Text
                    

ТЕОРИЯ ТЕПЛОМАССООБМЕНА Издание 2-е, исправленное и дополненное Под редакцией акад. РАН А.И. ЛЕОНТЬЕВА Рекомендовано Министерством общего и профессионального образования Российской Федерации в качестве учебника для студентов машиностроительных специальностей технических университетов и вузов МОСКВА Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана 1997
УДК 536.24+66.015.23 ББК 31.31+35.113 ТЗЗ Рецензент В. В. Ягов ТЗЗ Теория тепломассообмена: Учебник для техниче- ских университетов и вузов / С.И. Исаев, И.А. Кожинов, В.И. Кофанов и др.; Под ред. А.И. Леонтьева. - 2-е изд., испр. и доп. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1997. - 683 с. ISBN 5-7038-1265-8 Рассмотрены основы теории переноса теплоты и вещества в неподвижной и движущейся среде, а также перенос теплоты ради- ацией. Изложены современные методы расчета процессов тепло- и массообмена применительно к различным техническим приложени- ям, особенно для областей новой техники (авиационной, космической, атомной энергетики и т.п.). Учебник прошел успешную апробацию в МГТУ им. Н.Э. Бау- мана. Для студентов высших учебных заведений машиностроитель- ных специальностей. Ил. 217. Табл. 24 Библкогр. 46 иазв. Выпуск книги финансировал Московский государственный технический университет им. Я. Э. Баумана ББК 31.31+36.113 ISBN 5-7038-1265-8 © С.И. Исаев, И.А. Кожннов, В.И. Кофанов и др., 1997 © Московский государственный технический университет им.Н.Э. Баумана, 1997 © Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1997
Посвящается 100-летию кафедры “Теоретические основы теплотехники” МГТУ им. Н.Э. Баумана ПРЕДИСЛОВИЕ В связи с быстрым развитием новой техники все боль- шее значение в инженерных разработках приобретают вопросы тепло- и массобмена. Эффективность и надежность работы перспективных тепло- вых двигателей (ракетных, атомных, плазменных и т.п.) суще- ственным, а иногда и решающим образом зависит от того, на- сколько правильно организована система охлаждения проточной части двигателя, что в конечном итоге определяется надежно- стью инженерных методов расчета теплообмена. Решение мио-' гих задач космической техники (проблема тепловой защиты, си- стема жизнеобеспечения), авиационной техники (проблема те- плового барьера при гиперзвуковых скоростях полета), большой энергетики неразрывно связано с успехами теории теплообмена. Теория тепло- и массобмена представляет собой один из важ- нейших разделов технической физики. Она базируется на таких дисциплинах, как физика, термодинамика и газовая динамика. Существенный вклад в развитие теории тепло- и массобмена сделан отечественными учеными: М.В. Кирпичевым, М.А. Ми- хеевым, А.А. Гухманом, Г.Н. Кружилиным, С.С. Кутателадзе, А.В. Лыковым, Б.С. Петуховым, Д.А. Лабунцовым, В.М. Иевле- вым, В.С. Авдуевским, А.А. Жукаускасом, В.И. Субботиным и многими другими. Интенсивное развитие теории теплообмена, связанное пре- жде всего с запросами новой техники, приводит к тому, что 1 з
практически любой, даже самый новый учебник, не может отра- зить последние достижения в области теплообмена и познако- мить с современными инженерными методами расчета тепло- обмена, принятыми на вооружение в ведущих конструкторских бюро. Второе издание написано с учетом новых учебных программ по курсу “Теория тепло- и массобмена”. Значительной перера- ботке подвергся раздел “Теплопроводность”. Больше внимания уделяется численным методам решения задачи стационарной и нестационарной теплопроводности. Добавлен материал о те- плопроводности пористого материала, применяемого в системах с проникающим охлаждением, а также приложение, куда внесе- ны материалы справочного характера. Учтены замечения, полученные от читателей по первому из- данию книги, за что авторы приносят им свою признательность. Гл.1, § §11.1, II.5, гл. IV, §§VI.2.2, VI.2.3,/1.2.7, VI.3.9, VI.4.1, VI.4.2, VI.6 - VI.8, VIII.1.7, VHI.2.2 - VIH.2.4 написа- ны акад. РАН А.И. Леонтьевым; главы II (кроме § § II.1, П.5) и П1(кроме § § Ш.10, Ш.11) - канд. техн, наук, доц. И.А. Ко- жиновым; глава V - канд. техн, наук, проф. С.И. Исаевым; § § V.I, VI.2.1, VI.2.4, VI.2.5, VI.3.1 - VI.3.4, VI.3.6 - д-ром техн, наук, проф. Е.В. Шишовым, § VI.3.5 - совместно д-ром техн, на- ук, проф. Е.В. Шишовым и д-ром техн, наук, доц. А.Г. Чука- евым; § § VI.2.6, VI.2.8, VI.3.7, VI.3.8 - совместно акад. РАН А.И. Леонтьевым и д-ром техн, наук, проф. Е.В. Шишовым; гл. VH, § § Ш.10, III.11 - д-ром. техн, наук, проф. Г.Б. Петра- жицким; § § VIH.1.1, VIII. 1.2 - совместно канд. техн, наук, доц. В.М. Никитиным и канд. техн, наук, доц. В.В. Школой; § § VIII.1.3 - VHI.1.6, VIH.1.10 - канд. техн, наук, доц. В.М. Ни- китиным; § § VII.1.9, VTIL1.11 - канд. техн, наук, доц. В.В. Шко- лой; VIII.1.8 - совместно акад. РАН А.И. Леонтьевым и канд. техн, наук, доц. В.В. Школой; §§ VIII.2.1, VIH.2.5 - VIII.2.7 и гл. IX (кроме IX.5) - канд. техн, наук, доц. Б.М. Мироновым; § IX.5 - канд. техн, наук, доц. В.И. Хвостовым; гл. X, § VI.5 - канд. техн, наук, доц В.И. Кофановым. Авторы выражают глубокую признательность д-ру техн, наук, проф. В.В. Ягову за большую работу, проделанную при рецензировании рукописи учебника. 4
ВВЕДЕНИЕ Теория теплообмена - наука о процессах распространения теплоты. Различают три основных вида передачи теплоты: те- плопроводность, конвекцию и тепловое излучение. Теплопроводностью называется молекулярный перенос теплоты в сплошной среде. Этот процесс возникает при неравно- мерном распределении температур в среде. В этом случае тепло- та передается путем непосредственного соприкосновения частиц, имеющих различную скорость, что приводит к обмену энергией между молекулами, атомами или свободными электронами. Конвекцией называют перенос теплоты при перемещении объемов газа или жидкости в пространстве. Теплообмен между жидкостью или газом и поверхностью твердого тела называют конвективным теплообменом. Тепловое излучение - процесс распространения теплоты электромагнитными волнами. Этот вид передачи теплоты обу- словлен превращением внутренней энергии вещества в энергию излучения и его поглощением веществом. Теплообмен, обусловленный совместным переносом тепло- ты излучением, теплопроводностью и конвекцией, называется радиационно-конвективным теплообменом. Если тепло- та передается теплопроводностью и излучением, то такой вид теплообмена называется радиационно-кондуктивным. Про- цесс теплообмена между двумя теплоносителями, разделенными твердой стенкой, называется теплопередачей. В природе и технике многие процессы теплообмена услож- няются процессами массобмена, фазовыми переходами, химиче- скими реакциями на поверхности тела и в самом теплоносите- ле. Изложение основ современной теории тепломассообмена и ее практических приложений в технике является главной задачей настоящего учебника. 5
Раздел первый. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ Глава I. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ 1.1. Температурвое поле, градиент температуры и закон Фурье Температурным полем тела (или системы тел) назы- вается совокупность значений температуры, взятая по его объ- ему в любой рассматриваемый момент времени. Математиче- ски поле температур может быть выражено в форме уравнения F(t, х, у, х, г) = 0. В инженерной практике приходится иметь дело как с не- стационарным, так и со стационарным температурными полями. Первое из этих полей меняется по пространству и вре- мени, а второе является функцией только координат. Темпера- турное поле обладает всеми свойствами непрерывного скалярно- го поля. Изменение температурного поля по пространству наблюда- ется лишь в направлениях, пересекающих поверхности одина- ковой температуры (изотермические поверхности); причем наи- более резкое изменение имеет место в направлении нормали к изотермической поверхности (рис. 1.1). Предел г Л/ - dt At гтп 1™ = ”• = grad/ (L1) . An—»0 Zxn ОП называется в теории теплообмена градиентом температу- ры, где п - единичный вектор нормали; п - нормаль к изотерми- ческой поверхности. Градиент температуры представляет собой вектор, направленный по нормали к изотермической поверхно- сти и численно равный частной производной от температуры по этому направлению. в
Рис. 1.1. К определению гради- ента температуры и формули- ровке закона Фурье По определению gradZ= ^-T + y-7 + y-V, (1.2) ох, ду OZ где i , j , к - единичные векторы. Количество теплоты, проходящей в единицу времени т, от- несенное к единице площади изотермической поверхности S, на- зывается плотностью теплового потока q и является вектором, направление которого противоположно температурному гради- енту (см. рис. 1.1): Проекция вектора q на любое направление I есть вектор д/, скалярная величина которого равна gcos(n, /). В начале XIX столетия была высказана гипотеза о прямой пропорциональности вектора теплового потока градиенту тем- пературы: д=-A grad/, (1.4) которая носит название закона Фурье. Знак минус указывает на то, что векторы плотности теплового потока и градиента тем- ператур, в соответствии со II законом термодинамики, направле- ны в противоположные стороны, а множитель пропорционально- сти А рассматривается как некоторая физическая характеристи- ка, именуемая теплопроводностью. 7
Кроме того, отметим, что производная температуры по на- правлению I определяется через производные температуры по де- картовым координатам формулой dt Ot . n dt . .. dt . c. COS^’ + ~dy cos(y' >+dz COS^Z' 'L5' где cos(x, /), cos(y, /) и cos(z, I) - косинусы углов между напра- влением I и координатными осями OX, OY, OZ. С учетом (1.4) закон Фурье (1.2) можно записать в виде: dQ = -X%dS, (1.6) al гае dS = dF cos(n, I) - элементарная площадка, перпендикуляр- ная направлению I. 1.2» Теплопроводность веществ Теплопроводность А в формуле (1.4) представляет собой ко- эффициент пропорциональности, чья роль заключается в уравни- вании размерностей в левой и правой частях уравнения (1.4). Из- меряется теплопроводность в ваттах на метр-кельвин [Вт/(м-К)]. Теплопроводность - это теплофизическая характеристика веществ. Для различных веществ при одинаковых градиентах температуры, поверхностях F и времени т количество проходя- щей через тело теплоты определяется только А. Чем больше теплопроводность, тем выше будет способность вещества прово- дить теплоту, и наоборот. Другими словами, теплопроводность представляет собой теплофизический параметр, определяющий способность тел проводить теплоту. Для одного и того же материала теплопроводность изменя- ется в довольно широком диапазоне, причем характер изменения определяется многими факторами: температурой, количеством примесей, наличием влаги, давлением и т.п. Как правило, зави- симость А от вышеперечисленных факторов не поддается строго- му аналитическому описанию, поэтому основным источником по- лучения достоверных значений теплопроводности остается экс- перимент. 8
Л,8т/(и-«) Ч50Г~~ -гм о гм мо soo вооiooot,°c Рис. 1.2. Изменение теплопро- водности металлов и их сплавов в зависимости от температуры Теплопроводность ме- таллов и сплавов (рис.1.2) изменяется в диапазоне 2.. .450 Вт/(м-К). Самая большая теплопроводность у серебра, наименьшая - у висмута. С увеличением температуры А практически у всех чистых металлов уменьшается. Исключение составляют кобальт, берил- лий и некоторые другие ме- таллы. Теплопроводность ме- таллов, так же как и элек- тропроводность, определя- ется в основном диффузией свободных электронов. Зависимость теплопро- водности металлических сплавов от температуры, как это видно из рис. 1.2, имеет довольно сложный характер. Большое влия- ние на значение А оказыва- ют примеси. Как правило, даже ничтожное добавле- ние к чистому металлу других веществ ведет не только к резкому уменьшению его теплопроводности, но и к самому неожиданному изменению зависимости А от температуры. Теплопроводность жидкостей (рис. 1.3) изменяется в диа- пазоне 0,06 .. .0,7Вт/(м-К). С ростом температуры теплопро- водность у всех жидкостей, за исключением воды и глицерина, уменьшается. Теплопроводность строительных и теплоизоляционных материалов (рис. 1.4) имеет значения 0,023...2,9Вт/(м-К) и возрастает с увеличением температуры. 9
Рис. 1.3. Изменение тепло- проводности некоторых жид- костей в зависимости от тем- пературы: 1 - вазелиновое масло; £ - бензол; 3 - ацетон; 4 ~ касторовое масло; 5 - этиловый спирт; 6 - метило- вый спирт; 7- глицерин; 8- вода Рис. 1.4. Изменение теплопро- водности строительных и те- плоизоляционных материалов: 1 - воздух; £ - минеральная шерсть; 3 - шлаковая вата; 4 ~ ныовель; 5 - совелит; 6-9 - диатомовый, крас- ный, шлакобетонный, шамотный кирпич соответственно Как правило, у материалов с большой объемной плотностью теплопроводность выше; она также зависит от структуры ма- териала, его пористости и влажности. Для влажных материалов теплопроводность значительно выше, чем для сухих и воды, взя- тых в отдельности. Материалы с низким значением теплопроводности [меньше 0,25 Вт/(м-К)] называются теплоизоляционными. Теплопроводность газов (рис. 1.5) довольно значительно увеличивается с ростом температуры. Как правило, значения теплопроводности для газов колеблются примерно от 0,006 до 0,1 Вт/(м-К). Исключение составляют водород и гелий, тепло- проводность которых в 5 ... 10 раз выше, чем у остальных газов. 10
Согласно кинетической те- ории, в которой газ рассматри- вается как совокупность моле- кул, находящихся в беспрерыв- ном хаотическом движении, те- плопроводность определяется соотношением А = ш7срУр/3, (1.7) где w - средняя скорость пере- мещения молекул; 7 - средняя длина свободного пробега мо- лекул; cv ~ теплоемкость; р- плотность. С увеличением давления произведение ~1р остается посто- янным, поэтому теплопровод- ность газов слабо зависит от давления. Исключение соста- вляют очень малые (меньше 0,3 МПа) и очень большие (бо- лее 200 МПа) давления. Средняя скорость переме- щения молекул зависит от тем- пературы______по формуле w = у/ЗКцТ/р, следовательно, согласно элементарной кинети- ческой теории газов, А ~ Т0,5. Более точные результаты ; А.ю3,ат/(ик) О ЮО too 300 ЧОО 500 t‘C Рис. 1.5. Зависимость тепло- проводности от температуры некоторых газообразных ве- ществ: 1 - водяной пар; £ - углекислый газ; 3 - воздух; 4 - аргон; 5 - ки- слород; 6 - азот интерполяционная формула А = А0(Г/273)Ч (1-8) где Ао - теплопроводность при Т — 273 К. Теплопроводность водяного пара и других реальных газов, существенно отличающихся от идеальных, сильно зависит также и от давления. и
Теплопроводность для газовых смесей не подчиняется закону аддитивности и обычно определяется на основании опытных дан- ных. В приложении приведены теплофизические свойства раз- личных материалов, жидкостей и газов. 1.3. Дифференциальное уравнение теплопроводности Для составления дифференциального уравнения теплопро- водности рассмотрим неравномерно нагретое тело, изображенное на рис.1.6. Пусть поверхность этого тела 5, а объем V. Рис. 1.6. К выводу диффе- ренциального уравнения те- плопроводности Если температура тела вследствие каких-либо причин изме- нится и станет отличной от температуры окружающей среды, между телом и средой начнется процесс теплообмена. Первый закон термодинамики для этого случая запишется в виде <?ст + Qv = + L, (1.9) где Qct - количество теплоты, полученное (или отданное) те- лом через поверхность; Qy - количество теплоты, выделяющее- ся (или поглощающееся) в теле вследствие действия внутренних источников (или стоков) теплоты; At/ - изменение внутренней энергии и L - работа, совершенная телом над окружающей сре- дой или наоборот. Примем, что механическая работа равна ну- лю, т.е. L = 0. Количество теплоты QCT может быть вычислено по формуле QcT = //d<9dT’ (L10) S О 12
aQy определено по соотношению Qv = f f qv dv di-, (in) v о где qy - удельная мощность внутренних источников (стоков) те- плоты, Вт/м3. Изменение внутренней энергии тела At/ = JI cyp^dVdr. (1.12) V о С учетом уравнений (1.10)... (1.12) уравнение (1.9) принима- ет вид 11 dQ dr + J J qv dV dr = IJ Cyp^dVdr. (1.13) SO VO VO Первый член левой части уравнения (1.13) в соответствии с формулой (1.4) можно расшифровать так: 11 dQ dr = S о S о dt dt + А cos(y, /) + А — cos(z, I) dS dr. (1.14) c/y о z Применив к формуле (1.14) преобразование Гаусса-Остро- градского, находим г IJ dQ dr = S о f /Г д f dt\ д (. dt\ д г dt\i JTZJ J J [дх\х дх) +ду\х ду) +dz\x dz) dvdT V о (1.15) 13
Подставив далее выражение (1-15) в (1.13), имеем [ [[ dt д f dt\ д ( dt\ J J Cv? dr dx \ dx) dy\ dy) V 0 d f.dt\ dz \*dz) -qv dV dr = 0. (1.16) Если все характеристики в уравнении (1.16) - непрерывные функции координат и времени, а объем V - произвольный, то ин- теграл равен нулю при равенстве нулю подынтегрального выра жения. Следовательно, dt d (. dt\ d / dt\ d / dt\ Cv? dr dx \ dx) + dy \ dy) + dz \ dz) + (1-17) Дифференциальное уравнение (1.17) называется дифферен- циальным уравнением Фурье—Кирхгофа и устанавливает связь между временным и пространственным изменением тем- пературы в любой точке тела. При постоянной теплопроводности уравнение (1.17) упроща- ется: dt _ / 02t d2t d2t\ qv dr a \0Ж2 + dy2. + dz2 ) + Cyp’ (1-18) где a = X/cvP - изохорическая температуропроводность, м2/с. Изохорическая температуропроводность, входящая в урав- нение (1-18), является теплофизическим параметром. Она харак- теризует способность вещества выравнивать температуру. По- следнее означает, что тела, имеющие большую температуропро- водность, нагреваются (охлаждаются) быстрее по сравнению с телами, имеющими меньшую температуропроводность. Температуропроводность изменяется от 1,4- 10~7м2/с для масел до 0,2 • 10~3 м2/с для серебра. Уравнение (1.18) есть линейное дифференциальное уравне- ние в частных производных второго порядка параболического 14
типа. Для анизотропных тел, у которых теплопроводность за- висит от направления, уравнение Фурье-Кирхгофа принимает вид dt д (. dt\ ,Т1П. cv'’57=Л’1'' ( 9) Если значения X, и cv в анизотропном теле не зависят от температуры, то уравнение (1.19) путем преобразования г,- = = х можно привести к виду (1.18). Рис. 1.7. Цилиндрические (а) и сферические (Ъ) координаты Дифференциальное уравнение теплопроводности (1.17) име- ет следующий вид: а) в цилиндрической системе координат (рис. 1.7, а) dt _ д ( dt\ х dt i d (. dt\ Cv? dr dr \ dr) + r dr r2 dtp \ dz) + Qv (1.20) и при X = const dt _ (d2t i dt i d2t d2t\ (1-21) б) в сферической системе координат (рис. 1.7, б) ^4- —— 1 д (\ dt\ ? дт dr\ dr) Г dr + Г2 81ц2 ф dtp \ dtp) + 1 д f. . , dt\ ,Tn„. + -г-:—7 д7 ( А ыпф £- ) + qv (1.22) г2 sin ф dtp \ dф} 15
и при А = const dt __ d2t 2 dt 1 d2t dr ° dr2 + r dr + r2 sin2 ip dip2 1 di. . dt \ Qy 4—Й—•—7 ~a~7 I sin ** 777 ) 4-’ rz sin ip dip \ dip / Cyp (1.23) 1.4. Условия однозначности Полученное в 1.3 дифференциальное уравнение (1.17) описы- вает множество явлений теплопроводности. Чтобы из бесчислен- ного количества этих явлений выделить одно и дать его полное математическое описание, к дифференциальному уравнению те- плопроводности необходимо добавить условия однозначности, ко- торые содержат геометрические, физические и граничные усло- вия. Геометрические условия определяют форму и размеры тела, в котором протекает изучаемый процесс. Физические условия задаются теплофизическими пара- метрами тела A, cv и распределением внутренних источников теплоты. Временные (начальные) условия содержат распределе- ние температуры в теле в начальный момент времени. Граничные условия определяют особенности протекания процесса на поверхности тела. Граничные условия могут быть заданы несколькими способами. Граничные условия I рода. В этом случае задается распре- деление температуры на поверхности тела для каждого момента времени: /ст = /(®ст5 Усг, zct, т'), (1.24) где /ст - температура на поверхности тела; гСт, Усг, zct ~ ко- ординаты точки на поверхности тела. В частном случае, когда температура на поверхности тела не изменяется по времени, /ст = f(xCT, i/cr, zCT), а если она по- стоянна по поверхности, то tCT = const. 16
Граничные условия II рода. В этом случае заданной явля- ется плотность теплового потока для каждой точки поверхности тела в любой момент времени, т.е. ?ст — f(xcr> Уст, ^СТ5 Т)' (1.25) В частном случае, например при нагревании металлических из- делий в высокотемпературных печах, qcy = const. Граничное условие II рода записывается в виде -А — дп — ?ст* ст (1.26) Граничные условия IIIрода. В этом случае задаются тем- пература среды to я условия теплообмена этой среды с поверх- ностью тела. Процессы теплообмена между средой и телом являются ис- ключительно сложными и зависят от многих факторов. Подроб- но они будут рассмотрены во втором разделе учебника. Для описания интенсивности теплообмена между поверхно- стью тела и окружающей средой используется гипотеза Ньюто- па-Рихмана, согласно которой 9ст = o:(tCT — to), (1.27) где а - коэффициент пропорциональности, называемый коэффи- циентом теплоотдачи, Вт/(м2-К). Как следует из формулы (1.27), коэффициент теплоотдачи численно равен количеству теплоты, отдаваемого (или воспри- нимаемого) единицей поверхности тела в единицу времени при разности температур между поверхностью тела и окружающей средой, равной 1 К. С учетом уравнений (1.3) и (1.27) граничное условие III рода записывается в виде -А^ — ® (^ст to). (1-28) 2-1005
Когда коэффициент теплоотдачи имеет большие значения (например, при кипении жидкости на поверхности тела), гра- ничные условия III рода переходят в граничные условия I рода, так как в этом случае температура поверхности тела становится практически равной температуре жидкости. Граничные условия IVрода формулируются на основании равенства тепловых потоков, проходящих через поверхность соприкосновения тел, т.е. dt дп ел 2 дп (1-29) СТ2 При совершенном тепловом контакте оба тела на поверхности соприкосновения имеют одинаковую температуру, т.е. изотер- мы непрерывно переходят из одного тела в другое, а градиенты температур в этих точках удовлетворяют условию (1.29). В реальных конструкциях тепловой контакт между сопри- касающимися деталями обычно нельзя считать идеальным, так как действительная поверхность контакта составляет только ма- лую часть всей поверхности, даже если эти поверхности гладкие и сжимающая сила велика. Если коэффициенты теплопроводности находящихся в кон- такте тел существенно выше, чем теплопроводность среды, за- полняющей полости, то основная часть теплоты будет переда- ваться через точки контакта. Различие температур соприка- сающихся поверхностей пропорционально контактному термиче- скому сопротивлению или обратно пропорционально контактной тепловой проводимости, которая количественно характеризуется коэффициентом ак. В этом случае условие (1.29) принимает вид _ dt _ — Аг -х— — <>k(^cti — ^стг)- СТ1 ОП СТ2 Коэффициент контактного теплообмена зависит от множества факторов и его определение является сложной задачей. Из сопоставления формул (1.26), (1.28) и (1.29) следует, что они различаются правыми частями уравнений. Исключение со- ставляет граничное условие 1рода, которое задается темпера- турой поверхности тела. Однако можно показать, что граничное А 91 Л1^ 18
условие III рода преобразуется в граничное условие I рода при а -» оо, т.е. при очень интенсивной теплоотдаче. Тогда из урав- нения (1-27) следует, что tCT = to. Граничные условия могут существенно усложниться процес- сами радиационного теплообмена, процессами массобмена с фа- зовыми переходами и т.п. Дифференциальное уравнение (1.17) совместно с условиями однозначности дает полную математическую формулировку кон- кретной задачи теплопроводности. Решение этой задачи может быть выполнено аналитически, численным или эксперименталь- ным методом. В последнем случае используются методы физи- ческого подобия и аналогий. Глава И. СТАЦИОНАРНАЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ П.1. Теплопроводность тел простои формы При стационарном режиме температурное поле не зависит от времени dt/дт = 0 и дифференциальное уравнение теплопро- водности (117) принимает вид Я (\ д (\ ^t\ f . 9t\ А s(As) + 5JVai) + ^Vs)+”"'0' (П1) Рассмотрим несколько случаев, когда температура будет за- висеть только от одной координаты. Неограниченная плоская стенка (рис. II. 1, а) предста- вляет собой тело, ограниченное с двух сторон параллельными поверхностями, протяженность которых в направлении у и z ве- лика. Если боковые поверхности неограниченной плоской стенки изотермические, то изменением температуры в ней по осям у и z _ (dt dt \ можно пренебречь < — = — = 01 и дифференциальное уравне- \ '•'У (J Z J ние теплопроводности (II. 1) записать в виде + Qv = 0. (II.2) u«2z u«Zz J 2' 19
Рис. II.l. Неограниченная плоская стенка (а) и неограниченный полый цилиндр (б) Тело цилиндрической формы (рис. П.1, <5), протяженность которого по оси z велика, называется неограниченным ци- линдром, который может быть сплошным (Ri = 0) и полым (/?! / 0). 20
Как для сплошного, так и для полого неограниченных ци- линдров в том случае, когда поверхности являются изотермиче- dt „ . 2 2 2ч скими, имеем — = — = 0 (гх = яг + 1/ ).и дифференциальное oz о<р уравнение теплопроводности принимает вид 1 d f . dt\ ~ Т" гЛ У + = 0. г dr \ dr) (П.3) В случае изотермичности внутренней и наружной поверх- ностей для полого и сплошно- го шаров (рис. П.2) имеем -т— = Oq> - ~ = 0 (r2 = x2+y2+z2). Следо- oip вательно, дифференциальное ура- внение теплопроводности в этом случае запишется так: 1 d ( о dt\ ~2 ~г ( Г у ) + = 0. (П.4) т1 dr \ dr) Рис. II.2. Полый шар Нетрудно заметить, что дифференциальные уравнения те- плопроводности (П.2) — (П.4) можно объединить в одно: Сп d( + qv = 0, (П.5) где ( - обобщенная координата. При С = х (п = 0) дифференциальное уравнение теплопро- водности (П.5) переходит в дифференциальное уравнение те- плопроводности (П.2), при £ = г (n = 1) - в уравнение (П.З), а при С = г (п = 2) - в уравнение (П.4). Неограниченная плоская стенка. Рассмотрим однородную и изотропную стенку толщиной 6 с постоянным коэффициентом теплопроводности X и при отсутствии внутренних тепловых ис- точников {qv = 0) (см. рис. П.1, а). 21
Дифференциальное уравнение теплопроводности (П.2) для рассматриваемого случая имеет вид Рассмотрим граничное условие 1рода, когда заданными являются температуры поверхностей пластины, т.е. t = tCT1 при х = 0; t = при х = 6. После интегрирования получим t = Cix + С2. (П.7) Таким образом, температура стенки изменяется по толщине пла- стины по линейному закону. Постоянные Ci и С2 определим из граничных условий: . г» ^CTi — ^стг ь2 — ten > —--------- . Тогда из уравнения (П.7) получаем i = 1сТ1 - ~х. (П.8) О Введя безразмерную температуру 0 = (t - tCT2)/(tCT1 — <ctj) и безразмерную координату X — х/6, имеем 0 = 1 - X. (П.9) Плотность теплового потока через стенку определяем из за- dt кона Фурье q = —А —: ах ?ст = т(^ст1 ~ tcT2)- (II.10) 22
Отношение Х/6 (в ваттах на квадратный метр-кельвин) на- зывается тепловой проводимостью стенки, а обратная ве- личина 6/Х (квадратный метр-кельвин на ватт) - тепловым или термическим сопротивлением стенки. Общее количество теплоты QT, которое передается через по- верхность F стенки за промежуток времени г, равно Qt — 4ctF‘t = т(^сТ! ~ (11.11) о Для случая^ когда теплопроводность А является переменной величиной, зависящей от температуры, дифференциальное урав- нение теплопроводности становится нелинейным: d dx ,, . dt a(*)-j- v dx = 0. (IL12) Введем новую переменную i>, называемую переменной Кирх- гофа, (11.13) Тогда уравнение (11.12) относительно переменной д будет линей- ным: d2i> п dx* "° (П.14) с граничными условиями 1сТ2 д = У A(t)dt = i?CT1 при х = 6\ tcTj д = 0 при х = 0. (11.15) Решая уравнение (П.14) и переходя к температуре t, получаем t j A(t) dt = A (tCT1 — tCT2) (1 ~ x/t>), icTj (11.16) t i?= [ 23
tcTj где A =---------— [ A(t) dt tcTl ~ ‘CTJ J tcTj - среднеинтегральная теплопровод- ность пластины. Плотность теплового потока <7ст — (^cti ^стз)- (11.17) Рис. II.3. Распределение температуры в неограни- ченной плоской стенке при А = /(/) Из уравнения (11.16) следует, что при переменной теплопровод- ности А распределение темпера- туры по толщине пластины не подчиняется линейному закону. При этом, если dX/dt < 0, то поле температуры имеет выпукл- ость вниз, а если dX/dt > 0, то вверх (рис. П.З). Плотность теплового потока в этом случае определяется той же формулой, что и при А = const, только в уравнение (11.10) надо подставить среднеинтегральную теплопроводность А. Рассмотрим теплопровод- ность плоской стенки, состоящей из слоев, имеющих между собой совершенный тепловой контакт. При стационарном режиме плот- ность теплового потока через все слои пластины одинакова (рис. II.4). При заданных темпера- турах на внешних поверхностях пластины можно составить си- стему уравнений 24
Рис. II.4. Составная плоская стенка 9 — у (^стп ~ ^сТп+1 )> °п (11.18) откуда . t - (61 ^2 \ *СТ1 - tcT(n+1) - * Ij; + + • •• + aJ’ или _ <СТ1 - *СТ(п+1) <СТ1 - *СГ{п+1) ,6n' Al Л2 An (11.19) (11.20) t=n $ Величина Yj у-, равная сумме термических сопротивлений t=l А‘ всех п слоев, называется полным термическим сопротивле- нием теплопроводности многослойной стенки. 25
Внутри каждого из слоев температура стенки изменяется по линейному закону, а температуры на границах соприкосновения определяются формулами ^СТ2 — ^СТ1 ^стз = ^ст1 (11.21) Рис. П.б. Передача теплоты через плоскую стенку Передача теплоты от од- ного теплоносителя к другому через разделяющую их одно- слойную или многослойную твердую стенку называется те- плопередачей (рис. П.5). В этом случае заданными являются те- плопроводность А, температу- ры теплоносителей <Ж1 и £Ж2 и коэффициенты теплоотдачи щ И Q2- Для неограниченной плос- кой стенки можно записать ? = Q1 (^Ж1 ~ ^cti ); 9 — tGcti ~ *ст2); (П.22) о 9 — а2 (^ctj ~ ^ж2)- Имеем систему трех уравнений с тремя неизвестными q, /сТ1 и /СТ2 • Для плотности теплового потока получаем ? = А(^Ж1-<Ж2), (11.23) где к = —------Дт-----;----коэффициент теплопередачи. 1/ai + д/А + 1/аг 26
Величина, обратная коэффициенту теплопередачи, называ- ется полным термическим сопротивлением теплопере- дачи п 1 1 6 1 R — т — — + т + —• к ai X 02 Таким образом, полное термическое сопротивление тепло- передачи складывается из следующих термических сопротивле- ний: - термического сопротивления теплоотдачи от горячей жид- кости к стенке: R\ = 1/аг, - термического сопротивления теплопроводности стенки: Rct — 6/ А; - термического сопротивления теплоотдачи от поверхности стенки к холодной жидкости: R-2 — l/ctj- Температуры поверхностей стенки определяют из уравнений (П.22), т.е. (П.24) 1 1 tcT — ‘Ж1 ~ q ^CT2 — ^Ж2 + q (П.25) Для случая многослойной стенки :П А. (П.26) Следовательно, 1 к = 1 6i 1 “1 А, 02 l==l q = к (tM1 — tM2). (П.27) (П.28) Тепловой поток Q (в ваттах) через поверхность стенки равен твердой Q = qF = kAt F. (П.29) 27
Рис. П.в. Графическое определение температуры в составной стенке Температуру на границе любых двух слоев » и » + 1 вычисляют по формуле *ст<.-+1) = <Ж1 ~ q + zL дт) ’ (П.30) Иногда для определения температур на поверхностях слоев многослойной стенки удобно воспользоваться графическим спо- собом, сущность которого ясна из рис. II.6. Неограниченный цилиндр. Рассмотрим стационарный про- цесс теплопроводности в цилиндрической стенке при заданных ее параметрах di = 2ri, </3 = 2гг, ten > *стг и A (qv = 0) (рис. П.7) и определим тепловой поток и распределение температуры по тол- щине стенки цилиндра. В рассматриваемом случае дифференциальное уравнение те- плопроводности принимает вид d ( dt \ У (г7“ ) = °- ar \ dr J (П.31) 2S
Решение ищется условиях I рода: при граничных t — ^стт £ ^СТ2 при при r Г1; (11.32) Т = T2- Интегрируя уравнение (11.31) с учетом граничных условий (11.32), получаем t — tcTj — -(<сТ1 -<ст2)^^. (П.33) Таким образом, температура по радиусу трубы изменяется по логарифмическому закону (см. рис. П.7). Количество теплоты, проходящее через цилиндрическую по- верхность F в единицу времени, Рис. II.7. Распределение температуры в неограни- ченной цилиндрической стейке _ .dt Q = 37^- аг (11.34) С учетом выражения (11.33) имеем Q _ 2тгXI (^СТ1 ~ ^ст2) ln(d2/dl) (11.35) где F = 2тгг1. Тепловой поток можно отнести к единице длины трубы (од = = Q/1) либо к единице внутренней Год = или внешней \ 27ГГ1// ( V \ тг поверхности I од = ------:) • Причем \ 2тгг2«-/ 29
„ - (*ст1 ~ fcTz). /тт 71 Trdi/ djln^/di) ’ ( 6' „ _ — 2A(tCTl ~ *СТ2). /тт 72 ~nd2l~ d2\n(d2/di) ’ ( ‘ ' qt = = ^cTjjJcTa) (П ,38) 1 -in(d27<*i) ХА Тепловой поток, отнесенный к единице длины трубы, измеряется в ваттах на метр и называется линейной плотностью теплового потока. Из уравнений (11.36) - (П.38) следует qt = ’rdl?! = 5rd2g2- (П.39) По аналогии с неограниченной пластиной можно показать, что в случае переменной теплопроводности А тепловой поток можно определить по формуле (11.38) с использованием средне- интегральной теплопроводности tcTi A = [ X(t)dt. icTl ^CTJ J tCT2 Тогда « = (11.40) 2X lndl При граничных условиях III рода (рис. II.8) можно записать систему балансовых уравнений Qt — <*1^1 (£Ж1 — tCT1); 2Хтг($ст1 ^стг) qe ~ In^/dr) ’ qt = «27r<^2 (^ctj - *ж2)> 30
решив которые относительно qt, получим qt = (^Ж1 — ^жг)> где kt = ~ 1 d2 Г-' —j—у п 1।—у aidl 2А «1 «2“2 Величина к^ называет- ся линейным коэффици- ентом теплопередачи и измеряется в ваттах на метр-кельвин. Температу- ры поверхностей цилиндг рической стенки определя- ют по формулам ^cti — ^Ж1-----“z-; (П.42) aiirdi ^СТ2 — ^Жг Н---(П.43) a2ird2 Величина Rt = I/A7 на- зывается полным линей- ным термическим соп- ротивлением. Причем 1 1 —— и —-— термическое <21 «1 ct2“2 сопротивление теплоотда- 1 1 d2 чи и —— In — - термическое 2А «1 стенки. Рис. П.8. Передача теплоты через цилиндрическую стенку сопротивление теплопроводности На практике часто встречаются цилиндры, толщина стенок которых мала по сравнению с диаметром. Разложим ln(d2/^l) в ряд: 1Л = «1 1 2 31
При d2/di —* 1 РЯД быстро сходится и можно ограничиться его первым членом 1 ^2 ~ _ 1 _ di ~ di “ di ’ где 6 - толщина цилиндрической стенки. Подставляя это выра- жение в формулу (11.41), получаем к = 1/а1+6/Х + 1/а2' (П’44) Следовательно, если стенка трубы тонкая, то в практических расчетах можно пользоваться формулой Q — kTdxl{tytn ~ (11.45) При < 2 погрешность расчета не превышает 4 %, причем di ее можно уменьшить, если за расчетную поверхность в формуле (11.43) брать ту, со стороны которой меньше а: dx = d2, если ai > а2‘, dx = di, если < а2; , di + d2 dx — —-—, если aj « a2. При постоянных значениях ai, di, А и a2 полное линейное термическое сопротивление п 1 1 , d2 1 — —— + yr In — -I----— ajdi 2л di a2d2 будет зависеть от внешнего диаметра цилиндра d2, причем с уве- личением d2 термическое сопротивление теплопроводности будет возрастать, а термическое сопротивление теплоотдачи умень- шаться. Определив экстремум, получаем 1------L_ - о (П 46) d(d2) 2Ad2 a2d22 1 J 32
Таким образом, при кри- тическом значении диаметра ^2кр = 2А/аг термическое соп- ротивление будет минималь- ным, а плотность теплового потока (ц — — ^жз) - максимальной. На рис. II.9 показана зависимость линей- ной плотности теплового по- тока от толщины стенки ци- линдра. Кривая 1 соответ- ствует случаю, когда diKp< di, а кривая 2 - случаю, когда ^2кр = • Согласно этим кри- вым, с увеличением внешне- го диаметра цилиндра линей- Рис. П.9. К понятию критиче- ского диаметра цилиндрической стенки ная плотность теплового потока падает. Когда же </2кр > ^1» удельная плотность теплового потока с ростом </2 увеличивается, при d2 — ^2кр достигает максимума и с дальнейшим ростом </2 уменьшается (кривая 5). Эти зависимости необходимо учитывать при выборе тепло- вой изоляции на цилиндрических поверхностях. В случае теплопередачи через многослойную цилиндриче- скую стенку (рис. 11.10), по аналогии с многослойной плоской стен- кой получаем -------, (П.47) 1 , 1 i_ ^»+1 , 1 —j—h / zy In —------1------ “ldl Si 2A‘ di “2в,+1 ИЛИ 4t = kfir (tM1 — /жз), (11.48) где 3-1005 33
Рис. П.10. Передача теплоты через многослойную цилиндриче- скую стенку Величина Rf = l/k( называется полным линейным терми- ческим сопротивлением многослойной цилиндрической стенки и измеряется в метр-кельвин на ватт. Запишем формулы для определения температур на поверх- ностях цилиндрических стенок: tcT:-^ qt ( 1 1 , tCT2 = <Ж1 - — ( , + —- In — j; тг \ai«i 2Aj ai/ Of ( 1 v—г 1 d.ij \ ^cT/i+1\ = ^cti I F / , XT" In ~x ) • '+1) % “ 2Aj di J (11.49) Граничное условие I рода можно рассматривать как частный случай граничных условий III рода, когда cq и «2 стремятся к 34
бесконечности, tCTi = <Ж1, а ^ст(п+1) = ^ж2- В этом случае « = (П.50) V-i-lnttl iZi 2Л‘ d' а температуры на границах между слоями равны <ст(|+1) = ~ (п-51) Теплопроводность шаровой стенки. Рассмотрим полый шар с радиусами п и гг, с постоянной теплопроводностью А и равномерно распределенными температурами поверхностей tCT1 и /СТ2. Когда qv = 0, из формулы (П.4) получаем уравнение d2t 2 dt Л ~7~2 *-— dr* г аг решение которого ищем для граничных условий t = tCT1 при г — п; t = *ст2 ПРИ г = гг- После интегрирования получаем . _ . _ ^СТ1 ~ ^ст2 I 1__ CT1 1/ti - I/гг \Г1 г)' (11.52) (11.53) (П.54) Таким образом, температура в шаровой стенке меняется по закону гиперболы (рис. 11.11). Количество теплоты, проходящей через шаровую поверх- ность F в единицу времени, определим из гипотезы Фурье: Q = -А — F = — А 4тгг2 dt dr (11.55) 3' 35
С учетом уравнения (11.54) имеем <? = _'£12) = „A d-lh (icT1 - t„,). (П.56) 1/Г1 — l/Го О При граничных условиях III рода кроме ri, гг и А заданными являются /Ж1 и /Ж2, а также коэф- фициенты теплоотдачи на внутрен- ней и внешней поверхностях. То- гда имеем систему уравнений Q = irdfaj (fxi ~ ^cTi)j _ 2тгА . . Q = f (‘kTi ~ 1ст2); (ц 57) d} d2 Q — ird^t^ (tcT2 ~ *ж2), откуда Рис. П.11. Распределение температуры в шаровой стенке Q — А:ш7Г (<Ж1 ~ ^ж2)- Здесь (11.58) 1 1 ( 1_________1_\ 1 aid\ + 2А \di dz) + «2^2 - коэффициент теплопередачи шаровой стенки, а _ 1 _ 1 1 / ____________1 Ш кш aid% + 2А ^2/ + «2^2 - термическое сопротивление теплопередачи шаровой стенки. зв
Из уравнения (11.57) можно определить температуры на внутренней и наружной поверхностях шара: ^СТ1 — ^Ж1 ~ — ^ж2 + а (П.59) 11 2 2 Для случая многослойной стенки 4Ш =--------. (П.60) 1 V —1 1 “1^1 + ^»+1/ + “2^2 II.2. Интенсификация теплопередачи Из рассмотрения уравнения теплопередачи (11.23) следует, что при заданном неизменном перепаде температур At между греющей и нагреваемой средами увеличение теплового потока может быть достигнуто вследствие увеличения коэффициента те- плопередачи к, который для тел различной формы определяется уравнениями (11.27), (П.41), (11.60). Во всех этих выражениях термическое сопротивление стен- ки, разделяющей жидкие среды, как правило, гораздо меньше термических сопротивлений теплоотдачи. Таким образом, коэф- фициент теплопередачи, например для однослойной цилиндриче- ской стенки, будет определяться выражением / \ai«i «2«2 / или в общем случае *=1/f 1 + 1 Y Последнее выражение свидетельствует о том, что коэффициент к можно повысить, увеличив как коэффициенты теплоотдачи «1 37
Рис. П.12. Прямое (а) и цилиндрическое (б) ребра и а2> так и площадь поверхно- сти теплоотдачи. Следует под- черкнуть, что целесообразно уве- личивать поверхность теплоотда- чи у тех частей теплообменного ап- парата, где коэффициент теплоот- дачи невелик. На практике для этого применяются ребра различ- ной конфигурации (рис. 11.12). Расчет температурного поля в ребрах и определение теплово- го потока через оребренную по- верхность представляет собой до- статочно сложную задачу. Поэто- му для практического применения используют решения, полученные при некоторых упрощающих до- пущениях. Ниже рассмотрено не- сколько подобных задач. II.2.1. Теплопроводность стержня постоянного поперечного сечения Рис. 11.13. Стержень постоян- ного сечения' Отдельным фрагментом оребренной поверхности можно считать сплошной стержень, один торец которого присоеди- нен к теплоотдающей поверх- ности. На рис. 11.13 предста- влен стержень постоянного по- перечного сечения (произволь- ной формы), площадь которо- го F, периметр П. Один торец стержня присоединен к стенке, через которую осуществляется теплопередача. Температура в начальном сечении задана. 38
С наружной поверхности стержень охлаждается жидкостью с температурой /ж, коэффициент теплоотдачи а одинаков на всей свободной поверхности стержня. Принято, что коэффициент теплопроводности материала не зависит от температуры и имеет большое численное значение (X > 1). Последнее условие позволяет считать температурное поле в стержне зависящим только от координаты х, т.е. тем- пература в любом поперечном сечении стержня одна и та же. При указанных выше условиях уравнение теплового баланса для элемента стержня длиной dx будет иметь вид Qi ~ Qx+dx — Qkoh> где Qkoh = «П dx (t — /ж) - конвективный тепловой поток. Введя обозначение 1? = Z — /ж и учитывая, что Qx ~ Qx+dx — ’ получим 1 Л (11.61) где т = all/XF. Решение уравнения (11.61) имеет вид 1? = Ciema: + С2е~тх (П.62) Постоянные интегрирования Ci и С2 определяют из гранич- ных условий. В качестве первого варианта таких условий при- мем, что стержень имеет большую длину, вследствие чего тем- пература на его конце становится равной температуре окружаю- щей среды. Таким образом, можно записать 1? = i?i при х = 0; 1? = 0 при х —► оо. При этих условиях имеем Ci = 0, С2 = i?i, и решение (11.62) приобретает вид 39
или 1? = e~mx (П.63) в = _ .-mi Количество теплоты, отводимой стержнем, Q = —XF у- = XFm#! = дгу/anXF. (11.64) dx x=0 Другим вариантом граничных условий примем условие ра- венства нулю теплового потока с поверхности свободного торца стержня, т.е. тепловой поток от торца будем считать незначи- тельным. Тогда 1? = при х = 0; dti п — = 0 при х = L. ах Константы интегрирования будут следующими: Ci =^e~mL I (em£ + e-mi), С2 =^ет£/(emL + e~mL). Решение (11.62) принимает вид em(^ + е ®) ch[m(x - £)] & = ------т-----т--- = 1?1 —Ц-)— emL _|_ e-mZ ch(mZ) (11.65) Количество теплоты, отводимое стержнем, di) ^ = ~XF^ dx = XFra^ x=o ch(znZ) = ti]VaI[XF th(mZ). (11.66) 40
II. 2.2. Температурное поле круглого ребра постоянной толщины Схема ребра представлена на рис. 11.14, а. Принимая те же допущения, что и для одиночного стержня, запишем баланс те- плопоступлений для кольцевого элемента круглого ребра в виде d2i? 1 di? 2а а п 7T + “J-_TT,, = 0- drz г аг ло Введя обозначения пг2 тывая, что (11.67) = 2а/Х6, mr = z, 1/r = m/z и учи- d2i? 2 dr2 ~т di? di? dr ~ т dz ’ -i? = 0. (11.68) d2ti dz2, ’ из уравнений (11.67) получаем d2i? 1 dtf dz2 z dz Это выражение называется уравнением Бесселя, его решение имеет следующий вид: 1? = С1/о(г) + С2Хо(г). (П.69) Здесь Ci,C2 - постоянные интегрирования; Iq(z) = lo(mr'), K0(z) = Ko(mr) - модифицированные функции Бесселя нулевого порядка, мнимого аргумента соответственно I и II рода. Рис. 11.14. Цилиндрическое ребро постоянного сечения (а) и вспо- могательный график для его расчета (б) 41
Постоянные Ci и Сч определяют из следующих граничных условий: 1? = при г = ri; 1? = 0 при г -+ оо. Если пренебречь теплоотдачей с торца ребра, то уравнение (11.69) примет вид = Z0(mr) + Л(тг2) K0(mr) (Ц.70) 1 Io(mri) JTi(mr2) + Zi(mr2) Ko(”»ri)’ где Л(пгг2), Zfi(mr2) - модифицированные функции Бесселя первого порядка, мнимого аргумента соответственно I и II ро- да. Количество теплоты, передаваемой через ребро, Q = -А2тгг1<5 — = Г=Г1 - 9чг~ А(*ППИ1(”М-2) /ТТ 71 ч 1 1 1о(тг\) К^тг^) + I^mr^ Ko(mri)' Для учета количества теплоты, передаваемой через поверх- ность торца ребра, радиус г2 увеличивают на половину толщины ребра. Практическое использование выражений (11.70) и (11.71) затруднено из-за громоздкости. Поэтому обычно для расчета круглых ребер используют те же формулы, что и для расчета одиночного стержня постоянного сечения: Q =eFq, (11.72) где Q - количество теплоты,отдаваемое круглым ребром; е - по- правочный коэффициент, определяемый из графика на рис.II. 14, (на рисунке i?2/i?i - отношение избыточных температур на кон- цах ребра, вычисленное для прямого ребра постоянного сечения); F - площадь поверхности круглого ребра; q = Q1 /F1 - плот- ность теплового потока на поверхности прямого ребра, толщина которого равна толщине круглого ребра, а длина равна 1 м. 42
IL2.3. Теплопроводность прямого ребра переменного поперечного сечения Рассмотрим прямое ребро треугольного или трапециевид- ного поперечного сечения (рис. 11.15, а). Для представленного на рисунке ребра известны и 84, а также избыточная температура в начальном сечении. Площадь поперечного сечения ребра F = 18 = 2lx tg<p, где I - ширина ребра. Рис. 11.15. Прямое ребро трапециевидного сечения (а) и вспомога- тельный график для его расчета (б) С учетом принятых для одиночного стержня допущений и обозначений уравнение теплового баланса для элемента ребра длиной dx имеет вид у- ( AF — ) dx \ dx} = cdltf, (П.73) где периметр сечения ребра может быть принят равным П = 21. Приведем уравнение (11.73) к модифицированному уравне- нию Бесселя вида d4 Id# 1 а п -r-s 4— —-----д = О azz z dz z (П.74) 43
где z ~ ах/A tgi7, решение которого будет = С1/о(2л/7) + С2*о(2л/7). (11.75) Постоянные С\ и С2 находим из граничных условий 17 = 1?1 при х = ®i; t7 = i?2 при х = х2; </17 dx Х=Х? = о (последнее означает, что тепловым потоком с торца можно пре- небречь). Решение (11.75) принимает вид ^1 (70(2>/7) ^(2 07) + Z(207) ДГ0(2уТ)] [Л)(20Г) *1(20Г) + А(207) #о(20Г)] ’ Тепловой поток, поступающий в ребро, Х=Х1 Q ~ -Х/г — dx = ай/171 А(20Г) К1(2у^) - Zi(20F) Ki(2/q) л/Ftg^ /О(20Г) Кг(2^) + Л(20Г) К0(2^) • (П.77) Полученные выражения (11.76) и (11.77) обычно не исполь- зуют для практических задач, а применяют метод, аналогичный описанному для цилиндрического ребра. Расчет ведут по форму- ле Q=e'qF', (П.78) где Q - количество теплоты, отдаваемое ребром переменного поперечного сечения; q = Q'/F - плотность теплового потока на поверхности прямого ребра постоянного поперечного сечения, длина, высота и средняя толщина которого равны длине, высоте и средней толщине ребра переменного поперечного сечения; F1 - площадь поверхности ребра.
Поправочный коэффициент е' = /(^г/^li ^2/^1) определя- ют по графику, приведенному на рис. 11.15, б, причем отношение ^2/^1 взято для ребра постоянного сечения, а Й2/Й1 = О Для тре- угольного ребра. П.З. Теплопроводность при наличии внутренних источников теплоты II.3.1. Неограниченная пластина Теплопроводность в однородной неограниченной пластине будем рассматривать при следующих условиях: постоянство ко- эффициента теплопроводности и равномерное распределение те- пловых источников. Запишем дифференциальное уравнение для этих условий: ^2 +<?v/A = 0. (11.79) Решение этого уравнения имеет вид < = -(ду/2А)г2 4- С\х 4- Ci- (11.80) В качестве граничных условий примем условия III рода на обеих поверхностях пластины: - А —- = -aj (ZCT1 - £Ж1) при х = 0; ах х-0 dt -А — = «2 (*ст2 - *ж2) ПРИ х = 6- лх х=+8 Пусть £Ж1 > «Ж2. После определения констант интегрирова- ния решение (11.80) будет следующим: ^Ж2 _ ^Ж1 ~ ^ж2 \ (х\ _1_ ' qv62/2X ~ qv6*/2X «1/ W + /ей (2 tyuy —— tytfn \ х fc ( 2 А + "Г" ( 77т + 1---------х2 /о\ ) 7 ----( —Гм 1 ) (П-81) А \ск2о/А qy6i/2X ) 6 02 \Ot28/X J ' 45
или в безразмерном виде (k \ О 1------ х2 + «1/ (2 \ к ( 2 \ — ®ж ) х Н-( tr~ + 1) > В12 / «1 \В12 / (П.82) где к = I — + v Н----) ~ коэффициент теплопередачи; 0 = \ai А «2/ = (<-*ж2)/(<?у^2/2А) - безразмерный перепад температур, 0Ж = = (£Ж1 - ^ж2 )/(<7и^2/2А) - безразмерный перепад температур для жидкостей; х = х/6 - безраз- мерная координата; Bi* = kt)/X в ।---------------------- - критерий Био, равный отно- шению внутреннего термичес- кого сопротивления пластины 6/Х к термическому сопроти- влению теплопередачи 1/fc; ------L---j-------1 । О 0,5 £ Рис. II.1в. Температурное поле в пластине при наличии внутренних источников тепло- ты Bi2 = (хчб/Х - критерий Био, равный отношению внутренне- го термического сопротивления 6/Х к термическому сопроти- влению теплоотдачи 1/аг пра- вой поверхности. На рис. П.16 представлено распределение безразмерного перепада 0 по толщине пла- стины в зависимости от 0Ж. При симметричном охлажде- нии пластины (<Ж1 = /Ж2; оц = = «г; ©ж = 0) уравнение (П.82) принимает вид 0 =,х - х2 4- 1/Bi, а максимальное значение 0 бу- дет при х = 0,5. 48
Для случая, когда одна поверхность пластины теплоизо- лирована (dt/dx\x=0 = 0 или «1 = 0, к = 0), уравнение (11.82) имеет вид 0 = 2/Bi + l -®2, при этом максимальное значение 0 будет при х = 0. В последнем случае плотность теплового потока меняется вдоль оси Ох по закону q = qvx, (П.83) и количество теплоты, отдаваемое поверхностью пластины, Q = qv6F, (11.84) где F - площадь теплоизолированной поверхности пластины. Если значение коэффициента теплоотдачи а велико (а -♦ —> оо), то граничные условия Ш-го рода приобретают вид гра- ничных условий I-го рода (£ст = /ж), а решение (11.82) принимает вид t ~ *ст _ 1 _ -2 qv6*/2X (11.85) II. 3.2. Цилиндрическая стенка Рассмотрим однородную цилиндрическую стенку (сплошной цилиндр) с равномерно распределенными тепловыми источника- ми, у которой коэффициент теплопроводности А не зависит от температуры. Дифференциальное уравнение для рассматриваемой задачи имеет вид d^t 1 dt qy п 72+-T + V = o- IL86> ar2 r dr A Введя обозначение dt/dr = z, из уравнения (11.86) получаем г dz + z dr 4- ^7“ т dr = 0. После интегрирования имеем dz аут dr + ~2Х 47
откуда находим решение в виде 2 f = -^_ + C’1 1пг4-С2. (П.87) Используем полученное решение для некоторых частных за- дач. 1. Сплошной цилиндр неограниченной протяженности г = = го, на поверхности которого происходит конвективный тепло- обмен. Граничные условия в этом случае будут следующими: dt dr dt dr = 0 (в силу симметрии температурного поля); г=0 = (X (tpr — f»). r=r0 При этих условиях константы интегрирования в выражении О 7*0 Яу rQ (П.87) приобретают значения Ci = 0, С2 = £ж + и температурное поле описывается уравнением ‘ = !« + тГ + к(’-?-’-2)- (11.88) Плотность теплового потока на поверхности цилиндра д = а(«ст-«ж) = ^. (П.89) При больших значениях коэффициента теплоотдачи уравне- ние (11.88) приобретает вид . _ t . 4v ,2 „2\ t — Jct + 4Д (г° ~ r )’ которому соответствуют граничные условия I рода. 2. Цилиндрическая стенка (труба) с внутренним радиусом И и наружным г2, внутренняя поверхность которой теплоизо- лирована, а на внешней происходит конвективный теплообмен. 48
Граничные условия имеют вид dt dr dt Л = 0; = а (<СТ2 ~~ ^ж)> где /ст2 - температура наружной поверхности трубы. Используя первое граничное условие, можно записать откуда Ci qvT\/2X. Из второго граничного условия, так как _ qVr% q^n СТ2 " ~^Л" + -2Г1ПГ2 + С2’ имеем 2 9 Г -1 ,4vr2 qVr2 qv г' qvri Ь2 — tx + —------1- ——--------=---—— In Г2. 2a 4A 2a 2A Уравнение температурного поля будет иметь вид г / \ 2л < = <ж + ^ 1-(Д) + 2а кга/ 2 г z \ 2 / + 1+fr) 2tai_fn 4 А \г2/ г2 \'г2 (11.90) / Температура наружной стенки ^СТ2 дут2 2а (11.91) — + 1 - 4-1005 49
Плотность теплового потока на поверхности z. . ч Чут2 q — a (icT2 — — п (11.92) 1 - 3. Цилиндрическая стенка, теплота отводится через внут- реннюю поверхность трубы, наружная поверхность теплоизо- лирована. Граничные условия имеют вид dt dr = 0; Т—Т2 dt — Ct (tfcTl — ^ж)- В рассматриваемом случае константы интегрирования бу- дут следующими: С*! — Яуг2/^^> 4" ЯуП 2а 2 2 9уг1 Яу г2 + 4А 2а rj ЯуТ2 2А In Гр Уравнение температурного поля имеет вид — ^ж + gyri 2а Чут1 4А (П.93) Температура внутренней стенки ^СТ1 -t ~*ж+ 2а Плотность теплового потока г / \2 т 9vTi (Т2\ , q= Г " 1 2 1АГ1/ (11.94) (11.95) 50
4. Цилиндрическая стенка, теплота отводится конвектив- ным теплообменом с обеих сторон трубы. Для указанных условий очевидно, что имеется изотермиче- ская поверхность с радиусом го> находящаяся между ri и тч, где градиент температуры равен нулю. Для части трубы, располо- женной между Г1 и го> справедливы выражения (П.93) и (П.95), а для части трубы между радиусами го и гг ~ выражения (П.90) и (П.92). Совокупность указанных выражений при условии замены Г) на го в (П.90) и (П.92) и Г2 на tq в (П.93) и (П.95) дает воз- можность определить неизвестный радиус го, а затем величины /ид. П.4. Температурное поле полуограниченной пластины На рис. II. 17 представлена по- луограниченная пластина с однород- ными свойствами, не зависящими от температуры. Толщина пластины 6, температурное поле - стационарно. Для двумерной стационарной за- дачи без внутренних источников те- плоты температурное поле описыва- ется уравнением d2t d2t a? + V=0' (П”> Рис. 11.17. Полуограни- ченная пластина В качестве граничных условий принимаем t = t\ при х = 0 и х = 6, t = /(х) при у = 0; t = /1 при у —♦ сю. Введя избыточную температуру 1? = (П.96) получаем t - <!, из уравнения дЧ д2д дх2 + ду2 (П.97) 4* 51
Граничные условия принимают вид 1? = 0 при 2 = 0, х = 6; 1? = /(х) - = Г(х) при у = 0; 1? = 0 при у —> оо. Уравнение (11.97) будем решать методом разделения пере- нных. Полагая, что $ = 9?(х) ф(у) и подставляя это выражение 'равнение (11.97), получаем = — ф"/ф = const = —А2, е к - некоторая константа. Из последнего выражения можно записать два дифференци- ьных уравнения: <рГ1 4- к2<р = 0; ф" - к^ф = 0. Решения этих уравнений будут следующими: = Ci cos(fcx) + С2 sin(fcx); (11.98) ф = С3екУ + С4е~к*. (11.99) Определяя константы интегрирования из граничных усло- ий, находим Ci = 0, Сз = 0. Общее решение принимает вид д = Се~к* sin(&x), (11.100) ае С = С2С4. Из граничного условия х = 6, д = 0 имеем sin(H) = 0, или к = пя/Ь, •де п = 1, 2, 3,... Каждому значению п соответствует частное решение со сво- <м значением постоянной интегрирования С. Полагая, что общее решение задачи есть сумма частных решений, соответствующих различным п, получаем = £ Сп sin(n7T2/6) е~п1ГУ/6. (11.101) п=1 52
Используя граничное условие 'д = F(x) при у = 0, из урав- нения (11.101) имеем F(x) = 7 , Сп sin^— х)- П=1 (11.102) Это уравнение представляет собой разложение функции F(x) в ряд Фурье по синусам. Коэффициенты ряда Фурье опре- деляются уравнением (11.103) Таким образом, общее решение уравнения (11.97) будет сле- дующим: | е [F(x) sin(J^-х^ dx. (11.104) n=l J { В частном случае, если /(л) = и F(x) = - tj, то 6 \ . {nit \ . F(x) sin(^— хj dx = 0 6 [nit \ 6 26 . . nit \ о / g mit и общее решение преобразуется к виду . оо 1 л z х 4 1 _пц;„ . f mit ч ч? = (*2 ~*1)~ / . ~е sin^— xj, (11.105) m=l где m=l,3, 5,...- нечетные целые числа. S3
II.5. Температурное поле пористой пластины Пористые материалы находят широкое применение в совре- менной технике, особенно при использовании так называемого пористого охлаждения. В этом случае охлаждаемую деталь (ло- патка газовой турбины, сопло реактивного двигателя, камера сгорания и т.п.) выполняют из пористого материала, через ко- торый прокачивается охлаждающая жидкость. Рассмотрим стационарный Рис. 11.18. Пористая плос- кая пластииа процесс теплопроводности пори- стой плоской неограниченной пластины с постоянным коэффи- циентом теплопроводности А (рис. 11.18). Будем считать тем- пературное поле внутри пласти- ны одномерным. Через пласти- ну прокачивается жидкость, рас- ход которой равен G, причем при х = — оо температура жидкости равна Решаем задачу при задан- ных температурах tЖо и /Ctj • Бели сечение для прохода жидкости на единицу поверхно- сти равно /ж = Р, то сечение твердого скелета будет /с = = 1 — /ж = 1 — Р. Величина Р на- зывается пористостью пластины и равна отношению объема пор ко всему объему материала. Дифференциальные уравнения распространения теплоты в материале пластины и в охлаждающей жидкости имеют вид Ас-~ (!-Р) + аи(«с-«ж) = °; (П.106) dt м. A* "Ь М‘с ~ ^ж) = » (11.107) 54
где av - объемный коэффициент теплоотдачи, Вт/(м3-К); G - расход жидкости, кг/(м2-с). Во многих случаях ввиду большой поверхности контакта охлаждающей жидкости с материалом стенки можно принять, что температура жидкости равна температуре материала стен- ки, т.е. £ж = tc = t. Тогда из уравнений (11.106) и (11.107) следует: а) для области 0 < х < 8 (П.108) (П.109) где £с — ^Срж/^с(1 ~~ -f*); б) для области —оо < х < 0 d2i dt _ ~ di = °’ где £ж = £*Срж/Аж- Общее решение уравнения (П.108): t = Сх е-Ъ* + С2. Постоянные С\ и С2 определим из граничных условий: t = fori при х = 0; t — ^1*2 при X = 8, Для области 0 < х < 8 распределение температуры по тол- щине пористой пластины определяется формулой t = tcT1 + - 1) • (II. 111) Общее решение уравнения (11.109) имеет вид «ж = С3е^х + С4. (П.112) 55
Постоянные Сз и С4 находим из граничных условий: ^ж — ^жо при X — 00, dtw . . dt Аж — = Ас(1 - Р) — при х = 0. ах ах В результате получаем С4 = 1Жо и С3 = Урав- нение (11.112) принимает вид <ж = "«« + ^5Т7-'еж’- (ПИЗ) Рис. 11.19. Распределение тем- пературы в пористой стенке Исключив из уравнений (11.111) и (11.113) неизвест- ную температуру <стц по- лучаем окончательное выра- жение для распределения температуры по толщине пористой пластины: t ~ ^Жр 1сТ2 ~~ ^Жр (11.114) На рис. 11.19 показаны результаты расчета темпе- ратуры стенки по формуле (11.114) для различных зна- чений параметра £с<$- 56
Глава III. НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ПРОЦЕССЫ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ III. 1. Основные методы решения уравнения тепло- проводности при нестационарном режиме Дифференциальное уравнение теплопроводности при отсут- ствии внутренних источников теплоты и постоянных теплофизи- ческих параметрах имеет вид дТ (д2Т д2Т д2Т\ ,, дг ~а\дх2 + ду2 + дг2)~аЧ (III.1) Уравнение (III.1) является линейным - однородным диффе- ренциальным уравнением второго порядка в частных производ- ных. Решения такого уравнения обладают свойством наложе- ния аналогично решениям обыкновенного однородного дифферен- циального уравнения второго порядка, для которого решением является выражение Сд71 + С2Т2, где Сд и С2 - произвольные постоянные; Ть 7*2 ~ частные решения уравнения. Уравнение (III. 1), являясь уравнением в частных производных, имеет бес- численное множество решений. Дифференциальное уравнение теплопроводности относится к разряду так называемых дифференциальных уравнений мате- матической физики, для решения которых разработаны как клас- сические методы решения, так и приближенные. К классическим методам относятся, например, метод разделения переменных и метод источников. По своей стройности и разработанности рав- ноценным классическим методом является метод интегрального преобразования. В настоящее время широко используются при- ближенные методы, позволяющие получить инженерное решение практически для любой задачи. К приближенным методам отно- сятся метод конечных разностей (метод сеток) и метод аналогий (электроаналогия и гидроаналогия). Метод разделения переменных, разработанный Фурье, в применении к задачам теплопроводности состоит в том, что нахо- дится совокупность частных решений уравнения (III. 1), которые затем, как уже упоминалось, суммируются: 57
Т = CiTi + С2Т2 + ... = £ CiTi- (III.2) »=1 Правомерность применения принципа суперпозиции (нало- жения) для бесконечного ряда, так же как и возможность его по- членного дифференцирования и интегрирования, доказывается в литературе по математической физике. Существенным является ограниченность функции Т (Т < М) для всех значений коорди- нат и времени т > 0. Решение уравнения (Ш.1) представляют в виде произведе- ния двух функций, одна из которых Т(т) зависит только от вре- мени, а другая Ф(х, у, г) - только от координат, т.е. T = CT(r)9(x,y,z), (III.3) где С - произвольная постоянная. Взяв производные функции Т по времени и координатам и подставив их в уравнение (Ш.1), получим Т'(т) 9(х, у, z) = аТ(т) \72Ф(х, у, z). (Ш.4) Произведя разделение переменных, зависящих только от времени и только от координат, приведем уравнение (Ш.4) к ви- ду Т'(т)/Т(т) = a V2^(x, у, z)/9(x, у, z). (Ш.5) Так как левая часть уравнения (III.5) не зависит от коорди- нат, а правая - от времени (причем равенство справедливо при любых значениях времени и координат), то правая и левая части представляют собой постоянную величину А: (1/в)Т'(г)/Т(г) = А; (Ш.6) у, z)/9(x, у, z) = А. (Ш.7) Каждое из этих уравнений является линейным дифференци- альным уравнением. Решением уравнения (Ш.6) является Т(т) = СеаХг. (III.8) 58
Вид функции Т(т) указывает, что для процессов, стремящихся к тепловому равновесию, величина А должна быть меньше нуля (А < 0), в противном случае не удовлетворялось бы условие огра- ниченности функции Т = Т(т)9(х, у, z) < М. Таким образом, можно обозначить А = -к2, (III.9) где к - любое вещественное число. В связи с этим уравнение (Ш.7) примет вид , у, z) 4- к2Ф(х, у, z) = 0. (Ш.10) Решение уравнения (Ш.10), называемого уравнением По- келя, определяется геометрической формой тела, а постоянные интегрирования - граничными условиями (температурой, тепло- вым потоком или условиями теплообмена на поверхности тела). В простейших случаях, когда - функция лишь одной коорди- наты (например, х), уравнение (III.10) является обыкновенным дифференциальным уравнением второго порядка, решение ко- торого можно представить как сумму двух частных решений: ^(х) = Ci А(кх) 4- С2 В(кх), (III.11) где С\ и Сч - постоянные, а А(кх) и В(кх) - линейно незави- симые интегралы уравнения (III. 10), т.е. такие, отношение ко- торых А(кх)/В(кх) -ф. const. Подставив выражения (Ш.8) и (III. 11) в (Ш.З) и объединив постоянные, получим Т= e-ak2r{DA(kx} + EB(kx}\, (Ш.12) где D и Е - постоянные. Это выражение, удовлетворяя уравнению (Ш.1), тем не ме- нее не пригодно для расчета температурного поля, так как из него нельзя определить постоянные D и Е. Например, если по условию для начального момента времени (г = 0) температура постоянна (Т = То = const), то из уравнения (III.12) этого не следует, так как в этом случае оказывается, что постоянная рав- на переменной: То = D А(кх') 4- ЕВ(кх), чего быть не должно. 50
Поэтому для получения общего решения уравнения теплопровод- ности, удовлетворяющего начальным условиям, берется сумма частных решений, в каждом из которых постоянные D и Е име- ют свое определенное значение. Осуществляя соответствующий подбор значений D и Е, можно как угодно близко подойти к за- данному начальному распределению температуры. Таким образом, частные решения записываются так: Т\ = Di А(к}х) е-а$т + Ei B(kiX) е~ак"г- ,2 »2 T2 = D2 А(к2х) e~ak2T + E2 B(k2x) e~ak2r и Т.Д. Общее решение имеет вид Т = А(кпх) е~ак"т + Е* В(кпх) е~ак"г. (III.14) П=1 В=1 Необходимым условием решения задачи является возмож- ность разложения функции То(х), описывающей начальное рас- пределение температуры в ряд по собственным функциям: оо оо ?ь(«) = 52 Dn + J2Еп в^х)- П=1 П=1 Применение метода разделения переменных показано ниже на цримере нестационарного температурного поля плоской пла- стины, цилиндра, шара. Метод источников является одним из классических мето- дов, особенно удобным при решении задач теплопроводности для неограниченной или полуоткрытой области. Примером такой задачи может служить рассмотрение нестационарного темпера- турного поля в почве при изменении внешних условий. Физическая сущность метода источников заключается в том, что процесс распространения теплоты в теле теплопроводностью представляется как совокупность процессов выравнивания тем- пературы от множества элементарных источников теплоты, рас- пределенных как в пространстве, так и во времени. во
Рассмотрим задачу по определению нестационарного одно- мерного температурного поля для неограниченной области при заданных начальных условиях. В качестве физической модели такой задачи может служить стержень бесконечной длины с по- стоянной по длине площадью поперечного сечения F = 1 м2, бо- ковая поверхность которого теплоизолирована. В стержне задано начальное распределение температур. Для этой задачи справедливо уравнение (Ш.1), т.е. дТ/дт = = а д2Т/дх2 при —оо < х < -f-оо. Начальное распределение тем- пературы в стержне при т = 0 имеет вид Т(х, 0) = Tq(x). Как было показано выше, метод разделения переменных по- зволяет получить из уравнения (Ш-1) два обыкновенных линей- ных дифференциальных уравнения: T' + ak2T = 0-, 9" + k29 = Q. Частные решения этих уравнений имеют вид T = Cie-apr и 9 = C2e±ikx, (III.15) а частное решение уравнения (Ш.1) таково: Т(к) = Т(т) 9(х) = С(к) e-<*2r±ikx (Ш.16) Функция Т(Л:) удовлетворяет условию ограниченности. Так как к - любое вещественное число (—оо < к < 4-оо), в уравнении (III.16) будем брать знак плюс. Образуем функцию +оо Т(х, т)= I С(к) е~ак2г+*кх dk, (Ш-17) — ОО которая удовлетворяет уравнению (Ш.1) как сумма частных решений этого уравнения, если производные можно вычислять путем дифференцирования под знаком интеграла. Используя на- чальные условия, имеем 4-оо Т(х) = У С(к) е*кх dk. (III.18) — 00 61
Коэффициенты С(Л) найдем по формуле обратного преобра- зования интеграла Фурье, т.е. +оо A. I ЯК J —OQ (III.19) Подставляя выражение (III.19) в (III.18) и меняя порядок ин- тегрирования, получаем +оо 4-00 Т(х, т) = j [ j T(£)e~*kt d£ j e-“*2T+ikx dx = —оо —оо 4-оо -f-оо e-ak2r+ik(x-^ dk j ц (Ш.20) “ОО —оо Интеграл, заключенный в скобки, после преобразований принимает вид +оо 2 — / e~ak2r+ik(x-d dk = — 2тг J 2у/тгат — ОО (Ш.21) Это выражение называется фундаментальным решени- ем уравнения теплопроводности. Решение называется так- же функцией источника на бесконечной прямой и обозначается 1 (*-е)2 G(x, 4, т) = —Д==е~ «ат . 2\гкат (Ш.22) Непосредственной проверкой можно убедиться, что функция G(x, е, Т - то) = ----. . -:z4 е 2сру/‘ка (т - т0) (Ш.23) Q 62
представляет собой температуру в точке х в момент времени г, если в начальный момент времени т = tq в точке с координатой £ выделяется количество теплоты Q = ср (здесь то можно при- нять равным нулю, с - теплоемкость, р - плотность материала стержня). Действительно, функция (III.23) удовлетворяет уравнению теплопроводности (III.1), так как dG 1 x~t дх 2% 2[а(т-то)]3^ d2G = _1_ Г 1 (ж - £)2 ' ах2 ~ 2т 2[в(г _ Го)]3£ + 4[в(г _ Го)]5£ е 4а(г-тй). dG _ а 1 (г — £)2 дт ~ 2% 2[а(т - т0)]3£ + 4[а(т - т0)]^- е 4а(т-г0) и,следовательно, dG d2G dr а dx2 Количество теплоты, находящееся в стержне в момент т>т0, +r° +г° Л ср / G(x, £,т -T0)dx = (Q/y/iT) / е 4a(r-ro) х— = J J 2а(т-то) — ОС —оо +оо = (QA/r) У е"“2 da = Q = pc, (111.24) —оо так как +оо Х ~ ' j [ -а2 . /— а ~ » / / =?) = —г"~ =; / е da = • 2у/а(т - т0) 2у/а(т - т0) J —ОО 03
Как следует из уравнения (III.24), количество теплоты в стержне не меняется с течением времени. Функция (III.23) зави- сит от времени только через и — а(т — tq), и ее можно записать так: гр 1,5 1,0 0,5 о 0,5 1,0 1,5 х-% Рис. III. 1. Вид функции G 1 (д-£)1 2 — е-Н^_ (III.25) Вид функции G предста- влен на рис. III. 1, из которо- го следует, что почти вся пло- щадь под кривой находится над промежутком (f — е) - (£ + е), где £ может быть сколь угод- но малым числом, если v = = а(т — tq) достаточно мало. Площадь под кривой, умножен- ная на ср, равна количеству те- плоты, подведенному в началь- ный момент. Для малых зна- чений и почти вся теплота сос- редоточивается в малой окрестности точки £. Следовательно, в момент т = то все количество теплоты сосредоточено в точке £, а температура в точке при малых и неограниченно велика. Интересно отметить следующее: формула (III.23) показыва- ет, что во всякой точке х температура, создаваемая мгновенным точечным источником теплоты, действующим в начальный мо- мент т = 0, отлична от нуля для сколь угодно малых моментов времени. Этот результат можно рассматривать как следствие быстрого распространения температуры, а следовательно, и те- плоты. Однако это противоречит молекулярно-кинетическим представлениям о природе теплоты. Несоответствие объясняет- ся применением при выводе дифференциального уравнения те- плопроводности феноменологических представлений о переносе теплоты, не учитывающих инерционность движения молекул. Возвращаясь к выражению (III.20), запишем его в виде 1 / Т(х,т) = -== / \/4атгт J — оо (III.26) 64
Эта формула и является об- щим решением задачи опре- деления температурного поля в неограниченном одномер- ном теле. Для начального момента времени уравнение (111.26) представляет собой замену начального распреде- ления температуры суммой частных решений (рис. Ш.2). Методы интегральных преобразований. Для реше- ния многих задач теплопро- водности классические мето- ды оказываются недостаточ- ными, в связи с чем в насто- ящее время нашли широкое Рис. III.2. Начальное рас- пределение температуры применение различные методы интегральных преобразований дифференциальных уравнений и граничных условий. Сущность методов интегральных преобразований состоит в том, что изу- чаются не сами функции, определяемые постановкой задачи, а их видоизменение - так называемое изображение; сама же функ- ция называется оригиналом. Если преобразование берется по пространственной координате х, то интегральное преобразова- ние функции оригинала /(ж) может быть представлено в виде оо Др) = У fc(p, x)f(x)dx, (III.27) о где Др) - изображение функции Дж); к(р, ж) - ядро преобразо- вания; р - некоторый параметр. Пределы интегрирования могут быть как бесконечными, так и конечными. В последнем случае интегральное преобразование называется конечным и имеет вид /(Р) = Ь У к(р, ж) /(x'jdx. а 5-1005 65
Вид ядра преобразования определяется условиями рассм триваемой задачи. Так, для тел неограниченной протяжен: сти удобно применять комплексное преобразование Фурье, j которого к(р, х) = е'рх и пределы интегрирования в ур V 2тг нении берутся от —оо до +оо. При задании на поверхности тела граничных условий I да (задано значение функции) следует использовать синус-п образование Фурье, а при граничных условиях II рода - косин преобразование Фурье. При этом ядра преобразований соотв ственно имеют вид fc(p, х) = V277 • sin(px); к(р, х) = ^/2/т • cos(px). Для тел с осевой симметрией (например, для цилинд ядром преобразования должна быть функция Бесселя: fc(p, х) = г J[pr), (III. где г - независимая переменная, изменяющаяся от 0 до Я (j наружный радиус); ^(рг) - функция Бесселя. Интегральное п образование в этом случае носит название преобразования X келя. При решении задач нестационарной теплопроводности н большее распространение получили метод интегрального п образования Лапласа и операционный метод Хевисайда, первом из них интегральное преобразование зависящей от в мени функции /(т) определяется формулой ОО Лр) = J Лт) e~pr dT- (IIL о Применение метода интегральных преобразований к диф ренциальным уравнениям в частных производных позволяет лучить для одномерного случая обыкновенное дифференциг ное уравнение относительно изображения. Применение же тегрального преобразования к обыкновенным дифференциг ным уравнениям переводит их в алгебраические относится ее
