективных членов
уравнений Навье—Стокса.
08
Таким образом, с учетом уравнения неразрывности для усред-
ненного установившегося турбулентного движения, когда =»
= = 0, получаем уравнения Рейнольдса:
Fx-----^- + »Тйх =
х р дх 1 х
- дих _ дих - дй
дх + Uy ду + Uz дг
ду ' дг ’
дх
~ ^_L,7 I g(“X) ,
х дх т" у ду "г z дг ” дх *" ду
F, - — -^- + vV2u2 =
г р дг 1 1
dz
(5-25)
- дй - ди, - ди, д(и'и ) д(а,и„} д (им
= их ~ 4- Uy + U2
Хдх'уду'дг дх ду дг
Уравнения Рейнольдса могут быть получены также в любой
криволинейной системе координат.
Система (5-25) отличается от уравнений Навье—Стокса не
только тем, что в нее входят усредненные скорости вместо мгно-
венных, но и наличием в ней девяти новых членов, зависящих
от пульсаций скорости. Представив каждый из этих членов в форме
= (рЖ)
дх р дх 4 '
и т. д., перепишем уравнения Рейнольдса, перенося все члены,
зависящие от пульсаций, в левую часть. Для краткости выпишем
только первое уравнение
Fx ~ т +v ^Ux ~ 4” i (р UxU^ lp"h (pwy)—
“i tt(5’26)
Теперь мы видим, что наряду с членами вида
= -L hV2mx,
выражающими действие вязкостных напряжений, уравнения
Рейнольдса содержат члены вида
1 д , ——
р дх х хе ’
4* 99
которые выражают действие напряжений, присущих только
турбулентному потоку. Эти напряжения, порожденные пульса-
циями скорости, называют турбулентными или кажущимися на-
пряжениями, подчеркивая последним термином, что их появле-
ние в уравнениях движения есть результат формального перехода
от мгновенных к усредненным скоростям. Тем не менее если
сравнить усредненный турбулентный поток с ламинарным, эти
напряжения дают отнюдь не «кажущийся» эффект, состоящий в зна-
чительном увеличении сопротивлений и соответствующем изме-
нении профиля скорости.
Таким образом, в турбулентном потоке полные касательные
напряжения слагаются из вязкостных и турбулентных:
т — 4"т»,
(5-27)
причем турбулентные напряжения выражаются формулой
= —pUjUj
(5-28)
и обладают свойством взаимности: т;/ = т;(.
Уравнения Рейнольдса содержат 10 неизвестных и, следова-
тельно, образуют незамкнутую систему. Замыкание системы
сводится к установлению связей между турбулентными напряже-
ниями и другими переменными, входящими в уравнения. Уста-
новление таких связей представляет трудную задачу; в совре-
менной гидромеханике она решается на основе гипотез, выдвину-
тых рядом авторов применительно к простейшим случаям дви-
жения. Связи, получаемые на основе таких гипотез, содержат
функции или константы, подлежащие определению из опытов,
а совокупность применяемых для этого методов составляет со-
держание полуэмпирических теорий турбулентности. В следую-
щем параграфе приведены минимально необходимые сведения
о некоторых из этих теорий.
§ 5
НЕКОТОРЫЕ ГИПОТЕЗЫ
О ТУРБУЛЕНТНЫХ НАПРЯЖЕНИЯХ
Рассмотрим прямолинейный установившийся турбулентный по-
ток с неравномерным распределением усредненных скоростей,
зависящих только от координаты х (рис. 49).
Одна из существующих гипотез о связи турбулентного напря-
жения тт с усредненной скоростью и заключается в том, что эта
связь может быть выражена формулой
du
<гт = ре -г-.
1 dy
(5-29)
юс
Эта формула, принадлежащая Ж- Буссинеску 1 (1877 г.),
формально аналогична формуле Ньютона для вязкого напря-
жения Тц. Коэффициент е носит название кинематического коэф-
фициента турбулентной вязкости и имеет размерность L2/T.
Если предположить или установить из опыта определенный вид
зависимости е от координат, то мы решим задачу отыскания связи
турбулентного напряжения и усредненной скорости.
Простейшим предположением о величине е является допуще-
ние ее постоянства для того или иного класса турбулентных те-
чений. В некоторых частных случаях (свободные турбулентные
струи, свободная турбулентность) это допущение оправдывается
в том смысле, что построенные
на нем теоретические закономер-
ности распределения усреднен-
ных скоростей и других пара-
метров неплохо подтверждаются
опытом. Однако в большинстве
случаев допущение е = const
приводит к результатам, рас-
ходящимся с данными опытов.
Для течений, ограниченных
стенками, можно подобрать за-
Рис. 49. Турбулентный установившийся по-
ток вблизи плоской стенки
висимости е от координат, которые дают хорошее соответствие
экспериментальным данным. Так, для течения вблизи плоской
стенки, уравнение которой у = 0 (см. рис. 49), предположение
е = ky, где /г = const, приводит к логарифмическому распреде-
лению усредненных скоростей, хорошо подтвержденному опытом
(см. ниже). Для течений в трубах Госсом (1961) предложена за-
висимость
._*,[! _(1 --К-)1],
где /?! = const; г0— радиус трубы. Эта зависимость удовлетвори-
тельно подтверждена опытом. Существуют и другие удачные
предположения относительно величины в.
Полуэмпирическая теория Л. Прандтля 2 (1925 г.), широко
применяемая в разнообразных задачах, основана на понятии пути
1 Жозеф Буссинеск (1842—1929 гг.)—профессор Сорбонны, член Па-
рижской академии наук. Изучал турбулентные течения, волны в открытых рус*
лах, гидравлический прыжок, гидравлические сопротивления, фильтрацию.
Внес значительный вклад в развитие прикладной гидромеханики.
2 Людвиг Прандтль (1875—1953 гг.)—один из крупнейших гидроаэроди-
намиков XX в. Занимался также теорией упругости и другими вопросами
механики. Наиболее значительные результаты получил в области течений вязкик
жидкостей и газов. Создал полуэмпирическую теорию турбулентности, нашед-
шую широкое применение, получил фундаментальные результаты в теории по-
граничного слоя, проявив при этом уникальную физическую интуицию и глу-
бокое понимание сущности явлений. В Геттингенском университете создал школу
гидроаэродинамики, которая известна крупными научными достижениями.
101
перемешивания. Чтобы пояснить это понятие, допустим, что
жидкая частица, имевшая в слое 1 усредненную скорость и (см.
рис. 49), под влиянием турбулентной пульсации и'д перемещается
на расстояние Г- в слой 2, где усредненная скорость равна и +
4- Г-. Основное допущение данной теории заключается в том,
что путь 1‘- между слоями 1 и 2 жидкая частица проходит без
взаимодействия с другими частицами, т. е. так, как молекула
газа проходит путь свободного пробега. Тогда в результате сме-
шения с частицами слоя 2 переместившаяся частица приобретет
усредненную скорость этого слоя, т. е, в нем будет иметь место
пульсация продольной скорости
Далее предполагают, что их и иу— величины одного порядка.
Следовательно,
|“Х И (€Л
Модуль касательного турбулентного напряжения теперь выразится
в виде
Ы = Ip^l-pf (^)2, (5-30)
где I — линейная величина, в которую включен коэффициент
пропорциональности из предыдущего выражения.
Величина I называется длиной пути перемешивания (или сме-
шения). Из приведенных рассуждений следует, что путь переме-
шивания I характеризует существующую в турбулентном потоке
возможность для жидких частиц1 свободно перемещаться из
одного слоя в другой, а значит является одной из характеристик
внутреннего механизма турбулентного потока. Однако путь пере-
мешивания не следует понимать буквально как путь свободного
перемещения жидких частиц; в современной гидромеханике эту
величину трактуют как геометрическую характеристику внутрен-
ней структуры турбулентного потока или как масштаб турбулент-
ности.
Используя (5-29) и (5-30), легко установить связь между кине-
матическим коэффициентом турбулентной вязкости г и длиной
пути перемешивания I:
t = P %- • (5-31)
ду
Мы видим, что как гипотеза Буссинеска, так и гипотеза
Прандтля сводит задачу отыскания связи турбулентных каса-
1 Иногда переносимые под влиянием пульсаций жидкие массы называют
молями и соответственно турбулентный обмен — молярным.
102
тельных напряжений с полем усредненных скоростей к другой
задаче — определению некоторой функции координат е или I,
характерной для турбулентного потока.
Решения этой второй задачи основаны или только на экспери-
ментальных данных, или на дополнительных гипотезах. Так,
например, Л. Прандтль предположил, что для течения полубез-
граничного потока вдоль плоскости справедлива линейная связь
пути перемешивания I и расстояния от стенки у. I — иу, где к —
универсальная постоянная. Эта гипотеза была хорошо подтвер-
ждена опытом для потока вблизи плоской стенки, однако оказа-
лась неприменимой для течения в плоском канале и круглой трубе.
Для последних случаев предложены эмпирические зависимости,
приведенные в гл. 6.
Т. Карман 1 сделал попытку связать путь перемешивания I
только с локальными параметрами усредненного потока, для чего
ввел гипотезу о подобии пульсаций скорости во всех точках дан-
ного турбулентного потока. На основе этой гипотезы
чена
им полу-
зависимость
I = d^dy
d2u/dy2’
которая, как показал Л. Г. Лойцянский [9], вытекает
простых соображений размерностей. Однако формула
как и формула Прандтля, подтверждается опытами лишь в огра-
ниченной области вблизи стенки и для потока в трубах дает ре-
зультаты, резко расходящиеся с действительностью вблизи осп
трубы. Тем не менее введение пути перемешивания оказалось
чрезвычайно плодотворным. Хотя определить эту величину
можно, лишь опираясь на эксперимент, но, приняв для нее эм-
пирическую зависимость, получим структуру расчетных формул
для скоростей и других параметров течения, хорошо подтверждае-
мую опытом.
Проиллюстрируем сказанное простейшим примером полубез-
граничного турбулентного потока вблизи плоской стенки (см.
рис. 49). Поток будем считать двумерным, т. е. предположим, что
движение вдоль оси z (по нормали к плоскости чертежа) полностью
отсутствует. Поскольку стенка предполагается безграничной,
то ни один из усредненных параметров потока не должен зависеть
от координаты
означают, что
иу = 0; иг = 0;
£-о:
также из
Кармана,
х, отсчитываемой вдоль стенки. Эти ограничения
и2 = 0;
сЯи
___£ = о-
' дх2 ’
ди'и'
=0,
дх
1 Теодор Карман (1881—1963 гг.)— выдающийся гидроди нами к нашего вре-
мени. Руководитель лаборатории аэронавтики при Аахенском политехнической
институте. Т. Карману принадлежит ряд исследований по вопросам пограничного
сдоя, гидравлических сопротивлений, вихревых движений, газогидравлической
аналогии и др.
103
а также, что равны нулю все производные по г. Пренебрегая,
кроме этого, действием массовых сил, упростим уравнения Рей-
нольдса:
<32 й, Id/ -т-7-k
v ~дуг р"ду (pU*U4|) = °*’
*—— -~-5~ (ры»«») — о.
р ду р ду
Второе из этих уравнений определяет изменение давления
по нормали к стенке и показывает, что это изменение имеет место,
если поле пульсаций неоднородно по направлению оси у. В этом
случае р + ри'уи'е = const. Первое уравнение позволяет найти
закон распределения усредненной скорости их (у). Перепишем
его в виде
^-(pv^-pUX)=°
или
Отсюда следует, что суммарное напряжение в рассматриваемом
потоке есть величина постоянная: + т, = const. При-
нимая гипотезу Прандтля для турбулентных напряжений, за-
пишем полное напряжение
где знак усреднения скорости и индекс х опущены.
Достаточно очевидно, и это подтверждается опытом, что по
мере приближения к стенке турбулентные пульсации должны
затухать и, следовательно, должен существовать пристенный
слой, где течение почти или полностью ламинарное. Такой слой
называют вязким подслоем; как показывают опыты, турбулент-
ность в нем пренебрежимо мала. Толщина вязкого подслоя, как
правило, невелика и может измеряться долями миллиметра.
В пределах вязкого подслоя тд тТ1 и последним можно пре-
небречь. По мере удаления от стенки роль турбулентных пульса-
ций возрастает и, начиная с некоторого расстояния, тт тц.
Таким образом, весь поток можно разбить на область турбулент-
ного течения и вязкий подслой, в результате чего получаем двух-
слойную модель турбулентного потока. Для турбулентной об-
ласти можно пренебречь чисто вязкостными напряжениями и
принять
104
откуда
Используя для длины пути перемешивания I формулу Прандтля
I = иу и вводя обозначение
“* = /7- {б'33)
последнее уравнение легко проинтегрировать, в результате чего
получим зависимость
u=-^-lnt/4-C, (6-34)
выражающую закон распределения скоростей в турбулентной
области. Величина и* имеет размерность LIT и называется дина-
мической скоростью. Она является важной и достаточно универ-
сальной характеристикой турбулентного потока (см. гл. 6). Оче-
видно, мы не нарушим зависимость (5-34), если вместо постоян-
ной С введем С — С-----1п , поскольку и* и v — величины
постоянные. Тогда (5-34) примет безразмерный вид:
2L = J_in^4-C'. (5-35)
Величину можно рассматривать как безразмерное рас-
стояние от стенки. Логарифмический вид формулы (5-35) полу-
чен как следствие гипотезы Прандтля. Однако ниже мы убедимся,
что независимо от той или иной полуэмпирической теории рас-
пределение скоростей турбулентного потока вблизи стенки выра-
жается зависимостью
= (5-36)
которую называют универсальным законом турбулентности вблизи
гладкой стенки. ,
Рассмотренный пример иллюстрирует, каким образом гипо-
теза о турбулентных напряжениях позволяет получить практи-
ческое решение уравнений Рейнольдса. Правда, ввиду простоты
данного примера тот же результат может быть получен и без их
использования. Тем не менее эти уравнения составляют основу
теории турбулентных потоков.
Из числа других гипотез о турбулентных напряжениях сле-
дует упомянуть о теории переноса вихрей, разработанной Тей-
лором х. Согласно этой теории в турбулентном потоке происХо-
1 Дж. Тейлор (род. 1886 г.) — автор ряда важных работ в области динамики
вязкой жидкости.
105
дит обмен молярными массами, завихренность (угловая скорость
деформации) которых сохраняется на длине пути перемешивания.
Исходя из этрй гипотезы, можно получить выражение для турбу-
лентного напряжения
1 дхт = р dux d?ux
р ду dy dy3 ’
которое затем можно использовать для отыскания профиля усред-
ненной скорости и других параметров. Как и теория Прандтля,
теория Тейлора требует дополнительной гипотезы о зависимости
I (у) и введения опытных констант.
Упомянутыми выше гипотезами о турбулентных напряжениях
далеко не исчерпываются предложения по этому вопросу. В по-
следнее время успешно разрабатываются принципиально иные
подходы к изучению турбулентности, в том числе основанные
на идеях А. Н. Колмогорова 1 и использующие теорию вероятно-
стей и статистические методы.
Заметим в заключение, что если задача состоит только в опи-
сании закона распределения усредненной скорости в турбулент-
ном потоке, то для простых случаев ее можно решить при помощи
анализа размерности опытных данных, не вникая в физическую
природу турбулентного течения и не строя для него физических
моделей.
§ 6
МОДЕЛЬ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ.
УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ Л. ЭЙЛЕРА
Идеальная или невязкая жидкость является, как указано в гл. 1,
упрощенной моделью реальной (вязкой) жидкости. По предполо-
жению, идеальная жидкость имеет все свойства реальной, кроме
свойства вязкости. Поэтому для описания движения идеальной
жидкости мы вправе применить уравнения Навье—Стокса, поло-
жив р = 0. Тогда уравнения движения вязкого газа (5-8) и урав-
нения движения вязкой несжимаемой жидкости (5-9) упрощаются
и принимают вид
р_____1 SP _ 4их
* р дх dt *
р_____LJZ —
о р ду dt *
= (5-37)
• р дг dt ' '
1 Колмогоров Андрей Николаевич (род. 1903 г.) — академик, выдающийся
советский математик. Автор фундаментальных исследований по теории вероят-
ностей, теории функции, топологии, математической логике. Выдвинул ряд
плодотворных идей в статистической теории турбулентности.
106
Эти уравнения носят имя Л. Эйлера и описывают движение сжи-
маемой и несжимаемой идеальной жидкости.
Векторные формы этих уравнений легко получить из соответ-
ствующих форм уравнений Навье—Стокса, положив в них v = 0.
Так, из выражений (5-10), (5-11) и (5-12) получаем
F_-Lgradp = £, (5-38)
т. е.
F-±gradp = -^-(uV)u (5-39)
и
F —-i-gradp —grad-^- = ~ —u X Q. (5-40)
Чтобы получить удобную для интегрирования форму в общем
случае сжимаемой жидкости, предположим, что процесс баро-
тропен, т. е. плотность зависит только от давления: р = р (р).
Введем в рассмотрение функцию давления
J Р
как это было сделано в § 1 гл. 4. Учитывая выражение (4-7),
уравнение (5-40) перепишем в виде
— graded)= -^ — й х Q. (5-41)
В частном случае несжимаемой жидкости уравнение (5-41)
примет вид
— grad (ф-{--^- + -£) =-^-ц х Q. (5-42)
Используя обозначение Е = Ф + & 4- -у-, получим
—grad Е = у - и х О,
или в проекциях на оси координат
дЕ diiji . л .
"аГ ~ "а/ ~ иА);
Q Q)
0у (X ' 3 л л гп
дЕ . л *
(5-43)
(5-44)
107
Уравнения Эйлера для несжимаемой жидкости вместе с урав-
нением неразрывности образуют замкнутую систему. Для сжи-
маемого газа эту систему необходимо дополнить по меньшей мере
еще одним уравнением, например условием баротропности или
другим термодинамическим соотношением.
Граничные условия на твердых поверхностях для идеальной
жидкости существенно иные, чем для вязкой, так как отсутствует
прилипание частиц к твердым поверхностям и жидкость скользит
вдоль стенки. Граничным условием в этом случае служит непро-
ницаемость границы, что для неподвижной стенки означает ра-
венство нулю на ней нормальной составляющей скорости жидкости
ип |а = 0. (5-45)
Условие (5-45) означает, что вектор скорости касателен к гра-
ничной поверхности, т. е. последняя является линией тока.
Очевидно, любую линию тока к идеальной жидкости можно
принять за твердую границу, не нарушив структуры течения.
Если движение идеальной жидкости потенциальное, то усло-
вию (5-45) можно придать вид
Ч=т|.“°. <5'46>
где <р — потенциал скорости.
В случае плоского течения, для которого существует функ-
ция тока ф (х, у), граничное условие на твердой границе может
быть записано в виде
ф 1о = Фо = const;
это значит, что твердая стенка является одной из линий тока,
значение функции тока на которой равно ф0.
Если граничная поверхность задана уравнением F (х, у, г) =
= 0, то grad F есть вектор, нормальный к этой поверхности.
Значит условие (5-45) равносильно условию ортогональности
вектора скорости на стенке w|c и вектора grad F. Следовательно,
скалярное произведение этих векторов на стенке равно нулю:
grad Fu — ~ Uu + Т" иг = 0. (5-47)
® дх * 1 ду у 1 dz *
Для случая подвижной твердой границы используется условие
безотрывности течения и непроницаемости стенки, которое сво-
дится к равенству нормальных составляющих скоростей жид-
кости ип |0 и стенки vn:
ип |0 = vn. (5-48)
Если подвижная граничная поверхность задана уравнением
F(x, у, г, /) = 0, (5-49)
то последнему условию можно придать иную форму.
ЮЗ
При безотрывном движении частицы ее координаты х (/),
у (t), z (/) должны в любой момент удовлетворять уравнению
граничной поверхности (5-48), т. е.
F{x(t), y(t), z(t),t] — Q.
Так как dF = 0, то
-з~ dx 4- -д- dy 4- -ч- dz 4- dt = О,
дх 1 ду 1 дг 1 dt 1
dx dy dz
и, учитывая, что — их, — иу, — иг, получим граничное
условие на подвижной стенке
. dF . dF . dF А cm
щ -ч—I- ии -д—I- и, "з——чт" == 0. (5-50)
х дх 1 у ду 1 1 dz 1 dt '
Граничное условие на свободной поверхности для идеальной
жидкости, как и для вязкой, записывается в виде
Р = Ро = const.
§ 7
ИНТЕГРАЛЫ УРАВНЕНИЙ ЭЙЛЕРА.
УРАВНЕНИЕ БЕРНУЛЛИ ДЛЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ
Для некоторых классов течений идеальной жидкости из уравне-
ний Эйлера можно получить общие интегралы. С этой целью ис-
пользуем векторную форму (5-43):
—grad Е = — и X й
ь dt
применительно к следующим двум течениям.
1. Установившееся безвихревое движение. Этот случай харак-
терен условиями = 0 и Q = 0, которые выполняются во всем
пространстве, кроме отдельных точек или поверхностей, где
Й =р 0. Из выражения (5-43) следует, что при этом
grad Е = 0.
Вспоминая смысл операции grad, приходим к результату
Е = const
или
Ф 4* 5я -ф- = const. (5-51)
Важно подчеркнуть, что это соотношение, называемое ин-
тегралом Бернулли, выполняется для всего пространства, заня-
того потенциально движущейся жидкостью.
109
2. Установившееся вихревое движение. В этом случае = О,
но Q + 0. Следовательно,
grad Е = u х Q. (5-52)
Допустим сначала, что во всех точках некоторой части движу-
щейся жидкости векторы и и Q — коллинеарны: и || Q. Тогда
в этой части grad Е — 0 или Е == const, т. е. получаем результат,
совпадающий с выражением (5-51). Это движение называют вин-
товым. Поскольку в каждой точке совпадают направления век-
торов поступательной и угловой скоростей, то частицы движутся
вдоль некоторых линий тока, которые одновременно являются
вихревыми линиями, т. е. их элементарные отрезки служат мгно-
венными осями вращения отдельных частиц. Подобные течения
могут образовываться, например, при обтекании крыла конеч-
ного размаха.
Обратимся теперь к более общему случаю вихревого движения,
когда векторы и и Q не коллинеарны. Для получения интеграла
выберем произвольный направленный отрезок ds (dx, dy, dz)
и скалярно умножим на него обе части уравнения (5-52):
gradEds = [и х £2] ds.
Векторное произведение А = и X Q представляет собой век-
тор, направленный нормально к плоскости, проходящей через
векторы и и Q (см. рис. 47). Следовательно, если ds совпадает
с одним из них, т. е. указывает направление линии тока или вихре-
вой линии, то векторы Л и ds будут ортогональны, и тогда Ads —
= 0. Иными словами, вдоль линий тока и вдоль вихревых линий
имеет место
grad Е ds = dE — 0
или
Е '== Ф + 0 + -у- = const. (5-53)
По форме уравнение (5-53) совпадает с (5-51). Однако следует
помнить, что если в уравнении (5-51) значение константы одно
и то же для всей движущейся жидкости, то в уравнении (5-53)
значение Е постоянно лишь вдоль какой-нибудь линии тока или
вихревой линии и может изменяться при переходе с одной из
них на другую. Но если образовать поверхность, проведя через
все точки какой-нибудь линии тока вихревые линии (рис. 50),
110
то, очевидно, на всей такой поверхности функция Е будет сохра-
нять постоянное значение. Точно так же Е = const на поверх-
ности, образованной системой линий тока, проведенных через
точки одной и той же вихревой линии.
Для случая, когда массовой силой является только сила тя-
жести (Ф = gz), интеграл Бернулли для несжимаемой жидкости
(р = const, можно представить в виде
z + ^+^-const, (5-54)
что, очевидно, является част-
ным случаем уравнения Бер-
нулли (5-24) при отсутствии
вязкости (у = 0).
В некоторых задачах влия-
ние силы тяжести несуществен-
но. Для этих случаев г
11^
или г и вместо уравне-
ния (5-54) можно использовать
уравнение Бернулли в форме
р = const. (5-55)
сохраняет постоянное значение на поверх-
ности, образованной вихревыми линиями,
проходящими через одну и ту же линию тока
Для идеального (невязкого) газа функция давления & имеет
различный вид для разных термодинамических процессов. Для
баротропных процессов она выражается в элементарных функ-
циях. Рассмотрим два частных случая.
а. Изотермическое течение газа.
Уравнение процесса имеет вид
Р __ Рв
Р “ Ро R °’
где Ро. Ро и То — фиксированные значения давления, плотности
и абсолютной температуры в некоторой точке.
Тогда
J Р Ро J Р Ро / (
Опуская несущественную постоянную С, интеграл Бернулли
получим в виде
Ф-|гД11пр4--^- = const.
Ро *
Поскольку для газа влияние массовых сил на характер те-
чения несущественно в большинстве технических задач, то обычно
этот интеграл применяют в форме
— In р + Ф = const.
ро 1 2
Ш
Если в точке, где давление равно ра, скорость имеет значе-
ние и0, то, определяя постоянную и учитывая, что
Ро р
s= —
Ро Р
получаем
I Ро |„ _ _ ЫО | Ро 1_ „
-2~ + — 1ПР =-g~4-—-1ПрО
Z Ро Z Ро
ИЛИ
+ ДмП-Д = 0. (5-56)
2 1 ро Ро
б. Адиабатное течение газа. Для этого случая уравнение
процесса имеет вид
Р . Ро
Р* Ро ’
где k — — — показатель адиабаты Пуассона или
СО
/ р \1/*
P=Po(f) .
Функция давления примет вид
С J J/* Р J nV* , *-1 ,
сл___ I do _ Рр I dp _ Pg k k р
J Р Ро J р1^ р0 k— 1 Р efe—1 р*
Внося это выражение в интеграл (5-53) и вновь учитывая
малое влияние массовых сил, получаем уравнение Бернулли для
адиабатного движения идеального совершенного газа
। k р , k ра г7>
Ясно, что уравнения (5-56) и (5-57) могут применяться при
тех же ограничительных условиях, что и интеграл Бернулли, из
которого они получены.
С практической точки зрения имеет смысл использовать эти
уравнения лишь в случаях, когда существенно проявляется сжи-
маемость газа, что имеет место при скоростях, соизмеримых со
скоростью звука. Для описания движения газа с малыми скоро-
стями можно пользоваться уравнением Бернулли для несжимае-
мой жидкости.
3. Неустановившееся безвихревое движение. Для этого слу-
чая + 0 и й = 0. Последнее условие, как известно из кине-
матики, эквивалентно существованию потенциала скорости q>,
для которого
grad <р = и.
112
Поскольку речь идет о неустановившемся движении, то <р
зависит не только от координат, но и от времени t, которое будем
рассматривать как параметр. Тогда уравнение (5-43) можно запи-
сать в форме
j г д j
—grad £ = grad ср
или, меняя порядок операций и grad,
grad (£-f-^) = 0.
Это уравнение свидетельствует о том, что функция, стоящая
под знаком grad, не зависит от координат х, у, г. Однако отсюда
не следует, что она не зависит от времени.
Мы должны поэтому записать
или
Ф + ^ + -т + -^ = /(П. (5-58)
где / (() — произвольная функция времени.
Соотношение (5-58) называется интегралом Лагранжа.
Для несжимаемой жидкости в поле силы тяжести
(Ф = gz) из выражения (5-58) получаем уравнение
* + —+ -Г-+ —-?7 = /1(0, (5-59)
'pg 2g ' g dt 11 ' ” ' '
которому можно придать форму, вытекающую из уравнения (5-23)
как частный случай. Для этого выберем в некоторый момент вре-
мени произвольную трубку тока. Поскольку правая часть урав-
нения (5-59) зависит только от времени, то значения левой части
в данный момент времени должны быть одинаковы во всех сечениях
трубки; поэтому
?1 +-^-+ -^-4- — 4т I = za + —+ -Я + ~ $1 . (5-60)
1 ‘ Pg 2g п g dt |i 2 1 pg 2g g dt |2 ' ’
Если s — криволинейная координата, отсчитываемая вдоль
трубки тока, то, как известно,
дго
и = -г-,
ds
откуда
Ф = ( и ds и ( и ds = [ 4т- ds.
т J dt dt J J dt
113
Отсюда вытекает, что
£₽ I _ а<Р I _ ? <?“
dt |г dt |i “ J dt ‘
Теперь выражение (5-60) можно записать в виде
$2
г‘+^ + <-г’ + ^ + <+т1^‘й- (5-6,)
»1
Это уравнение, очевидно, есть частный случай (5-23).
4. Относительное движение идеальной жидкости. Ниже рас-
смотрим движение жидкости в ка-
нале, который движется с ускоре-
нием относительно Земли. В этом
случае течение относительно сте-
нок канала будем называть отно-
сительным. С такими случаями
приходится иметь дело, например,
при расчетах турбомашин, где
Рис. 51. Схема к выводу уравнения относительного движения в элементар-
ной струйке
имеет место движение Жидкости относительно вращающихся
рабочих колес. В частности, поверхности лопастей (лопаток),
составляющих гидродинамическую решетку, образуют проточные
каналы, в которых и создается относительное движение
(рис. 51, а).
Если это движение рассматривать в системе координат, жестко
связанной со стенками канала, то при постоянной во времени от-
носительной скорости движение будет установившимся. Полагая
жидкость идеальной, его можно описать уравнениями Эйлера.
Однако в отличие от случая абсолютного движения, в соответствии
с известным принципом механики, мы должны в число массовых
сил ввести силы инерции.
Пусть движение происходит вдоль трубки тока, вращающейся
как целое с постоянной угловой скоростью <о (рис. 51, б). В число
массовых сил должны быть включены: сила тяжести Гд = g,
114
•Ф fjS
центробежная сила Рц = — г° = «г/т-0, кориолисова сила FK =
«—2соХи, где и — car— окружная переносная скорость на
окружности радиуса г; г*> — орт радиального направления; и —
относительная скорость вдоль струйки.
Уравнение движения в подвижной (неинерциальной) системе
координат можно согласно уравнению (5-40) записать в виде
^a+Ai + ^к-Ygradp“grad4 = х (5-62)
Предполагая движение установившимся = о) и безви-
хревым (Q = 0), а также учитывая, что Fa = —grad (gz),
= grad ) и — grad р = grad 5я,
получим
. / (Л2
grad(gz - —
i-^ + -^) = 2wx и.
(5-63)
Умножим обе части этого уравнения скалярно на элементар-
ный вектор ds перемещения вдоль оси струйки (см. рис. 51, б)
и учтем, что вектор кориолисовой силы FK = —2<оХи нормален
к вектору относительной скорости и, т. е. нормален к вектору ds,
а значит, FKds = 0.
Тогда получим
gz — = const. (5-64)
Применяя этот интеграл к двум сечениям 1 и 2 элементарной
струйки (см. рис. 51, б), учитывая, что (лг = v есть переносная
скорость, получим уравнение относительного движения тяжелой
идеальной жидкости
+ + = + (5-65)
Для несжимаемой жидкости & — р/р и уравнению можно
придать вид
Pt । “t
pg ’’ 2g
Р1Д.21 I и1 —
Pg 2g 2g
(5-66)
115
§ 8
ДИНАМИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ВИХРЕЙ
В гл. 2 были описаны основные кинематические свойства вихре-
вых движений и доказаны соответствующие теоремы. Теперь,
располагая уравнениями динамики, можно установить динами-
ческие свойства вихрей. В основе рассмотрения этих свойств ле-
жит теорема Томсона х: если жидкость движется под действием
только потенциальных сил
Рис. 52. Схема к доказательству тео-
ремы Томсона
ренциалы перемещений в
и процесс баротропен, то циркуляция
скорости по любому замкнутому
жидкому контуру постоянна во вре-
мени.
Напомним, что контур называют
жидким, если во время движения он
состоит из одних и тех же частиц.
Для доказательства теоремы вы-
берем такой контур и рассмотрим
два его положения L и L', соответ-
ствующие двум близким моментам t
и z + dt (рис. 52). Условимся процесс
дифференцирования вдоль контура в
данный фиксированный момент вре-
мени обозначать значком 6, а диффе-
пространстве с течением времени —
значком d. Если 6/ — элементарный вектор дуги контура L в
момент t, то в момент t + dt вследствие перемещения в про-
странстве и деформации жидких частиц он будет иметь значение
6/ + d (б/). При этом, если его нижний конец переместился на
величину ds, то верхний вследствие неодинаковости скоростей
переместится на величину ds + б (ds). Из векторной диаграммы
(см. рис. 52) следует, что так как
61 + ds + б (ds) = ds + б/ + d (6Z),
то б (ds) — d (б/). Этим показано, что порядок операций диф-
ференцирования б и d можно менять.
Теперь, обозначив через Г циркуляцию скорости по жидкому
контуру L, вычислим ее производную по времени d£ldt. По
определению Г = иб/ и, следовательно,
at at J
1 Уильям Томсон, лорд Кельвин (1824—1907 г.), выдающийся английский
физик. Автор важных работ в области электродинамики, гидродинамики и ма-
тематики.
116
Поскольку интегрирование осуществляется по переменной I,
а время t играет роль параметра, то знак производной можно
внести под знак интеграла и, пользуясь правилом дифференциро-
вания скалярного произведения, записать
(5-67)
Для вычисления первого интеграла используем уравнение
Эйлера (5-38):
По условию теоремы F = — grad Ф и у grad р = grad 3,
причем второе из этих равенств имеет место только при баро-
тропных процессах. Учитывая однозначность функций Ф и 3,
получим
^^-бГ = — d) grad (Ф + ^)6/ = — $6 (Ф + ^) = 0.
L L L
При вычислении второго интеграла в выражении (5-67) учтем,
что и = ds/dt представляет собой скорость движения жидких
частиц. Следовательно, в силу однозначности функции и
(£ и 4 (б/) = ф нбД = (6 иди = ф б-£ = 0.
L L L L
Таким образом, dV/dt — 0, что означает постоянство цирку-
ляции Г во времени, а значит и справедливость сформулирован-
ной выше теоремы Томсона.
Заметим, что если процесс не баротропен, то равен нулю лишь
второй из интегралов выражения (5-67) и
<5-68)
du
здесь -дг — а — полное ускорение жидкой частицы и потому
формулу (5-68) можно прочитать следующим образом: индиви-
дуальная производная от циркуляции скорости по замкнутому
жидкому контуру равна циркуляции ускорения по тому же
контуру.
Поскольку для вывода уравнения (5-68) не требуется исполь-
зования уравнений динамики, то это утверждение справедливо
как для идеальной, так и для вязкой жидкостей. Однако сама
теорема Томсона применима лишь для идеальной жидкости,
117
по скольку в реальной всегда действуют силы вязкости, не обла
дающие потенциалом.
Из теоремы Томсона вытекают свойства сохраняемости вихре-
вых движений в идеальной баротропной жидкости. Действи-
тельно, пусть в начальный момент времени суммарная интенсив-
ность вихревых трубок в некоторой части движущейся жидкости-
имела значение J. В силу теоремы Стокса циркуляция Г по лю-
бому замкнутому контуру, охватывающему эти трубки, равна 2J.
Так как по теореме Томсона dVldt = 0, то циркуляция, а значит,
и интенсивность J не изменятся во все время движения. В част-
ности, если в начальный момент движение было полностью без-
вихревым (всюду в области течения Г= 0 и J = 0), то оно оста-
нется безвихревым во все время движения. Иными словами,
в идеальной баротропной жидкости вихревые движения не могут
возникать или исчезать, если действующие на жидкость силы
имеют однозначный потенциал *.
Таким образом, теорема Томсона указывает, что причины воз-
никновения и исчезновения вихрей лежат за пределами теории
идеальной баротропной жидкости. Поскольку для вязкой не-
сжимаемой жидкости баротропность имеет место (р = const),
то для нее причиной образования вихрей может служить только
вязкость. В газах вихри могут возникать также вследствие нару-
шения баротропности. Чтобы убедиться в этом, заметим, что если
жидкость идеальная, но плотность зависит не только от давле-
ния, а и от других факторов (например, от температуры), то фор-
мулу (5-68) можно переписать в виде
^- = — (|)grad<D6/ — -i-gradp6/.
Здесь grad Фб/ = 6Ф и j 6Ф = 0, а так как grad рб/ = бр, то
g=_^2.6p. (5-69)
Это соотношение, установленное В. Бьеркнесом, показывает,
что при небаротропных движениях газа циркуляция, а значит
и интенсивность вихрей, может изменяться во времени даже при
_ отсутствии вязкости.
§ 9
УРАВНЕНИЯ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ
И МОМЕНТА КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ
Уравнения Эйлера, Навье—Стокса и Рейнольдса дают связь
между параметрами движущейся среды в каждой точке простран-
ства, занятого жидкостью. Чтобы описать движение конечной
1 Утверждение о невозможности возникновения вихрей при указанных
условиях известно под наименованием теоремы Лагранжа,
118
массы жидкости, нужно получить решение этих уравнений, т, е.
решить общую задачу гидромеханики. Вследствие математиче-
ских трудностей это удается сделать только для некоторых част-
ных случаев. Между тем, есть немало технических задач, в ко-
торых не требуется знать величины скоростей и давлений во всех
точках жидкости, а достаточно определить некоторые интеграль-
ные величины, например, силы воздействия потоков на ограничи-
вающие твердые поверхности или обтекаемые тела. Для решения
таких задач эффективно применение интегральных форм уравне-
ний количества движения и момента количества движения. Мето-
дика использования этих урав-
нений проиллюстрирована на
конкретных примерах в гл. 7;
в данном параграфе приведены
уравнения количества движе-
ния и момента количества дви-
жения в общей форме, удобной
для практического использова-
ния. Закон количества движе-
ния сформулирован в гл. 3, где
в общей форме получено со-
ответствующее уравнение (3-8).
Оно, однако, малоудобно для
практического применения из-
за необходимости вычислять
объемный интеграл, требующий
знания закона распределения
Рис. 53. Схема к выводу уравнений количе-
ства движения и момента количества дви-
жения
скоростей в этом объеме. Более
удобную форму уравнения количества движения можно получить,
если перейти от описания потока по методу Лагранжа к описанию
по методу Эйлера.
Рассмотрим установившееся движение жидкого объема W,
ограниченного поверхностью S, и зафиксируем положение S
в некоторый момент времени t. В дальнейшем эту поверхность
будем называть контрольной. Объем W разобьем на элементар-
ные трубки тока (струйки) (рис. 53). Поверхность S выделит из
каждой такой трубки некоторый отсек жидкости, ограниченный
его боковой поверхностью и сечениями dS и dS'. Изменение коли-
чества движения массы жидкости в этом отсеке можно подсчи-
тать как разность количеств движения этой массы в моменты
времени t + dt и t. Применительно к рис. 53 имеем
дк = (кя+кс) - (кА+кв)=кс- к А,
где Кл, Кв и Кс — векторы количеств движения масс в отсе-
ках А, В и С соответственно.
Так как рассматривается установившееся движение, то
значение Кв в моменты t и t + dt одно и то же. Эле-
119
ментарные количества движения Кс и КА можно выразить фор-
мулами
Кс = pwn dt dS'u и Кл = —pun dt dSu,
причем ип = и cos (и, и) будет положительной величиной, если
жидкость вытекает из объема W через площадку dS', и отрицатель-
ной, если она втекает в него через площадку dS. Таким образом,
АЛ = рипи dt dS’ + рипи dt dS.
Суммируя изменения количеств движения в отсеках всех эле-
ментарных струек, составляющих объем W, получим изменение
количества движения массы этого объема за время dt как разность
количеств движения вытекшей и втекшей через контрольную
поверхность S жидкости за время dt:
dK = j punti dS dt.
s
Таким образом,
= J punu dS. (5-70)
Уравнение (3-8), выражающее закон изменения количества
движения, теперь можно записать в форме
j рипи dS = j Fp dW -j- j pn dS (5-71)
S U7 S
и прочитать в виде теоремы: при установившемся движении жид-
кого объема главный вектор действующих на него внешних сил
равен потоку количества движения через контрольную поверх-
ность.
Изложенным выше способом мы определили только конвек-
тивную производную количества движения. В общем случае
неустановившегося движения для определения изменения коли-
чества движения следует брать индивидуальную производную,
включающую также и локальную часть
а уравнение количества движения должно быть записано в виде
pn„udS = Jp?^+jMS. (5-73)
s w s
Уравнение (5-71) связывает главный вектор поверхностных
сил со значениями скоростей по контрольной поверхности.
120
Для определения силового воздействия жидкости на твердые
тела достаточно знать распределение скоростей только по кон-
трольной поверхности. Последнюю можно выбирать произвольно,
однако (по практическим соображениям) так, чтобы скорости на
ней наиболее просто определялись из условий задачи. Область
или объем, ограниченные контрольной поверхностью, могут быть
и не односвязными — внутри могут быть заключены одно или
несколько твердых тел.
При выводе уравнения момента количества движения учтем,
что для элементарной массы pdW. количество движения равно
pdWu, а его момент относительно начала координат есть [гх
Xu]pdW. Следовательно, для массы жидкости в объеме Ц7 мо-
мент количества движения выразится интегралом
L — j [г X и] р dW.
w
Согласно известной теореме механики производная по вре-
мени от момента количества движения (кинетического момента)
равна сумме моментов, действующих на систему внешних сил.
Уравнение, выражающее эту теорему, имеет вид
J k X и] р dW = j [г х F] р dW 4- j [г х рп] dS. (5-74)
W W s
Для установившегося движения индивидуальная производ-
ная объемного интеграла может быть выражена через интеграл
по контрольной поверхности S, подобно тому, как это было сде-
лано для производной от количества движения. Если гиг' есть
радиус-векторы центров масс элементарных отсеков А и С (см.
рис. 53), то изменение момента количества движения массы в от-
секе струйки за время di выразится в виде
A (dL) — [г' х и) pun dS' di -J- [г x и] pun dS di.
Суммируя эти величины в пределах объема W, получим из-
менение момента количества движения за время dt:
dL = j [г X и] рип dS dt.
s
Теперь уравнение момента количества движения для устано-
вившегося движения примет вид
j |г X и] рип dS = j [г х F] р dW 4- J [г х pn] dS. (5-75)
5 W S
121
В общем случае неустановившегося движения
+ j lr X и] pundS= j [rx F]pdW 4-J [г х рп\ dS. (5-75)'
S W S
Последние уравнения служат основой для решения ряда фунда-
ментальных вопросов теории турбомашин. Пример использова-
ния уравнения (5-75) приведен в § 12 гл. 6.
§ 10
ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ЭНЕРГИИ ДЛЯ ЖИДКОЙ СРЕДЫ
Выше мы познакомились с уравнением Бернулли, которое для
частных видов движения выражает закон сохранения и превра-
щения энергии. Но в технике весьма важны случаи движения
жидкостей и газов, сопровождающиеся выполнением механиче-
ской внешней работы, теплообменом с внешней средой и превраще-
нием механической работы в тепло. Для этих случаев уравнение
энергии имеет более общий вид и не является следствием уравне-
ний движения.
Рассмотрим некоторый конечный объем W сжимаемой или
несжимаемой жидкости, ограниченный поверхностью S и находя-
щийся в движении. Рассматривая этот объем жидкости как не-
изолированную термодинамическую систему, мы можем приме-
нить к ней закон сохранения и превращения энергии, согласно
которому изменение полной энергии системы равно притоку тепла
к системе и совершенной над ней работе внешних сил.
Для выражения каждой из упомянутых в этой формулировке
величин обозначим через U внутреннюю энергию 1 единицы массы
жидкости; q— количество тепла, подводимое к единице массы
жидкости за единицу времени; обозначения остальных величин
оставим прежними.
Полная энергия Э выделенного объема жидкости слагается
из внутренней и кинетической энергий и ее можно выразить
интегралом 2
э = J р (и + 4) dW> ' (5-76)
а изменение за время dt — дифференциалом
d9 = d J р ({/ + 4) dW.
1 Под внутренней энергией U понимают энергию молекулярного происхож-
дения, равную сумме кинетических и потенциальных энергий всех составляющих
жидкое тело частиц (молекул, атомов, ионов и др.).
2 Аддитивность внутренней энергии имеет место не во всех случаях, но
мы ограничимся предположением, что внутренние энергии отдельных частиц
можно суммировать.
122
Внешние силы могут быть поверхностными и массовыми. Ра-
боту первых можно подсчитать, выделив на поверхности S пло-
щадку dS и учитывая, что сила, распределенная по ней, будет
pndS. Если за время dt площадка dS перемещается на расстоя-
ние ds, то работа этой силы будет равна скалярному произведе-
нию силы на путь
pnds dS\
суммарная работа
J рп ds dS.
s
Работу массовых сил можно выразить интегралом
j F ds р dW,
w
где ds — элементарное перемещение массы pdW за время dt.
Полное количество тепла, подведенное к массе жидкости
в объеме W за время dt, равно
Q = j pqdW dt.
w
Теперь можно написать уравнение, выражающее закон сохра-
нения энергии
dj p([/ + 4)dU7 =
= j рп ds dS + J F dsp dW -J- j pq dW dt.
s if w
Разделив члены этого уравнения на dt и учитывая, что dsldt —
= и есть скорость движения жидких частиц, получаем
IF
= JpnudS-|-J F-updW'-f-j pqdW. (5-77)
S IF IF
Для получения дифференциальной формы этого уравнения
учтем прежде всего, что pdW == dm есть масса объема dW, остаю-
щаяся постоянной вовремя движения. Следовательно, dm/dt = 0 и
4 j р (и+4) <w-j ₽ 4- (у+4) dw+
IF IF
Ч(У+4)4<‘>Л'Н'>4((/+4)Л’-
IF IF
123
Далее преобразуем поверхностный интеграл правой части урав-
нения (5-77) в объемный. Для этого учтем выражение напряже-
ния рп по (3-4) и, используя известную формулу
J bt cos (пх) dS = J dW,
S V7
где — i-я проекция произвольного вектора; п — направление
нормали к поверхности S, получим
J pn-udS =
s
= j [ptu cos (пх) -j- руи cos (ng) -|- рги cos (nz)] dS =
s
*= I + + dW.
w
Подставляя последние два соотношения в уравнение (5-77) и
отбрасывая знак интеграла ввиду произвольности объема 1Г,
получаем дифференциальное уравнение энергии для произволь-
ного движения сжимаемой вязкой жидкости:
р-Я"+4)-
c=pF-u +^(jv«) + -^(/V«) +-^-(Pr«) + P7 (5-78)
или, выполняя дифференцирование скалярных произведений
в развернутой форме,
рД» +4)-p?-“+«+(l'+t+#)“+
<5-79)
Раскроем скалярные произведения в трех последних членах
уравнения (5-79), обозначив для краткости их сумму через Эд:
- + ди. . * ди , -* ди дих „ диу , „ ди2 .
•Эд — Рх дх + Ру ду + Pz дг — Рхх дх + Рху дх + Рхг дх +
. дих . duu । ди2 . дих । диу . диг /г
+ Рух~ду dy” ~ду + ^гх ~дг + ^«17 ^гг ~дг'
Учитывая свойство взаимности касательных напряжений и
применяя обозначения, принятые в кинематике, получим более
компактное выражение
•Эд ~ Рхх^хх “1“ Руу^уу “Ь Рггегг “Ь Рху^&ху “Ь Pxz^^xi Pyz^&yzt
где — скорости деформаций (см. § 5,гл. 2).
124
Используя далее уравнения движения в напряжениях (3-10),
представим третий член правой части уравнения (5-79) в виде
(#+$ +#)“ - (р #-<*)“• <5-81>
Подставляя выражения (5-80) и (5-81) в уравнение (5-79),
получим
р4-(и + 1г) = р“^ + эд + р?- (5-82)
Чтобы выяснить смысл первого члена правой части, рассмо-
трим частный случай несжимаемой жидкости и обозначим че-
рез Эк кинетическую энергию единицы ее объема:
а Л “2
5к = Р-у
Пусть при движении эта кинетическая энергия за время dt
изменилась на величину
d9K = (Р ) = -у- d (и и) — ри du = ри ^-dt.
Следовательно,
* du ddv
Pu-dt=-dF
представляет собой быстроту изменения кинетической энергии
единичного объема жидкости.
Уравнение (5-82) теперь можно переписать в виде
р4((7+4)=^г + Эд+Р<?- (5-83)
Допустим для простоты, что q = 0, т. е. приток тепла к рас-
сматриваемому объему отсутствует. Тогда, как это видно из урав-
нений (5-77) и (5-78), левая часть уравнения (5-83) равна сумме
работ массовых и поверхностных сил за единицу времени. Эта
сумма частично расходуется на изменение кинетической энер-
гии Другая часть (Эд) представляет мощность напряже-
ний поверхностных сил. Для несжимаемой жидкости div и = 0,
и напряжения pit j выражаются формулами (5-6). Используя эти
формулы, можно получить
Эл = И {2 (»’ + 2 (t)’ + 2 О)’ + (^ + t)’ +
Для этого случая Эд представляет часть механической энер-
гии, расходуемой на преодоление сил вязкости и переходящей
125
в тепло при движении жидкости , т. е. Эд количественно выражает
диссипацию 1 механической энергии. Из формулы (5-84) можно
заключить, что диссипация отсутствует только в случае, когда
/ дих л д и и
вязкая жидкость движется как твердое тело (-^ = 0; -^= 0;
Зиг _ Q ______________Зиг. Зиг дих.
дг дг ду ' дх дг '
= • Если в Урав-
нении (5-83) учесть, что р = “37^» то получим уравнение,
связывающее скорость изменения внутренней энергии с величи-
ной диссипации:
UV Г\ .
Р Л-^д + Р?,
(5-85)
называемое уравнением притока тепла.
Это уравнение свидетельствует о том, что при движении жид-
кой среды ее внутренняя энергия изменяется как вследствие
внешнего притока тепла, так и вследствие диссипации механиче-
ской энергии. Процесс диссипации, как показывает выражение
(5-84), связан с вязкостью р. и для идеальной жидкости (р = 0)
не имеет места. Поскольку этот процесс необратим, диссипирован-
ную энергию Эд можно рассматривать как величину потери меха-
нической энергии.