изображений. Отыскивая затем значение функции, являющей- ся изображением, необходимо (для решения задачи) перейти к оригиналу. Этот переход осуществляется по так называемым формулам обращения: +оо Л*) =4= / №)e",pXdp (П1.31) v27T J — оо - для комплексного преобразования Фурье; ОО /(х) = -\/2/7г у* Др) sin(px)dp (III.32) о - для синус-преобразования Фурье; ОО /(х) = \/2/% У Др) cos(px)dp (III.33) о - для косинус-преобразования Фурье; ОО Дг) = у гДр)Лгр)Лр (III.34) о - для преобразования Ханкеля; <r+ioo /(Г)=2^ / ЛрИ^Р (III.35) 67—100 - для преобразования Лапласа. В связи с широким применением операционного метода рас- смотрим его несколько подробнее. Преобразование Лапласа осуществляется в соответствии с Формулой (III.30), где параметр р = о + - некоторая комплекс- ная величина, которая при постоянной о, а изменяющейся от 67
Рис. IIL3. Область сущест- вования изображения f(p) функции /(г) —оо до +00, меняется от о — гоо до о 4- гоо (рис. Ш.З), пробегая в комплексной области р прямую Re(p) = ст, параллельную мнимой оси. Преобразованию Лапласа могут быть подвергнуты функции со следующими свойствами: 1. При отрицательных значениях аргумента функция равна нулю, т.е. /(г) = 0 при т < 0. 2. При положительных значениях аргумента порядок роста абсолютных значений функции при возрастании аргумента не превосходит порядка роста некоторой показательной функции: |/(т)| < М еа'°т при г < О, где М - константа. 2 Например, функция ег не имеет изображения, так как ин- теграл Лапласа расходится. 3. Функция /(т) должна удовлетворять условиям Дирихле, т.е. интервал, на котором определена функция /(г), может быть разбит на конечное число интервалов, в каждом из которых /(г) непрерывна и монотонна, и во всякой точке разрыва значения функций /(г 4- 0) и /(г - 0) существуют. При указанных ограничениях изображение Др) является аналитической функцией в правой полуплоскости от прямой 68
Re(p) = <то (см. рис. III.3), т.е. функция Др) имеет производ- ные всех порядков в указанной области и все ее особые точки расположены в комплексной области слева от прямой сто- Для частных случаев функции /(г) функция Др) имеет сле- дующий вид: при /(г) = С = const (г > 0) Др) = J С е'рг dr = {С/ - р) е~^т = С/р, р > 0; (III.36) о при Дт) = С т оо f(p) = / С т e~fT dr — С/р\ о (III.37) при /(г) = екг (т > 0) ОО /W = / dr = Др о р > к. (III.38) Если же Дт) = е кг, то (111.39) В справочниках и литературе по операционному исчислению приведены изображения для различных функций-оригиналов. Основные свойства преобразования Лапласа. 1. Линейность. Если С = const и оригиналу /(г) соответ- ствует изображение Др), то функции С Дт) соответствует изо- бражение С f(p)- Далее, если функции Д(т) и Д('г) имеют соот- ветственно изображения /1(р) и /Др), то справедливо равенство /1(т) + /2(г) = А(р) + /2(р), (III.40) 69
т.е. изображение суммы оригиналов равно сумме изображений этих оригиналов. Например: f(r) = ein(wr) = (e+‘'wr - e~*ur тогда 1 1 \ _ ш р — ш р + ш J р2 + w2 ’ для g+iwr + е-шг изображение имеет вид 1 f(p) = 2 ( —— + — \р-гш р+гш/ р* + иг 2. Изображение производной. Если = /'(т), то, исполь- зуя правило интегрирования по частям, получаем оо О ОО* оо > + р /. 0 J о Если /(г) принадлежит к функциям со свойствами 1 — 3 (см. выше), то /(г) е_рг —> 0 при т —» оо и е_рг/(т) —> /(0) при т —> 0. В этом случае выражение (III.41) приводится к виду ¥»(Р) = /'(?) = ?/(?)-/(0), (III.42) т.е. дифференцирование оригинала функции соответствует ум- ножению изображения на р с последующим вычитанием посто- янной /(0). 70
Для производной второго порядка ^(т) = f"(r) можно запи- сать = -/'(0) + р е-рг/(т) ОО 00 + р [ /(т) е~рт dr = о J о = Р2Л?)-Р/(О)-/'(О). (III.43) В общем случае, если -Р’('г) = изображение этой функции определяется по формуле Г(р) = У /П)(т)е-Рг^т = о = р”/(р) - Р(я-1)/(0) - P^-Vf'W - ... - (III.44) Для отыскания первообразной функции оригинала по ее изо- бражению можно воспользоваться формулой (III.35). Методика интегрирования в комплексной плоскости детально изложена в руководствах по теории функций комплексного переменного, од- нако чаще пользуются уже готовыми таблицами для оригиналов и изображений [24]. Кроме того, вместо формулы (III.35) можно пользоваться следующей формулой обращения (т.е. нахождения оригинала по изображению): /(т) = ШцД [(-1)"/п!] (п/т)(п+1)/п)(п/т)}, (III.45) где f(n/r} - изображение функции /(г), в которой р = п/т. Например, пусть /(р) — -----Найти /(г). Так как = (-1)”п! = ‘, то в соответствии с формулой (III.45) = 1im Г(-1)’7"У+1 (-i)""! = п-»оо п! \т J (п/т 4- 1)п+1_ - lim ~^le.T - е~г. (III.46) n-»oo (1 + r/n^+l ' 4 ’ 71
Формула (III.45) дает возможность определить оригинал лишь при помощи операций дифференцирования и перехода к пределу. Для ряда частных случаев имеются и другие форму- лы обращения. Для иллюстрации применения преобразований Лапласа рас- смотрим перобразование одномерного дифференциального урав- нения теплопроводности дТ/дт = ад2Т(х, т)/дх2: оо J^e-PrdT = pT(x,p)-T(x,O), (III.47) О где Т(х, р) - изображение оригинала Т(х, г); Т(х, 0) - начальное распределение температуры. Тогда д2Т a~e~PTdr дх* о = аЙ 7г(х,т)е-Р^т = а^2,а:) дх* J dx* о (III .48) Таким образом, уравнение (III. 1) в частных производных преобразуется в обыкновенное дифференциальное уравнение от- носительно изображения: d2T а— рТ(х, р) + Т(х, 0) =: 0. (III.49) иХ Рассмотрим простейший случай, когда начальное распреде- ление температуры одинаково для всех точек тела и равно нулю, т.е. Т(х, 0) = 0. Тогда уравнение (III.49) примет вид ^-£Г(1,Р) = О. (111.50) 72
Решение этого уравнения будет следующим: Т(х, р) = А! е-хУ^ = = A chx (III.51) 1 1 где Ai = - (Л 4- В) и Ву — - (А - В) - величины, постоянные относительно х, но не зависящие от р. Эти постоянные опре- деляют из граничных условий, после чего при помощи таблицы изображений находят оригинал Т(х, г). III.2. Температурное поле полуограниченного тела Полуограниченным можно считать тело, размеры которого велики по сравнению с той его областью, температурное поле ко- торой нас интересует. При этом в течение определенного проме- жутка времени влияние граничных условий сказывается весьма слабо на температурном поле участков, находящихся вдали от границы. В этих частях тела температурное поле определяется лишь начальными условиями.. Примером рассматриваемой задачи может быть задача по определению температурного поля длинного стержня, боковая Поверхность которого имеет идеальную изоляцию. Один конец стержня подвергается какому-либо тепловому воздействию, вли- яние которого несущественно, так как считается, что он беско- нечно удален. В указанной постановке температурное поле является одно- мерным, а дифференциальное уравнение теплопроводности име- ет вид = (х>0;т>0) (III.52) при начальном условии Т(х, 0) = /(х) и граничных условиях I, II или III рода. В качестве примера рассмотрим задачу об охлаждении сте- ржня с простейшими граничными условиями I рода Т(0, г) = const — 0. 73
Для решения задачи введем вспомогательную начальную функцию ф(х, 0), которая совпадает с /(ж) при х > 0 и явля- ется нечетным продолжением /(ж) при ж < 0, т.е. ^(ж, 0) = / Д*) I -Д«) при при ж > 0; ж < 0. Тогда основная вспомогательная функция Т*(ж, т), опреде- ленная на бесконечной прямой — оо < ж < +оо и удовлетворяю- щая условиям Т*(0, г) — 0; Т*(х, 0) = /(ж) при ж > 0, в соответствии с выражением (III.26) будет иметь вид Т,(х,т)=—7= / (Ш.53) £у/-ка.т J —оо Рассмотрим полу ограниченное тело только для области ж > 0: Т(ж, т) = Т*(ж, т) при ж > 0. Пользуясь определением вспомогательной функции ^(ж, 0), имеем Здесь в первом интеграле сделана замена = — £ и использовано условие V’(f) = ~Д~0 = ~Д£')• 74
Объединив интегралы, получаем искомое решение оо Т(х,т) = -1=[ 2у/ъат J о е 4ат — е 4аг (III .54) В случае, если начальная температура одинакова для всех значений х и равна Tq, решение (III.54) упрощается. Введя заме- ны а = (^ — х)/(2у/ат), /3 = (£ 4- х)/(2у/ат), получаем ОО оо Т(х,т) = -^( [ e-a2da- [ е~^р\ = у/'К \ J J / —х/(2у/ат) х/(2у/аг) +х/(2ч/атг) Т° [ ~“2 J = —J е da, -x/(2y/iF) так как вид подынтегральных функций одинаков. Вследствие симметричности функции е “ относительно а можно записать */(2^/57) Т(а;, г) 2 f ( х \ ——- — —=. I е da = erfc(a) = encl —7= 1, То у/я J 4 ' \2у/ат) о (III.55) где erfc(a) - функция ошибок Гаусса, меняющаяся в пределах от нуля при а = 0 до единицы при а —»• оо (практически при а > 2, 7 erfc(a) = 0,9999). Если конец стержня поддерживается не при 0° С, а при не- которой температуре Т(0, т) = Тс = const, то, вводя новую пере- менную 1? = Т{х, т)—Тст, получаем рассмотренную выше задачу, так как i>(0, г) = Т(0, т) — Тс = 0. Следовательно, 75
0 = Т(х, 7") — Тст г ( х \ —-Ч-——----= erfc I - . Tq — Тст ' 2i/ ат / (III.56) Приведем решения, полученные при задании граничных условий II и III рода. Для граничных условий II рода на конце стержня задан те- пловой поток gey. Если дст = const и начальное распределение температур постоянно, то условия однозначности имеют вид Т’(х, 0) = 7q = const; . аг(о,т) А----т----h ?ст — 0; дх т(оо, т) = То; т) _ Q дх Решением задачи будет выражение ОС Т(х, т) — То = [ erfcf—-7=) dx = ^21 ierfc( - .—, Л J \2у/ат J А \2у/ат / о (III.57) 2 где ierfc(a) = (1/у/тг')е~а — aerfc(o!) определяют из таблиц. Для граничных условий III рода условия однозначности рас- смотрим в следующем виде: Т(х, 0) = То = const; Т(оо, т) = Tq; ЭТ(0, г) ЭГ(00, г) _ Л дх +«[Г«-Г(0,’-)]-0, —х--------0, где Тж - температура окружающей среды; коэффициент тепло- отдачи а считается постоянным. Решение имеет вид (III.58) 76
III.3. Нестационарные процессы теплопроводности в неограниченной пластине Рассмотрим задачу, когда тело стремится к тепловому рав- новесию. Пусть пластина толщиной 28 имеет неограниченные раз- меры в направлении осей Оу и Oz. Физические условия определя- ют значения коэффициента теплопроводности материала пласти- ны (А — const), теплоемкости (с = const), плотности р; внутрен- ние тепловые источники отсутствуют. Пластину, температура которой в начальный момент времени была равна to, опускают в поток жидкости, имеющей постоянную температуру 2Ж, от- личную от tg. Граничные условия определены постоянными и одинаковыми значениями коэффициента теплоотдачи а на обеих поверхностях пластины. В связи с тем, что линей- ные размеры поверхности пласти- ны велики по сравнению с ее тол- щиной, изменение температуры будет происходить только в на- правлении, перпендикулярном по- верхности пластины, т.е. тем- пературное поле будет одномер- ным. Кроме того, из-за симмет- рии граничных условий относи- тельно средней плоскости темпе- ратурное поле в любой момент времени будет также симметрич- ным относительно этой плоско- сти. Для рассматриваемой задачи начало координат удобно располо- жить в центре пластины, как по- казано на рис. III.4, направив ось Ох по нормали к оси пластины. Рис. III.4. Схема к расчету нагрева плоской пластины Для удобства последующих вычислений отсчет темпера- туры будем вести от температуры окружающей среды: 77
t? = Тж — Т. Тогда дифференциальное уравнение теплопроводно- сти (Ш.1) будет иметь вид д$ дЧ дт а дх2 ’ так как &2t д2# дт дт ’ дх2 дх2 Условия однозначности будут следующими: начальные условия для — 6 < х < +<5: t? = i?0 = Тж - То при & —> 0 при т —> оо; (III.59) (III.60) (III.61) граничные условия: дд А ~- — -ai? при х — +<5; а* (ш.62) А — = av при х = -о; ох дд —— = 0 при х = 0. (III.63) дх Решаем поставленную задачу методом разделения перемен- ных, представляя искомую функцию 1? в виде произведения двух функций: !?(х) и Т(г), каждая из которых зависит лишь от од- ного аргумента: 0 = V(x)T(r). (III.64) Подставив выражение (III.64) в (III.59), получим = а T(r) (IIL65> дт дх2 или, разделив переменные, 1 j7' (III .66) 78
Так как левая часть уравнения (III.66) не зависит от коорди- наты х, а правая - от времени г, то общее значение и правой, и левой частей не должно зависеть ни от х, ни от г: ~aT~ = V = C°nSt’ (Ш.67) Из условия (III.61) следует, что при нагревании пластины d’Ofdr < 0 (следовательно, и дТ)дт < 0), поэтому константа в уравнении (III.67) должна быть отрицательной. (В случае охла- ждения пластины при Тж < Т вывод относительно знака кон- станты будет тот же.) Обозначив константу через —fc2 и решив уравнения (III.67), получим Т(т) = Ci е-“*2/г; (III.68) 1?(х) = Ci sin(fcx) + Сз cos(fcx), (III.69) где Ci, С*2 и Сз - постоянные интегрирования, которые, как и значение постоянной к, находят из начальных и граничных усло- вий. Используя условие симметрии (III.63) (3i?/3x)|J._0 = (^име- ем Дифференцируя уравнение (III.69) и учитывая (III.70), на- ходим Ci = 0; следовательно, !?(х) = Сз cos(Arx). (III.71) Выражение для поля избыточной температуры имеет вид 0 = Ce-“*2rcos(b), (III.72) где С = Ci Сз- 79
Используя граничное условие (III.62) в виде дд дх х=+6 z=4-6 (III.73) получаем при подстановке в него уравнения (III.72) и производ- ной дд/дх при х = 6 —кС е~ак2т sin(H) = - у С e~ak2r cos(W). (Ill .74) А Сократив обе части этого равенства на С е alc г, приходим к трансцендентному уравнению для определения постоянной к: кХ/а = ctg(W), (III.75) или кбХ/аб = ctg(H). (III.76) Обозначим кб = п и аб / X = Bi, тогда n/Bi = ctg(n). (III.77) Уравнение (III.77) называется характеристическим уравне- нием', его можно решить графическим способом, находя точки пересечения прямой yi = n/Bi с котангенсоидами У2 = ctg(n) (рис.III.5, а). Как видно на рисунке, уравнение (III.77) имеет бесчисленное множество решений п,; эти значения называются собственны- ми числами задачи. Значения собственных чисел зависят от порядкового номера i и числа Bi. Характер этой зависимости приведен на рис. III.5, б. При Bi —> оо прямая yj = n/Bi совпадает с осью абсцисс и корни уравнения (III.77) имеют следующие значения: ni = тг/2, пг = Зтг/2, п3 = 5тг/2,..., п, = (2г - 1) тг/2. При Bi —> 0 прямая yj совпадает с осью ординат и собствен- ные числа становятся равными: nj = 0, пг = гг, п3 = 2тг,..., nt = (г — 1) тг, где i = 1,2,3. 80
Рис. III.5. Схема графического решения уравнения (III.78) (а) и графики для определения собственных чисел щ (б) Таким образом, исходя из уравнения (III.72) каждое значе- ние собственного числа п, приводит к частным решениям: = C*i cos(nix/6)exp(—ап2т/62); #2 = С2 со8(п2х/6)ехр(-ап$т/62); 7g^ = C, cos(n,a:/6) exp(—ап2т/62). Общее решение дифференциального уравнения (III.59) опре- деляем как сумму частных решений: 1? = Ci соз(п^х/<5) ехр(-ап2т/Л2). (III.79) 1=1 Функция 1? удовлетворяет граничным условиям, так как им удовлетворяют все члены ряда. Постоянные Q находим из на- чальных условий (III.61) = 52 cos(n,z/6), (III.80) i=l т.е. Ci являются коэффициентами Фурье функции при разло- жении ее по косинусам в интервале от —6 до 4-6. 6-1005 81
Для определения коэффициентов Ct- правую и левую части уравнения (Ш.80) умножаем на cos(nja:/6) и интегрируем от -ё до +6 (j принимает все целые значения, в том числе и г): (III.81) Нетрудно показать (свойство ортогональности), что dx ~ О при i / j; (III.82) dx при i = j. -6 Вследствие этого выражение для определения Ci приобрета- ет вид +5 -6 $0 26 sinn,7nt 6[1 + sin(2nj)/2nj = ч?о 2 sin ni п{ + sin n, cos nt- (III.83) Подставив уравнение (III.83) в (III.79), получим окончательное выражение для температурного поля симметрично нагреваемой однородной пластины: оо п . ап? г „ . 2 sin п; / х \ —ri— ,ттт . •& = 7 t?o-----;----------cosfn, —)е . (III.84) ~ ni + sin п, cos nt \ о / 82
Безразмерное время ат/62 = Fo называется числом Фурье. Выражение для безразмерного перепада температур имеет вид а ОО л • 9 = ± = V------------------соз(пД) .-•?*>. (Ш.85) V0 ni + Sin П,- COS П{ X о / В большинстве практических задач необходимо определить температуру в характерных точках тел. Так, для пластины наи- больший интерес представляет нахождение температуры либо на поверхности х = ±6, либо в средней плоскости х = 0. Для этих случаев безразмерная координата х = х/6 принимает значение . л та 2 sin П; либо 1, либо 0. Выражение ----;--------является функцией п, + sin п,- cos в,- только n,-, т.е. функцией порядкового номера и критерия Bi. Так как п{ - числа, значения которых возрастают с порядковым но- мером, то последующие члены ряда играют все меньшую роль с увеличением п,- [следует помнить, что cos(n,z) - величина огра- ниченная, а ехр(—n2Fo) - величина быстроубывающая]. Исследования показывают, что при Fo >0,3 ряд (III.85) становится быстросходящимся и может быть с достаточной точ- ностью заменен первым членом ряда: та 2 SIH П J . о . 0 =------;----------cosiniz ) ехр(—nfFo). ni + sin nj cos ni 1 Для оси пластины (х = 0) имеем €>£=0 = ^(Bi) exp(-n2Fo) = /i(Bi; Fo); для наружной поверхности (х = 1) = F(Bi) ехр(—n2Fo) = /2(BiFo), (III.86) (III.87) (III.88) где TV (Bi) и P(Bi) - функции, зависящие только от числа Био. Таким образом, при заданных координатах безразмерный перепад температур является функцией только двух чисел: Bi и Fo. Логарифмируя уравнения (III.87) и (III.88), получаем 1пОг=0 = In 7V(Bi)-n2Fo; 1п0г=1 = lnP(Bi)-n?Fo. (III.89) б1 83
Рис. III.в. Зависимость безразмерного перепада температур от чисел Фурье и Био для поверхности пластины в I г з » s с ? в it гв is г» Рис. III.7. Зависимость безразмерного перепада температур от чисел Фурье и Био для середины пластины Уравнения (Ш.85) удобно представить в полулогарифмиче- ских координатах (рис. III.6, III.7). По оси ординат здесь от- 84
ложены натуральные логарифмы величины 01=о или 01=й, а по оси абсцисс - критерий Фурье. Число Био используется как параметр. Пользуясь этими графиками, можно выполнять следующие расчеты: 1) при заданной продолжительности нагревания пластины (т.е. задано число Fo) и интенсивность теплоотдачи с ее поверх- ности (т.е. известно число Bi) определять 0£=о и 0?=i; 2) при заданных 0?-о или 0£—i и Bi находить продолжи- тельность нагрева, т.е. Fo; 3) при заданных Fo и 0£-о (или 0j=i) определять интен- сивность теплоотдачи на поверхности пластины, т.е. Bi. Из уравнения (III.86) сле- дует, что температурное поле в пластине имеет для любого мо- мента времени вид симметрич- ной кривой (со8(п,ш) - четная функция). Минимум кривой находится на оси пластины. Для любого момента вре- мени касательные к темпера- турным кривым в точках х = = ±1 проходят через одни и те же симметрично расположен- ные точки ±N (рис. III.8). Эти точки называются на- правляющими и отстоят от поверхности пластины на от- носительном расстоянии х = = 1/Bi. Для доказательства Рис. III.8. Изменение тем- пературного поля неограни- ченной пластины этого преобразуем граничное условие (III.73) дд дх х=+6 а .. — д’ ^lz=+« к безразмерному виду, умножив обе части равенства на 6/т?о: 85
де дх 'S = (nL9o) u\xfo) х=+б * Уравнение (III.90) запишем в виде =-BiS|j=1. (III.91) UX Z=1 Согласно схеме на рис.Ш.8, = 0|~=1/го = tg¥>. (III.92) X =1 Из сравнения уравнений (Ш.91) и (III.92) следует 1/х0 = Bi. (III.93) Подставив в уравнение (III.93) размерные величины, нахо- дим, что xq = A/а, (III.94) т.е. расстояние точки N от поверхности пластины определяет- ся условиями однозначности, и, следовательно, касательные ко всем температурным кривым в точке пересечения их с поверхно- стью пластины при неизменных условиях однозначности всегда проходят через точку N. Количество теплоты, поступающей в пластину с обеих сторон за время от т = 0 до т = оо, равняется изменению энталь- пии пластины за этот период (температура пластины во всех точках достигает температуры жидкости): Qoo = 2J/pc(T0-T«), (Ш.95) где То ~ температура в начальный момент времени. За произвольный промежуток времени от 0 до rj энтальпия изменяется на Q = 26/pc(T0-T1) = = 2<$рс/(Т0 - Тж)(1 - 0) = Qoo(l - ©), (III.96) 88
где f - площадь боковой поверхности стенки; Ti - средняя температура по толщине пластины в момент времени ту, 0 = = (Ti -Тж)/(Тд -Тж) - средний безразмерный перепад темпера- тур в момент времени ri- Величина 0 в соответствии с теоремой о среднем может быть определена из выражения 0 = 0 dx. (111.97) Подставляя значение 0 из уравнения (III.85), после ин- тегрирования имеем оо п • 2/ \ 00 е = V 2 Sln --------------е-”< F« = У' N, e"?F”, (III.98) чу 4- n; sin n; cos n; •— t=l t » » 1 i=l где - коэффициенты, зависящие от числа Bi. При значениях числа Fo >0,3 ряд (III.98) становится бы- стросходящимся и для решения практических задач можно огра- ничиться первым членом ряда: q _ 2 sin2(ni) п2 -|- П1 sin ni cos П1 Значения коэффициента #1 представлены на рис. Ш.9. -n?Fo = jvie-"iFo. (III.99) 0 0,4 0,0 1,0 1,0 8L Рис. III.9. График для опре- деления значений /Vi о ч,о 0,0 юр 10,0 вс 87
При больших значениях числа Био (Bi —* оо) собствен- ные числа принимают значения тц = тг/2, пг = Зтг/2,..п,- = = (2г - 1)тг/2 (см. рис. III.5, б). При этом sinn, = sin[(2i — 1) тг/2] = (— cos n, = cos[(2i — 1) тг/2] = 0. Уравнение (III.85) при Bi -+ оо будет следующим: ®1в1—»оо = ~ Е{(" cos[(2i - 1) £ х]/(2г - 1)}х X ехр[—(2г - l)2^- Fo j. Из этого выражения следует, что для поверхности пластины (III. 100) О|г=1 = 0. Bi —*оо Распределение температуры в остальных точках пластины зависит от соотношения внутреннего и внешнего термических сопротивлений. Если <5/А > 1/а, то температура поверхности с самого начала процесса становится равной температуре нагревал ющей жидкости /ж, т.е. граничные условия III рода переходят в условия I рода. При 6/X «С 1/а имеют место малые значения числа Био (Bi 0). При этом ni -» 0, nj —> тт,..., п, —> (г - 1) %, и из уравнения (III.83) следует Ci = lim[(2 sinnj)/(ni + sinni cosni)] = 1; n—>0 с2 = с3=-=с{ = о-, ®Ib1—»0 т.е. температура по толщине пластины в любой момент времени оказывается одинаковой и постоянной. 88
При 0 < Bi < 1 tg nj и nj и из трансцендентного уравнения ni/Bi = 1/tgnj следует, что nj « \/вГ. Поэтому при Bi 1 0 ~ cos( х УЁГ) exp(-Bi Fo) (III.101) и изменение поля температуры происходит в основном во време- ни из-за малости Bi. На рис. III. 10 показан характер изменения температурного поля для различных случаев изменения числа Bi. Рис. Ш.10. Изме- нение температур- ного поля в неог- раниченной плас- тине при больших (а) и малых числах Био (б) Проведенные расчеты свидетельствуют, что изменение тем- пературного поля, представленное на рис. III. 10, а, б, имеет место при Bi 100 и Bi <0,1 соответственно. Влияние числа Fo сказывается на поле температур следую- щим образом: при увеличении Fo сходимость ряда в уравнении (III.85) улучшается. Как уже было сказано ранее, для значения Fo >0,3 ряд может быть заменен его первым членом: smni cos(nia:) 2 0 = 2-----------— — exp(-nfFo). nj + sm ni cos ni (III. 102) Условие (III.86) называется регулярным тепловым режи- мом, при этом поле перепада температур остается подобным самому себе во все последующие моменты времени. Такие про- цессы называются автомодельными во времени. 89
III.4. Теплопроводность тел, образованных при пересечении пластин Такие тела, как прямоугольные брусья, параллелепипеды, можно рассматривать как результат пересечения двух или трех взаимно перпендикулярных пластин, имеющих такие условия од- нозначности, как и соответствующие им поверхности рассматри- ваемого тела. В качестве примера рассмотрим температурное поле прямо- угольного бруса, состоящего из однородного изотропного матери- ала. Брус представляет собой пересечение двух неограниченных пластин. Нестационарное поле избыточной температуры при на- гревании бруса подчиняется уравнению Фурье д9 _ (&9 д29\ дт ° \#а:2 + ду2 ) ’ (III.103) где 9 = - t. Начальные и граничные условия для пластин приняты оди- наковыми в области — 6Х < х < -|-^х, —6у < у < +6у: 9 — 9q — — 9 = 0 при т fo при т = 0; оо; (III.104) д9 Л + а9 = 0 дх д9 при х — 9Х, (III.105) Х^- + а9 = 0 ду при у = 6У\ д9 « -5- = 0 при ох д9 х = 0, -9У < у < (III. 106) при у = 0, -6Х < х < +6Х. Докажем, что безразмерный перепад температур бруса ра- вен произведению безразмерных перепадов температур в пласти- нах: 0 = 0x0,,. (III. 107) 90
Здесь Ox = = ^l(Fox; Biz; z); (III.108) *ж ~ *0 ®У = T~~"7 ~ ^(Foj,; Biy; J). (Ш.109) ЬЖ ““ &0 Представим выражение (III. 107) в виде # = 1Мз,Ж (Ш.110) Подставив уравнение (IIL110) в (Ш.103), получим 7?о \ дт д2у / Ч?0 \ дт дх2 J (III.111) Равенство нулю всего выражения следует из равенства нулю выражений, заключенных в скобки, так как -&х и являются решениями соответствующих дифференциальных уравнений для пластин: ‘дх^у/Яь — 0 при т —> оо, так как 0 и t?y -» 0 при т -+ оо. При ж — +6Х и у = +<5у соответственно имеем ^У (\ д$Х , а ) 1 =0; ^х (, д$у п А "Г Л S1 + а1?У \ ду V = 0, (III.112) (III.113) а при х = 0 и у = 0 соответственно $у д$х _ q $0 дх $х д$у _ g ч?0 ду (III.114) (IIL115) 91
Последнее справедливо, поскольку производные равны нулю вследствие симметрии температурного поля в каждой отдельно рассматриваемой пластине. Рис. III.11. Схема к расчету температурного поля паралле- лепипеда Таким образом, выра- жение (III. 107) удовлетворя- ет дифференциальному ура- внению, начальным и гра- ничным условиям и, следо- вательно, является решени- ем задачи. Аналогичный резуль- тат можно получить при рассмотрении температур- ного поля параллелепипеда (рис. III.11), для которого безразмерный перепад запи- шется так: 0 = QxQyQz = = <ж - t(x, т) <ж - t(y, т) <ж - *(z, т) ~ ^0 <ж ~ <0 ^ж ~ ^0 Указанные решения справедливы и для средней темпера- туры параллелепипеда 0 = 0 х 0 у 0 г = = <ж ~ <(Д, г) *ж - ?(у, г) *ж - Z(z, т) ^ж ~ ^0 ^ж ~ ^0 tyn ~ <0 При определении температуры характерных точек - центра параллелепипеда и центров граней - можно воспользоваться при- веденными ранее графиками (см. рис. III.6, III.7) для отыскания ®z- Изложенный прием решения задачи для тел конечных раз- меров может быть применен и для определения температурно- го поля в цилиндре конечной длины, который представляет со- бой тело, полученное от пересечения неограниченных цилиндра и пластины. 92
III.5. Температурное поле пластины с внутренними источниками теплоты Рассмотрим задачу, отличающуюся от разобранной выше тем, что по пластине равномерно распределены источники тепло- ты с постоянной мощностью qy. Поле температур подчиняется дифференциальному уравнению dt _ d2t qv дт дх2 рс (III.118) Пластина помещена в жидкость с температурой (ж и в на- чальный момент имеет ту же температуру. В пластине начи- нают действовать источники теплоты. Начальные и граничные условия имеют вид t = t* при т — О, -6 < х < +6; (Ш.119) dt - Ат- = а((- £ж) при х = +6; (III.120) (/«V — = 0 при х = 0 (из условия симметрии). (III.121) Для решения задачи удобно преобразовать приведенные уравнения, введя избыточную температуру 1? = $«> - t, пред- ставляющую собой разность между стационарной (устанавлива- ющейся по истечении длительного промежутка времени) и не- стационарной температурами. Стационарное распределение температур определяется по формуле <?v<52 А 2 х2\ too — t — + n. I 1 + — 77 I • г—оо 2A I Bi d2 1 (III.122) Такое стационарное поле подчиняется дифференциальному урав- нению и граничным условиям: 93
dtoo qy . 1o0\ -&Г = а~д^ + ^ (HL123) -A = a(too - t*) при x - +£; (III.124) ^ = 0 при i = 0. (III.125) ox Вычитая из уравнений (III. 123) - (III. 125) соответственно выражения (Ш.118), (III.120), (III.121), а из уравнения (III.122) - (III. 119), имеем dd д20 . .. дт а дх2 ’ (III.126) , && -А -г— = av при ох х = -н$ (г > 0); (III.127) qyS2 ( 'д~ 2А V + 2 х2\ вГ-^) (III.128) dd - = 0 при х = 0 (т > 0). (III.129) Решив полученную систему (III.126) — (III.129) методом раз- деления переменных, получим общее расчетное уравнение t _t ~ 0 ~ qy^2~/2X ~ Е67, cos(n‘:c) exP(~n.?Fo)> (Ш.130) где собственные числа щ определяются из уже известного транс- цендентного уравнения (111.77), а коэффициенты 1 У (i+— ®2) c°s(n»®) Ci = ---------j------------------. (III.131) У COS2(zii®) dx о 94
III.6. Нестационарное температурное поле бесконечно длинного цилиндра Рассмотрим задачу по определению температурного поля в неограниченном цилиндре радиусом Rq, начальная температура которого tQ. Цилиндр помещается в среду с постоянной тем- пературой tx > /0; коэффициент теплоотдачи а во всех точках внешней поверхности цилиндра остается постоянным на протя- жении всего периода нагревания; в связи с этим температурное поле зависит только от радиуса и времени. Дифференциальное уравнение теплопроводности для рас- сматриваемой задачи будет следующим: dt fd2t 1 0/1 Ът ~ а + ’ Т > °’ ° ~ Г ~ Я°’ (П1.132) а условия однозначности имеют вид t — tQ при г = 0, 0 < г < Rq\ dt = - О п₽и т = -^о; (Ш.133) dt — = 0 при г = 0 (из условия симметрии). (III.134) В центре цилиндра температура имеет конечное значение: tf=Q "ф- ОО. После замены переменных (полагая i? = ty^-t} система урав- нений, описывающая температурное поле неограниченного ци- линдра, преобразуется к виду dti Г021? 1 0i?] д- = а -х-о + - , г > о, О<г<Ло; (III.135) от [ or1 г or ] 1? - т?0 - tx - «о при Т = 0; (III.136) 01? A^4-ai? = 0 при г = До; (III.137) 01? -х- = 0; 1? оо при г = О. (III. 138) 95
Применим метод разделения переменных, который, как и в случае бесконечной пластины, приводит к частному решению ви- да. ^Ce^r), (III.139) где функция V’(r) в рассматриваемом случае должна быть реше- нием уравнения Бесселя ^\т) + -^\г) + к2г1>(г') = 0. (III.140) г Так как V* зависит только от радиуса г, то общее решение уравнения (III. 140) представим как сумму двух частных реше- ний: V»(r) = р(г) + д(г). (III.141) Это следует из того, что общее решение всякого линейно- го однородного дифференциального уравнения второго порядка вида у" + Р(х)у' + q(x)y = 0, к которому относится и уравнение (III. 140), можно записать так: У = <^12/1 + С2У2, где Ci и С2 ~ постоянные; yi и у2 - линейно независимые решения этого уравнения, т.е. j/i/j/2 £ const. При этом достаточно знать только одно линейно независи- мое решение, например у\, тогда второе находится по формуле У2 = У1 j УТ2 e~fPd* (III. 142) Первое частное решение ^>(г) можно определить из преобра- зованного уравнения Бесселя вида (III.140): гр"(г) + ф*(г) + &2гф(г) = 0. (III.143) Заменив т — x/kiA. учитывая, что в этом случае ср "(г) = А29?//(х); ф\г) = ktp'(x}, получаем х 4- р' + — 0. (III.144) 96
Найдем решение этого уравнения в виде степенного ряда = ао + а^х + сцх2 + а^х3 4-- (III.145) Дифференцируя почленно уравнение (III. 145), имеем Ч>' = ai + 2а2Х + Зазх2 + 4а4х3 + • • •; (III.146) Ф " = 2 • 1 ai + 3 • 2 азх + 3-4 а4х2 + • • (III.147) Подставляя (III. 145) — (III.147) в уравнение (III.144) и группируя члены с одинаковой степенью х, получаем ai + (ао + 22а2) х + (ai + З2а3) х2 + (а2 + 42а4) х3 + ... (III. 148) Выражение (III. 148) равно нулю при ai =0; ао + 22а2 = 0; ai + 32аз =0; ...; ап_2 + апп2 = 0. Из этих равенств следует, что все коэффициенты с нечетны- ми индексами равны нулю, а коэффициенты с четными индекса- ми выражаются через ао: а2 = -ао/22; а4 = +а0/22 • 42; а6 =-а0/22-43-62; ...; а2п = (-1)" • а0/(2п)2! Следовательно, частное решение ф(х) есть выражение / х2 х4 х® \ ф = ao - £2 + 22 42 - 22 42 g2 + ' ’’J • (III. 149) Если положить ао = 1, то частный интеграл уравнения (III. 144) равен функции Jo(®) = 1 - ж2/22 + х4/22 • 42 - х6/22 • 42 • 62 + • • •, (III. 150) называемой функцией Бесселя I рода нулевого порядка. 7-1005 97
Для нахождения второго частного решения воспользуемся формулой (III. 142) ц = ip I е f dx. Подставив <р и произведя вычисления, в результате получим + М = Jb(x) 1па?+ 22 22-42 (III.151) Для удобства вычислений вместо функции /х в общее реше- ние (Ш.141) подставим функцию Уо(х), связанную с /х соотноше- нием 2 2 •Уо(») = -д+-Л(г)(С'-1п2), (IIL152) 7Г 7Г где Уо(я) - функция Бесселя II рода нулевого порядка; С = 0,577 - постоянная Эйлера. Частные решения и Уо(а:) линейно независимы, общий интеграл уравнения (III. 140) №) = Ci Jo(x) + С2 Уо(х) (III.153) или, возвращаясь к переменной т {х = кг), V>(r) = Ci Jn(kr) + С2 YQ(kr). (III. 154) Так как температура на оси цилиндра (г = 0) должна быть конечной, то решение (III.154) не должно содержать функцию Y\i(kr), которая стремится к бесконечности при т —» 0, следова- тельно, С2 = 0, и решение (III. 154) принимает вид 1? ^Ce~ak2r JQ(kr), (III.155) где постоянные А и С определяются из граничного и начального условий. 98
Предварительно укажем, что аг = -fc [т - + 2^ -••]=-* <Ш1М> Здесь J\(kr} - функция Бесселя 1рода первого порядка. Удовле- творим решение (Ш.155) граничному условию -ХкС Jx{kRQ)e~k2ar = аС J0(kR0) e~k^T. Сократив на С е~к2<1Т, получим Jo(kRo')/ Ji(kRo) = kXRo/aRo = fc_R0/Bi. (III.157) Уравнение (III.157) явля- ется трансцендентным. Решим его графическим способом. Обозначим У1 = fc7?o/Bi = n/Bi; У2 = JO (П)/Л (п), ( где к Ro = n. График функции У2 = = Join}/Щп} напоминает ко- тангенсоиду, но с убывающим периодом, график функции у\ - прямая линия, проходящая через начало координат. На рис. III. 12 представлен графи- ческий способ определения кор- ней уравнения (III. 157). Рис. IIIЛ2; К решению ура- внения (III.157) Как видно из рисунка, имеется бесчисленное множество корней п>, определяемых пересечением графиков функций у\ и У2- 7' 99
Общее решение есть сумма всех частных решений: 1? = £ Ci J0(nir/R0) . (III.159) 1=1 Постоянные Ci определяются из начального условия ^ = ^CiJ0(nir/RQ). (III.160) i=l Это соотношение представляет собой разложение функции i?o в ряд по функциям Бесселя. Из курса математики известно, что система функций >/г J[ar), у/т J^br) является ортогональной. Следовательно, Z Г JQ(nir/RQ) J^njr/Ro) dr = I ~ ° 3 2 (IIL161) J К r V при J — f R2 J rJQ(nir/R^dr=^-[jl(ni-)+Jl{ni')]- 0 (III. 162) Ro c, = 4- «0 _ _______2<71(ni)______ ° + Jl(ni)] . (III. 163) о Обозначив О = = (^ж - i)/(£« - *o), имеем oo , ii (ni-i64> [Jo (ni) + Ml 100
В том случае, если Fo > 0,25, ряд (III.164) сходится очень быстро и для практических расчетов можно ограничиться пер- вым членом ряда. При этом безразмерным перепадам темпера- тур на поверхности и на оси цилиндра соответствуют формулы 0г=яо = 2 Jo(»l) e-n?Fo ni [ Jq (ni) + jf(ni)] = TV0(Bi)e-’l?Fo Or=o = nl [^o (nl) + ^(ni) = M0(Bi)e"n?Fo. (III.165) (III.166) 2 Ji(ni)e"?Fo На рис. III. 13 и III. 14 показаны зависимости безразмерной температуры от чисел Bi и Fo для т = 0 и т = Ro, подсчитанные по формуле (III. 164). Рис. III.13. Зависимость безразмерного перепада температур на оси неограниченного цилиндра от чисел Фурье и Био Теплота, поступающая в тело за время нагрева, должна рав- няться изменению его энтальпии за это время: Qoo — ^Rolpc{tx ~ ^о)- (III.167) 101
Рис. III. 14. Зависимость безразмерного перепада температур на поверхности неограниченного цилиндра от чисел Фурье и Био Для промежутка времени, ограниченного г, так же как и для пластины, _ Qr = Qoo(l - ©), (Ш.168) где 0 = (гж - 1)/(гж - to), или я0 1 0 = —/ 0 2ят dr = 2 / 0 г dr, *R20J J о о (III.169) t - средняя температура цилиндра; г = t/Rq. Подставив значение 0 из (III. 164) и проинтегрировав выра- жение (III. 169), получим г-' 4j7f(n,) , 2п 102
поскольку Jb(nj)/C7i(n») = n,/Bi. В случае, когда Fo > 0,25, ® = »W + BP) exp(-nlF°)' (Ш1П) Как уже указывалось, определение температурного поля ци- линдра конечной длины осуществляется перемножением реше- ний, полученных для бесконечного цилиндра и неограниченной пластины. III.7. Нестационарное температурное поле шара Рассмотрим задачу с граничными условиями III рода: задан коэффициент теплоотдачи а, постоянный для всей поверхности шара радиусом Rq. В начальный момент времени т = 0 температура шара оди- накова во всех точках и равна to- Температура окружающей среды tjK > to- Избыточная температура = tM — t. Математически задача описывается следующими уравнени- ями: дд _ дт дЧ 2 дт* + г дг) ’ (III. 172) дг Л дд п э7 = ° "₽и ^0 = — tg при г = Rq; (III. 173) г = 0 (из условия симметрии); (III.174) при т = 0, 0 < г < Rq. (III.175) Как и в предыдущих случаях, при рассмотрении пластины и цилиндра задача может быть решена методом разделения пере- менных. Не приводя всех вычислений, ограничимся конечным результатом: 0 = А = у 2(sinn> ~ ni cosn>) sin(n^r/fl0) g_n2Fo i?0 ni ~ sin n, cos n, п,г/Яо ’ v • ) 103
где п,- - корень характеристического уравнения tgn = — n/(Bi — 1). (III.177) При Bi —> оо п,- = гл- и с. _ 2(sinni ~ ni cosn,) = 2 zjy-bl ’ п,- - sin п,- cos п,- В результате уравнение (III.176) принимает вид СЮ . 0 = 222(-1),+1 . - - sin(^) exp(-n^Fo). (III.178) гтгг/ло ' ло' При малых значениях Bi (Bi < 0,1) значения (7, сгтремятся к нулю, за исключением Ci = 1 и nj = 3Bi, когда 0 опрееделяется выражением 0 = exp(_3Bi Fo j (III.179) v3Bi г/Rq При значениях Fo > 0,25 для определения 0 можноэ восполь- зоваться первым членом ряда в уравнении (III.176): 8 = 2(.inm - », roan,) sin(nir/ao) exp(_„?Fo) (Ш180) (ni — sin ni cos ni) ni г/Rq Для определения значения 0 в центре шара (рис. III. 15,, а) или на его поверхности (рис.Ш.15, б) могут быть использовагны графи- ки, где число Bi является параметром, а число Fo - аргументом. По аналогии с пластиной и цилиндром количество) теплоты, воспринимаемой шаром за период времени т = 0... т\,, определя- ем из уравнения n, - sm п,- cos п. (sinn,-— n, cosnj)2 1 - е-п?Fo (III.181) 1 П4
Рис. III.15. Зависимость безразмерного перепада температур в центре шара (а) и на его поверхности (б) от чисел Фурье и Био Рис. III.16. Гра- фик для опреде- ления количества теплоты, воспри- нимаемой шаром Из выражения (III. 181) следует, что Qr/Qoo = /(Bi; Fo), поэтому определить QT/Qoo можно с помощью графика, приве- денного на рис. III.16. Здесь Т" О Qoo = 2 тг7?орс(/ж — to) (III.182) - полное приращение энтальпии шара при нагреве до /ж. 105
III.8. Регулярный режим процессов теплопроводности Регулярным тепловым режимом называют нестацио- нарный процесс теплопроводности, при котором поле избыточной температуры i? автомодельно по времени, т.е. остается подобным при изменении времени. Анализируя решения, полученные для тел различной формы (пластины, цилиндра, шара), приходим к выводу, что выражение избыточной температуры может быть представлено рядом: ОО 0 = 52 A.F, e~n-?Fo , (III. 183) »=1 где А, - постоянные коэффициенты, зависящие от заданных на- чальных условий (числа Bi) и не зависящие ни от координат, ни от времени; F, - функция, зависящая от координат и числа Bi. Специфика геометрической формы учитывается видом множите- лей A,, F{. Для первого члена ряда множитель при г (входящий в Fo) называют темпом регулярного режима: т = п\а/ё2. (III.184) При малых значениях т поле избыточной температуры определя- ется по формуле (III.183), т.е. на распределение избыточной тем- пературы оказывают влияние не только первый, но и последую- щий члены ряда. В этот период на формирование поля избыточ- ной температуры существенно влияет начальное распределение температур в теле. Этот период называется неупорядоченным нестационарным процессом. Так как собственные значения п, возрастают с увеличением индекса г, то каждый последующий член ряда (III.183) меньше предыдущего. Это убывание тем значительнее, чем больше т. Начиная с некоторого значения т (Fo > 0,3) поле избыточ- ной температуры с достаточной точностью описывается первым 106
членом ряда (III.183), с этого момента начальные условия игра- ют второстепенную роль: 1? = е~тг = р(®) е~тт. (III.185) Этот период и называется регулярным режимом. Из уравнения (III.185) при его логарифмировании следует, что 1пт9 = — тт 4- const, (III.186) т.е. натуральный логарифм избыточной температуры изменяет- ся во времени по линейному закону. На рис. III. 17 представлена эта зависимость для двух точек тела (х = 0; х — 1) при его охлаждении. Продифференцировав уравнение (III. 186) по времени, полу- чим 4 -г- = -m = const. (III.187) и дт v Темп охлаждения, как следует из этого выражения, предста- вляет собой относительную скорость изменения температуры в теле. Рис. III. 17. Зависимость ло- гарифма избыточной темпе- ратуры от времени Рис. III.18. Схема экспери- ментальной установки для измерения коэффициента температуропроводности ме- тодом регулярного режима 107
Из формулы (III. 185) вытекают следующие свойства регу- лярного режима: 1) темп регулярного режима не зависит ни от координат, ни от времени; 2) темп охлаждения т определяется геометрической формой и размерами тела, его теплопроводностью и условиями теплоот- дачи на поверхности тела; 3) если система плотно соприкасающихся тел находится в регулярном режиме, то все тела этой системы имеют одинаковый темп. Свойства регулярного режима широко используются при экспериментальном определении коэффициентов температуро- проводности и теплоотдачи. Для измерения коэффициента температуропроводности ис- пытуемое тело помещают в термостат, в котором поддерживают постоянную температуру жидкости (рис. III.18). Жидкость при- водится в движение винтом и интенсивно омывает поверхность тела. Двумя термопарами измеряется перепад температур i? = t — /ж в любой точке тела в различные моменты времени. По результатам измерений строят график в полулогарифмических координатах Ini?, г (см. рис. III. 17). Темп тп определяют вычи- слением углового коэффициента прямой линии, которую обра- зуют экспериментальные точки после установления регулярно- го режима. Коэффициент температуропроводности находят по формуле а - m (^/ni)2. Значение тц зависит от числа Bi и от формы тела, однако, если проводить эксперимент при Bi > 100, то п\ принимает впол- не определенное значение. Например, для пластины ni = тг/2, тогда имеем а = m (2^/тг)2. Таким образом, этот метод определения теплопровод- ности пригоден для веществ с низкой теплопроводностью (А < 0,5 Вт/(м-К)). Действительно, при проведении опыта не- обходимо обеспечить Bi > 100, следовательно, А < аб/100. 108
Значение коэффициента теплоотдачи а в термостатах обычно не превышает 2000 Вт/(м2-К), а размеры тела не превышают 26 — 0,05 м. Следовательно, А = a^/Bi = 2000-0,05/(2-100) = = 0,5Вт/(м-К). Это обстоятельство ограничивает использова- ние регулярного режима для измерения коэффициента темпера- туропроводности в лабораторных условиях. Свойства регулярного режима можно использовать и для из- мерения коэффициентов теплоотдачи. Рассмотрим тело с объемом V и поверхностью F, охлажда- емое в потоке жидкости так, что число Био мало (Bi < 1). Распределение температуры в теле с малым числом Био явля- ется близким к равномерному, т.е. температура в любой точке тела t(x, у, z) в данный момент времени т лишь незначитель- но отличается от средней по объему температуры tv в тот же момент времени V tv = ± Jt(x,y,z)dV. (III.188) о Распределение температуры в теле определяется уравнением Фурье = a div (grad/) (III. 189) и граничным условием -А— = сфя=0-*ж)- (III.190) оп п=0 Интегрируя уравнение (III.189) по объему V, имеем J dV = a J div (grad t) dt. V V (III.191) Левую часть этого выражения с учетом выражения (III. 188) пере- пишем так: [^dV = V^-. (III.192) J дт дт V 109
Правую же часть выражения (III.191) на основании теоремы Ост- роградского-Гаусса и условия (III. 190) приведем к виду /t dt div (grad <) dV = a <p — J on V F dF = п=0 1 j PCJ F где a - средний по площади коэффициент теплоотдачи; tF - сред- няя температура по поверхности. Таким образом, из уравнений (III.192) и (III.193), принимая tv — tF, имеем V^ = --F(tv-t«), (III.194) dr pc или ~ = -ml, (III.195) dr где m = aF/pcV', tS = tv — Общий интеграл уравнения (III.195) 0 = С е~тт. Следовательно, и в рассматриваемом случае (для средних температур и коэффициентов теплоотдачи) имеет место экспо- ненциальный регулярный режим. Параметр т является темпом изменения во времени средней по объему температуры. Таким образом, для нахождения среднего по поверхности те- ла коэффициента теплоотдачи а при малом числе Био (Bi < 1) следует пользоваться выражением а = mcpV/F, (III.196) где темп т определяют способом, описанным выше. Такой метод получения среднего значения коэффициента те- плоотдачи на поверхности тела применим только при неболь- ших температурных напорах, когда теплофизические параметры жидкости и тела можно считать постоянными. 110
Использование регулярного режима для определения в ла- бораторных условиях коэффициента теплоотдачи при внешнем обтекании тела ограничено невысоким значением этого коэф- фициента. Действительно, если принять в качестве исходных параметров б < 0,025 м; А < 330Вт/(м-К); Bi < 0,1, то а < 0,1-330/0,025 ~ 1300 Bt/(m2 R). В общем случае, когда tv / If, уравнение (III.199) принимает вид _, dtv а „. V — = F (tF — <ж). ат ср Вводя коэффициент ip = tF/tv и считая его постоянным по вре- мени, получаем m — ipFa/cpV', а = mcpV/ipF. Коэффициент ip называется критерием неравномерности температурного поля и его значение зависит от формы тела и числа Bi. На рис. Ш.19 показана зависимость ip от числа Bi для шара. При Bi —> оо ip -+ 0,и распределение температур в теле равномерное. Неравномерное распределение температур наблю- дается при ip —► 0. Рис. III.19. Зависимость ко- эффициента ф от критерия Bi Рис. Ш.20. Зависимость темпа охлаждения m от коэффициента теплоотдачи а 111
На рис. III.20 показана зависимость темпа охлаждения т от коэффициента теплоотдачи а. При а —> оо значение т становит- ся прямо пропорционально температуропроводности тела (пер- вая теорема Кондратьева): а = кт. Коэффициент пропорциональности к зависит лишь от формы и размеров тела. Например, для шара к = R2/%2. III.9. Периодические тепловые процессы В технике встречается ряд устройств, в которых повторение рабочего цикла сопровождается периодическим процессом тепло- обмена, т.е. имеет место периодическое изменение температурно- го поля, назваемое тепловыми волнами. Примером такого процесса может служить изменение тем- пературы в элементах конструкции двигателей внутреннего сго- рания, регенераторов, в элементах зданий, подвергающихся периодическому воздействию солнечной радиации и т.п. В этих случаях закон изменения температурного поля не за- висит от начального состояния системы, а определяется неко- торой периодической функцией времени. Решение дифференциального уравнения теплопроводности может быть осуществлено методом разделения переменных при условии, что функция зависящая от времени, должна быть периодической. Такому условию удовлетворяет экспоненциаль- ная функция от мнимого аргумента = e’*Fo (г = -\Z~ 1), которая также справедлива и для дифференциального уравнения теплопроводности. В качестве примера решения задачи с периодически ме- няющимся температурным полем рассмотрим полубесконечное твердое тело, температура поверхности которого периодически изменяется во времени. Задача сводится к решению уравнения dt _ d2t дт дх2 (III.197) 112
при граничных условиях ter = /(т) при х — 0; , „ л V ’ III. 198) i 7= оо при х —>• оо. Если решение искать в виде t = ф(т) ^(ж), (III.199) то в результате приходим к двум дифференциальным уравнени- ям <р'(т) — (±ik)a<p(r} = 0: ’ (III.200) ip (х) — (±ik) ip(x) = 0, из решения которых получаем t = Ce±ikare±Vk^x. (III.201) Это выражение представляет собой четыре частных решения, которые (с учетом того, что у/—1 = ±(1 ± г)у/1/2) имеют вид <1 = C*i exp ~У|- x 4- i (kar - x) ; t2 = C2 exp -J^x-i(kar - J-x} ; /Т Гк 1 (IIL202) /3 = C2 exp J - x ± i (kar - у - x^ ; Гк ( Fk \ /4 = C4 exp у — x - г укат - у — x) . Из этих частных решений два последних не удовлетворяют физическим условиям задачи, так как температура не должна возрастать бесконечно с ростом х. Таким образом, решения и <4 должны быть отброшены, а оставшиеся и <2 дают в сумме частное решение вида t = e'y/fx Cle<kar~^^ + С2е-'(кат~У^х) , (Щ.203) 8-1005 113
или, переходя к тригонометрическим функциям, t = е ix A cos 4- В sin где постоянные А, В и к определяются из граничных условий. Так как функция /ст = /(т) является периодической, то ее можно выразить рядом Фурье: ао / 2тгпт . 2тгп7- ^ст = + / J fln cos-----------l~ "п sin------- 2 \ т0 то 71=1 (III.205) При х = 0 уравнение (IIL204) принимает вид tx—Q = A cos(kar') 4- В sin(kar'). (III.206) Из сравнения выражений (III.205) и (III.206) следует А = ап; В = Ьп; к — 2irn/arQ. (III.207) Постоянный член ао/2 в уравнении (III.205), представля- ющий собой среднее значение колеблющейся температуры при х = 0, не входит в решение (III.204), поскольку отражает нал чальную неравномерность в момент времени т = 0. Таким образом, для достаточно большого значения т реше- ние (III.204) будет следующим: /2тГП / П7Г \ ап cos -----т — 4 /----х) 4- \ То V аго ' + (Ш.208)» Для более простого случая, если рассматривать колебания температуры поверхности около среднего значения по закону t = *max со8(2тгпт/то), (III.209) 114
решение (III.208) сводится к выражению — ^тах е (2тг пт — то / 7ГП V “ТО (III.210) X где <тах _ максимальное абсолютное значение температуры по- верхности (максимальная амплитуда). Максимальное значение температуры имеет место при. cos 2тптг = 4-1, т.е. при тп = 0, 1, 2, 3,..., или 2тг пт то 7ГП ----х = 2ттг. ат0 (III.211) Момент времени, при котором температура достигает мак- симального значения, Тщах То , 1 / то = тп — 4- - J-------X п 2 V «тгп (Ш.212) Отсюда следует, что колебания температуры имеют один и тот же период то/n, однако на расстоянии х от поверхности они за- . 1 / То паздывают по фазе на -*/--х и, кроме того, амплитуда коле- 2 V атп баний уменьшается из-за наличия множителя ехр( —1/-х ). \ V “го / Длину тепловой волны можно определить, приравняв период колебаний температуры их запаздыванию по фазе: хо = 2у/тгато/п. (III.213) Определив значение градиента температуры на поверхности тела dt I тп / . 2тг пт 2тг пт -г- — \ /-----1 sin---------cos------- dx х=о V аго \ то то г— I тп . [2тгпт 2 * /-- sin I ---- V “То \ то -1, (III.214) 8' 115
находим тепловой поток через поверхность тела по формуле Q = ~XF / dr. (III.215) J °х х=0 Интегрирование градиента температуры за полный период тает нулевое значение теплового потока, за полупериод же имеем /2 Qr=ro/2 = tmaxF V - АсрТо (Ш.216) ' V 7Г III.10. Численные методы решения задач теплопроводности Как уже было показано, в простейших случаях решение уравнения теплопроводности может быть получено точными ана- литическими методами. Однако для многих задач теплопровод- ности, встречающихся в современной технике, эти методы оказы- ваются неприемлемыми. Например, если неограниченная плос- кая стенка с обеих сторон омывается потоком нагретого газа с переменной (по времени) температурой и коэффициентом тепло- отдачи, аналитическое решение этой сравнительно простой за- дачи, связанной с определением температурного поля в стенке, в общем случае затруднено. Кроме того, полученное решение окат зывается настолько громоздким, что без последующего програм- мирования, расчета на ЭВМ и составления таблиц или постро- ения номограмм оказывается малопригодным для технических приложений. Помимо переменных граничных условий при интенсивном теплообмене и больших перепадах температур, имеющих место в ракетной, космической, ядерной и многих других областях тех- ники, возникает необходимость учета лучистого теплообмена на границах тела, изменения физических свойств материала с тем- пературой, внутренних источников теплоты и фазовых перехо- дов. Поэтому решение многомерных нелинейных задач теплопро- водности точными аналитическими методами без упрощающих предположений не представляется возможным. В этом случае 116
наиболее эффективными оказываются приближенные численные методы. Для решения дифференциальных уравнений теплопроводно- сти наибольшее распространение получил метод конечных разно- стей или сеток. Конечно-разностные методы решения уравнений в частных производных были предложены еще в 30-х годах, но массовое распространение получили лишь после появления бы- стродействующих ЭВМ с достаточно большим объемом опера- тивной памяти. При численном решении задачи разностным методом нельзя получить решение во всех точках некоторой области простран- ства. Приближенное решение может быть получено лишь в не- котором конечном множестве точек, называемых сеткой. Процедура численного решения начинается с замены диф- ференциального уравнения его конечно-разностным аналогом. Чтобы написать разностный аналог исходного дифференциаль- ного уравнения, необходимо, во-первых, заменить область не- прерывного изменения аргумента дискретной областью и, во- вторых, заменить дифференциальный оператор уравнения так называемым разностным оператором. После этого задача о при- ближенном численном решении дифференциального уравнения сводится к решению системы линейных алгебраических уравне- ний, т.е. системы конечно-разностных уравнений. Близость при- ближенного (разностного) решения к точному будет зависеть от выбора сетки. Рассмотрим численные методы решения наиболее простых задач нестационарной теплопроводности. Для численного реше- ния таких задач могут быть использованы разностные уравне- ния, составленные как по так называемой явной, так и неявной конечно-разностной схеме. Явные конечно-разностные уравнения. При разностном ре- шении одномерного уравнения теплопроводности дТ_ <Рт дт а дх2 (III.217) 117
входящие в него производные приближенно представляются (ап- проксимируются) производными в конечных разностях: дт ~ т*+1 - Г* дТ ~ дт Дт ’ дх т*+1 -т* дт ~ Т^-Т^ Ах ’ ИЛИ дх Да: ’ g2T^ i (Tj+1 - т* дх2 Ах \ Да: Т^-Т^Л _ Ttk+1 - 2Т* 4- т,^ Ах ) (Да:)2 При этом разностный аналог дифференциального уравнения теплопроводности примет вид . + тЬ (Да:)2 (III.218) В уравнении (III.218) значения частных производных от тем- пературы Т по времени т и от температуры по координате х за- менены их приближенными значениями, а соответствующие диф- ференциалы - конечными приращениями. В частности, Да: и Дт - это малые приращения независимых переменных х и т (Да: - шаг по координате, Дт - шаг по времени). При решении этого уравнения температуры определяются лишь в отдельных точках г = 1, 2, 3,..., п, лежащих на оси х. При этом предполагают, что в каждый момент времени т распределение температур в промежутке между соседними точ- ками является линейным. При решении многомерных задач эти точки обычно называют узлами пространственной сетки. Ин- тервалы между ними в простейшем случае одинаковы и рав- ны Да:. Выражение (III.218) следует рассматривать как систему ли- нейных алгебраических уравнений, число которых п равно чи- слу неизвестных температур. Индексы к и к 4- 1 характеризу- ют моменты времени, которым соответствуют температуры Т* (значение температуры в некоторый момент времени т) и (значение температуры в момент времени г 4- Дт). Каждое из конечно-разностных уравнений содержит лишь одну неизвест- ную температуру Эта температура возникает в узле $ 118
после того, как истечет малый промежуток времени Дт. При этом предполагается, что исходная температура в каждом из уз- лов равна Т*. Разностный аналог уравнения (III.217) может быть получен и более строгим методом, с заранее выбранной погрешностью ап- проксимации, если значения температур в узлах четырехточеч- ной разностной сетки предварительно представить в виде следу- ющего конечно-разностного уравнения с неопределенными коэф- фициентами: АТ*+1 + ВТ? + СТ?_г + DT?+1 = 0. Раскладывая функцию Т(х, т) в ряд Тейлора в окрестности точки (х = iAx, т = пк.т}, получаем ik »+1 = I? + Дх + ^(Аг)2 + ^(Ах)3 д3т\к i ,А ч4 = Т? - Дх + | (А*)2 + ^(А«)’ = Т? 4- Дт + |(Аг)2 (Предполагается, что все входящие в эти выражения частные производные напрерывны.) С учетом этих данных разность между конечно-разностным уравнением, содержащим коэффициенты А, В, С, D, и исходным дифференциальным уравнением (III.217) составит __ _j, е(Т) = (Л + В + С + Т>) Т* + (А - С) Дх ат\* Эх Л + 119
4<-A + c>(h), + м<-A- c>,Д1)‘ (a?),+ / ЯТ \ K 1 + £>Дт( — + -Л(Дт)2 \ dr /, 2 v d2T\k _ fdT _ d2T\ dr2 / \ dr dx2 ) ’ где T - точное решение уравнения (III.217). При этом дТ д2Т п дт а дх2 Теперь, чтобы исключить члены, имеющие более порядок малости, чем (?(Дт) и О[(Да:)2], надо положить низкий 44-5 + C’ + Z? = O; А - С = 0; А + С = —2а/(Да:)2; Z7 Дт = 1. 2а Дт (Да:)2. Следовательно, А = С = —а/(Дх)2; В — — и D = 1/&т. Таким образом, подставив найденные значения коэффициен- тов А, В, С и D в линейное уравнение, связывающее ТД-р ?Д, Тк_^ и ТД+1, получим рассмотренную выше разностную схему (Ш.218). _ Подставив А, В, С и D в выражение для е(Т), вычислим погрешность, возникающую в результате замены дифференци- ального уравнения (III.217) его конечно-разностным аналогом: 1 Л д2Т а . л х2 д4Т e(r)=24Ta^-i2(dl) а?' Указанный метод удобно применять при использовании тре- угольных, пятиугольных и более сложных разностных сеток. , Приведенная здесь разностная аппроксимация не является единственно возможной. Уравнение (III.218) построено по явной классической конеч*- но-разностной схеме и легко разрешается в явном виде относи- тельно неизвестной функции. 120
Для вычисления неизвестных температур Т*+1 система, со- стоящая из п алгебраических уравнений типа (III.218), после- довательно решается для каждого шага по времени. При этом уравнения необходимо решать столько раз, сколько шагов (сло- ев) содержится в расчетном промежутке времени. Когда выполняется первый шаг по времени и система (IIL218) решается первый раз, значения исходных температур Т* берутся из начальных условий. (Согласно начальным усло- виям, распределение температур в момент времени т = 0 должно быть задано.) При последующих решениях значения Т* берутся с предыдущего шага по времени. Решающее значение при решении системы конечно-разност- ных уравнений имеет правильный выбор Дт и Да:. При исполь- зовании явных конечно-разностных схем величина допустимого шага по времени ограничена и для внутренних узлов зависит от выбранного шага по координате и температуропроводности ма- териала а = Х/(ср). Устойчивость системы явных конечно-разностных уравне- ний 0 = аДт/(Да:)2 характеризует рис. III.21. „ аДт 1 Сравнение показывает, что вычисления при = - при- водят к вполне удовлетворительным результатам, в то время как аДт 1 при (a ja > 2 возникает явление, называемое неустойчивостью. Оно не связано с ошибками округления и является свойством са- мой системы конечно-разностных уравнений. Из приведенного примера следует, что при проведении рас- четов надо прежде всего позаботиться о том, чтобы значе- ние Дт удовлетворяло условиям устойчивости системы конечно- разностных уравнений. Разрешая уравнение (Ш.218) в явном виде относительно не- известной функции Т*+1, получаем Т*+' = А Т*+1 + В Т* + С Т^_г, (III.219) где А = С = аДт/(Да:)2, В = 1 - 2а Дг/(Да:)2, причем А + В + +С = 1. 121
Рис. III.21. Результаты точного и численного решения задачи нестационарной теплопроводности для плоской стенки, разбитой на четыре интервала Для простоты рассуждений будем считать, что все Т > 0. В общем случае среди известных значений ТД_], 7Д и ТД] найдет- ся одно наибольшее и одно наименьшее значения*). Если сделать *) В случае двумерной задачи в правой части уравнения (III.219) будет стоять пять различных температур, а в случае трехмерной - семь. 122
предположение о том, что имеет наибольшее значение, а - наименьшее, то в силу того, что Т*+1 = - В - -Т^ - С (7^ - Т*_!) и Т*+' = Т-е_1+А (Т^ -т^) +В (Т{- -T-L^, при положительных А, В, и С значение температуры Т*+1, которое предстоит вычислить при решении, будет удовле- творять неравенству T^+i > T’*+1 > T/Lj и, следовательно, будет заведомо ограничено. Значения А и С из физических соображе- ний не могут быть меньше нуля, поэтому, чтобы исключить нео- граниченный рост 7'*+1 в процессе решения, при выборе Дт не- обходимо соблюдать условие устойчивости системы разностных уравнений, которое состоит в следующем: В = (1 — 2а (Дт)/(Дж)2 > 0 или аДт/(Дх)2 < 1/2, следовательно, Д'Гдоп = 0,5 (Дг)2/а, где Дтдоп - максимально допустимое значение шага по времени. В рассматриваемом случае достаточность этого условия можно доказать также следующим образом. Если условие аДт/(Дх)2 <1/2 выполнено, то коэффициенты А, В, С положи- тельны и их сумма равна единице. Поскольку разностные урав- нения могут быть представлены в форме (III.219), то max |Ttfc+11 < (4 + В + С) max [Г* | = max |7’/с | < max IT’/'-11 и, следовательно, решение ограничено. Это простое доказательство в несколько измененном виде применимо и в том случае, когда А, с и р, входящие в темпера- туропроводность а, имеют переменные значения. Путем аналогичных рассуждений можно вывести условие устойчивости для случая решения многомерных задач по рас- смотренной выше явной схеме, а также найти условия устойчи- вости разностных уравнений, соответствующих узлам, лежащим на границах тела. Например, одномерное разностное уравнение, приближенно выражающее условие теплового баланса для граничного узла 1 123
(см. рис. III.21) разностной сетки, может быть записано в следу- ющем виде: \ А _ + 1 грк <4 U11 - т,‘) - (Tf - r2‘) = V — 1 Дт (Ш.220) Здесь первое слагаемое в левой части уравнения выражает те- пловой поток, переносимый путем конвекции от среды с темпера- турой Тж] к поверхности неограниченной плоской стенки, второе - тепловой поток, переносимый путем теплопроводности от гра- ничного узла 1 к узлу 2 твердого тела, а правая учитывает изме- нение энтальпии тела при толщине слоя стенки Да:/2 за малый промежуток времени Дт. Все члены этого уравнения отнесены к единице времени и единице площади поверхности стенки, через которую проходит тепловой поток. После приведения уравнения (III.220) к виду (III.219) полу- чим I * I 1 1 rji 11 + (Д^\~)Г) /ж1 Для соблюдения условий устойчивости коэффициенты при температурах Т* и Т? должны быть больше нуля, а 2аДт/(Да:)2 > 0 из физических соображений. Следовательно, для граничного узла 1 необходимо выполнение следующего усло- вия: аДт ( а1Дж\ 1 0,5 (Да:)2 \ А ) 2’ доп а/(Да:)2 + «1/(ср Да:) Полученные результаты показывают, что для граничног® узла сетки Дт зависит не только от Да: и а, но также и от коэф* фициента теплоотдачи а]. Это условие устойчивости для гра- ничного узла 1 является более жестким по сравнению с условием* устойчивости для внутренних узлов. Ясно, что при проведений 124
расчетов следует выбирать наименьшее значение Дтдоп, которое соответствует условию устойчивости для граничного узла 1. В теории конечно-разностных уравнений показано, что при соблюдении условий устойчивости решение системы (III.218) приближается к точному решению соответствующего дифферен- циального уравнения по мере уменьшения Дж и Дт. Выше было показано, что погрешность аппроксимации ко- нечно-разностной схемы (III.218) с точностью до членов, со- держащих (Дт)2 и (Дж)4, равна е(Т) = 1 (S) ДТ - 5 (О’) (Д1)2 + °[(ДТ)21 + °[(Д1)41- Это означает, что существуют такие две зависящие от Т поло- жительные постоянные Ki и К2, что абсолютная величина е(Т) не превосходит К\ Дт+К^Дя)2 для всех достаточно малых Дт и Дж, т.е. погрешность аппроксимации рассмотренной разностной схемы без учета членов более высокого порядка малости пропор- циональна Дт и (Дж)2. Поскольку точное решение дифференциального уравнения теплопроводности Т(х, т) удовлетворяет также и уравнению д2Т/дт2 — а2 (д*Т/дх*), то главный член погрешности аппрок- симации может быть представлен в форме аДт Дж21 д4Т а [“г 12] д^’ поэтому в частном случае, если Дт и Дж выбраны так, что аДт/(Дж)2 = 1/6, погрешность аппроксимации существенно уменьшится и станет пропорциональной (Дт)2 и (Дж)4. Этим обстоятельством можно воспользоваться для повышения точно- сти численного решения. О влиянии Дж на результаты решения можно судить по дан- ным, представленным на рис. III.22. Кривые I, //, и ///соответ- ствуют решениям, полученным с двумя, тремя и пятью узлами. Неявные конечно-разностные уравнения. В интересах по- вышения точности решения Дж следует выбирать достаточно 12S
Рис. III.22. Сходимость численных решений в зависимости от величины шага Дх по координате малым. Однако в явных схемах наибольшее допустимое зная ние Дт пропорционально (Дж)2. Это следует из условий усто чивости. При этих обстоятельствах может оказаться, что nJ завершения процесса решения потребуется огромное количест] шагов по времени и решение окажется практически невыполк мым. В этих случаях для решения уравнения теплопроводност используются неявные конечно-разностные уравнения вида 126
(^к+1 _ 7^)/дт = а (Г*+1 _ 2Tk+i + ^+1)/(Дх)2. (Ш.221) Явную и неявную конечно-разностные схемы можно объеди- нить: •ук+1 _। ук+1 (Дж)2 ТА, -2Т^ + тК (,п-222) тогда при о = 0 получится схема явных, а при ст = 1 - неявных конечно-разностных уравнений. Рациональный выбор весового множителя ст при машинном счете позволяет выполнить решение по той схеме, которая в дан- ных условиях потребует минимальных затрат машинного време- ни. Можно показать, что при 0 < ст < 1/2 система (Ш.222) устойчива при условии 2аДт/(Дж)2 < 1/(1 — 2ст). При 1/2 < < ст < 1 никаких ограничений на устойчивость не наложено и, следовательно, система уравнений (III.221) является абсолютно устойчивой. Точность решения при использовании неявной схе- мы по-прежнему будет возрастать по мере уменьшения Дж, если Дт также уменьшается пропорционально Дж2. Погрешность ап- проксимации неявной схемы, так же как и для схемы (Ш.218), пропорциональна Дт и Дж2. Погрешность аппроксимации разностной схемы (Ш.222) оп- ределяется формулой е(Т)= -’-т-'-1 Дт где Т = f(x,r) - точное решение дифференциального уравнения теплопроводности. 127
Аналогично тому, как это было сделано выше, не трудно по- казать, что если функция Т(х, т) является достаточно гладкой, то погрешность аппроксимации схемы (III.222) можно предста- вить в следующей форме: __ Я^гГ Г 1 е(Т) = а-т аДт (1/2 ~ а) -1/12 (Дж)2 + О [(Дт)2] + О [(Дж)4]. их* Поэтому, выбирая параметры конечно-разностной аппрокси- мации а, Дт и Дж так, чтобы выражение, стоящее в квадратных скобках, равнялось нулю, можно повысить порядок точности ап- проксимации. При 0 < а < 1/2 это может быть достигнуто, когда Дт выбрано равным одной трети максимального значения, допускаемого указанными выше условиями устойчивости. Наибольшая степень точности имеет место не при центриро- вании разностей по времени (ст = 1/2), а при ст = 1/2 — —(Дж)2/12аДт (при этом значении ст условия устойчивости вы- полнены). В.К. Саульевым показано, что при (Дж)2/а Дт = погрешность аппроксимации понижается до О [(Дж)6]. Этот метод получения повышенной точности может быть обобщен для решения задач с переменными физическими свой- ствами материала конструкции. Используя абсолютно устойчивую неявную схему (III.221), можно существенно увеличить шаг по времени, выбрав его в не- сколько раз большим по сравнению с Дтдоп для явной схемы. Однако при этом не следует забывать о том, что по мере увели- чения Дт растет погрешность, появляющаяся вследствие замены дифференциального уравнения его разностным аналогом. Применение неявных схем во многих практически важных случаях оказалось весьма эффективным. Система (III.221) абсолютно устойчива, но процедура ре- шения неявных конечно-разностных уравнений осложняется тем, что каждое из них (за исключением уравнений для границ) со- держит три неизвестные температуры: Т^1, Т^+1 и • Все п уравнений должны решаться совместно. При большом числе 128
уравнений решение такой системы классическими методами ока- залось бы слишком громоздким и трудоемким. Поскольку ка- ждое из уравнений содержит не более трех неизвестных функций, рассмотрим метод, наиболее эффективный в данном случае. Представим неявное разностное уравнение (Ш.221) в следу- ющем виде: - С.ТЙ = Di- (III.223) Линейная зависимость от T-ff может быть выражена со- отношением = EiTffl + Fi, (III.224) где и Fi - некоторые пока неизвестные коэффициенты. Аналогично зависимости (Ш.224) имеем — Е^Т*+1 + +F,_i. Подставим полученное значение в уравнение (III.223) и проведем ряд элементарных преобразований. В ре- зультате получим Bi-CiEi.y ’+1 + Bi- CiEi-i (III.225) Сравнение выражений (III.224) и (Ш.225) показывает, что на месте коэффициентов Ei, Fi в соотношении (Ш.225) стоят ве- личины, зависящие от А,, В,, С, и Di, т.е. Е{ = At/(Bt - CiEt^), Fi = (Di + CiFi_1)/(Bi-CiEi.i), (Ш.226) Следовательно, процедура решения состоит в последователь- ном вычислении коэффициентов Ei и Fi начиная с» = 1 и кончая i = п. Неизвестные температуры определяются по уравнению (Ш.224) в обратном порядке. Для контроля при проведении расчетов следует иметь в ви- ду, что если .Ej-i < 1, то так как Ei = АХ/(ВХ - Ci^-i) и Bi > Ai + Ci, должно выполняться следующее неравенство: О < Ei < Ai/(Bi - Ci) < Ai/At = 1. 9-1005 129
Если Е{ и искомое решение Т,- 1 ограничены, то из равен- ства = Е{Т^^ + Fi следует, что и значения F{ также огра- ничены. Эффективность этого метода следует из того, что при реше- нии системы уравнений помимо вычисления коэффициентов раз- ностных уравнений требуется всего лишь три умножения и два деления для каждой точки пространства при выполнении каждо- го шага по времени. Рассмотренный метод решения системы неявных конечно- разностных уравнений применим, когда матрица, составленная из коэффициентов при неизвестных температурах Т^1 (где t = = 1, 2, 3,..., п), трехдиагональна: ' О О О Л] Л]' О О Л2 С2 О Аз Вз Сз о Сп 0 0 0 . в Например, если необходимо вычислить температурное пол неограниченной плоской стенке (рис. III.23), состоящей из ело теплоизоляции и тонкого металлического слоя, при перемени: граничных условиях III рода, то система неявных разности: уравнений может быть записана в следующем виде: + (III.22 130
(T*+1 _ Г*)/дт = a(T3fc+1 - 2T*+1 + Т*+1)/(Д®)2; (III.228) (T3fc+1 - T3*)/Ar = a(T*+1 - 2T3+1 + T2fc+1)/(Ax)2; (III.229) Г*+1 ~ T* _ 2 A ,™jt+l _ yfc+l\ । Ar ерш Ax Ax "-1 " + «J+1(^+1-T„fe+1) , (III.230) где cq и ТЖ1 соответственно коэффициент теплоотдачи и тем- пература среды (жидкости или газа) со стороны слоя теплоизо- ляции, а 0-2 и ТЖ2 - коэффициент теплоотдачи и температура среды со стороны металлического слоя (законы изменения cq, ТЖ1, «2 и ТЖ2 со временем заданы аналитически, графически или (2Сэд^эдОэд\ - . 1-|---——j ; ом - толщина слоя теплоизоляции (ве- личины с индексом “м” относятся к металлическому слою); п - число узлов. Будем считать, что распределение температур в стенке в начальный момент времени задано. Разностные уравнения (III.227), (III.230), соответствующие граничным узлам сетки, составлены исходя из условий теплового баланса [см. уравнение (III.228)]. При составлении балансового уравнения (III.230) к узлу п относили массу слоя изоляции тол- щиной Ах/2 и массу металлического слоя толщиной <5М- Полагая, что не требуется высокой точности, для просто- ты разбиваем стенку на четыре узла 1-J (см. рис. III.23). Кроме того, будем считать, что для тонкого металлического слоя вы- полняется условие Bi = аг^м/А < 0,1 и, следовательно, Тз и Т4 (см. точное решение задачи нестационарной теплопроводности для неограниченной плоской стенки с симметричными граничны- ми условиями III рода). Таким образом, разностные уравнения нужно составить только для узлов 1, 2 и 3. Приводя систему (Ш.227)-(Ш.23О) к виду (III.223) и учи- тывая, что п = 3, получаем э* 131
- 2kh T2fc+1 + (1 + 2hpi) Tf+1 = Tf 4- 2hQi - khT$+1 + (1 + 2kh) T*+1 - khT*+1 = T2*; (1 x Tfc+1 rrk+1 — Tk On \l + -p2)T^ -~T2 -Ti+-Q21 где к = А/Дх; h = ^т/ср^х,р\ = aj+fc; Qi = а\ТЖх ,р2 = a2+k; Q2 = «г^жг- Из полученных уравнений определяем коэффициенты Л,, Bi, Ci, Di (табл. Ш.1). Таблица III. 1. Значения коэффициентов в уравнении (Ш.223) i Ai Bi Ci Di 1 2kh 1 4- 2hpi 0 Tf = 2hQt 2 kh 1 +2kh kh Tf 3 0 1 + 2hp2/w 2kh/w Тз 2hQ2/u> (Ш.226) находим коэффициенты Е, и Fi с По первого формулам по последний: Е! = 2kh 1 4- 2hP1 ’ 1 “ Tf 4- 2hQi 1 + 2hpi ’ Е2 = Tf 4- khF} l + kh(2-Ei)'1 Ез = 0; F kh 2 l + khp-EiY T3 4--(,Q2 4- kF^) F* =--------------- 14-— (p2-kE2) В обратном порядке вычисляем неизвестные температурь^ Tf+1, T2fc+I и Tf+1 в узлах сетки для (к 4- 1)-го момента времени»' 7J+1 = F3; Tf+1 = E2T$+i 4- F2- Tf+1 = EiT^+1 4- Fj. Эти однотипные операции выполняем для каждого последу-* ющего шага (слоя) по времени- до тех пор, пока не будут вычйЯ слены температуры в узлах сетки в заданный момент времени.^ 132
Так же как и в явных схемах, при выполнении первого шага по времени значения температур Tf, Tf и Tf, входящих в опре- деляют из начальных условий. При выполнении последующих шагов значения температур с верхним индексом к берут с пре- дыдущего слоя по времени. Этот эффективный метод, известный под названием мето- да разностной факторизации или прогонки*), устойчивый отно- сительно погрешностей округления, применим и при численном решении двумерных задач теплопроводности по неявным схемам. Однако это возможно лишь при условии, что каждое разностное уравнение будет содержать не более трех неизвестных функций, т.е. когда матрица, составленная из коэффициентов при неиз- вестных, окажется трехдиагональной. Таким требованиям удовлетворяет разностная схема пере- менных направлений: rpk-\-\/2 _ rpk Дт 1 2а pm^+1/2 . zpfc+1/2 4+1,j £1i,j + t (Дж)2 ^+1 - (Ду)2 М-1 . (III.231) уА>+1 _yi^+1/2 рлр^+1/2 __ rt/pfc+1/2 4+1,j z-4,j + -4-1, j Дт (Дж)2 1 “ 2“ + (Ду)2 . (III.232) В ней вторые производные в последовательные моменты вре- мени, с шагом Дт/2, поочередно аппроксимируются явным и не- явным способами. Она абсолютно устойчива. Погрешность ап- проксимации схемы пропорциональна Дт, (Дж)2 и (Ду)2. Для решения системы уравнений (III.231), (III.232) методом прогонки каждое из разностных уравнений предварительно сле- дует привести к виду (III.223). После этого в левой части уравне- ния (III.231) будут ртоять три неизвестные температуры *) Метод прогонки является частным случаем общего метода решения си- стем линейных алгебраических уравнений (метода исключения Гаусса) 133
и с соответствующими постоянными коэффици- ентами. В левой части уравнения (III.232) неизвестными будут /рЛ+1 /т>Л+1 .. /рЛ+1 ZiJ+l> ij И li,3~V Решение системы конечно-разностных уравнений требует большого количества однотипных операций и, как правило, должно выполняться с помощью ЭВМ. Трудоемкость вычисли- тельных операций зависит не только от выбранного числа узлов пространственной сетки, но и от принятого при расчете шага по времени Дт и величины расчетного промежутка времени, для которого предстоит вычислить значения температур. В неявных абсолютно устойчивых разностных схемах рассмотренного типа допустимый шаг по времени выбирают только из соображений требуемой точности. Показано, что сложные многомерные задачи в процессе раз- ностного решения можно заменить последовательностью более простых одномерных задач. Например, в случае трехмерной за- дачи теплопроводности предложенный русскими математиками метод расщепления (или метод дробных шагов) приводит к сле- дующей безусловно устойчивой локально-одномерной схеме: zpfc-hl/S rpfc rpk-X-X/3 ~ »ijJ _ 1 i,j,l_____i-1,3,1 . Ат 3 (Дж)2 ’ zp^+2/З m^+1/3 грк-Х-Ъ/Ъ nrpk-X-ilZ . rpk-X-2/3 ',3,1 _ 1 Z1i,3,l +1i,3~l,l. At 3 (Ду)2 /pt-l-l rpk-^-2/3 rpk-i-1 o'pAi-f-l । rrik-i-1 ‘',3,1 = ^a1i,3,l+l~Z1i,3,l + ^,3,1-1 At 3 (Дж)2 Здесь в каждом из разностных уравнений члены, аппрокси- мирующие вторые производные по двум из координат, полно* стью опущены, причем при каждом решении системы разност- ных уравнений продвижение по времени происходит на 1/3 вре- менного шага. Благодаря такому подходу эффективный метод.) прогонки становится применимым и при решении многомерных) задач. j 134
В заключение приведем программу численного решения задачи нестационарной теплопроводности для неограниченной плоской металлической стенки, покрытой слоем тепловой изо- ляции, с переменными граничными условиями III рода (задача решается по неявной абсолютно устойчивой конечно-разностной схеме): DIMENSION Т(100), Е(99), F(99) С “ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ” 12 FORMAT (14, 7F13.6, 14, 9F13.6, 14) 18 FORMAT (SF13.6) 1 FORMAT (F13.6) READ 12, NM, В, BM, TP, ТЕ, P, TM, PM, К, A, R, AK, BK, EN, C, * D, CK, DK, M READ 18, DX, XK, XP, DXP, TN 6 DO 14 1=1, К T(I)=TN 14 CONTINUE PRINT 12, NM, В, BM, TP, ТЕ, P, TM, PM, K, A, R, AK, BK, EN, * C, D, CK, DK, M PRINT 18, DX, XK, XP, DXP, TN PRINT 1, (T(I), 1=1, K) S=B/(K-1) H=DX/(TE*P*S) U=TP/S G=1.+(2.*TM*PM*BM)/(TE*P*S) H2=2.*H HG=H2/G A1=U*H2 A2=U*H B2=1.+U*H2 C2=U*H CR=HG*U X=0. 5 IF(X-XK+DX-1.0E-6) 2, 2, 3 2 X=X+DX B1=1.+H2*(AK*X+BK+U) 13S
BR=1.+HG*(CK*X+DK+U) D1=T(1)+H2*(AK*X+BK)*(A*X**EN+R) DR=T(K)+HG*(CK*X+DK)*(C*X**M+D) E(1)=A1/B1 F(1)=D1/B1 N=K-1 DO 10 1=2,N E(I)=A2/(B2-C2*E(I-1)) F(I)=(T(I)+C2*F(I-1))/(B2-C2*E(I-1)) 10 CONTINUE T(K)=(DR+CR*F(K-1))/(BR-CR*E(K-1)) L=K-1 11 IF(L-l) 9, 8, 8 8 T(L)=E(L)*T(L+1)+F(L) L=L-1 GO TO 11 9 IF(X-XP+1.0E-6) 5, 7, 7 7 PRINT 1, X PRINT 1, (T(I), 1=1,K) XP=XP+DXP GO TO 9 3 STOP END Примечание. Переменные с индексами (одномерные массивы): Т(1) - температура, E(I), F(I) - коэффициенты прогонки Алгоритм численного решения этой задачи в качестве при- мера был рассмотрен выше. Программа составлена на универ- сальном алгоритмическом языке Фортран. Перечень идентифи- каторов приведен в табл. III.2. Для расчета нескольких вариантов можно использовать вы- числяемый оператор GO ТО. Например, вместо последних двух строк программы можно поместить 3 ХР=1. NM=NM+1 GO ТО (13, 13, 13, 15, 16, 17), NM 136
13 К=39 DX=1. GO TO 6 15 K=49 DX=0,1 GO TO 6 16 K=59 DX=0,01 GO TO 6 17 STOP END При этом предполагается, что в начале счета NM=2. Таблица Ш.2. Условные обозначения и идентификаторы Наименование и единица измерения (см. рис. III.22) Обозначение Идентификатор Номер варианта расчета - NM Толщина, теплоизоляционного покрытия, м 8 В Толщина металлического слоя, м «х вм Физические свойства теплоизоляционного слоя: теплопроводность, Вт/(м-К) А ТР удельная теплоемкость, Дж/(кг-К) С ТЕ плотность, кг/м р Р Физические свойства металлического слоя: удельная теплоемкость, Дж/(кг-К) См тм / 3 плотность, кг/м РМ Число узлов разностной сетки п к Температура жидкой или газообраз- ной среды со стороны покрытия, К ТЖ1 = ark + Ъ а, 6 A, R 137
Окончание табл. III.2 Наименование и единица измерения (см. рис. III.22) Обозначение И дентифик атор Коэффициент теплоотдачи со стороны покрытия, Вт/(м2-К) ai = air 4- 61 «1, bi АК, ВК Температура среды со стороны металлического слоя, К ТЖ2 = ст"* + а с, 4 С, D Коэффициент теплоотдачи со стороны металлического слоя, Вт/(м2-К) а2 = ciT + 41 ci, 41 СК, DK Показатели степени к, т EN, М Шаг по времени, с Дт DX Конечный момент времени, с т* ХК Шаг печати Дтпеч DXP Время начала печати Тлея.и ХР Температура стенки в начальный момент времени, К Тнжч TN Таблица Ш.З. Влияние шага по координате (Дт = 0,01 с) Число узлов К Ti,K Т2,К Численное решение Точное решение Численное решение Точное решение 3 976,0 305,7 7 964,4 293,0 13 963,3 962,9 291,8 291,1 29 963,0 291,4 59 962,8 291,3 Примечание. Здесь и в табл. III.4 71, Т2 - температуры поверхностей пластины. В табл. Ш.З, III.4 приводится краткая информация, харак- теризующая влияние параметров конечно-разностной аппрокси- мации на точность расчета. Результаты численного решения, 138
Таблица III.4. Влияние шага по времени (число узлов К = 59) Шаг по времени Дт, с Т1, к Т2, К Численное решение Точное решение Численное решение Точное решение 1 939,5 302,4 0,3 961,5 962,9 292,6 291,1 0,01 962,8 291,3 0,001 962,9 291,2 полученного на ЭВМ по данной программе для однослойной пла- стины при постоянных граничных условиях, сравниваются в них с существующими точными аналитическими решениями. При расчете было принято: Bi 1 = оцё/Х = 50; Bi2 = 04b/X = 0; Fo = ат/62 = 0,0462; 6М = 0; ТЖ1 = 1000 К; Тиач = 290 К. Исследование процессов теплопроводности методом аналогии При различных условиях процесс теплопроводности в твер- дых телах может описываться уравнением теплопроводности Фурье, уравнением Лапласа или уравнением Пуассона. Этими же дифференциальными уравнениями описываются и некоторые другие физические явления. Различные по своему физическому содержанию явления, ма- тематическое описание которых совпадает, принято называть аналогичными. Такая аналогия существует, например, между явлениями теплопроводности и электропроводности, теплопро- водности и диффузии. Поверхность находящейся под давлени- ем тонкой мембраны описывается тем же дифференциальным уравнением, что и температурное поле в некоторой области с равномерно распределенными источниками теплоты. Известно, что как функция тока в установившемся потенциальном потоке невязкой жидкости, так и функция теплового потока в стацио- нарном температурном поле при определенных условиях удовле- творяют одному и тому же уравнению Лапласа. 139
В настоящее время метод физической аналогии широко ис- пользуется для решения задач как стационарной, так и нестаци- онарной теплопроводности. Это связано с тем, что во многих случаях эксперименталь- ное исследование аналогичных явлений оказывается более про- стым по сравнению с непосредственным исследованием тепловых явлений. При определенных условиях метод аналогий позволяет получить практически важные результаты в короткий срок при небольших материальных затратах. Здесь мы остановимся лишь на методах электротепловой и гидротепловой аналогий. Методы электротепловой аналогии. Для реализации элек- тротепловой аналогии существует большое число эксперимен- тальных методов. Если для моделирования процессов теплопроводности ис- пользуют электрические цепи, то такое моделирование называют электрическим. Различают два основных направления в реали- зации электрических моделей: составление эквивалентных схем (схем замещения или аналогий) и создание аналоговых вычисли- тельных машин (АВМ). Сравнивая уравнения, относящиеся к математическому опи- санию процессов теплопроводности и электропроводности (в двухмерном приближении), легко установить аналогию между этими явлениями: dQ = -X — dF- di = —а — dFa', (III.233) дп дпэ дТ (д2Т — = а I —+ дт \ дх2 ST ТГ = —gradT; А/а дТ . dQ = с — dr; дт д2Т\ ду2 /’ Ди Т ди 1 (д2и д2и\ d^-R^\d^+d^)'{i 3) (III.235) - —grad и; dT - Сэ “т dTa. дт3 (III.236) Здесь dQ и di - соответственно элементарные потоки тепло- ты и электричества в единицу времени через площадки dF и dFa 140
в направлении нормалей п и пэ; А и ст - теплопроводность и удель- ная проводимость; Т и и - температура и электрический потен- циал; т, тэ - время; а - температуропроводность; R3 - электриче- ское сопротивление, отнесенное к единице длины; с, сэ - теплоем- кость и электрическая емкость, отнесенная к единице длины; 13 - некоторый линейный размер, являющийся аналогом отношения Х/а (величины, характеризующие явления электропроводности, отмечены индексом “э”). Уравнения (III.235) выражают гранич- ные условия к дифференциальным уравнениям (III.234). Уравне- ния (III.236) выражают изменение потоков Q и I во времени. Аналогия устанавливается при а = Х/ср = 1/R3C3 и Х/а = = 13, что может быть обеспечено соответствующим выбором электрических величин и масштабов. При этом аналогом тем- пературы Т является электрический потенциал и, аналогом те- плового потока Q - сила тока /, аналогом теплоемкости с - элек- трическая емкость сэ и аналогом термического сопротивления - электрическое сопротивление. Моделироваться могут как стационарные, так и нестацио- нарные процессы теплопроводности. При практическом использовании этой аналогии тело, те- плопровдность которого предстоит исследовать, разбивается на ряд элементарных объемов. В эквивалентной электрической схеме емкость конденса- тора в некотором масштабе воспроизводит теплоемкость элемен- тарного объема, связанного с данной узловой точкой тела, в то время как электрические сопротивления, также с соблюдением определенного масштаба, воспроизводят фактические термиче- ские сопротивления между соседними узлами. Участок такой электрической цепи, относящийся к одной узловой точке и со- ставленный для случая решения двумерной задачи нестационар- ной теплопроводности, представлен на рис. Ш.24. Соответству- ющий участок цепи для решения трехмерной задачи в каждой узловой точке содержал бы шесть сопротивлений и один конден- сатор. При этом следует иметь в виду, что аналоги в форме электрических цепей должны также воспроизводить граничные условия. Такие электрические цепи можно назвать моделями 141
Рис. III.24. Двумерные моделирующие цепи прямой аналогии. В отличие от них аналоговые электронно- вычислительные машины (АВМ) состоят из отдельных решаю- щих блоков, которые выполняют элементарные математические операции. Решение задач теплопроводности на АВМ может быть прак- тически сведено к решению системы обыкновенных дифференци- альных уравнений первого порядка, которая имеет следующий общий вид: -2 = ^Л15Т„ j = 1,2,3,..., к. (III.237) ат 1=П Здесь j - номер уравнения в системе; t - номер узла разностной сетки; число уравнений к совпадает с общим числом узлов; n > 1; m < к] к > 3. Систему (III.237) можно получить из уравнения теплопро- водности Фурье, представив вторые производные от темпера- туры по координатам в конечных разностях (см. III.10). При использовании АВМ каждое из обыкновенных диф- ференциальных уравнений системы решается с помощью свое- го интегросуммирующего операционного усилителя постоянно- го тока (интегрирующего блока). Условная электрическая схема интегрирующего блока показана на рис. III.25. Каждый из таких 142
Рис. Ш.26. Схема инте- гросуммирующего опе- рационного усилителя постоянного тока блоков выполняет математическую операцию, которая моделиру- ется уравнением t т «вых(^) = — с У + ивыхо •> (III.238) о 1=1 что соответствует решению линейного дифференциального урав- нения вида (П12М) Здесь С - емкость конденсатора (см. рис. III.25); е,(£) - на- пряжения постоянного тока, подаваемые на входы резисторов Rx (г = 1, 2, 3,..., n); t - машинный аналог времени. Последовательно сравнивая уравнения (III.239) с каждым из уравнений системы (III.237), можно вычислить так называемые передаточные коэффициенты, устанавливающие связь между ко- эффициентами этих уравнений. При этом должны быть учте- ны масштабы, позволяющие перейти от переменных системы (Ш.237) Tj Т, и т к соответствующим машинным переменным «вых', <ч(<) и t. Предварительно вычисленные значения передаточных коэф- фициентов устанавливаются на АВМ путем подбора сопротивле- ний R{. Для определения постоянной ивыхо используются началь- ные условия к задаче. Необходимое начальное значение напряже- ния на выходе из блока «Вых0 создается путем предварительной зарядки конденсатора с емкостью С. Результаты решения в виде напряжений иВЫх(*) на выходе из каждого интегрирующего блока записываются осциллографом или другим регистрирующим прибором. 143
Гидротепловая аналогия. Для исследования как стационар- ных, так и нестационарных процессов теплопроводности может быть также использована гидротепловая аналогия. В простей- шем случае необходимую информацию об этой аналогии можно получить, сравнивая известные уравнения теплопроводности и ламинарного движения жидкости: ДТ q = и G = Д/г/Яг; dt dh dQ = сг — dr и dV = Fr -г— drT. dr drr Из этих уравнений следует, что аналогом разности темпера- тур ДТ является гидравлический напор ДЛ; аналогом теплоем- кости сг - гидравлическая емкость сосудов, или “каналов”, зал висящая от площади поперечного сечения каналов Тг; аналогом термического сопротивления R - гидравлическое сопротивление Яг. Гидравлическая модель при этом может быть построена виде системы моделирующих гидравлических цепей. Например, в случае моделирования распределения температур в неограни- ченной плоской стенке при нестационарном режиме стенка раз- бивается на конечное число слоев. В модели каждый слой ими- тируется вертикальным сосудом с сечением, пропорциональным теплоемкости слоя. Термические сопротивления слоев соответ^ ствуют гидравлическим сопротивлениям капилляров, которые^ соединяют сосуды. При включении расхода изменение уровне® жидкости в сосудах во времени будет характеризовать изменение: температуры в слоях стенки. Точность полученных результатов будет зависеть от числа слоев. При построении и действии моде* ли должны быть учтены начальные и граничные условия к зада че, а также масштабы для перехода от переменных, характеризу ющих изучаемое явление, к переменным, которые используютс: в модели. При моделировании стационарных процессов картину лини; теплового потока можно сделать видимой. 144
В двумерном стационарном потенциальном (безвихревом) потоке невязкой жидкости функция тока V’C®, у) удовлетворяет уравнению Лапласа: д2-ф д2-ф _ дх2 ду2 (III.240) Линии тока ip(x, у} = const в прозрачной гидравлической мо- дели можно сделать видимыми путем окраски потока. Так как функция теплового тока в стационарных условиях (при отсут- ствии внутреннего тепловыделения) также удовлетворяет урав- нению (III.240), видимые линии тока в модели будут аналогичны линиям теплового тока и ортогональны к изотермам. 10-1005
Раздел второй. КОНВЕКТИВНЫЙ ТЕПЛОМАССООБМЕН Глава IV. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ УЧЕНИЯ О КОНВЕКТИВНОМ ТЕПЛООБМЕНЕ IV.1. Основные понятия и определения Конвективным теплообменом называется передача те- плоты при движении жидкости. В реальных условиях конвекция теплоты всегда сопровождается молекулярным переносом тепло- ты, а иногда и лучистым теплообменом. Конвективный теплообмен между движущейся средой и по- верхностью ее раздела с другой средой (твердым телом, жидко- стью или газом) называется теплоотдачей. Конвективный теплообмен при движении жидкости под дей- ствием неоднородного поля массовых сил (гравитационного, маг- нитного, электрического) называется свободной конвекцией. Конвективный теплообмен при движении жидкости под дей- ствием внешних сил, приложенных на границах системы, или од- нородного поля массовых сил, приложенных к жидкости внутри системы, или за счет кинетической энергии, сообщенной жидко- сти вне системы, называется вынужденной конвекцией. Процесс теплоотдачи называется стационарным, если по- ле температур в жидкости не зависит от времени, и нестаци- онарным, если распределение температур в потоке зависит от времени. В большинстве практических случаев, рассматриваемых те- орией конвективного теплообмена, характерные размеры облай сти течения жидких сред намного больше длины свободного npi бега молекул, что позволяет рассматривать жидкие среды к< 146
непрерывные. Исключение приходится делать только при анали- зе процесса теплоотдачи разреженному газу, когда размеры тела становятся соизмеримыми с длиной свободного пробега молекул. Поэтому в дальнейшем распределение температуры в потоке жидкости будет приниматься в виде непрерывного поля, для ко- торого остаются в силе понятия о градиенте температуры grad t и векторе плотности теплового потока q. Основной задачей теории конвективного теплообмена явля- ется установление связи между плотностью теплового потока на поверхности теплообмена, температурой этой поверхности и тем- пературой жидкости. В непосредственной близости к поверхно- сти теплообмена существует неподвижный слой жидкости, через который теплота передается только путем теплопроводности. Тогда в соответствии с гипотезой Фурье имеем (IV.1) п=0 Из этого уравнения следует, что для определения плотно- сти теплового потока на стенке необходимо знать распределение температуры в потоке жидкости. Уже первые опыты по конвективному теплообмену показали, что во многих случаях плотность теплового потока пропорцио- нальна разности температур между жидкостью и поверхностью тела (закон теплоотдачи Ньютона): 9ст = ос (tx — ^Ст), (IV.2) где а - коэффициент теплоотдачи. В общем случае пропорциональность между тепловым по- током и разностью температур может нарушаться, тем не ме- нее коэффициент теплоотдачи получил широкое распростране- ние в практике теплотехнических расчетов. Ниже приведен поря- док значений коэффициента теплоотдачи для различных условий конвективного теплообмена, Вт/(м2.К): 1 dt Чет — ~ Лж п Свободная гравитационная конвекция в газах.... 5 — 30 Свободная конвекция воды.......................... 102 — 103 Вынужденная конвекция газов........................ 10 — 500 10' 147
Вынужденная конвекция воды..................... 500 — 2 • 104 Кипение воды.................................. 2 • 103 — 5 • 10s Жидкие металлы................................. 102 — 3 • 104 Пленочная конденсация водяных паров.............. 4 • 103 — 1, 5 • 104 Капельная конденсация водяных иаров.............. 4 • 104 — 1, 2 • 10s Значение коэффициента теплоотдачи зависит от многих факторов. Наиболее существенными из них являются: причи- на движения жидкости (естественная или вынужденная конвек- ция), режим течения жидкости (ламинарный или турбулентный), скорость жидкости, теплофизические параметры жидкости (Аж, Мж> срж> Рж), геометрическая форма и размеры тела, наличие фазовых переходов. Из уравнений (IV.1) и (IV.2) следует Аж dt t'jgr — tQT дп n=0 (IV.3) Обычно температура жидкости в условиях теплоотдачи изменя- ется от /ж до tCT в некоторой области, называемой пограничным слоем. В первом приближении можно принять dt/dn\n=.Q ph — (/ж — /ст)/^т> (IV.4) где 6? - толщина теплового пограничного слоя. Следовательно, Аж dt tjer “ fcT дп п=0 ^ж 6f (IV.5) Уравнение (IV.5) можно использовать только для качествен- ных оценок. В частности, из уравнения (IV.5) следует, что для увеличения коэффициента теплоотдачи необходимо использовать» жидкости с высоким значением А и принимать меры, приводя-? щие к уменьшению толщины теплового пограничного слоя (уве личение скорости течения жидкости, плотности, шероховатост: поверхности, внешних возмущений; уменьшение вязкости жидко сти, размеров поверхности). Количественное определение коэф фициентов теплоотдачи является одной из основных задач теори: конвективного теплообмена. 148
Быстрое развитие современной теплотехники связано с не- прерывным ростом параметров теплоносителей и увеличением тепловых потоков, которые необходимо отводить от поверхности теплообмена, чтобы предотвратить ее разрушение. Удельные плотности тепловых потоков различных источников теплоты, с которыми приходится иметь дело в современной технике, приве- дены ниже, Вт/м2: Тепловое излучение Солнца перпендикулярно поверхности Земли в полдень ........................ 1,4 • 103 Теплообменники на электростанциях................... 5-10® Реактивные двигатели на химическом топливе.......... 7 • 107 Излучение поверхности Солнца........................ 7,4 • 107 Тепловой поток к головной части спускаемых космических аппаратов (скорость 11 км/с, масса Ют).... 2 • 10® Реактивные двигатели на ядерном горючем............. 6 • 10® Термоядерные реактивные двигатели................... 2 • 109 Лазерное излучение.................................. 1 • 1012 Существенно усложня- ются и условия на поверхно- сти теплообмена, о чем мож- но судить из рис. IV. 1, на ко- тором показана схема охла- ждения сопловой лопатки авиационного двигателя. Надежность работы перс- пективных тепловых двигате- лей в основном определяется надежностью системы охлаж- дения их проточной части. В этой связи предъявляются по- вышенные требования к точ- ности расчетов теплообмена. Современная теория конвек- тивного теплообмена базиру- ется на следующих основных предпосылках: Вий л Рис. IV. 1. Схема охлаждения лопатки газовой турбины авиа- ционного двигателя 149
1) движущая среда, используемая для переноса теплоты, рассматривается как сплошная среда; 2) система дифференциальных уравнений, описывающая процессы конвективного теплообмена, выводится на основе ба- лансовых уравнений сохранения энергии, вещества и количества движения; 3) для замыкания исходной системы дифференциальных уравнений используются гипотезы, устанавливающие связь меж- ду тепловым потоком и градиентом температур, а также между трением и градиентом скоростей; 4) физические параметры жидкости (вязкость рж, плотность рж, теплоемкость срж и теплопроводность Аж) считаются извест- ными функциями параметров состояния. IV .2. Дифференциальные уравнения теории конвективного теплообмена Закон сохранения для движущейся среды Первое начало термодинамики для элементарного объема движущейся среды можно записать в виде Qv dr Ly dr = p du 4- d (IV.6) где Qy - количество теплоты, поступающей в единицу объема в единицу времени, Вт/м3; Ly - работа, совершаемая внешними силами над единицей объема среды в единицу времени, Вт/м3; т - время, с; р - плотность среды, кг/м3; и - у цельная внутренняя энергия, Дж/кг; w - скорость движения среды, м/с. Из термодинамики известно, что du = dh — d(pu), (IV.7) где h - энтальпия, Дж/кг; р - давление, Па; v - удельный объ- ем, м3/кг. Следовательно, du 4- d— = dh 4- d—— v dp~ p dv. (IV.8) iso
Для определения Qy выделим в рассматриваемой среде ко- нечный объем V, ограниченный поверхностью F. Уравнение теплового баланса этого объема, отнесенное к единице времени, можно записать в виде QydV + У qdF = У qv dV, (IV.9) V F V где qy - интенсивность внутренних источников теплоты (таких, как объемные химические реакции, радиоактивный распад, ра- бота трения и т.п.), Вт/м3. Используя формулу Гаусса-Остроградского и предположе- ние о сплошности среды, имеем У qdF = У div qdV. F V (IV.10) Так как все параметры среды являются непрерывными функциями координат и времени, с учетом уравнения (IV.10) и произвольности в выборе объема V, из выражения (IV.9) полу- чаем Qy = div q - qv = 0. (IV.И) Принимая для вектора теплового потока гипотезу Фурье, имеем Qy = div (A grad Z) + qv. (IV.12) С учетом уравнений (IV.6) и (IV.12) получаем дифференци- альное уравнение энергии в форме ,. _ dp dv \dh d(w2/2)l /T,r div (A grad t) + qv + Ly + -y- + pp — = — -|- -Ц---< . (IV.13) ат ат ат ат При умеренных скоростях течения жидкости, когда работа внешних сил и кинетическая энергия потока малы по сравнению с его энтальпией, уравнение существенно упрощается и принимает вид Ру^- = div(AgradZ) + qv, (IV.14) Dt 151
где Dh/Dr - субстанциональная производная, ^ = ^ + CS,gradft). (IV.15) Если коэффициент теплопроводности и удельную теплоем- кость принять постоянными, то cp^ = XV2t + qv (IV.16) Dt или с учетом формулы (IV.15) / dt dt dt dt\ , Id2t d2i d2t\ -А(э? + Э? + а?) + ^' (IV17) Для неподвижной среды (w = 0) получаем уже известное уравнение Фурье-Кирхгофа: Cp?L = XV2t + qv. (IV.18) ит При отсутствии внутренних источников теплоты из уравне- ния (IV. 16) имеем dt/dr 4- (ut, grad t) = a V2t (IV.19) В уравнение энергии (IV. 12) в качестве неизвестной вели- чины входит скорость движения жидкости. Таким образом, для определения распределения температуры в потоке жидко- сти необходимо предварительно решить гидродинамическую за- дачу,т.е. определить распределение скоростей в потоке жидко- сти. Закон сохранения вещества для потока жидкости Закон сохранения массы жидкости М в произвольном объеме V, ограниченном поверхностью F, можно записать в виде dMF = dM. (IV.20) 152
Введем вектор плотности потока массы тт?, тогда dMF = -dr У div тт? dV. (IV.21) V В объеме V вследствие изменения плотности р накапливается масса dM = [ dp dV = dr [ ~dV. (IV.22) J J or V V Подставим dMF и dM из уравнений (IV.21) и (IV.22) в уравнение (IV.20): + div dV = 0. (IV.23) V Объем V выбран произвольно, а все параметры жидкости в соответствии с принятым предположением о сплошности сре- ды являются непрерывными функциями координат и времени. Поэтому из уравнения (IV.23) следует + div тт? = 0. (IV.24) от Вектор плотности потока массы связан с вектором скорости и плотностью очевидным соотношением nt = plfi. (IV.25) Следовательно, ^ + div(p«?) = 0 (IV.26) или в прямоугольных координатах (ръ) + A (pws) + A (pwJ = о. (IV.27) 163
В частности, для плоского течения (IV-28> для осесимметричного течения + 7 [(^wx) + 7 4: 0r w»-)] = °’ (IV-29) ОТ Т ОХ |_ т от где г - расстояние по нормали к оси симметрии. Уравнение (IV.26) называется уравнением неразрывно- сти. Для несжимаемой жидкости р = const, и уравнение неразрывности имеет вид div й? - 0; (IV.30) dwx dwy dwz дх ду dz (IV.31) В уравнение неразрывности входят три компоненты скоро- сти: wx, Wy, wz, поэтому одного этого уравнения недостаточно для определения поля скоростей w в потоке жидкости. Закон сохранения количества движения вязкой жидкости Дифференциальные уравнения движения вязкой жидкости выводят на основании закона сохранения количества движения в применении к жидкости, протекающей через произвольный объ- ем V. Скорость изменения главного вектора количества движения жидкости, находящейся в объеме V, равна главному вектору мас- совых и поверхностных сил, действующих на поверхность (силы давления и трения). Главный вектор количества движения жидкости, находя- щейся в объеме V, К = j pHtdV. (IV.32) V 154
Согласно закону сохранения количества движения ^7 S Ът J P^dV = j pMdV + V V F (IV.33) Учитывая, что I Dv! f V V (IV.34) и преобразовывая поверхностный интеграл в уравнении (IV.33) в объемный по теореме Гаусса-Остроградского: У ~р dF — У div ~р dV, (IV.35) F V получаем У^р^-рЙ-div р*) dV = 0. (IV.36) V Используя допущения о произвольности объема V и сплошности среды, имеем р = рМ + div 'р'. (IV.37) Dt Учитывая, что ^ = ^ + (H?,grad«?), (IV.38) получаем уравнение движения жидкости, выраженное в напря- жениях р: р -х---1- р (w, grad w) = рМ + div р . от (IV.39) 155
Это уравнение векторное и в проекциях записывается в виде трех уравнений: (д д д д\ р I + wx — —] wx = \дт дх ду dz J ч . &Рхх , друХ дргх = рмх + -Z— + -Т2- + -д—; дх ду dz ( д д д д\ '4a7 + ""aJ + ”’’V‘’W”’’ = =/-*.+тгм + т?а+тг11; дх ду dz ( д д д д\ ',(s + “”fe+”’ei+w's)w’ = •ж . дрхг друг дргг =1>м,+-—+—+— (IV.40) которые содержат 12 неизвестных: три компоненты вектора 1 скорости (wx, wy, wz) и девять компонент тензора напряжения 1 (.Рхх, Рху> PxZl РуХ, Руу, Pyzi Pzx, Pzy, Pzz ) I При движении вязкой жидкости в потоке действуют нор- 1 мальное напряжение и напряжение сдвига. Нормальное напря- 1 жение обусловливается силами давления, а напряжение сдвига | вызывается трением между слоями жидкости, движущимися с 1 различной скоростью. 1 В соответствии с гипотезой Ньютона касательное напряже- j ние (напряжение сдвига) в плоском потоке вязкой жидкости свя- 1 зано с производной от скорости по нормали к направлению пото- 1 ка простым соотношением | Рху -Тхг-р dwx (IV.41) Коэффициент пропорциональности р носит название дина-1 мической вязкости и измеряется в паскалях в секунду (Па с). | Кинематической вязкостью и называется отношение р/р, из-1 меряется она в квадратных метрах в секунду (м2/с). Динами-1 ческая и кинематическая вязкости являются физическими пара- j метрами жидкости и зависят от температуры и давления. | 156
Динамическая вязкость в основном зависит от температуры. Для капельных жидкостей динамическая вязкость убывает с по- вышением температуры, а для газов — возрастает. Динамическая вязкость газа в зависимости от температуры достаточно удовлетворительно описывается формулой Сазерлен- да (IV'42) в частности, для воздуха Г3/; '*=14’66т7ПГ (1v'43) Для практических расчетов можно использовать степенную за- висимость м/мо = (Г/Го)”, (IV.44) где п зависит от природы газа и его температуры. В диапазоне температур 300-2000 К можно принять п = 0,75. Обобщенный закон Ньютона представляет линейную зависимость напряжений от скорости деформации и может быть записан в следующем ви- де: {/dw: dw;\ . V 3 Я (IV.45) - Р + 2/Х при j = г. Здесь р - давление жидкости в любой точке потока; координаты х, у, z обозначены через (г = 1, 2, 3) соответственно. Жидкость, подчиняющаяся закону Ньютона, называется ньютоновской жидкостью. Уравнение движения ньютоновской жидкости в векторной форме имеет вид Р ~Г~ = ~9>Р + 2div (М-^) - grad (р + I Р div «Н • (IV.46) UT \ J / 157
Здесь Dlft/Dt - вектор с проекциями Dwi/Dt, Duiy/Dr, Dwz/Dt; S - тензор скоростей деформаций, компонентами ко- торого являются dwx дх ’ 1 7 duly dwx \ 2 \ дх ду )’ 1 7dwz dwx\ 2 \ дх "** dz ) ’ 1 7 dwx dwy 2 V ду дх dwy ду ’ 1 7dwz dwy\ 2 \ ду "** dz ) ’ 1 7dwx dwz\ 2 \ dz + дх /’ <iv«) 2 \ dz ду J dwz dz В проекциях на прямоугольную систему координат век- торное уравнение (IV.46) запишется в виде трех уравнений, ко- торые называются уравнениями Навье-Стокса: Dwx др д ( dwx \ ~п = "л ) Dt дх дх \ дх J (dwx dwy ~ду' + ~дГ д + ду + д 7dwx dwz\ dz \ dz dx J 2d, л. - — (д div W) 4- дхр; О ОХ Dwy dp d Р---- - • dp d f dwy dwx \ d 7 dwy \ ~ T" M ( “a ~a— ) + 2 ( p — I + Dt dy dx \ dx dy ) ду \ dy ) d /dwv dwz\ + М( л + dz [ \ dz dy ) 2 9 / j- -^(pdiv W) + 5j,p; (IV.48) Dwz _ dp . d ? Dt dz ' dx -r - dwz dwx dz + dx \ dx + dz 9wv\l „ d 7 dwz\ + T1) dz > dz \ dz J d \ f dwz + M ( ~a---- dy I \ dy 2d, л. - — (pdivuT) +gzp. Для изотермического течения несжимаемой жидкости (р = const) и (g = const) D13 P~D? = ~^р~ gradp 4- р V2ti?. (IV.49) 158
В проекциях на прямоугольные оси координат будем иметь ( д д д д\ 1 др _2 д-+«’в + Wy — + wz — wx = gx-----— 4- V\‘их\ \дт дх ду dz ) р дх ( д д д д \ др п . ^-+w® W" + Wj, — 4- wz — ) wy = gy--— + 1/V^Wj,; (IV.50) удт дх * dy dzJ * s p dy ’ f д д д д\ 1 dp 2 t-+^i 7Г + Wy — + wz — wz = gz------— + 1/V4wz. \ дт дх я dy dz J p dz Проекция уравнения движения на ось Ох в цилиндрических координатах запишется в виде ( д д д д \ \ дт дх дг г д<р) _ 1 др / d3wx 1 dwx\ р дх + V \ дт3, г dr J Система уравнений (IV.50) и (IV.26) является замкнутой, так как состоит из четырех уравнений и содержит четыре неиз- вестных: р, wx, Wy, wz. В том случае, когда плотность жидкости переменна и зависит от температуры, к уравнениям неразрывно- сти и движения добавляются уравнение энергии и уравнение со- стояния, которые составляют замкнутую систему из шести урав- нений с шестью неизвестными. Когда процессы конвективного теплообмена сопровождают- ся процессами диффузии, плотность жидкости зависит как от температуры, так и от концентрации компонент смеси. Для ре- шения подобных задач к исходной системе уравнений (IV. 13), (IV.26), (IV.50) необходимо добавить уравнение диффузии ком- понент. Дифференциальное уравнение переноса массы Рассмотрим перенос массы данного вещества с плотностью Рк в движущейся среде. Допустим, что в выделенном конечном объеме действуют ис- точники или стоки данного вещества интенсивностью jVk (коли- чество вещества, выделяемое (поглощаемое) в единицу времени в единице объема). 159
Тогда во всем объеме V в единицу времени будет образовы- ваться количество вещества, равное / dV. V (IV.52) Часть вещества, проходящая через поверхность S, ограни- чивающую выбранный объем, с учетом формулы Гаусса-Остро- градского равна ftfkzdZ) = / Льг(IV.53) s V где 3 JtE - суммарный поток вещества, переносимый молекуляр- ной диффузией и конвекцией. Уравнение баланса вещества для выделенного объема имеет вид dV = 0. (IV.54) V Так как выбранный объем V произволен, а все характеристики процесса являются непрерывными функциями координат и вре- мени, то ^4-divT^-jv^O. (IV.55) Суммарный поток вещества можно представить в виде сум- мы молекулярного и конвективного переносов: J*Е = J км + Рк^• (IV.56) Молекулярный перенос массы происходит под действием хи- мического потенциала Vp и градиента температуры VT. Для бинарной смеси можно записать j км = ~К\Чцк ~ K2VT, (IV.57) где К\ и К2 ~ постоянные коэффициенты. 160
В общем случае градиент химического потенциала fc-ro ком- понента равен = (I?) v?k + (VT + ((IV-58> \dpkJPtT \dTJPk,T \dPJPk,p где p = Pk/P- Введем следующие обозначения для коэффициента диффу- зии, термодиффузионного коэффициента и бародиффузионного отношения соответственно: D = -Кг Р дРк\ ®Рк )р,Т К - Т \к 4-К (дЦк\ / dpk\ V дР )Рк,Т Тогда будем иметь Пм = ~PD [Vp* + (КГ/Т) VT + (Jfp/р) Vp]. (IV.59) Первый член в правой части этого уравнения характеризует мо- лекулярный перенос массы fc-ro компонента под действием гра- диента концентраций (закон диффузии Фика), второй определяет перенос массы вследствие термодиффузии (эффект Соре), а тре- тий характеризует бародиффузию (диффузию массы под влияни- ем градиента общего давления). В большинстве случаев термо- диффузией и бародиффузией можно пренебречь и ограничиться законом Фика ~3k^ = ~pD^pk. (IV.60) Диффузионный перенос массы в многокомпонентных сме- сях достаточно сложен. Если какая-либо газовая смесь состоит из двух групп компонентов примерно одинаковой относительной атомной или относительной молекулярной массы, то газ можно 11-1005 161
заменить эффективной бинарной смесью, для которой применим закон Фика. С учетом уравнений (IV.54), (IV.56) и (IV.60) получаем диф- ференциальное уравнение диффузии к-го компонента Р^- + (pu?,gradp*) = pD V2pfc + jvk, (IV.61) которое в декартовых и в цилиндрических координатах будет соответственно следующим: дрк дрк дрк дрк P£+pW*^ + pW”^ + pW’l£ = пп(д2рк I д2рк I д2рк\ I 7 • HV 62^ " pD \ дх2 + ду2 + дх2 ) +jVk’ (IV'62) дрк дРк 1 д(гРк) р^Р- + pwx -£*+- pwT = дт дх г дг = pD д2Рк 1 д2(гРк) г дг2 (IV.63) I . дх2 Уравнение диффузии типа (IV.61) следует записать для ка- ждого компонента смеси. Общее количество уравнений диффу- зии на единицу меньше числа компонент смеси, так как для мае-’ совых долей компонент смеси имеется еще одно дополнительное условие п £> = 1. (IV.64). *=1 В частности, для смеси двух газов (бинарной смеси) достаточно к исходной системе уравнений добавить одно уравнение диффузию для какой-либо компоненты смеси. Система уравнений для турбулентного движения жидкости Из гидродинамики известно, что существуют два режи< ма течения жидкости: ламинарный я турбулентный. При ла> минорном течении частицы жидкости следуют в потоке п< 162
вполне определенным главным траекториям, все время сохраняя движение в направлении вектора средней скорости потока, а воз- никающие в потоке случайные нерегулярности не развиваются, а гаснут. При турбулентном течении в потоке возникают пульсации скорости, отдельные объемы жидкости начинают дви- гаться поперек потока, причем эти объемы существенно больше тех, к которым можно применить понятие дифференциального объема сплошной среды. Следовательно, общие уравнения гидро- динамики применимы и к турбулентному течению. Турбулентное течение, строго говоря, является нестацио- нарным, однако если осредненные по времени скорости не изме- няются или изменяются медленно, то действительную скорость можно представить в виде суммы И? = + V, (IV.65) где w - вектор осредненной скорости в данной точке; V - век- тор пульсационной составляющей истинной скорости, дающий отклонение скорости по величине и направлению от осредненно- го значения. Величина осредненной скорости потока в данной точке опре- деляется интегралом w dr, (IV.66) где промежуток времени Дт должен быть достаточно большим по сравнению с периодом пульсаций, но в то же время достаточно малым по сравнению с каким-либо характерным для осредненно- го движения интервалом времени, чтобы учесть возможные из- менения средней скорости по времени. Тогда, естественно, J vdr = О, Дг (IV.67) 11’ 163
поскольку за период Дт все пульсационные составляющие скоро- сти взаимно компенсируются. Пульсации скорости в турбулент- ном потоке вызывают пульсации давления, температуры, кон- центрации и т.п. Для вывода уравнений осредненного движения турбулентно- го потока, следуя Рейнольдсу, примем следующие правила осред- нения: - 1 [ а = 1 - 1) если <р — I ат, то <р = — / <р ат = <р; Дг Дг 2) W = 3) У Ф dr = О, Дг где Ф - пульсационная составляющая у>. Подставляя в уравнения Навье-Стокса истинные значения скорости в соответствии с (IV.65) и применяя правила осред- нения Рейнольдса для случая течения несжимаемой жидкости, получаем Dwx др „2_ Р ”75— — ~ о I" Р wx + Dt дх д . _2. д . ______. д ______' + d^^~pv^+d^^~pVyV^ + d^^~pVzVx^ ’ Dw« др > = + 2wy+ Dt ду * д . ___ д . 2\ # ___\ + [fo t~pVxV^ + fo + fo ; Dwz др „2_ w‘+ ' д . _. д . __. д , + fo(-W2>+’ = „ дх dy dz (IV.68) 164
Из уравнений видно, что пульсации скорости вызывают по- явление новых членов, стоящих в квадратных скобках, аналогич- ных по смыслу членам вязкого трения. Эти члены называют- ся турбулентными напряжениями и характеризуют допол- нительный перенос количества движения молярными объемами жидкости, перемещающимися вследствие пульсаций скорости. В частности, для плоского установившегося турбулентного потока, когда скорость w - функция только поперечной коорди- наты у, из уравнений (IV.68) имеем dp d2w d , + (IV69) Введем понятие турбулентного касательного напряжения: Тт = —pv^ — дт dw/dy, (IV.70) тогда выражение для суммарных касательных напряжений г — (р. + дт) dw/dy. (IV.71) Величина дт называется турбулентной вязкостью. В отли- чие от вязкости д турбулентная вязкость не является физическим параметром. В развитом турбулентном потоке дт > д. В неизотермическом турбулентном потоке пульсации скоро- стей вызывают пульсации температур и T = T + 0, (IV.72) где 0 - пульсация температуры Т. Для случая р = const и А = const, применяя к уравнению (IV. 19) правила осреднения, получаем ^ = aV2T + gv/(cpp) + div(-V0). (IV.73) п х pV® Вводя понятие турбулентной теплопроводности Ат = — , аГ dy имеем 185
— = a div [(1 4- AT/A) grad T] 4- qv/{cpp). (IV.74) IzT Аналогичным образом можно получить и уравнение диффу- зии к-го компонента в турбулентном потоке: = pl>div[(l 4- DT/Z))gradpfc] 4- jvk, (IV.75) где DT - коэффициент турбулентной диффузии. Система дифференциальных уравнений турбулентного тече- ния жидкости является незамкнутой, так как в уравнениях дви- жения, энергии и диффузии появились дополнительные неизвест- ные члены, характеризующие турбулентный перенос теплоты, массы и количества движения. Для решения этой системы ис- пользуют дополнительные гипотезы, составляющие основу по- луэмпирических теорий турбулентности. IV.3. Условия однозначности для процессов конвективного теплообмена Система дифференциальных уравнений (IV. 19), (IV.26), (IV.50) описывает бесконечное множество процессов конвектив- ного теплообмена. Чтобы выделить конкретный процесс, необхо- димо сформулировать условия однозначности, которые содержат геометрические, физические, временные и граничные условия. Геометрические условия определяют форму и размеры твер- дого тела, на поверхности которого следует определить q или Т, расположение поверхности нагрева в потоке жидкости. Физические условия определяют численные значения физи- ческих параметров жидкости /х, р, А и ср, а также внутренние источники теплоты в потоке жидкости. Временные условия учитывают особенности протекания процесса по времени и задаются в виде начального распределения температур и скоростей. 166
Граничные условия определяют условия на поверностях те- плообмена и на границах потока. Горизонтальную составляющую скорости на поверхности нагрева обычно принимают равной нулю (условие прилипания жидкости к стенке). Вертикальная составляющая скорости на поверхности нагрева в общем случае может быть отличной от нуля заданной или искомой величиной. Тепловые граничные условия обычно включают задание температуры на поверхности нагрева или тепловых потоков. Так же как и в теории теплопроводности, различают три способа задания тепловых граничных условий. При граничном условии I рода заданным является распреде- ление температуры на поверхности теплообмена. При граничном условии II рода известным является распре- деление удельного теплового потока на поверхности теплообмена. Граничное условие III рода связывает температуру поверх- ности теплообмена с температурой окружающей среды через за- данное значение коэффициента теплоотдачи. Обычно это усло- вие записывается в виде (IV'76) В некоторых случаях температура поверхности нагрева или тепловой поток в стенку не могут быть заданными и являются искомыми параметрами. В этом случае к системе дифференциальных уравнений, опи- сывающих процесс распространения теплоты в потоке жидкости, следует добавить дифференциальные уравнения распростране- ния теплоты в стенке и задать условия сопряжения. Условия сопряжения могут быть заданы в виде равенства температур на поверхности соприкосновения сред или в виде ра- венства удельных тепловых потоков через поверхность теплооб- мена. 167
Глава V. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОДОБИЯ И РАЗМЕРНОСТЕЙ V.I. Значение теории подобия для теории теплообмена Изучить явление - это значит установить зависимость меж- ду величинами, характеризующими это явление. Конвективный теплообмен - весьма сложное явление, которое описывается си- стемой дифференциальных уравнений, состоящей в общем случае из уравнений теплообмена, энергии, движения, неразрывности, диффузии и состояния. Дифференциальные уравнения отража- ют лишь самые общие черты явления, в них отсутствуют инди- видуальные признаки конкретного единичного случая. Выделе- ние конкретного случая из общего класса явлений конвективно- го теплообмена осуществляется дополнением системы уравнений условиями однозначности. Таким образом, система дифферен- циальных уравнений конвективного теплообмена и условия од- нозначности составляют математическое описание конкретного случая теплообмена. В результате решения системы дифференциальных уравне- ний конвективного теплообмена совместно с условиями однознач- ности получаем зависимости распределения скоростей, темпера- тур и концентраций от координат и времени. Используя форму- лу (IV.3), находим зависимость коэффициента теплоотдачи а от времени т, координат х, у, z, точки поверхности и величин р, ср, р, А и т.п., входящих в условия однозначности, т.е. а = f(r, х, у, z, р, ср, р, w, Т,1,...). Именно эта зависимость и представляет наибольший практиче- ский интерес при инженерных расчетах процессов теплообмена. Ввиду чрезвычайной сложности системы дифференциаль- ных уравнений конвективного теплообмена и условий однознач- ности, содержащих большое количество переменных, аналитиче- ское решение ее не может быть получено в общем случае. Эти уравнения могут быть решены в отдельных частных случаях при существенных упрощающих предположениях. 168
Если аналитически решить задачу невозможно, то зависи- мость для коэффициента теплоотдачи можно найти либо числен- ным методом с большим объемом вычислений на электронных вычислительных машинах, либо с помощью экспериментального исследования. Отличаясь по способу получения искомых вели- чин, оба этих метода, по существу, равноценны по возможно- стям при определении зависимости между величинами. Каждое отдельное численное решение, так же как и каждый отдельный эксперимент, дают одно конкретное численное значение иско- мой величины - коэффициента теплоотдачи при заданных впол- не определенных значениях исходных аргументов. Чтобы найти зависимость коэффициента теплоотдачи хотя бы от одного из аргументов, необходимо провести множество экспериментов или выполнить множество численных решений при различных зна- чениях данного аргумента, оставляя другие неизменными. Для найденного ряда чисел можно затем подобрать подходящую эм- пирическую формулу, связывающую коэффициент теплоотдачи с аргументами. В отличие от формул, получаемых в результате аналити- ческого решения дифференциальных уравнений, описывающих процесс, эмпирические формулы, как правило, не отражают в полной мере физическую сущность процессов. Они справедливы только в том диапазоне изменения аргументов, какой был ис- следован в эксперименте или численных решениях. При этом изменение значения хотя бы одного из аргументов, оставших- ся постоянными в данной серии экспериментов, может привести к изменению характера полученной эмпирической зависимости. При большом числе аргументов оказывается очень трудным, а иногда и невозможным подобрать эмпирическую зависимость, правильно отражающую влияние всех аргументов. Таким обра- зом, численные и экспериментальные методы позволяют полу- чить лишь разрозненные зависимости, обобщение которых чрез- вычайно затруднено большим числом аргументов, от которых зависит искомая величина. Эти трудности позволяет преодолеть теория подобия. Теория подобия устанавливает условия подобия физических явлений и на этой основе дает возможность существенно сокра- тить число переменных. Она также дает правила рационального 169
объединения физических величин в безразмерные комплексы, чи- сло которых существенно меньше числа величин, из которых они состоят. Эти комплексы отражают совместное влияние совокуп- ности физических величин на явление и могут рассматриваться как новые обобщенные переменные, так как заданное значение комплекса может быть получено в результате бесчисленного мно- жества различных комбинаций величин, входящих в него. Сокра- щение числа переменных и использование их в комплексном вида значительно упрощает проведение экспериментов и численных решений. Наконец, теория подобия дает правила моделирования процессов, протекающих в натурных установках. В развитие теории подобия большой вклад внесли советские; ученые М. В. Кирпичев, М. А. Михеев, Л. И. Седов, А. А. Гу хм ан, Г. Н. Кружилин, С. С. Кутателадзе и др. Объединяются физические величины в безразмерные ком- плексы теорией подобия на основе анализа дифференциальных уравнений, описывающих явление и содержащих общие связВ; между величинами. Однако безразмерные комплексы могут быть; получены и с помощью метода анализа размерностей физических' величин, существенных для рассматриваемого явления. V.2. Понятие о подобии физических явлений с Понятие подобия физических явлении в известной мере мож- но считать расширением понятия геометрического подобия. В Рис. V.I. Геометрически по- добные треугольники геометрически подобным от- носятся фигуры одинаковой формы, соответствующие углы которых равны, а соот- ветствующие стороны про-; порциональны (рис. V.l).d Подобие треугольников,, приведенных на рисунке, мо- жет быть выражено двумя способами. Например, уста- новлением равенства отно- шений сходственных от- 170
резкое подобных фигур. Такое отношение называется констан- той подобия с: а'/а" = b'/b" = d'/d" = h'/h" = с, где а1, Ь1, d1, h', - линейные размеры одного треугольника; a",b",d",h" - соответствующие линейные размеры другого (подобного) треугольника. С помощью константы подобия можно сравнивать между со- бой только две подобные фигуры, так как для разных пар подоб- ных фигур константы подобия будут разные. Константа подобия показывает, во сколько раз размеры одной фигуры отличаются от размеров другой, подобной ей фигуры, и поэтому называются часто множителем подобного преобразования. Подобие треугольников можно выразить также равенством относительных, безразмерных сходственных отрезков фигур. Безразмерные отрезки выражаются отношением длины отрез- ка к длине определенного отрезка фигуры, принятого в качестве масштаба измерения всех других длин. Бели в подобных тре- угольниках в качестве масштаба принять высоту А, то подобие треугольников выразится равенствами a' jh' = a"/h" = а = idem; 67a' = 6'7A"=6 = idem; d'lh' ^d'4h" = d = idem. Относительные безразмерные элементы фигур могут быть названы инвариантами или критериями подобия. Исполь- зуя понятие относительной, безразмерной длины (критерий подо- бия), можно сравнивать любое количество подобных между собой фигур. При этом все подобные фигуры, построенные в едини- цах масштабного размера, т.е. в относительных величинах, со- вершенно одинаковы. Уравнения в относительных, безразмер- ных величинах, описывающие подобные фигуры, оказываются тоже одинаковыми. Это можно показать следующим образом. Уравнения двух эллипсов (' и ") можно записать в виде х /а +у /Ь = 1 и х /а + у /о =1, 171
где а и Ъ - соответственно большая и малая полуоси эллипса. Принимая большую полуось эллипса в качестве масштаба на- мерения всех других длин и относя все линейные члены урав- нения к этой величине, можно записать уравнения эллипсов в относительных величинах: х 4-у /о =1; х 4-у /о =1, где х ' = х1 /а1, х" — х"/а", у' = у1 /а1, у" — у"/а" - отно- сительные, безразмерные переменные; Ь = Ь1 /а',b = b"/а" - относительные, безразмерные малые полуоси эллипсов. Для подобных эллипсов относительные, безразмерные сход- ственные длины одинаковы. Следовательно, подобные эллипсы имеют тождественные уравнения в относительных величинах. При этом критерии подобия, содержащиеся в уравнениях, для них численно равны, т.е. ~ ~ и ~ b = b = b = idem. Другими словами, подобные эллипсы описываются одним и тем же уравнением в относительных величинах: х2 + у2/Ь2 - 1. Таким образом, если геометрические фигуры могут быть представлены уравнениями, то условием их подобия является одинаковость, тождественность их уравнений в относительных^, безразмерных величинах. Много полезных практических задач может быть решено^, если известны условия подобия. Свойства подобных треугольни- ков, например, позволяют определить высоту дерева или ширину реки без непосредственного измерения их. Понятие подобия может быть распространено и на физнче-Ч ские явления. Можно говорить, например, о подобии движений потоков жидкости - кинематическом подобии, о подобии сил - ди- намическом подобии, о подобии температур и тепловых потоков - тепловом подобии и т.д. 172
Подобными могут быть только явления одинаковой физиче- ской природы, имеющие место в геометрически подобных систе- мах. Признаком подобия является одинаковость относитель- ных, безразмерных значений физических величин во всех сход- ственных точках. Сходственными называются точки, безраз- мерные координаты которых равны, т.е. точки, удовлетворяю- щие условию геометрического подобия. Так как значения физиче- ских величин меняются от точки к точке, то можно сказать так- же, что признаком подобия является одинаковость, тождествен- ность полей безразмерных физических величин, построенных в безразмерных координатах. Относительное безразмерное значе- ние любой физической величины получается делением действи- тельного значения этой величины в данной точке на некоторое характерное значение той же величины, принятое в качестве мас- штаба измерения этой величины. Поясним подобие фи- зических явлений на сле- дующем примере. Допу- стим, имеются две гео- метрически подобные си- стемы (рис. V.2), в кото- рых имеют место подоб- ные процессы течения жидкости. Тогда, приняв в качестве сходственных точки 1 и 2, удовлетворя- ющие условию Рис. V.2. Подобие физических процессов при течении жидко- сти по трубам a'/d1 — a"/d" — а — idem, b'/d' = b"/dn = Ь = idem, можно утверждать, что имеют место следующие равенства при наличии: а) кинематического подобия: Wj/w*! = w^lw'x = w = idem; 173
б) динамического подобия: P2/P1 = P2/P1 = Р = idem или Др'/Pl = &р" !Р\ = Ар = idem; в) теплового подобия: I = t'^/t" = t = idem или At'/t\ = At"/t" = At = idem. Для подобия нестационарных явлений необходимо еще на- личие временного подобия, которое определяет сходственные мо- менты времени, в которые в сходственных точках должны быть одинаковыми те или иные относительные величины. Наличие временного подобия определяется следующим образом. Допу- стим, в начальный момент времени т = 0 какая-либо физиче- ская величина в сходственных точках двух систем имеет значе- ния <Pq и <Pq. Через промежуток времени соответственно Ат\ и Ат", причем Ат\ Ат", в этих же сходственных точках систем имеем значения физических величин и <р'!. Через промежу- ток времени соответственно Ат % и Ат j (Дт^ / Дт2) значения физических величин в сходственных точках систем будут и y>2- Если теперь при — V’a/V’i = Ч? = idem имеет место = Ату/Ат^ = Дт = idem, то это значит, что имеет место временное подобие явлений - гомохронностпъ, а если при этом Дт^ = Ат 2, то - синхронность. Таким образом, при подобии физических явлений (', ", '" и т.д.) для любой физической величины (<р, -ф и т.д.), характери- зующей данное явление в сходственных точках в сходственные моменты времени, должно выполняться соотношение Ч’Чч’о = Ч’"/Ч’'о = 4>"4<?о = idem; ФЧА = ^7^0 = ^о" = ^ = idem ( } и т.д. Координаты сходственных точек и сходственные моменты времени определяются соответственно соотношениями = *7*о = ®"'Ло =•••? = idem; /Ло = /7*0 = у"Ч^ = $ = idem; I z4l'Q = z"/ll' = z,"/n, = ---z=idem; 1 ‘ '! т'/т'о = т'Чт^ = т"Чт% = ---т = idem. | 174
Так как у подобных физических явлений значения безразмер- ных величин тождественны в сходственных точках в сходствен- ные моменты времени, то функции, выражающие зависимости безразмерных физических величин от безразмерных координат и времени: = f(r, х, у, z); ф = f(r, х , у, z) и т.д. также тождественны (одинаковы для всех подобных между собой явле- ний). Подобие физических явлений, как и геометрическое подобие, может быть выражено с помощью констант подобия. Из соотно- шений (V.1) можно для двух подобных явлений записать ¥’7v’o = ¥’,7v>o> ФУФ'о = Ф"/Ф^... Это можно переписать в виде <Ро/<Ро = <Р 1*Р = Cyi Ф0/Ф0 = /Ф = Сф- Значения констант подобия и Сф показывают, во сколько раз величины и ф в системе с двумя штрихами отличаются от тех же величин, взятых в сходственных точках системы с од- ним штрихом. Значение константы подобия данной физической величины одинаково для всех сходственных точек двух систем с подобными физическими явлениями. Для физических величин различной физической природы значения констант подобия могут быть различными. Понятие константы подобия используется для попарного сравнения подобных явлений. Если имеется несколь- ко подобных явлений (*, ", и т.д.), то константы подобия при переходе от одной пары явлений к другой - различны: cvi = ¥>'7^' / Сф2 = ?'"/?' / С^3 = и т. д. V.3. Условия подобия физических явлений Рассмотрев существо геометрического подобия и подобия фи- зических явлений, можно отметить для них некоторые важные общие положения и на этой основе сформулировать условия по- добия физических явлений. В обоих случаях, при геометриче- ском подобии и при подобии физических явлений, подобие, как 175
было установлено, выражается одинаково в тождественности от- носительных, безразмерных соответствующих величин. При гео- Я метрическом подобии это относительные отрезки фигур, при по- I добии физических явлений - различные физические величины. При геометрическом подобии фигуры, построенные в отно- Я сительных величинах, получаются совершенно одинаковыми, а уравнения, описывающие эти фигуры в безразмерном виде, - то- ждественными. I Тождественность безразмерных уравнений или тождествен- I ность математического описания подобных фигур в безразмерном виде можпо рассматривать как условие подобия геометрических S фигур. В При подобии физических явлений имеет место тождествен- Я ность полей относительных, безразмерных физических величин, построенных в безразмерных координатах и времени. Тожде- Я ственными оказываются и безразмерные уравнения этих полей. Тождественность безразмерных уравнений полей физических ве- личин у подобных явлений может быть только при тождественно- Я сти математических описаний этих физических явлений в безраз* Я мерном виде, ибо уравнения полей физических величин являются, по существу, решением системы дифференциальных уравнений, Я описывающих явление совместно с условиями однозначности. Следовательно, условие подобия физических явлений (как и I геометрическое подобие) выражается в тождественности матемаг- ж тических описаний подобных явлений в безразмерном виде. Раз- Я ница состоит только в содержании математического описания. Я Математическое описание физического явления складывает- Я ся из системы дифференциальных уравнений и условий одно- значности. Поэтому отмеченное выше условие подобия возможное только тогда, когда, во-первых, рассматриваемые явления отно- сятся к одному и тому же классу явлений и описываются однойЯ и той же системой дифференциальных уравнений, ибо только в | этом случае уравнения явлений могут быть тождественными Ж' безразмерном виде, и, во-вторых, когда условия однозначностям рассматриваемых явлений качественно одинаковы, т.е. содержат5? одни и те же физические величины и одни и те же уравнения опре- деляют распределение этих величин в пространстве и времени. 178
Ибо только в этом случае у всех подобных явлений условия одно- значности содержат численно равные относительные физические величины и тождественные безразмерные уравнения, описываю- щие поля соответствующих величин в условиях однозначности. Это условие включает и геометрическое подобие систем. Теперь необходимо установить условия, которые должны со- блюдаться, чтобы уравнения, описывающие явления одного и то- го же класса, были тождественными. Для этого рассмотрим про- цесс приведения дифференциальных уравнений к безразмерному виду. Дифференциальные уравнения, определяющие конвектив- ный теплообмен, в принципе очень просты - каждое из них представляет собой совокупность физических эффектов, отража- ющую закон сохранения энергии или массы. Например, диф- ференциальное уравнение теплопроводности представляет собой равенство количества теплоты Q, подведенной к элементу среды, и изменение энтальпии i этого элемента: dQ = di. Дифференци- альное уравнение движения выражает равенство всех сил, дей- ствующих на элемент среды, инерционной силе Fj = F{. Сле- довательно, каждое дифференциальное уравнение может быть за- писано в общем виде как алгебраическая сумма эффектов (сил, потоков теплоты и т.п.): Z»i + D2 + D3 + • • • + Dn = 0. (V.3) Составление дифференциального уравнения представляет собой переход от сложных физических понятий (эффектов) к про- стым физическим величинам (плотности, температуре и т.п.), т.е. представляет собой выражение физических эффектов через физические величины. Например, составление дифференциаль- ного уравнения теплопроводности заключается в переходе от уравнения в эффектах в виде dQ = di к уравнению между фи- зическими величинами в виде dt/dr = aV2Z. Таким образом, каждый эффект в уравнении представляет- ся комбинацией первичных физических величин. Процесс опре- деляется совокупностью эффектов, и поэтому влияние отдель- ных физических величин па процесс проявляется в их влиянии 12-1005 177
на всю комбинацию величин, представляющую эффект. Уже от- сюда можно заключить, что процесс целесообразно исследовать в характерных для него комбинациях физических величин. Привести дифференциальное уравнение (V.3) к безразмер-. ному виду можно следующим образом. Разделив и умножив K&t. ждый член уравнения на масштаб эффекта, который он выража- ет, получим - D = nd, i где D ~ член уравнения, содержащий дифференциальный оперг тор, выражающий определенный физический эффект и имеющи размерность эффекта: П - масштаб эффекта, представлена го членом D, d - член уравнения, выражающий относительнь безразмерный физический эффект (это тот же член D, толы в относительных, безразмерных величинах). Масштаб эффек' представляет собой комбинацию масштабных физических вел чин, имеющих место в данном эффекте. Эта комбинация велич] имеет размерность эффекта. Физические величины, выполни] щие роль масштабов, целесообразно брать из условий одиозна ности, которые задаются при постановке задачи. Следовательно, уравнение (V.3) можно переписать в виде П1</1 4- П2^2 "I" n$d$ 4- • • • 4- nndn = 0. (V. Так как все члены уравнения измеряются в одних и тех же ед ницах, то все масштабы эффектов П\, Я2,... имеют одинаков; размерность. Поэтому, разделив все члены уравнения на оф из масштабов, например на Пп, можно получить уравнение безразмерном виде: 7Г1п</1 4-7Г2п^2 4-7Гзпс?з 4- • •• 4-</п = 0, (V, где 7Г1П = П\/Пп, тг2п = Я2/Яп,... -безразмерные комплексыф зических величин, называемые определяющими критерия» подобия. Определяющие критерии подобия состоят из содержащи ся в условиях однозначности величин. Поэтому они могут бы1 вычислены при постановке задачи, без ее решения или экспер ментального исследования. Критерии подобия выражают сов 178
отношения масштабов двух определенных эффектов, существен- ных для явления. Число критериев, вытекающих из одного урав- нения, на единицу меньше числа членов уравнения. Безразмерное уравнение (V.5), очевидно, справедливо толь- ко для тех относящихся к одному классу процессов, для которых все критерии, входящие в это безразмерное уравнение, численно равны. Следовательно, для того чтобы уравнения, описывающие явления одного класса, были тождественными в безразмерном ви- де, необходимо, чтобы одноименные критерии подобия, имеющие место в этих уравнениях, были численно равны. Поэтому равен- ство одноименных критериев является условием подобия явле- ний, относящихся к одному классу и имеющих подобные условия однозначности. Таким образом, для того чтобы физические явления были подобны, необходимо следующее: 1) явления должны быть одного класса, т.е. иметь одну фи- зическую природу и описываться одной системой дифференци- альных уравнений; 2) условия однозначности явлений должны быть качественно одинаковыми, т.е. содержать одни и те же физические величины и одни и те же уравнения, описывающие поля соответствующих величин; 3) одноименные определяющие критерии явлений должны быть численно равны. В результате приведения к безразмерному виду каждое диф- ференциальное уравнение системы, описывающей процесс, при- обретает форму уравнения (V.5), в котором величины di со- держат дифференциальные операторы над безразмерными пере- менными вида д21р/дт2, д<р/дт, д<р/дх и т.д. Очевидно, решение системы уравнений типа (V.5) должно представлять собой некоторую функцию, связывающую значе- ния всех безразмерных переменных (зависимой и независимых г, х , у, 2), критериев подобия, а также безразмерных величин, заданных по условиям однозначности. Так как масштабные физические величины для образования соответствующих безразмерных величин берутся из условий од- нозначности, то все безразмерные величины условий однознач- ности, принятые в качестве масштабов, равны единице. В ре- шение войдут только безразмерные отношения величин одной и 12 179
той же физичекой природы из условий однозначности (размеры, температуры и т.п.), например Р/ = li/lo, Pt = Ti/Tq. Такие отношения называются параметрическими критериями. Следовательно, решение системы безразмерных дифферен- циальных уравнений будет иметь вид ~ Ч (V.6J V» = f2(r, X, у, Z, 7Г1, 7Г2, ...,Р1,...), где - зависимые (искомые) безразмерные переменные; г, х, у ,z - независимые безразмерные переменные (время и коорди- наты); 7Г1, 7Г2 ~ определяющие критерии подобия, которые зада/ ны условиями однозначности и для конкретной задачи являют- ся постоянными; Р) ... - параметрические критерии, заданные условиями однозначности и постоянные для конкретной задачи. Уравнения вида (V.6) называются критериальным* уравнениями подобия. Каждое уравнение подобия описыва- ет все подобные между собой явления. Если нет необходимости^ определять искомую величину, например коэффициент теплоот- дачи, в каждой точке поверхности и в каждый момент времени, а достаточно знать его среднее значение по всей поверхности и за весь период времени, то в уравнении подобия отсутствуют зна-? чения безразмерных координат х , у, z и времени т и оно имеет вид £ = /з(7Г1, тг2,...,Р1,...)- (V.7)) В частных случаях, когда те или иные эффекты не про-; являются в процессе, некоторые критерии, содержащие масштаб бы этих эффектов, могут отсутствовать в уравнении подобия^ В таком случае имеем автомодельность явления по отноше- нию к данному критерию. В уравнениях подобия, описывающи процессы с одинаковыми условиями однозначности, отсутствую параметрические критерии. Следовательно, наличие в уравн нии параметрического критерия, например отношения размере: свидетельствует о том, что данное уравнение подобия учитывав некоторое геометрическое неподобие систем. Необходимо также отметить, что вид критериев, вытекал щих из дифференциального уравнения, зависит от того, на ма штаб какого эффекта делили члены уравнения при приведен» 180
его к безразмерному виду. Однако системы критериев, получен- ных из одной и той же системы уравнений и условий однознач- ности, эквивалентны. Любая комбинация из критериев является тоже критерием и может заменить в уравнении подобия один из критериев, входящих в эту комбинацию. Этим правилом пользу- ются для исключения из критериев величины, не содержащейся в условиях однозначности, путем сочетания двух критериев, со- держащих эту величину. При этом количество критериев подо- бия уменьшается, так как полученный критерий заменяет лишь один из критериев. Критерии подобия, содержащие неизвестные величины, называются неопределяющими критериями. В заключение полезно сравнить решение обычной (размер- ной) системы дифференциальных уравнений и условий однознач- ности в виде « = /(т, х, у, Z, 9, с, ц, A, W, .), (V.8) где q, с, ц,... - значение физических величин, входящих в усло- вия однозначности, с решением системы дифференциальных уравнений и условий однозначности в безразмерном виде: « = /(Г, X, y,Z, 7Г1, ТГ2,...,Р1). (V.9) Сравнивая решения, можно заметить, что оба решения одно- значно определяют значение искомой величины а. Однако число аргументов во втором случае существенно меньше, чем в первом, так как величины, имеющие место в условиях однозначности, на- ходятся в нем в виде комплексов-критериев, определяющих влия- ние совокупности физических величин на процесс. При меньшем числе аргументов обработка результатов экспериментов или чи- сленных решений и получение необходимой зависимости между величинами существенно упрощаются. Кроме того, каждое част- ное решение в безразмерном виде, т.е. каждое относительное зна- чение искомой величины при определенном значении определяю- щих критериев, справедливо для многих подобных между собой случаев, ибо одно и то же значение критерия может быть полу- чено с помощью различных численных значений входящих в него физических величин. 181