§ И
ПОДОБИЕ ГИДРОМЕХАНИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ
Несмотря на высокий уровень развития современной гидродина-
мической теории, далеко не все задачи могут быть решены теоре-
тически с достаточной для практики точностью и надежностью.
Многие задачи приходится решать экспериментально. При соз-
дании современных гидравлических и газодинамических машин,
приборов, летательных аппаратов, сооружений и т. п. гидродина-
мический расчет является важнейшим и обязательным этапом
проектирования, но все же результирующая оценка качеств и
характеристик создаваемой машины или сооружения произво-
дится на основе экспериментальных испытаний модели или на-
турного объекта. Роль гидродинамического эксперимента велика,
и существует обширный раздел гидромеханики, составляющий
в значительной степени самостоятельную дисциплину — экспери-
ментальную гидродинамику (или экспериментальную аэродина-
мику, если речь идет об опытах с воздушной средой).
При постановке гидродинамического эксперимента одним из
основных вопросов является вопрос о том, по каким правилам
должна быть изготовлена модель испытуемого объекта и по каким
зависимостям следует пересчитать данные опытов, чтобы получить
достоверное описание натурного гидродинамического явления.
1 От лат. dissipare — рассеивать.
126
На этот вопрос дает ответ раздел гидромеханики, называемый
теорией подобия. Теория подобия по существу является теорети-
ческой основой эксперимента, однако этим ее роль не ограничи-
вается. Как мы будем иметь возможность неоднократно убедиться,
теория подобия дает также методы построения рациональной
структуры теоретических зависимостей и комбинаций входящих
в них параметров, чем облегчается анализ и получение обобщен-
ных выводов из теоретических решений.
В теории подобия различают геометрическое подобие, являю-
щееся подобием границ областей течений, кинематическое подо-
бие, под которым подразумевают подобие полей местной ско-
рости, и динамическое подобие, являющееся подобием сил.
Дадим более полное
определение этих видов
подобия.
Пусть мы имеем на-
турный объект (поток)
(рис. 54), подлежащий ги-
дродинамическому иссле-
дованию, и его модель. Все
Рис. 54. Геометрическое подобие потоков жидкости
параметры натурного объ-
екта (потока) отметим индексом 1, а модельного — индексом 2. Чтобы
получить область течения, геометрически подобную натуре,
разделим все линейные размеры натуры на некоторое чис-
ло которое назовем линейным масштабом, и полученные
результаты примем за соответствующие линейные размеры моде-
ли. Число т1 выбирают из практических соображений, кото-
рые диктуются, например, производственными возможностями
лаборатории.
Таким образом, получаем связь между геометрическими пара-
метрами li и объектов 1 и 2:
=
(5-86)
Линейные размеры, связанные соотношением (5-86), называют
соответственными или сходственными. Точки, координаты ко-
торых удовлетворяют этому соотношению, называют сходствен-
ными.
Объект 2 (модель), геометрические параметры которого удовлет-
воряют условию (5-86), назовем геометрически подобным объекту 1.
Иначе можно сказать, что два гидродинамических объекта будут
геометрически подобными, если любой линейный размер одного
может быть получен из линейного размера другого путем умноже-
ния на постоянный множитель.
Если в первом потоке выбрать характерный линейный раз-
мер Z.J, то во втором, геометрически подобном, ему будет соответ-
ствовать сходственный размер La. Приняв и за единицы
127
измерения всех линейных величин в соответствующих потоках,
найдем безразмерные отношения
Z1 __/ . 1г _5
Lt ~ 111 Lt ~ ‘2’
которые, в частности, могут быть безразмерными координатами
некоторых точек. Поскольку
А — А А и А — А — т
J - j ** I т 9
l2 1% ^2 ‘2 ^-2
то ясно, что Zj = /2. Следовательно, безразмерные координаты
сходственных точек одинаковы.
Допустим теперь, что объекты 1 и 2 геометрически подобны.
Обозначим через и м2 скорости в сходственных точках этих
потоков, а через ии и их одноименные проекции на Z-ю ось
координат. Если отношение
= rnu (I = х, у, г) (5-87)
одинаково для любой пары сходственных точек, то потоки 1 и 2
будем считать кинематически подобными.
Если потоки неустановившиеся, то условие (5-87) должно
выполняться в моменты времени, которые называются сходствен-
ными и определяются соотношением
где mt — масштаб времени; и А/2 — интервалы времени,
отсчитываемые от момента начала движения или иного условного
начала отсчета времени.
Нетрудно убедиться, что из кинематического подобия потоков
вытекает геометрическое подобие их линий тока. Действительно,
линии тока в первом и втором потоках определяются уравнениями
А = А. н А =
U1X U1U U2X и2У
Если имеет место кинематическое подобие (5-87), то
dXj = dy^Ui^g _ dyj или dyj _ dgt.
dx% ^1уУу2и2х dy% dci
Это соотношение означает, что углы наклона касательных
К линиям тока в сходственных точках одинаковы для обоих по-
токов, а это и есть геометрическое подобие линий тока. Для
установившихся потоков это будет одновременно и геометриче-
ским подобием траекторий жидких частиц. *
* Для простоты рассматриваем двумерное течение.
128
путей, то
Кинематическое подобие можно определить и несколько иначе.
Если Д/х и Д/2 — малые интервалы времени, за которые жидкие
частицы проходят сходственные отрезки
A/i д/2
== гг и и, = -г/;
1 2 д/2 ’
отсюда масштаб времени
АЛ А/, и, mi ,
mt = -rr~-rr~= — — const.
‘ Д/2 ut ти
Кинематически подобными называют
резки времени, затрачиваемые жидкими
дения сходственных отрезков путей, находятся в постоянном
отношении.
потоки, в которых от-
частицами для прохож-
Предоставляем читателю возможность самостоятельно убе-
диться, что если выбрать характерные значения скоростей щ
и и2, то при наличии кинематического подобия безразмерные
скорости в сходственных точках будут одинаковы:
at и, -
—L = — ИЛИ U1 = U2-
VI t'a
Рассмотрим далее какую-либо пару сходственных точек и
обозначим величины проекций на координатные оси равнодей-
ствующих сил через Fu и F2l. Если
^- = mF(i = x, у, г) (5-88)
r2l
есть величина постоянная для любой пары сходственных точек,
то потоки 1 и 2 называют динамически подобными.
Не обязательно под Fu и F2i подразумевать равнодейству-
ющие; это могут быть силы какой-либо определенной физической
природы (тяжести, вязкости, упругости и др.). Тогда приведен-
ное определение будет выражать подобие данной категории сил.
Можно убедиться, что безразмерные значения сил в динамически
подобных потоках одинаковы. Заметим еще, что поскольку выра-
жение (5-88) относится к любой из трех составляющих силы F,
то этим определяется подобие векторов сил, действующих в сход-
ственных точках.
Из приведенных определений ясно, что кинематическое и ди-
намическое подобия могут существовать только при наличии
геометрического подобия. Поэтому дальше речь пойдет только
о потоках, для которых геометрическое подобие заведомо обес-
печено.
Если для какой-либо группы гидродинамических явлений
имеет место кинематическое и динамическое подобие, то ее назы-
вают группой механически подобных явлений.
Механическое подобие является частным случаем общего
подобия физических процессов, которое можно определить для
тепловых, электрических, упругих и других явлений.
5 Б. Т. Емцев 129
Обратимся теперь к формулировке условий, необходимых
и достаточных для существования механического подобия, при-
чем ограничимся случаем несжимаемой вязкой жидкости, нахо-
дящейся в изотермических условиях.
Из самих определений кинематического и динамического подо-
бия вытекает, что если эти подобия обеспечены, то безразмерные
координаты сходственных точек, безразмерные скорости и силы
одинаковы. Нетрудно убедиться, что безразмерные ускорения
и плотности также одинаковы в сходственных точках. Иначе, все
физические параметры механически подобных потоков, пред-
ставленные в безразмерном виде, для сходственных точек одина-
ковы. Можно, наконец, сказать, что безразмерные поля физиче-
ских параметров механически подобных потоков одинаковы.
Одинаковость безразмерных значений физических параметров
можно было бы принять за определение механического подобия
и вывести из него первоначальную формулировку.
Физические параметры в любом из потоков связаны системой
дифференциальных уравнений, описывающих движения. Но если
речь идет о механически подобных потоках, для которых безраз-
мерные значения этих параметров одинаковы, то и сами уравне-
ния, будучи представленными в безразмерном виде, должны быть
одинаковыми.
В самом деле, дифференциальные уравнения движения свя-
зывают между собой мгновенные значения физических параметров
движения (сил, ускорений и др.). Но если безразмерные выра-
жения этих параметров одинаковы в подобных потоках, то, по-
скольку связывающие их уравнения имеют общий характер,
т. е. выполняются для произвольных пространственно-временных
точек, эти уравнения должны быть одинаковыми.
Заметим, что для существования подобия необходимо, чтобы
рассматриваемые процессы были качественно одинаковыми. Можно
например, рассмотреть движение в одном и том же канале несжи-
маемой жидкости и газа при сверхзвуковых скоростях. Эти тече-
ния качественно различны потому, что при движении газа суще-
ственно проявляется его сжимаемость и изменение температуры,
и описывающие его уравнения будут содержать члены, которых
не будет в уравнениях несжимаемой жидкости. Дифференциальные
уравнения этих двух процессов будут поэтому различными, даже
после приведения к безразмерному виду.
Наряду с этим существуют качественно различные явления,
описываемые одинаковыми по форме уравнениями. Такие явления
называют аналогиями.
Совокупность параметров, определяющих какой-либо гидро-
динамический процесс, можно рассматривать как конкретное
решение дифференциальных уравнений этого процесса. Ему
соответствуют вполне определенные начальные и граничные усло-
вия. Они представляют собой зависимости или константы, опре-
деляющие физические параметры в начальный момент и на гра-
130
ницах во время движения. Следовательно, не только уравнения
процесса, но также безразмерные формы начальных и граничных
условий (условий однозначности) в механически подобных пото-
ках должны быть одинаковыми. Имея это в виду, запишем урав-
нения Навье—Стокса и преобразуем их к безразмерному виду,
для чего выберем характерные значения физических параметров
L, V, Т, Р, Fo * и отнесем к ним соответствующие размерные
величины
х - у - г - и, — ии
Х = Т’ y=L' 2=Т: ^ = 7’ U» = -V'
Р . r FX . z? Fц г? Fг . 1 I
«г==-р-; р = ~р~' Fx = К’ Fy== F1=T7' *
Для плотности и вязкости, которые мы считаем величинами
постоянными, надобности в характерных величинах нет, поскольку
они сами могут служить таковыми.
Тогда уравнения Навье — Стокса представятся в виде (выпи-
сываем только первое из них)
р-р Р др vV / d2ux д2йх д2иг \
й х pL 0-х + ьИ дх2 + д~у2 й2 ) =
V дил
Т dt
дйх । - диД
"Г “Z —= •
ду дг I
Эта форма уравнений Навье — Стокса еще не является безраз-
мерной, поскольку перед каждым из членов стоит размерный
комплекс, составленный из характерных величин. Чтобы получить
полностью безразмерную форму и в то же время свести число этих
комплексов к минимуму, можно разделить все члены уравнения
на один из них.
Так, разделив все члены уравнения на коэффициент при кон-
вективном ускорении V2/L, получим
Fol Р щ _
уа рР д- + VL ’ 5? )
_ L дих,- дих,- диу , - дих
— VT 37 Г их "Г ~=~ “г “Z V” '
v 1 dt dx dy дг
(5-89)
Здесь все члены уравнения, включая комплексы, составленные
из характерных параметров, безразмерны. Но, применяя эти
уравнения к механически подобным потокам, их можно считать
* Если F — сила тяжести, то в качестве Ео удобнее всего взять ускорение
свободного падения g.
б*
131
одинаковыми лишь в случае, если безразмерные комплексы, вхо-
дящие в качестве коэффициентов, одинаковы, т. е.
= idem; = idem; == idem; = idem. (5-90)
Входящие в условия (5-90) безразмерные комплексы играют
роль критериев подобия и получили следующие собственные
наименования:
va т- Л * Р с с,.. VL
-г-г = гг — число Фруда *; —= Ей — число Эйлера; -------------=
F(IL pv2 r v
~ Re — число Рейнольдса; = Sh — число Струхала. (5-91)
Теперь условия (5-90) можно записать в виде
Fr == idem; Eu = idem; Re = idem; Sh = idem **. (5-92)
Суммируя изложенное, можно констатировать, что одинаковые
безразмерные дифференциальные уравнения, описывающие группу
гидродинамических процессов, вместе с безразмерными условиями
однозначности (начальными и граничными условиями), а также
одинаковые значения критериев подобия, являются необходимыми
условиями механического подобия. Естественно, возникает вопрос
о достаточности этих условий. В полном и общем решении этого
вопроса имеются значительные трудности, поскольку это решение
связано с вопросом о существовании и единственности решений
общих уравнений Навье — Стокса. Рассмотрим этот вопрос не-
сколько подробнее.
Допустим, что для изучаемого класса течений теорема суще-
ствования и единственности решений уравнений Навье — Стокса
доказана.
Зафиксируем конкретные значения критериев (5-92) и сформу-
лируем в безразмерных величинах условия однозначности (на-
чальные и граничные условия) для безразмерных уравнений
Навье — Стокса. Тогда, решив их, в силу теоремы единственности
получим единственное решение, куда в качестве параметров
войдут зафиксированные нами значения чисел Fr, Re, Eu, Sh.
Это решение определит целый класс физически реальных про-
цессов, размерные параметры: которых в сходственных точках
будут отличаться только числовыми множителями, а безразмер-
ные будут одинаковыми. Иначе говоря, мы получим класс меха-
нически подобных потоков. Следовательно, сформулированные
выше условия в данном случае оказываются не только необхо-
* Уильям Фруд (1820—1879 гг.)—английский инженер, занимавшийся
исследованиями сопротивления воды движению судов. Использовал теорию
подобия и критерий, предложенный Риичем, но получивший известность как
«критерий Фруда». У. Фруду принадлежит также исследование пограничного слоя.
** Вместо обозначения Sh иногда употребляют обозначение Н = и
называют числом гомохронности.
132
димыми, но и достаточными для существования механического
подобия. Однако это заключение нельзя распространить на про-
извольное движение вязкой жидкости, поскольку теорема суще-
ствования и единственности решения уравнений Навье — Стокса
доказана хотя и для многих, но все же частных классов движения.
В общем случае вопрос о необходимых и достаточных условиях
подобия не может считаться решенным. Правда, это не исключает
возможности практического использования теории подобия.
В практике при постановке эксперимента существование и един-
ственность класса потоков, подобных натурному, предполагают
a priori, модель выполняют исходя из необходимых условий
подобия, и ее принадлежность к указанному классу проверяют
на основе сопоставления частично известных натурных данных
с результатами измерений на модели.
Выясним физический смысл чисел Fr, Eu, Re, Sh и соответ-
ствующих критериев (5-92). Выражения для них мы получили,
разделив коэффициенты при отдельных членах уравнений движе-
ния на коэффициент при конвективной силе инерции. Эти члены
представляют собой отнесенные к единице массы силы различной
V2
физической природы:
равно ему) силы инерции к
Fr характеризует отношение (но не
VZ. п
силе тяжести; — — Re — отноше-
V
Р с
ние силы инерции к силе вязкости; —= Ей — отношение
силы давления к силе инерции; = Sh — отношение локаль-
ной инерционной силы к конвективной. Таким образом, все
критерии характеризуют отношения сил различной физической
природы и потому являются критериями динамического подобия.
Рассмотрим теперь некоторые аспекты практического приме-
нения подобия гидродинамических явлений.
При постановке любой гидродинамической задачи должны быть
заданы граничные, а для нестационарных задач и начальные
условия. Эти условия задаются в виде функциональных связей
или значений констант, которым должны удовлетворять некоторые
из параметров процесса на граничных поверхностях (в том числе
и на свободных). Параметры внутри области течения, а также
не заданные параметры на границах, должны быть найдены.
Например, при исследовании установившегося движения жидкости
в некотором канале заранее известно, что значения скоростей
на стенках канала равны нулю, а распределение скоростей во
входном поперечном сечении может быть задано. Скорости внутри
потока, а также давления внутри канала и на его стенках следует
определить. Поэтому при построении модели мы можем по своему
усмотрению выбрать линейный масштаб, но значения критериев
подобия можем определить лишь для тех из них, которые состав-
лены из величин, заданных в постановке задачи. Поскольку эти
величины: относятся к границам, то нам будут известны лишь
133
значения критериев, составленных из граничных параметров.
В нашем примере при постановке исследования мы можем опре-
делить число Re (по размерам входного сечения и заданной на
входе скорости), но не можем определить число Ей, поскольку
давления заранее неизвестны. В каждой задаче некоторые из
критериев могут быть определены лишь после ее решения, т. е.
являются функциями других критериев, которые выражаются
через исходные данные задачи и называются определяющими.
В зависимости от постановки задачи определяющие критерии
могут становиться неопределяющими, и наоборот. Но может
оказаться, что ни один из указанных выше критериев не является
определяющим, так как в любой из них входит величина, подле-
жащая определению. Тогда комбинация этих критериев может
оказаться подходящей для выполнения роли определяющего
критерия. Примеры, иллюстрирующие это положение, приведены
в следующем параграфе.
Для получения полного механического подобия необходимо
одновременное равенство в сравниваемых потоках нескольких
критериев. Выясним совместимость критериев Fr и Re. Из усло-
вия Fr = idem получим
V? V?
—j- = г- или
gi^-i
^2 __ 1 f g2^-2
Vi V giQ
где индексами 1 и 2 отмечены соответственно параметры натуры
и модели.
Следовательно, масштаб скоростей должен быть связан с ли-
нейным масштабом соотношением
ти = ]/ гпргг^ .
Полагая mF = 1, видим, что по критерию Фруда скорость
на модели должна быть меньше скорости натуры в раз.
По критерию Рейнольдса Re = idem получим
или
v2 Vi L2
Масштабы величин связаны соотношением
Отсюда следует, что при одинаковой жидкости в натуре и на
модели (mv = 1) скорость модельного потока должна быть больше
скорости натурного в т1 раз. Это противоречие с требованиями
критерия Фруда можно было бы устранить путем выбора надле-
жащего масштаба вязкости mv. Однако это практически невоз-
можно, так как модельные эксперименты можно проводить лишь
с водой и воздухом и только в редких случаях использовать дру-
гие жидкости (масло или глицерин). Поэтому практически мы
134
должны считать, что критерии Фруда и Рейнольдса несовместимы.
Выход из положения помогает найти то обстоятельство, что в каж-
дом гидродинамическом явлении можно указать лишь одну силу,
влияние которой на характер движения является основным, опре-
деляющим. Тогда, игнорируя другую силу, можно моделировать
лишь по одному критерию. Практикой исследований установ-
лено, что течения со свободной поверхностью в поле силы тяжести
формируются под преимущественным влиянием этой силы и
должны моделироваться по критерию Фруда.
Напорные течения, т. е. течения в закрытых трубах и кана-
лах без образования свободной поверхности, моделируются по
критерию Рейнольдса. Число Эйлера чаще всего является не-
определяющим критерием и представляет собой функции Fr
и Re. Конечно, моделирование по какому-нибудь одному крите-
рию обеспечивает подобие лишь одной силы, оставляя открытым
вопрос о подобии другой. Такое подобие является приближенным.
Однако теория подобия позволяет указать рациональную мето-
дику внесения экспериментальных поправок на неточность соблю-
дения ее требований.
Обоснование возможности игнорировать критерий Фруда
при моделировании напорных течений можно получить, если
ввести вместо полного давления р разность р — pg = р'. Здесь
pg — гидростатическое давление (рг — рй + pgh), где р0 — по-
стоянное давление в некоторой точке отсчета; h — заглубление,
отсчитываемое вниз по вертикали от этой точки.
При вертикальном расположении оси z получим Fх = Fу = 0;
Рг = — g И
1 др 1 др' . pg dh 1 др'
р дг р дг р дг р дг
Подставив эти значения в уравнения движения, убедимся,
что члены, учитывающие массовую силу (силу тяжести), выпадут,
а следовательно, выпадет и критерий Фруда. Если же поток
обладает свободной поверхностью, то описанный прием не дает
результата.
Рассмотрим для простоты открытый поток идеальной жидкости.
На свободной поверхности, где р = р0 = const, должно выпол-
няться условие
iF
гп +27 = const.
Выбрав характерный линейный размер L, представим это
условие в безразмерном виде:
-у-+ ^-п = const, где Frn = -^.
Из этого соотношения следует, что форма границы области
течения (свободной поверхности), определяемая безразмерной
135
координатой 2n/L, зависит от граничного значения числа Frn,
и, следовательно, подобие не может быть осуществлено без кри-
терия Фруда.
§ 12
МЕТОД РАЗМЕРНОСТЕЙ
Уравнения и зависимости, связывающие параметры гидродина-
мических процессов, выражают те или иные физические законы
и потому их структура не должна зависеть от системы единиц
измерения. Учитывая это обстоятельство и принимая во внима-
ние возможность применять для описания гидродинамических
(так же как и для других физических) процессов разнообразные,
в том числе специально выбранные системы единиц, можно уста-
новить некоторые общие свойства зависимостей, описывающих
физические процессы. Знание этих свойств позволяет во многих
случаях прогнозировать структуру искомых связей между физи-
ческими размерными и безразмерными параметрами. Используя
формулу размерности \ можно указать также рациональные
комбинации физических параметров, отыскание связей между
которыми дает результаты, относящиеся сразу к целому классу
явлений. Совокупность этих, а также некоторых других, с ними
связанных, вопросов составляет теорию размерностей, которая
особенно полезна на первых стадиях изучения явления, когда
еще отсутствует достоверное математическое описание.
Рассмотрим зависимость
q = f (I, t, m, v, p,..., щ), (5-93)
которая выражает функциональную связь между размерной
величиной q и размерными независящими одна от другой вели-
чинами I, i, т....
Установим общую структуру функции f (I, i...), предполагая,
что ею выражается некоторый физический (в частности, гидро-'
динамический) закон. Допустим, что из числа величин I, i, т, ...,
w, а, р, v первые три, т. е. /, t и т, имеют независимые раз-
мерности, т. е. формула размерности любой из этих величин не
может быть представлена как комбинация формул размерности
двух других 1 2. Заметим, что все нижеследующие рассуждения
остаются справедливыми и в том случае, если величин с незави-
симыми размерностями будет не три, а сколько угодно.
Если величинами I, i, т, которые условимся называть основ-
ными, исчерпывается число величин с независимыми размер-
1 Мы предполагаем, что формула размерности известна читателю из курса
физики.
2 В качестве величин /, t и т с независимыми размерностями могут быть
взяты необязательно величины с простыми размерностями, как, например, длина,
время и масса. Вместо времени может быть взята скорость или ускорение, вместо
массы—плотность, вместо длины — произведение скорости на время и т. п.
136
Мостями, то размерности остальных величин v, а, р, .... w можно
выразить через размерности величин I, t, tn. Так, если L, Т и М
соответственно единицы измерения для I, t и т, то формулами
размерности будут
[/] = £; [^] = Г; [m] = М;
[v] = Lxt>Tyv[а] = LXaTyaM*a •
Изменим теперь единицы измерения основных величин соот-
ветственно в ah at и ат раз, т. е. перейдем к единицам
Т1 = а<7; Mt = amM.
Тогда величины q, I, t, tn, v, а... в уравнении (5-93) будут
выражаться в этих новых единицах, но вид уравнения не должен
измениться, так как оно выражает, по предположению, некоторый
физический закон, который не может зависеть от выбора системы
единиц. Поэтому в новых единицах вместо (5-93) можем написать
<?i = f Gi. nJ. (5-94)
Величины qi, llt ..., nlt выраженные в новых единицах Lt,
7\ и Мъ связаны с их значениями в старых единицах соотно-
шениями
4 = ai^ h
qi = a^a^a^q, гд = а^а^а^у,.. .
Выражение (5-94) можно переписать в виде
qa^a^a^ = f (ail, att, amtn, a^a^a^v,
Поскольку линейные масштабы единиц измерения основных
величин аг, at и ат произвольны, то, в частности, их можно
выбрать так, чтобы
111
ос, = —: а, = — : а_ — —.
' I ’ ‘ I ’ т т
При таком выборе масштабов а2, at, ат мы, фактически, за
единицы измерения принимаем основные величины I, t и т, вхо-
дящие в уравнение (5-93). Тогда последняя форма исходного
уравнения перейдет в следующую:
---3--Е, --------------------2--...
lx4^mz9 1х<ЧУата
Входящие в это уравнение комплексы
q v
1хЯ1учтгч' ix°tyvtnv’
137
являются, очевидно, безразмерными. Вводя для них соответ-
ствующие обозначения л^, л0, ла..., приходим к уравнению
= /(1, 1, 1, л0, ла,.... лш) (5-95)
или, в более компактной записи, — к уравнению
<Р (п„ лв, ла,..., лш) = 0. (5-96)
Обобщая полученный результат на произвольное число вели-
чин, входящих в исходное уравнение (5-93), можно сформули-
ровать следующую теорему.
Выражающая некоторый физический закон функциональная
связь между п = k + s размерными величинами (/, i, tn,
k
q, v, a, p, из которых k величин I, t, т... имеют независи-
—'
s
мые размерности, может быть представлена в виде связи между
п—k = s безразмерными комплексами пя, л0, .... лш, каждый
из которых является комбинацией из k + 1 размерных величин.
Эта теорема, получившая название л-теоремы, является основ-
ной в теории размерностей и в то же время входит в число трех
основных теорем теории подобия. Ее роль в теории подобия
определяется тем, что безразмерные комплексы л, представляют
собой критерии подобия, и, следовательно, уравнение (5-95)
дает связь между ними.
Приведенные доказательство и формулировка л-теоремы имеют
общефизический характер. Имея в виду приложения этой теоремы
к задачам прикладной гидромеханики, можно конкретизировать
встречающиеся в этих задачах механические величины и их
безразмерные комбинации. Так, в задачах о движении вязкой
упругой жидкости мы встречаем три группы величин:
а) геометрические параметры, характеризующие размеры и
формы граничных поверхностей — /2, /3...;
б) кинематические и динамические характеристики течения—
скорость и (или расход Q), давление р (или его градиент ,
касательное напряжение т, сила сопротивления Ес;
в) характеристики физических свойств жидкости — плот-
ность р, вязкость ц, упругость е, поверхностное натяжение о.
Приведенный список параметров не является обязательным,
он может быть расширен, а некоторые из параметров могут быть
заменены другими. Например, вместо динамического коэффи-
циента вязкости р. можно ввести кинематический коэффициент
v = ц/р. В качестве геометрических характеристик в список
могут входить углы, определяющие конфигурацию границ или
поля течения. Как правило, искомой исследуемой величиной
является параметр второй группы, т. е. кинематическая или
динамическая характеристика потока, которую нужно опреде-
лить как функцию всех или части остальных параметров. Следует
138
подчеркнуть, что составление полного списка параметров, опре-
деляющих исследуемый процесс, является важной частью реше-
ния задачи методом размерностей. Составление этого списка
облегчается, если процесс описан математически, в частности
дифференциальными уравнениями; в противном случае необхо-
димо четкое представление о физической сущности процесса,
основанное на предварительном экспериментальном изучении.
Для применения метода размерностей, как правило, необходима
схематизация явления, подобная той, какая применяется для
математического описания.
В качестве параметров с независимыми размерностями в ги-
дромеханике обычно выбирают характерные длину I, скорость о
и плотность р, которые входят в каждую из безразмерных ком-
бинаций nz.
Составим безразмерные комбинации л; для списка параметров:
I, а, b — линейные размеры, v — характерную скорость, р —
плотность жидкости, Др — перепад давления, т — касательное
напряжение, g — ускорение свободного падения, р — вязкость,
о — поверхностное натяжение, S — упругость жидкости.
Поскольку параметров с независимыми размерностями всего
три (Z, v и р), то k = 3 и п = 11. Следовательно, мы должны
получить восемь безразмерных комплексов nz. Согласно общей
формуле
а
л, =-------,
/ха^ар2а
Поскольку ла безразмерная величина, то, очевидно, должно
быть: х„ = 1; у„ = 0; za = 0. Следовательно,
Га
ла----
Аналогично,
лд = Ь/1.
Далее
Др
л„ =------—.
р ,ХО Уп гр
I PV Рр
Необходимые показатели степени хр, ур, 2Р проще всего по-
добрать, записав размерность величины лр в виде [лр ] = ЬйТйМя
(где L, Т и М — единицы длины, времени и массы) и сравнивая
с ней размерности правой части последнего равенства. Так как
[Др] = ; [/] = L; [о] = ЦТ; [р] = M/L3,
то
= ^у-Хр^-Ур^-2р.
139
Приравнивая показатели степени при одноименных величинах
в левой и'правой частях, получим
— 1 — хр~ z/p + 3z(, = 0;
-2 + ^ = 0;
l-zp = 0.
Решая эту систему, находим х =0; ур = 2; zp — 1. Следо-
вательно,
Ар
л. = -4.
₽ ри4
Аналогичным способом находим остальные безразмерные ком-
бинации л.
T /g Ц __ V
Itt = po2’ ni1 = p/?—77’
(T 8
Л0 . 2 • Ле о •
u lpuz 9 8 py^
Безразмерные параметры na и лА, очевидно, характеризуют
собой геометрию потока; лж — известное уже число Эйлера Ей;
величины — и —-----соответственно числа Фруда и Рейнольдса.
ng лм J
Параметр nt выражает в безразмерном виде напряжение, обус-
ловленное силами трения; величину Cf — 2лт называют обычно
коэффициентом трения. Величины
We=-^=-L и Са = ^ = ^-
О Лф
называют соответственно числами Вебера 1 и Коши; они харак-
теризуют действие в жидкости сил поверхностного натяжения
и упругости.
Полученный результат можно представить в одной из форм
fab
Ф \ I * I f pv'
в ле
Ар т ag v а е \ _______________________q
nua * pu2 ’ v‘^ ’ au ' p’j2a * pv2 /
(5-97)
ИЛИ
Ф1 21, Eu, Ct, Fr, Re, We, Ca) = 0. (5-98)
Любой из безразмерных параметров этих функций может
рассматриваться как зависимый, а остальные как аргументы,
но чаще всего искомыми величинами являются Ей или Cf.
Метод размерностей не дает возможности установить в кон-
кретных случаях вид функции <р, однако знание даже общей
1 Мориц Вебер (1871—1951 гг.)— профессор Берлинского политехнического
института, автор исследования по теории подобия.
140
зависимости, выражаемой уравнением (5-98), полезно как для
теоретического анализа, так и для рациональной постановки
эксперимента. z
Рассмотрим несколько примеров использования метода раз-
мерности в конкретных задачах.
Пример 1. Сопротивление движению несжимаемой жидкости
в цилиндрических трубах. Рассмотрим течение вязкой несжимае-
мой жидкости в круглой цилиндрической гладкой трубе. Пусть
наша задача состоит в отыскании структуры зависимости падения
давления Лр на участке длиной I от параметров системы.
Из предыдущего нам известно, что ввиду отсутствия свободной
поверхности числа Фруда и Вебера не могут влиять на характер
движения, а значит, и на искомую зависимость. Ввиду несжимае-
мости выпадает также число Коши. Из геометрических пара-
метров для труб с гладкими стенками мы можем указать только
два: длину участка I и диаметр трубы d. Считаем известным, что
при движении заданной жидкости (параметры р и ц) по трубе
фиксированного диаметра устанавливается однозначное соответ-
ствие между характерной скоростью и и падением давления Др
на заданном участке /. При этом, разумеется, устанавливается
и определенное значение касательного напряжения т, но эта
величина вполне определяется значением перепада Др и потому
не может служить независимым параметром. С учетом этих сооб-
ражений в список параметров, определяющих явление, мы вклю-
чим величины I, d, v, р, Др, р. Согласно (5-97) из этих шести
параметров мы можем составить всего три л-параметра:
I &р v dp
d ’ pt/2 ’ р
Поэтому искомая связь должна иметь вид
<р(* *р, = 0
\ d pt2 ’ v j
или, если принять txplpv2 за функцию, то она будет зависеть
от двух безразмерных аргументов:
Др___с / / vd \
pt/2 ' \ d ’ ~'
Относительно вида функции / определенные указания дают
наблюдения, которые обнаруживают линейную зависимость Др
от I. Поэтому последнюю связь можно представить в виде
Ар I / vd \
pv2 d \ v ) "
Вводя обозначение X = 2ф*, получим формулу
Др = х44р, (5-99)
141
где
^ = X(Re);Re = 4‘
Формула (5-99) получена эмпирическим путем и является
основной расчетной формулой для гладких труб. Эксперимент
и теоретические решения хорошо подтверждают наличие функ-
циональной зависимости X (Re).
Если бы мы рассмотрели случай шероховатых труб, то в число
параметров должны были бы включить линейную характеристику
неровностей стенки — Д (например, среднюю высоту выступа).
Тогда в числе л-параметров появился бы еще один Nd, и, повто-
ряя рассуждения, мы нашли бы, что
& = MRe, Nd).
Эксперимент также четко подтверждает наличие такой связи.
Обратим внимание на то, что связь между Ар/р о2 и его аргу-
ментами может быть записана в критериальной форме
Ви -1 (^-. Re)
или, для шероховатых труб, в виде
Еп = /1(4, 4, Re). (5-100)
Параметры Ud и Д/d обеспечивают геометрическое подобие
потоков в трубах разных диаметров, длин и шероховатостей и
имеют одинаковое значение для всех геометрически подобных
труб. Соотношение (5-100) показывает, что число Эйлера является
функцией числа Рейнольдса и для напорного (закрытого) потока
не может служить определяющим критерием подобия. Иными
словами, механическое подобие таких потоков обеспечивается
геометрическим подобием и критерием Рейнольдса.
Пример 2. Сопротивление трения продольно обтекаемой пла-
стинки. Пластинка длиной I обтекается безграничным потоком
вязкой несжимаемой жидкости, вектор скорости которого иа
параллелен плоскости пластины. Вдоль направления н0 выберем
ось х. Считая течение плоским, попытаемся найти зависимость
для касательного напряжения т в некоторой точке пластины,
характеризуемой координатой х. Величина т должна зависеть
от этой координаты, но не зависит от полной длины пластины I.
Давление вдоль пластины не меняется и, следовательно, Др=0.
Поэтому в список параметров, определяющих явление, войдут
величины х, и0, р, т, р. Из этих пяти величин можно образовать
только два л-параметра
ра? р ’
142
связь между которыми
т _ с / Uo^p \
Р“о ' \ Р )
определит искомую зависимость
т = / (Re) puo, где Rex = .
г v
Структура этой зависимости полностью согласуется с резуль-
татом приближенной теории пограничного слоя, согласно которому
const 2
т =-7===pu°.
V Re*
Пример 3. Истечение жидкости под давлением через отверстие
в стенке резервуара. Пусть несжимаемая жидкость вытекает из
резервуара, где она находится под давле-
нием р0, в среду с давлением рг через
круглое отверстие диаметром dt (рис. 55).
Перепад давления Ар = р0 — рг примем
достаточно большим, чтобы можно было
не считаться с силой тяжести. Наблюде-
ния показывают, что вследствие инерцион-
ности частиц жидкости, подходящих к
отверстию изнутри резервуара, струя по-
сле выхода из отверстия имеет меньшую
площадь сечения, чем площадь отверстия.
Иными словами, происходит сжатие струи.
Учтем далее, что размер отверстия (d0)
Рис. 55. Истечение жидкости
под давлением через отвер-
стие в стенке резервуара
может сказаться на величине скорости истечения, поскольку че-
рез него определяется число Рейнольдса, характеризующее влия-
ние сил вязкости. Тогда в список определяющих параметров
войдут величины d0, v, р, Ар и р. Два возможных л-параметра
Ар n<toP
pv2 р
дают зависимость
2^ = №).
где множитель 2 введен
вида. Отсюда скорость
К/(Re) г Р
получения формулы общепринятого
для
истечения
Если под скоростью v понимать среднюю скорость струи,
то ее надо отнести к сжатому сечению с—с, где струйки почти
параллельны (см. рис. 55). Тогда расход выразится формулой
<2 =
1_MS j / 2 Др
/НЙё) 4 V р *
143
Обозначая через е коэффициент сжатия, т. е. отношение пло-
щади сжатого сечения к площади отверстия, и f (Re) = g, полу-
чим широко известную формулу гидравлики
О _ 8 -if „ Др
у 4 V 2 Р •
Обычно величину <р = называют коэффициентом скорости,
еф = ц0 — коэффициентом расхода. Окончательно,
где р0 = р0 (Re).
Глава 6
ОДНОМЕРНЫЕ ТЕЧЕНИЯ
ВЯЗКОЙ жидкости
§ 1
ОДНОМЕРНАЯ МОДЕЛЬ РЕАЛЬНЫХ ПОТОКОВ
В прикладной гидромеханике одномерными обычно называют
потоки, в которых гидродинамические величины (скорости, дав-
ления и др.) зависят только от одной геометрической координаты.
Простейшим примером одномерного потока является течение
в элементарной струйке (трубке тока). Ввиду малости попереч-
ного (живого — см. гл. 2) сечения такой струйки мы считаем,
что скорости и давления в нем распределены равномерно, Если
вдоль оси струйки выбрать криволинейную координату s, то можно
ставить задачу об отыскании законов изменения скорости и дав-
ления по длине струйки, т. е. задачу отыскания функций и (s)
и р (s) (рис. 56). Такую задачу принято называть одномерной.
Реальные потоки конечных размеров, строго говоря, не могут
быть одномерными, так как в вязких жидкостях ввиду влияния
граничных поверхностей всегда наблюдается неравномерное рас-
пределение скоростей в живых сечениях. Но некоторые реальные
потоки могут быть сведены к одномерной модели. Так, например,
при течении вязкой жидкости в круглой цилиндрической трубе
или канале между параллельными плоскостями имеет место не-
равномерное распределение скоростей, но оно иногда бывает не-
существенным с прикладной точки зрения, так как во многих
технических задачах достаточно знать среднюю по сечению ско-
рость и закон изменения давления вдоль трубы (канала). Среднюю
скорость v можно определить, усредняя по сечению местные
скорости и в соответствии с соотношением
v = j и dS, (6-1)
S
где S — площадь живого сечения потока в трубе (канале). По-
скольку j udS есть объемный расход жидкости Q, то средняя
s
145
скорость равна отношению расхода к площади живого сече-
ния:
= 4* - <6'2)
Заменив истинные, неравномерно распределенные по сечению
скорости средней скоростью о и приняв давление р постоянным
по живому сечению, мы переходим к одномерной модели реаль-
ного потока, в которой все частицы в живом сечении имеют одну
и ту же скорость и и одно и то же давление р. Для потока в ци-
линдрической трубе средняя скорость v будет постоянной по ее
длине и модельный поток может счи-
у' таться равномерным. Для такого по-
/s' тока одномерная задача сводится к оты-
сканию закона распределения по длине
давления р (s).
/X/ Переход от реальных осесимметрич-
/ ных или двумерных течений к одномер-
/XX ной модели значительно упрощает гид-
' /' родинамическую задачу и позволяет
P(s> модёА\о?окаерная получить простые зависимости, удобные
для технических расчетов. Однако этот
переход можно обоснованно осуществить, лишь зная закономер-
ности распределения скоростей и давлений в реальных потоках,
сводимых к одномерным, и поэтому далее значительное внимание
будет уделено изучению таких закономерностей.
Если граничные поверхности образуют трубу или канал
с изменяющимся по длине поперечным сечением, то поток яв-
ляется трехмерным или пространственным, но в некоторых слу-
чаях приближенно может быть сведен к одномерной модели.
Это возможно сделать, если кривизна линий тока (или струек)
мала, а также мал образуемый ими угол (рис. 57). Потоки, удов-
летворяющие этим условиям, называют плавно изменяющимися.
Ввиду малости угла между линиями тока живые сечения слабо
искривлены и приближенно могут считаться плоскими. Тогда,
выбирая продольную геометрическую координату вдоль оси
потока, проходящей через центры тяжести живых сечений, можно
плавно изменяющийся поток рассматривать как одномерный.
Рассмотрим основные свойства плавно изменяющихся потоков
и способы перехода к одномерной модели. Для этого выберем
в живом сечении MN местную систему координат х’, у', г',
направив ось х' вдоль оси потока (рис. 58), а ось у' — горизон-
тально.
Поскольку в рассматриваемом потоке углы, образуемые ли-
ниями тока, малы, то при выбранной системе координат попереч-
ные компоненты скорости малы, и можно принять, что иу- 0;
u2'= 0. Тогда в уравнениях (5-9)' для установившегося движения
146
можно принебречь членами, зависящими от этих компонент,
после чего получим
F 1 дР f д“х' •
tx---—
+ <М)
F--^ + F-0.
где через fx>, fy-, f2> обозначены компоненты сил сопротивления,
которые для ламинарного движения выражаются формулами
fX’=^2uX'-, fy =vV2Uy’; fy = vV*uy.
нии плавно изменяющегося потока
Поскольку в пределах выбранного сечения Uy> s 0 и н2- ег О,
то fy- 0, fy = О и (6-3) запишутся в виде
Fy------1--^ = 0; (6-3)'
“ р ду '
Fy — — -^- = 0.
р дг
Два последних уравнения полностью совпадают с уравнениями
гидростатики, а это означает, что в пределах живого сечения
плавно изменяющегося потока давление распределяется по гидро-
статическому закону. В частности, если F — сила тяжести, то
для произвольной точки А, лежащей в живом сечении, имеем
(см. рис, 58) Fy> = 0; Fy = — gcosa = — г—верти-
кальная ось,
С учетом этого последнее уравнение (6-3)' примет вид
_L2L = o
ё dz' ~ р дг'
147
Следовательно, в пределах живого сечения (х' = const)
г 4- — = const.
1 па
(6-4) '
Этот результат позволяет уравнение Бернулли (5-24) распро-
странить на поток конечных размеров, введя в него усредненные
по сечению величины.
§ 2
УРАВНЕНИЕ БЕРНУЛЛИ ДЛЯ ПОТОКА
ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ1
Установившийся поток вязкой несжимаемой жидкости представим
как совокупность элементарных струек (струйная модель потока —
рис. 59), для каждой из которых справедливо уравнение Бер-
нулли
$1 \ / Si
П ] ~ TTYdS
(6-5)
!s где индексами 1 и 2 отмечены значения
Рис, 59, Струйная модель одно-
мерного потока
величин, относящихся к соответствую-
щим: сечениям Sx и S2.
Если каждый из членов этого урав-
нения умножить на весовой расход элементарной струйки pgu dS,
который согласно уравнению неразрывности постоянен по ее
длине, то трехчлен вида
(z-f- —+ pgudS
\ 1 pg 1 2g)
будет выражать поток энергии через сечение струйки dS * *. Инте-
грал
J0+^+'£)pg“dS
S
будет, очевидно, представлять собой соответствующую величину
для всего потока. Если же отнести эту величину к весовому рас-
ходу потока pgQ = pgvS, то получим среднюю для сечения S
удельную (т. е. отнесенную к единице веса) энергию потока.
Выполним эти операции над уравнением (6-5). Учитывая (6-4),
получим
1 Здесь изложен упрощенный способ обобщения уравнения Бернулли на
поток конечных размеров, обычно применяемый в курсах гидравлики. Более
строгий прием такого обобщения дан Н. А. Картвелишвили [8].
* Величину plpg, равную, как известно из § 3 гл. б, работе сил давления,
называют иногда удельной энергией давления и рассматривают как составную
часть полной удельной энергии жидкости.
J ^+-JpgudS=^ + — J J P^dS = pgQ(2+—).
S S
Уравнение Бернулли примет вид
2i + — + йЛг f P«3dS = г2 + —-j- гДг f Р«3d54-hc, (6-6)
1 Pg 2pgQ J r 2 Pg 1 2pgQ J ' r c ' ’
St st
где обозначено
ha= piQ j^cPgwdS.
Ss
Введем, кроме того, обозначение
W
Интеграл вида
j-^-pudS = -|- Ju’dS
s s
представляет собой кинетическую энергию потока, проносимую
за единицу времени через сечение S (поток кинетической энергии)
при неравномерном распределении скорости. Величина -у puS
может быть истолкована как поток кинетической энергии через
то же сечение при постоянной в сечении скорости и. Поэтому
безразмерный коэффициент а, определяемый соотношением (6-7),
выражает отношение истинного потока кинетической энергии,
отвечающего неравномерному распределению скоростей в сече-
нии, к потоку кинетической энергии, вычисленному по средней
скорости V. Его называют коэффициентом кинетической энергии
или коэффициентом Кориолиса. Очевидно, величина этого коэф-
фициента зависит от формы эпюры скорости. Можно показать,
что он всегда больше единицы и для развитого ламинарного
течения в круглой цилиндрической трубе равен 2, а для турбу-
лентного ~ 1,1, однако при значительной неравномерности эпюры
скорости, например в криволинейных каналах, может достигать
больших значений.
Используя (6-7), уравнение (6-6) перепишем в виде
2 2
Zi + -^ + -лг1 =Zz + — + + hc. 6-8)
1 Pg 2g 2 г Pg 2g 1 °'
Это соотношение и является искомой формой уравнения Бернулли
для плавноизменяющегося потока вязкой несжимаемой жидкости.
Заметим, что, как ясно из вывода, выполнение условий плавной
изменяемости необходимо лишь для выбранных расчетных сече-
ний /—1 и 2—2 (см. рис, 59), тогда как на участке между этими
сечениями они могут нарушаться.
149
Согласно смыслу выполненных преобразований четвертый
член правой части (6-8) выражает усредненную потерю удельной
механической энергии между сечениями /—1 и 2—2. Способ
вычисления этой потери может быть указан лишь в результате
выяснения механизма действия сил сопротивления, чему будут
посвящены следующие параграфы.
Уравнению (6-8) может быть дана геометрическая трактовка.
Так, учитывая, что все члены имеют линейную размерность,
Рис. 60. Геометрическая интерпретация урав-
нения Бернулли для потока несжимаемой вяз-
кой жидкости
гидравлический уклон: J„ = —
можно построить диаграмму
(рис. 60). Если под величи-
ной р понимать избыточное
давление, то величина p/pg
будет представлять собой
пьезометрическую высоту, а
линия П—П называться пье-
зометрической линией. Ли-
ния Е—Е носит наименова-
ние линии энергии, а плос-
кость Н—Е1—напорной плос-
кости. Для характеристики
поведения этих линий в тех-
нических расчетах употреб-
ляют понятия пьезометриче-
ского и гидравлического
уклонов, определяемых со-
отношениями:
пьезометрический уклон
п d s \ pg )
Л_(г ।
d.s pg 2g Г
где s — расстояние, отсчитываемое вдоль оси потока.
Очевидно, что Jn = Jr для случая течения в цилиндрических
трубах и равномерного течения в каналах, так как в этих слу-
чаях v = const. Следует подчеркнуть, что гидравлический уклон Js
существенно положительная величина, тогда как пьезометриче-
ский уклон Ja может быть отрицательным (случай расширяюще-
гося потока).
Употребительна также следующая терминология:
,, I р ।
лГд = 2 + ---гидродинамический напор;
На = г — пьезометрический напор;
Но = -я— — скоростной напор или скоростная высота; п0 —
потеря напора,
150
§3
ГИДРАВЛИЧЕСКИЕ СОПРОТИВЛЕНИЯ
Для практического цспользования уравнения Бернулли (6-8)
необходимо установить способ определения величины потерь
напора hc, вызванных действием в потоке сил сопротивления.
Механизм действия этих сил настолько сложен, что до настоящего
времени для произвольного движения не удалось найти точного
метода вычисления потери hc; в технических расчетах чаще всего
приходится пользоваться эмпирическими или полуэмпирическими
зависимостями. Точное теоретическое решение вопроса удалось
получить только для простейших частных случаев.
Как показывают многочисленные эксперименты, механизм
действия сил сопротивления существенно различен при разных
граничных условиях и разных режимах движения жидкости.
В этой главе рассмотрены основные закономерности сопро-
тивлений, которые возникают в потоках, ограниченных твердыми
стенками (внутренняя задача гидродинамики).
При протекании жидкости (газа) через трубы, каналы, проточ-
ные части машин и аппаратов поток претерпевает более или менее
значительные деформации, вызывающие такое неравномерное
распределение скоростей, которое, в свою очередь, приводит
к появлению вязкостных напряжений в толще потока. Работа
этих напряжений обусловливает диссипацию энергии. Кроме того,
во многих случаях течение сопровождается турбулентным пере-
мешиванием слоев жидкости и отрывами потока 1 от стенок с обра-
зованием стационарных вихревых зон. Эти явления, в свою очередь,
влияют на распределение и величину напряжений, а значит
и на величину потерь энергии.
В теории внутренней задачи все внешние факторы движения
жидкости, которые обусловливают потери ее механической энер-
гии, называют гидравлическими сопротивлениями.
Как показал опыт прикладной гидродинамики, все гидравли-
ческие сопротивления удобно разделить на два класса или вида,
сущность которых поясним на примерах.
Рассмотрим ламинарный установившийся поток жидкости
в круглой гладкой горизонтальной трубе (рис. 61). Опыт пока-
зывает, что, несмотря на отсутствие каких-либо препятствий на
пути потока, имеет место потеря напора, равная падению пьезо-
метрической (или энергетической) линии на рассматриваемом
участке. Если все поперечные сечения этого участка потока на-
ходятся в равных условиях, что имеет место при его достаточной
удаленности от мест возмущений, то потери равномерно распре-
делены по длине потока. Это подтверждается прямолинейностью
1 Под отрывом потока понимают резкое отклонение линий тока (струй)
от граничной поверхности с образованием между оторвавшимися струями и стен-
кой зоны, заполненной крупными вихрями, или полости, заполненной парами
жидкости. Более подробно явление отрыва описано в гл. 8.