Таким образом, разработанная на основе теории подобия форма представления решения системы дифференциальных уравнений в безразмерном виде позволяет, во-первых, сократить число аргументов и тем самым упростить обработку результат тов эксперимента и получение зависимости между величинами во-вторых, обобщить данные единичного опыта или численно решения на многие подобные между собой случаи. Основные положения теории подобия формулируются в ви трех теорем: 1. У подобных явлений все критерии подобия (определяют и неопределяющие) должны быть численно равны. 2. Решение дифференциального уравнения может быть пре ставлено в виде связи между критериями, вытекающими из это уравнения. 3. Явления подобны, если они имеют подобные условия oj значности и численно равные критерии, содержащие велич] из условий однозначности (определяющие критерии). Эти теоремы отражают условия подобия и особенности добных явлений, которые были рассмотрены выше. Из рассмотренного следует, что теория подобия не дает шения, а только позволяет обобщить экспериментальные д1 в которой эти данные должны предст ные, указывая форму, вляться. Следовательно, теория подобия, по существу, явля< теорией эксперимента, поэтому значение ее особенно велико научных областей, основой которых является эксперимент численное решение. Именно к такой области относится кон тивный теплообмен. V.4. Критерии подобия и уравнения подобия конвективного теплообмена Для установления вида критериев подобия необходимо । стему уравнений конвективного теплообмена привести к безр мерному виду. Система дифференциальных уравнений кон] тивного теплообмена для течения несжимаемой жидкости с стоянными физическими параметрами представляет собой с< купность следующих уравнений: 182
а) уравнения энергии дТ дТ дТ дТ (д2Т д2Т д2Т\ /чг ч а? + "”а7 + ”'>а7 + “’’в7 = Ч^+ V + a?)'(V1O) б) уравнений движения dwx dwx ( dwx dwx i Р ~я~ + Р ( w* ~я~ + w9 ~a~ + wz ~5~ дт \ дх ду dz , d2wx d2wx dwx\ ' dz) ~ . - d2wx dy2 dz2 dwv\ _ d2wy' dx dp dw« f dw« dw« '"V" ar + w>W + ”’’'87; dp (d2wy d2wy dwz / dwz dwz dwz\ " -э7 + " V” ~57 + w« ~^ + "57) = dp (d2wz d2wz d2wz\ - M dx2 + dy2 + дг2 J ‘> dz d2W' (V.U) в) уравнения неразрывности dwx dw« dwz -----1----S. J---f. dx dy dz (V.12) К системе дифференциальных уравнений (V.10)-(V.12) доба- вляются условия однозначности. В частности, граничное условие можно задать в виде “AT = -f^ A Vn/n=0 (V.13) Иногда это равенство называют уравнением теплообмена, так как оно включает искомую величину - коэффициент теплоотда- чи. 183
В этих уравнениях можно выделить три вида параметров: независимые переменные т, х, у, г; зависимые переменные (неиз» вестные величины) а, Т, wx, wy, wz, р и постоянные величины,, входящие в условия однозначности, wq, То, lo, а, А, />и т.д. Для приведения уравнений к безразмерному виду необходн» мо выбрать масштабы для зависимых и независимых величин, качестве масштабных значений наиболее целесообразно приняз величины, входящие в условия однозначности, заданные при г» становке задачи. Затем необходимо заменить абсолютные знач ния всех переменных относительными, безразмерными велит нами, используя определение безразмерной величины <р = <р/<р где сро ~ масштабное значение физической величины ср. Отеки абсолютная величина ср может быть выражена через безразме ную ср и масштабную <ро в виде <р = (ро^. (V.1 Так как уравнения содержат первые и вторые производи! переменных величин, то необходимо и для них получить соо ветствующие выражения. Это может быть сделано с исполь ванием выражения (V.14) следующим образом: др _ д(ррр) _ <ро dip дх д(1ох~) Iq дх' д2р _ д /др\ __ д дх2 дх \дх) д(1ох) Каждый член с дифференциальным оператором в уравне] ях выражает определенный физический эффект и является ма матическим выражением для количественного определения э го эффекта, т.е. является правилом вычисления эффекта в са общем случае, когда он переменный. Отсюда комбинация из стоянных масштабных величин, получающаяся перед диффе] циальным оператором в относительных величинах, предста; ет собой масштаб эффекта. Эта комбинация выражает 31 формирования физических величин в эффекте. д(<ро<р) _ УО дг<р д(10х). ” lldx2 ' 184
Правило вычисления эффекта и закон формирования вели- чин в нем совпадают, т.е, имеют одинаковые математические выражения, когда эффект постоянен. Например, правило вычи- сления ускорения имеет вид _ dw _ d(dl/dr} _ d2l а dr dr dr2 Если ускорение постоянно а = const, то правило его вычи- сления можно представить в виде а = w/r = 1/т2. Это выра- жение представляет собой комбинацию физических величин в ускорении, т.е. выражает закон формирования физических вели- чин в нем. Приняв масштабы для коэффициентов теплоотдачи ао, Дли- ны /о, скорости wo, времени то, температуры То и давления ро и воспользовавшись выражениями (V.14) - (V.16), представим уравнение теплообмена в виде 5ДТа0Т0 = -— ‘О Разделив уравнение на комплекс масштабных физических вели- чин, выражающий масштаб второго эффекта Пч = XTq/Io, запи- шем уравнение в безразмерном виде: 1 (дТ\ атгто =-----— I I , ДТ \.5п/ст’ (V.17) где 7Г12 - безразмерный комплекс из масштабных величин, пред- ставляющий собой отношение масштабов эффектов П\ = аоТо и П2 = XTq/Io'- ТГ12 = Пу/Пч — aolo/X. Обычно в условиях однозначности не содержится коэффици- ент теплоотдачи ао, поэтому нужно преобразовать относитель- ную величину а и tti2- Масштабное значение коэффициента те- плоотдачи ао в величине а следует заменить комплексом вели- чин из условий однозначности. Из выражения для критерия ТГ12 185
видно, что таким комплексом является отношение А//о- Следо- вательно, произведение arj2 = (а/ао) (“о^о/А) = а/о/А в урав- нении (V.17) представляет собой относительную величину неиз- вестного коэффициента теплоотдачи. Этот комплекс является неопределяющим критерием, называется числом Нуссельта Nu = а/0/А (VJ8) и характеризует соотношение между конвективным пе- реносом теплоты от жидкости к поверхности тела (дст) и переносом теплоты теплопроводностью через слой жид- кости толщиной /о(?ста)- Действительно, из уравнения (V.18) следует, что Nu = = *1. АТ А 9стА (V.19) В задачах конвективного теплообмена число Нуссельта обы- чно является искомой величиной. По своей структуре число Нуссельта напоминает определяющий критерий - число Био (Bi = а/о/Ам), однако в отличие от него содержит коэффициент теплопроводности жидкости и имеет иной физический смысл. Таким образом, безразмерное уравнение теплообмена может быть окончательно записано так: 1 (дТ\ Nu = —- ЬИ ДТ \ дп /ст (V.20) С учетом выражений (V.14) —(V.16) уравнение энергии мож- но преобразовать к виду дТ То дТ _ дТ ~ df\wQTo — + \ wx-s^ + wy-s^ + wz-s^] — = дт то \ дх я ду dz J Iq (д2Т д2Т д2Т\аТо Разделив члены уравнения на комплекс величин, выражающи! масштаб эффекта, представленного третьим членом уравнен! Пз = uTq/Iq, запишем его в безразмерном виде: 186
д2Т dz2' (V.22) Wo/q/o - кри- дт дТ ~ дТ ~ дТ\ а? 113 + di + + w*1я) %23 = д2Т д2Т ~ дх2 + ду 4 где %1з = П1/П3 = Z^/(aro) и хгз = Я2/Я3 = терпи подобия. Числа подобия принято обозначать первыми дву- мя буквами фамилий ученых, оказавших существенное влияние на развитие данной области знаний, и соответствующим образом именовать. На практике критерии, вытекающие из этого уравнения, обычно используются в форме чисел Фурье и Пекле. Число Фурье Fo = 1/7Г13 = ато/ig (V.23) выражает соотношение между темпом изменения усло- вий в окружающей среде и темпом перестройки темпера- турного поля внутри тела. Число Пекле Ре = %23 = Wo/a (V.24) выражает соотношение между интенсивностью переноса теплоты конвекцией и интенсивностью переноса тепло- ты теплопроводностью. Уравнение движения для оси ОХ с учетом выражений (V.14) - (V.16) имеет вид dwx pwo , (~ dwx к ----------1" I W х ~7JX—I- ат tq \ дх др ро Р3 дх /0 ~ dwx , ~ dwx\ pwl “’VWV , / d2w x d2w x d2w x \ PWq + fi\dx2 + dy2 +~di47T 187
Разделив на комплекс величин при втором члене уравнения, выражающий масштаб инерционной силы П2 = pwg/fo, получим dw х ~ dw х ~ dw х ~ dw х = *32 - *32 + ^2«'1*s2, (V-25) ox где ТГ12 = /71/772 = Io/tqwo, 7Г32 = 77з/77г = 9^1w0’ = = II4JII2 = Po/(pw)2, ^52 = Ik/Ih = v/(wo/0) - критерии подо- бия. На практике используются следующие критерии, вытекаю- щие из уравнения движения. Число гомохронности Но = 1/1Г12 = wqTq/Io (V.26) выражает меру отношения переносного (конвективного) ускорения к ускорению в данной точке. Число Фруда Fr = тгз2 = (V.27) определяет соотношение между силой тяжести и инерци- онной силой в рассматриваемом явлении. Последнее следу- ет из уравнения (V.27), если его записать в виде Fr = pglo/^pw^'). Оно имеет существенное значение в тех случаях, когда гравита- ционные эффекты играют заметную роль. В отдельных случа- ях эффекты, обусловленные действием силы тяжести, настолько незначительны, что ими можно пренебречь. Обычно в условиях однозначности не содержится величины давления ро. Поэтому масштаб давления в относительном давлении р следует заменить комплексом величин из условий однозначности. Из выражения для критерия 7Г42 = po/(pwj)) видно, что комбинация величин PWq имеет размерность давления и ею может быть заменен мас- штаб в безразмерном давлении. Следовательно, произведение Р7Г42 = (p/Po)Po/Owq) = p/(puio) (V.28) 188
представляет собой неизвестное по условию относительное да- вление. Этот комплекс является неопределяющим критерием. В большинстве инженерных задач требуется знать не абсо- лютное значение давления, а разность давлений в двух точках системы. Комплекс, выражающий безразмерную разность да- влений, называется неопределяющим числом Эйлера: Ей = Ap/(pwo). (V.29) Число Эйлера устанавливает соотношение между силой давления и инерционной силой в рассматриваемом явле- нии. Последний критерий, вытекающий из уравнения движения, - число Рейнольдса Re = 1/7Г52 = wqIq/v, (V.30) выражающее соотношение между инерционной силой и силой внутреннего трения. В этом нетрудно убедиться, если записать число Рейнольдса в виде Чем меньше значение числа Рейнольдса, тем большее влияние на все гидродинамические характеристики потока оказывают моле- кулярные силы вязкости и тем устойчивее вязкое, ламинарное течение жидкости. При некотором критическом значении чи- сла Рейнольдса ламинарное течение жидкости переходит в тур- булентное. Как будет показано дальше, интенсивность конвек- тивного теплообмена существенным образом зависит от режима течения жидкости, поэтому число Рейнольдса является одним из основных определяющих критериев в теории теплообмена. Уравнения движения для осей OY W.OZ приводятся к безраз- мерному виду таким же образом и, как легко себе представить, дают ту же систему критериев. 189
Применив выражения (V.14) - (V.16), запишем уравнение неразрывности так: (dw х dw« dw z\ -эГ + -эГ + -8ГГ“/'» = 0- Так как отношение wq/Iq не равно нулю, то dwx дх dw ду dw г dz (V.32) Отсюда видно, что безразмерное уравнение неразрывности для несжимаемой жидкости (р = const) не содержит критериев подо- бия. Используя обозначения критериев, запишем систему безраз- мерных дифференциальных уравнений конвективного теплообме- на: дТ 1 дТ ~ дТ ~ df\ 9? ГЪ + Г*да+”’’^ + Ш2»Ге = - д2Т д2Т д2Т дх + ду + dz2' (V.33) dwx 1 ~ dw х ~ dw х ~ dw х -хх~ тг- + wx -хх- + w« -хх- + w г = дт Но дх 8 ду dz dw и 1 ~ dw« ~dTifo+Wx~diT d _ _,2_ 1 = Fr - — Eu + V2w x — dx Re dw« „ dw« + w*-di- + Wx-d/ = = Fr - Xeu + V2wv^~; dy 9 Re (V.34) dw г 1 _ dw г dr Но + W х dx ~ dw t ~ dw г 4-Wv-xx- + W: — = * dy dz = Fr -^Eu +V2wz^-; dz Re dwx dwу dwz ---- +------ -I---- — 0 dx dy dz (V.35) 100
и уравнение теплообмена: 1 ДТ (V.36) Рассмотрим еще несколько критериев, которые применяют- ся при решении задач конвективного теплообмена. При ана- лизе свободного движения жидкости, как правило, невозможно выбрать заранее какую-либо скорость в качестве масштаба, так как она отсутствует в условиях однозначности. Таким обра- зом, числа Рейнольдса и Фруда не могут быть определяющими в этих условиях. Однако комбинируя эти два критерия, можно по- лучить новый критерий, который не будет содержать скорость. Число Галилея Re2Fr = gl3/v = Ga (V.37) характеризует отношение массовых сил к силам вязко- сти. Если рассматривать случай свободного движения, обусло- вленного неоднородностью поля плотности, то к системе кри- териев следует добавить критерий параметрического типа Др/р. Совокупность числа Ga и Др/р дает новый критерий, называе- мый числом Архимеда Аг = ТТу- (V.38) характеризующий отношение подъемных сил к силам вязкости. Если разность плотностей жидкости определяется разно- стью температур ДТ, то симплекс Др/р можно представить через коэффициент объемного расширения жидкости р Удт); полагая его постоянным в данном интервале температур, в виде Др/р = 0ДТ. 191
Тогда число Архимеда принимает вид gl3PbT/v2 = Gr (V.39) и называется числом Грасгофа. Для газов, подчиняющихся уравнению состояния идеального газа pv = RTt коэффициент термического расширения выражается в виде 0 = 1/Т, и число Грасгофа принимает вид Gr = g&Tl3/v2Tm, где Tm = (Тст 4- Тж)/2. Отношение числа Пекле к числу Рейнольдса носит название числа Прандтля: Рг = Ре /Re = и/а = рср/А. (V.40) Как будет показано в гл. VI, число Прандтля связано с тол- щиной динамического и теплового пограничного слоя соотноше- нием 5/5т = л/Рг. Число Прандтля содержит только физиче- ские параметры среды, поэтому и является безразмерным фи- зическим параметром. Для газов оно практически не зависит ни от температуры, ни от давления, его значение определяется количеством атомов в молекуле газа и близко к единице: для од- ноатомных газов Рг = 0,67; для двухатомных Рг = 0,72; для трехатомных Рг = 0,8; для многоатомных Рг = 1,0. Для капельных жидкостей значение числа Прандтля боль- ше единицы и в случае очень вязких жидкостей может достигать значения 103 и более. Исключение составляют жидкие металлы» которые характеризуются чрезвычайно малыми значениями чи- сла Прапдля (порядка 10-2 ... 10-3). Число Прандтля у капельных жидкостей сильно зависит от температуры: как правило, при увеличении температур оно уменьшается (рис. V.3, а). При температурах от 0 до 180°C чи- сло Рг у воды (рис. V.3, б) сильно уменьшается с ростом тем- пературы (от 13,7 до 1), что связано с уменьшением вязкости и ростом температуропроводности в этой области температур. При температурах от 130 до 310 °C значения числа Рг для воды 192
Рис. V.3. Зависимость числа Прандтля от температуры для транс- форматорного масла (а) и воды (по линии насыщения) (б) изменяются незначительно и близки к единице. Характер зависи- мости числа Рг от температуры резко изменяется при давлениях, близких к критическим. Иногда вместо неопределяющего числа Нуссельта использу- ется число Стантона, представляющее собой комбинацию чи- сел Nu, Re и Рг в виде St = Nu/(RePr) = aa/(Aw0) = a/(cppwo). (V.41) Из формулы (V.41) следует, что St = <7ст Cp/>Wo (?ж ~ Тст) Следовательно, число Стантона представляет собой отношение теплового потока в стенку к тому конвектив- ному потоку, который может быть перенесен потоком жидкости при уменьшении ее температуры от Тж до Тст. При рассмотрении теплообмена при высоких скоростях (wq > а/4) необходимо учитывать сжимаемость среды. В этом случае из системы уравнений методом теории подобия мо- жет быть получен дополнительный критерий, содержащий чи- сло Маха М = wq/а тл отношение удельных теплоемкостей к = 13-1005 183
= Cp/cv- Число Маха представляет собой отношение скорости потока к скорости звука и характеризует сжи- маемость среды. Система безразмерных дифференциальных уравнений кон- вективного теплообмена содержит две группы переменных: не- зависимые т, х , у, z и зависимые Nu, Т, w г, Ей. За- висимые переменные однозначно определяются значениями не- зависимых переменных при определенных значениях определяю- щих чисел подобия Re, Рг, Fr, Gr, Fo, Но, в число которых мо- гут входить и параметрические критерии Р. Следовательно, уравнения подобия могут быть записаны в таком виде: Nu = /1(т, х , у , z, Re, Рг, Fr, Gr, Fo, Но, Р); Т = х, у, z, Re, Рг, Fr, Gr, Fo, Но, Р); wх = x,y,z, Re, Рг, Fr, Gr, Fo, Но, P); ,у Wy = /4(7, x , у, z, Re, Pr, Fr, Gr, Fo, Ho, P); = /5(7, x, y, z, Re, Pr, Fr, Gr, Fo, Ho, P); Eu = f6(r, x, y, z, Re, Pr, Fr, Gr, Fo, Ho, P). В частных случаях некоторые величины (переменные или чис подобия) могут не входить в уравнения подобия. В некотор: случаях, когда важно знать среднее значение коэффициента плоотдачи по Всей поверхности и за весь период процесса, в ур< нение подобия не войдут значения координат поверхности 2", у, X и времени т. Если масштабы то для времени изменения темпер: турного и скоростного полей одинаковы, то вместо чисел Фурье гомохронности в уравнениях будет присутствовать только ол из них. При рассмотрении стационарного процесса отсутствуют 1 ела Fo и Но . Когда сила тяжести пренебрежимо мала по срав: нию с инерционной силой, из определяющих критериев выпадг число Фруда. При вынужденном турбулентном движении в большинсп случаев можно пренебречь влиянием свободной конвекции, и числа определяющих критериев выпадает число Грасгофа. П 194
свободном движении жидкости из определяющих критериев оста- ются только числа Грасгофа и Прандтля. Таким образом, для наиболее характерных стационарных случаев конвективного теплообмена уравнения подобия для ко- эффициента теплоотдачи имеют следующий вид: Nu = /(Re, Рт) - вынужденное движение; Nu = /(Gr, Pr) - свободная конвекция; Nu = /(Re, Gr, Pr) - свободная конвекция с наложенным вынужденным движением. В случае газов одинаковой атомности, для которых число Рг одинаково и постоянно, уравнения подобия не будут содержать этого критерия. При рассмотрении более сложного процесса конвективного теплообмена, например теплообмена при изменении агрегатно- го состояния, теплообмена при течении газа со сверхзвуковыми скоростями, теплообмена на проницаемой поверхности, получен- ная выше система критериев должна быть дополнена новыми критериями, отражающими особенности рассматриваемого про- цесса. V.5. Метод анализа размерностей Необходимой предпосылкой теории подобия является нали- чие математического описания рассматриваемого явления в ви- де дифференциальных уравнений и условий однозначности, на основе которых находится общий вид уравнения подобия. Од- нако в ряде случаев изучаемое явление может быть настолько сложным, что для него невозможно составить замкнутую систе- му дифференциальных уравнений. Вид критериев подобия, существенных для явления, и об- щий вид уравнения подобия можно подобрать и без составления дифференциальных уравнений. Это можно сделать с помощью метода анализа размерностей. В этом случае необходимо рас- полагать полным перечнем физических величин, существенных Для рассматриваемого явления, т.е. величин, которые вошли бы в дифференциальные уравнения и условия однозначности, если бы математическое описание процесса было известно. Перечень 13* 195
физических величин можно составить на основе общих физиче- ских соображений. Известно, что одни физические величины могут быть выраг жены через другие. Например, скорость выражается через путь и время в виде w = l/т, плотность - через массу и объем в вида р = m/V. Также установлено, что физические величины, ис- пользуемые в той или иной области науки, могут быть выра- жены через ограниченное количество определенных физических величин, называемых основными или первичными. В теории размерностей основные физические величины при- нято называть основными размерностями и обозначать больши- ми латинскими буквами. Число основных размерностей, как и перечень физических величин, существенных для явления, опре- деляется физической природой явления. Для перечня физических величин, используемых в большин- стве случаев в теории теплообмена (табл. V.1), основных раз- мерностей четыре: М - масса, L - длина, 0 - температура и Т - время. Размерностью физической величины называется выражение данной физической величины через основные размерности. На- пример, размерностью силы является выражение LMT-2, раз- мерностью удельной теплоемкости - Ь2Т-20-1. В формулах размерностей обозначение физической величи- ны принято записывать в прямых скобках. Например, фopмyJ размерности для скорости имеет вид [w]=LT-1. Физические величины измеряются единицами измерени выражающими определенное количество величины, принятое качестве масштаба. Одна и та же физическая величина мож< измеряться различными единицами. Например, длина может в меряться в метрах, дюймах и т.п. Выражение единицы измерения физической величины чер единицы измерения основных величин по форме аналогично р мерности этой величины. Например, единица измерения ско] сти м-с-1 соответствует размерности скорости LT-1. Для анализа размерностей единицы измерения физичеси величин значения не имеют. 196
Таблица V.l. Размерности и единицы измерения физических величин Наименование Обозначение Размерность Единица измерения Масса ТП М кг Длина 1 L м Время т Т с Температура т © к Скорость W LT”1 м/с Сила F MLT-2 Н Плотность Р ML"3 кг/м3 Давление Р ML-1T“2 Па Динамическая вязкость М ML-'T"1 Па-с Кинематическая вязкость I/ L’T'1 м2/с Теплота Q ML2T"2 Дж Тепловой поток Q ml2t~3 Вт Плотность теплового потока. ч MT"3 Вт/м2 Т еплопроводность А LMT"3©-1 Вт/(м-К) Коэффициент теплоотдачи at mt-3©-1 Вт/(м2-К) Энтальпия и ML2T~2 Дж/кг Коэффициент термического расширения 0 ©-1 к-1 Коэффициент температуропроводности а L2T-1 м2/с Удельная массовая теплоемкость Ср l2t-2©-1 Дж/(кг-К) Основным положением, которое используется в методе ана- лиза размерностей при нахождении количества и вида критериев подобия, является аксиома о том, что складываться и вычитаться могут только величины и комплексы величин, имеющие одина- ковую размерность, а также то обстоятельство, что одни величи- ны выражаются через другие в виде их произведения в соответ- ствующих степенях. На этой основе устанавливается, что если 197
какая-либо физическая величина N ищется как функция других физических величин А, В, С, ..то эта зависимость может быть представлена в виде произведения этих величин в некоторых сте- пенях а, Ь, с, ..т.е. N = f(A, В, С, D,...) = к AaBbCcDd .... (¥.43) где к - постоянная. В таком случае, заменяя каждую из физических величин (А, В, С, О,...) ее размерностью и устанавливая соответству- ющие величины показателей степеней a, b, с, d,..можно обес- печить одинаковые размерности в правой и левой частях урав- нения. Для этого в полученном уравнении основных размерно- стей показатель степени у определенной основной размерности? в левой части уравнения должен быть равен сумме показателей степеней у соответствующей размерности в правой части. Это обстоятельство дает возможность объединить физические вели- чины в безразмерные комплексы - критерии подобия. При этом оказывается, что между количеством физических величин и ко- личеством получающихся безразмерных комплексов существует определенное соотношение, определяемое тг-теоремой. Метод получения критериев подобия и содержание тг-теор< мы можно показать следующим образом. Представим размерш сти физических величин в уравнении (V.43) в виде [JV] = LnoT’n°0*°Mro; [А] = LniTmi0*1Mri; [В] = L"2T”l20*2M’’2; [С] = L”3Tm30*3Mr3; [В] = L"4T"l40*4M’’4, где п, т, к, г - показатели степеней у соответствующих ochoi ных размерностей, через которые выражены размерности N, 2 В, С, D. Подставляя полученные выражения в уравнение (V.43 можно представить его в виде LnoTmoQ*oMro __ jfe('LniT’ni0*IMri)e(L"zT”l20*2Mrz)frx x(L”3T’n30*3Mr3)c (L”4T?l40*4Mr4)di. (V.. 198
На основе равенства показателей степеней у соответствующих основных размерностей в левой и правой частях уравнения можно составить следующую систему уравнений для степеней: no = anj 4- Ьп2 4- спз 4- dn4 4- • • • иго = ат1 + Ьтп2 + ст3 + 4- • • • Л»о ~~ afcj 4“ ЬЛ»2 4~ с/сз 4“ ^^4 4" ' * го = ат\ 4- Ът2 4- сгз 4- dr± 4- • • • (V.45) Легко видеть, что число уравнений для степеней равно числу основных размерностей т. Число неизвестных степеней в систе- ме а, Ь, с, </,... равно числу членов в правой части уравнения и, следовательно, на единицу меньше общего числа всех физических величин, существенных для явления п, т.е. равно п — 1. Так как в общем случае п — 1 > пг, то число неизвестных величин в дан- ной системе уравнений оказывается больше числа уравнений и поэтому п — т — 1 степеней не могут быть определены из этой системы уравнений. Однако система уравнений (V.45) позволяет выразить определенное количество степеней, равное числу урав- нений, через остальные п — т — 1 степеней, которые не могут быть определены. После подстановки всех степеней, выраженных через неопре- делимые степени, в уравнение (V.43) получим уравнение, в ко- тором все физические величины окажутся либо в первой степени, либо в степенях, через которые другие степени выражались. Фи- зичесие величины, оказавшиеся в первой степени, среди которых будет, очевидно, и искомая величина N, образуют неопределя- ющий критерий в левой части уравнения. Другие физические величины с одинаковыми степенями могут быть сгруппированы в безразмерные комплексы - определяющие критерии подобия в правой части уравнения. Число определяющих критериев будет, очевидно, равно чи- слу неизвестных степеней n—т—1. Общее число критериев, один из которых неопределяющий, на единицу больше числа опреде- ляющих п — т. Полученный результат составляет содержание тг-теоремы, которая утверждает, что число безразмерных комплексов, 199
характеризующих процесс, равно числу всех физиче* ских величин, существенных для процесса, минус число основных размерностей п — т. Среди физических величин, существенных для явления, са- ми основные размерности могут как присутствовать (частично или полностью), так и отсутствовать. Таким образом, метод анализа размерностей позволяет за- висимость между п физическими величинами f(A\, А2, A3,... ..., Ап) = 0 представить в виде зависимости между п — т кри- териями подобия (^(тГ1, 7Г2, . . ., 7Гп_т) = 0. Нулевое или отрицательное значение разности п - т озна- чает, что совокупность рассматриваемых физических величин не может быть приведена к безразмерному виду. При п — т = 1 уравнение подобия будет содержать только один неопределяюший критерий, который будет, очевидно, по- стоянной величиной. Условие п — т — 1 представляет безуслов- ный интерес, так как сводит решение рассматриваемой задачи к отысканию одного постоянного множителя, который может быть определен из опыта. В том случае, когда п — т = 2, (V.46) безразмерное уравнение подобия содержит только два безразмер- ных критерия: тц и тгг, т.е. F(?rI, тг2) = 0. (V.47) Следовательно, Tri = Ф(тг2). (V.48)< Если же п — т = 3, то безразмерное уравнение подобия будет содержать три критерия и т.д. В качестве примера рассмотрим получение формы уравне-, ния подобия для определения коэффициента теплоотдачи в слу-i чае вынужденного движения жидкости в трубе. На основе общи# 200
физических представлений полагаем, что коэффициент теплоот- дачи а зависит от диаметра трубы D, скорости потока w, плотно- сти р, вязкости р, теплопроводности X и удельной теплоемкости с жидкости, т.е. а = f(D, w, р, р, А, с). (V.49) Таким образом, общее число физических величин п = 7. Для анализа размерностей представим эту зависимость в ви- де а = к Dawbpcp<iXec^. (V.50) Размерности всех величин, входящих в это уравнение, выразим через четыре основных размерности (L, М, Т, 0): [а] = МТ-3©-1; [А] = LMT"3©"1; с = L2T-2©-1; [w] = LT-1; [р] = ML-3; [Р] = L; [р] = MT-1L_1. Подставив эти выражения в уравнение (V.50), получим уравне- ние основных размерностей: мт-3©-1 = x(MLT-30_1)e(L2T_20-1)^. (V.51) Из условия равенства степеней при соответствующих основных размерностях в левой и правой частях уравнения можно записать следующую систему уравнений для показателей степеней при L, Т, М и 0 соответственно: 0 = a + b-3c-d + e + 2f; (V.52) -3 = -b-d-3e-2f; (V.53) 1 = с + d + е; (V.54) —1 = —е —/. (V.55) Эта система, состоящая из четырех уравнений (т = 4), со- держит шесть неизвестных показателей степеней (п — 1 = 6). Следовательно, два показателя степени не могут быть опреде- лены (п — т - 1 = 2). Принимая за неопределимые показатели 201
степени си f, можно выразить остальные (a, b, d, е) через них следующим образом. Из уравнения (V.55) имеем е = 1 — f. Под- ставив е в выражение (V.54), а е и d в (V.53), соответственно находим d = f — с, b = с. Наконец, подставив значения b, d и е в формулу (V.52), имеем а = с - 1. Заменив теперь соответствую- щие показатели степени в уравнении (V.50), получим выражение для коэффициента теплоотдачи в виде D* „ СР A f (V.56) Объединив величины с одинаковыми показателями степени, заг писываем уравнение в безразмерном виде: aD _ /Dwp\c /рс\^ Т = J ’ (V.57). Полученные безразмерные комплексы можно представить в видам известных чисел (критериев) подобия: Dwp/p = Dw/v = Re;:1 /хс/А = рср^Хр} = v/а = Рг; aD/X — Nu . 1 Следовательно, уравнение подобия для рассматриваемого! случая теплоотдачи при вынужденном движении в трубе может| быть записано в виде I Nu = к 1{есРгЛ (V.58M Полученное уравнение находится в соответствии с тг-теоре-1 мой: число критериев (Nu , Re, Рг) равно разнице между число»»! физических величин п = 7 (a, D, w, р, р, А, с) и числом ochob- j ных размерностей т = 4 (L, 0, Т, М). Константа к и неизвест-1 ные показатели степени при определяющих критериях с и f И полученном уравнении могут быть Определены эксперименталь-1 но. I Критерии, найденные методом анализа размерностей, не все-| г да по форме совпадают с критериями, полученными на основе! теории подобия. Однако системы критериев, определенные разн ними способами, эквивалентны между собой. I 202
Таким образом, теория подобия и анализ размерностей явля- ются, по существу, разными методами одной и той же системы исследования, основанной на использовании обобщенных безраз- мерных переменных, различие которых обусловлено только объ- емом предварительных знаний об исследуемом процессе. Для применения теории подобия необходим больший объем предвари- тельных знаний, достаточный для вывода уравнений, определя- ющих процесс. Если применение теории подобия возможно, то ей следует отдать предпочтение. В рамках теории подобия выясня- ется физический смысл критериев подобия. Если математиче- ская постановка задачи невозможна, то применение анализа раз- мерностей становится неизбежным. В этом случае не всегда есть полная уверенность в безошибочности составленного перечня су- щественных для процесса величин и правильности принятой си- стемы размерностей. В тех случаях, когда перечень величин, существенных для процесса, и их связь с основными размерно- стями установлены точно, метод анализа размерностей обеспе- чивает результаты, эквивалентные результатам, получаемым с помощью теории подобия. V.6. Моделирование Существование подобия физических явлений значительно упрощает и облегчает экспериментальные исследования, давая возможность заменить изучение процесса, протекающего в образ- це, изучением его на модели, имеющей другие размеры и рабо- тающей при других условиях (другие температуры, давления, скорости и т.п.), более удобных для эксперимента. Условия мо- делирования, т.е. условия, которым должна удовлетворять мо- дель и процесс, протекающий в ней, для того чтобы результаты, полученные на модели, могли быть применены к образцу, зада- ются теорией подобия. В соответствии с этой теорией для того, чтобы результаты исследования на модели могли быть перенесе- ны на образец, процесс в модели должен быть подобен процессу в образце, а для этого необходимо осуществить условия подобия, сформулированные в п. V.3. Из второго условия подобия следует, что все размеры моде- ли и образца должны быть связаны между собой соотношении 203
/мод — q/обр (подобие геометрических условий однозначности). Константа геометрического подобия q указывает, во сколько раз модель уменьшена (q < 1) или увеличена (q > 1) по сравнению с образцом. Однородные физические величины в модели и образ- це также должны быть связаны соответствующими константами подобия: Цмод, = £дМобр> Рмод = ^рРобр и т.п. (подобие физиче- ских условий однозначности). Необходимо обеспечить в модели подобное распределение скоростей и температур на входе в систе- му, а также в начальный момент времени. Для этого скорости и температуры в сходственных точках модели и образца должны быть связаны соответствующими константами подобия (подобие граничных и начальных условий однозначности.) Однако константы подобия физических величин не могут вы- | бираться произвольно, так как они связаны между собой. Взаи- мосвязь констант подобия определяется третьим условием подо- бия (см. п. V.3). Условие равенства критериев подобия определяет зависи- мость между константами подобия различных физических вели- чин, которая должна быть реализована при моделировании. На- пример, из равенства критериев Рейнольдса в модели и образце следует, что константы подобия для скорости среды на входе > ' систему (cw), размера (q) и кинематической вязкости среды (см) связаны между собой следующим выражением: ®-емод/1^еобр — c»q/ci/ — 1- Это означает, что если в модели будет использована та же жид- , кость, что и в образце (cv — 1), то при изготовлении модели: в масштабе 1:5 (q = 1/5) скорость жидкости в ней надо будет увеличить в 5 раз (cw = 5). Следует заметить, что необходимость одновременного осу-: ществления различных соотношений между масштабами пре- образования различных физических величин, вытекающая из рай веиства различных критериев, накладывает серьезные ограня-i чения на возможность точного моделирования. Проблема епЖ больше усложняется при необходимости учитывать зависимость»! физических величин от температуры, ибо в этом случае в со- ответствии с условиями подобия должны быть тождественымИ 204
уравнения, описывающие изменение физических величин от тем- пературы. В связи с этим возникает потребность в методах при- ближенного моделирования. Моделирование существенно упрощается при наличии так называемой автомодельности процесса относительно какого-либо определяющего критерия. Неопределяющий критерий автомоде- лей по отношению к определяющему тогда, когда данный не- определяющий критерий не зависит от рассматриваемого опре- деляющего. Если процесс автомоделей относительно какого-либо определяющего критерия, то при моделировании отпадает необ- ходимость соблюдать равенство этого критерия для модели и образца. Критерий характеризует отношение двух эффектов, суще- ственных для процесса. Его влияние на процесс значимо, когда оба эффекта соизмеримы по величине. Если же один из эффек- тов становится пренебрежимо малым по сравнению с другим, значение критерия становится либо очень мало, либо очень ве- лико. Происходит так называемое вырождение критерия, и он выпадает из числа определяющих. Неучет при составлении диф- ференциальных уравнений каких-либо эффектов, по существу, равносилен предположению о вырождении того или иного кри- терия. Отсюда наряду с точно определенным и строгим теоретиче- ским представлением о подобии явлений возможно приближенное моделирование в предположении о вырождении того или иного критерия. Величину ошибки при осуществлении приближенного моделирования можно оценить следующим образом. Пусть две одноименные физические величины подобных процессов в образ- це и модели, рассматриваемые в сходственных точках, связаны соотношением </?обр = Ср^мод- Положим, что точное подобие про- цессов не выполняется, тогда ф^бр / с^фмод- Меру неподобия можно представить в виде Д<А>бр = <А>бр - СрУ’мод = ^обр ~ ^обр- Величина Д<^Обр определяет ту ошибку, которая была бы сдела- на, если бы определяли <^дбр в предположении точного подобия из соотношения <^^бр = с^мод- Для различных физических ве- личин эта ошибка может быть различной. 205
На практике часто используется приближенный метод ло- кального моделирования. Особенность его состоит в том, что подобие процессов осуществляется лишь в том месте, где про- водится исследование теплоотдачи. Например, если изучается теплоотдача при омывании жидкостью пучка труб, то в опытах в теплообмене может участвовать только одна из труб. Осталь- ные трубы служат только для придания модели геометрически подобной формы. Данные о теплоотдаче в этом случае получают из измерений, проведенных на единичной трубе. Иногда при исследовании явления на модели может быть ис-' пользована физическая аналогия явлений. О физической анало- гии явлений говорят тогда, когда сравниваемые явления имеют j разную физическую природу (теплопроводность, электропровод- 1 ность), но математически они описываются однотипными диф- 1 ференциальными уравнениями и могут быть отнесены к одной ! категории. Условия однозначности для аналогичных явлений следует формулировать тождественно, а соответствующие кри- терии подобия, входящие в тождественные безразмерные урав- нения, должны быть численно равными. В результате безраз-1 мерные поля переменных в аналогичных физических явления»’ представляют собой тождественное распределение чисел. Характерным примером аналогии является так называема» электротепловая аналогия, рассмотренная в III.10. Переход от одного явления к другому, аналогичному перво- му, связан с аналоговым преобразованием всех величин, при ко- тором производится преобразование не только численных значе- ний, но и физической природы величин. Пусть при сопоставлен нии основного процесса и его аналогии взаимно соответствую- щими величинами являются у и z. В таком случае должно быт у/уо = -*/-*0 и, следовательно, z = уг^/у^. Таким образом операция, посредством которой величина : преобразуется в величину я, есть умножение ее на множител: с2„ = *о/1/О- Множители аналогового преобразования, в отличи от множителей подобного преобразования, являются размерным: величинами. Во всех других отношениях свойства множителе: тождественны. 208
V. 7. Определяющие размер и температура За определяющий размер, входящий в критерии подобия, вы- бирают наиболее характерный размер системы. Для круглой трубы, например, в качестве определяющего размера принимают ее диаметр d. Для каналов некруглого сечения в качестве опре- деляющего размера обычно принимают эквивалентный диаметр, равный учетверенной площади поперечного сечения канала F, деленной на полный (смоченный) периметр Я, независимо от то- го, какая часть этого периметра участвует в теплообмене, т.е. ^экв = 4.F / П. При поперечном обтекании одиночной трубы или пучка труб в качестве определяющего размера обычно принимают внешний диаметр трубы, а при обтекании плиты - ее длину в направле- нии течения. В отдельных случаях в качестве определяющего размера может быть использована комбинация физических ве- личин из условий однозначности, имеющая размерность длины. Например, если размер, имеющийся в условиях однозначности, настолько велик, что на него не имеет смысла делить при постро- ении безразмерных величин. В критерии подобия конвективного теплообмена входят фи- зические параметры жидкости. Эти параметры зависят от тем- пературы жидкости, которая изменяется. Поэтому при обра- ботке опытных данных необходимо выбрать определяющую тем- пературу, по которой следует вычислять значения всех физиче- ских величин, зависящих от нее. За определяющую обычно при- нимается одна из следующих температур: температура стенки «ст, средняя температура жидкости /ж или средняя температура пограничного слоя tm = (/ж + /ст)/2. Этим объясняется то обстоятельство, что исходя из одних и тех же опытных данных, различные авторы получают различ- ные эмпирические формулы. Разнообразие, существующее в вы- боре определяющей температуры, требует особого внимания при пользовании эмпирическими формулами. Нередко у критериев в критериальных уравнениях имеются индексы “ж”, “ст” или “тп”, указывающие на то, какая температура принята за определяю- щую. 207
Глава VI. КОНВЕКТИВНЫЙ ТЕПЛООБМЕН ПРИ ВЫНУЖДЕННОМ ТЕЧЕНИИ ЖИДКОСТИ VI. 1. Основы теории пограничного слоя VI. 1.1. Особенности течения вязкой жидкости при больших числах Re. Пограничный слой При движении жидкости с большим числом Re влияние вяз- кости проявляется неодинаково в непосредственной близости от обтекаемой поверхности и вдали от нее. Вблизи поверхности вследствие прилипания жидкости к твердой стенке возникают существенные поперечные градиенты скорости и, как следствие, значительные касательные напряже- ния. По мере удаления ot стенки изменение продольной скоро- сти по нормали к поверхности тела уменьшается и действие сил вязкости становится исчезающе малым уже на сравнительно не- большом расстоянии от стенки. Таким образом, при движении жидкости с большим числом Re весь поток может быть разбит на две области: область дина- мического пограничного слоя, где влияние вязкости существен- но, и внешнюю область потенциального течения, где влия- ние вязкости пренебрежимо мало. Чем больше число Re потока, тем больше относительная величина сил инерции по сравнению с силами вязкости, тем тоньше пограничный слой и, наоборот, с возрастанием роли сил вязкости происходит утолщение пристен- ной области течения. Деление потока на пограничный слой и внешнее течение зна<- чительно упрощает анализ течения в целом, так как позволяет рассматривать каждую из областей течения в отдельности. Кро-; ме того, в этих условиях во внешнем течении инерционные силы, преобладают над силами вязкого трения, поэтому для описания^ движения можно пользоваться уравнениями идеальной жидко-, сти. • Математическое описание движения жидкости в погранич-. ном слое также значительно упрощается, а полученные прибли- женные уравнения поддаются интегрированию. 208
Раздельный анализ упрощенных уравнений с последующим смыканием полученных решений для пограничного слоя и внеш- него потенциального потока позволяет аналитически получить все необходимые характеристики потока в целом. Если между потоком жидкости и поверхностью тела про- исходит теплообмен или диффузия, то по аналогии с динами- ческим пограничным слоем вблизи поверхности обтекаемого те- ла образуется тепловой или диффузионный пограничный слой, т.е. область в непосредственной близости от стенки, в которой температура или концентрация примеси изменяется от значения у стенки до соответствующего значения во внешнем потоке. В пограничном слое скорость, температура и концентрация примеси асимптотически приближаются к своим значениям в потенциальном потоке, поэтому за толщину пограничного слоя обычно принимают то расстояние по нормали к поверхности, на котором значение скорости, температуры или концентрации от- личается на 1 % от соответствующего значения во внешнем по- токе. Несмотря на свою незначительную по сравнению с характер- ными внешними размерами обтекаемого тела толщину, погра- ничный слой играет основную роль в процессах динамического и теплового взаимодействия потока жидкости с поверхностью. VI. 1.2. Дифференциальные уравнения динамического, теплового и диффузионного пограничных слоев Впервые систему дифференциальных уравнений динамиче- ского пограничного слоя получил в 1904 г. известный аэродина- мик Л. Прандтль, производя сравнительную оценку членов урав- нений Иавье - Стокса и отбрасывая члены второго порядка мало- сти. Рассмотрим, следуя идеям Прандтля, случай стационарно- го плоского пограничного слоя сжимаемой жидкости при отсут- ствии объемных сил и процессов диффузии. При этих предполо- жениях система уравнений Навье - Стокса и уравнение энергии (см. гл. IV) принимают вид 14-1005 209
(dwx dwx\ др , " fc-+w>w; = ’«: + 111 i 1/t 1 2 d_ S' dwx _ flwyV + 3 dx ? \ dx dy J. 1 6/6 3 дх 1 dWy} дх ) 6/1 (dw« dw« d (dwx __s + dy !* \ ду я~ 1/6 1/6 dy 116/1 6 6/6 6 2 0 Г / dwy dwx \ 1 d / dwx + з fry Iм \2 3 ~dy ~ ’эГ/] + di Iм + 1/6 6/6 1 1 1/6 dwy\ dx J 6/1 d . . d . , n 111 1/6 1 6 (VI. dp _ dp _ dx dy 1111 6 1/6 - A dx 1 d f dT\ + dy \ dy ) 11 6 6 (VI- 1 1 l/^T 1/&T где Ф - диссипативная функция, 2 /gwx dwy\2 3 \ dx 8y J 1 6/6 dwx^ / dWy^' dx ) + \dy ) . 1 6/6 dwx dwy dy + dx 1/6 6/1 210
Рис. VI.1. Схема пограничного слоя на криволинейной поверх- ности Преобразуем уравнения движения (VI.1), учитывая уже от- меченные ранее свойства пограничного слоя - малость попереч- ных размеров и скоростей по сравнению с продольными. Будем считать, что толщина пограничного слоя 6 мала по сравнению с расстоянием х (рис. VI.1). Порядок величин wx и х примем за единицу, тогда расстояние у ~ 6. Из уравнения неразрывности (VI.2) следует, что поперечная скорость wy также имеет порядок 6, если порядок плотности принять равным единице. Поскольку мы считаем, что порядок wx и х равен единице, то производные dwx/dx и d^wx/dx2 должны быть того же порядка, а производ- ные dwx/dy и d^Wx/dy2 - порядка 1/6 и 1/62 соответственно. Имея это в виду, произведем оценку членов уравнений дви- жения (VI.1). Полученные порядки будем подписывать под соот- ветствующими членами уравнений. Рассмотрим сначала первое уравнение движения. Очевидно, что первые два члена, запи- санные в левой части, имеют порядок единицы. Чтобы опреде- лить порядок величины др/дх, вспомним, что в случае плоско- параллельного течения жидкости с большим числом Re внешняя область потенциального течения описывается уравнением тече- ния идеальной жидкости Эр dWaa + PooWoo = 0. (VI.4) дх дх v ' 14' 211
Градиент давления не может изменить своего порядка из-за наличия тонкого пограничного слоя, поэтому порядок величины др/дх также может быть принят равным единице. Вновь обращаясь к правой части первого уравнения движе-. ния, заметим, что из всех членов, содержащих вязкость, можно) д / dw%\ w л 1 оставить лишь член — I и, —— 1, имеющий порядок 1/д‘. Одна-1 иу \ ду ' j ко этот член должен быть одного порядка с остальными конвекм тивными членами, имеющими порядок единицы. 1 Последнее условие возможно в том случае, если вязкость ш имеет порядок 62. Это, в свою очередь, означает, что погранич-] ный слой может существовать лишь при обтекании поверхности потоком с очень малой вязкостью, или, что то же самое, с боль-1 шим числом Re. J Из второго уравнения следует, что производная др/ду долив! на быть порядка 6, так как все остальные члены этого уравнении! имеют такой же или еще более низкий порядок, и изменением да! вления поперек пограничного слоя можно пренебречь. Иными словами, давление поперек пограничного слоя остается постоян-З ным и равным давлению На внешней границе пограничного слон! Таким образом, сохраняя в уравнениях Навье - Стокса члМ ны одного и того же порядка, вместо уравнений (VI. 1) и (VL2M получим следующую систему уравнений, описывающую движе! ние сжимаемой жидкости в плоском стационарном пограничной слое: 3 (dwx dwx \ w’^ + w4^) = * = 0. 8у °’ д . . д . . п ^(PW) + ^(pwy) = 0 -* + дх + (VU с граничными условиями wx = 0, wy = 0 при у = 0; wx = Woo при у = оо. 212
Уравнение энергии в пограничном слое (VI.3) также упроща- ется. Обозначив толщину теплового пограничного слоя через 6т, оценим следующим образом порядок членов в уравнении энергии. Первые два члена в левой части уравнения энергии, со- гласно предыдущим оценкам, имеют порядок единицы. Членом wv(dp/dy) можно пренебречь по сранению с ых(др/дх), так как, согласно уравнению (VI.5), давление поперек пограничного слоя остается практически постоянным. Среди всех членов, содержа- /dwx\2 щих вязкость, следует оставить лишь д J > имеющий поря- док 1/62, так как все другие члены будут значительно меньшего порядка. Для того чтобы член, содержащий теплопроводность, был одного порядка с остальными членами уравнения энергии, необходимо, чтобы теплопроводность была порядка 6%. Это озна- чает, что тепловой пограничный слой существует в жидкостях с малым значением теплопроводности. В этом случае членом 9 (\дт\ к 9 (хдт\ — ( А —- I можно пренебречь по сравнению с членом — (А |. ох х ох / ду \ ду / Таким образом, оставляя в уравнении (VI.3) лишь члены порядка единицы, получим уравнение Энергии плоского сжимае- мого пограничного слоя: Р + W = др д (VI.7) 2 с граничными условиями Т = Тст при у = 0; Т — Тж при у = оо. Для идеального газа h = срТ, и уравнение (VI. 7) можно за- писать через энтальпию: ( dh dh\ др (dwx\2 д ( и, dh\ (VI.8) 213
Уравнение (VI.8) имеет простой физический смысл: конвек- тивное изменение энтальпии равно сумме мощности сил давле- ния, теплоты, возникающей вследствие диссипации механиче- ской энергии, и теплоты, подведенной путем теплопроводности. Умножив каждый член уравнения (VI.5) на wz и сложив по- членно с уравнением (VI.7), получим выражение для полной эн- тальпии пограничного слоя в следующем виде: д / д ( ... ш?\ dwx\2 д / dwx\ ~w) (VI9) Но fdwx\2 d f 0wx\ d ( dwx\ тогда уравнение (VI.9) преобразуем к виду д ( Wr \ д ( wi pw* di \СрТ + т) + pWy di \СрТ + Т _ d_(t дт ду \ ду ssA[AAfr+e<l =—<а— [ ду\ А 2 /] ду 1 ду _ \ дТ dwx _ А кяг д /ш2у _ ду ду + Р ду \ 2 ) ^Тл.^Ул.(^СР Aw« -PJ Принимая удельную теплоемкость ср постоянной поперек граничного слоя, что вполне допустимо для идеального г: и вводя безразмерное число Прандтля, окончательно получ; уравнение энергии в форме Широкова: Здесь Г* = Т + wz/2cp - температура торможения. 214
Уравнения (VI.2), (VI.5)—(VI.7) и уравнение состояния иде- ального газа образуют систему уравнений плоского сжимаемого пограничного слоя и содержат следующие переменные: WK, uty, р, р, Т, р, А, Ср. Эту систему необходимо дополнить тремя допол- нительными зависимостями динамической вязкости д, теплопро- водности А и удельной теплоемкости ср от температуры. VI. 1.3. Система уравнений плоского сжимаемого пограничного слоя с учетом диффузии и химических реакций Полученные уравнения пограничного слоя могут быть обоб- щены на случай движения смеси разнородных и реагирующих газов. В результате происходящих реакций возникают и исчезают отдельные компоненты смеси, поэтому уравнение неразрывности для г-го компонента смеси имеет вид (р.Wxi) + (PiWyj) = (VI.11) где pi, Wgi, wvi - плотность и составляющие скорости i-ro ком- понента соответственно; т, - секундная массовая скорость обра- зования г-го компонента, отнесенная к единице объема. Однако для смеси реагирующих газов уравнение неразрыв- ности сохраняет прежний вид + ~ °’ (VL12) если компоненты массовой скорости смеси определять по форму- лам PiWxi; pwv = Piwyi- i i Кроме того, в условиях смеси закон сохранения массы требует ^т, = 0. (VI. 13) 215
Уравнение движения, записанное для смеси, также сохранит свою прежнюю форму: dwx dwx др д ( dwx\ То же самое можно сказать и об уравнении состояния р = р RT, если принять R=RcM = ^CiRi- i Здесь С, = pi/p - массовая доля i-го компонента. Основные особенности процессов в реагирующих смесях,: отражаются в уравнениях, описывающих тепломассоперенос (уравнения диффузии и энергии). ж Уравнение диффузии i-го компонента в приближении по- g граничного слоя можно также получить, пренебрегая членами 1 второго порядка малости. Определим скорость диффузии г-го компонента wj- как разность скоростей движения компонента смеси: wj = w, — w. Заменив теперь в уравнении неразрывностжЦ (VI. 11) скорость движения суммой скоростей, получим к» A pCi (W*xi -Wx)+fy pCi Щ - w„) = mi. (VI.15| Согласно основному закону диффузии, скорость диффузии мож- но определить через градиенты массовых долей, температуры Ж давления: ? D DT Dp w* — wt - w = grad Ci —z~-gradT------- grad p, (VI.18| C, T p где Di, Dj, Dp - коэффициенты массодиффузии, термодиффу- зии и бародиффузии соответственно. Подставляя соотношение 216
(VI.16) в уравнение (VI.15) и учитывая равенство (VI.12), после несложных преобразований получаем д ~ 9 flw‘dici+l‘w’d^ci дх" *\С> di Т дх р дх j .9- (Pi^i 4. 4- дуР *\С, ду T ду Р ду) + mi. Для диффузионного пограничного слоя это уравнение можно упростить, отбросив первый член в его правой части, имеющий меньший порядок по сравнению с остальными членами уравне- ния. Кроме того, роль бародиффузии в пограничном слое ни- чтожна, так как др/ду « 0, и ею можно пренебречь. Таким образом, уравнение диффузии г-го компонента в плос- ком сжимаемом пограничном слое имеет вид dCi dCi Sf = Для вывода уравнения теплового баланса воспользуемся уравнением (VI.8). Подвод теплоты конвекцией определяется так же, как и в случае течения однородного газа, если предположить, что эн- тальпия реагирующего газа определяется по правилу смешения: Л = Y^Cihi. (VI.18) Однако в уравйении энергии необходимо учесть два дополнитель- ных источника теплоты, связанных как с образованием новых компонентов, так и с процессами диффузионного переноса. Процесс выделения (или поглощения) теплоты при образо- вании новых компонентов приводит к присоединению к правой части уравнения (VI. 18) члена ГП'Л'’ i (VI.19) 217
который, согласно уравнению (VI.11), имеет вид (Л Л \ — pCiW.i+^pCiWyij, (VI.20) где - теплота образования i-го компонента. По определению, скорость диффузии г-го компонента рав- на векторной разности абсолютных скоростей компонента и сме- си, поэтому поток теплоты за счет диффузии можно выразить в форме вектора с проекциями на оси ОХ и ОУ: Р(wz. - wx) Л,С\; р (wyi - wy) hiCi. (VI.21) Следовательно, второй дополнительный член в уравнении энер- гии, соответствующий диффузионному переносу теплоты, опре- делится дивергенцией, взятой с обратным знаком, суммы век- торов потока теплоты, вызываемых отдельными компонентами: д wxi — wr) hiC{ д V (VI.22) С учетом выражений (VI.20) и (VI.22) уравнение энергии (VI.7) принимает следующий вид: (ЕС‘Ч + J-у = + + + Й (А^) + (ЕPwyiCihi)~ - [E^w- - wx) СЛ.1 - ~ [£р (Wyi - Wy) qd. (VI.23) ox J ay * <• j Проведя тождественное преобразование T &Pw*iCihi) + = 218
+ (Е«^л*) + (Е^»с«-А*)’ перепишем уравнение (VI.23) в виде -Л? = wx 2 I + wxj — wx) Ci (hi — )| -j- Wyi - Wy) Ci (hi - Л*) . (VL24) Пренебрегая в уравнении (VI.24) предпоследним членом, по- лучаем уравнение энергии пограничного слоя с учетом химиче- ских реакций: dh dh dp (dwx \2 — \x~ dy dy Wyi-Wy) (hi-hi) , (VI.25) где h = У Ci (hi — hi) - полная энтальпия смеси. I Подставив выражение Z>, DT Wi-W = - — grad Ci - — gradT 219
для скорости диффузии в направлении оси ОУ (без учета баро- диффузии) в уравнение (VI.25), окончательно получим dh dh др . (dwx\2 д f. дТ\ Уравнение энергии для смеси реагирующих газов, записанное через полную энтальпию потока, ho = h + w^/2 имеет следующий вид: (VI.27) dho dho 8 ' 4* 7Г~ ду А X д / ? ср) ду\ 2 (h- h^9Ci4. (VI.28> + Вводя в уравнение баланса (VI. 19) массовые доли и в урав- нение энергии пограничного слоя- в виде (VI.28) числа Пранд- тля, Шмидта и Льюиса (последние аналогичны числу Прандтля и являются безразмерными физическими параметрами): Рг = рср/Х, Sc = plpDi, Le = pcpDi/X, (VI.29W где cp = У j C{Cpi - так называемая замороженная удельная те- плоемкость смеси, получаем для установившегося плоского сжи- маемого пограничного слоя систему уравнений, учитывающих 220
наличие химических реакций (без учета переноса массы вслед- ствие термодиффузии): dwx dwx др д ( dwx \ а?= "aJ + Г, (/‘'aj’' а/ = о-, ду д . . д . х п ^ (/>«*) +^ (/>•«.) = о; ас; ас; а /д асл а7+ у = aj(sJ^-)+'"- dho dho д (д вЯо\ pWx_ + pWv—= _Д__) + д ’ ду . (VI.30) о дс^ ду . Обычно эта система уравнений решается при следующих гра- ничных условиях: Р — Дет, — Л’СТ» Лц — AoCTt WX — Of w9 = Wct, Ci = С,ст при у = 0; P — Poo, h = ^ooj ^0 = Л’Ооо wx — ^oo, Wy=0, Ci=Cioo при У = 00. (VI.31) Проведем теперь сравнительную оценку толщин динамическо- го, теплового и диффузионного пограничного слоя. Для этого перепишем дифференциальные уравнения пограничного слоя в безразмерном виде. В качестве масштабов физических величин выберем следующие: wx -+ Woo! Р роо\ У -> 6Т, 6, 6D; р -» pw^; Д > Доо{ Ci > С»оо> ® * L, X > ^оо> h0 ► /^0 ос- 221
Уравнение движения после приведения к безразмерному виду бу- дет следующим: ~~ dw} pw*~di L\* 2 1 0 dwx\ 6 J Reoo dy v dy ) (VI.32) Здесь тильдой обозначены безразмерные величины, например х = г/Z. Все члены уравнения (VI.32) будут иметь один и тот же порядок лишь при условии, что 6_ L 1 (VI.33) где Reoo ~ роо^оо^/Роо- Таким образом, доказано основное допущение, положенное в основу вывода уравнений пограничного слоя, что при течении жидкости с большими числами Re толщина пограничного слоя невелика и имеет порядок 1/у/^ж . Аналогичным образом преобразуем уравнение энергии: 1 + PrReoo ~ _1_ _Z\2 d ~ (dh0\ 6т) ду P\dy )' Если оба члена уравнения имеют один и тот же порядок, то бт/L ~ 1/yPrReoo. (VI.34) Из выражений (VI.33) и (VI.34) получаем порядок отноше- ния толщин теплового и динамического пограничного слоя: 6т/6 ~ 1/л/Рг. (VI.35)i Соотношение (VI.35) показывает, что в газах и жидких ме- таллах, для которых число Рг < 1, тепловой пограничный слой толще динамического, а в жидкостях (Рг > 1) 6Т < 6. 222
Преобразовав к безразмерной форме уравнение диффузии, получим ~~ дс pWx—. + „.= 1 /JA2 д дСД Sc Reoo Vd/ ду V ду ) Оба члена в уравнении диффузии имеют один и тот же порядок, если 6D/Z~ l/V'ScReoo- (VL36) Согласно уравнению (VI.33) находим 6D/6 ~ I/VST. (VI.37) В табл. VI. 1 приведены значения числа Шмидта для смеси различных газов с воздухом. Таблица VI.1. Числа Шмидта для малых концентраций различных газов в воздухе Газ Относительная молекулярная масса Число Шмидта Водород 2,016 0,22 Метан 16,04 0,84 Аммиак 17,03 0,61 Водяной пар 18,016 0,60 Азот 28,02 0,98 Этан 30,07 1,22 Кислород 32,00 0,74 Метиловый спирт 32,04 1,00 Диоксид углерода 44,01 0,96 Пропан 44,09 1,51 Этиловый спирт 46,07 1,30 Ацетон 58,08 1,60 Бутан 58,12 1,77 Диоксид серы 64,06 1,28 Хлор 70,90 1,42 223
Окончание табл. VI.1 Газ Относительная молекулярная масса Число Шмидта Пентан 72,15 1,97 Сероуглерод 76,13 1,48 Бензин 78,11 1J1 Этилацетат 88,10 1,84 Толуол 92,13 1,86 Фосген 98,92 1,97 Хлорбензол 112,56 2,13 Пропилацетат 102,13 1,97 Нафталин 128,16 2,57 Четыреххлорнстый углерод 153,54 2,13 Бромбензол 157,02 1,97 Хлорпикрин 164,39 2,13 С точностью ±30 % зависимость числа Шмидта Sc от моле- J кулярной массы газа М при его концентрации в воздухе, стремя- j щейся к нулю, можно определить по формуле .1 Scc.^o = 0,145 М,°’556. Влияние концентрации можно учесть по формуле I Sc = (v/i/Ci.^0) ScCt._o I Для газов, имеющих молекулярную массу Mt < 32, число I Шмидта Sc < 1 и, согласно уравнению (VI.37), диффузионный I пограничный слой толще динамического. Если Mi > 32, то I < & 1 VI. 1.4. Тройная аналогия Уравнения энергии и движения пограничного слоя (VI.30) | становятся тождественными при условии Pr = Le = Sc = 1 и 1 др/дх — 0. I 224
Можно показать, что в этом случае уравнение диффу- зии становится тождественным уравнению движения и энергии, если ввести уравнение диффузии и энергии вместо массовой доли i-ro компонента С, так называемую полную концентра- цию*химического элемента смеси С j. Связь между С j и С,- выражена уравнением ^. = ЕГ>.«С” где rjti - массовая доля j-ro элемента в i-м компоненте. Если не происходит внутриядерных превращений в погра- ничном слое, то массовые доли отдельных химических элемен- тов не меняются. Следовательно, если в уравнениях диффузии и энергии системы (VI.30) заменить С,- на С j, то член в пра- вой части уравнения диффузии обратится в нуль и уравнения диффузии, движения и энергии станут тождественными. След- ствием этого при подобии граничных условий, т.е. при wCT = О, /iOcT = const, С jCT = const, должно быть подобие полей скоро- стей, полной концентрации и полной энтальпии торможения: Wx ^0 ^0 ст w°° ho QQ ho ст С j оо — С j ст (VI.38) Так как то из уравнения (VI.38) и (VI.39) следует, что для рассматрива- емых условий Sty = Stp = Cj/2. (VI.40) * Более подробно об этом см. в VI.2. 15-1005 225
Здесь _________9стЕ_______. роо^оо (^0 оо ^0 ст) cj. _ ______________Jct i______. Cf _ тст Poowoo (C joo — C j'ct) 2 Poo^oa Уравнение (VI.40) широко используется в инженерных расчетах процессов теплообмена и массообмена. VI. 1.5. Интегральные соотношения импульсов, энергии и диффузии Полученные дифференциальные уравнения’ пограничного слоя проще соответствующих полных дифференциальных урав*‘ нений движения, энергии и диффузии вязкой жидкости. Тем не менее точное решение системы дифференциальных уравнений по^ граничного слоя возможно лишь для весьма ограниченного числ* законов задания скорости внешнего течения и граничных уело» вий на стенке, когда дифференциальные уравнения погранично го слоя в частных производных могут быть сведены к обыкнен венным дифференциальным уравнениям. В этой связи большое значение приобретают приближенные методы решения указан* ных уравнений, основанные на применении так называемых ин- тегральных соотношений импульсов, энергии и массы. Интегральное уравнение количества движения получается из уравнений движения (VI.5) и неразрывности (VI.2) посред: ством интегрирования по толщине пограничного слоя, выражает: закон сохранения количества движения жидкости, протекающе! через данное сечение пограничного слоя, и имеет следующий вил ^2 + /(2 + ^-m’,)=-!££- + 2Ei5s, (VI.41 dx pW^ pooWeo ОО /pWx ( Wx \ --------( 1-----dy ~ толщина потери импульса poo^oo \ И>ОО / 0 6** dwoo f =-----------формпараметр, характеризующий аэродинами Wqq ax ческую кривизну обтекаемого тела; Н = 6*/6** - формпарамет] 226
оо Apwx \ 1--------dy - толщина вытесне- PooWooJ о ния; Моа = Woo/а ~ число Маха, подсчитанное по параметрам на внешней границе пограничного слоя; а = y/{dp/dp)s ~ скорость звука. При обтекании несжимаемой жидкостью (М < 1) уравнение (VI.41) принимает вид ^ + /(2+Я) = -Ц- + ^Н. (VI.42) ах P<x>w^ pooWoo Верхний предел интегрирования в выражениях для толщи- ны вытеснения и толщины потери импульса может быть заменен толщиной пограничного слоя 6, причем существенных погреш- ностей при этом в расчет внесено не будет. Величины 6* и <5** являются важными расчетными характеристиками погранично- го слоя. Толщину вытеснения, как следует из равенства ОО PooWooS* = У(pooWoo - pwx)dy, О можно определить как отрезок, через который секундный мас- совый расход идеальной жидкости был бы равен потере расхода в сечении пограничного слоя вследствие тормозящего действия сил трения при течении реальной жидкости. Толщина вытесне- ния 6* в отличие от толщины пограничного слоя 6 - величина вполне определенная. Перепишем выражение для толщины потери импульса 6**: ОО Роо^Г* = У Pwx («>оо - WX} dy. о По аналогии с толщиной вытеснения можно определить тол- щину потери импульса 6** как отрезок, через который при те- чении идеальной жидкости проходило бы секундное количество 15 227
движения, равное потере количества движения в сечении погра- ничного слоя вследствие тормозящего действия сил трения. | При обтекании осесимметричных тел вращения из-за малой?! толщины пограничного слоя относительно радиуса кривизны Я,.! дифференциальное уравнение движения остается тем же, что ы в случае плоского течения. Меняется лишь форма уравнении сплошности: д д 1 — (pwxRx) 4- — (pWyRx) = 0, I Ох оу Я где Rx - радиус поперечного сечения тела. Это приводит к некоЛ торому изменению интегрального уравнения импульсов, котором в случае осесимметричного течения принимает вид 1 8** dwoo Woo d8** dx . (2 + Я)+(—+ = dx \роо dx Rx dx J __ Terr । Рст ст POO^OO PoqWoq . Здесь 8 pwx / \ Роо^оо cos/J I dy, о оо f Pw* J pooWoo О 1 ± COS Р ) dy, -ibx / /3 - угол между касательной к меридиану и осью; х, у - оси К ординат, направленные соответственно вдоль меридионально) сечения и по нормали к профилю. Интегральное уравнение энергии выводится аналогичны образом. Для этого дифференциальное уравнение энергии, з писанное в форме (VI. 10), преобразуем с помощью уравнеш неразрывности (VI.2) к следующему виду: ( д д _А д д Г ср — pwxT - -z- pwyT = —- А — и\дх ду * / ду ду Г +(Рг-1)-£ лСр в • (VL4? 228
Умножим обе части уравнения неразрывности на энтальпию тор- можения на внешней границе пограничного слоя = срТ + w^/2 = срТ^, которую можно считать в большинстве случаев постоянной ве- личиной: СР + cPq^ (pwyTU - О- (VI.44) Вычтем почленно из уравнения энергии (VI.43) соотношение (VI.44) и проинтегрируем полученное выражение поперек погра- ничного слоя: оо оо Ср/^Pw^T'-T^dy + cPl ^PWy(T*-T^dy = о о оо f Q ( Q Г W^ 1 = / Г АГ r* + (Pr-l);F fdy- (VI-45) J ду I dy v ' 2cpJ J v о Используя граничные условия при у = 0, Wy — Wc?, Т* — Тст, р - рст и при у = оо wy = 0, wx = Wqo, Т* = преобразуем интегралы полученного выше уравнения: оо о оо — —/?ст^ст(7ст ^оо)> о дт* ду В последнем интеграле А — (Рг - 1) —— — 0, так как на стенке ду 2ср ~ 0, а на внешней границе пограничного слоя wx = Woo- 229
Вводя понятие толщины потери энергии (энтальпии) ОО У pwx(T*-T^dy о______________ poowoo (Тст — Т^) О перепишем интеграл в следующем виде: I Pwx (п, - т*) dy = j;>oowoo (тст - т^). о Как и при выводе интегрального уравнения импульсов, счит ем, что операции дифференцирования и интегрирования мож] поменять местами. Подставляя значения интегралов в исхода дТ* 00 уравнение (VI.45) и замечая, Что А —— = рст, получаем “У о с** . ... л _ Чет + СррстМстДТ Оу роо^оо^! — - , где ДТ = Тст - Т^. Продифференцируем левую часть полученного уравнен! имея в виду, что все величины, стоящие под знаком дйффер< пиала, являются функциями от х-. ~ Sy*P<x>Woa&.T — ах — роО^ОоДТ W ( 1 адт dx т \ДТ dx 1 dWoo Woo dx 1 4----- poo Введем число Стантона St — 9ст/ ср ОО PqqWoo^T , 230
которое позволяет преобразовать интегральное уравнение энер- гии пограничного слоя к окончательному виду: St = d6£ dx । f 1 dAT । 1 dwpp 1_ T \ДТ dx Woo dx poo dpoo \ рст^ст dx J Pcx>Woo (VL46) Подставляя число Маха Moo в правую часть выражения (VI.46), получаем St = d6** dx 1 dAT AT dx + 1 dWoo Woo dx (vi.47) p 00®00 + <5Г Иногда желательно, например в случае реагирующих газов, иметь интегральное уравнение энергии, записанное через полную энтальпию торможения Ло- Используя аналогичные преобразова- ния и интегрируя дифференциальное уравнение энергии (VI.30), записанное через полную энтальпию, по у, получаем PooWoo^h') = qCT -f- ^CTwCTA/i, ax n где Д/г = Лст - /гооо- Здесь интегральная толщина потери эн- тальпии оо _ _ г** = (Л _ Зст Л dy, J Poowoo \ /lCT — ho оо/ о Чет — ~~ дУ Jct' Введем число St, определяемое соотношением St — Чет / ^ЬРоО^оО) (VI.48) 231
и произведем дифференцирование по х. После преобразований получим dx п ' 1 dAh Ah dx + 1 dwx Wqc dx (VI.49) poowoa В случае обтекания осесимметричных тел в интегральное уравнение энергии дополнительно войдет, как и в уравнение им- пульсов, радиус Rx: г«« I 1 dWfx, 1 dAT -Л + ------Г-+ dx \Woo dx AI dx । 1 ^Poo । 1 dRx poo dx Rx dx Здесь [ PW‘I- (| ГСТ ~ T* J pOO^OO \ 2ст ~ 2qo 0 (VI.50) Poo Wqq cos fi I dy. Интегрируя уравнение диффузии г-го компонента (VI.17) по се-j чению пограничного слоя и учитывая уравнение неразрывности,! получаем интегральное уравнение диффузии 1 dx X** 1 г] 1 1 —---------- -р (PooWooAC i) - = StD, (VI.51W Poowoo AC i Poo^oo I oo ~ 4 /OWT f C i CT ~ C j \ I ----- ( 1 —zz--------I dy - толщина потери ве-i Q Poo ^OO \ C iQx С I Q0 ' | щества; AC{ = С*гст —Ctoo - разность массовых долей диффун-j дируемого элемента на стенке и в потоке; Stp »7ст =--------------=:---диффузионное число Стантона. ' Роо^оо (С 1СТ С ) ос ) 232
Интегральные соотношения можно также получить, рас- сматривая баланс количества движения, энергии и вещества для элементарного объема, выделенного двумя сечениями в погра- ничном слое, что свидетельствует о справедливости полученных соотношений как для ламинарного, так и для турбулентного те- чения жидкости в пограничном слое. В интегральные соотношения для импульсов энергии и ве- щества входят величины 6*, 6**, 8“, 6“, представляю- щие собой некоторые физические масштабы пограничного слоя. Удобство использования указанных величин в качестве масшта- бов заключается в том, что в отличие от толщины погранич- ного слоя интегральные толщины не связаны с представления- ми пограничного слоя конечной толщины. При этом структура уравнений энергии (VI.47), (VI.49), вещества (VI.51) и импульсов (VI.41) показывает, что наиболее существенное значение имеют величины 6**, б™, 6^*, . В этой связи удобно записать харак- терные числа Re динамического, теплового и диффузионного по- граничных слоев в следующем виде [20]: Re — /Poc ’l Re 'Р — Роо^оо^т /P’Oo’l Re h ~ / poo, Re £) ~ I poo- Введем в интегральные соотношения (VI.42), (VI.46) и (VI.51), составленные для случая обтекания поверхности плоским несжи- маемым потоком, вместо толщин потери импульса, энергии и ве- щества соответствующие числа Re. После несложных преобразований получим ** ^ + /аеЩ + Я)=11е17^ + '^1'); (V1.52) ал \ 2 pxWozJ dRen-’ Re d&T _ /_ Рст^ст\ =Re'ASt + ^;J' <VI-53) + = + (VI.54) dX AC, dX ьу и PooWoop > 233
где X = х/L - относительное расстояние; Re/, - число Рейнольд- са, определенное по характерному размеру L обтекаемой поверх- ности; Cf - 2rCT/(paowQO') - коэффициент трения. Интегральные уравнения импульсов, энергии и вещества для сжимаемого потока химически реагирующего газа сохраня- ют вид уравнений (VI.52) - (VI.54), если положить Rejr, = Роо^оо^/Д0 оо» R® = Роа^оо^ /рОоо! Re^ = pooWooi^ /д0оо> ReD = Роо^оо^ D /Р0оо> ХН — Лет Лооо* Здесь рооо _ значение динамической вязкости, подсчитанное по j параметрам торможения невозмущенного потока (см. рис. VL1), ! В частности, из уравнения энергии (VI.49) получаем ин|| тегральное соотношение энергии для химически реагирующего I газа, в точности совпадающее по форме с уравнением (VI.53): | *♦ </ЯеЛ dX *♦ — Re l d£±h f _ Pct^ct + = Rei st + Xh dX \ Paa^oo, Полученные интегральные уравнения могут быть решены^ если известны так называемые законы сопротивления, теплооб-| мена и массобмена, которые в общем случае можно представите в таком виде: я Су — ff (Re , f, Mqo, Тст/Тоо,...); ** 1 //AT1 St = fs (Re j-, —— Mqo, Tct/Too, • • -)i Д7 аЛ Sip = fD (Tdo, -X- M.,...). Вид этих функций прежде всего зависит от режима течени жидкости в пограничном слое. Как будет показано в VI.2, ДЛ1 ламинарного течения законы трения, теплообмена и массобмв па можно получить для определенных граничных условий ана литическим путем. Для турбулентного режима течения закон! 234