151
линии энергии, получаемой в опыте (рис. 61). Таким образом,
здесь мы встречаемся с потерями, равномерно распределенными
по длине, или просто с потерями по длине, которые обозначим 1гл.
Этот вид потерь в чистом виде может иметь место только в потоке
с постоянной по его длине средней скоростью. Такие потоки
выше были названы равномерными; они могут существовать лишь
в прямой цилиндрической трубе или призматическом канале.
С другим видом потерь мы встречаемся в случаях резких изме-
нений формы граничных поверхностей потока на коротком уча-
стке. Так, например, при протекании жидкости через диафрагму
(рис. 62) можно наблюдать достаточно резкое падение линии
Рис. 61. Потери напора в равномерном по-
токе
Рис. 62. Потери напора в местном
сопротивлении
энергии на относительно коротком участке, потери на котором
в несколько раз превышают потери в равномерном потоке на
участке той же длины. В данном случае внешним фактором,
который вызывает увеличение потерь, является деформация по-
тока пограничными поверхностями, сопровождающаяся пере-
стройкой закона распределения скоростей и образованием зон,
заполненных вихревыми массами жидкости. Такие участки рез-
ких деформаций потока называют местными гидравлическими
сопротивлениями, а вызванные ими потери — местными поте-
рями энергии, которые обозначим hM.
Наряду с различием конфигураций граничных поверхностей
необходимо учитывать влияние режимов движения жидкости на
величину и механизм потерь. Как известно из гл. 2 и 5, кинема-
тические структуры ламинарного и турбулентного потоков раз-
личны; турбулентные пульсации порождают добавочные каса-
тельные напряжения, которые обусловливают увеличение потерь
энергии в турбулентных потоках по сравнению с ламинарными
при сопоставимых условиях. Для оценки потерь важно знать
условия перехода ламинарного течения в турбулентное. Этот
вопрос рассмотрен в § 6 настоящей главы. Здесь укажем только
на классический опыт О. Рейнольдса, который, наблюдая пове-
дение подкрашенных струек жидкости в стеклянной трубке,
установил существование критического значения числа Re = vd/v,
определяющего границу между ламинарным и турбулентным
режимами. Если для круглых труб число Рейнольдса опре-
152
делить по формуле Re = vd.lv, где v — средняя скорость; d —
диаметр трубы, то, как показали опыты О. Рейнольдса и много-
численные опыты других исследователей, при Re < ReKP = 2300
наблюдается устойчивый ламинарный режим; при Re > ReKP
возможен переход к турбулентному.
Ниже будет показано, что характер закономерностей, опре-
деляющих потери энергии, существенно зависит от значения
числа Re и изменяется при переходе через ReKp.
В реальных конструкциях участки равномерного движения
жидкости могут чередоваться с местными сопротивлениями,
число частных видов которых чрезвычайно велико. При подсче-
тах полных потерь напора широко применяется принцип сложения,
согласно которому полные потери равны сумме потерь на отдель-
ных участках равномерного движения и потерь на всех местных
сопротивлениях
п m
^ = ^/гд/+1йм/, (6-9)
где hai — потеря по длине на t-м участке равномерного движения;
huj — местная потеря на /-м местном сопротивлении.
При протекании через местное сопротивление в потоке воз-
никают деформации эпюры скоростей, отрывы и вихревые зоны,
которые могут распространяться как вверх, так и вниз по тече-
нию. В связи с этим, если величины /1м/ вычисляют по формулам,
установленным для изолированных местных сопротивлений, то
применение принципа сложения потерь согласно (6-9) будет
правомерным лишь в том случае, когда местные сопротивления
не влияют друг на друга, т. е. разделены участками движения со
стабилизированным распределением скорости х. В противном
случае два или более местных сопротивления следует рассматри-
вать как одно сложное, и для него должны быть установлены
специальные расчетные зависимости.
Как указано выше, структура потока и механизм потерь в ме-
стных сопротивлениях и на участках равномерного движения
существенно различны, а потому требуют установления частных
зависимостей, пригодных для сопротивлений данного типа. Тем
не менее, исходя из общих законов гидродинамики, можно уста-
новить структуру общих формул, выражающих потери в любом
сопротивлении. Из этих общих формул в некоторых случаях
удается получить теоретические формулы для конкретных видов
сопротивлений, а в других — приходится, пользуясь опытными
данными, конкретизировать формулы эмпирическими коэффи-
циентами.
1 Стабилизированным называют такое распределение скорости в цилиндри-
ческой трубе или канале, которое не изменяется по длине потока.
153
§4
СТРУКТУРА ОБЩИХ ФОРМУЛ ДЛЯ ПОТЕРЬ НАПОРА1
Рассмотрим участок установившегося потока в трубе с местным
сопротивлением, причем диаметры трубы перед сопротивлением
и за ним могут быть различными. Для упрощения выводов примем
трубу горизонтальной (рис. 63). Двумя сечениями /—1 и 2—2,
нормальными оси трубы, выделим отсек жидкости, ограниченный
контрольной поверхностью S = + S + S6, где S6 — боковая
поверхность (внутренняя поверхность трубы). К этому отсеку
Рис. 63. К выводу формул
для потерь напора
потока применим уравнение количества движения, которое в об-
щей форме имеет вид (см. § 9 гл. 5)
^масс 4“ ^пов = J pUntl dS.
S
Главный вектор поверхностных сил Рпов может быть определен
как результирующая всех нормальных и касательных элемен-
тарных сил, распределенных по контрольной поверхности S:
Аюв= J p„dS = —JpndS + j xdS,
S' s s
где p — гидродинамическое давление; n — нормаль, внешняя
к поверхности S; т — касательное напряжение на этой поверх-
ности.
Главный вектор массовых сил Рмасс равен весу выделенного
отсека.
Внося выражение для Рпов в уравнение количества движения
и проектируя его на ось трубы, принимаемую за ось х, получим
j рипи dS = — j р cos {пх) dS -|- J т cos (тх) dS.
s s s
Разобьем теперь каждый из поверхностных интегралов на
1 Здесь используется методика вывода, предложенная в работе [19].
154
интегралы по поверхностям Slt S6 и S2. При этом учтем, что
на S6 : ип = 0;
на : ип = —и = и2, р = рр, cos (их) = —1; cos (тх) =
= 0;
на S2 : ип = и2, и = и2, р — рг\ cos (nx) = 1; cos (тх) = 0.
Тогда уравнение количества движения примет вид
j р«2dS — j put dS =
sa
= Pi$i — P2S2 — j pcos (nx) dS 4" J xcos(x*) dS. (6-10)
s6 * s6
Перейдем теперь от местных скоростей и к средним по сече-
нию V. Для этого обозначим
J ри2 d S
Нетрудно видеть, что безразмерная величина а0 представляет
собой отношение потока количества движения через сечение St,
вычисленного с учетом неравномерного распределения скоростей,
к потоку количества движения, вычисленному по средней скорости.
Коэффициент а0 называют коэффициентом количества движения
или коэффициентом Буссинеска. Можно показать, что 1 с а0 с а.
Уравнение (6-10) теперь можно записать в виде
аогрс^г — aoip^iSi =
= рА — p2S2 — j pcos (nx) dS4- J xcos(xx) dS. (6-12)
s6 se
Применим эту общую зависимость к некоторым частным
случаям.
а. Равномерный поток в цилиндрической трубе. Пусть на
участке L отсутствуют местные сопротивления и сечение трубы
постоянно. Тогда
Sx = S2 = So; vx = v2; a01 = a02; на S6: cos (nx) = 0;
cos(xx) = — 1; x = x0 = const.
Упрощая (6-12), получим
(Pi - Pa) So = Д$б = t0Tx,
где % — внутренний периметр сечения <S0 (смоченный периметр),
Иначе, . .
р _р2 = т0/Х . (6-13)
Оо
155
Из уравнения Бернулли, записанного для сечений 1—1 и 2—2
(см, рис. 61) в данном случае равномерного течения, следует, что
Pi—Pi h =h
Pg Па
поскольку имеют место только потери по длине.
Отношение площади живого сечения потока к его смоченному
периметру называют гидравлическим радиусом:
X
Тогда (6-13) можно записать в виде основной формулы равно-
мерного движения
io = PgWn (б'14)
где/г = hJL—гидравлический уклон. Эта формула связывает
потерю энергии (Jr) с силой трения, действующей на боковой
поверхности равномерного потока (т0).
В гидродинамике вместо касательного напряжения т0 употреб-
ляют безразмерную величину, называемую коэффициентом мест-
ного трения и определяемую по формуле
Q = (6-15)
“о
где uQ-— некоторая характерная скорость. Для рассматриваемого
случая мы возьмем uQ = v. Тогда (6-14) и (6-15) позволяют полу-
чить зависимость
<6-16>
называемую формулой Дарси—Вейсбаха 1 и представляющую
собой основную формулу для расчета потерь по длине. Для част-
ного случая круглых труб, очевидно, R = -у- == — , где г0 —
геометрический радиус трубы; d — ее диаметр. Обозначив X =
= 4с/, получаем для круглых труб
а=>-4-£- <W7>
1 Анри Филибер Гаспар Дарси (1805—1858 гг.)— французский инженер
и исследователь. Занимался вопросами движения воды в трубах, установил фун-
даментальный закон ламинарного движения грунтовых вод.
Юлиус Вейсбах (1806—1871 гг.)— преподаватель прикладных математических
наук во Фрейберге. Автор ряда работ по гидравлике и геодезии. Опубликовал
в 1845 г. трехтомный труд «Учебник по механике сооружений и машин», содер-
жащий ряд важных результатов по прикладной гидродинамике. Впервые пред-
ложил формулы для потерь напора в трубах.
156
Коэффициент X, называемый коэффициентом гидравлического
трения, имеет, очевидно, тот же смысл, что и cf. Важно выяснить,
от каких параметров и как именно зависят эти коэффициенты,
что облегчает отыскание способов их вычисления. Для этого
учтем, что при любом режиме движения жидкости в трубе каса-
тельное напряжение на стенке т0 может быть выражено известной
формулой Ньютона, ибо, даже при турбулентном течении, вблизи
стенки скорости малы и там образуется вязкий подслой, в котором
течение преимущественно ламинарное, хотя и наблюдаются пуль-
сации.
Таким образом,
Выбрав характерные скорость v и линейный размер L, пред-
ставим эту формулу в безразмерном виде:
здесь — представляет собой число Рейнольдса [см. (5-91) 1,
составленное по характерным линейному размеру L и скорости v,
а комплекс
является безразмерным градиентом скорости. Если для группы
потоков выполнены условия геометрического и динамического
подобия, то в соответствии с изложенным в § 11 гл. 5 величина А
будет одинаковой для всей этой группы.
Таким образом,
<G-1^
т. е. коэффициент местного трения зависит от числа Рейнольдса
и одинаков для всех динамически подобных потоков.
Следовательно, и коэффициент гидравлического трения X,
характеризующий трение в трубах, зависит от тех же параме-
тров, Поскольку все круглые трубы с гладкими стенками гео-
157
(6-19)
метрически подобны, то при условии подобия эпюр скоростей
значения А для них должны быть одинаковы. Однако, как будет
ясно из дальнейшего, подобие эпюр скоростей строго обосновы-
вается и подтверждается опытом только для ламинарных течений.
Следовательно, для ламинарных потоков в круглых трубах
формулой
л const
Z==-rT
коэффициент гидравлического трения определяется полностью.
При других режимах форма эпюры скорости зависит от числа Re,
и, следовательно, А не остается постоянным. Тем не менее из
сказанного вытекает, что в общем случае коэффициент местного
трения С/, а значит и коэффициент X, зависят от конфигурации
потока или, как говорят, от пограничной геометрии, а также
от числа Рейнольдса:
Z = /j(reoM., Re). (6-20)
б. Местное сопротивление в цилиндрической трубе. Пусть
по-прежнему Sj = Зг = 30, но на участке L имеется какое-либо
местное сопротивление, Тогда уравнение (6-12) получит вид
(Pi — Ра) = j р cos (пх) d 3 — j т cos (тх) d х.
se se
Вводя в рассмотрение число Эйлера
Еи = —V
V2
V2
Р1 -- р2 --- Р "2~
и разделив обе части последнего уравнения на 30, получим
j 2 Eu cos (пх) d (-j-) — j cf cos (xx)d .(6-21)
s6 s6
Интегралы в квадратной скобке безразмерны и определяются
как геометрией потока, так и параметрами, от которых зависят Ей
И Cf.
Следовательно, безразмерная величина
£м = J [2 Eu cos (пх) — Cf cos (тх)] dS,
s6
где 3 = 3/30, называемая коэффициентом местного сопротивле-
ния, зависит от числа Re [поскольку Cf выражается формулой
(6-18)1, а также от пограничной геометрии потока.
Вводя обозначения
£кв = 2 j Eu cos (пх) dS и = — | A cos (хх) dS
se
158
и учитывая (6-18), выражение для £м можно представить в виде
?м = ?кв + ^-. (6-22)
Из этой формулы вытекает, что для геометрически подобных
местных сопротивлений при одинаковых числах Re значения £м
будут одинаковы. При малых числах Re второй член (6-22),
т. е. A^Re, играет определяющую роль в величине £м, но при
возрастании Re этот член становится малым, и, следовательно,
число Re, а значит и вязкость, перестают влиять на величину £м;
при Re —»оо будет См —» £кв. Величина £кв *, как видно из фор-
мул, определяется характером распределения безразмерного дав-
ления по внутренней боковой поверхности местного сопротивле-
ния или местным числом Ей. Число Эйлера может зависеть от Re,
однако, с возрастанием последнего значения Ей стабилизируются
и определяются только геометрией и граничными условиями.
Поэтому при больших числах Re, когда силы вязкости прак-
тически не влияют на сопротивление, динамическое подобие,
а следовательно, одинаковые значения £м, обеспечиваются только
геометрическим подобием и одинаковыми граничными условиями.
Таким образом, в общем случае коэффициент местного гидрав-
лического сопротивления £м зависит от пограничной геометрии
и числа Рейнольдса:
?M = f2(reoM., Re).
Формулу (6-21) перепишем в краткой форме:
pi-p2=eM4-- <6-23)
С учетом уравнения Бернулли для сечений 1—1 и 2—2 (см,
рис. 63)
= = £„-£; (6-24)
V М ~М Од- ” х '
эта формула известна в литературе как формула Вейсбаха для
местных сопротивлений, а £м называют коэффициентом местного
сопротивления.
Заметим, что к этому виду можно привести и формулу (6-17),
если обозначить
ь=»-4- (6-25>
Тогда
£д 2g
* Индекс «кв» означает квадрэтичность сопротивления, т. е. пропорциональ-
ность потерь квадрату скорости. Этот режим течения достигается, когда число Re
велико, £кв Hj/Re и коэффициент £м не зависит от Re, а значит и от скорости.
159
Таким образом, формула (6-24) применима для всех видов
гидравлических сопротивлений, причем коэффициент сопротив-
ления £м (или £д) в наиболее общем случае зависит от конфигура-
ции потока и числа Рейнольдса. Установление конкретного вида
этих зависимостей опирается на экспериментальные данные.
§ 5
ОПЫТНЫЕ ДАННЫЕ О КОЭФФИЦИЕНТЕ
ГИДРАВЛИЧЕСКОГО ТРЕНИЯ
Рис. 64, Средняя высота вы-
ступа шероховатости Д и диа-
метр трубы (d = 2г0) — харак-
терные геометрические пара-
метры потока в трубе
По результатам экспериментов коэффициент X можно определить
с помощью формулы (6-17), если измерить среднюю скорость v
и падение напора йд.
Соображения, изложенные в предыдущем параграфе, дают
указания о рациональном, теоретически обоснованном способе
обработки таких опытных данных. Со-
гласно (6-20) следует искать эмпириче-
скую зависимость X от числа Re и ка-
кого-либо безразмерного параметра,
определяющего геометрическое подобие
потоков.
Для гладких круглых труб такого
параметра не требуется, поскольку все
круглые трубы геометрически подобны
и для них экспериментальные точки на
графике X = X (Re) должны образовать
единую кривую. Однако шероховатые трубы не являются геомет-
рически подобными, поскольку требование геометрического по-
добия должно распространяться не только на форму попереч-
ного сечения, но и на форму выступов неровностей стенок. Но
тогда при строгом подходе практически невозможно найти две
геометрически подобные трубы с естественной шероховатостью.
В связи с этим в качестве приближенного допущения принимают,
что шероховатые трубы будут геометрически подобными, если
отношение средней высоты выступа шероховатости А к радиусу г0
или диаметру d будет одинаковым (рис. 64). Тогда опытные дан-
ные следует обрабатывать в виде кривых
X = l(Re, А). (6-26)
Отношение A/d (или А/г0) называют относительной шерохо-
ватостью, а обратную величину d/A — относительной гладкостью.
И. Никурадзе (1933 г.) впервые обработал свои многочислен-
ные опытные результаты указанным способом и построил универ-
сальный график зависимости (6-26), приведенный на рис. 65.
Шероховатость в опытах Никурадзе создавалась искусственно
путем наклеивания калиброванных песчинок на внутреннюю
поверхность трубы. Такая шероховатость получалась равнозер-
160
нистой, чем существенно отличалась от естественной шерохова-
тости труб, образующейся в результате коррозии, отложений и т. п.
Рассмотрим подробно график Никурадзе (см. рис. 65). Ло-
гарифмические шкалы на осях координат выбраны с целью сде-
лать график наиболее компактным. На поле графика можно отме-
Рис. 65.Экспериментальный график зависимости коэффициента гидравлического
трения 1 от числа Рейнольдса Re и относительной гладкости 4/Д$ трубы при рад**
нозернистой шероховатости Д$ (графики Никурадзе)
1 •— зона ламинарного режима, изображаемая прямой. Здесь
точки, относящиеся к опытам с разной шероховатостью, ложатся
на одну прямую, уравнением которой служит зависимость
Следовательно, в пределах этой зоны X зависит только от
числа Re и не зависит от шероховатости стенок трубы. Границей
зоны служит значение абсциссы 1g 2300 = lg ReKP. Таким обра^
зом, данная закономерность имеет место при Re < ReKP,. т. е.
при ламинарном режиме в трубе.
В.диапазоне чисел Re — 2300->4000 осуществляется переход
от ламинарного течения к турбулентному. В потоке наблюдается
неустойчивость, порождаемая периодическим возникновением оча-
гов турбулентности и их исчезновением.
2 — зона гладкостенного течения, образуемая опытными точ-
ками; расположенными вдоль другой прямой. Здесь X также не
зависит от шероховатости:
*4 = A2(Re).
6 Б. T. Емцев 161
Границей зоны ориентировочно могут служить значения
4000 с Re < 20
as
где индексом s отмечена равнозернистая шероховатость.
Структура потока в пределах гладкостенной зоны может быть
представлена схемой, приведенной на рис. 66, а. При турбулент-
ном течении вблизи стенки сохраняется вязкий подслой, движение
в котором преимущественно ламинарное. Толщина подслоя бл
достаточна, чтобы покрыть все неровности стенки, благодаря
чему движение турбулентного ядра потока происходит как бы
в гладкой трубе. Трубы, работаю-
щие в таком режиме, иногда назы-
вают гидравлическими гладкими.
3 — доквадратичная зона сопро-
тивления, которая ограничивается
линией гладкостенного режима и
штриховой линией к—к (см. рис. 65),
образованной точками, отделяющими
горизонтальные участки кривых.
Можно видеть, что в зоне 3 каждая
кривая отвечает определенному зна-
чению относительной гладкости.
Здесь имеет место наиболее общий случай
^-Ч(Ке.
Границами зоны приближенно могут служить значения
20 ~ « Re < 500 4--
&S
4 — зона квадратичного сопротивления, образуемая гори-
зонтальными участками кривых. Очевидно, в этой зоне коэф-
фициент X не зависит от Re, т. е.
гЯдро
Вязкий'
подслой
J)
а)
Рис. 66. Структура турбулентного
потока вблизи шероховатой стенки:
а — режим гладкостенного тече-
ния; б — режим проявления шеро-
ховатости
Эта зона имеет место при
Re >500£,
а структура течения схематически представлена на рис. 66, б,
согласно которому толщина вязкого подслоя весьма мала и вы-
ступы шероховатости приходят в непосредственное взамодей-
ствие с турбулентным потоком.
График Никурадзе дает общее представление о характере
зависимости % = X (Re, d/As) для труб с искусственной зернистой
шероховатостью As. Многочисленные более поздние исследования
на трубах с естественной, неравномерной шероховатостью обна-
162
ружили некоторые отличия в ходе экспериментальных кривых.
На рис. 67 даны графики, построенные по результатам опытов
с промышленными трубами, проведенных рядом советских иссле-
дователей, главным образом Г. А. Муриным во ВТИ им. Ф. Э. Дзер-
жинского. Можно видеть, что вид кривых в зоне 3 на графиках
Рис. 67. Экспериментальные графики зависимости коэффициента гидравлического
трения X от числа Рейнольдса Re и гладкости d/Л стенок для промышленных труб
с неравномерной шероховатостью Л
Никурадзе и Мурина несколько различен, что объясняют нерав-
номерностью шероховатости естественных труб. При увеличе-
нии числа Re в соприкосновение с турбулентным ядром вступают
вначале наиболее высокие выступы, а затем постепенно остальные.
Этим, как считают, обусловлено плавное снижение ординат кри-
вых в зоне 3.
Перейдем к подробному описанию течений в пределах каждой
из зон сопротивления. Основными вопросами, которые нас будут
интересовать, являются закон распределения скоростей и закон
сопротивления при разных режимах течения.
6* 163
§6
ЛАМИНАРНОЕ ТЕЧЕНИЕ В КРУГЛЫХ ТРУБАХ
И ПЕРЕХОД К ТУРБУЛЕНТНОМУ
Рассмотрим установившийся ламинарный поток в круглой цилин-
дрический трубе, выбрав цилиндрическую систему координат,
как показано на рис. 68. Предполагая линии тока прямыми,
параллельными оси трубы, легко заключим, что иг = ив = 0;
и2 =/= 0. Тогда из уравнения неразрывности (2-25) получим
dujdz = 0, откуда иг — иг (г, 6).
Поскольку это условие должно выполняться во всех точках
потока, то и 4^- = 0. Учитывая, что поток в трубе осесимме-
1 2
Рис. 68. К выводу формулы для потерь на-
пора при ламинарном движении жидкости
в цилиндрической трубе
тричен, заключаем, что все па-
раметры течения не должны за-
висеть от переменной 0, т. е.
3 л д2 л rz
-й = 0 и -ass- = 0. Кроме того,
30 302 1 ’
пренебрегаем действием массо-
вых сил. Тогда уравнения (5-14)
Навье — Стокса в цилиндриче-
ских координатах существенно
упростятся:
др _ п. дР _ л._____________•_ др
дг ’ 30 ’ р дг
Из первого уравнения следует, что давление по живому сече-
нию трубы постоянно и зависит только от z (это является след-
ствием пренебрежения влиянием силы тяжести). Последнее урав-
нение перепишем в виде
dr2 ' г dr ц дг ’
что равносильно форме
I д / ди \ 1 dp
г dr \ dr ) ц дг ‘
Поскольку правая часть этого уравнения не зависит от г,
то-его можно дважды проинтегрировать и получить
« =-т—4-Ci In г + Са.
4р d г 1 1 1
Так как скорость всюду должна иметь конечное значение, а при
г —» 0 последняя формула дает и —>оо, то физически реальный
результат получим лишь при Ct= 0. Для определения С2 ис-
пользуем граничное условие на стенке трубы:
и (го) — 0> гДе го — радиус трубы. Следовательно,
г _ 1 dP г'2
с2---------4ц d г °’
Тб4
(6-28)
(6-29)
и закон распределения скоростей выразится формулой
<6-271
На оси трубы, т. е. при г = 0, скорость должна достигать
максимального значения
1 d р 0
Um~
Разделив (6-27) на (6-28), получим безразмерную форму закона
распределения скоростей
и ____ . г2
Очевидно, пространственная эпюра скорости представляет
собой параболоид вращения с основанием лго и высотой ит (см.
рис. 68). Расход жидкости несложно вычислить по зависимостям
г«
Q = 2nru d г = 2лы,
'2 \ j 2 Um
Т d'=
(6-30)
и 0
Поскольку со средней скоростью v расход связан формулой
Q = лгои, то р = у , т. е. при ламинарном режиме в круглой
трубе максимальная скорость вдвое больше средней. Учитывая
(6-28), находим
,, — 1 dP г2
8р. dz °'
Если длина расчетного участка между сечениями с давлениями
и р2 равна I (см. рис. 68), то, интегрируя (6-31) по г, получим
формулу Пуазейля
8u.lv
Pl~Pi = -7г
'0
определяющую падение давления на участке /. Ей можно придать
вид
32uZo
Pl-Pi =
(6-31)
(6-32)
(6-32)'
или, учтя, что Pl р?- = ha и р = vp, форму
, 32\7о
П, =----
я sd2
Записав эту формулу в виде
, _ 64 I vt
пь~ ud_ d 2g
v
(6-32)'
165
и сопоставляя с формулой Дарси-Вейсбаха (6-17), заключаем,
что для рассматриваемого случая
- — 64 _ 64
vd Re ’
v
этот результат находится в полном согласии с опытными данными
Никурадзе (см. рис. 65).
Полученный закон распределения скоростей (6-29) позволяет
путем непосредственного вычисления по (6-7) убедиться, что для
данного случая а = 2. Используя этот же закон, нетрудно уста-
v = 0
Ро
Рис. вв. Начальный участок ламинарного потока в трубе
новить, что ламинарный поток в круглой трубе является вихревым.
Предоставляем читателю самостоятельно найти выражение для
вихря или угловой скорости и показать, что вихревыми линиями
являются концентрические окружности с центрами на оси трубы,
плоскости которых нормальны к ней.
Таким образом, мы получаем полное и строгое теоретическое
описание ламинарного течения в круглой трубе. Однако такое
течение может иметь место только на участках стабилизирован-
ного течения, которое устанавливается на некотором расстоянии
от входа в трубу.
Если вход в трубу из резервуара выполнен достаточно плав-
ным, специально рассчитанной конфигурации, то в начальном
сечении 1—1 устанавливается практически равномерное распре-
деление скоростей (рис. 69). По мере движения жидкости тормо-
зящее влияние стенок распространяется на все большую толщу
потока. На некотором участке, называемом начальным или вход-
ным, поток имеет ядро, где сохраняется равномерное распределе-
ние скоростей, и пристенный пограничный слой, где скорости
распределяются неравномерно. Сечение ядра вниз по течению
убывает, а толщина пограничного слоя возрастает. В конце
участка /нач пограничный слой смыкается на оси трубы, и ниже
по течению устанавливается параболическое распределение ско-
ростей соответственно (6-29). Точнее говоря, это распределение
скоростей достигается асимптотически, но с достаточной для
практики точностью можно указать конечное расстояние /нач.
166
Потери напора на начальном участке строго не подчиняются
формуле Пуазейля, ибо здесь не выполняется основная предпо-
сылка о прямолинейности линий тока. Расчет этих потерь может
быть выполнен методами непосредственного решения уравнений
Навье—Стокса или методами теории пограничного слоя, излагае-
мой в гл. 8. Для ориентировочной оценки падения давления на
начальном участке трубы можно в первом приближении принять,
что потери на трение определяются формулой Пуазейля. Тогда
уравнение Бернулли, составленное для сечений 0—0 и 2—2
(см. рис, 69), дает
Ро _ р2 । «2у2 . 32у/„ачо
Pg Pg "Г 2g "* gd2
Так как а2 = 2, то получим
= ^-(2 + (6-33)
pg 2g \ 1 Re d ) ' '
Как показывают опыты, первое слагаемое в скобке правой
части (6-33) больше 2 и, по Шиллеру, колеблется от 2,16 до 2,45.
Более точные расчетные формулы можно получить с помощью
упомянутых выше методов. Такие решения были получены Бус-
синеском, Шиллером и другими исследователями. Наилучшее
совпадение с обстоятельными опытами Никурадзе дает решение
С. М. Тарга [17], по которому длина начального участка опре-
деляется формулой
/йа, = 0,04d Re, (6-34)
т-, vd
где Re = —.
V
Описанный в этом параграфе характер течения и соответству-
ющие ему зависимости имеют место только при устойчивом лами-
нарном режиме, т. е. при Re < ReKp. При значениях Re > ReKP
возможно нарушение ламинарного характера течения и возник-
новение турбулентности. Механизм перехода от ламинарного
течения к турбулентному достаточно сложен и, несмотря на много-
численные исследования, выяснен не полностью. Тем не менее
можно дать хотя и схематичное, но достаточно близкое к реаль-
ной картине описание движения при околокритических числах
Re. Так, при числах Re, немного меньших ReKP, в ламинарном
потоке периодически появляются кратковременные очаги турбу-
лентности, которые могут на отдельных участках заполнять все
сечение потока, образуя «турбулентные пробки». Этот переходный
процесс можно характеризовать долей А/ некоторого интервала
времени Т, в течение которой в данной точке потока существует
турбулентный режим. Величину у = МТ называют коэффи-
циентом перемежаемости. По мере возрастания числа Рейнольдса,
а также при удалении от входа в трубу величина у непрерывно
возрастает.
167
На рис. 70 приведена полученная И. Ротта экспериментальная
зависимость коэффициента перемежаемости от расстояния х от
входа в трубу при разных числах Re. Ход кривых показывает,
что в диапазоне переходных чисел Re = 23004-2600 полностью
турбулентный режим устанавливается на тем большем расстоя-
нии от входа, чем меньше число Рейнольдса.
При возрастании числа Re турбулентный режим в каждом
сечении существует все более длительное время, и, наконец,
поток становится стационарно турбулентным. Появление турбу-
лентных очагов наступает тем раньше, чем больше возмущений
испытывает поток при входе в трубу. Если вход сделать плавным
и устранить другие источни-
ки возмущений, то ламинар-
ный режим можно получить
при больших числах Re. Так
были получены ламинарные
режимы при Re s 20 000 и
даже при Res40 000. Одна-
ко такие «затянутые» лами-
нарные режимы оказывались
Рис. 70. Зависимость коэффициента перемежа- НеуСТОЙЧИВЫМИ, Т. е. Внесение
Х0^Ив¥т°р;бб;3иРа=Те расстояния x‘d °т в поток даже очень малых
возмущений приводило к
турбулизации. Поэтому критическое значение числа Рейнольдса
следует понимать как границу устойчивого ламинарного режима
в том смысле, что при Re < ReKp любые внешние возмущения,
вносимые в поток, будут с течением времени затухать и поток
сохранит ламинарный характер 1. При Re > ReKP в зависимости
от условий опыта может существовать ламинарный или турбулент-
ный режим. Для круглых труб ReKp = 2300.
Переход от ламинарного течения к турбулентному сопро-
вождается изменением закона сопротивления, что наглядно
иллюстрируется графиком Никурадзе (см. рис. 65), а также
изменением формы эпюры местных скоростей, причем для
турбулентного потока речь идет о местных усредненных скоро-
стях.
В переходной области форма профиля скорости уже не сохра-
няется параболической, а зависит от коэффициента перемежаемости.
Поскольку здесь возможно существование как ламинарного, так
и турбулентного режима, то одному и тому же числу Рейнольдса
могут соответствовать разные профили скорости.
Математическое описание явлений неустойчивости ламинарных
течений и переходных процессов достаточно сложно; некоторые
1 Такое определение критического числа Рейнольдса соответствует встреча-
ющемуся в литературе термину «нижнее критическое чиело Рейнольдса». «Верх-
ним» критическим числом Re иногда называют то его значение, при котором уста-
навливается стабильный турбулентный режим.
168
дополнения к описанию качественной стороны этих явлений даны
в гл. 9, но изложение количественных результатов выходит за
рамки настоящего курса.
§7
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТЕЙ
ПРИ ТУРБУЛЕНТНОМ ТЕЧЕНИИ В ТРУБАХ
В § 5 гл. 5 указано, что при развитом турбулентном режиме
течения турбулентные напряжения в точках, лежащих за пре-
делами вязкого пристенного подслоя, могут намного превосходить
вязкостные напряжения. В связи с этим приближенный расчет
турбулентного течения в трубе можно построить на двухслойной
модели течения, предполагая, что в пределах вязкого подслоя
течение ламинарное, а в центральной части потока (в турбулент-
ном ядре) эпюра (профиль) усредненной скорости и закон сопро-
тивления целиком определяются турбулентными напряжениями.
Тогда, основываясь на одной из полуэмпирических теорий (напри-
мер, на теории пути перемешивания Л. Прандтля), можно уста-
новить структуру расчетных зависимостей как для профиля ско-
рости, так и для закона сопротивления.
Получаемые таким путем формулы не вполне удовлетвори-
тельны, так как хотя и дают хорошее соответствие экспериментам
для турбулентного ядра течения, но не удовлетворяют некоторым
естественным условиям (например, равенству нулю градиента
скорости на оси трубы). Усилия многих исследователей были
направлены поэтому на уточнение полуэмпирических теорий,
в первую очередь путем учета молекулярной вязкости в турбулент-
ном ядре. В этом направлении достигнуты определенные успехи.
В частности, получены достаточно удобные расчетные зависимости
для коэффициентов сопротивления, применимые в широком диапа-
зоне изменения параметров. Тем не менее не потеряли своего зна-
чения и основные результаты основоположников полуэмпириче-
ских теорий, поскольку ими были установлены фундаментальные
закономерности течения в трубах. Одной из таких фундаменталь-
ных закономерностей является логарифмический закон распре-
деления скоростей турбулентного потока в круглой цилиндри-
ческой трубе, к обоснованию которого мы и перейдем.
Полагаем, что в турбулентном ядре можно пренебречь вязкост-
ными напряжениями и положить т ~ тс.
Для турбулентного напряжения примем формулу Л. Прандтля
(5-30)
В отличие от безнапорного потока вдоль плоской стенки, при
течении в трубе напряжение т не остается постоянным по живому
сечению, а зависит от координаты у. Чтобы установить вид этой
169
зависимости, применим основную формулу равномерного движе-
ния (6-14) к цилиндрическому элементу радиуса г, выделенному
сечениями 1 и 2 (рис. 71).
<r = pg-7?4 = pg -у Jr‘
Для напряжения на стенке имеем
Го т
причем значение гидравлического уклона Jr в обеих формулах
одинаково. Заменяя г через г0—у (см. рис. 71), получим
Рис. 71. Линейное распределение касатель-
ных напряжений для потока в цилиндриче-
ской трубе
— = — или <г = тп
То Го “
У \
Го / *
(6-35)
Таким образом, касательное
напряжение в равномерном по-
токе распределяется по линей-
ному закону. Существенно за-
метить, что этот вывод справед-
лив как для турбулентного, так
и для ламинарного течений, ибо
он вытекает из уравнения (6-14),
которое пригодно для любого из этих режимов. Кроме того, из (6-35)
следует, что при — < 1, т. е. вблизи стенки, можно считать
т = тй = const. Это указывает на существование у стенки тон-
кого слоя, в котором имеет место почти линейный закон распре-
деления скоростей (ибо т0 = р — const и const).
Такое распределение характерно для ламинарного безнапорного
течения (течение Куэтта). Этим дополнительно обосновывается
существование у стенки вязкого подслоя с ламинарным режимом
течения. В действительности современные эксперименты обнару-
живают наличие турбулентных пульсаций во всей толще потока
вплоть до стенки. Однако при малых, исчисляемых долями милли-
метра расстояниях от нее эти пульсации слабы и не оказывают
заметного влияния на режим течения.
Заменив теперь в формуле Прандтля значение тт по (6-35)
и пользуясь обозначением и* = > получим
1 -
У
Гц
,2 ( du \ г
\ dy )
Поскольку динамическая скорость и* — постоянная величина,
то последнее уравнение можно было бы проинтегрировать по у,
если бы была известна функция I (у). В § 10 гл. 5 мы видели, что
170
для простейшего случая безграничного потока вдоль плоской
стенки неплохие результаты дает гипотеза Прандтля I = v.y.
Однако для трубы это предположение неприемлемо, что подтверж-
дается опытами Никурадзе (рис. 72). Можно видеть, что значе-
ние I достигает максимума на оси трубы. Были сделаны попытки
найти I (у) теоретически или дать удобную аппроксимирующую
зависимость. Кривые, построенные по данным разных авто-
ров, приведены на рис. 72.
Вполне удовлетворительное со-
впадение с опытными данными
дает формула А. Д. Альтшуля
(кривая 3 на рис. 72)
Г _ и / и \ 2 1
0,15
0,10
0,05
1/г
0,20
О 0,20 0,40 ЦМ 0,80 у/г
Рис. 72. Распределение длины пути переме-
шивания в поперечном сечении круглой
трубы по данным опытов и по формулам раз*
ных авторов:
1 — по Прандтлю; 2 —• по Карману; 3 —
по Альтшулю; 4 —• по Конакову; 5 — по
Саткевнчу; опытные точки — по Нику*
радае (Re = 3,2» 10е)
/ = их
с помощью которой можно по-
лучить уравнение для профиля
скоростей, также хорошо со-
гласующееся с опытами. Одна-
ко, приняв и более грубое при-
ближение для I (у), но дающее
более удобную формулу для
закона распределения скорос-
тей, можно получить согласие
с опытом, практически вполне
оказывается приемлемой формула А. А. Саткевича
удовлетворительное. В частности,
/ = иу
(6-36)
Го ’
хотя, как можно видеть из рис. 72, она дает значительное расхож-
дение с измерениями Никурадзе, особенно вблизи оси трубы.
Причиной приемлемости этой формулы является то, что вблизи
оси трубы градиенты скорости малы, а значит согласно (5-30)
малы и турбулентные напряжения. Поэтому ошибка в значениях
длины пути перемешивания I для этой области не влияет сколько-
нибудь существенно на получаемый расчетом профиль скоростей.
Если принять для I формулу А. А. Саткевича, то из (6-35)
получаем уравнение
du _ и*
dy ~ иу ’
которое в дифференциальной форме определяет закон распреде-
ления скоростей. Интегрируя его, найдем зависимость
« = v 1п^+ С«
(6-37)
(6-38)
т. е. логарифмический закон распределения скоростей, который
имеет место и для потока вблизи плоской стенки (§ 5 гл. 5).
171
Обратим внимание на очевидные недостатки этого закона приме-
нительно к течению в трубе. При у —* 0 и —♦— оо, что физически
нереально. Следовательно, логарифмическая формула не может
описывать распределение скоростей турбулентного потока в не-
посредственной близости от стенки.. Этого можно было ожидать,
так как вблизи стенки существует вязкий подслой, течение в ко-
тором характеризуется значительным влиянием сил вязкости,
и, следовательно, пренебрежение последними, лежащее в основе
предыдущего вывода, недопустимо.
Второй особенностью логарифмической формулы (6-38) яв-
ляется то, что на оси трубы она дает
4±i = _^о.
dy \у=г,
Между тем естественным условием на оси, подтверждаемым
du I Л
опытными данными, является -г- =0.
dy
Несмотря на эти недостатки, логарифмический профиль (6-38)
в основной части турбулентного ядра потока хорошо согласуется
с опытными данными многих исследователей, в чем мы убедимся
ниже.
Для удобного сопоставления теории и опыта преобразуем
(6-38) к безразмерному виду. Вместо размерного расстояния от
стенки у введем безразмерную переменную
х = —
V
структура которой обосновывается соображениями размерности.
Тогда, согласно (6-38) '
и e±Mn(x — \ + С
к \ ut ) 1
или
-Д- = A 1g ^-4- В, (6-39)
где после перехода от натуральных логарифмов к десятичным
обозначено
Коэффициент А в этой формуле должен быть, очевидно, по-
стоянным; это следует из основной гипотезы Л. Прандтля о длине
пути перемешивания. Что же касается параметра В, то он опре-
деляется условием на границе турбулентного ядра течения с вяз-
ким подслоем и, следовательно, должен зависеть от условий тече-
ния вблизи стенки. В частности, на него может влиять шерохова-
тость, но для всех гладких стенок он должен быть одинаковым.
172
Эти гипотетические соображения должны быть проверены опытом,
но в общем виде формула (6-39) может быть переписана в виде
= “> ₽•••)» (6-40)
где а, р — параметры, характеризующие условия на стенке
(например, форму и величину выступов шероховатости),
и
28
29
20
16
12
6
Ч
О
Рис. 73. Универсальный профиль скорости при турбулентном течении в глад-
ких трубах j
Для гладких труб является естественным попытаться найти
единую зависимость iz/u* от . На рис. 73 представлены резуль-
таты многочисленных экспериментов при разных числах Re,
обработанные в виде зависимости
= (6-40)'
Три кривые на рисунке соответствуют разным участкам эпюры
скорости, для каждого из которых применен свой масштаб, пока-
занный на чертеже. Можно видеть, что зависимость (6-40) дей-
ствительно является универсальной для гладких труб.
Еще нагляднее универсальный вид этой зависимости пред-
ставлен на рис. 74, где по оси абсцисс отложены 1g . В этих
координатах уравнение (6-39) изобразится прямой, по которой
нетрудно определить параметры А и В. Согласно рекомендациям
Никурадзе, А — 5,75; В — 5,5. Следовательно, уравнение (6-39)
имеет вид
— = 5,751g + 5,5. (6‘41)
Ut ° V ' ’
173
Прямая, соответствующая этому уравнению, на рие. 74 на-
несена сплошной линией. Можно видеть, что она неплохо аппрокси-
мирует опытные точки всюду, за исключением зоны, близкой
к стенке (зона малых х). Это расхождение вполне объяснимо, так
как нам известно об увеличении влияния вязкостных напряжений
по мере приближения к стенке, которые в рассматриваемой теории
не учитываются.
У о U О о О
10 1,4 1,8 2,2 28 3,0 3,4 3,8 4,2 4,8, и*ц
Рис., 74., Логарифмический закон распределения скоростей в гладких трубах
(Re = 4,0.10а + 32,4«106)
Если условную границу вязкого подслоя обозначить 6Л, то
формула (6-41) будет применима при
X >
v
Для определения величины 6Л учтем, что в вязком подслое
du ил
где ил — скорость на его границе. Иначе,
2 ил ил Ыл,6л ip « q,
и » v или — = * . (6-42)
* вл U, V v
Из (6-41) следует
= 5,75 ig + 5д (б-43)
Решая совместно (6-42) и (6-43), найдем хл = = 11,6.
‘174
Следует, однако, иметь в виду, что поскольку уравнение (6-41)
не абсолютно точно воспроизводит расположение опытных точек,
а вблизи стенки дает заметное расхождение с ними, то значения
коэффициентов А и В могут несколько колебаться, а значит, и
величина хл определяется лишь приблизительно.
Итак, получаем толщину вязкого подслоя
бл=11,6-^. (6-44)
Рис. 75. Зависимость от —Д по данным
Никурадзе
До сих пор мы рассматривали только гладкие стенки. Но все
реальные трубы имеют ту или иную шероховатость внутренней по-
верхности, среднюю высоту
выступов которой обозна-
чим А. Можно ожидать, что
установленные выше законо-
мерности будут справедливы
и в тех случаях, когда в ше-
роховатых трубах вязкий
подслой имеет толщину бл,
большую А. Тогда турбулент-
ное ядро потока не будет
испытывать непосредственно-
го влияния выступов шеро-
ховатости, и последние никак не повлияют на распределение скоро-
стей. Трубы, работающие в таком режиме, называют гидравли-
чески гладкими. При малых толщинах вязкого подслоя следует
ожидать существенного влияния шероховатости на закон распре-
деления скоростей. В частности, величина В в формуле (6-39),
поскольку она должна определяться граничными условиями, мо-
жет уже не быть постоянной, а будет зависеть от пограничной
геометрии, т. е. шероховатости трубы.
Для проверки этих предположений и установления формы про-
филя скоростей в шероховатых трубах в формуле (6-39) умножим
числитель и знаменатель величины на А. Тогда
^ = ^lgf + Alg^ + B==>41g-f+ 5Х. (6-45)
На графике рис. 75 нанесены значения Bt = A 1g. + В
как функции параметра Д^- , вычисленные по данным опытов
Никурадзе двумя разными способами х. Можно видеть, что при
1g < 0,6, т. е. при -Д^- с 4, функция В, изобра-
жается наклонной прямой, а значит, А — const (s5,75); В
1 Напомним, что опыты Никурадзе производились с трубами, стенки ко-
торых оклеивались калиброванными песчинками и таким образом создавалась
искусственная равнозернистая шероховатость.
173
= const (^5,5). Легко убедиться, возвращаясь к формуле (6-45),
что в этом случае — f , т. е. профиль скорости вовсе
не зависит от шероховатости. Это и есть режим гидравлически глад-
кого течения. В диапазоне 0,6 с 1g —<• 1,7 имеет место проме-
жуточный режим, при котором В и зависят от -, и, следо-
Рис. 76. Логарифмический закон распределения скоростей в шерохова-
тых трубах при квадратичном законе сопротивления
вательно, профиль скорости зависит от шероховатости. При этом
толщина вязкого подслоя оказывается лишь незначительно пре-
вышающей или меньшей, чем средняя высота выступов шерохова-
тости А, и потому обнаруживается их влияние на турбулентное
ядро. На графике Никурадзе (см. рис. 65) этому режиму соответ-
ствует доквадратичная зона сопротивления.
Наконец, при 1g ?> 1,7 величина Bt не зависит от и
согласно графику Вг 8,5. В этом случае профиль скорости (6-45)
не зависит от вязкости и в координатах £- и 1g -|- изображается
прямой. Это иллюстрируется рис. 76.
При таком режиме толщина вязкого подслоя становится на-
столько малой, что он практически не влияет на характеристики
течения. Этот режим соответствует квадратичной зоне сопротивле-
ния на графике Никурадзе (см. рис. 65).
Можно заметить, что если Bt = const, то, изменяя шерохо-
ватость, мы изменяем величину слагаемого в правой части (6-45),
и, следовательно, при данном режиме профили скоростей в тру-
бах с одинаковыми значениями и*, но разными шероховатостями,
176
могут быть получены друг из друга путем сдвига вдоль оси на
величину, одинаковую для всех значений у.
Учитывая обнаруженную зависимость от можно ут-
верждать, что в наиболее общем случае
= А + f (6-46)
чем выражается универсальный закон распределения скоростей
при турбулентном течении в шероховатых трубах.
Наряду с полуэмпириче-
ским описанием распределе-
ния скоростей в трубах, в
практических расчетах и не-
которых теоретических по-
строениях используют более
простые эмпирические фор-
мулы. Наиболее распростра-
ненной эмпирической форму-
лой распределения скоростей
в трубах является степенная
Рис. 77. Профили споростей при ламинарном
и турбулентном течениях в трубах
(6-47)
где ит — значение скорости
на оси трубы.
Показатель степени п в
этой формуле не постоянен и
убывает с возрастанием чис-
ла Рейнольдса. Так, при
Re = 4 103 он составляет 1/6,
а при Re — 32,4-Ю5—1/10.
ответствует гладкостенному режиму течения, равно 1/7. Для этого
случая получил широкое применение «закон корня седьмой
Среднее значение п, которое со-
степени»
и _ / у \1/7
Um ~ \ ГО )
(6-47)'
Недостатком степенной формулы (6-47), как и всякой эмпири-
ческой зависимости, является ограниченный диапазон изменения
параметров (в данном случае числа Рейнольдса), в котором она
применима. Кроме того, она дает неверные значения градиентов
скоростей на оси трубы и у стенки. Однако простота этой формулы
и удовлетворительное согласие с опытом в большей части сечения
трубы делает ее удобной для технических расчетов.
На рис. 77 приведены эмпирические кривые распределения ско-
ростей турбулентного потока при разных числах Re, построенные
177
по данным опытов Никурадзе. Там же для сравнения нанесена кри-
вая по формуле (6-29), соответствующей ламинарному режиму.
Можно видеть, что профили скоростей для турбулентного потока
более наполненные, чем для ламинарного, т. е. распределение ско-
ростей у первого более равномерное. Это объясняется выравнива-
ющим действием турбулентного перемешивания.
§ 8
СОПРОТИВЛЕНИЕ ДВИЖЕНИЮ ЖИДКОСТИ В ТРУБАХ
ПРИ ТУРБУЛЕНТНОМ РЕЖИМЕ
Подобно тому, как для случая ламинарного режима, используя
параболический закон распределения скоростей, оказалось воз-
можным установить закон сопротивления (формулу Пуазейля),
так и для турбулентного течения, используя логарифмическую
формулу, можно получить зависимости для коэффициента гид-
равлического трения. Вначале рассмотрим случай гидравлически
гладких труб.
Из формулы (6-41), полагая у = г0, получим выражение для
максимальной скорости
= 5,751g + 5,5. (6-48)
Вычитая из этого равенства (6-41), находим
= — 5,751g(6-49)
Разность Um~u t называемая недостатком или дефицитом без-
размерной скорости, является, таким образом, функцией только
безразмерного расстояния от стенки у/г0 и не зависит от вязкости.
Из (6-49) можно вывести связь между средней v и максималь-
ной ит скоростями. Для этого учтем, что
Q 1 7 о ,
v = = —7 2пги а г.
0 о
Разрешая (6-49) относительно местной скорости и и внося
ее выражение в последнее равенство, получим
г0
v = um + [ 2,5 In —г dr,
'о г
где десятичный логарифм заменен натуральным.
После вычисления
v = ит — 3,75м*.
Обработка экспериментальных данных, выполненная Нику-
радзе, показала, что коэффициент 3,75 должен быть заменен на
т
4,03. Тогда связь между средней и максимальной скоростями
получится в виде
Ит~ц = 4,03.
11 1
(6-50)
Таким образом, при изменении числа Рейнольдса разность
максимальной и средней скоростей изменяется пропорционально
динамической скорости и*. Это означает, что в турбулентном по-
токе в отличие от ламинарного отношение средней скорости к мак-
симальной не является постоянной величиной. Если в (6-50) за-
менить значение ит по формуле (6-48), то легко получить
— = 5,751g 2^-|_ 1,47.
ы > ь v I
(6-51)
Чтобы перейти к коэффициенту сопротивления, учтем фор-
мулу (6-14) т0 = O,5pgroJr, где гидравлический уклон Je =
= (Xu2)/2gd. Отсюда следует
С помощью этого соотношения в формуле (6-51) можно исклю-
чить динамическую скорость и*, введя вместо нее величины X
и о. После простых преобразований получим
L = 2,03 lg (Rej/X) - 1,01,
(6-52)
где Re = .
Таким образом, из логарифмического закона распределения
скоростей при турбулентном гладкостенном течении в трубах по-
лучается логарифмическая зависимость для коэффициента гидрав-
лического трения X. Как видно из этой зависимости, при данном
режиме коэффициент X однозначно определяется числом Re, что
хорошо подтверждается многочисленными экспериментами. Это же
следует и из графика Никурадзе (см. рис. 65). Кроме того, на
рис. 78 приведены экспериментальные данные разных авторов;
по оси абсцисс отложены значения lg (Re]/X), а по оси орди-
нат 1/]/Х. Связь между этими величинами линейная и полностью
подтверждает структуру формулы (6-52). Однако, согласно ре-
комендациям Никурадзе, для наилучшего совпадения с опытом
в ней следует несколько изменить коэффициенты, записав
==-= 2,0 lg (Re]/x) — 0,8.
(6-53)
В литературе эту формулу называют формулой Никурадзе
для гладких труб. Важным достоинством этой формулы является
ее теоретическая обоснованность, а практическим недостатком —
неявное выражение X через Re. В технических расчетах чаще ис-
пользуют другие полуэмпирические или эмпирические формулы
(табл. 3).
Обратимся теперь к рассмотрению режима квадратичного со-
противления в шероховатых трубах. Для вывода соответствую-
Рис. 78. Зависимость коэффициента гидравлического трения 1 от числа Re для
гладких труб (точки — опытные данные разных авторов); прямая линия соответ-
ствует формуле (6-53)
щей формулы выполним преобразования, аналогичные предыду-
щим.
Полагая у — г0, из формулы (6-45) получаем выражение для
максимальной скорости
^L = Xlg^+Blr (6-54)
а вычитая это уравнение из (6-45), находим дефицит скорости
-т.~-и = — A 1g —, где А = 5,75.
и* ' .
Вычисляем среднюю скорость
v — -Дт | 2лгн dr = ит — 3,75и4
о j
и в формуле (6-54) исключаем максимальную скорость
= 5 751g 22-В _ 3,75.
U, ’ ь д I 1 >
Вспоминая, что и* = у v и для квадратичной зоны сопро-
180
тивления Bj = 8,5, приходим к формуле
-2=-= 2 1g 4 +1,74, (6-55)
в которой числовые значения постоянных несколько исправлены
для наилучшего совпадения с данными опытов.
Таким образом, полуэмпирическая теория позволяет устано-
вить структуру расчетных формул для коэффициента гидравли-
ческого трения А в гладкостенной [формула (6-53)1 и квадратич-
ной [формула (6-55)] зонах сопротивления. Корректировка по-
стоянных в этих формулах дает зависимости, хорошо аппроксими-
рующие опытные данные.
Наряду е приведенными формулами для определения коэф-
фициента А разными исследователями получены иные полуэмпи-
рические или эмпирические формулы, достаточно простые и точ-
ные. Так, в частности, А. Д. Альтшуль, рассматривая турбулент-
ный поток в трубе как единое целое, т. е. не выделяя в нем вязкий
подслой, и учитывая не только турбулентные, но и вязкостные
напряжения, получил зависимости для распределения скоростей
и закона сопротивления, справедливые для всех трех зон турбу-
лентного режима. Приведенные выше формулы Прандтля—Ни-
курадзе получаются из формул Альтшуля как частные случаи.
Формула Альтшуля для коэффициента А имеет вид
1 о пл I / 2,82 , А \ '
/I _ ’ g ( Re V'T 2,5d ) '
Преимуществом этой формулы является ее универсальность,
однако для практического использования она не вполне удобна,
так как дает величину А в неявном виде. Используя некоторые
допущения, А. Д. Альтшуль получил приближенную формулу,
дающую достаточно точные результаты во всех трех турбулент-
ных зонах сопротивления:
^=°-11(4+>Г- <6-56)
Если трубы достаточно гладкие и A/d 68/Re, то. эта формула
практически совпадает с эмпирической формулой Блязиуса для
гладкостенного режима
л 0,316 /п Е7\
к; <6-57)
а если трубы шероховатые и число Re достаточно велико, так что
A/d 68/Re, — то с формулой Б. Л. Шифринсона для квадра-
тичной зоны
А = 0,11 (А)0'25. (6-58)
В табл. 3 даны удобные для практического использования рас-
четные формулы коэффициента А во всех зонах сопротивления.
Таблица 3
Зона сопротив- ления (см. рис. 65) Режим течения Границы зоны Расчетные формулы
I Ламинарный Re < 2300 X = 64/Re
II Турбулент- ный, глад- костей ный 4000sgRe==:20-^- д X = ₽(Re<‘°?) (Блязиус) Х= (1,81g Re-1,5)-2 (Конаков) Для всех турбулент- ных режимов Х = 0,11 X х(4+ 68 \0.25 1 Re / (Альтшуль)
III Турбулент- ный, до- квадратич- ный 2oX<Resg д sg500 ~ д 4.)
IV Турбулент- ный, ква- дратичный Re > 500 1-0,!1 (4) (Шифринсон) Х= (1,74 + 21g Г±у (Никурадзе)
Понятие средней высоты выступа шероховатости А, которое
мы использовали в изложенных выше выводах и которое фигури-
рует в формулах табл. 3, недостаточно для полного учета влияния
шероховатой стенки на поток. Действительно, на распределение
скоростей и сопротивление влияет не только средняя высота вы-
ступов, но и их форма, а также расположение на стенке. Это до-
казано опытами ряда авторов. Так, попытки Шлихтинга повторить
опыты Никурадзе с равномерно-зернистой шероховатостью, обра-
зованной калиброванным песком, дали результаты, расходящиеся
с данными Никурадзе, что объясняется различием формы и рас-
положения песчинок, использованных этими авторами. В практике
пользуются поэтому эквивалентной шероховатостью Аэ, под ко-
торой понимают такую высоту выступов песчинок в опытах Ни-
курадзе, которая создает сопротивление, равное действительному
сопротивлению данного трубопровода. Экспериментальное зна-
чение Д8 можно найти из формулы Никурадзе (6-55), если подста-
вить в нее значение 1, найденное из опытов, выполненных с кон-
кретным трубопроводом. Следует иметь в виду, что отношение
средней высоты выступов А к эквивалентной шероховатости Дэ
колеблется в широких пределах — от 0,1 до 10.
182
Для промышленных труб с неравномерной шероховатостью
в формулы табл. 3 следует подставлять Д9, значение которой можно
найти в гидравлических справочниках.
§ 9
МЕСТНЫЕ ГИДРАВЛИЧЕСКИЕ СОПРОТИВЛЕНИЯ
При течении вязкой жидкости через местные сопротивления, т. е.
через места резкого изменения формы пограничных поверхностей
труб и каналов, как, например,
расширения, сужения, повороты,
изломы и т. п., изменяется поле
скоростей потока и чаще всего
образуются области, заполненные
крупными и мелкими вихрями.
Кинематическая структура тече-
ния с образованием отрывов пото-
ка от стенок и вихревых зон схе-
матически показана на рис. 79
(течение через уступ), рис. 83 (те-
Рис. 79. Структура течения через уступ
чение через внезапное расшире-
ние), рис. 84 (течение в диффузоре),
рис. 86 (течение через сужение). На фотографиях рис. 80 воспро-
изведены зафиксированные в опытах картины течений при обте-
кании прямоугольного выступа. Во всех случаях можно видеть
образование отрывов и
вихревых зон. Крупные
вихри интенсифицируют
процесс диссипации энер-
гии, благодаря чему поте-
ри в местных сопротивле-
ниях, где указанные явле-
ния возникают, могут
намного превосходить по-
тери по длине на участке
той же протяженности, что
и местное сопротивление.
Структура потока, разме-
ры и интенсивность вих-
рей существенно зависят
от режима течения, т. е.
от числа Рейнольдса.
Рис. 60. Обтекание прямоугольного выступа по-
током вязкой жидкости
Потери энергии (напо-
ра) в местных сопротивле-
ниях определяются фор-
мулой (6-24), в которой коэффициент £м, выражаемый общей
формулой (6-22), должен быть определен для каждого вида сопро-
тивления. Теоретическое решение этой задачи затруднено слож-
183
ностью геометрических форм большинства из них, поэтому при-
бегают к экспериментальному определению этого коэффициента.
Тем не менее для некоторых частных случаев в зоне квадратичного
сопротивления с помощью определенных допущений удается
найти теоретическую зависимость для £м.
На рис. 81 приведены кривые зависимости £м = f (Re) для
случая внезапного расширения трубы [2]. При Re > 5,0 • 10а
для всех отношений (или S2/S1 на рис. 83) коэффициент £Внр
не зависит от числа Re (участки кривых, параллельные оси Re).
Аналогичный факт отмечается для диафрагм, для клапанов и дру-
гих видов местных сопротивлений [2].
На рис. 82 приведены данные опытов разных авторов, обрабо-
танные А. Д. Альтшулем, для коэффициентов нескольких видов
местных сопротивлений. Вид кривых £м = / (Re) вполне удовлет-
ворительно подтверждает структуру формулы (6-22), согласно ко-
торой при больших числах Re имеет место область квадратичного
сопротивления, где значение коэффициента £м зависит только от
конфигурации граничных поверхностей. Именно при этих усло-
виях в некоторых случаях удается найти теоретические выраже-
ния для коэффициента сопротивления.
Рассмотрим подробнее местное сопротивление в виде внезап-
ного расширения трубы (рис. 83). Наблюдения показывают, что
при выходе струи из узкой части трубы образуется отрыв потока
от стенок, и пространство между струей и стенками заполняется
вихрями. На некотором расстоянии 1р струя полностью расши-
ряется, но может иметь в сечении 2'—2' резко неравномерную
184
эпюру скорости, что обусловлено нарушением осесимметричности
(искривлением) потока на участке /р. Выравнивание эпюры ско-
рости происходит на участке /в, в конце которого (сечение 2—2)
устанавливается распределение скоростей, характерное для ста-
билизированного турбулентного потока (например, логарифми-
ческое). Поскольку перестройка эпюры скорости сопровождается
дополнительными потерями (помимо потерь на трение), то в рас-
Рис. 82. Зависимость коэффициентов мест-
ных сопротивлений от числа Рейнольдса:
четный участок местного сопротивления 10 включают участок /в,
полагая /0 = /р + /в- При выводе формулы для ?вн р будем исхо-
дить из обычных допущений теории одномерных потоков и пре-
небрегать силой тяжести. Выбрав расчетные сечения 1—1 и 2 — 2,
как показано на рис. 83, выразим потери на внезапное расшире-
2 2
П'_п ВД— <^9y2
ние по уравнению Бернулли йвн-р = 1 -|----------•
В дальнейшем для простоты будем полагать, что аг = а2 = 1,
хотя это ограничение и не обязательно.
Чтобы исключить разность давлений, применим к отсеку жид-
кости, ограниченному сечениями 1—1 и 2—2 и боковой поверх-
ностью трубы (контрольная поверхность на рис. 83 показана
штриховой линией), уравнение количества движения в преобра-
зованной форме (6-12). При этом учтем, что на цилиндрической
части боковой поверхности cos (пх) = 0, а на площади кольца
8Н = 8а — Sji cos (пх) = —1 и давление на ней можно принять
постоянным р = р' = const. Кроме того, будем пренебрегать ка-
сательными напряжениями на рассматриваемом участке. Тогда
вместо (6-12) получим
Pi8i — P2S2 р SK = ссогрВгЗг — otoiP^iSi.
185
Измерения показывают, что давление р' в пределах кольцевой
площади SK мало отличается от давления plt а значения коэффи-
циентов а01 и а02 близки к единице, так как предполагается, что
в сечениях 1—1 и 2—2 устанавливается стабилизированное рас-
пределение скоростей. Упростив последнее уравнение и учтя
уравнение неразрывности vxSx = v2S2t находим
(Pi — р2) = Р^А(и2 — их).
Следовательно,
Pl — р2 _ (г2 — t>i)
Pg g
Теперь уравнение Бернулли можно записать в виде
, _ у2 (у2 — t>t) । ^2
Пвн. р— g + 2g •
или, после упрощений,
Ч.р = ~У)2- - (6-59)
Эта формула, называемая формулой Борда \ утверждает, что по-
теря напора при внезапном расширении трубы равна скорост-
ному напору, вычисленному по потерянной скорости (v2 — v2).
Учитывая уравнение неразрывности, формулу Борда нетрудно
привести к виду формулы Вейсбаха (6-24) и получить теоретиче-
ское выражение для коэффициента сопротивления. Действительно,
ПОСКОЛЬКУ VjSj. = v2S2, то
h =/i_A\2_l = r 1
' он. р \ S2 J 2g ^вн- Р 2g
и, следовательно,
(С \ 2
1-f). (6-60)
В частном случае, когда S2 > Sr, т. е. имеет место сопряжение
трубы с большим резервуаром, будет £вн. р = £вых = L или
“ЪЫХ 2g '
При пользовании формулой (6-60) нельзя упускать из виду
исходных допущений, при которых она выведена. Одним из них
является предположение о близости к единице коэффициентов а0
и а. Поэтому при значительной неравномерности скоростей перед
расширением, когда эти коэффициенты существенно отличны от
1 Жан Шарль Борда (1733—1799 гг.)—французский физик, геодезист, во-
енный инженер. Автор ряда исследований по гидродинамике, обобщенных в ра-
боте «Опыт по сопротивлению жидкостей». В 1766 г. вывел формулу для потерь
при внезапном расширении, названную его именем.
186
единицы, формула требует уточнения. Такое уточнение нетрудно
получить, если при выводе не делать указанного допущения.
Другое ограничение формулы Борда связано с влиянием числа
Рейнольдса. Оно, как видно из графиков на рис. 87, проявляется
при Re < 5-103, а при малых Re становится преобладающим,
поэтому формула (6-60) может давать удовлетворительные резуль-
таты лишь в квадратичной зоне сопротивления. По данным гра-
фиков рис. 87 можно проверить, что это действительно имеет
место.
Заметим, наконец, что согласно выводу формулой Борда учи-
тываются только потери на расширение, т. е. то превышение мест-
Рис. 84. Схемы течения в диффузоре
ных потерь над потерями по длине на участке, равном расчетному
участку /0, которое вызвано увеличением диссипации энергии
в местном сопротивлении. Если расчетный участок /0 = /р + /в
велик, то потери трения на нем могут быть сопоставимы с поте-
рями на расширение, и пренебрегать ими нельзя. Поэтому при
постановке опыта для определения потерь на расширение следует
из потерь, измеренных в опыте, вычесть потери по длине на участке
эквивалентной длины.
Это замечание относится и к другим видам местных сопротив-
лений.
Потери, обусловленные внезапным расширением трубы, могут
оказаться значительными. Для их снижения переход от узкого
сечения к широкому часто делают плавным, постепенным. Такие
переходы называют диффузорами (рис. 84). Течение в диффузорах,
хотя и имеет сложный пространственный характер, однако в ряде
случаев поддается приближенному гидродинамическому расчету
(гл. 9). Для инженерных расчетов пользуются формулой
^ДФ = ФдЛн. р = ФдФ — ’ (6‘61)
т. е. потери в диффузоре выражают в долях от потерь при внезап-
ном расширении. Коэффициент фдф, называемый коэффициентом
полноты удара, зависит от нескольких параметров, основным из
которых является угол расширения р. Характер этой зависимости
показан на рис. 85. Можно видеть, что при малых углах р (р < 4°)
коэффициент фдф убывает с увеличением р и достигает минималь-
187
ного значения при р ='4-н5° *. При дальнейшем увеличении р
коэффициент <рДф возрастает, достигает максимума ~1,2 при р <=&
^60э, а затем убывает до единицы. Следовательно, при р — 40-н
-4-1804 диффузор не только не снижает, но даже увеличивает по-
тери по сравнению со случаем внезапного расширения. Поэтому
применение диффузоров целесообразно при р < 40°.
Указанный характер изменения коэффициента <рд41 связан с из-
менением структуры течения в диффузорах при разных углах рас-
крытия. При малых углах р течение безотрывное и происходит
плавное расширение пото-
ка (см. рис. 84, а); при не-
котором значении р поток
отрывается от одной из
стенок, и образуется
вихревая область (см.
Рис. 85. Зависимость коэффициента полноты
удара для осесимметричного диффузора от угла
его раскрытия
Рис. 86. Расчетная схема потока
на участке внезапного сужения
трубы
рис. 84, б), которая при дальнейшем возрастании угла р увели-
чивается и может распространиться на всю длину диффузора.
При появлении отрывов и вихревых областей потери заметно воз-
растают, что проявляется в увеличении коэффициента фДф. Для
снижения потерь в диффузорах применяют устройства, предотвра-
щающие или затягивающие отрывы.
Из других видов местных сопротивлений теоретическое выра-
жение коэффициента сопротивления удается получить для случая
резкого сужения потока (рис. 86). Непосредственно за входом в уз-
кую часть трубы образуется отрыв и кольцевая вихревая об-
ласть ВО. Транзитная струя благодаря инерции сжимается, обра-
зуя сжатое сечение Sc, а затем снова расширяется, занимая все
сечение трубы. Как показывают измерения, основная часть потерь
сосредоточена на участке расширения потока за сечением Sc.
Применяя уравнение Бернулли и уравнение количества дви-
жения, аналогично тому, как это было сделано для внезапного
расширения, можно получить зависимости
2
= 5суж -§•; £суж = (-Г - 1У ’ (6'62)'
• Эти цифры являются ориентировочными. При изменении формы попереч-
ного сечения диффузора, степени его расширения, формы образующих и числа
Рейнольдса вид кривой <рДф= f (₽) и ее положение на графике могут несколько
изменяться,
188
где е = Sc/S2 — коэффициент внутреннего сжатия потока в трубе,
определяемый по формуле
е =--------
1 + И1 — ^/•Sj
(6-63)
Совмещая формулы для £суж и е, получим
£сУж = 1 - ЭД. (6-64)
Если S2, то мы получаем вход в трубу, выступающую
внутрь большого резервуара.
В этом случае е = 0,5 и £Вх = 1. Для других форм сужения
коэффициент сопротивления можно определять по формуле
Г ==?/]_
Ьсуж Ь у 1 £ J 9
где 5 — эмпирический коэффициент, значения которого приве-
дены в гидравлических справочниках.
В тех же справочниках можно найти данные о коэффициентах
местных сопротивлений, наиболее часто встречающихся в инженер-
ной практике.
§ Ю
ИСТЕЧЕНИЕ ЖИДКОСТИ ЧЕРЕЗ ОТВЕРСТИЯ И НАСАДКИ
Распространенная в инженерной практике задача состоит в уста-
новлении связи между давлением (напором) в резервуаре и рас-
ходом или скоростью струи, вытекающей через отверстие в стенке
или днище резервуара. Иног-
да истечение происходит че-
рез короткие трубки разных
форм, называемые насадками,
и могущие изменять гидрав-
лические параметры вытекаю-
щей струи.
Рассмотрим вначале исте-
чение в атмосферу через от-
верстие с острой кромкой
(рис. 87). Здесь, как и в слу-
чае входа в трубу, наблюдает-
ся сжатие струи за отверс-
тием. Причиной этого являет-
ся инерционность частиц,
Рис. 87. Истечение жидкости через отверстие
с острой кромкой
двигающихся к отверстию из-
нутри резервуара по радиальным направлениям. Наиболее сущест-
венна инерционность частиц, двигающихся к отверстию вдоль
стенки резервуара. Они, стремясь по инерции сохранить направле-
ние движения, огибают край отверстия и образуют поверхность
струи на участке сжатия. За сжатым сечением струя практически не
189
расширяется, а при достаточно большой скорости истечения мо-
жет распадаться на отдельные капли. Если отверстие не круг-
лое, а, например, квадратное или треугольное, то наблюдается
явление инверсии струи, т. е. изменение формы ее поперечного
сечения. Например, струя, вытекающая из квадратного отверстия,
приобретает на некотором расстоянии .крестообразную форму.
Это явление объясняют действием поверхностного натяжения и
инерции.
Для вывода формул истечения применим уравнение Бернулли
к сечениям а — а (свободная поверхность жидкости в резервуаре)
и с — с (сжатое сечение струи). Последнее выбирается на расстоя-
нии от плоскости отверстия, приблизительно равном его диаметру.
При этом будем считать скорость опускания уровня в резервуаре
весьма малой, что будет иметь место, если площадь свободной по-
верхности много больше площади отверстия; эта скорость равна
нулю, если имеет место приток жидкости, компенсирующий исте-
чение.Тогда, при выборе плоскости сравнения, проходящей через
центр отверстия, уравнение Бернулли будет иметь вид
’’’ Pg Pg ‘ 2g + 2g ’
где £0 — коэффициент местного сопротивления, обусловленного
входом жидкости в отверстие.
Решая это уравнение относительно скорости в сжатом сечении,
находим
ос = г 1 lAg (Н + -А~Р1 \.
Величину 1/|Лсь0 + называют коэффициентом скорости.
Обозначив ее через <р0, получим
«о = Фо , (6-65)
Если рассматривать идеальную жидкость, для которой £0 = О,
и принять а0 = 1, ро = Pi> то получим формулу Торичелли1
Для расхода получаем
Q = Sct>c = Sc<p0 + .
Вместо площади сжатого сечения So удобнее ввести в расчет
площадь отверстия So. Обозначим
e-Sc/S0
1 Эванджелист Торичелли (1608—1647 гг.)— выдающийся итальянский фи-
зик и математик, изобретатель ртутного барометра. Установил пропорциональ-
ность скорости истечения корню квадратному из величины напора.
490
коэффициент сжатия струи. Тогда
Q = Фое$о + .
Обычно пользуются еще одним коэффициентом: ц = <рое, ко-
торый называют коэффициентом расхода. Окончательно
Q = pS0)/2g(^ + ^^-). (6-66)
Величину Н„ = Н + ——— называют действующим напором.
Поскольку всякий коэффициент местного сопротивления, как
мы знаем, зависит от числа Рейнольдса, то и коэффициент расхода р
должен зависеть от этого пара-
метра. Детальные исследования
показывают, что на величину р
влияют также числа Фруда и
Вебера, т. е. силы тяжести и
поверхностного натяжения.
Однако существует такой диа-
пазон этих критериев, в котором
влияние оказывает только чис-
ло Рейнольдса. По данным
А. Д. Альтшуля 12], это имеет
место при
Fr = -^-> 10 и We =
Uq
= 2g/M°p > 250 ч- 2500.
О
Рис. 88. Зависимость коэффициентов исте-
чения через отверстие от числа Рейнольдса
Число Рейнольдса влияет, кроме того, на коэффициент сжатия,
что можно объяснить влиянием этого параметра на условия тече-
ния при подходе к отверстию.
На рис. 88 приведены кривые р (Re), <р (Re) и е (Re) для круг-
лого отверстия в тонкой стенке, построенные А. Д. Альтшу-
лем [2] по результатам обработки опытов многих авторов. Число
Рейнольдса вычислялось по формуле
Re-.Qg"" ,
где do — диаметр отверстия.
Как указано выше, параметры струи, вытекающей через от-
верстие, можно в определенных пределах изменять, если присоеди-
нять к нему короткие трубки (насадки). Существует несколько ви-
дов насадков (см. рис. 88).
Рассмотрим действие внешнего цилиндрического насадка
(рис. 89, а). При входе в него струя жидкости сжимается так же,
как при истечении через отверстие, однако, поскольку она огра-
191
ничена боковой поверхностью насадка, то образуется кольцевая
вихревая область между поверхностями транзитной струи и трубы.
За сжатым сечением струя расширяется и на выходе заполняет
все сечение насадка (длина насадка подбирается такой, чтобы в его
пределах могло произойти полное расширение струи). Поэтому
Рис. 89. Насадки, используемые для
увеличения расхода или скорости ис-
течения:
а — внешний цилиндрический; б—
конический расходящийся*, a — ко-
нический сходящийся; г — внут-
ренний цилиндрический; д — коно-
идальный; е — комбинированный
на выходе из насадка сжатия нет. Поскольку скорость потока
в сщатом сечении больше, чем на выходе, где давление равно внеш-
нему, то давление в этом сечении г , '
меньше, чем внешнее (если по-
следнее равно атмосферному,
то в сжатом сечении образу-
ется вакуум). Если теперь
сравнить истечение через от-
верстие с истечением через
насадок, то будет ясно, что
на участке потока от сечения
а — а до сжатого (см. рис. 87
и 89) напор, под которым про-
исходит истечение, в насадке
больше, так как давление в
сжатом сечении насадка мень-
ше, чем в случае истечения
через отверстие. Поэтому при
равных площадях отверстия
и насадка расход через по-
следний должен быть больше,
появляются дополнительные
Re
Рис. 90. Зависимость коэффициента ц расхода
внешнего цилиндрического насадка от числа
Рейнольдса (кривые 2, 3, 4).
Кривая / для отверстия с острой кромкой
в случае насадка в потоке
которых нет в струе, вытекающей через отверстие. Это
на расширение внутри насадка и потери на трение.
Правда
потери,
потери
Однако, как показывают расчеты и эксперимент, при длине на-
садка 1и — (З-е-4) d эти потери много меньше, чем тот выигрыш в дей-
ствующем напоре, который достигается понижением давления в сжа-
том сечении. Поэтому данный насадок служит увеличению рас-
хода.
192
дественно равна нулю, а на левой — линейна), а грузовая эпюра
линейна на всем протяжении балки
&KF— I ’ ~ " I ~
\2 2 2/ 6
1 5 Я3
Fl—=-----
EJX 48 EJX
Задача /.4. Определить прогиб посередине пролета балки, изоб-
раженной на рис. 7.10.
Решение. Определив реакции опор от заданной нагрузки (рис.
7.11, а), строим эпюру изгибающих моментов (рис. 7.11, 6).
Прикладываем посередине пролета вертикально направленную
единичную силу; соответствующие реакции показаны на рис. 7.11, в.
Эпюра Mi приведена на
рис. 7.11, г.
Для вычисления интег-
рала Мора (с помощью
правила Верещагина) раз-
биваем нелинейную на
участке I эпюру MF на две
части (см. также с. 209, 210
и рис. 7.3)
/1 / ql2\ I
I — I +
\2 2 16/6
1 1 ч1\ ч _ 5 9/4
2 2 16/6 J 768 £7/
Величина, стоящая в
первых квадратных скоб-
ках, представляет собой
площадь параболического
сегмента. Второй и третий
члены одинаковы, так как
равны площади (<у2 и <д3) треугольников, а также и соответствующие
ординаты единичной эпюры.
Заметим, что в данном случае прогиб посередине пролета не
является максимальным.
217
В ряде случаев перемножение эпюр по правилу Верещагина
может быть существенно упрощено, если представлять грузовую
эпюру моментов в так называемом «расслоенном» виде. Сущность
«расслоения» эпюр заключается в том, что график многочлена
(уравнения изгибающих моментов) представляется в виде ряда от-
дельных графиков, каждый из которых соответствует одному из
слагаемых многочлена. Эти отдельные графики (эпюры) весьма
просты: каждый из них представляет собой либо прямоугольник,
либо треугольник, либо параболический треугольник (см. рис. 7.2,
Рис. 7.11
В большинстве случаев целесообразно вести расслоение грузовой
эпюры, подходя с двух сторон к месту излома единичной эпюры.
Покажем применение указанного приема к рассматриваемой
задаче (рис. 7.12, а). Грузовую эпюру моментов на левом участке
представим в виде двух эпюр, исходя из того, что уравнение MF на
этом участке представляет собой многочлен
Л/^ = 3 <//2,
8 2
218
Для участка II эпюру строим, идя от правой опоры, по уравнению
Л/° = qlz2.
8
«Расслоенная» эпюра моментов MF представлена на рис. 7.12, 6.
Единичная эпюра дана на рис. 7.12, в. Площади, на которые
разбита грузовая эпюра, обозначены на рис. 7.12, 6, а соответст-
вующие ординаты единичной эпюры — на рис. 7.12, в. Выполняя по
правилу Верещагина перемножение эпюр, получаем:
Рис. 7.12
Алт—+ &Мсз) =
1
1 I ql2\ 3 /
32 8/44
1 I 1 .Л 2 I
- qr - -
22 16 J 3 4
5 <
768 EJX
Задача 7.5. Найти угол поворота среднего сечения балки (рис.
7.13).
Решение. Определим угол поворота сечения К (рис. 7.14, а),
вычислив интеграл Мора непосредственно, а также применив пра-
вило Верещагина.
219
Выражение изгибающего момента от заданной нагрузки имеет
вид:
Z2
MF= — q
Это выражение справедливо в пределах всей балки. Соответст-
вующая эпюра представлена на рис. 7.14, б.
Прикладываем в сечении К
момент, равный единице (рис.
7.14, в). Соответствующий изги-
бающий момент Мх в сечениях
участка АК равен нулю, а в се-
чениях участка КВ постоянен:
Л/, = — 1. Следовательно, интег-
рирование ведется только в
пределах участка II (КВ)'.
(-1)
dz —
7
48 EJX
Для вычисления интеграла Мора по правилу Верещагина строим
эпюру Л/j (рис. 7.14, г). Нелинейную эпюру MF (рис. 7.14, б) на
Рис. 7.14
участке II разбиваем на
три части: прямоугольник
(coi), треугольник (<а2) и па-
раболический сегмент (сщ).
Заметим, что площадь па-
раболического сегмента
вычитается из суммы двух
остальных площадей.
Применив правило Ве-
рещагина, получим:
2 . I . Я /Л2 . ]
3 2 8 \2/ _
7 ql3
48 EJX
220
Для применения правила Верещагина можно также мысленно
отсечь левую половину балки, заменив ее действие на правую
соответствующими поперечной силой и изгибающим моментом.
Для оставшейся правой половины, находящейся под действием
qi 1 ,2
силы , момента - qr и равномерно распределенной нагрузки,
следует построить эпюры изгибающих моментов отдельно от каж-
дой из трех указанных нагрузок (прямоугольник, треугольник и па-
раболический треугольник). Рекомендуем читателю самостоятельно
проделать соответствующий расчет.
Задача 7.6. Определить прогиб конца консоли заданной балки
(рис. 7.15, а).
Решение. Определив опорные реакции (их значения указаны на
рис. 7.15, а), строим эпюру MF (рис. 7.15, б).
221
В точке К прикладываем единичную силу, определяем соответ-
ствующие реакции (рис. 7.15, в) и строим эпюру (рис. 7.15, г).
Эпюра состоит из двух линейных участков. В пределах
каждого из них эпюра MF сравнительно сложна; во всяком случае
непосредственное определение площадей и координат центра тяже-
сти без вспомогательных расчетов невозможно. Для того чтобы их
избежать, разбиваем эпюру MF на такие части, для которых имеют-
ся готовые формулы площадей
и координат центра тяжести. Эта
разбивка показана штриховыми
линиями на рис. 7.15, б.
Производим перемножение
эпюр по правилу Верещагина. Для
этого предварительно найдем пло-
щади отдельных частей эпюры
MF и соответствующие ординаты
эпюры Mi.
Участок АС
1
a>i— а — —
2
2
^. = з
а)
N
qa1 qa3
2 4 ’
а 2
- = - а.
3 9
Участок CD. Эпюра
этом участке состоит из
ричного параболического
та, имеющего площадь
, 2 2 qa2 qa*
o)i = - nl= ' — a = —
3 3 8 12
и прямоугольника, для которого
„ qa1 qa3
а>2 = а —= - ;
2 2
MF на
симмет-
сегмен-
, . „ Ча3 qa3 7 3
ш2 = ш2-1-а>2 =-1----= — qa .
12 2 12
Центры тяжести указанных двух площадей находятся на одной
вертикали; соответствующая ордината единичной эпюры
1 3 а
г/С2= - а=
3 2 2
Участок DB. Эпюру MF на этом участке можно представить как
параболический сегмент NERL, построенный на наклонной базе
222
4
qa и coot-
NR, и два треугольника NDE и EBR. Разбивка этого участка эпюры
показана на рис. 7.16, а, б, в.
гг « , 2 1
Площадь параболического сегмента са3= - а = —
ветствующая ордината единичной эпюры
1 5 5
^3 = - • а = а.
3 2 6
a qa* „ 25
-=—; »7сз=-a;
4 16 36
3 ^qa*
- a = -----
4 16
il
Ъз =' - fl-
12
a
что DE=
4
1ОЙ 'JCXpbl
qa*
a =----
6
a.
Из подобия треугольников NDE и EBR следует,
3
и ЕВ= а. Соответствующие площади рассмагрнвае
4
и ординаты единичной эпюры имеют следующие значения:
. яа1 .
’*2 Т
со'з' = - 3 qa1 •
2 2
Участок ВК. Разбиваем эпюру MF на параболическую часть
с вершиной на правом конце участка и прямоугольник (рис. 7.16, г}.
Площади указанных частей эпюры и соответствующие ординаты
эпюры Л/] имеют следующие значения:
1 qa*
СОл= • -
3 2
3
4
а'
Производя перемножение эпюр и суммируя результаты, по-
лучаем:
Axf = Z 7— = ( - “1 »Jcl - (Ща - со'з -
- rfc + со'з" >/'3 + 4 + CO4 Па) =
£7X
3 5
: - a —
6
9Д3
4
2
7 , а 1
а-----qa--------qa
12 2 12
9
<?a3
16
25 9
• — aH— qa
36 16
11 qa* 3
— a-i------ a + qa
12 6 4
,3
1 \ 1
-a —
2 / EJ,
3 .
223
Р > так как тогда cos Р < 0. Максимальное значение силы
достигается при р = л (рис, 95):
Рхтх = 2pQoye- (6'81)
Этот результат используют при проектировании ковшовых или
активных гидравлических турбин, придавая ковшам рабочего
колеса, воспринимающим нагрузку от струи, форму, схематически
показанную на рис. 95.
Если преграда представляет собой плоскую стенку, наклонную
к направлению оси струи под углом а, то нетрудно получить фор-
мулу для полной силы воздействия
на преграду. В этом случае зара-
нее известно, что искомая сила
направлена по нормали к стенке
Рис. 95. Максимальная сила воздействия струи на преграду получа»
ется при повороте вектора скорости на 180°
Рис. 96. Схема взаимодействия струи с плоской преградой
так как по предположению силы трения пренебрежимо малы. Тог-
да, проектируя (6-79) на направление нормали к плоской стенке
(рис. 96), получим
Р = pQ0t>0 sifl а. (6-82)
Проекция уравнения (6-79) на направление скорости Uj позво-
ляет определить также величины расходов в сечениях /—1 и 2—2i
pQovo cos а — pQjt’o + pQ2u0 = 0
или
Q0cosa = Q1 — Q2.
Кроме того, очевидно,
Qo= Qi + Qi-
Решая совместно два последних уравнения, находим законо-
мерность деления расхода
рх 1 ““ cos 01
42 = 40 ---о---•
200
Следует иметь в виду, что полученные решения опираются на
предположение о том, что углы наклона струй за преградой, от ко-,
торых явно зависит величина силы, равны углам наклона пре-
грады в точках схода. Но это условие обеспечивается лишь в тех
случаях, когда размеры преграды достаточно велики по сравне-
нию с поперечным размером струи в начальном сечении. Если же
преграда мала (рис. 147, а\ 152, б), то углы наклона струй не опре-
деляются формой преграды и входят в уравнение количества дви-
жения в качестве неизвестных. В этом случае методы одномерной
теории недостаточны для отыскания всех неизвестных. Для пло-
ской задачи решение может быть найдено методами теории струй
идеальной жидкости, основы которой изложены в гл. 7.
Рассмотрим пример, иллюстрирующий применение уравнения
момента количества движения для определения силового воздей-
ствия потока'жидкости на стенки канала.
Пусть жидкость движется в криволинейном канале, который
вращается вокруг вертикальной оси с постоянной угловой ско-
ростью со (рис. 97). К отсеку жидкости в канале между сечениями
и S2 применим уравнение моментов количества движения (5-75):
= j [г х u] pun dS = М,
s
где для краткости через Л4 обозначен суммарный момент внешних
сил; и — абсолютная скорость жидких частиц; г — радиус-век-
тор относительно начала координат. Контрольная поверхность S
состоит из сечений Slt S2 и боковой поверхности S6, т. е S =
= Sj + S6 + S2. На боковой поверхности S6, очевидно, в силу
непроницаемости стенок канала ип = 0. Поэтому последнее урав-
нение примет вид
М = | [г х и] рип dS 4- j [г X и] рип dS.
s,
Найдем теперь проекцию этого уравнения на ось вращения oz.
Проекцию момента г х и на ось называют, как известно, момен-
том вектора и относительно оси, причем этот момент не зависит от
положения точки на оси, относительно которой берется вектор г.
Поэтому можно написать
Мг = [(7? х u)2pundS-|- J (Я X w)2p«ndS,
S, s,
где R— векторы, лежащие в плоскостях, нормальных к оси г
(рис. 97, а). С другой стороны, момент вектора и относительно
оси есть момент его проекции на плоскость, нормальную к оси,
201
относительно точки пересечения этой плоскости с осью. Поэтому
предыдущее уравнение можно написать в виде
М2 — j Rc cos арип dS -j- J Rc cos apun dS,
<Si -Si
Рис. 97. Схема к выводу уравнения момента ко-
личества движения во вращающемся канале
где с — проекции абсолютной скорости и на плоскости 1 и 2,
нормальные к оси г; а — углы, образуемые направлениями про-
екций с с касательной к окружности радиуса R (см. рис. 97, б).
Очевидно, произведения
с cos а = w представляют со-
бой окружные скорости. Счи-
тая сечения канала S] и$2
достаточно малыми, чтобы в
пределах каждого из них мож-
но было считать с — const,
и учитывая, что величины
j ип dS есть объемные рас-
s
ходы, причем в сечении Sx
ип < 0, получим уравнение
Мг = Р<2 (^2^2 — WlRl)- (6-83)
Величина Мг есть проек-
ция на ось вращения суммар-
ного момента всех внешних
сил, действующих на выде-
ленный отсек жидкости; сле-
довательно, без учета массо-
вых сил величина М.г равна моменту поверхностных сил, действую-
щих со стороны жидкости на стенки канала.
Уравнение (6-83), полученное впервые Эйлером, является ос-
новным уравнением лопастных турбомашин.
§ 13
ОДНОМЕРНОЕ НЕУСТАНОВИВШЕЕСЯ ДВИЖЕНИЕ
НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ
Для неустановившегося движения несжимаемой жидкости было
получено уравнение (5-23):
которое связывает мгновенные значения параметров течения в двух
точках линии тока, Это уравнение по форме отличается от уравне-
202
ния Бернулли для установившегося движения наличием в правой
части величины
<6-84)
$!
называемой инерционным напором и отражающей нестационарный
характер течения. Хотя оно получено из уравнений Навье—Стокса,
но мы допустим его применимость и для усредненного турбулент-
ного течения, поскольку аналогичное уравнение может быть обос-
новано приближенным выводом из второго закона Ньютона для
любого режима течения. В дальнейшем мы будем применять урав-
ние (5-23) только к неустановившимся течениям, в которых форма
линий тока не меняется во времени. К таким течениям относится
большинство потоков несжимаемой жидкости в трубах и каналах
с жесткими (недеформируемыми) стенками. Для этих течений
уравнение (5-23) можно обобщить на поток конечных размеров
подобно тому, как это было сделано для установившегося движе-
ния. Выполним необходимые операции с напором h\, имея в виду,
что усреднение остальных членов не отличается от аналогичного
усреднения членов уравнения Бернулли для установившегося
движения.
Поскольку линии тока во времени неизменны, то векторы
и ds коллинеарны и их скалярное произведение в формуле (5-22)
можно заменить произведением модулей. Тогда усредненное по
живому сечению а» значение инерционного напора следует выра-
зить соотношением
«2
hi = TiQ J h'tpgudv = -1- J udv.j- J -£ds.
CO (0 Sx
Ввиду несжимаемости жидкости и неизменности линий тока
элементарный расход dQ = и da> постоянен в данный момент по
длине струйки и, следовательно, не зависит от переменной s.
Поэтому в последнем выражении можно поменять порядок интег-
рирования, в результате чего получим
S j Sg
h‘ = 1Q f ds J U da = I ds I da> =
St CO $1 (0
Sj $1
= ж I (a>J) ds=12ct°^ ds' (6'85)
Sx Sx
где v—средняя по сечению co скорость; a0 — коэффициент коли-
чества движения, который будем считать независящим от времени.
203
Учитывая, что расход Q зависит только от времени, но не зависит
от координаты s, получим
ht = -L- Г ds = — (a0 — ds,
‘ gQ J u dt g J u dt
или, так как v = Q (t)/a> (s), to
Sj
s3
f^-ds.
J w
^ = _L[ao_Ljfds==_L^
1 g J u <b dt g dt
Si
Если рассматривать прямолинейную цилиндрическую трубу
(со = const) и принять a0 = const, то
, _ 1 L dQ __ L dv
n‘~~a°~g"^ ~dt a°~g‘~di'*
(6-86)
(6-87)
где L = s2 — •— расстояние между выбранными сечениями.
Теперь можно записать полное уравнение одномерного неуста-
новившегося движения для потока конечных размеров:
21 + — + = z2 + — + + hc + ht. (6-88)*
Pg 2g Pg 2g 1 ° ' ‘ '
Важно заметить, что инерционный напор — знакопеременная
величина; он положителен для ускоренного движения > 0^
и отрицателен для замедленного < 0^. Хотя он наряду
с членом ha входит в правую часть уравнения, но не выражает
потерь энергии, так как не связан с диссипативными силами. Инер-
ционный напор выражает обратимые преобразования энергии, что
наглядно иллюстрируется следующим примером. Пусть большой
резервуар с постоянным уровнем соединен длинной трубой с ци-
линдром, за которым на трубе установлен затвор (рис. 98) **.
При установившемся движении по трубе благодаря потерям пьезо-
метрическая линия и линия энергии имеют положительный уклон,
и уровень в цилиндре устанавливается ниже уровня в резервуаре
на величину потерь ha, Если теперь затвор будет внезапно за-
крыт, то благодаря инерции массы воды в трубе начнется подъем
уровня в цилиндре с переменной убывающей во времени скоростью.
В некоторый момент уровень в цилиндре превысит статический
уровень в резервуаре (СУ) и, достигнув некоторого максимума,
начнет опускаться, затем снова подниматься и т. д., совершая за-
тухающие колебания. Для некоторого момента времени при вос-
* Несмотря на то, что уравнение (6-88) не является строгим и его вывод
опирается на приближенные допущения, оно с успехом применяется в инженер-
ных расчетах. Это уравнение называют уравнением Бернулли для неустановив-
шегося движения.
** Эта система воспроизводит гидравлическую схему деривационной ГЭС.
204
ходящем движении в цилиндре, когда уровень в нем выше, чем
в резервуаре, мы можем зафиксировать положение пьезометри-
ческой линии ПН и линии энергии ЭН, которые в этот момент бу-
дут иметь обратный уклон. При этом й/ < 0, так как < 0.
Следовательно, при неустановившемся замедленном движении
в цилиндрической трубе давление вниз по течению может возра-
стать, что невозможно при установившемся движении. При по-
следующем возвратном движении это давление выполняет работу
Рис. 98. При неустановившемся
движении в цилиндрической трубе
линии ввергни и пьезометрического
напора могут иметь обратный уклон:
СУ ** статический уровень; ПУ —
пьезометрическая линия при уста-
новившемся режиме; ЗУ — линия
энергии при установившемся ре-
жиме; hc — потери напора при уста-
новившемся режиме; ПН — пьезо-
метрическая линия при неустано-
вившемся режиме; ЭН — линия
анергии при неустановившемся ре-
жиме; 3 — затвор
по увеличению кинетической энергии жидкости в трубе. Мерой
этих обратимых преобразований энергии и является инерцион-
ный напор.
Потери напора hc при неустановившемся движении также мо-
гут играть существенную роль. Приближенно их определяют
иногда по формулам того же вида, что и при установившемся дви-
жении, хотя некоторые исследования указывают на зависимость
величины этих потерь от ускорений потока.
§ 14
НЕУСТАНОВИВШЕЕСЯ ДВИЖЕНИЕ
В СЛУЧАЕ ПРЕНЕБРЕЖИМО МАЛОГО ВЛИЯНИЯ ИНЕРЦИИ.
ВРЕМЯ НАПОЛНЕНИЯ И ОПОРОЖНЕНИЯ РЕЗЕРВУАРОВ
г- ди / dv \
Если ускорения жидкости-^- (или J малы, то в ряде случаев
инерционным напором можно пренебречь. К числу таких случаев
относятся медленные наполнения или опорожнения резервуаров.
Уравнение (6-88) при таких движениях упрощается и приобретает
вид
+ + = + + + <6'89)
не отличающийся от уравнения Бернулли для установившегося
движения. Однако в данном случае сохраняется зависимость пара-
метров потока от времени, хотя явно время в уравнение (6-89) не
входит, Это обстоятельство позволяет медленно изменяющиеся
неустановившиеся течения рассматривать как последовательную
смену стационарных состояний, для каждого из которых приме-
нимы соотношения установившегося движения.
205
Рассмотрим процесс наполнения (или опорожнения) резерву-
ара, из которого жидкость вытекает через отверстие или сопло и
наряду с этим имеет место постоянный приток Qn, не равный
расходу истечения Qo (рис. 99). Применяя уравнение (6-89) к се-
чениям а — а и с—с в произвольный момент истечения и выражая
потери hc по формулам установившегося движения, мы, очевидно,
в итоге получим формулу
Q0 = pS0]/2g(z+ -^-)
того же вида, что и для установив-
шегося движения. Здесь, однако,
величина напора z, а значит и ве-
личина расхода Qo, переменны во
времени.
Чтобы определить время изме-
нения уровня жидкости в резер-
вуаре, составим уравнение нераз-
рывности, исходя из следующих
соображений. Если за время dt
уровень изменился на величину dz,
то эти величины должны быть связаны уравнением баланса
объемов жидкости
Qdz — (Qn — Q0)dt,
где Q — площадь свободной поверхности (площадь зеркала) в ре-
зервуаре, Отсюда
dt ' Qn —Qo dz
и время изменения положения уровня от z1 до z2 определится
формулой
z:
f Q dz
*1Л ~ J Qn—Qo '
Под знаком интеграла находятся две величины, зависящие от
напора г: площадь зеркала Q (z), определяемая формой резервуара,
и расход Qo, определяемый приведенной выше формулой. Вычис-
ление интеграла в последней формуле в общем случае возможно
только численное, но в частных случаях решение можно полу-
чить в замкнутом виде,
Для случая цилиндрического резервуара обозначим через Но
напор над центром отверстия, при котором расход истечения ра-
вен расходу притока, т. е.
206
Для цилиндрического резервуара Q = const; примем, кроме
того, что р, = const и рг = р0. Тогда
где AZj и Н2 — значения напоров, время изменения уровня между
которыми равно Т. Вычисление интеграла дает расчетную формулу
Т = 2о,_ (Ун[-УЩ + У~Н0 In \.
pS0/2gl/ 1 F ° Ун2-Уна)
Если Н2 —» Но, то Т —♦ оо, что означает асимптотическое при-
ближение уровня в резервуаре к тому положению, при котором
приток равен истечению и устанавливается стационарный режим.
Если Но = 0, т. е. приток отсутствует, то получаем более простую
формулу для времени опорожнения резервуара от начального на-
пора Нг до конечного Н2:
Та = —
pSo V 2g
При наличии на свободной поверхности постоянного избыточ-
ного давления рм = рг— ра из тех же исходных уравнений не-
трудно получить формулу
7 =_2^ (1/
1 pS0 /2g \ г 1 pg V pg /
§ 15
СЛУЧАЙ БОЛЬШИХ УСКОРЕНИЙ.
ГИДРАВЛИЧЕСКИЙ УДАР В ТРУБАХ
При больших ускорениях потока жидкости в трубе, например
при быстром закрытии или открытии затвора, влияние инерцион-
ного напора может оказаться превалирующим над влиянием дру-
гих членов уравнения (6-88). Более того, это уравнение может ока-
заться неприменимым. Действительно, если, например, затвор
закрывается почти мгновенно, то dv/dt--<•—оо и /iz—>—оо. Поэтому
для сохранения смысла уравнения (6-88) должно р2—» оо, что
противоречит опыту. Как показал теоретический анализ, подтвер-
жденный практикой, причина этого парадокса состоит в прибли-
женности допущения о несжимаемости жидкости. При больших
ускорениях сопровождающие их изменения давления могут быть
настолько значительными, что становится существенным учет
упругости жидкости и стенок трубы.
Резкое изменение давления в трубе, вызванное большими
локальными ускорениями жидкости, называют гидравлическим
ударом.