трения, теплообмена и массобмена получают на основании полу- эмпирических теорий турбулентности с привлечением экспери- ментальных данных. В дальнейшем будет показано, что законы трения, теплооб- мена и массобмена консервативны к изменению граничных усло- вий. Полученные для стандартных условий, т.е. для случая без- градиентного обтекания пластины несжимаемым потоком с по- стоянной температурой и концентрацией вещества на стенке, они могут быть использованы и в более сложных условиях. Все разнообразие граничных условий достаточно полно учи- тывается при интегрировании уравнений импульсов, энергии и диффузии. Введем в правые части интегральных уравнений (VI.52) - (VI.54) значения коэффициента трения Су0, теплового Sto, и диф- фузионного Stp0 чисел Стантона, Полученных для стандартных - ** условии при одних и тех же числах Re , построенных по соот- ветствующим толщинам: т, —+ /Rejr, (1 + Я) = Rez -А (V, + Ь)- (VI.55) (1Л £ * * * * dRe^T Re™ d,AT ' ,у'" + ~Гт ~ Sto ЬТУ' (VL56) ал lsi ал * * ** = Не/, (fc + »D). (VL57) ** Re Здесь ф = (Сf /Сд>) - относительный закон трения при j , 2pCTWCT = idem; о = -----—-----параметр проницаемости стенки, отне- сенный к Су0; ф5 — (St/Sto) ** - относительный закон тепло- Re»p ♦ * обмена при Re т = idem; Ьт = -----------тепловой параметр PooWooStQ ** проницаемости, отнесенный к Sto; фо = (Stp/Stp0) Reр - отно- сительный закон диффузии при Re n = idem; bD =------------- PooWooSt£)0 диффузионный параметр проницаемости, отнесенный к St/)0. 235
VI.2. Вынужденная конвекция при ламинарном режиме течения VI.2.1. Теплообмен и массобмен при обтекании пластины потоком несжимаемой жидкости Рассмотрим полубесконечную пластину, продольно обтека- емую стационарным потоком несжимаемой жидкости с постоян- ными физическими свойствами. Примем температуру поверхно- сти пластины постоянной и равной Тот- Будем считать, что с поверхности пластины происходит диффузия вещества, однако интенсивность диффузии такова, что пластину можно считать непроницаемой. Концентрацию диффундирующего вещества на стенке ССт считаем постоянной. Рис. VI.2. Схема обтекания пла- стины Расположим начало ко- ординат в передней точке пластины (рис. VI.2), ось Ох направим вдоль пластины. Так как пластина очень тон- кая и расположена вдоль по- тока, то можно принять, что dp/dx — 0. В этом случае дифференциальные уравнения пограничного слоя (VL2), (VI.5), (VI.7) и (VI.17) (без учета диссипации энергии и термодиффузии) имеют вид dwx dwx р d2wx Wx дх +Wy ду р ду2 dwx dwy __ дх + ду ’ дТ дТ А д2Т дх s ду рср ду1 дС дС „ д2С w^ + w>ai = I>a^’ ' (VI.58} 236
а граничные условия будут следующими: wx = 0, wy = О, Т = Тст, С = Сст при у — 0; woc, Т -— Toos С ~ ^>оо При у — ОО. Анализ уравнений (VL58) сразу же позволяет обнаружить соответствие между распределением скорости, температуры и концентрации в пограничном слое при обтекании пластины, если Рг = Le = Sc = 1. В этом случае уравнения динамического, теплового и диффузионного пограничных слоев становятся иден- тичными, а это значит, что при малых скоростях обтекания пла- стины потоком несжимаемой жидкости и при наличии тепломас- сообмена распределения скоростей, температур и концентраций в пограничном слое подобны: Wx/Woo — (Тст ~ Т)/(ТСТ ~ Too) = (Сст — С)/(Сст — Соо)- Этот результат имеет важное практическое значение, так как для большинства газов значения чисел Рг, Sc и Le близки к еди- нице. При течении несжимаемой жидкости с постоянными физи- ческими свойствами поле скоростей не зависит от температурно- го поля и поля концентраций. Поэтому сначала можно решить уравнение движения, а полученные результаты использовать при решении уравнения энергии и диффузии. В поставленной задаче обтекания бесконечной пластины нет характерной длины, поэтому можно предположить, что при опре- деленным образом подобранных масштабах профили продольной скорости подобны на различных расстояниях от передней кромки пластины. В качестве масштаба для скорости выберем скорость потен- циального течения wx, а в качестве масштаба поперечной длины - толщину пограничного слоя 6. Тогда условие подобия профи- лей скорости можно записать в виде Wx/Woo = где т] = у/6. 237
Функция <р должна быть одной и той же для всех расстояний. Ранее, оценивая толщину пограничного слоя, нашли, что 6 ~ у/и L/w^ (см. выражение (VI.33)). Поэтому в качестве масштаба для у можно принять \/vx/woc , откуда г? = JZ-s/woo/i/x . (VI.59) Вводя функцию тока У), удовлетворяющую уравнению не- разрывности, полагаем wx = дф/ду^ Wy = —дф/дх. (VL60) Следуя Блазиусу, находим масштаб для функции тока: У ф - j wxdy. о j Вводя в это выражение безразмерные переменные и т], по! лучаем J n 1 ф = у/их Woo У <p(r])dTj = у/их Woo №), (VI.6t|| 0 1 где /(г?) - безразмерная функция тока. ' j С учетом этого 1 дф дф дт] , /чгтсяка ду дт] ду I дф д --------------- --------- ,, dr) wy = ~~fa~ fW fa woo - V1'1 w<x> f Wfa = = 57^1/'W’'-Я”))- <VI-63: z V x 238
Подставив полученные выражения в уравнение движения и про- изведя необходимые сокращения, находим ff" + 2f"' = О (VI.64) с граничными условиями f' = 0, f-О при г) = 0; fl = l при Т] = оо. Уравнение (VI.64) является обыкновенным нелинейным диф- ференциальным уравнением третьего порядка. Уравнение может быть решено либо путем разложения в ряд функции ли- бо численными методами. В табл. VI.2 даны значения функции /(//) и ее производных, вычисленные Хоуартом. Кривые изме- нения скорости wx и Wy приведены соответственно на рис. VI.3 и VI.4 (для расчета кривых использовались данные, приведен- ные в табл. VI.2). На рис. VI.3 расчетная кривая сравнивается с результатами экспериментальных исследований Никурадзе. Таблица VI.2. Значение функции f(tf) и ее производных для пограничного слоя на плоской пластине, об- текаемой в продольном направлении /Шоо Ч = У \/ — V vx f Г = — Woo f" 0 0 0 0.33206 0,2 0,00664 0,06641 0,33199 0,4 0,02656 0,13277 0,33147 0,6 0,05974 0,19894 0,33008 0,8 0,10611 0,26471 0,32739 1,0 0,16557 0,32979 0,32301 1,2 0,23795 0,39378 0,31659 1,4 0,32298 0,45627 0,30787 1,6 0,42032 0,51676 0,29667 1,8 0,52952 0,57477 0,28293 2,0 0,65003 0,62977 0,26675 2,2 0,78120 0,68132 0,24835 239
Окончание табл. VI. « |8|н II Е- f г = — Woo f" 2,4 0,92230 0,72899 0,22809 2,6 1,07252 0,77246 0,20646 2,8 1,23099 0,81152 0,18401 3,0 1,39682 0,84605 0,16136 3,2 1,56911 0,87609 0,13913 3,4 1,74696 0,90177 0,11788 3,6 1,92954 0,92333 0,09809 3,8 2,11605 0,94112 0,08013 4,0 2,30576 0,95552 0,06424 4,2 2,49806 0,96696 0,05052 4,4 2,69238 0,97587 0,03897 4,6 2,88826 0,98269 0,02948 4,8 3,08534 0,98779 0,02187 j, 5,0 3,28329 0,99155 0,01591 5,2 3,48189 0,99425 0,01134 t 5,4 3,68094 0,99616 0,00793 5,6 3,88031 0,99748 0,00543 5,8 4,07990 0,99838 0,00365 6,0 4,27964 0,99898 0,00240 6,2 4,47948 0,99937 0,00155 6,4 4,67938 0,99961 0,00098 * 6,6 4,87931 0,99977 0,00061 6,8 5,07928 0,99987 0,00037 7,0 5,27926 0,99992 0,00022 7,2 5,47925 0,99996 0,00013 7,4 5,67924 0,99998 0,00007 '* 7,6 5,87924 0,99999 0,00004 7,8 6,07923 1,00000 0,00002 8,0 6,27923 1,00000 0,00001 8,2 6,47923 1,00000 0,00001 8,4 6,67923 1,00000 0,00000 8,6 6,87923 1,00000 0,00000 8,8 7,07923 1,00000 0,00000 240
слое на пластине: точки - по измерениям Ннкурадзе; кривая - расчет по Блазиусу Рис. VI.4. Распределе- ние поперечной скоро- сти а ламинарном по- граничном слое на пло- ской пластине Результаты решения позволяют вычислить все необходимые характеристики динамического пограничного слоя. Так, напря- жение трения на стенке / dwx\ гст — р I —- j — к дУ Jy=o д д Г/'z \ дт1 55 и(ч) ад — /IWqo (VI.65) 16-1005 241
Из табл. VI.2 находим f '(0) = 0,332. Следовательно, безраз- мерное касательное напряжение на стенке 7-cT/(pw^) = 0,332/л/ЙёГ, (VI.66) а местный коэффициент трения Cfo = 2rCT/(pw^) = 0,664/ 0^7- (VI.67) На рис. VI.5 опытные данные сопоставлены с расчетом по формуле (VI.67). Рис. VI.5. Местный коэ^ фициент трения плоской пл стины, обтекаемой в пр дольном направлении: светлые точки - измерение к сательного напряжения на сте ке по профилю скоростей; те: ные точки - прямое измерение ж сательного напряжения на сте ке; прямая - расчет по форму (VI.67) Аналогично можно рассчитать все остальные характерист; ки пограничного слоя. Так, приняв за толщину погранично! слоя то расстояние от стенки, на котором wx = 0,99woo, 1 табл. VI.2 находим, что т] ~ 5,0. Следовательно, толщина п граничного слоя 6 ~ 5,0 у/их/Wqq . Толщину вытеснения можно определить из уравнения й* ОО Wr \ 1__2L г^оо/ V ^OO J V 4=0 242
Здесь значение т/i соответствует любому значению точки, лежа- щей вне пограничного слоя. Из табл. VI.2 находим rj — f(in) = = 1,73, поэтому _______ ё* = 1,73 y/vx/woo . (VI.68) Аналогичным образом определяем толщину потери импульса: ё** = 0,664 у/vxfw^ . (VI.69) Из уравнений (VI.67), (VI.69) можно найти зависимость коэффи- цента трения от числа Рейнольдса, определенного по толщине потери импульса: С/о = 0,44/Re**. (VI.70) Перейдем теперь к решению уравнения энергии. Подста- вив значения wx и wy, определенные по соотношениям (VI.62), (VI.63), в уравнение энергии (VI.58) и введя отношение разно- стей температур ^ = (ТСт-Т)/(Тст-Тоо), (VI.71) получим обыкновенное дифференциальное уравнение Рг ^"(’7) + y/W'(’7) = O (VI.72) с граничными условиями 1? = 0 при rj = 0; 1? — 1 при Т) = оо. (VI.73) Это уравнение можно проинтегрировать путем разделения переменных: аг) £ <W'(r>) Рг , 77^- + T/W^ = 0; п П Г d = Ci / е о dr; 4- Сз- о is1 243
Постоянные интегрирования определяем из граничных усло- вий. Из первого граничного условия (VI.73) получаем С? = 0. Из второго граничного условия находим °° е 0 di). 0 Таким образом, (VI.74 I е ° di) <>(ч) = ;--------- I е ° dif о В таком виде уравнение было впервые получено Польгаузеном Замечая в выражении (VI.64), что а ч „ f Г(ч) „.f"W о и что е _ Г/"(т7)]Рг получим решение уравнения (VI.74) в окончательной форме: ч ^(»7) = (VI.7! о 244
При Рг = 1 из выражения (VI.75) следует W = (Тст - Т)/(Тст - Too) = / W'(oo) = W^/Woo, что выражает подобие распределения безразмерной температур- ной разности 1? и скоростей в любом сечении пограничного слоя. Для определения локального коэффициента теплоотдачи восполь- зуемся равенством аг(Тст ~ Тх,) — ст откуда Л /дТ\ ах~ Гст-Гоо1^/ст A /wqo /дТ\ Тст “ Тю V VX \ дт) J (VI.76) Температурный градиент на стенке дТ\ ft ) - “(Тст “ "’У / Г)=О ч=о (VI.77) Величину относительного градиента температуры путем дифференцирования уравнения (VI.75): найдем = [/"(0)]Рг ^Л=0= Л........о. 0,332Рг --------------= ai(Pr). (VI.78) о о Значения ai(Pr), вычисленные Польгаузеном для различных чисел, приведены ниже: Рг... 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 7,0 10,0 15,0 «1 • 0,276 0,293 0,307 0,320 0,332 0,334 0,645 0,730 0,835 245
Величина ai(Pr) хорошо аппроксимируется следующей за- висимостью: ai = 0,332^Рё. (VI.79) Подставив значения дТ/дт] с учетом зависимости (VI. 79) в урав- нение (VI.76), получим ах = 0,332 А Ж V УХ (VI.80) Среднее значение коэффициента теплоотдачи на длине L может быть найдено из уравнения L ____ a — v [ ах dx = 0,664 А л/Рг «/—— L J у их о (VI.81) Вводя в формулы (VI.80), (VI.81) безразмерные коэффициенты теплоотдачи в форме числа Нуссельта и замечая, что Ле/, = poo ^ОО L —---------, окончательно находим Moo Nu х = 0,332 л/Рё^Ле?; (VI.82; Nu = 0,664 ч/рё^/лёТ". (VL83; Используя уравнение (VI.82), нетрудно получить закон плообмена. Интегральное уравнение энергии для рассматрив: мых условий ДТ = const, Woo = const запишется в виде ** = St°- (VIJ Из уравнения (VI.82) следует St0 = 0,332 / (ТЙёГ Рг2^) • (VI.8I 246
Подставляя выражение (VI.85) в уравнение (VI.84) и интегрируя, получаем закон теплообмена для ламинарного пограничного слоя: ct _ °-22 ReTPr Аналогичным образом можно решить уравнение диффузи- онного пограничного слоя. Вводя в последнее уравнение (VI.58) отношения разностей С — (С — ССт)/(Соо — и используя формулы (VI.62) и (VI.63), получаем (Д)''(ч) + ^№)(С)'(ч) = о с граничными условиями С ~ 0 при jj — 0; С = 1 при rj = оо. Таким образом, уравнение диффузии (VI.87) с граничны- ми условиями (VI.88) тождественно уравнению энергии (VI.72), (VI.73). Поэтому результаты решения уравнения энергии можно непосредственно использовать для диффузионной задачи. В частности, формула для диффузионного числа Стантона имеет вид (VI.86) (VI.87) (VI.88) Stp = 0,332 / Sc2^), (VI.89) а следовательно, закон массобмена для ламинарного погранично- го слоя StD = 0,22/ (Re*0* Sc4^). (VI.90) Из формул (VI.67), (VI.85) и (VI.89) следует связь между трени- ем, теплообменом и массобменом: С/о/2 = St0Pr~2^ = StnSc~2^. (VI.91) 247
VI.2.2. Автомодельные решения уравнений динамического, теплового и диффузионного пограничных слоев Автомодельные решения динамического ламинарного погра- ничного слоя несжимаемой жидкости можно получить и для гра- диентного течения жидкости, если скорость на внешней границе пограничного слоя изменяется по степенному закону Woo = Cxm. (VI.92) На рис. VI.6 показаны некоторые случаи плоских течений, удовлетворяющих этой зависимости, при (VI.93); Рис. VI.6. Семейство 1 чений около плоских клиновидных тел Градиент давления на внешней границе пограничного сло| с учетом уравнения Бернулли и зависимости (VI.92) имеет видн dp/dx — —pCxmCrnxm~1 = — pw^m/x. 1 Следовательно, уравнение движения пограничного слоя можя записать в форме ] d2wx dwx dwx w^m QJ dy2 ox dy x J Автомодельное решение уравнения (VI.94) ищем в тех ж переменных, как и для частного случая обтекания плоской пля стины (т = 0): 1 248
rl - у/xvwoof^rj). (VI.95) y/UX/Woo С учетом уравнений неразрывности (VI.58) и уравнения (VI.92) получаем wx = Cxmf'(riy, wy = - 2vC m 4-1 xm-l tn-1 , m+1 ' —— W + ~2~ № ’ (VI.96) Im 4-1 C xm~l ”=V"2-------- Подставляя соотношения (VI.95)h (VI.96) в уравнение (VL94), по- сле преобразований получаем обыкновенное дифференциальное уравнение, указывающее на существование автомодельного ре- шения: 4- (“-) f Г + "Ф - (/' )21 = О- (VI.97) Граничные условия остаются теми же, что и в предыдущей за- даче: /(0) = 0, /'(0) = 0, /'(оо) = 1. (VI.98) Некоторые результаты численного решения уравнения (VI.97) приведены в табл. VI.3. Таблица VI.3. Решение уравнения движения ламинарного пограничного слоя с постоянными физиче- скими свойствами на непроницаемой стенке при Woo = С Хт 0 m /"(0) 7Г 1,о 1,233* 1,57 0,333 0,759 0,627 0,111 0,510 0 0 0,332** -0./314 -0,0476 0,220 -0,624 -0,091 0*** Критическая точка. ** Плоская пластина. *** Отрыв пограничного слоя. 249
Коэффициент трения определяется по формуле C//2 = /"(0)/VrZ?. Уравнения теплового и диффузионного пограничных слоев для случая Wqo = С хт также имеют автомодельные решения, в чем нетрудно убедиться после подстановки формул (VI.96) в уравнения (VI.58). После преобразований получаем обыкновен- ные дифференциальные уравнения в виде уравнений (VI.72) и (VI.87). Решения этих уравнений при граничных условиях (VI.73) и (VL88) остаются такими же, как и для случая обтекания плоской пластины (см. уравнение (VI.75)), только функция f берется из автомодельных решений динамического пограничного слоя. Значения комплекса Nn^Re^ 12 = К(Рг, т), полученные в результате расчетов по уравнению tf(Pr, т) = Г 1 'I"1 —Рг / /(»?) dr) dr] > , (VI.99) о для некоторых частных случаев представлены в табл. VI.4. Таблица VI.4- Значения комплекса NuxRex^ при различ- ных числах Рг для случая теплообмена в ла- минарном пограничном слое с постоянными физическими свойствами (7^т, Та, - постоян- ные, Woo = С Хт) т Рг 0,7 0,8 1,0 5,0 10,0 -0,0753 0,242 0,253 0,272 0,457 0,570 0 0,292 0,307 0,332 0,585 0,730 0,Ш 0,331 0,348 0,373 0,669 0,851 0,333 0,384 0,403 0,440 0,792 1,013 1,0 0,496 0,523 0,570 1,043 1,344 4,0 0,813 0,858 0,938 1,736 2,236 250
Таким образом, для рассматриваемых условий при данном значении т и Рг комплекс Nu х Rez ' остается постоянным: 1/, Nu xRex = const. Следовательно, ах = (VI.100) у /2 Из формулы (VI. 100) следует, что в окрестности критиче- ской точки (т = 1) коэффициент теплоотдачи не зависит от х и остается постоянным. При т < 1 (замедленные потоки) и т = 0 (обтекание пластины) коэффициент теплоотдачи ах = оо при х = 0 и уменьшается с увеличением х. Если т > 1, а = 0 при х = 0 и с ростом х коэффициент а увеличивается. Автомодельные решения уравнений теплового и диффузион- ного пограничных слоев были получены и для более сложных граничных условий, когда Woo = Cxm; ТСТ = Too + аху; Сст = Coo + ахТ С учетом этих граничных условий уравнения теплового и диф- фузионного пограничных слоев преобразуются в обыкновенные дифференциальные уравнения: 0" + Рг l(m+l)/tf'-7/'(t?-l) = 0; С" + Sc hm+IJ/C-1 -lf'(C-l) =0. (VI.101) Уравнения (VI.101) были проинтегрированы численными методами для различных значений параметров: 7, Pr(Sc) и тп. В табл. VI.5 приведены результаты расчетов параметра (д#\ I — , характеризующего теплоотдачу. \^A=0 251
( dti \ Таблица VI.5. Значения производной I. — ) , полученные \ ап / \ / ц=0 в результате численного решения уравнения (VI.101) при различных значениях у, 0 и Рг р 7 Рг 0,7 1 5 10 0 -0, 50 0 - - 0 -0,25 - - - -0, 7668 0,00 — 0,4065 - - -1,230 0,25 -0,4989 - - -1,513 0,5 -0, 5690 - - -1,721 1,00 -0, 6746 - - —2, 024 2,00 -0, 8218 - - -2,445 3,00 -0, 9296 - - -2,741 4,00 -1,017 - - -2,974 0,199 -0, 35 0 0 0 0 -0, 25 -0,1955 -0,2168 -0,3290 -0, 3894 0 -0,2930 -0,3227 -0,4884 -0,5806 0,25 -0, 3476 -0,3820 -0,5760 -0,6848 0,50 -0,3861 -0,4237 -0,6375 -0,7581 1,0 -0,4412 -0,4835 -0,7257 -0,8629 2,0 -0,5134 -0,5622 -0,8424 -1,002 , 4,0 — 0,6041 -0,6668 -0, 9890 -1,176 1 1,0 0 0 0 0 -0, 75 -0,1755 -0,2001 - -0,4062 -0, 25 -0,4093 -0,4708 - -1,081 0 -0,4879 -0,5603 -1,011 -1,286- 0,25 -0,5535 -0,6345 -1,141 -1,451 0,5 -0,6094 -0, 6979 -1,251 -1,510 1,0 -0,7033 -0,8116 -1,432 -1,818 2,0 -0,8461 -0,9647 - —2,159 1,6 -2,5 0 0 0 0 -1,5 -0, 2687 -0,31101 -0, 0587 -0, 705 -0,5 -0,4413 — 0,5085 —0,9303 -1,186 252
Окончание табл. VI. 5 0 7 Рг 0,7 1 5 10 1,6 0 -0,5062 -0,5828 -1,064 -1,357 0,5 -0,5626 -0, 6468 -1,176 -1,501 1.0 -0,6120 -0, 7031 -1,275 -1,626 2,0 -0,6975 -0,7995 -1,442 -1,836 4,0 -0, 8315 -0, 9512 —1,701 —2,159 Интересно отметить, что при 7 = 1/(/3 — 2) коэффициент теплоотдачи и массоотдачи равен нулю при любых значениях Рг, Sc и /3. Для общего случая произвольного значения 7 имеем хт -Мг 1 ( дд\ Nu Rez гг = —===== I — ) ; м _ 1 fdC\ Nu j) х Rez — _—— I _ I y/2-0 \дт)/^=0 (VI. 102) Рис. VI.7. Зависимость те- плоотдачи от параметров f} я f при Рг=0,7: сплошные кривые - расчет по формуле (VI.102); штриховые кривые - расчет по формуле (VI.111) На рис. VI.7 показана зави- симость параметра NuzRej. ' от 7 при различных /3. Из ри- сунка следует, что при возра- стании показателя степени от отрицательных значений до положительных теплоотдача при данном значении (3 резко возрастает. Для любого /3 существу- ет отрицательное значение 7, при котором местная теплоотдача 253
на всей поверхности тела равна нулю. При малых отрицатель- ных /3, вплоть до предельного случая отрыва пограничного слоя (-0,199), это значение 7 близко к -1/2. VI. 2.3. Теплообмен на криволинейной поверхности При обтекании криволинейной поверхности вследствие де- формации линий тока возникает продольный градиент давления и при определенных условиях (в области замедленного течения j жидкости) происходит отрыв пограничного слоя от обтекаемой [ поверхности. Отрыв пограничного слоя сопровождается возврат- | ным течением в пограничном слое и его значительным утолще* 1 нием. При этом за точкой отрыва вниз по течению уравнения] пограничного слоя утрачивают свою силу. | Рис. VI.8. Схема обтекания кругового цилиндра (а) и схемах! чсское изображение течения в пограничном слое вблизи точэ отрыва (б) Чтобы пояснить явление отрыва, рассмотрим обтекаю кругового цилиндра (рис. VI.8, а). Начиная с лобовой точки давление на внешней границе пограничного слоя убывает, пр этом, согласно уравнению Бернулли, скорость возрастает до то1 ки М, где градиент давления становится равным нулю. Зате в области замедленного течения (др/дх > 0) происходит восст) новление давления. Однако из-за наличия действия сил трения пограничном слое кинетическая энергия частиц жидкости оказд вается недостаточной, чтобы преодолеть повышение давления с 254
точки минимума давления до задней критической точки, и ча- стицы жидкости, находящейся в непосредственной близости от стенки, сначала останавливаются, а затем начинают двигаться назад, оттесняя пограничный слой во внешнее течение. Картина линий тока в пограничном слое в окрестности точ- ки отрыва В дана на рис. VI.8, б. В точке отрыва пограничного слоя градиент продольной скорости на поверхности (dwx/dy)y=0 = О, (VI. 103) а следовательно, и локальное значение коэффициента трения бу- дет нулевое. Только что рассмотренное явление отрыва потока при внеш- нем обтекании наблюдается также и при течении жидкости в резко расширяющихся каналах. Как указывалось выше, уравнения пограничного слоя оста- ются справедливыми лишь до точки отрыва, поэтому, прежде чем переходить к расчету теплообмена на криволинейной поверх- ности, необходимо определить параметры точки отрыва путем интегрирования уравнений пограничного слоя с учетом условий (VI.103). Приближенные расчеты показывают, что отрыв погранич- ного изотермического пограничного слоя происходит при крити- ческом значении формпараметра, входящего в уравнение (VI.41): f = Др = -0,089/Rex. (VI.104) Рассмотрим теперь влияние градиента давления на тепло- обмен. В качестве иллюстрации на рис. VI.9 даны распределения тепловых потоков и касательных напряжений по сечению погра- ничного слоя (—f = у/6) в точке отрыва ламинарного погранич- ного слоя. Как видно из графика, градиент давления не оказывав ст сколь-нибудь существенного влияния на распределение тепло- вых потоков по сечению пограничного слоя . Поэтому следует ожидать, что и закон теплообмена должен обладать значитель- ной консервативностью по отношению к изменению градиента 255
Рис. VI.9. Распределение каса- i тельных напряжений 2т/р ОО w^, Ж ] тепловых потоков ?/<7ст в точке 1 отрыва пограничного слоя < j давления на внешней границе пограничного слоя. Эти сообра-1 жения подтверждаются и прямыми расчетами. Значения вели-Н чины i/js = (St/Sto) ** в точке отрыва ламинарного погранич^| Rej. i] ного слоя жидкости с постоянными физическими свойствами числом Рг = 1, вычисленные С.С. Кутателадзе, приведены ниже:,] 6т/6..................... 1,0 1,25 1,5 2,0 (St/St0) **............ 0,62 0,81 0,86 1,23 J Re т I Результаты расчета подтверждают предположение, чтеи продольный градиент давления сравнительно слабо влияет нал относительный закон теплообмена, поэтому в инженерных pac-j четах им обычно пренебрегают и считают, что 1 / с/ \ 1 = hr (VL105l \ht0/ReT 1 В случае произвольного распределения скорости на внешней границе пограничного слоя распределение локальных значений коэффициента теплоотдачи может быть приближенно определенв! с помощью интегрального метода. 1 Интегральное соотношение энергии пограничного слоя (VI.56) несжимаемой жидкости при обтекании непроницаемой по| верхности имеет вид । 1 dRe*^ Re*y dAT п „ 1 “Tv + Тт = ^sSt0Rei, J ал ZX7 ал i 256
а для осесимметричного течения ** eReT „ ** 1 dXT 1 dRx ДТ dX + Rx dX = V’sSto Re£. Принимая 0s = 1 и подставляя в последнее уравнение значение qt °>22 01-0 — ** л. > ReT Рг & (VI.106) найденное в результате точного решения для безградиентного те- чения (VI.86), получаем линейное дифференциальное уравнение ** относительно числа Re^: </ReT ** / 1 </ДТ\ 0,22ReL еЦдт if; = соответственно для осесимметричного случая имеем t/Rej , Re j d&T ( Rej dRx 0,22Re£ dX + ДТ ~dX~ + ~rT ~dX = Re** p//3 ’ Здесь в общем случае ДТ, Rej, и Rx являются заданными функ- циями величины х. Интеграл полученного дифференциального ** уравнения при граничных условиях х = 0, Re j = 0 равен ** 1 ReT - дт 1^73 0,44 u / о а для осесимметричного случая ** 1 Rer = X 0,44 _ / 2 (VI.107) ДТ Rx LPr4^ о 17-1005 257
где Reo = Роо^ооо^/Моо - число Рейнольдса, подсчитанное по скорости набегающего потока woooi Woo = Woo/w0oo ~ относи- тельная скорость на внешней границе пограничного слоя. Вычислив значения числа Re т и подставив их в уравнение (VI.106), находим значения локальных чисел St, а следовательно, и распределение локального значения коэффициента теплоотдаче вдоль обтекаемой поверхности вплоть до точки отрыва. Если требуется определить распределение температуры стенки при заданном законе распределения теплового потока. 9ст(а:)> то интегральное соотношение энергии (VI.56) для случал непроницаемой стенки можно записать в виде j(ATRey) dx Ср Доо откуда. X ** 1 ATRer = ------ ср М°о О J Qct (® ) dx. Выразив Re у через число St по уравнению (VI. 106), посла несложных преобразований получим х лт=( 4^x)L \ \0,227?e£Pr^/ Лоо (VI.101 Интересно сопоставить результаты расчетов теплообмена I приближенному методу с точными автомодельными решениям Как было показано, существуют автомодельные решения тепл вого ламинарного пограничного слоя для следующих граничн: условий: Woo = С хт\ ТСТ = Too + « 2:7• Подставив эти зависимости в уравнение (VI.107), находим ** 0,44С щ+1 Re г ------------------- х . Рг (тп 4- 27 + 1)- (VI. 10 258
Выражение для числа Стантона получаем, подставляя зави- симость (VI.109) в уравнение (VI.106): 0,22 0,44 С St =------ pr2A (VI.110) l1^2 m+1 X 2 v (m + 27 + 1) Для параметра Nu x П имеем Nil;, Re;1/2 = 0,332 Pr^[m 4- 27 4- l]1^. (VI.lll) На рис. VI.7 сопоставлены результаты расчета Nu х Rex Я по формуле (VI.lll) с точным автомодельным реше- нием. Следует отметить удовлетворительное совпадение при- ближенного решения с точным для всей области изменения пара- метров 7 и Д. Из уравнения (VI.lll) следует, что коэффициент теплоотдачи равен нулю при условии _ т 4- 1 1 7 “ 2 Д'-2’ где Д' = 2т/(т 4-1), что совпадает с точным решением. Для относительного коэффициента теплоотдачи получаем простую формулу параметра (VI.112) а/а0 = (m 4-1 4- 27)^, (VI.113) где оо - коэффициент теплоотдачи для случая обтекания плоской пластины с постоянной температурой стенки (тп = 0, 7 = 0), вычисляемый по формуле а0 = (Х/х) 0,332 Рг^ Re^,. причем критерий Rex = w^x/v определяется по скорости на внешней границе пограничного слоя в данном сечении. Анало- гичные результаты можно получить и. для коэффициента массо- отдачи. В частности, для случая wx = С хт и Сст = Ссо 4- аж7 имеем 17‘ 259
0/00 = (m 4-1 + 27)^; 0O = ^0,332 Sc^Re^, (VI.114) где 0o - коэффициент массоотдачи. _ Для случая обтекания осесимметричного тела при Rx = лв, Wo© = Сх~т, &Т = ах~7 имеем ** Лбу Рг^Д/ (т 4- 27 4- 2п 4-1)-1 0,44(7 т+1 х 5 a/cto = (пг 4- 2? 4- 2п 4- i)1^2. VI. 2.J. Теплообмен при сверхзвуковых j скоростях течения газа | При достижении скорости потока, соизмеримой со скоростью* 1 звука, т.е. когда ______ //др\ i Woo \1 I ) > 1 V \°Р/ S I снижение скорости в пределах пограничного слоя за счет тормо-1 зящего действия сил трения влечет за собой значительное повы-1 шение температуры вблизи поверхности обтекаемого тела. При ] этом возникает необходимость учета взаимного влияния тем- I пературного и динамического пограничных слоев. 1 Полная энтальпия адиабатически заторможенного газа и®| первому началу термодинамики определяется в виде | ho = h 4- w^/2. 3 Учитывая, что для идеального газа энтальпия является функ-1 дней только температуры: h = срТ, можно получить выражение! для температуры торможения Т* — Т + w^jO/(2cp), которое может! быть преобразовано к виду (ig _ 1 \ И 14--2~M2j. (VI.11M 260
При & = 1,4иМ=1 Г* = 1,2, а при М = 6 Т* — 7,2, т.е. тем- пература изоэнтропийно заторможенного потока при М = 6 по- чти в семь раз превышает термодинамическую температуру дви- жущегося газа. Дальнейшее увеличение скорости потока приводит к чрез- вычайно сильному повышению температуры, что влечет за собой возникновение в пограничном слое химических реакций (диссо- циации и ионизации). Это так называемая область гиперзвуко- вых течений. Однако как было показано выше, даже в области сверхзву- ковых течений (для воздуха М < 6) повышение температуры в пограничном слое вследствие торможения столь велико, что зна- чения физических параметров (особенно вязкости и теплопровод- ности) уже нельзя считать постоянными в пограничном слое. Преобразование уравнений сжимаемого пограничного слоя, впервые предложенное А.А. Дородницыным, позволяет привести эти уравнения к форме, близкой к уравнениям несжимаемой жид- кости. Преобразование координат значительно упрощает рас- чет сжимаемого пограничного слоя и позволяет использовать хорошо разработанные и надежные методы (как точные, так и интегральные) решения уравнений несжимаемого пограничного слоя. Полная система дифференциальных уравнений плоского сжимаемого пограничного слоя в случае обтекания непроница- емой пластины имеет вид dwx dwx д / dwx \ pw. —+ pw,— вт „ вт а 1,№т\ /ЗиЛ дх Р pWy ду ду \ ду) + \ ду ) ’ д д dipWx^TyPWy^Q с граничными условиями wx = 0, wy = О, Т - Тст при у = О, wx = Woo, Т - Г», при у = оо. 261
Следуя Дородницыну, введем новые переменные X у /р f р -dx-, 7l=J-dy, о о где р* и р* - соответственно давление и плотность адиабатно заторможенного газа. Заменим в случае обтекания плоской пластины р*, р* на роо, роо (соответственно давление и плотность на внешней границе пограничного слоя), тогда предыдущие соотношения примут вид х у е = / —dx = x-, 71= [ -?-dy, (VI.116) J Poo J Poo 0 0 так как p = Poo в силу постоянства давления поперек погранич- ного слоя. Переход от дифференцирования по х и у к дифференцирова- нию по £ и 7} осуществляется по формулам А = А+«2А. L = ±.L (VI.117) дх di дх drf ду рждг} ( Имея в виду соотношения (VI.117), можно преобразовать урав- нение движения, предварительно сократив его члены на р: dwx ( dri р \ dwx 1 д ( р dwx\ di \ dx poo J or} poo дт}\ poo дт} J Запишем теперь уравнение неразрывности, представив его в виде + (VIn8) дх дх ду i Продифференцировав второе уравнение (VI.1I6) сначала по х при постоянном значении у, а затем по jj, находим д (дт}\ роо д [ 1 др 1 дт}\дх} р ду J роо дх р dx о 262
Подставляя полученное выражение в уравнение (VI. 118) и пере- ходя к новым переменным £ и ту, получаем dwx dwx дп д (дп\ р д . . Р -дТ- + Р Г + № Г Г + — (Pwy) ~ °- di arj дх dr)\dxj Роодп * Это выражение можно легко привести к виду dwx , dWy di + дт, ’ (дп р \ wx — 4-----wv ). дх роо Таким образом, преобразованные уравнения движения и не- разрывности в случае обтекания непроницаемой пластины при- нимают вид dwi । w Р°о ( рр dwx w* + WV ~ -------У" дп Роо \PooPoo дп , dwx dWy _ di дп (VI.119) В случае линейной зависимости вязкости от температуры, т.е. когда рр — Роороо, уравнения (VI.119) по виду полностью совпадают с соответствующими уравнениями для несжимаемой жидкости. Теперь для решения динамической задачи можно воспользо- ваться методом, изложенным ранее. Введем, согласно определению, функцию тока удовле- творяющую уравнению неразрывности: ™х = д^/дп\ wy = -d^/di. Уравнение движения при этом принимает вид д’ф д2ф дп д^ дп дф д2^ _ роо д / рр A d2i/> di дп2 Роо дп \РооРоо/ дп2 (VI.120) 263
с граничными условиями гр = 0, дгр/дт^ = О при rj = О; дгр/ду = Woo при rj = оо. Введем, как и прежде, переменные Блазиуса, определяемые соот- ношениями / Доо'шоо^ г( \ \ ----------/(*); V Р<*> lPaowoo Будем полагать, что функция /(г) зависит только от z. Тогда производные функции тока имеют вид - M°ow°°£ f‘(z\ IPoow<» _ dr) dz dtj у poo у Pook 0'S Z у Poos 1 J д2гр lpoc>w<x fltf , de, OTj 2 у PooC Подставляя значения производных в уравнение движения (VI.120), после упрощения получаем 2 OZ \PooPoo / (VI.121) = О с граничными условиями / = 0, f = 0 при z — 0; f = 1 при z — оо. 264
р dwx Роо дт] РР у//2 Роо Роо с dT ,\РооРоо ) dz РР Аналогичным образом с помощью переменных Дородницына уравнение энергии может быть приведено к виду ЗТ t ххг дТ 1 д (. р дТ\ р Wx ~яс + Wy ~я~ ~ — ~я~ ) ----- <74 от] рср От] \ Роо ОТ] J рср Вводя переменные Блазиуса, после несложных преобразований получаем 1 дТ д_(±_ РР дТ 2 dz dz \Рг ДооРоо dz Замечая, что w^Jcp = (к — и считая число Рг постоян- ным, что с достаточной точностью выполняется для газов вслед- ствие одинаковой зависимости вязкости и теплопроводности от температуры, окончательно получаем Pr fdT d_ 2 dz + dz + Pr(fc-1)M^—^-f"2 = 0 (VI.122) Poo Poo с граничными условиями, которые можно выразить в одной из следующих форм: 1) при отсутствии теплоотдачи: Т = Т*т при z = 0; 2) при наличии теплоотдачи: Т = Тж при z = 1. Интегрирование уравнений (VI.121), (VI.122) в общем слу- чае требует применения численных методов, однако в случае ли- нейной зависимости вязкости от температуры вышеупомянутые уравнения принимают форму уравнений, справедливых для не- сжимаемого течения. Действительно, если связь между вязкостями задана в форме степенной зависимости от температуры: р!Роо = (Т/7оо)п и, согласно уравнению состояния идеального газа, р!Роо — Тгх/Т^ 265
то при линейной зависимости вязкости от температуры (w = 1) РР = рооРоо- Таким образом, с учетом этого равенства уравнение движе- ния принимает вид 0,5//" + /"' = 0. Легко видеть, что в этом случае уравнение движения ничем не отличается от соответствующего уравнения для несжимаемой жидкости, поэтому для определения функции f и ее производных можно пользоваться данными, приведенными в табл. VI.2. Аналогичным образом для случая линейной зависимости вязкости от температуры можно привести уравнение энергии к форме, отвечающей течению несжимаемой жидкости, вводя но- Т — Т вую переменную 0 = —я—;-----для температуры: «'So/2 ср 0" + 0,5 Рг/ ©' + 2 Рг/"2 = 0. (VI.123) VI.2.5. Точные решения уравнения энергии для пограничного слоя сжимаемого газа при др/дх = 0 Случай теплоизолированной стенки. При обтекании по- верхности потоком газа с высокой скоростью вблизи поверхности выделяется значительное количество теплоты за счет действия сил трения. Если поверхность тела адиабатно изолирована, то выделяющаяся теплота может быть отведена от нее только за счет теплопроводности газа. В стационарном состоянии насту- пает равновесие между выделением и отводом теплоты. Тем- пературу, которую принимает поверхность в этих условиях, на- зывают адиабатной температурой стенки Т*Т. Отношение разности температур Т*т - Too к разности тем- ператур полностью изоэнтропийно заторможенного потока Т^ ~ Too называется коэффициентом восстановления г = (Т*Т - - Too). (VI.124) 266
Коэффициент восстановления может быть найден аналити- чески в результате решения уравнения (VI. 123). Уравнение энергии, записанное в форме (VI. 123), предста- вляет собой обыкновенное дифференциальное уравнение, которое может быть решено методом вариации постоянных либо с помо- щью введения интегрирующего множителя. Найдем частное ре- шение этого уравнения для случая теплоизолированной стенки: 0(оо) = 0, 0(0) = 0. Получим с помощью вышеупомянутого метода следующее выражение: (VL125) Используя значение f (см. табл. VI.2), уравнение (VI.125) можно проинтегрировать численными методами. Полученные результаты в диапазоне чисел Рг = 0,5... 10 хорошо аппрок- симируются зависимостью 0ВД = -\/РГ. Заметим, что 0ад равна ранее введенному коэффициенту восстановления: Рис. VL10. Коэф- фициент восстано- вления г продоль- но обтекаемой пла- стины при М < 1 (по Эккерту и Вей- зе) 0ад = г = (Т*т - Too)/(I^ - Too). Ламинарная область ______।____ Ту рбу ленты ая область 26Т
Найденные значения коэффициента восстановления хорошо со- гласуются с имеющимися экспериментальными данными (рис. VI. 10). Теплообмен при умеренной скорости. Уравнение энергии (VI.123) в этом случае значительно упрощается , так как при М —* 0 пропадает член, учитывающий диссипацию энергии. В случае линейной зависимости вязкости от температуры уравне- ние энергии в точности совпадает с уравнением энергии для те- чения с постоянными физическими свойствами, если в последнем Т заменить на б по уравнению (VI.71): где б = (Тст — Т)/(Тст — Too)- (Решение этого уравнения уже было получено ранее). Плотность теплового потока на стенке найдем из уравнения П _ (J>T\ дб 9СТ" к Мст- ( СТ~ ж)ду Переходя к переменным z и т], находим dti дб dz _ дб dz drj _ дб р dz _ р lpcow<x> дб dy ст dz dti dz drj dy dz рж dt] рж\ ржх dz гт && Производная — учетом этого выражение для плотности теплового потока прини- уже найдена ранее (см. формулу (VI.79)). С мает вид <7ст = (Тст - Тж) Аст 0,332Рг^ /^25. РвО V р00% Переходя к локальному значению числа Нуссельта, получим Nu х оо = —----- = 0,332 ст J-oo) РосИоо 268
и, наконец, полагая, что коэффициент теплопроводности нахо- дится в том же соотношении с температурой, что и динамическая вязкость при п = 1, окончательно находим Nu х оо = 0,332 yfitex<x>- Таким образом, решение, полученное для пластины, обтека- емой потоком с постоянными физическими свойствами, справед- ливо и при переменных свойствах, если физические параметры, входящие в безразмерные комплексы, относить к температуре на внешней границе пограничного слоя. В этом случае происходит взаимная компенсация влияния физических свойств на закон те- плообмена. Теплообмен при больших скоростях. Для того чтобы най- ти решение уравнения энергии при наличии теплообмена, необ- ходимо его частное решение (0ад) сложить с общим решением однородного уравнения + 0,5Pr/i?' = 0. Таким образом, ре- шение будет иметь вид 0 = 0ад + Сц? + С2, (VI.126) Т — Т т — т где 0 = -9-. , —1? = —----=—. Постоянные Ci и С2 опреде- w3o/(2cp) Тст - Тж ляются из граничных условий: 0 = ©ст при z = 0; 0 = 0 при z = оо. Из первого граничного условия следует Ci = — С2; из второго - (Тст-Тоо)/-^ = 0ад + С2. Подставляя вычисленные значения констант в уравнение (VI. 126), после несложных преобразований находим распределе- ние температуры в следующем виде: т - Too = г f W + (Тст - Т*т) (1 - 0). (VI.127) 269
Плотность теплового потока определим по уравнению дТ Чет — ~АСТ ду — А (Т - Т* ) — — Летает 1СТ> fly СТ Проведя такие же преобразования, как и в предыдущем слу- чае обтекания потоком несжимаемой жидкости с переменными физическими свойствами, найдем выражение для локального знаг чения числа Нуссельта в следующем виде: Nu.„ = ^"-^0,332Ж Jct~-*oo Роороо При линейной зависимости теплопроводности от температуры получим 7* — 7** Nu х оо = -ст- 0,332 Ж д/Иехоо- fVI. 128) -*ст ~ -*оо Здесь Т*т характеризует влияние числа М на теплоотдачу. Если коэффициент теплоотдачи относить к разности темпераг тур (Тст — Тс*т), то придем к аналогичной зависимости, ранее 1 полученной для течения несжимаемой жидкости с постоянными j физическими свойствами. Выбор в качестве расчетной разности J температур (Тст — Т*т) имеет и глубокое физическое обоснование, j Действительно, как только температура обтекаемой поверхности 1 Тст отклоняется от адиабатной температуры стенки Т*т, между 1 поверхностью и потоком начинается процесс теплообмена. На I рис. VI.11 представлены кривые распределения температур в ла- | минарпом пограничном слое в потоке газа высокой скорости. Из 1 рисунка видно, что коэффициент теплоотдачи следует опреде- I лять по разности между действительной температурой поверх- I пости Тст и адиабатной температурой стенки Т*т, т.е. I Чет — ае (Зет ~ Тст'). В этом случае при qCT —> 0 Тст — Т*т —> 0, а коэффициент те- I плоотдачи, характеризующий интенсивность конвективного те- I плообмена и зависящий в основном от гидродинамики потока, I 270
Рис. VI.11. Кривые распреде- ления температуры в ламинар- ном пограничном слое на пла- стине при высоких скоростях потока: 1 - теплообмен отсутствует (дТ/ду)„ = 0; 2, 2' - при > Т*т и направлении теплового потока от стенки; 3, 3^ - при Тст < Т*т и наг правлении теплового потока к стенке сохраняет конечное значение ае. В частном случае дозвуковых скоростей Т* Too, и остается обычное определение коэффици- ента теплоотдачи. VI. 2.6. Приближенный метод решения с помощью интегрального соотношения энергии Анализ точных решений для пластины при линейной зависи- мости вязкости и теплопроводности от температуры показывает, что влияние изменения физических свойств газа может взаимно компенсироваться. Поэтому решения, полученные для случая те- чения с постоянными физическими свойствами, сохраняют свою силу и для течений с переменными свойствами в широком диа- пазоне изменения температурного фактора •ф = Тсг/Тоа, и в ин- женерных расчетах влиянием неизотермичности при малых ско- ростях течения обычно пренебрегают. Эти соображения подтверждаются и результатами более точных расчетов. Рядом авторов проведены расчеты путем чи- сленного интегрирования некоторых случаев автомодельных те- чений (течение около клина, вблизи критической точки цилин- дра). При этом были использованы зависимости физических констант от температуры, близкие к реальным, аппроксимирую- щие изменения физических свойств воздуха в широком диапазо- не изменения температур (300 . .. 1300°С). Эти расчеты показали, 271
что, во-первых, влияние переменности физических свойств мож- но учесть выражением •0S = (St/St0)Rex -- 0”, причем, сравнение чисел St производится при условии Rex = = idem, и, во-вторых, эта зависимость закона теплообмена весь- ма слабая даже в случае 0 = 7ст/7оо > 1- Так, при Woo = const (пластина, клин) п = —0, 01 при V > 1; п = 0 при ф < 1. Решение уравнения энергии сжимаемого пограничного слоя при др/дх = 0, Рг = 0,7 получено Ван Дристом методом после- довательных приближений. Рис. VI.12. Теплообмен при ламинарном высокоскорост- ном пограничном слое возду- ха (по Ван Дрийсту) Результаты решения представлены на рис. VI. 12. Нетрудно заметить, что число St уменьшается с увеличением числа М. Эти результаты хорошо аппроксимируются зависимостью ^s=( = V’-0,08^*-0’04, (VI.129) \ Sto / Rex где = ТЫТео. 272
Уравнение (VI.129) справедливо при (0> 1)и М < 6. При ** сопоставлении чисел St по числу Re т зависимость (VI. 129) при- нимает вид 0$ = Sto/ = V,-0-1 V-0’08 (VI.130) Re р Как было показано, уравнение энергии сжимаемого погра- ничного слоя записывается в форме (VI.53), если число Re j. от- носить к динамической вязкости рооо, определяемой по темпе- ратуре торможения невозмущенного потока. Число Sto в этом случае вычисляется по формуле °'22 Рг ” Rer рОоо/Моо Таким образом, по аналогии с (VI.107), интеграл уравнения энергии можно записать в виде ** Re т — 1 ДТ X 0> 44 [ ЬТ Роороо WqqL ------------------------- Lpr J Дооо где ips определяется равенством (VI. 130). Величину P<xwoo L роо ————— ) РОоо рОоо входящую под знак интеграла, можно преобразовать следующим образом: Poo^oo L Р<х> т> Рос Роо --------------- Кеооо«-------• РОоо МОоо РОоо МОоо Здесь число Reooo = P0oowmax^/P0oo не зависит от X и мо- жет быть вынесено из-под знака интеграла; и = и’оо/и’тах, где wmax = ^/2 ср - максимально возможная скорость течения; Р/РОоо = (1 - и2)1^*-1); рооо ~ плотность при температуре тор- можения невозмущенного потока. 18—1005 273
Имея в виду указанное преобразование, окончательно полу- чаем ** 1 [0,44 ReT - Хт дт Lpr4^ Reo°°x u(l- ДТ2 dX 1/2 . (VI.131) о Если задан закон распределения тепловых потоков дст(ж), то расчет ведется по формуле ДТ = <7ст Т [ Чет j v 2/, / \2 LO,22^sRe£Pro^ { л0оо (VI.132) Здесь, как и прежде, определяется равенством (VI.130). VI.2.7. Трение и теплообмен на проницаемой поверхности Система уравнений пограничного слоя (VI.58) для течения несжимаемой жидкости с постоянными параметрами и гранич- ными условиями wx = 0, wy = wCT при у = 0 и wx = Wqo при у = оо имеет автомодельные решения. Рассмотрим обтекание плоской полубесконечной пластины потоком несжимаемой жидкости при наличии равномерного от- соса газа из пограничного слоя (рис. VI. 13). Рис. VI.13. Продольное обтекание пластины с равномерно рас- пределенным отсасыванием 274
В этом случае имеется автомодельное решение, для которого распределение скоростей не зависит от текущей длины х. При dwxldx = 0 из уравнения неразрывности следует wy — — wCT = const, и уравнение движения принимает вид dwx d?wx WcT ~ v я 2 • ду ду1 Решение этого уравнения имеет вид / WcTj Wx - Woo I 1 - e " wy = wCT < 0. (VI.133) Для толщины вытеснения и толщины потери импульса находим <5* = -v/wCT; <5** =-0,5v/wCT. (VI.134) Касательное напряжение на стенке и коэффициент трения определяются по следующим формулам: dwx ГсТ-М ду — Р ( ^ст) ^ooi »=0 Cf = 2rCT/(pw%o) = -2wCT/woo. (VI.135) Как видно из формулы, касательное напряжение в рассматрива- емых условиях не зависит от вязкости жидкости. гг 1 2 шст Параметр проницаемости oi = -----— для данного случая WooCf равен 61 — -1. На рис. VI. 14 сопоставляются профили скоростей на прони- цаемой пластине [расчет по уравнению (VI.133)] и на непроница- емой пластине. Как видно из рисунка, отсос жидкости из погра- ничного слоя делает профиль более заполненным. Автомодельное распределение скоростей вида (VI.133) практически устанавли- вается со значения продольной координаты х, определяемого по формуле WcT Woo wooX _ . ----- — 4. V 18' 275
Рис. VI.14. Распределение скоростей в пограничном слое на плоской пластине: 1 - асимптотический профиль скоростей при равномерном от- сасывании; 2 - профиль скоро- стей без отсасывания Относительный закон трения для рассматриваемых усло- вий, определенный из уравнений (VI.70), (VI.134) и (VI.135), име- ет вид ^ = (Cz/C/o) ** =2,28. (VI.136) Re Таким образом, закон трения при асимптотическом отсосе в координатах ф = /(&i) соответствует одной точке (i»i = —1, ф = 2,28). Следовательно, Cf \ __ WctV^-6i Cf0 / Rear W°° °’ 332 (VI.137) где bx Wqt 2 W°°CfoX Аналогичным образом можно получить автомодельное реше- ние для уравнения энергии. При условии дТ/дх = 0 уравнение энергии имеет вид дТ и д2Т WcT ду Рг ду2 (VI.138) Решение этого уравнения будет следующим: Т — Тст Т — Тст PtwctV = 1 - е » (VI.139) С учетом того, что gCT = -Л I ЗА I и St =--------—-----—г \ У / ст PooWooCp (Too - Тст) получаем St = — wCT/woo; ф3 = ф — 2,28. (VI.140) 276
В промежуточной области значений bi можно принять линейную зависимость для закона теплообмена, т.е. 0s = 1 — 1,28 bi. Таким образом, коэффициент теплоотдачи при асимптоти- ческом отсосе газа равен относительному расходу газа через по- верхность и увеличивается по сравнению с непроницаемой по- верхностью. Отсос газа из пограничного слоя используют для предотвращения отрыва пограничного слоя вследствие действия положительного градиента давления. Для многих прикладных задач представляют интерес слу- чаи вдува газа через поверхность теплообмена (испарение, суб- лимация, пористое охлаждение и т.п.). Определим те условия, при которых будут существовать ав- томодельные решения уравнений пограничного слоя. Для сте- пенного закона изменения скорости Wy = —dipldx\ = у/и х Woo /(т?); Woo=Cxm, (VI.141) откуда = = "№) f1^) VCU-CyC-) f^1. (VI.142) На стенке при 2/ = Ot7 = Ohwz = wct. Следовательно, wCT = -/(0) а/™-1)/2 Vc7, (VI.143) или Юет=-(^)ло)^=; (VI.144) \ z J y/WooXlv /(0) = - f —|r) — Re^- (VI.145) \ m + 1J Woo 277
Таким образом, для того чтобы функция /(0) не зависела от х, необходимо, чтобы вдув газа по длине изменялся в соответ- ствии с зависимостью wCT ~ a/™-1)/2. (VI.146) В частности, в окрестности лобовой точки (т =1), wCT = = const. При обтекании плоской пластины (т = 0) шст ~ l/v^- Решение уравнения энергии в виде (VI.75) справедливо и для рассматриваемых условий, только функцию /(»/) следует брать из расчета динамического пограничного слоя для проницаемой поверхности. Таблица VI.6. Значения Nu Rez'^2 в ламинарном погранич- ном слое (Тст, То, Woo - постоянные) при раз- личных значениях Ьх и числа Рг Ъх Рг 0,7 0,8 1,0 -7,500 1,850 2,097 2,59 —2, 250 0,722 0,797 0,945 -0,750 0,429 0,461 0,523 0 0,292 0,307 0,332 +0,750 0,166 0,166 0,165 +1,125 0,107 0,103 0,094 +1,500 0,052 0,046 0,036 +1,857 - - 0 Приведенные в табл. VI.6, VI.7 результаты расчетов тепло- вого пограничного слоя на проницаемой поверхности при раз- шст2 личных значениях параметра проницаемости Ьх = --——, где w^cfox CfOx 0,332 . „ — доказывают, что вдув газа в пограничный слой 2 у/л£х приводит к резкому снижению коэффициентов теплоотдачи. Для случая обтекания плоской пластины при параметре вдува Ьх = 278
_ з Wct наступает оттеснение пограничного слоя от стейки, и коэффициент теплоотдачи становится равным нулю. Таблица VI. 7. Значение комплекса NuRe^ в ламинарном пограничном слое (Тст, Too - постоянные, Рг = 0,7) при различных значениях Ьх я т Ъх тп -0,04175 -0,0036 0 0,0811 0,333 0,500 1,000 0,717 0,103 - - - - - - 0,750 - - 0,166 - - - - 1,000 - - - - 0,242 - - 1,125 - - 0,107 - - 0,259 - 1,500 - 0,0251 0,0152 - - - 0,293 1,554 - - - 0,087 - - - 1,674 - - - 0,109 - - - 2,001 - - - - 0,131 - - 3,000 - - - - - - 0,146 В случае вдува инородного газа к уравнениям движения, неразрывности и энергии следует добавить уравнение диффузии вдуваемого газа. Полная система уравнений сжимаемого двух- компонентного пограничного слоя имеет вид dwx dwx др д ( dwx\ 17 = - ai + (/* ST); д д дСх dCi д ( „ дСх\ ,,Wl__ + pWs__ = _^ дТ дТ PcpWx + Pcpwy = д (х дТ\ „ . дТ dCi ~д1\ д^) + р 1-2 (с₽1"с₽г) где Ci = pi/р - массовая доля вдуваемого газа; Pi-2 - коэффи- циент диффузии; pi - плотность вдуваемого газа. (VI.147) 279
Граничные условия будут следующими: wx = 0, Wy = wCT, Т = Тст при у — 0; Wj. = wx.. Т = Too, С\ = 0 при у = оо. Концентрацию вдуваемого газа на стенке можно определить из уравнения баланса массы на поверхности теплообмена, ко- торое для полупроницаемой стенки имеет вид РсТ^СТ — С1 РстЧПсТ —2 Рст дСЛ ду Ат (VI.148) Система дифференциальных уравнений (VI.147) решена для некоторых частных случаев. Так, Эккерт и Хартнет решили ее для случая обтекания пластины потоком несжимаемой жидкости с постоянными физическими свойствами. При этом предполага- лось, что свойства компонентов не зависят от давления и тем- пературы и мало отличаются между собой. Рис. VI.15. Развитие безраз- мерного профиля скорости в ламинарном пограничном слое в зависимости от пара- метра вдува На рис. VI.15, VI.16 представлены распределения скорости, температуры и концентрации в зависимости от параметра вдува —— уВ-ёх (при рст — Р<х>), который однозначно связан с ранее введенным фактором проницаемости стенки , <2-PcTWCT ~ Г, Pctwct /7Z их — — 3 у Кубх , Роо^оо^/од. Роо^оо (VI.149) где Cf0x/2 - 0,332/х/Rex . 280
Рис. VI.16. Безразмерные профили температуры 9 — Т-Т„ = ——=— и концентрации 1 — -t ст С1 -С1ст ip = —-—— в ламинарном Сю “ 01 ст пограничном слое для раз- личных параметров вдува и чисел Прандтля и Шмидта: сплошные линии - Рг—Sc=0,7; штриховые линии - Pr=Sc=l Анализ графиков, приведенных на рис. VI. 15 и VI. 16, пока- зывает, что с ростом значения параметра вдува пограничный WCT / 1 слои утолщается, а при достижении значении--у Rex = 0,619 Woo (что соответствует Ьх — Ькр ~ 1,86) происходит оттеснение по- граничного слоя от обтекаемой поверхности. На рис. VI.17 представлены результаты численных расчетов теплообмена на пластине, выполненные Бароном, при вдуве ге- лия и СОг в ламинарный пограничный слой воздуха. Там же на- несена кривая при вдуве однородного газа (кривая 1). Нетрудно заметить, что при вдуве “легких” газов эффективность тепловой защиты растет. Это обусловлено в основном влиянием удельной теплоемкости вдуваемого газа. Рис. VI.17. Теплообмен при ламинарном пограничном слое со вдувом и постоянной скоро- стью внешнего течения: 1.2- при постоянных физических свойствах и Рг, равном 1 и 0,7 со- ответственно, 5 - при переменных физических свойствах, вдуве СО? в поток воздуха, Рг=0,73 и Sc=l,04-, 4 - при переменных физических свойствах и вдуве Не в поток воз- духа, Рг=0,73 и Sc=0,23 281
Гросс, Хартнет и другие обобщили результаты численных решений уравнений ламинарного пограничного слоя на проница- емой пластине и предложили следующую формулу для расчета локального теплообмена: -^ = 1 - 1,82?^ <7ст0 PooWCK> где qCT о - тепловой поток на непроницаемой пластине при том же значении Rex; е - отношение молекулярных весов газа основного потока и вдуваемого газа. Физические константы, входящие в число Rex, подсчитыва- ют по определяющей температуре Топр = Too + о, 5 (Тст - Too) + 0,22 (Т*т - Too). С.С. Кутателадзе на основании анализа вышеприведенных зависимостей предложил более удобную формулу учета влияния вдува на относительный закон теплообмена при Re^ = idem: tps = (St/sto) ** = (1 - мЧ (VI.150)' Re у где St0 - число Стантона на непроницаемой поверхности при име*. ** — ющемся значении числа Re?; Ьт = Ьт/Ь^р - относительный фак-> Pctwct - тор проницаемости стенки; от =---тепловой парамет PooWpoStp; 1 / / Т \ ( Т* \ проницаемости; 6кр = 1,82 £ /1+0,51 -7^-1 1+0,221 ст 1 у \ J-oo / \-*оо —1/ Полученное выражение для относительного закона тепл обмена полупронипаемой пластины может быть использовав для расчета теплообмена полупроницаемой неизотермической п верхности слабой кривизны, обтекаемой дозвуковым потоком, этом случае интегральное уравнение энергии (VI.56) записывав в виде ** ** Re'р d^T /тгтче + vr “Ту" = St° + Ьт^ (VL15 (1Л. LA 1 йл 282
где tbs = tbr(l — ^r) , a Vr _ поправка на неизотермичность и сжимаемость (см. формулу (VI.30)). В общем случае при заданных функциях w оо и ДТ от безраз- мерной продольной координаты X поверхности, проницаемой по ** всей длине, решение уравнения энергии относительно Re^ имеет вид ** 1 Rer= АГ 0,44 Рг4^ X +bT]&TdX . (VI. 152) Расход охлаждающего газа определяем по формуле Уст — Рст^ст = Poo^oo^rStf). По найденным значениям числа Rer находим распределение чи- сла Sto по формуле (VI.86). Локальное число St определяем по формуле St = i/?T(l - frr)St0, а начальную температуру охлаждающего газа - по известному расходу: Т = Тст ~ Чст/(Ср Jcr). Если же задана температура стенки, как, например, при ис- парении жидкости или сублимации материала поверхности, то определению подлежит количество отводимого от этой поверх- ности пара. В этом случае расход пара находим из уравнения теплового баланса Чет — г Уст, где г - скрытая теплота испарения (сублимации). 283
Вводя, как и прежде, значения Ьт и St в последнее уравнение, получаем bT = fa/K, (VI.153) где К = г/(с₽стДТ) - число Кутателадзе. Решая совместно уравнения (VI.150) и (VI.153), находим %* параметр вдува Ьт, а затем по уравнению (VI. 152) - число Re^ и другие параметры. Если заданы параметры внешнего течения, температура стенки и начальная температура Т' охлаждающего газа, пода- ваемого через пористую стенку, то расход охлаждающего газа jCT также можно определить из балансового уравнения Уст ~ jcT Срст > где ДТ' = Тст - Т'. После введения Ьт и St получаем Ьт = ^s&T/AT'. (VI.154) Таким образом, сопоставляя выражения (VI.153) и (VI.154)^ делаем вывод, что для пластины условие Ьт = const равносильно» условию Тст — const. VI.2.8. Теплообмен при наличии химических реакций При наличии химических реакций в пограничном слое выра жение для теплового потока (без учета термо- и бародиффузии) согласно уравнению (VI. 127), имеет вид + (V1.15S [ср dy cpJ ду \ где ho = J}i+w^./2 - полная энтальпия торможения; ср = С,с i - так называемая “замороженная ” удельная теплоемкость смес: hj — hi — h* - полная энтальпия, включающая как тепловую, т; и химическую энергию. 284
Перепишем уравнение (VI.155) следующим образом: А Г<9Ло дС. Dicp ~Я--1" Р -\- ду А dCi ду . 52 I т.е. относительная величина тепловой энергии, передаваемой двумя механизмами, зависит как от соотношения химической и тепловой энергии, так и от значения числа Льюиса - Семенова Le = pD{ Ср/Х. v т 1 A dh0 Если число Le — 1, то — q = -—х— независимо от механиз- Ср ду ма теплообмена и скорости химичесих реакций в смеси. В этом случае дифференциальное уравнение энергии, записанное через полные энтальпии торможения, не содержит скорости образова- ния отдельных компонентов и имеет такой же вид, как и обычное уравнение энергии для нереагирующего газа. Следовательно, в этом случае тепловой поток q зависит в основном от разности полных энтальпий на стенке и в потоке и не зависит от того, где расположена зона химических реакций. Для большинства газо- вых смесей значение числа Le « 1, а переносные свойства слабо зависят от состава смеси, поэтому такое приближение оказыва- ется допустимым. Аналогичное упрощение задачи было впер- вые использовано Швабом и Зельдовичем при исследовании ла- минарного диффузионного пламени. Взаимодействие между потоком и материалом поверхно- сти. При взаимодействии потока газа с выгорающим материа- лом происходит одновременное протекание химических реакций в газовой фазе и реакций между твердой поверхностью и реа- гирующим пограничным слоем. Однако, как уже было отмече- но, даже в случае тройной аналогии, когда Le = Рг = Sc — 1, отсутствует подобие между распределениями концентрации ком- понентов реагирующей смеси. Введя полные концентрации для^элементов смеси, мы устра- нили это неудобство. Связь между С, и дается выражением = <VL156) к 285
где Ci - массовая доля г-го элемента; г,-* - массовая доля г-го элемента в Л-м компоненте; Ск - массовая доля к-го компонента. Так как С, — const, то d.C i = 0 = ^ri<kdCk. (VI. 157) к Рассмотрим течение около поверхности, материал которой интенсивно испаряется, при этом пары материала поверхности реагируют с нагретым пограничным слоем, состоящим из смеси молекул и атомов кислорода и азота. В этих условиях в погра- ничном слое одновременно могут протекать следующие реакции: Е + О^ЕО; Е + 2О<±ЕО2; E + N«±EN; 2Е + О2<±2ЕО; Е+О2«->ЕО2; 2E + N2?±2EN; О + О О2; N + N N2, где Е - химический элемент. В соответствии с равенством (VI. 156), для массовых долей О, N и Е можно записать С*е = Се + ге,ео Сео + ге,ео2 Сео2 + ^e,en Cen! C*n = C*N + Cn2 + Гк,bn Cen> (VI.158) Co = Co2 + To.EO Ceo + Fo,EO2 Ceo2- Используя соотношение (VI. 157), получим dCE — — ге.ео dCEo — ге,ео2 ^Сео2 — te.en ^Cen- (VI.159) Аналогичные равенства могут быть получены для осталь- ных массовых долей. Реакции, протекающие в пограничном слое, могут сопрово- ждаться либо выделением теплоты при образовании компонен- тов, либо поглощением теплоты при диссоциации. Изменение энтальпии во время реакции при р = const харак- теризуется тепловым эффектом реакции: AQP — — АН. 286
Запишем реакцию в форме т п У ai 52 &» , i i где а,, Ь{ - стехиометрические коэффициенты; А,, В, - символы химических элементов, тогда m п -&Н = £ a, НА. - £ b, Нв.. (VI.160) i i Здесь Нд. - молярная энтальпия химического элемента At. Введем понятие удельной энтальпии, определяемой равен- ством hAl — где /гА. - относительная молекулярная масса химического эле- мента А,. Удельный тепловой эффект реакции может быть получен из равенства (VI. 160) в следующем виде: л ДЯ Ду =-------= ai^Ai + Мах 1 / x=n ' t=m х + — ( 52 ^ai aihAi ~ 52 b<hBi) • (vi.i6i) Дд, \ / 1 4 г=2 i=l 7 Так, для реакции Е + О £ ЕО аБ = ао = аЕо = 1 и Д<3 во — ho 4---/хЕ ------Ueo h^o fJ-o fJ-o Помножим и разделим правую часть полученного равенства на Мео (относительную молекулярную массу ЕО) и, замечая, что, например, /^о/мео = ’’о.ео, найдем удельный тепловой эффект: AQeo = ho + ЛЕ - — ЛЕо- (VI. 162) ГО,ЕО ГЕ,ЕО 287
Аналогичным образом можно определить удельные тепловые эф- фекты остальных реакций. Теплоты диссоциации кислорода и азота соответственно равны: Д<Эо2 =2(/io-M; AQn2 = 2(/in-/in2). (VI.163) Тепловой поток при наличии химических реакций в лами- нарном пограничном слое при Le = 1. Составим уравнение те- плового баланса на реагирующей поверхности (рис. VI.18). Как было показано ранее, к поверхности теплота переносится путем теплопроводности и диффузии: Роа (Г^/оо ^оа О Граница пограничного слоя -9сг Уг (Р^у)сг^ст Поверхность раздела 4 4 4 4 4 4 твердое тело Твердый материал, спарякпцийся с поверхности Рис. VI.18. Схема тепловых пото- ков на реагирующей поверхности В то же время от по- верхности в погранич- ный слой уносится по- ток, энтальпия кото- рого (pWy)ст^СТ, со стороны стенки подво- дится поток, энтальпия Которого (pWjj)cT ^Ест, где /гст - полная энта- льпия смеси газов на поверхности, /iEcT - эн- тальпия материала стенки при температу- ре поверхности. Если пренебречь лучистым теплообменом, то получим выра- жение для суммарного теплового потока, проникающего в по- верхность, <}s — —<7ст — (р№у)ст^ст + (р^у)ст ^Ест • 288
Подставляя в это уравнение выражение для qCT, получаем qs = А \ , дС- l-2 - — I —— - ср/ dsHcT — (pWj/)cT Л'ст 4” ^Ест' (VI.164) Если число Le = 1, то Введем в выражение (VI.164), как и в случае проницаемой стенки, параметр вдува pCTwCT Q/p — ------—— Роо^оо St и скрытую теплоту испарения материала h$. Так, для реакции Етв Егаз ^Етв + ^1? = ^Егаз • Таким образом, при числе Le — 1 тепловой поток в стенку можно представить в следующем виде: Qs P<x>^tx St (foooo — her) H—~— -bTlhCT + bT1 (ZlEras “ ^1?) (VI.165) Согласно определению, разность энтальпий газовой смеси можно записать так: (^ОоС — ^ст) — £(^0°^ ~ ^ст^ст) = t _ 52 ^'•оо — ^»ст) + 52 ^»СТ (E'too ~ Е',ст). (VI. 166) 19-1005 289
Компонент Е присутствует только в пограничном слое (Сеоо — = 0), поэтому, объединив уравнения (VI.165) и (VI.166), получим 4s — P<XW<xSt < С|СХ> (Л400 ^1ст) + Wool‘^‘ + ^«ст [('too i t0E - (1 + GCT] + ^Ест ~ О + C*ECT] ~ }• (VI.167) Уравнение (VI.167) можно записать и через тепловые эффекты реакции, если использовать выражения типа (VI.162), (VI.163). Упростим уравнение (VI.167), используя граничные усло- вия. Как было показано в случае тройной аналогии (Le = = Sc = Рг = 1), дифференциальные уравнения энергии и диф- фузии пограничного слоя становятся одинаковыми при введении полной концентрации, откуда следует, что при подобии гранич- ных условий существует подобие в распределении полной энталь- пии торможения и концентраций. Например, для компонента О можно написать (Со - СОст)/(СОоо - СОст) = (ho - hCT)/(hOoo - Кст). (VI.168) На поверхности тела для любого компонента, кроме Е, сум- марный поток массы должен исчезать, т.е. диффузионный поток массы компонента должен быть равен конвективному потоку - / дС \ Рст^стС1ст - lpD1^2} =0, i ± Е. (VI.169) \ ОУ / ст Для элемента поверхности суммарный поток массы равен потоку вещества, испаряющегося с поверхности: pCTWCT — Рст^стСЕст pD\-2 -X— (VI. 170; Подставив выражение (VI. 168) в (VI. 169) и выполнив дифферен- цирование, получим Pctwct С 1с1 (^Осю ~ ^ст) \ 290
Вводя в это соотношение "параметр вдува bTi и число St, получа- С(ОО/С1ст = bT1 + 1, i/E, (VI.171) где ЬТ1 = рст^ст/Poo^ooSt. И, наконец, подставляя значение С,, определяемое соотно- шениями (VI.158), находим (Q+Q2)oo-(6T1 + 1)(Cj+CJ2)ct=: = (ЬТ1 + 1) (г7)Е> Се> + Tj)E>2 Се>2)ст, (VI.172) где j = О, N; j2 = О2, N2. Аналогичное соотношение можно получить и для компонен- та Е. С учетом того, что на внешней границе пограничного слоя СЕоо = 0, уравнение (VI. 170) принимает вид = 4/^ + 1)- (VI.173) Используя соотношения (VI.162), (VI.163) и (VI.172), (VI. 173), уравнение (VI. 167) можно преобразовать к виду 4 s — Роо ^ОО St / ' C*too (^too ^1Ст)+^Сю/24" sj_______' 2 ' 1 Т ^.700 ~ (^Tj + 1) (С j ~ rj,v.j C*Ej )ст] AQEj — 2=0,N, 3 ' £ [Q2oo-(4 + 1)CJ2CT] AQ>2CT-&T1/iA (VI.174) j2—о2, N2 - _ . . 4~T~' 4 5 В ггом выражении для простоты не рассматриваются реакции, приводящие к образованию диоксидов, так как при высоких тем- пературах поверхности концентрации Е?2 очень малы. Это урав- нение, полученное в предположении, что Le = Sc = Рг = 1, по- зволяет выделить различные факторы, влияющие на теплообмен при наличии химических реакций в пограничном слое. Так, первый член уравнения (VI. 174) учитывает перенос те- плоты путем теплопроводности; второй - диссипацию в погра- ничном слое; третий - теплоту, выделяющуюся при образовании 19* 291
компонентов в химической реакции, четвертый - поглощение те- плоты при диссоциации компонентов; пятый - поглощение те- плоты вследствие испарения поверхности (сублимации). Таким образом, уменьшение скорости образования компо- нентов, увеличение скорости диссоциации и возгонки приводят к значительному уменьшению теплоотдачи к поверхности. Анализ полученного для теплового потока выражения (VI. 174) показывает, что если известны граничные условия, то при принятых допущениях можно вычислить значение теплово- го потока, не учитывая при этом явления, происходящие в по- граничном слое. Однако следует иметь в виду, что величина qs зависит в неявной форме от процессов, происходящих в погра- ничном слое, через число St. Для определения значения числа Стантона, входящего в уравнение (VI.174), необходимо решить интегральное соотношение энергии для конкретных граничных условий. Расчет конвективного теплообмена на химически реагиру- ющей поверхности. При числе Le = 1 и независимости перенос- ных свойств от состава смеси тепловой поток мало зависит от того, где расположена зона химических реакций. Следовательно, можно предположить, что химические реак- ции протекают только непосредственно у поверхности тела. В этом случае состав газовой смеси в поперечном сечении погра- ничного слоя определяется только процессами конвекции и диф- фузии продуктов реакции и реагирующих веществ. Такой погра- ничный слой называется “замороженным”. Таким образом, расчет теплообмена при наличии химиче- ских реакций в предположении “замороженного” пограничного слоя принципиально не должен отличаться от аналогичного рас- чета теплообмена на полунепроницаемой поверхности. В этом случае справедливы и законы теплообмена (VI.130), (VI.150), учитывающие влияние неизотермичности и поперечного потока вещества. Интегральное уравнение энергии для случая обтекания сжи- маемым реагирующим газом неизотермической поверхности име- ет вид 292
_ ~^ + Re*b = Rei Sto(^s + M, (VI.175) где ф3 = 'фт (1 ~ 6т)4^- Решение этого дифференциального уравнения с учетом ло- кального числа Стантона О 22 st = —(VL176) Refc Рг А имеет вид ** If 0,44 Re д — — < , Reooo h0 IРгA X x У и (1 - и2/*"1)/* (1 - Аг)4А + ДЛ0 dX}1^. (VI.177) о Интенсивность выгорания поверхности определяется из выраже- ния Уст — ^Р^У^ст: ~ P<xw<x> hr^St. (VI.178) Параметр вдува Ьуг, как было показано ранее, может быть опре- делен расчетом равновесного состава по уравнению, аналогично- му (VI.173). Суммарный тепловой поток, проникающий к поверхности, подсчитывается по уравнению (VI.174). Рассмотренный здесь метод расчета теплообмена при нали- чии химических реакций применим также и к расчету турбулент- ного пограничного слоя, если в уравнение (VI.175) подставить соответствующее выражение для закона теплообмена, справед- ливого для турбулентного пограничного слоя, В уравнениях (VI.177), (VL178) температура поверхности теплообмена должна быть заданной величиной. Однако во мно- гих случаях она является искомым параметром и определяется 293
не только химическими реакциями на поверхности тела и интен- сивностью теплообмена с набегающим потоком газа, но и интен- сивностью отвода теплоты в твердое тело. В некоторых случаях отводом теплоты внутрь тела мож- но пренебречь (например, при сублимации углерода), и тогда температура поверхности определяется из уравнения (VI.174) в предположении qs = 0. В другом предельном случае можно принять, что скорость возгонки принимает стационарное значение, и сублимирующий материал прогревается от некоторой начальной температуры Тн до температуры поверхности Тст, т.е. Тст qs — Рст^ст j се dT — Рсл^ст се (Тст Th)- (VI.179) Тн Из уравнения (VI.174) с учетом (VI.179) следует Ьт1се (Тст — Тн) — — bTlh#. (VI. 180) Здесь се - теплоемкость материала стенки; ДМ = 52 С«°о (hi°° - + woo/2 + • (VI.18L) i Отсюда находим Тст = Тн + ДЛэф/(^Т1 сд) — hfl/cE- (VI.182) Решить уравнения (VI.181), (VI.182) следует методом после- довательных приближений или графическим методом. В этом случае уравнение (VI. 180) удобно записать так: &Ti [cs (Тст — Тд) + h$] = Д/г.Эф. (VI.183) Левая и правая части уравнения (VI.183) зависят от темпера- туры поверхности; пересечение кривых, выражающих зависимо- сти, дает искомое значение температуры поверхности. 294
VI.3. Вынужденная конвекция при турбулентном течении жидкости VI.3.1. Возникновение турбулентного течения Как впервые установил О. Рейнольдс, изучая движение во- ды в круглых цилиндрических трубах, следует различать два режима течения жидкости: ламинарный и турбулентный. При ламинарном (слоистом) течении частицы жидкости движутся по вполне определенным траекториям. При этом, как показал приведенный выше анализ результатов решения, общие закономерности ламинарного течения жидкости хорошо описы- ваются уравнениями Навье - Стокса. Однако при определенных условиях с возрастанием скоро- сти ламинарное движение теряет свою устойчивость, при этом начальные возмущения, развиваясь, приводят к новой форме дви- жения, представляющей собой хаотическое движение масс жид- кости. Процессы возникновения и развития такого рода движе- ния носят случайный характер и требуют для своего изучения статистического подхода. Эта широко распространенная в при- роде форма движения носит название турбулентного течения. О. Рейнольдс показал, что переход от одного режима тече- ния к другому происходит при определенном значении числа Re. Так, на основании многочисленных опытов было установлено, что течение жидкости в круглых трубах всегда носит ламинар- ный характер, если Re < 2300, где Re = wd/u. При этом течение является устойчивым по отношению к лю- бым возмущениям. Указанное значение числа Re называется критическим числом Рейнольдса ReKp и определяет нижнюю гра- ницу перехода ламинарного течения в турбулентное. В опытах не удалось получить определенного значения Re для верхней гра- ницы, так как эта граница путем создания специальных искус- ственных условий (плавного входа, гладкой поверхности и т.п.) многократно отодвигалась вплоть до Re — 5 • 104. В переходной области ReKp < Re < 5 • 104 течение является неустойчивым и любое, даже весьма малое, возмущение приво- дит к возникновению турбулентного режима. 295
Тщательное исследование движения жидкости в трубах при Re ~ ReKp показало, что в одном и том же сечении трубы про- исходит чередование ламинарного и турбулентного режимов те- чения. Это явление носит название перемежаемости. Причина перемежаемости заключается в том, что турбулентность заро- ждается в дискретных областях потока в виде пробок, протяжен- ность которых зависит от числа Re. В качестве количественной меры перемежаемости служит коэффициент перемежаемости 7, показывающий, какую долю некоторого промежутка времени в определенном месте трубы существует турбулентное течение. Рис. VI.19. Диаграмма пульсаций продольной составляющей скорости в переходной области течения в пограничном слое на пластине: а - ламинарное течение; б - турбулентное течение; у = 0,4 мм - верхняя кривая; у --- 2, 1 мм - нижняя кривая На рис. VI.19 приведены диаграммы пульсации продольной составляющей скорости в переходной области (Rer = 2 106, сте- пень турбулентности внешнего потока е = 0,0025) для точек, лежащих внутри пограничного слоя. На диаграммах отчетливо различимы чередующиеся области турбулентного и ламинарного' течения. Переходные явления в пограничном слое кроме числа Re и степени турбулентности внешнего потока б зависят еще г от таких факторов, как изменение давления на внешней границей пограничного слоя, состояние поверхности, наличие поперечного^ потока вещества, сжимаемость и неизотермичность потока. Так, на пластинке с острой передней кромкой, обдуваемо! потоком воздуха, переход ламинарной формы течения в турбу- лентную в пограничном слое происходит на расстоянии х от пе- редней кромки, определяемом из равенства ReKp = («оог/^оо)кр = 0,35... 2,8- 106. (VI.184J 296