207
Рассмотрим физическую картину возникновения гидравличе-
ского удара. Пусть в прямой цилиндрической трубе, питающейся
из большого резервуара с постоянным уровнем (рис. 100), суще-
ствует установившийся режим со скоростью ц0. Допустим, что
в некоторый момент затвор на конце трубы мгновенно закры-
вается. Тогда слои жидкости перед затвором окажутся мгновенно
остановленными и благодаря инерции массы жидкости в трубе
будут подвергнуты сжатию, а значит давление в них резко повы-
сится. Принимая во внимание упругость жидкости и стенок трубы,
можно представить, что наряду с уплотнением этих слоев произой-
дет растяжение стенок трубы и повышение в них напряжений.
Тогда по истечении некоторого малого промежутка времени после
закрытия затвора участок трубы Д/ перед ним окажется в состоя-
Рис. 100. Возникновение гид-
равлического удара в трубо-
проводе (ff0 — гидродинами-
ческий напор в трубопроводе
при установившемся режиме;
ПУ — пьезометрическая ли-
ния при установившемся ре-
жиме; Д/ — участок уплотнен-
ной жидкости и повышен-
ного напряжения в стенках
трубы. возникших вслед*
ствие гидравлического удара;
ЛЯ — ударное повышение
напора.)
нии повышенного напряжения, а жидкость в пределах этого
участка под повышенным давлением. Это состояние не может
быть локализованным и передается в слои жидкости, расположен-
ные выше по течению. Передача состояния повышенного напря-
жения происходит в жидкости в виде волны повышения давления,
а в стенках трубы — в виде упругой волны напряжений.
При открытии затвора, который до этого был полностью или
частично закрыт, вверх по течению распространяется волна по-
нижения давления. Если же затвор расположен не в конце трубы,
а в его начале, то волна изменения давления будет распростра-
няться вниз по течению.
Условимся о терминологии. Если гидравлический удар пред-
ставляет собой волну повышения давления, то он называется
положительным; удар, вызывающий понижение давления, — от-
рицательным. Волна изменения давления (положительная или
отрицательная), распространяющаяся вверх по течению, назы-
вается прямой, а волна противоположного направления — об-
ратной.
Поверхность, отделяющая участок распространения ударной
волны от участка невозмущенного ею движения, называется фрон-
том волны. Фронт любой волны гидравлического удара переме-
щается с конечной скоростью, называемой скоростью ударной
волны. Время, в течение которого ударная волна проходит двой-
ную длину трубы, называют фазой гидравлического удара.
208
Вернемся к рассмотрению процесса распространения ударных
волн при закрытии затвора в нижнем конце трубы. Если в уста-
новившемся режиме, который имел место до закрытия затвора,
пренебречь потерями по длине и скоростным напором, то пьезо-
метрическая линия изобразится горизонтальной прямой ПУ
(см. рис, 100). Тогда возникшее при гидравлическом ударе рас-
пределение давления вдоль трубы для некоторого момента изобра-
зится линией 1. С течением времени волна повышения давления,
распространяясь вверх по трубе, охватит всю ее длину (линия 2).
Но в начальном (входном) сечении трубы давление не может из-
мениться, так как там оно определяется, только напором Но над
центром отверстия. Поэтому в момент прихода ко входному сече-
нию волны повышения давления в этом сечении должна возникнуть
волна противоположного знака, т. е. волна понижения давления,
которая компенсировала бы первичную волну. Такая волна воз-
никает, поскольку часть уплотненной жидкости будет вытолкнута
из трубопровода в резервуар, благодаря чему понизится давление
в верхнем конце трубы и это понижение распространится вниз
(линия 3). Появление этой распространяющейся вниз по трубе волны
изменения давления называют отражением ударной волны от
вхбдного конца трубы. В момент, когда отраженная волна дости-
гнет выходного конца с полностью закрытым затвором, произой-
дет новое отражение, но уже без перемены знака волны, т. е. от-
раженная волна будет иметь тот же знак, что и подошедшая.
Если затвор в момент прихода к нему отраженной волны за-
крыт не полностью, то отражение может произойти как с пере-
меной, так и без перемены знака, причем может быть неполным,
т. е. отраженная волна по абсолютной величине будет меньшей,
чем подошедшая.
Дальнейший анализ целесообразнее вести, располагая анали-
тическим описанием явления, к которому мы перейдем в следую-
щем параграфе.
§ 16
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ГИДРАВЛИЧЕСКОГО
УДАРА В ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ТРУБАХ
Рассмотрим произвольный момент времени после начала закрытия
или открытия затвора в конце трубы (рис. 101), когда в резуль-
тате взаимодействия (наложения) нескольких ударных волн (пря-
мых и обратных) в сечении s образуется давление р. Очевидно, сле-
дует считать, что р = р (s, t). Координату s будем отсчитывать
вверх по течению от сечения у затвора, где s = 0.
Для вывода динамического уравнения гидравлического удара
используем дифференциальную форму (5-19) уравнения движения
вязкой несжимаемой жидкости
— dE vV2«ds = ds.
209
Учтем, что при выбранном направлении оси s векторы du/dt
и ds коллинеарны, a dE представляет собой дифференциал функ-
ции Е вдоль направления s для данного момента времени t. Обозна-
чим работу силы вязкости dsfs = v V2u ds и отнесем все члены
последнего уравнения к величине ds. Получим
dE . dfs ди*
ds ' ds dt '
Далее учтем, что Е = gz + р/р + и2/2, и введем обозначения
пьезометрического напора Н —
T<t<L/a t<r
+ p/pg и уклона трения if =
= 4^-/g. После простых пре-
образований получим
дН . 1 ди и ди
ds lt g dt g ds
z
5
s-o
Рис. 101. Схема к выводу дифференциальных
уравнений гидравлического удара; распределе-
ние давления по длине трубы до окончания
процесса закрытия (t < t) и после закры-
тия (Т < t < L/a)
Это дифференциальное
уравнение неустановившего-
ся движения вдоль линии то-
ка можно применить для опи-
сания явления гидравличе-
ского удара в трубе, если
принять следующие допуще-
ния:
а) сжимаемость жидкости, которая проявляется при гидравли-
ческом ударе, может не учитываться в динамическом уравнении,
если она будет надлежащим образом учтена в уравнении нераз-
рывности;
б) хотя динамическое уравнение выведено из уравнений
Навье—Стокса, но оно применимо и к усредненному турбулентному
движению по соображениям, указанным в § 13 этой главы;
в) распределение скоростей в сечении трубы — равномерное
и местная скорость и может быть заменена средней скоростью и.
Сформулированные допущения являются в теории гидравли-
ческого удара общепринятыми и, как показывает опыт, приемле-
мыми, хотя может быть получено и более точное уравнение, сво-
бодное от них.
Итак, динамическое уравнение гидравлического удара при-
нимает вид
дН __ . ,1 dv о da .
ds g dt g ds ’
это уравнение содержит две неизвестные функции Н (s, t) и v (s,
t); уклон трения, как упоминалось, в первом приближении может
* Знак правой части изменен на обратный, так как направление оси s в рас-
сматриваемом случае противоположно тому, которое соответствует уравнению
(6-90)
210
быть определен по формулам установившегося режима. Опыт рас-
четов и эксперименты показывают, что влияние сил трения прак-
тически существенно только при достаточно больших длинах
труб, и во многих случаях уклоном трения можно пренебречь.
Кроме того, при рассмотрении гидравлического удара в метал-
лических трубах или в трубах из другого достаточно жесткого
материала (например, из железобетона) чаще всего можно пре-
небречь конвективным членом Действительно, изменение
скорости по длине трубы dv/ds может быть отлично от нуля только
вследствие сжимаемости жидкости или деформируемости стенок.
И та, и другая невелики.
Что же касается локаль-
ного ускорения dvldt, то
оно при гидравлическомз
ударе может быть сколь ~
угодно большим, если ма-
невр затвором произво-
дится достаточно быстро.
Поэтому, как правило,
dv dv
a),
Рис. 102. Деформация жидкого элемента при гидя
равлическом ударе
Приняв указанные приближенные допущения, получим упро-
щенную форму динамического уравнения гидравлического удара
= (6-91)
as g dt ' '
Вторым уравнением, необходимым для определения функций Н
и v, служит дифференциальное уравнение неразрывности, которое
мы выведем с учетом упругости жидкости и стенок трубы. Для
этого выделим двумя бесконечно близкими сечениями трубы
(рис. 102, а) элемент жидкости длиной As и площадью <о. Уравне-
ние сохранения массы в объеме этого элемента
(рю As) = 0
можно переписать в виде
= 0. (6-92)
р 1 <о 1 As ' 7
Предположим, что:
а) жидкость упруга и подчиняется закону Гука
dp dp
где <S — объемный модуль упругости жидкости; dp = di —
полное изменение давления за время dt\
211
б) труба тонкостенная и подчиняется котельной формуле
РР
26 ’
где о — напряжение в стенке трубы; D — ее диаметр; б — тол-
щина стенки;
в) материал стенки трубы подчиняется закону Гука
dLB __ dD __ de
~LT~~D IT1
где Lo — nD — длина окружности поперечного сечения трубы;
Е— модуль упругости материала стенки.
Предположения б) и в) позволяют вычислить
d<o п dD „ 1 1 / . гл , гл j \ D dp D dp
— = 2-„- = 2~i^-^-(.pdD4-Ddp}^—-~ = -^r-£-dt. ..
<o D E № r 1 Ef> Ed dt
Внося полученные выражения в уравнение неразрывности
(6-92), его можно переписать в виде
+ = (6-93)
\ & Ео J dt As
Правая часть этого уравнения представляет собой относитель-
ное удлинение элемента As, вызванное изменением давления dp.
Его можно вычислить, найдя разность путей, пройденных кон-
цами отрезка As за время di (рис4 102, б):
d (As) = vdt — (v As) dt =-------As dt,
откуда
d (As) dv
— As — ~ds'
Теперь уравнение (6-93) принимает форму
/1 . D \ dp dv
) ~dt Os'
Введем вместо давления p напор H — p/pg и обозначим
8
или
z!2
Ниже показано, что параметр а представляет собой скорость
распространения упругой волны в трубе, а числитель фор-
мулы (6-94)
как известно из физики, есть скорость распространения звука
в неограниченной жидкости с модулем упругости 8. Для воды
при нормальных условиях аза = 1435 м/с.
Таким образом, второе уравнение гидравлического удара имеет
вид
dH a* dv
dt g ds
Учитывая, что Н = Н (s, t) и
dH дН , дН ds _ дИ „ дН
dt ~ dt + ds dt ~ dt v ds
(6-95)
искомое уравнение получим в виде
дН дН а2 ди
dt V ds g ds ‘
Оценка членов левой части показывает, что, как правило,
дН дН
и потому уравнение (6-95) обычно используют в упрощенной форме
= (6-96)
dt g ds * 1 '
Система уравнений (6-91) и (6-96) содержит две неизвестные
функции Н (s, t) и v (s, t), определение которых при заданных
граничных условиях составляет основную задачу теории гидрав-
лического удара. Из этих уравнений легко исключить одну из
функций и получить уравнение второго порядка для другой неиз-
вестной. Так, дифференцируя (6-91) по t, а (6-96) по s и приравни-
вая смешанные вторые производные, найдем
d*v 2 d*v л
-зйг — « тг = О-
dt* ds*
(6-97)
Аналогично,
д*Н 2 д*н
dt* ds* ~~
(6-98)
Уравнения (6-97) и (6-98), называемые в математике волно-
выми, могут быть проинтегрированы в общем виде введением
новых переменных
213
В этих переменных
д2/7 _ д2Н „ д2Н д2Н .
д12 di2 ' 2 Л] -г di]2 '
д2Н _ 1- d2H_______2 д-Н 1 д-11
ds2 а2 chp a2 di, dr] ' а2 <Д|2
Подставив эти выражения вторых производных в (6-98),
получим
откуда следует, что
^- = 0(п) и /7 = |е(П)^ + Ш
где 0(г]) и f (В)— произвольные функции.
Введя обозначение
<Р (П) = j 0 (л) — с.
где С •— произвольная постоянная, получим общее решение урав-
нения (6-94) в переменных £ и гр
я = <₽(л) + Ш + с
или в переменных $ и /:
т) + ч(‘ + ^ + с-
Для определения постоянной С учтем, что при установившемся .
режиме пьезометрический напор постоянен по длине трубы (по-
терями пренебрегаем), а функции / и ср равны нулю, поскольку
они выражают переменную часть напора, возникающую при гид-
равлическом ударе. Поэтому С = Но и, окончательно,
//-^o = /(/-v) + (p(z + 4r)-
Аналогично получается решение уравнения (6-97):
„_0о=г(1—у) + Ф(( + -у).
Используя исходные уравнения (6-91) и (6-96), можно про-
извольные функции АиФ выразить через функции f и <р.
Окончательно решения волновых уравнений гидравлического
удара можно представить в виде
Я_Н.-/(<—i-)+f(< + -^);
0_0o = _i[f((_^)_,p(/ + A)]. (6.99)
214
Первое из этих решений показывает, что функции f и <р пред-
ставляют собой некоторые части ударного изменения напора
Н—Но, которое возникает в момент времени t в сечении s. Чтобы
выяснить свойства и физический смысл этих функций, допустим,
что в течение некоторого интервала времени одна из них (напри-
мер, <р) равна нулю для всех значений s, т, е, на всей длине трубы.
Физические условия, при которых это возможно, будут ясны из
дальнейшего, При <р = 0 получим
Из этого выражения видно, что ЛЯ — const, т, е, ударное из-
. S
менение напора сохраняет постоянное значение, если i — — =
= const, т. е. если s с течением времени возрастает со скоростью а.
Следовательно, чтобы наблюдать постоянное значение ЛЯ, на-
блюдатель должен перемещаться вверх по течению со скоростью а.
’ Таким образом, параметр а представляет собой скорость рас-
пространения ударной волны, а функция f описывает волну, рас-
пространяющуюся вверх по трубе. Совершенно аналогично можно
показать, что функция tp представляет собой волну изменения
давления, распространяющуюся вниз по трубе с той же ско-
ростью а. Следовательно, в общем случае изменение давления
в трубе при гидравлическом ударе есть результат суммирования
(суперпозиции) ударных волн двух видов: прямых и обратных,
каждая из которых может быть положительной или отрицатель-
ной.
§ 17
ПРЯМОЙ ГИДРАВЛИЧЕСКИЙ УДАР.
ФОРМУЛА Н. Е. ЖУКОВСКОГО 1
Рассмотрим частный случай гидравлического удара, который воз-
никает в трубе, если время закрытия затвора Т меньше фазы
удара 0 = 2L!a. Такой гидравлический удар называют прямым.
1 Николай Егорович Жуковский (1847—1921 гг.) — великий русский уче-
ный — механик. С 1879 г. — профессор Московского высшего технического учи-
лища, а с 1886 г. — профессор Московского университета; с 1894 г. — член кор-
респондент Петербургской академии наук. Н. Е. Жуковский выполнил ряд фун-
даментальных исследований по разнообразным разделам механики жидкости
и газа. Им впервые выведены дифференциальные уравнения гидравлического
удара в трубах с учетом упругости жидкости и стенок трубы, а также получены
их общие решения. Использование этих решений позволило разрешить ряд прак-
тических задач, связанных с гидроударом в водопроводных трубах.
Из других выдающихся работ Н. Е. Жуковского получили всемирное при-
знание и распространение: видоизменение метода Кирхгофа для решения задач
струйного обтекания тел, гидродинамическая теория фильтрации, решение задач
гидродинамической теории смазки, теорема о подъемной силе и теория присое-
диненных вихрей, гидродинамическая теория гребного винта, теория решеток
и ряд других исследований.
Работы Н. Е. Жуковского отличаются органичным сочетанием строгой тео-
рии, ясного физического толкования результатов и практических выводов.
215
Мы уже знаем, что с момента начала закрытия (или открытия)
затвора в трубе возникает волна изменения давления, которая,
распространяясь на всю длину трубы L, отражается от входного
конца с переменой знака и в виде обратной волны достигает затвора
к концу первой фазы 0 = 2Lla. Таким образом, прямой удар
характерен тем, что в течение всего времени закрытия у затвора ।
(s = 0) существует только одна прямая волна / (/), тогда как <р =
= 0. Следовательно, для любого момента t < 0 в сечении у зат-
вора будут справедливы уравнения
v-v0 = — -£-f(t).
Исключая отсюда f (t), получим
/7-/70=-^(о0-о); (6-100)
эта формула справедлива для любого момента t < 0 при любом
законе закрытия (открытия) затвора.
Если затвор закрывается за время Т С 0 и полностью, то для
всех моментов t Т, скорость течения перед ним и = 0 и фор-
мула (6-100) приобретает вид
Д/7П = Я-ЯО = ^; (6-101)
эта зависимость известна как формула Жуковского для прямого
удара.
Если же затвор закрывается не полностью, то формулой (6-100)
можно воспользоваться, лишь зная закон изменения скорости v (/).
Поскольку волна удара распространяется с конечной ско-
ростью а, то в любом промежуточном сечении трубы s изменение
давления начнется только с момента t = s/a после начала закры-
тия (открытия) затвора. С этого момента вплоть до появления
обратной волны в промежуточном сечении s удар будет описы-
ваться уравнениями
v-t>=--f-/(<------(6-102)
Особые условия имеют место во входном сечении s = L. Здесь
напор, как указано выше, определяется уровнем свободной по-
верхности в резервуаре и внешним давлением на ней, т. е. в сече-
нии s = L всегда Н = Нй. Поэтому согласно (6-99)
Н-Ч'+т)- <6-103’
Это равенство означает, что в сечении s = L обратная волна ф
всегда равна по величине и противоположна по знаку прямой
216
волне /, т. е. (6-103) выражает описанное выше явление полного
отражения ударной волны от входного сечения с переменой знака.
Если вместо момента t взять момент t L ~ s, то (6-103) при-
мет вид
<f('-i?i+4)=-/0--LF-4-)
или
<р(/ + -г) = -/(/--т-21?£)- <6'104)
Это значит, что обратная волна ф в каждом сечении s повто-
ряет с обратным знаком значения волны f, но с опозданием на
2 (L — s)/a, т. е. на тот отрезок времени, который необходим для
прохождения волной участка трубы 2 (L — s). Поэтому при рас-
пространении обратной (отраженной) волны вниз по трубе она
уничтожает те повышения (или понижения) давления, которые
были созданы прямой волной.
Пусть имело место полное мгновенное закрытие затвора.
Тогда повышение давления согласно (6-101) равно avjg = Д//„,
и обратная волна, отраженная от входа, будет иметь величину
Ф = — au0/g.
В момент t = 0 = 2L/a она достигает сечения s = 0, где встре-
чает полностью закрытый затвор. В этом сечении v = 0, и второе
уравнение (6-99) дает
в
Но, поскольку <р (0 = —avjg, то / (0 = 0. Волна / (0 пред-
ставляет собой сумму двух прямых волн: первой /1( возникшей
первоначально при закрытии затвора, и второй /2, возникшей
у затвора в результате отражения от него обратной волны ф.
Поскольку / = /1 + /2 = 0 и fi = avjg, то /2 = —avjg
или fi = ф. Этот результат мы можем сформулировать в виде
утверждения, что полностью закрытый затвор отражает ударную
волну без перемены знака и без изменения ее величины.
Изменение давления вдоль трубопровода при полном мгновен-
ном закрытии затвора можно проиллюстрировать серией гра-
фиков, представленных на рис. 103. График изменения давлений
во времени для нескольких фиксированных сечений трубы дан
на рис. 104. Представляем читателю самостоятельно прокоммен-
тировать эти графики, опираясь на приведенный выше анализ
свойств ударных волн.
Если затвор закрывается (открывается) не мгновенно, что
в реальных условиях всегда имеет место, то нарастание (убыва-
217
ние) давления также происходит постепенно. При этом профиль1
образующейся первичной ударной волны зависит как от закона
закрытия, так и от закона истечения через него. Рассмотрим слу-
чай, когда затвор закрывается не мгновенно, но достигает полного
закрытия за время Т < 0. Поскольку условие прямого удара со-
блюдено, то максимальное повышение ударного давления будет
определяться формулой Жуковско-
го (6-101), однако оно будет до-
стигнуто только к концу процесса
закрытия. В интервале времени
0 < t < Т давление у затвора бу-
рке. 103. Распределение напоров по длине трубы при мгновенном закрытии затвора.
В момент I = 0 у затвора возникает повышение напора ДГ/ = avaig, которое к моменту
t = 0/4 достигает сечения s = 1/21 в момент t = 0/2 у резервуара возникает отраженная
отрицательная волна, распространяющаяся вниз по трубе
Рис. 104. Графики изменения напора во времени в разных сечениях трубы при прямом
гидравлическом ударе:
/ — сечение у затвора s = 0; II » сечение s = L/2; III — сечение s = 3£/4
дет нарастать постепенно, а при Т t sg 0 останется постоянным,
равным ДЯП вплоть до подхода отраженной волны. Ординаты
волны давления в некоторый момент Т < t < L/a показаны на
рис. 101, Как только фронт волны достигнет входного конца
трубы, там появится обратная отрицательная волна, нарастающая
по величине с тем же законом, что и прямая. Эта отраженная вол-
на будет срезать достигнутые ранее повышения давления. Учас-
ток длины трубы, в пределах которого достигается максималь-
1 Под профилем волны понимают график распределения напора или дав-
ления вдоль трубы в фиксированные моменты времени.
218
ное повышение давления Л/7Л, зависит от времени закрытия
и будет, очевидно, тем меньше, чем больше последнее. Если
время закрытия больше, чем фаза удара, т. е. Т > 0, то ударное
повышение давления не достигнет величины Д//п ни в одном се-
чении. Поэтому, увеличивая время закрытия сверх 0, можно
добиться значительного снижения ударных давлений. Процесс
взаимодействия ударных волн в этом случае становится более
сложным и требует детального рассмотрения,
§ 18
НЕПРЯМОЙ ГИДРАВЛИЧЕСКИЙ УДАР.
ЦЕПНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Непрямым называют гидравлический удар, который возникает
при закрытии или открытии затвора за время, большее, чем фаза
удара. Таким образом, условием
существования непрямого удара
является неравенство ЕЕДДЕ
Т В> IL/a.
з д
Выберем два произвольных се-
чения трубы А и В (рис. 105)
и запишем решения (6-99) приме-
нительно к этим сечениям в произ-
вольный момент времени t. Имеем
Рис. 105. Схема к выводу цепных
уравнений гидравлического удара
н? - н0 = /(/-4) + <р(* + 4)’
(6-105а)
+ (6-1056)
здесь верхним индексом функций И и v отмечено сечение, а ниж-
ним — момент времени, к которым относятся напор и скорость.
Если At интервал времени, в течение которого ударная волна
распространяется от сечения А до сечения В, т, е,
At = Sb~ Sa,
а ’
то для момента t + At = t + SB & SA в сечении В будут справед-
ливы соотношения
Нв+ы — Но— At-----------------у-) -j- ф At + (6-106а)
п?+д/ — Vo = —+ — ф (/ф- At + —)]• (6-Ю66)
219
Йо, поскольку
то
Вычитая (6-106а) из (6-105а) и (6-1066) из (6-1056) и учитывая
последнее равенство, получим в сокращенных обозначениях
Н? — = ф/— Фн-дп
V/1 — [ф^1 — ф?+дИ-
Исключая отсюда разность ф^1 — фм-д/, находим
Н? - (6-107)
Аналогичное рассуждение для случая распространения обрат-
ной волны от сечения В к сечению А приводит нас к уравнению
Н? - H^t = ~ (vf - (6-108)
Уравнения (6-107) и (6-108), называемые сопряженными урав-
нениями гидравлического удара, пригодны для любой пары се-
чений. Пользуясь этим, применим их к сечениям s = 0 (вместо
сечения А) и s = L (вместо сечения В). В последнем, т. е. на входе
в трубу, как известно, Н? = — Hq. Кроме того, для этой
пары сечений At = L/a = 0/2. С учетом этого из (6-107) получим
Ht — На = ~ (vt~ vt+9/^-
При записи второго сопряженного уравнения вместо мо-
мента t возьмем t + 0/2. Тогда
Но — Hf+Q =-----— (п/+0/2 — П/+<))-
В двух последних формулах верхние индексы для сечения
s = 0 опущены. Исключая скорость vf+e/a, находим
Hf + Н/+9 — 2Н0 = — (vt — t^+e); (6-109)
это уравнение связывает между собой параметры (скорости и на-
поры) в одном и том же сечении s = 0 для моментов времени,
отличающихся на одну фазу,
220
Покажем, как это уравнение может быть использовано для
построения графика Н (I). Для этого выпишем уравнение (6-109)
последовательно для моментов t — 0, t = 6, t — 20..., Учитывая,
что Д/=о = Но, получим
о ~ (уо — ve)i
Не ^20 — 2Я0 —— (у0 — d20);
(6-110)
Нпв + Н (п+п е — Ж =
а .
= — [^пе — f(n+D 01-
Уравнения, образующие си-
стему (6-ПО), называют цеп-
ными.
Предположим, что закон
изменения скорости у затво-
ра v (t) известен (задан или
установлен из граничных усло-
вий). Тогда из первого уравне-
ния системы (6-110) легко опре-
делить Де, т. е. напор в конце
первой фазы. Подставив это зна-
чение Нв во второе уравнение
и имея в виду, что правая часть известна для любого момента,
найдем Д2е, которое подставим в третье уравнение, и т. д. В
результате этих вычислений будут определены значения напора
в конце каждой фазы и, следовательно, найден закон И (t) для
всего интервала времени закрытия (открытия).
Однако в практических расчетах задача оказывается сложнее.
Дело в том, что скорость перед затвором v не может быть опреде-
лена независимо от напора или произвольно задана, так как она
определяется величиной давлений (напоров) перед затвором.
Например, в случае, если за затвором имеет место свободное
истечение в газовое пространство, то скорость v будет пропор-
циональна величине /Я и, кроме того, будет зависеть от закона
маневрирования затвором. Если за затвором расположена ма-
шина (например, гидравлическая турбина, насос), то скорость
будет зависеть также от ее характеристик (частоты вращения, кон-
струкции и др.). Поэтому дальнейший анализ и вывод расчетных
зависимостей возможен лишь применительно к конкретному за-
кону истечения через затвор.
Рассмотрим случай свободного истечения струи в атмосферу,
Приведенная на рис. 106 схема воспроизводит конструкцию кон-
цевой части трубопровода, питающего активную (свободноструй-
221
ную) турбину с игольчатым затвором. Для этого случая, как и для
других случаев свободного истечения, имеет место квадратичный
закон
Q = цЙ
где р — коэффициент расхода затвора; й — площадь проходного
сечения затвора, пропускающая расход Q при напоре Н.
В процессе закрытия площадь Й изменяется по некоторому
закону й (t). Пусть йт—максимальное значение Й, a Qm— зна-
чение расхода в трубопроводе при
полном открытии йт и установив-
шемся режиме, т. е. при напоре Но.
Тогда
От = рйт/2^/7о.
Введем обозначения и условимся
о наименованиях: q = Q/Qm— при-
веденный расход; а — Й/Йт — от-
носительное открытие; £ = Н/Н 0—>
приведенный напор.
Считая коэффициент расхода р
постоянным, получаем
<6-1И)
Рис 107. Линейный закон закрытия
(открытия) затвора Обозначим далее V — скорость В
трубе при расходе Qm (Qm — coV), а
с0 — скорость в трубе при установившемся режиме и произволь-
ном начальном открытии затвора й0 (Qo = <оц0). Получим
„ __ Qo „
Qm ~ V ~а°
ИЛИ
t»o = aov,
где а0—относительное начальное открытие.
В реальных условиях функция а (I) зависит от конструкции
затвора и характеристик привода, осуществляющего маневриро-
вание затвором. Но в некоторых случаях эта функция приближенно
может считаться линейной. Тогда ее можно изобразить графиками,
показанными на рис, 107, и выразить формулами:
для случая открытия затвора
а = а0+^/Г, (6-112)
для случая закрытия
а = а0-//Т; (6-113)
здесь величина Т означает время полного закрытия (открытия)
от 1 до 0 (от 0 до 1).
222
Таким образом, значения а будут известны в любой момент
времени.
Преобразуем теперь общее цепное уравнение к безразмерному
виду
Hi । #<+6 _ 9 _ аУ ( vt tr+e \
gH0\v V )'
Вводя обозначение р — aV 12g Но, получим
Рис. 108. Три вида графиков ударного изменения напора перед затвором при линейном
законе закрытия
Если теперь уравнение (6-114) применить последовательно
к моментам времени t = 0, t = 0, t = 20.,,, то, учтя, что £0 = 1,
получим следующую цепочку уравнений:
Се — 1 = 2р (сс0 сс0 j/" Се)»
Се + С29 — 2 — 2р (а0 1/Се — аае Сае)’
(6-115)
С«е + С(п+пе — 2 = 2р (ап0 Спо — ct<n+i) е VC(n-t-i) е)-
Поскольку начальное открытие а0 всегда задано, а величина р
определяется только параметрами установившегося режима
(У и Н0) и трубопровода (а), то в первом из уравнений (6-115)
неизвестной является только величина Сд, т. е. напор перед за-
твором в конце первой фазы. Решив это уравнение и найдя Се,
мы можем подставить его во второе уравнение цепочки (6-115)
и найти С20, затем перейти к третьему уравнению и т. д. Таким
образом, будут найдены значения напоров С/0 в концах каждой
из фаз. Если за время закрытия (или открытия) Т проходит п
фаз, то значение Спо даст нам значение напора в конце процесса
закрытия (открытия). Более подробный анализ показывает, что
возможны три вида графиков С (0 (рис. 108). Согласно первому
из них максимальное повышение напора достигается в конце пер-
вой фазы (рис, 108, а), Это так называемый первофазный удар,
223
Расчетным уравнением для определения максимального напора
в этом случае служит уравнение
^-1 = 2р(а0-ае/^), (6-116)
где а9 = а0 ± ИТ.
Согласно второму графику (рис. 108, б) напор перед затвором
во время закрытия возрастает от фазы к фазе, стремясь к неко-
торому пределу Ст- Если на отрезке времени Т укладывается
п + 1 фаза, то значения Спе и £(п+1) 9 мало отличаются друг от
друга, и можно принять Cn9 = C<rt+i) 0 = Cm- Тогда из послед-
него уравнения (6-115) получим
2 (Cm 1) = 2р ]ЛСт [а«9 ' а(/14-1) 9]’
где
„ ( «0\ г («+1)01 0
an9 a(n-f-l)9 (“о у j р j. j у •
Для определения Ст получается уравнение
Ст~ 1
, й
из которого, обозначив р у = а, находим
Ст = -£-(<> ± /^+4) + 1; (6-117)
в этой формуле знак + относится к случаю закрытия, а знак—
к случаю открытия.
В случае третьего вида графика С (0 (рис. 108, в) максималь-
ное значение Стах напора достигается в конце одной из промежу-
точных фаз. Обычно разница между Стах и Ст невелика, и можно
принять Стах Ст-
Общие решения уравнений Жуковского (6-99) и цепные урав-
нения (6-110) позволяют установить закон изменения давления
не только в течение процесса закрытия, но и после остановки
затвора, найти закон распределения давления по длине трубы,
исследовать процесс отражения ударных волн и решить ряд дру-
гих задач. При этом возможен приближенный учет влияния сил
трения и тяжести.
Глава 7
ПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ ТЕЧЕНИЯ
НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ
§ 1
ОБЩИЕ СВОЙСТВА ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ ТЕЧЕНИЙ.
ПОСТАНОВКА ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ
В гл. 2 было дано определение потенциальных течений и выяснены
их основные кинематические свойства. Здесь рассмотрим этот
класс течений более подробно и познакомим читателя с основными
методами, позволяющими решать разнообразные гидродинами-
ческие задачи, в которых течения жидкостей могут считаться
потенциальными.
Следует, однако, иметь в виду, что течений жидкости, строго
отвечающих условиям потенциальности, в природе и технике
не встречается. Представление о безвихревом характере движения
является идеализацией, которая лишь с большей или меньшей
степенью достоверности воспроизводит отдельные классы реальных
течений. И тем не менее эта идеализация имеет важнейшее не
только теоретическое, но и прикладное значение. Оно обусловлено
тем, что вязкость жидкости, являющаяся первопричиной (для не-
сжимаемой жидкости единственной) возникновения вихрей, про-
является, как правило, в ограниченных областях вблизи твердых
поверхностей или в относительно узкой полосе за обтекаемым
телом. В остальной части потока его завихренность может ока-
заться настолько малой, что поток можно считать потенциальным.
Разумеется, встречается немало случаев, когда поток является
сплошь завихренным и ни в какой его части влияние вязкости
нельзя считать малосущественным. Такой поток может быть рас-
считан только методами теории вязкой жидкости. Однако в тех
случаях, когда допущение о потенциальности обосновано, его
использование может значительно облегчить решение основной
задачи гидродинамики. К числу таких случаев относится, например
практически важная задача об обтекании твердых тел безгранич-
ным потоком (так называемая внешняя задача гидроаэродинамики),
Поскольку для потенциальных течений (см. § 8 гл, 2)
Эф dtp Эф
дх . ии—. ду , u2-r di ,
8 В. Т. Емцев 225'
то, подставляя эти соотношения в дифференциальное уравнение
неразрывности
дих диу . диг _ „
дх ' ду ' дг '
получим
дх* ду* дг* ‘ 1>
В векторной форме эти преобразования записываются короче:
так как для потенциальных потоков и = grad ср, то, внося это
в уравнение неразрывности div и = 0, получим
div и = div grad ср = V2<p = 0. (7-1)'
Таким образом, потенциал скорости ср любого безвихревого
потока несжимаемой жидкости удовлетворяет уравнению Лапласа
(7-1), т. е. является гармонической функцией. В связи с этим
задачу отыскания поля скоростей, т. е. нахождения функций
иу и и2 для безвихревых течений, можно заменить задачей
отыскания одной функции ср, удовлетворяющей уравнению Ла-
пласа. Но для получения определенного решения этого уравнения,
как известно, необходимо сформулировать граничные условия.
В § 6 гл. 5 мы видели, что граничное условие на твердой непро-
ницаемой стенке имеет вид
" = ^|0 = °. (7-2)
т. е. нормальная составляющая скорости (она же — производная
потенциала скорости по нормали) на твердой непроницаемой по-
верхности (стенке) равна нулю.
Задача отыскания решения уравнения (7-1) при граничном
условии (7-2) называется задачей Неймана.
Если поток несжимаемой жидкости является плоским и потен-
циальным, то наряду с потенциалом <р он, как известно из гл. 2,
обладает функцией тока ф, причем
_ дф___________<Эф
«X -= ду ; Чу— -до-
внося эти выражения в условие отсутствия вихрей (условие
потенциальности)
диу дих _ п
дх ду ’
убеждаемся, что в этом случае функция тока ф, так же как и ф,
является гармонической:
Э2Ф д2ф _п
дх* + ду*
226
В идеальной жидкости всякая твердая поверхность является
поверхностью тока, и поэтому граничным условием для ф на твер-
дой стенке служит соотношение ф0 = const. Таким образом,
для функции тока приходим к задаче Дирихле, методы решения
которой достаточно хорошо разработаны.
Поскольку уравнение Лапласа линейно, то сумма двух его
частных решений <рх и <р2 будет также решением этого уравнения.
Если <рх и <р2 — суть потенциалы скорости некоторых течений,
то сумма <р = <pi + ср 2 служит потенциалом
течения. Компоненты скорости этого
результирующего течения определяются
формулами
и - -4- ^3. - и _LU •
и* дх дх ' дх Uxi Ux* ’
и = 5<р - । ^Фг_ = г, । и .
и ду ду ду Vl ' у*'
(7-3)
“г ~ дг дг дг +Ux2'
Отсюда следует принцип суперпо-
зиции (наложения) потенциальных по-
токов: потенциальные потоки несжимае-
мой жидкости можно складывать; потен-
циалы скоростей и функции тока скла-
некоторого третьего
Рис. 109. Графическое сложение
плоских потенциальных течений
дываются при этом алгебраически, а век-
торы скоростей в соответствующих точках — геометрически.
Принцип суперпозиции позволяет, суммируя простейшие те-
чения, потенциалы скоростей для которых заранее известны,
получать более сложные течения, которые приближенно воспро-
изводят реальные потоки в каналах, проточных частях машин и
т. д. Особенно эффективен метод наложения для решения плоских
задач.
Для этого случая существует наглядный графический способ
построения течений. Пусть, например, известны линии тока двух
складываемых плоских потоков (рис. 109). Если они нанесены на
один чертеж, то образуется сетка, узлы (точки пересечения) ко-
торой при выполнении определенных условий являются точками
линий тока результирующего течения. Чтобы выяснить эти усло-
вия, выберем две пары линий тока, образующие малый криволи-
нейный параллелограмм MN0P\ допустим, что они нанесены так,
что стороны ячеек, которые мы примем прямыми, изображают
в некотором масштабе соответствующие векторы скоростей. Про-
ведем из точки М отрезки MQ и MR, перпендикулярные соответ-
ственно сторонам МР и MN, Тогда площадь параллелограмма
может быть выражена одним из двух равных произведений
MQ-MP = MR-MN.
8*
227
Учитывая, что по условию построения МР = иг и MN = «2,
получим соотношение
которое выражает равенство расходов жидкости первого и второго
потоков. При этом диагональ МО будет изображать в выбранном
масштабе вектор результирующей скорости и, а плавная кривая,
проведенная через точки М, 0 и последующие узлы сетки, — ли-
нию тока результирующего течения. Таким образом, для графи-
ческого сложения двух плоских потоков следует провести их
линии тока так, чтобы элементарные расходы между каждой
парой соседних линий тока были одинаковы. Тогда результирую-
щий поток получится описанным выше построением,
§2
ПЛОСКИЕ ПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ ПОТОКИ.
ПРИМЕНЕНИЕ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
В § 2—16 этой главы будем рассматривать только установив-
шиеся плоские потенциальные течения, для которых иг = 0.
Как нам уже известно, для таких течений существуют функции <р
и ф, связанные соотношениями
Лр _ <3<р дф
дх ~ ду ’ Uy ду дх '
’(74)
Уравнения (7-4) открывают возможность применить для опи-
сания плоских потенциальных течений несжимаемой жидкости
аппарат теории функций комплексного переменного, с помощью
которого успешно решаются многие частные задачи.
Будем рассматривать плоскость течения как плоскость ком-
плексной переменной г = х + iy (рис. НО, а). Напомним по-
путно другие формы этой переменной: тригонометрическую —>
z = г (cos 0 + i sin 0), где г = У х2 + у2 — модуль числа ?,
0 = arctg ylx — его аргумент, и показательную— г = ге1&.
228
В теории функций комплексного переменного доказывается,
что если две функции <р (х, у) и ф (х, у) связаны соотношениями
(7-4) (условиями Коши—Римана), то они являются соответственно
действительной и мнимой частью некоторой функции комплекс-
ного переменного
w (г) = <р гф,
которая обладает определенной конечной производной во всех
точках области, где определены <р и ф. Такая функция w (z) назы-
вается аналитической. Таким образом, любой плоский потенциаль-
ный поток несжимаемой жидкости характеризуется аналитичес-
кой функцией w (z), которую называют комплексным потенциа-
лом1, Очевидно также и обратное: любую аналитическую функцию
w (г) можно рассматривать как комплексный потенциал некото-
рого плоского потенциального течения; отделив действительную
и мнимую части этой функции, легко находим потенциал скоростей
и функцию тока.
Выясним смысл производной При этом учтем, что произ-
водная функции комплексного переменного считается существую-
щей лишь тогда, когда
<. Ла/ dw
lim -т— = -Г-
&г->о dz
не зависит от способа приближения Az к нулю.
Можно поэтому записать
= lini 4^- = lim =
Az-, (J Аг Дг->0 Аг
ц <Р (х+Дх, у)+<Ф (jr+Ax, у)—ф (X, у) — 1ф (ху)
Дх->о Ах
дф . . дф '
= + I -г- = Щ — lUu.
дх 1 дх х У
Таким образом, производная комплексного потенциала по не-
зависимой переменной представляет собой комплексную перемен-
ную и — их — iuy, действительная часть которой равна проек-
ции скорости их, а мнимая — взятой с обратным знаком проек-
ции иу', величину и назовем сопряженной скоростью. В комплекс-
ной плоскости их, иу, называемой плоскостью годографа скорости,
число и является, очевидно, сопряженным с числом и = их +
.4 Менее употребительный термин — характеристическая функция. По-
скольку функции <р и ф определены с точностью до постоянного слагаемого, то
и функция w в общем случае включает такое слагаемое. Если его учет несущест-
вен, эту постоянную будем опускать.
229
+ iUgt которое будем далее называть комплексной скоростью
(рис. ПО, б)*, Величины и и и можно представить в форме
и = иг 4- iuy = | и | (cos а 1 sin а) = | и |
и = их — iug = | и | (cos а — i sin а) = | и | е~£а,
где | и | = У и* + и% — модуль комплексной скорости; а —•
ее аргумент.
Очевидно, | и | = | и |.
Выясним теперь свойства интеграла по произвольному зам-
кнутому контуру L от сопряженной скорости:
= $dw = $(^ + £W
Lb L L
Имеем
Re и dz = (j) dtp = (j) dx + ~ dy = (j) ux dx Д- audy = Г; (7-5)
L Li L L
Im $ udz = ф dt|) = Q**. (7-6)
L L
Таким образом, действительная часть указанного интеграла
равна циркуляции скорости по замкнутому контуру, а мнимая —
расходу жидкости через этот контур. Если суммарная интенсив-
ность вихрей внутри контура равна нулю, то согласно теореме
Стокса Г = 0 и Re udz = 0. Расход Q через замкнутый контур
будет отличен от нуля лишь в тех случаях, когда внутри контура
есть источники или точки поглощения жидкости (стоки). При
отсутствии источников и стоков Im (j) udz = 0.
L
Можно легко убедиться, что при наложении потенциальных
течений их комплексные потенциалы складываются. Действительно,
W = ф + пр = <Pj + фа + i (фх + ф2) = Фх + прх + ф2 + йр2 = ш»! + да2.
§3
ПРОСТЕЙШИЕ ПЛОСКИЕ ПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ ТЕЧЕНИЯ
Изучение плоских течений с помощью комплексного потенциала
можно вести двояко, Во-первых, можно, задавшись конфигурацией
линий тока или полем скоростей, отыскивать вид функций ф,
ф, w, и:, во-вторых, можно, задавшись аналитической функцией w,
выделить в ней действительную и мнимую части (т, е. ф и ф), а
• В некоторых изданиях комплексной скоростью называют и.
** Через Re и Im обозначают соответственно действительные и мнимые
части какого-либо комплексного числа.
230
также найти и = чем определится поле скоростей. Мы вос-
пользуемся вторым способом для знакомства с простейшими
частными видами плоских течений. Даваемые им a priori наиме-
нования оправдываются приводимым ниже анализом. Следует
иметь в виду, что рассматриваемые далее простейшие течения,
хотя и могут быть приближенно воспроизведены в опытах, но
представляют лишь теоретический интерес, поскольку они служат
теми элементами, из которых можно строить более сложные те-
чения, воспроизводящие реальные физические и технические схемы.
1. Прямолинейный поток. Рассмотрим функцию w — az, где
а—постоянное комплексное число. „
п А А А А--.
Поскольку = а, то ясно, что ХХлХл
величина а представляет собой Лал х у
сопряженную скорость, которая
в данном случае постоянна во х
всей плоскости течения. Обо- Ха'^Х^л Х^
значив эту скорость через а0, /\Х Хх/чХ-Д tn=const
находим ™
а = и0 = иОх — iuOy = | uQ |
yf=con$t
Рис, 111. Прямолинейный потенциалы*
ный поток
Чтобы определить потенциал
скорости (р и функцию тока ф, запишем
W = Ф 4- 1ф = («ох — itloy) (X 4- iy) = UQxX 4- иОуу 4- i (uQxy — UOyX).
Отделяя действительные и мнимые части, получим
Ф = иОхх 4- иОуу, ф = иоху — иОух.
(7-7)
Вдоль линий тока ф = const и, следовательно, их уравнение
запишется в виде
иОху — иОух = const.
Это есть уравнение семейства параллельных прямых, наклонен-
ных к оси х под углом а0, причем (tg а0 = и0у1и0х (рис. 111).
Легко убедиться, что эквипотенциали представляют собой другое
семейство параллельных прямых, ортогональное к первому.
В частном случае, когда иОу = 0 (а0 = 0), будет w = нОхг;
й = и9х, ф = иОхх-, ф = иОху и мы получаем прямолинейный
поток вдоль оси х. Если же а0 = л/2, то этот поток направлен
вдоль оси у и для него
W = — iuoyz\ й= — 1иОу, Ф = иоуу, ф = — иОух. (7-8)
231
^2. Источник (сток). Пусть w = A In 2, где А -— постоянное
действительное число. Его физический смысл можно установить,
вычислив
1т ф и dz = A-^lnz = А1т<$~.
L L L
Если контур интегрирования L охватывает точку z = 0, то
= 2ш. Учитывая (7-6), получим Л2л = Q или А =
Эта величина определяет собой расход источника или стока,
расположенного в начале координат. Для такого течения
Рис. 112. Плоский источник в начале коор-
динат
” = 4'"г- (7-9)
Чтобы выделить действи-
тельную и мнимую части, пред-
ставим 2 в показательной фор-
ме: z = гем. Тогда
w = ЪГ(1пг + ,6) = ф +л*’-
Отсюда
<₽=^inr=^in/^+7; (7-ю)
Ч’ = -5-0 = к-агс,ет- е-")
Очевидно, линии тока (ф = const или у!х = const) представ-
ляют собой прямые, проходящие через начало координат, а экви-
потенциали (ср = const или х2 + у2 = const) — окружности
с общим центром в начале координат (рис. 112),
Вычислим проекции скорости в полярных координатах:
и'~ дг ~ 2лг ’ ив~ д$в ~ г ае ~и‘ (/
Следовательно, в поле источника (стока) скорость убывает
обратно пропорционально расстоянию от центра. Полагая, что
скорость, направленная от центра к периферии (источник), поло-
жительна, мы должны в этом случае считать Q > 0. Тогда стоку
будет соответствовать Q < 0. Обратим также внимание на то, что
в точке г = 0 скорость обращается в бесконечность, т. е. центр
источника является особой точкой.
Если источник (сток) расположен не в начале координат,
а в точке г0 = х0 + iy0, то для него
= ln(z-z0); <р = Aln/(x-x0)2+ (y-yQ)2;
т 2л ’ 6 х — х0
232
(7-13)
3. Плоский вихрь. Пусть теперь постоянная А в выражении
комплексного потенциала w = A In z будет чисто мнимой: А =»
= iB или w = iB In г. Вычислим
Re udz = Re $ iB = Re (iB j)
L L \ L
*= Re (i‘B2ni) = — 2л В = Г.
Следовательно,
w= — irlnz (7-15)
описывает некоторое тече-
ние с циркуляцией Г.
Аналогично предыду-
щему находим
w = ср -j- i'l’ =
откуда
Рис. 113. Одиночный плоский вихрь в начале
координат
Г Л Г X у
= 2}Tarctg-T;
(7-16)
4 = 1пг = - In /? + у2.
(7-14)
(7-17)
Легко видеть, что линии тока (гр = const) в данном течении
являются концентрическими окружностями с центром в начале
координат, а эквипотенциали (ср = const) — прямыми, выходя-
щими из той же точки (рис. 113). Такое течение создается прямо-
линейным вихревым шнуром (плоским вихрем). Существенно, что
потенциальность данного течения нарушается в особой точке
г = 0. Действительно, для любого контура, охватывающего
начало координат, согласно (7-14) циркуляция Г равна одной и
той же величине — 2лВ. Поэтому на основании теоремы Стокса
можем заключить, что в начале координат расположен точечный
вихрь, интенсивность которого равна указанному значению цир-
куляции. Во всех остальных точках плоскости течения движение
безвихревое, хотя частицы имеют круговые траектории (линии
тока). В этом нет противоречия, так как движение частиц по кру-
говой траектории происходит без вращения, т. е. поступательно.
Составляющие скоростей в поле вихря имеют значения
<?<р п 15® Г
и, — = 0; =---------—,
' от ° г Й0 2лт ’
(7-18)
т. е. скорость направлена по касательной к окружности и убывает
обратно пропорционально расстоянию от центра. Иначе, справед-
233
лив закон иг = const. Заметим, что знак иа совпадает со зна-
ком Г. Поэтому, считая положительным направление скорости,
показанное на рис. 113, мы должны считать Г > 0 при движении
в поле вихря против часовой стрелки.
Для вихря, расположенного в точке z0 == х0 Д- iya, комплекс-
ный потенциал имеет вид
w==— 1^1п(г-20) (7-19)
и соответственно
Ф-4- arctg у-=у° ; ф = — JL In /(х - х0)аД (у - z/0)a. (7-20)
Если имеется система вйхрей, расположенных в точках zit
то в соответствии с принципом суперпозиции
^§«-4 (7-21)
4. Вихреисточник (вихресток). Пользуясь принципом супер-
позиции, образуем течение наложением источника и плоского
вихря. Для результирующего течения
ш = -^-1пз—lnz= ^7~1Г’ In г, (7-22)
2л 2л 2л ’ ' '
ИЛИ
ф+= - 7л~'(ln г+1'9)’
откуда
<р = -^-(О1пг + Г0); ^ = -±-((20-Г In г). (7-23)
Уравнение линий тока представим в виде
Q9 - Г 1п г = — Г In С
или
Q
г = Се1 9,
где С — постоянная.
Кривые, описываемые этим уравнением, представляют собой
логарифмические спирали, показанные на рис. 114. Соответствую-
щее течение называется течением от вихреисточника (Q 0)
или от вихрестока (Q < 0). Легко убедимся, что и это течение
обладает особой точкой в начале координат.
Из рассмотренных зависимостей ясно, что течения от источ-
ника, вихря и вихреисточника имеют закон распределения ско-
ростей
const
и =-----.
г
234
Выясним закон распределения давлений в поле этих течений.
Если р0 — давление в бесконечности, где и = 0, то согласно
уравнению Бернулли в произвольной точке
р । ц2 _ Ро
Р 2 “ р ’
откуда
ри2 рС«
Р = Ро-V =
где Со = const.
Поскольку в идеальной жидкости не может существовать отри-
цательных давлений (напряжений растяжения), то предельным
значением давления является
р = 0. Тогда из последней
формулы следует, что рас-
сматриваемые течения могут
существовать лишь вне
окружности радиуса
Рис. 114. Вихреисточник (вихресток), получен-
ный наложением вихря на источник (сток)
В связи с этим полученные
выше зависимости описывают
течение вне ядра радиуса г*.
Течение в пределах ядра
(г < г*) можно представить
соответственно общему ха-
рактеру потока. Так, напри-
мер, ядро вихря можно представлять как массу жидкости, вра-
щающуюся по закону твердого тела и = сог. Тогда получится
поле скоростей, показанное на рис. 113.
Поскольку параметры Со и р0 произвольны, то г* может иметь
любое значение, в том числе и сколь угодно малое. Можно поэтому
рассматривать точечные вихрь, источник или вихреисточник.
5. Диполь. Расположим источник в точке z = —е и сток того
же расхода в точке г = е. Тогда комплексный потенциал резуль-
тирующего течения будет
w е) = 1п + е) ~ 1п <2 -6)-
Если теперь сближать источник и сток (е —> 0), то в пределе
при е = 0 сток поглотит источник [w (z, 0) = 01, т. е. всякое
течение будет отсутствовать. Однако, если одновременно со сбли-
жением источника и стока увеличивать их расход, то получим
иной результат. Действительно, пусть при 8 —> 0 будет 2е | Q | =
= М = const. Тогда
lim да (z, е) = lim
е-»0 е-»0
In (г + е) — In (z — е)
2а
М d . М
-х---т~ In 2 = -н—,
2л dz 2лг ’
235
(7-24)
т. е. получено течение с комплексным потенциалом
которое называется течением от диполя. Выясним характер этого
течения:
<₽ + *<₽ =
М г М х—iy
2л 22 = 2л X2 + У2 ’
М cos 0 , М у
; ф =-------------------—
X
откуда
_ М______________________
2л х2 + у'1 2л
Рис. 115. Плоский диполь в начале коорди-
нат
М sin О
2л г
(7-25)
Постоянную М в этих фор-
мулах называют моментом дипо-
ля, а ось х, на которой распо-
ложены исходные источник и
сток, — осью диполя.
Уравнение линий тока из
(7-25) получим в виде
х2 + У1 = Су
или
2л л2 + у'1
2 , / С \2 С2
х + \у~т)
это семейство окружностей, ка-
сающихся вещественной оси в
начале координат (рис. 115).
Аналогичным способом нетрудно показать, что эквипотен-
циали образуют семейство окружностей, имеющих в качестве об-
щей касательной в начале координат мнимую ось.
Вычислим компоненты скорости
Л1 у2 — х2 М 2ху
Ux ~ 2л (х2 + у2)2 ’ иУ 2л" (х2 + у2)2 '
Из этих формул следует, что в первой четверти (рис. 115) во
всех точках, где у £> х (левее биссектрисы координатного угла),
будет их >• 0 и иу < 0, но в точках, где у < х (правее биссек-
трисы), их < 0 и Uy < 0. Жидкость как бы вытекает из начала
координат в сторону отрицательной оси х и, описав окружность,
снова втекает в начало координат. Естественно, что реализовать
в опыте точно такое движение невозможно, но это несколько аб-.
страктное теоретическое течение играет важную роль в методах
построения потоков, близких к действительным.
Диполь, так же как источник и вихрь, обладает особой точкой
в начале координат, ибо
dw — М
dz 2лг2 *
236
(7-26)
Если диполь расположен в точке z = z0, то
М dw __—___ М
2л (г — z0) И dz U 2л (z — z0)a *
6. Вихревой слой. До сих пор мы рассматривали только оди-
ночные или дискретно расположенные источники, вихри, диполи.
Представим теперь, что вдоль некоторой цилиндрической поверх-
ности, след которой на плоскости чертежа изображается кривой
(рис. 116), в каждой ее точке расположены точечные вихри, т. е.
рассматривается непрерывное распределение вихрей на поверх-
ности. Будем называть совокупность этих вихрей вихревым слоем.
В теории идеальной жидкости вихревой _
слой может служить моделью встречаю- °
щихся в реальных жидкостях поверх- u
ностей, при переходе через которые
скорость течения меняется очень резко. хя®'/ \
Такне поверхности называют поверхно- *
стями разрыва.
Нетрудно представить, что если в д
ЖИДКОСТИ единственным ИСТОЧНИКОМ ДВИ- Рис. не. Цилиндрический ВИП
жения является вихревой слой, то по ₽евой слой
одну его сторону движение направлено вправо (скорость Uj),
а по другую — влево (скорость ц2). Выделив малым замкну-
тым контуром dl (см. рис. 116) элемент вихревого слоя ds и вы-
числяя циркуляцию, находим
dr = | иг | ds — | и21 ds = (| «j | — | и21) ds.
Величина
dr . . . .
T=-*-=l«ll~l«2l
может быть названа погонной циркуляцией вихревого слоя. Как
видно из последней формулы, она равна величине разрыва ско-
рости Дц = | иг | — | и21. Чтобы найти общее выражение комплекс-
ного потенциала для произвольного вихревого слоя, выделим
его малый участок длиной ds и будем рассматривать вихри, со-
средоточенные на этом участке, как один точечный вихрь с цирку-
ляцией dT. Комплексный потенциал течения, создаваемого этим
вихрем, согласно (7-19) будет иметь вид
. t dr , . ,
dw =----s— In (z — zj,
2л v
где zs — координата точки, определяющей положение элемента ds.
В соответствии с принципом суперпозиции величина
j ln(z-z,)dr,
в
237
будет представлять собой комплексный потенциал течения, вы-
званного всеми вихрями, расположенными на дуге L. Иначе,
W = — j у In (z-zjds. (7-27)
L
Если, в частности, вихревой слой сосредоточен на прямоли-
нейном отрезке [—I, +/], то получим
ш = J (7'28)
—i
где g — координата точки на указанном отрезке.
Проекции скорости этого течения выражаются формулами
У „ __1_ V (х—g)y(g)rfg /79q.
2л J (х-^ + у*’ ии - 2л J (x-£)2 + z/2 ' V '
—I —I
Для вычисления скоростей по этим формулам необходимо
знать функцию у (£). Ее можно задать, и тогда мы приходим
к задаче об отыскании поля скоростей по заданной интенсивности
вихревого слоя. Однако при решении технических задач можно
составить уравнение, определяющее эту функцию. Подробнее об
этом в § 15 гл. 7.
§ 4
БЕСЦИРКУЛЯЦИОННОЕ ОБТЕКАНИЕ КРУГЛОГО ЦИЛИНДРА
ПРЯМОЛИНЕЙНЫМ ПОТОКОМ
Используя принцип суперпозиции, найдем результат наложения
прямолинейного потока со скоростью иа, направленной вдоль
вещественной оси, на диполь с моментом М. Комплексный потен-
циал результирующего течения, потенциал скорости и функцию
тока получим из формул предыдущего параграфа
, . м
w = ®прям + ®дип = U0Z 4- ;
, М х п I , М \
<р == иаХ -4- -5-5-j-s- == Г COS 0 4- -Н— ) ;
т 11 1 2л !/’ \ ° 2лл J ’
' , Му , n / М \
<ф — иои--5------Н—г — Г Sin 0 ( ий — 77 ) .
т 2л х2 4- //а \ ° 2л/ /
Конфигурация линий тока определится уравнением ф = С
или
у (w°— Ил ’ х24-д2 ) ~ С'
238
Выясним, какая линия тока соответствует значению С = 0.
Уравнение этой линии распадается на два!
у = 0 и х2 + у2 = -^-.
° 1 v 2ли0
Первое из них есть уравнение оси х, а второе — уравнение
окружности радиуса
м
2ли0
Следовательно, линия тока С = 0 состоит из оси х и этой окру-
жности. Чтобы представить общий характер течения, следует
построить другие линии тока.
Их общий вид показан на
рис. 117. Если теперь принять
во внимание, что в идеальной
жидкости условие, опреде-
ляющее любую линию тока
(ип = 0), совпадает с усло-
вием на твердой границе, то
можно окружность радиуса г0
(линию тока) заменить твер-
дой поверхностью, причем
течение от этой операции не
нарушится. Тогда, игнорируя
течение внутри окружности,
мы получим ее обтекание
Рис. 117. Форма линий тока, образующаяся
при наложении прямолинейного потока на ди-
поль
(точнее обтекание круглого цилиндра) потенциальным потоком
с постоянной скоростью ц0 вдалеке от цилиндра (в бесконечности).
Исключая из рассмотрения момент диполя М = 2ли0г§, мы полу-
чаем следующие окончательные выражения для функций w, <р и ф
потока, обтекающего круглый цилиндр:
w=u0 (z+4);
(7-30)
(r2 \ / ,2 \
1 = ^cose(l +75-); (7-31)
Л ~г У / \ г /
ф = иоу (1 — у2) =w/slne(l — -J). (7-32)
Сопряженная скорость этого течения имеет вид
dw — . /, \
= и = их - шу = и0 (J — j.
239
Составляющие скорости в полярных координатах выражаются
формулами
«г = -4г- — «о cos 0 (1 — -г ;
г дг “ \ гг )
и° ~ ------«о sln 0 (1 + тг) •
(7-33)
На поверхности цилиндра иг |г=Го = 0 и ив \г=Гл = — 2и0 х
X sin 0. Здесь, знак минус означает, что скорость ив направлена
К, 0 в К2 х
в сторону отрицательной оси s9,
положительное направление ко-
торой определяется направле-
нием отсчета координатного уг-
Рис, 118. Распределение скорости в потенциальном потоке, обтекающем круглый цилиндр
Рис. 119. Полярная диаграмма распределения давлений по поверхности цилиндра, обте-
каемого прямолинейным потенциальным потоком без циркуляции (штриховая линия —
теория; сплошная — опыт)
ла 0 (рис. 118). Можно видеть, что на поверхности цилиндра сущест-
вуют две критические точки 7<1 (0 = л) и К2 (0 = 0) (рис. 117
и 118), где скорость обращается в нуль, а при 0 = она до-
стигает максимального значения | ит| = 2«0. Из формул (7-33)
следует, что при г —» оо величина скорости приближается к ц0,
которую можно назвать скоростью невозмущенного потока или
скоростью в бесконечности. Эпюра распределения скоростей на
луче 0 =+ у показана на рис. 118.
Закон распределения давления по поверхности цилиндра можно
найти, используя уравнение Бернулли. Пренебрегая действием
массовых сил, запишем это уравнение для двух точек, одна из
которых расположена вдалеке от цилиндра (в бесконечности),
а вторая на его поверхности:
о 4- рц§ - о 1 р|ц|*
го^г 2 —Рл 2 *
240’ ’
Будем называть коэффициентом давления р разность давле-
ний р и ра, отнесенную к динамическому давлению р ~ :
p = (7-34)
P-f-
Принимая во внимание полученное выше выражение для ско-
рости на поверхности цилиндра, из уравнения Бернулли получаем
р=1 — Цг = 1 — 4sin20. (7-35$
ио
Рис. 120. Графики теоретического и экспериментальных распределений
давления по поверхности цилиндра, обтекаемого прямолинейным потен-
циальным потоком без циркуляции (— теория; —О—О—опыт при Re «
= 1,06 106; —>х-X— опыт при Re = 2,12 103)
Зависимость р (0) можно представить в виде полярной диа-
граммы (рис. 119), при построении которой значения р отклады-
ваются от поверхности окружности по радиусу, внутрь нее,
если р *> 0, и наружу, если р < 0. Другим способом представле-
ния этой зависимости является координатная диаграмма
(рис. 120). На обеих диаграммах кроме теоретической зависимости
~р (0) нанесены кривые распределения давления по поверхности
цилиндра, полученные в опытах при разных условиях обтекания
цилиндра потоком реальной жидкости. Можно видеть, что в ло-
бовой части обтекаемого тела теоретическая и опытная кривые
удовлетворительно согласуются, однако в тыльной части они резко
расходятся. Это связано с различием полей скорости за тыльной
241
стороной цилиндра. Если теоретическая конфигурация линий тока
симметрична относительно осей х и у, то при обтекании цилиндра
реальной (вязкой) жидкостью за тыльной стороной его поверх-
ности образуется зона, заполненная оторвавшимися вихрями,
наличие которых приводит к снижению давления (р < 0). Физи-
ческой причиной возникновения вихревой зоны является дей-
ствие сил вязкости, которое проявляется в относительно тонком
пограничном слое. Механизм этого явления будет рассмотрен
в гл. 8.
Возвращаясь к теоретическому анализу, вычислим равнодей-
ствующую сил давления по поверхности цилиндра. Элементар-
Рис. 121. К вычислению гидродина-
мической силы, действующей на
поверхность обтекаемого тела
ная сила давления (рис. 121) может
быть выражена формулой
dP = — pndS = — pnr0 dQb,
где b — размер вдоль образующей
цилиндра; п — единичный вектор
внешней к поверхности цилиндра
нормали.
Проекции этой силы на оси будут
равны
dPx = — р cos Qrob dQ и dPu = — р sin Qrob dQ,
а проекции результирующей
2л 2л
Рх == — rob j р cos 0 dQ и Py = — rob J p sin 0 dQ.
о о
Поскольку на поверхности цилиндра
Р = Ро + Р , где р = 1 — 4 sin2 0,
то
2л
Рх = — reb j [р04-(1 -4sin20)~e^-]cos0d0.
о
Вычисляя интеграл, убеждаемся, что Рх = 0. Аналогичным
путем находим, что Ру = 0. К этому результату можно также
прийти, если обратить внимание на симметричность диаграммы рас-
пределения давлений по поверхности цилиндра (см. рис. 119).
Таким образом, при обтекании круглого цилиндра прямо-
линейным в бесконечности безвихревым потоком равнодействую-
щая сил давления по поверхности цилиндра равна нулю. Этот
результат известен в гидромеханике как парадокс Даламбера1.
1 Жан Лерон Даламбер (1717—1783 гг.) — выдающийся французский ма-
тематик, механик и философ. Сформулировал один из фундаментальных прин-
ципов механики, выполнил исследования по гидромеханике.
242
Но он представляется парадоксальным лишь при сопоставлении
с экспериментальными фактами, которые всегда обнаруживают
наличие силы, воздействующей со стороны потока на любое обте-
каемое тело. Однако с точки зрения теории идеальной жидкости
этот результат является вполне логичным следствием той идеа-
лизации, которую мы допустили, исключив из рассмотрения силы
вязкости, являющиеся причиной резко отличного от теоретичес-
кого распределения скоростей вблизи поверхности цилиндра и
связанного с ним распределения давлений. Кроме того, силы вяз-
кости проявляются непосредственно в виде касательных напряже-
ний на поверхности обтекаемого тела.
Но тогда уместно поставить вопрос: нельзя ли, оставаясь
в рамках теории идеальной жидкости, внести в поток дискретные
или распределенные вихри, создающие перераспределение давле-
ний по поверхности обтекаемого тела, которое обусловило бы на-
личие не равной нулю силы воздействия потока на тело? В сле-
дующих параграфах мы убедимся, что таким способом действи-
тельно можно получить теоретические выражения для некоторых
гидродинамических сил, существующих и в реальных условиях.
§ 5
ОБТЕКАНИЕ КРУГЛОГО ЦИЛИНДРА С ЦИРКУЛЯЦИЕЙ
Наложим на бесциркуляционный поток, обтекающий круглый
цилиндр, одиночный плоский вихрь с центром в начале координат
и циркуляцией Г. Вращение вихря выберем по часовой стрелке.
В результате такого сложения мы снова получим поток, обтекаю-
щий круглый цилиндр. Действительно, мы видели, что в резуль-
тате сложения прямолинейного потока и диполя образуется те-
чение, имеющее одну из линий тока в виде окружности L, которую
мы и приняли за След поверхности цилиндра (см. рис. 117). Но
в прибавляемом дополнительно вихре все линии тока являются
окружностями. Следовательно, среди них найдется и окружность
L', совпадающая с L. Поскольку векторы скоростей в совпадающих
точках L1 и L коллинеарны, то новая линия тока, получаемая
в результате сложения, также будет окружностью того же радиуса,
и мы снова примем ее за след поверхности цилиндра. Очевидно,
все другие линии тока в результате сложения изменят свою
форму. Суммированием получим комплексный потенциал но-
вого течения
^прям ®ДНП ®вих = ^0 "4 2^ In Z, (7-36)
а также потенциал скорости и функцию тока
ф = u0rcos е (1 + 4) - ^-е = иох (1+ ) — 4-arctg-g-;
(7-37)
243
Ф = sin 6 (1 - In г = ийу (1 - +
+ -^- In Ух2-}-у2.
Сопряженная скорость
п = «о(1 —4) +
1Т
2лг ’
а проекции скорости в полярных координатах
z/, = wucos0 (1 — ц6 = —nosine(l +(7-38)
На поверхности цилиндра при г = г0
иг = 0 и и6 1/-=^ = — 2но sin 6 — . (7-39)
Выясним наличие критических точек и их положение, для чего
положим нв|г = Г(| = 0. Получим
• п Г
sin 0HD = —.
р 4ли„гс,
(7-40)
Возможны случаи: а) Г < 4лиого. Из (7-40) следует, что 0кр
имеет два значения в 3-й и 4-й четвертях, т. е. на поверхности
цилиндра имеются две критические точки иК2. На рис. 122, а
показана конфигурация линий тока, соответствующая этому слу-
чаю;
б) Г = 4лийгй. В этом случае sin 0кр = —1 или 0кр = 270°.
Следовательно, на поверхности цилиндра расположена одна кри-
тическая точка К (рис. 122, б);
в) Г»> 4лийг0. Поскольку величина sin 0кр не может быть
больше единицы, то мы должны заключить, что для этого случая
на поверхности цилиндра нет ни одной критической точки. Более
подробный анализ показывает, что точка с нулевой скоростью рас-
положена внутри потока на петлеобразной линии тока, ограничи-
вающей замкнутую область вблизи поверхности цилиндра, в ко-
торой происходит циркуляционное течение (рис. 122, в).
Принимая во внимание (7-39), для коэффициента давления
получим
р = 1 — (2 sin 0 + -^-—V = 1 — 4 (sin0 + —V.
г \ 1 ) \ 4лииг0 )
На рис. 123 нанесены кривые р = f (0) для случаев: а) Г/4 X
X = 0>5; б) Г/4лиого = 1 и в) Г/4лн0г0 = 1,5. Можно ви-
деть, что эпюры давлений симметричны относительно оси у,
а это свидетельствует о равенстве нулю проекции Рх силы давле-
ния на цилиндр. Однако эти эпюры несимметричны относительно
оси х, и, следовательно, должна существовать не равная нулю
проекция этой силы на ось у.
244
9)
Рис. 122. Формы линий тока вблизи круглого цилиндра, обтекаемого потенциальным
потоком с циркуляцией:
а) Г < 4лиого; б) Г = 4лного; в) Г > 4лиого
Рис. 123. Распределение давлений по поверхности цилиндра при разных значениях цир-
куляции скорости:
а) Г = 2л«(/0; б) Г = 4лм0г0: в) Г « 6л«вгв
Убедимся в этом:
2л
Ри — — b j pr0 sin 0 dO =
о
2л
= “М {po + ^-[l-(2sln0 + ^7)a])sln9d0.
о
Вычисление интеграла дает
Рд = ЬрииГ. (7-41)
245
Эта сила, направленная перпендикулярно скорости в беско-
нечности, называется подъемной или поперечной силой Н. Е. Жу-
ковского. Она является результатом того перераспределения да-
влений по поверхности цилиндра, которое вызвано действием при-
Рис. 124. Обтекание вязкой жидкостью
вращающегося цилиндра
соединенного к потенциальному
потоку вихря. Определяемую
формулой (7-41) поперечную
силу можно получить и в опыте,
если создать условия обтекания
цилиндра, близкие к теоретиче-
ским. Этого можно достигнуть,
если круглый цилиндр, обтекае-
мый потоком реальной жидкос-
ти, вращать вокруг своей оси.
Тогда наблюдается картина об-
текания, показанная на рис. 124
и весьма сходная с теоретиче-
ской картиной на рис. 122. Эго
позволяет предполагать, что не
только для частного случая об
текания круглого цилиндра, но
и для случаев обтекания тел
других форм, можно, внося в
потенциальный поток некото-
рую систему вихрей, получать
такие течения, которые близки
к наблюдаемым и в которых
У
Рис. 125. Схема обтекания цилиндра под
углом к действительной оси
действуют гидродинамические силы, совпадающие с измеряемыми
в опытах.
Формула (7-41) дает частное выражение теоремы Н. Е. Жуков-
ского о подъемной силе, доказательство которой в общем виде
будет дано дальше.
Выше были установлены комплексные потенциалы потоков,
обтекающих круглый цилиндр вдоль вещественной оси. Найдем
246
более общее выражение для случая циркуляционного обтекания
вдоль произвольного направления под углом а к этой оси (рис. 125).
Для этого рассмотрим вначале бесциркуляционное обтекание
вдоль мнимой оси. Его можно получить, если повернуть весь
поток, изученный в § 4, на угол л/2 против часовой стрелки. Та-
кая операция математически будет реализована, если в выражении
(7-30) и других заменить г новой переменной zx = zi. Действи-
тельно, умножение на мнимую единицу изменяет (увеличивает
на угол л/2) только аргумент комплексного числа, не изменяя его
модуля. Поэтому вся картина течения (см. рис. 117) в плоскости
переменного 2L окажется повернутой на угол л/2. Комплексный
потенциал этого течения в плоскости zt будет иметь вид
w (zx) = ц0 (-Д- + = — iu0 (z! — .
Теперь вернемся к плоскости z и сложим три течения: обте-
кание цилиндра вдоль действительной оси со скоростью иОх,
обтекание цилиндра вдоль мнимой оси со скоростью иОу, одиноч-
ный плоский вихрь с циркуляцией Г.
Поскольку все три течения имеют линию тока в виде окруж-
ности г — г0, то и результирующий поток будет иметь такую ли-
нию тока. Для результирующего комплексного потенциала по-
лучаем
ш (z) = иОх (г + А) - iuOy (z - ~ 1п г =
= (и0х — lUoy) z + {иох + Шоу) 1П 2
или
u)(z) = u02 + «0^- + -^-lnz. (7-42)
Разумеется величина поперечной силы Жуковского при таком
обтекании цилиндра будет той же, что и при течении вдоль ве-
щественной оси, но направление ее будет ортогонально к направ-
лению вектора:
«о = иОх + = I «о | е‘а.
Выражение (7-42) мы используем при решении задач об обте-
кании пластины.
§ 6
ТЕОРЕМА ЖУКОВСКОГО О ПОДЪЕМНОЙ СИЛЕ
В предыдущем параграфе мы получили формулу, выражающую
теорему Жуковского для частного случая обтекания круглого
цилиндра. Ввиду особой важности этой теоремы для ряда техни-
ческих приложений, мы докажем ее и для общего случая обтека-
247
Рис. 126. К доказательству теоремы Жуковско-
го о подъемной силе
ния потоком несжимаемой жидкости тела произвольной формы.
Исходные условия примем прежними: течение плоское, устано-
вившееся, потенциальное всюду, кроме, быть может, поверхности
или внутренней области тела1. Плоскую область течения, харак-
теризуемую системой действительных координат хоу (рис. 126),
будем считать безграничной и потому предположим, что возму-
щения, вносимые в поток обтекаемым телом, убывают при удале-
нии от него. Иными словами,
полагаем, что вектор скорос-
ти и в произвольной точке
можно представить в виде
и = «о + и или их = ио + и'х,
Uy = Uy,
где и' — возмущение, вноси-
мое телом в поток, причем
и' —♦ 0 по мере удаления от
тела в любую сторону.
Проведем окружность С с
центром в начале координат
достаточно большого радиу-
са г* и применим теорему ко-
личества движения к массе
жидкости, заключенной между этой окружностью и контуром
тела L, полагая все размеры в направлении нормали к плоскости
чертежа равными единице. Согласно уравнению (5-71) имеем
Рмасс ^пов = J PUnudS.
S
Действием массовых сил РМасс,в доказательстве теоремы будем
пренебрегать, так как оно сводится, к появлению гидростатичес-
кой (архимедовой) силы, которую всегда можно вычислить, если
ее действие существенно. Контрольная поверхность S в нашем слу-
чае будет состоять из цилиндрических поверхностей, определяе-
мых окружностью С и контуром тела L. Соответственно, главный
вектор поверхностных сил будет состоять из сил давления, рас-
пределенных по поверхностям С и L, причем результирующая
сил давления по поверхности тела представляет собой силу R
воздействия тела на поток.
В силу третьего закона Ньютона искомая сила воздействия
1 Напомним, что, как мы видели выше (см. § 4 и 5), поверхность тела можно
рассматривать как замкнутую линию тока, внутри которой существует течение
жидкости.
24&
потока на тело Р = —R. Что же касается результирующей сил
давления по контуру С, то она выражается формулой
Рс = pndC = —$) pndC,
где dC — элемент дуги контура интегрирования; п— орт внеш-
ней нормали.
Уравнение количества движения примет вид
— Р — pndC = рипиdC 4- (£ рипи dL.
с с L
Поскольку поверхность тела предполагается непроницаемой,
то un/L == 0, и, учитывая, что dC = r*d&, пх s= cos 0, пу = sin О
(см. рис. 126), выразим проекции силы Р:
2л
Рх= — j r*(pcos0 + pu„Mjd0;
О
2л
pv = — f г» (р sin о + рипиу) de.
о
Далее учтем, что их = «0 4- их\ иу = и'в и
л n I Рыо______Р. /,,2 I ,.2\ п I Рц0
Р — Ро 4- 2 2\их‘иу)~~ ^о~г 2
_-e-(U2+2ux+<2 + «;2).
Поскольку радиус г* выбран достаточно большим, то на окру-
жности С величины и'х и и'у малы и их квадратами можно прене-
бречь. Тогда
р = ро — риеи'х
и, следовательно,
2л
Рх = — Г, J [(ро — риои'х) cos 0 4- ры„мх] d0j
о
(7-43)
2л
Ру = — Г. j [(Ро — pwoui) sin 0 4- punus] de.
Учитывая, что
2л 2л
J р0 cos 0 d6 == 0 и J р0 sin 0 de = 0,
б о
249
и принимая во внимание, что ип = и п = их cos 0 4- ии sin 0,
преобразуем остающиеся подынтегральные выражения:
UnUx — COS 0 = (Ux COS 0 + Uy Sin 0) Ux — UqUx cos 0 =
= [(ыо 4- u'x) COS 0 4- U Sin 0] (llQ 4- u'^ — UaUxCOS 0 = COS 0 4-
4- 2w0«x COS 0 4- Ux2 COS 0 4- UQu'y sin 0 4- UyUx sin 0 — ийи'х COS 0 s
es u* cos 0 4- «о (u'x cos 0 4- u' sin 0);
UnUy — UqUx Sin 0 = (Ux COS 0 4- Uy sin 0) Uy — uau’x sin 0 =
— [(«0 + Ux) COS 0 4- Uy Sin 0] • u'y — Sin Os«o {u'y COS 0 — u'x sin 0),
Внося эти выражения в интегралы (7-43), получим
2л
Рх = — рг*ц0 j (u’x cos 0 4- u'y sin 0) ci0;
0
(7-44)
2л
Py = — pr.wo J {u’y cos 0 — u’x sin 0) d0.
0
He нарушая равенства, значения u'x и u’y под знаками интегра-
лов можно заменить соответственно через их и иу, что равносильно
прибавлению к правым частям величин
2л 2л
— Pr*uo J и0 cos 0 d0 и pr*u0 J и0 sin 0 dB,
о о
каждая из которых равна нулю. Учтем, кроме того, что
г* (иу cos 0 — их sin 0) dQ = (Uy cos 0 — ux sin 0) dC =
= ux dx 4- Uy dy - uc dC,
где uc — составляющая скорости и, касательная к окружности С.
С учетом этих соотношений
2л
Рх = — p/^Uo J (их cos 0 4- иу sin 0) dd = — pu0 Ф un dC = — pu0Q;
о c
2л
Py = — pr*u0 j (Uy cos 0 — ux sin 0) d0 = — p«0 $ uc dC = — р«0Г',
о c
где Q — расход жидкости через контур С; Г' — циркуляция
скорости по этому контуру, соответствующая обходу против часо-
вой стрелки.
250
Если внутри окружности С нет источников или стоков, что
мы и предполагаем, то Q = 0 и, следовательно, Рх = 0. Для
силы Ри получаем Ру = —ри0Г' или, меняя знак циркуляции,
Рв = ри0Г. (7-45)
Этой формулой выражается теорема Жуковского о подъемной
силе, которая гласит, что при обтекании цилиндрического тела
произвольного профиля плоским потенциальным потоком с цирку-
ляцией на каждую единицу длины тела со стороны потока дей-
ствует сила, равная произведению плотности жидкости, скорости
потока в бесконечности и циркуляции по контуру, охватываю-
щему тело.
Принимая во внимание результат, полученный при циркуля-
ционном обтекании круглого цилиндра, и доказанную теорему,
нетрудно установить правило для определения направления силы
Ру. Действительно, как и для круглого цилиндра, в последнем
выводе циркуляция Г соответствует движению по часовой стрелке.
Чтобы получить направление силы Жуковского, следует вектор
скорости в бесконечности повернуть на угол 90® в направлении,
противоположном циркуляции.
В ходе доказательства теоремы Жуковского мы ввели неко-
торое ограничение, потребовав, чтобы окружность С была до-
статочно большого радиуса. Это ограничение легко устраняется
следующими рассуждениями. Проведем между окружностью С
и контуром тела L произвольный замкнутый контур I. Поскольку
между контурами С и I вихрей, по предположению, нет, то в силу
теоремы Стокса циркуляции по этим контурам будут одинаковы.
Следовательно, в теорему Жуковского (7-45) можно ввести вместо
циркуляции, взятой по специально выбранной окружности С,
циркуляцию по произвольному контуру I, охватывающему тело.
В частности, этим контуром может быть контур L самого тела.
Теорема Жуковского, опубликованная им в 1906 г., сыграла
выдающуюся роль в развитии теории крыла, которая, в свою
очередь, явилась основой теории летательных аппаратов. Эта
теорема получила также широкое применение в теории гребных
винтов кораблей, теории лопастных гидравлических, паровых
и газовых турбомашин. Ее значение определяется прежде всего
тем, что она вскрывает физическую причину появления подъем-
ной силы; такой причиной являются вихри, мерой интенсивности
которых служит циркуляция скорости. При этом несущественна
причина, порождающая эти вихри. В рамках теории идеальной
жидкости циркуляция может быть порождена только вихрями,
которые мы a priori мыслим существующими в потоке, однако не
можем указать источник их появления (по крайней мере для не-
сжимаемой жидкости). Такие вихри, определяющие величину подъ-
емной силы, Жуковский называл присоединенными. В реальной
жидкости циркуляция порождается действием сил трения, которые
развиваются и проявляются в пограничном слое, прилегающем
251
к поверхности тела (см. гл. 8 и 9). Таким образом, присоединенные
вихри Жуковского являются теоретическим эквивалентом системы
вихрей, возникающих в пограничном слое реальной жидкости.
Теорема Жуковского указывает, что целесообразно, изменяя
форму профиля обтекаемого цилиндрического тела, т. е. изменяя
интенсивность вихрей в пограничном слое, соответственно изме-
нять подъемную силу.
Однако сама по себе теорема Жуковского не решает вопроса
о теоретическом определении подъемной силы. Действительно,
без какого-либо дополнительного условия мы не можем указать
то значение циркуляции Г, которое нужно подставить в формулу
(7-46), чтобы получить значение подъемной силы, совпадающее
с действительным, получаемым при обтекании данного тела реаль-
ной жидкостью.
Академик С. А. Чаплыгин 1 совместно с Н. Е. Жуковским
сформулировал постулат, устраняющий неопределенность вели-
чины циркуляции для цилиндров, имеющих крыловой профиль
(скругленная носовая часть и заостренная задняя кромка). Мы
разъясним этот постулат в следующем параграфе.
§ 7
ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА КОНФОРМНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ
ДЛЯ ПОСТРОЕНИЯ ПЛОСКИХ ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ ТЕЧЕНИЙ
Метод наложения потенциальных потоков в виде, описанном
в § 1—5, имеет ограниченные возможности, так как заранее неиз-
вестно, какие потоки надо сложить, чтобы получить требуемое
течение, и, наоборот, неизвестно, какое течение получится, если
сложить наперед выбранные потоки. В связи с этим задачу об
отыскании поля течения в заданных границах сложной конфигу-
рации решить таким путем практически невозможно. Правда,
прибегая к суммированию непрерывно распределенных особенно-
стей (источников, вихрей или диполей), можно свести задачу к ин-
тегральному уравнению. Это развитие метода наложения кратко
изложено ниже (см. § 15).
Применение метода конформных отображений значительно
расширяет возможности теоретического построения плоских
потенциальных течений.
Напомним вкратце математическую основу этого метода.
Пусть £ = f (z) аналитическая функция, определенная в области
D2 плоскости переменного z (рис. 127). Будем интерпретировать
переменную С как комплексную координату точек плоскости £.
Если 2 принимает все возможные значения в пределах области D2,
то соответствующие значения £ = f (z) образуют в плоскости £
1 Чаплыгин Сергей Алексеевич (1869—1942 гг.)— выдающийся русский уче-
ный в области механики, академик, Герой Социалистического Труда. С 1921 г.
научный руководитель ЦАГИ. Автор фундаментальных работ по теории крыла,
теории газовых струй, внутренней баллистики и другим разделам гидродинамики.
252
некоторую область D%, которая является отображением области
Dv Если, в частности, переменная г пробегает вдоль линии 1г,
то соответствующие значения £ образуют линию 1%. Областями Dz
и Dr могут быть целые плоскости г и £, включающие бесконечно
удаленную точку.
Если функция f (г) однозначна, то каждой точке области D2
будет соответствовать только одна точка области D* и соответ-
ствующее отображение называется однозначным, я если одно-
значна обратная функция z = /г (w), то отображение называется
Рис. 127. Конформное отображение областей
однолистным. Однозначное однолистное отображение называют
взаимно-однозначным. Взаимно-однозначное отображение, осу-
ществляемое аналитической функцией, называют конформным.
Чтобы установить основные свойства такого отображения, рас-
смотрим малую окрестность точки z0, в которой /' (г0) 4= 0.
Обозначим z — г0 = Дг; £0 = / (г0); ? — £0 = Д£; \f' (г0) | =
= tn\ arg f (г0) = 0О. Вспоминая связь дифференциала и конеч-
ного приращения и ограничиваясь малыми первого порядка,
можно написать: d‘Q — f (г0) dz, откуда | Д£| = т | Дг|; arg Д£ =
= arg Дг + 0О.
Следовательно, всякий малый вектор Д£ при отображении мо-
жет быть получен из соответствующего малого вектора Дг путем
умножения длины последнего на некоторый коэффициент т (ко-
эффициент растяжения) и поворота на угол 0О. При этом коэффи-
циентом растяжения служит модуль производной отображающей
функции, а углом поворота — ее аргумент. Поскольку это спра-
ведливо для любого вектора Дг, выходящего из точки г0, то все
такие векторы будут при отображении растянуты или сжаты
в одно и то же число раз. Иными словами, рассматриваемое ото-
бражение является преобразованием подобия в'бесконечно малом.
Так, например, окружность малого радиуса с центром в точке z0
после отображения перейдет в окружность. Любая другая малая
фигура перейдет в себе подобную. Однако это не значит, что оста-
нутся подобными и фигуры конечных размеров. Напротив, изме-
нения их конфигурации могут быть весьма значительными. '
1253
Поскольку все малые отрезки поворачиваются на один и тот
же угол 0О, то, очевидно, углы между любой парой из их числа
сохранятся по величине и направлению отсчета. Это свойство
отображения называют сохраняемостью углов.
Для приведенных рассуждений существенно, что f (z0) =£ О,
ибо, если это условие нарушено, то выводы теряют силу.
Таким образом, мы видим, что конформное отображение обла-
дает свойствами сохраняемости углов и постоянства растяжений
в каждой точке, где f (z) =j= 0.
Поскольку — = /' (z) = —, то последнее условие равно-
сильно условию существования конечной производной от обрат-
ной функции
Если область D2 рассматривать как область некоторого потен-
циального течения, то, осуществляя конформное отображение
этой области с помощью аналитической функции £ = / (z), мы
получим область D^, которую можно рассматривать как область
другого (отображенного) течения. При этом, если комплексный
потенциал в плоскости £ известен — w (£), то, производя замену
переменных
4(C) = 4l/(z)l = ®2(z). (7-46)
получим комплексный потенциал для плоскости г, что достаточно
для полного описания течения.
Следовательно, решение задачи о построении плоского потен-
циального потока методом конформного отображения сводится
к отысканию аналитической функции, осуществляющей отобра-
жение области течения с известным комплексным потенциалом на
область с заданными границами. Способы отыскания отображаю-
щих функций являются чисто математической проблемой и вы-
ходят за рамки курса гидромеханики, поэтому в приводимых ниже
примерах мы пользуемся отображающими функциями, известными
из математики.
Установим связь между гидродинамическими величинами
в двух потоках, получаемых друг из друга конформным отобра-
жением. Согласно правилу дифференцирования сложных функций
имеем
- _ dwz dw;.
г dz dt, dz dz •
где иг и — соответственно сопряженные скорости в плоскостях
z и £.
Поскольку -^- представляет собой в общем случае комплексное
число, то из (7-47) следует, что при конформном отображении
скорости изменяются в каждой точке как по величине, так и по
направлению.
254
(7-47)
Действительно, согласно (7-47)
l«J = l«d|J| и arg«2 = arg«£ + arg-J. (7-48)
Если в какой-либо точке или части области течения arg =«
«= 0, т. е. является действительным числом, то arg uz = arg Uj,
что означает одинаковую направленность векторов иг и по от-
ношению к их осям координат.
Связь между циркуляциями в плоскостях z и £ может быть
представлена в виде
Г2 = Re d) иг dz = Re d) dz = Re dz = Re dt, = 1^.
Lz Lz 2 Lz 2
Следовательно, при конформном отображении потоков цирку-
ляция скорости не изменяется.
Также можно показать, что расход жидкости через какой-либо
замкнутый контур остается постоянным при конформном отобра-
жении. Действительно,
Qz = 1m(£uzdz=1m(£-^-dz=]mf-^-^-dz= Im u£d£ = Qs.
l2 l2 lz
Ниже мы иллюстрируем сущность метода конформных отобра-
жений на примере задачи об обтекании пластины.
§ 8
ЦИРКУЛЯЦИОННОЕ ОБТЕКАНИЕ ПЛАСТИНЫ
ПЛОСКИМ ПОТЕНЦИАЛЬНЫМ ПОТОКОМ
Пусть требуется найти комплексный потенциал потока, обтекаю-
щего со скоростью в бесконечности н0 = ийх + iuOy плоскую
пластину шириной 2а (рис. 128, а). Размер пластины и потока
по нормали к плоскости чертежа принимаем равными единице.
В соответствии с общей схемой метода конформных отображений во
вспомогательной плоскости £ рассмотрим течение, комплексный
потенциал которого известен и область которого можно кон-
формно отобразить на область г. Таким течением является поток,
обтекающий круглый цилиндр радиуса а (рис. 128, б). Действи-
тельно, функция вида
2=40+т)’ (7'4S)
называемая функцией Жуковского, является аналитической всюду,
кроме точки £ = 0, и отображает внешность окружности г = а
на внешность прямолинейного отрезка (пластины) длиной 2а,
253
расположенного вдоль вещественной оси плоскости г. Чтобы убе-
диться в этом, учтем, что на контуре окружности Q (рис. 128, б)
£ = aeiQ. Соответственно (7-49) в точках контура С2, в который
преобразуется окружность, будет
z = х -j- iy = -у (е'9 + е“(9) = a cos О,
откуда
к = a cos 9; у = 0.
При изменении 0 от 0 до л х изменяется от а до —а, т. е. верх-
няя половина окружности переходит в верхнюю сторону пластины;
Рис. 128. К постановке задачи о циркуляционном обтекании пластины
нижней половине окружности (л < 0 sg 2л) соответствует ниж-
няя сторона пластины. Соответственные точки этих контуров по-
казаны на рис. 128, а и б. Из (7-49) следует, что бесконечно удален-
ная точка плоскости С переходит в бесконечно удаленную точку
плоскости г. При этом отображение конформно вне круга г = а
и во всех точках окружности, кроме точек £ = —а, где конформ-
ность нарушается в силу того, что
-^-1 = -1- (1 —тг)| =0-
1С=±а 2 \ t2 /1Б=±а
Пусть теперь цилиндр в плоскости переменного £ = £ + й|
обтекается потоком с некоторой скоростью в бесконечности U —
= + iU,. и циркуляцией Г. Комплексный потенциал такого
потока нам известен и согласно (7-42) имеет вид
= (/£ + U y + -£ 1п £. (7-50)
Разрешая отображающую функцию относительно £, найдем
g = z + (7-51)
причем знак + перед радикалом выбран из условия соответствия
бесконечно удаленных точек. Заменяя в выражении (7-50) пере-
266
менную £ на z согласно (7-51), получим выражение комплексного
потенциала для плоскости г:
wz = U (г + /г2 - а2) + U ——4- In (г + ]/z2 - а2)
2 + И 22 —
или после упрощений
шг = 2(7^ — i2U^zl — a2 4- In (г + ]/za — а2).
Это выражение не может считаться окончательным, так как в него
входит скорость U, не заданная в условии задачи и введенная
Рис. 129. Обтекание пластины потенциальным потоком:
а — Г = 0; на поверхности пластины две критические точки
/< 1 и Кг (концы пластины —• особые точки и =я <»); б — Г =
= (циркуляция выбрана по постулату Жуковского —
Чаплыгина); на поверхности пластины одна критическая
точка
нами как вспомогательная величина. Для ее отыскания вычислим
сопряженную скорость
цг =-^4. = 2ЕЛ —/2СЛ у г (7-52)
1 dz S Ч |/^22_аа 2л г2_______аз
значение которой на бесконечности задано: и0 = иОх — 1иУу.
Согласно (7-52)
== ^Z |z=oo 20\ i2Uу|.
Следовательно, 2U% = иОх, 2UT[ = иОу. Теперь можно запи-
сать окончательные выражения искомого комплексного потен-
циала и по (7-52) сопряженной скорости:
wx = иогг — шог/ /г2 — а2 + -^- In (z + ]/га — а2); (7-53)
! = UOx — I----. .
1 2л /г2 — а2
(7-54)
Из (7-54) следует, что распределение скоростей в потоке зави-
сит от циркуляции Г, и при произвольном ее значении в точках
9 Б. Т. Емцев 257
2 = ~а скорость обращается в бесконечность, т. е. эти точки яв-
ляются особыми. Полагая иг = 0, можно было бы убедиться, что
на пластине имеются две критические точки, которые при Г = О
расположены симметрично относительно мнимой оси и имеют
координаты — a cos а (рис. 129, а).
Поскольку обтекание пластины циркуляционное, то согласно
теореме Жуковского на ней возникает поперечная сила, равная
р | и01 Г. Величина циркуляции Г здесь не определена и в нашей
теоретической схеме может быть выбрана произвольно. Однако
очевидно, что только одно значение циркуляции может дать
истинную величину силы Жуковского, совпадающую с опытной.
С. А. Чаплыгиным и Н. Е. Жуковским сформулирован упоминав-
шийся выше постулат, позволяющий устранить неопределенность
величины циркуляции, а значит и подъемной силы. Ими было
обращено внимание на то, что при обтекании тел с заостренной
задней кромкой (в частности, при обтекании пластины), согласно
теоретическому решению, в точке заострения скорость обращается
в бесконечность, тогда как при реальном обтекании это физически
невозможно. Устранить это несоответствие теоретической схемы
опыту можно, выбрав определенное значение циркуляции.
Согласно постулату Жуковского—Чаплыгина истинной вели-
чиной циркуляции должна быть та, при которой скорость в точке
заострения обтекаемого тела имеет конечное значение.
На примере плоской пластины покажем, как использовать
этот постулат. Из формулы (7-54) следует, что в точке г =
(задняя заостренная кромка обтекаемого тела) скорость обра-
щается в бесконечность при любом значении Г, кроме того, при
котором одновременно обращаются в нуль числитель и знамена-
тель второго члена. Очевидно, этим значением циркуляции яв-
ляется
Г = 2ли0уа,
подставляя которое в (7-54), найдем
иг = иОх — шоу у . (7-55)
Теперь в точке z = -\-а будет иг\г=а = иОх, т. е. конечное
значение скорости. Заметим, что выбором указанного значения
циркуляции не устраняется особая точка на передней кромке
пластины, ибо из (7-55) имеем иг |2=_а = оо.
На рис. 129 показаны конфигурации линий тока при обтека-
нии пластины без циркуляции и с циркуляцией, выбранной по
постулату Жуковского—Чаплыгина. Можно видеть, что послед-
ний случай характерен плавным сходом линий тока с пластины
и только одной критической точкой Ki, вторая в этом случае
совмещается с точкой заострения.
258
Подъемную силу Жуковского, соответствующую выбранному
значению циркуляции, представим в виде
= РI “о IГ = Р | «о I 2лиада,
или, так как иОу = |и0| sin а,
Рп = 2л: sin а • 2п р-' .
Обозначим Су = 2л sin а; S = 2а. Тогда получим универсаль-
ную формулу для гидродинамической силы
Рп
Рис. 130. Образование «подсасываю-
щей» силы при обтекании пластины с
циркуляцией
заостренной задней кромкой
ии котопых обеспечен плав-
= (7-56)
Величину Су называют коэффи-
циентом подъемной силы, a S
играет роль характерной площади
обтекаемого тела.
Экспериментальная проверка
теоретической формулы для ко-
эффициента подъемной силы пла-
стины Су — 2л sin а показывает,
что для достаточно тонких тел с
(крыловых профилей), при обтека
ный сход струй с этой кромки, указанная формула приближенно
применима при малых углах атаки (сс < 12°).
Согласно теореме Жуковского сила Рп нормальна к вектору и0,
а значит, дает составляющую Рт в плоскости пластины, направлен-
ную к передней кромке (рис. 130) и называемую подсасывающей
силой. Этот результат представляется парадоксальным, поскольку
все элементарные силы давления, результирующей которых яв-
ляется сила Жуковского, нормальны к поверхности пластины.
Объяснение этому факту можно дать, если представить, что
пластина имеет конечную, хотя и малую толщину с плавно скруг-
ленным передним (лобовым) концом и заостренным задним. При об-
текании такого тела скорости на его лобовой части будут весьма
большими (в пределе для бесконечно тонкой пластины — беско-
нечно большими), а на остальной части поверхности — конеч-
ными. Соответственно, давления на лобовой части будут весьма
малыми, а на остальной поверхности — конечными. Так как
поверхность тела не является плоскостью, то элементарные
силы давления, нормальные к его поверхности, дадут составля-
ющие в направлении оси х, сумма которых и образует подсасы-
вающую силу Pv Уменьшая толщину тела до нуля, в пределе
получим обтекание пластины.
В действительности, в реальной жидкости обтекание заострен-
ной передней кромки с огибанием ее по схеме рис. 129 осуще-
ствиться не может. Вследствие влияния вязкости и градиента
давления поток отрывается от твердой поверхности, образуются
э*
259
вихри, уносимые вниз по течению, и структура обтекания резко
меняется. Мы вернемся к этим вопросам в гл. 8 после ознакомле-
ния с основами теории пограничного слоя.
В заключение параграфа заметим, что небольшое видоизмене-
ние задачи об обтекании пластины дает обтекание эллиптического
цилиндра. Изложение этой задачи можно найти в более подроб-
ных курсах гидромеханики [9].
§ 9
ПОСТАНОВКА ОБЩЕЙ ЗАДАЧИ
ОБ ОБТЕКАНИИ КРЫЛОВОГО ПРОФИЛЯ
Крыловыми обычно называют профили цилиндрических тел
с закругленной передней кромкой и заостренной задней. Такую
форму или близкую к ней имеют крылья летательных аппаратов,
Рис. 131. К постановке задачи о построении потенциального плоского по*
тока, обтекающего крыловой профиль заданной фермы
лопасти гребных винтов и турбомашин, подводные крылья судов.
Эта форма обеспечивает минимальное лобовое сопротивление
и максимальную подъемную силу.
Рассмотрим принципиальную схему решения задачи обтека-
ния произвольного крылового профиля, основанную на методе
конформных отображений.
Пусть в плоскости z задан контур крылового профиля и ком-
плексная скорость и0 = | иа [е‘а в бесконечности обтекающего
его потока. Для отыскания комплексного потенциала w2 выберем
в плоскости £ вспомогательный поток, комплексный потенциал
которого нам известен. В качестве такого потока можно взять
поток со скоростью в бесконечности U = | U |С‘“, обтекающий
круглый цилиндр радиуса а (рис. 131). Далее произведем отобра-
жение внешности цилиндра на внешность профиля с помощью
аналитической функции z = f (£).
Отыскание отображающей функции z = / (£) для заданного
контура представляет собой самостоятельную и, как правило,
сложную задачу, которая часто имеет лишь приближенное реше-
ние. Но, допустим, что эта функция найдена.