Рис. VI.20. Влияние сте- пени турбулентности с на ReIxp для плоской пласти- ны, обтекаемой в продоль- ном направлении (по дан- ным Шубауэра и Скрем- стеда): 1 ламинарное течение; 2 - турбулентное течение Значение ReKp зависит от начальной степени турбулентно- сти набегающего потока. На рис. VI.20 представлены результа- ты измерений Шубауэра и Скремстеда. Из графиков следует, что при уменьшении степени турбулентности значение числа ReKp сначала возрастает, а затем, достигнув значения ReKp = 2,8 • 106 при г = 0,0008, сохраняется постоянным при дальнейшем умень- шении степени турбулентности. Это означает, что для критиче- ского числа ReKp на продольно обтекаемой пластине существует верхняя граница. На значение ReKp также существенно влияет и изменение давления на внешней границе пограничного слоя. Так, при кон- фузорном течении критическое значение числа Re больше, а при диффузорном - значительно меньше, чем при обтекании пласти- ны. Поэтому на конфузорном участке пограничного слоя, где поток на внешней границе пограничного слоя ускоряется, пере- ход к турбулентной форме течения затягивается, смещаясь вниз по потоку, а на диффузорном, наоборот, возникает раньше. VI.3.2. Уравнения турбулентного пограничного слоя Дифференциальные уравнения движения, неразрывности, энергии и диффузии для осредненного движения в турбулент- ном пограничном слое сжимаемой жидкости можно получить пу- тем сравнительной оценки членов, входящих в дифференциаль- ные уравнения системы (VI.68), (VI.73), (VI.75). Сохранив в ука- занных уравнениях наибольшие члены одного и того же порядка, 297
получим следующую систему уравнений установившегося плос- кого несжимаемого турбулентного пограничного слоя: _ dwx _ dwx др д ( dwx А -/>»,»; ( _ дТ _ дт\ с” Vго' +а?) = д (. дТ ——А _ др (dwx\2 fvi = — I А --pcp vyQ ] + wx-^~ + pl -7— ) ; (VI-185) ду \ ду г и j dx \ dy j dC _ дС d ( dC —^\ pmz — + pw,J-^-ypD^-pv,C у dwx dwy dx dy Интегральные уравнения движения, энергии и диффузии турбулентного пограничного слоя выводятся из уравнений (VI.185) точно так же, как и в случае ламинарного слоя, и имеют тот же вид:* __** dRe dX~ ** dRe j1 dX dRe*D dX + fReL(l + H^ReL^^ + b')- Re j-" dAT АТ Rep dAC АС ,v = &eZ St0 (j$s + 6т); aX +bD). (LX (VI.186) Однако, как будет показано ниже, в отличие от ламинарного пограничного слоя законы сопротивления, теплообмена и массо- обмена не могут быть получены аналитически путем решения системы дифференциальных уравнений (VI. 185), так как эта си- стема является незамкнутой. * Эти уравнения также можно получить, рассматривая баланс количе- ства движения, энергии и вещества для элементарного объема жидкости. 298
VI.3.3. Турбулентное касательное напряжение, тепловой и диффузионный потоки Сопоставляя дифференциальные уравнения ламинарного по- граничного слоя с полученными для осредненных величин урав- нениями турбулентного пограничного слоя, нетрудно заметить, что в турбулентном пограничном слое возникают дополнитель- ные турбулентные напряжения трения, тепловой и диффузион- ный потоки, определяемые соотношениями ТТ = -pvxUy, qT = -pcpVyQ, jT = -pVyC1. (VI.187) Таким образом, под воздействием турбулентности в погра- ничном слое возникают дополнительное турбулентное напряже- ние сдвига, а также тепловой и массовый потоки. Физически это означает, что турбулентное хаотическое движение масс жидко- сти создает дополнительное сопротивление течению жидкости в продольном направлении и одновременно интенсифицирует про- цессы тепло- и массопереноса. Так, например, в турбулентном пограничном слое касательные напряжения Рейнольдса на 2 - 3 порядка превышают напряжения, возникающие под действием сил вязкости. Как отмечалось выше, система уравнений турбулентного пограничного слоя вследствие нелинейности уравнений Навье - Стокса является незамкнутой, поэтому, для того чтобы рассчи- тать турбулентный пограничный слой, необходимо связать с по- мощью тех или иных гипотез турбулентные напряжение трения, тепло- и массоперенос с осредненными полями скорости, темпе- ратуры и концентрации. В этой связи, для понимания механизмов процессов тур- булентного переноса и возможности их моделирования большое значение имеет экспериментальное исследование пульсационной структуры турбулентных течений. VI.3-4- Некоторые результаты экспериментального исследования турбулентного пограничного слоя Благодаря появлению промышленных термоанемометров, использующих в качестве датчика тонкую нагретую нить, а так- же лазерных доплеровских анемометров появилась возможность 299
непосредственного измерения мгновенных значений составляю- щих, скорости и температуры, а следовательно, и их корреля- ций, т.е. турбулентных напряжений р vxvy и тепловых потоков РС-р VyQ • На рис. VI.21, а показаны распределения средней скорости, среднеквадратичных составляющих скорости и турбулентных напряжений сдвига, а на рис. VI.21, б - средней температуры, среднеквадратичных значений пульсаций температуры и турбу- лентного теплового потока в сечении пограничного слоя, разви- вающегося на пластине в условиях безградиентного обтекания. Анализируя представленные распределения, легко видеть, что в турбулентном пограничном слое профили скорости и тем- пературы более заполнены, чем в ламинарном пограничном слое. Среднеквадратичные значения продольной составляющей пуль- сации скорости и температуры достигают максимума в непосред- ственной близости от стенки. Турбулентное касательное напря- жение трения сохраняет постоянное значение в логарифмической области пограничного слоя, а затем монотонно уменьшается до нулевого значения на внешней границе пограничного слоя. Прак- тически такой же характер имеет распределение турбулентно- го теплового потока. Измерения в пристенной области турбу- лентного пограничного слоя показали (рис. VI.22), что в непо- средственной близости от стенки пульсации скорости, а также турбулентное касательное напряжение быстро уменьшаются под влиянием вязкости, стремясь к нулю на стенке. Таким образом, в соответствии с полученными эксперимен- тальными результатами турбулентный пограничный слой можно разбить на три области (см. рис. VI.22): область, где ощущается влияние молекулярной вязкости, включающую область вязкого подслоя I и переходную область И, область полностью турбулент- ного течения III, где еще ощущается влияние стенки, и внешнюю область турбулентного пограничного слоя IV, характеризующу- юся явлением перемежаемости. В более поздних исследованиях было обнаружено, что осо- бенно важную роль в процессе генерации энергии турбулентно- сти играет переходная область, где течение также носит переме- жающийся характер, а генерация энергии турбулентности обу- словлена регулярными выбросами массы жидкости из области 300
Рис. VI.21. Распределение средних и пульсационных гидроди- намических (я) и тепловых (б) характеристик турбулентности в сечении пограничного слоя (dp/dr = 0) (точки - опытные данные МГТУ им. Н.Э. Баумана) вязкого подслоя с их последующим разрушением. Было также показано, что в полностью турбулентной области течения гене- рация энергии турбулентности уравновешивается скоростью ее 301
Рис. VI.22. Профили средней скорости, турбулентных каса- тельных напряжений и пульсаций продольной составляющей скорости в координатах стенки (<р = wx/vt, у — yv»/v, и. — ^/-ГсТ//>; точки - опытные данные МГТУ им. Н.Э. Баумана) диссипации, т.е. в этой области турбулентность находится в со- стоянии локального энергетического равновесия. VI.3.5. Полуэмпирические теории турбулентного переноса Как отмечалось ранее, дополнительно возникающие турбу- лентные напряжения сдвига и тепловые потоки могут быть най- дены путем решения дифференциальных уравнений турбулент- ного пограничного слоя, составленных для осредненных вели- чин, поэтому давно встал вопрос о необходимости выработки гипотез, не связанных с уравнениями осредненного турбулент- ного течения. Эти гипотезы, позволяющие с достаточной для инженерной практики точностью решать задачи турбулентного пограничного слоя, лежат в основе специального направления в теории турбулентности - так называемой полуэмпирической те- ории турбулентности. Эти гипотезы связывают турбулентные напряжения сдвига и турбулентные тепловые потоки с характе- ристиками осредненных турбулентных полей. 302
Гипотеза Буссинеска Для турбулентного напряжения сдвига такая гипотеза бы- ла высказана Буссинеском, предложившим определять турбу- лентное напряжение сдвига с помощью выражения, аналогичного формуле Ньютона: dwx Тт — —pVxVy — fiT ду у (VI.188) где рг - турбулентная (кажущаяся) вязкость. Гипотеза Буссинеска нашла широкое применение в расчетах двумерных турбулентных пристенных течений. Вместе с тем введение турбулентной вязкости gT не реша- ет полностью проблему замыкания уравнений турбулентного по- граничного слоя, так как в отличие от динамической вязкости турбулентная вязкость не является физическим параметром, а представляет собой некоторую локальную характеристику тур- булентного течения. Теория длины пути смешения На связь между турбулентной вязкостью и полем осреднен- ной скорости (VI.66) впервые указал Л. Прандтль. В основе тео- рии пути смешения Прандтля лежит аналогия между движением турбулентных образований (молей) и молекулярным движением. Л. Прандтль предположил, что в турбулентном течении суще- ствует характерная длина, аналогичная длине свободного про- бега молекулы в кинетической теории газов, т.е. расстояние, на котором “комок” жидкости при своем движении не взаимодей- ствует с жидкостью, а следовательно, сохраняет свои консерва- тивные свойства. Согласно Прандтлю, пульсации скорости в плоскопарал- лельном течении в точке с ординатой у (рис. VI.23) обусловлены перемещением молей с верхнего или нижнего уровня с ордина- тами у 4- I и у — I соответственно. Таким образом, продольные флуктуации скорости в первом приближении можно представить в виде 303
. dwx uzl = wx{y + I) - wx(y) ~ I ——; dy vX2 = ™X(y) ~ wx(y -l)~l ay если разложить профиль скорости в ряд Тейлора и ограничиться первым членом ряда. (VI.189) 7////////////////////////^///////^. Рис. VI.23. длины пути *x(V К пояснению понятия смешения В соответствии с за- коном сохранения массы, отношение значения попе- речных пульсаций скоро- сти должны быть того, же порядка. Из уравнения не- разрывности (VI.6) также следует, что если vx > О, то vy < 0 и наоборот, так что произведение vxVy должно быть всегда отри- цательным. Имея это в виду, запишем выражение для корреля- ции vxVy в следующем виде: vxvy = -г |иж| |ду|, (VI.190) ~ 4.к У где г - коэффициент одноточечной корреляции продольных и по- перечных пульсаций скорости. Таким образом, с учетом выражений (VI.188) и (VI.190) для турбулентного напряжения сдвига получим формулу Прандтля ---------- /2 fdwx\ Тт - -pvxVy = pl I I (VI.191) Этому выражению правильнее придать следующий вид: гт = р/2 dwx dy (VI.192) так как знак тт определяется знаком производной. 304
В выражениях (VL192) содержится длина пути смешения I, которая, как и все характеристики турбулентности, должна изменяться в сечении пограничного слоя. Рассматривая плоское турбулентное течение несжимаемой жидкости и имея в виду, что на стенке турбулентное напряже- ние сдвига равно нулю, Прандтль предположил, что в пристен- ной области пограничного слоя длина пути смешения пропорци- ональна расстоянию от стенки: / = азу, (VI.193) где зе - некоторая универсальная константа. С учетом зависимости (VI. 193) уравнение (VI. 192) для при- стенной области турбулентного пограничного слоя принимает вид 2 2 гт ~ рае у dwx dy (VI. 194) Принятая Прандтлем схема, как выяснилось в дальнейшем, не является физически обоснованной, так как в действительно- сти в турбулентном потоке перенос импульса осуществляется спектром пульсаций. Однако эта гипотеза оказалась весьма эф- фективной при расчете параметров турбулентного пограничного слоя. Масштабное расстояние I можно определить и другим спо- собом. Например, отношение первой производной ко второй про- изводной осредненной скорости по координате дает некоторую характерную длину скоростного поля. Таким образом, прини- мая _ _ dwx / Э2год 331 ду / ду2 (VI.195) получаем (VI.196) Знак минус в выражении (VI.195) необходим для того, чтобы вблизи стенки было I > 0, где, как правило, dwx/dy > 0, а 20-1005 305
d2wx/dy2 < 0. Формула (VI.196) впервые была предложена Карманом. Перенос теплоты и массы В плоском турбулентном потоке несжимаемой жидкости выражения для потока теплоты и массы, вызываемого турбу- лентным перемешиванием, имеют вид 9т = —pcpVy©, jT = — р VyC. Это означает, что пульсации vy переносят теплоту и массу в направлении, перпендикулярном основному течению. Поэтому по аналогии с процессами переноса импульса можно полагать 0 ~ 1Т дТ/ду, С ~ lD дС/ду, а это приводит к гипотезе, аналогичной гипотезе Прандтля для переноса импульса: dwx dT dwx dC . 9т = pcplTl—— —- = plDl-j— (VI.197)l dy dy dy dy где lT, lD - некоторые линейные масштабы, в общем случае н равные I. Вводя коэффициенты турбулентной теплопроводности Ат диффузии DT, потоки теплоты и массы можно записать по ан логии с выражением (VI.188) в виде qT = —Ат dT/dy, jT = pDT dC/dy. В основе теории турбулентного переноса лежит идея о то: что одни и те же жидкие объемы, или “комки” жидкости одн временно переносят количество движения, теплоты и другие су станции. При этом можно предположить, что в данном случ: коэффициенты переноса должны быть равны между собой. Э' возможно, если в процессе переноса “комки” жидкости не вза модействуют с окружающей средой. В действительности это 1 зов
так: “комки” при своем перемещении взаимодействуют со сре- дой, относительно которой они перемещаются. При этом разли- чие в коэффициентах переноса обусловливается спецификой мо- лекулярного взаимодействия (динамического, теплового и т.п.) носителя со средой. Поэтому, как и в случае ламинарного течения, связь между механизмами турбулентного переноса количества движения, те- плоты и массы характеризуется турбулентными числами Ргт и ScT: _ СрЦт ГГТ — — , ScT Мт pDT Экспериментальные исследования процессов турбулентного переноса теплоты и импульса в последние годы показали, что распределение числа Ргт в сечении пограничного слоя носит сложный характер и зависит как от гидродинамических, так и от тепловых граничных условий (рис. VI.24). пограничного слоя: dp/dx =; 0 (тепловая завеса); 2 dp/dx — О (?ст — const); 3- dp/dx >> 0; 4 - dp/dx «С 0, 6 — 0 20' 307
Вместе с тем анализ имеющихся экспериментальных дан- ных, полученных различными авторами, свидетельствует о том, что в пограничном слое на пластине с постоянной температурой поверхности в условиях безградиентного обтекания все же суще- ствует универсальная зависимость для Ргт в турбулентном ядре течения, где число Ргт принимает постоянное значение, равное 0,9. Поэтому в первом приближении при расчете пристенной тур- булентности можно полагать число Ргт постоянным и равным 0,9. Этот результат, как будет показано ниже, может быть так- же получен из анализа логарифмических профилей скорости и температуры, характерных для пристенной части турбулентно- го пограничного слоя. Однопараметрические модели Наряду с полуэмпирическими моделями турбулентности су- ществуют модели, в которых в дополнение к осредненной во вре- мени системе уравнений движения и энергии в форме Рейнольдса с целью ее замыкания используют дифференциальные уравнения для расчета характеристик турбулентности. Если модель тур- булентности содержит одно такое уравнение, то ее называют од- нопараметрической. Как уже упоминалось, модель длины пути смешения предпо- лагает уменьшение турбулентной вязкости с уменьшением гра- диента средней скорости движения. Можно привести большое число примеров, когда в действительности имеет место совер- шенно противоположная картина. Достаточно рассмотреть ха- рактер турбулентного течения за уступом, чтобы убедиться, что в области присоединения скачка уплотнения, несмотря на не- большой градиент средней скорости, а следовательно и малую* турбулентную вязкость, на практике имеет место наибольшая скорость теплообмена. Это объясняется интенсивными пуль- сациями скорости в этой турбулизируемой скачком уплотнения области. Поэтому, чтобы получить более реальную картину, не- обходимо принимать во внимание конвективный перенос энергии^ пульсационными составляющими скорости. Л. Прандтль и А.Н. Колмогоров независимо друг от друга предложили в модели пути длины смешения рассматривать I 308
как масштаб энергосодержащих вихрей, которые переносят мак- симум энергии пульсаций, а скорость турбулентных пульсаций считать пропорциональной кинетической энергии турбулентных — /== — + ®z пульсаций К в степени 1/2, т.е. vT ~ VK , где К =-------. Энергию К при этом следует определять из уравнения для кине- тической энергии турбулентных пульсаций. Несмотря на то, что существует связь между длиной пути смешения и масштабом энергосодержащих вихрей, или масшта- бом турбулентности, при последующем изложении будем обозна- чать I через L. Уравнение для К получается из уравнений Рейнольдса умно- жением каждого из них на пульсацию скорости, действующей в данном направлении, последующего их осреднения и сложения. Для пограничного слоя при замене изотропной диссипации на истинную получим следующее уравнение: _ М У' ( dvk dvi \ 2 \ дх, дх%/ где р1 - пульсация давления. Физический смысл уравнения заключается в том, что ско- рость конвективного переноса кинетической энергии турбулент- ных пульсаций вдоль линии тока определяется диффузией, обу- словленной турбулентным перемешиванием пульсационных со- ставляющих скорости и корреляцией давление - скорость, гене- рацией турбулентности, определяемой произведением рейнольд- совых напряжений и градиентом осредненной скорости движе- ния. В результате чего осуществляется передача энергии от осредненного течения к пульсирующему. К этим слагаемым до- бавляется член, характеризующий не только диссипацию энер- гии, подведенную к пульсирующему течению, но и диффузию энергии в процессе распада крупномасштабных вихрей на мел- комасштабные. 309
В уравнении для К имеются дополнительные неизвестные члены, и система уравнений Рейнольдса в совокупности с урав- нением кинетической энергии турбулентных пульсаций являет- ся незамкнутой. Чтобы ее решить, необходимо выразить неиз- вестные члены через определяющие параметры для осредненно- го течения, т.е. провести моделирование этих членов с учетом имеющихся данных. Предположим, что процесс турбулентной диффузии протекает аналогично молекулярной диффузии, так что скорость переноса энергии турбулентности пропорциональна градиенту К, турбулентной вязкости и обратно пропорциональна турбулентному числу Прандтля. Диффузионный член — (pvyK' + p'vy) представим в виде про- изведения: ак дк СрК ~д^ ~ (^т/стк) а? уже выражением где С - некоторая константа; <тц - параметр, аналогичный кри- терию Прандтля. Турбулентное напряжение —р vxvy моделируется известным /dwx\2 ит —— I , а диссипативныи член \ ду J —-— при достаточно больших значениях Li 2 = СД •J 4 3' ReT = \Гк 1/и С учетом тической энергии турбулентных пульсаций примет вид (здесь Сд - константа диссипации), проведенного моделирования уравнение для кин< dk _ a ак\ (dwx\2 рк3/2 Р Dt ду \<?к ду / \ ду ) а L Вблизи стенки в логарифмической области пограничного слоя конвекция и диффузия незначительны. Умножив первый член _1ь J уравнения на р,т, а второй на рт = рК L, получаем уравнения баланса производства и диссипации кинетической энергии (м<М дель локального равновесия): i 310
откуда г2 = ,4(^у = сдр2к2, СдЛ=г/рК, т - С~1^оТ2 (^х\2 т ~Сд р \ду ) ' Экспериментально установлено, что связь между касатель- ным напряжением т и энергией К в пристенных потоках лежит в пределах 0,25 ... 0,3, откуда получаем Сд = 0,08. Измерения профиля средней скорости вблизи стенки пока- зали, что градиент этой величины изменяется с расстоянием от стенки по закону dwx _ у/т/р ду геу Подставив это выражение в зависимость для г, получаем 1л зеу, откуда видно, что масштаб турбулентности L меня- ется по линейному закону относительно у, что характерно и для длины пути смешения I. Вместе с тем Г.С. Глушко показал, что по мере удаления от стенки характер изменения L существенно отличается от поведения I. С целью проверки точности представления диффузионного и диссипативного членов Гонжалик и Лаундер рассчитали их по замерам в асимметричном потоке в канале, образованном двумя параллельными пластинами, одна из которых была гладкой, а вторая - шероховатой. Результаты показали хорошее совпадение с теоретическими данными и позволили несколько уточнить зна- чения сгк и Сд. Было рекомендовано считать их равными <тк = 1 и Сд = 0,07. В непосредственной близости к стенке вязкость ламинарного подслоя уже нельзя игнорировать. Вязкостная диффузия стано- » - « - вится существенной и ее необходимо учитывать величиной и——. _ дУ оолфштейн установил, что при низких числах Рейнольдса це- лесообразно рассматривать два масштаба турбулентности: один 311
для вязкостного члена Ьц, другой для диссипативного члена Ья, и предложил следующие формулы для их расчета: 1ц = у[1 -exp(-AMReT)], La = У [I ~ ехр(-4д ReT)], где Ац - постоянная, равная 0,016; ReT = ру/К у/р\ Ая - посто- янная, равная 0,263. Профиль изменения L по форме близок к профилю изменения длины смешения по Ван Дристу. Зависимости для Ьц и La используются и в многопараме- трических моделях для расчета характеристик турбулентности. Двухпараметрические модели Двухпараметрические модели на основе уравнений Рейно- льдса содержат уже два дифференциальных уравнения для ха- рактеристик турбулентности, поэтому они имеют более широкие возможности и большую универсальность по сравнению с одно- параметрическими. Обозначим через z любую характеристику турбулентности и представим ее в виде z = К 1п, где тип- константы. Произведение пульсаций — z'vy будем считать пропорциональ- ным уК/ ду. Представив уравнение для К в виде Д>К _ д (— р,Т /дмх\1 р2К Р Dt ~ ду \о-к ду) + К \ ду ) Л рт запишем по аналогии с ним обобщенное уравнение для характе- ристики турбулентности z, как это было сделано для уравнений конвективного теплообмена Dz _ д /Мт dz Р Dt ду ду Гг Мт (dwx\2 р2К' L К \ ду J мт Z) где oz, Ci,C2~ постоянные величины; Sz - “источниковый” член. 1 Полагая различные значения z, Колмогоровым (7 = л/К^//),| Джонсоном и Лаундером (z = К ' /7), Роттой, Ню и Сполдингом 1 312
(z = К I) и другими были разработаны разнообразные двухпара- метрические модели турбулентности. Первым уравнением в многопараметрических моделях, как правило, является уже известное уравнение для кинетической энергии турбулентных пульсаций. В качестве второго наибо- лее широкое распространение получило уравнение Сполдинга и Лаундера для скорости диссипации энергии турбулентных пуль- —3/2 саций £ = К /I. Это уравнение было получено таким же спо- собом, как и уравнение для К. Независимой переменной в него входит теперь диссипативный член, подлежащий определению. Модельная форма этого уравнения имеет вид Рё _ д / i/T\ дё £ /dwx\2 Ё2 Dt ду \ + (те) ду + £т К \ ду ) 62 К ’ где г/т = СцК2 /е, Сц = 0,09; <т6 = 1,3; С£1 = 1,44; Се2 = 1,92 - эмпирические константы. В такой форме это уравнение используется для расчета ре- циркуляционных турбулентных пристенных течений при боль- ших числах Re и в некоторых других случаях. VI.3.6. Распределение скоростей, температур и концентраций в пристенной части плоского турбулентного пограничного слоя Эмпирические законы Прандтля (VI. 194) и Кармана (VI. 196) позволяют получить законы распределения скоростей в турбулентном пограничном слое. В основе современных представлений о структуре турбу- лентного пограничного слоя, как было замечено ранее (см. рис. VI.22), лежит деление пограничного слоя на три области, отличающиеся характером течения жидкости. В непосредственной близости от стенки существует область вязкого подслоя толщиной порядка 1 % от общей толщины слоя, в которой основную роль играют процессы молекулярного пере- носа. Вязкий подслой соединен с полностью развитой частью турбулентного пограничного слоя переходной областью течения, 313
где ламинарное напряжение трения соизмеримо с турбулентным. В полностью развитой области турбулентного пограничного слоя турбулентное трение имеет решающее значение. Полное напряжение трения в турбулентном пограничном слое, согласно уравнению движения, может быть представлено в виде dwx Т = р —----1- Тт. dy Подставив в это выражение значение гт, определяемое ра- венством (VI. 162), получим г = (VI.198) dy \ dy J В области вязкого подслоя (0 < у < уо) т — pdwx/dy. (VI.199) Представим соотношения (VI.198) и (VI.199) в безразмерной форме: ср = wx/v*; т] = v*y/v. (VI.200) Здесь = у/тсг/р (VI.201) так называемая динамическая скорость (“скорость трения”). Имея в виду соотношения (VI.200) и (VI.201), перепишем уравнения для касательных напряжений (при dp/dx = 0): dcp/dr] — r/rCT = 0 (VI.202) - для вязкого подслоя и + f жт/ - — = о (VI.203) \ dr] J Тст - для области г] > r]Q. 314
Если принять, что в вязком подслое т = гст, то из уравнения (VI.202) следует, что <р = т]. (VI.204) Рассмотрим теперь область полностью развитого турбу- лентного слоя, где тт тл (здесь тл - напряжение трения в ла- минарном потоке). Следуя Прандтлю, сделаем предположение, что полное касательное напряжение поперек пограничного слоя постоянно и равно трению на стенке; тогда уравнение (VI.203) примет вид (aerjdtp/dri)2 - 1 = О, (VI.205) интеграл которого 1 Я Ч> = + - In-k (VI.206) Здесь и далее индексом “1” будем обозначать величины, относя- щиеся к внешней границе переходной области. Для упрощения расчетов* примем двухслойную схему пограничного слоя. В этом случае ламинарный профиль можно распространить до внешней границы переходного слоя, тогда = тц. На рис. VI.25 показан закон распределения скоростей при турбулентном течении жидкости в пограничном слое на плос- кой пластине. Экспериментальные данные, представленные на рис. VI.25, позволили определить значения аг и t/j: аг =0,4; 771 = 11,6. (VI.207) Уравнение (VI.206) удобно записать в виде </? =-In 77 +С, (VI.208) ав где С = ?7i - (1/аэ) In 771. * В переходной области T}q < 7J 771 также могут быть получены урав- нения для профиля скоростей, однако они имеют весьма сложный и неудоб- ный для дальнейших математических операций вид. 315
Рис. VI.25. Универсальный логарифмический закон распреде- ления скоростей в турбулентном пограничном слое на плоской пластине: 1 - <р = у; 2 - р = 2, 51nTj + 5, 5; 3, 4 - <Р = А^ при п, равном 7 и 10 соответственно; точки - опытные данные МГТУ им. Н.Э. Баумана Подставляя значения ж н щ в уравнение (VI.208), окончат тельно получаем ¥> = 2,51п»/ + 5,5. (VI.209) Этому закону можно придать и другой вид, если расширить действие формулы (VI.209) вплоть до внешней границы погра- ничного слоя. Тогда при у = 6, w2 = Wqc уравнение (VI.209) примет вид Wqo/v* = 2,5 In 8 4- 2,5 ln(v*/и) + 5,5. Вычитая почленно из полученного соотношения выражение (VI.209), получаем так называемый закон дефекта скорости (Woo ~ WX )/v* = -2,5 ln(y/^). (VI.210} Этот закон справедлив при течении жидкости в закрытых кат налах и выполняется приближенно в пограничном слое, так как. 316
логарифмический закон изменения скорости существует почти до оси при турбулентном течении в закрытых каналах и нарушает- ся во внешней области пограничного слоя (рис. VI.25). Интересно отметить, что закон дефекта скорости в виде (VI.210), как следует из рис. VI.26, справедлив как для гладкой, так и для шерохова- той поверхности (т/ks > 0). Универсальный закон рас- пределения скоростей (VI.209) удобно аппроксимировать сте- пенной зависимостью = (VI.211) При этом, как показано на рис. VI.25, логарифмическая кривая является огибающей се- мейства степенных кривых. Для многих расчетов аппрокси- мация профилей скорости сте- пенной зависимостью весьма удобна. Коэффициенты А и п могут быть определены из ло- гарифмического закона измене- ния скорости. Рис. VI.26. Универсальный ло- гарифмический закон распреде- ления скоростей (Woo — Wx)/v» = = /(»/«): 1 - гладкая стенка; 2 - т/к$ = 126; З-т/кв = 507 Аналогичным образом можно представить распределение температур и концентраций в сечении турбулентного погранич- ного слоя в полулогарифмических координатах. Масштабы тепловых координат стенки можно получить из анализа поведения профиля температуры в тепловом подслое, где теплоперенос осуществляется только механизмом теплопровод- ности q = -ХдТ/ду. 317
Принимая q = qCT в сечении теплового подслоя и вводя число St, получаем St pooCpWoo ДУСТ = A d&T[dy, где ДУСТ = Уст — У», ДУ = Уст ~ Т. После интегрирования в пределах теплового подслоя это выражение принимает вид ДУ о У Woo ------= Рг------ ДУСТ St и или Здесь <рт = Рг Т)т. (VI.212) = ДУ^ ’ ^ = ??= V (VI.213) \ Для турбулентного ядра пограничного слоя, пренебрегая мо- лекулярным теплопереносом и предполагая, что тепловой поток постоянен и равен тепловому потоку на стенке, в соответствии с формулами (VI, 197) можно записать dwx dT qT~qCT-pcpllT dy dy, (VI.214) где в общем случае I = зеу, 1? = Жгу. Из гипотезы Прандтля (VI.192) в предположении т = Тст следует dwx/dy — v*/l. (VI.215)/ Имея в виду соотношения (VL213) и (VI.215), запишем уравнен» (VI.214) в виде откуда после интегрирования можно получить логарифмически! закон профиля температуры в турбулентном пограничном слое <рт = In т) + Ст- (VI.216 зет 318
Константу аэт, входящую в уравнение (VI.216), можно выра- зить через постоянную аз и число Ргт. Действительно, согласно гипотезе Прандтля, . v«@ 39 У dwx/dy' Т У " dT/dy ’ откуда I аз vxvv dT/dy - = — = ^=± —-L-JL = рГт. VI.217 «г аэу vyQ dwx/dy Таким образом, с учетом соотношений (VI.217) уравнение (VI.216) принимает вид Ргт 4>т = —Мпт/Ч-Су. (VI.218) 35 На рис. VI.27 показан профиль температуры в полулогариф- мических координатах </>? — т}? в сечении турбулентного погра- ничного слоя воздуха, развивающегося на пластине в условиях безградиентного обтекания. Рис. VI.27. Универсальный логарифмический закон распреде- ления температуры в турбулентном пограничном слое воздуха: I - ipr = 0, 72jj; 2 - >рт = 5, 35 log q + 2, 8; точки - опытные данные МГТУ им. Н.Э. Баумана 319
Так же как и для профиля скорости (см. рис. VI.26), на нем можно выделить характерные области изменения температуры. В непосредственной близости от стенки существует область те- плового подслоя (т/т < 5), где распределение температуры подчи- няется линейному закону <рт = 0,72??; (VI.219) затем следует переходная область (5 < г/т < 40), плавно перехо- дящая в логарифмическую область изменения температуры <рт = 5,35 log 7 + 2,8, (VI.220) и, наконец, сравнительно небольшая внешняя область. Уравнение (VI.218) показывает, что при аэ — const логариф- мический профиль температуры может существовать лишь при условии постоянства числа Ргт полностью турбулентной части пограничного слоя. Принимая ж = 0,4, из уравнений (VI.218)i и (VI.220) получаем Ргт ~ 0,9, что, как было отмечено ранее, подтверждается и прямыми измерениями. Для диффузионного пограничного слоя также имеет место логарифмический закон изменения концентраций: <fiD = Др In 7 +Ср, (VI.221)i ac^/qt? yWoo^JCj^ ГДе = дС—st” > ? =--------------~v----’ При описании профиля температуры в логарифмических ко- ординатах иногда предпочтительнее использовать следующие масштабы: ♦ ДТ * уадоол/ЗГ “ ATCTx/St"’ “ и J В этом случае профиль температуры в логарифмической^ области хорошо описывается законом ’ 4>*т = 5,9 log 7; + 3,2, (VI.222)1 320
справедливым также и для градиентных пристенных турбулент- ных течений (см. рис. VI.27). VI. 3.1. Законы трения, тепло- и массообмена Эти законы не могут быть получены аналитическим путем решения дифференциальных уравнений осредненного движения турбулентного пограничного слоя, так как система уравнений, составленная для этого случая, является незамкнутой. Законы трения, тепло- и массообмена турбулентного пограничного слоя выводят либо на основании обработки экспериментальных дан- ных, либо с привлечением полуэмпирических теорий турбулент- ности. В.М. Иевлевым показано, что законы трения и теплообме- на для турбулентного пограничного слоя консервативны к из- менению граничных условий на внешней границе погранично- го слоя и на стенке, поэтому представляется возможным законы трения и теплообмена, полученные при Тст = const и Wqq = const, распространить на более сложные граничные условия. Возмож- ное разнообразие граничных условий, как будет показано ниже, достаточно удовлетворительно учитывается при интегрировании уравнений импульсов и энергии. Из логарифмического профиля скорости можно получить закон трения, принимая, что при у = 8 wx — 1Доо- Тогда из уравнения (VI.209) имеем l/^Cf/2 = 5,5 + 2,51nReeyC7/2, (VI.223) где Ree - w^b/u, Cf/2 = rCT/(pw^). В выражении (VI.223) коэффициент трения Cf можно пред- ставить в зависимости от построенного по толщине потери им- ** пульса числа Рейнольдса Re . По определению, 1 о 21- 1005 321
Подставляя в это соотношение выражение (VI.210) для закона дефекта скоростей, получаем = 2,5^/2 -6,25(7;. Наконец, заменяя 6 на 6** в уравнении (VI.223), окончательно находим закон сопротивления ^2/С; = 5,5 + 2,51n [Re*/(2,5- 12,5^/су/2 )]. (VI.224) Уравнение (VI.224) с достаточной точностью аппроксимиру- ется формулой Кармана Cf =2/(2,5 In Re** + 3,8)2. (VI.225) Выражение (VI.225) удобно представить в виде степенной зави- симости Л,* \ т Re ) , (VI.226) где коэффициенты В и т зависят от диапазона изменения Re . Так, при Re** < 104 В = 0,0252, а тп = 0,25. Подставляя уравне- ние (VI.226) в интегральное уравнение импульсов для пластины, получаем dRe /= Вj ) . (VI.227) Рассматривая турбулентный слой, нарастающий с передней ** кромки пластины (при х — 0, Re =0), имеем Re** = [(m + 1) BRex]1A’n+1). (VI.228)’ Следовательно, Cf = Вг Re^”11, (VI.229)- .. ,/ 9 где Bi = , mi = m/(m 4- 1). Значе- \m + 1/ ния коэффициентов в формулах (VI.226) и (VI.229) приведены в табл. VI.8. 322
Таблица VI. 8. Значения коэффициентов в формулах степенного распределения скоростей n А m mi В Bi 1/7 8,74 0,250 0,200 0,0252 0,0576 1/8 9,71 0,222 0,182 0,0206 0,0450 1/9 10,6 0,200 0,167 0,0190 0,0362 1/10 11,1 0,182 0,154 0,0148 0,0308 В области значений 5105 < Rex < 107 В = 0,0252, т — 0,25; т\ — 0,2 и Cf = 0,0576 Re“0,2. (VI.230) Для средних значений коэффициентов трения имеем L С f = | I Cfdx. JU J о Следовательно, Cf = 0,072 Re£0,2. (VI.231) На рис. VI.28 опытные данные сопоставлены со значения- ми, рассчитанными по формуле (VI.230). Аналогичным образом можно получить законы тепло- и массообмена в турбулентном пограничном слое. Для случая Рг = 1 и Sc = 1 из уравнения (VI.227), принимая у = 6т и у = 6D, получаем yi/St = 5,5+ 2,5In [яе*уД2,5- 12,5\/§Г)]; А/1/Stp = 5,5 + 2,51n [Re*p/(2,5-12,5-v^t7)] (VI.232) или, по аналогии с формулой (VI.231), St = В2 (Reу J (VI.233) 21’ 323
Рис. VI.28. Закон трения на плоской пластине: сплошная линия - расчет по формуле (VI.230); штриховая линия - расчет по формуле (VI.223); точки - эксперимент Законы тепло- и массообмена типа (VI.233) можно распро- странить и на случай Рг 1, Sc 1. В диапазоне изменения Рг и Sc от 0,5 до 10 хорошие результаты дают формулы St = В/2 [(Re*r)m Рг0,75]; StD = В/2 [(Ие*р) т Sc0’75]. (VI.234) (VI.235) Из интегральных уравнений энергии и диффузии (VI.186)i для случая обтекания плоской непроницаемой пластины при гра- ничных условиях Тст = const и Сст = const по длине пластины получаем dB.eT/dX = Ref, St; dRep/dX = Re/, Stp. (VI. 236)/ (VI.237$ Подставив в (VI.236) и (VI.237) выражения (VI.234) и (VI.235$ для St и St и проинтегрировав полученные уравнения при граН ничных условиях х = 0, Re Т = Re д = 0, имеем 324
** Гу 5 п «г 1 0,8 Reг = [(m + 1) - Pr~°>75 Rex] ; (VI.238) ReD= (m+i) Sc-°-75ReJ . (VI.239) L £ J Расчетные формулы (VI.234) и (VI.235) для турбулентного теп- ло- и массообмена при обтекании плоской пластины потоком жидкости с постоянными физическими параметрами с учетом выражений (VI.238) и (VI.239) принимают вид St = 0,0288 Re~0,2 Рг-0-6; (VI.240) StD = 0,0228 Re^ 0,2 Sc~0’6. (VI.241) На рис. VI.29 сопоставлены опытные данные с расчетами по формулам (VI.235) и (VI.241). Графики демонстрируют их удо- влетворительное совпадение. Рис. VI.29. Характеристики массо- (а) и теплообмена (б) на плоской пластине: линии - расчет по формулам (VI.241) и (VI.233); точки - эксперимент 325
VI. 3.8. Влияние сжимаемости газа и неизотермичности на законы трения, тепло- и массообмена в турбулентном пограничном слое При течении газа со сверхзвуковыми скоростями в области интенсивных тепловых потоков через поверхность тела необхо- димо учитывать влияние сжимаемости и неизотермичности на трение, тепло- и массообмен в турбулентном пограничном слое. Для учета этого влияния введем относительные законы трения, тепло- и массообмена: ( Cf \ ( St \ ( Stp \ (г?-) ** — (stn/ — (st) ** — \C/o/Re \dt0/ReT \3tI»o/ReD (VI.242) где Ф, Ф5, Ф£> представляют собой отношения коэффициентов1 трения, тепловых и диффузионных чисел Стантона в рассматри- ваемых условиях к значениям этих параметров в “стандартных” условиях (при обтекании плоской непроницаемой пластины по- током жидкости с постоянными физическими параметрами при постоянных значениях температуры и концентрации по длине пластины), причем эти отношения берут при тех же значени- ** ** ** ях чисел Ке , Re-p, Ке д, что и в рассматриваемых условиях. Стандартные значения Cf0, Sto, Stp> определяют по уравнениям (VI.226), (VI.234) и (VI.235) соответственно. На рис. VI.30 представлены результаты обработки опытных данных по влиянию неизотермичности и сжимаемости на относи- тельные законы трения и теплообмена при турбулентном течении газа. Числа Re и Re 7. определены по формулам ** ** Re — PocWaoS /Дет) Re-p = Poowoo^t /Pcti где /zCT - динамическая вязкость, определенная по температуре стенки. Как видно из рис. VI.30, неизотермичность и сжима- емость газа существенно влияют на трение и теплообмен, что необходимо учитывать в инженерных расчетах. Сплошными линиями на рис. VI.30 показаны предельные за- висимости Кутателадзе - Леонтьева, имеющие вид Ф5 = ФФМ. (VI.243) 326
Рис. VI.30. Влияние неизотермичности (а) и сжимаемости (б) на относительные законы трения и теплообмена: линии - расчет по формулам (VI.244) и (VI.245); точки - эксперимент Здесь / 2 у \ + 1/ /arctg М оо у/т (к - 1)/2 \ 2 ’ к-М 00 7/^-1)72 ) ’ (VI.244) (VI.245) Ф = Тст/Тс*т- Как показывают эксперименты, для турбулентного погра- ничного слоя коэффициент восстановления г ~ 0,9. Для случая г = 0,9; к — 1,4 уравнение (VI.243) с хорошей точностью аппроксимируется формулой = (1 Г/Т \I2 -11 h (f1) +1 +°’03М~ < 4 L \ -L оо / J (VI.246) Уравнение (VI.243) получено для области Re оо, однако из рис. VI.31 следует, что оно находится в удовлетворительном 327
Рис. VI.31. Влияние числа Re** и сжимаемости М на относи- тельный закон трения соответствии с опытными данными и в области конечных значе- ний чисел Рейнольдса и может быть рекомендовано для практи- ческих расчетов. VI.3.9. Влияние поперечного потока вещества на законы трения, тепло- и массообмена Как было показано выше, вдув в ламинарный пограничный слой заметно влияет на профили скорости и температуры и су- щественным образом снижает интенсивность теплообмена. Аналогичный эффект наблюдается и в турбулентном погра- ничном слое. Однако, в отличие от ламинарного погранично- го слоя, аналитически решить задачу теплообмена в турбулент- ном пограничном слое на проницаемой поверхности не предста- вляется возможным в силу незамкнутости исходных уравнений. Поэтому в настоящее время методы расчета турбулентного по- граничного слоя на проницаемой поверхности базируются либо 328
на эмпирических зависимостях, полученных в результате обоб- щения опытных данных, либо на соотношениях, выведенных с использованием полуэмпирической теории турбулентности. На рис. VI.32 приведены опытные данные различных ав- торов по влиянию однородного вдува (воздух - воздух), полу- ченные в условиях слабой не- изотермичности (Ф ~ 1). Вид- но, что вдув в турбулентный пограничный слой существен- но снижает интенсивность тре- ния и теплообмена, при этом т ( St \ значение Фе = ( -— 1 . . -+ О ksto/Re*; при Ьт — 6Ткр = 4. При до- стижении критического пара- метра вдува пограничный слой оттесняется от поверхности. В этом критическом сечении по- граничного слоя коэффициент Рис. VI.32. Влияние вдува газа на коэффициент турбулентного трения на проницаемой пласти- не (точки - эксперимент) трения равен нулю, температура стенки становится равной тем- пературе вдуваемого газа, а концентрация вдуваемого газа на стенке становится равной 100%. Экспериментальные данные по влиянию вдува на относи- тельный закон трения и теплообмена удовлетворительно описы- ваются предельной зависимостью Кутателадзе - Леонтьева Ф = „ = 4 (-1 Ь/-Ькр) , (VI.247) V^/o/Re** t /^ст^^с'Г 2 Г / **4 0jl8 т где b — ~ 7^ > &кр = &кр<ю 1 + 5,3 (Re j ; Роо^оо L \ / J 6кр°° = 1/3 + (2/3) = Тст/То° = Р°°/РсТ 329
Можно учесть влияние на критический параметр вдува та-- ких факторов, как шероховатость поверхности, угол вдува пото- ка, продольный градиент давления и т.п. Аналогичным образом можно записать законы тепло- и мас- сообмена в силу равенства (VI.40). При числах Рг, Sc, мало отличающихся от единицы, к трой- ной аналогии можно вводить обычную поправку: St = Рг-0,6; - StD = ^Sc~016. 2 и 2 В случае постоянной плотности (роо/рст = 1) из уравнения - (VI.247) имеем , | Ф5 = Ф = (1-,6/6кр)2, (VI.248U где Ькр = 4. I Формула (VI.247) справедлива и для общего случая вдувм в пограничный слой неоднородного газа, только в этом случаи параметр V’ следует заменять на = рСт/ро- j При подаче инородного газа в пограничный слой возникаем процесс диффузии, при котором парциальная плотность вдувааМ мого газа меняется от р'ст до О на внешней границе пограничногай слоя. В случае тройной аналогии поле массовых концентраций 1ЯМ жет быть связано с полем скоростей и энтальпии соотношение^ вида 1 (Л* - ЛСТ)/(Л^ - Лет) == (р'ст - р')/Рст = (VI.2441 Парциальная плотность вдуваемого газа р' связана с газовой п<М стоянной смеси известным соотношением Я = — Я'-I-— Яао, (VI.25fli Р Р fl где Я, Я', Яоо - соответственно газовые постоянные смеси, вДД ваемого газа и основного потока. Я 330
(VI.251) Таким образом, с учетом закона сохранения массы получаем R р1 (R! \ Яоо “ р V R / + L Для бинарной смеси идеальных газов справедливо следующее со- отношение: Роо R Т р R<X> Тсс С учетом равенств (VI.249) и (VI.251) выражение (VI.252) при- нимает вид (VI.252) Роо _ Р Если охлаждающий газ подается через пористую стенку, то поток вдуваемого газа уст определяется по формуле (VI.253) jcT — PcT^CT — p CT^CT ~ D]_2PcT (VI.254) CT Из уравнения (VI.249) следует, что ~ Рет ст WCT \ ду /ст (VI.255) Но, по определению, dwx _ CfPooW^ Эу it'crPcT Следовательно, -£>]-2 1 Cf , ст ьГр?ТРстРоо№о°- Записав полученное соотношение для случая тройной ана- логии Le = Sc = Pr = 1 и подставив его в уравнение (VI.254), находим (VI.256) 331
— I __ P CT _ ^1 CT Per 1 + bl ’ (VI.257) pCTwCT 2 где bi =------—. Poo Woo Cf Таким образом, выражение (VI.253) принимает вид Роо _ Т । , by Р Тсс . 1 + 6} При неизотермическом вдуве газа одинаковой атомности , Роо Ф1 = — Рст Тст 61 / Л1 _ \ Too . 1 + bl \Roc / . (VI.258) На рис. VI.33 сопоставлены экспериментальные данные с расчетом по формуле (VI.247). Результаты расчетов хорошо со- гласуются с экспериментальными данными по вдуву разнород- ных газов. Рис. VI.33. Влияние вдува инородного газа на коэффициент трения пластины: линии - расчет по уравнению (VI.247); точки - опытные данные; 1 - воздух-воздух, 2- гелий-воздух; 3- фреон 12-воздух 332
VI.4. Методы расчета теплообмена в турбулентном пограничном слое Методы расчета теплообмена в турбулентном пограничном слое аналогичны ранее рассмотренным приближенным методам расчета ламинарного пограничного слоя с той лишь разницей, что при интегрировании используются относительные законы те- плообмена, справедливые для турбулентного пограничного слоя. VI.J.1. Решение уравнения энергии турбулентного пограничного слоя на непроницаемой поверхности Для случая плоского пограничного слоя и дозвуковых скоро- стей течения жидкости интегральное уравнение энергии имеет вид dRe^ Re*^ </ДТ + = (VI.259) ал ал Использовав закон теплообмена в виде (VI.234) и проинтегриро- вав (VI.259), находим Г ’ J ХРоо/ Xi / ** \ 1+m V(m+1) + (RerAT) , (VI.260) где Reo = wq^L/v - число Рейнольдса, подсчитанное по скорости набегающего потока и характерной длине тела Z; w = Woc/wqoo - относительная скорость на внешней границе пограничного слоя; Xi = х\/L - линейный размер, отсчитываемый от передней критической точки, на котором существует ламинарный погра- ничный слой. Произведение Rer ДТ, стоящее в правой части уравнения (VI.260), находим из расчета ламинарного пограничного слоя. 333
Локальное значение числа St и теплового потока <?ст определяем по формулам )т (VI.261) ?СТ = St PocWoC ЬТср. Если требуется найти распределение температуры стенки при заданном законе подвода теплоты, методика расчета остает- ся той же, что и в случае ламинарного пограничного слоя. При этом с учетом закона теплообмена турбулентного пограничного слоя при условиях (VI.234) искомое выражение для ДТ принима- ет вид ДТ = 2</ст-^ ВА0Ф5Рг°’25+т Reowo l/(l+m) (VI.262) При выводе этого уравнения предполагалось, что турбулентный ** пограничный слой начинается с передней кромки, т.е. Rer = О при X = 0. При сверхзвуковом обтекании поверхности теплообмена уравнение энергии (VI.259) сохраняет свой вид, если положить ДТ = Тст — Тст; Rej1 = рос^ос^т /М0оо> Р-е£ = Рос^оо^/МОоо- Число Rer находим по уравнению ** 1 -I- m Д75 ** 1 Re m — “тТгч < г ДТ 2 Рг' к тп X xu(l - u2)1^*-1) дт1*™ ** (VI.263' Здесь функция Ф^ определяется по формуле (VI.246). 334
Для осесимметричного пограничного слоя имеем Rero<x ~ 1 1 4- т &TD 2 Рг°>75 к т u(l - u2)i/(fc-i) ДТ1+т £>1+т dX + VAro+1) / ** __v+m + (ReTOooAT£>) } , (VI.264) где D — D / L - безразмерный диаметр поперечного сечения тела, зависящий от х. В случае течения газа в сверхзвуковом сопле из уравнения неразрывности получаем u(l-u2)l/(i-l) = Аг —1\0’5 Г 2 FKp к + 1) +1/ F ’ (VI.265) где Дкр - площадь критического сечения сопла; F - текущая площадь проходного сечения сопла. С учетом выражения (VI.265) из уравнения (VI.264) имеем ** 1 К-еТОоо = AT D 2 Рг0-75 i + m ? Г/хстА”1 А-1\0’5 BRe0oo / Ф5 I ---- 1 т—у X J \M0oo/ + 1/ Xi / 2 х1/(*-1)_ х{-—- ) D \к+ 1J 14-т 1/(т+1) , (VL266) Д X где L = DKp. 335
Локальные значения числа Стантона и удельные тепловые потоки определяем по формулам п / \ St — Фс __________-________ (| • □ I 41 g . m I I ) 2 (ReT0oo) Pr0’75 Vfi0oc 7 (VI.267) Qct = St CpoQpooWoQ (T*T - TCT). При обтекании пластины с постоянной температурой стенк и возникновении турбулентного пограничного слоя на передне кромке пластины из уравнений (VI.259) и (VI.234) получаем ReTcT “ 2 Pr” B R*® CT/ ’ ° * S__________D (VI.26I (VI.26! St =----- 2Рг” При m — 0,25, n = 0,75 и В = 0,0256 имеем St = 0, 0288 Ф J8 Re^cT2 Pr-0’6. (VI-271 При обтекании тупоносого тела с постоянной температу] стенки («?□□= СХ} получаем ** /1 4. т (^у2\1/(т+1) ReTcT=(~?^ReoicT«s^-J ; (VI.271 St-^(^BCSx2R (V,'27: ( 2 Рг” В 2 Х ReolcT) D poi^oi L где Regi =---------; woi ~ скорость набегающего потока. /Хет В частности, для поперечного обтекания пластины С = (если т = 0, 25; В = 0, 0256; п = 0, 75) и St = 0,0375 Ф^8 Re^ Х~0’4 Рг~0’6 (VI.27I 336
В тех случаях, когда заданным является распределение удельного теплового потока на поверхности теплообмена, ин- тегральное соотношение энергии принимает вид 4^2^) = _(VI 274) dX Рг0ооА0оо- 1 ’ + + Для граничных условий Re у — 0 при X = 0 для случая qCT = const имеем Re*y = StRex; (VI.275) St = 0,0288 Ф°?’8 Re^T Рг-0’6. (VI.276) Отсюда следует, что для любого заданного закона изменения скорости на внешней границе пограничного слоя вдоль обтекае- мой поверхности при постоянной тепловой нагрузке для расче- та теплоотдачи справедлива формула для обтекания пластины, только в числах St и Re необходимо подставлять параметры на внешней границе пограничного слоя для данного сечения. VI.J.2. Решение уравнения энергии турбулентного пограничного слоя на проницаемой поверхности Интегральное уравнение энергии для случая плоского погра- ничного слоя на проницаемой поверхности имеет вид dRe т1 Re т dAT . ч -тт21 + ~Ту- = sto + Ьт^ ал ал (VI.277) Функция Фs для случая дозвуковых скоростей течения опре- деляется по формуле ф5 = (1 — 6т/6ткр)2, (VI.278) / 2 \2 Г ( 0,18 где Фу = ----J ; Ьткр = Ьткроо р + 5,3 ^Reyj 22-1005 337
Интеграл уравнения (VI.277) в общем случае имеет вид 1 + т „ „ [ ~ т ( одд В Reo / «'о Фу ( 1 Ьт \2 7--- ) + °Ткр/ ** 1 Rer = ДТ 2 Рг' к + Ьт 1+т 1/(1+т) (VI.279) При заданных функциях Wq(x), ДТ(х) и Ьт(х) по уравнению ** (VI.279) можно определить распределение по х величины Rer. Распределение локального числа St находим из выражения St = Фг (1 - бт/бткр)2 St0, (VI.280) а распределение расхода охлаждающего газа по длине контура - по формуле = Sto 6т. (VI.281) Pocwoa Ср1 PCTWCT 1 Параметр проницаемости от = -----------—, входящий в р<х№ж bto уравнения (VI.278), (VI.279) и (VI.281), вычисляем из уело* вия баланса теплоты на поверхности теплообмена. Методы определения проницаемости для различных случаев теплообмена (пористого охлаждения, конденсации, выгорания теплозащитно-, го покрытия и т.п.) будут рассмотрены в VI.7, VIII.1. Пористое охлаждение находит широкое применение в обла- сти сверхзвуковых скоростей течения газа. Предельные закон- ны трения и теплообмена в этой области, как было показан® Н.И. Ярыгиной, можно аппроксимировать формулой Ф = ФГФМФ6, (VI.282; — ( 2 \2 где Фу = —=-------) ; Фм \ V ^ + 1/ Фь — (1 ~ V^kp)2; ^кр= ^кро Фм- ’arctg М оо д/г (fc - 1)/2]3j Моод/г(А- 1)/2 338
Параметр 6кро определяем по формулам (VI.247), (VI.248). Величину удельных тепловых потоков в этом случае опреде- ляем по формуле <?СТ —: St Роо^ОоСрОО (^ст — ^ст), (VI.283) fc — 1 где Т*т = Тж + г —Z— М £ VI.5. Теплообмен при вынужденном течении жидкости в трубах VI. 5.1. Течение в каналах Напорное (вынужденное) движение в трубах является основ- ным в различного вида технических устройствах. В большинстве теплообменных аппаратов (котлах, пароперегревателях, конден- саторах, тепловыделяющих элементах атомных реакторов и т.п.) движение одного из теплоносителей осуществляется по цилин- дрическим каналам. Поэтому знание основных закономерностей теплообмена при подобном течении теплоносителя необходимо для расчета и проектирования различных теплообменных аппа- ратов. Если распределения скорости и температуры жидкости на входе в трубу равномерные, то вдоль стенки трубы начинают развиваться динамический 6 и тепловой Д пограничные слои (рис. VI.34). Толщина пограничного слоя по длине трубы уве- личивается и, наконец, становится равной радиусу трубы. В зависимости от условий течения и входа жидкости в тру- бу пограничный слой может быть ламинарным, турбулентным или состоять из зон ламинарного, переходного и турбулентного течений. После прохождения жидкостью сечения, в котором погра- ничные слои смыкаются, в трубе устанавливается постоянное распределение скоростей, имеющее форму параболы для лами- нарного течения и форму выпуклой кривой для турбулентно- го (рис. VI.35). Расстояние от входа до этого сечения называ- ют длиной начального участка гидродинамической стабилизации /н.г (см. рис. VI.34). 22' 339
Рис. VI.34. Развитие динамического и теплового пограничных слоев в начальном участке трубы Рис. VI.35. Профили ско- ростей в трубе: 1 - ламинарное течение; 2 - тур- булентное течение При наличии теплообмена по мере движения жидкости вдоль трубы наблюдается прогрев или охлаждение пристенных слоев. При этом в начале трубы цен- тральное ядро жидкости сохраня- ет температуру, равную темпера- туре на входе, и в теплообмене не участвует. Изменение температу- ры происходит в пристенных сло- ях толщиной А. Таким образом, у поверхности трубы в ее началь- ной части образуется тепловой по- граничный слой, толщина которо- го по мере удаления от входа уве- личивается. На определенном рас- стоянии от входа, называемом наг чальным тепловым участком /н.т, тепловые пограничные слои смыкаются, в дальнейшем вся жид- кость участвует в теплообмене, и безразмерный профиль темпе- ратур 0 = (# - ^Ст)/(^0 - ^ст) для несжимаемой жидкости при /Ст = const остается неизменным по длине трубы. 340
Коэффициент теплоотдачи на участке стабилизированного течения обычно определяют по перепаду температур между сред- небалансовой температурой жидкости to и температурой стен- ки, т.е. <Хст — <?ст ifl ^ст го 2 J cptwxrdr где to = —----------• cpr ow Вследствие того, что на участке термической стабилизации градиент температуры убывает быстрее, чем температурный на- пор, коэффициент теплоотдачи а = — X(dt/dy)CT/(to — <ст) умень- шается, стремясь к постоянной величине, характерной для ста- билизированного течения (рис. VI.36). Рис. VI.36. Изменение коэффициента теплоотдачи по длине трубы Как было показано ранее (см. VI.3.1), если Re < ReKp], то те- чение является ламинарным. Многочисленные эксперименталь- 341
Рис. VI.37. Зависимость коэффициента перемежаемости 7 в трубе от текущей длины х при различных числах Рейнольдса ные исследования свидетельствуют, что при изотермическом те- чении в круглых трубах ReKpi = 2300. Для ламинарного течения 7 = 0, для турбулентного 7=1 (рис. VI.37). На значение ReKp существенно влияет форма потока, опреде- ляемая формой трубы. Так, в сходящихся каналах (конфузорах) ReKp больше, чем в трубах, а в расширяющихся каналах (диф- фузорах) - меньше. Для прямых квадратных и прямоугольных труб экспериментальные значения ReKp, определенные по экви- валентному диаметру, близки к таковым для круглых труб. В трубах, сечения которых имеют узкие угловые зоны, возможно одновременное существование ламинарного и турбулентного те- чений. В этом случае значение ReKp, при котором течение оста- ется ламинарным по всему сечению потока, значительно меньше 2300. Для гнутых круглых труб с уменьшением радиуса изгиба трубы значение ReKp увеличивается. При движении жидкости по изогнутой трубе на каждую частицу действует центробежная си- ла, зависящая от скорости движения жидкости и радиуса изгиба трубы. В результате в изогнутой трубе возникает дополнитель- ная поперечная циркуляция жидкости. Опыты показывают, что в изогнутых трубах при небольших D/d значение ReKp значи- тельно больше, чем в прямых, что объясняется стабилизирую- щим влиянием центробежной силы. Для области 3 < R/d < 200 342
для определения ReKp можно рекомендовать эмпирическую фор- мулу ReKp = 1500 (/?/d)-°>3, где R - радиус изгиба трубы. Шероховатость поверхности стенки в общем случае способ- ствует переходу ламинарного течения в турбулентное, так как вызывает в ламинарном слое дополнительные возмущения. Ин- тенсивность этих возмущений зависит от неровностей профиля. Как показывают опыты, влияние шероховатости на ReKp начина- ется со значения Res = wqi/i/ = 120, где х - высота неровностей профиля. Течение жидкости в ус- ловиях теплообмена может существенно отличаться от изотермического вследствие зависимости физических свойств от температуры. В этом случае и критические числа Рейнольдса отлича- ются от значений, приведен- Рис. VI.38. Критическое число Рейнольдса в зависимости от числа Релея при совпадении свободной и вынужденной конвекции ных для изотермических те- чений. В частности, при течении жидкости в верти- кальной трубе в условиях су- щественной неизотермично- сти заметное влияние на распределение скоростей и устойчи- вость ламинарного течения могут оказывать подъемные силы. На рис. VI.38 приводится зависимость критического числа Рей- нольдса от числа GrPr в вертикальной трубе при совпадении направлений вынужденной и свободной конвекции. Из графи- ка видно, что с увеличением GrPr значение ReKp возрастает, что объясняется заполнением профиля скоростей в пристеночном слое с увеличением GrPr. Очень большое влияние на значение ReKp оказывает форма входа в трубу. При хорошем округлении входа и отсутствии воз- мущений можно увеличить значение ReKp до 4-104. Длина вход- ного участка, на котором начальное возмущение может затухать 343
или возрастать, по различным данным составляет 50... 130 d (где d - диаметр трубы). При изучении теплообмена в трубах в основном применяют два метода исследования, позволяющих получить количествен- ные закономерности. Первый метод состоит в аналитическом решении системы дифференциальных уравнений при определенных допущениях и граничных условиях, второй - в применении методов теории по- добия и размерностей, причем конкретные расчетные зависимо- сти получают с помощью критериальной обработки эксперимен- тальных данных. VI.5.2. Теплообмен при вынужденном ламинарном течении жидкости в трубах Изотермическое течение. Рассмотрим ламинарное течение жидкости с постоянными физическими свойствами в условиях гидродинамической стабилизации. Для случая движения жидкости в круглой трубе в области стабилизированного течения уравнение движения имеет вид dwx dr 1 d ( г dr \ 1 dp p, dx (VI.284) После двойного интегрирования имеем wx = + (VI.285) Используя граничные условия в виде dwx/dr = 0 при г = 0 и r^ dp wx = 0 при г = гп, находим С\ = 0, Со = -~ — ,и распределение dx скоростей по сечению имеет параболический вид: , 2 2\ (VI.286) 344
Средняя скорость потока _ 1 [ Tr. dp w = —~ I 2-Kwrdr —------------ —. jttq J 8р dx (VI.287) Подставив значение dp/dx из уравнения (VI.287) в (VI.286), по- лучаем w = 2w ^1 - (r/r0)2j. (VI.288) Таким образом, при ламинарном течении скорость на оси трубы в два раза больше средней скорости. Уравнение (VI.284) можно записать в виде 1 д_ т дт dp dx (VI.289) Если под т понимать суммарное касательное напряжение, то уравнение (VI.289) справедливо как для ламинарного, так и для турбулентного течения жидкости. Так как при стабилизированном движении жидкости с по- стоянными физическими свойствами dp/dx = const, то из урав- нения (VI.289) следует, что т/тст = т/т0. (VI.290) В гидравлических расчетах падение давления на единицу длины трубы выражается формулой dp/dx = £pw2/(2d), (VI.291) где £ - коэффициент гидравлического сопротивления. Подставляя в уравнение (VI.291) значение (—dp/dx} из выра- жения (VI.287), находим, что при ламинарном течении в круглой трубе е = 64/Re, (VI.292) где Re = wd/u. В настоящее время определены профили скоростей при ла- минарном установившемся движении жидкости в каналах с са- мыми различными формами поперечного сечения (табл. VI.9). 345
Таблица VI. 9. Уравнения профиля скорости в трубах раз- личного поперечного сечения при ламинар- ном режиме течения Форма сечения Уравнение w* - 2 W wx = 2w I 1 — 16 Др к* pl n»=l,3,5 r»=l,3,5 . тку . sin —sin —- ___b___n 346
Форма сечения Окончание табл. VI. 9 Уравнение Др j f2 Л _ cos2y X _ 16гр (2у0)2 4д 11 к cos 2^о / я-3 16 Арб кЧц Исходное дифференциальное уравнение для анализа этой за- дачи получают из уравнения Навье - Стокса. Для установивше- гося ламинарного течения жидкости с постоянными физическими свойствами и при отсутствии массовых сил это уравнение имеет вид р V2w = dp/dx. Если считать, что производная dp/dx постоянна по попереч- ному сечению трубы, то это уравнение можно решать различны- ми методами, например численными, для труб различных форм. В большинстве случаев касательное напряжение изменяется по периметру трубы. Однако если определить среднее по пери- метру касательное напряжение и использовать его для расчета падения давления, то коэффициент трения можно вычислить с помощью уравнения т0 = Cf pw2/2. Для труб с сечением в виде равностороннего треугольника справедлива зависимость Су Re = 13,33. 347
Чидло Re определяется по гидравлическому радиусу трубы го- При движении жидкости в изогнутых трубах обычно возни- кает вторичное течение, значительно усложняющее процесс пере- носа импульса. Для стабилизированного ламинарного течения в круглой трубе, ось которой представляет собой дугу окружности радиусом R, предлагается следующее уравнение для коэффици- ента трения: Cf Qnp 0,45 2,22 л -1 11,6 (VI.293) 1 - 1 - Rey/ro/R справедливое при 11,6 < R < 2000, где Cj - коэффи- циент трения в изогнутой трубе; Супр - коэффициент трения в прямой трубе. Теплообмен в цилиндрической трубе при гидравлически стабилизированном течении. Рассмотрим ламинарное стаби- лизированное течение жидкости в круглой трубе при постоян- ной температуре стенки по длине трубы. Заданными являются расход жидкости, температура стенки и температура на входе в трубу. В такой постановке задача была решена Нуссельтом. Задачу будем решать при следующих условиях: 1) процесс теплообмена принимаем стационарным (J)t/dr =; = 0); 2) жидкость считаем несжимаемой и ее физические свойства принимаем постоянными, т.е. не зависящими от температуры; 3) считаем, что в потоке отсутствуют внутренние источники теплоты, а теплота трения пренебрежимо мала; 4) пренебрегаем тепловым потоком вдоль трубы вследстви теплопроводности жидкости по сравнению с конвективным те пловым потоком. Уравнение энергии для несжимаемой жидкости с постоянны ми физическими свойствами при отсутствии в потоке источнике теплоты и диссипации энергии в цилиндрических координата имеет вид dt dt wv dt W*te+Wrd~r + — dj = fd2t idt d2t , i t dr + dr^ r^ dip2 ) 348
Для стабилизированного ламинарного течения wx = 2w (1 - т2/т2 ); wr = wx = 0. Вследствие осевой симметрии {dt]dip — d2t/dif>2 = 0) и условия dfitjdip2 <С dt/дт при Ре > 10, вводя новую переменную 1? = — t — tCT, запишем уравнение энергии в виде d2d 1 dti 2w L М21 dti 1—1 — дт2 т дт а \го) . dx или в безразмерном виде д2& 1 д& dR2^RdR~ (1-Д2)—, (VI.295) $ t — icT т где 0 = — = ; К = —; а X = х 2 х _ — = ;• Задачу Vq io — tCT г0 2wr0 т Ре d у будем решать при следующих граничных условиях: 0 = 1 при X = 0, 0 < R < 1; (VI.296) dQ/dR — Q при X > 0, R = 0; 0 = 0 при X > 0, Д=1. (VI.297) Решение дифференциального уравнения ищем в виде произ- ведения двух функций 0(Х, R) = y>(X)il>{R}. (VI.298) Подставив (VL298) в уравнение (VI.295), получим + = (1 - R2)^. it Разделив переменные, получим два обыкновенных дифференци- альных уравнения. Первое из них dtpjdX = -е2<р (VI.299) 349
имеет решение (VI.300) Решение второго уравнения ^+|^+£2(1-л2’*=°- (VI.301) Нуссельт предложил искать решение в виде ряда оо V» = 52Ьп ’ п=0 где £ = ей, подстановка которого в уравнение (VI.301) дает ОО 00 £n(n - 1) М"~2 + 5> Мп"2 + п=0 п=0 ИЛИ оо оо оо , 52 п2ьп{п+2 + ь^п -12 р- £"+2 = °- п=0 п=0 п=0 Преобразуем полученное выражение так, чтобы показател: степени При £ во всех его членах имели одно и то же значени* например к: оо ОО ОО « 1>+2)Ч+2{‘ + £м‘ = о. к=-2 к=0 к=2 Запишем уравнение в виде 1 + (4^2 + &о) + (9^3 + &1)£+ 350
Так как это уравнение должно выполняться при любых то ко- эффициенты при членах с £ в разных степенях должны равняться нулю, т.е. = 0; &2 = —Ьо/4; Ьз = -£»i/9 = 0; , 1 [Ьь-ч , \ “* к-2' причем коэффициенты при четных членах выражаются через два предыдущих четных коэффициента, а при нечетных - соответ- ственно через два нечетных коэффициента. Решение ^>(7?) можно представить в виде ряда, содержащего е(й) лишь в четных сте- пенях: ^eR)= ^b2n(ER)2n, (VI.302) n=0 где условно принимается bo = 1 (п = 0); Ь2 = Ь0/4 = -1/4 (n = 1); 62п = (2п)2 б2"-4 “ b2n~2) (п ~ 2)' В развернутом виде можно записать «(Я) = 1 - 1 (гЯ)2 + i (± + j) (гЯ)4 + ... (VI.303) Ю у с т / Ряд сходится при любых sR и е. Постоянная е определяется из граничного условия (VI.297) (при R = 1 = 0): 1_7е2 + Т£(4 + Г)е4+'=0- (VI.304) 4 16 \е£ 4 J Это уравнение имеет бесконечное множество корней еп, наг зываемых собственными значениями. Нуссельт вычислил пер- вые три корня: Ео = 2,705; £i = 6,66; е2 — 10,3. Каждому зна- чению соответствует собственная функция ^>(еп, Й£п) = V’n(-R)- 351
Первые три функции для вычисленных значений еп показаны на рис. VI.39. Рис. VI.39. Графики функ- ций фп Частное решение дифферен- циального уравнения (VI.301) мож- но записать в виде 0n = Ane~s”X i/>(R). Общее решение есть сумма всех частных решений: 0 = 22 Ап х ^n(R). (VI.305) п=0 В этом уравнении неизвестны , лишь Ап, которые можно найти j из распределения температуры на i входе. Так, при X = 0 0о(й) = 1 и j ОО I 0О(Я) = 22 Ап ipn(R). (VI.306) j n=0 I С учетом выражения (VI.306) решение (VI.305) запишется в вид< 1 = Aq ipo(R) + Ai ipi (R) + ... + Ап i/>n(R) + • + Am ipm(R) + • • “ Так как tpn и ‘фт являются решениями уравнения, то можна записать | (й"7г) +£т«(1-Я2)«т = 0. Умножим первое уравнение (VI.307) на фт, а второе - на $ И вычтем из второго первое, тогда 352
__ . D <tym\ _ dR\ dR ) dR 2-е^)Я(1- R?)Mm. Левую часть этого уравнения представим в виде 4б d^m , dipn \ dR ~^m~dRJ и проинтегрируем ее no R в пределах от 0 до 1: 1 (Сп-4) / MmR(i-R2)dR = о _ П ( , й'Фт . dlpn\ -R[^n dR dR ) Q (VL3°8) Правая часть этого уравнения обращается в нуль при R = 0 и R = 1, так как ^n(l) = V’m(l) — 0. Отсюда следует свойство ортогональности 1 У 'Фп'Фт Я(1 - Я2) dR = 0 о при m 0 п, учитывая которое, можно записать 1 У 0О(Я) ^п(Я) R(l-R2)dR Ап = ---j--------------------. (VI.309) У ^(Я) Я(1-Я2)</Я о 23-1005 353
При 0 = 1 интеграл в числителе 1 /^(Я)Я(1-Л2ИЯ=-Л(^ , (VI.310) J £п \ал / R=i о а интеграл в знаменателе 1 j ^(Я) R(l-R2)dR, о который для удобства обозначим Nn, можно вычислить на осно- вании уравнения (VI.308). Будем считать £ непрерывной величиной, стремящейся к £п, тогда 1 D Л d^n\ 1 R ( V’n 'Ф I Nn = lim I фпф R(1 - R2) dR = lim ----?----5-----. e-»£n J 0 Раскрывая неопределенность, получаем 1 Nn = У Ф2 R(l-R2)dR = о 1 2en d-фп dR dip d£ fi=l (VI.311) Поэтому 2 /dp\ £n \3e Je=£n. (VI.312) где производная I — ) определяется по уравнению \ Л=еп; Л=1 j (VI.303). В результате вычислений получаем следующие значения: 1 Aq = 1,477; Ai = —0,810; А% = 0,385. Окончательное распреде-1 ление температуры жидкости в потоке определяется формулой 1 t tCT ^0 ~ ^ст I л 9, expr2£”p?d (Vt.313)!i 354
Значения V’n(-R), Еп и An даны в табл. VI.10 и VI.11. На рис. VI.40 показано распределение температуры по радиусу и длине трубы (расчеты проведены по уравнению (VI.313)). Таблица VI. 10. Значения собственных функций i/>n R ^0 ^1 V>2 l/>3 ^4 ^5 0 1 1 1 1 1 1 0,1 0,981845 0,891809 0,735450 0,531081 0,302289 0,074881 0,2 0,928893 0,604700 0,152473 -0,233032 -0, 402601 -0,321220 0,3 0,845468 0,233857 -0, 315213 -0, 359141 0,000543 0,289820 0,4 0,738094 -0,109593 -0, 392085 0,067932 0,299074 -0, 047658 0,5 0,614599 -0, 342141 -0,142342 0,315072 -0, 079733 -0,205318 0,6 0,483097 -0,432182 0,169685 0,114169 -0,255230 0,197497 0,7 0,351010 -0,397629 0,331488 -0,196043 -0, 036100 0,103721 0,8 0,224264 -0, 284494 0,302723 -0, 292241 0,259184 -0,208931 0,9 0,106741 -0,141133 0,162625 -0,177621 0,188173 -0,195217 1 0 0 0 0 0 0 Таблица VI.11. Собственные значения коэффициентов n en An Bn 0 2,704364 7,313586 1,476354 0,74877450 1 6,679031 44,609460 -0, 8061239 0,54382795 2 10,673380 113,92104 0,5887621 0,4628610 3 14,671078 215,24053 -0,4758504 0,4154184 4 18,669872 348,56412 0,4050218 0,38291915 5 22,669143 513,89004 -0, 3557565 0,35868555 6 26,668662 711,21753 0,3191690 0,33962210 7 30,668323 940,54604 -0, 2907358 0,32406215 8 34,668074 1201,8754 0,2678911 0,31101395 9 38,667883 1495,2052 -0,2490625 0,29984400 10 42,667734 1820,5355 0,2332277 0,29012455 Для больших п расчет затруднен, и в таких случаях исполь- зуют асимптотическое решение, позволяющее его значительно 23' 355
Рис. VI.40. Распределение температуры в трубе по Нуссельту упростить: £П = 4п + 8/3, (VI.314) Ап = (-1)" • 2,84606Cn"2^. (VI.315) Для малых R (около оси трубы) 1/>п = /о(£»А). (VI.316) Для средних R Г~2— C°S ^n(A) = V ^R ~~ Ry/ 1-й2 4- arcsin R - (1 - й2)1/4 (VI.317) 358
Для R, близких к единице (около стенки), Л,(Я) = 7|(1-Я) (-1)”' J1/3 (1 - я)3* . V о 'л о (VI.318) Введем параметр Вп для R = 1: — А ( \ 2 Вп 1,01276 ЕПЧ (VI.319) Хорошее соответствие точного и асимптотического решений на- блюдается при п > 3. При большой приведенной длине можно оставить лишь пер- вый член ряда ( т \ ( о 1 1 \ 0 = До ‘Фо — exp -2eg — — . \ г0 / \ Ре X / (VI.320) Среднемассовая температура жидкости TTTg wo Го I twx 2тгг dr или в безразмерной форме 1 1 0 = 2^GwxRdR = 4У 0(1 - R2)RdR. о о Подставив выражение (VI.320) в последнюю формулу, получим _ 00 / 1 у\ л 0 = 4£Апехр(-2£2 — / MR)R(l-R2)dR, n=0 V е 7 о и в окончательном виде 0~8£ е2 еХ₽( 2е»Ре d)’ п=0 п 4 7 (VI.321) 357
где о — 1л ( В"~ Локальный коэффициент теплоотдачи определяется формулой 9ст а = ---------= = - fCT t Вводя число Нуссельта, имеем хт ad 2 fd&\ U “ А ~ 0 “ OQ 52 Вп ex₽ n=0 z r=rp t tCT d ft ^CT | dR \t ^ст/. о Вп ( о 2 1 % 2Е £2 2£п ре d п=0 ” . (VI.322) Из анализа формулы (VI.322) следует, что (VI.323) при X —» 0 Nu о —► оо; при X —► оо Nut» = Eq/2 = 3,657 и а зависит лишь от теплопроводности жидкости и диаметра | трубы. Как видно из рис. VL41, всю длину обогреваемой трубы 1 можно разделить на два участка. На первом участке происхо- | дит формирование профиля температуры (число Nu убывает по I длине), на втором - закон распределения температуры по pa- | диусу не изменяется по длине (число Nu сохраняет постоянное 1 значение). Первый участок называется термическим начальным 1 участком, второй - участком стабилизированного теплообмена. | Длину термического начального участка можно определить как | расстояние от входного сечения, на котором число Nu с точно- | стью 1 % принимает постоянное значение. Из уравнения (VI.322) 1 получаем | (VI.324) lK.r/d = 0,055 Ре. 358
Рис. VI.41. Зависимость числа Nu от комплекса Pe(d/x) при ламинарном течении: 1 - плоская щель; 2 - круглая труба; 3 - равносторонний треугольник При заданном числе Re длина начального термического участ- ка определяется числом Рг. Для жидкометаллических теплоно- сителей /н.т не превышает нескольких диаметров, для газов - нескольких десятков диаметров, для капельных жидкостей /н.т может изменяться от нескольких сотен до десятков тысяч диа- метров канала. Отсюда следует, что в трубах теплообменных аппаратов для жидкостей с числом Рг > 1 теплообмен при ла- минарном течении по всей длине трубы происходит в области термического начального участка. Для практического расчета теплоотдачи пользоваться уравнением (VI.322) неудобно. Реше- ние (VI.322) можно упростить, подставив асимптотические зна- чения Еп, Вп и заменив сумму интегралом. N“= 1,077 (кз) -1 *-7’ (VI.32S) 1 S/ Q а при ——- > ПЛ3 с точностью ±0,5 % Ре d ~ Nu = 3,655 + 0,2355 0,488 (VI.326) 359