2G0
окрест-
Рис. 132. Конформное отображение малой
ности точки заострения крылового профиля и вы-
бор циркуляции по постулату Жуковского—Чап-
лыгина
Как нам уже известно,
w, = - t/^.4. 2£-1п?. (7-57)
Если отображающую функцию z = / (£) можно разрешить
относительно £, то, исключая эту переменную из выражения и>;,
найдем комплексный потенциал wr В противном случае рассма-
триваем переменную £ как параметр и, следовательно, имеем пара-
метрическое решение за-
дачи. Однако необходимо
еще отыскать постоян-
ные U, а и Г, которые
должны быть выражены
через заданные в условии
задачи величины.
Скорость U можно най-
ти, используя связь (7-47)
между сопряженными ско-
ростями в отображаемых
потоках. Если найдена
обратная функция £ = f_t (г), то, дифференцируя выражение
и полагая z —> оо, получим
Здесь, в силу сказанного в § 7, —действитель-
ное число и, следовательно,
|С/0| = |£7|-™г, (7-58)
откуда определяется | U |, а значит, и вектор U.
В случае параметрического решения, дифференцируя (7-57)
и полагая £ —» оо, находим
(7-58)'
где df/d?\._~ =-------действительное число,
ъ — tn <
Таким образом, скорость вспомогательного потока U легко
отыскивается, если известна отображающая функция.
Радиус окружности а может быть найден в процессе построе-
ния отображающей функции. Наконец, циркуляция Г опреде-
ляется на основе постулата Жуковского—Чаплыгина, причем для
этого нет необходимости знать конкретный вид отображающей
функции. Рассмотрим окрестности точки заострения Аг профиля
в плоскости z и соответствующей ей точки в плоскости £
(рис. 132). При отображении в этих точках нарушается конформ-
2GL
ность преобразования (сохраняемость углов), так как выходящие
из точки А? отрезки окружности образуют угол л, а им соответ-
ствующие отрезки контура профиля М'гАг и JV'zAz — угол 2л — 6.
Выделим вблизи точки А% малую окрестность, внешнюю для
круга радиуса а. Ее можно конформно отобразить на малую окрест-
ность точки Аг с помощью функции
2л—6
2-ч=М(^-Ц) я , (7-59)
где М — действительное число. В самом деле, точке £ =
согласно (7-59) соответствует точка г = гд2. Кроме того, если
использовать показательную форму комплексных чисел, то можно
записать
z — гл2 = riee> и £ —
Внося эти выражения в (7-59), заключаем, что
2 л—6
Г1 = Мг2 я и 0j = 02
Отсюда следует, что если 02 изменяется на величину л, то О,
меняется на величину 2л—6, т. е. углу N'^A^N[ соответствует
угол N'zAzN’z. Таким образом, малая внешняя к окружности
окрестность точки отображается на малую внешнюю окрест-
ность точки Аг. Связь между скоростями в точках А^ и Аг выте-
кает из (7-47):
- — dz I
или
л—6
К -
Согласно постулату Жуковского—Чаплыгина скорость идг
в точке заострения Аг конечна, а так как последний множитель
равен нулю, то и вся правая часть равна нулю: = 0. Следо-
вательно, точка А{, переходящая при отображении в точку
заострения, является критической. Из этого условия можно найти
циркуляцию Г. Поскольку
dw% I
то, используя (7-57) и учитывая (7-58), получаем
tip _ Чо а2 , tT _ q
'«1 & 2л^
262
Это уравнение служит для отыскания величины Г. Поскольку
точка ЛЕ лежит на окружности радиуса а, то можно положить
= aei£«, где е0 — координатный угол точки ЛЕ (рис. 131).
Полагая
и0 = I иа I е‘а и «о = I ио I е~‘а
и внося эти выражения в последнее уравнение, находим
f .. I / — .И -I2eo\ . tT/Kj — ie„ n
|«o|U — ее )+~2^-e “ = 0.
После умножения на e'8« и деления на |u0(
i (а—е„) i (а-е0)
D с
iT/nj
2ла | «о |
или
р___ 4ла | и0 | е1 <а~е°> —е~1 (а~Ё°>
т1 21
Заменяя показательные функции тригонометрическими, по-
лучим выражение для циркуляции
„ 4ла I и01 , , .
Г =-----u— sin (а — е0),
или, вводя обозначение а — 80 = а0,
п 41Т61 I Un I . .r-f r'rw
г = —Sin а0. (7-60)
Таким образом, все постоянные преобразования найдены,
и задача может считаться принципиально решенной.
Заметим, что угол а0 будет равен нулю, если а = е0. Поскольку
при этом Г = 0, то значение а = е0 называется углом бесцирку-
ляционного обтекания.
Из изложенного следует, что если крыловой профиль обте-
кается потоком со скоростью в бесконечности, направленной
под углом а = е0 к вещественной оси, то обтекание будет бесцир-
куляционным, причем в точке заострения скорость имеет конеч-
ное значение. При этом положение профиля относительно веще-
ственной оси будет вполне определенным, зависящим от угла е0.
Если теперь повернуть профиль на угол а 0, что равносильно
повороту вектора скорости, то получим обтекание профиля под
некоторым теоретическим углом атаки, который равен углу между
направлением вектора скорости обтекающего потока и направле-
нием бесциркуляционного обтекания.
2G3
§ 10
ФОРМУЛЫ ЧАПЛЫГИНА ДЛЯ ГЛАВНОГО ВЕКТОРА
И ГЛАВНОГО МОМЕНТА СИЛ ДАВЛЕНИЯ
НА ОБТЕКАЕМОЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЕ ТЕЛО
При обтекании цилиндрического тела произвольного профиля
плоским потенциальным потоком силовое воздействие потока
на тело сводится в общем случае не только к силе Жуковского,
но и к некоторому гидродинамическому моменту. Сила Жуков-
ского при этом является результирующей элементарных сил
давления, распределенных по
Рис. 133. К вычислению комплексного зна-
чения главного вектора сил давления на об-
текаемое тело
уже известно (см. § 4), г.-
поверхности тела, или главным
вектором сил давления, а мо-
мент этой силы — главным мо-
ментом. С. А. Чаплыгиным в
1910 г. были установлены об-
щие формулы, позволяющие вы-
разить оба эти вектора черт з
комплексный потенциал те-
чения.
Для вывода формул Чаплы-
гина рассмотрим обтекание ци-
линдра произвольного профи. !
потенциальным потоком в н. -
скости комплексного перемен-
ного г (рис. 133), Как г; i
ый вектор сил давления на еди-
ницу длины цилиндрического тела
имеет проекции на оси координат
Рх = — ф р sin б ds; Ру — -ф р cos 0 ds,
L L
где L — контур тела; ds — элемент длины контура (см. рис. 133) *.
Введем в рассмотрение комплексное выражение главного
вектора
P = PX+iPy
и сопряженное ему значение
P = Px~iPy.
* Следует не упускать из вида, что углы 0 в формулах § 4 и в последних фор-
мулах отличаются на л/2.
264
Для Р получаем
Р = — ф р (sin О + i cos 0) ds — — i <6 р (cos 0 — i sin 0) ds =
I L
— — i (j) pe~l° ds.
L
Вдоль контура L (см, рис. 133) имеют место соотношения
dz = dsete', dz = dse~‘Q; dz = dze~i2°.
Следовательно,
P — — i$> p dz.
t
n I p I и I2 ,
Ввиду потенциальности потока p -ф —j - = const для всея
области течения, включая контур тела L. Учитывая, что dz = О,
I.
находим
Р = ДР ф I и I2 dz = I и I2 е-120 dz.
L L
Поскольку контур тела L является линией тока, то вдоль
него всюду ds || и и, следовательно,
I , 10 - || —10. ,-.2 I |2 —i20 I ,2 .—-Л л20
и = | и | е ; и — | и | е ; (и) = | и | е , | и | = {и) е ,
поэтому
Р - 4 ;№=* = 4 ЯтгР2- (7-61)
Общее векторное выражение главного момента сил давления
имеет вид
где г (.г, у) — радиус-вектор точки, лежащей па контуре L.
Проекция главного момента на ось, нормальную к плоскости
чертежа, получается по правилу проектирования векторного
произведения
Lo = — ф (xny — ynx) р ds.
t
?65
Учитывая, что согласно рис. 133 пх = sin 0 и пу = —cos О,
получим
La = (£ (х cos 0 -ф- У sin 0) р ds = р (х dx -ф- ydy).
t L
Непосредственной проверкой убеждаемся, что х dx ф- у dy =
= Re 2 dz. Следовательно,
Lo = Re pz dz.
L
Используя уравнение Бернулли и снова заменяя dz на dz,
находим
Ло = — Re (и)2 2 dz
L
или
L,-----(7.62)
Формулы (7-61) и (7-62) являются искомыми формулами Чап-
лыгина, из которых следует, что силовые характеристики без-
вихревого потока, как и кинематические, могут быть выражены
через комплексный потенциал.
Можно показать, что для отыскания величин Р и Lo нет не-
обходимости знать полное выражение комплексного потенциала,
а достаточно иметь коэффициенты первых трех членов разложения
функции и = в ряд Лорана. Действительно, в теории функций
комплексного переменного доказывается, что всякая функция,
аналитическая вне окружности некоторого радиуса г0 с центром
в начале координат, стремящаяся к конечному пределу в беско-
нечности, представима равномерно сходящимся рядом Лорана
вида
/(2) = ао+^-+||-+---.
Сопряженная скорость и = удовлетворяет этим требо-
ваниям, и потому, если С — окружность, охватывающая контур
обтекаемого тела L, то вне этой окружности
“ = ДТ = йо + ^ + >+---- (7-63)
Если г —> оо, то и —» и0 и, следовательно, а0 = и0. Поскольку
ряд (7-63) сходится равномерно, то его можно проинтегрировать
почленно, и тогда
и dz =
а0 dz -ф- dz + -|ф dz +
2С6
Здесь все интегралы в правой части, кроме второго, равны нулю.
Поскольку z~}dz = 2л/, то
с
и dz = 2л/а1.
С другой стороны,
и dz = — dz = dw = (j) (d<p ф- i dip) = dq> = Г,
c c c c c
поскольку (j) dip = Q—расход жидкости через контур С равен
с
нулю ввиду отсутствия источников и стоков.
Таким образом,
Г
1 2ш
Через найденные коэффициенты а0 и можно выразить ком-
плексное значение главного вектора гидродинамических сил.
Заметим, что поскольку между контуром тела L и окружностью С
нет особых точек, то
и2 dz = и2 dz.
L С
Согласно (7-61) и (7-63)
+ 4 + -^-+ + = =
i 22 । 22 I г3 1 у 2 j г
L
= = — 2лри0 = iTpu0 = /рГ (иОх — tuOa).
Составляющие главного вектора сил давления
Рх = рг«Оу; Ру = — рг«ох-
Величина этой силы
| Р | = рГ Uqx + ио</ = рГ | и01. (7-64)
Таким образом, получено еще одно доказательство теоремы
Жуковского о подъемной силе.
267
где S — контрольная поверхность, показанная штриховой линией
на рис. 134, а.
269
Главный момент Lo определяется по второй формуле Чаплы-
гина (7-62):
Z.o = — Re -j- (5 4- + • - • )2 zdz =
L
= — Re-g-ф [а2о + ^ + ^ + -^-4-..^zdz=-.
L
— — Re 2ni (а? + 2<ад>)
или
La = — 2ло Re (iuaa2).
Для получения конкретного значения Lo необходимо знать
коэффициент а2, который может быть определен, если известна
Функция, отображающая внешность обтекаемого тела на внеш-
ность окружности в соответствии с общей схемой решения задачи,
изложенной в предыдущем параграфе. Для приближенного отыска-
ния этой функции разработаны достаточно эффективные вычисли-
тельные методы.
§ Н
ТЕОРЕМА ЖУКОВСКОГО О ПОДЪЕМНОЙ СИЛЕ
ДЛЯ ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЙ РЕШЕТКИ
Бесконечную совокупность одинаковых крыловых профилей,
одинаково ориентированных и расположенных с постоянным ша-
гом вдоль некоторой прямой, называют плоской гидродинамиче-
ской решеткой. Такая решетка получается, если лопастную
систему рабочего колеса осевой турбомашины (гидравлической,
паровой или газовой турбины, насоса, вентилятора, компрессора)
рассечь круговой цилиндрической поверхностью и развернуть
па плоскость. Для турбомашин другого типа (радиальных) про-
фили располагаются вдоль окружности и образуют круговую
решетку. Исследование взаимодействия гидродинамических ре-
шеток с потоком жидкости или газа составляет одну из централь-
ных задач теории турбомашин. В частности, для прочностных
расчетов лопастной системы необходимо знать гидродинамические
силы и моменты, действующие на лопасти рабочих колес турбо-
машин.
Теория гидродинамических решеток составляет обширный
и развитый раздел гидрогазодинамики и изложена в ряде спе-
циальных руководств. Здесь мы рассмотрим лишь один из основ-
ных вопросов этой теории — определение силового воздействия
идеальной несжимаемой жидкости на крыловой профиль плоской
гидродинамической решетки.
268
Условимся о следующих обозначениях и терминах примени-
тельно к схеме плоской решетки (рис. 134): АВ — ось решетки;
t — шаг решетки; t — вектор-шаг, имеющий длину, равную
шагу, и направленный нормально к оси решетки в сторону тече-
ния; а — единичный вектор оси решетки.
В отличие от случая обтекания безграничным потоком оди-
ночного профиля, где вектор скорости перед профилем и вдалеке
за ним'имеет одну и ту же величину и направление, при обтекании
решетки профилей поток поворачивается и его скорость меняется
по величине и направлению.
Обозначим ut и — скорость и давление невозмушенного
потока перед решеткой, а и2 и р2 — соответственные величины
вдалеке за ней. Выделим двумя одинаковыми линиями тока,
сдвинутыми одна относительно другой на величину шага вдоль
оси решетки, плоскую трубку тока и проведем два ее достаточно
удаленных сечения <тг и сг2, параллельных оси АВ. Обозначим
через R силу, приложенную со стороны профиля к жидкости,
и применим к выделенному объему уравнение количества дви-
жения
R — рп dS =<£> рипи dS,
S S
где S — контрольная поверхность, показанная штриховой линией
на рис. 134, а.
269
Силы давления, распределенные вдоль граничных линий тока,
взаимно уравновешиваются, так как эти линии конгруэнтны
(одинаковы). Давления на поверхностях и о2 распределены
равномерно ввиду их удаленности от решетки, а силы давления
коллинеарны вектор-шагу t. Поэтому уравнение количества дви-
жения примет вид
+ (Pi — Pi) t = pull2u2a2 — ри^и^.
Произведения ип2сг2 — uni°i = Я представляют собой объем-
ный расход жидкости между граничными линиями тока, который
может быть выражен также в виде q = t их —tu2. Предполагая
поток потенциальным, можно применить уравнение Бернулли
, , PU2
Р1 П--2~ = Р2 "1--2~’
которое перепишем в виде
Pi - Pi = -f- («1 + «2) («2 — «1)-
Обозначим: ит = (и± -ф- и2) — средняя скорость обтекания
решетки и ud — и2 — — скорость девиации, характеризую-
щая отклонение скорости потока решеткой (см. рис. 134, б).
Тогда Pi — p2 = pumud,
tux = tu2 = t um\ tud = t(u2 — u±) = 0.
Из последнего равенства следует, что ud I t, т. e. скорость
девиации параллельна оси решетки.
Заменяя силу R равной ей и противоположно направленной
силой Р воздействия потока на профиль, перепишем уравнение
количества движения в форме
Р = Р (t Uj) (Uj — u2) 4- р (umud) t = p (umud) t — p (I um) ud.
Найдем теперь проекции вектора Р на направления оси ре-
шетки (Ра) и на направление вектор-шага (PJ (см. рис. 134, б):
Ра = — pumudt cos б; Pt = pumudt cos e = pumudt sin 6.
Сила P равна
P = У P2a + P2i = pUmUdt.
270
Произведение udt может быть представлено в виде
= (U2 — Ml) at = (w2a — ula) t.
Последнее выражение представляет собой циркуляцию ско-
рости по контуру rtmsr (рис. 134, а), ограничивающему выделен-
ный отсек жидкости. Действительно, части контурного интеграла,
которым выражается циркуляция, соответствующие обходу
участков линий тока тп и sr, взаимно уничтожаются, так как
значения скоростей в соответственных точках этих участков оди-
наковы, а направления обхода — противоположны. Поэтому
(ц2а — ula) I = Г.
Следовательно, получим формулу
Р = рытГ, (7-65)
которая выражает теорему Жуковского для профиля в плоской
решетке. Можно видеть, что если безгранично увеличивать шаг
решетки t, то при Г = const —> 0 и и2 —> ut —> ит. В пределе
получим обтекание одиночного профиля, для которого (7-65)
выражает доказанную ранее теорему Жуковского.
§ 12
ПЛОСКИЕ СТРУЙНЫЕ БЕЗВИХРЕВЫЕ ТЕЧЕНИЯ.
ФИЗИЧЕСКИЕ ПРЕДПОСЫЛКИ И ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СХЕМЫ1
До сих пор рассматривались только непрерывные течения с твер-
дыми границами. Но, как указывалось в § 6 гл. 5, границами
области течения могут служить также свободные поверхности,
т. е. поверхности раздела жидкой и газовой сред. Естественными
признаками свободных поверхностей являются постоянство давле-
ния и равенство нулю нормальной составляющей скорости вдоль
них. Иными словами, свободная поверхность представляет собой
поверхность тока с постоянным давлением. Течения, имеющие
в качестве границ свободные поверхности, называют струйными.
Приведем примеры течений со свободными поверхностями.
1. Струи несжимаемой жидкости, вытекающие из резервуаров
под давлением в газовую среду. Давление на поверхности струи
постоянно и равно давлению газа. Такие струи иногда называют
свободными незатопленными, в отличие от затопленных струй,
образующихся при истечении жидкости в среду с теми же физи-
ческими свойствами 2.
2. Кавитационные течения, которые могут возникнуть при
обтекании тел с большими скоростями (их еще называют тече-
ниями с отрывом струй или разрывными течениями). О таких
1 §§ 12, 13, 14 написаны Я. Р. Берманом.
2 В последнем случае методами теории струйных течений, излагаемыми
ниже, могут быть описаны только начальные участки струй.
271
течениях уже было упомянуто в гл. 1 и будет подробнее расска-
зано в §§ 7—14.
3. Открытые или безнапорные потоки тяжелой жидкости,
Т. Q, потоки в реках и открытых каналах. Свободные поверхности
таких потоков являются поверхностями тока с давлением, равным
атмосферному.
Для каждого из указанных классов струйных течений суще-
ствует широкий круг задач, которые с достаточной степенью
точности могут решаться в рамках теории идеальной жидкости.
Совокупность этих задач образует
ваемый теорией струй идеальной
раздел гидродинамики, назы-
жидкости.
с схема течения в физической плоскости z;
соответствующая области течения
i)
— область комплексного потенциала as.
Первые задачи теории струй были поставлены и решены
Г. Гельмгольцем (1868 г.), С. Кирхгофом1 и Н. Е. Жуковским
(1890 г.), С. А. Чаплыгин распространил указанную теорию на
дозвуковые течения сжимаемой жидкости (1903 г.).
В основе теории плоских струйных течений лежит допущение
о потенциальности потока, границами которого служат твердые
и свободные поверхности. В большинстве решенных задач о струй-
ных течениях жидкость предполагается несжимаемой и невесомой.
Однако за последние годы получен ряд решений, учитывающих
влияние силы тяжести, которое для некоторых случаев течений
(через пороги, водосливы и т. п.) оказывается весьма существен-
ным. В иных же случаях струйных течений пренебрежение весо-
мостью жидкости вполне допустимо. Ниже рассматриваются
только такие задачи.
Математическую модель плоских струйных течений проиллю-
стрируем на двух типовых задачах.
1. Обтекание неподвижного тела установившимся поступатель-
ным потоком (рис. 135) со скоростью вдалеке от тела с обра-
1 Густав Роберт Кирхгоф (1824—1887 гг.)—один из крупнейших физиков
XIX в, член Берлинской академии наук, руководитель кафедры математической
физики Берлинского университета. Известен как автор ряда фундаментальных
работ в области электро- и гидродинамики. В частности, развил идеи Гельмгольца
в области теории струйных течений.
* В §§ 12, 13, 14 этой главы, а также на рисунках, к ним относящимся,
величины (модули) скоростей обозначаются буквой о; для комплексной и сопря-
женной скоростей сохраняются прежние обозначения и а й.
272
зованием непосредственно за ним зоны неподвижной жидкости
с плотностью, значительно меньшей, чем в набегающем потоке,
и с постоянным давлением р0. Некоторая линия тока ЕО, выходя-
щая из бесконечности Е (рис. 135), раздваивается в точке О
встречи с телом на дуги ОА и ОБ. Поскольку в точке разветвле-
ния О скорость течения не должна иметь разрыва по направлению,
эта точка является критической — в ней скорость течения равна
нулю. Дуги ОА и ОБ идут вдоль контура тела соответственно
до точек А и В, за которыми линии тока снова уходят в бесконеч-
ность Е. Части линий тока АЕ и БЕ являются границами об-
ласти II неподвижной жидкости и областей движущейся жидко-
сти III и III', называемых струями. Точки А и В называют точ-
ками отрыва струй. На свободных границах АЕ и БЕ давление
постоянно и равно давлению рй неподвижной жидкости в об-
ласти 11.
Тогда из уравнения Бернулли для идеальной невесомой
жидкости
р + -пр- = const
следует, что и модуль скорости и на свободных границах будет
постоянен и равен v„, потому что АЕ и БЕ — линии тока, ухо-
дящие в бесконечность.
Из потенциальности течения следует существование комплекс-
ного потенциала w = <р 4~ мр. Как было указано ранее (§ 2),
функция w определяется с точностью до постоянного слагаемого
С — Ct + iC2, которое можно подобрать так, чтобы w равнялся
нулю в точке О. Тогда в этой точке <р = О, a if = 0 не только
в точке О, но и на всей разветвляющейся в ней линии тока
(рис. 135). В области I течения скорость равна нулю только
в точке 0. Значит, вдоль линии тока гр ~ 0 всюду, кроме точки О,
имеем
v = v. = -^- ?> О,
где s — длина дуги указанной линии тока. Отсюда следует, что
потенциал скорости <р возрастает от —оо до 0, когда перемен-
ная s меняется по дуге ЕО (от бесконечно удаленной точки Е
до критической точки О), затем <р возрастает от 0 до оо при следо-
вании от О до бесконечно удаленной точки Е по каждой из вет-
вей ОАЕ и ОВЕ. Рассуждая аналогичным образом, можно прийти
к заключению, что и на всякой другой линии тока гр = const =Е О
потенциал скорости <р возрастает от —оо до оо. Напомним, что
расход жидкости, протекающей между какими-либо двумя ли-
ниями тока, равен разности значений функции тока гр на этих
линиях. При этом переход от одной линии тока к другой совер-
шается в направлении, полученном при повороте вектора скорости
какой-либо точки линии тока на угол л/2 против часовой стрелки.
Тогда при движении в этом направлении вдоль любой эквипотен-
273
пиальной линии <р = const функция тока ф возрастает от ф =
— —оо до ф = 0, а затем от ф = 0 до ф = оо.
Каждой точке области течения в физической плоскости z
(рис. 135, а) соответствует в плоскости w одна точка с координа-
тами <р, ф. В то же время каждой точке плоскости w, кроме точек
действительной положительной полуоси, отвечает одна точка
области течения в плоскости г. Каждой же точке полуоси ф = О,
Ф j> 0 соответствуют в области течения плоскости z две точки:
на ОАЕ и на ОВЕ, так как на обеих этих дугах ф = 0, 0 < <р < оо.
Сделаем разрез вдоль действительной положительной полуоси
плоскости w (рис. 135, б) и будем считать, что верхнему краю
разреза отвечает дуга ОАЕ, а нижнему — дуга ОВЕ. Тогда соот-
ветствие между областями изменения переменных z и w становится
взаимно-однозначным. На рис. 135, б изображена область измене-
ния переменной w, представляющая собой всю плоскость с разре-
зом вдоль полуоси ф = 0, 0 < <р < оо, соответствующей границе
течения в плоскости z.
При некоторых специальных формах границы АОВ обтекае-
мой части тела (прямолинейная пластинка, клин, дуга окружности
и т. п.) удалось решить плоские задачи указанного типа, т. е.
найти комплексный потенциал w = ф + гф как функцию ком-
плексной переменной z = х + ty в плоскости течения. Однако
эту функцию зачастую проще находить в параметрическом виде:
w = fi (t), z = /2 (0> гДе — вспомогательная комплексная пере-
менная. При этом удобней вместо функции z = f2 (t) сначала
искать dw/dz = f3 (/), и тогда из равенств w = fr (t), dw/dz —
= f3 (t) можно получить
dz == [fl (tj/fa (/)] dt,
после чего функцию z = f2 (t) находим интегрированием. При ре-
шении многих задач теории струй целесообразно вводить так на-
зываемую переменную Жуковского
Inf— = Е (t).
Тогда dw/dz = v^eF <*> и функцию z = f2 (t) можно найти так же,
как и в предыдущем случае.
Заметим, что струйное течение рассматриваемого типа (с «мерт-
вой зоной» позади тела) в эксперименте не осуществимо, так как
границы струй неустойчивы и за обтекаемым телом образуются
вихри. Однако, как будет показано ниже (§ 14), течение этого
типа является предельным случаем наблюдаемого в практике
суперкавитационного течения.
2. Истечение жидкости из сосуда. На рис. 136, а дан пример
плоского течения в сосуде, ограниченном симметричными прямо-
линейными стенками АВ и А'В', наклоненными под углом а
к отрицательной полуоси абсцисс (при а = л/2 получается част-
ный случай истечения из отверстия ВВ1 в плоской стенке). В силу
274
симметрии течения относительно оси абсцисс можно ограничиться
рассмотрением лишь правой половины течения, заменяя ось
симметрии (она является линией тока) твердой стенкой.
Скорость течения в бесконечно удаленной точке А (наверху)
равна нулю. Если расход жидкости в исходном течении обозна-
чить 2Q, то имеем Q = v„c, где — модуль скорости на беско-
нечности в точке С (внизу); с— полуширина струи на бесконеч-
ности. Принимая, что на линии тока А "В"С" функция тока ф = О,
на линии тока АВС имеем ф = Q. На части ВС этой линии тока,
являющейся свободной грани-
цей струи, давление постоянно,
А" о, с" <р
6)
Рис. 136. Истечение жидкости
из сосуда с плоскими стенками:
а — схема течения в физической
плоскости г; б — область ком-
плексного потенциала w, соот-
ветствующая области течения
и поэтому на основании уравнения Бернулли скорость на ВС
имеет постоянный модуль
Рассуждая так же, как и при исследовании струйных течений
первого типа, можно убедиться в том, что на линиях тока ф = О
и ф = Q потенциал скорости ср возрастает от ср = —оо до ср = оо
(принимаем, что ср = 0 в точке В). Тогда в плоскости комплекс-
ного потенциала w = ср 4- /ф рассматриваемой половине области
течения будет соответствовать горизонтальная полоса шириной Q
(рис. 136, б). После отыскания комплексного потенциала w как
функции от z (непосредственно или в параметрическом виде)
можно найти форму границы ВС, а также коэффициент сжатия
струи е = с/b (рис. 136, а).
В заключение заметим, что струйные течения данного типа
в значительной степени осуществимы экспериментально, и ре-
зультаты теоретического расчета коэффициента сжатия струи
хорошо сходятся с экспериментальными данными.
§ 13
ИСТЕЧЕНИЕ ЖИДКОСТИ ИЗ РЕЗЕРВУАРОВ,
ЧЕРЕЗ КЛАПАН, ИЗ-ПОД ЗАТВОРА.
ПЛАСТИНКА В СВОБОДНОЙ СТРУЕ И В КАНАЛЕ
В этом параграфе приведем решение одной из основных задач
теории струй. Речь идет о модели истечения из резервуара с пло-
скими стенками, Изменяя конфигурацию этих стенок, можно
275
получить несколько практически интересных частных случаев,
в том числе истечение через клапан.
Рассмотрим в комплексной плоскости г (рис. 137, а) симметрич-
ное струйное обтекание пластинки потоком жидкости, который
вытекает из канала, ограниченного двумя параллельными стен-
ками. Условно назовем это течение течением через клапан. Набе-
гающий поступательный поток имеет скорость v„ (скорость тече-
Рис. 137- Схема струйного течения через клапан (обтекание пластины потоком конечной
ширины):
а — общая схема в физической плоскости течения г; б — область комплексного лотс-п-
ипала w; в — область параметрической переменной /; г — область переменной Q
ния в бесконечно удаленной влево точке Л'), параллельную стей-
кам канала, и давление р^. Стенки НА и НАХ переходят в свобод-
ные границы АВ и Л 1В1( на которых давление постоянно и равно р0,
поэтому на них скорость имеет постоянный модуль о0. Точка D
пластинки— критическая, в ней скорость течения v = 0. На сво-
бодных границах струй СВ и СГВХ, отрывающихся с пластинки
CDClt давление и скорость постоянны. Поскольку в бесконеч-
ности справа (точка В) скорость должна быть одной и той же
при стремлении к В как по АВ, так и по СВ (величина и угол
с осью абсцисс 0О), приходим к выводу, что на свободных грани-
цах СВ и С1В1 скорость и давление соответственно равны пв
и рл.
В силу симметрии течения можно ограничиться рассмотрением
его нижней половины, заменяя ось симметрии твердой стен-
кой. Тогда получим частный случай так называемого течения
Мизеса Ч Начнем с общего решения задачи, т. е. займемся отыска-
1 В общем случае течения Мизеса пластинка CD не перпендикулярна к стенке
канала, а образует с ней некоторый тупой угол.
276
нием комплексного потенциала w и переменной Q =
= i In (l/vadw/dz) как функций параметрического комплексного
переменного i, изменяющегося в верхней полуплоскости вспомо-
гательной плоскости t. Как и прежде (§ 12), базируясь на том,
что функция w = ср + (ф определяется с точностью до постоян-
ного слагаемого, можно считать, что ф = 0 на линии тока НАВ.
Тогда уравнением линии тока HDCB будет ф = Q, где Q = v^L —
половина расхода в течении через клапан.
Из сказанного следует, что области течения в плоскости г
(рис. 137, а) соответствует горизонтальная полоса шириной Q
в плоскости w (рис. 137, б). Отыскание функции w = w (t) сво-
дится к конформному отображению этой полосы на верхнюю
полуплоскость комплексной плоскости t (рис. 137, а). Рассматри-
вая полосу на рис. 137, б как «двуугольник» с углами= a2 = О
при вершинах Н и В, можно требуемое отображение осуществить
с помощью формулы Кристоффеля— Шварца1
ш = С' f (/ - ft)'1 (I - + С" = С f ——- + G", (7-66)
J J V -- <0 И - С)
где h и b — значения переменной t, соответствующие точкам
Н и В.
Отбрасывая постоянное слагаемое С", несущественное для
комплексного потенциала w, после интегрирования получим
® == Пп Ц - h) - In {t - 6)1 = ln4e|. (7-67)
С целью определения постоянной С обойдем точку t = h
(рис. 137, в) по полуокружности достаточно малого радиуса
г — \ t — /г| (с центром в t = h) против часовой стрелки. При этом
вектор, соответствующий комплексному числу t — h, поворачи-
ваясь, изменит свой аргумент с 0 на л. Тогда первое слагаемое
в квадратных скобках равенства (7-67) примет вид: 1 п | t — + nt,
т. е. получит приращение ni. Второе же слагаемое In (i — b)
получит малое приращение, так как оно непрерывно в точке
t ~ h. В результате приращение функции (7-67) после указанного
перехода можно представить так
^ni + 0(r), (7-68)
1 Формула Кристоффеля — Шварца имеет вид
w = С J (t — (t — a2)a2—1 ••(« — art)“n-1 dt + C
и служит для конформного отображения на верхнюю полуплоскость перемен-
ной t внутренности многоугольника с внутренними углами a^, а2л, ..., а,,л
в плоскости w. При этом его вершины переходят в точки вещественной оси с коор-
динатами а2, .... ап.
Величины С и С"— комплексные постоянные числа. Если одной из вершин
многоугольника соответствует бесконечно удаленная точка, то соответствующий
множитель в формуле Кристоффеля — Шварца под знаком интеграла отсутствует.
277
где 0 (г) —» О при г—» О. С другой стороны, упомянутому обходу
точки t = h соответствует переход точки w (рис. 137, б) с НА
на HD, и, значит, приращение функции w = w (/) должно мало
отличаться от IQ:
Дау = iQ + 0 (г). (7-69)
Сопоставляя равенства (7-68) и (7-69), имеем: С'л/(/г— й) = Q,
откуда С = Q (/г — Ь)/л.
Итак, окончательным выражением для w = w (I) будет
W = — In (7-70)
л b — t v
Рассмотрим теперь функцию й = i In Поскольку
dw/dz — ve~‘e, где 0 — угол наклона вектора скорости к осп
абсцисс, имеем
Q = ilnf—е-'0') = i fin— — iQV (7-71)
\ Го J \ Го ) ’ ' '
т. е. й = 0 + it, где т = 1п —.
Го
На участке НА линии тока ф = 0 имеем: 0 = 0; й = it,
причем In (v„/uc) «т т 0, так как v = v„ в точке Н и v = v0
в точке А.
На дуге АВ всюду и = р0 и поэтому т = 0, й = 0, причем
Оо =5 0 0, где 0О < 0 — значение 0 в бесконечно удаленной
точке В (рис. 137, а). На дуге СВ линии тока ф — Q также всюду
v = v0 и, значит, т = 0, й = 0, причем — л/2 0 s; 0О, так
как 0 = —л/2 в точке С. На вертикальном участке CD имеем:
О = —л/2; й = —л/2 + it. При этом —оо < т sg 0, потому что
v = 0 в точке D и т = In (о/о0) —00 при неограниченном при-
ближении к D. Наконец, 0 = 0 на горизонтальной стенке HD,
и поэтому на ней й = it, где
— ОО < Т < 1П (Uoo/T'o).
Все сказанное позволяет сделать вывод, что области течения
в плоскости z соответствует вертикальная полуполоса шириной
л/2 в плоскости переменной й (рис. 137, г). Эту полуполосу,
рассматриваемую как «треугольник» с углами л/2, л/2 и 0 соот-
ветственно при вершинах А, С, D, можно с помощью той же
формулы Кристоффеля—Шварца отобразить на верхнюю полу-
плоскость параметрического переменного t. Соответствие точек
в плоскостях й и t ясно из рис. 137, г и в. Поскольку вершине С
соответствует бесконечно удаленная точка плоскости t, имеем
й = М J Г1(t - dt + N = M$ -ф /V, (7-72)
278
где М и N — постоянные, подлежащие определению. Здесь инте-
грал легко берется с помощью подстановки t — и2 + 1, и в ре-
зультате
Й = 2Л1 arctg + N. (7-73)
В точке A (t = 1) имеем 0 = 0, т = О, поэтому согласно
(7-73) 0 = 2М arctg 0 + N и, значит, М = 0. В точке же С: 0 =
= —л/2 и формула (7-73) дает •—л/2 = М arctg оо, т. е. 2 М =
= —1. Подставляя найденные значения постоянных в (7-73),
получим
й = — arctgl// — 1. (7-74)
В силу известного из теории функций комплексного перемен-
ного соотношения между арктангенсом и логарифмом имеем
, —. 1 , £ —/ГЛ- 1 . 1 —
arctg ]/ / — 1 = -ту- In- - ~ ----77—
S 21 i + 2i 14-Ki— i
Таким образом,
.iinf-i- 44-
\ vQ dz J
1 /l — t
откуда
После простых алгебраических преобразований получим
I* t /<7 *7^4
—5— = v0-----Л-= . (7-75)
0 1 -j- V1 - t
Итак, общее решение задачи о течении, изображенном на
рис. 137, а, выражается формулами (7-70) и (7-75), эквивалент-
ными непосредственному соотношению между w и z (см. § 12).
В формулы (7-70), (7-75) входят физические параметры Q
и v0 и математические параметры 1г и Ь, причем 0 < h < 1, 1 <
< b < сю (см. рис. 137). Естественно было бы считать, что заданы
все геометрические характеристики течения — ширина канала 2L,
длина пластинки 21, абсцисса X точки С, а также расход 2Q.
Однако в математическом отношении удобнее задавать h и Ь,
а затем находить геометрические характеристики течения и со-
противление пластинки CDCl.
Выясним сначала физический смысл параметров hub. Точке
t = h соответствует значение dw/dz = и поэтому формула
(7-75) дает
Vh
Vx = По----77= >
1 +/1-Л’
т, е. h. определяет скорость течения на бесконечности слева.
279
(7-76)
При t = b имеем v = v0, т = 0, 0 = Oo и, значит, й = Оо,
поэтому согласно (7-74)
е0 = — arctg]/i — 1. (7-77)
Таким образом, параметр b определяет угол наклона струи
к оси абсцисс в бесконечности (рис. 137, а).
Для отыскания зависимости размеров /, X от параметров h и b
найдем dz/dt из (7-70) и (7-75). Дифференцируя (7-70) по t, имеем
= 0_ /_Д________1 \ _ Q h-b
at л \ t — h I — b ) л (/ — h) (I — b) ’ ' '
Разделив (7-78) на (7-75), получим
dz _ Q(h — b) 1 + /1 — < (7-7Q)
dt Щ у _ b)i '
На участке CD, как видно из рис. 137, в, —со < t sg 0, и
вместо следует писать i } — t, где —t > 0. Тогда равенство
(7-79) принимает вид
dz_ . dy_ _ г- Q (ь — Л) 1 + I- 1 — i_
dt dt лг о ц — /ц — b) У — t
! Отсюда, в силу соответствия точек на рис. 137, а и б, имеем
I _ у "• _ gС-------------1 + dt.
Ус Л1'о J О — h) (/ — b) О — I
— ОС
или после замены переменной v = —t, dt = —dv
ОО 00 ~
__ Q (b — h) C dv . f V1 -|- v dv
Л['о J (v + h) (v -p b) Hv J (v -j- Й) (v b) V v
_o о
В результате интегрирования получим
'-^{2 ]/^Т1п(» + И^) +
+ КМ - >]+" (К —й) j (М0)
или, коротко,
l = (7-81)
Л1о
где через F (/i, b) обозначено выражение в фигурных скобках,
входящее в (7-80).
Теперь найдем величину X, равную абсциссе точки D
(рис. 137, а и б). На участке AHD имеем 0 с / «S 1, dz — dx,
280
поэтому, интегрируя выражение (7-79) для dzldt по указанному
отрезку, получим
•"'ого О
х = д. . Q(h-b) Г Д_______________f (l-t)di
т'<> J p? •
о L> i
В результате интегрирования имеем
Q / i i /б—i 1 . ]_]//) \
л = —— л I/ —т-----h In ------------In--------. (7-82)
\ V b уb yb +1 Ил 1 + /Л )
Для компактности формулу (7-82) запишем так:
* = (7-83)
где / (И, Ь) — выражение в круглых скобках в (7-82).
В дальнейшем нам будет удобней иметь дело с безразмерными
величинами 1/L и А/L. Используя равенство Q = v^L и формулу
(7-76), получим
£ = + (7-84)
”о /л
и тогда формулы (7-81), (7-83) и (7-84) дают
4- = ------F (h, b); (7-85)
б л i 4-И1 -Л
-4 = ------f (h, b). (7-86)
L л ) у ] _ h 1 ' >
Для определения силы сопротивления X пластинки CD (и
сопротивления 2Х клапана) применим теорему количества дви-
жения к массе жидкости, ограниченной контрольной поверх-
ностью S (заштрихованная область на рис. 137, а). Вследствие
стационарности течения проекция на ось абсцисс изменения
количества движения этой массы жидкости в единицу времени
равна
pQoo cos Go — pQooo.
Найдем теперь проекцию на ось абсцисс результирующей R
сил давления, действующих на рассматриваемую массу. Эта вели-
чина Rx слагается из проекции силы давления на поперечное
сечение в бесконечности слева, равной p^L, проекции—Хг силы
реакции пластинки на жидкость, а также проекции резуль-
тирующей давлений по сложному контуру СВА, равной
j p0cosa' ds. Поскольку силы давления жидкости на горизои-
СВА
тальиые стенки HD и НА перпендикулярны к ним, проекции реак-
281
ций этих стенок на ось абсцисс равны нулю. Таким образом,
имеем
Rx = p^L — Xi -j- Ро j cosa'ds,
СВА
где
vd
= J p dy = J pdy.
CD y@
Как известно, cos a' = dylds, поэтому получим
о
Po j COS a' ds = p0 j dy = — p0 (L — I).
CBA y^
Искомым сопротивлением пластинки является величина
vd уо
X = J {р — р0) dy = J р dy — ро J dy = Хх — pol.
cd vc vc
Теперь проекция /?Л выразится так:
Rx = p^L — X — pol — p0(L — I) = (po. — po)L — X.
Следовательно, уравнение количества движения можно за-
писать в виде
pQvo cos 0О — pQvoo = (р„ — po)L — X,
откуда
X = (ра, — ро) L — pQ (ио cos 0о — u„).
Поскольку Q = v„L и p„ — Ро = -^-р(^о — получим
X = -^-р(Уо — vt) L — pv^L (uocos0o — v„)
или
X = -I- PvLl(-^~ — 2cos0o + 1Y (7-87)
Z [ и 00 I
\ 00 /
В результате приходим к следующей формуле для коэффициента
сопротивления Сх — 2Х!рв2„1 клапана CDCp.
Сх=;'т(/4Г“2^со50о+1\ (7'88)
282
где Ljl и г'0/Уоо выражаются через параметры Л и б с помощью
формул (7-85) и (7-76), а на основании (7-77)
tg 0О — — — 1; cos 0О =
1
/д’*
Формулы (7-88), (7-85), (7-86) позволяют построить графики
зависимостей Сх, ^/L и 1/L от h при различных значениях Ь.
Соответствующим образом перестраивая эти семейства кривых,
можно получить уже графики зависимости коэффициента сопро-
тивления Сх от 1/L при различных значениях 1/L (рис. 138 и 139).
Рис. 138. Зависимость коэффициента Рис. 139. Зависимость коэффициента со-
сопротивления клапана Сх от геометр
рических параметров области течения
противления клапана Сх в канале от геометр
рических параметров области течения
Займемся рассмотрением некоторых предельных случаев дан-
ной задачи. Начнем с того случая, когда Ь—»оо. При этом
согласно (7-77) 0О—> — л/2 и, как видно из рис. 137, айв, точка С
физической плоскости сливается с бесконечно удаленной точкой В,
т. е. вертикальная пластинка CD становится бесконечно длинной
(рис. 140, а). Если течение, показанное на рис. 140, а, продолжить
симметрично вправо через CD, то будем иметь истечение из от-
верстия в нижней стенке плоского канала с двусторонним прито-
ком (рис. 140, б).
Переходя к пределу при b —> оо в выражении (7-82) для Л,
имеем
л lim 1/ -Ц—- + lim (~^= In
*->«> ' ° I \'ь
/ ft - 1 \
1/Т-Н )
1 , 1 — / h
'п ----7=г
Кй 14-Кл
nt'o
—т=. In
К h
1 + // \
1 — Кл ) *
(7-89)
точка А (см. рис. 137, а и в) сливается с бесконечно удаленной
точкой В, т. е. при b —> 1 (рис. 143, б).
283
285
Обозначая через d ширину струи в бесконечности
(рис. 140, а) и учитывая, что Q = v^L = vad, получим
d = Q!va. С помощью этого соотношения и формулы (7-89) коэф-
а — истечение из канала на плоскость; б — истечение о двусто-
ронним притоком; в зависимость коэффициента сжатия струн 0
от относительной ширины отверстия
фициент сжатия струи 8 =- d/X можно выразить следующим
образом:
8 =
Л -1—-kr In
Г/l
1 +K/I
1 —Vh
(7-90)
В то же время соотношения (7-89) и (7-84) дают
х 1 - K/t
L Л (1 + V 1 — /1)
(7-91)
По формулам (7-90) и (7-91) построена кривая зависимости 8
от Х/L (рис. 140, в).
Теперь в общем решении (7-70), (7-75) исходной задачи перей-
дем к пределу при h —> 1. Это значит, что точка А сливается с точ-
кой И (см. рис. 137, а и в), т. е. стенка канала НА перестает суще-
ствовать, и нижней границей течения становится лишь свободная
граница струи НВ (рис. 141, а). Если же это течение симметрично
продолжить вверх через стенку канала HD, то получим отрывное
обтекание пластинки в свободной струе (рис. 141, б) по класси-
ческой схеме, описанной в § 12.
В данном предельном случае формула (7-82) дает, как и сле-
довало ожидать, бесконечное значение для X, а формулы (7-85)
284
и (7'88), поскольку теперь vQ = vx [см. (7-76)], переходят в сле-
дующие:
(7-92)
Рис. 141. Обтекание уступа и пластины свободной струей конечной ши-
рины
где L — полуширина свободной струи на бесконечности, а угол 0О
по-прежнему определяется формулой (7-77).
Формулы (7-92), (7-93), (7-77) позволяют построить график
зависимости Сх от 1/L. Из рис. 142 (кривая а) видно, что эта за-
висимость весьма незначи-
тельна.
Далее рассмотрим пре-
дельный случай течения Ми-
зеса, как бы противополож-
ный предыдущему. Пусть
нижняя стенка канала НА
(см. рис. 137, а) бесконечно
продолжается вправо. Тогда
будет иметь место известное
в гидравлике течение из-под
прямоугольного затвора
(рис. 143, а). Течение же че-
рез клапан, изображенное на
рис. 137, а, перейдет в струй-
Рис. 142. Зависимость коэффициента сопротив-
ления пластины от ее относительной ширины:
а — обтекание свободной струей; б—» обтеиа-*
ниев канале
ное симметричное обтекание
пластинки в канале между параллельными стенками (рис. 143, в),
исследованное еще Н. Е. Жуковским. Если же течение на
рис. 143, а симметрично продолжить вниз через стенку НА,
то приходим к истечению из прямоугольного сосуда шириной 2L
через симметричное отверстие шириной 2 (L—/) (рис. 143, г).
Интересующий нас предельный случай осуществляется, когда
точка А (см. рис. 137, а и в) сливается с бесконечно удаленной
точкой В, т. е. при b —» 1 (рис. 143, б).
285
Формулу для длины пластинки CD (рис. 143, а) получим из
(7-80), полагая b = 1:
1 = тгу {[1-arcsi" <2ft - '>] + " (?s -1 * * * *)} <7-94>
Формула же (7-84) для ширины канала L справедлива и в дан-
ном предельном случае, так как не содержит параметра Ь.
Рис. 143. Напорное истечение из-под затвора:
а — схема течения в физической плоскости; б — соответствующая область пара-
метрической переменной 1\ в — струйное обтекание пластины в канале; г истечение
из прямоугольного сосуда
Выразим через единственный оставшийся математический пара-
метр h коэффициент сжатия струи
е = Т^7> (7’95)
где d = Q/n0— ширина струи в бесконечности справа
(рис. 143, а). Подставляя в правую часть (7-95) это выражение
для d, а также выражения для L и I соответственно из формул
(7-84) и (7-94), после простых алгебраических преобразований
получим
е = ——=------------2я :. (7-96)
Л (К1 —^4-21^1) + 2 К1 -h arcsin(2/i — 1)
Кроме того, формулы (7-84) и (7-94) дают
/1 — Л
2
L
----—arcsin (2/t — 1)^ + 1 — ]fh
1 +/ТТГЙ
(7-97)
График зависимости коэффициента сжатия струи е от IJL =
= 1 — 1/L, построенный с помощью (7-96) и (7-97), приведен
на рис. 144,
286
Формула для коэффициента сопротивления прямоугольного
затвора (см. рис. 143, а) сразу же получается из (7-88), если
учесть, что при b —♦ 1 будет 0О = 0 и поэтому
(7-98)
L , ,
где — выражается через параметр 1г по формуле
(7-97), а
по (7-76).
Разумеется, формулой (7-98)
сопротивления пластинки длиной
Рис. 145. Струйное обтекание пластины неограниченным
определяется и коэффициент
2/ при ее симметричном струй-
ном обтекании в канале шири-
ной 2L (рис. 143, в). Кривая
зависимости Сх такой плас-
Рис. 144. Зависимость коэффициента сжатия струи, вытекающей из пря-
моугольного сосуда, от относительной ширины отверстия
потоком
тинки от величины стеснения канала дана на рис. 142 (кри-
вая б).
И, наконец, найдем коэффициент сопротивления пластинки
при ее обтекании с отрывом струй безграничным симметричным
потоком (рис. 145). Другими словами, получим предельное зна-
чение коэффициента Сх для пластинки в канале (рис. 145), когда
последний бесконечно расширяется. В этом предельном случае
должны совпадать по величине и направлению скорости течения
бесконечно далеко слева и справа от пластинки: обе они парал-
лельны оси абсцисс и равны v„. Тогда можно считать, что в пло-
скости течения z (рис. 143, в) бесконечно удаленная точка Н сли-
вается с бесконечно удаленной точкой А. Это осуществляется
при h —» 1 (рис. 137, в). Для получения значения Сх при h —* 1
(т. е. при L/1 —» оо, v0/v„ —> 1), которое мы в дальнейшем будем
обозначать через Сх, подставим сначала выражения для L/1
и соответственно из (7-97) и (7-76) в формулу (7-98) для
коэффициента сопротивления пластинки в канале:
с = _1_______(1 +/Г7Дй)(1 —1/л+/Г7ТТ)2
11 К1 — Л£-7;---arcsin (2ft—1)1-j-1 — j/ft
287
или после простых алгебраических преобразований
* h i
О +/ft)--------==
1'1 —ft
Затем перейдем к пределу в (7-99) при й —> 1:
С'_________________-______________
— 1 1
-х------arcsin (2ft — 1)
2 1 im _£-* .____________+ !