Средний интегральный коэффициент теплоотдачи 1 а~ 1 I j adx. о Из уравнения теплового баланса для элемента трубы длиной dx имеем _ , wdpcp dti adx =-------- -=; 4 _ _ _ wdpcp [ dti wdpcp , ^х=1 “ = -~1Г J 7 = ~— 1П^Г; —- ad 1 d z- Nu = —— = —-Re — ln0z=z. A 4 I x ‘ Подставляя 0 из уравнения (VI.321), получаем Nu = — у Re у In 8 ^=r expf—2e„ -Д 4 1 L“n£» \ nPedJ (VI.327) С точностью до 4 % при Pe l/d < 250 можно пользоваться интер- поляционным уравнением Nu = 3,66 + 0,0668 Ре d/l 1 + 0,04(Ре d/l^' (VI.328) В технике часто приходится решать задачи теплообмена при постоянной плотности теплового потока на стенке; к ним отно- сятся электрообогрев, радиационный нагрев, нагрев в ядерных реакторах и в противоточных теплообменниках при равенстве водяных эквивалентов теплоносителей. Для таких случаев из уравнения теплового баланса следует, что tm = <0 + - pCpWTQ (VI.329) 360
или в безразмерной форме tm ~ to 4 X qCrd/X Ре <Г (VI.330) где Ре = wd/a-, to - постоянная температура жидкости на входе в трубу. При заданной тепловой нагрузке искомыми являются тем- пература стенки и коэффициент теплоотдачи. Запишем для рассматриваемых условий уравнение энергии и граничные условия: dR2 + RBR (1 R’dX’ (VI.331) 0 = 0 при X = 0, 0 < R < 1; dQ/dR = 0 при X > 0, R = 0; (VI.332) dQ/dR=l/2 при Х>0, Я=1, _ t — to . 2 х где 0 =---R = т т0; X = — -. дста/А Ре а Рассмотрим решение этой задачи для области, удаленной от входа в трубу, где установился автомодельный Профиль тем- пературы с постоянным по длине коэффициентом теплоотдачи. В этом случае можно предположить, что температура 0 (так же как и 0)при любом значении R изменяется линейно по длине трубы, тогда 0 ~ АХ + /(Л), (VI.333) где А - постоянная, a f(R) - неизвестная функция. Чтобы под- твердить это предположение, определим А и вид функции f(R). Подставив (VI.333) в уравнение (VI.331), получим d ( df\ о dR(R^) = ^l-R^ Интегрируя это уравнение в пределах от 0 до Я и учитывая, что при R = 0 df/dR = 0, имеем df/dR=A(R/2-r3/4). 361
Из третьего граничного условия (VI.332) находим А = 2. Вто- ричное интегрирование дает /(ff) = R2/2 - R4/4 + С. Следовательно, 0 = 2Х + ff2/2 - Л4/8 + С. (VI.334) Постоянную интегрирования С вычислим из уравнения (VI.330), предварительно определив среднемассовую температуру по фор- муле 1 0 = 4^ Q(l-R2)RdR. о После интегрирования и подстановки 0 в уравнение (VI.332) на- ходим С = —7/48. Окончательное выражение для профиля температуры имеет вид 0 — 4 г 4- 1 ff2 Iff4 -L °~P^d + 2R ~8R 48 и, как частный случай, температура стенки 4 я 11 - ®«=1 - р7 d + 48’ (У1.335> (VI.33I Число Нуссельта для рассматриваемых условий: N"J = 77±247T=<®"-0^' = 77'!i4^6- <VL33 I vCT * J J--L Таким образом, в области, удаленной от входа в трубу, при п стоянной удельной тепловой нагрузке температура стенки изм няется по длине по линейному закону, а число Нуссельта сохр няет постоянное значение. Из сопоставления формул (VI.337) (VI.323) следует, что при постоянной тепловой нагрузке в обл сти стабилизированного течения число Нуссельта на 19 % бол ше своего значения при постоянной температуре стенки. 382
Рассмотрим задачу о теплообмене в начальном термическом участке при qCT = const по длине. Введем новую переменную 01 = 0-0*, (VI.338) где 0* - частное решение для области стабилизированного те- плообмена, определяемое по уравнению (VI.335). Задача сводится к интегрированию уравнения при граничных условиях 0! =-(й2/2 - Л4/8 - 7/48) при Х = 0, 0 < Л < 1; S01/OA=O при Х>0, R = О, R=l. 1 1 Решение можно получить тем же методом, который использо- вался при граничном условии tCT = const. Следовательно, общее решение для 0j имеет вид 01 = £ Ап i/>n(R) ехр(-е2Х), (VI.341) П=1 где Ап - постоянные коэффициенты; ipn(R) ~ собственные функ- ции; £n = 1, 2, 3 ... - собственные значения. Окончательное выражение для распределения температуры будет таким: ОО z + 52 Лп V’n(-R) exp ( -2е2 п=1 1 аЛ Р? d) (VI.342) Для температуры стенки получаем 11 оо f 1 \ @ст = К 2 + 48 + 52 Ап ех₽ ( -2еп 2) ' (VL343) п=1 х 7 363
Значения V>n(l) и Ап приведены в тайл. VI, 10, VI.11. На рис. VI.42 показано распределение температуры жидкости по ра- диусу и длине трубы. Рис. VI.42. Распределение температуры по радиусу (а) и длине трубы (б) при дет = const Локальные значения числа Нуссельта определим по формуле VCT "" С учетом уравнения (VI.343) имеем Nu / 9 1 Д? V’n(l) ехр (— - . (VI.344) При достаточно больших значениях отношения x/d сумма, членов ряда стремится к нулю и уравнение (VI.344) переходит в> выражение (VI.337), полученное ранее для области стабилизиро-; ванного теплообмена. < Определив длину начального теплового участка из условия! Nu.j_jht = 1,01 Nuoo, получаем ;1 /н.т/«/ = 0,07 Ре. (VI.345)) 364
Таким образом, длина участка тепловой стабилизации для условия qCT = const на 27 % больше аналогичной длины для слу- чая ^ст — const. 1 X Для приведенной длины — - < 0,04 с погрешностью ±4 % число Нуссельта можно определить по интерполяционному урав- нению n" = 1’31G*z) A(1+2f^)- (VIM6) Если обогрев трубы начинается со входа жидкости в трубу, где распределение скоростей равномерное, то теплоотдачу можно рассчитать по формуле Nu / 1 ж\~1/б / 1 0,42 ------= 0,35 —- 1 + 2,85 —, (VI.347) NuCT« \Re а/ \Re dJ где NuCT# - местное число Нуссельта, определяемое по формуле (VI.344). Уравнение (VI.347) справедливо при изменении параметров л 1 х 1 1 х в пределах 10 4 < ——- < 0,064 и Рг < 10. При-------- > 0,064 Re a Re а профиль скоростей становится параболическим и Nu = NuCT($. Часто встречаются случаи, когда плотность теплового пото- ка по окружности трубы неодинакова, что приводит к перегре- ву отдельных участков поверхности. Исходным уравнением для этого случая при постоянной плотности теплового потока на стенке по длине трубы является следующее: 1 д_ / дА 1 d2t _ wd£ _ w dtm r dr \ dr / r2 dip2 a dx a dx Решить его можно методом теплового источника или методом суперпозиции. При косинусоидальном изменении теплового потока (многие неоднородные распределения плотности теплового потока могут 365
быть аппроксимированы разложением по косинусам) q = qa (1 + +Ь cos </?) и местное число Нуссельта Nu(y>) = (1 + cos ф)у (|| 4-1 cos ф). (VI.349) Если Ъ = 0, Nu = 4,364. В зависимости от значения b число Нуссельта может принимать любые значения вплоть до Nu = оо. Бесконечный коэффициент теплоотдачи означает, что темпера- тура стенки равна среднемассовой температуре жидкости. Большой практический интерес представляет теплообмен в круглой трубе при переменной по длине плотности теплового по- тока на стенке. Так как уравнение энергии (VI.331) линейно, то его решение для случая qCT = const можно распространить на произвольный закон изменения qCT по длине, используя метод суперпозиции. Заданную зависимость qCT = /(х) можно аппрок- симировать ломаной линией, причем на каждом участке тепловой поток принима- ется постоянным (рис. VI.43). От каждой ступеньки тепло- вого потока развивается тем- пературное поле, описывае- мое уравнением (VI.342). Так как уравнение энер- гии (VI.331) линейно относи- тельно температуры, то тем- пературное поле в потоке со ступенчатым распределением Рис. VI.43. К задаче о теплооб- мене при произвольном измене- нии qCT теплового потока на стенке можно, представить как сумму тем- пературных полей от отдельных ступенек: г? = 0+(Л, ж) + V ©+(/?, х - &•), А , * А 1=1 где 0+ - решение задачи о теплообмене при qCT = const. 366
Заменяя конечные приращения Ддст, на ^Чст и переходя от суммы к интегралу, получим х 0 = 0+(Я, s) + Т / ^QQ+{Rx_^d( A A J dq О Разделим это уравнение на среднюю по длине плотность те- плового потока: х е = ?сто ®+(л, х)+ [ 0+(я, х - о </е, (vi.350) J О г\+ ^0 _ Чете _ р / \ j т 2J ГДе ° ~ 9cTd/A’ 9ст0 ~ qCT ’ 9ст ~ L~p^d' При R — 1 уравнение для температуры стенки имеет вид г <Эст = ?сто<э+0)+ / ^^o^-e)de. (V1.351) J о Запишем выражение для среднемассовой температуры жидко- сти: х ® = y-77Y = 2 Лст<^- <VL352) q^a/A j о Локальное значение числа Нуссельта определим по формуле Nu = a d/X = <?СТ/(0СТ - 0)- (VI.353) Расчеты показывают, что локальные значения числа Нуссельта существенно зависят от закона изменения qCT по длине трубы. В случае увеличения дст число Nu больше, а в случае уменьшения - меньше, чем при qCT = const. В работе В.Д. Виленского показано, что поведение числа Nu при х —► оо определяется параметром 367
Если К имеет конечное значение, отличное от нуля, то чи- сло Нуссельта стремится к некоторому значению, отличному от NUoo при qCT = const. Если же К = ±оо (т.е. предела не суще- ствует), то число Nu неограниченно увеличивается или умень- шается по длине трубы. Большое техническое значение имеет расчет теплообмена в кольцевом канале. Дифференциальное уравнение энергии для кольцевого канала такое же, как и для круглой трубы (для слу- чая <?ст = const): 1 д_ г dr w / dtm а V dx (VI.354) Путем интегрирования уравнения движения ц д ( dw\ dp — -- I р - I — - r dr \ dr J dx определим профиль скорости в кольцевом канале w 2 w М / \2 1 “ VI/ Г 4-Bln — , И. (VI.355) f /•* 1 где М =14- (г*)2 - В; В = —-—-—; г* = —. 1П Г* Г] Тогда уравнение энергии принимает вид 1 d / dt\ 2w Г / г \2 г] dtm - I т 4-в In— г dr у dr) аМ [ \г1/ rjJ dx (VI.356) Это уравнение легко интегрируется, а граничные услови определяются по заданным плотностям теплового потока н стенках канала. Однако нет необходимости решать уравнени энергии для каждого частного случая. Линейность уравнени энергии позволяет с помощью метода суперпозиции находить р< шения для несимметричного обогрева канала путем суммировг ния других решений при соблюдении граничных условий. В кг честве предельного случая можно рассмотреть теплообмен пр 368
ламинарном течении между параллельными пластинами. В этом случае 5,385 Nu = 1 - 0,346(g2/gi)' (VI.357) При обогреве только одной стенки q2 = 0 и Nu=5,385. При рав- ных плотностях теплового потока на обеих пластинах 92/91 = 1 и Nui = Nu2 = 8,23. Решение уравнения энергии для труб прямоугольного и треугольного сечений получают теми же методами, что и для круглых труб. Исходное дифференциальное уравнение является частным случаем уравнения 2 d2t w dt dx2 dt2 a dx Распределение скорости определяется решением уравнения дви- жения fi V2w = dp/dx. Теплообмен стабилизированного участка трубы с учетом теплоты трения. Рассмотрим стабилизированное ламинарное течение в плоской щели. Движущая среда предполагается не- сжимаемой, а физические константы - независимыми от темпера- туры. В этих условиях уравнение энергии для плоского стацио- нарного течения имеет вид ( dfi dd\ (d2d d2d\ + ^Diss F(wy, wt), при этом направление оси ОХ совпадает с направлением тече- ния, а ось 0Y нормальна к стенкам щели. Для стабилизированного течения принимаем dti/dx = 0 и Э2т?/Эа:2 = 0 во всем поле wy, что ведет к исчезновению также производных duix/dx., dwyjdy и dwy/dx и упрощению диссипа- тивной функции до выражения р (dwx/dy)2. Кроме того, здесь = w, следовательно, для рассматриваемых условий уравнение энергии принимает вид 24-1005 369
(VI.358) (VI.359) Хд2,&/ду2 = — [i(dw/dy)2. Для скорости принимается распределение , ч 3_Л У2\ <Ч) = 2 w " j) ’ где 2s - ширина щели. Рассматривая совместно уравнения (VI.358) и (VI.359), име- ем АЛ 9^2 dyz з* Если стенки щели имеют различную температуру, то гра- ничные условия уравнения (VI.360) принимают вид 1? = при у = — з и г? = г?2 ПРИ У = s- Тогда распределение температуры подчиняется следующему закону: ^У) = | (^1 + ^2) - | - *2) ; + ~ ™ (1 ~ 4Y (VI.361) Здесь последний член определяет собой изменение температуры, обусловленное теплотой трения, которое накладывается на явле- ние собственно теплопроводности. Тепловой поток на стенках q — —А (д$/дп), где п - нормаль к стенке, причем положительным считается направление от стен- ки к жидкости. Для нижней стенки г? = i?i и ,1=Л^1 + 3^, (VI.362J £3 3 для верхней стенки tf = г?2 и , ^2 ~ tfl , ~ М™2 - q% — - А —-----Н 3----. (VI.3635 2з з 370
Суммарный тепловой поток через обе стенки q = qi + 92 = 6/iw2/з. (VI.364) Поток теплоты от горячей стенки ($2) к холодной (i?i) под влиянием теплоты трения меняет направление у горячей стен- ки (<72 > 0) так, что и она будет воспринимать теплоту. Этот эффект возникает при условии 6ptw2/X > (tf2 - ^1)- (VI.365) В случае <72 = 0 приток теплоты к нижней стенке <71 удваи- вается. Если температура обеих стенок одинакова (i?j = 1^2), то, согласно уравнению (VI.361), устанавливается параболическое распределение. Максимальная температура на оси канала не- зависимо от его ширины определится уравнением $шах - $2 = - (VI.366) Если нижняя стенка теплоизолирована, то граничные усло- вия для уравнения (VI.360) запишутся в виде г? = t?2 при у = +з и d’&jdy = 0 при у = — з. При этом решение имеет вид 0(у)~ ^2 = 7^(5 — 4 — -4)- (VI.367) 4 Л \ 3 3 / На рис. VI.44 показано распределение температуры по высо- те щели для рассматриваемых условий. Температуру теплоизолированной стенки (так называемая адиабатная температура стенки) определяют по формуле «ад = *ст2 + 6ptw2/X. (VI.368) Теплообмен в круглой трубе и влияние естественной кон- векции. Рассмотрим стабилизированное течение жидкости в вертикальной круглой трубе при постоянной тепловой нагрузке 24* 371
Рис. VI.44. Распределение тем- пературы в плоской щели с учетом теплоты трения: а - теплопроводные стенки; б - нижняя стенка теплоизолирована Рис. VI.45. К задаче о теплообмене при совме- стном действии выну- жденной и свободной конвекции по длине трубы (рис. VI.45). Изменение ее плотности в зависимо- сти от температуры принимаем линейным и учитываем только в уравнении движения при определении подъемной силы. Дви- j жение жидкости в трубе осуществляется за счет вынужденной и естественной конвекции. В системе координат, изображенной на | рис. VI.45, исходная система уравнений имеет такой вид: I dt / d2t 1 dt\ др (d2wx 1 dwx , . I -«'~ej + *‘(-£2- + ;-arJ= °- (VI370> = 0; (VI.371) p = pCT[l -d(t- *CT)]. (VI.372)! Для области тепловой и гидродинамической стабилизации имеем 1 (VI.369) const = А. (VI.373)>j 372
Рис. VI.46. Распределение скорости и температуры по радиусу трубы при различных числах Релея (dt/d® > 0) Преобразуем исходные уравнения (VI.372) и (VI.373): d2d Idti _ А dr2 г dr а с учетом выражений (VI.374) \ , + РсгЯ ) Рст \ Л*® j + = 0. (VI.375) т dr ) Задача сводится к решению этих уравнений при граничных условиях wx = 0 при г = Го, dwx —— = 0 при г = 0, dr d - 0; di? — = 0. dr (VI.376) Точное решение задачи было получено Г.А. Остроумовым. На рис. VI.46 показаны распределения скоростей и температур при подъемном течении в обогреваемой трубе. При значении числа Релея (Ra = Gr Рг), равном нулю, профиль скорости параболиче- ский. С увеличением числа Ra скорость вблизи стенки увеличи- вается, а в ядре потока - уменьшается. При Ra=625 скорость на 373
оси обращается в нуль, а при дальнейшем увеличении числа Ra возникает течение, направленное в противоположную сторону. На рис. VI.47 показано изменение числа Нуссельта в зави- симости от числа Ra. При Ra —► 0 Nu —> 4,36. Как видно из рисунка, результаты теоретического расчета хорошо согласуют- ся с опытными данными. Рис. VI.47. Зависимость числа Nu от числа Ra при совместном действии вынужденной и естественной конвекции: точки - эксперимент; линии - расчет по формуле (VI.377); 1 - dtjdx > 0; H-dt/dx < 0 Б.С. Петухов на основании предложил следующее уравнение: обработки опытных данных Nu Nu0 Ra\0’27 В / (VI.377) Здесь Nu о - число Нуссельта для случая вязкостного течения g(3d4A dt жидкости с постоянными свойствами Ra = ——--------; А — — = lbi/a dx pcpwd' В = ' 4- 78?/4 < х при X < 0,07; 60 при Х>0,07, 374
lx wd ——re = — Pe d a Все физические параметры жидкости выбирают по среднемассо- вой температуре t в данном сечении трубы. Уравнение (VI.377) справедливо в области 250 < Ra < 8 • 105; Re < ReKp; 3 • 104 < < X < -XnpJ 4 < Рг < 6 при совпадении вынужденной и свобод- ной конвекции для </ст = const. При движении жидкости в гори- зонтальной трубе в результате взаимодействия вынужденной и свободной конвекции возникает сложное, винтообразное течение (рис. VI.48). В этом случае нарушается симметрия в распреде- лении скоростей и температур. В результате число Нуссельта изменяется не только по длине, но и по окружности. Рис. VI.48. Линии тока в сече- нии горизонтальной трубы при совместном действии свободной и вынужденной конвекции ного числа Nu по периметру трубы при х/(Ре d) 103, рав- ном 0,43 (1), 0,75 (2), 1,2 (5), 2,3 (4), 4 (5), 6(в) и 9,5 (7) На рис. VI.49 приведены данные по распределению тем- пературы и числа Нуссельта, полученные Б.С. Петуховым и А.Ф. Поляковым. Для области стабилизированного течения (при 375
X > 1,7- 10 3) для средних по периметру значений чисел Нус- сельта авторами предложена формула Nu = 4,36 / Ra + \ 1,8 • 104 4 0,045 (VI.378) где Ra = д/3 qcrd^/иаХ. VI. 5.3. Теплообмен при турбулентном течении жидкости в трубах При Re > 2300 ламинарное течение жидкости в трубе ста- новится неустойчивым и переходит в турбулентное. При этом интенсивность переносов импульса, теплоты и массы по ради- усу трубы существенно увеличивается. Поэтому при расчетах процессов тепло- и массообмена при течении жидкости в трубах следует в первую очередь определить режим течения. Силы, действующие на жидкость. Рассматривая силы, дей- ствующие на элементарный цилиндр радиусом R при стабили- зированном течении жидкости в области развитого течения, из условия равновесия получаем -тгЛ2 dp/dx = 2ttRt. (VI.379) Отсюда касательное напряжение на стенке трубы Rq dp w2 TcT~~~2dx~^T’ (VL380) где g - безразмерный коэффициент сопротивления, определяемый 1 из соотношения Др _ £ w2 ~L = dP~2' (VI.381) Впервые экспериментальные данные по коэффициентам соп- ротивления при течении в гладких трубах были получены Бла- зиусом и обобщены эмпирической формулой е = 0,3164 (Rej)-1/4. (VI.382) 376
Рис. VI.50. Закон сопротивления для ламинарного (/) и турбу- лентного (2) течения в гладкой трубе Как видно из рис. VI.50, эта формула справедлива до значений Re</ < 105; при больших значениях Rej наблюдается заметное отклонение опытных данных от «формулы Блазиуса. Как показывают эксперименты, распределение скоростей по радиусу трубы при турбулентном течении жидкости достаточно хорошо описывается степенной зависимостью w/w0 = (уЛо)1/п, (VI.383) где у - расстояние от стенки трубы, у = г$ — г. Показатель степе- ни п зависит от числа Re,/ (возрастает с увеличением Rej). При Red = 105, п = 1/7. Прй степенном распределении скоростей формула для сред- ней расходной скорости запишется так: w „ /* w — = 2 / —RdR = w0 J w0 о 2n2 (n + l)(2n+ 1) На рис. VI.51 показана зависимость w/wq от числа Re^. Как видно из графика, с увеличением числа Rej профиль скоростей становится все более заполненным и при Rej = 108 w/wq = 0, 9. 377
Рис. VI.51. Зависимость w/tOoQ ОТ Re,<: ' точки - эксперимент; кривая - расчет по формуле (VI.383) Можно показать, что закон сопротивления Блазиуса (VI.382) соответствует степенному распределению скоростей с п = 1/7, Подставляя в формулу (VI.380) значение £ из формулы (VI.382)* получаем Тст = 0,03325 pv№ ит~ 1/4. (VI.380 Обозначив скорость трения V* = у/тп/р и приняв w/wq = 0,9 (Re^ = 105 и n = 7), получаем w0/и* = 8, 74 (rQw*/p)^. (VI.385; Соотношение (VI.385) должно быть справедливо для любого рас стояния от стенки трубы. Тогда соотношение w/v-ь. = 8,74(yv*/z/)1^ (VI.38 и есть степенной закон распределения скоростей. В переменных <р и q этот закон имеет вид <р = 8, 74qK. (VI.38 Аналогичный результат был получен при анализе турб лентного слоя на плоской пластине. Формула (VI.387), обобщенная на любые числа Рейнольдс имеет вид [ п 7J \ = , (VI.31 378
где коэффициент С в зависимости от п принимает следующие значения: п...... 7 8 9 ю С....... 8,74 9,71 10,6 11,5 Универсальный закон распределения скоростей при турбу- лентном течении жидкости в трубе можно получить, используя полуэмпирическиую теорию турбулентности Прандтля. Этот за- кон распределения скоростей имеет вид Ф = 2,5 In т] +5,5. (VI.389) Средняя скорость при турбулентном течении жидкости в трубе определяется по формуле w = —х 7ГД2 Ro-y I 2ttR 5,5 + 2,51п^(Я0 - Я) dR = о / 2 D X = гЦ1,74 + 2,51п-^ L (VI.390) Учитывая, что V* = у/тст! Р = (VI.391) получаем логарифмический закон сопротивления при турбулент- ном течении жидкости в трубе 1/ = 21g (Rex/Г) - 0,8. (VI.392) Из рис. VI.50 видно, что логарифмический закон сопротивле- ния находится в удовлетворительном соответствии с опытными данными во всем диапазоне изменения числа Рейнольдса. Гидравлическое сопротивление шероховатых труб практи- чески оказывается таким же, как у гладких труб, пока толщина вязкого подслоя остается больше выступов поверхности; в слу- чае же, когда они соизмеримы, в подслое возникают возмущения, 379
которые могут нарушить вязкий подслой. В этом случае турбу- лентные касательные напряжения давления на неровностях про- филя и коэффициент сопротивления перестают зависеть от числа Рейнольдса. На рис. VI.52 приведены данные по коэффициентам гидрав- лического сопротивления при течении жидкости в технических стальных трубах. Рис. VI.52. Коэффициент сопротивления технических сталь- ных труб Для расчетов конвективного теплообмена при турбулент- ном течении жидкости в трубах необходимо иметь распределение! скоростей по радиусу трубы. ] На рис. VI.53 приводится сопоставление логарифмического профиля скоростей, рассчитанного по формуле (VI.389), с опыт» ными данными. 1 380
Как видно из графика, вблизи стенки подтвержда- ется линейный профиль, ко- торый в универсальных пе- ременных имеет вид <p = rj. (VI.393) При значениях 7} > 30 доста- точно хорошо подтвержда- ется логарифмический про- филь, определяемый выра- жением^!.389). В промежу- точной области (5 < т] < 30) 1 10 100 rj Рис. VI.53. Распределение ско- рости при турбулентном тече- нии жидкости в трубе опытные точки достаточно хорошо обобщаются зависимостью <р = 5 In т) — 3,05. (VI.394) Расчеты теплообмена с использованием соотношений (VI.389), (VI.393) и (VI.394) дают удовлетворительные результаты для области Рг < 20. При больших значениях Рг трехслойная схе- ма потока становится неудовлетворительной и приходится при- менять более сложные зависимости, например: <р = 2,5 In (14-0,4?/) 1 ’ 5CL.+ -^) 1 + 2R2 И 4-7,8 1 - ехр - ^-ехр(—0,33т/) , (VI.395) где R = t/tq. Формула Рейхардта (VI.395) описывает единой зависимо- стью весь профиль скорости от стенки до оси потока. Конвективный теплообмен в области стабилизированно- го течения жидкости в круглой трубе. Рассмотрим задачу о течении жидкости в круглой трубе при следующих условиях: 1) плотность теплового потока постоянна по длине трубы (<7ст = const); 381
2) течение и теплообмен квазистационарны, т.е. осреднен- ные параметры не изменяются во времени; 3) жидкость несжимаема, а ее физические свойства постоян- ны; 4) течение гидродинамически стабилизировано, т.е. wx = = /(Л) и wr = 0, и тепловые пограничные слои сомкнулись; 5) изменение плотности теплового потока вдоль оси пре- небрежимо мало по сравнению с его изменением по радиусу; 6) внутренние источники теплоты отсутствуют (qv = 0), а выделение теплоты, вызванное диссипацией кинетической энер- гии, пренебрежимо мало. Для данных условий уравнение энергии имеет вид pcpwx (rq), (VI.396) ох г от где q = pcp(a + Eq)—. (VI.397) Изменение среднемассовой температуры жидкости по длине трубы находим из уравнения теплового баланса 'Г — т -L. ~ 1 — J-o 4---------— х, pCpTQW откуда dT _ 4дСт dx pcprow Решение уравнения (VI.396) будем искать в виде Т(х, R) = Тг(х) 4- T2(R). (VI.399; Подставив выражение (VL399) в уравнение (VI.396), получаем д7\ дх J_ J1 А wx | R dR А(а + е?) Jr 382
так как левая часть этого уравнения зависит только от х, а пра- вая - только от Я, что возможно в том случае, когда дТ\/дх = дТ/дх — const. В соответствии с уравнением (VI.398) имеем dTj _ дТсг _дТ_ 2gCT дх дх дх pCppwro (V1.400) Таким образом, при стабилизированном теплообмене в слу- чае qCT = const температура на любом расстоянии от стенки тру- бы, в том числе и на стенке, изменяется линейно по длине трубы. Подставляя дТ/дх из уравнения (VI.400) в уравнение (VI.396), получаем обыкновенное дифференциальное уравнение w dR (VI.401) Интегрируя это уравнение при условии q = 0, когда R = 0, по- лучаем R — - f RdR. (VI.402) Яст H.JW О С учетом уравнения (VI.397) имеем Я J(wx/w) RdR дТ___ qCT d о dR ~ Пх (1 + ед/а)Л ’ (VI.403) Интегрируя в пределах от 1 до Л, получаем Тст -Т = dR, (VI.404) 383
E Eq PrT , тт где — = — ; Ргт = е Eq - турбулентное число Прандтля. v а Рг 4 Определим коэффициент теплоотдачи по формуле о — Яст/(ТСт — Т). По определению, 1 Тст - Т = 2 [(Тст - Т) RdR. J w О (VI.405) Подставляя в это уравнение Тст — Т из уравнения (VI.404), полу- чаем 1 [udSl, A J о (VI.406) где dil = RdR-, Интегрируя уравнение (VI.406) по частям, имеем - Т = 2 Qct d 1 Q du , A 0 384
или 2 Чет А (VI.407) Отсюда имеем (VI.408) Уравнение (VI.408) было получено Лайоном и называется интегралом Лайона. В основной части турбулентного потока профиль скоростей существенно заполненный, и в первом приближении можно при- нять wx/w = 1. Тогда R3dR (VI.409) Воспользуемся этой формулой для расчета теплоотдачи при течении жидкости с большими значениями числа Рг. Как пока- зывают эксперименты для сред с числом Рг > 1, турбулентное число Ргт = 1 вблизи стенки, где имеется наиболее резкое из- менение температуры. В этом случае поток жидкости в трубе можно условно разделить на три области: турбулентное ядро, где трение определяется только турбулентным перемешиванием; промежуточный слой, где молекулярное и турбулентное трения соизмеримы; вязкий слой, где решающим является молекулярное трение. Опытные данные показывают, что толщина вязкого слоя
мала и в его пределах можно считать f3 = 1. Толщина проме- жуточного слоя лишь немного больше толщины вязкого слоя. Таким образом, для Рг > 1 из формулы (VI.409) следует J ¥трт/р О 1 \-1 f (VI.410) + [ J 1 + YrpT/p т J 1 + Ртрт/р ?2 €1 Для каждой из рассмотренных трех областей потока имеем сле- дующие расчетные соотношения: 1) для турбулентного ядра рт > Р', » = «♦(£♦ + и с учетом формулы (VI.391) — = ж Дел/ р V 2) для промежуточного слоя 1 w = и* I С * -|------ \ ж dw т = т’+^ т dw/dy paev*y - /х; /^Т — = as Л 386
3) для вязкого слоя V2 б < £ < 1; Мт « м; w = — у. V Вычислим каждый интеграл уравнения (VI.410) с учетом того, что г) — Re^/£/32 (1 - £): Ргрт/м J Pr«Re^/f/32 (1 -£) 1 Рг ж Re^/£/32 При Re > 104 с точностью до < 2 % eM i ARe /Т_з\ Ргмт/м Pr as Re ^/£/32 \ " m V 32 2/ (VI.411) Далее 6 , & , f e3 d£ = /__________________________________= J l + Ргрт/м J Pras' Re^/32 (1 - 0 - (Pr - 1) (г (2 - 1 r3 ,n 1 + Рг(ж'7й- 1) T?2- ??1 Z, .2^' Pras'^/32 1 + Рг(а»'т/1 - 1) + Rey^/32 J’ rile z=1 Pr - 1 Pras' Re^/32 При Re > 104 с точностью до < 1 % ([ J3di . =_________1_____(VI 412) J l + PrMT/M ргя‘ 1 +Рт(ж'^1 - I)' 1 1 25* 387
Полагая т?2 = 30 и rji = 6, находим, что ае' = 0,2. Подставляя значения интегралов в уравнение (VI.410), по- лучаем Nu = jRe/(Pr, Re). (VI.413) 8 Здесь /(Рг, Re) = ______________аэ\/8/^ Рг__________ 1 Re /СИ 1 + Рт - 1) П4,5т/2*32 ае1 П 1 + Рг(ж'т/1 - 1) жРгЯеч/-^- [ ---т-—— V 32 J 1 + Рг рт/р 6 При Рг ~ 1 f г _т_ /32 J 1-|-Ргрт/р 1 Re у £ fi (VI.414) и после подстановки численных значений ае, ае', гц и г/2 находим /(Рг, Re) = In — Д+21п 270 V 8 0,4РгУ87ё 1 +5Рг 1 4-0,2Рг + 2,4 Рг (VI.415) Для сред с числом Прандтля Рг = 1, /(Рг, Re) = 1. Значения /(Рг, Re) для некоторых случаев приведены ниже: Рг /(Рг, Re) при 1 2 5 10 Re - 104 0,99 1,33 1,78 2,10 Re = 10s 0,995 1,63 1,78 3,10 388
Считая в вязком подслое /хт ~ (3 v*py*/t/q, получаем drj 1 .__ 41 ( _ 1 /32 Г_______________ 1 4- Ргрт/р ~ Re V £ J (1 4- Рг/3/nfy4 ) " а Л Пх+ат^ + а2 ат/г = ——In ------------т=---- 4- 2 arctg —-— Rex/F \ И? — ani ,/2 + а2 а2 — (VI.416) где а = ^/(/?Рг). Подставим это выражение в формулу (VI.415): /(Рг, Re) = Re ж 1 + Рг(ж'7?2 - 1) Г1 . 4^V Г2 + ~'Pr(^,, - 1J + РГ^РГ> и введем численные значения ж, ж* гц и Nu = —р --------0J4y^PrRe------------ (VI.417) in 4- 2 In I + 2,4 Pr yj(Pr) 760 1 + 0,2Pr ’ } Здесь 1 <ХРг) = 4 ------------- У1024/???! Рг in + °2 rfi — ат}\^/2 4- а2 . (VI.418) 4-2 arctg - a При умеренных значениях Pr турбулентная теплопровод- ность в промежуточном слое сравнительно невелика и можно воспользоваться двухслойной схемой турбулентного потока. Для этого случая при тд = 772 = И> 6 и ^p(Pr) = 1 0,14^PrlU In RevT /290 4- 4,6Рг (VI.419) 389
Данной формулой можно пользоваться для газов и неметал- лических жидкостей при Рг < 5. При Рг -+• оо м Re Л" u т <р(Рг) V 8 ’ </>(Рг) —► 2тг (1024/Зщ Рг)- */4, а при а —> 0; /3 = 0,03; т/ = 6 Nu = 0,035 Рг1/4 Re уД. Формулой (VI.421) можно пользоваться при Рг > 100. С учетом зависимости (VI.392) имеем 1п(ИеУё)= 1,13/V7 +1. Формулу (VI.417) можно представить в виде N £PrRe 40vT[/(Pr)-l] + 8’ (VI.420) (VI.421) (VI.422) где /(Pr) = 0,356In +0,426Pr sp(Pr), (VI.423) причем /(1) = 1. Если в формуле (VI.408) воспользоваться профилем скоро- стей по Рейхарду (см. выражение (VI.395)), как это сделано в работе Б.С. Петухова и В.Н. Попова, то результаты расчетов до- статочно хорошо обобщаются следующими зависимостями: (£/8)RePr Nu =-------------------------------St, 1,07-1- 12,7^/ё78 (Pr2'3 - 1) (VI.424) где £i = (/z//zT)n, (VI.425) a n = -0,11 при охлаждении и 0,25 при нагреве. 390
В области 0,5 < Рг < 200 удовлетворительные результаты дает формула Nu = 0,023 Pr0,4 Re0’8 (VI.426) На рис. VI.54 сопоставле- ны опытные данные с полу- ченными зависимостями. Из рисунка следует, что для ин- женерных расчетов конвектив- ного теплообмена при течении неметаллических жидкостей можно рекомендовать формулу (VI.425) для Рг < 200 и форму- лу (VI.420) для Рг > 200. Для газов и других сред с Рг w 1 можно воспользоваться форму- лой (VI.419). Для теплоносителей с «С 1 молекулярные процес- теплопроводности становят- существенными и в турбу- части пограничного Влияние числа на теплоотдачу Рис. VI.54. Прандтля при турбулентном течении жидкости имеют числа Рг порядка 10 2 и Рг сы ся лентной слоя. Расплавленные металлы менее. У сильно ионизированных газов значения числа Рг < 1. Для этих сред даже на внешней границе переходного слоя интенсив- ность турбулентного переноса теплоты существенно меньше мо- лекулярной теплопроводности. Для этого случая можно огра- ничиться двухслойной схемой турбулентного потока и записать уравнение (VI.409) в виде 1 Г J 1 + о -1 Nu = 2 (VI.427) где P = £ ж Ре ^/£/32 . 391
В предельном случае при Рг = 0 и qCT — const / 1 ч-1 = 9. (VI.428) Nu =2 о Если воспользоваться более точной формулой (VI.408), то, под- ставив в нее степенной закон распределения скоростей с п = 1/7, получим = 6,8. (VI.429) 1 R -1 Nu = 2 [ i (1,22 [ R^dR] dR J R\ J J J о 0 Расчеты для случая Тст = const дают Nu = 5,2... 5,5. Таким образом, в стабилизированном турбулентном потоке при Рг —* 0 число Нуссельта стремится к постоянному значению. Для инженерных расчетов теплоотдачи к жидким металлам можно рекомендовать полученную В.И. Субботиным формулу Nu = 5,0+ 0,025 Ре °’8 (VI.430) которая хорошо обобщает опытные данные в диапазоне 102 < < Ре < 104 и 104 < Re < 5 - 104. Теплообмен и сопротивление при турбулентном течении в трубах жидкости с переменными физическими свойствами. Рассмотрим конвективный теплообмен при турбулентном тече- нии несжимаемой жидкости в круглой трубе при тех же услови- ях, за исключением допущения о постоянстве физических пара- метров. В этом случае исходная система дифференциальных уравне- ний имеет вид dh 1 д п где q = (А + pcpEq) т = “(М + 0£) (VI.431) (VI.432) 392
Для стабилизированного течения получаем T„-T=^ / ^CT J R R [^~-RdR J pwx о A , Act ----Б--\—dR; 1 + —---1 R r rT v } (VI.433) wx 1 'Тст ^0 f Pct J R R (д/Дст)(1 +£/»')) (VI.434) R 2 1 Nu ст 1 1 _ £ст 1 Н-ест I ~8~ J о ICT / 0____________________ JD. > J л ’ ° ACT Cp \ PrT v) 1 R l/i \м 7 .dR]RdR, R где NT a<l N u ст — т ЛСт QcT^pd (^CT ~ T ) ACT (Л CT *" Л) Лет 9ст Ср — hCT — h Tc 1 / TCT ~ T Тст ~ T J T (VI.435) (V1.436) ,CT (pwx)2 ' При (VI.433)—(VI.436) сводится к соответствующим уравнениям для постоянных свойств, уже полученным ранее. Систему уравнений (VI.433)—(VI.436) решают численными Методами с использованием ЭВМ, и окончательные результаты постоянных физических свойствах система уравнений 393
зависят в основном от того, какие формулы применяют для рас- чета коэффициентов турбулунтного переноса. Так как все эти формулы имеют полуэмпирический характер и вопрос о влиянии переменных свойств на закономерности турбулентного переноса является недостаточно исследованным, результаты вычислений следует сопоставлять с опытными данными. Для случая течения капельных жидкостей основное влия- ние на величину числа Нуссельта оказывает переменная вязкость жидкости. Хорошее соответствие с опытными формула Петухова данными дает i Nu/Nuo — (дст/Мж) При нагревании жидкости /хСт/Мж < 1> п охлаждении Рст/рж > 1, п = 0,25. Число Nu (VI.437M = —0,11; при] вычисляют ПОД формуле (VI.424), причем физические свойства жидкости выби-1 рают по среднемассовой температуре в данном сечении трубы..! Уравнение (VI.437) справедливо в пределах изменения отношеч ния 4»ст/Мж от 0,06 до 40, Re от 104 до 1,25 • 105 и Рг от 2 дай 140. 1 Afu/ Ntlg 1.0- 0,8- 0,0- 0,ч - Рис. VI.55. Влияние переменной вязкости на турбулентный конвективный теплообмен ots о.г цз ощщб ци г з ч з в в ю р-ст/р* На рис. VI.55 опытные данные сопоставлены с данными pad чета по формуле (VI.437). При течении газов в области пари метров состояния, удаленной от кривой насыщения, газ можи рассматривать как идеальный. В этом случае плотность гаи связана с давлением и температурой через уравнение Клайперв на - Менделеева р — р/RT. Как было показано в гл. IV, други физические параметры газа зависят в основном от температуре и эти зависимости можно выразить в виде я 394
Х/Х0 = (Т/ТО)"А; /////о = (T/То)""; ср/сро = (Т/Т^, где Ao, /io, Ср0 - значения физических параметров при некоторой температуре То; пд, пр, пс - постоянные, зависящие от природы газа и интервала температур. Таким образом, влияние на теплообмен переменности физи- ческих параметров газа проявляется через изменение температу- ры по сечению пограничного слоя. Если воспользоваться аналогией между внешней и внутрен- ней задачей, отождествив толщину пограничного слоя при обте- кании пластины с радиусом трубы при течении в ней газа, то влияние неизотермичности на конвективный теплообмен доста- точно хорошо можно учесть по предельной формуле С.С. Кута- теладзе и А.И. Леонтьева: Nu" = 0,023 Re 0,8 Р? 0,4 ^-0,37. (VI.438) На рис. VI.56 дается сопоставление опытных данных с рас- четом по формуле (VI.438). Рис. VI.56. Влияние неизотермичности на коэффициент тепло- отдачи при стабилизированном течении газа в цилиндрической трубе: линия - расчет по формуле (VI.438); точки - эксперимент 395
Особое место в теории конвективного теплообмена занима- ют процессы, протекающие при давлениях выше критического и температурах, близких к критической или псевдокритической (т.е. при температуре, соответствующей точке максимума тепло- емкости при постоянном давлении). Интерес к этой проблеме, особенно в энергетике, связан с разработкой ядерных реакторов и созданием котлоагрегатов, в которых теплоносителем является вода при сверхкритических параметрах. Физические свойства вещества в околокритической области существенным образом зависят от температуры и давления, что приводит к большим сложностям при обобщении опытных дан- ных по теплообмену. В настоящее время имеется достаточно большое количество экспериментальных работ по теплоотдаче в околокритической области, однако ввиду отмеченных сложно- стей не имеется надежных и общих методов расчета теплообмена в этих условиях. Для “газовой” области, когда минимальная тем- пература в пограничном слое выше псевдокритической темпера- туры, удовлетворительные результаты дает предельная формула С.С. Кутателадзе и А.И. Леонтьева NTj = 0,023 Rej’8 Рг°’4 ( ----) . (VI.439) V V р! Рст + С точностью ±20 % обобщает опытные данные по воде и диоксиду углерода эмпирическая формула, полученная Е.А. Кра- снощековым и В.С. Протопоповым: NT = Nu о(р/рст)°’П (А/Аст)'0’33 (с„/ср)°’35Х x(pcT/p)m(?p/cp)n, (VI.440) где Nu о определяется по формуле (VI.424); ср = (Аст —Аж)/(7'ст — -Т) - средняя интегральная теплоемкость жидкости в интервале температур от Т до Тст. Для воды при 1,02 < p/Ркр < 1,45 тп = 0,3; для диоксида углерода при 1,02 < р/ркр < 5,3 тп = 0,35 — 0,05р/ркр. Пока- затель степени п зависит от Тст/Т и Т/Т (рис.VI.57). Формула 398
Рис. VI.57. Зависимость показателя степени п от температуры справедлива при нагревании жидкости с qCT = const в диапазо- не 2 • 104 < < 8 • 105, 0,85 < Рг < 5,5, 0,09 < рст/р < 1; 0,02ср/ Ср < 4. При течении жидкости в трубах в околокритической обла- сти могут возникнуть так называемые “ухудшенные” режимы теплоотдачи, сопровождающиеся появлением достаточно резких всплесков температуры обогреваемой стенки. Механизм возник- новения “ухудшенных” режимов недостаточно ясен и связывает- ся с влиянием архимедовых сил и ускорений потока на интенсив- ность турбулентного переноса теплоты. Влияние шероховатости поверхности на теплообмен при турбулентном течении жидкости в трубах, в изогнутых тру- бах и трубах некруглого поперечного сечения. Под шероховатой поверхностью понимают такую поверхность, у которой размеры неровностей поверхности значительно меньше толщины погра- ничного слоя или радиуса трубы (при стабилизированном тече- нии). В этом случае шероховатость поверхности оказывает не- посредственное влияние лишь на течение жидкости в вязком и переходном слое. В различных “турбулизаторах” (специальных ребрах, вставках, шнеках, завихрителях и т.п.) возникают воз- мущения всего потока. Различают естественную шероховатость, обусловленную технологией производства труб и условиями их эксплуатации, и искусственную, т.е. специально вызванную на поверхности тру- бы (резьбой, поперечными выступами и канавками, бугорками 397
и т.п.). В общем случае шероховатость поверхности характе- ризуется высотой и шагом неровностей профиля. В инженер- ных расчетах для оценки шероховатости поверхности использу- ется понятие “высота эквивалентной шероховатости” К-3. Под К3 понимается такая высота песочной шероховатости, при кото- рой труба с этой шероховатостью имеет то же значение коэффи- циента гидравлического сопротивления, что и труба с данным видом шероховатости. Для искусственной шероховатости, вы- полненной из зерен песка одинакового размера, прикрепленных вплотную одно к другому на поверхность трубы (песочная шеро- ховатость), Кэ = К, где К - диаметр песчинки. Теплоотдача на шероховатой поверхности выше, чем на гладкой; это связано с увеличением интенсивности турбулент- ного переноса в пристеночной области. Одновременно с ростом теплоотдачи растет и гидравлическое сопротивление. Эффективность шероховатой поверхности можно оценить по формуле №иш/№иг алллП = ——— , (VI.441) чш/чг где Num, Nur и £ш, £г - соответственно числа Нуссельта и ко- эффициенты сопротивления для труб с шероховатой и гладкой поверхностями при одних и тех же значениях чисел Re и Рг. Рис. VI.58. Зависимость коэффициента эффективности шерохо- ватых труб от К} при различных значениях числа Рг На рис. VI.58 показана зависимость коэффициента эффек- гивности г) от параметра шероховатости Л3Т — -------- = ач8
ела Прандтля. где d3 - эквивалентный диаметр канала) и чи- На основании этого графика можно рассчитать теплоотдачу на шероховатой поверхности, если известны £г, £ш и К3. Во многих практических случаях жидкость течет по трубе, ось которой представля- ет собой дугу окружности. В этих условиях возникают цен- тробежные силы, приводящие к сложному движению жидкости по винтовой линии (рис. VI.59). В результате местные коэффи- циенты теплоотдачи на внеш- ней стороне дуги окружности Рис. VI.59. Течение в изо- гнутом канале оказываются выше, чем на вну- тренней. Для рассматриваемых условий подтверждается анало- гия Рейнольдса, т.е. St Рг0’6 = £/8, (VI.442) где С = £пр [Re (г//?)2]0’06; (VI.443) Спр _ коэффициент гидравлического сопротивления для прямой трубы, определяемый по формуле (VI.382); г - радиус трубы; R - радиус изгиба оси трубы. Формула (VI.443) справедлива при Яе(г/Я) > 6. Расчет теплоотдачи в трубах некруглого поперечного сече- ния при турбулентном течении жидкости в некоторых случаях можно производить по формулам, полученным для круглых труб [см. формулы (VI.424), (VI.426)], если в качестве характерного размера в критериях подобия Nu и Re использовать эквивалент- ный диаметр = 4f/P, 399
где f - поперечное сечение канала; Р - смоченный периметр по- перечного сечения независимо от того, какая его часть обмени- вается теплотой с жидкостью. Метод расчета теплоотдачи с помощью d3 является прибли- женным, особенно при малых числах Прандтля. Для получения более точных результатов используют уравнение подобия тепло- обмена, полученное для данного профиля проходного сечения ка- нала. Так, например, при течении капельной жидкости в кана- лах кольцевого поперечного сечения средние коэффициенты те- плоотдачи для поверхности внутренней трубы можно определить по формуле В.П. Исаченко и Н.М. Галина / р X 0,25 , . \0,18 Nuda = 0,017 Re^Pr0’4 ( —) (/ . (VI.444) Гст/ \ / Здесь определяющей является средняя температура жидкости в трубе й d3 = d2 — dj, где dj, d2 - соответственно внутренний и внешний диаметр кольцевого канала. Формула (VI.444) справед- лива при d2/d^= 1,2... 1,4; l/d = 50 ... 460; Рг = 0, 7 ... 100. При течении жидкости в треугольных каналах возникают крупномасштабные вихревые течения, которые существенно ус- ложняют процесс теплообмена. Теплообмен при турбулентном течении жидкости в на- чальном участке трубы. Переход от ламинарного режима тече- ния в пограничном слое к турбулентному на начальном участке трубы происходит таким же образом, как и на плоской пластине. Если турбулентный пограничный слой начинает нарастать от начального сечения трубы, то расчет развития динамического и теплового пограничного слоя в начальном участке трубы произ- водят по формулам, полученным в VI.3 для внешнего обтекания тел. Различие заключается в том, что при внешнем обтекания тел скорость жидкости на внешней границе пограничного слоя является заданной величиной, а в рассматриваемых условиях на- чального участка трубы она является искомым параметром. Для ее определения имеется дополнительное уравнение постоянства расхода жидкости по длине трубы. 400
Рассмотрим течение жидкости в начальном участке цилин- дрической трубы при равномерном распределении скорости и температуры на входе в трубу. В этом случае уравнение не- разрывности можно записать в виде Ro 0O1WO1 = 2 J pwRdR = const, (VI.445) 0 где poi и wqi - плотность и скорость жидкости в начальном се- чении трубы соответственно. Толщина вытеснения для цилиндричекой трубы определяет- ся по формуле tf (VI.445) J \ \ RoJ о где ро, wo - плотность и скорость жидкости в ядре потока, где течение рассматривается как потенциальное. Тогда уравнение (VI.445) примет вид 001^01 = РО^о(1 - 2tf*/R0), (VI.447) Для случая постоянной плотности турбулентного погранич- ного слоя формпараметр Н = £*/£** = 1,3. Тогда из уравнения (VI.447) имеем Re** = ReOi (w - 1)/5,2, (VI.448) где w = wq/wqi. Интегральное соотношение импульсов (VI.52), закон тре- ния (VI.226) и уравнение (VI.448) образуют замкнутую систе- му уравнений, аналитическое решение которой (при т = 0,25 и В = 0,0256) для жидкости с постоянными свойствами аппрокси- мируется простой формулой w = — = 1 + 0,185 ™01 X I0’75 D 0,25 LRe01 J (VI.449) 26-1005 401
Зная зависимость w от X, по формуле (VI.448) определяем ло- кальные значения Re и из уравнения (VI.226) - коэффициент трения 0,25 Re ) . (VI.450) Длина начального участка определяется из условия пересе- чения пограничных слоев. В этом случае 6 ~ R$ и 6*/Rq = 0,097. Из уравнения (VI.447) следует, что wH = (1 - 2Г/Я0)-1 = 1,24. (VI.451) Тогда с учетом зависимости (VI.449) получаем формулу для дли- ны начального участка гидродинамической стабилизации V1,4R$5. (VI.452) В большинстве случаев развитие теплового пограничного слоя в начальном участке канала происходит одновременно с ди- намическим, а различие в толщинах пограничных слоев, как и) при обтекании пластины, зависит от значения числа Рг. При те- . плообмене в жидких металлах (Рг < 1) тепловая стабилизация;] происходит быстрее гидродинамической и, наоборот, для тече- I ния вязкой, малотеплопроводной жидкости (Рг 1) бт < 6 длина участка тепловой стабилизации значительно больше длиА| ны участка гидродинамической стабилизации. При Рг и 1 длины! участков тепловой и гидродинамической стабилизации одинако! вы и, как следует из формулы (VI.451), максимальное увеличении скорости в ядре потока вследствие нарастания пограничных ело] ев составляет примерно 25 %. 4| Следовательно, с достаточным приближением можно не учив тывать изменение скорости в ядре потока и для расчетов тепло] обмена в начальном участке трубы пользоваться формулами дЛИ случая обтекания плоской пластины. Тогда St = 0,0288 Re"0’2 Pr~0-6, I 402
где С учетом формулы (VI.449) Nuj = 0,0288 ReJi8 1+ +0,185 ( - ) . (VI.453) \ (I J Следует отметить, что теплообмен в начальном участке трубы существенно зависит от условий входа в трубу и степени турбулентности потока. Кроме того, течение и теплообмен на участках гидродинамической стабилизации в каналах некругло- го сечения могут существенно усложняться вторичными течени- ями. VI.6. Теплообмен при поперечном обтекании труб При проектировании трубчатых теплообменных аппаратов, которые находят широкое применение в технике, необходимо знать закономерности конвективного теплообмена при попереч- ном обтекании трубы и пучка труб. Рассмотрим особенности поперечного обтекания одиночной цилиндрической трубы потоком несжимаемой жидкости. Как по- казывают опыты, на лобовой части поверхности трубы образует- ся ламинарный пограничный слой, толщина которого постепенно увеличивается. При обтекании лобовой части цилиндра давление во внешнем потоке падает {dp/dx < 0), скорость по направле- нию движения возрастает и частицы жидкости в пограничном слое, несмотря на тормозящее действие сил вязкости, продолжа- ют двигаться вдоль поверхности. В кормовой части цилиндра давление во внешнем потоке начинает увеличиваться, частицы жидкости в пограничном слое под действием сил вязкости и по- ложительного градиента давления замедляются, а начиная с не- которого сечения движутся в обратную сторону, образуя вихри, 403
Рис. VI.60. Обтекание цилиндра при отрыве ламинарного (а) и турбулентного пограничного слоя (б) которые периодически отрываются от поверхности цилиндра и уносятся потоком (рис. VI.60). Точка отрыва ламинарного погра- ничного слоя находится примерно при = 82° и мало зависит от числа Re. В этом случае лишь 45 % поверхности цилиндра омы- вается безотрывно. Такой режим наблюдается при числах Re от 9 до (2 ... 5)105. При дальнейшем увеличении числа Рейнольдса ламинарный пограничный слой переходит в турбулентный, точ- ка отрыва турбулентного пограничного слоя смещается вниз по потоку до углов </? = 110... 120° и около 65 % всей поверхности цилиндра омывается безотрывно. Характер обтекания цилиндрической трубы определяет и распределение локальных коэффициентов теплоотдачи по поверх- ности цилиндра (рис. VI.61). Максимальное значение теплоотда- чи имеет место на лобовой образующей цилиндра (</? = 0), где по- граничный слой тонкий. По поверхности цилиндра значение ко- эффициента теплоотдачи падает вследствие роста пограничного* слоя и при </> = 90... 100° достигает своего минимума. В. кор- мовой части трубы происходит разрушение пограничного слоя и коэффициент теплоотдачи снова возрастает. До точки отрыв» пограничного слоя местную теплоотдачу на поверхности цилин- дра можно определить аналитически по формулам, приведенный; в VI.2 и VI.4. Аналитический расчет средних значений коэф- фициентов теплоотдачи практически невозможен из-за сложной^ картины течения жидкости в кормовой части. Поэтому для рас- четов рекомендуется использовать уравнения подобия теплооб- мена. 404
Рис. VI.61. Изменение теплоотдачи по окружности трубки при различных числах Re Большое влияние на местную теплоотдачу оказывает тур- булентность набегающего потока, причем максимальное влияние турбулентности наблюдается в лобовой критической точке. По мере приближения к точке отрыва это влияние уменьшается. Наиболее надежные данные по средним коэффициентам те- плоотдачи при поперечном обтекании цилиндра получены в ра- ботах А.А. Жукаускаса. Результаты критериальной обработки опытных данных представлены на рис. VI.62. Опытные данные хорошо обобщаются следующими форму- лами: Й?жd = 0,5 Re^ Рг^38 (Ргж/Ргст)0’25 (VI.454) - при Re = 5 ... 103; Nu’jgj = 0,25 Re^8 Рг£43 (Ргж/Ргст)°-25 (VI.455) - при Re = 103 ... 2 105; = 0,023 Re^8 Рг£37 (Ргж/Ргст)0’25 (VI.456) - при Re = 2 • 105 ... 2 • 106. 405
Рис. VI.62. Средняя теплоотдача поперечно омываемого ци- линдра: ливня - расчет по формулам (VI.454), (VI.456); точки - эксперимент При вычислении чисел подобия за определяющий размер принят внешний диаметр трубы, а в качестве определяющей принята средняя температура жидкости. Формулы (VI.454)-(VL456) справедливы для случая, когда поток жидкости направлен по нормали к образующей цилиндра. Если угол между образую- щей цилиндра и направле- нием потока V» уменьшается, то средняя теплоотдача так- же уменьшается. Этот эф- фект можно учесть, вводя в Рис. VI.63. Влияние угла ата- ки на теплоотдачу цилиндра формулы (VI.454)—(VI.456) поправочный коэффициент £ф = а^/аэо°- На рис. VI.63 показана зависимость коэф- фициента от угла V- В области = 30 ... 90° мож- но пользоваться приближен- ной зависимостью = 1 — 0,54 cos2 ф. 408
Трубчатые теплообменники обычно выполняют в виде пуч- ков труб. Расположение труб в пучке может быть самое разно- образное. Наиболее распространенным являются шахматные и коридорные пучки (рис. VI.64). Рис. VI.64. Коридорное (а) и шахматное (б) расположение труб в пучке Обтекание трубки в пучке отличается от обтекания одиноч- ной трубы тем, что расположенные рядом трубы оказывают вли- яние на этот процесс. В отдельном ряду при поперечном обтека- нии стоящие рядом трубки образуют сужения, которые изменя- ют поле скоростей по сравнению со случаем обтекания одиночной трубы. Место отрыва пограничного слоя перемещается вдоль по потоку. Трубы, расположенные во втором и последующих рядах, попадают в вихревой след, образованный трубами предыдущих рядов, что, естественно, отражается на коэффициентах теплоот- дачи. Многочисленные опытные данные по средним коэффициен- там теплоотдачи в пучках труб, полученные А.А. Жукауска- сом и обработанные в критериальном виде, представлены на рис. VI.65. Эти формулы справедливы для глубинных рядов, т.е. там, где поток гидродинамически стабилизировался. За определяющую температуру принята температура набегающего потока, за характерную длину - диаметр трубки и за расчетную скорость - скорость в наименьшем проходном сечении пучка. 407
Рис. VI.65. Теплоотдача при поперечном обтекании при шах- матном (а) и коридорном (б) рас- положении пучков труб (^К = = Nu»dPr-°'38(-^) ): \ РГст / / I - т — 0,5; II - т — 0,63; III - т — 0, 8 Для пучков с числом ря- дов менее 20 необходимо учи- тывать уменьшение коэффици- ента теплоотдачи в первых ря- дах по сравнению с глубинны- ми рядами: Nuz = CzNu ^го- Значения коэффициента Cz можно найти из рис.УГбб. Рис. VI.ee. Поправка на число рядов при расчете теплоотда- чи пучка: сплошные кривые - коридорное расположение труб; штриховые кривые - шахматное При проектировании теплообменных аппаратов необходимо определить оптимальную компоновку, обеспечивающую мини- мальные капитальные затраты и эксплуатационные расходы. 408
Совершенство теплообменной поверхности можно охарактеризо- вать отношением переданного количества теплоты через данную поверхность нагрева F к энергии, затраченной на преодоление сопротивления, Е Qv^p' где Qy - объемный расход, mj/c. Для перепада температур At = 1°С имеем £ ~ — а fwAp е ’ где е - количество энергии, затраченной на преодоление сопро- тивления, приходящееся на единицу поверхности нагрева. (VI.457) Рис. VI.67. Эффективность Е теплоотдачи шахматного (а) и коридорного (б) пучка труб в зависимости от числа Re и рас- стояния между трубами (а = ц/d; 6 = xi/d) На рис. VI.67 приведены результаты расчетов эффективно- сти пучков труб диаметром 19 мм, омываемых потоком воды при 409
20°С. Видно, что при Re — 5 • 102... 5 • 104 коридорное распо- ложение труб эффективнее, чем шахматное. Несмотря на то, что теплоотдача коридорных пучков в этой области меньше, чем шахматных, эффективность коридорных пучков получается вы- ше из-за меньших гидравлических потерь. При более высоких числах Re эффективность теплоотдачи сравнивается, шахматное расположение труб в пучке становится несколько эффективнее и решающим параметром в этой области является шаг труб. Эффективность теплоотдачи характеризует процесс тепло- обмена только энергетически. Прй выборе конструкции теплооб- менника необходимо учитывать и другие требования, и только совместное рассмотрение эксплуатационных и капитальных за- трат позволяет выбрать оптимальный вариант теплообменника. VI.7. Методы тепловой защиты тел от воздействия высокоэнтальпийного потока газа Основной тенденцией развития энергетической техники яв- ляется увеличение максимальных температур и давлений те- плоносителей и рабочих тел. Максимальные температуры га- за в энергетических установках намного превышают допусти- мые температуры материалов, из которых изготовлены элементы проточной части тепловых машин. этих условиях существен ное значение для надежной работы теплонапряженных деталей В машины имеет система охлаждения. Все более широкое применение в технике находят системы охлаждения, использующие пленочное и пористое охлаждение. VI.7.1. Конвективный теплообмен при наличии газовых завес В современной технике для защиты поверхности тел от те- плового воздействия высокоэнтальпийного потока газа широка используются газовые завесы. Охлаждающий газ подается на по- верхность теплообмена и, распространяясь вдоль этой поверх- ности, создает тепловую завесу. В некоторых случаях газовая 410
завеса является как тепловой, так и химической защитой поверх- ности тела. На рис. VI.68 показаны некоторые схемы применения пористого и пленочного охлаждения в современной технике. У Л $ х1, тсп Тст ' f (*) Рис. VI.68; Схемы возможных конструктивных вариантов газо- вых завес Основным параметром, определяющим интенсивность те- плообмена при наличии газовой завесы, является так называемая эффективность газовой завесы 0 = ^^, (VI.458) J-0 - 7ст1 где Tq, Тст и Tcti - соответственно температуры набегающего потока, теплоизолированной стенки и охлаждающего газа. Таким образом, эффективность газовой завесы определяет температуру теплоизолированной стенки при наличии завесы: Тст = То - 0 (Tq - Тст1). (VI.459) 411
Как будет показано далее, эта температура необходима и для расчетов теплообмена при наличии завесы. В более общем случае при течении сжимаемого газа с хими- ческими реакциями эффективность газовой завесы определяется через полные энтальпии: q _ (VI.460) Для вывода формулы эффективности газовой завесы рас- смотрим продольное обтекание плоской поверхности потоком не- сжимаемой жидкости с постоянными физическими параметрами (рис. VI.69). Участок длиной ц охлаждается, и температура стенки в сечении xi равна Тст], причем охлаждение стенки на участке может осуществляться самыми различными способами (отводом теплоты через стенку, вдувом охлаждающего газа через пористую стенку или щель, пленочным охлаждением и т.п.). В области х > Xi стенка теплоизолирована и температура стен- ки изменяется вдоль поверхности, приближаясь к температуре набегающего потока. Радиационным теплообменом будем пре- небрегать. Рис. VI.69. Развитие теплового слоя при тепловой завесе Для области х > ху, дст = 0 уравнение энергии (VI.60) будет иметь вид %* * * (ZRe-p Re 'р d&T dx + AT dx (VI.461) Интегрируя его в пределах от xj до х, получаем % *4^ * * Re AT = ReT1 ATr (VI.462) 412
Вводя параметр эффективности газовой завесы, получаем ** / ** 0 = Re grj / Re gr (VI.463) где Regnj - число Рейнольдса в сечении хр Разумеется, уравнение (VI.462) справедливо и для более об- щего случая, если вместо температур ввести полные энтальпии. Если бы при х > Xi сохранялось условие Тст = Тст1 = const, то число Рейнольдса по толщине потери энергии (Rej.Q) опреде- лялось бы так: ** f ** \m+l m+1 Г ~ 1/(т+1) , (VI.464) где w — wq/wq\. Для пограничного слоя на теплоизолированной поверхности при х > aci должны выполняться следующие граничные условия: дТ/ду = 0 при у = 0, qCT = 0; дТ/ду — Q при у = й-р, q — 0. (VI. 465) Таким образом, внутри пограничного слоя происходит вы- равнивание температуры только вследствие молекулярного или турбулентного перемешивания и подсоса газа из внешнего пото- ка. При этом наибольшая интенсивность перемешивания будет в пристенной области, где производная dwx/dy максимальна. В результате профиль температур деформируется таким образом, что область дТ/ду = 0 (или Т = Тст = const) непрерывно увели- чивается по х. Одновременно вследствие подсоса газа из внеш- него потока температура в пограничном слое приближается к температуре Тж, т.е. при х —> оо 1 * 1 СТ * ОО • По определению, толщина потери энергии оо (VI.466) 413
Следовательно, на теплоизолированной поверхности при х -+ оо оо dy. (VI.467) J ЧПоо 0 Введем коэффициент Р = б^/^'roi удовлетворяющий грат ничным условиям: Р —♦ 1 при х —* ц и Р —> Ртах при х —* оо. Здесь Ртах ОО / ос = <VU68’ J P<x>w00 / J PoOWOQ \ Toe Tci-y 0 ' 0 Для ламинарного пограничного слоя W = Wx/wx = 2 (£ - f3 ) + f4, откуда С = У!$•> Ртах — 6, 0. В большинстве практических случаев газовая завеса при- ] меняется в области больших чисел Рейнольдса и турбулентном j пограничном слое. Тогда, принимая ш = получаем j Ртах = 9. I С учетом уравнений (VI.463) и (VI.464) и условия Р —> /Зщ»! при X — сы: оо получаем формулу для эффективности газовой заве-1 0 = г» 4. 1 /д \w4-l Т ]-1/(m+1) I 1+—ReLdx . (VI.469)! 1 1 X \ 1 414
Для ламинарного пограничного слоя (тп = 1, В/2 = 0,22) -I -0,5 (VI.470) Для турбулентного пограничного слоя (тп = 0,25, В/2 = = 0,0128) ® = 1 + Л 25 [ (ReTl) -0,8 (VI.471) В частности, при обтекании плоской пластины (Rej, = const) для ламинарного пограничного слоя имеем -1 -0,5 (VI.472) а для турбулентного пограничного слоя гл , 0,254 „ ® ~ 1 + { ** х 1,25 ReA* -0,8 (VI.473) Re gpj R^Az ~ Poowx (x - Zl)/po- Если ввести ДеД;с = I Re^dx, то формулы (VI.472) и (VI.473) можно распространить на случай произвольного зако- на изменения скорости вдоль поверхности тела. В частности, для случая степенного закона изменения скоро- сти w — хп получаем 415
Re\x = ReL1 (zn+1 - 1) /(n + 1), (VI.474) где x = x/x\. Тогда эффективность газовой завесы ламинарного погра- ничного слоя 0 = Ю.6 (з)п+1-1 **x2Rebl n+i -0,5 а турбулентного пограничного слоя I , —0,8 0,254 „ (г)п+1-1 -----Re т i ----------- ** \ 1,25 Ь1 п _|_ । (VI.475) (VI.476) Как следует из формул (VI.475) и (VI.476), эффективность газовой завесы падает при ускоренных потоках (dw^/dx > 0, п > 0) и растет в замедленных потоках (dwoo/dx < 0, п < 0). Формулу (VI.469) можно распространить и на течение сжи- маемого газа. С учетом уравнения (VI.263) получаем - l/(m+l) i + f (l + ^ci1/ XI Ф Re/, dx ** \ т+1 ReT01 ) (VI.477) Здесь 2arctg(Mо\/0,5r(k - 1) ) (^7 + 1) MOv/0,5r(A-l) m (VI.478) = Гст/Г*т (VI.479) (здесь и далее индекс “00”относится к параметрам торможения). Получим формулы для эффективности газовой завесы, схема организации которой показана на рис. VI.70. 418
Рис. VI.70. Развитие теплового слоя при газовой завесе со вду- вом газа через пористую поверхность Интегральное соотношение энергии для проницаемой по- верхности при Тст = const с/Re zp = st + jCT. (VI.480) (*1ъ6д; Учитывая, что St = ----------, a qCT = jCTcp (Тст-Т'), Роо^оо ср (-1 оо — J-ct) получаем ** '7"* 7с'т* 1 + к15 (VI.481) а Кед pooWoo где Ki — (TCTi - Т'У^Тоо - TCTi). Следовательно, при вдуве охлаждающего газа через пори- стую пластину Re— ReCTi (1 -Ь Ад), (VI.482) и где ReCTj =---- / jcrdx. Роо J о При критическом вдуве Т' = Тст1, Ад = 0 и Re^j = ReCTj. Формулы эффективности газовых завес при вдуве газа через пористую стенку с учетом уравнений (VI.469) и (VI.482) имеют ВИД 27-1005 417
10,6 Xf п _ 1 +-------------------7 / Rexi dx |^ReCT 1(1 + К i )j j -0,5 (VI.483) - для ламинарного пограничного слоя и 0 = 1 + 0,254 ->1,25 ReCTi (1 + Ад) Rexi dx -0,8 (VI.484) - для турбулентного пограничного слоя. На рис. VI.71 сопоставлены результаты, полученные по фор- муле (VI.484), с экспериментальными данными различных иссле- дователей. Для течения сжимаемого газа с учетом уравнения (VI.477) находим 0,25 Re^ Фп 1 +------------- -0,8 (1 + к, )<да Вл’й (VI.485W Где U — Woo/l^maxi — >/2 /1Q0 . Для течения газа в сверхзвуковом сопле из уравнения энер- гии для осесимметричного пограничного слоя получаем ** 0 = 4 (VI.486^ d Re? 1 С учетом уравнения неразрывности для сопла 1 (1 -uf/A*-1) = d2u(l-u2)1/(fc-i) (У1.48Я 418
Рис. VI.71. Эффективность газовой завесы с пористым участ- ком: а - обтекание плоской пластины (woo = const); б - градиентное тече- ние; линия - расчет по формуле (VI.484); точки - опытные данные 27' 419
имеем 0,25 Reoo Ф<1 (Мст 1/МОо)О’ f .т. —vm—1 ---------------------------- / *м “ (1 + ^)1-25 ^5^,25 J Зная зависимость диаметра сопла, а следовательно, и чи- сла М от длины ж, определяем изменение эффективности газовой завесы по длине сопла. Так как в сверхзвуковой части сопла Фм < 1, то из уравнения (VI.488) следует, что эффективность газовой завесы в сжимаемом газе выше, чем в несжимаемой жид- кости. На рис. VI.72 приводится сопоставление опытных данных по эффективности газовой завесы в сверхзвуковом потоке с расчет- ными для случая обтекания плоской пластины (u = const). Рис. VI.72. Эффективность газовой завесы в сверхзвуковом по- токе газа: 1 - расчет по формуле (VI.485); 2 - расчет по формуле (VI.484); точки - опытные данные Рассмотрим газовую завесу, создаваемую вдувом охлаждаю- щего газа через щель (рис. VI.73). Физические параметры основ- ного и вдуваемого газа принимаем одинаковыми и постоянными. 420
Рис. VI.73. Схема щелевой газовой завесы На участке 0 < х < х\ пластина омывается только вдувае- мым газом и температура пластины равна температуре вдувае- мого газа, т.е. Тст — Tj. С сечения х = ц начинает развиваться тепловой пограничный слой вследствие перемешивания завесы с основным потоком газа. Используя известные зависимости для турбулентных струй для области wi < wq можно принять x/S = (0,107 + 0,037 wi/wo)-1 (wo + W1 )/(wo + wi). (VI.489) В некоторых случаях можно пренебречь участком х^, т.е. поло- жить х — xj ~ х, и тем самым получить некоторый запас по эффективности газовой завесы. Из рис. VI.73 следует, что для сечения ц 6 j Ср pwT dy = Ср piW]1\S Ср PoqWqqTqq (6 — S'); о 6 У pwdy = p^w-iS + peewits - S). 0 По огфеделению, толщина потери энергии (VI.490) (VI.491) 6 [ pw f Т — Тст \ , / ------ 1 - г------) dy J P<XWaa \ J-0Q — 4 СТ/ о 421
и для сечения х = Zj, где Тст = Тст ], с учетом уравнений (VL490) и (VI.491) имеем 6 pQ0w00j\Ti6j\ = У pw(T00-T)dy = TQpiwiS+T00p00w00(6-S')- о -TooPooWoofti - 5) - piwiSTi = (Too - T])piW]5. (VI.492) Следовательно, Re^j — piwiS/poo — Reg. (VI.493) Таким образом, эффективность газовой завесы, создаваемой вдувом охлаждающего газа через щель, определяется следующи- ми формулами: для ламинарного пограничного слоя e=[1+(E^fc‘4']0'S’ (VL494) для турбулентного пограничного слоя О 254 * ~0’8 ®=[1 + (5^ЯгЮ!Д11 ’ (VL495) На рис. VI.74 сопоставлены опытные данные различных ис- следователей с данными расчета по формуле (VI.495). Рис. VI.74. Эффективность газовой завесы при щелевом вдуве: линия - расчет по формуле (VI.495); точки - опытные данные 422
Для случая обтекания криволинейной поверхности потоком сжимаемого газа имеем (\ 0 25 х — ) ’ Reoo /фМ«(1-«2)1/(к-1)^ М00 / J ________________________________________ (Resoo)1’25 -0,8 (VI.496) Следует отметить, что все полученные формулы для эффек- тивности газовой завесы можно распространить и на вдув газа, отличного от газа в набегающем потоке. В этом случае эффек- тивность газовой завесы определяется через энтальпии газа: ©Л = (Ло - h'cr )/(Л0о - hCT1). (VI.497) При Sc=l должно существовать подобие в распределении эн- тальпий и полных концентраций вдуваемого газа, следовательно, ©Л = (Ло - h'J/IJio - йст1) = (Coo - С'с*т)/(Соо - Сст1) (VI.498) и Сс*т = Со - 0Л(Соо - Сст1), (VI.499) где С*т - массовая доля вдуваемой компоненты на теплоизолиро- ванной стенке; Сст1 - массовая доля вдуваемой компоненты на стенке в сечении гр Как правило, газовая завеса применяется совместно с обыч- ным охлаждением, и необходимо уметь определять локальные ко- эффициенты теплоотдачи и тепловые потоки для этих условий. Интегральное уравнение энергии для области х > х^ можно записать так: £ [(Тст - г;т) if + (Ti - Г») «й] = *т (vi.500) ах l j gCppoQWQQ 423
Здесь Т*т - температура теплоизолированной поверхности; tip f Pw ( Т - Т' \ — I --------I — I dy, J Poq^oo k-^ст -*ст/ о 6р (VI.501) т' - Too \ . 71* _ т / У' ст оо / / о Г - температура в данной точке в пограничном слое на тепло- изолированной поверхности. В соответствии с уравнением (VI.461) -^[(тЛ-ГооНй! =0- (VI.502) (VI.503) Re у dAT* п AT* dx ~R^St°’ (VI.504) * __ Следовательно, ** uxvC 'р где Re р — Роо^оо^(р*/Моо> Sto — <7ст/(срооРоо^оо AT*); AT — T* - T — JCT 2 CT- Таким образом, интегральное соотношение энергии для по- верхности теплообмена при наличии газовой завесы сохраняет обычный вид, если вместо ДТ подставить ДТ* = Т*т — Тст, а толщину потери энергии определить по формуле (VI.502). Принимаем предположение, что закон теплообмена в ви- де (VI.234) справедлив и для рассматриваемых условий, если определить по уравнению (VI.502) и Sto - по уравнению (VI.504), т.е. '(т+ 1)Д . 2Рг0’75 R / ** \ — тп St0 = - (ReT ) Рг"п. (VI.505) Интеграл уравнения энергии с учетом (VI.505) имеет вид Rer - ~ ( 0 - \ То — Тст 1 // гр гр \ 771-1" 1 Т> ( Г\ 1ОО СТ \ \ -1 оо ст 1 / **чт+1 т l/(m+l) ?Т )___ / Х = Х\ (VI.506) *1 424
Рис. VI.75. Схема тепловых потоков при пористом охлажде- нии С учетом уравнений для 0 из уравнения (VI.506) определи- ** ем Reт и по уравнению (VI.505) - локальные значения критерия Стантона. Величина локальных тепловых потоков в стенку опре- деляется по формуле Qct — cpoopoowoo (Тст — Тст) Sto, (VI.507) где Т*т = Too ~ €>(Тоо — TCTi), а эффективность завесы 0 нахо- дится по формуле (VI.496). VI. 7.2. Пористое охлаждение Пористым называется такой способ охлаждения, при ко- тором охлаждающий газ поступает в пограничный слой через проницаемую, пористую повер- хность. Если в качестве охла- дителя используется жидкость, то такой способ охлаждения на- зывается “выпотеванием”. В случае пористого охлаждения расход охлаждающего газа по сравнению с другими способа- ми газовых завес получается минимальным. На рис. VI.75 показана схе- ма тепловых потоков при пори- стом охлаждении. Тепловой поток от горяче- го газа передается к поверхно- сти пористого материала и да- лее распространяется в глубь материала вследствие теплопроводности. Охлаждающий газ, проходя через пористый материал, аккумулирует эту теплоту и нагревается до температуры стенки. В результате тепловой баланс для поверхности теплообмена можно записать в виде <?ст = jcT^p (Тст — т ). (VI.508) 425
Рис. VI.76. К расчету пористо- го охлаждения Рассмотрим случай (рис. VI.76), когда задан- ными являются парамет- ры основного и охлажда- ющего газа, а также тем- пература стенки и тре- буется определить расход охлаждающего газа, не- обходимый для обеспече- ния заданной температу- ры стенки. Из уравнения (VI.508) следует, что ЬТ1 = (То - Tcti)/(Tct - Т') = 1/Л, (VI.509) или kbq' = Ф5. (VI.510) Следовательно, уравнение энергии для плоского погранич- ного слоя запишется в виде dReRed(AT) / A; -(- 1 \ 4 (VL511) С учетом уравнений (VI.234) и (VI.511) имеем ** 1 1 + m Г и______ /1 + / ** + ^Re (VI.512) *0 Относительный закон теплообмена Ф § находим по формуле» (VI.247). Расход охлаждающего газа через пористую стенку опреде- ляем по формуле 428
Уст — Роо Wqo Sto Ф5 67^ , (VI.513) _ “ тч ** „ ** I Ист \ где Sto — ; Re ст = Re г I — j. 2 (ReCT) Pr”i / Для области дозвуковых скоростей течение газа при посто- янных Тст и Т1 и для граничных условий Retjt = 0 при х = О имеем ** Г1 + m ReT = ВФ5 1/(т+1) . (VI.514) о В этом случае формула для расхода охлаждающего газа име- ет вид 7/ unwftRe1/(m+1)*1/(m+1) 'И g X о (VI.515) а в случае обтекания плоской пластины (w = 1) (VI.516) Для ламинарного пограничного слоя В/2 = 0,22 и m = 1, для турбулентного пограничного слоя В/2 = 0,0128 и тп = 0,25. Как следует из формулы (VI.516), для поддержания посто- янной температуры пористой стенки расход охлаждающего газа 427
должен уменьшаться по длине пластины; для ламинарного по- граничного слоя уст ~ г-0’5, а для турбулентного пограничного СЛОЯ Jct ~ х ’ • Для степенного закона изменения скорости (w ~ хп) имеем jcT — D\ 1/(т + 1) „ -° \ /*ОО ~2J ~L ргП1/(1+"») (VI.517) В окрестности лобовой точки (n = 1) для ламинарного по- граничного слоя jCT = const, а для турбулентного пограничного слоя jCT ~ г0,6. Зная расход охлаждающего газа jCT, температуру поверхно-1 сти теплообмена tCT и начальную температуру газа Т1, нетруд- но определить распределение температуры по толщине пористой поверхности. VI.8. Теплообмен при течении разреженных газов Развитие новых областей техники, особенно космической, вызвало повышенный интерес к исследованию процессов теплоо мена в разреженных газах, когда необходимо принимать во вн: мание дискретную структуру газа. Это приходится делать в п случаях, когда плотность газа настолько мала, что средняя дл1 на свободного пробега молекул I соизмерима с характерным ли нейным размером L тела или, например, толщиной погранично! слоя, ударной волны, диаметром канала и т.п. Из кинетической теории газов известна следующая свя: между вязкостью газа и длиной свободного пробега: д = 0,499рй/. (VI.51! Кроме того, средняя скорость молекул v связана со скорость звука а соотношением v = ^8/тг у/р/р = ау/З/'к к , (VI. 51' где к — Ср/cv. 428
Следовательно, I = 1,255\/к и/а. (VI.520) Средняя длина свобод- ного пробега молекул возду- ха в атмосфере зависит от высоты над поверхностью Земли (рис. VI.77). На высо- те 80 км средняя длина сво- бодного пробега молекул равна примерно 25 мм, при таких условиях воздух уже нельзя рассматривать как сплошную среду, если харак- терный размер тела имеет тот же порядок. Следует различать среднее расстояние между молекулами и средний свободный пробег молекул. Например, на высоте 300 км от поверхности Земли средняя длина свободного пробега молекул 1 ~ 103 м, а среднее расстояние между молекулами А « 10-5 м. Из уравнения (VI.520) следует, что Рис. VI.77. Зависимость сред- ней длины пробега I молекул воздуха от высоты над поверх- ностью Земли I I L L v 1 L М 6 ' L 6 * 6 a L~ 6 Re' Для Re < 1 имеем 1/6 « 1, поэтому 1/6 ~ M/Re. (VI.521) (VI.522) Для больших значений критерия Re из теории ламинарного пограничного слоя следует L/6 ~ \/Re. Следовательно, 1/6 ~ М/л/иГ. (VI.523) Отношение 1/6 называется числом Кнудсена и характеризу- ет степень разреженности газа. 429
Течение газа вблизи стенки для случая, когда средняя дли- | на свободного пробега I мала, но по сравнению с размером тела t L или толщиной пограничного слоя 6 ею нельзя пренебречь, на- 1 зывается течением со скольжением. Этому типу течения соот- ветствует интервал 0,01 < 1/8 < 1. На рис. VI.78 эта область Ж течения ограничена кривыми 1/8 = 1 и 1/8 = 0,01. 1 Рис. VI.78. Области тече- ] ния газа: I I - свободномолекулярное тече-1 ние; II ~ течение со скольжением;'] III - течение в сплошной среде ] Справа от кривой 1/8 — 0,01 расположена область обычно^] аэродинамики, где справедливы допущения о сплошности среды.] Если длина среднего свободного пробега много больше раз-1 меров тела, то эта область называется свободным молекуляр-1 ным течением и на рис. VI.78 будет определяться соотношением] 1/L ~ М /Re > 10. В этой области изменение количества движе-| ния молекул вследствие соударения молекул между собой многая меньше, чем вследствие соударений молекул со стенкой или по-| верхностью тела. Поэтому для вычисления сил и тепловых псН токов здесь достаточно рассматривать удары потока молекул сей скоростями и энергиями, которые распределены в соответствии ся тепловым равновесием в свободном потоке, т.е. с распределением! Максвелла. В области между свободным молекулярным течение ем и течением со скольжением соударения между молекулами м соударения молекул со стенкой одинаково важны. 1 Для каждой области течения должны быть свои методы расе чета теплообмена. I Полнота обмена энергией между молекулами и стенкой хае рактеризуется коэффициентом термической аккомодации I 430
а — (еп ео)/(^п ~ ест), (VI.524) где еП) ео - потоки энергии падающих и отраженных молекул; ест - поток энергии, который уносился бы от стенки при пол- ном энергообмене, т.е. при условии, когда энергия отраженных молекул определена при температуре стенки. Обмен импульсом характеризуется коэффициентом аккомо- дации касательного импульса «п ~ «о йп (VI.525) где йп и й0 - средние тангенциальные скорости падающих и от- раженных молекул. При а = 0 отражение молекул от стенки полностью зеркальное, при сг = 1 - диффузное. Плотность теплового потока при свободномолекулярном те- чении определяется формулой <7свм — а(еп ~ ест)- (VI.526) В одноатомном газе поверхностью воспринимается только энергия поступательного движения. Поэтому еп — епост +оо 4-оо 4-оо —oo — oo — oo 1 2 - mv vx f dvx dvy dv2, (VI.527) где v у- полная скорость молекулы в пространстве; т - масса молекулы; / - функция распределения скоростей. Для равновесного, максвелловского распределения скоростей имеем _ ро (ух - w sin fl)2 4- (vy + w cos fl)2 4- ~ 7п(2тгЯТ0)3^ eXPL 2АТ° (VI.528) где w - скорость невозмущенного потока; в - угол атаки. 431
Для многоатомных газов необходимо учитывать внутрен- нюю энергию молекул. Поток внутренней энергии молекул на поверхность (VI.529) At где ji = (5 — Зк)/(к — 1) - число степеней свободы; N - число молекул, падающих на единицу площади поверхности в единицу времени N = vx f dvx dvy dvz —oa —oa —oo (VL530) Таким образом, для многоатомных газов еп — еПОСТ + евн- (VI.531) Можно показать, что поток энергии отраженных от стенки молекул многоатомного газа «ст = (4 + j) N. (VI.532)) Подставляя еп и ест в уравнение (VI.526) и принимая аккомоН дацию энергии одинаковой по всем степеням свободы, после инн тегрирования получаем j к + 1 Тст х 9свм — аРооТоо R 2 к + ГЙ1 2(4-1)^] (VI.533; где S = wo /y/2RToo = М у/к/2. 432
Для S > 1, т.е. для области гиперзвуковых скоростей, 9свм ~ 1 з • /1 Г - apxwx sin в 1 - к + 1 Тст‘ 2(Л - 1) Т^_ (VI.534) Отсюда при Qcbm - О Гс*т/Т*«2А/(Л+1). (VI.535) Таким образом, в свободномолекулярном потоке коэффици- ент восстановления не зависит от коэффициента аккомодации. Температура теплоизолированной стенки в гиперзвуковом потоке разреженного газа превышает температуру адиабатного тормо- жения. Знание температуры Т*т позволяет судить о направлении теплового потока. Если ТСт < ^с*т’ то тепловой поток поступает в тело. При Тст > Т*т тело отдает теплоту набегающему потоку газа. Этот вывод справедлив для случая, когда рассматривается только конвективный теплообмен. Однако в реальных условиях движения тел в разреженной атмосфере необходимо учи- тывать излучение с поверх- ности тела в окружающее пространство. На рис. VI.79 показана экспериментальная зависи- мость коэффициента восста- новления от числа Кнудсе- на при обтекании пластины и цилиндра воздухом [г = = (г - Гл)/(гсвм - гл), при- нято гл = 0,94]. Из рисун- ка следует, что свободномо- лекулярный режим наступа- в,н в,гв в,вб о,во {г г,о ч,в а,о п,в нп Рис. VI.79. Зависимость коэф- фициента восстановления от чи- сла Кп ет при Кп > 10. Для интенсивно охлаждаемого тела (S > ТСт/^о) и полной аккомодации (а = 1) из формулы (VI.534) получаем 1 з 9 = X PooWoo sin 0. (VI.536) 28-1005 433
Это предельное значение теплового потока составляет половину рассеиваемой энергии, приходящейся на единицу поверхности и вычисленной по сопротивлению тела в потоке с большими числа- ми М. Интегрируя уравнение (VI.533) по поверхности тела, можно получить выражение для суммарного теплового потока к телу любой формы. На рис. VI.80 приводятся результаты таких расчетов для ну- левого угла атаки при обтекании цилиндра, сферы и плоской пластины. По оси ординат отложен параметр оф St = 2k___________Q_________ k + 1 Poo^OqF Ср (Т*т ~ J?ct) (VI.537) где F - общая поверхность тела, а по оси абсцисс - параметр S = М у/к/2. Рис. VI.80. Теплообмен цилин- дра (Z), сферы (2) и плоской пластины (3) в свободномоле- кулярном потоке Как следует из графика, при S > 3 закон теплообме- на для цилиндра, сферы и плат стины, перпендикулярной к по- току, практически не зависит от числа М и тепловой поток определяется параметрами роо и Woo- При коэффициенте аккомо- дации а — 1 предельные значе- ния чисел Стантона для возду- ха равны: для пластины, нор- мальной к потоку, 0,435; для' сферы 0,275 и для цилиндра (ось цилиндра перпендикуляр- на к вектору скорости) 0,22. Для пластины, параллельной потоку, предельное значеш числа Стантона при весьма больших скоростях стремится к н; лю в соответствии с формулой a/JSt = 1/(М -^ттА). Для неп< движного газа (S = 0) из уравнения (VI.533) для выпуклых те получаем _ k + 1 / RT^o . т \ <7свм — apcv ~ \ — (Joo — Jct)- z V Z7T (VI.538 434
Таким образом, для расчета свободномолекулярный режим является относительно простым, однако серьезные трудности возникают при определении коэффициентов аккомодации. Коэффициент аккомодации а, входящий в расчетные форму- лы, может быть определен только экспериментально. Он зависит от природы газа и поверхности, на которой происходит аккомода- ция, а также от температуры и давления. К сожалению, экспери- ментальные данные по коэффициентам аккомодации недостаточ- но надежны и противоречивы. Опыты обнаружили зависимость коэффициента аккомодации от условий, при которых находилась поверхность перед экспериментом, что существенно затрудняет обобщение опытных данных. В области течения газа со скольжением (область II на рис. VI.78) на поверхности тела появляются скачки скорости и температуры. Для иллюстрации этого эффекта рассмотрим те- чение газа между двумя параллельно перемещающимися пласти- нами (так называемое течение Куэтта). В свободномолекулярном потоке (М /Re велико) молекулы переходят от одной стенки к другой, не соударяясь между собой, средняя скорость молекулы составляет tt/2, а средняя температу- ра газа равна (Т) + Тг)/2, если обе пластины имеют одинаковый коэффициент аккомодации (рис. VI.81, а). В области сплошной среды (М /Re очень мало) распределе- ние скорости и температуры между двумя пластинами линей- ное и на поверхностях пластин выполняются граничные условия обычной аэродинамики - условие “прилипания” (рис. VI.81, б). При промежуточных значениях М /Re, заключенных между 0,1 и 10, принимаются непрерывные изменения скорости и темпера- туры между пластинами, но эта непрерывность нарушается у стенки и появляются, как в свободномолекулярном потоке, ска- чок скорости (скольжение) и скачок температуры (рис. VI.81, в). Молекулярно-кинетическая теория газов с точностью до множителя, близкого к единице, позволяет определить скорость скольжения и температурный скачок у стенки: _ 2-a-;(dw\ 37 Г2Я (dT\ /ЛГТ ws=—1 (и )„U )„; (vL5M) ATS = Tr.„ _ т„ = 21 (^, (VI.540) 28' 435
у rt[Re — 00 _______и._________ «А| ' Г и ’7777777&7777777Я7777/ (rt*rg)/z “ ri т W7/W/Vtt/VMW/// а. н/Яе« 0(1) u(h) U тг тМ т(0Г\^ г, т /Я77777//?}/?)/////// У л и У У 6 м/ке^о У U Тг h а 77?Т777777777777^77777/ 1 Т В Рис. VI.81. Течение газа со скольжением между двумя пласти- нами: а - свободномолекулярное течение; б - течение в сплошной среде; в - те- чение со скольжением где Тг.ст ~ температура газа у стенки. 1ч , „ 2 — а к Величина f = 2----------—- называется коэффициентом! скачка. Второй член в уравнении (VI.539) выражает влияние термо- молекулярного течения - движение газа в направлении возраста- ния температуры . Скачки у стенки, как и следовало ожидать, пропорциональ- ны среднему свободному пути I и градиентам скоростей и темпе- ратур на пластинах. Так как при больших давлениях I мало, то> и скольжением газа на стенке и температурным скачком можно* пренебречь, что и является обоснованием гипотезы прилипани» газа к стенке, принимаемой в обычной газодинамике. При значениях Кп > 0,01 уравнения (VI.539), (VI.540) мож- но ввести в граничные условия уравнений Навье - Стокса и энер- 436
гии и решать задачу по определению коэффициентов трения и теплообмена обычными методами, рассмотренными в этой гла- ве. В частности, для случая обтекания сферы можно сделать предположение, что в режиме со скольжением теплообмен между газом и сферой радиусом R такой же, как в непрерывном потоке между газом и сферой радиусом R — 1. Из этого предположения следует, что температурный скачок создает добавочное терми- ческое сопротивление и уменьшает коэффициент теплоотдачи. Расчетная формула имеет вид (VI.541) 1 + £М Nuo/RePr’ На рис. VI.82 опытные данные Кэвено (точки) сопоставлены с данными расчета по формуле (VI.541) при коэффициенте скачка £ = 3,42. Сплошная кривая соответствует расчету для области 437
сплошной среды, штрихпунктирные линии - свободномолекуляр- ному режиму, а штриховые - режиму течения со скольжением при различных значениях числа М. Как видно, с увеличением числа Рейнольдса влияние числа Маха на теплообмен уменьша- ется. Уменьшение теплоотдачи из-за наличия скачка температур широко используется в технике при создании вакуумной изоля- ции. В частности, в криогенной технике широкое распростране- ние получила вакуумно-порошковая и вакуумная многослойная изоляции. Лучшие образцы многослойной изоляции при давле- нии меньше 0,133 Па имеют значение эффективной теплопровод- ности порядка 10-4 Вт/(м-К). Глава VII. ТЕПЛООБМЕН ПРИ ЕСТЕСТВЕННОЙ КОНВЕКЦИИ VII.1. Теплообмен при естественной конвекции в большом объеме VII. 1.1. Общие положения Естественная конвекция возникает в поле внешних массовы сил, которые могут иметь различную природу. В частном случа полем внешних массовых сил может быть гравитационное пол Земли. Этот частный случай широко распространен и носи' название тепловой гравитационной конвекции. Гравитационное поле Земли оказывает влияние на движени жидкости только при наличии в потоке свободных поверхносте или неоднородного распределения плотности. При отсутстви свободных поверхностей и однородном распределении плотност сила тяжести, действующая на элемент объема, выделенный жидкости, уравновешивается архимедовой силой выталкивани и может не приниматься во внимание. В общем случае при неоднородном распределении плотност действие силы тяжести не уравновешивается архимедовой сило! 438
В отличие от вынужденных конвективных течений, появление которых обусловлено внешними причинами, свободные или есте- ственные конвективные течения возникают исключительно под действием разности плотностей, связанной с неоднородностью температурного поля в жидкости или газе. Действие внешних массовых сил в уравнениях движения вяз- кой жидкости (IV.49) учитывается членами рдх, pgv и рдг, где р - плотность жидкости, в общем случае зависящая от темпера- туры и давления, а дх, ду и д2 - проекции вектора ускорения поля массовых сил на оси координат. При дальнейшем изложе- нии под полем внешних массовых сил мы будем подразумевать гравитационное поле Земли. В этом случае сила тяжести, действующая на единицу массы F, будет равна ускорению свободного падения д. Чтобы ввести в уравнение движения подъемную силу, пре- образуем первые два члена, стоящие в правой части уравнений (VI.50). Для уравнения, записанного в проекции на ось Ох, по- лучим др (др \ PFx - = (р-ро)9х- -pogxp (VII.1) где Fx - проекция силы тяжести на ось Ох; рд - плотность при некоторой постоянной температуре Тд в какой-либо фиксирован- ной точке потока. Полагая, что изменения рм.Т малы по сравнению с их абсо- лютными значениями, можно принять р-рд =-0р(Т-Тд)л (VII.2) а 1 ( др\ где р — — I — I - коэффициент объемного расширения жид- P\°I)V кости (для идеального газа /? = 1/Тж). Член уравнения (VII.1) рддх можно представить в виде Ро<7г — дрд/дх, где через рд обозначено гидростатическое да- вление, рассчитанное при условии, что плотность жидкости во всех точках объема постоянна и равна рд. Обозначив разность 430
р — pq = рх, после элементарных преобразовании уравнения (VII. 1) получим pFx - др/дх = gxfip (Т - То) - дрх/дх. Здесь член дх0р(Т — То) представляет собой проекцию подъем- ной силы, приходящейся на единицу объема жидкой частицы, на ось Ох. При этом предполагается, что плотность жидкости, окружа- ющей жидкую частицу с плотностью р, всюду постоянна и равна Ро- Вместо /вр удобнее пользоваться величиной /ЭоРо — $Р-> где 3 Дат), const „ 1 (др\ ± _ = , а /Зо = I 1 = const. Так как р р ро \OTJ слабо изменяется с температурой, то коэффициент /3 часто при- нимают постоянным и равным среднему значению в заданном интервале температур. Аналогичным образом вводится выражение для подъемной силы в уравнения движения, записанные в проекциях на оси Оу и Oz. Естественное конвективное течение часто встречается в природе и технике и возникает, например, около вертикально по- ставленной нагретой пластины или горизонтально расположен- ного нагретого цилиндра или тела иной формы. Если это течение возникает в большом объеме, оно обладает обычно свойствами, характерными для пограничного слоя. Рез- кое изменение скорости и температуры наблюдается лишь в от- носительно тонком пристенном слое, который так же, как и пр вынужденном движении среды, называется пограничным слоем Свойства, характерные для пограничного слоя, проявляются oct бенно отчетливо, когда теплопроводность и вязкость жидкост малы. Примерами сред с малыми значениями теплопроводност и вязкости могут служить вода и воздух. Если при вынужденном движении среды с постоянными ф1 зическими свойствами* поле скоростей в жидкости не зависи * Помимо конвекции при вынужденном и свободном движении среды во можна и смешанная конвекция, при которой естественная конвекция сопу' ствует вынужденной. 440
от температурного поля, то в условиях естественной конвекции скоростное поле непосредственно связано с распределением тем- пературы и плотности в поле течения. Это вызвано тем, что подъемная сила, являющаяся причи- ной свободного движения, зависит от разности температур в дан- ной точке и некоторой фиксированной точке потока. VII. 1.2. Вертикальная пластина Течение в пограничном слое при естественной конвекции на нагретой пластине можно сделать видимым с помощью различ- ных оптических методов. Для этой цели параллельно поверх- ности, отдающей теплоту, направляется пучок света, который, проходя в нагретом пограничном слое, дает на экране позади тела теневое изображение, позволяющее судить о толщине тем- пературного пограничного слоя и о местном коэффициенте те- плоотдачи. Теневое изображение возникает благодаря существованию градиента плотности в среде, окружающей тело. Отклонение лучей пропорционально градиенту плотности у поверхности тела и, следовательно, тепловому потоку. Кроме теневого метода исследования течений широко рас- пространен метод, основанный на интерференции света. Рас- шифровка интерферограммы, полученной методом интерферен- ционных полос, дает не только качественные, но и довольно точные количественные результаты. В частности, интерферо- метрические измерения позволяют получить данные о картине изотерм, температурных полях и локальных коэффициентах те- плоотдачи. В зависимости от размеров пластины, разности температур пластины и окружающей среды, физических свойств жидкости или газа, окружающего пластину, течение в пограничном слое при обтекании пластины (в условиях естественной конвекции) может иметь ламинарную или турбулентную форму. Интерферометрические измерения показали, что при есте- ственной конвекции на вертикальной пластине переход ламинар- ной формы течения в турбулентную наступает при Rax > 0, 7 • 441
10 , где Rax - число Релея, равное произведению числа Грасгофа Grr на число Прандтля Рг, Grr = дх2(3 |7ст - 7ж|/^2i Рг = р/а = = цСр/Х', х - продольная координата, отсчитываемая от нижней кромки вертикальной пластины в случае Тст > Тж и от верхней кромки в случае Тж > Тст. Таким образом, в зависимости от значения х на различных участках одной и той же пластины возможны как ламинарная, так и турбулентная формы течения в пограничном слое. Теплоотдача вертикальной пластины при естественной кон- векции была изучена экспериментально и теоретически многими учеными. Для математического описания рассматриваемого явления могут быть использованы уравнения движения и энергии с упро- щениями, характерными для течений в пограничном слое. Эти уравнения, известные под названием уравнений пограничного слоя для стационарных свободноконвективных течений, имеют следующий вид: dwx dwx d2wx . . М7ттч\ Wx ~dT + Wy ~di ~ V + (T " ж)’ (VI 3) dwx]dx + dWy/ду = 0; (VII.4) ЭТ дТ д2Т (VII.5)- где wx и Wy - составляющие вектора скорости вдоль осей (ось От направлена вдоль пластины, а ось Оу - по нормали к пластине):- Ранее, при выводе уравнений пограничного слоя (см. VI.1)W было показано, что давление р вдоль нормальной к пластине ко*-, ординаты у практически не изменяется и его можно принять рав~ ным давлению вне пограничного слоя. Так как вдали от плзи- стины давление равно гидростатическому давлению ро в давно! сечении г, то р(г) = ро(х). Следовательно, для вертикально пластины pi = р - ро = 0 и др\/дх = 0. По этой причине чле др\/дх в уравнении (VII.3) опущен. Аналитическое решение системы уравнений погранично! слоя для ламинарной области было получено Э. Польгаузено! 442
который показал, что после введения функции тока, удовлетворя- ющей соотношениям wx = dip/ду, wy = -dip/дх, (VII.6) уравнения в частных производных (VII.3) - (VII.5) могут быть сведены к системе двух обыкновенных дифференциальных урав- нений. Для этого применим следующее преобразование подобия: вместо независимых переменных х и у введем некоторую новую переменную г/ = Су/х^к, а вместо неизвестной функции тока ip - новую неизвестную функцию С = ^9(Т^-ТЖ)/^ТЯ) . (VII.7) Тогда в новых переменных составляющие вектора скорости wx и Wy выразятся следующим образом: wx = 4v х^С2/'-, Wy = vCx~ (rtf' - 3/). Подставляя эти выражения в уравнения (VII.3) - (VII.5) и вводя безразмерное отношение температур 0 = (Т - Тж)/(Тст - -Тж), получим два обыкновенных дифференциальных уравнения для определения неизвестных функций /(7) и 0(»у): + 3/ - 2 (/') 2 + 0 = 0; (VII.8) 0" + ЗРг/0' = 0. (VII.9) Система уравнений (VIL8) и (VII.9) решена для граничных условий I рода: wx — 0, Wy = 0, Т = Тст при у = 0; wx — 0, Wy — 0, Т = Тж при у = оо, которые в новых переменных принимают следующий вид: /С7?) = /'(»?) = 0, 0(п) = 1 при г) = 0; /(т?) = о, 0(т?) = 0 При 7} = оо. 443
Последующий переход к старым неизвестным функциям wx, Wy, Т и независимым переменным х и у позволяет вычислить скоростное и температурное поля в жидкой или газообразной сре- де, окружающей пластину. Решения этих уравнений для различных чисел Прандтля графически представлены на рис. VII.I. Они пригодны как для случая охлаждения пластины (ТСт > 7ж)> так и Для случая ее нагревания (Тст < Тж). Рис. VII.1. Зависимость f и О от т) при различных числах Прандтля 444
Из решений следует, что толщина динамического и темпера- турного пограничных слоев пропорциональна аЛ4. Эксперимент подтверждает теоретические расчеты (рис. VII.2). Рис. VII.2. Сравнение результатов численного решения (кри- вые) с экспериментальными данными (точки) при х, равном 11 (1), 7 (2), 4 (5), 2 (4), 1 (5) И 0,3 см (6) По распределению температур в пограничном слое на пла- стине легко вычислить количество теплоты, переходящее от пла- стины к жидкости, поскольку в соотвествии с законом теплопро- водности Фурье qcr = -Х(дТ/ду)„, (VII.10) 445
где 9СТ - локальное (местное) значение плотности теплового по- тока на поверхности пластины, зависящее от х. Кроме того, в соотвествии с законом Ньютона плотность те- плового потока пропорциональна разности температур поверхно- сти твердого тела и окружающей среды: <7ст = Qi^fJcT ~ Тж), (VII.11) где ах - локальное значение коэффициента теплоотдачи. Пере- ходя от Т к безразмерной температуре, из выражения (VII.10) получаем <7ст = —ХСх~ (dQ/dri)CT(TCT - Тж). (VII.12) Результаты решения уравнений (VII.3)-(VII.5) представле- ны в работе [41] в виде таблиц, из которых следует, что для воз- духа (dQ/drf)CT = -0,508. Из соотношений (VII.11), (VII.12) мо- жет быть получено выражение, определяющее значение локаль- ного числа Нуссельта на пластине: Nux = 0,359 Grt/4, (VII. 13) где Nux = <ххх/Х, Grx — дх3Р(ТС1: - Тж)/и2. Из формулы (VII.13) следует, что ах ~ ж-1/4 и уменьшается в направлении движения среды. При необходимости можно вычислить полное количество те- плоты, переходящее от пластины к окружающей среде: I Q = b У qCTdx = 0,508 bfacX (Тст - Тж), о где Ь - ширина; I - длина пластины (учитывается теплоотдача с одной стороны пластины). Вводя понятие среднего коэффициента теплоотдачи, полу- чим ___ 0 = а (Тст - Тж) Ы = &AN?(Тст - Тж), 446
где Nu = al/X. Вводя число Грасгофа и заменяя С его значением из соотношения (VII.7), составим уравнение подобия для расчета теплоотдачи от пластины к воздуху: Nu = 0,478 Grj/4, (VII.14) в котором Gr/ = gl3/3 |Тст - Тж\/и2 (Тст = const). О влиянии числа Прандтля на интенсивность теплоотдачи при ламинарной естественной конвекции можно судить пр следу- ющим данным (здесь Raj = Gr/Pr - число Релея, построенное по определяющему размеру I); Pr 0,003 0,008 0,01 0,02 0,03 Nu/RaJA ... 0,182 0,228 0,242 0,280 0,305 1 2 010 0100 1000 0,535 0,568 00,620 00,653 0,665 Были также теоретически исследованы предельные случаи, соответствующие Рг —> 0 и Рг —> оо. Оказалось, что при Рг —> 0 Nu /(Gr/ Рг2)1/4 = 0,80, а при Рг —> оо Nu /(Gr/ Pr)1/4 = 0,67. Рассмотренная выше задача была также решена П.М. Брдликом приближенно методом интегральных соотноше- ний. Интегрируя уравнения (VII.3) и (VII.5) по сечению погра- ничного слоя, получаем интегральные соотношения импульсов и энергии в виде 6 6 4- [ w2xdy = д0 !{Т - Тж) dy - и (; 0 О ст [ WX(T-Tx)dy =-а(^\ . dx J \dyJcT о (VII.15) (VII.16) 447
Принимая степенные законы изменения скорости и темпера- туры по толщине пограничного слоя и равенство толщин дина- мического и теплового пограничного слоя, имеем 2 У wx = w\~ т-тж Тст — Тж ЗА2 ч (VII.17) (VII. 18) где w\ - неизвестный параметр, имеющий размерность скорости. Из уравнения (VI.17) следует, что максимум скорости на- ходится на расстоянии у = 6/3 от стенки и wmax = (4/27) wj. После подстановки уравнений (VII. 17) и (VII. 18) в соотношения (VII. 15) и (VII. 16) получаем 7^ Т- (W1V = 1{Кт -Тж)8-и^- (VII. 19) lUo ах Л о (VII.20) 30 ах о Представим зависимость w; и i от продольной координаты в виде степенных функций wi = Cwxm и ё = С$хп. Тогда из соотношений (VII. 19) и (VII.20) получаем ^^ClCgx2^-1 =д/3{ТСт-Тж)^-хп ~^Vxm~n-, 105 3 Cg Так как эти уравнения должны быть справедливы при любых х J показатели степеней в каждом члене должны быть одинаковы,] т.е. | 2m + n- l = n = m-n; I m + n — 1 = — n. I 448 1
Отсюда т = 1/2 и п = 1/4. С учетом этих значений определяем параметры Cw и С$: Cw = 5,171/ (0,952 + Рг)"0’5 [д0 (Тст - Тж)/^]0’5; Cs = 3,93 (0,952 + Рг)0’25 [д/3 (Тст - Уж)/*2]-0’25 Рг"0’5. Максимальную скорость и толщину пограничного слоя вы- числяем по формулам wmax = ~ wi = 0,766 (0,952 + Рг)0’5 Gr0’5; 6/х = 3,93Рг~°’5 (0,952 + Pr)0’25 Gr"0’25. Из выражения (VII.18) следует, что а = 2Х/8 и Nu^ = 2а:/й. Следовательно, Nu я = 0,508 Рг Рг+ 0,952 V4 (СгжРг)1/4. (VII.21) Эта зависимость при 10“2 < Рг < 103 с ошибкой, не превышаю- щей 10 %, согласуется с точным решением. Задача о естественной конвекции на вертикальной пластине может быть рещена и в том случае, когда на поверхности пла- стины задан постоянный тепловой поток 9ст = -А (ОТ/ду)ст = const, а температура поверхности неизвестна (граничные условия II ро- да). При этих условиях система дифференциальных уравнений в частных производных (VII.3) - (VII.5) может быть сведена к Двум обыкновенным дифференциальным уравнениям с помощью следующей замены переменных: ч = С1-тг; /(>))= = С1(^~Г)Л, (vn.22) х С%х '5 х /5дСт 29-1005 449
где = ’ С2=\ Л ) В новых переменных с учетом соотношений (VII.6) и (VII.22) составляющие вектора скорости примут вид wx = C1C2x3f5f\7l)-, wy = [т?/'(»?)-4/(7)]. Подставляя полученные выражения в систему уравнений (VII.3) - (VII.6), получим два обыкновенных дифференциальных уравнения: /"'-3(/')2 + 4//"-0 = О; 0" + Рг [4 0' f - О/' ] =0, (VII.23)j (VII.24; которые могут быть решены численно с помощью ЭВМ. В новых переменных граничные условия к системе уравн ний (VII.23), (VII.24) запишутся следующим образом: / = 0, /' = 0, 0' = 1 при 7 = 0; /'= 0, 0 = 0 при 7 = 00. Результаты решения системы уравнений (VII.23), (VII.2' удобно обобщить в виде следующих формул: 1 Nu х = —т----- 5^ 0(0) 5^ 9ст х0(О) (VII.2! где Gr* = з/З^ст®4/Ам2 - модифицированное локальное чис. Грасгофа; Nu х = ах х/Х; Тст(х) ~ температура поверхности пл стины. 450
Ниже приведены значения функции 0(0), зависящие от кри- терия Рг: Рг........ 0,1 1 ю 100 0(0)...... -2,7507 -1,3574 -0,76746 -0,46566 Эта задача, как и предыдущая, может быть решена при- ближенным методом интегральных соотношений. Полученное П.М. Брдликом приближенное решение Nu £ = 0,616 удобно сравнивать с формулой (VII.21) для граничных условий I рода. Положив в формуле (VII.25) х = 1/2 и имея в виду, что при этом qCT = а (Тст ~ Тж)//2, получаем Nu = (VII.26) Здесь а - коэффициент теплоотдачи, основанный на разности температур (Тст — Тж)//2; (Тст — Тж)//2 - разность температур в сечении х = 1/2; I - длина участка вертикальной пластины с ламинарным режимом течения в пограничном слое; Nu = al/X, Gr^g/313 (Тст— Tx')i/2/v2. Значение Nu /(Gr/)1/4, найденное из формулы (VII.26) при решении задачи с граничными условиями II рода (gCT = const), целесообразно сравнить со значением Nu/(Gr/)1/4, полученным при точном решении задачи о естественной конвекции на верти- кальной пластине при граничных условиях J рода (Тст = const): Рг 0,1 1 10 100 Nu /GrJ^* при qCT = const 0,224 0,543 1Д1 2,07 Тст — const 0,219 0,535 1,10 2,07 29' 4S1
Из приведенных данных следует, что безразмерный ком- плекс Nu /(Gt/)1/4, определенный по разности температур (Тст - ?ж)|/2 при qCT = const, близок к значению Nu^Grj)1/*, вычисленному для условий Тст = const. Полученные решения строго справедливы лишь для малых разностей температур (Тст — Тж), поскольку при расчетах пред- полагалось, что физические свойства газа или жидкости явля- ются постоянными. В действительности они переменны и заг висят, в частности, от температуры. При решении уравнений (VII.3)-(VII.5) учитывали лишь зависимость р(Т) в члене, выра- жающем подъемную силу. Изменение параметров д, А, ср, р и /3 с температурой при больших разностях температур пластины и среды приводит к существенному изменению профилей температуры и скорости в пограничном слое. При переменных физических свойствах тепловые потоки для случая нагревания и охлаждения пластины при прочих равных условиях не одинаковы. Уравнения пограничного слоя при переменных свойствах жидкости или газа принимают следующий вид: dwx , dwx , . д ( dwx\ st+st=я ~р':+тУ V* ; д д . . _ Тх + Т (',w’)= ; ( дТ дТ\ д Л дТ\ ^{w’T + w‘T;) = ai\.-хву)' Эти уравнения, так же как и в случае постоянных физически: свойств, могут быть преобразованы к системе двух обыкновен ных дифференциальных уравнений, решение которых являете гораздо более простой задачей по сравнению с решением систе мы уравнений в частных производных. Граничные условия для этой системы не отличаются о' условий для рассмотренного выше случая постоянных физиче ских свойств. Если принять, что газ обладает свойствами, ко торые удовлетворяют соотношениям др = const, дА = const, ср = const, p = p(RT), (VII.27 452
то система обыкновенных дифференциальных уравнений для сре- ды с переменными свойствами совпадает с полученной ранее си- стемой (VII.8), (VII.9) для среды с постоянными свойствами. Таким образом, все решения, полученные для системы (VII.8), (VII.9), становятся приемлемыми для газа, обладающего свой- ствами (VII.27). Анализ влияния на теплообмен изменения физических свойств газа с температурой, основанный на решениях с упроща- ющими предположениями (VII.27), а также на непосредственном численном интегрировании соответствующей системы обыкно- венных дифференциальных уравнений с сохранением всех чле- нов, был выполнен Спэрроу и Грегом. В общем случае пред- полагалось, что зависимости А(Т) и д(Т) соответствуют закону Сатерленда, т.е. А = А 1 + <?1 - (т/то) + с/ (VIL28) f Т у2 1 + 6*2 (Т/Т0) + С2’ а изменение теплоемкости с температурой линейно. В форму- лах (VII.28) Аои До " теплопроводность и динамическая вязкость при 0°С; С\ и 6*2 - некоторые постоянные, зависящие от ро- да газа. Для воздуха, например, С\ = 0,786; С2 = 0,447; Ао = 2,44-10-2 Вт/(м-К); д0 = 17,2 • 10”6 Па с. Путем сопоставления результатов большого количества ре- шений, полученных для сред с постоянными и переменными свой- ствами, было показано, что влияние зависимости физических свойств от температуры для газов может быть довольно точно учтено путем искусственного введения некоторой определяющей температуры Т* = Тст — 0,38 (Тст ~ Тж), при которой параметры д, А, ср и Рг следует подставлять в формулы (VII.13) и (VII.14), полученные для случая постоян- ных свойств. При этом считают, что коэффициент объемного расширения /3 = 1/Тж, а число Прандтля изменяется от 0,7 до 1. 453
Аналогично было показано, что для ртути в качестве опре- деляющей температуры следует принимать величину Т* = Тст ~ 0,3(Тст ~ Тж), при которой нужно определять все физические параметры, вклю- чая коэффициент /3 и число Рг. Полученные результаты были подтверждены эксперимен- тально и справедливы в практически используемом диапазоне температур. Для расчета теплоотдачи от широкой наклонной пластины к воздуху (Рг=0,73) существует следующая формула: NT = 0,48 [(1 + cos v>)/2] GrJ/4, (VII.29) в которой ф - угол между нижней теплоотдающей поверхностью пластины и вертикалью; Gr/ = д13(Тст — Тж)/&2ТЖ; I - длина пластины. Формула (VII.29) справедлива при 105 < Gr/ < 109 и 0 < ср < 90°. При ср = 0 пластина вертикальна, при ср = 90° - горизонтальна (теплоотдающая поверхность обращена вниз). В том случае, когда нагретая (теплоотдающая) поверхность обращена вверх, применяется формула NT= 0,54Ra1/4, (VII.30) справедливая для квадратных пластин при 105 < Ra < 2 -107. В этих формулах физические свойства отнесены к темпера- туре 0,5(Тст + Тж). В формуле (VII.30) за характерный размер принята сторона квадрата. Эту формулу можно применять и в том случае, когда холодная сторона пластины обращена вниз (Тег < Тж). Как уже отмечалось в начале настоящей главы, при Ra > 0,7 • 109 течение в пограничном слое переходит в турбу- лентное, и формулы, полученные для ламинарной области, ока» зываются неправомерными. Для турбулентной естественной конвекции пока не суще* ствует строгой теории, и интенсивность переноса теплоты пр» 454
турбулентном режиме может быть рассчитана по формулам, по- лученным эмпирическим или полуэмпирическим путем. Было показано, что при достаточно высоких числах Релея интенсивность переноса теплоты путем конвекции, характери- зуемая коэффициентом теплоотдачи а, в пределах погрешности измерений не зависит от размеров пластины, т.е. было найдено, что число Нуссельта пропорционально Gr1^. Эксперименты, проведенные с капельными жидкостями при числах Рг = 2,4... 118, позволили получить следующую зависи- мость для теплоотдачи вертикальной пластины при естествен- ной конвекции: Nu” = 0,0674 (Сг/Рг1-29)^. Она справедлива при 4 • 1О10 < Ra/ < 9 • 1011. Для расчета теплоотдачи при турбулентной естественной конвекции на вертикальной пластине в случае q = const могут быть также использованы следующие приближенные формулы, полученные Эккертом и Джексоном полуэмпирическим методом: Nuj = 0,0295Да^Рг1/15 (1 + 0,494 Рг2^)”^ для локальных значений коэффициентов теплоотдачи и Nuj = 0,0246 Ra^ рЛ15 (1 + 0,494 Рг^)~ для их средних значений (109 < Ra/ < 1012, 0,7 < Рг < 10). VII. 1.3. Горизонтальный цилиндр Для Ra < 0,7- 10э существует аналитическое решение задачи о теплоотдаче бесконечно длинного горизонтального цилиндра в условиях естественной конвекции. Это решение основано на теории ламинарного пограничного слоя и хорошо согласуется с результатами измерений. 465
Аналитическое решение для цилиндра, так же как и для случая обтекания пластины, получено путем замены перемен- ных, позволяющей преобразовать уравнения пограничного слоя в обыкновенные дифференциальные уравнения. Такое преобраг зование оказалось возможным потому, что решение рассматри- ваемой задачи относится к классу подобных решений. Теоретическое решение, полученное Германом для длинного горизонтального цилиндра, приводит к формуле Nu х = 0,604 f(y>) Grl/4 (x/dfr, (VII.31) где Nux = ахх(Х', ax - локальное значение коэффициента те- плоотдачи; х - криволинейная координата, отсчитываемая от передней критической точки вдоль контура цилиндра; f(cp) - не- которая функция, зависящая от центрального угла ср, отсчиты- Q^X^ ваемого от передней критической точки; Grr = —— (Тст - Тж); I/2 d - диаметр цилиндра. Значения функции f(cp), полученные решения, таковы: им град... №)...... О 30 60 0,760 0,752 0,718 90 120 150 165 1 0,664 0,581 0,458 0,360 0 Формула (VII.31) справедлива при ламинарном режиме т чения в пограничном слое и Рг=0,73. Влияние на теплообмен числа Прандтля можно определит пользуясь следующей зависимостью: Nug/Gr1? (Nus/Gri/4') \ ' /Рг=0,73 2-21 1,143+Рг/ Из формулы (VII.31) для локального значения числа I сельта Nu х может быть получена формула для среднего по верхности цилиндра числа Нуссельта Nu,/: Nud = 0,372 (Gr,/)1/4, (VII. 456
Tf— —p, 9 fid (^ст ~~ Tyg) где Nu j = ad/A; Grj =--------=-----'- d - диаметр цилиндра. v£ При равных числах Грасгофа и I = d средний коэффициент теплоотдачи для вертикальной пластины в 1,29 раза больше, чем для горизонтального цилиндра. Для расчета средней теплоотдачи горизонтального цилин- дра при различных числах Прандтля могут быть использованы приведенные ниже результаты, полученные путем сочетания не- которых теоретических соображений с эмпирическими коэффи- циентами: Raj Nud 10~3 0,497 10-2 0,616 10"1 0,785 1 1,03 10 1,42 102 2,04 103 104 10s 10е 107 10s 3,10 4,92 8,14 13,8 23,9 41,8 Во всем диапазоне чисел Raj эти данные хорошо согласу- ются с экспериментальными результатами, полученными в опы- тах с воздухом, анилином, бутаном, хлористым этилом и маслом различными исследователями. При числах Raj > 105 и Рг=0,74 эти данные с точностью до 2 % совпадают с расчетом по урав- нению (VII.32), найденному путем решения уравнений погранич- ного слоя для горизонтального цилиндра. Пользуясь приведен- ными .данными, физические параметры среды следует* относить к температуре 0,5 (Тст + Тж). В литературе имеются также приближенные зависимости подобия, которые с некоторой погрешностью позволяют обоб- щить экспериментальные данные по естественной конвекции для тел простейшей формы: вертикальных пластин, горизонтальных и вертикальных цилиндров и шаров. Такова, например, при- веденная ниже формула, полученная путем обработки большого количества опытных данных различных исследователей: Nu~ = CRan. 457
При выводе этой формулы за характерный размер для вертикальных пластин и цилиндров принимали высоту, а для горизонтальных цилиндров и шаров - диаметр. Физические параметры относили к температуре 0,5(Гст + Тж)> Рг > 0,7- Анализ экспериментальных результатов показал, что в диа- пазоне 10-3 < Ra < 5 • 102 имеет место режим, который мо- жет быть назван режимом псевдотеплопроводности. В указанном диапазоне чисел Релея п = 1/8, а С = 1,18. В режиме псевдотеплопроводности распределение темпера- тур в среде, окружающей тело, лишь незначительно отличается от температурного поля в условиях чистой теплопроводности, ко- торое имело бы место при полном отсутствии движения в среде. Для диапазона 5 • 102 < Ra < 2 • 107 характерно существо- вание окончательно сформировавшегося ламинарного погранич- ного слоя у поверхности тела. Это режим развитой ламинарной конвекции, для которого п = 1/4, а С = 0,54. Диапазон 2 • 107 < Ra < 1013 включает переходный и турбу- лентный режимы течения в пограничном слое. В этом диапазоне п = 1/3, аС = 0,135. В действительности переход от одного режима к другому происходит довольно плавно. Каждый режим охватывает не- сколько большую область изменения числа Релея, чем это указа- но. Границы этих режимов в значительной мере зависят от усло- вий развития процесса и внешних возмущающих обстоятельств, имевших место при проведении опытов. Из теории подобия известно, что обязательной предпосылкой, подобия физических явлений является геометрическое подобие об- текаемых тел. Обобщение опытных данных для тел различной) формы, полученное ценой некоторого разброса опытных точек, j оказалось возможным благодаря тому, что при естественной кон-) векции в большом объеме влияние формы имеет второстепенное? значение. Существенно, что при развитом турбулентном течении в по-; граничном слое интенсивность переноса теплоты практически н< зависит от размеров тела, еле Релея оказался близок поскольку показатель степени при чи-ё к 1/3. Эта закономерность позволяет: изучать процесс на уменьшенных моделях. 458
Используя для расчетов теплоотдачи зависимости, получен- ные методами теории подобия, необходимо помнить, что пределы их применимости определяются диапазоном безразмерных ком- плексов (Gr, Рг, Ra), в котором они получены. Кроме того, необ- ходимо иметь в виду, что каждая из зависимостей справедлива лишь при условии, что характерный размер тела и определя- ющая температура для физических параметров будут приняты точно такими, какими они были выбраны при построении форму- лы. V II.2. Теплообмен при свободном движении в ограниченном объеме V II.2.1. Общие положения Выше были рассмотрены случаи теплообмена при естествен- ной конвенции в большом (неограниченном) пространстве. В этих условиях процессы нагревания и охлаждения жидкости про- текают на значительном расстоянии, а восходящие и нисходящие токи не оказывают сколько-нибудь заметного влияния друг на друга. В ограниченном объеме толщина пограничного слоя стано- вится соизмеримой с размерами самого пространства, и процес- сы нагревания и охлаждения нельзя рассматривать независимо. Если в большом объеме интенсивность переноса теплоты срав- нительно слабо зависит от формы обтекаемого тела, то в огра- ниченном объеме процесс формирования скоростного и темпера- турного поля в жидкости или газе совершается под сильным вли- янием формы стенок. Процессы теплообмена при естественной конвекции в огра- ниченном пространстве встречаются в ряде технических прило- жений. С этими процессами связаны теплоизоляция трубопро- водов, зданий, печей и емкостей с помощью газовых прослоек; формирование температурных полей и перенос теплоты в отсе- ках и баках сверхзвуковых самолетов, ракет и космических ле- тательных аппаратов; теплообмен в радиоэлектронных устрой- ствах; перенос теплоты в пористых телах и средах. Процессы 459
теплообмена при естественной конвекции имеют практическое значение в геодезии, когда приходится иметь дело с Нагретыми жидкостями, остающимися в замкнутом пространстве, а также в криогенной технике при длительном хранении сжиженных газов. Особый интерес для Практических приложений представля- ет собой случай переноса теплоты через горизонтальную, верти- кальную или наклонную плоскую щель, а также перенос теплоты через кольцевую или шаровую прослойку, заполненную жидко- стью или газом. V II. 2.2. Длинные горизонтальные слои В том случае, когда горизонтальный слой жидкости или газа подогревается сверху, в поле течения устанавливается состояние гидростатического равновесия, и перенос теплоты через слой мо- жет осуществляться только путем теплопроводности и теплово- го излучения*. Отсутствие конвекции возможно лишь в строго горизонтальном слое при 1\ > Т2 и однородном распределении температур на границах слоя. В этих условиях более плотные холодные частицы жидкости находятся у нижней стенки (имею- j щей температуру Т2) и не могут опуститься ниже. Точно так же 1 менее плотные нагретые частицы, находящиеся у верхней нагре- 1 той стенки (имеющей температуру Ti), не могут подняться вы- 1 ше. Это случай так называемого устойчивого расслоения плот- 1 ности. При нагревании слоя газа снизу (Т2 >71) при некоторых 1 условиях оказывается также возможно гидростатическое равно-; | весне в газе. Положив в уравнениях движения и энергии соста? | вляющие вектора скорости равными нулю и считая газ невязким! и нетеплопроводным, получим систему уравнений, выражающих! условия гидростатического равновесия в сжимаемом идеально^! газе, для которого р = pRT‘. dp/dx = рд\ pCpdT/dx = dpfdx. Л * Теплообмен излучением является предметом специальной главы и здес*9 на рассматривается. <"1 460
Здесь предполагается, что ось Ох направлена вертикально вверх, а направление вектора ускорения свободного падения V проти- воположно положительному направлению оси Ох. Из этих уравнений следует, что в условиях гидростатиче- ского равновесия dT/dx = д/ср. Возникновение конвекции возможно лишь при dT/dx > д/ср. С физической точки зрения это означает, что увеличение плотности в отрицательном направлении оси ОХ под действием силы тяжести компенсирует уменьшение плотности за счет на- гревания нижней стенки и при выполнении условия dT/dx < д/ср гидростатическое равновесие газа не нарушается. На основании более строгой теории, учитывающей влияние вязкости и теплопроводности в несжимаемой жидкости, было по- казано, что в бесконечно длинном горизонтальном слое жидко- сти, подогреваемом снизу, конвекция возникает при Ra= GrPr > RaKp, (VII.33) где RaKp = \gf№ (Т\ — Тг)/(1,а)]кр - некоторое критическое зна- чение числа Релея, RaKp = 1700; 6 - толщина слоя (расстояние между нагретыми стенками). Таким образом, неоднородное распределение плотности в жидкости или газе не всегда приводит к возникновению свобод- ного движения. Конвекция возникает лишь при условии неустой- чивого расслоения плотности. Теоретические исследования привели к установлению усло- вия (VII.33), которое было подтверждено также эксперименталь- но. Было показано, что после появления термической неустой- чивости в горизонтальной щели, заполненной жидкостью, воз- никает движение с ячеистой структурой потока. Визуализация течения с помощью прозрачных стенок и взвешенных в жидкости твердых частиц показала, что форма ячеек в плане напоминает соты. 461
Используя аналогию с вибрирующей диафрагмой, Релей те- оретически показал, что такая (шестиугольная в плане) ячейка соответствует наиболее устойчивой форме течения. При 1700 < Ra < 3 • 103 - вследствие низкого уровня скоро- стей течение может быть названо ползущим. В данном диапазоне чисел Релея, по данным работы Шмидта, Nu” = 0,0012 Ra0’9. (VII.34) При возникновении конвекции жидкость поднимается в цен- тре шестиугольной ячейки и опускается на ее переферии. В опы- тах с воздухом наблюдается противоположная по направлению картина течения. Эти особенности течения связаны с различным характером зависимости вязкости от температуры для жидко- стей и газов. Вязкость газов растет с повышением температуры, в то время как у жидкостей эта зависимость является обрат- ной. Направление распространения начальных возмущений при возникновении конвекции, в свою очередь, зависит от того, как изменяется вязкость внутри слоя. Режим развитой ламинарной конвекции наступает при бо- лее высоких числах Релея. Для 3 • 103 < Ra < 2,5 • 104 является * характерным степенной закон изменения числа Нуссельта в за- висимости от числа Релея: NT= 0,24Ra1/4. (VII.35); В этом диапазоне чисел Релея при соблюдении изотермично* сти границ может существовать двухмерная структура течение; в виде чередующихся длинных валов, оси симметрии которыж параллельны стенкам щели. При этом по мере увеличения числ* Релея отношение периода чередующихся восходящих и нисходя- щих токов к толщине слоя увеличивается от 2 до 2,8. При более высоких числах Ra течение становится трехмер* ным и появляются признаки перехода к турбулентному течению*, В диапазоне 2,5 • 104 < Ra < 3 • 104 справедлива следующ формула: N7= 0,3 Gr°’16Pr0’21, (VII.3 462
а при Ra > 3 • 104 Nu = 0,1 Gr0-31 Pr0'36. (VII.37) Оптические измерения, выполненные Шмидтом и Саундер- сом, показали, что турбулентный режим в длинном горизонталь- ном слое жидкости появляется при Ra > 5 • 104. Более поздние исследования свидетельствуют, что помимо числа Релея переход к турбулентному режиму зависит также и от числа Прандтля. В менее вязких средах турбулентность по- является при более низких числах Релея. Из соотношений (VII.36) и (VII.37) следует, что при Ra > 2,5 • 104 число Релея не является единственным опреде- ляющим безразмерным комплексом. При больших числах Релея влияние на теплообмен числа Грасгофа и Прандтля становит- ся неодинаковым. В формулах (VII.34)—(VII.37) числа подобия заданы следующим образом: Gr = ^3(Т2-Г1)№; Рг = дср/А; Nu” = Аэ/А. Все величины, определяющие физические свойства среды, отнесены здесь к средней температуре в прослойке 0,5 (Т\ + Т2). За характерный размер принята толщина прослойки S. В ин- женерных расчетах переноса теплоты через прослойки и щели вводится понятие эквивалентного коэффициента теплопроводно- сти Аэ. Среднее число Нуссельта Nu для плоской прослойки постро- ено здесь в виде отношения Аэ к теплопроводности среды А, за- полняющей прослойку. Таким образом, среднее число Нуссельта показывает, во сколько раз увеличивается интенсивность пере- носа теплоты за счет естественной конвекции по сравнению с интенсивностью переноса теплоты в условиях чистой теплопро- водности. По среднему значению числа Nu определяется средняя плот- ность теплового потока q, проходящего через слой жидкости или газа: 463
Nui = Ai g=^(T2-Tl) = ^(T2-Tl). О о Следует иметь в виду, что в рассматриваемых условиях бла- годаря сложной вихревой структуре течения в прослойке локаль- ные (местные) числа Нуссельта изменяются вдоль границ про- слойки. Значения локальных чисел Нуссельта Nu 1, Nu 2 для про- слоек определяются следующими соотношениями: 6 хт (дт\ 6 джДАДТ’ Nu2 “ А2 \aaj2 АДТ’ в которых индексы “1” и “2” означают, что данный параметр относится к стенке с температурой Т\ и Т2 соответственно, ДТ = Т2 — Ti (Т2 > Ti); А - теплопроводность среды при средней температуре в слое. При постоянных физических свойствах сре- ды А] = А2 = А. В пределах каждой вихревой ячейки локальное число Нуссельта уменьшается по мере того, как толщина темпе- ратурного пограничного слоя растет. Детальная информация о локальной структуре вихревого те- чения получена благодаря появившимся в последнее время чи- сленным решениям уравнений Навье-Стокса. Такие решения оказались возможны в связи с развитием численных методов и появлением быстродействующих ЭВМ с большим объемом опе- ративной памяти. Градиенты температур (ЭТ/дх)} и (дТ/дж)2 могут быть найдены по результатам численного решения. Зависимость числа Nu от числа Ra для горизонтальных сло- ев, построенная по результатам численного решения, представле- на на рис. VII.3. Приведенные выше формулы справедливы для длинных го- ризонтальных слоев, подогреваемых снизу. Для слоев ограни- ченной протяженности наличие боковых стенок приводит к уве- личению критического числа Релея, определяющего условия воз- никновения конвекции. 404
Рис. VII.3. Зависимость числа Nu от числа Ra: кривая - численное; решение; точки - эксперимент; 1 - воздух; 2 - вода; 3 - гептан; 4 ~ этиленгликоль; 5 - силиконовое масло Благодаря влиянию боковых стенок интенсивность перено- са, теплоты через слой понижается. Это особенно заметно при низких числах Релея вблизи порога устойчивости. VII. 2.3. Вертикальные слои В вертикальном слое газа или жидкости, ограниченном плоскими твердыми стенками, имеющими различные температу- ры, под действием разности температур возникает неустойчивое расслоение плотности и гидростатическое равновесие существо- вать не может. Конвективное движение возникает сразу, как только число Релея становится отличным от нуля, и плавно на- растает по мере увеличения числа Релея. В вертикальных слоях возникает циркуляционное течение с восходящим потоком вдоль вертикальной стенки, имеющей бо- лее высокую температуру, и нисходящим потоком вдоль стенки с низкой температурой. Рассмотрим конвекцию в вертикальных прямоугольных по- лостях, горизонтальные границы которых теплоизолированы. По имеющимся в настоящее время данным могут быть ука- заны следующие ориентировочные границы для режимов течения и теплообмена в этих условиях. При естественной конвекции воздуха в вертикальном слое с отношением высоты к ширине 30-1005 485
h/6 = 10 в диапазоне 0 < Gr < 2,8 • 103 - режим псевдотеплопро- водности, при котором интенсивность переноса теплоты остается на уровне теплопроводности, несмотря на то, что скорости в поле течения отличны от нуля (здесь число Gr построено по ширине щели 6). При 2,8 • 103 < Gr < 2,5 • 104 существует некоторый промежуточный режим, предшествующий появлению темпера- турных пограничных слоев на вертикальных стенках, которые поддерживаются при постоянных, но различных температурах. В диапазоне 2,5 • 104 < Gr < 3,2 • 105 появляется режим развитой ламинарной конвекции. Этот режим может быть также назван режимом пограничного слоя. В области 3,2 • 105 < Gr < 10® внутри слоя наблюдается появление вторичных течений в вида отдельных крупных вихрей, накладывающихся на основное цир- куляционное течение. Приблизительно при 106 < Gr < 107 на- чинаются явления, предшествующие переходу к турбулентному режиму: образование мелких вихрей и возникновение нестацио- нарных пульсаций. Развитое турбулентное течение наблюдается при Gr > 107, т.е. при Gr/, > 1О10, где число Gr/, построено по* высоте щели (h/б = 10). Границы этих режимов зависят от числа Рг и отношения h/6. Для расчета интенсивности переноса теплоты через длин- ные вертикальные слои воздуха может быть использована следуй ющая эмпирическая формула: Nu = 0,119 Gr0,3 (/i/Я)-0’1 (VII.38 Формула справедлива при 103 < Gr < 5 • 106 и 2,3 < h/б < 47. Для капельных жидкостей существует эмпирическая форму ла Nu" = 0,28 Ra1/4 (h/S)~ , (VII.39 которую можно использовать при 103 < Ra < 107 и 5 < h/б < 2 Опыты, по результатам которых построена эта формула, пр водились с водой, спиртом, маслом, глицерином, а также нек торыми другими жидкостями и охватывают широкий диапазс чисел Прандтля. 466
В формулах (VII.38), (VII.39) физические свойства теплоно- сителя следует относить к средней температуре слоя. При по- строении чисел подобия Gr и Ra за характерный размер принято расстояние между нагретыми стенками ё; АТ = Тъ — где 12 и Ti - температура вертикальных границ области (Т2 > Ti). Среднее число Нуссельта, определяющее интенсивность перено- са теплоты через слой, построено точно так же, как и в случае горизонтальных слоев, т.е. Nu = Хэ/Х. В режиме развитой ламинарной конвекции локальные числа Нуссельта существенно изменяются вдоль вертикальных стенок слоя. На большей части нагретой стенки локальное число Нус- сельта уменьшается в направлении движения восходящего пото- ка. На холодной стенке локальное число Нуссельта уменьшается в направлении движения нисходящего потока. Некоторые откло- нения от этой закономерности наблюдаются лишь на начальных участках вертикальных стенок, т.е. там, где происходит форми- рование пограничного слоя. Оказалось, что наиболее интенсивный перенос теплоты име- ет место в полости с отношением h/ё ~ 1,5. Эти данные полу- чены при 104 < Ra < 5 • 104. Зависимость числа Nu от h/ё представлена на рис. VII.4. ширине полости при различных числа Релея: кривые - результаты численного решения; точки - данные непосредствен- ных измерений Для турбулентного режима течения в вертикальном слое су- ществует также следующее уравнение подобия: Nu = 0,046 Ra1^. 30' 467
Оно получено для смешанных граничных условий, т.е. для случая, когда на одной из вертикальных стенок поддерживается постоянная плотность теплового потока qCT = const, а на дру- гой задана температура Тст = const. Это уравнение справедливо для 106 < Ra < 109; 1 < Рг < 20 и 1 < h/S < 40. Число Релея здесь построено по средней разности температур на вер- тикальных границах. (На границе с qCT = const температура изменяется по высоте стенки.) За характерный размер принята ширина слоя 6. Физические свойства среды отнесены к заданной температуре Тст. Глава VIII. ТЕПЛООТДАЧА ПРИ ИЗМЕНЕНИИ АГРЕГАТНОГО СОСТОЯНИЯ ВЕЩЕСТВА VIII. 1. Теплоотдача при конденсации паров VII I. 1.1. Общие сведения о процессе Теплоотдача при конденсации паров на охлаждаемой поверх- ности и при кипении жидкости сопровождается изменением агре- гатного состояния вещества. Конденсация пара и кипение жидкости оказывают суще- ственное влияние на интенсивность теплообмена. Образование новой фазы на поверхности теплообмена услож- няет процесс конвективного теплообмена и затрудняет примене- ние аналитических подходов к решению задач. , Теплообмен при конденсации паров представляет собой^ сложное явление, связанное с одновременным переносом теплоты) и массы (вещества) и изменением фазового состояния - перехода) из газообразного в жидкое или твердое состояние. Количество перенесенной массы определяется величиной сконденсированного пара, а переданная теплота (при условии най сыщенного пара) - теплотой парообразования. 468
Число факторов, влияющих на процесс передачи теплоты при конденсации, значительно больше, чем для случая тепло- обмена без изменения агрегатного состояния. Это создает до- полнительные трудности. К примеру, если при теплообмене без изменения агрегатного состояния поверхность характеризуется только геометрией, то для теплообмена при конденсации не мень- шее значение приобретают ее физико-химические свойства, при- чем рассматривать их следует не изолированно, а в сочетании с физико-химическими свойствами среды (жидкости, газа). Учет всех факторов, влияющих на процесс теплообмена при конденсации, и их анализ представляются очень трудными не только в теоретическом, но и в экспериментальном плане. Чаще всего работы, проводимые в этом направлении, носят характер суммарных оценок и не раскрывают всей сложности картины теплообмена. Правда, в последнее время появляются работы, которые в результате применения современной измери- тельной аппаратуры и оригинальных лабораторных приемов по- степенно раскрывают картину теплообмена при изменении агре- гатного состояния. Необходимым условием конденсации пара, если он находится в докритическом состоянии, является наличие либо зоны, либо поверхности (стенки) с температурой меньшей, чем температура насыщенного пара. В начальный момент соприкосновения пара с холодной по- верхностью (стенкой) последняя покрывается мономолекулярным адсорбированным слоем, который в процессе конденсации либо растет и уплотняется, либо при достижении определенной тол- щины (порядка микрона) разрывается на большое количество ка- пелек. В дальнейшем идет их рост и образование новых капелек. Первый вид конденсации, при котором на поверхности обра- зуется сплошная устойчивая пленка, называется пленочной кон- денсацией. Второй, когда идет процесс с образованием капелек, - капельной конденсацией. Различие в характере взаимодействия поверхности с конден- сатом, как нетрудно представить, обусловливается различием физико-химических свойств сред. 469
а О В г Рис. VIII.1. Смачиваемые (а, в) и несмачиваемые (б, г) жидко- стью поверхности: а, б - плоская стейка; в, г - стейка трубки Если капля на поверхно- сти твердого тела принимал ет такую форму, при кото- рой краевой угол а являет- ся острым, то в этом случае говорят, что жидкость сма- чивает поверхность твердого тела. Если же краевой угол будет тупым, то жидкость не смачивает поверхность твер- дого тела (рис. VIII.1). Эффект смачивания и несмачивания обусловлен действием сил поверхностно- го натяжения. При смачива- нии поверхностное натяжение между стенкой и паром боль- ше суммы натяжений на границах капли с твердым телом (стек кой)и паром: °ст.п > стст.ж + °ж.п cos а- В предельном случае, когда угол а = 0, капля растекает по поверхности стенки тонким слоем. Это явление растекан капли по поверхности называют абсолютным смачиванием. При а > 90° (см. рис. VIII. 1, б) преобладают поверхности! силы о'ст.ж и при а = 180° жидкость соберется в каплю. Та явление называется абсолютным несмачиванием. Поверхностное натяжение на границе твердого тела (стен! с жидкостью больше суммы натяжений твердого тела и жид сти во взаимодействии с паром: °ст.ж > °ст.п + °ж.п cos а- Условно можно считать, что абсолютное смачивание име место при орошении чистого стекла водой, спиртом, бензолом абсолютное несмачивание - при орошении того же стекла pi тью. 470
Движение как пленки, так и капель по поверхности проис- ходит либо только за счет гравитационных сил, если происходит конденсация неподвижного пара, либо за счет дополнительных сил трения со стороны текущего пара. Если при пленочном течении различие картины движения обусловливается только толщиной пленки и режимом, то при капельной конденсации картина может меняться от капельной к струйной, когда движущиеся капли сливаются в сплошные струи, и далее к поточной, сплошь закрывающей стенку (поверх- ность). В реальных аппаратах помимо отмеченного явления на кон- денсацию оказывает влияние состояние поверхности, особенно в начальный период работы, когда на стенках имеются масляные загрязнения. Чаще всего с процессом теплообмена при конденсации встре- чаются в энергетике при охлаждении отработанного пара тур- бин, в выпарных опреснительных установках; в химической про- мышленности в абсорбционных аппаратах (машинах) и т.д. Коэффициент теплоотдачи при пленочной конденсации, как показывают опыты, в 5 — 10 раз меньше, чем при капельной. Это обусловливается большим термическим сопротивлением пленки, отделяющей пар от стенки. Несмотря на то, что тепло- обмен при капельной конденса- ции более выгоден по сравне- нию с пленочным, на практике в основном приходится иметь дело с пленочной конденсацией. Качественная схема пленочной конденсации на плоской верти- кальной стенке изображена на рис. VIII.2. Теплообмен при переходе из парообразного состояния в жидкое для случая конденса- ции на холодной стенке условно можно разделить на ряд про- стых последовательных явле- Рис. VIII.2. Качественная схема пленочной конденса- ции на вертикальной пла- стине 471
ний, каждое из которых оказывает свое влияние на конечный результат теплообмена: 1. Подвод пара к стенке или поверхности раздела фаз (плен- ке) путем молекулярного или мономолекулярного переноса. 2. Сам процесс (явление) конденсации, происходящий на стенке или поверхности раздела. 3. Отдача теплоты сконденсированного пара охлаждающей стенке. Скорость подвода пара к холодной поверхности (стенке) можно подсчитать из уравнения баланса массы на поверхности теплообмена: w = q/rpn, где q - тепловая нагрузка поверхности; рп - плотность паровой фазы при параметрах насыщения; г - теплота парообразования. Формула справедлива для случая конденсации чистых на- сыщенных паров. Для случая конденсации пара, находящегося в смеси с некойденсирующимся газом, подсчет скорости пара, по- ступающего к поверхности конденсации, необходимо вести с уче- том сопротивления, создаваемого неконденсирующимся газом. Процесс конденсации, происходящий на поверхности раздела фаз, является результирующим двух процессов: конденсации мо- лекул, ударяющихся о поверхность жидкости и захватываемых ею, и испарения молекул с той же поверхности. Видимая конденсация получается в случае превышения ко- j личества молекул, связанных в жидкость, над количеством мо- ] лекул, испускаемых жидкой фазой в пар. Это явление, т.е. егоч количественное значение, может быть охарактеризовано коэффи-•] циентом конденсации /, определяющим долю молекул, удержи-1 вающихся на поверхности конденсата из общего числа поступив- j ших на поверхность. ] Термическое сопротивление передачи теплоты от пара К.| стенке состоит из термического сопротивления пленки и терми-| ческого сопротивления фазового перехода: ] Тп - Тст 1 1 R = ------£1 = _ = R + R q a v 472
где Та и ТСт ~ соответственно температура пара и поверхности стенки; q - плотность теплового потока; а - коэффициент тепло- отдачи от пара к стенке; Rg - термическое сопротивление пленки конденсата; R^ - термическое сопротивление фазового перехода. Из элементарной кинетической теории газов можно полу- чить следующее выражение для термического сопротивления фа- зового перехода: „ г. - т„. (2 - (г. - т„о,) * « 2fr(n,/VT^-pm/VT^)' { ’ где Улов _ температура поверхности конденсата; / - коэффициент конденсации; Ra - газовая постоянная пара; рп и рпоъ - давления насыщенного пара при Тп и ТПов соответственно. Как видно из графика, приведенного на рис. VIII.3, термическое сопротивление фазового перехода сущест- венным образом зависит от давления и коэффициента конденсации. Расчет термического сопротивления фазового пе- рехода затруднен из-за от- сутствия достаточно надеж- ных данных о влиянии на него различных параметров процесса конденсации. Од- нако исследования многих авторов показывают, что в большинстве случаев при давлении рп > 10 кПа тер- мическим сопротивлением фазового перехода можно пренебречь по сравнению с термическим сопротивлени- ем пленки конденсата. Для определения термического ЬгГь по!, ‘С Рис. VIII.3. Влияние коэффи- циента конденсации и давления пара на скачок температур <п — /по» при д = 29 кВт/м2 473
сопротивления пленки конденсата R = (Тп — Тст)/<7 = 1/а, т.е. для решения задачи теплообмена при пленочной конденсации па- ров, прежде всего требуется определить толщину пленки конден- сата и характер движения жидкости в пленке. Переходу от ламинарного течения пленки к турбулентному соответствует определенное значение числа Рейнольдса 1 Re - ™8/иж, I где 8 - толщина пленки в рассматриваемом сечении; w - сред- няя скорость движения пленки в рассматриваемом сечении; - 1 кинематическая вязкость жидкости. 1 Чисто ламинарное, слоистое течение, как показывают опы- « ты, сохраняется только при весьма малых значениях числа I Re = 3 .. .8. При больших значениях Re на поверхности пленке Ж появляются волны. Процесс теплообмена при волновом движе- ж нии ламинарной стекающей пленки представляется достаточно сложным. Попытки аналитического решения волнового движения I пленки были сделаны П.Л. Капицей. Он исходил из представле- I ния о двумерном синусоидальном характере волнового движения а с амплитудой, которая значительно меньше средней толщины И пленки, и длиной волны, значительно превосходящей толщину Я пленки Йо- Было показано, что при волновом движении средняя» толщина пленки меньше, чем при ламинарном. Именно этине уменьшением толщины пленки ряд авторов и объясняют увели«*Я чение среднего коэффициента теплоотдачи по сравнению с рас-гЯ четным, вычисленным для случая гладкой поверхности пленки. Аналитическое исследование действительно трехмерного не-Л упорядоченного движения пленки жидкости до настоящего вре-*Я мени представляет непреодолимые математические трудности)» Поэтому наиболее надежным методом исследования движениям пленки и теплообмена в этих условиях является эксперимент. Л Однако теоретический анализ упрощенной физической мо*м дели процесса теплообмена при пленочной конденсации все же» позволяет определить основные параметры и их влияние на про*Я цессы теплообмена. Я 474
При конденсации 1 кг сухого насыщенного пара от стенки необходимо отвести теплоту, равную теплоте фазового перехо- да г. Если же принять во внимание, что средняя температура конденсата меньше температуры насыщения, то дополнительно следует отвести некоторое количество теплоты на его переохла- ждение. Во многих практических расчетах из-за малости этой теплоты по сравнению с теплотой фазового перехода ею прене- брегают и считают: Q = Gr. (VIII.2) Если представить расход G как pxwS или ржмё12, где рж - плот- ность конденсата; S - площадь сечения пленки; 12 - размер стен- ки (пленки) в направлении, перпендикулярном плоскости черте- жа, можно записать Q = ржыё 12т. Но теплоту, переданную конденсатом стенке при стационар- ном процессе, можно определить также через коэффициент тепло- отдачи: Q = aMF = aMxl2, (VIII.3) где а - средний коэффициент теплоотдачи на длине ж; Д/ = — tx.~ ter ~ разность температуры между конденсатом и стенкой; F - площадь поверхности конденсации. Приравняв правые части последних уравнений, имеем тру^йзё = aktx, (VIII.4) т.е. для нахождения переданной теплоты требуется знать ско- рость w и толщину пленки ё. VIII. 1.2. Теплообмен при пленочной конденсации неподвижного пара при ламинарном течении пленки по вертикальной пластине Теория теплоотдачи при пленочной конденсации чистого на- сыщенного пара на вертикальной пластине была создана Нус- сельтом. Задачу решали при определенных допущениях. Прини- мали, что течение жидкости в пленке ламинарное. Температуру 475
жидкости на внешней поверхности пленки, обращенной к пару, считали равной температуре насыщения, физические свойства конденсата - постоянными, процесс - стационарным. Силами инерции из-за их малости по сравнению с силами трения, а так- же взаимодействием пара с поверхностью пленки пренебрегали. Уравнение энергии (IV.17) с учетом принятых допущений и при qv = 0 имеет вид д21/ду2 = 0. (VIII.5) Левая часть уравнения (IV. 17) равна нулю, так как процесс ста- ционарен и отсутствует конвективный перенос теплоты в пленке, а в правой части равны нулю d2t/dx2 и d2t/dz2, так как перенос теплоты в направлении осей Ох и Oz пренебрежимо мал. Упрощение уравнения (IV.50), описывающего движение пленки, дает следующее: Дж = ~Р^9- (VHI.6) (*У Левая часть уравнения (IV.50) равна нулю, так как инерцион- ные силы пренебрежимо малы и процесс стационарен, т.е. wx не изменяется вдоль оси Ож,аадг = 0июу = 0. В правой ча- сти уравнения др/дх и 0, так как давление пара по всей длине стенки одинаковое, а гидростатическим давлением из-за малой плотности пара по сравнению с конденсатом пренебрегаем. Рав- ны нулю также вторые производные d2wx/dx2 и d2wx/dz2. Таким образом, для решения задачи стационарного теплооб- мена движущейся пленки конденсата с принятыми упрощениями была получена система, состоящая из двух уравнений: d2t п d2wx . . ~ Дж ~ ~Рж9' (VHL7) Принятые упрощения позволяют опустить индекс х при скорости w и ввести граничные условия: t = tCT и w = 0 при у — 0; t — tn и dw/dy — 0 при у — <5; где - температура насыщения пара. 476
Условие dw/dy = 0 вытекает из принятого предположения, что силы трения между движущейся пленкой и неподвижным паром пренебрежимо малы. Интегрирование уравнения энергии с учетом граничных условий дает dt/dy — (tH — /ст)/^' Из уравнения Фурье имеем q = —Xx(dt/dy). Подставляя выражение для dt/dy в уравнение Фурье, имеем 9 — (^н ~ ^ст)/& Однако прошедшая через пленку теплота отдается стенке и мо- жет быть найдена по формуле Ньютона q = a (tfn — /ст)- Приравняем правые части уравнения: / , 4 \ “ ^СТ а \"Н гст) — -'ж $ ) или а = Хж/6. (VIII.8) Для каждой точки рассматриваемой поверхности теплообме- на коэффициент теплоотдачи пропорционален теплопроводности и обратно пропорционален толщине пленки конденсата. Для нахождения зависимости 6 от координаты х воспользу- емся уравнением движения (VIII.6). Его интегрирование дает w = -£гу2 + с1У + с2. Подставив граничные условия, находим С*2 = 0; С\ = РжЗ^/Мж> (V1U'9) *Мж 477
На рис. VIII.4 показано распределение скоростей и температур по толщине пленки. Массовый расход кон- денсата через поперечное се- чение пленки шириной 1м можно представить так: Рис. VIII.4. Распределение скоростей и температур в пленке G = рж6™ • 1, 6 w - - I w dy. »=0 Заменим скорость w на ее выражение согласно (VIII.9), тогда 8 6 6 1 «'='7 / ~^-{у2 ~2Sy)dy= [ y2dy~ [ 26ydy , 3 <5 J 2дж 2дж<5 J J y=0 Ly=0 y=0 I W = Рж5^2/Здж- (VIII.10) I Отсюда J G