л-и И1— л
Имеющуюся здесь неопределенность вида 0/0
по правилу Лопиталя
----------arcsin (2ft— 1)
----------, л ----------= lim
— arcsin (2ft — 1)
н
(7-99)
(7-100)
раскрываем
lim
ft-И
arcsin (2h
— lim
£
л
в
X
Ki — ft
результате (7-100) принимает вид
Этт
4^ = 0,88.
. J- тт ’
(7-101)
Подставляя это значение Сх в выражение для сопротивления
пластинки в безграничном потоке 2Х = C'xpv^l, имеем
2* = 4Т^2/Р^-
Теоретическое значение коэффициента сопротивления пла-
стины С'х = 0,88 достаточно хорошо подтверждается опытом
в тех случаях, когда условия обтекания близки к принятым в тео-
рии струйных течений. Такие условия могут быть созданы, в част-
ности, при суперкавитационных течениях, кратко рассмотренных
ниже,
§ 14
КАВИТАЦИОННЫЕ ТЕЧЕНИЯ
Практическое значение теории струй значительно возросло за
последние 30 лет в связи с проблемой кавитации, о сущности кото-
рой кратко упоминалось в гл. 1.
Рассмотрим условия возникновения и развития кавитации.
Пусть тело заданной формы обтекается безграничным, уста-
новившимся потоком идеальной, несжимаемой, невесомой жидко-
283
сти со скоростью и давлением в бесконечности, соответственно
равными vM и рх. Тогда согласно уравнению Бернулли имеем
. Р’Л . ри2 (7-102)
где и, р — модуль скорости и давление жидкости в какой-либо
точке вблизи обтекаемого тела (или на его границе). Полагаем
Рис* 146. Кавитационная каверна при обтекании тела в стадии суперкавитации
v “ ас», где вследствие возмущающего влияния тела безразмер-
ный коэффициент а во многих случаях может быть заметно боль-
шим единицы (например, при обтекании круглого цилиндра
“шах — 2, см. § 4 гл. 7). Тогда из (7-102) получим
р = ----2“pvM(a —1).
Отсюда видно, что при достаточно большом значении
в точках течения, где а > 1, давление р становится отрицатель-
ным. Однако вода и другие технические жидкости не способны
выдерживать отрицательные давления (растягивающие усилия).
В результате происходит нарушение сплошности течения, состоя-
щее в образовании каверн — полостей, заполненных парами или
газами, выделившимися из жидкости.
Каверны вначале имеют вид маленьких пузырьков (стадия
начальной кавитации). Если давление вблизи пузырьков снова
поднимается и становится выше давления парообразования, то
пузырьки с шумом «схлопываются». Это приводит к эрозии и
износу соседних с ними твердых поверхностей (металлических
лопастей винтов и турбин, бетонных водосбросов, плотин и т. п.).
Если же давление остается пониженным, то пузырьки сливаются,
что может привести к образованию около обтекаемого тела одной
каверны, имеющей размеры, сравнимые с размерами тела. Фотогра-
фия такой каверны приведена на рис. 146. В этом случае кавита-
10 Б. Т. Емцев 289
ция называется развитой или суперкавитацией. Давление в обра-
зующейся каверне и на ее границах практически постоянно и
равно давлению выделившихся паров или газов. Если границы
между каверной и текущей жидкостью достаточно резко очер-
чены, то они имеют все признаки свободных поверхностей, пере-
численные в § 12. Заметим, что в случае невесомой жидкости,
в силу (7-102), на этих границах и скорость течения имеет по-
стоянный модуль.
Таким образом, течение при наличии суперкавитации (или,
как принято говорить, суперкавитационное течение) можно рас-
сматривать как струйное, о чем было сказано в § 12.
Обозначая через р0 и п0 давление и модуль скорости на гра-
нице каверны, кавитационное течение количественно характе-
ризуют безразмерным параметром
о = -(р°°Гро) , (7-103)
Pv«
называемым числом кавитации. Применяя уравнение Бернулли
к любой точке границы каверны, имеем
р<» Н—%- рп» = Ро Н—2~
откуда
Роо Ро = ~~2~ Р (»0 П»)
и выражение (7-103) для числа кавитации принимает вид
Экспериментально установлено, что при условии достаточно
большой удаленности стенок канала от обтекаемого тела (т. е.
когда течение практически безгранично) суперкавитация имеет
место в диапазоне малых чисел кавитации: 0,1 <а <1.
Зону неподвижной жидкости за телом в классической теории
струй (§ 12 гл. 7) можно рассматривать как каверну, прости-
рающуюся в бесконечность. Как было установлено в § 12, в слу-
чае неограниченного потока на свободной границе такой каверны
п0 == Ро — Р°° и в силу (7-103), число кавитации а = 0.
На этом основании струйное обтекание тела по классической
схеме Гельмгольца—Кирхгофа ныне трактуется как предельный
случай кавитационного течения при о —> 0.
Как показывают эксперименты, в конце каверны течение всегда
неустановившееся — периодически возникают и уносятся основ-
ным потоком завихренная жидкость и пена. Однако вблизи об-
текаемого тела суперкавитационное течение имеет установив-
шийся характер, и поэтому естественно предположить, что яв-
290
ления в конце каверны мало влияют на течение вблизи тела.
Отсюда следует, что можно кардинально изменить картину тече-
ния в конце каверны, в основном не изменяя поток и распреде-
ление давлений вблизи тела. Это обстоятельство привело к созда-
нию схем (моделей) плоского установившегося кавитационного
течения идеальной жидкости, удобных для математического вы-
числения коэффициентов сопротивлений обтекаемых тел и других
0)
"7
Рис. 147. Схемы кавитационного обтека-
ния пластины:
а — схема с зеркалом; б— схема «с воз-
вратной струей»; в — сравнение резуль-
татов, полученных при расчете по схеме «с зеркалом» (штриховые линии) и по схеме
«с возвратной струей» (сплошные линии); 1 — значения коэффициента сопротивления Сх;
2 — относительная длина кавитационной каверны а/1; 3 относительная ширина кави-
тационной каверны Ь/1
характеристик течения. Мы здесь покажем две такие схемы на
примере симметричного кавитационного течения около плоской
пластинки, перпендикулярной набегающему потоку.
1. Кавитационная схема Рябушинского, иначе называемая
схемой с «зеркалом». Каверна замыкается фиктивной пластинкой
(рис. 147, а), параллельной и равной по длине обтекаемой пото-
ком пластинке. Вдоль фиктивной пластинки скорость убывает
от v = v0 до v — 0 в критической точке Е на оси симметрии.
Эта пластинка, как бы препятствуя образованию и распаду воз-
вратной струи, делает течение установившимся.
2. Схема Эфроса—Гилбарга. Границы каверны в ее концевой
части поворачиваются на 180°, и это приводит к образованию
возвратной струи, уносящей некоторую часть жидкости из потока
(рис. 147, б). Критическая точка Н находится ниже (по течению)
концевой части каверны. Для того чтобы возвратная струя не
заполняла жидкостью каверну и не нарушила набегающий на
пластинку поток, применяется следующий математический прием.
Эта струя отводится на второй лист двулистной римановой по-
верхности и на нем уходит в бесконечность Е (влево), в то время
10* 291
как основное течение имеет место на первом листе такой поверх-
ности. Несмотря на некоторую математическую сложность, ука-
занная схема ближе к реальному течению, чем схема Рябушин-
ского, так как отражает наблюдаемую тенденцию к образованию
возвратного течения Г Расчеты по обеим рассмотренным кавита-
ционным схемам приводят к близким кривым зависимости харак-
терных размеров каверны а и Ь, а также коэффициента сопро-
тивления пластинки Сх от числа кавитации а (рис. 147, в). При о =
= 0 на обеих этих кривых Сх — 0,88, что совпадает со значе-
нием Сх, полученным для случая обтекания пластинки по струй-
ной схеме Гельмгольца—Кирхгофа (см. рис. 145). Это обстоя-
тельство подтверждает возможность рассмотрения последней схе-
мы как предельного случая суперкавитационного течения при о=0.
§ 15
МЕТОДЫ ОСОБЕННОСТЕЙ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ПЛОСКИХ
ЗАДАЧ ПОТЕНЦИАЛЬНОГО ОБТЕКАНИЯ ТЕЛ
Группа методов, называемых методами особенностей, основана на
замене заданного контура тела системой непрерывно распределен-
ных вдоль него точечных особенностей (источников, стоков, ди-
1L'~ О
Рис. 148. Вихревой метод построения плоского
потенциального потока. Схема к составлению
интегрального уравнения
полей, вихрей). Широкое
распространение получил
метод распределенных вих-
рей или просто вихревой
метод, в котором контур
тела заменяется вихревым
слоем (§ 2 гл. 7). Такая
замена имеет физические
предпосылки, так как при
обтекании тел реальной
(вязкой) жидкостью на их
поверхности образуется
тонкий пограничный слой,
в котором сосредоточена основная часть завихренности потока.
Рассмотрим общую схему решения задачи обтекания задан-
ного цилиндрического тела потенциальным потоком (рис. 148).
Представим, что контур тела покрыт непрерывно распределенными
точечными вихрями. Выделим на контуре в окрестности точки
(xs, z/s) элементарный участок ds, на котором сосредоточены
вихри, создающие в потоке циркуляцию dT. Ввиду малости от-
резка рассматриваем эти вихри как один точечный вихрь с цен-
тром в точке (xs, ys). Тогда функцию тока течения, создаваемого
этим вихрем, можно выразить формулой
(х, у) = In ]/(х - xs)2 + {у - ys)2
1 В действительности же возвратная струя разбивается, что и приводит
к образованию брызг и пены в хвостовой части каверны.
292
или, вводя погонную циркуляцию у (s) = dVIds, формулой
d't’s (х, у) = ln/(x-xs)2 + (y-ys)4s,
где индексом s отмечены величины, зависящие от координат
точки (xs, ys), лежащей на контуре.
Согласно принципу суперпозиции функция тока течения,
созданного совокупностью всех элементарных вихрей, образу-
ющих вихревой слой, получится суммированием
'k = 2^ $ Y GO ln]Z(x-xs)2 + (z/-i/s)‘2ds.
I
Поскольку контур тела обтекается со скоростью иа потоком,
имеющим функцию тока ф0 = иоу, то результирующее течение
будет иметь функцию тока
Ф = Фо + Ф5 = «of/ + $ Т (s) In ]/(х — xs)2 + (г/ — ys)2 ds. (7-104)
L.
Важно не упускать из виду, что в формуле (7-104) точка с ко-
ординатами xsys лежит в вихревом слое, а точка с координа-
тами х, у — где угодно в потоке. Формулой (7-104) определяется
значение функции тока именно в этой точке; интегрирование по
координате s (т. е. по xs, ys) распространяется на весь вихревой
слой.
Учтем теперь, что при безотрывном обтекании контур тела
должен быть линией тока, на которой, как известно, функция
тока постоянна. Последняя без ограничения общности может быть
принята равной нулю, поскольку функция тока определяется
с точностью до аддитивной постоянной. Тогда получим уравне-
ние линии тока, образующей контур тела (вихревого слоя);
иоу° ln - *s)2 + (У0 ~ ysf ds = 0; (7-105)
L
здесь верхним индексом 0 отмечено то обстоятельство, что точка х(’,
у0 лежит на контуре тела L.
В уравнении (7-105) единственной неизвестной функцией
является погонная циркуляция у, зависящая от переменной
интегрирования s. Поскольку она входит в уравнение под знаком
интеграла, то относительно этой функции уравнение является
интегральным, из-за чего и весь метод иногда называют методом
интегральных уравнений.
Если в результате решения (7-105) удалось найти у (s), то
тогда по формуле (7-104) может быть найдена функция тока в лю-
бой точке х, у, а значит определено все течение.
Необходимо отметить, что поскольку точки xs, ys и х°, уй
принадлежат контуру L, а интегрирование распространяется
на весь контур, то для каждой точки х", у° существует одна точка
xs, t/s, которая с ней совпадает. Тогда подынтегральное выраже-
293
ние обращается в бесконечность и интеграл становится несоб-
ственным. Поэтому при вычислениях необходимо произвести
выделение особенности.
Вместо функции тока ф для составления интегрального урав-
нения можно использовать потенциал скорости <р; в этом случае
условием на контуре обтекаемого тела будет ~j%\L ~ 0* Можно,
наконец, использовать аппарат теории аналитических функций,
в частности их представление контурными интегралами, для полу-
чения интегральных уравнений, определяющих комплексный
потенциал и сопряженную скорость. Этот метод применяется для
расчетов гидродинамических решеток [3].
Методы особенностей применимы не только для плоских, но
и для пространственных задач.
§ 16
ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ
ПЛОСКИХ ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ ТЕЧЕНИЙ
Аналитические методы построения потенциальных течений при
решении прикладных задач чаще всего требуют значительного
объема вычислительной работы. Наряду с этим обеспечиваемая
ими высокая точность не всегда необходима, и нередко бывает
достаточно той точности, которую могут дать ориентировочные
расчеты по гидродинамическим сеткам, полученным графоанали-
тическими и экспериментальными методами. Результаты таких
расчетов могут быть использованы, в частности, как первое при-
ближение в итерационном процессе численных методов, выпол-
няемых с применением ЭВМ.
Графический метод состоит в построении линий тока и экви-
потенциалей соответственно заданным формам граничных поверх-
ностей и кинематическим граничным условиям. Как известно,
контуры твердых поверхностей должны быть линиями тока,
а эквипотенциали должны пересекать их ортогонально всюду,
кроме критических точек, где линии тока разветвляются. Как
правило, критические точки лежат на твердых поверхностях;
линии тока выходят из этих точек нормально к поверхностям,
а эквипотенциали — под углом 45°.
Для расчетов удобнее всего использовать изотермическую
или квадратичную сетку, т. е. такую, в которой ячейки пред-
ставляют собой криволинейные квадраты, а приращения потен-
циала скорости Дф и функции тока Дф на граничных линиях
ячейки равны (см. § 9 гл. 2).
Рассмотрим в качестве примера построение такой сетки в пло-
ском канале на участке сужения (см. рис. 31). Изобразив на
чертеже в выбранном масштабе граничные поверхности (кон-
туры) канала, проводят на глаз несколько линий тока и эквипо-
тенциалей, следя за тем, чтобы ячейки приближенно были криво-
294
линейными квадратами (их средние линии должны быть равными,
а углы — прямыми). Затем сетка уточняется.
Согласно одному из существующих способов уточнения сле-
дует вычислить расход плоской трубки тока Aq = q/n, где q —
полный расход потока, который мы полагаем заданным; п —
число трубок, образованных парой линий тока. Средняя в преде-
лах какой-либо ячейки скорость определится равенством и, =
= \qlАп,, где Дл; — размер ячейки вдоль эквипотенциали.
Если бы сетка была квадратичной, то можно было бы написать
= Aq/Asi, где Asz —
размер той же ячейки вдоль
линии тока. Построим для
выбранной эквипотенциа-
ли распределение скоро-
Рис. 149. Уточнение гидродинами-
ческой сетки построением интегра-
льной кривой расхода
стей, отложив на оси ординат значения ut = Д^/Дз,, а на оси
абсцисс — величины As, (рис. 149, кривая АВ), определяя их
по чертежу. На этом же графике строим кривую расходов по
i
формуле Дп; (кривая CD).
1 1
Очевидно при i — п должно быть q„ — q, т. е. мы должны
получить заданный расход (см. рис. 149). Далее делим этот расход
на п равных частей и через точки деления проводим горизонтали
до пересечения с кривой CD. Абсциссы этих точек пересечения
определят новые (уточненные) значения величин Дп,-. Такие по-
строения необходимо сделать для каждой эквипотенциали и про-
вести уточненные линии тока. При необходимости делают повтор-
ные уточнения.
Второй способ уточнения сетки [16] основан на том соображе-
нии, что сетка, образованная диагоналями ячеек первого прибли-
жения, должна быть также ортогональной. Поэтому, построив
первое приближение сетки, проводят диагонали каждой из
ячеек. Они должны образовывать плавные кривые (рис. 150).
Приняв точки пересечения диагоналей за вершины ячеек сетки,
295
проводят новые диагонали, пересечение которых определит уточ-
ненное положение узлов сетки второго приближения.
Методы аналогий являются экспериментальными методами,
основанными на идентичности уравнений, описывающих потен-
циальные плоские течения и некоторые другие физические явле-
ния. Из числа этих методов в первую очередь мы рассмотрим
метод электрогидродинамической аналогии (ЭГДА). Он основан
на том, что поле плоского безвихревого течения несжимаемой
жидкости и поле электрического тока в плоском проводнике
являются потенциальными полями с нулевой дивергенцией.
Такие поля описываются уравнением Лапласа. В табл. 4 приведен
перечень аналогичных величин (аналогов) и уравнений, которым
они удовлетворяют для этих двух физических явлений.
Таблица 4
Плоский безвихревой поток несжимаемой жидкости Электрический ток в плоском проводнике
Потенциал скорости <р Приведенный электрический потенци- ал — Ф = — aU, где а — удельная электрическая проводимость; U — электрический потенциал
Вектор скорости и (их, Uy) -> д<р u = grad<p их-^- дф -* ии = div и = 0 * ду Вектор плотности электрического тока i(ix,iy), i— — о grad t/= grad Ф дФ . дФ -» . ц = ——, i-= —— div 1=0 дх у ду
Функция тока ф (х, у) дф дф ду у дх Функция электрического тока Ф (х, у) . _ дФ . _ дФ 1* ~ ду ’ дх
Уравнения, определяющие функции Ф и ф: д2ф , д2ф дх2 1 ду2 д2ф д2ф дх2 1 ду2 “° Уравнения, определяющие функции Ф и Ф: д2Ф д2Ф дх2 1 ду2 -0 дх2 1 ду2
Условие на твердой границе -^|гр=°, ф|гр = const Условие на изолирующей границе ^Lp=0, 4p=consi
296
Если для сравниваемых потоков жидкости и электрического
тока осуществить одинаковые граничные условия, то линии <р =
= const, ф = const и соответственно Ф = const, Ф = const будут
одинаковыми. Иными словами, одинаковыми будут сетки течений.
Рассмотрим, например, обтекание профиля безграничным по-
током (рис. 151). Вдалеке от профиля линии тока и эквипотен-
Рис. 151. Электрогидродинамическая
аналогия (ЭГДА):
а — граничные условия для плоского
потенциального потока несжимаемой
жидкости; б — схема прибора, воспро-
изводящего аналогию А; а — схема при-
бора, воспроизводящего аналогию Б
циали приближенно являются взаимно ортогональными прямыми.
Поэтому прямоугольник, стороны которого велики по сравнению
с размерами профиля, может служить с достаточной точностью
областью течения. При этом одна из его сторон должна быть парал-
лельна вектору скорости в бесконечности. На рис. 151, а показаны
граничные условия, которые реализуются на границах области
и контуре профиля. Если теперь вырезать из плоского проводника
подобный прямоугольник с отверстием в нем, геометрически
подобным контуру профиля, и подвести электрический ток через
шины Шг и Ш(рис. 151, б), то получим электрическую модель,
на которой будут реализованы те же граничные условия, что
и для потока жидкости. На полученной модели остается лишь
экспериментально зафиксировать вид линий Ф = const и Ф' =
— const, чтобы получить ортогональную сетку, в которой экви-
297
потенциалям потока жидкости будут соответствовать линии рав-
ного электрического потенциала. Такую аналогию называют ана-
логией А. На практике используют также аналогию Б, в которой
эквипотенциалям <р — const соответствуют линии электрического
тока ¥ = const. Для получения этой аналогии следует обратить
граничные условия: электропроводящие шины 777! и наложить,
как показано на рис. 151, в, а обтекаемый профиль выполнить из
массивного проводника. Тогда будут реализованы граничные
условия, при которых соответственными будут линии <р = const
и ф = const, а также V = const и Ф = const. Сетка электрического
Рис. 152. Ползущее те-
чение вязкой жидкости
между параллельными
плоскостями (ламинар-
ная аналогия плоского
потенциального течения)
тока получится обращенной по отношению к сетке потока
жидкости.
На рис. 151, б показана принципиальная схема модели ЭГДА,
выполненной по аналогии А. Можно видеть, что эта модель осу-
ществлена по схеме электрического моста, одной из ветвей кото-
рого служит плоский проводник, моделирующий область тече-
ния, а во вторую включен реохорд Р. В диагональ моста включен
гальванометр Г, регистрирующий наличие тока в ней. Один конец
диагонали представляет собой подвижный контакт реохорда ПК,
а второй — тонкий щуп Щ, которым можно прикоснуться к любой
точке области течения. Для отыскания какой-либо эквипотен-
циали (линии равного электрического потенциала) следует, за-
фиксировав контакт ПК, перемещать щуп по области течения
до тех пор, пока гальванометр Г не покажет отсутствие тока
в диагонали моста. Это будет означать, что электрические потен-
циалы на обоих концах диагонали равны. Затем, перемещая щуп,
надо отыскать все точки, имеющие тот же потенциал. Соединяя
эти точки плавной кривой, получим эквипотенциаль. Затем, пере-
местив контакт ПК в новое положение, также отыскиваем экви-
потенциаль с другим значением потенциала и т. д.
Для отыскания семейства линий тока, как указывалось выше,
следует обратить граничные условия, выполнив модель по ана-
логии Б (рис. 151, в). Найденные тем же способом на этой модели
эквипотенциали будут служить линиями тока для искомого тече-
ния. Практически работу удобнее начинать с аналогии Б.
Метод ламинарной аналогии основан на свойствах весьма
медленных (ползущих) течений тонкого слоя вязкой жидкости
между параллельными поверхностями. Такие течения обладают
298
потенциалом скорости, который можно поставить в соответ-
ствие потенциалу безвихревого течения идеальной жидкости.
Рассмотрим течение вязкой жидкости между параллельными
плоскими пластинами с весьма малыми скоростями (рис. 152).
Такое течение описывается уравнениями Навье—Стокса, в кото-
рых ввиду малых скоростей можно пренебречь всеми инерцион-
ными членами. Если зазор h между плоскостями мал, то, кроме
того, должно быть
д2их „ д2их д2их д2иу д2иу д2иу
дг2 дх2 ду2 И дг2 " дх2 ду2
Учитывая, что для данного течения и2 = 0, и пренебрегая
действием массовых сил, получим приближенные уравнения
в упрощенной форме:
----L^ + v^ = 0;---------L^ + v-$^ = 0; ^ = 0;
р дх 1 dz2 ’ р ду 1 dz2 дг
дх 1 ду
Поскольку давление здесь не зависит от координаты г, то,
дважды интегрируя каждое из первых двух уравнений, получим
и* = +^Z + Bi(x- УУ>
иу = ~^^ + Аг(х’ У)г + В2<х> уУ
где Ль Л 2, В 2 — функции, подлежащие определению из
граничных условий. В выбранной системе координат имеем
щ = иу = 0 при z = 0 и их = иу = 0 при z = h.
Следовательно, В± = Вг = 0 и
л ______д —______________
1 — 2ц дх ’ 2 ~ 2ц ду •
Теперь получим выражения для компонент скорости
“* = 2jrwz(z-/l)- (7'106)
Подставляя эти выражения в уравнение неразрывности, убе-
ждаемся, что
д2р д*Р — к
дх2 ' ду2
299
т. е. давление для данного течения удовлетворяет уравнению
Лапласа. Если произвести усреднение формул (7-106) по толщине
слоя, т. е. вычислить средние значения компонент скорости
Рис. 153. Прибор Хил-Шоу для воспро-
изведения ламинарной аналогии
причем <рл, так же как и р, удов-
летворяет уравнению Лапласа и,
следовательно, может рассматриваться как потенциал скорости
усредненного по толщине слоя течения. Поэтому, если для функ-
ции <рл (т. е. для давления р) создать граничные условия такие же,
как для исследуемого потенциального потока идеальной жидко-
сти, то мы должны получить при течении в щели распределение
скоростей и сетку течения такими же, как для идеальной жидко-
сти. Опыт полностью подтверждает этот вывод. Течение описан-
ного типа было исследовано Хил-Шоу (1898 г.) и применено им
для визуального изучения потенциальных потоков. Схема при-
бора Хил-Шоу показана на рис. 153. На таком приборе путем
подкрашивания струек легко воспроизвести линии тока, которые
затем графически могут быть дополнены эквипотенциалями.
§ 17
ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ БЕЗВИХРЕВЫЕ ТЕЧЕНИЯ.
ПРИМЕНЕНИЕ КРИВОЛИНЕЙНЫХ КООРДИНАТ
Рассматривавшиеся выше одномерные и двумерные течения яв-
ляются определенной идеализацией, которая практически при-
менима для ряда технически актуальных задач. Но немало слу-
чаев, когда течения даже приближенно не могут рассматриваться
как одно- или двумерные, и возникает необходимость решать
задачи о пространственных или трехмерных течениях, которые,
естественно, более сложны. Возможность получить решения таких
задач в значительной степени зависит от выбора системы коор-
динат. Часто оказываются удобными различные криволинейные
ортогональные системы, примерами которых могут служить ци-
линдрическая и сферическая.
В § 4 гл. 2 выведено уравнение неразрывности для произволь-
ной ортогональной системы координат. Здесь мы установим
выражения для основных операторов в такой же системе.
300
Градиент скалярной функции grad <р, как известно, обладает
тем свойством, что его проекция на любое направление s равна
частной производной от потенциальной функции <р по этому на-
правлению. Если s — координатное направление, то, поскольку
ds, = Hidqit проекция градиента на это направление выразится
формулой
= <7-107)
Дивергенция вектора div а по определению представляет
собой предел отношения потока вектора а через поверхность S,
ограничивающую объем W к этому объему, при стягивании по-
верхности в точку
div а — lim f ап dS.
Ц7->0 * J
Применяя это определение к элементарному объему AU7, об-
разованному криволинейными ортогональными поверхностями
(см. рис. 14), можем записать
diva = limГ— ax ASX + ax ASX -ф S1) -|--------1 =
1 Г д (а,Н,Н.Л . , , . 1
— Нх dqt Н2 dq2 Н3 dq3 [ dq~3 + • “ J .
где AS), • • • — площади граней элементарного объема A IF.
После сокращения
+ ~^{а*Н1Нз} + • • ••
(7-108)
Вектор вихрь в криволинейных координатах может быть
определен с помощью теоремы Стокса (см. § 7 гл. 2)
AS,- = rotqia ASt = $ as dsit
Ч
где — проекция вихря Q на координатное направление q,',
ASt — координатная площадка, нормальная этому направле-
нию; Li — контур, охватывающий площадку AS,-, ds,- — эле-
менты дуги контура £,; as — проекция ветора а на направление
касательной к контуру Lt.
Контурный интеграл в правой части этой формулы вычислим
приближенно и перейдем к пределу при AS,- —> 0. Например,
для t = 1:
&Л2Нз dq2 dq3 = а2 ds2 -j- Г a3 ds3 -ф — dq21 —
L U42 J
— [ a2 ds2 + (a2 ds2) dq3 ] - a3 ds3 = -d (^a) dq3 dq2 -
- d(aJH--dq2dq3.
dq3 12/3
301
Сократив это равенство на dq2dq3 и выписав по аналогии две
другие формулы, найдем
01 = (аз/Уз) “ :
(7-109)
Оператор Лапласа (лапласиан) легко получить, используя
формулу v2(P = div grad гр. С учетом (7-107) и (7-108) находим
па ' Г д / Н2Н3 <Э<р \ , д / H3fl. дер \ ,
— Н1Н2Н3 L <3?! \ //j dq± / dq2 \ Н2 dq2 )
д
dq3
НгН2
Лэ
(7-110)
При рассмотрении плоских течений мы могли видеть, какую
существенную роль играет функция тока для решения ряда задач.
Естественно поэтому выяснить, нельзя ли и для пространственных
течений ввести аналогичную функцию.
В общем случае ответ на этот вопрос отрицателен. Однако
существуют частные виды пространственных течений, для кото-
рых такая функция существует. В самом деле, допустим, что ха-
рактер движения позволяет выбрать криволинейную систему ко-
ординат (qlt q2, q3), в которой одна из проекций скорости
равна нулю. Пусть, например, иг = 0. Тогда уравнение нераз-
рывности примет вид
-A (U1H2H3) + 4- («АЯ2) = 0. (7-111)
иЧ1 °Чз
Это уравнение может рассматриваться как условие, необхо-
димое и достаточное для существования функции ф, определяе-
мой равенствами
utH3H3 = — -Д-; и3НхН3 = ,
133 dq3 ’ 3 1 2 dqx ’
выбор знаков в которых будет пояснен ниже.
Следовательно,
1 М 1 дф 11 оч
«1 -----из = (7-112)
dq3 HiH2 dqi
Функция ф (<7х, q2) называется функцией тока для данного
случая пространственного движения. Следует обратить внимание
на то, что существование этой функции определяется не только
характером течения, но и выбором системы координат. Так,
если бы в рассмотренном случае координатные направления были
выбраны так, чтобы все три компоненты скорости были отличны
302
от нуля, то обосновать существование функции тока оказалось бы
невозможно.
В машиностроении особое значение имеет осесимметричное
движение, которое наиболее удобно описывать в цилиндрической
системе координат (см. рис. 15). Напомним, что для этой системы,
если qr = г, q2 = 0, q3 = z, то = 1, Н2 = г, Н3 = 1.
Для осесимметричного движения все параметры течения не
зависят от угла 0 и функция тока определяется соотношениями
а уравнение неразрывности согласно (2-25) имеет вид
д (гиг) д (гиг) = 0 (7-114)
дг ' dz
В случае, когда ив = 0, вектор скорости лежит на поверхности
0 = const, т. е. в меридиональной плоскости. Следовательно,
линии тока являются плоскими кривыми, уравнение которых
имеет вид
dr _ dz
иг иг
или u2dr — urdz = 0. Используя (7—113), введем в это уравне-
ние функцию тока
dr + -уг-dz = dip = 0.
dr ' dz T
Следовательно, вдоль линии тока dip = 0 или ip (г, z) =
= const, что соответствует свойству функции тока плоского дви-
жения. Вычислим далее объемный расход жидкости через круго-
вое сечение потока радиуса г, нормальное к оси z:
Q = j иг2лг dr = 2л j dr = 2л [ip (г, z) — ip (0, z)].
о о
Если принять ip (0, z) = 0, что мы вправе сделать в силу про-
извольности начала отсчета для функции ip, то получим
Q = 2лф (г, z). (7-115)
Таким образом, функция тока для осесимметричного течения
имеет тот же физический смысл, что и для плоского. Из послед-
ней формулы видно, что знаки, выбранные для формул (7-112),
соответствуют одинаковым знакам величин Q и ip.
Иногда осесимметричные течения бывает удобно описывать
в сферической системе координат (см. рис. 15), для которой
х = R sin р cos 0; у = R sin р sin 0; z = /?cosp
303
и при соответствии q3 = R, q2 = 0, q3 = 0
HR={, H& = R, tf0 = 7?sln0.
Если ориентировать координатные направления так, чтобы
для осесимметричного потока было ив = 0, то уравнение нераз-
рывности
(urR2 sin 0) + (u&R sin 0) = О
определит существование функции тока ф (7?> 0), Для которой
1 dib . 1 311) /7 1
Ud = —775—: л чтг- » Ur =--~:—-х—5гГ « (7-1 IO)
* R2 sin р dfJ р R sin р dR v
Эта функция обладает теми же свойствами, что и функция
Ф (G z).
§ 18
ПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ ТЕЧЕНИЯ
В ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ КАНАЛАХ
Осесимметричные каналы являются составной частью кон-
струкций многих машин, аппаратов, сооружений. Прямой гид-
родинамической задачей является определение скоростей и дав-
лений потенциального потока в канале, форма которого задана.
Эта задача в общем случае может быть решена только прибли-
женно с использованием численных или графоаналитических
методов. Обратная задача, которую мы рассмотрим в этом пара-
графе, состоит в определении формы поверхности канала и неко-
торых гидродинамических параметров по заданному распреде-
лению вдоль оси одного из них. Такая задача представляет прак-
тический интерес, так как позволяет найти форму канала, которая
обеспечивает формирование потока с заданными гидродинамиче-
скими параметрами. Ниже изложен общий метод решения задачи
о построении формы канала по заданному закону изменения ско-
рости на его оси [9 ].
Предполагая течение осесимметричным, запишем уравнение
Лапласа для потенциала скорости
-±(7^ = 0, (7-117)
дг \ дг} 1 dz \ дг) ’ v '
которое получается, если в (7-110) положить Нг = Н3 == 1;
II г = г; и 2 = «0 = 0 или -||- = 0. Можно доказать путем
проверки [9], что решением уравнения (7-117), которое на оси
симметрии z обращается в заданную функцию ср0 (z), является
функция
Л
<р (г, z) = -1- j ср0 (г + ir COS co) dos, (7-118)
о
804
где <р0 (z 4- lr cos <н) — аналитическая функция комплексного
переменного t = z 4- ir cos to.
Изучим свойства этого решения. При г = 0, очевидно,
<Р (0, г)==гр0(г),
т. е. <р0 (г) есть значения потенциала скорости на оси симметрии.
Вычисляем составляющие скорости:
п л
Ц- = J фо (О COS со dco; u2 = -J- = ~ |фо(О^«. (7-119)
о о
В частности, на оси г при г = О
Л
иг = -d- фо (г) J cos « d® = 0 и uz — фо (г),
о
Таким образом, фо (?) представляет собой значения скорости
на оси г. Обозначим фо (г) = f0 (z) и будем далее считать функ-
цию f0 (z) заданной. Формулы (7-119) можно переписать в виде
иг = — [ f0 (/) cos © da', иг — — f f0(t) da. (7-120)
Л J Л J
о о
Функцию тока можно найти с помощью (7-113). Так как
Л
о
то
ф = — j г dr j f0(z 4* ir cos co) da, (7-121)
о о
где принято ф (0, г) = 0.
Полагая ф = const, мы получим поверхности тока, любую
из которых можно принять за поверхность стенок канала.
Формулами (7-118), (7-120) и (7-121) дается общее решение
задачи о потенциальном течении через осесимметричный канал
с поверхностью ф (г, z) = const, на оси которого задано распре-
деление скоростей f0 (г) = иг (г).
Для практического использования полученного решения це-
лесообразно видоизменить форму зависимостей. Функцию f0 (I)
представляют в виде ряда
fo (/) = /о (?) 4- ir cos af'o (г) 4- • • •,
подставив который в формулы (7-120) и (7-121) и учитывая, что
Л л
— [ cos2/1 to da — и — f cos2"-1 to da — 0,
« J 22" («!)2 " J
305
(— В”
и’
Рис. 154. Осесимметричный поток,
растекающийся по плоскости
получают компоненты скорости и функцию тока
во
в'(г’г>
лшшвЛ z \iiij
л=1 п=о
ОО
П=1
Такая форма расчетных зависи-
мостей иногда более удобна для рас-
четов, чем интегральное представле-
ние иг, иг и ф. Рассмотрим конкрет-
ные примеры [9, 12—1964 г.].
Пример 1. Пусть f0 (?) = —аг и
МО = —а (z+tr cos <о), где a=const.
В этом течении при г = 0 f0 (0) = О,
т. е. эта точка является критической;
при г —> — оо скорость на оси неограниченно возрастает. Компо-
ненты скорости в произвольной точке
Л л
иг -----J (г ir cos со) cos со da = j cos2 a da = ;
о о
Л
иг =----J (г + ir cos to) da = — az\ (7-122)
о
ф =----j г dr j (z -ф- ir cos co) da =-j zr dr =-zr2.
оо о
Поверхности тока ф = const или zr2 = —С представляют
собой поверхности вращения, показанные на рис. 154. Приняв
поверхность, проходящую через окружность радиуса га, за стенку
канала, мы получим криволинейный диффузор с законом изме-
нения скоростей (7-122). Давления могут быть определены по
уравнению Бернулли, если известно, например, давление в кри-
тической точке.
Пример 2. Примем fQ (z) = а0 + а^г, где а0 и а± — постоян-
ные. Тогда
/о (0 = «о + Д (2 + ir cos и);
Л л
ur = J [а0 + «х (z + ir cos to)] cos co da = —j cos2 co da --= — aj',
о 0
306
п
иг = 1 [а0 + 01 (2 + ir cos со)] dco = aQ + aYz\
о
г л
ф = -±- j г dr j [а0 «1 (z + if cos co)] da =
о о
4 f (a« + aiz) nr dr = (ao -1- ^z) 41
о
В данном случае полу-
чаем конфузорный осесим-
метричный канал.
Пример 3. Часто встре-
чается необходимость осу-
ществить диффузорный или
конфузорный осесиммет-
Рис. 155. Контуры осесимметричных переходных
участков
ричный участок перехода
от одного диаметра трубы
к другому. Для получения
профиля такого перехода необходимо иметь кривую с двумя
асимптотами. Доказано, что это требование может быть удов-
летворено, если функцию f0 (z) представить в виде
о
где F (г) одна из функций
1 1 -z2m
-------, ------, 6
(1 —z2jm chmz
причем т > 1, а р = vjv2 — отношение средних скоростей
на концах переходного участка.
На рис. 155 показаны контуры переходных участков для функ-
ции F (z) = (chmz)~2.
Необходимо иметь в виду, что течения в осесимметричных
каналах, построенных по изложенному в этом параграфе методу,
в действительности будут отличаться от расчетных вследствие
образования пограничного слоя на стенках. Поэтому расчеты
по теории потенциальных течений могут служить лишь перво-
начальной основой и должны дополняться расчетами погранич-
ного слоя.
§ 19
УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ В ТОНКИХ
ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ СЛОЯХ ПЕРЕМЕННОЙ ТОЛЩИНЫ
В современной теории гидродинамических решеток сущест-
венную роль играет схематизация сложного пространственного
потока, согласно которой течение в полости рабочего колеса тур-
307
бомашины происходит по осесимметричным поверхностям тока
(поверхности Si и Si, S'i, на рис. 156). Для описания та-
кого движения выбирают ортогональную криволинейную систему
координат, показанную на рисунке. Координатные линки
образуются пересечением поверхностей вращения Sj с меридио-
нальными плоскостями, линии 73 — пересечением поверхностей
вращения, нормальных к поверхностям тока S\, с теми же ме-
ридиональными плоскостями, а'линии являются окружностями,
лежащими в плоскостях, нормальных к оси г.
ц Поскольку две координатные ли-
нии лежат на поверхности тока, то
'Н и3 = 0 и уравнение неразрывности
SZ Z%\5," принимает вид
Этому уравнению можно придать
иной вид, удобный для дальнейших
приложений. Выделим двумя поверх-
ностями тока Si и S'i тонкий слой,
Хом6' ХмапГретинойС"оЛщины который будет иметь, вообще говоря,
переменную толщину h. Учитывая
малость толщины этого слоя, примем, что величины «1, и2, Нъ Н,
в его пределах не зависят от координаты q3, и проинтегрируем
(7-123) по q3 от 0 до h. Поскольку H3dq3 = ds3—элементарная
длина дуги вдоль линии q3, то
^з^<7з= J dsa = h
О
и уравнение неразрывности примет вид
+ -—- (u^A/i) = 0.
(7-124)
Сопоставляя (7-123) и (7-124), видим, что с принятой точностью
Н3 = h. Смысл других коэффициентов Ляме определится выбором
координат и q2. В качестве q± выберем длину дуги вдоль коор-
динатной линии qr. Тогда, поскольку вообще dst = H^dq,, полу-
чим Нх = dsjdqx = 1. За координату q2 примем угол 0 между
двумя меридиональными плоскостями. При этом ds2 = RdQ --=
= Н2dQ. Следовательно, Н2 = R.
В принятой системе криволинейных координат проекция
вектора вихря на направление q3 согласно (7-109) равна
о _ 1 Г д (и2Нг) _ 1
J
208
а условие потенциальности рассматриваемого движения выра-
жается уравнением
<7'125'
Уравнения (7-124) и (7-125) образуют систему, определяющую
установившееся потенциальное течение в осесимметричном слое
переменной толщины.
Свойства этого течения таковы, что позволяеот привести за-
дачу к течению в плоском слое переменной толщины. Осуще-
ствим замену переменных
S,
Г ds< Г dsj
о о
откуда
dx = dy = ^- = d(R
Уравнения (7-124) и (7-125) в новых обозначениях могут бы;ть
приведены к виду:
-^(uaA)+^(V) = 0; -^U,-^ux = 0. (7-126)
Поскольку обе поверхности, образующие слой h, являются
соосными поверхностями вращения, то h не зависит от 9 = у.
Поэтому первое из уравнений (7-126) можно переписать в форме
дих . диу . ut rf/t _ q
дх ду ' h, dx
(7-127)
Кроме того, в силу потенциальности течения
их
д(р
~дх
и и
__ дф
Внося эти выражения в (7-127), получаем уравнение, опреде-
ляющее потенциал скорости:
д2ф ,
дх2 “Г"
32Ф_____1_ dh дер q
ду2 "i” h dx dx
(7-128)
Подобное уравнение можно получить и для функции тока.
Уравнения (7-126) или эквивалентное этой системе уравнение
(7-128) определяют потенциальное течение несжимаемой жидкости
в слое переменной толщины h, причем одна из поверхностей,
образующих слой, является плоскостью хоу. Решив систему
(7-126) или уравнение (7-128), можно, выполнив обратный пере-
ход к координатам и q2, найти течение на исходной осесим-
метричной поверхности тока. Для решения указанных уравнений
разработаны приближенные и численные методы [3, 161.
309
§ 20
ПРОСТЕЙШИЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ БЕЗВИХРЕВЫЕ
ТЕЧЕНИЯ
Как и для плоского движения, при изучении пространствен-
ного потенциального обтекания тел может быть использован
принцип наложения элементарных течений. Рассмотрим основные
из них.
1. Однородный прямолинейный поток с постоянной скоростью
ий (иОх, иуй, ил). В силу предположения о потенциальности
11x0 ~ дх ’ ~ ду ’ 20 дг ‘
Следовательно,
d<p = dx + dy + - J- dz = им dx ф- иу0 dy ф- иг0 dz
или, после интегрирования,
<р = ихОх ф- иуОу ф- u20z. (7-129)
Уравнение эквипотенциальных поверхностей <р = const дает
семейство параллельных плоскостей, а следовательно, линиями
тока являются параллельные прямые. В частном случае, если ось г
совпадает по направлению с вектором скорости, то их0 = иуй = 0
и <р = и20г.
Такой поток можно рассматривать как осесимметричный,
и если для его описания применить цилиндрическую систему
координат, то согласно (7-113)
откуда
г2
^ = «2o-y. (7-130)
В сферической системе координат
о 1 ЛЬ -о 1
UR = U,n COS р - .—з- ; Ua-= — U,n Sin Р =------—ц -туг.
« 20 г 7?2 sin Р Р го г Sln р
Составляя полный дифференциал
d-ф = Ц dR ф- dp = иг0 (R2 sin р cos р dp 4- 7? sin2 р dR)
и интегрируя, находим
ф = 4' U*>R2 sin2 р.
310
(7-131)
2. Источник (сток) в пространстве создает поток, скорости
которого в каждой точке направлены по нормалям к поверхности
сферы. Расход такого потока
Q =
условимся считать положительным для источника и отрицатель-
ным для стока. Величина скорости
Q
U = -г
4л/?2
убывает обратно пропорционально квадрату расстояния от цент-
ра Л- В сферической системе координат для источника (стока)
Э<р .
ЭЛ ’
.. _ дф . _ 1 дф _ Л. _ 1 дф _п
и* ~ ЭЛ ’ 0 — Л ЭР — U’ “а — Л sin ₽ Э9 ~
Поскольку и = Up, ТО 4^- = - . и
J к dR 4л/?2
-р—4- <7-132>
Для функции тока имеем
1 Эф 1 Эф „
«/? — «— ^2 sin р эд-; «0 R sin р ал" —
откуда
-Ц- = -j- sin 0 45
Эр 4л '
и, следовательно,
ф = — -у—cos 0 4~ const. (7-133)
3. Диполь получается в результате предельного перехода,
подобного тому, который был выполнен для плоского случая.
Расположим на расстоянии As друг от друга источник и сток
равных по величине расходов. Тогда потенциал результирующего
течения в некоторой точке М (рис. 157) будет
Ф = _______
г 4лЛ 4лЛ1
где ₽! = R AR.
Неограниченно сближая центры источника и стока, будем
одновременно увеличивать расход Q, подчинив его условию при
As —>0: Q As = т = const.
Тогда
Ф = li m т 1
As->0 4л As
311
313
Вычисляя производную и учитывая, что
получим потенциал скорости диполя
COS P,
f₽ = ~^cos0- <7'134)
Величину т называют моментом диполя, а прямую, соеди-
няющую центры исходных источника и стока, его осью.
Составляющие скорости в сферической системе коор-
динат получим, дифференцируя (7-134):
Рис. 157. Образование диполя в про-
странстве
Рис. 158. Выделение особой точки на
поверхности, покрытой источниками
и стоками f
Функцию тока получим из уравнений
т cos Р _ 1 d\|> . m sin Р _ 1 dip
2л/?а Л2 sin Р Зр ’ 4л/?3 /? sin Р dR
После интегрирования этой системы
. т sin2 Р
^ = ~4л/?
(7-135)
4. Непрерывное распределение источников, стоков и диполей
на поверхностях.
Предположим, что имеется некоторая поверхность, в каждой
точке которой помещен центр источника или стока (рис. 153).
Пусть суммарный расход от источников и стоков с площадки AS
будет AQ. Назовем поверхностной плотностью распределения
мощности источников и стоков величину
<7 = |1т'дУ ’
Д5->0
которая, очевидно, является функцией координат. В произволь-
ной точке N (х, у, z) пространства источники и стоки с площадки
AS создают течение с потенциалом
F 4л/? 4л/?
312
Используя принцип суперпозиции, получим потенциал те-
чения, созданного всеми источниками и стоками с поверхности S:
этот потенциал называют потенциалом простого слоя.
Если источники и стоки непрерывно распределены вдоль не-
которой кривой L, то вводя погонную мощность источников
также получим результирующий потенциал в виде
(7-137)
Потенциал простого слоя (7-136) является решением уравне-
ния Лапласа. При этом он конечен и непрерывен всюду в прост-
ранстве, а в точках поверхности S выражается несобственным
интегралом, который понимается в смысле главного значения.
Рассмотрим теперь поверхность, покрытую непрерывно рас-
пределенными диполями, оси которых совпадают с направлениями
нормалей к поверхности.
Обозначив
плотность распределения диполей, получим потенциал течения
от диполей с площадки AS
А<Р = - '
1 4л R2
и потенциал течения, созданного всеми диполями с поверхности S,
(7-138)
Эту величину называют потенциалом двойного слоя. Он также яв-
ляется решением уравнения Лапласа с разрывом непрерывности
на поверхности S.
Полученные потенциалы элементарных течений могут исполь-
зоваться для построения решений пространственных задач обте-
кания различных тел.
313
§ 21
ПРИМЕРЫ ПРОСТРАНСТВЕННОГО ОБТЕКАНИЯ ТЕЛ
УСТАНОВИВШИМСЯ ПОТЕНЦИАЛЬНЫМ ПОТОКОМ
Для иллюстрации методов суперпозиции и особенностей рас-
смотрим две задачи.
1. Обтекание сферы можно получить, если сложить прямоли-
нейный однородный поток и диполь. Оба течения могут рассмат-
риваться как осесимметричные и потому функция тока результи-
рующего течения в соответствии с формулами (7-131) и (7-135)
запишется в виде
। 1 п» , 9 о m sin2 в
Ф = тно/?2 sin
где знак минус означает ориентировку оси диполя в направле-
нии, противоположном скорости однородного потока.
Уравнение нулевой поверхнссти тока
Т sin’ р (»„«’ - ^-) - О
распадается на два уравнен я
sin6 = 0 и R3 — -а"1 .
г 2ли0
Первое из этих уравнений определяет прямолинейную ось,
а второе — сферическую поверхность с центром на этой оси и
радиусом
Следовательно для потока, обтекающего эту сферу, функция
тока имеет вид
/ пЗ \
ф = ^-«0^231П2р^1 -
Теперь не составляет труда получить выражения для потен-
циала скорости
/ . р3 \
г-» о I 1 । 1 ^0 I
<Р = U0R COS р 1 + -у j
и проекций скорости
дф oli хо I .
—• Uq cos р 1 у »
1 Зф , о I . . I я
Ug — —r "др- Uo Sin Р 1 -у 2 ) •
314
На поверхности сферы при /? = 7?0
з
«я = О И Пр -----2" иа Sin 0 = us.
Максимальное значение скорости составляет
_ 3
us max — 2 “°’
(7-139)
Давление на поверхности, получаемое из уравнения Бернулли,
распределяется по закону
- = Ps-p0 t _ JI* t _9 sln2 р (7-140)
“о «о 4
Р 2
Из зависимости (7-139) следует, что максимальное значение
отношения us/u0 для случая обтекания сферы меньше, чем для
обтекания цилиндра. Это объясняется меньшим стеснением по-
тока, которое вносит сфера, имеющая конечный объем, чем стес-
нение, вносимое цилиндром, объем которого бесконечен.
В силу симметричности распределения давления по поверх-
ности сферы [формула (7-140)1 равнодействующая сил давления
равна нулю, т. е. имеет место парадокс Даламбера.
Обтекание сферы реальным потоком вязкой жидкости суще-
ственно отличается от описанного теоретического, так как сфера
является неудобообтекаемым телом и влияние вязкости и в их ре-
образования в этом потоке весьма велико.
2. Обтекание тела произвольной формы можно получить ме-
тодом особенностей, используя непрерывное распределение ис-
точников, стоков, диполей или вихрей. Рассмотрим общую схему
решения задачи обтекания произвольного тела, для чего восполь-
зуемся методом источников и ст